Автор: Raniev I. G. Karimov A. M. Nuriddinov F. R. Mirsoliov E. A.
Теги: algebra matematika o'zbek tilida matematika darsligi algebra masalalari
Год: 2005
Текст
И. Г. Раниев А. М. Каримов
Ф. Р. Нуриддинов Э. А. Мирсоли\ов
Олий матем'йтикадан масалалар
дуплами
1 кием
Тошкент - 2005
УДК 5164 517
Ушбу $1кув цулланма олий математика фани б^йича амалнёт
дарсларини олиб боршша мулжалланган. Цулланмада--
топширидларни бажариш учун назарий тавсиялар берилган. Даре
жараённда ечиладиган топширнцларга мослаб ум вазифалари уда
мисол ва масалалар танлангаи.
Цулланма барча таълим йуналишларидаги бакалавр-талабалар
учун мулжалланган.
Кулланма институт тахририят кенгашида ва «Олий
математика» кафсдраси мажлнеида таедпцланган.
Тузувчилар: И. Г. Ганиев — физика-математика факлари
доктора, профессор.
А. М. Каримов - физика-математика фапларн
номзодидоцент.
Ф. Р. Нуридцинов - катта укитувчн.
Э. А. Мирсолихов — катта чкгтувчи.
Тацризчилар: ТошТЙМИ доценти М. А. Бердицулов
УзМУ доценти К. А. Курганов
Мухаррир: П. Аъчамова
Босишга рухсат этилди./5./й оГ Хажми 3 б. т. Буюртма №
Бичими 60 x 80 1/16._________.Удали____3°°______________________
Тошкент темир йул мухандислари института босмахонаси.
Тошкент, Одилхужаев кучаси, 1.
©Тошкент темир йул мухандислари института, 2005
Кириш
Маълумки давлат талим стандартлари талабларидан келиб
чпддан долда олий техника удув юртларининг талабаларидап «Олий
математика» фанини мукаммал узлаштириш, турли масалаларнипг
математик моделини ярата олиш, маитидий фикрлаш малакасипи
кучайтириш, даре жараёнида олган билимлариии амалий татбид
кила олиш талаб дилинади.
Аудиторияда угказиладиган амалий дарслар, талабаларда олган
билимлариии масалалар ечишда дуллаш учуй мудим куникмалар
довил дклади. Маърузада талабалар умумий куринишдаги
билпмларни узлаштиришеа, амалий дарсларда уни чудурлаштириб,
кенгайтириб олишади. Амалий дарслар талабаларнинг фикрлаш
добилиятнни ва нутдини ривожлаптиради хамда олаётган билимипи
назорат дилиб бориш имкониятини беради. Шу боне талабаларни
тегишли адабиётлар билан етарлича тамиплаш мадсадга мувофид
булади.
Олий математика фаии буйича амалий дарсларда апъаиавий
фойдалапиладиган адабиёт: В. И. Минорский «Олий математикадан
масалалар туплами» китобипинг узбек тилидаги нусхалари етарлича
эмас, борлари дам таъмирлашга мухтож. Ушбу удув д^лланма
вужудга келган бушлидларни тулдиради деган умиддамиз.
Цулланма олий математиканинг дуйидаги булимларини уз
ичига олган:
1. Олий алгебра;
2. Аналитик геометрия;
3. Лимитлар назарияси;
4. Дифференциал дисоб;
5. Интеграл хисоб;
(>. Куп узгарувчили функциялар;
Цулланмада, \ар бир мавзуга дойр мисол ва масалалар
беришдан аввал, дисдача казарий маълумотлар келтирилган.
.Мисоллар мураккаблик даражасига асосан берилган. Даре
жараёнида узлаштирилиши лозим булган мавзуларга мослаб yiira
бернладиган топширидлар танланган.
Идтндорли талабаларга мулжалланган мураккаброд мисол ва
масалалар * ордали белгиланган.
3
I боб. Олий алгебра элементлари
1§ Детерминантлар, хоссалари. Крамер доидаси
Иккинчи
тартибли детерминант
деб,
1«и «|?
|«21 «22
куринишда
белгиланувчи
ва
«I
а,
«12
— апа22 а12а:
тснглик
бил ан
анидланувчи
сонга аитилади.
Учинчи тартибли
детерминант деб,
«и
"2!
а,, о,
а-
«з> а.
куринишда
бегиланувчи ва
а12 °13
ап °23 — a\\<-i22a33 *" £/12°23°31 + ^13^2)^32 ^13^22^31 °\\1l23Cl 32 ''6/12^211?Ч
47:<1 Л*,
тснглик билан анидланувчи сонга аитилади.
Детерминантлар дуйидаги хоссаларга эга:
1°. Барча сатрлар ва устунлар уринлари алмаштирилса, яъни
сатрларии устун, устунларни сатр дилиб ёзилса, детерминант
ди ймати узгармайди.
2°. Ихтиёрий икни сатр (устун) уринлари алмаштирилса,
детерминант ишораси узгаради.
3°. Икки сатри (устуни) бир хил булган детерминант нолга
теш-.
4°. Ихтиёрий сатр (устун) умумий кунайтувчисини детерминант
белгисидан ташдарига чидариш мумкин.
5°. Бирор сатр (устун) элементларига бошда сатр (уступ)
элемептларини дандайдир сонга купайтириб дунпнндан детерминант
узгармайди.
Айтайлик,
аиХ| +а|2х2 +а,3х, =6,
а,,*, +а,,х2 + а2зл'з - ^2
д,|Х| +а32х2 +я13х3 = ё,
4
чизицли тенгламалар системном берилган булсин. Номаълумлар
олдидаги коэффициентлардан тузилган Д детерминант асосий
детерминант дейилади. Бу детерминантда, 1-устундаги
элементлар урнига Л, — элементлар куйилишидан хосил булган
детерминант Д, ордали белгиланади.
Худци тунга ухшаш 2- ва 3- устунларни Z>, —элементлар билан
алмаштнришдан хосил булган детерминант ДЧ1 ва дь каби
белгиланади. Агар д*0 булса, бундам система ечимлари цуйидаги,
Крамер формуласп ёрдамида топилади:
Детсрмнпаптларнн хисобланг?
1 5 2’
9 . 7
4. 1 -ь - ь а - Ь а b
7 1 3
7. 5 3 2
1 4 3
1 а ftcl
10. 1 b са\
1 с ab‘
ав в1
sin а cosa
5. sin /7 cos fl
3 2 -4
8. 4 1 - ?
5 2 -3
1(5. 1 1 ! 1 а о 1 а' а 0 а - в
19. -а 0 с
в -с 0
cos a sincz
sin р cos
4 -3 5
14. 3 -2 8
I -7 -5
a a a
17. - a a X
~ a ~ a X
a - a a
20. a a
a - a ~ a
Детерминант хоссаларидан фойдаланиб хисобланг:
а + х
X
в + х
23. х
sin a cos а 1
25. sin/? casfi 1
siny cosy 1
1 + а 1 1 1
28. 1 1 1-а 1 1 1+6 I 1
1 . 1 1 1-6
3 2 2.. . 2
2 3 2.. 2
30*
-1 -1 -1 -1
-1 -2 -4 -8
2/.
-1 -3 -9 -27
-1 -4 -16 -64
11 23 . .
-10 3 . .
29*...............
-1 -2 -3
X
X
2 2
Тенгламалар системасини Крамер формуласи ёрдамида ечинг:
31. Зх + 4у =7 х + 5у> = 6
33. 5х + 2у = 4 7х + 4 у = 8
35. 8х + 3у = 14 5х -у = 3
х + у + 2z — — 1
37. 2х - у + 2z = -4 4х + у + 4z = -2 х + 2у + Зг = 8
39. 2x + y + 2z = 5 Зх + 2у + z = 4
41. • Зх - 4у = 0 х-5у = -4
32. Зх + 2у = 7 4х - 5 у = 40
34. Зх + 4у = 7 х + 5у = 6 2х - у - г = 4
36. Зх + 4у - 2z = 11 Зх - 2у + 4z = 11 Зх + 2у + z = 5
38. 2x + 3y + z = l 2х + у + 3z = 11 х + 2у — z = 4
40. x + 5y+z = 5 7x~2y + z - 4
42. Зх-2_у = -1 4х-у = 2
6
43.
45.
(5x- 2y = l
|х + 4 у -- 9
f8.v + 5 у = 13
: 5х - у - 4
44.
46.
47.
х - у - 2г - -3
2х + у + 2г = 6
4.г--9>’ + 4г = 12
Гх-2д--3.?---1
49. i2x-y + 2x ^ О
[зх + 2.у+ — 7
50.
[ Зх - 4,1' = 11
(х + 5> = -9
2X4 y-3z^0
x + 4y-2z=3
Зх + 2у - 4s = 1
Зх - 2у - г = О
2х-3у - г = -2
2х + у + Зг = 6
x + 2j'-z=--2
•V 7 ! 1 1
7х - у + г = 1 5
2§ Матрицалар.Чизшуш тенгламалар сисгемасини тескари матрица
ёрдамида ечиш
Турлм </ ( соплардан тузил га и А = (д,)п == \,m,j = 1,п)
жадвал ахт улчамли матрица дейилади. Агар п=т булса, квадрат
матрица цеппладп.
A-{a,j) ва В==Д) квадрат матрицалар устида куйидагича
амаллар киритиш мумкин:
±А„) Л4 = (,Яд.()
A ini В квадрат ма'фицаларнинг купайтмаси деб шундай С = (<?„)
матрицага айтиладикп, элементлар тенглик билан
l=i
аницланади-
. (0, агар i* i
A = (oJ, с> ~s • . бцрлик матрица деиилади.
11. агар i = j
А-В = В-А~Е шартни 1цшоатла)1тирувчи В матрица А матрицага
тескари матрица дейилади. Келгусида тескари матрица А~* орцали
бел: ’ил а пади ва куйидагича тоиилади:
pi„ лп . . . л,/
г, 1; л, • •
' ~Й|....................’
\4< 4, 4»,?
Бу ерда |л| берилган матрица детерминанта, At) минорлар
+а,,х,+... + а|„х,,= Л|
Й2Л + й22*2 + - + агЛ = Ь2
^,Л+а„,х1+... + а„х,1 = bn
тенгламалар системаенни матрицалар
ёрдамида
X «12
б/-,| a2i
А1 4,2
в
AJ
, ЯТ.НИ А X = В
куринишда ёзиш мумкин. Демак, ХХ--А~'-В .
г, 1
51. Л =
V- 3
хисоблапг.
А2+2В-5С НИ
fcosa -siiio1 fl 11
а2. ни хисоолаиг. •><:>. I ни топинг.
fsina cos« ) Д) 1J
54.
1 И ни допинг. 55.11
3 4) U
матрица билан урин алмашинувчи
матрицани допинг.
2
2
булса, АВ ни уисоблапг.
Берилган матрицага тескари матрицани допинг.
(1 2^ о fcosa -Sinai
о7. А = , 5о.
12 5) Isma cosa J
59. А =
2
3'
О
J,
Ломаълум матрицани топинг:
2 -3" р
2 -4 10
-1 0 j ДО
-3 О'
2 7 .
7 8,
G2. П ни топинг. 63. Р ' I нн топинг.
(Д -2) (0 л.)
(>4 д = | 1 °| 5 = 1 I бд.пт. Л4-В'1 ни хисобланг.
1о 4) 0 1J
fl 2
1'
2
3,
'4 11'
, В= -4 2 О
J 2 1,
булса, В-A ни хисобланг.
Берилган матрицага
(1 2\
66. ,4= " , 67.
I2 3 * 5/
тсскари матрицами топинг.
f а <А
Д =
Iе d)
1
О
1
1... 1'
1... 1
1... о,
(о о о
Номаълум матрицами тонине:
6Lf14 16)
8/^9 10/
Г(уйидаги системаларнл матрица усулида ечинг.
[Зх + 4 у = 7
74. л
[х + 5у = 6
2х, - х, - х3 = 4
75.рх, + 4х, -2х, =11
Зх, - 2х, + 4х, = 11
3 § Комплекс сонлар. Муавр формулалари
Хациций х,у сонлар ёрдамида тузилган z = x+iy сон комплекс
сон оса мавхум бирлик дейилади. Бунда х комплекс
сониинг хацидий днеми, у эса мавхум дисми дейилади.
z'-x + iy ёзув комплекс сониинг алгебраик ифодаси дейилади.
Агар s, =х, +iyt ва z, = х, + ;>, комплекс сонлар берилган булса, улар
устада алгебраик амаллар цуйидагича киритилади:
Г, ±3, =(Х, +х,) + /(.у| + Jp , 3, -2, =(х,х, -уд,) + /(х,у, 4-Х2Д,),
9
х,+Ф = + ЛТ2 + -Vi ~Л'1Ь,
Z, x,+/y, x’z+ryS X'l+y'l
z = x + iy учун z = x-iy кушма комплекс сон дейилади. z = x + iyсонга
текисликдаги А(х,у) нудтани мое цуйиш мумкин, x = rcas<p, y = rsmtp.
|CMj = г = -jx2 +у2 хацидий сон комплекс соннинг модули, 0.4 векторпи
Ох удининг муебат йуналиши билан хрснл цилган у бурчаги эса
комплекс соннинг аргумента дейилади.
x = rcos(P, ,v = rsin(» эканлигидап z = х + yi = r(cos^ + zsin<?>) келиб
чицади. Бу ёзув комплекс соннинг тригонометрии шаклп дейилади.
Тригонометрии шаклдаги комплекс устидаги амаллар куйидагп
хоссаларга ;>га:
Zj -Z, =/-|(cos?’l + sin $!>,)• Г, (cos $7, +!Sin(9 ) = 7-p-2 [cos(^>! 4-<f,)+/sin(^! +p,)j,
= -i-[cosp/2, -<p0 + i sin(p) - p,)],
22 r2
z" =[r(cos<f>~-zsinip)]" =r”(cos<fi + /sin)7^),
----------— г <ру2кя . . (p + 2kzt
Jr(cos<p + isinip) =yr(eos~-г/sin----),k - 0,l,..(n -1)
n n
Охирги икки формула Муавр формулалари дейилади.
е"" =cos+/sin^ тенглик урипли булиб, Эйлер формуласи дейилади.
Амалларнп бажаринг.
76. (2 + 3/)(3-20 77. ф + Ы)Ф-М) 78. (3-2i)2, 79. (1 + /)'°
80. (1 + 03 81. — 82. 83.(3-0(4 + 20
I-/ l+i
84, .Г—S5.i'°2 86. (4 + 30(5-20 87. (а + Ы^-Ы)
2(2 + 0
88. (3 + 41Т- 89. (1-О20 90. (1-04 91. -- <)2.^ 93.(6 +/)(1 + 2/)
1 + i 1 - z
94. 95,р««
4(3-0
10
Берилган комплекс сонни тригонометрии шаклда тасвирланг.
96.s = -I-/ 97.z = l-/ 98.z = l + z 99.z = -l + /
100. z = /
101.1 102.z = -1-/7з 103.z = 73-/ 1O4.z = ~1 + 2/
105. z =-|- + /ЗлЕ 106. z = 3 107 z = 2/ 108. z = 2-2i
109. г = 7з+/,
HO. г = -7з-/ 111. z = j2-~j2i 112. z - sina + /(1-cosa).
113. z = 1 -/(2 + 73) 114.z=l-/73 115.z = l + /73
Муавр формуласидан фойдаланмай, хисобланг:
116. 7-17 1 17.71Т+87 118.7-11 + 60/ 119.77^1 120.^1?
121. 122. it+JZ, 123. 72/, 124. . 125. Tl-I/
(1 4 /)5 t- 1 (1-/)’
Муавр формулалари буйича хисобланг.
126.(1 + /7з)'5° 127.(73 + /)’° 128.(1-/)'“° 129. (2 - 72+ /)'2 13O.^-j + /-^
131. -fi 132. 7-24-2i 133.134.7Г+7 135-^872(1-/) 136.716
137. (l-/)!438. 139.(l + ^- + i)24 14O.(-l+/)l0° 141.(-1-/)20
1-/ J 2 2
142. VT-27 143. V-Tj 144. 7T 145. «.QtL 146.T~-~27
V i + /7з
4§ Юцори даражали тенгламалар
.v5 + их2 + hx 4 с = 0 тепглама кубик телглама дейилади.
Бу тепглама л- = г-| алмаштириш ёрдамида z1 + pz +q = Окуринишга
келтирилади. Хоснл булган тенгламаии
u-+v = J-- + J^-+—+J---J—+—Кардано формуласи била»
ечилади. А = — + сон тенгламанинг дискриминанта дейилади.
и, = Reu,v, = Rev.
I) А>0
булса,
щ + vl
2) A = 0 булса, z, = —,z, = z3 =
р ~ 2
х,.;, =2^Aos(^±120°), бунда =
Бирор илдизни танлаб, тенгламани ечинг:
147.x’-5х2-2х + 24 = 0 148.9г1 + 18х2 л 2 .) 149..? -3.? 4 4 О
150. л-1 + 8л-2 + 15л- + 18 = 0 151. Зх’ + 2х2 -1 = О
Кардано формуласи буйича ечинг:
J52.z’-6z + 4 = 0 153.z’ + 6z2 + 30z + 25 = 0 154. z1 + 18z -19 = О
155. z’-3z + 2 = 0 156. x’ + 6x2 + 9x + 4 = 0
157. Илдизлари берилган сонлар булган тенгламани тузинг:
а) 1; 2; -3; -4
б) -1 уч каррали, 1 ва i бир каррали.
158. Купайтувчиларга ажратинг:
а) х6+27 б)х6-х’+1 с) х2"+х"+1 д)х4+4
Бирор илдизни танлаб тенгламани ечинг:
159. х'1 -4х2 +х + 6 = 0 160.x’-4х2-4х-5 = 0 161.x4+х’+2х-4 = О
162.x5 -х4 -16х + 16 = 0 163. 4х’ -4х2 + х-1 = О
Кардано формуласи блфича ечинг:
164. z'1 -6z-9 = 0 165. z’-12z-8 = 0 166. z1 +12z + 63 = О
167. z’+6z + 2 = 0 168. х3+9х2+18х + 9 = 0
169. Илдизлари берилган сонлар булган тенгламани тузинг:
а) 2; 1; -2; 3
б) —1 уч каррали, 1 ва 2-Z бир каррали.
170. Купайтувчиларга ажратипг:
а) х8-1 б)х6+1 с) х6-1 д)х4+1
13
II боб. Координата системаси
1 § Нудтанинг тугри чизивдаги ва текисликдаги координаталари.
Икки нудта орасидаги масофа
1. Мусбат йуналиши анивданган тугри чизид ук дейилади.
Уднинг А ва В нукталар билан чегараланган кесмаси
йуналтирилган кесма дейилади. Одатда цайси нукта бош нукта,
дайси бири кесманинг охирги нуктаси эканлиги аитилади.
Йуналтирилган кесманинг мивдори деб шундай сонга айтиладики. у,
агар АВ кесма йуналиши уднинг мусбат йуналиши билан бир хил
булса, АВ кесма узунлигига тенг, агар АВ кесма йуналиши ук
пуиалишига дарама-царши булса, АВ кесма узунлигпни минус
ишораси билан олинганига тенг ва АВ билан белгиланади. АВ кесма
узунлиги эса |Л5| билан белгиланади.
Агар увда узунлик улчови бирлиги ва бирор О нукта
белгиланган булса, бу увда координата системаси киритилган
дейилади ва упи сонлар уци деб юритилади.
Сонлар уцидаги М нудтанинг координатаси деб ОМ кесма
мивдорига аитилади ва х = ОМ деб белгиланади. М(х) ёзув М
нудтанинг координатаси х эканини билдиради.
Агар М^Х'') ва М2(х2) увдаги иккита ихтиёрий нукталар булса,
М\Мг =х2 - л,
формула М,М2 кесма мивдорини,
а = \МtM2 | = | х2 -х,|
формула эса унинг узунлигини ифодалайди.
Текисликдаги нуцтанинг увда проекцияси деб, шу нукгплаг
увда утказилган перпендикулярнинг уд билан кесишиш нудтаеини
айтилади.
Агар текисликда умумий узунлик улчов бирлиги ва ум умни
бош нуцтага эга булган узаро перпендикуляр иккита сонлар уди
берилган булса, текисликда декарт координата системаси
киритилган дейдилар. Бунда горизонтал 5^ абциссалар уки
вертикал, ук ординаталар уди дейилади ва мос равшида Ох в а Оу
билан белгиланади.
Агар М, ва нудтанинг Ох ва Оу увдарига проекциялари М
булса,
х = ОМх ва y = OMv
14
сонлар м нудтанинг координаталари дсйилади ва М(х-,у) билап
ифодаланадн.
Агар А/Дл-,:/,) ва м2(х,\у2) текисликдаги икки нукта булса,
улар орасидагн масофа
а = у (.г, - х,): + (>', - у, У
формула билли апидланади.
/ 7 \
171. .4(3), в(- 4), С(о.з), D - ~ | нудталарни сонлар удида
курсатииг.
[ 72. Координаталари 1) |х| = 1, 2) |х + 2| = 3, 3) |1 - = 2
тснглнкларни даноатлантирадиган нудталарни топинг.
173. Агар 1)л(-1) ва в(4). 2) /1(-з) ва 5(-7) булса, АВ кесма
мндцорн ва узунлигини топинг,
174. Агар 1) в(з) ва 4В--5: 2)В(-1) ва |дв| = 5 булса, А
нудтани и г коордп натасини аниклан г.
175. Arap I) 4-3:2): 2) /?(+5;1> 3) С(-1;1> 4) /?(+1;2) булса, Ох
у’дпга нпсбатан бу пудталарга симметрии булган нудталарни топинг.
1713. Агар Г) Л(-2;2>, 2) в(3:-1), 3) с(-4;б); 4) £>(-6;-2) булса,
Оу ук.ига нпсбатан бу пудталарга симметрии булган нудталарни
топинг.
177. В пуцта л(4:-1) нудтага 1) координата бошига; 2)
бпринчи чоракпинг биссектрпсасига нпсбатан симметрии булса, АВ
узунлигини ТОПИ1 !Г.
178. л(2А) ну=та «а ГАудидан 5 бирлик узодликдаги
нукталарии топинг.
179. /1(8,4) ну=:та ва координата бошидан бир хил узодликдаги
нудтани Ох удида. топинг.
180. Учларп 4(4;3); в(- 3:2). С’(1;-б) пудталарда булган
учбурчакка гашдн чизилгаи айлананинг маркази ва радиусини
топинг.
181. А(-5), в(о,8), с(7), fiQ-'j нуцталарни сонлар удида
курсатинг.
182. Координатапарп 1) |х-1| = 3; 2) |5 - х| = 2; 3) |х|=-4
тснглнкларни даноатлантирувчи нудгаларни топинг.
183. Агар 1) .4(3) ва й(-2^ 2) 4(7) ва в(11) булса, АВ кесма
мнкдори ва узунлигини топинг.
1.5
184. Arap 1) 5(o) ва 4 2; 2) в(-1) ва ВА-2 булса, А
нуцтапинг координатасини аницланг.
185. Агар 1) л(2;-3>, 2) В(- 4;6>, 3) С(б;б); 4) О(-5;-4) булса, Ох
укига нисбатан бу нукталарга симметрии булган нукталарни топинг.
186. Агар 1) 2) в{- 2;1>, 3) С’(5;-3); 4) Р(2;3) булса, Оу
укига нисбатан бу нукталарга симметрии булган нуцталарни топинг.
187. В нуцта л(-5;2) пуктага 1) координата бошига, 2)
иккинчи чорак биссектрисасига нисбатан симметрии булса, АВ
узунлигини топинг.
188. л(4;2) нуцтадан координата уцларига уринувчи айлана
утказилган, унинг маркази ва радиусини топинг
189. а(- 2;5) нуктадан ва координата бошидап бир хил
узоклнкдаги нуцтаии Оу уцида топинг.
190. Учлари л(-3;-1), в(5;3). С(б;-4) нуцталарда булган
учбурчакка ташци чизилгаи айланапипг маркази ва радиусини
топинг.
2§ Цутб координаталари
Р^утб координата системаси, текисликдаги бирор О нуктани,
ундан бошланувчи ОА нурнп ва узунлик улчов бирлигини курсатпш
билан киритилади. О пукта кутб, ОА нур кутб уки дейилади.
Ихтиёрий м нуктанииг кутб координаталари деб, р^'ОМ\ ва
ф = ааом сонларга айтилади. Бунда р кутб радиуси, <;? аса кутб
бурчагн деб аталади.
м(р;<у) ёзув билан М нуктанинг кутб координаталари р ва <р
эканлиги курсатилади.
Цутб бурчаги р, бир биридан ихтиёрий бутун сон п учун -2тт
га фарк килувчи чексиз куп кийматларни дабул килади. Унинг
-л<(р<л тенгсизликни каноатлантирувчи кнйматлари асосий
цийматлари дейилади.
Агар текисликда декарт координата системаси ва цутб
координата системаси курилаётгап булса, координата боши О нуцта
кутб, Ох укининг мусбат йуналинги кутб уки деб кнеоблападн. Бу
\олда текисликдаги \ар бир нуцта М икки турдаги (г. у) ва (р,р)
16
координаталарга зга. Бу координаталар дуйидаги формулалар билан
узаро богланган:
x = pcos^, _y = psin^.
Уз павбатида цутб координаталари
<Р
формулалар билан декарт координаталари ордали ифодаланади.
191. нудталарни дутб координата системасида
белгиланг.
192. А14;— L 5(1;-1) нудталариинг дутб координаталарини
\ 7 )
тонинг ва уларни курсатипг.
193. Цутбга иисбатан А I;— , В 2; — нуцталарга симметрии
булган нудталариинг координаталарини топинг.
194. Кутб удига иисбатан А\ 5;--5|4; —| нуцталарга
2 J V 6 J
симметрии булган пукталарнинг координаталарини тонинг.
195. ./в;-— 1 Ж’Л] нукталар берилган булса, АВ кесма
уртасипинг дутб координаталарини топинг.
196. нукталар дутб координата системасида
берилган. Цутб уди 180* га бурилиб янги дутб координата системаси
кнрнтплди. А ва В пукталарнинг янги координаталарини топинг.
197. Цутб координата системасида ва нукталар
орасидаги масофани топинг.
198. Царама - дарши учлари Л|6;-7— , пудталарда
V 12 J < 6)
булган квадратнпнг юзини топинг.
199. Учлари О цутбда ва нудталарда булган
учбурчакнинг юзини топинг.
200. 6; —I в|10;—С’| 12;— I нудталарнинг декарт
у 2 / <3/ I 6 J
координаталарини топинг.
17
201.
л(2;я), В 3;- нудталарни дуто координата системасида
берилган.
202.
топинг.
203.
л(1;2) ваВ(5;-1) нудталарнинг дутб координаталарини
Кугбга нисбатан /1;-—], В|3;— | пудталарга симметрии
I 3 ) \. 4)
булган нудталарнинг координаталарини топинг.
204. Кутб удига нисбатан Л^2;^, B^l/^ нудтгыарга симметрии
нудталарнинг координаталарини топинг.
205. ва иудталар берилган булса, ДВкеема
уртасипинг дутб координаталарини топинг.
206. л(2;0), иудталар дутб координата системасида
берилган. Кугб уди 90" бурилиб янги дутб координата системасн
киритилди. А ва В нудталарнинг янги координаталарини топинг.
IЛ X J 1 rf - '
1\угб координата системасида Д!3;--J, нуцталар
207.
орасидагн
208.
масофани топинг.
Царама -дарши учлари
—В|3;—j нукталарда
булган квадратнинг юзини топинг.
209. Учлари /в;—\ /б; —
I 24) I 8
учбурчакнинг юзини топинг.
210. /10;- —1 /2;-1
I 3 ) I 4)
координаталарини топинг.
нукталарда ва кутбда булган
с(5,о) нудталарнинг декарт
3§ Кесмани берилган писбатда булиш.
Учбурчак ва купбурчакнинг юзи
Агар текисликда А(х,;у1) ва В(х,;у,) иудталар берилган булса,
АВ кесмани Л^АС-.СВ нисбатда булувчи c(x;v) нуктанипг
коорди I талари
х, +
-J-------- ва
формулалар билан топилади.
18
Хусусан, С(х,у) нуцта АВ кесманшгг уртаси булса, Л = 1 ва
х, -н х,
х=-------=- ва
')
формулалар уринлп.
Учлари ^(xpv,)
учбурчакнииг юзи
в(х, ;у,) ва С(х,;у,) нуцталарда булган
формула билан хисобланиши мумкин.
Бу формула учлари ^(-ь;у2), С(х3;у3),
нуцталарда булган п бурчакнинг юзини хисоблаш учун
умумлаштмрнлиши мумкин, яъни
Хусусан, учта нуцтапинг бир тугри чизивда ётишини
зд!
Х,у,1 = О
х3У31
тенгликнп тсктириш билан ашщланади.
211. л(--2:1) ва 5(3;б) нукталар берилган булса,
а) АВ кесмани /. = АС:СВ = 3:2 нисбатда; б) АВ кесмани
Я = АС:СВ = -3:2 нисбатда булувчи С нуцтанииг координатасини
топинг.
212. Учлари /|(3:,-7), В(5;2), С'(-1;0) нуцталарда булган учбурчак
томопларипинг урталарини топинг.
213. Томопларипинг урталари Р(3;-2), О(к,б) ва я(~4;2)
нуцталарда булган учбурчак учларининг координаталарини топинг.
214. 4(3;2) ва в(15:б) нуцталар берилган. АВ кесмани тспг беш
булакка булувчи нукталарнинг координаталарини топинг.
215. Ох укининг в£| в(х’) нукталарида /яра от, массалар
жонлаштирилган. Бу массалар системасининг марказини топинг.
19
216. Узунлиги 50см ва огпрлнги 500? булган бир жпнсли
стерженнинг учларига огирликлари 130 ва 400.’ булган шарлар
оеилган. Шу системанинг огирлик марказини тониги.
217. Учлари л(1;4), в{- 5:0). С(-2;-1) нукталарда булган учбурчак
медианаларииинг кесишиш нуцгасини ва юзипи топинг.
218. Учлари //(2;1), 5(б;4)„ С(3;3) нукталарда булган учбурчакнииг
С учндан тутпирилган баланцлигини топинг.
219. Учлари О(0;0). л(1:4>, В(3;2). нукталарда булган
учбурчакнииг юзини топинг.
220. Учлари л(3;1), 5(4;б). С(б;3). нукталарда булган
туртбурчакнинг юзи кисоблансин.
221. л(1;1) ва в(10;7) пукталар берилган булга, а) 4В кееманн
Л = АС :СВ = 1:2 нисбатда; б) АВ кееманн л = АС :СВ = -1:2 нисбатда
булувчн с пуктапииг коорднпатаеини тоиилг.
222. Учлари д(0;2.), В(- 4;б) ва <:.’(8;0) нукталарда булган
учбурчак томонларининг урталарнни топинг.
