Текст
Т. Р РАШИ До в
Ш. шозиётов
к.Б.МУМИНОВ
Назарий
механика
асоопари
X
Т. РАШИДОВ,
Ш. ШОЗИЕТОВ,
К,. Б. МУМИНОВ
Назарий механика
асослари
S'sCCP Хал^ таълими министрлигининг республика
уцув методика маркази олий техника уцув юртлари-
нинг студент лари учун дарслик сифатида тавсия этган
№зССР ФА нинг академией, профессор Т. Рашидов
тсцрири остида
Учеб как
библиотека
Тз1»ГУ
ТОШКЕНТ «УкДГУВЧИ» 1990
Дарсликда статика, кинематика, нудта ва система динамикаси, даттид жисм
динамикаси, аналитик механика элементлари ва кичик тебранишлар назарияси
баёи этилган.
Китобда механиканинг асосий тушунчалари ва донунлари билан бирга
инженер-лик ихтисослигида учрайдиган бошда масалалар дам ёритилган. Яс-
си фврмаларни дисоблаш, узгарувчан массали жисмлар механикаси, Эйлернинг ди-
намик тенгламалари, Гамилыон—Остроградский принципи, динамиканинг каноник
генгламалари, устувор мувозанат ва устувор даракат назариясининг асосий эле-
ментлари, механик системанинг кичик тебранишлари ана шулар жумласидандир.
Дарсликда 130 дан ортид типик масалалар батафснл ечиб курсатилган.
Мазкур китоб олий техника удув юртларининг студентлари учуй мулжалланган,
учдан университетларнинг амалий математика ихтисосликлари студентлари дам
дойдаланишлари мумкин.
(с «Удитувчи» пашриёти, 1990
160302С000 — 142
_^Г4)-^~ИНф- “°
ISBN
JU. T. Урозбоевнинг срцин хотирасига багишланади
СУЗ БОШИ
Узбек тилида назарий механикадан тулиц дарслик илк бор УзССР
ФАнинг академики М. Т. Урозбоев томонидан ёзилган ва охирги
нашри 1966 йилда чоп этилган. Утган давр ичида назарий механика-
нинг цулланиш сохалари янада кенгайди. Шу муносабат билан уз-
бек тилида цозирги замой талабларига жавоб берадиган ва янги
программага мое келадиган дарслик ёзиш эцтиёжи тугилди.
Ушбу китобга муаллифларнинг олий уцув юртларида уциган лек-
циялари асос цилиб олинди.
Дарсликни профессор Т. Рашидов ва доцент Ш. Шозиётов ёзиш-
ган. Кинематика булимидаги 8.1—8.5, 9.2, 9.5, 10.9, 11.1, 11.6,
11.8, 12.1-параграфлар цамда 8.3, 8.7, 8.9—8.11, 9.1—9.3, 10.2,
10.3, 10.5, 11.1—11.3-масалаларнинг ечимини К,. Б. Муминов ёзган.
Муаллифлар китоб цулёзмасини синчиклаб уциб чициб, [берган
фойдали маслахатлари учун физика-математика фанлари доктори,
профессор A. F. Азизов, техника фанлари докторлари профессорлар
Г. И. Болдпнский, Т. Мавлонов, профессор Т. Ш. Шпринцуловларга
цамда цулёзмани тацрир цилиб босмага тайёрлаш жараёнида жон-
куярлик курсатган махсус редактор Э. В.Эргашев ва нашриёт ре-
дактори А. Ацмедовга чуцур миннатдорчилик билдирадилар.
Дарслик сифатини ошйришга царатилган барча танцидий фикр-
мулоцазаларни миннатдорчилик билан цабул циламиз.
Муаллифлар
3
КИРИШ
(Ким харакат цонунлари билан таниш
булмаса, у табиатни Органа олмайди».
Г. Галилей
^аракат материянинг мавжудлик формаларидан бири булиб, унинг
энг му^им характерли хусусиятини ифодалайди. Материя ва ^ара-
кат тушунчаларининг муфассал таърифи марксизм-ленинизм клас-
сиклари томонидан ифодалаб берилган. «Материя,—деб ёзган эди
В. И. Ленин, объектив реалликни нфодалайдиган философии катего-
рия булиб, бу объектив реалликни инсон уз сезгилари билан идрок
цилади, бу объектив реаллик бизнинг сезгиларимизга боглиц булма-
ган ^олда мавжуддир, бизнинг сезгиларимиз ундан копия олади, су-
рат олади ва уни акс эттиради»*.
Материя харакати деганда жисмларнинг оддий кучишндан тор-
ги б, исси1\лик, химиявий, электромагнит, биологик ва бошка узга-
ришларда содир буладиган мураккаб процесслар тушунилади. «Суз-
нинг энг умумий маъносида цараладиган, яъни материянинг яшаш
усули сифатида, материяга ичдан хос атрибут сифатида тушунила-
диган ^аракат оддий жой алмашишдан тортиб то тафаккургача кои-
нотда содир буладиган хамма узгаришлар ва нроцессларни уз ичига
олади»**.
Харакатнинг оддий турларидан бири механик ^аракатдир. Вацт
утиши билан моддий жисмларнинг бир-бирларига нисбатан кучишига
механик уаракат дейилади.
Моддий жисмларнинг узаро таъсири ва механик харакати ургани-
ладиган бир цатор фанлар механика номи билан богли^дир. Маши-
на ва механизмлар харакати урганиладиган амалий механика, суюц-
ликлар ва уларга ботирилган жисмларнинг харакати урганиладиган
гидромеханика, газсимон жисмларнинг харакати ва цаттиц жисмлар-
нинг газсимон му.\итдаги ^аракати урганиладиган аэромеханика, ти-
рик организмларнинг механик хоссалари ва уларда содир буладиган
механик ходисалар урганиладиган биомеханика каби фанлар ана шу-
лар жумласидандир. Турли иншоотлар, машина ва механизм цисм-
ларини тадци^ цилиш ^амда лойихалашнинг умумий усуллари ур-
ганиладиган техника фан лари материаллар царшилиги (цурилиш ме-
ханикаси, машина деталлари) хам механикага тааллуцлидир.
Назарий механика моддий жисмларнинг бир-бирига таъсири ва
механик харакатнинг умумий цонунлари ^ацидаги фандир.
* Лепин В. И. Материализм ва эмпириокритицизм.—Тула асарлар туилами,
18-т., 146-бет.
** Энгельс Ф. Табиат диалектикаси. —Т., «Узбекистан», 1983, 50- бет.
4
Механикада моддий жисмлаэ узаро таъсир нинг мицдорий улчо
вига куч дейилади. Яцин вацтгача назарий механикада асосан пла-
неталарнинг узаро тортилиш кучи, мухит (тупрок, хаво ёки сув) нинг
царшилик кучи, суюцлик ёки газнинг босими, жисмларнинг бнр-би-
рига тегиб турадиган сиртида ^осил буладиган кучлар каби механик
табиатга эга булган кучлар таъсиридаги ^аракатлар текширилар эди.
Хозир ядро энергетикаси. космонавтика ва электрониканинг ривож-
ланиши натижасида механикада турлича физик табиатга хос: элек-
тромагнит, иссиклик, ёруглик ва химиявий хусусиятларга эга бул-
ган кучлар таъсиридаги системаларнинг ^аракатини урганишга оид
масалалар цуйилмокда. Масалан, электр двигатели якорининг ^ара-
катини урганишда унга электр майдснининг таъсир кучини эътибор-
га олиш керак; товушдан тез учувчи самолётларнинг ^аракати тек-
ширилаётганда, аэродинамик кучлардан ташцари, хаво билан само-
лёт цисмлари орасида иссиклик алмашиши натижасида ^осил була-
диган газлар молекулаларининг диссоциация кучларини хам хисобга
олиш керак; Ер сунъий йулдошларининг ^аракати урганилаётганда
Ернинг тортиш кучи ва аэродинамик кучлардан ташцари, Ер ма-
гнит майдонининг таъсир кучи ва йулдош билан космосдаги заряд-
ланган зарраларнинг узаро таъсир кучларини хисобга олиш керак;
реактив двигателнинг тортиш кучини хисоблашда ёниш нроцессида
вужудга келадиган химиявий ва термодинамик ^одисаларни эътибор-
га олиш керак. Механикада мазкур кучларнииг мицдорий узгари-
шигина асосий а^амиятга эга булиб, уларнинг физик табиати урга-
нилмайди.
Шундай г^нлиб, ^озирги замон механикаси физика, математика,
астрономия, химия, биология каби фанлар билан чамбарчас бстлан-
ган умгда ривожланмокда. Шунингдек, техниканинг барча сохалари-
да, айницса, машинасозлик, асбобсозлик, курилиш, автоматика, ки-
бернетика ва космонавтиканинг ривожланишида назарий маханика
ало^ида уринни эгаллайди.
Жисмнинг барча хоссаларини ^исобга олган хрлда содир була-
диган механик ^одисаларни назарий ва амалий жихатдан текшириш
анча мураккабдир. Шу сабабли масаланинг цандай цуйилишига ца-
раб, механикада жисмнинг айрям хусусиятлари эътиборга олинмайди.
Масалан, жисмнинг деформацияланишини эътиборга олмай, абсолют
Цаттнц жисм тушунчаси киритилади. Худди шунингдек, моддий иуц-
ia, идеал суюгушк каби тушунчалар ^ам соддалаштирилган моделга
тааллуклидир. Механикада бундай абстракт усулдан кенг фойдалани-
лади.
Диалектик материализмнинг билиш назарияси ленинча инъикос
назариясига асосланади. Бу назарияга кура, «... биздан ташцарида
нарсалар мавжуддир. Бизнинг идрок ва тасаввурларимиз бу нарса-
ларнинг образларидир. Бу сбразларни текшириш, уларнинг чинлари-
ни сохталаридан ажратиш практика орцали цилинади»*.
* Ленин В. И. Материализм ва эмпириокрити изм.—-Тула асарлар туплами,
*8-т., 121- бет.
&
Назарий механнканинг ассспй цонунлари х,ам кузатиш ва прак-
тика натижаларига асосланади.
Хозирги замон техникаси купгнна проблемаларни майдонга таш-
лади. Сувда катта (100 м/с ва ундан катта) тезликда харакат ци-
ладиган жисмларга каршилик кучини камайтириш; катта босим ва
температуралар таъсиридаги матерпаллар хусусиятини аницлаш; зил-
зилага бардош берадиган иншоотлар цуриш, Ернинг сунъий йулдош-
ларини, планеталараро космик кемаларни учирнш каби ироблемалар
ана шулар жумласидандир. Бу проблемаларни ечишда техника фан-
лари цаторида назарий механика >;ам мунссиб уринни эгаллайди.
Биз урганадиган назарий механика Галилей — Ньютон цпцунла-
рига асосланган булиб, одатда, классик механика деб аталади. Клас-
сик механикада ва^т ва фазе жисмларнинг ^аракагига богли^ эмас
деб царалади. Шунингдек, жиемнинг массаси унинг тезлигига Gof-
лиц булмаган узгармас ми^дор деб 1<аралади.
XIX аернинг охири ва XX аернинг бошида физикада утказилган
тадцицотлар классик механика цонунларини ёрувлнк тезлиги (300000
км/с) га яцин тезтик билан ^аракатлаиувчи микрозарралир ва жисм-
лар учун цуллаш мумкин эмаслигини курсатди. XX аср бошида
А. Эйнштейннинг (1879—1955) нисбийлик назариясига асосланган
релятивистик механика бунёдга келди. Нисбийлик назарияси ёрдами-
да фазо билан ва^т \амда масса билан энергия орасидаги цонуний
богланишлар ойдинлаштирилди ва классик механика конунлари урин-
ли буладнган чегара аницланади. >^озирги замон техпикасида куп-
чилик ^олларда учрайдиган тезликлар ёруглик тезлигидан анча ки-
чик булгани учун классик механика ^онуняаридан ^аётда учрайди-
ган реал масалаларни >;ал цилишда самарали фойдаланиш мумкин.
Механика тарихига оид цискана тарихий маълумотларни келти-
рамиз. Механикага дойр дастлабки илмий асарларни ^адимги юнон
олимлари ёзгаплар. Жумладан, эрамиздан илгари 287 — 21?йиллар-
да яшаган Архимед жиемтарнинг мувозанати ва огирлик марказинн
ани^таш, шунингдек, сувда сузадиган жисмларнинг мувозанатига
оид иазарияларни ишлаб чиццан.
Механиканинг ривожланишида Lllapi^ олимлари олиб борган ил-
мнй ишлар алохида уринни эгаллайди. Абу Райзон Беруний (973—
1048), Абу Али ибн Сино (980—1037), Улугбек Мухаммад Тара-
гай (1394—1449) каби мутафаккирлар ана шулар жумласидандир*.
Улар математика ва астрономия буйича цатор илмий ишларнинг му-
аллифлари булишлари билан бирга механикага >^ам муносиб ^исса-
ларини ^ушганлар. Беруний ва И5н Сино асарларида умуман .\apa-
кат (шу жумладан, механик ^аракат) ^амд1 планеталарнинг харака-
ти хацида ажойиб фикрлар баён этнлган. Ибн Сино таърифига
кура, жисм ^олатининг узгариб бориши >;аракатни ифода-
.лайди; жисмларнинг фазодаги харакати (механик харакат) эса бу
х4аракатнинг хусусий х;олидир. Улугбек планеталар ^аракатини,
* Григорян А.Т. Механика от ашитности до наших дней. 2-изд.,—М., Наука,
J 974.
6
жумладан, Дуёш ва Ойнинг х,аракатинн катта аницликда цисоблай
олган.
Д1еханика фанининг ривожланишида поляк астрономи Н. Копер-
ник (1473—I543) томонидан кашф цилинган гелиоцентрик система
алоцида ахамиятга эта. Коперник уз системасида Ер хам бошца сай-
ёралардек Цуёш атрофида ва уз уци атрофида айланади, деган фикр-
Ни ил гари сурган.
Италиялик олим Галилео Галилей (1564 —1642) инерция кону-
нини кашф этган. Бундан ташцари, Галилей узи утказган тажриба-
лар асосида жисмнинг огма текисликдаги царакати, горизонтга маъ-
лум бурчак остида отилган жисмнинг харакати, эркнн тушиш ца-
цидаги цонунларни кашф цилган.
Механнканинг асосий цонунларини машцур инглиз олими Исаак
Ньютон (1643— 1727) 1687 йилда кашф цилган. Ньютоннииг бу-
тун олам тортилиш цонуни механикада алохида урин эгаллайди.
Ньютон цонунлари цозирги купца хам уз актуаллигини йуцотмаган.
Рус академиги Л. Эйлернинг (1707— 1783) механикага оид каш-
фиёьпари 1736 йили босмадан чикцан икки юмлик «Аналитик ме-
ханика» китобида баён цилинган.
Француз олими Ж-Даламбернинг (1717—1783) 1743 йилда натр
цилинтан «Динамика буйича трактат» асарида богланишдагн ме-
ханик системалар харакати цацндаги мзсалаларни унинг номи билан
аталувчи принцип асосида ечиш методикаси курсатилган.
Француз олими Ж-Л. Лагранжнинг (1736—1813) «Аналитик ме-
ханика» асари (1788) назарий механика тарацциётида алоцнда урин
эта ьпайди. Бу асарда механика масалаларига мумкин булган кучиш
принципини цуллаш баён этилган.
М. В. Ломоносов (1711— 1765) физика-математика фанлари, жум-
ладан, механика фани соцасида олиб борган ажойиб текширишлари
билан машцурдир. Ломоносов материя булмаса, царака г цам булмас-
лигини таъкидлаб, материя ва царакатнииг сацлаипш цспунинн каш|)
этган.
Механика фанининг ривожланишига катта цисса цушган рус
олимларндаи ДЕВ. Остроградский (1801 — 1862) аналитик механика
сохасидаги илмий ишлари билан шухрат цозонган; П. Л. Чебишев
(1821— 1891) машина ва механизмлар назариясига асос солган;
С. В. Ковалевская (1850—1891) цузгалмас нуцта атрофида айланув-
чи цаттиц жисм тенгламаларини интеграллаш сохасидаги илмий нш-
лари билан ном чицарган; Н. Е. Жуковский (1847—1921) аэроди-
намиканинг ривожланишида муцим ацамиятга эга булган цатор асар-
ларнинг муаллифи, «рус авиациясининг отасидир» (В. И. Ленив);
К. Э. Циолковский (1857—1935) ракета назарияси ва суюц ёнилги-
Да ишлайдиган ракета двигатели назариясига асос солган; И. В. Меш-
черский (1859— 1935) асарлари узгарувчан массали жисмларнинг
харакати, реактив техника ва осмон мехапикасининг цатор иробле-
маларини цал цилишпа илмий асос булди; С. А. Чаплигин (1869 —
1942) аэрогидродинамика цамда богланншдаги механик системалар-
иинг царакатини текшириш сохасидаги илмий ишлари билан маш-
®1УрДир; А. Н. Крилов (1863—1945) кемаларнинг устувор царакати
7
ва ташци баллистикага оид мухим илмий ишлари билан танилган;
С. П. Королев (1906—1966) ра^барлигида баллистик ва геофизик
ракеталар, Ернинг сунъий йулдошлари, «Восток», «Восход» космик
кемалари яратилган; М. В. Келдишнинг (1911— 1978) аэрогидроди-
намика, тебранишлар назарияси ва космонавтика сохаларидаги тад-
Хи^отлари ало^ида а\амиятга эга; А. А. Ильюшин (1911 йилда ту.
жилган) эластиклик ва пластиклик назарияси, аэрогидродинамика,
полимерлар механикаси ва узок, муддатли муста^камлик назариясига
•оид илмий ишлари билап машхурдир; А.Ю. Ишлинский (1913 йил-
да тугилгап) деформацияланувчи му^ит механикаси ва гироскопик ас-
•боблар тугрисида бир иеча назарня яратди.
Механика фанининг ривожланишига улкан хисса цушган узбек
олимларидан М.Т. Урозбоев (1906—1971) ип механикаси ва иншо-
•отларнинг сейсмик мустахкамлиги назариясига оид катор илмий иш-
ларнинг муаллифидир; Х.А. Рахматуллин (1909—1988) ившоотлар
заминини хисоблашда ва уларни ло„ихалашда, кема зир\и мустах-
жамлигини аниклашда кулланиладиган «Рахматуллин тулцинлари»
номини олган тулкинлар назариясини кашф килди; В. К,. Кобуловнинг
•(1921 йилда тугилган) туташ мух.итлар механикаси масалаларини
•алгоритмлаш, автоматик бсшцариш системаларини яратиш сохаси-
даги илмий ишлари мухим амалий ахамиятга эга.
^озирги даврда механиканинг купгина масалалари электрон хи-
•соблаш машиналаридан фойдаланиб хал этилмохда. Механика соха-
•сига оид илмий текширишлар СССР ва иттифоцдош ресиубликалар
•Фанлар академиялари кршидаги механика институтларида хамда олий
укув юртларида олиб борилмоцда.
Механика фанининг ривожланишида совет олимларининг хизма-
•ти нихоятда катта. Уларнинг илмий ишларини бир-икки сахифада
•баён этиш мушкуллигидан, механика тарихи билан цизицувчиларни
•бош^а манбаларга мурожаат цилишларини тавсия этамиз*.
Назарий механика курса статика, кинематика ва динамикадан
иборат уч кисмга булинади.
Статикада жисмларнинг мувозанати. уларга цунилган кучлар-
ми содда холга келтириш каби масал-пар билан шугулланилади.
Кинематикада жисмларнинг харакати геометрик нукдаи назар-
дан, яыш харакатни вужудга келтирувчи сабабга богламай урга-
•нилади.
Динамикада моддий жисмларнинг харакати унга таъсир этувчи
кучларга боглиц равишда текширилади.
СССРда 1980 йил 1 январдан бошлаб Узаро Ихтисодил Ёрдам
Кенгаши стандарта буйича СТ СЭВ 1952 — 78 га асосан Халцаро
бирликлар системаси (СИ)га утилган. Ушбу дарсликда барча катта-
ликлар СИ бирликлар системасида берилган. Китоб охирида илова
хилинган жадвалда асосий геометрик, статик, кинематик ва дина-
мик катталикларнинг улчов бирликлари келтирилган.
* 1. Развитие механики в СССР,—М., «Наука», 1967.
z. Григорьян А. Т., Фрадлин Б. Н. Механика в СССР,—М., «Наука», 1977.
1 ЦИСМ. ЦАТТИЦ ЖИСМ СТАТИКАСИ
ч\ар г^андай мувозанат фа^ат нио-
бий еа вафпинчадир».
Ф. Энгельс.
1-6 об. СТАТИКАНИНГ АСОСИЙ ТУ ШУ НЧ АЛ АРИ
ВА АКСИОМАЛАРИ
1.1- §. Статиканинг асосий тушунчалари
Кадимги юнон олими Архимед статиканинг асосчиларидан бири
^исобланади. У параллел кучлар таъсиридаги ричагнинг мувозанати,
жисмларнинг огирлик марказини аницлаш назариясини яратиш билан
бирга гидростатикага ^ам асос солган. Геометрик статиканинг ри-
вожланишига француз олимлари П. Вариньон (1654—1722) ва Л.
Пуаисо (1777—1859) катта ^исса цушдилар.
Аналитик статиканинг асосчиси Ж- Лагранж ^исобланади. Ста-
тиканинг аксиоматик методларини ривожлантиришда рус олимлари
Н. Е. Жуковский ва С. А. Чаплигинларнинг роли каттадир.
Статиканинг асосий тушунчаларидан бири цаттиц жисмдир. Куч-
лар таъсирида булган жисмнинг ихтиёрий икки нуцтаси орасидаги
масофа узгармаса, бундам жисмга абсолют цатти^ жисм дейила-
ди. Бошкача айтганда, абсолют цаттиц жисмнинг геометрик шакли
узгармайди (деформацияланмайди). Келгусида цаттиц жисм (ёки
жисм) деганда абсолют катти^ жисм тушунилади.
Назарий механикада улчамлари эътиборга олинмайдиган даража-
да кичик булган жисмга моддий нуцта дейнлади. Берилган жнсм-
ни тасвирловчи моддий нукта геометрик нуцтадан фарцли равпшда
берилган жисмнинг массасига тенг массага ,\амда бошка жисмларга
узаро таъсир этиш хусусиятига эга булади*.
-\ар цандай жисмни моддий нуцталар тупламидан ташкил топган
леб цараш мумкин. Мазкур нуцталар орасидаги богланиш жисмнинг
хусусиятларига боглиц булади.
Кучнинг жисмга таъсири куч цуйилган ну^та, унинг йуналиши
ва мицдори билан аницланади. Кучнинг йуналиши деганда тинч ^о-
латда турган эркин жисмнинг мазкур куч таъсиридан олган харакат
йуналиши тушунилади. Кучнинг мицдорини (модулини) аницлаш
учун уни куч бирлиги сифатида цабул цилинган бирор катталик би-
лан солиштирилади.
Куч — вектор катталик булиб, уни чизмада узунлиги маълум
масщтабда куч мицдорини, стрелканипг йуналиши куч йуналишини
ифодаловчи вектор кесма тарзида тасвирланади. Жисмнинг А нуцта-
Чизмада моддий нуцтани геометрик нукта тарзида тасвирлаймиз.
9
___£ сига F куч цуйилган булсин (1.1-раем).
Куч вектори йуналтирилган ВС тугри
//! / чизиеда кучнинг таъсир чизики дейи-
/ J лади.
Агар жиемга бир нечта Flt F2, . . . ,
Fn кучлар таъсир этса, бундай кучлар
1.1-раем. тупламига кучлар системаси дейилади ва
(Fx, F2 .. .Fn) деб белгиланади.
Таъсир этаётган (Ft, Fz, . . . , Fn) кучлар системасини бошца
бирор (Т\, Р2, . . . , Рт) кучлар системаси билан алмаштиришда
жисм хрлати узгармаса, бундай кучлар системасига эквивалент куч-
лар системаси дейилади ва цуйидагича ёзилади:
(К 1, F2, . . . , F„) со (Рь Р2, ... , Рт).
Агар (Flt F2, . . . , Fn) кучлар системаси битта R кучга экви-
валент, яъни
(Fj, F2, . . . , Fn) со R
булса, бундай кучга берилган кучлар системасининг тенг таъсир
этувчиси дейилади.
Кучлар системаси таъсиридаги жисм тинч ^олатда цолса ёки
инерцион харакатда булса (масалан, жисмнинг барча нукхталари уз-
гармас ва бир хил тезлик билан харакатланса), жисмнинг бундай хр-
лати мувозанат \олат дейилади. Кучлар системаси таъсиридаги
жисм мувозанат холатида булса, бундай кучлар системасига муво-
занатлсииган кучлар системаси ёки нолга эквивалент система
дейилади;
(Л. .........К) W о.
Статика булимида жисмнинг мувозанати деганда унипг тинч по-
лати тушуннлади.
1.2- §. Статика аксиомалари
Статика да жиемга (ёки узаро таъсир этувчи жисмларга) цуйил-
ган кучлар ^ацидаги умумий цонунлар тажриба ва кузатишлар ёрда-
мида аницланган цуйидаги аксиомалар тарзида берилади.
1-аксиома. Абсолют каттиу жиемга ууйилган иккита куч
мувозанатлашиши учун бу кучлар миудор жа^атдан тенг, йуна-
лиши эса кучлар цуйилган нууталардан утувчи тукри чизиу б$-
йича '{арама-уарши томонга йуналган б(ршши зарур ва етарли-
дир.
—>- —> “->
1.2-расмда (Fv F2) со 0 ва (Qlt Q2) со 0 шартларни ^аноатланти-
рувчи икки1а кучлар системаси тасвирланган. Бундай кучларнинг
тенг таъсир этувчиси нолга тенг булади.
10
1- аксиома энг содда мувозанатлашган кучлар системасини ифо-
далайди, чунки тажрибаларнинг курсатишича битта куч таъсиридаги
эркин жисм мувозанатда була олмайди.
2- аксиома. Берилган кучлар систвмасининг абсолют t\am/nui{
жиемга таъсирини узгартирмай, бу кучлар системаси цапюрига
мувозанатлашган кучлар системасини цушиш ёки ундан айириш
мумкин.
—•—> —>•
Бу аксиомага кура, агар (Fx, F2.......Fn) кучлар системасига
(Qi> Q2) 03 0 системани цушеак, у ^олда
(f\, Б 2, • • • » f п) 03 (fi> Б2, • • •» Fn, Qx, Q2)
—> —> —
муносабат уринли булади. Худди шунингдек, (Рх, Р2, .... Pi,
Q2) кучлар системасида (Qx, Q2) со 0 булса,
(Л. К • - •. К Qv Q2) «(Л. К • •.. Л)
зрм уринлидир.
Натижа. Кучни унинг таъсир чизиси буйлаб жисмнинг ихти-
ёрий ну/упасига кучириш билан кучнинг жиемга таъсири узгар-
майди.
Исбот. Жисмнинг А нуцтасига цуйилган F кучнинг таъсир чн-
зигида ихтиёрий В нукдани олиб, шу нуцтага мицдорлари F »=
= Б л = Б2 булган х^амда шу чизицда ётувчи (Fx, F2) со 0 системани
цуямиз (1.3-раем). У ^олда 2-аксиомага асосан
—> —> —> —>-
F со (F, F„ F2).
1-аксиомага асосан (F, F2)co0 булганидан уни ташлаб юборсак,
А нуцтага цуиилган F куч урнига шу кучнинг таъсир чизигидагн
В нуцтада ётувчи Fx = F кучни оламиз.Иу*
Исботланган натижадан курамизки, абсолют цатти^ жиемга цу-
милган куч сирпанувчи векторни ифодалайди.
белгиси «исбот тугади» деган иборани ифодалайди.
Ц
с
1.5- раем.
Бу натижага кура иккита F ва Q кучлар узаро эквивалент
булиши учун F — Q шарт етарли булмай, бу шартдан ташцари
мазкур кучларнинг таъсир чнзицлари ^ам устма-уст тушиши керак.
1 4-расмда узаро тент, лекин эквивалент булмаган кучлар курсатил-
ган.
3-акиома (параллелограмм аксиомаси). Жисмнинг бирор нуц-
тасига кййилган, бар туери чизицда ётмаган икки кучнинг тенг
таъсир эпгувчиси миудор ва йуналиш жи\атидан шу кучларга
курилган параллелограммнинг кучлар с^йилган нусупадан утуечи
диагонали билан ифодаланади.
Жисмнинг бирор А нуцтасига бир-бири билан <р бурчак ташкил
этувчи Fi ва F2 кучлар цуйилган булсин (1.5-расм). Бу кучлар-
— >•
нинг тенг таъсир этувчисини R билан белгиласак, аксиомага кура,
R=FX + K (ID
АВС учбурчакдан косннуслар теоремасига асосан тенг таъсир
этувчининг модулини аницлаймиз:
R = ]/ + fl- 2Ff2 cos (180° — <р)
ёки
R = ]/'f? + /* + 2F1F2cosq>. (1.2)
> —>- —>-
R нинг Fi ва F2 билан ташкил цилган бурчаклари <рг ва <р2 ни
аницлаш учун синуслар теоремасидан фойдаланамиз:
А __ _ R
sin <ра sin <₽! sin (180° — ср) ’
бундан
sin cpj = sin <p, sin <p2 = — sin ф. (1.3)
12
4-аксиома (Ньютоннинг учинчи кону ни.) Иккшпа жисм бир-
бирига мицдор жицатдан тет ва бир тусри чизиц буйлаб ца-
рама-царши томонга йуналган кучлар билан узаро таъсир этади.
Масалан, Цуёшнипг Ерни тортувчи кучини F билан белгиласак,
Ернинг Т^уёшни тортувчи кучи — F га тенг булади, яъни улар
мицдор жихатдан бир-бирига тенг булиб, бир тугри чизиц буйлаб
царама-рарши томонга йуналган.
5-аксиома (цотиш ппинципи). Агар сеформацияланадиган
жисм мувозанат хрлатида абсолют, уаттиу жисмга айланса,
унинг мувозанати узгармайди.
Масалан, эгилувчан сим мувозанат ^олатида абсолют цаттиг;
стерженга айланса, унинг мувозанати узгармайди.
5-аксиомадан фойдаланиб, кучлар системаси таъсиридаги абсолют
цаттиц жисмнинг мувозанат шартларини деформаципланадиган жисм-
лар учун ^ам татбиц этиш мумкин. Лекин бу шартлар деформа-
цияланувчи жисмлар учун фацат зарурий шартларнигина ифодалай-
ди. Хацицатан ^ам, 1-аксиомани учларига кучлар цуйилган абсолют
цатти'ц стержень ^амда эгилувчан ва чузилмайдиган сим мувозана-
ти учун татбиц цилсак, ^ар иккала ^олда бу кучлар мицдорлари-
нинг тенг булиши ва бир тугри чизиц буйлаб царама-царши йуна-
лиши зарурий шартни ифодалайди, лекин бу шартлар симнинг му-
возанати учун етарли булмайди. Эгилувчан ва чузилмайдиган сим
мувозанатда булиши учун юцоридаги шартларни, симга уни чузиш-
га интилувчи кучлар таъсир этади, деган цушимча шарт билан тул-
дириш керак.
1.3-§. Богланиш ва богланиш реакциялари
Берилган жисмниш кучиши бошца жисмлар билан чекланган
булса, у босланшидаги жисм дейилади. Берилган жисмнинг кучи-
1ПИНИ чекловчи жисмга борланиш дейилади. Машина ёки механизм
цисмларининг ^аракати олдиндан чекланган булади. Масалан, ички
ёнув двигатели цилиндри ичида харакатланаётган поршень тутри
чизиц буйича ^аракат цилади. Бунда поршень богланишдаги жисм-
дир. Цилиндр ва шатун эса богланиш вазифасини бажаради.
Богланишнинг жисмга курсатадиган таъсирига богланиш реак-
ция кучи дейилади. Богланишдаги жисмларнинг харакати цайси йу-
налишда чекланган булса, богланиш реакция кучи шу йуналишга
тескари йуналади.
^Харакати богланишлар билан чекланмаган жисм эркин жисм
дейилади. Масалан, завода учаётган самолётни эркин жисм деб i;a-
раш мумкин.
Статикада эркин жисмнинг мувозанат шартлари чшуарилади. Бу
шартларни богланишдаги жисмга татбиц этиш учун богланишлар
аксиомасидан фойдаланилади.
Богланишлар аксиомаси (борланишдан 6tjuiamiuu принципа).
Босланишларнинг берилган жисмга таъсирини реакция кучи би-
лан алмаштириб, \ар цандай боеланашдаги жисмни эркин жисм
деб цараш мумкин.
13
Богланишдаги жисмларнинг
бир бирпга тегпб турган цис.ми-
даги пшкаланиш кучини ^исобга
олмай, богланишларни цуйидаги
учта групнага ажратиш мумкин.
I. С и л л и сирт в о с и т а -
с и д а б о f л а н и ш л а р. а) Жисм
силлиц сирт га А нуцтада таяна-
ди (1 6-раем, а). Силлмк, сирт
жисмнинг шу сиртга утказилган нормал , буйича харакатини чеклай-
ди. Шу сабабли силли^ сиртнинг реакция кучи N сиртга утказилган
нормаль буйича йуналади. Бу кучга нормал реакция кучи дейила-
ди. Хусусан, силлиц текисликнинг реакция кучи текисликка пер-
пендикуляр йуналади (1.6-раем, б).
б) Балка А нуцтада полга, В нуцтада вертикал деворга ва С
нуцтада икки ё^ли бурчак циррасига таянади (1.7-раем, а). Пол-
нинг ва вертикал деворнинг NA, NB реакция кучлари А ва В нуц-
таларда мос равишда пол ва деворга утказилган перпендикуляр бу-
йича йуналади. Икки ё^ли бурчакдан ташкил топган кирранинг ре-
акция кучи Nc эса С нуктада балкага утказилган перпендикуляр
буйича йуналади.
Агар балканинг кундаланг улчамлари ^исобга олинмаса, уни
битта А нуцтага таянган деб цараш мумкин (1.7-раем, б). Бу ^ол-
да реакция Кучи А нуцтадан утади, лекин кайси томонга йуналга-
ни маълум эмас. Масала ечишда бундай реакция кучини танлаб
—> — >-
оЛииган координата уцлари буйича йуналган ХА, УА ташкил этув-
чиларга ажратиб, жисмнинг мувозанат шартларидан аницланади. А
14
Я)
1.8- раем.
туси^нинг реакция кучи ^ам таш-
кил этувчиларга ажратилиб, шун-
га ухшаш аницланади (1.7-раем, в).
в) Жисм цузгалмас текислик-
ка галтаклар воситасида таяниб
турса (1.8-раем), А нуцтадаги реак-
ция кучи NA шу текисликка пер-
пендикуляр йуналади. Шундай ки-
либ, цузралувчи таянчнинг реак-
ция кучи таянч текислигига перпендикуляр йуналади.
II. Шарнирли богланпшлар. Умумий уц ёки ну-^та атро-
фида айлана оладиган иккита жисм орасидаги боглапишга шарнир
дейилади.
г) Цилиндрик шарнир. Цузгалмас асосга урнатилган цилиндрик
шарнирнинг реакция кучи RA айланиш уцига перпендикуляр равиш-
да йуналади. Масала ечишда бундай реакция кучини айланиш уцига
перпендикуляр текисликда ётувчи х ва у укларга параллел йунал-
ган ташкил этувчиларга ажратиб, жисмнинг мувозанат шартндан
толилади (1.9-раем).
д) Сферик шарнир. АО стержень О нуктада сферик шарнир го-
ситасида богланган булса, бу стержень О нуцтадан утувчи хар цан-
дай уц атрофида фак.ат айлана олади (1.10-раем). Сферик шарнир-
нинг Ro реакция кучи О нуктадан утади, лекин цайси томонга йу-
налишини олдиндан айтиб булмайди. Сферик шарнирнинг реакция
кучини танлаб олинган координата укларига параллел йуналган таш-
кил этувчиларга ажратиб, уларни жисмнинг мувозанат шартларидан
аниклаш мумкин.
е) Вазнсиз стержень воситасида шарнирли богланиш. Жисм уч-
лари шарнирли бириктирилган ингичка (вазнсиз деб караладиган)
стерженлар воситасида богланган булсин (1.11-раем). Уз огирлиги
^исобга олннмайдиган, учларидан бошца нуцталарига хеч цандай куч
цуйилмаган стерженларга вазнсиз стерженлар дейилади.
1-аксиомага кура, стерженларнинг ^ар бири мувозанатда булиши
учун унга цуйилган кучлар мицдор жихатдан тенг, стержень буй-
15
..11- раем.
лаб царама-^арши томонга йуналган булиши керак. Бинобарин, бун-
дай стерженлар факат сицилади ёки чузилади дамда реакция’ куч-
лари 1.11-раемдагидек стерженлар буйлаб йуналади.
111. Ип, запжир ва цайишлар воситасидаги бо₽ла-
нишлар. ж) Жисм АВ, CD иплар воситасида осилган булсин
(1.12-раем). Ипларда ^осил буладиган реакция кучларига таранг-
лик кучлари дейилади ва улар ип буйлаб йуналади.
Богланишларнинг бошца турлари кейинчалик конкрет масалалар-
ни ечишда курилади.
2-б о б. КЕСИШУВЧИ КУЧЛАР СИСТЕМАСИ
Таъсир чизиклари бир нуцтада учрашадиган кучлар системасига
кесишувчи кучлар системаси дейилади.
2.1- раем
Кучларни уларнинг таъсир
чизиклари буйлаб кучириш мум-
кин булгани туфайли, (Fv Fv
—
. . . , Fn) кесишувчи кучлар сис-
темаси (2.1-раем, а) кучларнинг
таъсир чизиклари кееншган А
нуцтага цуйилган кучлар систе-
масига эквивалент булади (2.1-
часм, б).
2.1- §. Кесишувчи
кучларни геометрик
цушиш
Бир нуцтага цуйилган Fг ,FV
F3, кучлар берилган. Бу куч-
ларни цушиш учун параллело-
грамм цоидасидан кетма-кет фой-
даланиш мумкин (2.1-раем,
Ft ва f2 кучларни цушиб, Ri
кучни аницлаймиз:
16
2 •
Г V KV4 билан цушиб,
й У Т?~с
кпламиз. Hi-цоят, R2 билан /4 куч векторлари асосида па-
нН Л‘°С1 кvdh6, берилган (f„ f2, ~F3, FA кучлар системасининг
паллелогР'* —*• „
этувчиси R учун цуиидаги формулани хосил циламиз^
тенг таъсир /
а тенг таъсир этувчи R нинг таъсир чизиги А нуцтадан утади.
Ь" Кесишувчи кучларни кушиш учун ^ар гал параллелограмм ясапг
урнига 7\ кучнинг учига Т2 кучни узига параллел равишда кел-
тирамиз; сунгра Т2 кучнинг С учига F3 кучни узига параллел ра-
вишда келтирамиз ва хоказо (2.1-раем, а). А нуцтани F4 кучнинг
учи билан туташтириб, тенг таъсир этувчи R ни аницлаймнз. Тенг
таъсир этувчини бу усулда аницлашга купбурчак уоидаси дейилади.
ABCDE синик чизивда куч купбурчаги дейилади.
Худди шунингдек, агар берилган кесишувчи кучлар системаси
п та кучлардан иборат булса, уларнинг тенг таъсир этувчиси
+^п=2 (2-1>
формуладаи аникланади. Шундай цилиб, кесишувчи кучлар систе-
масининг тенг таъсир этувчиси ташкил этувчи кучларнинг гео-
метрик йириндисига тенг ва шу кучлар таъсир чизиуларининг
кесишган нуутасига цуйилган булади.
2.2- §. Уч кучнинг мувозанати ^ацидаги теорема
Теорема. Бир текисликда ётувчи ва узаро параллел булмаган
УЧта куч мувозанатлашеа, уларнинг таъсир чизиклари бир нуц-
таОа кесишади.
Исбот. Мувозанатдаги жисм-
’,Нг Аъ Л2, А3 нуцталарига бир
текисликда ётувчи параллел бул-
маган IF Тг"
у 1, г2, 13) кучлар систе-
К\чпагЙ!ЙИЛГаН бУлс,1Н (2.2-раем).
Рдан иккитасини, масалан,
зн* йпи г Ш1 УлаРН11НГ таъсир чи-
Келтириб Кес|1ШаЛИгйп о нуктага
асосида 1’~щаРаллелогРамм цоидаси
2—2282
2.2- раем.
17
У лолда (Flt Г2, l') кучлар системаси урнига унга эквивалент ик-
кита кучдан иборат системага эга буламиз: (Flt F2, Fg) со w
оэ 0. 1-аксиомага а сосан, ва F3 кучларнинг мицдорлари тенг
йуналиши эса бнр тугри чизиц буйлаб ^арама-царши томонга йунал-
гандагина улар мувозанатлашади. Бинобарин, /3 кучнинг таъсир
чизиги ^ам О нуцтадан утади.
2.3- §. Кучни ташкил этувчиларга ажратиш
Куин да г и учта ^олни курамиз: 1) F кучни шу куч билан бар
текисликда ётувчи берилган иккита йуналиш буйича ташкил
--------------------------------------- ——т,„,,
этувчиларга ажратиш. Бунинг учун
-—>
F кучнинг В учидан берилган I ва II
тугри чизицларга параллел булган ва
улар билан С ва D ну^таларда кеси-
шадиган ВС, BD кесмаларни утказа-
миз (2.3-раем). AC=F2 ва AD=F2 век-
торлар F кучнинг изланаётган ташкил
этувчиларини ифодалайди.
2.3- раем.
• >
2) F кучни шу куч билан бир текисликда ётувчи ва сон куш-
—>-
матлари берилган иккита ташкил этувчига ажратиш. F куч-
нинг боши А ва учидаги В нуцталарни марказ цилиб, радиусн бе-
рилган масштабда танлаб олинган Fx ва F2 га тенг ёйларни чиза-
миз (2.4-раем, а). Бу ёйлар С ва D ну^таларда кесишади. АСВ ва
ADB учбурчакларни диагонали АВ га тенг параллелограммлар би-
2.4- раем.
18
2.5- раем.
лан тулдирамиз. У ^олда АС ва АЕ ёки AD ва АК векторларк
F кучнинг изланаётган ташкил этувчиларини ифодалайди.
3) F кучни бир-бирига перпендикуляр учта координата уц-
—> —> —>
лари буйича йуналган Fu F.,, F3 ташкил этувчиларга ажратиш. Бу-
нинг учун параллелепипед цоидаендан фойдаланиб, диагонали F кучга>
тенг, кирралари берилган йуналишларга мое келувчи параллелепи-
пед цуриш кифоядир (2.4-раем, б).
2.4- §. Кучнинг текисликдаги ва у^даги проекциям
Куч билан у^ бир текисликда ётган долда F кучнинг Ох упла-
ти проекциясини аницлаш учун кучнинг боши А ва учидаги В нуц-
талардан берилган уц^а перпендикуляр (А а) ва (ВЬ) чизицларни ут-
казамиз (2.5-раем). У ^олда мое ишора билан олинган ab кесма
F кучнинг Ох уадаги проекциясини ифодалайди. Агар а нуктадан
b нуцтага кучиш Ох уцнинг мусбат йуналиши билан устма-уст туш-
са—мусбат ишора, унга тескари йуналса—манфий ишора олинади.
F кучнинг Ох у^даги проекциям Fx ёки X билан белгиланади:
Fx = X=Fcosa, (2.2)
—
2.5- раем, б даги Fx кучнинг х уцдаги проекциям ^ам шу тарзда
аницланади: Xt = f\ cos а ёки cos а = cos (180° — <р) = — cos <р бул-
гани учун
X г = Fx cos а = — /ф cos ср.
Шундай килиб, кучнинг бирор уцдаги проекцияси скаляр миц-
дор булиб, куч модули билан кучнинг шу уц мусбат йуналиши би-
лан ташкил калган бурчаги косинусига купайтмасига тенг. Бу
таърифга кура а = л/2 ёки а = Зл/2 да X = 0; а = л да X = —- F
булади.
—
F кучнинг Oxyz координата ^цлари системаси билан ташкил
цилган бурчакларини а, р, у билан белгилайлик (2.6-раем). У ^олда
тст-
45.
2.6- раем. 2.7- раем.
диагонали F га тенг булган параллелепипед (мое ишора билан олин-
>
ган) томонларининг узунлиги (2.2) га асосан F кучнинг координата
уцларидаги проекцияларини ифодалайди:
X=F cos a, Y = F cos р, Z = F cosy. (2.3)
Кучнинг модули параллелелипеднинг диагоналига тенг:
F = /х2 + У2 + Z2. (2.4)
>•
F кучнинг йуналишини топиш учун йуналтирувчи косинусларни
(2.3) дан аницлаймиз:
X а Y Z
cosa = —, cos0 = —, cosy = —. (2.5)
F кучнинг бирор П текисликдаги проекциясини ани^лаш учун
ину текисликка Аа ва ВЬ перпендикулярларни туширамиз (2.7-расм);
у \олда ab вектор F кучнинг П текисликдаги проекциясини ифо-
далайди ва цуйидагича белгила-
4 а z ! > 1 Л !_Ь ,1...& 7 1 / У Z / 1 / 6./ ^5 Л 2.8- раем. пади: ab = Fa -F кучнинг П те- кислик билан ташкил цилган бурчагини а билан белгиласак, кучнинг текисликдаги проекция- сининг модули Ff = Feos а фор- мула ёрдамида аницланзди. 2.8-расмда кучнинг координата укларидаги проекцияларини бош- цача усулда топиш тасвирланган: цаетлаб кучнинг координата текис- ликларидаги проекциялари (маса- лан, Fxy — ab, Fyi=cd} аницла-
20
яй сунгра бу
проекция координата текислигида стувчи
у^ларга
X = Fxy cos а,
У = Fxy cos (л/2 — а) = Fxy sin а,
(2.6>
Z = Fyz cos у.
нуцтасининг
да аницлаш
2.5- §• Тенг таъсир этувчини аналитик усулда ани^лаш
Хучни унинг координата уцларидаги проекциялари ва цуйилган
координаталари орцали топиш усулига аналитик усул-
дейилади.
г —>
(/у, Fv . . . . Fп) кесишувчи кучларнннг тенг таъсир этувчи-
си (2.1) га кура шу кучларнннг геометрик йигиндисига тенг. (2.
ни координата уцларига проекциялаб. тенг таъсир этувчининг коор-
дината у^ларидаги проекцияларини ани^лаймнз:
п п п
У - -1'- 2Х
v=l V = 1 V=1
бунда Xv, Yv, Zv билан Fy кучнинг координата уцларидаги проек-
циялари белгиланган.
Тенг таъсир этувчининг модули (2.4) га асосан цуйидагича
аницланади:
йуналиши эса (2.5) га асосан топилади:
cos (Я, х) — cos(R, y)=^Z-t cos (7?, z) —
R R R *
2.6- §. Кесишувчи кучлар системасининг мувозанати
Агар кесишувчи (Fu F.2, ... , Fn) кучлар системасининг тенг
таъсир этувчиси R нолга тенг булса, у ^олда. бундай кучлар систе-
маси мувозанатда булади, аксинча, кучлар системаси мувозанатда
булса, тенг таъсир этувчи нолга тенг булади: R = 0. Бу ^олда
' •') цуйидагича ёзилади:
(2-8>
«О7^ИН^РИН’ 6UP нУ^тада кесишувчи кучлар системаси мувоза-
еа а бУлиши учун мазкур кучларнннг геометрик йиеиндиси нол~
енг бдлиши зарур ва етарлидир.
(2.8) тенгламанинг геометпшг
маъноси ^уиидагичадир: жиемга
F2, . . . , fn кесишувчи куч-
лар системаси таъсир этсин(2 9-
расм). Бу кучлар учун куч купбур-
чаги ясалса, у ёпиц булади, яъни
мазкур купбурчакда биринчи куч-
нинг боши билан охирги кучнинг
учи устма-уст тушади. Куч куп.
бурчаги ёпиц булса, /Г= 0 була-
ди. Демак, бир нуктада кесишувчи кучлар системаси мувозанат-
лашиши учун бу кучларга цурилган куч купбурчаги ёпиц бй-
лиши зарур ва етарлидир.
Тенг таъсир этувчи куч R = 0 булса, (2.7) ни эътиборга олсак
Rx = 0, А?у — О, /?г = 0
•ёки
п п п
Ух =0, Vy = 0, vz = 0.
v-1 1
(2.9)
Бу тенгликлар кесишувчи кучлар системаси мувозанат шар-
тининг аналитик ифодасидир. Демак, кесишувчи кучлар система-
ми мувозанатда булиши учун кучларнинг ^ар бир координата уцла-
ридаги проекцияларининг йириндиси нолга тенг булиши зарур ва
«етарлидир.
Ёзувни цис^артириш мацсадида (2.9) ни келгусида
= £Kv = 0, £Zv = 0 (2.10)
куринишда ёзамиз.
Кесишувчи кучлар бир текисликда, масалан, Оху текислигида
ётса, (3.10) нинг учинчи тенгламаси айниятга айланади. Шу сабаб-
ли Оху текислигида ётувчи кесишувчи кучлар системасининг муво-
занат шартлари цуйидагича булади:
£Xv = 0, ^Yv = 0. (2.11)
Статикада жисмнинг мувозанатига оид масалалар цуйидаги тар-
тибда ечилади:
1. Мувозанати текширилаётган жисм аникланади.
2. Координаталар системаси танлаб олинади.
3. Жиемга таъсир этаётган берилган кучлар курсатилади ва
-борланишларни реакция кучлари билан алмаштирилзди.
4. Таъсир этаётган кучлар цандай кучлар системасини ташкил
этишига i^apao, уларга мос мувозанат тепгламалари тузилади.
5. Тенгламаларни ечиб номаълум кучлар аникланади. топилган
реакция кучи ишорасининг мусбат булиши танлаб олинган йуна-
лишнинг турри эканлигини, манрий булиши реакциянинг танлао
•олинган йуналишга тескари йуналганлигини курсатади.
raia AC ва ВС стерженлар
2.1- "“вертикал девор билан шар-
' «ар° ^пситасида бириктирилган (2.10-
«иРлаР Г С шарнирга сгирлиги Р =
паем. лй)й булган юк осилган. Агар
1000 ian орасидаги бурчак а = 60°
стеР?^е“теожень билан Девор орасидаги
ва а 1. 30° булса, стерженларнинг
6уРчаК вни хисобга олмай уларда до-
ofl,Pбуладиган зуридишлар аниклансин.
сил ЧУ т стержень буйлаб иуналган
-.«вчи сидувчи куч стерженд^ги
деб аталади. Чузувчи кучдан
ПК килиш учун ендувчн кучни ман-
$а" сон билан ифодалаймиз. Стержен-
ЯГИ ЗУ’РИКИШ миддор жидатидан шу
стержевнинг реакция кучи N га тенг
/Г
2.10- раем.
мувозанатини текширамиз.
бУ Еч'иш- С шарнирни моддий нудта „со ,..р„б, ,’нинг
С нуцтага Р = 1000 Н булган вертикал пастга й у налган огирлик кучи
дуйилган. АС ва ВС стерженларнинг реакция кучлари шу стерженлар буйлаб-
иуналган булиб, уларни мос равишда ва N2 билан белгилаймиз. Натижада
р- Д'2 кучлар С нуктада кесишувчи кучлар системасини ташкил этади.
Д', ва Ы2 ни анидлаш учун кесишувчи кучлар системаси мувозанатининг гео-
метрик шаргидан фойдаланамиз.
(2.8) га кура (Р, Nlt N2) кесишувчи кучлар системаси таъсиридаги С н\’д-
та мувозаиатда булиши учун уларнинг геометрик йигиндиси нолга т“— були'"ч
керак:
'P + 'Ni +Л = 0,
яъни Р, /V], N2 кучларга дурилган куч учбурчаги ёпид булиши керак. Куч
учбурчагини чизиш учун бирор масштабда ихтиёрий D нуктада Р кучни узига.
параллел равишда утказамиз (2.10- раем, б). Р кучнинг боши D ва учидаги Е
нудталардан АС ва ВС стержеиларга параллел чизндлар утказамиз. Бу чизид*
ларнинг кесишгаи нудтасини Е билан белгиласак, досил булган DEE учбурчак
изланаётган ёпид куч учбурчагини ифодалайди. Бунда KD ва ЕЕ векторлар мос
—> —
равишда Е, ва N2 реакция кучларини ифодалайди. DEE учбурчакнипг ED ва
ЕЕ томоиларини берилган масштаб бирлигида улчаб, A\ ва N2 кучларнинг мо-
Дулларини аницлаймиз.
N1 ва N2 ларни DEE учбурчакдан тригонометрии йул билаи дам анидлаш
мумкин. ^адидатан дам, ясашга кура АВ || DE, AC || DE ва ВС || ЕЕ булгани
учун EDE = Р = 30° ва EED = а = 60°, бинобарин, &DEE тугри бурчакли
учбурчакдан
Р 1000
1 sin « 1/3/2
N2 —Pctga.= 1000 УЗ /3 = 577 Н
мУносабатларни оламиз.
мазк^1 Ва лар ва стерженларнинг С шарнирга таьсир кучини, яъни
ни топ СтеРженлаРНинг реакция кучларини ифодалайди. Стерженлардаги зурндиш-
г)СакццИи1 учун стеРженларнинг сидилиши ёки чузилишини аницлаймпз. Агар
V я кучи С шарпирдан стержень буйлаб йуналса, стержень чузилади; реак-
23'
•в
ния кучи С шарнирга йрн^трик
жень сицилади. Буни на ‘
тиб, топилгаи кучларни С шат
цуйсак (2.10-расм, в), АС стерж.
чузилиши ва СВ стержень сики-
лишипи курамиз. Шу сабабли S, ==
= ^=1154 Н, S2 = -a/‘
= 577 Н.
2.2-масала. 2.11-расмда тас-
вирланган АВ балка CD стержень
воситасида горизонтал \олатда ту-
тиб турилади. Балка учига горизонт-
га к = 60° бурчак остида F=30 кН
куч таъсир этади. Улчамларни расм-
дан олиб, CD стержендаги зурициш
S ва балканинг деворга курсатади-
ган босими Q аницлаисин. А, С
ва D нуцталарга стержень ва балка шарнирлар воситасида бириктйрилган. Стер-
жень ва балкаларнинг огирлиги ^исобга олинмасин.
Ечиш. АВ балканинг мувозанатини текшнрамиз. Вазнсиз CD стерженнинг
АВ балкага тат,сирина С ну^тадан D нуцтага цараб йуналган /?с реакция кучи
•билан алмаштирамиз. А шарнирнинг реакция кучини RA билан белгилаб,
RA нинг йуналишини ани^лаш учун бир текисликда ётувчи ва узаро параллел
булмаган учта кучнинг мувозанати >;ацидаги теоремадан фойдаланамиз. Бу теоре-
мага асосан F, Rc ва RA кучлар таъсиридаги балка мувозанатда були ши
учун бу кучларнинг таъсир чизицлари бир нуцтада кесишиши керак. Бннобарин,
RA кучнинг таъсир чизиги >;ам F ва Rc кучларнинг таъсир чизицлари кеси-
—>-
шаднган Е ну^тадав утади (2.11-раем, б). Шундай цилиб, RA нинг таъсир
чизиги аЕ билан устма-уст тушади.
х уцни АВ буйлаб йуналтириб, АЕ билан х уц орасидаги бурчакни а би-
лан белгилаймиз. Кесишувчи кучлар системаси мувозанатининг геометрик ва
аналитик шартларидан фойдаланамиз.
—> —
1. Геометрик усул. Бу усулга кура F, Rc, RA кучларга гурилган куч
учбурчаги ёпиц булиши керак. Куч учбурчагини чизиш учун бирор масштабда
«хтиёрий М нуктада F кучни узига параллел равншда утказамиз (2.11-расм, в).
F кучнинг боши М ва учидаги N нуцталардан мое равишда АЕ ва Rc ларга
параллел чизи^лар утказиб, уларнинг кесишган иуцтасини К билан белгилаймиз.
MNK изланаётган ёпик. куч учбурчагини ифодалайди. Бунда NK ва КМ лар
—> —
мое равишда Rc ва RA реакция кучларни ифодалайди. MNR куч учбурчаги-
нинг NK ва КМ томонларини берилган масштабда улчаб, Rc ва RA кучлар-
нинг модулларини аиицлаймиз. Ясашга кура цурилган куч учбурчагининг бурчак-
лари цуйидагича булади:
MNK = ELA = 30°,
NKM —LAE = Я0° ~a,
Бннобарин, KMN = 60° 4- a.
Ra ва Rc ларни аиицлаш учун синуслар теоремасидан фойдаланамиз!
-‘24
> __ F _ Ra _ Rc
' t bJ/a sin(90° —a) sin 30° sin (60° +a)’
, Hf 2.11-расм, б дан: CE = 6Ctg 60° = j/3; АЕ = УС^+ЛС2 = У 7
AC 2 2^7
’cosa=z=
СЕ
sin а — —
АЕ
<5улгани учун
F sin 30°
“A—
___________ F sin 30° 30-1/2 „
sin (90°-a) cos a “ 2Д/7 ~ 9,84 KH
F sin (60° 4-a) _ F (sin 60° cos a + cos 60° sin a)
c sin ( 0° — a) cos a
7
2. Аналитик усул. Масалани аналитик усулда ечнш учун (2.11) тенглама-
ларни тузамиз:
^\XV = 0; — F cos 60° + R zcos а = 0,
У Yv = 0; Feos 30° — Rc 4- RA sin a = Q.
(1) ни эътиборга олиб, бу теигламалардан RA ва Rc ларни ани^лаймиз:
30--L
R = Fcos_60° ==_______2_ = 19 84 kH>
cos a 2y 7
7
Rc = Feos 30° 4- Ra sin a = 30 ^- + ,9.84
= 38,97 кН.
7
Балканинг деворга курсатадиган бо-
—>
сим кучи Q мицдор жи^агидан RA га
тенг, йуналиши эса унга царама- царши
булади. СО стержендаги зурицишни аниц-
лаш учуй Rc ни С ну^тага 1(уйсак, у С
шарнирдан оержень буйлаб йуналади,
демак, CD стержень чу зила ди.
Шуидай 1^илиб, Q — Ra — 19,84 кН,
5 = RC = 38.97 кН.
2.3-масала, в нуктада шарнир ёрд.т
мтда узаро бигиктирилган тугри чизицли
бир жинсли АВ брус билан уци ихтиёри>
эгрн чизиь; шаклида булган ВС стерженлар
битга горизонталда ётувчи Ава С таянчлар-
га з^ам шарнир воситасида ма^камланган.
АВ ва ВС тугри чизицлар АС туери чизи^
билан а=45° бурчак хреил циладн. АВ брус-
«инг огирлиги Р. ВС стержень огирлигиии
эдесобга олмай, А ва С таянчларнинг реак-
Чиялари аницлансии (2.12-расм, с).
Ечиш. Дастлаб ВС стерженнинг мувозанатини текширамиз. Унга берилган'
кучлар таъсир этмайди. Богланишдаи бушатиш хацидати аксиомага асосан В ва
С шарнирларни богланиш реакция кучлари R в ва Rc билан алмаштирамиз.
'~У
ВС стержень RB ва Rc кучлар таъсирида мувозанатда булади. 1-аксиомага
кура бу кучлар мицдор жи хата дан тенг ва бнр тугри чизиц буйлаб царама-цар-
ши томонга йуналган булиши керак. R в куч В ну^тага Rc куч С ну^тага
^уйилгани туфайли бу кучларнннг таъсир чизиги ВС да ётади (2.12-расм, б).
Энди АВ бруснинг мувозанатини текширамиз. А ва В ну^талардаги шарнир-
ларнинг таъснрини реакция кучлари билан алмаштирамиз. 4-аксиомага кура АВ
брус ва ВС стерженлар мицдор жи^атидан^ тенг ва бир тугри чизиц буйлаб ца-
рама-карши томонга йуналган R в ва RB кучлар билан бири иккинчисига
таъсир этади. Шу сабабли RB =—Вв.
RA кучнинг йуиалишини уч куч теоремасидан фондалаииб аншумймиз. Тео-
ремага асосан, узаро параллел булмаган Р, Rв ва RA кучлар таъсиридагн
АВ брус мувозанатда булгани учун нинг таъсир чизиги Р ва Р'в ларнииг
таъсир чизи^лари кесишган О иугргадан утиши керак (2.12-расм, в). Бундан таш-
——>/ —>
^ари АВ брус мувозанатда булиши учун унга таъсир этувчиси Р, R в ва RA
кучларга цурилган куч учбурчаги ёпиц булиши керак. Ихтиёрий М иу^тада
ми^дор ва йуналиши аниц Р кучни маълум масштабда узига параллел равиш-
да тасвирлаймиз (2.12-расм, г). М нузутадан RB нинг таъсир чизиги ВС га, /V
ну^тадан эса РА нинг таъсир чизиги АО га параллел чизицлар утказамиз.
Уларнииг кесишган нут^тасини К билан белгилаймиз. MNK куч учбурчагини пе-
риметра бу. ича Р куч йуналишида шуидай айланиб утамизки, натижада куч уч-
бурчаги М нуцтада ёпилсин. КК ва КМ векторл -ри мос равишда RA ва RB кучлар-
—>,
ни ифодалайди. К К ва КМ ни берилган масштаб бирлигида улчаб, R ва R&
кучларнннг ми^дорини аннцлаймиз.
Ra ва RB ларнннг ми^дорини MNK куч учбурчагининг DAO геометрик
учбурчакка ухшашлигидан фойдалаииб з^ам аиицлаш мумкин. Бу учбурчаклар-
нинг мос томонлари пропорциоиал булади:
АО DO AD'
(1>
2.12-расм, в да АЕ кесманииг узунлигиии а билан белгиласак, DO—a^
AB^DB = 2a, AD = V(/S)2-f- (DB2 = 2a]/2, AO=V (AB)* А-(ВО)> =a 1/5
тенгликлар уринли булади. Натижада (I) ни ^уйидагича ёзиш мумкин.
бУндан 1/5 а 2а1/2’
4 4
Юцорида курганимиздек, = == Rc булгани учун
с 4
A
2. .-p
вертикал
ю^орига
иуналти-
. мзсала. А, В, С нукталарда
2,4 л бириктирилган АВ ва АС
и1арниР-'1!сТерЖенлар AD ип воситаснда
вазнсиз уади. А пуктага горпзг.нтал
ушлаб ту gTyBW па у2 текислши би-
текисл"__ gg. бурчак ташкил этувчи
дан V
20 кН куч таъсир этади. АгарАВС-
дСВ-= Р=45°, А0Е=а— 30° булса,
Хрженларлаги Зурнциш ва ипнинг та-
1глик кучи аницлансин (2.13-расм,о).
₽аН £Чцш. А нучутанинг мувозанатини
„кширамиз- А нуцта AD ип ^амда
АЙ ва АС вазпсиз стерженлар восита-
сида ушлаб турилади.
Координаталар бошини А нуцтада олиб, г уцни
дамиз. ху текислиги учун F куч ётган горизонтал текисликни оламиз.
F А нуктага таъсир этувчи кучларни курсатамиз (2.13-раем, б). А нуцтага го-
ризоптал текисликда ётувчи берилган F куч цуйилган. Богланишдаи бушатиш
зй^идпги аксиомага кура AD ипнипг А ну^тага таъсири гаранглик кучи Т ^ам-
да АВ ва АС стерженларнинг таъсирини A,, реакция кучлари билан алмаш-
тириш мумкин. АВ ва АС стерженларпи чузилади деб цараб, А\ ва N, ларни
А вуцтада мос равишла АВ ва АС буйлаб йуналтирамиз. Агар масалани’ечганда
Д', ёки N2 манфий ишорали булса, уларга мос стержень си^илади.
А пуктага (F, Т, Nx, А2) кесишувчи кучлар системаси таъсир этади. А
нуцта учун (2.10) мувозанат тенгламаларини тузамиз:
2^-v =0; F sin у — A, cos fi + N2 cos ₽ = 0,
2 = 0; F cos у — A( sin (J cos a — A2 sin P cos a = 0,
2 2V = 0; —A( sin P sin a — N2 sin P sin a 4- T = 0.
Б) тенгламалар системасини ечиб, номаълумларни аницлаймиз:
F / cos у
^=-0- д +
2 \sin Р cos а
sin v
N2 = N, -F------J- =—4,09 кН,
cos p
T = F cos y- tg a = 5,77 кН.
N, нинг манфий ишорали булиши АС стержень биз фараз цилгандек чузил-
*,|ай, Салки аслида сицилишини курса1ади.
20,41 кН,
З-боб. ТЕКИСЛИКДАГИ ПАРАЛЛЕЛ КУЧЛАР ВА
ЖУФТЛАР НАЗАРИЯСИ
3.1- §. Иккита параллел кучларни ^ушиш
Таъсир чизицлари узаро параллел булган кучлар системасига
ПаРадлел кучлар системаси дейилади.
Жисмнинг А ва В ну^таларига цуйилган ва бир томонга йунал-
Ган параллел Fv F2 кучлар берилган булсин (3.1- раем). Бу кучлар-
27
нинг тенг таъсир этувчисини то-
пит учун А ва В нуцталарга
таъсир чизиклари ЛВ да ётувчи»
мицдор жихдтндан тенг, АВ буй-
лаб царама-царши томонга йу-
—>• —>
налган (F3, /?4)а>0 системани
цуямиз. Л ва В нуцталарга цу-
йилган кучларни параллелограмм
цоидасига асосан цушиб, R^—F^
" > — > - > — >
+ F3 ва R2 = F2 + кучлар-
------------V- — >
ни оламиз. Ri ва 7?, кучларнинг
таъсир чизиклари О нуцтада
кесишади. О нуцтага Rx ва 7?г
. - . —>- —>• —>
кучларни кучириб, Rt ни fF3 кучларга, R2 ни 12, Ft куч-
ларга ажратамиз. О нуцтага цуйилган (F3, fJcoO булгани учун А ва
В ну^таларга цуйилган F, ва Г2 кучлар урнига О нуцтага цуиил-
ган, ОС буйлаб йупалган Ft ва Г2 кучларни оламиз. Бу кучлар-
нинг тенг таъсир этувчиси уларнинг алгебраик йигиндисига тенг:
R^F'+F,.
(3.1>
R ни таъсир чизиги буйлаб С нуцтага кучирамиз. Расмдан ОАС
ва OAtA2 ^амда ОС В ва ОВХВ2 учбурчаклар ухшашлигидан цуйида-
АС ОС СВ ОС с гс
ги пропорцияларни тузамиз: — = —, — = —. Бунда г3=г 4экан-
Fs Fi F2
лигинн эътиборга олсак,
Fi СВ
F2 АС
хосил булади. Пропорциянинг хоссасига кура,
=
СВ АС АВ ’
(3.2>
(3.3>
(3,1) ва (3.3) дай цуйидаги натижа келиб чицади: бир томонга
йиналган икки параллел кучнинг тенг таъсир этувчиси шу куч-
ларнинг алгебраик йириндисига тенг ва шу кучлар билан бир то-
монга йуналади. Тенг таъсир этувчининг таъсир чизиги эса
кучлар кууйилган ну^талар орасидаги масофани ички равишда шу
кучларга тескари пропорционал булакларга булади.
Мицдорлари тенг булмаган (F^F^ параллел ва бир-бирига тес-
кари йупалган иккита кучни цушиш учун (3.1) ва (3.2) формула-
лардан фойдаланиб, кучни шу куч билан бир хил йупалган
ва R ’кучларга ажратамиз. Бунда F2 кучни В ну^тага цуйилган ва
28
__деб цараймиз (3.2- раем).
Шундай цилиб, (Ft, F2) со (R,
-fs БундаЙ. булгани учун
2-аксиомага кура уни ташлаб^юбо-
яиш мумкин. Бинобарин, (Гр F2)<nR.
<3 О ва (3-2) га асосан тенг таъсиР
этувчи куч 7? цуйидаги шартларни
^аноатлантиради:
^-Г-Тв = лс <3'4)
ёки F\=F2 булганидан
R=Fl-F2. (3.5)
(3.5) ни (3.4) нинг иккинчи формуласига ^уйиб соддалаштирсак,
<1 = ВС
>2 АС
(3.6)
муносабатни оламиз.
(3.5) ва (3.6) дан курамизки, мицдорлари тенг булмаган ва
<бир-бирига тескари йуналган иккита параллел кучларнинг тепг
таъсир этувчиси мицдор жицатидан уларнинг айирмасига тенг.
Тенг таъсир этувчининг таъсир чизиви эса АВ кесманинг катта
куч цуйилган давомида ётиб, шу кесмани ташуи равишда мазкур
кучларга тескари пропорционал булакларга булади.
(3.4) ва (3.5) дан фойдаланиб, тенг таъсир этувчи куч цуйилган
С нуцтани топамиз:
АС = -^—АВ.
F1—F2
(3.7)
3.2- §. Жуфт куч ^а^ида тушуйча
3.3- раем.
Бир-бирига тескари йуналган, мицдор жи^атидан тенг иккита
параллел кучлар системаси жуфт куч (^исцача жуфт) деб аталади.
Жуфт куч (F,, С2) билан белгиланади (3.3- раем). Жуфт ташкил
этувчи кучларнинг таъсир чизиклари
орасидаги энг цисца масофага жуфт-
нинг елкаси дейилади ва у h билан
белгиланади. Жуфт ётган текисликка
жуфтнинг текисшги дейилади.
Модуллари тенг булмаган (Ft>F2)
иккита бир-бирига тескари йуналган
параллел кучларни ^ушишда F\ куч-
нинг моду пн муттасил орта бориб,
29
книг модулига яциилаша боради деб 1^арасак, (Flt F2) кучлар система-
си лимит ^олатида жуфт кучни ташкил этали ^амда (3.5) ва
(3.7) га асосан кучларнинг тенг таъсир этувчиси нолга интилади;
теиг таъсир этувчн ^уйилган ну^та эса, кучларнинг таъсир чизиги-
дан чексизликка узо^лаша боради. Бупдан курамизки, жуфт куч
учун тенг таъсир этувчи куч тушунчаси маънога эга эмас.
Шундай iywiH6, жуфт кучни битта куч билан алмаштириб бул-
майди. Жуфт куч, бамисоли кучдек, статиканинг мустацил элемента
^исобланади.
3.3- §. Куч моментининг алгебраик цилмати
Жисмнинг ^узгалмас нуцта (ёки ут0 атрофидаги айланма ^ара-
катини аншугаш кучнинг момента тушунчасига борлиц. Шакл текис-
лигига перпендикуляр уц атрофида айлана оладиган жисмга шу те-
кисликда ётувчи F куч таъсир этсин. Уцнинг шакл текислиги билан
кесишган нуцтасини О билан белгилайлик (3.4- раем).
- >
О нуцтадан F кучнинг таъсир чизигига перпендикуляр тушира-
—
миз. Бу перпендикулярнинг узунлиги h берилган F кучнинг О кур-
тага нисбатан елкаси дейилади. Куч момента ^исобланадиган нуц-
тага момент маркази дейилади.
—>-
F кучнинг О нуутага нисбатан моменти деб, мое ишора
билан олинган куч модули F ни куч елкаси h га купайтмасига
тенг катталикка айтилади. Куч моментининг алгебраик ^иймати
Mo (F ) билан белгиланади ва у ^уйидаги формула ёрдамида аниц-
ланади:
M0(F)=±F-h. (3.8>
Агар F куч жнемни 3.4- раемдагидек О нуцта атрофида соат
стрелкаси харакатига тескари йуналишда айлантиришга интилса»
куч моменти мусбат, акс хрлда манфий хреобланади.
Кучнинг нуцтага нисбатан моменти цуйидаги хоссаларга эга:
1. Кучнинг мицдори ва йуналишини узгартирмай таъсир чизиги
буйлаб исталган нукдага кучирилса, куч
моменти узгармайди (чунки куч елкаси
узгармай кол а л и).
2. Агар кучнинг таъсир чизиги мо-
мент марказидан утса, унинг шу ну г; та-
га нисбатан моменти нолга тенг булади
(чунки куч елкаси нолга тенг булади).
3.4- раемдан курамизки, кучнинг нугу-
тага нисбатан моментининг абсолют ций-
мати (3.8) га асосан кучнинг боши ва
учини момент маркази билан туташти-
ришдан хосил булган АОВ учбурчак юзи-
нинг иккиланганига тенг:
SO
| Мо (О|=2^длов' ^-9)
Кучнинг нуктага нисбатан мо-
онти тушунчасидан фовдаланиб)
Хта параллел кучнинг тенг таъ
S этувчиси цуйилган нуцтапи
Зидагича тал^н цилиш мумкин^
(3.2) пропорцияни 1\-АС г2 СВ
куринишда ёки \мс (FJ |=Л1С(^2)|
куринишда ёза оламиз. Куч момен-
тининг ишорасини ^исобга олсак,
охирги тенглик цуйидагича езилади:
3.5- раем.
Шундай цилиб, иккита параллел кучнинг тенг таъсир этувчиси
цуйилган нуцта шу нуцтага нисбатан мазкур кучлар моментлари-
нинг йигиндиси нолга тенглик шартидан ани^ланади:
3 1-масала. Агар трактор отирлик марказининг координаталари ft=731 мм,
д=813 мм булса, трактор А нутда атрофида атдарилиб кетмайдиган буйлама
устуворлигини цаиоатлаитирувчи а бурчак аницлансин (3.5- раем).
Ечиш. Трактор А нуцта атрофида атдарилиши олдида унинг отирлик кучи
б" нинг А нуцтага нисбатан моменти з^амда В нуцтадаги реакция кучи нолга
тенг булади:
Л4й (G)=6-x=0 (1); Ra=0.
Бунда х билап G кучнинг А нутугага нисбатан елкаси белгиланган. (3.5) расм-
дан х учун цуйидаги ифодани оламиз:
x=acosa — ft sin а (2)
(1) да G=/=0 булгани учун х=0 ёки
a cos а — ft sin а = 0.
„ , о 813
Ьундан tg а = —— — —- =1,1402 з.амда а = 48° 45' булипини аниклаГмиз.
ft 731
Шундай цилиб, а<48° булса, трактор А пукда атрофида атдарилиб кет-
майди.
3.4- §. Жуфт кучнинг моменти
Жуфтнинг моменти деб, мое ишора билан олинган оюуфт
ташкил этувчиларидан бирининг мицдорини жуфт елкасига ку-
пайтмасига тенг катталикка айтилади. Жуфт моменти М би-
лан белгиланади,-
M=±Fx-h=+F2.h.
Жуфт жиемни соат стрелкаси ^аракатига тескари йуналишда
аилантиришга интилса, унинг моменти мусбат, соат стрелкаси ха-
ракггги буйича аилантиришга интилса, манфий ишора билан олинади.
еоре ла. Жуфт ташкил этувчи кучларнинг жуфт текислиги-
аги ихтиёрий нуутага нисбатан моментларининг алгебраик
иининдиси жуфт моментига тенг.
31
Исбот. (F,, /2) жуфт текислигида
тиёрий О нуцтани олиб, уидан жуф!
зувчи кучларнннг таъсир чизицлй,
перпендикуляр OD чизицни уткаЗ
(3.6- раем). CD=h, F]=F2 эканлиг
эътиборга олиб куйпдаги тенгликни ё;
мумкин:
wZ)+Mo (FJ=—Ft 0C+F2 0D=
-F^-OC-FF l(h+OC)—F1- h=M.
Момент маркази учун А ёки В н’
тани олсак,
Л? =Мл(7г) (3.|
яъни жуфт моменти, жуфт ташкил этувчи кучлардан бирининг
кинчиси цуйилган нуцтага нисбатан моментига тенглиги келиб
цади.
3.5- §. Эквивалент жуфтлар хацидаги теорема
Жуфтнинг асосий хоссаларини ифодалайдиган цуйидаги теоре]
ни исботлаймиз.
Теорема. Бир текисликда ётувчи, моментлари тенг ва айл
ниш йуналишлари бир хил булган икки жуфт узаро эквивален
булади.
Исбот. Бир текисликда ётувчи (Fv F2) ва (Q* q5 жуфт кучлг
нинг моментлари тенг:
Fih^QJit (3.1
ва айланиш йуналишлари бир хил булсин. Р^уйидаги икки ^ол
ало^ида курамиз:
а) П текисликда ётувчи (Fp F2) ва (Qp QJ жуфтларнинг та
кил этувчилари параллел булмасин (3.7- раем). Fx кучни таъс
32
чизи^лари АВ ва AD да ётувчи F, ва Ц ташкил этувчиларга,
кучни таъсир чизимари ВС ю А 9 да ётувчи^ ва Fe ^ташкил
этувчиларга ажратамиз: F, =Fз+ f4, F2=F5+Fe. Натижада (Flt F2)
co (F~3 K’ FJ ^осил бУлади‘ Ясалишига кура (F3, F6) <л 0 булгани
учун > , __
(Fp f2)co(f4, F5). (3’12)
Энди эканлигини исботлаймиз. Бунинг учун (Flf F2) жуфт-
НИНГ момента (f^, F\) жуфтнинг моментига тенглигини исботлаймиз.
(Flt /2) жуфтнинг момента F2-hl га ёки расмда штрихланган АВМ
учбурчак юзасининг иккиланганига тенг; (F4, F5) жуфтнинг момента
эса F -h2 ёки ABN учбурчак юзасининг иккиланганига тенг. Бу уч-
бурчаклар умумий АВ асосга эга ва баландликлари тенг булганидан
уларнинг юзалари узаро тенг. Бинобарин, F2 hl=F6-h2. Бу тенгликни
(3.11) билан солиштирсак, F5-h2=Q1 • h2 ёки F6=Q4 келиб чи^ади. Шун-
дай цилиб, (F4, ft)co(Qp Q2). (3.12) га асосан (Fp F2)w(Qp Q2)»
яъни (а) ^олда теорема исботлавди.
б) (Fp F2) ва (Qp Q2) жуфтларнинг ташкил этувчилари параллел
ва уларнинг моментлари тенг булсии (3.8-расм):
F1-AB=Q1-CD.
(3.13)
Бу ^олда мазкур жуфтларнинг эквивалент булишини исботлаш учун
С ва D нуцталарга фацат (Qv Q3)coO ва (Q2, QJcoO мувозанатлашган
у
кучлар системаси цуйилган деб карайлик. Ft ва Q4 параллел куч-
ларни цушиб, Е ну^тага ^уйилган R кучни оламиз. Бунда
F.-AE^-ED
булади. булишини назарда тутиб охирги тенгликдан (3 13)
ни айирсак.
Л (АЕ—АВ)^ (ED—CD)
Худди шунингдек, Л2 ва куч-
ларни цушиб, кучни оламиз.
G 14) да F^F2 ва Qj=Q3 булп-
шини эътиборга олсак, F2-BE —
= QS-EC тенглик уринли булади
Ламда = E2+q3 = Fj Q* =
Шундай цилиб, R± куч ^ам E ну^-
тага цуйилади ва R^ га царама-
ijapiuH йуналгани учун (С^)соО ва
(^ и ^2) жуфт куч урнига (Qi СП
«Уфтпи оламиз.
3—2282
ёки F. BE^-EC- (3.14)
3.8 -рас».
J
Шундай цилиб,
(Fx, F2)co(Flt F2, Q& Qs’ Fi, Qi, Qa)^^!, Q2),
яъни (б) ^олда ^ам теорема исботланди.^
Исботланган теоремадан цуйидаги натижалар келиб чицади:
1) жуфтни 1]з текис лигида ихтиёрий равишда кучирсак,
жуфтнинг жиемга таъсири узгармайди; 2) жуфтнинг момента
ва айланиш йуналишини узгартирмай унинг ташкил этувчилари
ва елкаси узгартирилса, жуфтнинг жиемга таъсири узгармайди.
3.6- §. Бир текисликда ётувчи жуфтларни цушиш.
Текисликдаги жуфтларнинг мувозанат шартлари
Теорема. Бир текисликда ётувчи жуфтлар системаси битта
жуфтга эквивалент булиб, унинг момента берилган жуфтлар
моментларининг алгебраик йириндисига тенг.
Исбот. Жиемга бир текисликда ётувчи ва моментлари Л1и Л12,
M.j га тенг жуфтлар таъсир этсин. Шартли равишда жуфт кучларни
ёйсимон стрелкалар билан тасвирлаш мумкин (3.9- раем). Эквивалент
жуфтлар х,ацидаги теоремага асосан, берилган учта жуфтни момент-
ларпни узгартирмай умумий h елкага эга булган, ташкил этувчила-
—>- > - > — X “ - ►
ри А ва В нуцталарга цуйилган (F,, F2), (F3, F4), (F6, Fe) учта
жуфтлар системасига келтирамиз. Бунда F1h—Ml, F3-h=M2, F5-h~
= М3, А ва В нуцталарга цуйилган кучларни ало^ида-алохида
•—> —>•
tJili.6, А нуцтада Fj ва В вуцтада R2 кучларни оламиз. Бунда
Rl=F1—F3-|-F5, R2=F2—F4H-F6. Натижада берилган жуфтлар сис-
темаси тенг таъсир этувчи аяфф/тг. деб аталадиган (Fi,F2) жуфтга
келтирилади ва унинг момента
М~Rih=F1-h—1з h~\ F5• /i=7Hi-(-Rl2-p
формуладан аницланади.
Учта жуфт учун теорема
исботланди. Худди шунингдек, бир
текисликда ётувчи ва моментлари
Л1(, Л42, . . . , Л4„ га тенг булган
п та жуфтлар системасини цушиш
натижасида битта тенг таъсир этув-
чи жуфтни олиш мумкин ^амда бу
жуфтнинг момента
М = м1 + М24-...+Мп=
п
= 2Ж-Э (з.15)
Исботланган теоремадан курамиз-
ки, текисликдаги жуфтлар систе-
маси мувозанатда булиши учун
берилган жуфтлар моментлари-
34
алгебраик йириндиси нолга тенг булиши зарур ва
дидиР'
emap-
n
(3.16)
М=1
о 2- масала. Мувозанатлашган учта жуфт бир текисликда ётадн. Бу
' ташкил этувчи кучларнинг мицдорлари мое равишда 2 Н, 3 Н ва 5 Н;
Ла лари 3 м. хм ва 6 м; биринчи ва учинчи жуфтларнинг момента мусбат,
иккинчи жуфтнинг моменти манфий ^ийматга эга. Иккинчи жуфт елкаси х то-
пИЛСрц‘иШ. Жуфтларнинг моментлари т^уйидагига тенг:
.. =2-3=6 Нм; М2=—Зх Нм; Мэ=5-6=30 Нм.
Жуфт кучлар мувозанатда булгани учун Mi-|-M2-|-Ma=0 ёки 6—Зх4-30=0.
Бундан х=12 м келиб чицади.
жуфт-
4-боб. ТЕКИСЛИКДАГИ КУЧЛАР СИСТЕМАСИ
4.1- §. Кучи» узига параллел кучиришга оид лемма
Агар жиемга таъсир этувчи кучлар бир текисликда ётса, унга
текисликдаги кучлар системаси дейилади.
Кучнинг жиемга таъсирини узгартирмай,
равишда бир ну^тадан келтириш маркази деб
ну гута га кучириш масаласи 1804 йилда фран-
цуз олими Л. Пуансо томонидан исботлан-
ган цуйидаги лемма билан ифодаланади:
Лемма. Жисмнинг бирор нуцтасига
цуйилган куч, жиемда олинган ихтиёрий
келтириш марказига цуйилган худди шун-
дай кучга ва моменти берилган кучнинг
келтириш марказига нисбатан моменти-
ка тенг жуфтга эквивалент булади.
Исбот. Жисмнинг А нуцтасига F куч ^уйилган булсин (4.1-
Расм). Жисмнинг ихтиёрий О ну^тасига таъсир чизири F га парал-
лел (/', F")<x>0 системани куямиз. Бу ноллик системанинг ташкил
этувчилари | F' |= | F"| = | F | булсин. Натижада F со (F, Г', 7"), ле-
кин (F, F' F") кучлар системаси О нуцтага цуйилган F' кучга ва
(Г", Б") жуфтга эквивалент булади. (F', F") жуфтнинг моменти F куч-
нинг О ну^тага нисбатан моментига тенглиги жуфтлар назариясидан
маълум; М = Мо (F).
Шундай р^илиб, А нуктага цуйилган F куч, келтириш маркази
О га цуйилгап F' = F кучга ва моменти М = Mq(F) булган (F\ F")
^Уфтга эквивалент булиши исботланди.Щ
Кучни узига параллел равишда кучиришда хосил булган жуфтга
Кушилган жуфт дейилади.
уни узига параллел
аталадиган иккинчи
4.1-раем.
85
4.2- §. Текисликдаги кучлар системасининг бош вектори
ва бош моменти
Жисмнинг А2, .... Ап нуцталарига бир текисликда ётувчи
Flt F2, ... , Fn кучлар таъсир этсин (4.2-раем; аншулик учун расм-
да п = 3 ролики курамиз). Пуансо леммасига кура, кучларни
О марказга келтириш натижасида берилган кучлар системаси О кур-
тага цуйилган F' = F,, F2 = F2, ... , F'n=Fn кучлар системаси
ва моментлари
М{ = М0 (F,), М2 = М0 (F2), ... , Мп = М0 (FJ (4.1)
булган цушилган жуфтлар системаси (Fp F'), (F2, F").....(F , F")
га эквивалент булади.
О марказга ^уйилган Fj, F', ... , А кучларни геометрик г;у-
шиб, кучлар системасининг бош вектора деб аталадиган битта R'
П
кучни оламиз: R' = 2 ёки
v=l
= 0-2)
Бннобарин, кучлар системасининг бош вектори берилган (4.2) куч-
ларнинг геометрик йириндисига тенг булади.
Бир текисликда ётувчи (Fp F'), (F2, F2), ... , (Fn, F^) жуфт-
ларни кушиб, моменти Мо га тенг битта жуфтни оламиз. Бу жуфт-
нинг моменти (3.15) га асосан мазкур жуфтлар моментларининг
алгебраик йигвидиепга тенг: M0=J£A4v ёки 0-0 га асосан
МС1 = 2 мо (Q- (4.3)
Мо га текисликдаги кучлар сис-
темасининг бош моменти дейи-
лади. Демак, текисликдаги куч-
лар системасининг бирор мар-
казга нисбатан бош моменти
ташкил этувчи кучларнинг шу
марказга нисбатан моментла-
рининг алгебраик йириндисига
тенг.
Шундай г^илиб, цуймдаги
теорема исботланди: текислик-
саги кучлар системасини бирор
О марказга келтириш натижа-
сида бу кучлар системаси кел-
тириш марказига ^йилган бош
вектор R' га тенг битта куч
Камда моменти бош момент Мо га тенг битта жуфтга экви-
б^д2и'текисликдаги кучлар системасини Пуансо усули би-
лан берилган марказга келтириш дейилади.
Умумий 2рлда текисликдаги _кучлар системаси факрт R' га эк-
пвалент булмагани туфайли, R' тенг таъсир этувчини ифодала-
В ” и Бош вектор берилган кучларнинг геометрик йириндисига
ма™ бйлиб келтириш марказига борлиц булмайди. Келтириш мар-
казини л/згартириш натижасида куч елкаси, демак бош момент уз-
гаради.
Бош вектор R’ нинг ми^дор ва йуналишини аналитик усулда
аии^лаш учун келтириш марказида, кучлар ётган текисликда Ох ва
Оу уцларни утказамиз (4.2-раем). Fv кучнинг координата у^лари-
даги проекцияларини Xv, Vv; R' нинг проекцияларини Rx ва Ry би-
лан белгилаймиз. У хрлда (4.2) ни координата уцларига проекция-
лаб, R'x ва R'y ни аницлаймиз:
К = 2 Л-
Бош векторнинг модули ва йуналиши ^уйидагича аншуланади:
я'=/(2 *7 +(2
Р п
cos (Rr, х) = cos (F', у) = ~
(4.4)
(4.5)
Агар бош вектор R' = 0, яъни берилган кучларга цу рил ran куч
купбурчаги ёпи^ хамда бош момент Мо ф 0 булса, текисликдаги
кучлар системаси ни момента Мо га тенг битта жуфт кучга келти-
рилади. Бу хрлда келтириш марказини узгартирган билан бош мо-
мент узгармайди.
4.3- §. Текисликдаги кучлар системасини тенг таъсир
этувчига келтириш. Вариньон теоремаси
Жисмга бир текисликда ётувчи (Ft, F2, ... , Fv) кучлар систе-
маси таъсир этсин. Бу кучлар системасини ихтиёрий О марказга
келтариб, О ну^тага куйилган R' = Fv бош векторга тенг битта
кучни ва моменти Мо (Fv) га тенг битта жуфт кучни ола-
миз. К,уйидаги икки ^олни курамиз:
~ ОЛИНган келтириш маркази О нукта учун бош момент
о б булсин. Бу зрдда текисликдаги кучлар системаси О пуз-
ата цуйилган битта R' кучга эквивалент булади, яъни курилаёт-
37
гаи >;олда бош вектор тенг таъсир
0 этувчи кучни ифодалайди:
А- *‘амда !• f2..........Fn) <л R.
J / Шундай цилиб, берилган кучлар
/ 'Уфу системасининг О нуцтага нисбатан бош
у момента нолга тенг булса, бундай
А? уучлар системаси таъсир чизиги О нуц-
/ тадан утувчи тенг таъсир этувчи куч
4.3-раем. * га келтирилади:
2. Умумий ^олда текисликдаги кучлар системасининг тенг таъ-
сир этувчисини аницлаш учун момента Мо га тенг жуфтнинг таш-
кил этувчилардан бири (—R) ни шундай танлаймизки, у мицдор
жи^атдан R' га тенг ва йуналиши унга г^арама-царши булсин. На-
—>- —>“
тижада 4.3- расмда тасвирланган (/?, — R) жуфт кучни оламиз. Бу
жуфтнинг момента
M0 — R-h
формула билан ани^лангани учун унинг елкаси
h — М° *>
Я ~ R’
(4.6)
тенгликдан топиладн. Шундай гуилиб, текисликдаги берилган кучлар
системаси R' кучга ва айланиш йуналиши Мо га мос булган (R',—
—--> — >
— R) жуфтга эквивалент булади, лекин (R',— R) <л 0 булгани учун
берилган кучлар системаси О ну^тадан 00' = h масофада ётувчи
О' нуцтага цуйилган битта R = R' = У, Fv кучга эквивалент була-
ди . Бинобарин, R' =/= О, Мо =/- 0 булган холда текисликдаги кучлар
системаси R тенг таъсир этувчига келтирилади.
Вариньон теоремаси. Текисликдаги кучлар системаси тенг
таъсир этувчисининг шу текисликдаги ихтиёрий нуцтага нисба-
тан моменти, ташкил этувчи кучлардан мазкур нуктага нисба-
тан олинган момснтларнинг алгебраик иикиндисига тенг, яъни
М0(^)=^М0(Гх). (4.7)
Исбот. 4.3-расмдан курамизки, R тенг таъсир этувчининг О ну^-
тага нисбатан моменти M0(R) = R• h. (4.6) ни эътиборга олсак,
*)бунда Мо > 0 деб фараз цилднк;
I Л !О I
h — !——L- формула уринли булади.
к
агар 2Ио<0 булса, Л10——R-h,
38
м (R) = M0. Уз навбатида (4.3) га кура Мо бош момент цуйида-
гИча аницланади: MO==%MO(FV). Охирги иккита тенгликларни со-
лиштириб, (4.7) уринли булишини курамиз.Щ
4.4-§. Текисликдаги кучлар системасининг мувозанат
шартларн
Юцорида курганимиздек, текисликдаги кучлар системасини^
бир нуцтага келтириш натижасида_бундай кучлар системаси R' О
булса, тенг таъсир этувчи кучга; R’ = О, Мо^ 0 булса, битта жуфт-
га эквивалент булади. Лекин текисликдаги кучлар системасини шу
текисликдаги ихтиёрий О ну^тага келтириш натижасида бир ва^т-
нинг узида бош вектор R' ^ам, бош момент Мо ^ам нолга тенг бу-
лиши мумкин, яъни
Д'=0, Мо = 0, (4.8)
ёки
Vf;=0, VMo(Fv) = 0. (4.8')
(4.8) ёки (4.8') тенгламалар текисликдаги кучлар системаси муво-
занагннинг зарур ва етарли шартини ифодалайди. }(аци^атан ?(ам
(4.8)даги шартнипг бирортаси бажарилмаса, масалан, R' 0 булса,
текисликдаги кучлар системаси тенг таъсир этувчига келтирилади
ёки /Ио =/= 0 булса, кучлар системаси жуфтга келтирилади. Натижа-
да хар иккала ^олда хам кучлар системаси мувозанатда була олмап-
—>-
дп. (4.8) нинг етарлилиги шундан иборатки, R' = 0 булса, текис-
ликдаги кучлар системаси моменти Мо га тенг жуфтга келтирила-
ди, лекин Мо = 0 булгани учун бу кучлар системаси мувозанатда
булади.
(4.4) ни эътиборга олсак, (4.8) ёки (4.8') урнига текисликдаги
кучлар системаси мувозанати шартларининг аналитик ифодаси учун
цуйидаги тенгламаларпи оламиз:
1 АД = 0, V Yv = 0, V Мо (FJ = 0. (4.9)
Демак, текисликдаги кучлар системаси мувозанатда булиши
учун кучларнинг шу текисликда ётувчи иккита координата йцла-
рига проекцияларининг йириндилари алоуида-алохида нолга тенг
ва шу текисликдаги ихтиёрий нуутага нисбатан момент ларининг
ииеиндиси нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
1екисликдаги кучлар системаси мувозанатининг яна куйидаги
шартларини келтирамиз. "х
ба 1 Текисликдаги кучлар системаси мувозанатда булиши учун
н^ кУЧлаРнинг ШУ текисликда ётувчи ихтиёрий икки нуута-
2 %ар бирига нисбатан моментларининг йириндиси алоцида-
39
f
ало.\ида нолга тенг ва мазкур нууталардан утувчи туер и чизиу-
уа перпендикуляр булмагаи уудаги проекцияларинииг йигиндиси
нолга тенг булиши зарур ва етарлидир:
^MA(?J = O, 2A4B(?v)-0, 2^ = 0- (4.10)
Кучлар системаси мувозанатда булиши учун бу шартларнинг ба-
жарилиши зарурлиги бевосита (4,8) дан келиб чи^ади. Чунки (4.10)
дан бирортаси бажарилмаса ёки Л4Д =/= 0 (Л4£=/=0), ёки R' 0 булиб,
бундай кучлар системаси мувозанатлашмайди. (4.10) даги шартлар
система мувозанатда булиши учун етарли эканлигини исботлаймиз.
(4.10) даги шартлардан биринчи тенгликнинг бажарилиши А ну^тага
нисбатан бош моментиинг нолга тенглигини ифодалайди: Мд = 0.
Бу \олда текисликдаги кучлар системаси А нуцтадан утувчи тенг
таъсир этувчига келтирилиши мумкин (4.4-раем). (4.10) нинг иккин-
—* —>-
чиси ва Вариньон теоремасига асосан Мв (R) = V, Мв (Fv) = 0 тенг-
—*- —> —>
лик бажарилади. Бннобарин, R = 0 ёки R ¥= 0 булиб, R нинг таъсир
чизиги В ну^тадан ^ам утади; яъни унинг таъсир чизиги АВ да
ётадн. (4.10) нинг учинчи шартига кура Rx = = °- х уу АВ
>-
га перпендикуляр булмагани учун охирги тенглик фа^ат R — 0 бул-
гандагина бажарилади, яъни кучлар системаси мувозанатда булади.
2. Текисликда ётувчи кучлар системаси мувозанатда булиши
учун барча кучларнинг шу текисликдаги бир тугри чизиуда ёт-
майдиган учта нуутанинг хар бирига нисбатан моментларининг
йивиндиси алоуида-алоуида нолга тенг булиши зарур ва етарли-
дир:
VMA(Fv) = 0, VMB(Fv) = 0, VAlc(Fv) = 0. (4.11)
Бу шартларнинг зарурлиги
худди олдинги ^олдагидек
исботлаиади. (4.11) шартлар
система мувозанатда булиши
учун етарли эканлиги теска-
рисини фараз цилиш билан ис-
ботланади. (4.11) шартлар ба-
жарилишига ^арамай, кучлар
системаси мувозанатда бул-
маслиги учун берилган систе-
ма бир ва^тнинг узида А, В,
С ну^талардан утувчи тенг
таъсир этувчига келтирилиши
керак (4.4-раем). Бунинг бу-
лиши мумкин эмас, чунки А,
В, С нуцталар бир тугри чи-
40
гтмайди. Бннобарин, (4.11) шартлар бажарилса,
Йаси мувозанатда булади.
кучлар сис-
4.5-§. Текисликдаги параллел кучларнинг мувозанат
шартлари
Бир текисликда ётувчи (Fv F2, . . ., Fn) параллел кучлар сис-
темаси берилган булсин. Оу у^ни кучларнинг таъсир чизирига парал-
пел йуналтирамиз (4.5-раем). Барча кучлар Ох у^ца перпендикуляр
булгани учун ^ар бирининг Ох уцдаги проекцияси нолга тенг бу-
лади. Натижада (4.9) нинг биринчи тенгламаси айниятга айланади
ва текисликдаги параллел кучларнинг мувозанат шартлари ^уйида-
ГИча ёзилади:
= 2ед=о. (4.12)
(4.12) дан курамизки, текисликдаги параллел кучлар мувоза-
натда булиши учун ташкил этувчи кучларнинг алгебраик йиеин-
диси ва шу текисликдаги ихтиёрий нукупага нисбатан момент-
ларининг алгебраик йириндиси ало\ида-ало\ида нолга тенг були-
ши зарур ва етарлидир.
Агар бу кучлар системаси учун (4.10) ёки (4.11) ни татбиц эт-
сак, (4.12) урнига ^уйидаги ифодаларни оламиз:
2Л1а(?^ = о, v«Bg = o.
4.6-§. Ричагнинг мувозанати
О ну^тадан Оху текисликка перпендикуляр утган ук атрофида
шу текисликда ётувчи fъ f2, ..., F^ кучлар таъсирвда айлана
оладиган ^атти^ жисмга ричаг дейилади (4.6-раем).
Берилган кучлар цаторига О нуцта бояланиш реакция кучининг
ташкил этувчилари Хо ва Yo ларни цушамиз. У г^олда (4.9) тенг-
ламалар ^уйидагича ёзилади:
4-5- раем.
4.6- раем.
Xo + VXv = 0; yo + syv^°; 2Mo(Fv) = 0. (4.13)
(4.13) нинг биринчи иккита тенгламасидан О ну^танинг реакцняси
Хо, Yo аникланади:
^0=-S^. ro = -Syv
(4.13) нинг учинчи тенгламаси
2W=°
да О нуцтанинг реакция кучлари катнашмайди. Шу сабабли бу
тенглама ричагнинг мувозанат шартини ифодалайди. Бу тенгла-
мадан курамизки, ричаг мувозанатда булиши учун унга цуйилган
барча кучларнинг таянч нуктасига нисбатан моментларининг
алгебраик йириндиси нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
кин. Бу мувозанат тенгламаларида ХА. YА,
лум реакция кучлари цатнашади.
4.7- §. Статик ани^ ва статик ноани^ масалалар
Берилган масалада номаълумлар сони мувозанат тенгламалари
сонига тенг булса, бундай масалага статик аниу масала, аксинча
номаълумлар сони мувозанат тенгламалари сонндан ортиц булса,
статик ноаниу масала дейилади.
Иккала учи цузгалмас цилиндрик шарнирли таянчга бириктирил-
ган АВ балкага F, ва кучлар таъсир этсин (4.7- раем, а). Улчов-
—> —>
лар раемда курсатилган. Балкага таъсир этувчи берилган ва Б2
кучлар цаторига А ва В таянчлар реакция кучларининг ташки.!
этувчилари ХА, YА, Хв, Yв и цушиб, уни эркин жисм деб царай-
миз. Бу кучлар текисликдаги кучлар системасини ташкил этади.
Бинобарии, балка учун учта мувозанат тенгламасини тузиш мум-'
"в, Yв туртта номаъ-
Шу сабабли бу учта тенгламалар
воситасида номаълумларни
аницлаш мумкин эмас, яъни
статик ноаниц масаладнр.
Бу масала статик анид бу-
лиши учун таянчлардан бири-
ни (масалан, В таянчни) дуз-
галувчан шарнирли таянч би-
лан алмаштнриш мумкин (4.7-
расм, б). У ^олда В нуцтада
вертикал юцорига
_ битта Yв кучга эга
з^амда номаълумлар
ламалар сони узаро
лада. Энди у статик аниЛ
масалага айланди; номаълум-
ларни мувозанат тенгламалари
асосида топиш мумкин.
АЛ- раем.
йуналган
буламиЭ
ва тенг-
тенг бу-
42
I
Назарий механикада статик аии^ масалалар ечилади. Статик
нИк масалаларни ечиш усуллари материаллар ^аршилиги ва цу-
в°лиШ мехапикаси курсида урганилади.
4.8- §. Таксимланган кучлар
Техникада турли иншоотларнинг мувозанатини аницлашда улар-
яинг айрим ну^таларига гууйилган кучлар билан бирга ^ажм, сирт
ёки чизиц кесмалари буйича маълум цонун асосида та^симланган
кучларни >;исобга олишга турри келади. Бундай кучлар ^ажм, сирт
-кИ чизщ бирлигига турри келадиган катталик — тацсимланган куч-
ларнинг иптенсивлиги билан характерланади.
_Жисмларга, асосан, параллел ёки бир ну^тада кесишувчи та^-
симланган кучлар таъсир этади. Масалан, жисм зарраларининг огир-
лик кучи >;ажм буйича, сувнинг турон сиртига босим кучи сирт
буйича тацсимланган параллел кучларни ифодалайди. Бир текислик-
да жойлашган берилган чизиц буйича тацсимланган кучларнинг ай-
рим турлари устида батафсил тухталамиз. Бундай кучларнинг интен-
сивлиги Н/м да улчанади.
1. Турри чизир^ кесмаси буйича текис тацсимлан
гаи кучлар (4.8-раем). Бундай кучларнинг интенсивлиги q узгар
мае катталик булади. АВ кесма буйича текис тар;симланган кучлар
ни АВ нинг уртасига цуйилган.
<2 = о <7 (4.14)
тенг таъсир этувчи куч билан алмаштириш мумкин.
2. Турри чизиц кесмаси буйича чизицли цонун бу-
йича тацсимланган кучлар (4.9-раем). Узунлиги а га тенг
АВ стерженга чизицли цонун буйича тацсимланган кучлар таъсир
этсин. Бундай кучларга мисол тари^асида сув босим кучининг тугон
баландлиги буйича тацсимланишини олиш мумкин. Бундай кучлар-
нинг интенсивлиги q узгарувчан булиб, нолдан то максимал цийма-
ти Ятах гача узгаради. Курилаётган ^олда тацсимланган кучларнинг
тенг таъсир этувчиси АВС учбурчакнинг ВС томонидан а/3 масо-
фага ^уйилган х;амда
43
^=-^аУтах (4-15)
булади.
3. Тугри чизиц кесмаси буйича ихтиёрий цонун
асосида тацсимланган кучлар. Бундай кучларнннг тенг
таъсир этувчиси Q микдор жи^атдан мос масштабда улчанган ABCD
шакл юзасига тенг булади ^амда берилган юзанинг орирлик марка-
зита цуйилади (юзанинг орирлик маркази 7.2- § да аницланади) (4.10-
расм). Бу ^олга метро ва бошца ерости иншоотларига тупроцнинг
таъсир кучи мисол була олади.
4. Айлана ёйи буйича текис та^симланган радиал
кучлар (4.11-раем). Ох у^ни айлана ёйи Л В нинг симметрия у^и
буйлаб йуналтирсак, радиал кучларнннг Оу уцидаги проекциялари-
нинг йириндиси нолга тенг булади. Шу сабабли бундай кучларнннг
тенг таъсир этувчиси Q Ох у^ буйича йуналади ва унинг мицдори
мазкур кучларнннг Ох уедаги проекцияларининг йигиидисига тенг|
булади:
Q = |QJ =2<7Asvc°sav,
бунда c/Asv— узунлиги Asv га тенг ёй булакчасига таъсир этувчи
«Уч; av— бу куч билан Ох у^ орасидаги бурчак, 4.11-расмдан ку-
рамизки, A sv cos av = Ayv булгани учун
(l^qAy^q^y^q-AB. (4.16)
Бунда АВ билан АВ ёйни тортиб турувчи ватар белгиланган.
Шундай ^илиб, айлана ёйи буйича текис та^симланган радиал
кучларнннг тенг таъсир этувчиси Q— АВ ёйни тортиб турувчи АВ
ватар узунлигининг тацсимланган кучлар интенсивлиги q га купайт-
масига тенг.
44
р
20м
4.13- раем.
4.12- раем.
S. Деворга цис и б мар-
кам л а н г а н балк ага таъсир
этувчи т а ц с и мланган куч-
лар. АВ балканинг АС цисми де-
ворга цисиб мацкамланган булсин
(4.12-раем). Бино балконларининг асоси деворга худди шувдай би-
риктирилади.
Агар балканинг АС кисмини богланишдан бушатиб, девернинг
унга таъсирини тацсимланган кучлар билан алмаштирсак, бу куч-
ларни С нуцтага келтириш натижасида тацсимланган кучларнннг
бош векторига тенг Вс кучни ва моменти тацсимланган кучларнннг
бош моменти Мс га тенг жуфтни оламиз. Мс реакция жуфтининг
—>-
момента дейилади. /?с нинг йуналиши аниц булмагани учун
уни худди цузгалмас шарнир реакцияси каби х ва у уцлариинг мус-
бат йуналиши буйича йуналган ташкил этувчилардан иборат деб
цараймиз. Шундай цилиб, деворга цисиб мацкамланган балканинг
деворга цисилган цисмидаги реакция кучи, шарнирли богланишдан
фарцли улароц помаълум /?с реакция кучидан ташцари моменти но-
маълум реакция жуфтининг моментига тенг жуфтга эквивалент бу-
лади. Хс, Yc ва Мс лар балканинг мувозанат тенгламаларидан
аницланади.
4.1-масала. Арка шаклидаги ферманииг А нуцтаси цузгалмас шарнирли таяич-
да ва В нуцтаси горизонт билап 30° бурчак ташкил цилган силлиц текисликдаги
р.™;i|о\ВЧ!и ша₽ииРли таяичда туради. Оралиц АВ = 20 м. Ферманииг огирлиги
таг? К"' ^амол босимининг тенг таъсир этувчиси Р — 20 кН булиб, унинг
ИР чизиги АВ га параллел холла ундан 4 м баландликдан утади. Таяич
Реакциялари топилсии (4.13-раем).
Ч11ш. I. ферманииг мувозанатини текширамиз.
. Координата уцларини 4.13-раемдагидек танлаб оламиз.
ган Р —|т,аГы таъсиР этувчи кучларни курсатамиз. Фермага С ну^тага цуйил-
Чузгачувчан т- ВЭ ГЭ паРаллел Р — кН кучлар таъсир этади. В иуктадаги
Чузгалмас шарнирли А таянчнинг
Ларга ажратамиз.
система«е1>МаГа ТаъСИ*) ЭТУВ'и р> С ХА, YA,RB кучлар текисликдаги кучлар
«S) ниИт^“Л ЭТаДИ- 4-13-раемдан фойдаланиб, мувозанат тенгламалари
таянч текислигига перпендикуляр йуналади;
реакция кучини ХА ва Y. ташкил этувчи-
45
2= 0; RB cos 60°+ XA — F = 0,
2yv = °; rbcos 3jO — P+yA = °-
S^b(?v) = °; - P-10 + Ул-20 + Г-4 = 0.
Бу тенгламалардан R в, XA ва Ул номаълумларни аншулаймиз:
р.Ю —f.4
А ~™-------= 46 кН,
20
Рв = cos 30° = 62,36 кН>
ХА = F — RB cos 60° = — 11,18 кН.
4.2- масала. Бир- бирига бики
махкамланган стерженлардан ташк1
топган ABCD рама А нуцтада цузга.
мае шарнирли таянчга бириктирилгац
В нуцтада эса горизонт билан 30° бур.
чак ташкил этувчн силлшу текислик-
даги кузгалувчан таянчда туради. Е
ну1утага К блокдан утган ва Р = 25 кН
юк осилган трос богланган. Рамага мо-
менти М = 60 кНм булган жуфт куч,
L нутутада горизонт билан а, = 60“
бурчак ташкил зтувчи Р = 10 кН ва Е
нуктада горизонтга а2 = 30° бурчак ос-
тида Q = 30 кН кучлар таъсир этади,
К блокдаги ишцаланнш кучини эъти
борга олмай, мазкур кучлар таъсирид!
А ва Е таянчларда ?уосил буладига!
реакция кучлари аншулансин. Улчам.
лар 4.14- раемда курсатилган булиб,
а = 0,5 м.
Ечиш. 1. ABCD раманинг мувозанатини текширамиз.
2. Координата уцларинн 4.14-раемдагидек йуналтирамиз.
3. ABCD рамага моменти М = 60 кНм жуфт куч, L нугутада щ = 60° бур-
чак остида F = 10 кН, В нуцтада а2= 30° бурчак остида Q = 30 кН ва Е нуц-
тада троенннг таранглик кучи Т (мшудрри жи?уатидан Т = Р) таъсир этади. А
шарнирнинг реакция кучини ХА, УА ташкил этувчилардан иборат деб 1уарай-
миз. Текислик силлиц булгани учун D таянчдаги реакция кучи ND мазкур те-
кисликка перпендикуляр йуналади.
4. ABCD рамага таъсир этувчи момеити М га тенг жуфт ва ХА, УА, Q, Т,
• -> —->
F, ND кучлар текисликдаги кучлар системасини ташкил этади. 4.14-раемда!
ж—>- ——>
фойдаланиб, (4.8) мувозанат тенгламаларини тузамиз. Бунда F, Q, ND кучлар-
нинг А ну(утага нисбатан моментларини ?уисоблаш учун Вариньон теоремасида!
фойдаланамиз, яъни F, Q ва ND кучларни F', F" Q', Q",~No, ~Nd (Fl
= F cos 60°, F" = F sin 60°, Q' = Q cos 30°, Q" = Q sin 30°, = ND cos 60°,
X'd = Nd sin 6°° ташкил этувчиларга ажратиб, MA (F) = MA (Fe) + MA (F")r
MA (Q) = MA (О7) + MA MA (N^ = MA (PFd) + MA (N"d)
46
4.15- раем.
вканлигиии назарда тутамиз. У грлда
У = 0; ХА — Q cos 30° + Т + F cos 60° — ND cos 60° = 0,
2^ = 0; Ya — Qsin30° + f sin60° + ^ sin60° = 0,
2 MA (f\,) = 0; — 3a Qsin 30° — aT — M — 4a F cos 60° + 4a F sin 60° +
+ 5a ND sin 60° -f- 4a ND cos 60° = 0.
Бу тенгламаларга берилган катталнкларни цуйиб, таянчлардаги реакция куч-
ларини аншулаймиз:
Nd = 27,7 кН; ХА =9,83 кН; УА = — 17,648 кН.
Y А нинг маифий цийматга эга булиши, унинг хацшуатда вертикал пастга
йуиалишини ифодалайди.
4.3- масала. АВ балка А нуктада деворга кисиб махкамланган (4.15-раем,
а). Агар Р = 4 кН, М = 2 кНм, q = 1,5 кН/м булса, А таянчдаги реакция куч-
лари аницлаисин.
Ечиш . Бири нчи усул. 1. АВ балканинг мувозанатини текширамиз. Балка
Л иухтада деворга хисиб махкамланган.
2. Координата уцларнни 4.15-раем, б дагидек таилаб оламиз.
3. АВ балкага таъсир этувчи кучларни курсатамиз. Балкага В нухтага цуйил-
ган р = 4 кН куч, моменти М — 2 кНм жуфт куч таъсир этади. АС оралшудаги
текис тацсимланган кучларни АС нинг уртаендаги Е иуцтага цуталган Q—q-
j"C = 4,5 кН вертикал пастга йуналган куч билан алмаштирамнз. А иуцтадаги
богланиш шу нуцта кучишини чеклаши билан бнрга балканинг вертикал текис-
ликда мазкур нухта атрофида айланишнга хам тусциилик хиладн. Шу сабабли
Оалка хисилган жойдаги богланишни ХА, YA реак ия кучлари ва моменти МА
Га тенг реакция жуфт момента билан алмаштирамнз (4.15-раем, 6).
4. АВ балкага таъсир этаётган Р, Q кучлар, ХА хамда YА реакция куч-
ЛаРи ва М, МА моментлн жуфтлар текисликдаги кучлар системасини ташкнл
ЭТаЖ 4.15-раем, б дан фойдаланнб, мувозанат тенгламалари (4.9) ни тузамиз:
2Xv = 0; ХА -Pcos45° = 0;
2*4 = 0; Ya — Q + Pcos45e = 0;
(Fy>)= 0; МА — AE-Q— A4 + P-ABcos45° = 0.
47
Бу тенгламалардан ХА, Y А, Л1А иомаълумларни аиидааймиз:
Мд = — 5,39 кНм, Хл =2,828 кН, УА = 1,672 кН.
МА нинг манфий цийматга эга булиши, вди^атда реакция моменти соат стрел,
каси буйича йуналгаилнгини курсатади.
Иккинчи у с у л. Бу усулда дам масаланинг боши худди биринчи усулда.
гидек ечилади. Р ва YA кучларнинг таъсир чизиклари кесишган иуцтани D би.
лай белгилаймиз (4.15-раем, б) дамда СА = АВ = 5м эканлигини назарда тутиб
АВ балка учуй (4.10) мувозанат тенгламаларинн тузамиз:
V, МА ) = 0; МА -AE-Q — М + Р-АВ cos 45° = 0;
^Мв (Я) = 0; — M + EB-Q-AB-Ya +Мл = 0;
S-'Wq (Х>)=°; ma + ad-xa-ae-q-m = o.
Бу тенгламалардан Л!л, X л, Ул иомаълумларни анидааимиз:
Мд = — 5,39 кНм, ХА = 2,828 кН, Ул = 1,672 кН.
4.9-§. Бир текисликда ётувчи бир неча жиемдан ташкил
топган системанинг мувозанати
Бир текисликда ётувчи, бир-бири билан 6of ланган бир неча
жиемдан ташкил топган системанинг мувозанатини аницлаш учун
системага таъсир этувчи кучларни икки группага: таплда ва ички
кучларга ажратамиз. Система таркибига кирмайдиган жисмларнинг
берилган системага таъсир кучлари (масалан, огирлик кучи, таш^и
богланиш реакция кучлари) ташци кучлар дейилади. Система тар-
кибига кирувчи жисмларнинг бир-бирига узаро таъсир кучларигз
ички кучлар дейилади. Ньютоннинг учинчн ^онунига кура ички
кучлар жуфт-жуфт равишда мицдор жидатдан тенг, йуналиши ха-
рама- царши булади.
Бир текисликда ётувчи п та жиемдан ташкил топган система
мувозанатда булса, бундай система учун текисликдаги кучлар сис-
темасининг учта мувозанат тенгламалари уринлн булади ва бу тенг-
ламаларда ички кучлар датнашмайди. Лекин барча иомаълумларни
ани^лаш учун бу шартлар етарли булмайди. Бундай масалани ечиш
учун п — 1 та жиемнп алодада ажратиб олиб, уларнинг дар бири
учун учтадан мувозанат тенгламаларинн тузиш мумкин. Натижада
3 + 3 (п— 1) = Зп та мувозанат тенгламаларинн оламиз. Система-
дан ажратиб олинган бирор жисмнинг мувозанати текширилаётгаида
бу жиемга системани ташкил этувчи бошда жисмларнинг таъсири
кучлар билан алмаштирилади. Бу кучлар система учун ички кучлар
дасобланади, аммо ажратиб олинган жисм учун ташци кучлар на-
тори га киради.
Бундай масалаларни яна цуйидаги усулда ечиш мумкин. п та
жиемдан ташкил топган системанинг мувозанатини аницлаш мадаа-
дида дар бир жиемни худди ю^оридагидек ажратиб оламиз ва улар
учун учтадан мувозанат тенгламаларинн тузамиз. Натижада яна Зп
та мувозанат тенгламаларинн оламиз.
48
Системани ташкил этувчи жнсм-
пяп узаро эркин таянч, шарнир еки
чгилувчан ва чузилмайдиган ип
/мзнсиз стержень) воситасвда 6of-
ланган булиши мумкин.
4 4. масала. Турри бурчак шаклида
гипгаи ЛЕС балка ва СВ доиравий арка
с нуктада шарнир воситасида бириктирил-
ган (4 16-раем). ЛЕС балка А нуцтада
епга кокиб махкамлангаи. В нуцтада го-
оизонтга шарнирли бириктирилгаи верти-
кал стерженга СВ арка шарнир восита-
сида махкамлангаи. СВ аркага таъсир
этувчи жуфт стрелка билаи курсатилган.
КУйилган кучлар ва улчовлар 4.16-расм-
да белгилангаи. Берилган кучлар таъсирида
Л ва В таянчда ^осил буладиган реак-
ция кучларн ^амда жисмларнн туташти-
рувчн С шарннрдаги реакция кучи аииц-
лансин.
Ечиш. 1. ЛЕС балка ва СВ аркадан
ташкил топган системанинг мувозанатини
текширамнз.
2. Координата уцларини 4.17-расмда-
гидек йуналтирамиз.
3. Системага таъсир этувчи кучларни
курсатамиз (4.17-раем). АЕС балкаиинг
ЕС булагига горизонт билан а = 60° бур-
чак лашкил этувчи F =150 кН куч цу-
йилгаи. Балканинг АЕ булагига таъсир
этувчи чизицли цонун буйича та^сим-
ланган кучларни А пуцтадаи АК =------х
3
«г- 4
ХАЕ=— м масофада К нуцтага цуйилган,
О
(4.15) га асосан топиладиган
Г=150кН
4.16- роем.
М)
4.17- раем.
(21==4~ AE-QmaX = ^> кН
горнзонтал унгга йуналган куч билан алмаштирамиз. СВ ей буйича текис тац-
симлаиган радиал кучларни уиинг уртаенга ^уйилган ва (4.16) га асосан DB
ватариииг узунлнги билан тацсимланган кучларнинг интенсивлиги купайтмасига
Q2 = |DB|-<? = 8O кН
куч билан алмаштирамиз. Q2 куч радиус буйлаб О марказга йуналади.
В нуцтадагн реакция кучи Yв ни стержень буйлаб вертикал юцорига йунал-
тирамиз. А нуцтадагн бовланиш шу нуцтанинг кучишини чеклаши билан бирга
стерженнннг вертикал текисликда мазкур иуцта атрофида айланишига ^ам тус-
Цинлик цилади. Шу сабабли стержень ерга цоцилган жойдаги богланишни ХА,
у
д реакция кучлари ва моменти МА га тенг реакция жуфт моменти билан алмаш-
тнрамнз.
4. Системага таъсир этувчи F, Qu Q2, Yв, ХА< YA кучлар ва МА, М мо-
йентли жуфтлар текисликдаги кучлар системасини ташкил этади. 4.17-расмдан
4-2282 49
фойдаланиб, учта мувозанат тенгламаларини
>
тузамиз. Бунда F кучнннг А нуцтага нисба-
тан моментики анпцлаш учун унинг х ва у
уцларига параллел ташкил этувчиларидан
А нуцтага нисбатан момент олиш мум-
— >
кин. Худди шунингдек, Q2 ни таъсир чизнги
буйлаб О нуцтага кучириб, унинг х ва у
укларидагп ташкил этувчиларидан А нуцтага
нисбатан момент олиш мумкин. Натижада
(4.9) ни цуйидагича ёзиш мумкин;
VXv = 0; Хл+Qt-
— Feos 60°—Q2 cos 30° = 0, (1)
V Yv - 0; Ya — F cos 30° —
cos 60° + = 0, (2)
Xma (^) = o; ma 4-f(—cos3o°+
о
+ 4cos60°) — M— Q2-2cos60° + Xb.6 = 0. (3)
Бу тенгламаларда туртта номаълум реакция кучлари: X А, YА, МА, YB лар
^атнашадн. Шу сабабли снстемани ало^ида жнемларга ажратиб бнрортаси учун
«тувозанат тенгламаларини тузнш мумкин. Масалан, СВ аркани ало^ида ажратиб,
унга ЛЕС балканинг таъенрини Хс , Yc кучлар билаи алмаштирамиз ва 4.18-
раемдан фойдаланиб учта мувозанат тенгламаларини тузамиз:
VXv = 0; Хс — Q2cos30° = 0,
£rv = 0; Yc~ Q2 cos 60°+ Y b = 0,
S MC (^) = °; — Al — <?2-r-cos 30° + YB • r = 0.
(1), (4) ва (6) тенгламалардан XA , Xc ва Yв ларни аницлаймиз
XA = — Qi + Fcos 60° + Q2 cos 30° = 64,28 кН,
Xc = Q2cos 30° = 69,28 кН,
y^W^cos^^ kH.
(4)
(5)
(6)
У в нинг бу циёматларини (5), (2) ва (3) га ^униб, Yc , YA ва МА ларни
аницлаймиз:
Yc = (?2 cos 60° — YB = — 44,28 кН,
YA = F cos 30° + Q2 cos 60° — YB = 75,62 кН,
4
MA = Qi- T (—cos 30°+4 COS 60°)4-M+Q2.2 cos 60°—Yb • 6 = — 147,61 кН.
О
4.5-масала. Огнрлиги Р1= 180 Н булган бир жинсли АВ стержень А шар-
нир билан шипга махкамланган булиб, у огирлиги Р2 — 108 Н булган бир жинс-
ли CD стерженнинг С учнга эркин тиралиб туради (4.19-раем). АВ стержень
ЛС 2
вертикал билан а = 45° бурчак ташкил этади ^амда Узунлиги 1,5 м
га тенг CD стержень D учи билан деворга цненб ма^камлаган. CD стерженга
чизицли учбурчак цонуни буйича та^енмланган кучлар цуйилган ва бу кучлар-
•50
нинг макснмал интенсивлиги qmax = 120 Н/м. А ва D нуцтанинг реакция кучла-
ви хамда стерженларнинг бир-бирига курсатадиган босим кучи ани^лансин.
F Ечиш. 1. АВ ва CD стержендан ташкил топган системанинг мувозанатини
текширамиз.
2. Координата уцларини 4.20-расмдагидек йуналтирамиз.
3. Системага таъсир этувчи кучларни курсатамиз. АВ ва CD стерженларга»
уларнинг уртасига цуйнлган Pt = 180 Н ва Р2 = 108 Н огирлик кучлари таъсир
етади CD стерженга таъсир этувчи чизицли цонун буйича тацсимланган кучлар-
CD
ни D нуцтадан DK=-------- масофада дуйилган, (4.15) га асосан топиладиган
3
4? = ££^£. = 90 Н
2
вертикал пастга йуналган куч билан алмаштирамиз.
А шарнирнинг реакция кучини ХА, VA ташкил этувчилардан иборат деб ца-
раймиз. Стержень цисилган D нуцтадаги богланишни XD, YD реакция кучлар»
ва моменти Md га тенг жуфт бнлан алмаштирамиз.
Шундай цилиб, системага бир текисликда жойлашган Plt Р2, Q, ХА, УА ,
—>-
Хд, Yd кучлар ва MD моментли жуфт таъсир этади. Бундай система учув
учта мувозанат тенгламаларини тузсак, унда бешта номаълум реакция кучлари
цатнашади. Шу сабабли системанн иккита жисмга ажратиб, уларнинг хар бири
учун ало^ида мувозанат тенгламаларини тузиш цулай булади (4.21-раем). АВ
стержень С ну^тада эркин таянгани учун CD стерженнинг унга таъсирини С
—>•
нуцтада АВ га перпендикуляр юцорига йуналган Nc реакция кучи билан алмаш-
тирамиз. Худди шунингдек, АВ стерженнинг CD стерженга таъсирини С нуцтада
АВ га перпендикуляр равишда (ёки CD га 45° бурчак остида) пастга йуналган
реакция кучи билан алмаштирамиз. Nc куч система учун ички кучни, АВ
ва CD стержень учун ташци кучнн ифодалайди.
4. АВ стерженга таъсир этувчи Plt Хл, YA, NQ кучлар текисликдаги
кучлар системасини ташкил этади. Хс ва ХА нинг кесишган нуцтасини Nc
ha У А нинг кесишган нуцтасини О билаа белгилаймиз ва 4.21-расмдац фойдала-
11116 (4.11) мувозанат тенгламаларини тузамиз!
Л’ЛЯCos43»— Яо.ЛО-0,
<9
6i
£Л1Н(Д,)=°; — P, (HC+ AC — Д£)СО845° + ГЛ HA = O, (2)
^Mo(7j = 0; P1-H£cos45° — Xa • 0Д = 0, (3)
A3 2
Бу тенгламаларда АЕ = — , НС = АС = — АВ, НА = ОА = i/у ЛС =
о
2Т/Т 1/2-
«—£— АВ, cos 45° = J------ эканлигини назарда тутиб, уларни Ав га цисцар-
3 2
тирамиз ва Nc, YA , X А номаълумларни аннцлаймиз.
Нс = 95,46 Н, Ya = 112,5 Н, ХА = 67,5 Н.
(4.11) тенгламаларни АВ стержень учун цуллашиинг афзаллиги шундан нбо-
ратки, АВ стержень учун тузилган (1), (2) ва (3) тенгламаларда фацат биттадан
номаълумлар цатнашаДи.
— —-> —> — >
CD стерженга таъсир этувчи Р2, Q, Nc, XD, YD кучлар ва MD моментли
жуфт, текисликдаги кучлар системасини ташкил этади. 4.21- расмдаи фойдаланиб,
CD стерженнинг мувозанат тенгламаларини (4.9) куринишида ёзамиз.
£Xv=0; XD —Wccns45° = 0,
2^v=0; — Q —P2 — Wccos45° = 0,
2 MD Ш = °'- — md + <?•+ p2 DL -J- Nc -CDcos 45° = 0.
Бу тенгламаларда DK — — CD, DL = — CD эканлигини назарда тутиб, номаъ-
лумларни аницланмиз:
XD = Wccos45°=67,5 Н,
Yd = Q 4- Р2 + Nc cos 45° = 265,5 H,
(Q Р„ \
Y + v+wc cos45°
\ О Z /
• CD = 227,25 Нм.
52
дор
Nc
ДВ ва CD стерженларвинг бир-бирига курсатадиган босим кучи Ro
жИ5;атидан шу нуктада >рснл буладиган системанинг ички реакция
га тенг, яъни
Rc = Nc = 95,46 Н,
мид-
кучи-
йуналиши эса унга царама- даршндир.
4. 10- §. Ишкаланиш. Сирпанишдаги ишкаланиш
1. 3-§ да богланишдаги жисмлар абсолют цаттиц жисмдан ибо-
рат ва уларнинг бир-бирига тегиб турган сирти идеал силлиц ^амда
богланиш реакция кучлари фацат нормал ташкил этувчидан иборат
деб фараз цнлингап эди. Лекин дар цандай жисм оз булса-да, де-
формацияланади ва уларнинг сирти абсолют силлиц булмайди. Шу
сабабли реал богланишларнинг реакция кучи жисмлар тегиб турган
юзада нормал реакция кучига перпендикуляр йуналган яна битта
ташкил этувчига эга булади. Реакция кучининг бу ташкил этувчи-
сига ишкаланиш кучи дейилади.
Техникада ишкаланиш кучини дасобга олиш мудам адамиятга
эга. Масалан, трамвай ёки автомобилнинг етакчи гилдираги рельсга
ёки йулга ишцалангани туфайли улар даракатланади. Тасмали ва
фрикцион узатмаларда, тормозларда ишдаланишдан кенг фолдалани-
лади.
Бир жисмнинг нккинчи жисм устида сирпаниши натижасида да-
сил буладиган ишцаланишга сирпанишдаги ишкаланиш дейилади.
Огирлиги Р га тенг жисм горизонтал сиртга цуйилган булсин
(4.22-раем). Жисмни блок ортали утказилган ипга боглаймиз. Агар
—>-
сирт идеал силлиц булса, жисм огирлик кучи Р ва сиртнинг нор-
—>
мал реакция кучи N таъсирида мувозанатда булади. Бу кучлар
вертикал кучлардан иборат булгани учун ипнинг иккинчи учига
жуда кичик тош цуйсак, жисм даракатланиши керак. Лекин ипнинг
иккинчи учига маълум мицдорда тош цуймагунча жисм даракатлан-
майди. Чунки горизонтал сирт билан жисмнинг юзаси абсолют сил-
лиц булмагани туфайли ипнинг тортилиш кучи Т га мнцдор жи-
—>
датдан тенг, йуналиши царама- царши булган F ишкаланиш кучи.
Цосил булади. F куч сирпанишдаги ишкаланиш кучи дейилади.
Агар ипнинг иккинчи учига тош
Цуя борсак, унга мос равишда Т куч,
сирпанишдаги ишкаланиш кучи F орта-
Д» ва жисм даракатланиши олдида Ч
ишцаланиш кучи F = Fmax максимал
Цийматга эришади. Шундай цилиб,
сирпанишдаги ишкаланиш кучи F нис-
бий мувозанат цолатида нолдан то
Максимал мицдоргача узгаради:
N
7
4,22- раем.
63-
4.23- раем.
(4-!7)
Жисмнинг тинч ^олатида ^осил бу-
ладиган ишцаланиш кучига статик
ишкаланиш кучи дейилади. Сирпа-
нишдаги ишкаланиш кучи жисм-
ларнинг бир-бирига тегиб турган
юзаси ортали утувчи уринма те-
кисликда ётади. Шундай ^илиб, ра-
дир-будир сиртнинг тулиц реакция
кучи мицдор ва йуналиш жи^атдан
нормал реакция кучи ва ишцаланиш
кучларига цурилган турри туртбур-
чакнинг диагонали билан ифодала-
нади (4.23-раем):
R=F+N.
Тажрибаларнинг курсатишича, сирпанишдаги ишцаланиш цуйи-
даги Амонтон — Кулон цонуни билан ифодаланади.
Тинч цолатдаги максимал ишцаланиш кучи жисмнинг таянч
текислигига курсатадиган нормал босимига пропорционалдир.
Pmax-fN.
(4.18)
Бундаги f сирпанишдаги ии/уаланиш коэффициенты ни ифодалайди
з;амда иш^аланувчи жисмларнинг материалига ва ^олатига (намлик,
температура, жисмлар сиртларининг ишланишига) боглиц булади.
Бир жисм иккинчиси устида ^аракатланганда >;осил буладиган
ишцаланиш кучи >;ам нормал босимга пропорционал булади: F = /' N.
Бунда f' — жисм царакатлангандаги ишкаланиш коэффициенти
булиб, у жисмнинг тинч ^олатидаги ишцаланиш коэффициенти f
дан кичик булади: f' < f.
Агар бирор сиртга таяниб турган жисм сирпаниш олдида (му-
возанат чегарасида) булса, ишцаланиш кучи максимал цийматга эри-
шади (4.24-раем) ^амда
R =N4-~F . (4.19)
'max 1 max v '
Максимал тулиц реакция кучи Rnmx нинг нормал реакция кучи
N билан ташкил цилган бурчаги (ртах ишкаланиш бурчаги дейила-
ди. 4.24-раем ва (4.18) га асосан
(4-20)
Жисмни силжнтувчи актив кучлар турли йуналишда таъсир эти-
ши мумкин. Турли йуналишдаги силжитувчи кучларга мос булган
барча Rmax тулиц реакция кучларининг геометрик урни конус сир-
тидан иборат булади. Бу конус ишцаланиш кону си деб аталади.
54
’'//////77//77777/7f У7777//7///7///7.
1.25- раем.
^олда ётувчи жиемга текисликка
таъсир'
Горизонтал текисликда тинч
утказилггн нормал билан а бурчак ташкил этувчи Q куч
этсин (4.25-раем). Q кучни нормал реакция кучи билан мувозанат-
лашувчи N = Р = Qcosa ва жиемни силжитишга интилувчи 5 =
s'n а иккита ташкил этувчига ажратамиз. Жиемни силжитиш учун
S кучнинг модули, максимал ишцаланиш кучи Fmax = fN = fQ cos а
дан катта булиши керак: Qsina>/Qcosa ёки / = tg<psgtga.
Бундай
--- (4.21)
4
4
у 2 mat
Р
® fP«iax
натижани оламиз. (4.21) тенгсизликдан курамизки, агар Q куч те-
кисликка утказилган нормалга ср,пах бурчакдан кичик урчак остида
таъсир этса, у ^олда бу куч W ^анча катта булишига царамай,
жисм тинч ^олатда цолади. Вертикалга гртах бурчак остида утка-
зилган тугри чизиклар билан чегараланган (4.25-расмда штрихлан-
ган) со^ага ишкаланиш. со^аси дейилади. Ишкаланиш со^аси цуии-
даги хусусиятга эга: таъсир чизиги
ишкаланиш со^аси ичида ётувчи
Q куч ^ар цанча катта булса >^ам
текисликка таяниб турган жиемни
^аракатга келтира олмайди. Агар
жисм турли йуналишда харакатла-
на олса, ишцаланиш со>;аси учидаги
бурчаги 2<pmat га тенг ишцаланнш g.
конуси билан чегараланади. Бу >^ол-
да ишкаланиш конуси учидан утув-
чи ва бу конус ичида ётувчи ^ар
Цандай куч жиемни ^аракатга кел-
тира олмайди.
Масалан, иккита текисликка
таянган ва огирлиги Р га тенг АВ
4.26- раем.
55
4.27- раем.
брусга таъсир этувчи 'кучларнинг
мувозанатини царайлик (4.26-
раем). Брус мувозанат ^олатида
булганда Л ва В нуцталарпипг
> —>
реакция кучлари 7?д ва лар
мос иш^аланиш конуслари ичида
ётади. Л ва В нуцталарда текис-
ликларнинг нормалларига ср 1тах
ва <р2тах бурчаклар остида AAlt
АА2 \амда ВВв ВВ2 чизицлар-
ни утказиб, ишцаланиш конусла-
рининг чегараларини оламиз. Бу
чизицлар билан чегараланган
туртбурчак ишцаланиш
со\асини ифодалайди.
4.6- масала. Пастки учи билан горизонтал полга тнралган АВ нарвон вер-
тикал деворга цуйилган (4.27- раем, а). Нарвоннинг вертикал девор билан иш-
^аланиш коэффициента flf пол билан ишцаланиш коэффициента /2. Нарвон би-
лан уннчг устидаги кишининг огирлигн Р га тенг булиб, нарвон узунлигини
т:п ннсбатда булувчи С нуцтага цуйилган. Мувозанат ^олатида нарвон билан
—>-
девор орасидаги энг катта атах бурчак ва шу ^олат учун девордаги Л'А ва
— >-
лолдаги NB нормал реакциялар топилсин.
Ечиш. 1. Нарвоннинг мувозанатини текширамиз
2. Координаталар систематики 4. 27- раем, б дагидек танлаб оламиз.
3. Нарвон харакатланиши олдида унга нарвон билан уиннг устидаги киши-
—
«инг огирлик кучи Р вертикал деворда ^осил буладиган ( Pyj)majc ишцалаииш
—>• —>-
кучи ва NA нормал реакция кучи х,амда горизонтал полиннг (F^max ишцала-
ниш кучи билан NB нормал реакция кучи таъсир этади (4.27-раем, б). Кулон
цонунига кура
Англах < fi Л • (FB)max^. f2 NB. (1)
4. Нарвонга таъсир этувчи кучлар Р, (FA)max, NA, ( Fв>тах, Nв текис-
ликдаги ихтиёрий кучлар системасини ташкил этадн. 4.27- раемдан фойдаланиб,
текисликдаги кучлар системасининг мувозанат шартлари (4.9) ни тузамиз:
= ВА (FB)max— О,
2^=0, (FA)max-P + NB =0,
(Fy ) ~ ® А ' cos amax Р • Л С sin ctmax -f- N в • А В sin <%тах = о.
Бунда Нарвой харакатланиши олдида (1) да тенглик ишораси олинишини ва
АС = па, СВ = та, АВ = (тп 4- п) а экаилигини эътнборга олсак
^~/гАГв = О,
fiNA-P + NB = Q,
— NA(m + п) a -cos а-тах -Р-па sin атах + NB (т -f- п) а • sin атах — 0.
Бундан
N А~ f%NB,
NB^P-f1NAt
(2)
(3)
[Л/в (т + л) — An] sin amat — NA (т + л) cos alrJ2x = 0. (4)
(2) ни (3) га цуйсак,
Бундан
WB =
Р
1+f if2
(5) ни (2) га цуйиб NA
ни аниклаймиз:
Na 1Ш«
(6)
(4) ни cosa,„Qje га булсак
tg «ma*- =
NA (т + ”)
NB (т~Ь п) — Рп
ёки (5) ва (6) ни эътиборга олсак
_ ('” + ”) ft
m-nfj,
0 < a < amax булгаида нарвон мувозанатда булади.
4. 7-масала. Огирлиги Q— 100 Н булган В юк гадир-будир CD горизонтал
йуналтирувчи стержень буйлаб сирпаииши мумкин. Юкка силли^ А тирциш ор-
тали утган ва учига Р = 50 Н юк осилган трос богланган (4.28-раем). Юк би-
лан йуналтирувчи CD стержень орасидаги ишт^аланиш коэффициента f = 0,1 •
Агар CD йуналтирувчи билан тирциш орасидаги масофа ОА = 15 см булса, В
юк мувозанат сохасининг чегараси (мувозанатда цоладиган ^олатларининг геомет-
рик урин) аиичлансин.
Ечиш. 1. В юк харакатланиши олдидаги мувозанатини текширамиз.
2. Коордннаталар системасинн 4.28- раемдагидек танлаб оламиз.
3. Юк харакатланиши олдида унга орирлик кучи Q, максимал ишцаланиш
кучи Fmax, нормал реакция кучи N ва троснинг таранглик кучи Т (мицдор
жихагндан Т — Р) таъсир этади.
—> - > • >
4. Юкка таъсир этувчи Q , Fmax, N ва Т кучлар бир нуцтада кесишув-
чи кучлар системасинн ташкил этади. 4.28- раемдан фойдаланиб, кесишувчи куч-
ларнинг мувозанат теигламаларн (2.11) ни тузамиз:
SA’v = °; - G™u + rc°sa™u = o,(i>
2}yv = 0; N — Q — T'sinamQX = 0. (2)
Бунда amax юк харакатланиши олдида X
ради”,ИЛаН 0РасиДаги бурчакни билди-
(2) дан N = Q т sin amax ни аниц-
лаб, /у нииг бу цийматиии кулон цсшунц
гтах — f-N га хуйсак,
Fmax = f-Q+ f-T Sin amax, (3)
(3) га асосан (1) ни цуйидагича ёзамиз:
— fQ—fT sin amax + T cos amax = 0.
Берилган катталикларни урнига куйсак (Т = Р),
— 0,1-100—0,1-50 sinamox + 50cosamcx = 0
ёки
- 2 - sin + 10 cos amax = 0.
Бунда cos amax = 1/1 — sin2 amax эканлигини назарда тутсая,
10 Vl’-sin2amax = 2 + sin amox.
Квадратга ошириб, ихчамласак,
101 sin8 amax + 4 sin amax — 96=0,
4 ± 196,977
(sin )[,2 — 202
Бундан sin amox = 0,9553 ни аниулаймиз. Синуснинг иккинчи циймати манфий
булгани учун уни эыиборга олмаймиз. Шундай цилиб, В юк мувозанатда б^ли-
ши учун атах = 84°12' булиши керак. 4.28-расмдан изланаётган мувозанат со-
Хасининг чегарасини анит^лаймиз.
|ВО| = ОА ctg amQX = 0,15-0,3096 = 0,0464 м.
Бннобарин, В юк мувозанат со^асининг чегараси х = Т 0,0464 м га тенг була-
ди.
4.11-§. Думалашдаги ишкаланиш
Жисмларнинг думалашдаги ишцалааишини абсолют цатти^ жисм
доирасида изо^лаб булмайди. Шу сабабли бу ^аь;да цисца маълу-
мотларнигина келтирамиз.
Огирлиги Р ва радиуси R га тенг цилиндр горизонтал текис-
ликда ётган булсин (4.29-раем). Цилиндрга горизонтал Г куч цуйил-
ган. Цилиндр ва текисликнинг деформацияланиши натижасида ишца-
ланиш битта нуцтада ^осил булмай, икки жисмнинг бир-бирига те-
гиб турган эзилган юзасида ^осил булади ва N нормал реакция
кучи ^амда Г ишкаланиш кучи О нуцтадан утувчи вертикалдан 6
масофада ётувчи С нуцтага цуйилади.
(4.9) дан фойдаланиб, цилиндрнинг
мувозанат тенгламаларини тузамиз:
Т —F = 0,
£Fv = 0; N-P = 0,
2ма = л(-б-7-/? = о.
Бундан
Г = N = P, N-b=T-R (4.22)
муносабатларни оламиз. Шундай ци-
либ, цилиндр думалаши олдида унга
58
ломентлари тенг ва айланиш йуналиши царама- царши булган
(Г, F) ва (Р, N) жуфтлар таъсир этади. Цилиндрнинг думалашига
^аршилик курсатувчи (Р, N) жуфтга думалашдаги ишцаланиш жуф-
jriu, бу жуфтнинг моментига думалашдаги иищаланиш моменти
дейилади. Тажрибаларнинг курсатишича, думалашдаги ишкаланиш
моментининг максимал ^иймати нормал босимга пропорционал булади;
мтах = ^.
бунда б — думалашдаги ишкаланиш коэффициента булиб, узунлик
бирлигыда улчанади.
(4.22) нинг учинчисидан
Т = | • N. (4.23)
б
Бу формуладаги — катталик купчилик материаллар учун сир-
панишдаги ишкаланиш коэффициент» f дан анча кичик булади. Шу-
«инг учун бундай жисмларни сирпантиришдан кура думалатиш учун
кам куч сарфланади.
4. 8- масала. Огирлиги Q = 1085 кН, диаметри d = 1 м булган гилдиракнинг
горизонтал текисликда текис думалаши учун керак булган Р куч, шуниигден
текисликнинг реакция кучи аницлансин; думалашдаги ишцаланнш коэффициенти
—>
б = 0,2 см, Р кучнинг горизонтал текислик билан з^осил цилгап бурчаги sci
а = 30° (4.30- раем).
Ечиш. 1. Рилдиракпинг горизонтал текислик буйлаб текис думалашида тат>«
сир этувчи кучларнинг мувозанатини текширамиз.
2. Координаталар бошини а нуктада олиб, координата уцларнни 4.20- раем-
дагидек йуиалтирамиз.
3. Рилдиракка унинг огирлик марказига цуйилган огирлик кучи Q ва ак-
тив куч Р таъсир этади (шакл аникрет; ва яадол булиши учун гилдиракнинг
текисликка ботиши, яъни горизонтал текисликнинг деформацияси шаклдд
каттароц цилиб курсатилган). Бундан ташдари, гилдиракка горизонтал ва верти-
кал реакция кучлари N ва Т таъсир этади, уларнинг таъсир нуцтаси О а уд-
дан б масофада булади.
4.30- раем.
69
4. Билдиракка таъсир этувчи Q, Р, N, Т кучлар текисликдаги кучлар
системасини ташкил этади. 4.30- расмдан фойдаланиб кучларнинг мувозанат тенг-
ламасини (4.9) куринишида тузамиз:
= 7 cos а— 7 = 0, (1)
£Vv = 0; —Q+Psina-|-W = 0, (2)
£Mfl(Xj=0; AZ-6-P.h=0. (3)
(3) тенгламада T кучнинг моменти катнашмайди, чунки а ва b нуцта гори-
вонталлари орасидаги масофа жуда кичик булгани учун уни эътиборга олмадик.
аОК учбурчакдан Р кучнинг елкаси аницлапади: h = r cos а, бунда г би-
лан гилдиракнинг радиуси белгиланган. h нинг цийматшш (3) га цуйиб, N ни
аницлаймиз:
N = -7- • Р cos a. (4)
о
N нинг бу цийматини (2) га цупсак,
— Q + Р sin a + — Р cos а = 0
о
ёки
Р ^sin a 4- • cos aj = Q.
Бундай
Q
P =------------------«5 кН.
r
sin a -ф- — cos a
b
(1) дан ишкаланиш кучи T ни ани^лаймиз: 7 = Р cos a = 4,33 кН,
(4) ёрдамида нормал реакция кучи тоиилади: N = 1082,5 кН.
5-б о б. ФЕРМАЛАРНИ ^ИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ
5.1*-§. Ферма ^а^ида тушунча
Шарнирлар воситасида геометрик узгармас цилиб туташтирилган
стерженлардан ^осил булган конструкция ферма деб аталади. Стер-
женларнинг учларини туташтирувчи ну^та тугун дейилади.
Фермалар ^андай иншоотда цулланишига цараб турлича ном би-
лан аталади. Масалан, куприк цурилишида фойдаланиладиган Куп-
рин фермалари (5.1-раем, а), иншоотларнинг томини ушлаб тура-
диган стропила фермалари (5.1-раем, 6), кутариш цурилмаларида
фойдаланиладиган кран фермалари (5.1-раем, в) ва к.
Одатда, куприк ва стропила фермалари бир томондан цузгалмас,
иккинчи томондан лузгал у вчи таянчларга урнатилади. Кран ферма-
лари таянч подшипникка (подпятникка) таяниши ва цилиндрик шар-
нир воситасида ушлаб турилиши мумкин.
Стерженлари бир текисликда ётувчи с|)ерма ясси ферма дейилади .*
Ясен фермаларни ^исоблашда уларга цуйилган актив кучлар таъсирвда
*) Фазрвий фермаларни ^исоблаш цурилиш механикасида курилади.
60
a. I - раем.
таянч реакциялари ^амда стерженларда
_ — ------------ ----- ----------^осил буладиган ички куч-
ларни (зурицишни) аншуташ асосий масала ^исобланади. Бу масала-
ми ечишда:
1) ферма стерженлари абсолют цаттиц, турри чизицли деб ^ара-
либ, уларнинг огирлиги эътиборга олинмайди;
2) шарнирлардаги ишкаланиш хисобга олинмайди;
3) ясси фермага таъсир этувчи кучлар унинг текислигида ётади
ва фацат тугунларга цуйилади деб фараз цилипади.
У холда ферма стерженларига <):>ацат буйлама (чузувчи ёки си-
цувчи) кучлар таъсир этади (1.3-§).
Реал фермаларнинг стерженлари шарнирлар ёрдамида эмас, бал-
ки пайвандлаб ёки парчин михлар вогитасида бириктирилади. Шу
сабабли ферма стерженларига буйлама кучлардан таищари эгувчи
кучлар ^ам таъсир этади. Академик Е. О. Патон олиб борган тад-
цицотларга кура эгилищда >;осил буладиган зурициш унча катта
булмай, биринчи яцинлашишда уни эътиборга олмаслик мумкин.
Шундай цилиб, юцорида цабул цИлинган соддалаштиришлар на-
D
тижасида ферма стерженларидаги
зурицишлар биринчи я^инлашишда
аницланади. Стерженлардаги зури-
цишларни апицлашга утишдан олдин
ферма структураси билан таниша-
миз.
п та тугундан ташкил топган
ферма геометрик узгармас булиши
(яъни стерженлари бир-бирига нис-
батан куча олмаслиги) учун бун-
дай ферма камида нечта стержен-
Дан ташкил топишини куриб чиг;а-
мстп ^иРИНчи учта тугунни гео-
рик узгармас килиб туташтириш
S.X* рйСл
61
учун учта стержень олиш керак (5.2- раем, а). Бундай учбурчакли
АВС фермага яна бнтта D тугун цушилиши натижасида хосил бул-
ган ферма геометрнк узгармас булиши учун D тугунни мазкур уч-
бурчакли фермага камида иккита стержень воситасида бириктириш
керак (5.2- раем, б). Худди шу тарзда АВС учбурчакли фермага дол-
ган п—3 та тугунларнинг >;ар бирини иккитадан стерженлар восита-
сида бириктириш натижасида п та тугундан ташкил топган ферма
геометрик узгармас булиши учун у камида
2V = 2(n—3)4-3 = 2п—3 (5.1)
та стержендан ташкил топишига ишонч хосил циламиз.
(5.1) шартни цаноатлантирадиган ферма орти^ча стерженга
эга булмаган ясси ферма дейилади (5.1-раем).
Агар N >2п— 3 булса, бундай ферма ортицча стерженга эга
булган ясси ферма дейилади (5.2-раем, в).
Агар N <z2n — 3 булса, бундай конструкция геометрик узгарув-
чан булади ва фермани ш})одаламайди (5.2-расм, г), п та тугундан
ташкил топган ортиг;ча стерженга эга булмаган ферманииг ^ар бир
тугунпни богланишдан бушатиб, бир текисликда ётувчи кесишувчи
кучлар системаси таъсиридаги нуцта деб царасак, бу ну^таларнинг
хар бири учун иккитадан мувозанат тенгламалари уринли булади.
Натижада ферма учун 2п та мувозанат тенгламаларини оламиз. Бу
тенгламаларга таянч нуцталаридаги учта номаълум реакция кучлари
хкам киради.
Бинобарин, 2п та мувозанат тенгламаларидан 2п — 3 та стержен-
даги зурицишлар ва таянч нуцталаридаги учта номаълум реакция
кучлари аницланади. Шу сабабли ортицча стерженга эга булмаган
ферма статин. аниу ферма, ортицча стерженга эга булган ферма
эса статин ноаниу ферма деб ^ам аталади.
5.2*- §. Ферма стерженларидаги зури^ишларни тугунларни
кесиш усули билан аницлаш
Ю^орида курганимнздек, тугун кесиш усулининг мо^ияти шун-
дан иборатки, ферма тугунларини фикран кетма-кет кеса борамиз
ва тугунга цуйилган кучлар мувозанатини текширамиз; бундай куч-
лар ца тор и га стерженларнинг реакция кучлари, тугунларга цуйил-
ган берилган кучлар ва таянч реакция кучлари киради. Кесилган
тугун мувозанатда булиши учун унга цуйилган кучларга цурилган
куч купбурчаги ёпиц булиши керак. >^ар бир тугун учун ёпиц куч
купбурчагини ясаб, ферма стерженларидаги реакция кучларини гра-
фик усулда аницлаш мумкин.
Тугун кесиш усулида масалани аналитик ечиш учун э$ар бир ту-
гунга ^уйилган кучларнннг мувозанат шартларини (2.11) куриниши-
да тузиб, бу тенгламалардан номаълум кучларни анпцлаш мумкин.
Мнсол тарицасида 5.3-расм, а да тасвирланган ферма стержен-
ларидаги зурицишларни тугунни кесиш усулидан фойдаланиб топа-
миз. Ферма А нуцтада шарнирли цузгалмас таянчга, В нуцтада шар-
62
5.3- раем.
нирли цузгалувчан таянчга урнатилган. Фермага III тугунга ^уйил-
ган вертикал пастга йуналган Р куч таъсир этади.
Масала ечишни таянч реакция кучларини ани^лашдан бошлаймиз.
Фермага унинг уртасига цуйилган битта вертикал пастга йуналган
куч таъсир этади. Шу сабабли Л ва В нуцталарнинг реакция кучи
р
вертикал говори га йуналади ва узаро тенг булади: RA = RB—~‘
Стерженлардаги зурицишни ани^лашдан аввал берилган ферма ста-
тик ани^ ферма эканлигини текшириб курамиз. Берилган ферманииг
тугунлар сони п =4, стерженлар сони N = 5. Буларни (5.1) га цуй-
сак, 5 = 2-4 — 3, яъни берилган ферма статик ани^ фермадир.
Тугунларни рим рацамлари, стерженларни араб ра^амлари билан
номерлаймиз.
Кесишни шундай тугундан бошлаш керакки, бу тугунда зурици-
ши ани^ланадиган стерженлар иккитадан ортиц булмасин, чунки бир
текисликда ётувчи кесишувчи кучлар системасининг мувозанат шарт-
ларидан фойдаланиб фацат иккита номаълум катталикни аницлаш
мумкин. Шу сабабли курилаётган фермада кесишни / ёки IV тугун-
—>-
Дан бошлаш керак. 1 тугунни кесамиз. 1 тугунга маълум RA куч
Ламда 1 ва 2 стерженларнинг реакция кучлари Rx ва R2 ^уйилган.
Бу кучларнннг таъсир чизицлари маълум (улар тегишли стержень
буйлаб йуналган) булиб, уларнинг миедорини аницлаш керак. Бунинг
УЧУН Ra, Rt ва R2 кучлардан ташкил топган куч учбурчагини туза-
,4Из: ихтиёрий нуцтадан Ra куч векторини, бу кучнинг боши ва учидан
SCa 1 ва 2 стерженларга параллел чизицлар утказамиз; бу чизшу-
л3рнинг кесишган ну^таси куч учбурчагининг учинчи учини ифо-
63
далайди, унинг 1 ва 2 стерженларга параллел булган томонлари мос
—> —> —
равишда ва R2 нинг мивдорига тенг булади (5.3-расм, б). ва
' R2 нинг йуналишини аницлаш учун куч учбурчагини унинг пери-
метри буйича маълум RA куч йуналишида айланиб утиш керак. Куч
учбурчагидаги R1 ва R2 кучлар мос равишда 1 ва 2 стерженларнинп
тугунга курсатган реакциясидир. Rx ни куч учбурчагидан 1 стер-
женга кучирсак, R± I тугунга цараб йуналганлигини курамиз. I ту-
гун томонидан 1 стерженга Rx га ^арама-^арши йуналган ва мивдор
жи^атдан тенг сицувчи куч таъсир этади, яъни 1 стержень сици-
лади. R2 ни куч учбурчагидан 2 стерженга кучирсак, R2 I тугун-
дан стержень уци буйлаб йуналади. I тугун томонидан 2 стержен-
га R2 га царама-царши йуналган ва мицдор жи^атдан унга тенг
чузувчи куч таъсир этади, яъни 2 стержень чузилади.
Шундай цилиб, стержень реакциям тугунга цараб йдналса,
стержень сикилади; акс ^олда, яъни стержень реакциям тугун-
дан стержень уци буйлаб йуналган булса, стержень чузилади.
II тугунни кесамиз. Бу тугунга 1, 3 ва 4 стерженларнинг ре-
акция кучлари цуйилган. Бунда II тугунга цуйилган 1 стерженнинг
—>-' —>
реакция кучи мицдор жи^атдан га тенг ва унга царама-^арши
—> —>
йуналганлигини эътиборга олиш керак. Шу сабабли = —Ru
яъни иккита тугунни туташтирувчи хрр бир стерженнинг уч-
ларига цуйилган реакция кучлари мицдор жицатдан тенг, йуна-
лиши царама-циршидир. II тугун учун куч учбурчагини ясашда
ихтиёрий нуцтадап векторини, унинг боши ва учидан эса 3 ва 4
стерженларга параллел чизицлар утказамиз (5.3-расм, в). Косил ци-
линган ёпиц куч учбурчагининг 3 ва 4 стерженларга параллел булган
томонлари мос равишда Rs ва R^ реакция кучларининг ми^дорига
—* —>-
тенг булади. R3 ва нинг йуналишини аницлаш учун куч
учбурчагини маълум куч йуналишида айланиб утиш керак.
R3 вектори II тугундан стержень уци буйлаб йуналгани учун 3
стержень чузилади; Ri II тугунга йуналгани сабабли 4 стержень
сикилади.
5.4- раем.
Энди III тугунни кесамиз. Бу тугунга берилган Р куч ^амда 2, 3
ва 5 стерженларнинг реакция кучлари цуйилган. Куч купбурчагини
цуришда 2 ва 3 стерженларнинг реакция кучлари R? ва R'3 1 ва II
тугунларга цуйилган R2 ва R3 реакция кучларига мивдор жи^ат-
дан тенг, йуналиши |$арама-^аршн эканлигини эътиборга олиш ке-
рак. III тугун учун куч купбурчаги 5.3-расм, г да тасвирланган.
Д5 III тугундан стержень уци буйлаб йуналгани учун 5 стержень
чузилади.
Ш тугунни кесиш урнига IV тугунни кесиш хам мумкин. IV
тугун учун куч купбурчаги 5.3-расм, д да тасвирланган.
Шундай цилиб берилган ферманинг барча стерженларидаги зури-
цишлар аницланди.
Масалалар ечганда учрайдиган цуйидаги хусусий ^олларни кура-
миз:
1. Ферманинг икки стерженли тугунига куч таъсир этмаса (5.4-
расм, а), ^ар цайси стержендагн зурицишлар нолга тенг булади.
2. Ферманинг икки стерженли тугунига стерженлардан бирининг
уци буйлаб йуналган Р куч таъсир этса (5.4-расм, б), бу стержен-
нинг реакция кучи мивдор жи^атдан таъсир этувчи кучга тенг,
йуналиши унга царама-царши булади: R1 — —Р, R2 — 0.
3. Ферманинг икки стерженли тугунига стержень уцлари буйлаб
—->- —>•
йуналган Рг ва Р2 кучлар таъсир этса (5.4-расм, в), хар бир стер-
женнинг реакция кучи мицдор жихатдан мос равишда шу кучга
—> —>- —>-
тенг, йуналиши унга царама-царши булади: Rt = — Рь R2 = — Р2.
4. Ферманинг уч стерженли тугунида икки стерженнинг уци бир
тугри чизиц буйлаб йуналса ва тугунга 3 стержень уци буйлаб куч
таъсир этса (5.4-расм, г), 3 стерженнинг реакция кучи мицдор жи-
—>• —>
^атдан Р кучга тенг, йуналиши унга царама-царши булади: R3 =
= — Р- долган икки стерженнинг реакция кучи мицдор жихатдан
тенг (улар нолга тенг булиши ^ам мумкин).
5.3*-§. Максвелл — Кремон диаграммаси
Тугун кесиш усулида хар бир стерженнинг реакция кучини куч
купбурчакларида икки марта дан тасиирлашга тугри келади. Бу кам-
чилик инглиз физик олими Д. К. Максвелл (1831 — 1879) ва италия-
лик олим Л. Кремон (1830—1903) томонидан кашф цилинган ва
улар номи билан аталадиган Максвелл —Кремон диаграммасида бар-
тараф цилнпади. Бу диаграммани ясаш учун яна юкоридаги ферма-
ни оламиз (5.5-расм, а).
Тугунларга таъсир этувчи кучни ферма контурининг ташцариси-
да тасвирлаймиз ва бу кучлар билан чегараланган со^аларни С, D,
ла’н беМЗ С1еРженляРи билан чегараланган ички со^аларни F, G би-
лгилаимиз. Куч купбурчагини цуришда фермани ёки тугунни
5—2282
65
соат стрелкаси айланишига тескари
йуналишда айланиб утиш цоидаси-
ни цабул циламиз. Бундай айланиб
утишда кучнинг боши ва учини куч
чегаралаб турган соцаларга мос ки-
чик царфлар билан белгилаймиз. Ма-
салан, Р кучни cd, RB ни de, RA
—►-
ни ес; III тугунга цуйилган куч-
—> —>- ——>-
ларни cd, dg, gf ва fc билан бел-
гилаймиз ва цоказо. с
Дастлаб ташци кучлар купбур-
чагнни тузамиз. Дуриладиган куч
купбурчакларида кучларнинг учига стрелка цуймасак ^ам булади,
чунки соцаларни соат стрелкаси айланишига тескари йуналишда ай-
ланиб утиш цои да си кучнинг боши ва учини бир цийматли аницлай-
ди. Ташци кучларни уларнинг йуналишига мос равишда маълум
масштабда фермани соат стрелкаси айланишига тескари йуналишда
айланиб утишда учрайдиган тартибда цуя борамиз ва cdec ни ола-
миз; ташци кучлар параллел булгани учун кучлар купбурчаги бир
чизицда ётади (5.5-расм, б) Бу кучлар таъсиридаги ферма мувоза-
натда булгани учун мазкур купбурчак цам ёпиц булади.
Энди тугун кесиш усулидан фойдаланамиз. 1 тугунни маълум куч
ес дан бошлаб соат стрелкаси айланишига тескари йуналишда айла-
ниб утамиз. ес куч шаклда тасвирланган, шу сабабли куч купбур-
—>- —•>
чагида I тугунга таъсир этувчиси cf ва fe кучларни цуриш кифоя.
Бунинг учун е нуцтадан 1 стерженга ва с нуцтадан 2 стерженга
параллел чизицлар утказамиз; бу чизицларнинг кесишган нуцтаси f
нуцтани ифодалайди. cf куч I тугундан стержень уци буйлаб йунал-
—>
ган, шу сабабли 2 стержень чузилади; fe куч I тугун томон йу-
налган, шу сабабли 1 стержень сицилади.
П тугунни EFGE тартибда соат стрелкаси айланишига тескари
йуналишда айланиб утамиз. Бунда илгари тасвирланган е, f нуцта-
лардан фойдаланамиз. f нуцтада 3 стерженга параллел, е нуцтада 4
стерженга параллел чизицлар утказамиз; уларнинг кесишган нуцта-
—>-
си g нуцтани ифодалайди; fg куч II тугундан стержень уци буйлаб
йуналгани учун 3 стержень чузилади; ge куч II тугунга йуналгани
туфайли 4 стержень сицилади.
Ш тугунни CDGFC тартибда айланиб утиб, 5 стерженга мос
dg реакция кучини апицлаймиз. Бунинг учун d ва g нуцталарни
бирлаштириш кифоя. dg куч III тугундан стержень уци буйлаб
йуналгани учун 5 стержень чузилади.
Шу тартибда ясалган 5.5-расм, б даги фигурага Максвелл—К ре-
мой диаграммам дейилади. Ферманинг цар бир тугунига диаграм-
манинг бирор купбурчаги мос келади. Аксинча диаграмманинг хар
66
gI(p учига ферма текислигининг
бирор сохаси мос келади. Шун-
дай цилиб, бир фигуранинг учи-
га бош!\а фигуранинг купбурчаги
мос келади; бундай фигуралар
бир-бирига монанд фигуралар де-
йилади. 5.5-расм, б ни 5.3-расм,
б в, г, д билан солиштириб, ку-
рилаётган ферма учун ясалган
Максвелл—Кремон диаграммаси
5.3-расмда цурилган куч купбур-
чакларидан ташкил топганлигини
ЯВДОЛ куриш мумкин.
Куч учун кабул цилинган масштабдан фойдаланиб,
нинг реакция кучини топиш мумкин.
5.6 - раем.
стерженлар-
5.1-масала. 5.6-раемда тасвирланган фермага Рг = 4 кН, Р2 = 2 кН кучлар
таъсир этади. S-'лчовлар раемда курсатилган. Л ва В таянчларнинг реакция куч-
лари ва ферма стерженларидаги зурицишлар ани^лансин.
Ечиш. Дастлаб А ва В нуцталарнинг реакция кучларини аницлаймиз. Ферма-
нинг мувозанат тенгламаларинн тузит учун х ва у у^ларини 5.6-расмдагидек йу-
налтирамиз.
Фермага таъсир этувчи Рг = 4 кН куч вертикал пастга, Р2 = 2 кН куч эса го-
ризонтал йуналган. А шарнирнинг реакция кучини ХА ва YA ташкил этувчилар-
дай иборат деб цараймиз. Кузгалувчан шарнир В нинг реакция кучи RB верти-
кал юцорига йуналади.
Шундай цилиб, фермага Pj, Р2, ХА, YAt RB бир текисликда втувчи куч-
лар таъсир этади. Бундай кучларнинг мувозанат тенгламаларинн (4,10) курини-
шида тузамиз:
2 Хл+Р4 = 0;
-Pr5-Pa-3 + /?B.10-0,
2AfB(fv) = 0; -Р^З + Ррб-Ул-Ю-О.
Бу тенгламаларни ечиб, иомаълумларни аницлаймиз:
ХА = — Р2 = — 2 кН,
^З+Р^
А 10
манфий ишорали булгани учун ХА чапга йуналади (5.7-расм, а).
