Н. Я. ВИЛЕНКИН, К. А. БОХАН,
И. А. МАРОН, И. В. МАТВЕЕВ,
М. Л. СМОЛЯНСКИЙ, А. Т. ЦВЕТКОВ
ЗАДАЧНИК
ПО КУРСУ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ I
Под редакцией
Н. Я. В ил енкина
Допущен Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия
для студентов заочных отделений физико-математических факультетов
пединститутов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕ
МОСКВА 1971

517-2
$-15
Задачник по курсу математического анализа. Учеб. пособие
9-11 &ля студентов заочн. отделений физ.-мат. фак-тов пединститутов.
4f I. Под ред. Н. Я. Виленкина. М., «Просвещение», 1971.
343 с. Перед загл. авт. Н. Я. Виленкин, К. А. Бохан,
И. А. Марон и др.
Первая часть содержит свыше 1500 задач для самостоятельного ре-
решения по трем важнейшим разделам анализа* введению в математичес-
математический анализ, дифференциальному исчислению функций одной nepei "^
интегральному исчислению. Каждый параграф начинается реи*
пичных примеров и задач. Почти ко всем примерам и задачам л
дачника даны ответы.
Предназначена книга для студентов пединститутов.
2-2 3
18-70

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый вниманию читателей «Задачник по курсу мате-
математического анализа» предназначен в основном для студентов педа-
педагогических институтов (хотя большая часть задачника может быть
использована и студентами других учебных заведений — универ-
университетов, втузов с расширенным курсом математики и т. д.). Это оп-
определило в значительной степени подбор задач. При отборе материа-
материала авторы руководствовались действующей программой по матема-
математическому анализу для пединститутов. Лишь в нескольких местах
они вышли за рамки этой программы (отдельные вопросы теории
дифференциальных уравнений, тройных интегралов и т. д.). Разу-
Разумеется, изучение основного материала не опирается на эти добавле-
добавления.
Выбирая те или иные задачи, авторы отдавали предпочтение
задачам, связанным со школьным курсом математики —- ведь вы-
выпускникам пединститутов придется потом прилагать знания,
полученные в курсе математического анализа, при изложении в
школе таких вопросов, как функция, предел, производная и т. д.
Поэтому, например, раздел «Введение в анализ» содержит гораздо
больше задач, чем это обычно принято, а раздел «Дифференциаль-
«Дифференциальные уравнения» разработан менее подробно.
Многие задачи связаны с применением математического анализа
к исследованию элементарных функций и уравнений, рекуррентно
заданных последовательностей и т. д. Большое внимание уделено
суммированию конечных последовательностей и рядов, заданию об-
областей на плоскости и в пространстве системами неравенств, реше-
решению геометрических задач.
Наряду с этим многие задачи ставят целью выяснение смысла
основных понятий анализа — предела последовательности и функ-
функции, непрерывности, производной и интеграла и т. д. На наш взгляд,
для студента пединститута важно не столько умение быстро вычис-
вычислять пределы, сколько ясное и четкое понимание сути понятия пре-
предела, роли и места каждого слова в определении предела.

В дифференциальном исчислении ряд задач посвящен выяснению
понятий дифференцируемости и непрерывности и связи между ними,
роли тех или иных условий в теоремах о среднем и т. д.
Несколько своеобразно изложение вопросов о равномерной
сходимости последовательностей и рядов (оно основано на поня-
понятии уклонения функций по Чебышеву).
Опыт показал, что решение задач представляет для начинающих
значительные трудности. Поэтому каждый раздел начинается с ре-
решения типовых примеров. Мы надеемся, что это окажется полез-
полезным не только для студентов, но и для начинающих преподавате-
преподавателей. Но наряду с примерами, аналогичными решенным в начале
раздела, задачник содержит довольно много нетривиальных задач,
решение которых потребует выдумки и изобретательности.
Разумеется, не все задачи этого задачника могут быть решены
в аудитории и дома. Многие задачи окажутся полезными для круж-
кружковой работы с наиболее сильными студентами.
Преподаватель найдет в задачнике и обширный материал для
контрольных работ.
Некоторые разделы задачника могут быть использованы для
курсовых работ.
В данном пособии принята следующая нумерация задач: пер-
первые цифры указывают номер задачи, а последняя — номер раздела
сборника. Например, 183.1 означает 183 задачу первого раздела
пособия.
Мы понимаем, что задачник далек от совершенства и будем весь-
весьма благодарны за все замечания, направленные на его улучшение.
Авторы выражают искреннюю благодарность профессору
И. П. Макарову, профессору С. П. Пулькину, профессору В. И. Ле-
Левину, доценту Ю. С. Очану за ряд критических замечаний, выска-
высказанных ими в процессе ознакомления с рукописью, а также
Л. И. Князевой и Л. М. Аносовой за большую помощь при офор-
оформлении рукописи.

Раздел 1
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава 1.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Пример 1. Определить, какие из нижеследующих бесконечных десятич-
десятичных дробей выражают рациональные числа, какие—иррациональные, и записать
рациональные числа в ряде обыкновенных дробей: а) 2, C2); б) 3, 52C75);
в) 1, 37(9); г) 1,212012001...
Решение. Согласно правилу преобразования бесконечных десятичных
периодических дробей в обыкновенные имеем:
32
а) 2, C2) = 2- ;
б) о 12 Г372) 3 12372~12 з
б) 3,12 C72) - 3 999о. - 3
в) 1,37(9) = 1,38;
г) докажем, что десятичная дробь 1,21201200120001... непериодическая. В са-
самом деле, пусть ее период имеет длину п. Так как сколь угодно далеко от на-
начала в дроби есть десятичные знаки 1 и 2, то эти знаки должны войти и в период.
Но сколь угодно далеко от начала в дроби встречаются подряд п нулей. Значит,
период не может содержать цифр 1 и 2. Полученное противоречие показывает,
что данная десятичная дробь непериодическая, а потому выражает иррациональ-
иррациональное число.
Пример 2. Доказать, что не существует рационального числа, такого,
что г2 = 3.
Решение. Доказательство проведем от противного. Предположим, суще-
р
ствует рациональное число г, такое, что г = —, где р и q — взаимно простые
q
натуральные числа, и г2 = 3. Возведя в квадрат, получим р2 = 3q2, откуда сле-
следует, что р делится на 3, следовательно, р = 3pv Отсюда Ър\ = q2. Но тогда и q
делится на 3, а значит, числа р и q не являются взаимно простыми. Наше предпо-
предположение привело к противоречию.
Пример 3 Доказать, что если г—рациональное число, а а—иррациональ-
а—иррациональное, то а + г иррационально.
Решение. Рассмотрим сумму а + г = р . Предположим, что Р — рацио-
рациональное число. Но тогда число а = р — г тоже должно быть рациональным (как
разность двух рациональных чисел), что противоречит условию. Следовательно,
р — иррациональное число.
Пример 4. Указать какие-нибудь два иррациональных числа, сумма
которых рациональна.
Решение. Рассмотрим, например, два иррациональных числа а ир:
а= 0,1010010001...; р = 0,8989989998... .

Их сумма а+р = 0,9999999999 ... = 0,(9) выражена периодической дробью,
следовательно, сумма а +|3 —рациональное число, хотя сами числа а и|3 ирра-
иррациональны.
Пример 5. Доказать, что между двумя различными вещественными
числами содержатся как рациональные, так и иррациональные числа.
Решение. Рассмотрим два вещественных положительных числа
а= Л, а^... аи... и Р = В, ЬгЬ2 ...Ьп...
Предположим, что а < Р . Обозначим через ап и Р п десятичные приближения чи-
чисел а и Р по недостатку с точностью до — . Так как а < Р , то ап < р п . При
этом найдется такое N, чтоР^—aN > 2- 10~^. Но тогда рациональное число
а^+ 10~^ больше, чем а, но меньше, чемР^, и подавно меньше, чем Р, т. е.
ч, <aN -{- \QTN< P^<P • Значит, между а ир лежит хотя бы одно рациональ-
рациональное число.
Можно показать, что иррациональное число
0^+ 10"^ • 0,101001000100001...
также лежит между а и Р.
Случаи, когда а и Р отрицательны или имеют разные знаки, рассматри-
рассматриваются точно так же.
( п* )
Приме р 6. Доказать, что множество чисел вида <¦— },
(л2 + 4J
где п пробегает все натуральные значения, ограничено. Найти точные нижнюю
и верхнюю грани этого множества.
Решение. Так как при любом натуральном п выполняется условие
0< <1, то множество чисел { \ ограничено. Покажем, что число
л2 + 4 [п2 + 4J
{ п2 )
1 является точной верхней гранью этого множества, т. е. sup <¦— 2г= **
(п -}- 4J
Для этого надо показать, что, во-первых, для любого п справедливо условие
п2 ri
<1 и, во-вторых, для любого е> 0 найдется такое л, что — >1—е.
п2 + 4 п2 + 4
л2
Выполнение первого условия вытекает из того, что -т < 1, Покажем, что
п2 + 4
п2
второе условие также выполняется. Решим неравенство > 1 — е. При
п2 + 4
4 jg
О <8<1 получаем п > |/ . Итак, наше неравенство имеет реше-
п
( п )
ния, а потому 1 — е не является верхней гранью для \-~ [, и, значит,
(п +4J
{ п2 \ { п2 )
SUp j__ 1 __ ^ Точно так же доказывается, что inf \— \ = 0.
U2 + 4j [п2 + 4)
Пример 7. Доказать, что множество М чисел вида
( 1 / \\п\
ап=\[1 +(¦— \)п] л+ " \ не ограничено сверху, но ограничено снизу.
I п )
Найти inf M.
Решение. При четном п (п == 2k) имеем:
[1 + (- IJ*] 2k + ^-!— = 4k.
Если же п нечетно (п = 2k — 1), то имеем:
6

I + ( ) * г] Bk 1) + 2k—\ 2k -1 *
Итак, 4& при п —2k,
—¦— при n—2k—1.
Так как числа вида {Щ могут принимать сколь угодно большие значения, то
множество М не ограничено сверху. С другой стороны, для любого натураль-
2
ного k мы имеем 4/е > 0 и —- ¦ > 0, т. е. множество М ограничено снизу,
а число 0 является одной из нижних граней множества М. Покажем, что число О
является точной нижней гранью, т. е. что inf М = 0. В самом деле, пусть 8 > 0
1 / 2 \ 2
Тогда при k > -— I — -f I ) имеем: < 8. Значит, ни одно из чисел вида
2 \ 8 / 2k — 1
8 > 0 не является нижней гранью для М. Следовательно, inf М = 0.
Пример 8. Найти точную верхнюю и точную нижнюю грани множества
М периметров правильных 2л+1-угольников, описанных вокруг круга радиуса R.
Решение. При удвоении числа сторон периметр правильного описан-
описанного многоугольника уменьшается. Поэтому наибольший периметр среди пра-
правильных описанных 2'т-угольников имеет описанный квадрат. Он равен 8R.
Множество периметров описанных правильных 2л+1-угольников ограничено
снизу, так как периметр любого вписанного многоугольника меньше периметра
любого описанного многоугольника. Иными словами, периметр любого вписан-
Я'го многоугольника является одной из нижних граней для множества М. Поэтому
множество М имеет точную нижнюю грань. Очевидно, что этой гранью является
длина окружности. Итак, sup М = 8R, inf М = 2nR.
1.1. Докажите, что не существует рационального числа г, такого,
что: а) г2 = 5; б) г3 - 7; в) г2 +3 г + 1 = 0; г) г3 — 7 г+ 1 - 0.
2.1. Отрезок прямой АВ делится точкой С так, что АВ • АС =
= ВС2 (так называемое «золотое сечение»). Доказать, что от-
отношение — иррационально.
АВ
3.1. Какие числа имеют два различных представления в виде
десятичной дроби?
4.1. Может ли число иметь три различных представления в виде
десятичной дроби?
5.1. Указать два иррациональных числа, разность которых
рациональна.
6.1. Указать два иррациональных числа, произведение которых
рационально.
7.1. Пусть аир — иррациональные числа, а а + р рациональ-
рационально. Доказать, что числа а — ри а+'2Р иррациональны.
8.1. Пусть а и р — иррациональные числа, г — рациональное
число. Какие из следующих чисел могут оказаться рациональными:
а) а + Р; б) а + г; в) Уа\ г) ]/7Г д) ар; е) а г\ ж) Уа+П
з) Va +УЪ и) Va + Уп к) Vr +У^.
9.1. Докажите, что если для бесконечной десятичной дроби
все приближения с избытком, начиная с /2-го совпадают, то все циф-
цифры дроби, начиная с некоторой (с какой?), суть девятки.

10.1. Доказать, что число, выраженное бесконечной десятичной
дробью 0,10000000010 (единицы стоят на первом, десятом, сотом,
тысячном и т. д. местах после запятой, остальные цифры — нули),
иррационально. Доказать, что квадрат этого числа тоже иррацио-
иррационален.
11.1. Доказать, что число, выраженное бесконечной десятичной
дробью 0,20020000200000020..., иррационально (двойки стоят на
первом, четвертом, девятом, шестнадцатом и т. д. местах, осталь-
остальные цифры — нули).
12.1. Докажите, что вещественное число 0,12112111211112...
иррационально.
13.1. Докажите, что вещественное число 0,12345678910111213...
иррационально.
14.1. Существует ли наибольшее число, которое меньше 0,9
и записывается без цифр 8 и 9?
15.1. Существует ли наибольшее число, которое меньше 1 и за-
записывается без цифр 7 и 8?
16.1. Существует ли наименьшее иррациональное число, кото-
которое больше —?
17.1. Построить наибольшее вещественное число, меньшее 0,9
и не содержащее в десятичной записи цифру 9.
18.1. Выписать десятичные приближения к числу У 2 по недос-
недостатку с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и найти разности между числом
2 и квадратом этих приближений. Сделать то же самое с приближе-
приближениями по избытку.
19.1. Показать, что если — является хорошим приближением
п
к J/2, тот - является еще лучшим приближением, и что
т + п
ошибки этих двух приближений будут разных знаков. На основе
этого утверждения получите четыре приближения к У2 исходя
из приближения — . Оцените их точность.
20.1. Выяснить, какие из нижеследующих числовых множеств
ограничены сверху, какие ограничены снизу, какие не ограничены.
Найти точные верхние и нижние грани для ограниченных множеств.
а) Множество рациональных чисел г = — , для которых
0 < р < q.
б) Множество рациональных чисел г = — , для которых
0<*<„.
в) Множество рациональных чисел г = — , для которых — q <3
< р < 0 < q.
8

г) Множество иррациональных чисел, лежащих на отрезке [2; 7].
д) Множество периметров правильных г^-угольников, вписан-
вписанных в круг радиуса R.
е) Множество периметров правильных 3 • 2л-угольников, опи-
описанных вокруг круга радиуса R.
ж) Множество площадей 3 • ^"^-угольников, вписанных вкруг
радиуса R.
з) Множество объемов многогранников, вписанных в шар радиу-
радиуса R.
и) Множество объемов правильных многогранников, вписанных
в шар радиуса R.
к) хМножество объемов многогранников, описанных вокруг шара
радиуса R. __
л) Множество десятичных приближений по избытку для ]^2.
м) Множество десятичных приближений по недостатку для У 2.
н) Множество бесконечных десятичных дробей вида 0, сцсц ...
...ая ..., в запись которых не входит цифра 9.
о) Множество бесконечных десятичных дробей вида 0, aia2...
... ап ..., в запись которых не входит цифра 8.
п) Множество чисел вида |——1 , где п пробегает МНОЖест-
во натуральных чисел.
р) Множество чисел вида I —-—1, где п пробегает все целые зна-
значения.
с) Множество, состоящее из чисел вида I 1 и чисел вида
I п2 + 1 J
где п пробегает все натуральные значения.
т) Множество, состоящее из чисел вида
где п пробегает все натуральные значения.
21.1. Приведите пример числового множества М, для которого
inf М = 0, sup М = 1, но которое не совпадаете отрезком [0;1 ].
22.1. Для каких числовых множеств inf М = sup M?
§ 2. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА
Пример 1. Решить неравенство [2 — За: [ < 1.
Решение. Это неравенство равносильно двойному неравенству
— 1 < 2 — Зх < 1.
Прибавляя к обеим частям — 2, будем иметь: — 3 < — За- < — 1. Разде-
Разделив на — 3, получим ответ: 1 > х > —.
3
Пример 2. Решить неравенство | 4л; — 3 | > 2.
9

Решение. Если | х \ > а (а > 0), то либо х > а, либо х < — а. В нашем
случае будем иметь: 4х — 3 > 2 или 4х — 3 < — 2. Решая каждое из этих не-
5 1
равенств, получим ответ: либо * > — , либо х < —.
4 4
Пример 3. Доказать неравенство \Ъх — 1 | < | 2х — 1 | + \ х \.
Решение. Преобразуем левую часть данного неравенства:
| Зх - 1 | = | Bх - 1) + х |< | 2х - 1 | + | х \.
Следовательно, рассматриваемое неравенство справедливо для всех значений х.
П 4 Д | | | I | | I I
рр р р
Пример 4. Доказать неравенство | | л: | — I у | | < I * — У I
Решение. По свойствам абсолютных величин чисел имеем:
\х~у\> |*|-|у| и I лс — vl > |у|
Умножая второе из этих неравенств на — 1, получим:
A)
B)
Объединяя A) и B), найдем:
—у|, или ||х| —|
Пример 5. Решить уравнение
X2 — 6.
Решение. При х > 0 уравнение равносильно уравнению х = х2 — 6.
Его корнями являются хг = 3, х2 = — 2, из которых лишь х1 = 3 удовлетворяет
неравенству х > 0. При х < 0 наше уравнение равносильно уравнению —х =
~ х2 — 6, корни которого равны — 3 и 2. Неравенству х < 0 удовлетворяет
корень — 3. Итак, заданное уравнение имеет корни 3 и — 3.
Решить неравенства:
231 2|3
23.1.
24.1.
25.1.
26.3.
27.1.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.1
36.1.
37.1.
38.1.
39.1.
40.1.
41.1.
42.1.
43.1.
— 2 |< 3.
+ 3 j > 2.
<х+ 1.
х+\ ' х+1
х2 - 5 | > 2.
Г2 Or Ч
х + 3 | — | * + 1 | < 2
д*2 о у ! *^> v'2 I 2x I
Зл2+ 6л: —5 > 1.
*+ 21+ I * — 2|>
X2 _ 2x — 3.
л; —4
I 3 —
|х +
|jf +
— 2
12.
10.
—1
Решить уравнения:
2л- + 3 | = л-2.
sin х | = sin x + 2.
tg х | + tg x — 2 = 0.
cos * | — cos x — 3 =0.
x —l
JC+l
-6|= -(x2
2x + 5) + (x - 5)
5x + 6).
= | x2 + 2x + 5
+ \x
— 4) — (х2 + 2) | = | л-4 — 4 | — | л:2 +2
10