223. Томонларининг урталари Р(4;3), С>(5;4) ва Л(7;3) нукталарда
булган учбурчак учларинииг координаталарини тончит.
224. л(-1;-2) ва в(9;3) нуцталар берилган. АВ кееманн тент уч
буланка булувчи нукталарнинг координаталарини toihiih'.
225. Учлари л(2;0), й(5:3\ С(2;б) нукталарда булган бир жинсли
тахта учбурчакнииг огирлик марказини топинг.
226. Учлари д(-19;17). Д(37:50) ва с(1;2) нукталарда булган
учбурчакнииг юзини уиеоблапг.
227. Учлари в(-1;7'| ва б’(0.4) нуцталариинг бир тутрн
чизивда ётиши курсатилсин.
228. Учлари л(0;0), в(2!;0). ((б;8) нукталарда булган учбурчакка
ички чизилгап айлананинг маркази ва радиуснни топинг.
229. Огирлик маркази Р(2;2) муктада, учлари л(2;3),
в(з,1)нукталарда булган учбурчакнииг юзини уисобланг.
230. Учлари л(-2;1), г(5;2) ва о(0;6) нукталарда булган
туртбурчакнинг огирлик марказини ва юзини уисобланг.
4§ Фазода координата системней. Икки пукта орасидаги масофа.
Кесмани берилган нисбагда бул игл
1. Фазода декарт координата гнете маги абсцисса.тар,
ординаталар ва аппликаталар уци деб агаладлган узаро
перпендикуляр учта Ох, Оу, Oz укларини курсатиш билан
анидлаиади. Oxyz фаз» одатда R3 билан дам белгиланади. R" даги
М нудтанинг координаталари ун-шг Ох, Оу, О? удларига
проекциялари булган, Мх, My,Mz нудталарда тугайдигап ОМх,
ОМу, OMz кесмаларпимг миддорлари билап анидлаиади ва M(x;y;z)
ифода билан курсатилади.
ва ;-2) иудталар орасидагн масофа
d = \АВ\-= ^(хг -xyf +(у, - д',)- +(з, -г,)’ (1)
формула билан анидлаиади.
МХМ, кесмани нисбатда булувчи М
иудтанинг
координаталари
+ Лх2 у, + Лу2 ’ । + zz,
1+л ’ у~ н-л ’ "... ЬЛ
(2)
формулалардан анидлаиади. Хусусан, М нудта
уртаси булса, унипг координаталари
y = ,, = +г2
1 ' У 2 • - 2
формулалар билан топ клади.
мхм, кесманинг
2. Фазода декарт координата снетемасидин таищари цилиндрик
ва еферик координата системаларини кнритиш мумкин.
Цилиндрик координаталар системасида м нуктанииг
координаталари унинг анплпкатаси г ва Олутекнслигндагн
проскциясининг цутб координаталари в' ва /?билан аинцланадп ва
декарт координаталари билан
x = /?cos<9, y = psm.0, z = z
формулалар орцали боглашан ва p<Q, О<0<2.т,
С(|>ерик координаталар системасида эса М нуктанииг
координаталари ундан О цутбгача булган масофа р, ОМ кеемапинг
Оху текислнк билан досил дилган бурчаги гр ва ом кеемапинг
футекисликка проекцияси билан кутб уки орасидаги 0 бурчак
орцали аникланади ва декарт координаталари билан
X - pCOS0COS(p, у-psi П0 COS (р, S:-psin</7
формулалар орцали боглашан ва ,о>0, 0<(7<2т.
2 z'
(3) формуладан
22
р2 =х’ +.Г + У (4)
келнб чицадн ва
--- - ccsa, -- - cos/?, = cos/. (5)
Р Р Р
Бунда а,р,у бурчаклар ОМ мое равишда кесманинг Ох, Оу, Oz
,укларининг муебат йуналишларп бнлан хосил цилган бурчаклари ва
упинг йуншшшини аницлайдилар.
(4) формуладан
cos2 a + cos? /? + соз2 / = 1 (G)
айният келиб чикади.
231. 1\\'йидаги нук'галарни декар г координаталар системасида
курсатипг ва уларнинг цилиндрик ва сферик координаталариии
аппцланг.
л(з;?;л/з | 6'(4;У5Н), с(-2;1);-7Я /?(-3;-4,5)
232. /1(12:- 3:4) нудтадан координаталар бошигача ва координата
уцларигача булга» масофаларпи, ОА кесманинг йуналишини
апицланг.
233. л(-2,1;3) ва 3(0;-1;2) нудталар орасидаги масофани топинг.
234. Oyz текиелигида л(3;1;2), 8(4;-2-2) ва С(0;5;1) нуцталардан
бир хил узоцликдагн нудтани топинг.
235. Учлари л(-1;0;-1), Л‘(0;2;—з) ва <’(4;4;1) нуцталардап булган
учбурчакиннг юзинн уисобланг.
236. д(2;-1;7) ва л(4;5;-2) нуцталар берилган булса, АВ кесмани
координата текисликлари дандай ниебатда булишини топинг.
237. Координаталар текпсликларига уринувчи ва Л/(4;—1;-1)
нуцтадан утувчи сфера н ин г маркази ва радиусини топинг.
238. Абцнсса ^кида л(-3;4;8) нудтадан 12 бирлик узоцлнкдаги
нудтанп топинг.
239. Учлари .-i(2:-l;4), Z?(3;2;—6) ва Q-5;0;2) нудталарда булган
учбурчакиннг томонлари уртасини, 4 учидан угказилган
медианасинпнг узунлнгини топинг.
240. л(-1;8;3) ва 23(9:-7;-2) nyjyrajiap берилган. АВ кесмани
бешта теш булавка булувчи С,Д,Е,Р' нудталарнипг
координаталариии топинг.
23
241. Куйидаги нудталарни дежарт координаталар систсмасида
курсатинг ва уларнинг цилиндрик ва сферик координаталарини
аницланг.
Л(3;~4;5), С’(- б;0;8), Д(б;2;-'Д
ОА,ОВ,ОС,ОД кесмалариияг йуналишларини анндланг
242. Учлари д(5;2;б), В(б;4;4), G(4;3;2) ва Д(3;1;4) пудталарда
булган туртбурчакнинг квадрат эканини исботланг ва унга та: иди
чизилган айлананинг радиуси ва марказини анндланг.
243. д(2;3;1) ва В(5;-3;2) нудталарга 1) Оху текисликка; 2) Ох?
текисликка; 3) Oyz текисликка; 4) абцисса удига; 5)ордината
удига; 6) аппликата удига; 7) координаталар бошига пнсбатап
симметрии: нудталар координаталарини топинг.
244. Ординаталар уцида .4(1;—3;7) ва 5(5:7;-5) нукталардан бир
хил узодликдаги нудтапи Tominr.
245. Учлари д(3;2;-5), Д(1;-4;3), С(-3;0;1) нудталарда булган
учбурчак томонларининг урталарнни ва АД медиаi шейпинг
узунлигини топинг.
246. Параллелограммнипг иккита учи л(Д-3;-5}, й(-1;3;2) ва
диагопалларининг кесипшш нуцтаси Е(4..-1;7) берилган. Унипг долган
иккита учини топинг.
247. Параллелограммнигиг учта учи л(3;~ 1;2), Z?(l;2;—4) ва с(-1;1;2)
берилган. Унинг туртинчи Д учини топинг.
248. л(-1;6;б) ва »(3;-6;-2) нудталар берилган. АВ кееманн
координата текисликлари цапдай нисбатда булишмии топинг.
249. Учлари д(3;-1;б), В(-1.";-2) ва С’(1;-3;2) нудталарда булган
учбурчакнииг юзини, унга ташди чизилган айлананинг радиуси ва
марказини топинг.
250. Учлари л(1;-1;3), i?(2;l:-?) ва С(-5:2;-<>) нудталарда булган
учбурчакнииг АД медианаси, ЛЕбисселгтриеаеи, ЛЕбаландлиги
узупликларипи топинг.
251. д(2;0;2) ва 5(5;-2;0) нудталар берилган. АВ несмани тенг
уч булакка булувчи С ва Д п^цталарнинг координаталарини топинг.
Ill боб Векторлар алгебрасишшг асослари
1 § Векторлар ва улар устида амаллар. Векторнинг координаталари
1. Йуналнши курсатилган кесма вектор деб аталади. Чизмада
доим векторни стрелка курипишида тасвирлаймиз. Одатда
векторниш бош нуктаси Ана охирги нуцгаси В к^рсатилиб, АВ
билан ёки а билан бютгиланади.
Векторнинг модули, яъни узунлиги АВ
ёки 1ё|
каби белгиланади. Бир тутри чизикра параллел
булган векторлар коллннеар векторлар дейилади.
Бир текнеликка параллел векторлар комплапар
векторлар дейилади. 'Генг модулга эта, узаро
коллинеар ва бир хил йуналишли векторлар тенг
векторлар депн.тадп г>а а^Ь кыринишда
белгиланади.
Векторлар тенглигининг таърифидан, векторнинг бош нуктаси
ихтиёрий танлапиши мумкинлиги келиб чидади, яъни векторлар
параллел кучириш натижасида узгармайди. Шу сабабли, агар тугри
чизицда, текиелнкда ёки фазода декарт координаталар системаси
берилган булса., уамма векторлар ушбу системаиииг бошланиш
нудтасидан бошланади деб хисоблаймиз.
2. « векторнинг харикнй сон 2 га куиайтмаси деб, а векторга
коллниер модули U;|a| га тенг булган ва агар 2>0 булса, « билан
бир хил iiyiiani-iiiLTii, агар 2<0 булса А га карама рарши йуналши.тн
Ь векторни айталадн ва />=Л5 кыринишда ёзилади. Агар 2 = 0 бу'лса,
ёки а бош ва охирги нуртаси устма-уст тушган ноль вектор булса,
2-3 = 0 билан ифодаланади.
3. В iso h векторларнинг йигиндием деб, Ь вектор а иннг
охиридан бошланганда, 3 векторнинг бошидан бошланадиган ва Ь
векторнинг охирида тугайдиган с векторга айтилади ва с = а + h
билан ифодаланади. Бунда а ва Ь векторлар кутиилувчилар деб
аталади.
25
4. а ва h векторларнинг айпрмаси деб шундай с векторга
айтиладики, Л ва с векторларнинг йигиндиеи Р векторга тенг ва
с-з~Ь билан ифодалаиади. 5 ва Ь векторларнинг айирмаспни
чизмада курсатиш учуй, уларнп бир нудтадап бошлапувчи деб,
6 пинг охиридан бошланадиган ва 5 нинг охирида тугайднган ё
вектории курсатиш керак.
Вектории хадидий сонга купайтириш, векторларни рушиш
амаллари куйидаги хоссаларга эга:
Г. a + b = h+a;
2’. (a + i)+c =« + (&+?
3". a + 0 = 0 + 3 = ст,
4'. а + (-о)= 0;
.5°. л(а + />j= Ла + Лй;
б". (Я + р}а = Ла + /на-,
Т. л(/») = (Ла)а.
5. 3 векториинг I уккг проекцияси деб, ту вектор узунлигиии
у у^ининг ихтиёрий нуктаснга кучирилганда, укнинг мусбат
йуналиши билан хосил цилган бурчаги гоитпгд ига купайтмасппи
айтпладн ва преа = !«|cosp билан ифодалаиади.
Векториинг уцца проекцияси цуйидаги хоссаларга зга.
1. прс(Ла)= Лпрдг,
2. пре (й + b) = пр, а + пр,, b.
6. Фазода декарт координаталари системаси берилган булга,
ихтиёрий /l(x,y,z) нукта учуй ')Л^а вектор А нуктанниг радиус
вектори дейилади.
а векториинг координата удларига проекциялари уннпг
координаталари дейилади ва улар А пуктанинг координаталари
билан бир хил.
a = (x;y;z) тенглик х.у ва z сонлар 3 векториинг Ох, Оу ва О:
уцларидаги проекциялари, льни координаталари эканлигини
ифодалайди. У холда
|5| = ух7 т-.У Г2"
(!)
формула векториинг модулями координаталари ор1^али аницлайди.
> у
Агар а,Ду 5 вскторнннг координата удларииинг муебат йуналиши
билли уоенл цилгаи бурчаклари булеа, cosa, cos/? ва cos/
ми=дорлар а векторпииг йуиалтирувчи косинуслари дейилади. (I)
формуладан .v~je|coscr, у-рГсовД z - jjjeosy, cos2a+cos2/? + cos-’y = l
экаплнги келнб чнцади.
Координата уцларининг муебат йуналиши буйича йуналган ва
узунлиги бирга тенг векторлар ортлар дейилади ва 1,],к билан
бел шла пади.
Хар дандай а вектор Г./Д ортлар орцали
а xi + yj + zk
(2)
формула билан ифодалачиши мумкин, бунда x,y,z лар а векторпииг
коордннаталари
Хуеусан, агар « = (х ..у,,;,) ва Ь --=(.i-,,y,,z2) булса, (2) формулага
кура
а ±b = (.г, + х,)/ + (у, ± у, V + (z, х у, = Д, + х-, ;у, + у,;z, ± z2)
Л5 = .ЪгД + лу, j + Aztk (Аг, ;луу, Аг,)
тенгликлар уринлн ва векторларнипг коллинеарлик аломати деб
31 = А = А
д-2 у, г.
пропорциялар уринли эканини айтишимиз мумкин.
Агар -Фчу-у) ва B(x,y2z,) фазодаш ихтиёрий нудталар булеа,
АВ = ()В-ОА =(,лф +Д,./ + 2.Д )-(*,/ + У\] +-Л)= (•*• )' +6/2 ~У\}] + (гз
27
(х.,-хр,у, -у;г, -г,),
яъни фазода бош ва охирги нудтаси билан берилган аВ векторнинг
координаталарини топиш учун охирги нуктанииг коордиваталаридан
бош нуктанииг координаталарини айириш етарли ва унинг модули
(I) формулага кура
|лв| = 4(х? У 4 (у, -у,У -I- (г, - 2, У
формуладан анидланади.
252. Берилган а ва Ь векторлар буиича 1| о+Л; 2) /? -«;
3) -а-Ь; 4) За-2Ь; 5) 2ё+;-Л 6) --Й-ЗА ЕСКТОрларНП ЧНЗНПГ.
3 2
253. Агар а ва Ь векторлар учбурчакнинг томонлари булса,
бу учбурчакнинг медианаларини ифодаловчи вскторларпи топинг.
254. Агар |«| = 13. = ва + = 24 булса, ни топинг.
255. Агар |«| = 5, |й| = 8, 4 ва Ь векторлар <р = бО‘бурчак косил
дилса, |й+б| ва |а-&| ни топинг.
256. Учтя комплаиар т.п ва рбирлик векторлар берилган
булиб, (отР?) = 30‘ ва (йф)=б0" булса. й -т + 24 -3р векторни чпзинг ва
унинг модулини анидланг.
257. Агар |й| = 13ва а векторнинг координаталари л-= 4. у = -42
булса, унинг учипчи координатами ни анпклаш
258. Агар |й| = 2ва бурчаклар «-=45;, /?=69", у =120' берилган
булса, а векторнинг координаталарини анидланг ва уни лизинг.
259. г? = (12;—15;—16) векторнинг йуиалтирувчи коеипуеларини
топинг.
260. Текисликда 5 = (.3;-2), У = (-2;1), .? = (7;-4) векторлар берилган
булса, уларнинг хар бирини долган иккитаси ордалн ифодаланг.
261. Фазода р = (3;-2;1). ./ (-!J 21. г = (2;!;-3) векторлар берилган
булса, а = (11;—б;5) векторни p.qj: орцали ифодаланг.
262. 5 = (2;-1;3) Ь =(-6:3;~9) векторларпинг коллпнеарлигини
текширинг ва уларнинг йуиалишларини анидланг.
263. Агар а = (3;-8;8) ва Ь = (-1;1;4) векторлар берилган булса,
уларнинг йигиндиси ва айирмасишшг модулини топинг.
264. /1(3:-1;2) ва в[-1;2:1) нудталар берилган булса, АВ
векторнинг координаталариш! ва модулини анидланг.
265. Параллелограммнинг кстма-кет учта учи х(1;2’.:3), д(3;2;1)
ва С(б;4;4) берилган булса, унинг туртинчи учи D тоиилсни.
28
26(5. АВ = (2;6;4) ва АС = (4;2;-2) АВС учбурчакиннг томонлари
булса, шу учбурчакиннг AM, BN, СР медианалари узунликларини
топинг.
267. Берилган а ва 6 векторлар буйича 1) а-Ь; 2) -(б-а} 3)
46-35; 4) ~~а + 2Ь; 5) 25 + 6; 6) -~Ь-4а векторларни лизинг.
268. Агар а ва Ь учбурчакиннг иккита медианалари булса, шу
учбурчакнинг томонларини ифодаловчи векторларни топинг.
269. Агар (5| = 11; !б| = 23 ва |5-б| = 30 булса, |а + б| ни топинг.
270. Агар |«| = 3; |л| = 5, а ва Ь векторлар орасидаги бурчак
</>=120° булса, |5 + б| ва |б-б| ни топинг.
271. Узаро 120" бурчак ташкил этувчи а ва Ь векторлар
модуллари |5| = 3; |б| = 4 булса, 6 = 25-1,56 вектор чизилсин ва унинг
модули а никла! icm i.
272. Агар |5| = 18 ва унинг координаталари г = -12, г = 7П
булса, унинг учиичи координатаси х ни топинг.
273. Агар |5| = 4, а = 135”, /? = 60", /=60" бурчаклар берилган
булса, 5 векторнинг координаталариии топинг ва унн лизинг.
274. л(5;-3;4) иудтанинг радиус векторини, йуиалтирувчи
косииу<-ла ри! 1И топш I г.
275. Текисликда й = (3;-1), 6=(1;-2), с=(-1;7) векторлар берилган
булса, уларнинг хар бирини долган иккитаси ордали ифодаланг.
276. Фазода 5 = (2;1;0), a = -2i + 3j + рк с=(2;2;-1) ва 5 = (3;7;-7)
векторлар берилган булса, уларнинг дар бирини долган учтаси
ордалн ифодаланг.
277. а ва р нинг дандай дийматларидан a = ~2l + 3] + рк ва
b --ai- бу +2к векторлар коллинеар булишини ва 5 ва Ь
векторларнинг нуналишипи анидланг.
278. Агар а = (б;-2;-3) ва 6=(3;4;12) векторлар берилган булса,
25-Ь ва 35 + 26 векторларнинг модулларини топинг.
279. л(1;2;3) ва В(3;-4;б) нудталар берилган булса, АВ
векторнинг координаталари ва модулини топинг.
280. Агар л(2;-1;3), ва С(0;0;5) параллелограммнинг
кетма-кет учлари булса, шу параллелограммнинг туртинчи учи D
пн топинг.
29
281. а = (2;-3;б) ва 6=(-1;2;-2) векторлар берилган булса, улар
орасидаги бурчак биссектрисаси буиича йуналган ва модули 3^42
булган с векториинг координаталарини топинг.
2 § Векторларнинг скаляр кунайтмаси
Таъриф. Икки векториинг скаляр кунайтмаси деб шу
векторлар модуллари ва улар орасидаги бурчак косииусининг
купайтмасига тенг сонга айтилади ва а-Ь билан белгиланади.
Агар а ва Ь векторлар орасидаги бурчакни <р билан
белгиласак, уларнинг скаляр купайтмаеини
a b - |u|-|i>jcos<p (1)
формула билан ифодалаиади.
Агар пр-Ъ билан Ь векторнинг а вектор йуналишидаги
нроекциясини белгиласак, скаляр кулантма
а • b - |й| • пр\г,Ь = |б| • пр-ci
формула билан хам ифодалаиади.
Векторларнинг скаляр кунайтмаси цуйидаги хоссаларга зга:
1. а-Ь=Ь-а - урин алмаштириш хоссаси;
2. Лй(7 + с) = ЛЗ-6+ЛЗ-с - тарцатилиш хоссаси;
3. Агар булса, а-Ь = ±!й|-|б|, хусусан 3-3 = |3|2;
4. 3*0, 6*0 булса, 316 булиши учуй а-Ь = 0 тенглик
бажарилиши зарур ва етарли;
5. ортларнииг скаляр кунайтмаси учун Т- j -=7-к =0,
= 7 7 = к' к = 1 тенгликлар уринли.
Агар а ва b =(x2;y,;z2) векторлар берилган булса 2
ва 5- хоссалардан
a b =х,х, -i-jyy, +7,2,
формула келнб чицади.
Икки вектор орасидаги бурчак косинуси
30
a-b XX., 4- V, V, -i- 2.2Г,
СОЬф - '“ТГл "= —, —
|a||/>| .Д! + vf "--(S/X +yl +г;
формуладан анпцланади, хусусан
Х1Х2 + У •, У 2 + “|-> - О
тенглик а ва Ь векторларнинг перпендикулярлик шарти деб
карал и ш и му м к ин.
282. с=-7 = / ва Ь = 1-2] + 2к векторлар орасидаги бурчак
анидлапсии.
283. Агар а ва 5 векторлар орасидаги бурчак <р=~-~ ва |«| = 3,
3
|б| = 4 булса, 1,1 а-Ь; 2) а-а; 3) Ь-Ь; 4) (й + б)-(« + б), 5) (за-2b\a + 2h\
6) (.37 + 2Ь^За т2Z>) упсобланспн.
284. й-з, |лр-5 булса я пинг дандай цийматларида а г ЛА ва
а-ЛЬ векторлар узаро перпендикуляр булади.
285. Учлари .-1(2;-1,зХ Bjj.1,1) ва С(0;0:,5) нудталарда булган МВС
пппг пчки бурчакларн топилсин.
286. хОу ва yOz бурчакларнинс биссектрисалари орасидаги
бурчакни топинг.
287. а = 21+] ва b=-lj + k векторлардан «калган
нараллелограммнннг диагоналларм орасидаги бурчакни топинг.
289. Агар туртбурчакнинг кетма-кет учлари л(1;-2;2), 5(1;4;0).
С(-4;1;1) ва D(-5;-5;3i берилган булса, унинг диагоналларм орасидаги
бурчакни тошшг.
290. <i-(2U-l) векторга коллиисар шундай Ь векторни
ТОПИНГКИ, а-Ь=3 булсин.
291. X вектор а = 31+2] + 2к ва А = 18Г-22/-5Л векторларга
перпендикуляр, Оу учен билан утмас бурчак хосил цилиб, ре|-14
булса, .? векторнинг унинг координаталари аницлансин.
292. а = (5;2;5) векторнинг Ь (2;-i;2) вектор йуналпшидаги
и ] кич; пи яеп 1 in тон ин г.
293. а = 27+6.7 + ЗА ва 6=7 + 2.7 + 24' векторлар орасидаги бурчак
косинуеини топинг.
294. alb ва с вектор улар билан 60° бурчаклар ташкил
кнлеа, П = 3, |л|-=5. у| = 8 булган уолда 1) ас; 2) ad: 3)
(з5-2б)-(б гЗс) 4) (с + 6 6 + с), 5) (з« <-2а)-(2й-За} 6) |а + 2Ь - Зс|
хрсоблансин.
3i
29 .5. X Hiuir цандай дийматларида а = (Л;3.,4) ва ь = (-2;2;Л)
векторлар узаро перпендикуляр булади?
29(5. Учлари Л(1;2;1), в(3;-1;7^ С(7:4;-2) нукталарда булга и
учбурчакнииг ички бурчакларини топинг.
297. Квадратнинг бир учидан дарши томонларни тенг иккига
булувчи тугрн чизицлар утказилгаи. Шу тугрн чизицлар орасидаги
бурчакни топинг.
298. ^ = — бурчак ташкил дилувчи а ва h векторларнинг
6
модуллари |e| = V3; | = 1 булса, а ва b векторларга ясалган
параллелограмм диагоналлари орасидаги бурчакни топинг.
299. Агар параллелограммнинг кетма-кет учлари л(-3;-2;0),
27(3;—3;1) ва с(5;0;2) берилган булса, унинг D учи ва диагоналлари
орасидаги бурчакни топинг.
300. a = 2ir~j+3k, Ь =-J-3]+ 2к, с = 3? + 2/-4к векторлар берилган
булса, г-а=-5, £-Ь=-11, х-с = 20 шартларни капоатлантирувчи £
вектории топинг.
301. в = (2;3;-1), д=(!;-2;3) векторларга перпендикуляр ва
х-(27~j'+ к) =—6 шартни даноатлантирувчи £ вектории топинг.
302. a=3i-6j-k. b=i^4j-5k. с векторлар берилган
булса, а+Ь пинг с вектор йуналишидаги проекциясипи топинг.
3 § Векторларнинг вектор кунайтмаси
Таъриф. а ва Ь векторларнинг вектор кунайтмаси деб шундай
с=а*Ь билан белгиланадпган
учинчи векторга айтиладики:
1) унинг модули а ва Ь
вскторлара ясалган
параллелограммнинг юзига
тенг;
2) у а ва Ь векторларга
перпендикуляр;
3) у шундай
О а йунгштирилганки. с
векторнинг учидан Караганда а вектордан векторга цараб энг
кичик бурилиш бурчаги мусбат бурчак булнб куринади, яъни й, Ь
ва с векторлар унг координаталар системаси ташкил килади.
32
Параллелограммнинг юзи учун формуладан
S = |с| = \а х = je|^|sin (р
формула келиб чидади, ят.ни вектор купайтмадан учбурчак ёки
параллелограмммшшг юзини топишни талаб дилипган ма-
сал аларнн ечншда фойдаланиш мумкин.
Вектор купайтма дуйидаги хоссаларга ага:
] ) а х Ь = ~Ь х а;
2) ах [kb +/zc)= ЛахЬ + рахс-,
3) в||л булиши учун ахЬ=о тенглик бажарилиши зарур ва
(марли.
4) ортларнинг вектор купайтмаси учун
i xi - j х j - к xk = 0, ixj-к, jxk=i, kx i = j
tciiгликлар урипли.
Агар <7-(.г,:_vl;zi) ва b = (r,;j2z,)
уларнинг вектор купайтмаси
векторлар берилган булса,
формуладан toiшлади.
303. ;а| - б. |/>| = 5 булиб, а ва Ь векторлар ораеидаги бурчак
^> = 30" булса, ахЬ векторнинг модулини топинг.
304. |й|--10, ва 3 Л =12 б^лса, ахЬ векторнинг модулини
топинг.
305. а = з7-7-2Л ва b=i+2~j~k векторлар берилган булса, 1)
ахЬ-, 2) (2a+Z?)x&; 3) [la-б)х(2а+й) векторларни
топинг.
<306. Агар )) 3 = 3/, Ь=2к; 2) a = i+/\ h-i-j; 3) й = 2/+3/,
Ь =з]~2к булса, с=йх/? вектор ва унинг модули аницлапсин.
307. а = (2;-2;1) ва Ъ = (2;3;б) векторлар ораеидаги бу}»чак
синуспни топинг.
33
308. 5 = 27+А ва b-l + 2k векторлара параллелограмм ясалеин,
хамда унинг юзи ва баландлиги топилсин.
309. Учлари д(7;3;4), 5(1;0;б), С(4;5;-2) нуцталарда булган АВС
учбурчакиннг юзи топилсин.
310. а - (2;-3;1) ва 6=(1;-2;3) векторларга перпендикуляр булган
ва х-(/+27-7а)= 10 шартни каноатлантирадиган х векторни топинг.
311. т ва п узаро 45° бурчак ташкил килувчи бирлик
векторлар булса, диагоналлари 2т-п ва 4т-5п векторлардан
иборат булган параллелограммнинг юзини хисобланг.
312. Агар « = (2;—3;1), Ь =(-3;1;2) ва ё = (1;2;3) векторлар берилган
булса, (йхй)хс ва ах(бхс) купайтмаларни хисобланг.
313. |5| = 5, |б| = 2 булиб, а ва Ь векторлар ораеидаги бурчак
150° булса, <5x6 вектор модулини топинг.
314. Агар |а[ = 3, j&| = 26 ва |ахб| = 72 булса, а-b скаляр
купайтма и и хи соблан г.
315. Агар << -(5.2;5) ва Ь =(3;~6;-1) векторлар берилган булса, 1)
ах 6; 2) (5а-3б)ха; 3) (la -b)х(з« + 2Ь) ВСКТОрларНИ ТОПИНГ.
316. Агар 1)а = /-3/, f = y + 2) a = i-3j+4k, b ~3i-4/А-2к: 3)
a = 3i, 6 = 1 + 57 булса, c=axfe вектор ва унинг модули аникланеип.
317. а=(2;-4;4)ва Ь=(-3;2;б) векторлар ораеидаги бурчак
сипусини топинг.
318. а = ЗА-27, 6=31-27 ва c=axij векторлар чизилсин ва I) с
векторнинг модули; 2) а ва Ъ векторларга ясалган учбурчакиннг
юзи топилсин.
319. а=к~] ва b=i+j + k векторларга ясалган
параллелограммнинг юзи ва баландлиги топилсин.
320. Учлари Л(1;-2;8), В(0;0;4) ва С(б;2;0) нуцталарда булган АВС
учбурчакниш’ юзи ва BD баландлиги топилсин.
321. т ва п узаро 150° бурчак ташкил килувчи векторлар
булса, а = т + 2п ва b = 2m-t-n векторларга ясалган
параллелограммнинг юзини ва баландлигини топинг.
322. д = (4;-2-3) ва 6=(0;1;3) векторларга перпендикуляр, Оу уки
билан утмас бурчак досил килиб, модули 26 га тенг булган векторни
топинг.
34
4 § Векторларпинг аралат купайтмаси
Таъриф. ci,b ва с векторларпинг аралаш купайтмаси деб,
бнрлнчи инки векторнинг вектор к^найтмасини учинчи векторга
скаляр купайтмаси га тенг сонга айтилади ва а-Ь-с билан
белгнланадн, якни 5 Ф с = (й х ь ) с.
Аралаш кунайтма абсолют кийматн буйича а,Ь ва с
вскторларда ясалган параллелепипнднинг хажммга тенг; Г = ft с|
У Холда а,Ь,с векторларга ясалган нирамиданииг хажми
буладн.
Агар ft.ft.c векторлар координата.! арп билан, яьни й
b =-(.v,;v.;z,), ? = берилган булеа, уларпинг аралаш
купайтмаси
ф .1, г,
«ft-c=jx2 у. г-,
л-3 г,
формуладон топила ди.
Аралаш купайтма куиидаги хосеаларга зга:
1) а h с -- -а - с Ь = с - а -Ь'.
2) al|ft булга, а Ф? = 0;
3 ) (й X b )• <? - а х с 1
4) й.1\с векторлар комнланар булиши учуй d-b-c =0 tci глик
бажарилннш зарур ва етарли.
323. <АхЗ/х4/, b^^j + к ва c = 2j+5fc векторларга
параллелепипед ясалеин хамда унинг хажми хисоблаисин.