фе- Стерженлардаги зуршупштарни ани^лашдан аввал берилган ферма статик аята
степ^ э“гини текшириб курамиз. Берилган ферманинг тугунлар сони Л «6,
Демак6Н^Р cohhN = 9. Булар (5.1) тенгликни цаноатлантиради, 9 =» 2-6— а.
гида тя ОеР?лган ферма статик аницдир. Куч масштабини маълум уЗунлик бирли-
нлао оламиз ва стерженларнн номерлаймиз (5.7-расм, а).
67
5.7- раем.
Ферма стерженларидаги зурицишчи
тугун кесиш усули ва Максвелл—Кре-
мон диаграммам воситасида ани^лаймиз.
1. Тугун кесиш усули. I
тугунни кесамиз. Дастлаб вертикал
—
юцорига йуналган RB кучни тасвирлай-
миз (5.7-расм, б). Унинг учидан 8
стерженга параллел вертикал чизиц ут-
казсак, куч купбурчаги бир тугри чи-
зшуда жойлашади ва I тугун мувозанат-
да булиши учун R8 нинг учи RB нинг
боши билан устма-уст тушиши керак.
Бундан Rs = RB — 2,6 кН. Бинобарин,
7 стержендаги зурициш нолга тенг. Ra
I тугунга цараб йуналгани учун 8 стержень сицилади.
II тугунни кесамиз. Бу тугунга 8, 2 ва I стерженларнинг реакция кучлари
^уйилган, 8 стерженнинг реакция кучи маълум. Бунда II тугунга цуйилган стер-
женнинг реакция кучи R8 мицдор жихатдан Rs га тенг ва унга царама-карши йу-
на.иапини эътиборга олиш керак. II тугун куч учбурчагиии ясаш учун ихтиёрий
иуцга.та R6 векторинн тасвирлаймиз >;амда унинг боши ва учидан мос равишда 1 ва
2стерженларга параллел чизицлар утказиб, куч купбурчагини оламиз (5.7-расм, в).
II 1угун мувозанатда булишн учун бу куч учбурчаги ёпнц булиши керак. Rt
—>
ва R2 нинг йуналишини аншулаш учун куч учбурчагиии унинг периметри бу-
йича Rs йуналиши буйича айланиб утиш керак. Куч учбурчагининг мос
томонларини берилган масштабда улчаб, 1 ва 2 стерженларнинг реакция кучлари
аницланади: R1=4,5kH, R2=4,5kH. Rj II тугундан стержень уци буйлаб йу-
налгани учун 1 стержень чузилади; R2 II тугунга йуналгани сабабли 2 стержень
сицнлади.
III тугунни кесамиз. III тугунга Р2 ва |R2| = |R2| маълум кучлар таъсир
—>, —
этгук. 2 стержень сицилгани туфайли R2 Г1 тугунга, яъни R2 га г;арама-царши
68
йуналади. Р2 ва R2 кучларни узига параллел равишда шундай кучирамизки,
"р' нинг учи Р2 нинг боши билан устма-уст тушсин (5.7-расм, г). Р2 нинг учи-
дан 4 стерженга, R2 нинг бошидан 3 стерженга параллел чизшутар утказамиз.
111 тугун мувозанатда булиши учун ясалган куч купбурчаги ёниц булиши керак.
Бу шартдан фойдаланиб, R4 ва R3 нинг йуналишини аниклаймиз. /?4 III тугун-
га йуналгани учун 4 стержень си^илади, R3 III тугундан стержень уци буйлаб
йуналганидан 3 стержень чузилади. Куч купбурчагидан Я4 = 2,4кН, Л3 = 2кН
булишини аниклаймиз.
Худди шунингдек, IV, V ва VI тугунларни кесиб, уларга мос куч купбур-
чакларини ясаймиз (5.7-расм, д, е, ж).
Бу усул билан аницланган Rt ва R( (z = 1,9) лар битта номерли стержен-
нинг реакция кучлари булиб, мазкур стержень учларига ^уйилади ^алада мгадор
жихатдан тенг, йуналиши царама-^арнш буладн. Стержендаги зуршуиш миадор
жихатдан ундаги реакция кучига тенг булади; сициладнган стержендаги зурициш
кучи шартли равишда манфий ишора билан олинади. Олинган натижалар цуйи-
даги жадвалда келтирилган:
Стержень номери 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Зурициш, кН з^нсобида 4,5 —4,5 2 —2.4 2.4 2 0 —2,6 — 1.4
2. Максвелл — Крем он диаграммаси. Фермага таъсир этувчи ХА,
"?л, Pi, RB, Р2 кучларни ферма контурндан ташцарида тасвирлаймиз (5.8-расм,
с). Бу кучлар билан чегараланган сохаларнн С, D, Е, F, G, ферма стерженлари
билан чегараланган ички сохаларни Q, L, М, N ортали белгилаймиз.
Дастлаб ташци кучлар купбурчагини тузамиз. Таш^и кучларни танланган
масштабда уларнинг йуналишига мос равишда фермани соат стрелкаси айланиши-
га тескари йуналишда учрайдиган тартибда 1^уя борамиз ва cdefgc ни оламиз
(5.8-расм, б). Сунгра тугун кесиш усулидан фойдаланамиз. I тугунни RB—ef
дан бошлаб соат стрелкаси харакатига тескари йуналишда айланиб утамиз. ef ку ч
шаклда тасвирланган, шу сабабли куч купбурчагида I тугунга таъсир этувчи fg
ва ge кучларни цуриш кифоя. Бунинг учун / нуцтадан 8 стерженга параллел ва
е нуцтадан 7 стерженга параллел чизицлар утквзяб, улар кесишадиган q пу^тани
5.8- раем.
69
топамнз. Расмдан куриниб турибдики. q Hyiyra е билан устма-уст тушади, яъни
7 стержендаги зури^иш нолга тенг булади. 8 стерженнинг реакция кучи fg I ту-
гунга йуналади. Шу сабабли 8 стержень сшуилади. fq ни танланган масштабда
улчаб, Ra — 2,6 кН булишини ан иц лайм из. Стержень сицилгани туфайли S8 =
= — 2,6 кН булади.
II тугунни QFL тартибда соат стрелкаси айланишига тескарн йуналишда ай-
ланиб утам'.з. Бунда илгари тасвирланган q ва f нуцталардан фойдаланамиз. q
«уцтада 1 стерженга параллел, f нуктада 2 стерженга параллел чизицлар утка-
замиз; улар кесишган жойда I нуцтани оламиз. fl II тугунга йуналгани учун 2
стержень сицилаДи. eg II тугундан стержень уци буйлаб йуналгани учун 1 стер-
жень чузилади. Расмдан fl ва 1g ни танланган масштабда улчаб, R2 = Rt = 4,5
кН эканлигини аншулаймиз. Уларга мос зури^ишлар = 4,5 кН, S2 = —4,5 кН
булади.
Худди шунингдек, цолган III, IV ва V тугунларни кесиб, 5.8-расм, б да тас-
вирланган Максвелл—Кремон диаграммаснни оламиз ва ундан цолган стерженлар-
даги зурнцишпи аннцлаймиз.
Олинган натижаларни юцоридагидек жадвалда келтирамиз.
5.4*-§. Риттер усули
Агар ясен ферманинг барча стерженларидаги зурикишларни аниц-
лаш зарур булса, Максвелл-Кремон усулидан фойдаланиш энг ку-
лай хисобланади. Лекин ферманинг айрим стерженларидаги зурициш-
ларни аницлаш лозим булса, у холда Риттер (1826—1906) томонидан
кашф цилинган ва унинг номи билан аталадиган аналитик усул-
дан фойдаланиш мацсадга мувофицдир. Бу усулда хам дастлаб фер-
манинг таянч реакциялари ани^ланади.
Риттер усулининг мо^ияти шундан иборатки, фермани бирор а—а
контур билан фикран цирциб икки цисмга ажратилади ва ажратилган
бирор ^исмининг мувозанати текширилади. Текисликда жойлашган
кучлар системасининг мувозанат тенгламалари воситасида учта но-
маълум катталикни аницлаш мумкин. Шу сабабли фермани шундай
контур билан кесиш керакки, реакция кучлари номаълум булган стер-
женлар сони учтадан ошмаслиги хамДа бир нуктада кесишадиган
стерженлар сони иккитадан ошмаслиги шарт. Ферманинг кесилган
бир цисмини фикран ташлаб юбориб, унинг фермани иккинчи цисми-
га курсатадиган таъсирини стерженлар буйлаб ташлаб юборилган
томонга йуналган кучлар билан алмаштирамнз, яъни барча кесилган
стерженларни чузилади деб фараз циламиз. Масала ечил ганда бирор-
та стерженнинг реакция кучи манфий ишорали чикса, унинг йуна-
лиши цабул цилингап йуналишга ^арама-^арши булиб, мазкур стер-
жень аслида сицилади. Ферманинг ажратилган цисмн учун текис-
ликдаги кучларнинг мувозанат тенгламалари тузилиб, стерженлар-
нинг номаълум реакция кучлари аницланади. Тенгламалар тузищда
шунга харакат цилиш керакки, имкони булса хар бир тенгламада
номаълумлар сони биттадан ошмасин. Шу нуцтаи назардан Караган-
да (4.11) ёки (4.10) куринишдаги мувозанат тенгламаларидан фой-
даланиш мацсадга мувофицдир. (4.11) тенгламаларни тузишда момент
маркази учун иккита номаълум реакция кучларининг таъсир чизиц-
лари кесишадиган нуцтани олиш тавсия этила ди. Бундай нуцталар
Риттер нукталари деб аталади. Агар реакция кучлари номаълум
70
булган стерженлардан иккитаси узаро параллел булса, (4.10) тенг-
ламалардан фойдаланиш кулай, бунда кучлар проекцияланадиган х
УК учун параллел стерженларга перпендикуляр уц, момент марказ-
лари учун Риттер нуцталари олинади.
Риттер усули билан 5.1-масалада берилган ферманинг 4, 5, 6, 7, 8 ва 9 стер-
женларидаги зурицишларни аницлаймиз. Ю^орида курганимиздек, Р, = 4 кН,
Р2 = 2 кН кучлар таъсир этади ва таянч реакциялари ХА = 2 кН, Y А = 1,4 кН,
Яв=2,6 кН га тенг (5.9-расм, а).
Ферманинг Л ва В таянчларидаги тугунлари 5.2-§ да каРалга” ва 2 хусу-
сий холларга мос келади (5.9-расм. б. в). Бннобарин, /?9 ва реакция кучла-
ри s-re равишда Л ва В тугунга йуналади, яъии 9 ва 8 стерженлар сикилади
Хамда бу стерженлардаги зурицишлар хуйидагича аницланади: 8в = — Rs =
= —Гл = —1,4 кН, S8 = —Я8 = —RB=—2,6 кН.
Re реакция кучининг йуналиши ХА га т;арамя-царшидир, яъни А тугундан
стержень уци буйлаб йуналиб, 6 стержень чузилади ва 86 = Re = 2 кН. 7 стер-
жендаги зурициш эса нолга тенг булади: 8, = 0.
4 ва 5 стерженлардаги зури^ишнн тсшиш учун ферманинг 4, 5 ва 6 стер-
жеиларини а — а контур билан фикран кесамиз хамда ферманинг ташлаб юбори-
ладиган унг цисмининг таъсирини мос стерженлар буйлаб йуналган /?4, R& ва
Re = 2 кН реакция кучлари билан алмаштирамнз (5.9-расм, г).
Риттер нухталари Ai ва Л2 га иисбатан моментлар тенгламасини тузамиз:
У, Л1А{ (Fv) = 0; — Yл-5 — /?.} • Ю-sin а = 0,
71
2 Л'ГА! <fV ) = °; rA -5 — R5 •10,sin« = °-
1,5
Sv тенгламаларда sin a = — — - -------= 0,2874 эканлигини эътиборга олсак,
V(l,5)2 + 52
Y *5
R4 = s4 = ——4---------= — 2,4356 кН,
10-sina
ГА ‘5
Я5 = S5 = ——--------= 3,4356 KlL
10-stn a
Демак, 4 стержень си^илади, 5 стержень чузилади.
Олинган натижани 5.1-масаланинг жавобида келтирилган жадвал билан со-
лиштирсак, Риттер усулида хисобланган ферма стерженларидаги Зурицишлар
циймати аницроц булишини курамиз.
6-боб. ФАЗОДАГИ КУЧЛАР СИСТЕМАСИ
6.1- §. Кучнинг нуцтага нисбатан момент-вектори
Таъсир чизиклари фазода ихтиёрий жойлашган кучлар система-
сига фазодаги кучлар системаси дейилади-
Фазодаги кучларнинг нуцтага нисбатан моменти цуйидаги учта
фактор: 1) кучнинг модулини унинг елкасига купайтмаси F-h га
тенг момент модули; 2) кучнинг таъсир чизиги ва момент маркази
ортали утувчи О АВ айланиш текислиги; 3) мазкур текисликдаги
айланиш йуналиши билан аницланади (6.1-раем). Агар барча кучлар
бир текисликда ётса, ^ар гал О АВ айланиш текислигини аницлашга
э^тиёж цолмайди хамда кучнинг нуцтага нисбатан моментини ±F-h
га тенг скаляр катталик билан ани^лаш мумкин. Бунда купайтма
олдидаги ишора 3.3- § да курганимиздек айланиш йуналишини ифо-
далайди.
Жиемга фазода ихтиёрий жойлашган кучлар таъсир этса, ^ар
бир кучнинг айланиш текислигини ало,\ида аншулашга турри кела-
ди. Айланиш текислигининг фазодаги ^олатини ва айланиш йуна-
лишини мазкур текисликка перпендикуляр вектор билан аницлаш
мумкин. Агар текисликнинг ^олатини белгиловчи векторнинг моду-
лини кучнинг моменти модулига тенг ва унинг йуналишини куч-
нинг айланиш йуналишини ифодалайдиган тарзда танлаб олсак,
бундай вектор ёрдамида кучнинг О нуцтага нисбатан моментини ха-
рактерловчи учала фактории аницлаш мумкин.
6.1 - раем.
Шу сабабли F кучнинг О нуцта-
га нисбатан момент-векторини О мар-
казга цуйилган ва бу марказ ^амда
кучнинг таъсир чизири ортали утган
текисликка перпендикуляр йуналган
тИо (/’) вектор билан тасвирлаймиз.
Мо (F) векторининг йуналишини шундай
танлаймизки, унинг учидан царагани-
мизда куч жиемни О нуцта атрофида соат
72
стрелкаси айланишига тескари йуналишда айлантиришга интилсин.
Агар F куч ^уйилиш нуцтасининг О марказга нисбатан радиус-
векторини г билан белгиласак (6.1 -раем),
/И0(А)=Гх? . (6.1)
муносабат уринли булишини курсатамиз.
Векторлар алгебрасидан маълумки, rxF вектори г ва F ёт-
ган текисликка перпендикуляр йуналган булиб, унинг учидан цара-
ганда векторлар фикран бир нуцтага кучирилганда г ни F вектори
устша тушириш учун соат стрелкаси айланишига тескари йуналиш-
да энг 1\ис^а бурчакка буриш керак. Бу векторнинг модули
——> —*—>- • —>- —>”
Jrx.F |= r-fsin (г, F). Расмдан h — г sin (г, F) булгани учун
= (F)|. (6.2)
г xF векторининг йуналиши кучнинг нуцтага нисбатан момент
.—> - >
вектори Mo (F) йуналиши билан бир хил булади. Шундай г^илиб,
г xF ва Mo (F) векторлари мицдор жи^атдан тенг, йуналиши уст-
ма-уст тушади, яъни бу векторлар узаро тенг. Бинобарин, (6.1)
уринли булади.
Демак, кучнинг нуцтага нисбатан моменти вектор катталик
булиб, куч Цуйилган нуцтанинг момент марказига нисбатан ра-
диус-вектора билан шу кучнинг вектор купайтмасига тенг.
6.2- §. Кучнинг уцца нисбатан моменти
Фазодаги кучлар системасининг жиемга таъсирини урганишда
кучнинг нугргага нисбатан моменти билан бирга кучнинг уда нис-
батан моменти тушунчаси ^ам киритилади.
z уц атрофида айлана оладиган жисмнинг А нуцтасига F куч
таъсир этсин (6.2- раем). А ну^тадан
жисмнинг айланиш уцига перпен-
дикуляр П текисликни утказамиз.
z уцнинг мазкур текислик билан
кесишган нуцтасини О, F кучнинг
П текисликдаги проекциясини Fn
билан белгилаймиз.
F кучни Fn ва z уцка параллел
булган F£ ташкил этувчиларга аж-
ратамиз. Fz куч жиемни z ут^ ат-
рофида айлантира олмайди. Бу
6.2- раем.
куч жисмни z уц буйича силжитишга интилади. Бинобарин, F куч-
нинг z уц атрофида айлантириш эффекта шу у^ атрофида Fn куч-
нинг айлантириш эффекта билан бир хил булади.
Кучнинг бирор yifta нисбатан моменти деб, унинг шу уцца
перпендикуляр текисликдаги проекциясининг уц билан мазкур те-
кислик кесишган нуцтасига нисбатан моментига айтилади.
—>- —->•
F кучнинг z уцца нисбатан моменти Мг (F) билан белгиланади;
таърифга кура
ЧЙ = ^оЙ)-
(3.8) га асосан M0(fn) = ± Fn-h булгани учун
Mx(F)^±Fn-h.
(6.3)
(6.4)
Кучнинг уцца нисбатан моменти скаляр мицдор булиб, у^нинг
мусбат йуналишидан Караганда кучнинг увда перпендикуляр текис-
ликдаги проекцияси жисмни соат стрелкаси харакатига тескари йу-
налишда айлантиришга интилса, куч моменти мусбат, акс ^олда
—>-
манфий ишора билан олинади. 6.2- расмдаги F кучнинг г уцца нис-
батан моменти мусбат цийматга эга.
Агар F кучнинг таъсир чизиги г уцца параллел булса, Fn =
= 0, шунингдек, кучнинг таъсир чизиги уцни кесиб утса, h = 0 бу-
либ, хар иккала ^олда (6.4) га асосан кучнинг уцца нисбатан мо-
менти нолга тенг булади.
6.3- §. Кучнинг у^ца нисбатан моменти билан шу ук-
даги ну^тага нисбатан моменти орасидаги богланиш
Лемма. Кучнинг бирор ijeyyi нисбатан моменти унинг шу уц-
да олинган ихтиёрий нуцтага нисбатан момент-векторининг
мазкур уцдаги проекциясига тенг.
Исбот. F кучнинг F) нуцтага нисбатан момент-вектори (3.9) га
асосан мицдор жихатдан ОАВ уч-
бурчак юзасининг иккиланганига
тенг: | Мо (F) | = 2$/0АВ хамда ОАВ
учбурчак текислигига перпендикуляр
йуналади (6.3-расм). Унинг z ук би-
лан ташкил цилган бурчагини у билан
белгиласак, Мо (F) момент-векторининг
z уцдаги проекцияси цуйидагича ифо-
даланади.
74
I MO(F)]Z = |M0(F) l-cosy = 25ДЛОВ-СОЗ у. (6.5)
ОАВ ва ОаЬ учбурчакларнинг текисликлари орасидаги бурчак
бу текисликларга перпендикуляр йуналган M0(F) вектор ва Oz уц
орасидаги у бурчакка тенг. ОАВ учбурчакнинг П текисликдаги
проекцияси ОаЬ га тенг булгани учун
^дОЛВ'С05^ = ± 5дОаЬ*)"
Натижада (6.5) ни цуйидагича ёзамиз:
Й0Й1г = ± 2SAOef,. (6.6)
6.3- расмда ^п-^ = 25доаь булгани учун (6.4) га асосан
M/F) = ±2S,Oa„. (6.7)
(6.6 ) ва (6.7) ни солиштириб, исбот ланиши зарур булган тенг-
ликни оламиз:
мгй = [7иой)2.
Худди шунингдек, кучнинг цолган иккита координата уцларига
нисбатан моментлари ^исобланади. Натижада
МЛ F) = [Мо Й]^ Му (?) = [Мо Й1у. Mz Й = [Мо Й1г (6.8)
формула уринли булади.
(6.1) ва исботланган леммадан фойдаланиб, кучнинг координата
у^ларига нисбатан моментларининг аналитик ифодасини ани^лаймиз.
Бунинг учун координаталар бошини О нуцтада олиб, Ох, Оу, Оз
уцларнинг бирлик векторларини I, j, k; В кучнинг координата
у^ларидаги проекцияларини X, Y, Z; А нуцта радиус-вектори г
нинг координата уцларидаги проекцияларини х, у, г билан белгилай-
миз (6.3-раем). У холда (6.1) га асосан
МоЙ=
i j k
х у z .
X Y Z
(6.8) ни назарда тутиб, охирги ифодани Ох, Оу, Ог у^ларга проек-
цияласак,
Мх (F)=yZ-~ zY, Му Й = гХ — xZ, Мг (Г) = xY — уХ. (6.9)
(6.9) формулалар кучнинг координата уцларига нисбатан моментла-
рининг аналитик ифодасидир. (6.8) ва (6.9) ни эътиборга олиб, куч-
нинг нуцтага нисбатан моментининг модули ани^ланадиган цуйида-
ги формулага эга буламиз:
* бу тенгликда у утмас бурчак б^лганда манфий шпора олинади.
75
14 (п i=V [4 юЕ + [4 (<+[4 юЕ =
= V [Л4л (n]2+ [му й]2+ [мг (F) Е =
= /(yZ — аУ)2 + (zX — xZ)2 + {xY — yX)2. ' (6.10)
Агар кучнинг nyrjara нисбатан момент-векторининг координата
у^лари билан ташкил цилган бурчакларини а, р, у билан белгила-
сак, бу векторнинг йуналтирувчи косинуслари цуйидагича аницлацади:
4 (F) ]2 + [Му (F)]2 + [ТИ2 (F)]2
V[Мх (F)]2 + [Л1у (F)]2 + 1М2 (Г)]2
4 [Мх (F)]2 + [Му (F)]2 + [Мг (F)]2
6.4- §. Жуфтни параллел текисликка кучириш ^а^идаги
теорема
Теорема. Параллел текисликларда ётувчи, моментларининг
абсолют кушмати тенг ва бир хил айланиш йуналишига эга бул-
ган иккита жуфт куч узаро эквивалентдир,
Исбот. Л текисликда ётувчи ва елкаси га тенг (Flt F2)
жуфт куч берилган (6.4-раем). П текисликка параллел IIj текис-
ликда [АВ| га параллел ва тенг CD кесманп оламиз. С ва D нуц-
таларга мицдорлари (Flt F2) жуфтнинг ташкил этувчиларига тенг
(F3 = F4 == F5 = Fe — Fj), таъсир чи-
зицлари (Fb F2) жуфт ташкил этув-
чиларига параллел (F3> Е>)со0ва
0 мувозанатлашган куч-
ларни цуямиз. У хрлда
(Fi, F2)cc (Fd F2, F3, F4, F6, Fe)
(6.H)
булади. [AB] ва [CD] ларга парал-
лелограмм г^уриб, унинг [AD] ва
[DC] диагоналларини утказамиз.
Ft ва F6 параллел кучларни i^y-
шиб, уларга параллел ва [ЛЬ]
нинг уртаси О ну^тага цуйилган
76
Rt кучга эга буламиз: Rt — Ft -ф F5 = 2FP Худди шунингдек, F2
— >*
ва F4 параллел кучларни цушиб, уларга параллел ва [ВС] нинг ур-
таси О нуцтага ^уйилган /?2 — F2 4- F4 = 2Ft кучни оламиз.
Rt ва R2 кучларнинг мшудорлари тенг. йуналиши бир тугри чизи^
буйлаб ^арама-царши томонга йуналгани учун (Fb F5, F2, F4) со
(Ri, Rz) 0- Бннобарин,
(Fj, F2, F3, F4i F6, F6) co (F3, Fe). (6.12)
(6.11) ва (6.12) ларни солпштириб, (Flt F2)cn(F3, F6) натижани
оламиз. 3.5-§ да исботланган теоремага кура Гф текисликда ётувчи
— >- —•>*
(F3 Fe) жуфтни моменти шу жуфтнинг моментига тенг ва айланиш
йуналиши у билан бир хил булган ихтиёрий жуфт куч билан ал-
маштириш мумкин булгани учун П текисликда ётувчи (Ft, F2) жуфт-
ни унга параллел П, текисликда ётувчи ва моменти берилган жуфт-
нинг моментига тенг зрмда айланиш йуналиши у билан бир хил
булган ихтиёрий жуфт куч билан алмаштириш мумкин деган хуло-
сага келамиз.
6.5- §. Жуфтнинг момент-вектори
Жуфт кучнинг жисмга таъсири (худди фазодаги кучнинг нуцта-
га нисбатан моменти каби) цуйидаги учта фактор: жуфт моменти-
нинг модули, жуфтнинг таъсир текислиги ва айланиш йуналиши
билан характерланади. К,айд этилган учта фактории аницлаш учун
жуфт моменти у ётган текисликка перпендикуляр йуналган ва мо-
—>-
дул жи^атдан жуфт моментининг абсолют циймати |Л1|= FL-/z -F2-h
га тенг М вектори билан ифодаланади. М векторини унг винт ^он-
даси буйича, яъни унинг мусбат йуналишвдан царалганда жуфт
жисмни соат стрелкаси ^аракатига тескари айлантиришга интиладиган
цилиб йуналтирамиз (6.5- раем).
Жуфтнинг жисмга таъсирини узгартирмай узининг таъсир текис-
лигида (3.5-§) ёки унга параллел текисликда ихтиёрий ^олатга ку-
чириш мумкин булганидан (3.6-§), жуфт
нинг ихтиёрий нуцтасига узига парал-
лел равишда кучириш мумкин. Бино-
барин, жуфт моменти вектори эр-
кин вектор булади.
(3. ГО) га биноан, М = Ma (F2) =
= MB(F1); 6.4-расмдан курамизки, М,
MA(F2), векторларнинг йуна-
лиши бир хил булади. Шу сабабли
моменти векторини жисм-
77
М = MA(F2) — MB(F\)
(6.13)
тенглик уриилидир.
Шундай цилиб, ^ар бир жуфтга битта жуфт момент-вектори мос
келади, бироц бирор жуфт момент-векторига параллел текисликларда
ётувчи сон-саноцсиз эквивалент жуфглар мос келади.
6.6- §. Фазодаги жуфтларни цушиш
Теорема. Кесишувчи текисликларда ётувчи иккита жуфт куч
моменти берилган жуфтлар моментларининг геометрик uufuh-
дисига тенг битта жуфтга эквивалентдир.
Исбот. Кесишувчи П2 ва П2 текисликларда ётувчи, момент-
лари мос равишда Mi ва М2 га тенг жуфтлар берилган булсин (6.6-
расм). П, ва И2 текисликларнинг кесишган чизигида бирор AB—d
кесмани олиб, берилган жуфтларни уз текислигида умумий d елка-
га келтирамиз. Натижада 6.6-расмда тасвирланганидек, Пх текислик-
да ётувчи (Ft, F2) ва П2 текисликда ётувчи (F3, Ft) жуфт кучлар-
ни оламиз. Бу жуфтлар моментларининг модули цуйидагича аниц-
лапади:
2W1 = F1.d, M2 = Fs-d. (6.14)
“> —> —> —>-
А ва В нуцталарга цуйилган Flt F3 ва F2, Ft кучларни цушамиз:
= Л + ^8»
= F2 + Ft.
(6.15)
Натижада (Fu F2) ва (F3, f4) жуфт кучлар битта (fiv В2)
жуфтга эквивалент булади. (6.13), (6.15) ва (6.1) га асосан бу
жуфтнинг момент-вектори цуйидагича аницланади:
M=Ma(RJ = ABx (F2 + F4) = ABx F2 + ABx
= МА (fj + МА й =« + М 2.
Шундай цилиб,
М = Я + Мя.
—> —>-
Mi ва Л4г момент-векторларига
^урилган параллелограмм момент-
лар параллелограмма дейилади. Бу
параллелограммнинг диагонали ми^-
дор ва йуналиш жи^атдан (Fb F^
—> —-
ва (Fs, Ft) жуфтларни цушиш на-
тижасида олинган (/?п /?2) тенг таъ‘
сир этувчи жуфтнинг моментини
ифодалайди. Чунки моментлар па-
78
раллелограммининг томонлари Flt F3 ва F2, F4 кучларга ^урилган
параллелограммнинг томонларига перпендикуляр булгани учун мо
—>* —>-
ментлар параллелограммининг диагонали (F\, R2) тенг таъсир этув-
чи жуфт текислигига перпендикуляр йуналади ва модули M = Rt-d
булади. |
Агар фазода параллел булмаган текисликларда ётувчи ва момент-
> > —>“
лари Mlt М2, . . . ,Мп га тенг жуфтлар системаси берилса, исбот-
ланган теоремага асосан жуфтларни кетма-кет душиб, битта тенг
таъсир этувчи жуфтни оламиз. Бу жуфтнинг моменти берилган
жуфтлар моментларининг геометрик йигиндисига тенг:
М = Afj + М2 + . .. + Л4П.
ёки
М^^Му. (6.17)
Бир неча кучларнинг тенг таъсир этувчиси куч купбурчаги усу-
лида топилгани каби (2.1-§) тенг таъсир этувчи жуфтнинг моменти-
ни ^ам купбурчак усулида аницлаш мумкин: тенг таъсир этувчи
жуфтнинг моменти берилган жуфтларнинг момент-векторларига ку-
рилган купбурчакда биринчи жуфт момент-векторпнинг бошини п-
жуфтнинг момент-вектори учи билан туташтирувчи ёпувчи томони
билан характерланади.
Агар жуфт кучлар параллел текисликларда ётса, бундай жуфт-
ларни 6.4 - § да исботланган теоремага асосан битта текисликка
кучириш мумкин. Маълумки (3.6 - §), бундай жуфтлар системаси
битта жуфтга эквивалент булиб, унинг моменти берилган жуфтлар
моментларининг алгебраик йигиндисига тенг булади.
(6.17) дан фойдаланиб, фазодаги жуфтлар системасининг муво-
занат шартларини келтириб чицариш мумкин. Фазодаги жуфтлар
системаси битта тенг таъсир этувчи жуфтга эквивалент ва унинг
моменти (6.17) дан ани^лангани учун жуфтлар мувозанатда булган-
да М — 0 ёки
Ж=° (618)
шарт бажарилиши керак. Бинобарин, фазодаги жуфтлар момент-
ларининг геометрик йириндиси нолга тенг булса, бундай жуфт-
лар системаси мувозанатда булади.
Жуфтлар системаси мувозанатининг аналитик ифодаси г^уйида-
гича ёзилади:
2^ = °- 2^ = °’ (6J9)
Шундай грглиб, фазодаги жуфтлар моментларининг %ар бир
координата уцларидаги проекцияларининг йириндиси нолга тенг
<5$лса, бундай жуфтлар системаси мувозанатда булади.
79
6.7- раем.
6.7- §. Фазода ихтиёрий
жойлашган кучлар системасинн
бир нуцтага келтириш
Фазодаги кучлар системасинн бир нук-
тага келтириш учун (худди текисликдаги
кучлар системаси каби, 4.2- §) Пуансоусули-
дан фойдаланиш мумкин. А нуцтага ^уйил-
—>-
ган F кучни ихтиёрий О пуктага кучириш
учун О пуктага F'=F ва F”= —У7 кучлар-
ни ^уямиз (6.7-раем, с). Натижада А ну^та-
—>-
га ^уйилган F куч О ну^тага ^уйилган
F' — F кучга ва моменти М га тенг (F, F")
^ушилган жуфтга эквивалент булади ^амда
М = Мо (F). (6.20)
Бу ^ол 6.7-раем, б да тасвирланган.
Жисмнинг Аи А2, . . . , Ап нуцталарига фазода ихтиёрий йу-
—> ——>
налган Fv F2, . . . , Fn кучлар таъсир этсин (6.8-раем, с).
Келтириш маркази учун ихтиёрий О нуцтани танлаб, барча куч-
ларни шу марказга ^ушилган жуфтлари билан келтирамиз. Нати-
жада келтириш маркази О ну^тага ^уйилган
Л = К К ^F2, - ,Fn = Fn (6.21)
кучлар системаси ва моментлари
м, = Мо Й, М2 = Mo(F2)................Мп= (6.22)
булган (Flt Fj ) , (F2, F2") , . . . , (F„, F„) ^ушилган жуфтлар
системаси ^осил булади (6.8-раем, б); аницлик учун раемда п = 3
^оли курилган.
Z7^J<
«О
О ну^тага ^уйилган F, F"2, .. . , Fn кучларни геометрик цу-
шиб, битта R' кучни оламиз: R' = ёки (6.21) га асосан
= (6.23).
Худди текисликдаги кучлар системаси каби барча кучларнннг
геометрик йигиндисига тенг булган R' катталикка фазодаги куч-
лар системасининг бош вектори дейилади.
—> —>// —> —>/z ——>*'
(Гх, Л )» (^2» F2 ), • • • > (Л,. ) фазовий жуфтларни цушиб,
—>-
моменти Мо га тенг битта жуфтни оламиз. Бу жуфтнинг моменти
(6.17) га асосан цуйидагича аницланади. Мо = ^MV ёки (6.22) ни
эътиборга олсак,
М0 = 2М0(Я). (6.24)
Мо га (Fx, F2 . . . , Fn) кучлар системасининг келтириш марка-
зига нисбатан бош моменти дейилади. Бинобарин, фазодаги кучлар
системасининг бирор марказга нисбатан бош моменти ташкил
этувчи кучларнннг шу марказга нисбатан моментларининг геомет-
рик йигиндисига тенг.
Шундай цилиб, ^уйидаги теорема исботланди: фазода ихтиёрий
жойлашган кучлар системасинн бирор О марказга келтириш на-
тижасида бу кучлар системаси келтириш марказига куйилган
—> —>
бош вектор R' га тенг битта куч билан моменти Мо га тенг
битта жуфтга эквивалент булади (6.8-раем, в).
6.8- расмда моменти бош моментга тенг битта жуфт куч тас-
вирланмаган. Бунга сабаб, 6.5-§ да таъкидланганидек, жуфт мо-
менти векторига параллел текисликларда ётувчи сон-сано^сиз жуфт-
лар мос келади.
6.8-§. Фазодаги кучлар системаси бош вектори ва бош
моментининг аналитик ифодалари
Бош вектор ва бош моментнинг мицдор хамда йуналишини ана-
литик усулда аии^лаш учун координата бошини келтириш маркази
О нуцтада оламиз (6.8-раем, в). Fv куч куйилган нуцтанинг коор-
динаталарини xv, yv, zv ^амда Fv кучнинг координата у^ларидаги
проекцияларини Xv, Yv, Zv билан белгилаймиз. (6.23) ни координа-
та учуларига проекциялаб, бош вектор R' нинг Ох, Оу, Oz у^лари-
даги проекцияларини оламиз:
Ъ Ъ = 2Ъ = 2^. (6.25)
Бош векторнинг модули
к - /(2V + (2X,)! + (W (6.26)
6-2282 81
формула ёрдамида, бош векторнинг координата уцлари билан таш-
кил ^илган бурчак косинуслари эса
cos(/?', х) = cosf R И cos(t?',z) =£1 (6.27)
' ' R v ' R' ' ' R<
формулалар билан аницланади.
(6.24) ни координата у^ларига проекциялаб, кучнинг уцца нис-
батан моменти билан шу уцда олинган ихтиёрий нуцтага нисбатан
моменти орасидаги (6.8) муносабатни эътиборга олсак,
My = 2p0K)]y = 2My(fv).
(6.28)
ёки кучнинг увда нисбатан моментики (6.9) ортали ифодаласак,
vwA, = 2(yvZv—zvyv),
My^^(ZvXv~xvz'\ '
m2 = ^(Zvyv-iJv *,)
формулалар уринли булади. (6.10) муносабатга кура
нинг модули цуйидагича аницланади:
(6.29)
бош момент-
мс - К W?,)]*+И?.)Г+[« (д)Г. (б.зо)
Координата уцлари билан ташкил цилган бурчак косинуслари эса
cos(M0, х) - cos(mo, у) =, cos(m0, 2) = (6.31)
формулалардан топилади. ?
6.9-§. Фазодаги кучлар системасининг инвариантлари
Берилган кучлар системасини унга эквивалент булган система
билан алмаштиришда узгармай цоладиган вектор ёки скаляр катта-
лик кучлар системасининг инварианта дейилади.
Худди текисликдаги кучлар системаси каби фазодаги кучлар
системасининг бош вектори \ам берилган кучларнинг геометрик йи-
риндисига тенг булади ва келтириш марказига боглит; булмайди.
Яъни, кучлар системасининг бош вектори келтириш марказига нис-
—
батан инвариант булади. Бош вектор R' кучлар системасининг век-
торли инварианты дейилади.
Келтириш марказини узгартириш натижасида бош момент цан-
дай узгаришини курамиз. Фазодаги (F1( F2, ... , f„) кучлар систе-
32
масини О марказга келтирганда унинг
бош вектори 7?' ва бош моменти Мо га
тенг булсин (6.9-раем). Келтириш мар-
кази учун бошца О' нуцтани олиб, бу
нуцтага нисбатан ^исоблангэн бош мо-
ментни Мо, билан белгилайлик. Агар Av
(v = 1, п) нуцтага цуйилган кучнинг О'
ну^тага нисбатан радиус-векторини г
билан белгиласак, у ^олда (6.24) га би-
ноан
6.9-расмдан Kv=o'3 + rv булгани учун
м0, + и х X Fv +2?v х «
= ab x + 2^ x fv=o'ox^' + m0. (6.32}
(6.3) га асосан O'O X R' ~ Mo, (R') бош векторнинг О' нуцтага-
нисбатан моментами ифодалайди. Буни назарда тутиб (6.32) ни
цуйидагича ёзиш мумкин
4=4^+^ (6.32>
ёки
Яг -Мо - M0,(R'),
яъни келтириш марказини узгартириш натижасида бош момент-
нинг узгариши, аввалги келтириш маркази О га цуйилган кучлар
системаси бош вектори R' нинг янги келтириш маркази О' га
нисбатан моментига тенг.
(6.33) да Ма (R') _!_ R' эканлигини назарда тутиб, бу тенгликни
бош вектор R' га скаляр купайтирамиз:
R'-Mot=R'-Mo (6.34)
ёки
Мо, cos <р' = Мо cos ф, (6.35)
бунда ф' = R', Мо, ва ф = R', Мо.
Бннобарин, кучлар системаси бош векторининг бош моментга
скаляр купайтмаси ёки бош моментнииг бош вектордаги проекция-
83
си, келтириш марказига боглиц булмаган узгармас катталикдир. Бу
катталик фазодаги кучлар системасининг скаляр инварианта де-
йилади.
6.10-§. Фазодаги кучлар системаси битта жуфтга ёки
тенг таъсир этувчига келтириладиган доллар. Вариньон
теоремаси
Ю^орида курганимиздек (6.7-§) жиемга таъсир этувчи фазода
ихтиёрий жойлашган (F{ F2, ... , Fn) кучлар системасини О мар-
ка зга келтириш натижасида бу кучлар системаси бош вектор R' га
—>-
тенг битта куч билан моменти бош момент Мо га тенг битта жуфт
кучга эквивалент булади.
Агар кучлар системасининг бош вектори R' — 0, яъни берилган
кучларга ^урилган куч купбурчаги ёпи^ ^амда бош моменти Мо ф
Ф 0 булса, бундай кучлар системаси моменти бош момент MQ га
тенг битта тенг таъсир этувчи жуфтга келтирилади. Бу ^олда
(6.33) га асосан келтириш марказини О' га узгартирган билан жуфт
моменти узгармайди:
м0,=м0.
Тенг таъсир этувчи жуфтнинг моменти Мо эркин вектор булгани
учун уни жисмнинг ихтиёрий ну^тасига цуйиш мумкин. Тенг таъ-
—>-
сир этувчи жуфтнинг ташкил этувчилари эса, момент-вектори Мо га
перпендикуляр ихтиёрий текисликда ётиши мумкин.
Куйидаги икки ^олда фазодаги кучлар системаси тенг таъсир
этувчи кучга келтирилади:
1. Агар келтириш маркази деб танланган О nyiyra учун
R' Ф 0, Мо = 0
булса, у ^олда фазодаги кучлар системаси берилган кучларнинг
геометрик йигиндисига тенг ва О ну^тага ^уйилган битта кучга,
яъни тенг таъсир этувчи R га эквивалент булади:
(Fp F2, ... ,Fn) со R
•^амда
2. Агар келтириш маркази О нуцта учун
R' 0, Мо^0
84
хамда бош момент Мо бош вектор R' га
перпендикуляр булса, у ^олда фазодаги
кучлар системасининг скаляр инварианта
R' Мо = 0 булиб, бундай кучлар система-
си тенг таъсир этувчига келтирилишини не- ’
ботлаймиз. Бош вектор R' орцали бош мо-
мент Мо га перпендикуляр П текисликни
утказамиз (6.10-раем). Моменти Мо га тенг
—X —X
булган (R't R") жуфтнинг ташкил этувчи-
—X
ларидан бири R" ни шундай танлаймизки, у
мицдор жихатдан бош вектор R' га тенг,
йуналиши эса унга царама-царши булсин. У ^олда (R, R") жуфт-
нинг моменти
ft
6.10- раем.
M0 = R'-h = R-h
формуладан ани^лангани учун жуфтнинг елкаси
й = -^-
R'
тенгликдан топилади. (R, R") жуфтнинг иккинчи ташкил этувчисиз
R О нуцтадан Л40, R' лар ётган текисликка утказилган h перпен-^
дикулярнинг учига шундай ^уйилганки, Мо векторнинг учидан i^a-
• >
раганимизда R куч жиемни О нуцта атрофида соат стрелкаси ба-
рака тига тескари йуналишда айлантиришга интилади. О ну^тага
• > —X
цуйилган R' ва R" кучлар мувозанатлашган кучлар системасини
ташкил этади: (R', R") к 0. Шу сабабли берилган кучлар систе-
маси О' ну^тага ^уйилган биргина R кучга эквивалент булади:
(Fp F2, ... , Fn) R. Бунда R куч берилган кучлар системасининг
тенг таъсир этувчисини ифодалайди.
Демак, бирор О нуцтада бош. вектор R' бош момент Мо га>
X
перпендикуляр йуналган булса, кучлар системаси бош вектор R'
га параллел йуналган ва келтириш маркази О дан О A = h —
масофада (Мо йуналишига мос равишда) А нусупага ууйилган
тенг таъсир этувчи R кучга келтирилади.
Фазодаги кучлар тенг таъсир этувчисининг моментига оид цу-
йидаги Вариньон теоремасини исботлаймиз (текисликдаги кучлар
системаси учун бу теорема 4.3-§ да исботланган):
85
Агар фазодаги кучлар системаси тенг таъсир этувчига кел-
тирилса, бу тенг таъсир этувчининг ихтиёрий нуутага нисба-
тан моменти барча кучларнинг мазкур ну флага нисбатан мо-
ментларининг геометрик йигиндисига тенг.
•—»- ——>
Исбот. Фазодаги (Fp F2 , ... , Fn) кучлар системаси А цутута-
та ^уйилган R тенг таъсир этувчига келтирилади деб царайлик.
Ихтиёрий О нуцтани оламиз ва келтириш марказини узгартириш
натижасида бош моментнинг узгаришини ифодаловчи (6.33) тенг-
ликка асосан система барча кучларининг О нутутага нисбатан бош
моменти учун ^уйадаги ифодани ёзамиз:
m0 = m0(R) + ma.
'Берилган кучлар системаси А нуцтада тенг таъсир этувчига келти-
рилгани туфайли бош момент Мл — 0 булади, бинобарин
M0-^0RR),
—>
<(6.24) формулага асосан бош момент Мо система барча кучлари-
•нинг О ну^тага нисбатан моментларининг геометрик йигиндисига
тенг
Охирги иккита тенгликни солиштириб, цуйидаги натижани оламиз:
= (6.36)
(6.36) тенгликни О ну^тадан утувчи бирор Oz утуца проекция-
лаймиз:
1(6.8) тенгликка асосан охирги ифода гууйидагича ёзилади:
ЧЙ = 2Ч(Ъ- (6.37)
Демак, фазодаги кучлар системаси тенг таъсир этувчисининг
ихтиёрий фща нисбатан моменти мазкур кучларнинг ушбу у%-
ка нисбатан моментларининг алгебраик йигиндисига тенг.
6.11-§. Фазодаги кучлар системасинн динамик винтга
келтириш
Кучлар системасинн содда ^олга келтириш билан шуруллана-
миз. Берилган кучлар системасинн О марказга келтириш натижа-
—> —
сида бош вектор R' билан бош момент Мо орасидаги бурчак <р у=
чь 90° \олни текширамиз (6.11-раем).
>86
6.11- раем.
Бош момент Мо ни бош вектор R' буйлаб йуналган ва ун-
—>
га перпендикуляр йуналган /VI2 ташкил этувчиларга ажратамиз
(6.11-раем, а):
(6.38)
I 1 и * 1 Rt
/И2 = | Alosin q> |.
М2 Л-R' булгани учун, юцорида курганимиздек, момента М2 га
тенг жуфт ва R' бош векторни, О нуцтадан М2 га перпендикуляр
утказилган П текисликдаги
qq* _ М2 Мо ( sin <р |
R
R'
R'
(6.39)
масофада, О* нуцтага цуйилган R* = R' куч билан алмаштириш.
мумкин (6.11- раем, б).
Берилган кучлар системаси учун Мг вектори узгармас булиб,
келтириш марказита бог лиц булмайди, шу сабабли уни узига
параллел равишда О* нуцтага келтирамиз (6.II-раем, в). Натижа-
да берилган кучлар системаси О* нуцтага цуйилган R* = R'
кучга ва шу куч буйлаб йуналган М± моментли (F, F') жуфтга1
келтирилади. Бу жуфт Мх га перпендикуляр IIj текисликда ётади.
Битта куч ва шу кучга перпендикуляр текисликда ётувчи жуфт-
Дан ташкил топган система динамик винт дейилади.
Шундай цилиб, бош вектор нолдан фарцли ва бош моментга
перпендикуляр булмаган цолда, яъни фазодаги кучлар системаси-
- > - >-
нинг скаляр инварианта R'-Mo^=0 ^олда кучлар системаси дина-
мик винтга келтирилади. Тинч ^олатдаги эркин жисмга куч таъсир
этса, жисм илгарилама царакат цилади; жуфт куч эса жисмни ай-
87
ланма ^аракатга келтиради. Дина-
мик винт таъсиридаги жисм ил-
гарилама ва айланма ^аракатда
.с(яъни винт харакатида) булади.
\ Фазодаги кучлар системаси ди-
намик винтга келтириладиган О*
нуцта ягона эмас. ^ацицатан ^ам,
вектори эркин вектор ^амда
R* — R' кучни таъсир чизиги буй-
лаб кучириш мумкин булгани ту-
файли R* = R' векторнинг таъсир
чизигида ётувчи ихтиёрий нуцтада
кучлар системаси динамик винтга
келтирилади.
6.12- раем.
6.12-§. Марказий уц тенгламаси
марказии
векторлар-
яъни
(6.40)
Фазода О* нуцтани шундай танлаш керакки, берилган кучлар
системаси шу нуктада динамик винтни ташкил этсин, яъни бош
—*- —>
вектор R' билан бош момент Мо, бир тугри чизи^ буйлаб йунал-
син. Бу тугри чизиц берилган кучлар системасининг
уци дейилади.
—-> *—>*
Марказий уц тенгламасини аницлаш учун Л10. ва R'
;нинг коллинеарлик шартидан фойдаланамиз (6.12-раем),
Л40,
—— = р =--------------,
R' (R’)a
бунда р узунлик бирлигида улчанадиган узгармас катталик булиб,
винт параметри дейилади. (6.32) га асосан О* ну^тага нисбатан
бош момент учун
Мо, =6*0 х R' + /Ио = Мо — 00* X R'
•булганидан (6.40) г;уйидагича ёзилади:
(6.41)
Мо — 00* х R'
---------------=Р-
R'
(6.41) марказий уц теигламасининг векторли ифодасидир.
Марказий уц теигламасининг аналитик ифодасини ёзиш учун их-
тиёрий О нуцтада х, у, z координата удларини утказамиз.
О нуцтага кучларни келтириш натижасида б'ош вектор R' ва бош
——>- —>- —> —>- —>
-момент Мо — Alj + Л42 га (бунда J_ /М2, A4j = Л40,) эга булай-
лик. Агар Мо, R', 00* векторларнинг проекцияларини мос равишда
Д88
олин-
бош
(6.42)
(6.43)
(6.44)
МО(МХ, Му, мг), R'(R'x, R'y, R'J, 00*(Л у*. z*)
билан белгиласак, (6.38) ва (6.40) га асосан марказий укда
н ихтиёрий ну^тага нисбатан здсобланган динамик, винт
оментининг аналитик ифодаси
1 кга2+кг+к)2 ’
ВИНТ параметри
р и^’+иг+м2 ’
марказий уц тенгламаси
Мх~[у* R'x-z' Ry) Му~(г* х’ =
Ry
Мг~[х *у~У R'X)
ъ
формулалар ёрдамида аницланади.
6.12-раемда Л40, </И0 ёки тенгсизлик урин ли бул-
гани учун марказий уцда ётувчи барча нуцталарда бош момент ми-
нимум цийматга эришади ва (6.38) нинг биринчисидаи анпцланади.
^уйидаги жадвалда фазодаги кучлар системасини бир нуцтага
келтириш доллара курсатилган (4-^олнинг уринли эканлиги 6.14-§
да берилган)
1 №№ о /Г' 2W0 Келтириш Хилари
1 Rг • 0 ^#=0 =/= 0 Динамик винт
2 о II fo; R' 0 О о t II Тенг таъсир этувчи куч
3 о II ton II О Mq 0 Жуфт куч
4 о II to; о II to; Mo=0 Кучлар системаси мувозанатда булади
Акар кучлар системаси бир текисликда (масалан, Оху текисли-
гида) ётса, у з^олда бош векторнинг z уцдаги проекцияси ва бош
момеитнинг х ва у у^лардаги проекциялари нолга тенг булади:
/?' = 0, Мх = О, А4^ = 0.
89
Бу цийматларни
6.13- раем.
—>- —>
га цуйсак, /?'' • Мо = 0 булишини ку-
рамиз. Шундай цилиб, текисликдаги
кучлар системаси жадвалдаги 2,3 ва
4-^олларга мос келади.
Худди шунингдек, агар фазодаги
кучлар системаси z yi^a параллел бул-
са, уларнинг х ва у уцлардаги проек-
циялари хамда z уэда нисбатан мо-
ментлари нолга тенг булади, яъни
К = °’ я;=°, Ч =°-
Бинобарин, бу ^олда хам кучларнинг скаляр инварианта
^•Я=К-^ + ^Ч + ^л1г = о
булиб, фазодаги кучлар системасини бир нугугага келтириш жадвал-
даги 2,3 ва 4- ^олларга мос келади ва текисликдаги кучлар систе-
маси ёки фазодаги параллел кучлар системаси динамик винтга кел-
тирилмайди.
Фазодаги кучларни содца (каноник) ^олга келтиришга оид цуйи-
даги масала ни ечамиз.
6.1- масала. Кубнинг иккита цирраси буйича Р куч цуйилгаи (6.13-раем).
Шу кучлар системаси содда долга келтирилсин.
Ечиш. Бу хилдаги масалалар дуйидаги тартибда ечилади:
1. Координаталар бошини кучлар келтириладиган нуцтада оламиз. Берилган
масалада координата уцларини 6.13- раемдагидек йуналтирамиз.
—>-
2. (6.25—6.27) га асосан бош вектор /?' нинг мицдор ва йуналишини анид-
лаймиз:
<=sFv=°.
*'=/(*;)2Ж)2+(^)2 =р^2,
cos (/?', х J = — =—— , /?', х — 45°,
R 2
cos (/?', у ) = = 0. R', у = 90°,
R
[X ч R'z т/зГ
cos (/?', z) = — = < R', z= 45°.
(6.28) га асосан:
мх = 2 мх (FJ = 0, Му = 5 Му (Fv) = 0,
мг =2 Мг (Fv)^-aP.
₽о
3. Динамик винт бош моментини (6.42) га асосан аншутаймиз:
м_ к «4 __„ут
i-w+w+кг ° 2 ’
4. Марказий jfy тенгламасини тузамиз. Бош вектор ва бош моментнинг ко-
ордината уцларидаги аницланган проекцияларини назарда тутиб, (6.44) тенглама-
даи цуйидаги муносабатни оламиз
0 — (у*Р-г*-0) 0 — (z* Р — х* Р) -аР—(х*-0—у*-Р)
' Р ~ 0 ~ Р
Бунда г* = 21 = 0 деб цараб, марказий уцнинг Оху текислиги билаи кесишган
A (Xi, У1> ну^танинг координаталарини аншугаймиз: xj = 0, уг = —•
>
Марказий уцнинг йуналиши бош вектор R'- й^иалиши билан бир хил бул-
(а \
0, —, 0) нуцта ва кубнинг мар-
кази ортали утади.
6.13-§. Фазодаги кучлар системасини иккита узаро ке-
сишмайдиган кучларга келтириш
Фазодаги кучлар системаси динамик винтга келтирилган деб 14а-
>
райлик. Динамик винтни бош вектор /?' га тенг куч ^амда ташкил
—>- —
этувчилари F ва F' га тенг
жуфтдан иборат деб караш мум- /
кин (6.14-раем). В нуцтага цу- / л
йилган жуфт ташкил этувчи / J
кучлардан бири F' ни R билан / А
геометрик кушиб, уларнинг йи- /
гиндисини Q билан белгилаймиз.
Натижада берилган кучлар сис- 6.14- раем,
темаси фазодаги параллел бул-
маган ва кесишмайдиган иккита кучлар: А нуцтага цуйилган ~F ва
В нуцтага ^уйилган Q га эквивалент булади.
6.14-§. Фазодаги кучлар системасининг мувозанат
шартлари
Теорема. Фазодаги кучлар системаси мувозанатда бдлиши
учун
7?' = 0, /Ио = 0 (6.45)
шенгликларнинг бажарилшии, яъни кучлар системасининг бош
вектори ва ихтиёрий келтириш марказига нисбатан бош мо-
мента нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
91
Исбот. Зарурлиги. Arap R' ва Мо нолдан фарцли булса,
бундай кучлар системаси мувозанатда була олмайди, чунки жуфт
кучни битта куч билан мувозанатлаш мумкин эмас. Агар R' = О,
Мо =/= 0 булса, кучлар системаси битта жуфтга келтирилади ёки
— > —>- u
Мо = 0, /?' ¥= О булган .\олда кучлар системаси келтириш марказига
^уйилган битта тенг таъсир этувчига эквивалент булади. КаР ик-
кала ^олда ^ам кучлар системаси мувозанатда булиши учун (6.45)
нинг бажарилиши зарурий шарт ^исобланади.
Етарлилиги. (6.45) шартлар бажарилса, келтириш маркази О
га кучирилган барча кучлар ^ам, ^ушилган жуфтлар системаси >;ам
нолга эквивалент булади. Яъни берилган кучлар системаси мувоза-
натлашган кучлар системасинн ташкил этади.
(6.45) шартлар фазодаги кучлар системаси мувозанатининг
векторли ифодасидир. (6.45) нинг геометрик маъиоси куйидагича:
фазодаги кучлар системаси мувозанатда булиши учун кучлар куп-
бурчаги ва берилган кучларнннг исталган келтириш марказига
нисбатан момент векторларига цурилган купбурчак ёпиу булиши
керак.
(6.26) ва (6.30) ни назарда тутиб, (6.45) урпига цуйидаги тенг-
ламаларни оламиз:
V мх (У v) = 0, 2 Л4, (Q = 0, V м2 (Fv) = 0*’J
Бу тенгламалар фазодаги кучлар системаси мувозанатининг ана-
литик шартларини ифодалайди: фазодаги кучлар системаси му-
возанатда булиши учун барча кучларнннг координата ууларидаги
проекцияларининг ва кучларнинг учта координата у^ларига нисба-
тан моментларининг йшиндиси ало.\ида-ало.\ида нолга тенг бу-
лиши зарур ва етарлидир.
Кучлар системаси мувозанатининг куйидаги учта хусусий ^олини
ало^ида курамиз:
—>-
1. Бир ну^тада кесишувчи кучлар системаси. Агар (У\, f2, ...
F„) бир нуцтада кесувчи кучлар системасинн ташкил этса, келти-
риш маркази учун кучларнинг таъсир чизи^лари кесишган нуцтани
оламиз. Натижада барча кучларнинг таъсир чизицлари учала коор-
дината уцларини кесиб утади ва кучларнинг мазкур уцларга нисба-
тан моментлари нолга тенг булади. Бинобарин, (6.46) даги охирги
уч га тенглама айниятга айланади.
Шундай цилиб, бир ну^тада кесишувчи кучларнинг мувозанат
тенгламаларини аввал келтириб чи^арилган (2.10) куринишида ола-
миз:
£Xv = 0, £Kv = 0, £Zv=0.
* Кучларнинг укка нисбатан моментларини ^исоблашда (6.29) дан х,ам фойда-
ланиш мумкин.
92
2. Текисликдаги кучлар системаси. Агар (Flt Т2, . . . , Fn) бир
екисликда ётувчи кучлар систехмасини ташкил этса, кучлар ётган
текнслик учун Оху текислнгини оламиз.Кучлар z уцца перпендикуляр
текисликда жойлашгани туфайли уларнинг z уцдаги проекциялари
нОпга тенг. Кучларнинг таъсир чизицлари Ох ва Оу у^ларига па-
оаллел ёки кесиб утгани учун хар иккала холда хам кучларнинг
(Эх ва Оу уцларга нисбатан моментлари нолга тенг булади. Наги-
жада (6.46) нинг учинчи, туртинчи ва бешинчп тенгламалари ай-
ниятга айланади. Барча кучлар Оху текислигида ётганлиги сабабли
уларнинг z уцига нисбатан моментлари координаталар боши О га
нисбатан кучлар моментларининг алгебраик йигиндисига тенг бу-
лади. Шу сабабли текисликдаги кучларнинг мувозанат тенгламала-
рнни илгари чпцарилган (4.9) куринишида ёзиш мумкин:
= vyv = o, v/Wo(/;) = o.
—>- —
3. Фазодаги параллел кучлар системаси. Агар (Flt К2> • • • »
Fn) фазодаги параллел кучлар системасидан нборат булса, z уцни
кучларга параллел йуналтнрамиз. Кучларнинг таъсир чизицлари Оху
текислигига перпендикуляр булгани учун уларнинг Ох ва Оу уцлар-
даги проекциялари нолга тенг булади. Кучлар z у^ца параллел
булгани учун кучларнинг z уэда нисбатан моментлари нолга тенг
булади. Натижада (6.46) даги биринчи, иккинчи ва олтинчи тенг-
ламалар айниятга айланади ва фазодаги параллел кучларнинг
мувозанат шартлари т^уйидагича ёзилади:
vzv = o, 2Ч(^)=о. ^Ч(Л)=°- (647>
6.15-§. Бир нуцтаси билан махкамлантан цаттиц жисм-
нинг мувэзанат шартлари
Ю^орида чицарилгап (6.46) куринишидаги .мувозанат тенглама-
лари эркин цаттиц жисмга ^уйилган кучлар системаси учун уринли
булади. Богланишдаги жисмларнинг мувозанатини аницлашда богла-
нишдап бушатпш ^а^идаги аксиомадан
фойдаланамиз. > г
1» К2> • • , Fп кучлар таъсири-
даги жисм О иуцтада сферик шарнир
воситасида махкамланган булсин (6.15-
расм). Кузгалмас ну^тани координата
лар боши учун цабул циламиз. Берил-
ган кучлар ^аторига сферик шарнир
реакция кучининг ташкил этувчилари
ва Zo ларни цушиб, (6.46) га
асосан мувозанат тенгламаларини ку-
иицагича ёзамиз:
6.15- раем.
93
vx, + a-„-o, 2rv + r0 = o, 2zv + z0 = o, i
—>- _>. _? (b.4o
2^(fv) = o, 2зд=о, 2ВД = о. I
Охирги учта тенгламада номаълум реакция кучлари цатиашмайди
ва бу тенгламалар мувозанат шартларини ифодалайди. Бу шартлар-
нинг векторли ифодасини
4 = 2АХ) =0 (6.49)
шаклида ёзиш мумкин.
(6.49) дан курамизки, агар актив кучларнинг г^узгалмас нуцтага
нисбатан момент-векторларининг геометрик йигиндиси нолга тенг
булса, битта ну^таси билан ма^камланган жисм мувозанатда бу-
лади. Бошцача айтганда, битта нуцтаси билан ма^камланган жисм
мувозанатда булиши учун берилган кучлар системаси цузгалмас нуц-
тадан утувчи
₽"= — ~R0 (6.50)
тенг таъсир этувчига келтирилиши керак. (6.48) нинг биринчи
►
учта тенгламасидан цузгалмас нук;тадаги реакция кучи Ro нинг ко-
ордината уцларидаги проекциялари аницланади:
Го = -У^, ^O = -2ZV.
Бу тенгламалар (6.50) векторли тенгламацинг координата уцлари-
даги проекцияларини ифодалайди.
6.16-§. Иккита нуцтаси билан ма^камланган цатти^
жисмнинг мувозанат шартлари
6.16- раем.
Иккита Л ва В нуцталари сфе-
рик шарнир билан махкамланган
жисм Вх. В2, . . . , Fn кучлар таъ-
сирида мазкур нуцталар ортали
утувчи уц атрофида айланиши мум-
кин. Координаталар бошини Л нуц-
тада олиб, z уцни Л ва В нуцталар
ортали утказамнэ (6.16-раем). Цуз-
галмае нуцталарпинг реакция куч-
ларини координата уцларининг мус-
бат йуналиши буйича йуналган
Хл, YA, Za, X в, Ув ва ZB ташкил
етувчиларга ажратамиз. Жисм муво-
ванатда булиши учун унга цуйил-
ган Л В2, . . ., Еп,ХА, Уа, Za,Xb,
YB, ZB кучлар мувозанат шартлари
(6.46) ни цаноатлантириши керак:
&4
2^ + хл + хв = о,
vVUVo.
^zv + zA + zB = o,
^Mx(Fv)-YB.a = O,
S^(Fv) + XB-a = O,
S4?v)=°.
(6.51)
унда а билан Л ва В нуцталар орасидаги масофа белгиланган.
Охирги тенгламада реакция кучлари цатнашмайди, шу сабабли бу
тенглама иккита ну^таси ма^камланган цаттиц жисмнинг мувоза-
нат шартини ифодалайди: иккита нуцтаси билан ма^камланган
цаттиА жисм мувозанатда булиши учун актив кучларнинг куз-
галмас нуцталардан утувчи укца нисбатан моментларининг
йириндиси нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
Туртинчи ва бешинчи тенгламалардан топилган
цийматларни биринчи ва иккинчи тенгламаларга цуйиб ХА ва УА
ларни аницлаймиз:
^=—ф2чФ-2»',-
(6. 51) нинг учинчисидан реакция кучларининг г у^и буйлаб
йуналган ташкил этувчиларининг йиривдисини ани^лаш мумкин
Za+Zb=~^Zv, (6.52)
яъни масала статик апицмасдир. Техникада бу аницмасликни ^ал
цилиш учун А нуцтада таянч подшипник, В нуктада цилиндрик
подшипник урнатиш мумкин (6.17-раем). Бу ^олда ZB — 0 булади.
6.2 - масала. Огирлиги Р = 20 кН булган бир жинсли тугри бурчакли плита
Л сферик шарнир ва В цилиндрик шарнир воситасида деворга бириктирилган
У«н СЕ арцон горизонтал хрлда ушлаб туради; ЕСА = ВАС = 30°
раем.). Плитага унинг текислигида ётувчи ва моменти М = 5 кНм га тенг
}куфт куч удмда DC томоннинг уртасидаги К нуцтага yz текислигига парал-
лел текисликда ётувчи ва DC га 60° бурчак остида таъсир этувчи Q — 8 ]/3 кН
лаисин'1ИЛГаН 1 м’ Арцондаги тортилиш кучи ва таянч реакциялари аник-
Дан ^фН1и’ 1- Мувозанати текширилаётган жисм ABCD тугри бурчакли плита-
А н иборат. Плитани иккита нуцтаси билан ма^камланган жисм деб цараш мумкин.
ф Координата уцларини 6.18-раемдагидек танлаб оламиз.
и Плитага таъенр этувчи кучларни
•=5 м ну^тага цуйилган Р = 20 кН
га тенг жуфт куч; нуцтага цуйилган ва_________________________
®УРчак ташкил этувчи Q = 8 Jr3 кН куч; СЕ ипнинг таранглик кучи Т урмца А
курсатамиз. Плитага огирлик
огирлик кучи; моменти М =
DC билан 60°
95
6.17- раем.
6.18- раем.
сферик шарнир ва В цилиндрик шарнир реакциялари таъсир этади. А сферик
шарнириинг реакция кучини координата уцларинингмусбат йуналишидаги X л, Y.
"1А ташкил этувчиларга, В цилиндрик шарнириинг реакция кучларини цилиндр
—>- —>
уцига перпендикуляр йуналган Хв, 7-в ташкил этувчиларга ажратамиз.
4. 6.18-раемдан фойдаланиб, мувозанат тенгламалари (6.46) ни тузамиз.
Бунда Т ва Q кучларнинг х, у, г уцларига нисбатан моментларини ^исоблаш
учун (6. 37) куринишидаги Вариньон теоремасидан фойдаланамиз, яъни 7 b;i Q
кучларни Т', Q" (Т‘ = Т cos 30°, 7" = Т cos 60°, Q' = Q cos 60°,
<2"=Qcos30°) ташкил этувчиларга ажратиб, уларнинг мазкур уцларга нисба-
тан моментларининг йиншдисини аницлаймиз. У ^олда
= 0; Х„4-Х — 7’cos30°-cos 60° = 0,
V А 1 В
£ У = 0; УА — Т cos 30°.cos 30° — Q cos 60° = 0,
2Z =0; Z,4-Z„ — P — Q cos 30° 4-7 cos 60° = 0,
у лп
2 Mx = 0; — P-~- + Zb -AB4- T-AB cos 60° — Q cos 30°.PX = 0,
.. -> AD
2i My = 0; P-~- T'AD cos 60° + Q cos 30°'Л£> = 0,
2 Мг (Fv) = 0; XB -AB 4- M -Q-cos 60°-4D = 0,
AB
бунда AD=ABtg 30°, DK = —^—.
5. Тенгламалар системасини ечиб, иомаълумларни ани^лаймиз:
М 1 / Р \
Xв = ~АВ~ ® C0S 600 ‘tg 30° =1 кН’ Т = Tos 60°(~2~ ~ C°S / = 8 кН’
ХА = — Хв 4- Т cos 30°-cos 60° = 2,46 кН,
УА = Т cos2 30° 4- Q cos 60° = 12, 93 кН,
Р Q
ZB = — — Т cos 60° 4- -у cos ЗОР = 12 кН.
ZA = — ZB 4- Р 4- Q cos 30°—Т cos 60°= 16 кН
96
7-боб. ПАРАЛЛЕЛ КУЧЛАР МАРКАЗИ ВА OFHPJ1HK
МАРКАЗИ
чМенга таянч нуктасини беринглар,
Ерни уз i/рнидан амситаман!»
И рхамед
7.1- §. Параллел кучларнинг тенг таъсир этувчисини
ани^лаш. Параллел кучлар маркази
Бу бобда тенг таъсир этувчнга келтириладиган параллел кучлар
системаси царалади. 6.9-§ да курганимиздек, фазодаги параллел
кучлар учун скаляр инвариант R'-Mo = 0 булиб, бундай кучлар
системаси тенг таъсир этувчига келтирилиши учун
R'^0 (7-1)
тенгсизлнк бажарилиши керак.
Жиемга (7.1) тенгсизликни даноатлантирувчи (Уд, А2......./ )
параллел кучлар системаси таъсир этсин. Кучларнинг цуйилган нуц-
таларини мос равишда Лг, А2, . . . , Ап ва Oxyz координаталар сис-
темасига нисбатан бу ну^таларнинг радиус-векторларини rlt г2.....
гп билан белгилаймиз (7.1-раем). Мазкур кучларнинг тенг таъсир
этувчисини ва унинг цуйилган нуцтасини аницлаймиз.
Агар берилган кучларнинг таъсир чизидларига параллел булган
бирлик векторни е билан белгиласак, у хрлда ихтиёрий Fv кучни
Fv = F*e (7.2)
к^ринишда ёзиш мумкин. Бунда А куч е вектор йуналиши билан
бир хил булса, F* =FV; Fv
—
ва е. бир-бирига царама-цар-
ши йуналса, F* = — Fv.
А врало А, ва F2 кучларни
цушамиз ва уларнинг тенг таъ-
сир этувчисини Д билан бел-
гилаймиз. (3.1) га асосан
R* = F*+F^. (7.3)
Бунда билан е бир хил
йуналгани учун /<* — R.
<3.2) га асосан F* ва F*
орасида цуйидаги муносабат
Уринли:
л-4
7—2282
(7.4)
г- билан
f* e _5_ ёки .
c>a2 Atc, f5* f,*
Arap /?t цуйилган Сг нуцтанинг радиус-векторини
белгиласак, у ^олда 7.1-раемдан цуйидагини оламиз:
—> —> —> -—> —> —> АС1 = гС1— rlt С1Д2 =r2 — rCi (7.5)
(7.5) ни (7.4) га тууйпб, гс ни аницлаймиз: F* + Fi (7.6)
(7.3) тенгликни ва F* = — F3 эканлигнни назарда тутпб, Rl ва
— >
Fi кучларни т^ушамиз. (3.5) га асосан
^-^-f3 = F* + F* + F*= VF*,
V=1
= ^7,+^ = = J z*
гГ+^+^з* 4 f*
Худди шунингдек, п та параллел кучларни цушиш натижасида С
пуктага ^уйилган битта тенг таъсир этувчи R кучни оламиз (аниц-
лик учун раемда п = 4 ?^оли курсатилган).
Я* = V F*, (7.7)
V=1
V=1
Бунда R куч е бирлик вектор билан бир хил йуналса, R* — R;
R ва е бир-бирига 1\арама-царшн йуналса, R* — —R булади.
Агар параллел кучлар бир томонга йуналса, е ни шу кучлар
йуналишида олиб, (7.7) ва (7.8) да (*) ишорасини тушириб ёзиш
мумкин.
(7.8) формула ёрдамида аницланадигап С нуцта параллел кучлар
маркази дейилади.
—
Параллел кучлар марказинннг координаталарини хс, ус, zc\ Fv
куч цуйилган ну^тапинг координаталарини xv, yv, zv билан белги-
ласак, (7.8) дан параллел кучлар марказининг координаталари аниц-
ланадиган цуйидаги муносабатларнн оламиз:
S6
(7.8) ва (7.9) формулалардан куриниб турибдики, фазодаги па-
раллел кучларнинг тенг таъсир этувчиси цуйнлган С нугрганинг
холати кучларнинг йуналишига боглиц бул.май, уларпинг мгщдори
ва цуйилган ну^таларининг координаталарига богликдир. Шу са-
бабли кучларнинг цуйилган нуцталаричи узгартирмай, барча куч-
ларни бирор а бурчакка бурсак, кучларнинг тенг таъсир этувчиси
^ам мос равишда а бурчакка бурилади ва цуйилган нуцтасининг
холати узгармайди.
(7.8) дагн V F*rv катталик берилган кучлар системасининг С
марказга нисбатан статик моменти дейилади.
(7 9) даги Vf* *v, V F* yv, v f* каттаяиклар берилган
кучлар системасининг мос равишда уОг хОг ва хОу текислик-
ларга нисбатан статик моментлари дейилади.
Агар координаталар бошнни параллел кучлар марказнда оясак.
xc=j/c=zc=0 булади ва берилган кучлар системасининг параллел
кучлар марказига нисбатан статик моментлари нолга тенг булади.
7.2-§. Жисмнинг огирлик марказини аниклаш
Исталган каттиц жисмни жуда кнчпх заррачалардзи ташки я
топган деб караш мумкин. Бундай заррачаларнинг хар бирига вер-
тикал пастга йуналган Р,. Р2. ... Ерга тортияиш кучлари (огир-
лик кучи) таъсир этади. Статика булимида урганиладигаи жисм-
ларнинг улчовларп Ерпииг радиусига нисбатан жуда кичнк булгани
учун жисм айрим зарраларнпинг огирлик кучипи параллел кучлар
деб цараш мумкин Жисм барча зарпаларн огирлик кучларининг
тенг таъсир этувчиси Р — у Pv жисмнинг огирлик кучи дейилади
э^амда бу параллел кучларнинг маркази мазкур жисмнинг орирлик
маркази дейилади.
Жисм огирлик марказининг радиус-вектор! (7.8), координата-
лари (7.9) формулалар асосида аникланади:
Бунда rv(xv, yv, zv) v—заэрачанчпг радиус-вех гоэи; гс (хс, ус, с)
жисм огирлик марка Яшин.' радиус-векторн (7 .2 раем).
Жисмнинг огирлик маркази геометрпк пукгадап иборат булиб,
баъзида бу нукта жисмга тааллукли булмас.яиги ха.м мумкин. Ма-
99
Агар жисм бир жинсли
салан, 7?i ва /?2 радиусли ци-
линдрлар билан чегараланган
чамбаракнинг огирлик маркази
цилиндрлар марказида ётади ва
чамбаракка тааллуцли эмас.
Жисмнинг огирлик маркази
аниц холатга эга булиб, цат гиг;
жиемни бирор бурчакка айлан-
тирганда унинг огирлик маркази
шу жиемга нисбатан узгармайди.
Чунки олдинги параграфда кур-
ганимиздек, параллел кучларни
маълум а бурчакка бурганда
уларнинг маркази узгармайди.
булса, огирлик маркази унинг
цандай материалдан ташкил топганига боглиц булмай, фацат гео-
метрик шаклига боглиц булади. Келгусида асссан бир жинсли
жисмларнинг огирлик марказини аниклаймиз.
Огирлиги Р га тенг жисм V ^ажмга эга булсин (7-2-раем).
Агар бирлик ^ажмга тугри келган огирликни у билан белгиласак,
бир жинсли жисм учун у = const булади ^амда жисм у булакчаси-
нинг огирлиги
^=TAVv.
(7.Н)
(7. II) ни (7.10) га цуйиб, ^ажмга эга булган жисм огирлик
марказинииг радиус-вектори ва координаталарини аницлаймиз:
с v-yAVv
V
(7.12)
VAUv xv УМ\ yv
У • Ус ~ у
бунда V — Уд^у бутун жисм цажмини ифодалайди.
Жисмнинг булаклар сонини орттира бориб, (7.12) ва (7.13) да-
ги йигиндиларда п -> оо , AVv -> 0 булганда лимитга утсак, ^ажмга
эга булган жисм огирлик маркази учун цуййдаги интегралли ифо-
даларнп оламиз:
хс
(V)^V
гс “ I/
rdV f ydV
U z
у Ус у *
(7.14)
—у —
(7.15)
Худди шунингдек, ихтиёрий сиртга эга булган пластинканинг
огирлик марказини анидлаш учун ^уйпдаги формулалар уринли бу-
ладн (7.3-рас.м).
100
Бунда S — пластинка сиртпнинг юзаси, х, у, г эса dS
юзанинг коордипаталари.
Чизицнинг огирлик маркази цуйидагича ани^ланади
элементар
(7.4-раем):
-> VA/v rv
rc~ i ’
VAZv xv VA/v yv _ УД'у zv
xc , yc — ( » zc I
(7.20)
(7.21)
ёки
f rdl
(!)
I
f xdl [ ydl ( zdl
X u z .
лс i • t>c ~ i • 4c i
(7.22)
(7.23)
ларДа — чизицнинг узунлиги; x, у, z эса dl булакча координата-
101
(7.12), (7.14), (7 16), (7.18), (7.20) ва (7.22) формулаларла каср
суратидаги векторли катталиклар мос равишда \ажм, юза ёки чи-
зицнинг ну^тага нисбатан статик моментини ифодалайди.
(7.13,) (7.15), (7.17), (7.19), (7.21) ва (7.23) формулаларда —
каср суратидаги скаляр катталиклар эса хажм, юза ёки чизиц-
нинг люс координата текисликларига нисбатан статик момен-
тини ифодалайди.
Хусусан хОу текислигида жойлашган юзанинг Ох ва Оу у^ла-
рига нисбатан статик моментлари
[ xdS — хс S,'
? яс J (7.24)
[ yds =yc-S
iS)
формулалар ёрдамида ашщланадн.
7.3-§. Отрлик марказини ани^лаш усулларл
Жисмнинг огирлик марказини топишнинг ^уйидаги усулларини
курамиз.
1. Симметрия усули. Агар бир жинсли жисм симметрия текис-
лигига эга булса, огирлик марказини топиш бирмунча соддалаша-
ди. хОу текислигини симметрия текислигида оламиз (7.5-раем). У
^олда ^ар бир xv, yv, zv коордпнаталар билан ани^ланадиган AVv
^ажмли булакчага координаталари Xv, yv,— zv булган AVv ^ажмли
булакча мос келади. Шу сабабли (7.13) да zvAVv купайтмаларнинг
йигиндиси жуфт-жуфт равишда нолга тенг булади. Бннобарин,
Шундай цилиб, симметрия те-
кислигига эга булган бир жинсли
жисмнинг огирлик маркази сим-
метрия текислигида ётади.
7.5- раем.
7.6- раем.
дгар жисм z симметрия укига эга булса (7.6-раем), у холда хар
бир -v > У s zv координаталар билан аницланадиган Al/V хажмли бу-
лакчага координаталари —xv, —yv, zvбулган AI/V ^ажмли булакча
мОс келади. П’у туфайли (7.13) да xvAl\, yv&Vv купайтмаларнинг
йигивдиси жуфт-жуфт равишда нолга тенг булади. Демак,
XC ~ у 0, Ус ~ V
Бннобарин. симметрия укулга эга булган бир жинсли жиемнин'
огирлик маркази симметрия ууида стада.
Худди шунингдек, симметрия нуцтасига эга булган бир жинсли
жисмнинг огирлик маркази шу ну^та билан устма-уст тушишини
исботлаш мумкин. Масалан, бир жинсли дойра ёки шарнинг огир-
лик маркази унинг симметрия нуцтаси — геометрик маркази билан
устма-уст тушади.
2. Булакларга ажратиш усули. Баъзида жиемни фикран шундай
булакларга булиш мумкинки, бу булакларнинг огирлиги ва огир-
лик маркази олдиндан маълум булади. Бундай жисмларнинг огир-
лик маркази (7.10) формулалар ёрламида аницланади. Хусусан, яс-
си жисм учун бу формулаларни ^уйидагича ёзиш мумкин:
= 43 ГА> (7.25)
О
хс =4~3 XV Ус = -у 3 (7.26)
бунда — ясси жисм бирср булагининг юзаси, rv — шу булак-
нинг радиус-вектори, S —ясси жисм юзаси.
(7.12) ва (7.13) га асосан хажмга эга булган жисм ёки чизш;-
нинг огирлик маркази аннцланадиган ^уйидаги формулалар уринли
булади:
xc=y2xv^. i/c = v3^^v’ 2с=уЗгЛх> (7.13')
*с=т2хЛ Ус^-Т^Уу1^ 2с = -гЗлЛ- (7.210
III
бунда Vv — жисм бирор булагининг
ХДжми, /v — берилган чилиг; бирор бу
лагининг узунлиги: xv, yv, zv лар эа
мазкур булаклар огирлик марказининг
координаталаридир, V— жисмнинг .уаж-
мини, I — чизицнинг узунлигини ифо-
далайди.
7.1-масала. Таврли кесимнинг огирлик
арказидан AD томонгача булган масофа то-
лигиИь’ тавР баландлиги h деворининг калин-
лиги л токчасининг кенглиги AD = а, ^алии-
лиги d га тенг (7.7- раем).
7.7- раем.
105
Ечиш. Курилаётган кесим, AD то-
монининг уртасидан утувчи By симмет-
рия уцига эга. Шу сабабли унинг огир-
лик маркази By yiyia ётади. Кесим
юзасиии фикран иккита тугри туртбур-
чакдан иборат юзага ажратамиз. Аж*
ратилган туртбурчакларнииг юзалари
St — ad, S2 — b(h — d)-, огирлик мар-
казининг ординаталари мос равишда
d J li— d h+d
У1~ 2 ’ Уг ~ + 2 ~ 2
булгани учун берилган кесимнинг огир-
лик марказини (7.26) га асосан аншу-
лаймиз:
+ ft2S2 2 ‘Qd+ 2 'b'(h d) _ gd2^bh2—bd2 >
St + S2 ~ ad+b(h — d) ~ 2(adbh—bd)
3. Манфий юза усули. Агар ясси жисмнинг маълум кисмлари
цирциб ташланган булса, бундай жисмнинг орирлик марказини аниц-
лашда манфий юза цушиш усулидан фойдаланилади. Бу усул булак-
ларга булиш усулининг хусусий холи булиб, унинг мох.ияти шундан
иборатки, жисмни ^ирцилмагаи яхлит жисм ва кирцилган жисмлар-
дан иборат деб царалади; бунда цирцилгап булакларнинг юзаси
шартлп равишда манфий деб олинади хамда орирлик марказини аниц-
лашда (7.26) формулалардан фойдаланилади.
7.2- масала. Эни b ва буйн а га тенг тугри туртбурчак шаклидаги
ABDE ггхтадаи эни е ва буйн ft ia тенг KLMN гугри туртбурчак шаклидаги
цисми кссиб олинган. KL ва MN кесматар ABDE тугри туртбурчак томонларига
мос равишда параллел. Тахта долган кисмининг огирлик маркази KN да ётиши
учун h нинг узунлпги кандай булиши керак (7.8- раем).
Ечиш. Ох уч\ии тахтаиинг симметрия уди буйлаб йуналтирамиз. У дол да
тахтанинг огирлик маркази х удда ётади ва ус = 0.
Манфий юза усулидан фойдаланиб, берилган фигурани ABDE яхлит турт-
бурчак юзасидан ва юзаси манфий KLMN туртбурчакдан иборат деб дараймиз.
a ft
У х0ЛДа = ~~~ • Sj — ab, х2 — а— S2 = — eft эканлигини назарда
тушб, бу >;ийматларни (7.26) га куямиз:
— а"‘Ь — eh (а — —-1
StXi 4- S2x2 _ 2___________\ 2 /__ a2h—2aah-\-eh2.
%с S, 4- S2 2(ab — eh) 2(ah—eh)
Масаланнпг шартига кура тахта долгая циемннинг огирлик маркази KN да ёти-
ши учун хс = а — ft булиши керак.
хс нинг иккала кийматини бир-бнрига тенглаб куйидагини оламиз.
а-Ь — 2aehA-eh2
а h 2(аЬ — eh)
Бундан ft ни аницлаш ушбу квадрат тенгламани ечишга келтирилади;
eft3 — 2abh -|- а2Ь — 0.
Шундай 1(илиб,
А = ab-Va2b2-a^e = “ [ь _
• е 1
104
Квадрат илдиз олдида мусбат ишора олинса, масала ечимга эга эмас. Чунки
b
Ь>е булгани учун квадрат илдиз олдида мусбат ишора олинганда h > а— >
Ж бунинг булиши мумкин эмас.
4. Тажриба усули. Бир жинсли булмаган ёки мураккаб шаклли
ясси жисмларнинг огирлик марказини ани^лашда ^уйидаги тажриба
усулларидан .\ам фойдаланилади.
4.1. Инга осиш усули. Ясси жисмнинг ихтиёрий Л, нуцтасидан ипга осамиз.
Жисм иннинг реакция кучи ва огирлик кучи таъсирида мувозанатда булади
(7.9-раем, а). Огнрлик кучи Р вертикал пастга йуналгани туфайли ипиинг реак-
ция кучи Т вертикал юцорига йуналади. Иннинг йуналишини давом эттириб,
раемда огирлик кучннинг таъсир чизигини Л|Лг билан белгилаймиз. Шу тарзда
жисмни В нудтасидан осиб, огирлик кучинииг таъсир чизиги BtB2 ни анидла миз
(7.9-раем, б). Натижада AtA2 ва BjB2 чизицларнинг кесишган нудтаси С берилган
ясси жисмнинг огирлик марказини ифодалайди.
4.2. Тарозида тортиш усули. Ясси жисмни тарозига дуйиб, унинг огирлиги Р
ни аницлаймиз. Сунгра ясси жисмни С ва D нуцталарда иккига таянчга дуямиз.
D нудтадаги таянчга тарози куямиз (7.10-раем, а). У ?^олда D нудтанинг реакция
кучи R, мицдор жихатдан D нудтадаги тарози курсатган огирлик кучига тенг
булади. Жисм таянч нудталаринчиг реакция кучи ва огирлик кучи таъсирида
мувозанатда булади. Жисмнинг огирлик кучи Р ва D иудтаиипг реакция кучи
маълум булгани учун С нудтага нисбатан моментлар тенгламасини тузиб, бу
тенгламадан огирлик кучинииг гаъсир чизигигача булган хг масофани аницлаймиз.
Раемда огирлик кучииинг таъсир чизиги билан белгилангаи.
Худди шуииигдек, жисмни 90° бурчакка айлаитириб, С\ ва Dr таянчларга
Чуямиз. £)1 нудтанинг реакция кучи миддор жихатдан ГД иудтадаги тарози кур-
сатган огирлик кучига тенг булади. Р ва RD маълум булгани учун С| нуд-
тага нисбатан моментлар тенгламасини тузиб, бу тенгламалардаи огирлик кучи-
нинг таъсир чизиги BrB2 гача булган х2 масофаии анидлаймиз. AjA2 ва
ларнинг кесишган нудтаси С жисмнинг огирлик марказини ифодалайди.
7.4-§. Оддий шаклли баъзи бир жинсли жисмларнинг
огирлик марказини аницлаш
Учбурчак юзасининг огирлик маркази. ABD учбурчакни АВ
паРаллел булган кичик булакларга ажратамиз (7.11-раем).
У булаклар ^ар бирининг огирлик маркази унинг уртасида ётади.
10^
яъни учбурчакнинг огирлик маркази DG
медианада ётади. Шу тарзда учбурчак
юзасини DB томонга параллел булаклар-
га ажратсак, уларнинг огирлик маркази
АЕ медианада ётади. Бинобарин, учбур-
чак юзасининг огирлик маркази унинг
медиаиаларн кесишган С ну^тада ётади.
Учбурчак етган текисликда хОу те-
кисликни утказиб, учбурчак учларииинг
координаталарини (хл, ух), (х2, у2), (х3,
у3) билан белгнласак, аналитик
геометрияда чикарилган
= 4- (х, + Х2 + х3), у =
о
= -3-(У1 + у2 + Уз)* (7.29)
формулаларга биноан С нуцтанинг
координаталари аницланади. Маъ-
лумки, CG = -^-DG.
2. Трапецнянинг огирлик маркази. Асослари а ва b баландли-
ги h га тенг ABDE трапеция юзасининг огирлик марказини аниц-
лаш учун трапецияни АЕ асосга параллел булакларга ажратамиз
(7.12-раем). Бу булакларнинг огирлик маркази BD ва АЕ ассслар-
нинг урталарини туташтирувчи KL чизпцда ётади. Бинобарин, тра-
пециянинг огирлик маркази .\ам шу чизицда ётади. Трапеция огир-
лик марказини аналитик усулда ани^лаш учун С нугрганинг битта
координатасини, масалан ус ни топиш кифоя. ус ни топиш учун
трапецияни ABD ва ADE учбурчакларга ажратамиз. Бу учбурчаклар-
нинг огирлик марказини СДХр yj ва С2(х2, у2) билан белгиласак,
KL нинг CiC2 билан кесишган нуцтаси С трапециянинг огирлик
марказини ифодалайди. Бу учбурчаклар учун
2 , е Ь-h 1 , о ah
У1— "^1---о-’ У2 — ----о”
о z о Z
эканлигини эътиборга олиб, (7.26) га асосан цуйидагини ёзамиз;
2 bh 1 ah
. __ 4~ Уг^г _ 3_____2_____3_____2 _ ft (a -f- 2b)
Ус Si + S2 ~ З(а + Ь)'
bh ah
2 + ~2~
3. Айлана ёйининг огирлик маркази. Радиуси /?, марказий бур-
чаги 2а га тенг ADB айлана ёйининг огирлик марказини аницлай-
миз. Координата лар бошини айлананинг маркази О ну^тада олиб, х
уцни АВ ватарга перпендикуляр йуналтирамиз.
7-§.
106
Ефимов Н. В. Аналитик геометрия ^исца курси. Т. Уцитувчи, 1966, 2-боб,
у*
7.13- расы.
7.14- раем.
Айлананинг ёйи х yiy^a нисбатан симметрия булгани учун унинг
огирлик маркази х укда ётади (ус — 0). 7.13-раемда х = /?созф,
dl = Rd<[>, l — 2Ra эканлигини эътиборга олиб, (7.23) нинг 1-фер-
му ласини куйидагича ёзиш мумкин:
а
_ LXd‘ _ -LR2 C°S 9 d Ф _ * sin а (7.30)
XC~ I ~ 2R a ~ a '
Хусусий ^олда ярим айлана учун (7.30) да а = у эканлиги-
ни эътиборга олсак,
хс=^- = 0,637/?. (7.31)
4. Дойра сектори юзасининг огирлик маркази. Радиуси /?, мар-
казий бурчаги 2а га тенг дойра сектори юзасининг огирлик марка-
зини ани^лаш учун х уцни сектор юзининг симметрия уци буйлаб
йуналтирамиз. 7.14-раемда курсатилганидек сектор юзасини бир
цанча элементар секторлардан ташкил топган деб цараймиз.
бир элементар секторни баландлиги /? га тенг учбурчак деб ^ара-
2
сак, унинг огирлик маркази О ну г; та дан -3-/? масофада ётади. Ен-
нобарин, дойра секторининг огирлик маркази, радиуси -|- /? га тенг
айлана ёйининг огирлик маркази билан устма-уст тушади. (7.30)
га асосан
Ярим дойра учун (7.32) да а=— эканлигини назарда
тутсак,
хс = R = 0,424 /?. (7.33)
107
5. Ярим шар ^ажмининг огирлиц
маркази. Радиуси R га тенг ярим шар
^ажмининг огирлик марказини аниц-
лаш учун z укни симметрия уци буй*
лаб йуналтирамиз, у ,\олда хс — ус ==
= 0 (7.15-раем). (7.15) га кура
Т zc — ~^~^zdV,
(V)
2
бунда V = yn/?3.
z = У У?2— г2 эканлигини назарда тутиб, г, <р, z цилиндрик
координаталарга утамиз ва ярим шар ^ажми V буйича уч каррали
интегрални ^исоблаймиз*’ :
2л R VR2—r2 К
J zdV = у dtp rdr j zdz = 2л У“(7?2 — r2)rdr—
(V) о 'о о о
= л IР2 — г2-— г’ ]К — — л/?4.
12 4 ]0 4
Шундай ^илиб, ярим шарнинг огирлик маркази
3 1 ™ 3 п
гг =---— л /?4 = — R. /7 34)
С 2лР 4 8 U '
формуладан аницланади.
б. Дсиравий конус ^ажминингогирлик маркази. Асосииипг радиу-
си R ва баландлиги И га тенг конуенпнг огирлик марказини аниц-
лаш учун z у^ни конуснинг симметрия уци буйлаб йуналтирамиз.
7.16-раемда курсатилганидек, конусни асосига параллел кесимлар
билан чегараланган, ^ажми dV га тенг элементар булаклардан
ташкил топган деб
*) Пискунов Н С.
а., 13-§. 215-бет.
цараш мумкин. У ^олда
dV — ^-^.RZdz, V= — nR2H
3
булгани учун (7.15) га асосан
н
JzJV
(V)___
V
Ь—т—Ridz 1
0--------------=~г^- (7-35)
— л/?а Н
3
j _ грглиб, доиравий конус уажмининг
1 огирлик маркази унинг асосидан баландликнинг
1 4.
— цисмича масофада етади.
4
Бу натижани ихтиёрий конус учун ^ам
умумлаштириш мумкин.
Дифференциал ва интеграл з;нсоб. Уцитувчи Т., 1974, II
2с
Шундай
108
Ясси эгри чизиуни унинг текислигида ётувчи ва
майдиган у^ атрофида айлантириш натижасида
7.5- §. Гюльден теоремалари
Ц]веД астрономи Г. Ггольден (1841—1896) исботлаган цуйидаги
теОремалар чизи!$ ва юзанинг огирлик марказини аницлашга таал-
луклидир.
1- теорема,
„ни кесиб ут.
олинган жисмнинг. сирти мазкур чизицнинг узунлиги билан бу чизиц
ofup'iuk маркази чизган айлана узунлигининг купайтмасига тенг.
Цсбот. хОу текислигида ётувчи, Оу уцни кесмайдиган ва узун-
лиги I га тенг АВ эгри чизиц кесмаСи берилган булсин (7.17-раем).
/В эгри чизицни жуда кичик dl булакларга буламиз. dl кесмани
Оу уц атрофида айлантириш натижасида хосил булган сиртнииг
юзасини иккинчи тартибли чексиз кичик мицдоргача аницлик билан
цилиндрик сиртга тенг деб олиш мумкин;
dS = 2л xdl.
АВ эгри чизицнинг айлаиишидан ^осил булган сирти топиш учун
охирги ифодани интеграллаймиз:
S = 2 л f xdl.
Й)
(7.23) га кура \ х dl = хс1, бунда хс билан АВ эгри чизиг; кес-
(Л
маси огирлик марказининг координатасн белгиланган.
Шундай ци-пиб,
S —2 л. хс1. (7.36)
(7.36) дан берилган ясси эгри чизи^ огирлик марказининг коор-
динатасини аницлаш мумкин:
хг — —----.
с 2я1
2- теорема. Ясси фигурани унинг текислигида ётувчи ва уни
кесиб утмайдиган у^ атрофида айлантириш натижасида олин-
ган жисмнинг цажми, мазкур фигура юзаси билан бу фигура
7.17- раем.
7.18- ррсм.
орирлик маркази чизган айлана узунли-
гининг купайтмасига тенг.
Исбот. хОу текислнгида ётувчи, Оу
уцни кесмайдиган ва юзаси S га тенг
ясси фигура берилган булсин (7.18- раем).
Берилган ясси фигура юзасини жуда ки-
чик dS юзачаларга буламиз. dS юзани
Оу уц атрофида айлантириш натижасида
^осил булган жисмнинг >;ажми иккинчи
тартибли кичик микдоргача аинцлик би-
лан цуйидагича ифодаланади:
dV = 2л х dS,
7.19- раем.
юзани Оу атрофида
бунда х билан dS юза огирлик маркази-
нннг координатаси белгиланган. Берилган
айлантириш натижасида олинган жисмнинг
^ажмн
V = 2nJxdS
(SI
формуладан аницланади. (7.19) га биноан, (xdS = .vcS. Бунда хс
' S
билан ясси фигура огирлик марказинииг координатаси белгиланган.
Шундат цилиб,
|/=2лхс$. (7.37)
(7.37) дан берилган ясси фигура огирлик
марказинииг коорди-
натасини аниклаш мумкин:
V
2 л S'
7.3-масала. Ра.тиуси R ва марказит сурчаги ‘2а га тент Гушан А1,В а та-
на ёйини Он ук атрофида айлантириш натижасида олинган сиршнш юзаси дам-
да иприхлаиган сегментни Оу ук атрофида айлантириш натжасида \оснл бул-
ган жисмнинг хажмн апшутансин (7.14-раем).
R si net
Ечиш. (7.30) га кура айлана ёйиниш координласи хг =------- а":ла,,а ё и-
а
нинг узуилиги I = 2Ra.
хс ва / нинг цийматини (7.36) га ку "иб, изланаётган сирт юзасини аницлай-
миз:
S = 1 л R‘ sin а.
Сегментни айлантириш натижасида уюил буладиган жисмнинг ^ажми V ни то-
пит учен дастлаб сегментнинг огирлик марказини аншулаймиз. Illy мацсадда ман-
фи । юза усулидан фойдаланамиз. Берилган сегментни юзаси S, = R* а га теиг
доиравий сектордап ва S, =—-^-•'2R sin a-R cos a~—R4 sin a cos а манфи i юза-
ли ОАВ учбурчакдаи иборат деб кара"мнз. (7.26) га асосан
*Т^1 + x2S2 (1)
*с= д . с ’
“Г г,2
2 R sin a
бунда х, =-----------------доиравии сектор огирлик марказинииг коор-
110
2
дНцатаси; х2 — — Rcosa — ОАВ учбурчак юзасининг огирлик мар-
кази.
Si, S2 ва лу, х2 ларнинг ^ийматини (1) га ^уйсак,
2 2
--R3sina—-----R3 sin a-cos2cx
3 3 2 „ sin3 a
V = ----------------------------- — - fi ----------
R2 a—Resina-cos a 3 a—sinacosa
Сегмент юзаси S = S, — S2 = A?2 (a — sina • cos a).
(7.37) га асосан изланаётган V хажмни аницлайми :
V ~ C2.nxr-S = —jr/^sir^a.
с 3
1Д
II КИНЕМАТИКА
8-б о б. НУЦТА КИНЕМ АТИКАСИ
8.1-§. Асосий тушунчалар
Назарий механиканинг кинематика булимида нуцта ва абсолют
цатти^ жисмнинг механик ^аракати фацат геометрик ну^таи назар-
дан, яъни уларнинг массалари ва таъсир этувчи кучларга богли^сиз
равишда урганилади.
\аракат тушунчаси ^аракатланувчи жисм (объект), вацт ва фазо
тушунчалари билан чамбарчас боглицдир.
Фаза (макон) бир ва^тда мавжуд булган объектларнинг жойла-
шиш тартибинн ифодалайди. Ф. Энгельс бундай деган эди: «Кар цан-
дай борлицнинг асосий формалари макон ва ва^тдир» Классик
механикада моддий жисмларнинг харакати уч улчовли Евклид фазо-
сига нисбатан текширилади ^амда фазо абсолют цузгалмас деб кара-
ла ди.
Жисмнинг механик \аракати бош^а бирор жисм билан бирикти-
рилган ва саноц системаси деб аталувчи координат алар системасига
нисбатан текширилади. Сайоту системасини шартли равишда цузгал-
мас деб олиш ёки ^аракатдаги жиемга бириктирилган деб ^араш
мумкин.
Моддий нуцтанинг санок системасига нисбатан ^аракатини урга-
ниш учун унинг координаталарини вацтнинг функцияси сифатида
аницлаш керак. Жисмнинг саноц системасига нисбаган ^аракатини
урганишда эса мазкур жисм нуцгаларининг координаталари билан
бирга бурчак ксординаталарини ^ам киритишга тугри келади.
Назарий механикада узунлик биэлиги сифатида СИ системасида
метр (м), бурчак координаталари бпрлиги учун радиан (рад) ^абул
цилинган.
Агар жисм барча нукталарининг координаталари танлаб олинган
canoi^ системасига нисбатан доимо узгармасдан цотса, у ^олда жисм
мазкур системага нисбатан тинч ^олатда булади. Агар ва^тнинг утиши
билан жисм нукталарининг координаталари танланган caiioi^ система-
сига нисбатан узгара борса, жисм шу системага нисбатан ^аракагда
булади. Жисм бирор санот; системасига нисбатан ^аракатда булса,
* ) Энгельс Ф. Анти Дюринг. Т., Узлявнашр, 1957 й. 65-5ег
иккин'.и санок системасига нисбатан тинт х,олатда беляши мумкин.
Шу нуцтаи назардан харакат тушун iacii нисбий характерга эга.
Вакт объектив борлнкда руй берувчи ^однеаларнинг г^апча да-
ром этишини ифодалайди. Назарий механикада пакт барча саноц
системалари учун бир хилда утади ва бир системанинг иккинчи сис-
темага нисбатан уаракатига боглиц эмас деб ^исоблапади, яъни вакт
абсолют деб царалади. Балтии улчаш учун табнатда учрайдигаи ва
даврий такрорланувчи ^одисалардан (масалан, Ериинг уз уци атро-
фидаги айланишидан) ёки сунъий усулда ,\осил килинадчган даврий
такрорланувчи процесслардан (масалан, соат маятнигининг тебранма
уаракатидан) фойдаланилади.
Дастлаб вацтнинг энг кичик бирлпги учун бир йилдаги уртача
I
Дуёш суткасининг 24 зеоо булагига тенг вацт—секунд цабул килин-
ган эди. Кузатишлар натпжаси Ернинг уз уки атрофидз суткалик
айланиш вацти узгариб бориши аникланди. Сунгра СИ системасида
вакт бирлиги бир секунд (1с) учун 1900 тропик йилнинг q?'4-7
булагига тенг катталик олинган. Вацт одатда t билан белгиланади.
Вацтни улчаш бошлангич найтдан (масалан, t = 0 дан) боитлаб
уисобланади. Вацт икки маънода: берилган он (найт, масалан,
соат 5) ва маълум вацт оралиги (масалан, 4 соат давомида) тарзида
ишлатилади. Вацт бир улчамли ва у орцага цайтмайди, яъни
вацт утмишдан келажакка карай рпвожланади деб .уисоблайми?..
^аракати урганилаётган жиемни бир цанча нуцталар тупламндан
иборат деб цараш мумкин. Шу сабабли кинематпкада аввало айр.чм
ну^танинг уаракатп урганилади.
Танлаб олинган саноц системасига нисбатан нуцтанннг уаракатп-
ни урганиш унинг шу системага нисбатан бирор вацт оралигидаги
траекториясини ва хар ондаги тезлик хамда тезланишини аниц.:?..’Д
масаласидан иборат. Нуцта даракатлангапда унинг берилган сш-.ок
системасига нисбатан чизган узлуксиз чизири нуцтанинг траекпю-
рияси дейилади. Агар нуцта траекториям турри чизицдан иборат
булса, унинг харакати тигри чизи^ли харакат, траекторияси эгри
чизик, булса, эгри чизицли \аракат дейилади.
Нуцга ^аракати урганилаётганда унинг кучиши тушунчасига дуч
келинади. I у^танинг ^аракати ва кучиши тушунчаларини бир-бири-
дан (фарц цилиш керак. Нуцтанинг кучиши унинг бошлангич ва
охирги холатлари \амда вак,т оралиги билан аницланади, бунда
нуцтанинг аввалги уолатдан кейинги ,\олатга цандай усул билан
У1иши эътиборга олинмайди. й'аракат тушунчаепда эса ну^танинг
бир ^олатдан иккинчи .хотатга рактга боглиц равишда цандай усул
билан утгани, яъни бошлангич ва охирги пайтлар орасидаги истал-
гаи вацт учун фазодаги урни \исобга олипали.
Нуцта кинематикасида цуйидагн икки асосий масала курилади:
1) берилган санок системасига нисбатан нуцтанинг харакатнни ма
тематик усулда ани^лаш; 2) нуктаиинг берилган харакат ценуиига
8—2282
кура мазкур ^аракатнинг барча кинематик характеристикалари
(траектория, тезлик, тезланиш ва ^оказолар) ни аницлаш.
Кинематика булимини урганишни векторнинг скаляр аргумент
буйича ^осиласини аншутащдан бошлаймиз.
8.2-§. Векторнинг скаляр аргумент буйича ^осиласи
Скаляр аргумент t нинг функциясндан иборат булган :\амда
мицдор ва йуналиш жи^атдан узгарувчи а вектор берилган бул-
ей н:
я=7(/), (8-D
бунда а векторни t аргументнинг узлуксиз ва бир цийматли функ-
цияси деб цараймиз.
Аргументнинг t2, t3, . . . цийматларида а вектор мос равишда
а, =й(/1), а2 = а(/2), a3 = a(l3), . . . катталикларга эга булсин. Агар
бу узгарувчи векторларнинг бошини бирор цузгалмас О пуцтада
олсак, уларнинг учи фазеда векторнинг годографи деб аталувчи
Д^ А.2, А3 ... чизицни чизади (8.1-расм).
Вектор годографи тенгламасини Декарт координаталар система-
си орцали ифодалаш учун О нуцтада Декарт координата укларини
\тказиб, (8.1) ни бу у^ларга проекциялаймиз (8.2-раем):
х = ах (/),
у = ау (0.
z = аг (/).
(8-2)
(8 2) тенгламалар системаси радиус-вектор ,осографининг парамет-
рик тенгламалари дейилади. (8.2) дан I параметрни йуцотиб, годо-
граф тенгламасини икки цилиндрик сиртнинг кесишган чизиги тар-
зида ифодалаш мумкин. Масалан, (8.2) нинг учинчи тенгламасини
ва^тга нисбатан ечиб,
/=ф(2)
муносабатни олайлик. Буни (8.2) нинг биринчи иккита тепгламасига
цуйиб
x = h{z), y=fz(z)
114
ёки
q>i(x, z)=0, ip2(z/, г) = О (8.3)
системами оламиз. (8.3) нинг биринчиси годографнинг Охг текис-
ликдаги, иккинчиси Оуг текисликдаги проекциясини ифодалайди
(8.3-раем). Шундай килиб, годографни ясовчилари Ох ва Ог уц-
ларга параллел ва асослари (8.3) тенгламалар билан ифодаланадиган
цилиндрик сиртларнинг кесишган чизиги деб цараш мумкин.
Узгарувчи а вектор аргументининг бир-бирига яцин t ва t-\-\t
га мос келувчи цийматларини а = a(t) ва аг = билан
белгилайлик (8.4-раем), а ва ах векторларнинг учларини туташти-
риб, цуйидаги муносабатни ёзамнз:
ах = а + Аа
ёки
Аа — at — а.
Бунда А а вектор а векторнинг аргумент At га узгаргандаги орт-
тирмасини ифодалайди.
—>
—— нисбатнинг A t нолга интилгандаги лимита а векторнинг
A t
t скаляр аргумент буйича \осиласи дейилади. Шундай ^илиб,
da .. А а
---= ат------.
di
(8-4)
м-»о At
векторнинг йуналишини аницлаймиз. At мусбат скаляр гат-
талик булгани учун - вектори Да буйича, яъни годографнинг АВ
кесувчиси буйлаб йуналади. At нолга интилган лимит холатида ке-
115
сувчи А ну^тада годографга утказилган Ax уринма буйлаб йуна-
лади.
Демак, векторнинг скаляр аргумент, буйича \осиласи мазкур
векторнинг годографига утказилган уринма буйича йуналган век-
тор билан ифодаланади.
(8.4) га асосан, векторнинг скаляр аргумент буйича ^осиласи
^уйидаги хоссаларга эга:
). Агар а вектор ми^дор ва йуналиш жихатдан узгармас (а =
— const) булса, у ^олда —- = 0.
2. Векторлар йигиндисининг ^осиласи векторлар ^осилаларининр
йигиндисига тенг:
d (a f>) da . db
dt dt dt
3. Векторларнинг скаляр ва векторли купайтмалари
учун
утсиласи
б/ / 1 \ d d t । F d Ь
-—(а- Ь) =~Ь+[а -—,
dt dt dt
—** ______ —>*
d / d ci ? , , d b
(a X b) = — X b + aX —
dt di di
муносабатлар уринли булади.
4. Агар X = const булса,
d (la) .da
= Л .
dt-----------dt
8.3-§. Ну^та ^аракатини аницлаш 5 с ул лари
Нуцтанинг бирор саноц системасига нисбатан исталган вацтдаги
и^олатини аницлаш усули маълум булса, унинг харакати аницлан-
ган ёки берилган дейилади; нуцта-
нин г ^аракатинн аницловчи ифода
унинг харакат тенгламаси ёки
Харакат хрнуни дейилади.
Ну^танинг ^аракати асосан цу-
йидаги уч усулда аницланади:
1) вектор усули; 2) ксордпната-
лар усули; 3) табиий усул. g
1. Вектор усули. М нуцта к\з-
ралмас Охуг координаталар систе-
масига нисбатан ^аракатда булсин.
О ва М нуцталарни туташтнриб, М
нуцтанинг г = O.W радиус-вектори-
ни ^осил ^иламиз (8.5-расм). Л1
нуцта ^аракатлангаила вацт утиши
116
билан унинг радиус-вектори г микдор ва йуналиш жихатдан уз-
гара боради. Агар нуцтанинг радиус-вектори ва^т функцияси сифати-
дз ани^ланган ёки берилган булса, яъни
У= ^1) (8.5)
маълум булса, пуктанинг фазодаги ^олати исталган пайтда аник бу-
лади. Бунда куриладиган масалалар учун r(t) функция бир кий-
матли, узлуксиз ва камида иккинчи тартибли ^ссилага эга деб ца-
раймиз. (8.5) нуута ^аракатининг вектор куринишидаги кинематик
тенгламаси дейилади. У нукта траекториясининг векторли тенгла-
маси булиб, нуцтанинг харакат ^онунини ифодалайди. Нукта хара-
катининг шу тарзда ани^ланиши (берилиши) унинг вектор усулда
ифодаланшии дейилади.
г радиус-вектор учидаги М нуцтанипг геометрик урни унинг тра-
екториясини, радиус-векторнинг эса годографини ифодалайди.
Агар г = comt булса, А1 нукта олинган санок системасига нис-
батан тинч .уолатда булади.
2. Координагалар усули. Дастлаб нуцтанинг ^олатини тугри бур-
чакли Декарт координаталар системасига нисбатан анпцлаймиз. Хара-
катдаги М. нуцтанинг координаталарини х, у, г билан белгилаймиз
(8.5-расм). Ну^та каРакатланганда вакт утиши билан унинг ко-
ординаталари узгара боради, яъни х, у, z координаталар вацтнинг
бир к^йматли функциясидан иборат булади:
X = X (/),
У = У (0.
z = z (0
(8-6)
Агар (8.6) тенгламалар берилган булса, нуцтанинг исталган пайт-
даги колатини анн^лат мумкин. (8.6) функционал муносабатлар во-
ситасида нукупанинг \аракатини аницлаш уни координаталар усу-
лида ифодалаш дейилади. (8.6) ифодалар нуута \аракатининг Де-
карт координаталаридаги кинематик тенгламаларини ифодалай-
ди.
(8.6) тенгламалар нукта траекториясининг параметрпк тенглама-
ларини ифодалайди. Бунда параметр сифатида t вацт олинган.
(8.6) дан t вацтни йукотиб, нукта траекториясининг тенгламасини
олиш мумкин.
М нуктанинг О координаталар бошига нисбатан радиус-вектори-
ни г, координата уцларининг бирлик йуналтирувчи векторларини I,
j, k билан белгиласак,
г = х i + у j -yzk (8.7)
Уринли булади. (8.7) тенглик ^зракатнинг векторли ва Декарт ко-
ординаталари оркали аниклаш усуллари орасидаги богланишни ифо-
далайди.
117
Агар М. ну^та Оху текислигида ^арака маиса, унинг харакати
х=х(/), y=y(t) (8.6, а)
тенгламалар билан аницланади.
Нуктанинг тугри чизикли ^аракатини битта
x=x(t) (8.6, б)
координата билан аницлаш мумкин.
Хара катни Декарт координаталаридан ташкарп цилиндрик ёки
сферик координаталар системасида ^ам аницлаш мумкин. Агар нуц-
та бир текисликда ^аракатланса, цутб координаталар системасидан
фойдаланиш мумкин.
Цилиндрик координаталар системасида нуктанинг уплати р
радиус, ф бурчак (кенглик) ва г аппликата билан ани^ланади (8.6-
расм, а). Агар
Р=Р(О. Ф=ф(/), ?=?(/) (8.8)
берилган булса, нуктанинг харакати цилиндрик координаталарда
аникланган булади.
Сферик координаталар системасида нуктанинг холати цутб ра-
диуси г, кенглик бурчаги ф ва цутб бурчаги 0 билан аницланади
(8.6- раем, б). Агар
г = Г (f), q>=(p(t), 0=0 (t) (8.9)
берилган булса, нуктанинг ^аракатини сферик координаталарда
аницлаш мумкин.
Харакат цутб координаталарида ани^ланиши учун цутб радиуси
г ва цутб бурчаги ф вацтнинг функцияси сифатида берилиши керак
(8.6- раем, в).
ф=ф(/). (8.10)
Декарт координаталарини цилиндрик ва сферик координаталар
ортали мос равишда ушбу формулалар ёрдамида ифодалаш мумкин:
118
x=pcosrp, #=psin<p, z—z\ (8.11)
x=r ccs 0 ccs (p, i/—r cos 0 sin cp, z=rsinO. (8.12)
Декарт ва цутб координаталари бир-бири билап
х—rcostp, y=rsin<p (8.13)
тенгламалар воситасида 6cfланган.
3. Табиий усул. OjXyz координаталар си гемасига нисбатан
эгри чизикли ^аракатдаги ну^та траектсриясинпнг тенгламасини
А (х, у, z)=0, f2(x,y,z)=0 (8 14)
сиртларнинг кесишган чизиги деб караш мумкин (8.7- раем, а). (8.14)
траектория тенгламасини ифодалайди, бу тенгламалар ёрдамнда
нуктанинг ^аракатини аниклаб булмайди. Чунки вацтнинг утиши
билан мазкур траектория буйича нуг^та турлича крнуша кура ха-
ракат ^илиши мумкин. Бошг;ача айтганда, эгри чизицда саноц боши
учун олинган цузгалмас О нуцтага нисбатан ^исобланган М нук-
танинг ёй координатаси s ва^тпинг утиши билан турлича узгариши
мумкин (8.7- раем, б). Нуктанинг траектерпядаги холатини бир
^ийматли ани^лаш учун ёй координатасининг мусбат ва манфий
йуналишларипи (чизмада «+» ва «—» ишора билан) оламиз.
Агар траектория тенгламаси ^амда нукта ёй координатасининг
вацт утиши билан узгарншинн ифодалайдиган
s=s(/)
(8.15)
муносабат маълум булса, нуктанинг ^аракатини тули^ аниклаш
мумкин. Бунда s(/) ва^тнинг бир ^ийматли, узлуксиз ва дифферен-
циалланувчи функциясидан иборат.
(8.15) тенглама нуктанинг траектория буйлаб ^аракат цонунини
ифодалаиди.
(t, s') текислигида s=s(t) муносабатни ифодалевчи эгри чизиц нук-
танинг \аракат графиги дейилади.
Нуктанинг ^аракатини (8.14) ва (8.15) тенгламалар воситасида
аниклаш унинг табиий усулда аницланиши дейилади.
Шундай цилиб, нуктанинг царакагпини табиий усулда аник-
лаш. учун-. 1) танланган координаталар системасига нисбатан траек-
тория тенгламаси (8.14); 2) траекторияда санок боши учун олинган
Кузгалмас О нуг;та х;амда ей ко-
ординатасининг мусбат ва ман-
фий йуналиши; 3) нуктанинг
траектория буйлаб ^аракат цону-
нини ифодалевчи (8.15) тенглама
берилган булиши керак.
Нуктанинг ёй координатаси
s билан траектория буйлаб ут-
ган йули о доимо бир хил бу-
лавермайди. Агар s=s(/) функ-
ция t ва^тнинг монотон функ-
циясидан иборат булса, яъни
119
о = V, | Д s
V
I
ну^та доимо бир йуналишда ^аракатланса, ёй координатаси билан
утилган йул устма-уст тушади. Нуцта бошлангич t0 вацтда 7И0 же-
латин, Д вактда М ^олатни эгалласин (8.7-раем, б). tY —t0 вадт
ичида утилган йулни топиш учун уни жуда кичик A/V(v=l,2, ... ,п)
шундай вацт оралидларига буламизки, дар бир оралидда нудтанинг
фадат бир хил йуналиши мос келсин. A/v га мос келган ёй коор-
динатасининг орттирмасини Д sv билан белгилаймиз. Нудтанинг утган
йули о мусбат катталик булиб
(8.16)
формула ердамида анидланади. Йул узунлигини дисобзаппа интег-
ралли ифода дам мавжуд. Уни кейинрод келтирамиз.
8.1- масала. М нудта
х=5 sin 10 t, j/=3cos 10 < (1)
донун (бунда х, у лар метрда, t—секундда улчанади) асосида даракатланади,
Нудтанинг траекторияси ва бошлангич пайгдаги долати анидлансин.
Ечиш. Нудта траекториясининг тенгламасини топиш учун (1) дан вадт t ни
йудотамиз. Бунинг учун (1) ни
х и
-— = sin 10 t, — =cos 10t
5 3
шаклида ёзамиз. Бу тенгламаларнинг иккала томонини квадратга ошириб, бир-
бири билан душамиз. Натижада
куринишдаги траектория тенгламасиии оламиз. Бинобарин, нудта ярим Удлари
5 ва 3 га тенг эллипс буйлаб даракатланади (8.8- раем). Нудтанинг бошлангич
пайтдаги долатини анидлаш учун (1) га t=0 дийматни д</йсак, х0=0, у0—3 бу-
лади. Шундай дилиб, нуцта бошлангич пайтда Оу $дда Мо (0; 3) долатни
эгаллайди.
8.2- масала. Радиуси г га тенг гилдирак раем текислигига перпендикуляр
булган ва гилдирак марказидаги О нуцтадан утувчи уд атрофида <р=а> t (бунда
a>=const) донун буйича айланади. Гилдирак гардишидаги М нудтанинг Декарт
координаталаридаги ва вектор куринишидаги даракат тенгламаси анидлансин
(8.9- раем).
8.9- раем.
.120
Ечиш. Координаталар бошини айланиш
бкидаги О нутугада олиб, координата уцла-
пини раемда курсатилганидек йуналтирамиз.
Нуцтанинг бошлангич ^олатнни /Ио, ихтиё-
рий вактдаги ^олатнни М билан белгилапмиз.
радаус-векторнинг холатини Ох у с;дан
мусбат (соат стрелкаси айланишига тескари)
йуналишда )\исобланадиган ср бурчак билан
аницлаймиз. М нуцтапинг координаталарини
х, у билан белгилаймиз.
М нудтанинг харакат тенгламасини анш(-
лаш учун шу х, у ни ва1\1нннг функциям
сифатида ифодалаш керак. Раемдан:
х=0М coscp, у—ОМ sin ср.
Бунда 0M=r, <p=mt булгани учун нутуга-
нинг изланаётгап харакат сенгламаларини т,у-
йидагича ёзамиз:
х—/-cosco/, y=r sin u>t.
(I) нинг хзр иккалаенни квадратга ошириб, уларни цушсак, ну к, та траектория-
сининг х!-(-1/2=г2 тенгламасини >рсил циламиз. Шундай цнлиб, гилдирак туги-
нида ётган нутуганипг траекторияси радиуси г га тенг ва маркази О нучугада
ётувчи айланадан иборат.
Нукта тутракат тсигламасининг векторли ифодасини чит,ариш учун (8.7) дан
фойдаланамиз:
8.10- раем.
(1)
г — х i -|- у j=r (cosco/- i -|- sin со t- j).
Турри бурчакли т,илиб эгилган BCD стержень шундай \аракат-
В нуктаси вертикал чизиц буйича сирпапади, CD цнеми доимо
8.3- масала,
ланадики, унинг
л
А т,узгалмас иуцтадан утадн. ср бурчак эса (8.10- раем) О^ср^-^- оралицда
<р—/? / цонунга кура узгаради. ВС=ОА=а деб олиб, С нуцтанинг харакати ва
траекториям тенгламаси аннклансин.
Ечиш. С нуцта харакатинн Оху координаталар системасида апнцлаш учун
унинг координасалари x—OL ва y—CL лар nai\i утиши билан цандай узгари-
шини текширамиз. Берилган раемдан х— ВС cos ср ёки х— a cos kt эканлигини
топам из.
BCD—90° эканлигидап LCA= ср. ALC учбурчакдан CE=ZLctgcp. Раемдан
AL—OA—0L—a(l—coscp), шунинг учун у—а(1—coscp). etgср ёки
у = а (1 —-cos k t)-etg kt. (1)
kt
Маълумки, 1—cos k /=2sin2 —. Буни пазарда тутиб, (1) ни цуйидагича ёзамиз:
kt cos k t
y = a-2 sin2 — -
2 sinfeZ
kt cos k t
— 2a sin3— •------------------
2 „ kt kt
2 sin — • cos —
2 2
ёки
у = a cos k
kt
s 2
Шундай килиб, (? лутуганинг танлаб олинган Декарт системнейдаги \?.ракати
х—а cos k t,
kt
y=acos kt-tg—
(2)
тенгламалар билан анидланади.
121
Hyt£ra траекторияси тенгламасини уэсил цилиш учун (2) дан t нн йукотиш
л
еарур. 0< <р С — да
kt . / 1—cos k t
& 2 V 1+cosfeZ
уринли эканлнппш эътиборга олиб, (2) ни |\уйидагича ёза оламиз:
*=о cos k t,
I — cos k t
1 4- cos k t
Бу гепгламаларнинг биринчисини иккинчисига цуйсак,
ёки
уг а—х
х‘ a-j-x
(0<хС°)-
(3)
Шундай цилиб, С нуцтанинг траекторияси (3) тенглама билаи аницланадн ва
раемда тасвирланган С]СС2Л строфоида ёйидан иборат булади.
8.4- §. Нуцтанинг тезлиги
1. \аракати вектор усулида берилган ну^танинг
тезлиги.
Нуцтанинг ^аракати вектор усулда г = г (/) тенглама билан
берилган булсин. Нуцтанинг бирор t пайтдаги траекторияда эгал-
лаган ^олатини М, радиус-векторини г, пайтдаги ^олатини Мг
радиус-векторини гх билан белгилайлик (8.11-раем). Нуцтанинг М
ва Мг ^олатларини туташтирувчи = Дг векторнуктанингi\t=
=11—t вацт оралигидаги кучиш
вектори дейилади. Раемдан ку-
риниб турибдики, Tj=r-(- /V. Бун-
дан нуктанинг А/ вакт ичидаги
кучиши (радиус-вектор орттирма-
си) ни топиш мумкин:
Аг = гг—г.
Кучиш вектори Аг нинг шу
кучиш содир буладиган А/ вацт-
га нисбати нуцтанинг мазкур
ва^т оралигидаги дртача тезлик
вектори дейилади ва билан
белгиланади:
6.11- раем.
>22
->- Аг
— д/
Бундин Д? мусбат скаляр мицдор булгани учун уртача гезлик век-
тори Дг = МД11 вектор буйича, яъни М нуцтанинг ^аракат йуна-
лишида ЛШ, кесувчи буйлаб йуналади.
Нукта уртача тезлик векторининг At нолга ннтилгандаги ли-
мита нуктанинг берилган ондаги тезлик вектори дейилади ва
билан белгиланади.
v = Нт
Д1-0 м
I К и
яъни нуктанинг тезлик вектори унинг радиис-векторидан ва^т
буйича олинган биринчи тартибли хосигага тенг.
Юцорида курганимиздек, вектор функциянинг скаляр аргумент
буйича \осиласи мазкур вектор годогра[)ига уринма бунта йуна-
лади; М нуцтанинг траекторияси ва г радиус-вектор годогра Ьи
устма-уст тушади. Шу сабабли берилган пайтдаги тезлик векюри
нуцта траекториясига \аракаг йуналиши буйича утказилган урин-
ма буйлаб йуналади.
Нукта тезлигининг мотулини | и \ ёки v билан белгилаймиз.
Умумий долда нуктанинг берилган ондаги тезлик вектори v радиус-
~d Ir I «
вектор г нинг мсдулидан олинган ——L >;осилага тенг булманди.
d t
^ацицатан ^ам, агар нутута радиуси г га тенг айлана (ёки с |>сра)
буйлаб харакатланса, унинг айлана марказига нисбатан радиус-век-
тори г фа^ат йуналиш жихатдан узгаради. Шу сабабли нуцта
—>>
айлана буйлаб >;аракатланганда v — Ф0, лекин айлана учун
|7j = const булганидан = 0. Бинобарин,
(8.17J га асосан тезликнинг улчов бирлигини аницлаймиз:
[узуклик] L
[saffm] Т
123
СИ бирликлар системасида тезлик улчов бирлиги м/с дан иборат.
2. \аракати координаталар усулида берилган нуктанинг тез-
лиг и.
Нуктанинг ^аракати Декарт координаталарида (8.6) тенгламалар
ортали берилган булсин. Ну кд а тезлиги векторининг координата
уцларидаги проекцияларини vx, vy, vz билан белгиласак, у ^олда
^уйидаги тенглик уринли булади:
v — vx i + vy j + v, k, (8.18)
бунда /,/, k цузлалмас координата уцларининг бирлик йуиалтирув-
чи векторлари мицдор ва йуналиш жи\атвдан узгармас булади.
(8.17) га кура (8.7) дан вацт буйи ia \осила олсак, тезлик
вектори учун яна куйидагн иродага эга буламиз:
Бу тенглпкни (8.18) билан сотиштириб, тезликнинг координата ук-
ларидагп проекцияларини анпцловчи ушбу формулаларга эга бу-
ламиз:
dx dy • dz-
Vl=dt=x, Vy=~t = у, v2 =- = г. (8.19)
Шундай цилиб. нукта тезлигининг бирор кДзкалмас Декарт
координата йцидаги проекцияси уаракатланувчи нуктанинг шу
у!\ка мос клюрдинатасидан вакт буйича олинган биринчи ^осилага
тенг.
Нукта тезлигипипг координата уцларидагн проекциялари маъ-
лум булса, унинг модули
° = 17 = | GRRR (8.20)
формуладан, йуналиши эса
* ^’х г ^2
cos (с, х) = — , cos (ц, у) = —, COS (у,2)=”^ (8.21)
формулалар ёрдамнда аникланади.
Агар нуцта Оху текисликда ^аракатланса, (8.19)—(8.21) форму-
ла ларда о2=0 деб каралади.
Агарда ну^та тугри чизикли уаракатда булса, бу ^аракатни
битта (8.6, б) тенглама билан ани^лаш мумкин. Бу ^олда (8.18)—
(8.20) формулаларда у = г = 0 булиб, тезлик вектори Ох буйи-
ча йуналади ва унинг бу уедаги проекцияси
dx
Vx=^X = Yt
формуладан аникланади.
Агар х>о булса, нуцта тезлик вектори v нинг йуналиши Ох
уцнинг мусбат, х < 0 да уг;нинг манфий йуналишига мос тушади.
124
Нудта бир текисликда даракат-
панганида унинг даракати ва тезли-
гини дутб координаталар система-
сида дам аниклаш мумкин. Агар г
радиус-векторнинг бирлик вектори-
нН~г° билан белгиласак,
уринли булади
даракатланганда
ва
(8.12-
унинг
йуна-
сабаб-
8.12- раем.
муносабат
раем).
Нукта
радиус-вектори микдор
лиш жидатдан узгаради. Шу
ли г ва г° лар вактнинг фуикциясидан иборат булади. Буни назар-
да тутиб, (8.17) дан вакт буйича росила олсак, нуктанинг тезлиги
учуй
dt
d г -> dr°
dt Г dt
(8.22)
муносабат келиб чикади. ни аницлаш учун Оху текисликда г° век-
dt
торга перпендикуляр булган ва ф бурчак ертадиган томонга вунал-
——>- —*
ган р° бирлик векторни киритамиз. г° ва р° векторларни Декарт
коорднпаталарининг бирлик йуналтирувчи векторлари i, j дамда ф
бурчак ордали дуйндагича ифодалаш мумкин (8.12-раем).
—
г° = соэф- i ф- sin ф • /,
p = cos
• i 4- sin
/ = — sin <p • i + cos ф • /.
Бу муносабатларнн назарда тутиб, г° ва р° нинг
дост 1ласини дисоблаймиз:
d г“ . . Т "Д d<p d(p~S
----— (—sin ф • z 4" cos ф /) — = —-С р •
dt--dt dt
d p° , "Г , . d ip dq>
(соэф-z +sinq)-/)-^=--if .
az dt dt
Бу тенгликларнинг биринчисига кура (8.22) ни
-* _ “5 , <*Ф -
v ~~d7r
курипишидт ёзтмнз. (8.24) формула ёрдамнда нуцтанинг
векторини узаро перпендикуляр булган г° ва р° векторлар
шидаги иккита vr = rrc ?= -....- -----------
вацт
буйича
(8.23)
(8.2
О
тезлик
йунал.т-
ва vp=r(pp'J ташкил этувчиларга ажратиш
126
мумкин. vr тезликнинг радиал
ташкил этувчиси, vp эса кйнда-
ланг ташки t этувчиси дейилади.
v ни г° ва р° йупалишларга проек-
циялаб, радиал ва кундаланг
тезликларнинг алгебраик циймати
аниклападиган
v,
Vp=r(p (8.25)
иродаларни оламиз. vr_Lvp бул-
гани учун тезликнинг модулини
V
=У г24 (Гф)2(8.26)
формуладан ани^лаймиз. Шундай
цилиб, ^аракати кутб координа-
талар снстемасида берилган нуц-
танинг тезлиги (8.24) ва (8.26)
формулалар воситасида аниь;ла-
нади.
3. ХаРакати табиий усулда
ифодаланган нуктанинг тезлиги.
М нуг;та берилган траектория буйлаб s=s (Z) цонун асосида >^ара-
катлансин (8.13-раем).
Нуктанинг уртача тезлиги учун цуйидаги ифодани ёзиш мумкин:
A s
---- »
А/
белгиланган. У ^олда М
v —lim —lim
ы~>о A t д.'-и) \A s
Д г As dr d s
—hm — • lim — — — —
&s--»o Д s A t d s d t
Ar Ar
D. =---- =----- .
yP \t As
бунда As билан ёйнинг узунлиги
нуктанинг берилган ондаги тезлиги
Ar As
A t
форму ладан аницланади. Агар A s>0 булса, А г_ вектори Аг билан
As
бир хил (8.13-раем, a), As<0 да Аг га карама-карши йуналади
(8.13- раем, б). Шу сабабли Аг->0 да A.L векторининг йуналиши
A s
М нуцтада ёй координатаси ортадиган йуналишда траекторияга
утказилган уринмага интилади. Бу
катила бирга тенг булади:
Нт
векторнинг модули лимит \о-
ЛЬ )
d г
a s
Шундай цплиб, вектори микдор жихатдан бирга теиг, йуна-
d s
126
лиши эса нуцта траектсриясига Л1 нуктада ёй координатаси орта-
диган йуналишда утказилган уринманинг йуналиши билан устма-
уСт тушади. Бинобарин, вектори ёй координатасининг мусбат
—>•
йуналиши буйича йуналган уринманинг бирлик вектори т° ни ифо-
далайди.'
dr
-----— т°.
d s
Натижада ^аракати табиий усулда берилган нуктанинг тезлиги
учун ^уйидаги ифодани оламиз:
7=^7». (8.27)
d s -*
(8.27) да jy росила о тезликнинг уринмадаги проекцияси и* ни
ифодалайди ва тезликнинг алгебраик уиймати дейилади:
d s
Цх=-. (8.28)
нинг абсолют циймати тезликнинг модулига тенг булади:
v= vx
ds|
dt Г
(8.27, а)
Бинобарин, ну у та тезлигининг модули ёй координатасидан
вакт бййича олинган хосиланинг абсолют цийматига тенг.
(8.28) га асосан (8.27) ни куйидагича ёзамиз:
v —
Ю^орида курганимиздек, уринманинг бирлик вектори т° доимо
ёй координатасининг мусбат йуналиши буйича йуналади. Агар бирор
ds
паитда “>0 булса, ёй координатаси орта боради ва ну^та тез-
лиги v нинг йуналиши т° билан устма-уст тушади з^амда v = vx ва
“* ~t ds
ь=а-т° булади. Агар ~ < 0 булса, шу пайтда ей координа-
таси s камая боради ва v тезлик вектори т° га ^арама-карши йуна-
лади \амда о=—их ва и =—нт° муноеабат уринли булади (8.13-
ds
раемда ~ > 0 булган з^ол курсатилган).
Нуктанинг утган йули доимо мусбат булгани учун dt ва^т
ичида утилган йул d о = | d s | форму ладан ани^ланади. Шу сабаб-
ли тезликнинг модули учун яна цуйидаги формулани олам з:
I ds I da
(8.29)
127
Агар нуцта тезлигининг модули вацтнинг функцияси булса v =>
e=t>(/), (8.29) дан фойдаланиб, нудтанинг исталган пайтда утган
йулини аииклаш мумкин. Бунинг учун (8.29.) ни dt га купайтира-
миз:
do = v-dt.
Бошлангич пайтда /=0 ва о=0 деб танлаб олиб, охирги тенг-
ламани вацт ва утилган йул буйича интеграллаймиз:
о t
/do == f v(t)dt.
о о
Шундай ^илиб, бирор ва^т оралигида траектория буйлаб утил-
ган йул узунлиги учун
t
O=fo(/)d/ (8.30)
муносабатни оламиз.
Бу муносабат Декарт координаталарида
о = ПЛ x2 + y2 + z2dt, (8 31)
цутб ксорд.ша шларнда эса
I ____________ <р_______________________
о=у|/<г2 + (гф2)2 d/= [1/ г2 4-1 — Y dtp (8.32)
о * \ d(f J
формулалар билан ифодаланади. (8.32) да ф0 ва ф билан бошлангич
ва охирги пайтдаги цутб бурчаклари белгиланган.
Агар ^аракаг давомида нуцта тезлигининг модули доимо узгар-
масдан цолса, яъни v (t) — t’o = const булса, бундай .\аракат эгри
чизикли текис харакат дейилади. (8.30) га кура эгри чизицли те-
кис ^аракатда йул узунлиги учун
о = сп/
формула ^осил булади.
8.4-масала. Нуцтанииг царакати
1
X = vd cos «о, У = sin au —— gP (1)
тенгламалар билан берилган; бу ерда Ох ук горизэнтал, Оу вертикал юкорпга
л
йуналган, и0, g на а0<— —узгармас мшудорлардир; 1) нуцганииг траекто-
рияси; 2) унинг энг юцори ^олатидаги координаталари; 3) нукта Ох укда бул-
ган ва^тидаги тезликнинг координата укларидаги проекциялари тоиилснн.
Ечиш. 1. Харакат тенгламалари (1) дан нац г t ни йу^отнб, нуцтанинг гра-
екториисини аниклаймиз. Бунинг учун (1) нинг биринчи геигламасидан I ни аншу-
лаб, иккинчисига цуямиз:
у=х — Х\
cos 2СХ0
.128
к ифода параболанииг тенгламасидир. Нуд-
Ь иинг траекторияси мазкур параболанинг
та о шартни даноатлантирувчи дисмидан
иборат (8.14-расм)
2. (8-19) га биноан тезликнинг коорди-
ната "удларидаги проекциялари учун ушбу
ифодаларни оламиз:
Vjc = х = v0 cos а0, vy = t>osin а0 — gt. (2)
Нудта энг ю^°Ри ^олатни эгаллаганда
унинг тезлиги х удда параллел булади. Шу
сабабли vy = 0 ёки v0 sin а0 — gti = 0 була-
ди, бунда билан нудта энг юдори долатга
кутарилгунча утган вадт белгиланган. Охир-
ги тенгликдан
ц, sin а0
‘1 —
g
Вадт нинг бу дийматини (1) га дуйиб, нудта энг юдори долатининг коорди-
наталарини анидлаймиз:
2 2
vo
х — —— sm 2а0, у = —_ sin2 а0.
2g 2g
1
3. Нудта Ох укда ётган вадтда у = 0 еки on Т sin а0 — — gT2 — 0 була-
ди, бунда Т билан нудта Ох укда булган вакт белгиланган.
2 v sin а0
Охирги тенгликдан Т, =0, Т2 =---------------- вадтларни аниклаймиз. Т( ==
= 0 вадт нудтанинг бошлангич долатига мос келади. Т( ва Т2 нинг дийматини
(2) га дуйиб, нудта Ох удда булган вадтидаги тезликнинг координата удларида-
ги проекцияларини анидлаймиз:
ол = и0 cos а0, Vy — ± i'o sin а0.
Бунда мусбат ишора нудтанинг бошлангич долатига мос келади.
8.5-масала. Симдап дилинган 0,1 м радиусли далдага М далдача кийгизил-
ган булио, далдача дамда далданинг О иудтасидан ОА стержень утади. Стержень
О нуцта атрофида текис айланади (8.15-расм). Стержень бошлангич пайтда ОАа
^олатни эгаллайди. Стерженнинг О нудта атрофидаги айланиш бурчаги ф вади а
пропорционал булиб, у 5 с ичида тугри бурчакка бурилади. ^алдачанинг тезлиги
анидлансин.
Ечиш. М нудтанинг даракат донунини та- ।
биий усулда анидлаймиз. Масаланинг шартига
кура Ао ОА — <р ни вадтнинг функцияси сифа
тида анидлаймиз: ср = kt, бунда k = const
булиб, пропорционаллик коэффициентини ифо
я
Далаиди: /=5с да ф = булгани учун k =
Бинобарин, ф = 1.
М далдачанинг даракат донуни дуйидаг»
муносабаглар ёрдамида анидланади:
ООгМ = 2 ф, ОА! = s = 2г ф = 0,02 л t.
(8.28) га асосан тезликнинг алгебраик
дийматини дисоблаймиз:
Я—2282
129
ds
t>, = —— =0,02 n м/с.
T dt
ds
^аракат давтмида — = 0,02 п > 0 булгани учун тезликнинг модули
v = vx = 0,02 л м/с.
8.5-§. Нуктанинг тезланиши
1. Даракати вектор усулнда берилган нуктанинг тезланишини
аниклаш. Нукта даракати (8.5) тенглама билан ифодаланган бул-
син. М нуктанинг t пайтдаги тезлигнни V, 1г=1 + А/ пайтдаги >^о-
латини М1 ва тезлигнни Oj билан белгилайлик (8.16-расм). и, тезлик
векторини узига параллел равишда /И нуцтага кучирамиз ва тезлик
векторининг А/ ва^т оралигидаги орттирмаси A v = Vj — v ни топа-
миз.
Тезлик вектори орттирмаси A v нинг А/ вацт оралигига писбати
нуцпшнинг мазкур вагуг оралигидаги уртача тезланиш вектори дейи-
лади ва w. билан белгиланади:
Бунда А/ мусбат скаляр миадор булгани учун тезланиш вектори До
буйлаб йуналади.
Уртача тезланиш векторининг А/ нолга интилгандаги лимита
нуцтани нг берилган ондаги тезланиш вектори дейилади ва w би-
лан белгиланади:
8.16- раем.
Ди
ат------
А/-+0 Д/
ёки
—>
w = —- (8.33)
(8.17) ни эътиборга олсак,
—>
d v d- г ,о о„ .
w =-----—------- (8.33, а)
dt dt2 '
муносабат уринли булади.
Демак, нуктанинг тезланиш
вектори унинг тезлик вектори-
дан еаут буйича олинган бирин-
чи цосилага ёки радиус-вектори-
дан «акт буйича олинган иккин-
чи урсилага тенг.
130
Д4 нукта ^аракатланганда
унинг хар ондаги тезлик век-
торини фазонинг бирор цузгал-
мас О, нуцтасига муттасил КУЯ
борсак, тезлик векторининг учи
тезлик годографи деб аталади-
ган эгри чизикни чизади (8.17-
расм). Тезлик годографини чи-
зувчи А нуктанинг тезлиги.
—>-
% d v
V = W = ------,
dt
яъни траектория буйлаб харакат-
ланувчи нуктанинг тезланишига
тенг булади.
(8.33. а) га асосан тезланиш-
нинг улчам бирлигини аниклай-
миз:
[узунлик]
8.17- раем.
L
fnyl =
[ea/fm]2 T2
СИ бирликлар системасида тезланиш м/с2 да улчанади.
2. Харакати координаталар усулида берилган нуктанинг тезла-
ниши. Нуктанинг каракати (8.6) тенгламалар билан берилган бул-
син. Тезланиш векторини Охуг Декарт координата укларининг бир-
лик векторлари оркали ифодаланган ташкил этувчиларга куйидагича
ажратиш мумкин:
w = wx i + wy j 4- wz k , (8.34)
бунда wx, Wy, wz билан тезланишнинг координата уцларидаги про-
екциялари белгиланган. Нуктанинг тезлигнни (8.18) куринишда ёзиш
мумкин булгани учун (8.33) га асосан
dvx dvv , dvz
w = —— t 4----i- I 4---— k
dt dt dt
келиб чицади. Бу тенгликни (8.34) билан солиштириб, тезланишнинг
координата укларидаги проекцияларини ифодалевчи формулаларни
Косил киламиз:
= <8-35>
(8.19) га асосан (8.35) ни куйидагича ёза оламиз:
= (8-36)
демак, нукта тезланишининг бирор укдаги проекцияси нуцта
тезлигининг мазкур укдаги проекциясидан вакт буйича олинган
иринчи уосилага ёки шу уцка мос координатасидан вакт буйича
олинган иккинчи уосилага тенг.
131
Тезланиш модули
W == ] цу2 ^2 __ | Л2 4-у2 _[_ г2 , (8.37)
й\ налиши
cos (w, л) = > cos (u>, у) = J^L, cos (w, г) = (8.38)
w w w
формулалардан аницланади.
Arap нукта Oxy текислигида харакатланса, wz = 2 = 0 булиб,
(8.37) ва (8.38) формулалар
cos (w, х) = —cos (w, у) ~ —у-
W W
куринишда ёзилади.
Нукта Ох ук буйича тугри чизикли к^ракат килганда y=z = 0
булиб, тезланиш вектори Ох ук буйича йуналади, (8.36), (8.37)
формулаларга кура унинг бу укдаги проекцияси ва модули = х,
и' = |х| тенгликлардан аникланади. Агар х > 0 булса, нуктанинг w
тезланиш вектори Ох укнинг мусбат йуналиши буйича, х<0 да
эса манфий йуналиши буйича йуналади.
——>
Агар v тезлик вектори билан w тезланиш векторининг йунали-
ши кар Доим устма-уст тушса, нуктанинг бундай харакати пц,гри
чизикли тезланувчан харакат, карама-карши йуналса, тугри чизик-
ли секинланувчан царакат дейилади.
Нуктанинг харакати кутб координаталарида г = г (/), <р — <р (/)
тенгламалар билан ифодаланган булса, унинг тезлиги (8.24) муно-
сабат билан аникланиши маълум. Шунинг учун (8.33) куйидагича
ёзилади:
d'lr dr dr°
==--------ru4-------------
de- dt dt
w
,r d'24> ^0 > r JV
dt dt P dt2 dt dt
Arap (8.23) ни кисобга олсак,
w = (г — гф2) r° 4- (г ф 4- 2 гф) р°
муносабат уринли булади. Бу тенгликни узаро перпендикуляр г° ва
р° йуналишларга проекциялаб, радиал ва кундаланг тезланишларни
ифодаловчи ушбу муносабатларни оламиз:
wr = г — Гф2,
wp = гф + 2 гф.
(8.39)
132
РУ холда нуцта тезланишининг модули
W = U?r + W^,
(8.40)
йуналиши
cos (г0, ю) = — , cos (р°, w) = (8.41)
W W
формулалар ёрдамида аникланади.
3. ^аракати табиий усулда берилган нуктанинг тезланиши: а)
Табиий координата уклари. Эгрилик вектори. Аввал нуцта тезла-
нпшнни аншулаш учун зарур булган дифференциал геометриянинг
айрим тушунчалари билан танишиб чикамиз.
Opcyz координаталар сисгемасида берилган М'М" эгри чизиц-
да /И нукта олиб, шу нуцтада мазкур чизшугуа утказилган А1Т
—> —>
уринманинг бирлик векторини т° билан белгилайлик (8.18-расм). т°
векторни s ёй координатасининг усиши томен йуналтирамиз. Л4'Л4"
эгри чизицда М ну^тага я^ин булган Mt нутута олиб, т° вектори ва
Л1, нукта оркали текислик утцазайлик; Л42 нукта берилган чизиц
буйлаб .44 нуцтага интилганла мазкур текисликнинг эгаллаган ли-
мит .уолати М ну^тадаги ёпишма текислик (ёки эгрилик текислиги}
дейилади. Агар /И'Л4" текисликда ётувчи эгри чизикдан иборат
булса, ёпишма текислик мазкур чизшу ётган текислик билан устма-
уст тушади ва эгри чизшунинг гуамма нугуталари учун умумий була-
ди. М'М" эгри чизшу бир текисликда ётмаса, М нутра чизшу буй-
лаб силжиганда, ёпишма текислик уз гуолатини узгартириб боради.
М нутутада т° урипмага перпендикуляр равишда утказилган те-
кислик нормал текислик дейилади. Ёпишма ва нормал текисликлар-
нинг Мп кесишиш чизиги М вугутадаги бош нормални ифодалайди.
Бош нормалшшг йуналиши М нутрадан эгри чизшунинг ботик томо-
нига йуналган н° бирлик вектор билан аникланади.
Ёпишма ва нормал текисликлар узаро перпендикуляр жойлаша-
ди. Бу иккала текисликнинг гуар бирига перпендикуляр цилиб М нук-
тада утказилган (яъни Мп бош
пормалга перпендикуляр булган)
текислик уринма текислик де-
йилади. Нормал ва уринма те-
кисликларнинг Mb кесишиш чи-
зиги М ну^тадаги бинормални
ифодалайди. Бинормаль йуналиши
b бирлик вектор билан аницла-
ииб, Ь° вектор т°, п° билан унг
системани ташкил этадиган гуи-
либ олинади.
Нормал, ёпишма ва уринма
текисликлардан ташкил топган
Учёцлик табиий учёклик дейи-
Лади’ 8.18- раем,
133
т°, п° ва b° оркали утказнлган уцлар М нуцтадаги табиий коор-
дината уклари дейилади.
М'М" эгри чизицда бир-бирига якин 7И ва Мг нуцталарда ёй
координатасининг усиши тойон йуналган т° ва т° бирлик уринма
векторларини утказайлик (8.19-расм, а).
As = Л4/И1 орали!\даги т° векторнинг орттирмаси Д т° учун Д т°=
= T'i— т° тенглик уринли булади.
Ёй координатаси М' М' мусбат булгапда, яъни As > 0 да Д т°
вектори эгри чизикнинг бо гицлик томонига, As < 0 ^олида Д т° век-
тори М'М" эгри чизицнинг цавари^ томонига (8.19- раем, б) йуналади.
ММг оралицда т° бирлик векторининг М атро^ида бурили-
( А т®
шини ифода ловчи -----вектор эгри чизикнинг мазкур ораликдаги \р-
A s
тача эгрилик вектори дейилади ва к. билан белгиланади. Уртача
эгрилик вектори Дт° билан бир чизикда ётади. Агар Д$>0 бул-
са, k. вектори Дт° билан бир хил, As<0 да Дт° йуналишига 14а-
Д т"
рама-карши йуналишда булади. Бинобарин,-------вектори доимо эгри
As
чизикнинг ботшулик томонига йуналади.
Уртача эгрилик векторининг As нолга интилгандаги лимита эгри
—
чизикнинг М нуцтадаги эгрилик вектори дейилади ва k билан бел-
гплавали:
(8.42)
A s->0 A S
т° бирлик уринма ьектори йуналиши нудтанинг эгри чизшудаги х^о-
134
латига борлиц булганидан, у s ёй координатасининг функциясидан
иборат: т° = т° ^s)-
Бинобарин, (8.42) куйидагича езилади:
Г=-^
ds
(8.43)
Пемак, эгри чизикнинг бирор нуктадаги эгрилик вектори шу нуц-
щадаги уринманинг бирлик векпюридан ёй координатаси буйича
олинган биринчи \осилага тенг.
As оралицда т° вектори йуналишининг узгариш бурчагини, яъни
тенг ёнли /ЗЛ1И учбурчакда ВМА бурчакни Д6 билан белгилайлик.
У ^олда As нинг ишорасига караб
— 7° ) = 90° + —
As / ~ 2
булади (8.19-расм, а, б). As нолга интилганда ДО ^ам нолга инти-
лнб, k. ва т° орасидаги бурчак 90° га интилади. Шунинг учун k
—>-
вектор йуналиши бош нормаль бирлик вектори п° билан бир хил
булади ва ёпишма текисликда ётади. Эгрилик векторининг модулини
k билан белгиласак, (8.43) куйидагича ёзилади:
* dia ~ Дт
k ~ -----= k - п , бунда k = —
ds ds
(8.44)
Эгрилик векторининг модулини .уисоблаймиз: АВ~ | А т° |=2 .-in
эканлигини эътиборга олсак,
Бунда Нт ----------- = ]
д о->о ДО
2
булгани учун
k — Нт -- -
A S-.0 As
135
(8.45)
(8.46)
Масалан, радиуси /? га тенг айлана-
нинг эгрилигини аии^лайлик (8.20-раем).
Бир-бирига яцин .44 ва Л4| нуцталарда
айланага утказилган уринманинг бирлик
векторлари орасидаги бурчакни АО билан
белгиласак, As = Л4Л41 — R- АО. Биноба-
рин, айлана эгрилиги учун ушбу ифода
келиб чицади:
, Ае 1
k = lim — — —,
as->o As R
яъни айлананинг ихтиёрий нуцтасидаги
эгрилиги узгармас булиб, айлананиг ра-
диусига тескари пропорционал булади.
Эгри чизиц эгрилигининг тескари циймати — га чизицнинг эг-
k
рилик радиуси дейилади ва р билан белгиланади:
Айлана учун k — — булганидан унинг эгрилик радиуси райл = R
R
га тенг булади. (8.45) га кура (8.44) куйидагича ёзилади:
ds р
яъни эгри чизицнинг бирор нуцтадаги эгрилик вектори мицдор жи-
^атдан унинг мазкур нуцтадаги эгрилик радиусипинг тескари цийма-
ти — га тенг булиб, бош нормаль буйича йуналади.
Р
б) Тезланишнинг табиий координата уцларидаги проекциялари.
Харакати табиий усулда берилган нуцтанинг тезлиги (8.27о) ифо-
дасини (8.33) га цуйиб, нуцтанинг тезланиши формуласини оламиз:
dZ dvx-+ d? ds
W —------=-------1 ° + v,-----—------T 4- и-------------,
dt dt x dt dt 1 ds dt
cfs
бунда ва = г>2 булгани учун
"* dvx -* d t°
W = ---- T 4- D 2----.
dt ds
(8.46) га кура охирги ифода куйидагича ёзилади:
-> dvT о3->
w = —^т° + —п°. (8.47)
dt р
(8.47) ифодада нуцта тезланиши табиий координата уцлари-
даги ташкил этувчилари орцали берилган. Тезланишнинг уринма
буйлаб йуналган ташкил этувчиси
136
(8.48)
х at п
никтанинг уринма (тангенцши)
тезланиши, бош нормаль буиича
йуналган ташкил этувчиси
w„ = —п° (8.49)
Р
эса нуктанинг нормал тезланиши
дейилади.
Бннобарин, М нуктанинг тезла-
ниш вектори шу нуцта траектория-
сига утказилган ёпишма текисликда
ётади ва бинормаль буйича ташкил
—>-
этувчиси нолга тенг: wb = 0.
(8.48) ва (8.49) га кура (8.47) ифода цуйидаги куринишга эга
булади:
W = wx + wn,
(8.50)
яъни, эгри чизикли царакатдаги нуктанинг тезланиши уринма ва
нормал тезланишларнинг геометрик йириндисига тенг; шу сабаб-
—>• —>-
ли тезланиш вектори wx ва wn ларга цурилган тугри туртбурчакнинг
берилган нуцтадан утувчи диагонали билан ифодаланади (8.21-раем).
Тезланишнинг табиий координата уцларидаги проекциялари
= —1, = 0 (8.51)
формулалар ёрдамнда аницланади.
ds * *
(8.51) да о =------=s, о2 = о? = s2 эканлигини эътиборга ол-
т dt
сак,
.. с2
wT==s, wn —-------, ку6 = 0. (8.51,а)
<j2
Нуцта ^аракатланганда-------0 булгани учун нормал тезланиш
р
Доимо берилган нуцтада траекторияга утказилган бош нормаль бу-
йича траекториянинг ботиц томонига йуналади, уринма тезланиш
dvx
— мусбат ёки манфий ^ийматга эга булиши мумкин. Агар wx >
> 0 булса, уринма тезланишнинг йуналиши т° билан бир хил була-
ди; да уринма тезланиш т° га царама-царши йуналади. 8.21-
расм IFT > 0 ^оли учун чизилган.
137.
Умумий ^олда
лини,
dv
dt
эса уринма ташкил этувчисининг модулини ифодалай-
d v
dt
, чунки
тезланишнинг моду-
ди.
Шундай цилиб, тезланиш модули
(8.52)
п
ёки
W
.2 V*
1
формула ёрдамида аникланади.
Тезланиш векторининг йуналишини унинг бош нормал билан
ташкил 1(илган р бурчак воситасида топиш мумкин:
tgp = -—
(8.53)
8.8-§. Ну^та ^аракатининг хусусил ^оллари
Нуцтанинг тезланишига цараб ^аракат турларини аниг;лаш (8.47)
формулага асосланади.
1. Тугри чизи\ли текис ^аракат. Нуктанинг ^аракати давомида
—>- —> —>-
^амиша — 0, wn = 0, яъни w — 0 булсин. Бу .у)лда (8.51) га
dvx и2
асосан = 0, — = 0 булиб, улардан у = |их | = const ва р — оо
эканлиги келиб чицади. Демак, курилаётгав ^олда нуцта тугри чи-
зи^ли текис ^аракатда булади.
2. Тугри чизицли узгарувчан харакат. Нуцта ^аракати давомида
dux
булсин. Бунда wx = =
=/= const ва
v
нуцтанинг тезлиги иуналиш
V2
s #= 0 ва =----------= О
п о
р = оо эканлиги келиб
жихатдан узгармай, фа-
#= 0, wn = О
булиб, улардан
чи^ади. Демак,
1(ат мицдор жихатдан узгаради ва нуцта тугри чизи^ли узгарувчан
^аракатда булиб, тезланишининг модули
формуладан аникланади. Бинобарин, уринма тезганиш тезликнинг
лищдор жихатдан дзгариишни ифодалайди.
Агар фацат бир онда wn = — = 0 булса, нугрга тугри чизвк бу-
йича ^аракатланмай, балки уша онда нуцта эгри чизицли траекто-
|)38
оиянинг букилиш нуцтасидан утади
/8.22- раем).
' 3. Эгри чизикли текис харакат.
рирор ва>\т оралиги учун wx = О,
у= 0 булсин. Бу ^олда
[=4 = ‘"а a’-=F*0'
8.22- раем.
Бундан v = |нт| = | s| =const, p=/=oo
келиб чицади. p Ф оо шарт ^аракат
траекторияси эгри чизицдан иборат
булишини, v == const шарт эса нуц-
та текис ^аракат цилишини ифо-
далайди. Демак, бу ^олда нуцта эгри
г чизицли текис ^аракат цила-
ди. Агар тезликнинг уринмадаги проекциясини о0 билан белгиласак,
= о0 = — ёки ds = vodt ^осил булади. Бошлангич пайтда,
ЯЪни t — О да s = sp булсин. Шу шарт ^амда vx= const эканлиги-
ци иазарда тутиб, охирги тенгликни интегралласак,
s = s0 + y0-i
(8.54)
келиб чикади. (8.54) тенглама нуктанинг эгри чизикли текис \а-
ракат тенгламаси дейилади.
Курилаётган ^олда нуцтанинг тезланиш вектори w бош нормаль
буйлаб йуналади ва унинг модули
еа
О) = w„— —
Р
булади. Шундай килиб, нормал тезланиш эгри чизикли ^аракатда
вужудга келади ва тезликнинг йуналиши узгаришини ифодалайди.
4. Эгри чизикли узгарувчан ^аракат. Бирор вакт оралиги учун
wx 0, w 0 булсин. Бунда нуктанинг тезлиги мицдор ва йу-
налиш жихатдан узгаради, яъни нукупа эгри чизикли узгарувчан
Харакатда булади.
Агар wx =const булса, нукупа текис узгарувчан царакатда
—>- —>-
дейилади. о ва wx векторларнинг йуналиши устма-уст тушеа, пуд-
та эгри чизикли тезланувчан ^аракатда (8.23-раем, а, б), улар ца-
рама-г;арши йуналган булса, нуцта эгри чизикли секинланувчан ^а-
ракатда (8.23-раем, в, г) булади.
Бошлангич /0 = 0 пайтда ёй координатаси ОМ0 = s0, тезлиги v0
га тенг булган (8.23-раем, а) нуктанинг текис узгарувчан ^аракат
тенгламасини чицарамиз. (8.51) формулага кура — = const
ёки dvx ~wx - dt булади. Бу тенгламани Мв ва М пуцталарга мос
келувчи чегараларда интегралласак,
139
ух = оо + а’т-/ (8.55)
келиб чикади.
ds
vx = — эканлигини назарда тутиб, (8.55) ни Мо ва М ну^та-
dt
ларга мос чегараларда интегралласак,
s = s0 4- vot + wx (8.56)
булади. (8.56) тенглама нуцта эгри чизицли текис узгарувчан \а-
ракатининг тенгламасини ифодалайди.
Турри чизицли текис узгарувчан ^аракат тезлиги ва царакат
тенгламаси учун хам (8.55) ва (8.56) формулалар уринли булади»
фацат ёй координатаси s уриида нудтанинг абсциссаси х цат нашали:
х = у0+ wxt,
x=xo+vot-l--±
(8.57)
бунда wx — const булиб, пуцта тезланишининг х уцдаги проекция-
сини ифодалайди.
5. Гармоник тебранма царакат. Координата боши 0 га нисба-
тан координатаси
% = asinwZ (8.58)
цопунга кура (а ва оз — узгармас катталиклар) узгарувчи М нуцта
нинг турри чизицли ^аракатини текширамиз (8.24-раем).
(8.58) ифодадагн sin и/ [— 1, 1]
дг g. / , Л дг оралицда узгаргани туфайли А4
—।----------— ‘—р------— нуцта Мх(а) ва М2 (—а) нуцта-
L— »|<—£—J х лар оралигида тебраниш маркази О
нуцта атрофида тебранма царакат-
8.24- раем. да булади. Нуцтанинг тебраниш
^арказидан энг катта масофага четга чицишини ифодаловчи катта-
к а тебраниш амплитудаси, at тебраниш фазаси, а эса теб-
сацишнинг доиравий частотаси дейилади.
(8.58) да бошлангич / = 0 пайтда х = 0 булгани учун нуцта
тебраниш маркази О дан уз ^аракатини бошлайди. Синус функция-
си даврий булганидан, бирор t вацтда нуцта эгаллаган Л1, вазия-
тига Л = + Т взкт утгач яна цайтади. Нуцтанинг бир марта ту-
лщ тебраниши учун кетган вацт оралиги Т тебраниш даври дейи-
лади. Тебраниш даврини
sin <о (t 4- Т) = sin at (8.59)
шартдан фойдаланиб анидлаймиз. (8.59) тенглик
ю Т = 2л
булганда уринли. Бинобарин,
— (8.60)
(О
Тебраниш даврининг тескари циймати
v=-i- (8.61)
тебраниш такрорлиги дейилади ва у 1 секунддаги туда тебраниш-
лар сонини ифодалайди.
Нуктаиинг тезлик ва тезланшиини (8.58) дан мос равишда би-
ринчи ва иккинчи тартибли ^осилалар олиб тспамиз:
v ~ 1ух1> w ~ vx — х ~ аа cos at,
wx — x = — a a2 sin at.
Бу пфодалардан курамизки, тебранма ^аракатдаги нудтанинг тезли-
ги ва тезланиши ?^ам вацт утиши билан даврий равишда такрорла-
пар экан Нукта тебраниш маркази О дан утаётганда х = 0,
sin at = 0, cosat — ± 1 булгани учун бу вацтда нуцта тезланиши
нолга тенг булиб, тезлиги модуль буйича энг катта циймати аа га
эришади. Четки А4, ва /И2 нуцталарда эса х~±а, sinco/ = ± 1,
cos w t = 0 булиб, М нудтанинг тезлиги ноль, тезланишининг аб-
солют киймати а-а2 га тенг булади.
vx ва wx ишораларига цараб, нуцта тебраниш маркази томон
тезланувчан, тебраниш марказидан таш^арига секинланувчап ^ара-
кат цилишини куриш мумкин.
Нуцта x = acosco/ цонун буйича харакатлангапида >;ам гармо-
1к тебранишлар содир булади, фацат бу х,олда харакат бошлангич
t=0 пайтда тебраниш марказидан эмас, балки Л4>(а) нуктадан
бошланади.
Нуцта х = a sin (at + а) ёки х = a cos (a t 6) цопупга кура
> аракатлангапда хам клуорида курилган \оллардап губдаи фар!^
Чилмайди, факат t = 0 да нукта тебраниш марказидан x = asina
еки x=ncosp масофада булади. а ёки f> тебранишнин? бомюн-
f U4 фазаси дейилади.
111
8.6-масала. Нуктанинг зуаракати цуйидаги
тенгламалар билан берилган
t
х = 10 cos 2л-—,
5
t
у= 10 sin 2л----
5
(1>
(х, у — сантиметрлар, t— секундлар ^исобида).
Нуктанинг траекторияси, тезлиги ва тезланиши*
нинг мицдори ва йуналишлари ани^лансин.
Ечиш. Нуцта траекториясининг тенгламаси-
ни ани^лаш учун (1) тенгламалардан ва^т t ни
йуцотамиз. Бунинг учун (1) тенгламаларни ик-
кала томонини квадратга ошириб, сунгра куша-
миз:
(8.19) га асосан нуцта
аницлаймиз:
х2 + у'- = 100.
Демак, ну^та траекториясининг тенгламаси
радиуси г= 10 см = 0,1 м га тенг айланадан
иборат (8.25- раем).
тезлигининг координата уцларидаги проекцияларини
vr = х — — 4 л sin 2л------.
5
vv = у = 4 л cos 2л J—
У 5 *
(8.20) га кура нуцта тезлигининг модули
v = 'Х2 _|_ yt = —4 л sin 2л—j -J-^4 л cos 2л —j =
= 4 л см/с = 0,04 л м/с га
тенг булади.
М нуцта 1-чоракда булган ^ол учун (8.21) га асосан v тезлик векторининг
х ва у уцлар билан ташкил цнлган бурчак косинусларини топамиз:
vx t [ л
cos (о, х) = ---= — sin 2л — = cos --------+ 2л —— I,
о 5 \ 2 5 )
„ t
cos (с, </) = — = cos 2л----.
v 5
Бундан тезликнинг х ва у уцларн билан ташкил цилган бурчакларини аниц-
лаймиз:
л t
v, х = — + 2л—
2 5
л „ t
7* + <Р. v, у = 2л — = <р,
М нуцтанинг радиуси х уц билан ф бурчак ташкил этгани туфайли v тезлик
вектори шу нуцтада айланага утказилган уринма буйича Ох уцдан Оу уцца 90®-
га айланиб ^тиш томонига йуналган.
(8.36) ва (8.37) дан фойдаланиб, тезланишнинг координата утуларидаги про-
екциялари ва модулини топамиз:
wx = x
8ла t
-----cos 2л —
5 5
142
8ла . t
—— sin 2л——
5 5
и>у= у
(8.38) га кура тезланишнинг йуналтирувчи косинуслари
t
costa1, х) — — =—cos 2л-------= — cos<p =—cos (г, х),
w 5
-> Wy t .
costa, у) = — = —sin2n—— = — sinip = — cos(r, у}
w 5
булади.
Бу формулалардан тезланиш вектори айлананинг радиуси буйлаб унинг мар-
казига йуналганлигини курамиз.
Бу масалада тезлик мшудор жизуатдан узгармаса-да, унинг йуналиши узгар-
гани туфайли тезланиш мавжуддир.
8.7- масала. Поезд радиуси R = 1 км булган а'ланма йулда ^аракат ^нлади.
Унинг бошлангич 1езлиги 54 км/соат булиб, биринчи 30 с да у 600 м йул бос-
ди. Поезд ^аракатини текис узгарувчан ^аракат деб цисоблаб, унинг 30 секунд
охиридаги тезлиги ва тезланиши аницлансин.