§ 3. ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пример 1. Дана функция
/ ч Зх + 1
Найти ф A — а), ф (от1). Определена ли функция при х
Решение. Для нахождения частных значений функции надо подставить
з/"
фу
: дг = 1—а, х=а~1, л: = / —, и
V 2
вместо л: его значения: дг = 1—а, х=а~1, л: = / —, и произвести вычис-
V 2
ления:
3 - A — а) + 1 4-За
фAа)
3 — 2- A —аK 1 + 6а — 6<
ф(а Х) = 3 — 2. (а^1K = За3—2 '
При л: = 1 / — знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.
3/ о
Значит, при х— "I/ — функция не определена.
V 2
Пример 2. Найти приближенное значение функции
а:2 + 2л; + 3
при а: = 1 385 671,215 с точностью до 0,00001.
Решение. Преобразуем функцию к виду
Так как при х > 1 000 000
= — < 0,000002,
х2 + 2х + 3 *2 х
то при а: = 1 385 671,215 имеем с точностью до 0,00001 у « х — 2
= 1 385 669, 215.
Пример 3. Найти приближенное значение функции
2х
при х = 0,0015694 с точностью до 0,00000002.
Решение. Запишем функцию / (а:) в виде
2х3
/W2
При х = 0,0015694 имеет место неравенство
< 2хЪ < 2 • 0,0023 = 0,000 000 016 < 0,000 000 02.
Поэтому с точностью до 0,00000002 имеем:
/ (х) ъ2х= 0,0031388.
11

Пример 4. Пусть
/ (х) = 10*, ф (х) = sin3 2х + 3.
Найти выражения следующих функций:
а) 2/ (а:) + 4ф (х); б) -— .
Решение. Подставляя значения / (х) и ф (х), получаем, что:
а) 2/ (х) + 4ф (х) = 2 • 10* + 4 (sin3 2* + 1):
)
(sin2 2х + ЗJ — 1
Пример 5. Доказать, что функция
/ (х) = Ci . 3* + С2 • 4*
при любых постоянных Сг и С2 удовлетворяет соотношению
f(x+2)-7f(x+l)+ 12/ (*) = 0.
Решение. Мы имеем:
Поэтому
f(x + 2) -7f(x+ 1) + 12f (х) =СХ • 3^
+ C2 • 4*+4 + 12 [Ct • 3x + C2 • 4*] = CL . 3* [32 — 7 . 3 + 12] +
+ C2 • 4* [42 — 7 . 4 + 12] = 0.
Пример б. Дана функция (рис. 1.1):
Рис. 1.1.
Определить: v (—
х2 при — 1 < х < 0,
— х + 1 при 0 < х < — ,
1
sin лх при — < х < 1.
—j , v@), v I—j , vf —
12

Решение. Функция v (х) определена на отрезке [— 1;1] с помощью трех
формул. В промежутке [— 1;0) закон соответствия между х и v (х) определяется
формулой
v (а:) = х2\
в промежутке 0; — | — формулой
v (х) = — х+ I;
Г1 1
в промежутке — ; 1 — формулой
v (a:) = sin nx.
Так как значение х — — — принадлежит промежутку [—1; 0), то v I — — j = —.
Точка х = 0 принадлежит промежутку 10; — J и, следовательно, v @) =
принадлежит промежутку
= — О -Ь 1 = 1.
— принадлежат промежутку
ri 1
—; 1
и,
1 3
Точки х = — и ;
2
следовательно, v | —j = sin — == 1, v A) = sin л = 0.
\ 2 J 2
Пример 7. Функция у — E (x) (читается так: «у равно целой части от
х») определяется следующим образом: если k<x<k-\-luk — целое чис-
число, то Е (х) ~ к. Другими словами, Е {х) равно наибольшему целому числу, не
превосходящему х. Существует и другое обозначение введенной функции: у=[л:].
Определить: Е (— 1), fi(--),? @), Е\ — \,Е A), Е (VX) E B, 3) и по
\ j \ /
строить график функции у = Е (х).
Решение. При фиксированном значении х Е (х) равно по определению
наибольшему целому числу, не превосходящему х. Следовательно, Е (—» 1) =
W-ij^-l, ?@)=0, W)
Е B,3) = 2. График функции изображен на рисунке 2.1.
Пример 8. Рассмотрим функцию, которая определяется следующим
законом соответствия: каждому натуральному числу п ставится в соответствие
-з
-2 -; о
Рис. 2.1.
13

число f(n), равное квадрату л-го десятичного знака после запятой при разло-
разложении числа л; в десятичную дробь. Определить: / A), / B), / C), / D).
Решение. Так как число л = 3,14159..., то по определению функц ии
получим:
/ A) -12=1,/ B) = 42 = 16, /C) = I2 = 1, / D) = 52 = 25 и т. д.
Пример 9. Дана функция у = {л:} (читается так: «у равно дробной ча-
части числа х»), причем по определению {х} = х—Е (х).
Определить: {—1,2}, {-1},^—О, 3}, {0}, {0,4}, {1,3}.
Может ли {а:} принимать отрицательные значения?
Решение. {—1,2} =— 1,2 —(—2) =0,8; {— 1} » — 1 — (— 1) = 0;
{_0, 3} =—0,3 — (— 1) =0,7; {0} =0; {0,4} =0,4 — 0=0,4;
{1,3}-=1,3-1=0,3.
Так как х > Е (х), то функция у = [х] не может принимать отрицательных
значений.
Пример 10. Функция у — sgn x (у равно сигнум х) определяется следую-
следующим образом:
sgn х=
— 1, если х < 0,
0, если ^ = 0,
1, если х > 0.
Построить график этой функции. Показать, что | х |== х sgn x.
Решение. Из определения функции sgn x следует, что
— х при х < 0,
0 при х =0,
х при х > 0.
Отсюда из определения \х\ следует,
что | х | = х sgn х. График функции
y=sgn х изображен на рисунке 3.1.
В
у \
1
0
, ^
X
-1
м
Рис. 3.1.
Рис. 4.1.
Пример 11. Дана равнобедренная трапеция ABCD с высотой, равной
единице, большим основанием AD, равным 4, и боковой стороной, составляю-
составляющей с AD угол 45q (рис. 4.1). Проведем в этой трапеции прямую MN || CD и
положим AM == х. Обозначим через у площадь фигуры, отсекаемой от трапеции
ABCD прямой MN. Ясно, что у будет функцией от х, определенной в проме-
промежутке [0;4]. Требуется определить аналитическое выражение этой функции.
Решение. Если 0 < х < 2, то отсекается
х *
AM = х и высотой —. Его площадь равна
—. Если
4
треугольник с основанием
2 < х < 4, то отсекае-
отсекаемая фигура разбивается на треугольник и параллелограмм. Площадь треугольни-
треугольника 1, а параллелограмма (х — 2). Площадь всей фигуры ABNM равна (х — 1).
14

Таким образом, функция у определяется двумя формулами:
— , если 0 < х < 2,
4
х — 1, если 2 < х < 4.
Пример 12. Выразить без использования знаков радикала и модуля
функцию I (х) = Ух2 + 4х + 4 — У*2 -~_8л; + 16.
Решение. Используя равенство^а2 = | о ( , получим:
Ha луче (— оо ; — 2) мы имеем: л; + 2 < О, я *~ 4 < 0, и потому |* + 2| =
= — (х + 2), |дг — 4| = — (л: — 4). Итак, при х ? (— оо; — 2) имеем: / (*) =
= — (х + 2) — [ — (* — 4)] = — 6. Аналогично при х ? [ — 2; 4] получаем:
/ (*) = х + 2 — [— (* — 4)] = 2х — 2, а при х ? D; оо) имеем: / {х) = (* +2)—
— (х -^ 4) = 6. Окончательно получим:
— б, если #<— 2,
2я —2, если — 2<х<4,
6, если л; > 4.
График функции представлен на рисунке 5.1.
Рис. 5.1.
Пример 13. Найти квадратный трехчлен у = ах2 + б* + с, если
/(-1) = 2, /@)- 1, /B) = 3.
Решение. Из условия задачи получим систему из трех уравнений с тре-
тремя неизвестными a, bt с.
2 — а — b + с,
1 =с,
I 3 = Аа + 26 + с.
2 1
Решая эту систему, найдем: а=— ,6= — — , с = 1. Следовательно, иско-
3 3
мая функция будет иметь вид:
15

Геометрически эту задачу можно сформулировать так: определить параболу
у = ах2 + Ьх + с, проходящую через 3 заданные точки: А (— 1;2), В @;1) и
С B'3)
Пример 14. Найти / (*), если / (х — 1) = х2 + За; — 2.
Решение. Обозначим х — 1 = /; тогда х = / + 1. Значит,
/ (/) - (/ + IJ + 3 (/ + 1) - 2 = t2 + 5/ + 2.
Меняя обозначение / на х, получим f (x):
f (х) = х2 + 5л: + 2.
Пример 15. Дана функция
У = * + - (* < 0).
Найти наибольшее значение этой функции.
Решение. Идея решения задачи состоит в представлении функции в
виде суммы двух слагаемых, одно из которых, зависящее от х, неположительно,
а другое — постоянное число. Преобразуем функцию:
х2 + 1 х2 + 2х + 1 — 2х (х + IJ
X X X
Так как первое слагаемое неположительно (ведь х < 0), а второе слагаемое по-
постоянно, то наибольшее значение, равное — 2, будет при значении х = — 1 :
Пример 16. Дана функция / (х) = tg х + ctg л: (tg л: > 0). Требуется
определить наименьшее значение функции и те значения х, при которых это наи-
наименьшее значение достигается.
Решение. Перепишем функцию в виде / (х) = tg x -\ и восполь-
воспользуемся неравенством а -\ > 2 при а > 0 (это неравенство следует из формулы
а
1 а2 + 1 (а-—IJ
а + — = = + 2), причем знак равенства имеет место только при
а а а
а= 1. В нашем случае а = tg я; значит, наименьшее значение функции равно 2
и достигается оно при tg х = 1, т. е. при х == — + зх/г |(/г = 0, ±1, ± 2).
Пример 17. Дана функция / (t) = a sin со t + 6 cos со Л Определить
значения /, при которых эта функция принимает наибольшее и наименьшее зна-
значения, и найти эти значения.
Решение. Преобразуем функцию [ (t) следующим образом:
a sin о/ + Ь cos со/ = Ya?-\- b2 I ¦ /—. 2 sin со/ + ,-2 2- cos со/ j .
Так как ¦> =^ 4- ( г 1 =1, то существует аргумент ср0, такой.
что уж±~ь* ""wo то' ]7Щгр:
получим: / (/) = A (sin со^ cos ф0 + cos со/ sin <р0) = A sin (со/ + ф0),
или
16

Фо
= A sin со (/ — ф), где ф =— —
со
Отсюда видно, что / (t) принимает наибольшее значение, равное Л = У а2 + б2
при значениях /, для которых sin© if — ф) = 1. Решая это уравнение, получим:
— ф ) = — + 2nk (k= О, ±1, ±2, ...),
откуда
A+41»
Функция / @ принимает наименьшее значение, равное — У а2 + б2 при значе-
значениях ty для которых sin (о (^ — ф) = — 1. Решая это уравнение, получим:
о) (t - ф) = - j - 2яЛ,
или
^ >fe 0> ±1> ±2fM!
Пример 18. Найти все решения уравнения tg л: + ctg х = 6у — у2 — 7.
Решение. Мы видели (см. пример 15), что наименьшее значение функции
г = tg х + ctg x
достигается при х — \-nk и равно 2. Наибольшее же значение функции
4
бу — у2 _ 7 = 2 — (j; — ЗJ также равно 2 и достигается при у = 3. Так как
наименьшее значение функции, стоящей в левой части уравнения, совпадает с
наибольшим значением функции, стоящей в правой части этого уравнения, то
равенство может иметь место лишь при х = — +зт/еиу = 3.
4
44.1. / (jc) = arc tg 2х. Найти: а) /2 (х) — 3 / (х)+ 2; б) / (х2—
— Зх + 2); в) 10«*>; г) / A0*); д) / (х3 sin х)\ е) xs f (sin x).
45.1. / (х) = 2Х\ ф (х) = хъ + 1. Найти выражение для:
а) /2 (х) + ф3 (х); б) /4 (х) ф2 (х); в) / (х4) <р (х2).
46.1. f (х) - (х — IL + 4 (х — IJ + cos (x — 1).
Доказать, что / A — а) = / A + а).
47.1. / (х) = sin х, ф (х) = cos x.
Доказать, что /4 (х) + 2/2 (х) ф2 (х) + ф4 (х) = 1.
48.1. Найти приближенное значение функции
у= *+'
* х2 + Зх + 1
при х = 0,000127 с точностью до 0,00000002.
49.1. Пусть / (х) — второй десятичный знак после запятой
числа х (для десятично-рациональных чисел выбирается запись,
кончающаяся нулями). Найти: / (Д f (j/2), / (/3) , / (я), /(|1
f (sin 10°), / (lg 2). Построить график функции на отрезке [0; 0,1 ].
17

50.1. Дана функция / (х) = | х \ — х. Найти значения / (—1),
/ @), / A), / (— 2), / B) и построить ее график.
51.1. Дана функция
\х при 1 < x < 2.
Найти значения: / @), / (—\ , / (—\ f B), построить график
данной функции.
52.1. Дана функция
sin х при — 1 < х < 0,
1 + х2 при 0 < х < 2.
Найти значения: /A), /(—-)> / (-) и /@). Существует ли /C)?
53.1. Дана функция
х2 + х + 1 при — 1 < х < О,
sin2* при 0<л;<я,
^^ при я < х < 5.
Найти значения: v (—1), v ( j, v @), v (— J и v D).
54.1. Дана функция ty (x) = 1 + Зя4 — cos 2x. Доказать, что
55.1. Дана функция \|э (х) = 2 sin — х + х3. Доказать,
что г|э (—х) = —г|? (х).
56.1. Найти квадратный трехчлен / (х) = ах2 + Ьх + с, если
57.1. Найти целую рациональную функцию третьей степени
/ {х) = ах3 + bx* + cx+ d, если / (—1) = 0, / @) - 2, / A) =*
= -3, / B) = 5.
58.1. Известно, что / (х) = sin х> 0 < х < —. Показать, что
59.1. Известно, что f (х) = cos2 х, ф (х) = cos x. Показать, что
Bх) = 2f(x- 1).
60.1. Дано / (х) = хг + рх + д. Показать, что
18

61.1. Выразить f (x) и ф (х) из равенств:
Ф (х) + / (х) = х + lg (х + 1),
Ф (х) —2f(x) = x — tg x.
Существует ли хоть одно значение х, при котором f (x) — ф ()
62.1. Выразить площадь прямоугольника, вписанного в круг
радиуса /?, как функцию от его основания.
63.1. Выразить объем конуса, вписанного в шар радиуса R,
как функцию от его высоты.
64.1. Выразить объем конуса, вписанного в шар радиуса R, как
функцию от радиуса его основания.
65.1. Выразить объем конуса, вписанного в шар радиуса /?,
как функцию от угла осевого сечения.
66.1. Выразить полную поверхность цилиндра заданного объема
V как функцию его высоты Н.
67.1, Выразить объем цилиндра заданной полной поверхности
как функцию его высоты Н.
68.1. Выразить полную поверхность конуса, описанного вокруг
шара радиуса R, как функцию от угла осевого сечения.
69.1. Выразить полную поверхность конуса, описанного вокруг
шара радиуса R, как функцию от его высоты Н.
70.1. Светящаяся точка М находится на линии центров двух
сфер между центрами. Радиусы сфер равны Rt и R2> а расстояние
АВ между центрами равно а. Выразить сумму площадей освещен-
освещенных частей сфер как функцию от расстояния AM.
В следующих задачах функция задается различными аналитичес-
аналитическими выражениями на разных участках.
71.1. Парашютист падает в свободном падении а сек, после чего
открывает парашют и падает Ь сек с постоянной скоростью v0. На-
Написать выражение функции s (/)—пути, пройденного парашютистом
за время /.
72.1. Окно имеет форму прямоугольника со сторонами а и 6,
на котором построен полукруг с радиусом —. Написать аналити-
аналитическое выражение функции S (х) — площади части окна, отсекае-
отсекаемой прямой, параллельной основанию прямоугольника и отстоящей
от него на расстоянии х.
73.1. Тело состоит из цилиндра высоты А, имеющего радиус
основания г, и двух полушаров радиуса /*, поставленных на основа-
основания цилиндра. Написать аналитическое выражение функции V (х) —
объема части тела, заключенной между двумя плоскостями, па-
параллельными основаниям цилиндра, причем одна из них касается
нижнего полушара, а вторая отстоит от нее на расстоянии х.
74.1. В треугольнике ЛВС сторона АВ = 6 см, сторона ВС =
= 8 см и сторона АС = 10 см. Обозначим через S (х) площадь
части треугольника, отсеченного от него прямой, перпендикуляр-
19