324. Агар с некто]) д ва h вектоэларга перпендикуляр, « на
Ь орасидап! бурча к 30“ |б| = 3, |с(=3 булса, а-Ь-с хисоблан/ин.
325. Arap ii, h ва с векторлар а*Ь+Ь*с + с*а =о шартпи
цаноатлаптирса, улар комнланар эканлпгипн исботлапг.
326. Учларн о(0;0;0), Я(5;2;0), С(1;2;4) нукгаларда бул га н
нирамиданииг хажми, АВС егининг к»зи ва шу ёгига Tyuiupi .паи
балапдлнгя хигоблаштш.
35
327. Цуйидаги векторлар иинг компланарлиги текши рил сип:
I) a = 2i+3j-k, b=i-j+3k, с = i -f 9 J -1 l.f;
2) a = 3i-2J + k, h-2i + f + 2k, c =3i - J-2.k:
3) a = 2i-/+2k, b=:i-2j-3k, c=3i-4/+7i.
328. д(2;-1-2), 5(l;2;l), с(23;0)ва Pfr0;-6) нуцталар бир
текисликда ётиши текширилсин.
329. Узунликлари 2 га тенг координата лар бурчакларинипг
биссектрисалари б^йича йуналган (М ОВ, ос векторларга ясалгаи
пирамиданинг хажмини толииг.
330. Берилган параллелепипед ёцларининг диагоналларига
ясалган параллелепипеднииг хажми дастлабки параллелепипд
^ажмидан икки марта катталигиии исботланг.
331. \ажми 5 га тенг булган тетраэдриннг учлари
л(2;1;-1), в(3;0;1), с(2;-1;3) нудталарда ва D учи Оу удида булеа, 1)
учииинг координаталарини топ нит.
332. Х^ар цандай 5, Ь ва ё векторлар учуп а-b, h-с ва с-а
векторлар компланар булипшпи исботланг.
333. a = i--j + 3k, b=--~4ii3k, с =14 5/-к векторларга ясалгаи
нараллелепииеднинг хажмппи, 3 ва ё жжторларга ясалгаи
ёгининг юзини ва шу ёгига туширилган баландтигннп хисоблаиг.
334. Учлари Л(2;-1;1), ,3(5;5,4К С(3;2;- 1) ва щъталарда
бу.пан булган пирамиданинг уаж.мини хисобланг.
335. Учлари Л(2;3;1), й(4;1;-2), С(6;3;?)_ ва Z)(-5;-4;8) нукталарда
булган булган пирамиданинг D учидан туширилган баландлипши
хисобланг.
336. Цуйидаги векторларнинг комнланарлигини текшмринг
1) й = (2;-1;3), 6=(1;4;2), с =(3;l;-l);
2) а = (1;6;5), Ь=(3;-2;4), ё = (7;-18;2)
Улар компланар булса, с лектории а ва Ь векторлар ордали
ифодаланг.
337. л(1;2;-1),В(0;1;5),С(-1;2;1) ва о(2;1;3) нуцталар бир текисликда
ётадими?
338. Ихтиёрий а, Ь, с векторлар учуй р = 3+Ьлс, q-^a + b-c
ва г=3-Ь + с векторларга ясалган параллелешшеднииг хджмипи
хисобланг.
339. Учлари л(1;1;1), /;(4:4;4), С'(3;5;5) нукталарда булган
пирамиданинг хажми Зга тенг булиб, CD цирраси Oz уцига
параллел булса, пирамиданинг D учини топинг.
36
340. Айниятларни исботланг.
1) (й + й)-[(а + с)х b]= -а • b с;
2) (й + 2ft-с)-[(а-с)х(а - b-с)]= 3-а-Ь-с.
341. Ихтиёрий a,ft,с векторлар учун alb, 31с булса,
ftxfft хс)=0 тенглик лфиили эканлигини исботланг.
37
IV боб. Текисликда аналитик геометрия
1§ Чизидлар ва уларнинг теигламалари
Аналитик геометрияда х,ар бир чизид нудталарнинг геометрик
урин сифатида. даралади. Бу таърифда чизиднинг хамма
нудталарига тегишли булган хосса келтирилади ва бу хосса асосида
чизндда тегишли нудтанинг л- ва у координаталариии богловчп
ифода келтириб чидарилади: F(x;y) = 0.
Чизиднинг тенгламаси деб, х ва у узгарувчиларга нисбатан
шундай тенгламани айтиладики, уни шу чизндда ётган дар дандай
нудтанинг координаталари ва фадат уларгина даиоатлаитиради.
Агар текисликда дутб координата сиетемш-п кирнтплган булса,
чизиднинг тенгламаси г ва /р узгарувчиларга нисбатан тузиладп:
F(r;<p) = 0.
342. л(2;1) ва 5(-1;4) нудталардан бир хил узодликдаги
нудталарнинг геометрик урни тенгламасини тузппг.
343. С(з,4) нудтадан 5 бирлик узодликдаги нудталарнинг
геометрик урни тенгламасини ёзинг.
344. л(1;0) нудтага нисбатан 5(4;0) нудтадан икки марта
ядинрод х.аракатланувчи м(х-,у) нудтанинг траектория^!
тенгламасини ёзипг.
345. Р(2;2) нудтадан ва Ох удидан тенг узодликдаги
нудталарнинг геометрик урни тенгламасини ёзипг.
346. Хар бир нуцтасидан £'(2;0) ва нудталаргача булган
масофаларнинг йиншдиси 2^5 га тенг чизид тенгламасини сзинг.
347. ва F,(2;2) нудталаргача булган масофаларнинг
айнрмаси 4 га тенг нудталар геометрик урии тенгламасини ёзинг.
348. I) 2x + 5j + IO = O; 2) j = 3-2x-x?; 3) j?=4-x чизицлар
ясалснн.
349. Маркази С(5;0) нуцтада, радиуси 5 га гонг айлананинг
дугб координаталаридаги тенгламаси ёзилсии.
350. 1) г = а<р (Архимед спирали);
2) Г = 4/(1 - COS(p) 3) г2 = а2 cos 2<р 4) г=" V 5) (Кардиоида); (Лемнискатта); (Гиперболик спираль); (Паскаль чиганоги) 38
Г :=//(] + 2COS(,p)
чизидлар ясалсин.
351. I) г = a sin Зр (уч япродли гул);
2 ) г = a sin 2р (турт ян рок,ли гул)
чизицлар ясалсин.
352. л(5,--1) ва в(1;-5) нудталардан бир хил узокликдаги
нукталарнннг нюметрик урни тенгламасини гузинг.
353. С(3:5) нуктадан 7 бирлик узодликдаги нуцталарнипг
геометрик урни тенгламасини тузииг.
354. Д(0;1) нуктага нисбатан 5(0;9) нудтадан уч марта узоцроцда
.уаракат кплувчн М{х;у) луцта траекториасн тенгламасини тузииг.
355. /’(4;0) нуктадан ва одината увидан бир хил узоцликдаги
нуцталарпннг геометрии урни тенгламасини ёзинг.
356. Хар бир иудтаеидан F(-3;0) ва /у{3;0) нукталаргача бул гаи
масофалариинг пин-ищнси >о га гонг булган геометрик урни
тенгламаси ёзилсин.
357. Хар бир нуцтасидан F(-5-fi) ва 7',{5:0) нукталаргача булган
маеофаларнннг апнрмаси 6 га тенг булган чизик тенгламасини
ёзинг.
358. 1) л- гФ|х.о. 2) (х-2)’ =16: 3) у-=х2+4х + 5 чизицлар
ясалсин.
359. Маркази с.'(0;3) пуд та да ва радиуеи 3 га тепг айланапинг
к.утб координата системасидаги тенгламасини ёзинг.
360. I) 2) >•=--—; 3) г =2” чизидлар ясалсин.
cose? sin<7>
361. Кугбдан «? = -~ бурчак остида чицувчи нурни ?- = з^
6
Архимед спирали кееиб утган нуцталар орасидаги масофани топииг.
2§ Тугри чизикиинг бурчак коэффициентам тенгламаси,
умумий тенгламаси, кесмалар буйича тенгламаси
Декарт коорди наталарига нисбатан, хар цапдай чизидли
генглама тугри чизпкни нфодалайди г.м дар цандай тугри чизицнинг
декарт координаталарига нисбатан тенгламаси чизицли тенглама
булади.
Тугри чнзикпииг тенгламаси х ва у ^згарувчи
координаталардан 'lainpapn узаро боглиц булмаган иккита
нарамстрпи уз ичига оладн. Gy параметрларга хар хил киймат
39
бериб, текисликда™ хир хил тугри чизикларнинг тенгламаларини
келтириб чицариш мумкин.
1. Тугри чизикнинг бурчак коэффициентли тенгламаси
у = кх + Ъ.
куринишда булиб, бу ерда к коэффициент тугри чизик; билан Ох
уцининг муебат йуналиши ораеидаги бурчаги а иинг таигенсига тенг
(k=tga) ва тугри чизикнинг бурчак коэффициента дейилади.
Параметр Ь эса тугри чизикнинг Оу уцидан ажратган кесмасининг
узунлигига тенг.
2. Чизицли тенгламанинг умумий ифодаеи бу.тан
Лх - By -г (7 = О
тенглама, тугри чизикнинг умумий тенгламаси дейилади.
Хусусий коллар:
а) 0 = 0 булса, у = ---х - тугри чизик коордшшталар бопшдан
в
утади;
б) в~0 б5'лса, х————~а •• тугри чизиг; Оу уцка игараллел
А
бул<1дп;
в) А = 0 булса, у = -—-!> - тугри чнзик; Ox jiyta параллсл
булади;
г) 5 = 0 = 0 булса, х = 0 - тенглама Оу уцни ифодалайди;
д) А = 0 = 0 булса, у = о - тенглама Ох уцни ифодалайди;
3. Тугри чизицнинг координата ^дуйридан ажратган кесмалар
буйича тенгламаси
куринишда булади.
Бундаги «ва h параметрлар тугри чизикшшг координата
укларпдан ажратган кесмаларинииг узунлиги.
362. Оу укидап Ь = 4 кесмани ажратиб, Ох уки билан I) 60";
2) 120" бурчак ташкил дилувчи тугри чизик тенгламасини ёзинг ва
упи лизинг.
363. Оу Укидан Ь = ~2 кесмани ажратиб, Ох 5;ци билан 1) 45";
2) 135" бурчак ташкил цилувчи тугри чизик тенгламасини ёзинг ва
уни чизинг.
40
364. Агар турри чизиц л(2;-8) ва Ь’(-1;7) нуцталардан угУ«чи
бу.к-а. у холла унинг бурчав коэффициента ва Оу уцидан ажратган
кесмасининг узуилигини топинг.
365. 2х-Зу-12-0 турри чизицнинг координата уцлари билан
кесишиш нудталарини топинг ва уни чизинг.
366. Параллелограмм икки томонининг тенгламалари
8л-чЗт + ! = о, 2х+-j'--1 = о ва бир диагонали тенгламаси Зх+2.у+3 = 0
булса, унинг учлари координаталарини топинг.
367. Учбурчак томонларинииг тенгламалари x + 5j'-7 = 0,
Зх-2у-4 = 0 ва 7х + 7у+19=;0 булса, шу учбурчакнинг юзини топинг.
368. л(4;3) нуцтадан утувчи ва I чоракда гози 3w. бирлнкка
тенг учбурчак ажратувчи турри чизиц тенгламаси ёзилсин.
369. Томонининг узунлнги 10 га тенг, булиб диагоналлари
координата уцларида ётувчп квадрат томонларинииг тснгламалариии
ёзинг.
370. I) ".'.х-у ~3 ~0; 2) 5л+2р-8 = 0; 3) Зх + 8у + 16 = 0 турри
чизицларнииг а) бурчак коэффициента!!, б) кесмалар буйнча
тепгламаларппи ёзинг ва уларнп лизинг.
371. 1)/>-=-2,а = 60'; 2) 6 = +2,а== 120’ параметрлар билан
берилган турри чизицларнииг умумий ва кесмалар буйнча
тенгламаларинн ёзинг ва уларни чизинг.
372. Оу удидан />=-6 кесмаии ажрагиб, Ох уки билап 1) 30",
2) 45", 3) 135", 4) 150” бурчак ташкил цилувчи тугри чизицнинг
тенгламаеини ёзинг ва уни чизинг.
373. Оу уцидаи Ь~-5 кесмани ажратмб, Ох уди билан 1) 60°,
2) 120", 3) 150’ бурчак ташкил цилувчи турри чизид
тенгламаеини ёзинг ва учи чизинг.
374. .4(2;-5) ва В1.3;2) нудталарндан утувчи тугри чизицнинг к
ва Ь парамегларини аникланг.
375. х-5.г~2^0 тугри чизикнинг координата уцлари бнлан
кеемшнш нукталарини топинг ва уни чизинг.
376. Томонлари 4,>--Зу-5 = О, х-Зу+10 = 0, х-2 = 0 тенгламалар
билан берилган учбурчакнинг юзини топинг.
377. Учбурчакнинг юзи 5 = 1.5к«. бирлик, икки учи Д(2;-3) ва
5(3;-2) нуцталарда булиб, огирлик марказп Зх-у-8 = 0 турри чизивда
ётса, С учииинг координаталарини топинг.
41
378. Диагоналлари 10 ва 6 булган ромбнинг катта диагонали
Ох уцига, кичик диагонали Оу укига тегишли булса, унинг
томонларн тенгламасини ёзинг.
379. л(-4;б) нуцтадап утувчи ва П чорак юзи 6л-в. бирликка
тенг булган учбурчак ажратувчи тугри чизик тенгламасини ёзинг.
380. л- = -3 тугри чизикца нисбатан Ох укидан инки марта
узоцровда уаракат цилувчи w(x;y) нуцтанинг траекторияси
тенгламасини ёзинг.
381. 1) х+5у-7 = 0; 2) 2х-5-10 = 0; 3) -у-Дз -5 = 0 тугри
чизикларнинг а) бурчак коэффициентли, 6} кесмалар буйича
тенгламаларини ёзинг ва уларни лизинг.
382. 1) Л=|, Ь=3; 2) к=-2; ё = -5 параметрлар билля берилган
тугри чизикнинг умумий ва кесмалар буйича тенгламаларини ёзннг
ва уни лизинг.
3§ Икки тугри чизицпинг кесишиш иуцтаси. Икки тугри чизик
ораеидаги бурчак. Берилган иуцтадаи утувчи тугри чизицлар
дастасининг тенгламаси. Берилган икки нуцтадан угувчи тугри
чизик тенгламаси
]. Узаро параллел булмаган икки л.г + В, у + С, =-0 ва
А2х+В2у+С2=о тугри чизицлар кесишган нуцтани топшн учун
уларнинг тенгламаларини биргаликда чизицли тенгламалар
систсмаси сифатида ечиш керак.
42
y = k[x+bi тугри чизивдан у = к,х+ь2 тугри чизик орасидаги мусбат
уисобланувчи <р бурчакнинг тангенси
к, - к,
\-rkjk-.
(1)
формула би лай аницланади.
Агар тугри чизицлар умумий тенгламалари
А,х гВ.у + С, = 0 ва Л,х + .В2_у + С2 =0
билан берилган оулса (I) формула цуйидагича булади:
-л,в,
.4j А-, + В,В2
(2)
(I) ва (2) формулалардан тугри чизиклариинг параллеллик ва
перпендикуляра и к шартларинн келтириб чицарши мумкин.
Параллеллик шарти: к, -к, ёки ~-т=—;
/i, В2
Перпендикулярлик шарти: к2=— - ёки AtA2+BtB2=0.
к\
3. Берилган ,-1(.г£>0) нуцтадан утувчи тугри чизицлар
дастасининг тенгламаси цуйидагича ёзилади:
У-Уо =к(х~х0) (3)
4. Берилган .4(х0:у„) ва В^у,) иуцталардан утувчи тугри
чизицнинг тенгламаси цуйидагича ёзилади.
Z:'А = . (4)
-'•о
(4) формулами келтириб чпцариш учуй (3) формулада л- ва у
урнига В нуцтанинг координаталарини цуйиб к ни аницлаш керак.
383. Цуйидаги тугри чизикларнинг кееишган нуцталарини ва
улар орасидаги бурчакни аницланг.
2)
7 = 0
}2л'-3.у + 1 =0
1)
2
43
3)
2х + у = 0
y = 3x-4
13x - Ay = 6
\8x-6v = H
4)
384. 5x+3y-3 = 0 тугри чизик берилган булса, унга а) параллел;
б) перпендикуляр булган тугри чизицларнииг бурчак
коэффициентини анидлапг.
385. 2х+Зу + 4 = 0 тугри чизид берилган булса, /1(2.1) нуцтадан
утувчи ва унга а) параллел; б) перпендикуляр булган тугри
чизидлар тснгламалариии ёзинг.
386. л(б;4) нудтанинг 4х-5угЗ = 0 тугри чмзикца проекциясипи
анидлапг.
387. А(- 5;1) нудтага 2х-Зу-3 = О тугри чизикда пиебатан
симметрии булган В нудтанинг координаталарини топинг.
388. Л/,(2;1), Л/,(5;3), Л/.(3;-4) АВС учбурчак томонларинииг
урталари булса, АВС учб^фчак томонларинииг тенгламаларини
ёзинг.
389. л(2;1), В(-1;1) ва с(з.2) нуцталар берилган булса. АВС
учбурчак баландликлари тенгламаларини ёзинг.
390. л(-1;3) ва G(6.2) квадратнинг да рама-карт и учлари булса,
квадратнинг томонлари тенгламаларини ёзинг.
390. Зх + 4т-1 = 0, x-7v-17, 7х-у 1-31=0' учбурчак
томонларинииг тенгламалари булса, шу учбурчак ички бурчакларнни
ТОПИНГ.
392. Ординаталар укида шупдай с нуктани топинг, ундан
л(-3;2), 5(2;5) нуцталаргача булган масофалар айирмасн энг катта
булсин.
393. ^уйидаги тугри чизицларнииг кесишгаи нукталари ва
улар орасидаги бурчании анивдавг:
j. |Зх + 2у = 0
[Зх-2т + 7 = 0
3) fxV2-jV3-5 = O
Цз + л/2)х + (Тб - л/з )у + 7 = О
394. а) Зх-у+5 = 0; б)
10x+4j/-3 = 0 тугри чизидлардан
. Jx - 2 v - 4 = О
' (2л--4т-1-3 = 0
4) Мз-т72-2 = 0
(Xi/б - 3у + 3 = 0
х + Зу-1 = 0; в) 6х-2у + 13 = 0; Г
дайси бирлари 1) параллел, 2
перпендикуляр эканлигини анидлапг.
44
395. 2л--5^-1Э = 0 тугри чизиднинг координата удларн билан
кесишган нудталаридан упга утказилган перпендикуляр тугри
чизидлар тенгламаларини ёзинг.
396. л(2;-2), в(3;-5) ва С(5;7) нругалар учбурчакнинг учлари
булса, с учидан А бурчак биссектрисасига утказилган
перпевдикулярнинг тенгламасини ёзинг.
397. Учлари л(3;2), 2’(5;-2) ва С(1;0) нуцталарда булган
учбурчакнинг медианалари тенгламаларини ёзинг.
398. л(2;1) нудтадан у™'Т 2х+Зу+4 = 0 тугри чизик билан 45°
бурчак ташкил цилувчи тугри чизик тенгламасини ёзинг.
399. л(5;4) нудтадан с*уди билан <p = arctg2 бурчак ташкил
этувчи ёруглик нури увдан каштан. Тушувчи ва кайтувчи нурлар
тенгламаларини ёзинг,
400. Учбурчак томонлари х+З/^О, х = з ва х-2у+з=0
тспгламалар билан берилган. Унинг учлари, ички бурчаклари
топилсин, медианалари ва баландликлари тенгламаларини аницланг.
401. 2х-у-5=-0 тугри чизивда шундай нудта топингки, уидан
а{-7;1) ва в(-5;5) нудталаргача булган масофалар йигипдиен энг
кичик булсин.
402. Учбурчакнинг ,4(-10;2). Ь’(б;4) учлари ва баландликлари
кесишган нукта D(5;2) берилган булса, шу учбурчак С учииинг
коордииаталарини топинг.
403. Учбурчакнинг .4(1;3) учи ва икки медианасингшг
тенгламалари х -2 у + 1 = 0 ва у-1 = 0 берилган булса, шу
учбурчакнинг томонлари тенгламаларини ёзинг.
404. Учбурчакнинг С’(4;-1) учи ва бир учидан угказилган
медианаси 2х + Зу = О ва баландлиги 2л--3.у + 12 = 0 берилган булса, шу
учбурчакнинг томонлари тенгламаларини ёзинг.
405. Нур х-2у(5=0 тугри чизик буйича йуналиб, Зх-2у+7
тугри чизивдан кайтади. Цайтувчи нуриши' тенгламасини ёзинг.
406. Зх-д-1=0 тугри чизивда шундай нукта топингки, ундаи
л(4;1) ва б(0;4) нуцталаргача булган масофаларнинг айирмаеи энг
катта булсии.
4§ Тугри чизиднинг иормЕШ тенгламаси.
11удтадан тугри чизиддача булган масофа
I. Тугри чизиднинг нормал тенгламаси дуйидагича ёзилади:
45
xcos a у sin a - p = 0.
Бунда p координата бошидан тутри низинка туширилган
пернендикулярнинг узунлиги, яъни нормал, а — уша перпендикуляр
ва Ох уцииинг мусбат йуиапиши \оснл цилган бурчак.
х
\ар цандай Ах+ Ву + С = 0 чизнцли тенгаама нормал куринишга
келтирилнши мумкин.
Бупипг учун уни
пормаллаштирувчи купайтувчига купайтирип! керак. А' пинг
ишораси р>0 шарт бажарилиши учун С ниш ишорасига
царама царши олинади.
2. м(х0;у0) нуцтадан (I) тугри чнзиццача бучпал d масофапи
топиш учун, тугри чизикнииг (1) нормал тенгламасининг чап
цисмида узгарувчи координаталар (.v,y) ни (хп,у0) билли алмаштирнб,
хосил булган соннинг абсолют кийматиии олгми.з, яъни
d -- jcos a + y0 sin a - p\.
Агар тугри чизиц умумий тенгламаси билан берилган булса,
4а2 + в-
формула нуцтадан тугри чнзиццача масофапи ифодалайди.
46
407. J ) Зх-4 у-20=0; 2) х*-у+3 = 0; 3) j-xV3=4; 4)
5х + 12у-39 = 0; 5) xcosi0’ + vsinJO' +4 = 0 тугри чизицларнииг
тенгламалари нормал куринишга келтирилсин.
408. Координата бошидан 9х-12>> +13 = 0 тугри чизиццача булган
масофани топинг.
409. /1(4;-1) нуцтадан 12х-5у-27 = 0 турри чизицца утказилган
н<‘]>неидмкут1яр узунлнгшш тонн иг.
410. Куйидаги хрлларда Лнуцтадан тугри чизиццача булган
масофани топинг.
I) /1(2;-1), 4х + 3.1> -10 = 0; 2) Л(0;-3), 5х-12>>-23 = 0,
3) Д-3;5), 9х-12г+ 2 = 0; 4) л(8;5), Зх-4у-15 = 0.
411. .1(2;-5) пуцта бир томоии х-2у-7 = 0 тугри чизшеда ётувчи
квадратнинг учи булса, квадрат юзини топинг.
412. Учлари л|-J'yr-Xg) й(4;3) ва б’(2;1) нуцталарда булган
учбурчакнинг баландликлари узунликларини топинг.
413. riyii.ii.iarn параллел турри чизицлар ораеидаги масофани
топинг.
Зх-4j* - 10 = 0 . , 24х-10v-39 = 0
I 2 ’
6х-8у + :> = 0; Г2х - Ьу - 26 = 0.
414. Агар _v = foc + 5 тугри чизиц коордииаталар бошидан d =
маеофа узоцликда булга, Лин топинг.
415. ,!(5;-1), 7?(3;7) нуцталардан бир хил узоцликда ва с(-2;3)
нуцтадан утувчи турри чизиц тенгламаеини ёзинг.
416. 4х-Зи = 0 тугри чизицдап 4 бирлик узокликдаги
нуцталарнинг геометрик урнп тенгламаеини езинг.
417. 1 ) 2х- )>-д'5=-0; 2) --Х- - г + Ю-О; 3) х+>-л/3 + 2 = 0; 4) д-3 = 0;
:> 5
5) -х + 2 = 0 тугри чизиц.-ирнинг нормал тенгламаларини ёзинг.
418. .1(2;4) нуцтадан утувчи ва координата бошидан d = 2
узоцликда булга!Е тугри чпзиц тенгламаси ёзинг.
419. Учлари 4~3;0). й(2;5) вн С(3;2) иуцталарда булган
учбурчакнинг вг> балаидлиги узуилигини топинг.
420. Кунидаги холларда .4 нуцтадан турри чизиццача булган
масофани ТОПИНГ: 1) 4(-2;3). Зх-4_,-2 = 0; 2) 4(1;-2), х-2.у-5=0;
3) Л(4;-2). 8х -15.Г-11 =0;
4) /1(-3;2). 4х - 71 = 2.6 = 0.
47
42] . Ордината удида координата бошидан ва Зх-4у+12 = 0
тугри чизивдан бир хил узодликдаги нуктани топинг.
422. Учлари а(- 10,-13). .5(-2;3) ва с(.'1,1) нудталарда булган
учбурчакда в учидан CD мсдиапага Утказилган перпендикуляр
узунлигини топинг.
423. Цуйидаги нараллел тутри чизидлар ораеидаги масофани
топинг.
5х-12у+26 = 0 4л--Зу +-15 = о
' 5х-12у-13 = 0; 8х-бу+-25 = 0.
424. 4х--Зу+з = 0 ва 4х-Зу-17 = 0 квадрат томонларипипг
тенгламаси, .-1(2: \) унинг бир учи. Квадратнинг долган икки томони
тенгламасини ёзинг.
425. Коордипаталар бошидан ва .4(2:2), 2?(4;0) нудталардан бир
хил узоцлиеда тугри чизш; утказилган. Уша узодлпкш! топинг.
426. х + 2у-5 = 0 тугри чизивдан d = бирлик узодликдаги
нуцталар геометрик урпшгннг тенгламаси ёзилсин.
5§ Биссектрисалар тенгаамалари. Берилган икки тугри
чизикнинг кесишиш нуктасидан утувчи тугри чизидлар цастасининг
тенгламаси
1. Бурчак биссектрисасининг ихтиёрий нуктаси бурчак
томопларидан бир хил узодликда эканлигидан фойдалансак,
Ах+Ву+С = 0ва А^х + В^ + С, =0 тугри чизидлар ораеидаги бурчаклар
биссектрисаларининг тенгламалари цунидагича булади:
2. Ах+Ву + С = 0
нуктасидан утувчи
ихтиёрий а учун,
Ах + Вут С _ Л|Х + В, д + С,
-7а '—в~ 7' а^ +• в.”
ва Ay.-tB^y + C, =0 тутри чизикларнинг кесишиш
тугри чизивдар дастасининг тенгламаси:
(Ах + By + С)~ a(.4lx + S, г + С,) = О
булади.
48
427. 2х+-3у = 12 ва Зх+2у-!2 тугри чизидлар орасидаги бурчак
биссектрисалари тенгламаларини ёзинг.
428. Зх +4^ = 12 ва j>-0 тугри чизидлар орасидаги бурчак
биссектрисалари тенгламасиии ёзинг.
429. д(2;3) ва Bl'S;-;) нукталарнинг 1) х-Зу-5 = О ва 2х + 9у-2 = 0;
2) 2х+7.г-5 = 0 ва х+Зу+7=0 тутри чизидлар кесишишидан досил
булган цушни ва вертикал бурчакларда ётишини анидланг.
430. x-3.v-4 = 0 ва 2х + 6_у + 3 = 0 тутри чизидлар орасидаги
бурчак биссектрисаларидан координаталар бошидан утувчисининг
тенгламасиии ёзинг.
431. х-Зу+5 = 0 ва Зх-у+15 = 0 тутри чизидлар орасидаги утмас
бурчак биссектриса™ тенгламасиии ёзинг.
432. (х + 2у~-5)+й(Зх-2т+ 1)--0 туг’ри чизидлар дастасига тегишли
булган на
1) л(3;-1) пуктадан утувчи;
2) Ox jipira параллел;
3) 4х + 3.г + 3-0 тугри чизидда параллел
гугри чизик тенгламагинн ёзинг.
433. 2х+у + 6 = 0 ва Зх+5у-15 = 0 тутри чизицларнинг кесишган
пудтаси А/ва А'(1;-2) нудтадан утувчи тугри чизик тенгламаси, М
нуцтани тонмасдан ёзилсин.
434. 5х-> + !() = О ва 8x-L4.y + 9 = 0 тугри чизицлар кесишган
пуктаси М дан утувчи ва r+3y = 0 tVfjhi чизикка параллел тугри
чизиц тенгламаси М пукдани тонмасдан ёзилсин.
435.(2х+у+4)+а’(х-2у-3)=0 тугри чизицлар дастасида Л(2;-3)
нуцтадан d = <jT6 узодлинда утувчи тугри чизидни топинг.
436.(Зх + 2у-9) + а(2х + 5у+5)=0 тутри чизидлар дастаси берилган
булса, С пинг дандай дийматида 4x-3v+C = 0 тутри чизид уша
дастага тегишли булиншии анпдланг.
437. Зх + 4у-1=0 ва 5х+12т~2 = 0 гугри чизидлар орасидаги
бурчак биссектрисалари генгламаларини ёзинг.
438. х = 0 ва 2х + 4.у + 7 = 0 тугри чизидлар орасидаги бурчак
биссектрисалари тенгламаларини ёзинг.
439. Томонлари Зх~4у=0, 4х-3,у = 0. 5х+12у-10-0 тугри
чнзиклардан иборат булган учбурчак биссектрисалари
тенгламаларини ёзинг.
440. л--Зт = 0 ва Зх-у + 5 = О тугри чизидлар орасидаги уткпр
бурчак биссектриса™ тенгламасиии ёзинг
49
441. л(-1;3) нуктадав утувчи ва 7х + у = 0; х-у+8=0 тугри
чизикларга уринувчи айлананинг маркази ва радиуеи топилсин.
442. (Зх-2_уч 1)+«(лч-2>'-5) = 0 тутри чизищлар дасгасига тегишли
булган ва
1)ко ординаталар бошидан утувчи;
2) Оу укига параллел:
3) 2х+Зу + 7 = 0 тутри чизикда перпендикуляр булган
тугри чизид тенгламасини ёзинг.
443 . 2х-Зу + 5 = 0 ва 2x+y~7 = 0 тутри чизикларнинг кесишган
иуктаси М дан утувчи ва у^2х тутри низинка перпендикуляр тугри
чизик тенгламасини М нуктани топмасдан ёзинг.