Ечиш. Поезд радиуси R = 1 км = 1000 м айланма йулда ^аракатланаётгани
учун унинг тезланишини (8.52) га асосан аницлаш мумкин:
Ki=]/te4 + K,n.
Х,аракат текнс узгарувчан булгани учун поезднинг з^аракати (8.56) формула
s = s0 + vj + wx — (2)
билан ифодаланади. Санов; бошини шундай танлаймизки, бунда s0 = 0 булсин.
(2) дан =2——— ни оламиз. Бунда s=600 м, е0 = 54 км/соат = 15 м/с
t = 30 с эканлигини эыиборга олсак,
= 4" м/са
булада
143
(8.55) ва (8.51) дан фойдаланиб, поезднииг тезлиги ва нормал тезланишини
ани^лаймиз:
v = г0 wx t = 25 м/с,
о2
wn = — = 0,625 м/с2.
R
ва wn ларнинг щийматини (1) га цуйиб, поезднииг 30-секунд охиридаг»
тезланишини топамиз (8.26-раем):
№=]/" t4+ + (0,625)2 =0,708 м/с2.
8.8- масала. Узунлиги АВ = I булган стержень В нуцта атрофида ср = со t
цонунга кура, В ползун эса s = а 4- b sin со ( конунга кура >;аракатланади (8.27-
расм, а). А нуктанинг траекторияси ва t = 1 с пайтдаги тезлиги, тезланиши ва
траекториясининг эгрилик радиуси ани^лансин. а = 0,2 м, 6 = 0,6 м, ( = 0,3 м,
л
со = —— с-1 деб олинсин.
Ечиш. Дастлаб А нуктанинг Оху координаталар системасига нисбатан хара-
катини ашщлаймиз.
хл = х = ОВ + ВС = s + ( sin ср,
УА = у = — АС = — / cos ср.
Демак,
х = а + (6 I) sin со (, 1
у = — I COS СО t. /
Нуцта траекториясини аницлаш учун (1) системадан t ни йуцоплл керак. (1) ни
куйидагича ёзамиз:
Бу ифодаларни квадратга ошириб цушсак
(х —о)2 У2
(6-|-()2 + Р
Бу тенглама маркази координата бошидан Ох координата у^и буйича а масофага
силжиган з^амда ярим уцлари b 4-1 ва (га тенг эллипсдан иборат. Хусусаи
ср = со t = — га тенг булса, АВ кесма А1В1 зрлатни эгаллайди (8.27-раем, б).
(1) да Ь I = d белгилаш киритсак,
х = а 4- d sin со(,
у = — I cos со/
булади.
(8.19) формулага кура тезликнинг х, у уцлардаги проекцияларини топамиз.-
vx = х = d-со cos cot,
vy — у = I co sin co(.
(8.20) формуладап тезлик модулинн аницлаймиз:
v = "|/ Д2 4* Уг = со 1 d2 cos2 col 4- Р sin2 со/
2)
.144
Еки
t> = — 1 / 0,81 cos2 —-1 + 0,09 sin2 — t =
3 у 3 3
-T]A8'-°-72sln’T'-
<== 1 с булганда (2) ва (3) дан
vx — 0,15 л = 0,471 м/с,
Vy — 0,087 л = 0,272 м/с,
v = 0,173 л = 0,543 м/с
булишини аницлаймиз. (8.21) га кура
cos (о, х) = --- = 0.’.471- = 0,866,
v 0,543
vv 0,272
cos (о, у) = —у— = ——- =0,5.
v 0,543
Ц1ундай цилиб, (v, х) = 30°; ~(v, у) = 60° (8.27-раем). Нуцта тезланишининг
координата уцларндаги проекциялари (8.36) дан топилади:
wx = х — — da>2 sin со t,
Wy = у = I co2 cos <l>t.
(8,37) дан фойдаланиб, тезланиш модули учун
пи = ]/"х2 + у2 = со2 }cP sin2 со Z -f- Z2 cos2 со t
ифодани оламиз.
t = 1 с да берилганларни цуйсак, wx =— 0,854 м/с2; шу = 0,164 м/с2, w
= 0,87 м/с2 цийматларни оламиз.
е> Шг —» COv
cos (со, х) = — = — 0,9816, cos (со, у) = —— = 0,1885,
W W
Демак, (со, х)= 169°, (со, у) = 79‘, яъни курилаётган вацтда тезланиш вектору
Ох уцнииг мусбат йуналиши билан 169°, Оу билан 79° бурчак цосил цилаДИ
(8.27-раем, а).
Энди t = 1 с булганда нуцта траекториясининг эгрилик радиусини аницлай-
миз. (8.51) нинг биринчисига кура:
dv л d -j Г л
= V 0,81-0,72 sin2 TZ =
2 л
0,36 sin —-— t
л ________________3________
j/"0,81—0,72 sin2 -у t
^ == 1 с да wx — — 0,628 м/с2 булади.
А нуцтанииг уринма тезланиши 8,27- раемда курсатилганидек, эллипега утка-
вилган уринма буйича йуналади,
.10-2282 14?
(8.62) формуладан нормал тезланишни анидлаймиз:
wn = Ут2 — w2 = V0,7569 — 0,3944 w 0,61 м/са.
(8.51) нинг иккинчисига асосан t = 1 с булганда Л нуцта траекториясннинг
агрилик радиуси
V2
р =------= 0,485 м
булади.
8.9- масала. Н — 500 км баландликда сунъий йулдош Ер атрофида доиравий
орбита буйлаб текис \аракатланадн. Унинг марказга интилма тезланиши эркин
тушувчи жисмнинг тезланчшига 1енг. Й улдошнннг тезлиги аа бир марта айла-
ниш вацти аншупансин. Берилган баландликда g = 8,5 м/с2; Ернинг радиуси
R = 6370 км (8.28- раем).
Ечиш. Сунъий йулдош орбитасининг радиусини г билан белгиласак, у г =
= R -J- Н = 6870 км га тенг булади. (8.51) формуланинг иккинчиендан фойдала-
ниб, сунъий йулдош тезлигини анидлаймиз:
1> = Уаи„-р
Бунда р = г = 6870 км, wn = w = g= 8,5 м/с2 = 0,0085 км/с2 эканлигини эъти-
борга олсак,
о = /0,0085-6870 = 7,64 км/с.
Сунъий йулдош орбитада бир марта айланиши учун кетган вацтни Т билаи
белгиласак, мазкур вацт ичида унинг утган нули v-T га тенг. Худди шу йул
радиуси г га тенг айлана узунлигига тенг, яъни v-T = 2лг, бундан
2лг 2-3,14-6870
Т =-------------------- = 1,568 соат.
У 7 ел осла *
7,64-3600
Жавоб: 0=7,64 км/с, Т = 1,568 соат.
8.10-масала. Ну к, та текисликда логарифмик спираль буйича r — aekv конуи
асосида ^аракатланади, бунда
<р = со/, (со = const, 1 > k = const).
Нудтанинг тезлик ва тезланиши г нинг функцияси сифатида аницлансин (8.29-
фасм).
Ечиш. Нудтанинг ^аракати цутб координаталарида берилган:
Ф = СО /. )
8.28- раем.
8.29- раем.
146
Нудтанинг тезлигини аншргаш учун (8.25) формулага кура унинг радиал в»
•н-паланг ташкил этувчиларини анидлаймиз:
vr = ^ak^e^1.
Vp = ([ir = (0-Г.
Нукта
тезлигининг модулини (8.26) воситасида анидлаймиз:
V= У vr+vp = а>-гУ k2 +1 .
(8.35) формуладан фойдаланиб, нуцтанинг радиал ва кундаланг тезланиш-
ларини анидлаймиз:
wr = г — г <р2 = ofe2w2e*“< — г ш2 = k2a>2r — г со2 = г со2 (fe2 — 1),
j^2_1 < 0 булгани учун шг йуналиши г координата усишига тескари булади.
u)„ = r.<p-|-2r<p = 2feti)r-ti) = 2fea>2r.
(8.40) дан нудтанинг тезланиш модулини анидлаймиз:
w = У ш2 + к'2 = г со2 |/ (fe2 — I)2 + 4ft2= <о2 (fe2 + 1) г.
9-боб. ЦАТТИЦ ЖИСМНИНГ ИЛГАРИЛАМА ВА КУЗ-
ГАЛ МАС УК АТРОФИДАГИ АЙЛАНМА ХАРАКАТ Л АРИ
Каттиц жисм кинематикасида асосан ^уйидаги икки масала кури-
лади:
1. Жисмнинг танланган координаталар системасига нисбатан ?(ар
ондаги долатини аницлаш.
2. Харакат тенгламалари маълум булган жисмнинг ёки жисм
и(ар бир нуцтасининг кинематик характеристикаларини топиш.
Дастлаб жисмнинг энг содда, хусусий ^олдаги ^аракатларини
куриб чи^амиз.
9.1- §. Жисмнинг илгарилама ^аракати
Жисмда олинган ^ар ^андай кесма ^аракат давомида доимо узи-
нинг бошлангич долатига параллел равищда ^аракатланса, жисм-
нинг бундай ^аракати илгарилама царакат дейилади. Масалан,
паровоз гилдиракларини туташтирувчи АВ спарник ёки велосипед-
нинг АВ педали (9.1-раем, а, 6) илгарилама .\аракатда булади. Бу
мисоллардан курамизки, илгарилама ,\аракатдаги жисм нуцтасининг
траекторияси умуман эгри чизицдан иборат булади.
Жисм Oxyz ^узгалмас координаталар системасига нисбатан ил-
гарилама даракатда булсин (9.2-раем). Бу ^олда жисмнинг иккита
нуцтасини туташтирувчи MN вектор мш\дор ва йуналиш 'жи^атдан
узгармасдан колади, чунки абсолют каттиц жисм таърифига кура
MN кесма узунлиги узгармайди, илгарилама ^аракат таърифига кура
MN вектор узига параллел равишда ^аракатланади. Шу туфайли
илгарилама даракатдаги жисм учун бу вектор узгармас MN =
= const = с векторни ифодалайди.
147
9.2- раем.
Жисмнинг илгарилама ^аракатини урганиш цуйцдаги теоремага
асосланади:
Теорема. Илгарилама уаракатдаги жисмнинг хрмма нуцталари
бир хил траектория чизади ва \ар онда бир хил тезлик \амда
бир хил тезланишга эга булади.
Исбот. Жисмда ихтиёрий М ва N нуцталарни олиб, уларнинг
—> —>
радиус- векторларини гд. ва гN билан белгиласак,
7у=7м + ЛШ (9.1)
уринли булади.
Жисм илгарилама ^аракатда булганда гм ва гл узгаради, лекин
MN — с вектор узгармайди. Агар MN векторнинг tb t2, . . . , tn
пайтдаги кетма-кет ^олатларини мос равишда MxNlt M2N2, . . . ,
MnNn билан белгилаб, (9.1) га асссан, М нуктанинг траекторияси
о ММХМ2. . . Мп ни MN = с векторга силжитсак, у N нуцта.
яинг траекторияси w NN1N2. . .N билан устма- уст тушади, яъни
М ва N нуцталар бир хил траекториялар буйлаб ^аракатла-
нади.
(9.1) дан вацт буйича росила оламиз:
drN drM , d(MN)
dt ~ dt + dt
Бунда MN — c = const булгани учун - =0.
——>
d f n d г м ——*"
Бннобарин, ёки (8.17) га асосан vN=vM булади.
148
ру тенглик илгарилама даракатдаги жисм барча нудталарининг дар
ондаги тезликлари бир хил булишини ифодалайди.
Охирги тенгликдан вадт буйича росила олсак,
dvw dvM
dt dt
gKH (8.33) га асосан
булади. Бннобарин, илгарилама даракатдаги жисм барча нудталари-
нннг дар ондаги тезланишлари бир хил булади. Н
Шундай дилиб, жисмнинг илгарилама даракати унинг ихтиёрий
нудтаси даракати билан анидланади. Илгарилама даракатдаги жисм
нудталарининг дар ондаги тезлиги хам, тезлани*>;и дам бир хил
булганидан, уларни мос равишда жисмнинг тезлиги ва тезланиши
деб аташ мумкин.
Oxyz координаталар системасига нисбатан илгарилама даракат-
даги даттид жисмнинг даракат тенгламасини чидариш учун жисм-
нинг ихтиёрий М нудтасини олиб, унинг координаталарини хм, ум,
z билан белгилаймиз. Жисм даракатланганда бу координаталар
вадтнинг функцияси сифатида узгаради:
= Ш = *м = М). (9-2)
(9.2) тенглама М нудтапинг даракат тенгламаси булиб, жисм-
нинг илгарилама даракат тенгламасини дам ифодалайди.
9.2- §. Даттид жисмнинг дузгалмас уд атрофидаги ай-
ланма даракат тенгламаси
Иккита нудтаси доимо дузгалмасдан доладиган жисмнинг дарака-
ти дузгалмас fftf атрофидаги айланма даракат дейилади. Цузгал-
мас нудталардан утувчи уд айланиш y/yi дейилади.
Турбиналар диски, геиераторларнинг ротори, станокларнинг махо-
виги каби машина ва механизмларнинг да-
ракати дузгалмас уд атрофида айланувчи
жисмга мисол була олади.
Жисмнинг айланиш удида ётувчи барча
нудталари дузгалмас булади. Айланиш уди-
да ётмайдиган нудталарининг траекторияла-
ри айланиш удига перпендикуляр текислик-
ларда ётувчи айланалардан иборат булади.
Жисмнинг дузгалмас уд атрофидаги ай-
ланма даракатининг кинематик тенгламасини
анидлаш учун айланиш удига бириктирил-
ган дузгалмас Р текисликни дамда жисмга
бириктирилган ва у билан бирга айланувчи
Q текисликни утказамиз (9.3-раем). Бу те-
кисликлар орасидаги <р бурчак жисмнинг
айланиш бурчаги дейилади. Oz айланиш
9.3- расы.
149
5'Ци бирлик вектори k нинг учидан Караганда ср бурчакнинг уз-
гариши соат стрелкаси ^аракати йуналишига тескари булса, ай-
ланиш бурчагини мусбат, акс ^олда манфий олинади. Айланищ
бурчаги радианда улчанади. Агар жисмнинг айланиш сони N маъ-
лум булса, айланиш бурчаги ср = 2лА формула ёрдамида ани1\ла-
нади.
Айланиш бурчаги ср нинг мицдор ва йуналиши маълум булса,
Q текисликнинг Р текисликка нисбатан холатини аниклаш мумкин.
Q текислик жисмга маркам бириктирилгани ва у билан биргаликда
^аракатлангани учун ^узгалмас уц атрофидаги жисмнинг ^олатини
^ам ср бурчак орцали аницлаш мумкин.
Жисм Oz уц атрофида айланганда унинг айланиш бурчаги ср
вацтнинг функцияси сифатида узгаради:
Ф=<Р(О- (9.3)
Бу тенглама жисмнинг ^узиалмас ду атрофида айланма \apa-
катиниинг кинематик тенгламаси дейилади.
9.3- §. Жисмнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма
^аракати бурчак тезлиги. Текис айланма ^аракат
Жисмнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма ^аракатининг t
вацтдаги айланиш бурчагини ср, tx = t + А/ вактдаги айланиш бур-
чагини cpj = ср + Аср билан белгилайлик. — — t вацт оралиги-
да жисм Аср = ср, — ср бурчакка бурилади.
Аср нинг AZ га нисбати жисмнинг А/ вацтдаги уртача бурчак
тезлиги дейилади:
Дер
“дГ’
Жисмнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма ^аракатинииг бе-
рилган ондаги бурчак тезлигини топиш учун уртача бурчак тезли-
гининг А/ нолга интилгандаги лимитини оламиз:
(®Лр
•ёки
= ср. (9.4)
Шундай 1уилиб, жисмнинг бурчак тезлиги айланиш бурчагидан
еацт буйича олинган цосилага тенг.
<р бурчакнинг узгариш цонунига мос равишда сог бурчак тезли-
ги мусбат ёки манфий цийматга эга булиши мумкин. Бурчак тез-
ликнинг модулини со билан белгилаймиз: со = |ср|.
1\аттиг; жисм кинематикасида жисмнинг бурчак тезлигини век-
тор сифатида ифодалаш купгина цулайликлар яратади.
1\узгалмас уг; атрофида айланувчи жисмнинг бурчак тезлик век-
торини мазкур уц буйлаб йуналган ва унинг мусбат йуиалишидан
^аралганда айланиш соат стрелкаси харакатига тескари йуналишда
150
тез-
. нНадиган, айланиш уцишшг ихтиё-
il нуктасига цуйилган вектор билан
Йюдалаймиз (9.4-раем). Бурчак
„к ректорининг модули
формула ёрдамида аникланади.
v Агар айланиш уци бирлик векто-
рпни k билан белгиласак, бурчак тез-
лик векторини
со = ф/г = а>г-/г (9.5)
куринишида ёзиш мумкин. (9.5) дан курамизки, ф >0 булса, а>
вектори k йуналиши буйича (9.4- раем, а), ф < 0 да k га царама-
царши йуналади (9.4-раем, б).
Айланиш бурчаги радианда, вацт эса секунд (с) да улчангани-
дан, бурчак тезликнинг улчов бирлиги — ёки с-1 булади.
»<исм ^аракати давомида унинг бурчак тезлиги о. = <о0 узгар-
май цолса, жисм текис айланма \аракатда дейилади. Бу ^олда
(9.4) га кура = к>0 = const ёки d ф — (оо dt булади.
dt
Вацт 0 дан t гача узгарганда айланиш бурчаги ф0 дан ф гача
узгаришини эътиборга олиб, охирги тенгликни интегралласак,
<Р = <РО + °М (9.6)
булади. (9.6) ифода жисм текис айланма ^аракатининг тенгла-
маси дейилади.
Жисм текис айланма ^аракатда булса, техникада купинча унинг
бир минутдаги айланишлар сонидан фойдаланилади. Жисм бир мар-
та тула айланганда айланиш бурчаги ф = 2л булади. Жисм бир
минутда п марта айланса, текис айланма ^аракат бурчак тезлиги
Куйидагича аницланади:
2лп лп
----= — с-1
60 30
(9.7)
9.4- §. Жисмнинг бурчак тезланиши. Текис узгарувчан
айланма харакат
Умумий к°лда жисмнинг бурчак тезлиги вацт функцияси сифа-
тида узгаради. Жисмнинг бирор t вацтдаги Oz уц атрофидаги ай-
ланиш бурчак тезлиги <о2 (/) га, = t + М вацтдаги бурчак тез-
лиги w2 (/,) = (ог(/) + А со2 га тенг булсин. Бурчак тезликнинг А/
ва^т ичидаги ортгирмаси А <ог = (Д) — о>2 (/) га тенг булади.
151
А<ог нинг А/ вацтга нисбати жисмнинг шу вацтдаги уртача
•бурчак тезланиши дейилади ва (е2);/₽ билан белгиланади:
Уртача бурчак тезланишнинг А/ нолга интилгандаги лимити
жисмнинг берилган ондаги бурчак тезланиши дейилади:
е, = lim
дс—>о
Ды2
Af
Ло2
at
(9.4) тенгликни ^исобга олсак, охирги ифода
ez = = <р (9.8)
куринишида ёзилади.
Бинобарин, берилган онда бирор уузгалмас уу атрофида ай-
ланма царакатдаги жисмнинг бурчак тезланиши бурчак тезлик-
дан сацт буйича олинган биринчи тарпгибли хосилага ёки берил-
ган уу атрофидаги айланма царакат цонунидан eatyn буйича
олинган иккинчи тартибли цосилага тенг булади.
Жисмнинг бурчак тезланишини (бурчак тезлик каби) айланиш
—>•
уци буйлаб йуналган е вектори тарзида ифодалаш мумкин. Бунда
жисмнинг бурчак тезланиш вектори шу жисм бурчак тезлик векто-
ридан вацт буйича олинган ^осилага тенг деб олинади (9.5- раем):
d со do),
со —-----= —— k —e,k
dt dt
ёки
9.5- раем.
e = ezk = cp k . (9.9)
Агар жисмнинг бурчак тезлиги модуль жихатдан орта борса,
бундай ^аракат тезланувчан айланма харакат, камая борса, секин-
ланувчан айланма уаракат дейилади. Текис айланма ^аракатда со =
= const булгани учун е — 0 булади.
Бинобарин, со2 ва е2 бир хил ишорали
булса, харакат тезланувчан (9.5-раем, а),
турли ишорага эга булса, ^аракат секин-
ланувчан (9.5-раем, б) булади.
Жисм бурчак тезланишининг улчов
бирлиги — ёки с-2 булади.
с2
Жисм ^аракати давомида бурчак тез-
ланиши узгармай цолса (яъни е2 = const),
жисм текис узгарувчан айланма цара-
катда дейилади. Бу ^олда (9.8) га кура
=ez = const ёки d <ог = е2 dt бу-
dt
лад и. Буни вас^т 0 дан t гача узгарган-
152
да, бурчак тезлиги ио дан сог гача узгаришини эътиборга олиб ин-
теграллаймиз:
<ог = <о0 + егг. (9.10)
gy теиглик ёрдамида текис узгарувчан айланма ^аракат бурчак тез-
лиги ани1\ланади.
(9.4) ни ^исобга олиб, (9.10) пи
= со0 + ег t ёки d ср = (соо + ег f) dt
dt
курипишда ёзиш мумкин. Бу тенгламани 0 дан t гача булган ва^т
оралипща айланиш бурчаги сро дан ср гача узгаришини ^исобга олиб
интегралласак,
Ф = Фо + “о^ + ег у’ (9-И)
текис узгарувчан айланма царакат. тенгламаси келиб чицади.
9.1-масала. Гирокомпасни ишга тушириш вацтида тинч ^олатдаги роторининг
бурчак тезланиши ва^тга турри пропорционал равишда узгаради ва биринчи 5 ми-
айл
нут охирида роторнинг бурчак тезлиги 18000--га тенг булади. Шу ва^т ичида
ротор неча марта айланади?
Ечиш. Масаланинг шартига кура, соо = 0, <р0 =0, ег = at, бунда а пропор-
айл
ционаллик коэффициенти. t = 5 мин = 300 с да ротор п = 18000 ---- ёки ы =
мин
л п
—-----= 600 л с—1 бурчак тезлик билан айланади.
Дастлаб пропорционаллик коэффициенти а ни анидлаймиз. ег = at ва (9.8)
формулаларни солиштириб,
dm,
-------------------------------= at екн dm, = at-dt
dt
муносабатни оламиз. Бу тенгламани мос чегаравий шартларда интеграллаб, <о =
at2 2 <вг
= ифодани оламиз. Бундан а = —t = 300 с да <ог = 600 с—* булгани
учун
2-600 л л
а —--------=---------
90000 75
Л
Шундай килиб, ротор бурчак тезлиги сог =-------- I2 ^онунга кура узгарар экан.
150
л
(9.4.) га кура охирги ифодани dtp =------ t2 dt куринишда езиш мумкин.
150
Бу дифференциал тенгламани t = 0 да ф= 0 булишини назарда тутиб интегралласак,
л t3 „„„
роторнинг ^аракат цонунини ифодаловчи <р = тенгламани оламиз. t = 300 с
давомидаги роторнинг айланиш сонини N билан белгиласак, <р=2лМ булгани
л t3 t3
учун 2 л W = —— тенглик уринли булади. Бундай А =---------= 30000.
450 900
Шундай цилиб, 5 минут давомида ротор 30000 марта айланар экан.
9.2- масала. Двигатель вали е == л с—2 бурчак тезланиш билан текис тезла-
кувчан айланма ^аракат цилиб, /2 — tx = Юс вацт оралигида 100 марта анлана-
153
ди. Валнинг ti ва t2 пайтдаги бурчак тезликлари аницлангип. Бошлангич пайтда
вал тинч ^олатда булган.
Ечиш. Вал бошлангич пайтда тинч трлагда булиб, текис тезланувчан айлан-
ма даракат к.илгани учун (9.11) ва (9.10) формулалар куйидагича ёзилади:
«г = ег t. (2)
Масаланинг шаргида tt ва t2 пайтлар номаьлум. Агар /ь /, пайтларга мос келув-
чи айланиш бурчакларини мос равишда <рх ва <р2 билан бёлгиласак, (1) га кура
цуйидагилар трсил булади:
t2— tt ваид оралигида вал 100 марта айлангани учун шу ваг;т оралигидаги бур.
чак орттирмаси куйидагича анидланади:
*₽2 — Фт = 2 я'100 = 200 л рад
ёки (3) ни эътиборга олсак, (/|— t,) = 200 л уэсил булади.
Масаланинг шартига кура ez = л с-2, /2 — ^ = 10 с ёки t2 = tt Ю экан.
лигини назарда тутсак.
у (^ + 20Гх+ 100-ф =200п
ёки 20/1 =300 булади. Бундан = 15 с >;амда /2 = tx + 10 = 25 с эканлигини
аншутаймиз.
У уолда (2) дан coZi = 15 л с—1, шг =25 л с—1 ёки (9.7) га к£ра
«1 =
60 <о_ айл 60 <о, айл
----= 450 — , п2 =-------------£«. = 750.___
2 мин 2 мин
булади.
9.5- §. Цузгалмас yty атрофида айланувчи жисм ну^та-
сининг чизикли тезлиги
Дузгалмас Oz уц атрофида юг бурчак тезлик билан айланувчи
цаттиту жисм ихтиёрий М ну^тасининг тезлигнни ани^лаймиз. М
нуцтадан айланиш уцигача булган масофани ОгМ = R билан бел-
гилайлик (9.6- раем, а). Агар dt ва!\т оралигида жисм dtp бурчакка
айланса, М нутута айланиш уцига перпендикуляр текисликда айлана
буйлаб ^аракатланиб ds = ММг — Rd ср булган ёй координатасини
утади ^амда (8.28) га асосан 7И нуцта тезлигининг алгебраик ций-
мати куйидагича анидланади:
vt = ^- = R^-=R^. (9.12)
at at
Тезликнинг модули эса
v = |Л|= 7? 1^1
I dt I I dt I
364
^КИ (9.4) га кура
v = R-co (9.13)
лормуладан аникланади. (9.13)
роситасида аницланадиган v тез-
лиК цузгалмас уц атрофида ай-
ланувчи жисм нуцтасининг чи
зицли тезлиги деб аталади.
Демак, цузгалмас уц атро-
фида айланувчи жисм нуцта-
^ининг цар ондаги чизицли тез-
лиги мицдор жихапгдан мазкур
нуцтадан айланиш уцигача бул-
ган масофа билан жисмнинг
шу ондаги бурчак тезлиги ку-
пайтмасига тенг.
Жисм барча нудталарининг
бурчак тезликлари цар онда уза- раем.
ро тенг булади. Шу сабабли цуз-
галмас уц атрофида айланувчи жисм нудталарининг чизицли тез-
ликлари мазкур нуцталардан айланиш уцигача булган масофаларга
Т)гри пропорционал булади (9.6- раем, б).
Нуцтанинг чизицли тезлиги и нуцта траекториясини ифодаловчи
айланага харакат йуналиши буйича утказилган уринма буйлаб йуна-
лади (9.6-раем).
Координата бешини айланиш уцидаги О нуцтада олиб, z уцни
айланиш уци буйлаб йуналтирамиз.
—>-
М нуцтанинг О га нисбатан радиус-вектсрини г билан белгилай-
миз ва со бурчак тезлик векторини утказамиз (9.6- раем, а).
сох г вектор купайтмани М нуцтанинг тезлик вектори v билан
солиштирамиз. охг вектори, со ва г ётган текисликка перпендику-
ляр равишда жисмнинг айланиш йуналиши буйича йуналади, яъни
сох г вектори билан v тезликнинг йуналиши бир хил булади. Маз-
кур вектор купайтманинг модули
|соХг | = со- rsin (со, г)=со-/?,
яъни и тезликнинг модулига тенг булади. Шундай цилиб,
v ~ сохг
(9.14)
вектор тенглик исботланди.
Бннобарин, цйзгалмас уц атрофида айланувчи жисм нуцтаси-
нинг чизицли тезлик вектори жисмнинг бурчак тезлик вектори
билан мазкур нуцтанинг айланиш уцидаги ихтиёрий О нуцтага
нисбатан радиус-векторининг вектор купайтмасига тенг.
155
М нуцтанинг координаталарини х, у, z билан белгиласак, сох г
вектор купайтма учун
а X г =
i j k
О 0 (s2
X у Z
= ~ у <Sizi 4- х а>г j
муносабатни, тезликнинг Декарт координата уцларидаги проекция-
лари учун эса
= — уиг, = xco2, vz = О
ифодаларни оламиз.
(9.15) га асосан тезликнинг модулини
v = i^v2 + v2 =|(oz|/x2 + ^2
формула ёрдамида аницлаш мумкин.
(9.15)
9.6-§. Цузгалмас уц атрофида айланувчи жисм нутугаси-
нинг чизикли тезланиши
Дузгалмас уц атрофида и бурчак тезлик ва в бурчак тезланиш
билан айланувчи жисм ихтиёрий М нуктасининг тезланишини (8.50)
форму лага асосан уринма ва нормал ташкил этувчилардан иборат
деб цараш мумкин:
w ~wx + wn = wxт° + wn п°. (9.16)
М нуцтадан айланиш уцигача булган масофани R билан белгилай-
лик. (9.12) ва (9.13) ни (8.51) га цуйиб, цузгалмас уц атрофида
айланувчи жисм нуцталарининг уринма ва нормал тезланишлари
учун ушбу ифодаларни оламиз:
dvx
wx = -^~=s = R- <р = /?-е2,
г2 №<o2 n „
(9.17)
(9.18)
w — —
" p
(9.17) ва (9.18) ни эътиборга олиб, (9.16) га кура нуцтанинг
тезланиш векторини куйидагича ани^лаймиз:
w = /? • е2 т° Д<о3 п°. (0
Бу фогмуладаги Де2 т° вектор воситасида ифодаланадиган урин-
ма тезланиш е2 бурчак тезланишнинг мусбат ёки манфий циймат
цабул ^илишига 1^араб, <р бурчакнинг мусбат ёки манфий йунали-
ши билан аникланади з^амда нуктанинг айланма тезланиши дейи-
лади (9.7-расм); Ра2 >0 булгани учун нормал тезланиш доимо бош
нормаль буйича йуналади ва нуцтанинг марказга интилма тез-
ланиши дейилади.
156
М иуцта тезланишининг модули
w = + a* = R ]/е2 + о? (9.20)
формуладан аникланади. (9.19) ва (9.20) ёрдамида аницланадиган
тезланиш жисм ну/упасининг чизикли тезланиши дейилади.
М нуцта чизикли тезланишининг йуналишини аницлаш учун
бош нормаль билан w вектори орасидаги р бурчакни аницлаш
кифоя:
1ёи==Ы_= ® (9.21)
Жисмнинг барча нуцталари учун е ва о> бир хил булганидан
кузгалмас уц атрофида айланаётган жисм нуцталаринпнг чизицли
тезланиши айланиш уцидан мазкур нуцталаргача булган масофага
пропорционал равишда узгаради хамда берилган онда жисмнинг
барча ну^талари учун pt бурчак бир хил кийматга эга булади.
кузгалмас уц атрофида айланувчи жисм иуцталарининг чизицли
тезланишини (9.14) дан вацт буйича росила олиб ^ам ани!улаш
мумкин: —> —> - > “* d v <1ы dr W = = X Г + <о X dt dt dt
Бунда — = е. —9^ = v булгани учун w= ex г + со X v. (9.22)
Бу формулада ex r = ^T (9.23)
уринма тезланишни ифодалайди. ^ацицатан ^ам унинг ми^дори
«/•sinfe, Т) га тенг, йуналиши эса о> ва е векторлари бир юмон-
157
га йуналганда М нудтанинг
тезлиги билан мос туша ди (9.8-
раем, а) со ва б царама-царши
йуналган >^олда тезлик вектори-
га царама-царши йуналади (9.8-
расм, б). Шу сабабли М нуцта-
да айланишнинг мусбат йунали-
ши буйича утказилган Мх урин-
манинг бирлик векторини тэ би-
лан белгиласак, уринма тезла-
ниш учун
wx = R-ez^ (9.24}
тенглик уринли булади.
(9.22) дагп
V = wn (9.25)
цушилувчи марказга интилма (ёки уцка интилма) тезланишни ифо-
далайди. Хадидатан дам унинг миддори со ва v лар узаро перпен-
дикуляр йуналгани учун сои ёки /?со2 га тенг булади. со X v век-
тор купайтма айланма харакат тезланувчан ёки секинланувчан були-
—X —X
шидан датъи назар, со ва и векторларига перпендикуляр равишда
доимо /Й нудта траекториясининг маркази томон, яъни бош нормаль
Мп буйича йуналади. Бинобарин, марказга интилма тезланиш учун
wn — R со2 п°
(9.26)
формула уринли булади. Бунда п° бош нормалнинг бирлик вектори.
Шундай дилиб, (9.23 — 9.26) ларни назарда тутиб, (9.22) фор-
муладаги векторли душилувчилар мос равишда (9.19) даги биринчи
ва иккинчи душилувчилар билан ифодалапиши исботланди.
9.3- масала. Узунлиги ОА = I — 54 см га тенг даста радиуси г — 27 см
булган барабан билан биргаликда айланади. Барабанга ип уралиши натижасида
Л1 юк s = 2 л С3 см донунга кура дия текислик буйлаб кугарилади. ОА даста
бир марта тула айланган пайтда даста учидаги А нудтанинг тезлик ва тезлани-
ши анидлансин (9.9- раем).
Ечиш. М юк дия текислик буйлаб
тугри чизидли даракат диладн. Даст-
лаб даракат донуни берилган М нудта-
нинг тезлигинн (8.28) формуляра би-
ноан анидлаймиз:
vx= S = 6 л /2.
Барабан ва ОА ласта О уд атро-
фида биргаликда айланганн ту файл и/
уларнинг бурчак тезликлари бир хил'
булади. Барабан гардишидаги нудта-
нинг чизндли тезлиги миддор жидатданг
158
тезлигига тенг. Барабан айланма даракатда булгани учун унинг гар-
нудтанинг тезлигини (9.13) формула ёрдамида анидлаш мумкин. Шу
Л1 нукта
пишидаги
сабабли
6 л/2 = со-г
тенглик уринли булади. Бундан барабан (ёки даста) нинг бурчак тезлигини
анидлаймиз:
6л/2 2л/2 _.
0)='----=-------с .
г 9
(9.8) га кура дастанинг бурчак тезлачишини дисоблаймиз:
4л/ ,
е = со = — с .
9
ОА даста бир марта айланиши учун кетган вадтни /^ билан белгиласак, / =
__ t} да М юк дия текислик буйлаб = 2лг айлананинг узунлигига тенг масо-
фага кутарилади. Масаланинг шартига кура sL = 2л/jj бинобарин 2л/| = 2лг
ёки /, = 3 с.
(9.13) дан фойдаланиб, А нудта чизидли тезлигининг модулини анидлаймиз:
2л см
v = со-ОА = —/2-54 = 12л/2----•
9 с
см „ м
t --- /. = 3 с да о = 108 л — — 3,39-.
с с
А нудта тезлигининг йуналиши 9.7-расмда курсатилгандек ОА айланиш ра-
диусига перпендикуляр булади.
(9.17) га кура
4л/
ш- =0Л-е = — -ОА,
т г 9
4л см м
< = '1 = 3 с да сдх = —-54—= 2,26 —.
— >
е>0 булгани учун wx вектор vA буйича йуналади. (9.18) га асосан
4 л2 8 л2 см
шл = ОАсо2 =— /4-54 = — Г4 —
01 ос
м
*•= /1 = 3 с да а>п = 21,30 —
А нудта чизидли тезланишининг миддорини (9.20) дан фойдаланиб анидлаймиз:
V w =]/’с^ + ^ =21,35-^--
w билан ОА орасидаги бурчакни ci билан белгиласак, (9.21) формулага
всосан
18 1
р = arc tg —— = arc tg 0,106,
вундаи
6°.
159
10-б о б. КАТТИК ЖИСМНИНГ ТЕКИС ПАРАЛЛЕЛ
КАРАКАТИ
О
10.1-§. Цаттик жисмнинг текис параллел даракатини
аницлаш. Текис шаклнинг даракат тенгламалари
Барча нукталари берилган дузгалмас текисликка параллел
текисликларда царакатланувчи жисмнинг \аракатига текис па-
раллел даракат дейилади.
Жисмнинг текис параллел даракатига мисол тарицасида вагон
гилдирагининг тугри чизицли изда думалашини ёки бир текисликда
даракатланувчи машина ва механизм цисмларининг даракатини кел-
тириш мумкин.
Жисмнинг текис параллел даракатини аницлаш учун берилган
дузгалмас текисликни П билан белгилайлик (10.1-раем). Жисмни
П текисликка параллел булган IT, текислик билан фикран кесиш
натижасида досил булган кесимни 5 билан белгилаб, уни текис
шакл деб атаймиз. Текис параллел даракат таърифига кура, жисм-
нинг даракати давомида бу текис шакл доимо дузгалмас П текис-
ликка параллел булган II, текисликда даракатланади. Агар 11,
текислик учун Охху текисликни олиб, жиемда бу текисликка перпен-
дикуляр (ёки OjZ уцца параллел) M'MJ кесмани олсак, жисм дара-
кати давомида бу кесма доимо Opt. уцца параллел кучади, яъни бу
кесма илгарилама даракатда булади. Демак, жисмнинг М'М' кес-
мада ётувчи барча нуцталари бир хил траектория чизади дамда дар
онда бир хил тезлик ва бир хил тезланишга эга булади.
Шундай цилиб, жисмнинг Л11Мг чизицда ётувчи нудталарининг
даракатини урганиш урнига MiM'' кесманинг текис шаклга тааллуц-
ли М. нуцтасининг даракатини аницлаш етарлидир. Бошцача айтган-
да, жисмнинг текис параллел даракатини урганиш урнига жисмни
дузгалмас П текисликка параллел Пг текислик билан кесиш нати-
жасида олинган S текис шаклнинг уз текислигидаги (яъни ГД те-
кисликдаги) даракатини аницлаш
етарли булади.
S юза даракатланадиган Пг те-
кивлик текив шаклнинг даракат
|160
^екислиги дейилади. \аракат текислигидаги Орсу дузгалмас коор-
динаталар системасига нисбатан текис шаклнинг даракатини тек-
цдфиш учун текис шаклда цутб деб аталадиган ихтиёрий О нуцта-
нИ олиб (10.2- раем), бу нуцтада текис шаклга бириктирилган Oxxyt
координаталар системасини утказамиз. Агар О(хо, у0) нуцтанинг
коордннаталари ва Охг цузгалувчи уц билан О ус цузгалмас уц ора-
сидаги ф бурчак маълум булса, у цолда цузгалувчи Ох1у1 нинг цо-
лати, бннобарин, текис шаклнинг царакат текислигидаги цолати
маълум булади. Шу сабабли текис шаклнинг царакат тенгламасини
куйидагича ёзиш мумкин:
*о = М0,
У о ~ А(0>
Фо = /з(0-
(10.1)
(10.1) тенгламалар текис шакл харакатининг кинематик тенгла-
малари ёки жисм текис параллел харакатининг тенгламалари
дейилади.
(10.1) ифодадаги биринчи иккита тенглама цутбнинг царакатини,
учинчиси эса текис шаклнинг цутб атрофидаги айланиш цонунини
ифодалайди.
Айланиш бурчаги ф дан вацт буйича олинган цосила текис
шаклнинг бурчак тезлиги дейилади ва иг билан белгиланади:
<о
dt
Текис шаклнинг бурчак тезлигидан вацт буйича олинган цосила
(ёки текис шакл айланиш бурчагидан вацт буйича олинган иккинчи
цосила) текис шаклнинг бурчак тезланиши дейилади ва ег билан
белгиланади:
_ Лог __
ч- Бг ~ ~dt dt2 ‘
Текис шаклнинг бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши цутбнинг
танлаб олинишига бог лиц булмаслигини исботлаймиз. 10.3-раемда
текис шакл сифатида тенг ёнли АВС учбурчак тасвирланган. 1^утб
учун медианалар кесишган О нуцтани оламиз. Жисмга бириктирил -
ган ва у билан биргаликда цара-
катланувчи Ох1 уцни АВ томонга
параллел, Оуг уцни эса ОС буйича
йуналтирамиз. У цолда айланиш
бурчаги ф = хСх2Ох1 булади.
Агар цутб учун учбурчакнинг
А учини олиб, жисмга бирикти-
рилган ва у билан биргаликда ца-
ракатланувчи Ах\ уцни AD медиа-
на буйлаб, Ау{ уцни AD га пер-
пендикуляр йуналтирсак,
10.3- раем.
Н—2282
161
<₽! = <₽ + « (10.2)
ифода уринли булади. Бунда а бурчак узгармас эканлигини эъти-
борга олиб, (10.2) тенгликни икки марта дифференциал ласак,
^1=^Р_о ^221—= ₽
fe? dt dt 2’ dt2 dt2 z
исботланиши керак булган муносабатларни оламиз. Текис шакл их-
тиёрий куринишда булганида дам бу тенгликлар уринли булишини
исботлаш мумкин.
Алодида адамиятга молик булган дуйидаги икки хрлни курамиз.
1. Агар х0 — const, у0 = const булса, дутб дузгалмай, вадтнинг
утиши билан фа дат ср бурчак узгаради. Бу дол да текис шакл ^ара-
кат текислигига перпендикуляр равишда О нудтадан утувчи уд ат-
рофида айланади. Бинобарин, даттид жисмнинг дузгалмас уд атро-
фидаги айланма даракати текис параллел даракатнинг хусусий
доли дисобланади.
2. Агар ср = const булса, фадат дутбнинг координата лари вакт-
нинг функцияси сифатида узгаради дамда дузгалувчи координаталар
системаси узининг бошлангич долатига параллел равишда харакат-
ланади. Бунда текис шакл дамда даттид жисм илгарилама даракат-
да булади.
10.2-§. Текис шаклнинг кучишига оид теорема
Теорема: текис шаклнинг i/з текислигидаги хар цандай кучи-
шини iyjm.6 билан биргаликдаги илгарилама кучиш цамда цутб
атрофидаги айланма кучишдан ташкил топган деб уараш мум-
кин.
Исбот. Текис шакл ОМ кесмасининг А ва t2 ихтиёрий пайтдаги
долатларини мос равишда OpWj ва О2М2 билан белгилайлик (10.4-
расм). О нудтани дутб учун дабул дилиб, текис шаклга шундай
илгарилама кучиш берамизки, натижада унинг Ох нудтаси О2 билан
устма-уст тушсин, Мх нудта М' долатни эгалласин. Бу кучишда
О,Л4] кесма О2М'2 (текис шакл пунктир чизид билан курсатилган)
долатни эгаллайди. Текис шаклнинг илгарилама кучиши век*
тор билан аникланади. Сунгра текис шаклни уз даракат текислиги;
да О2 дутб атрофида ср = /LM'202M2 бурчакка айлантирсак, О2Мг
кесма О2М2 долатга утади ва текис шакл II долатни эгаллайди.
Агар дутб учун М нудтани олсак, текис шаклни I долатдан II
10.4- раем.
долатга кучиришда илгарилама
кучиш М±М2 вектор билан ифо-
даланади. Текис шаклни М2
атрофида АО'Л12О2 га айлантир-
сак, текис шакл II долатни эгал-
лайди. Раемдан курамизки, ОХО2^
162
~л/['М2, яъни илгарилама кучиш цутбнинг танланишига боглш< булади.
0Л’гарилама ^аракат таърифига кура О2Л12 |[ 01Л41 ва О2М2 II ОрИр Би-
нобарин, О2М2 II О'М2 ва АЛф2 М2 = /ДМД, = <р булади. Шу
билан бирга О2 ва М 2 нуцталар атрофидаги айланиш йуналишлари
бир хил булади. Демак, цутб атрофидаги айланиш бурчаги кутбни
танлашга боглиц булмайди.
10.3-§. Текис шакл нуцталарининг тезлнклари
Текис шакл ну^таларининг тезлигига оид цуйидаги иккита тео-
ремани куриб чицамиз.
Теорема 1. Текис шакл ихтиёрий. М нуцтасининг тезлиги
кутбнинг тезлиги билан М нуктанинг цутб атрофида айлани-
шидаги чизикли тезлигининг геометрик йигиндисига тенг.
Исбот. О ва М ну^таларнинг дузгалмас Орсу координаталар
—>•
системасига нисбатан радиус-векторлари мос равишда г0 ва г бул-
спн (10.5-раем). М нуктанинг О ь;утбга нисбатан радиус-векторини
у —->
р билан белгилайлик (жисм абсолют цатти^ булганидан р вектор
мшудор жихатдан узгармайди). У ^олда
~r=~r0+^- (Ю.З)
(10.3) ифодадан вацт буйича биринчи тартибли росила оламиз:
££_=±о_ । dp . (10.4)
<и dt ‘r dt
/ т /у d Г
(1U.4) да _— = ва —— = v0 булиб, моо равишда М ва О
ну^таларнинг Otxy координаталар системасига нисбатан тезликлари-
дир. = vMQ эса М нуктанинг О цутбдан утувчи у^ атрофида
айланишидаги чизицли тезлигини ифодалайди. (9.14) га кура
имо^а>< Р- =
булади. vM0 вектори айланиш йунали-
шига мос равишда МО кесмага утка-
зилган перпендикуляр буйича йуна-
лади.
Шундай цилиб, (10.4) пи цуйида-
гича ёзиш мумкин:
vM^o + ^Mo ' (10.6)
ёки
ил1Ц + “Хр. (Ю.7)
(10.5)
163
Текис шакл нуцтасининг тезлиги-
8___________„-ани (10.6) формула воситасида аниц-
/ лашга цупгб усу лида аницлаш дейи-
/ ладн ’
( ri)% Агарда v0 ва vM0 ва улар ораси-
\ / даги бурчак а берилган булса, коси-
х^^ нуслар теоремасидан фойдаланиб Л1
нуцта тезлигининг мицдори топилади:
10.6-раем. 9 77———
им= I ^о+имо-г-2иоимосо5а. (ю.8)
Теорема 2. Текис шакл иккита нуцтаси тезликларининг шу
нуцталардан утувчи уцдаги проекциялари узаро тенг.
Исбот. Текис шакл О ва М. ну^таларининг тезлик векторлари
vo ва vm берилган булсин (10.6-расм). О ну^тани цутб деб олсак,
М нуктанинг тезлигини (10.6) куринишда ёзиш -мумкин.
vm ~ vo + vmo-
Бу ифодани ОМ ук^а проекциялаймиз:
пРом vm = пРом”о + пРом~"мо- (Ю.8)
vM0 вектор ОМ уцца перпендикуляр булгани учун
пРом vmo ~ б
булади. Натижада (10.8) дан исботланиши керак булган
пРом vm = пРом vo (10.9)
тенгликни оламиз.
(10.9) ифода ёрдамида текис шакл нуктасининг тезлигини
аницлашга проекция усули билан аницлаш дейилади.
10.4-§. Тезликлар оний маркази
Текис шаклнинг берилган онда тезлиги нолга тенг булган нуц-
таси тезликлар оний маркази ёки айланиш оний маркази дейи-
лади.
Теорема. Агар текис шаклнинг бурчак тезлиги нолдан фарц-
ли булса, тезликлар оний маркази мавжуд булади.
Исбот. Берилган онда бурчак тезлиги и2 — ф булган текис
>
шакл ихтиёрий нуктасининг тезлиги v0 нолга тенг булмасин
(10.7-раем). О нуктани цутб деб оламиз ва бурчак тезликнинг
ишорасига цараб текис шаклнинг цутб атрофидаги айланиш йунали-
шини аницлаймиз. Агар coz = ф > 0 булса, текис шакл О нуцта
атрофида соат стрелкаси айланишига тескари, ®z<0 булса, соат
164
стрелкаси айланадиган йуналишда айланади. 0 деб цараб айла-
ниш йуналиши буйича v0 тезлик векторини О атрофида турри бур-
чакка буриш билан олинган ОК чизицда ётувчи ва
РО= —
СО
тенгликка биноан аницланадиган Р нуцтанинг тезлигини ^исоблай-
миз.
(10.6) га асосан vp = vo+ vp0. vp0 вектори OP га перпенди-
куляр булгани учуй ва ОР кесманинг танлаб олинишига кура v0 ва
ир0 векторлар царама-царши томонга йуналади. (10.5) га кура
vp0 тезликнинг модули
vo
vP0 = РО = —-а = v0.
> * >
v0 ва vp0 тезлик векторлари мицдор жгцатдан тенг, йуналишлари
царама-царши булгани учун уларнинг йириндиси нолга тенг, яъни
vp= v0 + vp0 =0.
Демак, тезлиги нолга тенг булган тезликлар оний маркази Р мав-
жуд экан.
Агар тезликлар оний маркази текис шакл контуридан танщари-
Да ётса, тезликлар оний маркази учун текис шаклга маркам бирик-
тирилган текисликнинг ну1\таси олинади.
Агар Р нуцтани ^утб деб олсак, vp = 0 булгани учун текис
шакл М нуктасининг тезлигини (10.6) форму лага биноан цуйидаги-
ча ёзиш мумкин:
vm ~ vp + vmp ~ vmp •
Бунда имр = о• PM (10.8-раем) эканлигини назарда тутсак,
(10.10)
165
мупосабат уринли булишини курамиз. Шундай цилиб, текис шакл
нудталарининг тезликлар опий марказига нисбатан цар ондаги тез-
ликлари цузгалмас уц атрофида айланувчи жисм нуцталарининг тез-
ликлари каби тацсимланади. Бунда айланиш оний маркази орцали
текис шакл текислнгига перпендикуляр равишда утувчи оний уц
цузгалмас уц вазифасини утайди.
Агар тезликларнинг оний маркази ва текис шакл бирор М нуц-
тасининг тезлиги vM маълум булса, текис шакл исталган нуцта-
сининг тезлигнни аницлаш мумкин. Хацицатан цам (10.10) дан фой-
даланиб текис шаклнинг берилган ондаги бурчак тезлигнни цамда
ихтиёрий N нуцтаси тезлигининг мицдорини
''м , W
” и ~ PM ’ vn ~vm рм (10.11)
формулалар вос1»гасида аницлаймиз. vN вектори айланиш оний мар-
кази атрофидаги айланишга мос равишда PN чизицца утказилган
перпендикуляр буйича йуналади.
vN тезлик векторининг учини Р нуцта билан туташтириб, PN
кесмада ётувчи нуцталар тезликларининг тацсимланиш эпюрасини
10.8- расмдагидек тасвирлаш мумкин.
(10.11) ни яна цуйидагича ёзиш мумкин:
яъни текис шакл нудталарининг тезликлари шу нууталардан
тезликлар оний марказигача булган масофаларга tntjppu пропор-
ционал булади.
(10.10) ёки (10.12) формулалар воситасида текис шакл нуцта-
ларининг тезликларини аницлашга тезликлар оний марказидан
фойдаланиб аницлаш дейилади.
10.5- §. Тезликлар онил маркази аницланадиган баъзи
цоллар
Тезликлар оний марказининг асосий хусусиятларидан фойдаланиб,
цуйидаги цолларни курамиз.
1. Текис шакл иккита М ва N нуцтаси тезликларининг йуна-
—>
лиши маълум булсин (10.9-раем, а). М ва А нуцталардан vM ва
—>
vN тезлик векторларига перпендикулярлар утказсак, уларнинг ке-
сишган Р нуцтаси тезликлар оний марказини ифодалайди.
2. Агар /М ва X нукталарнинг тезлик векторлари узаро парал-
лел хамда vM _L MN булса, тезликлар оний марказини аницлаш
учун текис шакл нуцталари тезликларининг мицдори шу нуцталар-
дан айланиш оний марказигача булган масофага пропорционал бу-
1С6
10.9- раем.
лиши хусусиятидан фойдаланамиз. Бундай цолларда тезликлар оний
марказини аницлаш 10.9- раем, б ва в да курсатилган.
3. Агарда ва vN векторлари узаро параллел, лекин MN кес-
мага перпендикуляр булмаса, бу векторларга утказилган перпенди-
кулярлар чексизликда кесишади цамда тезликлар оний маркази мав-
жуд булмайди (10.9-раем, г).
^ацицатан цам (10.9) формулага биноан
vM cos а = vN cos а.
Бннобарин, vM = vN ва (10.6), (10.5) муносабатларни инобатга
олсак, и х MN = 0, яъни текис шаклнинг бурчак тезлиги берил-
ган онда нолга тенг: ®=0. Демак, берилган онда текис шакл
илгарилама царакатда булади хамда тез-
ликлар оний маркази мавжуд булмайди.
4. Текис шакл контури бирор цузгал-
мас сирт устида сирпанмасдап думаласа
(10.10-раем), цар онда текис шакл билан
LE чизицнинг уриниш нуцтаси Р нинг
тезлиги нолга тенг булади. Чунки сирт
цузгалмас булгани учун ундаги хар бир
нуцтанинг, жумладан уриниш нуцтаси-
винг тезлиги нолга тенг булади. Ури-
ниш нуцтаси уз навбатида текис шаклга
цам тааллуцлидир. Демак, текис шакл 10.10- раем.
167
10.11- раем.
контурининг цузралмас LE
марказини ифодалайди.
чизивда уриниш нуцтаси тезликлар оний
10.1- масала, г = 0,5 м радиусли гилдирак тугри чизикли йулда сирпаниб
гилдирайди. Билдирак марказинииг тезлиги узгармас булиб, vo = 10 м/с га тенг
(10.11-раем, а). Рилдиракнинг О нуктадан шакл текислигига перпендикуляр ра-
вишда утувчи горизонтал уц атрофидаги айланиш бурчак тезлиги w — 12 с-1-
Рилдирак гардишидаги А ва В нукталарнинг тезлиги аниклансин.
Ечиш. Рилдирак нукталари >;амиша раем текислигида >;аракатлангани ту-
файли у текис параллел каракатда булади. А ва В нукталарнинг тезликларини
икки усулда аниклаймиз.
1. Кутб учун О нуцтани олсак, (10.6) формулага асосан А нуктанинг тезлиги
— > ' ► —>- —>-
VA ~ Vo + VAO га тенг булади. Бунда vA0 мицдор жикатдан
vA0 =г-(й = 0,5-12 = 6 м/с
булиб, А нуктада гилдирак айланишига мос равишда горизонтал буйича чаша
йуналади (10.11-раем, о). Цутбнинг тезлиги г?0 ни А нуктага кучирамиз. v0 ва
>
vA0 векторлари бир тугри чизик буйлаб карама-карши томонга йуналгани учун
улар алгебраик кушилади:
иЛ=иО — VAO =4м/С.
> vA0 булганидан vA
В нуктанинг тезлигини
вектори v0 вектори буйлаб йуналади.
VB — VO + VBO
формула воситасида аниклаймиз. Бунда vb0 микдор жихатдан vB0 — r-<£> —
— 6 м/с булиб, В нуктада гилдирак айланишига мос равишда вертикал буйича
—>
пастга йуналади. Цутбнинг тезлиги v0 ни В нуктага кучириб, В нуктага
—> — >
Куйилган узаро Перпендикуляр v0 ва vB0 векторларни кушеак, уларнинг йи-
>
гиндиси тугри туртбурчак диагонали буйлаб йуналади камда vB нинг модули
vB = 1/ i>q 4- Hg0 = у/^102 + б2 = 11,66 м/с га тенг булади.
168
2. Масалани тезликлар оний марказини топиш
сули билан ечиш учун О нудтадан v0 векторга да-
* ат йуналиши буйича турри бурчак остида Off
^изидни утказамиз (10.11-раем, б). Р айланиш опий
Маркази О дутбдан
е'о 5
РО = — = — м
о 6
v0
«асофада ётади.
ад ва векторларн мос равишда РА ва РВ
га перпендикуляр булиб, рилдирак айланадиган то*
ыонга йуналади дамда уларнинг модули (10.10) га
асосан аникланади:
1
v .=о>.РЛ = 12*— = 4 м/с,
л 3
10.12- раем.
ов = (а-РВ = 12
= 11,66 м/с.
10.2- масала. Радиуслари гр = 20 см, г2 = 40 см булган икки поронали Н
барабан О нуктадан утувчи горизонтал уд атрофида со = 3 с-1 бурчак тезлик
билан айланади (10.12-раем). // барабан погоналарига чузилмайдиган ип уралган
булиб, у маркази С булган F ралтакни дам дамраб олган. Ипни барабан ва рал-
так сиртлари буйича сирпанмайди деб дараб, ралтакнинг бурчак тезлиги, раемда
курсатилган долатда ралтак гардишидаги В нудтанинг тезлиги (ВС ± ED) дамда
галгак С нудтасига осилган А юкнинг тезлиги анидлансин.
Ечиш. F ралтак доимо раем текислигида даракатланади, яъни у текис парал-
лел даракатда булади.
Ралтак KDQEL ипда сирпанмасдан думалагани учун
VD = VK ' VE = VL-
if ва L нудталар И барабан гардишидаги нудталар булганидан
t>^ = co-r1 =0,6 м/с,
vL — ы-г2 = 1,2 м/с.
Шундай дилиб, vD =0,6 м/с, vE = 1,2 м/с дамда vE || vD, vE J. ED. Биноба-
—> —
рин, vE ва vD векторлар учлари ордали MN турри чизид утказиб, бу чизиднинг
ED билан кесишган Р нудтаси ралтакнинг тезликлар оний маркази булишини то-
памиз. (10.12) формулага кура DP оралидни анидлаймиз:
VD _ VE vD
ЕР ~ DP еки ED — DP~ DP'
Бу тенгликда ED = гг r2 = 0,6 м булгани учун
VD
DP - ------------ED =0,2 м.
ve + VD
ундай дилиб, DP = 0,2 м, PC = 0,1 м, РЕ = 0,4 м.
Ралтак бурчак тезлиги со£ ни (10.10) тенгликка биноан анидлаймиз.
VD
= DP = 3 с”1*
16Q
В ва Р нуцталарни туташтириб галтак айланиши йуналишига мос равишда ВР
га перпендикуляр утказиб, В нуцта тезлигининг йуналишини топамиз. vB мо.
дули эса (10.10) формулага биноан топилади:
vB = -BP = • V(PC)2 + (CB)2= 0,95 м/с.
PC
BCr учбурчакдан: tga = -^-, a = arctg0,3 = 18°30'. AC стержень илга-
~ >• —>
рилама ^аракатда булгани учун vA = vc. С нудта Р галтакка ^ам тегишли бул-
ганидан
vc— = м/с.
Демак, vA = 0,3 м/с.
10.3- масала. Планетар — кулиса механизмида ОА кривошип О уг; атрофида
со 0 бурчак тезлик билан айланиб, BF стерженга шарнирли борланган D сателлит-
пи харакатга келтиради (10.13-раем). BF стержень узининг харакатида доимо
^узралмас С ну^тадан утади. ОА кривошип вертикал холатни эгаллаган, ср = 30°
ВАО = 90° булган пайтда BF стержень С нугргасининг тезлиги аншрлансин.
К, у зга л мае шестерня радиуси 2г, ^узралувчи шестерня радиуси г га тенг хамда
ав = г уз;
Ечиш. BF стержень С нуцтасипипг тезлиги Л ва В ну^талар тезлигига бор-
лиг; булгани туфайли аввал А ва В нуцталар тезлигини анидлаймиз.
А нукта со0 бурчак тезлик билан айланувчи О А кривошипга тегишли бул-
— >-
ганидан vA ± ОА э;амда
vA = ОЛ-со0 = Зг-со0 .
D сателлит текис параллел харакат цилали, бунда срузгалувчи ва трузгалмас
шестерняларнинг Р уриниш нугргаси сателлитпинг тезликлар оний маркази була-
ди. Шунинг учун сателлит В нугргасининг vB тезлиги Р атрофида сателлитнинг
айланиш йуналишига мос равишда РВ кесмага перпендикуляр равишда йуналади.
Тугри бурчакли РАВ учбурчакда:
АР г УТ
tg а =----= — — — =---------, яъни а = 30°.
АВ Уз г 3
Проекция усулидан фойдаланиб В нуцта тезлигини анидлаймиз:
"Рва vb~ пРва VA.
VA
Шунга кура vB cos 60° = vA ёки vB — ~со~ 6qo~ = 6г ш0 .
BF стержень харакати э;ам текис
5орат. Стержен-
цузгалмас нуц-
инг vc тезлиги
равишда стер-
г;амда проекция
vB ларнинг СВ
узаро тенг б}>-
параллел ^аракатдан и
нинг С нуцтаси доимо
тадап утгани учун уг
В нуцта тезлигига мос
жень буйича йуналади
усулига
уцдаги
лади:
асосан vc ва
проекциялари
пРсв vc ~ п>
Бу формулага кура vc
7св vb •
= oB-cos 30° =>
10.13-раем. =зуЗг-соо.
170
10.6-§. Центроидалар
умумий ^олда тезликлар оний маркази вактнпнг утиши билан
текис шаклнинг уфакат текислигида уз ^олатини узгартира боради.
Агар тезликлар оний марказининг >;ар ондаги ^олатини текис шакл-
ва ^аракат текислигида белгилаб борсак, уларнинг геометрик
”,рНи иккита чизицни ифодалайди.
* Тезликлар оний марказининг текис шаклнинг ^аракат текисли-
гидаги геометрик урни кузгалмас центроида дейилади.
Тезликлар оний марказининг текис шаклга борланган текислик-
даги геометрик урни цузгалувчи центроида дейилади.
Масалан, цузгалмас рельс устида сирпанмай думалаётган гилди-
рак учун кузгалмас центроида турри чизиц, цузгалувчи центроида
гилдирак гардишидаги айланадан иборат (10.14-раем).
Хар онда цузгалмас ва цузгалувчи центроидалар тезликлар оний
марказини ифодаловчи Р ну^тада умумий уриниш ну^тасига эга бу-
лади Шу сабабли цаттиц жисмнинг текис параллел ^аракатини
геометрик тарзда ^уйидагича таллин цилиш мумкин: текис шакл-
нинг харакатини цузралувчи центроидани кузгалмас центроида
устида сирпантирмасдан думалатиш натижасида олиш мумкин.
10.4-масала. Узунлиги 2а га тенг булган эллипсограф АВ линейкасининг
А учи Ох уч, В учи Оу уц буйлаб харакат чилади. Эллипсограф линейкасининг
Чаракати учун центроидалар топилсин (10.15 - раем).
Ечиш. А ва В нучтани.чг тезлик векторлари Ох ва Оу учларда ётади. А ва
В нучталарда уларнинг тезликлари йуналишига перпендикуляр чизичлар утка-
зиб, кесишган нучтасида ётувчи тезликлар оний маркази Р нучтани аниклаймиз.
АВ нинг турли чолатига мос равишда Р нинг чолатини аничлаш мумкин. 10.15-
раемдан курамизки, ОР = АВ = 2а чамиша узгармас булади. Бинобарин, Р нуч-
танинг кузгалмас Оху координаталар системасига нисбатан геометрик урни радиу-
си 2а, маркази О пуктада булган айланадан иборат булади. Бу айланани D би-
лан белгиласак, у чузгалмас центроидани ифодалайди.
Агар АВ нинг уртасидаги нучтани С билан белгиласак, чаракат давомида
Камиша СР = — ОР = а узгармас булишини Курамиз. Бинобарин, Р нучтанинг
.0 14- раем.
10.15- раем.
АВ билан биргаликда царакатланувчи
Axtyt координаталар системасига нисбатан
геометрик урнн радиуси а га тенг а ла-
надан иборат булади. Бу айланани Е би-
лан белгиласак, у цузгалувчи центроидани
ифодалайди.
АВ линейка царакатланганда Е айлана
D айлана ичида сирпанмасдан харакат-
ланади. Бошцача айтганда, АВ линейка-
нииг харакати Е айлананинг D айлана
ичида сирпанмай цилган царакати билан
айнан бир хил булади.
10.7-§. Текис шакл
нуцтасининг тезланишини
цутб усулида аницлаш
Теорема. Текис шакл ихтиёрий
10.16-раем. нуцтасининг тезланиши цутбнинг
тезланиши билан мазкур нуцтал
нинг цутб атрофида айланишидаги тезланишининг геометрик
йикиндисига тенг.
Исбот. Текис шакл М нуцтасининг тезланишини аницлаш учун
(10.7) иродадан вацт буйича цосила оламиз (10.16-раем).
4 ГЛ1
~dt~~
= —Ф? + £.У. X р + со X -d р .
dt dt dt
(10.13)
Бунда -----— =и.’ ва _____— = w0 мос равишда цузгалмас О.ху
at м dt 1
координаталар системасига нисбатан М ва О нуцталарнинг тезлани-
шинн, (9.14) га кура —£- = со X р = vM0 — М нуцтанинг О цутб
атрофида со бурчак тезлик билан айланишидаги чизицли тезлигнни,
(1 <0
----= е текис шаклнинг бурчак тезланишини ифодалайди. е век-
di
тори (со вектори каби) царакат текислигига перпендикуляр йуналади
цамда е = e?. k формула ёрдамида аницланади.
Шундай цилиб, А4 ва О нуцталарнинг тезланишлари орасида цу-
йидаги муносабат уринли булади:
юм = юо+ е х Р+“ х (10.14)
Бунда
ex’p=^J10. (10.15)
®х vmo~ wmo' (10.16)
(10.15) ифода М нуктанинг О цутб атрофида айланишидаги айлан-
ма тезланишини, (10.16) ифода эса М нуцтанинг О цутб атрофи-
да айланишидаги марказга ишпилма тезланишини ифодалайди.
;72
Шундай цилиб, (10.14) ифодани куйидагича ёза оламиз:
WM = С О + WMO + WMO. <10-17)
j, формулада айланма тезланиш билан марказга иптнлма тезланиш-
ларнинг геометрик йигиндиси М нуцтанинг О цутб атрофида айла-
ипшидаги тезланишини ифодалайди:
= “W
Натижада (10.17) ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
= wo + WMO- S <1018)
(10.17) формулалаги wxMO айланма тезланиш вектори М нуцтани О
цутб билан бирлаштирувчн О И чизицца перпендикуляр равишда йу-
налади; бунда сог ва ег бир хил ишорали булса, шхм0 ва vM0 век-
торлари бир йуналишда; турлича ишорали булса, ы^0 нинг йунали-
ши ~vM0 га царама-царши булади (10.16-расмда а>г ва ег бир хил ишо-
рали булган хол тасвирланган). (10.17) даги w^0 марказга интилма
тезланиш вектори цамиша /И нуцтадан О цугб томон йуналади.
(9.17), (9.18) ва (9.20) формулаларга асосан WMO’ WMO 133 WMO
ларнинг микдори
^,0 = e-7WO, (10.19)
WMO ~ (10.20)
WMO = М0 + oyl > (10.21)
wM0 нинг йуналиши эса (9.21) га кура
tgp = -r СО2 (10.22)
формулалар ёрдамнда аницланади.
10.8-§. Цутб усули билан текис шакл нуцталаривинг
тезланишларини аницлашга оид масалалар
Текис параллел царакатдаги жисм нуцтасининг тезланишини
аницлашга дойр масалаларни асосан 4 хил гуруцга булиш мумкин.
I хил масалалар. Текис шаклнинг бурчак тезлиги со, бурчак
тезланиши е цамда бирор О нуцтасининг тезланиши w0 берилган
еки уларни аницлаш мумкин булиб, текис шакл ихтиёрий Л1 нуц-
тасининг тезланишини аницлаш суралади.
_ ? М нуцтанинг тезланишини (10.17) дан фойдаланиб, wxi0 ва
wmo ларнинг мицдорларини эса (10.19), (10.20) формулалар ёрдами-
173
да анидлаймиз. Сунгра (10.17)ни узаро
ва Му йуналишга проекциялаб ым
перпендикуляр иккита Мх
нинг мивдорини wM =
—V + wMy Формула билан аницлаш мацсадга мувофицдирД
wM йуналиши эса йуналтирувчи косинуслар ортали топилади.
10.5-масала. Радиуси R га тенг галтакка Е учи ^узгалмайдиган цилиб бор-
ланган ингичка ип уралган (10.17-расм, о). Ралтак пастга тушишида унинг ук,и
вертикал буйича йуналган v0 = — gt тезлик билан ^аракатланади. Ралтак гарди-
шидаги Р, А, В нуцталарнинг тезланишларп ани^лансии; РВ j. ДО.
Ечиш. Ралтак текис параллел ^аракат цилади. Ралтак марказидаги О пуцта-
нинг вертикал буйича тугри чизикли харакати берилган. Бинобарин, О нудтани
цутб деб танлаш учун аввало унинг тезланишини анидлаймиз:
<fo0
dt
1
2
g-
w0 вектори вертикал буйича пастга йуналган.
Ип осилив турган ^исминииг тезлиги нолга тенг булганидан галгак Р нук-
тасининг гезлиги ^ам нолга тенг, яъни Р ну^та ралтакнинг тезликлар оний мар-
кази булади. Шу сабабли галтакнинг бурчак тезлиги
г OP 2R
—>
булади. v0 тезлик йуналишига кура бурчак тезликни соат стрелкаси ^аракати-
га тескари йуналган ёй стрелкаси тарзида тасвирлаш мумкин.
Ралтак бурчак тезлиги вацтнинг функцияси сифатида апицланган. Бинобарин,
ралтакнинг бурчак тезланиши куйидагича топилади:
• g
ег=^ = 1Г
сог ва ег бир хил ишорали булгани учун ралтакнинг бурчак тезланишини 10.17-
расм, а да курсатилган ёй стрелкаси билан тасвирлаш мумкин.
О нудтани дутб деб олсак, (10.17) формулага биноан тезликлар оний мар-
кази Р нуктанинг тезланиши цуйидаги тенгламадан аникланади:
174
Шр= w0+ wnp0+ Wp0. (1)
(10.20) ва (10.19) га кура
о2
а)"о = ®2.РО=^, (2)
^'РО = е-РО= ~~g (3)
булиб, Wpo марказга интилма тезланиш вектори Р дан О га г$араб, Шр0 — ай-
ланма тезланиш вектори эса ОР га перпендикуляр равипГда е ёй стрелкаси йуна-
лишига мослаб йуналтирилади. 10.17-расм, б дан курамизки, Шр0 ва w0 век-
торлари бир тугри чизиц буйлаб царама-царши томонга йуналган ^амда а’О —
= Шр0- Шундай цилиб, (1) ифодада Wq — — Wp0 булгани туфайли
—~>-п
wp = Wp0 ва wp = t2.
Р ну^та тезланиши Р дан О га цараб йуналган. А нутуга тезланишини аииц-
лашда яна О ни ^утб деб оламиз:
Чл = ®о+ wao + ~^ao- <4)
Бу ифодадаги w^0 вектори А дан О га ^араб, яъни ш0 билан бир то-
монга, wxA0 эса Ох уциинг мусбат йуналишига тескари йуналган. АО — ОР =
= R булгани учун ва wAC мицдорлари (2) ва (3) тенгликлар билан аниц-
ланади.
(4) вектор тенгламани узаро перпендикуляр Ох ва Оу у^ларга проекция-
лайм из:
т е
wAx = -wAO = ~-^-’
wAy = -wO-wAO = -^-(^ + еП-
Бинобарин, А ну^та тезланишининг модули
“л~ ]/Р+<®+4®.
нинг йуналиши эса
wAx R
003^..) = -=-^-^^,
«OS (шл, у)
WAy
2|/fi,+ W±£«.
рмулалардан аникланади.
6 пуща тезланиши хам аввалгига ухшаш аницланади:
wB = w0 + wnB0 + К'Хо-
(5)
175
(5) тепгламада
= w’o = e.OB = -f->
гф0, wbo векгорлари 10.17-раем, б да курсатилганидек йуналган.
(5) да ш 0 ва бир ил йуналишда, w^q эса мазкур йуналишга пер*
пепдикуляр булгани учун
wb =}/(“'во) +(шо+шво)2 — 2R + 16/?г.
В нуцта тезланишининг йуналишини а бурчак ортали аишулаш мумкин:
“'во + “’о _ g -4R
^ЕО ^.t2
4R
ёки
, 4R
K=arctg^-
II хил масалалар. Вацтнинг бирор пайти учун текис шакл О
нуцтаси тезланишининг мивдор ва йуналиши, оний бурчак тезлик
ва бопл^а бирор М иу^таси тезланишининг йуналган чизиги маъ-
лум. Текис шаклнинг шу пайтдаги бурчак тезланиши ва М нуцта-
нинг тезланишини аницлаш талаб этилади.
М нуцта тезланишини аницлашда (10.17) формуладан фойдала-
намиз.
—>-
Ундаги w^t0 нинг миедори (10.20) формула билан аншуланади.
Бинобарин (10.17) тенгликнинг унг томонидаги w0 ва w^0 вектор-
лар мицдор ва йуналиш жи^атдан маълум. wxM0 МО га перпенди-
куляр булиб, унинг йуналиши маълум эмас. Одатда w^0 ни йу-
налтиришда М нудтанинг О атрофида айланиши тезланувчан деб
царалади. (10.17) тенгламани wM га перпендикуляр йуналишга про-
екциялаш натижасида щ*мо нинг мивдори аницланадиган битта
тенгламага эга буламиз. Агар бу катталик манфий ^ийматга эга
-• >
булса, ыхм0 нинг ^ациций йуналиши олинган йуналишга ^арама-
1\арши, яъни М нинг О атрофида айланиши секинланувчан булади.
wxM0 ни билган ^олда (10.19) га асосан в ни анидлаймиз. (10.17)
—> —
ни шм га перпендикуляр булмаган уцца проекциялаб, wM ни миц-
дор ва йуналиш жи^атдан аницлаймиз. Бунда wM нинг ишораси
унинг йуналишини характерлайди.
10.6-масала. Кривощип-шатунли механизмнинг берилган ^олати учун В нуК"
танинг тезланиши аницлансип (10.18-раем, а). Цуйидагилар берилган: АВ = I,
ОА= г, (ООА = (1)0 , еол = е0 .
176
10.18- раем.
Ечиш. О А кривошип 0)0 бурчак тезлик ва е0 бурчак тезланиш билан айлан-
ма ^аракатда булгани учун А нудтанинг тезлик ва тезланишини ^уйидагича ани^-
лаш мумкин:
^л = “о-г> (1)
®А = WA + ЮА •
(2>
бунда
(3)
^Л = ео-^ <4=®о-'--
Бу векторларнинг йуналиши 10.18-расм, б ва в дагидек йуиал члч.
А нучтани цутб деб олиб, АВ шатун В ну^тасининг тезланишини (10.17) га
биноан анидлаймиз (10.18-расм, в):
= WA + WBA + WBA
ёки
О' В~ + WA + ШВА + ШВА‘
(4)
В нудтанинг ^аракатини тезланувчан деб 1\араб, ни vB буйича йунал-
тирамиз.
(4) ифодада
w%ba = еав'ав = ЕАВ'1’ шва = “лв* АВ = ^ав-1 (5)
булиб, аАБ ва елв лар мос равишда АВ шатуннинг берилган пайтдаги оний-
бурчак тезланишини ифодалайди.
вектори В нуцтадан А г^утбга йуналган; wxBA эса АВ га перпенди-
куляр йуналган. В нудтанинг А цутбга нисбатан айланишини тезланувчан деб
фараз цилиб, АВ шатуннинг Р тезликлар оний маркази атрофида айланишидаги
опий бурчак тезлик йуналишига мос равишда швА ни 10.18-расм, в дагидек fijf-
12—2282
177
налтирамиз. Шатуннинг берилган цолати учун тезликлар оний маркази Р нуцта-
да булгани учун
„ _ VA _ ®о г
Ав АР 21
(6)
(6) формула ёрдамнда механизмнинг берилган пайтдаги цолатига мос келув-
чи АВ шатуннинг оний бурчак тезлиги аницланади. Шу сабабли, елв ни (6) ни
дифференциаллаш йули билан аницлаб булмайди. елв номаълум булгани учун
ни аншугашда (4) ни wB вектори йуналишига перпендикуляр булган
By уг^ча проекциялаймиз:
О = w^cos 30° — шл -cos 60° 4-
Бундан
= w~a cos 60° — w^cos 30°.
(3) ни назарда тутсак,
— g (е° ^оТ/з). , (7)
(7) дан курамизки, е0 > Wq1/3 булса, wxBA > 0 ва В нуктанинг А цутб атро-
фида оний айланиши тезланувчан булади ва юВА йуналиши 10.18-расм, s да
курсатилганидек цолади; бцСОдЗ/з цолида иВА нинг йуналиши мазкур расм-
дагига царама-царши булади.
(5) га кура wxBA = tAB-l булгани учун
елв= 21 “(П/З + ер ).
(4) ни Вх уцца проекцияласак,
w Вх= WBA + ШЛ cos 30° + WA COS 60° = — С0Л£ I -р Е" -р
4- шог — _ шог3 _|_ s°r ^3 , ® о г
2 ~41 2~ ~2~
“о
+ ео "1/ 3
г
2
Агар —-|^-4-1 j 4-ео1/з ^Обулса.Шд
мусбат, акс цолда манфий йуналишига мос тушади.
Шундай цилиб,
нинг йуналиши
Вх нинг
wb — 2 J “о ( — 2i + 1! + е° ’
III хил масалалар. Вацтнинг бирор пайти учун текис шакл икки-
та О ва М нудталарининг тезланиши мицдор ва йуналиш жицатдан
маълум булиб, текис шаклнинг шу пайтдаги бурчак тезлиги, бур-
чак тезланиши, шунингдек ихтиёрий нуцтасининг тезланишини аниц-
лаш суралади.
Масалани ечиш учун тезланиши маълум булган нуцталардан
бири, масалан О нуцтани цутб деб олиб, иккинчи нуцтасининг тез-
ланишм учун (10.17) куринишдаги тенгламани олиб, уни иккита
бир-бирига перпендикуляр йуналишга (одатда О If ва унга тик бул-
178
гаН йуналишга) проекцияланади.
Хосил булган иккита тенгламадан
133 wmo лаР х-амда (10-20) ва
(10.19) воситасида со ва е лар
М нуцта-
Б
—Г
и
10.19- раем.
Р7 1^
®лю 133 WM0
аникланади. Бунда wnM0
дан О га цараб йуналган. w^,0
вектори Wmo га перпендикуляр ра-
вишда (10.17) тенглик асосида йу-
налтирилади.
10. 7-масала. Узунлиги 0,12 м бул-
ган бир жинсли стержень текис параллел
царакат цилади. Стержень учларидаги
нуцталарнинг тезланиши = 0,24 м/с2,
шв = 0,12 м/с2 хамда АВ га перпенди-
куляр равишда бир томонга йуналган.
Стержень бурчак тезлиги, бурчак тезланиши
аницлансин (10.19-раем, а).
Ечиш. ВЛ билан wB—wA айирма орасидаги бурчак 90° га тенг булгани
учун масала ечимга зга.
1\угб учун А нуцтани цабул цилсак, (10.17) га кура С нуцтанинг тезланиши
WC — WA + ШСА + ШСЛ
ва С огирлик марказининг тезланиши.
(1>
(2)
формула ёрдамнда аницланади. (1) даги шВА ва uQA ларни аницлаш учун дасг-
лаб бурчак тезлик со ва бурчак тезланиш е ларнинг цийматини цисоблаш керак.
Бу катталикларни цисоблаш учун В ва А нуцталарнинг тезланишлари ораси-
даги муносабатни ифодаловчи
= + +wBA
тенгламадан фойдаланилади. (10.19) ва (10. 20) га кура (2) да
= wBA = а2-АВ
цамда шВА В дан А га цараб йуналади; wBA ни йуналтиришда В нинг А цутб-
га нисбатан айланиши соат стрелкаси айланишига тескари деб оламиз.
(2) ни танлаб олинган х ва у уцларга проекциялаб
(3) .
WB = WA—WBA
тенгламаларни оламиз. Шундай цилиб,
^вл=0,
WBA ~ WA ~WB = 0,12 м/с»
•ки (10.20), (10.19) ларни эътнборга олсак,
со = 0,
„5
(4)
179
е>0 булгани учун wxBA 10.19-расм, б дагидек иуиалганлигига ишонч зрсил
ч^иламиз.
(4) ни эътиборга олсак, (1) да
ttCA = е-ЛС = 0,06 м/с2,
= <и3-ЛС = 0
булишини курамиз.
шВА вектори АВ га перпендикуляр равишда С нуктанинг с^утбга нисбатан ай-
ланиши йуналишига мослаб олиниши керак.
С нуктанинг тезланишини ашщлаш учун (1) ни х ва у уцларга проекциялай-
миз:
wcx = °.
wCi; = WA~ а'СА = 0 ,24 — 0,06 = 0,18 м/с2.
Бинобарин, С нуктанинг тезланиши мицдор жихатдан wc =0,18 м/с2 га тенг
булиб, у By у^нинг йуналиши буйича, яъни шА ва wB ларга параллел равишда
йунатар экап.
IV хил масалалар. Вацтнинг бирор найти учун текис шаклнинг
оний бурчак тезлиги со ва О нуктасининг тезланиши w0 мицдор ва
йуналиш жихатдан берилган. Ушбу текис шаклнинг ихтиёрий М
нуктаси шакл текислигидаги бирор цузгалмас уц атрофида cot
бурчак тезлик билан айланувчи жисмга ^ам тааллуцлидир. М нуц-
танинг тезланишини, текис шакл, шунингдек, О, уц атрофида айла-
нувчи жисмнинг бурчак тезланишини аниклаш суралади.
Бу хилдаги масалаларни ечищда бир томондан М нудтани те-
кис шаклга тегишли деб г^араб, (10.17) тенгламани, иккинчи томон-
дан С\ уц атрофида айланувчи жисмга тааллуцли деб цараб, (9 16)
га кура
= ™МО, + wmo, («)
тенгламани ёзиш мумкин. (10.17) ва (а) тенгламаларни унг томон-
ларини )заро тенглаштирсак,
WMO, + wMOt = + ™мо (б)
векторли тенглама оламиз. со ва cot берилган булгани учун (б) тенг-
ламадаги , ш0, шпм0 ларни ^исоблаб топиш мумкин; w^0 ва
1^мо векторларининг йуналиши М нуктанинг мое равишда О± ва О
ларга нисбатан айланиши тезланувчан деб тахмин цилиниб танлана-
ди. (б) ифодани икки хил йуналишга проекциялашдан ^оснл булган
тенгламалардан wxMOi ва аникланади. Сунгра М нуцта тезла-
ниши модули (9.20) га асосан
ИЛ1 = +
J80
бурчак тезланишлари эса (10.19) ва
(9.17) га кура аникланади:
К'МО wMOt
е =-----, е. = ----
МО MOt
Бу холла М нуцта тезланишининг
йуналиши (9.22) тенгликдан фой-
даланиб топилади.
10.8-масала. Шарнирли OABOt турт
звеноли механизм да О А кривошип узгар-
мас соо бурчак тезлик билан харакатлана-
ди. Агар О^В — АВ = 2ОА — 2а булса,
механизмнинг 10.20-раемда курсатилган
уплати учун АВ стержень ва OtB кри-
вошипнинг бурчак тезлиги, бурчак тез-
ланиши ва В нудтасининг тезланиши апиц-
ларсии.
Ечиш. В нуцта бир йула АВ кривошипга ва ВОХ шатунга тааллуцли бул-
гани учун унинг тезланиши икки хил тенглама ёрдамида аницланиши мумкин:
Бунда
хамда
w\ = ОА-е0 = а-0 = 0,
wnA — ОЛ-Wp = o-Wq.
“'вл — ^®‘елв — 2°елв’
^л = ЛА-со2лв = 2аа^в.
(1>‘
(2)
(3>
(4>
2 2
п _ VB _ VB
wbo,---------' — ’
1 ВО. 2а
Бу формулаларда солв, еАВ лар мос равишда АВ шатуннинг оний бурчак тезли-
ги ва опий бурчак тезланишини ифодалайди. wА = 0 булгани учун А нуктанинг
тезланиши wA — ti/A фа^ат марказга интилма тезланишдан иборат булади ва А
Дан О га йуналади. шВА тезланиш АВ га перпендикуляр, шв0 эса BOt га пер-
пендикуляр йуналади. В нуктанинг А ва Ot га нисбатан айланишини тезланувчан.
Деб тахмин цилиб, швл ва wB0 векторларни 10.20-раемдагидек йуналтирамиз.
VA ва Гд узаро параллел ва уларга утказилган перпендикуляр чизиклар
узаро кесишмаганлиги туфайли АВ шатуннинг берилган ондаги бурчак тезлиги
~ 0 булади. Шу сабабли vA ~ vB ^амда
(5)
181
aBOt —
2 2
Ч4 = ^0.
2а 2
(2), (3) ва (5) га асосан (1) ^уйидагича ёзилади:
“во, + “'во, — wa + WBA.
(7) ни By уеда проекциялаймиз:
^во. = — “ва cos 30°>
бундан
„,,2
2 d соо
х °“0-— 0о2у<5
WBA —-------------—----------= -------
cos 30° "|/ з 3
~2~
У ^олда АВ шатуннинг бурчак тезланиши
wxBA аы^уз шо У*3
ОД ----------------- = ------.
АВ 3-2а 6
(6)
(7)
8лв>° булгани учун шхВА ^а^и^атан ^ам 10.20-расмдагидек йуналганлигнга
яшонч ^осил ^'иламиз.
(7) ифодани Вх уеда проекнияласак, wxBOi = wBA cos 60°. Бундан wxB0 =
_ —о У 3, ЩуНДай ^ИЛИ(5
6
WB ~ + (^boJ2
“во, Уз.
tg И = —— = ~ еки [Т = 30°.
wnB0 й
'ОХВ кривошипнипг бурчак тезланиши
eOtB —
“'во, _ юо V 3
О±В 12
10.9-§. Тезланишлар оний маркази
Тезланиши берилган онда нолга тенг булган текис шаклнинг
(ёки текис шаклга маркам бириктирилган ва у билан биргаликда
^аракатланувчи текисликнинг) нуцтаси тезланишлар оний маркази
дейилади.
Теорема. Илгарилама >;аракатда булмаган текис шаклнинг \а-
ракат текислигида %ар онда тезланишлар оний маркази маежуд
булади.
Исбот. Текис шаклнинг бурчак тезлиги оз, бурчак тезланиши е
ва айланиш йуналиши з^амда О ну^таси (^утб) нинг тезланиши w0
берилган булсин. Тезланишлар оний марказини Q билан белгилай-
182
лик. Q нудтанинг холатини ани^лаш учун (10.22) формуладан р
бурчакни топамиз: p = arctg—.
w0 вектори билан р бурчак ташкил этувчи ON турри чизицни
утказамиз; агар текис шаклнинг айланиши тезланувчан булса, р бур-
чак айланиш йуналиши буйича, секинланувчан булса, айланишга
тескари йуналишда цуйилади (10.21-раем, а, б). ON чизи^да О нуц-
тадан
= . _KL°__ (10.23).
V е г -|- со4
масофада Q нудтани олсак, бу ну^та тезланишлар оний маркази бу-
лади.
Хгщи^атан ^ам, О нучтани цутб деб олиб, Q нудтанинг тезла-
нишини (10.18) га кура ^исоблайлик:
^Q = ^o + WQO- (10.24).
(10.21) формулага асосан:
wQ0 = 0QVe24-W4,
(10.23) ни эътиборга олсак,
wQ0 = - Л0- - .-'Не2 + и4 = w0
"|/е2 4- со4
тенглик келиб чицади. wQ0 вектори OQ билан р бурчак ташкил эта-
—и
Ди, яъни wQ0 вектори w0 га микдор жи^атдан тенг, йуналиши кара-
ма-^арши булади: wQ0 — — w0. Буни (10.24) га 1^уйиб, wQ = 0 були-
шини к^рамиз. Шундай цилиб, Q нуцта тезланишлар оний маркази
булади. И
Тезланишлар оний маркази Q ^амда текис шаклнинг оний бур-
чак тезлиги со ва оний бурчак тезланиши в маълум булса, текис
183.
шакл ихтиёрий М нуцтасининг тезланиши цуйидагича аницланади
(10.22-расы).
Q нуцтани цутб деб олсак, (10.17) га кура
k'm==m’q + i^q+^«2-
Бунда wQ = 0 булганидан
WM = WMQ + WMQ = (10.25)
тенглик уринли булади.
Шундай цилиб, текис шакл ихтиёрий нуцтасининг тезланиши
шу нуктанинг тезланишлар оний маркази атрофида айланиши-
даги тезланишига тенг булади.
(10.21) ва (10.22) га кура цуйидаги формулалар уринли булади.
wM = М Q V е2 + со4, (10.26)
tgp=^-. (10.27)
Текис шакл бошца бирор L нуцтаси тезланишининг мицдори
(10.26) га асосан цуйидагича аницланади:
= LQVtf + a*, (10.26 а)
йуналиши учун (10.27) формула узгармай цолаверади, яъни текис
шакл нукталарининг тезланиши мазкур нукталарни тезланишлар
оний маркази билан туташтирувчи чизиклар билан бир хил
бурчак ташкил этади.
(10 26) ва (10.26, а) дан
wM wi --------------
= i^2 + со4 (10.28)
Л«2 LQ ’ г ’
муносабатни оламиз.
Демак, текис шакл нУ^талаРининг тезланишлари шу нуцта-
лардан тезланишлар они^ марказигача булган масофаларга тугри
пропорционал булади.
---\ Цуйидаги хусусий цолларни курай-
м \ лик.
~/Г- их \ 1. Текис шаклнинг бурчак тезлиги
/ X? \ нолга тенг, яъни со — 0 ва в =£ 0 булсин
/ I (10.23-раем) . У холда (10.27) дан
1 / / р = arc tg — = arc tg оо = 90°
\
\ У булиб, текис шакл ихтиёрий нуцтасининг
тезланиши шу нуцтани тезланишлар оний
маркази билан туташтирувчи чизицца
J0.23- раем. перпендикуляр йуналади, яъни текис
J84
1)Икл ихтиёрий нуцтасининг тезланиши фа-
^ат тезланишлар оний маркази атрофидаги
айланма тезланишдан иборат булади:
^m==wmq = MQ-e’ wl = wIq = LQ-e.
gy цолда текис шакл икки нуцтасининг тез-
ланиш векторларига мазкур нуцталардан
перпендикулярлар утказсак, уларнинг ке-
сишган нуцтаси тезланишлар оний маркази-
ни ифодалайди.
2. со =/= О, 8 = 0 булсин. У цолда р =
= arctg—=0 булиб, текис шакл нуцта-
а>г
ларининг тезланишлари шу нуцталарни тез-
ланишлар оний маркази билан Туташтирувчи чизицлар буйича Q
нуцта томен йуналади хамда wM = = AfQ-co2 булади. Биноба-
рин, курилаётган цолда тезланишлар оний маркази текис шакл нуц-
талари тезланиш векторларининг кесишган нуцтасида ётади (10.24-
расм).
3. <о = О, е = 0 булса, берилган онда текис шакл барча нуцта-
ларининг тезланиши геометрик тенг булади, чунки (10.17) га биноан
текис шакл барча нуцталарининг тезланишлари цутбнинг тезлани-
шига тенг булади:
WM = WL = --- = ^0
цамда
Умумий цолда тезликлар оний маркази ва тезланишлар оний
маркази устма- уст тушмайди. Мисол тарицасида радиуси /? га тенг
ва маркази узгармас v0 тезлик билан царакатланувчи гилдиракнинг
турри чизицли рельсда сирпанмасдан гилдирашини курайлик (10.25-
расм) Билдирак сирпанмасдан царакатлангани учун тезликлар оний
маркази рилдиракнинг рельсга тегиб турган Р нуцтасида ётади. Шу
сабабли
Vo = РО-(£) — Р-<£>.
Билдирак со = _£ — const бурчак тезлик
билан харакатланади. Унинг марказидаги
О нуцта узгармас тезлик билан турри
—>-
чизицли царакатлангани учун w0 — 0.
Яъни тезланишларнинг оний маркази Q
гилдиракнинг маркази О нуцта билан
Устма- уст тушади цамда гилдирак ис-
талган нуцтасининг тезланиши унинг тез-
ланишлар оний маркази атрофида айлан-
10.25- раем.
185
ма ^аракатидаги марказга интил-
ма тезланишдан иборат булади.
Масалан, гилдирак тугинидаги
Л/i, М2, .... М„ Р нуцталар-
нинг тезланиши куйидагича аниц-
ланади:
wm. = wm,= • • • = =
2
= /?-со2 = А
R
Рилдирак исталган ну^тасининг тезланиши тезланишларнинг оний
марказига йуналади.
Юцорида курганимиздек, цаттиц жисмнинг цузгалмас уц атрофи-
даги айланма харакати текис параллел ^аракатнинг хусусий ^олидан
иборат булади. Бундай ^аракатдаги жисмнинг цузгалмас укда ётувчи
барча нуцталарининг тезлик ва тезланишлари нолга тенг булади.
Бинобарин, бу >:олда тезликларнинг оний маркази ва тезланишлар-
нинг оний маркази устма- уст тушади ва айланиш уцида ётади.
10.9- масала. ОА кривошип Оу уцда ётганда кривошип- шатунли механизм
В ползунининг ва АВ inaiyii уртасидаги С нуктанинг тезланишлари аниклансин
(10.26- раем).
О А кривошип О нуцта атрофида со0 = 15 с-1 узгармас бурчак тезлик билан
айланади. Кривошипнинг узунлиги ОА — 0,4 м, шатуннинг узунлиги АВ = 2 м.
Ечиш. Шатун А ва В ну^таларининг тезлиги vA ва vB узаро параллел хам-
да АВ га перпендикуляр булмагани учун тезликлар оний маркази ( vA ва vB га
А ва В нуцталарда утказилган перпендикулярнинг кесишган нуцтаси) чексиз
узоцлашган пуцтидан иборат булади, яъни берилган онда о>дВ=0 булади.
В нукта тугри чизицли хаРакатЛа булгани учун унинг тезланиши Ох уц
буйлаб йуналади; шатуннинг А нуцтаси О А кривошипга .\ам тааллуцли булнб,
—
ОА кривошип текис айланма хаРакат цилгани учун wA тезланиш айланиш мар-
кази О нуктага йуналади, унинг циймати wA = ОА-<Oq — 90 м/с2 га генг. а>АВ =
= 0 булгани учун АВ шатун тезланишларииинг оний маркази А ва В нухталар-
да иА ва wB тезланишларга перпендикуляр равишда
кесишган Q яущасида булади.
утказилган чизицларнинг
10.27- раем.
186
аАВ = 0, еАВ= .— = у~_041 = 45,92 с“« булгани учун В ва G нуц-
таларнинг тезланишлари фацат тезланишларнинг оний маркази Q нуцта атрофи-
даги айланма тезланишдан иборат булади:
hlb = BQ-£ab = 0,4-45,92= 18, 37 м/с9,
wc = CQ-£ab = 1 -45,92 = 45,92 м/с2.
Q нуктанинг тезланиши CQ га перпендикуляр йуналади.
10.10-масала. Томонлари а = 0,1 м булган ABCD квадрат шакл текислигида
^аракатланади. Агар берилган онда квадрат А ва В нуцталарининг тезланишлари
квадрат гомонларн буйлаб йуналган з^амда мизудор жихатдан 0,1 м/с2 га тенг
булса, тезланишларнинг оний маркази хамда С ва D нуцталарнинг тезланиши
ани^лансин (10.27-раем, а).
Ечиш. А пуцтани цутб деб цабул цилсак, (10.17) га асосан В нуктанинг тез-
ланиши
WB = а’А + WBA + (О
(1) да
“'вл = 1
} (2)
“'ВЛ = “2-^В- J
(1) да w^A вектори В дан А томон йуналган. wBA вектори АВ га перпендику-
ляр равишда (1) тенглнкка риоя цилган холда йуналтнрнлади (10.27-раем, б),
(1) ни раемда курсатилган Вх ва By у^ларга проекциялаймиз:
и’вл= WB’
^ВА = WA-
(2) ва (3) ни солиштириб, квадратнинг берилган ондаги бурчак тезлиги ва
бурчак тезланишини анидлаймиз:
(4)
(10.27) га кура tgp = -^- = 1 ёки р = 45° булади.
— > —>-
Л ва В нуцталарда wA ва иив векторларига соат стрелкаси айланишига тес-
кари йуналишда р = 45° бурчак остида тутри чизиклар утказсак, уларнинг ке-
сишган нудтаси Q квадрат диагоналлари кесишадиган нуцта билан устма- уст
тушади з^амда тезланишларнинг оний марказини ифодалайди. У ^олда С ва D
нуцталарнинг тезланиши мицдор жихатдан
_______ дС _____________
= QC-l^e2 + со4 ="|/е2 + w4 =0,1 м/с2,
wB = QD-l/g2 <а4
BD ,_______
— — V Е2 + Ш4 =0,1 м/с2
булади. С ва D нуцталарни Q билан туташтирсак, wc ва xi>D векторлэри QC ва
QD га соат стрелкаси айланадиган йуналишга тескари 45“ бурчак остида утка-
вилган чизиклар (квадратнинг СВ ва DC томонлари) буйича йуналади.
187
11-боб. КАТТИК ЖИСМНИНГ КУЗГАЛМАС НУКТА
АТРОФИДАГИ АЙЛАНМА ХАРАКАТИ
1 !.(-§. Цатти^ жисмнинг цузгалмас ну^та атрэфидаги
айланма ^аракат тенгламалари. Эйлер бурчаклари
Харакат давомида битта нуцтаси уамиша Цузгалмасдан кола-
диган цапгтиц жисмнинг царакати кузгалмас нуута атрофидаги
айланма харакат ёки сферик харакат дейилади.
Бундай ^аракатда жисмнинг барча нусталари умумий маркази
Кузгалмас нукта билан устма-уст тушувчи сфераларнинг сиртлари-
да ^аракатланади.
Таянч текислигидаги нуктаси кузгалмас булган пирилдоцнинг
харакати ёки биргина сферик шарнирли боглапиш цуйилган жисмнинг
Каракати сферик ^аракатга мисол була олади.
Кузгалмас О нуктага эга булган жисмнинг О g т] ? кузгалмас
координаталар системасига нисбатан уолатиии ани^лаш учун жием-
га бириктирилган ва у билан бирга харакатланувчи >;амда координа-
талар боши кузгалмас О нукта билан устма- уст тушувчи Oxyz
цузгалувчи координаталар системасини утказамиз (11.1-раем).
Кузгалувчи координаталар системасининг кузгалмас координата-
лар системасига нисбатан ^олатини Эйлер томонидан тавсия этил-
ган ва Эйлер бурчаклари деб аталувчи учта бир-бирига боглик
булмаган бурчаклар воситасида аницлаш мумкин. Эйлер бурчаклари
Куйидагича белгиланади: О Е т} кузгалмас текисликнинг кузгалувчи
Оху текислик билан кесишган чизиги ON тугунлар чизиги дейи-
лади. Тугунлар чизиги бир йула Ог ва OZ га перпендикуляр бул-
гани учун бу yiyiap ортали утувчи текисликка кам перпендикуляр
булади.
0*1] цузгалмас текисликда ётувчи, Oi ук билан ON тугунлар
чизиги орасидаги бурчак ф билан белгиланади ва прецессия бурчаги
дейилади.
Тугунлар чизигинннг Ох кузгалувчи ук билан ташкил цилгав
бурчаги <р билан белгиланиб, у соф
гйланиш бурчаги дейилади. Ку3‘
галувчи Ог ук соф айланиш уци
дейилади.
О ь Л ва Ох у текисликлар ора-
сидаги бурчак ёки 0Z цузгалмас
УК билан Ог кузгалувчи ук ораси-
даги бурчак 0 билан белгиланади
ва нутация бурчаги дейилади.
ф, ф, 6 бурчаклар Эйлер бур-
чаклари дейилади.
Эйлер бурчакларининг мусбат
йуналиши учун О £, Ог ва ON
у^ларнинг мусбат йуналишидан Ка-
раганда мос равишда шу уцларга
11.1- раем. перпендикуляр текисликларда узга-
188
рУвчи ф, <р, 6 бурчакларнинг соат
стрелкаси харакатига тескари йуна-
лИШДа °Рта борадиган йуналишла-
рлни Кабул циламиз.
Жисмнинг кУзралмас нуцта ат-
рофида кучишига оид куйидаги
теоремани куриб чицамиз.
Эйлер теоремаси. 1\аттиу жисм-
нинг кузгалмас нукта атрофидаги
ихтиёрий кучишини мазкур куз-
галмас нуутадан утувчи учта уу
атрофида кетма- кет учта айлан-
tnupuiu билан бажариш мумкин.
Исбот. кузгалмас нуктага эга
булган жисмнинг чекли вакт ичи-
да кучгандаги колати Охуг коор-
динаталар системаси билан
11.2- раем.
берилган булсин.
Бошлангич пайтда кузгалувчи координаталар системасини
Кузгалмас координаталар системаси билан устма-уст тушган деб
карайлик. Мазкур цузгалувчи координаталар системасини OZ, ук
атрофида I йуналишда ф бурчакка айлантирсак, у ONr^Z колатни
эгаллайди (И.2-раем). Сунгра ONr)xZ координаталар системасини ON
УК атрофида II йуналишда 6 бурчакка айлантириб, CWq2z коорди-
наталар системасини оламиз. Ни\оят, 0Ny2z ни Ог ук атрофида
III йуналишда гр бурчакка буриш натижасида цузгалувчи Охуг
координаталар системасини оламиз. И
Шундай килиб, бу теоремага кура кУзгалмас нукта атрофида
айланувчи жисмнинг исталган пайтдаги кодатипи бир- бирига бог-
лик булмаган учта Эйлер бурчаклари воситасида аниклаш мумкин-
лигини курамиз. Живмнипг царакати давомида бу бурчаклар вацт-
нинг узлуксиз функциясидан иборат булади:
Ф = Ф(О. 6 = 6(0. ф=ф(0- (Н.1)
Бу функционал муносабатлар уузгалмас ну у та атрофида айланув-
чи каттиу жисмнинг кинематик тенгламалари ёки сферик уа-
ракат тенгламалари дейилади.
Н.2-§. Эйлер-Даламбер теоремаси
Теорема, кузгалмас нуутага эга булган уаттиу жисмнинг
бир уолатдан иккинчи уолатга уар уандай кучишини уузгалмас
нуутадан утувчи уу атрофида бир айлантириш билан амалга
ошириш мумкин.
Исбот. Геометриядан маълумки, жисмнинг фазодаги вазиятини
унинг бир тугри чизикда ётмайдиган учта нуктасининг колати °Р‘
Кали аниклаш мумкин. Сферик царакатдаги жисмнинг цолати унинг
Кузгалмас О нуктаси билан бир тугри чизицда ётмайдиган яна икки-
та нуктанинг холати билан аникланади. О нуктани марказ килиб
189
жисмни кесиб утувчи ихтиёрий радиусли
сфера утказамиз (11.3-расм, а). Бу сфера
сиртида жисмга тааллуцли иккита их-
тиёрий А ва В нуцталарни оламиз. У
цолда жисмнинг цолатини Л ва В нуц-
талардан утувчи сфера катта айланаси-
нинг ёйи АВ билан аницлаш мумкин.
Айтайлик, цузгалмас О нуцтага эга
булган жисмнинг t вацтдаги цолати сфе-
ра катта айланасининг ёйи АВ билан
аницлансин, t + A t вацтдан кейин мазкур
’й жисм билан биргаликда кучиб АуВу
холатни эгалласин (11.3-раем, б).
Теоремани исботлаш учун А ва Д цам-
да В ва By нукталарни сфера катта ай-
ланасининг ёйлари билан туташтирамиз.
ААу ва ВВу ёйларнинг уртасидаги С
ва D нуцталардан сферик перпендикуляр
ёйлар утказиб, уларнинг кесишган нуцта-
сини Е билан белгилайлик. Е нуцта А
ва Ау нуцталардан цамда В ва By нуц-
талардан тенг узоцликда булгани туфайли
Жисм абсолют цаттиц булганидан
АЕВ ва АуЕВ сферик учбурчаклар
учбурчакларни ОЕ уц атрофида АЕАу =•
айлантирсак, АЕВ сферик учбурчак АЕВу
АЕ = АуЕ ва BE = ВуЕ.
АВ = АуВу. Бннобарин,
узаро тенг булади. Бу
= ВЕВ = А а бурчакка
сферик учбурчак устига тушади, яъни АВ сферик ёй АуВу цолатни
эгаллайди.
ОЕ уц чекли айланиш уци дейилади, АуЕА2 = ВуЕВ2 — А а бур-
чак эса чекли айланиш бурчаги дейилади.
Оний айланиш уци. Аксоидлар
Эйлер- Даламбер теоремасига кура жисмнинг ty пайтда эгаллаган
I цолатидан /2 пайтдаги II цолатга кучишини жисмни ОЕ уц атро-
фида бир айлантириш билан амалга ошириш мумкин.
Аммо бундан жисмнинг A t = t2 — ti вацт ичидаги хациций цара-
кати айнан шундай айланма царакатдан иборат булади деган хулоса
келиб чицмайди. ^ацицатда жисм I цолатдан II цолатга бошца йул
билан царакат цилиши натижасида утиши цам мумкин. Лекин Et вацт
оралиги кичрая борган сари жисмнинг I ва II цолатлари бир-бирига
тобора яцинлаша боради цамда чекли айланиш уци ОЕ атрофидаги
А и бурчакка кучиш жисмнинг цациций кучишига яцинлаша боради.
Агар- A t нолга интилса, у цолда ОЕ уцнинг йуналиши бирор ОР
190
лимит цолатига яцинлашади. А/ нолга
иНтилганда ОЕ уцнинг лимит цолатини
ифодалевчи ОР уц айланиш оний уци
дейилади.
Цаттиц жисмнинг цузгалмас нуцта
атрофидаги царакатини кетма-кет узлук-
сиз элементар кучишлардан ташкил топ-
тан деб цараш мумкин. Эйлер-Даламбер
теоремасига биноан, бунда й цар бир эле-
ментар кучишни айланиш оний уци атро-
фидаги оний айланма царакат тарзида
амалга ошириш мумкин. Бннобарин, бит-
та цузгалмас нуцтага эга булган жисм-
нинг хар цандай царакатиии айланиш
оний уцлари атрофидаги кетма-кет уз- И.4-раем.
луксиз оний айланма харакатлар тупла-
мидан иборат деб тасаввур этиш мумкин.
Жисмнинг харакати текширилаётган цузгалмас координаталар
системасига нисбатан айланиш оний уцларининг геометрик урни ф/з-
галмас аксоид дейилади. Барча айланиш оний уцлари жисмнинг
цузгалмас нуцтаси орцали утгани туфайли цузгалмас аксоид, учи
цузгалмас нуцтада ётувчи конус сиртдан иборат булади.
Айланиш опий уцларининг жисмга бириктирилган ва у билан
биргаликда царакатланувчи цузгалувчи координаталар системасига
нисбатан геометрик урни конус сиртдан иборат булиб, цузгалувчи
аксоид дейилади.
Цузгалувчи ва цузгалмас аксоидларни ёлгиз ОР айланиш оний
уцининг кучиши натижасида цосил цилингапи туфайли бу конуслар
цар онда бир-бирига умумий ясовчи ОР орцали урннади (11.4-расм).
ОР оний уцда ётувчи нуцталарнинг тезликлари берилган онда
нолга тенг булгани учун жисм царакатланганда цузгалувчи аксоид
цузгалмас аксоид устида сирганмай думалайди. Бинобарин, Цузгалмас
нуцтага эга булган жисмнинг царакатини Цузгалувчи аксоидни
цузгалмас аксоид устида сиргантирмай думалатиш натижасида
амалга ошириш мумкин.
Цузгалмас нуцта атрофида айланма царакатдаги
жисмнинг бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши
Цузгалмас нуцтага эга булган жисмнинг цар ондаги царакатини
айланиш оний уци атрофидаги айланма царакатдан иборат деб цараш
мумкин булгани туфайли бундай царакатни характерлаш учун оний
бурчак тезлик ва оний бурчак тезланиш тушунчаларини киритамиз.
Оний бурчак тезликнинг мицдорини А/ вацт ичида элементар айла-
ниш бурчаги Да орцали цуйидагича ифодалаш мумкин:
ш = lim J----!
А —О ДГ
(11.2)
191
Бу тенгликнинг унг томонидаги ифода а бурчакдан t ва^т буйича
олинган ^осилага тенг булмаслигини ало^ида укдириб утамиз, чун-
ки цаттиц жисм ^узралмас нуьда атрофида ^аракатланганда бундай
бурчакнинг узи мавжуд булмайди. Даттид жисмнинг Щ'згалмас ну^-
та атрофидаги ^аракат цонуни маълум булганда со бурчак тезликни
^исоблаш хусусида кейинчалик (11.8-§ да) батафсил тухталамиз.
Кеттиг; жисмнинг ^узгалмас нуцта атрофидаги ^аракатини урга-
нишда оний бурчак тезликни вектор тарзида ифодалаш бундай ^ара-
катнинг хусусиятларини урганишни соддалаштиради.
Келгусида ^узгалмас нуцтага эга булган жисмнинг оний бурчак
тезлигини цузралмас нуктага цуйилган ва айланиш оний у^и буйлаб
йуналган шундай о вектори тарзида ифодалаймизки, унинг мусбат
йуналишидан Караганда кузатувчи жисмнинг айланишини соат стрел-
каси айланишига тескари йуналишда куриши керак (11.5-раем).
Жисм цузгалмас нуцта атрофида ^аракатланганда айланиш оний
уцининг йуналиши узгара боради, шу сабабли оний бурчак тезлиги
^ам мицдор ва йуналиш жихатдан узгара боради.
Оний бурчак тезлик векторидан вак/г буйича олинган росила
оний бурчак тезланиши дейилади, яъни
Шундай цилиб, оний бурчак тезланиш векторини оний бурчак
тезлиги вектори учининг тезлиги тарзида papain мумкин экан. Шу
сабабли оний бурчак тезланиш вектори е оний бурчак тезлик век-
тори годографига утказилган уринма буйича йуналади (11.6-раем),
е векторини ^ам цузгалмас О нуцтага цуйилган деб ^араймиз. Де-
мак, умумий э^олда битта цузгалмао нуктага эга булган жисмнинг
оний бурчак тезланиш вектори е билан оний бурчак тезлик век-
тори со бир чизиеда ётмайди.
192
Цузгалмас нудта атрофида айлануз'и жисм
нудтасининг тезлиги
Юдорида курганимиздек, дузгалмас нудта атрофида айланувчи
жисмнинг дар ондаги харакатипи мазкур дузгалмас нудтадан утув-
чи айланиш оний уди атрофидаги оний айланма харакатдан иборат
деб дараш мумкин дамда айланиш оний удида ётувчи жисм нудта-
дарининг берилган ондаги тезликлари нолга тенг булади. Агар ай-
ланиш оний уди ва жисмнинг оний бурчак тезлиги маълум булса,
битта дузгалмас нудтага эга булган жисм ихтиёрий М нудтасининг
берилган ондаги тезлигини анидлаш учун дузгалмас уд атрофида
айланувчи жисм нудтасининг тезлиги анидланаднган Эйлер форму-
ласи (9.14) дан фойдаланиш мумкин:
с —-^—= сох г, (11.4)
dt
бунда г билан М нудтанинг дузгалмас нудтага нисбатан радиус-
вектори белгиланган (11.7-раем).
г радиус- вектор миддор жидатдан даттид жисмнинг икки нудта-
си орасидаги масофани ифодалагани туфайли шу жисм даракати да-
вомида унинг фадат йуналиши узгаради. Бинобарин (11.4) форму ла-
ни миддор жидатдан узгармасдан, йуналиши жисмнинг дузгалмас
нудта атрофида со бурчак тезлиги билан айланиши туфайли узгара-
диган векторнинг вадт буйича хосиласини дисоблаш формуласи деб
дараш мумкин.
(11.4) га биноан М нудта тезлигининг миддори дуйидагича анид-
ланади:
и = со-г sin (со, г) = со-йь),
бунда hbi — г sin (со, г) булиб, М
нудтадан айланиш оний уди ОР га-
ча булган MN масофани ифода-
лайди.
Шундай дилиб, дузгалмас нуц-
та атрофида айланувчи жисм
ЩЩпасининг тезлиги микдор жи-
хутдан шу нудтадан айланиш
оний ууигача булган масофага про-
порционал булади, йуналиши эса
® ва г вектерларига (бинобарин
MV га) перпендикуляр тарзда
оний у у атрофидаги айланишга
мос равишда йуналади.
(11.5)
13—2282
193
Агар айланиш оний уципинг цолати ва жисм бирор нуцтасининг
тезлиги v маълум булса, (11.5) формуладан фойдаланиб жисмнинг
оний бурчак тезлигини апицлаш мумкин:
<-> = тЬ (11.6)
"(0
Оний бурчак тезликнинг цузгалувчи координата уцларидаги
проекцияларини мос равишда сол, to <ог цамда М нуцтанинг коор-
динаталарини х, у, z билан белгиласак, (11.4) ни цуйидагича ёзиш
мумкин:
i j k
Ы £0 (0.
Л I/ <
X У Z
= ((оуг — у) i + (сог х — сох г)
+ (»Л«/ —%л-) k.
Бу тенгликни цузгалувчи х, у, z уцларга проекциялаб, тезлик век-
торининг мазкур уцлардаги vx, vy, vz проекцияларини цисоблаймиз:
Vy = £Oz Х ~ Z<
иг = ^хУ — ауХ’.
(11.7)
(11.8)
Худди шунингдек, тезликнинг цузгалмас координата уцларидаги
i^, проекциялари цисобланади:
(Н.7) ва (11.8) формулалар Эйлер формулалари дейилади.
Хар онда айланиш оний уци нуцталарининг тезлиги нолга тенг-
лигини эътиборга олсак, vx, vy, vz ларни нолга тенглаб (11.7) дан
ayz~ ^гУ = °’
гог х — <0* z = О,
(£>ХУ — %* = 0
тенгламаларни оламиз. Бу тенгламаларни
X _ У __ 2
“</ “г
куринишда ёзиш мумкин.
(11.9) формулалар айланиш оний ij^uhuhz берилган пайт учун
цузгалувчи координаталар системасидаги тенгламаларинн ифода-
лайди.
Худди шунингдек, айланиш оний уцининг О ? т] £ цузгалмас коор-
динаталар системасига нисбатан тенгламаларинн
(11.9)
194
-L = 2L=k (if.10)
“ч
куринишда ёзиш мумкин.
' а , сог, со6, <оп, ю£лар вацт функ-
цияси сифатида узгаришини назарда
тутиб, (11.9) ва (11.10) ифодалардан
вацт t ни йукотиш оркали мос равиш-
да кузгалувчи ва цузгалмас аксоид
тенгламаларинн олиш мумкин.
II.8- раем.
ПЛ-масала. Баландлиги Л = 4 см, асосининг радиуси R = 2 см ва учи куз-
галмас О нуктада булган конус горизонтал текисликда сирпанмасдан юмалайди
(11.8-раем). Агар конус асоси марказининг тезлиги vc— 18 см/с = const булса,
конуснинг бурчак тезлиги з^амда кузгалмас ва цузгалувчи аксоидлар топилсин.
Ечиш. Конус текисликда сирпанмасдан юмалагани учун А нуктанинг тезлиги
нолга тенг. Масала шартига кура О нутра кам кузгалмас. Бинобарин, ОА тугри
чизик айланиш оний укн булади. Конус текисликда сирпанмасдан юмалаганида
О А айланиш оний укининг кузгалмас координата системасидаги геометрик урни
шу горизонтал текисликдан иборат. Демак, кузгалмас аксоид горизонтал текис-
лик булади. ОА айланиш ук.ининг кузгалувчи системадаги геометрик урпини
кузатсак, кузгалувчи аксоид учи О нуктада ётувчи, асоси берилган конус асоси-
дан иборат конуснинг ён сирти булишига ишонч косил киламиз. Бу конуснинг
учидаги бурчаги а = АОВ = 2 arc tg -у » 53° га тенг булади.
Энди конус оний бурчак тезлигининг микдор ва йуналишини аниклаймиз.
—>• —> —>- —>-
(11.4) формулага биноан vc = еп у ОС булади. Шунинг учун vc кузатувчи то-
—>
монга йуналган к°ДДа ш вектори айланиш оний уки буйича А нуктадан О нук-
тага караб йуналади. (11.5) формулага асосан vc = ю-CD булади. Раемдан СО =
a vr 18
= h sin ——. Бинобарин, <п —-------~-----= — = 10 с—1.
. ft sin —
2
11.6-§. Кузгалмас нукта атрофида айланувчи жисм
нуктасининг тезланиши
Кузгалмас ук атрофида айланувчи жисм М нуктасининг тезла-
нишини аниклаш учун (11.4) ифодадан вакт буйича косил3 оламиз:
—> —
dv dm ч у
w ~----------=----------X г + (0 х
dt dt
dr
dt
(Н.П)
Бунда
den
dt
-* dr
e,-----
dt
v = (OX r
булгани учун (11.11) ни
в»=е X r fw Х(йХг)
(11.12)
1©5
ёки
ш = е X г ф(0 Хо (11.12, а)
куринишда ёзиш мумкин.
(11.12) да тезланишнинг
~we=tx~r (11.13)
ташкил этувчиси айланма тезланиш,
wa = w X v = га X (га X г ) (11-14)
ташкил этувчиси эса укца интилма тезланиш дейилади.
Шундай цилиб
w = we+ (11.15)
(11.15) ифода Ривальс теоремасини ифодалайди.- цузгалмас нуц-
та атрофида айланувчи жисм ихтиёрий нуцтасининг тезланиши
айланма ва уцца интилма тезланишларнинг геометрик йиринди-
сига тенг.
(11.13) дан курамизки, цузгалмас нуцта атрофида айланувчи
жисм нуцтасининг w£ айланма тезланиши е ва г орцали утказил-
ган текисликка перпендикуляр равишда шундай йуналадики, унинг
учидан цараганда е векторини г вектори устига тушириш учун
энг кичик бурчакка буриш соат стрелкаси айланишига тескари йуна-
лишда куриниши керак (11.9-раем).
Айланма тезланишнинг мицдори
= e-r-sin(e, r)=e-ft6 (11.16)
тенгликдан аницланади. Бу формулада билан М нуцтадан оний
бурчак тезланиши вектори ётган чизикца туширилган МК перпен-
дпкулярнпнг узунлиги белгиланган.
(11.14) тенгликка биноан ша уцца интилма тезланиш и ва Т
векторларига перпендикуляр равишда, яъни А1 нуцтадан айланиш
оний уци ОР томонга A47V буйича йуналади.
Уцца интилма тезланишнинг миц-
дори
= co-usin(ra, v) =w-v=(i)2-h
(1Г17)
форму ладан аницланади. (11.17) да /io
билан М нуцтадан айланиш оний уци-
гача булган MN масофа белгиланган.
Агар айланма ва уцца интилма
тезланишлар цамда улар орасидаги
бурчак маълум булса, цузгалмас нуц-
196
га атрофида айланувчи жисм нуцтаси тезланишининг микдорини,
косинуслар теоремасвдан фойдаланиб, цуйидагича аницлаш мумкин:
w — I/ (w™ )2+(we)’ 4 2ui0’ nf- cos (u>“ • uf ).
(H.18)
Дузгалмас нуцта атрофида айланувчи жисм нуцтасининг тезла-
ниши аницланадиган формулалар цузгалмас уц атрофида айланма
царакатдаги жисм нуцтасининг тезланиши топиладиган формулалар-
га ухшаса-да, умумий цолда улар бир-биридаи тубдан фарц цилади.
Буни цуйидаги жадвалдан куриш мумкин.
№Ns Кузралмас атрофида айланувчи жисм учуй Kite вал мае нудта атрофида айланувчи жисм учун
1. Ао = = R Аа
2. (wx , wn) = 90° (iflS ’ к.со) 90э
3. wx ва v векторлари бир турри чи- зикда ётади. —>- —> к.’е ва v векторлари бир турри чизи^да ётмайди.
4. со’ ва е векторлари бир чизицда —> — (айланиш уцида) ётади: со || е ——У- со ва е векторлари бир чизицда ётмай- ди: со 5^ е
Н.7-§. Оний бурчак тезланиш вектори
Агар цузгалмас нуцта атрофида айланувчи жисм оний бурчак
—>-
тезлик векторининг бирлик векторини га0 билан белгиласак, у цолда
—> —>
со = со со0
V
муносабат уринли булади. е векторининг таърифига кура
-* d(o d со "% . d cou (11.19)
dt dt dt
ёки
7-rfco -o> 7=co-^2 (11.20)
61-77“’ ®2 dt
белгилашларни киритсак,
(11-21)
куринишда ёзиш мумкин.
(11.21) да жисм оний бурчак тезланишининг Ej ташкил этувчи-
си вацт утиши билан оний бурчак тезлигининг мицдор жицатдан
узгаришини ифодалайди ва уу > 0 булган цолда оний бурчак тез-
197.
11.10- раем.
лик вектори буйича (11.10- раем, а), ~ < 0 да эса унга царама-
царши йуналади (11.10-раем, б).
Бирлик векторнинг вацт буйича биринчи цосиласи дифференциал-
ланаётган векторга перпендикуляр йуналгани туфайли оний бурчак
тезланишининг в2 ташкил этувчиси оний бурчак тезлик векторининг
вацт утиши билан йуналиш жидатдан узгаришини ифодалайди ва
оний бурчак тезлиги векторига цамиша перпендикуляр булади
(11.10- раем, а, б).
Алоцида а.\амиятга эга булган цуйидаги икки хусусий цолни
курамиз.
1. Жисмнинг оний бурчак тезлик вектори йуналиш жидатдан уз-
гармай — 0|, фа цат унинг мицдори узгарсин. Бу цолда
\ u t ,
(11.21) да е2 = 0 булгани учун
муносабат уринли булади. Бинобарин, бу цолда жисмнинг цузгал-
мас нуцта атрофидаги айланма царакати цузгалмас уц атрофидаги
айланма царакатга эквивалент булади.
2. Оний бурчак тезлигининг мицдори узгармай (ы = const) фа-
цат йуналиши узгарсин. У цолда Bj = 0 булиб,
в=в2 = со^~- (11.22)
муносабатни оламиз. Бунда бевосита бурчак тезланишнинг бурчак
тезлик орцали ифодаси в = - дан фойдаланамиз. Юцорида кур-
• dt
198
ганимиздек, микдор жихатдан узгармас
булиб йуналиши жисмнинг дузгалмас
нуцта атрофида со бурчак тезлиги би-
лан айланиши туфайли узгарадиган век-
торнинг ва^т буйича х;осиласини (11.4)
формула билан ^исоблаш мумкин.
11.11- раем.
Худди шунга ухшаш со ни
вектор деб кярасак,
ми^дори узгармас булган радиус-
dm -> ->
е — -----= со. X со
dt
(11.23)
муносабат уринли булади. (11.23) да coL оркали со вектор йуналган аи
лапиш оний уцининг бурчак тезлиги белгиланган (11.10-раем, в).
Бу х,олда бурчак тезланиш векторининг ми^дори
e=C0j - со sin (coL со)
формуладан аникланади.
(11.24)
11.2- масала. Учидаги бурчаги 2а = 60° булган I доиравий конус, учидаги
бурчаги 2 р = 120° булган дузгалмас II конус’ ичида сирпанмасдан думалайдл
(11.11- раем, а). 1 конус асосининг маркази узгармас ос=0,44 м/с тезликка эга. I
конус асосининг радиуси г=0,2 м. I конуснинг оний бурчак тезлиги, оний бурчак
тезланиши ва унинг А хамда В ну^таларининг тезлик, тезланишлари топилсин.
Ечиш. 1 конус II конус ичида сирпанмасдан думалаганда унинг учидаги О
нудта ^узгалмасдан долади ^амда 1 конуснинг II конусга тегиб турган ОА ясов-
чисида ётувчи барча нудгаларнинг тезлиги нолга тенг булади, яъни О А чизик
I конуснинг айланиш оний усуини ифодаддйди.
Агар С нуктанинг тезлиги раем текислигидан кузатувчи томонга ^араб
иуналгаи деб олсак, оиий бурчак тезлик вектори унга мос равишда 11,11- раем,
а да курсатилгандек йуналади.
С нуд га тезлиги берилгани туфайли конус оний бурчак тезлигининг ми^До-
Рини (11.6) формуладан фойдаланиб анидлаймиз:
со
= ^ = _^_=2,54c-i.
CM г sin 60°
(1)
А iiyiyra айланиш оний у>у.Да ётгани учун унинг тезлиги нолга генг, яъни
:== 0.
(11.5) га асосан В нуктанинг тезлиги
vB=a-BK, (2)
199
бунда В/7 билан В нуутадан айланиш оний усуигача булган масофа—оний айланиш
радиуси белгиланган. АОВ учбурчак тент гомонли булгани учун, ОВК, учбур.
чакдан
ВК = 2 г sin 2 а = 0,35 м. (3)
(1) ва (3) ни (2) га сууйсак,
ов = 0,89 м/с.
В нусутанинг тезлик вектори раем текислигига тик равишда кузатувчи то-
мс.нга йуналган.
го вектори мисудор жи^атдан узгармас булгани учун (11.23) га асосан I
конусни”- оний бурчак тезланиши
—> —> —>
е =to1xw (4)
формула ёрдамида аншуланади. (4) да со, билан ОА оннй усунинг ОВ усу атрофи-
даги айланиш бурчак тезлиги белгиланган. С нусута тезлигини со, орсуали сууйи-
дагича ифодалаш мумкин:
oc = <o,-QC.
Бинобарин,
со.
Ус _ Ус
QC г sin 60°
= 2,54 с-i,
со, вектори vc нинг йуналишига мос равишда 11.11- раем, б дагидек вертикал
паст га йуналади.
(4) га кура e = co,-co-sin2a= 5,59 с~2
—> — у
булиб, в вектори ОАВ учбурчак текислигига перпендикуляр равишда vc га
параллел йуналади.
(11.15) га асосан А нусутанинг тезланиши wA — тенгликдан топи-
ла ди.
wA = 8 ХОА айланма тезланишни А нусутага сууйилган ва е, ОА вектор-
—>-
лар ётган текисликка перпендикуляр су а мда е нинг йуналишига мос равишда
йуналган вектор тарзида 11.11- раем, б дагидек тасвирлаш мумкин. tvA векто-
ри ОАВ учбурчак текислигида ётади ва ОА га перпендикуляр йуналади. (11.16)
га кура, у ь»д=8-ОЛ=е-2г = 2,24 м/с га тенг.
А нусута айланиш опий усуида ётгасслиги суфайли ha =0. (11.17) га биноан усу-
суа интилма тезланиш и>д нинг мшудори суам нолга тенг булади.
Шундай суилиб, А нусутанинг тезланиши фасуат айланма тезланишдан иборат
булади: wA — ыгА, яъни wA = 2,24 м/с2. д.
(11.15) га кура В нусутанинг тезланиши ыв = ифодадан топилади.
—>Е —> —>
wB — ^ХОВ айланма тезланиш вектори В нусутага сууйилади суамда е
йуналишига мос равишда ОВ га перпендикуляр йуналади. Униш мисудорн
w| = 8-0В=е,-2г = 2,24 м/с9 га тенг.
wB = со х vB усусуа интилма тезланиш вектори О А айланиш оний угуига
перпендикуляр равишда В К буйлаб йуналади суамда
wB = со9-В/( = coMr-sin60° = (2,54)2-2-0,2-0,816=2,23 м/с2.
200
__>p —>(O „ _ “** ~^8 “>G)
ва u»B ларни геометрик цушиб, wB ни wB ва wB ларга цурилган па-
ллелограмм диагоналига тенг вектор сифатида анидлаймиз (11.11-раем, б).
(П.18) га асосан эса у цуйидагига тенг булади:
2^fi.
— |Z
l/r^242+2,232—2-2,24-2,23-0,5 = 2,24 м/с2.
11.3-масала. О А кривошипга эркин урнатилган ва О учидаги бурчаги 2 а
га тенг конуссимон тишли гилдирак I конуссимон тишли цузгалмас асос II да
думалайди. ОА кривошипнинг OOt вертикал цузгалмас уц атрофида айланиш бур-
чак тезлиги соо ва бурчак тезланиши е0 булса (11.12- раем), думаловчи гилди-
ракнинг оний бурчак тезлик вектори ва оний бурчак тезланиш вектори топилсин.
Ечиш. О А кривошип ООХ уц атрофида соо бурчак тезлиги билан айланма
царакатда булгани учун А нуцтанинг тезлиги цуйидагнча аницланади:
vA = ыа-ОА.
(О
vA вектори ОАС учбурчак текислигига тик равишда уцувчи томонга йуналади.
I гилдирак 11 гилдирак устида сирпанмай думалагани учун С нуцтанинг тезлиги
vc = 0. О ва С нуцталарнинг тезликлари нолга тенг булгани туфайли ОС ук, I
гилдирак учун айланиш оний уцини ифодалайди. Шу сабабли гилдиракнинг
>'
оний бурчак тезлиги со ОС бу лаб йуналади цамда А нуцтанинг тезлиги (11.5)
формулага биноан топилади:
vA =<а • AN=w • О A sin а. (2)
(1) ва (2) ни солиштириб, оний бурчак тезлик учун
sin а
ыушеабатни оламиз. Шундай цилиб,
“*_ %
со = —;-----е,
sma
(3)
бунда ех билан ОС нинг бирлик вектори
белгиланган.
I гилдиракнинг оний бурчак тезлани-
Н1ини аницлаш учун вацт утиши билан
цамда ех нинг узгаришини эътиборга
олиб, (3) дан вацт буйича цосила оламиз:
Г= = <*«>., ? + С00 d^ ,
dt sin a sin a dt
бунда
daB
dt ~E°
11.12- раем.
^амда (11.4) га кура
201
de} -> ->
Т = “°Хе>
(5)
„ dei
(5) да---- нинг модули
dt
d et
~dT
= w0-e1 sin (90”—a)=<oo cos a
d e,
булиб, ------ вектори раем текислигига перпендикуляр равишда утувчи томонга
dt.
—
ег бирлик вектор буйлаб йуналади. Шу сабабли
de,
----- = w0 cos a- e2
dt
деб ёзиш мумкин. Натижада (4) ни куйидагича ёза оламиз:
е0 —9
е = —------ ех + <Вц etg a< е2 .
sin a
(7) ни (11.21) билан солиштирсак,
(6)
(7)
-А-. N = «o ctg«
sin a
еканлигини курамиз.
Шундай цилиб, 1 гилдиракнинг бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши, мос
равишда, (3) ва(7) формулалар ёрдамнда аницланади.
11.8*-§. Эйлернинг кинематик тенгламалари
Агар жисм оний бурчак тезлигининг цузгалувчи ёки цузгалмас
координата уцларидаги проекциялари маълум булса, (11.7) ва (11.8)
формулалар ёрдамида жисм ихтиёрий нуцтаси тезлигининг коор-
дината уцларидаги проекцияларини аницлаш мумкин.
Жисм бурчак тезлигининг цузгалувчи ва цузгалмас координата
уцларидаги проекцияларини аницлаш учун оний бурчак тезлик век-
торини OL, Oz, ON уцлар буйича йуналган ташкил этувчиларга аж-
ратамиз:
—> —>- —>
го = го. + иг + Юд,. (11.25)
Агар О£, Oz, ON уцларнинг бирлик йуналтирувчи вскторларини
мос равишда £°, k, п билан белгиласак (11.13-раем), (11.25) цуйи-
дагича ёзилади.
(£> = £° + со., /г + сОд, п. (11.26)
11.1- § да баён этилган Эйлер теоремасига кура (11.26) даги
а>£, <ог ва Ид, лар мос равишда ф, ф ва 6 бурчакларнинг вацт бир-
лигй ичида узгаришини ифодалайди:
202
Бннобарин, (11.26) ни
<л> = 4£о4-Ч’/? + 0п = 1|’+(р + '0 (11.27)
куринишда ёзиш мумкин.
Аввал бурчак тезлик векторининг цузгалувчи Ох, Оу, Oz уц-
лардаги проекцияларини аницлаймиз. Бунинг учун Oz'C, ва Оху те-
кисликларнинг кесишган чизигини OL билан белгилаймиз (11.13-
—>
раем, а). яр ни OL ва г уцлар буйича йуналган ташкил этувчиларга
ажратамиз:
яр = яр sinO-/° + яр cos О k, (11.28)
бунда 1° билан OL уцнинг бирлик вектори белгиланган. (11.28) ни
назарда тутиб, (11.27) нинг иккала томонини Ох, Оу, Oz уцларга
проекциялаймиз:
< ол — (’Р cos 0) • cos 90° + (яр sin 0) cos (90° — ф) 4~ 6 cos ф 4- Ф cos 90°,
< oy = (яр cos 0) cos 90° + (яр sin 0) cos ф 4- 0 cos (90° 4* ф) 4* Ф cos 90°»
< ог = яр cos 0 4-0 cos 90° 4- ф.
ёки соддалаштирсак, цуйидагилар цосил булади:
<ох = яр sin 0 sin ф 4- 0 cos ф,
(оу = яр sin 0 cos ф — 0 sin ф,
юг = яр cos 0 4* ф.
(11.29)
203
(11-29) тенгламалар Эйлернинг кинематик тенгламалари дейи-
лади. Агар Эйлер бурчаклари ф, 6, ср лар ва^тнинг функцияси си-
фатида маълум булса, Эйлернинг кинематик тенгламалари воситаси-
да цузгалмас нуцта атрофида айланувчи жисм оний бурчак тезлиги-
пинг координата укларидаги проекциялари аницланади.
Бу проекцияларни ^исоблаб, оний бурчак тезликнинг мицдор ва
йуналишини
со = Г (о24-(о24-со2.-1/Лфа4-Ь24-ф24-2ффсо5 0, (11.30)
cos (to, х) — cos (и, у) =-^-, cos (га, z) г- (11.31)
<0 со и
формулалар ёрдамида аниклаймиз.
Худди шунга ухшаш, оний бурчак тезлик векторинииг дузгалмас
—> —>
координата укларидаги проекцияларини хисоблаш мумкин. ф ва ё
векторларнинг ОЕ, О тр уцлардаги проекциялари осонлик билан
хисобланади. ср векторнинг цу зга л мае у^лардаги проекцияларини хи-
соблаш учун бу векторни О £ z ва О т] Е текисликларнинг кесишган
чизиги ОМ фа мда О£ уфлари буйлаб йуналган ташкил этувчиларга
ажратамиз (11.13-расм, б):
Ф — cpsin Q-m° + ф cos 0 (11.32)
бунда т° билан ОМ уцнинг бирлик вектори белгиланган. (11.32) ни
эъ гиборга олиб, (11.27) ни дузгалмас уцларга проекцияласак,
и, = ф sin 0 sin ф 4- ё cos ф,
to — — ф sin 0 соэф + 0 sin ф,
и, = ф + ф cos О
(11.33)
формулаларни оламиз.
(11 33) ни (11.29) билан солиштириб, оний бурчак тезликнинг
модули
to = ]' 4- ю2 4- и2 = ф2 4- ё2 4-ф2 4- 2 ф ф cos О,
хар иккала хрлда фам айнан бир хил цийматга эга булишига ишонч
фосил киламиз.
Бурчак тезлик векторинииг дузгалмас уцлар билан ташкил г;ил-
ган бурчаклари (11.31) формулалар каби формулалар билан анифла-
нади.
(11.29) ва (11.33) дан курамизки, Эйлернинг кинематик тенгла-
малари Эйлер бурчаклари ва уларнинг вацт буйича фосилалари би-
лап оний бурчак тезлик векторинииг цузгалувчи ва цузгалмас уф-
лардагй проекциялари орасидаги богланишларни ифодалайди.
204
11.4-масала. Кузгалмас О иуцта атрофида айланувчи жисмнинг харакати цу-
ййДаги’Эйлер бурчаклари ортали берилган:
Л л
ф =— о = —, Ф = л/.
Z о
Жисм оний бурчак тезлиги, айланиш оний угр: ^амда ^узралувчи ва цузгал-
мас аксоидлар топилсин.
Ечиш. Эйлернинг кинематик формулалари (11.29) дан фойдаланиб бурчак
тезликнинг цузгалувчи координат укларидаги проекцияларини ^исоблаймиз:
к II • э- о‘ II .® К | сч II -Э- (1)
(1) ии (11.29) га КЖоридагиларни цуямиз: л л а>х — sin — sin л t, JT л <ом = — sin —- cos л t, у 2 3 л л со, = — cos — + л. 2 2 3 ихчамлаб хуйидаги муносабатларни оламиз:
сох: /З" /3~ 5 = л sinnZ, <ov = л cos л/, <oz = — л. 4 4 4 (2)
Бурчак тезлик векторининг дузгалмас координата укларидаги проекцияларини
аншула'ь учун (1) ни (11.33) га хуямиз:
Л Л
со. = л sin —-sin — t,
s 3 2
л л
©л = —nsin— cos ~ t,
Л л
= + Л COS — .
г . л уГз л 1
by тенгликларда sin — = ——, cos — = “ булишини эътиборга
<5 z «5 z
тижада со^, со^, лар учун ушбу муносабатларни оламиз:
1/3 л уЗ л
сое =---л sin— t, со„ — —----л cos — t, <вг = я.
« 2 2 я 2 2 5
У Х°лда бурчак тезликнинг ми^дори куйидагича ^исобланади:
олсак, на-
(3)
9 2 9 г *
< + < —лс-Ч
(4) дан курамизки, бурчак тезликнинг мицдори ва^г утиши билан
экан.
Бурчак тезлик векторининг хузгалувчи угулар билан ташкил цилган бурчак-
лари (11.31) га кура хисобланади:
со
(4)
узгармас
205
©г у 3
cos (to, х) =-= — п sin л t « 0,325 sin л /,
® 2/7
—©V
cos (to, у) = —— » 0,325 cos л t.
(5)
to, -
cos (to, г) =--------= 0,945 ёки (to, г) = 19°6'.
Шунингдек, бурчак тезликнинг дузгалмас уцлар билан ташкил цилган бурчак-
лари
cos
CCS
, to- 2 ,
cos (to, С) = ~~ ~~ « 0,7559 ёки (to, С) = 40°54'.
to /у
формулалар воситасида аницланади. (5) ва (6) тенгликларнинг учинчисидан кура-
мизки, оний бурчак тезлик вектори, яъни айланиш оний уцининг Oz цамда О £ уц-
лар билан ташкил цилган бурчаклари царакат давомида узгармас экан.
>уэсил булган натижаларни (11.27) дан билвосита фойдаланиш йули билан
цам олиш мумкин. Курилаётган цолда 0 = 0 булганитуфайлнонийбурчактезлик
векгори zOt. текислигида ётади (11.14-расм) цамда (11.27) га кура
ю = ф £° + фаГ.
Бу теигликнниг упг томонидаги икки вектор орасидаги бурчак 0= —
учун косинуслар теоремасига кура ODC учбурчакдан
болтани
со = у <р2 -}- ф2 _|_ 2<р чр cos 60°
келиб чицади.
Синуслар теоремасига кура ODC учбурчакдан оний бурчак тезликнинг йуна-
лишний аницлаймиз:
11.14- раем.
to ф ф
sin 120° sin (<о, z) sin (to, ^)
Бу тенгликлардан
(to, z) = 19°6', (to, Q = 40°54‘
(11.9) ва (11.10) га асосан, цузгалувчи
ва цузгалмас координаталар система-
сига нисбатан айланиш оний уцининг
тенгламаси, мос равишда цуйидагича
ёзилади:
_____х-________= —У----------------= - , (7)
/3 sin fit /3 cos nt 5
206
— =-------2r> (8)
ySsin-Tp -/3cos— t
t7} Ba (8) тенгламалардан вацт t ни
ййкотнб, мос равишда цузгалувчи ва
* “згалмас аксоидлар тенгламасини цо-
сил циламиз:
х2 + </2 J2 . =0
3 5
4* а2+л2)-с2 = о.
о
fiv тенгламалардан курамизки, цузга-
лувчи ва цузгалмас аксоидлар доиравий конус сиртлардан иборат булади (11.10
раем).
12-6 о б. ЭРКИН ЦАТТИЦ ЖИСМНИНГ ДАРАКАТИ
12.1- §. Эркин жисм харакатининг кинематик
тенгламалари
Эркин жисмнинг бирор о1х1у1г1 цузгалмас координаталар сис-
темасига нисбатан цолати унинг бир тугри чизицда ётмайдиган Зта
нуцтасининг цолати билан аницланади. Бу пуцталарни узаро тугри
чизмц кесмалари билан туташтирсак, учбурчак цосил булади. Жисм-
нинг цолатини аницловчи мазкур учбурчакнинг царакати цаттиц
жисмнинг фазодаги царакатини батамом характерлайди.
'Эркин жисмнинг кучишига оид цуйидаги Шаль (1793 —1880) тео-
ремасини исботлаймиз.
Теорема. Эркин жисмнинг фазодаги хар кдндай кучиишни
цутб деб олинган нуцтанинг бир илгарилама кучиши ва цутбдан
утувчи уц атрофидаги бир айланма кучишдан ташкил топган
деб цараш мумкин.
Исбот. Эркин жисмнинг 4 пайтдаги I цолати О А В учбурчак цо-
лати билан аницлансин: t2 пайтдаги II цолатда эса мазкур учбурчак
Oi/ljfii учбурчак цолатини олган булсин (12.1-расм). Жисмнинг I цо-
латдан II цолатга утишини цу-
нидагича бажариш мумкин. Ав-
вало жисмга шундай илгарилама
кучиш берамизки, унинг О нуц-
таси 0г билан устма-уст тушсин,
У цолда А, В нуцталар А', В'
цолатни эгаллайди.
Сунгра Эйлер-Даламбер тео-
ремасига кура О] нуцтадан утув-
*чи бирор уц атрофида бир ай-
лантирсак, жисм иккинчи цо-
латни эгаллайди. Q 12.1- раем.
207
Албатта, жисмнинг бир цо-
латдан иккинчи цолатга кучиши-
ни бундай икки царакат йигинди-
сидан иборат деб цараш унинг
цациций царакат ини тасвирла-
майди.
Эркин жисмнинг цациций ца-
ракати давомида бу икки царакат
бир вацтнинг узида содир булади.
Шу сабабли эркин цаттиц
жисмнинг цациций царакатини
цуйидагича тасвирлаш мумкин:
эркин цаттиц жисмнинг царака-
тини жиемда цутб учун танлак
олинган нуцта билан биргалиб-
12.2- раем.
Даги илгарилама царакат цамда цутб атрофидаги айланма царакат-
дан ташкил топган деб цараш мумкин. Шу жумладан, цутб атро-
фидаги царакатни мазкур нуутадан утувчи оний уцлар атрофидаги
кетма-кет узлуксиз чексиз кичик айланишлардан ташкил топган
деб тасаввур цилиш мумкин.
Жисмнинг цолатини аниклаш учун унинг бирор О нуцтасини
цутб учун танлаб оламиз цамда цутб ортали О^хуу^ цузгалмас
координаталар системасига цамиша параллел равишда царакатланув-
чи О с ц £ координаталар системасини ва жиемга мацкам бириктирил-
ган Охуг координаталар системасини утказамиз (12.2-расм).
кузгалувчи Охуг координаталар системасининг цузгалмас Ор^у^
координаталар системасига нисбатан царакатини урганиш эркин
жисмнинг координаталар системасига нисбатан царакатини
урганншга эквивалентдир. Охуг цузгалувчи координаталар система-
синпнг цузгалмас координаталар системасига нисбатан исталган пайт,
даги цолатини аницлаш учун О цутбнинг координаталари х10, у10-
zw ни вацтнинг функцияси сифатида ифодалаш керак. 11.1-§ да кур-
ганимиздек, Охуг координаталар системасининг 01т] £ координаталар
системасига нисбатан цолати маълум булиши учун учта Эйлер бур-
чаклари ф, 0, <р ни вацтнинг функцияси сифатида ифодалаш керак.
Бинобарин, эркин цаттиц жисмнинг цузгалмас Olx1ylzl координа-
талар системасига нисбатан цолати олтита: %10, у10, г10, <р, ф, 0 ко-
ординаталар билан аницланади;
Эркин цаттиц жисм фазода царакатланганда мазкур координата-
лар бир цийматли, узлуксиз ва камида вацт буйича иккинчи цоси-
ласи мавжуд функциялардан иборат булади, яъни:
-*-10 ~ fl (0> Ую = fi (ty’ 2Ю ~ fl (0» 1 / 12 ]V
Ф = Л (0. 0 = /5 (/), Ф = /6 (/). J
Бу тенгламалар эркин цаттиц жисмнинг исталган пайтдаги цолати-
ни аницлайди ва эркин уаттиу жисм умумий. харакатининг ки-
нематик тенгламалари дейилади.
(12.1) тенгламаларнинг биринчи учтаси воситасида жисмнинг ил-
гарилама царакати аницланади. Жисм турли нуцталарининг коорди-
208
12.3- раем.
наталари турлича булгани туфайли бу тенгламалар цутбнинг таи-
лаб олинишига боглиц булади.
(12.1) тенгламаларнинг цолган учтаси эркин цаттиц жисмнинг
цар ондаги сферик царакатини ифодалайди ва цутбнинг танланиши-
га боглиц булмайди. >(ацицатан цам жисмнинг О ва О' нуцталари-
да узаро параллел булган Охуг цамда О'х'у'г' координаталар сис-
темасини утказсак, бу координаталар системасининг мос уцлари
жисм харакати давомида бир-бирига параллеллигича цела,ди; О ва О'
нуцталардаги Эйлер бурчаклари бир хил булади (12.3-расм).
Эркин цаттиц жисмнинг бурчак тезлиги деганда унинг бирор нуц-
тасида.олинган ва жисм билан биргаликда илгарилама царакат ци-
лувчи координаталар системасига нисбатан цисоблаиган бурчак тез-
лик тушунилади.
Эркин цаттиц жисмнинг бурчак тезланиши тушунчаси цам худ-
ди шу усулда киритилади.
Эркин цаттиц жисмнинг цутб атрофидаги царакати цутбнинг тан-
ланишига боглиц булмагани учун эркин цаттиц жисмнинг айланма
царакатидаги бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши цам цутбнинг
танлаб олинишига боглиц булмайди, яъни О ёки О' нуцталарни ц^тб-
учун танлаб олсак, у цолда эркин цаттиц жисмнинг мазкур цутб-
—*- —
лар атрофидаги айланма царакат бурчак тезликлари со ва со', шунинг-
—>- —
Дек, в ва в' бурчак тезланишлари мос равишда тенг булади.
12.2-§. Эркин жисм нуцтасининг тезлиги
Эркин цаттиц жисм иккита нуцтасининг тезликлари орасидаги
муносабатни ифодаловчи формулани келтириб чицарамиз.
Агар эркин жисм бирор О нуцтасининг тезлиги маълум булса, шу
нуцтани цутб учун цабул циламиз. Цутбнинг цузгалмас О^у^
14—2282 20»
координаталар системасига нисбатан
радиус-векторини г0, жисм ихтиёрий
М нуцтасининг мазкур координата-
лар системасига нисбатан радиус-
векторини г ^амда М нуктанинг О
цутбга нисбатан радиус-векторини
р билан белгиласак (12.4-расм), эр-
кин жисм ^аракати давомида ха-
мита
'=г0+"р (12.2)
12.4- расм. муносабат уринли . булади. Жисм-
нинг О ва М ну^талари орасидаги
масофа узгармасдан долгами туфайли р = const булади, яъни р век-
тори миддор жидатдан узгармас булиб, ^аракат давомида унинг
фа^ат йуналиши узгаради.
М нуктанинг тезлигини ани^лаш учун (12.2) векторли тепглик-
дан ва^т буйича росила оламиз:
d г __ dr0 . d р
dt ~ dt + ~dT
(12.3)
бунда = vM — М нуктанинг тезлиги, d r~ = v0 — О цутбнинг
тезлиги.
—>
Эркин цатти^ жисм ^аракати давомида р векторнинг мицдори
узгармай, фацат йуналиши узгаргани учун —— росила М нуктанинг
О к;утб атрофидаги сферик харакат тезлигини ёки О цутбдан утув-
чи айланиш оний уци атрофидаги айланма ^аракат тезлиги vM0 ни
ифодалайди. (11.4) га биноан
-^-=“ХР=4о- (12.4)
Натижада (12.3) ни куйидагича ёза оламиз:
^m = ? + “X~P (12.5)
ёки
Чи=Ч> + Чио- О2-6)
Шундай ^илиб, эркин цатпгиц жисм ихтиёрий М нудтасининг
тезлиги цутбнинг тезлигига тенг бдлган илгарилама \аракат
тезлиги билан жисмнинг шу цутбдан утувчи айланиш оний yiyi
атрофида айланишидаги мазкур nytyna тезлигининг геометрию
йигиндисига тенг.
210
Текис параллел ^аракатдаги каби (12.5) формуладан бевосита
кетшб чи^адвган ^амда ало^ида а^амиятга эга булган цуйидаги нати-
жаларни келтирамиз:
1. Агар берилган онда эркин жисмнинг бурчак тезлиги нолга
тенг булса, у ^олда жисм барча нуцталарининг тезликлари тенг ва
денем шу онда илгарилама ^аракатда булади.
Ха^и^атан ^ам, ы = 0 булса, (12.5) га кура vo = Vm булади.
д! жисмнинг ихтиёрий ну^таси булгани учун жисм барча нуцталари-
нинг тезлиги ^утбнинг тезлигига тенг булади.
2. Эркин жисм иккита нуцтаси тезликларининг шу нуцталардан
утувчи уцдаги проекциялари узаро тенг булади.
^ацицатан ^ам (12.5) ни О ва М нудталар орцали утувчи ОМ
у^ка проекцияласак, цуйидаги тенглик ^осил булади:
пРом fy=nPoM &) + пром (ах'р).
Аммо охр вектори Л4 нуктанинг О нуктага нисбатан радиус-век-
—X-
тори р га ёки ОМ уцца перпендикуляр булгани учун унинг маз-
кур уцдаги проекцияси нолга тенг булади. Оцибатда
пРом vo = пРом им
тенглик уринли булади.
12.3-§. Эркин жисм нуцтасининг тезланиши
Эркин жисм ^аракатининг умумий ^олида унинг бирор М нуц-
таси тезланишини аницлаш учун мазкур нуктанинг тезлигини ифо-
даловчи (12.5) формуладан вацт буйича росила оламиз:
d vM dvn da> -> -> dp
—«_ = __o +----x p + w X — .
di di dt dt
(12.7)
Бунда
rl py -> d vo -> dco -> dp
dt = WM' ~dT = wo’ ~dT = 6 ’ ~dT = ° x P
булгани туфайли (12.7) ни
wm = wo + E x p + ® x (® X p) (12.8)
куринишда ёзиш мумкин. (12.4) ни эътиборга олсак, (12.8) ифода
wm = wo + 6 X р + “ х VMO
(12.8а)
куринишни олади.
Эркин цаттиц жисмнинг тезланиши учун чи^арилган (12.8) ифо-
Дани (11.12) билан солиштирсак, ехр + <ох(<охр) йиринди М
нуцта тезланишининг жисм О цутб атрофида оний айланма ^аракат-
211
да булгандаги ташкил этувчисини ифодалашини курамиз. Тезланиш-
'Нинг бу ташкил этувчисини wMO билан белгиласак,
4=4+4,- (12.9)
(12.9) дан курамизки, умумий цолда эркин цаттиц жисм ихти-
ёрий М нуцтасининг тезланиши О цутбнинг тезланишига тенг бул-
ган илгарилама царакат тезланиши билан жисмнинг О цутб атро-
фида айланишида М нуцта олган тезланишларининг геометрик йи-
риндисига тенг.
13-бо б. НУКТАНИНГ МУРАККАБ ДАРАКАТИ
чФанда кенг, mijnna- тугри. йул йуц ва унинг чау,ир тошли сук-
мон,ларидан .\орши би. май, тиришиб-тирмашиб чица олган киши-
гина унинг нурли чу^иларига етишади».
К. Маркс
Нуцтанинг нисбий, кучирма ва
абсолют царакатлари
Шу пайтгача нуцтанинг царакатини цузгалмас координаталар свс-
темасига нисбатан текшириш билан шугулландик. Лекин механика
масалаларини ечишда купинча нуцтанинг царакатини бир вацтнинг
узида иккита координаталар системасига нисбатан текшириш мацсад-
га мувофиц булади. Бу цолда координата системаларидан бирини
цузгалмас деб цабул циламиз ва уни асосий координаталар систе-
маси деб атаймиз.
Масалан, узгармас тезлик билан тугри чизиц буйича царакатла-
наётган самолётдан бошлангич тезликсиз ташланган кжнинг цара-
катини Ер билан богланган асосий координаталар системасига цам-
да самолётга бириктирилган координаталар системасига нисбатан
текшириш мумкин. Бунда цар бир координаталар системасига нис-
батан нуцтанинг траекторияси турлича булади. Кацицатан хам, ха-
вонинг царшилиги цисобга олинмаса, самолёт да утирган кузатувчига
нисбатан юк тугри чизицли царакат цилаётгандек туюлади. Хаци-
цатан цам самолётдаги кузатувчи Оп 02, 03 цолатларни эгаллаган-
да юк мазкур нуцталар билан бир вертикал тугри чизицларда ётув-
чи М2, М3 цолатларни эгал-
лайди; Ерда турган кузатувчи эса,
самолётдан ташланган юкнинг па-
рабола буйлаб царакатланаётган-
лигининг шоциди булади (13.1 -раем).
М нуцта бирор Oxyz координа-
талар системасига нисбатан цара-
катлансин. Уз навбатида бу коор-
динаталар системаси цузгалмас деб
олинадиган Оt £ г] t, асосий коорди-
наталар системасига нисбатан ца-
212
„акатлансин (13.2-расм). Одатда цар
ккала координаталар системаси цам
'йълум жисмларга бириктирилган деб
Маралади- Аксарият цолларда цузгал-
ис координаталар системаси Ерга
борлаб олинади. Цузгалувчи координа-
талар системаси эса машина ва меха-
низм цисмлари, кема, самолёт, поезд
каби даракатдаги объектлар билан
богланган деб царалади.
Нуцтанинг цузгалувчи координа-
талар системасига нисбатан хара- 13 2. расМ.
кати нисбий царакат дейилади.
М нуцтанинг цузгалувчи координаталар системасига нисбатан
радиус-векторини р, координаталарини х, у, г цамда цузгалувчи ко-
ордината уцларининг бирлик йуналтирувчн векторларини мое равиш-
да i, j, k билан белгиласак,
р = х i + у j + г k
(13.1)
муносабат уринли булади.
М нуцтанинг нисбий царакат тенгламаларини Декарт координата
уцларидаги ифодаси цуйидагича ёзилади:
х = х (/),
У = У (0.
г = г (/)
(13.2)
Нуцтанинг нисбий царакати цузгалувчи координаталар системаси
билан .биргаликда царакатланувчи кузатувчи томонидан цайд цили-
нади. Нуцтанинг цузгалувчи координаталар системасига нисбатан
траекторияси нисбий траектория дейилади. Нуцтанинг бундай ца-
ракатдаги тезлик ва тезланиши мос равишда нисбий тезлик ва нис-
бий тезланиш дейилади цамда vr ва wr билан белгиланади.
Цузгалувчи координаталар системасининг ва у билан узгармас
равишда богланган фазе нуцталарининг цузгалмас координаталар сис-
темасига нисбатан царакати кучирма царакат дейилади. Кучирма ца-
ракат тушунчаси нисбий царакатдаги нуцтага цам тааллуцли бу-
лиши мумкин.
Бундай нуцтанинг бирор ондаги кучирма царакати деганда
худди шу онда цузгалувчи координаталар системасининг берилган
нуцта билан устма-уст тушувчи нуцтасининг цузгалмас координата-
лар системасига нисбатан царакати тушунилади.
Нуцтанинг берилган ондаги кучирма царакатини талцин цилиш
учун нуцтанинг шу ондаги нисбий царакатини фикран эътиборга ол-
май, уни цузгалувчи координаталар системаси билан биргаликда цуз-
галмас координаталар системасига нисбатан царакати царалади.
Шу сабабли нуцтанинг берилган ондаги кучирма тезлиги ва
кучирма тезланиши дегавда худди шу онда цузгалувчи координа-
213
талар системасининг берилган нукта билан устма-уст тушувчи нуц.
тасининг тезлиги ва тезланиши тушунилади. Кучирма тезлик ve,
кучирма тезланиш w£ билан белгиланади.
кузгалувчи координаталар системасининг турли нуцталари цар
хил траектория буйлаб царакатлангани туфайли умумий цолда М.
нуцтанинг кучирма царакат траекториям тушунчасини киритиш мум-
кин эмас.
Нуцтанинг цузгалмас координаталар системасига нисбатан цара-
кати абсолют царакат дейилади. Нуцта бир вацтнинг узида икки
ёки ундан ортиц царакатда иштирок этса, бундай царакат мурак-
каб царакат дейилади. Нуцтанинг абсолют царакати уз навбатида
нисбий ва кучирма царакатлардан ташкил топгани туфайли нуцта-
нинг абсолют царакатини мураккаб царакат деб аташ мумкин.
Абсолют царакатдаги нуцтанинг тезлик ва тезланиши мос ра-
вишда абсолют тезлик ва абсолют тезланиш дейилади. Абсолют
- > —>-
тезликни va, абсолют тезланишни wa билан белгилаймиз.
Нуцтанинг нисбий ва кучирма царакатини билган цолда унинг
абсолют царакатини, бинобарин, абсолют царакат тезлиги ва тезла-
нишини аницлаш нуцта мураккаб царакати кинематикасининг асосий
масаласи цисобланади.
13.2- §. Мураккаб царакатдаги нуцтанинг тезликларини
цушиш цацидаги теорема
кузгалувчи Охуг координаталар системаси OJt]£ асосий коор-
динаталар системасига нисбатан ихтиёрий равишда царакатлансин
(13.2-раем). Юцорида курганимиздек, /Й нуцтанинг харакатини цуз-
галувчи ва асосий координата системаларинииг цар бирига нисбатан
аницлаш мумкин. Бу параграфда ‘‘нуцтанинг танланган координата
системаларига нисбатан тезликлари орасидаги муносабатни аницлай-
миз.
Агар М ва О нуцталарнинг цузгалмас координата системасига
нисбатан радиус-векторларини мос равишда г ва г0 билан белгила-
ласак, раемдан
7=7о+7 (13.3)
муносабат уринли булишини курамиз.
(13.1) ни назарда тутиб, (13.3) ни
г = r0 + xi + yj + zk (13.4)
куринишда ёзиш мумкин.
Агар М нуцтанинг нисбий ва кучирма царакати маълум булса,
яъни мазкур нуцтанинг нисбий координаталари х, у, г ва цузга-
—>-
лувчи координаталар системаси бошининг радиус-вектори г0 вацт-
нинг функцияси сифатида цамда i, j, k ларнинг вацт утиши билан
.214
йуналиш жицатдан узгарИШ цонуни берилган булса, нудтанинг асо-
с1(й координаталар системасига нисбатан царакати цам берилган деб
^исоблаш мумкин.
Д4 нуцтанинг абсолют тезлигини аницлаш учун (13.4) дан вацт
буйича цосила оламиз:
—> - > > >
dr d гг, di d j d k
= + + y/ + г/г + х~йГ + ^-5Г + г1Г- (13-5>
d r -> dr0
Kv тенгликда —— = va — M нуцтанинг абсолют тезлигини, —-зт- =
i-J у СИ СИ
=^v0 эса цузгалувчи координаталар системаси бошидаги О нуцта-
нинг тезлигини ифодалайди.
(13.5) да цуйидаги белгилашларни киритамиз:
vr — х i + у j ф- z k, (13.6)
-> -> d i d j d k
ve = vo + * -зг + у -dr + z-dT (13-7>
(13.6) дан куриниб турибдики, тезликнинг vr ташкил этувчисини
цисоблашда нуцтанинг фацат нисбий координаталаригипа узгариб,
г i, j, k векторлар узгармас деб царалади. Шу сабабли vr нуц-
танинг нисбий тезлигини ифодалайди.
(13.7) да х, у, г цатнашмайди, яъни ие ни цисоблашда нуцта-
нинг нисбий царакати эътиборга олинмайди. Шу сабабли ve М нуц-
танинг кучирма тезлигини ифодалайди.
Шундай цилиб, цуйидаги тенглик цосил булади:
но = нг + не. (13.8)'
(13.8) тенглама мураккаб царакатдаги нуцтанинг тезликларини
цушиш цацидаги теоремани ифодалайди; нуцтанинг абсолют тез-
лиги мазкур нуцта нисбий ва кучирма тезликларининг геометрик
йигиндисига тенг.
Шундай цилиб, нуцтанинг нисбий ва кучирма тезликлари миц-
дор ва йуналиш жихатдан маълум булса, абсолют тезликнинг мо-
дули нисбий ва кучирма тезликларга цурилган параллелограммнинг
диагонали билан ифодаланади. Шу сабабли бу теоремага пгезлик-
ларнинг параллелограмм цоидаси дейилади.
Абсолют тезликнинг модули косинуслар теоремасидан фойдала-
ниб аницланади (13.3-раем).
va = + 2vrve cosa, (13.9)
бунда а = vr, ve билан нисбий ва кучирма тезлик векторлари ора-
сидаги бурчак белгиланган.
215
13.3- раем.
13.4- раем.
Хусусан нисбий ва кучирма тезлик векторлари узаро перпенди-
куляр булса, яъни а = 90° булган цолда тезликларга цурилган па-
раллелограмм тугри туртбурчакдан иборат булади. Шу сабабли бу
цолда
оо=р ^ + ve- (13.10)
Агар нуцтанинг нисбий ва кучирма тезликлари бир тугри чизиц
буйлаб бир томонга йуналса,
Va = ]^ Vr+Ve + 2VrVe = Vr + Ve, (13.11)
царама-царши томонга йуналса,
va= |/^ + ^ —2огос =|ur —wj (13.12)
муносабатлар уринли булади.
Нуктанинг кучирма тезлигнни аницлаш устида батафсил тухта-
ламиз. Агар цузгалувчи координаталар системасининг берилган он-
—>- - > —►
_ -*• d i d j d k
даги бурчак тезлиги ок маълум булса, у цолда ——, ----, ——
dt dt dt
катталикларни мос равишда г, j, k бирлик векторларнинг учлари-
даги нуцталарнинг тезлигига тенг деб цараш мумкин. Шу сабабли
Эйлер формуласига кура ушбу
(13.13)
dt dt dt
тенгликлар уринли булади.
(13.13) ни (13.7) га цуйиб, (13.1) ни эътиборга олсак,
Ve = v0+~ue х (xi + yj+ zk) = u04-<oe x p (13.14)
формула уринли булади (13.4-раем).
.216
(13.14) ва (12.5) тенгликларни солиштириб, (13.14) берилган
онда Л4 нуцта Оху г координаталар системасида эгаллаган цолати билан
устма-уст тушувчи нуцтанинг тезлигини ифодалашини курамиз.
Куйидаги цолларда нуцтанинг кучирма тезлигини цисоблашни
куриб чицамиз.
1. Агар кучирма царакат илгарилама царакатдан иборат булса,
j, k бирлик векторлар узига параллел равишда кучади. Бу цолда
=0 булиб, (13.14) га кура кучирма тезлик учун ушбу муноса-
бат Гринли булади:
2. Агар М нуцтанинг царакати давомида цузгалувчи координа-
—>•
талар системасининг боши цузгалмасдан цолса, оо=0 булиб, (13.14) га
кура М нуцтанинг кучирма царакат тезлиги худди сферик царакат-
даги жисм нуцтасининг тезлиги каби аницланади:
ve = сое X р.