ной стороне АС и отстоящей на х см от вершины А. Записать ана-
аналитическое выражение для S (х).
75.1. Записать аналитическое выражение функции у = {х—I}2
при п < х < п + 1 (/г — целое число).
76.1. Не используя знака модуля, записать аналитическое вы-
выражение для функций:
\
a)
в)
д)
ж)
У =
У =
У =
У =
1
2
[?
1о,
= 1
- (х+ |
+ 3| +
-, если
1
если
ig*i.
X |
X
X =?
X =
);
+ 2|;
= 0,
= 0;
б)
г)
е)
У =
У =
у=!
X2
sin
(х-\
— Ъх Н
х | ;
jfl);
- 6|
77.1. Прогиб балки, оба конца которой свободно лежат на опорах,
под действием нагрузки Q, сосредоточенной в середине балки, вы-
выражается формулами:
т — ~г1> 0<х<~,
48?/ V / /3 1 2
Q/3
Проверьте, что оба выражения дают одинаковый результат при х =
= —. Что означает физически этот факт?
78.1. Начертить графики следующих функций:
(х при х < — 1,
а) /(*) = |1 при — 1 < х < 1,
U при х> 1;
(х при х < — 1,
б) f (х) = 1 при —1 <х< 1,
1х2 при х > 1;
в) / W = | х - 1 |;
г) f(x) = |х2 — 4х— 12 | ;
д) /(а:)=1/л-2+ 12х + 36 +]/"х2—2х+
79.1 Решить уравнения и неравенства:
a) Vx*+ Ах +4 — Кл:2—12х + 36 =— 8;
б) /л:2+ 4л: +4 — ]Лс2— 12х + 36 = 6;
в) ]/л;2+ Ах +4 — j/x2— 12л: +36 = 8;
г) V^+ 4х +4 — }/"л;2— 12л:+36 = 16;
д) Vx2+ 16л: + 64 — |/"л*2+2л:+1 > 5;
е) Vx2+ 16л* + 64 — Кл:2+ 2л: +1 >— 7;
20

ж) \fx2+ 16л: + 64 — Vx*+ 2x+\< 8.
80.1. Дана функция у = 2хг — 4л:+1, —- оо < х < + оо .
Найти ее наименьшее значение и значение аргумента х, при котором
оно достигается. Существует ли наибольшее значение функции?
81.1. Дана функция у = — Зл:2 + 6# — 1, — оо < х < + оо.
Найти ее наибольшее значение и значение аргумента ху при котором
оно достигается. Существует ли наименьшее значение функции?
82.1. Дана функция у = х -\ (л: > 0). Найти ее наи-
наименьшее значение и значение аргумента х, при котором оно дости-
достигается.
83.1. Дана функция у = 2 cos2 х — 3 j/~3~cos x — sin2 x +
+ 5. Найти ее наибольшее и наименьшее значения и значения ар-
аргумента ху при которых они достигаются.
84.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =
= sin х cos x + cos2 x и определить, при каких значениях они
достигаются.
85.1. Дана функция у = sin2 x — sin x cos х. Найти те зна-
значения х9 при которых функция принимает наибольшее и наимень-
наименьшее значения. Определить последние.
86.1. Число 10 представить в виде двух слагаемых так, чтобы
их произведение было наибольшим.
87.1. Найти все решения уразнений:
а) л:4 + 4л:2 + 2 - — 2 — cos2 y\
б) lg4 х + 6 lg2 x + 10 = — arc sin у;
я
в)
г) (sin2а- + -^-У+ (cos2* + -7-?= 12 + -J-sin2у;
\ sin2 x) \ cos2 x) 2
д) (tg х + ctg xJ - 1 = 2 + 2 lg» x - lg4 r,
е) tg4 x + tg4 у + 2 ctg2 x ctg2 у = 3 + sin2 (* + y).
88.1. Найти / (*) , если / A + 2x) = sin * — x3 + tg X-~+ 1-
89.1. Найти /(x), если f(x4--)=i2 + 7
\ X J X
90.1. Найти /(х), если /(-) =x+ l^f+J?" (д; < 0).
4
91.1. Найти /(х), если f (x2) = —(д; > 0).
92.1. Найти / (x), 0 < a: < 1, если f (sin2 x) = cos2
93.1. Доказать, что функция
c+j
при любом постоянном с удовлетворяет соотношению / (xk)—f (x)=
= т. Найти с, если / A00) = 0.
21

94.1. Доказать, что функция / (х) = ct2x + сг? при любых
постоянных ci и с2 удовлетворяет соотношению / (х + 2) — 6/ (х +
+ 1) +8/ (х) = 0.
95.1. Доказать, что функция / (х) = 3х (с4 -+ с2 х) удовлет-
удовлетворяет соотношению / (х + 2) —- 6/ (х + 1) + 9/ (х) = 0.
96.1. Доказать, что функция
= sin (с + 2пт -&-)
при любом постоянном с удовлетворяет соотношению / (ах)
97.1. Доказать, что функции
удовлетворяют системе соотношений
(/ A+ х) + Ф A - х) = jc,
I/ (-х) + Ф A + х) = 0.
98.1. Доказать, что функция / (х) = ct cos ал: + с2 sin ал:
удовлетворяет соотношению / (х + 2) — 2 cos а/ (х + 1) + / (*) = 0.
99.1. Доказать, что функция / (х) =— удовлетворяет соот-
соотношению f(x) — f(x+ 1) = / (х) / (х + 1).
100.1. Укажите пример функции, удовлетворяющей функцио-
функциональному уравнению / (ху) = / (х) + / (у).
101.1. Укажите пример функции, удовлетворяющей функцио-
функциональному уравнению
Н + у) .
l-f(x)f(y)
102.1. Укажите пример пары функций ф (х) и я|з (х), удовлет-
удовлетворяющих системе соотношений:
Ф (* + У) = Ф (*ЖУ) + ф (У) * (х),
(^ + У) = * W * (У) — Ф (х) Ф (У).
§ 4. ОБЛАСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ (ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ)
ФУНКЦИИ
Пример 1. Найти область существования следующей функции:
х2+ 1
У 2х—\
Решение. При каждом значении х из интервала (—<х>; + оо) числи-
числитель и знаменатель являются вещественными числами. Их отношение есть также
1
вещественное число при всех значениях х, кроме х= — , при котором знамена-
знаменатель обращается в нуль. Значит, областью существования функции является мно-
22

жество всех значений х, кроме х = —. Записывают это так: — оо < х < — ,
-— < х < + оо. Можно записать также и в виде: — оо < л; < + оо, * =? —
Пример 2. Найти область существования функции: у = У*1х — 3.
Решение. Данная функция определена для таких значений х, при кото-
которых подкоренное выражение неотрицательное. Значит, функция определена при
3
2х — 3 > 0, т. е. при х > —# Таким образом, областью существования функ-
Г 3
ции будет —; +
L * у
Пример 3. Найти область существования функции
A \2 3
* — —" 1 + ~» то знаменатель опре-
определен при всех значениях х и не обращается в нуль. Числитель igx не определен
при х= [-лп, где п = 0, ± 1, ± 2, ... . Следовательно, функция определена
при всех значениях #, кроме л; = Ь лп. Иначе говоря, область существования
определяется неравенствами: лл < х < Ь мп (л=0, ±1, ±2, ...).
Пример 4. Найти область определения функции
Решение. Область существования определяется как совокупность зна-
значений х, при которых одновременно х — 2 > 0 и 4 — х > 0, т. е. как пересече-
пересечение множеств х > 2 и х < 4. Таким образом, областью существования функции
будет отрезок: 2 < х < 4.
Пример 5. Найти область определения функции
у = lg (х2 —9).
Решение. Выражение lg (х2 — 9) имеет смысл при х2 — 9 > 0, т. е
при х2 > 9. Решая это неравенство, получим, что х > 3 или х < — 3. Область
существования состоит из двух лучей.
Пример 6. Найти область определения функции
у= lg(*-3) + lg(*+3).
Решение. Этот пример отличается от предыдущего не только формой
записи. Область существования функции примера 5 определялась как совокупность
решений неравенства х2 — 9 > 0. В рассматриваемом примере область существо-
существования функции определяется как совокупность решений системы неравенств
х — 3>0и*+3>0. Это луч, определяемый неравенством х > 3.
Пример 7. Найти область существования функции
2х
у = arc sin .
l+x
Решение. Область существования функции у = arc sin x определяется
неравенством: \х\ < 1 (или — 1 < х < 1). Следовательно, нахождение области
23

существования сводится к решению неравенства
2х
< 1. Возводя в квадрат,
1+х
колучим эквивалентное неравенство 4л:2 < 1 + 2х + х2, или За:2 — 2л: — 1 < 0.
Решая это неравенство, найдем, что областью существования функции будет от-
отрезок — — < х < 1.
о
Пример 8. Найти область существования функции
у = lg [sin (lg x) ].
Решение. Так как х и sin (lg x) находятся под знаком десятичного лога-
логарифма, то должно быть х > 0 и sin (lg x) > 0. Последнее неравенство удовлетво-
удовлетворяется значениями х, для которых 2я/е < lg а; < я + 2я/е (k — 0, ± 1, ± 2, ...)
или 102я* < х < 10я+2я* (k= 0, ± 1, ± 2, ...). Эти неравенства и опре-
определяют область существования функции, так как одновременно удовлетворяются
оба неравенства х > 0 и sin (lg x) > 0.
Пример 9. Найти область существования функции
у= arc cos У~3 — 2х — х2 .
Решение. Область существования функции у = arc cos x определяется
неравенством: \х\ < 1. В нашем примере область существования функции опреде-
определится как совокупность значений, удовлетворяющих двойному неравенству:
0 < |^3 — 2х~^х2 < 1, или 0 < 3 — 2х — х2 < 1. Решая это двойное нера-
неравенство, найдем, ЧТО область существования функции состоит из двух отрезков:
— 3 < х < — 1 — уТ и КЗ~— 1 < х < 1.
Пример 10. Найти область существования функции
у = (| я | — л:) ]/— sin2 ях.
Решение. При любом значении х, для которого \х\ — х = 0, т. е. при
* > 0, значение функции равно нулю. Значит, все значения х > 0 входят в об-
область существования функции. Далее, из отрицательных значений х будут вхо-
входить в область существования те значения, при которых sin2 шс = 0, т. е. sin ял* =
¦^0. Решая, получим: ях = ял, т. е. х = п. Таким образом, область существования
функции состоит из промежутка 0 < х < + оо и значений х = п (п= — 1,
— 2, —3, ...).
Пример 11. Тождественны ли функции: а) / (х) = log x2 и ф (х) =
¦= 2 log | х I; б) у = log а:2 и 2 log х\ в) у = log а:2 и 2 log х для 1 < х < 10;
2л:2 2л:2
г) / (х) = — и <р (*) = 2 для —оо < * < + оо ; д) / (л-) = — и ф (х) =*
X2 X2
** 2 для — 10 < х < 0; е) / (х) = arc sin л: и ф (х) = arc cos }/" 1— х2 для
0 < ж < 1; ж) / (а:) = arc sin х и ф (а*) = arc cos |/"l — а:2 для — 1 < х < 0?
Решение. По определению функции / (л:) и ф (л:) тождественны, если они
кмеют одну и ту же область существования G и / (а:) = ф (х) для всех х ? G.
а) Область существования этих функций совпадает: —оо <#<+оо, #=^0,
кроме того, для любого х ? О справедливо:
/ (л:) = log а:2 = 2 log | ж | = ф (*), следовательно, функции / (х) и ф (а:)
тождественны.
б) Функции не тождественны, так как / (х) = log хг = 2 log | x | определена
ка всей числовой оси, кроме х = 0, а областью существования ф (х) является
промежуток 0 < х < + оо.
В примерах в) и д) функции тождественны. В примере г) функции не тожде-
тождественны, так как ф (л:) определена на всей числовой оси, а в область существова-
существования / (х) не входит значение х = 0.
е) Пусть 0 < х < 1 и у = arc sin х. Тогда х = sin у, причем 0 < у < -*-.
т

Следовательно, cos2 у = 1 — sin2 у = 1 — х2, причем cos у > 0. Отсюда нахо-
находим, что cos у = j/"l — х2. Решением этого уравнения, принадлежащим отрез-
КУ 0'> ~~ » является у = arc cos УI —х2. Итак, мы доказали, что на отрезке
[0; 1] выполняется равенство arc sin x = arc cos \ 1 — х2, то есть, что функции
/ (х) и ф (х) тождественны.
ж) Пусть — 1 < х < 0 и у = arc sin x. Так же, как иве), получаем, что
я
cos2 у = 1 — х2} причем — — < у < 0. Отсюда опять выводим, что cos у =
\ г) / { —^- ).
\ х ]
= J 1 — х2. Но решением этого уравнения, принадлежащим отрезку — —; 0 ,
является — arc cos 1^1—х2 (поскольку 0 < arc cos x < я). Значит, на от-
отрезке [— 1; 0] имеем arc sin x = — arc cos У\ — x2. Функции / (х) и ф (л:) не
тождественны.
Пример 12. Функция у = / (и) определена на промежутке 0< и < 1.
Найти области существования функций: а) / (л:2); б) / (sin х)\ в) / (In х)
\ ]
Решение, а) Область существования функции / (л:2) определится из ус-
условия 0 < х2 < 1, так как х2 здесь играет ту же роль, что и и для функции у =
= / (и). Отсюда следует, что область существования состоит из двух интерва-
интервалов — 1 <х<0и0<^< 1.
б) Область существования функции определяется из неравенства: 0<sin x<
< 1, решая которое, получим: 2nk < х < к + 2nk.
в) Здесь дело сводится к решению неравенства 0 < In x < 1 и, следова-
следовательно, областью существования будет промежуток 1 < х < е.
Е (х)
г) Аргумент функции будет равен 1 при целых значениях х: х = п
Е(х)
(п = ± 1, ±2, ±3, ...). При нецелых положительных значениях х отношение —
х
Л Е(х)
удовлетворяет неравенству 0 < < 1, а при нецелых отрицательных
Е(х)
значениях х имеем > 1. Значит, область существования функции будет
х
определяться неравенствами п < х < п + 1 (п ==¦ 0, 1,2, ...).
Пример 13. Решить неравенство
а:— 12— уд:2 — 40* — 500 > 0. (*)
Решение. Функция у = х — 12 —- Ух2 — 40л: — 500 определена в
области, где х2 — 40л: — 500 > 0, т. е. на отрезке [— 10; 50] . Так как
Ух2—40л: — 500 > 0, то для выполнения неравенства (*) необходимо, чтобы х —
'— 12 > 0. Перенесем Ух2 — 40а: — 500 в правую часть неравенства и возведем
обе части неравенства в квадрат. Мы получим, что
(х — 12J > х2 — 40х —500,
откуда
16* + 356 > 0.
Решая систему неравенств
{— 10 < х < 50,
л:— 12 > 0,
I 16л: + 356 > 0,
получаем, что 12 < х < 50.
25

Пример 14. Пусть у = f (х) = Ув — х, л: = ф @ = t2 — 2/ — 2.
Представить у как функцию от t и найти область существования этой функции.
Решение. Подставляя вместо х его значение, получим:
у = у б — (t2 __ 2^ — 2f = /
Эта функция определена, если 8 + 2? — t2 > 0.
Решая последнее неравенство, получим: — 2 < t < 4.
Итак, функция f [q> (/) ] определена в области — 2 < t <: 4.
Пример 15. Определяют ли соотношения
у = arc sin x,
х = t2 + it + 6 (*)
у как функцию от f>
Решение. Областью значений функции х = t2 + 4/ + 6 = (/ + 2J +
+ 2 является луч [2; +о©). На этом луче функций у = arc sin x не определена.
Значит, соотношения (*) не определяют сложной функции.
Пример 16. На каком множестве определена функция /[ф@]> если
f (х) = у 1 _ X2t х= \ + sm2nt?
Решение. Областью определения функции у — V 1 — х2 является
промежуток — 1 < х < 1. Значения функции х = 1 + sin2 nt принадлежит
этому промежутку, если sin^=0, т. е. если /==0, ±1, ±2, ... . Значит,
функция / [ф (t)] определена лишь на множестве целых чисел.
Пример 17. Наложением каких простейших элементарных функций мо-
может быть получена функция у = cos2 (sin2 я2)?
Решение. Обозначим cos (sin2 x2) = t, тогда у = t2. Но cos (sin2 x2)
также сложная функция от х. Обозначим и = sin2 x2. Видим, что и в свою очередь
есть сложная степенная функция, основание которой обозначим через v :
v = sin x2.
Эта функция также есть сложная функция, так как под знаком sin стоит не х,
а х2. Обозначив w = х2, мы получили простейшую элементарную функцию.
Данную в задаче функцию можно рассматривать как результат наложения (су-
(суперпозиции) функции:
у = t2y t — cos и, и — v2y v= sin wy w— x2.
Пример 18. Пусть / (х) = T^~ . Найти / (/ (*)), / (/ (/ (*))).
l ~~ x
Решение. / (f (x)) = 777 = ;—==— , хфО,хф\.
1— f(x) 1__J__ x
1-х
x
Пример 19. Пусть
0 при |*|<1, ( х2-2 при |*| < 2,
1 при |,|>1, *{Х)={ -1 при \х\>2.
Определить функцию / [ф (х)].
Решение. При значениях х, для которых | ф (х) \< 1, / (ф (х)) = 0;
при остальных значениях / (ф (х)) =1. По условию ф (л:) = — 1 при | х \ > 2 и,
следовательно, при \х\ > 2 / (ф (х)) = 0. Определим на отрезке \х |< 2 те значе-
значения х, при которых |ф (х)\ < 1, т. е. \х2 — 2| < 1; мы имеем — 1 «?х2 — 2 <_ 1,
откуда 1 < \х \ <У 3. Следовательно, на отрезках 1< х</3и ~l/<
26