444 . 2х+у-2 = 0 ва х-5у-23-0 тутри чизикларнинг кеппишп
путугаси М ва У(-1;-4) нудтадан утувчи тугри чизик тгпг.тамаепнн М
нуктани топмасдан ёзинг.
445 .(11л+Зт-7) + а(12л- г у-1‘?)=0 тугри чизирлар дастасига
тегишли булиб, Л(3;-2) ва в(- 1;б) нудталардан бир хил узодликдаги
тугри чизик тенгламасини ёзинг.
44б .(Зл-+у-5)+а(х-2у+10)=0 тутри чизицлар дастаснда л(-:;-2)
нудтадан d = 5 бирлик у;ю(сли«да утувчи тугри чязикнн топинг.
6 i; Айлана
Марказ деб аталувчи берилган С’’нудтадан бир кил маеофадагп
пукталариинг геометрик урин айлаиа дейилади. Бу масофа амлапа
[ >а ди ус 11 дейил ади.
Маркази С'(а;1>) нуктада, радиуеи R булган айлананинг
тенгламаси
(х -и); +(у-ЬУ -
кури 11ишда ё;якчади:
Агар айлаиа маркази координаталар бошида булса, унинг
тенгламаси
,г -г>2 = В'.
куринишда булади.
447. Цуйидаги хрлларда айлаиа тенгламасини ёзипг:
1) айлана маркази координаталар бошида ва радиуеи Я = 3га
тенг;
50
2) коордпнаталар бошпдан утувчи маркази С(б;-8) пудтада
булган айлана;
3) л(3;2) ва д(-1;б) нудталар бсрнлган. Диаметри | Л/?| булган
айлана.
4) айлана л(3;1) ва в(-1;3) нудталардаи угади ва уиинг маркази
Зх-у-2 = 0 тугри чизикда ётади.
5) айлайа л(—1:5), е(-2;-2), С'(5;5) иудталардан утади.
448. 2л-— 5_v +18 — 0 тугри чизицдан узунлиги 6га тенг ватар
ажратувчи ва маркази С'(3;-1) нудтада булган айлананинг
тенгламасиии ёпииг.
449. 1) х'+>•' ••• 4л +бу - 3-0; 2) х2 + у2 -8х = 0; 3) х2 + у2 +4у = 0
айланаларни ёзинг.
450. л(];2) нуцтад.-ш утнб ва координата уцларига уринувчп
айлананинг тенгламасиии ёзиш.
451. л(3;1) пудтада л--2к-1 = 0 туерн чизндда уринувчп ва
радиуен R = Js булган аплана тсигламаеинм ёзинг.
452. /1(1;о) иудтада утувчи ва 2х+у+2 = 0 ва 2.г+у-18 = 0
иарал.и‘.л тугри чнзнцларга уринувчп айлана тепгламасннп ёзинг.
453. (л-+ (у--1)2 = 10 айлананинг .411;3) нудтада тенг иккига
булннувчн натаришшг у-;уплип1ни гонниг.
454. л-:’+>•’ м.’г-бу = 0 айлананинг Оу уди билам кесишган
нудталарига утназилган радиуса а ри орасидаги бурчакпи топинг.
455. л(3;9) нудтадан х2 -26х i-30r+313 =0 айлан а гача булган
лиг цнсца масофани топннг.
456. Л(~6;0) ва В(2.0) нуцталар берилгаи. Шундай нудталарнипг
геомстрнк урчи топплсннки, улардан ОА ваОВ кссмалар тенг бурчак
ос'гида i:\piiir-ii. .
457. !\упидаги холларда айлапа тснгламасини ёзинг:
1) айлана маркази с(2;-3) нуцтада ва раднуси Л = 7;
2) айлана маркази C’(-i;2) нуцтада ва д(2:б) нуктадан угади;
3) айлана маркази 6?(0;0) нудтада ва З.т - «ф + 20 = 0 тугри чнзик
упга урннадн;
4) aii.iaiia маркази 0(1;-1) иуцтада ва 5х-12т + 9 = 0 тугрн чпзнд
ун га уринади;
5) айлана А(1;Г), S(;.--l) ва СШУ) нугсгалардан угади.
458. /.'(-3;0) ваМЗ;6) нуцталар берилган. Диаметри АВ кесмадан
пборат булган айлана тснгламасини ёзннг.
459. 1) X- Xу1 -6х + 4у-23 = 0; 2) х2 +-/5х-7д + 2.5 = 0; 3)
х’ -гу2 =7v = 0 айланаларни чизинг
51
460. x2 +y2 + 4x-6j-17 ==0 айланаиинг 5x-2v-13 = О тугри чизпцца
перпендикуляр диаметр» тенгламасиии ёзинг.
461. к нинг кандай дийматида у^кх тугри чизиц
х? +у2-10х + 1б = 0 айланага уринма булади ?
462. (х-2)2+(у-1)2 =25 айланаиинг 7х-у + 12 = 0 тугри чизик
билап кесишган нуцталарига утказилган радиусларн орасидаги
бурчакни топинг,
463. х2 + у2-4х + 2т + 1 = Э айланаиинг л(3.0) иуцтада тенг иккнга
булннувчи ватари тенгламасиии ёзинг.
464. Л(1;-2^ 5(0;-1); С'(--3;0) нуцталардан утувчи айланага
координаталар бошидан $тказилган уриималар тепгламалари
ёзилсин.
465. А(-7:2) нуцтадан х2 у у2-10х~14у-151 = 0 айланагача булган
энг цисца масофани топинг.
466. х2+у2 = 4 айлана берилган. .4(—2;0) нуцтадан АВ ватар
утказилиб, у BN = АВ масофага давом эттирилгап. N нуцталар
геометрик урнининг тенгламасиии ёзинг.
7§ Эллине.
Фокус деб аталувчн инки берилган нуцтагача масофаларииинг
йиншдиси фокуслар орасидаги масофадан капа, узгармас сонга
тенг булган нуцталарнииг геометрий урни эллипс деб аталади.
Фокусларгача булган масофаларнииг узгармас* йигипдиси 1а билан,
фокуслар /г ва F2 билан, фокуслар орасидаги масофа оса 2с билан
белгилаиади. Таъриф буйича 2а>2сёки а>с.
Агар эллипснинг <|м>куслари Ох уцида ётиб, координаталар
бошига нисбатан симметрии булса. бу координата спстемасида
эллипснинг тенгламаси куйидагача булади:
Бунда 6 = Va2-c2, a >b. (I) тенглама эллипснинг каноник
тенгламаси, а ва Ь параметрлар оса эллипснинг катта ва кичик
ярим уцлари дейилади.
(1) тенглама уринлм булган координата спстемасида ^(-cjO) ва
F2(c;0) фокуслар Ох укда ётгани учуй, координата уцлари
52
эллипспинг симметрия уцлари, координаталар боши эллипспинг
симметрия маркази булади.
X
>
е=- сои эллипспинг эксцентриситета дейилади.
Таъриф буйича s <1. <| агар 6 =0 булса, а = Ь ва радиуеи а га тенг
булган айлана уосил булади). Агар М\х,у) эллипспинг ихтиёрий
нуцтаси булса, = F1M фокусгача масофалар М нинг фокал
радиуслари дейилади ва
;; - а + ет, гг а - tx
формулалар билан анидланади.
(1) формула билан аникланган эллипс учун
тугри чизиклар эллипспинг дирекриссалари дейилади.
। е -1 Т1 . !1 ' V» Г» t'B
3) директриссалари ораеидаги масофа 10-^, эксцентриситета
481. Цуйидаги долларда фокуслари Ох уднда ётувчи ва
координаталар бошига нисбатан симметрия эллипс тенгламаси
ёзилсин ва М нудтанинг ([хнеал радиуслари тогпглсин:
1) кичик ярим уди п = 3 ва А/(-2>/'5;2) нудтадан утади;
2) катта ярим укп л = 4 ва Л/(2;-2) нудтацаи утади;
3) Л/(4;~Уз) ва иуцталардан утувчи эллипс;
4) jw(Vl5;-l) нудтадан утади ва фокуслари ораеидаги масофа
(51 °
5) нудтадан утади ва эксцентриситета т-ф
482 2_+2L = i эллипспинг удларига ясалган тугри
туртбурчакнинг диагонали буйича йуналгаи ватар узунлнги
топилсин.
483.
л-2 + 5д2 = 20 эллипспинг
фокал радиуслари узаро
перпендикуляр булган нудтаси топилсин.
484. x2 +5jr=4 айланадаги дар бир нудтанинг ординатаси икки
баравар орттирилган. Хоси-1 булган эгри чизидпи аникланг.
485. х = 9 тугри чизидка нисбатан л{1;0) нудтага уч
траекториям анидлаисин.
486. Эксцентриситета £ = ^' фокуси 7д(—4;l) ва мое
директриссаси у + 3 ~ 0 булган эллипс тенгламасини ёзинг.
8§ Гипербола.
Фокус деб аталувчи икки берилган пук; а гач а масофаларинииг
айирмаси абсолют диймати буйича фокуслар ораеидаги масофадаи
кичик узгармас сонга тенг булган нудталарнинг геометрик урни
гипербола деб аталади.
Фокусларгача булган масофаларнинг узгармас айирмаси 2а
билан, фокуслар ё] ва Л билан, фокуслар ораеидаги масофа 2е
билан белгилаиади. Таъриф буйича 2а<2е ёки а<с.
Агар гиперболанинг фокуслари Ox jhw.a (*тиб, координаталар
бошига нисбатан симметрии булса, бу координаталар системасида
унинг тенгламаси дуйидагича булади:
56
b1
Бунда - а2 , оЬ.
тенгламаси
дейилади.
(1) тенглама уринли булган координата системасида. F((-c;0) ва
ётгани унун, координата уцлари
уцлари, координаталар боши
тенглама гиперболанинг каноник
а параметр цацикий ярим уц, Ь оса мав.уум ярим уц
Г,(~с;0) нуцталар Ох уци. да
гиперболанинг симметрии
гиперболанинг маркази булади.
Гипербола узингпп бшта
кесишит нуцталари гиперболанинг учлари дейилади.
симметрия уки билан кеспшади; бу
Гиперболанинг уцларига инсбатан симметрии ва уиинг
учларида унга уринувчи, томонлари 2а ва 26 га тенг булган тугри
туртбурчак гиперболанинг аеосий тугри туртбурчаги дейилади.
Асосий тутри т^ртбурчакнинг доагоналларп ётган тугри чизидлар
пшерболаиипг асимптоталарн дейилади; уларнинг тенгламалари:
57
е = — сон гиперболанинг экпдштриситсти дейилади. Таъриф буйича
а
г>1.
Агар м(х;у) гиперболанинг ихтиёрий нуктаси булса, rt=FtM,
i--, = f2m фокусгача масофалар М нинг фокал радиуслари дейилади
ва
г, = |а* + йф г, = |f.x + aj
12)
форму.талар билап ашщлаиади.
(1) формула билан анидлапган гипербола учуй
тугри чизицлар унинг директрпссалари дейилади.
Агар d} ва ф гиперболанинг ихтиёрий нуктасндал; мое равишда
унинг х = -- ва х=— директриссаларигача булган масофалар булса,
ее
яъни
у долда г, -d{s ва r2 -с1ге формулалар келиб чикади.
Агар гиперболанинг фокуслари ординаталар укица ётувчи
булса
-4^-^ (3)
а b
каноник тенглама, с = 4а2+Ь-, е-=~, г ---- Ф + Ь\ булади \амда у = ±-
b е
формула директрпссаларии аницлайди. (1) ва (3) гиперболалар
душма гиперболалар дейилади. а = Ь булса, гипербола тенг томонли
гипербола дейилади.
487. х2-4у2=1б гипербола ва уиинг асимптоталари ясалсин,
унинг фокуслари, эксцентриситеты, асимптоталари орасвдаги бурчак
топилсин ва директриссалари генгламалари ёзилснн.
58
488. Купидаги уолларда фокуслари Ох укида ётувчи,
координаталар бошига нисбатан епмметрпк гипербола тенгламаси
ёзилсин:
1) уцлари 2а = 10 ва 2й = 8;
2) (|]>окуслац;|И орасидаги масофа 2с = 6 ва эксцентриситета
3
Е = —;
3) асимтоталари тенгламаси д=±--.г ва фокуслари орасидаги
масофа 2с = 2а:
4) ди ректриссалари орасидаги масос|>а у ва мавуум ярим у?ци
6 = 3;
- > 3
о) асимиготаларц тенгламаси ,у = ±-х ва директриссалари
орасидаги масофа 12- га тенг.
489. Куйидаги долларда фокуслари Оу ^ида ётувчи,
координаталар бошига нисбатан симметрии гипербола тенгламаси
ё'зилспн:
1) фокуслари орасидаги матафа 2с-10 ва эксцентриситета
)
3
2) уадикий ярим уди £> = 2у5, эксцентриситета s=J1.2;
3) директриссалари орасидаги масофа 7у, эксцентриситета
7
е =
490. Гипербола координата укларига нисбатан симметрии
булиб. л</(б.--2-,/2) нуктадан утадп ва ь = 2 мавдум ярим уцца эга.
Унипг тенгламаси ёзилсин ва М нуцтанинг фокал радиуслари
тоннлспп.
491. Координата уцларига нисбатан симметрии, А/(&4-7з)
нуцтадан утувчи ва эксцентриситет!! t- = 72 булган гипербола
тенгламаси! ёзилсин ва м нуцтанинг фокал радиуслари топилсин.
492. 9г1 -!6д! =144 гиперболада унг фокусга нисбатан чаи
фокусга нкки марта ядинроц булган нуцта топилсин.
493. нуцтадан утувчи ва директриссалари орасидаги
масофа - булган гиперболанинг тенгламасиии ёзинг ва М
нуцтанинг фокал радиусларнни топинг.
59
494. F(4;0) нуцтага нисбатан х = 1 тугри чизикца икки марта
яцинроц харакат цилувчи М(х;у) нук.танинг траекторияси
аницлансин.
495. Эксцентриситети гг = |, фокуси Д(5;0) ва унга мое
директриссаси 5х-16 = 0 булган гипербола тенгламасини ёзинг.
496. Учлари ораеидаги масофа 24 ва фокуслари Г,(-Ю;2}
F,(16;2) булган гипербола тенгламасини ёзинг.
497. 16х2-9у'=144 гипербола ясалсин, унинг фокуслари,
эксцентриситети топилсин, асимитоталарининг ва
директриссаларининг тенгламалари ёзилсин.
498. 16л-’-9>2 =144 гипербола ясалсин, унинг фокуслари,
эксцентриситети топилсин, асимитоталарининг ва
директриссаларининг тепгламаларп ёзилсин.
499. Цуйидаги Хилларда фокуслари (А- укида ётзъчи ва
координаталар бошига нисбатан симметрии гипербола тенгламаси
ёзилсин:
1) фокуслари ораеидаги масофа 2с = 10 ва мавуум уки 26 = 8;
2) хациций уки 2o = J6 на эксцентриситети «•=-;
4
3) фокуслари ораеидаги масофа 2с = 26 ва директрпссалари
ораеидаги масофа 22 ~ га тенг;
4) директриссалари ораеидаги масофа - на эксцентриситета
3
4-;
2
5) бирор учидан фокусларгача булган масофалар 9 ва 1 га
тенг.
500. Цуйидаги холларда фокуслари Оу уцмда ётувчи
координаталар бошига нисбатан симметрии гипербола тенгламасини
ёзинг:
1) ярим уцлари <з = 6 ва /> = 18;
2)
тенг;
3)
масофа
асимптоталари г
= ±-~ х ва учлари ораеидаги масофа 48 га
4
—х ва директриссалари ораеидаги
аеимптоталари
,2
6- га тенг.
5
60
501. Куйидаги холларда фокуслари Ох укида ётувчи ва
коордппаталар бошига ниебатан симметрик гипербола тепгламаси
ёзнлеин ва М пуктанинг фокал радиуслари топилсин:
1) гипербола ва .!/,(—8;2->/2iнудталардаи утади;
2) Л/(-5;3) нудтадан утади ва эксцентриситета е = 2 га тенг.
а) -;! пуцтадан ута.ш ва асимптоталари тепгламаси
4)
нуцтадан утади ва х,ацидий ярим уки a = 4;
п з 5) асимптоталари у = ±-х ва 4 16 директрпссалари х = ±— -
тсигликлар билан пфодаланадн. 502. Гиперболанинг фоку.-ларг 1 2 — + ^- = 1 эллинснииг 25 9
фокуслари билан бир хил, эксцентриситета e = V2 булса, унинг
те 11 г л а м а с н ш I ёзинг.
503.
у
9
гнперболада фокал радиуслари узаро
перпендикуляр булган нукта топиленн.
504. Агар гиперболанинг учлари орасидаги кесма унга цушни
гиперболанинг фокусларидан 60" остида куринса, унинг
эксрентриситетиии допинг.
505. .>:=.-2 тугри чизшжа ниебатан F(-8;0) нуцтадан икки
баравар узокровда даракат цилувчи М нуктанипг траекторияси
аницлансин.
506. Асимптоталари орасидаги бурчак 90" ва фокуслари
А(4;-4), F,(-2;2.) булган гипербола тенгламасиии ёзинг.
9 § Парабола
Фокус дсб атадувчи берилган нукгадан ва директрисса деб
аталувчн тугри чизицдан бир хил узокликда булган пуцталарнилг
геометрии урпи паробола дейилади.
Параболанинг фокуси А билан, ундан директриссагача булган
маеофа р билан белгиланади. р сопи параболанинг параметри
дейилади.
Агар парабола берилган булса, координата системасини
куйидагнча танлапмиз: Ох уди фокусдан днрсктриссага утказнлган
6!
перпендикуляр тутри чизпк ва дирсктриссадап фокусга йуналган, Оу
уци эса фокус билан директриссадан бир хил узоцликдаги тугри
чнзик, яъни уларииш' уртаеидан утада.
Бу координата системасида фокус, х = дмректрисса,
ва парабола тенгламаси у- = 2рх булади.
Парабола ихтнёрнй Л/(х:у) нуктасинннг фокал радиуси
формуладан фпицланади.
Парабола битта
симметрии укига зга, унинг
бу уц билан кеси1пгап
нуктасп параболаиинг учи
дейилади. Таъриф бупича
парабола доимо
дирсктриесага нисбатан
------фокус билан битта ярим
текясликда ётади, яъни
юкоридаги уолда
параболаиинг ёйлари унгга
йуналган. Агар
параболаиинг ёйлари чапга
йуиалган булеа, унинг
Агар параболаиинг укп ординаталар
уфидан иборат ва унинг ёйлари юцорита йуналган булеа тенгламаси
х'=2ру ва ёйлари пастга йуналган булеа, тенгламаси Ф=-2/?д
булади.
507. Цуйидаги хрллар.та чп координаталар бопгада булган
парабола тенгламасиии ёзинг:
1) парабола Ох удига нисбатан симметрии, yiiiinr иарамсггри
/?^3 ва ёйлари унгга йуналган.
2) ёйлари юцорига йуналган Оу укига нисбатан симметрии
параболаиинг параметри /> = | га тенг.
508. Цуйидаги холларда учи координаталар бошида булган
парабола тенгламасиии ёзинг:
1) парабола Ох укига нисбатан симметрии ва Л(фб) пуртадан
утади;
62
2) парабола Оу удпга нисбатан симметрии ва л(1;1) нудтадан
yra.in.
509. Координаталар бошидан утувчи, Оу удига нисбатан
симметрии ва фокуси f(0:-3) нуцтада булган парабола тенгламасини
ёзинг.
510. у2 =24х парабола фокусини топинг ва директриссаси
тенгламасини ёзинг.
511. Агар М нудтанинг абцисеаси 7 га тенг булса, унинг
у2 = 20х параболадаги фокал радиусини топинг.
512. Фокуси /•'(—7;0) нудтада ва директриссаси тенгламаси
х-7 = 0 булган парабола те нгламасини ёзинг.
513. Фокуси F(2;-f; нудтада ва директриссаси тенгламаси
х~у -1 = о булган парабола тенгламасини ёзинг.
514. х2=4у параболанинг х+у-3 = 0 тугри чизик билан
кгапниш нудталарнни допинг.
515. у2=18х парабола ва (х + б)2 +у2 =100 айлана умумий
ватарининг тенгламасини сзинг.
51(5. /1(5;-7) нудтадан /=8х параболага утказилган урипма
тенгламасини ёзинг.
517. Цуйидаги холларда. учи координаталар бошида булган
парабола тенгламасини ёзинг.
1) парабола йх удига нисбатан симметрии, параметра р = 0.5
ва ёйлари чапга йуналган;
2) парабола Оу удига нисбатан симметрии, параметра р = 3 ва
ёйлари пастга йуналган;
518. Дуйидаги холларда учи координаталар бошида булган
парабола тенгламасини ёзинг
1) парабола Ох удига нисбатан симметрии ва а(- 1;3) нудтадан
у га Д1i;
2) парабола Оу удига нисбатан симметрии ва л(4;-8) нудтадан
утади.
519. Координаталар бошидан утувчи, Ох удига нисбатан
симметрии ва фокуси F(5;0) нудтада булган парабола тенгламасини
ёзипг.
520. х’=24у парабола фокусини топинг ва директриссаси
тенгламасини ёзинг.
521. Агар М нудтанинг ординатаси 6 га тенг булса, унинг
j'?=12x параболадаги фокал радиусини топинг.
63
522. Фокуси Г(0;5) нуктада ва днректриесаси тепгламаси
т + 5 = 0 булган парабола тенгламасиии ёзинг.
523. Фокуси F(4;3) нуктада ва директриссаси v +1 = 0 тугри
чизиц булган парабола тенгламасиии ёзинг.
524. у2 ~-9х параболанинг Зл + Зу-1'-= 0 тугри чи;яп: билан
кесиннин нукталарипи топинг.
525. у2 =64х параболадан 4.г-3;.т4б = с тутри чизиккача. булган
энг диска масофани топинг.
526. 2х + 4д + 7 = 0 тугри чизикка перпендикуляр булган ва
л'~ = 16д. параболага уринувчи тугри чизик тенгламасиии ёзинг.
10 § Иккинчи тартибли эгри чизикнинг умумий тепгламаси
1. Иккинчи тартибли эгри чизик деб умумнп тепгламаси
Av2 -г 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0
(1)
куринишда ёзилган иккинчи даражали тенглама билан
апикланациган нукталарнинг геометрик урнкга айтилади.
Унинг коэффициентларпдан куйидаги нккита:
<7 =
А В
В С
ва
детерминантларни тузиш мумкпн.
Д — детерминант (1) тенгламанинг диекрнминаитн, 6 унинг
юдори тартибли х,адлари дискриминанта дейилади. Д ва 5 пинг
Кийматига караб, (1) тенглама куйидаги геометрик шаклларпи
апиклайди:
Д40 д = о
Д>0 Эллипс (хадикий ёки мавхум) Нукта
S <0 Гипербола Икки’а кесншувчп тугри чизик
д = о Парабола Иккита параллел тугри чизик (хакикин ёки мавхум)
64
2. Лгар <5 * О булса. (J) тенглама тенгламалар системасидан
топилувчи ятона O|(xc,j0) марказга эга. A raj» координаталар боши
х -X] + .Го, у ==.!',+ Л, (2)
алмаштириш ёрдамнда О, марказга кучирилеа, (1) тенгламадан (2)
еистемадан фойдалашан холда
А-Ч + +Qf + F, =0 (3)
тенглама келнб чидади, бунда
F, = Dx„ + Ey,+F=-.
’ 0 s
3. Araj> (I) тенглама марказга эга булган эгри чизицни
аникласа ва у (3) куршшшга келтнрилган булса, цуйидагн
муносабатларда 11
, А, -А + С
фойдаланпб, (3) тенглама
4ф+С,ф + ^=0 (4)
курипшнга келтирнлиши мумкин, бунда Ох, ва Оу, уклар
А-С
формуладан топнладиган бурчакка буриладн.
4. Агар <>= О булса, (2) тенгламалар системаси счимга эга эмас
ёки чексиз кун ечнмга эга булади, яънн (I) эгри чизик марказга эга
эмас ёки чексиз ку" марьазга (симметрия удига) эга.
4 В3
У холда (1) тенглама ЛС-В! - 0 ёки - = -г дан фойдалаииб,
(ох + fly)2 -ь 2Dx + 2ф + F - 0 (5)
куринишга келтнрилиши мумкин, бунда А = а\ C-ffl ва B2=a2fl2.
65
a) D ваЕ коэффициентлар а ва /Зга пропорционал булеа,
яъпи
I) - ат, Е = рт,
булеа, (5) тенглама
(ах +ру)2 2т(ах + /?)')+ F ~ 0 (6)
курннишга келади.
((>) тенгламани ах + Ру га нисбатан ечсак,
ст - Ру = т ± Ут' - Е
тугри чизнклар хрепл булади. яъпи (!) тенглама иккита параллел
тугри чпзпцларци анпклайдп.
б) (5) тенглама да D ваЕ коэф>фициентлар а ва /Зга
пропорционал булмаса, (5) тенгламани
(ах + Ру 4 и)' + 2т(рх -ау + >:/) 0 (7)
куринишда ёзамиз, бунда т, е ва ^лар (5) ва (7) тенгламаларнннг
коэффициентларипи солиштнрншдан топилади.
ax + pyi-n^O ва /fc + оу + с; = 0 тугри чпзнцлар узаро
перпендикуляр булгани учун уларпи'''Р.Х ва ор уцлари деб цабул
цилсак,
са + Ру + и
Y= - -р====^- ва
±ра2+р~
х ==
+ -Ja~ + р~
эканини тонамнз. У уолда
(7) тенгламадап
д/сг + р1'
66
яъш1 парабола тенгламаси келиб чицацп.
527. Цуйидаги чизпцлар марказини топинг:
} ) ;г - 2ху + 2у2 - 4 х - 6,у + 3 = 0;
2 ) 2х2 - Зху - у2 ! Зх + 2у =. 0;
3) х" + 2ху + у2 + 2х + 2 у-4 = 0;
4) 2.r-4iy 5,г? -8хтб = 0.
528. 1(унидаги чизпцлар турини аницланг:
I ) х2 + бху г у2 + 6х + 2 у -1 = 0;
2) .V --4ху т Зу + 2х- 2 у - 0;
3) у + 5ху-14х* =0;
4) х’ -4ху + 4у2 + 2х- 2,4-1 = 0:
5) 2у+8хч 12у —3 = 0.
529. 4х‘+9у-40х+36у+100 = 0 тепгламани каноник куринишга
кслтириб, эгри чизиции чизинг.
530. 9х2 -1 бу -54х — 64_у -127 = 0 эгри чиликни каноник куринишга
КСЛТГфИНГ.
531. З2.г+52у - 7у+180 = 0 тешламанн каноник курншшиа
келтприб, эгри чизицни лизинг. 532. Зх2 + Ю.у- Зу2 -2х-14.у-13 = 0 тенгламани каноник
куринишга кслтириб, эгри чнзикни чизинг. 533. 4у+3у +16х+12у-36 =() тенгламанк каноник куринишга
кслтириб, эгри чизицни чизинг. 534. Зх2н 4ху + ,у-Ox-i = 0 тенгламапи каноник куринишга
кслтириб, эгри чнзицни чизинг. 535. 9.V -24у + 16у-20х +1!О.у-50 = 0 тенгламани каноник
куринишга келтприб, у аницлаган эгри чизик,ни чизинг. 536. 4х:-12ху<9)’'+20х-30у-11=0 тенгламани каноник
куринишга келтириб, у аницлагаи эгри чизидни чизинг.
537. Куйидаги чизпцлар марказини топинг:
1) Зх2 +5ху-гу' -8:r- 11 у-7 = 0;
2) 5? - 4ху у 2у2 + 20х - 20у -18=0;
3) х2 - 2ху + у - 6х + бу- 3 = 0;
4) 9х2 -4ху-7у -12 = 0.
538. Куйидаги чизидлар турини аницлапг:
1 ) Зх2 - бху -- 2у2 - 4х ! 2.у + 1 = 0;
2 ) 4 х2 - 2ху ь бу - 6 v -1 Оу -- 9 = 0;
3 ) 1 Зх- +18ху + З7.у! - 26х-18у ь 3 - 0;
4 ) Зх2 у 4ху - 12х +16 = 0;
67
5) х2 -6ху + 9у~ +4х -I2v+4= 0.
539. 9х2 +14>>2 +18х - 8т + 49 = 0 те! । гламани каноник куринишга
келтприб, 540. эгри чизикни чизинг. 4х2 ->2 + 8х-2> + 3 = 0 тенгламани каноник куринишга
келтприб, 541. эгри чизицни чизинг. 5х2 -бху-^5у- ^8 = 0 тенгламани каноник куринишга
келтприб, 542. эгри ЧИ31ЩНП чизинг. 5х2 -2ху+5у2 -4л 4- 20у+20 = 0 тенгламани каноник
куринишга келтприб. эгри чизикни чизинг.
543. 8х2+4ху+5т2 j-16x+ 4р-28 = 0 тенгламани каноник
куринишга келтириб, эгри чизикни чизинг.
544. 5х2 +4x}-+j2-6х-2г+2 =0 тенгламани каноник к5'ринншга
келтприб, эгри чизикни чизинг..
545. х2 -бху-7) ‘ -1 С-х--30.1-4-23 = 0 тенгламани каноник
куринишга келтириб, эгри чизикни чизинг.
546. х2 -2лт-г г' +6х-14у+ 29 0 тенгламани каноник куринишга
келтириб, эгри чизикни чизинг.
68
V боб Фазода аналитик геометрия
1§ Текисликнинг тенгламаси. Икки текислик ораеидаги бурчак.
Нудтадан текисликкача масофа
SepELsaH ё=.;.ч:5,С) векторга перпендикуляр ва .Мо(л-с;г0;;0)
нудтадан утувчи текисликнинг тенгламасини ёзиш учун
текнсликншш ихтиёрий M(x-.y,z} нуцтасини олиб, М0М Ln шартдан
фойдалансак,
---=,) = () (1)
тенглама келнб чпкадн. Бунда й(Я;В;С) нормал вектор дейилади.
i I) ге;-;г..амада давсларнн очиб юборсак, у
+ By + Cz + 0 = 0 (2)
курннишпда ё.зчлиши мумкин. (2) тенглама текисликнинг умумий
тенгламаси дейилади.
Хуcycin’i холларда:
I) D = 0 булса, 4х + Ву+Сг=0 тенглик координаталар бошидан
утади;
2) С = 0 булса, Ах + By + D- 0 тенглик Oz укига параллел, 5 = о
булса, Ax + Cz -<- D-Q тенглик Оуукига параллел, 4 = 0 булса,
By+Cz + D = 0 тенглик Ох укига параллел;
3) 4 = 0, 5 = 0 булса, (Ат 0 = 0 текислик хОу текисликка,
д = о, с = о булса, 8|. + Л = о текислик xOz текисликка, 5 = 0, с = о
булса. .-tr + D = 0 текшлнк yOz текисликка параллел;
4) С = 0. О = 0 булса, 4х + Ву = 0 текислик Oz укдан, 5 = 0 = 0
бути-а. .<г-Сг = 0 текислик Оу уцдаи, 4 = 0 = 0 булса, By + Cz = Q
текислик Ох уцдан утади.
