МИНИСТЕРСТВО
ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Московский государственный
заочный педагогический институт
Н. Я. Виленкин,
М. Б. Балк,
В. А. Петров
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
МОЩНОСТЬ.
МЕТРИКА.
ИНТЕГРАЛ
Учебное пособие
для студентов-заочников
IV курса
физико-математических факультетов
педагогических институтов
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
1980

Рекомендовано к печати Главным управлением высших и средних педаго-
педагогических учебных заведений Министерства просвещения РСФСР
Редактор МГЗПИ — О. Л. Павлович
Рецензенты: М. И. Граев, Л. С. Симонов, В. Ф. Молчанов, М. Ф. Бокштейн,
Ф. Л. Кабаков, Е. Л. Щегольков
60602—202
В заказное
103@3)—80
(g) Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ),
1980 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным посо-
пособием для студентов педагогических институтов по следующим раз-
разделам программы курса «Математический анализ»: «Элементы те-
теории множеств», «Метрические пространства», «Полные метриче-
метрические пространства», «Интеграл Лебега», «Ряды Фурье».
Первая глава посвящена изучению бесконечных множеств и со-
содержит основные теоремы о мощности множеств, о счетных множе-
множествах и о множествах мощности континуума.
Во второй главе рассматриваются метрические пространства и,
в частности, линейные нормированные пространства. Из методиче-
методических особенностей главы выделим здесь построение теории откры-
открытых и замкнутых множеств на базе понятия граничной точки (а не
на базе понятия «предельной точки», как это общепринято в учеб-
учебных пособиях); определение связности пространства основано на
понятии непрерывного отображения.
В эту главу включено изложение вопроса о пополнении метри-
метрических пространств (который выходит за рамки программы, но, по
мнению авторов, весьма существен для различных разделов мате-
математики, в том числе и для более глубокого осмысления школьной
математики). Теорема о неподвижной точке использована для до-
доказательства теоремы существования решения дифференциального
уравнения первого порядка (авторы полагают, что доказательство
аналогичной теоремы для систем уравнений не вносит новых мате-
математических идей и поэтому — по крайней мере, в пособии для за-
заочников — может быть опущено).
Третья глава содержит материал, относящийся к теории инте-
интеграла и меры Лебега. Излагаемый здесь подход к этой теории,
принадлежащий Н. Я. Виленкину и развитый В. А. Петровым, не
встречается в известной нам литературе. При таком подходе нет
необходимости до построения класса суммируемых функций пред-
предварительно рассматривать интеграл от ограниченных функций.
Здесь сразу строится класс суммируемых функций (в том числе и
на неограниченном измеримом множестве). При этом изложении
лучше вскрывается наглядный смысл интеграла Лебега. Глава

заканчивается рассмотрением полных пространств интегрируемых
функций и ортогональных систем функций в L2 [О; 2я].
Каждый параграф завершается вопросами для самопроверки и
списком номеров задач по книге В. А. Петрова, Н. Я. Виленкина,
М. И. Граева «Элементы функционального анализа в задачах»
A978 г.).
Книга разбита на главы, параграфы, пункты. Нумерация теорем,
лемм, примеров и формул сплошная в пределах параграфа.
Данная книга входит в серию учебных пособий, выпускаемых
издательством «Просвещение» для студентов-заочников по курсу
«Математический анализ». Ранее уже были опубликованы в этой
серии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Ин-
«Интегральное исчисление», готовятся к изданию пособия «Ряды»,
«Функции многих переменных», «Теория аналитических функций».
Эти пособия (написанные под общим руководством проф. Н. Я. Ви-
Виленкина) в совокупности образуют единый курс математического
анализа для студентов-заочников педвузов, охватывающий весь
материал, предусмотренный программой.
В основу данной книги положены лекции, многократно читав-
читавшиеся авторами в МГЗПИ и Смоленском пединституте.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам кни-
книги — профессору М. И. Граеву, доценту А. С. Симонову, доценту
В. Ф. Молчанову, кафедре математического анализа МГПИ
им. В. И. Ленина,— замечания которых позволили улучшить перво-
первоначальный вариант книги.
Авторы просят присылать замечания о возможных недостатках
книги по адресу: Москва 129 846 3-й проезд Марьиной рощи, изда-
издательство «Просвещение», редакция математики.

ГЛАВА 1
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
§ 1. РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА
1. Биекции и равномощность бесконечных множеств. Исходная
проблема, приведшая к созданию теории множеств, состояла в сле-
следующем: можно ли вообще — и если можно, то как — различать бес-
бесконечные множества по количеству имеющихся в них элементов?
Эта задача издавна интересовала как философов, так и математиков.
С одной стороны, казалось бы, очевидно, что поскольку каждое
из бесконечных множеств содержит бесконечно много элементов,
то можно считать, что этих элементов в каждом из них одинаково
много. С другой стороны, поскольку, например, множество простых
чисел составляет лишь часть множества натуральных чисел, то не-
несмотря на то что оба эти множества содержат бесконечно много
элементов, казалось бы, следует считать, что простых чисел мень-
меньше, чем натуральных.
Такого рода противоречия возникли из-за того, что для беско-
бесконечных множеств не было четко определено, что значат слова «столь-
«столько же элементов», «больше элементов» и т. п.
Г. Кантору1 удалось осуществить сравнение бесконечных мно-
множеств друг с другом, использовав понятие биективного соответ-
соответствия.
Если каждому элементу а множества А по некоторому правилу
поставлен в соответствие один элемент Ъ множества В, то говорят,
что задано отображение f множества А во множество В (пишут:
/: А -> В). Элемент b при этом называют образом элемента а при
отображении f и обозначают / (а). Если Лх с: Л, то совокупность
образов элементов из Аг обозначают f (А^:
f(Ax)= if(x)\x$Ax).
Элемент х 6 Л, такой, что / (а:) = й, называют прообразом эле-
элемента Ь при отображении /. Не исключено, что при данном отобра-
1 Георг Кантор A845—1918) — немецкий математик; с 1872 г. про-
профессор университета в Галле. В первых своих исследованиях занимался теорией
тригонометрических рядов, а впоследствии разработал теорию бесконечных
множеств.

жен и и / у элемента Ь будет больше одного прообраза или их не бу-
будет совсем. Множество всех прообразов данного элемента Ь называют
полным прообразом этого элемента при отображении / и обознача-
обозначают /-1 (Ь). Если В} а В, то
Например, пусть А = В = R, где R — множество действитель-
действительных чисел, а /: А -> В определяется формулой / (х) = sin x. Тогда
прообразом числа Ъ — 0 является любое число вида а = kn (& ? Z),
а полным прообразом нуля служит множество всех чисел, кратных л:
/-i@)= {fci|ft €Z>.
Если / (А) = В, то говорят, что f — отображение А на В, или
сюръективное отображение1. Употребляется также термин «сюръ-
екция» (накрытие). Если из хг Ф х2 следует / (хх) Ф f (x2), то /
называют обратимым или инъективным отображением (в этом
случае полный дрообраз каждого элемента из В либо пуст, либо
состоит из одного элемента). Употребляется также термин «инъек-
«инъекция» (вложение).
Назовем отображение /: А -> В взаимно однозначным или биек-
биективным, если оно инъективно и сюръективно. Иногда такое отобра-
отображение называют взаимно однозначным соответствием между А и В.
Употребляется также термин «биекция». Итак, соответствие между
множествами А к В называется взаимно однозначным (биективным)
если:
а) каждому элементу а (: А соответствует один и только один
элемент Ь € В\
б) каждый элемент Ь € В соответствует одному и только одно-
одному элементу из А.
Легко видеть, что справедливы следующие утверждения:
1. Тождественное преобразование Е: А ->¦ А биективно.
2. Если f: A-+B биективно, то существует обратное отображе-
отображение /-1: В ->¦ Л, причем оно тоже биективно.
3. Если отображения f: A ->¦ В и g: В ->С биективны, то и их
композиция gof тоже биективна.
Назовем два множества А и В равномощными, если одно из
них можно биективно отобразить на другое; при этом пишут: А ~ В.
Иными словами, два множества равномощны, если между ними
можно установить взаимно однозначное соответствие.
Из свойств 1—3 биекций вытекает справедливость следующих ут-
утверждений:
1) А ~ А\
2) если А ~ В, то В ~ А\
3) если А ~ В и В ~ С, то А ~ С.
Они означают, что отношение равномощности рефлексивно, симмет-
симметрично и транзитивно и потому является отношением эквивалент-
эквивалентности.
1 От французского sur (сюр) — на.

Примеры. 1.1. Множество А нечетных натуральных чисел и множест-
множество В четных натуральных чисел равномощны, так как формула / (п) = п + 1
задает биекцию А ->¦ В (при этом отображении число 1 переходит в 2, число 3 —
в 4 и т. д.).
1.2. Множество R+ положительных действительных чисел равномощно мно-
множеству R_ отрицательных действительных чисел, так как формула / (*) = —х
задает биекцию R+ -> R_.
1.3. Множество N натуральных чисел равномощно множеству А чисел, яв-
являющихся точными квадратами.
Действительно, формула / (п) = п2 задает биекцию N -> А.
Этот пример показывает, что бесконечное множество (в отличие
от конечных множеств) может быть равномощно своей части.
Примеры. 1.4. Любые два интервала ]а\ Ь[ и ]с\ d[ равномощны.
Действительно, биекция /: \а\ Ъ[ -> ]с\ d[ может быть задана формулой / (х) =
d — с
= (л:— а) + с или с помощью центрального проектирования (рис. 1).
о — а
1.5. Интервал ]а\ Ь[ и числовая прямая ]—оо; +оо[ равномощны.
Поскольку любые два интервала равномощны, достаточно показать равно-
"I л п\
мощность интервала —— ; — и числовой прямой. Это же вытекает из того, что
отображение х ->- tg х задает биекцию ——; —
Геометрически отображение интервала на прямую показано на рисунке 2.
1.6. Множество точек круга радиуса R и множество точек круга радиуса г
равномощны.
Для задания биективного отображения достаточно взять круги с общим
центром О и выполнить гомотетию с центром О и коэффициентом —.
1.7. «Отель Гильберта»1. Вообразим, что где-то, в далеком космосе, имеется
гостиница, содержащая бесконечное число одиночных номеров. Однажды в гости-
гостиницу приехал человек и попросил себе отдельный номер. Директор навел справ-
справку и узнал, что все номера заняты. Тем не менее он сумел выделить гостю от-
отдельный номер, не выселив из гостиницы ни одного из жильцов. Как это ему уда-
удалось сделать?
С х1 «
Рис. 1 Рис. 2
1 Давид Гильберт A862—1943) -=- немецкий математик; с 1895 г. —
профессор Геттингенского университета. Он получил фундаментальные резуль-
результаты почти во всех областях математики: в геометрии (аксиоматическое изложе-
изложение геометрии), алгебре (теория инвариантов), анализе (теория гильбертовых
пространств, интегральные уравнения), теории чисел (решение задачи Варинга),
математической логике и др. Широкоизвестны 23 проблемы Гильберта, сформу-
сформулированные им на математическом конгрессе в Париже в 1900 г.

Директор наметил сначала бесконечную последовательность номеров для
переселения. Обозначим эти номера хг, х2, х3, ..., хп, ... . Жильцов, проживаю-
проживающих в соответствующих номерах, обозначим у1у у2, у3, ..., ул, ..., а вновь при-
приехавшего —у. Нового жильца помещают в номер xlf старого жильца у\ пересе-
переселяют из этого номера в номер х2, жильца у2 из номера х2 переселяют в номер х3
и т. д.:
>'> Уи Уг> Уз> ...
Xl9Xt9X3t...
Этот пример показывает, как, имея биекцию f: A ->- В, можно по-
построить биекцию /': А' ->- В, где А1 — множество, полученное из А
добавлением одного элемента.
Идея «отеля Гильберта» нередко используется для установления
равномощности бесконечных множеств.
Пример 1.8. Отрезок [а; Ь] и интервал ]а\ Ь[ равномощны.
Действительно, отрезок может быть получен из интервала путем поочеред-
поочередного присоединения его концов.
2. Понятие мощности множества. Мы определили понятие рав-
равномощности для бесконечных множеств и рассмотрели примеры
равномощных множеств. Естественно возникает вопрос, не явля-
являются ли все бесконечные множества равномощными. Убедимся,
что это не так.
Теорема 1.1. Множество N натуральных чисел и множество R
действительных чисел не равномощны.
Доказательство. Пусть / — произвольное отображе-
отображение множества N в R. Возьмем на числовой прямой R отрезок
А = [0; 1] и разобьем его на три конгруэнтных отрезка. Хотя бы
один из этих отрезков не содержит образа числа 1. Обозначим его
через Дх. Итак, / A) $ Д1# Разобьем отрезок Ах снова на три конг-
конгруэнтных отрезка и выберем отрезок Д2, не содержащий образа
числа 2.
Продолжая этот процесс неограниченно, получим такую после-
последовательность отрезков (Дя), что Дх zd Д2 zd ... zd Дл zd ... и
/ (п) $ ДЛ (п € N). Так как . длина отрезка ДЛ равна —,
з
a lim — = 0, то (Дя) — последовательность вложенных стягива-
л_*осЗл
ющихся отрезков. Поэтому существует точка с, принадлежащая
всем отрезкам ДЛ.
Ни одно натуральное число п не может оказаться прообразом
точки с, так как с принадлежит отрезку Ап, а образ числа п ему
не принадлежит. Это означает, что отображение /: N-> RHe биек-
биективно. Поскольку / — произвольное отображение множества N
в R, то мы доказали, что задать биективное отображение N на R
невозможно, т. е. множества N и R неравномощны.
Итак, мы убедились (и этот факт был одной из причин возникно-
возникновения теории множеств), что не все бесконечные множества равно-
мощны. Поставим в соответствие каждому множеству А (конечному
или бесконечному) класс, состоящий из всех равномощных ему мно-

жеств. Так, например, в один и тот же класс попадут: множество
пальцев человеческой руки, множество букв в слове «книга», мно-
множество типов правильных многогранников (тетраэдр, октаэдр, ико-
икосаэдр, гексаэдр, додекаэдр) и многие другие. В один из классов
попадут всевозможные множества, равномощные множеству нату-
натуральных чисел. В каком-то из классов окажутся всевозможные мно-
множества, равномощные множеству действительных чисел и т. д.
Наряду с выражением «класс равномощных множеств» упо-
употребляют выражение «класс множеств, имеющих одинаковую мощ-
мощность» и часто, вместо того чтобы сказать: «множество Л равномощ-
цо множеству В» (и написать Л ~ В), говорят: «мощность множе-
множества А равна мощности множества В» (и пишут: | А \ = \ В |). Класс
множеств, равномощных Л, можно задать путем указания какого-
нибудь «стандартного» представителя этого класса. Например,
среди множеств, равномощных конечному множеству Л, есть одно
и только одно множество вида {1,2 ..., п) (отрезок натурального
ряда чисел). Поскольку это множество однозначно задается нату-
натуральным числом п, то для краткости говорят, что мощность А равна
пу и пишут: |Л| = я. Следовательно, понятие мощности — обоб-
обобщение понятия натурального числа.
Множества, равномощные множеству N натуральных чисел, на-
называют счетными. Запись \А\ = |N| обозначает, что А — счетное
множество. Множества, равномощные множеству R действитель-
действительных чисел, называют множествами мощности континуума. Соот-
Соответствующая запись имеет вид \А\ = |R|. Теорема 1.1 означает,
что |N|=t4R|.
3. Признаки равномощности множеств. Естественный способ
отыскания мощности данного множества А — отыскание биектив-
биективного отображения этого множества на «стандартное» множество,
являющееся представителем того или иного класса равномощных
множеств. Однако построение конкретной биекции часто оказыва-
оказывается делом весьма сложным. Поэтому возникает вопрос об отыска-
отыскании признаков равномощности множеств. Рассмотрим два таких
признака, угаданных Г. Кантором, но доказанных лишь позднее
Ф. Бернштейном1.
Будем говорить, что множество В является промежуточным для
двух других множеств Л и С, если оно содержится в одном из них
и содержит в себе другое (Л id В => С).
Теорема 1.2. (О промежуточном множестве.) Если некоторое
множество является промежуточным для двух равномощных мно-
множеств, то все три множества равномощны.
Пусть даны множества Л, В и С, причем AidBidCuA~C.
Требуется доказать, что Л ~ В. Прежде чем проводить доказа-
доказательство в общем виде, разберем конкретный пример. Пусть Л —
1 Феликс Бернштейн A878 —1956) — профессор Геттингенского
университета. Его научные работы относятся к теории множеств, алгебре, теории
чисел.

Рис. 3
квадрат, В — вписанный в него круг,
С — квадрат со сторонами, параллельны-
параллельными сторонам квадрата Л, вписанный в
круг В (рис. 3). Квадраты А и С равно-
мощны, так как гомотетия ср с центром в
точке О и коэффициентом -у=. отображает
биективно Л на С. Покажем, что А ~ В.
Для этого установим биекцию А на В.
При гомотетий ф круг В переходит в
круг Вь а квадрат С — в квадрат Сг. Та
же гомотетия переводит круг Вх в круг В2,
а квадрат Сг — в квадрат С2ит. д. Мы имеем последовательность
кругов В zd BL id ... id Bn и> ... и последовательность квадратов
A и> С zd Cj =э ... id Cn zd ... с общим центром О. Нам надо
отобразить квадрат А на круг В* Воспользуемся идеей «отеля Гиль-
Гильберта» (см. пример 1.7). Возьмем «лишние» уголки квадрата А
(на рисунке 3 они заштрихованы) и отобразим их с помощью гомо-
гомотетии ср на соответствующие им уголки квадрата С. Чтобы осво-
освободить им место, с помощью той же гомотетии отобразим уголки
квадрата С на уголки квадрата Сг и т. д. Так как множество квадра-
квадратов бесконечно, всем уголкам найдется место. Точки же, принад-
принадлежащие незаштрихованным круговым сегментам, и точку О оста-
оставим неподвижными. Очевидно, при этом получается биективное
отображение А на В.
В случае произвольных множеств Л, В, С доказательство тео-
теоремы 1.2 менее наглядно.
Доказательство теоремы. Если А = В, то тео-
теорема тривиальна.
Пусть А Ф В. Из условия теоремы вытекает, что существует
биекция Т: А -> С. Для любого х € А его образ х' = Т (х) при-
принадлежит С и, следовательно, принадлежит множеству Л. Поэтому
можно найти образ элемента х' при отображении Т: х" = Т (х') =
= Т (Т (х)). Понятно, что х" б Л. Элемент х" обозначим через
Т2 (х). Аналогично через Г3 (а:) обозначим образ элемента Т2 (хL
и, вообще, через Тп (х) (п = 2, 3, ...) — образ элемента Г*1 (х).
Каждый из элементов Тп (х) назовем наследником элемента х.
Условимся ради краткости элемент у € Л называть черным, ес-
если он принадлежит А \ В или является наследником какого-либо
элемента из А \ В. Множество черных элементов не пусто, так
как А Ф В. Образ Т (х) черного элемента х черен, так как если х —
наследник элемента а из Л \ В, то х = Тп (а) при некотором п ? N.
А тогда Т (х) = Т (Тп (а)) = Тп+1 (а), и потому Т (х) тоже наслед-
наследник элемента а из Л \ В.
Все остальные элементы множества Л будем называть белыми.
Таким образом, множество Л разбито на два непересекающихся
класса — белых и черных элементов.
10

Сопоставим теперь каждому элементу х
следующему правилу:
/ (х) = /*» еслн х белый,
Л элемент / (х) по
IX,
(х), если х черный.
Это правило задает отображение А в В. Действительно, пусть
х ? А. Если элемент х белый, то х ? В, так как х $ А \В. Но
f (х) = х и, следовательно, / (х) также принадлежит В. Если эле-
элемент х черный, то f (х) = Т (х)у а Т (х) (: С (так как Т — отображе-
отображение Л в С). Но, поскольку С си В, то / (х) ? В.
Очевидно, что отображение /: А -> В биективно. ¦
Теорема 1.3. (Признак Кантора — Бернштейна). Если каждое
из двух данных множеств равномощно части другого, то данные мно-
множества равномощны.
Иначе говоря, если A zd Аг ~ В и В id Вг ~ Л, то А ~ В.
Доказательство. Так как В ~ Лх, то существует биек-
ция /: В -> Лх. Обозначим через Л2 образ множества В3 при этом
отображении. Тогда сужение / на ВЛ является биекцией Вх на А2
(рис. 4). Поэтому Л2 ~#ъ а это в силу транзитивности отношения
равномощности означает, что А2 ~ А. Но поскольку Л2 а АЛ с: Л,
то по предыдущей теореме Л ~ Лх; а так как по условию В ~ Ait
то отсюда и вытекает, что А ~ В. Щ
Примеры. 1.9. Любой интервал А и любой отрезок В числовой прямой
равномощны.
В самом деле, каждый отрезок содержит некоторый интервал, а каждый
интервал — некоторый отрезок. Так как все отрезки, так же как и все интерва-
интервалы, равномощны, то, по теореме Кантора — Бернштейна, А ~ В.
1.10. Любой круг А равномощен любому квадрату В.
Действительно, рассмотрим некоторый квадрат Ах cz А и некоторый круг
ВгС1 В. В примере 1.6 показано, что А ~ Bv Тем же способом можно показать,
что В ~ Ах. Поэтому А ~ В.
4. Сравнение мощностей. Пусть Л и В — два множества. Если
эти множества конечны, то мы можем не только узнать, равномощны
ли эти множества, но, в случае их неравномощности, и определить,
б каком из них больше элементов.
Для конечных множеств мощность собственного подмножества
меньше мощности всего множества. Поэтому можно утверждать, что
конечное множество Л имеет меньшую мощность, чем конечное мно-
множество В, если А ~ Вх d В, где В1 Ф В. Это определение нельзя
механически перенести на бесконечные множества, поскольку для
них собственное подмножество может ока-
оказаться равномощным всему множеству
(например, отрезки [а; Ь\ и [а; с], где
а < Ь < с, равномощны). Изменим данное
выше определение следующим образом:
будем говорить, что мощность множества
А не превосходит мощности множества
В (мощность множества В не меньше мощ-
мощности множества Л), если Л равномощно
какому-нибудь подмножеству Вх из В. В Рис. 4
11

этом случае пишут: | А | <; | В | (или
|В|> \А\). Еслиже|Л|< |В|, а
множества Л и В не равномощны,
то будем говорить, что мощность
множества А меньше мощности
множества В, и писать: | А | <
< | В |. Иными словами, будем
считать, что \А\ < |В|, если:
Рис 5 I) Аи В неравномощны; 2) А равно-
мощно некоторой части В.
В случае конечных множеств соотношения |Л|^|В| и | В | ^
^ | А | влекут за собой равенство | А | = | В |. Как следует из тео-
теоремы Кантора — Бернштейна, аналогичное утверждение верно и
в случае произвольных множеств.
Покажем, что отношение «мощность А не превосходит мощности
В» транзитивно, т. е. что из|Л|^|В|и|В|^|С| следует: | А | ^
<|С|
<||
В самом деле, по условию, существуют подмножества Bj cz В
и Сг си С, такие, что А ~ В1 и В ~ Сх. Так как Вх с: В, то В1 рав-
номощно подмножеству С2 а С (рис. 5). Но тогда А ~ С2 cz С
и потому | А | < | С |.
Из доказанного вытекает, что «^» — отношение нестрогого
порядка, т. е., что оно рефлексивно, антисимметрично и транзи-
транзитивно.
При сравнении мощностей полезно следующее утверждение:
Теорема 1.4. Если существует сюръективное отображение
/: Л^В, то |В|<|Л|.
Доказательство. Пусть Ъ — произвольный элемент
из В. Так как / — сюръекция, то у элемента Ь существует, по край-
крайней мере, один прообраз а € А. Возьмем для каждого Н В по
одному прообразу и обозначим через Ах полученное подмножество
в А. Тогда В ~ Ах с: А и потому | В | ^ | А |. ¦
Пример 1.11. Мощность множества точек окружности не меньше мощ-
мощности множества точек ее диаметра.
В самом деле, пусть А — окружность, В — ее диаметр. Сопоставим каждой
точке окружности ее ортогональную проекцию на В. Так как это отображение
сюръективно, то доказываемое утверждение истинно.
Важнейшими бесконечными множествами являются N и R. В
следующих параграфах мы дадим условия равномощности множе-
множества множеству N или R.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие отображения называются: а) сюръективными, б) инъективными,
в) биективными? Приведите примеры всех трех видов отображений.
2. Дайте определение равномощных множеств.
3. Существует ли множество, равномощное множеству натуральных чисел,
но являющееся его собственным подмножеством?
12

4. Перечислите свойства биективных отображений. Какие свойства отноше-
отношения равномощности вытекают из них?
5. Существует ли бесконечное множество, неравномощное множеству нату-
натуральных чисел?
6. Верно ли, что мощность любого собственного подмножества меньше мощ-
мощности всего множества?
7. Сформулируйте теорему о промежуточном множестве. Где в доказатель-
доказательстве этой теоремы используется условие: A ZD В Ц) С?
8. Докажите, что отображение /, определенное при доказательстве теоремы о
промежуточном множестве, является биективным. Поясните, почему / (А) = В и
почему каждому элементу из В соответствует лишь один элемент из Л.
9. Докажите, что точек на прямой не меньше, чем на окружности.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 1. № 1-3, 6—18, 21—23, 36, 37, 54.
§ 2. СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Как было определено выше, счетным множеством или множе-
множеством счетной мощности называют любое множество 5, равномощ-
ное множеству натуральных чисел N. Это означает существование
биекции /: N -> S. Если обозначить образ числа п при этой биекции
через хп, то получим нумерацию элементов счетного множества S,
при которой будут использованы все номера и каждому элементу
из S будет поставлен в соответствие лишь один номер.
Примеры. 2.1. Множество точных квадратов натуральных чисел счет-
счетно, так как числу п2 можно сопоставить номер п.
2.2. Множество Z целых чисел счетно.
Действительно, сопоставим числу 0 номер 1, числу 1 номер 2, числу—1 но-
номер 3, числу 2 номер 4, числу —2 номер 5 и т. д. Итак, множество Z занумерова-
занумеровано; следовательно, оно счетно.
2.3. Множество Q рациональных чисел счетно.
Действительно, любой элемент множества Q можно записать в виде несокра-
несократимой дроби — (т ? Z, п 6 N). Поэтому, если доказать, что счетно множество
таких дробей, то тем самым будет доказана и счетность Q. Изобразим каждую не-
т
сократимую дробь — точкой (т; п) на координатной плоскости. Точке @; 1) сопо-
сопоставим номер 1, точке A; 1) — номер 2, точке A; 2) — номер 3 и т. д. по маршру-
маршруту, указанному на рисунке 6. Пос-
Поскольку мы занумеровали все отмечен-
отмеченные точки, то и все несократимые дро-
дроби — а следовательно, и все рацио-
рациональные числа — оказались зануме-
занумерованными.
На особую роль счетных
множеств среди всех бесконеч-
бесконечных множеств указывает сле-
следующая теорема:
Теорема 2.1. Во всяком бес-
бесконечном множестве В имеется
счетное подмножество S. Рис. 6
У1
-J
-2
*~~
13

Другими словами, счетная мощность — наименьшая из беско-
бесконечных мощностей.
Доказательство. Выберем в В один элемент — это
можно сделать, так как В бесконечно и, следовательно, непусто;
обозначим его через хг. Так как В бесконечно, то В \ {хг} тоже
непусто. Выберем в этом множестве какой-нибудь элемент и обо-
обозначим его через х2. После этого выберем элемент х3 во множестве
В \ {х1у х2}, и т. д. В результате мы находим во множестве В под-
подмножество занумерованных элементов S = {хи х2, х3, ...}, т. е.
счетное подмножество. Следовательно, для любого бесконечного
множества В справедливо соотношение |В| ^ |N|. ¦
Остановимся на некоторых признаках счетности множеств.
Теорема 2.2. Всякое бесконечное подмножество В счетного мно-
множества S счетно.
Доказательство. Так как 5 счетно, то его элементы
можно занумеровать. При этом занумерованными оказались и эле-
элементы подмножества В. Расположим элементы из В в порядке воз-
возрастания их номеров и затем перенумеруем их с помощью чисел
1, 2, 3,... Значит, В счетно. ¦
Из этой теоремы, в частности, следует, что любое бесконечное
подмножество множества N счетно. Например, счетны множества
четных чисел, простых чисел, точных квадратов, точных кубов и т. д.
Теорема 2.3. Бесконечное множество В счетно, если существует
сюръекция f какого-нибудь счетного множества S на В.
Доказательство. Не теряя общности, можно считать,
что S = N. Полным прообразом любого элемента Ъ (Е В является не-
некоторое множество /~* (Ь) натуральных чисел. В этом множестве
есть наименьшее число, которое мы обозначим пь. Множество
{nb\b ? В) является бесконечным подмножеством в N и потому
счетно. Поскольку соответствие Ь ++ пъ взаимно однозначно, то
и В счетно. ¦
Пример 2.4. Любое бесконечное множество D попарно непересекающих-
непересекающихся интервалов на прямой счетно.
Действительно, пусть Q' — множество тех рациональных чисел, которые
принадлежат интервалам множества D. Так как Q' с: Q, a Q счетно (см. пример
2.3) и Q' бесконечно, то Q' счетно (см. теорему 2.2). Каждому рациональному
числу из Q' сопоставим содержащий его интервал из D. Этим задается сюръек-
тивнре отображение множества Q' на D. Так как множество D бесконечно, то по
теореме 2.3 оно счетно.
Теорема 2.4. Множество К всевозможных кортежей1, составлен-
составленных из натуральных чисел, счетно.
Доказательство. Обозначим через Р множество {ри ...
...э pk, ...} простых чисел, расположенных в порядке возрастания
(рх = 2, р2 = 3, р3 = 5 и т- Д-)- Каждому кортежу (пх, п2, ..., nk)
1 Кортеж— это конечная последовательность. Два кортежа (пг, п2, ..., ns)
и (mlt m2, ..., mk) считаются совпадающими, если k = s и пр = тр при любом р.
В противном случае кортежи считаются различными, причем тогда пишут:
(nXt ...,ns)^(ml9..., mk).
14

натуральных чисел поставим в соответствие натуральное число а =
= р?1 рП2 ... Р?/г. Например, кортежу B, 4, 3) сопоставляется
число 223453 = 40500. В силу теоремы о единственности разложения
чисел на простые множители, различным кортежам соответствуют
различные натуральные числа: если (п19 ..., nk) Ф (тъ ..., ms),
то pV.-.p? ФрТ ... P?s •
Мы построили, таким образом, взаимно однозначное отображе-
отображение / множества К на бесконечное подмножество А натуральных
чисел. Так как А счетно, то и К счетно. ¦
Теорема 2.5. Декартово произведение1 конечного числа счетных
множеств счетно.
Доказательство. Пусть множества А19 ..., Ат счетны.
Тогда их элементы можно перенумеровать:
Am = {атЪ ат2> — > атп> —}•
Декартово произведение А = Аг х ... X Ат состоит из корте-
кортежей {а\Пх, ..., а>тпт). Сопоставив такому кортежу кортеж из нату-
натуральных чисел {пъ ..., nm), получим биекцию /: А ^> Кц где /Сх —
бесконечная часть множества К (см. теорему 2.4). А так как К —
по теореме 2.4 — счетно, то и А счетно. ¦
Пример 2.5. Множество М целочисленных узлов на плоскости (т. е. то-
точек с двумя целочисленными координатами) счетно.
В самом деле, М = Z X Z, причем множество Z счетно (см. пример 2.2);
в силу теоремы 2.5 множество М тоже счетно.
Теорема 2.6. Объединение конечной или счетной совокупности
счетных множеств счетно.
Доказательство. Пусть А = U Ak, где все Ak — счет-
счетные множества. Доказательство достаточно провести для случая,
когда совокупность объединяемых множеств счетна. Если она конеч-
п
на, т. е. А = [} Ak% то, дополнив эту совокупность множествами
Ап+19 Ап+2, ..., равными, например, Аъ получим счетную совокуп-
совокупность множеств с тем же объединением А.
Перенумеруем сначала объединяемые множества (А19 А2, ...
..., Ап , ...), а потом — элементы каждого из множеств Al9 ..., Ап9 ...:
А1 = {а111 ..., аШ9 ...},
Множество N2 = N х N счетно в силу теоремы 2.5. Сопоставим
элементу (р, q) из N2 элемент apq из Л, т. е. элемент с номером q
х Напомним, что декартовым произведением А1 X А2 X ... X Ат называет-
называется множество, состоящее из всевозможных кортежей (а1э а2, ..., ат), где а^ Alt
а2 6 А2, .... ат? Ат.
15

из множества Ар. Так как любой элемент а € А принадлежит хотя
бы одному из множеств Ар и имеет в нем определенный номер q,
то мы задали сюръекцию /: N2 ~> Л, а это в силу теоремы 2.3 озна-
означает, что А счетно. ¦
Пример 2.6. Приведем другое доказательство счетности множества Q
рациональных чисел (см. пример 2.3).
Множество Q всех дробей — (т ? Z, п 6 N) можно представить в виде
п
'q-uq*.
где Qn — множество дробей со знаменателем п. Так как каждое множество Qnt
очевидно, равномощно множеству целых чисел, то Qn счетно, а тогда по теореме
2.6 счетно и Q. Отсюда, в силу теоремы 2.2, вытекает, что счетно и множество не-
несократимых дробей, т. е. Q.
Теорема 2.7. Объединение счетной совокупности конечных мно-
множеств конечно или счетно.
оо
Доказательство. Пусть А = U Ak , где все Ak конечны.
/г=1
Множество А может оказаться конечным (например, если все Ak
совпадают друг с другом).
Рассмотрим теперь случай, когда А бесконечно. Пусть Ak име-
имеет пк элементов. Добавив к нему все натуральные числа, большие,
00
чем nk , получим счетное множество Bk. Множество В= U Bk счет-
счетно в силу теоремы 2.6. А так как A cz В и А бесконечно, то его счет-
ность следует из теоремы 2.2. ¦
При нахождении мощностей бесконечных множеств полезны
следующие две теоремы:
Теорема 2.8. Мощность бесконечного множества В не изменится,
если к нему присоединить счетное или конечное множество S.
Доказательство. Не теряя общности, можно считать,
что В П 5 = 0. Согласно теореме 2.1, множество В можно пред-
представить в виде В = Sj U Въ где Sx — счетное множество. Тогда
(по свойству ассоциативности операции объединения множеств)
S U В = (S U Sx) U Вг. Так как S (J S3 — счетное множество,
то существует биекция /: S U S3 -> Sv Значит, отображение ф,
определяемое формулой
(х), если x?SL)Si>
х, если х 6 Bv
является биекцией множества В [) S на множество В. Отсюда
и следует, что В [) S ~ В. ¦
Пример 2.7. Интервал ]а; Ь[ и промежуток ]а\ Ь] равномощны.
Действительно, промежуток ]а; Ь] получается из интервала ]а; Ь[ добавлени-
добавлением одной точки, а потому его мощность равна мощности интервала в силу теоре-
теоремы 2.8.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называют не-
несчетным.
Теорема 2.9. Мощность несчетного множества М не изменится,
если из него удалить счетное или конечное множество S.
Доказательство. Представим М в виде М = (M\S) |J
U S. Так как М несчетно, то M\S бесконечно, и поэтому в
силу теоремы 2.8
Пример 2.8. Множество иррациональных чисел I равномощно множе-
множеству действительных чисел R.
Действительно, 1= R\Q, где Q—множество рациональных чисел. А
так как Q счетно, a R несчетно, то по теореме 2.9 получаем: 111 = | R |.
Теорема 2.10. Множество А алгебраических чисел счетно.
Доказательство. Алгебраические числа — это корни
многочленов (степени не ниже первой) с целыми коэффициентами.
Пусть М — множество всех таких многочленов, а Мп — множе-
множество тех из них, которые имеют фиксированную степень п. Много-
Многочлену апхп + ... + аЛх + а0 (апф0) из множества Мп сопоставим
кортеж его коэффициентов (а,, ..., аъ а0). Это определяет биектив-
биективное отображение множества Мп на множество Т = (Z\{0}) X
X Zn. Так как Zсчетно (см. пример 2.2), то и Z\{0} счетно (см.
теорему 2.2), а потому (в силу теоремы 2.5) Т тоже счетно. Значит,
Мп счетно.
оо
Поскольку М = [}Мп, то в силу теоремы 2.6 и М счетно. Но
в таком случае множество А представляет собой объединение счет-
счетного семейства конечных множеств (каждый многочлен имеет ко-
конечное число действительных корней). А так как А, очевидно, бес-
бесконечно, то, в силу теоремы 2.7, оно счетно. ¦
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие множества называются счетными? Приведите примеры счетных
множеств.
2. Почему счетно множество многочленов степени п с рациональными коэф-
коэффициентами?
3. Сформулируйте признаки счетности множества.
4. Где в доказательстве теоремы 2.4 использована простота чисел /?lt р2, ...,
рт,...? Почему построенное в этом доказательстве соответствие / различным корте-
кортежам сопоставляет различные натуральные числа? Найдите образы кортежей
B, 1,3) и D, 1,5) при этом соответствии. Укажите несколько натуральных чи-
чисел, которые при отображении /: К ->• N не имеют прообразов.
5. Может ли объединение счетной совокупности конечных множеств быть
конечным множеством?
6. Может ли объединение конечной совокупности счетных множеств быть
конечным множеством?
7. Докажите, что всякое бесконечное множество равномощно некоторому
своему собственному подмножеству.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 1. № 26, 64, 80—61, 83, 105, 119—120,
17

§ 3. МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА
Множество R называют числовым континуумом. Поэтому мно-
множеством мощности континуума называют каждое множество, рав-
номощное множеству действительных чисел R. В § 1 мы доказали,
что R неравномощно N. А так как R id N, то | R |>| N|, т. е. мощ-
мощность континуума больше счетной.
Примеры. 3.1. Произвольные отрезок, интервал, полуоткрытый проме-
промежуток имеют мощность континуума (см. примеры 1.5, 1.8, 2.7).
3.2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума (см. при-
пример 2.8).
3.3. Множество Т трансцендентных1 чисел имеет мощность континуума.
Это вытекает из теоремы 2.9, так как Т = R\ А, где А — множество алгеб-
алгебраических чисел, а оно счетно.
Выше (теорема 2.5) мы видели, что декартово произведение ко-
конечного числа счетных множеств счетно. В случае бесконечной со-
совокупности счетных множеств это уже не так.
Теорема 3.1. Декартово произведение счетной совокупности счет-
счетных множеств имеет мощность континуума.
Доказательство достаточно провести для множества
№° = N X N X ... бесконечных последовательностей, составлен-
составленных из натуральных чисел, причем достаточно доказать (см. при-
пример 3.1), что №° ~ 10; П.
Пусть х = (&!, ..., kh ...)— какая-либо последовательность на-
натуральных чисел. Сопоставим последовательности х строго возра-
возрастающую последовательность у = (пъ ..., П[, ...), члены которой
определяются по формулам: nx = kl9 п2 = п± + k2, ..., Щ = т—\ +
+ fe, ... . Далее, последовательности у сопоставим правильную бес-
бесконечную двоичную дробь г, у которой на местах с номерами пъ
n2, n3i ... после запятой записаны единицы, а на остальных местах —
нули. Например, последовательности х = C, 1, 2, 2, 2, ...) сопо-
сопоставляется сначала последовательность у = C, 4, 6, 8, 10, ...),
а потом —дробь г = 0,0011010101 ... .
Так как последовательность у строго возрастающая, то среди
чисел этой последовательности имеются сколь угодно большие;
поэтому в соответствующей двоичной дроби z будет бесконечно
много единиц, т. е. дробь г, как принято говорить, существенно
бесконечная. Но каждая правильная существенно бесконечная
двоичная дробь определяет единственное число из промежутка
10, 1!, значит, мы построили отображение множества №°в этот
промежуток.
1 Напомним, что трансцендентным числом называется всякое действитель-
действительное число, которое не является алгебраическим. Вопрос о том, существуют ли
вообще трансцендентные числа, интересовал многих математиков середины про-
прошлого столетия. В 1849 г. французскому математику Ж- Лиувиллю A809—
1882) удалось с помощью довольно громоздких рассуждений привести первые
примеры таких чисел. Приводимое в примере 3.3 рассуждение показывает, что
теория множеств позволила дать очень простое доказательство существования
трансцендентных чисел.
18