13.3- §. Мураккаб царакатдаги нуцтанинг тезланиш-
ларини цушиш цацидаги Кориолис теоремаси
—>-
М нуцтанинг абсолют тезланиши wa мазкур нуцтанинг абсолют
тезлиги va дан вацт буйича олинган цосилага тенг булади:
(13.5) дан вацт буйича цосила олсак, цуйидаги ифода цосил бу-
лади:
d27~o -•-> <P~i d4 <Pk
wa = —^2----]rXi + y ]+zk + x 4- у + Z 4-
( • d i • d j • d k\
+ 2l/' dt +y dt + z dt /• (13.15)
(13.15) да цуйидаги белгилашларни киритамиз:
wr = xi + у j 4- z k, (13.16)
d2 r0 (Pi d2 j d? k
We==~dP 1“ X ~dP lJ ~dP + Z ~~dP~' (13.17)
wk = 2(x ±L + 'yAL + z^.\ (13.18)
\ dt dt dt /
(13.16) дан куриниб турибдики, тезланишнинг wr ташкил этув-
—>- —>- —> —->
чиси г0, j, /, k ларнинг цосилаларига боглиц эмао. wr ни цисоб-
217.
лашда r0, i, j, k лар узгармас, фадат x, у, z ларгина вацтнинп
—>“
функцияси сифатида узгаради деб кара лада. Шу сабабли wr Hijtyna-
нинг нисбий тезланишини ифодалайди. Нуктанинг нисбий тезла-
нишини дасоблашда кузгалувчи координаталар системасининг дара-
кати эътиборга олинмайди.
(13.17) да we ни дасоблашда М нукта нисбий координаталари-
нинг узгариши эътиборга олинмайди, яъни берилган онда
х — const, у = const, г = const
деб каралади. Бошкача айтганда we ни ^исоблашда берилган онда
нуктани кузгалувчи координаталар системасига нисбатан тинч хо-
латда деб караб, унинг кузгалувчи координаталар системаси билан
биргаликда даракатлангандаги тезланиши назарда тутилади. Шу са-
бабли we нуктанинг кучирма тезланишини ифодалайди.
(13.18) дав курамизки, тезланишнинг wk ташкил этувчиси тар-
кибига нукта нисбий координаталарининг хосилалари х, у, г билан
бир каторда кузгалувчи координаталар системасининг бирлик век-
d i di dk
торларидан олинган косилалар ——— дам катнашади. Шу
нуктаи назардан Караганда wk ни нисбий тезланиш таркибига дам,
кучирма тезланиш таркибига дам киритиб булмайди. wk Кориолис
тезланиши ёки кушимча тезланиш дейилади.
Шундай далиб, нуктанинг абсолют тезланиши учун кУйидаги
тенгликни оламиз:
wa = wr + we + ™k- (13. 19)
(13.19) тенглик мураккаб харакатдаги нуктанинг тезлаиишларини
Кушиш дакидаги Г. Кориолис (1792— 1843) теоремасини ифода-
лайди: мураккаб раракатдаги нуктанинг абсолют тезланиши
унинг нисбий, кучирма ва Кориолис (ёки цушимча) тезланишла-
рининг геометрик йигиндисига тенг.
Агар кучирма даракат илгарилама даракатдан иборат булса, у
далда кузгалувчи координаталар системасининг г, /, k бирлик век-
торлари даракат давомида дамМша узига параллел равишда кучади.
—>- ——>
(13.17) ва (13.18) да i, j, k векторлардан вакт буйича олинган би-
ринчи ва иккинчи тартибли дасилалар нолга тенг булиб,
we = wo, wk = О
муносабатлар уринли булади. Бинобарин, курилаётган дал учуй
(13.19) куйидагича ёзилади:
wa=wr-\-we. (13.20)
218
(13.20) тенглик кучирма царакати илгарилама \аракатдан
иборат булган нуктанинг тезланиш ларини цушиш ^ауидаги тео-
пемани ифодалайди: кучирма харакати илгарилама царакатдан
иборат булган нуктанинг абсолют тезланиши унинг нисбий ва
кйчирма тезланишлари геометрик йигиндисига тенг.
' Агар нуктанинг нисбий ва кучирма тезланишлари мицдор ва йу-
налиш жихатдан маълум булса, у ^олда абсолют тезланишнинг
модули нисбий ва кучирма тезланишларга цурилган параллелограмм-
нинг диагоналига тенг булади:
и?а=|/ + к’2 + 2wrw,cos (u'r, юе). (13.21)
Шу сабабли (13.20) тенглик тезланишларнинг параллелограмм
коидаси дейилади.
13.4-§. Мураккаб ^аракатдаги нуктанинг нисбий, ку-
чирма ва Кориолис тезланишлари
Нуктанинг нисбий тезланишини бевосита (13.16) формула ёрда-
мида ёки цузгалувчи координаталар системасинн фикран кузгалмао
деб цараб, 8.5-§ да чшуарилган формулалар ёрдамида аницлаш мум-
кин.
Нуктанинг кучирма тезланиши (13.17) дан фойдаланиб кнс°бла-
—
вади. Бу формулада ______С2_ = и'о кузгалувчи Охуг координаталар
dt2
системаси бошининг тезланишини ифодалайди. (13.13) ни эътиборга
олиб (13.17) кадларини куйидагича узгартириш мумкин:
I d i )
\ )
di . , , ..
X------- =ей X I + X (сое X О,
dt
—>
^у тенгликда Ее — —билан берилган ондаги кучирма каРакат бур-
dt
£
d!2 dt
d о,
dt
(P-i
d
dt
^2, j ^2
чак тезланиши белгиланган. Худди шу сингари —----------------- ларни ки-
dt2 dt2
соблаш мумкин:
J2 ; -> ->
— = Ее X j + Ые X (со₽ X /),
dr-
Я2 /,
— = ееХ k + с^Х (с^Х k).
Натижада
d2 i । d2 j , d2 k । । “Tv , к >
~^ + y^k + z^=:£e x(xi + yi+zk)+ueX
219
X X (x i 4- у j + Z k)] = £e X p + <0, x (we X p)
тенгликни оламиз.
Шундай цилиб, кучирма тезланиш учун цуйидаги ифода цосил
булади;
we = w0 + ве X Р + <ое х (<ое X р). (13.22)
(13.22) ва(12.8) теигликларни солиштириб, (13.22) тенглик Охуг
координаталар системасининг берилган онда А1 нуцта эгаллаган по-
лати билан устма- уст тушувчи нуцтасининг тезланишини ифодала-
шини курамиз.
—>-
Бинобарин, кучирма харакат тезланиши цузгалувчи коорди-
—>-
наталар системасининг бошидаги О нуцтанинг тезланиши w0 цамда
—>• —> —*-
айланма тезланиш w6e = ее х р билан уцца интилма тезланиш =
——>- —
= сое X (оу X р) пинг геометрик йигиндисига тенг булади, яъни
(13.5- раем);
We = WO + We + “Д ( 1 3-23)
(13.13) ни назарда тутпб, Кориолис тезланишини ифодаловчи
(13.18) тенгликни цуйидагича ёза оламиз:
wk = 2 [х(<оех() + '/(“ех /)+г(шгх £)] =
= 2[«ех(х i + у j 4-г £)].
Кориолис тезланишини ифодаловчи бу ифода (13.6) га кура цуйида-
ги куринишни олади:
wk = 2(aexvr). (13.24)
Демак, мураккаб царакатдаги нуцтанинг Кориолис тезла-
ниши цузеалувчи Охуг координаталар системасининг берилган
ондаги бурчак тезлиги билан нуцтанинг нисбий тезлиги вектор-
ли купайтмасининг иккиланганига
тенг.
Кориолис тезланишининг моду-
ли (13.24) тенгликка биноан
wk — 2сое vr sin (оу, vr) (13.25)
формула билан аницланади.
ые векторни узига параллел
гарзда фикран /И нуцтага кучир-
ганда wk Кориолис тезланиши век-
тори оу ва vr векторлари ётган те-
кисликка перпендикуляр равишда
шундай йуналадики, унинг муо
220
бат учидан цараганда ни кичик бурчакка буриб vr устига туши-
риш соат стрелкаси айланишига тескари йуналишда булиши керак.
—
wk нннг йуналишини аницпашда цуйидаги Жуковский цоидаси-
дан цам фойдаланиш мумкин: Кориолис тезланишининг йуналишини
аницлаш учун М нуцтанинг нисбий тезлиги vr нинг берилган он-
—>-
даги кучирма царакат бурчак тезлиги we га перпендикуляр П те-
—>-
кислнкдаги проекцпяси vrfJ ни мазкур текисликда кучирма царакат
йуналишпда 90° бурчакка буриш керак (13.6-раем),
- —>-
Хусусан, ше_1_гц. булса, Кориолис тезланишининг йуналишини
аницлаш учун vr ни ые атрорида кучирма царакат айланиши йуна-
нишида 90° бурчакка буриш кифоя (13.7-раем).
Куйидаги хусусий цолларни куриб чнцамиз.
1. КУзралУвчи Охуг координаталар системаси илгарилама цара-
катда (яъни оц,=0 булса), (13.24) га биноан wft=0 булади.
2. Берилган онда нуцтанинг нисбий тезлиги нолга тенг булса,
(13.24) га асосан шА=0 булади.
3. Берилган онда нисбий царакат тезлиги кучирма царакат бур-
чак тезлигига параллел (яъни 0ц,, vr = 0° ёки <ol„ пг=180°) булса,
шу онда sin (cd^, vr)=Q булгани учун (13.25) га биноан шА=0 бу-
лади.
13.5-§. Нуцтанинг мураккаб царакатига оид масалалар
Нуцтанинг мураккаб царакатига оид масалаларни ечишда аввало
цузгалмас ва цузралувчи координата системалари танланиб, нуцта-
нинг абсолют царакати нисбий ва кучирма царакатларга ажрати-
лади.
Мураккаб царакатдаги нуцтанинг тезлигини топишда (13.8) фор-
мула билан ифодаланадиган тезликлар параллелограмми цоидасидан
фойдаланилади.
Мураккаб царакатдаги нуцтанинг тезланишларнни аницлашга
оид масалаларни 2 турга булиш мумкин:
1. Кучирма царакати илгарилама царакат булган нуцтанинг тез-
лаиишларини аницлаш.
221
2. Кучирма даракати илгарилама царакатдан иборат булмагац
нуктанинг тезланишларини аницлаш.
Хар иккали турга оид масалаларни геометрик ёки аналитик
усулда ечиш мумкин.
Масалани геометрик усулда ечганда нуцтанинг кучирма цара-
кати турига цараб (13.19) ёки (13.20) тенгликлардан фойдаланилади.
Масалани аналитик усулда ечганда проекциялар усули цулла-
нилади, яъни (13.19) ёки (13.20) тенгламаларни танланган узаро
перпендикуляр координата уцларига проекциялаш йули билан нуцта-
нинг тезланиши аницланади.
л
s =
3
13.1-масала. 8.8-масала шартида цяйд этилган А нуцтанинг тезлик ва тез-
ланиши тезликларпи ва тезланишларии цушиш теоремаларидан фойдаланиб аниц-
лансин (13.8- раем). К.уйидагилар берилган:
[0,2 + 0,6 sin — Л м, <р = — i рад, АВ = I = 0,3 м, t = 1 с.
\ 3/3
Ечиш. Цузгалмас Ог £т] ва цузгалувчи Вху координаталар системасини
раемда курсатилгандек танлаб оламиз. А нуцтанинг цузгалувчи Вху координа-
л
талар системасига нисбатан I радиусли айлана ёйи буйлаб <р= —-t рад. цонун
О
асосидаги царакати нисбий царакатни ифодалайди. Вху координаталар система-
л
сининг О1£т] координаталар системасига нисбатан s= (0,2 4-0,6 sin—-1) м цо-
О
нун асосида тугри чизицли царакати кучирма царакатдан иборат. А нуцтанинг
Otgi) координаталар системасига нисбатан царакати мураккаб царакатдир.
А нуцтанинг берилган ондаги цолатини аницлаймиз. В ползуннинг ко-
ординаталар системасига нисбатан цолати s координата билан аницланади. / = 1 с
булганда
s = [0,24-0,6 sin-^-) = 0,72 м.
А нуцтанинг Вху координаталар системасига нисбатан цолати <р бурчак би- _
лап аницланади. t = 1 с булганда
л
<р = -у рад-
В ползун ва А нуцтанинг берилган ондаги цолати 13.8-раемда тасвирланган.
А нуцтанинг абсолют тезлигини (13.8) формула воситасида аницлаимиэ»
d ср я
Ушбу нуцта нисбий тезлигининг модули vr — <вг АВ= ~ 1= — 0,3=0,314 м/с
га тенг булади. vr вектори <р бурчакнинг мусбат йуналишига мос равишда АВ
га перпендикуляр йуналади.
222
Кучирма даракат турри чизицли царакатдан иборат булгани учун ve =vB
кенглик уринли булади. В нуцта тезлигининг модули v в = |сВх| га тенг. Бунда
билан В нуцта тезлигининг х уцдаги проекцияси белгиланган:
ds л
= — = 0,2 л cos — t м/с.
Bxdt 3
t х=. 1 с булганда
vBx = 0,1 л = 0,314 м/с.
vBx мУсбат Чийматга эга булгани учун t — 1 с булган пайтда В нуцганинг тез-
лиги х уци буйича йуналади.
Шундай цилиб, А нуцта кучирма тезлигининг мод ли ve = v в = 0,314 м/с
га тенг булади. ve вектори vB га параллел йуналади.
—> —> —>- • —
Раемда (vr, ve) = 60° булгани учун А нуцтанинг va абсолют тезлиги vr ва
ларга цурилган параллелограммнинг диагонали буйлаб уналади. Шу сабабли
+ + vr cos (v^e) =
= j/(0,314)i 2+ (0.314)2 4-2-0,314-0,314 cos 60° = 0,543 м/с. vr = ve б улгани
•—>-
учун va ва ve орасидаги бурчак 30 га тенг булади.
Кучирма царакат илгарилама—турри чизицли царакатдан иборат цамда нис-
бий царакат I радиусли айлана ёйи буйлаб содир булгани учун А нуцтанинг
тезланишини и>в=и>х4- + формула ёрдамнда аницлаймиз.
Нисбий
бий уринма
царакат бурчак тезлиги шг — — с-1
3
узгармас булгаии учун нис-
тезланиш модули
„ db>.
w, = е, -АВ —-------— I = 0
' r dt
булади.
Нисбий нормал тезланиш модул жицатдан
/ л \2
= 0,3 I — = 0,329 м/с2
\ о /
^згармас б^либ, цамиша А дан В нуцтага йуналади.
Кучирма царакат турри чизицли царакатдан иборат булгани учун кучирма
царакат тезланиши и>е = швга, В нуцта тезланишининг модули эса шв=|и>£х|
га тенг булади.
Бунда wBx В нуцта тезланишининг х уцдаги проекциясини ифодалайди.
dvBx 0,2 я2 я
wKr =-------= — —------cos — t м/с2.
Вх dt 3 3
i = 1 с да wBx = — 0,569 м/с2 булади. шВх нинг маифий цийматга эта булиши
1 с да В нуцтанинг тезланиши х уцца царама-царши йуналганини ифодалайди.
Шундай цилиб, t = 1 с да кучирма тезланишнинг модули we = 1а»Вх| =
=0,569 м/с2 га тенг булади. we вектори А нуцтада wB га параллел равишда
м^налади цамда ш" билан we орасидаги бурчак 30° га тенг булади.
223
А нудтанинг абсолют тезланиши wa вектори wnr ва we ларга дурилган па-
раллелограмм диагонали буйлаб йуналади, модули эса цуйидаги формуладан то-
пилади:
Wa =]/( ш")2 + и?е 4- 2 wnT- We cos 30° = 0,87 м/с2.
Синуслар теоремасидан фойдаланиб, wa ва we векторлари орасидаги бур-
чакни анидлаймиз:
wa w"
sin 150°
sin (wa, we)
sin (wa, we) = 0,1891,
(wa, we) = 11° ёки (wa, x) = 169°.
8.8- масала жавоби билан бу масалада олинган натижаларни солиштирсак,
улар бир хил эканлигини курамиз.
13.2-масала. Диск О нудтадан утувчи уд атрофида соат стрелкаси даракати
йуналишида секинланувчан айланма даракат дилади (13.9-раем, а). Дискнинг
АВ ватари буйича Р шарча 1,2 м/с тезлик билан даракатланади. Шарчанинг диск
марказига энг ядин масофада булган пайтдаги абсолют тезланиши анидлансин.
Шу пайтда ОР = 30 см, дискнинг бурчак тезлиги 3 рад/с, бурчак секинланиши
8 рад/с2 га тенг.
Ечиш. Цузгалмас Ogr] ва дузгалувчи Огху координаталар системасини
13.9-раем, а дагидек танлаб оламиз. Берилган онда Ох ва Р нудталар устма-уст
тушади. Р нудтанинг О^х уд буйлаб тугри чизидли даракати нисбий даракат-
дап, диск билан биргаликда О нудта атрофидаги айлана ёйи буйлаб даракати
эса кучирма даракатдан иборат. Кучирма даракатнинг берилган ондаги бурчак
тезлиги ше = 3 рад/с, бурчак секинланиши ее = 8 рад/с2. Р нудтанинг Ogi] коор-
динаталар системасига нисбатан даракати мураккаб даракатдан иборат.
Р нудта берилган онда Og удда
ОР = 0,3 м масофада ётади (13.9-раем, о).
Кучирма даракат О нудта атрофидаги
айланма даракатдан иборат булгани учуй
(13.19) га кура Р нудтанинг тезланиши
нисбий, кучирма ва Кориолис тезланиш-
ларининг геометрик йигиндисига тенг бу-
лади:
—> —> —> —>
ша = wr + we + wk
ёки
Р шарча х уди буйлаб vr = 1,2 м/с
узгармас нисбий тезлик билан даракатлан-
гани туфайли нудтанинг нисбий тезлани-
ши wr = --------- = 0 булади.
dt
Шарчанинг кучирма даракатдаги урин-
ма тезланиши модули
w* = ОР-ее = 0,3-8 = 2,4 м/с2. га тенг.
Берилган онда кучирма даракат се-
кинланувчан айланма даракатдан иборат
224
булганн учун w] вектори ге йуналишига мос равишда (\х уцца царама-царши
г аналади.
Берилган онда шарчанинг кучирма царакатдаги нормал тезланиши модули
ьа/г = OP-w2 = 0,3-32= 2,7 м/с2 га тенг булади. и>" вектори Р нуцтадан диск
маркази О га йуналади.
Кориолис тезланишининг модули (13.25) га асосан аницланади. ые вектори
кузатувчидан раем текислигига перпендикуляр равишда йуналгани учун
sin X) = sin 9°° = 1 бйлганлигидан wk = 2-3-1,2 = 7,2 м/с2.
<Ogj.bg булгани учун <о₽ нинг мусбат нуналишидан цараганда vr ни <ое ат-
рофида соат стрелкаси царакатига тескари йуналишда 90° бурчакка буриш нати-
жасида Кориолис тезланишининг йуналишини оламиз. wk вектори Огу уц буйича
йуналади.
Шарча абсолют тезланишининг ташкил этувчилари: wj билан ш”, wk лар
орасидаги бурчак 90° дан иборат булгани учун wa нинг модули цуйидагича
аницланади:
wa = ]/" ( ш*)2+ +u.J2 = ]/ (2,4)2+ (2,7 + 7,2)2 = 10,18 м/с2.
11.9-раем, б дан курамизки,
ш" + юй
cos (wa, Огу) —--------------------
wa
2,7+ 7,2
10,18
= 0,9723,
(wa, О1У)=\&29'.
13.3. масала. Радиуси г = 0,3 м булган диск узининг вертикал диаметри ат-
рофида ф = (2/ + 0,3/2) рад цонунга биноан айланади (13.10-раем, с). М нуц-
л t
та диск гардиши буйлаб О2 М = s= 0,1 л sin — м тенгламага мувофиц царакат-
2
ланади. ( = /1 = —— с булган пайтда диск раем текислигида ётади. М нуцтанинг
О
<1 пайтдаги абсолют тезлиги ва абсолют тезланиши топилсин.
13.10- раем.
15—2282
225
Ечиш. К,узгалмас Ot £т£ ва кузгалувчи Охуг координаталар системасинн
13.10-раемдагидек танлаб оламиз. М нуцтанинг г радиусли айлана ёйи буйлаб
л t
Охуг координаталар системасига нисбатан s= 0,1 л sin — цонун буйича г^ара
кати нисбий харакатдир.
Днскнннг ср = 21 + 0,3 f2 ^онунга биноан О] £ уц атрофидаги айланма з^а-
ракати кучирма харакатни ифодалайди. М нуктанинг координаталар сис-
темаепга нисбатан харакати мураккаб харакатдан иборат.
Дастлаб М нуктанинг tx пайтдаги хрлатини аницлаймиз:
2 л
(О2Л1)/=<1 = sz=/i =0,1 л sin — = 0,05 л м.
02Л1 ёй узунлиги узи тиралган марказий бурчак а билан улчанади:
02Л1 = г-а.
Бинобарин, пайтда М нуктанинг радиуси 002 уц билан
0,05 л л
а —-------= —•
г 6
бурчак ташкил этади (13.10-раем, о).
М нуцтанинг абсолют тезлигини (13.8) формула воситасида аницлаймиз:
——>-
Од = Ог + ve.
Бу ифодадаги нисбий тезликнинг алгебраик цийматини (8.28) га асосан аниц-
лаймиз:
(1)
d s 0,1л'2 л t
vrr= —— =---------cos —’
dt 4 4
t—ti да rrx = 0,21 м/с>0 булгани туфайли нисбий тезлик модули vr = 0,21м/с,
йуналиши эса 02М ёй координатаси ортадиган йуналишда М нуцтада дискнииг
гардишига утказилган уринма буйича йуналади.
М нуцта кучирма тезлигинипг модули
ве = юе-АД (2)
формуладан топилади. (2) да билан кучирма харакат бурчак тезлигининг мо-
дули белгиланган. Кучирма харакат бурчак тезлигининг алгебраик цийматн (9.4)
форму лага кура топилади:
ыег = ф = 2 + 0.61,
2
t - tx да <oez = 2 -|- 0,6- — = 2,4 c—1 > 0.
Демак, = 2,4 c—>.
13.10-раем, б дан:
ML = г cos а = 0,3-0,866 = 0,26 м.
(3)
(4)
Шуидай цилиб, (2) дан ve — 2,4-0,26 = 0,62 м/с келиб чи^ади. ve вектори
Ох увда параллел равишда кузатувчи томон йуналган.
( vr , ve )=90° булгани учун va =\f v2r -|- х?е = 0,654 м/с. оа вектори диск
текислигига перпендикуляр текисликда жойлашади з^амда
->—-> Ve
cos (va, ve) = -— = 0,9480,
(&a> ve) == 18° 30*,
cos (va.
Гг
— = 0,3211.
vr) = 7F30*
226
Кучирма харакат Oz ук атрофида айланма харакатдаи иборат булгани учун
Л4 нуктанинг абсолют тезланиши (13.19) тенглама воситасида аникланади Уни
Куйидаги куринишда езамиз:
(5)
д[ ну^та нисбий харакатининг уринма ва нормал тезланишларини (8.51) фор-
мулам кура анидлаймиз:
х dvrx 0,1 . nt
w —---------=------—— Л3 sin —•
dt 16 4
t — ti Да шг = — 0,10 м/с2.
а,1 < 0 болтани туфайли, вектори vr йуналишига царама-царши
йуналади (13.13-раем, 6) ва |<oj| = 0,10 м/с2.
v2 t?
К,П _ .—— = —(_ = 0,15 м/с2,
Р г
и>" вектори МО чизик буйича М дан О марказга дараб йуналади (13.10-раем,
б).
М нуктанинг кучирма харакатдаги уринма тезланиши модули
Wg — ML-Be ,
бунда ве — |вгг| кучирма даракат бурчак тезланишининг модулини ифодалайди,
у (3) дан вакт буйича косила олиб топилади:
ееа = аег — 0,6 = const > 0.
Бииобарин, ве — вех = 0,6 с-2 булиб, М нуктанинг кучирма харакати тезланув-
чан булади.
Шундай килиб, t = ti да
w] =ML-Be =0,26-0,6 = 0,16 м/с2.
E«z>0 булгани туфайли вектори Ох Укка параллел равишда кузатувчи то-
мон йуналади.
Берилган онда М нуктанинг кучирма даракатидаги нормал тезланиши модули
— ML-ш2 = 1,50м/с2 га теиг булади.
ta" вектори М нудтадан Ог айланиш уцига перпендикуляр равишда ML
буйлаб йуналади (13.10-раем, б).
М нуктанинг Кориолис тезланиши (13.25) га кура аникланади. Берилган
пайтда (го- tu) = а =— булганидан = 2 ые vr sin —- = 0,50 м/с2 вканли-
е’ п 6 6
ги келиб чикади. Жуковский доидясига кура Кориолис тезланиши М нук-
тада кузатувчидан диск текислигига перпендикуляр равишда йуналади.
М нуктанинг абсолют тезланишини проекциялаш усули билан анидлаймиз.
(5) ни х, у, г удларига проекциялаймиз:
wax =Wg — wk = — 0,34 м/с2,
w ag == — cos 60° -J- w" cos 30° -|- w" = 1,58 м/с2,
taol = — |tarT| cos 30° — w" cos 60° = — 0,6 м/с2.
221
Бинобирин,
wa = + юод + иог = V 2>98 ~ 1.73 М/С3.
М нуцта абсолют тезланишининг йуналиши куйидагича аницланади:
cos =— = — 0,1965, (хдГх) = 101°20',
“'с
—>''' t&ay —>
cos (аис, у} =--= 0,9133, (wa, у) = 24°,
wa
cos (ш1, г) = — = — 0,3468, (й£, z) = 110°20'.
wa
14- боб. ЦАТТИЦ ЖИСМНИНГ МУРАККАБ ЦАРАКАТИ
14.1- §. Умумий мулоцазалар
Техникада купинча цаттиц жисмнинг царакатини бир неча коорди-
наталар системасига нисбатан урганишга тугри келади. Одатда, берил-
ган жисм билан богланмаган координата системаларидан бири, масалан,
О^т]^ нн цузгалмас деб цабул цилинади. Шунингдек, берилган
жисм билан богланмаган ва уз навбатида цузгалмас координаталар
системасига нисбатан царакатланувчи Oxyz координаталар системаси
олинади. Масалан, сунъий йулдош ичидаги жисмнинг ЕргЭ нисбатан
царакатини урганишда Ер билан богланган 0£ т; £ координаталар сис-
темасини цузгалмас деб олинади; цузгалувчи Oxyz координаталар
системаси учун сунъий йулдошга мацкам бириктприлган координата-
лар системаси олинади.
Жисмнинг цузгалувчи Oxyz координаталар системасига нисбатан
царакати нисбий царакат дейилади. >
Юцорида курганимиздек, цузгалувчи Oxyz координаталар систе-
масининг цузгалмас Ot £т]£ координаталар системасига нисбатан ца-
ракати кучирма царакатни ифодалайди. Бунда цузгалувчи координа-
талар системасининг царакати деганда, у билан богланган фазонинг
цузгалмас координаталар системаси билан богланган фазога нисбатан
царакати тушунилади. Цаттиц жисмнинг берилган ондаги кучир-
ма царакати деганда, унинг шу ондаги с]>ацат цузгалувчи коорди-
наталар системаси билан биргаликда цузгалмас 0^£т)£ координата-
лар системасига нисбатан царакати назарда тутилади.
Жисмнинг цузгалмас О1 i] С координаталар системасига нисбатан
царакати мураккаб царакат ёки абсолют царакат дейилади. Шун-
дай цилиб, цаттиц жисмнинг абсолют царакатини нисбий ва кучирма
царакатлардан ташкил топган деб цараш мумкин.
Юцорида эркин цаттиц жисмнинг царакатини унинг цутб нуцта-
си билан биргаликдаги илгарилама царакат ва цутб орцали утувчи
оний уц атрофидаги оний айланма царакатлардан ташкил топган му-
раккаб царакат деб тацлил цилиш мумкинлигини курган эдик. Бу
бобда жисмнинг царакатини бошцача нуцтаи назардан урганамиз.
228
бу-
тез-
<ркОпида эркин цаттиц жисмнинг даракати оддии царакатларга аж-
тиш йули билан урганилган булса, бу ерда жисмнинг мураккаб
пакатини оддий царакатларни цушиш натижасида содир булади деб
^апаймиз. Нисбий ва кучирма царакатларнинг кай тарзда содир 6v-
шдига цараб, унга мос равишда цаттиц жисм нуцталари оний
ликларининг цар онда цандай таксимланишини урганамиз.
14.2- §. Жисмнинг илгарилама царакатларини цушиш ца-
цидаги теорема
Цаттиц жисм Oxyz координаталар системасига нисбатан тез-
лик билан илгарилама царакатда булсин. Уз навбатида Oxyz коор-
динаталар системаси цам цузгалмас 0( g т) £ координаталар системасига
нисбатан у2 тезлик билан илгарилама даракат цилсин (14.1-раем).
Жисмнинг координаталар системасига нисбатан даракатини,
яъни абсолют даракатини аницлаймиз.
Нисбий даракат илгарилама царакатдан иборат булгани учун
жисмнинг барча нуцталари бирдек vr=vt нисбий тезлик билан цара-
катланадн. Худди шунингдек, жисмнинг кучирма царакати цам ил-
гарилама царакатдан иборат булгани туфайли унинг барча нуцтала-
ри бир хил ve=v2 кучирма тезлик билан царакатланади.
Жисм бирор М нуцтасининг абсолют тезлигини аницлаш учун
тезликларни цушиш теоремасини ифодалевчи
va — vr + ve (14.1)
тенгликдан фойдаланамиз. Курилаётган цол учун бу формулани
Va==VL + V2
(14.2)
куринишда ёзиш мумкин. (14.2) дан курамизки, жисм барча нуцта-
ларининг абсолют тезликлари бир хил, яъни жисмнинг абсолют ца-
ракати илгарилама царакатдан иборат булади.
Шундай цилиб, цуйидаги тео-
рема исботланди: агар жисмнинг
нисбий ва кучирма харакатлари
илгарилама царакатдан иборат
булса, жисмнинг абсолют царака-
ти цам илгарилама царакатдан
иборат булади цамда абсолют ца-
ракат тезлиги нисбий ва кучир-
ма царакат тезликларининг гео-
метрик йигиндисига тенгдир,
г Агар жисм бир вацтнинг узида
°i. v2. . ,v„ тезликлар билан со-
Дир буладиган п та илгарилама
царакатларда цатнашеа, у цолда
229
дастлаб (14.2) га кура биринчи иккита тезликни геометрик цушамиз,
сунгра олинган тезликни учинчи тезлик билан геометрик цушамиз
ва ц. к. Шу тарзда илгарилама даракат тезликларини геометрик цу-
ша бориб, жисмнинг абсолют даракати илгарилама даракатдан ибо-
рат ва жисм ихтиёрий нуцтасининг абсолют тезлиги v2 . , . . , vn
илгарилама царакат тезликларининг геометрик йигиндисига тенг, яъни
=^ + v2+. . . + 5 = 2 «С (14.3)
v=!
булишига ишонч цосил цилиш мумкин.
14.3- §. Жисмнинг кесишувчи уцлар атрофидаги айланма
царакатларини цушиш
Жисм цузгалувчи Охуг координаталар системасига нисбатан Ог
уц атрофида «ц бурчак тезлик билан, уз навбатида Ог уц цузгалмас
Ot уц атрофида айланма царакатда булсин (14.2-раем). Бошцача
айтганда жисм цузгалувчи Ог уц атрофида ыГ = оц бурчак тезлик би-
лан нисбий царакатда цамда цузгалмас уц атрофида со,, = со2 бурчак
тезлик билан кучирма царакатда иштирок этсин. О нуцта жисм царакати
давомида цузгалмасдан цолгани сабабли жисмнинг цузгалмас
координатага нисбатан царакати О нуцта атрофидаги сферик царакат-
дан иборат булади. /Кием абсолют царакатининг оний бурчак тезли-
ги цандай булишини куриб чицамиз.
Жисм ихтиёрий М нуцтасининг радиус-векторини г билан бел-
гилаб, бу нуцтанинг абсолют тезлиги vM ни аницлаймиз. Курилаёт-
ган цол учун (14.1) да
—> —> —> —>
vr =•= (£>0<r , ve = а,хг
эканлигини эътиборга олсак,
——*- —>- —>
иЛ1 =Ы1хг + С02Х
14.2- раем.
= (tOj + со,)х г булади.
М нуцтанинг абсолют царакат
тезлигини Эйлер формуласи ёрда-
мида цам аницлаш мумкин:
Ул(=озхг. (14.4)
Бунда со билан абсолют царакат
бурчак тезлиги белгиланган.
Охирги иккита тенгликни солиш-
тириб, цуйидаги муносабатни ола-
миз:
—> —> —> —> —>
со ХГ = (cdх + cd2)Xг.
230
нуцта ва унинг радиус-вектори г ихтиёрий булгани учун
со = со1Ч-со2 ' (14.5)
теНглик уринли булади. Шундай килиб, абсолют даракат бурчак
езЛиги о>1 ва со2 ларга цурилган параллелограммнннг ОА диагонали
билан ифодаланади. (14.5) тенглик бурчак тезликларнинг паралле-
лограмм цоидаси дейилади.
ОА диагонал ортали утувчи уцдаги жисм нуцталарипинг радиус-
вектори со билан бир тугри чизицда ётгани учун (14.4) га кура бу
нукталарнинг тезлиги нолга тенг булади, яъни мазкур уц айланиш
оний уцидан иборат булади.
Натижада цуйидаги теорема исботланди: агар жисм бир вацт-
да О нуктада кесишувчи иккита уц атрофида айланма царакат-
да иштирок этса, у цолда жисмнинг абсолют даракати О нуц-
тадан утувчи айланиш оний уци атрофида оний айланма цара-
катдан иборат булиб, абсолют царакат оний бурчак тезлиги
нисбий ва кучирма царакат бурчак тезликларининг геометрик
йигиндисига тенг.
Агар жисм бир вацтнинг узида О нуцтада кесишувчи п та уц-
—>- —> —>
лар атрофида &ц, ........бурчак тезликлар билан айланма ца-
ракатда булса, у цолда жисмнинг абсолют царакати О нуцтадан
утувчи оний уц атрофидаги оний айланма царакатдан иборат булиб,
абсолют царакат
CD = CDj + С02 + . . - + = У
V=1
оний бурчак тезлик билан содир булади.
14.1- масала. Цуш дифференциал цузгалмас ab уц атрофида айлана оладиган
III кривошипдан иборат (14.3-раем). Кривошипга IV сателлит эркин урнатилган.
Сателлит иккита бир- бирига маркам цилиб бириктнрилган гг = 5 см ва г2 = 2 см
радиусли конус шаклидаги тишли гилдиракдан иборат. Бу гилдираклар ab уц ат-
рофида айланадиган, лекин кривошип билаи богланмаган конус шаклидаги тишли
гилдираклар I ва II билан цушилган. I ва II гилдираклариинг радиуслари =
= 10 см ва /?2 = 5 см> бурчак тезликлари тегишлича = 4,5 с-1 ва го2 =9 с~*•
Агар иккала гилдирак бир томонга айланса, кривошипнинг бурчак тезлиги со3 ва
сателлитнинг кривошипга нисбатан бурчак тезлиги <о43 аницлансин.
Ечиш. ОЕт]£ цузгалмас ва Охуг цузгалувчи координаталар системасини
14.3- раемдагидек танлаб оламиз.
Сателлит цузгалувчи Ог уц атрофида
кривошипга нисбаган 6> = co4s =—со1Э k
бурчак тезлик билан нисбий царакатда хам-
да кривошип билан биргаликда цузгалмас
6С уц ат рофида ые — — ел, / бурчак тез-
Дик билаи кучирма царакатда булади,
яъни сателлит бир вацтла О нуцтада ке-
сишувчи иккита уц атрофида айланма
Царакатда булади. lily сабабли сателлит
* —> —»- —> _у-
= <ог -|- <ое = — со43 /г — оз s j
оний бурчак тезлик билан оний айланма
Царакатда булади.
14.3- раем.
231
Mj ва Л12 нукдаларнивг абсолют тезликлари раемда курсатилганидек йуна-
лади ва уларнинг модули о2 = /?2со2 га тенг булади.
г1! ва v2 тезликларни кузгалувчи координата удларига проекциялаймиз:
Г'1Х = —/?1СОЬ vly = vu = 0, 1
U2x = R-2 » v2y ~ ~ О* J
Mt ва /И2 нуцталарнинг абсолют тезликларини бош^ача усулда, Эйлер формула-
сидан фойдаланиб аницлаш .\ам мумкин;
п, = соа X ОМ
»2 = X 0М.2 =
—> — >
« / k
О со3 — со43
О ri Ш
i i k
О — <о8 — со48
О Г2 Г?2
ёки кузгалувчи координата уцларига проекцияласак,
t>iX — —<о8 Rx -]- co4S г1, = Bp = 0, A
г (2)
®2X = ^3^2 ^43 r2> ^2У =0 J
ларни ^осил килампз.
(1) ва (2) тенгламалар системасинн солиштириб, цуйидаги иккита тенглама-
лар дан иборат системанм оламиз:
(03 С043 Tj — R4 COj ,
^2 4“ ^43 Г2 “ ^2 ^2*
Бу тенгламаларни биргаликда ечиб, изланаётган номаълумларни анидлаймиз:
^2 Н-Г1 ^2 W2
(Do — ' "
г2 Ц- R2 f t
= 7 с-1
со4з —
/?1 R2 (cd2—(Oj)
Л1 r2 + -R2 Г1
= 5 c-1.
14.4- §. Жисмнинг иккита параллел уц атрофидаги
айланма ^аракатларини ^ушиш
Жисмнинг нисбий ва кучирма ^аракатлари узаро параллел у^лар
атрофидаги айланма ^аракатдан иборат булган доллар ни курамиэ.
Жисм кузгалувчи z у^ атрофида cor = Uj бурчак тезлик "билан
нисбий ^аракатда, уз навбатиди Oz уц узига параллел булган цуз-
—>• —>
галмас (фС уц атрофида = со2 бурчак тезлик билан кучирма айлан-
ма ^аракатда булсин (14.4-раем). Бу ^олда жисм нуцталари нисбий
^аракатда ^ам, кучирма ^аракатда ^ам Oz ва 0^ удларига перпен-
дикуляр текисликларда ^аракатланади. Шу сабабли жисмнинг бундай
^аракатини текис параллел даракат деб цараш мумкин.
Бинобарин, бу холда жисмнинг абсолют ^аракатини урганиш
жисмни Oz ва О^ у^ларга перпендикуляр булган П текислик билан
фикран кесиш натижасида ^осил булган S юзанинг ^аракатини урга-
нишга келтирилади.
232
Айланма ^аракатлар бир томонга ва царама-^арши томонга йу-
налган ^олларни ало^ида куриб чи^амиз.
1. Нисбий ва кучирма айланма ^аракатлар бир томонга йунал-
ган ^ол. Жисм (масалан, шкив 1) горизонтал текисликда даракат-
ланувчи кривошип 2 га ма^камланган вертикал г ук атрофида
о. = й; бурчак тезлик билан нисбий ^аракатда, уз навбатида криво-
~> 'V
шип z уцца параллел булган цузгалмас С ук атрофида = со2 бур-
чак тезлик билан кучирма айланма ^аракатда булсин (14.5-раем).
Айтайлик, нисбий ва кучирма ^аракатлар z ва £ у^ларнинг мусбат
йуналишидан Караганда соат стрелкаси айланадиган йуналишга тес-
кари йуналишда содир булсин.
—>• —>
од ва w2 бурчак тезликларни раемда курсатилганидек тасвир-
лаймиз. Жисмнинг абсолют даракати цандай булишини куриб чика-
миз. Шкивнинг S юзаси орцали z ва £ ук^арга перпендикуляр П
текисликни утказиб, уцларнинг мазкур текислик билан кесишган
нуцталарини мос равищда О ва (\ билан белгилаймиз. X юза-
нинг Ofi чизиеда ётувчи С нудтасининг абсолют тезлиги унинг Oz
УК атрофидаги айланма даракатдаги нисбий тезлиги vr дамда
о ~* о
УК атрофидаги ve кучирма тезликларнинг геометрик иигиндисига
тенг булади. Бу иккита тезлик Oj О га перпендикуляр равишда бир-
бирига карама-^арши йуналади. Шу сабабли
va — vr — ve = ОД CO — a20jC.
С нудтани шундай танлаймизки, бу нуцта учун од СО—(OgOjC=0 ёки
tot /1л /а
СО а2 ( 4'6)
тенглик уринли булсин. У ^олда С нуктанинг абсолют тезлиги нол-
га тенг булади. Худди шунингдек, С нудта ортали од ва to2 ларга
параллел булган СА уцда ётувчи жисм нуцталарининр абсолют тез-
лиги^дам нолга тенглигига ишонч досил ^илиш мумкин. Бинобарин,
СА уц абсолют ^аракатдаги айланиш оний укипи ифодалайди.
233
чак тезлик билан содир булгани
ли булади:
vo =
vo-
(14.6) дан курамизки, курила-
ётган цолда СА айланиш оний уци
Ofi кесмани ички томондан нис-
бий ва кучирма даракат бурчак тез-
ликларига тескари пропорционал
булакларга булади. СА уц атрофи-
даги абсолют царакатнинг оний бур-
чак тезлигини аницлаймиз. О нуц-
та О£ уц атрофида со2 бурчак тез-
лик билан айлангани, шунингдек,
О нуцтанинг абсолют царакати СА
—>
оний уц атрофида со оний бур-
туфайли, цуйидаги тенгликлар урин-
: ^0,0.
= со • СО.
Бу тенгликларни солиштириб, абсолют царакат оний бурчак тез?1
лигини аницлаймиз:
со • СО = со2 Oft,
ОХО
со = со2- со
ёки (14.6) га асосан
OjC + СО
~“2’ СО = “2
со = со2
= COj + со2.
(14.7)
Шундай цилиб, агар жисм бир вакупда иккита параллел уц
атрофида мос равишда^ва^бурчактезликлар биланбиртомонга
айланса, жисмнинг абсолют царакати худди шу йуналишда
со = cot + со2 оний бурчак тезлик билан мазкур уцларга параллел
булган ва (14.6) тенглик воситасида аницланадиган айланиш оний
уци атрофидаги оний айланма царакатдан иборат булади.
2. Нисбий ва кучирма царакат бурчак тезликлари мицдор жи-
цатдан цар хил, йуналиши царама-царши булган цол. 14.4 ёки
14.5-расмларда тасвирланган S юзанинг II текисликдаги царакатини
текширамиз (14.6-раем). Уцнинг мусбат йуналишидан цараганда S
юза Oz уц атрофида соат стрелкаси царакати йуналишида со, бурчак
тезлик билан, 0vS уц атрофида эса унга царама-царши йуналишда
со2 бурчак тезлик билан айлансин. Айтайлик, coL > со2 булсин. Худди
олдинги цолдагидек, О(О кесманинг давомида ётувчи С нуцтанинг
абсолют тезлигини аницлаймиз:
vc — vr — ve == coj • ОС — co2 • OjC.
С нуцтани шундай танлаймизки,
<ox-ОС —di-OjC
234
булсин. У холда vc = 0 цамда со, га параллел булган СВ уц ай-
ланиш оний уцидан иборат булади.
(14.8) дан курамизки, курилаётган цолда СВ оний уцОгО кесма-
ки ташки томондан нисбий ва кучирма царакат бурчак тезликлари-
Га тескари пропорционал булакларга булади.
СВ уц атрофидаги абсолют царакат бурчак тезлиги со ни аниц-
лаймиз. Бунинг учун худди юцоридагидек мулоцаза юритиб, О нуц-
танинг тезлиги аницланадиган
о0 = со2-0,0,
v0 = со • ОС
тенгликларни оламиз. Бу тенгликлардан фойдаланиб, абсолют цара-
кат оний бурчак тезлигини аницлаймиз:
со-ОС = cOg-OjO,
0,0 0,С — ОС
со = со, —— >= со,- —--------= со,
2 ОС 8
(14.8) ни эътиборга олсак,
ОС
СО — СО, — С02
ёки
(14.9)
тенглик цосил булади.
Шундай цилиб, агар 'экисм бир вацтда иккита параллел уц
—> *->-
атрофида мицдор жихатдан бир-бирига тенг булмаган со, ва со2
бурчак тезликлар билан (со, > со^ царама-царши томонга айлан-
са, жисмнинг абсолют даракати катта бурчак тезлиги йунали-
шида со = со, — со2 оний бурчак тезлик билан мазкур уцларга па-
раллгл булган ва (14.8) тенглик воситасида аницланадиган оний
УЦ атрофидаги оний айланма царакатдан иборат булади.
Айланиш оний уцининг уцига нисбатан цолатини аницлаш
учун (14.8) дан фойдаланиб, цосилавий пропорция тузамиз:
ёки
OjC — ОС _ со, —соа
ОС «Оз
0,0 со, — го2
ОС со.
23}
Бундан цуйидаги тенгликни оламиз:
(14.10)
COj— ®2
3. Нисбий ва кучирма бурчак
тезликлари мицдор жицатдан тенг»
йуналиши царама-царши булган цол.
Агар цаттиц жисм иккита параллел
уц атрофида мицдор жицатдан тенг,
йуналиши царама-царши булган бур-
чак тезликлар билан айланса, бун-
дай царакат жуфт айланиш дейи-
лади.
14.4 ёки 14.5-расмларда тасвирланган S юза П текисликдаги
жуфт айланишда иштирок этсин (14.7-раем). У цолда S юза ихтиё-
рий М нуцтасининг абсолют тезлиги учун
Ua = vr+ ve = сох х t\ 4- со2 X гх
муносабат уринли булади. Бунда t\ билан М нуцтанинг О нуцта-
га нисбатан радиус-вектори белгиланган. Курилаётган цолда со2 ~
— — <Oj булгани учун:
х —r2) = сох х ООХ = ОхО X оц, (14.11)
бунда
ОХО = г2 — гг.
(14.11) тенгликдан курамизки, М нуцтанинг абсолют тезлиги
унинг цолатига боглиц булмасдан, берилган онда жисмнинг барча
нуцталари мицдор ва йуналиш жицатдан бир хил булган абсолют
тезлик билан царакатланади, яъни жисмнинг абсолют царакати ил-
гарилама харакатдан иборат булади.
—*" * „
со, х 0,0 вектор купайтма оц векторпинг О нуцтага нисбатан
—>" —
моментини ёки (оц, и2) жуфтнинг моментини ифодалайди..] Шу са-
бабли
муносабат уринли булади. va ни жуфт айланиш моменти деб цам;
аталади.
Бинобарин, жуфт айланишда иштирок этаётган М нуцтанинг
абсолют тезлиги ы, ва ы2 лар ётган текисликка перпендикуляр ра-
вишда йуналади цамда мицдор жицатдан va = ац-О/Э= га
тенг булади.
—•>- —>
Бунда h билан оц ва w2 векторлари орасидаги энг цисца масо-
фа белгиланган булиб, бу масофа жуфт айланиш елкаси дейилади.
236
Шундай цилиб, цуйидаги теорема исботланди: жуфт айланиш
------------------- ----------- царакат
экватор те-
ггарилама царакатга эквивалент булиб, илгарилама
тезлиги жуфт айланиш моментига тенг.
14.2- масала. Ернинг сунъий йулдоши доиравий орбита буйлаб
кислигйда царакатланади ва Ер атрофини 1,5 соатда айланиб чицади. Цуйидаги
икки цолда: 1) сунъий йулдош шарцдан гарбга учаётганда, 2) гарбдан шарцца
«чаётганда унинг Ерга нисбатан бурчак тезлиги вц цисоблансин.
Ечиш. Ер гарбдан шарцца цараб 24 соат ичида уз уци атрофида бир марта
айланади. Сунъий йулдошнинг Ер билан биргаликдаги царакатини кучирма ха-
ракат деб царасак, кучирма царакат бурчак тезлиги
1 2л
®е = В)2 = — айл/соат = - - - - рад/с = 0,727- 10~4с~>
Z4«oO'-'U
га тенг булади.
Суиъий йулдошнинг абсолют царакат бурчак тезлиги берилган:
1 2л
св=------ айл/соат = —-------- рад/с = 11,629-10—4 с-1.
1,5 1,5-3600
Ер ва унинг сунъий йулдоши параллел уцлар атрофида айланади.
йулдош шарцдан гарбга учаётганда унинг нисбий бурчак тезлиги со1
царакат бурчак тезлиги со2 га царама-царши йуналади. Шу сабабли
«ура
Сунъий
кучирма
(14.9) га
to = toi — (d2,
бундан
со1 = co-|-co2 = ~— 0,708 айл/соат = 12,356-10 4с *.
Сунъий йулдош гарбдан шарцца учаётгапда со, нинг йуналиши со2 билан
бир хил булгани учун (14.7) га асосан
co = co14-cd2.
бувдан
COj = ft) — (i)2‘
14.8- раем.
—— ——— = 0,624 айл/соат = 10,902- 1О'"4с~1.
1,5 24
14.3- масала. OOj кривошип I ва II тишли гилдиракларнинг О ва Ot уцла-
рини бирлаштиради, гилдираклар узаро, 14.8- раемда курсатилгандек, ташци
тишлар билан илашади. II гилдирак цузгалмайди. OOt кривошип со 2 бурчак тез-
лик билан айланади. Гилдиракларнинг радиуслари г( ва г2 булса, I гилдирак-
нинг абсолют бурчак тезлиги со ва унинг кривошипга нисбатан бурчак тезлиги
цисоблансин.
Ечиш. 1 гилдирак бир вацтнинг узида
ва Oj нуцталардан раем текислигига
тик равишда утувчи узаро параллел Суг
ва 0^ уцлар атрофида айланма цара-
катларда иштирок этади. I гилдирак кри-
вошип билап богланган Ojxyz координа-
талар системасига нисбатан OjZ уц атрсфи-
Да сог = и, бурчак тезлик билан, О£ уц
атрофида эса ОО1 кривошип билан бирга-
ликда сое = бурчак тезлик билан аила-
надн. о), ва Cq2 векторлари узаро парал-
лел вз бир томонга йуналади.
237
Еилдираклар илашган С нуктанинг
тезлиги нолга тенг булгани туфайли
шу нуцтадан раем текислигига перпен-
дикуляр равишда утувчи уц айланиш
оний уцини ифодалайди. Шу сабабли
(14.6) га кура
Ъ
rl ®2
ёки
£0j = (02. -•
I гилдиракнинг абсолют ^аракат-
даги бурчак тезлигини (14.7) га биноан
анидлаймиз:
О) = <Dj -|- С02 =
14.4- масала. О А кривошип В по*
санги билан бирга ц узгалмас тишли
гилдиракнинг О уци атрофида <оо =
=- const бурчак тезлиги билан айлана-
ди, унинг А учида бошца тишли гил-
диракнинг у^и туради. Тишли гилдиракларнннг улчамлари бир хил булиб, уз-
аро занжир воситасида туташади. Агар кривошипнинг узунлиги ОА = I булса,
кузгалувчи тишли гилдиракнинг бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши, шунинг-
дек, М нудтасининг тезлиги ва тезланиши аницлансин (14.9-раем).
Ечиш. А нуктада кривошип билан маркам богланган Ахуг кузгалувчи ва О
нуцтада дузгалмас координаталар системасинн утказамиз. Айтайлик, цуз-
галувчи тишли гилдирак раем текислигига перпендикуляр Аг уц атрофида
= со2 нисбий бурчак тезлик билан айлансин. 1\узгалувчи тишли гилдирак
дузгалмас О£ уг, атрофида кривошип билан биргаликда <ое = соо кучирма бур-
чак тезлик билаи айланади. Бинобарин, кузгалувчи тишли гилдирак мураккаб
даракатда иштирок этади.
Занжирнинг берилган пайтда дузгалмас тишли гилдирак билан туташган
вуцталарининг абсолют тезликлари нолга тенг булгани учун тезликларни цушиш
теоремасидан
vr + ve = 0 ёки vr = — ve
^осил булади. Бунда vr занжир нуергаларининг кривошипга нисбатан нисбий
—
тезлиги, ve эса заижир нуцталарининг кучирма тезлигидан иборат: (ое = о»
булгани учун ve = соо-г. 1\узгалувчи тишли гилдиракнинг абсолют бурчак тезли-
гини со билан белгиласак, унинг нисбий бурчак тезлиги (о — со£ га тенг булади:
сог = со — соо. (1>
Бинобарин, vr = (to — coo)r.
Занжир цузгалмас тишли гилдиракка нисбатан сирпанмагани туфайли, улар-
нинг бир-бирига тегиб турган нуергаларинииг кривошипга нисбатан тезликлари
мицдор жихатдан тенг булади, яъни:
(со — Юо) г = — и0 г.
Бу тенгликдан со = 0 келиб чицади.
Шу сабабли (1) дан сол = — соо, яъни курилаётган долда жуфт айланиш
содир булади. Исталган пайт учун со = 0 булгани туфайли абсолют дарака»
бурчак тезланиши
238
p a
e = — = 0.
at
__ 0 e = 0 булиши кузгалувчи тишли рилдирак харакати илгарилама харакат
хйдишини тасди^лайди. Шу сабабли цузгалувчи тишли рилдирак ихтиёрий нуц-
гасининг тезлик ва тезланишлари мос равишда А нуктанинг тезлик ва тезланиш-
ларига тенг булади:
"М = 1>А = 1ШО.
^M = WA=l
14.5- §. Цилиндрик тишли узатмалар
Цилиндрик тишли гилдираклардан (шестернялардан) ташкил топ-
ган узатмаларни кинематик нуцтаи назардан ^исоблашда аввалги
параграфдаги натижалардан фойдаланиш мумкин. Бирор валнинг
айланма >;аракатини унга параллел булган иккинчи валга узатишда
тишли узатмалардан фойдаланилади. Тишли узатмалар гилдирак-
ларнинг даракат турига цараб оддий, планетар ва дифференциал
уза тмаларга ажратилади.
Кетма-кет илашган тишли гилдиракларнинг айланиш уцлари
цузгалмасдан цолса, бундай узатма оддий узатма дейилади (14.10-
расм, а ва б). Оддий узатмада гилдираклардан бири, масалан, тиш-
ли гилдирак 1 етакчи, ^олганларп эса етакланувчи ^исобланади.
Етакчи гилдирак бурчак тезлиги ©j нинг етакланувчи гилдирак бур-
чак тезлиги ш2 га нисбати узатиш сони дейилади. Узатиш сони-
ни /1>2 билан белгиласак,
со, *)
0,2-----
(03
муносабат уринли булади. Оддий узатма иккита тишли гилдиракдан
ташкил топган булса, гилдираклар уринадиган С нуктада уларнинг
.тезликлари тенг булади:
I i Г1 ~ 1 й2 | Г2-
14.10- раем.
*—бу параграфа# со билан бурчак тезликнинг алгебраик циймати белгиланган.
239
14.11- раем.
сони учун цуйидаги муносабатлар
Ташци илашган тишли гилди-
раклар царама-царши томонга
(14.10-раем, а), ички илашган
тишли гилдираклар бир томонга
(14.10-раем, б) айланишини цам-
да рилдиракларнинг тишлар сони
гх ва г2 уларнинг радиуслари гг
ва г2 га турри пропорционал экан-
лигини эътиборга олсак, узатиш
уринли булади:
4,2=^=±^=±^. (14.12}
к>2 И 21
Ички илашган гилдираклар учун бу формулада мусбат ишора,.
ташки илашган гилдираклар учун эса манфий ишора олинади.
Кетма-кет илашган тишли гилдираклардан бири цузгалмас бу-
либ, колганлари мазкур рилдирак уци. атрофида айланувчи АВ кри-
вошиига урнатилган булса, бундай узатма планетар t/зйтжа дейи-
лади (14.11- раем).
Агар планетар узатмадаги цузгалмас гилдирак цам уз уци ат-
рофида АВ кривошипга дахлсиз равишда айлана олса, бундай узат-
ма дифференциал узатма дейилади.
Планетар ёки дифференциал узатмаларнинг кинематик характе-
ристмкаларини аницлашда цуйидаги усуллардан фойдаланиш мумкин.
I. Бурчак тезликларни цушиш усули. Планетар ёки дифферен-
циал узатмалардаги рилдиракларнинг айланиш уцлари параллел
булса, у цолда (14.7) ёки (14.9) формулалар воситасида абсолют
царакат бурчак тезлиги аницланади. Абсолют царакатнинг бурчак
тезлик вектори айланиш оний уци билан устма-уст тушади.
2. Тезликлар оний марказидан фойдаланиш усули. Планетар
ва дифференциал узатмалардаги гилдираклар текис параллел цара-
катда иштлрок этгани туфайли даст лаб берилган гилдирак учун
тезликларнинг оний марказини, сунгра
формула ёрдамнда унинг абсолют царакат бурчак тезлигини аниц-
лаймиз.
Нисбий царакат бурчак тезлигини (14.7) ёки (14.9) формулалар
воситасида аницлаш мумкин.
3. «Тухтатиш» усули ёки Виллис усули. Бу усулнинг моцияти
шундан иборатки, планетар ёки дифференциал узатма оддий узат-
мага келтирилади ва унга мос булган кинематик муносабатлардав
фойдаланилади. Бунинг учун планетар ёки дифференциал узатма-
нпнг кривошипи фикран тухтатилади ва узатма таркибига кирувчн
барча гилдиракларга мицдор жихатдан кривошип бурчак тезлигига
тенг, йуналиши унга царама-царши булган бурчак тезлик берила-
ди. У цолда кривошипнинг бурчак тезлиги нолга, рилдиракларнинг
бурчак тезлиги эса, дастлабки бурчак тезлиги билан кривошип
240
лурчак 'тезликларининг айирмасига
тенг булади.
Бу усулларни цуллашга оид цу-
йидаги масалаларни ечамиз.
14.5- масала. Чарх тошини тез айлан-
тИрувчй илашма куйидагича тузилган: IV
СТержень махсус даста воситасида Ог уч
атрофида ю4 бурчак тезлиги билан айлан-
тирилади (14.12-раем). Стерженнинг О2
уцидаги бармовда г2 радиусли II гилди-
рак эркин кийгизилган. Даста айлантирил-
ганда П гилдирак чузгалмас III гилдирак
ичида сирпанмасдан айланади. Бунда иш-
каланиш чис°бига II гилдирак чарх учи
билан маркам богланган I гилдиракни сир-
пантирмасдан айлантиради. Ill гилдирак-
нинг радиуси гя берилган деб чараб, г±
14.12- раем.
„ ч. 1 1П
нинг шундай циимати топилсинки, —= 12
©2
булсин, яъни чарх уни харакатга келтирувчи дастага чараганда 12 марта тезроч
айлансин.
Ечиш. 1. Масалани бурчак тезликларни чушиш усулида ечиш учун гилди-
раклар абсолют бурчак тезликларининг чийматини мос равишда <oJf го2, <о3
(<о3=0) билан белгилаймиз. Рилдиракларнинг IV стерженга нисбатан бурчак
тезликларини coJr, <о2г, ызг билан белгиласак, (14.7) га биноан
<о1г = ©1 — (l>4, <o2r = tt>2 — ®4, <Qsr = — ,04-
(1>
Бунда со4 билан 0i02 стерженнинг бурчак тезлиги белгиланган булиб, у
кучирма чаракат бурчак тезлигини ифодалайди.
1 ва 11 гилдираклар ташчи, II ва III гилдираклар ички илашгани туфайли
бу гилдираклариинг нисбий даракат бурчак тезликлари орасида чуйидаги муно-
сабатлар мавжуд булади:
_________________________________ гэ ,агг гз
* Го2г Г1 <0зг Г2
(1) ни (2) га чуйсак,
©1 — <д4 г2 —®4 г3
— го4 z* j со4 г2
Бу тенгликларни узаро купайтирсак,
Ы1 —t04 rS * 551 _______ 1_
®4 Ю4 П
. W1 1
еки — = 12 булгани учун ri = “ г».
2. Масалани тезликлар оний марказини аничлаш усули билан ечамиз. II
гилдирак III гилдирак ичида сирпанмасдан думалагани сабабли бу гилдираклар-
иинг илашган Р нучтаси II гилдирак учун тезликлар оний марказини ифода-
лайди. II гилдирак марказининг тезлигини
' ^>0, = “4 (''l+''а) (3)
формула ёрдамнда аничлаймиз.
16-2282 241.
1 ва II гилдиракларнинг илашган С нуктаси иккала гилдиракка цам таад,
яуцли булгани учун
сС=2%> (4)
vc=®iri’ (5)
(3), (4) ва (5) дан фойдаланиб ушбу муносабатни оламиз:
2 «4 ('1+''а)=®Л,
«бундан
Ю1 2 (г14~гг) ,
= (о)
®4
®х
---= 12 ни (6) га цуйсак,
«4
12= ^±^,=>10^ = 2г,
Г1
ёки 2 г2 = г9 — Г] булгани учун 11 = га.
Шундай цилиб,
г‘ = ТГГз'
3. Масалани «тухтатиш» усули билан ечиш учун IV стерженни фикран тух-
татамиз ва барча гилдиракларга мицдор жицатдан IV стерженнинг бурчак тез-
лиги <о4 га тенг, йуналиши унга царама-царши булган бурчак тезлик берамиз
цамда мос бурчак тезликларни цуйидаги жадвалга ёзамиз.
Етакчи IV стержень Гилдираклар
ш 11 1
Тухтатгунча бурчак тезлиги <о4 0 <о2
Тухтатгандан кейинги бурчак тезлиги 0 — <04 <оа —со4 W1—ш4
Илашиш тури ички ташци
III ва II гилдираклар ички цамда II ва 1 гилдираклар ташци илашганли-
гини эътиборга олиб, (14.12) формулага асосан ушбу тенгликларни оламиз:
в>4 Г2 <0; —<0} _ rt_
<оа — <о4 Га ’ <01 <04 Гй *
бундан
<»4
<01 — <о4 г,
<0f
ёки -— = 12 булгани учуй
<о4
Г1=ТГ'3-
14,6-масала. Дифференциал узатмали тезликлар редуктори тишли туртта
гилдиракдан иборат; булардан биринчиси ички томондан илашган булиб, бир
242
_„,тда 160 марта айланади, тишлар-
иинг сони zt = 70, иккинчи ва учинчи
гилдираклар бир-бирига бириктирил-
ган уларнинг бурчак тезлиги п1= 1200
йл/ мин булиб, етакловчи I валнинг
атРофида вал билан бирга айланувчи
Сгка урнатилган; тишларининг сони
I =20, г3=ЗО, туртинчи гилдирак учин-
щ, гилдирак билан ички томондан
илашган ва етакланувчи валга махкам
с-рнатилган булиб, тишларининг сони
2=80. Етакланувчи валнинг бир ми-
нутда неча марта айланиши топилсин,
I вал ва 1 гилдирак царама-царши то-
тонга айланади (14.13- раем).
Ечиш. Масалани Виллис усули би-
лан ечиш учун 1 вални фикран тухтата-
14.13- раем.
миз ва 1, 2, 3, 4 гилдиракларга мицдор жицатдан I валнинг бурчак тезлиги
(Oj га тенг, йуналиши унга царама-царши булган бурчак тезликлар берами»
ва мос бурчак тезликлари и ушбу жадвалга жойлаштирамиз.
Етакловчи вал I Гилдирак (еки вал) лар
1 2,3 4.II
Тухтатгунча бурчак тезлиги — ®1 — *°23 — <оп
Тухтатгандан кейииги бурчак тезлиги 0 —оц—Wj —1»>29 COj —юп— <0;
ички
Илашиш тури
ички
1 вал ва 1 гилдирак цамда унга илашган бошца гилдираклар царама-цар-
ши томонга айлангани учун уларнинг бурчак тезликлари цар хил ишора билан
олинган.
1 ва 2 цамда 3 ва 4 гилдираклар ички илашгаииии назарда тутиб, (14.12)
га асосаи цуйидаги тенгликларни ёзамиз:
— —о)! = 2д — са23 — <ot = z4
— ©23 —ю, zi’ — ©п—w, zs
Бу тенгликларни купайтирсак,
—^-1
— (О) —<о1 _ za-z4 (l)i z2-z4
— w„—со, ~zrzs’ Ю]3_1 = гггв
“l
<0f П1 {Оц пи
оуида — = — , — = — эканлигини эътиборга олсая,
пп= я.
1200-
160 \
1200/ 1
= 685 айл,/мии.
243
14.6- §. Жисмнинг илгарилама ва айланма ^аракатларини
цушиш
1^атти1\ жисм бир вацтнинг узида и тезлик билан илгарилама
^аракатда ^амда бирор уц атрофида и бурчак тезлик билан ай-
ланма ^аракатда иштирок этсин. Улардан цай бирини нисбий ^ара-
кат ёки кучирма даракат деб олиш а^амиятга эга эмас. Чунки ^ар
ондаги тезликларнинг тацсимланиши ташкил этувчи ^аракатларнинг
урин алмашишига боглиц булмайди. Р^уйидагн учта ^олни куриб
чи^амиз.
1. Илгарилама даракат тезлиги айланиш уцига перпендикуляр
йуналган ^ол (uJ_co). Айтайлик, цатти^ жисм кузгалувчи Охуг
координаталар системасига нисбатан со бурчак тезлик билан Oz yi^
атрофида айланма ^аракатда булсин. Уз навбатида Охуг координа-
талар системаси цузгалмас координаталар системасига нисба-
—> —>
тан со векторга перпендикуляр йуналишда и тезлик билан (маса-
лан, аравача билан биргаликда) илгарилама ^аракатда иштирок
этсин (14.14-раем). Бу ^олда жисм z уэда перпендикуляр]! текис-
ликка нисбатан текис параллел ^аракатда булади. Агар цутб учун
О нудтани олсак, у ^олда жисмнинг ^аракатини цутбнинг тезлигига
тенг v0 = и тезлик билан илгарилама даракат ^амда цутб атрофи-
даги со бурчак тезлик билан содир буладигап айланма харакатдан
ташкил топган деб цараш мумкин (10.3-§).
Жисмнинг абсолют ^аракатини аницлаш учун илгарилама ^ара-
—> —>- —>
кат тезлиги и ни шундай (со', со") жуфт айланиш билан алмаштира-
- >• —>
мизки, жуфт айланишни ташкил этувчи бурчак тезликлар со'=со, со" =
- >
= — со шартларни даноатлантирсин. Бунда ОА ~ d масофа u — a'-d
тенгликдан аникланади:
cd'
ёки со' == о булгани учун
d=—. (14.13)
CD
•—>- —>
\ со ва со" векторларнинг йнгиндиси
/ нолга тенг булади. Натижада ку-
/ рилаётган жисмнинг ^аракатини АР
уц атрофидаги со' = со бурчак тез-
лик билан содир буладиган оний
айланма ^аракатдан иборат деб ца-
раш мумкин.
Шундай цилиб, цуйидаги тео-
рема исботланди: агар жисм бир
.544
вактнинг узида Oz ук атрофида со бурчак тезлик билан айлан-
jtia царакатда \ачда со бурчак тезликка перпендикуляр булган
тезлик билан илгарилама харакатда иштирок этса, жисмнинг
абсолют харакати Oz укка параллел булган ва ундан d = -^- ма-
софада ётувчи уг{ атрофида миддор ва йуналиш жихатдан бе-
рилган со бурчак тезликка тенг булган со' бурчак тезлик билан
содир буладиган оний айланма \аракатдан иборат булади.
2. Илгарилама даракат тезлиги айланиш у^ига параллел булган
^ол (и || со). Винт хдракати. Агар жисмнинг абсолют ^аракати Oz
ук атрофида со бурчак тезлик билан содир буладиган айланма ^ара-
катдан (нисбий ^аракатдан) ^амда z уцца параллел булган ve = и
тезлик билан содир буладиган илгарилама ^аракатдан (кучирма ка~
ракатдан) ташкил топган булса, жисмнинг бундай ^аракати винт
у-аракати дейилади (14.15-раем). Айланиш содир буладиган Oz ук
винт уци дейилади.
Винт ^аракэтида булган жисмнинг ихтиёрий М нуктасидан винт
укигача булган г масофа узгармасдан услади. Шу сабабли винт
^аракатида жисмнинг М ну^таси г радиусли доиравий цилиндр сир-
тида винт чизиги деб аталувчи траектория буйлаб дзрэкзтлэнади.
— > —>-
Агар со ва и векторлари Oz уц буйича бир томонга йуналса,
i/не винт, царама-царши томонга йуналса, чан винтни ташкил
этади.
Жисмнинг винт уци атрофидаги бир марта айланиш вацтини Т
билан белгилайлик. Агар берилган онда М нуцта цилиндрнинг АВ:
ясовчисида ётса, бу нуцта
со
вацт утгандан кейин яна АВ ясовчи-
ни кесиб утади ^амда бу ясовчи буй-
лаб
= (14.14)
масофага кучади. h масофа винт ра-
дами дейилади.
Илгарилама даракат тезлиги и нинг
айланма даракат бурчак тезлиги со га
нисбати винт параметр!! дейилади ва
У р билан белгиланади:
р = — • (14.15)
(О
(14.15) ни (14.14) га олиб бориб
КУйсак, винт цадами билан винт пара-
метри орасидаги цуйидаги муносабат-
14.15- раем.
НИ оламиз;
246
•масофада ётувчи, яъни кубнинг £ учидан утувчи ЕК цирраси атрофидаги оний
винт царакагидан иборат булади.
Шундай цилиб, берилган онда кубнинг абсолют царакати унинг ££ цирраси
атрофида о' = 1 с—1 бурчак тезлик билан содир буладиган айланма царакатдан
цамда и' = 0,5 м/с тезлик билан содир буладиган илгарилама царакатдан ташкил
топган оний винт царакатидан иборат булади.
14.8- масала. Парма п = 120 айл/мин га тугри келадиган бурчак тезлик цам-
да и = 0,02 м/с илгарилама царакат тезлиги билан винт царакатда булади. Агар
айланма царакат бурчак тезлиги to ва илгарилама царакат тезлиги и парма уци
буйлаб бир томонга йуналган булса, винт цадами ва винт параметри аницлапсин.
120 л
Ечиш. Парма to =——-— = 4лс 1 бурчак тезлик билан айланади. (14.14)
ov
ва (14.15) формулаларга асосан винт цадами ва винт параметрини аницлаймиз:
2лы
h =----- =0,01 м,
ш
и
р =-----= 0,0016 м.
и
Ш ЦИСМ. ДИНАМИКА
15-б о б. ДИНАМИК АНИНГ АСОСИЙ ЦОНУНЛАРИ
15.1-§. Динамика предмета
Динамика юнонча «.dynamics» — куч сузидан олинган. Динами-
када моддий нуцта, моддий нуцталар системаси ва абсолют цаттиц
жисмнинг царакати шу царакатни вужудга келтирувчи кучлар билан
биргаликда урганилади.
Юцорида жисмларнинг бир-бирига узаро механик таъсири кучни
ифодалашини курган эдик. Статикада асосан узгармас кучлар ур-
ганилган эди. Динамикада узгармас кучлар билан биргаликда миц-
дор ва йуналиш жицатдан узгарувчи кучлар таъсири цам урганила-
ди. Масалан, моддий нуцтанинг тебранма харакатида унга таъсир
этувчи даврий уйготувчи куч вацтнинг функциясидан иборат булади;
шунингдек, реактив двигателнинг тортиш кучи ёцилгининг ёниш
вацтига боглиц; планеталарнинг тортишиш кучи ёки пружинанинг
эластиклик кучи жисмларнинг цолатига боглиц; нуцтанинг царакати-
га муцитнинг курсатадиган царшилик кучи нуцтанинг тезлигига бог-
лиц булади.
. Умумий цолда кучлар вацтга, куч цуйилган нуцтанинг координа-
таларига ва тезлигига боглиц булиши мумкин:
—>- —>- • • »
F — F (t, х, у, z, х, у, г)
ёки
—>- —> —>• —>
F = F (/, г, г).
Механикада кучларнинг табиати урганилмайди; бундай масала
билан физиканинг электродинамика, цаттиц жисм назарияси ва бош-
ца булимларида шугулланилади,
Ишцаланиш кучи тушунчаси киритилганда курганимиздек, баъзан
тинч турган жисмга куч таъсир этса цам у царакатга келмайди.
ХаР цандай жисмнинг царакати унга таъсир этувчи кучлардан таш-
Цари, материянинг асосий хусусиятларидан бири цисобланган жисм-
нинг инертлиги ёки ннерциясига боглиц булади. Куч таъсир этма-
ганда жисмнинг уз цолатиии ёки царакатини сацлашида, куч таъсир
этганида эса уз царакатини бирданига эмас, балки жисм ташкил
топган модданинг мицдорига боглиц равишда аста- секин узгарти-
ришида бу хусусият намоён булади.
249
Цаттиц жисм ташкил топган модданинг мицдори билан характер-
ланувчи ва жисмнинг инертлик улчовини ифодаловчи катталик инер-
цион масса дейилади.
Жисм ташкил топган модданинг мицдори жисмнинг огирлигига
боглиц булади. Маълумки, жисмнинг огирлиги жисм турган жойнинр
географик кенглиги ва денгиз сатцидан баландлигига боглиц фак-
торлар билан аницланади, лекин жисмдаги моддаларнинг мицдори бу
факторларга боглиц булмайди. Кузатишларнинг курсатишича, Ер
сиртига яцин масофадаги жисмнинг огирлигини унинг эркин тушищ
тезланишига нисбати узгармас булиб, кузатиш жойига боглиц бул-
майди, яъни жисмнинг огирлигини Р, эркин тушиш тезланишини g
билан белгиласак, у цолда берилган жисм учун
Р
— =m = const (15.1)
g
булади.
Жисмнинг физик хусусиятларига боглиц булган ва (15.1) формула
ёрдамида аницланадиган т катталикка гравитацион масса дейилади.
Одатдаги шароитда (жисмларнинг тезлиги ёруглик тезлигидан ан-
ча кичик булганда цамда гравитацион майдони кучли булмаганда)
куплаб утказилган тажрибалар асосида олинган .натижаларга кура,
гравитацион масса ва инерцион масса узаро тенг булиши исботлан-
ган. Бу цолат А. Эйнштейннинг нисбийлик назариясида муцим урин-
ни эгаллайди ва «.эквивалентлик принципа» деб юритилади.
Шундай цилиб, масса жисм ташкил топган модданинг мицдо-
рий улчови булиши билан бирга инерция улчовини цам. ифодалай-
ди, бинобарин, динамикада жисмнинг моддийлик ва инерция хусуси-
ятлари намоён булади.
Нисбийлик назариясида жисмнинг массаси т унинг тезлигига
боглиц равишда ушбу
формула ёрдамида аницланиши исботланадн. Бунда т0 — жисмнинг
тинч цолатдаги массаси; v—жисмнинг тезлиги ва с—ёруглик тез-
лиги. Классик механикада жисмларнинг тезлиги ёруглик тезлигидан
анча кичик деб царалади. Шу сабабли ------катталик бирга нисбатан
жуда кичик булгани учун уни эътиборга олмай жисмнинг массаси
узгармас деб царалади.
СИ бирликлар системасида масса килограмм (кг) билан улчанади.
Жисмнинг царакати унга таъсир этувчи кучлардан ташцари жисм-
нинг шаклига, яъни жисм массасининг цандай тацсимланганига цам
боглиц булади.
Динамикада дастлаб моддий нуцтанинг царакати урганилади.
Сунгра олинган натижалар моддий нуцталар системаси ва цаттиц
жиемга татбиц цилинади.
250
15.2-§. Классик механиканинг асосий цонунлари
Динамика асосида тажриба ва кузатишлар воситасида аницланган
конунлар ётади. Бу конунлар XVII асрда Г. Галилей ва И.Ньютон
томонидан кашф цилинган цамда Ньютоннинг «Натурал фалсафанинр
математик асослари» асарида (1687 й.) баён цилинган.
Классик механиканинг биринчи цонуни Галилей томонидан кашф
цилинган булиб, жисмларнинг инертлик хусусиятини ифодалайди ва
инерция цонуни дейилади.
1-цонун (инерция кону ни). Ташци таъсирдан танцоланган мод-
дий нуцта куч таъсир этмагунча узининг тинч цолатини ёки
турри чизицли текис царакатини сацлайди.
Инерция цонунига биноан моддий нуцтанинг тугри чизицли текис
царакати инерциал царакат ёки инерция буйича царакат дейилади.
Инерциал царакатдаги нуцтанинг тезланиши нолга тенг булади
(да = 0). 1-цонунга кура, агар нуцта тинч цолатда булса, у узича
силжий олмайди ёки инерциал царакатдаги нуцта уз-узича царакат
тезлигининг мицдор ва йуналишини узгартира олмайди. Моддий нуц-
танинг тезлигини узгартириш учун бирор ташци таъсир булиши ке-
рак. Бошца жисмларнинг берилган нуцтага таъсири, яъни куч ана
шундай таъсирни ифодалайди.
Кинематика булимида нуцтанинг механик царакати бошца бирор
жисм билан богланган ва саноц системаси деб аталган координата-
лар системасига нисбатан урганилди. Агар танланган саноц система-
си учун инерция цонуни уринли булса, бундай координаталар сис-
темаси инерциал система дейилади. Инерциал саноц системасига
нисбатан текширилаётган царакат абсолют царакат деб царалади.
Тажрибаларнинг курсатишича, координаталар боши Куёш марка-
зида олинган ва уцлари учта «цузгалмас» юлдузлар томонга йунал-
ган гелиоцентрик системани инерциал система деб цараш мумкин.
Тёхникада учрайдиган купгина масалаларни ечишда инерциал систе-
ма учун Ер билан богланган координаталар системаси олинади. Бун-
да Ернинг суткалик айланиши цамда Р^уёш атрофидаги эгри чизицли
орбита буйлаб царакати эътиборга олинмайди.
2-цонун (динамиканинг асосий цонуни). Моддий нуцта цара-
кат мицдорининг узгариши царакатлантирувчи кучга пропорцио-
нал ва кучнинг таъсир чизиги буйича содир булади.
Моддий нуцтанинг массасини унинг бе-
рилган ондаги тезлик векторига купайтмаси- <
га тенг q вектор нуцтанинг царакат миц-
дори дейилади: . уС-""'
q — mv. (15.3) KixL'
М нуцтанинг царакат мицдори мазкур
нуцтага цуйилган q вектор билан ифодала- / x'f
Нади (15.1-расм). / х.
Ньютон иккинчи цонунининг векторли
ифодаси цуйидагича ёзилади: 15,1- расм.
251
(mv) = F.
(15.4)
Агар вацт утиши билан нуцтанинг массаси узгармасдан цолса.
у цолда (15.4) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
mw = F, (15.5)
—>
dv .
бунда w =------нуцтанинг тезланишини ифодалаиди.
dt
Нъютоннинг 2-цонунини ифодалевчи (15.5) тенглама нукта дина-
микасининг асосий тенгламаси дейилади. Бу тенгламадан кура-
мизки, моддий нуктанинг инерциал системага нисбатан тезла-
ниши нуцтага таъсир этувчи кучга пропорционал булиб, мазкур
куч буйича йуналади. Бинобарин, куч билан нуцта тезланишининг
модуллари орасида F = mw муносабат уринли булади.
Бу тенгликдан курамизки, таъсир этувчи куч мицдор жицатдан
узгармас булганда нуцтанинг массаси цанча катта булса, унинг
тезланиши шунча кичик булади, яъни масса моддий пуцта тезлиги-
нинг узгаришига монанд буладиган царшилнкни (инертлигини) ифо-
далайди.
3-цонун (таъсир ва икс таъсир цонуни). \ар цандай таъсир-
га унга мицдор жицатдан тенг, йуналиши царама- царши булган
акс таъсир мос келади, яъни иккита моддий нуцтанинг узаро
таъсири мицдор жицатдан тенг ва шу нуцталарни туташти-
рувчи турри чизиц буйлаб царама-царши томонга йуналади.
- >
Масалан, А нуцта В нуцтага F в куч билан таъсир этсин; В
нуцта эса А нуцтага FA куч билан таъсир этсин (15.2-раем). 3-цо-
нунга кура
~Рв = -'РА (15.6)
ёки
Pb = FA
тенглик уринли булади.
Кучлардан ихтиёрий биттаси «таъсир», иккинчиси эса «акс таъсир»
деб аталади. Бундай иккита кучлар узаро мувозанатда булмайди,
15.2- раем.
чунки улар моддий нуцталар деб тасав-
вур цилинадиган бошца-бошца жисмлар-
га цуйилади.
4-цонун (кучлар таъсирининг уза-
ро мустациллик цонуни). Агар моддий
нуцтага бир нечта куч таъсир этса,
нуцтанинг тезланиши цар бир кучнинг
в алоцида таъсиридан нукта оладиган
тезланишларнинг геометрик йиринди-
сига тенг булади.
252
м моддий нукта (Л, F2, . . . , Fn)
кучлар таъсирида булсин. Бу кучлар сис-
темаси таъсиридан нуктанинг олган тезла-
нишини w, каР бир кучнинг ало^ида таъси-
ридан нуктанинг оладиган тезланишларини
w2, • • • wn билан белгилайлик. У
цолда 4-конунга асосан
—>- —> —>- —>
w=w1 + w2 + + wn. (15-7)
Натижа. Нуктага таъсир этувчи куч-
лар системаси шу кучлар системасининг
тенг таъсир этувчисига динамик эквива-
лент булади.
15.3- раем.
Исбот. М моддий нуктага (Flt F2,
син (15.3-раем, аницлик учун раемда
ган). (15.7) нинг каР икки томонини
пайтирсак,
... , Fn) кучлар таъсир эт-
/1 = 3 булган кол тасвирлан-
нуктанинг массаси т га ку-
mw = mw± mw2 + . • . + mwn
тенглик косил булади.
2- конунга кура
/ntWj = Flt mw2 = F2, ... , mwn = F„.
Illy сабабли (15.8) ни куйидагича ёзиш мумкин:
ёки
mw = Ft 4- F2 4- ... + Fn
—** —>
mw = У, Fv.
(15.8)
(15.9)
Бу векторли тенглама кучлар системаси таъсиридаги ну у та
учун динамиканинг асосий тенгламасини ифодалайди. (15.9) ни
(15.5) куринишда ёзиш учун нуктага таъсир этувчи Flt F2, ... , Fn
кучларни уларнинг геометрик йириндисига (яъни бош векторига)
тенг булган F тенг таъсир этувчи куч билан алмаштириш керак.
mw = F 3
(15.10)
(Fn F2, . . . , Fn) кучлар таъсиридан М нуктанинг олган тезла-
—> —>-
ниши w кучларнинг тенг таъсир этувчиси F буйлаб йуналади (15.3-
расм).
253
16-боб. ЭРКИН МОДДИЙ НУКТА хлрлкатининг
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРИ ВА ДИНАМИКА-
НИНГ ИККИ АСОСИЙ МАСАЛАСИ
16.1-§. Эркин моддий нудта даракатининг дифференциал
тенгламалари
—>- —>- —
Массаси т га тенг булган М эркин моддий нудта Flt Fz, ..., Fn
кучлар таъсирида Oxyz инерциал тугри бурчакли Декарт коорди-
ната удлари системасига нисбатан даракатлансин. Юдорида курга-
нимиздек [(15.9) ёки (15.10)] бу нудта учун динамиканинг асосий
тенгламаси
mw == 2 Fv
ёки
mw = F
куринишда ёзилади. Бунда F — нуктага дуйилган кучларнинг тенг
-->- —>-
таъсир этувчиси, w — нудтанинг F куч таъсир чизиги буйлаб йу-
налган тезланиши (16.1-раем).
Нудта даракатининг дифференциал тенгламаларини турли формада
ифодалаш мумкин. Шулардан айримларини келтирамиз.
1. Эркин моддий нудта даракатининг вектор формадаги диффе-
—>
ренциал тенгламаси. Нудтанинг тезланиш вектори w тезлик вектори
v дан вадт буйича олинган биринчи досилага ёки нудтанинг ради-
ус-вектори г дан вадт буйича олинган иккинчи досилага тенг бул-
гани учун охирги тенгламани дуйидагича ёзиш мумкин:
(16.1)
ёки
г —>
(1 6.1) ёки (16.2) тенгламалар
эркин моддий нуцта \аракати-
нинг вектор формадаги дифферен-
циал тенгламаси дейилади. Х/
2. Эркин моддий нудта дара-
катининг Декарт координата уд-
ларидаги дифференциал тенглама-
лари. (16.2) ни Oxyz инерциал ко-
ордината системаси удларига проек-
циялаб, ушбу тенгламаларни ола-
•миз:
т
d2x
dt2
Fx, tn
d’y
dt2
c d2z
r' m---------— F
>’ dF г
«КИ
mx = Fx, my==Fy, mz — Fz. (16.3)
Бунда x, у, z ^аракатланаётган M нуцтанинг координаталари;
= х = у, —— нуцта тезланиши w нинг координата уцла-
’ dt2 di2
ридаги проекциялари; Fx, Fy, Fz тенг таъсир этувчи куч F нинг
проекциялари. Агар Fy (у = I, 2, . . . , п) кучларнинг координата
^ларидаги проекцияларини Ху, Yy, Zy билан белгиласак, тенг таъ-
сир этувчининг координата укларидаги проекциялари учун
муносабатлар уринли булади. Шу сабабли (16.3) ни
тх = V Ху, ту = V Yy, mz = £ Zv (16.4)
куринишда ёзиш мумкин.
(16.3) ёки (16.4) тенгламалар эркин моддий нукта ^аракати-
нинг Декарт координата уцларидаги дифференциал тенгламала-
рини ифодалайди.
Юдорида курганимиздек (15.1-§), умумий ^олда нуктага таъсир
этувчи кучлар ва^т / га, ^аракатланувчи нудтанинг координаталари
х, у, г га ва нуцта тезлигининг координата укларидаги проекция-
лари х, у, г га боглиц булади. Шу сабабли умумий ^олда (16.3) ни
тх — Fx (t, х, у, z, х, у, z),
ту — Fy (t, х, у, z, х, у, г), (16.5)
mi = Fz (t, х, у, z, х, у, г)
куринишда ёзиш мумкин.
Агар моддий нуцта Оху текислигида ^аракатланса, (16.3) нинг
биринчи иккитаси уринли булади:
mx—Fx, my = Fy. (16.6)
Агар нуцта тугри чизицли ^аракатда булса, Ох уцни даракат
траекторияси буйлаб йуналтирамиз. Бу ^олда нудтанинг ^аракати
(16.3) нинг биринчи тенгламаси билан ифодаланади:
mx~Fx. (16.7)
Бу тенгламага нуцта тугри чизицли даракатининг дифферен-
циал тенгламаси дейилади.
255
табиий координата уц
ларидаги дифференциал тенгламалари. Агар М нуцтанинг царакат
траекторияси берилган булса, нуцтадан Л1т — уринма, Мп — бог
нормаль ва Mb бинормаллардан ташкил топган табиий координата
уцларини (8.5-§) утказамиз (16.2-раем). Кинематикадан маълумки
[(8.51), (8.51, а) га асосан]:
dvT
= s
4 dl
дифференциал тенгламаларини
fv о
v2
гец = —, w_=0,
п р ’ л 1
бунда их тезликнинг алгебраик циймати (тезлик векторининг урин
малаги проекцияси), s — нуцтанинг ёй координатаси, р — траектория
нинг М нуцтадаги эгрилик радиусидан иборат. Тенг таъсир этув
чининг уринма, бош нормаль ва бинормалдаги проекцияларини моо
равишда Fx, Fn, Fb билан белгилаб, эркин моддий нуцта царакати
нинг табиий координата уцларидаги
цуйидагича ёзиш мумкин:
с о2
ms = F. т------
’ Р
(16.8) тенгламаларга эркин моддий
координата уцларидаги динамик тенгламалари дейилади. Бу тенг
ламалар илк бор Л. Эйлер томонидан чицарилган.
(16.8) нинг охирги тенгламасидан курамизки, эркин нуцтага цу
йилган кучларнинг тенг таъсир этувчиси F (худди тезланиш век
— >•
тори w каби) М нуцтада траекторияга утказилган эгрилик текисли
гида ётади.
4. Эркин моддий нуцта царакатининг цутб координаталаридаги
дифференциал тенгламалари. Агар моддий нуцта Flt F2, . . . , Fn
кучлар таъсирида бир текисликда царакатланса, у цолда цутб ко-
ординаталар системасини утказиб, (15.10) ни цутб радиуси ва унга
перпендикуляр йуналишга проекциялаймиз (16.3-раем). Тенг таъсир
256
(16.8)
нукта царакатининг табиий
F нинг бу уцлардаги проекцияларини Fr, Fp билан бел-
этувчп куч
гнласак’ mwr = Fr, mwp = Fp (16.9)
^осил булади. . ....
Бунда w = r — rep2, wp = г ф + 2фг мос равишда радиал ва кун-
дапанг тезланишларни ифодалайди. Шундай цилиб, (16.9) ни цуйи-
дагича ёзамиз:
т (г — г <р2) = Fr, т(г ф + 2 ф/) = Fp
ёки г ф + 2 Ф г = — (б2 ф) эканлигини эътиборга олсак,
m‘(r-r'^=Fr, -HL±(r2ip)^Fp. (16.10)
г at
(16.10) тенгламалар бир текисликда царакатланувчи эркин мод-
дий нуцта харакатининг цутб координаталар системасидаги %а-
ракат дифференциал тенгламаларини ифодалайди. Уларга эркин
моддий нукта ц'ДуРйко'/тгмминг цутб координаталаридаги динамик
тенгламалари дейилади.
Динамикада цам богланишдаги нуцтанинг царакатини урганиш
учун богланишдан бушатиш акспомасидан фойдаланамиз, яъни нуц-
тани берилган кучлар ва богланиш реакция кучлари таъсиридаги
«эркин» нуцта деб цараймиз. Шу сабабли богланишдаги нуцта учун
чицарилган динамик тенгламаларда богланиш реакция кучлари цам
цатвашади*.
16.2- §. А1оддий нуцта динамикасининг биринчи асосий
масаласи (тугри масала)
Моддий нуцта динамикасининг биринчи асосий масаласи, нуц-
танинг массаси ва кинематик царакат тенгламалари берилганда шу
царакатни вужудга келтирувчи кучларнинг тенг таъсир этувчисини
аницлашдан иборат. Бу масалага нуцта динамикасининг тугри
масаласи дейилади.
Кучларнинг тенг таъсир этувчисини аницлаш учун моддий нуц-
танинг кинематик царакат тенгламалари цандай усулда берилишига
цараб, нуцтанинг векторли, Декарт координата уцларидаги, табиий
координата уцларидаги ёки эгри чизицли координаталардаги динамик
тенгламаларидан фойдаланамиз. Барча цолларда цам масалани ечиш
нуцтанинг кинематик тенгламаларидан тезланишни аницлашга кел-
тирилади.
1. Агар массаси т га тенг моддий нуцтанинг царакати
7=Т (/)
ти1га ^0Рланишдаги нуцтанинг динамик тенгламалари 18-бобда батафсил ёри-
17—2282
257
вектор усулида берилса, нуцтанинг радиус-векторидан вацт буйича
икки марта цосила олиб, нуцтанинг тезланишини, сунгра (16.2) га
асосан тенг таъсир этувчи кучни топамиз:
—>
F = (16.11)
2. Агар массаси т га тенг моддий нуцта кинема тик царакат
тенгламаларининг Декарт координата уцларидаги ифодалари
х = х (0, у = у (0, z = z (О
маълум булса, улардан икки марта вацт буйича цосила олиб, тез*
ланишнинг координата уцларидаги проекцияларини, сунгра (16.3) га
кура тенг таъсир этувчи кучнинг проекцияларини аницлаймиз:
Fx = тх, Fy = ту, Fz — mz. (16.12)
Натижада тенг таъсир этувчи кучнинг модулини
F = + (16.13)
йуналтирувчи косинусларини
cos (F, х) ~ .Fx , cos (А, у) = _F.y_, cos (F, z) = F.z. (^
F F F
формулалар воситасида топамиз.
3. Агар массаси т га тенг моддий нуцтанинг царакати табиий
усулда берилса, у цолда тенг таъсир этувчи кучнинг табиий коор-
дината уцларидаги проекцияларини (16.8) тенгламалардан аницлай-
миз. Тенг таъсир этувчи кучнинг модулини
(16-15)
йуналишини
A- w~
= = (16.16)
гп
формулалар ёрдамида цисоблаймиз. Бунда р орцали F билан унинг
нормал ташкил этувчиси Fn орасидаги бурчак белгиланган.
4. Агар массаси т га тенг моддий нуцтанинг кинематик цара-
кат тенгламаси
г = Г (f), <р = ф (0
цутб координаталарида берилган булса, (16.10) га асосан кучнинг
берилган координата уцларидаги проекцияларини, сунгра тенг таъ-
сир этувчи кучнинг модуль ва йуналишини
F=J/Q* + ^,tga = -^- (16.17)
—>- —
ифодалар орцали аницлаймиз, бунда а билан w ва wp лар ораси-
даги бурчак белгиланган.
258
Еаъзида моддий нуцтага таъсир этувчи кучлардан бирортасини
лан номаълум реакция кучини) топиш талаб цилннадиган ма-
^алаларни ечишга тугри келади. Масалан, массаси т га тенг нуц-
Г F~ (X У, ^) куч таъСНР этади. Нуцтага F куч билан бирга-
дакда цандай Q (Qx, Qy, Qz) куч цуйилганда нуцта
х = Л (0. У = f2 (0. z = /3 (/)
(16.18)
конун буйича царакат цилади?
ц (16.4) га асосан
тх = X + Qx, ту = У + Qy, mz = Z + Qz.
Бундан изланаётган кучнинг координата уцларидаги проекцияларини
аницлаймиз:
= (0-х, Q, = mf’(0-y, Q2 = rnf"3
16.3- §. Моддий нуцта динамикасининг биринчи асосий
масаласини ечишга дойр масалалар
Моддий нуцта динамикасининг биринчи асосий масаласи цуйида-
ги тартибда ечилади:
1. Моддий нуцтанинг царакати цандай усулда берилишига цараб
унга мос координаталар системасини танлаб оламиз.
2. Нуцтага таъсир этувчи берилган кучларни тасвирлаймиз. Агар
нуцтага богланишлар цуйилган булса, богланишдан бушатиш цаци-
даги аксиомани цуллаб, богланиш реакция кучларини курсатамиз.
3. Берилган кинематик царакат тенгламаларидан тезланишни ёки
унинг танланган координата уцларидаги проекцияларини аницлай-
миз.
4. Танланган координаталар системасига мос булган царакат
дифференциал тенгламаларинн тузамиз ва улардан изланаётган но-
маълум кучларни аницлаймиз.
16.1-масала. Массаси т га тенг булган моддий нуцтанинг даракати
Л
г =а I cos kt-\-b j s'mkt (1)
векторли тенглама билан берилган. Бунда
°bk узгармас мицдорлар, i, j лар эса
х ва У уцларининг бирлик векторларини
ифодалайди (16.4-раем). Нуцтага таъсир
этувчи куч аницлансин.
. Ечиш. Координата уцларини раемда
курсатилганидек оламиз. (1) га кура М
нуцтанинг координаталари х — a cos k t,
У ~ b sin kt тенгламалар билан ифодалан-
гани учун мазкур нуцта ярим уцлари а ва
о га тенг эллипс буйлаб царакатланади.
(1) дан вацт буйича икки марта хоси-
ла оламиз:
16.4- раем.
259
I
d r
dt
— —ak i sin kt-]-bk j coskt,
- - ~ = — k2 (a i cos k t 4- b j sin k t). (91
dt2 ' '
(16.11) га acocan нуктага таъсир этувчи куч
-s- d- г -> ->
f = m ——-= — mk2(a i co$kt + b j sinkt)
ёки (1) ни эътиборга олсак,
F = —mk! r
ифодадан юпилади.
Бинобарин, нуктага доимо унинг радиус-
вектори г га тескари йуналган, яъни О мар-
казга тортувчи куч таъсир этади. Бундай куч-
га марказий куч дейилади.
16.2- масала. Массаси 0,2 кг булган нух-
танинг даракати
х = 3 cos 2 л t см, у = 4 sin л t см (1)
тенгламалар билан ифодаланади; бу ерда t
секундлар дисобида. Нуктага таъсир этувчи
кучнинг проекциялари унинг координаталари
орцали ифодалансин.
Ечиш. Нудтанинг кинематик харакат тенг-
ламалари Декарт координата уцларида бе-
рилган. Координата Удларини 16.5- расмдагидек йуналтирамиз.
(1) дан ва^т буйича икки марта досила оламиз:
х = — 6 л sin 2 л (, у = 4 л cos л (,
х = — 12 л2 cos 2 л Г, у — — 4 л2 sin л (.
1 -У~
(16.12) га асосан F кучнинг координата укларидаги проекцияларини аниц-
лаймиз.
кг см
Fr — m х = — 2,4 л2 cos 2 л t ----------
х с2
.. щ им
А, = т у = — 0,8 л2 sin л t -------•
с2
ёки (1) ни эътиборга олсак;
кг см кг м
Fx = — 0,8 л2 х ----= — 0,0789 х -------— = 0,0789 х Н.
х с2 с*
кг см кг м
F v = — 0,2 л2 ц-----= —0,0197 у---------= —0,0197 ц Н.
X с2 с2
16.3- масала. Массаси т га тенг моддий нудта дандай куч таъсирида радиу-
си г га тенг айлана буйлаб узгармас тезлик билан даракатлчнади?
Ечиш. Нудтанинг траекторияси берилгани туфайли унинг даракатини табиий
усулда анидлаймиз. Бунинг учун уринма, Сош нормаль ва бинормални 16.6- раем-
да курсатилгандек утказамиз; бош нормални айлананинг радиуси буйича унинг
марказига, бинормални раем текислигига перпендикуляр равишда кузатувчн то-
монга йуналтирамиз.
260
Тезликнинг алгебраик диймати узгармас бул-
гани учу» (16.8) да s=^- = 0 булишини эъти-
Лл га олсак кучнинг табиий координата удла-
мдаги проекциялари куйидагича анидланади:
тс2,
Fx = 0, Fn=—. Fb = 0-
г Р
Шундай дилиб, нуктанинг берилган даракати
миддор жидатдан узгармас ва айланиш маркази
О га йуналган F = Fn куч таъсирида содир
булади. . ,
16.4- масала. Узунлиги I га тенг чузилмаи-
диган ипга богланган ва огирлиги Р га тенг М
моддий нудта О нудта атрофида
ф = <р0 sin <
донун буйича кичик тебранма даракат дилади (16.7-раем); бунда ф0 — бош 1ан-
гич огиш бурчаги. М нудта энг пастки долатдан утганда ипнннг реакция кучи
анидлаисин.
Ечиш. М нудтанинг даракатини
r = Z = const, ф=ф051п
t
дутб координаталарида берилган деб дараш мумкин. К,утб удларини раемда кур-
сатилгандек йуналтирамиз.
Моддий нудтага вертикал пастга йуналган огирлик кучи Р дуйилган. М нуд-
та учун ип богланиш вазифасини утайди. Богланишдан бушатиш аксисмасига
—
асосан ипнинг нудтага таъсирини таранглик кучи Т билан алмаштирамиз.
—«> «>
М нудта энг пастки долатдан утган пайтда Р ва Т бир тугри чизид буй-
лаб дарама-дарши йуналади. Шу долат учун (16.10) нинг биринчи тенгламасини
тузамиз;
m (г — г ф2) = Р — Т,
бунда г = 1, г =
0, <р
-Е- t дамда нудтанинг курилаётган до-
булгани сабабли
лати учун cos
/= 1
г = р + т5ф2 = Р(1+ф2).
16.5- масала. Ракета вертикал юдорига учи-
рилганда миддори w = 8g га тенг тезланишга
эга булади; бунда g = 9,81 м/с2 эркин гушиш
тезланиши. Огирлиги Р=600Н булган космо-
навтнинг ракета кабинаси тубига курсатадиган
босим кучи анидлансин (16.8-раем).
Ечиш. х удни вертикал юдорига йуналти-
риб, ракетанинг х уди буйича тугри чизидли
Даракатини текширамиз. Космонавтки схематик
тарзда огирлиги Р га тенг моддий нудта деб
Дараймиз. Космонавт учун кабина тубн богланиш
вазифасини утайди. Богланишдан бушагнш ак-
сиомасидан фойдаланиб, богланиш реакцияси
N ни вертикал юдорига йуналтирамиз. Моддий
г??'?! ^аРакатининг дифференциал тенгламасини
Uo.r) куринишда тузамиз:
261
16.8- раем.
ш х — Fx — У; e (j)
Масаланинг шартига кура тезланиш х = w «= 8 g булиб, верти-
кал юцорига йуналади ^амда
Шу сабабли (1) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
Р
---. 8g = N —Р,
8
бундан
N = 9P = 5400 Н.
Космонавтнинг кабина тубига босим кучи мицдор жицатдан
N га тенг булади ва вертикал пастга йуналади. Шундай цилиб,
р- кета старт цолатидан учирилганда космонавтнинг кабина туби-
га курсатадиган босим кучи унинг огирлигига нисбатан 9 бара-
вар катта булар экан.
16.4-§. Моддий нуцта динамикасининг иккинчи асосий
масаласи (тескари масала)
Моддий нукта динамикасининг иккинчи асосий масаласи, нуц-
танинг массаси ва унга таъсир этувчи кучлар берилганда нуцтанинг
кинематик тенгламаларинн аницлашдан иборат. Бу масала нуута
динамикасининг тескари масаласи дейилади.
Иккинчи асосий масалани ечиш учун (16.2), (16.3), (16.8) ёки
(16.10) куринишдаги иккинчи тартибли дифференциал тенгламаларни
интеграллаш керак. Нуцтага таъсир этувчи кучлар умумий цолда
вацт, нуцтанинг цолати ва тезлигига боглиц булгани учун бу диф-
ференциал тенгламаларни умумий цолда интеграллаш мумкин эмас.
Моддий нуцта динамикасининг иккинчи асосий масаласи айрим хусу-
сий цоллардагина аник ечимга эга. Lily сабабли техникада учрайди-
диган мураккаб масалалар интеграллашнинг сонли усули воситасида
электрон цисоблаш машиналарини цуллаб тацрибан ечилади. Нуцта-
нинг царакати цандай усулда аницланишига цараб, иккинчи масала
цуйидагича ечилади:
1. Агар нуцтага таъсир этувчи кучларнинг тенг таъсир этувчи-
си вацт, нуцтанинг радиус- вектори ва радиус- вектордан вацт буйи-
ча олинган цосила (тезлик) нинг функцияси сифатида маълум булса,
у цолда (16.2) ни
т г = F(t, г г ) (16.19)
куринишда ёзиш мумкин. Б}' векторли иккинчи тартибли дифферен-
циал тенгламани интеграллаб, унинг умумий ечимини топамиз:
7 = 7(t, С1г С2), (16.20)
бунда Сг ва С2 билан векторли интеграллаш доимийлари курсатил-
262
ан (16 20) дан курамизки, F куч таъсирида нуцта сон-саноцсиз
буйича царакатланиши мумкин, чунки цар гал С± ва С2 ни
“О1'УНтириб, янги царакат цонунни оламиз. Шу сабабли (16.19) ни
уЗГа|гоаплаш учун конкрет динамик масала учун бошлангич шарт-
ИНТСдеб аталадиган цушимча шартлар берилган булиши керак. Вацт-
Линг бошлангич пайтида, яъни t = tg да нуцта радиус-вектори ва
тезлиги цабул циладиган
г=г0, Р = Р0
(16.21)
кийматларга векторли куринишдаги бошлангич шартлар дейилади.
ХуДДН шунингдек, бошлангич шартларни Декарт координаталарида
х — х0, у — Ро, z z0, х х0, у Уд, z ~ Zg. (16.22)
ва табиий координаталарда
S = Sg, S ~ Sg (16.23)
куринишда ифодалаш мумкин.
(16.20) дан вацт буйича цосила олиб, интеграллаш доимийлари-
га боглиц
~v=~v(t, ci, С2) (16.24)
нуцтанинг тезлигини оламиз.
Харакатнинг бошлангич шартлари (16.21) ни (16.20) ва (16.24)
га цуйиб, интеграллаш доимийлари С± ва С2 аницлападиган
Гд ~ (^о’ б\, б?2),
1'о = п (^о С2)
иккита векторли тенгламани оламиз. Бу тенгламаларни ечиб,
—*• —>-
tg, r0, v0 нинг функциясидан иборат интеграллаш доимийларини аниц-
лаймиз:
Cj ~ Сг (tg, Гд, Vg),
С2 (tg, fg, Vg)-
Буларни (16.19) тенгламанинг умумий интеграли (16.20) га
цуйиб, (16.21) бошлангич шартларга мос булган хусусий интеграли-
ни аницлаймиз:
—> —>- —
r ~ Т ^0> ГО’ ^о)-
Юцорида курганимиздек, нуцтанинг динамик тенгламаларинн
умумий цолда интеграллаш цийин. Лекин баъзи цолларда царакат-
нинг умумий хусусиятларнни характерлайдиган (16.19) дифферен-
циал тенгламанинг биринчи интегралини аницлаш мумкин. г (t) нинг
Лар цандай цийматларида (16.19) ни цаноатлан гирадиган
Ф(t, г , г) = Сг
263
муносабатга (16.19) дифференциал тенгламанинг биринчи интег-
рала дейилади.*
Агар (16.19) нинг бир-бирига боглиц булмаган иккита
(4 Т» г) — С]
Ф2 (/, г, г ) = С2
биринчи интеграллари маълум булса, бу векторли тенгламалардан
г тезликни йуцотиб,
Q (/, 7, Су, С2) = О
муносабатни оламиз. Бундан нуцтанинг радиус-векторини аницлаш
мумкин:
7=7(/,с1,с2).
Шундай цилиб, (16.19) нинг иккита бир-бирига боглиц булмаган
биринчи интеграллари маълум булса, (16.19) нинг умумий интегра-
лини оддий алгебраик амаллар ёрдамнда топиш мумкин.
Агар нуцтага богланишлар цуйилган булса, (16.19) тенгламадаги
—у
кучларнинг тенг таъсир этувчиси F нинг таркибига номаълум бог-
ланнш реакция кучлари цам киради. Бу номаълумларни динамик
тенгламалардан йхцотиш усули аналитик механика б^лимида кури-
лади. Лекин баъзи содда цолларда мос координата уцларини тан-
лаб олиб, богланиш реакция кучини скаляр куринишдаги айрим
тенгламалардан йуцотиш мумкин.
2. Агар F тенг таъсир этувчи кучнинг координата уцларидаги
проекциялари Fx, Fy, Гг лар маълум булса, (16.5) куринишдаги учта
иккинчи тартибли дифференциал тенгламаларни интеграллаб, олтита
интеграллаш доимийлари Сг, С2, С3, С4, С5, Св га боглиц,
х —х (/, С2, С3, С4, С5, Со),'
р=у((,С1,С2,С3,С4,С5,С6),
z =z (I, Су, С2, С3, Сц, СБ, Св)
(16.25)
куринишдаги умумий ечимини топамиз.
Конкрет динамик масалани ечиш учун (16.25) га цушимча равиш-
да (16.22) куринишдаги бошлангич шартлар берилиши керак.
(16.25) дан вацт буйича цосила олсак, 6 та интеграллаш доимий-
ларига боглиц цуйидаги учта функция цосил булади:
х =х (/, С1; С2, С3, Ci, С5, С6),
У ~У (^ Су, С2, С3, Су, С5, С6),
z = z(t, Су, С2, С3, Су, С5, Со).
(16.26)
*Айрим доллар па динамик теш ламаларнинг биринчи ингегралини топиш ца-
цада 21-бобда-алоцида тухтаб утилган.
2С4
(16.22) бошлангич шартларни (16.25) ва (16.26) га цуйиб, 6 та
теграллаш доимийлари цатнашадиган 6 та тенгламалар системаси-
Ии оламиз. Бу тенгламалар системасини биргаликда ечиб, 6 та ин-
теграллаш доимийларини аницлаймиз:
Ci — С[ (t0, х0, у0, z0, х0, уо, z0), (/ « 1,6). (16.27)
Интеграллаш доимийларининг топилган бу цийматларини (16.25)
га цуйиб, (16.22) бошлангич шартларга мос булган нуцтанинг Де-
карт координаталарцдаги кинематик тенгламаларини оламиз:
x=x(t), y—y(f), z = z(t).
3. Агар нуцтага цуйилган тенг таъсир этувчи кучнинг табиий
координата уцларидаги проекциялари ва (16.23) куринишидаги бош-
лангич шартлар берилган булса, нуцта динамикасининг тескари маса-
ласини ечиш учун (16.8) тенгламалардан фойдаланиш керак. (16.8)
даги биринчи тенгламанинг умумий ечимини
s = s(t, Clt С2) (16.27)
куринишда ёзиш мумкин. Бундан вацт буйича цосила олсак, интег-
раллаш доимийлари Cj ва С2 га боглиц
s=s(/, Clt CJ (16.28)
нуцтанинг тезлигини аницлаймиз. (16.27) ва (16.28) га царакатнинг
бошлангич шартлари (16.23) ни цуйиб, Сх ва С2 интеграллаш дои-
мийларини аницлаймиз:
Cj = Сг (/0, s0, s0),| (16.29)
С2 ~ С2 (^о> S0> So)’
(16.29) ни (16.27) га цуйиб, нуцтанинг ёй координатасини вацтнинг
функцияси сифатида ифодалаймиз:
s—-s(f)
v2 = s2 булишини назарда тутиб, ёй координатасининг бу цийматини
(16.8) нинг иккинчиснга цуйиш натижасида царакатланувчи нуцта тра-
екториясининг эгрилик радиуси р ни вацтнинг функцияси сифатида
аницлаш мумкин.
16.5-§. Моддий нуцта динамикасининг иккинчи
асосий масаласини ечишга дойр масалалар
Моддий нуцта динамикасининг иккинчи асосий масаласи цуйидаги
тартибда ечилади:
1. Моддий нуцтанинг царакатини аницлаш усулини танлаб, ун-
га мос координаталар системасини утказамиз.
2. Нуцтага таъсир этувчи берилган кучлар ва богланиш реак-
ция кучларини тасвирлаймиз.
3. Динамик тенгламаларни тузамиз ва уларни интеграллаймиз.
265
16.9- раем.
4. ^аракатнинг бошлангич
шартларини анидлаймиз ва бу
шартлардан фойдаланиб интег-
раллаш донмийларини топамиз.
5. Интеграллаш доимийлари-
нинг топилган ^ийматларини ур-
нига цуйиб, моддий нуцтанинг
кинематик тенгламаларини ола-
миз ва бу тенгламалардан изла-
наётган номаълумларни ани^лай-
миз.
Эркин моддий нудтанинг уа-
ракати текширилаётганда Декарт
координаталаридан фойдаланиш ма^садга мувофи^дир. Богланишдаги
нудтанинг эгри чизикли даракатини урганишда нуцтанинг даракат
траекторияси маълум булса, табиий координата уцларидан фойдала-
ниш мумкин.
Агар нуцта марказий куч таъсирида уаракатланса, цутб коор-
дипа галаридан фойдаланиш тавсия этилади.
16.6-масала. Горизонтга а бурчак остида vB бошлангич тезликбилан отилган,
фацат Р — mg огирлик кучи таъсирида булган моддий нудтанинг давосиз буш-
лицдаги даракати аниклансин.
Ечиш. Моддий нудтанинг даракатини вектор усулида анидлаймиз. Коорди-
наталар боши О ни нудтанинг бошлангич уолатида олиб, г уцни вертикал юцо-
рига йуналтирамиз; бошлангич тезлик t>0 уОг текислигида ётади деб днеоблай-
миз (16.9- раем).
—— >-
Нуктага факат Р — mg узгармас огирлик кучи таъсир этганидан моддий
нук! аиинг динамик тенгламаси куйидаги куринишда булади:
d v “*
т ^mg
dt
ёки
g мицдор ва йуналиш жидатдан узгармас булгани учуй
fdv = gfdt
булади. Бинобарин, нуктанинг тезлиги
t>=g/+C1F
(1)
(1) да t>= эканлигини эътиборга олсак,
ш
dr ->
—=gtdt + Cidt,
266
сунгги тенгламани интегралласак,
г = —-~Ь Ci < + Cj
^оси^аракатнинг бошлангич шартларини дуйидагича ёзиш мумкии:
—>• —>• —>• —
4 = 0 да г0 = О, г0 = р0 =- (н0 cos а) / + (о0 sin a)k,
3) ни (1) ва (2) ларга дуйиб Сх ва Са ларни анидлаймиз:
-—> —>• -*►" >"
Ci = (о0 cos а) / + (о0 sin а) k, Ca = 0.
(2)
(3)
(4)
(4) ни (2) га дуйиб, нудтанинг векторли кинематик тенгламасини анидлай-
миз:
-> g t2 —*
r = —— +[(o0cosa) j + (o0sina)AJ t. (5)
Нуктанинг траекториясини анидлаш учун (5) да g = — g k эканлигини на-
варда тутиб, у ни координата удларига проекциялаймиз:
gf
х = 0, у — vQt cos а, г = — - + t>0 / sin а. (6)
(6) дан вадт t ни йудотиб, нудтанинг траекториясини анидлаймиз:
g
z=ytga — ——j—-— у2. (7)
2 Vq cos2 а
Шундай дилиб, нудтанинг траекторияси уОг текислигида ётувчи, координа-
талар бошидан утувчи ва даваридлиги юдорига дараган параболадаи иборат.
Олинган тенгламалардан фойдаланиб, нудтанинг дандай масофага бориб
тушиши ва дандай hi баландликка кутарилиши, шунингдек, бу масофа ва баланд-
лик дандай долда максимал дийматга эришишини анидлаш мумкин.
у± ни анндлаш учун (7) да z = 0 деб оламиз. У долда
• о
i/i = ----------sin 2 а.
S
(8)
(8) дан курамизки, моддий нудтага мудитнинг даршилик кучи таъсир этмаса,
У1 максимал дийматга эришиши учун sin2а =1, яъни а = 45° булиши керак.
Шундай дилиб,
4
Утах — •
Нудта кутариладиган энг юдори hi баландлик параболанинг учида булади.
с У1
оу нудтада г = й1, у= —— булгани учун
sin2 a sin2 а
hi ----------------—---------= — sin’ а.
е 2g 2g
(9)
(9) дан курамизки,
булганда, яъни модднй нудта§ертикал!одорига
отил-
“ 2
ганда у максимал баландликка кутарилади дамда
26Z
16.10- раем.
t?0
^max — ”
2g
булади.
Моддий нуцта максимал узоцлик
Ртах га тушганда унга мос кутарилиш
баландлиги максимал узоцлик утахнинг
туртдан бирига тенг булади, яъни:
h -
"а = 45°----—.
4g
16.7-масала. Массаси m га тенг M моддий нуцта вертикал тикисликда шу
нуцтадан цузгалмас О марказгача булган масофага пропорционал F =—k2tnr
—>-
марказий куч таъсирида царакатланади, бунда г — царакатланувчи нуцтанинг ра-
диус-вектэри, k2 — узгармас коэффициент. Агар бошлангич пайтда нуцта Л10 (а,
цолатда вертикал юцорига йуналган бошлангич тезликка эга булса, нуц-
g
k2
таиинг траекторияси аницлансин (16.10-расм.)
Ечиш. М моддий нуцтанинг царакатини Декарт координаталар системасига
нисбатан текширамиз. Координаталар бошини цузгалмас О марказда оламиз ва
х, у уцларини 16.10-раемдагидек йуналтирамиз.
Нуцтага таъсир этувчи огирлик кучи Р ва О марказга йуналган тортилиш
кучи F ни раемда тасвирлаймиз.
Нуцтанинг динамик тенгламасини (16.2) куринишида тузамиз:
d2r
т-----
dt2
d2 г —
еки —— = г ,P=mg, F = — k2m г эканлигини эътиборга олсак,
г = g — k2r .
Бу векторли тенгламани х ва у уцларига проекциялаб, нуцтанинг Декарт ко-
ордината уцларидаги динамик тенгламаларинн оламиз:
x4-£2x = 0.
(1)
У + Ру = —g- <2>
(1) тепглама иккинчи тартибли бир жинсли тенгламадир. Уни интеграллаш
учун характеристик тепглама тузамиз: Z2 + /г2 = 0; бундан Xj,2 = ± ki. Биноба-
рин, (1) тенгламанинг умумий ечимини
х = Ci cos kt -|- С2 sin kt
куринишда ёзиш мумкин. Б нда Су ва С2 интеграллаш доимийларидир.
(2) тенглама (1) дай фарцли улароц бир жинсли булмаган тенгламадир. ШУ
сабабли унинг умумий ечимини
У = У1 + У z (4)
куринишда оламиз, бунда у2 — бир жинсли булмаган (2) тенгламанинг хусусий
ечпмидир; yi — эса
(3)
У + Py = о
(5>
268
к-,ринишдаги бир жинсли тенгламанинг умумий ечимидир:
уА = CgCosfe/ + С4 sinAZ, (6)
(2) тенгламанинг унг томони узгармас мицдорга тенг булгани учун унинг
хусусий ечимини у3 = А куринишда ифодалаш мумкин; бунда А — узгармас кат-
таЛИ(2) тенгламада у2 = А алмаштириш киритсак,
g
(7)
булишини ку рамиз.
(6) ва (7) ни (4) га цуйиб, (2) тенгламанинг умумий ечими учун цуйидаги
ифодани оламиз:
(8)
g
у = C3cosW -|- С4 sinW —
Масаланинг шартига кура царакатнинг бошлангич шартлари цуйидагича бу-
лади:
g
— х« = °- У» = £*>-
АГ
доимийлари Ci, С2, С3) С4 ларни аницлаш учун (3)
t0 = 0 да х0 = а, у0
(9)
Интеграллаш
росила олиб,
ва (8) дан
(9) ни (3), (8) ва
х — — Cxk sin kt + С2/г cos k t,
y = — C3k sin kt Ctk cos kt.
(10) га цуямиз. Натижада
On
Ci = a. C2 = 0, C3 = 0, = ~
(11) ни (3) ва (8) га цуйиб нуцтанинг Декарт координаталаридаги
тенгламаларинн оламиз.
х = a cos kt,
y = 2ksinW_A.
k k2
(Ю)
(Н)
кинематик
Бу тенгламьлардан вацт t ии й^цотиб, нуцта траекториясининг тенгламасини
оламиз;
= 1,
(12)
0, — ] нуцтада ётув-
№ j
Шундай цилиб. нуцтанинг траекторняси маркази
чи. ярим уцлари а ва — га тенг эллипсдан иборат.
k
16.8- масала. Огирлиги Р = 196 Н булган М моддий нуцта горизонтал стол
устида ётади. М нуцта узунлиги I = 0,35 м ип билан цузгалмас О нуцтага бог-
ланган. Таранг тортлган ипнинг йуналишига перпендикуляр йуналишда М нуц-
7ага 110 = 4,9 м/с бошлангич тезлик берилган, натижада Л1 нуцта I радиусли ай-
269
ла на ёйи буйлаб царакатланади (16.11-
расм). Агар нуцтанинг столга ишцала-
ниш коэффициента f — 0,25 га тенг
булса, t = 1 с дан кейин нуцтанинг
тезлиги ва ипнинг таранглик кучи аниц-
лансин.
Ечиш. М нуцтанинг траекторияси
маълум булгани туфайли унинг цара-
кагини табиий усулда аницлаймиз. М
нуцтада а ланага царакатнинг мусбат
йуналиши буйича М т уринма, айлана
радиуси буйича О нуцтага йуналган
Мп бош нормаль цамда стол текисли-
гига перпендикуляр равишда юцорига
йуналган Mb бинормалларни утказамит.
16.11- раем.
М нуцтага цуйилган вертикал пастга йуналган огирлик кучи Р, ип буйлаб
О нуцтага йуналган ипнинг таранглик кучи Т, столга перпендикуляр равишда
вертикал юцорига йуналган нормал реакция кучи А ва царакат тезлигига ца-
рама-царши йуналган ишцаланиш кучи F (бунда F =fN) ларни раемда тасвир-
ланмиз.
/И нуцта учун (16.8) куринишдаги Эйлер тенгламаларини тузамиз!
dv
m------
dt
(1)
v2
tn -у = T, (2)
O = A — P. (3)
(3) дан N = P = mg булгани учун (1) нн
do
m =_/mg
ёки
куринишда ёзамиз ва сунгги тенгламани интеграллаймиз:
v = — jgt + С.
Бошлангич пайт Zo = 0 да v= о0 булгани учун С= о0 булади. Шундай ци-
либ, t>= с0 — fgt-, t—l с булганда г=4,9— 0,25-9,8 = 2,45 м/с.
(2) дан ипнинг таранглик кучини топамиз:
_ v2 Pv2 196-(2,45)s
1 = m — =--------;-----------------
Z gl
= 342,14 Н.
9,8-0,35
16.9-масала. Ер сиртидаги М нуцтадан Ернинг радиусига перпендикуляр ра-
вишда ц, бошлангич тезлик билан ракета учирилган. Ернинг тортиш кучи раке-
тадан Ер маркази О гача булган масофа квадратига тескари пропорционал равиш-
да узгаради. Ер сиртидаги эркин тушиш тезланиши £ = 9,81 м/с, Ернинг ради-
уси R = 6370 км га тенг. Хавонинг царшилигини цисобга олмай, ракетани мод-
дий нуцта деб цараб, унинг царакат тенгламаси аницлансин (16.12-раем).
Ечиш. Ракетанинг бошлангич пайтдаги тезлиги ц билан Ернинг тортиш кучи
F бир текисликда ётгани туфайли ракетанинг царакати доимо шу текисликда со-
дир булади. Ракетанинг царакатини цутб координаталарида аницлаймиз. Бошлан-
270
нч пайтда цутб учини ОМ0 буйича йуналтира-
миз. Ракетанинг ихтиёрий М цолати учун бу
^цнинг бирлик векторлари г° раемда тасвирлан-
ГаИ" Ракетага доимо Ернинг маркази О нуцтага
йуналган тортиш кучи F таъсир этади, яъни раке-
та марказий куч. таъсирида царакатлапади, Ма-
саланинг шартига кура бу куч О марказдан ра-
кетагача булган масофага тескари пропорционал
равишда узгаради:
km
F = —-
(1)
буида т — ракетанинг массаси, k — аницланиши
лознм булган пропорционаллик коэффициента.
Ернинг сиртида г = r0 = R ва F = Р — mg
эканлигини эътиборга олиб, г ва F нинг бу ций-
матларини (1) га цуйсак, k = gR2 муносабат уринли
тижада (1) ни куйидагича ёзиш мумкин:
ЕР
16.12- раем.
булишини курамиз. На-
Г =
mgR2
~Р2
(2)
Моддий нучтанинг цутб координаталаридаги динамик тенгламалари (16.10) ни
тгузамиз:
- • „ т d
т (г — г<р2) = Fr,------------- (г2 ф) = Fp.
г at
(3)
F куч г уч буйича г° га царама-царши йуналгани учун Fr= —F, Fp = 0.
_ „ mgR2
(2) ни эътиборга олсак, Fr = — —----
У цолда (3) ни
gR2 d
= — (г2ф)=0
r2 dt
(4)
куринишда ёзиш мумкин.
(4) нинг иккинчи тенгламасини интегралласак,
г2Ф = С1. (5)
Ci ни аничлаш учун царакатнинг бошлангич шартларидаи фойдаланамиз, яъни
to = 0 да г0 = R, ф0 = 0 (6)
булганда ракета бошлангич пайтда Мо цолатни эгаллайди; бундан ташцари бош-
—>*
лангич пайтда п0 тезлик г0 га перпендикуляр булгани учун
' л J г'°
го — 0, ф0 — •
(7)
(6) ва (7) ни эътиборга олиб, (5) дан ни аницлаймиз; Cj = R v0. Шундай
Чилиб, (5) ни r2 <р = pVo ёки
• RvB
Ч’ = -Т’
г2
(8)
кУринишда ёзиш
мумкин.
271
(4) пинг биринчи дифференциал тенгламасини интеграллаш
, • dr dtp dr
бунда ф = m (/) эканлигини назарда тутсак, г — . —- = —
dtp dt dtp
кура
• dr *4 n d I 1 \
' = '3--T = —Rv0-—— I —
dtp r2 dtp \ r /
учун г == г(гр ),
ф. У лолда (8) га
dtp dr
муносабат уринли булади. Бундан ташцари, г=—— = ~------
dt dtp dt dtp
булгани туфайли (8) ва (9) га асосан г учун дуйидаги ифодани оламиз:
R2 v20 d2 / 1 \
г2 dtp2 \ г /’
г ва ф ларнинг цийматини (10) ва (8) дан (4) нинг биринчисига цуйиб,
/ 1 \+ 1 - g
dtp2 \ г J г v2
тенгламани ёки и белгилаш киритиб,
d2« g
dtp2 v0
(Ю)
(11)
тенг тамани оламиз.
(11) ни интеграллаб, ракетанинг изланаётган даракат траекториясини аниц-
лайми.ч. Бу дифференциал тенгламанинг умумий ечимини
« = «1 + “2 (12)
куршшшда и’лаймиз. Бунда щ
d2u
^+““° ||3>
кусинишдаги бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини, ц2 эса бир жинсли бул-
маган (II) тенгламанинг хусусий ечимини ифодалайди. (13) нинг характеристик
теш ламаси X2 + 1 = 0 куринишда ёзилади, бундан X = ± Z. Бинобарин,
= С2 cos ф + (-з sin Ф-
(11) нинг хусусий ечимини
g
«2 = -Г
vo
куринишда оламиз. Шундай цилиб,
g
и = С2 cosq> + Сд sin<р + -5-
Ц)
1
ёки и — — булгани учун
— = С2 cos ф + Сд sin Ф + ~ (14)
г
ечимга эга буламиз.
272
С ва Сз интеграллаш доимийларини аншуташ учун (14) дан ваи.т буйича
росила оламиз.
1
г2
— С2 <р sin <р + С3 <p cos <р.
(15)
(6),
мпз:
(7) бошлангич шартларни (14) ва (15) га цуйиб, С2 ва ларни топа-
С2 —
Vp—gR
Cs = 0.
С ва С3 ларнинг цийматларнни (14) га цуйиб, уни г га нисбатан ечсак,
г = —----------- (16)
1 + е cos <р
зрсил булади,
бунда р~
vo
g
эгри чизицнинг параметрини,
V2Q—gR
gR
(17)
е =
gca унинг эксцентриситетини ифодалайди.
Аналитик геометриядан маълумки, (16) тенглама иккинчи тартибли чизицлар-
иинг цутб координаталаридаги тенгламасини ифодалайди. Бу иккинчи тартибли
чизиц: а) е = 0 булса, айлана; б) е< 1 булса, эллипс; в) е=1 булса, пара-
бола; г) е > 1 булса, гиперболадан иборат булади. Бу ^олларни ало^ида кура-
миз:
а) ракета айлана буйлаб ^аракатланса, е = 0 булиб, (17) га асосан
= (18)
тенглик уринлидир.
Бунда £ = 9,81 м/с2, R = 6370 км = 6,37-10е м эканлигини эътиборга ол-
сак,
с0 = 7910 м/с « 7,9 км/с. (19)
Бу тезлик биринчи космик тезлик дейилади. _
б) ракета эллипс буйлаб даракатланса, е< 1 булиб, (17) дан г0<Д/2р/<,
яъни
v0 = 11 179 м/с « 11,2 км/с. (20)
Бу тезлик иккинчи космик тезлик дейилади.
Айлана эллипснинг лимит ^олати булгани туфайли, ракета эллипс буйлаб
—>-
>;аракатланиши учун бошлангич тезлик v0 цуиидаги тенгсизликни цаноатлантириши
керак:
n0< V2gR ёки 7,9 км/с^ п0< 11,2 км/с. (21)
в) ракета парабола буйлаб ?;аракатланса, е=1 булиб, (17) га асосан бош-
лангич тезлик учун
t>0 — V2gR =11,2 км/с (22)
мицдорни оламиз.
г) ракета гипербола буйлаб ^аракатланса, е > 1 булади ва (17) дан
t>o>"l/2gR ёки и0 > 11,2 км/с
(23)
эканлигини анидлаймиз.
Шундай цилиб, ракетанинг бошлангич тезлиги 7,9 км/с^п0<11,2 км/с шарт-
ни цаноатлантирса, ракета айлана ёки эллипс буйича ^аракатланади >;амдя Ер-
нинг сунъий йулдошига айланади. Агар v0> 11,2 км/с булса, ракета парабола
еки гипербола буйича >;аракатланиб Ердан узо^лаша боради. с0<7,9 км/с бул-
са, ракета Ерга 1\улаб тушади.
18—2282 273
16.6- §. Моддий нуцтанинг содда цоллардаги турри чи-
зицли царакат дифференциал тенгламаларинн интеграл-
лаш
Эркин моддий нуцта турри чизицли царакатда булиши учун
/унга таъсир этувчи кучларнинг тенг таъсир этувчиси узгармас
йуналишга эга булиши ва бошлангич тезлик эса тенг таъсир
этувчи куч буйича йуналиши ёки нолга тенг булиши зарур ва
етарлидир.
Хацицатан цам эркин моддий нуцтанинг царакат траекторияси х
уц билан устма-уст тушса, царакат давомида y=z = 0 ва y=z~0
булади, яъни нуцтанинг тезлиги х уц буйича йуналади ёки нолга
тенг булади. Бундан ташцари у = г = 0 булгани учун нуцтанинг
Декарт координата уцларидаги динамик тенгламалари (16.3) га асо-
сан
Fy = 0, Fz=0 (16.30)
шартлар айнан бажарилади, яъни тенг таъсир этувчи куч х уци
буйича йуналади. Шундай цилиб, юцоридаги шартларнинг бажари-
-лиши зарур эканлиги исботланди.
Агар координаталар бошини нуцтанинг бошлангич цолатида олиб,
х уцни нуцтанинг бошлангич тезлиги буйича йуналтирсак, у цолда
"(16.30) шартлар бажарилади, бинобарин,
ту = 0, mz = 0
булади. Бу тенгламаларни икки марта интегралласак,
Уи-Сс\ТсС\ с /д-r (16.31)
У — г + С3, z = С2 г +
х уцнинг танлаб олинишига кура бошлангич шартлар цуйидагича
булади:
t0 = 0 да у0 = 0, г0 = 0, у0 = 0, z0= 0.
Бу шартларни (16.31) га цуйиб, С1 = С2 = С3 = С1 = 0 булишини
курамиз. Натижада
у s 0, z s 0
булади, яъни нуцтанинг траекторияси х уци буйича содир булади.
Шундай цилиб, царакат тугри чизицли булишининг етарли шарти
цам исботланди.
Ёзиш цисца булиши учун тугри чизицли царакатдаги нуцта тез-
лигининг проекциясини vx деб ёзиш урнига индексини тушириб v
деб ёзамиз, яъни v билан тезликнинг алгебраик цийматини белги-
лаймиз.
(16.7) га асосан нуцта тугри чизицли царакатининг дифферен-
циал тенгламасини
тх = Х (х, и, /) (16.32)
274
куринишда ёзиш мумкин. Бунда X — тенг таъсир этувчи кучнинг
алгебраик циймати, и = эса тезликнинг алгебраик цийматиии
ифодалайди. (16.32) тенгламанинг умумий ечимида иккита интег-
раллаш доимийси цатнашади:
х = х (t, Ci, С2). (16.33)
Бундан вацт буйича росила оламиз:
х=х(/, Сь Q (16.34}
Харакатнинг бошлангич шартлари цуйидагича булсин:
t = 0 да х = х0, v == о0. (16.35)
(16.35) ни (16.33) ва (16.34) га цуйсак, Сх ва С2 ни аницлаймиз.
(16.32) тенгламани интеграллаш мумкин булган айрим содда
цолларни курамиз.
1. Моддий нуцтага мицдор ва йуналиш жицатдан узгармас бул-
ган F куч таъсир этсин. Нуцтанинг бошлангич тезлиги F кучнинг
таъсир чизигида ётсин. х уцни F кучнинг таъсир чизиги буйлаб
йуналтирамиз. У цолда (16.32) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
tnx = F, (16.36)
бунда F билан кучнинг алгебраик циймати курсатилган. (16.36) да
*• dx
х=------эканлигини эътиборга олиб, узгарувчиларни ажратиш йули
dt
билан интеграллаймиз:
dx= — di, (16.37)
т
x^ — t + C^ (16.38)
т
(16.38) ни цам узгарувчиларни ажратиш усули билан интеграллай-
миз:
dx = (—/4-Сх1 dt, (16.39)
\ т )
х= — f2+ СХ/+ С2- (16.40)
т
(16.40) ифода (16.36) нинг умумий ечимидир.
Харакатнинг бошлангич шартлари (16.35) куринишда булсин. У
цолда (16.35) ни (16.38) ва (16.40) га цуйиб интеграллаш доимнй-
лари Сх ва С2 ни аницлаймиз: Сх v0, С2 = х0. Бу цийматларни
(16.38) га цуйиб, нуцтанинг царакат цонунини аницлаймиз:
х=х04-о0/ + — С*. (16.41)
275
у др- О (16.41) дан курамизки, нуцта уз-
\ гармас куч таъсирида текис узгарув-
V-л чан царакатда будар экан. Бу натижа-
ни нуцта динамикасининг асосий тенг-
ламаси (15.5) дан цам олиш мумкин:
U - F — const булгани учун w = const бу-
,/7У лади.
16 13- раем. Изоц. Харакатнинг бошлангич
шартларини назарда тутиб, (16.37) ва
(16.39) дан аниц интеграл олиш цам
мумкин. Масалан, (16.37) ни (16.35) бошлангич шартларга кура цу-
шидагича интеграллаш мумкин
V t
С dx = — f tdt.
J mJ
v0 0
, F t
v = t’c -i-t.
m
dx
Бунда v =-----эканлигини эътиборга олиб, узгарувчиларни ажратамиз:
dx —
(vn + — t\dt.
\ mJ
Сунгги тенгламани (16.35) бошлангич шартларда интегралласак,
v0 + —t\
т /
dt.
(16.41) тенгламани оламиз. Келгусида бу усулдан цам фойдалана-
миз.
16.10-масала. Огир жисм горизошта а = 30° бурчак остида орган силлиц
ция текислик буйлаб пастга тушади. Агар жисмнинг тезлиги бошлангич пайтда
2 м/с га тенг булса, жисм 9,6 м йулнн цанча вацтда босиб утиши топилсин
(16.13- раем).
Ечиш. Ох уцни ция текислик буйлаб йуналтирамиз. Жисмга вертикал пастга
— >-
йуналган огирлик кучи mg ва ция текисликка перпендикуляр йуналган нормал
реакция кучи Л' таъсир этади. Огирлик кучининг ция текисликка перпендикуляр
—
йуналишдаги ташкил этувчиси нормал реакция кучи N билан мувозанатлашади.
(16.32) тенглама цуйидагича ёзилади:
тх — mg sin а.
Узгарувчиларни ажратсак,
dx = g sin a dt. (1)
Царякатнипг бошлангич шартлари цуйидагича берилган:
t„ 0 да х = 0, х = 2 м/с. (2)
276
ни назарда тутиб, (1) ни интеграллаймиз:
V t
f dx — g sin a f dt.
2 О
х = 2 -|- gt sin а ёки dx = (2 gt sin a) dt.
Сунгги тенгламани берилган бошлангич шартларда интеграллаймиз:
X t
j dx = J (2 -|- gt sin a) dt,
o o
gt2
x = 2t + —— sina.
Бунда x=9,6 m, g = 9,81 м/с2, a = 30° эканлигини назарда тутиб, t нн аниц-
лаш учун цуйидаги тенгламани оламиз:
9,81 Г2 + 8 Г —38,4 = 0.
— 8 +1/64 — 4-38,4-9,81
/ =----- ~:’--------------------=1.61 с.
2-9,81
t ни аницлашда квадрат илдиз олдида манфий ишора олинмайди, чунки вацт
мусбат цийматга эга.
2. Моддий нуцтага фацат вацтга боглиц куч таъсир этсин. У
цолда (16.32) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
тх = X (f)
ёки тугри чизицли царакатда х = и, х ~ булгани учун
m — = X(t).
dt
Бу тенгламада узгарувчиларни ажратсак,
mdv=X(f)dt. (16.43)
Бошлангич t0 = 0 пайтда нуцтанинг тезлиги w0 га тенг булсин..
(16.43) ни бу бошлангич шартларда интеграллаймиз:
mv — mv0
(16.42)
= | X(t)dt.
X (t) маълум функция булгани учун охирги интегрални цисоблаб,
вацтнинг функциясидан иборат бирор f(t) функцияни оламиз, нати-
жада (16.44) ни
mv — mv0 — f(f) (16.45)
куринишда ёзиш мумкин. (16.45) дан нуцтанинг тезлиги v ни аниц-
лаймиз:
w=f0 + — ИО-
т
Бу тенгламада v = булгани учун
(16.44)
277
ёки узгарувчиларни ажратсак,
= k + dt
^осил булади.
Бошлангич t0 = 0 пайтда нудтанинг абсциссаси х0 га тенг дей-
лик. Бу бошлангич шартларда охирги тенгламани ннтеграллаймиз!
X— Хо
t
•ёки
о
х = х0 + vot + J f(f)dt.
о
Бу тенглама вацтга боглиц функция тарзида берилган узгарувчан
куч таъснридаги нуцтанинг тугри чизикли даракат цонунини
ифодалайди.
16.11- масала. Массаси т га тенг моддий нукта F = F0 cos ^t (бу ерда Fo
ва со — узгармас мицдорлар) конунга мувофик узгарувчи куч таъсирида турри
чизикли каРакат цилади. Бошлангич пайтда жисмнинг тезлиги x = t>0 булган.
’Нукта каракатининг тенгламаси топилсин.
Ечиш. Бэшланрич пайтдаги нуктанинг колатини координата боши учун ка-
бул дилиб, х удни нудтанинг каракат траекторияси буйича йуналтирамиз.
Нуктага F = Fo cos со/ вактнинг функциясидан иборат кут таъсир этади.
Нуктанинг каракат тенгламасини (16.42) куринишда тузамиз:
dv
tn-----—FB cos со/
at
узгарувчиларни ажратиб,
mdv = Fo cos co t dt,
бошлангич t = 0 пайтда x = t>0 шартни эътиборга олган долда бу тенгламани
ннтеграллаймиз:
с г
mv—rnv0 =----- sin cot
co
ёки
.
V=V0 --- --sin cot.
mco
r. dx
.Бунда v = — булгани учун
at
dx Fo
— - to+ — sincot
dt ты
ёки узгарувчиларни ажратиб,
(р \
По + —— sin со 11 dt
ты I
тенгламани оламиз.
/0 = 0 пайтда х0= 0 бошлангич шартни эътиборга олиб, бу тенгламани иптег-
.раллаймиз:
Fo Fo
х = cBt +----------------------- cos cot.
m co2 m co2
.278
Бу тенгламадан
чизидли даракатини
Fo
катвах2- mw„
курамизки, нуктанинг F = Fo cos со t куч таъсиридаги тугри
F
= t)0 / 4- ---- цонун асосида содир буладиган текис ^ара-
т со2
cos со t тебранма ^аракатлардан ташкил топган деб царань
мумкин.
3. Моддий нудтага фа^ат нуцтанинг ^олатига боглиц куч таъ-
сир этсин. У лолда (16.32) ни
т~—Х(х) (10.46>
ёки
dv dx х
т— — ^х(х)
dx dt
dx
куринишда ёзиш мумкин. Бунда — — v булгани учун
mv~=X(x). (16.47>
Узгарувчиларни ажратсак,
mvdv = X(x)dx (16.48)'
тенглама ^осил булади.
Нудтанинг бошлангич t0 = 0 пайтдаги абсциссаси х0, тезлиги V&
га тенг булсин. Бу бошлангич шартларда (16.48) ни интеграллаймиз:
X
о 2 Р
mv* mvG (
— —тр = ] X(x)dx. (16.49)1
xe
(16.49) нинг унг томонидаги интегрални f(x) билан белгилаймиз.
mv20
2 2
Сунгги тенгламадан нудтанинг тезлигини аницлаймизз
ёки v = — булгани учун
^-=±
узгарувчиларни ажратсак,
±--------------------------- — - - = dt
/
булади.
* Илдиз олдидаги ишора нудтанинг х уции мусбат ёки манфий йуналишидг
ларакатланишига цараб мос равишда танлаб олииади.
279
_ — Нуцтанинг бошлангич /0
”о______*. пайтдаги абсциссаси х0 га тенглиги-
х J ни эътиборга олиб, бу тенгламани
а| интегралласак,
С dx
16.14-раем. ± I .-----------------~ ‘
J ]/ +
цосил булади. *“
Бу тенгламани чап томонидаги интегрални цисоблаб, х ни вацт-
нинг функцияси сифатида аницлаймиз.
16.12-масала. Массаси т га тенг нуцта х0=а цолатдан бошлангич тезлик-
сиз координаталар бошидан нуцтагача булган масофага пропорционал булган Fx =□
= — С] тх тортиш кучи ва масофа кубита пропорционал Qx — C2mx3 итарищ
кучи таъсирида тугри чизицли царакат циладн. Сь С2, а лар цандай муносабат-
да булганда нуцта координата бошида тухтайди?
Ечиш. х уцни нуцтанинг царакат траекторияси буйича йуналтирамиз. Нуцта-
нинг бошлангич цолатини раемда Мо билан белгилаймиз (16.14-раем).
Нуцтанинг ихтиёрий цолатини М билан белгиласак, унга Fx = — Сг тх, Qx =.
— С2 тх3 фацат нуцтанинг координаталарига боглиц кучлар таъсир этади.
Нуцтанинг царакат дифференциал тенгламасини (16.47) куринишида тузамиз:
dv
mv — = — С, тх -I- С2 тх3
dX 112
ёки
vdv = (— С }х -|- СгХ3) dx.
Бошлангич = 0 пайтда х0 = a, v0 = 0 цамда координата бошида х = О,
v = 0 эканлигини эътиборга олиб, бу тенгламани интеграллаймиз:
о о
J vdv = J (— CjX -f- С2 х3) dx
О а
ёки
С, а3 СоП1
= 2 4 *
Бундан
^2
4. Моддий нуцтага таъсир этувчи куч фацат нуцтанинг тез-
лигига боглиц булсин. Бундай цоллар одатда царшилик кучини Ц!1‘
собга олганда учрайди. х = f (о) булган цолда нуцтанинг тугри чи-
зицли царакат тенгламасини икки усулда интеграллаш мумкин:
I. Моддий нуцта царакатининг дифференциал тенгламасини
tn— = f(v) (16.50)
куринишда олиб, узгарувчиларни ажратамиз:
mdv
7Й-
—dt.
280
Бошлангич t0 = 0 пайтда x — v0 эканлигини эътиборга олиб, бу
тенгламани интеграллаймиз:
т№г‘- <,6-5,)
О»
(16.51) нинг чап томонидаги интегрални цисоблаб, олинган ифода-
ни v га нисбатан ечсак,
о = (16.52)
булади. Бошлангич t0 = 0 пайтда х ~ х0 эканлигини эътиборга ол-
ган цолда бу тенгламани интеграллаб, нуктанинг даракат цонунини
аницлаймиз:
х = х0 +
о
II. Нуцта царакатининг дифференциал тенгламасини яна цуйида-
гича ёзиш мумкин:
do г / ч
tnv— = f(v).
ах
Узгарувчиларни ажратамиз:
mvdv ,
Бу тенгламани юцоридаги бошлангич шартларда интегралласак,
V
f^ = x — х0. - < (16.53)
J f(v) °
(16.53) нинг чап томонидаги интегрални цисоСГлаб, олинган тенг-
ламани v га нисбатан ечсак, тезликни масофанинг функцияси сифа-
тида аницлаймиз:
Бундан
dx , , .
» = —
— = dt.
ф(х)
Бу тенгламани юцоридаги бошлангич шартларда интеграллаймиз:
X
(16.54)
J
(16.54) нинг чап томонидаги интегрални цисоблаб, олинган тенг-
ламани х га нисбатан ечсак, х ни вацтнинг функцияси сифатида ифо-
далаш мумкин.
16.13-масала. Огирлиги P = mg булган моддий нуцта бошлангич тезликсиз
вертикал буйича пастга тушади: цавонинг царшилиги нуцтанинг тезлигига про-
иорционал булиб, унга царама-царши йуналгаи, яъниДх — — kmv\ бунда А про-
порционаллик коэффициента, т — нуцтанинг массаси. Нуцтанинг тезлиги v ва
Утган нули х вацтнинг функцияси сифатида аницлансин.
281
16.15- раем.
Ечиш. Нуцтанинг бошлангич пайтдаги цолатини координаталап
боши О учун цабул цилиб, х уцни вертикал пастга йуналтирамиз
(16.15-раем). ,
Нуцтага узгармас огирлик кучи Р ва тезликка пропорционал
Fx — — kmv цавонинг царшилик кучи таъсир этади.
Нуцта царакатининг дифференциал тенгламасини (16,50) к^рини.
шида тузамиз:
dv
т-----= mg — kmv
dt
ёки
dv
dt
g — kv.
Узгарувчиларни ажратамиз
dv
g—kv
Бошлангич t0 = 0 пайтда x0 = 0 эканлигини эътиборга олиб, (1) ни иитег-
раллаймиз:
D
Г dv
J g — kv
о
Бу тенгламадан v ни аницласак,
n = -f-(l-e~ftO (2)
k
ёки
А.Л(,_гЧ.
at k
Узгарувчиларни ажратамиз:
dx = -~- (l-e-ft/) dt. (3>
k
Бошлангич го = О пайтда хо = 0 эканлигини эътиборга олиб, (3) ни интег-
ралласак,
= _g_
k
_L
k e
1
ь g
х
цосил булади.
(2) дан курамизки, t-t- со да нуцтанинг тезлиги узгармас цийматга эришади.
Нт V — ——’
k
282
17-боб. МОДДИЙ НУКТАНИНГ ТУРРИ ЧИЗИК-ЛИ
ТЕБРАНМА ХАРАКАТИ
17.1- §. Умумий мулоцазалар
Бу бобда моддий нуцтанинг даракат турларидан бири булган
ga техникада алоцида ацамиятга эга булган тебранма царакат ус-
тнда тухталамиз.
Тебранма царакатлар турли табиатга эга булиши мумкин. Маса-
лан, иншоотлар пойдеворининг тебраниши, машина ва механизм цисм-
ларининг тебраниши, товуш тулцинининг тарцалиши жараёнидаги теб-
ранишлар механик даракат натижасида содир булади; тебраниш кон-
тури, радиотулцинлар каби тебранишлар электр ва магнит майдон-
лари кучланганлиги узгариши билан боглиц булади. Шунга царамас-
дан тебранишлар бир хил цонуниятга буйсунади. Масалан, маятник,
пружинага осилган юк ва вагон кузовининг тебранишлари, электр
контуридаги тебранишлар ёки сувдаги кеманинг чайцалиши бир хил
дифференциал теиглама билан ифодаланиши мумкин.
Нуцтанинг тебранма царакатини урганишда
1) царакат дифференциал тенгламаларинн тузиш;
2) тебранма царакат цонунини аницлаш;
3) тебраниш даврини цамда мувозанат цолатидан энг катта оги-
1пини цисоблаш каби масалалар билан шурулланамиз.
Бу бобда цайтарувчи куч (масалан, пружинанинг эластиклик кучи),
муцитнинг царшилик кучи, вацтнинг функциясидан иборат уйротувчи
кучлар таъсиридаги нуцтанинг тебранма царакатини текширамиз.
Бундай кучлардан бирортаси ёки уларнинг маълум комбинацияси
таъсиридаги нуцтанинг дифференциал тенгламаларидан электротех-
ника ёкн радиотехникада цам самарали фойдаланиш мумкин.
17.2- §. Моддий нуцтанинг эркин тебранма царакати
Моддий нуцтани мувозанат цолатига цайтаришга иптилувчи кучга
Цайтарувчи куч дейилади. Нуцтага унинг мувозанат цолатидан
огишига пропорционал булган чизицли цайтарувчи куч таъсир этган
цолни курамиз. х уцни Л4 нуцтанинг тугри чизицли царакат траек-
торияси буйлаб йуналтирамиз. Координаталар боши О ни М нуцта-
нинг мувозанатда булиши мумкин булган цолатда оламиз (17.1-
расм).
Агар нуцта мувозанат цолатидан х масофага огдирилса, у цолда
унга х уци буйлаб цамиша О нуцтага йуналган цайтарувчи F куч
Таъсир этади. Бу кучнинг х уцдаги проекцияси цуйидагича аницла-
нади:
Х=-ех, (,7.1) „ ? „ ,
°унда о пропорционаллик коэффи- ? *----9------*•
Ниентини ифодалайди. ------------»-|
М нуцтанинг цайтарувчи F куч 17.1-раем.
283
таъсиридаги турри чизицли даракат дифференциал тенгламасини ту-
замиз:
тх = — сх
ёки — = k1 белгилаш киритсак,
х + £2х = 0. (17.2)
(17.2) тенглама нуцтанинг эркин тебранма царакат диффе-
ренциал тенгламаси дейилади.
Шундай цилиб, моддий нуцтанинг цайтарувчи куч таъсиридаги
царакати иккинчи тартибли бир жинсли узгармас коэффициентли
дифференциал тенглама билан ифодаланади.
Бу дифференциал тенгламани интеграллаш учун унинг характе-
ристик тенгламасини тузамиз:
X2 + k2 = 0.
Бу тенглама = ik, — — ik илдизларга эга булгани учун
(17.2) тенгламанинг умумий ечими цуйидагича ёзилади:
х = Gj cos kt + С2 sin kt, (17.3)
бунда С, ва С2 билан интеграллаш доимийлари белгиланган.
(17.3) дан вацт буйича цосила олиб, нуцтанинг тезлигини ифо-
даловчи
х = — Crk sin kt + C2k cos kt
муносабатни оламиз.
Сг ва С2 интеграллаш доимийларини аницлаш учун бошлангич
шартлар берилган булиши керак. Айтайлик, бошлангич шартлар цу-
йидагича булсин:
/ = 0 да х — х0, х = х0. (17.5)
(17.5) ни (17.3) ва (17.4) га цуйиб,
Ct = х0, С2 = -~
k
эканлигини келтириб чицарамиз.
ва С2 нинг бу цийматларини (17.3) га цуйиб, VI нуцтанинг
царакат цонунини аницлаймиз:
х = х0 cos kt 4- — sin kt. (17.6)
k
Нуцтанинг царакатини яццолроц тасаввур цилиш учун Ci ва
С2 урнига
Сх = a sin а, С2 — а cos а
284
тенгликлар воситасида апицлападиган а ва а янги доимийларни ки-
ритамиз. У цолда (17.3) ни
х=а sin [kt-]- а) (17.7)
куринишда ёзиш мумкин. Бу тенглама нуцтанинг гармоник теб-
ранма царакатини ифодалайди (8.6-§ га царалсин).
Шундай цилиб, моддий нуцтанинг чизицли цайтарувчи куч таъ-
сиридаги эркин тебранма царакати гармоник тебранма царакатдан
иборат булади.
Нуцтанинг царакат тезлигини аницлаш учун (17.7) дан вацт бу-
йича цосила оламиз:
x = ak cos (^(-|-а). (17.8)
а ва а ни харакатнинг бошлангич шартларидан фойдаланиб аниц-
лаш мумкин. Айтайлик, царакатнинг бошлангич шартлари (17.5) ку-
ринишида берилган булсин. (17.5) ни (17.7) ва (17.8) га цуйсак,
х0= a sin a, x0 = ak cos а
цосил булади.
Бундан а ва а лар аницланадиган
7+4-' <17-9>
• kXn • Хл
tg а = —A, sin а —----- ° —'
х0 1 / х2
1/ о , °
V Х0 + fe2
(17.10)
муносабатларни оламиз.
Л1 нуцтанинг О тебраниш марказидан энг катта огишига тенг
булган а масофага тебраниш амплитудаси дейилади. М нуцтанинг
берилган ондаги цолати ва ундан кейинги царакат йуналишини ифо-
даловчи kt + а аргумент теб-
раниш фазаси дейилади. Бош-
лангич t = 0 пайтдаги фазанинг
Циймати а тебранишларнинг
бошлачсич фазаси дейилади.
Нуцтанинг эркин тебранма ца-
ракат графиги 17.2-раемда тас-
вирланган; бунда x0=asina нуц-
танинг бошлангич пайтдаги оги-
Ншни ифодалайди. Нуцта бир мар-
та тулнц тебраниши учун кетган
17.2- раем.
285
Т вацт тебраниш даври дейилади. Синус функциясининг даври
2 л га тенг булгани учун
k (t -f* Т) -ф а — (kt 4* сс) = 2 л
ифодадан тебраниш даври аницланадиган цуйидаги формулами оламиэг
(17.11)
Тебраниш даврининг тескари цийматига тенг булган ва нуцта-
нинг бир секунддаги тебранишлар сонини ифодаловчи
1 k
v = т = 2л (17.12)
катталикка тебранишлар частотаси дейилади.
(17.12) дан курамизки,
A=~^ = 2nv (17.13)
катталик 2 я секунд вацт ичида нудтанинг тулиц тебранишлар со-
нини ифодалайди. Бу катталик тебранишларнинг доиравий часто-
таси дейилади.
Бу формулалардан курамизки, эркин тебранишлар частотаси ва
тебраниш даври бошлангич шартларга боглиц булмай, фацат нуцта-
нинг массаси ва о коэффициента борлиц булади.
17.1-масала. Массаси тга тенг булган М юк бикирлигисга тенг пру жинага
осилган (17.3-раем). Пружинанинг чузилмаган >;олдаги узунлиги АВ = 10, унга
осилган юк бошлангич тезлнксчз цуйиб юборилган. Пружинанинг статик муво-
ванат \олатидаги чузилиши Кст ни маълум деб цараб, юкнинг тебранма даракат
цонуни, тебраниш даври ва пружина эластиклик кучининг энг катта циймати
аниклансин.
Ечиш. Координаталар бошн учун юкнинг огирлик кучи mg ва пружинанинг
эластиклик кучи статик мувозанатлашган О нуцтани оламиз. О нуктада
mg — ckem
(1)
муносабат уринли
17,3- раем,
булади. Шундай килиб, О координаталар боши В нуцтадан
mg
лст =-----масофада ётади. Ох уцни вертикал пастга иу-
с
налтирамиз. Юкнинг ихтиёрий колатини М билан белгилаб,
унга таъсир этувчи кучларни раемда курсатилганидек тасвир-
лаймиз. Юкка унинг огирлик кучи mg ва пружинанинг элас-
тиклнк кучи F таъсир этади. Гук цонунига кура пружина-
нинг эластиклик кучи унинг чузилишига пропорционал була-
ди, яъни F — с К, бунда с — бикирлик коэффициента, А =
I—1п = \.т-]-х— юкнинг Л1 колатига мос булган пру-
жинанинг чузилиши. Шу сабаблн пружина эластиклик кучи-
иинг х уцдаги проекциясини х = — с (kcm + х) формула
ёрдамида ани^лаш мумкин.
Юкнинг даракат дифференциал тенгламасини тузамиз:
тх = mg—с (Кст 4- х).
286
Статик мувозанат долатида (1) тенглик уринли булгани учун (2) ни куйидагича
^зиш мумкин
тх = — сх
ёки
х J- k2 х = 0, (3)
бунда k2 = —(3) тенглик эркин тебранма даракат дифференциал тенгламаси-
дир. Бинобарин, пружина осилган юк гармоник тебранма даракатда булади.
Курилаётган холда тебраниш частотаси учун k = 1 / — = 1 / , теб-
У т у ^ст
раниш даври учун эса (17,12) га асосан
Г=2л р/(4)
ыуносабат уринли булади.
(3) дифференциал тенгламанинг умумий ечимини (17.3) куринишда оламиз:
х = Ct cos kt -j- С2 sin kt, (5)
бундан
x = — Cjfe sinfe/ + C2fe cos kt. (6)
Масалаиинг шартига кура бошлангич шартлар цуйидагича булади:
i = 0 да х0 = "kcm, х0 = 0- (7)
(7) ии (5) ва (6) га дуйиб, С\ = — Кст, Са = 0 булишини анидлаймиз, Шун-
дай дилиб юк
х = — кст cos kt (8)
в^оиуига кура даракатланади.
(8) дан курамизки, юкнинг тебраниш амплитудаси а пружинанинг статик
чузилиши Хет га тенг булади: а = Хст. Шу сабабли пружинанинг энг катта чу-
вилиши учун
^тах = -|- Я = 2 Хет
ыуносабат уринли булади. Бинобарин, пружинанинг энг катта эластиклик кучи
Г max ~ с ^тах = 2 С Хет = 2 mg,
яъни Fmax юкнинг огирлиги mg дан икки баравар катта булади.
17.2- масала. Q юк h — 1 м баландликдан бошлангич тезликсиз тушиб, уч-
лари мадкамланган эластик горизонтал балканинг уртасига урилади ва у билан
бирга тебранади. Юкнинг балка билан биргаливдаги кенинги даракат тенгламаси
ёзилсии. Даракат тенгламаси юкиинг балка устидаги статик мувозанат долатидан
вертикал пастга йуналган удда нисбатан тузилсин. Уша юк таъсирида балканинг
статик эгилиши 0,5 см га тенг, балка массаси хисобга олинмасин.
Ечиш. Координаталар бошини юкнинг статик мувозанат долатида олиб, х
$цни вертикал пастга йуналтирамиз. У долда даракатнинг бошлангич шартлари
куйидагича булади:
1 = 0 да х = хв = — Кст = 0,005м, х = в0= Д/2gh = 4,43 м/с, (1)
бунда и0 юкнинг балкага урилган пайтдаги тезлигини ифодалайди.
Юкнииг даракат дифференциал тенгламасини тузамиз;
тх =mg — c(Xcm4-x). (2)
287
17.4-раем.
Статик мувозанат целатида mg = ckcm муно-
сабат уринли булишини эътиборга олсак,
(2) ни
х + k2 х = О
куринишда ёзиш мумкин, бунда k=a
- VT_j/p_K29^,.
'tn ' Кст
Х,аракатнинг бошлангич шартларини ифо-
даловчи (1) муносабатларни назарда тутиб,
нуктанинг тебранма даракат цонунини (17.6)
га асосан цуйидагича ифодалаймиз:
х = (0,005 cos 44,29/4-0,1 sin 44,29 Z) м.
17.3-масала. Вертикал текисликда жой.
лашган доиранинг горизонтал ватари буй-
лаб массаси 2 кг га тенг М моддий нуц-
та ОМ = г масофага пропорционал ва ха-
мита О нуцтага йуналган F куч таъсирида царакатланади, пропорционаллик
коэффициента эса 98Н/м га тенг (17.4-раем). Ишцаланиш кучи цисобга олии-
майди, О марказдан ватаргача булган масофа ОС = 20 см, айлананинг радиуси
эса R = 40 см. Агар нуцта бошлангич пайтда унг томондаги энг четки цолатини
эгалласа ва бошлангич тезликсиз цуйиб юборилса, у цандай цонун буйича цара-
катланади? Нуцта ватарнинг уртасидан цандай тезлик билан утади?
Ечиш. Координаталар бошини доиранинг марказида олиб, уцларни раемда
курсатилганидек йуналтирамиз. М нуцтанинг царакат дифференциал тенгламасини
тх = X
куринишда тузамнз. Бунда tn = 2 кг, к = — F sin ф = — 98 г sin ф = — 98 х Н
эканлигини эътиборга олсак,
2х = — 98 х
ёки
х4-Л2х = 0 (1)
1/98
тенглама цосил булади, бунда k = у = 7.
(1) тенглама эркин тебранма царакатнинг дифференциал тенгламасини ифода-
лайди.
Шундай цилиб, М нуцта горизонтал ватар буйлаб гармоник тебранма цара-
катда булади.
(1) дифференциал тенгламанинг умумий ечимнни (17.3) куринишида оламиз
х — Сх cos kt + Сг sin Л/, (2)
буидан
х = — Ci k sin kt C2 k cos kt. (3)
Масаланинг шартига кура бошлангич шартлар цуйидагича булади:
t = 0 да х0 = СМ0 = ~]/R2~OC2 = 0,346 м, 'х = 0. (4)
(4) ни (2) ва (3) га цуйиб, Сх = 0,346, С2 = 0 булишини аницлаймиз. Шун-
дай цилиб, Л! нуцта
X = 0,346 cos 7 t (5)
288
цонун буйича царакатланади ва унинг тезлиги
х = — 2,422 sin 7t (6)
тенгламадан аницланади. _
М нуцта ватарнинг уртаспдан утгаида х — 0 булади ва (5) га асосан
7/ = — + 2л «j. (7)
(7) ни (6) га цуйиб М нуцта ватарнинг уртасидан утган пайтдаги тезаигини
аницлаймиз:
х = ± 2,422 м/с.
17.3-§. Тезликнинг биринчи даражасига пропорционал
булган царшилик кучи таъсиридаги моддий нуцтанинг
эркин тебранма царакати
Юцорида нуцтанинг эркин тебранма царакати курилганда муцит-
нинг царшилиги (ишцаланиш, цавонннг царшнлиги ва цоказолар)
эътиборга олинмаган эди, вацоланки, техникада учрайдиган реал ма-
салаларни ечишда царшилик кучини цисобга олишга тугри келади.
Царшилик кучи тебранма царакат характерига жпддий таъсир курса-
тади. Масалан, бир учи мацкамланган ва эркин учига юк осплган
пружинани чузиб, сунгра цуйиб юборсак, юк бир неча марта тебран-
гандан кейин цавонинг царшилнк кучи туфайли тухтайди.
Ох уц буйича царакатланувчи А1 моддий нуцтага F цайтарув-
чи кучдан ташцари нуцтанинг тезлиги v га царама-царши йунал-
ган R царшилик кучи таъсир этсин (17.5-раем). Нуцтанинг тезлиги
унча катта булмаганда царшилик кучини тезликнинг биринчи дара-
жасига пропорционал деб цараш мумкин:
—> —>
R — — ц v,
бунда р царшилик коэффициентини ифодалайди. R царшилик кучи
нинг х уцдаги проекцияси
R = — рх.
F ва R кучлар таъсиридаги нуцтанинг царакат дифференциал
тенгламасини тузамиз:
тх = — сх — р х.
Тенгламанинр иккала томонини т га булиб, барча цадларини бир
томонга утказсак, _ __ _
... О F R п v х
х + 2 пх + k2 X 0 (17.14) ---------7 -* Т—*------*
куринишдаги тенгламага эга була- ~
Миз, бунда 17.5- раем.
J9—2282
289
£_ = £2, ±_ = 2 n.
т т
(17.14) тенглама цайтарувчи куч ва нуцта тезлигининг би-
ринчи даражасига пропорционал булган царшилик кучи таъсири-
даги моддий нуцтанинг царакат дифференциал тенгламасини
ифодалайди. Бу тенглама коэффициентлари узгармас булган иккинчи
тартибли чизицчи бир жинсли тенгламадир. Унинг Z2 ф-2п7.-]-Л2=0
характеристик тенгламаси \ 2 = — п ± рл/г2 — k2 илдизларга эга.
Моддий нуцта царакатииинг характери бу илдизларнинг цабул
циладиган цийматларига боглиц булади. Агар п< k (царшилик унча
катта булмаган цол) булса, характеристик тенгламанинг илдизлари
цушма комплекс сонлардан, п > k (царшилик катта булган цол) бул-
са, цациций сонлардан иборат булади.
Бу цолларни алоцида- алоцида куриб чицамиз:
1. Муцитнинг царшилиги унча катта булмаган цол (n<Zk).
Бу цолда k2 — п2 = k2 белгилаш киритсак, характеристик тенглама-
нинг илдизлари Х12 = — n±ikv булиб, (17.14) тенгламанинг уму-
мий ечими цуйидагича булади:
х = e~nt (Cr cos kr t ф- С2 sin 1гф). (17.15)
Агар Cx ва C2 интеграллаш доимийлари урнига
Сг —- a sin а, С2 = а coscc
тенгликлар воситасида аницланадиган а ва а узгармасларни кирит-
сак, нуцтанинг царакат цонуни
х — a e~nt sin (1цt ф- a) (17.16)
• 17,6- раем.
тенглама билан ифодаланади.