5, т= 3- .. =0. г = 0 -кос]штата текпсликларпннпг
тенгламалари.
Агар 0*0 булса (2) тенглама
+ (3)
и b с
куринишда сзилпши мумкин. (3) тенглама текисликнинг координата
удларидан азкратган кесмалар буйича тенгламаси дейилади.
69
Агар й = (Л,Я,С) ва й, = (zit.В,,) мос равиища Ах + By + Cz + D = o
ва Atx + Bly + c]z + D, =0 текисликларнииг нормал вектор,)iaри булеа, бу
текисликлар орасидаги бурчак косинуси
п п. А А, + ВВ, + (Y’,
cos <р = ±7Z1TZ7 = -7===:^===-7====,:====
НЫ -4Аг + В1 + Г-\Ц2 +В,!' + С,’
(4)
формуладан аницланади.
Агар текисликлар параллел булеа, «![/?, ва
А В С
A, С ।
параллеллик шарти уршым.
Агар текисликлар перпендикуляр булеа, й±й, ва (4)
формуладан
А А [ 1- /? В । + С L 0
перпендикулярлик шарти келиб чикал,и.
Нхтиёрий A/0(x0,ytl,z;|) нуцтадан Ax + Byi Cz t Z> = 0 текнелпккача
масофа
, |.«о + с.у + р\
..
формуладан анидланади.
547. Нормал вектори Я-= (1;-2;3) булган ва А/(2:1;-1) нудтадап
утувчи текисликнинг тенгламасиии ёзинг.
548. М,(З;-1;2) ва Л/,(4;-2;--|) нуцТалар берилган. М, нуктадан
утувчи ва n = MtM2 вскторга перпендикуляр текисликнинг
тек гл а м асин и ёзинг.
549. M,(3;4;-5) нуктадан а = (3;1;-1) ва А = (1;-2;|) векторларга
параллел утувчи текисликнинг тенгламасиии ёзппг.
550. Л/,(2;—1;3) ва М,(3;1,2) нукталардан а = (3;1;4) вектор га
параллел утувчи текисликнинг тенгламасиии ёзинг.
551. М ,(3;-1;2), М 3(4;-2;Ч) ва ,V/;(2;0;2j луцталардан утувчи
текисликнинг тенгламасиии езинг.
552. 2х + Зт + 6г-12 = 0 тенгламани текисликнинг ажратган
кесмалари буйича тенгламага келтиринг ва бу гекисликпи ясанг.
553. x-2y + 2z-8 = 0 ва ,г + г-6 = 0 текисликлар орасидаги
бурчак топилсин.
554. w(-l;l;2) нуктадан утувчи ва х-2у-гг = С хамда
x + 2y-2z + 4 = 0 текисликларга параллел текислик тенгламасиии
ёзинг.
70
555. Oz уцдан 2:c + y-^5; =0 текислик билан 60° бурчак ташкил
цилувчи текислик утказилсим.
55G. А/(5;1;-1) нуцтадан x-2y-2z-i-4=0 текисликкача булган
масофани топинг.
557. х-2у + z-7 = 0, 2х + у--z -2 »0 ва x-3y + 2z-ll = 0
текисликларнкнг кссишиш пуктасипн топинг.
558. Нормал вектори п = (5;0:-3) булган ва к^рзннаталар
бошидан утувчи текисликнинг тенгламасиии ёзинг.
559. А/,(0;-1;3) ва М,(1;3;5) нукталар берилган. А/. нуеталан
утувчи ва векторга перпендикуляр текислик тенгламасиии
ёзинг.
560. М, (1;-1;2), w,(2;l;2) ва нукталардан утувчи
текисликнинг тенгламасиии ёзинг.
561. Координаталар бошидан утувчи ва 2л--- .-.г -1 = 0.
x + 2t + z = 0 текисликларга перпендикуляр булган текисликнинг
тенгламасиии ёзинг.
562. Оу уцдаи ва ,М(4;О:3) нуктадан утувчи текисликнинг
тепгламаси ёзнлеип
563. №[):-3:5) нудтадап утувчи на Оу васс укларидан Ох
укдагндаи кура икки марта катга кесма ажратувчп текислик
тепгламаси ёзнлснн.
564. Цуиндаги текислик орасидаги бурчак топинг:
1) х - 4-'. у + .- -1 = 0 ва .г + у2у - z -t 1 = 0;
2) З.у - z =: 0 ва 2у
3) вх + Зу -2г = 0 ва x + 2y + 6z-i2 =0:
4) х + 2у у 2г - 3 - 0 Ва 16х ч 12у -15? -1 0.
565. [\уйидаги долларда М нудтадан берилган текисликкача
масофани топинг:
I) А7(-2;-4;3) ва 2х - у + 2г + 3 = 0;
2) Л/(.2;-1;-1) ва 16х - I2.y + 15z - 4 = 0:
3) Лф;2;--3) ва 5х - 3,v+ z + 4 = 0;
4) Л-/(3;-6;7) ва 4x-2z-l = 0;
5) Л7(9;2:-2) ва 12у --5г + 5 = 0.
566. 2л- - 2у - z - 3 •= о текисликка иараллел ва уидан 5 бирлик
узокликдаги текисликларнинг тенгламасиии ёзинг.
71
2§ Т^гри чизицнинг тенгламалври.
Тугри чизик на текислик ораеидаги бурчак
Пуналтирувчи вектор р=(1,т.п) булган ва И0(л0:у0и„) нудтадан
утувчи тугри чизикнинг тенгламасини ёзиш учун тугри чизиднинг
М(х:у:г) пуцтасини олиб, .<ИСМ||/;' булишидан фойдалансак,
%__хо __ -V ' J^o __ "н ~ zo ( । \
I т fi
тенгламалар келиб чидади. (!) тенгламалар тутри чизиднинг
каноник тенгламалари дейгяади. (1) тенгламаларни / параметрга
тенглаб, тутри чизикнинг
Т = Л z=nt + z0 (2)
курннишдагп параметрик тенгламаларини досил диламиз.
М0(х0;уого) ва Л/Дхду.г,) нукталардан у?тувчи тугри чизиц
тенгламалари думидагпча булади:
х - Xv = = у
*1 — Л'9 Vj - ус zx - Zq
фазода кесишувчи иккита текислик Ах + By + Cz. + D - 0 ва
Atx+ B.r + C.z + D, =0 бирор тугри чнзиц буйича кесишадн. Шу
сабабли
т<
f Ах + By + Cz + D - 0
( (3 I
[А,х-t Bty-y Ср + D=0 ' '
система тутри чизиднинг умумий тенгламалари дейилади.
(1) . (2), (3) тенгламалар узкий богланган ва улардан бнри
бошкаларидан келтириб чицарилиши мумкин.
—— —— = -—— тутри чизик билан Лх + £> + Ci + Z) = 0
I т п
текислик ораеидаги бурчак спнуси
п р \А1 + Вт + Сп\
формуладан топилади. Агар я±р булса, тугри чизиц ва текислик
параллел булади, шу сабабли
А! + Вт + Сп = 0
72
параллелик шартидир Агар п\\р булеа, тугри чизик текисликка
перпендикуляр ва
АВС
I т п
перпендикулярлик шарти булади.
567. 5x-7y + 2z-3 = 0 текисликнинг координата текисликлари
билан кесишишидан хоспл булган тутри чизидларнинг
тенгламаларини ёзинг.
[2х + v-z- = л
568. j о тутри чизиднинг координата
текисликлари билан кесишиш нукталарпнп топинг.
569. м(1;-1;-з) нудтадан утувчи ва I) .р = (2;-3;4) векторга; 2)
Х-\ у+2 2„
--- = 2—— = —~ тутри чигинна: ->.• y = -2i+j, z=5t + 2 тутри
чизикда параллел тугри чизик тенгламасиии ёзинг.
570. 1) А7э(3;-1:2) ва Д/,(2£1); 2) А/о(1;1;-2) ва М2(3;-1;0); 3)
AYo(O;O;l) ва М, (0;1;-2) нукталардан утувчи тугри чизицнинг
тенгламаларини ёзинг.
571. А(3;6;~7), B(-5;2J) ва с(4;-7;-2) учбурчакнинг учлари булеа,
С учидан утказилган медпананинг тенгламасиии ёзинг.
х-3 у+ 2 z ху2 у-3 z + 5
о/2. —— = —- = — ва —— = ^—— = —^=- тутри чизидлар
орасидаги бурчак топинг.
573. л(4;~3;1) нудтадан чидиб V = (2;3:1) тезлик билан х,аракат
цилувчи M(x-,y,z) нуртанинг траекториясинииг тенгламалари
ёзилсин.
_ _ . [ v = Зх - 1 „
5/4. -L _ з тугри чизик билан 2х + д + з-4 = 0 текислик
орасидаги бурчак топинг.
575. -—- = - = Д—д тугри чпзнклан ва Д/о(3;4;0) нуцтадап
1 2 3
утувчи текисликнинг тенгламасиии ёзинг.
Х-3 V Z-l .Т-1 J-1 2
57о. -р-= ва = у тугри чизицлардан утувчи
текисликнинг тенгламасиии ёзинг.
577. 3t~t~7z + 9 = 0 текисликнинг Ох уди ва Л/(3;2;-5) нудтадан
утувчи текислик билан кесишишидан хосты булган тугри чизик
тенгламаларини ёзинг.
73
578. м(2;0;3) нудтадан утувчи ва 1) р = (2;-3;5) векторга; 2)
= ±il тугри чизндда; 3) Ох удига; 4) Оу удига; 5)0?
5 2 1’
удига параллел тутри чизик тенгламаларини ёзинг.
579. 1) М0(1;-2;1) ва М,(3;1;-1}, 2) Мо(3;-1;О) ва (1;0;-3); 3)
Л/о(0;-2;3) ва Л/, (3;-2;1); 4) Л/0(1;2;-4) ва М,(-1;2;-4) нудталардан утувчи
тугри чизиднинг тенгламалараЕЬ ёзинг.
fx т г у — 3- — 5
580. |2 0 ТУФ11 чизиднинг координата
текисликларига проекцияларинп топинг.
581. Учлари 1), Mkl-7) ва С(-5;!4;-3) нукталарда булган
учбурчакнинг с бурчаги бпсеентрпеаеиншгг тенгламаларини ёзинг.
-оо {x = z-2 х-2 г-i г-2
э82. < ва-----= -—= — ттгри чнзпклар ораеидаги
[т = 27 + 1 3 1
бурчак косинусини топинг.
583. л/(5;2;-1) нудтанинг 2x-j + 3r+ 23 = 0 текисликка
проекциясини топинг.
584. М(\у 1;-2) нудтадан л2.г = тутри чнзиддача
3 2 - 2
масофапи топинг.
585. А/(2;3;4) нудтанинг x=y^z тутри чпзиддагп проекцияси
топилсин.
- х — 1 у + 1 Z — 2 Л' у + 1 £ — 1
086. —— = ---- = ва - = 2_ = ___ тутри чизидлардан
утувчи текисликнинг тенгламасини ёзинг.
3 § Иккинчи тартибли сиртлар
I. Сфера. Маркази м(а-.Ь:с) нудтада ва радиуеи R булган
сферанинг тенгламаси
(х - а)" — ЬГ - - <?)’ = 2 .
Агар марказ координаталар бошида булса
2. ^уйидагилар каноник тенгламалари билан анидланувчи
аеосий иккинчи тартибли сиртлардир:
а) --+—- + — = 1. - эллипсоид, а,Ь,с унинг ярим удлари.
а~ h e2
б) i_ + 2L^£_ = i . бир кавакли гиперболоид.
а2 Ь2 с2
74
в) ~~ -t - -т = -1. - икки кавакли гиперболоид.
сг b с~
\ -у2 У~ п <
г) +ф------- = о. - иккинчи тартибли конус.
a h‘ с‘
X -Г2 V1 '
д) —г—- = 2г. - эллиптик параболоид, pq>0.
Р Я
2 ’
е) £_ _2L = 2z. - гиперболик параболоид, pq>0.
Р Я
587. Маркази С(5;-3;7) нуцтада ва радиуси R = 2 булган
сферам инг тенгламасиии ёзинг.
588. Маркази С’(3;-2;1) нуктада булиб, д(2;-1;3) нуктадан утувчи
сфера нинг тенгламасиии ёзинг.
589. Маркази с(3;-5;-2) нуктада булган ва 2x-y-3z + ll=0
текиелнкка уринувчп сфсранинг тенгламасиии ёзинг.
590. х-2 = 0 текислик билан - + г--1 эллипсоиднииг
16 12 4
кесишишидан хоспл булган чизикнинг тенгламасиии ёзинг.
г2 2 Z2
591. з + 1=- 0 текислик билан ; —- + — - = 1 бир кавакли
32 18 2 г
пшерболоиднинг кесишишидан х,осил булган чизикнинг
те1 п’ламасини ёзинг.
х'1 у2 •
592. -- + = 2z эллиптик параболоид билан 3x-y + 6z-14 = 0
текислик кесишишидан кандай чизик косил булади.
X2 у2
593. —+ ^_ = 1. z = 0 ЭЛЛИПСНИНГ Ox VKH
«• ь
атрофида
айлапишидан косил булган сиртнинг тенгламасиии ёзинг.
№ у2 z2 х-3 у-4 z + 2
э94. + 4 ф = 1 эллипсоиднииг —тугри чизик
билан кесишиш нукталарини топинг.
595. у"-—--? гиперболик пара бол оиднинг | = тугри
чизик билан кесишиш нукталарини топинг.
596. Уди Oz булган, учи координаталар бошида ва Л/(3;-4;7)
нук тадан угувчи конуснинг тенгламасиии ёзинг.
597. Маркази С(0;0;0) нуктада ва радиуси R = 9 булган
сфсранинг тенгламасиии ёзинг.
598. Агар ,4(2;—3;5) ва 5(4;1;-3) нукталар берилган
булса,диаметри АВ булган сфсранинг тенгламасиии ёзинг.
75
599. Маркази 2x+y-z + 3 = 0 текисликда ётувчи ва
А/2(-2;4;1) Ва
лг3(-5;0;0) нукталардан утувчи сферанинг тенгламасиии ёзинг.
600. Координаталар бошидан ва 5 ””5 о айла,|ада“
утхъчи сферанинг тенгламасиии ёзинг.
601. ^--^- = 6z гиперболик параболоид билан z + 6 = 0 текислик
кесишишидан хосил булган чизициинг тенгламасиии ёзинг.
параболоид билан x + 2y-z = 0
булган чизикнинг тенгламасиии
у2 + z~ =х ЭЛЛИПТИК
кесишишидан хосил
бир
4
9
каваклп гиперболоид билли
602.
текислик
ёзинг.
603.
9,r — 6у+2z - 28 = 0 текислик кесишишидан дандай чизик хосил булади.
х2 -2
604. — + ^- = 2у эллиптик параболоиднинг lx -2у - z 10 о
текислик билан кссишнш нуктасини топинг.
605. у = 0 гиперболанинг Oz уки
СГ с~
айлаиишидан хосил булган сиртнинг тенгламасиии ёзинг.
2 2 2
606. + = 1 бир кавакли гиперболоиднинг -
тугри чизик билан кесишиш нукталарини топинг.
атрофида
76
VI боб. Функция. Лимитлар назарияси. Узлуксизлик
1 § Функция
]°. Хцкикий сонлар. Барча рационал ва иррационал сонлар
хакикий сонлар (R) деб юрнтилади. Хакикий сонлар ва сонлар
укининг нудталари орасида бир цийматлн мостик мавжуд. Хакикий
соннинг абсолют циймати деганда ушбу
. . ( х, агар х>0 булса
И = )
ф х, агар х < 0 булса
шартни цаноатлантирувчи манфий булмаган сонга айтпладп.
2°. Функция тушунчаси. Агар х узгарувчининг бирор сохадан
олннган хар бир цийматнга у узгарувчшшнг бошка сохадан олннган
маълум бир циймати мос куйплган булса, бу мослик функция
дейилади ва v = /(x) ёки у = ^(х), ёки д=;(х) куринишида ёзилади. х
— аргумент, у — функция деб юритилади.
3°. Аргументш-шг функцияга маъно берадиган кийматларига,
функциянинг аницлаииш сохаси дейилади.
4°. Функциянинг жуфг ва тоцлиги. Агар /(-х) = /(х) уринли
булса, функция жуфт, агар /(-х) = -/(*) урпнлн булса, функция ток
деб юрнтилади.
5°. Функциянинг даври. Агар f(x + T) = /(х) шарт бажарилса,
функция даврий б^либ, унинг даври Т муебат узгармас сонга тенг
булади.
607. Цуйдагилар исботлансин.
а) р.- + д|ф|'+|у| б) |х-у|>|х|-|у|
в) |х • = ф |у| г)
60'8. Ушбу /(х) = —г—— функция берилган. /(-3); /(-2);
Зх~ + х + 2
/(0); /(1); /(5) топилсин:
609. Ушбу f(x) = arcsin(Iog3 х) функция берилган. /(|); /О); /(2)
топилсин.
610. /(х) = 1пх. /(х) + /(х + 1) = /(х(х + 1)) эканлигини исботланг.
611. д = сФ+1, z = ctgx. у ни х нинг функцняси сифатида
ифодаланг.
77
Функцияларнинг анидлапиш соуасини топинг.
(512. а)у- log,(2х г 7)
613. а)у = 41х2 - х - 2
c)v = log,(x2 + Зх + 2)
614. a) v = arcsin——
1 + 2х
(515. а)у = arcsin-75x
б)У = -^~
Х~ -1
6)y^~=L^=
у4х"-4х +1
(516. а)у = 7х -1 + Vs - х
б) у = arccos(Igx)
б)у= log, cosx
б)у - In sin х + х'25 - х2
<•')У -= у[\х\ -1
в)у = -=1=
ф-\х]
в)у = л/cos х + VT- х2”
Функцияларнинг ясуфт ва тоцлнгнни аникланг.
617. а)у = х2-3х 618. а)у = sin Зх • tg2x б)у = Зх4 t- 4х2 + 5 б)у = cos 4х - sin х
619. a)y^:^L'. 2. а’ -1 = Г
620. a)j/ = lncosx ГУ 1 J + А' Qy^ln- 1 - X
621. а)у - д/Зх + 4х + х2 - л/Зх - 4х + х2
б)у = 71 - X2
в)у = log; X’
fc'b'
Vx - v
Функцияларнинг энг кичик мусбат даврини топинг.
622. «)j/ = sin5x 6)y = cos7x s)y = /g9x
623. а)у = 3sin 2х + 4 cos Зх + 5tg2x б) г = 5czg(7x + 8)
в) у ~ 2 cos Зх + 3zg6x -г ЛиеЗх
Функцияларнинг графигини чизинг.
624. а)т = |х + 3| б)у = |х|+3
625. a)j/ = |x + l| + |x + 3| б)у = |х-1| + |х - 3|
626. а}у = |lg(x -1)| 6)y = lcosx|
я)т=|х-3|
в) у =|х-1| + |х + 3|
в)у = arcsin(sinx)
Цуйидаги шартларни бажарувчи х нинг цийматлар тупламини
курсатинг.
78
627. <7)|jc — 2| < 3
б)13х -1| < 4
e)|x-i|-|x-2| <0
628. Ушбу /(х) = arccos(log. х) берилган. ; /(1); /(3)
топилсин.
Фршцияларнинг аницланиш сохдси топинг:
629. а)у = !og,(x? -4) б)у =--------
2-х-х
630. a) v = arcsin х(3х + 4) б)у = arccos ——
х +1
631. u)y = lgcosx б)у = \ 1 -х“ + 4х
в)у = Jx' X
в)у = /~\х-3\
e)y = log4-—-1—
4 + Зх+х~
Функцияларнинг жуфт ва тоцлигини аницланг:
X- -6х + 9 х2-49
e)j'= —-
5х
633. а)у = tglx cos 2х б)у = sin Зх cos Зх
Функцияларнинг энг кичик мусбат даврини аницланг.
634. a)y = tg~^ 6)y = siny
635. а)у = cos 2х + sin Зх б)у ~ tg — + ctg —
. 2х
в) у = COS-—
в)у = Js'mx
Функцияларнинг графикларини чизинг:
636. а)у = |х|-!
637. а)у = |sin х|
б')у = |х - 1|
б)у = |log:(x-2)|
в)у = arccos(cosx)
2 § Кетма-кетлик ва функциянинг лимита
1°. Кетма-кетликнинг лимита. Агар ихтиёрий с>0 сони учуп
шундай N = N(s) сони топилсаки, барча n>N лар учуй |х„ -а| <е шарт
уринли булса, у уолда « сони х,кетма-кетликнинг лимита
булади ва limx„=a куринишида ёзнлади.
2°. А узгармас сонга f(x) функциянинг х узгарувчи а сонига
пнтиладиган циймати дейилади, агарда ихтиёрий г>0 сони учуп
шундай S(s)>0 сони топилсаки, |х - а| < S шартнинг бажарилишидан
1/(х) - .4| < £ шартнинг бажарилиши келиб чикса, у дуиидагича
ёзнлади: limf(х) = А.
3°. Унг ва чап х -> а - 0 ёзув, а гар шнлатиладп. Ушбу лимптлар. Агар л<а ва х->« булса, у уолда х>а ва х-*а булса, у уолда х->« + 0 ёзув
lim f(x) = At ва lim /(х) = Л2,
.Г-М/+О
лимптлар мавжуд булса, уларнп мос равишда функциянинг х^-а
нуктадагн уш’ ва чап лимитлари деб юритилади.
Таърифга асосланиб lim х„ = а эканлигини исботланг:
,..)О Зя-4 638. х„ = 4я + 5 639. х„=г^- 640. 2и + 5 641. х,= — 2-5и 642. х,.=^ Зи +1 2п + 7 3 а = — 4 а = -4 7 а ~ — 2 2 а ~ — 5 4 й = — 3
644. п + 8 644. х„= —- " Зи + 2 /» j г; 2 — 5и 645' 046. ... 1п-\ 647. х„=—±- Пи-5 а = 2 2 а = — 3 5 а = — 7 2 а = “ 7 3 а = — 11
80
648. ,Т1< 9» + 5 5п - I 9 а - - 5
649. л„ _ 5п + 6 5 а - —
7-Ап 4
650. х„ _ 2п + 8 а ~
9л <- 2 9
651. x,t 4/7 + 9 4
7 л + 3 а - - ']
65.2. х, 5я + 9 а - --
2п + 7
653. х. 8 я -- 3 ~ Г- 5л 8 а = — 5
654. х, 4 +- 3)1 3 а ~ —
1 - 2л
3 - 7л 7
2 5л А
656. х„ 1 н- Зп 6 - Л! а - "3
(557. х„ 4 7 9,7 и а = 9
658. х, 2 • би 1 - 2г, а - 3
659. х, 7л + 9 7 а -• ~ -
1 - 2т 2
660. х„ 5/7 т 4 5 а ~ -
8л - < 8
661. X. 3 - 5г 1 + п а = -5
Функи.»яниш' унг ва чип лимитларини топинг:
662. /01-) = е'"‘| x 4
663. /()}= 10* x 4
664. /'(_’.)= 2'’ X -> 5
665. ) — — —?— x 5
Ах + А' 5
66(6 x 5
х + 2
(it) 7. x 0
81
668. /(х)=3-6 х —> 6
669. у(х)=з- х -> Э
670. /(х)=4^ х -> 2
671. /(х)=3":?‘ х -> 4
672. /(х)=107-”’ X -> 7
673. f(x) = arcctg —-- х + 3 г -> -3
674. /(х) = arctg —'— х + 5 х -5
675. ,с->-5
676. /(х)=г4 Iх ~ ч х —> 6
677. /(х)=—~— v ’ 1 + Зк' 71 х — 2
6/8. /(х)- - Л- 0
3 + х + 4'
679. /(х)=-4- 1 + 5Л я х —»• - 2
680. /(х)=—Ц- X - > 3
Зх + 3
681. f(х) = —— ' х ' 1 + 2'1'6' Я л 12
682. /(х)=575 X -».3
683. у(х)=— 684. /(х)= ?—г X -4 0
1 + 2х + 7'
685. у(х)=8"7 х -> 3
686 у(х)=^2-^ \+2'^ ?г
687. /(х)= 1—т х 0
1 + Х + 10-'
688. /(х) = arctg--— X -> i
82
689. f(х) = arcctg-
х-2
690. г(х) = гл^3г
|л - 3|
1х + 41
691. Дх
v ’ х + 4
6У2. /(х) = 4’”’
693. /(*)=— 1—г
2 + л- + 3;
2
3 S Функциянинг лимита. |-| ва курииишидаги
аницмасликларни очиш
1°. Функциянинг лимита куйидаги теоремаларга асосланиб
хис(!бланадп:
Агар lim(7(x) ва НтИ(х) мавжуд булса, у холда:
lim С U =С • iimZ7(x), С = const
+ Г) = lim U ± Нт И
>--></ \-»И л-><»
lim(U - К) = lim U lim V
,r—*a к—*а x-*a
j j lim 17
lim - =
V lim И
(lim V * 0 j
урннлидир.
2°. Мавжуд аникмасликларни бирор алгебраик
алмаштаришлар ёрдамида йуцотилиб, сунгра келтирилгап
теоремаларга асосланиб бевосита лимит хисоблашга утилади.
Лпмитлар хисоблансип.
694.
695.
lira
16х2 - J
4х-1
696. Нт -у===—
' У.г + 9-3
д/Т- 1
698. lim -'-—
-Jx-A
697.
699. Пт-7==Л-7=
'-° V1 л jc — VI - лг
83
700. lim^2 •>-« х-8 701. lim л - 27
702. iim24±±E±Z '-«8х2 -5х + б -7По ,. 6х2 + 7х+1 /иа. hm— 5х' + 4х -1
704. lim 7— — 2х + 7 7HC\ г /иЭ. hm ’-» 2х + 1
! 0 6. iim —- l£__L 707. Vx6+2 + x
Vx4+l+x
-/,<> Х-Ух+Vx'’+l /vb. шп ==• M"(3x + 1)-Vx3 +1 709. ,_Д 2х-1
-1п .. 25х2-1 /10. lim 5х -1 1 nii Зх'*БЭх — 2 /11. hm х + 2
-... 5л-:-4л--1 lim х -1 714 г 'Г ~^Х’+3 /1о. hm— -'-->3 х — 3
6х~ + Х-1 /14, hm х- 7]с 1- л/х~-ь7 —-7? /1Э. hm >-» X
716. lim7E±Ll -'-° X 717. lim -—- Vx-1
718. -1-» 5х + 2х +1 719. •>-» x + 9
Г7ОГ1 1' + 1 + X 720. hm-T ^"Vx4 + l+3x2 721 lim +1 +3'Г
'-» 2x- +1
л/4х2+1+1 /22. lim
4 § Биринчи ажойиб лимит
У шоу = l тенглик биринчи ажойиб лимит деб
-—о х
юритилади. Бундан куринишда анидмаеликларни очишда
фойдаланилади.
Лимитлар дисоблаисин:
723. lim
sin 8х
5х
724.
,-»(> зх
84
-nr sm' Зх
725. hm-------—
mo 4x-
sin5x
/ Z /. Iim -7=----==
Vx + 3 - V3
729. li™^
x
-01 arcsin(.v-l)
/al. hm-------Л------
->l x -1
sinll+x)-sin(l-x)
/33. hm—1------------------
x
.. .. sin 6x
73э. hm--------
•>-<<> 5x
,. 1-cosfcr
/•:>/. hm-----;---
~*а X ’
-on .. arcsin(x~3)
739. hm-------,-b---<
'-*3 x - 9
741. Hma''^i)
.,-.4 ,y2_16
7lo 7xsin5x
/to. hm-----------
->o 1 - cos x
l-cos4x
72b. hm-----;---
J~*° x - sin 2x
_,-lo .. arcsinx
728. hm--------
x
-7 Q f. j yj X + 1 — 1
730. hm---------
'-»0 sin 5x
чм .. arclg(x-2)
732. hm----7-----
x2_4
5xsin4x
734. hm--------
1 >01 -cos6x
736. Iim—
>0 /g4x
738. lim^tlz^
sin3.v
740. l.m®^
A~>0 X
-'-+0 cos5x-cos3x
1 . l-cosS.r
/44. Iim----7----
‘ x-sin5.v
(a> - co) ва (0 • co) куринишдаги
анищмасликларни очиш
Лимитлар хисоблансин:
745. limwx-i 5 -Vxl
747. lim^Vx2 -3x+ 2 -x
749. lim(Vx + 7-Vx)
751. Iim(l - x) tg~
..->1 2
753. ( sin hm ..-ZVcOS X 7 'I , <g * | ' X J
755. lim^Vx2 + x +1 - xj
757. lim^V x2 + 3x + 2 - Vx2 + 2x
759. lim(Vx2 + 5x - xj
746. lim[^x(x + l)-x)
748. lim(x + л/З-x^)
.V—>M ' '
750. )im(Vx^+T-xj
752. lim(3-x)/g~“
r-*3 ‘ 6
754. limf—-x| /px
2 j
2
756. Iim(Vx’ + 5 - x)
Г-»И' '
758. lirn(V7T2 - V?TT)
760. lim^/P~+~7x -xj
85
761. lim(4-x)zg™
763. Iimctg3x-tgSx
762. 1 im(5 - x)tg y~
764. Iimtg3x-ctg5x
6 § Функциянинг узлуксизлиги
1°. f(x) функция .v = x„ нудтада узлуксиз дейилади, агарда
ушбу
lim(/(x + Ax)-/(x))- Jim Д/(х) = О
zkr-*O
лимит уринли булса, яъни даралаётган нуцтада аргументнинг чексиз
кичик орттирмасига функциянинг .хам чексиз кичик орттирмаси мое
келса, соханинг хар бир нуцтасида узлуксиз булган функция шу
сохада узлуксиз деб юрнтилади.
2°. Агар х = х, нудтада узлуксизлик шарти бузилеа, у функция
шу нудтада узилишга эга дейилади.
Агар lim f(x) ва Пт f(x) мавжуд булиб, улар узаро тенг
.V-»Vs--0 А-^Л'оГО
булмаса, у холда л- = л-0 нудтада функция I тик узплшига эга
дейилади.
I типдагп узилиш нуцтага тааллуцли булмаган барча узилиш
нуцталарни II тивдаги узилиш иукталар деб юрнтилади.
Функцияларни л- = х„ нудтада узлуксизликка текширинг:
7 6 5. у = х-3 х0 =3 766. п i 1 ! * П
767. у = F-'l Ху — 1 768. х-2 у = Х(1 = 2 х-2
769. T = sin-~ X л*0 — 0 770. y = arctg-^-~ x0=2
771. _y-cos-- X х0 - 0 772. у = е= 1
773. y = Vx функция х>0 да узлуксиз эканлигини курсатипг.