Различным последовательностям соответствуют при этом раз-
различные существенно бесконечные двоичные дроби. В самом деле,
пусть (ku ..., ki, ...) Ф (ku ..., /г';,...)- Тогда найдется такой но-
номер s, что kx = k'u ..., ^_! = fe_i, но ks Ф fzs (например, ks<ks).
Тогда пх = пи ..., п3_л = Ais_i, но ns < n's. Поэтому на ns -м месте
после запятой в первой дроби будет записана единица, а во второй
дроби — нуль, и потому эти дроби различны. Так как любое чис-
число х из Ю; 1 ] можно единственным образом записать в виде существен-
существенно бесконечной двоичной дроби, то построенное отображение
/: №° ->• ]0; 1] инъективно.
Покажем, что образом №° является весь промежуток ]0; 1].
Любое г € Ю; 1] можно записать в виде существенно бесконечной
двоичной дроби. Но каждой такой дроби соответствует возрастаю-
возрастающая последовательность у = (пи ..., пь ...), состоящая из номеров
мест, на которых стоят единицы, а каждой такой последовательно-
последовательности — последовательность х = (къ ..., kl9 ...), где kx= nx и kt =
= пг — ni_1 при i ^ 2. Ясно, что / (х) = г. Значит, отображение /
биективно, и потому №°~]0; 1], т. е. №° имеет мощность контину-
континуума. ¦
Аналогично доказывается следующее утверждение:
Теорема 3.2. Пусть Ал, ..., AkJ ... — конечные множества, каж-
каждое из которых имеет не менее двух элементов. Тогда их декартово
произведение А имеет мощность континуума.
Доказательство. В силу теорем 3.1 и 1.2 достаточно
доказать, что декартово произведение А счетной совокупности мно-
множеств Ak= {0, 1} имеет мощность континуума. Множество А
состоит из последовательностей а = (alt ..., ani ...), где а =0
или 1. Обозначим через В подмножество множества Л, состоящее
из последовательностей, все элементы которых, начиная с некото-
некоторого, равны нулю. По теореме 2.4 множество В счетно.
Пусть а — произвольная последовательность из множества
А\В. Сопоставим ей двоичную дробь Омг ... ап ... . Это суще-
существенно бесконечная дробь. Так как любое число из промежутка
]0; 1] представимо в виде такой дроби, то мы установили биективное
соответствие между множествами А\В и Ю; 1]. Значит, А\В
имеет мощность континуума, а тогда из теоремы 2.8 вытекает, что
такую же мощность имеет и множество А. ¦
Рассмотрим другие признаки множеств мощности континуума.
Теорема 3.3. Объединение конечной или счетной совокупности
множеств мощности континуума имеет ту же мощность.
00
Доказательство. Пусть А = [)Ап (в случае конеч-
ного числа объединяемых множеств доказательство лишь упроща-
упрощается) и пусть для всех п имеем | Ап\ = |R|. Рассмотрим вспомога-
вспомогательное множество — луч L = 10; оо[. Оно имеет мощность конти-
19

нуума. При этом L — [} Ln, где Ln = ]п — 1; п\. Так как каждый из
промежутков Ln имеет мощность континуума, то существуют биек-
ции fn: Ln-> An. Для любого х ? L положим / (х) = fk (x)f где
LЭ
п- **.. .. .. . .
k — номер промежутка Lk, которому принадлежит х. Этим опреде-
определяется сюръективное1 отображение /: L -> А. По теореме 1.4 имеем:
Hl<|L| = |R|. C.1)
С другой стороны, A zd Аг и потому
MI>Hil = |R|- C.2)
Из C.1) и C.2) в силу теоремы Кантора — Бернштейна и выте-
вытекает, что | А | = | R |. ¦
Пример 3.4. Множество М точек плоскости с рациональными абсцисса-
абсциссами имеет мощность континуума.
Действительно, М = [}МГ (г ? Q), где Мг— прямая х = г. Так как Мг
имеет мощность континуума и множество Q счетно, то М представляет собой
объединение счетного семейства множеств мощности континуума, а следователь-
следовательно, в силу теоремы 3.3, оно имеет ту же мощность.
Теорема 3.4*. Декартово произведение А конечной или счетной
совокупности множеств Ak мощности континуума имеет ту же
мощность.
Доказательство проведем для случая, когда А пред-
представляет собой произведение счетной совокупности Ak. Идея дока-
доказательства состоит в установлении биективного соответствия между
множеством А и множеством N"°, имеющим мощность континуума
(см. теорему 3.1).
Рассмотрим элемент а = (аъ ..., ап9 ...) из А. Здесь ak € Ak (k S
? N). Так как каждое из множеств Ak имеет мощность континуума,
то существует биекция fk: Ak-+ №°. Значит, каждому элементу ak
последовательности а соответствует определенная последователь-
последовательность натуральных чисел:
<22 —**(^21» • * •> ^2/и> * * V»
Поэтому последовательности а соответствует бесконечная таблица
'22
1123
Ъз
п
1т ' * *
• • -п2т- •
. . .nJm...
1 Если Ап попарно не пересекаются, то построенное отображение /— биек-
биекция А на L.
20

состоящая из натуральных чисел. При этом различным элементам
соответствуют различные таблицы.
Множество чисел в любой такой таблице счетно как объединение
счетного числа счетных множеств. Поэтому их можно перенумеро-
перенумеровать, т. е. записать в виде последовательности. При этом такие
последовательности можно составлять единым образом для всех
таблиц. Составляя, например, последовательность так называе-
называемым «диагональным» способом, получим:
а = \Пц, ^12» ^21» ^31» ^22' ^13» %4» ••• )•
Тогда разным таблицам (n*m) сопоставляются разные последова-
последовательности а!, и мы получаем биективное отображение А на №°.
Значит, А имеет мощность континуума. ¦
Примером декартова произведения счетной совокупности мно-
множеств мощности континуума может служить R*\ Поэтому из тео-
теоремы 3.4 вытекает, что множество числовых последовательностей,
составленных из действительных чисел, имеет ту же мощность,
что и R. Заметим, что с натуральными числами дело обстоит иначе:
из них можно составить множество последовательностей мощности
большей, чем мощность самого множества N.
Примеры. 3.5. Множество всех точек плоскости имеет мощность конти-
континуума1.
Действительно, поскольку каждая точка плоскости однозначно определяется
своими координатами (*; у), где х, у ? R, то множество точек плоскости равно-
мощно декартову произведению R X R. Но в силу теоремы 3.4 имеем: |R X R| =
= |RI-
Аналогично можно убедиться и в том, что множество всех точек трехмерного
и вообще л-мерного пространства имеет мощность континуума.
3.6. Любое множество F из Ил, содержащее подмножество К мощности кон-
континуума, имеет ту же мощность.
В самом деле, К d F с R" и | Rn \ = | R |. А так как К ~ R, то по теореме о
промежуточном множестве | F | = | К | = | R |.
Например, круг, куб, параболоид имеют мощность континуума, так как со-
содержат отрезок или биективный образ отрезка.
3.7. Множество С всех функций, определенных и непрерывных на прямой,
имеет мощность континуума.
В самом деле, занумеруем все рациональные точки гъ г2,..., гп, ... и сопоста-
сопоставим функции ф последовательность действительных чисел — значений функции ср
в точках rlt r2,..., тп%...:
(Ф(М> ФМ.'.мФЫ,...).
Получим отображение F: С ->• R°°. Это отображение инъективно, так как раз-
различным функциям ф игр соответствуют различные последовательности. Действи-
Действительно, если функции ф игр различны, то хотя бы в одной точке с прямой ф (с) Ф
фур (с). Пусть для определенности ф (с)> гр (с), т. е. ф (с) —гр (с) > 0. Тогда, в
силу непрерывности Ф и гр , найдется окрестность U точки с, в которой ф (х) —
— У (х) > 0. Но эта окрестность содержит хоть одну рациональную точку rit
1 Этот факт, открытый Кантором, в свое время явился большой неожидан-
неожиданностью. Во времена Кантора было принято говорить, что на прямой имеется оо
точек, а число точек плоскости составляет уже оо2. Кантор вначале также думал,
что «на плоскости точек больше, чем на прямой», и более трех лет искал соответ-
соответствующее доказательство, пока не обнаружил, что мощности этих множеств оди-
одинаковы. «Вижу, но не верю», — писал он по этому поводу Дедекинду.
21

й мы получаем, что ф (г,)—if (rt) > 0, а петому последовательности значений
функций ф ия|? в рациональных точках неодинаковы.
Итак, отображение F — инъекция, а значит, множество С равномощно ча-
части R°°. Поэтому
\С\ <|R°°| =|R|. C.3)
С другой стороны, множество С содержит подмножество функций вида у = а,
где а 6 R, а это подмножество имеет мощность континуума. Значит,
|C|>|R|. C.4)
Из C.3) и C.4) вытекает, что | С | = | R |.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что значат слова «множество А имеет мощность континуума»?
2. Какие числа имеют две записи в виде двоичных дробей? Почему при рас-
рассматриваемом в доказательстве теоремы 3.1 отображении / получаются сущест-
существенно бесконечные дроби? Найдите образ последовательности A, 1, ..., 1, ...) при
этом отображении или биективный образ отрезка.
3. Какова мощность множества, являющегося объединением совокупности
множеств мощности континуума, если сама совокупность имеет ту же мощность?
4. Верно ли, что квадрат содержит больше точек, чем отрезок?
5. Верно ли, что шар содержит больше точек, чем круг?
6. Какова мощность множества всех числовых последовательностей?
7. Объясните, какова мощность множества всех: а) кортежей из N; б) беско-
бесконечных последовательностей из N; в) конечных подмножеств из N; г) бесконечных
подмножеств из N; д) подмножеств из N.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 1. № 94, 98—104, 106, 109—110.
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ МНОЖЕСТВ
сколь угодно высокой мощности
Выше мы обнаружили, что имеются, по меньшей мере, два клас-
класса бесконечных множеств различной мощности — счетные множе-
множества и множества мощности континуума. Выясним, не исчерпыва-
исчерпываются ли ими всевозможные виды бесконечных множеств.
Для ответа на этот вопрос рассмотрим, наряду с данным множе-
множеством Му другое множество, состоящее из всех частей множест-
множества М. Это множество называют булеаном1 множества М и обозначают
так: Р (М). Например, если М = {1, 2, 3}, то
Р № = {0, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A, 2, 3}}.
В этом примере мощность булеана множества выше мощности са-
самого множества. Докажем, что это всегда так:
Теорема 4.1. Мощность булеана р (М) данного множества М
больше мощности самого множества М.
Доказательство. Сопоставив каждому элементу х из
М одноэлементное множество {л:}, замечаем, что М равномощно
1 По имени английского математика Джорджа Буля A815—1864),
одного из творцов математической логики.
22

подмножеству своего булеана р (М), состоящему из одноэлемент-
одноэлементных множеств.
Остается показать, что Мир (М) неравномощны. Предполо-
Предположим противное. Тогда существует биекция /: М->Р(УИ). Для
любого х € М возможны две ситуации: элемент х либо входит в под-
подмножество / {х)у являющееся его образом, либо не входит в него.
Элемент, обладающий первым свойством, будем называть белым;
элемент, обладающий вторым свойством, — черным. Ясно, что вся-
всякий элемент из М либо черный, либо белый.
Рассмотрим подмножество РаМ черных элементов. Посколь-
Поскольку Р — элемент булеана, а / — биекция, то у Р имеется прообраз
I (: М, и притом только один. Выясним «цвет» этого элемента ?•
Предположим, что ? белый. Тогда, по определению белого эле-
элемента, ? € / Ш = Р, т. е. ? черный.
Предположим, что I черный. Тогда, по определению черного
элемента, I $ / (I) = Р и потому I белый.
Итак, ? должен быть «двуцветным», что невозможно. Получен-
Полученное противоречие показывает, что сделанное нами предположение
ложно, т. е. не существует биекции М -> р (М). Значит, \М\ <
P(Af)| ¦
Примеры. 4.1. Булеан Р (R) множества R действительных чисел имеет
мощность большую, чем континуум.
4.2. Мощность множества F всех функций (как непрерывных, так и разрыв-
разрывных), определенных на прямой, больше континуума.
Действительно, рассмотрим подмножество Fr czF,b которое входят функции,
принимающие только два значения: 0 и 1. Каждой такой функции можно сопо-
сопоставить часть ее области определения, состоящую из тех точек ху где / (х) = 1.
Тем самым определено биективное отображение F' -*• Р (R). Поэтому | F | ^
>m = iP(R)i>iRi.
Итак, мы видим, что существуют множества мощности выше, чем
континуум. Более того, справедлива следующая теорема:
Теорема 4.2. Среди бесконечных множеств не существует множе-
множества самой высокой мощности.
Доказательство. Допустим противное: существует
множество М наибольшей мощности. Рассмотрим его булеан р (М).
В силу теоремы 4.1 находим: |Р (М)\ > \М\. Противоречие! И
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что булеан множества натуральных чисел имеет мощность
континуума.
2. Докажите, что множество всех фигур на плоскости имеет мощность боль-
большую, чем континуум.
3. Укажите три бесконечных множества различной мощности.

ГЛАВА II
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 5. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ГЕОМЕТРИЯ
1. Метрические пространства. Одной из важнейших задач мате-
математики является исследование изучаемых ею понятий в максималь-
максимальной общности, выяснение глубинных оснований математических
теорем. Фундаментальными понятиями математического анализа
являются понятия предела и непрерывности. Определение этих
понятий требует лишь знания того, что твкое расстояние между точ-
точками прямой, плоскости или пространства. Поэтому их можно рас-
распространить на более широкие классы объектов, лишь бы было
определено понятие «расстояния» между этими объектами. Смысл
же понятия «расстояние» раскрывается в трех хорошо известных
аксиомах геометрии1. Таким путем мы приходим к понятию метри-
метрического пространства.
Пусть М — произвольное множество. Числовую функцию р,
определенную на множестве М X М, называют метрикой на М (а
конкретное значение р (х> у) — расстоянием от х до у), если при
любых ху у, z из М выполняются следующие условия (аксиомы
метрики):
О Р (*» У) ^ 0; р (л:, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у
(аксиома неотрицательности и тождества);
2) р (х, у) = р (у, х) (аксиома симметрии);
3) Р (х, у) ^ р (х, z) + Р (z, у) (аксиома треугольника).
Множество с введенной на нем метрикой называют метриче-
метрическим пространством1; элементы исходного множества называют при
этом элементами или точками пространства, Приведем примеры ме-
метрических пространств, предлагая читателю самостоятельно прове-
проверить выполнимость аксиом метрики.
Примеры. 5.1. Евклидова прямая. Расстояние между двумя располо-
расположенными на ней точками с координатами х к у определяется, как известно, по
формуле
р (х, у) = | х — у \.
* См., например: Геометрия. Учебное пособие для 8-го класса средней школы.
Под ред. А. Н. Колмогорова. М., 1978.
2 Понятие метрического пространства ввел в 1906 г. французский математик
Морис Фреше A878—1973).
24

5.2. Евклидова плоскость. Расстояние между точками Аг (хх; уг) и А2 (х2; у2)
вычисляется по формуле
5.3. Евклидово пространство. Расстояние между точками Аг (xY\ ух; гх) и
А2 (х2\ У2\ *2) вычисляется, как известно, по формуле
p (Av A2) = у(хг — х2J + (уг — у2J + (z± — z2J.
5.4. Метрическое пространство L — множество прямых на плоскости, па-
параллельных прямой у = ху с расстоянием
где 1С — прямая у = х + с.
5.5. Метрическое пространство N — множество натуральных чисел с рас-
расстоянием
р (т, п) = \т — п\.
5.6. Метрическое пространство N — множество натуральных чисел с рас-
расстоянием
р (т, п) i
О, если т = п,
1 + ; если тф п.
т + п
Последние два примера показывают, что в одном и том же мно-
множестве метрика может вводиться по-разному. Может возникнуть во-
вопрос: существуют ли множества, в которых ни одним из способов
нельзя ввести метрику? Ответ на него позволяет получить следу-
следующий пример:
Пример 5.7. Любое непустое множество М является метрическим про-
пространством с метрикой
0 при х = у.
Каждое метрическое пространство естественным образом поро-
порождает ряд других метрических пространств. Пусть Р — какое-
либо подмножество множества Му на котором введена метрика рм>
и пусть в Р метрика определяется равенством ря (х, у) = рм (х, у),
где х, у € Р. Тогда множество Р также является метрическим про-
пространством. Оно называется подпространством (или частью) про-
пространства М. При этом говорят, что метрика в Р индуцируется мет-
метрикой, заданной в УИ, или что метрика в Р заимствована из М.
Например, обычная метрика в евклидовом пространстве инду-
индуцирует на сфере метрику, при которой расстояние между точками
сферы равно длине соединяющей их хорды. Другую метрику на
сфере получаем, выбрав за расстояние между точками хиу наимень-
наименьшую из длин кривых, лежащих на сфере и соединяющих эти точки;
можно доказать, что это длина дуги большой окружности, соеди-
соединяющей точки х и у. Возникающее таким образом метрическое
пространство уже не является подпространством евклидова про-
пространства.
25

2. Геометрия метрического пространства. Появившийся в этом
параграфе (применительно к множествам общей природы) геометри-
геометрический язык (пространство, точка, расстояние, аксиома треуголь-
треугольника) не случаен. Привлечение «геометрического языка», геометри-
геометрических понятий и геометрических образов позволяет сделать
наглядными различные факты из алгебры, анализа, механики и дру-
других -разделов математики и ее приложений. При этом часто возни-
возникает возможность установить новые закономерности, проводя рас-
рассуждения, аналогичные известным рассуждениям для случая одно-
одномерного, двумерного или трехмерного пространства.
Располагая понятием «расстояние между двумя точками», мы
можем определить в произвольных метрических пространствах
ряд геометрических понятий. Начнем с понятий открытого и замк-
замкнутого шара и сферы.
Замкнутым шаром в метрическом пространстве М называется
множество U (а; г) точек из М, расстояние от которых до некоторой
фиксированной точки а € М не превосходит некоторого числа
г >0: _
U(a;r)= {x 6ЛГ|р(а, *)< г}.
При этом точка а называется центром данного шара, дг число г —
его радиусом.
Сферой в метрическом пространстве М называется множество
S (а; г) точек из М, расстояния от которых до некоторой фиксиро-
фиксированной точки а € М равны некоторому числу г > 0:
S(a-yr)= {х €Л1|р(а, х) = г).
Точка а при этом называется центром сферы, а число г — ее ра-
радиусом.
Например, замкнутый шар в евклидовом пространстве — это
обычный шар вместе с ограничивающей его сферой; на евклидовой
плоскости — круг вместе со своей границей; на прямой — отрезок;
в пространстве М примера 5.7 — одна точка (совпадающая с цен-
центром шара) при г < 1 и все множество М при г ^ 1.
Сфера в евклидовом пространстве — это обычная сфера, на пло-
плоскости — окружность, на прямой — пара точек. В пространстве М
примера 5.7 сфера с центром в точке а радиуса г — это пустое мно-
множество при г Ф 1 и все пространство без точки а при г = 1.
Разность замкнутого шара U (а; г) и сферы S (а; г) называется
открытым шаром и обозначается U (а; г). Таким образом
U (а; г) = W(a\ r)\S (а; г) = {х € М | р (а, х) < г}.
Открытый шар U (а; е) называется также г-окрестностью точки а.
Отметим некоторые свойства окрестностей, которые нам понадо-
понадобятся в дальнейшем:
а) Каждая точка а принадлежит всем своим окрестностям.
В самом деле, если г > 0, то р (а, а) = 0 < г, и потому а б
€ U (а; г).
26

б) Пересечение любых двух окрестнос-
окрестностей точки а содержит окрестность этой
точки.
В самом деле, если rx ^ г2, то
U (а; гг) П U (а; г2) = ?/ (а; гх).
в) ?а/ш х € U (а\ г), то у точки х есть
окрестность, целиком принадлежащая
U (а; г).
В самом деле, пусть р (а, л:) = d. Так
как х € U (а\ г), то d < г и потому б = Рис- 7
= г — d > 0. Пусть у ? ?/ (х; б). Тогда в
силу аксиомы треугольника имеем (рис. 7):
Р (а, У) < Р (а, х) + 9 (х, у) < d + б = d + (г - d) = г
и потому у ? U (а\ г). Значит, U (х\ б) си V (а; г).
г) Любые две различные точки из метрического пространства М
имеют непересекающиеся окрестности.
Пусть a, b ? Му а Ф Ь, р (а, Ь) = г. Покажем, что, например,
окрестности U (а; е) и U (Ь\ е), где е = —, не пересекаются. Дей-
з
ствительно, пусть эти окрестности имеют общую точку х. Тогда
р (а, х) < е, р (ft, х) < г и потому р (а, Ь) < р (а, х) + р (ft, x) <
< 2е = — < г, что противоречит условию.
о
Множество F из метрического пространства М (в частности,
само пространство М) называется ограниченным, если в М суще-
существует открытый шар, содержащий это множество.
Нетрудно проверить, что данное определение равносильно сле-
следующему: множество F из метрического пространства М называ-
называется ограниченным, если существует такое положительное число К,
что р (х, у) < К для всех х и у из F.
Одно и то же множество F, рассматриваемое с одной метрикой,
может оказаться ограниченным, а с другой — неограниченным.
Например, множество натуральных чисел с метрикой примера 5.5,
очевидно, неограниченно, а с метрикой примера 5.6 ограниченно,
так как в этом случае р A, п) = + 1 < 2 при любом п Ф 1,
1 +п
т. е. при такой метрике все натуральные числа принадлежат от-
открытому шару с центром в точке 1 и радиусом 2.
Обобщением неравенства треугольника в метрическом простран-
пространстве М является «неравенство многоугольника»:
Р (*1. Хп) < Р (*3> *2> + Р (*2. *з) + ... + Р (*„_!, Хп)9 E.1)
где хъ ..., хп — произвольные точки из М, которое доказывается по
индукции. Из него следует, что для любых точек х, у, г, и имеем:
Р (х, г)< р (х, у) + р (у, и) + р (и, г),
Р (У, и)< Р (у, х) + р (х, г) + р (z, и).
27

Вычтя из обеих частейпервого неравенства р (у, и), а второго р (*, г),
получим систему двух неравенств, равносильную следующему нера-
неравенству:
|р (*, z) — р (у, и)| < р (xf у) + р (г, а). E.2)
Это неравенство называют «неравенством четырехугольника». В слу-
случае плоскости оно означает, что модуль разности двух несмеж-
несмежных сторон четырехугольника не превосходит суммы двух других
сторон.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение метрического пространства. Приведите примеры мет-
метрических пространств. Задайте какую-нибудь метрику на прямой, отличную от
евклидовой.
2. Что представляет собой множество 5 (а; г) (J U (а; г)?
3. Являются ли пространства примеров 5.5 и 5.6 подпространствами евкли-
евклидовой прямой?
4. Является ли ограниченным метрическое пространство L из примера 5.4?
Докажите равносильность двух определений ограниченности множества.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 2. № 4—7, 10, 12—14, 20, 34-36, 38; § 4. № 57—61.
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Норма и метрика. Во многих вопросах современной матема-
математики используются линейные (векторные) пространства. Для
целей анализа важно, чтобы такое пространство обладало метрикой.
Метрику в линейных пространствах обычно вводят, задавая для
каждого их элемента норму, т. е. число, обладающее свойствами
длины вектора.
Пусть L — некоторое линейное пространство1 над полем дейст-
действительных чисел R (или комплексных чисел С). Назовем нормой
на L числовую функцию х->||*||, которая при любых *, у € L
и HR (или X 6 С) удовлетворяет следующим условиям (аксиомы
нормы):
1) ||л:|| >0; ||л:|| = 0 «=> х = 0 (9 — нуль пространства!);
2) || \\ ||||
3)
Линейное пространство с введенной на нем нормой называется
линейным нормированным пространством2.
1 Определение и свойства линейных пространств предполагаются известными
из курса «Алгебра и теория чисел».
2 Систематическое исследование нормированных пространств было проведе-
проведено в начале 20-х годов текущего столетия польским математиком Стефаном
Банахом A892—1945) и американским математиком Норбертом Ви-
Винером A894—1964). Они нашли многочисленные приложения построенной
теории к различным проблемам математического анализа.
28

Теорема 6.1. В каждом нормированном пространстве формула
Р(*.У) = II*-У II F.1)
задает метрику.
Доказательство. Проверим выполнение аксиом метри-
метрики для функции р. По определению и первой аксиоме нормы р (я, у) =
= 11* — У II ^ 0- Если х = у, то по свойствам линейных про-
пространств х — у = Э, а потому р (х, у) = || 01| = О в силу первой
аксиомы нормы. Пусть, наоборот, р (х, у) = 0. Это означает, что
II*—yll = 0- Но тогда по первой аксиоме нормы х — у = 6 или
х = у. Итак, аксиома неотрицательности и тождества выпол-
выполняется.
В линейном пространстве справедливо равенство х — у= (—1)х
Х(у — х). Поэтому в силу второй аксиомы нормы имеем:
= ||У — *Н = Р(У, *)•
Таким образом, выполняется и аксиома симметрии.
В силу третьей аксиомы нормы
Р (*, У) = II * - У II = II (_* - z) + (z - у) ||< \\х - z || +
Следовательно, аксиома треугольника также выполняется. Щ
Говоря о метрике линейного нормированного пространства, всег-
всегда подразумевают, что она задается формулой F.1).
Отметим следующие очевидные свойства метрики, задаваемой
нормой:
а) р @, х) = || л: ||, т. е. ||х|| —это расстояние элемента х от
нуля пространства;
б) р (х + а, у + а) = р (х, у) (расстояния между точками не
изменяются при «параллельном переносе»)]
в) р (Ъс, Ку) = | X | р (х, у) (расстояния между точками умножа-
умножаются на \Х\ при «гомотетии с коэффициентом X»).
Нетрудно показать и обратное: любая метрика в линейном про-
пространстве, обладающая свойствами а)—в), задает норму в этом
пространстве, определяемую равенством
ll*li = p(*,e).
2. Примеры линейных нормированных пространств
Пример 6.1. Множество R* кортежей длины /г, составлен-
составленных из действительных чисел, является линейным пространством
(п-мерное арифметическое пространство) относительно операций
(а19 ..., ап) + (&i, ..., Ьп) = (аг + Ьъ ..., ап + Ьп),
Назовем нормой элемента а = (аъ ..., ап) число
п
1|а|| = 2 1о*1-
29

Легко проверить, что все аксиомы нормы
выполняются; пространство Rn с такой
нормой обозначается через R'/. Расстояние
между элементами а = (аи ..., ап) и 6 =
=(&!, ..., fen) определяется, согласно форму-
формуле F.1), так:
Рис. 8
Рис. 9
При л = 2 эта формула задает своеоб-
своеобразную метрику на плоскости: расстояние
между точками (хх\ ух) и (х2\ у г) равно
\хг — Х2 \+ \уг — Уч |.
Такой способ измерения расстояния
естествен, например, с точки зрения так-
таксиста, работающего в городе с идеальной
планировкой, где каждая улица парал-
параллельна одной из двух взаимно перпенди-
перпендикулярных прямых.
Открытый шар с центром в точке (а; Ь)
и радиусом г на плоскости с такой метри-
метрикой задается неравенством
\х — а\+\у — Ь\<г,
а сфера (рис. 8) — уравнением:
\х — а\+ \у-Ь\ = г.
Пример 6.2. В линейном простран-
пространстве R" можно ввести норму и иначе:
F.2)
= max|afl
\<i<n
Пространство R" с такой нормой обозначается через R2o. Рас-
Расстояние между элементами а и Ь в R^o определяется так:
р (а, Ь) = max | at — bt |.
\<i<n
Эта метрика возникает, например, в следующей ситуации. Пусть
а = (аъ ..., ап) — набор значений каких-то п показателей. Иногда
по смыслу задачи целесообразно оценивать отклонение данного на-
набора показателей от стандартного набора b = (bl9 ..., Ьп) по макси-
максимальному из отклонений отдельных показателей, т. е. по формуле
F.2).
Открытый шар с центром в точке (а; Ь) и радиусом г на плоско-
плоскости с такой метрикой задается условием
max {\х — а\, \у — Ъ |} < г,
а сфера (рис. 9) — условием
max {\х — а\, \у — Ь\) = г.
30

Пример 6.3. Естественными обобщениями построенных выше
пространств Ri и R? являются описываемые ниже пространства
R~, RS, RZ и Ri°, элементами которых являются бесконечные чис-
числовые последовательности.
Пространство R^ состоит из всех ограниченных последователь-
последовательностей а = (аъ ..., ап, ...) с нормой (проверку выполнимости аксиом
нормы предоставляем читателю):
|| а || = sup I ал|;
R~ — подпространство пространства R™, состоящее из сходящих-
ся последовательностей; Roo — подпространство, состоящее из
последовательностей, сходящихся к нулю (бесконечно малых по-
следовательностей). Очевидно, что R~ си R^ cz RS.
Пространство RT состоит из таких последовательностей а =
= (аъ ..., апу ...), что ряд S \ап \ сходится. Норма в
равенством
задается
п=\
Очевидно, что любая последовательность из Rf принадлежит R^.
Элементы пространств Ri, R" — кортежи длины п — можно
рассматривать как числовые функции, заданные на множестве N^ =
= {1, 2, ..., п). Точно так же числовые последовательности, из
которых состоят пространства R~, R~, RS, Rf, являются числовыми
функциями на множестве N натуральных чисел. Дальнейшие при-
примеры линейных нормированных пространств строятся из числовых
функций, заданных на отрезке или на ином числовом множестве.
Пример 6.4. Рассмотрим множество функций, определен-
определенных и непрерывных на отрезке \р,\ 61. Из-
Известно, что это множество образует линей-
линейное пространство относительно обычных
операций сложения функций и умноже-
умножения функции на число. Покажем, что в
этом пространстве нормой функции /
можно назвать наибольшее значение
(рис. 10) функции |/| на отрезке [а; 61.
Действительно, так как все значения
функции |/| неотрицательны, то и наи-
наибольшее из них неотрицательно, т. ес
Пусть / = 6, т. е. / (х) = 0 при х ё
vt 61. Тогда и наибольшее значение функ-
У
а
(Л
7
/
/
=
3
1
1
1
i
А Ь
X
Рис. 10
31

ции |/| на [a; b] равно нулю, или ||6|| = 0.
Наоборот, если Ц/11 = 0, т.е. наибольшее
значение |/| равно нулю, то и / (х) = 0 при
любом х из [а\ Ь) и, следовательно,
Первая аксиома нормы выполняется.
Поскольку при любом х (: [а\ b]
е.
то и
•max|/(*)|,
a<x<b
вторая аксиома
a<x<b
т. е. ||Я/||=|Х|
нормы выполняется.
Для проверки выполнения третьей ак-
аксиомы нормы заметим, что
Рис. И
а потому и || fx+ f21| = max | fx (х) + f2 (х) | < || /х || + || /2II-
а<х<Ъ
Построенное здесь нормированное пространство обозначают
С [а\ Ь]. Согласно F.1), в С [а; Ь] можно ввести метрику (рис. 11):
Р (/> ф) = max I / (х) — Ф (х) |. F.3)
а<х<Ь
Такое понимание расстояния между функциями нашло широкое
применение, в частности, в исследованиях по теории приближения
функций многочленами, выполненных П. Л. Чебышевым1. Поэто-
Поэтому рассматриваемую метрику называют чебышевской.
Открытый шар U (/; г) в С [а\ Ь] состоит из всех непрерывных
на отрезке [а; Ь] функций, графики которых лежат в открытой по-
полосе, ограниченной графиками функций х -> / (х) + г и х -* / (х) —г.
Пример 6.5. В том же линейном про-
пространстве функций, непрерывных на отрез-
отрезке [а; Ь]9 можно ввести норму и по формуле
11/11= \\f(x)\dx.
а 0
И/11
Рис. 12
Геометрически ||/|| означает (рис. 12) пло-
площадь фигуры, заключенной между осью
абсцисс, кривой у = / (х) и прямыми х =
= а, х = Ь.
Данное нормированное пространство
обозначается через Сг [а\ Ь]. Расстояние в
1Пафнутий Львович Чебышев
A821—1894) — крупнейший русский математик, ос-
основоположник знаменитой Петербургской математи-
математической школы. Ему принадлежат фУнДаментальные
результаты в теории функций, теории вероятностей
и теории чисел.
32

этом пространстве вычисляется по формуле
Р(Л Ф) =
и равно площади фигуры, ограниченной линиями у = / (х), у =
= ф (а:), х = а, а: = 6.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение линейного пространства. Какой элемент линейного
пространства называется нулем (или нейтральным)?
2. Дайте определение нормы и линейного нормированного пространства.
3. Какое из понятий является более общим: «метрическое пространство»
или «линейное нормированное пространство»?
4. По каким формулам определяется норма в пространствах R{ и R^? Задай-
Задайте какую-нибудь другую норму на прямой.
5. Какую фигуру на координатной плоскости покрывают графики функций,
принадлежащих замкнутому шару U (/; г) в С [а; Ь], если / (х) = х?
УПРАЖНЕНИЯ
§ 3. № 3-6, 35—36, 39—43, 56, 60.
§ 7. ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение предгильбертова пространства. В системе акси-
аксиом евклидовой геометрии, принятой в настоящее время в школе,
расстояние является первичным понятием. Другой широко извест-
известной1 системой аксиом евклидовой геометрии является аксиоматика
Вейля. В ней длина вектора (а следовательно, и расстояние между
точками) вводится через понятие скалярного произведения с по-
помощью формулы \х | = V (х9 х). Такой способ введения нормы (а
следовательно, и метрики) удобен и в некоторых других линейных
пространствах.
Говорят, что в линейном пространстве L (над полем действи-
действительных чисел) определено скалярное произведение, если каждой
паре элементов (векторов) х и у из L поставлено в соответствие дей-
действительное число (х, у), причем для всех х, у, z из L и любого X
из R выполняются следующие условия {аксиомы скалярного про*
изведения):
1) (х, У) = (У, х)\
2) (х + у, г) = (х, г) + (у, г);
3) (Кх, у) - X (х, у);
4) (#, х) > 0; (*, х) = 0 <=> х = 0.
1 См.: БазылевВ. Т., Д у н и ч е в К. И., И в а н и ц к а я В. П.
Геометрия, ч. 1. М., 1974.
33

Линейное пространство с введенным на нем скалярным произве-
произведением называется предгильбертовым пространством1.
Теорема 7.1. В предгильбертовом пространстве для любых
элементов х и у справедливо неравенство
). G.1)
Доказательство. Пусть х, у — произвольные, но фик-
фиксированные элементы пространства L, а К — любое действительное
число. Рассмотрим функцию
Ф(А,) = (Хх — уЛх — у).
Согласно четвертой аксиоме скалярного произведения ср (X) ^ 0.
С другой стороны, с помощью второй и третьей аксиом находим, что
Ф (X) = (*, х)К2 - 2 (х, у)Х + (у, у),
т. е. функция ф является квадратным трехчленом. Этот трехчлен
не может иметь различных действительных корней, так как в про-
противном случае он не мог бы иметь одного и того же знака для всех
значений К. Поэтому его дискриминант (х, уJ — (х, х) (у, у) не
может быть положительным. Следовательно,
(*. УJ < (х, *) • (у, у).
Извлекая квадратный корень, получаем требуемое неравен-
неравенство. ¦
Неравенство 7.1 называют неравенством Коши — Буняковского2.
Теорема 7.2. В предгильбертовом пространстве формула
11*11 =К(*Г*) G.2)
задает норму.
Доказательство. Выполнение первых двух аксиом
нормы для ||*|| очевидно, а третья следует из неравенства Коши —
Буняковского. Действительно,
II* + У II2 = (* + У, * + У) = & *) + 2 (х, у) + (у, у) <
<II*II2 + 2|U|| • ||у|| + ||у||2 = A1*11+ ||у||J,
и потому ||* + у||<1И1 + ||у||. ¦
Используя норму, неравенство Коши — Буняковского можно
переписать в более компактном виде:
1(*,уI<11*11- НуII.
1 В отличие от гильбертова пространства, которое является его част-
частным случаем и с которым мы познакомимся позднее (см. § 13). Эти пространства
связаны с именем Гильберта потому, что им была построена в начале XX в. тео-
теория бесконечномерных линейных пространств со скалярным произведением. Обоб-
Обобщение этой теории привело к созданию теории линейных нормированных про-
пространств.
2 Огюстен Коши A789—1857) — крупнейший французский матема-
математик первой половины XIX в., один из основоположников математического ана-
анализа.
Виктор Яковлевич Буняковский A804—1889) — русский
академик. Занимался вопросами теории чисел, математического анализа, теории
вероятностей, а также прикладной математикой. Написанные им различные учеб-
учебные руководства оказали большое влияние на развитие математики в России.
34

2. Примеры предгильбертовых пространств.
Пример 7.1. Рассмотрим n-мерное арифметическое про-
пространство R" и для произвольных элементов а = (alt ..., an)t b =*
= (Ьц ..., bn) положим
(а, b) - ?, at hi.
Легко проверить, что (а> b) обладает всеми свойствами скаляр-
скалярного произведения. Поэтому согласно теореме 7.2 формула
определяет норму на R", а формула
р(о, 6) = 1/ У (at -btf
задает метрику на R*.
Определенное таким образом нормированное пространство обо-
обозначается R3, это — n-мерное евклидово пространство.
Замечание. Метрики пространств R?, R'i Ri при п = 1,
т. е. в случае прямой, совпадают. Поэтому при п = 1 любое из
этих пространств мы будем обозначать просто буквой R.
Пример 7.2. Обобщая пример 7.1, рассмотрим множество Р, состоящее
из бесконечных числовых последовательностей х = (х1у ..., хп, ...) таких,
оо
что ряд 2*а сходится. Множество Р, вместе с каждой последовательностью х
оо
содержит и последовательность Хх, так как из сходимости ряда 2-*>г вытекает
п=\
со
сходимость ряда 2^2j$
Далее, предположим, что у= (у1э..., ул, ...) — другой элемент множества
со
Р. Тогда ряд 2уп сходится. Так как, очевидно,
при любом п, то по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами ряд
со
2 (*п + УпJ сходится, т. е. х + у ? Р.
п=1
Итак, множество Р вместе с любыми двумя последовательностями х и у со-
содержит последовательность Хх + jiy. Значит, Р — линейное пространство.
1 °°
Так как | хпуп\ < — (х% + у%) при любом п, то ряд 2 хпУп абсолютно схо-
г n=l
35