(17.16) тенглама нуцтанинг гармоник тебранма царакат тенглама-
сидан er~nt купайтувчиси билан фарц цилади. Бу купайтувчи вацтнинг
утиши билан нолга интилади, яъни t-^ca да e~nZ->0. Шу сабабли
(17.16) цонун асосида содир буладиган царакат сунувчи тебранма
царакат дейилади. Бундай царакат частотаси 1ц нуцтанинг массаси
т, пропорционаллик коэффициенти с билан бир цаторда муцитнинг
царшилик коэффициенти р га цам
боглиц булади.
Сунувчи тебранма царакат гра-
фиги 17.6-раемда тасвирланган.
(17.16) да |sin (Ar t ф- a)| < 1
булгани учун х координатанинг аб-
солют циймати
|х| < e~nt\
шартни цаноатлантиради. Биноба-
рин, сунувчи тебранма царакат гра-
фиги t уцца нисбатан симметрии
жойлашган
290
х = а е~п‘ ва х = — a e~nl
ларга галма-гал уринадиган синусоида билан ифодаланади.
чИЭ1П%а а интеграллаш доимийларини аницлаш учун (17.16) дан
aKj б йича цосила олиб, нуцтанинг тезлигини топамиз:
X = a kr e~~nl cos (Л. t -|- а) — а пе~п< sin (kr t+а).
дгар бошлангич шартлар
t = 0 да х == х0, х = и0
куринишда берилган булса, уларни (17.16) ва (17.17)
ушбу тенгламалар системасини цосил циламиз:
х0 = tz sin а,
v0 = akl cos а —• п х0.
Бундан а ва а лар аницланадиган
(^0 + п х0)2
(17.17)
га цуйиб.
V ° 1 %
*0
sin а = —.
а
с'о + пх0
cos а = -----
aki
муносабатларни оламиз.
Сунувчи тебранма царакат частотаси
k2 — п2,
царакат даври эса
.г* 2 л
формула ёрдамида аницланади.
(17.21) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
л=-
k
(17.18)
(17.19)
(17.20)
(17.21)
(17.22)
а =
бунда Т = билан нуцтанинг эркин тебранма царакат даври бел-
k
гиланган.
(17.22) дан курамизки, сунувчи тебранма царакат даври нуцта-
нинг эркин тебранма царакат давридан бирмунча катта булади. Ле-
кин царшилик кичик булганда бу фарц унча катта булмайди ва
бунда деб олиш мумкин. Бинобарин, унча катта булмаган
Муцитнинг царшилиги эркин тебраниш даврига деярли таъсир эт-
^майди.
291 j
Моддий нуктанинг мувозанат цолатидан у ёки бу томонга цар
гал тебрангандаги максимал огиши суну очи теб ранма царакат
амплитудаси дейилади.
Агар бу амплитудаларнинг кетма-кет цийматларидан ташкил
топган ара2, . . . , а/+1, . . . цаторни олсак, бу цаторнинг ик-
Т
кита кетма-кет a., ai+l цадлари вацтнинг t. ва ti+l —ti+ пайт-
ларига мос келади (17.7-раем). Яъни — булиб, нуцта
т
аъ а2, . . ., аь а/+р . . . ларга оггандаги вацтлар айирмаси у га
тенг арифметик прогрессияни ташкил этади цамда
“г+1 (17.23)
муиосабат уринли булади. 0<’+1 нисбат узгармас булгани туфайли
°i
амплитудаларнинг кетма-кет цийматлари, махражи е 2 га тенг
камаювчи геометрик прогрессияни ташкил этади.
е 2 га тенг булган абстракт сон тебраниш декремента.
дейилади. Декрементнинг натурал логарифми модулига тенг катта-
лик логарифмик декремент дейилади ва у D билан белгиланади:
I -и — I = пТ' = пп
£> = |1пе 2 | 2 ykl — n2 "
(17.24)
Мицдори п га тенг булган коэффициент суниш коэффициента
дейилади.
Шундай цилиб, унча катта булмаган царшиликпинг моддий нуц-
тани эркин тебранма царакатига таъсири. вацтнинг утиши билан
тебраниш амплитудасининг камайиши билан характерланади.
17.7- раем.
2. Апериодик царакат (n>k).
Бу цолда и2 — А2 = Л2 белгилаш
киритсак, характеристик тенглама-
нинг илдизлари
Х1)2 = —п ± — А2 =— n±h
цациций, манфий ва турлича ций-
матларга эга булади. Шу сабабли
(17.14) тенгламанинг умумий ечими
цуйидагича ёзилади:
х=е-п'(CZ + C2e“w)- (17.25)
Агар ва С2 интеграллаш дои-
мийлари урнига
292
G1-— . Ь2-
тенгликлар воситасида аницланадиган
киритсак, (17.25) ни
-п/ [л ем 4- е
X = е < л----—
А~В
2
янги Л ва В доимийларни
в eht-e~h1
2
—ht
— — sh ht
куринишда ёза оламиз. Бу тенгламада
2 2
гиперболик функцияларни киритиб, уни цуйидагича ифодалаймиз:
x=e-"'(-4ch/i/+Bsh/i/). (17.26)
Нуцтанинг царакатини янада яццолроц тасаввур цилиш учун
Л ва В узгармаслар урнига
А = a sh а, В = a ch а
тенгликлар ёрдамнда аницланадиган о ва а узгармасларни кирита-
миз. У цолда (17.26) урнига
х — a e~nt sh (ht + а) (17.27)
тенгламани оламиз.
(17.27) дан курамизки, n>k булган цолда нуцта тебранма ца-
ракатда булмайди, чунки гиперболик синус функцияси даврий функ-
ция эмас. Бу тенглама апериодик царакатни ифодалайди.
Бундай царакат графит бошлангич шартларнинг цандай були-
шига цараб, 17.8-раемда тасвирланган графикларнпнг бирортаси
каби булади.
Агар нуцта бошлангич пайтда х уцнинг мусбат йуналиши буйи-
ча йуналган бошлангич v0 тезликка эга булса, у цолда бу тезлик
цисобига нуцта дастлаб мувозанат цолатидан узоцлаша боради,
сунгра цайтарувчи куч таъсирвда му-
возанат цолатига аста-секин яцинлаша
боради (17.8-расм, а).
Агар нуцта бошлангич пайтда х
уцца царама-царши йуналган с0 бош-
лангич тезликка эга булса, царакат
графики 17.8-расм, б, в дагидек бу-
лади. Бу цолда нуцтанинг бошлангич
тезлиги о0 етарлича катта булса, нуц-
та мувозанат цолатидан бир марта
утиб, сунгра бу цолатга аста-секин
яцинлаша боради (17.8-раем, в).
3. Чегаравий цолдаги апериодик
царакат. Бу цолда характеристик тенг-
ламанинг илдизлари узаро тенг; цаци-
ций ва манфий цийматга эга булади:
293
Zr = л2 = — n.
Бу (17.14) тенгламанинг умумий ечимини
x^e-^^t + C.) (17.28)
куринишда ёзиш мумкин. Бу ^олда нуцтанинг тезлиги
x = — ne~nt(Cit + C£+e~ntCi (17.29)
формула ёрдамида аникланади.
Сг ва С2 ни топиш учун даракатнинг бошлангич шартлари дан
фойдалаиамиз. Айтайлик, бошлангич t = 0 пайтда нуцта х — х0 хо-
датаи эгалласин ва х — v0 тезликка эга булсин. Бу шартларни (17.28)
ва (17.29) га ^уйсак,
-^0 — О?’
п С 2 “Ь ------П Xq -f- Су
бундан
Ci = у0 и x0
эканлиги топилади.
С\ ва С2 ларнинг ^ийматларини (17.28) га вдшиб, нудтанинг
даракат цонунини куйидагича ёза оламиз:
х = e~nt (<+ (v0 + п х0) /].
Бу тенглама воситасида аницланадиган даракат ^ам сунувчи апе-
риодик ^аракатдан иборат булади.
17.4-масала. 17.3- масаладаги М нудтага F кучдан ташцари нудтанинг
тезлигига дарами-дарши йуналган ва тезликнинг биринчи даражасига пропор-
—>•
цис пал даршилик кучи R таъсир этганда нудтанинг даракат донуни анидлансин
<17.9- раем). Пропорционаллик коэффициента у = 10 Н.с/м.
Ечиш. Царшилик кучи R нудтанинг тезли-
ги v га карама-царши йуналганлигини назарда
тутиб, нудтанинг даракат тенгламасини куйида-
гича ёзиш мумкин:
т х = X -f- Rx
ёки
2 х= 98х — 10 х.
Бу дифференциал тенгламани
х + 2 пх + №х=0
куринишда ёзиш мумкин. Бунда 2п — 5, k =!.
Характеристик тенглама тузиб, унинг ил-
дизларинп анидлаймиз:
294
n2 — k2 — — — ±
—49 = — 2,5 ±6,144 i.
?»1>2
Хяоактеристик тенглама иккита мавдум цушма илдизга эга булгани учун М
аиинг ^аракати тебранма даракатдан иборат булади дамда (17.16) га кура
кудтанинг даракат донунини
х = a e~~nt sin (Лх t 4- а)
куринишда ёзиш мумкин.
Нудта t — 0 да х0 = СМР = 0,346 м, х — 0 бошлангич шартларда даракат-
ланишини эътиборга олсак, (17.18) ва (17.19) га кура
a =
<2±O1346P_ = o,49 m,
6,144
x0 0,346
sin a = —- = ------- = 0,7061
a 0,49
а = 0,25 л.
Шундай дилиб, М нудта
х=0,49 е—2,5* sin (6,144 t -|- 0,25 л) м
донунга кура сунувчи тебранма даракатда булади.
17.4-§. Моддий нудтанинг мажбурий тебранма даракати
Моддий нудтага цайтарувчи кучдан ташдари вацтнинг даврий
функциясидан иборат булган уйготувчи куч дам таъсир этса, у
мажбурий тебранма даракатда булади. Даврий куч манбаи уз та-
биатига кура турлича булиши мумкин. Ёцилги ёниши натижасида
досил буладиган газларнинг ички ёнув двигатели поршенига таъсир
кучи, электромагнитларнинг узгарувчан тортиш кучлари, мувоза-
натланмаган валнинг айланиши натижасида хосил буладиган мар-
каздан крчирма инерция кучи ана шулар жумласидандир.
Айтайлик, моддий нудтага таъсир этувчи Q уйготувчи кучнинг
х уцдаги проекцияси Qx — Н sin (pt 4- б) га тенг булсин; бу ерда
77 —уйготувчи кучнинг амплитудаси, р— унинг доиравий частота-
си, б — бошлангич фаза.
F цайтарувчи ва Q уйготувчи кучлар таъсиридаги моддий
нудтанинг даракат дифференциал тенгламаси цуйидаги куринишга
эга булади:
т х = — с х + Н sin (р t 4- б)
ёки
х + k2 х = 7/0 sin (р t 4- б), (17.30)
бунда Л2 = —, .
т ° т
295
(17.30) тенглама моддий нуцтанинг мажбурий тебранма ца-
ракат тенгламаси дейилади. Бу тенглама коэффициентлари узгар-
мас булган иккинчи тартибли бир жинсли булмаган чизицли тенг-
ламадан иборат. Унинг умумий ечими х-р/?2х = 0 бир жинсли
тенгламанинг умумий ечими лц = asm (kt + а) ва (17.30) тенгла'
манииг хусусий ечими х2 ларнинг йигиндисига тенг:
х = х1 + х2. (17.31)
Агар p^=k булса, (17.30) тенгламанинг хусусий ечимини цуйи-
даги куринишда оламиз.
x2 = Xsin(p( + 6). (17.32)
Бу тенгламадаги А доимий катталикни аницлаш учун (17.32) дан
вацт буйича икки марта цосила олиб,
х2 = — А р2 sin (р t 4- 6),
сунгра х2 ва х2 ларнинг цийматини (17.30) тенгламага цуямиз:
— А р2 sin (р t -р б) -р A k2 sin (р t -р б) = HQ sin (р t 4- б)
ёки
A (k2 — р2) sin (р t + б) = /Д sin (р(4-6). (17.33)
Бу тенглик уринли булиши учун чап ва унг томондаги sin (pt -р б)
олдидаги коэффициентлар узаро тенг булиши керак:
Л(А2-р2) = Я0.
Бундан
д __ (17.34)
k2 — рг
муиосабатни оламиз.
(17.34) нн (17.32) га цуйиб, хусусий ечим учун
х2 = sin (р t -рб)
ифсдага эга буламиз.
Шундай цилиб, (17.30) тенгламанинг умумий ечими цуйидаги
куринишда ёзилади:
х = asin(kt 4-а) 4-----——sin(p(4-6). (17.35)
k2 — р1
Бинобарин, моддий нуцтага бир вацтнинг узида F цайтарув-
чи ва Q уйготувчи кучлар таъсир этса, мазкур нуцта k час-
тота билан содир буладиган эркин тебранма царакат цамда
уйготувчи куч частотаси р билан содир буладиган мажбурий
296
тебранма царакатлардан ташкил топган мураккаб царакатда
иштирок этади.
(17.35) даги а ва а доимиилар харакатнинг бошлангич шарт-
аридан аницланади. Бу тенгламадаги нуцтанинг мажбурий тебран-
ма царакатини ифодаловчи охирги цадда интеграллаш натижасида
цосил буладиган доимиилар цатнашмайди. Бинобарин, мажбурий
тебранма царакат, нуцта царакатининг бошлангич шартлари-
га боглиц булмайди.
Нуцтанинг
fj
х2^-~р2 sin(р/4-б)
(17.36)
цонун асосида содир буладиган мажбурий тебранма царакатини ба-
тафсил текширамиз.
Мажбурий тебранма царакат амплитудаси
(17.37)
тенгликдан аницланади.
Мажбурий тебранма царакат тенгламасини унинг амплитудаси
орцали цуйидагича ифодалаш мумкин:
k > р булса, х2 = At sin (pt + б),
k<. р булса, х2 = — A1sin(pZ 4-б) — A1sin(pZ 4-6 —л).
Охирги иккита тенгликдан курамизки, агар k > р б^лса, маж-
бурий тебранма царакат фазаси, Qx = Н sin (р 14- 6) уйготувчи куч
фазаси билан устма-уст тушади (17.10-раем); агар булса,
мажбурий тебранма царакат ва уйготувчи куч царама-царши фазага
эга булади, яъни мажбурий тебранма царакат фазаси уйготувчи
куч фазасидан л га орцада цолади (17.11-раем).
Мажбурий тебранма царакат амплитудаеини чаетоталар нисбати
орцали цуйидагича ифодалаш мумкин:
А, ==___________________________, (17.38)
Н‘-£1 1-£|
17.12- раем.
17.12-раемда ифодаланган
мизки, —1 да динамиклик
k
эришади.
бунда хст = билан нуцтага уй-
ротувчи кучнинг максимал цийма-
тига тенг куч таъсир этганда унинг
мувозанат цолатидан статик огиши-
ни ифодалевчи катталик белгилан-
ган. Агар — нисбатни т] ортали
хст
белгиласак,
Л = — =-------Ц-;. (17.39)
ft2 I
т] катталик динамиклик коэф-
фициенты дейилади; бу коэффи-
циент мажбурий тебранма даракат
амплитудаси статик огишидан неча
марта ортиц булишини ифодалайди.
(17.39) ифоданинг графигидан кура-
коэффициенти жуда катта цийматга
17.5- §. Нуктанинг тепкили тебранишлари
(17.30) тенгламанииг умумий ечимини яна цуйидаги куринишда
ёзиш мумкин:
х = CLcoskt + C?sinkt -1—д -sin(pt -ф6). (17.40)
/г2 р-
С, ва С2 интеграллаш доимийларини аницлаш учун (17.40) дан
вацт буйича цосила оламиз:
х =—ACiSinH -ф kC2cos.kt + _Пр2— cos (р / -|- б). (17.41)
Айтайлик, царакатнинг бошлангич шартлари цуйидагича булсин:
/ = 0 да х — х0, х = х0. (17.42)
(17.42) ни (17.40) ва (17.41) га цуйиб, Сг ва С2 ни аницлаймиз:
Ci =х0-----5° „ sln6,
k* — п*
Сг ва Ся нинг Gy цийматларини (17.40) га цуйиб, тенгламанииг
(17.42) бошлангич шартлардаги умумий ечимини оламиз:
298
к хп cos k t + — sin k t--------2-------(sin 6 • cos k t 4- — cos 6 sin Л /)+
** 0 k k* — p2 k
+ -/° 2 sin(p/4-6). (17-43)
fe2 — p2
(17.43) дан курамизки, xo=O, x0 = 0 бошлангич шартларда цам
нуцтанинг уйготувчи куч таъсирида
----—------(sin6-cosft/4—— cos6-sink t)
ft2 — p2---k
цонун асосида содир буладиган тебранишлари эркин тебранишлар
частотасига тенг частота билан тебранма царакатда булади цамда
бу тебранишлар амплитудаси бошлангич шартларга боглиц булмайди.
Мажбурий тебранма царакат частотаси р эркин тебраниш часто-
таен k билан деярли устма-уст тушганда, бир хил амплитуда ли ва
царама-царши фазали иккита бир-бирига яцин частотали царакат-
ларни цушиш натижасида нуцтанинг тепкили тебраниш (биение) деб
аталадиган царакати содир рулада.
Айтайлик, — «1, лекин (А2 — р2 ¥= 0) булсин, у цолда хо = О,
k
х0 = 0 бошлангич шартларда (17.43) ни цуйидагича ёза оламиз:
х [sin (р I 4- 6) — sin (k 14- 6)]
— р*
•• Р ~еа.
еки » р деб г^араб,
sin а — sin р = 2 sin cos g+,P
2 2
формула ни цуллаб, умумий ечим учун
х== J-p2'sin + (17.44)
ифодани оламиз.
Агар
<17л5>
белгилаш киритсак, (17.44) ни
х = A (Z) cos (р t 4- 6) (17.46)
куринишда ёзиш мумкин. Бундай царакат графиги 17.13-раемда
тасвирланган.
(17.46) дан курамизки, тепкили тебранишни частотаси р, даври
__2 л
~га тенг цамда амплитудаси вацтга боглиц (17.45) тенглик
оилан ифодаланадиган даврий цонун асосида узгарадиган тебранма
царакатдан иборат деб цараш мумкин.
299
17.13- раем.
Бу ^олда амплитуданинг узгариш даври
у _ -л _ 4 п
А р—k p — k
2
формула билан ифодаланади.
pzzk булгани учун амплитуданинг узгариш даври т= — га
Р
нисбатан апча катта булади.
17.6- §. Резонанс ходисаси
(17.33) дан курамизки, ртак булганда (17.32) куринишдаги ху-
сусин ечим мавжуд булмайди. Бу ^олда хусусий ечимни ^уйидаги-
ча танлаб оламиз:
х* = —— (sinp/ —sin£/).
k1 — р2
Бу ечимни (17.35) тенглик билан ифодаланадиган умумий ечим-
дан а, а ва 6 катталиклар
а =-----а = 0,6 = 0
/г2 — р‘
цийматларни цабул цилган ^олда келтириб чи^ариш мумкин. Агар
р = k булса, мазкур хусусий ечим куринишидаги ани^масликдан
иборат булади. Бу ашщмаелнкни йуцотиш учун Лопиталь ^оидаси-
дан фойдаланамиз:
х2 — /70
Г d
— (sin р t — sin h /)
dP __________________
d
— (fe2 —p;)
dP
-------------coskt. (17.47)
p^k
Шундай цилиб, p = k ^олида (17.30) тенгламанинг умумий ечи-
миии
х = asin(kl+а) — -^-coskl (17.48)
куринишда ёзиш мумкин.
800
17.14-раемда х2 функция-
иинг графиги тасвирланган бу-
" р = k булганда вацтнинг
«тиши билан тебраниш ампли-
тудаси вацтнинг чизицли функ-
цияси сифатида чексиз орта
боради. Бу додисага резонанс
дейилади.
Резонанс ^одисасини эъти-
борга олмаслик натижасида
баъзида иншоотлар тусатдаи
бузилиб кетиши мумкин. Ма-
салан, осма куприк устидан
солдатлар бир хил цадам таш-
лаб утганда солдат цадам-
ларинипг частотаси куприкнинг тебраниш частотаси билан устма-
уст тушганда резонанс ходисаси руй беради ва натижада куприк
бузилиб кетиши мумкин. 1850 йилда Анжер осма куприги устцдан
500 кишилик француз пиёда аскарлари батальони бир меъёрда ца-
дам ташлаб утиб бораётганда бу куприк бузилиб кетган ва нати-
жада 226 киши х;алок булган.
Акустика ва радиотехника ^амда турли иншоотларнинг лойи^а-
сини динамик ^исоблашда резонанс ^одисаси ало^ида а^амиятга эга.
17.5- масала. Бикирлиги с = 19,6 Н/м булган пружинага массаси 100 г
булган магнит стержени осилган. Магнитнинг пастки учи i = 20 sin 8nt А цо-
нуи билан узгарувчи ток оцадиган галтакдан угади. t = 0 пайтдан бошлаб
стерженни соленоидга тортувчи ток ута бошлайди; шу пайтга цадар магнит
стержени пружинада цузгалмай осилиб турган (17.15- раем). Магнит билан гал-
так орасидаги узаро таъсир кучи Е = 0,016 ni Н. Магнит стержени чузилма-
ган пружинага осилиб, бошлангич тезликсиз цуйиб юборилганда у дандай
цонун буйича даракат цилиши аницлансин.
Ечиш. Магнит стержени тугри чизикли илгарилама ^аракатда булади. Унга
Р — mg огирлик кучи; Е, = сх = 19,6х Н эластиклик кучи; Е = 0,016 niH =
«= 0,320 л sin nt Н — магнит стержени билан галтак орасидаги уйготувчи куч
таъсир этади.
Координаталар бошини магнит стержеиининг статик мувозанат >;олатида
олиб, даракат дифференциал тенгламасини куйидагича ёза оламиз:
тх = — с х 0,320 л sin 8 nt
ёки
Л’-|-Л2х = Но sinp t. (I)
Бунда k= = -1/1^= 14; //0 =°’320л..= 10,05 Л-. р=8л.
У т у 0,1 0,1 кг *
Р>/г булгани учун резонанс х°Дис;1си руй бермайди.
(1) тенгламанинг умумий ечимини х = х, ф-х2 куринишда излаймиз. Бунда хг
билан уиг томини нолга тенг булган (I) тенгламанинг умумий ечими белгиланган.
Маълумки, у куйидагича булади:
xi — Ci cos k t -ф C2 sin k t.
(2)
301
х2 эса (1) нинг хусусий ечими булиб, магнит стерженининг мажбурий тебранма
царакатини ифодалайди.
(1) тенгламанинг хусусий ечимини
ха = A sin р t (3)
куринишда оламиз. (3) дан вацт буйича икки марта цосила олиб, сунгра х2 ва
х2 ларнинг цийматини (1) тенгламага цуямиз. У цолда тенгламанинг унг ва чап
//
томонндаги синуслар олдидаги коэффициентларни тенглаштирсак, А — --=
k2—р2
= —0,023 эканлиги келиб чицади.
Демак, магнит стерженининг мажбурий тебраниши
х2 = — 0,023 sin 8 л t = 0,023 sin (8 л t — л)
цонун асосида содир булади. Бу тенгликдан курамизки, мажбурий тебранма ца-
ракат фазаси уйготувчи куч фазасига царама-царши булади.
Шундай цилиб, (1) тенгламанинг умумий ечимн учун
х = Cj cos 14 t -ф С2 sin 14 t — 0,023 sin 8 л t (4}
ифодани оламиз.
Cj ва С2 интеграллаш доимийларини аницлаш учун (4) дан вацт буйича
цосила оламиз:
х = — 14 Ci sin 14/-ф14С2 cos 14/ — 0,578-cos 8 л/. (5)
Масаланинг шартига кура бошлангич / = 0 пайтда магнит стержени х0 ~
mg „ • '
= —= —-----------= — 0,05 м цолатни эгаллайди ва х = х0 — 0. Бу бошлангич!
с
шартларни (4) ва (5) га цуйиб, Cj ва С2 ни аницлаймиз:
Ci = —0,05, C2 = 0,04l3.
Шундай цилиб, магнит стержени
х= (—0,05 cos 14/-ф 0,0413 sin 141 — 0,023 sin 8 л/) м цонун асосида харакат-
ланади.
17.7-§. Нудтанинг мажбурий тебранишига муцит
царшилигининг таъсири
Эркин тебранма царакатдаги нуцтага тезликнинг биринчи дара-
жасига пропорционал булган муцитнинг царшилик кучи таъсир эт-
ганда нуцта сунувчи тебранма царакатда булишини курган эдик.
Энди мажбурий тебранма царакатдаги нуцтага бундай царшилик ку-
чи цандай таъсир этишини курамиз.
Ох уц буйича царакатланувчи М нуцтага цайтарувчи куч F, уй-
готувчи куч Q ва тезликнинг биринчи даражасига пропорционал бул-
—> —
ган R —— pv царшилик кучи таъсир этсин.
Координаталар бошини пружина деформацияланмаган цолатига
мос келувчи нуцтанинг эгаллаган цолатида олиб, унинг ихтиёрий
пайтдаги координатасини х билан белгилайлик. У цолда нуцтага
таъсир этувчи кучларнинг координата уцларидаги проекциялари цуйи-
дагича ифодаланади:
Fx = — сх, Qx = Н sin (pt -ф 6) — рх, Rx = — рх.
302
Бундай кучлар таъсиридаги нуцтанинг царакат дифференциал
тенглама сини
тх = — сх 4- Н sin (pt 4- б) — ц х
куринишда ёзиш мумкин. сх ва рх цадларни чаи томонга утказиб,
тенгламанинг иккала томонини т га булсак,
X + — X + —х = $\C\.(pt + б)
т т т
ва = 2п, — = k2, — — Но белгилашларни киритсак,
т т т
х 4- 2п х J- k2 х = Но sin (pt + б) (17.49)
дифференциал тенглама цосил булади.
(17.49) тенглама харакат тезлигига пропорционал булган
царшилик кучи таъсиридаги нуцтанинг мажбурий тебранма хара-
кат дифференциал тенгламасини ифодалайди. Бу тенглама коэф-
фициентлари узгармас булган иккинчи тартибли бир жинсли бул-
маган чизицли дифференциал тенгламадан иборат булиб, унинг
умумий ечими (17.14) бир жинсли тенгламанинг умумий ечими xt би-
лан (17.49) тенгламанинг хусусий ечими х2 ларнинг йигиндисига
тенг булади:
х = х, 4-х2. (17.50)
(17.14) тенгламанинг умумий ечимини п ва k ларнинг цандай
цийматларни цабул цилишига цараб, мос равишда (17.15) ёки (17.16),
(17.25) ёки (17.27) цамда (17.28) куринишда олиш мумкин.
(17.49) тенгламанинг хусусий ечимини
х2 — А sin (р + & — е) (17.51)
шаклида оламиз. Бундаги А ва е доимийларни аницлаш учун х2 ва
х2 ларни цисоблаб,
х2 = Ар cos (pt 4- б — е),
х2 = — Ар2 sin (pt 4- б — s),
сунгра х2, х2 ва х2 ларнинг цийматини (17.49) га цуямиз:
— Tip2 sin (pt-\-&— e)4~2/Mpcos (ptA-§ — e) 4-71 A’2 sin (pt-\-6—
— e) = /70sin (р/4-б). (17.52)
Бу тенгламанинг унг томонидаги ифодани цуйидагича ёзиб:
Но sin (pt 4- б) = Но sin (pt 4- б — е 4- е) =
= Но sin (pt 4-6 — е) • cos е 4- Но cos (pt 4- 6 — е) sin е,
олинган натижани (17.52) га цуямиз:
A (k2— р2) sin (р/4-6 — е) 4* 2прА cos (pf-f-б— е) =
= W0cosE-sin (pt 4- б — е) 4- sins-cos (pt 4- б — е).
303
Бу тенглама t вацтнинг цар цандай цийматида уринли булиши
учун sin (pt + б — е) ва cos (pt + б — е) олдидаги моо коэффициент-
лар узаро тенг булиши керак:
A (k2 — р2) = Н0 cos в, 1
2прА = Но sin в. | (17.53)
(17.53) дан А ва 8 лар аницланадиган ушбу муносабатларни ола-
миз:
Яо
________
(k2 — р2)2 + 4лар2
tgE=_^_.
й2-р2
(17.54
(17.55)
е ни (17.55) дан аницлаш мумкинлигини назарда тутиб, мажбу-
рий тебранма царакат амплитудаси Л нинг цийматини (17.51)га цуй-
сак,
*> = sin(p/ + 6 —в) (17.56)
}/(Л2—р2)2 + 4п2р2
тенгликни оламиз.
Шундай цилиб, k ва п лар орасидаги муносабат цандай булиши-
га цараб, (17.49) тенгламанинг умумий ечимини
1) n<zk булганда (kx — yA k2— п2 белгилаш киритиб)
x = e'~nt (CiCos kJ + С2 sin kJ) + A sin (/?/4-б —в) (17.57)
ёки
х = ае“п/ sin (kJ + а) -ф A sin (pt + б — в); (17.57а)
2) n>k муносабат уринли булганда (h *=-\Ап2— k2).
x = e~nt (Cjht + C2e~hl) + sin (р/-фб — в) (17.58)
ёки
x = ae"nt sh (ht + a) + A sin (pt + б — в); (17.58a)
3) n =k цолида
x = e~nt (CJ + C2) + A sin (pt + 8— e) (17.59)
куринишда ёзиш мумкин.
Бу тенгламаларда Ct, С2 ва а, а лар интеграллаш доимийлари
булиб, царакатнинг бошлангич шартларидан аницланади. Масалан,
(17.57) Даги Сх ва С2 ларни аницлаш учун ундан вацт буйича цо-
сила оламиз цамда олинган тенгламага ва (17.57) га t ~ 0 да х = х0,
х = х0 бошлангич шартларни цуямиз:
С = —
2
[х0 + пх0 — nA sin (б — в) — Ар cos (б — в)],
Ci = х0 = A sin (б — в).
304
Ct ва
тан»1,г ''
х == e~nt
— е
-3 С нинг бу цийматларини (17.57) га цуйиб, моддий нуц-
п<2^ ^олдаги даракат цонунини оламиз:
х° + я*о_ sjn . cos . —
fei 1'0 j
__e~~nt[-^— [nsin (6 — е) 4- р cos (б — 8)] sin krt-\-
_}- A sin (6 — e) coskjt} 4-/sin (р/4-б— e). (17.60)
C17 60) дан курамизки, n<Ji булганда моддий нуцтанинг царакати-
биринчи цушилувчи билан ифодаланадиган ва бошлангич шартларга
Ноглик булган сунувчи тебранма царакат, иккинчи цушилувчи билан
фодаланадиган ва уйготувчи куч таъсирида kr частота билан содир бу-
ладигаи сунувчи тебранма царакат цамда учинчи цушилувчи билан
ифодаланадиган соф мажбурий тебранма царакатлардан ташкил
топган деб цараш мумкин.
(17.57—17.59) формулаларда цатнашувчи е ni купайтувчи вацт-
нинг утиши билан нолга интилади, яъни бу купайтувчи цатнашган
цадлар сунувчи тебранма ёки апериодик царакатни ифодалайди. Шу
сабабли маълум вацт утгандан кейин нуцтанинг царакати фацат
х = A sin (pt 4- 6 — 8)
цонун билан ифодаланадиган мажбурий тебранишдан иборат булиб
цолади цамда мажбурий тебранма царакат царшилик кучи таъсирида
сунмайди.
Мажбурий тебранишдан с]>арцли улароц эркин тебранма царакат-
да жуда кичик царшилик мавжуд булганда цам царакат сунувчи бу-
лади.
Царшилик мавжуд булганда мажбурий тебранма царакат часто-
, 2 л
таси р ва тебраниш даври т =----- уиготувчи куч частотаси ва дав-
Р
рига тенг булади цамда муцитнинг царшилиги мажбурий тебранма
царакат частотаси ва даврига таъсир этмайди.
Царшилик кучи мавжуд булганда мажбурий тебранма царакат
фазаси (pt 4- б — в) уйготувчи куч фазаси (pt 4- б) дан фаза силжи-
ти деб аталадиган ва (17.55) формула ёрдамида аницланадиган в
катталикка орцада цолади.
(17.53) дан курамизки, sin е = - - 2> 0 булгани учун 8 катта-
лик 0 < е л сегментда узгаради. Шу сабабли 8 ни (18.55) фор-
мула воситасида бир цийматли аницлаш мумкин:
п р
2-----—
. 2пр , k k 2 Р г
tgE—-------- еки tg 8 = -------- = —-—,
s ё /_р_\* i—z»
\ k /
Бу формулалардан курамизки, 8 нинг циймати уйготувчи куч
частотаси билан эркин тебраниш чаототасининг нисбатига тенг бул,
20-2282
ган — = z катталикка дамда Сд.
ниш коэффициента деб аталадига^
у- = р нинг миддорига боглид бу,
лади. Бинобарин, р га маълум дим
матларни бериб, е билан z ораси-
даги муносабатни 17.16-расмдаги-
дек тасвирлаш мумкин,
Каршилик кучи таъсир этмагац
долда п ~ 0 ва tg в = 0 була-
ди. Бу долда кичик частота (—< I] билан содир буладиган маж-
\ k )
•бурий тебранма даракат учун в — 0 булиб, мажбурий тебранма да-
ракат фазаси билан уйготувчи куч фазаси устма-уст тушади.
р = k булса, яъни уйготувчи куч частотаси эркин тебранишлар
частотаси билан устма-уст тушса, суниш коэффициент!! р дандай
дийматни дабул дилишидан датъи назар,
tge
2pz
1 —га
= оо
ва в
л
2
булади. Бинобарин, мажбурий тебранма даракат фазаси уйготувчи
куч фазасидан — га ордада долади.
Катта частота (— > 1) билан содир буладиган мажбурий теб-
ранма даракат учун в = л булиб, мажбурий тебранма даракат фа-
заси уйготувчи куч фазасидан л га ордада долади, яъни унга да-
рама-дарши булади.
k, р ва п ларнинг дийматлари маълум булса, 17.16-раемда тас-
вирланган графикдан силжиш фазаси в ни бевосита анидлаш мум-
кин.
Мудитнинг даршилик кучи мавжуд булганда мажбурий тебран-
ма даракат амплитудаси (17.54) формуладан анидланади. Бу фор-
му ладаги каернинг сурат ва махражини /г2 га булиб, мажбурий теб-
раниш амплитудаси учун дуйидаги ифодани оламиз:
Л=—------Хст --
(1—z2)a + 4 0aza
(17.61)
ёки
бунда
306
2
наксимдмлар чизиги
/ 2
17.17- раем.
булиб, хст катталик уйготувчи куч Q
HjlH' максимал цийматига тенг булган
узгармас Н куч таъсирида нуцтанина
мувозанат -хрлатидан статик сил-
зкиишни ифодалайди.
(17.61) дан курамизки, суниш коэф-
фициента р берилганда А мажбурий
тебраниш амплитудаси г нинг функ-
цнясидан иборат булади.
17.17-раемда тасвирланган эгричи-
зицларнинг каР бири р нинг маълум |
кийматида А амплитуда билан г ора-
сидаги муносабатни ифодалайди.
(17.61) дан курамизки,
(Л)г=0 = хст; (А)г=1 = (17.62>
2р
хамда
lim А = О,
Z^CO
яъни г УК 17.17-раемда тасвирланган эгри чизицларнинг асимпто-
тасиш г лфодалайди.
z дандай цийматни цабул цилганда А амплитуда максимал дийматга
эга булишини аниклаймиз. Бунинг учун (17.61) да илдиз остидаги
ифодани /(г) билан белгилаймиз, яъни
Дг) = (1—z2)2 + 4p2z2.
Да) нинг минимал кийматига А нинг максимал киймати мос ке-
лади.
Да) экстремал кийматлаРини аницлаш учун унинг г буйича би-
ринчи ва иккинчи косилаларини кисоблаймиз
= — 4z (1 —г2) + 8 р2 г,
dz
= —4 + 12г2+ 8р2.
dz2
d/(z) , .
——— ни нолга тенглаб, г нинг А амплитуда экстремал ций-
dz
матларга эришадиган ва бизни цизицтираднган z > 0 кийматларини
анидлаймиз:
=0, г2 = у/ 1 — 2 р2 .
Агар р •< ~~~ булса, у колДа zi ~ 0 да —яъни
/(г) функция максимумга, А эса минимумга эришади.
1—2р2 илдиз учун d - — 8 (1 — 2р2)>0, яъни z=za
dz2
булганда Дг) минимумга, А эса максимал дийматга эришади.
307,
(17.61) формулага z~-yA\—2р2 ни цуйиб, мажбурий тебраниш
амплитудаси А нинг максимал цийматини аницлаймиз:
Л ____ 2хГт
птах ,---
2₽/1-₽»
(17.63)
(17.63) ни (17.62) билан солиштирнб,
д
^тах
>И)г=1
булишига ишонч цосил циламиз.
17.17-расмда пунктирли эгри чизиц амплитуданинг максимал нуц-
талари орцали утади.
Бу раемдан курамизки, г = 1 га нисбатан z етарлича катта ёки
кичик цийматларни цабул цилганда мажбурий тебранишлар ампли-
тудаси муцитнинг царшилигига деярли боглиц булмайди. Ammo z кат-
талик z — 1 га яцин цийматларни цабул цилганда муцит царшили-
гининг таъсири ницоятда катта булади.
1/" 2
Шундай цилиб, агар суниш коэффициенти р =—-— шартни ца-
ноатлантирса, у цолда z — z2 = 1 — 2 р2 цийматга эришганда ре-
зонанс цодисаси руй беради, яъни резонанс z = — частоталар нис-
k
бати бирдан_бирмунча кичик булганда содир булади. (17.63) га кура
/ 2
0<р<—-— га мос булган резонанс пайтида мажбурий тебранма
17.18- раем.
царакат амплитудаси чекли булади.
Агар суниш коэффициенти жуда кичик булса, у цолда z = 1 деб
олиш мумкин. Бу цолда рk булганда, яъни уйготувчи куч час-
тотаси эркин тебраниш частотаси билан устма-уст тушганда резо-
нанс содир булади.
17.17-расмда р = 0 га мос эгри чизиц царшилик мавжуд бул-
магандаги нуцтанинг мажбурий тебранма царакатига мос келади.
Агар р = 0, p~k булса, (17.61) формулага биноан мажбурий теб-
раниш амплитудаси чексиз катта цийматга эга булади. Бу цолда
тебранма царакат цонуни (17.48) формула
ёрдамида аницланади.
17.6- масала. Бикирлиги с = 19,6 Н/м булган
пружинага магнит стержени ва мис пластинка
осилган, уларнинг массаси 50 г дан. Магнит стер-
жень соленоиддан, мис пластинка магнит цутблари
орасидан утади (17.18-раем). Соленоиддан i =
=20 sin 8 л t цонун билан узгарувчи ток утади ва маг-
нит стержени билан 0,016 я i Н мицдорида узаро таъ-
сир кучи цосил цилади. Мис пластинканннг уюрма
токлар туфайли цосил буладиган тормозловчи кучи
Л*оФ3 га тенг, бу ерда fe* = 0,001; Ф=10ул5
Вб ва о — пластинка тезлиги. Бошлангич пайтда
магнит стерженини мне пластинка билан биргаликда
чузилмаган пружинага осилган ва унга вертикал
308
йуналган х0 — 5 см/с бошлангич тезлик берилган. Пластинканинг царакаг
яас1ламаси аницлансин.
тевг" Маг1ит стерженининг огирлиги m^g пластинканинг огирлиги m2g г&-
нг булгани учун цружинанинг статик чузилиши
(пт) + т2) g __
с
Пластинка ва магнит стерженидан
ей тугри чизицли илгарилама царакат
инерция марказининг статик мувозанат
йуналтирамиз цамда кучлар схемасини
даги проекнияси цуйидагича аницланади:
/> = — сх — — 19,6х Н, Rx = — k*vO2 = — 0,5х Н
Qx — 0,32 л sin 8л/ Н.
Пластинканинг стержень билан биргаликдаги царакат дифференциал
масини
(0,05 + 0,05)-9,8
—— „ ’ - = 0,05 м.
19,6
иборат система ва унинг инерция марка-
цилади. Координаталар бошини системам
цолатида олиб, х уцни вертикал пастга
тузамиз. Таъсир этувчи кучларнинг хуц-
тенгла-
тх — — 19,6 х —0,5х + 0.32 л sin 8 nt
ёки (т = 100 г =0,1 кг булгани учун)
х + 5х + 196 х = 3,2 л sin 8л/
куринишда ёзиш мумкин. Бу тенгламада
2п = 5, k2 = 196, Но = 3,2л ва р — 8л
белгилашларни киритиб, уни
х + 2п х + k‘x — Но sin pt (1>
шаклида ёзамиз.
(1) тенгламанинг умумий ечимини цуйидагича оламиз:
х = Х1 + х2. (2)
Бу ерда ху билан х2пхk2x = 0 бир жинсли тенгламанинг умумий ечими,
ха билан эса (1) тенгламанинг хусусий ечими белгиланган. xj ни аницлаш учун
ушбу цисоблашларни бажарамиз:
п = 2,5, п2 = 6,25, k = у/ 196 = 14,
= —л3 = -/ 196 — 6,25 = 13,77.
n<zk булгани учун бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини (17.15) ку-
ринишида оламиз:
Х1=е-г.5« (Ct cos 13,77/+ Са sin 13,77/) (3)
(1) тенгламанинг хусусий ечимини
х2 = А sin (pt — в) (4)
куринишда излаймиз. (4) дан биринчи ва иккинчи цосилаларни топам :з:
х2 — рА cos (р/ — а),
ха = — ргА sin (pt — е).
(4) ва (5) ни (1) га цуйиб, ушбу тенгламани оламиз:
—р2А sin (pt — e)-j-2npA cos (pt — e)+fe2Asin (pt — e) = Ho sin pt.
Бунда
sin pt — Ho sin (pt —е + е)=7У0 sin (pt — e)-cose + H0cos (pt — e)-sine
(5У
309
тенглик уринли булишини назарда тутиб, тенгламанинг чап ва унг томонлари;
•ги sin {pt — е) ва cos {pt — е) лар олдидаги мос коэффициентларни тенглашт,
еак,
А (Ла — р2) = Нд cos е
2 прА = Нд sin е.
Бу тенгламалардан А ва елар аницланадиган
_________________________________________
д=
2пр
tge =---------
k3 — р»
муносабат ларни оламиз.
Курилаётган цолда
3,2 л
= 0,022 м,
(6)
•j/ (196 — 631,65)a+4-6,25-631,65
2-2,5-25,13
tg е = - - - - „ = — 0,2884.
е 196 — 631,65
Шундай цилиб, tge<0, лекин sine>0 булгани учун е бурчакни иккинчи
чоракда олиш керак. Бннобарин, tg (л —е) =0,2884, бундан л —8= 16с5' цам-
да
16°5'
——, е = 0,91л.
180°
(7)
4 =
8 = Л
Демак, пластинка
«2 = 0,22 sin (8 л 7 — 0,91л) м
цонун асосида мажбурий тебранма царакатда булади.
(3) ва (8) ни (2) га цуйиб, (1) тенгламанинг умумий ечимини цуйидагича
•ёза оламиз:
х= —[е-2.5* (Cj cos 13,777+ С2 sin 13,770 +
+ 0,022 sin (8 л/—0,91л)]м.
Ci ва С2 интеграллаш доимийларини аницлаш учун х ни цисоблагмиз:
х=—2,5 е~2.5< (Cjcos 13,77 7 + C2sin 13,770 +
+ e-2,s< (_ 13,77 Cj sin 13,77 7+ 13,77 С2 cos 13,770 +
+ 0,55 cos (8 л/ — 0,91 л).
(9) ва (10) тенгламаларга 7=0 да х = = =—0.05 м, х = 5 см/с =
= 0,05 м/с бошлангич шартларни цуйсак,
— 0,05 = Ci —0,022 sin 0.91л,
0,05 = — 2,5 Ci + 13,77 С2 + 0,55 cos (—0,91 л).
Бу тенгламалардан ва С2 ларни аницлаймиз:
Ci =—0,05 + 0,022 sin 0,91 л = —0,05 +0,022 sin 163°48' = — 0,0439;
0,05 — 2,5-0,0439 — 0,55 cos (— 163°48')
С2 = —-----------------7^г-------5-------— = 0,0342.
(8)
(9)
(Ю)
13,77
Cj ва С2 ларнинг цийматларини (9) га цуйиб, пластинканинг даракат цону-
«ини цуйидагича ифодалаймиз:
х = [е-2,б< (—0,0439 cos 13,77Г+ 0,0342 sin 13,777 +
+ 0,022 sin (8 л 7 —0,91 л)] м.
310
нканинг царакат тенгламасини (17.57а) куринишда хам ёзиш мумкин,
Плас™н Ci ва С2 узгармаслар урнига а ва а янги узгармасларни
Е>УвИНГ ' Ci = a sin а, С2 = a cos а
формулалар ёрдамнда киритамиз. Бундан
а
= 0,0556 м,
Сг — 0,0439
1еа = —— =------------= — 1,2836.
s С2 0,0342
Шундай цилиб, tg а < 0 булади, лекин sin а < 0 булгани учун а бурчакн»
„лптинчи чоракда олиш керак:
т>£52°5' ёки а = 307 55' = 1,71 Л = 5,372 рад.
а Натижада пластинканинг даракат тенгламасини яна цуйидагича ёзиш мумкин:
х= [0,0556 е-2.5/ sin (13,77/1,71 л)+
+ 0,022 sin (8 л/— 0,91 л) J м.
Бу тенгламада биринчи цушилувчи тебраниш даври
2 л 2 л 6,28
Т =------= —-------------= —-----= 0,456 с
ki V & - n2 13,77
булган эркин тебранишни, иккинчи цушилувчи эса, частотаси уйготувчи кучнинг
частотаспга тенг булган мажбурий тебранишни ифодалайди.
18-боб. БОБЛАНИШДАГИ МОДДИЙ НУКТАНИНГ
ХАРАКАТИ
18.1-§. Богланишдаги нуцта динамикасининг
асосий тенгламаси
Агар нуцтанинг царакати богланишлар билан чекланган булса,
бундай нуцта богланишдаги нуцта дейилади.
Статика булимида курганимиздек, жисмлар сирт, ип, занжир, стер-
жень ёки шарнирлар воситасида узаро богланган булиши мумкин.
Аммо богланншлар цандай предметлар воситасида амалга оширили-
шидан цатъи назар богланишларни аналитик усулда ифодалаш мум-
кин.
Бу бобда актив кучлар таъсиридаги нуцтанинг цузгалмас сирт
устидаги ёки берилган эгри чизиц буйлаб царакати урганилади.
Мазкур сирт ёки эгри чизицнинг тенгламаси богланиш тенгламаси
дейилади.
Богланишдаги нуцтанинг царакатини урганишда статика булими-
да курилган богланишдан бушатиш принципидан фойдаланилади.
Бунинг учун богланишнинг М нуцтага таъсирини богланиш реакция
кучи R билан алмаштириб, мазкур нуцтани актив кучларнинг тенг
—> —>-
таъсир этувчиси F ва богланиш реакция кучи R таъсиридаги «эр-
кин нуцта» деб цараймиз. У цолда Ньютоннинг иккинчи цонунига
кура богланишдаги нуцта динамикасининг асосий цонуни
= « (18.1)
куринищда ёзилади.
Агар моддий нуцта царакатланадиган сирт ёки эгри чизиц идеал
311
силли^ булмаса, у хрлда богланиш реакция кучи R ни нормад
реакция кучи N ва динамик и цаланиш кучи f шк дан ташкил тоц.
ган деб цараш мумкин. Шу сабабли идеал силлиц булмаган сирт
ёки чизиц буйлаб ^аракатланаётган нуцта учун (18.1) ни 1;уйидагц.
ча ёзамиз:
mw=F + N+ Гишк. (18.2)
Динамик ишцаланиш кучи г шк нудтанинг тезлик вектори v га
з^арама-царши йуналади ва Кулон цонунига асосан
рИШК _ __ ^ишц N
муносабат уринли булади. Бунда /ишк — нуцта ^аракатлангандаги
ишцаланиш коэффициента: W — нормал реакция кучининг модули;
т° нуцта траекториясига >;аракатнинг мусбат йуналиши буйича ут-
зсазилган уринманинг бирлик вектори.
Агар моддий нуцта идеал силлш; сирт ёки эгри чизиц буйича
^аракатланса, динамик ишцаланиш кучи г 15 мавжуд булмайди
ва бундай нуцта учун
mw = F + N (18.3)
тенглама уринли булади.
(18.2) ёки (18.3) тенгламалар воситасида нуцтанинг массаси,
унга таъсир этувчи актив куч ва иу^та ^аракатланадиган сирт ёки
эгри чизицнинг тенгламаси берилганда: а) нуцтанинг мазкур сирт
ёки эгри чизи^ буйича даракат цонунини аницлаш, шунингдек, б) нуц-
та харакатланганда ^осил буладиган реакция кучи, яъни богланиш-
нинг динамик реакция кучини аницлаш каби богланишдаги нуцта
динамикасининг асосий масалаларнни ечиш мумкин.
18.2*-Дузгалмас силлиц сирт устидаги нудтанинг
харакат. Лагранжнинг биринчи хил тенгламалари
Агар М нуцта бирор цузгалмас силли^ сирт устида ^аракатлан-
са, у ^олда М нудтанинг координаталари
Цх, у, z) = 0 (18.4)
сиртнинг тенгламасини цаноатлантириши керак.
(18.3) ни Декарт координата уцларига проекциялаб, дузгалмас
сирт устида ^аракатланувчи нудтанинг мазкур уцларга нисбатан
даракат дифференциал тенгламаларини оламиз:
т х — X + Nx,
my — Y + N у,
tn z = Z + Ng.
(18.5)
Бу ерда X, Y, Z билан F кучнинг, Nx, Ny, Ng билан нормал
реакция кучи N нинг х, у, г у^лардаги проекциялари белгиланган.
312
f фунКЦИЯНИНГ
йуналгани учун
булади. Бунда
градиента сиртга утгазилган нормаль буйича
А || grad f
, £ df~t df ~t , df ~p
grad/=~-i + —- 1 +— k
dx dy dz
хусусий ^осилалар grad f нинг координата
dz
Л . df
<5Улиб- 17’ dy'
Укларидаги проекцияларини ифодалайди. Шу сабабли N ва grad f
нинг коллинеарлик шартини
N = X grad f
ёки
NJ + NJ + NJ = XЮ+ ^J + ^-~k}
y \ dx dy dz J
(18.6)
куринишда ёзиш мумкин. Бу ерда X— пропорционаллик коэффи-
циента булиб, богланиш купайтувчиси дейилади.
(18.6) дан Nx, Ny, Nz ларни аницлаб, (18.5) га цуйсак,
тх = ХфХ
dx
my = Y + 'K^,
dy
mz=--Z + 'K —
dz
(18.7)
тенгламаларни оламиз. Бу тенгламалар дузгалмас сирт устида
^аракатланувчи нуцта учун Лагранжнинг биринчи хил тенгла-
маларини ифодалайди.
(18.7) ва богланиш тенгламаси (18.4) дан ташкил топган турт-
та тенгламалар воситасида туртта х, у, z, X номаълумларни вацт-
нинг функцияси сифатида ифодалаш мумкин.
(18.6) га асосан богланиш реакция кучининг нормалдаги проек-
цияси
(.8,8)
формуладан аникланади.
Агар нормал реакция кучи N нинг йуналиши М нуктада сирт-
га утказилган ташци нормаль буйича йуналса, (18.6) форму лада
мусбат ишора; ташци нормалга царама-царши йуналса, манфий ишо-
ра олинади. Бунда ташци нормаль деганда f(x, у, г) = 0 сиртга
Утказилган ва f(x, у, г) > 0 со^ага йуналган нормаль тушунилади.
Ташци нормалнинг цандай танлаб олиниши сирт тенгламаси
цандай олинишига боглиц булади. Чунки (18.4) тенглама чап то-
313
монининг ишорасини узгартириш билан
ташци нормаль йуналишини царама-цар-
ши томонга узгартириш мумкин.
Шундай цилиб, богланишдаги нуцта-
нинг царакати фацат таъсир этувчи куц.
лар ва бошлангич шартларгагина эмас,
5алки мазкур нуцтага цуйилган богла-
нишларга цам боглиц булади. Шунингдек
бошлангич шартлар ихтиёрий булмай’
балки богланиш тенгламаларинн цаноат-
лантириши керак.
18.1-масала. Огирлиги P^=mg булган Л!
моддий нуцта узунлиги / га тенг, чузилмайдиган
ипга осилган булиб, узининг огирлик кучи таъ-
сирида сферик сирт ичида царакатланади (18.1-
р.тсм). Ипнинг огирлигини эътиборга олмай,
нуцтанинг царакат дифференциал тенгламаси ту-
зилсин цамда ипнинг таранглик кучи аницлан-
син. Цандай бошлангич тезликда М нуцта богланишни доимо цаноатлаширади?
Бу масала сферик тебрангичнинг царакати цацидаги масаладир.
Ечиш. Цузгалмас координата уцларини 18.1-расмдагидек танлаб олиб, огир-
лик кучи Р нинг бу уцлардаги проекцияларини аницлаймиз:
X = О, Y = О, Z = Р = mg.
М нуцта учун ОМ ип богланиш вазифаснии утайди. Ип чузилмагани туфай-
—>-
ли М нуцта мувозанат цолатидан огдирилиб, унга v0 бошлангич тезлик берил-
ганда мазкур нуцта радиуси I га тенг сферик сирт ичида царакатланади. Агар
нуцтанинг координаталарини х, у, г билан белгиласак, богланиш тенгламасини
/(х, у. z) = Р — № — g2 — г2 = О (1)
куринишда ёза оламиз. Бундан
18.1- раем.
df 9 V
дх ду
df
дг
= —2z
цосилаларни цисоблаб, Лагранжнинг биринчи хил тенгламалари (18.7) ни тузамиз*
т х — — 2Хх,
т у— — 2).у,
mz = — 2/.z ф- mg.
)
Бу тенгламалар нуцтанинг царакат дифференциал тенгламаларинн ифодалай-
ди. Нуцтанинг царакатини аницлаш учун (2) ва (1) тенгламаларни биргаликда
ечиш керак.
(2) дан X ни йуцотиш учун бу тенгламаларнинг биринчисини х га, иккин-
чисини у га ва учинчисини г га купайтириб цушамиз:
m _fL f х2+Уг +.z_2A = mgz — X— (№ + (^ + z2)
dt \ 2 / dt
ёки № + у2 -J- z2 = о2, z = — цамда (1) га кура хг ф- у2 ф- z2 = I2 = const
dt
эканлигини эътиборга олиб интегралласак,
314
_(2
mv1 'mo
-- — — = mgz — mgz0
(3)
яринли булади. Бунда t)0 билан нудтанинг бошлангич тезлиги, г0 билан
теИГЛИи11Г бошлангич пайтдаги аппликатаси белгиланган.
«У^рИЛаётган цолда богланиш реакция кучининг нормалдаги проекцияси
Nn = ‘kgradf = 'k
2
I = 211
(4)
Аопмуладан аницланади. Бу ерда сфера ичидаги соца учун f(x, у, г) > 0 бул-
мни учун п н0Рмаль 1 РалиУс буйлаб О нуцтага йуналади. Богланиш реак-
1ия кучи (ипнинг тарапглик кучи) N цам п нормаль буйлаб йуналгани
vh (4) да мусбат ишора олинади.
У Богланиш купайтувчиси X ни (2) дан цам аницлаш мумкин. Бунинг учун
(2) тенгламаларнинг биринчисини х га, иккинчисини у га, учинчисини z га ку-
пантириб цушамиз:
^/х2 + У2 + ^\ ' • „ , • „ , •„ х
-----2-----)~т (х + ^ + z )
ёки богланиш тенгламаси (1) ни эътиборга олсак,
2М = mgz + mv2. (5)
(5) ин назарда тутиб, (4) дан богланиш реакция кучининг нормалдаги проек-
циясиии аницлаймиз:
mgz — 2Цх2 + у2 + z!)
mgz mv2
Nn= ~Т+~Г
ёки (3) га кура
N,
3 mgz та?п z0
'n=i+-r~2me-r
(6)
(6) тенгликдан фойдаланиб, нуцта цамиша богланишни цаноатлантириши учун
бошлангич ь0 тезлик цандай шартни цаноатлантиришини топиш мумкин. Бунинг
учун z = — / булганда Nn минимум цийматга эга булишини ва 20 нинг цар
цандай цийматида (Nn )min > 0 булиши учун
mv\ f 2zn \
шарт бажарилишини назарда тутамиз. z0 нинг энг катта циймати I га тенг бул-
гани учун нуцта богланиш тенгламасини
о0 > V 5g/
шарт бажарилгавдагина цаноатлантиради.
18.3-§. Силлиц эгри чизиц буйлаб царакатланувчи нуц-
танинг харакат дифференциал тенгламалари
Айтайлик, М нуцта Охуг координаталар системасига нисбатан
цузгалмас булган силлиц эгри чизиц буйлаб царакатлансин. Бу чи-
зицни иккита
Д(х, у, 2-) = 0,1
fztx, у, г) == О f
(18.9)
315
18.2- раем.
сиртларнинг кесишган чизиги де«
цараш мумкин. Бу сиртларни идеа„
силлиц деб царасак, у цолда улар,
нинг цар бирини моддий нуцтага
••аъсирини мос равишда N1 ва
ормал реакция кучлари билан ал-
маштириш мумкин (18.2-раем). Би.
нобарин, силлиц эгри чизицнинг нор.
мал реакция кучи 2V, ва N2 ларнинр
геометрик йириндисига тенг булади»
7V = Д\ + 2Va.
Шу сабабли эгри чизиц буйлаб царакатланувчи нуцта учун
(18.3) тенгламани цуйидагича ёзиш мумкин:
mw = F-\-N1 + М>. (18.10)
(18.10) ни Декарт координата уцларига проекциялаб, цузгалмас
эгри чизиц буйича царакатланувчи нуцтанинг мазкур уцларга нисба-
тан царакат дифференциал тенгламаларини оламиз:
т х = X 4- 4- N2jc,
ту = Y + Nly-\- Niy,
mz =Z N2z.
(18.11)
Nx ва N2 нормал реакция кучлари мос равишда grad Д ва grad /,
га коллинеар булгани туфайли
= Mrad Л = К № 7+ JA k \
N2 = A,grad/a = К /^7+^ Т+ ф- 4
\ дх ду дг )
(18.12)
Бунда ва 12 лар богланиш купайтувчиларини ифодалайди.
(18.12) ни назарда тутиб, (18.11) ни
тх = Х+К — + К
1 дх 2 дх
т"у = У + К — +
ду ду
дг дг
(18.13)
куринишда ёзиш мумкин.
(18.13) тенгламалар цузгалмас силлиц эгри чизиц буйича цара-
катланувчи нуцта учун Лагранжнинг биринчи хил тенгламала-
рини ифодалайди.
316
/is 13) ва богланиш тенгламалари (18.9) дан ташкил топган 5
тенгламалар системаси воситасида номаълум х, у, г, ва X,
Та и вацтнинг функцияси сифатида ифодалаш мумкин.
19 12) га асосан богланиш реакция кучларининг ггх ва п2 нор-
маллардаги проекциялари
Nin = ±X1|gradf1] =±А,
N2n = ± M ~ ± ^2
(18.14)
формулалар ёрдамнда аницланади.
Arap Ai ва N2 мос равишда f^x, у, z) = О ва f2(x, у, г) = О
сиртларга утказилган ташци нормаль буйича йуналса, (18.14) да
мусбат ишора олинади.
18.4-§. Берилган эгри чизиц буйлаб царакатланувчи
нуцта царакат дифференциал теигламасининг табиий коор-
дината уцларидаги ифодаси
Нуцта цузгалмас эгри чизиц буйлаб царакатланганда унинг ца-
ракатини табиий координата уцларига нисбатан урганиш цулай бу-
—
лади. М нуцта актив куч F таъсирида цузгалмас силлиц эгри чи-
зиц буйлаб царакатлансин. Бу эгри чизицда бирор О нуцтани саноц
боши сифатида оламиз ва ёй координатасининг мусбат ва манфий
йуналишини курсатамиз. М нуцтада уринма т, бош нормаль п ва
бинормаль b лардан ташкил топган табиий координата уцларини
(8.5-§) утказамиз (18.3-раем) ва М нуцтанинг эгри чизиц буйлаб
царакатини ифодалевчи (18.3) тенгламани табиий координата уцла-
рига проекциялаймиз:
= Fv
mWn = Fn + Nn'
mw^Fb + Nb
- dv-t " v2
еки тезланишнинг а>т = — = s, wn — ~, wb = v проекцияларини
эътиборга олсак,
ms =FV
ri2
° = ^ + ^6.
(18.15) тенгламалар цузгалмас сил-
ЛиЧ эгри чизиц буйича царакат-
(18.15)
317
ланувчи нудтанинг табиий координата укларидаги даракат ди&>
ференциал тенгламалари дейилади.
Бу тенгламаларнинг (18.11) тенгламаларга нисбатан афзаллищ
шундай иборатки, (18.15) тенгламалар воситасида нуцтанинг ^ара-
кат конунини ва богланиш реакция кучларини ало^ида- ало^идд
аницлаш мумкин. Ха^ицатан ^ам, (18.15) нинг биринчисида бор ла-
ниш реакция кучи цатнашмагани туфайли бу тенгламани интеграл-
лаб нуцтанинг тезлигини ва берилган эгри чизиц буйлаб даракат
цонунини аницлаш мумкин; цолган иккита тенгламалар воситасида
богланиш реакция кучининг Nn ва Nb ташкил этувчиларини, бино-
барин, богланиш реакция кучини аницлаш мумкин.
Айтайлик, моддий нуцта бир текисликда ётувчи силли^ цузгал-
мао эгри чизиц буйлаб ^аракатлансин. Агар нуцтага эгри чизиц те-
кислигида ётувчи F актив куч таъсир этса, у ^олда Nb = 0 бу-
либ, нуцтага бош нормаль буйича йуналган богланиш реакция кучи
N ^ам таъсир этади. Бинобарин, курилаётган ^олда (18.15) ни
ms =FX,
т— =
р п 1 п
куринишда ёзиш мумкин.
Агар нуцта силли^ булмаган эгри чизи^ буйлаб ^аракатланса,
(18.15) ва (18.16) тенгламаларнинг биринчисида динамик ишцаланиш
кучи (F*uli — — jtuu'i N) ^ам цатнашади.
(18.16)
18.5-§. Математик тебрангич
Вертикал текисликда жоилашган силлиц айлана буйлаб огирлик
кучи таъсирида ^аракатланувчи моддий нуцта математик тебран-
гич дейилади. Масалан, бир учи ма^камланган чузилмайдиган ва
13.4- раем.
огирлиги ^исобга олинмайдиган ип-
га осилган М моддий нуцтани
математик тебрангич деб цараш
мумкин. М нуцтанинг ^олатини ин-
нинг вертикал билан ташкил цил-
ган <р бурчаги билан аницлаймиз.
Айтайлик, нуцтанинг массаси т,
нпнинг узунлиги I га тенг булсин.
М нуцтага унинг огирлик кучи Р
—>-
ва иннинг реакцияси N таъсир этади
(18.4-раем).
М нуцтанинг даракат дифферен-
циал тенгламасини тузиш учун
= s = / ср, р == I,
818
Ft = = —mg sirup, Fn = Pn = mgcosrp
^ишнии эътиборга оламиз. У ^олда (18.10) ни
оламиз:
куйидагича ёза
ml <р ~ — mg sin ф,
ml tp2 = — mg cos q> + Nn.
Бу тенгламаларни
Ф-J-sin ф = 0, (18.17)
Nn = ml ф2 + mg cos ф (18.18)
куринишда ифодалаш мумкин. (18.17) тенглама воситасида матема-
тик тебрангичнинг даракат цонунини, (18.18) ёрдамида ипнинг реак-
ция кучини аницлаш мумкин.
(18.18) дан курамизки, ипнинг реакциясини ани^лаш учун фа
катталикни ф бурчакнинг функцияси сифатида ифодалаш керак. Бу-
нинг учун
" dtp. dtp ’dtp 1 dtp3
dtp dt dtp 2 dtp
муносабат уринли булишини назарда тутиб, (18.17) ни куйидагича
ёзамиз:
1 •
— I d ф2 = — g sin Ф d ф.
Бу тенгламани t = 0 да ф = ф0> ф = ф0 бошлангич шартларда
интегралла ймиз:
ёки
ф ф
-|-/J г/ф2 = — g J БШф dtp
Фе Фо
/ Ф2 = 2 g (cos ф — cos ф0) + /ф2, (18.19)
(18.19) ни (18.18) га цуйиб, Nn ни анидлаймиз:
Nn = т I ф>о -|- mg (3 cos ф — 2 cos ф0).
Агар нуцтанинг бошлангич тезлиги va = I фп булса, ипнинг реак-
циями
., т th .
Nn = —-------mg (Зсо5ф — 2 cos ф0) (18.20)
формуладан аницланади.
319
Шундай цилиб, ипнинг реакцияси тебрангичнинг бошлангич огип»
бурчаги ф0 ва бошлангич тезлиги ц0 га боглиц булади.
(18.20) дан фойдаланиб, нуцта доимо богланишни цаноатлантц.
риши учун (яъни ип эгилмаслиги учун) бошлангич тезлик цандай
цийматга эга булишини аницлаш мумкин. Бунинг учун <р = л бул-
ганда минимум цийматга эришишини ва ф0 нинг цар цандай ций-
матида (Мп)т1п > 0 булиши учун
(Nn)min = ----mg (3 + 2 cos ф0) > 0
ёки
> (3 + 2 cos Фо) gl
шарт бажарилишини назарда тутамиз.
Хусусан, Фо = 0 булса,
o0>W (18.21)
шарт бажарилганда ип доимо эгилмайди (таранг цолда булади).
Дастлаб тебрангичнинг sirup л; ф шартни цаноатлантирувчи кичик
тебранма царакатини текширамиз. Бу цолда тебрангичнинг царакат
дифференциал тенгламаси цуйидагича ёзилади:
ф + ^_ф = °. (18.22)
Бу эркин тебранма царакатдаги нуцтанинг царакат дифференциал
тенгламасига ухшашдир. (18.22) нинг умумий ечимини цуйидагича
ифодалаш мумкин:
Ф=а sin -у- f+ «У (18.23)
Бунда а бурчак амплитудасини, а бошлангич фазани ифодалайди
цамда царакатнинг бошлангич шартларидан аницланади.
Шундай цилиб, математик тебрангичнинг кичик тебраниш-
лари гармоник тебранма даракатдан иборат булади.
Тебрангичнинг кичик тебранишлар даври
Т = 2л|/у (18.24)
формуладан аницланади. (18.24) дан курамизки, тебрангичнинг ки-
чик тебранишлар даври бошлангич огиш бурчаги ф0 га боглиц бул-
майди.
Ф бурчак ихтиёрий цийматни цабул цилиши мумкин булган цолда
тебрангичнинг царакатини текшириш учун (18.19) ни t = 0 да ф =»
= Фо, ф = Фо = 0 бошлангич шартларда интеграллаймиз. У цолда
(18.19) ни
ф2 кс 2 ~ (cos Ф — COS Фо)
320
куринишда ёзиш мумкин. Шу сабабли
Лр .. f%g лг~
-+- —— = Л ~г у с,
а у 1
cos<p0 (18.25)
муносабат уринли булади. Агар тебрангич ф бурчак ортадиган йу-
налишда ^аракатланса, (18.25) да мусбат ишора, акс ^ачда манфий
ишора олинади.
(18.25) да узгарувчиларни ажратиб, цуйидагини ^осил ^иламиз:
±rf(P /ST ,,
------------ — I . dt.
|/ cos <p — cos <p0 I ‘
Бу тенгламада косинусларни ярим бурчак синуслари
cos q> = 1 — 2 sin2 cos ф0 = 1 — 2 sin2
орцали алмаштирсак, ушбу тенглама уринли булади:
(18.26)
(18.26) ни интеграллаш учун sin ни k билан белгилаб, ф
урнига
sin -|- = £ since (18.27)
тенглик ёрдамида ани^ланадиган а бурчакни киритамиз. У ^олда
—— cos — == k cos се d а,
2 2
бундан
, 2 k cos a da 2 й cos сс d а
а ф =-------------— •— — —
cos— 1/1—/г2 sin2 а'
2
Натижада (18.26) ни
_ ±da.. .= l/"7~dt (18.28)
"|/1 — й2 sin2 а I /
куринишда ёзиш мумкин. t = 0 да Ф = Фо бошлангич шартларни хи-
собга олиб, (18.27) дан а = а0 бошлангич циймат учун
sin = &sinan
2 °
ёки
, я
sma0= 1, се0 = —
ифодани оламиз.
21—2282 82|
нишда ёзиш мумкин. Юк ихтиёрий цолатни эгаллаган пайтда унга та-ьси
этувчи кучларни курсатамиз. Ция текислик буйлаб царакатланувчи юкка унинг
сгирлик кучи Р = mg трос буйлаб йуналган троснинг таранглик кучи Т
текисликнинг нормал рсак ия кучи N ва ция текислик буйлаб пастга йуналган
пшцаланиш кучи таъсир этади.
(18.2) га асосан
mw = ~Р4- Т+ Д' 4-Тг,,Ш11
ёки
mw=T+'T + ~N+ (—/ишк . N (1)
—>
тенглама уринли булади. Бунда I билан х уцнинг бирлик вект ри белгиланган.
(1) ни х ва у уцларга проекциялаб, юкнинг ция текислик буйлаб царакат
дифференциал тенгламаларини оламиз:
m х — — mg cos 30° 4-7" — /ишк N, (2)
m у = — mg cos 60° 4- N. (3)
у = const булгани учун t/ = 0. Буни эътиборга олиб, (3) дан N ни аннцлай-
миз;
N = mg cos 60°.
Юкнинг х Уц буйлаб тезланиши х чигириц тугинидаги нуцтанинг ур.чша
тезланишига тенг булгаии учун
х— г ф = 0,2-2,4 t = 0,481 м.
Натижада (2) дан троснинг таранглик кучи Т ни аницлаш мумкин:
Т = mg cos 30° 4- /ишк mg cos 60° 4- m x = 600-9,8 УА
4- 0,2-600-9,8--^- 4- 600-0,48 t = (5680 4- 2881) H = (5,68 |- 0,288 /) кН.
t = 2 с да T = 6,256 кН.
19-боб. МОДДИЙ НУКТАНИНГ НИСБИЙ ДАРАКАТ
ДИНАМИКАСИ
19.1-§. Моддий нуцтанинг иисбий царакат дифферен-
циал тенгламалари. Ку ирма ва Кориолис инерция
кучлари
Юцоридаги бобларда моддий нуцтанинг царакати инерциал сис-
темага нисбатан урганилди. Лекин купинча нуцтанинг царакатини
ихтиёрий равишда царакатланувчи объект билан богланган коорди-
наталар системасига нисбатан текширишга тугри келади. Масалан,
нуцтанинг царакатини тезланувчан царакатдаги ракета, самолёт ёки
космик кема билан богланган координаталар системасига нисбатан
урганишга эцтиёж тугилади. Нуцтанинг инерциал булмаган бундай
системага нисбатан царакати унинг нисбий царакатини ифодалайди.
324
Бу бобда массаси т булган ва бе-
оипган кучлар таъсиридаги М нуцта-
нинг цузгалмас ОЛпС инерциал сис-
темага нисбатан маълум цонун асоси-
да царакатланувчи цузгалувчи О xyz
координаталар системасига нисбатан
царакатини текширамнз (19.1- раем).
Келгусида инерциал системани
цузгалмас деб цараймиз.
Богланишдаги нуцта динамикаси-
нинг цузгалмас координаталар систе-
масига нисбатан асосий тенгламасини
(19.1;
mw = F 4- R
куринишда ёзамиз. Бунда К —актив кучларнинг тенг таъсир этув-
чиси; R — богланиш реакция кучи.
Кориолис теоремасидан (13.3-§) фойдаланиб, нуцтанинг абсолют
тезланишини унинг нисбий, кучирма ва Кориолис тезланишлари ор-
цалп ифодалаймиз:
wa = wr 4- we + wft. (19 2)
(19.2) ни (19.1) га цуйсак,
—> —> —> —> —>
mwr + mwe-\-mwk = F+R
ёки we ва wk цатнашган цадларни унг томонга утказсак,
mwr = F + R + (—mwe)-F(—(19.3)
тенглама уринли булади.
(19.3) дан курамизки, нуцтанинг массасини унинг нисбий тезла-
нишига купайтмаси актив кучларнинг тенг таъсир этувчиси билан
богланиш реакция кучларннинг йириндисига тенг булмайди. (19.3)
да цуйидаги белгилашларии киритамиз:
Фе = — mwe, (19.4)
Фй = — mwk. (19.5)
Мицдор жицатдан нуцтанинг массаси билан унинг кучирма тез-
ланпши купайтмасига тенг ва кучирма тезланишга царама-царши
йуналган Фе вектори кучирма инерция кучи дейилади.
Мицдор жицатдан нуцтанинг массаси билан унинг Кориолис тез-
ланиши купайтмасига тенг, йуналиши Кориолис тезланншига царама-
царши булган ФА вектори Кориолис инерция кучи дейилади.
Натижада (19.3) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
т wr = F + R + Фе +ФА. (19.6)
325
(19.6) тенглама нудтанинг инерциал булмаган системага нис-
батан даракат дифференциал тенгламасини ёки нисбий харакат
дифференциал тенгламасини ифодалайди.
Демак, нисбий даракат дифференциал тенгламаси (19.6) ни ту-
зиш учун нуцтага цуйилган актив кучларнинг тенг таъсир этувчиси
——>-
Рва богланиш реакция кучлари /?цаторига кучирма инерция кучи
Фе ва Кориолис инерция кучи Фй ларни цушиш керак.
Кучирма ва Кориолис инерция кучларини ^исоблашда кинемати-
ка булимида чицарилган кучирма тезланишнн ифодаловчи (13.22)
we = u)0 + efi х p + we X (®е X Р) (19.7)
з^амда Кориолис тезланиши аницланадиган (13.24)
шй = 2соеХиг (19.8)
формулалардан фойдаланамнз.
(19.4), (19.5), (19.7) ва (19.8) формулалардан курамизки, кучир-
ма ва Кориолис инерция кучлари нудтанинг бошца объектлар билан
узаро таъсирига эмас, балки нуцтанинг массаси ^амда нисбий ва
кучирма ^аракатигагина боглиц булади. (19.6) ни кузгалувчи коор-
дината уцларига проекциялаб, нисбий харакат дифференциал тенг-
ламасини Декарт координата укларидаги ифодасини оламиз:
mx = Fx + Rx + Фех + ФАл,
тУ = Fу + Ry + Фву + Ф/гу ,
тг = Кг + /?г + Фег + Фйг.
(19.9)
19.2- §. Классик механнканинг нисбийлик
нринципи
Айтайлик, кучирма даракат v0—const узгармас тезлик билан содир
буладиган тугри чизицли илгарилама ^аракатдан иборат булсин,
яъни Oxyz цузгалувчи координаталар системаси ^ам инерциал сис-
- >
темадан иборат булсин. У ^олда кучирма даракат тезланиши we = О
булади, шунингдек, кучирма даракат тугри чнзицли илгарилама ^а-
ракатдан иборат булгани учун сое=О ва Кориолис тезланиш wk = О
булади. Бинобарин,
Фг=Фй=0
булиб, нисбий даракат дифференциал тенгламаси (19.6) ни
mwr = F-\-R (19.10)
куринишда ёзиш мумкин. Бунда нисбий даракат дифференциал тенг-
ламаси билан абсолют даракат дифференциал тенгламаси (19.1) бир
хил куринишга эга булади.
326
Агар М нуцта Or Е т] £ ва Oxyz инерциал системаларга нисбатан
аракатланса ^амда уларнинг иккинчиси биринчисига нисбатан v0 тез-
к билан турри чизицли илгарилама ^аракатда булса, у ^олда нуц-
тапинг мазкур системаларга нисбатан радиус-векторлари цуйидаги
ыуносабат билан богланади:
r = p^+V(Jt. (19.И)
Бунда иккала система учун вацт бир хилда утади, яъни
tr=t (19.12)
деб цараймиз. (19.11) ва (19.12) формулалар Галилей алмаштири-
иш дейилади. Бирор инерциал системадан бошца инерциал система-
га утищда динамика цонунлари бу алмаштиришга нисбатан инвариант
булади. Бу натижа классик механиканинг нисбийлик принципи деб
аталади. Бу принципга кура, барча инерциал системаларга нисбатан
моддий нуцта бир хил цонуп асосида ^аракатланади.
19.3- §. Нуцтанинг нисбий мувозанати.
Вазнсизлик
Агар моддий нуцта кузгалувчи Oxyz координаталар системасига
нисбатан тинч ^олатда булса, у ^олда унинг нисбий тезлиги ог,нис-
бий тезланиши wr ^амда Кориолис тезланиши wk нолга тенг була-
ди. Шу сабабли (19.6) дан цуйидаги куринишдаги нисбий мувозанат
тенгламасини оламиз:
А+гД4-Фе = 0. (19.13)
Бу тенгламадан курамизки, нуцта нисбий мувозанатда булса,
нуцтага ууйилган актив ва реакция кучлари кучирма инерция ку-
чи билан мувозанатлашади.
Олинган натижадан фойдаланиб, орирлик кучи майдонида верти-
кал буйлаб тезланувчан (ёки секинланувчан) ^аракатланувчи жисм
вазнининг ортиши ёки камайишини тушунтириш мумкин.
Жисмнинг уни тутиб турувчи горизонтал таянч текислигига
курсатадиган босим кучига унинг вазни дейилади.
Масалан, юкнинг тарози палласига курсатадиган босими юкнинг
вазнини ифодалайди.
Агар жисм цуйилган таглик вертикал буйича тезланувчан ^ара-
катда булса, у ^олда мазкур жисмга таъсир этувчи Ернинг тортиш
—>- —>
кучи (огирлик кучи) Р = mg ва жисмнинг вазни бир-биридан фарц
цилишини ^уйидаги мисол ёрдамида изо^лаш мумкин.
Агар лифт кабинаси вертикал буйича а тезланиш билан юцори-
га цараб ^аракатланса, бу тезланиш кучирма тезланишдан иборат
булиб, кучирма инерция кучи Фе = — та мавжуд булади. Лифт
кабинаси полидаги жисмга вертикал пастга йуналган унинг огирлик
327
кучи цамда кабина полининг реакция кучи
W таъсир этади (19.2-расм). (19.13) га асосан
бундай жисмнинг мувозанат тенгламаси
mg-J-7V + Фе = О (19.14)
куринишда ёзилади. (19.14) ни лифт цара.
катланаётган йуналишга проекцияласак,
—mg + N — та —О
муносабат уринли булади. Бундан
W =m (g + а)
ифодани оламиз. Бинобарин, курилаётган цол-
да кжнинг вазни ортади. Бу цодиса ортиуча
юкланиш деб аталади.
Старт цолатидан вертикал юцорига тезланувчан царакатланаётган
космик кема ичидаги пассажирлар ортицча кжланишга дучор булади.
Агар а тезланиш вертикал пастга йуналса, у цолда кучирма
инерция кучи Фе уз йуналишини узгартиради цамда
N —.m(g — а)
булиб, кжнинг вазни камаяди. Хусусан, a = g булса, вазнсизлик
долатига дуч келамиз.
Космик кемаларни учнришда ортицча юкланиш ва вазнсизликни
цисоблаш алоцида ацамиятга эга.
19.4- §. Жисмларнинг мувозанати ва царакатига
Ер айланишмнинг таъсири
Ернинг уз уци атрофида
со = -2 л-- 0,0000729 с-i
е 24-3600
бурчак тезлик билан айланиши, Ер сиртига яцин жисмнинг мувоза-
нати ва царакатига цандай таъсир этишини цуйидаги икки цолда
куриб чицамиз.
1. Ер сиртига яцин нуцтанинг нисбий мувозанати. Инга осилган
ва массаси т га тенг М нуцтанинг Ер сиртига яцин тинч цолатини
текширамиз (19.3-раем).
Кузгалувчи координаталар системаси бошини Ернинг марказида-
ги О нуцтада олиб, Ог уцни шимолий цутбга. Оу уцни М нуцтага
тааллуцли меридианнинг экватор билан кесишган нуцта сига, Ох
уцни эса мазкур меридиан текислигига перпендикуляр йуналтирамиз.
—>-—> —>- —>
М нуцтага Ернинг марказига йуналган F(F = mg0,g0—гравита-
цион тезланиш) тортиш кучи ва ипнинг таранглик кучи Т таъсир
этади.
328
(19.14) формулага асосан, М
Ну^та нисбий мувозанатда булиши
учун F ва Т кучлар_цаторига ку-
чирма инерция кучи Фе ни цушиш
керак, яъни:
f+ Т + Фе = 0.
(19.15)
Ернинг суткалик айланиш бурчак
тезлиги узгармас булгани туфай-
ли Фе куч ФаЦат айланиш уцига
перпендикуляр йуналган Ф" нор-
мал ташкил этувчидан (марказдан
кочирма инерция кучидан) иборат
булади цамда бу кучнинг модули
цуйидагича аницланади:
19.3- раем:
Ф" = m (и2е Rj = tn ci^ R cos 0,
бунда Ri билан M нуцтага мос географик параллелнинг радиуси
белгиланган. Натижада (19.15) ни
Г+Г4-Ф? = 0 (19.16)
куринишда ёзиш мумкин.
—->-
Т кучнинг мицдорини улчаш учун ипни динамометр билан ал-
маштириш мумкин. Динамометр ёрдамида
р = —Г (19.17)
нуцта огирлик кучининг мицдорини аницлаймиз. Буни назарда ту-
мб, (19.16) формуладан цуйидаги муносабатни оламиз:
P^mg^F + Ф^. (19.18)
Шундай цилиб, Ер сиртига яцин нуцтанинг огирлик кучи Ер-
нинг тортиш кучи билан марказдан цочирма инерция кучларининг
геометрик йигиндисига тенг булади.
19.3-раемда геоцентрик кенглик 0 билан белгиланган. М нуцта
Ерга нисбатан тинч цолатда булганда ипнинг таранглик кучи Т йу-
налган чизиц цациций вертикал деб аталадиган йуналишни ифода-
лайди. Бу йуналиш билан экватор текислиги орасидаги <р бурчак
географик кенглик дейилади.
19.3-расмда курамизки, цациций вертикал билан Ер радиуси ора-
сидаги бурчакни у билан белгиласак,
Ф=0фу
муносабат уринли булади.
329
(19.16) ни ипга перпендикуляр булган МК й^налишга проек-
циялаймиз:
— F sin у 4- Ф£ sin ф = 0.
Бунда F — mg0, = т w*R cos 6 булгани учун
со2/? .
sin у=------sintp-cosu
So
муносабат уринли булади.
Ернинг бурчак тезлиги сое = 0,0000729 с"*1, радиуси 7? =
«=6 350 000 м ва огирлик кучининг тезланиши g0 = 9,81 м/с2 були-
шини эътиборга олсак,
со?/?
0,0034,
So
бннобарин, у = ф — 0 бурчак жуда кичик булади цамда тацрибан
СО2/? .
sin у л; у «----sin 2 0
2g0
деб ёзиш мумкин. 0 = 45° булганда у максимал цийматга эришади.
(19.16) ни ипнинг йуналиши МВ га проекциялаймиз:
Т — F cos у + Ф” cos ф = 0,
бунда F — mg0, Фпе = т o?R • cos 0 ва у бурчак географик кенглик ф
га нисбатан жуда кичик булганда cos ф л: cos 6 эканлигини эътибор-
га олиб, ипнинг таранглик кучи Т ни аницлаймиз:
Т&mg0 — mrfR cos2 ф — m{g0—a?eR cos2 ф). (19.19)
(19.17) ни назарда тутиб, (19.19) дан Ер сиртидаги огирлик ку-
чининг тезланишини аницлаймиз
со2/?
g = go (1-------соэаф).
во
Бннобарин, g катталик нуцтанинг географик кенглиги ф га бог-
лиц равишда узгаради.
Куйидаги жадвалда турли географик кенгликларга моо булган
огирлик кучи тезланиши g нинг кийматлари келтирилган.
0“ 15» 30» 45» 60» 75» 90»
9,7803 9,7838 9,7932 9,8062 9,8191 9,8287 9,8322
2. Эркин тушаётган жисмнинг вертикалдан огиши. Хавонинг
царшилигини хисобга олмай, Ер сиртига яцин масофада эркин ту-
шаётган моддий нуцтанинг царакатига Ернинг уз уци атрофидаги
айланиши цандай таъсир этишини куриб чицамиз. Бунинг учун цуз-
галувчи Оххуг координаталар системаси бошини А1 нуцтанинг бош-
330
холати Мо ётган вертикалнинг Ер сирти билан кесишган
лаН/ИД ^оламиз (19.4-раем). Ovz уцни цациций вертикал буйича
Я<ОИ ига OiX уцни меридиан текислигида OjZ га перпендикуляр ра.
Е1ШДа жанубга *амда °1У ^НИ шаР'^ йуналтирамиз.
М нуцтага Ернинг тортиш кучи F = mg0 таъсир этади. Нуцта-
г нисбий царакат тенгламасини тузиш учун бу кучга кучирма
инерция кучи Фй = Фё ва Кориолис инерция кучи Фй = — mwk =
= — 2гп(~ае X W) ларни цушамиз:
mwr — F-f- Фё— 2/и(сое X иг). (19.20)
- У
Юцорида курганимиздек, Ернинг тортиш кучи F билан кучир-
ма инерция кучи Фё ни огирлик кучи P = mg билан алмаштириб,
нуцтанинг нисбий царакат тенгламасини цуйидагича ёзиш мумкин:
—У- —У- —у —У
mwr = mg — 2т (сое X vr)
ёки
wr ~ g — 2 (ше х vr). (19.21)
Биринчи яцинлашишда Ернинг айланишиии эътиборга олмасак,
нуцта вертикал буйлаб g тезланиш билан царакатланади.
Кориолис инерция кучи Фй нуцтанинг огирлик кучи Р га нис-
батан анча кичик булгани учун иккинчи яцинлашишда нуцтанинг
—у
нисбий тезлиги vr ни вертикал буйича пастга йуналган деб цараш
мумкин. Ернинг уз уци атрофидаги айланиш бурчак тезлик вектори
—У
<ое Ернинг айланиш уци буйлаб жанубдан шимолга йуналади. У
—У —у "-У
цолда Кориолис тезланиши wk = 2(со<? х гц) NOS меридиан текис-
—У
лигига перпендикуляр равишда гарбга, Кориолис инерция кучи Фй=а
=— mwk эса шарцца йуналади.
Шундай цилиб, иккинчи яцинла-
шищца нуцта вертикалдан шарк-
ца огади (19.5-раем). Бу огиш-
нинг мицдорини цисоблаймиз.
19.4- раем.
331
а>е нинг координата уцларидаги проекциялари
— ОЦ, COS ф, С1)ру=0, С0ег = С0е5Н1ф
тенгликлар воситасида аницлангани сабабли
-> -> —>
i / k
&eXVr- —(£)eCOS(p 0 СО^ЙШф
X У Z
муносабат уринли булади. Буни назарда тутиб, (19.21) ни х, yt г
цузгалувчи координата уцларига проекциялаймиз:
х = 2 у со, sin ф,
У = — 2( хрбц,5тф 4- zcoecos ф),
г —— g 4- 2 г/<врсо5ф.
Нуцта царакатини цуйидаги бошлангич шартларда текширамиз:
t = 0 да х = 0, у = 0, z — Н;
x — Q, у=0, z = 0.
(19.22>
(19.23>
<op ва ф узгармас булгани учун (19.22) ни (19.23) бошлангич
шартларда интеграллаймиз:
х — 2 у sin ф,
у = 2 сор (z со$ф 4- хsin ф),
г — — gt 4-2 cos ф.
Бунда интеграллаш доимийлари нолга тенг булишини осонгина
исботлаш мумкин.
Ернинг бурчак тезлиги ац = 0,0000729 с"1 мицдор жицатдан
кичик булгани учун биринчи яцинлашишда (19.24) да сор цатнашган
цадларни цисобга олмаймиз. У цолда
х — 0, у - = 0, z = — gt.
Бу тенгламаларни (19.23) бошлангич шартларни эътиборга олиб
интегралласак,
х = 0, у — 0, z = Н-----gt2.
Бу тенглама Ернинг уз уци атрофидаги суткалик айлаиишини
эътиборга олмаган цолдаги нуцтанинг эркин тушиш цонунини ифо-
далайди. х, у, z ларнинг (19.25) воситасида аницланадиган циймат-
ларини (19.22) га цуямиз
х = 0, у = 2 aegt cos ф, z = — g
ва цосил булган тенгламаларни (19.23) бошлангич шартларда ин-
теграллаб, иккинчи яцинлашишда эркин тушувчи нуцтанинг царакат
цонунини аницлаймиз:
(19.24>
(19.25)
332
х == 0, у = cos<Р* z = /7 —-^-g/2. (19.26)
о Д'
И 9 26) дан вацт ни йукотнб, нуцта траекториясининг тенгла-
маспни аницлаймиз
у2 = —-----— (И — z)3 cos2 <р,
9 g
и 9 26) дан курампзкп, Н баландликдан бошлангич тезликсиз
тушаётган М нуцта Ернинг уз уци атрофида айланиши натижасида
У = -'-coe^:!cos(p
О
(19.27)
конун асосида шарцца огади. Нуцта Ерга тушган пайтдаги унинг
вертикалдан огиши 0гМг ни ух билан белгиласак, шу пайтда z = О
булгани учун (19.27) дан фойдаланиб уг ни аницлаймиз:
1 / 2Н \з/2
й= —w^costp- -------- .
з \ g /
20-6 о б. МЕХАНИК СИСТЕМА ДИНАМИКАСИГА
КИРИШ
20.1-§. Механик система. Механик система нуцталарига
таъсир этувчи кучларни классификация цилиш
Механик система (ёки цисцача система) деб шундай моддий
нуцталар тупламига айтиладики, унинг цар бир нуцтасининг царака-
ти ва цолати система таркибига кирувчи бошца нуцталариинг цара-
кати ва цолатига боглиц булади.
Механик системанинг цандай танлаб олиниши бизнинг ихтиёри-
мизга боглиц; масалан, автомобилни механик система деб олиш
мумкин ёки унинг моторини, тормозлаш системасини (ёхуд улар-
нинг айрим звеноларини) алоцида-алоцида механик система деб ца-
раш мумкин. Шунингдек, исталган жиемни зарралар (нуцталар)
тупламидан иборат механик система деб тасаввур цилиш мумкин.
Агар жисмлар (нуцталар) бир-бирига узаро таъсир этмаса (маса-
-лан, сувдаги кема, учаётган самолёт ва царакатланаётган поездлар
бир-бирига узаро таъсир этмайди), бундай жисмлар туплами меха-
ник система булмайди.
Агар механик система нуцталари орасидаги масофалар узгармас-
дан цолса (масалан, абсолют цаттиц жисм), бундай система узгармас
механик система дейилади.
Механик система нуцталарига таъсир этувчи кучларни ички ва
ташци кучларга ажратилади. Механик системани ташкил этувчи
нуцталар (ёки жисмлар) нинг узаро таъсир кучлари ички кучлар
дейилади. Масалан, Т^уёш системасидаги планеталарнинг узаро таъ-
333
сир кучлари ички кучлардан иборат. Механик система таркибига
кирмайдиган нуцта ёки жисмларнинг берилган система ну^талариг»
таъсир кучлари ташци кучлар дейилади. Масалан, кемани механик
система деб царасак, кема цисмларининг огирлик кучи, сувнин?
царшилик кучи таш^и кучларни ифодалайди. Одатда, ташки кучлар
Fv, ички кучлар Flv билан белгиланади*.
Механик системанинг цандай танлаб олинишига ^араб битта
кучнинг узи ё ташци, ё ички кучдан иборат булиши мумкин. Ма-
салан, автомобиль моторида поршень, шатун ва тирсакли вални ме-
ханик система деб царасак, газларнинг поршенга таъсир кучи таш^и
кучлардан иборат булади, ва^оланки, моторни механик система деб
царасак, бу кучлар ички кучлардан иборат булади.
Механик система нуцталарининг ^аракати ички кучларга ^ам,
ташци кучларга ^ам боглиц булади.
Ньютоннинг учинчи цонунига кура механик система нуцталари-
га таъсир этувчи ички кучлар жуфт-жуфт равишда мицдор жи^ат-
дан тенг, йуналиши ^арама-^аршидир. Шундан келиб чшуиб, ички
кучларнинг цуйидаги иккита му^им хоссаларини оламиз.
1. Система барча ички кучларининг геометрик йш-индиси (ич-
ки кучларнинг бош вектори) нолга тенг;
N ,
2 Р1» =° (20.1)
Бунда Fv билан номери v га тенг нуцтага таъсир этувчи ички
кучларнинг тенг таъсир этувчиси белгиланган; N — механик система
таркибига кирувчи нуцталарнинг сони. Келгусида N та ну^та буйи-
ча йигинди олинганда йигинди чегараларини тушириб ёзамиз.
2. Система барча ички кучларининг ихтиёрий нуцтага нис-
батан моментларининг геометрик йининдиси (ички кучларнинг
бош моменти) нолга тенг:
(20.2)
ёки
MJ, = 2^-X = 0 (20.3)
Система иккита Мх ва М2 ну^талардан ташкил топса, бу хусу-
сиятларни осонликча исботлаш мумкин. ^аци^атан ^ам, ва М2
нуцталар Fj ва F% ички кучлар билан узаро таъсир этса, Нью-
тоннинг учинчи цонунига кура Рг = — Fl\ булгани учун F{ +
-|- £2 = 0 тенглик бажарилади; О нудтага нисбатан иккала кучнинг
елкаси h га тенг булгани учун бу кучларнинг О нудтага нисбатан
моментлари ^ам микдор жидатдан тенг, йуналиши царама-царши
булади (20.1-раем); натижада
* бунда е ва Ч индекслари французча exterieur — ташки ва Interieur — ички
еузларининг бош дарфларидан олинган.
334
Мо(Г{)'4-МоЙ) = 0
те11глик уринли булади.
Механик система N та нуцтадан ибо-
т булганда ички кучларнинг биринчи
" иккинчи хусусиятларини исботлаш
ички кучлар система таркибига
*куфт-жуфт булиб цатнашишини эъти-
борга олиш керак.
(20.1) ва (20.2) ни координата уцлари-
Га нроекциялаб цуйидаги тенгламаларни
20.1- раем.
оламиз:
£Х'=°. 2^ = о,
2мж(^)=о. 2My(?i)-o, 2mz(f') = o.
Бу тенгламалар фазодаги кучлар системасининг мувозанат тенг-
ламалари (6.46) га ухшаса-да, ички кучлар системаси мувозанат-
лашмайди, чунки ички кучлар системанинг турли нуцталарига i$y-
йилган ва бу кучлар таъсиридан системанинг нуцталарн бир-бирига
нисбатан кучиши мумкин.
20.2-§. Системанинг массалар маркази
Механик системанинг даракатини урганишда мазкур система
ну^талари массаларининг тацсимланишини характерловчи катталик-
ларни ани^лаш керак булади. Бу катталиклар массалар геомешрия-
сида урганилади.
Механик система N та нуцтадан ташкил топган булиб, улар-
нинг массалари mr m2, , mN га тенг булсин. Система нуцта-
лари Mv М2, .... MN нинг цузгалмас Oxyz координаталар сис-
темасига нисбатан радиус-векторларинп гр г2, . .. , rN\ координа-
таларини (хи уь Zj), (х2, у2, г2), .... (xN, yN, zN) билан белги-
лаймиз (20.2-раем). Система таркибига
салари йигиндисига тенг
m = 2^v
катталикка системанинг массаси де-
йилади.
Радиус вектори
Гс М
формула ёрдамида ани^ланадиган
геометрик С нуцтага системанинг
массалар маркази дейилади.
кирувчи ну^таларнинг мас-
(20.4)
20.2- раем.
335
(20.4) ни Декарт координата уцларига проекциялаб,
массалар марказининг координаталари аницланадиган
_ —- mv xv 2 mv
Хс М Ус~ М Zc
система
(20.5)
формулаларни оламиз.
Системанинг массалар маркази системанинг бирор нуцтаси билан
устма-уст тушмаслиги цам мумкин. Масалан, бир жинсли цалца-
нинг массалар маркази унинг геометрик маркази билан устма-у'ст
тушади ва цалцага тааллуцли булмайди.
(20.4) ва (20.5) формулалардан курамизки, берилган механик
система массалар марказининг цолати унга таъсир этувчи кучларга
эмас, система нуцталари массаларннинг тацсимланишига боглиц бу-
лади.
(20.4) нинг унг томонидаги ифоданинг сурат ва махражини g
га купайтирсак,
2 Г.,
Г -- V
с Mg
ёки
7 2А7
гс =----р---- (20.6)
булади. Бунда Pv билан система нуцталарининг огирлиги
белгиланган.
7.2-§ да курганимиздек, (20.6) формула ёрдамнда огирлик кучи
майдонидаги цаттиц жисмнинг огирлик маркази аницланади. Бнно-
барин, цаттиц жисмнинг ёки узгармас механик системанинг огирлик
маркази унинг массалар маркази билан устма-уст тушади.
Лекин бундан огирлик маркази ва массалар маркази айнан бир
хил тушунчани ифодалайди, деган хулоса келиб чицмайди. Берил-
ган узгармас механик система огирлик кучларининг тенг таъсир
этувчиси куйилган нуцта унинг огирлик марказини ифодалайди. Би-
нобарин, огирлик маркази тушунчасини фацат огирлик кучи майдо-
нидаги узгармас механик система (хусусан, цаттиц жисм) учун цул-
лаш мумкин. Массалар маркази эса цандай кучлар таъсир этишидан
цатъи назар, исталган механик система (хусусан, деформацияланув-
чи жисм) учун маънога эга булади.
20.3- §. Инерция моментлари
Система массалар марказининг цолати система массаларннинг
тацсимланишини тулиц характерлай олмайди. Масалан, бир хил А
ва В шарларнинг марказларидан айланиш уци Oz гача булган h
масофаларни баб-баравар орттирсак (20.3- раем), у цолда А ва В
шарлардан ташкил топган системанинг массалар маркази узгармай-
ди, бнроц системанинг массалари бошцача тацсимланади ва натижа-
да системанинг царакати узгаради (бошца шартлар узгармаганда ай-
336
ниШ секинроц содир булади). Шу
абабли механикада система массала-
1нинг тацсимланишини характерлаш
Р'н системанинг инерция моменти
Уушунчаси киритилади.
у Моддий нуцтанинг массасини би-
пор уццача булган масофа квадра-
тига купайтмасига тенг катталикка
нуцтанинг уцца нисбатан инерция
моменти дейилади.
Система нуцталарининг массаларини уццача
/I
20.3- раем.
(нуцта ёки текислик-
кача) булган масофалар квадратига купайтмаларининг йириндисига
тенг скаляр катталик мос равишда системанинг уцца (нуцта ёки
текисликка) нисбатан инерция моменти дейилади.
Нуцтага нисбатан инерция моменти купинча цутбга нисбатан
инерция моменти деб цам аталади.
Агар I уцца, О нуцтага ва П текисликка нисбатан системанинг
инерция моментларини 10 ва 1п билан белгиласак, таърифга ку-
ра
(20.7)
формулалар уринли булади. Бунда mv система Mv нуцтасининг
массасини; hv, rv, dv лар эса мос равишда Mv нуцтадан I уцца, О
нуцтага ва П текисликкача булган масофаларни ифодалайди.
СИ бирликлар системасидаги инерция моментининг улчамлиги
[/] = кг-м2 булади.
Агар механик система цаттиц жиемдан иборат булса, бу жисм-
нинг инерция моментларини аницлаш учун жисмнинг массалари
A/t?v га тенг (v = 1,2...А) булакчалар тупламидан иборат деб
цараймиз ва (20.7) формулаларда mv лар урнига Amv ларни цуя-
миз. Сунгра жисм ташкил топган булакчалар сонини орттира бора-
миз ва А->оо, &mv->0 да лимитга утамиз:
h = lim 2 Д mv= f (20-8)
A'->“ V=1 (M)
A mv
бунда интеграл бутун жисм массаси буйича олинади.
^ажмга эга булган жисмнинг уцца нисбатан инерция моментини
аницлаш учун (20.8) да dm = р dv муносабат уринли булишини
эътиборга оламиз. Бу ерда dv жисм булакчасининг цажмини, р зич-
Лигини билдиради.
Бир жинсли жисм учун р = const булишини эътиборга олсак,
УЦЦа нисбатан инерция моменти учун яна цуйидаги ифодани ола-
миз:
/,= f/i2pdV = pf/t2dV.
(V) (V)
Бу интеграл бутун жисм цажми V буйича олинади.
22—2282
(20.9)
337
Агар жисм цалинлиги Ь га тер
(b— const) юпца сиртдан иборат бйл.
са, dv= bds деб цараб (бунда ds сиг»
булакчасининг юзи), (20.9) ни куйип/
гича ёзиш мумкин:
lt =p6J7i2ds = plJ/i2ds. (20.10)
(S) (S) |
Мазкур интеграл бутун сирт S буйи-
ча олинади ва pt = р b сирт зичлигиии
(сирт булакчаси массасининг унинр
юзига нисбатини) ифодалайди.
Худди шунингдек, кундаланг ке-
сим юзаси S га тенг (s —const) ингичка
20.4- раем. стержеининг уцца нисбатан инерция
моментини цисоблашда dv = sdl (dl —
«стержень булакчасининг узунлиги) булишини эътиборга оламиз:
lt = psj7i2d/ = p2\h2dl. (20.11)
(Г) (£)
Курилаётган цолда интеграл стержень кесмаси (стержень уци) бу-
йича олинади цамда р s = р.2 стержеининг зичлигини ифодалайди.
Механик системанинг, жумладан, цаттиц жисмнинг Охуг Декарт
координата уцларига нисбатан инерция [моментларини цисоблаймиз.
Бунинг учун ихтиёрий О нуцтада координаталар бошини олиб, сис-
теманинг массаси mv га тенг ихтиёрий Mv нуцтасининг координа-
таларини xv, yv, zv билан белгиласак, мазкур нуцтадан координата
уцларигача булган масофалар квадрата мос равишда
(МА)2=^ + 4
тг=ш
формулалар ёрдамида аницланади (20.4-раем). Координата уцларига
нисбатан инерция моментларини 1Х, 1у, 1г билан белгиласак, у
цолда улар учун
/!Z = 2«v(Xv + Zv)>
/х = Ж(^ + ^)
(20.12)
мунссабатлар уринли булади.
Координаталар бошига нисбатан системанинг инерция моменти
цуйидагича аницланади:
;o = Smvrv = Sm4xv + ^ + zv)- (20.13)
Бу ерда г2 билан массаси mv га тенг Mv нуцтадан координаталар
бошигача булган масофа квадрати белгиланган.
338
Худди шунингдек, координата текисликларига нисбатан инерция
дентлари 10гх, 10уг, 10ху учун ушбу формулалар уринли булади:
1 Огх = Ж 1 Оуг = Ж 4 1Оху = 2Х 4 ',(20.14)
(20.12), (20.13) ва (20.14) дан цуйидаги муносабатларни оламиз:
1х + 1у + 1г = 21о> (20.15)
/Оуг + 1 Огх + 7Оед = 7О- (20.16)
х ~ Огх Оху’ Iy “ IОху Оуг * Огх “l" Оуг ' (20.17)
(20.15) системанинг учта Декарт координата уцларига нисбатан
инерция моментларининг йириндиси мазкур системанинг координата-
лар бошига нисбатан инерция моментининг иккиланганига тенгли-
гини; (20.16) системанинг учта координата текисликларига нисбатан
инерция моментларининг йириндиси мазкур системанинг координата-
лар бошига нисбатан инерция моментига тенглигини; (20.17) эса
бирор уцца нисбатан системанинг инерция моменти мазкур система-
нинг шу уц буйича кесишувчи иккита узаро перпендикуляр текис-
ликларга нисбатан инерция моментларининг йигиндисига тенглигини
ифодалайди.
Купинча системанинг уцца нисбатан инерция моментини
4 = Мр2 (20.18)
куринишда ёзилади, бунда М — бутуп системанинг массаси. Инер-
ция моменти кг.м2 улчамга эга булишини назарда тутсак, ри узун-
лик бирлигида улчанишига ишонч цосил циламиз. Бу узунлик сис-
теманинг уцца нисбатан инерция радиуси дейилади. Агар систе-
манипг уцца нисбатан инерция моменти маълум булса, инерция
радиуси
Ра =1/5 (20-19)
г М
формула ёрдамида аницланади.
(20.18) дан курамизки, инерция радиуси жисмнинг массаси му-
жассамлашган нуцтадан г $>ццача булган шундай масофаки, мазкур
нуцтанинг z уцца нисбатан инерция моменти шу уцца нисбатан бу-
тун жисмнинг инерция моментига тенг.
20.4- §. Жисмнинг параллел уцларга нисбатан инерция
моментлари цацидаги Гюйгенс-Штейнер теоремаси
Жисмнинг массалар маркази орцали утувчи уцца параллел бул-
ган уцца нисбатан инерция моментини цисоблашни куриб чицамиа.
Айтайлик, узаро параллел булган Охуг ва Сх'у'г' Декарт коорди-
ната системалари берилган булсин, бунда С нуцта системанинг
Массалар марказида жойлашган (20.5-раем).
S3S
нисбатан инерция момец.
тининг таърифига кура
'г- = Ж( *?+«?)•
(20.20)
бунда mv билан Mv нудтанинг мае-
саси; xv, yv, zv ва x'v, y'v, zy би-
лан мазкур нуцтанинг Oxyz ва
Cx'y'z' координаталар системасига
нисбатан координаталари белгилан-
ган. Агар Oxyz координаталар сис-
темасига нисбатан массалар марка-
20.5- раем. зининг координаталарини хс, ус, zc
билан белгиласак, у ^олда М ,
шуцтанинг координаталари xv == xv + хс; yv = уу -J- yc- zv = zy+ za
муносабатлар билан богланган булади. Координаталарнинг бу ций-
матларини (20.20) га цуйиб, соддалаштирсак,
(л'® + /2) + 2хс - x'v + 2ус • уу +
+ (4 + 4)’ 1И
ифода ^осил булади.
Бу ифодада у'2} жисмнинг массалар маркази орцали
утувчи уцца нисбатан инерция моменти: = М — бутун жисм
массаси; ^mv x'v = Мхс — 0 ва Уу ~^У'с ~ чунки система-
нинг массалар марказини ифодаловчи С нуцта Cx'y'z' координаталар
системасининг бошида олингани туфайли х’с = ус=<д. Бундан таш-
цари 4 + у2с — d2 (d — Oz ва Cz' уцлар орасидаги масофа) эканли-
гини эътиборга олсак,
4=/г, +Md* (20.21)
формула ^осил булади.
Бу формула Гюйгенс-Штейнер теоремасини ифодалайди: бирор
уцка нисбатан системанинг инерция моменти системанинг мас-
салар маркази орцали шу t'/цца параллел равишда утган уцца
нисбатан инерция моменти билан система массасини уклар
орасидаги масофа квадратига купайтмасининг йигиндисига тенг.
(20.21) формуладан курамизки, системанинг массалар маркази
орцали утувчи уц^а нисбатан ^исобланган инерция моменти унга
параллел булган у^ларга нисбатан ^исобланган инерция моментлари
ичида энг кичик дийматга эга булади.
20.5-§. Бир жинсли баьзи жисмларнинг инерция мо-
ментларини ^исоэлаш
Купинча мураккаб шаклга эга булган жисмни оддий шаклли
-жисмларга ажратиш усули билан унинг инерция моментини аниц-
лаш цулай булади. Бундай жисмнинг инерция моменти унинг бу-
зю
20.6- раем.
клари инерция моментларининг
^ириндисидан иборат деб дараш
муМКИН.
Бир жинсли оддии шаклга эга
бупган баъзи жисмларнинг инерция
^оментларини дисоблашни куриб
чикамиз.
1. Бир жинсли стерженнинг
инерция моменти. х удни узунли-
ги I га тенг ингнчка АВ стержень буйлаб йуналтирамиз (20.6-расм).
Стерженнинг А учидан утувчи ва унинг удига перпендикуляр йу-
налган г удца нисбатан инерция моментини дисоблаймиз.
м
Айтайлик, стерженнинг массаси М, зичлиги р2=— га тенг
булсин. У долда стержень dx булакчасининг массаси dm =
эканлигини назарда тутиб, (20.11) га асосан дуйидагини оламиз:
р2 — = —М/2.
2 3 3
Аг ~ Н2 I
0
(20.22)
Укда параллел равишда стерженнинг массалар маркази ортали
утувчи Cz' удда нисбатан инерция моментини Гюйгенс-Штейнер тео-
ремасига асосан анидлаймиз:
1Аг = Х + Mrf2. бУНДЭ = (v)2 3 = Т’
Бинобарин,
/2 /2 /2 /2
= =м-^- -М7 = (20.23)
2. Ингнчка доиравий далданинг инерция моменти. Массаси М
ва радпуси R га тенг доиравий далданинг марказидан унинг текис-
лигига перпендикуляр равишда утувчи Cz удда нисбатан инерция
моментини дисоблаймиз (20.7-раем), Далданинг барча нудталари Cz
УДДан бир хил hv = R масофада жойлашгани туфайли (20.7) га
асосан
4 = 2imv = (ZX)7^ = М/?2 (20.24)
булади, бунда ^mv = М далданинг мас-
саси.
(20.24) формула массаси М, радиуси
R га тенг юпда добидли цилиндрнинг
марказий буйлама удига нисбатан инер-
ция моментини топиш учун дам уринли
булади.
3. Бир жинсли доиравий дискнинг
инерция моменти. Массаси М, радиуси
R га тенг доиравий дискнинг О нудтага
нисбатан инерция моментини хисоблай-
миз (20.8-раем). О дутбга нисбатан диск-
20,7- раем.
34 k
нинг инерция моменти шу нуцтадан д1ск
текислигига перпендикуляр равишда утув.
чи Oz уцца нисбатан цисобланган инер-
ция моментига тенг булади. Дискда ра.
диуслари г ва r-Y dr га тенг айланалар
орасидаги доиравий цалцани ажратамиз
Бу цалцапинг массаси
dm — 2nrpldr
Е М
га тенг. Ьу ерда Pi = дискнинг знч-
лигини ифодалайди.
20.8- раем. (20.8) га асосан
R R M.R2
1г = \r2dm = f r2-2nrp1dr= 2лрх Crsdr = 2npt—— ~r~- (20 25)
'Бу формула радиуси 7? га тенг доиравий цилиндрнинг марказий
буйлама уцига нисбатан инерция моментини топиш учун цам урин-
ли булади.
Диск текислигидаги Ох ва Оу уцларга нисбатан унинг нуцтала-
ри симметрии жойлашгани учун 1х — 1у. (20.15) га асосан 2/0 ==
= /х + + 12, лекин 1г — 10 булгани учун
Il \ , MR2
1Х = 1У=^- !о = —- (20.26)
4. Цувурнинг инерция моменти. Массаси М, ташци радиуси /?х
ва ички радиуси Д2 га тенг цувурнинг марказий буйлама уци Cz
га нисбатан инерция моменти радиуслари Дх ва /?, га тенг доира-
вий цилипдрларнинг мазкур уцца нисбатан инерция моментларининг
айирмасига тенг булади (20.9-раем). Шундан келиб чицпб, (20.25)
га кура цуйидагини оламиз:
р2 р2
7cz = Mi-y — м2-^-. (20.27)
бунда Мх ва М2 билан радиуси Rt ва R2 га
тенг цилиндрларнинг массаси белгиланган:
Мх = р Н л R2, М2 = р Н л R*. (20.28)
Бу ерда Н — цувурнинг узунлиги. (20.28)
ни (20.27) га цуйсак,
'с.-фр*Ж-^
лекин цувурнинг массаси
М = МХ —М2=рл/7(7?2-7?|)
га тенглигини эътиборга олсак, цувурнинг
марказий буйлама уци Cz га нисбатан инерция
342
моменти учун цуйидаги тенглик уринли
булади:
'с,-ТМ(^ + ^)' (20 29>
5. Шарнинг инерция моменти. Мас-
саси М, радиуси R га тепг шарнинг мар-
кази ва шу марказдан утувчи координа-
та уцларига нисбатан инерция моментла-
рини цисоблаймиз. Шар ичида радиуси г
ва цалинлиги dr га тенг шар цобигипи
фикран ажратамиз (20.10-расм). Унинг
массаси dm = pdv булиб, бунда р =
М М , л ,,
= 4,- = ----- зичликни; dv = 4 л r2dr
V ± л/?з
з
20.10- раем.
ажратилган шар цобнгипипг хажмини ифодалайди. Натижада
dm — р dv = р 4 л r2dr
тенглик уринли булади.
Шарнинг марказига нисбатан инерция моменти
к
10 = r2dm = 4 лр ^r*dr = 4 лр М/?2
(Л!) 0
(20.30),
формуладан аницланади.
Шарнинг марказидан утувчи координата уцларига нисбатан инер-
ция моментларини цисоблашда бу уцларга нисбатан шар нуцталари.
симметрии жейлашганлигини назарда тутсак, 1Х ~ 1у~12 муносабат
уринли булади. Лекин (20.15) га кура 210 = 1х + 1у 1г = 31 х =
= 3/^ = 3/г. Бннобарин,
< = '„ = ',
2 , 2
— 1п = — MR2.
3 0 5
(20.31)-
20.6-§*. Жисмнинг берилган нуцтадан утувчи уцларга
нисбатан инерция моментлари
Жисмнинг бирор О нуцтаси орцали х, у, z Декарт координата
Уцлари, ;и цамда ихтиёрий / уцни утказамиз; I уцнинг х, у, z уцлари
билан ташкил цилган бурчакларини а, В, у билан белгилаймиз
(20.11- раем).
Жисмнинг / уцца нисбатан инерция моментини цисоблаймиз. Бу-
винг учун жисмни Mv(v = 1,2V) нуцталар тупламидан иборат деб
Цараймиз. (20.7) га кура жисмнинг I уцца нисбатан инерция мо-
менти
= (20.32)
формуладан аницланади, бу ерда hv— Mv нуцтадан I уццача булган
масофа.
343
OKVMV турри бурчакли учбурчакдан
hv = rv~ (O7Q2, (20.33)
бунда г2 = х* + у2 + z\ булиб, xv, yv, zv лар нуцтанинг коор-
динатларини' ифодалайди. 0/<v кесма rv=xvi + yv j + zvk радиус-
векторнинг 01 уцдаги проекциясини ифодалайди. rv векторнинг 01
уцдаги проекциясини аницлаш учун бу векторни мазкур уцнинг бир-
—* —** ——> ।
лик вектори Г — i cos а + j cos р + k cos у га скаляр купайтира-
.миз:
0/<v =7v-/° = (xvi +yv j + zv7fe)(Zcosa4-~/cosp + Tcosy) =
= xv cos a + yv cos p + zv cos у. (20.34)
(20.33) да г2 ни нуцтанинг координаталари орцали и(]юдалаб,
уни cos2 а + cos2 р 4~ cos2 у = 1 га купайтирсак, цуйидагини оламиз:
h2 = (Х1 + У2 + 2v) (cos2 а + cos2 ₽ + cos2 у) — (x^cos а + yvcos Р +
+ zv cos у)2 = (у2 + z2)cos2 а + ( z2 4- x2)cos2 p + (x2 + y2) cos2 у —
— 2yv zvcos p cos у — 2zv xvcos у cos а — 2xv yvcos a cos p. (20.35)
{20.35) ни (20.32) га цуйсак,
A = cos2a2«v( y\ + z2) + cos2 p 2mv( z2 + x2) + cos2y2^v( A +
+ У2) — 2 cos p cos у \ — 2 cos у cos a zv xv ~~
— 2cosa-cosp2mvM^-
Бу тенгликда (20.12) га кура
Zmv( У1 + Z?) = Ж( XV + Zv2) = xl +
мое равишда x, y, z уцларга нисбатан инерция моментлари,
yvzv = Iyz, zvxv = Izx, yinvxvyv = lxy (20.36)
344
J
а марказдан кочирма инерция моментлари эканлигини эъти-
лаР эсопсаК' жисмнинг I уцца нисбатан инерция моменти цуйида-
^Гтенг булади;
, 1 cos2 а + Л. cos2p + /2cos2y — 27 cos р • cos у — 2/^cos у cos а —
JI * y
— 27wcosa-cos0. (20.37)
Жисмнинг l уцца нисбатан инерция моментини аницлаш учун а,
д у бурчаклардан ташцари О нуцтадан утувчи х, у, z уцларга нис-
батан 1Х, 1у, 1уг> 1у„ ]ху олтита инерция моментларини
хам бплиш керак. (20.37) да а, р, у ларга турлича цийматлар бе-
оиб, О нуцтадан утувчи уцлар дастасига нисбатан жисмнинг инер-
ция моментларини аницлаш мумкин.
20.7*-§. Инерция эллипсоиди
а, р, у бурчакларга мос равишда жисмнинг I уцца нисбатан
инерция моменти цандай узгаришини аницлаш .учун мазкур уцда О
нуцтадан узунлиги
= — (20.38)
га тенг кесмани цуямиз (20.12-раем).
ON кесмапинг йуналтирувчи косинуслари учун цуйидаги муно-
сабатлар уринли булади:
COS (X Х^ 11,
cos р = рд,— I ь
(20 О)
бунда х, у, z — N нуцтанинг координаталари. (20.39) ни (20.37) га
Цуйиб, 1[ га цисцартирамиз:
1хх2 4- 1уу2 + Izz2 — 2Iyzyz — 21 Zxzx — 21хуху = 1.' (20.40)
(20.40) тенглама а, р, у бурчаклар уз-
гарганда (20.38) шартни цаноатлантирувчи
N нуцта кучадиган сиртни ифодалайди. Бу
сирт эллипсоиддан иборат булади, чунки
h 0 булгани учун (20.38) формула ёр-
дамида аницланадиган ON масофа чекли бу-
лади. Бу эллипсоид инерция эллипсоиди
Дейилади.
Жисмнинг цар бир нуцтаси учун узига
яраша инерция эллипсоиди мавжуд булади.
Агар координата уцларини сиртнинг О нуц-
тадан утувчи узаро перпендикуляр бош
20.12- раем.
345
20.13- раем.
диаметрлари*) буйлаб йуналтирсак, эллипсоН),
нинг тенгламаси соддалашади. Бундай уцла{У
га инерция бош уцлари дейилади. Жисмни®
массалар марказига нисбатан ясалган инерщ,
эллипсоиди марказий инерция эллипсоиди
йилади. Марказий инерция эллипсовдининг бцц,
уцлари марказий инерция бош уцлари
аталади.
Агар xlt yv zr координата у^лари учуа
инерция бош уцларипи олсак (20.13-раем), эл.
липсоид тенгламасида координаталарнинг к$-
пайтмалари цатнашмаслиги аналитик геометрия курсидан маълум:
+ (20.41)
Бунда 7Х1, 1 1^ лар инерция бош моментларини ифодалайди.
Агар О нуцта ортали Oxlt Oylt Ozx бош уцлар билан мое ра-
вишда а, [3, у бурчак ташкил этувчи I уцни утказсак, у далда
(20.37) га биноан бу удаа нисбатан инерция моменти
h = Zx,cos2 а + V052 Р + /z.cos2 V (20.42)
формула ёрдамида аникланади.
Агар хусусий далда иккита инерция бош моментлари узаро тент
булса, у далда инерция эллипсоиди айланма эллипсоиддан иборат
булади. Учала инерция бош моментлари тенг булса, инерция »ллип-
соиди сферадан иборат булади.
20.8*-§. Инерция бош уцларининг хусусиятлари
Инерция бош у^ларининг цуйидаги хусусиятларини куриб чиц;-
миз:
1. Берилган нуцта орцали утувчи Декарт координата $цла-
ридан бири ушбу нуцта учун инерция бош уцидан иборат були-
ши учун шу уцца мос координата катнашадиган марказдан цо-
чирма инерция моментлари нолга тенг булиши зарур ва етарли-
дир.
Зарурлиги. Айтайлик, Oz уц О нуцта учун ясалган инерция
вллипсоидининг бош увидан иборат дамда х ва у уцлари ихтиёрий
булсин, у далда инерция эллипсоидининг дар бир М(х, у, г) иудаа-
сига унга симметрии булган М' (— х, -— у, z) пуцта мос келади
(20.14- раем).
(20.40) тенгламага даст лаб М, сунгра М' нудтанинг координа-
таларини цуйиб,
7^2 + 1уу2 + /2г2 — 21 yzyz — 21zxzx — 21хуху = 1,
Ixx2 + Iyy2 + Izz2 + 21 yzyz + 21 Zxzx — 21 хуху = 1
*) сиртга утказилган нормаль билан устма-уст тушувчи диаметр
бош диаметр дейилади.
В46
,Рнгламаларни оламиз. Бу тенгла-
аларнинг иккинчисидан биринчи-
сини айирсак,
4/yjsf/z + 4Izxzx = О
ёки
г(/угУ + = °
тенглама уринли булади. М нуцта-
нинг координаталари х, у, z лар
нолдан фар^ли булгани учун охир-
ги тенглама фа^ат
/уг = 0, /« = 0 (20.43)
20.14 раем
булгандагина уринли булади.
Етарлилиги. Агар (20.43) бажарилса, инерция
эллипсоиди тенг-
ламасини
G%s + Iyyz+I^-2Ixyxy = \
куринишда ёзиш мумкин. Бундан курамизки, z yiy инерция бош
увидан иборат булади.
2. Агар бир жинсли жисм симметрия текислигига эга булса,
инерция бош у^ларидан бири симметрия текислигига перпенди-
куляр булади \амда црлган иккита инерция бош уклари шу те-
кисликда ётади.
Симметрия текислиги П да жисмнинг ихтиёрий О нуцтасини
олиб, Oz уцни симметрия текислигига перпендикуляр йуналтирамиз
(7.5-расмга царанг). У холда хар бир mv массали Mv(xv, yv, zv)
нудтага П текисликка симметрии булган худди шундай массали
(xv, yv, — zv) нуцта мос келади. ва Mv нуцталарнинг коор-
дипаталари фацат zv координатасининг ишсраси билан фар^ цилади.
Марказдан цочирма инерция моменти /у2 учун ^уйидаги тенглик
уринли булади
Л* =^mvyyzv + ^mvyy-(— zj=°,
(I) НО
чупки жисмнинг (I) трюмига мусбат zv координата, (II) цисмига— zv
Манфий координата мос келади. Худди шунингдек,
!гх = Z mv Zv Xv = mv Zv Xv + 2 • (— ZXv= °*
(I) Ш)
7уг ва lzx марказдан цочирма инерция моментлари нолга тенг бул-
гани учун Oz уц инерция бош уцидан иборат булади. Долган икки-
та Ох ва Оу уклари Oz га перпендикуляр булгани учун симметрия
текислиги П да ётади.
3. Агар бир жинсли жисм симметрия йцига эга булса, бу уц
Марказий инерция бош укидан иборат булади.
347
Агар жисмнинг симметрия уци учун z уцни олсак, цар би
xv, У^ zv мусбат коордипаталп, mv массали нуцтага худди шундад
массали, лекин х ва у уцларга мос координаталари манфий булган
— xv, — yv, zv нуцта мос келади (7.6-расмга царанг) цамда
>гх = 2 Zv Xv = 5 mv Zv xv + 2 mv Zv ‘ (- XJ =°«
(1) (II)
чунки (I) ва (II) йивиндилар фацат^ xv олдидаги ишора билан бир-би-
ридан фарц цилади.
Шупга ухшаш Iyz = 0 булишини исботлаш мумкин.
Бипобарин, симметрия уци z инерция бош уцидан иборат булади
Жисмнинг массалар маркази симметрия уцида ётгани туфайли г уц
марказий инерция бош уци билан устма-уст тушади.
4. Марказий инерция бош уци шу уцда ётувчи барча нуцталар
учун инерция бош уцидан иборат булади.
Агар Cz уцни марказий инерция бош уци сифатида олсак
(20.15- раем),
lczx = ^VZVXV = Q, lCvz = ^mvyvzv = 0,
yimvxv
xr= ~ = 0, //., = ' - — U
с м ‘'С м
булади. Бунда M = бутун жисм массаси.
Cz уцда ихтиёрий О нуцтани олиб, бу нуцтада Схуг га параллел
булган Ox1z/1z1 координаталар системасини утказамиз. У цолда
OC = h белгилашв киритиб (20.5) ни эътиборга олсак, 1ггхг ва ly^
марказдан цочирма инерция моментлари цуйидагича цисобланади:
=2 (Zv ~ h) Xv =2 mvzv Xv - h M XC= °’
71/л = 2 mv (zv — ,nv ZV yv — h^yc = °-
Бннобарин, OjZ! уц цам инерция бош уцидан иборат булади.
20.1-масала. АВ вертикал валга цамда узаро перпендикуляр булган г узун-
ликдагн ОЕ ва OD стерженлар воситасида бир хил Е ва D юклар бириктирилган
(20.16-раем). Стерженлар ва валнинг массасини цисобга олмай ва юкларни мод-
348
деб цараб, системанинг массалар маркази С топилсин, шунингдек,
дий р ’ , марказдан цочирма инерция моментлари цисоблансин.
^Координаталар бошинн О нуцтада олиб, к уцни ОЕ стержень, у уцни
t4‘ буйлаб z уцни эса АВ вал буйича йуналтирамиз. Агар юкларнинг
^ЛХни т билан белгиласак, Е(г, 0, 0), 0(0, г, 0) булгани учун (20.5) га
a ва р Ну^талардан ташкил топган система массалар марказининг коорди-
аЙдари цуйидагича аницланади:
х
v=i v mr
2m
XC 2
2*
v=l
2
Ут У у,
V=1
mr r
2 2m 2
ZA
V—1
2
4
z = —------== 0.
C 2
V=1
/ 1 1 \
Бинобарнн, системанинг массалар маркази С I —г> г> I нуктада етади.
г уц система нуцталари ётган ху текисликка перпендикуляр йуналгани учун
у инерция бош увидан иборат булади, шу сабабли 1гх ва 1уг марказдан цочир-
ма инерция моментлари ноДга тенг:
! гх = 0. /уг =
Шунингдек, Е (г, 0, 0), D (0, г, 0) булгани учун
2
v=l
Шундай цилиб, 1гх = 1уг = 1ху = 0.
20.2-масала. Массаси М, томонлари а ва 6 га тенг тугри туртбурчакли бнр
жинсли пластинка диагоналларидан бири орцали утувчи г уцца бириктирилган
(20.17-раем), z ва у уцлари раем текислигида ётади деб цараб, lzx, lyz, I ху
марказдан цочирма инерция моментлари аницлансин.
Ечиш. Координата уцлариии пластинканинг массалар марказидаги О нуцта
орцали 20.17-раемдагидек йуналтирамиз. Бунда х уц пластинка текислигига пер-
пендикуляр йуналгани ва унинг массалар маркази орцали утгани учун марказий
инерция бош уцидан иборат булади. Шу сабабли
/2Д. = /jcy= 0
булади. Iyz марказдан цочирма инерция
моменти (20.38) га кура
;yz ёки lyz=4yzdm (1)
’формуладан аницланади. Iyz ни цисоблаш
Учун О g т) g янги координаталар систе-
масига утамиз. Бунда g уц х билан уст-
ма-уст тушади; т] уц тугри туртбурчак-
нинг b томонига параллел; g уц унга пер-
пендикуляр йуналади. Ох ва Og устма-
20.17- раем.
349
уст тушганлиги туфайли 0| уц марказий инерп»
бош уцидан иборат булади. От] ва 0£ уцлари од8* *
тинканинг массалар маркази О иуцта ортали йтгаиЛ
ва симметрия уцларидан иборат булгани уЧун ?*
уцлар цам марказий инерция бош уцларндан ибопя^
булади. Бинобарин, О координаталар системаси
О нуцта учун ясалган инерция эллипсоидининг бд?
координата уцларидани иборат булади. Ог ва ОГ
уцлари орасидаги бурчак •
b
tga = —
а
(2)
формуладан аницланади.
Аналитик геометриядаги координата уцЛарина
буриш формуласидан фойдаланиб, у ва г координа-
таларни т], £ координаталар орцали ифодалаймиза
у = £ cos а — т] sin a,
г = £ sin a + т] cos a.
у, г ларнинг бу цийматларини (1) га цуйсак,
sin 2a Г Г С ] (*
/уг = —~ dm ~ ) 11 dm + cos 2a I ’I £ dm‘ (4)
(M) (M) (M)
OfcnC бош координата уцларидан иборат булгани учун
(т| £ dm = 0. (5)
(М)
(4) даги С £а d т ва J ту1 dm катталиклар мос равишда О ва О Ц такие-
(М) (М)
ликларга нисбатан пластинканинг инерция моментларини ифодалайди ва цуйида-
гича анцланади:
a —
2 2
f (6)
J ab J J 12
(M) a b
2 2
a b
2 2
f T]2 dm = — f f T]2 d
J ab J J 12
(M) ь
2
(5), (6) ва (7) ни (4) га цуйсак,
sin 2a
УУ2= 2~
‘Л(а2_Ь^=---------"------------Ч------
12 ( 12
Ma6 a2 — b2
= ~12 a' + fe* *
20.3- масала. Массаси tn, баландлиги H, асосининг радиуси г га тенг доира-
вий цилиндрнинг огирлик марказига нисбатан ясалган инерция эллипсоиди тенг-
ламаси гузилсин. Координата уцлари 20.18-раемда тасвирланган. Координаталар
боши О цилиндрнинг огирлик маркази билан устма-уст тушади.
350
О нуцтага нисбатан инерция эллипсоидининг тенгламасини (20.40) ку-
гЯВЙ^да“ёзиш мумкин:
[х ха + I у У2 + ^z z2 1уг уг 2 /2jr 2х 2 /ху ху = 1.
<20.25) га кура
тг*
2 ‘
lx ва h лаРни Цисоблаш учун (20.17) формулалардан фойдаланамиз;
!х — !Огх + !Оху • !у~ 1 Оху + !Оуг •
Бунда
н
2
0 С Н3 mH2
/Оед ” J *’ dm =Р J * dz = Р nr Ц = HF*
m) /
2
х ва у Уцларга нисбатан цилиндр бир хилда симметрия жонлашгани учуж
^Огх = 1Оуг • ШУ сабабли
, , 4-7 -27 -21 - — I -/ т'
г 1О*х~^~‘Оуг ^‘Огх 1 Оуг 2 * ‘Огх ‘Огу— 4 •
Натижада
tn ! 1 \
^х ~ Iqzx ^Оху ~ 4" "у Ну >
. т I 1 \
У = ?Оуг + ^Оху = F V 2 + ~3~ Hj "
•• 1 Уцлари марказий инерция бош уцлари булгани учун
72jc = fyz = /ху = 0.
Бинобарин, цилиндрнинг огирлик марказига нисбатан ясалган инерция эллип-
соидининг тенгламаси
«Уринишда ёзилади.
Бу эллипсоиднииг ярим уцлари
г г т
тенг айланма эллипсоиддан иборат булади.
851
21-боб. ДИНАМИКАНИНГ УМУМИЙ ТЕОРЕМАЛДрц
21.1-§. Механик системанинг даракат дифференциал
тенгламалари 4
Айтайлик, механик система М
топган булсин. Массаси
М,.....MN нудталардан ташкил
mv, бирор дузгалмас Охуг координаталар
системасига нисбатан радиус-век-
тори rv га тенг система исталган
нудтасига дуйилган ташди куч-
ларнинг тенг таъсир этувчисини
F* барча ички кучларнинг тенг
—>
таъсир этувчисини F* билан белги-
ласак (21.1-раем), бундай нудта да-
ракат дифференциал тенгламасини нг
векторли ифодаси
бРг
—*
Л2
; + f< (21.1)
d2r ,
куринишда ёзилади. Бунда мазкур нудтанинг тезланиши.
Системанинг дар бир нудтаси учун (21.1) тенглама уринли булади.
d2Jy
пи------
1 dt2
d2rZ
------
2 di2
(21.2)
d2 г
tnN ---F- е Fl
dt2 N N
Бу тенгламаларни дисдача дуйидагича ёзиш мумкин:
(v-1’2.......Л)-
(21.3)
(21.3) тенгламаларни дузгалмас Охуг Декарт координата удла-
рига проекцияласак,
V ’
mv yv = rv + yv ’
mvzv^Z‘v + Zlv,
(v = l, 2.........N)
(21.4)
352
d 2 г ->
б, ерда xv, yv, ортали -^- = wv тезланишнкнг координата
«•кларидаги проекциялари; X*. Y‘, Zev билан нуктага таъсир этувчи
а ча ташки кучлар тенг таъсир этувчисининг проекциялари;
yf у‘ Z‘ билан эса барча ички кучлар тенг таъс ip этувчисининг
мазкур укдаги проекциялари белгиланган.
(21.3) ёки (21.4) тенгламалар механик системанинг каракат
Дифференциал тенгламалари дейилади. Умумий з^олда система нук-
таларига таъсир этувчи кучлар ва^т, система нуцталарннкнг коорди-
наталари ва тезликларининг функциясидан иборат булгани учун бу
тенгламалар биргаликдаги тенгламалар системасинн ташкил этади.
Бинобарин, система нуцталарипинг массалари ва уларга таъсир
этувчи кучларни билган уолда берилган бошлангич шартларда ме-
ханик системанинг даракатини аницлаш учун (21.3) куринишдаги N
та векторли тенгламалар системаси ёки 3N та иккинчи тартибли
(21.4) скаляр тенгламалар системасинн интеграллашга тугри келади.
(21.4) тенгламалар системасинн интеграллаш натижасида уара-
катнинг бошлангич шартларидан ани^ланадиган 67V та интеграллаш
доимийлари ^осил булади. Вацтнинг бирор пайтидаги система нуц-
таларняинг координаталари ва тезликларининг ^иймати механик
система учун бошланрич шартларни ифодалайди.
Умумий ?(олда (21.3) ёки (21.4) тенгламаларнинг анш$ ечимини
аниклаш .уатто механик система битта нуктадан ташкил топганда
хам муаммодир. Агар механик система нукталарига богланишлар
куйилган булса, бундай механик системанинг даракат дифференциал
тенгламаларини интеграллаш янада цийинлашади. Чунки бу холда
механик системанинг даракатини ани^лашдан ташкари берилган
кучлар ва богланишлар асосида яна кушимча номаълум богланиш
реакция кучларини уам аницлашга тугри келади
Механик система нукталарининг сони орта борган сари харакат
дифференциал тенгламаларини интеграллаш мураккаблаша боради.
Одатда механик системанинг даракатини аницлашда бовосита систе-
манинг харакат дисрференциал тенгламаларини интеграллаш билан
шугулланилмайди. Купинча система динамикаспнинг масалаларини
ечищда механик системанинг айрим характерпстикалар тупламини
аниклаш етарли булади. Бундай характерпстикалар туплами (21.3)
ёки (21.4) тенгламалардан келтириб чицариладиган ва динамиканинг
умумий теоремалари деб аталадиган теоремалар воситасида аниц-
ланади. Харакат микдорининг узгариши ^ацидаги теорема, кинетик
моментнинг узгариши уацпдаги теорема ва кинетик энергиянинг
узгариши ха^идаги теоремалар ана шулар жумласпдандир. Айрим
Лолларда бу теоремалардан фойдаланиб, системанинг уаракат диффе-
ренциал тенгламаси биринчи интегралларини (яъни косрдинаталар-
дан вацт буйича олинган иккинчи росила катнашмайдиган муноса-
батларни) олиш мумкин.
Агар даракат дифференциал тенгламасининг айрим биринчи ин-
тегралларн маълум булса, бу биринчи пнтеграллар системанинг ^а-
23—2282
353
ракатини тулиц аницламаса-да, бутун системанинг даракатини харац.
терлашда муцим ацамиятга эга.
Баъзи цолларда динамиканинг умумий теоремаларидан фойдала.
ниб биринчи интегралларни топиш мумкин булмаса-да, системанинр
даракати хацида алохида ацамиятга эга булган маълум отларни олищ
мумкин. Бу теоремаларнп алохида-алохида куриб чицамиз.
21.2-§. Моддий нуктанинг ва системанинг даракат мцЛ
дори. Куч импульси
Кинематика булимида тезлик нуцта царакатининг асосий курсат-
кичларпдан бири эканлигини курган эдик. Динамикада нуцта (ёки
система нуцталари) нинг тезлиги билан бирга уларнинг массасини
цам билиш зарур. Масалан, иккита бир хил шаклдаги пластмасса-
дан ва металлдан ясалган гилдираклар айнан бир хил кучлар таъси-
рида турлича царакатда булади.
Механикада моддий нуцта механик системанинг царакат улчовла-
ридан бири сифатида унинг царакат мицдори олинади. (15.3) дан
маълумки, нуктанинг массаси т билан берилган ондаги тезлиги и
нинг купайтмасига тенг
—>• —>
q = mv
вектор нуктанинг даракат мицдорини ифодалайди.
Нуцта царакат мицдорининг Декарт координата уцларидаги про-
екциялари цуйидагича аницланади:
qx = /711»/= тх, qy = mvy = ту, qz = mvz = mz.
Механик система нуцталари царакат мицдорларинннг геометрик
йигипдисига тенг вектор
Q = (21.5)
системанинг харакат микдори (ёки царакат мицдорининг бош век-
тори) дейилади.
(8.1) да =-—— (гч — Му нуцтанинг инерциал системага нис-
батан радиус-вектори) цамда система нуцталарининг массалари узгар-
мас булгапи учун
(20.4) га асосан У. mvrv = Mrc (М—бутун системанинг массаси, гс—
массалар марказининг радиус- вектори) муносабат уринли булгапи
учун
Q= — (MZ) = M
dt с dt
354
z
21.2- раем.
dr4 — v система массалар мар-
бунда с
азннннг тезлигини ифодалайди. Де-
мак,
q = Mvc (21.6)
булиб, системанинг царакат мицдо-
и бутун система массаси билан
система массалар маркази тезлиги-
нинг купайтмасига тенг.
(21.6) ни бошцача цуйидагича тал-
кин цилиш цам мумкин: системанинг
харакат мицдори бутун системанинг
массаси мужассамлашган деб цараладиган система массалар
марказининг царакат мицдорига тенг.
(21.5) ва (21.6) га кура, система царакат мицдорининг координа-
та уцларидаги проекцияларини аницлаш мумкин:
=^mvvvz^MvCz.
Системанинг царакат мицдорини цисоблаш учун Oxyz инерциал
координаталар системаси билан бирга системанинг массалар мар-
кази орцали утувчи ва унга параллел равишда царакатланувчи
Cx1i/Iz1 координаталар системасини киритамиз (21.2-раем). Натижада
система нуцталарининг царакатини Cx^Zj билан биргаликдаги ку-
чирма (илгарилама) царакатдан цамда бу координата уцларига нис-
батан нисбий царакатдан иборат деб цараш мумкин. Шу сабабли
системанинг царакат мицдорини цам кучирма ва нисбий царакат миц-
дорларининг йиншдисидан иборат деб оламиз;
Q = Qe+Qr.
Даракатдаги координаталар системасининг боши системанинг мас-
салар маркази билан устма-уст тушгани сабабли нисбий царакатда
агс == 0 булади. Бннобарин, (21.4) га кура Qr = М ис= 0. Натижа-
Да Q = Qe тенглик уринли булади.
Шундай цилиб, системанинг царакат мицдори унинг массалар
маркази билан биргаликдаги илгарилама кучирма царакатини ха-
рактерлайди.
Масалан, массалар маркази орцали утувчи цузгалмас уц атрофи-
да айланувчи жисмнинг царакат мицдор вектори
Q = Qe = МгГс=0
булади, чунки массалар маркази цузгалмас уцда ётади ва унинг теа-
лиги vc == 0 булади. Лекин тугри чизицли рельсда сирпанмай цара-
катланувчи гилдиракнпнг царакат мицдори
355
Q = Mt>c ¥= 0
булади, чунки бу цолда гилдирак массалар марказининг тезлиги
vc ф 0 булади.
Нуцтанинг харакат мицдори вектори q мазкур нуцтага, система-
нинг царакат мицдори вектори Q эса системанинг массалар марказига
цуйилган деб царалади.
Механик харакатнинг векторли улчови сифатида царакат миц-
дори олинади.
Берилган нуцтага бошца моддий объектларнинг цар ондаги меха-
ник таъсирини характерловчи улчов сифатида куч олинади. Лекин
куч таъсирининг эффекта унинг цар ондаги мицдор ва йуналишига-
гина боглиц булмай, балки унинг таъсир вактига цам боглиц булади.
Мицдор ва йуналиш жицатдан узгармас булган F куч билан
унинг таъсир вацти t нинг кунайтмасига тенг
S~~F-t (21.7)
вектор кучнинг импулъси дейилади.
Куч импульсининг йуналиши кучнипг йуналиши билан бир хил
булади.
Куч импульси узаро механик таъсирнинг векторли улчови
дейилади ва берилган вацт ичида моддий нуцта (ёки система) га
бошца моддий объектларнинг таъсирини ифодалайди.
СИ бпрликлар системасида куч импульси Н.с билан улчанади,
—>*
Агар таъсир этувчи куч F = F(t) вацтнинг функциясидан ибо-
рат булса, кучнинг dt вацт ичидаги таъсири кучнинг элементар
импульси деб аталадиган
dS = Fdt (21.8)
катталик билан аницланади.
Куч элементар импульсининг координата уцларидаги проекцпялари
dSx = Xdt, dSy = Ydt, dSz = Zdt (21.8)
ифодалардан, чекли t вацт ичидаги куч импульси эса
~S = ‘^dt (21.9)
о
формуладан аницланади.
Куч импульсининг координата уцларидаги проекциялари цуйида-
гича аницланади:
= [Xdt, Sy = [Ydt, Sz=]Zdt (21 9')
boo
21.1-масала. 21.3-раемда тасвирланган механизмдаги цузгалмас гилдирак
ичида царакатланувчи гилдиракнинг радиуси г, массаси М булиб, массалар мар-
киз» О, нуцтада ётади; тугри чизицли АВ стержеининг массаси ktA массалар мар-
356
С, нуцтада (ACi = CtB). 00t кривошип О
^атрофида узгармас <о бурчак тезлиги билан
8"10Кривошип массасини хисобга олмай, система-
харакат мицдори цисоблансин.
нИН Ечиш- Берилган механизмни радиуси г га
г гилдирак ва АВ стержендаи ташкил топ-
ган система деб цараймиз. У цолда системанинг
даракат мицдори 0=Qi-[-Q2 булади. Бунда
О* г ради уели гилдиракнинг; Ог эса Л В стержен-
иииг харакат мицдорини ифодалайди.
(21.6) формулани цар бир жисм учун кул-
ласак,
21.3- раем.
Q = Мс'П1 + *МгС,.
(1)
vc лар мос равишда гилдирак мар-
ва АВ стержень массалар маркази
о, •
01
Бу ерда
казидаги
Cj нуцталарнинг тезликларнии ифодала ди.'
Ot нуцта 001 кривошип билан айланма царакатда
тезлигининг модули
иштирок этгани туфайли,
(2)
п01 = г«
булиб, ООу га перпендикуляр йуналади.
АВ стержень Оу уц буйлаб тугри чизицли илгарилама царакатда булгани учун
унинг Cj иуцтасинииг тезлиги А нуцтанинг тезлигига тенг булади ва вертикал
юцорига йуналади: vc = vA. А нуцта г радиусли гнлдиракка тааллуцли булгани
учун А нуцтанинг тезлигини топишда гилдираклар тегиб турган С нуцта тезлик-
ларнинг оний марказидан иборат эканлигидаи фойдаланамиз:
= ..2rsing- = 2sin <₽,
vot OtC г
бунда <p=wZ — кривошипнинг айланиш бурчаги. Шундай цилиб,
vc = vA = vD> • 2sin <р = 2r w sin ы t. (3)
(2) ва (3) ии назарда тутиб, (1) дан царакат мицдорининг координата уцла-
ридаги проекцияларини аницлаймиз:
Qx = — MvOt cos <р = — Mr w cos w t,
Qy = MvOj sin <p - j- IMvCt == Mr <o (1 -f- 2k) sin co t.
21.2- масала. Вертикал уц агрофида тезланув-
чан айланма царакат цилувчи марказдан цочирма
регуляторнинг царакат мицдори цисоблансин. Бунда
<Р бурчак ф = (р(/) цонун асосида узгаради ва ОА,
ОВ стерженлар айланиши натижасида А ва В шар-
лар кутарилади. Стерженларнинг узунлиги ОА =
~ ОВ ~ AD = BD = I. Массаси М2 га тенг D муф-
танинг массалар маркази z уцда ётади. \ар бири-
нинг массаси Mj га тенг 4 ва В шарлар нуцта деб
царалсин. Стерженларнинг массаси цисобга олин-
масин (21.4-раем).
Ечиш. Марказдан цочирма реггляторни А, В
шарлар ва D муфтадан иборат учта моддий нуцта-
ташкил топган система Деб цараймиз. Шу са-
*2 — Qi + 0.2 + Оз,
21.4- раем.
35Z
бунда Qj, Q2, Q3 — мос равишда А, В шарлар ва D муфтанинг даракат микдопп
(15.3) ни системанинг >;ар бир ну^таси учун цуллаймиз: ,И‘
Q=Mi М]ТВ+ М2
бунда vA , vB , vD лар мос равишда А, В, D нукталарнинг тезлигини ифода.
лайди. 4
Система нудталари z уцка нисбатан симметрии жойлашгани туфайли система
нинг массалар маркази шу уцда ётади. Шу сабабли
<2д = мхс = о,
Чу = ^Ус = °- (1)
Qz = Mzc = MiZ^ -|" + M2zD.
Агар стерженлар хг текислигида ётади десак, гА = (cos ф, zB = / cos <р
Сд = 21 cos <р тенгликларни оламиз. Шу сабабли
zA = zB = — Z <р sin <р, zD = — 21 <р sin <р. (2)
(2) ни (1) га цуйсак,
С2 —• — 2 (Mj + М2 ) I ф sin ф.
\ 1
21.3-§. Нукта каРакат микдорининг узгариши кацидаги
теорема
Ньютоннинг иккинчи цсжунини (15.4) куринишда ёзиб,
1
уни dt га купайтирсак,
= (21.10)
ёки (21.8) га кура
d(md)=dS (21.11)
формула уринли булади.
(21.10) ёки (21.11) тенглама ну/упа даракат мицдорининг узга-
риши \ацидаги теореманинг дифференциал куринишидир. У куйи-
дагича укилади: нуцта даракат мицдорининг дифференциала нуЦ-
тага пюъсир этувчи кучнинг элементар импульсига тенг.
(21.10) ни координата уцларига проекциялаб,
d (mvx) = Xdt, d (mvv) — Ydt, d (mv^ =Zdt (21.12)
ёки
dqx = dSx, dqy ~dSy, dqz — dSz (21.13)
тенгликларни оламиз. Демак, ну y tn а даракат лищдори бирор коор-
дината укидаги проекциясининг дифференциала нуцтага таъсир
этувчи куч элементар импульсининг мазкур укдаги проекциясига
тенг.
358
Чекли вацт ичида нуцта ха-
пякат микдорининг узгариш ини
^иклаш учун (21.Ю) ни интег-
раллаймиз:
до — tra>0 = dt (21.14)
о
ёки
до — mv0=S, (21.15) /х
, 21.5- раем.
бунда v0 орцали t0 = 0 бошлан-
рич пайтдаги тезлик, v билан исталган t пайтдаги тезлик белгилан-
ган (21.5- раем).
(21.14) ёки (21.15) тенгламалар нукта даракат миудоринанг
чекли ваут ичида узгариши ^акидаги теоремани ифодалайди: нуц-
та харакат мицдорининг чекли вакт ичида узгариши нуктага
таъсир этувчи кучнинг шу eatyn ичидаги импульсига тенг.
Агар tB ва вацтлардаги нудтанинг даракат мицдорлари mv0 ва
до маълум булса, 7,— tB ва^тдаги нуцтага таъсир этувчи кучнинг
импульсини 21.5-раемдагидек тасвирлаш мумкин. Аксинча, чекли
t _>
вагуг ичидаги кучнинг импульси J Fdt ва нуцтанинг бошлангич Tes-
ti
лиги v0 маълум булса, исталган t пайтдаги нудтанинг тезлиги
tT=^ + —(21.16)
т о
формуладан ашщланади.
Нуцта даракат мицдори узгаришининг координата укларидаги
(скаляр) ифодасини куйидагича ёзиш мумкин:
mvx — mvox = Sx, mVy—mvov=Sy, mvz — mvoz = Sz. (21.17)
Демак, нуута даракат мицдорининг бирор координата ууи буйи-
ча чекли вацт ичида узгариши шу вакт ичидаги нуутага таъсир
этувчи куч импульсининг мазкур f/удаги проекциясига тенг.
Юцорида исботланган (21.14), (21.15) ва (21.17) куринишидаги
даракат мицдорининг узгариши ха^идаги теоремалар F куч (агар
нуцта Flt F2, . . . , Fn кучлар системаси таъсирида булса, F куч
учун кучлар системасининг тенг таъсир этувчиси 7? = 2 Fv оли-
нади) фацат вактнинг функциясидан иборат ёки миддор ва йуналиш
жихатдан узгармас булган ^олларда уринли булади.
Куйидаги лолларда даракат мшудорининг узгариши ^а^идаги
теоремадан фойдаланиб, нудтанинг даракат дифференциал тенглама-
I лари (16.1) ёки (16.3) нинг биринчи интегралларини аницлаш мумкин:
359
Arap F = О булса, яъни нуцтага цеч цандай кучлар таъсип
этмаса (ёки таъсир этувчи кучлар нолга эквивалент булса), Е
цолда (21.10) га кура
d(mv) — 0,
бннобарин,
—>• —> —---->
т и = с —cons t (21.18)
ёки (21.14) га кура
mv = mv0 (21.19)
тенглик уринли булади.
(21.18) ёки (21.19) тенгликлар царакат мицдорининг сацланиш
цонунини билдиради ва нуцта царакат дифференциал тенгламаси
(16.1) нинг биринчи векторли интегралини ифодалайди.
(21.18) да масса узгармас булгани учун курилаётган цолда
v = const булади, яъни нуцта тугри чизицли текис царакатда бу1-
лади. Бу натижа Ньютоннинг биринчи цонуни (инерция цонуни) ни
ифодалайди.
2) Агар кучнинг бирор уцдаги проекцияси нолга тенг булса:
Х = 0,
у цолда (21.17) га асосан
т vx — т vox = 0,
бннобарин,
= = (21.20)
ёки
х ~С1
куринишдаги (16.3) тенгламанинг биринчи интегралинн оламиз.
(21.20) дан курамизки, таъсир этувчи кучнинг бирор уцдаги проек-
цияси нолга тенг булса, нуцта тезлигининг мазкур уцдаги проек-
цияси узгармасдан цолади.
3) Агар таъсир этувчи куч цамиша уз йуналишини сацласа, ма-
салан, z уцца параллел булса, у цолда X ~ Y — 0 булади ва 2-
цолдагидек
x = Clt у=С2 (21.21)
биринчи интеграллар мавжуд булади.
(21.21) нинг биринчисини у, иккинчисини х га купайтирнб, олин-
ган тенгликларни солиштирсак,
С1у = Сгх ёки CLdy — C2dx=0
муносабат уринли булади. Охирги тенгликни интеграллаб цуйида-
гини оламиз:
С\у — С2х = const.
360
тенглама Z увда параллел текис-
ЬУ ётувчи эгри чизикнинг тенгла-
ифодалайди. Бннобарин, кури-
, ё7Тан холда нуктанинг траекторияси
хамигна г увда параллел текисликда
ётади-
21 3- масала. Огирлиги Р Н булган ав-
тХобилни tc вацт ичида тезлигини'е„ дан v
М/с гача камайтириш учун цандай куч билан
тормозлаш керак?
Ечиш. Автомобиль тугри чизицли цара-
катда деб цараймиз (21.6- раем). Автомобил-
га унинг огирлик кучи Р, нормал реакция
кучи N, тормозлаш кучи F цуйилган булиб,
барча кучлар йуналиш ва мицдор жицатдан
У зга рмас л и р *
(21.17) нинг бнринчч тенгламасидан фойдаланиб, х уцца нисбатан царакат
мицдорининг узгаришн цацидаги теоремани цуйидагича ёзиш мумкин:
т (v — Сд) = — F-t
ёки
F =
Р г0—о
g ‘
Н.
21.4- масала, е электр зарядига зга булган т массали заррача £=<4sin^
кучланишли (А ва k— узгармас мицдорлар) бир жинсли электр майдонида ца-
ракат цилади. Агар электр ма (Дрнида заррачага Е кучланиш томонига йуналган-
—X
F = еЕ куч таъсир цилиши маълум булса, заррачанинг t вацтдан кейинги ца-
ракат тезлиги аницлансин. Огирлик кучининг таъсири цисобга олинмасин. Зар.
рачанинг бошлангич тезлиги нолга тенг.
Ечиш. Агар Ох уцни t кучланиш буйича йуналтирсак, заррачага вацтнинт
функциясидан иборат ва х уц буйича i у налган куч F = еЕ = е A sin k t таъсир
этади (21,7- раем). = 0 эканлигини эътиборга олиб, (21.16) ни х уцца проек-
инялаб, керакли тезликни топамиз:
t t
1 Г* в/4 С* с А
v = cv = — \ F dt = —• I sin k t dt = — — (cos kt — 1).
mJ mJ km
о о
21.5- масала. Тухтаб турган сув ости кемаси оз1ина манфий р сузувчанлик
олиб, илгарилама царакат билан сув остига чукади. Кема кичик манфий сузув-
чанликка эга булганда сув.чинг царшилигини чукиш тезлигининг биринчи дара-
жасига пропорционал ва kav га тенг деб цабул цнлиш мумкин; бундай—про-
порционаллик коэффициента, о — кема горизонтал проекциясининг юзи, v—сувга
чукиш тезлигининг мнцдори. Кема массаси М га тенг. Кеманинг чукиш тезлиги
о аницлансин. t = 0 булганда со = О.
Ечиш. х уцни вертикал пастга йуналтирсак, сув сети кемасига танланган уц
буйлаб узгармас манфий сузувчанлик р ва унга царама-царши йуналган ва
тезликнинг функниясидан иборат царшилик кучи R — kav таъсир этади
(^1.8-раем). Шу сабабли нуцта царакат мицдорининг дифференциал куриниш-
лаги узгариши цацидаги (21.12) тенгламалар системасининг биринчисидан фой-
даланамиз:
363
d (in vx) = Xdt
ёки берилган масала учун
d (М v) = (р — ku i>) d t.
Бу тенгламада узгарувчиларни ажратиб интегралласак, кеманинг чукиш
тезлигини топамиз:
V t
J p — kov J
о о
ёки
Iv kat
ln(p-feOt)|0 = -—.
бундан
kat
21.6- масала. Снаряд бошлангич О цолатдан энг баланд М цолатга утганга
Кадар кетган вацт ичида унга таъсир циладиган барча кучлар тенг таъсир этув-
чисининг импульси топилсин (21.9- раем).
Беоилган: с0 = 500 м/с, аг = 60°, v — 200 м/с, снаряднинг массаси т =
= 100 кг.
Ечиш. (21.17) дан фойдаланиб, барча кучлар тенг таъсир этувчиси импуль-
сининг координата уцларидаги проекцияларини аницлаймиз:
Sx = т (vx — vox) = 100 (200 — 500 cos 60°) = — 5 000 Н-с.
Sy = tn (vy — voy) = 100 ( — 500 sin 60?) = — 43 300 H-c.
21.4-§. Система даракат мицдорининг узгариши цаци-
даги теорема
N та моддий нуцталардан ташкил топган система нуцталарига
ички ва ташци кучлар таъсир этсин. У цолда (21.3) да
d2 rv -+ d , -*,
-т^ -77 (v “ Й2.............
362
7ЛГИНИ назарда тутиб, системанинг царакат дифференциал тенг-
э^аларини цуйидагича ёзиш мумкин:
аЫ=к +п,
dt \ J
(v = 1,2, . . . , N). (21.22)
(21-22)
тенгламаларни цушамиз:
2^+2^-
бунда (21.5) га кура mv vv = Q системанинг царакат мицдорини
билдиради- Ички кучларнинг хоссасига кура 2 = 0 булади. S F\—
ташци кучларнинг бош векторини ифодалашини назарда тутсак,
Q _ ~ре
d t
(21.23)
муносабат уринли булади.
(21.23) тенглама система харакат мицдорининг узгариши ца-
цидаги теореманинг дифференциал куринишидир. У цуйидагича
уцилади: системанинг \аракат мицдоридан вацт буйича олинган
биринчи цосила системага таъсир этувчи ташци кучларнинг бош
векторига тенг.
(21.23) тенгламада ички кучлар цатпашмайди. ^ацицатан цам
ички кучлар система айрим нукталарининг царакат мицдори узга-
ришига таъсир этса-да, система харакат мицдорининг узгаришига
бевосита эмас, балки билвосита, ташци кучлар орцали таъсир этади.
Масалан, автомобилни система деб царасак, акселератор педа-
лини босган сари (бунда цосил буладиган куч ички кучдан иборат)
автомобиль двигателининг айланишлар сони орта боради; агар ав-
томобиль силлик муз устида турган булса, двигатель айланишлари
цар цанча катта булса цам етакчи гилдираклар билан муз устида-
ги ишцаланиш кучи (ташци куч) кичик булганда автомобиль жойи-
Дан силжимайди, яъни автомобилнинг царакат мицдори нолга тенг
булади. Лекин цуруц ва равен асфальт йулда ишцаланиш кучи
етарлн даражада катта булгани учун акселератор педалини босган
сайин автомобиль тезроц гора бошлайди, яъни унинг царакат миц-
Дори орта боради. Бу мпсолда ички кучларнинг ташци кучлар во-
ситасида система царакат мицдорининг узгаришига чаъсир эта олиши
намоён булади.
Купинча машина ва механизм цисмларига таъсир этувчи ички
кучлар номаълум булади. Система царакат мицдорининг узгариши
Цацидаги теореманинг амалий афзаллиги шундан иборатки, бу тео-
ремани цуллашда ички кучлар бутунлай эътиборга олинмайди. Шу
сабабли механик системани шундай танлаш керакки, натижада ол-
Диндан номаълум булган кучларни ички кучлар цаторига киритиш-
та эришиш зарур.
363
Система даракат мицдорининг узгаришн цацидаги
суюцлик ва газ динамикасида цамда узгарувчан массали
намнкасида самарали фойдаланилади.
теоРемадай
жисм
Агар системага ташци кучлар таъсир этмаса ёки ташци KyJ
ларнинг бош вектори нолга тенг булса (Ре = 0), (21.23) ни
d Q — Q
dt
куринишда ёзиш мумкин. Бундан
муносабатни оламиз. Векторли интеграллаш доимийси const царакат-
нинг бошлангич шартларидан аницланади. Агар t = 0 да система-
нинг нуцталари о10, о20, . . . , vn0 тезликларга эга булса,
const ~^mv —Qn
-vO
тенгликка эришамиз, бунда Qo системанинг бошлангич пайтдаги
царакат мицдори.
Шундай цилиб, 21.24 ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
Q = Qo- (21-25)
(21.24) ёки (21.25) тенгликлар механик система харакат миц-
дорининг сацланша цонуни деб аталади цамда система царакат
дифференциал тенгламалари (21.3) нинг биринчи векторли интегра-
лини ифодалайди. Бу тенгликлардан курамизки, агар системага
таъсир этувчи татки кучларнинг бош вектори нолга тенг бул-
са, системанинг харакат мицдор вектори мицдор ва йуналиш
жицатдан узгармас булади.
(21.23) ни Декарт координата уцларига проекциялаб, система
царакат мицдорининг узгаришн цацидаги теоремаипнг скаляр ифода-
синп цуйидагича ёзиш мумкин:
—I*. = Re — рр dUh — ре. (21.26)
dt ’ dt у’ dt
(21 26) цуйидагича уцилади: система даракат мицдорининг бирор
уцдаги проекциясидан вацт буйича олинган цосила, системага
таъсир этувчи ташци кучлар бош векторининг мазкур уцдаги
проекциясига тенг.
(21.23) тенгламанинг чап ва унг томонини dt га купайтириб,
интегралласак;
Q = Q0=i^dt. (2L27)
о
(21.27) тенглама система царакат мицдорининг чекли вацт
ичида узгаришн цацидаги теоремани ифодалайди: система цара-
364
мицдорининг чекли вацт ичида узгариши система нуктала-
КаГ11 'таъсир этувчи ташки кучлар бош векторининг шу вакт
Р^аги импульсига тенг.
I/4Wf21-27) ни дузгалмас Декарт координата уцларига проекциялаб,
Йидаги тенгламаларни оламиз:
о
Qy-Qoy = f^^.
о
Q2~Q0Z-\R{dt.
о
(21.28)
Шундай цилиб, чекли вацт ичида бирор цузгалмас координа-
та уцлари буйича система царакат мицдорининг узгариши худ-
ди шу вацт ичида системага таъсир этувчи ташци кучлар бош
вектори импульсининг мазкур уцдаги проекциясига тенг булади.
Агар ташци кучлар бош векторининг бирор (масалан, Ох) уцда-
ги проекцияси нолга тенг булса (/?*=0), (21.28) нинг биринчиси-
дан
тенгликни оламиз. Бннобарин,
Qx = QOJ. = const
(21.29)
булади.
(21.29) тенглик берилган уц буйича система царакат мицдори-
нинг сацланиш цонунини ифодалайди: системага таъсир этувчи
ташци кучлар бош векторининг бирор уцдаги проекцияси нолга
тенг булса, система царакат мицдорининг мазкур уцдаги проек-
цияси узгармас булади.
•—>-
21.7 - масала. Ннерцияси буйича v„ тезлик билан царакатланувчи горизон-
тал А платформа буйлаб В тележка и0 нисбий тезлик билан царакатланадн (21.10-
расм). Маълум вацтда i слежка тормозланади. Агар М — платформа массаси, т—
тележка массаси маълум булса. тележка тухтагандан кейин унинг платформа би-
лан биргаликдаги тезлиги аницлансин.
Ечиш. х уцни платформанннг хага-
каг йуналишида оламиз. Платформа ва те-
лежкани система деб царасак. система g -£
нуцталарига вертикал пастга йуналган Рх Гу1 *" Л Д
ва огирлик кучлари таъсир этади. Шу I /Т-— ? ТТ-'-СТ?'/___________________•"
сабабли ташци кучлар бош векторининг х ~ К
Уцдаги проекпняси нолга ленг булади, г -ц
я 1.ПИ о. 7
У цолда х уц буйича система царакат
М:'цдориципг сацланиш конуни (21.29) га
ас°сан • 21 10- раем.
365
Qx — Qox
тенглик билан ифодаланади, бу ерда
Qox — т (v0 + но) + М’о, Qx = (М + m)v
булгани учун куйидаги з^осил булади:
(М + т) v = m (vB 4- и0) + М vB.
„ , т
Бундан изланаетган тезликни топамиз: v = t'o 4---------«п.
21.5-§. Система массалар марказинииг ^аракати
^ацидаги теорема
Система даракат мицдорининг узгариши ^а^идаги теоремадан фой-
даланиб, система массалар марказинииг ^аракати ^ацидаги теоремани
келтириб чицарамиз.
(21.6) дан Q нинг цийматини (21.23) га цуямиз:
9
M^£- = Re (21.30)
ёки
Mwc = Re, (21.31)
—>
-> dvc
бу ерда wc — -& —система массалар марказинииг тезланиши.
(21.30) ёки (21.31) тенгламалар система массалар марказинииг
хрракати ^а^идаги теоремани ифодалайди: системанинг массалар
маркази массаси бутун система массасига тенг ва система нук-
таларига таъсир этувчи ташци кучларнинг бош вектори такси-
ридаги моддий нукта каби харакатланади.