<* < — 1 имеем^ |ф (х)\ < 1 и / (ф (х)) = 0. В промежутках У3< х < 2 и
— 2<л:<—}/ I Ф (*) | > 1 и / (ф (х)) = 1.
Окончательно получаем:
/(ф(*))= I прИ __> ' <Х<У , — V3<*<—i,
A при y1T<x<2, —2 < д; < — |/з!
Представление функции в виде суперпозиции нескольких функций при-
применяется в элементарной математике при решении уравнений м неравенств.
Пример 20. Решить уравнение
22sin* _ l.2sinA: + 1=0
2 ^2 U
Решение. Положим 2sin х = 2, т. е. представим функцию
«3 _о,'« V . 1
v = 2^s^n х —- • 2s*п х А —
У 2 ' "*" 2
3 1
в виде суперпозиции функций у=г2— — г + — иг =2sin *. Уравнение (*)
3 1 1
примет вид г2 — ~- г + ¦— = 0. Решая его, получим, что гг = — , г2 = 1. Под-
2 2 2
ставляя эти значения z в соотношение 2sin*=2, получаем уравнения 2shl *=»
= — , 2sin •*" = 1. Полагая sin x =t, имеем 2^ == — = 2~1 и 2^ = 1 =2°.
2 2
Отсюда *! =— 1, ^2 = 0-
Так как t = sin х, то имеем уравнения sin х = — 1, sin x = 0, из которых пахо-
пахоте
дим, что х = 2лл — — или х = теп.
2
Пример 21. Решить неравенство
Зя л2
arc sin2 x — — arc sin x + -— < 0.
Решение. Положим arc sin x = t. Мы получим неравенство
Это неравенство имеет место, если — < t < — . Поэтому для х получаем
неравенства
л л
7" < arc sin x < — .
4 2
VT
Решая эти неравенства, находим, что L—— < х < 1.
Пример 22. Решить неравенство logj (х2 — 4х—32) > log! (х2 — 8* —20).
Г Т
Решение. Область определения функций, входящих в неравенство,
задается так;
2 _ 4х — 32 > 0,
;2 __ 8я _ 20 > 0.
Из условия задачи вытекает, что х2 — 4* — 32 < х2 — 8* — 20.
27

Решая систему неравенств:
л;2 — 4л; — 32 > О,
х2 — 8х —20>0,
X2 _ 4л: — 32 < х2 — 8* — 20,
получаем, что х должно одновременно удовлетворять соотношенк
—4 < а? < 8,
~2<х< 10,
3
Отсюда имеем: — 2 < х < 3,
Определить области существования функций:
103.1. у = 2х* — Ъх+ 1.
31
105.1. у =Ш-.
X
106.1. у =
У|х|+*'
107.1. у = lg D — 5х).
108.1. lg (х2 — 4х + 3)
109.1. у = lg B — х — х2).
110.1. у =
113.1. у = sin
J _ 5х + 6
114.1. у =•""
sin лл:
115.1. у --= Kcos У"х.
116.1. у= lg [cos (lg jc) I.
117.1. у = sin lg —L_ .
У 5 2x 1
— 2х — 8.
118.1. у = lg C sin2 a; — 4).
119.1. у = arc sin (За; — 4).
120.1. у — arc cos ~ .
О
121.1. у = arctg-^L±#
X2 i
122.1. у = arc cos -^— .
123.1. у = arc cos B sin x).
124.1. у = ctgtt x -f arc cos BX ).
125.1. у = arc sin A — x) + lg (lg xj.

126.1. у = arc cos —— + lg (sin -
1 + x2 \ x
127.1. у = arc cos C + 2~x).
128.1. у =^.
129.1. Функция /(л:) определена на отрезке [—1; 0]. Каковы
области существования функций: / (— х2), f (cos x), f (x —1),
fBx), /|Щ|, f(\x\ + x), f (х-1*|)?
130.1. Тождественны ли функции f(x) = Y'x/x— 1 и <р(лг) =»
= Vx(x-l) ?
Определить промежуток, на котором тождественны эти функции.
131.1. Тождественны ли функции:
1) / (х) = х и ф (х) = j/Ot2 на (— оо, оо);
2) / (х) = хг и Ф (х) = \0lg x*?
132.1. Тождественны ли функции:
/ (Х) = з*2 — 2л: + 1 для 1 < х < 2 и
ф (х) = Зх2 — 2л: + 1 для 1 < х < 3?
133.1. Давление газа, имеющего фиксированный объем, зави-
зависит от его абсолютной температуры Т, а именно
Какова область существования этого аналитического выражения?
Какие значения Т имеют физический смысл?
134.1. Объем шара зависит от его радиуса R:
V = -
Какова область существования этого аналитического выражения?
Какие значения R имеют геометрический смысл? Какова область
определения функции V = / (R) и совпадает ли она с областью
существования выражения (*)?
135.1. Балка длины /, заделанная обоими концами в стену, про-
прогибается под действием равномерно распределенной нагрузки Q.
Величина прогиба в точке, находящейся на расстоянии х от начала,
выражается формулой
П/З /r4 r3 V2\
у — 41 X 2 — +- — |
24EI \/4 /3 I2)'
Какова область существования этого аналитического выражения?
В какой области определена эта функция? Совпадают ли эти области?
136.1. Периметр осевого сечения цилиндра равен 2р. Выразить
объем и полную поверхность цилиндра как функцию от длины ра-
радиуса основания R и найти область определения функции.
137.1. Полная поверхность цилиндра равна S. Выразить объем
цилиндра V как функцию его высоты Н. Выразить V как функцию
29

от длины радиуса основания R и найти область определения функ-
функции.
138.1. Около полушара радиуса R описан конус, плоскость ос-
основания которого совпадает с плоскостью основания полушара. Вы-
Выразить объем конуса как функцию радиуса основания R и найти об-
область определения функции.
139.1. Около прямого кругового цилиндра с высотой Н и радиу-
радиусом основания R описан прямой круговой конус так, что плоскости
оснований и их центры совпадают. Выразить объем конуса как функ-
функцию радиуса его основания и найти область определения функции.
140.1. В конус высоты Я, имеющий радиус основания R впи-
вписан цилиндр. Выразить боковую поверхность, полную поверхность
и объем цилиндра как функции его радиуса г. Найти области опре-
определения функций.
141.1. Сосуд состоит из цилиндра, открытого сверху, заканчи-
заканчивающегося снизу конусом, высота которого равна радиусу основа-
основания. Полная поверхность сосуда равна S. Выразить его объем как
функцию радиуса основания R и найти область определения функ-
функции.
142.1. Тело состоит из цилиндра и двух конусов, построенных
извне на основаниях цилиндра. Это тело вписано в шар радиуса R
так, что основания и вершины конусов лежат на шаре. Выразить
объем тела как функцию радиуса основания цилиндра г и найти
область определения функции.
143.1. Построить пример функции1, областью существования
которой является промежуток —3 < х < 7.
144.1. Построить пример функции, областью существования ко-
которой является промежуток 2 < х < 5.
145.1. Построить пример функции, областью существования ко-
которой является множество натуральных чисел.
146.1. Построить пример функции, область существования ко-
которой состоит из двух промежутков —1 < л; < 1 и 2 < К 6.
147.1. Построить пример функции, область существования кото-
которой состоит из промежутков вида 2k < х < 2k + 1 , где k —
целое число.
148.1. Построить пример функции, область существования ко-
которой состоит из промежутков 2k < х < 2k + 1 , где k — на-
натуральное число.
149. L Построить пример функции, область существования ко-
которой состоит из чисел х = 0, 1, 2 и 3.
150.1. Найти множества, на которых справедливы следующие
равенства:
а) arc sin (sin x) = х — 4я;
б) arc sin (sin x) = 7я — х\
1 В примерах 143.1—149.1 требуется построить функции, заданные одним
аналитическим выражением.
30

в) 5т(аг^л;)=;^=:
г) tg(arcsinA-) = —4=
д) arc tg (tg x) = х + Зя;
е) arc cos х = я — arc sin У t — х2;
ж) arc cos x = arc ctg -,. ^ 2 ;
з) arc tgл: = arc ctg я;
x
и) arc sin x = arc ctg Li i- ;
к) arc tgл: + arc ctg — = — ;
X Ji
л) 2 arc sinx = arc sin BхУ\ — л:2)»
м) 2 arc tg x = arc tg —— .
151.1. Указать множество, на котором справедливо равенство
]/*2 + 6л: + 9 = л:+ 3.
152.1. Указать множество, на котором справедливо равенство
lg (** - 6^ + 8) - lg (x - 2) + lg (x - 4).
153.1. Указать множество, на котором справедливо равенство
arc sin (sin x) = х.
154.1. Указать множество, на котором справедливо равенство
Ух2 + 6л: + 9 + Ух2 — 6х + 9 = 6.
155.1. Является ли тождеством равенство
х+\ х+2
— 3 2х2--л:--5
х— \ х — 3
Укажите область, где это равенство является тождеством.
156.1. Решить иррациональные неравенства:
3;
8 — л:;
в) ]/"х2 —8л:+15+Ул:2 + 2л:~15>1/4л:2—18л:+ 18;
г) ут^х—Ух'>-4^ •
157.1. Даны функции ф (х) = х2 и if (л:) = 2*. Найти: <р[<р (хI,
¦ [ф W], ф[ф(х)] и г|) [ф(хI.
158.1. Даны функции ф (х) = sgn х и ip (х) = —. Найти:
Ф Ьр(х) ], ф [i|? (jc) 1, Ф ty W 1 и г|> [ф (х) ].
31

159.1. Суперпозицией каких простейших элементарных функций
могут быть получены функции:
а) у = cos2 i-; б) у = У{х + 2K;
NCOS*
160.1. Даны функции:
Д) У = хп Og х + 1 )cos* ; е) у = arc tg2 (ctg ~
о
fl при И<1 j
I 0 при |л:|> 1, I
2-х2 при |л:| < 2,
при |*| > 2.
Определить функции:
а) У = / (/ (*)); б) у = / (Ф (jc));
в) у = ф (/ (*)); г) у = ф (ф (х)).
161.1 Пусть /(*) = а + Ьх. Найти
/[/(*)], /{/К*)]}, /{...[/{*)] ^.}
/г раз
162.1. Пусть /(*)=]/ 16 —(* + 5J—5. Доказать, что
/{/[/(*)]} = /(*)> если х> —5.
163.1. Доказать, что суперпозиция двух дробно-линейных функ-
функций
является дробно-линейной функцией и найти выражение ее коэффи-
коэффициентов через коэффициенты функций1 / (х) и ф (t).
164.1. Доказать, что суперпозиция двух многочленов / (х) =
= а0 хп + ... + ап и х=у (t) = 60 /т + ... + Ьт является много-
многочленом от / степени тп.
165.1. Найти область определения суперпозиции функций:
а) у = У4 — 2\ х = Р — Ы +2;
б) у = arc sin а:, л: = /2 — 9/ + 20;
в) у = lg (х2 — 4д; + 1), х - ^ — 1.
166.1. Пусть / (х) = sin х. Найти выражение функций:
a) f {f if (x) ]}; б) / [/2 (х - 1)]; в) р [f (х) - 1 ].
167.1. Решить уравнения:
а) 5х2 + 35* — Ух2 + 7х — 1 ^4;
б) тЛ2-2* + 3
V х2 + 2х + 4
4 =
хЯ + 2х + 4 Г ха —2а;+ 3
1 Отметим, что / [ф (t)] не определено при t = Естественно поло
жить при этом значении / [ф (/)] = —^.
32

г) Vx + V&c — 9 + V х —
188.1. Решить уравнения:
а) sin2 х + 3 sin л: +4 cos2 х — 5 —;
б) 3 cos л: — 4 sin х = ;
в) sin4 л; + 3 cos х — cos4 x — 2 = 0;
г) 4 tg2 х — 3tg л: + 1 = 0;
д) 2 arc sin2 x — 7 arc sin л: +3 =0;
е) 2-3*+1 — 5-9*-2 = 81U__
ж) 4*^==2"+16= 10- 2^-2;
з) (logs *J — log3 л: - 2 - 0;
и) л;1** =100*;
к) 4 — lg;c = ЗУ lg;c.
169.1. Решить неравенства:
а) | 5 sin х + 2 cos х \ < 6 /tg - = г];
б) | 3 cos х — 2 sin jc | > 4 (tg - = г];
в) 4* — 7 . 2* + 12 > 0;
г) |2*-2|-|2*-1|>|2*+1|-5;
д) log2Lx 51 40
е) x°2e*x+i
§ 5. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
В нижеследующих примерах найти функции, обратные данным.
Пример 1. у=-~#— 3.
Решение. Решая уравнение относительно х, получим: х = 2у -f- 6. Эта
функция и будет обратной для данной функции. Так как функцию обозначают
обычно через у, а аргумент через xt то, меняя обозначения в обратной функ-
функции х = 2у + 6 на общепринятые, получим для нее выражение у = 2х + 6.
Пример 2. у = У"х~.
Решение. По смыслу уравнения, которым определяется функции, х > 0 и
у > 0. Возводя в квадрат, получим обратную функцию х = у2. Переходя к
обычным обозначениям аргумента и функции, получим у =яд:2, где0< х < +со«
Пример 3. у = arc cos я2: а) 0 < х < 1; б) — 1 < х < 0.
Решение.
а) При 0 < х < 1 имеем х = ]/cosy или, переходя к обычным обозначени-
обозначениям (аргумент через дс, функция через у), получим обратную функцию: у == ]/"cos x,
я
0<*<—;
33

б) При — 1 < х < 0 имеем х = — у cosy, или, переходя к обычным обоз-
я
начениям, у = — у cos х, 0 < х < —и
Найти обратные функции и построить их графики для следую-
следующих функций.
170.1. а) у- 1=|; ^^
171.1. а) у = 2х — х2, х>\; б) у = 2х — х2, х < 1;
в) у = х2 + Ах, х> — 2; г) у = х2 + 4х, л; < — 2.
172.1. а) у=1/"х —2; б) у = f' л3 — 27.
173.1. а)^ 2*
, х<1; б)у
1 — л:2 1 +
В) У = ГТЧ'
1 + X2
+
174.1. а) у = sin3 х, —-<х<-; б) у = sin3A:, - <л;< -.
Z Z 2 3
175.1. Выразить полную поверхность цилиндра, вписанного в
шар радиуса R, как функцию от радиуса основания. Найти функцию,
обратную функции S = f (г).
176.1. Выразить полную поверхность цилиндра, вписанного в
шар радиуса /?, как функцию высоты. Найти обратную функцию
и выделить ее однозначные ветви.
177.1. Выразить отклонение маятника, колеблющегося по
закону ф = ф0 sin (co/+a) от положения равновесия, как функ-
функцию времени t (длина маятника равна /). Найти обратную функцию
и выделить ее однозначные ветви.
178.1. Функция f (х) определена следующим образом:
, ,. __ f х2 — Ах + 6 при х < 2,
1— х + 4 при х > 2.
Найти функцию, обратную для / (х). Показать, что уравнение
f (x) = g (х), где g (х) — обратная функция для \ (х)} имеет три
вещественных корня. Найти эти корни.
Глава 2.
ГРАФИКИ
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Исследование функций на симметрию.
Исследовать на четность и нечетность функции:
Пример 1. f(x) =/1 —хК
Решение, f (х) определена на множестве \х\ < 1, симметричном отно-
относительно начала координат и / (— х) = ]/ — (— хJ = V 1 — х2 = / {#)•
Значит, / {х) — четная функция.
34

Пример 2. / (х) = х5— Зх3 + х.
Решение. Область существования функции: — <х> < х < + со -
f(—x)= (— хM — 3 (— хK + (— х) = — хб + Зх3 — х = — (х5 — Зх+х) ~
= —/ (х). Значит, функция нечетная.
ПримерЗ. /(х) = loga (х + Vx2 + 1), аф\у а > О-
Решение. Область существования: —оо<х<+оо, /; (—х) = loga(—x-f*
+ Ух2 + 1) = \oga — . =— bg^ (x + ]/х2 + 1) = — / (х), т. е.
х + у х2 + 1
/ (—х) =—/ (х). Следовательно, / (х) — нечетная функция.
Пример 4. Является ли четной функция / (х)=х4+2х2 + б, —3<х<6?
Решение. Хотя формально / (— х) = (— хL -f 2 (— хJ + 6 = х4 +
+ 2х2 + 6 =/ (х), но эта функция не является четной, так как ее область опреде-
определения несимметрична относительно начала координат.
Пример 5. Продолжить функцию / (х) = х3 + х2 — 3 sin х, х > О, на
всю ось так, чтобы получилась нечетная функция.
Решение. Пусть х < 0. Тогда — х > 0, и потому по условию / (— х) =
= (— хK + (— хJ — 3 sin (— х) = — х3 + х2 + 3 sin x. Так как мы хотим
получить нечетную функцию, надо потребовать, чтобы при х < 0 имело место
равенство / (х) = — / (— х) = — (—х3 + х2 + 3 sin х) = х3 — х2 — 3 sin x.
Итак, искомая функция имеет вид:
3 + х2 — 3 sin х, х > 0,
3 — x2 — 3sinx, х < 0.
Пример 6. Доказать, что сумма двух четных функций -* четная функ-
функция.
Решение. Пусть функции ф (х) и ф (х) четные и пусть число а принад-
принадлежит области определения их суммы / (х) = ф (х) + ф(х). Тогда в точке а опре-
определены слагаемые ф (х) и г|з (х), причем по условию ф (а) = ф (— а) и г|? (а) =*
= я|) (— а). Значит, F (— а) = ф (— а) + я|) (•*« а) = ф (а) + ф (а) = F (а).
Мы видим, что функция F (х) четная.
Пример 7. Пусть / (х) — функция, определенная на множестве, сим-
симметричном относительно начала. Доказать, что:
f (х\ j^ f / х\
а) функция Fx (х) = четная;
б) функция F2 (х) = нечетная.
Доказательство:
а) F, (— х) = = = Ft (х), как ви-
/ iv ; 2 2 1 w.
дим, функция Ft (x) четная.
б) f2(-^(-*>-^-(-*)] м f(-x)-f(X) =_ /W-/(-x)e
=— /^2 (х). Мы убедились, что функция F2 (x) — нечетная.
Следствие. Так как Ft (х) + F2 (х) = / (х), то любую функцию, опре-
определенную на множестве, симметричном относительно начала координат, можно
представить в виде суммы четной и нечетной функций.
Исследование функций на периодичность.
Пример 8. Найти основной период функции у = A sin (со х + ф), где
А, со и ф — постоянные числа.
Решение. Пусть Т — период функции. Тогда для всех значений х имеем:
A sin [со (х + Г) + ф] = A sin (сох + Ф),
35