дится. Назовем сумму этого ряда скалярным произведением элементов х и у:
оо
(х у) = ^~
\Л> У)
/г=1
Не составляет труда проверить, что {ху у) удовлетворяет всем аксиомам скаляр-
скалярного произведения. Определенное таким образом предгильбертово пространство
обозначают R^°« В этом пространстве
Н*Н =
V
Пример 7.3. В линейном пространстве действительных функ-
функций, непрерывных на отрезке [а; ?>], положим
(/, Ф) = J7 (х) Ф
Из свойств определенного интеграла следует, что (/, ср) удов-
удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Поэтому на
указанном множестве функций можно еще одним способом (сравните
с примерами 6.5 и 6.4) ввести норму:
Возникающее при этом нормированное пространство обозна-
обозначается так: С2 \а\ Ь]. Расстояние в нем вычисляется по формуле
Такое расстояние р (/, ф) иногда называют среднеквадратичным
уклонением функции / от функции ср.
Уже сейчас можно видеть, насколько полезно рассмотрение аб-
абстрактных метрических пространств. Применим теорему 7.1 к конк-
конкретным метрическим пространствам R2, R?\ C2 [a\ b]. Вспомнив
формулы для скалярного произведения в этих пространствах,
получаем, что для любых действительных чисел
\а1Ь1 + ... + ап Ьп |< |/а2+...+а2. |/ Ь\ + ... + Ь*;
l«ifti + - + ап Ьп + ... I <]/а*+...+а*+... • 1/Ь?+...+^+...
(известные неравенства Коши) и для любых непрерывных на [a; fc]
функций
36

Г ь
l/ f/8(*)<**" 1/
fa г
(известное неравенство Буняковскоео).
Таким образом, нет необходимости проводить доказательства
каждого из этих неравенств отдельно. «Чтобы избежать доказатель-
доказательства теоремы в каждой отдельной области, — писал Банах, — что
было бы неоправданной тратой времени, я выбрал путь, который
состоит в следующем. В общем виде я рассматриваю множество эле-
элементов; для этих элементов я постулирую определенные свойства,
из которых вывожу теоремы, и затем доказываю, что для каждой
отдельной области математики принятые постулаты справедливы».1
3. Геометрия предгильбертовых пространств. Существование
скалярного произведения в предгильбертовых пространствах по-
позволяет определить в таких пространствах ряд геометрических
понятий, аналогичных тем, которые встречаются в элементарной
геометрии.
Среди них особенно важно понятие ортогональности векторов.
Как известно, в евклидовом пространстве два вектора а и b орто-
ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Это пред-
предложение принимают в предгильбертовых пространствах за опреде-
определение ортогональности: два вектора а и Ъ предгильбертова про-
пространства L называются ортогональными, если (а, Ь) = 0. Так,
например, функции а (х) = cos х и Ь (л:) = sin x ортогональны в
пространстве С2 [0; 2я], так как
(a, b) = f cos х sin x dx = 0.
о
В геометрии ортогональность векторов а и Ь означает, что угол
между ними равен —. Определим общее понятие угла между век-
векторами а и Ь предгильбертова пространства.
Известно, что в трехмерном евклидовом пространстве угол ф
между любыми двумя векторами удовлетворяет соотношению
cos ср =
g> b) @ < Ф < jt). G.3)
Определим этой формулой и угол ф между векторами а и Ь
предгильбертова пространства L. Такой угол заведомо существу-
существует, так как по неравенству Коши — Буняковского
(в, Ь)
а потому найдется такое ф, что 0 ^ ф ^ я, и выполняется G.3).
1 См. У. Сойер. Путь в современную математику. М., 1972, с. 223.
37

На предгильбертовы пространства переносятся также некото-
некоторые теоремы элементарной геометрии (теорема Пифагора и т. п.)
4. Предгильбертовы пространства над полем комплексных чисел.
Скалярное произведение рассматривают и в линейных про-
пространствах над полем комплексных чисел С. Для них скалярное
произведение может принимать комплексные значения; при этом
требуют, чтобы оно удовлетворяло приведенным выше аксиомам
2—4, а вместо первой аксиомы выполнялось условие: (х> у) = (у, х).
Например, в линейном пространствеС", элементами которого
служат кортежи длины п из комплексных чисел, можно следующим
образом ввести скалярное произведение элементов а ~ (аи ..., ап)
и Ь = (&1э ..., Ьп):
(а, Ь) = аА + ... + ап\.
Норма элемента а = {аъ ..., ап) находится в этом пространстве
по формуле
... + ап ап = V\<h\* + - + К I2-
||а || =
Очевидно, что|[а|| ^ 0, причем||а||= 0 лишьеслиах= ... = ал = 0.
В пространстве непрерывных комплекснозначных функций ска-
скалярное произведение определяется формулой
(/, Ф) =
Неравенство Коши — Буняковского истинно й в предгильбер-
предгильбертовых пространствах над С.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Перечислите аксиомы скалярного произведения.
2. Частным случаем какого понятия является понятие предгильбертова про-
пространства?
3. Что такое двумерное предгильбертово пространство?
4. Как задается в предгильбертовом пространстве норма? Как задается в
нем метрика?
5. Какие векторы предгильбертова пространства называются ортогональ-
ортогональными?
6. Почему косинус угла в предгильбертовом пространстве по модулю не пре-
превосходит числа 1?
7. Запишите частные случаи неравенства Коши — Буняковского.
8. Запишите формулу для нормы вектора в пространствах Rg, R^° , C2[a; b].
9. Запишите формулу для косинуса угла в пространствахRg, R^°, C2[a; b].
10. Из каких элементов состоят единичные шары с центром в нуле для про-
пространств R2» R?\ C2 [а; Ь]?
УПРАЖНЕНИЯ
§ 3. № 16—17, 19—20, 29—31, 44—46, 61—62.
38

Таблица основных линейных нормированных пространств
3
нор
для
2
О.
•§-
S
Л)
1
ж
О
Э л
Кортежи из п действи-
действительных чисел
x=(xt, ...; х )
п
г
' ^
R"
н*н=2
|| х || = max
i
xi
ементы простран
Бесконечные последователь-
последовательности из действительных чи-
чисел
х = (xlt ... , хп, ...)
/ oo
/ ^Г^ о
|| y \\ - ~Щ / ^^ у
V t=i
oo
V 2
х такие, что ряд > xi
t=l
сходится
Ri"
oo
ux"-?\xi\
oo
x такие, что ряд ^ xt- |
сходится
poo
Koo
i
x — ограниченные после
довательности
с т в а
Функции, непрерывные на
отрезке [а; Ь]
х — Xif\
С2 [а; Ь]
1*11=1/ \x4t)dt
С, [а; Ь]
ь
11*11 =J МОИ
а
С[а; Ь]
|| х || = max I* @1
а < t <Ь
§ 8. СХОДИМОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Предел последовательности. Перейдем теперь к определению
основных понятий математического анализа в метрических прост*
ранствах. Первым из них будет понятие сходимости последовав
тельности точек метрического пространства. Так как определение
предела числовой последовательности опирается лишь на понятие
расстояния, то оно может быть дословно перенесено в произвольное
метрическое пространство»
Точка а метрического пространна М называется пределом
последовательности точек (хп) из пространства М, если для
39

любого положительного числа е можно указать такой номер N, что
при всех п > N выполняется неравенство
р (хп , а) < е.
При этом пишут хп-+ а или lim хп = а и говорят, что последова-
П-»-00
тельность (хп) сходится к точке а (по метрике пространства М).
Если последовательность (хп) не сходится ни к какому элементу
из М, ее называют расходящейся.
Определение предела в произвольном метрическом, простран-
пространстве можно, очевидно, свести к понятию предела числовой после-
последовательности: точка а 6 М называется пределом последовательно-
последовательности точек (хп) из М, если числовая последовательность р (а, хп)
стремится к нулю при п -> сю, lim р (а, хп) = 0.
П-юо
Неравенство р {хп, а) < е означает, что хп находится в е-окре-
стности точки а. Поэтому можно дать и «геометрическое» определе-
определение предела.
Точка а называется пределом последовательности точек (хп),
если любая окрестность точки а содержит все точки данной после-
последовательности, начиная с некоторой.
Поскольку элементами метрического пространства могут быть и
числа, и числовые кортежи, и точки геометрического пространства,
и линии, и функции, то данное выше определение имеет весьма ши-
широкую область применения.
Пример 8.1. Последовательность функций хп (t) = tn сходится в про-
пространстве Сх [0; 1] к функции 0 (/) = 0.
В самом деле, в этом пространстве
а значит, р (хп, 9) ->- 0 при п ->¦ оо.
Эта же последовательность функций в пространстве С [0; 1] не сходится к
функции 0, поскольку в этом случае
р(хп, 9) = maxtn= 1.
о < t < 1
В конечномерном линейном нормированном пространстве наря-
наряду со сходимостью по норме удобно рассматривать еще так называ-
называемую покоординатную сходимость. Пусть xfk> =(*f\ ..., x[f;),
k 6 N, последовательность точек из /z-мерного пространства Ln .
Будем говорить, что последовательность (х^) сходится покоорди-
покоординатно к точке х — {хъ ..., хп) из Ln , если каждая числовая последо-
последовательность (x\k)) сходится при ft-voo к числу xl(i=l, ..., п).
Докажем, что в любом конечномерном линейном нормированном
пространстве Ln из покоординатной сходимости последователь-
последовательности (x(k>) к х вытекает, что (x(k>) сходится к х по норме.
40

В самом деле, х№ = V xret , х = ^xfi , где (е1У ..., еп) — не-
некоторый базис пространства Z/1. Поэтому
И*'-*|'Н*Н|.
i =1
Отсюда видно, что если x(ik) -> xt при Л->оо (/ =з 1, ..., п), то
р (*W, л:) -v 0 при & -> оо, т. е. (д^) сходится к х по норме.
Справедливо и обратное утверждение: если последовательность
элементов (x(k>) конечномерного линейного нормированного простран-
пространства Ln сходится к элементу х по норме, то она сходится к х и по-
покоординатно.
В общем случае это утверждение доказывается непросто. Дока-
Докажем его для пространства R". Так как в этом пространстве
_ х
то | x{it)—xl | < || x{k)— х\\ при любом /, а потому из того, что
lim || х(к) — х || = 0, вытекает, что lim *<*>=« хг .
Аналогично проводится доказательство и для пространств R?
и Rn..
Две метрики на множестве М называются эквивалентными, ес-
если из того, что lim x{k) =* x по одной из них, вытекает, что то же
Л-+оо
равенство справедливо и для другой. Так как в R" любая из норм
задает сходимость, равносильную покоординатной сходимости, то
все нормы в пространстве Rn задают эквивалентные друг другу
метрики.
Пример 8.2. В пространстве R^° также наряду со сходимостью по метри-
метрике можно рассматривать и покоординатную сходимость. И в этом случае сходи-
сходимость последовательности (х№)), *(?) = (х^\ ..., х?\ ...) к точке а — (alt ...#
ап,...) по метрике влечет за собой покоординатную сходимость: lim x^ = ап,
/г->оо
п 6 N. Обратное, однако, неверно—последовательность элементов из R^° может
сходиться к а покоординатно, но не сходиться к а по метрике. Например, поло-
положим *(*) = (xf\ ..., xfi\ ...), где х\к) = 0 при i Фк и x{kk) = 1. Тогда для каж-
каждого фиксированного i имеем: lim x^k) = 0, так как только одно из чисел этой по-
/г-*оо
следовательности отлично от нуля, а именно х^1?\ Но эта последовательность не
сходится к элементу Э = @,..., О,...) по метрике пространства R^, так как
41

и р (x(k), 0) не стремится к нулю при k ->¦ оо.
Поскольку метрики в пространствах С [а; Ь]> Сг la; b]9 C2 la; b]
различны, то можно говорить о разных видах сходимости последо-
последовательностей функций.
Пусть последовательность функций из пространства С [а; Ь]
сходится в этом пространстве к функции /. Это значит, что И m p (fn , /)=
== 0, где
а<х<Ь
Но тогда для любого е > 0 найдется такое N, что при п > N для
всех х 6 [а; Ь] выполняется неравенство \fn(x) — f (x)\ < е.
Это значит, что последовательность (fn) равномерно сходится на
la; b] к /.
Обратно, если последовательность (fn) функций, непрерывных
на отрезке [а; Ы, равномерно сходится на la; b] к /, то, как известно,
функция / тоже непрерывна на [а; &], т. е. / 6 С la; b]. При этом,
в силу определения равномерной сходимости, lim p (fn , /) = О,
я-юо
т. е. (/„) сходится к / по метрике С la; Ь].
Итак, сходимость по метрике пространства С la;*b] равносиль-
равносильна равномерной сходимости.
2. Свойства сходящихся последовательностей. Сходящиеся по-
последовательности произвольного метрического пространства обла-
обладают привычными свойствами сходящихся числовых последова-
последовательностей.
Теорема 8.1. Никакая последовательность точек метрического
пространства не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что в некотором мет-
метрическом пространстве имеется последовательность (хп), имеющая
два предела: а и b, a =?&. Тогда lim p (a, xn) = lim p (ft, хп) = 0.
п-*оо л-»оо
Кроме того, в силу аксиом метрики
О < р (а, Ь) < р (а, хп) + р F, хп).
Переходя в этом числовом неравенстве к пределу, получаем:
р (а, Ь) = 0, что противоречит аксиоме тождества, поскольку
Теорема 8.2. Если последовательность точек метрического про-
пространства имеет предел, то и любая ее подпоследовательность име-
имеет тот же предел.
42

Доказательство такое же, как и в случае числовых
последовательностей. ¦
Теорема 8.3. Всякая сходящаяся последовательность точек (хп)
метрического пространства М ограничена.
Доказательство. Пусть lim xn = а. Тогда найдется
такое N, что р (а, хп) < 1 при п > N. Обозначим через г наиболь-
наибольшее из чисел 1, р (a, *i), ..., р (а, хи). Все точки рассматриваемой
последовательности принадлежат замкнутому шару радиуса г
с центром в точке а. Это и означает, что последовательность ограни-
ограничена. ¦
Теорема 8.4. Если последовательности (хп) и (уп) из метриче-
метрического пространства сходятся, то
HmyJ. (8.1)
Доказательство. В силу неравенства E.2) имеем:
п> У)-
Переходя в этом соотношении к пределу, получаем (8.1). И
В линейных нормированных пространствах, где определены
операции сложения элементов и умножения элементов на число,
справедливы такие теоремы*.
Теорема 8.5. Если в линейном нормированном пространстве по-
следовательности (хп) и (уп) сходятся, то и последовательность
(хп + Уп) сходится, причем
lim (хп + уп) - lim xn + lim yn. (8.2)
П-+ОО
Доказательство. Пусть хп -^ а, уп -> Ь. Тогда
О < \\(а + Ь)- (хп + уп)\\ = \\(а - хп) + (Ь - уп)\\ <
<Ц||||&||
Переходя в этом неравенстве к пределу, получим (8.2.)И
Теорема 8.6. Если числовая последовательность (Кп) сходится к
числу X, а последовательность (хп) из линейного нормированного
пространства L сходится ка? L, то последовательность (Кп хп) схо-
сходится в L к элементу Ка.
Доказательство вытекает из соотношения
0<||Хяхя-Ла|| = ||Лд(хя-а) + (^-А,)а||<|Хя|.||а-хя|| +
+ \К-Ц-\\ Ш
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение сходящейся последовательности точек метрического
пространства.
2. Дайте определение сходящейся последовательности точек линейного нор-
нормированного пространства.
43

3. Какое линейное пространство называется ко-
конечномерным? Что называется базисом такого прост-
пространства? Что такое «координаты вектора»? Укажите
базис в пространстве R7*, дайте определение покоор-
покоординатной сходимости в конечномерном линейном
пространстве.
4. Укажите какую-нибудь расходящуюся после-
последовательность точек из пространства Rj\ Может ли
эта последовательность сходиться к какой-нибудь
точке покоординатно?
5. Проведите доказательство соотношения (8.2).
6. Почему не имеет смысла говорить о справедли-
справедливости теоремы 8.5 в произвольном метрическом
пространстве?
УПРАЖНЕНИЯ
§ 5. № 3, 7, 9—14, 22, 23—26, 32.
§ 9. ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
1. Внешние, внутренние и граничные точки. На рисунке 13 изо-
изображено подмножество Е плоскости Rl. Все точки плоскости де-
делятся по отношению к этому множеству на три класса — внутрен-
внутренние (например, точка а), внешние (например, точка Ь) и граничные
(например, точка с). Такую же классификацию можно ввести для
точек любого метрического пространства по отношению к любому
подмножеству этого пространства. Приведем соответствующие опре-
определения.
Пусть М — метрическое пространство, Е — какое-либо его
подмножество. Точка а? М называется внутренней для множества Е,
если у нее существует окрестность, целиком состоящая из точек
множества Е.
Точка Ь 6 М называется внешней для множества Е, если у нее
существует окрестность, не содержащая ни одной точки из Е.
Точка с 6 М называется граничной для множества Е, если в
каждой ее окрестности имеются как точки, принадлежащие мно-
множеству Е, так и точки, не принадлежащие ему. Множество всех
граничных точек для Е называется границей Е и обозначается дЕ.
Как следует из этих определений, любая точка а 6 М является
для данного множества Е либо внутренней, либо внешней, либо гра-
граничной, причем каждая из этих возможностей исключает две осталь^
ные. Ясно также, что множество Е содержит все свои внутренние
точки и не содержит внешних точек; граничные точки могут как
принадлежать, так и не принадлежать этому множеству.
Следует иметь в виду, что внутренняя точка множества Е мо-
может оказаться граничной, если заменить метрическое пространство
М другим пространством, содержащим Е. Например, любая точка
множества Е = R является внутренней относительно R. Но если
рассматривать Е = R как часть плоскости, то все точки из Е ока-
44

жутся граничными, так как в любой их
окрестности, наряду с точками из Е, име-
имеются точки, не принадлежащие Е (рис. 14).
Но если Е cz М а Мх и а — граничная
точка для Е в М, то она будет граничной
для Е и в Мг. В самом деле, по условию в
любой окрестности точки а в М есть точки
из ? и точки из М \ Е, г тогда тем более
в любой окрестности этой же точки в Мх
найдутся как точки из Е> так и точки из
Мг\Е.
Рис. 14
Пример 9.1. Верхняя и нижняя грани ог-
ограниченного множества Е из R являются граничными точками этого множества.
Действительно, пусть р = sup E. Согласно известному свойству верхней
грани, для любого е > 0 можно указать такое число х 6 Е, что
р — е < х < р.
Отсюда ясно, что Е-окрестность точки Р содержит как точку х из ?, так и, напри-
о
мер, точку Р Н , не принадлежащую ?, а потому р является граничной точкой
для Е.
Аналогично проверяется, что и а — inf E — граничная точка для Е.
Пример 9.2. Все точки пространства R — граничные для множества Q.
Это следует из того, что в любой окрестности точки а 6 R имеются как рацио-
рациональные., так и иррациональные числа.
Пример 9.3. Пусть Е — множество функций пространства С [—1; 1]
таких, что f (х) < 1 при х 6 [—1; П. Покажем, что функция /0 (*) = 2х является
внешней «точкой» для множества Е.
Рассмотрим окрестность радиуее — функции /0 (рис. 15). Пусть /— произ-
произвольная функция из этой окрестности. Тогда
а значит,
— 1<*<1
Таким образом, ни один элемент из выбранной
окрестности не лринадлежит множеству Е, а по-
потому /о — внешняя «точка» для Е.
Пример 9.4. Границей открытого шара
U (а\ г) в линейном нормированном пространстве L
является сфера S (а; г).
Доказательство предоставляем провести чита-
читателю.
Теорема 9.1. Граница множества в
метрическом пространстве совпадает с
границей его дополнения до всего прост-
пространства.
У t
о/
22
2
; м
::"; f. :• i': t
7 )
~2
ПА
':': ¦:) Т
1)
' Е
1 X
Рис. 15
45

Доказательство. В определении граничной точки мно-
множества как само множество Е, так и его дополнение СЕ «равноправ-
«равноправны» — в любой окрестности этой точки должны быть и точки из Е,
и точки из СЕ. Отсюда и следует наше утверждение. ¦
Теорема 9.2. Пусть дана любая совокупность подмножеств
{Еа } метрического пространства М. Точка а, внутренняя хотя бы
для одного из этих подмножеств, является внутренней и для их
объединения Е = (J Еа . Если число подмножеств Еа конечно, то
точка, внешняя для каждого из Еа> является внешней и для Е.
Доказательство. Если а — внутренняя точка для Еа »
то у нее существует окрестность U, целиком состоящая из точек
множества Еа • Так как Еа cz Е, то U состоит целиком из точек
множества Е, и потому а является внутренней точкой и для Е.
Если а — внешняя точка для Е19 Е2, ..., Еп, то у нее сущест-
существуют окрестности Ul9 U2, ...» Un, не содержащие соответственно
точек из Еъ Еъ ..., Еп. Но тогда наименьшая из этих окрестностей
не содержит точек множеств Еъ Еъ ..,. Еп,т. е. не содержит ни
п
одной точки из Е = U Ек . Это и означает, что точка а является
внешней для ?. ¦
Теорема 9.3. Граница объединения двух множеств Е uF содер-
содержится в объединении границ этих множеств.
д(Е U F) адЕ (J dF. (9.1)
Доказательство. Пусть точка а из пространства М
не принадлежит ни границе множества Е, ни границе множества F.
Тогда а либо язляется внутренней хотя бы для одного из этих мно-
множеств, либо внешней для обоих множеств. Согласно теореме 9.2,
в первом случае она будет внутренней, а во втором — внешней
точкой для Е U F и потому не может быть граничной точкой для
Е U F.
Итак, если точка а не принадлежит дЕ [} dF, то она не может
принадлежать и д (Е [} F), а потому справедливо включение
(9.1). ¦
Замечание. Теорема 9.3, очевидно, справедлива для объе-
объединения любой конечной совокупности множеств. Однако она
перестает быть верной в случае объединения бесконечного семейства
множеств.
Действительно, рассмотрим, например, в R2 концентрические
круги Еп радиусов 1 (п 6 N). Их объединением является
л +1
открытый круг радиуса 1. Граница этого круга (окружность еди-
единичного радиуса) не является подмножеством объединения границ
Еп [окружностей радиусов 1 ].
\ л+1/
Теорема 9.4. Для любой граничной точки а множества Е су-
существует последовательность точек (хп)этого множества, сходя-
сходящаяся к а.
46

Доказательство. Так как а ? дЕ9 то в любой окрест-
окрестности а имеются точки из Е. В частности, в —окрестности точки
п
а можно найти точку из Е. Обозначим ее хп . Давая п значения
1, 2, 3, ..., получим последовательность хъ х2У х3, ..., точек из ?.
Поскольку р (хп , а) < —, то lim p (а, хп) = 0 и потому хп-+ а.Щ
П п-+ээ
Теорема 9.5. Предел а любой сходящейся последовательности
точек (хп) из множества Е является либо внутренней, либо гранич-
граничной точкой для Е.
Доказательство. Так как а = lim xn, то в любой ок-
рестности точки а, имеются точки последовательности {хп), т. е.
точки из Е. Значит, а не может быть внешней точкой для Е, что
и утверждается в теореме. ¦
2. Всюду плотные подмножества. Если Е—такая часть метри-
метрического пространства М, что в М нет ни одной точки, внешней
для Е, то говорят, что Е всюду плотно в М. Иными словами, Е
всюду плотно в М, если любая точка а из М является для Е внут-
внутренней или граничной, т. е. М = Е [} дЕ.
Поскольку в любой окрестности точки, граничной для ?, есть
точки из ?, можно сказать, что Е всюду плотно в М в том и только
том случае, когда в любой окрестности U {х\ г), где х ? М, г > О,
есть хоть одна точка из Е.
Пример 9.5. Множество рациональных чисел всюду плотно в R.
В самом деле, в примере 9.2 было показано, что все точки из R являются
граничными для Q.
Пример 9.6. Множество Е непрерывных кусочно-линейных функций на
отрезке [а\ Ь] всюду плотно в С [а; Ь] (функция называется кусочно-линейной на
[а\ Ь], если существует такое разбиение а = хо < ... < хп = b отрезка [а\ Ь],
что на каждом промежутке [х^', #?+J эта функция линейна).
В самом деле, для любой непрерывной функции / и любого е > 0 найдется
такое разбиение а = хо < ... < хп = Ь отрезка [а; Ь], что для всех k (k = 0,...
..., п— 1) выполняется неравенство: Mk—mk <e (здесь Mk— наибольшее,
a m/j — наименьшее значения функции / на отрезке [х^; х^+1\). Последовательно
соединяя отрезками точки (дг0; уо), ..., (хп, уп), где yk = f (xk) (k = 0, ..., /г),
получим график кусочно-линейной функции ф. Ясно, что | / (х) — (р (х)\ < 8 для
любого х 6 [а; Ь] и потому р (/, ф) < е, т. е. <р ? U (/; с). Это и значит, что Е всю-
всюду плотно в С [а; Ь].
Теорема 9.6. Часть Е метрического пространствам всюду
плотна в М в том и только том случае, когда для любой точки
а 6 М можно найти в Е последовательность (хп), сходящуюся к а.
Доказательство. Пусть Е всюду плотно в М. Точка
а ? М является для Е либо внутренней, либо граничной. Если
а — внутренняя, то в качестве искомой последовательности можно
взять (а, а, ..., а, ...). Если же а 6 дЕ, то искомая последователь-
последовательность существует в силу теоремы 9.4.
Обратно, если любая точка из М есть предел некоторой по-
последовательности из ?, то в силу теоремы 9.5 эта точка внутренняя
или граничная для Я. Поэтому Е всюду плотно в М.Щ
47

Теорема 9.7. Если F всюду плотно в Е, а Е всюду плотно в М,
то F всюду плотно в М.
Доказательство. Возьмем любую точку а 6 М и рас-
рассмотрим произвольную окрестность U {а\ г) этой точки. Так как
Е всюду плотно в М> то в U (а; г) найдется точка b из Е. Сущест-
Существует окрестность U (Ь\ гг) точки Ъ такая, что U (b\ r±) czU (а; г)
(см. с. 27). Так, как F всюду плотно в ?, то в окрестности U (Ь\ гг)
найдется точка с 6 F. Ясно, что с 6 U (а\ г). Значит, в любой окрест-
окрестности каждой точки а из М есть точка из F, а потому F всюду плот-
плотно в М. ¦
3. Открытые и замкнутые множества. На плоскости различают
открытый и замкнутый круги, открытый и замкнутый квадраты и
т. д. Точно так же на прямой различают открытый и замкнутый
промежутки (интервал и отрезок). Различие между этими множест-
множествами состоит в том, что первые не содержат ни одной своей
граничной точки, а вторые содержат все такие точки. Аналогич-
Аналогичные классы множеств выделяют и в произвольных метрических
пространствах.
Множество Е из метрического пространства М, содержащее
все свои граничные точки, называется замкнутым в М. Иными сло-
словами, Е замкнуто в М в том и только том случае, когда дЕ a Е.
Множество Е из М, не содержащее ни одной своей граничной
точки, называется открытым в М. Иными словами, Е открыто в
М тогда и только тогда, когда дЕ f) E = 0.
Так как точки любого множества в М делятся на внутренние
и граничные, а открытые множества не содержат граничных точек,
то все точки открытого множества внутренние. Обратно, если все
точки множества Е внутренние, то оно открыто.
Точно так же доказывается, что множество Е тогда и только
тогда замкнуто в М, когда все точки, не принадлежащие Е, являют-
являются внешними для Е.
Граница всего метрического пространства М пуста: дМ = 0.
Поэтому дМ сМ и дМ [] М = 0. Это значит, что все прост-
пространство М одновременно и замкнуто и открыто. Таким же свой-
свойством, очевидно, обладает и пустое множество.
Имеются множества, которые не являются ни открытыми, ни
замкнутыми. Таков, например, промежуток ]0; 1] из R, который
содержит одну свою граничную точку и не содержит другой.
Пример 9.7. В любом метрическом пространстве каждый открытый шар
является открытым множеством (чем и объясняется его название).
Действительно, согласно свойствам окрестностей (см. с. 27), у любой точки
шара U имеется окрестность, целиком принадлежащая U, т. е. все точки множе-
множества U — внутренние и потому оно является открытым.
Пример 9.8. В любом метрическом пространстве каждый замкнутый шар
у = ТГ(а\ г) является замкнутым множеством (чем и объясняется его название).
В самом деле, пусть Ь $ V. Тогда р (а, Ь) > г, и если 6 < р (а, Ь) — г, то для
всех х из U F; 6) имеем:
Р (а, х) > р (а, Ь) — р (bf х) > р (а, Ь) — 6 > л
4а

Поэтому х $ V и V Q U (b\ б) =0, т. е. &—внешняя точка для У. Итак,
каждая не принадлежащая V точка — внешняя для У, что и доказывает замкну-
замкнутость V.
Замечание. Из рассмотренных примеров не вытекает, что никакой
открытый шар не может оказаться замкнутым множеством (а замкнутый шар —
открытым множеством). Например, в пространстве Q рациональных чисел с обыч-
обычной метрикой открытый шар с центром в точке 0 и радиусом >^2 совпадает с зам-
замкнутым шаром с тем же центром и радиусом, а потому (см. пример 9.8) является
замкнутым множеством.
Однако в линейном нормированном пространстве L, в частности в Щ> вся"
кий открытый шар U (а; г) не замкнут, поскольку его граница — сфера S (а; г)
(см. пример 9.4) — не пуста и не принадлежит этому шару. Замкнутые же шары в
L не открыты.
Из теорем 9.4 и 9.5 вытекает, что принятое нами определение
замкнутого множества равносильно такому: множество Е из мет-
метрического пространства М называется замкнутым, если предел
всякой сходящейся последовательности (ап) из Е принадлежит Е.
В самом деле, пусть множество Е в М замкнуто, и (ап) — схо-
сходящаяся последовательность в УИ, состоящая из элементов множест-
множества ?, Птал= а. Тогда по теореме 9.5 точка а либо внутренняя, либо
n-»oo
граничная для Е. Поскольку Е замкнуто, оно содержит свои гра-
граничные точки, а потому в обоих случаях а ? Е.
Обратно, пусть множество Е а М содержит пределы всех
сходящихся последовательностей, составленных из его элементов,
и пусть а — граничная точка этого множества. Так как по теореме
9.4 а—предел некоторой последовательности точек из Еутоа 6 Е.
Значит, Е содержит все свои граничные точки и потому замкнуто в М.
Это определение иногда удобнее первоначального.
4. Свойства открытых и замкнутых множеств. Одно и то же
множество Е может быть открытым (соответственно — замкнутым),
если его рассматривать в одном метрическом пространстве М19
и не быть открытым (соответственно —замкнутым), если его рас-
рассматривать в другом пространстве М2. Например, интервал —
открытое множество на прямой — не является открытым на плос-
плоскости.
Тем не менее справедливы следующие теоремы:
Теорема 9.8. Если Е — часть пространства М1У а Мх — часть
пространства М2 и Е замкнуто в M2t то Е замкнуто и в Мг.
Доказательство. Допустим противное. Тогда в Мг
существует точка а, граничная для Е, но не принадлежащая Е.
Такая точка а является граничной для ? и в М2 (см. с. 45), и так
как а $ Еу то Е не замкнуто в М2.Щ
Теорема 9.9. Если М — часть пространства Р, а множество
Е из Р открыто в Р, то Е f| М открыто в М.
Доказательство. Пусть а 6 Е {] М. Тогда а 6 Е9
а так как Е открыто в Р, то существует окрестность Up {a\ б),
целиком лежащая в Е. Но тогда тем более Um (я; б) cz E (так как
М — часть Р) и потому Um (а\ 6) cz Е П М. Это значит, что
49

любая точка из Е f| М является внутренней в М и потому Е[\М
открыто в М.Щ
Следствие. Если Е а Мг а М2 и ? открыто в УИ2, то
Е открыто и в Mv
Часто некоторое множество получается из других множеств
с помощью теоретико-множественных операций. Поэтому полезны
следующие теоремы:
Теорема 9.10. В любом метрическом пространстве дополнение
к замкнутому множеству открыто, а дополнение к открытому—
замкнуто.
Доказательство. В силу теоремы 9.1 множества А
и СА имеют одну и ту же границу. Поэтому, если А замкнуто,
т. е. содержит все свои граничные точки, то СА не содержит ни
одной своей граничной точки, т. е. открыто.
Аналогично доказывается и вторая часть теоремы. ¦
Теорема 9.11. В любом метрическом пространстве объединение
конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство проведем сначала для случая объеди-
объединения двух замкнутых множеств: А и В. Согласно теореме 9.3
д (A U В) czdA U дВ.
Но так как А и В замкнуты, то дА а А и дВ а В, а потому дА [}
U дВ ci A U В. Значит, д (A U В) с= А U В, т. е. множество
А \] В содержит свою границу. Это и означает, что оно замкнуто.
Поскольку объединение любого конечного числа замкнутых
множеств может быть получено путем последовательного попар-
попарного объединения (например, A U В \] С = (A U В) [} С), то
теорема доказана и в общем случае.¦
Отметим, что теорема 9.11 перестает быть верной, если семейство
объединяемых множеств бесконечно. Например, объединение счет-
счетного набора замкнутых множеств —; 1 из R представляет собой
L л J
незамкнутое множество ]0; 1J.
Теорема 9.12. В любом метрическом пространстве объединение
любого семейства открытых множеств открыто.
Доказательство. Пусть {Еа } — семейство открытых
множеств и Е = U Еа. Докажем, что Е открыто.
а
Пусть х ? Е. Тогда х принадлежит хотя бы одному из множеств
Еа. Но Еа по условию открыто. Поэтому х — внутренняя точка
Еа. Но тогда по теореме 9.2 она будет внутренней и для Е. Значит,
все точки из Е внутренние. Следовательно, Е — открытое мно-
множество. ¦
Теорема 9.13. В любом метрическом пространстве пересечение
конечного числа открытых множеств открыто.
п
Доказательство. Пусть Е = П Ek, где Ek (k= I,...
50

..., п) — открытые множества. По правилам Де Моргана имеем:
СЕ = С (Л Ек) =U CEk.
Так как, в силу теоремы 9.10, множества CEk замкнуты, то из тео-
теоремы 9.11 вытекает, что и множество СЕ замкнуто. А значит, Е
является дополнением к замкнутому множеству и потому открыто.¦
Пример 9.9. Множество D тех точек (х; у) плоскости R^, координаты
которых удовлетворяют условиям
(х + у>5,
\х2 + у2 > 36,
открыто.
Действительно, множество D представляет собой пересечение множеств
?*i = {(*; У) I х + У > 5} и D2= {(#; у) | х2 + у2 > 36}. Эти множества от-
открыты, так как Dx — это открытая полуплоскость, a D2 — открытый круг. По-
Поэтому, в силу теоремы 9.13. D открыто.
Замечание. Теорема 9.13 перестает быть верной в слу-
случае пересечения бесконечного семейства открытых множеств. Дейст-
Действительно, например, пересечение счетного набора открытых мно-
множеств ; 1 Н— , п ? N, из R представляет собой отрезок
In п |_
[0; 11, не являющийся открытым множеством в R.
Теорема 9.14. В любом метрическом пространстве пересечение
любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство аналогично доказательству теоремы
9.13.
5. Канторово множество и ковер Серпинского. В некоторых
теоретических вопросах математики встречаются весьма причудли-
причудливые замкнутые множества. Рассмотрим два из них.
Пример 9.10. Канторово троичное множество.
Разделим отрезок [0; 1] на три конгруэнтных отрезка точками —
о
2  1 2 Г
и — и удалим средний интервал Gx = —; — . Каждый из остав-
3 J 3 31_
шихся двух отрезков i 0; — и —; 1 разобьем на три конгруэнт-
L 3 J |_ з J
ных отрезка и удалим средние интервалы, т. е. интервалы
]1 2 Г 17 8 Г
—; — и G3 = —; — . С каждым из оставшихся четырех
/ГА 11 Г2 11 Г2 71 Г8 Л\
отрезков 0; — , —; — L —; — , —; 1 поступим аналогично:
\L 9J [9 3J L3 9J \_9 J/
разобьем каждый из них на три конгруэнтных отрезка и удалим
средний интервал (рис. 16). Указанный процесс продолжим не-
неограниченно. В итоге на прямой останется некоторое множество
точек Fo, которое называют канторовым троичным множеством.
Покажем, что оно замкнуто в R.
51

. i i i бг i i i i Si 1 м i, S i i i
о i I h i i I '
Рис. 16
Для этой цели предварительно рассмотрим объединение G всех
удаленных интервалов1: G = Gx (J G2 U G3 (J ... . Понятно, что
G открыто в R как объединение открытых множеств (см. теорему
9.12). Поэтому множество CG замкнуто как дополнение к открытому
(см. теорему 9.10). Так как Fo = [0; 1] fl CG, то и Fo замкнуто
как пересечение двух замкнутых множеств (см. теорему 9.14).
Итак, канторово троичное множество замкнуто.
Множество Fo состоит из таких чисел отрезка [0; 1], которые
допускают запись в виде бесконечной троичной дроби, каждая
цифра которой равна 0 или 2. Поскольку множество бесконечных
последовательностей, состоящих из чисел 0 и 2, имеет мощность
континуума (см. теорему 3.2), то канторово множество имеет мощ-
мощность континуума.
Отметим еще следующее свойство этого множества: в каждой
окрестности любой точки канторова множества найдутся отличные
от нее точки этого множества.
В самом деле, точку а множества Fo можно изобразить тро-
троичной дробью вида й = 0, ага2 ... ап ..., где все ап имеют значения
0 или 2. Зададим е > 0. Найдется такое я, что — < е. Но тогда,
исправив в троичной записи числа а цифры ал+1, аЛ+2, ... с 0
на 2 и с 2 на 0, получим точку, которая принадлежит Fo и лежит
в е-окрестности точки а.
Замкнутое множество, в любой окрестности каждой точки кото-
которого есть точки того же множества, отличные от нее, называется
совершенным. Таким образом, канторово троичное множество со-
совершенно. Отметим, что любой отрезок тоже является совершен-
совершенным множеством. Но канторово множество обладает еще одним
свойством, которого нет у отрезка: на любом промежутке числовой
оси найдется интервал, не содержащий ни одной точки канторова
множества (это сразу следует из построения указанного множества,
при котором из любого сколь угодно малого отрезка удалялась
средняя треть).
Пример 9.11. Ковер Серпинского2. Построение,
аналогичное указанному в примере 9.10, можно выполнить и на
плоскости. Возьмем замкнутый квадрат К со стороной 1 и разобьем
его на 9 конгруэнтных квадратов (общие граничные отрезки ка-
* Их называют смежными для Fo интервалами; интервал длины — называют
интервалом п-го ранга.
2 Вацлав Серпинский A882—1969) — известный польский ма-
математик. Решил ряд важных проблем из области теории множеств, топологии,
теории функций, теории чисел.
52

ких-либо двух из этих квадра-
квадратов считаем принадлежащими
обоим квадратам). Удалим из К
внутренность Gx центрального
квадрата (его границу оставля-
оставляем). С каждым из оставшихся 8
квадратов со стороной, равной
—, проведем аналогичную one-
о
рацию: разобьем его на 9 кон-
конгруэнтных квадратов и удалим
внутренность центрального квад-
квадрата (рис. 17). Аналогично по-
поступим с каждым из оставшихся
64 квадратов со стороной, рав-
равной —. Указанный процесс про-
ы
?.
L
•1
ч
•V.'V-*:
Т
i_S
;:..
. :¦
•Л
'i V
i
i
J
\:\
•i
••:
tI
*!
p.
::'J
4
•iv
•.V
•V:
Рис. 17
должим неограниченно. В ре-
результате от квадрата останется некоторая фигура Фо, которая
носит название «ковер Серпинского». Рассуждая так же, как при
рассмотрении канторова троичного множества Fo, можно убедить-
убедиться, что Фо — совершенное множество.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение внутренней, внешней и граничной точек множества Е
из метрического пространства М.
2. Дайте определение границы множества.
3. Приведите примеры внутренних, внешних и граничных точек для раз-
различных фигур на плоскости.
4. Пусть границей множества Е в М является А. Какова граница дополне-
дополнения Е в М?
5. Может ли граница множества быть пустой? Приведите примеры.
6. Может ли граница множества совпадать со всем пространством М? При-
Приведите примеры.
7. Меняется ли граница множества ?, если заменить пространство М дру-
другим пространством, также содержащим ??
8. Приведите пример, когда граница объединения двух множеств не сов-
совпадает с объединением их границ.
9. Пусть lim ап = а и lim bn = а, где все ап 6 Е и все Ьп ? Е. Докажите,
П-+-ОО П-*-СО
что а — граничная точка для Е.
10. Приведите пример всюду плотного множества на отрезке [0; 1], отлично-
отличного от этого отрезка.
11. Дайте определения открытых и замкнутых множеств.
12. Перечислите свойства открытых и замкнутых множеств.
13. В доказательстве какой теоремы о замкнутых множествах использована
теорема 9.3?
14. Проведите доказательство теоремы 9.14.
15. Докажите эквивалентность двух определений замкнутого множества
(через граничные точки и через пределы последовательностей).
16. Докажите, что множество Е открыто в М в том и только том случае,
когда все его точки внутренние.
17. Докажите, что множество Е (J дЕ всегда замкнуто.
53