Система массалар марказинииг харакати хацидагп теорема ва сис-
тема даракат ми^дорининг узгариши ха^идаги теоремалар битта тео-
реманинг турли куринишларидир.
(21.30) ёки (21.31) тенгламаларда ички кучлар цатнашмайди.
Шундан келиб чициб, ички кучлар система массалар марказинииг
даракатини узгартира олмайди, деган натижани оламиз.
Агар ташци кучларнинг бош вектори нолга тенг булса (Re = 0)>
(21.30) га кура,
бундан
и„= const
366
хглади- БУ тенглик система массалар маркази царакатининг сац-
^'нит крнунини ифодалайди: ташци кучларнинг бош вектори нол-
а тенг булса, системанинг массалар маркази тинч уолатда ёки
fji^Fpu чизицли текис хрракатда булади. Агар системанинг
массалар маркази бошлангич пайтда дузгалмас булса (ис = 0), сис-
теманинг массалар маркази кейинчалик ^ам цузгалмасдан долади
const).
(21-31) ни дузгалмас Декарт координата уцларига проекциялаб,
^уйидаги тенгламаларни оламиз:
Мхс=^’ М^с = ^- Мгс=^. (21.32)
(21.32) тенгламалар система массалар марказинииг Цузеалмав
Декарт координата ууларига нисбатан даракат дифференциал
тенгламаларини ифодалайди.
Агар ташци кучларнинг '
бирор (масалан, Ох) уцдаги
бош вектори нолга тенг булмай, унинр
проекцияси нолга тенг, яъни
Rer =0
булса, (21.32) га кура
d xr
М-77-2 = 0
dt
ёки
хс ~ vcx ~ const (21 -S3
булади. Бинобарин, системага таъсир этувчи кучлар бош векто-
рининг бирор кузеалмас укдаги проекцияси нолга тенг булса, сис-
тема массалар маркази тезлигининг мазкур уцдаги проекцияси
узгармас булади. Агар бошлангич t = 0 пайтда система массалар
маркази тезлигининг х укдаги
проекцияси (оГ1)0 = 0 булса, ке-
йинчалик хам v..t = 0, биноба-
рин, хс = const булади, яъни
системанинг массалар маркази бу
^олда х ук буйича кучмайди. Бу
натижа система массалар мар-
кази координаталарининг сац-
ланши конунини ифодалайди.
21.8- масала. Массаси 1000 кг га
тенг антсмашннага электр симларни ре-
монт |\илишда ишпатиладиган цузга-
лувчи айланма кран урнатилган. Кран-
иингссма кажаваси К раем текислигига
перпендикуляр горизонтал О ук атро-
фида айлана олпднган L стерженга би-
риктирилган (21.11-раем). Бошлангич
21.11- раем.
36Z
пайтда крап горизонтал цолда ва автомашина тинч цолатда булган. Агар кран
а = 60° бурчакка айланса, тормозланмаган машина цандай масофага силжийди?
Бир жинсли L стержеининг узунлиги 3 метр ва массаси 100 кг га тенг. Кажава.
нинг массаси 200 кг булиб, унинг массалар маркази О уцдан ОС = 3,5 м масо,
фада жойлашган. ХаРакатга курсатиладиган царшилик кучи цисобга олинмасин'
Ечиш. Бу масалада автомашина L стержень ва К осма кажавадан ташкил
топган учта жиемдан иборат системага эгамиз. Уларнинг огирлик кучлари мос
равишда Рг, Р2, Ра га тенг, гилдиракларга нормал реакция кучларининг йигин
диск А га тенг куч цам таъсир этади. Бу кучларнинг барчаси вертикал булгани
учун уларнинг горизонтал х уцдаги проекцияларининг йигиндиси нолга тенг бу-
лади,
Rex = °-
Шу сабабли (21.33) га кура массалар маркази тезлигининг х уцдагн проек-
цияси узгармас булади:
ХС ~ vCx ~ consl-
Бошлангич пайтда vCx = 0 булгани учун
хс = con st
(1)
булади.
(20.5) ни эътиборга олсак, (1) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
W1X1 + ш2х2+т3х3 т 4- т2хт + т3х^
тг + т2 + ms mj + m2 4- ms
ёки
"h fa — *io) + m2 (x2—x20) + m3 (x3 — x3„) = 0. (2)
Бунда x10, x20, x30 автомашина, L стержень ва К кажава массалари марка-
зининг бошлангич пайтдаги абсциссаларини; хъ х2, х8 лар эса кран а = 60°бур-
чакка кутарилгандан кейинги абсциссаларини ифодалайди.
21.11-раемдан:
OD
xt — х х 10. х2 = х + • cos а’
OD
xs = х + ОС cos а, х20 = ——, х30 = ОС.
(3) ни (2) га цуйсак,
«1X1 + «2
OD
х + —— (cos а
+ mg [х + ОС (cos а — 1)] = 0.
1_____
«1+«2+«з
т2 OD
(1 — cos а) -J- т30С (1 — cos а)
1 / ЮО-З \ _
------------------( + 200-3,51 (1 —0,5) = 0,327м.
1000 -ф 100 + 200 \ 2 т '
368
21.6*-§. Система даракат мицдорининг узгариши цаци-
даги теоремами суюцликнинг стационар оцимига татби-
км, Эйлер тенгламаси
Система царакат мицдорининг узгариши цацидаги теоремадан ту-
таш муцитлар динамикасида цам фойдаланилади. Бу теоремами узга-
рувчан кесимга эга булган цувур ичида царакатланувчи суюцликнинг
стационар оцими учун цуллаймиз, яъни цувур деворига перпендику-
ляр утказилган бирор кесимдаги суюцлик зарраларининг тезликлари-
ни бир хил ва вацтга боглиц эмас деб цараймиз.
КувУР Девори цамда s, ва s2 кесимлар билан чегараланган цажм-
даги суюцликка цажм кучлари (одатда, огирлик кучлари) ва сирт
кучлари (масалан, суюцликнинг цувур деворига ишцаланиш кучлари)
таъсир этади.
—>-
Ташци цажм кучларининг бош векторини /? ва ташци сирт куч-
ларининг бош векторини Rc билан белгилаймиз.
Агар берилган цажмдаги суюцликнинг бирор пайтдаги царакат
мицдори Q га тенг булса, царакат мицдорининг узгариши цацидаги
—>
(21.34)
dt л, t
тенглик уринли булади.
Айтайлик, суюцлик узгарувчан кесимга эга булган цувур буй-
лаб царакатлансин (21.12-раем). Суюцликнинг зичлигини (яъни бир-
лик цажмдаги массасини) р билан белгилайлик. У цолда S| кесим-
даги суюцликнинг зичлиги Pj га, s2 кесимда эса р2 га тенг булади.
PiVjSj ва p2w2s2 купайтмалар s2 ва s2 кесимлар орцали вацт бирли-
ги ичида оциб утувчи суюцлик массаларинн ифодалайди. Массанинг
сацланиш цонунига кура
Pi oIs1 = p.2o2s2
муносабат уринли булади.
Исталган кесим орцали вацт бирлиги
ичида оциб утувчи суюцликнинг масса-
сини Мс билан белгиласак, у цуйидаги-
га тенг булади:
Мс = Pi У1 Sj = р.2 v.2 s2. (21.35)
СИ бирликлар системасида Мс катта-
лик кг-с-1 улчамга эга булади.
Айтайлик, t вацтда Sj ва s2 юзалар
орасидаги суюцлик цажми т га тенг бул-
син; t 4- dt вацт ичида худди шу масса-
га эга булган суюцлик sj ва $' кесимлар
билан чегараланган цажмни ишгол эта-
ди (21.12-раем). Шундан келиб чициб,
курилаётган масса царакат мицдорининг
24—2282
369
узгариши Sj ва s( юзалар орасидаги суюцлнк даракат мицдориницр
камайиши ^амда s2 ва s' юзалар орасидаги суюцлик даракат миедо.
рининг ортиши ^исобига содир булишига ишонч з^осил цнламиз.
Суюцликнинг оцими стационар булганда st ва s2 кесимлар орка,
ли dt вацт ичида M.cdt суюцлик массаси утадп ^амда даракат ми^.
дорлари Mcdtv! ва b\cdtv.2 га тенг булади. dt вацт ичида даракат
мицдорининг узгаришини dQ билан белгиласак,
dQ = Mcdt t>2 — McdtvY
тенглик уринли булади. Бундан
—>-
-^-=мД-мЯ (21.36)
муносабатни оламиз. Бу тенгламадаги ва Mcv2 купайтмалар
вацт бирлиги ичидаги s± ва s2 кеспмлардаги харакат ми^дорини ифо-
далайди.
(21.36) ни (21.34) га цуйиб, куйидаги тенгламани оламиз:
мЯ — MX + Z + 0- (21 -37)
(21.37) тенглама Эйлер тенгламасини ифодалайди: цувурнинг
иккита ихтиёрий кесими ортали окиб утувчи суюцликнинг шу
кесимлар орасидаги васуп бирлигидаги хажмнинг ички томонига
йуналган харакат мицдорлари хрмда цажм ва сирт кучлари бош
векторларининг геометрик йигиндиси нолга тенг булади (21.13-
расм).
21.9-масала. Кпр^имн узгариб борадигаи дузгалмас каналга горизонтга а =
90' бурчак остида с, = 2 м/с тезлик билан сув кирмогуца; канал вертикал те-
кисликка нисбатан симметрии булиб, сув кирадиган жойидаги цирцими s, =
= 0,02 м2; сувнннг капалдан чициш жойидаги тезлиги о2 = 4 м/с булиб, горизонт-
га а = 30° бурчак остида йуналган. Канал деворида сув ^осил циладиган реак-
циянинг горизонтал тузувчиси анидлансин (21.14-раси).
Ечиш. Координата утуларини 21.14-расмдагидек йуналтирамиз. Канал буйлаб
о^аётган сув зарраларига хаР онда огирлик кучи ва канал деворида ^осил 6J-
лчлпган реакция кучи таъсир этади. Огирлик ксчлари >;ажм кучларидан иборат
g уларнинг бош векюри капалиииг Серил.ян ^ажмани ишгол эпан сувнннг
” олнк кучига тенг ва вертикал буйлаб йуналгани учун унинг горнзоншл уц-
даги проекцияси нолга тенг (Л^ = 0).
Канал деворида сув хосил киладиган реакциянинг горизонтал тузувчиси Nx
канал деворида досил булади, ан сирт кучларидан иборат реакция кучи бош век-
торининг горизонтал ташкил этувчиси Хс га миддор жидатдан тенг, йуналиши
карама-карши булади. Каналга кирувчи сувнинг v1 тезлиги х удига перпенди-
куляр ва каналдан чикувчи сувнинг тезлиги эса х уц билан 30° бурчак ташкил:
етишини назарда тутиб, (21.38) нинг биринчи тенгламасини куйидагича туза-
миз:
Мс»! cos 90° — cos 30° -j- Xc — 0
у
jK1) Xc=Nx, Mc. = pjSjt>i=— SjVt, 7 = 9803,92 Н/м3 булгани учун
v 9803,92 l/'o'
Nx = — slvlu2 cos 30° =—--------0,02-2-4-- *- — = 138 H булади.
21.7-§. Узгарувчан массали жисм ^а^ида тушунча
Назарий мехапикада асосан массалари узгармас булган система
ва жисмларнинг ^аракати ургаиилади. Лекин жисмлар ^аракатлан-
ганда унга моддий зарраларнинг ^ушилиши ёки ажралиши натижа-
сида жисмларнинг массаси ссзнларлп даражада узгаришига куплаб
мисоллар келтириш мумкин. Масалан, ракета актив участкада хара-
катланганда ё^илги ёниб, упдан ажралиши натижасида ракетанинг
массаси камая боради; айсбергларнинг эриши (ёки музлашн) нати-
жасида уларнинг массаси камаяди ёки ортади; барабанга короз, ип
ёки кабелнинг уралиши натижасида унинг массаси ортади ва з(.к.
1969 йил 16 июлда «Сатурн-5» ракетаси ёрдамида АКДЬча учирил-
ган «Аполлон-11» космик кеманинг старт ^олатидаги массаси 2 950 000
кг; Ойдан Ерга цайтиб тушган бошцариш кабинасининг массаси
5561,5 кг булган*). Бундан курамизки, космик кема массаси бош-
лангич пайтдаги микхдорига нисбатан 99,81 % га камайган.
Жисм массаси узгаришининг узига хос хусусиятларини урганиш-
дан аввал узгарувчан массали жисм тушунчасини киритамиз.
Вацт утиши билан моддий зарраларнинг цушилиши ёки аж-
ралиши натижасида массаси узлуксиз равишда узгарадиган жисм уз-
гарувчан массали жисм дейилади. Агар узгарувчан массали жисм
илгарилама ^аракатда булса, бундай жисмни узгарувчан массали
нуцта деб цараш мумкин.
*) Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложе-
нии. М.: Наука, 1980, 278, 280 6.
371
21.8-§. И. В. Мешчерский тенгламаси
Узгарувчан массали нуцта учун узгармас массали нуцта динами-
касининг асосий цонуниии бевосита цуллаш мумкин эмас. j
Ёцилги сарф булиши натижасида массаси узлуксиз равишда ка-
майиб борувчи ракетани моддий нуцта деб цараб, унинг актив участ-
кадаги харакат дифференциал тенгламасини чицарамиз. Ракега мас-
саси М (/) ни вацтнинг узлуксиз дифференциал л анувчи функцияси-
дан иборат деб цараймиз. Ракетанинг царакатини бирор цузгалмас
Oxyz координаталар системасига нисбатан текширамиз. Ажралувчи
зарраларнинг ракетага курсатадиган босим кучини ички куч деб ола-
миз, яъни ракета ва ундан ажралувчи зарраларни битта механик сис-
тема деб цараймиз.
Айтайлик, бирор I пайтда ракетанинг массаси М — М (/) ва тез-
лиги и га тенг булсин. Шу пайтдаги ракетанинг царакат мицдори
Qo = М v
булади. dt вацт ичида ракетадан абсолют тезлиги и га тенг dM мас-
сали зарралар ажралсин. Ракетанинг массаси М камаювчи функция-
дан иборат булгани учун dM < 0 ва [dM| ——dM. t ф- dt вацтдан
кейин система (ракета ва ундан ажралган зарралар) нинг царакат
мицдори цуйидагича аницланади:
Q — [ М — (— dM) ] (v + d и) — dM • и.
dt вацт ичида царакат мицдорининг узгарипипш dQ билан белги-
ласак,
dQ = Q-Q0
ёки
dQ — (М + dM) (и + d v) — dM. -и — Mv =
= Md~v + dM (v-ti) + dM-dv. (21.39)
— у-
Агар ракетага таъсир этувчи ташци кучларнинг бош вектори F
билан белгиланса, система царакат мицдорининг узгариши цацидаги
(21.23) тенгламага кура,
£2- = F (21.40)
di
(21.39) ни (21.40) га цуйиб, dM dv иккинчи таргибли кичик миц-
дорни эътиборга олмасак,
М — 1)=? (21.41)
dl dt
372
-кИ"^__v = ur — ажралувчи зарраларнинг нисбий тезлиги эканлиги-
ни эътиборга олсак,
М—=7+Х — (21.42)
dt r dt
тенгламани оламиз.
(21.41) ёки (21.42) тенгламалар узгарувчан массали нуцтанинг
даракат дифференциал тенгламасини и(}юдалайди. Бу тенглама
И В. Мешчерский тенгламаси дейилади.
' (21.42) да
пг-^-=Ф (21.43)
at
катталик куч улчамига эга булади; катталик вацт бирлиги ичи-
dt
—>-
даги ёцилги массасининг узгаришини ифодалайди. Ф куч зарралар-
—>•
нинг ракетадан иг нисбий тезлик билан ажралиши натижасида цо-
сил булади ва реактив куч дейилади.
(21.43) ни эътиборга олиб, (21.41) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
М-—=?+Ф- (21.44)
dt
(21.44) тенгламадан курамизки, цар онда узгарувчан массали
нуцта массасини унинг тезланишига купайтмаси мазкур нуцта-
га таъсир этувчи ташци кучлар бош вектори билан реактив куч-
нинг геометрик йириндисига тенг.
Агар ажралувчи зарраларнинг абсолют тезлиги и нолга тенг бул-
са, (21.41) ни
>
dv yt dM
М----- = F------V
dt dt
ёки
A(mT)=F (21.45)
куринишда ёзиш мумкин. Бинобарин, агар ажралувчи зарраларнинг
абсолют тезлиги нолга тенг булса, узгарувчан массали нуцтанинг
царакат дифференциал тенгламаси (21.45) билан Ныотоннинг иккин-
чи цонунини ифодаловчи (15.4) тенгламалар бир хил куринишга эга
булади. да-
Шунингдек, ажралувчи зарраларнинг нисбий тезлиги дг — Ь
булса, (21.42) дан
(2146)
dt
тенгламани оламиз.
373
координата уцларидаги
Шундай цилиб, ракетадан ажралувчи
зарраларнинг нисбий тезлиги нолга тенг
булса, узгармас массали нуцтанинг цара-
кат дифференциал тенгламаси (16.1) би-
лан узгарувчан массали нуцтанинг хара-
кат дифференциал тенгламаси (21.46) бир
хил куринишга эга булади. Лекин (21.43)
ва (21.46) тенгламаларда массанинг уз-
гарувчан эканлигини назарда тутпш ке-
рак. „
Узгарувчан массали жисмнинг цара-
катига оид масалаларни ечишда (21.41),
(21.42) ва (21.44) тенгламаларнинг Де-
карт координата уцлари ёки табиий
проекцияларидан фойдаланилади.
21.10- масала. Узунлиги I га тенг ва массаси т = т (О цонун асосида узга-
рувчи цамда бурчак тезликка пропорционал булган R = ftp кяршилик кучи "тат,
сиридаги тебрангичнинг царакат тенгламаси тузилсин. Тебрангичдлн ажратур-ш
зарраларнинг нисбий тезлиги нолга тенг деб царалсин. и J ш
Ечиш. Тебрангичга унинг огирлик^ кучи ш(/)7 ва тезликка царама-царши
йуналган муцитнинг царшилик кучи R таъсир этади (21.15-расм). Ажралувчи
зарраларнинг нисбий тезлиги иг = 0 булгани учун Ф = 0.
(21.44) ни М нуцтадан царакат траекгориясига утказилган уринмага ппоек-
циялаймиз: к
du
dt = £г+Фт« (1)
Масала шартига к£ра М = т (/), FT = — tn (t) gsin<p -f- Rx = — m (0 g sin <p —
— Рф, Ф, «=0 булгани учун (1) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
dv
т (t) = — т (0 g sin <р — Р ф.
Бунда и = I <р булгани учуй тебрангичнинг царакат дифференциал тенгламасини
Ф = ——~ sirup---------—<р
I
to
Р • g
fp+^'p + Ts,n,₽=0
куринишда ёзиш мумкин.
21.9-§. Циолковский формуласи
Ернинг тортиш кучи ва цавонинг царшилигини цисобга олмай,
ракетанинг фацат реактив куч таъсиридаги царакатини текширамиз.
Ёцилри ёниши натижасида рлкетадан ажралувчи зарраларнинг аб-
солют тезлиги иг мицдор ва йуналиш жицатдан узгармас булиб, ра-
374
Кетанинг тезлиги v га карами- царши йуналган деб цараймиз ва
Ёцилги ёниб булган пайтдаги ракетанинг тезлигини аницлаймиз. х уц-
ни ракета царакати буйича йуналтирамиз ва F — 0 эканлигини на-
варда тутиб, (21.42) ни бу уцца проекциялаймиз:
ёки
dv = — иг
dM,
М
Бу тенгламани интеграллаймиз:
о М
Г . f dM
। dv = — и. I---,
J м
И.
. t м0
v = v0 + ur In—,
(21.47)
бунда и0, Мо — ракетанинг бошлангич пайтдаги тезлиги ва массаси.
Агар ракета корпусининг массасини Мк, ёнилги массасини Мё би-
лан белгиласак, ракетанинг бошлан&ч пайтдаги массаси Мо = Мк-}-
+ М„ ёцилги ёниб булгандан кейинги массаси М = Мк булади.
Ёцилги ёниб булган пайтда, яъни актив участка охирида ракета энг
катта тезликка эришади ва бу тезлик (21.47) га асосан
/ \
vmax = v0 + ur In 1 + — (21.47')
\ 1 1к '
формуладан аницланади.
Циолковский сони деб аталадиган
2=^2- (21.48)
Мк
катталикни киритсак, (21.47') ни цуйидагича ёзиш мумкин:
®тах ~ (21 -49)
Бу формула Циолковский формуласи дейилади.
(21.49) дан курамизки, актив участка охирида ракетанинг тез-
лиги унинг бошлангич тезлиги t>0 га, ажралувчи зарраларнинг нис-
бий тезлиги иг га, Циолковский сони г га боглиц булади. Бундан
ракетанинг максимал тезлиги ёцилгинпнг тез ёки секин сарфлани-
шига боглиц булмайди, деган хулосага келамиз.
(21.49) дан курамизки, v0, иГ ва г ортган сари ракета тезлиги
цам орта боради. Ернинг сунъий йулдошларини учиришда о0 ни
ошириш учун куп босцичли ракетадан фойдаланилади. Бирор бос-
цичдаги ёцилги ёниб булгач, бу босцич ракетадан автоматик тарзда
375
ажралади ва ракета цушимча бошлангич тезлик олади. иг ва z ларнй
ошириш ракета конструкцией ва ёцилги турнга бот лик.
Агар ракетанинг бошлангич тезлиги нотга тенг булса, (21.47') ци
цуйидагича езиш мумкин:
vmax=u,\nz. (21.50)
Бу формула хам Циолковский формуласи деб аталади.
(21.50) дан
(21.51)
муносабатни оламиз.
21.11-масала. Уч босцичли ракета илгарилама даракат цилади, унга Ернинг
тортиш кучи ва атмосфера царшилиги таъсир этмайди. Цар бир бсскич учун аж-
ралиш эффектив тезлиги ва Циолковский сони бир хил булиб, = 2500 м/с,
2=4. Биринчи, иккинчи ва учинчи босцичларда ёцилги ёниб гут аган пайтдаги
ракетанинг тезликлари аницлансин.
Пзо\. Ернинг тортиш кучи ва атмосферанинг царшилигн цисобга олинмаган
цолда ракета учун ажралиш ьффектив гезлиги ve ва ажралувчи зарраларнинг
нисбий тезлиги иг узаро тенг булади (ve = ur).
Ечиш. Изланаётган тсзликлярни сц, о2, о3 билан белгиласак, (21.50) ва (21 49)
Циолковский фсрму.таларига кура
vt = ve In г = 2500 - In 4 = 3465 м/с,
u2 = Ст + ve 1п г — 3465 Ц- 2500 In 4 = 6930 м/с,
= °2 + f'c In г = 6930 4- 2500 In 4 = 10 395 м/с.
21.10-$. Моддий нуцта царакат мицдорининг моменти
ва системанинг кинетик моменти
Массаси т. царакат тезлиги v га тенг М нуцтанинг бирор О
марказга нисбатан радиус-вектори г га тенг булсин. О марказга
нисбатан нуцта царакат мицдорининг моменти деб,
/?0 = Мо (то) = г кто
(21.52)
га тенг вектор катталикка айтилади
(21.16- раем/.
М нуцта царакат мицдорининг мо-
менти k0 момент маркази О нуцтага
цуйилади.
Координаталар бошини О марказ-
да олиб, цузгалмас х, у, г уцларни
утказсак, (21.52) ни
376
t0 = Mo (M = т
i j k
X у z
X у z
к?.ринишда ёзиш мумкин. Бу тенглик-
ни координата уцларига проекциялаб,
vi-ларга нисбатан царакат мицдорининг
моментларини аницлаймиз:
kx = Мх (mv) = m(yz — zy),
= Л4у (mv) = т (гх — хг),
kz = Мг (mv) = т(ху — ух).
(21.52')
СИ бирликлар системасида царакат 21.17-раем,
мицдорининг моменти кг-м2/с ёки
Н'М-с билан улчанади.
Механик система барча нуцталарининг О марказга нисбатан ца-
ракат мицдори моментларининг геометрик йигиндиси
^0 («Ч uv) = Z rv X mv (2 1 53)
га тенг вектор системанинг О марказга нисбатан кинетик мо-
менти ёки система царакат мицдорининг бош моменти дейилади.
Системанинг кинетик моменти Ко момент маркази О нуцтага
цуйилади.
Агар механик система нуцталари бирор цажм (сирт ёки чизиц)
буйича узлуксиз тацсимланган булса, у цолда (21.53) да йигинди
урнига массанпнг цандай тацсимланишига мос интеграл олинади.
(21.53) ни координата уцларига проекциялаб, мос уцларга нис-
батан системанинг кинетик момептнни аницлаймиз:
Кх = Z (mv Ux> = S mv <Ух Zx — Zx Ух)'
Ку = ЪМу <тД) = 2 mv <2v Xx — Xx 2v)>
Ky = 2 4 l\) = X mx (xv Ух — Ух \) •
(21.53')
Системанинг царакат мицдори унинг массалар маркази билан бир-
галикдаги илгарилама царакатини (21.2- § га мувофиц), кинетик мо-
менти эса унинг айланма царакатини характерлайди.
Кузгалмас уц атрофида айланувчи жисмнинг айланиш уцига
нисбатан кинетик моменти. г уц атрофида со бурчак тезлик билан
айланувчи жисмнинг z уцига нисбатан кинетик моменти Т(2 ни хи-
соблаймиз (21.17-раем). Бу пинг учун жиемдан массаси dm га тенг
М булакчасини ажратамиз ва уни моддий нуцта деб цараймиз. Жисм
цузгалмас уц атрофида айланганда бу булакча маркази айланиш
уцидаги О нуцтада ётувчи ва радиуси h га тенг айлана буйлаб ца-
377
ракатланади. М нуцтанинг тезлиги v мазкур айлапага М нуктада
утказилган уринма буйлаб йуналгани учун v dm хам уринма буйлаб
йуналади. Шу сабабли z уцца нисбатан М булакчанинг царакат миц.
дери v dm нинг моменти kz = Mz (v dm) — v dm h = co Л2 dm га тенг
булади. Бутун жисмнинг кинетик моменти эса Kz—\ co/i2 dm
<М)
= со f h2 dm га тенг булади.
(М)
(20.8) га кура, f h2dm = lz булганидан цуйидаги формулага эга
(Ml
буламиз:
/<г=/г-со. (21.54)
Демак, кузгалмас уц атрофида айланувчи жисмнинг айланиш С/кига
нисбатан кинетик моменти жисмнинг мазкур уцца нисбатан
инерция моменти билан бурчак тезлигининг купайтмасига тенг.
Агар система цузгалмас уц атрофида айланувчи бир неча жием-
дан ташкил топган булса, унинг кинетик моменти
Кг = Л2И1 + ^22Иг+ • • • + Кг 41 (21.55)
формула ёрдамида хисобланади. Бунда сох, со2, ..., со„ лар цар бир
жисмнинг бурчак тезлигини; /12, /22, . . ., Inz лар эса жисмларнинг
z уцца нисбатан инерция моментларини ифодалайди.
21.11- §. Нуцта царакат мицдори моментининг узгариши
цацидаги теорема
М нуцтанинг массаси т га тенг б^либ, F куч таъсирида о тез-
лик билан царакатлансин. Бундай нуцта учун динамиканинг асосий
—>-
цонунини (16.1) га асосан т -—^- = F куринишда ёзиш мумкин.
dt
Бу тенгламанинг хар иккала томонинн нуцтанинг радиус- вектори
г га векторли купайтирамиз
7хт —=7хА. (21.56)
Тенгламанинг чап томонидаги ифодани цуйидагича ёзиш мумкин:
г X т = — (г X mv)---------— Xmv.
dt dt dt
Ammo = o; ox mv вектор купайтма нолга тенг. Шу сабабли
dt
—>
г X т —— » — (г X mv) тенглик уринли булади. Натижада (21.66)
dt dt
Дан
878
— (г X mv) = г х F
dt
(21.57)
тенгламани оламиз.
(21.52) га кура k0 — Мо (mv) = r х mv вектори нуцтанинг О мар-
казга нисбатан харакат мицдори моментини ифодалайди.
Статика булимида курганимиздек, (6.1) га кура Мо (F) = г X F
нуцтага цуйилган F кучнинг О марказга нисбатан моментини
ифодалайди.
Шундай цилиб.
-L(Pxmvj = M0(F) (21.58)
dt
ёки
dkn -> ->
-~=M0(F) (21.59)
тенглама уринли булади.
(21.58) ёки (21.59) тенгламалар нуцта царакат мицдори мо-
ментининг узгариши цацидаги цуйидаги теоремани ифодалайди:
моддий нуцта царакат мицдорининг бирор цузгалмас марказга
нисбатан моментидан вацт буйича олинган цосила нуцтага таъ-
сир этувчи кучнинг шу марказга нисбатан моментига тенг.
(21.59) ни Декарт координата уцларига проекциялаб, нуцта ца-
ракат м.ицдорининг координата уцларига нисбатан моментлари
узгариши цацидаги теоремани оламиз:
dkr dkv -> dk-, -►
-^ = 7ИЛ(О. -rf- = My(F), -^ = M,(F), (21.60)
яъни моддий нуцта харакат мицдорининг бирор цузгалмас уцца
нисбатан моментидан вакт буйича олинган цосила нуцтага таъ-
сир этувчи кучнинг шу уцца нисбатан моментига тенг.
Координата уцларига нисбатан кинетик моментнинг ифодаси (21.52)
ва кучнинг уцца нисбатан моменти учун уринли булган (6.9) ларни
назарда тутиб, (21.60) ни цуйидагича ёзамиз:
т~ (tjz — zy)=yZ — zY,
at
т — (zx — xz) = zX — xZ,
dt
m — (xy — yx) = xY — yX.
at
(21.61;
Нуцта царакат мицдори моментининг узгариши цацидаги теоре-
мани цуллашга мисол тарицасида нуцтанинг марказии куч таъсири-
даги царакатини куриб чицамиз.
379
21.12-§. Нудтанинг марказий куч таъсиридаги даракати
Юзалар цонуни
Таъсир чизиги ^амиша фазонинг бирор дузгалмас нуцтаси op^ajJ
утувчи куч марказий куч дейилади. Масалан, Ерга дамиша Куёщ
марказига йуналган унинг тортиш кучи таъсир этади.
М нудтага F марказий куч таъсир этсин (21.18-раем). F куч-
нинг таъсир чизиги дамиша О нуцтадан утгани туфайли унинг шу
нудтага нисбатан моменти нолга тенг булади. Бинобарин, (21.59) га
асосан
^£ = 0
dt
яъни, О марказга нисбатан нудта даракат миддорииннг моменти уз-
гармас вектордан иборат булади:
k0 = г х mv = const —с. (21.62)
Бу тенглама нукта даракат. мицдори моментининг сакланиши
ущидаги дуйидаги щонунни ифодалайди: марказий куч таъсиридаги
нукта даракат мицдорининг куч марказига нисбатан моменти
узгармасдан колади.
(21.62) ни Декарт координата удларига проекциялаб, нудта да-
ракат дифференциал тенгламаларининг учта скаляр биринчи интег-
ралини оламиз:
m (yz — zy) = Ср
т (zx — xz) = С2,
(21.63)
т(ху — ух) = С3,
бунда С1т С2, С3 лар интеграллаш доимийлари булиб, даракатнинг
бошлангич шартларидан анидланади.
(21.62) га дуйидагича геометрик интерпретация бериш мумкин:
г ва v ётган текисликка дар онда перпендикуляр йуналган г х mv
вектори дамиша узгармас йуналишга эга булади. Шу сабабли г ва и
векторлари доимо О марказдан утувчи бир текисликда ётади. Бипо-
барин, марказий куч таъсиридаги нудтанинг траекторияси бир
текисликда ётувчи эгри чизицдан иборат булади. Бу эгри чизид
буйича даракат дандай донун асосида содир булишини анидлаш учун
нудтанинг сектор тезлиги тушунчасини киритамиз.
Айтайлик, t вадтда нудта уз траекториясида М долатни, t + A t
вадтда Мг долатни эгал.тасин (21.19-раем). Агар 0ММг бурчак
юзини Ао билан белгиласак, раемдан Ас юза г радиус- вектор билан
—>- —> •—>
Ar = At) —- г (t) кучиш вектори векторли купайтмаси модули-
нинг ярмига тенг булишига ишонч досил диламиз:
Ао = [г х Аг |.
380
21.19- раем.
Дуйидаги формула ёрдамида ани^ланадиган
Д о = у (г X Дг)
(21.64)
До юза векторини кнритамиз.
Юза вектори До нинг шу
батининг Д t —> 0 даги лимити
сектор тезлиги дейилади.
Шундай цилиб, сектор
юзага мос At вацт оралигига нис-
нуктанинг О марказга нисбатан
тезлиги учун
vn = lim----
Д«
ёки
* da
at
формула уринли булади.
Сектор тезлиги и0 ни нуцтанинг тезлиги и орцали ифодалаш учун
(21.64) нинг иккала томонини At га булиб, Д/->0 да лимнтга
утамиз:
v — lim — — lim
Д t 2
7 <7 НМ
ёки
2 vo == г х v = Мо (о). (21.65)
Бинобарин, нудтанинг бирор марказга нисбатан иккиланган
сектор тезлиги шу нукта тезлигининг мазкур марказга нисбатан
моментига тенг.
Агар нуцта бир текисликда ^аракатланса, у ^олда ^утб коор-
динаталарини киритиб, сектор тезлигининг мицдори учун ушбу фор-
мулани оламиз:
3S1
da 1 • 7* T 1 1 „ •
u°=T=Tfysin (r> v)=Trvp = Tr (21-66>
(21.55) нинг иккала томонини m га купайтирсак,
2 т ио = г х mv = k0
тенглик уринли булади. Бу тенгликни (21.62) билан солиштириб
kQ — 2 mvo = const
(21.67)
булишига ишонч цосил циламиз.
Шундай цилиб, марказий куч таъсиридаги нуцтанинг сектор тез-
лиги узгармас булади, яъни нуцтанинг радиус-вектори иккита бир хил
вацт оралигида узаро тенг юзалар чизади. Бу натижа юзалар цонуни
дейилади. Юзалар цонуни планеталар царакати учун уринли булиб,
Кеплер цонунларидан бирини ифодалайди.
Агар 21.20-раемда тасвирланган эллипс бирор планетанинг ор-
битасини ифодаласа цамда унинг О фокусида Цуёш ётса, у цолда
перигелий деб аталадиган 11 нуцтада планета энг катта тезлик-
ка, афелий деб аталадиган А нуцтада энг кичик vA тезликка эга
—> —>-
булади. Бу натижани t>n ва vA тезликларнинг О нуцтага нисбатан
моментларининг тенглигидан келтириб чицариш мумкин:
Пд-ОП — va-OA.
(21.66) ни назарда тутиб, (21.67) га кура юзалар цонуиинч яна
цуйидаги куринишда ёза оламиз:
т г2 <р = const
ёки
г2 <р = const.
(21.68)
Агар нуцтага таъсир этувчи нолдан фарцли F куч бутун цара-
кат давомида z уцца параллел булса ёки унинг таъсир чизиги z уцни
кесиб утса, у цолда Мг (А) = 0 ва (21.60) нинг учинчи тенглама-
сига кура
dkz
dt
kz = Mz (т v) = const (21.69)
21.20- раем.
булади, яъни нуцтага таъсир этув-
чи кучнинг бирор цузгалмас уЦ№
382
сбатач моменти \амиша нолга тенг
Л ..ллЛл <J /,(."*,./> U / / U 1 11111
узгармас-
&
булса, У
нисбатан
дан I
^са^ланиш конунини ифодалайди.
21.12- масала. Л! н}кта таъсир чизиги доимо
О нуцтадан утадиган марказий F куч таъсирида
гяпакатланади. Агар Л/j холатда нуктанинг тез-
*•р 0.111 3
лиги Ui = 4 м/с булса, = — шартии ка-
хрлда нуктанинг шу укка
кинетик моменти
н ~колади. Бу хулоса нуцта кинетик
Моментининг берилган укка нисбатан
ноатлаитирувчи нуцтанинг Л12 цолатдаги тезлиги v2 аницлансин. М2 нуцтада Vi
билан F орасидаги бурчак а = 90°, Л12 нуктада о2 билан F куч орасидаги бур-
чакр = 60э (21.21-раем). М нуцтанинг огирлик кучи эътиборга олинмасии.
Ечиш. Л/ нуцта учун О нуцтадан раем текислигига перпендикуляр равишда
утувчи г уцца нисбатан нуцта кинетик моментининг узгариши цацидаги теоремани
цуллаймиз. (21.60) нинг учиичи теигламасига кура
d/г, ->
~5- = Л1г(Г).
dt
Мг (/) = 0 булгани учун kz узгармас булади. Шу сабабли
^iz — ^22-
(1)
Бунда kiz — тсц. ОМХ — нуцтанинг Л72 цолатдаги кинетик моменти; k2z~mv2h=
= tnv2 ОМ2 sin Р — нуцтанинг Л12 цолатдаги кинетик моменти. klz ва й22 лар-
нинг цийматларини (1) га цуйсак,
mt>i О.М1 — rm2-0M2 sin р,
бундай
ОЛЦ fl 3 4 „
V» =-----••---— = —• - -,= = 6,93 м/с.
г О,\12 sin р 2 ]/3_
2
21.13- §. Система кинетик моментининг узгариши хацн-
дЭ1 и теорема
N та нуцтадан ташкил топган механик система нуцталарига цу-
йилган барча богланишларни богланиш реакция кучлари билан ал-
маштириб, система нуцталарига таъсир этувчи барча кучларни (жум-
ладан, богланиш реакция кучларини цам) F£v ташци ва F‘v ички куч-
ларга ажратамиз. Натижада бундай система нуцталарини эркин деб
цараб, уларнинг цар бири учун кинетик моментнинг узгариши хацп-
лаги (21.58) теоремани цуллаш мумкин:
(игД) = ~М0 (F^,) + M0(F[), (v = 1, 2, ... . IV).
383
Бу тенгламаларни цушсак,
т Z 4 К Ъ = Z К й + Ц (м0 (7‘) (21,70)
тенглик уринли булади.}
(21.70) да (21.53) га кура Ко = Мо (mv К) системанинг ки-
нетик моментини ифодалайди.
Барча ташци кучларнинг О нуцтага нисбатан моментларининг
геометрик йигиндисига тенг
^о=2^о (Xе) (21.71)
катталик ташци кучларнинг О нуцтага нисбатан бош моменти
дейилади.
(20.2) га кура барча ички кучларнинг 0 нуцтага нисбатан мо-
ментларининг геометрик йигиндиси нолга тенг:
v4(^) = 0.
Шундай цилиб, (21.70) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
= (21.72)
Олинган тенглама система кинетик моментининг узгариши
цацидаги ушбу теоремани ифодалайди: системанинг бирор цузеал-
мае нуцтага нисбатан кинетик моментидан вацт буйича олин-
ган цосила система нуцталарига таъсир этувчи ташци кучлар-
нинг шу марказга нисбатан бош. моментига тенг.
(21.72) пи иккала томонини цузгалмас Декарт координата уц-
ларига проекциялаб, цуйидаги тенгликларни оламиз:
= ЛР, -^-=ЛК -^-=ЛК (21.73)
dt х dt у dt 2 v '
бунда Кх, Ку, Кг лар мос равишда 0х, 0у, 0г уцларга нисбатан
системанинг кинетик моментларини; Мек, Ме, Мег лар эса мазкур
уцларга нисбатан ташци кучларнинг бош моментларини ифодалайди.
(21.73) тенгламалар цузгалмас координата уцларига нисбатан
система кинетик моменти цацидаги теоремани ифодалайди: систе-
манинг бирор цузгалмас уцца нисбатан кинетик моментидан
вацт буйича олинган цосила система нуцталарига таъсир этув-
чи ташци кучларнинг шу уцца нисбатан бош моментига тенг.
Система кинетик моментининг узгариши цацидаги теоремадан
жисмнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма царакати, сферик цара-
кати (жумладан, гироскопларнпнг царакати) ни ургаишида самара-
ли фойдаланилади.
(21.72) ва (21.73) тенгламалардан куриниб турибдики, уларда
ички кучлар цатнашмайди. Фацат ички кучлар системанинг кинетик
384
ментини узгартира олмайди. Ички кучлар
х°пвосита ташци кучлар билан биргаликда сис-
ема кинетик моментининг узгаришига таъсир
Jthiuh мумкин.
21.13-масала. Электр чигирицнп юргизиш пайтида
инг А барабанига вацтга пропорционал айлантирувчи
Момент тайл = at цуйилади, бунда а — узгармас миц-
аоР- № массали & юк массаси М2 га тенг ва г ради-
гслй А барабанга ураладиган арцон воситасида кута-
пнлади (21.22-расм). Барабанни доиравий цилиндр деб
хисоблаб, унинг бурчак тезлиги аницлансин. Бошлангич
пайтда чигириц тинч цолатда булади деб цисобланади.
Ечиш. Чигириц барабани ва В юкни система деб
царасак, барабанга унинг огирлик кучи M2g, таянч
реакция кучи N ва тайл айлантирувчи момент таъсир
—>
этади, В юкка эса унинг огирлик кучи цуйилган.
О нуцтада раем текислигига перпендикуляр
уцца нисбатан кинетик моментнннг узгариши
(21.73) нинг учиичи тенгламаси
dKz
21.22- раем.
Ог уцни угказиб, бу
теоремани цуллаймиз.
(1)
йуналган
цацидаги
дан фойдаланамиз.
(21.54) га асосан
Кг = 1 (2)
бунда
М2гг
+ (3)
булиб, барабан ва В юкнинг г уцца нисбатан инерция моментини; со эса бара-
баннинг бурчак тезлигини билдирадн.
Таъсир этувчи кучлар раем текислигида ётганн туфайли Мег — Ме0 тенглик
— > —>
Гринли булади. 442g ва N кучлар О нуцтага цуйилгани учун уларнинг шу
нуцтага нисбатан моментлари нолга теиг булади. Шу сабабли
Л1« = Мео = maiU — Mtg-r = at — M^-r. (4)
(2) ва (4) ни (1) га цуйиб, узгарувчиларни ажратиб интеграллаймиз:
da
7— =af —Mlgr,
<0 t
С 1 С
I dco = — 1 (at — Migrjdt,
o b
1 /Л2 Л4 Л
= —f— —
(3) ни эътиборга олсак. цуйидаги тенглик цосил булади:
(at— 2Mtf>r)
со =-----------------t.
г2 (2Mt + М2)
25—2282
ОД
21.14-§. Система кинетик моментининг са^ланиш цонуни
Система кинетик моментининг узгариши зрцидаги теоремадан
цуйидаги натижаларни оламиз.
1. Агар система нууталарига таъсир этувчи пгашуи кучлап.
нинг бирор марказга нисбатан бош. моменти нолга тенг булса
системанинг шу нудтага нисбатан кинетик моменти микдоп
ва йуналиш жихатдан узгармас булади.
Хаци^атан ?рм, агар АТ0 = 0 булса, (21.72)га кура
di
булади. Бундан
Ко = const (21.74)
2. Агар система ну/упаларига таъсир этувчи ташуи кучларнинг
бирор уука (масалан, Oz укка) нисбатан бош моменти нолга тенг
булса, системанинг шу укка нисбатан кинетик моменти уаракат
давомида узгармасдан колади.
Агар Mez = 0 булса, (21.73) га асосан
^- = 0
dt
булади, бундан эса
/<z= const (21.75)
эканлиги келиб чицади.
(21.74) ва (21.75) тенгламалар система кинетик моментининг
сакланиш крнунини ифодалайди.
21.14-масала. Массаси ва радиуси г га генг бир жинсли диск уз марка-
зидан утувчи вертикал уц атрофида ш0 бошлангич бурчак тезлик билан айлана-
21.23- раем.
ди. Бошлангич пайтда диск марказидан уиииг ра-
диуси буйлаб Л12 массали нукта и тезлик бнлаи
Каракат цилади (21.23-расм). Таянч нуцталаридаги
ишцаланиш кучларини >;исобга олмай дискнинг би-
рор Zi вакддаи кейинги ^амда иуцта дискнинг гар-
дишига етган t2 пайтдаги (У < ty айланиш бурчак
тезликлари со, ва ш2 аницлансин.
Ечиш. г радиусли диск ва М нудтани система
деб 1-;арасак, система нукталарига диск ва нуцта-
нинг огирлик кучлари Mtg ва M2g ^амда А ва В
ну^таларнинг таянч реакция кучлари X А, Y А, ZA,
Хв, Yв лар таъсир этади. Бу кучлардан Mtg,
ZA лар г уцца параллел х,амда XА, YА, Xв, YB
лар г уцни кесиб утгани учун уларнинг шу У>уКа
нисбатан моментлари нолга тенг бу чади. Бииоба-
рин,
Мег= 0.
886
tjjv сабабли z уцца
— const ёки
нисбатан кинетик моментнинг са^ланиш донуними ифодаловчи
Kaz — K\z — Кгг
(О
осабатлар уринли булади. Бунда Кйг, K\z ва лар системанинг бошлан-
мУН<гтяйтлагн t, ва t2 вактдан кейинги кинегик моментларини ифодалайди.
fH4 (21.54), (21.52') ва (20.25) га куоа
Koz = 1^о = ~у w0. (2)
п TVliZ"^ 9 9 (О» 9 9 9
г- = / а.Alg ОЛ12 to[= ~ Д сд — - (ТИ^ г 4-2A42u Д), (3)
MiT2 п W2
= I со2 + AT/2 w2 = -y- w2 + M/2 W3 = — (Mr + 2ЛУ r2 (4)
ифодаларни оламиз.
(2), (3) ва (4) ни (0 га >1униб, од ва ы2 ларни анидлаймиз:
Mir2 со0
п 2 2 *
Му r2 + 2M2u2 t\
_ 441(110
” Mi4-2M2
21.15-§. Мураккаб даракатдаги системанинг кинетик
моменти
Купинча моддий нудталар систе,масининг дузгалмас координата-
лар системасига нисбатан даракатини мураккаб даракатдан иборат
деб дараб, уни содда даракатларга ажратиш система кинетик мо-
ментини дисоблашни осонлаштиради.
Дузгалмас координаталар системасига нисбатан система-
нинг массалар маркази билан илгарилама даракат дилувчи Схуг
координаталар системасинн киритамиз (21.24-расм).
А1ассаси т га тенг системанинг ихтиёрий М нудтасининг О
V Т
нудтага нисбатан радиус-векторини rv, массалар марказидаги С
нудтага нисбатан радиус-векторини pv. дамда С нудтанинг О £ ч] £
координаталар системасига нисбатан
радиус-векторини гс билан белгила-
сак,
\=^с+Х (21-76)
тенглик уринли булади.
Кинематика булимидаги (13.8)
га кура, Mv нудтанинг дузгалмас
О ? ч] С координаталар системасига
нисбатан тезлиги v нисбий ва v
„ rv ev
кучирма тезликларнинг геометрик
йигиндисига тенг булади:
887
v = v 4- v .
v rv 1 ev
К$эралувчи координаталар системаси илгарилама царакатда булга
-> dp^
учун — vc, vn = Бннобарин,
vv = vc+vrv (21.77)
(21.53) га кура, цузгалмас О нуцта ва системанинг массалап
маркази С га нисбатан системанинг кинетик моментлари учун ку.
йидаги муносабатлар уринли булади:
^о = 2^Х/пД, (21.78)
Кс = 2A х mv^v (21-79)
Ко ва Кгс лар орасидаги богланишни топиш учун (21.78) га
—>-
rv нинг цийматини (21.76) дан, vv нинг цийматини (21.77) дан
келтириб цуямиз:
Ко = 5 гс х т^с + X m^vc + 2^ X m^vrv +
+2Pvx "I^fv = rcX(2/77v)t’c + (2mvPv) xTc4-r^X 2"Wv +
+ 2PvX«\yfv (21.80)
(21.80) да V mv — b\ — бутун система массаси; (20.4) га асо-
—>• —>
сан V тм Рч = М рс = 0 (чунки С нуцта координаталар бошида
олинган), 2 Vrv ~ 2 mv Pv = 0 ^амда (21.79) га кура
——>
У Pv X wv vrx = Кгс булгани учун уни цуйидагича ёзиш мумкин:
^o = rc X М vc + Кг (21.81)
ёки
КО = МО№С) + 'КГС. (21.82)
(21.82) дан курамизки, системанинг бирор цузгалмас марказ-
га нисбатан абсолют харакатининг кинетик моменти, массаси
бутун система массасига тенг деб ^араладиган система масса-
лар марказининг шу нуцтага нисбатан кинетик моменти билан
системанинг массалар марказига нисбатан нисбий царакат ки-
нетик моментининг геометрик йириндисига тенг. Бунда система-
нинг нисбий царакати, координатлар боши системанинг массалар
маркази билан устма-уст тушувчи ва илгарилама царакатдаги Cxyz
координаталар системасига нисбатан царалади.
388
/21.82) ни цузгалмас Е, т], £
«оорднната уцларига проекция-
лаб, цуйидаги учта скаляр тенг-
ликларни оламиз:
К- = (М vc) + Krcl, j
+ <2I'83)
/Q = Mr (М vc) + 1
21.15-масала. Планетар узатманинг ОСа кривошип уци билан устма-уст ту-
шувчи цузгалмас г уцца нисбатан кинетик моменти хисоблансин (21.25-расм).
кузгалмас 1 ва цузгалувчи 3 гилдиракларнинг г радиуслари бир хил. 3 гилди-
рак массаси т га, 2 гилдиракнинг массаси т2 га, радиуси эса г2 га тенг. Кри-
вошип бурчак тезлигининг г уцдаги проекцияси ы2 га тенг. Кривошип массаси
цисобга олинмасин. Гилдираклар бир жинсли деб цисоблансин.
Ечиш. Планетар узатмани 2 ва 3 гилдираклардан ташкил топган система
деб цараймиз. Дастлаб Виллис усулидан фойдаланиб, 3 гилдиракнинг бурчак
тезлигини аницлаймиз. Бунинг учун гилдираклар бурчак тезлиги асосида цуйида-
ги жадвални тузамиз.
Етакчи стержень оса Гилдираклар
I 2 3
Тухтагунча бурчак тезлиги Ю2 0 ю2 Ю3
Тухтагандан кейинги бурчак тезлиги 0 — wz (02—(0 Юз—Юг
Илашиш тури таш^и таш^я
Бннобарин,
— Юг ________'2
ю2 — <oz г ’
Бу тенгликларни купайтирсак,
С1)2 —
СО3 (0z
(1)
г2
Шундай цилиб, 3 гилдирак илгарилама царакатда булади.
Цузгалмас г уцни О нуцтада раем текислигига перпендикуляр равишда ут-
Казиб, бу уцца нисбатан (21.83) нинг учинчи тенгламасини
= Мг (tn vc) + КгСг (3)
куринишда ёзамиз.
Системанинг г уцца нисбатан кинетик моменти
^Z — ^Z2 "Ь Kz3
га тенг булади, бунда Д22 билан 2 гилдиракнинг,
уцца нисбатан кинетик моментлари белгиланган.
(3) ни 2 ва 3 гилдираклар учун цуллаймиз:
<(4)
AZ3 билан 3 гилдиракнинг г
Ка = Мг {m2vc)-^Ka^
(5) ва (6) да
^гЗ = Мг (т vc) + ^CS2'
(6)
% = <r + r2 ) “г • % = 2('' + '2) ®г
булгани учун
Мг (т2 сС? = (>' + r2)m2 vCi = (г + г2)гташг ,
Мг <«2 %) = 2(r + ^)mt,C3=4(r + r2)Sm“2 (8)
уринли булади.
С2 нуутадан раем текислигига перпендикуляр равишда утувчи С2г2 уцца
нисбатан 2 гилдиракнинг кинетик моменти Кгс г = /2 ш2 га тенг, бунда I _.
2 2 2
т.-, г2
= —------ силан 2 гилдиракнинг С2га увда нисбатан инерция моменти, со2 билан
2 гилдиракнинг С2г2 уц атр >фидаги нисбий даракат бурчак тезлиги белгиланган.
2 гилдирак учун А нуцта тезликларнинг оний маркази булгани учун
^2 ш2= (г + г1 К ёки <4 =
гг
“г
тенгликлар уринли булади. Бинобарин,
т2
2
Ь Г2 1 . .
Ю2 — Q т2г2 (г 4~ гг)
г2 Z
3 гилдирак илгарилама царакатда булгани учун
(8)
Гс,г = °- (9)
(5) — (9) ларга асосан (4) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
Кг = (г+ г^)2 т2сог (г -j- г2) а>г + 4 (г-f-r^2 т O)z =-~ [ т2 (2г+
+ 3r2) - 8m (г -f- г2) 1 (г + г2) <£>г.
21.16-§. Система массалар марказига нисбатан нисбий
харакат кинетик моментининг узгариши цацидаги теорема
(21.76) ни назарда тутиб, система нуцталарига таъсир этувчи
кучларнинг бош моментини цуйидагича цисоблаш мумкин:
йе0 = v \ х = Vй + Й X F' =7С х sn + 2К X Fev
ёки
= ~ГС X Re + Мес, (21.84)
бунда Re = у — система нуцталарига таъсир этувчи ташци куч-
—>- —>- —>-
ларнинг бош вектори: Мес = у pv х Fev — ташци кучларнинг систе-
ма массалар марказига нисбатан бош моменти.
(21.81) ва (21.84) га асосан система кинетик моментининг узга-
риши цацидаги теоремани ифодаловчи (21.72) тенгламани
390
с
и -> dKc -> ->
А(ГсХМг,с) + __£_ = Гс + /?я
кт-ринишца ёзиш мумкин.
ру тенгламада
—> —>
. _> -> drr ->-> dvr
Л- (rc X Alt’c) = —- X Mvc + rc X м ——
dt ai al
——>- —>- —>
+ rc x Mwc = rc x Мшс
-> dvc
— система массалар марказининг
= vc X М vc +
булгани учун (бунда wc
тезланиши) уни цуйидагича ёза оламиз:
^=rcxfi4<.
rc X ф
(21.85)
Массалар марказининг царакати цацидаги теоремани ифодаловчи
(21.31) тенгламага асосан
М wc — Re.
—>-
Бу тенгламанинг иккала томонини гс га векторли купайтирсак,
г с X
Мгас = rc X Re.
Бинобарин, (21.85) дан
dkrc -*
~^ = Мс (21.8b)
формулам! оламиз. Бу формула системанинг массалар марказига
нисбатан нисбий царакат кинетик моментининг узгариши цаци-
даги теоремани ифодалайди: система массалар марказига нисба-
тан цисобланган системанинг кинетик моментидан вацт буйи-
ча олинган цосила система нуцталарига таъсир этувчи ташци
кучларнинг массалар марказига нисбатан бош. моментига тенг.
(21.72) ни (21.86) билан солиштириб, цузгалмас координаталар
системасига ва система массалар маркази билан биргаликда илга-
рилама царакатда булувчи координаталар системасига нисбатан ки-
нетик моментннпг узгариши цацидаги теоремалар бир хил таъриф-
ланишини курамиз.
(21.86) да цам худди (21.72) даги каби ички кучлар цатнаш-
майди. "•
Системанинг массалар марказига нисбатан кинетик моментнннг
^згариши цацидаги теоремадан цаттиц жисмнинг текис параллел
даракати ва эркин цаттиц жисмнинг царакатини ташкил этувчиларга
ажратганда жисмнинг массалар маркази атрофидаги айланма цара-
катипи урганишда бевосита фойдаланилади.
391
1\уйидаги иккита хусусий ^олни курамиз:
1. Агар М!с = 0 булса, у х.олда (21.86) га кура
нобарин,
Ас = cons/. (21.87)
(21.87) тенглик система массалар марказига нисбатан кине
тик моментнинг сакланиш крнунини ифодалайди: агар система
массалар марказига нисбатан таищи кучларнинг бош моменти
нолга тенг булса, у \олда системанинг массалар марказига
нисбатан кинетик моменти узгармасдан долади. Бунда, хусусан
бошлангич пайтда системанинг массалар марказига нисбатан кине-
тик моменти нолга тенг булса, бутун харакат давомида 1\гс узгар-
масдан цолади.
2. Агар Л4Сх = 0 булса, у ^олда (21.86) нинг х уеда проекция-
си = МеСх = 0, бинобарин, KrCx = const булади.
Яъни системанинг массалар маркази билан илгарилама ^ара-
кат уилувчи координаталар системасининг бирор у^ига нисбатан
система нукупаларига таъсир этувчи кучларнинг бош моменти
нолга тенг булса, у холда бутун даракат давомида системанинг
мазкур у/ууз нисбатан кинетик моменти узгармасдан колади.
21.17-§. Кучнинг иши ва цуввати
Айтайлик, Oxyz инерциал координаталар системасига нисбатан
— >-
радиус-вектори г га тенг М нуцта миддор ва йуналиш жи.\ат-
дан узгарувчи F куч таъсирида бирор эгри чизикли траектория
буйлаб ^аракатлансин (21.26-расм). М нудтанинг dt ва^т ичидаги
элементар кучишини dr билан белгиласак, (8.17) га кура и = -|~-
булгани учун элементар кучиш тезлик йуналиши буйича содир бу-
лади ^амда цуйидаги тенглик уринли
булади;
dr = vdt = dx i + dy j + dzk,
(21.88)
бунда dx, dy, dz билан элементар ку-
чпшнинг Ох, Оу, Oz инерциал у^лар-
га нисбатан проекциялари белгилан-
ган. Кинематика бу/лимида кургани-
миздек (8.4-§), элементар кучишнинг
модули |dr| траекториянинг /VI нуц-
21.26-раем. ладаги ёй узунлиги дифференциали ds
392
га ёки утилган йул дифференциали d о га тенг:
|dr1 = ds = d о = S (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 . (21.89)
~F кучнинг элементар иши деб, шу куч билан у цуйилган ну^-
та элементар кучишининг скаляр купайтмасига тенг
d'A~ ~F-d~r^ (21.90)
катталикка айтилади.
(21.89) ни назарда тутиб, скаляр купайтманинг таърифига кура,
(21.90) ни куйидагича ёзиш мумкин:
d'A = F dо cos (F, и). (21.91)
М нудтанинг траекториядаги ^олатини s = ОМ ёй координатаси
билан хам аницлаш мумкин (8.3-§). Саноц боши учун О нуцтани
олиб, /И нуцтада траекторияга утказилган уринманинг бирлик век-
тори ти ни ёй координатаси ортадиган томонга йуналтирамиз (21.27-
расм) .
Агар М ну^та ёй координатаси ортадиган томонга ^аракатланса
(21.27-расм, a), ris>0 булиб, da — \ds\=ds ва cos(F, о) =
—->- —* —>
= cos (F, т°) тенгликлар уринлидир, чунки бу >^олда v ва т°
ларнинг йуналиши бир хил булади. Курилаётган ^олда (21.91) ни
куйидагича ёзиш мумкин:
d' А = F ds cos (F, т°).
Агар М нудта ёй координатаси камаядиган томонга ^аракатлан-
са (21.27-расм, б), ds<zO булиб, do = |ds| =—ds ва cos(F, v) ==
«=— cos(F, т°) тенгликлар уринли булади, чунки бу ^олда
v ва т° лар царама-царши томонга йуналади. Шу сабабли (21.91)
ни
*> умумий т^олда (21.90) нинг унг тимони бирор функциянииг тупик дифферен-
Пиалини ифодатамайди. Шу сабабли дифференциал белгиси устига "np'.ix куйилган.
393
(21.92)
ва F
п
га нор.
(21.93)
d'A = F ds cos (F, t°)
куринишда ёзиш мумкин.
Бннобарин, цар иккала цолда цам
d'A = F ds cos (F, т°)
формула уринли булади.
Агар F кучни уринма ва нормаль буйлаб йуналган FT
ташкил этувчиларга ажратсак, у цолда F кучнинг уринма
малдаги проекциялари цуйидагича аницланади:
FT = F cos (F, т°),
Fn — F cos (F, nu).
(21.93) даги биринчи тенгликка кура кучнинг элементар ищи
учун ёзилган (21.92) формула ни яна цуйидагича ифодалаш мумкин:
d'A-=Fxds. (21.94)
(21.94) дан курамизки, ds элементар кучишда F кучнинг фацат
уринма ташкил этувчиси иш бажаради; Fn _L v булгани учун F
кучнинг ds кучишдаги иши нолга тенг булади.
F кучнинг х, у, z уцдаги проекцияларини X, Y, Z билан белги-
ласак, (21.90) га кура элементар иш учун
d'A = Xdx + Ydy + Zdz (21.95)
формулам оламиз. Бу формула куч элементар ишининг аналитик
ифодаси дейилади.
Кучнинг чекли /VIX/VI2 йулдаги иши деб, элементар ишдан траек-
ториянинг ёйи буйича олинган интеграл орцали ифодаланувчи
А = j F d г = [ F-cos (F, т°) ds (21.96)
М, Л1,
ёки
лц
А = [(X dx + Y dy + Zdz) (21.97)
М,
скаляр катталикка айтилади.
(21.96) формула куч ишининг геометрик ифодаси, (21.97) эса
куч ишининг аналитик ифодаси дейилади.
СИ бирликлар системасида иш бирлиги учун жоуль (1Ж = 1 Н.м
ёки 1 Н=0,102 кгк булгани учун 1 Ж=0,102 кгк. м) цабул цилинган.
Мех?, пика да иш тушунчаси билан бирга кучнинг цуввати тушунча-
си цам кирйтилади. Кучнинг вацт бирлигидаги иши кучнинг цувеагпи,
дейилади.
394
Агар жуда кичик dt вацт ичидаги F кучнинг иши d'A = Fdr
тенг булса, таърифга кура кучнинг цуввати
M = F —= =F-~u (21.98)
тенглик уринли булади.
Шундай цилиб, кучнинг цуввати куч ва тезлик векторларининг
скаляр купайтмасига тенг.
Куч кувватининг аналитик ифодаси
N = Xx А-Y у + Zz
куринишда ёзилади. Бунда х, у, z лар куч цуйилган нуцта тезли-
гининг координата уцларидаги проекцияларини ифодалайди.
(21.98) га кура
N — F-ucos(F, v) (21.99)
формула уринли булади.
СИ бирликлар системасида кучнинг цуввати ватт (Вт) билан ул-
чанади хамда 1 Вт = 1 Ж/с ёки 1 Ж = 0,102 кгк.м булгани учун
1 Вт = 0,102 кгк-м/с. Техникада купинча цувват бирлиги учун кило-
ватт (кВт), мегаватт (МВт) ва «от кучи» (о.к.) олинади цамда
I кВт =1000 Вт, 1 МВт = 1000000 Вт, I о.к. = 736 Вт.
21.18-§. Тенг таъсир этувчининг иши цацидаги лемма
М моддий нуктага Ft, F2, . . . , FN кучлар таъсир этса, бу куч-
ларнинг тенг таъсир этувчиси
/?=71+72+...+FW (21.100)
нинг иши учун цуйидаги лемма уринли булади.
Лемма. Царакатланувчи М нуцтага цуйилган тенг таъсир
этувчи кучнинг бирор чекли йулни утишдаги иши ташкил этув-
чи кучларнинг худди шу йулни фпшидаги ишларининг алгебраик
йигиндисига тенг.
Исбот. (21.96) га асосан R кучнинг Мг М2 йулни утишдаги иши
Учун
А = Rdr
формула уринли булади. (21.100) ни назарда тутиб, бу форму лани
Цуйидагича ёзиш мумкин
М’->- -> Мг_>. >
Л = f F2dr + ...+ FNdr, (21.101)
М, М, Ml
393
Бу тенгламанинг унг томонидаги эгри чизицли интеграллар
вишда Flt F2, .. . , Fn кучларнинг Мг М2 йулни утишдаги
.. ., An ишларини ифодалайди. Шундай цилиб, тенг таъсир
кучнинг иши учун
мос ра.
А, л
1 ”2»
этувчи
Л — Л1 4- Л2 4- . .. 4- AN
муносабатни оламиз.
21.19-§. Айрим цолларда кучнинг ишини хисоблаш
Цуиидаги цолларда кучнинг ишини ^исоблашни куриб чицамиз
—>- —>-
1. Агар Fx = F cos (F, т°) катталик ёй координатасининг функ-
циясндан иборат булса, у холда (21.96) га кура кучнинг ищи учун
цуГшдаги муносабатни оламиз:
Л = [ Fcos(F,t°)4s = \ Fxds, (21.102)
Si Sj
бунда s, ва s2 ортали ва нуцталарнинг ёй координаталари
белгиланган.
Хусусий холда F куч мицдор ва йуналиш жидатдан узгармас
булиб, куч цуйилган нуцта тугри чизиц буйича царакатланса, у
Холда Ft = Fcos(F, тс) = const булиб, Л41 /И2 тугри чизицли кучиш-
даги F кучнинг иши (21.102) га асосан
4 = Fscoscc (21.103)
формула ёрдамида аникланади. Бунда s нудтанинг кучишнни; ос ==
*=F, т° бурчакни ифодалайди (21.28-раем).
(21.103) да агар
а = 0° булса, А = F-s;
ос = 180° булса, А = — F-s,
а = 90° булса, /1=0
тенгликлар уринли булади.
2. Умумий холда нуцтага таъсир этувчи куч t вацтга, нуцта-
нинг радиус- вектори г (ёки х, у, z координаталари) га ва тезлиги
о = г га бог лиц булади (15.1-§). Шу сабабли нуцтанинг чекли
кучишдаги иши учун
Мг , t ,
А = F (t, r,r)d г (21.W4)
м, *
формула уринли булади. Бу эгри чи-
21.28- расы. зицли интегрални цисоблаш учун нуц-
396
ианинг даракат цонунини, яъни нуктанинг радиус-векторини вацт-
динг функцияси сифатида ифодалаш керак:
r==r(Z).
у ^олда г = г (0 вацтнинг функциясидан иборат булади. Нати-
жада (21.104) ни куйидагича ёзиш мумкин:
А = J7 [/, 7(0,7(/)] -7(0 dt « f ®(t)dt, (21.105)
/. t,
бунда
Ф(0 =7 to 7(о, 7(оь7(о
вацтнинг маълум функцияси; 0 ва t2 лар эса мос равишда
нуцта Mj ва М2 ^олатлардан утган пайтдаги взятии ифодалайди.
Натижада кучнинг ишини ^исоблаш t аргумент буйича (21.105)
куринишдаги аник интегрални ^исоблашга келтирилади.
—> —> —>-
Шундан келиб чициб, умумий ^олда F (t, г, г ) куч куйилган
нуктанинг даракат конунини билмай туриб, яъни дастлаб бу куч
таъсиридаги нуцта учун динамиканинг иккинчи асосий масаласини
ечмасдан F (t, г, г) кучнинг ишини кис°0лаш мумкин эмас деган
Р узгармас булган холда
уринли
хулосага келамиз.
Шу сабабли нуктага таъсир этувчи кучлар ва улар куйилган
нукталарнинг кучиши асосида бу кучлар таъсиридаги нуктанинг
каракат конунини билмай туриб ишни кисоблаш мумкин булган куч-
ларни аниклаш муки.м акамиятга эга. Шундай кучлардан айримлари-
нинг иши кандай хисобланишини куриб чикамиз.
3. Огирлик кучининг иши. М нуктанинг Р огирлик кучи таъ-
сирида Мг колатдан М2 га эгри чизик буйлаб кучишидаги ишини
Кисоблаймиз (21.29-раем). Бунипг учун z уцни вертикал юкорига
- - т?
иуналтприо, Р кучнинг координата уцларидаги проекцияларини хп-
соблаймпз:
Х=0, У = 0, Z =— Р.
(21.95) ва (21.97) ларга кура Р
кучнинг элементар иши
d'A = Xdx + Y dy + Zdz = — Pdz,
чекли кучншдаги иши эса
Л= — \Pdz
еки
Л-=~Р (Z2 - zj = Р (Z1 - z2) ’)
* бу формула Л1
булади.
нуктанинг огирлик кучи
3915 J
21.30- раем.
формулалар ёрдамида аник
ланадн. Бунда Zj —г
М нуцтанинг вертикал2^
чишини ифодалайди. Нуц-Z'
нинг Л1х цолати А42 цОла®'
дан баландроц булса, Z1
бёпиб, Р кучнинг иши мус-
бат; Мг нуцта Мг дан наст-
рой булса, гх<г2 булиб,
Р кучнинг иши манфий ций-
матга эга булади. Биноба-
рин, огирлик кучининг ищи
А = ±РЛ (21.106)
формула ёрдамида цисобланади. Агар нуцта юцорига царакатланса,
бу формулада манфий ишора, пастга царакатланса, мусбат ишора'
олинади.
(21.106) дан курамизки, огирлик кучининг иши нуцтанинг цан-
дай траектория буйлаб кучишига эмас, балки нуцтанинг бошлангич
ва охирги пайтдаги цолатлари орцали утувчи горизонтал текисликлар
орасидаги масофага боглиц булади. Хусусан нуцта горизонтал те-
кисликда царакатланса, нуцтага таъсир этувчи огирлик кучининг иши
нолга тенг булади.
4. Эластиклик кучининг иши. А учи цузгалмас цилиб бирикти-
рилган АВ пружинани чузганда пружинани чузувчи жиемга эластик-
лик кучи F таъсир этади (21.30-раем). Бу куч пружинани эркин
учидаги нуцтанинг кучишига царама-царши йуналади цамда унинг
модули пружинанинг чузилишига пропорционал булади:
F = c-BnB,
бунда с — пружинанинг бикнрлик коэффициента.
Координаталар бошини пружина деформацияланмаган цолатдаги
Во нуцтада олиб, х уцни пружина уци буйлаб вертикал пастга
йуналтирамиз.
Пружина эластиклик кучи F нинг координата уцларидаги проек-
ция»! Fx — —с х, Fy — 0, Рг = 0 булади.
(21.97) га асосан Во В2 ~ h кучишдаги пружина эластиклик ку-
чининг иши
А = — ^cxdx = —(21.107)
о z
формула ёрдамида цисобланади.
(21.107) дан курамизки, эластиклик кучининг иши шу куч цуйил-
ган нуцтанинг цандай цонун асосида царакатланишига эмас, балки
нуцтанинг бошлангич ва охирги цолатларига боглиц булади.
398
5. Тортилиш кучининг иши. Айтайлик, массаси т1 га тенг М
ноДДИЙ чу^тага фазода доимо уузгалмас, массаси т2 га тенг С нуц-
тага йуналган ва мицдори
Wi, Сто
F = f~^
га тенг тортилиш кучи таъсир этсин (21.31-раем). Бунда f — торти-
лиш доимийси; г — С ва М. нуцталар орасидаги масофа.
р куч М нудтанинг радиус- векторига цамиша царама-царши
Йуналгани учун
-> т, т9 г
F = -f-^~ (21.108)
тенглик уринли булади.
(21.108) ни координата уцларига проекцияласак,
wh w2 * у г
X = — f—r = — , Y = — fmxmzy , Z = — ftnltnz
тенгликлар цосил булади.
(21.95) га кура F кучнинг элементар иши
х dx + у dy + z dz
d'A = Xdx -pY dy -j-Zdz — — frr^tnz --------------
ёки
xdx 4-ydy A-zdz = ~^d(x2 + y2 + z2) =-^-dr2 — rdr
булгани учун
d A^-fm^ — = — fт^-
г3 г2
га тенг булади.
F кучнинг М нуцта А1, цолатдан Мг цолатга кучпшидаги иши
А = — f тупА — = frr^mJ—-----------1 (21.109)
J г2 \ г2 п )
формула ёрдамида цисобланади.
(21.109) дан курамизки, цузгалмас марказга тортилиш кучининг
иши цам нуцтанинг траекториясига боглиц булмайди.
21. 20-§. Цаттиц жиемга цуйилган кучларнинг иши
Цаттиц жиемни нуцталари орасидаги масофалар узгармас булган
механик система деб цараб, унга куйилгап кучларнинг ишнни цисоб-
лаймиз.
399
1. Цаттиц жисм ички кучларинин
иши ва цуввати. Эркин цаттиц Жи"г
нинг Л ва В нуцталарига таъсир этувзд
кучларни F{ ва билан белгилаймиз
(21.32-раем). Ньютоннинг учинчи ко_
нунига кура ички кучлар мицдор жицат-
дан тенг, йуналиши царама-царши
лади, яъни
21.32- раем.
Агар Ff куч буйича йуналган а°бир-
лик векторни киритсак, у цолда
= F{ ^°,'f12 = —T{ = ~ F{£.
деб ёзиш мумкин. Бу кучларнинг элементар ишлари йигиндисини
аницлаймиз:
d'A1. 4- d'Al2 = F‘ vA dt 4- Fl2 vB dt = F\ dt (oA a° — vn a°).
Бунда tAa° = vAcos4>1 = npABvA; vB-ct° — vBcoscp2~npAB vB
эканлигини назарда тутсак,
Aj 4“ Aj = Fj d/ (пРав va nP ab vb) = ®
булади. Чунки кинематика булимида курганимиздек (12.2-§), эркин
жисм иккита нуцтаси тезликларининг шу нуцталардан утувчи уцда-
ги проекциялари узаро тенг булади:
пРав va = пРав^в-
Шундай цилиб, цаттиц жисмнинг иккита ихтиёрий нуцтасига
цуйилган ички кучлар элементар ишларининг йигиндиси нолга тенг
булади.
Цаттиц жисмни ички кучларининг йигиндиси нолга тенг булган
жуфт-жуфт нуцталар тупламидан ташкил топган деб цараш мум-
кин. Шундан келиб чициб, жисмнинг барча жуфт нуцталарига
цуйилган ички кучлар элементар ишларининг йигиндиси нолга тенг,
яъни
£d'A« = 0 (21.1Ю)
булишига ишонч цосил циламиз.
Цаттиц жисмнинг бирор нуцтаскга цуйилган кучнинг иши цат-
тиц жисм нуцталарининг цандай царакат цилишига боглиц булади.
Айрим цолларда цаттиц жисмга таъсир этувчи кучларнинг иши ва
цуввати цандай цисобланишини куриб чицамиз.
2. Эркин цаттиц жисмга таъсир этувчи кучлар системасининг
—> —> —>•
иши ва цуввати. Эркин цаттиц жисмга Flt F2, . . . , FN кучлар
системаси таъсир этсин.
400
Дастлаб Fv кучнинг цувва-
ТЙНи аницлаймиз. (21.98) га
кура
(21.111)
бунда — цузгалмас координа-
талар системасига нисбатан эр-
кин цаттиц жисм Mv нуцтаси-
нинг тезлиги (21.33-раем). Кине-
матика булимида курганимиздек,
(12.4) га биноан
Vv = VO + ° Х Pv
21.33- раем.
формула уринли булади, бунда v0 — цаттиц жиемда цутб учун
таплаб олинган ихтиёрий нуцтанинг тезлиги; со — цутб атрофи*
даги айланма царакат бурчак тезлиги; pv — Mv нуцтанинг О цутб-
га нисбатан радиус-вектори. vv цийматини (21.111) га цуйсак,
Nv К +К (“ X 5
тенглик цосил булади.
Аралаш купайтманинг хоссасига кура
?V(«X Pv) = w ((Гх Fv).
Бу тенгликнинг унг томонидаги цавс ичидаги купайтма кучнинг О
нуцтага нисбатан моментини ифодалайди, яъни
rvXFv = M0(Fv).
Шундай цилиб,
тенгликни оламиз.
Статика булимида курганимиздек (6.3-§), кучнинг бирор уцца
нисбатан моменти шу уцда олинган ихтиёрий нуцтага нисбатан куч
момент-векторининг мазкур уцдаги проекциясига тенг; бу уц учун
бурчак тезлик йуналган ОР уцни олсак,
и Мо (Fv) = и Мо (Fv) cos (со, Мо) = и М0Р (FJ
муносабат уринли булади.
—>
Шундай цилиб, Fv кучнинг цуввати учун
(21.112)
26—2282
401
тенгликни оламиз. Бу тенгликни dt га купайтириб, Fv кучнинр
элементар иши d'Av учун цуйидаги формулага эга буламиз:
d'Av = Nvd( = Fv vodt + ©dtMop (FJ
ёки
dMv = Fvd70 + M0P (7v)d<p,
—>- —>-
бунда v..dt = dr0 — цутбнинг элементар кучиши; adt=d<p жисм-
нинг OP уц атрофидаги элементар айланма кучиши.
Эркин цаттиц жиемга таъсир этувчи барча кучларнинг элемен-
тар иши
d'A = V d’A v = (V FJ d70 + [V M0P (Fv)] d Ф
ёки
d' A = Rdr0 + M0Pd<p (21.113)
формула ёрдамида аницланади. Бунда R = у, Fv — жиемга цуйил-
ган кучлар системасининг бош вектори; Мор = Мор (^v) —
уцца нисбатан мазкур кучлар системасининг бош моменти.
(21.113) дан курамизки, эркин каттиц жиемга таъсир этувчи
кучларнинг элементар иши жисм цутб билан илгарилама ^ара-
кат цилганда элементар кучишидаги кучлар бош векторининг
иши билан кучларнинг кутбдан утувчи ОР уцка нисбатан бош
моментининг жисм шу ук атрофида айланганда элементар кучиши-
даги ишлари йигиндисига тенг.
(21.113) ни dt га булиб, эркин цаттиц жиемга таъсир этувчи
кучларнинг цувватини цисоблаймиз:
+ (21.114)
бунда
Эркин цаттиц жиемга таъсир этувчи кучлар системасининг чек-
ли кучишдаги ишини аницлаш учун (21.113) ни интеграллаймиз:
м2 м,
Л = | Rd70 + i M0Pd<p. (2LH5)
м, м,
Бу формулалардан фойдаланиб, цаттиц жисмнинг асосий цара-
катлари учун таъсир этувчи кучларнинг иши ва цувватини хисоб-
лаймиз.
402
3. Илгарилама царакатдаги жиемга таъсир этувчи кучларнинг
лши ва цуввати. Бу цолда d<p = a>dt = 0 булгани учун
d'А = Rd г = Rxdx + Rydy + Rzdz (21.116)
Тенглик уринли булади, бунда dr0 =d г жисм ихтиёрий нуцтаси-
нинг кучишини ифодалайди.
Курилаётган цолда цувват цуйидагича топилади:
N = R v = Rxx 4- Ry у + Rzz, (21.117)
—>- —
бунда v0 — v — жисм ихтиёрий нуцтасининг тезлиги.
Кучлар системасининг чекли кучишдаги иши цуйидагича аниц-
ланади:
лц
A’fjdZ (21.118)
М,
Бинобарин, илгарилама царакатдаги жисм нуцталарига таъ-
сир этувчи кучлар системасининг чекли кучишдаги иши кучлар
системаси бош векторининг мазкур кучишдаги ишига тенг.
4. Кузгалмас уц атрофида айланма царакат цилувчи жиемга
таъсир этувчи кучлар системасининг иши ва цуввати. Агар жисм
—> —> —>•
Fu F2, . . . , FN кучлар системаси таъсирида Цузгалмас z уц атро-
фида айланма царакатда булса, цутбии айланиш уцнда оламиз; на-
—>•
тижада dro~0 цамда бурчак тезлик йуналган ОР ва z уцлари
устма-уст тушади (21.34-раем). Бинобарин, курилаётган цолда
d'A=Mzdrp (21.119)
формула уринли булади, яъни цузгалмас уц атрофида айланма ца-
ракат цилувчи жиемга таъсир этувчи кучлар системасининг эле-
ментар иши мазкур уцца нисбатан кучлар бош моментининг
'Жисм уц атрофида айланганда элементар кучишидаги ишига
21.34- раем.
тенг.
Бу цолда кучлар системасининг цуввати
А=7Иг-^_ = Мг(о, (21.120)
чекли айланма кучишдаги иши эса
мг
A = J (21.121)
Mi
формулалар ёрдамида аницланади.
5. Текис параллел царакатдаги жисм нуцта-
ларига таъсир этувчи кучларнинг иши ва цув-
вати. Бу цолда ОР уц текис шаклнинг айла-
ниш оний уци билан устма-уст тушади ва (21.113),
403
(21.114) ^амда (21.115) га кура кучларнинг элементар иши, цуЕкя
ти ва чекли кучишдаги иши учун ’ ,
d'A =Rdro + Mopd(p, (21.122)
М = Я^ + Мор(о, (21.123)
М‘ t t м,
Л=( Rdr0+\ M0Pd<p (21.124)
Mt Л1,
формулалар уринли булади. Бунда ОР уг; т;утб орцали даракат те-
кислигига перпендикуляр равишда утадн.
6. Сферик ^аракатдаги жисм ну^таларига таъсир этувчи куч-
ларнинг иши ва цуввати. Бу хрлда цутб учун жисмнинг цузгал-
мас нуфгасини олсак, d го — 0 булади ?^мда ОР уц оний уц билан
устма-уст тушади. Шу сабабли курилаётган ^олда кучлар система-
сининг элементар иши, ^увватн ва чекли кучишдаги иши
d'A = Mopdrp, (21.125)
М = /Иор<о, (21.126)
мг
А=\ M0Pd<p (21.127)
м,
формулалар ёрдамида аницланади. Бунда w жисмнинг оний бурчак
тезлигини ифодалайди.
21.21-§. Моддий нуцта ва системанинг кинетик
энергияси. Кёниг теоремаси
Механикада моддий ну/рта механик уаракатининг скаляр ул-
чови сифатида унинг кинетик энергияси олинади. Н.у^та массасини
унинг тезлиги квадратига купайтмасининг ярмига тенг скаляр кат-
mv2
талик — нудтанинг кинетик энергияси деиилади.
СИ бирликлар системасида нудтанинг кинетик энергияси —у-*
ёки жоулда улчанади; 1 Ж = 1 Н.м.
Механик система барча нуцталарининг кинетик энергиялари
йигиндисига тенг
= (21.128)
катталик системанинг кинетик энергияси дейилади.
Нугра ёки системанинг кинетик энергияси мазкур нуцталар теэ-
ликлариницг йуналишига боглш; булмайди. Фацат система ну^талари
тинч э;олатда булгандагина системанинг кинетик энергияси нолга
тенг булади.
404
Кинетик энергия даракатнинг векторли улчовини ифодаловчи да-
ракат миддорига нисбатан универсал катталик дисобланади, чунки
Механик даракат бошда хил харакатларга, масалан, иссидлик ёки
электрга айланганда, механикада тушуниладиган даракат йуналиши
л3 маъносини йудотади.
Механик даракатнинг скаляр улчовига кучнинг дуввати, элемен-
нар иши ёки чекли кучишдаги иши каби уза/ю механик таъсирнинг
скаляр улчовлари мос келади. Улар орасидаги муносабатлар кине-
:гчк энергиянинг узгариши дадидаги теорема воситасида урнатилади.
Харакатнинг иккала улчовини дам Ф. Энгельс «Табиат диалек-
тиками» асарида анид изодлаб берган: «Шундай дилиб, биз механик
даракатнинг икки хил улчови борлигини курамиз, лекин бу улчов-
ларнинг дар бири гоят муайян даражада чекланган доирадаги доди-
салар учун амал дилишига дам ишонч дссил диламиз. Агар мавжуд
булиб турган механик даракат кучган таддирда дам механик дара-
катлигиии садлаб долса, бундай долда у массанинг тезликка купайт-
маси тутрисидаги формула билан ифодаланади. Агар у кучган тад-
дирда механик даракат сифатида йу д булиб, потенциал энергия,
иссидлик, электр ва доказолар шаклида яна пайдо булса, агар, хул-
лас, у даракатнинг бирон-бир бошда шаклига айланса, бундай долда
даракатнинг бу янги шаклининг миддори дастлаб харакат дилган
массанинг тезлик квадратига купайтмасига пропорционалдир. Хуллас,
mv механик даракатнинг узи билан улчанадиган механик даракат-
дир; узининг муайян миддордаги бошда даракат шаклига ай-
лана олиш добилияти билан улчанадиган механик даракатднр»*1.
Механик система дузгалмас ОЕ т] £ координаталар системасига
нисбатан даракатлансин. Системанинг массалар маркази ордали да-
миша О В1] С га параллел равишда даракатланувчи Cxyz координа-
талар системасинн утказамиз.
Системанинг кинетик энергияси анидланадиган (21.128) форму-
лада v система нудтасининг абсолют тезлигини ифодалайди. Тез-
ликларни душиш дадидаги теоремага (13.2-§) кура, Mv нудтанинг
абсолют тезлигини
= VC +
(21.129)
куринишда ифодалаш мумкин. Бунда vc билан система массалар
марказидаги С нудтанинг тезлиги (кучирма тезлик); гф билан Mv
нудтанинг Cxyz координаталар системасига нисбатан тезлиги (нисбий
тезлик) белгиланган.
(21.129) ни (21.128) га дуйсак,
*) Энгельс Ф. Табиат диалектикаси. —Т.: «Узбекистан». 1983, 77-6.
40«
vX(”"c+~^)2=
'«V % +
цосил булади, бунда V znv = М — бутун система массаси; V «
=----- У tnv rc —-----(M rc) = О (чунки координаталар боши С
dt ^ввя
нуктада булгани учун г’с = 0); (и;)2 = Тгс — системанинг
массалар марказига нисбатан нисбий даракат кинетик энергияси. Сис-
теманинг кинетик энергияси учун цуйидаги ифодани оламиз:
МоД
Т = —-4-7’".
2 с
(21.130)
(21. ГЗО) тенглик системанинг кинетик энергияси цакидаги Кё-
ниг теоремасини ифодалайди: система абсолют харакатининг ки-
нетик энергияси бутун система массаси мужассамлашган деб ца-
раладиган система массалар марказининг кинетик энергияси би-
лан системанинг массалар марказига нисбатан кинетик энергия-
ларининг йиеиндисиги тенг.
21.22- §. Цаттиц жисмнинг кинетик энергияси
Цаттиц жисмнинг асосий царакатлари учун кинетик энергияии
цисоблашни куриб чицамиз.
ЕИлгариламацаракатдагижисмниигкинетикэнер-
•• > —
гиясини цисоблашда унинг барча нуцталари бир хил uv = и тез-
ликка эга булишини эътиборга оламиз.
(2..130
бунда = М бутун система массасини ифодалайди.
Бннобарин, илгарилама харакатдаги жисмнинг кинетик энер-
гияси массаси бутун система массасига тенг система ихтиёрий
нуцтасининг кинетик энергиясига тенг.
2. Цузгалмас уц атрофида айланма царакатдаги
жисмнинг кинетик энергиясини цисоблашда жисм ихти-
ёрий Mv нуцтасининг тезлиги vv =(£>hv формула ёрдамнда аницлани-
шини эътиборга оламиз, бунда со — жисмнинг цузгалмас уц атрофида-
ги айланиш бурчак тезлиги; hv — жисмнинг Mv нуцтасидан айла-
ниш уцигача булган масофа.
Шундай цилиб,
406
Агар бу формулада 1г = V mv h2 — жисмнинг айланиш уцига
нисбатан инерция моменти эканлигини цисобга олсак, кинетик энер-
гия учун цуйидаги формула цосил булади:
7’=-^-/г<в2. (21.132)
(21.132) дан курамизки, цузгалмас i/ц атрофида айланувчи
усисмнинг кинетик энергияси жисмнинг айланиш уцига нисба-
тан инерция моменти билан унинг бурчак тезлиги квадрати
купайтмасининг ярмига тенг.
Текис параллел царакатдаги жисмнинг кинетик
энергиясини цисоблашда жисмнинг цар ондаги царакатини тез-
ликларнинг оний маркази Р орцали утувчи уц атрофидаги айланма
царакатдан иборат деб цараш мумкин. Шу сабабли бу цолда цам
(21.132) формулами цуллаш мумкин:
Т=-~- 1р^, (21.132)
бунда 1р билан тезликларнинг оний маркази орцали царакат
текислигига перпендикуляр утувчи уцца (айланиш оний уцига) нис-
батан жисмнинг инерция моменти, со билан эса айланиш оний бур-
чак тезлиги белгиланган.
Шундай цилиб, текис параллел царакатдаги жисмнинг кине-
тик энергияси айланиш оний уцига нисбатан жисмнинг инерция
моменти билан оний бурчак тезлиги квадрати купайтмасининг
ярмига тенг.
Гюйгенс-Штейнер теоремасини ифодаловчи (20.21) формулага асосан
1р = 1С + М (PC)2 (21.133)
муносабат уринли булади (21.35-раем). Бунда 1С — система масса-
лар маркази орцали айланиш оний уцига параллел утувчи уцца
нисбатан жисмнинг инерция моменти; PC — мазкур уцлар орасида-
ги масофа; М—бутун жисм массаси.
(21.133) ни (21.132) га цуйиб, текис параллел царакатдаги
жисмнинг кинетик энергияси учун яна цуйидаги ифодани оламиз:
Т = -у /сй2 + у м ®2 (PC)2
ёки со PC = ис жисм массалар маркази-
нинг тезлигини ифодалашини назарда тут-
сак, цуйидаги формула уринли булади:
Т= T-MoJ+ф 4С<Л (21.134)
Бу формула текис параллел царакат-
даги жисм учун Кёниг теоремасини ифо-
далайди: текис параллел царакатдаги
жисмнинг кинетик энергияси бутун
407
жисм массаси мужассамлашган деб цараладиган система мас
салар марказининг кинетик энергияси билан массалар маркази
орцали харакат текислигига перпендикуляр равишда утувчи пк
атрофида айланма харакат кинетик энергияларининг йигинди-
сига тенг булади.
Эркин цаттиц жисмнинг кинетик энергияси учун хам (21.134ч
га ухшаш формула уринли булади. '
4. Сферик царакатдаги жисмнинг кинетик
г ия с и ни цисоблашда хар ондаги сферик царикатни
уузгалмас нуцтасидан утувчи ОР айланиш оний уци
айланма харакатдан иборат деб цараш мумкинлигидан
миз. Бу хрл учун (21.132) формулани цулласак,
Т = ф
энер-
ЖИСМНИНГ
атрофидаги
фойдалапа-
(21.135)
тенглик уринли булади. Бунда 10р — айланиш оний уцига нисбатан
жисмнинг инерция—моменти; «— оний бурчак тезлиги.
Демак, сферик харакатдаги жисмнинг кинетик энергияси
жисмнинг айланиш оний скига нисбатан инерция момента билан
оний бурчак тезлиги квадратига купайтмасининг ярмига тенг.
Даттиц жисмнинг асосий харакатлари кинетик энергиясини ифо-
даловчи формулалардан курамизки, кине гик энергия жисмнинг
илгарилама царакатини цам, айланма харакатини цам ханактерлай
олади.
Агар механик система бир-бири билан богланган бир неча
жисмлардан ташкил топган булса, бундай системанинг кинетик
энергияси система таркибига кирувчи жисмлар кинетик энергиялари-
нипг йигиндисига тенг булади.
21.23-§. Моддий нуцта кинетик энергиясияинг узгариши
цацидаги теорема
Массаси т га тенг М эркин моддии нуцта F куч таъсирида
кузгалмас Охуг координаталар
(21.36-раем). (16.1) га кура
системасига нисбатан царакатлансин
бундай нуцта учун Ньютоннинг
иккинчи цонунини
т d. ~~р
dt
куринишда ёзпб, бу тенгламанинг
—>
иккала томонини F куч цуйилган
М нуцтанинг элементар кучиши
—>
d г = vd t га скаляр купайтира-
миз:
-> —> —> —>
mv d v — F dr
ёки
d
m v2
2
— F d r .
Бу тенгламада
v2 = v2 эканлигини эътиборга олсак,
/ mv2 \ -*--*
d (—] = Fd г
(21.136)
ёки
d(—^—j=d'A (21.136')
тенгликни оламиз. Бу формула моддий нудтанинг дифференциал
формадаги кинетик энергиясининг узгариши цацидаги теоремани
ифодалайди: нуцта кинетик энергиясининг дифференциали нуц-
тага таъсир этувчи кучнинг элементар ишига тенг.
(21.136) нинг иккала томонини dt га булиб,
кучнинг цувватини ифодалашини назарда тутсак, нуцта кинетик
энергиясининг узгариши цацидаги теоремани яна цуйидагича ёзиш
мумкин:
d
dt
Бинобарин, моддий нуцта кинетик энергиясидан вацт буйича
олинган цосила нуцтага таъсир этувчи кучнинг цувватига тенг.
(21.136) ни нуцтанинг бошлангич ва охирги цолатлари Мо ва
Мг га мос чегараларда интеграллаймиз:
м.
(21.137)
ёки
2 2
mv mvQ
~2 2~
(21.138)
Ма
mvo = д
2
(21.139)
м,
бунда А «= j ~F dT— ~F кучнинг нуцта Мо цолагдан холатга
мс
кучишидаги иши. (21.138) ёки (21.139) тенгламалар нуцтанинг чекли
формадаги кинетик энергиясининг узгариши цацидаги теоремани
ифодалайди: чекли кфшшдаги нуцта кинетик энергиясининг узга-
риши унга таъсир этувчи кучнинг худди шу кучишдаги ишига
тенг.
Кинетик эпергиянинг узгариши цацидаги теоремадан фойдала-
ниб, асосан цуйидаги икки хил масалаларни ечиш мумкин. Биринчи
хил масалаларда нуцтанинг бошлангич ёки охирги тезлиги аницлана-
ди. Нуцтанинг царакат цонунини аницламай туриб, нуцтага таъсир
этувчи кучнинг ишини цисоблаш мумкин булган цолда мазкур тео-
ремани цуллаш мацсадга мувофиц булади, албатта. Иккинчи хил
„ ..2
т v
2
г
409
масала.';арда нуцтанинг тезлиги бе-
рилганда унга таъсир этувчи куч-
ларнинг иши (хусусан, куч ёки ёй
координатаси) аникланади. Нуцтага
таъсир этувчи кучнинг аналитик
ифодаси номаълум булганда ёки
нуцтанинг харакат цонунини ани^-
ламай туриб бу хил масалаларни
(21.139) формула ёрдамида ечиш ай-
ницса цул келади.
21.16-масала. О нуктага бириктирил-
ган ва бикирлиги с га тенг пружина
таъсирида т массали А потзун (21.37-раем) горизонтал AD йуналтирувчи буй-
лаб ишцаланмасдаи ^аракатланади. Агар ползун бошлангич пайтда Ао нуцта-
дан бошлангич тезликсиз цуйиб юборилса, ползун D нуктадан дандай тезлик
билан у1ади? AD = а ва ползун D нуктада булганда пружинанинг узунлиги
I га тенг хамда деформацияланмаган деб царалади.
Ечиш. Ползунга пружинанинг эластиклик кучи F = —с г (бунда г —А
нудтанинг О нуктага нисбатан радиус-вектори), огирлик кучи Р ва нормал реак-
—и и
ция кучи Na таъсир этади. Р ва кучлар А нуктанинг харакат йуналишига
перпендикуляр булгани учун бу кучларнинг иши нолга тенг булади. Пружина-
нинг чузилиши А/ = УР 4- а2— I булгани учун (21.107) га кура эластиклик
кучининг иши куйидагича дпеоблаиади:
о
A = J с г d г = _|_ (//2+а2_ /)2,
( /Z'+o2-Z)
(1)
= 0 ва (1) ни (21.139) га куйсак,
2 2 '
бундан эса
Хосил булади.
21.17-масала. К жисм (21.38-раем) гадир-будур кия текисликда тиич к0'
латда туради. Текисликнинг киялик бурчаги а ва f0>tga, бунда /в—танч
21.38- раем.
«О
холатдаги ишкаланнш коэффи шеити. Агар жисмга бошлангич и0 тезлик берилса
хамда ишкаланиш коэффициент f га генг булса, жисм кандай s йулии утиб
т’ухтайди?
Ечиш. К жисмни массаси унинг огирлик марказидаги М нуктада мужассам-
лашган моддий нукта деб караймиз.
М нудтага унинг огирлик кучи Р = т g, ишцаланиш кучи Ва ’текис-
ликнинг нормал реакция кучи А таъсир Э1ади.
Нудтага таъсир этувчи кучлар узгармас хамда нудтанинг охирги пайтдаги
тезлиги о = 0 эканлигини назарда тутсак, (21.139) формула цуйидаги куриниш-
ни олади:
tTl Ор
— —------- =(Р sin а — s> (1)
бунда г'о — иуцтанинг бошлангич пайгдаги тезлиги; s — изланаётган утилган йёл.
(1) да
т = ------, Pj Р cos а
g
эканлигини эътиборга олсак, цуйидаги тенглик ^осил булади:
2 g (j cos a — sina)
21.18-масала. Массаси 3 кг булган моддий нуцта горизонтал тугри чизиц
буйлаб 5 м/с тезлик билан чап томонга харакат цнлади. Унга унг томонга йунал-
N
7
N
л
,Р
v0
F
Г
т
В
ган узгармас куч таъсир эттирилади ва
унинг таъсири 30 с дан кенин тух1ати-
ладп, шунда нуктанинг тезлиги 55 м/с
булиб, унг томонга йуналади. Шу куч-
нинг микдори вя бажарган иши топип-
син.
Ечиш. Моддий иуцта бошлангич
пайтда координаталар бошида булиб,
горизонтал х ук буйлаб харакатланади
деб цараймиз (21.39-раем).
Нудтага унг томонга йуналган узгармас F куч, огирлик кучи Р ва нормал реакция
кучи N таъсир этади. Нуцта даракат микдорининг (21.17) тенглик билаи ифо-
даланадиган х уц буйича узгариши хацидаги теоремага кура
21.39- раем.
t
mvBx — mvBX=\Fx dt = Fxt.
о
Бунда t?o =—1>0=—5 м/с, t>^ = oB=55 м/с, F* = F эканлигини эътиборга олсак,
F = т (ов + о0) = 3(55+5) 6 н
t 30
- V * >
Огирлик кучи Р ва нормал реакция кучи N даракат йуналишига перпенди-
куляр булгани учун уларнинг иши нолга тенг булади. Шу сабабли (21.139) га
кура F кучнинг иши
2 2
А= —= (oj —1,2) =(552 _ 52) = 4500Ж = 4,5кЖ.
Нуцта даракат микдорининг узгаришида нуцта тезлиги йуналишининг узга-
риши ало^ида а^амиятга эгалиги, нуцта кинетик энергиясининг узгаришига эса
мутлеко таъсир этмаслиги бу масалада якцол намоён булаяпти.
411
21.24- §. Система кинетик энергиясининг узгариши
цацидаги теорема
Система кинетик энергияси билан система нуцталарига цуйилган
кучларнинг иши орасидаги муносабатни аницлаймиз. Л1р Л12,
MN нуцталардан ташкил топган системанинг ихтиёрий М нуцтаси-
га таъсир этувчи ташци кучларнинг тенг таъсир этувчисини р,
ички кучларникини эса f‘v билан белгилаймиз.
Системанинг цар бир нуцтаси учун кинетик энергиянинг узгари-
ши цацидаги теоремани цуллаймиз. Айтайлик, система бошлангич цо-
латдан исталган цолатга кучганда унинг ихтиёрий нуцтаси МОу) цо-
латдан цолатга кучсин цамда бу нуцтанинг тезлиги vOv дан vv
га узгарсин (21.40-раем). У цолда (21.139) га кура системанинг
хар бир нуцтаси учун
2
2
2
= + (v= 1.2..(V)
тенгликлар уринли булади. Бунда А® — А® кучнинг; А'—F‘v куч-
нинг A4OvA4v кучишдаги ишлари.
Юцоридаги барча тенгликларни цушеак,
ёки (21.128) га кура
Т — То = Ае + А1
(21.140)
тенглик уринли булади. Бунда То ва Т — системанинг бошлангич
ва исталган пайтдаги кинетик энергиялари; Ае ва А‘ барча ташци
ва ички кучлар системасининг ишлари.
(21.140) тенглама чекли вацт ичида система кинетик энергия-
сининг узгариши цацидаги теоремани ифодалайди; системанинг
бир цолатдан бошца хрлатга кучишида кинетик энергиясининг
узгариши система нуцталарига таъсир этувчи ташци ва ички
кучларнинг мос кучишлардаги ишларининг йириндисига тенг.
Системанинг жуда кичик вацт ичидаги элементар кучиши учун
бу теорема
dT = d'Ae + d'A‘ (21.141)
Kj .ннншда ёзилади. Бунда d'Ae ва d'A1
лар мос равишда система нуцталарига
таъсир этувчи барча ташци ва ички куч-
ларнинг элементар ишларини ифода-
лайди.
412
drAe
(21.141) ни dt га булиб, -= № ташци кучларнинг цуввати,
' dt
= N1 ички кучларнинг цуввати эканлигини эътиборга олсак,
цуйидаги тенглик хосил булади:
— = Ne + Nl. (21.142)
(21.142) тенглама система кинетик энергиясининг узгариши
цацидаги теореманинг дифференциал куринишини ифодалайди: сис-
тема кинетик энергиясидан вацт буйича олинган хосила система
нуцталарига таъсир этувчи барча ташци ва ички кучлар цувват-
ларининг йириндисига тенг.
Аввалги теоремалардан фарцли улароц (21.140) — (21.142) тенг-
ламаларда ички кучлар хам цатнашади. Агар механик система уз-
гармас системадан ёки абсолют цаттиц жисмдан иборат булса, 21.19- §
да курганимиздек, бу цолда ички кучлар ишларининг йигиндиси нолга
тенг булади цамда (21.140) тенглама
Т — Т0 = Ае (21.143)
куринишда ёзилади.
(21.140) — (21.142) тенгламаларда ташци ва ички кучлар тарки-
бида актив цамда богланиш реакция кучлари цатнашади. Агар сис-
тема нуцталари идеал силлиц сирт ёки эгри чизиц буйича царакат-
ланса, богланиш реакция кучи фацат нормал ташкил этувчидан ибо-
рат булиб, царакат йуналишига перпендикуляр йуналади, шунинг
учун унинг иши нолга тенг булади. Бу цолда система кинетик энер-
гиясининг узгариши цацидаги теоремани ифодаловчи тенгламаларда
идеал богланиш реакция кучлари цатнашмайди.
21.19-маса ла. Радиуси г, ва массаси Mt га тенг чигириц барабапига L ай-
лантирувчи момент цуйилган. Барабаига уралгап трос учига Д12 массали С гил-
диракнинг уци бириктирилган (21.41-раем). Билдирак горизонт билан и бурчак
ташкил этувчи кия текислик буйлаб енрпанмай юцорига думалайди. Барабан п
марта айланганда цандай бурчак тезликка эга булади? Бошлангич пайтда система
тинч цолатда булган Тросн«нг массаси ва ншцаланиш цисобга олинмасин.
Ечиш. Барабан ва гилдиракдан ташкил топган системага гилдиракнинг огир-
—>-
лик кучи M,g ция текисликнинг нормал реакция кучи N ва узгармас L момент
таъсир этади. Барабаннинг бурчак гез-
лиги со ни аницлаш учун система ки-
нетик энергиясининг узгариши цацида-
ги 1еоремани ифодалевчи (21.143) тенг-
ламадан фойдаланамиз:
Т — Тв = Ае. (1)
Системанинг кинетик энергияси
Т'=Гг + 7’2, (2)
бунда Ту ва 7'2 мос равишда гилдирак
ва барабаннинг кинетик энергиясини
ифодалайди.
21.41- раем.
413
Гилдирак текис параллел царакатда булгани учуй унинг кинетик энергиясини
(21.134) формулага асосан аницлаймиз:
Л = Mg vc + w2-
М г?
Гилдирак доиравии цилиндрдан иборат булгани учун 1С = —сирпанмас-
дан думалагани учун vc = Ь->2 гг- Шу сабабли
Ti — g Ма i’c + 4 Мгг| ы2 ~ 2 + 4 M2t>£ — M2t>^-
Трос чузилмагани туфайли С нуцтанинг тезлиги барабан гардишидаги нуцта-
нинг чизицли тезлигига тенг булади, яъни vc =(£>г1. Шундай цилиб,
~ 3 9
Т1 = — М2 . (3)
Барабан кузгалмас О уц атрофида айланма царакатда булгани учун унинг
кинегнк энергиясини (21.132) формула ёрдамида цисоблаймиз:
~ 1 1 9
7^ = —/0 <->*= —М^сЛ (4)
(3) ва (4) ни (1) га цуйсак,
Т = -у М2 <в» r\ + 2_ М.г? иг = _L г? (ЗМ2 + Mj).
Бошлангич пайтда система тинч цолатда булгани учун
То = О. (6)
Барабан л марта а ланганда системага таъсир этувчи барча кучларнинг ишнни
цисоблаймиз. Гилдирак сирпанмай думалагани учун барабан л марта айланганда
унинг марказидаги С нуцта ция текислик буйлаб s=2nr1n масофага кучади,
s —>
барабан эса <р = — = 2 я л бурчакка айланади. Нормал реакция кучи N нинг
ri
йуналиши гилдиракнинг кучишига перпендикуляр булгани учун унинг s кучиши-
даги иши нолга тенг. Шу сабабли система нуцталарига таъсир этувчи кучларнинг
иши
71 = 21j + As
га тенг булади. Бунда гилдирак огирлик кучи М2 g нинг ция текислик буйлаб
юцорига s масофага кучишдаги иши булиб, Аг— —M2gs sin сс= — Mag-2ft ггп sin а;
А2 эса L моментнинг барабан <р=2лл бурчакка айлангандаги ишини ифодалайди
цамда
Л2 = £<р = £-2 ял.
Шундай цилиб,
А = 2 я л (£ — M2g i\ sin а). (7)
(5), (6) ва (7) ни (1) га цуйиб, изланаётган ы бурчак тезликни аницлаймиз;
2 л л
£ — M2g г, sin а
м’х + зм, '
414
21.25-§. Потенциалли куч майдони
Куч цуйилган нуцтанинг харакат цонунини билмай туриб, ишни
цисоблаш мумкин булган яна бир туркум кучлар цацида тухтала-
миз. Бунинг учун куч майдони тушунчасини киритамиз.
Фазонинг бирор соцасидаги моддий нуцтага унинг координатала-
рига боглиц, мицдор ва йуналиши маълум булган кучлар таъсир
этса, мазкур соца куч майдони дейилади.
Агар майдон кучлари вацтга боглиц булмаса, бундай майдон
стационар куч майдони дейилади.
Агар куч майдони вацтга хам боглиц булса, бундай майдон ста-
ционар булмаган куч майдони дейилади.
Куч элементар ишининг аналитик ифодаси булмиш (21.95) фор-
мула
d'A = X dx + Ydy -j~ Z dz
нинг унг томонидаги дифференциал уч цад бирор U (х, у, z) функ-
циянинг тулиц дифференциалига тенг булса, бу функция кучнинг
потенциала ёки куч функцияси дейилади. Куч функцияси мавжуд
булган майдон потенциалли куч майдони дейилади. Бундай майдон
кучи потенциалли куч ёки консерватив куч дейилади.
* »
Агар F кучнинг координата уцларидаги проекциялари
Л=—, К = —, Z= — (21.144)
Эх Э{/ Эг
шартларни цапоатлантирса,
d'A=Xdx + Ydy + Zdz = —dx+~dy+ — dz=dU (21.145)
Эх Эу Эг
тенглик уринли булади. Таърифга кура, бундай майдон потенциалли
куч майдонидан иборат булади цамда фацат координаталарга боглиц
U (х, у, z) функция кучнинг потенциалини ифодалайди.
Изоц. (21.144) шартлар (22.145) тенглик уринли булишининг
фацат егарли шартидан иборат булиб, зарурий шартини ифодаламай-
ди. ^ацицатан хам, агар кучнинг координата уцларидаги проекция-
лари цуйидаги шартларни цаноатлантирса,
X=^ + Qz-Ry,
гх
Y =-A-Rx—Pz,
Эу
Z^ + Py-Qx,
dz
(бунда Р, Q, R лар t, х, у, г, х, у, г ларнинг ихтиёрий функцияси-
дан иборат), у цолда
X dx 4- Y dy + Z dz = — dx -J- — dy + — dz +
Эх Э|/ Эг
415
+ Qdt (zx — xz) Rdt (xy — p') +
+ Pdt(yz — zy) =—dx + —dy + — dz = dU
дХ ёу o2
муносабат уринли булади.
Потенциалли куч майдопида нудтанинг Л40(х0, уй, z0) долатдан
ЛЦх, у, г) долатга чекли кучишидаги иши
м м
А = [ (Xdx + Ydy + Zdz) = f dU =
м„ м0
=U(x, у, z) — U0(x0, у0, z0)
ёки
Я = 1/-1/о (21.146)
га тенг булади.
Бинобарин, потенциалли кучнинг иши нудтанинг охирги ва бош-
лангич хрлатларига мос булган куч функцияси цийматларининг айир-
масига тенг булиб, нуцтанинг траекториясига ^амда траектория буй-
лаб нуцтанинг цандай грнун асосида кучишига боглиг; булмайди.
Келгусида куч функцияси бир цийматли, чекли ва бутун майдон
буйича камида биринчи ва иккинчи тартибли досилага эга булган
потенциалли куч майдонини цараймиз.
(21.146) дан курамизки, нуцта спиц траектория буйлаб ^ар гал
бирор белгиланган нуцтадан утганда унинг иши нолга тенг булади,
чунки бу холда нуцтанинг бошлангич ва охирги ^олатлари устма-
уст тушади, бинобарин, U =UD булиб, Л = 0 тенглик бажарилади.
21.26- §. Тенг потенциалли сирт. Куч чизицлари
Куч функциясининг цийматлари бир хил булган потенциалли куч
майдопндаги нуцтанинг геометрик урни тенг потенциалли сирт
дейилади. Шундай цилиб, тенг потенциалли сиртнинг тенгламасини
С7(х, у, z) = C (21.147)
куринишда ёзиш мумкин. С га турлича г^ийматлар бериб, тенг потен-
циалли сиртлар т^пламини оламиз (21.42-раем).
Агар ну^та U (х, у, z) = С тенг
потенциалли сирт буйича элементар
кучиш олса, у холда dU = 0 тенг-
лик бажарилади. Шу сабабли
21.42- раем.
d'A = ~Fd7= | F11 d7\ cos (F,d/T=O.
(21.148)
яъни тенг потенциалли сирт буй-
лаб ^аракатланувчи нудтага таъсир
этувчи кучнинг элементар иши нол-
га тенг. (21.148) дан курамизки,
416
|/|=,ьО. |dr| ¥= 0 булгани учун cos (F, dr) = 0. Яъни F куч xap
онда тенг потенциалли сиртга утказилган нормаль буйича йуналади
(21.43- раем). Шундай цилиб, скаляр функциянинг вектор градиента
тушу пчаси тан фойдалансак,
F = grad (У = — t + — J + — k
ду CZ
(21.149)
деб ёзиш мумкин. Бунда i, j, k лар координата уцларининг бирлик
векторларини ифодалаиди.
Куч майдопида тенг потенциалли сирт билан бир цаторда куч
чизиги тушунчаси хам киритилади. Куч чизиги учун ^ар бир нуцта-
енда унга утказилган уринма берилган майдон кучига коллинеар
булган чизиц олинади (21.44- раем). Куч чизигининг х, у, z коор-
—> —>
динаталарга нисбатан дифференциал тенгламасини dr ва F вектор-
ларнинг коллинеарлик шартндан фойдаланиб.
dx dy dz
X ~ Y ~i
(21.150)
куринишда ёзиш мумкин.
21.27- §. Потенциал энергия
Потенциалли куч майдонида кучнинг потенциал!! U билан бир
цаторда майдоннинг бирор ну^тасидаги тупланган энергия мицдори-
ни ифодаловчи ва потенциал энергия деб аталаднган бошца П функ-
цияни киритиш мумкин.
Моддий нуцта бирор М долатдан бошлангич Мо долатга кучи-
шида унга таъсир этувчи майдон кучларининг иши майдоннинг бе-
рилган М нуктадаги П потенциал энергияси дейилади.
Шундай цилиб,
п = .4 - — и.
(21.151)
417
27- 22й2
бунда Uo узгармас булиб, царакатдаги нуцтанинг бошлангич цОл
тига боглиц булади. Шу сабабли майдоннинг бирор нуцтасида^'
потенциал энергия ихтиёрий узгармасгача аниклик билан мазки*
нуцтадаги манфий ишора билан олинган куч функииясига mpd
булади. 43
Агар нуцтанинг бошлангич цолати (70 = 0 нуцтада олинса,
П = — U
булади. Бу тенгликни назарда тутиб, элементар иш ва чекли кучищ.
даги иш учун цуйидаги ифодаларни ёзиш мумкин:
d'A = dU = — dll, А = U — Uo = По — П. (21.152)
Потенциалли куч майдонидаги нуцта хар онда Т = га тенг
кинетик энергияга ва П — — U потенциал энергияга эга булади. Бу
энергияларнинг йигиндиси, яъни
£ = 7, + П (21.153)
моддий нуцтанинг тулиц механик энергияси дейилади.
21.28- §. Куч функциясини аницлашга оид мисоллар
Бир жинсли огирлик кучи майдони, чизицли эластиклик кучи
ва Ньютон тортилиш цонунига биноан, таъсир этувчи куч майдон-
ларининг куч функциясини цисоблаймиз. Агар куч функцияси маъ-
лум булса, потенциал энергия (21.152) га асосан цисобланади.
1. Бир жинсли огирлик кучи майдони. Агар майдон кучи миц-
дор ва йуналиш жицатдан узгармас булса, бундай майдон бир
жинсли майдон дейилади. Масалан, Ер сиртига яцин масофада огир-
лик кучи майдонини бир жинсли майдон деб цараш мумкин. Ер
сиртида цузгалмас Oxyz координаталар системасини олиб, z уцни
вертикал юцорига йуналтирамиз (21.45-раем), бу цолда бир жинсли
огирлик кучи майдонидаги нуцтага таъсир этувчи Р кучнинг коор-
дината уцларидаги проекциялари цуйидагича аницланади:
Х = 0, Y = 0, Z = — Р = — mg. (21.154)
(21.95) га асосан Р кучнинг элементар ишини цисоблаймиз:
d'A = Xdx A-Ydy 4- Zdz = — mgdz = d (— mgz) — dU.
Бу тенгликдан курамизки, P кучнинг элементар иши — mgz
функциянинг тулиц дифференциалига тенг булгани учун огирлик
кучи майдони потенциалли майдондан иборат булади. Бинобарин,
огирлик кучи майдонининг куч функцияси
U = — mgz + const. (21.155)
булади. Курилаётган цолда U = С ёки г = const тенглик билан ифо-
даланадиган тенг потенциалли сиртлар горизонтал текисликлардан
иборат булади.
418
z I
2. Чизикли эластккльк клчи майдони. Пружинанинг ййзицли
эласгиклик кучи
F = — с г
формуладан аництанади (21.46-раем). Бунда с — пружинанинг би-
кирлпк коэффициента; г — пружинанинг эркин учидаги нуцтанинг
радиус- вектори.
Пружинанинг мацкамланган О учида координаталар бошини олиб,
х, у, z уцларга F кучни проекциялаймиз.
X = — ex, Y = — су, Z = — cz.
Бннобарин, кучнинг элементар иши
d'A = Xdx ф- Ydy ф- Zdz = — с (xdx ф- ydy + Zdz)
формуладан аницланади. г2 = х2 + у2 + z2 тенгликни дифференциал-
лаб.
г dr — — d (г2) = xdx ф- ydy ф- zdz
2
эканлигини эътиборга олсак, к
d'A = — erdr = d c-~j = dU
тенглик уринли булади. Бу тенгликни интеграллаб, куч функция-
сини аницлаймиз:
U =-----с— г2 ф- const =-~ (х2 ф- у2 ф- z2) ф- const. (21.155)
Курилаётган хрлда U = С тенг потенциалли сиртлар г = const
булган сфералардап иборат.
3. Ньютон тортилиш кучи майдони. Массаси га тенг М нуц-
тага доимо цузгалмас С марказга йуналган ва (21.108) формула
ёрдамнда аницланадиган
419
Ньютон тортилиш кучи таъсир этсин (21.31-расмга царанг). Бунда
f — тортилиш доимийси; — тортилиш марказидаги нуцтанинг мас-
саси; r — М нуцтанинг С нуцтага нисбатан радиус-вектори.
(11.109) га кура F кучнинг элементар иши учун
d'A = — {пцт^ (21.156)
формула уринли булади. Бу тенгламани интеграллаб. куч функция-
сини аницлаймиз:
+ cons/. (21.157)
Бу цолда хам тенг потенциалли сиртлар маркази координаталар
бошидаги сфералардан иборат булади.
21.29-§. Моддий нуцта ва механик система учун энер-
гиянинг сакланиш цонуни
(21.152) га кура А = По — П булгани учун моддий нуцта кипе-
тик энергиясининг узгариши цацидаги теоремани ифодаловчи (21.139)
формулани цуйидагича ёзиш мумкин:
^_^ = п —П
2 2 0
ёки
— + П = +П0= h,
2 2
бунда h — узгармас булиб, бошлангич пайтдаги тулиц механик энер-
гияни ифодалайди.
(21.153) га кура Т + П = Е тулиц механик энергияни ифода-
лайди. Бинобарин, энергия интеграла деб аталадиган
£ = 7> + П = /1 (21.158)
тенглик уринли булади.
(21.158) формула моддий нукта механик энергиясининг сакла-
ниш цонунини ифодалайди: потенциалли куч майдонида царакат-
ланаётган нуцтанинг тулиц механик энергияси узгармасдан цола-
ди.
Агар механик система нуцталарига таъсир этувчи кучлар потен-
циалга эга булса, у цолда системанинг цар бир нуцтасига цуйилган
кучларнинг иши (21.152) га кура
(21.159)
формуладан аницланади. Шу сабабли система нуцталарига таъсир
этувчи барча ташци ва ички кучлар ишларининг йигиндиси цуйида-
гига тенг булади:
^ = 2^ = 2по,-2Щ = по-п- <21-16°)
420
Бунда IL = УПОл, ва П = VHv мос равишда система нуцталари-
га таъсир этувчи барча кучларнинг бошлангич ва охирги пайтдаги
потенциал энергияларининг йигиндисини ифодалайди.
(21 160) ни система кинетик энергиясининг узгариши цацидаги
теоремани ифодаловчи (21.140) формулага цуйсак,
7,-7’о = Пп-П
ёки
Т + Н = ^о + По (21.161)
тенглик цосил булади.
Бу тенглама механик система энергиясининг сацланиш. цонунини
ифодалайди: агар система нуцталарига таъсир этувчи ташци ва
ички кучлар потенциалга эга булса, у хспда мазкур системанинг
тулиц энергияси узгармасдан колада.
Механик энергиянинг сацланиш цонуни уринли булган механик
система консерватив система дейилади.
Моддий нуцта ёки система нуцталарига потенциалга эга булма-
ган царшилик кучлари (масалан, ишкаланиш кучи) таъсир этса,
механик энергиянинг бир цисмн иссицлик, электр ва бошца энергия-
ларга айланиш натижасида механик энергия камая боради. Биноба-
рин, бу цолда механик энергиянинг сацланиш цонуни уринли бул-
майди.' Лекин барча куринишдаги (механик, иссицлик, электр ва
бошца) энергиялардан ташкил топган тулиц энергия, механик систе-
ма цар цандай куч майдонида царакатланса цам, узгармасдан целади.
22-БОБ. ЦАТТИЦ ЖИСМ ДИНАМИКАСИ
22.1-§. Цаттиц жисм динамикасининг асасий масалалари
Статика булимида кучлар системаси таъсиридаги цаттиц жисм-
нинг мувозанат шартлари урганилган эди. Кинематика булимида
эса цаттиц жисмнинг царакатини аницааш усуллари, ихтиёрий нуц-
тасининг тезлиги ва тезланишини аницлаш устида тухталган эдик.
Цаттиц жисм динамикасида учрайдиган масалаларни асосан цуйидаги
икки группага ажратиш мумкин: биринчи группа масалаларда ха-
ракати берилган цаттиц жисмнинг цандай кучлар системаси таъси-
рида булиши аницланади; иккинчи группага оид масалаларда берил-
ган кучлар таъсирида маълум бошлангич шартларга кура цаттиц
жисм цандай царакат цилиши, богланишдаги жисм учун эса богла-
ниш реакция кучлари хам аницланади.
Цаттиц жисм царакатини урганишда система динамикасининг
умумий теоремаларидан фойдаланилади. Кинематика булимида кур-
ганимиздек, эркин цаттиц жисмнинг царакатини мураккаб царакат-
дан иборат деб цараш мумкин (12.1-§). Бундай мураккаб царакатни
цутб учун танлаб олинган жнем ихтиёрий нуцтасининг илгарилама
царакати (кучирма царакат) ва цутб атрофидаги айланма царакат
(нисбий царакат) дан ташкил топган деб цараш мумкин.
421
Динамика булимида цутб учун одатда жисмнинг массалар мап-
казн олинади. Шу сабабли массалар марказинииг даракати хадада,.^
теоремадан (21.5-§) фойдаланиб, жисмнинг илгарилама даракат ди ф-
ференциал тенгламаси тузилади. Бу теоремани ифодаловчи (21.3 и
тенгламага кура
Мюс = Я', (22.])
бу ерда М — бутун жисм массаси; wc—цаттиц жисм массалар
марказинииг тезланиши: Rc — ташди кучларнинг бош вектори.
Система массалар марказига нисбатан нисбий даракат кинетик
моментининг узгариши дадидаги теорема воситасида жисмнинг мас-
салар маркази атрофидаги айланма даракат дифференциал тенглама-
си тузилади. Бу теоремани ифодаловчи (21.86) тенгламага кура
<Гкгг
-аГ~=Мс’ (22-2)
бунда К'с—даттид жисмнинг массалар марказига нисбатан кинетик
моменти: Мс — ташди кучларнинг массалар марказига нисбатан
бош моменти.
(22.1) ва (22.2) тенгламалар воситасида даттид жисм динамика-
сининг юдорида баён этилган иккита асосий масаласини ечиш мум-
кин.
Бу бобда даттид жисмнинг оддий даракатлари учун даттид
жисм динамикасининг асосий масалалари дандай ечилишини куриб
чидамиз.
22.2-§. Даттид жисмнинг илгарилама даракат дифферен-
циал тенгламалари
Илгарилама даракатдаги даттид жисмнинг барча нудталари худ-
ди жисмнинг массалар маркази каби даракатланади. Шу сабабли
илгарилама даракатдаги жисмнинг харакат дифференциал тенглама-
——>-
сини (22.1) куринишда олиш мумкин. (22.1) да wc = rc эканлигини
эътиборга олсак, жисмнинг илгарилама даракатини дуйидаги битта
иккинчи тартибли векторли тенглама билан анидлаш мумкин:
М7с = ^г. (22.3)
(22.3) ни иккала томонини дузгалмас координата удларига проек-
циялаб, даттид жисмнинг илгарилама даракатини ифодаловчи скаляр
формадаги учта иккинчи тартибли дифференциал тенгламалар сис-
темасини оламиз:
М хг = М ус = 7?^, М zc = Rpz .
(22.4)
422
Илгарилама харакатдаги цатти^ жисм учун динамиканинг икки
сосий масаласи худди моддий нуцта динамикасидаги каби ечиладн.
Дузгалмас Ост;^ координаталар системасига нисбатан илгарила-
ма харакатдаги жисм унинг массалар марказига бириктирилган
Сxyz координаталар системасига нисбатан ^аракатланмайди. Шу са-
бабли илгарилама харакатдаги жисмнинг массалар марказига нисба-
тан нисбий харакат кинетик моменти
^с = 0 (22.5)
булади.
(22.5) ни (22.2) га цуйиб, илгарилама харакатдаги жисм учун
/Ис = 0 (22.6)
булишига ишонч хосил циламиз.
Демак, жисм илгарилама харакатда булиши учун ташци кучлар-
нинг жисм массалар марказига нисбатан бош моменти нолга тенг
булиши шарт, деган хулосага келамиз.
(22.6) тенглик жисм илгарилама харакатда булишшшнг зарурий
шартини ифодалайди. Чунки Мс = 0 булишига ^арамай, жисм мас-
салар маркази атрофида айланма харакатда булиши мумкин.
Агар Мс = 0 булиши билан биргаликда бошлангич пайтда жисм-
нинг бурчак тезлиги хам нолга тенг булса, бундай жисм илгари-
лама харакатда булишини осонликча исботлаш мумкин (бунинг ис-
боти устида тухталмаймиз).
Шундай цилиб, жисмнинг илгарилама даракатини урганиш, мас-
саси бутун система массасига тенг нуцта (массалар маркази) нинг
танл^и кучлар бош вектори таъсиридаги даракатини урганишга кел-
тирилади.
22.3-§. Цузгалмас уц атрофида айланма харакатдаги
цаттиц жисмнинг даракат дифференциал тенгламаси
Дузгалмас z уц атрофида айланма хара-
катдаги жисм богланишдаги жисмдан ибо-
рат булади. Бундай жисмнинг даракатини
урганиш учун богланишдан бушатиш прин-
ципидан фойдалапамиз. Агар ишцаланиш
Хисобга олинмаса, А ва В подшипниклар-
нинг таянч реакцияларини Ra, Rb билан
алмаштириш мумкин (22.1-раем). Натижада
мазкур жисмни Fv F2, .... FN, RA, RB
кучлар таъсиридаги эркин жисм деб цараш
мумкин.
Дузгалмас г уц атрофида со = бур-
dt
чак тезлик билан айланма даракат ^илувчи
423
//p=vaiz(f®).
жисмнинг даракат дифференциал тенгламасини тузпш учун г уцк-й
нисбатан жисм кинетик моментининг узгариши цацидаги теоремани
ифодалевчи (21.73) нинг учинчи тенгламасидап фойдаланамиз:
I (22.7)
бунда /<г—жисмнинг г уцца нисбатан кпнегнк моменти; Л(* ==-
= yAlz(Fp жисмга таъсир этувчи Fp F2, . . . , FA, кучларнинг г
уццз нисбатан бош моменти. Rfl ва 7?в реакция кучлари z уцни ке-
сиб утгани туфайли уларнинг шу уцца нисбатан моментлари нолга
тенг булади.
Ишкаланиш кучи мавжуд булганда /И® таркибига ишцаланиш
куч шрининг моментики цам цушиш керак.
(21.54) га кура К = 7 w = 7 ф булгани учун —- = ! <р тенг-
dt г
лик урки и булади. Шу сабабли (22.7) ни цуйидагича ёзиш мум-
кин:
7/р = М° (22.8)
ёки
(22.8')
(22.8) ёки (22.8') тенгламалар жисмнинг цузгалмас ук атрофи-
да айланма харакапш дифференциал тенгламасини ифодалайди.
Агар жисмнинг z уц атрофидаги айланма царакат цонуни ср =
= ф(0 ва инерция моменти 1г берилган булса, (22.8) дан фойдала-
ниб, та ца кучларнинг бош моменти Мег ни аницлаш мумкин.
(22.8) тенгламада реакция кучлари цатнашманди. Л ва В таянч-
ларнинг реакция кучларини аницлаш устида 23.4-§ да батафсил
тухталамиз.
—>- —>- —>-
Инерция моменти 1г аниц ва Fp F2, . . . , F N берилган кучлар
таъсиридаги жисмнинг берилган бошлангич шартлардаги царакат цо-
нунини топиш учун (22.8') дифференциал тенгламани мазкур бош-
лангич шартларга мувофиц интеграллаш керак.
Агар айланиш уци z га нисбатан ташци кучларнинг бош момен-
ти нолга тенг булса, у цолда жисмнинг z уцца нисбатан кинетик
моменти узгармас булади. ^ацицатан цам, агар Ме = 0 булса,
(22.8) га кура
7г ф =0,
бундан
Кг = 7г со = /г<оо = const (22.9)
булишини курамиз. (22.9) да со, <оо лар жисмнинг охирги ва бош-
лангич пайтларга мос бурчак тезликларини ифодалайди. Бу цол
424
„ерцияси буйича айланаётган жисмнинг царакатига мос келади.
Агар бирор машинанинг вали текис айланма царакатда булса, бу
холда вални царакатга келтирувчи кучларнинг моменти билан иш-
Дцаниш кучларининг моменти мицдор жицатдан тенг, йуналиши
карама-царши булади.
(22.8'; ни цаттиц жисмнинг илгарилама царакат тенгламалари-
дан бирортаси, масалан, (22.4) нинг биринчи тенгламаси
Л1хс = ^. (22.10)
билан солиштирсак, айланма харакатдаги цаттиц жисмнинг инерция
моменти худди илгарилама харакатдаги жисмнинг массасига ухшаш
функциями бажаради, яъни инерция моменти айланма царакат-
даги жисмнинг инертлик улчовини ифодалайди.
Агар ташци кучларнинг бош моменти АР ва ц> маълум булса,
(22.8) дан фойдаланиб, жисмнинг айланиш уцига нисбатан инерция
моменти 1г ни аницлаш мумкин.
22.4-§. Физик тебравгич
Массалар маркази орцали утмайдиган горизонтал уц атрофида
узининг огирлик кучи Р = Mg таъсирида царакатланувчи жисмга
физик тебрангич дейилади.
Физик тебрангичнинг айланиш уци тебрангичиинг осилит уци
дейилади. ОС масофани а билан белгиласак, тебрангичнинг цолати
ОС чизицнинг вертикалдан сгиш бурчаги <р билан аницланади.
Горизонтал z уцни тебрангичнинг айланиш уци буйлаб йуналти-
рамиз (22.2-расм). Оху текисликни тебрангичнинг огирлик маркази
С орцали утказиб, бу текислик учун раем текислигини оламиз. Тинч
хрлатдан ср бурчакка огдирилган тебрангичга унинг огирлик кучи
Р ва О нуцтадаги цилиндрик шарнир реакция кучининг А'о, Уо
ташкил этувчилари таъсир этади. Ишцаланиш кучини цисобга ол-
маймиз.
Тебрангичга таъсир этувчи кучларнинг г уцца нисбатан бош мо-
менти
М' = М2 (Р) +M2(XJ+ MZ(YO) = Ра sin <р
булгани учун (22.8) га кура
/2 <р = — Ра sin <р
ёки
•• Рп
<р + —^-sin <р = 0 (22.11)
' о
Г
22.2- раем.
тенгламани оламиз. Бунда Iz тебрангич-
нинг осилиш уцига нисбатан инерция мо-
ментики ифодалайди.
425
(22.11) тенглама физик тебрангичнинг харакат дифферент^
тенгламаси дейилади. sin <р » <р муносабат уринли буладиган фи3иЛ
тебрангичнинг кичик тебранма харакат дифференциал тенгламасини
<₽+-^-ф = ° (22.12)
куринишда ёзиш мумкин. Бу дифференциал тенгламанинг умумий
ечими цуйидагича булади:
Ф = 4sin( у/Z-ф ej. (22.13)
(22.13) дан курамизки, <р бурчак тебраниш даври
7’=2n]/ZkT (22.14)
V Mga '
булган гармоник тебранма царакат цонуни асосида узгаради.
(22.11) тенглама математик тебрангичнинг царакат дифферен-
циал тенгламаси (18.17) дан фацат sincp олдидаги узгармас коэф-
фициентлари билан фарц цилади.
Тебраниш даври физик тебрангичнинг тебраниш даврига тенг
булган математик тебрангичнинг узунлигини аницлаймиз. Бунинг
учун (22.11) ва охирги тенгламадаги sin<р лар олдидаги коарфи-
циентларни тенглаймиз:
Ра _ _g_
1г I ’
бундан
I =1гё = 1г
Ра Ма ’
(22.15)
(22.15) формула ёрдамида аницланадиган / катталикка физик
тебрангичнинг келтирилган узунлиги дейилади.
(20.21) тенглик билан ифодаланадиган Гюйгенс-Штейнер теоре-
масини цуйидаги куринишда ёзамиз:
/г = /с + Ма2, (22.16)
бунда 1С билан тебрангичнинг огирлик маркази орцали г уцца па-
раллел равишда утувчи уцца нисбатан инерция моменти белгилан-
ган.
(22.16) ни (22.15) га цуйиб, физик тебрангичнинг келтирилган
узунлиги учун
(22.17)
ифодани оламиз.
О нуцтадан огирлик маркази йуналишида бу катталикни цуйиб,
О, нуцтани оламиз (22.2-расм). Ог нуцта физик тебрангичнинг
силкиниш маркази дейилади. Огирлик марказидан силкиниш мар-
казигача булган масофа учун
426
_ 1с
~ Ма
(22.18)
тенглик уринли булади.
1 Агар физик тебрангичнинг осилит уци учун силкиниш маркази
орцали утувчи уцни олсак, (22.15) га кура келтирилган узунлик
учун
+ 01
формулани оламиз. (22.18) га асосан
а ~ Maj '
Бинобарин,
— a бц — I
тенглик уринли булади.
Шундай цилиб, Oj ва 02 нуцталардан утувчи уцлар учун 1Л ва
I келтирилган узунликлар узаро тенг булади. Бои.цача айтганда,
силкиниш маркази орцали утувчи уцни осилит уци учун олсак, у
цолда аввалгн осилит уци янги силкиниш марказини ифодалайди,
яъни бу уцлар урнини узаро алмаштириш мумкин.
22.5-§. Жисмларнинг инерция моментларини тажриба
усули билан аницлаш
Техникала ихтиёрий шаклдаги бир жинсли ёки бир жинссиз
жисмларнинг уцца нисбатан инерция моментини аницлашда тажри-
ба усулидан фойдаланилади. Тебратиш усули ва буралма тебраниш
усули ана шундай усуллар жумласидандир.
1. Тебратиш усули. Айтайлик, огирлиги Р га тенг шатуннинг
огирлик маркази С орцали утувчи, Ог га параллел горизонтал уц-
ца нисбатан инерция моментини аницлаш керак булсин. Бунинг
учун дастлаб шатуннинг огирлик марказини аницлаймиз (7.3-§).
Сунгра шатун ни О втулка орцали утувчи цузгалмас Oz горизонтал
уцца осамиз (22.3-расм) ва sirup »<р муно-
сабат уринли буладиган кичик бурчакка ог-
дириб тебратамиз. Тебраниш бошлангандан
кейин шатуннинг т вацт ичидаги тебраниш-
лар сони п ни аницлаймиз. У цолда кичик
тебраниш даври Т = — формула ёрдамида
аницланади.
Бундай шатунни осилит уци Ог билан
устма-уст тушувчи
цараш мумкин.
(22.14) га асосан физик тебрангичнинг
кичик тебранишлар даври учун
физик тебрангич деб
427
уринли булади. Бунда Р — шатуннинг огирлик кучи; а — огирпи
марказидан осилиш уци Oz гача булган масофа.
Шундай цилиб шатуннинг, тебраниш даври Т, огирлиги р Ва
огирлик марказидан осилиш уцнгача булган а масофа маълум бул
са, шатуннинг осилиш уцига нисбатан инерция моменти (22.19)
кура
. _ Т2Ра
* Z . .»
4 лл
(22.20)
тенглик воситасида аникланади. Ог уцца параллел ралпшда шатун-
нинг огирлик марказидан утувчи CzY уц^а нисбатан инерция момен-
тини ^исоблаш учун Гюйгенс-Штейнер теор л< <чи ифодаловчи
(20.21) формуладан фойдаланамиз:
/2 = lZt 4- Ма2.
Бундан
/2, = /2-Ма2 = -^-^. (22.21)
4 л2 g '
/2j ни билган ^олда (20.19) га биноан шатуннинг С2 уц^а нис-
батан инерция радиусини аницлаш мумкин:
(2221
2. Буралма тебраниш усули. Бу усулда ихтиёрий шаклдаги А
жисмнинг инерция моментини аницлаш учун дастлаб юцори учи
цузгалмас цилиб ма^камланган симнинг пастки учига инерция мо-
менти /с маълум булган эталон жисм (масалан, бир жинсли диск)
осилади ва уни кичик <р бурчакка буриб цуйиб юборилади (22.4-
расм, а), Буралган симнинг эластиклик кучи таъсирида эталон
жисм буралма тебранма ^аракатда булади. ср бурчак кичик булган-
да эластиклик кучининг моменти буралиш бурчагига пропорцпонал
булгани учун буралма тебраниш даракат дифференциал теншмаси
1С ф = — k ф
ёки
ф -|_ А ф = 0,
'с
бунда k — узгармас коэффициент бу-
либ, симнинг эластиклик хусусияти-
ни ифодалайди.
Эталон жисмнинг тебраниш даври
учун
цуиидагича езилади:
•22.4- раем.
7\ = 2л1/ А- (22.23)
I k
Формула УРИИЛИ б>'лади-
*г Худди шунингдек, эталон жисм
“риига берилган А жисмни осиб (22.4-
\,см, б), бу жисмнинг тебраниш дав-
ри УЧУ» __
Тг= Ъял/ (22.24)
' k
муносабатни оламиз.
(22.23) ва (22.24) тенгликлардан k коэ^’рнцнентни йуцотиб, А
жисмнинг инерция моменти учун
= (22.25)
формулани оламиз.
22.1- масала. Массаси М, ва радиуси г га тенг барабан бир учига М2 массали
С юк осилган трос ёрдамида айлантирилади (22.5- раем). Трос В блок ортали утка-
зилган булиб, А барабанга уралган. А барабанга унинг бурчак тезлигига про-
лорционал булган царшплик моменти т таъсир этади; пропорционаллик коэф-
фициента а га тенг. Агар бошлангич пайтда система тинч ^олатда булса. бара-
баннинг бурчак тезлиги апицлансин. Трос ва В блокнинг массалари ^исобга
олинмайди. Барабан бир жинсли доиравий цилиндр деб царалсин.
Ечиш. Барабан ва С юкдан ташкил топган системанинг О нуктадан раем
текислигига перпендикуляр равишда угган г нисбатан даракат дифферен-
циал тенгламасини (22.7) га кура куйидагича ёзамиз:
= Ме. (1)
dt г
Бунда Кг — барабан ва С юкдан ташкил топган системанинг г уцца нисба-
тан кинетик моменти булиб,
Кг — Iz со + Мг с • г. (2)
(2) да /2со—г ук атрофида со бурчак тезлик билан айланувчи барабаннинг ки-
нетик моменти; М2т г —f тезлик билан илгарилама ^аракагланувчи С юкнинг
кинетик момсити.
булгани учун
М, г2 со г2 со
Кг = ---+ М2 г2 со = — (Mi + 2 йу. (3)
Барабан ва юкдан ташкил топган системага таъсир этувчи кучларнинг г уц-
ка нисбатан бош моменти Мег куйидагича аникланади:
М® = М.> g г — = Мг g г — а со.
(3) ва (4) ни (1) га г^уйсак,
d Г г2 <о / \1
—-------IM. + 2 М, =M„gr — а со
12 \ )\
(4)
429
ёки
со == М2 g г — а со
(5)
2 М1 + 2 М2
дифференциал тенгламани оламиз. Бу тенгламада узгаруЕЛиларпи ажратиб, бощ.
лангич шаргларга мос чегараларда интегралласак,
<1ы 2
И
— — In (M2gr — ны)
а I
й м2 & г — а со г2 (Mi-I-2 М2) 5
<> 2г
о = г2 (Mi-I-2 Мг)’
Бундан барабаннинг бурчак тезлигини аницлаймиз
М, е г
to = —2 у -
а
(6)
2а
(6) да р = —------------белгилаш киритилган.
г’ (Mi-I-2 М2)
(6) да Г->со да лимитга утсак,
М2 g г
lim to =-------= const
/—>ос а
булади.
22.6- §. Цаттиц жисмнинг текис параллел царакат диф-
ференциал тенгламалари
Айтайлик, цаттиц жисмнинг массаси бирор 0{ху текисликка
нисбатан симметрии жойлашган булсин; цаттиц жисмга таъсир
этувчи Flf F2, . . . , Fn кучлар эса шу текисликда ётсин цамда
жисм нуцталаринннг бошлангич тезлиги .мазкур текисликка парал-
лел булсин. Бу шартлар бажарилса, цаттиц жисм текис параллел
царакатда булади цамда бундай царакатни урганиш учун жиемн-и
Огху текислик билан кесиш натижасида цирцимда цосил булган
текис шаклнинг царакатини урганиш кифоя (22.6- раем).
Кинематика булимида курганимиздек, бундай текис шаклнинг
цолатини унинг бирор С нуцтасининг координаталари хс, ус (дина-
микада одатда бундай
22.6- раем.
нуцта учун жисмнинг массалар маркази оли-
нади) ва бу нуцтада жисмга мацкам би-
риктирилган Сх1у1 координаталар систе-
маси Xj уцининг х уц билан ташкил цил-
ган <р бурчаги ёрдамнда аницлаш мум-
кин.
Массалар марказининг царакати цаци-
даги теоремани ифодалевчи (22.1) тенг-
ламани цузгалмас х ва у уцларга проек-
циялаб, хс ва ус аницланадиган цуйидаги
иккита дифференциал тенгламани ола-
миз:
430
Mxc = Rt (22.26)
M yc = R^ .
бунда M — жисмнинг массаси; Rex, Rey — бош векторнинг х ва у
гк.лардаги проекциялари.
У Массалар марказига нисбатан нисбий даракат кинетик моменти-
яинг узгариши цацидаги теоремани ифодаловчи (22.2) тенгламадан
фойдаланиб, <р бурчак аницланадиган дифференциал тенгламани олиш
мумкин.
Агар С нуцтада О1ху га параллел равишда царакатланувчи
Схгуъ координаталар системасини утказсак, текис шаклнинг Сх2у2
координаталар системасига нисбатан нисбий царакати С нуктада
шакл текислигига перпендикуляр равишда утувчи г2 уц атрофидаги
айланма царакатдан иборат булади. Шу сабабли (21.54) га асосан
2„ уцца нисбатан текис шаклнинг нисбий царакат кинетик моменти
Rc = /га> — /с муносабат ёрдамнда аницланади. Бннобарин, (22.2)
га биноан цуйидаги тенглама уринли булади:
/сФ=Л4с, (22.27)
бунда /с — жисмнинг z2 уцца нисбатан инерция моменти;
Мес — 2г уцца нисбатан ташци кучларнинг бош моменти.
Шундай цилиб, (22.26) ва (22.27) тенгламалар системаси кат-
тиц жисмнинг текис параллел даракат дифференциал тенглама-
ларини ифодалайди.
Агар цаттиц жисмнинг текис параллел царакат цонунини ифо-
даловчи
xc = fi(t), УС=М\ = (22.28)
тенгламалар маълум булса, яъни массалар марказининг координа-
талари хс, ус цамда <р бурчак вацтнинг функцияси сифатида маъ-
лум булса, у цочда бу функцияларнинг вацт буйича иккинчи цосн-
ласини аницлаб, (22.26) ва (22.27) га цуйиш натижасида жисм
нуцталарига таъсир этувчи кучларнинг бош векторини аницлаш
мумкин.
Агар жисмга таъсир этувчи кучлар берилган, яъни Rex, Rey, Мес
маыум булса, у цолда (22.26) ва (22.27) тенгламалар системасини
интеграллаб, интеграллаш доимийларини царакатнинг бошлангич
шартларидан аницпаш натижасида жисмнинг текис параллел цара-
кат цонунини ифодаловчи (22.28) тенгламаларни олиш мумкин.
Агар Fu F2, , Fn кучлар таъсирида текис параллел цара-
кат цилаётган жисм богланишда булса, у цолда жисмга таъсир
этувчи ташки кучлар цаторига богланиш реакция кучларини цам
цушиш керак; натижада богланишдаги жисмнинг текис параллел
царакат дифференциал тенгламалари
431
<22.29)
Al Xf, — R* Rxf
Myc=Kev + Ry,
/сФ = Мес+ Mg
куринишда ёзилади. Бунда Rx, Ry — богланиш реакция кучларининг
координата уцларидаги проекцияларининг йириндиси; Mg — массалар
марказига нисбатан реакция кучларининг бош моменти.
(22.29) тенгламалар цаторига богланиш тенгламаларинн хам
цушиш керак. Агар текис параллел харакат цилувчи богланишдаги
жисм массалар марказининг траекторияси маълум булса, у цолда
(22.29) тенгламаларнинг биринчи иккитаси урнига бу тенгламалар-
нинг табиий координата уцларидаги цуйидаги ифодаларидан фой-
даланиш мумкин:
dvc ।
2
М = R*n + Rn, i (22.30)
Р
бунда vc — массалар марказининг тезлиги; р — массалар маркази
траекториясининг берилган ондаги эгрилик радиуси; Rex, R‘— таш-
ци кучлар бош векторининг уринма ва нормалдаги проекциялари,
/?ч, R„— богланиш реакция кучларининг уринма ва нормалдаги
проекцияларининг йириндиси.
Баъзан (22.26) ва (22.27) тенгламаларнинг бирортаси урнига
кинетик энергиянинг узгариши цацидаги теоремадан цам фойдала-
ниш мумкин.
22.2- масала. Диск узининг огирлик кучи таъсирида вертикал текисликда
пастга тушади. Бошлангич пайгда дискка ь>() бурчак тезлик берилган цамда
унинг массалар маркази координаталар бошида жойлашган ва горизонтал йунал-
ган ь0 тезликка эга. Дискка унинг массалар маркази орцали царакаг текислиги-
га перпендикуляр равишда утувчи уцца нисбатан айланма царакатига царама-
царши йуналган ва <р диск бурчак тезлигининг биринчи даражасига пропорцио-
нал булган царшилик моменти таъсир этади (22.7- раем). Пропориионаллик коэф-
фициента [> га, г уцца нисбатан дискнинг инерция моменти 1С га тенг. Диск-
нинг царакат тенгламаси тузилсин. х ва у уцлари раемда тасвирланган.
Ечиш. Дискка унинг огирлик кучи Mg ва царшитик моменти = —Р ф
таъсир этади. (22.26) ва (22.27) тенгламалардан фойдаланиб, дискнинг ихтиёрий
пайтдаги царакат дифференциал тенгламаларинн тузамиз:
Мхс = 0, Mt/c = Mg,/сф‘ = —
ёки
х-с=о, ^ = g, = L •_ (1)
432
Бу тенгламаларни t — 0 да <р — ы0> х^ = v0, у =0 бошлангич шарт-
лар буйича интеграллаймиз:
• 'Р dq> Р 1
*C = t’o. Ус=в1’ I —-=* — ~ \dl
“О ф М
ёки
• -ту'
хс — »о. Ус~^, <р = соое
Уносил булган тенгламаларни (=0 да хс = 0, ус — 0, <р = О бошлангич
шартлар асосида интегралласак,
pt2 1 Ip
xc^vot, yc = -Z ’ Ф = % f е dt:=
£ о
__L / -Li
/со>о ‘с 'с
= е 1о- ₽ (1 ’•
лар цосид булади, бунда <р орцали бошлангич пайтда горизонтал холат ни эгал-
ловчи диск диаметрининг х уц билан ихтиёрий пайтда ташкил цилган бурчаги
белгиланган.
Шундай цилиб, дискнинг царакат тенгламаси цуйидагича ёзилади:
-S-t
'с
(1-е С )•
лар цосил булади, бунда <р орцали
, рР , ‘С
*С = Ко t, Ус = —’ Ф= —г
2 р
22.3- масала. Радиуси г га тенг гилдирак тугри чизицли горизонтал рельсда
5
тесйл ~ I Р г айлантирувчи момент таъсирида царакатда на ди (22.8- раем); бунда
1 — сирпанишдаги ишцаланиш коэффициенти, Р — гилдиракнинг огирлиги. Агар ду-
малашдаги ишцаланиш коэффициенти =-—/г булса, гилдиракнинг рельега
тегиб турган А нуцтасининг тезлиги аницлансин. Гилдирак массаси унинг гардиши
буйлаб текис тацсимлангаи. Бошлангич пайтда гилдирак тинч цолатда булган.
28—2282
433
) булади.
даракат
Ечиш. Гилдиракка унинг огирлик кучи Р, Л пуцтадап fd масофага ^уйИл
тан нормал реакция кучи N, сирпанишдаги ишцаланиш кучи Fuulli (Кулон ^ону.
нига кура Fuull( — f N), айлантирувчи момент та-л = f Р г таъсир этади.
Гилдиракнинг массалар маркази тугри чизикли харакатда (р = оо)
Шу сабабли (22.30) ва (22.27) тенгламалардан фойдаланиб гилдиракнинг
дифференциал тенгламаларини тузамиз:
Р dvc
------- = f-N,
g dt
(1)
---±=P-N. (2)
g p
/c <p = — F- r — fd • N + тайл . (3)
<2) да p - m , 0 булгани учун
P — N = 0, => N = P. (4)
(4) ни (1) га цуйиб, мос бошлангич шартларда интегралласак,
Р Vc
dvc = fP^dt, =>vc= j g t. (5)
(3) Да7с=-|л F^ = l.N1=fPt fd = -±-fr,
5
тайл~~^'1Рг эканлигини эътиборга олиб, мос бошлангич шартларда интеграл-
ласак,
- Р Т d<p = .( \ -f Pr--LfPr -LfPr\dt,
go 0 \ 4 2 /
бундан
<i> = Л Ш (6)
4 r
булишини анидлаймиз.
(10.6) дан фойдаланиб, А нуцта тезлигини анидлаймиз:
va=vc~^vac-
(7) ни горизонтал х уцча прсекцияласак,
VAX = vc - vac = vc~ r <P ®
ёки (5) ва (6) ни эътиборга олсак,
5 1
VAX = I ------gt = -~^igt
тенглик ^осил булади.
Шундай ^илиб, А нуцта тезлигининг микдори vA = - I g t га тенг ^амда
п 4
х ук^о г;арама-царши йуналади.
•434
22.4- масала. Массаси т га тенг А диск гардишга В
учи цузгалмайдиган цилнб богланган ингнчка ип уралган.
Диск ипни чуватиб, бошлангич тезликсиз пастга тушади
(22.9- раем). Дискнинг А ну^тадан диск текислигига пер-
пендикуляр равишда утувчи уци h баландликдан тушганда
унинг тезлиги аниклансин ва ипнинг тортилиш кучи топил-
син.
Ечиш. Диск богланишдаги жиемдан иборат. Ипни
фикран кесиб, унинг диекка таъсирини таранглик кучи
5 билан алмаштирсак, дискни огирлик кучи т g ва та-
—>•
ранглик кучи S таъсиридаги эркин жисм деб цараш мум-
кии. Дискнинг массалар марказидаги А нукта х уц буй-
лаб тугри чизикли харакатда булади. Шу сабабли масса-
лар марказинииг даракатини аницлаш учун (22.26) нинг
биринчи тенгламасини тузамиз:
22.9- раем.
тхА - mg — S
ёки
тшд = т g —S, (1)
бунда хл = wA —А нудтанинг тезланиши. (1) дан S ни анидлаймиз;
S = m(g— wA ).
Диск учун (22.27) тенгламани тузиш урнига кинетик энергиянинг узгариши
хацидаги теоремани ифодаловчи (21.143) тенгламадан фойдаланамиз:
Т - То = Ае. (3)
Диск бошлангич пайтда тинч ^олатда булгани учун
7о = 0. (4)
Дискнинг исталган пайтдаги кинетик энергиясини jpico6.'i >шда текис парал-
лел харакатдаги жисм учун Кёниг теоремасини ифодаловчи (21.134) формуладан
фойдаланамиз:
1.1 , 1 , 1 1
т = — tnvA +— 7С®- = у mvA + у -- mR4&
= -у + 4" mv\ (5)
бунда vA — диск массалар марказинииг тезлиги.
Диекка таъсир этувчи кучларнинг ишини хисоблаймиз. Диск h баландликка
пастга тушганда огирлик кучининг иши mgh га, С nyiyra хаР онда тезликлар-
—>-
нинг оний маркази билан устма-уст тушгани учун унга куйилган S кучнинг
иши нолга тенг булади. Бинобарин,
Ае — mgh. (6)
(4), (5) ва (6) ни (3) га цуйсак,
3 2 и
— пит. = mgh,
4
бундан
4
va = v eh Г)
О
Хосил булади.
435
Шундай килиб, цилиндр уци
2 --------
<J
(8)
тезлик билан царакатланади.
(7) дан вацт буйича ходила олсак,
dvA 4 dh
2 vA-----= — g--------'
A dt 3 dt
dh dvA
бунда — =г-д( —
ланишинл аницлаймиз:
— A эканлигини эътиборга олиб, диск
у цининг гез-
2
=“Г ё' (9)
(9) ни (2) га цуйиб, ипнинг таранглик кучи учун
2 т
S = m (g —— g)=—g (9)
О о
ифодани оламиз. Демак, харакат давомида иннинг таранглик кучи узгарм.ц i.-ih
цолади.
22.7*-§. Цузгалмас нуцтага эга булган жисмнинг
царакати ва асссий динамик характеристикалари
Ц’згалмас нуцтага эга булган жисмнинг царакатини урганиш
техникада муцим ацамиятга эга. Айницса, гироскопнинг ажойиб ху-
сусиятларинп талцин цилишда цузгалмас нуцтага эга булган жисм
царакатига оид назариядан самарали фойдаланилади. Бундан ташца-
ри, эркин цаттиц жисмнинг царакатини ургапишда хам цузгалмас
нуцтага эга булган жисмнинг харакат назариясини татбпц этиш
мумкин, чунки эркин жисмнинг царакатини илгарилама ва унинг би-
рор нуцгаси атрорпда айланма царакатдан ташкил топган деб ца-
раш мумкин.
Дастлаб цузгалмас нуцтага эга булган жисмнинг динамик ха-
рактеристикалари, яъни кинетик момент ва кинетик энергияси цан-
22.10- раем.
дай цисобтанишини куриб чицамиз
1. Цузгалмас нуцтага эга б\лган
жисмнинг кинетик моменти.
Жисмнинг цузгалмас нуцтасида би-
рор Oxyz координаталар системасини
утказамиз (22.10-расм). Цаттиц жисм-
ни N та кичик элементар булакчалар-
дан ташкил топган деб царасак, (21.53)
га кура жисмнинг цузгалмас О нуЦ-
тасига нисбатан кинетик моменти
учуй
Ко = 2 ц, X mv Ц, (22.31)
436
формула уринли булади. Бунда rv — жисм Mv нуцтасининг радиус-
вектори; mv — мазкур нуцтанинг массаси ва vv — Oxyz координата-
лар системасига нисбатан Мх нуцтанинг тезлиги.
Кинематика булимида курганимиздек, Mv нуцтанинг тезлиги
(11.4) Эйлер формуласи ёрдамнда аницланади:
X,=^x7v. (22.32)
(22.32) ни (22.31) га ц^йсак,
Ао= 2 х т» (° х rv)- (22.33)
Икки цайтали вектор купайтма учун
rv X mv (ш X rv) = co mv r2 — mx ry (co rx;
формула уринли булгани учун
A'0=«ymv^ — (22.34)
Arap Oxyz координаталар системасини жисмга махкам бирикти-
рилган деб царасак, Ко нинг цузгалувчи Ох укдаги проекцияси цуйи-
дагича хисобланади:
= “л Z + У у + 1 mv Xv Ч \ +
ёки
Z mv + Уу') - % 1 mv A'v У у — “г 2 mv Ху ZV.
Бунда 5]rav = оркали х уцца нисбатан жисмнинг
инерция моменти; ^mxxxyv I ва V mv xv zv - - I хг лар билан эса
марказдан цочирма инерция моментлари белгиланишини назарда тут-
сак, Кх учун ва худди шунингдек Ау, Az лар учун цуйидаги ифо-
да тарни оламиз:
Кх = cov /к — со, 1 — coz 1 v2, 1
К,, = —со / + со Л, — coj.,2, (22.35)
У v л У У У "f х
Л2 COV 1 xz СО^, Iyz -р <02 lz.)
Агар х, у, z уцларни жисмнинг цузгалмас О нуцтаси учун яса л-
ган инерция эллипсоидининг бош уцтарн буйича йуналтирсак, у цол-
да 20.8-§ да курганимиздек, марказдан цочирма инерция моментлари
нолга тенг булади, бннобарин, инерция бод: хцтари учун
Кх 1Х сох, = 1у cov, Аг — lz сог (22.36)
формулалар уринли булади.
437
(22.36) дан курамизки, х, у, г уцЛар
Ж инерция бош уцларидан иборат булса к~
/Тх. кинетик моментнинг иуналиши бурчак тез
у I у лиги to нинг йуналиши билан устма-уст tv-
J J ,/ шади.
ХЛ [ 1 ' Хусусий цолда жисм цузгалмас г ук
X. ( ^cL'/ атрофида айланма царакатда булса (22.11-
раем), у цолда со бурчак тезлик вектори
_____________ айланиш уци буйлаб йуналади ва сох=© —
— 0 булади. Жисмнинг цузгалмас уц ат-
>/у__________рофидаги айланма царакати цузгалмас нуц-
та атрофидаги царакатнинг хусусий цоли-
22.11-раем. дан иборат булгани туфайли бундай жисм
учун (22.36) ни
xz ®л I yz ®z> ~ z ®z (22.37)
куринишда ёзиш мумкин. Агар г уц О нуцта учун ясалган инер-
ция эллипсоидининг бош уцидан иборат булса, 1хг = 1уг~0 була-
ди ва (22.37) дан
/<л = 0, Ку = 0, (22.38)
муносабатларни оламиз.
2. Цузгалмас нуцтага эга булган жисмнинг кинетик энергияси.
(21.128) га кура жисмнинг кинетик энергияси учун
ёки "
= (2239)
формула уринли булади.
Цузгалмас нуцтага эга булган жисм нуцтасининг тезлиги учун
(22.32) формула уринли булишини эътиборга олсак,
г==у2тА-(® х"ч
ифода цосил булади. Бунда (со х rv) = со (rv х vv) булишини на-
зарда тутсак,
(rv X тД,)=уco£rv х =1 (^ Ао). (22.40)
(22.40) даХг^х mv vv = Ko билан системанинг О нуцтага нисба-
тан кинетик моменти белгиланган.
Шундай цилиб, Кузгалмас нуцтага булган жисмнинг кинетик
энергияси жисмнинг айланиш бурчак тезлигини цузгалмас нуц-
тага нисбатан кинетик момент векторига скаляр купайтмаси-
нинг ярмига тенг.
438
Цузгалмас нуцтага эга булган жисмнинг кинетик энергияси учун
яна цуйидаги формулани ёзиш мумкин:
7’ = |/(ocos(w ^0)=|(со.А + %^ + “Лг)- (22.41)
(22.41) дан курамизки, жисмнинг кинетик моменти цамиша мус-
бат цийматга эга булгани учун cos (со Ао)>0 булади, яъни цуз-
Ралмас нуцтага эга булган жисмнинг бурчак тезлиги билан кине-
тик моменти орасидаги бурчак доимо уткир бурчакдан иборат бу-
лади.
(22.35) ни (22.41) га цуйсак,
Т = у (1Х + 1у + /г Ч2) - 21уг <*у « -
-2/гх«г« -2/xycot% (22.42)
формулани оламиз. Демак, цузгалмас нуцтага эга булган жисмнинг
кинетик энергияси бурчак тезликнинг координата уцларидаги про-
екцияларининг квадратик формасидан иборат булади.
Агар Охуг координата системасининг уцлари инерция бош уц-
ларидан иборат булса, у цолда марказдан цочирма инерция момент-
лари 1ху = lyz ~ Izx = 0 булади ва (22.42) ни
7 = - (/ со2 + / со2 -+- / со2)
2 ' .1 х 1 у у' г г'
куринишда ёзиш мумкин.
Агар (22.42) дан со^, соу ва сог лар буйича хусусий цосила олиб,
(22.35) ни эътиборга олсак,
dtox da>y d(»z
формулалар уринли булишига ишонч цосил циламиз.
(22.43}
(22.44)
22.8*-§. Эйлернинг динамик тенгламалари
Kj/згалмас нуцтага эга булган жисмнинг царакат дифференциал
тенгламаларинн чицариш учун цузгалмас О нуктада О I1] £ цузгал-
мас координаталар системаси ва жисм билан-биргаликда царакатла-
нувчи Охуг координаталар системасини утказамиз.
Дузгал.мас О £ т) £ координаталар системасига нисбатан кинетик
.моментнинг узгариши цацидаги теоремани ифодаловчи (21.72) фор-
мулага кура
(22.45)
dt °
бунда Ко — жисмнинг цузгалмас О нуцтага нисбатан кинетик мо-
менти; Ме0 — мазкур нуцтага нисбатан ташци кучларнинг бош мо-
менти.
43S
Oxyz координаталар системаси уцларининг бир тик векторларИ1111
I, j, k билан белгиласак, Ко ни х, у, г уЦлари буйича тащКи
этувчиларга ажратиш мумкин:
— (22.46)
Дузгалмас нуцтага эга булган жисмнинг динамик тенгламалари
ни Ч1царпшда Эйлер иккита соддалаштириш киритади. Улардан би'
ринчнси шундан иборатки, (22.45) тенгламаларни кузгалувчи коор^
дината уцларига проекцияланади. Бунинг учун дастлаб_£7° нинг
dt
цузгалувчи координата уцларидаги ифодасини анидлаймиз:
7^ =^T+^JtT+^-rk +KX^L + Ky-L + KZJL. (22 47)
dt dt dt dt xdl vdt dT 1 Л/)
Кинематика булимида курганимиздек, (13.13) га асосан
di "*• d i “Т dk “р
— о X I, —- = WX/, — = юх/г (22.48)
nt nt nt '
булади, бунда ы билан жисмнинг бурчак тезлиги белгиланган.
(22.48) ва (22.46) ни назарда тутиб. (22.47) ни куйидагича ёзиш
мумкин:
17° = J^7+7^7+—^ + ®х 70 =
dt di dt dt °
I л У * I
dKx~^ dKv . dK, , rz ,
~~dT +^rl + ~dTk + l +
+ / — “xA’z) + k (coxKy — (0yK v)
ёки
T ( W-’ + - a‘K’) +7 (t + “ 'KJ +
+ + (22.49)
\ at /
Ташки кучларнинг бош моменти учуй
= ЛР. 7 + ,Ир + (22.50)
тенглик уринли булишини назарда тутсак, (22.49) ва (22.50) га асо-
сан (22.45) тенглама цуйидаги учта скаляр тенгламага эквивалент
булишини курамиз:
440
+ соуАг - игКу = М\,
^- + ^х-ахКг=М'у,
м и
^.- + utK a>vKr = M'z.
di > . <
(22.51)
Эйлер иккинчи соддалаштириш сифатида цузралувчи координата
•у^лари учун О нуцгадаги инерция бот уцларини олади. Натижада
(22.36) га кура
= К = / и Д =1 и
булади. Бу ^олда (22.51) тенгламалар системаси куйидагича ёзила-
ди:
/х-^ + <о/ог (Д-/,)=ар,
dt ' %
1у + °)г“г (/х — /г) = М“' (22.52)
/г^ + сохсоу (/у-/х)=<
dt > у j
(22 52) тенгламалар Эйлернинг динамик тенгламалари дейила-
ди. Бу тенгламаларни Э'ыеэнинг кинематик тенгламалари (11.29)
со^ = ф sin 0 sin <р + 0 cos <р,
соу = ф sin 0 cos <р — 0 sin <р,
сог = ф cos 0 + (<
(22.53)
би .ал оиргаликда е иш керак.
22.9*-§. Кузгалмас нуцтага иа булган жисм учун
динамиканинг асосий масалалари
Дузгалмас нуцтага эга булган жисм учун динамиканинг асосий
масалалари: а) жисмнинг
ч- = А (О, ф = /2 (0, и = /з (О
тенгламалар билан ифодаланган фаракат тенгламалари берилганда
танп^п кучларнинг бош моментини аницлаш ва б) жисмга таъсир этув-
чи кучларнинг моменти маълум булганда жисмнинг даракат тенг-
ламаларини аницлашдан иборат. Динамиканинг биринчи масаласини
ечиш ср, ф, 0 ларнинг ^осилаларини топишга келтирилади; динами-
канинг иккинчи масаласини ечиш эса (22.52) ва (22.53) тенглама-
ларни ечишга келтирилади.