или
A sin [(сод: + ф) + соГ] = A sin (со* + ф).
В частности, при сох + ф = ~г получим:
A sin (— + соГ 1 = A sin — = А.
\2 ) 2
С другой стороны, A sin I — + соГ J = Л cos соГ. Поэтому A cos со/ = А.
Значит, ®Т =2пп, Т = (п = 0, ±1, ± 2, ..» ), и, следовательно, если
со
F —период функции, то он удовлетворяет условию Т = (я=0, ±1, ± 2, ...)•
со
Наименьшим положительным числом, удовлетворяющим этому условию, яв-
является Т = — . Покажем, что — — период функции у = A sin (сох + ф).
ш со
В самом деле, / (х + —) = A sin 0 (х + — | + ф = A sin (сох + ф + 2л) =
\ со/ [ \ to/ J
= A sin (сод: + ф) = / (л:).
Таким образом, мы показали, что функция у = A sin (сох + ф) имеет основ-
основной период, равный
со '
Пример 9. Определить основной период функции / (x)=sin 2x+2sin Зх.
Решение. Пусть Т— основной период функции. Тогда для всех значений
х имеем:
/ (х + Т) = sin 2 (х + Т) + 2 sin 3 (х + Т) = sin 2х + 2 sin Зх = / (jc)f
или
sin Bх + 2Т) + 2 sin (Зх + ЗГ) — sin 2х — 2 sin Зх = 0.
В частности, при х = 0 и х = л, получим соответственно уравнения, которым
удовлетворяет период функции:
sin 2T + 2 sin ЗГ = 0,
sin 2Г — 2 sin ЗГ == 0.
Отсюда получим, что период Т удовлетворяет уравнениям:
sin 2Г = 0; sin 371 = 0.
Решая последние, найдем, что период Т одновременно должен удовлетворять
уравнениям:
При пх = 2 и п2 = 3 получим значение Т— л, которое возможно будет периодом
функции. Проверкой нетрудно убедиться, что Т== л не является периодом функ-
функции. Второе значение Г, которое может быть периодом, получается при пх = 4 и
п2 — 6, т. е. число Т = 2я. Проверка показывает, что 2зт — период для / (х).
Пример 10. Доказать, что функция у = sin x2 не является периодиче-
периодической.
Решение. Предположим, что существует число Т > 0, такое, что при
всех значениях х выполняется равенство
sin х2 = sin (x + ГJ. (*)
36

Полагая, что х — О, получим 0 = sin Г2. Но тогда Т2 имеет вид Г2 = яя,
где п— О, 1, 2, ... . Следовательно, Т — \г~пп. Подставляя это значение Т в
равенство (*), получаем:
sin х2 = sin (x + /ляJ = sin (*2 + 2х Vnn + ял). (**)
Выберем х так, чтобы оно было отлично от всех чисел вида -'""*—.— где т —
2 у_пл
целое (очевидно, что такие значения х существуют). Тогда 2хУпл + пкф 2тя,
и потому
sin х2 Ф sin (х2 + 2х //ш + ля)
вопреки равенству (**). Это противоречие и доказывает, что функция 1(х) =*
= sin х2 непериодическая.
Пример 11. Доказать, что для функции Дирихле
1, если х рационально,
О, если х иррационально,
любое рациональное число Т является периодом, т. е. D (х + Т) = D (х) для
всех х.
Решение. Так как сумма двух рациональных чисел есть число рацио-
рациональное, а сумма рационального и иррационального чисел есть число иррацио-
иррациональное, то
___ П, если х рационально (х + Т — рациональное число),
(О, если х— иррациональное число (*+ Т — иррациональное число).
Пример 12. Функция у = f (х) имеет период Г=2 и выражается на
промежутке [0; 2) формулой f (х) = х2 — 1.
а) Написать аналитическое выражение функции на промежутке [2k; 2/г+2),
где k — целое число.
б) Найти/G),/Ы, /(-V2), /(я).
Решение, а) По условию задачи х ? [2k; 2k + 2], т. е. 2k < х < 2k + 2.
Отсюда получим 0 < х — 2k < 2. Так как на промежутке [0; 2) имеем f(x)—x2—
— 1, то на промежутке [2k; 2k +2) имеем / (х—2k) = (х — 2kJ — 1. Так как
период функции / (я) равен 2, то / (х) = / (х — 2k). Итак, мы доказали, что если
2k < х < 2k + 2, то f (x) = (х - 2kJ — 1.
б) Так как значение х = 7 лежит на промежутке [2-3; 2 • 3+2), то / G)=
= / G — 2 • 3) = G — 2 • ЗJ — 1 = I2 — 1 = 0.
Далее,
2) = B-Уг2J-1 =5-4/2,
/ (я) = f (л _ 2) = (я — 2J — 1 = я2 — 4я + 3.
Пример 13. Продолжить функцию / (х) = 2х, 0 < х < 3, четным обра-
образом на отрезке [— 3; 0], а потом периодически продолжить полученную функ-
функцию на всю ось (с периодом 6).
Решение. Продолжим функцию у = 2х четным образом на отрезке [—3;
0]. При этом должно выполняться условие / (х) = / (—х) = 2гх. Итак, четное
продолжение имеет вид
(W \ 2-*, -3<*<0.
37

Если функция имеет период 6, для всех х, удовлетворяющих условию 6k < х <
<6k + 3, имеем: / (х) = } (х — 6k). Поскольку 0 < х — 6k < 3, то
Точно так же находим, что при
6/е — 3 < х < 6k, f (x) = / (х — 6k) = 2~(;c~6fe).
Итак,
2-*"-6*, если 6k < x < 6/г + 3,
2е*-*, если 6/е — 3 < х < 6k.
Исследование функции на возрастание и у б ы в а .
н и е. При элементарном исследовании функций на возрастание и убывание по*
лезно иметь в виду следующие утверждения:
1) Сумма двух возрастающих функций возрастает.
2) Сумма двух убывающих функций убывает.
3) Если функции у = / (х) и у = <р (х) возрастают и положительны на не-
некотором промежутке, то функция у = / (я) + <р (х) также возрастает и поло-
положительна на этом промежутке.
4) Если функция у = / (х) возрастает, то функция у = — f (х) убывает,
и обратно.
5) Если функция у = / (х) возрастает, то функция у = убывает, и
обратно.
6) Если функция х = / (i) возрастает на отрезке [а; Р1, а функция у = F (х)
возрастает на отрезке [/(а); /(Р)], то функция у =¦ F [/ (t)] возрастает на
7) Если функция х= f (t) убывает на [а; р ], а функция у = F (х) убывает на
[/ (Р); / (а) ], то функция у = F [f (t)] возрастает на [а; Р ].
8) Если функция x—f(t) возрастает на (а; Р], а функция у = F (х) убывает
на U (°0'> / (Р) L то функция у = F [f (t) ] убывает на [а; р ].
9) Если функция х= f (t) убывает на [а, Р], а функция у — F (х) возрастает
на U (Р); / (а)Ь то функция у = F [f (t)] убывает на [а;Р ].
Пример 14. Исследовать на монотонность функцию у = sin x на отрез-
f л л 1 [ л Зя]
ках — —; -
Г «. Л
I 21 2
Решение. Покажем, что на отрезке — —; — I функция возрастает.
Возьмем два любых значения х1 и х2 из этого отрезка, причем х± < х2. Соста-
Составим разность sin х2 —- sin xt = 2 cos ~ ^-sin — -#
л л п л л хх-\-х2 п
Так как хх<х2, - у < хх< j , — — < х2< — , то — - < — < - и
Х2 — Хг Л ^2 + ^1 Х2— Х1
0< < — . Следовательно, оба множителя cos и sin
положительны и sin x2 > sin xv Аналогично можно показать, что на отрезке
Г зх 3 1
—; -— л\ исследуемая функция убывает.
Пример 15. Исследовать на монотонность функцию у = arc sin x на от-
отрезке — 1 < х < 1.
Решение. Пусть хх и х2 — Два любых значения аргумента х из отрезка
f— 1; 1], причем хг < х2. Обозначим: у2 = arc sin x2, yt = arc sin xx. Значения
[n л!
— —; -r L причем sin y2 = X2> sin ^ = xv Так
38

как х2 > хъ то sin y2 > sin^lf и так как уи у2 ? — —; — , то у2 > Ух.
Таким образом, функция у = arc sin х возрастает на отрезке [— 1; 1].
Пример 16. Исследовать на возрастание и убывание функцию
у = arctg(A:2 — 2х+Ъ). (*)
Решение. Так как у = arc ig z — возрастающая функция, а функция
z*= х2 — 2х + 3 = (а: — IJ + 2 возрастает при х > 1 и убывает при х < 1,
то функция возрастает при х > 1 и убывает при х < 1.
Пример 17. Исследовать на возрастание и убывание функцию у =»
= (х* + 4* + 6) In (*2 + 4х + 6). w J
Решение. Функция у = z In z при z > 1 является произведением двух
возрастающих положительных функций и потому возрастает. Функция г =* х2 +
+ Ах + 6 = (х + 2J + 2 возрастает при о-2и убывает при # < — 2, а ее
значения больше, чем 1. Поэтому данная функция возрастает при х > — 2 и убы-
убывает при х < — 2.
Пример 18. Показать, что функция
ограничена на всей оси — оо < х < + оо.
Решение. Из вида функции f (х) следует, что / (х) > 0, т. е. данная функ-
функция ограничена снизу. Покажем теперь, что функция / (х) ограничена и сверху.
Из неравенства A — *2J > О
х2 1 х2-\-1
следует, что 1 + *4 > 2*2 или ——- < — . Так как i + Jt4 > 1, то <
1 + х* 2 1+je4
*2 1 3
+1+1
Пример 19. Показать, что функция f (х) = — sin — не ограничена в лю-
х х
бой окрестности точки х = 0.
Решение. Возьмем любую окрестность (— е, е) точки хо = 0 и зададим
число М > 0. Мы хотим найти такое число х, что \х\ < е и / (х) > М. Для этого
2 яA+4л) л, ^
найдем такое п, что — < 8 и > М. Решая эти неравенства,
я A+ 4л) 2
1 Г2М 1 1 Г 2 
получаем, что л должно быть больше, чем — — —1 и чем — — —11.
4 [ я J 4 [ле, J
2
Положим теперь х = . Тогда | * [ < е и
Я A-f- 4/2)
.,. я (l+4/i) . я A+4/г) я A+4/2)
/W= 2 81П 2 = 2 >
Этим доказано, что функция / (х) не ограничена в любой окрестности точки х = 0.
Пример 20. Показать, что функция / (jc) = в промежутке 0 <х<
1 ~\~ X
< + оо имеет точную нижнюю грань т = 0 и точную верхнюю грань М = 1.
Решение. Значения функции / (*) удовлетворяют неравенству 0</ (х)<
< I, т. е. функция ограничена. Значит, она имеет верхнюю и нижнюю грани;
т = о — точная нижняя грань значений функции, так как / (*) > 0, причем
( @) = 0. Покажем, что точная верхняя грань функции равна 1. В самом деле:

1) {(x) = 1 — ¦ < I; 2) для любого 8, 0 < e < 1, среди
i -j- х
значений хтО<х<-\-оо найдутся такие, при которых 1 — > 1— е,
1+*
1 —8 „
а именно значения х > . Следовательно, при значениях х* удовлетворяю-
8
щих последнему неравенству f (х) > 1 — е.
Таким образом, согласно определению точной верхней грани, условия 1) и
2) и означают, что М = 1 является точной верхней гранью функции. Эта грань
не принадлежит множеству значений функции, или, как говорят, функция не
достигает точной верхней грани. Точная нижняя грань т = О принадлежит мно-
множеству значений функции, или, как говорят, функция достигает точной нижней
грани.
Определить, какие из данных ниже функций являются четными,
нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными.
179.1. а)у = 3-*« + 2*«; б) у = -^ ; в) у = ?±[.
180.1. а) у = А-3«+1 + 3; б) у = х2п + 5; в) у=.
X "~"-* О
181.1. у = '+*"¦.
182.1. а) у = sin (х + 1); б) у = sin х + cos х\ в) у = sin2*—
183.1. а) у= ]/"х; б) у = V^+5; в) у= ]/0с3+ л:2—8.
184.1. Покажите, что функция f (х) = с, где с — константа —
четная.
185.1. Даны функции: a) f (х) = У\ — л:3; б) f (х) = cos3*;
в) / (х) — 2х — 3; г) / (х) = ах. Представить каждую из них в
виде суммы четной и нечетной функций.
186.1. Являются ли четными или нечетными следующие функ-
функции:
а) / (х) = cos х + sin 4 xt — — < х < —;
1
6)f(x)=
_х2-4, х<0;
( х3 — sin л:, х < 0.
187.1. Докажите, что функция / [<р(/I, где ф (/) — четная функ-
функция, четна.
188Л. Докажите, что если у = / (х) и х = ф (/) нечетные функ-
функции, то функция у = / [ф (/) 1 четная.
189.1. Докажите, что если у = / (х) — четная функция, а
х = ф (/) — нечетная функция, то у = jF [ф (/) ] — нечетная
функция.
40

190.1. Докажите, что произведение двух четных функций — чет-
четная функция.
191.1. Докажите, что произведение двух нечетных функций —
четная функция.
192.1. Докажите, что произведение четной и нечетной функций—
нечетная функция.
193.1. Пусть у = / (х) — четная функция, причем / (х) не об-
обращается в нуль. Докажите, что у = четная функция.
194.1. На основании доказанных утверждений исследуйте на
четность и нечетность функции:
а) / (х) = sin (х2) + е~*2 + х4 — 6х2 + 11;
б) / (л:) = — —
х% _}_ sin2 хъ
в) / (х) = tg х3 + 4х9;
г) / {х) = sin mx cos nx;
д) / (х) = sin5 Зх cos2 6x;
е) / (х) = х3 arc tg 2x;
ж) / (х) = х3 -+- arc tg 2x;
з) / (х) = х4 + 6х2 + arc sin2 5x.
195.1. Продолжить четным образом функции:
а) у = sin х + х tg x, 0 < х < — ;
б) У = х lg3 х, 0 < х < со;
х4+ Зх2 + 2ху 0 <х< 1,
х3 — х2 + lg х, 1 < х < 2.
196.1. Продолжить нечетным образом функции:
а) у = sin4 х + cos4 x, 0 < х < оо;
б) у = lg (X + ]Л*2+1), 0 < X < оо;
п) v__ / х4+ 1, 0<х<2,
в) У - \ хъ + 6> 2 < х < 3;
г) функция у = / (х) определена на отрезке [—2; 2] и нечетна.
Найти / @).
197. 1. Доказать, что период функции / (х) = {х} = х — Е (х)
(рис. 6.1) равен 1.
У
Рис. 6.1
41

198.1. Исследовать на периодичность следующие функции (оп-
(определить, какие из них будут периодическими и указать их период):
а) у = cos — ; б) у= sin Зх;
О у I 1
в) у = tg 5х; г) у = sin —Х- .
д) у = cos я х; е) у = sin3 х + cos3 x\
ж) у = 2sin(—+ 3V, з) у = 2sin*v (—оо<чд:<4-оо);
и) у = sin —, х Ф —; к) у = cos х2;
х пп
л) у = {2х} = 2х —Е Bх); м) у = 2lsin4
199.1. Продолжить периодически функцию
/ (х) = I
°» —я < л: <0,
sin л:, 0<д:<я
на всю ось (с периодом 2я). Вычислить /(—11 —я), /[—я]
200.1. Продолжить периодически функцию f (х) = хг + х + 1,
0 < х < 4 на всю ось (с периодом 4).
201.1. Периодически продолжить функцию / (х) = хг + л; -+• 1,
— 2 < л: << 2 на всю ось (с периодом 4). Где полученная функция
совпадает с функцией из задачи 200.1?
202.1. Функцию
cos х, 0 < х < — f
2
0, -^<д;<я
продолжить нечетным образом на —я < jc < 0, а потом
периодически продолжить ее с периодом 2п. Вычислить
'(И '(-т-)'
Какова область определения полученной функции? Существуют ли
значения / (я), / (Зя) ?
203.1. Доказать, что если график функции у = / (х), — оо <
< х < оо, симметричен относительно двух вертикальных осей
х = а и а: = Ь, то функция / (х) периодическая.
204.1. Доказать, что если график функции у = / (х), — оо <
< х < + оо, симметричен относительно двух точек А (а; у0)
и В F; Vi), то функция / (х) есть сумма линейной функции и перио-
периодической функции. При каком условии функция / (х) периоди-
периодическая?
42