18. Докажите, что ковер Серпинского состоит из таких точек Л (х\ у), что
0^#<^1;0^у^1, причем хотя бы одно из чисел х, у допускает троичную
запись, все цифры которой отличны от 1.
19. Докажите, что ковер Серпинского — совершенное множество в Щ.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 4. № 4-8, 10-15, 17-18, 20, 22, 27, 29, 42, 51, 55.
§ 5. № 40—44.
§ 10. КОМПАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение компактности. При изучении свойств функций,
непрерывных на метрических пространствах (определение этого
понятия дается в § 11) желательно выделить пространства, анало-
аналогичные отрезку, а не, скажем, интервалу — ведь мы знаем, напри-
например, что если функция непрерывна на отрезке, то она ограниче-
ограничена, а функция —, непрерывная на интервале Ю; 1[, не ограничена
X
на нем.
Анализируя доказательство теорем о функциях, непрерывных
на отрезке, убеждаемся, что в них широко используется свойство
отрезка, выражаемое теоремой о вложенной системе отрезков.
Пространства, обладающие аналогичным свойством, могут служить
«аналогом» отрезка. Однако удобнее вместо этой теоремы положить
в основу теории ее следствие, которое мы сейчас докажем.
Теорема 10.1 (Больцано — Вейерштрасса1). Из любой последо-
последовательности (хп) точек отрезка [а\ Ь] можно выделить подпосле-
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого отрезка.
Доказательство. Разобьем отрезок Ax = [а; Ь] попо-
пополам. Тогда хотя бы одна из полученных половин содержит точки
данной последовательности, имеющие сколь угодно большие но-
номера, иначе вся последовательность содержала бы лишь конечное
число членов, что противоречило бы ее бесконечности. Обозначим
выбранную половину через А2 и снова разделим ее пополам. Про-
Продолжая этот процесс (который некоторые математики шутливо
1 Во многих курсах математического анализа именно теорема Больцано —
Вейерштрасса кладется в основу вывода свойств непрерывных функций.
Бернард Бо,льцано A781—1848) — чешский математик и философ.
Он раньше Коши и Вейерштрасса занялся обоснованием математического анали-
анализа, ввел современные понятия предела, непрерывности, сходимости ряда, получил
так называемый «критерий Коши» и др. В его труде «Наукознание» предвосхище-
предвосхищены некоторые идеи современной математической логики.
Карл Вейерштрасс A815—1897) — крупнейший немецкий мате-
математик, который многое внес в развитие математического анализа, теории анали-
аналитических функций, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и
линейной алгебры. Особое внимание он уделял математической строгости и си-
систематичности изложения математических теорий. Его учениками были многие
видные математики: С. В. Ковалевская, Г. А. Шварц, Г. Кантор и др.
54

называют «ловлей льва в пустыне»1), мы получим стягивающуюся
последовательность отрезков (Ал), такую, что каждый из них со-
содержит точки последовательности, имеющие сколь угодно большие
номера.
Выберем теперь на каждом отрезке Ak точку хп заданной по-
последовательности так, чтобы номера этих точек возрастали: пг <
< п2 < ... < nk< ... . Это возможно, поскольку отрезки Д^ со-
содержат точки со сколь угодно большими номерами. Система от-
отрезков (Ak) имеет общую точку с. Докажем, что выбранная нами
последовательность (хп ) сходится к с.
В самом деле, так как lim |АЯ| = 0, то для любой окрест-
п-*оо
ности точки с найдется такой номер т, что отрезок Дт целиком
содержится в этой окрестности. Но этот отрезок содержит все точ-
точки последовательности (хПк), начиная с хПт. Значит, любая окрест-
окрестность точки с содержит все точки последовательности (xnk), начи-
начиная с хПтУ а это и значит, что xnk-+с.Щ
Теперь мы можем выделить интересующий нас класс метрических
пространств. Это пространства, в которых выполняется принцип
Больцано — Вейерштрасса. Такие пространства называют компакт-
компактными.
Итак, метрическое пространство называется компактным (или,
короче, компактом), если всякая бесконечная последовательность
его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой
точке этого пространства.
2. Свойства компактов. Приведем необходимые признаки ком-
компактности.
Теорема 10.2. Всякое компактное подпространство А метриче-
метрического пространства М замкнуто в М.
Доказательство проведем от противного. Допустим,
что А не замкнуто. Тогда (см. с. 49) в А существует сходящаяся в
М последовательность (хп), предел которой (обозначим его через Ь)
не принадлежит Л. Из этой последовательности нельзя извлечь
никакой подпоследовательности, сходящейся к некоторому элемен-
элементу а из Л (так как иначе эта подпоследовательность имела бы в
пространстве М два предела а и Ь, что невозможно). Но в таком
случае А не является компактом, что противоречит условию.¦
Пример 10.1. Открытый шар V (а; г) из линейного нормированного
пространства L (в частности, интервал на прямой, открытый круг на плоскости)
не компактен, так как он (см. с. 49) не замкнут в L.
Теорема 10.3. Всякий компакт М ограничен.
Доказательство проведем от противного. Пусть М не
ограничен. Рассмотрим произвольную точку с 6 М. Ввиду неогра-
1 Утверждают, что один математик предложил для поимки льва в пустыне
последовательно делить ее пополам, выбирая каждый раз для дальнейшего деле-
деления часть, где в данный момент находится лев.

ниченкости М для любого п найдется такая точка хп 6 Af, что
Р {*п» с) > п- Любая подпоследовательность (*„л) построенной по-
последовательности не ограничена, а потому (см. теорему 8.3) не
может быть сходящейся. Значит, из (хп ) нельзя извлечь сходящуюся
подпоследовательность, вопреки компактности М.Щ
Пример 10.2. Числовая прямая R, полоса на плоскости, цилиндричес-
цилиндрическая поверхность в трехмерном пространстве не являются компактными, так как
они не ограничены.
Докажем один достаточный признак компактности.
Теорема 10.4. Всякая замкнутая часть А компактного прост-
пространства М компактна.
Доказательство. Выберем в А бесконечную последо-
последовательность элементов (хп). Так как А а УИ, то хп 6 М и потому
{хп) — последовательность элементов компактного пространства М.
В таком случае из нее можно извлечь сходящуюся к некоторой
точке а из М подпоследовательность (x,ik). Но (xnk) одновременно
является последовательностью из Л, и А замкнуто. Значит, а ? А
(см. с. 49). Итак, из любой последовательности точек пространства
А можно извлечь сходящуюся (к точке из А) подпоследовательность,
что и доказывает компактность А.Щ
3. Критерий компактности в Щ. Совокупность установленных
выше необходимых признаков компактности — замкнутость и огра-
ограниченность — в случае подпространств из R^ является и достаточ-
достаточным признаком.
Теорема 10.5. Подпространство Т п-мерного евклидова прост-
пространства R^ тогда и только тогда компактно, когда оно в Щ
замкнуто1 и ограничено.
Доказательство. Необходимость условия вытекает из
теорем 10.2 и 10.3. Остается доказать его достаточность.
В случае когда Т является я-мерным параллелепипедом (т. е.
состоит из точек х = (xlt ..., хп) таких, что-fl^ < х{ < bt , i =* I,...
..., п), компактность Т доказывается точно так же, как теорема
Больцано — Вейерштрасса. Только параллелепипеды надо делить
не пополам, а на 2п частей (на
рисунке 18 показано деление
двумерного параллелепипеда,
т. е. прямоугольника).
Пусть теперь Т —любая ог-
ограниченная замкнутая часть
пространства RS. Так как Т ог-
Рис. 16
1 Обращаем внимание читателя на
одну тонкость: если Т рассматривать
как самостоятельное пространство, то
оно всегда (см. § 9) замкнуто. В теоре-
теореме имеется в виду замкнутость Т как
множества в пространстве R?.
56

покрытия ком-
комF — некоторое
метрического
a {Ga }—се-
}—се(
Рис. 19
раничено, то найдется п-мерный
параллелепипед Я, содержащий
Т. Но по доказанному выше этот
параллелепипед компактен, а
потому Т компактно, как замк-
замкнутая часть компактного прост-
пространства. ¦
4. Открытые
пактов. Пусть
подпространство
пространства УИ,
мейство подмножеств М (воз-
(возможно, бесконечное и даже не-
несчетное) такое, что объединение
всех множеств из {Ga } содер-
содержит F. Такое семейство {Ga }
называется покрытием F; если
все множества из семейства {Ga }
открыты вМ, то семейство {Ga } называется открытым покры-
покрытием F. Например, семейство кругов (л; — Bk — I)J + (У — B/г—
— I)J < 3, где k, n ? N, является (докажите это!) открытым покры-
покрытием первого квадранта плоскости (рис. 19).
Оказывается, если F — компакт, то из любого его счетного1
открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Точнее
говоря, справедлива следующая теорема:
Теорема 10.6. Пусть {Ga } — счетное открытое покрытие ком-
компактной части F метрического пространства М. Тогда из {Ga }
можно выделить конечную совокупность множеству которая также
является покрытием F.
Доказательство. Так как {Ga } счетно, то совокуп-
совокупность множеств из {Ga } можно перенумеровать:
{G«>={Glf ..., Gn9 ...}.
п
Обозначим через Нп множество U Gk. Оно открыто в М как объ-
объединение открытых множеств. Поскольку Gncz Нп*= {} Gki то
оо оо
и нп = и ся => f.
п=\ п—\
Иными словами, система множеств {НХу ..., Нп, ...} также обра-
образует открытое покрытие F, причем ^ с Я2 с Я3 с ... .
Докажем, что найдется такое Ny при котором Hn^> F. Дейст-
Действительно, если бы это было не так, то для любого натурального п
нашлось бы такое хп 6 /\ что хп $ Нп. Так как Н
т < пу то хп $ Нт при всех т ^ п.
Нп
при
1 Даже из л ю б о г о бесконечного. Поскольку этот результат в такой об-
общности нам не понадобится, то ограничимся доказательством его частного случая.
57

Давая п значения 1, 2, 3 и т. д., мы получим последовательность
(хп) точек из F. Из этой последовательности можно, в силу компакт-
компактности F, выделить подпоследовательность (хп ), сходящуюся к не-
00
которой точке х 6 F. Так как х 6 F cz [} Ню то найдется такое
п—\
т, что х 6 Ят. Поскольку Нт открыто, найдется окрестность U
точки х, лежащая в Нт. Так как х = lim^, то все точки хПк,
начиная с некоторого номера /С, принадлежат (/, а следовательно,
и Нт. Таким образом, хПк€ Hm при k ^ /(. Но это противоречит
тому, что *„Л i Нт при яЛ > т.
N N
Итак, найдется такое N, что U Hn=> F. Но тогда U 0Л содер-
жит F, т. е. конечное семейство множеств {G^ ..., Gn } покрывает
/•¦
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Сформулируйте теорему Больцано— Вейерштрасса.
2. Сходится ли последовательность (хп), где хп = (—1)л + —-? Выделите из
/I
этой последовательности две сходящиеся подпоследовательности.
3. По какому принципу выбираются половины отрезков при доказательстве
теоремы Больцано — Вейерштрасса? Почему существует последовательность
чисел (nk ) такая, что xnk ? Д& и пх < п2 < ... < пк < ...? Где в доказательстве
этой теоремы использован принцип о стягивающейся системе отрезков? Где ис-
использовано, что пг < п2 < ... < nk < ...?
4. Дайте определение компактного метрического пространства.
5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие компактности под-
подмножества в R?.
R3
6. Приведите примеры компактных и некомпактных подмножеств в
2*
7. Сформулируйте теорему о конечных покрытиях.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 6. № 1, 3, 5, 8, 9—17, 19—20, 26—31.
§ 11. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
1* Непрерывные отображения» Ранее вы изучали непрерывные
функции одной и нескольких переменных. Теперь познакомимся с
более общим понятием — непрерывным отображением.
Пусть А и В — метрические пространства с метриками р^ и
рв соответственно и / — отображение А в В. Отображение /: А ~+ В
называется непрерывным в точке a f Л, если для любого е > О
можно найти такое б > 0, что для всех х 6 Л, удовлетворя-
удовлетворяющих неравенству рл (а> х) < б, выполняется неравенство
PBif {a). f(x)) <e.
58

Это определение можно перефразировать, используя понятие
окрестности.
Отображение /: А-+В называется непрерывным в точке а ? Л,
если для любой окрестности V точки Ь — f (а) можно указать в А
такую окрестность U точки а, что / (U) cz V.
Можно также дать определение непрерывности отображения, ис-
используя «язык последовательностей».
Отображение /: А ->- В называется непрерывным в точке а ? Л,
если для любой последовательности (хп), сходящейся в Л к точке
а, последовательность (/ (хп)) в В сходится к точке / (а).
Эквивалентность этих определений непрерывности доказывается
точно так же, как и для функций /: R -> R.
Отображение /: Л -> В называется непрерывным на всем прост-
пространстве А (или просто непрерывным)у если оно непрерывно в каж-
каждой точке и» Л.
Пример 11.1. Отображение /: х -*- х A) пространства С [0; 1] в R не-
непрерывно в любой «точке» а. Здесь х и а — непрерывные функции на [0; 1],
Действительно, пусть дано е > 0. Возьмем 6 = 8. Так как
Рс (а, х) = max \x(t) — a (t) |,
PR (/(я), /М) = |*A)-аA)|<рс(а, х),
то ясно, что неравенство рс (а, х) < б влечет за собой неравенство
PR (/(a), /(*)) <е.
Такое же отображение /: х ->• х A) пространства Сх [0; 1] в R не является
непрерывным в «точке» Э (т. е. для функции 9 (t) = 0).
Действительно, последовательность хп (t) = tn сходится в Сх [0; 1] к функ-
функции 0 (см. пример 8.1), в то время как / (#„) = хп A) = 1, / F) = 0 и, следова-
следовательно, (/ (хп)) не сходится к / (в).
Отображение F метрического пространства М в R™ определяет-
определяется заданием координат точки F (х), т. е. набором числовых функций1:
fu •••! /m» определенных на М (они называются компонентами
отображения F). Отображение F: М -> 0% непрерывно на М тогда
и только тогда, когда на М непрерывны функции — компоненты
/i» •••» fm отображения F.
В самом деле, если F (а) = (Д (а), ..., fm (а)), F (х) = (Д (*),...
..., fm (*)). то
Отсюда ясно, что если р (F (jc), F (а)) < е, то и
1 Числовой функцией называют отображение любого метрического простран-
пространства в числовую прямую R.
59

Если же выполняется A1.1), то р (Ff(x)> F {а)) < е]/"/л. Отсюда и
следует наше утверждение.
Пример 11.2. Инверсия F относительно окружности х2 + у2 = г2 яв-
является непрерывным отображением на себя плоскости R^ с выколотой то-
точкой @, 0).
Действительно, инверсия (х\ у) -> (и; v) задается функциями (компоненты
отображения)
г2х _ г2у
которые, очевидно, непрерывны на проколотой плоскости.
Покажем непрерывность некоторых важных числовых функций.
Теорема 11.1. Если М — метрическое пространство и а — лю-
любая точка этого пространства, то функция х -> р (а,х) непре-
непрерывна на М.
Доказательство. Из неравенства треугольника следу-
следует, что \р(а,х) — р (а,у)| ^ р(х,у). Поэтому если точка у принадле-
принадлежит е-окрестности точки х0 ? М, то | р(а,х0) — р(я,у) | < е.
Это и значит, что функция х-*р(а,х) непрерывна в точке хо.Щ
Следствие. Отображение jc->||jc|| является непрерывной число-
числовой функцией на любом нормированном пространстве L.
Доказательство следует из теоремы 11.1, так как ||*|| = рF, х).
Теорема 11.2. Скалярное произведение х-+ (ау х),где а — про-
произвольный элемент предгильбертова пространства L, непрерывно
на L.
Доказательство. В силу неравенства Коши — Буня-
ковского,
\(а,х)-(а,хп)\= \(а,х-хп)\^\\а[\ • ||д:-^||.
Отсюда ясно, что если хп -> х в М, то (а, хя)-* (а, а:) в R.|
Отображение / метрического пространства Мх на метрическое
пространство М2 называется изометрическим или изометрией, если
для любых х и у из УИ] выполняется равенство
Pi (х, у) = р2 (/ (х), f (у)),
где р! (соответственно р2) — метрика в Мг (соответственно в М2).
Поскольку из неравенства рх (ху у) < е следует, что
Рг (/ (х), f (у)) < е, то изометрия непрерывна. Примером изометри-
изометрического отображения может служить любое перемещение плоскости.
2. Свойства непрерывных отображений. Для непрерывных ото-
отображений метрических пространств сохраняются основные теоремы
о непрерывных числовых функциях.
Теорема 11.3. Пусть отображение f: A-+В непрерывно в точке
а пространства Л, а отображение g: В -> С — в точке b = f (a)
пространства В. Тогда и сквозное отображение
пространства А в С непрерывно в точке а.
60

Доказательство. Выберем любую окрестность W точ-
точки с = g (f (а)) пространства С. Так как отображение g непрерывно
в точке b = f (а) и g (b) = с, то найдется окрестность V точки Ь
такая, что g (V) czW. Точно так же, в силу непрерывности отобра-
отображения / в точке а, найдется окрестность U этой точки такая, что
f (U) czV. Но тогда имеем:
g(f(U)) czg(V) czW,
а это и значит, что отображение х -+g (f (x)) непрерывно в точке а.Щ
Пусть ф и \|> — два отображения метрического пространства М
в линейное пространство L. В этом случае можно говорить о сумме
отображений ф и|, а также о произведении этих отображений на
число К. А именно полагаем:
(ф + Ф) (х) = ф (х) + ф (х)\ (X ф) (х) = Хф (х).
Теорема 11.4. Пусть ф и ф —непрерывные отображения метри-
метрического пространства М в линейное нормированное пространство L.
Тогда отображения q> +ty и Хф также непрерывны на М.
Доказательство. Пусть а € М. Так как отображения
Ф и "ф непрерывны в точке а, то для любого г > 0 найдется такое
б > 0, что при р (а, х) < 6 выполняются неравенства
II Ф (х) — ф (а) || < -|, ||i|) (x) —-ф (а) || < |-.
А тогда
*) — (ф + Ф) (а) II ^ II Ф (*) — Ф (а) II +
Значит, ф + г|) — непрерывное отображение М в L.
Непрерывность >.ф доказывается аналогично. ¦
Из теоремы 11.4 вытекает, что множество всех непрерывных
отображений метрического пространства М в линейное нормиро-
нормированное пространство L само является линейным пространством.
Теорема 11.5. Если f—непрерывное отображение метрического
пространства А в метрическое пространство В, то полный прообраз
любого открытого множества из В открыт, а замкнутого — замкнут
в А.
Доказательство. Пусть G — открытое множество из 5.
Требуется доказать, что все точки множества D = f'1 (G) из А
являются внутренними.
Пусть а € D и / (а) = Ь. Тогда b 6 G и, поскольку G открыто в
В, b — внутренняя точка G. Поэтому существует окрестность V
этой точки, принадлежащая G. Поскольку отображение / непре-
непрерывно в а, найдется такая окрестность U точки а, что / (U) czV.
Но тогда f (U) czG, и потому U czD = f~l (G): Это показывает,
что у любой точки а € D есть окрестность, принадлежащая D,
т. е. а — внутренняя точка для D. Поэтому D открыто в А.
61

Поскольку дополнение к замкнутому множеству открыто, а
прообразы двух дополнительных друг другу множеств из В взаимно
дополнительны в Л, то из доказанного вытекает справедливость и
второго утверждения теоремы.
Теорема 11.5 иногда позволяет дать весьма простое доказа-
доказательство открытости или замкнутости множества.
Пример 11.3. Множество D из Rg, определяемое неравенством 2х2 +
+ у2 + Ъх — 4 у — бе3 > 1, открыто.
В самом деле, функция и = 2х2 + У2 + 3* — 4у — бг3 задает непрерывное
отображение RgB R. Множество D является полным прообразом открытого луча
]1; +оо[ при этом отображении, а потому, в силу теоремы 11.5, оно открыто.
Заметим, что образ открытого множества при непрерывном отоб-
отображении не обязательно открыт. Например, при непрерывном отоб-
отображении х -> sin х интервал ]—л; л[ переходит в отрезок [—1; 1].
3. Непрерывные отображения компактов.
Теорема 11.6. Образ компакта при непрерывном отображении
компактен.
Доказательство. Пусть М — компакт и /: М -> Т —
непрерывное отображение. Требуется доказать, что М' = f(M) —
компакт.
Возьмем в М' произвольную последовательность (х'п) и обозна-
обозначим через хп какой-либо прообраз точки х'п при отображении /.
Получится последовательность точек (хп) из М. Так как М — ком-
компакт, то из этой последовательности можно выделить подпоследова-
подпоследовательность (xnk)f сходящуюся в некоторой точке с из М. При отобра-
отображении / эта последовательность перейдет в подпоследовательность
(х'п) последовательности (х'п). В силу непрерывности отображения
/ в точке с
lim х = lim / (х ) = f(\imxnk) = f (с) € M*.
/г-».эо R k-+oo R /г-*оо
Итак, каждая последовательность точек из М' содержит под-
подпоследовательность, сходящуюся в М'. А это и означает, что М' —
компакт. ¦
Следствие. Образ замкнутого и ограниченного множества при не-
непрерывном отображении /: R" -> Rm замкнут и ограничен.
В самом деле, ив Rn, и в Rw, свойство «замкнуто и ограничено»
эквивалентно компактности, а непрерывный образ компакта ком-
компактен. ¦
Любопытно, что если множество является только замкнутым
или только ограниченным, то при непрерывных отображениях его
образ не всегда сохраняет эти свойства. Так функция *->tgA:
отображает ограниченный интервал -\ — в бесконечную пря-
прямую, а функция #->arctgA: переводит прямую (т. е. замкнутое
множество в R) в интервал -; — , который незамкнут в R.
62

Теорема 11.6 позволяет обобщить на произвольные компакты
некоторые свойства числовых функций, непрерывных на отрезке.
Теорема 11.7 (теорема Вейерштрасса). Числовая функция, опре-
определенная и непрерывная на компакте, ограничена и принимает на
нем как свое наибольшее^ так и наименьшее значение.
Доказательство. Пусть / — числовая функция, опре-
определенная и непрерывная на некотором компакте М. В силу теоремы
11.6, множество Е значений функции (образ компакта М) является
компактом. В силу теоремы 10.3 получаем, что Е — ограничен-
ограниченное множество, т. е. существуют такие числа а и Ь, чтоa^f (x)^.b
при любом х из М. Ограниченность функции / доказана.
Из ограниченности числового множества Е вытекает существо-
существование у Е верхней грани р и нижней грани а. А так как компакт
Е замкнут (см. теорему 10.2), а аи р — граничные точки для Е
(см. пример 9.1), то а ( ?, |3 € Е. Это значит, что в компакте М
имеются такие точки I и tj, что / (I) = а, / (г\) = р.Н
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Сформулируйте три определения непрерывности отображения /: Л -> В
в точке а. Докажите их эквивалентность.
2. Укажите какое-нибудь непрерывное и какое-нибудь разрывное отображе-
отображение плоскости в себя.
3. Перечислите свойства непрерывных отображений метрических про-
пространств.
4. Каким свойством обладает непрерывное отображение метрического про-
пространства в линейное нормированное пространство?
5. Объясните, какие из следующих утверждений истинны: а) полный про-
прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт; б) непрерыв-
непрерывный образ открытого множества открыт; в) непрерывный образ компакта компак-
компактен; г) непрерывный образ ограниченного множества ограничен; д) полный про-
прообраз ограниченного множества при непрерывном отображении ограничен.
6. Как читается теорема Вейерштрасса? Что означает фраза «функция при-
принимает на множестве свое наибольшее значение»?
7. Перечислите все понятия из курса математического анализа, которые
встречаются в формулировке и доказательстве теоремы 11.7. Дайте их опреде-
определения.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 7. № 1—11, 16—21, 27—28, 36.
§ 12. СВЯЗНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Связные и несвязные пространства. В ряде вопросов бывает
важно знать, «из одного куска состоит» рассматриваемое метриче-
метрическое пространство (как, например, отрезок) или оно «составлено
из нескольких кусков» (как, например, объединение двух непере-
непересекающихся отрезков). Такая интуитивная классификация приводит
к понятиям связного и несвязного пространства. Строгое определе-
определение этих понятий основывается на интуитивном представлении о
том, что связность сохраняется при непрерывных отображениях:
63

если пространство можно непрерывно отобразить на некоторое
каноническое несвязное пространство (например, на часть
прямой, состоящую из двух точек 0 и 1), оно несвязно, если
нет — связно.
Метрическое пространство М называется несвязным, если су-
существует непрерывное отображение / этого пространства на двух-
двухточечное пространство {0, 1}, и связным, если такого отображения
не существует.
Рассмотрим на примере, как «работают» эти определения.
Пример 12.1. Фигура /С, состоящая из двух непересекающихся кругов
К\ и /С2» несвязна.
Действительно, рассмотрим функцию
{О, если х ? Ки
1, если х 6 К2*
Покажем, что / непрерывна на /С.
Пусть а — произвольная точка из К и (хп) — произвольная последователь-
последовательность из /С, сходящаяся к а. Допустим, для определенности, что а 6 Ki- Тогда
все хПУ начиная с некоторого номера, принадлежат /Ci» Поэтому / (хп) = 0 при
п > N и lim / (хп) = / (а).
«->оо
Итак, построено непрерывное отображение / пространства К на {0, 1}, чем
и доказана несвязность /С.
Теорема 12.1. Любой числовой промежуток связен.
Доказательство. Предположим противное: некото-
некоторый промежуток Е несвязен. Тогда на Е можно определить непре-
непрерывную функцию, принимающую значения 0 и 1. Выберем такие
две точки а и b из ?, что / (а) = 0, / (Ь) = 1. Поскольку отрезок /
с концами а и b принадлежит Е, то / непрерывна на /. По теореме
о промежуточном значении числовой функции, непрерывной на
отрезке, найдется такая точка с ? /, что / (с) = —. Так как с 6 ?*,
то получили противоречие с тем, что функция / на Е принимает
лишь значения 0 и 1. Значит, предположение о несвязности Е
ложно. ¦
Теорема 12.2. Каждая связная часть Е числовой прямой R вместе
с любыми двумя точками а и b содержит весь отрезок [а\ Ь].
Доказательство. Предположим, что существует точ-
точка с из [а; Ь], не принадлежащая ?. Рассмотрим множества Ег =
= Е П 1— оо\ с[ и Е2 =* Е () ] с\ + оо[. Эти множества не пусты
(а € Еъ b € Е2) и открыты в Е как пересечения Е с открытыми мно-
множествами ]—оо; с[ и ]с; +оо[ из R (см. теорему 9.9). При этом
поскольку с <f Е,тоЕг [} ?2 = Е f] (R \ {с}) = Е\ ?х f] E2= 0,
так как лучи ]— оо; с[ и ]с, 4- оо[ не пересекаются.
Таким образом, Е удалось разбить на две непересекающиеся
непустые открытые части Ех и ?2. Тогда функция
f /х\ = [0, если х € Еъ
\1, если х б Е2
G4

задает (см. рассуждения в примере 12.1) непрерывное отображение
? на {0, 1}. Значит, вопреки условию, Е несвязно. Полученное
противоречие и доказывает справедливость рассматриваемого ут-
утверждения. ¦
Из доказанных теорем следует, что непустыми связными множе-
множествами в R являются только промежутки, т. е. отрезки, интерва-
интервалы, полуинтервалы, открытые и замкнутые лучи и, наконец, вся
прямая — лишь эти множества вместе с любыми двумя точками а
и Ь содержат весь отрезок \а\ Ь].
Гораздо сложнее описание связных множеств на плоскости или
в трехмерном пространстве: здесь могут получиться кривые и
области весьма сложного строения. Так, например, ковер Серпин-
ского (см. пример 9.11) является связным множеством.
Убедимся, что интуитивное предположение о сохранении свойст-
свойства связности при непрерывных отображениях действительно спра-
справедливо.
Теорема 12.3. Образ связного пространства М при непрерывном
отображении f является связным.
Доказательство. Если бы Т = f (M) было несвязно,
нашлось бы непрерывное отображение ср пространства Т на {0, 1}.
Но тогда сквозное отображение х -> ср (/ (л:)) было бы непрерывным
(см. теорему 11.3) отображением пространства М на {0, 1}, что про-
противоречит связности М. ¦
Мы видели, что свойство функций, непрерывных на отрезке,
выражаемое теоремой Вейерштрасса, переносится на произвольный
компакт. Другое свойство таких функций, о котором идет речь в
теореме о промежуточном значении, справедливо для произвольных
связных пространств.
Теорема 12.4. Если числовая функция, непрерывная на связном
пространстве М, принимает на М значения а и b (a< b)y то она
принимает на М- и любое промежуточное значение с (а < с < Ь).
Доказательство. Пусть Ecz R — множество значений
функции /, т. е. Е — f (М). Так как М связно, то по предыдущей
теореме и Е связно. А тогда вместе с а и Ъ это множество содержит
весь отрезок \а\ Ь]. Поэтому при любом выборе числа сиз [а; Ь]
найдется такая точка | из Л1, что / (?) = с.В
Доказанная теорема в силу своей большой общности, так же
как и теорема Вейерштрасса, применяется при доказательстве са-
самых различных теорем существования.
2. Связные компоненты пространства. Пространство М9 состо-
состоящее из четырех расположенных на плоскости попарно непересека-
непересекающихся кругов, несвязно. Оно распадается на четыре круга, каж-
каждый из которых связен и не содержится ни в какой другой связ-
связной части рассматриваемого пространства. Такие части называют
связными компонентами пространства. Мы докажем сейчас, что и
любое несвязное пространство распадается на связные компоненты,
совокупность которых может быть и бесконечной.
Лемма 12.1. Пусть f — непрерывное отображение несвязного
65

пространства М на двухточечное пространство {О, 1}. Тогда лю-
любая часть А пространства М, которая содержит хотя бы по одно-
одному прообразу нуля и единицы, несвязна.
Доказательство. Так как / (А) =э {0, 1}, а никаких
других значений / не принимает, то / (А) = {0, 1}. Поскольку от-
отображение /, по условию, непрерывно в любой точке из М, то /
непрерывно на А. Итак, /осуществляет непрерывное отображение
А на {0, 1}, откуда и следует несвязность А.Щ
Лемма 12.2. Если связные части Аа метрического пространства
М имеют общую точку а> то их объединение А = [} Аа связно.
а
Доказательство. Допустим противное. Предположим,
что А несвязно. Тогда существует непрерывное отображение /
пространства А на двухточечное пространство {0, 1}. Допустим
для определенности, что / (а) — 0. Поскольку / — сюръекция, то
в А имеется такая точка Ъ, что f (Ь) = 1.
Точка Ъ принадлежит хотя бы одному из множеств Аа. Поэтому
хотя бы одно из них содержит как прообраз 0 (точка а), так и прооб-
прообраз 1 (точка Ь). В силу предыдущей леммы, это означает, что Аа
несвязно. Полученное противоречие с условием и доказывает связ-
связность пространства А.Щ
Из доказанной леммы вытекает, что объединение всех связных
частей пространства М, содержащие точку а, связно. Это макси-
максимальная связная часть М, содержащая а. Ее называют связной
компонентой пространства М, содержащей точку а, и обозначают
Са. Из леммы 12.2 следует, что если связные компоненты Са и Сь
пространства М имеют общую точку, то они совпадают. В самом
деле, в этом случае их объединение С связно, а так как Са и Сь —
максимальные связные части, то Са — С, Сь = С, а потому Са = Сь.
Таким образом, различные связные компоненты пространства М
попарно не пересекаются. Кроме того, каждая точка из М принад-
принадлежит своей связной компоненте. Мы доказали следующую теорему:
Теорема 12.5. Всякое метрическое пространство М является
объединением попарно непересекающихся связных частей, каждая из
которых не содержится ни в какой отличной от нее связной части.
Из максимальности связных компонент следует, что если Са
такая компонента, а Л — связная часть М, причем А П Са Ф 0,
то A czCa. В самом деле, в противном случае А [} Са было бы
связной частью М, отличной от Са и содержащей Cfl, что невоз-
невозможно.
Теорема 12.5 позволяет выяснить структуру открытых и замкну-
замкнутых множеств на числовой прямой.
Лемма 12.3. Связные компоненты открытой части R открыты
в R.
Доказательство. Пусть С — связная компонента от-
открытой части М пространства R; а — произвольная точка из С.
Так как а € М9 а М открыто в R, то в R существует окрестность
U точки а, целиком принадлежащая М. Поскольку U — интервал,
66

а интервал связен (см. теорему 12.1), то в силу свойства максималь-
максимальности компоненты С имеем: UczC. Итак, любая точка из С вхо-
входит в С вместе с некоторым интервалом, а это и означает, что С
открыто в R,|
Теорема 12.6. Всякое открытое множество G на прямой либо
представляет собой интервалу либо является объединением конечной
или счетной совокупности попарно непересекающихся интервалов1.
Доказательство. По теореме 12.2 любое связное мно-
множество на прямой является промежутком. Открытые промежутки
на числовой прямой — конечные или бесконечные интервалы. По-
Поскольку множество G распадается на связные компоненты, а связ-
связные компоненты открытого множества открыты в силу леммы 12.3,
то G — объединение попарно непересекающихся интервалов. Но
любое семейство попарно непересекающихся интервалов на пря-
прямой конечно или счетно (см. пример 2.4).¦
Следствие. Всякое замкнутое множество на прямой можно полу-
получить из нее удалением конечного или счетного семейства попарно
непересекающихся интервалов.
Доказательство. По теореме 9.10 замкнутое множество
является дополнением открытого множества. Применяя теорему
12.6, получаем требуемый результат.¦
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение связного метрического пространства»
2. Приведите примеры связных и несвязных пространств.
3. Перечислите связные части числовой прямой.
4. Связен ли образ связного пространства при непрерывном отображении?
5. Сформулируйте теорему о промежуточном значении.
6. При каком условии объединение двух связных частей пространства М
связно?
7. Что такое связная компонента метрического пространства? Может ли
связная часть пространства иметь непустое пересечение со связной компонентой
этого пространства и не содержаться в ней?
8. Опишите строение открытых и замкнутых множеств на прямой.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 7. Ко 49, 51—54.
§ 13. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Фундаментальные последовательности. Последовательность
точек (хп) метрического пространства М называется фундаменталь-
фундаментальной, если для любого положительного числа е можно указать такой
номер N, что при т > N и п > N выполняется неравенство
р(хп,хт) <е. A3.1)
1 Среди них могут быть и бесконечные интервалы: ]— оо; a[t ]a; +<»[,
]—оо; оо[.
67

Пример 13.1. Последовательность (хп)у где хп (/) = tny фун*
даментальна в пространстве С ; — .
1 8
Действительно, для любого е > 0 возьмем N таким, что — <—.
Так как наибольшее значение функции \tn\ на отрезке ; —
равно —, то |1 tn || = —п, поэтому при т, п> N
2 2
1
что и требовалось установить.
Пример 13.2. Последовательность (хп), где хп (t) = tn, не
фундаментальна в пространстве С [—1; 1].
Действительно, рассмотрим хп и х2п. Имеем:
^гг
где t0 — любая точка из [—1; 1]. Положив /0 = ~^ггу получаем:
ill
Р (хп t Х2п) <> у — ~ = "j-
Следовательно, например, при е = — нельая указать такой но-
о
мер N, чтобы неравенство A3.1) выполнялось при всех п, m>N.
Значит, (хп) не фундаментальна.
Выясним некоторые свойства фундаментальных последователь-
последовательностей.
Теорема 13.1. Если последовательность (хп) принадлежит части
В пространства М, то из ее фундаментальности в одном из этих
пространств вытекает ее фундаментальность в другом.
Доказательство. Обозначим метрику пространства Е
через р?, а метрику пространства М через рм. Так как
Ря(*лэ*т) = Рм(Хп9 Хт),
то из того, что неравенство A3.1) выполняется для одной из этих
метрик, вытекает его справедливость и для другой метрики. Поэто-
Поэтому, если мы нашли для данного г > 0 требуемое N для одной мет-
метрики, оно подходит и для другой. ¦
Теорема 13.2. Всякая фундаментальная последовательность ог-
ограничена.
Доказательство. Возьмем 8=1. Можно указать такой
номер N, что при всех /гит, больших N, выполняется неравенство
р (хп , хт) < 1. В частности, выполняется неравенство р (xk, хп) < 1,
где k — некоторое фиксированное число, большее N, a n ^ k.
Но в таком случае шар с центром в точке xk радиуса
68

г = max {p (хи xk)y ..., р (xk_v xk), 1} содержит все члены после-
последовательности (хп)у т. е. (хп) ограничена. ¦
Теорема 13.3. Всякая сходящаяся последовательность фундамен*
тальна.
Доказательство. Пусть последовательность (хп) схо-
сходится к точке а. Зададим произвольное число е > 0. Так как
\\тхп = а, то найдется такой номер N, что для всех п > N вы-
П-+-00
полняется неравенство р (хп> а) < —. А тогда для любых п и т,
больших N, имеем:
Р (хп. хт)< Р (х# а) +Р (хт, а)< -| + -| =е,
что н доказывает фундаментальность последовательности (хп).Щ
Пример 13.3. Последовательность десятичных приближений по недо-
недостатку числа "^^фундаментальна в Q.
Действительно, поскольку Qc R, а в пространстве R эта последователь-
последовательность сходится к У 2У то, в силу теоремы 13.3, она фундаментальна в R, а значит
(см. теорему 13.1), фундаментальна и в Q.
Теорема 13.4. Если некоторая подпоследовательность (хп )
фундаментальной последовательности (хп) сходится к а, то и
сама последовательность (хп) сходится к тому же пределу а.
Доказательство. Пусть задано е> 0. Так как lim xn =¦
fe-*oo А
= а, то можно указать такой номер /С, что
при k > К> С другой стороны, в силу фундаментальности (хп)
существует такое N, что
при п > N и т > N.
Выберем номер р такой, что р > К и пр > N. Тогда для
выполняются неравенства:
p(v а)<т 9{Хпр> *J<i (n>N)-
Поэтому при п > N
а это и означает, что (хп) сходится к а,|
69