774. у = {х| функциями бутун сонлар укида узлуксиз эканлигини
курсатипг.
775. у - Е(х) (х нинг бутун цисми) функциями узлуксизликка
текширинг.
776. у = —— х0 = 5 777. j?------ х0-7
х-5 х-/
86
778. = 1 779. = х0=-5
2х-1 2 х + 5
780. y = sinl X х0 =0 781. y = arctg — х хо =О
_о„ 1 /82. y = cos— х0 =0 783. у = е**' х0=-1
х
784. y-tgx функциями узлуксизликка текширинг.
785. y = Jx-l функциями х>1 да узлуксиз лканлигинн
курсатинг.
786. у = х-Е(х) функциями узлуксизликка текширинг.
7 § Иккинчи ажойиб лимит
Ушбу lim| 1 + -1 =е тенгликка иккинчи ажойиб лимит деб
юрптилади. Бундан ташдари
lim 1 + — - ек
х)
lim(l + х)7 = е урипли.
Лимитлар дисоблансин.
787. lim ———. 789. limf^Ll'l 791. limx (ln(x + l)-ln(x-l)) 7CIQ i- tog,(l + .v) /УЗ. hm х 795. linr—— "-° sinx 797. x - 5 J 799. lim x (ln(x + 2)- Inx) 788. limF5—- ’--42X + 1J 790. limf—-1 4 а-Цх-4 J *7 GO r ln(l + A*) -^0 X 794. lim — ’'-*0 log_4(l + x} sin2x 79b. hm ,r->o 1 - 2' 798. limfcTf л->«ц + 4xy 800. limYnl
87
801. lim-^—'
0 si пл-
803. Iim—-
^0 3X
805. Iim x (ln(x + 3) - ln(x - 3))
802. lim^-
A-0 e' -1
804. Iim—r----
<-»e -1
806. lirn^'^
1-4.0 у
8 § Чексиз кичик мивдорлар ва уларни солиштириш
1°. Агар Нт<х(х) = 0 уринли булеа, у х;олда <х(х) чексиз кичик
МПкдор ДОИ!1.ia.Hl.
2°. Агар а(х) ва р(х) лар х-+а да чексиз кичик мивдорлар
булиб,
1) Пт — -0 уринли булеа, у \олда а(х) ни /?(х) га Караганда
'-“Z?
юкори тартибли чексиз кичик мивдор деб юрцтилади ва а = <>(/?)
курш шшда ёзиладп.
2) lim - = т (т*0) уринли булеа, у \олда »(х) ва /?(х) лар бпр
< •» р
хил тартибли чексиз мивдорлар деб юритилади.
3) Агар Iim—= 1 уринли булеа, у долда а(х) ва /7(х) лар
**" р
эквивалент чексиз мивдорлар деб юритилади ва а~(3 куринишда
ёзилади.
Чексиз кичик мивдорлардан фойдаланиб баъ.зи
функцияларнинг лимитларини хисоблаш мумкин.
1\уиидап1 чексиз мивдорларни х -> о да солиштиринг.
807. а(х) = 5х2+6х5 ва /?(х) ~ Зх2+2х’
808. а(х) = 3х’+7х2 ва /7(х) = 4х’+ 7хг
809. <z(x) = l-cos2x ва /7(х) = х2
810. а(х) = 1 -cos4x ва Д(х) = х-зшх
811. а(х) - xln(l + х) Ва P(x) = x-sinx
812. а(х) = 4х’+5х2+6х ва Дх) = 5х3+6х2+7х
88
813. а(х) = 5х4+6х’ ва (3(х) = 3х’’ + 7х2
814. а(х) = 1 - cos 6х ва /?(х) = 2х2
815. a(x) = l-cos8x ва /?(х) = Зх• sin2х
816. а(х) = xln(l+4х) ва /3{х) = х sin Зх
Чексиз кичик мивдорлардан фойдаланиб лимитлар
дисобл ансин.
О ] П «. л/ "Ь 3 X 1 о1/. hm tg2x 818. Hm— '-° ln3(l + 3x)
о , n . in COS X 819. hm — l—° 111(1 -l-X") 820. *-> ln(l + 3x-2x2 -x’)
821. lim^ll in(l+x-) ooo !• ln(l "b зх + ) 822. hm—' Л- ->(1 ln(I + 4x + 5x2)
823. lim—' 1— >-» ln( I - 3x) 824. lim— 1-x
825. linv-U^^- '-♦° Vl+5x-l o,, r> ,. cos x - cos 2x 82b. hm r >c 1-cosx
9 § Лимит хдгеоблашларга дойр аралаш мисоллар
ooh , x2-2x + 1 827. hm - r-*! a?-x one ,• x’+3x2+2x o2o. lim — v->~2 X'-X-6
829. lim 830. limf—
v~>' xJ - x~ - x +1 1-x J
c Q 1 ,. + I + Vx oof. hm—== 832 lim +1 ~'^2 +1
Vx3+x-x ^"Vx4 +1 -Vx“ +1
833 lim 2^L±3+^2lL71 834 lim ^'X'1 + 3 ” + 4
Vx8+x7+l-x Vx7 +1
QQK Vl + X2 -1 835. hm г 836.
V-+0 xz x
837. limx(7x2+1-x) 838. lim^l/(x + l)2-l/(x-l)2
oon 2x-arcsinx om ,• 1 + sinx-cosx 840. hm
2x + arctgx ’-►01 - sinx - cosx
ел, 1-sinx o41. lim*; r 842. iim-7=£2|£==
<1 1 IT \ ' 8 - -2 VO_ s*n x)2
2
89
о о I- Г X" + 1 | 843. hm—-— 2 -1J олл ( x2 -2хч-1 ) 844. hm— — *-*°\x - 4x + 2)
£ -C0SX 84 3. hm х-»° X' 847. lim-^- •<-•-1 sin(x +1) 846. lim—— '-° sin X 848. limJp^-i -'-° — + x -1)
849. Vx-1 0-A , tf(X + l) ЬзО. hmcos—t=—- „.i Vx+1
90
VII боб. \осила ва дифференциал.
1 § Таърифга кура ходила хисоблаш
Г'. Функция орттирмасинн аргумент орттирмасига булган
писбати, аргумент орттирмаси ихтиёрий равишда нолга
интилгандаги чекли лнмитига функциянинг хосиласи дейилади,
яъни
Ду
Хосилани у' ёкн -- куринишда ёзиш мумкип.
А
2е. Функциянинг хоспласинп топит амалипн
дифференцналлаш деб х»м юритилади. Дифиренциалланувчи
фу 11 кци я узя у к сизди р.
Цуйидаги функцияларнинг х<х’илаларини таърифга кура
топинг.
851. у - х 852. у = - X 853. у - etgx
854. Д = 5!П.Г 855. у - х2 856. д = Д- х'
857. д=-л/1 + х 858. у = - х4 859. y = J- х + 1
860. у~-\/х 861. y = cosx 862. у = 2s'mx + 3cosx
863. у = igx 864. у - '-j~x 865. y = tgx + x
866. д = Зх 867. y = sin2x 868. у = 2х2+3х
869. у з.г' гл- 870. j,’ = cos2x 871. у = (х+1)-’
862. у = (.V + 1У 873. y-x + etgx 874. v = x3+5x
8 /5. д = УлД 2 876. д = ± X' 877. y = sin3x
2 § Дифференциаллан! цоидалари
Г. Асосий функцияларинг дифференциали.
I. (С)' = 0;
2. (х^р-х^-
91
3. (a )-a'-lna;
5- (logsx)’=—1—;
x-lna
cqsx;
9. (igxy^ _J__.
COS’ X
15- (arcsinx)'= -—L__
Vi - x2
13. (arctgx)'=—I____.
1 + x2 ’
15. (.f/zr)'-^.
17. (/Лх)'=—L_.
ch2x ’
4. (e')'=e';
6. (lnx)'=V;
8. (cosx)’= - sinx;
10. (ctgx)'=-----
sin X
12. (arccosx)'= —=2=
VI - x2
1 Л 1
14. (arcctgxy=-------
1 + X’
16. (chx)'~chx;
18. (cthx)’=-----
sh~x
2°. Асосий формулалар.
C'=0
(C u)' = C-u'-,
(C^t + C2v)'= Cn'±C2v';
(a • v)'= u'v + uv’;
J 7
V v‘
Функцияларнинг хосиласини топинг.
х4 х2 878. у = - + 4х; 4 2 879. 1 1 1 X X X
880. у = 4Vx -3Vx; 881. у - х —sinx
882. у = х2 -ctgx 883. у - х' agx
884. у = 1-х2 885. COSX ? -
886. J = Vx-COSX 887. X- -1 >'• х~ +1
888. /(x) = Vx2 булса, /'(-8) топилсин.
889. /(х) = —булса, /'(о), /'(2), /'(-2) топилсин.
2х-1
890. y = sh2x 891. у = thx + cthx
892. y = x-cthx 893. y = Х--2хг +4x-5 3
894. ^ = £--^ + x 5 3 895. = 1 2 J
92
896. y = x + 2-Jx 897. у = (4а-^
898. у = 4 X 899. y = l+-L + -L X X X'
900. 7 = х+4 —-т х2 5х2 901. у = 3х-6л/х
902. y = &&-4aJx 003.
904. V = -L—L ' 2х2 3? 905' У = ^ГТх
906. y = x-sinx 907. y-x-tgx
908. y = ?cosx 909. y = x2ctgx
г-» 1 z\ COS X 910. у~ ~ X 911. у = -4~ х" + 1
912. у = ^ 1-4л- 913. у = ^ yjx
914. Дх)^~^~ 1 - sin х 915. ^>(х) = -Д- Vx +1
916. ,v X 2 917. x = o(/-sinZ)
918. /(х) = -у - х2 + х булса /'(0), /'(1) , f\-1) топилсин
919. f{x) = x2—-~ 2х~ булса /'(2)-/’(-2) топилсин.
920. = булса 0,01 -/'(0,01) топилсин.
921. у = {a~bx2^ 922. y = (l + Vx)’
923. ; 10? 4? 004 v - 3 2 . у~24~х -Г*
925. y = x + sinx 926. y = x + ctgx
927. y = x2sinx 928. y = x2igx
929. y-Jxcosx 930. 5 = --- 2 t
931. у=х---~4 х Зх' 932. y = 4=4 Л- 4-1
933. y = fl+-4=l 934. у =
935. f(x) = \lx2 булса /'(-8) топилсин.
936. булса /'(О), /'(-2) топилсин.
2х -1
93
3 § Мураккаб функциянинг хосиласи
1°. Функциянинг функциясига мураккаб функция дейилади,
яъни У = f(u),u = <р(х) .
2°. Мураккаб функциядан цуйдагича хоеила олинадп:
у, = Л
3°. Асосий формула = пи"~'и', хусусан (V«) = —- 2-Jи
Цуйидаги функцияларнинг хосиласини топинг:
937. j = |^l-2x^ 938. J = -х + 1 j
939. ^ = -=1= 4 а1 - х1 941. т = (1-5лф 940. у = 1-±^. Vl+x2 942. y^(4^xf
943. у = г--7.? 945. V = -=J_ 7Г-л-4 -xs 944. y = -J]-x2 946. . ' V2x-1 ^+2у
947. у = (1 + Зх--5х2) ° 948. yJ.a^\ \ С )
949. у - (2а + 3fa)2 951. у = 3 56(2х -1)7 953. / = —1 40(2х-1)5 950. у = (з + 2х2У 952. у = _^Л 24(2х-1)6 954. у = 7Г-Х1
955. y = '2/a + bxi 956. y = ^-4x2J
957. у--. J (л*“ ~Х -hl) 959. y = x2xl\-x7 958. ? = -==L= 960. ^ = --=2==
961. > = 8- 56(7х-1)8 962. ,4-L-
94
4 § Тригонометрии функцияларнинг хосиласи
Асос и й формулала р:
(sin a) =cosuu
(/gw) ~ —
COS и
(cos а) =- sinw -и'
sin* и
и
Тригонометрии функцияларнинг хосиласини топинг.
963. у - sin х + cos х
965.
X
п, > sin а а
967. 5 =-----+-----
a sin а
969. v —-----—-----
sinx + cosx
971. у = cos2 х
973. V “ cosx--cos’X
3
975. J = ^/g’x-/gX 4 X
977. у = sec2 x4 coscc’x
979. _y=acos—
3
981. y = /g~
2
983. y=sin-~
X
985. у - sin VF+ x2
987. у = (1-sin2 x)J
989. y=cos’4x
991. y= cos2b2^
1 + yx
964. A' V — 1 - COS X
966. P ~ £7Sin^ + COS^9
968. sin/
1 +C0S/
970. xsin x у = . 1 +
972. 1 , 4 y = -/g X
974. у = 3sin2 x - sin2 x
976. y = xsec2 x-lgx
978. y = sin3x
980. _y - 3 sin(3x + 5)
982. у = ф"+ 2/gx
984. у = sin(sinx)
986. y = ^/g(-
988. y-c/gVl + x2
992. у = sin2(cos3x)
95
5 § Тескари тригонометрии функциялариинг хосиласи
Асосий формулалар:
(arcsin и) = —т==
л/1-и2
Z м и'
(arctgu) = --у;
(arccos г/)'= - -===
Z ‘ м и
(arcctgu)--------
1-нг
Тескари тригонометрии функциялариинг хосиласиии топинг.
993. у = xarcsinx 994 ,, arcsin*
arcc cos x
995. у = (arcsin х)' 996. у = xarcsin x + 71 - x2
997. у = —L- 998. у = xsinxarctgx
arcsin х
goo v arccoSx 1000. у = jxarctgx
X
1001. у = (arccos х + arcsin х)" 1002. > = - --^-arctgx l т x~
1003. у = arcsecx Ю04. > =
arclgx
1005 v-arcsini 1006. у = arccos — 7з
7i - x'
1007. у = arcsin(x -1) 1008. y- arcsin~ X
1009. y-arctgx1 1010. у = arctg1 —
X
fl—~
1011. у = arcsin(sin x) 1012. у = arcsin J—- Vl + X , . b + acosx 1014. y = arccos
1013. у = д/l -(arccosx)2
a + /jcosx
1015. у = — Varcsin-Jx2 + 2x ! Л1 й . sin a sin x
2 1 - cos a cos x
1017. у = arclgix - 71 + x' j
6 § Логарифмик функциялариинг х,осиласи
Асосий формула лар:
(log,, и)'= --
и -Ina
и
96
Логарифмик функцияларнинг хосиласини топинг.
1018. y = x2log3x
1020. v = ----
Iog2 X
1019. y = xlgx
1021. y — 1-
Inx
1024. y = ln(l-2x)
1026. y = ln/gx
1028. у = (l + In sin х)"
1030. у = Jin sin
} 4
1032. y-Jlnx
1034. y —
x'
1036. у = Vl + In'2' x
1038. y = log3(x2-l)
1040. у = urc7g[ln(ar + />)]
1042. у = arcsin2[ln(a’ + x’)]
1023. у = х"1пх
1025. у = In sin х
1027. у = 10“ sin х
1029. у = Inarctgyl + х2
1031. y = ln2x
1033. y = xsinxlnx
. о r In X 135. v = г
1 +х"
1037. y = ln(x2-4x)
1039. у = lnarccos2x
1041. y = log,[log3(logsx)]
7 § Курсаткичли функцияларнинг хосиласи
Асосий формулалар:
(а" )= с” - In а и'
(<?")'= е" -и'
Курсаткичли функцияларнинг хосиласини топинг.
1043. у = 2' 1044. у = х-10'
Ю45. V = _L 1046. у = -
е
1047. y = e'cosx COSX 1048. у = —г-
1049. у = х3-3* 1050. у = (х2-2х + з)г‘
in-i 1“10' 10<)1. г = 1052. у ~ хе' (cosх + sin х)
1 + 10г
1053. у = 10-”-’ 1054. _у = sin(zx)
1055. y = as"’’r 1056. у = 23'
1057. у = sin(e14'”“2) 1058. у=е^"Т:^
1059. y = «e-'’v 1060. у = Ае 1 ' sin(<yx + a
97
1061. у = 10' 1062. у = — 4'
1063. у = хе' 1064. у = ^-~~ е'
1065. у = —— sinx 1067. у ^44414 iogo. у=4- Ю68. U1---- Г-е’
1069. у = 1 + .V 1071. 1073. у = еа'““,2л' 1075. у = 10'""‘5д 1077. у = х2е 1070. у ~ е' 1072. у = 3“” 1074. у = /'" 1076. у = insm^larclge3" 1078. у-а'х"
8 § Гиперболик функцияларнинг хосилаеи
Асосий формулалар:
(shu)’= chu и’ (thuy~ ch" и (chu)' - chu • и 7 / М li> (cl пи) = т—; sh~w
Гиперболик функцияларнинг хосиласини топинг:
1079. y = s/r’x 1081. y = sh2x + ch2x 1080. у = arctgfthx) 1082. y = 4chx
1083. y-lh(knx) 1085. y = \nchx 1087. y = ch(shx) 1084. y = 1086. у — th(\~ A'-) 1088. y-^'
1089. у - xshx - xchx 1090. yAthl_Lth'L z 2 2 6 2
9 § Мураккаб курсаткичли функциянинг хосиласи
( а' v Г
ш = и v ши + —11 ;
v ' у и )
98
Мураккаб курсаткичли функциялариинг хосиласини топинг:
1091. = 1092. у = (sin л-)1™"
1093. ,у = (х + 1)2/' 1094. у = Г'"
1095. у-2х'г' 1096. у =
1097. ,v = (lnx)' 1098. у = х3ел sin2x
1099. у = х"" 1101. у = (х2+1У"г 1100. у=х’''
10 § Арала»! функциялариинг хосилаларини тонишга дойр
мисоллар
1102. y = sin — + cos~ 2 2 1103. v = 6cos* 3
1104. y = -\lcOSX 1105. y = 72x-sin2x
1106. Г silf' 1107. у = sin3 л-
1108. x = cosLr 1109. y = scc3x
1110. у - sin1 .v + cos3 ,r Illi, у = lg\-3lgx+ 3x
1112. у = 1/1 + cos3 X 1113. y-~sinVx
1114. у = Vl*+ sin 2x - Vl - sin 2x 1115 v- -
(1 + cos 4.r)
Hl6. y = c7g3| 1117. у ~ y/4x (- sin4x
1118. y = xM-A-? 1119. y = Vl + cos6x
1120. v = tgx + ~tg 3x + ~-igsx 3 5 1121. y = sin3x’
1122. у = (1 + Vx) 1123. у = д/1 + 7-/’х
1124. у = lg(x - cos x) 1125. y = 5ig^ + /g~
1126. у - sin -sin2x 2 1127. y = .?-Vx6-8
1128. y= V7 + 4J 1129. y = e2"5f.v2-x + l I 2
ИЗО. у = -^--arclg^— V3 1 1131. y = sin3-c/g- 3 2
1132. у = ln(x + -Ja' + x’ j 1133. у ~ tg'x + tg^x
2 1 x 1134. у = — arclgx + - arctg у 1135. у - arcsin Vsinx
99
1136. у = х - 71 - х2 arcsin х 1137. y-^x±~jx + 4x
1138. у = а • 1139. у = arctg(x2 -3x4-2)
1140. у = 3cos2 х-cos’ X 1141. y =
ljx + -Jx
1142. y = sinxc“sv 1144. y = arctg^XL 1 143. у = e 1 In x 1145 V 2sil?x
1 1 b-l. >
X -1 cos 2x
X X
Ig +ctg 1146 v 2 2 П47. y = 3x4
1148. у = xarctgjx 1149. y = cos2xlnx
1150. у = arcsin(nsinx) 1151. y = —sin63x—--sins.3x
IS 24
urn arcsin x 11Э2. у = cos— 1153. у ~ arccosVT-3x
1154. у = sin2fl 1155. у = у = log, (x2 - sin x)
\ x )
1156. y = a,rtg^ i r -7 । 4 л/1 — X 1157. у = In X
1158. у = x arcsin(ln x) 1159. у = /«44 1 + e 1161. v = 0,4| cos-“-^-~sin0,8x " i 2
1160. y = cosxVl + sin2 x
1162. y = xl()'‘v 1164 v 1
Z«-2x
11 § Ошкормас функциянинг хосиласи
1°. у узгарувчига нисбатан ечилмагаи функцияга ошкормас
дейилади.
2°. Ошкормас функциянинг хосиласини топиш учун, у
узгарувчига мураккаб функция сифатида караб, тенгликнинг \ар
иккала томонидан хрснла олиб, су игра уни у' га нисбатан ечиш
КИ(|Х)Я.
Ошкормас функцияларнинг хосиласини топинг:
П64. 4+4=1
а2 Ь-
1165. х'12±у'12 = а112
100
1166. х3 + у3 + Заху ~ 0 1167. у3-Зу + 2ах = 0
1168. х4+у4=х2у2 1169. sin(xy)+л»(лу) = tg(x +
] 170. 2 у In у = х 1171. xJ =y'
1172. СО5(ху)=Х 1173. у = 1 + хе1'
1174. у = х + arctgy 1175. у2 cosх = а2 sinЗх
1176. у2 -2xy + b2 =0 1177. xJ + ax2y + bxy2 + у3 =0
1178. 2' + 2Г = 1179. х - у = arcsin х - arcsin у
1180. у - cos(x + у) 1181. х3/3+у2'3 = а2/3
1182. х sin у - cos у 1 cos 2у = 0 1183. у sin х - cos(х - у ) = 0
12 § Пареметрик функциянинг хосиласи
Ушбу j к уринишда берилган функция параметрик
функция дейилади ва уиинг хосиласи УГ=Д- курипишда топплади.
X,
Нараметрик функцияларнинг хосиласини топинг.
==3/4-5 1 X = -
1184. 1 , Ь’ = г fx = sin3Z ] 186. 1 [у = cos t i । о о Г*' ~ arcsm t 1J 88. 1 [у = arccosf 1190. \Х = е" [у^е3' 1192. = 1т - У ,, „ . fx - arcsin 2Г 1194. 1 [у - arccos2r 1185. 1 1187. ? = ® (У = ctgt 1189. [x = arcl81 [у = arcclgt 1191. Wnsinz [у = Ineos/ ' 1 1193. /+J r y-~— 1195. [x = arclg3t [j/ = arcctg3t
101
X =COS2I
у - sin2t
1198. \x = Xnt&
b = Inc/gf
1200. Jx = ln2/
[j> = In’t
1196.
1199.
1221.
1197.
6l
У e
x = arcsin2 r
у - arccos21
13 § Юцори тартибли хосилалар
1°. Функциянинг биринчи тартибли хосиласидан олннган
Хосилага унинг иккинчи тартибли хосиласи дейилади ва цуйидагича
ёзилади:
у' —(у) ёки /"(л-) ёки ~г.
dx~
Функциянинг (г/-1) тартибли хосиласидан олннган хосилага
унинг а- тартибли хосиласи деб юрнтилади ва цуйидагича ёзилади
у{п} ёки /‘"’(х) ёки
dx‘‘
2°. Лейбниц формуласи. Агар и = и(х) ва v = v(x) функциялар и-
тартибли хосилага эга булса, у холда
(«о)'”1 +n-u("-,> и"'-’’ +.+ V1"1.
уринли.
Функцияларииг 2- тартибли хосиласини чопинг:
1 222. у = sin2 х
1224. у =
1226. у = х1 +3х2 +4х + 5
1228. у = arcsin2 х
1223. y~tgx
1225. y = x-sinx
1227. у = COS2 X
1229. у = 47х
Функцияларииг 3- тартибли хосиласини топинг:
1230. y = sin2x
1232. у = -/1 + х2
1234. у = А.
1231. у = tgx
1233. у = cos2 X
1235. >> = xsinx
Функцияларииг п- тартибли хосиласини топинг:
102
1236. у = е'°' 1237. у = Inх
1238. У = -Л 1239. у = х"
1240. >. = 4^ •\/1 ~~ X 1241. у = xshx
1242. у = т-1пх 1243. T = sinx
1244. ^ = cosx 1245. у = -1- 1 + х
1246. у = !п(з + х) 1247. ^=cos4x
1248. j = sin5x 1249. у = е4х
1250. у = -'- .V 1251. j' = log,(x + l)
1252. д = 33-”4 1253. д = зт5х
1254. у = log,(л- + 2) 1255. у = 2’”5
Лейбниц формуласидап
тартибли хрсилаларини ёзинг:
фойдала! шб, фу1 пгциялар! шнг 2,3=
1256. у = е1 -cosx
1258. у = х2-ех'
1257. У = X COS X
1259. у = х2 1пх
Лейбниц формуласидап
тартибли хрсилаларини ёзинг:
фойдаланиб, функцияларнинг 2,3=
1260. y = x2-lgx
1262. у - 4х-е‘
1261. у = 2х • In х
1263. у = ех - sin х
14 § Урипма ва нормалнинг тенгламаси
1°. y = f(x) функциянинг х = х0 нуктада олипган х,осиласи,
(л0:у( ) нуцтадан унинг графигига утказилган уринманинг бурчак
коэффициента га тенгдир, яъни yj„,o = f\x) = k = tga .
2°. y = f{x) функция графигининг м(ху,у0) нуктадан утказилган
уринма тенгламаси
103
У = /'(*<>~x0)+ f(х0) куринишда булади.
3°. Берилган нудтадан утиб, уша нудтада уринмага
перпендикуляр булган тугри чизиддга даралаётган функция
графигининг нормали деб юритилади. Нормал ушбу
У = - -77—7 О - *0) + /(Л ) к^ринишдаги тенгламага зга.
f (хо)
1264. y = ig3x функция графигига х0=^ нудтадан утказилган
уринманинг тенгламасиии ёзинг.
1265. j/ = l(x3+l) функция графигига унинг ох уди билан
кесишган нуцтасидан утказилган уринманинг тенгламасиии ёзинг.
1266. у = л-(х-4)3 функция графигида ох укига параллел булган
нуцталарни топинг.
1267. у = х3 + 3х2 + 4х + 5 функция графигида уринма ох
уцига параллел буладиган нудталарнинг йудлигпни курсатипг.
1268. у = х2е~х функция графигига х0^1 нудтада утказилган
уринманинг тенгламасиии ёзинг.
1269. у = 2х2-5 ва _у = х2-Зх + 5 чизицларнинг кесишиш
пуцталаридан утказилган уринмаларнинг тенгламаларини ёзинг.
1270. Т^айси нуцталарда ушбу у = х2(х-2)2 чизицца утказилган
уринмалар абсцисса ^дига параллел булади?
1271. Ушбу ^ = х’+5х-12 чизиднинг ихтиёрий нуцтасидан
утказилган уринма Ох уди билан уткир бурчак ташкил этишини
курсатинг.
1272. Цайси нуцталарда ушбу > = х’+х-2 чизивда утказилган
уринма у = 4х--1 тугри лизинга параллел булади?
1273. Ушбу у = х-~ чизиднинг абсцисса уди билан кесишган
х
нудталаридан утказилган уринмаларнинг тенгламаларн ёзилсин.
1274. Ушбу у = чизиднинг абсциссаси х = з булган
X'
нуцтасидан утказилган нормалнинг тенгламаси ёзилсин.
1275. Ушбу y = -Jx + 2 чизиднинг бирипчи координата
чорагининг биссектрисаси билан кесишган нуцтасидан утказилган
нормалнинг тенгламаси ёзилсин.
104
1276. Ушбу у = х2-х + 1 чизикнинг абсциссалари х,=0, х, =-1
ва у. = | булган нукталаридан утказилган нормаллари бир нуктада
к (ч: ш и и । и ин и курсатииг.
1277. Ушбу у = —гиперболага координата бошидан утувчи
х + 5
у] >и 11 м ап ин г тем глама си ёзилсин.
1278. Цайси нукталарда ушбу у = —_ чизицца утказилган
1+х’
урипмалар абсцисса укига параллел булади?
1 + 3 v"
1279. Ушбу у =-чизицда оординатаси у = 1 булган
3 + х
пуцталардан утказилган уринмаларнинг координата бошида
кесишишини курсатинг.
1280. у-Чп(2е-х) функция графигига х0=е иуцтада утказилган
уринма тенгламаси ёзилсин.
1281. Цайеи нукталарда у = 2х2 - 2х2 + х-1 функция графигига
утказилган уринмаиинг бурчак коэффициента 3 га тенг булади?
1282. Цайсп нукталарда у =----- функция графигига
х-2
утказилган уринма ох ук„ билан 135° бурчак ташкил этади?
1283. у = х:'-Зх’ -х+ 5 функция графигига 37(3:2) нуктадан
утказилган нормал тенгламасини ёзинг.
1284. у = 6х-5х’ функция графигига М(1; нуктадан
утказилган нормалнинг координата бошидан утишини курсатинг.
1285. у = х2 функция графигига Л7(1;1) нуктадан утказилган
нормал тенгламасини ёзинг.
1286. = ] гиперболага л/(—9;—8) нуктадан утадиган
9 8
уринма тенгламаси ёзилсин.
у = х - х’ ва у = 5х чизиклар ораеидаги бурчакни топинг.
у = х- ва у = -7 чизиклар ораеидаги бурчакни топинг.
у - 1 •sinх ва т -1 чизиклар ораеидаги бурчакни топинг.
T = sinx функция графигпга ха^л нуктадан утказилган
урииманинг тенгламасини ёзинг.
1291. г =4-х функция графигига уни оу уки билан кесишган
нуктасидан утказилган ургшманинг тенгламасини ёзинг.
1292. у = cos х ва т = | чизиклар ораеидаги бурчакни топинг.
1287.
1288.
1289.
1290.
105
1293. у = ~х2 ва у = -у№+4 чизицлар цандай бурчак остида
кссишади?
15 § Функциянинг дифференциали
1°. Ушбу dy = f'{x)dx ифодага y = f(x) функциянинг
дифференциали деб юритилади.
2°. Асосий хоесалари:
de = 0 , с = const
d(c -и) - с- du
d(u ±v) - du + dv
d(u -v) - и dv+ v du
/и} v-du-u- dv i .
d -- =-------- (v*0)
v V J V
dF(u) = F'(u) du
3°. Функция дифференцналини татбидпй сифатида тадрибий
Хисоблашлар учун /(х + Дх)«/’(х)-Ди-/(х) формулаии
ёзиш мумкин.
4°. Функциянинг юцори тартибли дифференциали цуидагича
ёзнлади.
d2y = f’ixydx2:, d2y = f\x)-dx2 ... d"y = f'\x)-dx“.
Функцияларнинг дифферепциалини топинг:
1294.
1296.
1298.
1300.
1302.
1304.
y = arctg^
у = cos7x
у = sinx-lnx
у = sin 2x
1295.