205.1. Доказать, что если график функции у = f (х), —- <х> <
<х< + оо, симметричен относительно точки А (а\ у0) и прямой
х = b (b ф а), то функция / (х) периодическая.
206.1. Построить графики функции:
а) / (х + 2) = /(*) + 1 и f (х) = х, -1 < х < 1;
б) f(x+ 1) = f(x) — 2 и /(х) = х2, 0<х<1;
в) / (х + 2) = 2/ (jc) и / (х) = 2л: — х2 , 0 < х < 2;
г) / (х + л) = — / (х ) и / (х) = sin х, 0 < я < я.
207.1. Показать, что нижеследующие функции являются функ-
функциями монотонными (возрастающими, убывающими, невозрастаю-
щими, неубывающими):
б) у = у^ з) у = arc tg л:;
в) у = ах\ и) у = ctg х, 0 < х < щ
г) у = log^ х\ к) у = arc ctg x;
д) у = cos х\ л) у= Е (х)\
е) у = arc cos х; м)у = \х\ — х.
208.1. Пусть функция у = / (х) убывает и положительна на
множестве Му а функция у = ф (х) возрастает и отрицательна
на этом же множестве. Исследовать на возрастание и убывание функ-
функции:
а) у = f (х) ф (х); б) у = / (х) - 4 Ф (х);
в) у = /2 (х); г) у = ф2 (х).
209.1. Пусть функции у = / (л:) и у = ф (х) убывают и от-
отрицательны ка множестве М. Исследовать на возрастание и убы-
убывание функции:
а) У = / (х) Ф (х); б) у = 4/ (х) + 8Ф (х);
в)у=/3(х); г) у = Ф6(*)-
210.1. Исследовать на возрастание и убывание функции:
а) у = х4 + 6х2+ 1;
б) у = х + arc tg x;
в) у = х3 + arc sin x;
г) у = lg3 х + х5;
Д) у = x6lg7x, x> 1;
з) у = sinCA:—
и) у = arc tg (x2 — 4х + 8);
43

к) у = arc tg4r,
л) у = arc sin6 2х\
м) у = lg (х2 - 6х + 10);
н) У = log2 (** - 8л: + 20);
2
О) у == ! ;
^ 1 + cos2 jc '
п) У = —
1 + sin2 12* — —]
211.1. Выяснить, какие из нижеследующих функций ограниче-
ограничены, а какие не ограничены на указанных промежутках. Для огра-
ограниченных сверху (снизу) функций найти точную верхнюю (нижнюю)
грань:
а)/(*) = х2 + 2 на [—1; 3];
б) f(x) = -j-J-j на (— оо; оо);
в) / (х) - lg (х2 — 4jc +3) на C; + оо);
г) /(^ = ^3^ на (-2; 2);
д) / \Х) — —- - на l 1; 1];
х —-— 4
на ( ; —
на [ ; —
=л+1 на
A; 2);
0 1)
и)/(*) = {*} на @; 1);
K)/(*) = sin«* + ^ на@;|"
§ 7. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
а) Схема исследования функций.
Для построения графика надо сначала исследовать функцию по такой схеме:
1. Найти область существования функции.
2. Исследовать, не является ли функция четной или нечетной.
3. Исследовать, не является ли функция периодической.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Исследовать знак функции.
6. Найти вертикальные асимптоты графика функции.
7. Исследовать поведение функции на бесконечности и найти ее горизон-
горизонтальные и наклонные асимптоты.
8. Исследовать функцию на возрастание и убывание.
Отметим, что исследование функции на возрастание и убывание, вообще
говоря, делается с помощью дифференциального исчисления1. Мы будем прово-
1 См. стр. 177.
44

дить его лишь в случаях, когда оно легко выполняется элементарными прие-
приемами.
Исследование поведения функции на бесконечности требует по сути дела
применения теории пределов. Мы будем рассматривать лишь примеры, для реше-
решения которых достаточно школьных знаний теории пределов. Более сложные при-
примеры будут рассмотрены позже.
Сначала решим несколько примеров на отыскание асимптот графиков функ-
функции.
Если функцию / (х) можно представить в виде
/ до = kx + Ь + <р (*),
где lim ф (х)= 0, то прямая у = kx + Ь является асимптотой графика функции
X --)- 0°
/ (х) при х -> + оо . Аналогично рассматриваются случаи, когда х -> — оо и
Х-> оо .
Пример 1. Найти асимптоту графика функции
Решение. Так как lim — = 0, то у = х является искомой асимптотой.
X - оо X
Пример 2. Найти асимптоты гра-
графика функции
Р е ш е н и €w Разделив числитель на
знаменатель по правилу деления много-
многочлена на многочлен, получим:
При
1
•О и, следовательно,
у = х — 3 — асимптота.
График функции имеет и вертикаль-
вертикальную асимптоту. Чтобы найти их, надо
решить уравнение х — 2=0. Решая его,
получим х= 2 (см. рис. 7.1).
Пример 3. Найти асимптоты
графика функции / (х) = х + arc tg x.
Решение. Переписав функцию
зт
в виде f(x) = x + -r + (arc tg x —
учтем, что I arc tg д: —
я
0
/
\/ х
Рис. 7.1
-» 0 при х -» + оо . Следовательно, у =
я
= х + асимптота при лг-> + оо. Представив функцию в виде / (х) ==
= х — -г + I —- + arc tg x I , учтем, что ( f- arc tg x) -^ 0 при x -> — oo.
2 \ 2 / \ 2 /
я
Следовательно, у = x — —- есть асимптота при х -> — оо .
45

\
\
Пример 4. Построить график функции
ж3
Решение. 1) Область существования — все значения, кроме лг=2и
__ 2; 2) / (— к) = — / (х), т, е. функция нечетная и ее график симметричен
относительно начала координат;
VI 3) х = 0 — нуль функции;
4) при 2<*< + оо функция отри-
отрицательна, при 0 < х < 2 поло-
положительна; 5) при * -> 2 — О
у -> + оо; при х -> 2 + 0 у ->
«-> — с».Следовательно, я= 2 и
х — — 2 — вертикальные асимп-
\ j |1 тоты. Представив функцию в
\ I /I виде
\
\|
К
\
\
где
4— х2
+ Ф М,
4*
'4-х*
1
\
\
\
\
X
видим, что у = — х есть асимп-
асимптота графика, так как <р (х) ->- О
при х ~> оо . Отсюда следует
также, что при х ~> + о°
/(jc) -> — оо. В окрестности точ-
точки л: = 0 | f(x)\ < |*3|. График
функции изображен на рисун-
рисунке 8.1.
Пример б. Построить
график функции
Решение. 1) Функция оп-
ределена, если ~^ > О,
причем х2 — 9 Ф 0. Решая это неравенство, получаем, что область определения
функции состоит из интервалов {— оо ; — 3), [— 2; 2] и C; +оо ).
2) Так как
Рис. 8.1
то функция является четной.
2
3) При х = 0 имеем f (х) — — . Решая уравнение
о
V
а:2—9
= 0,
/ 2 \
находим х = ± 2. Значит, точки А 0; — , В (— 2; 0) и С B; 0) являются точ-
\ 3 /
ками пересечения графика функции с осями координат.
46

4) Функция неотрицательна при всех допустимых значениях х.
5) При х = ± 3 знаменатель подкоренного выражения обращается в нуль.
Поэтому вертикальными асимптотами являются прямые х— — 3 и х = 3.
6) Так как
-4_ 1 /
ZT9" Г
-О, когда
5_
*2—9
х) -*» 1. Поэтому горизонтальной асимптотой является
то при х ->¦ оо имеем
прямая у = 1.
График функции / (х) изображен на рисунке 9.1.
и
 -2
О
Рис. 9.1
Пример 6. Построить график функции у = lg cos x.
Решение. 1) Функция определена, если cos х > 0, т. е. если
— — + 2пп
х< — + 2лп.
2) Так как / (— х) = Ig cos (— х) = lg cos x = f (x), то функция четна.
3) Функция имеет период 2м:
lg cos (x + 2я) = lg cos x.
Отсюда вытекает, что достаточно построить график функции на промежутке
Г л\ / я ]
0; — 1 и продолжить его четным образом на промежуток f — — ; и г , а потом
воспользоваться периодичностью функции.
4) Решая уравнение lgcos#=G, получаем cos*=l, откуда х = 2пп.
Значит, точками пересечения с осями являются точки вида 2лп. На промежутке
0; —) лежит одна такая точка х = 0.
5) Так как cos х < 1, то lg cos x < 0.
6) График функции у = lg г имеет вертикальную асимптоту 2=0. Решая
уравнение cos х = 0, получаем, что вертикальными асимптотами графика функ-
/
я /
у = lg cos х являются прямые х = \-2nn f в частности, прямая х
=4
2/
47

7) Периодические функции (за исключением постоянных) не могут иметь
горизонтальных и наклонных асимптот.
8) Функция z = cos л; убывает при О < х < —. Так как функция у = lg г
возрастает, то функция у •
lg cos х убывает при 0 < х < —
График функции изображен на рисунке 10.1.
Часто исследование функции упрощается, если
представить ее в виде суперпозиции более простых
функций.
Пример 7. Построить график функции
/ (х) = arc sin (Зх — 1).
Л
2
У,
0
1
/FЧ 6}
a
n
n\
)
X
Рис. ЮЛ
Рис. Ш.
Решение. Область существования функции — множество решений не-
2
равенства — 1 < Ъх — 1 < 1, или 0 < х < — . Рассматриваемая функция яв-
3
ляется суперпозицией функций: у = arc sin и, и = Зх — 1. Так как линейная
функция у = kx + Ь возрастает при к > 0, a arc sin и также возрастающая
функция, то и данная функция возрастающая.
Мы имеем: / @) = arc sin (— 1) =— ~ , / (— ] == arc sin A — 1) = 0, / (— J =*
2 \ 3 / \ 3 /
==arcsinl = —. Теперь нетрудно построить и график функции (рис. 11.1).
Чтобы решить графически уравнение ф (л:) =1|?(д:), надо начертить графики
функций у == ф (х) и у =1|}(л;) и найти точки пересечения этих графиков. Абс-
Абсциссы точек пересечения и дадут корни уравнения.
Пример 8. Найти корни уравнения 2х = 4*.
Решение. Начертим графики функций у = 4х и у = 2х (рис. 12.1).
Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны хх » — и
4
х2 = 4. Эти числа и являются корнями заданного уравнения.
Построить графики следующих функций:
212.1.
213.1.
214.1.
У =
Х2 _ Зх + 1
х2 — 3.Y + 2
X1
X2— 16
х (х - 2) (х + 4)
а:2 —9

215.1. y =
y x* + 4x + 5
216.1. y=Y*
217.1.
rx2—25
К *2—25
218.1. у =
219Л. у = sin2x.
220.1. у = tg4x.
221.1. у =
sin x + cos *
222.1. у = lg sinx.
223.1. у = lg tg x.
224.1. y =l
1
+ arc tg2 x
225.1. у = arc sin3 x.
226.1. y 2sin
227.1. y
228.1. у = sin (л:2).
229.1. у = arc cos Bx + 1).
230.1. у = 2~l/*\
231.1. у = lg(cosx+ 1).
232.1. у = Ig(x2 + 6x+ 10).
233.1. у = lg2x+ 61gx.
Решить графически следующие уравнения*
234.1. х3 = 5 — х.
235.1. 4 — Зх = tg х, 0<х
236.1. х2 = sin x.
Рис. 12.1
<г
237.1. хъ = sin
238.1. sinx =
х+1
239.1. х = cos х.
240.1.
cos x = — , я < x < 2я.
241.1. 10* = A
242.1. lgx = 0,1 *.
243.1. x2 = lg(x + 2).
244.1. lgx = 4 — a;2.
245.1. a;2 = ex + 2.
246.1. x = ie-*
б) Преобразование графиков.
Пример 1. График функции у = f {x) изображен на рисунке 13.1.
49

Исходя из этого графика, на том же рисунке построить графики функций у
Рис. 13.1
Решение. График функции у = / (х) + 2 получается из графика функ-
функции у = / (х) параллельным смещением его вдоль оси OY на 2 единицы вверх, а
график функции у = / (х) — 1 получается путем смещения графика у = f (x)
параллельно оси OY на единицу вниз.
Рис. 14.1
Пример 2. По графику функции у = / (*), изображенному на рисунке
14.1, построить на том же рисунке графики функций:
у = { {х ^ 1) и у = / (х + 1).
50

Решение. Известно, что график функции у = / (х —- а) получается из
графика функции y—f (х) сдвигом его на \а\ единиц вдоль оси ОХ (т. е. параллель-
параллельно оси ОХ): если а > 0, то вправо, если а < О, то влево. В примере у = / (х — 1)
а = 1, в примере у = / (* + 1) а = — 1.
Пример 3. Построить график функции у = sin (я -f 1) + 2.
Решение. Возьмем функцию / (я) = sin х. Тогда у = / (лс -f 1) + 2,
и ее график получится из синусоиды сдвигом ее на 1 влево вдоль оси ОХ и на 2
вверх вдоль оси OY (рис. 15.1).
Рис. 15.1
Пример 4. Построить график функции
v = .
у 2х +1
Решение. Представим функцию в виде:
7_
2х +1
Пусть |(д)=:—.
X
Тогда у=— —¦ Л*+-гН » и» значит, ее график получится из гра-
графика / (х) сдвигом его на ~ влево параллельно оси ОХ, увеличением всех
ординат в — раз, отражением графика в оси абсцисс и, наконец, сдвигом
4
вверх на —. График изображен на рисунке 16.1.
51

¦f
3
7
/
РИС. 16.1
(}.*)
y-arccos('2x)
y*arccos2x
y*arccos x
Рис. 17.1
Пример 5. Построить график
функции у = arc cos (— 2х).
Решение. Область существо-
существования функции: — — < х < -— . По
графику функции / (х) = arc cos x
строим сначала график функции
/ Bа:) = arc cos 2a;, затем, зеркально
отразив его относительно оси ОУ, по-
получим график рассматриваемой функ-
функции (рис. 17.1).
Пример 6. Указать схему по-
построения графика функции у =
= a sin (ах + Ь cos © xt где a, bt © —
вещественные числа.
Решение. Как мы уже зна-
знаем, данную функцию можно пред-
представить в виде;
у = Л sin (ш + ф0), или у = A sin © f а:+ ^ 1
а Ь
где А = Ya2+ b2, cos <р0 = —, sin <р0 = j .
52

Для построения графика данной функции строим сначала синусоиду у = sin д-,
затем по этому графику строим график функции у = sin со*. Полученный графим
Фо
сдвигаем вдоль оси Ох на — —-. В результате получим график функции у =
со
== sin © (а: -)—- J. Растягивая этот график в А раз вдоль оси Оу% получим график
рассматриваемой функции.
y*sin2x-\/3cos2x
Рис. 18.1
Пример 7. Построить график у = sin 2х •—
Решение. Преобразовав функцию, получим:
cos 2x.
Строим сначала синусоиду у = sin х, затем график функции у = sin 2*, который
получается из синусоиды сжатием ее вдоль оси Ох в два раза. Сдвигая последний
на — вправо, получим график функции у = sin I 2х 1. Наконец, растя-
6 \ 3 /
гивая график последней функции в два раза вдоль оси Оу, получим график рас-
рассматриваемой функции (рис. 18.1).
Построить графики функций:
247.1. у = (х— 1K + 7.
248Л. у-2^1
JC — 1
249.1. у=
250.1. у =
251.1. у= 22
2+ 1.
53

252Л, у = log^ (x — 1) — 2.
2
253Л, у = logL(— х).
254Л. у = logvTBл: — 1).
255Л. у = cos 2x.
256Л. у = sin (I —2x)>
257Л. у = 2 cos B — *).
258Л. у= __._,'__ . 2
259Л. у = sin Ъх
260.1. y = tg|.
cos Ъх.
261 Л. у-arcsin (l — -Y
262Л. у = arc sin (x — 1) + 2.
263Л. y==i±i
1 У /;
Л. у = — arc tg Bx —
в) «Сложение» и «умножение» графиков. Графики
функций со знаком модуля.
Пример 1. Построить график функции
/ (*) = 2х + 2-*.
Решение. Строим графики функций у = 2х и у = 2~ж. Затем склады-
складываем ординаты этих графиков. В результате получим график данной функции
(рис 19.1).
2 cos#
Пример 2. /(*)
Решение. Строим сначала графики функций y=cosx и у=
1 +
. График
не представ-
представфункции у=cos я известен, а построение графика функции у
ляет затруднений: 1) область существования —оо< х <-\
2) у > 0 при всех х\ у @) = 2; 3) у (— х) = у (*). Значит, график симмет-
симметричен относительно оси Оу; 4) функция ограничена | у | < 2; 5) вертикальных
54

Рис. 20.1
асимптот нет; так как lim - =0,
X - -f oe I + X2
то у = 0—асимптота.
Построив графики функций у = cos x
2
и у = ', замечаем, что в точках
х = 2лп(п = 0; ±1; ±2, ...), для ко-
которых cos х = 1, график рассматрива-
рассматриваемой функции касается снизу графика
2 я
функции .у = —-—-. В точках х = —¦
+ 2пп (п — 0; ±1; ±2), для которых
cos*=0, график функции пересекает
ось Ох.
В точках х = Bя + 1) л cos х = —1,
и график рассматриваемой функции каса-
2
ется графика функци у = —¦ ¦ свер-
1 ~~у" X
ху. Таким образом, график функции у =а
2 cosa:
«зажат» между кривыми у =а
1 + х2
2
и у=
— 2
+ * 1 + *
Начертив графики функций у :
-Гн? (а также у
: COS X
2
Рис. 21.1
и производя в уме «перемножение» орди-
ординат этих графиков, получаем график рас-
рассматриваемой функции (рис. 20.1).
Пример 3. у= I* —1|—2|*+1|.
Решение. Область существования функции — все значения х. Разобьем
ее на промежутки (— оо ;—¦ 1), [ — 1; 1) и [ 1; +<х> ). В каждом из этих проме-
55