Теорема 13.5, Если последовательность (хп) такова, что ряд
2 р (**.**+!) A3-2)
/г=1
сходится, то она фундаментальна.
Доказательство. Пусть задано е > 0. Так как ряд
A3.2) сходится, то найдется такое N9 что
2
при п > N. Поскольку ряд в A3.3) знакоположителен, то любая
его частичная сумма не превосходит суммы ряда, т. е.
т—1
kn
при т > п > N.
Возьмем теперь два произвольных члена хп и хт нашей после-
последовательности, номера которых больше N, причем т > п. Тогда,
в силу неравенства многоугольника и неравенства A3.4), имеем:
т—\
P(Xk • Xk+l) < 8 ¦
Замечание. Обратное утверждение неверно. Последова-
Последовательность (хп) может быть фундаментальной, несмотря на расходи-
расходимость ряда A3.2). Такова, например, последовательность чисел
(хп), где хп = -——. Однако справедливо следующее утверждение:
п
Теорема 13.6. Если последовательность (хп) точек метрического
пространства М фундаментальна, то из нее можно извлечь такую
подпоследовательность (xnk), что ряд
2 р к •*«*«) A3-5)
сходится.
Доказательство. Поскольку (хп) фундаментальна, то
для любого k найдется такое nk, что при /г ^ nk выполняется
неравенство р (xnk% хп) < —. Но тогда и р (xnk, xnk+l) < ^.
Отсюда по признаку сравнения заключаем, что ряд A3.5) сходится.¦
Пример 13.4. Последовательность функций (/„), где
0 при — 1 < х < 0,
пх при 0 ^ х < —,
п
1 при — ^ х < 1,
п
п
из пространства Сх [— 1; 1] фундаментальна.
70

Действительно, поскольку
P (//г, /ft+i) (рис. 20) — площадь тре-
треугольника ОАВУ то
P(fk> fw)==<
Но ряд 2~2"» как известно> сходится,
а тогда по признаку сравнения схо-
сходится и ряд A3.2), составленный для
рассматриваемой последовательности. Jj
В силу теоремы 13.5, данная после-
послеф
-L JL /
K+1 К
у р
довательность фундаментальна.
2. Полные и неполные прост- Рис 20
ранства. В то время как сходя-
сходящаяся последовательность в любом метрическом пространстве фунда-
фундаментальна, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например,
последовательность (хп) десятичных приближений по недостатку
числа V% фундаментальная в Q (см. пример 13.3), не имеет в этом
пространстве предела.
Точки фундаментальной последовательности неограниченно
сближаются, и если эта последовательность не имеет предела, то
они как бы накапливаются у «дырки» (это хорошо иллюстрируется
рассмотренным примером). Таким образом, расходимость некото-
некоторой фундаментальной последовательности как бы показывает на
наличие «дырки» в пространстве.
Метрическое пространство УИ, в котором любая фундаменталь-
фундаментальная последовательность сходится, называется полным] в противном
случае пространство называется неполным.
Полное линейное нормированное пространство называют банахо-
банаховым пространством, а полное предгильбертово пространство назы-
называют гильбертовым.
Теорема 13.7. Всякий компакт — полное пространство.
Доказательство. Пусть (хп) — произвольная фунда-
фундаментальная последовательность из М. В силу компактности М из
нее можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некото-
некоторой точке а € М. Но тогда по теореме 13.4 и вся последовательность
(хп) сходится к а. Значит, в М всякая фундаментальная последо-
последовательность сходится, т. е. М полно. ¦
Следствие. R2 — полное (а значит, и гильбертово) пространство.
Доказательство. Пусть (xk) — фундаментальная по-
последовательность из R". Так как (xk) ограничена, то она принад-
принадлежит некоторому замкнутому шару V из R?. Такой шар компак-
компактен, а потому и полон. Поскольку (в силу теоремы 13.1) (xk)фунда-
(xk)фундаментальна в Vy то она сходится в У, а значит, сходится и в R^. Это
и требовалось установить. Щ
Точно так же доказывается полнота пространств R" и R
л
71

В частности, полна числовая прямая R. Так как R не компакт-
компактно, то требование компактности более жестко, чем требование
полноты.
Теорема 13.8. Всякая замкнутая часть Е полного метрического
пространства М — полное пространство.
Доказательство. Пусть ( хп) — фундаментальная после-
последовательность из Е. Она фундаментальна и в М. Поскольку М
полно, то эта последовательность сходится к некоторой точке а € М.
Но так как (хп) из ?, а Е замкнуто, то а € Е. Значит, любая фун-
фундаментальная последовательность из Е сходится в ?, т. е. Е пол-
полно. ¦
Пример 13.5. Отрезок [а; Ь] из R, замкнутый круг или окружность из
Rg, сфера или куб в R| — полные пространства как замкнутые части полных про-
пространств.
Теорема 13.9. Всякое полное подпространство Е метрического
пространства М замкнуто в М.
Доказательство. Пусть (хп) — любая последователь-
последовательность из ?, сходящаяся к некоторой точке а € M. В силу теоремы
13.3, она фундаментальна в Л4, а значит, фундаментальна и в Е.
Так как Е полно, то (хп) имеет предел в Е. Обозначим его через
Ь. В силу единственности предела в метрическом пространстве
М, точки а и Ъ совпадают. Поэтому а = Ь, и следовательно, а € Е.
Итак, предел любой сходящейся последовательности точек из Е
принадлежит ?, т. е. Е замкнуто (см. с. 49). ¦
Пример 13.6. Пространство Q рациональных чисел с обычной метрикой
неполно.
Действительно, Q — незамкнутая часть R, так как, например, е—предел по-
/ 1 \«
следовательности ( 1 + — из Q не принадлежит Q,
\ п1
Пример 13.7. Пространство R^° полно.
Действительно, пусть (хп) — фундаментальная последовательность в R^,
где хп = (х„\ •••> d?\ ...)• Так как для любых i, n и т
оо 2
\\хп хт\\ — ^\хп хт > ^ \хп хт '»
то для любого i числовая последовательность (х^) фундаментальна, а значит
(в силу полноты R), она сходится к некоторому числу х^\ Покажем, что «точка»
х = (х^, ..., х^1\ ...) принадлежит пространству R^°, причем последователь-
последовательность (хп) сходится в этом пространстве к х.
Для любого е > 0 найдется такое N, что при п, т > N
\\хп хт\\ — 2i\ Xn х
хт

Но тогда для любого / имеем:
Переходя в этом неравенстве к пределу при п -> оо, получаем, что
Поскольку это неравенство справедливо для любого it то
Отсюда следует, что
т. е. что х 6 R^P. Кроме того, для любого 8 > 0 нашлось такое N, что ||я— я^П^
^ е, если т > N, и потому # = lim лгл. Значит, R^° полно.
3. Полнота пространства ограниченных отображений. Пусть
Y — метрическое пространство с метрикой г и X — произвольное
множество. Назовем отображение / : X -> Y ограниченным, если
f (X) — ограниченная часть пространства Y (см. с. 27).
Докажем, что если отображения f : X -> Y и ср: X ->• Y огра-
ограничены, то числовое множество А = {г (/ (х), ф (л:)), л: ?ЧХ} огра-
В самом деле, выберем в X любой элемент х0 и обозначим
г (/ (*о)» Ф (^о)) через а. Поскольку отображения / и ср ограничены,
найдутся такие числа Ь и с, что для всех х € X выполняются нера-
неравенства г (/ (х), / (х0)) < Ь и г (ф (#), Ф (лг0)) < с- Но тогда для
всех х € X имеем:
О < г (/ (х), Ф (х)) < г (/ (х), f (х0)) + г (/ (*0), Ф (х0)) +
+ г (ф (*0), Ф (х)) <Ь + а + с.
Отсюда и следует, что числовое множество Л ограничено (оно лежит
на отрезке [0; а + b + с]).
Обозначим через В (X, Y) совокупность всех ограниченных
отображений множества X в метрическое пространство Y. Из
доказанного выше утверждения следует, что для любых двух от-
отображений / и ф из В (X, Y) существует число
P(f,q>)«=supr(f(*)f ф(*)).
Докажем, что для р выполняются все аксиомы метрики (см. с. 24).
Так как г (f (jc), ф (х)) > 0, то и р (/, ф) > 0. При этом если
f ф ф, то найдется такой элемент xQt что / (х0) Ф ф (х0), а тогда
73

r (f (xo)t Ф (*o)) > О» и потому р (/, ф) > 0. Значит, первая аксиома
метрики выполняется.
Поскольку г (/ (л:), ф (л:)) = г (ср (л:), / (л:)) при любом х € X, то
Р (/» ф) — Р (ф» /)• Это означает, что выполняется и вторая аксиома
метрики.
Пусть, наконец, /, ф и г|) — произвольные ограниченные отобра-
отображения X в Y. Воспользовавшись аксиомой треугольника для
метрического пространства К, получаем:
г (/ (х), Ф (*)) < г (/ (*), я|> (х)) + г (г|) (*), Ф (*)) < р(/,г|>) + р(г|>, Ф).
Отсюда вытекает, что р (/, ф) ^ р (Дг|?) + р (г|), ф), т. е. для р вы-
полняется и третья аксиома метрики.
Итак, множество В (X, Y) является метрическим пространст-
пространством с метрикой р. Оказывается, если Y — полное пространство,
то и В (X, Y) полно. Чтобы доказать это, покажем вначале, что
справедливо следующее утверждение.
Лемма. 13.1. Если отображение f : X -> Y ограничено, причем
r (f (*)» Ф (х)) ^ а для всех х € X, то отображение ф : X -> У
тоже ограничено.
Доказательство. Из ограниченности / следует сущест-
существование такого элемента х0 в X и такого числа ft, что г (/ (xo)t f (x)) <
< Ъ для всех л: ^ X. Но тогда
г (Ф (х0), Ф (х)) < г (Ф (*0), / (х0)) +г (/ (х0), / (х))+г (/ (х), Ф(х))<
<а+Ь+а
для всех х, и потому отображение ф тоже ограничено.¦
Теорема 13.10. Если пространство Y полно, то и пространство
В (X, Y) ограниченных отображений произвольного множества X
в Y также полно.
Доказательство. Пусть (fn) — произвольная фунда-
фундаментальная последовательность из В (X, Y). Тогда для любого
е > 0 найдется такое N, что р (fn, fm) < е при т,п> N. А так как
при любом х € X
г ifjx), fn (x)) < sup г (Jm (х), fn(x)) = р (fm, fn),
то и
г (fm (x), fn(x)) <г (m,n>N;x? X). A3.6)
Это означает, что последовательность (fn (x)) точек пространства
У тоже фундаментальна, а значит, в силу полноты Y, она сходится.
Полагая, что f (х) = Пт/Л (х) для любого х 6 X, получаем от-
ображение / : X ~> Y.
В силу непрерывности метрики (см. с. 60) в неравенстве A3.6)
можно перейти к пределу при m-> оо. Получим, что
' (/ W, /«W) < е (я > tf, х б X). A3.7)
Так как отображение fn ограничено, то отсюда, в силу леммы 13.1,
вытекает, что f тоже ограничено, т. е. / € В (X, Y). При этом из
A3.7) следует, что р (/л, /) < е при п > N. Это означает, что по-
74

следовательность отображений (fn) сходится в пространстве В (X, Y)
к отображению /, т. е. В (X, Y) полно.И
До сих пор мы ничего не требовали от множества X. Рассмотрим
теперь случай, когда это множество является компактным метри-
метрическим пространством. Тогда, в силу теорем 10.3 и 11.6, для лю-
любого непрерывного отображения / : X ->• Y множество / (X) огра-
ограничено. Иными словами, любое непрерывное отображение компакт-
компактного пространства X в метрическое пространство Y ограничено,
т. е. если пространство X компактно, то С (X, Y) с: В (X, F),
где через С (X, Y) обозначено множество непрерывных отображений
X в Г.
Если /, ф ? С(Х, Y), то числовая функция г (/ (л;), <р (х)) непре-
непрерывна на X (см. теорему 8.4), и потому в случае компактности X
имеет на X наибольшее значение. Поэтому метрику в С (X, Y)
для компактного X можно определить равенством
р (/, Ф) = max г (/ (х), ф (*)).
xiX
Сходимость по этой метрике, т. е. сходимость в пространстве С (X, Y),
равносильна равномерной сходимости1. Но так же, как при изуче-
изучении функциональных последовательностей доказывалось, что пре-
предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функ-
функций есть функция непрерывная, можно доказать аналогичное ут-
утверждение и для последовательности непрерывных отображений.
Отсюда следует, что если пространство X компактно, то С (X, Y)
замкнуто в В (X, Y)> По теореме 13.7 отсюда вытекает, что если
В (X, Y) полно, то и С (X, Y) полно. Мы доказали следующую тео-
теорему:
Теорема 13.11. Если пространство X компактно, а простран-
пространство Y полно, то пространство С (X, Y) непрерывных отображе-
отображений X в Y полно.
В частности, полно пространство С [а\ Ь]. Заметим, что про-
пространства Сг [а\ Ь] и С2 la; b], как это будет показано в § 19, не
являются полными.
4. Пополнение метрических пространств*. Полнота—важней-
Полнота—важнейшее свойство метрических пространств. Замечательным фактом
является то, что любое неполное пространство М можно «вклю-
«включить» в некоторое полное пространство, причем среди полных
пространств, содержащих М, имеется в некотором смысле «ми-
«минимальное». Более точно это утверждение мы сформулируем ниже.
Сначала докажем следующую фундаментальную теорему:
Теорема 13.12. Для всякого метрического пространства М су-
существует полное метрическое пространство М, содержащее всюду
плотное подпространство М, изометричное пространству М.
L Аналогично случаю функциональных последовательностей говорят, что
последовательность отображений (fn) равномерно сходится к отображению /,
если для любого е > 0 можно указать такое N, что р (Jn (x), f (х)) < 8 при п > N
и всех х 6 X,
75

Чтобы понять, как доказывается эта теорема, рассмотрим сна-
сначала, как можно построить полное пространство действительных
чисел, исходя из неполного пространства рациональных чисел.
Как известно, действительные числа могут быть записаны в
виде бесконечных десятичных дробей. С каждым действительным
числом х = Л, ах ... ап... связана последовательность рациональ-
рациональных чисел z0 = Л; zx = Л, ах; ...; гп = Л, ах ... ап такая, что
Мтгп=х. Однако это не единственная последовательность ра-
П-+оо
циональных чисел, сходящаяся к х\ вместо последовательности
приближений по недостатку можно было бы взять приближения
по избытку, вместо бесконечных десятичных дробей — бесконечные
двоичные, троичные дроби и т. д. Тем не менее если lim rn = х и
lim tn = х, то lim (rn — tn) = 0, т. е. члены двух последователь-
ностей, сходящихся к одному и тому же числу х, как бы сближаются
друг с другом. При этом, как мы знаем, если последовательность
(гп) сходится, то она фундаментальна.
Множество действительных чисел можно строить так: взять в
Q все фундаментальные последовательности и назвать две такие
последовательности (rn)u(tn)сближающимися, если lim (rn —tn)=0.
П-юо
Действительным числом можно назвать класс попарно сближающих-
сближающихся фундаментальных последовательностей из Q. Сходным образом
строится полное пространство М для любого метрического про-
пространства М.
Доказательство теоремы. 1. Построение простран-
ства М. Обозначим через М множество, элементами которого яв-
являются всевозможные фундаментальные последовательности про-
пространства М. Назовем фундаментальные последовательности (хп)
и (уп) сближающимися^ если lim p (xn f уп )= 0. Из свойств метрики
гс-*оо
легко выводится, что отношение сближения на множестве М яв-
является отношением эквивалентности. Поэтому оно определяет раз-
/ч
биение множества М на классы эквивалентности. Эти классы состоят
из попарно сближающихся фундаментальных последовательностей,
причем последовательности из различных классов не сближаются
друг с другом. Обозначим через М множество этих классов эквива-
эквивалентности и покажем, что на М можно ввести метрику.
Пусть х и у — две «точки» из М. Это классы попарно сближаю-
сближающихся последовательностей. Выберем в этих классах^ по одному
представителю: в х — последовательность (хп)> а в у—последо-
у—последовательность (уп). Покажем, что числовая последовательность
(р(хп, уп)) имеет предел. В силу неравенства четырехугольника
E.2), при любых пит
IP (*m. Ут) ~ Р (Хп> Уп)\ < Р (*т. *п) + Р (У«. Уя )• О3'8)
76

Поскольку последовательности (хп) и (уп) фундаментальны, из
неравенства A3.8) вытекает фундаментальность числовой после-
последовательности (р(хпУуп)). Но пространство R полно и потому
эта последовательность сходится в R к некоторому пределу. По-
Покажем, что этот предел не зависит от выбора последовательно-
последовательностей (хп) и (уп) влГи)Г
В самом деле, рассмотрим другие последовательности (х'п) и
(у'п) из классов хиу, Поскольку (хп) сближается с (хп)> а (уЛ) —
с (у'п), то lim р (х'п, хп) = lim р (у'п, уп) = 0. Но
0 < | р (Хп, у'п) р (Хп , уп )|< р (х'п, Х
и потому lim р (х'пу уп) = lim p (хп, уп).
п
Отсюда вытекает, что каждым двум классам х и у из М соот-
соответствует единственное число lim p (хп, уп), где (хп) ? х, (уп)€ у.
Назовем это число расстоянием между х и у и обозначим его г (х, у).
Очевидно, что г удовлетворяет аксиомам 1) — 3) из п. 1 § 5 и, зна-
значит, задает метрику на М.
2. Построение пространства М. Каждому элементу х из М
соответствует фундаментальная последовательность (ху х, ...), а
тем самым и класс х последовательностей, сближающихся с (л:, ху ...).
Обозначим через М подпространство в М, состоящее из классов
фундаментальных последовательностей, содержащих последова-
/^ .
тельности вида (х, х, ...). Построена изометрия / : М-^ М а М.
Действительно,
г if (*), / (у)) = г Jx, у) = lim р (хп , уп) = р (х, у),
так как хп = х, уп = у при любом п.
Покажем, что М всюду плотно в М.
Действительно, пусть х € ЛГ. Выберем в классе х какую-нибудь
последовательность (*„) и обозначим через хп класс, определяемый
последовательностью (хп1 хп> ...). Так как (хп)фундаментальна, то
для любого е > 0 найдется такое N, что р (хп, хт)<& при m, n>N.
В таком случае г (хтУ х) = lim p (хп9 хп) < е. Отсюда следует,
r>s
что lim хт = х в М. Иными словами, каждый элемент из М являет-
ся пределом последовательности элементов из М9 т. е. М всюду
плотно в М.
3. Полнота пространства М. Пусть (хп).— фундаментальная
последовательность из М. Так как М всюду плотно в М, то для
любого п найдется такой класс хп из М, что г (л:л, хп) < —. Но
77

Тогда
<-~^mJrT (Xm> Xn ) + ^*
Для любого е > 0 найдется такое N, что при т, п > N
и потому р {хт> хп) < е. Значит, последовательность (хп) фунда-
фундаментальна в М и потому ей соответствует некоторый элемент
х (: М, причем
lim г (хп, х) = lim lim p (xn, xk) = О, A3.9)
П-*оо П-*оо fe-»-oo
О < г GЛ, х)<г(^,7Л) + гGя>х)<^ + г(хя , х).
Из последнего неравенства, в силу A3.9), вытекает, что
lim г (хп, х) = 0. Итак, всякая фундаментальная последователь-
П-+оо
ность из М сходится. Значит, М полно.¦
Полное метрическое пространство М, содержащее данное мет-
метрическое пространство М в качестве всюду плотного подпрост-
подпространства, называется пополнением пространствам.
Например, отрезок [а; Ь] — пополнение неполного прост-
пространства ]а\ Ь[> пространство R — пополнение пространства
Q, пространство С [а; Ь] — пополнение (см. пример 9.6) прост-
пространства Е [а; Ь] непрерывных кусочно-линейных функций.
Напомним, что построенное при доказательстве теоремы 13.12
пространство М состоит из классов последовательностей, сбли-
сближающихся с последовательностью (х, х, ...). Такой класс принято
отождествлять с точкой х из М (как мы отождествляем целое число
а с множеством дробей вида —), а пространство М — с пространст-
п ]
вом М. Поэтому принята такая (несколько условная, но более
выразительная) редакция теоремы 13.1:
У всякого метрического пространства существует пополнение.
Покажем теперь, что у метрического пространства М имеется
лишь единственное (с точностью до изометрии) пополнение.
Теорема 13.13. Если А и В — пополнения пространства М,
то существует изометрия f : Л-> В, оставляющая неподвижными
точки из пространства М (т. е. f (х) = х при х б М).
Доказательство. Пусть а € А. Так как М всюду
плотно в Л, существует последовательность (хп) из М> сходящаяся
к а. Такая последовательность фундаментальна в Л, а значит,
(см. теорему 13.1), она фундаментальна и в М. Но в таком случае
78

последовательность (хп) фундаментальна и в В. В силу полноты
В последовательность (хп) имеет в В некоторый предел Ь. Покажем,
что этот предел не зависит от выбора последовательности (хп),
сходящейся к а.
В самом деле, пусть (уп) — другая последовательность из Mf
сходящаяся в Л к а. Так как
°<Рм(хп> Уп) = РА(*п> Уп)<РА(хп> а) + РА(а> Уп)>
то НтрдД;^, уп) = 0. Отсюда, в. силу соотношения
и следует, что (уп) сходится в В к тому же элементу Ь, что и (хп).
Итак, каждому а € Л с помощью (любой) последовательности
(хп) из М, сходящейся к а, можно сопоставить единственный эле-
элемент Ъ = lim хп в пространстве В. Полагая / (а) = Ь, получаем
п->оо
отображение f : Л^> В.
Легко проверить, что отображение / сюръективно (если b € В,
то b = lim хл, хл € М, и, значит, b = / (а), где а — предел по-
последовательности (хп) в Л). Далее, в силу теоремы 8.4, имеем:
PB(f(ai), f(aj) = PB („Ч^*"' jjim^y») =^im^pAf(^/f. уя).
Следовательно, отображение / — изометрия.
Рассмотрим элемент л: из Л, принадлежащий М. В качестве
сходящейся к х последовательности из М рассмотрим последова-
последовательность (а:, х, ...). Предел этой последовательности в пространстве
В также равен х. Поэтому / (х) = х. Это означает, что изометрия
оставляет неподвижными точки из М. ¦
5. Распространение отображения на пополнение метрического
пространства*. В школе показательную функцию сначала опреде-
определяют на множестве Q рациональных чисел, а потом распространяют
ее на все множество R действительных чисел, т. е. на пополнение
пространства Q. Мы рассмотрим сейчас общий вопрос о возможности
распространения непрерывного отображения / : Л->- В до непре-
непрерывного отображения f:A-*B.
Вначале выясним некоторые свойства так называемых равномер-
равномерно-непрерывных отображений. Отображение / метрического про-
пространства Л в метрическое пространство В называется равномерно-
непрерывным, если для любого е > 0 найдется такое б > 0, что
для любых аг и а2 из Л, удовлетворяющих неравенству р {аг, а2)<8,
выполняется неравенство г (f (аг), f (a2)) < в.
Так же, как для функций, заданных на отрезке, доказывается,
что если А компактно, то любое непрерывное отображение f ; А-*В
равномерно-непрерывно.
79

Лемма 13.2. Если отображение f : А -+В равномерно-непрерывно
и Нтр(*я, уп) = 0, то и Нт г (/ (хп)у } (уп)) = О.
Доказательство. Зададим е > 0. Найдется такое
6 > 0, что из неравенства р (аъ а2) < 6 следует: г (/ (aj, / (a2))<e.
Но так как lim р (хп, уп) = О, то найдется такое N, что при n>N
имеем: р (*„, уп) < б. Тогда при п > N имеем: r(f(xn), f(yn))<&,
а это и значит, что Нтг(/(хл), / (уп)) = 0. ¦
Лемма 13.3. ?слм f : A-* В — равномерно-непрерывное отобра-
отображение и (хп)—фундаментальная последовательность в Л, то
последовательность (/ (а:я )) фундаментальна в В.
Доказательство. Зададим г > 0. В силу равномерной
непрерывности / найдется такое б > 0, что из неравенства р (ах, а2) <
<б следует: г (/ (аг)у f (а2)) < г. Поскольку последовательность
(хп) фундаментальна, найдется такое N, что при т, п > N имеем:
р (хт9 хп) < б. Но тогда- г (/ (хт), f (хп))< г при т,п > N. От-
Отсюда следует, что последовательность (/ (хп)) фундаментальна. ¦
Докажем теперь следующую теорему о распространении отобра-
отображений:
Теорема 13.14. Если А и В — метрические пространства и
отображение f : Л -> В равномерно-непрерывно, то существует рае*
номерно-непрерывное отображение /:Л -*¦ Ъ пополнения пространства
А в пополнение пространства В, такое, что f (х) — f (x), если
х € Л. __
Доказательство. Для любого а € Л найдется после-
последовательность (хп) элементов из Л, сходящаяся к а. Эта последова-
последовательность фундаментальна в Л. В силу леммы 13.3 последователь-
последовательность (/ (хп)) фундаментальна в В, и потому найдется такое b € В,
что Ь= Нт/(л:л). Это b не зависит от выбора последовательно-
П-»-оо
сти (хп)у сходящейся к а. В самом деле, если (уп)— другая после-
последовательность элементов из Л, сходящаяся к а, то последователь-
последовательности (хп) и (уп) сближаются. Из леммы 13.3 получаем, что после-
последовательности (/ (хп)) и (/ (уп)) тоже сближаются, а потому
Итак, каждому а € А соответствует один элемент Ь € В такой,
что из условия \iman= а следует, что Пт/(л:л) = 6. Положим
п-*оо л-*оо
/j(a) = b. Очевидно, что если х € Л, To_fjx) =_/ (jc).
Осталось показать, что отображение / : Л -> jB тоже равномер-
равномерно-непрерывно. Пусть е > 0. Найдется такое б > 0, что для всех
flj, а2 из Л, удовлетворяющих неравенству р (аъ а2) < б, выпол-
выполняется неравенство г {/ (ах), / (а2)) < —. Покажем, что тогда из
о
условия р (ах, а2) < б, где аъ аг € ЛГ, следует, что г (
80

Б самом деле, положим бх = б — р (аъ а2). Так как 6Х > 0, то най-
дутся такие alt а2 6 А, что р (аь ах) < ^ р (а2, а2) < -S-, причем
г Л {а,), ТЫ) <|, г(Т(а2), ТЫ) <-|- Но
о
с с
Р (fli, «г) < Р («к «i) + Р («г. «г) + р (а„ а2)< -1 + б — бх + -J- =б,
и потому г (f (at), f (аг)) < —. Следовательно,
г G К), ГЫ) < r<[fc), ГЫ) + г (Гы, Г(а.)) +
+ г (/ (а2), / (а2)) < е.
Этим равномерная непрерывность / доказана. ¦
Распространение равномерно-непрерывных отображений лежит
в основе многих математических конструкций. Например, понятие
определенного интеграла можно ввести с помощью распространения
интеграла, заданного для ступенчатых функций. Легко доказать
далее, что если А и В — линейные нормированные пространства
и /: А -* В — непрерывное отображение Л в В, то это отображе-
отображение равномерно-непрерывно. Поэтому его можно распространить
до непрерывного отображения f: A -+В банахова пространства
А в банахово пространство В. В частности, норму (т. е. отображе-
отображение х -> \\x\\ пространства М в пространство R) и скалярное про-
произведение в М можно распространить на М.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение фундаментальной последовательности точек метриче-
метрического пространства. Приведите примеры фундаментальной и нефундаментальной
числовой последовательности.
2. Какие достаточные и какие необходимые признаки фундаментальности
вы знаете?
3. Дайте определение полного метрического пространства. Приведите при-
примеры полных и неполных метрических пространств.
4. Дайте определение банахова и гильбертова пространств. Приведите при-
примеры банаховых и гильбертовых пространств.
5. Объясните, какие из следующих утверждений истинны: а) всякий ком-
компакт — полное пространство; б) всякое полное пространство компактно.
6. Может ли полное подпространство метрического пространства быть не-
незамкнутым в нем?
7. Может ли замкнутое подпространство полного метрического пространства
быть неполным в нем?
8. При доказательстве полноты пространства R^3 (пример 13.7) имеется фра-
фраза: «Переходя в этом неравенстве к пределу при п -+¦ оо ...». Объясните, на осно-
основании каких теорем анализа это допустимо.
9. Из какого неравенства в примере 13.7 делается вывод, что х 6 R^0? Поче-
Почему? На основании каких теорем из теории рядов получено это неравенство?
10. Дайте определение ограниченного отображения.
П. Сформулируйте достаточное условие полноты пространства ограничен-
ограниченных отображений.
81

12. При доказательстве теоремы 13.11 утверждается, что числовая функция
г (/ М» Ф (*)) непрерывна на X. Докажите, что это следует из соотношения (8.1).
13. Докажите, что предел равномерно сходящейся последовательности не-
непрерывных отображений является непрерывным отображением.
14. При каком условии пространство непрерывных отображений полно?
Объясните, почему из теоремы 13.11 вытекает полнота пространства С [а; Ь].
УПРАЖНЕНИЯ
§ 8. № 3, 7, 10, 14, 20-25.
§ 14. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Многие задачи из различных разделов математики можно свести
к вопросу о существовании неподвижной точки некоторого ото-
отображения. Поэтому важно знать различные условия существования
неподвижных точек. Выводу и применениям одного из этих усло-
условий и посвящен настоящий параграф.
1. Неподвижные точки. Пусть дано некоторое отображение F
метрического пространства М в себя. Точка а из М называется
неподвижной точкой отображения F, если F (а) = а.
Пример 14.1. Неподвижными точками отображения F: х-+х2 число-
числовой прямой в себя служат корни уравнения х2 = х, т. е. числа 0 и 1.
Пример 14.2. Формулы
(и= 2х + Зу— 2,
\v= х+ у + \
задают отображение плоскости в себя. Неподвижной точкой этого отображения
является решение системы
\х= 2х + Зу— 2,
\х=
\У=
т. е. точка (—1; 1).
Пример 14.3. Если х -> у (х) — непрерывная на отрезке [0; 1] функция,
то и функция х ->• у2 (х) — у (х) — х2 тоже непрерывна на [0; 1]. Поэтому форму-
формула F (у) = у2— у— х2 задает отображение пространства С [0; 1] в себя. Не-
Неподвижными «точками» этого отображения являются решения функционального
уравнения у2 (х) — у {х) — х2 = у (х), т. е. функции у = \ +У\ + х2 и у =
= 1 __ у\ + х2.
Пример 14.4. Если функция х -»• у (я) непрерывна на отрезке [0; 1], то и
х
функция х -> J ty (t) dt + 1 тоже непрерывна на [0; 1]. Поэтому формула
F (У) = { ty (t) dt + 1
о
задает отображение пространства С [0; 1] в себя. Его неподвижные точки — ре-
решения интегрального уравнения
у (х) = 1 + ] ty @ dt
о
или, что то же самое, дифференциального уравнения у' = ху при начальном ус-
/Х2\
ловии у @) == 1. Таким решением служит функция у = ехр I — I.
82

Рассмотренные примеры показывают, что понятие неподвижной
точки объединяет в себе многие известные понятия: решение ал-
алгебраического уравнения или системы таких уравнений, решение
функционального, интегрального или дифференциального урав-
уравнений.
2. Сжимающие отображения. Отображение F метрического
пространства М в себя называется сжимающим, если существует
такое число а, что 0 < а < 1, и при любом выборе в этом про-
пространстве двух точек хну выполняется неравенство
р (F (х), F (у))< а р (х, у). A4.1)
Число а, входящее в A4.1), будем называть константой сжатия.
Из неравенства A4.1), в частности, следует, что при сжимающем
отображении расстояние между образами любых двух точек мень-
меньше, чем расстояние между самими точками:
р (F (х), F (у)) < р (*, у). A4.2)
Пример 14.5. Формула / (х) = х2 задает, очевидно, отображение отрез-
0; — в себя. Это сжимающее отображение, так как при любых х и у из
L 3 J
ка
Пример 14.6. Формулы
Г и = 0,7л: + 0,8у,
| v = 0,2л: — 0,05#
задают отображение F плоскости R^ в себя, которое не является сжимающим.
Действительно, рассмотрим точки Мх @; 0) и М2 A0; 10). Найдем их образы:
Р\ @; 0), Р2 A5; 1,5). Так как р (Ми М2) = >^200, р (Рь Р2) > "^2257 то рас-
расстояние между образами этих точек даже больше, чем расстояние между самими
точками.
Пример 14.7. Отображение F:
1 *
пространства С [0; 2J в себя является сжимающим.
Действительно, рассмотрим две произвольные функции уг (х) и у2 М из
С [0; 2]. Обозначим через uY (x) и и2 (х) их образы при отображении F. В силу из-
известных свойств определенного интеграла, для любого х из [0; 2] имеем:
I «1 (*) — «2 (*) I =
О
0
х
1 С 1
3J 3
Поэтому
XX X
I 1
9 (F (Ух)- Z7 (У2)) = max |Wl (x) - и» W К -г р (ур У,).
0<х<2 о
83

Теорема 14.1. Всякое сжимающее отображение f: М ->¦ М не-
непрерывно на М.
Доказательство. Пусть а — произвольная точка про-
пространства М и пусть е > 0. Тогда для всех х € М, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству р (х, а) < е, в силу A4.1), имеем:
Р (/ (*), / (а)) < « Р (*, у) < « е < е.
Это и означает, что / непрерывно в любой точке a Z УИ, т.е. непре-
непрерывно на М.
3. Принцип сжимающих отображений.
Теорема 14.2 (теорема Банаха). Всякое сжимающее отображе-
отображение f полного метрического пространства М в себя имеет, и притом
единственную, неподвижную точку.
Доказательство. Пусть а0 — произвольная точка про-
пространства М. Так как f отображает пространство М в себя, то об-
образ точки а0 также принадлежит М. Обозначим его через аг.
Найдем образ точки ах и обозначим его через а2. Неограниченно
продолжая этот процесс, получим последовательность точек из М:
a1 = f(a0)y ..., aM = f(an), ... . A4.3)
Покажем, что для последовательности (ап) справедливо нера-
неравенство
9 К. О<«П' г, A4.4)
где г = р (а0, а3), а — константа сжатия данного отображения /.
Действительно, при п = 1 это неравенство справедливо. Пред-
Предположим, что оно верно для п — k\
р (ak , ak+\) < a* • г.
Так как / (ak) = ak+u f (ял+i) = 0*+2, то
, ak+2) = р (/ (ak), / (a*+0) < a p (ak , ak+\) < ak+l. г,
потому неравенство A4.4) верно и при п = k + 1. По принципу
математической индукции оно верно для любого натурального п.
оо
Так как 0 < а < 1, то ряд 2 г а" сходится, а тогда, в силу не-
равенства A4.4), сходится и ряд ^ р (ал, яЛ+1)- Поэтому (см. тео-
«=i
рему 13.5) последовательность (ап) фундаментальна. Вследствие
полноты М она сходится к некоторому элементу а € М.
Покажем, что а — неподвижная точка отображения /. Действи-
Действительно, так как а = lim an, а отображение / непрерывно, то
Л-юо
/ (с) - / (lim an) - lim f (an) = lim ая+1 - а.
84

Итак, отображение / имеет неподвижную точку а. Убедимся те-
теперь, что неподвижная точка является единственной. Допустим,
что Ь (Ъ Ф а) — другая неподвижная точка отображения /. Тогда
а = f (a), b = f (b) и потому
р (а, Ь) = р (/ (а), / (Ь)) < а р (а, 6),
р (а, 6)< а р (а, 6). A4.5)
Так как р (а, Ь) > 0 при аф Ь, то обе части последнего нера-
неравенства можно поделить на р (а, Ь). В результате получаем: а ^1, что
неверно. Следовательно, / имеет лишь одну неподвижную точку.¦
4. Метод последовательных приближений. Последовательность
A4.3) иногда называют последовательностью итераций (приближе-
(приближений) для отображения /. Одновременно с теоремой Банаха мы до-
доказали, что если f — сжимающее отображение полного метрического
пространства в себя, то любая последовательность итераций для
f сходится к неподвижной точке этого отображения.
Для нахождения неподвижной точки (существование которой га-
гарантируется теоремой Банаха) с любой требуемой точностью при-
применяют так называемый метод итераций {метод последовательных
приближений). При этом сначала выбирают — обычно на основании
весьма грубой прикидки — «нулевое приближение» а0 к искомой
неподвижной точке, после чего строят последовательность A4.3).
Так как эта последовательность сходится к неподвижной точке а
отображения f, то через некоторое число шагов мы получим при-
приближенное значение а с нужной точностью.
Пример 14.8. Дадим математическое обоснование итерационной фор-
формулы1 для приближенного извлечения квадратного корня из положительного
числа а:
1 / п\
A4.6)
Последовательность A4.6) представляет собой последовательность итераций
для отображения
С помощью известного неравенства ^ Y~ab находим, что / (х) ^ У а при
любом х > 0, в частности при х > У а. Поэтому / отображает луч [Уа\ +оо [
в себя. Это— сжимающее отображение, так как по теореме Лагранжа
Р (/ (х), f (У)) =\f(x)-f (у)] = |/' (Б) (х- у)\ -
II/. а\ . ) 1
х—у
1
17 Р (*> У)
при любых х и у из [У а; +<*>[.
1 См.: Алгебра. Учебник для 7-го класса средней школы. Под ред. А. И. Map-
кушевича. М., 1979.
85

Луч \Ya\ +°°t— как замкнутая часть полного пространства R— полное
пространство. Поэтому (ап) — последовательность итераций сжимающего ото-
отображения / полного пространства в себя. Значит, (ап) сходится к неподвижной
точке отображения /, т. е. к корню уравнения
принадлежащему лучу [Уа\ +оо[. Таким корнем служит число У а.
Итак, последовательность A4.6) сходится к У а, а потому, действительно,
может служить для нахождения приближенных значений У а.
5. Теоремы существования. Теорема Банаха находит широкое
применение в различных областях математики, прежде всего —
при доказательстве различных «теорем существования». Рассмотрим
некоторые из них.
Теорема 14.3. Если заданная на отрезке [а; Ь] функция [отобра-
[отображает отрезок [а; Ь] в себя, дифференцируема на этом отрезке и
ее производная ограничена по модулю на [а; Ь] некоторой константой
q (О < q < 1), то уравнение х = f (х) имеет на [а; Ь] одно и только
одно решение.
Доказательство. Согласно теореме Лагранжа для
любых х1 и х2 из 1а» Ы
о (f (х ) [ (х )) = I / (х ) f (х ) I = I /' (|) I • I х х I
где |€ ]хг\ х2[, а значит, р (/ (xx), / (х2)) < q p {хъ х2). Поэтому
отображение / является сжимающим, причем в качестве константы
сжатия можно принять число q. Так как отрезок [а; Ь] — полное
пространство, то справедливость данного утверждения следует из
теоремы Банаха. ¦
Теорема 14.3, очевидно, справедлива и для всей прямой, и
для любого замкнутого луча.
Теорема 14.4 (существования и единственности решения диф-
дифференциального уравнения). Пусть [ — функция, непрерывная в
некотором прямоугольникеD = {(х\ у) \\х — л:0| ^ а, \у — уо\ ^ Ь)
и удовлетворяющая в D условию Липшица:
Тогда в некоторой окрестности точки х0 существует — и притом
только одно — решение у = ф (х) уравнения yf = f (x, у), удовлет-
удовлетворяющее начальному условию ср (х0) = у0.
Доказательство. Данное уравнение вместе с началь-
начальным условием, очевидно, эквивалентно интегральному уравнению
а решение данного уравнения есть неподвижная точка отображения
X
F- У (*) ""* У о + \ f ('» У @) dt. Поэтому нам достаточно показать
86

(в силу теоремы Банаха), что F — сжимающее отображение неко-
некоторого полного метрического пространства Е в себя.
По теореме Вейерштрасса функция / ограничена в области
D'. |/ (х, у)| ^ М. Выберем число h > О так, чтобы выполнялись
условия: h < —, h <; a, h ^ —. Введем обозначения: с = х0 — h,
К М
d = х0 + h — и рассмотрим подмножество Е функций пространства
С [с\ d], удовлетворяющих на [с; d] соотношению
\У (*)-Уо\<Ь. A4.7)
Множество Е — замкнутый шар в С [с\ d] и, как всякая замкну-
замкнутая часть полного пространства, является полным метрическим
пространством.
Обозначим образ функции у при отображении F через z. Так
как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной
функции — функция непрерывная (даже дифференцируемая), то
образ z любой функции у б Е — непрерывная функция. Поскольку
при любом t ? [с\ d] выполняется неравенство |/ (/, у @I ^ М, то
\г(х)- уо| = | ]f (/, У @) dt\ < М \х - хо|< Mh < ft,
а потому z удовлетворяет неравенству A4.7), т. е. z € jE1. Итак, F
отображает полное пространство Е в себя.
Покажем, что это отображение сжимающее. Действительно,
f Л) - / (/, У г)) dt\ <
(t,yj\dt. A4.8)
Но, в силу условия Липшица, имеем:
I/ (*. Ух) - / V, Уг)\ < ^С1У1 @ -У. @1 <
< /С max |У1 (t) - у, @1< /С р (ylf у,). A4.9)
Из A4.8) и A4.9) получаем:
1*1 (*) — ^2 WI < /С U — хо\ р (уь у2)< /( h p (ух, у2).
Значит,
Р (F (yi), f (У2)) = max \гг (х) — z2 (x)\ <
c<x<d
<Khp (ylf y2)< a p (ylf y2),
где а = /С Л < 1 в силу выбора Л. ¦
Рассмотренные теоремы убедительно показывают, насколько
полезны абстрактные математические построения, ярко иллюстри-
иллюстрируют пользу изучения различных метрических пространств. Одно-
Одновременно читатель еще раз убеждается, что, как и другие науки,
математика развивается по знаменитой ленинской формуле: «От
живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к
87

практике — таков диалектический путь познания истины, позна-
познания объективной реальности»1.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие точки называются неподвижными при отображении пространства
в себя?
2. Приведите примеры приложения понятия неподвижной точки.
3* Какие отображения называются сжимающими? Что такое константа сжа-
сжатия?
4. Приведите примеры сжимающих и несжимающих отображений простран-
пространства R2 в себя.
5. Сформулируйте теорему Банаха о сжимающих отображениях. Дайте оп-
определения всем понятиям (и тем понятиям, на которые они опираются), входящим
в условие этой теоремы.
6. При доказательстве теоремы Банаха использовалось условие: lim an+1=
п-+оо
я= а. Покажите его истинность.
7. В чем суть метода последовательных приближений?
8. Для каких отображений можно гарантировать сходимость метода после-
последовательных приближений?
УПРАЖНЕНИЯ
§ 9. Ко 2, 3, 5, 7, 9, 13, 21—22, 25, 27, 29, 31, 35.
1 Л е н и н В. И. Соч., 4-е изд., т. 38, с. 161.