X
1299. ^=xlnx-x
1301. j = sin8x
1303. y = x2e-x
1305. y = x-ex
Тацрибий хисобланг:
1306. VI?
1307. 71,2
106
13 (Ж V5 1310. sin 46° 1312. Ws 1309. sin3l“ 1311. cos61” 1313. ign
Функцияларнинг n- тартибли дифференциалини топинг:
1314. у ~ sin 10.x 1315. v=3n2x
1316. , 1317. 7 = --l— x(l + x)
'3,8. y^ 1319. j'=-cosIOx
1320. v = ln(i + .-r) 1321. j» = —— x-l
1322. > =--ГЦ x(x -1- .’) 1324. j = xsinx 1323. у ---e' ' + - X 1325. j> = xcosx
107
VIII боб. Xoеиланинг татбвдлари
1 § Урта циймат хакидаги теоремалар
I. Ролль теоремаси (хосиланинг илдизлари хацидагн теорема).
Агар f(x) функция [л./?] кеемада узлуксиз ва (а,Ь) ораливда
диффсрснциалланувчи булиб, [а.й] кесманинг оралгщларида тенг
киймат кабул цилса /(о)), у х,олда (д:6) ораливда шундай х = с
нудта мавжудки, унда уосила полга тенг, яъни /'(с) = 0.
Ролль теоремасининг геометрик маъноси: Теорема шартлари
бажарилганда у = f(x) функция графгпида камида битта шундай
нудта топиладики, унда утказилган уринма ох уцига параллел
булади.
2. Лагранж теоремаси (текли орттирмалар хадпда теорема).
Агар /(х) функция [а.й] кеемада узлуксиз ва ф.,ь) ораликда
дифференциалланувчи булеа, у долда (a,b) ораликда шундай х = с
нуцта мавжудки, унда
булади.
Лагранж теоремасининг геометрии маъноси: у-/(х) функция
графигининг ихтиёрий ёйида шундай нуцта мавжудки, бу нудтада
утказилган уринма ёйни тортиб турувчи натарга параллел булади.
3. Кожи теоремаси (икки функция ортшрмаларининг ниебати
хацида теорема) Агар иккита f(x) ва <2>'(х) функциялар [сТ] кеемада
узлуксиз ва (а,Ъ) оралиеда дифффенциалланувчи хамда бу
оралицнинг барча нуцталарида ф(х)*обулеа, у .уолда ф,Ь) ораликда
шундай х = с нуцта мавжудки, унда
f\c)
v(V) <р(а) <р\с)
Агар у = /(х) ва : = <р{х} функцияларни XOY текисликда эгри
чизицпинг параметрик тенгла малари сифатида даралса, Кожи
теоремасининг геометрии маъноси Лагранж теоремасиники каби
булади.
1326. у = х,1-х2 функция учун кеемада Ролль
теоремасининг шартлари бажариладими? Агар бажарилса с пинг
цийматларини топинг.
1327. Ролль теоремасини т=. 10-(/*(х-3)‘ функнияга [2:4]
кеемада татбиц дилиш мумкинми?
108
1328-.- y = |cosx|
эгри чизикнинг
я Зх
кесмадаги АВ
ёйи
2 ’ 2 _
ясалсии. Пима учун бу ёйда АВ ватарга параллел уринма иуд?
1329. y = tgx функция учун [о;х] кесмада Ролль теоремаси
ша ртл ари бажа]шладими ?
1330. >> = 3х2 5 функция [-2;0] кесмада Лагранж теоремаси
шартларини даноатлантирлдими?
133] . Лагранж формуласини куллаб [1;е] кесмада
у = In .г функция учун С ни топинг.
1332. у = х2 параболанинг кайси нудтасида утказилган уринма
.4(1:1) ва 5(3:9) нукталарни бирлаштирувчи ватарга параллел
буладп ?
1333. arcigx<x (х>0) тенгсизликни Лагранж формуласидап
фойдала! п-(б исботланг.
1334. У(х) = ег
ва ^(х) = ——
1 + х
функциялар [- 3;3] кесмада Кожи
теоремаси шартларини даноатлантирадими?
1335. f(x)-- х2-2х + 3 ва ^(х)~--х3-7х2+20х-5 функциялар [1;4]
кесмада Кожи теоремаси шартларини цаноатлантирса с ни топинг.
1336. /(x) = l~Vx2 функция [~1;1]
1 на ртла рш ш да ноатл антирадими ?
1337. у - In sinx функция
кесмада
кесмада
Ролль теоремаси
Ролль теоремаси
шартларини цаноатлаптирадими? Цаноатлантирса с ни топинг.
1338. Ролль теоремасини татбид этиб, Р(х) = (х + 3)(х + 3)(х-1)
купхад учун (- 3;1) оралидда Р’(х) = о тенгламанинг илдизи борлигини
исботланг.
1339. y = sin2x функция [О;лг] кесмада Ролль теоремаси
шартларини цаноатлантирадими?
1340. [0;1] кесмада у = 2х-хг функция учун Лагранж
формуласининг тугрилиги текшириб курилсин.
1341 . у = arcsin х функция [-1;1] кесмада Лагранж теоремаси
шартларини цаиоатлантирадими? Цаноатлантирса с ни топинг.
1342. Цандай нуктада у = 1пх эгри чизик уринмаси М|(1;0) ва
нукталарни тортиб турувчи ватарга параллел булади?
1343. wcfgx, -arctgxl <х, -х, тенгсизликни Лагранж
теоремаендап фойдаланиб исботланг.
109
1344. [1;2] кесмада f(x} = x:, <р(х) = х' функциялар учун Кожи
формуласи ёзилсин ва с топилсин.
1345.
0;— j кесмада /(x) = cosx, (o(x) = sinx функциялар учун
Кожи формуласи ёзилсин ва с топилсин.
2 § Тейлор формуласи
y = f(x) функция х = а нуктани уз ичига олган бирор оралнцда
(а + 1) - тартибгача уосилаларга эга булсин. У уолда ушбу
,, \ г! л (х--а) ,,, , (х-«)2 , (х-г.:)"
/(Ф = /(я) + — -у2 f (я) + — f (я) + ... + (а) + —-----
1! 2! п\ (п +1)!
/,"+"(я + 0(х-а)), О<0<1
пфода 'Гейлор формуласи дейилади.
Агар <? = 0 булса, у холда
f(x) -- /(0) + f /'(0) + /’(0) +... + 4 f'"' + у"- 77 f1"*" 0 < 0 <г 1
1 2! п\ (п ,• 1)!
Бу формула Маклорен формуласи дейилади. Баъзи элсментар
функцияларни Маклорен формуласи буйича ёзилиши:
о . х х х . ли х ’ . л: , , , .
Z. sinx = х-+--... + — sm— +---sm(k + (п + I)—), 7 < r(
3! 5! n\ г (/1 + 1)! 2
о , x2 x4 x" m х'"+|) ,, л. , t
3. cosx = 1--+--... + —cos —+---cos(<J -- (n +-1)—), k < Ы .
2! 4! nl 2 (a + !)! ‘ 2 11 1 1
1346. xA-5x3 +5x2 +x + 2 куп\ад х-2 даражаси буйича ёйилсин.
1347. г’ +3х2 -2х + 4 куп\ад х+1 даражасч буйича ёйилсин.
1348. У(х) = (х2-Зх + 1)’ функцияни х даражаеи буйича ёйилсин.
1349. у = - ва а = 1 да Тейлор формуласш.и ёзинг.
X
1350. y^Jx ва о = 4 да Тейлор формуласини ёзинг.
1351. ^ = х’ 1пх ва о = 1 да Тейлор формуласини ёзинг.
1352. у = е2х учун Маклорен формуласини ёзинг.
1353. / = sin^ функция учун Маклорен формуласини ёзинг.
1354. y = cos2x функция учун Маклорен Формуласини ёзинг.
1355. ^ = sin2x функция учун Маклорен оормуласиии ёзинг.
1356. j' = arccosx функциянинг Маклорен фюрмуласи я = 3 учун
ёзилсин.
110
1357. /(x) = x,°-Зх6 +х2 ¥2 функциянинг а = 1 дагн Тейлор
формуласи п= 3 учун ва /(L03) тадри бан хисоблансин.
1358. № -5х’ + х? -Зх + 4 купхад х-4 даражаси буйича ёйилсин.
1359. х;<1-Зх5 + 1 купхад х-1 даражаси буйича ёйилсин.
1360. y=-xeJ' функция учун Маклорен формуласи ёзилсин.
1361. ——(сЛх) функция учун Маклорен формуласи
ёзилсин.
1362. у = arcsin г функциянинг Маклорен формуласи и = з учун
ёзилсин.
1363. j^Vf+x функциянинг Маклорен формуласи « = 3 учун
ёзилсин.
1364.у= Ь
./ .V
функциянинг а = 1 даги Тейлор формуласи п-3
учун езилсин.
1365. /(х) == xs -2.x1 +5х6-лтЗ функциянинг а = 2 даги Тейлор
формуласи п^З учут-r ёзилсин ва /(2,02) тадрибан хисоблансин.
1366. cos Ю" пи 0,001 анпдликда хисобланг.
1367. 1п1„5 нн 0,001 анпдликда хисобланг.
3 § Лопитал доидаси
I. — куринншдагн анидмасликлар. Агар /(х) ва ,?(х)
0 со
функциялар а нуктанинг бирор атрофида дифференциалланувчи (а
нуктада шарт эмас), gV)*0 ва lim/(x) = limg(x) = 0 ёки
lim/(x) = limg(x) = =oxaMfla НпФ-'4-! мавжуд булса, у холда
™ ’ '"“ФИ
. /(х) /''(х) ..
lim = hm-—- урИН'ЛИ.
..... ™ „'(Y)
бу ерда а чекли, т» ёки -ос булиши мумкин.
2. (0 оо) ёки (л- о:) курннишдаги анидмасликлар алгебраик
< о 1 - Г00) <-•
алмаштиришлар ердамида - еки — курннишдаги
аилдмасликларга келтирилади.
3. (Г,со3) ёки (0°) куринтпдаги анидмасликлар 0 °о куринишга
логарифмлаш ёки [/(х)]1’1'1 =е,’|'""Лд1 алмаштириш ёрдамнда
келтирилади.
Куйидаги лимитларни хисобланг.
]]]
1368. Iim ; 1QPn ,. incosx 13Ь9. Iim ; 1370. Iim--—'; 1371. limxsin--
1~>° sin Зх ’ ,-.о х г-»' Их х
। 0-70 1- X - sin X 1372. hm ; 1373. 1374. 1375. limx'';
х> '-*« x-tgx х - arcin' hm -- ;
х’
1376. Iim—; 1377. ]j.m————: 13 78. Iim 1379. lim^;
' _*'л X v--»! . . Я
— sin л
1380. limxlnx; *-♦0 1381. Iim(l-cosxtex; ,г ->0 1382. Iim;:'; х->0 1383. Iim4;
1384. Iim х" е~'; 1385. limarcsinxcZgr, 1386. lire Оет)"*1'; 1387.
> ют .г-»0 т 2 linilnx-ln(x--l).
1388. ЬпЛ-У’— X- 1389. iim--— ’-*<> sinx 1390. .. lex-sinx l;m-- 1391. iimT^—2^.;
v»° x - sin x
1392. hm-— '-° cosx - 1 1393. Zgx-sin3 lim-2 ; x-+o x-sinx 1394. Iim — — ; "-•о In sin x 11395. .,~x4g5x
1396. Iim— 1-x3 я 1397. Iim—i-; r-*0 ЯГ 1398. Iim 1399. Пт-П-—-3—; ' *° Insinx
1400. hm — ,..д cosx Э 1401. Iim x1; 1402. lim(lrx)'; 1403. Imi(l-x>p-^-
1404. Iim(! + <:')'; 1405. lim(<.W"'; t->0 1406. lim(x' e '); 1407. Нт(14-хг)'. ,t->0x 1
4 § Функциянинг усиши ва намайиши
/(х) функция [л-:й] кеемада узлуксиз ва унинг ички
нукталарида чекли хосилага эга булеин. У хрлда:
/(х) функция [а;Л] кеемада $сувчи (камаювчи) булиши учун
(а;/>) даги барча х лар учун /'(х)>0 (/'(х;<0) булиши зарур ва
етарли.
Цуйидаги функцияларнинг уси,и ва камайиш оралицлари
топилсин:
112
1408. >^х'; 1409. 1410. у = х- -Зх; 1411.
1-х + х2. jy = x2sinx, 0<x<2^r
1 + Х + Х’
1412. у = х + cos х; 1413. 1414. > = - + -; 1415.
у = 2х2 ~1пх; 2 х 10 4x3 -9.v2 +16x’
1416. у = х2е'-, 1417. 1418. у = 2х' -In. x; 1419. y = e~''+e2x;
T=3-2V?;
1420. д = 1п(1-х2); 1421. 1422. у—Дг; 1423. у = sinx + cosx;
у = х-1п(1 ух) ? 1 + х!
1424. д=-хл/х-х2; 1425. ,у = 2гл; 1426. у - 1п(х + л/х +~2); 1427. j' = xlnx.
1428. 1429.д- = (х + 4)5; 1430. д = ^ + -; 1431. y = 3xytgx-,
' 4 2 х
1432. y = V?-i 1433. д= 1434. 2х’-9х-- 24x + 7; 1435 y = ln(x + 4\-
1436. v = е’ + 5х; 1Ш’; (х-1)” 1438. у = -^-- х2-3 1439. y=x-ln(l +
14 40. у = 2sin а + cos > .г 1441. 1442. у = х2е~'; 1443. y = 2e'Ki’;
(0 < х £ 2Я-) X
> х“-6х--16
1444.,,= -I ; 1445. 1446. y = JL. 1447. y±-x2Jx-
4х’ -9х;+0х у - arcsin(l + х); 1пх
5 § Максимум ва минимум
Агар х0 нудтанинг бирор атрофидаги барча хлар учуй
/(х)</(л-0) (/(х)>/(х0)) булса - максимум (минимум) пуцтаси,
/(х0) эеа функциянинг максимума (минимуми) дейилади.
Максимум ва минимум нуцталари экстремум нудталари,
функциянинг максимума ёки минимуми экстремум дейилади.
Экстремумнинг зарурий шарти: экстремум нукталарида f'(x)
нолга тенг ёки мавжуд эмас.
f'(x} росила нолга тенг ёки мавжуд булмаган нудталар критик
нудталар дейилади.
Экстремумнинг етарли шартлари:
113
I. fix) функция x0 нуцтанинг бирор атрофида узлуксиз
булсин.
Агар х<х0 да /'(х)<0 ва х>х0 да /'(х)>0(яъни х нинг
Киймати, х0 дан утганда косила ишорасини «Ц» дан «-» га
узгартирса) булса, у холда х0 нуктада функция максимум™
эришади.
2. Агар х<х0 да /'(х)<0 ва х>х0 да /’(х)>0 (яъни х нинг
киймати х„ дан утганда косила ишорасини «-» дан «Ц» га
узгартирса) булса, у холда х0 нуктада функция минимумга эришади.
3. Агар х0 нуктадан утганда косила ишорасини саклаеа х(,
нуктада экстремум йук.
II. ,/‘(х) функция х0 - критик нуктада икки марта
дифференциалланувчн (/'(х0) = О) булиб, /”(х0)<О б\'.па. х0 ну кд ада
функция максимумга эришади; /”(х0)>о булса, х0 нуктада функция
минимумга эришади; /"(хо) = 0 булса экстре.мумга масаласи очнк
цоладн.
III. /'(х0)-=/"(х0) = ...-/(',",,(х(|)-=о ва /'"’(Xj^o булсин. Агар л-
жуфт ва /1")(х0)<0 булса х0 нуктада функция максимум™,
/|"1(хо)>0 булса, х0 нуктада функция минимумга эришади.
Агар л-ток булса, х0 нуктада экстремум йук.
IV. у — /(х) функция нараметрик куринишда берилган булсин
Гх = <р(1)
V = (0(6
р(/) ва р(0 функциялари t нинг узгариш оралишда биринчи
ва иккинчи тартибли косилаларга эга булсинлар х.амда р'(/) 0.
Агар / = /0 да (/(/) = 0 булса, у колда:
a)y/’(z„)<0 булса, у = /(х) функция х- х0 = <o(t0) да максимум™
эришади.
б)у/”(/о)>0 булса, y = f(x) функция х = ха=<»(;0) да минимумга
эришади.
в)¥/'(/о) = ° булса, экстремум масаласи очиц цолади.
Биринчи тартибли косила ёрдамида функциянинг
экстремумини топинг:
1448.у = х2-Зх + 2 1449.> = 4x_2L
114
1450. у = 2х’ - .Ъг . ..а: 2 14») 1. у —ь ~~ 2 х
1452. y = VH-l 1453. у-—у 1 + X'
(454. у = ! й ~ - 1 + In X 14;>5. X
1456. у тот - 1457. тото-д/ьФе
14 58. у ~ - v' - Зх 3 1460. то?- i/(.i -4)2 1462. у ~ ,с - ardg2x 1459. ?--=! + 2хг --- 4 1461. уто-г 1463. у х + 2
1464. то -А, 1466. >’ = л--2ф-7 1465. jp = x4>- X 1467. > = 7i-cosx
Иккинчи тартибли экетремумппк топинг: Косила ёрдамида функциянинг
1468. у = х' - бх' -Г 9х 1470. у-тоФ-х 1469. у = х3(2-х)2 1471. у-^У-У
1472. у-^-е-' 1474. у = ~~ In-Г 1473. т = а'1п2х 14 7 5. у = х = arctgx
1476. у = .то- 1477. у = то
Юцори тартибли косила. ёрдамида функциянинг экстремумини
топинг:
1478. ? = созх-1т^- — 2131 1480. у = chx 4- cosх 1482. у-х^е' 1484. у = sin’(x' + l)- 2.V-.V' I486. у = х2-2ег~' 1479. г = 81птох + 4^ 3 1481. у = shx~ sin х 1483. у =cos2(x + l) + x2 +2х 14 8,5. у = ,г2 - 2х — (х — 1 )1п х 1487'. у = 4х + л-22с"'
Параметрик куринишда берилган функциялари
окетремумларини топинг:
115
1488. |л' = ? 5/\ж + 7
[у = 4/’ -Зг - 18г+ 3
1490. |х = /1+3е + 1
[у = t ’ - 3/ +1
(-2 < I < 2)
1491.
х = /-21п
у = ЗГ-2г'
(0</<2)
6 § Функциянинг энг катта ва энг кичик цийматлари
\a;b] кеемада узлуксиз функциянинг ту кссмадаги лиг катта
(кичик) цпй.матинн тош-нп учу» унинг критик нуцталаридаги ва
кесма охирларидаги цийматлари топилади ва улар ичидан энг
каттаеи (кичиги) олинади.
Функциянинг энг катта ва энг кичик цийчагларини топинг:
1492. у -хй -2хг + 5 ,
1493. у = х5 - -г’ + 2
3
1494. у = х + 2-Jx ,
1495. у = х’ -Зх2 тбх-2,
1496. у = -^,
1497. у = arctg -—- ,
1 + X
1498. у^—x + cosx
2
1499. y-x-sinx
л ran Зх + 4
1500. у = ——
X- + 1
1501. у = хе‘2'2
1502.у = 2х3 -Зх3 - 12х +1,
х е 2;2]
[0:2]
хе[0;4]
хё[-1;1]
0<х<4
О < х < 1
[0;1]
[- 2:2.5]
1 оме,. у - 2 ,
х +4
о
1504. у = х-----31пх,
X
116
1505. у - 4arctgx - 2х + 1, [06]
1 506. т - х' — 3Inх, 1507. y = .vln.r, 1508. >' = лт’', 1;2 L2 [0;-иоо]
150!). у = 7100-х , - 6 < х < 8
1510. у = 7х’ - х2 - х t- 5 , [0;3] 15 11. у = х ’, 0,1 < х с оо
1512. Узунлиги 120 метрли панжара билан бир томондан уй
билан чегараланган энг катта юзага эта тугри туртбурчак шаклидаги
майдон ураб олиниши керак. Тугри турт бурчакли майдон улчовлари
ашщлансип.
1513. 10 сопи шундай иккита цушилувчига ажратилсинки,
уларшшг куиайтмаси энг катта булсин.
1514. Таги квадрат шаклида, хажми 32лг га тенг очгщ
ховузнинг улчовлари шундай аницлансинки, уиинг деворлари билан
тапши доплаш учун мумкин кадар оз материал сарф этилсин.
1515. Трапециянинг кичик асоси ва ён томонларининг хар
бпрн lOcw га тенг. Унинг катта асоси шундай аниклаис.пнки,
трапеция юзи энг катта булсин.
1516. ,\ажми 72<лг асосининг томонлари 1:2 нисбатда ва тула
еирти энг кичик булган ёпиц цутининг барча томонлари
улчовларини топинг.
1517. Гипотенузанинг узунлиги 2 булган тугри бурчакли
учбурчаклардан энг катта юзага зга булгани топилсин.
1518. Радиуеи 3 булган шарга ички чизнлган тугри
цилпндрлардан энг катта хажмга эга булган цилиндрпинг
баландлиги топилсин.
1519. Томони 12 булган квадрат шаклдаги тунукадан мумкин
кадар катта дажмли усти очиц кути ясаш керак. Бунипг учун
тупуканинг туртала бурчагидан чаи квадратлар киркиб олинади ва
четларини буклаб, кутининг ёнлари хосил цилинади. Гдирциб
олинадиган квадратлар томонининг узунлиги топилсин.
1520. Берилган R радиусли шарга, хажми энг катта булган
нчкп чизнлган конус улчовларини топинг.
1521. у~ =10.г параболаиинг дайси нуцтасининг ички нормали
энг кичик узунликка эга?
117
1522. Асоси а ва баландлиги й булган учбурчакка энг кагга
юзли тугри туртбурчак ички чизилган. Тугри туртбурчак юзи
аницлансин.
1523. Туннелнинг кесими бир томони ярим доирадан иборат
тугри туртбурчак шаклига эга. Кесим периметри 18л/. Ярим дойра
радиуси цандай булса, кесим юзи энг катта булади?
1524. Иккита ёруглик маибалари бир-биридан ЗО.« масофада
жойлашган. Агар бу манбаларнинг ёруглик кучлари 27:8 иисбатда
булса, уларни тугаштирувчи тугри чизивда энг сует ёритилган нукта
топилсин.
1525. Шар \ажми уига ички чизилган энг кагга цилиндр
Хажмидан неча марта катта булади?
1526. у = х! параболада ^ = 2х-4 тугри чизивда энг яцин иукта
топилсин.
1527. Берилган R радиусли шарга энг кагга хажмли ички
чизилган цилиндр улчовларини топинг.
1528. Юзи S га тенг булган тенг ёили учбурчакка ички
чизилган айлананинг радиуси энг катта булиши учун учбурчак
учидаги бурчак цандай булиши керак?
1529. ?(1;4) нуктадан тугри чизик шундай ^тказилсилки,
координата уцларининг мусбат кисмларидан ажратилган кесмалар
узунликлари йигиндиси энг кичик булсин.
1530. 2х2+_у2=18 эллипсда Л(1;4) ва В(3;0) нукталар берилган.
Бу эллипсда шундай С нукта топингки. АВС учбурчак юзи энг кагга
булсин.
1531. у~ =8х параболанинг х = 6 тугри чизиц билан кееилган
сегментига юза энг катта тугри туртбурчак ички чизилган. Унинг
улчовларини топинг.
7 § Эгри чизицларнинг цаварицлиги ва ботицлиги
Бурилиш нуцталари
Эгри чизиц у = /(х) функция билан берилган булсин. Агар
(а;Ь) ораликда /’(х)>0 (/’(х)<0) булса, у = /(х) эгри чизик каварик
(ботик) булади, яъни узининг ихтиёрий уринмасидан юцорида
(пастда) ётади.
Агар /”(х) = 0 ёки мавжуд эмас, лекин /'(х0) мавжуд ва /"(.х) уз
ишорасини х0 нуктадан утганда узгартирса, у холда О0;/(х0)) нукта
y = f(x) эгри чизикнинг бурилиш нуктаси булади.
118
Куйидаги эгри чизикларнинг цавариклик ва ботивдик
ораливдарини \амда бурилиш нукталарини топинг:
1532. у ~ х3 1533. у = х’ - 5х2 + Зх - 5 1534. у = —-х3 б
I е •> гг 2х 1536. y = x-sinx i.bj.i. у~ -• J 1537. у - arctgx - х
1 + X"
1538. у = ^4х’-12х 1539. y = x2lnx 1540. у = (1 + х2)е'
1541. бу эгри чизик бир т)три X" +1 чизивда ётувчи учта
бурилиш нуктасига эга эканлигини курсатинг:
1542. у ~ х3 - 6х2 +12х + 4 1543. y = cosx
1544. у-1п(1 + х2) 1545. у = -2^_ X2 г 48
154(1. 1547. y = x + Vxr
. Г Л О In2 X 1548. > = X 1549. y = a-Vx~6
1550. у = а In х 1551. y = eams!'
8 § Асимптоталар
I. Вертикал асимнтоталар.
Агар lim /'(х) = со ёки lim /'(х) = от ёки lim/(x) = co булса, х = а
тугри чизиц вертикал асимптота булади.
II. Огма асимптоталар.
Агар lim—— = fc, , lim[/(x)-fcIx]=/>l
,r—у
lim — = к, lim\f (x) - кгх\ = b,
X-»+OT у ~
лнмитлар мавжуд булса, у-^х + б, ва у, = А,х+б, тугри чизиклар огма
асимптоталар булади.
Эгри чизикларнинг асимптоталарини топинг.
1554.
1553.
1555.
у = х - 2arctgx
х + 1
119
1556. v = —~— ' х2 -4 557 v х
tooi . у - 7 х" +9
1558. д = 1559. у = ——
/х2-1 I - е'
iron SIH X 1560. у = " X 1561. у3=6х?+х’
1569 у 1 1563 v 1
(х-2У х2-4х + 5
1564. т = ~ + 4х2 1565. v = -^ + 3x
X ' х-1
1566. у = хе~‘ 1567. =-— Infе ——— 2 1. Зх,
1568. д = 71 + х2 г2х 1569. у = V1 х х~ sin --
1570. у = 2у[х2 + 4 в cm sinx 1^71. у = х +
X
9 § Функциями тулиц тскшириш ва графигини ясаш
Функцияларни тулиц текширпш ва графигини ясаш куйидаги
режа асосида бажарилади:
1. Функциянинг анидланиш сох,асини топиш.
2. Функциянинг жуфт-тодлиги, даврийлигини текширпш.
3. Координата уклари билан кесишиш нукталарини топиш.
4. Функциянинг узлуксизлигини текшириш. узилиш
нукталарини топиш ва уларнинг турларини аниклаш.
5. Асимптоталарини аниклаш.
6. Усиш ва камайиш оралидлари дамда экстремумларини
топиш.
7. Цаварик ва ботидлик оралидларипи дамда бурилиш
нудталарини топиш.
8. Функция грфигини юдоридаги маълумотлардан фойдалаииб
ясаш.
Функцияларни тулиц текширинг ва графигини ясанг.
1572. у = 4х3 - б№ + Зх-1
1574. у = х2-^-
1573. д = х’-9х
1575. у~(х - 3)2(х +1)
120
1576. y = xlnx 1577. y = ~^= Vx-4
1578. y = 1579. y = x2+~
x- + 2 X
1580. y = x'e~’ 1581. у = №-х
1582. ,v = 9x + 3x--x’ 1583. y = -^ 1-X~
1584 v- ~x '‘ ,, x
• (x-1)2 3-x~
1586. v = — 1587. y = x + ^
1588. y = x + sinx 1589. y = x-2arctgx
1590. j; = x2e' Ixarc/g-, L591. x
0 , x = 0
121
IX боб. Аиицмас интеграл
I § Аницмас интеграл. Жадвал ёрдамида интеграллаш
Бирор (а.Ь) интервалда F'(x) = /(х) булга, F(x) функция /(х)
нииг бошлангич функциями дейилади.
/•’(х) бошлангич функция булеа, F(x) + C \ам бошлангич
функция булади. Ихтиёрий бошлангич функция /(х) нннг (а,/?)
интервалдаги аницмас интеграли дейилади ва J/(x)A--Z(x) + C
тарзида ёзилади.
Аницмас интеграл цуйидаги хоссаларга эга:
Z.<7 Jwciv = II.jdu = u + C III j(aw + bv)dx = a^udx + b\vdx .
Интеграл жадвали:
1) [xpdx - —--rC(p * 1) 2) = Inl.vl + C 3) [a’dx = --— + C
J p + 1 J x J Ina
4) je'<7x = ед + C 5) jcosxx/x = sinx + C 6) Jsin xdx = - cos x + c
7) [—\—=tgx + C 8) f----J— = -e/gx + C
Jcos2x Jsin2(x)
г dx
9) --== = arcsinx + C = -arccosx + C
V1--X2
10) f—= arclgx + C = -arcctgx + C 11) [x/i.vdx == chx + C
Jl+x’ J
12) ^chxdx =shx + C 13) J—= -cthx + C 14) J—= thx + C
sh x cdi x
Интегралларни топинг:
1592. [(хг +4x + -)A
1595. j(2-x')2A
1598. 4*
J x~
1601.-—^rfx
COS’ X
1593. —1—d±)dx 1594. ±1)Л.
x d x
1596. f(- + ^— + ^-x)dx 1597. f(l —^-/x-Tx dx
J x x x 1 x~
1599. fa' (1 + -у=)<& 1600. [——r—
J J sin “x cos x
122
Интсграллар! ш топинг:
1602. + 5л- -5-)с/х 1603. [(<?---IL._2E.)c& 1604. 5dxX-3)dx
3 X J X J Ш
1605. Г(3--х-2)?^х 1606. [(1 + Д + V)<& 1607. [(3—-(JxQ^dx
3 J X X X'' J X
1608. ft'-'(1 - e-x)clx ]609 X^)dx 1610. Г----------
J X’ 3 yjx3 Jsin’xcos’x
f5-2c/g-’x
1611. -— dx
cos x
2 § Бсвосита ва янги узгарувчи киритиб интсграллаш
Агар х-=<р(и). dx = <p'(u)du булса, интеграл
|/(х)<д- = куриниш олиб, бундам интсграллаш
япги узгарувчи киритиб интсграллаш дейилади.
Ушбу |/(;/(х))1:/(»(А) = F(u(x))+C куринишдан фойдаланиш бсвосита
интсграллаш хисобланадн, масалан.
f / (ах 4 b)dx = - [ f(ax + b)d(ах + b) - ~ F(ax + F) + C
J" a a
24.1 Бсвосита интегралланг.
‘—cix
5x + 7
1616. jcos1 x sin xdx
1620. [sin xcos.uZv
- 2x
1613. I—dx
x~ +1
1617. -
' 1 + 3 cos x
1621. Jeco” sinxotr
1614. ^tgxdx
1618.
J COS A‘
1622.p' x1 dx
1615. JsirT xcosxdx
1619.