жутков, освобождаясь от знака модуля, функцию можно представить уравнением
первой степени относительно х. Следовательно, в промежутках (— оо; —1]
и [1; + оо ) график имеет вид полупрямых, выходящих соответственно из точек
(— 1;2) и A; «** 4). В промежутке (-»1;1) графиком будет отрезок, соединяющий
точки (— 1;2) и A; —* 4). График строится следующим образом. Определяем точ-
точки графика при х = — 1 и х = 1 : у (-^ 1) = 2, у A) = — 4. Определяем еще
любую точку графика при х < — 1 и одну любую точку при х > 1. Например,
у (— 2) = 1 и у B) = — 5. Теперь точки (— 2; 1) и (— 1; 2) соединим отрезком
прямой, продолжив при этом его неограниченно в левую сторону, т. е. в сторону
убывания х.
Точки (— 1; 2) и A; — 4) соединим отрезком прямой; точки A; —4) и B; —5)
также соединяем отрезком прямой, продолжив его неограниченно в правую сто-
сторону, т. е. в сторону возрастания х. В результате получим график рассматривае-
рассматриваемой функции (рис. 21.1).
Пример 4. По графику функции у = / (х) построить график функции
ТМ|.
е ш е н и е. По определению имеем:
Г fix) для значений xt при которых / (х) > О,
Пр
J7
Ре
/ (х) для значений х% при которых / (х)
- / (я) для значений х, при которых / (я) < 0.
Отсюда следует, что для промежутков, где / (х) > 0, график |/ (л;)| остается та-
таким же, что и для / (х). Для промежутков, где / (х) < 0, график |/ (х)\ будет зер-
зеркальным отражением графика f (х) относительно оси Ох (см. рис. 22.1).
\
\
\
Рис. 22.1
Пример 5. По графику функции у = / (х) построить график функции
У = / (I х |).
Решение. Эту функцию можно представить в виде:
?A*1)
t если х > 0,
если х < 0.
Функция четная. Следовательно, если построить график функции у = f (х) для
х > 0 из области существования, а затем зеркально отразить его относительно
оси Оу, то и получим график рассматриваемой функции (рис. 23.1).
Пример 6. По графику функции у = / (х) построить линию |у| = / (х).
Решение. Так как в левой части уравнения стоит знак модуля, то надо
брать лишь те значения х из области существования функции / (х), при которых
/ (я) > 0. Для этих значений равенство |у| = / (х) можно записать в виде: у =
= ± / Mi т. е. мы имеем две функции. Если при всех значениях х из области
56

Рис. 23.1
существования функции у == / (х) имеем / (я) < 0, то уравнением |у| = / (*) не
определяется никакая линия. Таким образом, чтобы построить по графику функ-
функции у = I (х) линию |у| = / (х), надо взять ту часть графика функции у = f (x),
Рис. 24.1
которая расположена над осью Ох, и добавить к ней ее зеркальное отражение от-
относительно оси Ох. В совокупности получим \у\ = / (х). На рисунке 24.1 пункти-
пунктиром изображен график функции v = f (x), a
сплошной линией график |у| = f (х). у i
Пример 7. у = х sgn x.
Решение. По определению при каждом
значении х > 0 значение функции равно х\
при х = 0 значение функции равно нулю; при
каждом значении х < 0 значение функции рав-
равно — х. Иными словами,
у = х sgn *=
х, если х > О,
О, если х = О,
— х, если х < 0.
Рис. 25.1
График функции изображен на рисунке 25.1.
Он состоит из двух лучей с началом в точ-
точке @; 0).
Пример 8. y={*}.
Решение. Эту функцию можно записать в виде у = {х} — х — Е (jc).
Ординаты графика этой функции являются разностями соответствующих ординат
графиков функций у = х и у = Е (х) (на рис. 26.1 эти графики начерчены пункти-
пунктиром). График функции у= {х} изображен на рисунке 26.1 сплошными наклон-
наклонными отрезками прямых, со стрелками на концах.
57

Пример 9. у = sgn (tg л:).
Решение. 1) Область существования
у + ял (л= 0, ± 1, ± 2, ...)•
2) Функция периодическая с периодом Т — п.
3) Функция ограничена, так как — 1 < sgn г < 1.
все значения х, кроме х =
Рис. 26.1
4) Из ограниченности функции следует, что график не имеет вертикальных
асимптот; из периодичности функции следует, что нет горизонтальных и наклон-
наклонных асимптот.
График функции изображен на рисунке 27.1.
-i
f
*
1*
Рис. 27.1
Пример 10. у = Е (cos x).
Решение. 1) Область существования — все значения х\ 2) Т =» 2я *
период функции; 3) функция ограничена: | у| < 1; 4) асимптот нет.
58

Функцию можно записать на [0; 2я) следующим образом;
1, при х = 0,
л
0, при 0 < х < — ,
У ) — 1, при -- < х < -г я,
0, при — л < х < 2п.
График изображен на рисунке 28. 1 на промежутке [0; 2я), равном по длине
периоду функции.
-/-
Л
!*
Рис. 28.1
2П
Начертить графики функций:
266.1. у = tg х + х.
267.1. у = arc tg x + Ах.
268.1. у = \х* — Ах + 3| — (х* — Ах + 3).
269.1. у = cos х — |cos x\.
270.1. у = sin х +\ sin лс |.
271.1. у = -
272.1.
273.1.
274.1.
275.1.
276.1. у =
277.1. у =
278.1. у =
у = { х } — sgn х.
у = |х_2|+ |х + 3
sin х | + | cos
sin л; — | sin x\ |.
sin x
279.1.
280.1.
281.1.
282.1.
283.1.
у = x sin x.
у = e~x cos x.
у = д:
2,
-5
оо<л;
оо.

284.1. y =
285.1. y-
2x+l
286.1. y =
287.1. у =
x*+ 1
Построить линии, заданные уравнениями:
288.1. |у
91
289.1.
290.1.
= sin x.
= - x* +
5x — 4.
291.1. |y|-
Построить графики функций:
296.1. у = ;tsgn х.
297.1. у = х sgn (sin л:).
298.1. у = sg
292.1.
293.1.
294.1. I x |
295.1. |y|
У2 — У-
cos y.
x).
299.1. у = sgn(lg
300.1. у = { lg*} .
301.1. у = E (\gx).
302.1. у = ; "
— E
Глава З.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 8. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 1. Выписать пять первых членов последовательности
/г3 — п + 1
Решение. Придавая п значения 1, 2, 3, 4, 5, получаем;
1 1 25 61 121
Пример 2. Написать какую-нибудь формулу для общего члена после-
последовательности, если известны ее первые пять членов: 3 • 2, 5 • 22, 7 • 23, 9 • 24,
11 . 25, ... .
Решение. Числа 3, 5, 7, 9, 11 образуют арифметическую прогрессию с
первым членом 3 и разностью 2. Ее п-я член равен 3 + 2 (п — 1) = 2л + 1. Об-
Общий же член геометрической прогрессии 2, 22, 23, 24, 25 выражается формулой 2п.
Поэтому можно выбрать в качестве искомой формулы
Разумеется, эта формула не является единственной. Например, формула
ап = Bп + 1) 2я + (л — 1) (п - 2) (п - 3) (п - 4) (л — 5)
тоже удовлетворяет условию задачи. Вообще, зная конечное число членов после-
последовательности, нельзя однозначно найти формулу для ее общего члена.
Пример 3. Доказать, что числовая последовательность
п2
аП = 2 11
возрастает.
60

Решение. Мы имеем ап = 1 — . Так как (п + IJ > /i2, то
п2 + 1
1 J 1 1
(л+!)¦ < „2 и«л+1-1- (/| + 1)Я + 1 >1
Итак, аЛ+1 > дЛ, т. е. последовательность возрастает.
Пример 4. Доказать, что последовательность
я+1
убывает.
Решение. Рассмотрим отношение п~г предыдущего члена к после-
/ 1 \я+1 /«4-l\"+1 / n у
дующему. Так как ап = 1 + — = и ап.г = , то
\ л/ \ п ] \л —1/
дЛ U-1/ \ п ) я + 1 ' (л»-1)л я + 1 ' \ +«2- lj '
По неравенству Бернулли A -J- — : ) > 1 + — : , и потому -^ >
\ л2—1/ л2— 1 аЛ
()()
Итак, -^-^ > 1, а потому последовательность убывает.
ап
Пример 5. Доказать, что числовая последовательность
ограничена.
Решение. Мы имеем:
пъ + 4 п3 + 4
Поэтому
Л3+ 1 ,
О < -т~- < 1.
л3 + 4
Это и означает, что последовательность ограничена.
Пример 6. Найти наибольший элемент последовательности {ап}, где
90п
Решение. Рассмотрим разность
90 (л+ 1) 90л 90(/i2 + /i — 9)
an+i — ап
(п + 1J + 9 /г2 + 9 [(п + IJ + 9] (/г2 + 9)
между последующим и предыдущим элементами данной последовательности. Если
ап— наибольший элемент, то ясно, что ап+1 — ал<0и ап—ап.г<0. Решим нера-
неравенство ап+1— ап<0, т. е. п2 + п — 9 < 0. Мы получим, что я>— (- У 37 «
« 2,54, или п < — !^ « —3,54.
2, ?
61

Так как п — натуральное число, то неравенство ап+1—ап < О выполняется
при п = 3, 4, 5, ... . Значит, а3 > а4 > аь> ... . С другой стороны, при О < п <
<2 имеем ап+1 — ап > 0. Значит, наибольшим членом последовательности {ап}
может быть или а2» или аз- Сравнивая их, находим, что наибольшим членом пос-
последовательности является а3 = 15.
Иногда вместо рассмотрения разности ап+1-^-ап выгоднее изучить отношение
an+i
последующего члена к предыдущему.
ап
Пример 7. Найти наибольший член последовательности {ап}, где
10*
Решение. Мы имеем:
10" 10
ап (п + 1I * л! п + 1 #
Если а„ —наибольший член, то -^ и —— > 1. Решим неравенство —^< 1,
т. е. < 1. Мы получим, что п > 9. При этом — =а 1, а потому мы
л + 1 а9
109
имеем два наибольших члена последовательности а9 = а10 = — .
Пример 8. Последовательность {ап} определяется рекуррентным соот-
соотношением
Доказать, что эта последовательность монотонно возрастает и ограничена.
Решение. Докажем, что для всех п верно неравенство ап < 2. Предпо-
Предположим, что это неравенство доказано при п= k; ak < 2. Тогда имеем: ak+1 =
¦= Y2 + а# < У 2+2 = 2. Так как ах < 2, то в силу принципа математи-
математической индукции неравенство ап < 2 доказано для всех п. Так как, кроме того,
0 < ап, то последовательность [ап} ограничена. Из неравенства же
вытекает, что она возрастает.
Пример 9. Последовательность {ап} определяется рекуррентным соотно-
соотношением ап+2 = — (an+i + «я), л = 1, 2, ... Выразить общий член этой последо-
последовательности через ах и (ц.
Решение. Мы имеем:
Отсюда

Следовательно,
а2 — ui = a2 —
— а3
Методом математической индукции устанавливаем, что при любом k > 2 справед-
справедлива формула
Складывая почленно все последние найденные формулы от k = 2 до k — п, полу>
чаем, что
Отсюда вытекает
3-2Л-2 '
Пример 10. Последовательности аъ а^ ... , ал, ... и bv b2t ... , bni
заданы рекуррентными соотношениями
Выразить ал и Ьп через д^, &х и п.
Решение. Из рекуррентных соотношений вытекает, что для любого числа
% выполняется соотношение
ak+1 + Uk+1 = —^— ал + —J— ?
Подберем ?i так, чтобы выполнялось равенство
Решая это квадратное уравнение, находим кг = 2 и ^ ^—1- При этих значениях
X имеет место равенство
63

справедливое при всех натуральных значениях k. Полагая здесь к последователь-
последовательно равным 1, 2, ..., л — 1, получим:
(«1+ Mi).
Итак, при любом натуральном пи XL = 2, Ха = —1 имеемз
т. е.
Отсюда находим:
/ 1
Мы будем говорить, что некоторым свойством Р обладают почти все члены дан-
данной последовательности, если им обладают все ее члены, кроме, быть может, ко-
конечного числа членов.
Пример 11. Доказать, что почти для всех членов последовательности ап=
= /г3 выполняется неравенство ап> 1000.
Доказательство. Решим неравенство /г3 < 1000. Мы получим, что
п < 10. Таким образом, для всех натуральных чисел /г, кроме 1, 2, 3, 4, 5, б, 7,
8, 9, 10, выполняется неравенство л3 > 1000.
303.1. Написать первые пять членов последовательностей, общий
член которых имеет следующий вид:
щ ап — j , д) ап = sin — ,
*\ 1f ч ПК
¦>*-'":•?,:"' »>«.-•¦«=+*«=.
П (AI+D
64

304.1. По заданным первым числам последовательностей подоб-
подобрать одну из формул общего члена:
a) _i_ I —L. 1 9
' УТ' 2' 2Vf 4 ' АУТ
б) VI -2, V2- 3, УТ^4, У • 5, ... ;
' 77 ' 7Г7 > 7Г7 >
11' 21' 31* 41
3 5
22 . З2 ' З2 • 42' 42 • 52' 52 . б2' "' '
^ 1 ' 1Ь2Г VI-2. ЗГ U-2-3-4
.2 2-4 2-4.6 2-4.6.8
Ж) Т> Г~3' ТТзТГ' 1.3-5.7 ' ™ '
305.1. Доказать, что последовательности, общий член которых
имеет указанный ниже вид, монотонно возрастают:
1
а) ап = пъ + 2я; г) ап-=Ъ — arc sin
я2+ 4
306.1. Найти наибольшие члены последовательностей, имеющих
общий член ап, если:
П , П2
в) a.-sin^;
307.1. Обозначим через ап сторону правильного п-угольника,
вписанного в окружность радиуса /?, через рп его периметр, через
sn площадь. Через Ьп, РПУ Sn обозначим соответствующие вели-
величины для правильного описанного л-угольника. Какие из ниже-
нижеследующих последовательностей монотонно возрастают, а какие
монотонно убывают?
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ре.
«3,
S*.
о8,
Pl5-
^35,
am
Pk*»
Л75»
S27>
^100»
S4.611-1, ... .
65

308.1. Обозначим через hn длину апофемы правильного вписан-
вписанного п-у гол ьника. Доказать, что последовательность {Лз-б*-1} моно-
монотонно возрастает.
309.1. Обозначим через Rn расстояние от центра окружности
до вершины правильного описанного n-у гол ьника. Доказать, что
последовательность {/?5-8Л-х} монотонно убывает.
310.1. Ниже приведены некоторые последовательности и свой-
свойства Р. Определить, в каких случаях эти свойства имеют место
почти для всех членов последовательности, в каких они выполняют-
выполняются лишь для конечного числа членов, а когда и данное свойство и
обратное ему верны для бесконечного числа членов последователь-
последовательности:
а) ап = п (п +1); Р — свойство быть четным числом;
б) ап = п + 3; Р — свойство быть точным квадратом;
в) ап = рп i где рп обозначает n-е простое число; Р — свой-
свойство быть нечетным;
г) ап = рп\ Р — свойство ап < п\
д) ап = 1 Ч ; Р — свойство ап < 2;
п
е) ап = 1 Ч-*—- ; Р — свойство аЛ < 1;
ж) аЛ = И ч- ( — 1)л ]; Р — свойство | ая | < 1;
з) ал = - ; Р — свойство ал < 0,000 001;
и) ап = t=-^ ; Р — свойство | ал | < 0,000001;
/t
к) ап = 5JH. ; р _ свойство 1 — ап < 0,001;
яЧ-1
л) а^ = ^ — v— . р — свойство | 1 — ап \ < 0,0001.
311.1. Последовательность {ал} задается рекуррентным соот-
соотношением an+i = 3 ая — 2an_lf п = 2, 3, .... Выразить art че-
через а1? а2 и /г.
312.1. Найти формулу общего члена рекуррентной последова-
последовательности {an}, если ап = Зап_1 +1 и а4 = 2.
313.1. Доказать, что последовательность {ап}, заданная ре-
рекуррентным соотношением
ап+1 =
монотонно убывает и ограничена снизу.
314.1. Пусть an+i — 2ап + an_t = 1. Выразить ал через а1э
а2 и п.
66

315.1. Пусть
^ sin2a,
и #4 = 0, y4 = cos a. Найти выражение для xn и уЛ через
п и а.
316.1. Пусть
У, = V *л-4 + ° У„-1 (а б - pv ^= 0).
Найти выражение для хп и ул через хь yit и л.
3171 П
р
317.1. Пусть
Найти выражение xrt через ^ и п.
318.1. Пусть
h 2апьп
° Т
an+i
7>» °п+1 ГТ»
2 ал + Ьп
причем at > bt > 0. Выразить ап и Ьп через a4, &t и #.
319.1. Пусть 0 < х < 1. Положим
Доказать, что последовательность {уЛ} монотонно возрастает я
ограничена.
320.1. Пусть Яо и й0—данные положительные числа, <%>
> Ьо и пусть последовательности
а0, а1э ..., ал, ...,
й0, 6lf ..., 6rt, ... .
задаются следующими рекуррентными соотношениями:
/I—1*
Доказать, что последовательность \ап] монотонно убывает, *
последовательность {Ьп} монотонно возрастает.
§ 9. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 1. Пользуясь определением предела числовой лоеледоват«№-
ности, доказать, что последовательность
"в
имеет предел, равный 1.
67