ГЛАВА III
ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЕБЕГА
§ 15. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
1. Интеграл Римана. Понятие (определенного) интеграла в те-
течение последних полутора веков претерпело в своем развитии
серьезные изменения. Как известно, первое строгое определение
интеграла предложил французский математик Коши в 1823 г. при-
применительно к непрерывным функциям. Более общий взгляд на ин-
интеграл — принятый в настоящее время во многих учебниках по
анализу — принадлежит Риману1. Напомним определение инте-
интеграла по Риману2.
Пусть / — функция, определенная и ограниченная на отрезке
[а; Ь]. Рассмотрим какое-нибудь разбиение (обозначим его бук-
буквой а) отрезка на промежутки точками х0, хъ ..., хп% где х0 = а,
хп= Ь, х0 < хг < ... < хп . Так как / ограничена на ta; ft], то она
ограничена и на каждом промежутке этого разбиения. Поэтому
множество значений / на k-м промежутке (k = 1, ..., п) имеет ниж-
нижнюю грань тк и верхнюю грань Mk . Составим суммы:
2
где Axk = xk — Xk—\. Эти суммы называют соответственно нижней
и верхней интегральными суммами (или суммами Дарбу3) для функ-
функции /, соответствующими заданному разбиению ст. Понятно, что
различным разбиениям отрезка [a; b\ соответствуют, вообще го-
говоря, различные верхние и различные нижние интегральные суммы.
1 Бернхард Риман A826—1866) — выдающийся немецкий матема-
математик, профессор Геттингенского университета. Им были заложены основы тополо-
топологии, неевклидовой геометрии (Римана), общей теории многообразий, геометри-
геометрической теории функций комплексного переменного. Теории интеграла посвящена
его работа «О возможности представления функции посредством тригонометри-
тригонометрического ряда» A867 г.).
2 См.: Виленкин Н. Я., Куницкая Е. С., Мордкович А. Г.
«Интегральное исчисление». М., 1979.
3Жан Гастон Дарбу A842—1917) — видный французский мате-
математик, известный своими работами в области дифференциальной геометрии.
89

Рассмотрим для функции / множество Af всевозможных нижних
интегральных сумм и множество Bf всевозможных верхних ин-
интегральных сумм, т. е. множества сумм, соответствующих всевоз-
всевозможным разбиениям а отрезка [а; ft]. Можно доказать, что множе-
множество Af расположено на числовой оси левее1 множества Bf, а пото-
потому они разделяются хотя бы одним числом.
Если множества Af и Bf разделяются единственным числом,
то говорят, что функция / интегрируема на отрезке \а\ ft], а само
разделяющее число / называют интегралом (в смысле Римана)
ь
функции / на [а; ft] и обозначают так: \/ (х) dx. Таким образом,
а
S(f; g2),
где аг и а2 — произвольные разбиения отрезка [a; ft].
Пример 15.1. Функция Дирихле2
(О при х иррациональном,
D (х) =
[1 при х рациональном
не интегрируема по Риману на отрезке [0; 1].
В самом деле, при любом разбиении а отрезка [0; 1] для каждого номера
k (k = 1, ..., п) имеем: ти = 0, Mk = 1. Поэтому
п
s (D; а) = 0; 5 (D; о) = 1 . ^ (** - **-0 = *•
Значит, множество AD состоит из одного числа 0, a BD— из одного числа 1. Но
такие множества разделяются любым числом из отрезка [0; 1]; так что D не ин-
интегрируема на [0; 1].
В курсе интегрального исчисления доказывается критерий ин-
интегрируемости по Риману: для интегрируемости функции на от-
отрезке [a; ft] необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0
можно было найти такое разбиение этого отрезка, что
(Mk — mk )CiXk < е.
Тот факт, что сравнительно простые функции (вроде функции
Дирихле) оказываются неинтегрируемыми, послужил одним из по-
поводов (но далеко не единственной причиной) для попыток дальней-
дальнейшего расширения, обобщения понятия интеграла. Над этой пробле-
проблемой работали многие математики конца XIX в. Наиболее удач-
1 Иными словами, каждое число из Af не превосходит ни одного числа из
Bj.
2 Петер Лежен Дирихле A805—1859) — известный немецкий ма-
математик, работавший в области математического анализа, теории чисел и матема-
математической физики.
90

ное определение интеграла было предложено Анри Лебегом1. Вот
как сам Лебег объясняет необходимость своей работы:
«Может возникнуть вопрос, интересно ли заниматься усложне-
усложнениями и не лучше ли ограничиться изучением функций, требующих
лишь простых определений. Если мы решили бы ограничиться рас-
рассмотрением таких хороших функций, то нам пришлось бы отказать-
отказаться от решения давно уже поставленных и весьма просто формули-
формулируемых проблем. Именно для решения этих проблем, а не из люб-
любви к усложнениям я и ввел определение интеграла более общее,
чем римановское, и содержащее это последнее как частный слу-
случай. Я полагаю, что внимательный читатель, сожалея, быть может,
что вещи не так просты, согласится, однако, со мной, что определе-
определение это необходимо и естественно»2.
Известный коллектив математиков, объединенный псевдонимом
Н. Бурбаки, в своих очерках по истории математики отмечает, что
в результате открытия Лебега были получены бесчисленные дости-
достижения в области классических проблем анализа. Остановимся лишь
на двух из таких проблем.
1) Пусть (fn) т- последовательность ограниченных в совокуп-
совокупности функций, определенных и интегрируемых по Риману на от-
отрезке [а\ Ь\. Пусть (fn) сходится на [а; Ь] к некоторой функции /.
Известно, что
если выполняется дополнительное условие — условие существова-
существования интеграла в смысле Римана от предельной функции. Оказа-
Оказалось, что при использовании интеграла в смысле Лебега послед-
последнее условие выполняется автоматически.
2) Как известно, метрические пространства Сх [а\ Ь] и С2 \а\ Ь]
не являются полными, что существенно ограничивает возможность
их применения. Попытка дополнения этих пространств всеми ин-
интегрируемыми по Риману на [а; Ь] функциями не спасает положения.
Оказывается, что введение интеграла Лебега позволяет добавить
к этим пространствам такие функции, что пространства становятся
полными.
При введении интеграла Лебега удобно опираться на так назы-
называемые ступенчатые функции и функции, е-малые по Лебегу. Рас-
Рассмотрим вначале эти функции.
1 Анри Лебег A875—1941) — известный французский математик. Им
были введены мера и интеграл, названные впоследствии его именем. Заслуженной
известностью пользуется его книга «Об измерении величин», посвященная проб-
проблемам преподавания математики в средней школе.
2 См.: А. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных. М.—Л., 1934,
с. 3.
91

2. Ступенчатые функции. Функцию ф называют ступен-
ступенчато й, если существует такой отрезок la; ft] и такое разбиение
о = {х01 хъ ..., хп } этого отрезка, что ф (х) = 0 вне [a; ft], a на
каждом из интервалов кЛ-1; *Л [ функция ф постоянна. Значения
функции ф в точках х01 ..., #Л, вообще говоря, произвольны, но
мы обычно будем считать, что ср (хк— 0) ^ ф (хк) ^ ф (xk + 0),
k = 1, ..., д. Примером такой функции может служить функция
ф (х) = 0, а также изучаемая в школе функция / (х) = Ы, если
дополнительно положить, что / (х) = 0 при |л:| > М.
Для любых двух ступенчатых функций ф иг|) можно найти отре-
отрезок [a; ft] и его разбиение {х0, ..., хп } такие, чтобы обе функции
были постоянны на интервалах \xk_x; xk [и равны нулю вне \а\ ft].
Для этого достаточно взять наименьший отрезок, содержащий оба
отрезка, вне которых функции ф и\|) обращаются в нуль, а за точки
разбиения взять точки разбиений для обеих функций ф иг|). Значит,
сумма двух ступенчатых функций является ступенчатой функ-
функцией.
Очевидно, что если ф — ступенчатая функция, то и Адр, где
X 6 R» также ступенчатая функция. Таким образом, множество
всех ступенчатых функций образует линейное пространство.
Пусть ф — ступенчатая функция. Тогда существует отрезок
[a; ft] и такое разбиение {х01 ..., хп } этого отрезка, что ф (л:) = ck при
х 6 }*k-v ХЛ (* = 1» •••» «) и Ф М = 0 вне [a; ft]. Назовем инте-
гралом функции ф по множеству R число / (ф) =
где /(ф)—
/г=1
сокращенное обозначение для Гф (x)dA:. Значение интеграла не за-
—оо
висит ни от выбора отрезка [a; ft], ни от выбора разбиения а —
лишь бы ф обращалось в нуль вне [a; ft] и была постоянна на про-
промежутках выбранного разбиения.
Очевидно, что если функция ф неотрицательна, то / (ф) равно
площади ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке 21. Отме-
Отметим, что эта фигура компактна.
Интеграл от ступенчатых функций обладает следующими оче-
очевидными свойствами:
.•¦.•.'•/.'.•I-'-'.-'::
•••••••г ¦
fe=l
m
^V \ 1
Рис. 21
б) |/(ф)|</Aф1);
в) если ф (х) ^ г|) (х) при лю-
любом ху то / (ф) ^ / (г|)).
3. Функции, е-малые по Ле-
Лебегу. Мы намерены вначале ввес-
ввести понятие интеграла Лебега по
92

всей числовой оси R. Поэтому будем рассматривать функции, оп-
определенные на R.
Рассмотрим некоторое счетное множество S неотрицательных
ступенчатых функций. Составленный из таких функций ряд при
любом х имеет конечную или бесконечную сумму, не зависящую от
со
порядка слагаемых. Пусть из множества S составлен ряд
и пусть дана некоторая функция /. Будем писать, что / ^
п=1
если / (х) ^ ^Фл М при любом х из области сходимости (к конеч-
ной сумме) рассматриваемого ряда.
Пусть выбрано некоторое положительное число «е. Функция /
называется г-малой, если существует такая последовательность не-
оо
отрицательных ступенчатых функций (фл), что |/| ^ ^Фл» причем
/2=1
/ (ф„) < е. Последовательность (фЛ), обладающую указанными
свойствами, будем называть ^-последовательностью для функции /.
Пример 15.2. Ступенчатая функция ф является е-малой при любом
В самом деле, в качестве е-последовательности для ф можно взять последова-
последовательность (Фл), где фх = | ф|, ФЛ = 0 при п ^ 2.
Пример 15.3. Функция /, отличная от нуля лишь в одной точке хо, яв-
является е-малой при любом е > 0:
Действительно, для заданного е > 0 выберем такой отрезок Д с центром в
точке х0У что |/ (*0) | • |Д| < е, где |Д| — длина Д, и положим ф (x)=\f (xo)\
на Д и ф (х) = 0 вне Д. Рассмотрим последовательность (фл), у которой фх = ф,
Фл = 0 при п > 2.
сю оо оо
Так как "УфЛ = Ф, то |/| < "Уфя» причем "V/ (Фя)=/(ф)=|/(*о)|- |Д| <
п=\ п=\ п=\
< е. Значит, (ф„) может служить е-последовательностью для /, а потому функ-
функция / является е-малой.
Пример 15.4. Рассмотрим функцию Кантора &, равную единице на кан-
тэровом троичном множестве Fo и нулю вне этого множества. Эта функция е-мала
B\т
при любом е > 0. В самом деле, для любого е > 0 найдется такое т, что — <
\3 /
< е. Обозначим через ф функцию, равную единице на всех отрезках, получаемых
на т-м шагу канторова процесса (см. с. 51), и нулю вне объединения этих отрез-
/2\т /2\т
ков. Так как сумма длин указанных отрезков равна — 1 , то / (ф) = I — 1 < е,
\ 3 / \ 3 /
причем, очевидно, \k(x)\ ^ ц> (х). Из сказанного ясно, что (фл), где фх = ф,
фл = 0 при п > 2, является е-последовательностью функции k.
Из самого определения е-малых функций вытекает справедли-
справедливость следующих двух утверждений:
93

Теорема 15. 1. Функция f тогда и только тогда г-мала, когда
е-мала функция |/|.
Теорема 15.2. Если функция f является г-малой, a \g (x)\^. |/ (х)\
при любом х, то г-мала и функция g.
В дальнейшем нам понадобятся и другие, менее очевидные
свойства е-малых функций.
Пусть функция f г-мала, а X — некоторое действительное чис-
число. Тогда функция Xf является \ X \е-малой.
В силу е-малости функции / для нее можно подобрать е-после-
довательность (ф„). Функции |Я|фл (п 6 N) являются ступенчаты-
оо оо
ми, причем у рядов 2^/г и 21 ^ '^я одинаковые области сходимости.
Если х — точка сходимости этих рядов, то, по условию, выполня-
оо
ется неравенство: \f (х)\ ^ ^Ц>п (х). Но тогда
11 f /v^ I i^i if /i^\ i " 111
| /V/ \J^f | I /w I * I / IЛI I ^, I ДI
Значит, | Xf\ < У I Щп . А так как
/i=i
2 / AМф«) = 1^1 2 7(Ф«) <|Л|е,
п=\ п=\
то (|Х|фл) может служить |Я| е-последовательностью функции Xf.
Поэтому функция Xf является | Х|е-малой.
Убедимся теперь, что если функции fk являются ^-малыми
п п
(k = 1, ..., m), а г = 28*> то функция f = 2/* будет г-малой.
/г=1 /г=1
В силу 6^ -малости функции fk у нее имеется ^-последователь-
^-последовательность (ч>(п}). Множество всех функций ф(?; (п 6 N; k = 1, ..., т)
счетно как объединение конечного числа счетных множеств. По-
Поэтому все функции этого множества можно расположить в одну по-
последовательность (я|)г), г 6 N, где i|)r = <p?*J при некоторых /i 6N
и & 6 {It •••> т}. Допустим, что при данном х знакоположительный
ОО
РЯД 2'ФгМ сходится. Так как сумма этого ряда не зависит от по-
рядка слагаемых, то
т оо
2 ¦'<*> = 2 2ф-
/1 1
ft=i i
А так как, по условию, |Д (х)\ ^
п=1
94
2
/5=1

Из A5.1) и A5.2) следует, что |/| ^^Фг* Аналогично находим, что
2 22
k=\ л=1 /г=1
Значит, (г|)Г) может служить е-последовательностью для функции f.
Из только что установленных фактов вытекает справедливость
следующего утверждения:
Теорема 15.3. Если функции fk (k = 1, ..., п) являются ек-малы-
ми и г = 2 \h left, mo функция f = 2^* /* будет е-Л
Теорема 15.4. Пусть f — сумма сходящегося при всех х функ-
оо оо
ционального ряда 2jk , г =2^гк (е& > 0), Д — неотрицательная
/г=1 /г=1
гк-малая функция. Тогда функция f является е-малой.
Доказательство. Рассуждая, как и выше, рассмотрим
^-последовательность (ср^) функции Д . Множество {ф^|/г 6 N,
&6 N} счетно как объединение счетного семейства счетных множеств.
Его можно записать в виде одной последовательности (г|?г). Имеем
далее:
г=1 /г=1 п=\
для любого л: из области сходимости ряда ^рг А так как /* (д;)
>0, то
22 2
k=\ k=l n=l
оо
Значит, |/| ^2^- Как и в предыдущем доказательстве, убежда-
емся далее, что 2 ' (Фг) < е- Значит, (я|)г) служит е-последователь-
ностью функции /. ¦
Пример 15.5. Функция /, отличная от нуля лишь на счетном множестве
точек {х1у ..., хп, ...}, является е-малой при любом 8 > 0.
Действительно, положим
(|/(*я)| при х= хп,
fn (*) =
I 0 прихфхп.
95

8
Так как функция fn отлична от нуля лишь в одной точке, то она — -мала (см. при-
пример 15.3). При этом, очевидно,
2 ?
Но тогда неотрицательная функция |/| е-мала в силу теоремы 15.4, а значит (см.
теорему 15.1), и / обладает тем же свойством.
Например, функция Дирихле (см. пример 15.1) е-мала при любом положи-
положительном е, поскольку D (х) Ф О на Q, а это множество счетно.
Установим теперь некоторые свойства е-малых ступенча-
ступенчатых функций.
Лемма 15.1. Если ступенчатая функция ф является е-малой,
то для нее можно указать такую ^-последовательность (срл), что
со
в точках сходимости ряда ^ФЛМ выполняется строгое неравен-
ство |ф(#)| < ^фл (х)у и, кроме того, в точках разрыза хъ ...,
п=\
функции ф выполняются неравенства
Доказательство. В силу е-шлости функции ф имеет-
имеется такая последовательность неотрицательных ступенчатых функ-
ций (я|?л), что число / = 2^1 (г|)л ) меньше е, а | ф (х) \ ^ ^$п W ПРИ
п=\ п—\
всех х из области сходимости рассматриваемого ряда.
Нам надо заменить указанное нестрогое неравенство на стро-
строгое и добиться, чтобы в точках разрыва сумма ряда давала оценку
сверху не только для |ф(л:)|, но и для |ф(л:±0)|. Для этого до-
дополним систему функций (г|зя) некоторыми ступенчатыми функция-
функциями а0, а1э ..., ап .
В качестве а0 возьмем функцию, постоянную на отрезке [а; Ы,
вне которого ф обращается в нуль, причем значение а0 на lu; b\
достаточно малое число б0 > 0, а вне [а; Ь\ — нуль. После ее при-
присоединения нестрогое неравенство за-менится на строгое. В каче-
качестве же at (i = 1, ..., п) возьмем функцию, принимающую значение
И, = max {|ф(х, —0)|, 1фК-
на достаточно малом отрезке At с центром в точке разрыва х{ функ-
функции ф. Рассмотрим теперь последовательность (фл), где фя = ап_1
при п ^ k + 1 и ф„ =я|)/1_А_1 при п ^ к + 1. Нетрудно видеть,
оо
что сумма ^Фл (*) будет оценивать сверху и числа |ф (xt ± 0)|.
96

Малость чисел б0 и | AJ должна быть такой, чтобы выполнялось
оо
неравенство "У/(фл)<е. Предоставляем читателю проверить, что
п = \
для этого достаточно положить
8
14 2(k+\)[it 2(k+\)(b—ay ш
В дальнейшем, выбирая функции фл для е-малой ступенчатой
функции ф, будем предполагать, что выполняются требования,
указанные в лемме 15.1.
Теорема 15.5. Если неотрицательная ступенчатая функция ос
является е-малой, то I (а) ^ е.
п
Доказательство. Положим1 оп = \фЛ и обозначим
/г=1
через Фп ступенчатую фигуру, ограниченную осью абсцисс, гра-
графиком функции оп и конечным числом вертикальных отрезков,
проведенных в точках разрыва функции ап (см. рис. 21). Через Ф
обозначим аналогичную ступенчатую фигуру, соответствующую
функции а. Так как все функции уп неотрицательны, то оп(х) ^
^ °n+i (*) и потому Фч cz ФЛ+1. При этом, поскольку для всех х
оо оо
либо а(х)< \ фЛ (х), либо "V^ W = +°°» то Для любого х най-
оо
дется такое п, что а (х) < оп (х). Поэтому Фс U Фп.
Зададим б > 0 и заменим каждую из фигур Фп содержащим
ее открытым ступенчатым множеством Qn («окаймим» фигуру Фп).
При этом потребуем, чтобы площадь2 «каймы» Ял\ Фп не превос-
с со оо
ходила —. Так как Ф с U Фп и Фп а пп, то Ф си [) Qk . Но
множество Ф компактно, множества же Qn открыты. Поэтому в
силу теоремы о конечном покрытии найдется такое п, что
иА (иА и (и (Qft\oj).
k=\ k=\ k=l
п
Так как Ф1 cz Ф2 cz ... cz Фп cz ..., то (J Ф/г = Фл и потому
Ф^Ф.и (U (ОЛ\ФЛ)).
/г=1
Отсюда следует такая оценка площади фигуры Ф:
2 ^<1фЛ-б. A5.3)
к=\
1 Здесь (ф^)—е-последовательность для функции а.
2 О понятии квадрируемости и свойствах площадей см. книгу, указанную
в сноске на с. 89. Здесь и в дальнейшем площадь фигуры Ф обозначается как | Ф|.
97

Но |Ф| = / (ос), |ФЛ | = / (оп). Поэтому из неравенства A5.3)
получаем:
/(а)
/г=1
оо
Так как <рЛ (х) ^ 0 и V / (фЛ) < е, то
к\
/(а)
/г=1
В силу произвольности б > 0 отсюда и вытекает доказываемое не-
неравенство. ¦
4. ?-приближения функции. Понятие е-малости функции позво-
позволяет ввести важное для наших построений понятие е-приближения
функции.
Назовем z-приближением функции / такую ступенчатую функ-
функцию фе, что функция / — фе является е-малой.
Теорема 15.6. Если функция фб является Ь-приближением
функции /, а фе является г-приближением той же функции, то вы-
выполняется неравенство
/(фв)-8</(фе) + е. A5.4)
Доказательство. Так как, по условию, функция / —
— Фб является б-малой, а функция / — ф8 является е-малой, то по
теореме 15.3 разность функций / — ф6 и / — фе, т. е. функция
Фе — Фб» будет (е + б)-малой. Но в таком случае (см. теорему 15.1)
будет (е + б)-малой и неотрицательная ступенчатая функция
|Ф8 — фб|. А тогда по теореме 15.5 выполняется неравенство
I/ (Фе) - / (Ф6I = I' (Ф8- ФбI < / Aфе - Фб1)<6 + е-
Из него следует, что / (ф6) — / (фе) ^ б -f e, откуда и вытекает
неравенство A5.4).¦
5. Интеграл Лебега. Дадим, наконец, новое (отличное от ри-
римановского) определение понятия интегрируемой функции и инте-
интеграла. При этом мы будем существенно опираться на предвари-
предварительно введенное нами вспомогательное понятие интеграла / (ф)
от ступенчатой функции.
Назовем функцию / интегрируемой или суммируемой (по Лебе-
Лебегу на всей числовой оси R), если для любого е > 0 она имеет
е-приближение фе.
Поставим в соответствие интегрируемой функции /два числовых
множества:
*/= {/(Фв)-е}, Yf= {/(Фе) + е},
где е пробегает множество всех положительных чисел, а функция
фг при заданном е > 0 пробегает множество всех е-приближений
функции /. В силу теоремы 15.6 множество Xj расположено левее
98

множества У f, и потому эти множества разделяются хотя бы од-
одним числом1
Рассмотрим произвольное 8 > 0. Так как / интегрируема, то
у нее есть —приближение ср. Но в таком случае а = I (ф) ?
е
6 Xf, b = I (ф) -| 6 У/• Значит, для любого г > 0 можно най-
найти такие числа а ? Xf и b 6 У/, что b — а < е. В силу критерия
единственности разделяющего числа, множества Xf и Уf разде-
разделяются единственным числом.
Единственное разделяющее число множеств Xf и Yf интегри-
интегрируемой функции / называется интегралом Лебега функции /
со
и обозначается так: (L) J/ (x)dx. Наряду с этим обозначением мы
—оо
будем использовать и более короткое: hif)- Здесь буква L подчер-
подчеркивает, что интеграл понимается в смысле Лебега.
Из определения интеграла вытекает, что для любого е-приближе-
ния фе интегрируемой функции / справедливы неравенства:
/(q>e)-e</L(/)</(<pe) + e A5.5)
и потому | /L.(/) — / (Ф8)| < е. A5.6)
Легко заметить, что всякая ступенчатая функция ф интегри-
интегрируема по Лебегу, причем ранее определенный ее интеграл I (ф)
совпадает с ее интегралом II (ф) в новом, лебеговском смысле.
Действительно, пусть задано произвольное 8 > 0. Так как
функция ф — ф, очевидно, е-мала (в качестве 8-последовательности
можно взять последовательность нулевых функций), то сама функ-
функций ф может служить для себя 8-приближением. Отсюда следует
интегрируемость ф по Лебегу. В силу неравенства A5.6) имеем
далее, что \IL (ф) — / (ф)| ^ г при любом е > 0. Это и означает,
что IL (ф) = / (ф).
Отметим еще, что поскольку ступенчатая функция 0 = 0 мо-
может при каждом е > 0 служить 8-приближением для функции,
е-малой при любом 8, а / F) = 0, то функция /, г-малая при лю-
любом е > 0, интегрируема по Лебегу, причем IL (/) = 0.
Например, функция Кантора k (см. пример 15.4), как 8-малая
при любом 8 > 0, интегрируема по Лебегу, и IL (k) = 0. То же
самое можно сказать и про функцию Дирихле.
Пример 15.6. Покажем, что функция
(яприл: 6@; 1[,
/М =
[О при х ? [0; 1[
интегрируема по Лебегу, и найдем ее интеграл.
1 См., Н. Я. Виленкин, Е. С. Куницкая. Математический анализ. Введение
в анализ. М., 1973, с. 24.

Рис. 22
I/W -Ф W
W =
Пусть задано е > 0. Выберем на-
натуральное число т так, что — < е, и
т
рассмотрим ступенчатые функции
(рис. 22, где т = 3):
к — 1 к — 1 k
, если < х < —,
т mm
0, если х $ [0; 1[,
—, если *? [0; 1],
= I m
[0, если *$[0; 1]
и последовательность (фЛ), где фг =г|?,
ФЛ = 0 при п > 2. Так как
1
гг=1
п=\
то функция /— ф является е-малой, а ф может служить е-приближением функ-
функции /. Интегрируемость / доказана.
Имеем далее:
й-1 • 1
_ тг2 2 2т
Поэтому, в силу неравенства A5.3), получаем, что при всех достаточно больших
т выполняется неравенство
2 + 2т <&'
Переходя в этом неравенстве к пределу при m -> оо, получаем:
а это — в силу произвольности 8 — означает, что IL (/) = —.
6. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана. Пусть функ-
функция / определена на отрезке [а\ Ь\. Рассмотрим вспомогательную
функцию / такую, что ] (х) = f (х) на [а; Ь] и / (х) = 0 вне [а; Ь].
К функции f применимы определения предыдущего пункта. Бу-
Будем говорить, что функция / интегрируема по Лебегу на отрезке
[а; Ь], если функция / интегрируема (на всем R) по Лебегу. При
ь
этом положим: (L) I/ (x)dx = IL (/). Договоримся в этом пункте
а
для различия интеграл Римана функции / по отрезку \a\b\ обозна-
ь
чать так: (R)§f(x)dx.
а
Пример 15.7. Функция Дирихле D интегрируема по Лебегу на любом
ь
отрезке [а; Ь\% причем (L) J D (x) dx = 0.
а
too

В самом деле, функция D отлична от нуля (равна 1) лишь на множестве ра-
рациональных чисел отрезка [а; Ь]. Так как это множество счетно, то функция
D является е-малой при любом 8 > 0, а значит, она интегрируема
ь
(см. с. 99) и (L) \ D (x) dx = IL (Б) = 0.
а
Итак, функция Дирихле, не интегрируемая на отрезке по Рима-
ну, оказывается, интегрируема по Лебегу. Убедимся, что обратное
явление невозможно ни для какой функции.
Теорема 15.7. Если функция f интегрируема на отрезке [а; Ь]
по Риману, то она интегрируема на этом отрезке и по Лебегу,
причем оба интеграла от f равны.
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0, В
силу критерия интегрируемости функции по Риману существует
такое разбиение о = {х0, хъ ..., хп } отрезка [а] Ь] (см. с. 90), что
/г=1
Рассмотрим ступенчатую функцию ф такую, что ср (х) = mk,
если xk_{ ^ х < хк% ср (b) = b и ф (х) = 0 вне [а\ Ь]. Покажем, что
функция / — ф является е-малой. Для этого рассмотрим ступен-
ступенчатую функцию г|) такую, что г|) (*) = Mk — mk при х ? ixk_{\ xkl,
г|5 ф) = f (fr), -ф (х) = 0 вне [a; b]. Поскольку при х 6 lxk_x\xkl
выполняется соотношение mk <[ / (х) ^ Mk, то 0 ^ / (х) — тк ^
^ Mk — mk (k = 1, ..., п) при тех же #, а значит, |/ (х) — ф (x)| ^
(х) при всех х. А так как
/ (*) = 2 (Mk - mk)bxk < e,
то последовательность (фл), где фх = -ф, фл = 0 при п ^ 2, явля-
является е-последовательностью для / — ф, чем и доказана е-малость
функции f—ф. Интегрируемость функции / по Лебегу на \а\ Ь]
доказана.
Для доказательства равенства интегралов рассмотрим еще од-
одну ступенчатую функцию а такую, что а (х) — Mk при х ?
6 ^xk-v XJ» а Ф) = f F)» а (х) = 0 вне [а; Ь]. Имеем:
2
Значит, выполняется неравенство
/(*)</ (Ф) + в. A5.7)
101

В силу определения интеграла Римана выполняется соотношение:
т b m b
^ mk А хк < (R) j / (х) dx <^ Mk A xk или / (Ф) < (R) j'/ (x) dje</(o).
к=1 а /г=1 а
Значит,
/ (Ф) — е < (R) J7 (*)Же < / (ф) + е. A5.8)
С другой стороны, ф является е-приближением для функции /.
Поэтому, согласно определению интеграла Лебега, выполняется
такое соотношение:
/ (Ф) - е < (L) j/ (x)dx < / (ф) + е. A5.9)
а
Из неравенств A5.8) и A5.9) находим:
ь ь
\ (x)dx - (L)J7 (x)dx\ < 2е
при любом е > 0. Отсюда и вытекает равенство обоих интегралов.И
Теорема 15.7 и пример 15.7 показывают, что класс интегриру-
интегрируемых на отрезке по Лебегу функций шире класса функций, интег-
интегрируемых по Риману.
При доказательстве теоремы 15.7 мы обнаружили, что для ин-
интегрируемой по Риману на отрезке [а\ Ь\ функции / можно подо-
подобрать такую ступенчатую функцию ф (равную нулю вне отрезка),
что функция f — ф является е-малой. При этом «роль» е-последова-
тельности для / — ф «играет» одна неотрицательная ступенчатая
функция. Если назвать е-малыми по Риману функции /, для кото-
которых можно подобрать неотрицательную ступенчатую функцию if>
такую, что |/ (х)\ ^г|з (х) при любом х, причем / (\р) < е, а затем
буквально повторить принятое выше определение интегрируемо-
интегрируемости и интеграла (рассматривая лишь такие ступенчатые функции,
которые обращаются в нуль вне рассматриваемого отрезка), то
получится понятие интегрируемости (и интеграла), равносильное
определению Римана. Таким образом, определение Лебега расши-
расширяет определение Римана, изменяя всего лишь понятие е-малости
путем рассмотрения не только ступенчатых функций, но и их счет-
счетных сумм.
7. Свойства интеграла Лебега. Убедимся теперь, что для ин-
интеграла Лебега сохраняются важнейшие свойства интеграла Рима-
Римана. Мы будем снова рассматривать интеграл Лебега по всей пря-
прямой, обозначая его / (/); интегрируемость будем также всюду по-
понимать как интегрируемость по Лебегу на R.
Теорема 15.8. Если интегрируемая функция f г-мала, то
I/ (/I < е.
Доказательство. Так как функция / е-мала, то функ-
функция 9 = 0 является ее е-приближением. А тогда в силу неравен-
неравенства A5.6) имеем: |/ (/)| = \1 (/) — / F)| < е. ¦
102

Теорема 15.9. Если функция f интегрируема, то функция \f\
тоже интегрируема.
Доказательство. Для любых чисел а и Ь имеет место
неравенство || а\ — |Ь|| <; \а — Ь\. Поэтому для всех х ? R имеем:
II/Ml- 1фМИ< 1/М-фМ!.
Отсюда вытекает, что если ф является е-приближением для /, то
|срI является е-приближением для |/|. Поэтому |/| тоже интегриру-
интегрируемая функция. ¦
Теорема 15.10. Если функции fk {k = 1, ..., п) интегрируемый
п
%k 6 R, то функция f = 2j \fk интегрируема, причем
п
Доказательство. Положим К = J] | \ \ и зададим
/г=1
е > 0. У каждой из функций fk есть - -приближение фл. Поло-
А
п
жим ф = 5] \ф/г* Так как функция /л — yk является — -малой, а
I *1 X А,
2
/г=1 /г=1
то, по теореме 15.3, функция / — ф является е-малой. Функция ф
ступенчата как линейная комбинация ступенчатых функций.
Значит, функция / при любом е > 0 имеет е-приближение ф и по-
потому интегрируема. При этом имеют место неравенства:
|/(/)-/(фI <е, A5.11)
|/(/*)-/(ф*I <f (*= 1, -. п). A5.12)
Из неравенства A5.12) следует, что
v(f,)-
2
/г=1
2
Аг=1
Но для ступенчатых функций имеем:
103

Значит, в силу неравенств
A5.11) и A5.13),
/(Ф) —
k=l
Рис. 23
Функция fmn (т < 0
fmn (*) =
f
/-о
2
В силу произвольности е > О,
отсюда и вытекает доказывае-
доказываемое соотношение. ¦
В теории интеграла Лебега, а также в практике его вычисле-
вычисления важную роль играют так называемые срезки функции. Позна-
Познакомимся с ними.
п) такая, что (рис. 23)
/ (х), если т < / (х) < пу
т> еСЛИ / W < "*>
п, если / (х) > п,
называется (т, п)-срезкой функции /, а функции
J\ f W» если / W < п, f ( . = (f (х), если / (х)>т,
(^ П| если f (х) > п /то°1 ; \т, если [ (х) <т
(т ^ 0 ^ п) называются соответственно срезками сверху и снизу
функции /.
Рассмотрим две функции / и g и их срезки fmn и gmn. Если m ^
< / {х) < п и m < g (д:)< п, то /тл (*) = / (x)t gmn (x) = g {x).
Если / (*) > п, а т < g (л:) < п, то
l/m« W - ётп WI = I Л - * (*) | < |/ (X)- g (x) |.
Разбирая все остальные случаи (в том числе и случаи т = —оо
или п = со), приходим к выводу, что для любых срезок выпол-
выполняется неравенство
\frnn (X) ~ 8!Пп MKIfW-g (Х)\ (X 6 R). A5.14)
Из этого неравенства непосредственно вытекает, что если сту-
ступенчатая функция ф является г-приближением для функции /,
то ступенчатая функция фт/г (т ^ 0 ^ я, а также m = —оо или
п = оо) будет г-приближзнием для fmn. Но в таком случае справед-
справедлива следующая теорема:
Теорема 15.11. ?сла функция интегрируема, то и любая ее
срезка интегрируема.
104

Теорема 15.12. Если все значения интегрируемой функции f
или принадлежат отрезку [т; п\, где т ^ 0 ^ п, или неположи-
неположительны, или неотрицательны, то при любом е > 0 у этой функции
имеется ^-приближение, обладающее тем же свойством.
Доказательство. Так как, в силу условия, / = fmn,
то для любого е-приближения ф функции / ступенчатая функция
ц>тп и будет искомым е-приближением.Н
Теорема 15.13. Если функция f интегрируема и неотрицатель-
неотрицательна, то I (/) > 0.
Доказательство. Для любого е > 0 функция / имеет
неотрицательное е-приближение <р. Так как для неотрицательных
ступенчатых функций доказываемое неравенство верно, то, в силу
неравенства A5.5),
/(/)>/ (Ф) - е > - 6,
откуда, благодаря произвольности е, и вытекает доказываемое
неравенство.Н
Из теорем 15.10 и 15.13 следует, очевидно, справедливость сле-
следующего свойства:
Теорема 15.14. Если fug интегрируемы, причем f (x) ^ g (x)
при всех х, то I (/) ^ / (g).
Теорема 15.15. Если функция f интегрируема и ср — ее г-при-
ближгние, то функция |/ — ф| интегрируема, причем
0 < / A/ — Ф|) < е.
Доказательство. Функция |/ — ф| интегрируема в
силу теорем 15.9 и 15.10. При этом, поскольку она е-мала, то ее
интеграл не превосходит е в силу теоремы 15.8.¦
Теорема 15.16. Если функция f неотрицательна, причем
I (/) < е, то эта функция (г + Ь)-мала при любом б > 0.
Доказательство. Обозначим через ф неотрицательное
—приближение функции / (см. теорему 15.12). Тогда функция / — ф
является —малой и потому имеет —последовательность (уп).
Рассмотрим последовательность (урп), где ^ = ф, \|)л = фл_х при
оо
п ^ 2. В каждой точке сходимости ряда ^"Фл имеем:
1/(х)|<Ф(х) + |/ (*)-Ф (х)\ < Ф (х) + f Ф„ (ре) = f г|)„ (*). A5.15)
/1=1 П = \
При этом поскольку |ф (х)\ < |/ (х)\ + |ф (х) — f (x)\ при всех
х, то по теоремам 15.10, 15.14 и 15.15
/ (ф)< /(/) + / Aф—/D <* + {.
105