Бу тенгламаларнинг анпц ечимини жисмга цуйилган кучларнинг
моменти, инерция моментлари ва бошлангчч шартларга маълум чек-
лашлар цуйилгандагина аницлаш мумкин.
Агар бошлангич шартларга феч цандай чек цуйилмаган булса,
фацаг орирлик кучи таъсиритаги цузгалмас нуцтага эга булган жисм-
441
г
нинг даракати цацидаги масаланинг аник ечимини цуйидаги
цолдагина аницлаш мумкин.
УчТа
1. Э й л е р-11 у а н с о цели. Бу цолда ихтиёрий шаклдаги жисм-
нинг огирлик маркази цузгалмас нукта билан устма-уст туц^Я
ва Эйлер бурчаклари махсус эллиптик функциялар орцали ифодаЛа.
на ди.
2. Лагран ж-П у а с с о н цоли. Бу цолда жисм симметрия уци.
га эга булади. Агар жисмнинг симметрия уци учун z уцни олсак
1Х = /у булади, яъни О нуцта учун ясалган инерция эллипсоида,
айланма эллипсоиддан иборат булади. Курилаётган цолда цузгалмас
О нуцта ва жисмнинг массалар маркази симметрия уцида ётади. Бу
цолда Эйлер бурчаклари квадратура орцали аницланади.
3. С.В.Ковалевская цоли. Ковалевская цолида 1Х = / =
— 21 г булади, яъни О нуцта учун ясалган инерция эллипсоида чу-
зиц айланма эллипсоиддан иборат булади. Жисмнинг цузгалмас нуц-
таси симметрия уцида ётади цамда унинг огирлик маркази инерция
эллнпсоидининг экваториал текислигида ётади. Бу цолда Эйлер бур-
чакларини аницлаш гиперэллиптик функциялар орцали ифодаланади.
Лагранж-Пуассон цолидан гироскоплар назариясида самарали фой-
даланилади.
22.10* -§. Эркин гироскопнинг царакати
У'зининг симметрия уци атрофида тез айланадиган ва симметрия
уцидаги цузгалмас нуцта атрофида царакатлана оладиган жисм ги-
роскоп дейилади.
Гироскопга оддий мисол тарицасида бир учи горизонтал текислик-
ка таянган ва симметрия уци атрофида тез айланувчи пирилдоцни
олиш мумкин (22.12-расм). Техпикада турли гироскопик асбобларда
гироскоп ротори 22.13- раемда схематик тасвирланган кардан осма-
сига урнатилади. Кардан осмаси одатда цузгалмас О С уц атрофида
айлана оладиган ташци 1 думалоц цалцадан ва унга подшипниклар
воситасида бириктирилган ва горизонтал Ох уц атрофида айлана ола-
диган ички 2 думалоц цалцадан иборат булади. Ох уц ташци цал-
442
кага, Ог эса ички цалцага подшипниклар воситасида урнатилади.
рироскоп Oz уцининг бу тарзда урнагилиши унинг битта О нуцшси
дузгалмас булишини таъминлаши билан бирга мазкур уцнинг фазода
ихтиёрий йуналишни эгаллашига цам нмкон беради.
Кардан осмасига урнатилган гироскопнинг цолати Oz, OL, ва Ох
уцлари атрофидаги учта айланиш бурчаклари <р, ф, 0 билан аницла-
нади. Шу сабабли бундай гироскопнинг эркинлик даражаси 3 га
тенг булади
Агар гироскопга таъсир этувчи ташци кучларнинг цузгалмас О
нуцтага нисбатан бош моменти нолга тенг булса, бундай гироскоп
зркин гироскоп дейилади. Эркин гироскопии баъзида мувозанатлаш-
ган ёки астатик гироскоп деб аталади
Кардан осмасига урнагилган ва огирлик маркази цузгалмас О
нуцта билан устма-уст тушувчи гироскоп эркин гироскопга мисол
була олади.
Эркин гироскопии Эйлер —Пуансо ва Лангранж — Пуассон цол-
ларининг мажмуидан иборат деб цараш мумкин.
Эркин гироскопга гаъсир этувчи ташци кучларнинг бош момен-
ти = 0 булгани учун гироскопнинг абсолют царакат кинетик
моментининг узгариши цацидаги теоремага кура
£^о=ЛКо = 0 (22.54)
булади. Бннобарин, цузгалмас О нуктага нисбатан гироскопнинг ки-
нетик моменти Ко мицдор ва йуналиш жицатдан узгармас булади:
Ко = const. (22.55)
Гироскопнинг элементар назариясида Ко векторини гироскоп-
нинг Ог уци буйлаб йуналган деб царалади. Бннобарин, эркин ги-
роскопнинг уци инерциал цисоблаш састемасига нисбатан узгар-
мас йуналишини саклайди. Эркин гироскопнинг бу асосий хусусия-
тидан турли навигация асбоблари ёрдамнда фазода узгармас йуна-
лишни таъм'инлашда кенг фойдаланилади.
22.11- §. Резаль теоремаси
Дузгалмас О нуцтага эга булган жисм учун кинетик моментнинг
узгариши цацидаги теоремани
= <3 (22.45)
куринишда ёзиш мумкин. Бунда — жисмга таъсир этувчи ташци
кучларнинг цузгалмас О нуцтага нисбатан бош моменти.
Л'о вектордан вацт буйича олинган цосила бу вектор учининг
тезлиги и ни ифодалайди, яъни
443
dl<0
____2 = U.
dt
Бунда и вектори Ко гекторн годографига утказилган уринма буй
йуналади. Шундай цилиб, (22.45) ни цуйидагича ёза оламиз: ИЧа
U = (22.56)
Бу формула Резаль теоремасини ифодалайди: жисмнинг ксп
еалмас О нуктага нисбатан кинетик моменти вектори учининг
тезлиги барча таищи кучларнинг шу нуктага нисбатан бош мо-
ментига тенг.
Резаль теоремаси жисм кинетик моменти узгариши цацидаги тео.
реманипг кннематпк интерпретациясшш ифодалайди.
22.12- §. Гироскопнинг элементар назарияси
Техиикада цулланпладиган гироскоп рогорининг уз
да айланиш бурчак тезлиги 20 000 — 60 000 айл/мин га
ди. Гироскоплар кема, самолёт, ракета ва космик кемаларни бошца-
ришда кенг цулланилади.
Гироскопнинг царакатини урганишда купинча унинг ротори цара-
катини аницлаш алоцида ацамиятга эга.
Агар гироскоп ротори фацат узининг Ог симметрия уци атро-
—> —>
фида <в1 бурчак тезлик билан айланса, унинг /<0 кинетик моменти
Ог уц буйлаб со, билаи бир хил йуналади (22.14-раем, а) цамда
(21.54) га кура
уци атрофи-
тугри кела-
тенглик уринли булади. г
Ко — Кг булиб,
= /г(О1
$цни Wj билан бир хил йуналишда отсак,
22.14- раем.
Ао = /г<л,.
Айтайлик, гироскоп ротори уз
уци Ог атрофида иц бурчак тезлик
билан айлансин; Ог уц эса, О нук-
та атрофида од бурчак тезлик би-
лан айлансин. У цолда цаттиц
жисмнинг айланма царакатларини
цушиш цацидаги теоремага асосан
гироскоп роторинииг абсолют бур-
——>
чак тезлиги со1 ва од бурчак тез-
ликларнинг геометрик йигиндисига
тенг булади (22.14-раем, б).
Охуг координаталар снстемаси-
нинг г уцини гироскоп ротори уци
444
|я1”!лаб йупалтирсак, бу координаталар системасининг уцлари О
рукта учун ясалган инерция эллиисоидининг бош уцларидан иборат
булади, бинобарин, (22.36) га асосан кинетик моментнинг х, у, z
j-цлардаги проекциялари учун
i\x = Л<о!л, /\'у = /vw2v, Кг = /г(ац + ь>2) (22.57)
луносабатларпи оламиз. Бунда гироскоп г уцца нисбатан симметрии
булгани учен /r = /v.
Замонавий гироскопларда Wj = 6000 с”1 ёки л = 60 000 айл/мпн
гача булган цийматга эришади; (о2 эса сдатда 0,01 с”1 дан ошмай-
ди. Биринчи яцинлашишда ыг ни эътиборга олмасак, (22 .57) ни
К= 0, Kv = о, Кг = //о,
куринишда ёзиш мумкин Натчжада кинетик момент Ко ни Ог уц
буьлаб йуналган деб цараш мумкин ва аввалгидек
(22.58)
формула уринли булади.
Шундай цилиб, элементар наззряяда гироскопнинг кинетик мо-
менти унинг симметрия уци Ог буйлаб йуналган ва модули эса
гироскопнинг симметрия уци Ог га нисбатан унинг инерция момен-
ти билан мазкур уц атрофидаги айланиш бурчак тезлиги купайтма-
сига тенг деб царалади. Бундай гироскопнинг айрим хусусиягларини
куриб чицамиз.
1. Кучнинг гироскоп уци га таъсири. Шу пайтгача
гироскопнинг цузгалмас нуцтага нисбатан царакатини ташци куч-
ларнинг моменти нолга тенг булган цолда текшпрдик. Энди гирос-
копга таъсир этувчи ташци кучларнинг моменти поддан фарцлн
булган цолни курамиз.
Айтайлик, огирлик маркази О нуцтада булган гироскоп ротори
уцига унга перпендикуляр равишда йуналган F куч таъсир этсин
(22.15-раем). Агар гироскоп ротори уз уци атрофида айланмаса, у
F куч таъсирида О нуцта атрофида мазкур куч йуналишида кучади.
Агар гироскоп ротори уз уци атрофида жуда катта бурчак тезлик
—>-
билан айланса, у цолда F куч таъсирида гироскоп бутунлай бош-
Цача царакатда булади.
—>
^ацицатан цам Резаль теоремасига асосан Ко вектори учининг
тезлиги
~и = ~М'о (22.59)
ёки унинг мицдори
u = Meo = F-a (22.59')
формуладан аницланади.
445
Шундай дилиб, си, бурчак тезлик била»
айланувчи гироскоп уди F куч таъсиридан n.v
куч йуналишида эмас, балки унинг момент
вектори Ме0 йуналишида, яъни кучнинг й\на-
22.15- раем.
лайди. Бу натижа
лишига перпендикуляр текисликда кучади.
(22.59') формуладан курамизки, F кучнинг
таъсири тухтаган захоти и — 0 булади. Демак
ротори тез айланаётган гироскоп уди инерццОц
хусусиятга эга булмайди.
Агар гироскоп удига оний куч таъсир этса
(яъни зарба берилса), у долда кинетик мо-
мент вектори учидаги А нудта жуда кичик т
—>•
вадт ичида их га тенг кучиш олади дамда
гироскоп уди деярли бошлангич долатини сад-
гироскопнинг асосий хоссаларидан бири булиб,
гироскоп уцининг устуворлик хусусиятини ифодалайди.
Айтайлик, оний F куч гироскоп удига жуда кичик вадт / = т
давомида таъсир этсин, у долда гироскоп удидаги А нудта Ох уди
йуналишида и — т = Fax масофага кучади. Бунда гироскоп уди
= — (22 60)
бурчакка огади.
(22.60) формуладан курамизки, ед бурчак тезлик орта борган
сари а бурчак камая боради. Масалан, огирлиги Р = 50 Н, инер-
ция радиуси ри = 0,1 м булган гироскоп ротори п = 60 000 айл/мин
бурчак тезлик билан айлансин. Агар гироскоп удига перпендикуляр
йуналган ва О нудтадан а — 0,2 м масофага дуйилган F = 100 Н
куч т = 0,1 с давомида таъсир этса, шу вадт ичида гироскоп уди
F кучига перпендикуляр йуналишда
100-0,2-0,1
50 „ 2-3,14-60000
—-0,01- ------------
= 0,0063 pag = 0.36°
__ Fax
а Р ч 2лп
g Р° ’ ~60'
бурчакка огади, яъни гироскоп уди
деярли кучишга улгурмайди.
2. Гироскоп у дин инг про-
цесс и я с и. Пирилдод харакат-
ланганда, прецессия дандай содир
булишини куриб чидамиз. Юдо-
рида чидарилган формулаларни ут-
кир учи силлид ярим сферик сирт-
га таянган ва симметрия уди атро-
<)ида узгармас од бурчак тезлик
билан айланувчи пирилдод учуй
дуллаймиз (22.16-раем). Гироскоп-
446
йнг элементар назариясига кура, пирилдоцнинг О нудтага нисба-
тан кинетик моменти миддор жидатдан Ко = га тенг булиб,
11ИрилД01\Нннг симметрия уци Oz буйлаб йуналади, бунда 1г— пи-
риндоцнинг нисбаган инерция моменти. Нормал реакция
кучи /V нинг О нуцтага нисбатан моменти нолга тенг булгани
учун ташци кучларнинг О нудтага нисбатан моменти м0 огирлик
кучи Р нинг шу нуцтага нисбатан моментигагина тенг булади. Kj3-
галмас О нуцтадан пирилдоцнинг огирлик маркази С нуцтагача
булган масофани ОС = а ва симметрия уци Ог билан вертикал Оъ
yi$ орасидаги бурчакни 0 билан белгиласак,
Л/q — Ра sin 0 ^22 61)
булади дамда Л4^ вектори симметрия уци ётган вертикал текислик-
ка перпендикуляр йуналади.
(22.61) ни эътиборга олсак, Резаль теоремасига кура куйидаги
тенгликни ёза оламиз:
и = Аг sin 0. (22.62)
Бунда и вектори Oz уц ётган вертикал текчсликка перпендикуляр
булиб, М°о билан бир хил йуналишга эга булади.
А нуцта пирилдоцнинг симметрия уцида ётгани туфайли, бу у^*
нинг .\аракати А нудтанинг харакати билан аникланади. Бинобарин,
пирилдоцнпнг симметрия у^и огирлик кучи Р ётган вертикал текис-
ликка перпендикуляр равишда ,\аракатланади. Бунда 0 бурчак уз-
гармай, мазкур уц доиравий конус сирти буйлаб, 22.16-раемда тас-
вирланган стрелка йуналишида айланади. Пирилдоц уцининг бундай
^аракати прецессия дейилади.
Oz симметрия уци вертикал 01. у^ атрофида со2 бурчак тезлик
билан айланганда /<0 вектори учидаги А нудтанинг тезлиги
н=согХ/С0 (22.63)
тенгликдан аникланади. Шунингдек, гироскопнинг элементар наза-
—> —>-
рияснда Ко — 1г со, деб олинншини назарда тутсак,
и = /г( <о2 X mJ, (22.64)
унинг мивдори эса
и = /^toj<n2 sin 9 (22.65)
формуладан аникланади. (22.62) ва (22.65) формулаларни солишти-
риб,
1г WjOXj sin 0 = Ра sin 0
44Z
I
I
I
I
I
I
I
1
'l
22.17- раем.
тенгликни оламиз. Бундан пирил-
доцнинг прецессия бурчак тезлиги
ы2 ни аницлаймиз:
I
I
.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
'-'9 - .
Бу тенгликдан курамизки, (0
ортган сари процессия бурчак тез-
лиги камая боради.
3. Г и роек on и к момент.
Гироскоп уцининг царакаги маълум
булганда бу уц таянгап нуцталар-
да цосил буладиган кучларни аниц-
лаймиз.
Айтайлик, А ва в подшипникларга урнатилган гироскоп ротори
симметрия уци атрофида оц бурчак тезлик билан айлапсин (22.17-
расм); А ва В подшипниклар эса вертикал уц атрофида узгармас
о2 бурчак тезлик билан айланувчи рамкага урнатилган булсин.
о»! ы2 булган цолда гироскопнинг элементар назапиясини цул :аш
мумкин. Гироскоп уци и2 бурчак тезлик билан вертикат уц атрофи-
да прецессия царакатида булгани учун Oz уц буйлаб йуналган
K0 = l/>\ вектори учининг тезлиги и учун (22.59) формула урин-
ли булади. Лекин u = co2x Л’о = /,(о>2х coj булгани туфайли
^о = /г(“2 X “>). (22.66)
Ме момент А ва В подшиппикларнинг гироскоп уцига босими
натижасида цосил булади ва Ко вектори учининг тезлиги и билан
бир хил йуналади. Таъсир акс таъсирга тенглиги цацидаги цонунга <
кура уз навбатида гироскоп уци А ва В подшипникларга мицдор
жицатдан мазкур реакция кучларига тенг, йуналиши эса уларга ца-
рама-царши йуналган (Nr, N2) жуфт куч билан акс таъсир курсата-
ди. Бу жуфт куч гироскопик жуфт дейилади. Унинг моменти эса
гироскопии момент дейилади ва A1qUP билан белгиланади. Гироско-
пик момент мицдор жицатдан ташци кучларнинг бош моментига
тенг ва йуналиши унга царама-царши булгани учун
мгоир = -ме0
ёки (22.66) ни эътиборга олсак,
Ме“р = -Л(“2 х “i) = 4(®i X ®г). (22.67)
Бундан гироскопик моментнинг модулини аницлаймиз:
мо Р = sin е- (22.68)
448
Курилаётган цолда 0 = 90° булгани учун
МоР = /г«г«2- (22.68')
(22.67) тенглик Жуковский коидасини ифодалайди: агар гирос-
коп уки мажбурий прецессия \аракатида иштирок этса, у \олда
гироскоп уки урнатилган подшипникларга моменти гироскопик
момент М^р га тенг жуфт куч таъсир этади ва бу жуфт куч
вектори ш.? устига энг цисца аул билан тушадиган йуналиш-
да гироскопнинг симметрия уцини прецессия уки билан устма-
уст туширишга интилади.
Агар А ва В подшипниклар орасидаги масофа I га тенг булса,
у цолда (A\, N2) гироскопик жуфт моментининг мицдори учун
С₽ = ^./ = Аг./ (22.69)
формула уринли булади.
(22.68') ва (22.69) ни солиштириб, цуйидаги тенгликни оламиз:
//0,0)2 ~ Nl l = N2-l.
Бундан гироскопик босим кучларини аницлаймиз:
/ _CO-iGJo
= А2 = ^±2 (22.69)
—>• —*-
Л ва В подшипникларга Л\ ва (V2 гироскопик босим кучлари-
дан ташцари ва Мс2'п статик босим кучлари цам таъсир этади
(22.18-раем) цамда бу кучлар гироскоп огирлик кучи Р нинг ярми-
га тенг булади:
= (22.70)
Шундай цилиб, А ва В нуцталарнинг тулиц реакция кучи ста-
тик ва гироскопик ташкил этувчилардан иборат булади. 22.17 ва
22.18-расмларда тасвирланган Nv N2 ва N°m кучларнинг йу-
——>-
налишини эътиборга олиб, (22.69) ва (22.70) га асосан ва Na
тулиц босим кучларининг мицдорларини
22.18- раем.
22.19- раем.
29—2282
44»
N .= N. + Nc'n = + — P,
A 1 1 12
N = N — №* = -----P
B 2 2 l 2
формулалар ёрдамида аницлаймиз (22.19-раем).
Гироскоплар воситасида снаряд, самолёт ёки ракета каби турли
учувчи аппаратларнинг прецессия бурчак тезлигини аницлашда ёки
уларнинг стабил цолатини таъминлашда самарали фойдаланилади
22-5- масала. Массаси М = 1400 кг, радиуси а = 75 см ва уз уцига нисба-
тан олин1ан инерция радиуси р = "|/о,55с булган гилдирак скати горизонтал
текисликда радиуси R = 200 м б улган бурилишда узгармас v — 20 м/с тезлик
билан даракат цилади (22.20-расм). Агар рельслар оралиги 1=1,5 м булса
скатдан рельега тушадиган босим аннцлансин.
Ечиш. Ей :дирак скатининг абсолют царакатини унинг массалар маркази би-
лан биргаликдаги илгарилама харакат (кучирма даракат) ва массалар маркази
атр )фплаги айланма даракат (нисбий даракат) дан ташкил топган деб цараймиз
дамда массалар маркази атофидаги айланма даракаги учун кинетик моментнинг
узгариши цацидаги теоремани цуллаймиз.
Гилдирак скатининг массалар марказига нисбатан кинетик моменти нинг
мицдори
Кц =
формула ёрдамида аницланади. Бунда I = Мр2 гилдирак скатининг массалар
марказига нисбатан инерция моменти; со^ — скатнинг уз уки атрофидаги айланиш
и
бурчак тезлиги. гилдираклар сирпанмасдан гилдирайди деб царасак, со} = —
тенглик уринли булади. Бинобарин.
Ас------
Агар иккала рельс дам битта горизонтал текисликда ётади деб царасак,
инерция маркази С атрофида
Бунда КТС векторининг
скат со2 = — бурчак тезлик билан айланади.
/?
учи
С aR
(1)
йуналиши 22.21-раемда курсатилгандек, о
тезликка эга булади ва иг нинг
22.21- раем.
460
зликнинг йуналиши билан бир хил булади. (1) ни эътиборга олсак Реэаль
з^оремасига кура
„ 1400-0,55-0,752-202
Мг = =-----------------------= 1155 Н-м
с aR 0,75-200
(улади.
Гиросколик момент Мг£р мицдор жицатдан Мес га тенг
Мг“Р =Мес= Н55 Н-м,
йуналиши эта УИ^\ёки ur ) га царама-царши булади. Шу сабабли гироскопи
момент таъсирида ташци рельсда босим ортади, ички рельсда эса камаяди.
рельсларга тушадиган босимни цисоблашда марказдан цочирма ийерция кучи
ф нинг хам моментини цисобга олиш керак. фп ни С нуктага цуйилган деб
цараймиз. Бу кучнинг мицдори
Mf2
фя = — = 2 800 Н
R
формула ёрдамида цисобланади. фп таъсиридан цам гашци рельсда босим орта-
ди, ички рельсда камаяди.
Мо
Рельсларга тушадиган статик босим — га тенг булишини эътиборга олсак,
ташци ва ички рельсларга тушадиган босимлар цуйидагича аницланади:
Мо ф а-\-Мгир 1400-9,8 2800-0,75 + 1155
л/____Ё- I п С-------------. -------------------—
= (6 860 ± 2 170)Н = (6,86 + 2,17)кН.
Бунда ташци рельега тушадиган босимни аницлашда мусбат ишора, ички рельс-
даги босимни аницлашда манфий ишора олинади.
23-Б О Б. ДАЛАМБЕР ПРИНЦИПИ. КУЗГАЛМАС УЦ
АТРОФИДА АЙЛАНУВЧИ ЖИСМНИНГ АЙЛАНИШ ЭДИ'
ГА КУРСА!АДИГАН БОСНИИ
23.1-§. Моддий нуцта учун Даламбер принципи
Ньютон цонунларидан илк бор эркин моддий нуцта ёки эркин
цаттиц жисмнинг царакатини урганишда фойдаланилган. Богланиш-
лар аксиомасининг цабул цилиниши натижасида бу цонунлар ихтиё-
рий механик система учун цуллана бошланди. Богланишдаги мод-
дий нуцта ёки системаларнинг царакатини урганишда Ж- Даламбер
томонидан кашф цилинган ва «Даламбер принципи» деб аталадиган
махсус принципдан фойдаланилади. Эркин моддий нуцта учун Да-
ламбер принципи динамиканинг асосий цонунига эквивалентдир. Бог-
ланишдаги нуцта учун бу принцип богланишлар аксиомаси билан
биргаликда олинган динамиканинг асосий цонунига эквивалент бу-
лади.
Л1ассаси т га тенг богланишдаги М нуцта учун (18.1) га кура
динамиканинг асосий цонунини
(23.1)
451
куринишда ёзиш мумкин. Бунда кГ—
нуцтанинг тезланиши, F—мазкур Нук
\ тага таъснР этувчи актив кучларнинг
ТеНГ таъсиР этувчиси, Я — богланиш
реакция кучи. ,
л--'"" (23.1) ни F -|- Я + (— mw) = 0 ку-
ринишда ёзиб,
23.1- раем.
— шк’=Ф (23.2)
белгилаш киритсак,
F + Я + Ф = 0 (23 3)
тенгламани оламиз.
Мицдор жидатдан нуцтанинг массаси билан унинг тезланиши
купайтмасига тенг ва нудтанинг тезланишига царама-царши йунал-
ган куч нуктанинг инерция кучи дейилади.
(23.3) тенглик богланишдаги нуцта учун Даламбер принципи-
ни ифодалайди: агар моддий нуцтага таъсир эгпувчи барча актив
ва богланиш реакция кучлари цаторига инерция кучини цйшеак,
у холда \ар онда муеозанатлашган кучлар системасинн оламиз
(23.1- раем).
Хусусан, эркин моддий нуцта учун (23.3) да Я = 0 деб олина-
ди:
7+Ф = 0. (23.4)
(23 4) тенглик эркин моддий нуцта учун Даламбер принципи-
ни ифодалайди: эркин моддий нуцтага таъсир этувчи актив куч-
лар цаторига хар онда инерция кучини цушеак, бу кучлар узаро
мувозанатда булади.
Аслида инерция кучи моддий нуцтага цуйилган булмайди. Шу
сабабли Даламбер принципида киритиладиган мувозанат тушунчаси
шартлп тушунчадир. Даламбер принципида нуцтага хар онда инер-
ция кучи куйилган деб царашдан мацсад, динамиканинг асосий цо-
нунини формал равишда статиканинг мувозанат тенгламасига ух-
шаш тенгламаларга келтириб, динамика масалаларига статикадаги
мувозанат шартларини цуллашдан иборат. Шу боисдан бу усулга
кинетостатика усули дейилади.
Инерция кучининг актив куч ва богланиш реакция кучларидан
принципиал фарци шундан иборатки, инерция кучлари акс таъсир
этувчига эга эмас. Бошцача айтганда, инерция кучининг берилган
нудтага таъсирини вужудга келтирадиган жисмни курсата олмай-
миз. Шунинг учун ^ам баъзида инерция кучини «сохта куч» ^ам
дейилади. Масалан, математик тебрангичга таъсир этувчи Р огир-
лик кучи Ернинг тортиш кучидан, богланиш реакция кучи N эса
—>-
ипнинг таранглик кучидан иборат, лекин — mw га тенг инерция
452
кучининг таъсирини вужудга келтирадиган жисмни курсата олмай-
миз.
(23.3) ни Декарт координата уцларига проекциялаб,
Fx + Rx + Ф* — О,
Fy + Ry 4* Фу — О,
5г + 7?г+Фг = 0
(23.5)
тенгламаларни оламиз. Бунда Фл = — тх, Фу = —ту, Фг =
= —т г инерция кучларининг Декарт координата уцларидаги проек-
цияларини ифодалайди.
—>
Агар нуцта тугри чизицли харакатда булса, w мазкур чизиц
буйлаб йуналади. Бу ^олда инерция кучининг мнцдори учун Ф =
= mw тенглик уринли булади. Башарти ну^та тугри чизицли текис
харакатда иштирок этса, у ^олда w — 0 булгани учун нуцтанинг
инерция кучи хам нолга тенг булади.
Эгри чизицли харакатдаги нуцтанинг инерция кучини wx урин-
—
ма тезланишга царама-царши йуналган Фт уринма инерция кучи
—> —>-
ва wn нормал тезланишга царама-^арши йуналган Фп нормал (мар-
каздан цочирма) инерция кучларига ажратиш мумкин (23.2-расм):
Ф^ = — mwT, Ф;1 — — mwn
(23.6)
Хусусан нуцта г радиусли айлана буйлаб со бурчак тезлик ва
е бурчак тезланиш билан ^аракатланса, инерция кучининг уринма
ва нормалдаги проекциялари учун
|ФТ| = тг |е|, Фп = тг со2
(23.7)
формулалар уринли булади. Бу ^олда нуктанинг уринма ва нормал
инерция кучлари мос равишда
инерция кучлари дейилади.
Дуйидаги жадвалда айрим ху-
сусий ^олларда инерция кучини
Хисоблаш келтирилган:
айланма ва марказдан цочирма
23.2- раем,
23.3- раем.
453
М№ । Нуктанинг даракат тури Уринма ва нормал тезланиш Уриима ва норМал инерция кучи
1. Тугри чизшули текис даракат сот = 0, wn = 0 фт = о, фп - о
2. Тугри чизикли нотекис даракат dvx wT = —, w„ =0 T dt n |ф’|="1т| Фп = 0
3. Эгри чизицли текис даракат V2 = 0, w„ = — P II &' а | а. о Е II II ен
4. Айлана буйлаб даракат wx = r*e wn — r-co2 |ФХ | =nw-|e| Ф„ = тг • со2
Даламбер принципи тенгламасини М нуцтадан утказилган та-
биий координата уцларига проекциялаб,
Гт + Ят + Фт = 0, Г„+/?,.+Ф„=0, Fb + Rb = 0 (23.8)
тенгламаларни оламиз.
Даламбер принципидан номаълум реакция кучларини аницлашда
самарали фойдаланилади.
23.1-масала. Радиуси г—2 м булган ва ички сирти силлик ковак ^алца
вертикал ЛВ диаметри атрофида п = 30 айл/мин бурчак тезлик билан айланади
(23.3-расм). Х,алца ичида огирлиги Р = 19,86 Н булган М шарча жойлашган.
Шарчанинг ^алцага нисбатан мувозанатда буладиган h баландлик ва бу цолатга
мос булган ^алцанинг реакция кучи N аниклансин.
Ечиш. Царакатдаги координата укларини шундай танлаймизки, Оху текисли-
ги ^алцанинг текислигида ётсин. М шарчага унинг огирлик кучи Р ва >;алца-
нинг нормал реакция
Цалк,а узгармас
кучи N таъсир этади.
2 л п 2 л 30
со =------—---------= л с'
60
(1)
60
бурчак тезлик билан
ф = фп = mwn = т-бЦ/И-со2 = w-cos a-со2 (2)
нормал ташкил этувчидан иборат булади. Шу сабабли шарчага Ф = Ф„ инер-
ция кучини цуйсак, Даламбер принципига асосан шарча мувозанатда булади.
Шарча учун (23.5) генгламаларнинг биринчи иккитасини тузамиз
— N cos а + Ф = 0, —P-|-Wsina —0. (3)
(2) ни назарда сутиб, (3) нинг биринчи тенгламасидан N cos a = mr cos a -co3
мунссабатни оламиз. Бундан
P 19,86
N — mr ы‘ =----rco2 = ------.2-3,142 = 40 H.
g 9,8
n P 20
(3) нинг иккинчи тенгламасидан sina =---=-------= 0,5 эканлигини топа-
N 40
миз. Бинобарин, a = 30°.
Д СЦ/ИС дан
СО1 — г sin a - 2-0,5 = 1 м.
454
Щундай цилиб,
h = ОС — ОгС = 2 — 1 = 1 м.
23.2-масала. Вал 1 вертикал уц атрофида
узгармас со бурчак тезлик билан айланади. Валга
№ бурчак остида стержень 2 пайвандланган.Улар
орасига радиуси г га тенг бир жинсли диск 3
цуйилган (23.4-расм). со цандай цийматга эриш-
ганда дискнинг валга босими нолга тенг булади.
Валнннг йугонлиги цисобга олинмасин.
Ечиш. 0гу уцни вал буйлаб, ОАх уцни эса
дискнинг маркази орцали утказамиз. Дискка
унинг огирлик кучи т ц. вал ва стерженларнинг
нормал реакция кучлари Д\ ва N2 таъсир этади.
Дискнинг валга босими мицдор жицатдан
га тенг булади.
Вал узгармас бурчак тезлик билан айланга-
ни учун дискнинг инерция кучи
Ф = ф„ = wco2 (1)
23.4- раем.
нормал ташкил этувчидан иборат булади. Агар дискнинг марказига Ф инерция
кучини цуйсак, Даламбер принципига асосан диск мувозанатда.булади.
Диск учун (23.5) тенгламаларнинг биринчи иккптасини тузамиз:
N j — N2 cos ср + Ф — 0, (2)
N2 sin ср — mg — 0.
(3)
Бу тенгламалардан N2 ва ларни аницлаймиз:
zng
Л'„ =------, А\ = N2 cos ср — Ф = mg-ctg ср — mr со2,
sin ср
Охирги тенгламадан курамизки, Nt = 0 булиши учун
со = — etg ср
г
шарт бажарилиши керак.
23.2-§. Механик система учун Даламбер принципи
Aip ТИ2, . . . , MN моддий нуцталардан ташкил топган механик
системага геометрик богланишлар цуйилган булсин. Система нуцтала-
рининг массаларини mv т2, . . . , mN билан белгилаймиз. Система-
нинг бирор Mv нуцтасига таъсир этувчи актив кучларнинг тенг
таъсир этувчисини богланиш реакция кучларининг тенг таъсир
этувчисини ва бу нуцтанинг инерция кучини билан белги-
— > —>
ласак, нуцта учун баён этилган Даламбер принципига кура Rv
ва Фг кучлар цар онда узаро мувозанатлашади. Шу сабабли сис-
теманинг цар бир нуцтаси учун
Fv + + Ф„ = 0, (v = 1,2.........N) (23.9)
тенглик уринли булади.
455
(23.9) тенгликлар система учун Даламбер принципини ифода-
лайди: агар актив ва борланиш реакция кучлари таъсиридаги
системанинг цар бир нуцтасига инерция кучини цуйсак, бу куч-
лар системаси мувозанатлашган кучлар системасини ташкил
этади.
Система нуцталарига таъсир этувчи кучларни актив ва реакция
кучларига ажратмай, балки ички ва ташци кучлардан ибораг деб
царасак,
I
тенглик уринли булади. Бунда Flv—Mv нуцтадаги 4-ашци кучларнинг
тенг таъсир этувчиси, — ички кучларнинг тенг таъсир этувчиси.
Охирги тенгликни назарда тутиб, система учун Даламбер прин-
ципини
F Д Fv Д Фу, = 0, (v = 1,2, . . . , N) (23.10)
куринишда цам ёзиш мумкин.
Бинобарин, ташци ва ички кучлар таъсиридаги системанинг
хар бир нуцтасига хар онда инерция кучини цуйсак, бу кучлар
муво:анатлашган кучлар системасини ташкил этади.
Система учун Даламбер принципини ифодаловчи (23.9) ва (23.10)
тенглпкларпан система нуцталари цар онда мувозанатда булади де-
ган хулоса келиб чицмайди, чунки аслида системанинг цар бир нуц-
тасига инерция кучлари цуйилган булмайди.
Fv, Rv, (ёки Fev , Fl , Фу.) кучларни (v = 1,2, . . . , N) фа-
зодаги кучлар системаси деб цараб, статика булимидагидек, умумий
цолда олтита кинетостатика тенгламаларинн олиш мумкин.
(23.9) тенгламаларни цушиб, система учун
£(/\Д^ДФ0 = О (23.9')
ифодани оламиз.
(23.9) тенгламаларнинг цар бнрини Mv(v = 1,2, . . . , N) нуцта-
ларнинг радиус-векторлари rv га векторли купайтириб цушсак,
2(дх Л) + 2Ж х яд +2(7гхф>0
ёки
2[Мо(Х) + МоМ ДМо(Ф,)1 =0 (23.11)
тенглик уринли булади.
(23.9') ва (23.11) тенгламаларни координата уцларига проекция-
лаб, олтита кинетостатика тенгламаларинн оламиз:
456
^(^ + ^+®vx)=0-
24 + 4+ 4J = 0,
2 4 + 4 + 43 = °.
Z К 4) + 4 <4 + M* (4)1 = °>
У [My (Fv) + My {RJ + My (Ф> = 0,
214 4) + 4 4) + Mz <4)1 = °-
(23 12)
Агар система нуцталарига цуйилган кучларни ички ва ташци
кучларга ажратсак, ички кучларнинг хоссасига кура у Flx — 0,
УМо(А0 = 0 булгани учун (23.9') ва (23.11) дан
24 + 4) = °-
214 4) + 4(4) = °
(23.13)
тенгламаларни оламиз.
(23.13) ни координата уцларига проекниялаб, яна олтита муво-
занат тенгламаларинн олиш мумкин. Бу тенгламаларда ички кучлар
цатнашмагани туфайли улардан система динамикасининг купгина
масалаларини ечишда самарали фойдаланиш мумкин.
(23.13) да у Fv = Rev— ташци кучларнинг бош вектори; 24=
—> —> —> —>
= Ф — инерция кучларининг бош вектори; 244) = 4 —таш"
—> —*
ци кучларнинг О марказга нисбатан бош моменти ва 24(4) =
= М о — инерция кучларининг О марказга нисбатан бош моментини
ифодалашини эътиборга олсак,
Re + Ф = 0,
Мо + Мо = 0
(23.14)
тенгламалар уринли булади.
Система царакат мицдорининг узгариши цацидаги теоремани ифо-
даловчи (21.23) ва система кинетик моментининг узгариши цацида-
ги теоремани ифодаловчи (21.72) тенгламаларни
Re — = 0,
dt
-> dK0
Ме______— = о
'о dt
(23.15)
куринишда ёзиб, (23.14) ва (23.15) тенгламаларни солиштирсак, сис-
тема инерция кучларининг бош вектори ва бош моменти учун
457
Ф = (23.16)
Мо=--^- (23.17)
ифодаларни оламиз.
Демак, система инерция кучларининг бош вектори системанинг
даракат мицдоридан вацт буйича олинган росиланинг — 1 га ку-
пайтмасига 1енг; система инерция кучларининг бирор О марказга
нисбатан бош моменти эса мазкур марказга нисбатан системанинг
кинетик моментидан вацт буйича олинган ^осиланинг — 1 га ку-
пайтмасига тенг.
Харакатдаги система нуцталарига куйилган богланиш реакция
кучларини аницлашда, яъни динамик реакция кучларини апи^лашда
Даламбер иринципини цуллаш, айницса, цул келади.
23.3-§. Хаттиц жисм инерция кучларининг бош вектори
ва бош моменти
(21.6) га кура ихтиёрий харакатдаги цаттих жисмнинг харакат
——>
мицдори Q = Mt>c формула ёрдамида аникланади. Шу сабабли бундай
система инерция кучларининг бош вектори учун цуйидаги формула
уринли булади:
Ф = — — Mwc, (23.18)
dt
—>-
бунда М — жисмнинг массаси: wc — жисм массалар марказинииг
тезланиши.
Шундай цилиб, ихтиёрий харакатдаги цаттиц жисм инерция куч-
лари бош векторининг модули Ф = М wc булиб, массалар маркази-
нинг тезланиши wc га царама-царши йуналади.
Ихтиёрий харакатдаги цаттих жисм инерция кучларининг бош
моментини хисоблашда цутб учун одатда жисм массалар марказида-
ги С нуцта олинади. У холда (23.17) ни
Мс = —(23.19)
куринишда ёзилади.
Агар Cxyz координаталар системаси жисмга махкам бириктирил-
ган булса, (22.49) га кура
dKc ^КСх \
= 1 \di~~ + ^у^Сг — (йгКСу ) +
( dKCy
+ / t dt + ©zKcjt — <йхКсг 1 +
458
+1 + ихКсу - ) (23.20)
Ыуносабат уринли булади.
(23.20) да
=7хИх-/х.,%-/хгЫг’
Key = 1 ху -р ly С)У lyZ ®Z>
Ксг ~ 1 xz Сйд. Iуг С0у -р 1 г (£>г
хамда
Л4? = /М?х7 +
булишини эътиборга олсак, (23.19) га биноан ихтиёрий харакатдаги
цапих жисмнинг инерция кучлари бош моментининг координата уц-
ларидаги проекциялари куйидагича аникланади:
МСх = ~ 7х Ех + !ху (Еу — “х“г) + 7хг (Ег + ®х%> ~
MCV = - 1у Еу + !уг <Ег ~ %°>х) + 7х, <Ех + ~ /93 9 П
-7хг(“2х-^)-(7х-7г)^х.
МСг = — 7г Ег + 1 хг (Ех “ % °г) + 1 уг &у + “х “г) ~
— / (со2 — СО2) — (/ — I ) со со .
ху 'у х' ' у х' х у
Хусусий холлэрда цзттиц жисм инерция кучларининг бош мо-
менти цандай хчсобланишини куриб чицамиз.
1. Моддий симметрия текислигига эга булган хаттиХ жисмнинг
текис параллел хаРакати. Агар Cz ух хаРакат текислиги билан
устма-уст тушувчи моддий симметрия текислигига перпендикуляр
булса, у холДа бу ух инерция бош уцидан иборат булади хамДа
7xz = 7уг = °- ех = еу = °> = “у = °-
Натижада (23.21) га асосан курилаётган текис параллел хаРа'
катдаги жисмнинг инерция кучлари бош моменти учун
^0 = °, Л1^ = °. <2 = -/гег (23.22)
формулалар уринли булади.
2. Цаттих жисмнинг хузгалмас ух атрофидаги айланма хара-
кати. Бу х°ДДа ХУтб учун айланиш ухида ётувчи ихтиёрий нухта-
ни олиб, z ухни айланиш ухи буйлаб йуналтирамиз; х, у ухларни
эса жисмга бириктирилган деб хаРаймиз. со ва е векторлари ай-
ланиш ухи буйлаб йуналгани туфайли сол = соу = 0, ех — еу = 0 бу-
лади.
Бундан ташхари со| = со2 булишини эътиборга олиб, (23.21) ни
цуйидагича ёзиш мумкин:
459
< = ^г-л>2. I
МТ = Jyz ег + °2’ (23 23\
^=-/2вг. )
3. Илгарилама даракат. Илгарилама даракатдаги цаттиц жисм
учун = <оу = <ог = 0, еЛ = еу = ег = О булгани туфайли Мсх
= Мсу = Мег = о булади.
Бннобарин, илгарилама даракатдаги цаттиц жисмнинг инер-
ция кучлари унинг массалар марказидан утувчи Ф = —
тенг таъсир этувчига келтирилади.
23.4-§. Жисм цузгалмас уц атрофида айланганда под-
шипникларнинг динамик реакция кучларини аницлаш
Айтайлик А2, . . . , FN кучлар таъсиридаги цаттиц жисм В
нуцтада цилиндрик подшипник ва А нуцтада подпятник (таянч под-
шипник) ка урнатилган z уц атрофида о> бурчак тезлик ва е бур-
чак тезланиш билан айланма царакатда булсин (23.5-расм). Агар
таянч нуцталарида цосил буладиган ишцаланишни цисобга олмасак,
богланищдан бушатиш цацидаги аксиомага кура А подпятник ва В
——>
подшипникни RA ва RB реакция кучлари билан алмаштириш мумкин.
Л ва В таянч нуцталари орасидаги масофани h билан белгилай-
миз. Бундай жисмга Даламбер принципини цуллаш учун келтириш
марказини А нуцтада олиб, жисмнинг цар бир нуцтасига Фу инер-
ция кучини цуямиз цамда (23.10) ва (23.11) тенгламаларни тузамиэ:
- _ (23.24
У>МА (Av) + мА (RA) + ma(Rb) + %ма (Ф^) = о,
23.5- раем.
бунда МА (Ra) = 0.
(23.24) дан RA ва RB ни аницлаш учун
—>- —>*
инерция кучларининг бош вектори Ф =
ва бош моменти = УЛ'1А (Фг) ни цисоблаш
—>-
керак. Шу мацсадда Ф^, инерция кучларини
—>- —>-
wvt айланма ва wvn марказга интилма тезла-
нишларга царама-царши йуналган Ф^ ва Ф„„
ташкил этувчиларга, RA ва RB ларни эса ХА,
Ya, Za,Xb, Yb ташкил этувчиларга ажратиб,
(23.24) ни жисмга бириктирилган цузгалувчи
координата уцларига проекциялаймиз:
460
VXv + X>, + Afi + VOvx=0,
VZv + Z,=O,
v /И, (Fv) - Y b h + Mx (Ф,) = 0,
V (Fj + x^-h+V M$v) = 0,
+ (4) = o.
(23.25)
(23.7) ни назарда тутиб, инерция кучларининг координата уц-
ларидаги проекциялари учун цуйидаги муносабатларни оламиз:
C0S Х) + 1Ф J C0S ^vn’ x) =
= mvrv e— + mvrvco2 — = mvyv e + mvxva2,
rv rV
C0S <Чг- У) + I C0S У) =
XV v Уч ,2
= — mv rv E-----hmvrva2-----= — mv xv e + yv co2.
rv rv
Бннобарин,
=е2тг^ + ®22ту^ = МУсе+ Mxc“2- 1 ,23 26)
= — e 2"zvxv + 0)2 = ~ Mxc e 4- Mt/C CO2. I
Курилаётган цолда ег = e булгани туфайли, (23.23) га кура
инерция кучлари бош моментининг координата уцларидаги проек-
циялари цуйидагича аницланади:
= £ М (Ф4 = /хге-^®2-
= (OJ^/^e + Z^co2.
(23.26) ва (23.27) ни (23.25) га цуйсак,
+ +Хв + М/се + Мхссо2 = 0,
U + Уа + Ув ~ « + Мус<*г = 0,
2Zv + Z^ = 0,
2/ИД)-Уй.й4-/лге-^со2 = 0,
2А1Д) + ^-/г + ^е + /х2“2=0.
^Mz(fv)~12e=0.
(23.27)
(23.28)
4в<
(23.28) тенгламаларнинг биринчи бештаси воситасида Л ва б
нуцталардаги таянч реакцияларининг ташкил этувчилари ХА, у
Zz, Хв, Yg ларни аницлаймиз.
(23.28) нинг олтинчи тенгламасида таянч реакциялари цатнащ.
майди ва бу тенглама цаттиц жисмнинг цузгалмас уц атрофидаги
айланма царакат дифференциал тенгламаси (22.8) га эквивалентдир
Агар жисм нуцталарининг массалари цандай тацсимлангани ва
ташци кучлар маълум булса, реакция кучларини цуйидаги тартибда
аницлаш мумкин. Дастлаб Хс, ус, М, /х2> 1уг, Srv> Szv>
VMx(Fv), 2. (AV), (AV) ларни аницлаймиз; (23.28) нинг
олтинчи тенгламаси ёрдамида е бурчак тезланишни, сунгра интег-
раллаш нули билан со бурчак тезликни цисоблаймиз. со ва к лар-
нинг топилган цийматларини (23.28) га цуйиб, А подпятник ва В
подшип ник нинг реакция кучларини топамиз.
23.5-§. Кузгалмас уц атрофида айланувчи жиемни ста-
тик ва динамик мувозанатлаш
Л ва В таянч нуцталарининг реакция кучларини статик ва ди-
намик ташкил этувчиларга ажратамиз.
Жиемга таъсир этувчи берилган Fv(v = 1, N) кучларни муво-
занатловчи реакция кучларининг R™ ва Rc™ ташкил этувчилари
статик реакция кучлари дейилади. Статик реакция кучларини
аницлаш учун (23.28) нинг биринчи бештасида е = 0, со = О деб
оламиз. У цолда цуйидаги тенгламалар цосил булади:
У A'v + Адт + А"" = 0,'
У + Yc™ = О,
ЗА + Z“! = 0,
(23.29)
VM (fv)-y-./i = 0,
2^Й + А™-/1 = 0.
Бу тенгламалар статика булимида чицарилган цузгалмас уцца
эга булган жисмнинг мувозанат тенгламаларинн ифодалайди.
Берилган кучлар таъсирида жисм z уц атрофида айланиши мум-
кин. Бундай айланма царакат натижасида жисм нуцталарининг
инерция кучлари цосил булади. Бу инерция кучларини мувозанат-
—>- —>-
ловчи реакция кучларининг R^ ва RdB ташкил этувчилари дина-
мик реакция кучлари дейилади.
Жиемга таъсир этувчи берилган кучлар статик реакция кучлари
билан мувозанатлашгани туфайли, (23.28) дан динамик реакция
кучлари аницланадиган цуйидаги тенгламаларни оламиз:
462
Хдд + *в + М*/С’6 + Мхс-со2 = О,
Удд + ^В---^хс' е + Mt/C- W2 = О,
-П-/г + /«-е-/г/г-®2 = 0,
^•Л + ^^ + <г-“3 = °-
(23.30)
Айланиш уци г буйлаб йуналган инерция кучлари мавжуд бул-
магани туфайли, бу уц буйича йуналган динамик реакция кучлари
цам булмайди.
Цузгалмас айланиш уцига эга булган ва огирлик маркази айла-
ниш уцида ётувчи жисм статик мувозанатлашган жисм дейилади.
Ог айланиш уцига эга булган статик мувозанатлашган жисмнинг
массалар маркази учун %с = //с = 0 булади. Бу цолда (23.30) нинг
биринчи иккита тенгламасидан
+ Хаь = 0, У" + = 0, (23.31)
яъни
муносабатни оламиз. Бинобарин, статик мувозанатлашган жисмнинг
динамик реакция кучлари жуфт кучни ташкил этади. Бундай жуфт-
ни фацат жуфт куч билан мувозанатлаш мумкин булгани ту-
файли динамик реакция кучларини мувозанатловчи жисм нуцталари-
нинг инерция кучлари цам жуфт кучга келтирилади.
(23.31) ни назарда тутиб, (23.30) нинг охирги иккита тенгла-
масидан динамик реакция- кучларининг ташкил этувчиларини аниц-
лаймиз:
1 г, е — 1 uz со2
ей „ уй _ хг Уг
1 А~ 1 В~ h
Динамик реакция кучларининг мицдори
_ «а + + (23.32)
формула ёрдамида аницланади.
(23.32) дан курамизки, динамик реакция кучлари фацатгина бур-
чак тезланишига боглиц булмай, бурчак тезликка цам боглиц бу-
лади. Демак, жисм фацат инерцияси буйича узгармас бурчак тезлик
билан айланганда цам динамик реакция кучлари цосил булади.
Динамик реакция кучлари нолга тенг булган жисм динамик
мувозанатлашган жисм дейилади.
(23.32) дан курамизки, марказдан цочирма инерция моментлари
Iхг ва Iyz нолга тенг булгандагина динамик реакция кучлари нолга
тенг булади. Бунинг учун динамик мувозанатлашган жисмнинг ай*
463
(23.33)
ланиш уда инерция бош уцидан иборат булиши керак. Курилаётган
далда жисмнинг огирлик маркази айланиш удада ётгани туфайли
динамик мувозанатлашган жисмнинг айланиш у^и марказий инеп-
ция бош увидан иборат булади.
Динамик реакция кучи таъсир этмайдиган марказий инерция бощ
уда эркин айланиш уци дейилади.
Айланиш уда эркин булиши учун техникада махсус баланслащ
цурилмасидан фойдаланилади. Бунинг учун жисмларни пармалаб
уйиш ёки маълум дасмига цушимча юк бириктириш усулидан фой-
даланилади.
Ж.исмда утказилган ихтиёрий удаи иккита нуцтавий масса цушиш
нули билан эркин айланиш удага айлантириш мумкинлигини исбот-
лаймиз.
Массаси М га тенг булган жисм учун %с, ус, Iхг, Iлар маъ-
лум ва нолдан фарцли булсин. Бундай жисмга координаталари (х19
уг, zj ва (х2, у2, z2) га тенг т1 ва т2 массали нуцталарни бирик-
тирамиз. У далда (20.5) ва (20.36) тенгликларга кура
М хс + xt 4- m2 х2 = 0,
Мус + miyl 4- m2ty2 = 0,
/jrz + тгх1г1 4- m2x2z2 = 0,
1уг + + m2y2z2 = 0
шартлар бажарилса, x'c = y'c = I'a — Г — 0 булишига ишонч косил
даламиз. (23.33) шартларни цаноатлантирувчи тг ва т2 массаларни
ва улар цуйилган нудталарнинг координаталарини танлаш усули
билан цуйилган масалани ечиш мумкин. Бунинг учун айрим катта-
ликларни олдиндан берилган деб дараш мумкин. Масалан, ти т2
ва г,, z2 (Zj Ф z.^ лар берилган деб дараб, уъ х2, у2 ларни (23.33)
дан анидааш мумкин.
Техникада бу усулдан тирсакли вал, кривошип дамда узаро би-
риктирилган цушалоц гилдиракларни динамик мувозанатлашда кенг
фойдаланилади.
Одатда айланиш удага тушадиган босимни анидаашда тайёр (23.30)
формулалардан фойдаланмай, балки дар бир масала учун бевосита
Даламбер принципи цулланилади.
23.3-масала. Вертикал ук атрофида
узгармас бурчак тезлик билан айланувчи
валга а = 30° бурчак остида массаси mi,
узунлиги I га тенг стержень бириктирил-
ган. Стержень учига массаси т2 га тенг
М2 нудаа бириктирилган, Агар COi— DO=-
= Zi = 2Z/3 ва OOj = Z булса, С ва Р
нуктавий массалар дандай дайматни дабул
далганда Л ва В таянч нукталарида дина-
мик реакция кучлари дасил булмайди
(26.3-раем, с).
Ечиш. ОМ2 стержень дамда Л12, С ва
D нуцталардав ташкил топган система
<о = const бурчак тезлик билан вертикал
УК атрофида айланганда Л ва В таянч
464
«укталарида цосил буладиган динамик реакция кучларини аницлаш учун Далам-
бер принципидан фойдаланамиз. со = const булгани учун система нусугаларннинг
лнерния кучлари ф( , Ф2 , Фс , Фс нормал ташкил этувчилардан иборат булад»
(23.6-раем, 6) ва уларнинг мицдори куйидагича аникланади:
Ф, = wCt = т1 ш3 I sin a,
Фс — mc Wq = mc co31
ф2 = m2w2 — т2(й2 I sin a,
2
— mrco2(,
3 c
2
Фс= mD wD = mD co2 Z, = — mDco21.
3
(1)
(2)
(3)
(4)
ф2 , Фс , Фо инерция кучлари мос равишда М> , С, D нуцталарга цуйилган.
—
Агар узунлиги cfg га тенг стержень булакчасининг инерция кучини с/ф билан
Селгиласак, аФ учун 1\уйидаги формула уринли булади:
d Ф = | sin сс-со-’.у-d^, (5)
—
бунда у—стерженнинг узунлик Сирлигига мос булган масса. Ф, кучнинг цу-
йилган нуцгасипи аниклаш учун Oxyz координаталар системасинн шундай танлай-
мизки, стержень Oyz текислигида ётсин. У хрлла стержень булакчаларининг инер-
ция кучлари Оу укца параллел кучлар системасидан иборат булади ва бу куч-
ларнинг О нуктага нисбатан моментларининг йигиндиси мазкур кучлар тенг таъ-
сир этувчисининг моментига тенг булади:
1
-ф^-h — — J ij-cosa-г/Ф, (6}
О
бунда h—Ф1 кучнинг О нуцтага нисбатан елкаси; Е,— стержень булакчасининг
координатаси.
(1) ва (5) ни эътиборга олиб, (6) ни
i
т± со21 sin a- h = J Е. sin a co2y-|-cos (7)
о
куринишда ёзиш мумкин.
(7) ни ингеграллаб, h ни анидлаймиз:
2 УЗ
h = — I cos a = — I. (8)
О о
—>-
А ва В нуцталарда динамик реакция кучлари трсил булмаслиги учун Фь
—У- —>- —>-
Ф2 , Фс, Фо параллел кучлар системаси мувозанатлашган булиши керак, яъни
бу кучлар системаси цуйидаги тенгламаларни цаноатлантириши керак;
У, = 0; = о*
У Мо (Ф^) = 0; — Ф1-й—-Ф2-/ cos а ф- Фс >1 = 0
ёки (1) — (4) ^амда (8) ни эътиборга олсак,
30—2282
465
1 2 2
— mj w21 sin а + т2 cd2 I sin а — — т.(, ы2 I—-----------mD(i>2 I — 0,
2 3 3
1 . 1/3 2
— — т1 ы21 sin а--Ку I — т2 со2 I sin а •/•cos а-|- ~ гис со2 / = 0
10) дан
(9)
(10)
тс = (тг + 3 ш2) = 0,216 (п^ -ф Зт2).
(11) ни (9) га цуйиб, mD ни аницлаймиз:
= 0,159 OTj-J-0,102 m
Шундай цилиб, А ва В нуцталарда динамик реакция кучлари цосил бу1мас-
.лиги учун С ва D нуцталарнинг масса лари
mc=0,216 (т1+3т2), mD — 0,159 т1 4-0,102 т2
цийматларга эга булиши керак.
23.4- масала. Огирлиги Р булган бир жинсли тугри бурчакли пластинка узи-
нинг АВ диагонали а,рофида а> бурчак тезлик билан айланади. Агар томонлари-
нинг узунлиги а ва b булса, пластинкадан А ва В таянчларга тушадиган дина-
мик босим аницлансин (23.7-раем).
Ечиш. Жисм билан биргаликда царакатланувчи Схуг координаталар система-
сини раемдагидек йуналтирамиз.
> —► —>- —>-
Айланиш уцига цуйилган бегланишларни ХА, YA, Хдв ва YdB динамик реак-
ция кучлари билан алмаштирамнз. У цолда Cxyz координаталар системасининг
уцлари марказий уцлардан иборат эканлигини ва пластинканинг г уц атрофида
узгармас бурчак тезлик Силан айланишини эътиборга олиб, (23.30) га ухшаш
тенгламаларнн тузамиз*).
(11)
4
^ + rl=o,
V a1 -|- />4
2
----2----- ~ Ув)~ ‘уг = 0,
Т/п2-|-/>2 ,, я
(Хл-4) _/хгШ2=0.
Сх уц пластинка текислигига перпен-
дикуляр йуналган цолни, яъни бу уц мар-
казий инерция бош уцидан иборат булган
цолни курамиз. Бу цолда
!хг = 0. (2)
Марказдан цочирма инерция м. мен-
типи цисоблаш учун C£i|t марказий ва
бош координаталар системзеини шундай
танлаймизки, Сх уц Cg билан устма-уст
тушсин; СЕ уц пластинканинг а томснига
параллел, Ст] эса унга перпендикуляр йу-
налсин.
(1)
23.7- раем.
(Координаталар боши С нуктада
’ ''д „г, 1
*) Координаталар боши С нуктада олингани учун (1) тенгламаларнннг учинчи
ва туртинчисида ХдА ва лар цам цатнашади. Бннобарин, (23.30) ни тузишда
координата уцларини цандай танлаб олиннши алоцида ацамиятга эга.
466
Cz ва С £ уцлари орасидаги а бурчак
b
tg« =—
a
тенгламадан аницланади.
Координата уцларини буриш формулалари восигасида марказдан цочирма
инериия моменти аницланадиган
lyz = f Уг dm
(М)
интеграл остидаги г, у катталиклардан £, ц катталикларга утамиз:
г = £ sin а -|- т] cos а,
у = £ cos а — т] sin а.
z ва у ларнинг бу цийматларини 1уг га цуйсак, цуйидаги ифода цосил бу лади:
sin 2 a
!yz —
+ cos 2 a j T] £ dm.
(M)
С В т] £ бош координаталар системасидан иборат булгани учун марказдан цо-
чирма инерция моменти J т] £ dm = 0 булади.
(М)
С£т] ва С££ текисликларга нисбатан инерция моментларини цисобЛаймиэг
Pab a3 — b2
12я' йа + Ь*’
(3)
(2) ва (3) га асосан (1) ни цуйидаги куринишда ёвамиз:
4+^=0,
^ + ^1=0,
Pab^ сР-Ь* , _ д
6g (а2 + ^)3/2 А в'
ГО
467
еб тенгламалар системасидан изланаётган иомаълумларни аницлаймиз:
ха _ 0 уд _ — Pobai1 (a2 — b*) д
л _ о, ya _ ]2^ fc3)3/2 , Хв - О
д Pab ы2 (о2 — 62)
в= 12 g (с2 + М)3/2 •
24-Б О Б. АНАЛИТИК МЕХАНИКА
Аналитик, механикада механик системаларнинг мувозанати га
харакати урганилади. Механиканинг асосий принциплариня баён
этиш, улардан даракат дифференциал тенгламаларинн чицариш, маз-
кур тенгламаларни изоцлаш ва интеграллаш усуллари аналитик ме-
ханиканинг асосий мавзуинп ташкил этади. Аналитик механикада
цулланиладиган умумий усулларни механик системаларга татбиц
этиш билан бирга бу усуллардан электр ва электромеханик ходиса-
ларни тадциц цилишда цам самарали фойдаланиш мумкин.
24.1-§. Богланишлар ва унинг классификацией
18-бобда битта моддий нуцтага цуйилган богланишлар устида
тухталган эдик. Бу тушунчаларни механик система учун умумлаш-
тирамиз.
Система нуцталарининг царакатини уларнинг царакат цонунига
•боглиц булмаган ва олдиндан берилган геометрии ёки кинематнк
шартлар билан чекловчи жисмларга богланишлар ёки аналитик бог-
ланишлар дейилади.
Бу таърифга кура система нуцталарининг царакатини чекловчи
цар цандай жисм аналитик богланишдан иборат була олмаслигини
алоцида таъкидлаб утамиз. Масалан, юк осилган пружина аналитик
богланишдан иборат булмайди, чунки юкнинг царакатига пружина
томонидан цуйиладиган чек юкнинг царакат цонунига боглиц бу-
лади.
Агар система нуцталарига богланишлар цуйилмагаи булса, бун-
дай система эркин система дейилади. Акс цолда система богланиш-
даги система дейилади
К,уёш системасига кирувчи планеталар эркин системани ташкил
этади. Бу планеталар бир-бирига бутун олам тортишнш цонуни
асосида таъсир этади Планеталарнинг харакати олдиндан берилган
бирор шартлар билан кинематнк чек .анмайдп.
Исталган машина ёки механизм богланишдаги системага мясол
була олади. Масалан, тепловозни богланишдаги механик система деб
царасак, у цолда темир йул богланиш вазифаспни утайди.
N та моддий нуцталардан ташкил топган механик система нуц-
таларига цуйилган богланишларнинг математик ифодаси вацт, сис-
тема нуцталарининг координаталари ва уларнинг цосилаларига бог-
лиц тенгламалар ёки тенгсизликлар билан аницланади:
fu (xv yV’ zv 0 = 0, (p = 1, 2, ... , /) (24.1)
468
ёки
/Ж- yv< zv> xv' Ух< zv< 0 > 0, (p = 1, 2, ... , /). (24.2)
Бу ерда ва келгусида /ц (xv, yv, zv, xv, yv, zv, t) ифодада xv, yvj
zv, xv, yv, zv лар урнида барча x(, yv zv ... , xN, yN, zN, x,, ylr
, ... , xN, yN, zN лар цатнашади цамда функция ва унинг цо-
силалари узлуксиз функциялардан иборат деб царалади.
Тенгламалар билан ифодаланадиган богланишлар бушатмайдиган
богланишлар, тенгсизликлар билан ифодаланадиган богланишлар эса
бушатадиган богланишлар дейилади.
Масалан, иккита моддий нуцта узгармас I узунликка эга булган
стержень билан туташтирилган булса, бундай богланиш
(х1-х2)г + (//1-//2)2 + (г1-г2)2-/2 = 0 (1)
тенглама билан ифодаланади. Агар иккита моддий нуцта эгилувчан,
чузилмайдиган ва узунлиги I га тенг ип билан туташтирилган бул-
са, богланиш
/2 — (Xj — х2)2 — (гц — у2)2 — (z1 — z2)2 > 0 (2>
тенгсизлик билан ифодаланади. Ип таранг цолатда булганда, тенг-
лик ишораси, акс цолда тенгсизлик ишораси олинади.
Агар богланишлар фацат система нуцталарининг координаталарига-
чек цуйса, бундай богланишлар геометрии богланишлар дейилади..
Геометрик богланишларнинг тенгламаси
/(\, 0 = ° (24-Зр
куринишда ёзилади.
(1) ёки (2) муносабатлар билан ифодаланган богланишлар гео-
метрик богланишларга мисол була олади.
Агар богланишлар система нуцталарининг координаталаридан
ташцари тезлигига цам чек цуйса, уларга кинематик ёки диффе-
ренциалли богланишлар дейилади. Кинематик богланишларнинг ана-
литик ифодаси (24.1) ёки (24.2) куринишда ёзилади.
Агар богланиш тенгламалари (24.1) интегралланадиган булса,
богланиш голономли богланиш; интегралланмайдиган булса, беголо-
ном богланиш дейилади.
Масалан, радиуси R га тенг гилдирак
лаб сирпанмай царакатлансин (24.1-
расм). Бундай гилдиракнинг О^ху цара-
кат текислигидаги цолати гилдирак О
марказининг координаталари х0, у0 ва бу
марказ атрофидаги айланиш бурчаги <р
билан аницланади. Агар х уцни рельс
буйлаб йуналтирсак, у цолда
Уо=^ (3)
тугри чизицли рельс буй-
463
24.2- раем.
муносабат геометрик богланишни
ифодалайди. Бундан ташцари, гил-
дирак сирпанмасдан царакатлангани
учун гилдиракнинг рельега тегиб
турган С нуцтасининг тезлиги нол-
га тенг булади. Бу шарт
хо R (4)
кинематик богланиш билан ифода-
ланади. (4) ни интеграллаб, х0 ва
<р орасидаги муносабатни аницлай-
миз:
х0 — А* ср = const.
Бинобарин, (4) тенглама билан и(}юдаланадиган богланиш голономли
богланишдан иборат булади.
Беголоном богланиш цуйилган жиемга мисол тарицаенда гори-
зонтал текислик буйлаб сирпанмасдан царакатланувчи радиуси R га
тенг шарни олиш мумкин (24.2-раем). Шарга цуйилган богланиш-
лар шарнинг марказидан текисликкача булган масофанинг узгармас-
лигини ифодаловчи z0 — R геометрик богланиш ва шарнинг текис-
ликка тегиб турган С нуцтасининг тезлиги нолга тенглигини ифо-
даловчи v(. = 0 ёки
v0 + со X гс = О
(5)
кинематик богланиш билан ифодаланади.
Эйлернинг кинематик тенгламалари (11.29) дан фойдаланиб, (5) ни
цуйидагича ёзиш мумкин:
хо Уо I
1.
0 cos ф + ср sin 0- sin ф 0 sin ф — sin G cos ф
О О
k
ф 4- ср cos 0
-R
Бу векторли тенгламани координата уцларига проекциялаб, цуйи-
даги учта скаляр тенгламаларни оламиз:
хо — R (9 sin ф — ср sin 6 cos ф) = О,
Уо + R( 0 cos ф + <р sin 9 sin ф) = О,
го==0.
(6)
(6) тенгламаларнинг биринчи иккитаси интегралланмайди, шунинг
учун бу тенгламалар беголоном богланиш тенгламаларинн ифодалаи-
ди.
470
Агар богланиш нинг аналитик нфодаси вацтга ошкор равишда
боглиц булса, унга стационар булмаган богланиш дейилади. Ста-
ционар булмаган голономли ва бушатмайдиган богланиш тенглама-
лари умумий цолда
Фц Уу< ^, /) = 0, ( ц = 1, 2, ...,/)
куринишда ёзилади.
Масалан,
х2 + у2 + г2 = W (7)
тенглама билан ифодаланган богланиш стационар булмаган богла-
нишдан иборат. (7) нинг геометрик маъноси шундан иборатки, нуцта
радиуси вацтга пропорционал равишда ортиб борадиган сфера сирги-
да царакатланади.
Агар богланишнинг аналитик ифодаси вацтга ошкор равишда
боглиц булмаса, бундай богланиш стационар богланиш дейилади.
Голономли, стационар ва бушатмайдиган богланишлар тенгламаси
умумий цолда
% (xv, = 0. (р = 1, 2, . . . , Z)
куринишда ёзилади. (1) — (4) тенгламалар цам стационар богланиш
тенгламаларинн ифодалайди.
Келгусида фацат голономли бушатмайдиган богланишлар устида
тухталамиз.
24.2-Мумкин булган кучиш. Системанинг эркинлик
даражаси
Агар механик системага богланишлар цуйилган булса, бундай сис-
тема ихтиёрий равишда куча олмайди, чунки богланишлар система
нуцталарининг фацат баъзи кучишларигагина йул цуяди.
Богланишдаги механик система учун мумкин булган кучиш ту-
шу нчасини киритамиз.
Системага цуйилган богланишни цаноатлантирган цолда система
нуцталарининг берилган онда тасаввур цилинадиган чексиз кичик ку-
чишлари механик системанинг мумкин булган кучиши дейилади.
Худди шунингдек, богланишдаги нуцта учун мумкин булган ку-
чиш тушунчаси киритилади.
Мумкин булган кучишлар вацтнинг цайд цилинган пайти учун со-
дир булади деб царалгани туфайли система нуцталарига таъсир
этувчи кучлар цам умумий цолда вацтга боглиц булишига царамай,
худди шу цайд цилинган пайт учун узгармас деб царалади. Шу-
нингдек, система нуцталарига мумкин булган кучиш берилган пайт-
да стационар булмаган богланиш теигламаларида вацт узгармас деб
олинади.
Мисол тарицасида
f (х, у, z, /) = 0 (24.4)
куринишдаги стационар булмаган, бушатмайдиган голономли богла-
47i
ниш цуйилган битта моддий нуцтанинг мумкин булган кучиши
дай аницланишини курнб чицамиз.
Айтайлик, вацтнинг цайд цилинган t пайтида
г0) цолатни эгалласин ва унинг радиус- вектори
цаН-
Wa М. (х0,
г» булсин. Худди
шу цайд цилинган вацт учун нуцтага фикран 6 г кичик кучиш бе
рамиз. Цандай шарт бажарилганда б г богланишни цаноатлантирц
шинн аницлаймиз. Нуцта б г га кучгандаи сунг М (хи уъ zj ^о,
латни эгаллайди ва унинг радиус- вектори г\ = г0 + бг га тенг бу-
лади. /Wj нуцтанинг координаталари учун цуйидаги тенгликлап
уринли булади: I
xi = хо + бх, У1 = Уо + бу, Zj = z„ + бг,
бунда бх, бу, б г билан б г векторнинг проекциялари белгиланган
булиб, улар координаталарнинг вариациялари дейилади.
Afi нуцта цам богланиш тенгламасини цаноатлантиргани туфайли
f (хо 4* б х> Уо~\'$ У, z0 + 6z, /) ~ О
муносабат уринли булади. Бу ифодани Тейлор цаторига ёйсак,
f (*0’ У О' го> 0 4“ qx ) о бх 4“ Оу уо б У 4“ б Z 4-. . . = 0.
Бунда уч нуцта билан юцори тартибли цадлар белгиланган,
Мо нуцтанинг координаталари богланиш тенгламаси (24.4) ни
цаноатлантиргани туфайли f (х0, у0, г„, /)=0 булади. Бннобарин,
юцори тартибли цадларни эътиборга олмасак, б г мумкин булган ку-
чишнинг координата уцларидаги проекциялари цуйидаги шартни ца-
ноатлантириши керак:
бх+ 6z = 0. (24.5)
\ дх )д 1 ( ду /0 J \ дг /0
Агар цайд цилинган t вацт учун функциянинг Af0 нуцтадаги
градиента
(grad f) =Нт « 4-(~г- j + Hr k
0 \ ах /О \ /о \ uZ /о
ни киритсак, (24.5) нинг чап томонини (grad f)0 ва бг векторлар-
нинг скаляр купаймаси тарзида ифодалаш мумкин:
(grad f)B- бг = 0. (24.6)
(24.6) дан фойдаланиб, мумкин булган кучишга цуйилган чекни
цуйидагича геометрик изоцлай оламиз. К^йд цилинган I вацтда
(24.4) богланиш тенгламаси фазода бирор сиртни ифодалайди. Маъ-
лумки, функциянииг Л40 нуцтадаги градиента шу нуцтада сиртга
утказилган нормаль буйича йуналади. (24.6) дан курамизки. цар
цандай мумкин булган кучиш бг сиртга утказилган нормалга пер*
472
24.3- раем.
пендикуляр йуналади, яъни цайд цилинган t вацтда нуцтанинг мум-
кин булган кучиши (24.4) сиртга Л40 нуцтада утказилган уринма
текисликда ётади (24.3-раем, о).
Агар нуцтанинг цациций кучишини dr билан белгиласак, бу ку-
чиш нуцтанинг мумкин булган кучиши бг дан фарцли равишда dt
вацт ичида нуцтага таъсир этувчи кучлар таъсирида содир булади
цамда нуцтанинг траектсриясига утказилган уринма буйича йунала-
ди, чунки dr = vdt (24.3-раем, б). Бннобарин, нуцтага (24.4) курн-
нишдаги стационар булмаган богланиш цуйилса, нуцтанинг траек-
торияси сирт билан устма-уст тушмагани учун унинг цациций ку-
—>- —►
чиши dr бирорта цам мумкин булган кучиш Ьг билан устма- уст
тушмайди.
Хусусан, нуцтага f (х, у, г,) = 0 куринишдаги стационар бог-
ланиш цуйилса, у цолда нуцтанинг траекторияси [ (х, у, г) = О
сирт устида ётади (24.3-раем,в), демак, бу цолда доимо нуцтанинг
—> —*-
цациций кучиши dr билан устма-уст тушадиган бирор бг мумкин
булган кучишни курсата оламиз.
Шундай цилиб, нуктага стационар богланиш цуйилса, унинг
—> —>-
цациций кучиши dr бирорта мумкин булган кучиши бл билан уст-
ма-уст тушади.
Агар механик системага
f^(xv, Ух- гх< 0 =0, (ц= 1, 2, ... ,/) (24.7)
куринишдаги I та (/<ЗА') стационар булмаган богланишлар цуйил-
ган булса, худди (24.5) каби система нуцталарининг бг,, бг2, ...
мумкин булган кучишлари цуйидаги шартларни цаноатлантири-
ши керак:
(р = 1, 2......./). (24.8)
Бунда 6.vv, dyv, 6zv лар &rv векторларнинг проекцияларини ифода-
лайди.
473
(24.8) ни куйидагича ёзиш ^ам мумкин:
^(grad /Д • Srv =0, (|х = 1, 2, . . . , /). (24 g>
Шундай цилиб, берилган механик системанинг хар цандай мум
кин булган кучиши (24.8) ёки (24.9) тенгламаларни ^аноатлантира?
Диган 6xv, 8yv, bzv (v = 1, 2.......N) вариацияларнинг цийматла1
ри билан аналитик аницланада. 1<Z3N булгани учун (24.8) тенг-
ламалардаги ЗА та вариациялардан / тасини цолган 3N — / таси
орцали ифодалаш мумкин. Шу сабабли ЗА—1 = п та вариациялар
эркин булиб, долган I таси эса (24.8) тенгламалар воситасида аниц-
ланадн. Мумкин булган эркин кучишлар сони системанинг эркин-
лик даражаси дейилади.
Эркин моддий нудтанинг эркинлик даражаси 3 га тенг булади.
Агар нуцта (24.4) тенглама билан ифодаланадиган сирт устида ^а-
ракатлапса, б х, бу, б г орасида (24.5) куринишидаги битта муноса-
бат мавжуд булади. Шу сабабли сирт буйлаб ^аракатланаётган
нудтанинг эркинлик даражаси 2 га тенг булади. Агар нуцта эгри
чизиц буйлаб ^аракатланса, эгри чизицни иккита сиртнинг кесишган
чизиги деб цараш мумкин булганидан, бундай нудтанинг эркинлик.
даражаси битта булади.
24.3 - §. Кучнинг мумкин булган кучишдаги элементар
иши. Идеал богланишлар
—>- —>
Нудтага таъсир этувчи F кучнинг б г мумкин булган кучишдаги
элементар ишини б А билан белгиласак, элементар иш ^исобланади-
ган (21.90) ва (21.95) формулаларга асосан
6А=А • бГ=Хбх + Гбу + Z6z (24.10)
муносабатлар уринли булади. Худди шунингдек, N та моддий ну^-
талардан ташкил топган механик система нуцталарига таъсир этувчи
кучларнинг системанинг мумкин булган кучишидаги элементар иши
2 б А. = 2^-6^ (24.11)
формула ёрдамида ^исобланади.
Система нуцталарига цуйилган богланиш реакция кучларини
Rv билан белгилаймиз.
Агар система нууталарига куйилган богланиш реакция кучла-
рининг системанинг \ар цандай мумкин булган кучишидаги эле-
ментар ишлари йиеиндаси нолга тенг булса, бундай богланишлар
идеал богланишлар дейилади. Бинобарин, идеал богланишлар учун
2^б7, = 0 (24.12)
тенглик урицли булади.
474
fix, у, z) = 0 богланиш куйилган битта
нукта учун (24.12) ни
Яб7=О (24.13)
куринишда ёзиш мумкин. Демак, идеал бог-
ланиш реакция кучи R нуктанинг каР цан-
—
дай мумкин булган кучиши б г га перпен-
дикуляр буйича, яъни мазкур нуктада
f (х, У> г) сиртга утказилган нормаль
буйича йуналади.
Идеал богланишларнинг айрим турлари устида тухталамиз.
1. Абсолют цаттиц жисм нукталари орасидаги богла-
ниш ни идеал богланишдан иборат деб цараш мумкин Бу колДа
богланиш реакция кучлари ички кучлардан иборат булади >^амда худ-
ди (21.110) даги каби ички кучларнинг каР цандай мумкин булган
кучишдаги элементар ишларининг йириндиси нолга тенг булади.
2. Система ма^камланган ну цта ла ри ни н г каР бири
идеал богланишдан иборат булади, чунки бу нукталарнинг мумкин
булган кучиши нолга тенг.
3. Абсолют цаттиц жисм бош^а цаттик жисм усти
да сирпа н масда н думаласа, бундай богланиш ^ам идеал-
богланишдан иборат булади (24.4-раем). Хацицатан кам бу ^олдэ
думалашдаги ишцаланиш мавжуд булмайди. Абсолют силлиц булма-
ган сиртнинг реакция кучи R куйилтан С нуктанинг мумкин бул-
ган кучиши дгс — 0 булади. Бинобарин, R кучнинг мумкин бул-
ган кучишдаги иши 6 А = R-t>rc = 0 булади ^амда таърифга кура
бундай богланиш идеал богланишдан иборат булади.
24.4 -§. Мумкин булган кучиш принципы
Бу параграфда моддий нукталар системасининг мувозанатини
текширамиз. Аввало «мувозанат» сузи «тинч ^олат» га эквивалент
булмай, моддий нукталар системасига Караганда купрок унга таъ-
сир этувчи кучлар системасига тааллуклидир. ^акицатан \ам моддий
нуцтага таъсир этувчи кучлар узаро мувозанатлашган булишига ка-
рамай, моддий нукта тинч колатда булмай, тугри чизикли текис ка-
ракатда булиши мумкин.
1788 йилда Лагранж идеал, стационар ва бушатмайдиган богла-
нишлар куйилган моддий нукталар системасининг мувозанати каКи"
даги мумкин булган кучиш принципини баён этди. Бу принцинии
Ньютон конунларидан фойдаланиб исботлаш мумкин. Шу сабабли
бу принцнпни теорема тарзида баён этамиз.
Теорема (мумкин булган кучиш принципи). Идеал, стационар
ва бушатмайдиган богланишлар цуйилган моддий нуцталар сис-
темаси мувозанатда бйлиши учун система нуцталарига цуйилган
475
барча актив кучларнинг система нуцталарининг цар цандай
кин булган кучишидаги элементар ишлари йигиндиси нолга
булиши, яъни
мум~
тене-
= о (2414>
хамда система барча нуцталарининг берилган ондаги тезликлар
нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Зарурлиги. Агар механик система мувозанатда булса
у цолда система нуцталарига цуйилган актив кучлар (24.14) шартни
цаноаглантиришини исботлаймиз. ^ацицатан цам, агар механик сис-
тема мувозанатда булса, мазкур системанинг цар бир нуцтасига
цуйилган Fv актив куч ва Rv богланиш реакция кучлари статика-
булимида чицарилган бир нуцтага цуйилган кучларнинг мувозанат
тенгламалари
^ + ^ = 0, (v = 1, 2..................N)
ни цаноатлантиради.
——>- —>
Берилган цолатдан система нуцталарига бгг, 6г2, ... , 6rw мум-
кин булган кучишлар берамиз ва мувозанат тенгламаларининг цар
бирини 6rv га купайтириб цушамиз:
ёки
ЪК б7 = 0. (24.15)
Система нуцталарига цуйилган богланишлар идеал богланишлар-
дан иборат булгани учун rv = 0. Шундай цилиб, (24.15) дан
исбот цилиниши зарур булган
тенгликни оламиз.
Етарлилиги. (24.14) бажарилса, система мувозанатда булиши-
ни исботлаш учун мулоцазани тескаридан бошлаймиз. Айтайлик,
теореманинг барча шартлари бажарилишига царамай, система нуцта-
лари мувозанатда булмасин. Бу цолда системанинг камида битта
нуцтаси учун кучларнинг мувозанат шартлари бажарилмайди, яъни
Система нуцталарига мумкин булган кучиш берамиз. Система
нуцталарига цуйилган богланишлар стационар богланишдан иборат
булгани учун система цар бир нуцтасининг нолга тенг булмаган
тенг таъсир этувчи кучдан олган цациций элементар кучиши мум-
кин булган кучишларнинг бирортаси билан устма-уст тушади. Тео-
476
^ма шартига кура система цар бир нуцтасининг берилган ондаги
Тезлиги нолга тенг булгани учун цациций элементар кучишлар маз-
кур нуцтанинг тезланиши ёки тенг таъсир этувчи куч буйлаб йуна-
лади. Охирги тенгликни 8rv—drv га скаляр купайзирсак, система-
линг мувозанат цолатидан чицарилган бирор нуцтаси учун
булади. Бундай тенгсизликларни системанинг барча нуцталари учун
ёзиб, уларни цушсак,
(24.16)
муносабатни оламиз.
Идеал богланишлар учун y/?v6rv = 0 булгани ту’айли (24.16)
дан цуйидаги тенгсизликни оламиз:
2Zv4>o.
Бу натижа (24.14) шартга зиддир. Бинобарин, (24.14) шарт бажа-
рилса, система мувозанат цолатида цолиши керак. Шундай цилиб,
{24.14) шарт механик система мувозанатининг зарур ва етарли шар-
тини ифодалашини исботладик.
Агар берилган онда система нуцталарининг тезлиги нолга тенг-
лигини ифодаловчи цушимча шарт киритилмаса, мумкин булган ку-
чиш принципи фацат система нуцталарининг тезланиши нолга тенгли-
гини ифодалайди. (24.14) шарт бажарилган онда у билан бирга система
нуцталарининг тезлиги нолга тенг булса, система мувозанатда бу-
лади. Агар чекли вацт оралигида (24.14) шарт бажарилса, у цолда
система мувозанатда булиши учун шу вацт оралигининг бошлангич
пайти учун система нуцталарининг тезлиги нолга тенг булиши ке-
рак.
Элементар ишнинг аналитик ифодасидан фойдаланиб, мумкин
булган кучиш принципини
+ (24 17)
куринишда ёзиш мумкин.
Мумкин булган кучиш принципини ифодаловчи (24.14) ифодада
богланиш реакция кучлари цатнашмайди. Лекин бу принцип ёрда-
мида номаълум богланиш реакция кучларини цам аницлаш мумкин.
Бунинг учун системани реакция кучи аницланадиган богланишдан
бушатиб, унинг системага курсатадиган таъсирини реакция кучи би-
лан алмаштирамиз ва бу кучни актив кучлар цаторига цушамиз.
Долган богланишлар эса идеал богланишлардан иборат булиши ке-
рак.
Баъзан мумкин булган кучиш принципини идеал булмаган 6of-
ланиш цуйилган система учун цам цулланилади. Бунинг учун бог-
ланишнинг ноидеаллик шартини мос реакция кучи билан алмаш-
477
24.5- раем.
тириб, бу кучни актив кучлар цаторига цушищ,
керак. Масалан, богланиш силлиц булмаган
сиртдан иборат булса, актив кучлар цаторига сир.
панишдаги ишцаланиш кучи ёки умумий цолда
бундан ташцари думалашдаги ишцаланиш жуфтд-
ни цушиб, бегланишни идеал богланишга келти-
рилади. Деворга цисиб махкамланган стержень.
(4.15-раем) тарзидаги богланишни реакция жуфт
моменти цамда богланиш реакция кучининг горд,
зонтал ташкил этувчиси (ёки вертикал ташкил
этувчиси) билан алмаштириш йули орцали идеал
богланишга келтирилади.
24.5- §. Мумкин булган кучиш
принципини оддий машиналарга
куллаш
Эркинлик даражаси битта булган оддий ма-
шиналарга мумкин булган кучиш принципини;
цуллаймиз.
1. Полиспаст. Полиспаст иккита обоймага ур-
натилган блоклар системасидан ташкил топади
(24.5-раем). Обоймалардан бири цузгалмайди,
иккинчиси эса блоклар орцали утказилган ип
воситасида царакатланади.
Блокларда цосил буладиган ишцаланиш кучини цисобга олмай,
мувозанат цолатида F ва Р кучлар орасидаги муносабатни аниц-
— >
лаймиз. Полиспастга мумкин булган кучиш берамиз. Агар F куч
цуйилган нуцта 6sF га кучса, блоклар орасидаги олтита ип була-
1 —и V
гининг цар бири — га цисцаради. Шу сабабли Р куч цуйилган
нуцта 6sp=-^-6s/; масофага юцорига кучади.
Полиспаст учун мумкин булган кучиш принципини цулласак,
F f>sP — PSsp = О
ёки
F6Sp-P--^ 6sF = 0.
Бундан F аз — Р булишини аницлаймиз. Демак, царакатлан-
6
тирувчи F кучнинг мицдори кутарилаётган юкнинг огирлигидан
полиспаст гилдиракларининг сони цанча булса, шунча марта кам бу-
I ла ди.
478
2. Винтли пресс. 24.6-раемда винтли
,пресс схемаси тасвирланган. Пресснинг
жисмга босими (F, F') жуфт куч таъсирида
хрсил булади. Сивилувчи жисмнинг реак-
лия кучи Кг билан мазкур жуфтнинг мо-
менти орасидаги богланишни мумкин бул-
ган кучиш принципи воситасида аницлай-
миз.
—>- —
АВ дастага (F, F') жуфт йуналишида
мумкин булган кучиш берамиз. У цол-
да N куч цуйилган нуцта бу кучнинг йу-
налишига царама-царши йуналишда 6Sw кучиш олади. Винтли пресс
учун мумкин булган кучиш принципини ифодаловчи
Л1 6(р — N 6s v = О
(1)
тенгликни тузамиз.
Даста тулиц бир марта айланганда винт уци (винт цадами деб
аталувчи) h масофага кучади. ftip ва 6sN орасидаги муносабатпи аниц-
лаш учун винт уцининг буйлама кучиши 6sN нинг винт цадами h га
нисбати бф кучишнинг 2 л бурчакка нисбатига тенглигидан фойда-
ланамиз:
h 2л
Бундан 6$л 6sN нинг бу цийматини (1) га цуйсак,
2F-/-6<p— 6<р = 0.
2 л
Бундан N~4nF — булишини аницлаймиз.
Л
Жисмни сицувчи куч мицдор жицатдан аницланган реакция кучи
7V га тенг булади.
24.6- §. Мумкин булган кучиш принципини цуллашга
оид масалалар
Мумкин булган кучиш принципига оид масалаларни цуйидаги уч
группага булиш мумкин:
1. Берилган онда мувозанатда булган системага таъсир этувчи
кучларни ёки бу кучлар орасидаги муносабатларни аницлаш.
2. Таъсир этувчи кучлар берилган цолда системанинг мувозанат
цолатини аницлаш.
3. Мумкин булган кучиш принципини цуллаб, богланиш реакция
кучларини аницлаш.
24.1-масала. Домкрат механизмида узунлиги R булган А даста айланти-
рилганда тишли гилдирак 1, 2, 3, 4 ва 5 лар цам айлана бошлайди ва домкрат-
47Я
нинг тишли В рейкасини харакатга келти
ради. Домкрат мувозанат холасида булг ~
нида С таянчда (2=4,8 кН босим косил
килишн учун дастанинг учига унга тик
цилпб дандай Р куч куйиш керак?
Тишли гилдиракларнинг радиуслари
гегишлнча г, = 3 см. г2 = 12 см, г3 = 4 см
г4 — 16см г6 = 3см га, дас1а узунтиги
R — 18 см га тенг (24.7-раем).
Ечиш. Домкрат механизми С таянчга
Куйилган Q куч ва А дастанинг учидаги
D нуктага куйилган Р куч таъсирида му-
24.7- раем. возанатда булади. Механизм звеноларига
куйидаги мумкин булган кучишларни бе-
рамиз. А даста гилдирак 1 билан биргаликда Р куч йуналишида 6 ср бурчакка
бурилсин. У з^олда D нуцта 6sfi га. гилдирак 2 ва 3 лар 6 ср2 бурчакка, гнл-
дирак 4 ва 5 лар б ср - бурчакка, рейка эса 6sc га кучади.
Домкрат механизми учун мумкин булган кучиш принципини
Р б sD - Q б sc = О
(О
куринишда ёзамиз.
Система звеноларининг мумкин булган кучишлари орасидаги муносабатларни
анидлаймиз. А даста ва гилдирак 1 нинг бурилиш бурчаги билан даста учидаги
D нуктанинг кучиши уртасида куйидаги муносабат уринли булади:
бФ=
т R
1 гилдирак тугинидаги Е нукта 6s1 = r16cp = ~E~^sd микдорга кучади.
Г\
Рилдирак 1 ва 2 лар узаро сирпанмасдан айлангани учун улар уринган Е
б sx
нуктанинг мумкин булган кучишлари тенг булади ва гилдирак 2бсра = —— =
П <
= —------0 sD га кучади.
• Г Cf
Рилдирак 3 ва 4 узаро сирпанмасдан айлангани учун улар уринган К нукта*
6s2
нинг мумкин булган кучишлари тенг булади >;амда гилдирак 4 б ср6 =-----------=
rt
'збфз r4rs f
—--------=-------— 6 sn га кучади.
r4 ,r2rtR
Рилдирак 5 ва fi тишли рейка узаро сирпанмасдан даракатлангани учун гил-
дирак 5 тугинидаги 714 нуктанинг кучиши Q куч куйилган таянчнинг кучиши
б sc га тенг булади:
Ssc =rs6rp5 = ^fisD. (2)
r2 r4 R
480
Шундай цилиб. система барчи нухта-
ларининг мумкин булган кучншлагин- А\
fjs^ орхалн ифодалаш мумкин. Шу сабаб- 9-
ли мумкин булган эркин кучишлар сопи 1 га
тенг. Бинобарин, курилаёттан домкрат ме
канизмчнинг эркинлик даражаси 1 га тенг.
(2) ни (1) га хуйсак,
j Lo- раем.
P6sd-Q. &о = 0
Г2 '4 «
тенглик хосил булади. Бундан
0,03 0,04-0.03 rn LI
-------------- = 50 Н.
0,12-0,16-0,18
жинсли АВ ва ВС стерженлар
= 4800-
узар > В
хил бир
р =
Г 2 Г4 R
24.2- масала. Иккита бир
шарнир билан бириктирнлган. АВ стержень кузгалмас А шарнир атрофида айлана
олади. ВС стерженнинг С учиго миддор жихатдан стержень огирлигининг ярмига
тенг горизонтал F куч цуйилгап (24.8- раем). Шарпирлардаги ишцаланишни эъти-
борга олмай, системанинг мувозанат ^олатидаги а ва Р бурчаклар аницлансин.
Ечиш. А нуктаии координаталар боши учун цабул кнлиб, координата уцля-
рини 24.8-расмдагидек йуналтирамиз. \ар бир стерженнинг узунлигини I билан
белгиласак, система В ва С нудталарига куйилган богланишлар цуйидаги 2 та
хв+ У^в — б2 = 0. (хс—хь'>!^1Ус У s'1 —Z2 = 0
шартлар билан нфодаланади. Бинобарин, системанинг эркинлик даражаси п —
= 2N—т — 2-2— 2=2 га тенг булади. Шуидан келиб читр’б, систем,тнчнг хо-
латной 2 та а ва Р бурчаклар билатт анидлаймиз.
Хар бир стерженнинг огирлик кучини унннг учтарпга хуйилган иккитадан
ташкил этувчиларга ажратсак. натижада системага дуиилган кучлар системасинн
А нудтага хуйилган .Я., В нудтага хуйилган ® 4- Я- — Q хамда С нухтага ХУ"
2 2 2
(I)
йилган_2 кучлар системасига келтирамиз (24.8-раем, б).
Мумкин Султан кучиш принципини (24.17) га асосан,
Q Q
— бхл + Q 6хв + — бхс-\- Fftyc = 0
куринишда ёзиш мумкин.
А нухта дузгалмас булгани учун — 0; бундан ташцари F = ~ эканли-
<2
гини эътиборга олиб, (1) ни га цисцартирсак,
2 бхв + бхс + бу с = О
Q
2
(2)
тенгликни оламиз.
бхв, 6хс ва &/с ларни а ва р бурчакларнинг вариациялари ортали ифо-
далаш учун хв, хс ва ус координаталарни а ва р бурчакларнинг функцияси
сифатида куйидагича ифодалаймиз:
хв=~ I cos а, хс = I cos к Z cos Р,
ус = I sin a -ф- I sin р.
(3)
31—2282
4S1
Нудтанинг мумкин булган кучишлари мос координаталарнинг вариацияларигв
генг бу шшини эътиборга олиб, (3) муносабатларни вариациялаймиз:
6 хв = —I sin а С а, 5 хс = — Zsin аба — I sin (J> 6 Р, 1
hyc = /cos а б а 4-1 cos Р б Р. |
(4) ни (2) га цуйнб, б а ва 6 Р цатнашган цадларни алоцида ажратиб, ушбу
тенгликни оламиз:
I (cos а — 3 sin а) б а -|- I (cos Р — sin Р) 6 Р = 0.
Бу тенглик системанинг цар цандай мумкин булган кучишлари, яъни б а ва
6Р вариацияларниш цар цандай циймати учун уринли цамда ба ва б Р лар уз-
аро боглицсиз булгани учун бу вариацияларнинг цар бири олдидаги коэффициент-
лар нолга тенг булади:
cos а — 3 sin а = 0,
cos Р — sin Р = 0
ёки
tg а = — , tg Р = 1.
О
Шундай цилиб,
а = arc tg — = 18°25', Р = 45°.
3
24.3- масала. Система 24.9-раем а да твевирланган мувозанат цолатини эгал-
лаган. F кучнинг таъсир чнзиги ВС стерженга перпендикуляр йуналган; текис
тацсимланган кучларнинг интенсивлиги q га тенг булиб, АС стерженга тугри бур-
чак ос гида цуйилган.
Агар F — 10 кН, q =2 кН/м булса, стерженларнинг огирлигини цисобга ол-
май. А нуцтанинг реакция момент ва шу нуцтадаги богланиш реакция кучининг
горизонтал ташкил этувчиси аницлансин.
Ечиш. Текис тацсимланган кучларни улар таъсир этувчи участканинг уртаси-
дагп D нуцтага цуйилган Q = q-3= 2-3 = 6кН битта куч билан алмаштирамиз.
Г кучни горизонтал ва вертикал ташкил этувчиларга ажратамиз;
. F, = Feos30° = 10 = 5 1/3 = 8,66 кН,
482
Fa = F cos 60° = 10-y = 5 кН.
Дастлаб А нуцтадаги реакция моменти MA ни аницлаймиз. Бунинг учун А
нуцтадаги богланишни цузгалмас шарнирли таянч билан алмаштирамиз ва систе-
мани А нуцта атрофида айланишига тусцинлик цилувчи богланишдан бушатамиз
цамда унинг системага таъсирини МА реактив момент билан алмаштирамиз (24.9-
расм, б).
Системани А нуцта атрофида 6ф бурчакка буриб, унга мумкин булган ку-
чиш берамиз. Айтайлик, бу кучиш соат стрелкаси царакатига тескари йуналишда
булсин. У цолда система текис параллел царакатда булади. С нуцтанинг мумкин
булган кучишини б sc билан белгиласак,
6sc = АС • бср.
—
АС стержень А нуцта атрофида 6ф га бурияганда Q куч цуйилган D нуцта
га параллел равишда 6so га кучади цамда
6sD AD
dsc AC
ёки
AD AD
6sD = 7X 6sC = -77 AC^4 = AD &p
тенглик уринли булади.
С ва В нуцталарнинг кучиши параллел ва уларга утказилган перпенднкуляр-
лар бир тугри чизицда ётмагани туфайли СВ илгарилама царакатда булади. Бино-
барин, F куч цуйилган К нуцтанинг кучиши цам 6s с га параллел булади ва
6s к = 6sc = АС бср
муносабат уринли булади.
24.9- раем, б да тасвирланган система учун мумкин булган кучиш принци-
пини цуллаймиз:
А1Л 6<p + Q6so 4-fa-6sK =0
ёки
МА 6<₽ + QAD бф + В2-ЛС-6 ф = 0.
Бундан МА~ — Q • AD — F2 • АС = —6-2,5 — 5-6 = —45 кНм. Бу ерда
манфий ишора МА реактив момент аслида соат стрелкаси царакати буйича йунал
ганлигини билдиради.
А нуцтадаги богланиш реакция ку-
чининг горизонтал ташкил этувчиси
ХА ни аницлаш учун А нуцтадаги бог-
лапишни горизонтал йуналтирувчи
буйича царакатлана оладитан сирпангич
билан алмаштирамиз (24.9-раем, в).
Системанинг А нуцтасига гори-
зонтал йуналишда 6 s кучиш берамиз.
А ползуннинг харакати чеклангаии
учун АС стержень илгарилама цара-
катда булади ва С нуцта цам 6s га
кучади. ВС декис параллел царакат-
да . булади. С ва В . пукталарнинг
мумкин булган кучншй Ъ sr ва 6sB
ларга перпендикулярлар утказиб, улар-
483
нинг кесишган нуцтасини Р билан белгиласак, бу нукта ВС нинг айланиш
оний марказини ифодалайди. К нуцтани Р бнлан туташтириб, К нуцтанинг мум-
кин булган кучиши 6sK РК га перпендикуляр булишига ишонч цосил циламиз
6sK РК РК
6 sK ни —— = — тенгликдан аницлаймиз: 6sK = —— 6s. Бунда PC =
О S •» G г С
= 4 • sin 60° = 2 ф/3 м.
24.9- раем, в да тасвирланган система учун мумкин булган кучиш принци-
пини цуллаймиз:
ХА 6s + fi cos 30° • 6s— Ft cos 60° 6s % = 0
ёки
КР
ХА Fi cos 30° 6 s — f2 cos 60° 6s = 0.
г G
Бундан XA ни аницлаймиз:
KP I \ ~
XA = (Ft cos 60° - fj cos 30°) — = 5- ------5 Уз •
2
---— =—2,88 кН.
2 УЗ
XA нинг манфий цийматга эга булиши, у аслида курсатилган йуналишга
тескари йуналганлигини ифодалайди.
2
24.7-§. Системанинг умумлашган координаталари
Агар механик система N та моддий нуцталардан ташкил топган
булса, унинг цолатини Oxyz инерциал цисоблаш системасига нис-
батан ЗА та xv, уу, zx Декарт координаталари билан аницлаш мум-
кин. Айтайлик, механик системага
fu(xv, yv. zv, 0 = 0, (,u= 1,2.../) (24.3)
куринишдаги голономли, стационар булмаган, идеал ва бушатмайди-
ган богланишлар цуйилган булсин.
У холда системанинг ЗА та xv, yv, zv координаталари I та бог-
ланиш тенгламаларини цаноатлантиргани туфайли, улар эркин була
олмайди. ЗА координаталардан фацат п = ЗА — / таси эркин коор-
динаталардан иборат булади. Системанинг цолатини мазкур п та
эркин координаталар воситасида, цолган координаталарни эса богла-
ниш тенгламалари воситасида аницлаш мумкин. Бироц купинча эркин
координаталарни бундай танлаш мацсадга мувофиц булмайди, чунки
бу усулда системанинг цолатини аницлаш анча мураккаб булади.
Аналитик механикам бундай системанинг цолатини бир цийматли
аницлаш учун умумлашган координаталар деб аталадиган п та
мацсадга мувофиц равишда танлаб олинган qlt q2, . . . , qn эркин
параметрлар олинади. Бундай координаталар учун узунлик ёки бур-
чак катталиклари улчовига эга булган параметрларни олиш мумкин.
Купинча бундай координаталар учун цутб координаталари, цилин-
дрик ёки сферик координаталар олинади. Умумлашган координата-
лар qi билан белгиланади.
Масалан, цузгалмас уц атрофида айланувчи жисмнинг цолатини
аницлашда умумлашган координата сифатида айланиш бурчаги fp ни
481
(q = ф), сферик даракатдаги жисм учун эса Эйлер бурчакларини
= ф, q2 = ф, = 0) олиш мумкин. Умумий холда текис парал-
лел харакатдаги жисмнинг цолатини аницлаш учун цутб координа-
талари ва битта айланиш бурчагини олиш мумкин (^ = хс, q2 =
= Ус, 7з = Ф) •
Айтайлик, механик системанинг цолати п та qlt q2, . . . , qn
умумлашган координаталар воситасида аницлансин. Бундай система-
нннг цар бир нуцтаси цолатини унинг радиус- вектори rv орцали
аницлаш мумкин булгани туфайли, ларни умумлашган координа-
талар ва вацтнинг функцияси сифатида ифодалаш мумкин:
S = (7v 72, • , 7„- 0- (v = 1,2, . . . , N). (24.18)
У цолда система нуцталарининг координаталари цуйидагича ифо-
даланади:
xv = xv(qv q2, ... , qn, t),
Уч = Уч 72.......7„- 0,
= 2v(7i- 72........7„- 0-
(v = 1,2, . . . , A). (24.19)
Агар система нуцталарига голономли, стационар богланишлар
цуйилган булса, умумлашган координаталарни (24.19) да вацт ошкор
равишда цатнашмайдиган цилиб танлаб олиш мумкин.
Умумлашган координаталарнинг афзаллиги шундан иборатки, бу
координаталар эркин булиши билан бирга уларни киритиш натижа-
сида голономли богланишларни эътиборга олиш зарурати тутилмай-
ди. Чунки умумлашган координаталарни танлаш жараёнида богла-
ниш тенгламалари автоматик тарзда цаноатлантирилади. Юцорида
курганимиздек (24.2-§), мумкин булган эркин кучишлар (ёки эркин
координаталар вариацияси) сонига системанинг эркинлик даражаси
дейилади. Бннобарин, голономли богланишлар кдйилган система-
нинг эркинлик даражаси эркин координаталар сонига тенг булади
(24.18) га кура система нуцталарининг dt вацт ичидаги цациций
кучиши drv цуйидагича аницланади:
'* л л
= + (V = l,2............................А). (24.20)
i=* I
Маълумки, мумкин булган кучишни аницлашда богланиш тенглама-
сида вацт узгармас деб царалади. Шу сабабли (24.18) ёрдамида мум-
кин булган кучишни цисоблашда б/ = 0 деб олинади:
(24.21)
48$
24.8 §. Умумлашган кучлар
Ю^орида курганимиздек, система нукталарига таъсир этувчи ак-
тив кучларнинг мумкин булган кучишдаги ишларининг йигиндиси
(24.11) формула ёрдамида аникланади. (24.21) ни назарда тутиб.
(24.11) ни куйидагича ёзиш мумкин:
ёки ши гндкларнинг тдртибини алмаштирсак,
тенглик хосил булади.
Агар
(24.2^)
белгилаш киритсак, охирги тенгликни
п
^A^'^Qlbql
i=I
(24.23)
куринишда ёза оламиз.
Q, катталикка qt умумлашган координатага мос булган умум~
лашган куч дейилади.
Шундай цилиб, система нукталарига цуйплган актив кучларнинг
системанинг мумкин булган кучишидаги элементар ишлари йигин-
дисидаги бирор умумлашган координатанннг вариацияси олдидаги
коэффициент мазкур умумлашган координатага мос булган умум-
лашган кучни ифодалайди.
Умумлашган кучнинг улчови унга мос булган умумлашган
координатанннг улчовига богли^ булади ва куйидагича аникланади:
бунда [А] — ишнинг улчови. Агар умумлашган координата узун-
лик бирлигида улчанса, умумлашган куч бирлиги (Н) да улчанади;
агар умумлашган координата бурчак улчовига эга булса, умумлаш-
ган куч кучнинг моменти бирлиги (Н.м) да улчанади.
Умумлашган кучларни хисоблаш усуллари устида тухталамиз.
1. Умумлашган кучларни (24.22) формула воситасида ^исоблаш
мумкин. Бу формуладаги иккита векторнинг скаляр купайтмасини
уларнинг координата укларидаги проекциялари ортали ифодаласак,
умумлашган куч учун
4 оо
мупссабат уринли булади.
2. Умумлашган кучни, масалан Qi ни, хисоблаш учун системага
шундай мумкин булган кучиш берамизки, натижада фацат б^ под-
дан фарцли булсин:
6<7i =#= 0, б = О...6<7„ = 0.
Бу кучишдаги система нутраларига куйилган барча кучларнинг му»т-
кин булган иши (бЛ)ф ни (24.23) га кура ^исоблаймиз:
(бЛ^^б^.
Бундан
й = (24.25)
булади.
Крлган умумлашган кучлар хам худди шунингдек хисобланади.
3. Агар система нукталарига таъсир этувчи кучлар потенциалга
эга булса, у ^олда
у — ди V = — 7 - = —
* - dxv ' v дуч ’ v ~ dzv
тенгликлар уринли булади. Xv, Yv, Zv ларнинг бу цийматлчринп
(24.23) га цуйсак,
q dxv dU dyv dU дгх\
‘ dy, dyv
Бу тенгликнинг унг томони U функциядан умумлашган координата
qt буйича олинган хусусий хосилага тенг:
dU
(24.20)
Шундай цилиб, потенциалли кучлар таъсиридаги системанинг
умумлашган кучи, кучнинг потенциалидан мос умумлашган коор-
дината буйича олинган хусусий досилага тенг булади.
Системанинг потенциал энергияси
Щ<71. У г....<7«) = Уг, - , <7п)
формула ёрдамида аницланишини эътиборга олсак, умумлашган
куч учун
с,=-4и (24-27)
oqi
формула уринли булади.
Агар иш^аланиш кучи мавжуд булса, у >;олда бу кучларни ак-
тив кучлар цаторига т^ушиб, унга мос умумлашган кучлар ^исоб-
ланади.
487
24.9-§. Системанинг умумлашган координаталардаги
мувозанат шартлари
Юцорида курганимиздек, N та моддий нуцталардан ташкил топ-
ган механик системага I та голономли богланишлар цуйилган бул-
са, бундай системанинг цолатини п. = 3N—I та qv q2, . . . , q
умумлашган ксордпнаталар орцали аницлаш мумкин.
Мумкин булган кучиш принципига асосан голономли, идеал,
стационар ва бушатмайдиган богланишлар цуйилган системанинг
берилган онда барча нуцталарининг тезликлари нолга тенг булиши
билан бирга rv = 0 булиши, яъни барча актив кучларнинг
хар цандай мумкин булган кучишдаги ишларининг йигиндиси нол-
га тенг булцши зарур ва етарлидир.
(24.11) (24.23) га асосан (24.14) ни
V Q. 6q( = О
ёки
Q, б?, + Q2 б?., + . . . + Qn bqn = 0 (24.28)
куринишда ёзиш мумкин Барча q[t q2, . . . , qn умумлашган коор-
динаталар эркин булгани учун голономли богланишлар цуйилган
система учун уларнинг вариациялари цам эркин булади. Шу сабаб-
ли б г;, 5^=0 цолган барча вариациялар бд2==б<73 = ... =6^ = 0
деб кабул цилиш мумкин. У цолда (24.28) дан Qj =• 0 шартни
оламиз. Худди шунингдек б</2 ф 0 цамда bql =бд3 = . . . bqn =0
деб цараб, Q2 = 0 ва цоказо шартларни оламиз. Шундай цилиб,
(24.28) дан цуйидаги мувозанат шартларини оламиз:
^=0, Q2 = 0..........Q„=0 (24.29)
(24.29) тенгликлар голономли системанинг умумлашган коор-
динаталаридаги Мувозанат шартларини ифодалайди: голономли,
идеал, стационар ва бушатмайдиган богланишлар цуйилган сис-
тема мувозанатда булиши учун танланган qv q2, . . ., qn умум-
лашган косрдинаталарга мос умумлашган кучларнинг нолга тенг
булиши зарур ва етарлидир (бошлангич пайтда система барча нуц-
таларининг тезлиги нолга тенг деб цараймиз).
Агар система нуцталарига цуйилган кучлар потенциалга эга
булса, у цолда (24.26) ни назарда тутиб, системанинг
шартлари (24.29)ни
-^.=0, ^- = 0, ... , -^-=0
дУ\ ^2 дЧп
ёки (24.27) га к£ра
=0, ... , -о
^91 dqn
мувозанат
(24.30)
(24.30')
488
I
куринишда ёзиш мумкин. (24.30)
£ки (24.30') шартлар куч функ-
цияси (ёки потенциал энергия) экс-
тремумга эга булишининг зарурий
шаргинп ифодалайди Шундай ци-
либ, потенциалли кучлар таъси-
пидаги механик системанинг му-
возанат цолатида куч функцияси
£ки потенциал энергия экстремум-
га эришиши мумкин.
24.4-масала. Дифференциал узатма О
уц атрофида айлаиадиган иккита I ва
III тишли гилдираклардан цамда ОА дас-
та ёрдамида царакатга келтириладиган
ва унга эркин урнатилган II тишли югур-
дак рилдиракдан ташкил топган (24.10-
24.10- раем.
раем). Дастага моменти А1о га тенг жуфг куч куйилган. 1 ва III рилдирлкллр-
нинг радиуслари мос равишда гг ва г3 га тенг. Механизм горизонтал текисликда
жойлашган. И.нцаланишни эътиборга олмай, механизм мувозанатда булиши учун
1 ва 111 тишли гилдиракларга цуйиладиган жуфтларнинг моменти Мг ва
-цандай цийматга эга булиши аницлансин.
Ечиш. Системанинг цолати ОА дастанинг айланиш бурчаги тр0 хамда 1 тиш-
ли гилдиракнинг айланиш бурчаги гр, билан бир цийматли аницланади. >(ацицатан
хам, агар ОА даста ва I тишли рилдиракни цузгалмас деб царасак, у цолда система
цузгалмас булади. Бинобарин, системанинг эркинлик даражаси 2 га тенг булади.
Фо ва ср! бурчакларни умумлашган координаталар учун цабул циламиз:
<71 — Фо. Чг — Ф1-
Системага моменти Af0 га тенг булган жуфт куч таъсири йуналишида д (р0
ва Сф1 мумкин булган кучиш берамиз. У цолда II тишли гилдирак бф2, III
тишли гилдирак эса бфэ мумкин булган кучишларни олади. Бу кучишларнинг
йуналиши 6 ф0 ва бф( ларга боглиц булади.
Механизм горизонтал текисликда жойлашгани туфайли рилдиракларнннг огир-
лик кучи иш бажармайди.
Айтайлик, моментлари А!, ва Л13 га тенг жуфт кучлар I ва III тишли рял-
диракларни б гр] ва бф2 мумкич булган бурчак кучиш йуналишида айлатирсин.
У цолда система мувозанатда булиши учун мумкин булган кучиш принципига
асосан
VSA, =/И0бф0+Л41 б Ф1 +Л13 ёф3 = о
11)
тенглама уринли булиши керак.
ёфз ни б фо ва бф, орцали ифодалаш учун дастлаб Внллис усулидан фой-
даланиб, III тишли гилдиракнинг бурчак тезлиги о>3 ни соо ва вц орцали ифода-
лаймиз.
ОА даста Тишли гилдираклар
1 II HI
Тухтагунча бурчак тезлиги О)о (Da <о3
Тухтагандан кейинги бурчак тезлиги 0 <»1—О)о COg (0q 0)э—0)0
Тишлашиш тури таш^и ички
489
Жадвалдан фойдаланиб, (14.12) га асосан цуйидаги тенгликларни ёзамиа:
(Qi — соо _ гя <и2 — т„ _ Гд
®2 — Юо Cj ’ <о3 — соо г2 ‘
Бу тенгликларни купайтирсак.
и, — со0
Шз — «о
л3 Л . Г1 \ Г1
, => С03 .— С00 I 1 -|- | — ВЦ-------,
rl \ гя I rs
Богланишлар стационар булганда бурчак тезликлар уларга мос мумкин бул-
ган бурчак кучишларга пропорционал булишини эътиборга олсак, (2) дан J
муносабатни оламиз.
(3) ни (1) га цуйсак,
бфз — бф0 ( 1 Ж ) — 6<Pi ~
\ г» > гз
(3>
2К =
Л^о + ^зН+ /1 <Ро-|-Г Л4j — М3— |6(р1 = 0.
\ гз /1 L гз J
(24.25) га асосан ф0 ва rpt бурчакларга мос умумлашган кучларни аницлаймиз:
Qi =
<23 =
(2S6 ) Фо
6 Фо
(2блт)ф‘
—-х- - =
6 Ф1 гя
= Л4О + А48 1+— .
\ гз /
(4>
(24.29) га кура системанинг мувозанат шартларини, яъни Q, = 0, Qa » О
тенгламаларни цисобга олиб, (4) дан Л13 ва ЛЦ ларни аницлаймиз:
Мо + М, ( 1 + — ) = О, Л4, — Л43—, = 0, =>
\ гз / гз
,, Могз tt Л10Г1
Лтд — --- , •”*! - --"* ”•
П + 'S П + Г3
№
Бу ифодалардаги манфий ишора 1 ва III гилдиракларга цуйилган жуфтлар-
нннг таъсири дастага цуйилган жуфт куч таъсирига царама-царши йуналганлигини
ифодалайди.
24.10-§. Динамиканинг умумий тенгламаси Даламбер-
Лагранж принципи
N та моддий нуцталардан ташкил топган механик система нуцта-
ларига I та идеал ва бушатмайдиган богланишлар цуйилган булсин.
Даламбер принципига кура системанинг бирор Mv нуцтасига таъсир
“->• —>- —>
этувчи Fv актив ва 7?v богланиш реакция кучлари инерция ку-
чи билан биргаликда цар онда
Х + ^, + Ч = °- <v= Ь 2, . . . , Л'1 (23.9)
мувозанат шартларини цаноатлантиради. Вацтнинг цайд цилинган
бирор пайти учун система нуцталарига бгч, мумкин булган кучиш
j берамиз. (23;9) тенгламаларнинг цар бирини (Vv мумкин булган
| кучишга купайтириб, цушсак,
490
цооил булади.
Идеал богланишларнннг таърифига кура v^6rv = 0 булгани
учун
S(Fv + 4)67v = 0 (24.31)
—>“ —>-
ёки Фг = —mvwv эканлиги цисобга олинса,
= 0 (2432)
тенглик уринли булади. Бу тенглама динамиканинг умумий тенг-
ламаси дейилади.
(24.32) га асосан, идеал ва бушатмайдиган богланишлар к(р
йилган харакатдаги система нуцталарига таъсир этувчи барча
актив хамда инерция кучларинчнг .\ар цандай мумкин булган ку-
чишдаси элементар ишларининг йигиндиси хар онда нолга тенг
булади.
(24.31) ёки (24.32) тенгламалар Даламбер ва Лагранж принцип-
ларининг мажмуасидаи noopai булгани учун Даламбер — Лагранж
принципи деб ата.тади.
(24.31) нинг Дехарт координаталаридаги ифодасини цуйидагича
ёзи«п мумкин:
Z [ (*v + + 4J tyv + fzv + фи)6zv] = 0. (24.33)
Бунда х , у , zv билан Л7 нуцтанинг координаталари белгиланган.
(24.33) да
Ф = — т х , Ф =- — т у , Ф„ = —
УХ X V* vy VJV* VK v V
булгани учун динамиканинг умумий тенгламасини
V Г (Xv — mv х,) 6 xv + (Yv — yv) 6yv + (Zv — mv zv) 6 zv] = 0
(24.34)
куринишда ифодалаш мумкин.
24.6-масала. Огирлиги Р га тенг В юк D блок ортали утказилган чузилмай-
лигчн нп воситасиоа радиуси г ва огирлиги Q га тен1 цилиндрик А галтакни
х.-'р-ж-нта келтипади (24-11-раем). Балтак сирпанмасдан гнлдирайди ва думалаш-
491
даги ишкалании! коэффициента fd га тенг. D блокнннг массасини эътиборга од-
май, В юкнинг тезланиши ани^лансин.
~ > _
Ечиш. Берилган В юкнинг огирлик кучи Р, ралтакнинг огирлик кучи Q ва
думалашдаги ишцаланиш жуфтининг моменти Мд ларни 24.12-расмда курсатил-
гаидек тасвирлаймиз.
Инерция кучларини топамиз. и)1 тезланиш билан тугри чизицли даракат хи-
лувчи В юкнинг инерция кучи Ф1 =------------- wt вектор билан ифодаланади.
. g
Текис параллел харакатдаги ралтакнинг инерция кучлари ралтак марказига
->- Q -> ->
Хуйилган Ф2 =— —w2 векторга (бунда ш2—ралтак марказинииг тезланиши).
Хамда моменти = — /2л е2 га тенг жуфт кучга келтирилади. Бунда /2 __
ралтакнинг О нуктадаи ралтак текислигига перпендикуляр равишда утувчи ухца-
нисбатан инерция моменти: е2 — ралтакнинг бурчак тезланиши.
В юк fi s мумкин булган кучнш олса, ип чузилмаслиги сабабли галтак гар-
ди^идаги Е нухта хам 6 s мумкин булган кучиш олади. Балтак сирпанмасдан
дууиалагани туфайли С нуцта тезликларнинг оний марказини ифодалайди ва Рал-
так марказинииг кучиши —— га тенг булади. Бунн назарда тутиб, динамиканинг
умумий тенгламасини тузамиз:
б S
Р 6 s — 6 s — MD 6 <p — 6 <p — Ф2 = 0.
(1>
6 s
Бунда 6 <p = —— ралтакнинг мумкин булган бурчак кучишини ифодалайди.
Ип чузилмаслиги сабабли avt = wE=w. А нухта турри чизихли хаРжатда
—* —>
булади. Шу сабабли бу нухтанинг тезланиши ш2 Е нухтанинг тезланиши шЕ га
параллел булганидан и>2 = —
тенглик уринли булади. Бинобарин,
Р
Ф] = -----w,
g
Q г'2 w
е 2 2r
Q w
2 '
Q
Q г
----
g 4
Q
Ф2 = ----w2 = —
g g
Ф2 — — а>2 —------
g g
w
~2‘
^2 — 12хг
Думалашдаги ишхаланиш жуфтининг моменти Л1() = f$Q формула брдамида
анпхланаДи. Натижада (1) ни хуйидагича ёзнш мумкин:
Р
Р 6s — — wfts--fgQ
6s
27
Q r 6s Q w 6s
g 4 U 2r g 2 2
Охирги тенгламанинг барча хадларини 6 s га буламиз:
fdQ
2r
w
g
— 0.
492
Еундаи В юкнинг тезланиши № ни анидлаймиз:
/о <2
Р —-------
2г
w = 8е-------------
s 3Q + 8Р
24.11- §. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари
Динамиканинг умумий тенгламаси воситасида идеал богланиш
реакция кучлари цатнашмайдиган харакат дифференциал тенглама-
ларини чи^ариш мумкин. Бунинг учун динамиканинг умумий тенг-
ламасини ифодаловчи (24.32) тенгламада w = d.-y- булишини эъти-
v dt
борга олиб, уни куйидагича ёзамиз:
N
- "Ч •6 7v= 0- (24.35)
V=1
(24.21) га кура радиус-векторнинг вариацияси
6г’-2лй“6’" (v=1’2......N)
i—1
тенглама уринли булади. Бу тенгламада йигиндилар тартибини уз-
гартириб, уни
куринишда ёзамиз. Бу тенгламада (24.22) га асосан
-о.-2...........
V=1
умумлашган кучларни ифодалайди. Шунинг учун
drv
~д7,
6 <7,. = О
(24 36)
тенглик уринли булади.
-193
(24.36) да B=mv—
ёзиш мумкин:
arv
a<;z
ифодани цуйидаги куринишда.
d d (
'v ~v
] -* d d'v
dq; )~~т^ di ~dqT‘
(24.37)
d rv q drv
(24.37) даги цадларнинг фацат голономли сис-
тема учун уринли булган бошца куринишдаги ифодасини аницлай-
миз. Бунинг учун нуцтанинг тезлиги унинг радиус - векторидан
вацт буйича олинган цосилага тенг булишини цамда t вацтнинг
радиус-вектор rv ифодасига фацат ошкор равишда цатнашибгина
цолмай, балки qv ... , qn умумлашган координаталар орцали
цам цатнашишини эътиборга олсак,
-> dZ drv drv dTv
Vy dt ~ dqy 91 + dq2 %+•••+ dcjn Qn + & —
d r . d rv
(24-38>
i=l
муносабат уринли булади. Бунда q, = -&- (z = 1, 2, . . . , n)
1 di
умумлашган тезлик. дейилади.
(24.38) нинг цар иккала томонидан умумлашган тезлик qt бу-
йнча хусусий цосила оламиз:
dqt
Бу
, •• drv
формула ердамида — аницланади.
(24.38) нинг иккала томонидан q£ буйича хусусий цосила олсак»
d drv *
-----ни цисоблаш учун —катталик умумлашган коорди-
наталар ва вацтнинг функциясидан иборат эканлигини эътиборга
олиб, унинг вацт буйича тулиц цосиласини топамиз:
d drv . d2rv • t д2rx • , d2 rv /Г,л
dt dqi ?1 "b • • • “b Яп 4" • (24. )
494
(24.40) ва (24.41) ни солиштириб, иккита узгарувчи буйича ху-
сусий цосилалар дифференциаллаш тартибига боглиц булмаслигини
назарда тутсак,
d дГу> dVv
di dqi dqi
(24.42)
тенгликни оламиз.
rn • л д rv
Шундай цилиб,
цийматини (24.42) дан
нинг цийматини (24.39) ва —-
dt dqi
(24.37) га келтириб цуйсак, В учун
НИНУ
— mNv^
dvv
dqi
ифода уринли булади. Бунда v2 = z^ цамда
mv v2 \ -> dvv g ( tnvV2
2 ) dqt dqt \ 2
тенгликларни назарда тутиб, В учун яна цуйидаги ифодани оламиз:
D d Г d (mv d (mv vv\
D = —7 --------------------------- I .
d/ |_ dtfA 2 / J dqt\ 2 /
-* dvv g ।
ЯД’—=~
dqi dqi
В нинг бу цийматини (24.36) га цуйиб, цосилани йигиндидан таш-
царида ёзсак, цуйидаги тенгламани оламиз:
ё^=0- (24.43)
(24.43) да
(24.44)
системанинг кинетик энергиясини ифодалайди. Шу сабабли бу тенг-
ламани цуйидагича ёзиш мумкин:
п
i=l
d дТ
. dt д qt
дТ
dqi
б<7.=0.
(24.45)
(24 45) тенглама умум лашган координаталар ортали ифода-
юнган динамиканинг умумий тенгламасидир. Бу тенгламада
дТ
dqi
495
|цад системанинг Sqv bq2, .... bqn мумкин булган кучишидаги
барча инерция кучлари ишларининг йигиндисини ифодалайди.
Голономли богланишлар цуйилган система учун барча &qv 8q t
. . . , bqn лар эркин булгани учун улар олдидаги ифодаларни ало-
цнда-алоцида нолга тенглаш мумкин:
Qi~(— — =°, 0=1,2, ... п)
\ dt д qt dqj
ёки
d дТ дТ п . п
— Qp 0 — 1,2,... п) (24.46)
dt д qi dqt
(24.46) тенгламалар Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари
ёки механик системанинг умумлашган координаталардаги цара-
кат дифференциал тенгламалари дейилади. Бу тенгламаларнинг
сони системанинг эркинлик даражасига тенг булади. Лагранжнинг
иккинчи хил тенгламаларида идеал богланиш реакция кучлари цат-
нашмайди.
(24.38) ва (24.44) лардан курамизки, системанинг кинетик энер-
гнясп аницланадиган ифодани цуйидагича ёзиш мумкин:
(24.47)
яъни системанинг кинетик энергияси умумлашган тезликларнинг
квадратик функциясидан иборат булади.
(24.47) да
булиб, Ajj, Bj ва С катталиклар умумлашган координаталар ва
вацтга боглиц, лекин умумлашган тезликка боглиц эмас. Шу сабабли
г
ва
------= у Atjqj +—”-g + —
Л dqi *ri\ dt J dt
муносабат уринли булади.
Охирги ифодада умумлашган координаталарнинг иккинчи цосиласи
qj цатнашади. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламасидаги бошца
хадлар умумлашган координаталарнинг биринчи даражадан юцори
булмаган цосилаларини уз ичига олади.
Шундай цилиб, Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари ql(i=l,
2, . . . , п) координаталарга нисбатан иккинчи даражали оддий
дифференциал тенгламалар системасидан иборат булади.
24.12- §. Потенциалли кучлар таъсиридаги механик система
учун Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари
Агар механик система нуцталарига потенциалли кучлар таъсир
этса, у цолда (24.27) га кура
<?/ = -?-. О = 1,2, ... ,п)
тенгликлар уринли булади. Шу сабабли бундай система учун Лаг-
ранжнпнг иккинчи хил тенгламаларини
(/ = i, 2.....п)
dt dqt dqi дсц
куринишда ёзчш мумкин.
Агар Лагранж функцияси деб аталадиган
L:Т + и = Т — Г1
функцияни киритсак, —Д- —0 булгани учун Лагранжнинг нккинчн.
дф
хил тенгламаларини цуйидагича ёза оламиз:
d dL i)L п ... n ,
-----: = 0 (z = 1, 2, .... п) (24.48)
dt д qt dqi
(24.48) тенгламалар потенциалли кучлар гнаъсиридаги механик
система учун Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини ифода-
лайди.
24.13-§. .Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини цул-
лашга еид масалалар
Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларига дойр масалалар цуйи-
даги тартибда ечилади.
1. Системанинг эркинлик даражаси аницланади ва умумлашган
координаталар танлаб олинади.
32—2282
497
2. Системага таъсир этувчи актив кучлар раемда тасвирланади ।
ва умумлашган кучлар 24.8-§ да баён ^илингаи усуллардан бири
билан хисобланади.
3. Системанинг кинетик энергияси умумлашган координаталар
ва умумлашган тезликларнинг функцияси сифатида аникланади.
4. Лагранж тенгламаларини тузиш учун зарур булган кинетик
дТ d дТ дТ
энертиннинг хосилалари------, — —— топилади.
dqt dt dqi dqt
5. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари тузилади ва бу тенг«
ламаларни берилган бошлангич шартларда интеграллаб изланаётган
номаълумлар аникланади.
24.6- масала. Вертикал текисликда жойлашган кулакли механизмда кулак 1
Oj нудтадан утувчи горизонтал уд атрофида айланувчи г радиусли, массаси m
га тенг бир жинсли дискдан иборат. Кулакка моменти М га тенг жуфт куч таъ-
сир этади. Тишли рейка 2 вертикал йуналтирувчи буйлаб даракатланади ва
тишли блок 3 ни айлантиради. Блок 3 билан спарник 4 шарнир воситасида боглан-
ган (24.13-расм. а). Тишли рейка ва спарнпкнинг массаси мос равишда mt ва
га тенг. Блокнинг айланиш удига нисбатан инерция моменти 1 га тенг. Rs =>
= 2r3; r3 = 2r/3, m2 = т/З; mt = т/6; 1 = 2тг2 деб дараб, системанинг дара-
кат дифференциал тенгламаси тузилсин. Кривошип б нинг массаси эътиборга
олинмасин.
Ечиш. Системанинг холати кулак 1 нинг айланиш бурчаги <р билан бир дий-
матли анидланади. Хацидатан хам. агар кулак 1 ни дузгалмас деб дарасак, у
долда система дузгалмас булади. Бинобарин, системанинг эркинлик даражаси
бирга теш. Кулакнинг айланнш бурчаги ср ни умумлашган координата учун
танлаб оламиз: q = <р. У холда кулакнинг бурчак тезлиги q = <р .
Бу геометрик мулохазаларни аналитик усулда хам изодлаш мумкин. КаРа-
лаётган система кулак 1, тишли рейка 2, блок 3 ва спарник 4 дан ташкил топ-
тан булиб, уларга дуйидаги голономли богланишлар дуйилган:
Ув— — 2r cos гр, (О
ас Rz ф3, (2)
VA = гз <Рз , (3)
9.02
Х1А + У\А — 'эг (4)
498
Бунда ув—В нудтанинг ордиптгаси, vc — рейка ва блок С нуцтасининг тезли-
ги, <р3 — блокнинг бурчак тезлиги, иА—блок ва спарник А нудтасининг тез-
лиги, (1) тенглама тишли рейканинг В нуктаси доимо кулакка тегиб туришини,
(2) тенглама тишли рейка ва блок тишлашган С нуцтада харакат сирпанмасдан
содир булишини, (3) эса блок А нуцтасининг тезлиги илгарилама харакатдаги
спарник А нудтасининг тезлигига тенглигини, (4) тенглама А нуцта г3 рдд«усли
айлана буйлаб харакатланишини ифодалайди.
Кулак 1 Оз нудтадан утувчи горизонтал yiy атрофида айланма харакатда
булгани учун унинг холати Ог нуцта атрофидаги айланиш бурчаги ср билан аниц-
ланади. Тишли рейка вертикал йу’налтирувчи буйича тугри чизикли харакатда
булгани учун унинг холати В нуцтанинг ординатаси ув ; блокнинг холати О2
нуцта атрофидаги айланиш бурчаги ер3 ; спарникнинг холати эса х1А, у1А коор-
динаталар билан аникланади. Шундай дилиб, системанинг холати бешта ср, у г
ср3 , х]Л, р1Л параметрлар билан аникланади ва улар орасида туртта голономлгг
богланишлар мавжуд. Демак, системанинг эркинлик даражаси 1 га тенг.
Раемда кулакка таъсир этувчи жуфт моменти .44, кулак, тишли рейка ва
——>• —>•
спарникларнипг огирлик кучлари mg, m2g ва m4 g ларни тасвирлаймиз (24.13-
расм, б).
Кулак ср бурчакка айланганда тишли рейка h = 2 г (1—coscp) масофага вер-
тикал пастга силжийдн; блок
h 3
ср3= — =— (1 —coscp)
(5>-
бурчакка айланади.
Кулакка М момент йуналишида бср мумкин булган кучиш берсак, кулак
марказинииг координатаси учун у0 = — г cos ср тенглик уринли булгани туфайли
унинг вертикал буйича мумкин булган кучиши куйидагича аникланади:
6р0 = г sin ср 6 ср.
(1) га кура тишли рейкапинг В нуктаси
Syc = б = 2 г sin ср &ср
кучиш олади; (5) га асосан блок
_ 3 • я
Офз = ~ sin ср Sep
бурчакка айланади; р1Л = r3 cos<p3 булсани учун спарник Syc — Sy.A~
Г 3 1
= — r3 sin <р3 6ср3 — — г sin ср sin — (1 — cos <р) Sep га кучади. Бунда манфий-
ишора А нуцта юдорига кучишини ифодалайди. Бу кучишларда М, mg, m^g ва
m4g лар ишларининг йигиндисини топамиз.
ел = MSep + mgSy0 + m^ gStjCt + m4 gSyc> =
{m m Г 3 7)
M -\-mg r sin <p+ — g-2r sinep — — gr sinep-sin — (I — cosq>) J Sep =
о о 2 j
f5 m _
= M+ —mgr sm<p — — gr sinep-sin —(I
t о о |_ 2
3 7)
2 3 — 003 Ф) г ^Ф-
Натижада ср умумлашган координатага мос булган умумлашган куч цуйида-
гича аникланади:
М ,, 5 m
Q = — = 7W + — mgr sm ср — — gr stn ср-sin
v оср о о
Системанинг кинетик энергияси
(6)
з !- Т.
(7)
499>
формуладан аницланади. Бунда 7\, Т2, Тя, лар мос равишда кулан, тишли
рейка, блок ва спарникларнин! кинетик энергияларннн ифодалайди.
Кулак 01 нуцтадан утувчи горизонтал уц атрофида айланма царакатда бул-
гани учун
т _ А <Р?
—*
Гюйгенс—Штейнер теоремасига кура,
тг’ 3
7t =/o + w = 'y + m''2 = — шг*
булгани туфайли
3
71 = —тг’ф1. (8)
Тишли рейка тугри чизицли царакатда булгани учун
1 2 1
= V ms У в'
Бунда т2 = т/3 ва (1) га кура
У в— 2r<psin<p
булгани сабабли
2
Т2 = — mr'1 q>2 sin2 <р. (9)
О
Блок 02 нуцтадан утувчи горизонтал уц атрофида айланма царакатда бул-
ганн учун Тв = — 1 <Рз- Бунда / = 2пгг2 цамда (Б) га кура
3
<р3 = — <J>Sin<p
булгани сабабли
9
Тв= — mr2 <ра sin’ ф.
(Ю)
00
Спарник 4 илгарилама царакат цилади. Шу сабабли
1 2
г< = __т4Рл.
Бунда m4 = m/6 цамда
(3)
ва (10)
га кура vA =г3 ф3 =
2г 8 .
— фМПф=>
= г ф sin ф булганидан
7, = -r^rnf1 ф*51П’ф
(12)
цосил булади.
(8), (9). (11) ва (12) пи (7) га цуйиб, системанинг кинетик чнергиясини
умумлашган координата ва умумлашган гезликларнинг функцияси сифатида аниц-
.лаймиз:
1 ! 3
7 = —— tn I — -j- 6 sin' ф
113)
SCO
Лагранжнннг иккинчи хил тенгламаларинн тузиш учун зарур булган кине-
пв внергнянинг цосилаларини цисоблаймиз:
01 1 о \
----= | 6 sin2'' mr2 <р ,
йф \ 2 /
cf QT / з \ •
---------= | — -]- 6 sin2<p | w2 ф + 6/тгг2 ф2 sin 2ф,
dt dtp---\ 2 /
дТ
-— = 3 №!ф2 sin 2ф.
Оф '
Берилган система учун Лагранжнннг иккинчи хил тенгламаларинн
d дТ дТ „
------= <4
dt д ф бф
куринишда ёзиб, (6) ва (14) ни эътиборга олсак,
/ 3 \
(“Г + 6 si 7
m
— — gr Sin ф-Sin
6
тенгламага эга буламиз.
Шуидай цилиб, берилган системанинг царакат дифференциал тенгламасини
цуйидагича ёзамиз:
(14}
(15}
тг2 ф + 3 mr2 ф2 sin 2ф = Л4 —
5
3 .
—- (1 — cos ф) +— mgr «Шф
z ! о
3
mr2 ф 4- Зтг2 ф2 sin 2ф gr sin ф- sin
6
5
— sin ф= Л1.
О
' 3
— (1-С08Ф
24.7- масала. Дифференциал механизмда mj массали шестерня 1 ва етакчи
стержень 4 О нуцтадан утувчи вертикал уц атрофида бир-бирига боглицсиз ра-
вишда айланади (24.14-раем). Шестерня 1 т2 массали шестерня 2 билан тишла-
шадн, уз навбатида шестерня 2 та массали шестерня 3 билан тишлашади. Шестер-
ня 1 ва етакчи стержень 4 га моментлари Мх ва М4 га тенг жуфт кучлар
цуйилган. Шестерня 3 га Л1а царшилик моменти таъсир этади.
Шестерня 1 ва етакчи стержень 4 нинг бурчак тезланишлари аницпансин.
Шестернялар радиуслари мос равишда rlt г2 ва г3 га тенг бир жинсли диск деб
царалсин. Етакчи стержеининг массаси эътиборга олинмасин. Куйидагилар бе-
рилган: = т3 ~ 9т2 = 90 кг, 7И1 = 150 Н-м, Л43=120Н-м, Л14—180
Н-м, п = г3 = Зг2 = 0,3 м.
Ечнш. Системанинг цолати шестерня 1 ва етакчи стержень 4 ларнинг айла-
ниш бурчаклари фх ва ф4 билан бир цийматли аницланади. Хацицатан цам, агар
шестерня / ва етакчи стержень 4 ни цузгалмас деб царасак, у цолда система
цузгалмас булади. Шу сабабли унинг
эркинлик даражаси 2 га тенг. ф4 ва ф4
бурчакларнн умумлашган координата-
лар учун цабул циламиз: <>) = ф,.
Уг = Ф-i- у цолда qx — фх, ?г=ф> дар
мос равишда шестерня 1 ва етакчи
стержень 4 ларнинг бурчак тезликла-
рини ифодалайди.
Дастлаб Виллис усулидан фойда-
ланиб, шестерня 2 ва 3 ларнинг бурчак
тезликлари ф2 ва ф3 ларни ф4 цамда
Ф>4 лар орцали ифодалаймнз.
24.14- раем.
50$
4 стержень Шсстерпялар
1 2 3
Тухтагунча бурчак тезлиги Ф4 Ф1 Ф2 Фз
Тухтагапдан кейинги бурчак тезлиги 0 Ф1 —Фл Фг — Ф* Фз Ф4
Тишлашиш тури Жадвалдан фойдаланиб, куйидаг <Р1- ф2- фг~ Фз- (1) ва (2) г<Н1 ликларни купайти| Ф1-Ч Ф, —< Бундан гилдирак 3 нинг бурчак тезл> Ф /"о (3) ни (2) га цуйиб -— — 3 эк булади, бундан шестерня 2 нинг бур ташци ташци мунзсабатларни оламиз: . (1) Фа гг % = —_£з_. (2) ф4 гг >иб ихчамласак, г3 _ । ₽4 Г1 шини аницлаймиз: з = Фг (3) анлигини эътиборга олсак, У? Т.У* = — 3 <Р1 —ф4 чак тезлиги аницланадиган
Фг = — 3 ф! + 4 ф4 (4)
тенгликни оламиз.
ва Q2 умумлашган кучларни аницлаш учун системага таъсир этувчи жуфт
моментларининг системани мумкин булган кучишларидаги элементар ишларн йи-
гиндисини цисоблаймиз:
= А4,6 ф1 Ц- Л146ф4 — Л4ябф3.
(3) га асосан
бфз =
тенглик уринли булади. Бннобарин,
6 А = (Л4, — Л4Я) 6<р, + Л14 6 ф4. (5)
Худди шу элементар ишларнинг йигиндисинн
6 А — Qj 6ф4 + Q2 6 ф2 (6)
куринишда ифодалаш мумкин. (5) ва (6) ни солиштирнб,
<2, = Л11-Л13, С2=Л14 (7)
муносабатлар уринли булишига ишонч цосил циламиз.
Системанинг кинетик энергияси
7’=7’1 + 7'11 + 7's (8)
булиб, бунда Tf, Тг ва Tg лар мос равишда шестерня 1, 1 3 ларнинг кине-
тик энергияларини ифодалайди.
-602
Шестерня 1 О нуцтадан утувчи вертикал уц атрофида айланма царакатда,
шестерня 2 ва 3 лар эса текис параллел харакагда булгани учун
1 , " 2
Л = — Л ф1 ,
~ ~ "Wo, + ~ Фг»
1 > 1 . • 2
Т1~ 2 т&оя + 2 г Ч’3'
Бунда
т, г. , т2 'г
А =—2~ ’ = ( Г1 + Л2 ) СР4 • Z2-— •
Vo, (^1 + 2т2 +rs) • <р4, 13 —
т л
,пЗГ3
~~Т~
цамда (3) ва (4) ни эътиборга олиб, Тг, Тг ва Т3 ларнинг цийматларипи (8) га
цуйсак,
Т=т{т (mir?+9m24+т3гз) ‘Л + Мч+'а)2-*7
+ 8m2 rl + m3 ( Г1 + 2z2 + r3)2] - 12m2 Л ф, <р4}.
Бундай
— =------ (т1 4 + 9и2 '2 + тз 4) Ф— ^2 <2 Ф4,
дф! 2
d дТ 1# п п ?\ * * z> ? "*
-----г = —q+9w2 2+т3 гз) Ф1 — 6тг г2 ф4 ;
dt д Ф| 2
= [шг ( г1+ ,2)2 + 8т2 г2 + m3 ( г1+ 2га+ г,)2] ф4 -
дф4
— 6«2 г\ <р, ,
— ~ = [т2 ( \ + Г2)2 + 8т2 Г2 + тз ( Г1 + 2Г2 + Гз)2 ] <₽4 “
dt й<р4
— 6т2 г| Ф1 ,
(9)
дф*
Берилган система учун Лагранжнинг нккинчи хил тенгламаларини
d дТ дТ
-------~- — = Q1,
dl д Ф1 dtp,
d дТ дТ
— — Q2
dt д <р2 5фг
куринишда ёзиб, (7) ва (9) ни (10) га цуйсак,
“Г (,zli + 9та г-’ + газ гз) ф1 ~ 6т2 Ф« = м\ — мз •
(Ю)
50S
[m2 ( г, + r2 )2 4-8m2 r| 4- m3 ( r{ 4- 2лг 4-rg )2] <p4 — 6m2 = M4
тенгламаларни оламиз. Берилган ифодаларнинг сон цийматларини цуйнб, бу
тенгламаларни
8 .бйф, — 0,6ф4 = 30,
60ф4 —О.бф! = 180
(Ч)
куринишда ёзиш мумкин,
(11) дан шестерня 1 ва етакчи стержень 4 ларнинг нзланаётган бурчак тезла.
иишларини анидлаймиз:
ei = Ф1 = 3,72 рад/с2,
е4 = ф4 = 3,04 рад/с2.
24.14*-§. Гамильтон — Остроградский принципи
Айтайлик, Лагранж функцияси L = Т + U га тенг механик сис-
теманинг ^олатн <?1, </2...qn умумлашган координаталар билан
аницлансин. Лагранж функцияси билан
S = f£d/
to
(24.49)
тенглик воситасида богланган S динамик катталикка Гамильтон таъ-
сири дейилади.
Лагранж функцияси £ = L (t, q;, qt) булгани туфайли Гамильтон
таъсири S ни ^исоблаш учун /0 <71 -С t j вацт оралнгида qL — qt (/)
(i 1,2,. . ., ri) функциялар берилган булиши керак. Бошцача айт-
ганда, Гамильтон таъсири системанинг ^аракатига боглиц функцио-
налдан иборат.
Механик системанинг даракатини п улчовли фазода координата-
лари 71, q2......qn га тенг битта нудтанинг ^аракати билан харак-
терлаш мумкин Айтайлик, t =t0 пайтда системанинг ^олати п ул-
човли фазода А нувуга, / = £ вадтда эса В нудтанинг ^олатлари би-
лан аницлансин ^амда системанинг даракат траекторияси АВ эгри
чизиц билан ифодалансин (24.15-расм). Худди шу /4—10 вацт ичида
система 24.15-расмда штрих билан курсатилган кинематик мумкин
булган траекториялар буйлаб хам ^аракатланиши мумкин. АВ га
системанинг ^ациций траекторияси дейилади.
Гамильтон принципи воситасида система-
нинг иккита Л ва В ^олатлари орасида ки-
Z''нематик мумкин булган траекториялар ичи-
/ / / дан худди шу холатлар орасидаги ^аври^ий ^а-
/ ракат траекториясини ажратиш мумкин.
, Гамильтон принципи куйидагича ифодала-
л нади: системанинг иккита А ва В \олатла-
24.15- раем, ри орасидаги цациций ^аракати, худди шу
*04
%олгтлар орасидаги ва айнан шу вацт оралигида содир булади-
ган кинематик мумкин булган харакатлардан шундай хусусияти
билан фарк, циладики, \ациций даракат учун Гамильтон таъси-
рининг вариацияси нолга тенг ёки бошкача айтганда, система-
нинг \акиций царакати учун Гамилыпон таъсири стационар кий-
матга эга булади, яъни
6 S = 0. (24 50)
Бу принцип стационар богланишлар цуйилган система учун 1834-
1835 йилларда У. Гамильтон томонидан баён этилган. Лекин стацио-
нар булмаган богланишлар цуйилган умумий ^олда бу принцппни
М. В. Остроградский 1848 йилда баён этган. Шу сабабли бу принцип-
га Гамильтон — Остроградский принципи ^ам дейилади.
Голономли богланишлар цуйилган система учун бу принцип ни
^уллашда солиштирилаётган ^аракатлар айнан бир хил вацт ичида
содир булади деб царалади. Шу сабабли б/ = 0 деб олинади. Бун-
дай вариацияга изохрон вариация дейилади. Голономли богланиш-
лар цуйилган система учун изохрон вариация ва вацт буйича олин-
ган росила коммутативлик хусусиятига эга:
-£_бо=б-^- (24.51)
dt 4 di
Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларидан Гамильтон принципи-
ни келтириб чицарамиз. Эркинлик даражаси п га тенг ва потенциал-
ли кучлар таъсиридаги системанинг ^ациций ^аракати учун Лагранж-
нинг иккинчи хил тенгламаларини (24.48) куринишда ёзиш мум-
кин:
di dqi dqi
Бу тенгламаларнинг ^ар бирини 6% га купайтириб цушсак,
У /_£_ _dL_ б --------dL б \ = 0. (24.52)
I dt dqt dqi I
t=i ' '
(24.51) ни эътиборга олсак,
d dL о dL s d / dL * \ [ dL s • . dL s \
-------г oqt-------oqi=* — —г oqt — I —г oqt H-----------Sft I
Л dqi dqt dt у dqi j \ d Qi dqi Г
Буни (24.52) га цуйиб,
у +б9/) (24.63)
d/ dqt \dqt dqt
муносабатни оламиз.
Лагранж функцияси £ «= L (t, q, q) $амда курилаётган цолда
A i m 0 булгани учун
60S
s ?,+—М=8L-
\ Sqt dqi I
Шу сабабли (24.53) ни цуйидагича ифодалаймнз:
d V 4 = &Ldt.
dqt
Бу тенгликнинг иккала томонмни системанинг А цолатига мое
келувчи / = /0 вацтдан то системанинг В цолатига моо келувчи
t=tr вацтгача интеграллаймиз:
Л ва В нуцталар цузгалмас булгани учун [67,]^ =0 ва [6^]^=®
= 0. Бннобарин, системанинг цациций царакати учун
JSLdZ = 0
^0
ёки вариация изохрон булгани учун
б ^Ldt = О
(24.54)
тенглик уринли булади.
(24.54) да 5 = j Ldt булишини цисобга олсак,
65 = 0
тенгликка эга буламиз.
Гамильтон таъсири иш х вацг бирлигида (СИ системасида кгмфс
да) улчанади.
24.15*-§. Каноник тенгламалар
Юцорида курганимиздек (24.11-§), Лагранжнинг иккинчи хил тенг-
ламалари qt умумлашган координаталарга нисбатан иккинчи тартиб-
ли п та оддий дифференциал тенгламалар системасидан иборат бу-
лади. Бу тенгламалар системасини 2п та биринчи тартибли тенгла-
малар билан алмаштириш мумкин эканлигини исботлаймиз.
Бунинг учун умумлашган импульс деб аталадиган ва Лагранж
функцияси L ёки системанинг кинетик энергияси Т билан
QL дТ
Pi = —- = —-
dji dqt
(24.55)
806
ёки (24.47) га кура
Pi = '^at) 4i + bi (24.56)
j=i
тенгликлар воситасида богланган pt динамик катталикларни кирита-
миз.
(24.56) да «у #= 0 булгани учун барча qt ларни pt лар орцали
ифодалаш мумкин. Шу сабабли L функцияни фацат pt ва qt лар ор-
тали ифодалаймнз.
Гамильтон функцияси деб аталувчи
H = — L+y\piql (24.57)
t=i
функцияни киритсак, бу функциянинг вариацияси учун
6/7 = — V— 6ft-
dqt dqi
+ ^PlQl + ^lP^<jl (24.58)
формула уринли булади.
(24.58) да (24.55) га кура pt — ~^ булишини эътиборга олсак,
д Pi
унинг унг томонидаги иккинчи ва туртинчи цадларнинг йигиндиси
нолга тенг; бундан ташцари, Лагранжнинг иккинчи хил тенглама-
сига кура
dL d dL dpi
= --= Д
dqt--------------di dqt dt
булади. Бннобарин,
6/7 = -£pz69z + £6p;?z. (24.59)
(24.56) воситасида (24.57) да барча qt ларни йуцотиб, Н (р1г qlt
t) функциянинг вариациясини цисоблаймиз:
8Н (pt, 7/,/) = У ^6^ + У-^-бр,. (24.60)
Sch dpi
(24.59) ва (24.60) га асосан цуйидаги тенгликни оламиз:
У-^-б^+У-^-6рг = —Ург6<7/+ y9f6pz.
oq dpi J—A
Голономли система учун ^qt ва 6pz лар узаро боглиц булмагаии
цамда охирги тенглик 6% ва 6/ц ларнинг цар цандай цийматларида
уринли булгани учун улар олдидаги коэффициентлар мос равишда
тенг булади.
507
(24.61)
24.16- раем.
дН
Qi=—>
др,,
дН
Pl =— —
dqi
(24.61) тенгламалар Гамильтон-
нинг каноник тенгламалари дейилади.
Агар система нуцталарига стацио-
нар богланишлар цуйилган булса, у
цолда (24.47) га кура системанинг
кинетик энергияси умумлашган тез-
ликларнинг бир жинсли квадратик
функциясидан иборат булади, бино-
барин, Эйлернинг бир жинсли функ-
циялар цацидаги теоремасига кура
тенглик келиб чицади.
Бу цолда Гамильтон функцияси учун цуйидаги муносабат урин-
ли булади:
И = ^р,Х/г —Г = 27' —(7' + /7) = Т —7/ = 7 + Г1; (24.62)
яъни стационар богланиш цуйилган цолда Гамильтон функцияси сис-
теманинг тулиц энергиясига тенг булади.
24.8-масала. Огирлик кучи таъсирида цузгалмас О нуцта атрофида царакат-
ланувчи пирилдоц симметрия уцининг цолати Эйлер бурчакларини ифодаловчи пре-
цессия бурчаги ф ва нутация бурчаги 0 Силан аницланади. Агар пирилдоц масса-
си т, унинг массалар марказидан О нуцтагача булган масофа /, z уцца нисба-
тан инерция моменти С, О нуцтадан утувчи ва экваториал текисликда ётувчи их-
тиёрий уцца нисбатан инерция моменти А га тенг булса, ф, 0 цамда соф айла-
ниш бурчаги <р учун Гамильтон функцияси ва пирилдецнинг каноник тенгламала-
ри тузилсин (24.16-расм).
Ечиш. Пирилдоц огирлик кучининг потенциалини цисоблаш учун огирлик ку-
чининг О нуцтага нисбатан моментининг элементар ишинн цисоблаймиз:
dA = mgl sin 6 d 6.
Бу элементар иш куч фунциясининг дифференциалига тенг булади:
dU — mgl sin 0 de,
бундан
U = — mgl cos 6 + Cj.
Потенциал функция ихтиёрий ^згармасгача аницлик билан цисоблангани ту-
файлн, Сг = 0 деб цараш мумкин. Шундай цилиб,
И = — mgl cos 6. (1)
Пирилдоцнинг кинетик энергияси
Т = у [А (р2 4-«73) + Сга] С2»
506
формула ёрдамида аницланади. Бунда р, q ва г лар пирилдоц бурчак тезлигининг
х, у, z координата уцларидаги проекцияларини ифодалайди; 24.16-расмдан
р = — ф sin о,
q =А
г = Ф ф- ф cos 0
(ф2 sin2 О Ц- 02) + С (<р + ф cos О)2].
(4)
вканлигини топами <.
(3) ни (2) га цуйсак.
Г = Т[Л
Шундай цилиб, Лагранж функцияси L учун цуйидаги ифодани оламиз:
L — Т U = — [Д (ф1 2 sin2 0 ф- 02) ф-
ф- С (<р ф- ф cos О)2] — mgl cos 0.
(24.55) га кура рф, р^, ре умумлашган импульслар учун ушбу тенгликларни
оламиз
(3)
(5)
dL
Р<$ = —г = С (ф ф- ф cos 0),
5<р
„ SL • . „ • -
Pty = —7= А ф sin2 0 ф- С (ф + ф cos 0) cos 0,
д ф
„ dL а
Ре =—г==Д0.
60
(6)
Бундан
ф + фСО5 0= —,
С
РФ
6
(7)
• Pty
11) == --------— ------------ ro<?
A sin2 0 A sin2 0
(4) ва (7) ни эътиборга олиб, (24.62) формула ёрдамида Гамильтон фуню.ия-
сини аницлаймиз:
(Рф-РфСО5 0)2
+ Рв 4*
sin2 6
1
W = 7’-t/= —
2А
1 2
+ -^Рф + 'П£/ cos0.
(24.61 га асосан, Гамильтоннинг каноник тенгламаларинн
ф=^, 0=-^ ф = ^
dPty dPt) dpCi
дН дН дН
~ 0ф ’ Р" 011 ’ Р(е = ~ 77”
509
tKH
₽4- ~ ₽<p cos0 h Pe 1
ip = —------, 0 =-------------- t
Лsin20 A
•_____Рф — Рф cos 6 Pg, I
A tg 0 sin 0 "1” С I.
(P<p cos 0- pA Ц, cos 0 — p )
Рф = °, Pe = ---------------—------------------+ mgl sin 0,
Рф = 0
куринишда ёзиш мумкин.
24.16-§. Механик системанинг устувор мувозанати
\акида тушунча
Механик системанинг мувозанатини 3 турга булиш мумкин: ус-
тувор, ноустувор ва бефарц мувозанат.
Агар мувозанат холатидаги механик система нукталарига кичик
бошлангич кучиш ва кичик бошлангич тезлик бериш натижасида сис-
тема нуцталари мувозанат холати яцинида тебранма ^аракатда бул-
са, системанинг бундай мувозанати устувор мувозанат; мувозанат
^олатидан узо^лаша борса, ноустувор мувозанат дейилади.
Агар механик системани мувозанат холатидан кичик огдириш на-
тижасида механик система янги ^олатда ^ам мувозанатда цолса,
системанинг бундай холати Ссфарк мукосанат дейилади.
24.17-ргсмда тасвирланган цнлиндрпинг 1-^олатн устувор, 2 по-
лати ноустувор ва 3-холати бефарц мугсзанатга мгсол була олади.
Айтайлик, голономли богланишлар куйилган механик система-
нинг ^олати qlt q2, . ... qn умумлашган координаталар билап аниц-
лансин.
Умумлашган координаталарни системанинг мувозанат хрлатидан
бошлаб хиссблаймиз, яъни мувозанат холатида барча qlt q2, . . ., q„
координаталарини нолга тенг деб цараймиз.
Вацтнинг бирор t0 пайтида системани мувозанат холатидан огди-
риб, системанинг шу пайтдаги умумлашган координаталари ва умум-
лашган тезликларини qi0 ва qi0, исталган t пайтдагпсини зса q-, ва qt
билан белгилаймиз.
Системанинг устувор мувозанатига аницро!; гаъриф бериш учун
системанинг умумлашган координаталари ва умумлашган тезликла-
рининг сон цийматини улчовсиз кат-
таликка келтирамиз.
Агар исталганча кичик мусбат
сон е га боглиц шундай г| > 0
сопни топиш мумкин булсаки,
17 о I С Л. I Qto1 < П. (' = 1.2. • - -'0
Б10
булганда t > t0 вацт учун
(24.64)
шартлар бажарилса, системанинг бундай мувозанат ^олати Ляпунов
таърифига кура устувор мувозанат дейилади.
24.17-§. Лагранж-Дирихле теоремаси
Ю^орида курганимиздек, потенциалли кучлар таъсиридаги меха-
ник системанинг мувозанат шартлари (24.30') га мувофиц
= = o..... -™=о
Sqi dq2 dqn
куринишда ёзилади. Бу тенгламалардан курамизки, потенциалли куч-
лар таъсиридаги системанинг мувозанат ^олатларига система потен-
циал энергиясининг экстремал ^ийматлари мос келади. Лекин (24.
30') тенгламалар воситасида система мувозанатининг устуворлигини
аницлай олмаймиз.
Лагранж 1788 йилда голономли ва идеал богланишлар цуйил-
ган, потенциалли кучлар таъсиридаги механик система устувор му-
возанатининг етарлн шартлари куйидаги теорема билан ифодалани-
шипи курсатган:
Потенциалли кучлар таъсиридаги системанинг потенциал энер-
гияси минимум дийматга эга буладиган мувозанат хрлатлари
устувордир.
Исбот. Координаталар бошини системанинг мувозанат ^олатида
олсак, системанинг мувозанат ^олатида qL = 0 (z = I, 2, .. ., п) бу-
лади. Потенциал энергиянинг циймати ихтиёрий узгармасгача аниц-
ликда хисоблангани туфайли мувозанат ^олатида уни нолга тенг
деб ^абул ^илиш мумкин: П (0,0, .... 0) =0.
Агар мувозанат ^олатида системанинг потенциал энергияси ми-
нимум цийматга эришса, у холда мусбат г сонни шунчалик кичик
танлаш мумкинки, унинг атрофида 11=11(7,, q2... qn) функция-
нннг !^ушни экструмумлари ^атнашмасин. У холда | q, I < в тенг-
сизлик уринли буладиган D сохада потенциал энергия 11 мусбат
килматга эга булади.
Координаталардан бирп, масалан q{, D соханинг чегарасига тегиш-
ли 7, = ± е цийматларни, цолган координаталар эса, D со.уада их-
тиёрий цийматларни (жумладан, чегаравий цийматларни ,\ам) цабул
цилганда потенциал энергиянинг энг кичик кий.матпип П, билан бел-
гилаймиз. П, албатта мусбат цийматга эга булади. Худди шунинг-
дек, 2 координата чегаравий ^ийматни, долган координаталар (жум-
ладан 7, х;ам) D со.\ада ихтиёрий ций.матларни (ёки чегаравий кий-
матларни) цабул цилганда потенциал энергиянинг минимал цийма-
тини П2 билан белгилаймиз. Шу тарзда барча п та умумлашган ко-
ординаталар учун цатор
п„ п2...п„
511
мусбат цийматларни оламиз. Агар уларнинг энг кичигини П* * билан
белгиласак, у цолда координаталардан бири мицдор жицатдан е га
тенг, цолганлари абсолют циймати буйича е дан катта булмаганда
П (<?!, q2, . . q„) П*
булиши муцаррар. Система координаталарига абсолют циймати е дан
кичик булган <?10, <?20, . . дп0 цийматларни бериб мувозанат цола-
тидан ордирамиз ва система нуцталарига с/10, q2o, . . дп0 бошлан-
рич тезликлар берамиз.
Агар системага идеал ва стационар богланишлар цуйилган бул-
са, борланиш реакция кучларининг системанинг цациций кучишида-
ги ишлари нолга тенг булади. Бинобарин, бундай царакат учун энер-
гиянинг сацланиш цонуни уринли булади:
7’+П=7'о + П0.
Даракат давомида системанинг кинетик энергияси цамиша мусбат
булгани учун бу ифодадан
П<7’0 + Пп (24.65)
тенгсизлик келиб чикади. D сохада потенциал энергия П мусбат ций-
матга эга булгани учун (То -ф 11(|) цам албатта мусбат булади. То
ва По узлуксиз булгани туфайли То ф- По йириндини исталганча ки-
чик цилиб танлаб олиш мумкин. Бошцача айтганда, е дан кичик
шундай т] сонни топиш мумкинки, | qi01 < г] ва | qi01 < т| булганда
т0 + п0<н*
тенгсизлик уринли булсин. Бу тенгсизлик q!o ва</п ларнинг сон-са-
ноцсиз цийматлари учун уринли булади.*
Шундай цилиб, (24.65) га асосан
ГГ — П>0 (24.66)
Умумлашган координаталарнинг бошлангич цийматлари D соца
ичида ётгани туфайли (24.66) га асосан царакаг давомида умумлаш-
ган q-, координаталардан бирортаси хам е цийматга эриша олмайди
(яъни система нуцталари D соцадан чициб кета олмайди), чункн акс
холда П* — II манфий цийматга эга булиши керак; бу натижа (24-
66) га зиддир.
Демак, системанинг текширилаётган цолати устувордир.
Бу теореманинг цатъий исботи 1847 йнлда Лежен Дирихле то-
монпдан берилган. Шу сабабли бу теорема Лагранж — Дирихле ше-
оремаси деб цам аталади.
Агар потенциал энергия таркибида айрим умумлашган коорди-
наталар ошкор равишда цатнашмаса, у цолда мазкур координаталар-
га нисбатан система бефарц мувозанатда булади.
П* П*
*) Масалан, бу тенгсизликни цаноатлашириш учун 7’0< —— ва 110< ——
2
Уринлн буладиган qia ва ql0 ларни олиш етарли.
612
Масалан, горизонтал ясовчига эга булган цилиндрик сирт усти-
даги сгир моддий нуцтанинг мувозанати каралаётганда х уцни ци-
линдрнинг ясовчиси буйлаб йуналтирсак, х координатага нисбатан
нуцтанинг мувозанати бефарц мувозанатдан иборат булади.
Потенциалли кучлар таъсиридаги, эркинлик даражаси бирга тенг
булган системанинг мувозанати битта
-^=0 (24.67)
dq
тенглама билан ифодаланади.
Системанинг царалаётган мувозанат цолати устувор эканлигини
аницлаш учун системанинг потенциал энергияси бу цолатда мини-
мум цийматга эга булиш-булмаслигини текшириш керак.
Агар q = q0 мувозанат цолатида
>0 (24.68)
4 = <7о
булса, потенциал энергия минимум цийматга эришади.
Мабодо ( -- П- 'j =0 булса, иккинчи цосила потенциал энер-
' 4 =<70
гиянинг минимум цийматга эга булиш аломатини ифодалаи олмаи-
(Qk п \
—— цоси-
дЧ = до
латарнни цисоблашга тугри келади.
Агар потенциал энергиянинг биринчи нотга тенг булмаган цо-
ситаси жуфт тартибли ва мусбат цийматга эга булса, у цотда q~
= q0 мувозанат цо татта потенциал энергия минимум цийматга эга
булади, бинобарин, системанинг бу мувозанат цолати устувор му-
воззнатдан иборат булади.
Агарда потенциал энергиянинг биринчи нотга тенг булмаган цо-
силаси тоц тартибга эга булса, у цотда q = с/0 да на минимум ва
на максимум мавжуд булмайди.
Потенциал энергия минимум цийматга эга булмаганда система
мувозанатини A At Ляпунов теоре.малари воситасид< шицланади.*
24.9- масала. Кузгалмас О шарнир атрофида
айлана оладигчн г гирлнги G ва у ункиги I га
тенг ОА стержеининг учига АВ пружина бнрик-
тнрнлгян (24.18- роем). Агар чузчлмтган пружи-
нанинг узунлиги I ва пружинанинг Огкирлпк
коэффициенти с га геш булса, стержеининг ус-
тувор мувозанат цолати анпцлансин.
Ечиш. Стержеининг холат инн <р бурчак би-
лан аницлаш мумкин. Шу сабабли умумлашган
координата учун o — (f бурчак ни оламиз. Систе-
манинг потенциал энергияси стержень огирлик
кучининг потенциал энергияси П, ва деформа-
иияланувчи пружинанинг потен.шал энергияси П2
ларгпигг йигиндисидан иборат
24.18- раем.
___________ п=п, + п2
*) Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М: Гостехиздат,
1950.
33—2282
513
Бунда
ch2
П1 — ~Gzc , П2 —
булиб, zc ва h лар
I i
zc~— cos (180° — ф) = — — cosip;
Z £,
СР /
h — AB — Z = 2Zsin-|- — Z = ZI 2 sin
£
2
формулалар ёрдамнда аницланади.
Натижада системанинг потенциал энергияси учун
G Z I Г Ф Г
П = — cos ф + — с I21 2 sin — — 1
2 2 \ 2 /
тенглик уринли булади.
Потенциал энергиянинг умумчашгап координата ф буйича биринчи ва иккин-
чи тартибли хрсилаларини аницлаймиз:
д П Ф _ 1 Ф
— = (2 с Z — G) Z sin------с Z2 cos —-;
<Эф [ 2 J 2
д2 П If \ ф 1 \ » Ф с . Ф
----= — (2 cl — G I Zcos2 — —— 12 с I — 6 IZ sin2 — +~sin —
дер2 2 \ / 2 2 \ j 2 2 2
Системанинг мувозанат цолатида
с)П Ф 7 Ф
дер L 2 J 2
Бу тенгликдан системанинг мумкин булган иккита мувозанат шартларини оламиз;
1) (2 cl — G ) I sin-^- — cP = 0, sin^-=——---------- ;
\ / 2 2 2 cl-G
2) cos — = 0, — = 90°, ф2 = 180°.