J sin x
Бсвосита интегралланг:
1623.
f 2-L“ V
V -4Г+8
1627. jsin’' xcosxc/x
1631. sinxcos? xdx
1624. f V— dx 1625. [c/gxcfc 1626. [sin1 xcosxdx
162g. [ , 629. jsiV* 1630. Vs V
Jl + 3sinx 3 cos4 x 3 sin’x
1632. Je'"1' cosxdx 1633. Je' x^dx
123
Янги узгарувчи киритиб интегралланг:
1634. [соз.Зхг/х
1638. р4х-1А
1635. [sin — dx
J 2
1636. [e~3rdx 1637. f—=—
J Jcos’5x
1639. J(3-2x/'c& 1640. Jsin(« - bx)dx
Интегралланг:
(arcsin x)2 71 -x2
sin’ xijctgx
1646. f^-
, ,,, г sin x + cosx ,
1641. I - —== dx
J Vsinx-cosx
, X — tx' + 1 ,
1645. [—7—--
Jsm x ч 2 cos x
1647. [sin2 xdx 1648. [cos2 xdx 1650. [—^—
J j j cos x
Янги узгарувчи киритиш, бевосита интеграллаш
нуйидагиларни исботланг мумкин:
, г dx 1 х „ ,, Г dx 1 , a + xl
/ —-----r = -arc/g- + C II ---г = —In-+С
1 а + х~ a a J а~ - х’ 2а а-а|
,,, г xdx 1 , I , , ,i „ ... г dx . x
Ill —---r- = ± —lna'+х +C IV ~t=.- = arcsin —+ C
Ja2±x2 2 I 1 JV^T2 «
ёрдамида
V [-^---= Inlx + 7x2 + a21 + С VI [-=2Й=- = ±Va2±x2 + C
Ча1 ±хг I I 4a2 + x2
VII [Ta2 -- x2 =^-Ja2-x2 +~ arcsin — + C
J 2 2 a
VIII [Vx2±a2 =— Ta2±x2 +— arcsin — + C
J 2 2 a
Интсгралларни топинг:
, r dt , г dx
1651. I—-- 1652. |-5==^-
Jx2+9 J7T-x2
, г х +1 . , г dx
1656. [ -—<& 1657. [—--------
JVx2+2 Jx"+4x + 5
1653. J-
dx
2x2 +5
1658. [—
J x"
dx
+ 4x + 3
1659. J-
____dx_____
71 - 2x - x2
1660.
r x*dx
,r dx
1654. -7==
J dS-x2
1655.
J x2 + 4
124
Ин тег ра л л а р ш i топинг:
J X1 - 25
1664.
Ja/3-x2
1667.
J ./^2 . О..
1662.
Vx2+5
1665.
х4-х2
1668.
J74^x2
1663. J—
J4x2 -3
1666.
j y- 4- 4г +
1669. J-
3 § Булаклаб интеграллаш
Кунайтманинг дифференциали формуласидан
булаклаб интеграллаш формуласи келиб чгщади:
JuA = uv - Jvc/a
Бу формула ёрдамида
Jx‘ In"' x<.br, JxAsintoA; Jx* cosbxdx; Jxie“A ва Je‘“ sinbxdx
куришшщаги интегралларни топиш мумкин.
цуйидаги
Булаклаб илтегралланг:
1670. Jx In xdx 1671. Jx2 In xdx 1672. ^arctgxdx 1673. Jx2 cosxdx
1674. JarcsinxA 1675. J-^^— 1676. J—1677. Jcos(lnx)A
1678. fsinxln(/gx)A 1679. fx V 'dx 1680.1’—^— 1681. Б"’ sin bxdx
J J J sjn3 v J
Булаклаб интегралланг:
1682. JlnxA 1683.Jx’lnxA 1684. jarcctgxdx 1685. Jx’ cosxdx
1686. JarccosxA 1687. f--^- 1688. 1689. fsin(lnx)A
J Jsin’x - x J
1690. Jcos x ln(c7gx)A 1691. Jx’e ' dx
125
4 § Рационал алгебрами функцияларпи интеграллаш
l.Arap интеграл белгиси остидаги каср нотугри каср булса, олднн
унинг бутун дисмини ажратиб олинади.
2.Тугри каср махражи (х-а)° ва (х- + px^-q)fi куринишдаги
к^пайтувчиларга ажратилади, тугри касрнинг j/зи эса
4 , Ф , , 4 . m.x + n, , м2+м2 ,
------- --------— =---1------------ -р .,. н 1 ----1 -------— + ...
(х-а)° (х~ + рх + qy... х-а (х-а)’-----------------------------(х-д)“ x~ + px + q (x~+pxvqY
Ч ZJ--------~jr + . ..
(х~ 4- px + qy
куринишдаги бир нечта элементар касрлар йинщдисига ажралади.
Бу ерда Р(х) -махражга нисбатан паст даражали купх,аддир.
Интегралларпи топинг:
1692. dx 1693. -dx 1694. f-r^—-dx 1695. Г----------------—------dx
Jx-2 Jx2+a2 Jx3-<? •,(x-2)(.r-3)
< 2x + 7 , r3x2+2x-3 , r(x +1)’ , r xi0 ,
1696. -------dx 1697. I------------dx 1698. —------dx 1699. -------dx
J x~ + x-2 J x-x } x~ - x J x' + x- 2
1700 Г___SjtJ-----& по!. P—£L±1-------dx поз. f-------------
'x -5x +6;.- •' (x +1)' (x -1) •'(x + l)(x2+ 1)
1703. f-^— 1704. 1705. f-^- 1706. 1707.
Jx8-1 Jx’-l Jx4-1 Jx4+4 Jx6 + 1
1708.------------------ Ш9.-;------5--У-х------
(I +x)(l + x2)(l +Х ) Xs -X* +x3 -X2 + X - 1
Интегралларни топинг:
2 3
1710. (—<& 17H.[-^~A 1712. (-
Jx-3 Jx2+9 .
. г 3x + 8 , ... i-4x2+5x-7
1714. —-----dx 1715. -—-------d
j r _ X — О j r'S -4- Г
—dx 1713. [------—------dx
-8 J(x-4)(x-7)
dx 1719. Г------------
•’(x + 2Xx2+4)
1717. Ц—- dx 1718. f--------------
Jx’-5x J (x -1)2 (x +1)
126
5 § Ирраииоиал ифодаларни интеграллаш
г - !~ах-Ь Гах+Ь . .. ,
г. й(г. }|--..“I-----yix курннишдаги ифода
J j сх + d V сх + d
ЭКУК m булса,
р» ф +к
сх + d
алмаштириш ёрдамида рациоиаллашади.
2°. р('г.7а + й + л’ ф: курннишдаги ифода куйидаги Эйлер
алмаштириш. шри ёрдамида рациоиаллашади.
a) D = Ьг - 4ас > 0 булса, а + Ьх+сх2 = С(х-а}(х-Р) дан t=l— -
у х-а
алмаштириш утказилади;
б) £><о булса, -Ja + bx + cx1 = t + x/c алмаштириш утказилади.
х1 jx"'(a +bx" }pdx дифференциал бином цуйидаги уч холда элементар
фушпцшларда интеграл. 1ападн:
i) р -бутуй булса, ёйнш ёрдамида.
2) — 1 бутун сон бадша, a+bx"-t' бунда s сони р нинг махражи.
п
3) + бутун (‘он булса, ar"* i-o = /' ёрдамида ифодаланади.
п
4*. |л(л-,4а1 - х:' )dx кУфинпшдаги интеграл x = asin/ алмаштириш
г г~ х а
ердамида, Шх. do~ - хс )dx эса х=---
• COS 1‘
-x-)dx 'м-а x = ctgi ёрдамида интегралланади.
Интеграллар! ш топииг:
1723. (-1724. |х2ух2 -2x + 2dx
•Ч + У1-2Л--Ф
vT- х-
12?
Интегралларни топинг.
1729. [-^= 1730. [х 1731. 732. J--
JV3l- + l J V2x4 1 +1 xV2x2+2x + l
1733. [-—----1734. [7з + 2x - x-dx]. 135.. dx. 1736. [^4x + x2 dx
J 'i/x3+2x + 2 J
1737. [-^=.-.1738. f—==i==-
"xyi + x2 x\l3x2 -2x-l
6 § Тригонометрии ифодаларни интеграллаш
1. Синус, косинуснинг квадра^ларидан па уларнинг бошда жуфт
даражаларидан олинган интеграллар . ушбу
. , 1-cos2x 2 l + cos2x . sin lx ,
sm-x =-------;cos x =----;sm.rcosx =-—----- формулалар ердамида
даражаларини пасайтириб топилади.
2. Синус, косинуснинг кубларидан ва уларнинг бошца тоц
даражаларидан олинадигаи интеграллар, уша тод даражадак битта
купайтувчини ажратиб олиб. кофункцияни и деб олиб топилади.
3. Jsin'" x-<Ms"xdx m,neZ куринишдаги интеграллар тригонометрии
алмаштиришлар, даража насайтириш, купайтмаии йигкндига
айлантириш, янги узгарувчи киритиш ёрдамида топилади.
Интегралларни топинг.
1739. Jsin23x<A- 1740. Jcos4 xdx 1741. Jcos3 xdx 1742. jsin 'xdx
1743. [sin3 xcos3 xdx 1744. 1745. [----- 1746.
J Jsin2x Jcosx J
1747. \ctg2xdx 1748. [^-^ 1749. [С--'?-^Ё 1750. [sin3xsinxA
J J cos’x J sin’x 1
1751 [sin(5x---)cos(x + — )rfx 1752. [—-—
J 4 4 Jsin’x + cos4 x
Интегралларни топинг.
И753. Jsw! 3xdx 1754. ^sin4 xdx
1757. [sin2 xcos xdx 1758. [ —^—
• ' sin 3x
1761. [ctg2xdx 1762.
J J sin
1755. JswH xdx 1756. Jon ~x.dx
1759. [ ~ 1760. [etg3xdx
^sinx J
X боб. Лнш? интеграл ва тадбиклари
1 § Аник интеграл таърифи. Ньютон -Лейбниц формуласи
Агар [а,Ь] ораливда f(x) нинг бирор бошлангич функцияси
F'(x) булса, куйидага Ньютон-Лейбниц формуласи уринлидир:
/.
j/(x)c& = F(/>) - F(a) = F(x) \ьа
Ci
Интеграл йиииндиси ёрдамида хисобланг.
Я Л
\ A brdx \
1763. 1764. 0 а 1767. 1768. 0 Хисобланг. 1769. J 1770. 1 '<• dx '1Ti- 'г dx 1775. J гу— 1776. о dx2 +1 Я V + tg2x dx 17Ж h+w 1779- 4 'f dx 1781. J777 1782. 0 c 1 Jx2C& |765 J 2 |766 jcosxc& -1 a 0 a fe’dx 0 J^x~ н——1771 dx \ - J Z72 + y2 1774. г £♦ 1 Л г, a и V • 9f dx sin4xt/x j777 p- 0 ' 4JVx-l 4, dx f x2dx L /4—Г 1/80. J /. 2 ^1 + л/2х + 1 0v4-x £ £ 2 1 2 [J dx j783 jsinxcos*x£& 0 * a ~ x 0
129
1787.
1784.
о
IX
Jarcsin
о
1785.
1786.
1788.
о
2тг
|х2 * cosxc/x
о
1789.
о
Интеграл йигиндиси ёрдамида хисобланг:
1790.
1791.
Хисобланг:
3
1793.
р dx
179С-
1795.
1798.
о
+ 1
1799.
1801.
1802.
2
Jsin 3xdx
о
130
2 § К).-а ва ёй узунлигини хисоблаш
(,y2(x)> у,(х)) функциялар ва х = а ; х = Ь
(a{b) тугри чнзицлар билан чегараланган эгри чизицли трапеция
юзи S= формуладан, кутб координаталарда
а
г = г(<р\ <р~а. <р - р {а < /-) лар билан чегараланган сектор юзи
а
формула ёрдамида тонилади.
y = y(.rj чизик [я,ь] оралигидаги ёйи узунлиги
а
Цутб координаталардаги г = г(ф) чизикнинг \а,В\ ораливдаги
ёйи узунлиги оса
Д ' ___________
I - ]\/г ”(#’)+ r'J (<p)dx
а
Цуйидаги чизидлар билан чегараланган соха юзини топинг:
1803. д-4-х2; у = 0 1804. у2=2рх, x = h
1805. = ? 1 806. ху = 4; х = 1 х = 4 у = 0
а~ Ь2
1807. д = 3-2х-х2, д = 0 1808. y-ltix, x = l y~Q
1809. у - х2 у2 - 4х 1810. у =.? у = 8 х = 0
181 1. 4у - № у2 - 4х 1812. ху 1 ху = 4 у = х у = 4х
Эгри чизик,лар ёй узунлигини хисобланг:
1813. х2 + у2 = а2 1814. х’ + у’ = а’
1815. у = х'-(0<х<4) 1816. у2 = 2/>х (О < х < ха
1817. у = Д!П-"'-; а~ - (о < х <ь <с) 1818. , 3 12 у- lux, -<х< — - 4 5
131
1819. 2 = a<p Q <<р <2тг
1821. 2 = a sin 3 —
3
1820. 2~al'"v{m >0) 0< 2<а
1822. 2 = й/А-- (О < <у < 2л)
Цуйидагп чизидлар билан чегараланган соха юзини топинг:
1823. у ---2 - х2; у = 1
1825. 4 +4 = 1
а2 Ь2
1827. у~-Ъ + 2х + х2, y = Q
1830. у = х’ у2 = 9х
1824.
у = In х,у = <•:
1826. ху - 4; х - I х~-2 у = О
1828. у = in.г, .г = 1 у = О
1830. у2 -= х3 у-= 27 х = (I
Эгри чизидлар ёй узунлигини хисобланг:
1831. 4 + 4 = 1
а2 Ь
1832 . х - a cos’ t, v - а sin (
3 § Айланиш фигуралари хажми, сирти
1833. Цилиндр хажми формуласини чикаринг.
1834. Конус хажми формула и и чикаринг .
1835. Шар хажми формуласини чикаринг.
1836. у2=грх ва x=h билан чегараланган еоханинг Ох уки
атрофида айланишидан хоснл булган-,жисм дажмини топинг.
1837. у2- (х+4)2, х=о чизиклар билан чегараланган еоханинг
Оу уки атрофида айланишидан хосил: булган жнем хажмини
топинг.
1838. —-~~ = У,у = ±в чизиклар билан чегараланган еоханинг Ох
а- в~
уки атрофида айланишидан хоеил булган! жисм хажмппи
топинг.
Цуйидаги чизиклар айланишидан уосил бу. ан жмем сиртини
топинг:
1839. г -о2 нинг Ох уки атрофида.
1840. 4г-2+т: =4 нинг Оу ук» атрофида.
1841. х2 + (у-а)2 =-а- нинг Ох уди атрофида
1842. у2 =4-х,у = 0 нинг Оу Орг атрофида.
'32
1843. у = а-х~,х+у = и пинг Оу уци атрофида.
О
4 § Хосмас интеграллар
Агар Iim J/(x)&
мавжуд ва чекли булеа, унн [</:--<) оралицдаги
хосмас интеграл дейилади ва J/(x)Vt тарзида ёзилади.
Шунга ухшаш ]/(х) ларни хам киритилади.
а -о»)
[а,л] оралицнинг С нуктадап бошка нуцталарида узлуксиз, С
нуктада II тур узилншга эга функция f(x) дан [a,b] да олинган
хосмас интеграл деб lim f/m-y/x + lim [ f\x)dx йигиндига айтилади.
v-->0 .О v-,0 .1
а г. * !
Хосмас интеграллар «имели чикса, яцинлашувчи, акс долда
узодлашувчн дейилади.
Яцинлашишишга текширинг:
1845.
1846. (-'-dx
• хе'
1848. Г--------*------
sin ’’ х cos*' х
1849. j
О
Х.иеоблапг:
1850. pnxdx
о
1853.
VI - X ’
1852. К—
+<я
1855. |е"‘-cosxdx
ft
18:>6. Jln(sin x)dx
1857. у-=—--- ва унинг асимтотаси орасидаги юзани дисобланг .
1 + .г
1858. х>() да у-е~' чизик; Ох учи атрофида айланишндан хрсил
булган жисм уажмини топинг.
1859. • СО J.ve с dx 0 I860. r xdx X +1)! 1861. fr dx ' -V1 + X + 1
1862. '( x2dx 1863. I* dx 1864. 7 dx
»JVT-4 О* - I)2 j(x+3)2
1865. "f dx 1866. f C'X 1867. '<• dx
; xbix ^x-2)2
1868. 4 dx 1869. " jc 1870. +» , f dx
lx2 +4.Y+1 J i -i 1 X + '.x
1871. 7-4- 1872. 1-4 (jx 1873. P ''dx
i x\x2 ~ I r 1 c-
134
XI боб. Куп узгарувчили функциялар
1 § Икки узгарувчили функциялар. Лимит. Узлуксизлик
Такрорнй лимитларни хисобланг:
1874. lim-l Нт--1'-;—, - 1875. hmi Hm------->
X" + j < I • 1 + x1’ J
1876. lim<! lim — -tg —— - 1877. Lm{limlog,(x + >)|
v~»0 i >-->» jy I ф xy I A-*) J
Z -> 0 X -> 1
Карралн лимитларни хисобланг.
1878. 11гп"-
1881. lim(r +
о >0 •
j ->0
1879. Hm---1—~
х
1882. Нт-ПЯ-1=2
/о V-V + .У2
1880.
Цуйидагп функциялариинг узилиш нуцталарини топинг :
1883. z---==«
\!Х' + у-
1885.
1884.
лу
1886. z = 1п--(==х=====================
тДх - а)1 + (у - Ъ)1 + (г - с)2
Такрорий лим птларни хисобланг:
1887.
1889.
Г 1- -Г +.'Г
lim-j lim ---- 1
.!•’ + Г4 j
Iim< lim —
'--♦о I xy
1888. limi'J lim —
,-4(i [/->“' 1т/
1890. lim{lim log (x- y)|
A-*l tv+0 " ‘ '
Каррали лпмитларни хисобланг:
1891. lim-^*-L.T 1892.
1893.
2 § Хусусий хосилалар. Тула диференциал
z = f(x,y) функцияда у ни узгармас сон деб фараз цмлиб. л- буйича
олинган хосила, (ёки аксипча) хусусий хрснла дейилади ва мое
dz dz .. f
равишда —, — еки zt, zv тарзида белгиланади.
dx ду
Улардан олинган хусусий хрсилалар иккинчи тартибли хусусий
Хосилалар дейилади ва
д'z д2 z d2z d2z .. "
,---,------, ------ ОКИ XX > ‘’XV ' “ I’V
&" ду~ dxdy 3)'&
кУринишда белгиланади. Шуи га ухшаш юцори тартибли хусусий
Хосилаларпи хам киритилади.
Функциялар хусусий хосилаларини топинг:
1894. z = х3 + Зх2_у - у1 1 Ь9э. у - 1п( д-2 + у ’ )
1896. 1897. г = arc!s .2L
X
1898. z = — 1899. z = x-e-yx
X - у
1900 z arctg Х + У 1904 z - arcsin - - X =
1 - ху x’x ' + у ?
1902. z = х >
Куйидаги функциялар учун z ху ~ z ух тенгликни текширинг:
1903. z=х2 - 2ху - Зу2
1905. z - arccos
]904. z = х
Тула диференциалини топинг:
!3&
1906. = х- - у"
190$). z=Jx^+у2
1907. z = exy
1910. z=ln^?+y
1908. z = -
у
1911. z=x-lnj
Курсатилган хусусий хосилаларии топинг:
1912. z=xln^j) булеа
1913. z~exy булеа.
1914. X—у булеа.
1915. z=xye'-” булеа.
дх'ду
d2z
дхду
dm+"z
дхтду>’ ’
d!^z
дхр+ду"'
Функциялар хусусий хрсилаларинн топинг:
1916. z = x + 3xy-y
1918. , zi
X
1920. z = .
X - у
1922. z == arctg
1 + xy
1924. z -- x^
1917. = in( x1 - y~}
1919. r . arcc/g 2L
X
1921. z^ye^
1923. z = arccos
д/х2 + у2
1^уйндаги функциялар учун z xy ~~ z ух тенгликни текширинг:
1925. ~ = х2 +ху+4у2 1926. z = х7’
1927. г = arcsin
1’ула диференциалини топинг:
1928. : = х2 у2 1929. z = 1п(ху)
1931. z=/x'+2y 1932. з=1ц/3х?+/
1930. z =
у
1933. z=sinx-lny
137
Курсатилган хусусий досилаларни топинг:
1934. z=ylnfo) булеа, z=-^—.
дх'ду
1935. z=ln(xy) булеа, Л_£_
дхду
х_ d"'+nZ
1936. булеа,
Икки узгарувчили функция экстремумлари:
2=Жу) функция zs -0 , zy=0 ёки df=0 шартлар бажариладигап
критик нудталардагина экстремумга эришипш мумкин.
Р^о,Уо) критик нукта учун А=^{хй,уй), В=^,уй),
белгилашлар киритамиз; Л^,у0) нукта:
минимум нукта, агар АС-В2 > О, А>0 (С > 0) б}?лса;
максимум нукта, агар ас - в1 > о , А < О (С < 0) булеа;
экстремум мавжуд эмас, агар АС - в2 < о булеа.
Агар АС -В2~ 0 булеа, бу нудтада экстремум булиши дам,
булмаслиги дам мумкин.
Функциялар экстремум л армии топинг:
1937. z= х2 -ху + у2 + 9х-6у + 20
1938. z = х2 + (у-1)2
1939. z = х3 + у’-Зху
1940. Z = yVx - у2 - х+6у
1941. z = e'" v (5-2х + у)
Функциялар шартли экстремумларини топинг:
1942. z = -- + l, х + у = 2
X у
1943. z = x + y, ± + ±=1
х2 у 2
1944. z = x-y, х2+у2=2
1945. г= * + х2 +/=1
а b
138
1946. z = x’ + 12xy + 2yJ, 4x2 + y'=25
1947. z = x‘-9xy + IO функциянинг D-!x>O,y>Q, x+y<2} сохадаги
энг катта ва энг кичик цийматини топинг:
Курсатилган сохаларда функциянинг’ энг катта ва энг кичик
К и й м ати н и топ и н г:
1948. г = хг + у2-9лу + 27; Р=[0<х<3, 0<у<31.
1949. z = 3-2x2-ху-у2', D = {л- < I; у > 0; у < х}.
1950. z = х- + 2у- +1; D = [х > 0, у > 0, х + у<3}.
1951. z = х2 -г Зу2 + х- у; D = {х > 1, у > -1; х + у< 1J.
1952. z — х~ + +2ху + 2у2:. ,9 = {|х[<1; 0<у<2}.
1953. z = 5x2-Зху + у+4; D = {x>-l,y>-\,x I у<1}.
1954. z = 10 + 2у-х2; .D - {0 <у <4-х2}.
1955. z--х? ~ 2ху ~ у2 + 4х; £> = {х<0;у<0, х + у-г2>0}.
1956. —v + xy-2; D = }4х2-4 < у <0}.
1957. х-х2+лу, D - i|xj < 1. 0<у <3}.
1958. z = x2+y2-12х + 16у; £>-{х2+у2 <2.5}.
1959. _- = хг-ху i-у2; Р = !|х| + |у|<1}.
I960, z - х2-4ху +4у2; Р = [х>0; у >0; х + у < 2).
1961. z -х2 + 4ху-4у2; .О = {х>-1; у >-1; х + у<1}.
1962. z-x2+4xv; Р = [х<2, у <2; у >х}.
139
Адабиётлар
1. И. М. Виноградов. Аналитическая геометрия, Наука,
1986.
2. В. А. И л ь и н, Э. Г. По з и я к. Аналитическая геометрия,
Наука, 1971.
3. В. П. М и н о р с к и й. Сборник задач по высшей математике,
Наука 1969.
4. Д. В. К л е т е н и к. Сборник задач по аналитической
геометрии. Наука, 1980.
5. О. Н. Ц у б е р б и л л е р. Задачи и упражнения по
аналитической геометрии, ф-м. Литература. 1958.
6. П. С. М о д е н о в, А.С. П а р х о м ен ко. Сборник задач по
аналитической геометрии, Наука, 1976 .
7. Н. С. И и с к у н о в. Дифференциальное и интегральное
исчисление, том 1. Наука, 1985.
8. Задачи и упражнения по математическому анализу, под
редакцией Б. П. Демидовича. Государственное издательство
физико-математической литературы, 1963.
9. Г. Н. Б е р м а н. Сборник задач по курсу математического
анализа. Наука, 1985.
10. П. Е. Д а н к о, А. Г. II о п о в, Т. Я. К о ж е з и и к о в а.
Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1.
Высшая школа, 1986.
11. Л. А. К у з н е ц о в. Сборник задач по высшей математике.
Высшая школа, 1983.
12. А. Г. К у р о ш. Курс высшей алгебры. Наука, 5 968 г.
13. И. В. II р о с к у р я к о в. Сборник задач по линейной
алгебре. Наука, 1978.
14. Д. К. Ф а д д е е в, И. С. С о м и н с к и й. Сборник задач по
высшей алгебре. Наука, 1977.
140
Мундарижа.
Кириш...................:...................................3
I боб. Олий алгебра элемеитлари
1§Детерминантлар, хоссалари. Крамер коидаси..........4
2§Матрицалар. Чмзикли тенгламалар системасини тескари
матрица ёрдамида ечиш..................................7
3§Комн.зеке сонлар, формалари. Муаир формулалари.......9
4§Юцори даражали тенгламалар...........................11
11 боб. Координата системами
!§Нуктапинг тугри чизицдаги на текнсликдаги координаталари.
Икки нукта орасидаги масофа...........................14
2§Кутб координаталари.................................16
3§Ке1:мани (берилган нисбатда б5?лиш. Учбурчак ва
купбурчакни 111 иваси.................................18
4§Фазода координата системаеи. Икки нукта орасидаги
масофа. Кссмани берилган нисбатда булиш...............20
Ill боб.Векторлар алгсбрасининг асослари
1§Векторлар ва улар уетида амаллар. Векторнипг
координаталари...................................... 25
2§Векторларнинг скаляр купайтмаси.....................30
3§Векторларнм111’ вектор купайтмаси...................32
4§Векторларнинг аралаш купайтмаси.................... 35
IV боб. Текисликда аналитик геометрия
1§Чизиклар ва уларнипг тенгламалари........................38
2§Тугри чизикнинг бурчак ко:>4>фициентли тенгламаси;
умумий тенгламаец, кесмалр буйича тенгламаси..........39
141
3§ Икки тугри чизикникг кесишган нуктаси. Икки тугри чизик
орасидаги бурчак. Берилган нуцтадан утувчи тугри чизидлар
дастасининг тенгламаси. Берилган икки нуцтадан утувчи тугри
чизиц тенгламаси......................... .42
4§ Тугри чизикнипг пормал тенгламаси. Нуцтадан тугри
чизиккача булган масофа.............................45
5§ Биссектрисалар телгламалари Беринга н икки тугри
чизиднинг кесишиш нуктасидаи утувчи т^гри чизидлар
дастасининг тенгламаси..............................48
6§Лйлана........................................ 50
7§Эллипс........................................... 52
8§Г ипербола.........................................56
9§Парабола...........................................61
10§Иккиичн тартибли эгри чизициинг умумпн
тенгламаси........................................ 64
V боб Фазода аналитик геометрия
1 §Текисликнинг тенгламаси. Икки текислик орасидаги бурчак.
Нуцтадан текисликкача масофа........................69
2§Тугри чизиднинг тенглама.чари. Тугри чизик ва текислик
орасидаги бурчак.................................. 72
3§Иккинчи тартибли сиртлар........................ 74
VI боб. Функция. Лимитлар назарияси. Узлуксизлик
1§Функция........................................ 77
2§Кетма-кетлик ва функциянинг лимита................80
3§Функциянинг лими'41. ва j куринишидаги
аницмасликларни очиш............................. 83
4§Биринчи ажойиб лимит............................. 84
5§(оо-оо) ва (О со) куринишдаги аникмасликлярии очиш.85
6§Функциянинг узлуксизлиги......................... 86
7§Иккинчи ажойиб лимит..............................87
8§Чексиз кичик мивдорлар ва уларпи солицпириш.......88
9§ Лимит хисоблашларга дойр аралаш мисоллар.........89
142
VII боб. Хосила ва дифференциал
Таърифга кура хосила хисоблаш..................91
2§Диффереициаллаш цоидалари......................91
3§Мураккаб функциянинг хосиласи..................94
4§ Тригонометрии функциялариинг хосиласи..........95
5§ Тескари тригонометрии функциялариинг хосиласи..96
6§ Логарифмии функциялариинг хосиласи.............96
7§ Курсаткичли функциялариинг хосиласи............97
8§ Гиперболик функциялариинг хосиласи.............98
9§ Мураккаб курсаткичли функциянинг хосиласи......98
10§ Аралаш функциялариинг хосилаларини топишга дойр
мнсоллар..........................................99
11§ Ошкормас функциянинг хосиласи............... 100
12§ Парсметрик функциянинг хосиласи..............101
13§ Юцори тартибли хосилалар.....................102
14§ Уринма на нормалнинг тенгламаси...............ЮЗ
15§ Функциянинг днфференциали....................106
VIII боб. \осиланинг татбидлари
1§Урта киймат хакидаги теоремалар................108
2§ Тейлор формуласи..............................110
3§ Лонитал цоидаси...............................Ill
4§ Функциянинг усиши ва камайиши.................112
5§ Максимум ва минимум............................ИЗ
6§ Функциянинг энг катта ва энг кичик цийматлари.116
7§ Эгри чизицларнинг цаварицлиги ва ботицлиги. Бурилиш
нуцталари........................................118
8§ Асимнтоталар..................................119
9§ Функцияни тулиц текшириш ва графигипи ясаш....120
IX боб. Аиицмас интеграл
1§ Лницмас интеграл. Жадвал ёрдамида интсграллаш..122
2§ Бсвосита ва янги узгарувчи киритиб интсграллаш.123
3§ Булаклаб интсграллаш...........................125
4§ Рационал алгебраик функцияларни интсграллаш....126
5§ Нррационал ифодаларни интсграллаш..............127
6§ Тригонометрии ифодаларни интеграллаш...........128
143
X боб. Аниц интеграл ва тадбицлари
1§Аник интеграл таърифи. Ньютон—Лейбниц
формуласи...........................................129
2§ Юза ва ёй узунлигини хдюоблаш....................131
3§ Айланиш фигуралари хджми, сирти.................132
4§ Хосмас интеграллар...............................133
XI боб. Куп узгарувчили функциялар
]§ Икки узгарувчили функциялар. Лимит. Узлуксизлик... 135
2§ Хусусий уосилалар. Тула диференциал..............136
Адабиётлар...............................................140
144