Поэтому
2 S'(<Pn)<e + 6. A5.16)
Неравенства A5.15) и A5.16) показывают, что (г|эя) является F +
+ е)-последовательностью функции /, что и доказывает (б +.е)-
малость /.¦
Теорема 15.17. Если |/ Ml ^ g (х) при всех х и I (g) = 0, то
функция f интегрируема и I (/) = 0.
Доказательство. В силу теоремы 15.16 функция g
является е-малой при любом 8 > 0. Но тогда (см. теорему 15.2)
е-мала и функция /. А значит, функция 0 = 0 является е-при-
ближением для / при всех е > 0. Поэтому / интегрируема, причем
(см. теорему 15.8) |/ (/)| < е при любом е > 0, т. е. / (/) = 0.Щ
Наконец, докажем теорему об интегрируемости произведения.
Теорема 15.18. Пусть функции /х и f2 интегрируемы и функ-
функция /2 ограничена по модулю числом М2. Тогда функция fj2 инте-
интегрируема, причем | / (fj2) | < M2I d/xl).
Доказательство. По условию существует такое М 2,
что для всех х имеем: |/2 (х)\ ^ М2. Зададим 8 > 0 и найдем -^— -
приближение фх для /1в Так как ступенчатая функция фх ограниче-
ограничена, то найдется такое М1У что |фх (л:)| ^ Мх для всех х. Возьмем
приближение ф2 для /2. Покажем, что ступенчатая функция
2М1
фхф2 является е-приближением для /х/2.
В самом деле, для любого х имеем:
l/i (x)h (х) - Ф1 МФа WI = l/i (*)U (х) - ф1 (x)f2 (х) +
+ Ф1 (X)U (X) - Ф1 (Х)Щ (Х)\ < |/2 (Х)\ • |/! (X) - Ф1 (Х)\ +
+ 1Ф1«1 • \U(x)-<p2(x)\.
Так как |фх {х)\ < Мх и | /2 (х)\ < М2, то
l/i (x)f2 W-Фг (х)ФЯ WK^2l/i W-ф! Ml + л*! |/аМ-Ф2М1-
Поскольку М2 • ——|- Мг • —~ = е, то, по теоремам 15.2 и 15.3,
2М 2М1
2
ф2 является е-приближением для /^2.
Мы доказали, что функция fj2 имеет е-приближение для любо-
любого е > 0. Поэтому она интегрируема. Указанное в теореме нера-
неравенство вытекает из неравенства |/х М/2 М I ^ M2\h МI и теорем
15.10 и 15.14.И
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Данте определение интеграла Римана. Приведите примеры интегрируемых
и неинтегрируемых по Риману функций.
2. Дайте определение ступенчатой функции. Приведите пример такой функ-
функции, постройте ее график.
106

3. Можно ли утверждать, что сумма счетной совокупности ступенчатых
функций ступенчата?
4. Дайте определение е-малой функции. Приведите пример е-малой функции
при 8=1.
5. Дайте определение е-приближения функции. Укажите какое-нибудь
е-приближение при е = 0,1 для функции / такой, что / (х) = х2 при 0 ^ х ^ 1 и
/ (х) = 0 вне [0; 1].
6. Из каких чисел состоят множества Xf и Yfi Укажите хотя бы по одному
числу из этих множеств для функции /, указанной в предыдущем вопросе.
7. Какая функция называется интегрируемой по Лебегу на R? Какое число
называется ее интегралом?
8. Какая функция называется интегрируемой по Лебегу на отрезке? Можно
ли указать функцию, интегрируемую на отрезке по Риману, но не интегрируемую
по Лебегу? Можно ли указать функцию, интегрируемую на отрезке по Лебегу,
но не интегрируемую по Риману?
9. Какие из свойств интеграла Лебега, доказанных в пункте 7, были доказа-
доказаны в курсе интегрального исчисления для интеграла Римана?
10. Что называется (т, /г)-срезкой функции? Постройте графики срезок fmn
для функции / (х) = х2 — 4 при: а) т = п = 2; б) т — п = 5; в) т = —оо,
л=4.
И. Дайте полное доказательство неравенства A5.14).
12. Что можно сказать об интегрируемости срезок интегрируемой функции?
УПРАЖНЕНИЯ1
§ 12. № 1,2, 10, 14, 19 (положить Е = R).
§ 16. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
1. Интегрирование сходящихся по Лебегу последовательностей
функций. Доказанные выше свойства интеграла Лебега в основном
аналогичны соответствующим свойствам интеграла Римана. Сей-
Сейчас мы изучим вопрос о предельном переходе под знаком интеграла
Лебега. Напомним, что такой переход в случае интеграла Римана
возможен лишь при весьма жестких ограничительных предполо-
предположениях.
Назовем последовательность функций (fn) сходящейся по Лебе-
Лебегу к функции /, если для любого е > 0 найдется такое М, что при
всех п ^ М функция / — fn является е-малой.
Теорема 16.1. Если функции fn(n 6 N) интегрируемы (по Лебе-
Лебегу) и последовательность (fn) сходится по Лебегу к функции /, то
функция f интегрируема, причем
/(/) = lim /(/„). A6.1)
П-+оо
Доказательство. Зададим г > 0. По условию найдет-
найдется такое р, что функция / — fp является е-малой. Так как функция
fp интегрируема, то у нее есть —-приближение <рр. Поскольку функ-
1 В задачнике принята иная трактовка интеграла Лебега. Поэтому при реше-
решении указанных задач следует опираться на соответствующий теоретический ма-
материал и рассмотренные примеры в этой книге.
107

ции / — fp и fp — ц)р являются —-малыми, то, в силу теоремы 15.3,
функция / — фр = (/ — fp) + (fp — q>p) будет е-малой. Но тогда
ступенчатая функция цр является е-приближением функции /.
Таким образом, для любого е > 0 существует е-приближение
Ц)р функции /, и потому эта функция интегрируема. Далее, по усло-
условию, для любого е > 0 найдется такое М, что при п ^ М функция
f — fn е-мала. Но тогда по теореме 15.8 при п^М выполняется
неравенство |/(/— fn)\ < е, а значит (см. теорему 15.10), и не-
неравенство
I/(Л-/(/„)К в. A6.2)
Итак, для любого е > 0 существует такое М, что при п ^ М вы-
выполняется неравенство A6.2). Это и значит, что справедливо ра-
равенство A6.1).В
Не всегда легко проверить, сходится ли последовательность (fn)
к / по Лебегу. Ниже мы дадим более простые условия выполнения
равенства A6.1).
2. Интегрирование функциональных рядов и последовательно-
последовательностей, сходящихся в каждой точке. Докажем вначале одно вспомо-
вспомогательное утверждение.
Лемма 16.1. Пусть функция f — сумма сходящегося на R ряда
оо оо
2/ » составленного из интегрируемых функций, причем Y.I(\fn l)<
л=1 п=\
< е. Тогда функция f является (е + Ь)-малой при любом б > 0.
Доказательство. Обозначим / (| fn |) через гп, тогда
гп <е. По теореме 15.16 функция fn является (гп + —)-малой.
\ \ '
п=\
Но тогда и \}п | обладает таким же свойством. Так как
то функция f= Yifn> в силу теоремы 15.3, будет (г + б)-мала.И
Теорема 16.2. Пусть функция f — сумма сходящегося на R
оо
ряда У] fn, составленного из интегрируемых функций, причем число-
оо
вой ряд У |/ (fn)\сходится. Тогда функция f интегрируема, причем
п-1
108

Доказательство. Зададим е > 0. Найдется такое чис-
число М, что при п ^ М выполняется неравенство
k=n~\-\
оо
Тогда из леммы 16.1 следует, что функция гп= 2 /^является
е-малой. Значит, для любого е > 0 найдется такое М, что при
п
п^М функция rn= f — snt где sn=yifk, е-мала. Поэтому по-
следовательность функций (sn) сходится по Лебегу к функции f.
При этом функции sn интегрируемы в силу теоремы 15.10. Но тог-
тогда, в силу теоремы 16.1, функция / интегрируема и / (/) = lim / (sn).
П-юо
n
А так как (см. теорему 15.10) / (sn) = ^ / (/^), то
k=\ /г=1
Пример 16.1. Покажем, что функция /, равная — на интервалах (их
называют интервалами п-го ранга), удаляемых из отрезка на п-м шаге построения
множества Кантора, и равная 0 при остальных х, интегрируема, и найдем ее ин-
интеграл.
Обозначим через Ап объединение всех (их 2я-1) интервалов п-го ранга и рас-
рассмотрим функцию
,0 при х^Ап.
Это ступенчатая функция, а значит, она интегрируема, причем (поскольку длина
одного интервала л-го ранга равна ~)
Z О Z • О
оо
Так как ряд ^fn сходится на всей числовой оси, а / является его суммой, то в
п=\
силу георемы 16.2 функция / интегрируема, причем
~ 1 ^i 1 1
2 2* Ъп 4 "
п=\ п=\
Террема 16.3. Пусть функция s — предел сходящейся в каждой
точке числовой оси последовательности неотрицательных инте*
109

грируемых функций (sn), причем последовательность (I(sn)) также
сходится. Тогда s интегрируема, причем I (s) = lim / (sn).
П-*-оо
Доказательство. Функция sn— п-я частичная сумма
оо П
ряда S//i» где/1 = 51,/Л= sn— sn^ при п > 2. Так как ? |/ (fk)\ =
/ п \
= ^ I 2]/л )= 1 (sn)> то / является суммой ряда, удовлетворяющего
\k=\
всем условиям теоремы 16.2. Значит, / интегрируема, причем
Теорема 16.3 позволяет установить важную дл* практических'
целей зависимость между интегралом от функции и интегралами от
ее срезок.
3. Связь интеграла от функции с интегралами от ее срезок.
Теорема 16.4. Для того чтобы неотрицательная функция f
была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы были интег-
интегрируемы ее срезки fOn при любом п ? N и сходилась последователь-
последовательность (I (fQn)). В этом случае
I (f) = lim I (fOn). A6.3)
П->оо
Доказательство. Заметим вначале, что при любом х
найдется такое натуральное число М, которое превосходит / (х), а
потому fOn(x) = / (х) при п* > М. Это означает, что последователь-
последовательность (fOn (x)) сходится к / (л:) при любом х. Отметим еще одно оче-
очевидное свойство срезок: fOn(x) ^ fon+i(x) ПРИ любом х, т. е. после-
последовательность (fon) неубывающая.
Пусть теперь нам известно, что / интегрируема. Тогда, в силу
теоремы 15.11, ее срезки fon интегрируемы. Так как fon (х) ^ / (х)
при любом х, то (см. теорему 15.14) / (fon) ^ / (/), т. е. последо-
последовательность (/ (/ол)) ограничена сверху. Из монотонности последо-
последовательности срезок вытекает монотонность последовательности
С (fon))- Значит, эта последовательность сходится.
Мы доказали необходимость условий теоремы. Их достаточ-
достаточность непосредственно вытекает из теоремы 16.3, откуда одновре-
одновременно следует и справедливость равенства A6.3).¦
Наряду с изученными нами срезками fmn (срезки «сверху»
и «снизу») можно ввести в рассмотрение и срезки другого типа (как
бы «справа» и «слева»):
f (x\ = (fix), если U|< п,
1пК ' \0, если |х| >п.
Изучив свойства этих срезок (они аналогичны свойствам срезок
fmn), для них можно получить следующий аналог теоремы 16.4:
Теорема 16.5. Для того чтобы неотрицательная функция f
110

была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы были интег-
интегрируемы ее срезки fn при любом п ? N и сходилась последователь-
последовательность (I (/„)). При этом
/(/) = Urn /(/„).
М->оо
Теоремы 16.4 и 16.5 верны, очевидно, и для интегралов по от-
отрезкам. Они позволяют свести вычисление интеграла от неогра-
неограниченной функции к интегралам от ограниченных функций или ин-
интегралов по всему R к интегралам по отрезкам. Рассмотрим на
примерах, как это делается.
Пример 16.2. Покажем, что функция / такая, что / @)= 0 и / (*) = з~ц
¦/х
при х Ф 0, интегрируема на отрезке [—1; 8], и найдем ее интеграл.
Функция принимает значения разных знаков. Поэтому непосредственно вос-
воспользоваться доказанными теоремами нельзя. Представим / в виде разности двух
неотрицательных функций / = /+ — /~, где
Жуч = I f (*)> если / (х) > 0, f-{x)\-f (х) если / (х) < 0,
' w \ 0, если / (*)< 0. ' \ 0, если / (*) > 0.
Функция /+ задана на ограниченном множестве, но она неограниченная. Рас-
Рассмотрим ее срезки:
п при 0 < х < —,
при — < х ^ 8,
3 г— п*
ух
О при — 1 ^ х < О.
Эти функции на рассматриваемом отрезке интегрируемы по Риману (как имею-
имеющие конечное число точек разрыва), причем
1М3 8 ,
\х = Г ndx +
Л i
2/г2
По теореме 16.4 получаем, что/+ интегрируема на рассматриваемом отрезке,
причем
8
I
2/г2
—Т
Аналогично убеждаемся, что функция /~ также интегрируема и ее интеграл
3
по рассматриваемому отрезку равен —. Тогда / интегрируема как разность ин-
интегрируемых функций, и
Пример 16.3. Покажем, что функция / (х) = интегрируема на R,
и найдем ее интеграл.
111

Рассмотрим «боковую» срезку fn. Она интегрируема по Риману на [—п\ л],
причем
оо п
Г fa (x) dx = Г dx 2 = 2 arctg n.
—оо —rc
Из теоремы 16.5 тогда вытекает, что / интегрируема на R и
/ (х) dx = 2 lim arctg n = п.
Заметим, что по Риману функции из рассмотренных примеров
проинтегрировать нельзя. Раньше при их интегрировании мы при-
прибегали к особому понятию, обобщающему понятие интеграла Рима-
на, — несобственному интегралу. При интегрировании по Лебегу,
как видим, в этом не возникает необходимости.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что означает фраза «последовательность функций (fn) сходится к функции
/ по Лебегу»?
2. Сформулируйте достаточное условие, позволяющее интегрировать функ-
функциональные ряды.
3. При каких условиях / (lim fn) = lim / (/„)?
П-+СО П-*-СО
4. При каких условиях выполняется равенство A6.3)?
5. Дайте определение «боковых» срезок функции. Постройте график срезки
fn при п = 4 для функции / (х) = х2.
6. Какая существует зависимость между интегралом от функции и интегра-
интегралами от ее «боковых» срезок?
УПРАЖНЕНИЯ
§ 12. № 24, 26, 36—38.
§ 17. МЕРА ЛЕБЕГА
1. Мера Лебега и ее свойства. Длина отрезка Д оси абсцисс
численно равна площади построенного на нем прямоугольника вы-
высоты, равной 1, т. е. интегралу от функции
% (х) = / 1 ПРИ х ^ А»
А \0 при х $ Д.
По аналогии назовем числовое множество Е измеримым по Лебегу,
если функция
% (х\ = П при х € Е,
Е [0 при х $ Е
интегрируема по Лебегу. Такую функцию 1Е будем называть ха-
характеристической функцией множества Е. Число / (ХЕ) назовем
мерой Лебега множества Е и обозначим |?|.
112

Пример 17.1. Ранее (см. с. 99) было показано, что функция Дирихле
интегрируема, причем интеграл от нее равен нулю. Эта функция является харак-
характеристической для множества рациональных чисел (равна единице для рацио-
рациональных чисел и нулю для остальных). Значит, множество рациональных чисел
измеримо, причем его мера Лебега равна нулю: | Q| = 0.
Точно так же можно убедиться, что измеримо и множество Од рациональ-
рациональных чисел любого отрезка А, причем | Qa | = 0.
Пример 17.2. Функция Кантора k (см. пример 15.4)— характеристи-
характеристическая функция канторова троичного множества Fo. Так как k интегрируема и
/ (k) = 0, то множество Fo измеримо, причем (Fo| = 0.
Поскольку мера множества — обобщение понятия длины отрез-
отрезка, то естественно ожидать, что мера обладает важнейшими свой-
свойствами длины. Убедимся, что это действительно так.
Теорема 17.1. Мера любого измеримого множества неотрица-
неотрицательна.
Доказательство. Так как характеристическая функ-
функция %е измеримого множества Е интегрируема и неотрицательна,
то, в силу теоремы 15.13, имеем: \Е\= I (ХЕ) ^ 0.Щ
Теорема 17.2 (свойство монотонности меры). Если множества
А и В измеримы и А а Ву то \ А | ^ | В\.
Доказательство. Так как А с: В, то %А (х) ^ %в (х)
при любом х, а в таком случае справедливость нашего утверждения
вытекает из теоремы 15.14.Н
Теорема 17.3 (свойство аддитивности меры). Если множества
Еъ ..., Еп измеримы и попарно не пересекаются, то и их объедине-
объединение Е измеримо, причем
Доказательство. Обозначим через Xi, ..., Хп характе-
характеристические функции множеств Ег, ..., Еп. По условию эти функ-
функции интегрируемы. Значит, интегрируема и сумма этих функций X.
Но множества Ek (k = 1, ..., п) попарно не пересекаются. Поэтому
X (х) = 1 при х k Е и X (х) = 0 при х i ?, т. е. функция X являет-
является характеристической для множества Е. Измеримость Е доказана.
Одновременно из теоремы 15.10 вытекает, что
Теорема 17.3 может быть обобщена и на случай счетной сово-
совокупности множеств.
Теорема 17.4 (свойство счетной аддитивности меры). Если мно-
множества Еп(п € N) попарно не пересекаются и измеримы, а ряд
2 | Еп | сходится, то множество Е = U Еп также измеримо,
п=1
113

причем
Доказательство. Рассмотрим функциональный ряд
оо
У Хл, где %п — характеристическая функция множества Еп.
Пусть х € Е. Так как множества En(n€N) попарно не пересекают-
пересекаются, то найдется, и притом единственный, номер k такой, что х 6 Ek.
Это означает, что Xk{x) = 1, 1п{х) = 0 при п Ф k. Отсюда еле-
дует, что частичные суммы числового ряда ]? %п (х), начиная с k-й,
равны 1. Поэтому рассматриваемый функциональный ряд при та-
таких х сходится к числу 1. Если же х ? Е, то х не принадлежит
ни одному из множеств Ent а это означает, что lk (x) = 0 при всех
к. При таком х наш функциональный ряд сходится к нулю.
оо
Итак, ряд ^ %п сходится при любом х к характеристической
функции X множества Е. Вытекающая из условий теоремы инте-
оо
грируемость функций %k(k 6 N) и сходимость ряда J] / (%k) позво-
k=\
ляет воспользоваться теоремой 16.2. Из нее и следует, что функция X
интегрируема (т. е. Е измеримо), причем
k=\ /г=1
Следствие. Если множества Еп (п € N) попарно не пересекаются
оо
и измеримы, а их объединение Е = U Еп ограничено, то оно изме-
оо
римо и \Е\ = ? \Еп\.
Доказательство. Так как множество Е ограничено, то
оно принадлежит некоторому отрезку F. Но тогда и \j En czF при
любом k. В силу аддитивности и монотонности меры это означает,
что 2 \Еп\ ^ |F|. Отсюда следует, что неубывающая последова-
оо
тельность частичных сумм ряда ]? | Еп \ ограничена сверху. Значит,
114

этот ряд сходится и справедливость следствия вытекает из преды-
предыдущей теоремы, щ
Пример 17.3. Пусть Е — множество чисел отрезка F = [0; 1], десятич-
десятичное разложение которых невозможно без цифры 7. Покажем, что Е измеримо, и
найдем его меру.
Выясним, как устроено множество Е. Для этого отберем сначала множество
Е1 тех чисел из F, в десятичном разложении которых первой цифрой после запя-
запятой будет непременно цифра 7. Ясно, что Ех состоит из одного интервала1 ]0,7;
0,8[ длины 0,1. Затем из f\ Ex отберем множество Е2 тех чисел, в десятичном
разложении которых второй цифрой после запятой будет непременно цифра 7.
Ясно, что ?2 состоит из девяти интервалов (]0,07; 0,08[, ]0,17; 0,18[, ..., ]0,67;
0,68[, ]0,87; 0,88[, ]0,97; 0,98[) длины 0,01 каждый.
Аналогично обнаружим, что те числа из F\(E1 [} E2), в десятичном раз-
разложении которых на третьем месте после запятой окажется непременно цифра 7,
составляют множество ?3> являющееся объединением 81 интервала длиной
со
0,001 каждый, и т. д. Ясно, что Е = []Еп. Так как множества Еп — как объеди-
п=\
нения конечного числа интервалов — измеримы и попарно не пересекаются, то
в силу следствия из теоремы 17.4 множество Е измеримо, причем
п—\
Теорема 17.5. Объединение, пересечение и разность двух из-
измеримых множеств измеримы.
Доказательство. Пусть Е = Е± (] Еъ где Ег и Е2 —
измеримые множества. Обозначим через Хх и Х2 характеристиче-
характеристические функции множеств Ег и Е2. Эти функции интегрируемы. Тогда
интегрируема и функция X = Xi + Х2 — 1, а значит, интегриру-
интегрируема и ее срезка Х0оо (см. с. 110), которая, очевидно, и является ха-
характеристической функцией множества Е. Измеримость пересече-
пересечения доказана.
Интегрируема и функция Xi + Х2 — Х0оо, которая, как легко
проверить, является характеристической функцией для Ег U Е2,
откуда и вытекает измеримость объединения. Измеримость разно-
разности Ех \ Е2 вытекает из того, что ее характеристической функцией
является Хх — Х0оо.И
Пример 17.4. Множество 1Е иррациональных чисел любого отрезка Е
измеримо, причем 11?| = \Е\.
В самом деле, \Е = Е \ QE , где Q? — множество рациональных чисел от-
отрезка Е. Поэтому измеримость рассматриваемого множества вытекает из теоремы
17.5 в силу измеримости отрезка и множества QE (см. пример 17.1). Так как да-
лее ^е П ®е = 0» то из теоРемы 17.3 следует, что
\\E\ = \E\-\QE\=\E\.
1 Число 0,7 не попадает в Еъ так как его можно записать без использования
цифры 7, а именно: 0,7 = 0,6999... .
115

Теорема 17.6. Если множества Ek(k (! N) измеримы и меры
п
множеств Fп = U Ek при любом п ограничены сверху некоторым
/г=1
оо
числом М, то множество Е = \]Ek измеримо.
Доказательство. Положим Gx = Fiy Gn = Fn\ Fn_x
при п ^ 2. Из теоремы 17.5 получаем с помощью математической
индукции, что все множества Fп измеримы, а потому и все б^изме-
оо оо оо
римы. Но так как Е = \]Ek = [}Gk, то Е = [j Gk, причем Gk
оо
попарно не пересекаются. При этом знакоположительный ряд V, | Gk \
сходится, так как его частичные суммы ограничены сверху числом М:
t ЮЛ1 = IUGJ= |Fll|<Af.
По теореме 17.4 получаем, что множество Е измеримо. ¦
Теорема 17.7. Если множества Ek(k € N) измеримы, то и мно-
оо
жество Е = (]Ek измеримо.
/2=1
Доказательство. По теореме 17.5 все множества Т k =
= Ег\ Ek измеримы. При этом Tk а Еъ а потому совокупность
п
чисел | U 7\ | ограничена сверху числом | Ег\. По теореме 17.6 полу-
/2=1
оо
чаем, что множество Т = [} Тk измеримо, а значит, измеримо и
/г=1
множество Ег \ Т. Но это множество получается удалением из
множества Е1 всех элементов, не принадлежащих хотя бы одному
из множеств Ek (k ^ 2), а потому в него входят лишь элементы,
принадлежащие всем Ek. Таким образом, измеримое множество
?х\ Т совпадает с множеством ?, откуда и следует измеримость Е. Щ
Теорема 17.8. Если множества Еп(п б N) измеримы, причем
?i с?2 с.., с?лс„. и числовая последовательность (|Еп |)
оо
ограничена, то множество Е = [] Еп измеримо, последователь-
п=\
п
ность (| Еп |) сходится и \Е\ = lim | Е
П-+ОО
Доказательство. Сходимость последовательности
(\Еп |) вытекает из ее ограниченности и монотонности. Рассмотрим
вспомогательные множества: Gt = Еи Gn— Еп\ Еп_1 при п ^ 2.
Эти множества измеримы, попарно не пересекаются, а их объедине-
п п
ние равно Е. Так как [) Gk = Еп, то U \Gk\=\En\, а это означа-
?=i k=\
оо
ет, что \Еп | есть n-я частичная сумма ряда 2 I ^а !• Из ограничен-
116

ности последовательности (| Еп |) вытекает сходимость рассматрива-
рассматриваемого ряда. Но в таком случае последовательность множеств (Gn)
удовлетворяет всем условиям теоремы 17.4, из которой и вытекает,
что Е измеримо, причем
оо п
\Е\ = У | Gk | = Иг
/Si n"*c
Пример 17.5 Любое ограниченное открытое множество G измеримо.
В самом деле, множество G является (см. с. 67) объединением конечного или
счетного числа попарно непересекающихся интервалов Pt. А так как каждый
интервал измерим (его характеристическая функция ступенчата), то измеримость
G вытекает из следствия теоремы 17.4.
Пример 17.6. Любое ограниченное замкнутое множество F измеримо.
Действительно, пусть / = inf F> s= sup F. Тогда F = [i; s]\G, где G от-
открыто. Поэтому F измеримо как разность двух измеримых множеств.
2. Множества меры нуль. В теории интеграла особую роль иг-
играют множества нулевой меры. Изучим их свойства.
Пусть Е — множество нулевой меры, a F — его подмножество.
Тогда выполняются соотношения:
которые в силу теоремы 15.17 означают, что функция 1F интегри-
интегрируема и / (XF) = 0. Поэтому справедливо следующее утвержде-
утверждение:
Теорема 17.9. Всякое подмножество множества меры нуль из-
измеримо, и его мера равна нулю.
Теорема 17.10. Объединение конечного или счетного числа мно-
множеств нулевой меры измеримо и имеет нулевую меру.
оо
Доказательство. Пусть Е = [) Ek, где | Ek |=0 (слу-
чай объединения конечного числа множеств можно свести к рассмат-
п
риваемому, положив Ek = 0 при k > n). Положим Fn = |J Ek.
Очевидно, выполняется соотношение
2
при любом х. А так как, по условию,
2il
то из теоремы 17.17 вытекает, что Fп измеримо и | Fп \ = 0. Но Е =
оо
= \JFn, причем Fx с: F2 cz ... cz Fn a.... . Тогда в силу теоремы
№l
17.8 множество Е измеримо, причем |?| = lim |^я| =0.Н
117

Из доказанного утверждения вытекает, в частности, что любое
счетное множество — множество меры нуль: оно является объеди-
объединением счетной совокупности точек, а мера каждой точки равна
нулю.
В дальнейшем будем говорить, что некоторое свойство выпол-
выполняется почти всюду на множестве Е, если оно выполняется для
всех х € ?, за исключением, быть может, множества меры нуль.
Например, можно сказать, что ступенчатая функция почти всюду
(на прямой) непрерывна, функция Дирихле почти всюду (на пря-
прямой) равна нулю.
В курсе интегрального исчисления изучались различные усло-
условия интегрируемости функции по Риману. Понятие меры Лебега
позволяет дать исчерпывающую характеристику класса интегриру-
интегрируемых по Риману функций. Лебег доказал, что для интегрируемости
по Риману функции, ограниченной на отрезке, необходимо и до-
достаточно, чтобы функция была почти всюду непрерывна на этом
отрезке.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое характеристическая функция множества? Постройте график
характеристической функции множества Е — ]0; 1] |J ]2; 3[.
2. Какое множество называется измеримым по Лебегу? Какое число на-
называется его мерой? Докажите, что любой интервал \а\ Ь[ измерим, и найдите его
меру.
3. Может ли оказаться неизмеримым ограниченное множество, которое полу-
получается с помощью операций объединения и пересечения, применяемых к
счетным семействам открытых или замкнутых множеств?
4. В чем заключается свойство счетной аддитивности меры?
5. Что означает фраза «свойство выполняется почти всюду на множестве ?»?
Верно ли, что почти всюду на R a) sin х ф 0; б) sin x > 0?
УПРАЖНЕНИЯ
§ И. № 39, 46—47, 50—55.
§ 18. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ПО ИЗМЕРИМОМУ В СМЫСЛЕ ЛЕБЕГА
МНОЖЕСТВУ
1. Интеграл по измеримому множеству. Понятие меры позволя-
позволяет ввести интегрирование не только по всей числовой оси или от-
отрезку, но и по любому измеримому множеству.
Пусть функция / определена на измеримом множестве Е. Рас-
Рассмотрим вспомогательную функцию fE такую, что fE (х) = f (x)
при х d Е и fE (х) = 0 при х $ Е. Если функция fE интегрируема
(на R), то будем считать, что / интегрируема на Е, и будем полагать
по определению: \fE(x)dx— \f (x)dx. Вместо записи j/ (x)dx бу-
будем употреблять также более короткую: /? (/).
118

Теорема 18.1. Если функция f интегрируема на R, то она инте-
интегрируема и на любом измеримом множестве.
Доказательство. В данном случае fE = fXE- Так как /
интегрируема на R по условию, а ХЕ ограничена, то fE интегрируема
на R в силу теоремы 15.18. А это, по определению, и означает, что /
интегрируема на Е.Щ
С помощью доказанной теоремы легко проверить, что все уста-
установленные выше свойства интеграла (по всей числовой оси) справед-
справедливы и для интегралов по измеримому множеству Е, Докажем не-
некоторые дополнительные свойства интегралов по измеримому
множеству.
Теорема 18.2. Пусть множество Е предсгйавляет собой объеди-
п
нение попарно непересекающихся измеримых множеств: Е = (J Ek.
Функция f тогда и только тогда интегрируема на Еу когда она инте-
интегрируема на каждом из множеств Ek. При этом справедливо со-
соотношение
Доказательство. Пусть / интегрируема на Е. Это озна-
означает, что функция fE интегрируема на R, откуда в силу теоремы 18.1
следует, что fE интегрируема на Ek. Это же, в свою очередь, озна-
означает, что функция (fE)E интегрируема на R. Но (fE)E = fE . По-
Поэтому fE интегрируема на R, т. е. / интегрируема на Ek.
Пусть теперь известно, что / интегрируема на Ek(k = 1, ..., п).
п
Так как множества Ek попарно не пересекаются, те fE = J] fE
Отсюда, в силу теоремы 15.10, вытекает интегрируемость fE на R,
что и является условием интегрируемости / на Е. Из этого же со-
соотношения в силу той же теоремы получаем:
Теорема 18.3. Пусть функция f интегрируема и неотрицатель-
неотрицательна на измеримом множестве Е. Тогда множество Еа тех х из Е9
при которых f (х) > а, измеримо при любом а > 0, причем выпол-
выполняется следующее неравенство (неравенство Чебышева):
I *.!<-¦¦ W
Доказательство. Так как функция fFy в силу условия,
интегрируема на R, то интегрируемы (на R) и ее срезки ца =
119

= (fE)Oa и фл = (/?) 1 при любом п € N. Значит, интегрируемы
и функции г|)л = — (фя — фа). Так как / (х) > 0, то
п
:), если fE(x) < a, = j ^W- если ^W < а + 7'
а, если fE(x) > а, ф« W i +1> если ; {х) >а+1#
v л /г
Отсюда видно, что
0, если fE (x) ^ а,
л (/f W — а)» если а < /fW ^ а Н—»
1, если /^ (х) > а -{ .
Замечаем, что функциональная последовательность (я|)л) в каждой
точке х сходится к характеристической функции множества Еа.
Легко увидеть, что последовательность (-фл) обладает следующими
свойствами:
при любом л:. Отсюда вытекает, что последовательность (/(ipw))
неубывающая и ограниченная сверху (/(фя) ^ / (Хя) = |?), а
потому она сходящаяся. Но в таком случае функциональная после-
последовательность (урп) удовлетворяет всем условиям теоремы 16.3,
откуда и следует, что ее предел ХЕ — функция интегрируемая.
Измеримость множества Еа доказана.
Имеем далее:
при любом х. Отсюда в силу теоремы 15.14 получаем:
откуда и вытекает неравенство Чебышева. ¦
2. Эквивалентные функции. Опираясь на понятие «почти всюду»,
разобьем множество функций на классы.
Функции fug называются эквивалентными (пишут: f ~ g)
на множестве ?, если они определены на этом множестве и при-
принимают почти всюду на Е одинаковые значения. Например, функ-
функция Дирихле эквивалентна нулю (как на всем R, так и на любом
его подмножестве).
По самому определению отношение эквивалентности функций
обладает свойствами рефлексивности и симметричности. Покажем,
что оно транзитивно.
Пусть f~gHg~huaE. Обозначим через Ех множество, на
котором / (х) Ф g (х), а через Е2 — множество, на котором h (x) Ф
120

Ф g (х). Тогда \ЕХ\ = | ?2| = 0. Если х i G = Ег [} Еъ то / (х) =
= g (х) и g (х) = A W» а потому f (х) = h (х). Значит, / (х) =? Л (л:)
лишь на некотором подмножестве F множества С Но множество G
имеет меру нуль как объединение двух множеств нулевой меры
(см. теорему 17.10), а значит (см. теорему 17.9), и | Т7! = 0. Отсюда
и следует, что f ~ h.
Таким образом, введенное отношение эквивалентности обладает
свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности и
потому задает разбиение совокупности всех функций (определен-
(определенных на данном множестве) на непересекающиеся классы, состоящие
из эквивалентных друг другу функций.
Рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве
свойства транзитивности, показывают, что суммы двух пар экви-
эквивалентных функций также эквивалентны.
Пример 18.1. Никакая непрерывная в точке х = 0 функция не может
быть эквивалентна функции
{0 при х ^ 0,
1 при х > 0.
В самом деле, пусть / — произвольная непрерывная в точке х = 0 функция,
и пусть / @) = а. Рассмотрим интервал / = а ; а -\ .В силу непрерыв-
J 3 31
ности / найдется такое 6 > 0, что f (х) ? / для всех х 6 1—6; о[. Но так как |/| =
2
= —, то хотя бы одно из чисел 0 и 1 не принадлежит интервалу /. Это означает,
3
что функция / на интервале ]—-б; 6[ ни разу не принимает хотя бы одного из зна-
значений 0 и 1. А в таком случае либо на интервале ]—б; 0[, либо на интервале ]0; б[
функции / и g принимают различные значения, и потому они не эквивалентны.
Теорема 18.4. Если функция f эквивалентна нулю на измери-
измеримом множестве Е, то она интегрируема на В, причем IЕ (/) = 0.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда
функция / ограничена, т. е. существует такое /г, что |/ (х)\ ^ п при
всех х из Е. Но тогда | / (х)\ ^ mXf (*)> гДе F — множество, на ко-
котором / (х) ф 0. А так как
1Е (nXF) = / (nXF) = лг I/7! = 0,
то справедливость теоремы вытекает из теоремы 15:17 (которая,
как мы уже отмечали, верна не только для R, но и для любого из-
измеримого множества).
Пусть теперь функция / не ограничена. Так как она эквива-
эквивалентна нулю, то, в силу теоремы 17.9, эквивалентна нулю и неотри-
неотрицательная функция /+ (см. пример 16.2), а следовательно, экви-
эквивалентны нулю и все ее срезки /+. Но срезки ограничены, а значит,
по только что доказанному, они интегрируемы, причем 1Е (/+) = 0.
В таком случае из теоремы 16.4 вытекает, что функция /+ интегри-
интегрируема и
121

Точно так же доказывается, что неотрицательная функция /""
интегрируема и / ?(f~) = 0. Но / = /+ — /~, откуда, в силу тео-
теоремы 15.10, и вытекает, что / интегрируема, а 1Е (/) = 0.Щ
Теорема 18.5. Функция /, эквивалентная интегрируемой на
измеримом множестве Е функции g, интегрируема и IF (/) = IE (g).
Доказательство. Так как функция у = f — g экви-
эквивалентна нулю, а / = ф + g, то, в силу теорем 18.4 и 15.10, заклю-
заключаем, что / интегрируема и
h (/) = h (Ф + 8) = *Е (Ф) + h (S) = 1Е (?)•¦
Пример 18.2. Функция / (х) — х2 — х2 k (x), где k — функция Канто-
Кантора (см. пример 17.2), интегрируема на отрезке [0; 1], так как на нем / ~ х2
(k почти всюду на [0; 1] обращается в нуль), причем
1
Г f{x)dx =
Теорема 18.5 показывает, что значения функции на множестве
нулевой меры не влияют на величину интеграла. Это обстоятельст-
обстоятельство позволяет в несколько ином, более общем виде, формулировать
многие важнейшие свойства интеграла. Убедимся, например, в
справедливости такого обобщения теоремы 15.14:
Теорема 18.6. Если f (x) <; g (x) почти всюду на измеримом мно-
множестве Е и обе функции на этом множестве интегрируемы, то
1Б (/) < h (*)•
Доказательство. Обозначим через F множество, на
котором / {х) ^ g {x)y и рассмотрим функции ф и а|) такие, что
ф (х) = / (х) и \|) (х) = g (х) на F и ср (х) = Ц (х) = 0 на Е\ F.
Тогда ср ~ /, г|э ~ g на Е и ф (a:) <^i|) (л:) всюду на Е. Поэтому, в.
силу теорем 18.5 и 15.14, имеем: 1Е (/) = /? (ф) < 1Е (г|з) = /? (g)M
Для неотрицательных функций справедлива теорема, обратная
теореме 18.4:
Теорема 18.7. Если интеграл по измеримому множеству Е от
неотрицательной функции f равен нулю, то f эквивалентна нулю
на Е.
Доказательство. Обозначим через F множество, на
котором / (х) > 0, а через Fn — множество, на котором / (х) >
>—. Ясно, что F = U Fn , причем Fx cz F2 cz ... cz Fncz ... .
Все множества F<n измеримы, и, в силу неравенства Чебышева,
0 < | F J < п 1Е (/) = 0.
Поэтому 1^1 = 0 при любом /г. Из полученных соотношений, в
силу теоремы 17.8, вытекает, что F измеримо, причем [F\ =
li|FJ 0
122

Докажем, наконец, важные обобщения теорем 16.2 и 16.3 о пре-
предельном переходе под знаком интеграла.
Теорема 18.8. Пусть (fn) — неубывающая последовательность не-
неотрицательных интегрируемых на измеримом множестве Е функ-
функций такая, что I (fn) < К при всех п. Тогда (fn) почти всюду на Е
сходится к некоторой интегрируемой на Е функции /, причем
Пт/?(/„) = /?(/). A8.1)
Доказательство. Из монотонности последовательно-
последовательности (fn) вытекает, что при любом х из Е числовая последователь-
последовательность (fn (x)) либо сходится к некоторому числу, либо стремится к
+оо. Зададим функцию / так: f(x) = limfn(x), если этот предел
существует, и / {х) = О при остальных х.
Введем в рассмотрение следующие подмножества множества Е:
F — множество таких х, где fn {х) ->- + оо; fW— множество та-
ких х, где fn {х) > т (т, п 6 N); Fm = [} fW. В силу неравенства
Чебышева |f(r2)| < — при любом п. А так как F^cz F{m a ...
т т
... cz F^ cz ..., то (см. теорему 17.8) множество Fm измеримо,
причем
iFJ^liml^K^ A8.2)
при любом т ? N.
оо
Замечаем далее, что F = [\Fm. Значит, F измеримо как пересе-
чение счетной совокупности измеримых множеств. А так как F а
cz Fm при любом т, то, в силу монотонности меры и неравенства
A8.2), получаем: \F\ ^— при любом т 6 N. Отсюда и вытекает,
т
что \F\ = 0. Первая часть теоремы доказана.
Для доказательства равенства A8.1) рассмотрим вспомога-
вспомогательную последовательность (<ря), где ср„ (х) = fn {х) при х ? Е \ F
и фЛ (х) = 0 при х 6 F. Так как | F\ = 0, то фЛ ~ fn на ?, а потому
Ф„ интегрируема на ?, причем 1П (фя) = IE (fn) ^ К- Последова-
Последовательность (фЛ) сходится к функции / в каждой точке х 6 Е и удов-
удовлетворяет всем условиям теоремы 16.3, из которой и следует, что /
интегрируема на Еу причем
IE(f) =Ит/?(фЛ) = ит IE(fn). Ш
П-+оо П-+оо
Теорема 18.0. Если функции fn(n 6 N) интегрируемы на Еу
оо оо
а числовой ряд Ц IE (\fn |) сходится, то функциональный ряд У, fn
123