’ 2 2
Система устувор мувозанатда булиши учун
д2 П
TV >0
дф2
шарт бажарилиши зарурлигини назарда тутиб, системанинг устувор мувозанат
холатида G ва cl орасида цандай муносабат мавжуд булишини цар иккала
цолда текшириб курамиз:
ф1 с I
1) sin ~~ = — 2~с булганда
/ д‘п\ _ l(cl — G) (3 cl — G)
\ дФ2 /Ф = Ф1 2 (2cl — G)
Бунда
Ф1 с I
•inT<1’ rc7^F<1’ G<cl
514
булгани туфайли
/<Э2П \
I----- >0
\ д <р2 /ф = ф1
шарт бажарилади. Бннобарин, системанинг <р, бурчакка мос мувозанат цолати
устувордир.
2) <р2 = 180° булса,
/ д2 Г1 \ _ (G —с/)/
\ д ф2 др = <ра 2
У цолда G>cl шарт бажарилганда
/ д2П\
\ д ф2 /ф = <рг
тенгсизлик уринли булади ва системанинг бундай мувозанат цолати устувордир.
24.18- §. Системанинг устувор мувозанати яцинидаги
кинетик ва потенциал энергиялари
Агар система нуцталарига голономли стационар богланишлар
—*-
цуйилса, rv = rv (ft, ft, . . . , ft) хамда = 0 булади. Буни
dt
назарда тутиб, (24.47) га асосан мазкур системанинг кинетик энер-
гияси учун
Z £,/==!
(24.69)
формулани оламиз. Бунда Ац коэффициентлар умумлашган ксордп-
наталарнинг функциясидан иборат хамда А,у = (/, /= 1, л).
Агар системанинг мувозанат цолати устувор булса, системанинг
бундай цолати учун потенциал энергия ntbimjm цггматга ма б\
лади Потенциал энергия ихтиёрий ргармасггча аницлангани ту-
файли координаталар бсшини системанинг мазкур мувозанат хола-
тида олсак, бу холатда потенциал энергияни нолга тенг деб цараш
мумкин;
По=П(О, 0......... 0)=0 (24.70)
A;/(ft......ft,) коэффициентлар па n(ft, , q,) потенциал
энергияни ft =0 (Z = 1, п) мувозанат цолати яцинида Тейлор цато-
рига ёямиз:
к=1 \ О 4k /()
n=nn + v/llL) ft + А (vy-) ftft + ... (24.72)
Si d ft '0 2 i%l\ dq;dqi )0
Системанинг устувор мувозанати яцчиидагц кичик царакатини
текширишда унинг кинетик ва потенциал энергияси таркибидаги q.
515
ва qt ларга нисбатан учинчи ва ундан юцори тартибли кичик ми^-
дорларни эътиборга олмаймиз. У >уолда (24.71) да фацат (Ло)0 би-
ринчи хад билан чегараланишга тугри келади. Чунки (24.69) га
асосан долган бонлуа зуадларни qt qj га купайтирганда учинчи ва
ундан юцори тартибли кичик мицдорларни оламиз. Натижада систе-
манинг кинетик энергияси учун куйидаги ифодага эга буламиз:
I п
(24.73)
z i.i=l
бунда atj = (Д,-)о коэффициентлар узгармас булиб, atj = a/t муно-
сабатларни гуаноатлантиради.
(24.72) да (24.70) ва (24.30) ларни назарда тутиб, учинчи ва
ундан кяуори тартибли кичик мшудорларни эътиборга олмасак,
n = v2 caw <24-74)
Z Z.I=I
булади, бунда
/ д* П \ -----
<24-75’
узгармас булиб, бикирлик коэффициентлари дейилади ва ctJ = clt
муносабатлар уринли булади.
Маълумки, ушбу куринишдаги
F(xt, ... , xj = У OijXiXj (24.76)
i./=i
иккинчи даражали бир жинсли куптуад. квадратик форма дейилади.
OaiyaT мусбат дийматга эга ва xt, ... , х„ узгарувчиларнинг
барчзси нолга тенг гуийматларни цабул цилгандагина нолга тенг
буладиган квадратик рорма мусбат аницланган квадратик, форма
дейилади.
Бу таърифга кура, системанинг кинетик энергияси мусбат квад-
ратик фэрмадан иборат булади. Шунингдек, мувозанат ?уолатида
По = 0 ва мувозанат ?уолати яцинида потенциал энергия мусбат,
яъни
П L,Ci' qiq< >0 (24-77)
булгани учун у >уам мувозанат >уолати я^инида мусбат аншуланган
квадратик формадан иборат булади.
Исталган квадратик форманинг мусбат аницланганлиги цуйидаги
Д. Д. Сильвестр (1814—1897) критерийси орцали аншуланади:
квадратик форма мусбат аникланган булиши учун мазкур форма
матрицасининг барча бош диагонал минорлари, яъни
^1 ~ аП’ ^2 —
а11
а21
а12
а2.
• Ап
^11^12 • • • ^1л
<з21 а22 . . . ain
&п2 ' * * &пп
(24.78)
516
24.19- раем.
катталиклар мусбат булиши зарур ва етарлидир.
Бу критерийдан фойдаланиб Лагранж- Дирихле теоремасини цуйи-
даги тартибда цуллаш мумкин: потенциал энергиянинг мувозанат
^олати яцинида qt, q2, ... qn ларнинг даражаси буйича иккинчи
даражали кичик мицдоргача аницликда каторга ёйиб, бикирлик коэф-
фициентлари ctj ларни топиб, (24.78) детерминантларни тузамиз.
Агар Az>0(i = 1,2...........п) шартлар бажарилса, системанинг му-
возанат \олати устувор булади.
24.10- масала. 24.19- раем, а да тасвирланган маягниклар системаси верти-
кал мувозанат колатининг устуворлиги текширилсин: биринчи маятник стерже-
нининг узунлиги 4Л, иккинчисиники 3ft ва учинчисиникн зса 2ft га тенг. \амма
маятникларнинг массалари ва пружиналарнинг Сикирлиги бир хнлда булиб, мос
равишда т ва с га тенг. Пружнналар бириктирилгян нукталард; н маятник шар-
чаларининг огирлик марказларигача булган масофалар h i а тенг. Стерженларнинг
массалари кисобга олинмасин, шарчалар эса моддий нуцталар деб царалсин;
маятниклар вертикал вазиятда булганда пружиналар кучланмаган холатда бу-
лади.
Ечиш. Системанинг эркинлик даражаси 3 га тенг. Умумлашган ксордина-
талар учун маятник стерженларнинг вертикалдан огиш бурчакларини оламиз
(24.19- раем, б)
<7j = <Pi, q2 = ф2. ?3 = Ф3.
Пружиналарнинг эластиклик кучларини Г,, f2, F3 билан белгиласак. бу
кучларнинг ми^дори куйидагича аникланади:
Fl=3cft<p1, Д2 = 2 йс (ф2 — ф,), f3 = he (ф3 — фО.
Системанинг потенциал энергиясини деформаиияланган пружиналарнинг по-
тенциал энергияси П[ ва огирлик кучлари потенциал энергиялари Пц нинг йи-
гиндисидан иборат деб караймиз:
9 ft2 ,4 ft2 ft2
П, = — ccrf + — с (ф2 — ф,)3 + — с (ф3 — ФО8;
Пп = — 4 т gh (1 — созф1) — 3 т g h (1 — cos ф2) — 2 т g h (1 — cos ф^).
П = Щ + Пц = — сф| -|- 2 й (ф2 — Ф1)2 + “ с (фя —ф2)2
— 4 т g h (1 — cos ф0 — 3 т g h (1 — cos ф2) — 2 m g h (1 — cos ф3).
517
Потенциал энергияни <рь ва (р;| ларнинг даражаси буйича цаторга ёямиэ
ва бунда
9 2 2
Ф7 Ф’ Фз
COS Ч?! = 1— ------ + . . . , cos ср, = 1 — —- , COS <р3 = 1 — —- + . . .
2 '2 2
муносабатлар уринли булишини эътиборга оламиз. Агар учинчи ва ундан юцори
тартибли кичик мицдорларни эътиборга олмасак, системанинг потенциал энергияси
“ fl .у fl
II = — с <Р1 + 2 h1 с (ср, — + — с (<р3 — <р2)2 —
— 2 т g h — — т g h ср| — т g h гр|
формула ёрдамида аницланади.
(24.75) га асосан бикирлик коэффициентларини цисоблаймиз;
/ д‘ II \
с„ = I „ I — 13 h2 с — 4 т g h.
\аФ1/о
/д2П\
с22 = , , = 5 ft2с - 3 m gft,
\Э ‘Рг/о
/Д2П\
сзз= , 2 = h2c — 2mgh,
\д Ч’з/о
/ 52П \
с« о —- Со-j I з _п ~ I ~ “ 4 h2 с,
12 21 I д фх д <р2 I
\ /о
Сильвестр критерийсини цуллаб, цуйидаги устувор мувозанат шартларини
оламиз:
1) Aj — Гц > 0.
13 ft2 с—4fflgft>0;
(1)
2) Д, = I си ci21
I С21 c22 I •
i 13 ft2с — 4mgh
I — 4 ft2 с
— 4 ft2 с
sh2 с — 3m g h
|>o.
49 ft4 с2 — 59 m g ft3 c 12 m2 g2 ft2 > 0;
(2)
3) As =
cii
C21
C31
c12
C22
C32
C13
C23
C13
>0,
13 ft2 c — 4 m gh —4h2c
— 4 ft2 c 5ft2c — 3m gh
0 — ft2c
0
— ft2c
ft2 c — 2 m g ft
>0,
36 ft3c»— 153 m g ft6c2 + 130 m2 g2 ft4 c—24 m3g3ft3>0.
(3)
Шундай цилиб, системанинг устувор мувозанат шартлари (1) (2), (3) тенг-
еизликлар билан ифодаланади.
618
24.19-§. Эркинлик даражаси бирга тенг механик систе-
манинг устувор мувозанати яцинидаги кичик тебраниш-
лари
Эркинлик даражаси бирга тенг механик системага цуйилган го-
лономли богланишлар стационар богланишлардан иборат булса, бун-
дай системанинг мувозанат цолати яцинидаги кинетик ва потенциал
энергиялари (24.73) ва (24.74) га асосан цуйидаги формулалар ёр-
дамида цисобланади:
— а'2, II = — cq2, (24.79)
2 2
- /<Эг П \
бунда с= —
\dq2 Jo-
Айтайлик, с>0 булсин. Бу цотда потенциал энергия минимум-
га эга булади ва Лагранж — Дирихле теоремасига кура, система-
нинг мувозанати устувор булади.
Курилаётган цол учун (24.79) ни назарда тутиб, Лагранжнинг
иккинчи хил тенгламаси
d дТ дТ ёП
dt dQ dq dq
ни тузсак,
aq = — cq
ёки
^ + ^9 = o. (24.80)
Бунда
Л = -|/_£_. (24.81)
I о
(24.80) тенглама (17.2) га ухшашдир. (17.2) битта моддий нуц-
танинг гармоник царакатини, (24.80) эса эркинлик даражаси бирга
тенг механик системанинг царакатини характерлайди.
(24.80) тенгламанинг умумий ечимини (17.3) ва (17.7) га ухшаш
бир-бирига эквивалент булган цуйидаги икки хил куринишда ёзиш
мумкин
q = Cr cos k t + С2 sin k t
ёки
q — ax sin (kt + a). (24.82)
Бу тенгламалардаги Cj ва C2 ёки ax ва a лар интеграллаш дои-
мийлари булиб, царакатнинг бошлангич шартларидан аницланади.
(24.81) тенглик ёрдамнда тебранишларнинг доиравий частотаси ци-
собланади.
519
24.20- раем.
Тебранишлар даври учун
(24.83)
формула уринли булади.
24.11- масала. Массаси М га тенг булган юк, 2 цамда бир-бирига маркам
бириктприлган I ва 3 тишли гилдираклар ёрдамида царакатга келтириладиган
т массали тишли рейка учига урнатилган (24.20- раем, а). 1 ва 3 тишли гилди-
раклариинг инерция моментлари Ц, 2 гилдиракники sea /2; радиуслари мос ра-
вишда Rlt г, R2 га тенг. 2 гилдирак бикирлик коэффициенти с га тенг ва
раемда шартли равишда спирал пружина тарзида берилган етакловчи валга би-
риктирплган.
Системанинг эркин тебраниш частотаси аницлансин.
Ечиш. Системанинг цолатини етакловчи валнинг айланиш бурчаги <р2 билан
аницлаш мумкин. Бинобарин, системанинг эркинлик даражаси бирга генг була-
ди. Умумлашган координата учун q = <р2 ни оламиз. Бошлангич пайтда тишли
рейканпнг огирлик маркази унинг г радиусли гилдирак билан тишлашган О
нуцтаситт булсин. Яьни t — О да х = 0, ху = — а булсин. Бунда х, бнлан юк-
нинг бошлангич координатаси белгиланган.
Раемда юк ва тишли рейкаларнинг огирлик кучлари Mg ва mg ларни цам-
да етакловчи валнинг буралншга царама-царши йуналган эластиклик жуфт
моменти Alt ни тасвирлаймиз (24.20-раем, б).
Рейканинг огирлик маркази С цолатни эгаллаганда унинг координатаси х,
юкннпг координатаси х — я га тенг булади; гилдирак 2 эса <р2 ст + бурчак-
ка айланади. Бунда <р2 ст билан гилдирак 2 нинг статик мувозанатига мос ай-
ланиш бурчаги белгиланган.
Агар <р2 бурчакни кичнк деб царасак, у цолда гилдирак 2 га мицдор жи-
цатдан
Mi = с (<р2 ст + <р2)
га тенг эластиклик жуфт моменти таъсир этади.
Системанинг потенциал энергияси юк ва тишли рейка огирлик кучларининг
потенциал энергиялари II г П2 цамда етакловчи валнинг эластиклик моменти
потенциал энергиясй П3 ларнииг йигиндисидан иборат
II = Пу -|- П2 -р- П8.
520
Бунда
II, = — т g х, П2 = — Mg (х — с),
2
Пз = ~~~ с (фгст + Фг)' —-----
2
булиб, х, <pj ва фа лар орасида цуйидаги муносабат мавжуд булади:
х = г <рг = Г — <₽g.
Шундай цилиб, системанинг потенциал энергияси учуй цуйидаги ифодани
-оламиз:
1 . сфо г»,
П = — (М -|- т) g г ~~ <р2 + Mg а ф- —- с (<р2 ст 4- <p2)s —---==
Ri г 2
/?2 Сф?
= —(УИ + т) gr--<p2+Afga + c<p2fm<p2+-------------
2
Спирал пружинанинг статик деформациясига мос мувозанат цолатнда
/дП\
1--- = 0 булгани учун
W/<Pa-0
— (М + т) gr R-+c q>2cm = о
тенглик уринли булади. Буни назарда тутиб, системанинг потенциал энергияси
j/чун цуйидаги ифодага эга буламиз;
। 9
П = М g а+ — с <р2 .
Потенциал энергиянинг ф2 буйича цосиласини цисоблаймиз:
ап
= с Фг- (D
а <р2
а2п
----= с > 0 булгани учун потенциал энергия минимум цийматга эга булади ва
а<₽|
Лагранж-Дирихле теоремасига кура, ф2 = О атрофидаги системанинг мувозанати
устувордир.
Системанинг кинетик энергияси
Т = Т1+Т4 + Т, (2)
б^либ, бунда Тг ва Т2 лар мос равишда 1, 3 ва 2 гилдиракларнинг; Т3 эса юи
билан тишли рейканинг кинетик энергиясини ифодалайди.
1, 3 ва 2 гилдираклар кузгалмас уцлар атрофида айланма царакатда, тишли
рейка ва юк х уц буйлаб тугри чизицли царакатда булгани учун
Ti~ ~^',1 Фр Т2 ~ !2^2’
т3=у (Л1 + т)х2-
Мувд»
• R2 • • • Rf •
Ф1 == Ф2. * = Г Ф1 = Г — Ф«
621
булишини назарда тутиб, (2) ни куйидагича ёзамиз:
г=^р.(-Ь)г + ;, + (.М + ^(|У]й *
„ / R2 \2 / R2 \2
(3) да a=/j — 4- 1г 4- (М -}-ni)r2 —— I бетгилаш киритсак, кинетик энер-
\ «1 J \R\ /
гиянииг ^осилалари учун цуйидаги ифодаларни оламиз:
дТ (1 дТ дТ
---Г=с<₽2. —-------- = оф2. — = 0. (4)
Э<р2 dt д<р 5<₽2
Система учун Лагранжнинг иккинчи хил тенгламасини
d дТ дТ ЭП
dt аф2 ~ ~ (5>
куринишда ёзиб, (1) ва (4) ни (5) га ($уйсак,
(I Ср2 — С
ёки
бунда
<р2 4- k2 <р2 = 0,
системанин! кичик тебранишлар доиравий частотасини ифодалайди.
24.20-§. Эркинлик даражаси битта булган системанинг
сунувчи тебранма хдракати
Техникада учрайдиган купгина масалаларни ечишда эркинлик да-
ражаси бирга тенг механик система нуцталарига потенциалли куч-
лардан таш^ари, му^итнинг
R-v = — F4 Vv = — F4 С <24 -84>
куринишдаги чизикли царшилик кучи таъсир этадиган доллар уч.
райди. Бунда pv царшилик коэффициентини ифодалайди. Система,
нинг даракат дифференциал тенгламасини тузиш учун
— /= Q (24.85}
dt U.- } дс‘
формадаги Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларидан фойдаланамиз.
(24.85) да
Q = Qn + Q«, (24.86)
бунда Qn система ну^таларига таъсир этувчи потенциалли кучларга
мос, QR эса ^ар'шилнк кучи Rv га мос умумлашган кучларни ифо-
далайди.
622
Qn ни
qii =_C(7> (24.87)
dq
Jhh (24.22) га асосан
л?
qk=2^v^~ <24-88/
V=l
.формула ёрдамида аницланади.
dr dr
(24.88) да -—— = -— муносабат уринли булишини
dq
тутиб, Rv нинг ципматини ^уямиз:
назарда
дФ
dq
(24.89)
N
11 72
(24.89) даги Ф = у j \ v - га диссипатив функция ёки
v=l
Релей функцияси дейилади. Бу функция узининг тузилиши буйича
системанинг кинетик энергиясига ухшаш, лекин унда нуцталарнииг
массалари урнида царшилик коэффициентлари ^атнашади.
Ф функцияни q ва q орцали ифодалаймиз. Бунинг учун rv =
•
= rv (</), rv = —j— q эканлигини эътиборга оламиз:
л'
\2
бунда B(q) = У . и узгарувчи булиб, уни q = 0 атрофида
лгааа \ dq /
V—1
q нинг даражачарп буйича Тейлор цаторига ёямнз:
= в0 +
dq }о 2 \ dq1 /0 2
(24.91)
Агар диссипатив функцияни хисоблашда учинчи ва ундан юцори
тартибли кичик мицдорларни эьтиборга ол.масак, у холда (24.91 да)
Факат биринчи хад Вв билан чегараланишга тугри келади, чунки
(24.90) га асосан бошца хадларни q1 га купайтирганда учинчи ва
ундан юцори тартибчи кичик микдорларни оламиз. Бунда Во — р
<5елгилаш киритиб, куйидаги ифодага эга буламиз:
523
Ф = уИ2. (24.92}
р катталик узгармас булиб, умумлашган царшилик коэффициенти
дейилади.
(24.79) ва (24.92) га асосан, Лагранжнинг иккинчи хил тенгла-
маларини тузиш учун зарур булган кинетик энергиянинг цосилала-
рини ва <2Ф ни цисоблаймиз:
5Г ' d дТ " дТ п
= aq, — = aq, —— = 0, (24.93)
dq------------------------------------------Ct dq-dq
£ф = -~= —(t7 (24.94)
a g
(24.86), (24.87), (24.93), (24.94) ларни (24.85) га цуйиб, эркинлик
даражаси бирга тенг системанинг мухитнинг чизикли царши-
лиги таъсиридаги сунувчи тебранма харакат дифференциал
тенгламасини цуйидаги куринишда оламиз:
aq — — с q — р q
ёки
q + 2п</ + k2q = О,
(24.95}
бунда — = k2, — = 2п белгилашлар киритилган.
а а
(24.95) тенглама моддий нуцтанинг сунувчи тебранма царакат
дифференциал тенгламаси (17.14) га ухшаш булиб, уни интеграллаш
17.3-§ да батафсил баён этилган. (24.95) ни интеграллашда 17-3-§
дагидек учта цолни алоцида-алоцида куриш керак: 1) п < k (царши-
лик кичик булган хрл); 2) ti > k (царшилик катта булган цол); 3)
п — k (чегаравий цол). Биринчи цолда механик система мувозанат
цолати яцинида сунувчи тебранма царакатда, иккинчи ва учинчи
цолларда эса апериодик царакатда булади.
24.21 - §. Эркинлик даражаси бирга тенг механик систе-
манинг мажбурий тебранма царакати
Эркинлик даражаси бирга тенг механик система нуцталарига по-
тенциалли куч, муцитнинг тезликка пропорционал царшилик кучи
ва вацтнинг функциясидан иборат уйгогувчи куч таъсир этсин. Уй-
готувчи кучга мос умумлашган куч
Qj = Н sin (pt + б) (24.96)
формула ёрдамида аницланадиган цолни цараймиз. Бу цолда (24.87),
(24.94) ва (24.96) га асосан, Q умумлашган куч цуйидагича аниц-
ланади:
Q = <2П + Q® + Qi = — cq — р q + Н sin (pt + 6). (24.97}
624
(24.93) ва (24.97) ни (24.85) га цуйсак,
aq — — cq — р q + Н sin (pt + 8)
ёки
q 4- 2п q + k2q = Ho sin (pt + 6) (24.98)
к м Я
тенгламани оламиз. Бунда //0 = —.
а
(24.98) тенглама тезликка пропорционал царшилик кучи ва
вацтнинг функциясидан иборат уйкотувчи^куч таъсирида булган,
эркинлик даражаси бирга тенг системанинг мувозанат цолати
яцинидаги кичик маэнбурий тебранма царакат дифференциал
тенгламаларинн ифодалайди. Бу тенглама худди шундай кучлар
таъсиридаги нуцтанинг мажбурий тебранма царакат дифференциал
тенгламаси (17.49) га ухшаш булиб, уни интеграллаш 17.7-§ да
батафсил баён этилган.
Шундай цилиб, эркинлик даражаси бирга тенг механик система-
нинг мувозанат цолати яцинидаги кичик царакатларини урганиш
моддий нуцтанинг царакатини урганишга келтирилади.
24.22*-§. Эркинлик даражаси иккига тенг механик сис-
теманинг устувор мувозанати яцинидаги кичик тебра-
нишлари
Потенциалли кучлар таъсиридаги голономли, стационар богла-
нишлар цуйилган ва эркинлик даражаси иккига тенг булган меха-
ник системанинг устувор мувозанати яцинидаги кичик тебранишла-
риии текшириш учун умумлашган координаталар учун системанинг
мувозанат цолатидан цисобланадиган qt ва q2 координаталарни ола-
миз. Системанинг мувозанати устувор булгани туфайли qb q2 цам-
да (/v q2 лар бундай мувозанат цолати яцинида цамиша мицдор
жицатдан кичик цийматларо эга булади.
Эркинлик даражаси иккига тенг булган системанинг кинетик
энергияси (24 73) га кура, цуйидагича аницланади:
Т = -у 1«ц <9р 92) Чг) 'Л 92 + «22 <9н 92) 9fb (24.99)
Инерция коэффициентларп а(( умумий цолда q{ ва с/2 координа-
талапнинг функциясидан иборат булади. Кинетик энергияни иккин-
чи даражали кичик мицдоргача аницликда цисоблайдиган булсак,
а(1 ларни j га q2 нинг даражаси буйича Маклорен цаторига ёйган-
да, нолинчи тартибли кичик мицдорларнигина эътиборга олишга
гри келади:
«н (9i> 9г) — «н (9> 0) —
«iz(9i. 9г) —«t2(9, 0) = а 12,
«22 (91» 9 г) = «22 (9. 0) = а22.
(24.100)
525
(24.104)
Бунда ап, а12, а22 инерция коэффициентлари узгармас булади.
Шундай цилиб, эркинлик даражаси иккига тенг булган системанинг
кинетик энергияси цуйидаг> узгармас коэффициентли квадратик
форма ёрдамида аницланади:
Т (оп^ + 2о12<^2 + a22ql). (24.101)
Тезлик нолдан фарцли булганда кинетик энергия мусбат ций-
матга эга булгани туфайли (24.101) квадратик форма (24.78) Силь-
вестр критерийсини цаноатлантиради. Курилаётган система учун бу
шартлар цуйидагича ёзилади:
а >0, а а22 —а?2>0 (24.102)
(24.74) формула ёрдамида эркинлик даражаси иккига тенг система-
нинг потенциал энергияси аницланади:
п = У (СН <7? + 2с12 92 + с22 ^)- (24.103)
Устувор мувозанат цолати учун (24.103) квадратик форма мус-
бат аницланган формадан иборат булиб, у (24.78) Сильвестр крите-
рийсини цаноатлантиради;
си>0, Сц с22 с^2>0.
Курилаётган система учун
d дТ дТ __ ап
dt dqx dtti ’
d дТ______дТ _ _ an
dt a q2 dq2 dq2
куринишдаги Лагранж тенгламаларини тузиш учун кинетик
циал энергияларнинг цосилаларипи цисоблаймиз:
ат , • d дТ .
~Г = au<h + al2q2, —------- = о„ + о12 ?в,
а91 dQi
дт А ап
, — 0, — + г12 q2,
oq-i oq,
дТ • d дТ •• ,
-—- — — or2<7i + a22q2, . — "b ^22^2,
dq2 tit dq2
st n an _ .
—— — 0, + c22q2.
dq2 dq2
(24.106) да ai2 = O2i, 61г = а21 булишини эътиборга олиб,
(24.105) га цуйсак,
Оц<?1 + о12 q2 + cu9i + cl2q2 = О,
- ^21^71 “Ь ^22^72 Н- ^21^1 “Ь Т22^72 = Q
тенгламаларни оламиз.
(24.105)
ва потен-
(24 106)
(24.107)
526
Шундай цилиб, эркин ик даражаси иккига тенг булган по-
тенциалли кучлар таъсиридаги механик системанинг устувор
мувозанати яцинидаги кичик тебранма царакат дифференциал
тенгламалари иккита иккинчи тартибли ургармас коэффициент-
ли бир жинсли тенгламалар системасидан иборат булади. Бу
тенгламаларнинг умумий ечимини
qx = A sin (kt + е), q2 — В sin (kt + е) (24.108)
к^ринишида излаймиз. Бунда А, В, k ва е лар интеграллаш доимий-
лари булиб, царакатнинг бошлангич шартларидан аницланади.
qx ва q2 ларнинг вацт буйича иккинчи цосиласини цисоблаймиз:
qx = — Ak2 sin (kt + e), q2 = — Bk2 sin (kt 4- e)
ва уларнинг цийматларини (24.92) га цуямиз:
— anAk2 sin (kt + e) — al2Bk2 sin (kt + e) 4- cu A sin (kt + e) +
+ c12 В sin (kt + e) — 0,
—n21 Ak2 sin (kt + e) — a22 Bk2 sin (kt 4- e) 4- с21Л sin (kt 4- e) 4~
4- c22 В sin (kt 4~ e) =0.
Бу тенгламалар t нинг хар цандай цийматларида айнан бажари-
лиши учун sin (kt 4- е) олдидаги коэффициентлар нолга тенг були-
ши керак:
(сп — ап/г2) А 4- (с12 — о12/г2) В = 0,1
(c2l - а2#) А 4- (с22 - a22k2) В = 0.) ’
Система харакатланганда бу чизицли бир жинсли алгебраик
тенгламалар системаси А ва В га нисбатан нолдан фарцли ечимга
эга булиши керак (акс цолда (24.108) га биноан ^ = 0, г/2 = 0,
яъни система тинч цолатда булади). Шу сабабли (24.109) система-
нинг детерминанта нолга тенг булиши керак:
|сп — auk2 с12 — «12^1 = о. (24.110)
|с21 — a21k2 с22— a22k |
Бу детерминантни очиб ёзсак,
(сп — ank?) (с22 — a22k2) — (с12 — aX2k2)2 — 0, (24.111)
(24.110) ёки унга эквивалент булган (24.111) тенглама частота-
лар тенгламаси дейилади.
Частоталар теигламасининг k2 га нисбатан иккала илдизи цам
цациций ва мусбат булишини исботлаймиз. Бунинг учун (24.110) ёки
(24.111) тенгламаларнпнг чап томонини \(k2) билан белгилаймиз.
У цолда
А (k2') = (г,! — о,, k2) (с22 — а2, k2) — (с12 — al2k2)2
527
тенглама параболанипг тевгламаси-
ни ифодалайди (24.21-раем). Час-
тоталар тенгламасининг k2 ва k2 ил-
диэларига параболанинг k2 уц билан
кесишган нуцталари мое келади.
(24.102) ва (24.104) муносабат-
лардан фойдаланиб, цуйидаги кат-
таликларни цисоблаймиз:
Д(0) =спс22 —cf2>0, Д(оо)>0„
д / С11 \ __ _ (с11с12 °12с11)2 Q д / с22 \ ____
I ) 2 ’ I I
\ °11 / аЦ \ °22 /
_ (°Z2C12 g12C22)2 Q
°22
Бундан курамизки, k2 = 0 ва /г2 = со лар орасида парабола /г®
$т;ни /г2 ва /г| ларнинг мусбат илдизига мос равишда икки марта
кесиб утади (мазкур графикни чизишда аницлик учун -£11-<;-£22.
°11 °22
ва k2<zk2 деб олинган). Бинобарин, (24.110) ёки (24.111) тенгла-
маларнинг k2 га нисбатан иккала илдизи хам цациций ва мусбат
цийматга эга булади:
0</e2<^L<-£^<^< оо. g (24.112)
°tl °22
Агар (24.109) тенгламалар бир-бирига боглиц булмаган тенгла-
малар системасидан иборат булса (масалан, а^^бЦдвО ва с12 =«
= c2i — 0 цолида), бу цолга мос тебраниш частотаси парциал час-
тота дейилади ва цуйидагича аницланади:
k' = 1/ _£1l , k' = 1/.
* #11 ' #22
(24.112) формула ва 24.21-раемдан курамизки, парилат частота-
лар k2 ва k.2 частоталар орасидаги цийматларни цабул цитади, яъни
/ц кичик частотадан катта ва k2 катта частотадан кичик булади.
kt = k2 булиши учун система
#11 #22
#11 #22
частота билан тебраниши керак. Бу цолда парабола к2 уцца уринади.
Частоталар тенг булганда (24.109) тенгламалариинг цар бири
Л ва В ларнинг цар цандай цийматида уринли буладиган айният-
лардан иборат булади. Бу цолда (24.107) тенгламалар qx ва дг лар
аницланадиган иккита бир-бирига боглиц булмаган системани таш-
кил этади ва уларнинг ечимини цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
<7! = /1, sin (kt + оц), 92 = /!., sin (.'' <и (24.113)
628
(24.113) да At, А2, at ва <z3 узгармаслар харакатнинг бошлангич
шартларидан аницланади.
Бу цолда система гармоник тебранма царакатда булади. Хар бир
ва q2 координаталар синусоида цонуни буйича бир-бирига боглиц-
сиз равишда бир хил частота билан узгаради.
Система турлича частота билан харакатланган цочда ва k2
лардан квадрат илдиз чицариб, ва k2 ларнинг мусбат цийматла-
ридан фойдаланамиз. kx ва k2 ларнинг цар бирига (24.108) тенгла-
маларнинг биттадан хусусий ечими мос келади. Бунда частотага
Alt Bi ва ех цамда k2 частотага А2, В2 ва е2 ларнинг цийматлари
мос келади. Хусусий ечимлар узаро чизицли боглиц булмагани ту-
файли умумий ечим уларнинг чизицли комбинациясидан иборат булади.
?i = Asin (/ц t + ех) + X2sin (k2t + e2) ,1
q2 = Bt sin (fcx /+ ex) + fl2sin (k2t -}- e2).| '
At ва Blt A2 ва B2 сонлар орасида (24.109) тенгламалар билан аниц-
ланадиган богланиш мавжуд. Бу тенгламаларга kr ва k2 ни цуй-
сак, у цолда (24.109) тенгламалар системасининг детерминанта
нолга тенг булади. Бинобарин, бу иккита тенгламалар системаси-
нинг фацат биттаси боглицсиз булади. Бу тенгламаларнинг бирор-
тасидан (масалан, биринчисидан) цуйидаги нисбатни аницлаймиз:
А = - и(/=1,2). (24.115)
с12— °12^i
Хар бир /гх ва k2 частоталарнинг цийматига уларга мос р, ва р2
тугри келади. (24.115) воситасида аницланган
А = /1,4, В2 = р2Л2 (24.116)
ифодаларни (24.114) га цуйсак, умумий ечим цуйидаги куринишга
эга булади:
91 = /l1sin(*1/+e1)-]-Asin(^2/ + e2), 1
?, = PiAsin + ej + р2/2sin(/e2/ + е^.] ''
Бу ечимда kx ва k2 частоталар цамда щ ва р2 коэффициептлар
мазкур системани характерловчи маълум сонлар булиб, Av Л2, Et
ва е2 ихтиёрий узгармаслар царакатнинг бошлангич шартларидан
аницланади.
(24.117) ёрдамида аницланадиган умумий ечим формуласидан
курамизки, эркинлик даражаси иккига тенг системанинг мувозанат
цолати яцинидаги царакати иккита бир-бирига боглиц булмаган теб-
ранишлар йигиндисидан иборат булади:
?, = Qi1’ + q(?, qz = ?!2u + qz} •
Бунда
?V’ = A, sin t + e,). q^ = A.2 sin (k21 + e2), 1
q™ = pj Л1 sin (A’) t + E|), q^' — p2/lQsin + e?).| I ‘ '
34—2282
529
Иккала координаталарда ^ам биринчи
тебраниш klt иккинчиси /?2 частота би-
лан содир булади. Бу частоталарга мое
тебранишлар системанинг бош тебра-
ншилари дейилади.
(24.118) дан курамизки, барча коор-
динаталар хар бир бош тебранишда гар-
моник цонун асосида бир хил частота
ва фаза билан ^аракатланади.
(24.115) га асосан, ва щ ларнинг
физик маъноси куйидагича булади: коор-
динаталардан бирида бош тебраниш ам-
плитудаси бошг;а координатадаги ампли-
тудадан ^анча катта (ёки кичик) були-
шини ифодалайди.
24.12-масала. Узунлиги I ва массаси т булган иккита бир хил маятник би-
кирлигп с булган, учлари маятникларнинг стерженларига махкамланган пружина
билан h баландликда бир-бирига богланган (24.22-расм, а). Маятниклардан бири
мувозанат вазиягидап а бурчакка огдирилгандан кейин системанинг маятниклар
мувозанати текислигидаги кичик тебранншлари апиклансин; маятникларнинг бош-
лангич тезлиги нолга тенг. Маятниклар стерженларининг массалари билан пру-
жина массаси з^исобга олинмаспн.
Ечиш. Системанинг эркинлик даражаси иккига тенг. Умумлашган координа-
талар учун маятникларнинг вертикалдан огиш бурчаклари q^ = *р4 ва — (р2
ларни оламиз.
Системанинг кинетик энергияси
Т = ~т12( Ф? + Ф1) . (I)
—►-
Системанинг потенциал энергияси mg огирлик кучларининг потенциал энер-
гияси Jlj ва деформацияланган пружинанинг эластиклик кучи потенциал энергия-
си Пц ларнинг йигиндисига тенг булади;
п = п1+п„.
Бунда
П, = mgl (1 — cos ф,) mg/ (1 — cos
ёки П, ни ^аторга ёйиб иккинчи даражали кичик мицдорлар билан чеклансак,
П1 = у mgl (+ <p|) .
Пружина эласшк шк кучининг потенциал энергияси иккинчи |артбли кичик миц-
доргача яиицлик билан олинса,
Пп= ус/г2(%~(Р1)2 •
Шундай ^илиб,
П>= П, 4-Пп =-1-+с/12) (ч>1+<Р2) — 2с/12<Р1<р21 • (2)
ДЗО
(1) ва (2) дан
d дТ дТ ап
dt а <р2 a<pi ’
d VI дТ ат ап (3>
dt 5 % а<р2 а<р2
курииишидаги Лагранж тенгламаларини тузиш учун зарур булган зрсилаларни
анидлаймиз
01 ' а °! п
•—— = т Z2 <р j —-----;— = т Z2 <Р 1, ----------------= 0 ,
3 <pj d<Pi a<?i
-dH- = (mgl + с h2) <pt — 2 с ft2 <р2;
dq>t
дТ d дТ дТ
= m I2 <р2, = m I2 <с.> -= 0 ,
о ‘-----------------------------------------di о ’-" ' йфо
д <р, о ф2
д П
-----= (mgl + ch2) <р2 — 2 ch2 <pt .
0ф2
(4)>
(4) ни (3) га цуйиб, барча ^адларни чап томонга утказсак, системанинг ма-
ракас тенгламаларини
mZ2 <pi + (mgh 4- ch2) <р1 — ch2 <р2 = О, I
ml2 (р2 — ch2 <₽! + (mgh +ch2) <р2 = О I
куринишда ёзиш мумкин.
(5) нинг умумий ечимини (24.108) га асосан
<Pj = Л sin (kt 4-е),
ф2 = В sin (kt 4- е)
куринишда излаймиз.
(5) дан курамизки,
йц = ml2, а22 = ml2,
Д12 =0, Ci 1 = mgl 4- ch2,
сгч = + с№\ с1г = — ch2.
(5)
(6)
(7)
(7) ни (24.111) частоталар тенгламаси
(си — Он k!) (с22 — а22 k2) — (с12 — а12 k2)2 = О
га цуйсак,
(mgl 4- ch! — ml2 k'1)2 — c213 — 0.
Бу тенгламадан бош тебранишлар частоталари квадратини анидлаймиз
й2 = а. k2_ х , 2e!l
1 Z ’ 2 l + ml2
(8)
(24.115) га асосан j^ap бир бош тебранишлар амплитудаларининг нисбати учун
Д1
С11-дп^ mgl+ch2~ml2-^
Р г = - —----— = ~ -- = 4- ’ •
С12'—а12 С^2
531
24,22- раем
/ a feh* \
г, / л ъ~ 4- ch2 — mla I — —— I
В. сп — Оп^2 \Z mF
---119 к= -------------- = •— ------------------------------- =—>]
Я. С12-вмл1 -<*
тенгликларни оламиз,
Шундай цилиб,
Bi — Л1, В2 — — А2
Натижада (24.114) га асосан (5) тенгламаларнинг умумий ечимини цуйидаги-
ча ёзиш мумкин:
<Pi = At sin (k^t 4" Cj) -f- Аг sin (k2t -|- ftj), 1
<p2 = A2 sin (kit + Ej) — A2 sin (k2t 4- »,) , f “
бундаги kx ва k2 лар (8) тенгликлар ёрдамида аницланади. (9) га Kfpa биринчи
бош гебраниш учун
Ф,1’ = A, sin (kit + ej, tpj,1’ = 4Х sin (k^ 4- ej, (10)
иккинчи бош тебраниш учун эса
гр’2’ = А.г sin (k2t + е2), <р(22) = — Л2 sin (k2t4-е,) (II)
муносабатларин сламиз. Бу тешлнкларга мос бош тебранишлар 24.22-расм, б, в
да тасвирланган.
(10) дан курамизки, агар биринчи бош тебранишда биринчи маятник верти-
калдан ср*1' бурчакка огса, иккинчи маятник цам худди шу йуналишда
= Ч5!*’ бурчакка огади. (11) га кура иккинчи бош тебранишда биринчи маятник]
ф|2) бурчакка огса, иккинчи маятник унга царама-царши йуналишда Ф?/* =•
= — ф[2* бурчакка огади.
(9) даги Ai, А2, t‘i ва е2 ихтиёрий узгармаслар царакатнинг бошлангич
шартларидан аницланади.
Масаланинг шартша кура бошлангич t=0 пайтда
(12)
<Рю ~ tz, <р2о = °. Фю = 0, <р2о = 0.
(9) дан вацт буйича цосила оламиз:
rpi = Ai ki cos (ktt + et) A2 k2 cos (k2t + e2) , 1
<p, = At ki cos (ki /4-е,) — /0 k2 cos (k2t 4- e^) . 1
.532
(9) ва (13) га царакатнинг бошлангич шартлари (10) ни цуямиз:
а = А! sin е t + Д2 sin е2,
0 = Д] sin 6j — Д2 sin е2,
О = Acos Hj 4- A,k2 sin e2>
0 = Aikr cos — A2k2 cos e2.
Бундай
Alk1 cos et = A2k2 cos e2 = 0,
cos 8i = cos e2 = 9,
61 —12 = 2 ,
2 Ai sin ej = 2 A2 sin e2 = “
a
Ai = A2= — ,
(14)
(15)
(14) ва (15) ни назарда тутиб (9) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
л \ . / л
/ + -^" I + sln I ^””2
fei + k2 ki — k2
•= a cos--------t cos-------1 ;
2 2
= — (COS kit + cos k2f) —
л
a
2
4>i“
2
1 i 1 л \
sin I + — 1 — sin I fe2(— I =
- k2 . k2 ki
= a sin------t sin------t.
2 2
a (
— I cos — cos k2t) =
Шундай цилиб, (12) бошлангич шартларга мос булган (5) тенгламанинг ху
сусий ечими цуйидагича аницланади:
ki 4" k2 ki —k<
фх = a cos----------t - cos-----'
. ki + k2 .
<p2 = a sin--------(-sin
vs 2 2
2
^2 &1
t.
24.23*-§. Устувор царакат цакида тушунча
Динамиканинг иккинчи асосий масаласини ечиш натижасида сис-
тема царакат дифференциал тенгламаларининг берилган кучлар ва
бошлангич шартларга мос ечимини аницлаймиз. Бироц масалада бе-
рилган бошлангич шартлар цацицатда бир оз узгариши мумкин бул-
ган цолларни цам царашга тутри келади. Масалан, снаряд, ракета
ёки самолётнинг бошлангич тезлиги цамиша цисобланган бошлангич
тезлик билан устма-уст тушавермайди. Бундан ташцари, система
царакати давомида унга масалани ечишда назарда тутилмяган оний
кучлар ёки вацтинча кучлар таъсир этадиган цоллар цам учрайди.
Масалан, самолёт учаётганда цавонинг зичлиги узгариши натижаси-
да царшилик кучи узгариши ёки бошца цушимча кучлар таъсир эти-
ши мумкин. Бошлангич пайт учун бундай цушимча кучларнинг таъ-
сири тухтаган пайтни олиб, иккинчи цолни биринчи цолга келтириш
мумкин.
533
Берилган кучлар ва шартларга мос булган харакатни асосий ха-
ракат, берилган кучлар ва узгарган бошлангич шартларга мос бул-
ган харакатни эса, уйготилган харакат деб атаймиз. Асосий хара-
кат содир буладиган бошлангич шартлар билан узгарган бошлангич
шартлар орасидаги фарц кичик булганда, уйготилган даракатнинг
асосий даракатга яцин булиши му^им амалий а^амиятга эга. Шу
маънода асосий харакатни устувор деб цараш мумкин.
Системанинг устувор даракатини аницро^ таърифлаш учун по-
лати qv q2, . . , qn координаталар билан ани^ланадиган ва эркин-
лик даражаси п га тенг булган механик системанинг даракат диф-
ференциал тенгламаларини цуйидаги s = 2п та биринчи тартибли
дифференциал тенгламаларга келтирамиз:
dy,
= Уг Уг • • ’ У)> (/ = 1, 2, . . . , s) , (24.119)
Бунда у( система ну^таларининг координаталари, тезликлари ёки
уларнинг бирор функциясидан иборат цандайдир параметрларпи и] о-
далайди.
Айтайлик,
У] = fj (О
берилган t = t0 да ys = у№ бошлангич шартларга мос булган (24.119)
тенгламаларининг хусусий ечимини ифодаласин. Бу хусусий ечимга
мос харакатни асосий даракат учун олсак, (24 119) тенгламанинг
бошца ^ар дандай бошлангич шартлардаги хусусий ечимларига мос
харакатлар эса уйготилган \аракатларни ифодалайди. Уйготилган
даракатнинг асосий ^аракатдан огиши ys ларнинг айирмаси билан
аницланади.
Устувор ^аракатга А. М Ляпунов томонидан берилган таъри|)-
ларнн келтирамиз.
Агар исталганча кичик мусбат е сон учун унга бог лик, шун-
дай мусбат т) сон топилсаки, бошлангич t = t0 пайтда
(24-120)
шартлар бажариладиган барча уйготилган царакатлар учун
(24.121)
тенгсизликлар бажарилса, системанинг бундай асосий \аракати
устувор дейилади.
Агар бирор уайд цилинган 8 сон учун исталганча кичик шундал
т]<8 сонни топиш мумкин булсаки, (24.120) тенгсизлик бажа-
риладиган бирорта уйготилган харакат учун еаутнинг бирор
пайтида
\yj(t)-fj(t)\=^ (24-122)
тенглик уринли булса, системанинг бундай харакати ноустувор
даракат дейилади.
534
24.24*-§. Уйготилган даракат дифференциал тенгла-
малари
Даракатнинг устуворлигини урганиш учун даракат тенгламасида
(/ = 1, 2, .... s) (24.123)
тенглик ёрдамида ани^ланадиган янги узгарувчига утамиз. Бунда
fj(t} асосий даракатга мос булган (24.119) тенгламанинг хусусий
ечимини; Xj эса асосий ^аракатдан огишини ифодалайди. Янги узга-
рувчилар ортали ифодаланган цуйидаги тенгламалар
— Xj (6 • • • • xs) = Yj (t, Х1 -f- /i, . . . , xs + fs)
— Yj (t,ffs) (24.124)
уйготилган даракат дифференциал тенгламалари дейилади.
Xj узгарувчилар ортали (24.120) ва (24.121) тенгсизликларни
|Aj(/0)l<n. (24.125)
|х7(0|<е (24.126)
куринишда ёзиш мумкин. Шу сабабли устувор ^аракагга яна цуйи-
даги таърифни бериш мумкин.
Агар исталганча кичик, мусбат в сон учун шундай мусбат г;
сон топилсаки, бошлангич t =t0 пайтда (24.125) тенгсизликлар
бажариладиган барча уйготилган харакатлар учун (24.126) тенг-
сизликлар уринли булса, системанинг бундай асосий царакати
устувор дейилади.
Агар асосий даракат устувор булса ва барча уйготилган %а-
ракатлар учун (24.125) ни цаноатлантирувчи шундай исталган-
ча кичик г] сон топилсаки,
limXj(f)=0 (24.127
^~*СО
шартлар бажарилса, у уолда асосий даракат асами колик усту-
вор даракат дейилади.
24.13-масала, \аракати
d у
—7~=3*-0-дг»
и I
тенгламалар билан ифодаланадигаи нуктанинг мувозанат холати яцинидаги уйго-
тилган харакат тенгламалари тузилсин.
Ечиш. Системанинг мувозанат х°лати
у — х — хг — О,
Зх — у — х2 = О
тенгламалар воситасида аникланади. Бу тенгламаларни биргаликда ечиб, куйидаги
иккита мувозанат холагини аницлаймиз:
xt = 0, j/i = 0, х2 = 2.
534
%т — 0, уг = О мувозаи:н цолатига мос уйготилган даракат тенгламаларини
•чицариш учун
х= Х1 + В, 4/ = !/1+т)
тенгликлар билан аникланадиган наги узгарувчи тарга утамиз. Уиротилган цара-
«ат дифференциал тенгламалари худди (1) га ухшаш булиб, фацат унда янги
узгарувчилар цатнашади:
d е t2
d Н £2
—- = Зе — т) — I1,
а г
\
х2 = 1, у2 — 2 мувозанат цолати яцинидаги царакат тенгламаларини чицариш учун
-X ва у урнига
* = 1 +L у = 2 4-т]
тенгликлар билан аницланадиган Е ва ,] узгарувчиларни киритамиз. Бу цолга
мос уиротилган царакат тенгламалари
dt ' ’
-ZT^-^2
куринишда ёзилади.
24. 25*-§. Царакатнинг устуворлиги цацидаги Ляпунов
теоремалари
Ляпунов царакатнинг устуворлиги аницланадиган иккита усулни
курсатган. Биринчи усул (24.124) уиротилган царакат дифференциал
тенгламаларининг ечимларипи чексиз цатор тарзида и(}юдалашдан
иборат булиб, бу усул (24.123) тенгламаларпинг баъзи хусуспй
цоллари учун цулланади. Биринчи усулни цуллашда жуда куп цисоб-
лашларни бажаришга турри келади. Шу сабабли царакатнинг усту-
ворлигини аницлашда иккинчи усулдан фойдаланилади. Ляпуновнинг
иккинчи усули маълум шартларип цаноатлаи гирувчи ва Ляпунов
функцияси деб аталадиган бирор V функцияни топишга келтири-
лади. Келгусида координаталар боши атрофида аницланган хх, . . . , xs
узгарувчиларнинг функцияси V (хь ... , xs) устида тухталамиз. Бу
функцияни бир цийматли, фацат лу = . . . = = 0 да нолга тенг ва
узлуксиз хусусий цосилаларга эга деб цараймиз.
Таърифлар. 1. Агар h > 0 цанча кичик булмасин
\xf\^h (24.128)
соцада V (xv . . . , хл) функция фацат битта аниц ишорали (аииц
мусбат ёки аниц манфий) цийматларни цабул цилса ва фацат
хг = . . . = xs = 0 да нолга тенг булса, у цолда V = V (х1э . . . , xs)
функция (24.128) соцада аниц ишорали функция дейилади.
2. Агар V (х15 . . . , х5) функция (24.128) соцада фацат бир хил
ишорали цийматларни цабул цилса цамда x2t + . . . + х2 0 да цам
#36
нолга тенг була олса, у цолда V = V (хг, . . . ,xs) функция мазкур
соцада узгармас (мусбат ёки манфий) ишорали функция дейилади.
3. Агар h цанчалик кичик булмасин (24.128) сохада V (хп . . . , xs)
функция цам мусбат, цам манфий цийматларни цабул цила олса, у
холда V (%!, . . . , xs) функция мазкур соцада узгарувчи ишорали
функция дейилади.
Куйида баён этилган Ляпуновнинг биринчи теоремаси асосий
царакат устуеорлигининг етарли мартини ифодалайди:
Агар уйготилган харакат дифференциал тенгламалари учун
аник ишорали шундай V (лп . . . , xs) функцияни топит мумкин
булсаки, мазкур тенгламаларда катнашувчи V функциянинг тулиц
цосиласи V га царама- царши узгармас ишорали ёки айнан нолга
тенг булса, у холда асосий царакат устувордир.
Л япуновнинг цуйидаги иккинчи теоремаси ёрдамида xta рака tn-
нинг асимптотик устуворлиги аницланади. ’
Агар уйготилган даракат дифференциал тенгламалари учун
шундай аниц ишорали V (х1( . . . , хд) функцияни топиш мумкин
булсаки, мазкур тенгламаларда катнашувчи У функциянинг
вацт буйича тулиц цосиласи цам V га царама-царши аниц ишо-
рали функциядан иборат булса, у цолда асосий царакат асимпто-
тик устувордир.
24.14- масала. Агар уйготилган харакат тенглама тара
х — у — 3 z — х (у — 2 г)2,
у = — 2 х -ф 3 г — Зуг,
г = 2х — уЦ-уг
(I?
куринишда берилса, асосий цараиатнинг устуворлиги аницлансин.
Ечиш. Ляпунов функциясини аниц ишорали мусбат функция шаклида цуйи-
дагича танлаб оламиз.
V = 2х! -ф уг -ф Зг2.
У цолда
dV
— = 4х х -ф 2уу -ф бгг (2)
ёки х , у , г ларнинг цийматини (1) данкелтириб цуйсак,
dV
—-— = 4xi/ — 12xz — 4х2 (у — 2г)2 — 4ху -ф буг — 6у2г -ф 12хг — буг -ф 6угг =
a t
= —4х2 {у — 2г)2.
dV
— г£^0(бунда тенглик ишораси координаталар боши цамда х=0 ва у=2г текисликларда
a t
dV
Уринли) булгани учун-----узгармас ишорали манфий функциядан иборат булади.
a t
Бннобарин, Ляпуновнинг биринчи теоремасига асосаи, асосий царакат устувордир.
* — Ляпуновнинг бу теоремалари исботини И. Г. Малкиннинг «Теория устойчи-
вости движения» (М.: Наука, II боб, 9. 10-§, 1966) китобидан уциш мумкин.
537.
24.15-мае а.па. Агар уйготилган даракат тенгламалари
х =у — х3,
У = ~ х — у3
куринишда берилса, х — у = 0 координаталар боши яцинидаги асосий царакатнинг
асимптотик устувор булиши исботлансин.
Ечиш. Ляпунов функциясини аниц ишоралн мусбат функция шаклида цуйи-
дагича танлаб оламиз: V = х2 + у1. У цолда V нинг вацт буйича цосиласи
dV <9V • dV -
"Tf = х +уу У *= 2х (У~х3} + 2У ( — х — у3) = — 2 (х« + у«)
узгармас ишорали манфий функция булгани учун
Х={/ = 0
асосий царакат Ляпуновнинг иккинчи теоремасига кура асимптотик устувор бу-
лади цамда бу цолатдан кичик огдирилгаи система вацтнинг утиши билаи бу цо-
латга яцинлаша боради.
24.26*- §. Биринчи яцинлашишдаги устувор мувозанат
Купинча уйготилган даракат дифференциал тенгламаларининг
ечимини аницлаш амримацол булгани учун царакатнинг устуворли-
гини биринчи якинлашиш усули билан хам аницланади. Бу усул-
нинг моцияти шундан иборатки, биринчи яцинлашишда харакатнинг
устуворлигини аницлаш учун уйготилган царакат дифференциал тенг-
ламаларида чизицли цадлар алоцида ажратиб ёзилади. Мазкур тенг-
ламаларнинг унг томони вацтга боглиц булмаган цол билан чекла-
намиз:
d xi
хг + aj2 х2 + . . . + ajs xs-\- Z (хг, . . . ,xs), (24.129)
/ 8 xj \
бунда ajk = j— I # булиб, Z (xY..............xs) эса ик-
кинчи ва ундан юцори тартибли х} ларни уз ичига олган цадларни
ифодалайди.
Биринчи яцинлашишда царакатнинг устуворлигини текшириш
учун (24.129) да чизицсиз цадларни эътиборга олмап
d х ’
=ajlx1 + aj2x2 + . . .+ajsxs (24.130)
тенгламалар царалади ва уларнинг характеристик тенгламаси
V + V‘“' + А V”2 + . . . +4 = 0 (24.131)
чузилади. У цолда царакатнинг устуворлиги аницланадиган цуйи-
даги Ляпунов теоремалари уринли булади. ’
*) — Ляпуновнинг бу теоремалари исботини И. Г. Малкиннинг
«Теория устойчивости движения» (М.: Наука, III боб, 22-§, 1966) китобидан
уциш мумкин.
Б38
I- теорема. Агар биринчи яциншшишдаги система характерис-
тик тенгламасининг барча илдизлари манфий цациций цисмга
sea булса, у холда уйготилган царакат тенгламасидаги юцори
тартибли цадлар цандай булишидан цатъи назар асосий царакат
устувор, ту билан бирга асимптотик устувор булади.
2- теорема. Агар биринчи яцинлашишдаги система характерис-
тик тенгламасининг цеч булмаганда битта илдизи мусбат хаки-
кий цисмга эга бугса, у когда уйгопилган харакат тенгламаси-
даги иккинчи ва ундан юцори тар пибли цадларни цар цандай
танланшиига царамай, асосий харакат ноустувор булади.
Характеристик тенглама илдизларининг ишорасини аницлашда
цуйидаги Гурвиц теоремасидан фойдаланилади. ’
Теорема, п- тартибли хациций коэффициентли
а0 х + а± х *Т а2 Xs -|" . . as — О
тенгламанинг барча илдизлари манфий цациций цисмга эга були-
ши учун цуйидаги
<21 а0 0 0 . . .0
аз 6^2 . . .0 (24.132)
° 2s- a2s — 2 • • •
детерминантларнинг барчаси мусбат булиши зарур ва етарлидир.
Бунда i>s булса, а( = 0.
24 .16-масала. Уатт регулятори узунликлари I га тенг ва О нуцтада шар-
нирли бирпктирилган О А ва ОВ стерженлардан ташкил топган булиб, бу стер-
женларнинг учига т массали шарчалар бнриктирилган (24.23-раем, а). Верти-
кал уц буиича сирпана оладиган С муфта
шарлар урнатилган стержеиларга шарнир-
лар билан бириктирнлган. Шарлар мод-
дий нуцталар деб царалсин. Бурчак тез-
лик ортган сари шарлар бир- биридан
цочади ва С муфта юцорига куирилади,
бурчак тезлик камайса, шарлар бир-бири-
га яцинлашади еа С муфта пастга тушади.
Муфта ва стерженларнинг огирлигини
эътиборга олмай регулятор царакагинииг
устуворлиги аницлапсин. Айланувчи цисм-
ларнинг (шарлар бу цисобга кирмайди)
вертикал уцца нисбатан инерция моменти
га тенг.
<р0 бурчак билан аницланадиган асосий
царакатдан регуляторни <р бурчакка оги-
ши нашжасида цосил буладиган тикловчи
момент
СЕ ва CD стерженлар воситасида
24.23- раем.
*) —Гурвиц теоремасииинг исботини А. Г. Курош «Курс высшей алгебры»
(М.: 1963) китобндан уциш мумкин.
539
Mz = —k (<p —ф0)
га тенг. Бунда k — узгармас мусбаг коэффициент.
Ечиш. Регуляторнииг эркинлик даражаси иккига тенг. Умумлашган коорди-
наталар учун ОС ук, атрофидаги айланиш бурчаги Р ва ОА, ОВ стерженларнинг
ОАВ текисликка перпендикуляр горизонтал ук атрофидаги айланиш бурчаги
<р ни оламиз. Регулятор узгармас Р = гор бурчак тезлик билан айланганда <р0
бурчакни анидлаймиз. Бунинг учун шарларнинг нисбий мувозанатини текширищ
кнфоя (24.23-раем, б). Шарларга таъсир этувчи огирлик кучи Р (p = mg) ва
реакция кучи /V ^аторига нормал инерция кучи Фп (Ф„= ml ь^) sin ф0 ни цуш-
сак, бундай кучлар системасинн мувозанатда деб караш мумкин.
—>-
Бу кучларни N га перпендикуляр АК, увда проекцияласак,
ф„ cos ф0 — mg sin <р0 = О
ёки Фп нинг цийматини куйсак.
т I sin фо cos Фо — mg sin ф0 = 0.
Бундан
Шундай килиб, регулятор ОС ук атрофида берилган соо бурчак тезлик билан
айланса, у холла ОА ва ОВ стерженлар вертикалга ф0 бурчак остида орган кол-
да караиатланади. Бу х.аракатни асосий х.аракат деб атаймиз.
Системанинг каракат дифференциал тенгламасини тузит учун Лагранжнинг
иккинчи хил тенгламаларидан фойдаланамиз.
Умумлашган кучларни кисоблаймиз. Регуляторга шарларнинг огирлик куч-
лари ва Mz тикловчи момент таъсир этади.
Шарлар огирлик кучларининг потенциал энергияси ихтиёрий узгармасгача
аницлик билан
П= — 2т g I cos ф
формула ёрдамида аникланади. Шу сабабли шарларнинг огирлик кучларига моа
булган 0ф умумлашган куч манфий ишора билан олинган потенциал энергиянинг
ф буйича хусусий косиласига тенг булади:
2т gl sin ф. (2)
Тикловчи Mz моментга мос умумлашган кучни Qp билан белгиласак, Qp ни
элементар иш ифодасидаги 6(3 мумкин булган кучиш олдидаги коэффициентга тенг
деб караш мумкин:
= Mz 6 ₽.
Бинобарин,
0р = Л72 = — k (ф — ф0).
Системанинг кинетик энергиясини кисоблаймиз:
T’ = -y</*₽S + /2 Ф2)-
Бунда 1± регулятор айланувчи цисмларининг (шарлар бу jpcoGr1» жярмайди) *
укка нисбатан инерция моменти /0 билан ф бурчакка борлик шарларнинг г 5'ВДа
нисбатан инерция моментлари йигандисига тенг:
/д =« /0 2 m ZB sia2 ф.
Б40
Шарларнинг х увда нисбатан инерция момеии
/2 - 2 m/2
Шундай цилиб, системанинг кинетик энергияси умумлашган координаталар срца-
ди куйидагича ифодаланади:
7= -у [(/0+2m/3sin2<p) Р2 + 2т/3ф3].
Берилган система учун
d дТ дТ „
дР
— Q<p
dt д <р д ip
dt бр
d дТ
(4)
куринишдаги Лагранжнинг II хил теггламаларини тузиш учун зарур булган ки-
нетик энергиянинг ^осилаларини кисоблаймиз
д Т d 8Т
— = (/04-2mZ2sin'2<p) Р, — '77 =
ар dt др
-'imp sin <р cos «р «р Р + (/0 + 2 m Р sin3 <р) Р,
ар а<р dt д <р
Q Т *
— — 2 m Р sin <р cos <р Р!.
а ч>
(5)
(2), (3) ва (5) ни (4) га куйсак,
imp sin <р cos ср q> P + (IB + 2 m I2 sin- tp) fi — — k (<p —
2 ml2 ip — 2 m P sin <p cos <p p2 — — 2 m g I sin <p.
(6)
Системанинг (1) асосий даракат янинидагн кичик тебранишларини ^араймиз.
Бунинг учун куйидаги алмашгиришни киритамиз:
<р = <pn + х, Р = Ро +У = (7)
Бунда х ва у лар <р ва р узгарувчиларнииг кичик орттирмаларини ифода-
лайдм. (7 ни (6) га киритиб, куйидаги тенгламаларни оламиз:
4 mP sin (<р0 J- х) cos (<р0 + х) х (w0 + у) + [ /0 +2 m Р sin2(q>0+ х)] у =— kx,
1 в
X ~ — (Ро Ч- У)'1 sin (2<р0 + 2 х) + sin (<р0 + х) = 0.
Асосий даракат яцииидаги кичик >;аракатларии текшириш учун барча ^ад-
ларни биринчи тартибли кичик микс дор гача апи^лик билан хисоблапмпз. Бунинг
учун sinx:ssx, cos х те 1 деб фараз циламиз. Натижада (8) ни цуйпдагича ёзиш
hvmkuh:
(8)
(/0 + 2 m P sin2 сро) у + 2 m I2 sin'2 cp0. pGx -|- kx= 0
x — P(, sin
(9)
e • о \
-y- cos <Po — po cos 2 <p0 lx = 0.
541
Шундай цилиб, системанинг асосий даракати яцинидаги кичик царакатлапи
учун (9) куринишидаги иккита узгармас коэффициент л и чизицли Дифференциал
тенгламалар сис1емасини оламиз. Уларни ечиш учун
х = С1ех/, у = С2еи
деб фараз киламиз. Бунда Clf Сг лар узгармас мицдорлар. У цолда (9) га мос
карактеристик тенгламани
(гт?2 + sin2) ?’3₽оsin2фп + 2“s2ч’®+
/0 k
4-------) +-------₽о sin 2 фо = 0
2 m Z2' 2mZ2 ° Y
куринишда ёзилади. Бунда
°0 = ‘2^7+ п <р°’ 1 = 0,
°! = ₽OSln2<Po
/ 'о \
(1+2cos2^„+^rj,
л
«з = Ро sin 2 Фо
белгилашларни киритсак,
а0 V ф «2 X + с3 = О
тенглама уринли булади. Бу характеристик тенглама илдизларининг цациций
кисми манфий булишини ифодаловчи Гурвиц шартлари
> 0.
| а'3 о" | ~ 01°2 ~ а°°3 > °’
а, а0 О
о3 а2 о,
О 0 ая
— а3 (^1°2 --- а3°о) О
куринишда ёзилади. Курилаётган холда аи > 0, «2>0, os>0, ах = 0 булгани
учун Гурвиц шартлари капоатланмайди, бннобарин, регуляторнинг царакати ноус-
тувор булади. Бу факт эксперимент нули билан цам тасдицланган. Шу сабабли
бошцариш системасига цушимча звеноларии киритпшга тугри келади.
24.27*- §. Харакатпи оптимал бошцариш цацида тушунча
Техникада объектларнинг царакатини бошцариш ва бошцариш-
нпнг энг яхши усулипи танлаш алоцида ацамиятга эга. Хозирги
кунда бошцаркладиган объектлар деярли цар цадамда учрайди;
автомобиль, самолёт, регуляторлар билан жицозланган турли элек-
троприборлар ана шулар жумласидандпр.
Бошцарилувчи объектни бир хрлатдан бошца цолатга турлича
усулларда утказиш мумкин. Шундан келиб чициб, маълум маъно-
да энг цулай йул билан утишни аницлашга келтириладиган опти-
мал бошц-рчш масаласига дуч келтмнз.
Механик система нуцталарига таъсир этувчи баъзи кучлар бош-
цару 'чн — одам (ёки автоматик цурилмалар) воситасида бошцарили-
ши мумкин. Масалан, самолётнипг царакатини учувчи ёки автопи-
лот таъсирида бошкариш мумкин. Техникада учрайдиган бундай
542
масалалар бошцариш функцияси цатнашадиган масалалар дейилади.
Агар бошцариш функцияси ва таъсир этувчи кучлар маълум булса,
v цолда царакатни бошцариш берилган объектнинг мазкур кучлар
таъсиридаги даракатини аницлашга дойр механиканинг оддий маса-
ласига келтирилади.
Бошцаришнинг оптималлиги олдиндан белгиланган сифат белги-
сига цараб аницланади. Масалан, икки пункт орасида учадиган са-
молётнинг энг цисца вацтда манзилга етишини бошцариш масала-
сида сифат белгиси учишга сарф булган вацт, максимал юк ташиш
масаласида эса сифат белгиси ташилган юкнинг огирлиги билан
ифодаланади.
Купинча механик системанинг царакат дифференциал тенглама-
лари
= Ж.........xs, Ul, ... , uk), (j = 1,2, . . . , s) (24.133)
tit
ёки
(24.134)
куринишдаги тенгламаларга келтирилади. Бунда . . , xs лар
системанинг берилган ондаги хрлати ва тезлигини ифодаловчи миц-
дорлар, ut, ... , uk лар эса бошцариш параметрларини ифодалай-
ди. Масалан, тугри чизицли царакатдаги автомобилнинг царакатини
унинг босиб утган йули s ва царакат тезлиги а билан характерлаш
мумкин. Бу катталиклар вацтнинг функцияси сифатида узгаради
ва улар двигателнинг тортиш кучи F ни цайдовчи томондан узгар-
тириш орцали бошцарилади. Бу масалада F бошцарувчи параметрни
ифодалайди.
Одатда, бошцариш параметрлари uh .... uk лар ихтиёрий бул-
май, уларга маълум шартлар цуйилади. Масалан, и — автомобиль
двигателининг тортиш кучи булса, и параметр 0 < и < и, кури-
нишдаги шартни цапоатлантириши керак.
Бошлангич t = t0 пайтда система х0 цолатда булиб, t — ix пайт-
да уни х, цолатга олиб келиш талаб цнлинса, бошцариш масаласи
£с = /[х,И(0]
at
дифференциал тенгламаларни ушбу
*(t0) = x0, x(t1)=x1
чегаравий шартларда ечимга эга буладиган ti(t) бошцариш функция-
сини танлашга келтирилади. Бу масаланинг ечими x(t) булса, бош-
царишницг сифат белгиси
1= р0[х ]dt (24.135)
to
формула буйича цисобланади.
543
Харакат дифференциал тенгламалари (24.133) ёки (24.134) тенг-
ламалар билан ифодаланадиган, механик системанинг царакатини
оптимал бошцариш масаласи (24.135) функционалнинг мумкин бул.
ган энг кичик цийматини аницлашга келтирилади.
25- БОБ. ЗАРБА НАЗАРИЯСИ
25.1- §. Зарба назариясининг асосий тушунчалари
Жуда кичик вацт ичида системанинг айрим ёки барча нуцтала-
рининг тезлиги, бинобарин, царакат мицдори чекли катталикка уз-
гарса, бундай цодиса зарба дейилади.
Зарба содир буладиган вацт зарба eaiynu дейилади. Зарба вац-
ти т еекунднинг мннгдан бир ёки ундан кичик улушига тенг бу-
лади.
Механик система нуцталарига бирданига богланиш цуйилганда
ёки система богланишдан бир зумда бушатилганда зарба цодисаси
содир булади. Масалан, илгарилама царакатдаги жисм цузгалмас
жисм билан туцнашганда зарба содир булиб, бунда цузгалмас жисм
бирданига цуйилган богланиш вазифаснни утайди. Спортчи трамп-
линдан сакраш пайтида цам зарба содир булади, бунда зарба спорт-
чи богланишдан (трамплиндан) бушатилган (ажралган) пайтда содир
булади. Шунингдек, туп отилганда ёки снаряд портлаганда цам
зарба содир булади.
Зарба даврида вужудга келувчи ва туцнашувчи жисмларга жуда
кичик вацт ичида таъсир этиб, ута катта цийматга эришадиган ва
импульси чекли булган куч зарбали куч дейилади. Агар F куч
зарбали кучдан иборат булса, одатда бундай кучнинг узгариш цо-
нуни маълум булмайди, лекин бу куч модулининг гацрибий гра-
фигини 25.1- расмдагидек тасвирлаш мумкин. Зарбали куч зарба
вацтида жуда тез орта бориб, максимал цийматга эришади, сунгра зар-
ба даври охиригача тез суръатда камаяди. Купинча зарбали кучнинг
t
25.1- раем.
батафсил узгариш цонунини аницлашга эц-
тиёж гугилмай, ба,аки зарба давридаги куч
импульсини аницлаш муцим ацамиятга эга
булади. Ушбу
т
S= j ? -dt (25.1)
о
формула ёрдамида аницланадиган вектор
катталик зарбали куч импульси дейилади.
Зарбали куч импульси 25.1- раемда тасвир-
ланган зарбали куч графиги цамда абсцис-
са уци t билан чегараланган штрихланган
юза орцали ифодаланади.
Баъзида зарбали кучнинг таъсирини та-
саввур цилиш учун зарба вацтида узгармас!
544
Дай цоладигай ва Зарбали куч импульси таъсирини &ра оладйган
хамда
F.„ • т = S (25.2)
урт 4 '
формула ёрдамида аницланадиган уртача зарбали куч F.pm кирити-
лади.
Техникада зарба хрдисасидан болгалаш, штамповка, таянч цозиц-
лар цоцишда ва бошца сохаларда фойдаланилади.
25.2- §. Зарба назариясининг асосий тенгламаси
Массаси т га тенг моддий нуцтага жуда кичик т вацт ичида
зарбали F куч ва зарбали булмаган вацтнинг функциясидан иборат
Q куч таъсир этсин. Нуцтанинг зарбадан олдинги тезлигини и, зар-
—►
бадан кейинги тезлигини и билан белгиласак, зарба вацти т ичида
харакат мицдорининг узгариши цацидаги теоремага асосан
ти— то — f F dt + [ Qdt (25.3)
о о
формула уринли булади.
(25.3) тенгликнинг унг томонидаги биринчи цушилувчи зарбали
куч импульси S га тенг; иккинчи цушилувчи учун Лагранжнинг
урта циймат цацидаги теоремасини цулласак,
fQd/ = Q.pm -т.
Бунда Qgpm билан Q кучнинг (0, т) оралицда цабул циладиган ур-
—
тача циймати белгиланган. Q.pm чекли катталик, т эса кичик ций-
—>-
матга эга булгани туфайли Q,-,pm'T^0 деб олиш мумкин. Яъни зар-
ба вацтида зарбали булмаган кучларнинг импульсини зарбали куч
импульсига нисбатан эътиборга олмаслик мумкин. Шундай цилиб,
зарба вацтида нуцта царакат мицдорининг узгариши цацидаги
теоремани цуйидагича ёзиш мумкин:
ти — mv=S, (25.4)
яъни зарба вацтида нуцта царакат мицдорининг узгариши нуц-
тага таъсир этувчи зарбали куч импульсига тенг.
(25.4) тенглама зарба назариясининг асосий тенгламаси дейи-
лади.
Агар нуцтага бир вацтнинг узида бир неча зарбали кучлар таъ-
сир этса, (25.4) да мазкур зарбали кучлар импульсларининг гео-
метрик йигиндиси олинади.
(25.4) тенглама дифс[)еренциал тенгламадаи иборат булмай, бал-
ки чекли мицдсрлар цатпашадиган алгебраик тенгламадаи иборат.
35—2282 545
By тенглама Ёоситасида заржали ймпульс маълум булганда зарба
вацтида нуцта тезлигининг узгаришини ёки зарбадан олдинги ва
зарбадан кейинги нуцтанинг тезликлари берилганда зарбали куч
импульсини аницлаш мумкин.
Худди шунингдек, келгусида учрайдиган зарба назариясига оид
барча тенгламалар дифференциал тенгламалардан иборат булмай,
балки алгебраик (чекли) тенгламалардан ташкил топади.
(25.4) ни Декарт координата уцларига проекцияласак,
тих— mvx — Sx,
т‘иу — mvy — Sy, •
muz — mvz — Sz,
(25.5)
яъни зарба вацтида нуцта царакат мицдорининг бирор цузкал-
мае уцдаги проекциясининг узгариши шу нуцтага таъсир этувчи
зарбали куч импульсининг мазкур уцдаги проекциясига тенг.
Агар зарбали куч импульси маълум булса, у цолда (25-4) дан
фойдаланиб, нуцтанинг зарбадан кейинги тезлигини аницлаймиз:
и — v + — •
tn
(25.6)
(25.6) тенгламадаи курамизки, зарбадан кейинги тезлик v зар-
бадан олдинги тезлик v дан— га тенг чекли катталикка фарц ци-
т
лади. Зарба вацти т жуда кичик ва бу вацт ичида нуцтанинг тез-
лиги чекли мицдорга узгаргани туфайли зарба вацтида нуцтанинг
кучиши жуда кичик булади ва одатда уии эътиборга олинмайди.
Шундай цилиб, зарба вацтида нуцта кучишга улгурмайди.
25.3- §. Зарба вацтида система царакат мицдорининг
узгариши цацидаги теорема
Айтайлик, N та моддий нуцталардан ташкил топган механик
система берилган булсин. Зарба вацтида зарбали булмаган кучлар-
нинг импульсини эътиборга олмаслик мумкин булгани учун систе-
ма нуцталарига таъсир этувчи кучларнинг импульсини ташци ва
ички зарбали кучлар импульсидан ташкил топган деб цараш мум-
кин. Агар система ихтиёрий Мх нуцтасининг зарбадан олдинги ва
—> —>
зарбадан кейинги тезликларини мос равишда vv ва иу билан белги-
ласак, зарба назариясининг асосий тенгламасига кура
Uv~mv vv=Sv + (25.7)
—-> —
тенглик уринли булади. Бунда S® ва Sy мос равишда ташци ва
ички зарбали кучлар импульсларини ифодалайди. Система учун бун-
дай тенгламалардан N тасини ёзиб, уларни цадлаб цушеак,
Ы6
Бунда
X«*v «v—Х^ Ov== XSj + X Sj •
X«4^=Q, Smv»v=Qo
moo равишда системанинг зарбадан кейинги ва зарбадан олдинги
даракат мицдорларини ифодалайди. Бундан ташцари, ички кучлар-
нинг хусусиятига кура, У! Sj = 0 булгани учун
Q- <2o=X$t (25.8)
Бу тенглама зарба вацтида система царакат мицдорининг
узгаршии цацидаги теоремани ифодалайди: зарба вацтида систе-
ма даракат мицдорининг узгариши, система нуцталарига цуйил-
ган ташци зарбали кучлар импульсларининг йигиндисига тенг.
Агар
булса, (25.8) га кура
Q = Qo.
(25.8')
яъни фацат ички зарбали кучларнинг импульси зарба вацтида бутун
системанинг царакат мицдорини узгартира олмайди.
(25.8) ни координата уцларига проекцияласак,
Qy Qoy = X
Qz-QOi=Xs^
(25.9)
(25.9) дан курамизки, XSvz = 0 булса,
Qx Qox<
яъни агар ташки зарбали куч импульсларининг бирор уцдаги проек-
цняси нолга тенг булса, система царакат мицдорининг мазкур уцда-
ги проекцияси зарба вацтида узгармасдан цолади.
(21.6) га кура
Q = М ис, Qo = М vc ,
(25.10)
бунда М = X бутун система массаси, ис ва ис лар мос равишда
система массалар марказининг зарбадан кейинги ва зарбадан олдинги
тезликларини ифодалайди. (25.9) ни назарда тутиб, (25.8) ни цуйи-
дагича ёзиш мумкин:
tA(u — vr) — Х^<
(25.11)
647
(25.11) тенглама зарба вацтида система массалар маркази
даракат мищдорининг узгариши хакидаги теоремани ифодалайди:
зарба вацтида система массалар маркази харакат мицдорининг
узгариши система нуцталарига таъсир этувчи таищи зарбали
куч импульсларининг геометрик йигиндисига тенг.
Хусусий ^олда S S« = 0 булса, (25.11) га кура
—> —
UC~VC‘
Демак, таищи зарбали куч импульсларининг геометрик йиеин-
диси нолга тенг булса, система массалар марказинииг зарбадан
кейинги ва зарбадан олдинги тезликлари узгармасдан уолади.
(25.11) ни координата ут;ларига проекциялаб цуйидаги тенглама-
ларни оламиз:
(25.12)
М(«с,— va> =3s*«.-
25.4*- §. Зарба вацтида нуцта ва система кинетик мо-
ментининг узгариши дадидаги теорема
Ю^орида курганимиздек, зарба ва^тида нуцта кучишга улгур-
майди. Шу сабабли зарбадан олдинги ва кейинги нудтанинг радиус-
векторини г билан белгилаб, зарба назариясининг асосий тенглама-
си (25.4) ни г га векторли купайтирсак, цуйидагини оламиз:
—> —> —>
г X mu — г х mv — г х S.
Бу муносабат зарба ваутида нукта кинетик моментининг узга-
риши усщидаги теоремани ифодатайди. Зарба ва’упида ну у та ки-
нетик моментининг бирор марказга нисбатан узгариши нудтага
цуйилган зарбали куч импульсининг мазкур марказга нисбатан
моментига тенг. Бу теоремани Af та ну^тадан ташкил топган сис-
теманинг ^ар бир нуцтаси учун ^улласак,
\ х х тчА A х^ +"\х St, (v = 1,/V) (25.13)
тенгламалар уринли булади. Бунда Sv ва лар мос равишда сис-
теманинг ну^тасига таъсир этувчи таш^и ва ички кучлар зарба-
ли импульсларини ифодалайди. (25.13) тенгламаларни Щ'шамиз:
Ж X тХ— х mvX S* + X S‘{
бунда %rv x mv uv—K0, 2rv X mv vv=K°Q мос равишда системанинг
О марказга нисбатан зарбадан кейинги ва зарбадан олдинги кинетин
54Ц_
моментларини; _yv.X<S^ = 2jM0(<S£) эса тайней зароали кучлар
импульсларининг О марказга нисбатан моментларининг йигиндисини
ифодалайди. Ички кучлариниi хусусиятпга кура, 2/vX<S' =
= о.
Шундай цилиб, цуйидаги муносабат уринли булади:
Ао-Ко°=1Яо^)- (25.14)
Бу тенглик зарба еактида система кинетик моментининг Узга-
риши \ai\udaeu теоремани ифодалайди: зарба вакупида система
кинетик моментининг бирор марказга нисбатан узгариши систе-
ма нуцталарига куйилган зарбапи кучлар импульсларининг мазкур
марказга нисбатан моментларининг геометрик йигиндисига тенг.
Агар
= о
булса, (25.14) га кура,
Ко=Ко>
яъни фацат ички кучларнинг импульси зарба вацтида система кине-
тик моментини узгартира олмайди.
(25.14) ни координата утутарига проекнияласак,
АУ-/<° = Ж(^)- : (25 151
кг-к° =Ъмг^-
Хусусий холда ЦЛ4л.(5^) = 0 булса, (25.15) га асосан Кх =К°.
25.5- §. Зарба вацтида зарбали кучнинг иши ^ацидаги
Кельвин теоремаси
21.17- § да чицарилгаи формулалар ёрдамида зарбали кучларнинг
зарба вацтидаги ишини бевссита ^исоблаш анча мураккабдир. Чунки
зарбали кучлар жуда катта цийматга эришади ^амда зарба вацтида
система нуцталарининг кучиши эътиборга олинмайдиган даражада ки-
чик булади. Зарба назариясининг асосий тенгламаси (25.4) дан фой-
даланиб, зарбали кучларнинг зарба вацтидаги ишини ^исоблаш мум-
кин.
(25.4) ни дастлаб и га, кейин v га купайтирсак,
—> —> —>—>
ти2 — ти и — S и,
>—> —>
mu-v — mv2 — Sv.
549
Бу тенгликларни цушиб, 2 га булсак,
mu2 mv2 1
--------------------------— =— 8(u + u). (25.16)
Нуцта кинетик энергиясининг узгариши цацидаги теоремага асо-
сан (25.16) тенгликнинг чап томони унга таъсир этувчи F кучнинг
иши А га тенг. Шу сабабли
Л=-^3(1Г+7). (25.17)
(25.17) тенглама кучнинг ишини мазкур куч импульси ва нуц-
танинг уртача тезлиги орцали аницлайдиган Кельвин теоремасини
ифодалайди: бирор вацт оралигида нуцтага цуйилган кучнинг
иши, кучнинг мазкур вацт оралиеидаги импульси билан нуцта-
нинг бошлангич ва охирги тезликлари йигиндиси скаляр купайт-
масининг ярмига тенг.
Кельвин теоремасини нуцтаяинг цар цандай царакатларига цам цул-
лаш мумкин.
Механик система учун Кельвин теоремасини келтириб чицаришда
системанинг цар бир нуцтаси учун (25.17) га ухшаш тенгламаларни
ёзиб, улар узаро цушилади:
= Т +^’ (2518)
Бунда 8^ билан системанинг Mv нуцтасига таъсир этувчи ташци ва
ички кучлар импульсларининг геометрик йигиндиси белгиланган;
—> -*
S = 8е 4- Sz
V V 1 V
25.6- §. Жисмнинг цузгалмас сиртга урилишидаги тугри
зарба. Тикловчи коэффициентни тажриба нули билан
аницлаш
Агар жисм массалар марказининг тезлиги цузгалмас сиртга ури-
лиши олдида сирт билан жисм уриладиган нуцтада цузгалмас сиртга
утказилган нормаль буйича йуналса, бундай зарба тугри зарба де-
йилади.
Айтайлик, бошлангич тезликсиз эркин тушаётган ва массаси
т га тенг шар цузгалмас горизонтал текисликка (ёки урилиш нуц-
тасидаги нормаль вертикал юцорига йуналган цузгалмас сиртга)
и тезлик билан урилсин (25.2-раем). Бундай тугри зарбада шар-
—
нинг зарбадан кейинги тезлиги и сиртга утказилган Сп нормаль
буйича юцорига йуналади.
Зарба вацтини икки даврга булиш мумкин: биринчи даврни тх
билан белгиласак, бу вацт мобайнида шарнинг тезлиги нолга тенг
булгунча, у деформацияланади; иккинчи т2 даврида эса эластиклик
кучи таъсирида, бутунлай булмаса-да, шар уз шаклнни тиклайди
650
ва и тезлик билан Сйртдан цапчиидй.
Шу сабабли зарба вацтини т билан
белгиласак, т = Tt+ т2 булади.
Шар цузгалмас текисликка урил-
ганда буладиган тугри зарбада шар-
пинг зарбадан кейипги ва олдинги тез-
лиги микдорларинпнг узаро нисбатига
тенг катталик зарбадаги тикловчи ко-
эффициент дейилади ва k билан белги-
ланади:
(25.19)
Агар k = 1 булса, бундай зарба 26.2 раем.
абсолют эластик зарба дейилади. Бу
—
цолда и —и булиб, зарба натижасида шарнинг тезлиги зарбадан
олдинги тезлик йуналишига царама- карши йуналади.
Агар k = 0 булса, бундай зарба абсолют эластик булмаган
зарба дейилади. Бундай зарбадан кейинги шарнинг тезлиги ы=0
булади.
Тикловчи коэффициент О <С /г <С 1 булган цоллардаги зарба элас-
тик зарба дейилади.
Зарба вацтининг биринчи даврида силлиц сиртнинг шарга таъсир
этувчи узгарувчи зарбали реакция кучини иккинчи давридаги-
—>
сини N2 билан белгилайлик. У холда хар иккала вацт оралиги учун
зарба назариясининг асосий тенгламаси (25.4) ни тузиб, нормалгз
проекцияласак,
О — (—mv) — St,
mu — 0 = S2 J
ti ъ+тг
.4ссил булади, бунда S,= \Ntdt ва S2 = [' N2dt лар биринчи ва
О Tt
иккинчи зарба даврларига мсс булган реакция кучларининг зарбали
импульсларини ифодалайди. Зарбали булмаган кучларнинг, масалан,
огирлик кучининг зарба вацтидаги импульсини эътиборга олмаймиз.
Шундай цилиб,
mv — Sf, mu = S2
тенгликлар уринли булади. (25.19) ни назарда тутиб, бу тенгликлар-
дан тикловчи коэффициент ва зарбали импульслар орасидаги цуйи-
даги муносабатни оламиз;
k = (2В.20)
яъни шар цузгалмас сиртга урилгандаги тугри зарбада зарба
вацтининг иккинчи даврига мос зарбали куч импулъсининг биринчи
5SI
оаври&аги заржали tiifa имКуАьсига нисёати тикловчй кбэ^фицИ-
ентга тенг булади.
Тикловчи коэффициент тажриба усулида цуйидагича аницланади.
Синалаётган жисм материалидан ясалган шарча /ц балапдликдан
худди шундай материалдаи (ёки бошца синалувчи материалдаи) ясал-
ган салмоцли горизонтал плитига бошлангич тезликсиз ташланади
(25.2-раем, б). Зарбадан кейин шарча h2 баландликка кутарнладй.
М0.И1 участка учун кинетик энергиянинг узгариши цацидаги
теоремани цуллаб, шарчанинг зарбадан олдинги тезлиги v ни аниц-
лаймиз: и — ]' 2ghv
Худди шунингдек, /И,'И2 участка учун бу теоремани цулласак,
шарчанинг зарбадан кейинги тезлиги учун
и = V2gh2
формула J/ринли булади. и ва v ниНг цийматларини (25.19) га цу-
йиб тикловчи коэффициентни аницлаймиз.
(25.21)
Цуйидаги жадвалда катта тезлик билан туцнашувчи айрим жисм-
ларнинг тикловчи коэффициентлари циймати берилган:
Туцнашувчи жисмлар k
Егоч шар резинага урилганда Егоч шарлар узаро урилганда Пулат шарлар узаро урилганда Шиша шарлар узаро урилганда 0,26 0,50 0,56 0,94
Агар шар цузгалмас сиртга урилган палгда унинг массалар мар-
казининг тезлиги урилиш нуцтасида цузгалмас сиртга утказилган
нормаль билан а бурчак ташкил этса, бундай зарба цийишц зарба
дейилади (25.3-раем). а = 0 булса, тугри зарба содир булади.
а бурчак тушит бурчаги дейилади. Умумий хрлда шар сиртга
урилгандан кейин унга утказилган Мп нормалга fi бурчак остида
и тезлик билан цапчийди. р бурчак-
ка цайтиш бурчаги дейилади.
Агар сиртни идеал силлиц сиртдан
иборат деб царасак, зарбали реакция
кучи сиртга утказилган нормаль буй-
лаб йуналади ва унинг уринмадаги
проекцияси нолга тенг булади. Бу цол-
да зарба назариясининг асосий тенгла-
маси (25.4) ни Мг уринмага проек-
цияласак,
тиг — тил = О
552
ёки
<4 = (25.22)
Цайшиц зарбада
k = 1М (25.23)
v I vn |
га тенг катталикка тикловчи коэффициент дейилади. Бунда | ип |
ва |и„| орцали и ва v тезликларнинг нормалдаги проекцияларининг
абсолют циймати белгиланган.
(25.23) дан
|и„| = /г|у„|. (25.24)
(25.22) ва (25.24) га асосан шар марказининг зарбадан кейинги
тезлиги цуйидагича аницланади:
и = ]/ и\ 4- и2п = у и2 -р k2 v2n = | (v since)2 4- (kv cosce)2 =
= v |/sin2 a 4- k2 cos2 a.
25.3-раемдан
Шундай цилиб,
tgP= —tga. (25.26)
k
Бу формула воситасида цайтиш бурчаги билан тушиш бурчаги ора-
сидаги муносабат аницланади.
25.7- §. Иккита жисмнинг тугри марказий зарбаси
Агар иккита жисм бир- бирига уриладиган нуцталаридаги уму-
мий нормаль жисмларнинг массалар маркази орцали утса цамда
зарба олдидаги жисмларнинг тезликлари мазкур умумий нормаль
буйича йуналса, бундай зарба турри марказий зарба дейилади.
Массалари try ва т2 га тенг иккита жисм зарбадан олдин цам,
кейин цам илгарилама царакатда булсин. Бундай жисмларнинг тугри
марказий зарбасини текширамиз. Жисмларнинг зарбадан олдинги
тезликлари ц ва о2 га тенг булиб,
жисмлар урилганда урмниш нуцтасида
утказилган умумий нормаль буйича
йуналсин (25.4- раем).
Агар жисмлар бир томонга цара-
катланса, зарба содир булиши учун
гц > v2 шарт бажарилиши керак. Жисм-
ларнинг массаси, зарбадан олдинги
тезликлари ва зарбадаги тикловчи
коэффициент маълум булганда зарба-
дан кейинги жисмлар массалар марказининг тезлиги ва зарбали им-
пульснн аницлаймиз. Ташци зарбали импульслар таъсир этмагани
туфайли (25.8') га асосан цуйидаги тенглик уринли булади:
г/ци! + т2и2 = + m2v2,
яъни системанинг зарбадан олдинги ва зарбадан кейинги царакат миц-
дорлари узаро тенг булади. Бу векторли тенгликни жисмларнинг
массалар марказини туташтирувчи С\х уцца проекцияласак,
miWU + m2U2x = m\VlX + m2V2X- (25.27)
Бу тенгламада и1х ва и2х иккита номаълум цатнашади. Агар
тикловчи коэффициент берилган булса, бу номаълумларни аницлаш
учун яна битта цушимча тенгламани олиш керак. Зарбадан кейин
иккинчи жисмнинг тезлиги биринчисига нисбатан ортгани туфайли
(чхх<и2х) жисмларнинг тугри зарбасида тикловчи коэффициент жисм-
лариинг зарбадан кейинги ва зарбадан олдинги нисбий тезликлари-
нинг нисбатига тенг булади
। и1Х — и2Х | _и1Х — и2Х
IV1X —1'2x1 VlX~V2X’
(25.28)
бунда 01Л>и2л- деб цараймиз. (25.28) дан
^2Х ^1Х (^lx ^2jr) (25.29)
тенгликни оламиз. (25.27) ва (25.29) тенгламаларни биргаликда
ечиб, жисмларнинг зарбадан кейинги тезликларини аницлаймиз:
и1х = vlx — (1 + k) — (и1л — v2x),
тх + т2
U2x = V2x + (1 + k) —------------(СЦд. — V2X).
Ml 4-m2
(25.30)
Илгарилама харакатдаги жисмлар урилганда цосил буладиган Sj
ва S2 (St = — S2) зарбали импульсларни аницлаш учун жисмлар-
нинг бирортаси, масалан, биринчиси учун (25.3) ни цуллаймиз. У
холда иккита жисмдан ташкил топган система учун ички цисоблан-
ган зарбали импульс биринчи жисм учун ташци импульсдан иборат
булади. Натижада
(Ulx Vlx)--- Slx, Six— S2A (25.31)
ёки (25.30) га асосан
S1x = -S2x^-(i + k)~^-(vlx-v2x). (25.32)
-\-т2
Агар жисмларнинг иккинчиси цузгалмас булса, у цолда (25.30)
ва (25.32) да v2x = 0 булгани туфайли
&64
UU — vlx — (1 + £) * ' «1Х»
/T?2
z??i + m2
5lx=-S2x = -(l + /e)^^_ vlx.
Щ + тг
(25.33)
Цуйидаги хусусий холларни курамиз:
1. Абсолют эластик булмаган зарба (k = 0). Бу цолда (25.30) га
кура
ulx = = m^x + m2vix (25 34>
тА + тг
яъни абсолют эластик булмаган зарбадан кейин жисмлар бир хил
тезлик билан ^аракатланади, бошцача айтганда, абсолют эластик
булмаган зарба натижасида иккала жисм бир-биридан ажралмай,
бир хил тезлик билан царакатланади.
Бу цолда зарбали куч импульси учун
Slx = - S2X ------®- (uu - v2x) (25.35)
формула Гринли булади.
2. Абсолют эластик зарба Бу цолда (25.30) ва (25.32)
га асосан
«и = «и — ~~~ («1х — «2х).
try -f- ш2
2m. . .
«2х “ «2Х + — - — («1х — «2х).
/711 4“ ^2
8ix = 82х = 2 12 («хж «гх)-
т1 + тг
(25.36)
(25.35) ва (25.36) формулаларни солиштириб, абсолют эластик
зарбадаги зарбали импульс мицдори абсолют эластик булмаган зар-
бадаги импульс мицдорига нисбатан икки баравар катта булишига
ишонч цосил циламиз.
Жисмларнинг массалари тенг (тг = т2) булган хусусий цолда
(25.36) дан цуйидагини оламиз:
«1Х — «2Х» «2х — «1х*
Яъни абсолют эластик зарбада иккита бир хил массали жисмлар
туцнашиши натижасида уларнинг тезликлари алмашади. Агар ик-
кинчи жисм тинч цолатда булиб, биринчи жисм унга келиб урилса,
' 0, ^^2х «1 и
яъни зарбадан кейин иккинчи жисм худди биринчи жисм эга бул-
ган тезлик билан царакатланадн; биринчи жисм эса тинч цолатда
булади.
555
25.5- раем.
= m2 = т, v, = v л, v„ — — v с,
г 'lx »' it
25.1-масала. Бир хилдаги иккита А ва
В эластик шар бир- бирига цараб ^аракатла-
нади. Урилишдан олдинги тезликлар нисба-
ти дандай булганда А шар- урилишдан кейин
тухтаб долади? Зарба ва^тидаги тикловчи
коэффициент k га тенг.
Ечиш. к уцни шарлар марказини туташ-
тирувчи чизиц буйича vA йуналган томонга
йуналтирамиз (25.5- раем). У >;олда (25.30)
формуданинг биринчисида = 0, т1 =
булишини эътиборга олсак.
0 = ^л—— (1+^) (vA + vB),
бундан шарларнинг урилишдан олдинги тезликлари нисбатиии анидлаймиз:
VA 1 +k
\ ~k‘
25.8-§. Зарба вацтида кинетик энергиянинг йуцолиши.
Карно теоремаси
Иккита жисмнинг тугри марказий зарбасида | Su | = | S2x | = S,.
белгилаш кирчтсак, у холда ^ар цайси жисмга таъсир этувчи зар-
бали импульслар ва тикловчи коэффициент (25.31) ва (25.28) га кура
куйидагича аницланади:
mi (ulx — о, J = Sx,
/тг2 (u2jr v^) = Sx, (25.37)
—- u-x u^x
V1X -V2X
(25.29) ни назарда тутиб, (25.37) нинг биринчисини ulx+kvlx га,
иккинчисини и2х + kv2x га купайтириЗ, олинган тенгламаларни цуш-
сак,
(w1JC — u1JC) (и1х + kvlx) + m2 (и2х — v2x) (и2х + kv2x) = 0. (25.38)
Бу тенгламани бошцача куринищда ёзиш учун цуйидаги айният-
лардан фойдаланамиз:
«и («и- М = V + -у (“и -
kVXx (UXx ~ =~Yk (“t - Уи)-------(“lx - У1х)2.
уларни цушеак,
<и1х — и1х) (“lx + kvJ = у (1 + Их — Г’|х) +
Ч-уО-*)^-^)2- <25-39)
566
Худди шунингдек, куйидаги формула уринли булади:
~~ V Чх + kV2X) = V (1 + (Ы2* ~ +
+ Л. (1-й) (^-^2. (25.40)
(25.39) ва (25.40) ни эътиборга олиб, (25.38) ни куйидагича
ёзиш мумкин:
-L (1 + Й) [(/И1 и^х+ т2 и*х) — (m( vl + т2$х)] + -у (1—
— k) [mj (И1Л —О1л)2 + m2 (u2x — о2л)2] = 0. (25.41)
Бунда
Т,= у (mX + ^X),
7’2 = 4"(miwt+ m2u2x)
лар мос равишда системанинг зарбадан олдинги ва зарбадан кейинги
кинетик энергияларини ифодалайди:
Т = [mL (и1х — с1Л)2 + т2 (и2х — и2г)2]
катталик эса зарба натижасида йудотилган тезликка мос кинетик
энергияни ифодалайди.
Юцоридаги белгилашларни назарда тутиб, (25.41) ни куйидагича
ёзиш мумкин.
7\ — Т2 = Т. (25.42)
1 -f- k
(25.42) тенглик иккита жисмнинг турри марказий эластик
зарбасида кинетик энергиянинг йуцолишига оид Карно теорема-
сини ифодалайди: эластик зарбада йуцотилган кинетик энергия,
I —k
иуцотилган тезликка мос кинетик энергиянинг ^исмига тенг.
Абсолют эластик зарба учун k = 1 ва
Л = Т2,
яъни абсолют эластик зарбада кинетик энергия йуцолмайди.
Абсолют эластик булмаган зарба учун k = 0 булади ва
7\ — Т2 = Т (25.43)
формула уринли булади. Бу ^олда кинетик энергия максимал дара-
жада йуцолади (потенциал ва иссси^лпк энергияларига айланади).
(25.43) тенглик абсолют эластик булмаган зарба учун Карно
теоргмасини ифодалайди: абсолют эластик булмаган зарбада йу-
котилган кинетик энергия ййкртилми тезликка мос кинетик
энергияга тенг.
Б57
Абсолют эластик булмаган зарба натижасида жисмлар бир хил
их тезликка эга булади:
и, = t/„ — и .
2х х
Шу сабабли (25.37) нинг биринчи иккита тенгламасини
m2(“x-t,2x)=Sx J
куринишда ёзиш мумкин. Бу тенгламалардан фойдаланиб, их ва S
ларни аницлаймиз:
(25.44)
(25.45)
и __ mlVlX + m2V2X
х rnt+tr^
g____IX V2x)
х rrii 4- m2
(25.44) ни эътиборга олиб, йуцотилган тезликка мое кинетик
энергия учун
S2 S2 «2
Т =-------1-----=---------(/7?! 4- m2)
2m! 2m2 2mtm2
ифодани оламиз. (25.46) га S* нинг цийматини (25.45) дан келти-
риб цуйсак,
(25.46)
у, _ tn ^2 (Vlx V2x)2
2 (mt 4- m2)
T нинг бу цийматини (25.43)га цуйиб, абсолют эластик булмаган
жисм учун Карно теоремасини яна цуйидагича ёзиш мумкин:
7\ — Т2 = . (25.48)
2 (тг 4- m2)
(25.48) ни иккинчи жисм цузгалмас булган цол учун цуллаймиз.
У цолда v2x = 0 булгани сабабли
(25.47)
f _ ml W2 v]x
2 + тг)
ёки курилаётган цолда T1=-^-ml vjx булгани учун
Л-
тг
rti-y -|- т2
Шундай цилиб, иккинчи жисм цузгалмас булганда кинетик энер-
гиянинг сарф булиши биринчи жисм кинетик энергиясининг ——
т^ 4“ ^2
цисмига тенг булади.
Бу формулалардан фойдаланиб, сандон устига цуйилган цизди-
рилгаи металдга урилаётган болганинг фойдали иш коэффициенти-
ни аницлаш мумкин. Болганинг массаси mlt циздирилган металл ва
(25.49)
658
сандоннинг бирггликдаги массаси т2 га тенг булсин. [^издирилган
металлни абсолют эластик булмаган жисм деб цараш мумкин. Бу
цолда металлни деформациялаш учун сарф булган 7ф — Т2 йу-
цотилган кинетик энергия фойдали цисобланади; Тх— Т2 ни болга-
нинг кинетик энергияси 7\ га нисбати болганинг (] ойдали иш коэф-
фициенти ни ифодалайди:
п = .Л~Ч = —. (25.50)
Тх mx-\-m2
(25.50) дан курамизки, болганинг массаси сандон массасига нис-
батан етарлича кичик булганда унинг фойдали иш коэффициента
катта булади.
25.2-масала. Тобланаётган металл билан биргаликдаги массаси т2= 240 т
булган сандон устига массаси тх = 10 т булган бол га муцраси v =5 м/с тезлик
билан тушади. Бунда тикловчи коэффиниегпи k= 0,3 га тенг эластик зарба содир
булади деб цараб, болганинг фойдали иш коэффициенти аницлансин.
Ечиш. Болганинг муцраси сандон устидаги тобланаётг ан металл устига тушган-
да тугри марказий зарба содир булади деб цараймиз. Ох уцни болганинг цара-
кат йуналиши буйича, яъни вертикал пастга йуналтирамиз. У цолда болганинг
зарбадан олдинги тезлиги vxx — у цамда сандон цузгалмас булгани учун унинг
зарбадан олдинги тезлиги о2х = 0 булади. (25.33) га асосан, болга ва сандоннинг
зарбадан кейинги тезликлари ва и2х ларни аницлаймиз:
т2
1 + ^2
Ы1Х = и — 0 + fe)
(тт — Ь?2)
V —-----------v,
fni+m2
U2X = (1 + fe)
-А-о.
т1 + ш2
(1)
(1) ни эътиборга олиб, (25.41) формула ёрдамида йуцотилган тезликка мос
системанинг кинетик энергиясини цисоблаймиз:
тх Г (тх — ktn2) у р 2-|- тгО+М° 2
2 I mi + m2 2 L mi+m2 .
(1 A2) m2m2 (1 ф- k2) v2 (1 -ф k)2 mxm2 v2
2 (mj-f-m.,)2 2(m,4-m2)2
(25.42) га биноан, йуцотилган кинетик энергия учун
т 'г — 1 ~fe -г (1 ~
1 + k 2(rnx+ m2)
ифодани оламиз. Бу масалада металлни деформациялаш учун сарф булган ТХ—Т2
йуцотилган кинетик энергия фойдали цисобланади. Шу сабабли болганинг фойда-
ли иш коэффициенти цуйидагича аницланади:
т\-т2
п=-т—.
mi °?
бунда 7) = —-— — болганинг кинетик энергиясига тенг барча сарф булган
энергия.
Шундай цилиб, болганинг фойдали иш коэффициенти
(» ~ fe2) ™2 = [1 -(0,3)^-240-103 ~ 0 874
П=* (104- 240)-103 ~ ’
Б5Й
25.9*-§. Зарбали кучларнинг дузгалмас уц атрофида
айланувчи ва текис параллел даракатдаги жисмга таъ-
сири
Айтайлик, цаттиц жисм цузгалмас г уц атрбфида <в0 бурчак
тезлик билан айланаётган булсин. Бундай жисмга зарбали кучнинг
таъсир этиши натижасида унинг бурчак тезлиги цандай узгаришини
куриб чицамиз. Шу мацсадда зарба вацтида г уцца нисбатан кине-
тик моментнинг узгариши цацидаги теоремани ифодаловчи (25.15)
нинг учинчи тенгламасидан фойдаланамиз:
£ Кг-К° = У,Мг(^). (25.51)
(21.54) га асосан, цузгалмас уц атрофида айланувчи жисмнинг
айланиш уцига нисбатан кинетик моменти
а; = 4®. А° = /гИо
формулалар ёрдамида аницланади. Кг ва К°г нинг бу цийматларини
(25.51) га цуйсак,
/2(«-соо) = УМг(^). (25.52)
Бундан
Бинобзрин, цузгалмас уц атрофида айланувчи жисмга ташци
зарбали кучлар таъсир этиши натижасида унинг бурчак тезлигининг
узгариши, ташци зарбали куч импульсларининг мазкур уцца нисба-
таи моментлари йигипдисилиаг худди шу уцца нисбатан жисм —
инерция моментига нисбатига тенг.
Зарбали кучларнинг текис параллел харакатдаги жисмга таъси-
рчнч аницлаш учун жисмнинг массалар маркази царакатланадиган
текисликда х ва у уцларни утказамиз. Жисмнинг текис параллел
царакатини жисм массалар марказининг илгарилама царакати ва мас-
салар маркзз! орцали царакат текислигига перпендикуляр равишда
утувчи уцца нисбатан айланма царакатларнинг мажмуасидан иборат
деб цараш м\ мкнн.
Айтайлик, массалар марказининг зарбадан олдинги тезлиги
vc. жисмнинг бурчак тез лиги эса гоо га тенг булсин. У цолда
(24.12) га асосан массалар маркази тезлигининг х ва у уцлари бу-
йича узгариши аницланадиган цуйидаги иккита тенгламани оламиз
(25.54)
(25.54) да ва Se лар S* ташци зарбали импульснинг х ва
у уцлардаги проекцияларини ифодалайди.
560
Агар жисмнинг массалар маркази ортали даракат текислигига
перпендикуляр равишда г уцни утказсак, зарба вацтида г уц ку-
чишга улгурмайди, шу сабабли г уцца нисбатан зарба вацтида ки-
нетик моментнинг узгариши (25.52) га асосан
/Сг (со - %) = £ МСг Й (25.55)
тенглик ёрдамида аницланади. Бу ерда 1Сг — массалар маркази
билан биргаликда царакатланувчи уцца нисбатан жисмнинг
. • —> —>
инерция моменти; AfCz(S')— ташци зарбали куч импульси S' нинг
Сг уцца нисбатан моментини ифодалайди.
Шундай цилиб, ташци зарбали импульслар таъсирида текис
параллег даракатдаги жисм массалар марказининг зарбадан ке-
йинги тезлиги (25.54), жисм бурчак тезлигининг зарба вацтида-
?и узгариши (25.55) формулалар ёрдамида аницланади.
25.10*-§. Зарба маркази
Айтайлик, цузгалмас уц атрофида айланувчи жисмнинг бирор М
нуцтасига ташци зарбали импульс S таъсир этсин. Бу импульс
—>- —>-
таъсирида таянч нуцталарида Slt S2 зарбали реакция импульслари
цосил булади ва таянч нуцталарига зарбали босимлар таъсир этади.
Координата уцларини цуйидагича танлаймиз: г уцни зарбадан
—Э"
олдинги жисмнинг бурчак тезлиги соо буйлаб йуналтирамиз: Оху
текисликни зарбали импульс цуйилган М нуцта орцали, х уцни ОМ
буйлаб йуналтирамиз (25.6-раем). У цолда М нуцтанинг коорди-
на га лари цуйидагига тенг булади:
хм ^34 Ум “О' гм О-
Зарба вацтида жисм кучишга ул-
гурмагани туфайли жисм билан бог-
л.'нган Oxyz координаталар системаси-
ни зарба вацтида цузгалмас деб цараш
мумкин.
А ва В таянчлардан Оху текисли-
гигача булган масофаларни мос ра-
впшда а ва Ь билан белгилаймиз.
О нуцтага нисбатан зарба вацтида
система царакат мицдорининг узгари-
ши ва кинетик моментнинг узгариши
цацидаги теоремаларни ифодаловчи
(25.10) ва (25.14) тенгламаларни ту-
Замиз:
у
25.6- раем.
36—2282
561
Q — Qo — 5 -j- S2,
Ko -K°o = Mo (S) + Al0 (SJ + Afo (S2).
(25.56)
Айтайлик, жисм зарбадан олдин ва зарбадан кейин 25.6-раемда
тасвирланган со0 вектори йуналишига мос айлан син. У долда
сог = со„ = 0, со2 = со,
х У * ’
®0л (,)оу = ®о
ва
исх = — ® У С’ ису = ® ХС исг = °.
VCX = — ^C, VCy^tH^C, vCz = G,
(22 35) га кура,
/\д. 1гх СО, Ку 1 уг СО, Кг ~ К
^ = -'Л = *°=Ч“о-
Бу муносабатларни эътиборга олиб, (25.56) ни координата
ларига проекцияласак,
— Мус (со — соо) — Хх 4- Slx + S2x,
Мхе (со — соо) = Sy + 51у + S2y,
О — Sг S12,
— Кх (® — юо) = aSly -b-S2y,
— !Vz (и — %) = — а-51л + bS2x — h-Sz,
Iz (® — ®o) = hSy
(25.57)
(25.57) тенгламаларнинг биринчи бештаси воситасида зарбали
реакция импульсларининг проекциялари: Slx, Sly, Slz, S2x ва Sty
лар аникланади; охирги тенглама воситасида жисмнинг зарба вацти-
даги бурчак тезлигининг узгариши аникланади.
Дандай шартлар бажарилганда ташци зарбали импульслар таъ-
сир этганда таянч нуцталарида зарбали реакция импульси ^осил
булмаслигини курцб чи^амиз. Бу долда Sly, S12, S2X, S2y лар
нолга тенг булиши керак. Ыатижада (25.57) ни куйидагича ёзиш
мумкин:
— Mf/C(co —соо) =ХЛ,
МхДсо —соо) = Ху,
0 = «г,
_/Jco-co0) = 0, \ («58>
— 4у(® — “о) = — hSz |
7г(со — соо) =h-Sy. '
(25.58) дан таянч нуцталарида зарбали реакция кучлари досил бул-
майдиган излйнаётган шартларни оламиз:
$62
1) (25.58) нинг учинчи тенгламасига к£ра зарбали куч импуль-
си айланиш уцига перпендикуляр булиши керак;
2) 5г = 0 булгани учун (25.58) нинг туртинчи ва бешинчи
тенгламаларига асосан, 1гх = 1гу = 0, яъни Oz айланиш уци бу уц-
нинг Оху текислиги билан кесишган нуцтасида бош инерция уцидан
иборат булиши керак;
3) (25.58) нинг биринчи ва иккинчи тенгламаларидан курамиз-
ки, Хс$х + ycSy = 0 ёкигц-5 = 0 булиши керак; бошцача айтган-
да, жисм масса марказинииг радиус-вектори гс ^амда зарбали им-
-
пульс S векторлари узаро перпендикуляр булиши керак, яъни зар-
бали куч импульси айланиш уци ва массалар маркази орцали утув-
чи текисликка перпендикуляр йуналиши зарур;
4) (25.58) нинг иккинчи ва олтинчи тенгламаларига биноан, цу-
йидаги тенглик уринли булиши керак;
хс-й = -^ = р2, ® (25.59)
М
бунда р жисмнинг айланиш уцига нисбатан инерция радиусини ифо-
далайди. (25.58) формула ёрдамида зарбали импульс цуйиладиган М
нудтанинг ^олати аницланади:
(25.60)
Мхс '
Юцоридаги шартларни ^аноатлантирадиган М ну^та зарба мар-
кази дейилади.
Агар жисм моддий симметрия текислиги П га эга булса, юцори-
даги шартлар соддалашади. Бу ^олда айланиш уци моддий симмет-
рия текислиги П билан кесишган О нуцтада инерция бош увидан
иборат булади ^амда жисмнинг огирлик маркази С ^ам П текис-
ликда ётади (25.7-расм). Курилаётган хусусий ^олда зарба таянч
яукталарига таъсир этмаслиги учун куйидаги шартлар бажарилиши
керак:
1) S зарбали импульс П текисликда ёт-
ши ва ОС га перпендикуляр булиши керак;
2) зарбали импульс S нинг таъсир чиэи-
₽идан айланиш уцигача булган масофа
h = ОМ = (25.61)
> хс Мхс
формула ёрдамида аникланади. Бунда р бн-
лан жисмнинг айланиш у^ига нисбатан инер-
ция радиуси белгиланган.
(25.61) дан курамизки, зарба маркази
айланиш уцига мос булган силкиниш мар-
кази (22.4-§) билан устма-уст тушиши
керак.
25.8- раем.
Зарба марказини аниклаш техникада куп цулла-
нилади. Масалан, материалларнинг муета^камлигини
динамик синаш учун цулланиладиган зарба машина-
сида зарба марказини аниклаш алоцида ацамиятга эга.
25.3-масала. Зарба марказини аницлашда ишлати^адиган
асбобда массаси т ва узунлиги I га тенг стержень унинг О
учидан унга перпендикуляр равишда утувчи цузгалмас гори-
зонтал уц атрофида айлана олади. 25.8- раемда тасвирлан-
ган мувозанат цолатида зарба импульси стержень ва айланиш
уцига перпендикуляр йуналган зарба берилади. Зарба мар-
кази ва стержеининг зарбадан кейинги бурчак тезлиги аниц-
лансин.
Ечиш. х уцни стержень буйлаб вертикал пастга йунал-
тириб, (25.60) га асосан О нуцтадан зарба марказигача бул-
ган h = ОМ масофани аницлаймиз:
1г 2ml2 2
3ml = 3
Зарба олдида стержень тинч цолатда (соо = 0) булишини эътиборга олиб,
(25.55) формула воситасида оерженнинг зарбадан кейинги бурчак тезлигинв
аницлаймиз.
2
S-h S' 3 1 2.S
со = ---- =---------=-------.
1г ml1 l-m
Т
25.4-масала. Зарба машинасининг радиуси г = 0.1 м ва калинлиги б = 0.05 м
булган А пулат дискдан ва диаметри d=0.02 м ва узунлиги ( = 0,9 м булган
доиравий В пулат стержендан иборат. О уцца зарба тегмаслиги учун урилаётган
С брус О айланиш уци ётган горизонтал текисликдан цандай h масофага урнати-
лиши керак? Зарба горизонтал йуналишда берилади деб царалсин (25.9 - раем),
Ечиш. Стержень ва дискнинг огирлигини Р, ва Р2 билан белгиласак,
л d2
Pl = У I —-—, Р2 = у л г2 б,
бунда у — бирлик цажмга тугри келган пулатнинг огирлиги.
О нуцтадан системанинг массалар марказигача булган масофа
формула ёрдамида аницланади. Бундан ташцари,
(2 г2
/ з + Р% U + О2 + Pq 2
р2 = —— =---------------------------------
М Pi + Р2
муносабат Гринли булади. Олинган ифодаларни
h = ом = -2—
ос
формулага цуйсак,
d2 , Г г2 I
1 12 +f26 (/ + г)2 + Т
.4 =------------Ь---------~ = 0 934 м.
с?
I2- — ф-^б (( + »)
8
Б64
565
s s a
Is
о И
Давома
s ч i g g
g u- 5 j e
666
ФОЙДАЛАНИЛРАН АДАБйЕТ
1. Азиз-!\ориев С.К-» Ян'гуразов Ш.X. Назариймеханикаданмасала-
лар ечиш методикаси (Статика ва кинематика). 1\айта ишлапгаи 2- нашри. — Т.:
У^итувчи, 1974. <
2. Азиз-Ко'риевС. К-> Янгуразов Ш.X. Назарий механимданмасала-
лар ечиш методикаси (Динамика).—!.: Уцитувчи, 1967.
3. Айзенбер г Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.Н. Руководство
к решению задач по теоретической механике.—6-е стереотип, изд.—М.: Выс-
шая школа, 1968.
4. БатьМ. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая меха-
ника в примерах и задачах. — 7-е изд., доп. М.: Наука, 1975, т. I; — 6-еизд.
доп. —М.: Наука, 1975, т. П; — М.: Наука, 1973, т. Ш.
5. Бражниченко Н.А., К а н В. Л., Минн бург Б. Б. [и др.]. Сбор-
ник задач по теоретической механике. — 3-е изд., перераб. и доп.—М.: Высшая
школа, 1974.
6. Бу тенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971.
7. Б у тенин Н. В., Луни Я. Л., Мер кин Д. Р. Курс теоретической меха-
ники. — 2-е изд., перераб. и длт.— М.: Наука, 1979. гт. I, II.
8. Воронков И. М. Курс теоретически механики.— 13-е стереотип,
изд. —М.: Наука, 1966.
9. ГернетМ. М. Курс теоретической механики.—2-е изд.—М.: Высшая
школа, 1973.
10. Добронравов В. В., Никитин В. В. Курс теоретической механики
— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1983.
11. Колесников К-С., Блюмин Г. Д.. Дронт В. И. [и др.|. Сборник
задач по теоретической механике. — М.: Наука, 1983.
12. Л о й ц я н с к и й Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. —
8- е изд., перераб. и доп.—М.: Наука 1981, т. 1; 6-е изд., перераб. и доп.—
М.: Наука, 1983, т. 2.
13. Мешчерский И. В. Назарий механикадан масалалар туппями.— Рус-
ча 30- нашри'а мувзфи^ллштирилган 2-нашри.—Т.; У^итувчи, 1967.
14. Мещерский И. В. Сборник задач по теорешческой механике. — 35-е
изд., перераб.—М.: Наука, 1981.
15. Ста ржи некий В. М. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1980.
16. Тарт С. М. Краткий курс теоретической механики. 9-е изд.—М.:
Наука, 1974.
17. Шсцайд аров а П.,Шозиётов Ш., Зоиров Ж. Назарий механи-
ка.— Т.: Удитувчи, 1981.
18. Ябл «некий А. А. Курс теоретической механики. — 6-е изд. испр. — М.
Высшая школа. 1984, ч.2.
19. Яблонский А. А., Н и кифо р о в а В. М. Курс теоретической меха-
ники.— б.е изд., испр. — М.: Высшая школа. 1984, ч. 1.
20. Яблонский А. А., Н о р е н ко С. С. Курс теории колебаний. — 3-е
изд., испр. и дтп.—М.: Высшая школа, 1975, ч 2.
21. Яблонский А. А., Норейко С. С , Вольфсон С. А. [и др.].
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике.—3-е изд.
«спр. —М.: Высшая школа, 1978.
22. У роз бое в М.Т. Назарий механика асосий курси.—Ката ишлангая
3-нашри. — Т.: $\мгувчи, 1966.
567
А»
Номлар курсаткичи
Абу Али ибн Сино (980— 1037) — урта аср Шарцинннг энциклопедист олими 6
Амонтон Гильом (1663—1705)—француз олими 54
Архимед (эрамизгача 287 — 212)—мутафаккир, цадимги Юпонистоннинг буюк
математнги ва физиги 9, 97
Беруний Абу Райхон (973— 1048) — Урта Осиё (Хорезм) олими, математика, фи-
зика, астрономия, фалсафа, геология каби со>;аларда му^им асарлар ёзган 6
Варпньон Пьер (1654— 1722)—француз механиги ва математиги 9
Галилей Галилео (1564 — 1642) —итальян олими 4, 7
Гюльдеи Гуго (1841— 1896) — швед астрономи 109
Даламбер Жан Лерон (1717 —1783)—француз математиги ва физиги 7
Дирихле Петер Густав (Лежеи Дирихле) (1805— 1859)—иемис олими 512
Жуковский Николай Егорович (1847 —1921)—руе математиги ва механиги мам-
лакатимиз гидро ва аэродинамика фанининг асосчиси 7, 9
Ильюшин Александр Антонович (1911 йилда тувилган)—совет механик олими 8
Ишлинский Александр Юльевич (1913 йилда тутлган)—совет механик олими 8
Карно Лазар Никола (1753— 1823)—француз математиги 557
Келдиш Мстислав Всеволодович (1911 — 1978) — совет математиги ва механиги,
академик 8
Кельвин (Томсон Уильям) (1824 — 1907)—инглиз физиги 550
Ковалевская Софья Васильевна (1850— 1891)—рус олимаси. Дунёда биринчи аёл
математик 7
Коперник Николай (1473 — 1543) поляк математиги ва астрономи 7
Кориолис Гюстав Гаспар (1792 — 1843)—француз механик олими 218
Королев Сергей Павлович (1906— 1966) — атоцли совет конструктори, амалий
космонавтика асосчиси, академик 8
Кремон Луиджи (1830—1903) — италиялик олим математик 65
Кулон Шарль Огюстов (1736— 1813) — француз инженери ва физиги 54
Лагранж Жозеф Луи (1736—1813)—француз математиги ва механиги7,9,475,511
Ленин Владимир Ильич (1870— 1924) — мутафаккир, революционер, Совет Ит-
тифоци Коммумнистик партияси ва Совет давлатининг асосчиси 4, 5
Ломоносов Михаил Васильевич (1711—1765) —рус энциклопедист олими, шопр 7
Ляпунов Александр Михайлович (1857— 1918) — рус математиги, академик 536
Максвелл Жемс Кларк (1831 — 1879)—инглиз физик олими 65
Маркс Карл (1818— 1883) — мутафаккир, революционер, илмий коммунизм асос-
чиси 212
Мешчерский Иван Всеволодович (1859— 1935) — рус механик олими, узгарувчан
массали жисм мехаиикасииинг асосчиси 7
Ньютон Исаак (1643— 1727) — буюк инглиз олими, файласуфи. Классик механи-
ка цонунларининг асосчиси 7
Остроградский Михаил Васильевич (1801 — 1862) — рус математиги, академик 7
Пуансо Луи (1777— 1869) — француз математиги, механиги, инженери 9, 35
Рахматуллин Халил Ахмедович (1909—1988)—узбек совет мехаиик-олими,
академик 8
568
Сильвестр Жемс Жозеф (1814—1894)—инглиз математиги 516
Улугбек Мухаммад Тарагай (1394—1449)—Урта Осиёлик буюк олим, астро-
ном, математик 6
Циолковский Константин Эдуардович (1857—1935)—рус совет олими ва их-
тирочиси, ракета двигатели назариясига асос солган 7
Чаплигин Сергей Александрович (1869—1942)—рус совет математиги, акаде-
мик 7,9 Шаль Мишель (1793—1880)—француз механик-олими 207
Эйлер Леонард (1707—1783)—математик, механик, физик. Россияда яшаган
ва ижод килган 7, 256
Эйнштейн Альберт (1879—1955)—немис физик-олими, нисбийлик назарияси-
нинг асосчиси 6
Энгельс Фридрих (1820—1895)—мутафаккир, революционер, илмий комму-
низм асосчиларидаи бири 4, 9, 112, 405
Урозбоев Мухаммад Тошевич (1906—1971)—узбек совет мех ик-олими, ака-
демик 8
Цобулов Восил Цобулович (1921 йилда тугилган)—узбек совет мехаиик-оли-
ми, академик 8
563
АСОСИЙ ТУШУНЧАЛАРНИНГ АЛФАВИТ КУРСАТКИЧИ
абсолют цаттиц жисм 9
— эластик булмаган зарба 551
---- зарба 551
айлана ёйинипг огирлик маркази 106
айланиш оний уци 191
айланма инерция кучи 453
аналитик богланишлар
— механика 468
аииц ишорали функция 536
апериодик царакат 292
асимптотик устувор царакат 535
асосий царакат 534
беголоном богланиш 469
бефарц мувозанат 510
бикирлнк коэффициента 516
бинормаль 133
бош нормаль 133
богланиш 13
— купайтувчиси 313
— реакция кучи 13
— тенгламаси 311
•богланишдаги механик система 468, 471
— нуцта 311
—— учун Даламбер принципи 452
— система 468
•богланишдан бушатиш принципи 13
богланишлар 468
— аксиомаси 13
бурчак тезликларнинг параллелограмм
цоидаси 231
бушатадиган богланиш 469
бушатмайдиган богланиш 469
вазнсиз стержень 15
вазнсизлик цолати 328
•Вариньоп теоремаси 38, 85
вацт 113
винт параметри 88
— чизиги 245
— уци 245
— цадами 245
— царакати 245
Галилей алмаштириши 327
Гамильтон таъсири 504
— Остроградский принципи 505
Гамильтоннпнг каноник тенглама-
лари 508
гармоник тебранма царакат 140
географик кенглик 329
геометрик богланиш 469
геоцентрик кенглик 329
гироскоп 442
гироскопик жуфт 448
— момент 448
голономли богланиш 469
гравитацион масса 250
Гурвиц теоремаси 539
Гюйгенс—Штейнер теоремаси 340
Гюльден теоремалари 109
Даламбер принципи 451
— Лагранж принципи 491
динамик винт 87
----бош моментининг аналитик ифо-
дтси 89
— мувозанатлашган жисм 463
— реакция кучлари 462
динамика 8, 249
динамиканинг асосий цонуни 251
— умумий тенгламаси 491
---- теоремалари 253
динамиклик коэффициента 298
Дифференциал тенгламанинг биринчи
интеграли 264
— узатма 240
— формадаги моддий нуцта кисетик
энергиясининг узгариши цацидаги
теорема 409
ДаЦференциалли богланиш 469
думалашдаги ишцаланиш жуфти 59
----коэффициента 59
----момента 59
дойра секторипинг огирлик маркази 107
доиравий дискнинг инерция момента 341
— конусиинг огирлик маркази 108
— халцанинг инерция моменти 341
ёпишма текислик 133
жисмнинг абсолют царакати 228
— берилган ондаги бурчак тезлани-
ши 152
— бурчак тезлиги 150
— вазни 327
— илгарилама царакат тенгламаси 422
---- царакати 147
— кучирма царакати 228
— мураккаб царакати 228
— нисбий царакати 228
— оний бурчак тезланиши 192
— огирлик кучи 99
•---маркази 99
w-такис айланма царакат тенгламаси 151
—---даракати 151
____узгарувчан айланма даракати 152
—секинланувчан айланма даракати 152
— сферик даракат тенгламалари 189
•---даракати 188
•— тезланувчан айланма даракати 152
— цузгалмас нуцта атрофидаги ай-
ланма царакат тенгламалари 189
------------- царакати 188
----уц атрофида айланма царакат
кинематик тенгламаси 150
------------царакати 149
Чуковский цоидаси 449
жуфт айланиш 236
---- моменти 236
— куч 29
— моменти вектори 77
жуфтнинг елкаси 29
— моменти 31
— текислиги 29
варба 544
— вацти 544
— вацтида нуцта царакат мицдори-
иинг узгариши цацидаги теорема 545
----нуцта кинетик момеитииипг уз-
гариши цацидаги теорема 548
----система кинетик моментининг
узгариши цацидаги теорема 549
----система царакат мицдорининг
узгариши цацидаги теорема 547
— маркази 563
—иазариясининг асосий тенгла-
маси 545
варбали куч 544
----графиги 544
---- импульси 544
идеал богланиш 474
иэохрои вариация 505
инерциал система 251
— царакат 251
инерцион масса 250
инерция бош уцлари 346
— эллипсоиди 345
— цонуии 251
ички кучлар 333
ишцаланиш бурчаги 54
— коиуси 54
— кучи 53
— соцаси 55
Карио теоремаси 557
Кельвин теоремаси 550
кесишувчи кучлар системаси 16
— кучларнинг мувозанат тенглама-
лари 92
кинематик богланиш 469
кинетостатика тенгламалари 456
— усули 452
Ковалевская цолн 442
консерватив куч 415
— система 421
Кориолис инерция кучи 325
— тезланиши 218, 220
— теоремаси 218
кран фермалари 60
кинематика 8
куч 251
— ишининг геометрик ифодаси 394
-----аналитик ифодаси 394
— купбурчаги 22
— майдони 415
— функцияси 415
— чизиги 417
— элементар ишининг аналитик ифо-
даси 394
— цувватининг аналитик ифодаси 395
кучлар системаси 10
— системасининг бош вектори 36
-----векторли инварианти 82
----- инварианти 82
----марказга нисбатан статик м-
менти 99
-----марказий уци 88
----текисликка нисбатан статик мо-
менти 99
— таъсирининг узаро мустациллии
цоиуни 252
кучни аналитик усулда аницлаш 21
кучнинг елкаси 30
— импульси 356
— йуналиши 9
— мицдори 9
— нуцтага нисбатан момент век-
тори 73
----- моменти 30
— таъсир чизиги 10
— текисликдаги проекцияси Я0'
— чекли йулдаги иши 394
— элементар импульси 356
— уцца нисбатан моменти 74
— цуввати 394
купбурчак цоидаси 17
к^прик фермалари 60
кучирма инерция кучи 325
Лагранж—Дирихле теоремаси 512
— Пуассон цели 442
Лагранжнинг биринчи хил тенглама-
лари 312, 316
— иккиичи хил тенгламалари 496
логарифмик декремент 292
Ляпунов таърифига к!/ра устувор му-
вэзанат 511
— теоремалари 536, 538
— функцияси 5з7
Ляпуновнинг иккинчи усули 536
Максвелл—Кремон диаграммаси 65, 66
марказдан цочирма инерция кучи 453
—----моменти 345
марказий инерция бош уцлари 346
----- эллипсоиди 346
571
— куч 380
массалар геометрияси 335
ма ематик тебраигич 318 ,
механик система 333
------ УчУн бошлангич шартлар 353
----энергиясининг сацланиш цону-
ни 421
----царакат мицдорининг сацланиш
цонуни 364
— системанинг мумкин булган ку-
чиши 471
----царакат дифференциал тенгла-
малари 353
— царакат 4
— царакатнинг векторли улчови 356
^Тешчерский тенгламаси 373
моддий нуцта 9
----.динамикасининг биринчи асосий
масаласи 257
-------иккинчи асосий масаласи 262
---- механик энергиясининг сац-
ланиш цонуни 420
— нуцтанинг мажбурий царакат тенг-
ламаси 296
---- тебранма царакати 283
— —- тулиц механик энергияси 418
моментлар параллелограмми 78
мувозанат цолати 10
мувозанатлашган гироскоп 443
— кучлар системаси 10
мумкин бу «гаи кучиш принципи 475
назарий механика 4
нолга эквивалент система 10
нормал инерция кучи 329
— реакция кучи 14
— текислик 133
ноустувор мувозанат 510
— царакат 534
нуцта динамикасининг асосий тенглама-
си 252
---- тескари масаласи 262
---- тугри масаласи 257
— механик царакатининг скаляр ул-
чови 404
— тезланишининг кундаланг ташкил
этувчиси 132
----радиал ташкил этувчиси 132
— тезлигининг алгебраик циймати 127
----кундаланг ташкил этувчиси 126
---- модули 127
----радиал ташкил этувчиси 126
— царакат макдори моментинингсац-
ланиш цонуни 380
-----------узгариши цацидаги тео-
рема 379
---- мицдорининг чекли вацт ичида
узгариши цацидапт теорема 359
-------узгариши цацидаги теорема 358
-----------теореманинг дифферен-
циал куринишн 358
нуцтанинг абсолют тезланиши 214
----тезлиги 214
----царакати 214
— айланма тезланиши 156, 172
— берилган ондаги тезланиш векто-
ри 130
-------тезлик вектори 123
— кинематик тенгламаси 117
— гармоник тебранма царакати 285
— инерция кучи 452
— кинетик энергияси 404
— кучирма тезлиги 213, 215
----царакат тезланиши 213, 218
-------тезлиги 213, 215
---- царакати 213
— кучн I вектори 122
— марказга интилма тезлани-
ши 156, 172
— мураккаб царакати 214
— нисбий тезланиши 213, 218
----царакат дифференциал тенгла-
маси 326
----тезлиги 213
---- траекторияси 213
---- царакати 213
— нормал тезланиши 137
— сектор тезлиги 381
— тебраниш фазаси 141
---- амплитудаси 141
— текис узгарувчан царакати 139
— тепкили тебраниши 298
— траекторияси 113
— тугри чизицли царакат дифферен-
циал тенгламаси 255
— уринма тезланиши 137
— эгри чизицли текис узгарувчан ца-
ракат тенгламаси 140
-------— царакат тенгламаси 139
------- узгарувчан царакати 139
— эркин тебранма царакат диффе-
ренциал тенгламаси 284
— уртача тезланиш вектори 130
---- тезлик вектори 122
— утган нули 128
— уцца нисба ган инерция моменти 337
— харакат мицдори 354
— царакатини векторли усулда аниц-
лаш 117
----табиий усулда аницлаш 119
•--- цилиндрик координаталарда
аницлаш 118
Нъютоннинг учинчи цонуни 13
оддий узатма 239
оний винт царакати 247
ортицча юкланиш 328
— стерженга эга булган ферма 62
-------булмаган ферма 62
огирлик кучининг иши 397
— марказини аницлашнинг булаклар-
га ажратиш усули 103
-------манфий юза усули 104
------- симметрия усули 102
572
_____тажрнба усули 105
параллел кучлар маркази 98
_____сишемаси 27
параллелограмм аксиомаси 12
планетар узатма 240
потенциалли куч 4 15
— •— майдони 415
прецессия бурчаги 188
Пуансо усули 80
Резаль теоремаси 444
резонанс 301
Риттер нуцталари 70
— усули 70
ричаг 41
— мувозанати 42
саноц сисгемаси 112
Сильвестр кригерийси 516
силлиц текисликнинг реакция кучи 14
сирпанишдаги ишцаланиш 53
-----к эффициенти 54
----- кучи 53
система 333
— кинетик моментининг сацланиш
цонуни 386
-------узгариши цацидаги теоре-
ма 384
-----энергиясининг узгариши хаци-
даги теоремани дифференциал кури-
ниши 413
— массалар маркази координаталари-
нинг сацланиш цонуни 367
-----марказига нисбатан кинетик мо-
ментинипг сацланиш цонуни 392
-----марказининг сацланиш цону-
ни 367
------- царакати цацидати теоре-
ма 366
— учун Даламбер принципи 456
— харакат мицдорининг бош момен-
ти 377
-------чекли вацт ичида узгариши
цацидаги теорема 364
-------узгариши цацидаги теоре-
ма 362
системанинг бош тебранишлари 530
— кинетик энергияси 404
-----цацидаги Кёниг теорема-
си 406
— марказга нисбатан кинетик мо-
менти 377
— массалар маркази 335
— массаси 335
— нуцтага нисбатан инерция момен-
ти 337
— текисликка нисбатан инерция мо-
менти 337
— эркинлик даражаси 471
— УВДа нисбатан инерция радиуси 339
-----моменти 337
— цутбга нисбатан инерция момен-
та 337
— царакат мицдори 354
соф айланиш бурчаги 188
---- уци 188
статик аниц масала 42
----ферма 62
— ишцаланиш кучи 54
— мувозанатлашган жисм 463
— ноаниц масала 42
— ноаниц ферма 62
— реакция кучлари 462
статика 8
стационар богланиш 471
— булмаган богланиш 471
---- куч майдони 415
— куч майдони 415
стержендаги зурициш 23
стержеининг инерция моменти 341
сферик шарнириинг реакция кучи 15
суниш коэффициенти 292, 306
сунувчи тебранма харакаг амплитуда-
си 292
-------- даври 291
табиий координата уцлари 133, 134
— учёклик 133
таранглик кучи 16
ташци кучлар 334
— кучларнинг нуцтага нисбатан бош
моменти 384
таъсир ва акс таъсир цонуни 252
тацсимланган куч .ар 43
тебраниш даври 141, 286
— декремента 292
— частотаси 286
тебранишларининг доиравий частота-
си 141
— бошлангич фазаси 141
тезлик годографи 131
тезликларнинг параллелограмм цоида-
си 215
тезланишларнинг параллелограмм цоида-
си 219
текис параллел царакатдаги жисм учун
Кёниг теоремаси 407
— шакл 160
------ нуцтасининг тезлигини проек-
ция усули билан аницлаш 164
--------- — тезликлар оний маркази-
дан фойдаланиб аницлаш 166
--------цутб усулида аницлаш 164
--- царакатнинг кинематик тенгла-
малари 161
— шаклнинг айланиш опий марка-
зи 164
----бурчак тезланиши 161
---- бурчак тезлиги 161
----тезланишлар оний маркази 182
----тезликлар оний маркази 164
----царакат текислши 160
-------- тенгламалари 161
текисликдаги кучлар системаси 35
----системасининг бош моменти 36
573
--------мувозанат тенгламалари 93
-------- шартлари 39
— параллел кучлар мувозанати 41
тенг таъсир этувчи куч 10
— потенциалли сирт 416
тикловчи коэффициент 551
торгилиш кучининг иши 399
трапециянинг огирлик маркази 106
тугун 60
— кесиш усули 62
тугунлар чизиги 188
тушиш бурчаги 552
тугри зарба 552
— марказий зарба 553
— чизикли секиилаиувчан хара-
кат 132
--- тезланувчан даракат 132
•узатиш сони 239
уйготилган даракат 534
---дифференциал тенгламалари 885
умумлашган координата 484
— куч 486
— тезлик 494
уринма текислик 133
учбурчак юзасининг огарлик марка-
зи 105
устувор мувозанат 510
фаза силжиши 305
фазо 112
фазодаги кучлар системаси 72
-------- мувозанатининг аналитик
ифодаси 92
--------векторли нфодаси 92
---системасининг бош вектори 81
--------бош моменти 81
--------- скаляр ииварианти 84
— параллел кучларнинг мувозанат
шартлари 93
физик тебрангич 425
— гебрангичиинг келтирилган узун-
лиги 426
— — осилиш уци 425
----силкиииш маркази 426
----даракат дифференциал тенгла-
маси 426 _
ферма 60 “
цилиндрик шарнирнинг реакция кучи 15
Циолковский формуласи 375 , 376
чап винг 245
частогалар тенгламаси 527
чекли формадаги нуцта кинетик энергия-
сининг узгариши >;акидаги теоре-
ма 409
— ва^т ичида система кинетик энер-
гиясинииг узгариши ^ацидаги тео-
рема 412
чизицнинг координата текисликларига
нисбатан статик моменти 102
— нуцтага нисбатан статик момен-
ти 102
— эгрилик радиуси 136
Шаль теоремаси 207
шарнинг инерция моменти 343
шарнир 15
эгри чизикли текис харакат 128, 139
---- харакат 113
— чизпкнииг эгрилик вектори 134
Эйлер бурчаклари 188
— те'ремаси 189 , 370
— Даламбер теоремаси 189
— Пуансо >;оли 442
Эйлернинг динамик тенгламалари 441
— кинематик тенгламалари 204
эквивалент кучлар системаси 10
эквивалентлик принципи 250
эластик зарба 551
эластиклик кучнинг иши 398
энергия интеграли 420
эркин айланиш уци 464
— гироскоп 443
— моддий нукта учуй Даламбер
принципи 452
— даракат дифференциал тенг-
ламасининг векторли ифодаси 254
• —— нудтанинг Декарт координата
Укларидаги дифференциал тенгла-
малари 255
•—-----табиий координата Уклари-
даги динамик тенгламалари 256
•—система 468
— цаттик жисм нудтасининг тезла-
ниши 212
---------- тезлиги 210
----жисмнинг кинематик тенглама-
лари 208
юзалар цонуни 382
юзанинг координата текисликларига
нисбатан статик моменти 102
ясси ферма 60
узаро механик таъсирнииг векторли ул-
чови 356
-------- скаляр улчови 405
узгармас механик система 333
— ишорали функция 537
узгарувчан массали жисм 371
-----нуцта 371
----нуктанинг даракат дифферен-
циал тенгламаси 373
узгарувчи ишорали функция 537
унг вин) 245
уртача зарбали куч 545
УК буйича система ,\аРакат мицдори-
нинг сакланиш цонуни 365
Кайтарувчи куч 283
цайтиш бурчаги 552
цаттиц жисмнинг текис параллел хара-
кат дифференциал тенглама-
лари 431
цийшиц зарба 552
цотиш принципи 13
кувурнинг инерция моменти 342
Кузгалмас аксоид 191
574
— аксоиднинг тенгламаси 195
___ нудта атрофида айланувчи жисм
нудтасининг айланма тезлани-
ши 196
_______________тезлиги 193
---------------удда интилма тез-
ланиши 196
— центроида 171
кузгалувчи аксоид 191
— аксоиднинг тенгламаси 195
— таяичнинг реакция кучи 15
— центроида 171
душилган жуфт 35
дажмнинг координата текисликларига
нисбатан статик моменти 102
— нудтага нисбатан статик момен-
ти 102
даракат миддорининг садланиш до-
нуни 360
— тенгламаси 116 т
— донуни 116
даракатдаги ишдаланиш коэффициен-
та 54
дадидий вертикал 329
В75
МУНДАРИЖА
Суз боши................................................................. 3
Кириш.................................................................... 4
I ЦИСМ. ЦАТТИЦ ЖИСМ СТАТИКАСИ............................................ 9
1-6 об. Статиканинг асосий тушунчалари ва аксиома лари .................. 9
1.1- §. Статиканинг асосий тушунчалари............................ 9
1.2- §, Статика аксиомалари...................................... 10
1.3- §. Богланиш ва богланиш реакциялари ........................ 13
2- ' об. Кесишувчи кучлар системаси..................................... 16
2.1- §. Кесишувчи кучларни геометрик цушиш...................... 16
2.2- §. Уч кучнинг мувозанати цацидаги теорема.................. 17
2.3- §. Кучни ташкил этувчиларга ажратиш...............' . . 18
2.4- §. Кучнинг текисликдаги ва уцдаги проекнияси............... 19
2.5- §. Тенг таъсир этувчини аналитик усулда аницлаш............ 21
2.6- §. Кесишувчи кучлар системасининг мувозанати .............. 21
З-боб. Текисликдаги параллел кучлар ва жуфтлар назарияси............. 27
3.1- §. Иккита параллел кучларни цушиш.......................... 27
3.2- §. Жуфт куч хацида тушунча ................................ 29
3.3- §. Куч моментининг алгебраик циймати....................... 30
3.4- §. Жуфт кучнинг моменги.................................... 31
3.5- §. Эквивалент жуфтлар хацидаги те трема.................... 32
3.6- §. Бир текисликда ётувчи жуфтларни цушиш. Текисликда! и
жуфтларнинг мувозанат шартлари.................................. 34
4- б о б. Текисликдаги кучлар системаси ............................... 35
4.1- §. Кучни узига параллел кучиришга оид лемма................ 35
4.2- §. Текисликда, и кучлар системасининг бош вектори ва бош
моменти......................................................... 36
4.3- §. Текисликдаги кучлар системасини тенг таъсир этувчига кел-
тириш. Вариньон теоремаси......................"................ 37
4.4- §. Текисликдаги кучлар системасининг мувозанат шартлари . . 39
4.5- §. Текисликдаги параллел кучларнинг мувозанат шартлари . . 41
4.6- §. Ричагнинг мувозанати ................................... 41
4.7- §. Статик аниц ва стагик ноаниц масалалар............. 42
4.8- §. Тацсимланган кучлар .................................... 43
4.9- §. Бир текисликда ётувчи бир неча жиемдан ташкил топган
системанинг мувозанати..................................... 48
4.10- §. Ишцаланиш. Сирпанишдаги ишцаланиш................... 53
4.11- §. Думалашдаги ишцаланиш ................................... 58
«76
5- б о б. Фермаларни цисоблаш усуллари ............................. 60
5.1 *-§. Ферма цацида тушунча .................................. 60
5.2 *- §. Ферма стерженларидаги зурицишларни тугунларни кесиш
усули билан аниклаш.............................................. 62
5.3 *-§. Максвелл — Кремон диаграммам.......................... 65
5.4 *- §. Риттер усули.......................................... 70
6- б о б. Фазодаги кучлар системаси................................... 72
6.1- §. Кучнинг нуцтага нисбатан момент-вектори................ 72
6.2- §. Кучнинг уцца нисбатан мэменти ......................... 73
6.3- §- Кучнинг уцца нисбатан моменти билан шу уцдаги нуцтага
нисбатан моменти орасидаги богланиш............................. 74
6.4- §. Жуфтни параллел текисликка кучириш хацидаги теорема . . 76
6.5- §. Жуфтнинг момент- вектори............................... 77
6.6- §. Фазодаги жуфтларни цушиш............................... 78
6.7- §. Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системасини бир нуцта-
га келтириш..................................................... 80
6.8- §. Фазодаги кучлар системаси бош вектори ва бош моментининг
аналитик ифодалари ............................................. 81
6.9- §. Фазодаги кучлар системасининг инвариантлари............ 82
6.10- §. Фазодаги кучлар системаси битта жуфтга ёки теш таъсир
этувчига келтириладиган цоллар. Вариньон теоремаси ... 84
6.11- §. Фазодаги кучлар системасини динамик винтга келтириш . . 86
6.12- §. Марказий уц тенгламаси................................. 88
6.13- §. Фазодаги кучлар системасини иккита узаро кеепшмайдиган
кучларга келтириш ............................................... 91
6.14- §. Фазода! и кучлар системасининг мувозанат шартлари .... 91
6.15- §. Бир нуцтаси билан мацкамчанган каттиц жисмнинг мувоза-
на| шартлари..................................................... 93
6.16- §. Иккита нуц|аси билан мацкамлангап цаттиц жисмнинг мувоза-
паг шартлари..................................................... 94
7-б о б. Параллел кучлар маркази ва огирлик маркази.................... 97
7.1- §. Параллел кучларнинг тенг таъсир этувчисини аницлаш. Па-
раллел кучлар маркази .......................................... 97
7.2- §. Жисмнинг огирлик марказини аницлаш..................... 99
7.3- §. Отирлик марказини аницлаш усуллари.................... 102
7.4- §. О1"н"| иикччи баъзн бир жинсли жисмларнинг огирлик мар-
казини аницлаш................................................ 105
7.5- §. Гю.тьден теоремалари.................................. 109
II Цисм. КИНЕМАТИКА .......................................... 112
8-боб. Нуцта кинематикаси............................................. 112
8.1- §. Асосий тушунчалар..................................... 112
8.2- §. Векторнинг скаляр аргумент буйича цосиласи........... 114
8.3- §. Нуцта царакатини аницлаш усуллари..................... 116
8.4- §. Нуцтанинг тезлиги .......................'............ 122
8.5- §. Нуцтанинг тезланиши .................................. 130
8.6- §. Нуцта харакатииинг хусусий цоллари .................. 138
9-б о б. Цаттиц жисмнинг илгарилама ва цузгалмас уц атрофидаги айлан-
ма царакатлари....................................................... 147
9.1- §. Жисмнинг илгарилама харакати.......................... 147
9.2- §. Цаттиц жисмнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма царакат
тенгламаси..................................................... 149
9.3- §. Жисмнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма царакати бур-
чак тезлиги. Текис айланма царакат..................... 150
9.4- §. Жисмнинг бурчак тезланиши. Текис узгарувчан айланма ца-
ракат ....................................................... 151
87—2282 577
9.5- §. Дузгалмас уц атрофида айланувчи жисм нуцтасининг чизиц-
ли тезлиги......................................................154
9.6- §. Дузгалмас уц атрофида айланувчи жисм нуцтасининг чизиц-
ли тезланиши.................................................156
10-б о б. Цаттиц жисмнинг текис параллел царакати..................... 160
10.1- §. Датгиц жисмнинг текис параллел царакатини аницлаш. Те-
кис шаклнинг царакат тенгламалари..........................160
10.2- §. Текис шаклнинг кучишига оид теорема.................. . 162
10.3- §. Текис шакл нуцталарининг тезликлари...............163
10.4- §. Тезликлар оний маркази............................. , 164
10.5- §. Тезликлар оний маркази аницланадиган баъзи цоллар ... 166
10.6- §. Центроидалар......................................171
10.7- §. Текис шакл нуцтасининг тезланишини цутб усулида аницлаш 172
10.8- §. Дутб усули билан текис шакл нуцталарининг тезланишла-
рини аницлашга оид масалалар...............................173
10.9- §. Тезланишлар оний маркази..........................182
11-боб. Цаттиц жисмнинг цузгалмас нуцта атрофидаги айланма царакати 188
11.1 -§. Цаттиц жисмнинг цузгалмас нуцта атрофидаги айланма ца-
ракат тенгламалари. Эйлер бурчаклари...........................188
11.2 - §. Эйлер-Даламбер теоремаси..............................189
11.3 - §. Оний айланиш уци. Аксоидлар...........................190
11.4 -§. Дузгалмас нуцта атрофида айланма царакатдаги жисмнинг
бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши.............................191
11.5 - §. Дузгалмас нуцта атрофида айланувчи жисм нуцтасининг
тезлиги.................................................... 193
11.6 -§. Дузгалмас нуцта атрофида айланувчи жисм нуцтасининг тез-
лаииши ........................................................195
11.7 -§. Оний бурчак тезланиш вектори............................197
11.8 *- §. Эйлернинг кинематик тенгламалари......................202
12- боб. Эркин цаттиц жисмнинг царакати ...............................207
12.1- §. Эркин жисм царакатинииг кинематик тенгламалари......207
12.2- §. Эркин жисм нуцтасининг тезлиги......................209
12.3- §. Эркин жисм нуцтасининг тезланиши....................211
13- боб. Нуцтанинг мураккаб царакати...............................212
13.1- §. Нуцтанинг нисбий, кучирма ва абсолют царакатлари .... 212
13.2- §. Мураккаб царакатдаги нуцтанинг тезликларини цушиш цаци-
дагн теорема...................................................214
13.3- §. Мураккаб царакатдаги нуцтанинг тезланишларини цушиш
цацидаги Кориолис теоремаси ...................................217
13.4- §. Мураккаб царакатдаги нуцтанинг нисбий, кучирма ва Дорио-
лис тезланишлари . . '.........................................219
13.5- §. Нуцтанин! мураккаб царакатига оид масалалар.............221
14-б о б. Даттиц жисмнинг мураккаб царакати.............................228
14.1- §. Умумий мулоцазалар......................................228
14.2- §. Жисмнинг илгарилама царакатларини цушиш цацидаги тео-
рема ..........................................................229
14.3- §. Жисмнинг кесишувчи уцлар атрофидаги айланма царакатла-
рини цушиш......................................................230
14.4- §. Жисмнинг иккита параллел уц атрофидаги айланма царакат-
ларини цушиш................................................ .^232
14.5- §. Цилиндрик тишли \затмалар...............................239
14.6- §. Жисмнинг илгарилама ва айланма царакатларини цушиш . . 244
111 Дием. ДИНАМИКА .....................................................249
15-б об. Динамиканинг асосий цоиунлари.............................. 249
₽78
15.1- §. Динамика предмети.....................................249
15.2- §. Классик механиканинг асосий цонунлари.................251
48-боб. Эркин модднй нуцта царакатининг дифференциал тенгламалари
ва динамиканинг икки асосий масаласи...................................254
16.1- §. Эркин моддий нуцта царакатининг дифференциал тенглама-
лари ..........................................................254
16.2- §. Моддий нуцта динамикасининг биринчи асосий масаласи (туг-
ри масала) ....................................................257
16.3- §. Моддий нуцта динамикасининг биринчи асосий масаласини
ечишга дойр масалалар .........................................259
16.4- §. Моддий нуцта динамикасининг иккинчи асосий масаласи
(тескари масала)...............................................262
16.5- §. Моддий нуцта динамикасининг иккинчи асосий масаласини
ечишга дойр масалалар..........................................265
16.6- §. Моддий нуцтанинг содда холлардаги тугри чизицли царакат
Р дифференциал тенгламаларини интеграллаш................274
17-боб. Моддий нуцтанинг тугри чизицли тебранма царакати ..........283
17.1- §. Умумий мулоцазалар....................................283
17.2- §. Моддий нуцтанинг эркин тебранма царакати ........ 283
17.3- §. Тезликнинг биринчи даражасига пропорционал булган царши-
лнк кучи таьсиридаги моддий нуцтанинг эркин тебранма ца-
ракати ........................................................289
17.4- §. Моддий нуцтанинг мажбурий тебранма царакати...........295
17.5- §. Нуктанинг тепкили тебранишлари........................298
17.6- §. Резонанс цодисаси.....................................300
17.7- §. Нуцтанинг мажбурий тебранишига муцит царшилигининг таъ-
сири 302
18-б о б. Богланишдаги моддий нуцтанинг царакати .....................311
18.1- §. Богланишдаги нуцта динамикасининг асосий тенгламаси . .311
18.2* - §. Дузгалмас силлиц сирт устидагк нуцтанинг царакати. Лаг-
рапжнннг биринчи хил тенгламалари..............................312
18.3- §. Силлиц эгри чизиц буйлаб царакатланувчи нуцтанинг царакат
дифференциал тенгламалари .................................. . 315
18.4- §. Берилган эгри чизиц буйлаб царакатланувчи нуцта царакат
дифференциал теигламасининг табиий координата уцларида-
ги ифодаси.....................................................317
18.5- §. Математик тебрангич...................................318
19-б о б. Моддий нуцтанинг нисбий царакат динамикаси..................324
19.1- §. Моддий нуцтанинг нисбий царакат дифференциал тенглама-
лари. Кучирма ва Кориолис инерция кучлари......................324
19.2- §. Классик механиканинг нисбийлнк принципи...............326
19.3- §. Нуцтанинг нисбий мувозанати. Вазнсизлик...............327
19.4- §. Жисмларнинг мувозанати ва царакатига Ер айланишининг
таъсири........................................................328
21?-б о б. Механик система динамикасига кириш.........................333
20.1- §. Механик система. Механик система нуцталарига таъсир
этувчи кучларни классификация цилиш.....................333
20.2- §. Системанинг массалар маркази..........................335
20.3- §. Инерция моментлари.....................................336
20.4- §. Жисмнинг параллел уцларга нисбатан инерция моментлари
цацидаги Гюйгенс — Штейнер теоремаси...........................339
20.5- §. Бир жинсли баъзи жисмларнинг инерция моментларини ци-
соблаш.........................................................340
20.6* - §. Жисмнинг берилган нуцтадан утувчи уцларга нисбатан
иисрния моментлари.....................................343
579
20.7* - §. Инерция эллипсоиди .................................345
20.8* - §. Инерция бош ухларининг хусусиятлари .......... 346
И-боб. Динамиканинг умумий теоремалари......................... . 352
21.1- §. Механик системанинг даракат дифференциал тенгламалари . 352
21.2- §. Моддий нудтанинг ва системанинг харакат мицдори. Куч им-
пульси.........................................................354
21.3- §. Нухта харакат миддорининг узгариши хацидаги теорема . . 358
21.4- §. Система харакат мицдорининг узгариши ха^идаги теорема . 362
21.5- §. Система массалар марказинииг харакати ха^идаги теорема . 366
21.6* - §. Система харакат миддорининг узгариши хацидаги теоремани
суюхликнйнг стационар оцимга татбихи. Эйлер тенгламаси . 369
21.7- §. Узгарувчан массали жисм ха5ида тушунча................371
21.8- §. И. В. Мешчерский тенгламаси...........................372
21.9- §. Циолковский формуласи.................................374
21.10- §. Моддий нухта харакат миддорининг моменти ва системанинг
кинетик моменти................................................376
21.11- §. Нухта харакаг михдори моментининг узгариши ха5иДаги
теорема .......................................................378
21.12- §. Нухтанинг марказий куч таъсиридаги харакати. Юзалар
Хонуни.........................."..............................380
21.13- §. Система кинетик моментининг узгариши хах^Даги теорема . 383
21.14- §. Система кинетик моментининг сахланиш х°нунн..........386
21.15- §. Мураккаб харакатдаги системанинг кинетик моменти . . . 387
21.16- §. Система массалар марказига нисбатан нисбий харакат кине-
тик моментининг узгариши хахидаги теорема......................390
21.17- §. Кучнинг иши ва хуввати...............................392
21.18- §. Тенг таъсир этувчининг иши хахидаги лемма............395
21.19- §. Айрим х°лларда кучнинг ишини хисоблаш................396
21.20- §. Каттих жисмга хуйилган кучларнинг иши................399
21.21- §. Моддий нухта ва системанинг кинетик энергияси. Кёниг
теоремаси.......................................................404
21.22- §. Кагтих жисмнинг кинетик энергияси....................406
21.23- §. Моддий нухта кинетик энергиясининг узгариши хаХиааги
теорема.........................................................408
21.24- §. Система кинетик энергиясининг узгариши хахидаги теорема 412
21.25- §. Потенциалли куч майдони..............................415
21.26- §. Тенг потенциалли сирт. Куч чизихлари.................416
21.27- §. Потенциал энергия....................................417
21.28- §. Куч функциясини анидлашга оид мисоллар..............418
21.29- §. Моддий нухта ва механик система учун энергиянинг сах-
ланиш хонуни ..................................................420
22-б о б. Каттих жисм динамикаси.............................. . . 421
22.1- §. Капих жисм динамикасининг асосий масалалари..........421
22.2- §. Каттих жисмнинг илгарилама харакат дифференциал тенг-
ламалари ................................................ ... 422
22.3- §. Кузгалмас ух атрофида айланма харакатдаги цаттих жисм-
нинг харакат дифференциал тенгламаси..........................423
22.4- §. Физик тебрангич......................................425
22.5- §. Жисмларнинг инерция моментларини тажриба усули билан
анихлаш.......................................................427
22.6- §. Каттих жисмнинг текис параллел хаРака1 дифферента’
тенгламалари ................................................430
22.7* -§. Кузгалмас нухтага эга булган жисмнинг харакати ва асосий
динамик характеристикалари.....................................436
22.8* - §. Эйлернинг динамик тенгламалари......................439
22.9* - §. Кузгалмас нухтага эга булган жисм учун динамиканинг
асосий масалалари..............................................441
22.10* - §. Эркин гироскопнинг харакати............,...........442
580
22.11- § Резаль теоремаси...................................... 443
22.12- §• Гироскопнинг элементар назарияси........................444
23-б о б. Даламбер принципи. К, у знал мае уд атрофида айланувчи жисмнинг
айланиш удига курсатадиган босими................................451
23.1- §. Моддий нукта учун Даламбер принципи......................451
23.2- §. Механик система учуй Даламбер принципи...................455
23.3- §. Капиц жпем инерция кучларининг бош вектори ва бош мо-
менти ............................................................458
23.4- §. }Кисм ^згалмас уц атрофида айланганда подшипника арнинг
динамик реакция кучларини тницлаш........................... . . 460
23.5- §. Дузгалмас уц атрофида айланувчи жисмни статнк ва дина-
мик мувозанатлаш................................................ 462
24-б о б. Аналитик механика ...................................к. . • 468
24.1- §. Богланишлар ва уларнинг классификацияси .................468
24.2- §. Мумкин булган кучиш. Системанинг эркинлик даражаси . . 471
24.3- §. Кучнинг мумкин булган кучишдаги элементар иши. Идеал
богланишлар...............................................474
24.4- §. Мумкин булган кучиш принципи.....................475
24.5- §. Мумкин булган кучиш принципини оддий машиналарга кул-
лаш.......................................................478
24.6- §. Мумкин булган кучиш принципини цуллашга оид масалалар 479
24.7- §. Системанинг умумлашган координаталари............484
24.8- §. Умумлашган кучлар................................486
24.9- §. Системанинг умумлашган координагаларда! и мувозанат шарт-
лари 488
24.10- §. Динамиканинг умумий тенгламаси. Даламбер—Лагранж
приннипи..................................................490
24.11- §. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари...................493
24.12- §. Потенциалли кучлар таъсиридаги механик система учун
Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари...........................497
24.13- §. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини цуллашга оид
масалалар ........................................................497
24.14* -§. Гамильтон—Остроградский принципи......................504
24.15* -§. Каноник тенгламалар...................................506
24.16- §. Механик системанинг устувор мувозанати дацида тушунча 510
24.17- §. Лагранж—Дирихле теоремаси..............................511
24.18- §. Системанинг устувор мувозанати яцинидаги кинетик ва по-
тенциал энергиялари............................................515
24.19- §. Эркинлик даражаси бирга тенг механик системанинг устувор
мувозанати яцинидаги кичик тебранишлари........................519
24.20- §. Эркинлик даражаси битта бул ан системанинг сунувчи теб-
ранма харакати....................................................522
24.21- §. Эркинлик даражаси бирга тенг механик системанинг маж-
бурий ебрапма харакати.........................................524
24.22* -§. Эркинлик даражаси иккига тенг механик системанинг усту-
вор мувозанати яцинида^и кичик тебранишлари.......................525
24.23* -§. УсIупор даракат дацида тушунча........................533
24.24* -§. Уйготил'ан харакат дифференциал тенгламалари..........535
24.25* -§. Х,иракагиинг устуворлиги дацнлаги Ляпунов теоремаларк . 536
24.26* -§. Биринчи яцинлашишдаги устувор мувозанат................538
24.27* -§. Даракатни оптимал бошцариш дацида тушунча.............512
25- боб. Зарба назарияси................................................544
25.1- §. Зарба назариясининг асосий тушунчалари...................544
25.2- §. Зарба назариясининг асосий теггламаси...................545
25.3- §. Зарба вацтида система харакат мицдорининг узгариши даци-
даги теорема . . . ...............................................546
25.4* -§. Зарба вак'ила нудта га система кинетик моментининг узга-
риши хацпдагн теорема .................................. ...... 548
581
25.5- §. Зарба вацтида зарбали кучнинг иши цацидаги Кельвин тео-
ремаси..........................................................°49
25.6- §. Жисмнинг кузгалмас сиртга урнлншидаги тугри зарба. Тик-
ловчи коэффициентни тажриба й)ли билан аниклаш .... 550
25.7- §- Иккита жисмнинг тугри марказий зарбаси................553
25.8- §. Зарба вацтида кинетик энергиянинг иуцолиши. Карно тео-
ремаси..........................................................556
25.9* - §. Зарбали кучларнинг цузгалмас уц атрофида айланувчи ва
текис параллел царакатдаги жиемга таъсири..............560
25.10* -§. Зарба маркази..................................... 561
1- илова. Айрнм механик катталикларнинг улчов бирликлари ... 565
Фойдаланилган адабиётлар..................................... 567
Номлар курсаткичи............................................ 568
Асосий тушунчаларнинг алфавит курсаткичи .......... 570
22.21
Р31
Рашидов Т. ва бошк- „ _ехника
Назарий механика асослари. Олин техник
vkvb юрт. студ. учун дарслик/Т. Рашидов, Ш. Ш
ви&тов К Б. Муминов; Т. Рашидов таздэирида.
2 тТ^итувчи, 1990.-584 6.
Учебник для высш. техн. учеб, заведена .
ББК 22.21я73
№228 — 90 _____ „
НавоиВ вопля УяССР Давлат
Тираж 2000 Карт, тиражи 4000
УвССР Давлат кутубхонасв
На узбекском языке
ТУРСУНБАЙ РАШИДОВ, ШАМИРЗА ШАЗИЯТОВ, КАДЫР БАКАНОВИЧ
мУминов
ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Учебник для высших технических учебных заведений
Iе издание
Ташкент — «Уцитувчш — 1990
Махсус му>;аррир Эркин Эргашев |
Нашриёт му^аррири Амир Ахмедов
Бадиий му^аррир Ф. Некцадамбоев 1
Техн, му^аррнр Т. Скиба
Корректор М. Минахмедова
ИБ №4716 I
Теришга берилди 6. 12. 89. Босншга рухсат этилди 28. 04. 90. Формати 60x90/16. Тк
Корози №2. Кегли 10 шпонсиз. Гарнитура литературная- Юцори босма усулида босилдг
Шартли б. л 36,5. Шартли кр.-отт. 36,5. Натр, л 30,5. Тиражи 10 000. Зак. № 2282. Бацос
1с. 30 т.
«Удитувчи» нашриёти, Тошкент, Навоий кучаси, 30. Шартнома №11-**78 — 85.
Уабекистон ССР Матбуот давлат комитети «Матбуот» полиграфия ишлаб чицариш бирлаШ
масининг Бош корхонасида терилиб, 3- босмахонасида босилди. Тошкент, Муродов к$ча
си, 1. 1990.
Н абрано на Головном предприятии, отпечатано в типографии №3 ТППО «Матбуот» ГовУ'
дарственного комитета Уз ССР по печааи. Ташкент, ул. Мурадова, 1.