почти всюду на Е сходится к некоторой интегрируемой на Е функ-
функции /, причем
^Е^п)' A8.3)
Доказательство. Представим функции fn в таком виде:
fn = ft— /тГ. Так как 0 <#(*)< I fn (*) I ПРИ л*обом л: б ? и функ-
функции /+ интегрируемы (как срезки) на ?, то из сходимости указан-
оо
ного в условии числового ряда вытекает сходимость ряда J] 1Е (/+).
оо
В таком случае последовательность частичных сумм (sn) ряда V /+
удовлетворяет всем условиям теоремы 18.8. Значит, эта последова-
последовательность почти всюду на Е сходится к некоторой интегрируемой
функции /+, причем
1Е (П = lim /? (se) = lim V /?(/+) = у IE {f+).
oo
Точно так же убеждаемся, что и ряд ^ /~ почти всюду на Е схо-
дится к некоторой интегрируемой функции /~, причем 1Е (/") =
оо оо оо
= И 1е (/*")• Но 2 ^ = 2 (/*" — /7)- Из Доказанного ясно, что ряд
fe=i fe=i fe=i
оо
2 /л почти всюду на ? сходится к функции f = /+ — /~ и выполня-
fe=i
ется равенство A8.3).Н
Замечание. При доказательстве теоремы 18.9 мы уста-
установили — и это нам пригодится в дальнейшем, — что, если после-
последовательность (fk) удовлетворяет условиям этой теоремы, то функ-
п п
ции s+= ^ ft и S7= 2 fk удовлетворяют всем условиям теоремы
/г== 1 /г=1
18.8; причем последовательности (s+), (s~) и (srt) почти всюду на Е
сходятся соответственно к интегрируемым функциям /+, /~ и
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что значит, что функция / интегрируема на измеримом множестве ??
Какое число называется интегралом от / по ?? Может ли интегрируемая на R
функция оказаться неинтегрируемой на некотором измеримом множестве?
2. Докажите, что свойство аддитивности интеграла остается справедливым
и для интегралов по измеримому множеству.
124

3. Дайте определение эквивалентных функций. Приведите примеры экви-
эквивалентных и неэквивалентных функций.
4. Докажите, что суммы двух пар эквивалентных функций эквивалентны.
5. Запишите неравенство Чебышева; проверьте его справедливость для функ-
функции / (х) = х2 при а = 4, Е = [—3; 4].
6. Что можно сказать об интегралах от эквивалентных функций?
7. Какие из рассмотренных в § 15 свойств интеграла можно усилить с по-
помощью слов «почти всюду»? Докажите такой усиленный вариант какого-либо
свойства.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 12. № 10, 14, 15-17, 21, 27, 29-34.
§ 19. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА L1 И L2
1. Пространство L1 la; Ь]. В этом параграфе договоримся рас-
рассматривать функции, определенные и интегрируемые по Лебегу
на произвольном, но в дальнейших рассуждениях фиксированном
отрезке \а\ Ь\. При этом будем рассматривать не отдельные функции,
а классы эквивалентных функций. Обозначим множество таких
классов (с указанной ниже нормой) через L1 [а\ Ь\ или короче:
L1 (поскольку отрезок у нас фиксирован).
Определим в L1 операции сложения классов и умножения клас-
класса на число, а также норму класса. Назовем суммой двух классов
/и g* эквивалентных функций класс /+ gf содержащий функцию
/ + g, где / — функция класса /, a g — функция класса g. Из
сказанного выше (см. с. 121) о двух парах эквивалентных функций
ясно, что класс f + g не зависит от выбора представителей / и g.
Аналогично определяется произведение Xf класса / на число А,.
ь
Нормой класса / назовем число ||/|| = f |/ (x)\dx ,где /— одна
а
из функций класса f. Несложно показать (предоставляем это чита-
читателю), что при таком определении линейных операций и нормы L1
превращается в линейное нормированное пространство. Нейтраль-
Нейтральный элемент 6 этого пространства — класс функций, эквивалент-
эквивалентных нулю.
Заметим, что если бы в качестве элементов пространства мы
рассматривали не классы эквивалентных функций, а отдельные
ь
функции, то f \f(x)\dx мы не смогли бы назвать нормой функции,
а
Ь
поскольку из того, что f |/ {x)\dx = 0, не следует, что / е= 0 (а
а
следует лишь, что / ~ 0), и, значит, не выполнялось бы первая
аксиома нормы.
Поскольку все операции над классами сводятся к операциям
над входящими в них функциями, будем для краткости класс /
обозначать через /. Другими словами, будем считать, что простран-
125

ство L1 состоит из ф у н к ц и й, отождествляя при этом все экви-
эквивалентные между собой функции.
Точно так же, как выход в более широкое пространство R по-
позволяет легко обнаружить неполноту пространства Q, так и введе-
введение пространства L1 сразу же обнаруживает неполноту простран-
пространства Сх.
Действительно, положим для простоты L1 = L1 1—1; 1], С± =;
= Сх [—1; 1 ] и рассмотрим последовательность функций
ш =
О, при — 1 ^ х < О,
пх, при О ^ х "
1 при — < х
п
Эта последовательность сходится в пространстве L1 к функции
{О при —1 ^ х ^ О,
1 при 0 <х < 1,
поскольку
2п
— 1 О
a lim — = 0. В силу единственности предела (в метрическом про-
П. —*¦ оо А Л
странстве L1) никакая функция, не эквивалентная функции /,
не может быть пределом последовательности (fn). Отсюда вытека-
вытекает (см. пример 18.1), что последовательность (fn) не может сходить-
сходиться по рассматриваемой норме ни к какой непрерывной функции.
Другими словами, последовательность (fn) из пространства Сх не
имеет в этом пространстве предела. А так как последовательность
(fn) фундаментальна в Сх (см. пример 13.4), то этим и доказано, что
пространство Сх неполно.
Докажем одну из важнейших теорем, справедливых для инте-
интегрируемых по Лебегу функций.
Теорема 19.1. Пространство L1 полное.
Доказательство. Пусть (sn) — фундаментальная по-
последовательность функций из L1. Из нее можно (см. теорему 13.6)
выделить такую подпоследовательность (sn ), что ряд
2+
k=\ k=i
a
сходится. Положив /х = srti, fk = snk — snk_^ при k > 2, пол уча-
oo b
ем, что сходится ряд J3 fl fk (x) Idx- в таком случае, в силу теоремы
126

оо 00
18.9, ряд У] fk (а также ряд ? \fk |) почти всюду на [a; ft] сходится к
некоторой интегрируемой функции /. Но
1
1=2
Значит, последовательность (sn ) почти всюду на [а\ Ь] сходится к
функции / 6 L1.
Покажем теперь, что (s^ ) сходится к / не только почти всюду, но
и по норме. Для этого зафиксируем произвольное k ? N и рассмот-
рассмотрим ряды:
I f 2 IM
Из сказанного выше ясно, что первые два ряда почти всюду схо-
сходятся к некоторым интегрируемым функциям (обозначим их соот-
соответственно через Tk и Rk), а третий ряд сходится к некоторому чис-
b
л у rk ; при этом (' Rk (x)dx = rk (в силу теоремы 18.9). Но так как
а
\Tk{x)\^Rk(x) почти всюду, то
а
а потому
ь
0 < Wf-snkW =
nkW = jl/M - snk(x)\dx = ^\Tk (x)\d
a a
Ho rk есть k-и остаточный член сходящегося ряда. Поэтому гЛ-> О
при k -> оо, а значит,
что и доказывает сходимость (sM ) к / по норме.
В силу теоремы 13.4 из сходимости подпоследовательности фун-
фундаментальной последовательности к / следует, что и сама последо-
последовательность (sn) сходится в L1 к /. Итак, всякая фундаментальная
последовательность из L1 сходится в L1, т. е. L1 полно.И
2. Пространство L2 [а; Ь]. Рассмотрим теперь множество ин-
интегрируемых на отрезке [а; Ь] функций, имеющих интегрируемый
квадрат (т. е. таких интегрируемых функций /, что и функция /2
интегрируема), снова отождествляя эквивалентные между собой
функции. Такое множество (с указанной ниже нормой) обозначается
L2 [а; Ь] или просто L2, если ясно, что отрезок в соответствующих
рассуждениях фиксирован.
127

Докажем, что L2 является предгильбертовым пространством
относительно обычных алгебраических операций и скалярного про-
произведения:
ь
^)g(x)dx. A9.1)
Для этого нужно доказать, что функция fg интегрируема для любых
/ и g из L2, а также, что L2 является линейным пространством, при-
причем выполнены аксиомы скалярного произведения.
Справедливо равенство
fg = (/f - П (g+ - Г) = ft - PfiT - fS+
Значит, доказав, что произведение двух неотрицательных функций
из L2 интегрируемо, мы докажем это для любых функций из L2.
Итак, пусть fug — неотрицательные функции из L2. Рассмот-
Рассмотрим срезки gon функции g. Так как функции / и gon интегрируемы,
а функция gon ограничена, то fgon интегрируема в силу теоремы
15.18. При этом для любых п и х имеем:
/ (*) gon (х) <f(x)g (х) < 1 (/2 (х) + g2 (х)).
Так как функции /2 и g2 интегрируемы, то неубывающая последо-
b . Ь
вательность ( f/ (x) gon (x) dx\ ограничена сверху числом— U2(x) dx +
а а
Н—[g2(x)dx, а потому эта последовательность сходится. При-
2 J
а
меняя теорему 16.3, получаем, что и функция
= \imf{x)gOn(x)
интегрируема. Отсюда, как было сказано выше, следует, что функ-
функция fg интегрируема при любых / и g из IA
Тем самым доказано, что скалярное произведение A9.1) опре-
определено для любых функций / и g из L2.
Пусть / и g — функции из пространства L2. Это означает, что
функции /, g, /2 и g2 интегрируемы. Но тогда интегрируема и функ-
функция (/ + g)\ поскольку (/ + gJ = /2 + 2/g + g2.
Поскольку очевидно, что Kf 6 L2, если / 6 L2, то L2 является ли-
линейным пространством.
Легко доказать, что выполняются все аксиомы скалярного про-
произведения. Например, (/,/) = 0 в силу теоремы 18.7 лишь для
функций, почти всюду равных нулю. Но все такие функции мы до-
договорились отождествлять с нулем. Остальные аксиомы также не-
непосредственно следуют из свойств интеграла Лебега.
128

Таким образом, мы доказали, что L2 является предгильбертовым
пространством. Отсюда вытекает, в частности, что для любых
функций/ и^из L2 выполняется неравенство|(/,g)| ^ II/ || * ||gII, т. е.
Полагая в этом неравенстве / = 1, g = |/|, получаем, что для лю-
любой функции / 6 L2
\ j> A9.2)
Если обозначить норму функции / в L1 через ||/||1э а в L2 — через
|2, то из A9.2) следует, что
A9.3)
Докажем теперь, что L2 является гильбертовым пространством.
Теорема 19.2. Пространство V полное.
Доказательство. Пусть (sn) — фундаментальная по-
последовательность функций из L2. Из неравенства A9.3) следует,
что эта последовательность фундаментальна и в L1. Но тогда, как
это было показано при доказательстве теоремы 19.1, из рассматрива-
рассматриваемой последовательности можно извлечь такую подпоследователь-
подпоследовательность (snf), что функции /х = s?i, fk = s^ — s^^ (k = 2, 3, ...)
удовлетворяют условиям теоремы 18.9. А это, в свою очередь, озна-
означает (см. замечание на с. 124), что последовательность (snh) удовлет-
удовлетворяет условиям теоремы 18.8. Поэтому
и (s^~k) почти всюду сходится к интегрируемой функции /+.
Так как для любых функций ф ия|) из L2 справедливо неравенство
||ф+—\|)+||2 ^ || ф—г|)||2, то последовательность (s,?) фундаменталь-
фундаментальна в L2. Поэтому для любого е > 0 найдется такое К\, что при
&, t > К\ имеем: \\st — sf\\ <—. Отсюда вытекает, что
ъ
J
(s+ (х) - s+ (х)J dx <^. A9.5)
s
Как видно из неравенства A9.4), функции ф, = (sft — stj2,
t > k > Ki удовлетворяют условиям теоремы 18.8. Поэтому пре-
предел (/+ — sn J последовательности (ф^) (в смысле сходимости поч-
почти всюду) — функция интегрируемая. Другими словами, это озна-
129

чает, что функция ф+ = f+ — stk принадлежит пространству L2.
Отсюда вытекает, что и функция /+ входит в L2 (как сумма функций
Ф+ и stk из L2).
Одновременно из теоремы 18.8 следует, что при t > Ki
ь ь ь
lim f ф, (x) dx = f (lim <p, (x)) dx = f (/f (x) — snk (x)J dx,
a a a
а в этом случае из неравенства A9.5) вытекает, что при t >K\
ь
х 1 ч
Это означает, что при k > К\
Точно так же можно убедиться (обозначения см. в замечании
на с. 124), что /~ 6 L2 и при k > /C2 выполняется неравенство
Но тогда функция f = f+ — f~ входит в L2, причем существует та-
такое /С, что при / > К имеем:
Н/-Ч11 = II(/+-П + К -s- )Ц = ||(/+ -s+ ) + (s- -ПИ <
Отсюда следует, что последовательность (sn ) сходится в простран-
пространстве L2 к функции / 6 L2. Завершается доказательство теоремы точ-
точно так же, как и доказательство предыдущей теоремы.¦
Поскольку L2 — полное предгильбертово пространство, то оно
гильбертово. Мы построили пример гильбертова пространства, со-
состоящего из функций.
Нам понадобятся в дальнейшем и пространства L2, состоящие
из комплекснозначных функций. Для них скалярное произведение
определяется формулой
ь
(А 8) =
а норма — формулой
\а
Они также полны, т. е. являются гильбертовыми.
130

3. Всюду плотные подмножества в пространствах L1 и L2. Во
многих вопросах, связанных с применением пространств L1 и L2,
приходится опираться на различные всюду плотные подмножества
в этих пространствах. Поэтому важно знать такие подмножества.
Ниже мы снова будем для краткости через L1 и L2 обозначать
пространства L1 [а; Ь\ и L2 [а; Ы, считая отрезок [а; Ь] фиксиро-
фиксированным.
Теорема 19.3. Подпространство S ступенчатых функций всюду
плотно в пространстве L1.
Доказательство. По определению интеграла Лебега
для любой функции / из L1 и любого е > 0 найдется такая ступенча-
ступенчатая функция ф, что функция / — ф, а следовательно и функция
|/ — ф|, является е-малой. Но тогда, по теореме 15.8,
ь
Это означает, что в любой окрестности функции / из L1 есть сту-
ступенчатые функции, а потому множество ступенчатых функций всюду
плотно в 1АИ
Теорема 19.4. Подпространство непрерывных функций всюду
плотно в пространстве L1.
Доказательство. В силу теоремы 9.7 достаточно дока-
доказать, что для любой ступенчатой функции ф и любого е > 0 найдется
такая непрерывная функция^, что ||<р—г|э|| <е. Зададим такую
функцию графически (рис. 24). При этом б > 0 возьмем настолько
малым, чтобы сумма площадей всех заштрихованных треугольни-
треугольников оказалась меньше е. Эта сумма и равна
ь
|ф(я)—ty{x)\dx, т. е. || ф—^il-И
У\
Отметим, что на самом деле мы доказали более сильное утверж-
утверждение:
Теорема 19.5. В пространстве L1 всюду плотно подпростран-
подпространство кусочно-линейных непре-
непрерывных функций.
Теорема 19.6. В пространст-
пространстве L1 всюду плотно подпрост-
подпространство функций, имеющих не-
непрерывную производную.
Доказательство. В
силу теоремы 19.5 достаточно
показать, что для любой кусоч-
кусочно-линейной непрерывной функ-
функции я|) и любого е > 0 существу-
существует такая функция со, имеющая
непрерывную производную, что Рис. 24
131

II со — cp || <e. Чтобы получить график такой функции, достаточ-
достаточно «сгладить» график функции я|), проведя сопрягающие окруж-
окружности достаточно малого радиуса.¦
Отметим, что если вместо дуг окружностей взять переходные
кривые с непрерывно меняющейся кривизной, то можно добиться,
чтобы сглаженная функция оказалась бесконечно дифференцируемой.
Поэтому в L1 всюду плотно подпространство бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций.
Отметим еще одно утверждение, которое понадобится нам в сле-
следующем параграфе:
Теорема 19.7. В пространстве L1 всюду плотно подпростран-
подпространство функций ф, имеющих на [а\ Ь] непрерывную вторую производ-
производную и таких, что cp (a) = cp (b), q/ (а) = у'(Ь) и ф" (а) = ц>"(Ь).
Эта теорема также доказывается соответствующим сглажива-
сглаживанием кусочно-линейных непрерывных функций.
Перейдем теперь к изучению всюду плотных подмножеств прост-
пространства L2.
Теорема 19.8. Подпространство В ограниченных функций всю-
всюду плотно в L2.
Доказательство. Пусть / ? L2. Из определения срезки
fnn следует, что
(f(x)-fnn(x))fnn(*)>0 A9.6)
при х ? [а; Ь\. В самом деле, если — п ^ / (х) ^ п, то / (х) —
- fnn(x) = 0; если / (*) > п, то (/ (х) - fnn(x)) fnn(x) = (/ (х)-
— п) п > 0, а если f (х) < — п, то (/ (х) — fnn (x)) fnn(x) =
= (f(x) + п) (—п) > 0.
Из неравенства A9.6) следует, что
(f (х) - fnn (х)У < f* (x) - Рпп (х). A9.7)
Так как (f\m = (/лпJ, где т = м2, и
ТО
ь
\f2(x)dx= \
v П-*-о
а
и потому
Из неравенства A9.7) следует, что тогда и
ton
П-+оо
132

т. е., что в пространстве L2 последовательность ограниченных
функций (fnn) сходится к функции /. ¦
Пусть fug — две ограниченные функции из L2. Тогда
существует такое число М, что |/ (х)\ ^ М и \g (х)\ ^ М, а по-
потому |/ (х)— g (х)\ ^2М при всех х из [а\ Ь]. В таком случае
j (/(*) ~g (*)Jdx < 2М j | / (jc) -g(x) | dx
a a
ИЛИ
\\f-g\iz<V2M\\f-g\\v
Поэтому, если последовательность (фл) сходится к / по норме L1,
причем функции / и уп (п 6 N) ограничены числом М, то эта по-
последовательность сходится к / и по норме L2. Отсюда, в силу теоре-
теоремы 9.7, заключаем, что теоремы 19.3 — 19.7 остаются справедли-
справедливыми при замене в них L1 на L2.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Из каких элементов состоит пространство L1 [a; b]? Что является нулем
этого пространства?
2. Запишите формулу для нормы в пространстве L1 [a; b], докажите выпол-
выполнимость всех аксиом нормы.
3. Дайте определение пространства L2 [a; b]\ докажите, что формула A9.1)
действительно задает скалярное произведение.
4. Докажите неравенство || ф+ —\|5+||2 ^ || Ф —1|) ||2.
5. Укажите несколько подпространств, всюду плотных в пространстве L1.
УПРАЖНЕНИЯ
§ 12. № 39—42.
§ 20. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Задача о наилучшем приближении. В различных разделах ма-
математики и ее приложений встречается следующая задача: дано
линейное нормированное пространство L, в нем выбрано конечное
число элементов (векторов) (^, ..., еп)\ требуется для каждого
вектора а из L подобрать такие числа1 аъ ..., ап , что вектор
&А + ••• + апеп отклоняется от а меньше, чем всякий другой
вектор вида Vi + ••• + Kev т- е- IIа ~ (Vi + ••• + КеМ ПРИ"
нимает наименьшее значение, если Хг = аъ ..., %п = ап . Совокуп-
Совокупность всех векторов вида Х& + ... + кпеп, где Къ ..., %п—произ-
%п—произвольные числа, образует линейное конечномерное подпространство
1 Ради конкретности будем полагать, что речь идет о действительных числах.
При переходе к случаю комплексных чисел усложнения несущественны.
133

Ln в L. В геометрических терминах данную задачу можно перефра-
перефразировать так: для заданной точки а из L найти в подпространстве
Ln точку, ближайшую к точке а.
Эта задача упрощается, если L — гильбертово пространство,
а векторы elt..., еп попарно ортогональны (см. § 7, п. 3). Будем
также предполагать, что \\ek\\ = 1 при k = 1, ..., п. Всякую ко-
конечную или счетную систему (еи ..., еп> ...) попарно ортогональ-
ортогональных векторов гильбертова пространства L, нормы которых равны
единице, называют ортонормированной системой.
В случае гильбертова пространства решение интересующей нас
задачи дается следующей теоремой:
Теорема 20.1. Если (е1э ..., еп) — ортонормированная систе-
система векторов в гильбертовом пространстве L, и а? L, то отклонение
d — \\а — (%& + ... + Хпеп)\\ будет наименьшим, если в качестве
коэффициентов %k выбрать числа
ak = {a,ek){k= 1, ..., п). B0.1)
Числа alf ..., ап называют коэффициентами Фурье1 вектора а
относительно ортонормированной системы векторов (еи ..., еп).
Доказательство. Так как норма каждого вектора —
неотрицательное число, то отклонение d принимает наименьшее
значение тогда и только тогда, когда величина d2 = \\а — (k^ +
+ ... + knen)\\2 минимальна. Но
d2 = (a — Vi — ... — Кеп, о- — Vi — -. — К*п) = {а> а) —
- 2 2 *<* (a,
fe=i t=i k=\
Учитывая, что (eh ek) = 0 при i ф k, (eh eu) = 1 при / = k и
(a, ek) = aky получаем:
^^ K = (a, a) + jg (Ц -2ХЛаЛ + ар -
2ii
Отсюда видно, что величина d2 имеет наименьшее значение, если
К = ak (k = Ь •••» ")•¦
Следствие 1. Наименьшее отклонение dmln вектора а гильберто-
гильбертова пространства L от подпространства Ln, порожденного ортонор-
ортонормированной системой векторов (elt ..., еп), задается формулой
i,2- B0.2)
хЖан БатистЖозеф Фурье A768—1830) — выдающийся фран-
французский математик. Наиболее известна его работа «Аналитическая теория тепла»,
в которой заложены основы теории тригонометрических рядов.
134

Иначе говоря, расстояние точки а 6
? L от подпространства Lny порожденного
ортонормированной системой векторов (е1У
..., еп), задается формулой B0.2).
Следствие 2. Если а — какой-либо век-
вектор из гильбертова пространства L, а
ах, ..., ап — коэффициенты Фурье вектора
а относительно ортонормированной си-
системы векторов (е1у ..., еп)> то
< II all1.
B0.3)
k=\
Неравенство B0.3) называют неравенством
Бесселя1,
Рис. 25
Легко проверить, что вектор h = а — (а^ + ••• + апеп) орто-
ортогонален подпространству Ln в том смысле, что он ортогонален каж-
каждому вектору из Ln. Вектор h можно по аналогии с R^ толковать
как «перпендикуляр, опущенный из точки а на подпространство
Ln». Что касается вектора а' = ахех + ... + апеп> то его в таком
случае можно (рис. 25) толковать как «проекцию» вектора а на
Г~
подпространство Ln. Поскольку число 1/ У^ a2k — это норма вектора
k=\
а!, то неравенство Бесселя выражает тот интуитивно очевидный
факт, что норма проекции а' вектора а на подпространство L'1
меньше нормы самого вектора а\ исключение составляет лишь тот
случай, когда вектор а лежит в подпространстве Ьп (тогда в B0.3)
имеет место равенство). Теорема 20.1 на геометрическом языке
утверждает, что ближайшей к точке а из L точкой подпространст-
подпространства Ln является основание перпендикуляра, опущенного из
точки а на Ln .
2. Ортонормированные базисы. Из курса алгебры мы знаем, что
во всяком n-мерном векторном пространстве Еп существует базис,
т. е. такая система векторов (е1э ..., еп), что всякий вектор а из
Еп можно представить в виде
а =
B0.4)
где Хи ..., %п—некоторые числа. В случае бесконечномерных
векторных пространств (по самому их определению) такой конеч-
1 Фридрих Вильгельм Бессель A784—1846) — выдающийся
немецкий астроном, широко использовавший математические методы (метод наи-
наименьших квадратов, теорию вероятностей и др.) при обработке результатов астро-
астрономических наблюдений.
135

ной системы векторов не существует. Однако если рассматривать
бесконечномерные нормированные векторные пространст-
пространства L, то в них наряду с конечными суммами B0.4) можно рассма-
рассматривать бесконечные суммы, т. е. ряды (поскольку можно говорить
о пределе частичных сумм), и потому естественно поставить вопрос
о существовании счетного базиса — такой последовательности век-
векторов (еп) из L, что любой вектор а из L допускает представление:
а =
во всяком бесконечномерном нормированном про-
/г=1
странстве имеется такой базис. Пространства со счетным базисом
называют счетномерными.
Наибольший интерес для практических приложений имеет воп-
вопрос об отыскании счетного ортонормированного базиса в гильберто-
гильбертовых пространствах. Рассмотрением этого вопроса мы сейчас и
займемся.
Пример 20.1. Выберем в R^° векторы вида ek=@, ..., 1,0,...) (единица
на k-м месте, а остальные координаты вектора е^ — нули). Покажем, что система
векторов (efe), &? N, образует ортонормированный базис в R^°.
Так как в R^° скалярное произведение векторов а = (ах ап, ...) и b =
= (bit ..., bn, ...) определяется по формуле
(a, b) =
/1=1
то ясно, что (eh ek) = 0 при i Ф k и || %||2 = (ek, ek) = 1. Поэтому (ek)— орто-
нормированная система.
Далее, пусть а = (а1у ..., ап, ...) — произвольный вектор из R?\ Тогда, по
оо
определению R?\ ряд ^а? сходится и поэтому для каждого е > 0 найдется такой
оо
номер /л, что 2 а| < е2. Так как
k—m-\-\
атет) = @, ..., 0, am+lt am+2, ...)-,
то
k=\
Это и означает, что (ek) — ортонормированный базис.
Конечно, не всегда удается так просто, как в примере 20.1,
убедиться, что данная ортонормированная система образует базис.
Выведем два критерия, которые часто упрощают подобное исследо-
исследование. Предварительно обобщим неравенство Бесселя B0.3).
Пусть (efe) — счетная ортонормированная система векторов в
гильбертовом пространстве L. Возьмем первые п векторов этой
136

системы. Тогда при любом выборе вектора а в L справедливо не-
неравенство Бесселя
где, напомним, ak — (a,ek). Так как п — произвольный номер,
то отсюда видно, что все частичные суммы знакоположительного
оо
ряда 2 а1 ограничены сверху числом || а ||2. Следовательно, этот
/г=1
ряд сходится и
Это неравенство называется неравенством Бесселя для беско-
бесконечной ортонормированной системы функций.
Теорема 20.2 (критерий В. А. Стеклова1). Для того чтобы
счетная ортонортированная система векторов (ek) образовывала
базис в гильбертовом пространстве L, необходимо и достаточно,
чтобы коэффициенты Фурье ak =±= (a, ek) каждого вектора а из L
удовлетворяли равенству
/г=1
оо
При этом а = ? akek.
/г=1
Доказательство. Пусть B0.6) выполняется для каж-
каждого вектора а ? L. Обозначим через dn расстояние от а до линейно-
линейного пространства Ln9 натянутого на векторы еъ ..., еп . Так как, в
силу A7.2),
22' B07)
то, в силу B0.6), имеем:
lim d2 = lim У а2 = 0.
k=n-\-\
Но это и означает, что ряд ]? akek сходится к вектору а. Поэтому
система векторов (ek) образует базис в L.
1 Владимир Андреевич Стеклов A864—1926) — выдающий-
выдающийся русский математик. Его научные исследования относятся преимущественно
к математической физике. Имя Стеклова носит институт математики Академии
наук СССР, созданный по его инициативе.
137

Обратно, пусть векторы (ek) образуют базис в L. Тогда для
произвольного вектора а и любого е > 0 найдутся номер п и числа
п п
%ъ ..., %п такие, что \\а—У, Xkek\\ < е. Так как вектор ? Xkek
принадлежит подпространству Ln> натянутому на векторы (?lf..., еп),
п
а число d^ = || а — 2 a/JI — наименьшее из отклонений вектора
а от векторов подпространства /Д то подавно dn < e. Отсюда сле-
следует, что lim dn = 0, а следовательно, в силу B0.7), выполняется
П-»-ОО
B0.6). ¦
Равенство B0.6) является бесконечномерным аналогом теоремы
Пифагора.
Теорема 20.3. Для того чтобы счетная ортонормированная сис-
система векторов (ek) гильбертова пространства L была базисом в этом
пространстве, необходимо и достаточно, чтобы лишь нулевой
вектор 6 в L был ортогонален всем векторам системы (ek).
Наглядный смысл этой теоремы состоит в том, что ортонорми-
ортонормированная система образует базис в том и только том случае, когда
ее нельзя дополнить ни одним вектором, не нарушая условия
ортонормированности (свойство полноты ортонормированной систе-
системы). Например, орты осей координат / и j в трехмерном евкли-
евклидовом пространстве составляют ортонормированную систему, но не
образуют базис в R^, так как существует ненулевой вектор ky
ортогональный им обоим.
Доказательство. Пусть (ek) — ортонормированный ба-
базис в L и пусть некоторый вектор а ? L ортогонален всем векторам
eky т. е. ak = (a, ek) = 0 при k 6 N. Так как система (ek) — базис
для L, то должно выполняться равенство B0.6), поэтому ||а||2 =
*= 2 а1= °- Но Tor^a a = е-
Обратно, пусть в L нет ненулевых векторов, ортогональных
всем векторам системы (ek). Выберем в L произвольный вектор.
Пусть ak — его коэффициенты Фурье. В силу неравенства Бессе-
оо
ля ряд 2 а\ сходится. Отсюда следует, что для каждого г > 0
найдется (согласно критерию Коши) такой номер N, что при п > N,
т > 0 выполняется неравенство
п-\-т
2 °^<е2-
138

Но тогда, в силу ортонормированности системы (ek), имеем:
2 [ п+т п+т \ п^т
) к=п+\
Это означает, что последовательность (sn) частичных сумм ряда
со
2 akek фундаментальна. Но гильбертово пространство L полно.
k=\
Поэтому последовательность (sn) сходится в L к некоторому век-
вектору Ь.
Покажем, что Ь = а. В самом деле, для каждого п 6 N функция
(ху еп) в L непрерывна (см. теорему 11.2), и поэтому F, еп) =
со со
= 2 (akek* en) = I] ak ^л» ei) = ап * Тогда для всех п 6 N имеем:
{а — 6, еЛ) = (а, е„) — (Ь> еп) = ап — ап = 0, т. е. вектор а — 6
ортогонален всем векторам системы (еЛ).Это же, в силу условия,
означает, что а — b = 0 или а = Ь. Поэтому
а = V аАе*. ¦
Критерий Стеклова позволяет доказать следующую важную
теорему:
Теорема 20.4. Всякое гильбертово пространство со счетным ба-
базисом изометрично пространству RJ\
Доказательство. Пусть (ek) — счетный ортонормиро-
ванный базис в гильбертовом пространстве L. Тогда каждый век-
тор a g L можно представить в виде а = ^ akeky где ak —
k=\
фициенты Фурье. Поставим в соответствие вектору а последователь-
последовательность а = (аь ..., ап, ...). В силу критерия Стеклова все такие
последовательности принадлежат R^, причем любая последователь-
последовательность из R~ является образом одного из элементов а 6 L. При
этом выполняется равенство
показывающее, что ||а||, = ||а||рОо, т. е. что отображение a->a
изометрично. ¦
3. Тригонометрический базис в пространстве L2[0; 2я]. Рас-
Рассмотрим систему функций еп {х) = -j=.elnx (n 6 Z) в гильбер-
гильбертовом пространстве L2 [0; 2я] комплекснозначных функций. По
139

определению скалярного произведения в этом пространстве
2л 2п
(вк9 ет) = 1 [eikx • e~imx dx = - ( е^~т^ dx.
Если k Ф т, чо о о
2Я
<=г1
О
так как e2n{k~m)i = в0 = 1. Если же Л = т, то
2Я
Значит, рассматриваемая система функций ортонормирована.
Для приложений существенно то, что эта система образует в
L2 [0; 2л] базис, т. е. для любой функции / 6 L2 [0; 2л] найдутся
VI eihx
такие числа %k {k 6 Z), что ряд > \—^ сходится к / в про-
fe=—оо
странстве L2 [0; 2л].
Докажем это. «>
Ранее в курсе анализа было доказано, что ряд Фурье J] &kek(x)
/г=-оо
функции /, имеющей на отрезке [0; 2л] непрерывную вторую про-
производную, сходится на этом отрезке равномерно к функции /.
Отсюда, очевидно, следует, что последовательность (sn) частичных
сумм этого ряда сходится к/ и по норме пространства L2 [0; 2л].
Это означает (см. теорему 9.6), что линейные комбинации системы
функций (ek) всюду плотны в подпространстве D2 [0; 2 л] про-
пространства L2 ([0; 2 л], состоящем из дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемых функций. Атак как?J всюду плотно в L2 (см. с. 132—133),
то из теоремы 9.7 следует, что линейные комбинации системы (ek)
всюду плотны и в L2.
Пусть g — функция из L2 [0; 2 л], отрогональная всем функциям
системы (ek). Тогда g ортогональна и любой линейной комбинации
функций этой системы. А так как эти линейные комбинации всюду
плотны в L2 [0; 2 л], то существует (см. теорему 9.6) их последо-
последовательность (sn)y сходящаяся Kg. В силу непрерывности скалярного
произведения получаем
(g, g) = Hm (sn, g) = 0,
т. e. g = Э. Значит, в силу теоремы 20.3, система (ек) образует
базис в L2 [0; 2л].¦
Из доказанного, в силу теоремы Стеклова, вытекает, что вся-
всякая функция из L2 [0; 2 л] может быть представлена в виде ряда
140

(напомним, что равенство понимается в том смысле, что / есть пре-
предел частичных сумм ряда в смысле сходимости по норме), где
ak — коэффициент Фурье функции /:
2я
Таким образом, мы видим, что теория абстрактных метриче-
метрических пространств делает более полными наши знания и о такой
классической области математики, как теория тригонометрических
рядов. Это обстоятельство еще раз подтверждает справедливость
известной мысли В. И. Ленина о том, что «... все научные (пра-
(правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу
глубже, вернее, п о л н е е»1.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как ставится задача о наилучшем приближении? Как она решается в
гильбертовом пространстве?
оо
2. Что означает равенство а = yj ak в линейном нормированном прост-
k=i
ранстве?
3. Дайте определение счетного базиса в линейном нормированном простран-
пространстве. Что такое счетный ортонормированный базис в гильбертовом пространстве?
4. Какие имеются критерии того, что счетная ортонормированная система
векторов образует в гильбертовом пространстве базис?
5. Объясните, почему равенство B0.6) является обобщением теоремы Пифа-
Пифагора.
6. Укажите счетный ортонормированный базис в пространстве L2 [0; 2л].
Л е н и н В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 152.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Мощность множества 5
§ 1. Равномощные множества , —
1. Биекции и равномощность бесконечных множеств —
2. Понятие мощности множества 8
3. Признаки равномощности множеств 9
4. Сравнение мощностей .••.., \\
§ 2. Счетные множества 13
§ 3. Множества мощности континуума 18
§ 4. Существование множеств сколь угодно высокой мощности ... 22
Глава II. Метрические пространства ч 24
§ 5. Метрические пространства и их геометрия —
1. Метрические пространства _
2. Геометрия метрического пространства 26
§ 0. Линейные нормированные пространства 28
1. Норма и метрика _
2. Примеры линейных нормированных пространств 29
§ 7. Предгильбертовы пространства 33
1. Определение предгильбертова пространства _
2. Примеры предгильбертовых пространств 35
3. Геометрия предгильбертовых пространств 37
4. Предгильбертовы пространства над полем комплексных чисел. 38
§ 8. Сходимость в метрических пространствах 39
1. Предел последовательности
2. Свойства сходящихся последовательностей 42
§ 9. Открытые и замкнутые множества 44
1. Внешние, внутренние и граничные точки _
2. Всюду плотные подмножества 47
3. Открытые и замкнутые множества 48
4. Свойства открытых и замкнутых множеств 49
5. Канторово множество и ковер Серпинского 51
§ 10. Компактные метрические пространства 54
1. Определение компактности
2. Свойства компактов 55
3. Критерий компактности в R" 56
4. Открытые покрытия компактов 57
§ 11. Непрерывные отображения метрических пространств .... 58
1. Непрерывные отображения —
142

2. Свойства непрерывных отображений 60
3. Непрерывные отображения компактов 62
§ 12. Связные метрические пространства 63
1. Связные и несвязные пространства —
2. Связные компоненты пространства 65
§ 13. Полные метрические пространства 67
1. Фундаментальные последовательности —
2. Полные и неполные пространства 71
3. Полнота пространства ограниченных отображений 73
4. Пополнение метрических пространств 75
5. Распространение отображения на пополнение метрического про-
пространства , 79
§ 14. Принцип сжимающих отображений и его применения .... 82
1. Неподвижные точки —
2. Сжимающие отображения , 83
3. Принцип сжимающих отображений 84
4. Метод последовательных приближений 85
5. Теоремы существования 86
Глава III. Интеграл и мера Лебега 89
§ 15. Интеграл Лебега —
1. Интеграл Римана —
2. Ступенчатые функции 92
3. Функции, е-малые по Лебегу —
4. е-приближения функции 98
5. Интеграл Лебега —
6. СвяЗь интеграла Лебега с интегралом Римана 100
7. Свойства интеграла Лебега 102
§ 16. Предельный переход под знаком интеграла Лебега 107
1. Интегрирование сходящихся по Лебегу последовательностей
функций —
2. Интегрирование функциональных рядов и последовательностей,
сходящихся в каждой точке 108
3. Связь интеграла от функции с интегралами от ее срезок .... 110
§ 17. Мера Лебега 112
1. Мера Лебега и ее свойства —
2. Множества меры нуль 117
§ 18. Интеграл Лебега по измеримому в смысле Лебега множеству. 118
1. Интеграл по измеримому множеству —
2. Эквивалентные функции 120
§ 19. Функциональные пространства L1 и L2 125
1. Пространство L1 [а\ Ь] . —
2. Пространство L2 [а; Ь] 127
3. Всюду плотные подмножества в L1 и L2 • 131
§ 20. Ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве ... 133
1. Задача о наилучшем приближении —
2. Ортонормированные базисы 135
3. Тригонометрический базис в пространстве L2 [0; 2я] 139

Наум Яковлевич
Виленкин,
Марк Беневич
Балк,
Виктор Алексеевич
Петров
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
мощность
МЕТРИКА
ИНТЕГРАЛ
Редактор Л. В. Приеезенцева
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор М. Е. Тургенева
Корректор Р. Б. Штутман
Сдано в набор Об. 04. 79. Подписано к печати 20.03.80. 60x90Vie- Бум. типограф. № 3.
Гарнит. литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 9,0. Уч -изд. л. 8,39. Тираж 27 000 экз.
Заказ № 92. Цена 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комите-
комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполи-
графпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книж-
книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.