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы е >0 мы ни взяли, для него
найдется натуральное число Nt такое, что для всех п > N имеет место неравен-
неравенство:
\хп - 1 | < е.
Возьмем любое 8 > 0. Так как | хп — 1 | =
1
п
1
то для отыскания N достаточно решить неравенство — < е. Отсюда, п > — и,
п е
следовательно, за N можно принять целую часть от — : N = ЕI — I. Мы тем са-
е \г ]
мым доказали, что lim хп = 1.
П -* со
Пример 2. Пользуясь определением, доказать, что последовательность
1
есть бесконечно малая, т. е. что lim хп = 0.
П -* оо
Решение. Мы должны показать, что для любого 8 > 0 можно указать
число N (е), такое, что для всех п > N величина |дгл| < 8. Имеем: |дгл| =
1 1 п 1
= —i ГТ~ < "я • Для каждого п, удовлетворяющего неравенству — <е, т.е.
п* 4~ п -j- 5 п /г3
для п > j-=^ , будет справедливо и неравенство | хп \ < 8. Следовательно,
у г
за Л^ можно взять ЕI -^j=~ I
Пример 3. Пусть q — число, удовлетворяющее условию: \ q\ > 1. До-
Доказать, что lim qn = оо , т. е. что последовательность { qn } бесконечно боль-
П -* оо
ыая.
Решение. Так как \ q \ > 1, то, положив \q \ = 1 + Л, видим, что А >
>0. Тогда по биному Ньютона
^l + nh+^h + h + i_
Так как все слагаемые в последней сумме положительны, то
I q" | > пЛ.
Последовательность {пп} бесконечно большая. Значит, и [qn] — бесконечно боль-
большая последовательность, т. е. lim qn = оо.
П -* оо
При нахождении пределов переменных величин, и в частности последователь-
последовательностей , часто оказывается полезной теорема о трех пределах, или, как ее иначе
называют, теорема о пределе промежуточной переменной: если lim хп = а,
Я -* оо
lim yn~ а и хп < zn < ynt то и lim zn = a.
П -* оо П -*¦ оо
Пример 4. Доказать, что lim -/"я = 1.
/I -* оо
Решение. Возьмем число а> 1. Его можно представить в виде: я = 1+ А»,
где Я, = а — 1 > 0. По формуле бинома Ньютона имеем:
68

/t ft2
При n> 2, n— 1 > -— и, следовательно, an = A + ^)rt >— АЛ Положим а =»
= \/rn > 1. Тогда A,=yr7T—1, и последнее неравенство перепишется в виде:
я > — № , или — > ( у^п — 1)а > 0. Извлекая квадратный корень, будем
9
иметь: 0 < -/"л — 1 < ~yr=L- . Пользуясь теперь теоремой о трех пределах
(lim 0 = Jim "гт=- =0) , получим, что lim ( у^/Г — 1)= 0. Значит,
lim ^"л = Нт [1+( п/п— 1)] = 1.
Пример 5. Доказать, что последовательность хп = 2п (Уп2 + 1 — /г)
имеет предел, равный 1.
Решение. Преобразуем выражение для хп:
2п
Так как n + 2>>^n24-l>n, то имеет место неравенство: <
п + 1
< хп < 1. Вследствие того что lim = 1 (докажите!) и lim 1=1, по
П -*¦ оо П + 1 П -*¦ оо
теореме о трех пределах получим, что lim xn = l.
П ~+ со
Часто при нахождении пределов последовательностей приходится пользовать-
пользоваться признаками существования пределов для монотонных последовательностей:
1) неубывающая (хп<хп+1) ограниченная сверху последовательность имеет предел
(докажите, что этим пределом является sup xn)\ 2) невозрастающая, ограниченная
снизу последовательность имеет предел (докажите, что inf лсЛ = lim *„).
Пример 6. Доказать существование предела последовательности с общим
членом
-.2.3.4. . п
аЛ — 1 -Г -Г -Г -Г ... -Г •
4 4 4^ 4 1
Решение. При любом п > 1 выполняется неравенство
. п + 1
Поэтому последовательность {sw} монотонно возрастает. Далее, при п > 1 имеет
место неравенство л < 2Л, а поэтому
__ i.lli .Л:! ,±1 , 2n
S/z "~ "* 22 • 2 23 • 2a 24 • 23 2Л • 2Л"Х ^
69

1—-
1
2
Итак, последовательность {sn} монотонно возрастает и ограничена сверху. По-
Поэтому существует lim sn.
П — оо
, ._ /-¦ ¦' _ —'
Пример 7. Дана последовательность хх = у 2, х2 = V 2 + р 2,
*з= К 2+|/*2+ /Г, ..., хл= К 2+К2+... +|/2Г ... . Доказать, что
п радикалов
эта последовательность имеет предел, и найти его.
Решение. Ранее (см. стр. 62) показано, что рассматриваемая после-
последовательность монотонна и ограничена. Следовательно, она имеет предел. Най-
Найдем его. Пусть lim хп = а. Возводя в квадрат равенство хп = }Г2 + хп„1%
П -* оо
получим: )?п == 2 + хп.г. Перейдя в этом равенстве к пределу, получим: а2 =
= 2 4- а. Решая полученное уравнение, найдем:
1
Так как л:Л > 0, то предел отрицательным быть не может. Следовательно, lim xn =
П -* оо
= 2.
Пример 8. Дана последовательность хп = (— 1)л. Доказать, что она
не имеет предела.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим, что последова-
последовательность имеет предел, равный с. Значит, для любого е > 0 и, в частности, для
е= — найдется Л/, такое, что | хп — а \ < — для всех п > N. Так как хп = ± 1,
то, следовательно, должны выполняться неравенства | 1 —а \ < ~г и | —1-^а |<
1
< — , из которых будет следовать:
2 = |A-а) + {а+1)|<|1-а| + |а+1|< y + 7 = L T- е- 2< *•
Полученное противоречие и доказывает, что последовательность не имеет преде-
предела.
Пример 9. Доказать, что последовательность
1 2 3 , (-1)"-*я
JC/i = — — — + — — ...+
п п п п
не имеет предела.
1 — 2 + 3 — 4+... +(—I)"-1 n
Решение. Перепишем хп в виде: хп
A—2) +C-4)+ ... + (п — 1 — /г)
Если /г —четное число, то хп = ^—
2
= — г~ = — —; если п — нечетное число, то
п 2п 2
70

1==
2
1 1
2 ^2/г
Следовательно, если п -> oo и пробегает четные значения, то lim *л = ;
а -» о© 2
если нечетные значения, то lim хп = -— .
Л -• оо 2
Но если бы последовательность имела предел а, то и всякая ее частичная
последовательность (подпоследовательность) имела бы тот же предел. Отсюда еле-
дует, что данная последовательность не имеет предела.
Замечание. Под частичной последовательностью понимают любую
последовательность, получающуюся из данной удалением некоторых ее членов
или даже удалением бесконечного множества их.
Пример 10. ап = | xn\f где хп имеет тот же смысл, что и в предыдущей
задаче. Доказать существование lim an.
П — оо
Решение. *
1
— » если п четное,
\хп\ =
1 . 1
"Г + Z~ » если п нечетное.
2 2л
Отсюда следует, что при п -> оо (принимает ли п четные значения или нечетные)
ап -*¦ — , т. е. lim ап = -— . Здесь мы воспользовались следующим свойством
2 п - оо 2
пределов последовательностей: если существуют одинаковые пределы подпоследо-
подпоследовательностей из членов с четными и нечетными номерами, то последовательность
имеет предел, равный пределу подпоследовательности (докажите это свойство!).
Пример 11. Найти предел последовательности, заданной общим членом
х
п 2п2+ 1 * п + 3 '
Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого
слагаемого. При п -> оо числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится
к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе
частного. Поэтому сначала преобразуем хп, разделив числитель и знаменатель
первого слагаемого на п2, а второго на п. Затем, применяя теорему о пределе
частного и о пределе суммы, найдем:
1 , ,. Yn n l
hm хп = lim -+ lim — = —.
»-«2+i n,- _3 2
n2 n
Пример 12. На графике функции у = x2 задаются точки Лп и Вп с аб-
абсциссами соответственно — и . Через Ап, Вп и начало координат проводит-
п п
ся окружность с центром в точке Сп (рис. 29.1). Найти предел последовательно-
последовательности точек Сп,
71

Решение. Центры окружностей рас-
расположены по оси ординат. Их уравнения
записываются в виде: х2 + (у —- упJ = уп ,
где уп — ордината центра /i-й окружности.
Подставляя х= — , у = — и упрощая, по-
лучим: уп = — A+ ~). Отсюда получим,
что Пту„= —. Точки С„ стремятся к
/1 -> оо ^
точке
Ю-
Пример 13-
ти lim xn.
П -*> оо
/ 2
lim
П - оо \ 3/1 — 5
5/
lim /г
/I
2/г + 1\3
j
2\з
з]'
Най"
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предал степени равен
степени от предела основания.
V п2 -4- 1 4- Vn
Пример 14. хп = ; L, cos B/i— 1)!I.
|//г^ + /л + 1
Найти lim xn.
П -*¦ оо
Решение. Заметим прежде всего, что выражение Bп — 1)!! означает
краткую запись произведения всех нечетных чисел от 1 до Bл — 1) i Bл — 1I1 =
= 1 . 3 • 5 . 7 • ... . Bп -* 1). з
Разделим числитель и знаменатель на л4, т. е. на старшую степень пере-
переменной я, которая содержится в данном выражении (если под корнем многочлен
относительно /г, то степень определяется показателем корня и степенью многочле-
многочлена). Тогда получим:
cos Bя —
1+157=
cos Bn — 1)!! — величина ограниченная; дробный множитель в записи хп —
бесконечно малая величина, так как при п ->оо числитель стремится к 0, а зна-
знаменатель к 1. Так как произведение величины, ограниченной на величину беско-
бесконечно малую, есть величина бесконечно малая, то lim хп = 0.
П -¦ оо
Пример 15. хп = 3 у^2л*. Найти lim xn.
^- lim y^/?
П-+0©
Решение, lim хп = 3 Hm^
3 lim
n ) =
3 • 1 • 1б =3. Здесь мы воспользовались пределами: lim yfa = 1 и lim у /г=1.
0 -*- 00 П —¦ О9
72

;гтт—г-п • Найти ]{тХп'
п* 1 2/г2
Решение. При л -»-оо+
п2 + 3 1 3 ' ' 2я + 1 2 1
г ~ ~ + ~
п п3 п п*
->+оо. Значит, при нахождении предела последовательности мы встретились с
неопределенностью вида: (+ о°) — (+ °° ). Сначала преобразуем выражение,
определяющее хПУ приведя его к общему знаменателю, а затем разделим числи-
числитель и знаменатель на п3. Тогда получим:
Применив теперь теоремы о пределе частного, произведения и суммы переменных
величин, найдем: lim хп = — .
П -*> оо 2
19 м —. 1
Пример 17. *л = — + — +... + . Найти lim xn.
Пг П2 ft2 п ~* оо
Решение. Сложив дроби с общим знаменателем и учитывая, что слагае-
слагаемые числителя образуют арифметическую прогрессию с разностью 1, получим:
1
[1 + (я—1)] (я—1) п (п — 1) ~ 7
*л~ 2л2 в 2л2 2 '
Следовательно, lim ^л = — .
п — «о 2 I
321,1. Доказать, что последовательность хл = (—1)л —
п
бесконечно малая (т. е. что lim хп = 0), а последовательность
(—\)пп бесконечно большая. п-+°°
322.1. Доказать, что последовательность п [1 + (—1)л] не
ограничена, но не бесконечно большая при п -*• оо.
323.1. Доказать, что последовательность хп = 1. sin /^К^ —
бесконечно малая.
Доказать, пользуясь определением предела, равенства:
324.1. lim 2 l
п - оо 4л + 5 2
325.1- lim-4= =0.
326.1. lim , =5. Начиная с какого п,
Д^ ов Л + 1
восходит 0,01?
7.1. Док
,0001 при п> N.
л + 1
— 5
не пре-
пре327.1. Доказать, что lim — = 0. Найти такое N, чтобы было
73

328.1. Пусть an = —. а) К какому пределу сходится последо-
п\
вательность {ап\? б) Монотонна ли эта последовательность? в) На-
Начиная с какого значения я имеем | ап \ < 0,01?
329.1. Доказать, что lim — = 0.
330.1. Имеет ли предел последовательность
2 ' 3 4
331.1. Пусть ая = —. Доказать, что Нтая=0.
П П -+ оо
332.1. Доказать, что последовательность {ап}, где Оз^.! =
= —' агп = — (Л — число десятичных знаков числа я), схо-
/г к
дится к нулю.
Пользуясь теоремой о пределе монотонной последовательности,
доказать, что существуют пределы данных последовательностей:
«88.1.*,- 2я>д+' ¦
334.1. л-л = 1 + 1 + 1+... + 1.
385.1. *„-1+1 + 1 + _ + 1.
336.1. хп = 1 + 1+ - + - + ...+ -.
" ^ ^ 2! 3! ^ ^ я!
337.1. x = 14--— A 1 h . 4
n 2 • 2 3 • 22 4 • 2* л • 2я-1
338.1. лг_ = — 4- —4-... 4- -.
4-
340.1. а) Доказать, что для последовательности с общим членом
__ - 1 1__ 1_
имеем lim хп = + оо.
б) Доказать, что для последовательности с общим членом
п 1 2 л
имеем lim xrt = 4- °°.
П -> ов
341.1. Последовательность {аЛ} задается рекуррентным соотно-
соотношением
74

причем а4 = 0, аг = 1. Найти lim an (см. пример 9 § 8).
П - оо
342.1. Последовательность хп определяется следующим образом:
хх = —, хп — —Ь * в- (/г = 2, 3, ...). Доказать существование
Z Z 2
предела последовательности хп и найти его.
343.1. Доказать, что последовательность
? . Хп _ _ , Хо
где дс0 3> 0 — произвольное число, сходится, т. е. имеет конеч-
конечный предел, и найти его.
344.1. Доказать существование предела последовательности
х __J_4-—1-4- 4- 1
Указание. хп+1 = хп +
2 + 1 22 + 1 2я + 1'
345.1. Последовательность {xj задается рекуррентным соот-
соотношением
причем хг — любое число, удовлетворяющее неравенству 1 <
< 2. Доказать существование lim хя и вычислить этот предел.
346.1. Последовательность {хл} задается рекуррентным соотно-
соотношением
хп = 5 + x2«-i f причем Xi > 5.
Доказать существование предела и вычислить его.
347.1. Доказать, что последовательность Xi =
3, х5= V3 + Кз + 1/3, ...,
= г 3+ V 3 + ... + УТ имеет своим пределом число
п радикалов
2
348.1. Доказать существование lim an и lim bn, где {ай}
Г7 — оо /1 -¦ оо
и { Ьп } — последовательности, определенные в задаче 318. L
349.1. Последовательность {Рп} задается рекуррентным соот-
соотношением
75

Y*-v*-,
Доказать существование lim Pn и вычислить этот предел.
Указание. Использовать формулу длины стороны правильного вписан-
вписанного 2л-угольиика.
350.1. Последовательность {Рп} задается рекуррентным соот-
соотношением
2Р„
причем Pi = 8R. Найти lim Pn.
Указание. Использовать соотношение
х tgx
и формулу для стороны правильного описанного 2/г-угольника.
351.1. Доказать, что если пос-
последовательность {хп} имеет предел а,
то последовательность, полученная
из нее любой перестановкой чле-
членов, тоже имеет предел а.
352.1. Докажите, что если по-
последовательность имеет предел, то
в ней есть или наибольший член,
или наименьший член, или и тот
и другой. Привести примеры всех
трех случаев.
353.1. Докажите, что из любой
бесконечной последовательности
можно выбрать бесконечную мо-
монотонную подпоследовательность.
354.1. На параболе, которая
является графиком функции у =
= х2, берется точка Ао с абсциссой а и последовательность точек
Ап с абсциссами а + — (рис. ЗОЛ). Пусть Мп—точка пере-
пересечения оси Ох с секущей, проведенной через точки Ло и Ап.
Найти предел последовательности точек Мп при п -*оо.
355.1. Найти пределы последовательностей, пользуясь теоре-
теоремами о пределах суммы, произведения, частного последовательнос-
последовательностей:
Рис. ЗОЛ
76

2л2— 1 2п — 1 '
п 2/г — 1 n2 + n + 1 '
7 n Cn + lK f
1+ — + — + ... + —
2 22 2Л
A) *« = -
± I I
"*" 3 З2 3"
з) xn = ]Лга+ 2ft + 2 —]//z2— 4/г + 3;
K) Х/г = n2XVn+-l ;
л) хл = 2" sin -2jz—| !?— . ny" ' ф
356.1. Дана последовательность с общим членом ап = —h
+ 0,00001. Студент нашел, что ^ = 1,00001, а2 = 0,50001, а3 =
= 0,333343, .... а4 = 0,25001, ..., ат = 0,01001, и сделал вывод,
что lim an = 0. Верен ли его вывод? Найдите значения N для
8 JT;" 0,1; 0,001; 0,00001; 0,000001 и а = 0.
357.1. Найдите формулу, задающую последовательность со
следующими свойствами:
а) предел последовательности равен нулю;
б) первый миллион членов последовательности больше мил-
миллиона.
358.1. Найдите формулы, задающие последовательности {ап} и
{Ьп}, такие, что:
' a) lim ап < lim 6Л;
П -*¦ со П -* оо
б) первый миллион членов первой последовательности больше
соответствующих членов второй последовательности.
359.1. Последовательности {ап} и {Ьп} не имеют пределов.
Могут ли иметь пределы последовательности {ап + Ьп} и {ап Ьп}?
Приведите примеры.
360.1. Приведите пример, когда последовательности {ап} и {Ьп}
не имеют предела, а обе последовательности {ап + Ьп} и {ап Ьп}
имеют пределы.
77

361.1. Последовательность {ап} имеет предел, а последователь-
последовательность {Ьп} его не имеет. В каком случае имеет предел последова-
последовательность {ап Ьп) ? Может ли иметь предел последовательность
К + Ья)?
362.1. Пусть lim ап = О и {Ьп} произвольна. Можно ли ут-
П — оо
верждать, что lim ап Ьп = 0? Приведите примеры.
П — оо
363.1. Пусть lim ап Ьп = 0. Следует ли отсюда, что либо
П -> оо
lim ап = 0, либо lim bn = 0? Приведите примеры.
П — оо П -> оо
364.1. Доказать, что если последовательность стремится к + оо,
то среди принимаемых ею значений есть наименьшее.
365.1. Формулируя определение предела последовательности,
студент вместо «для любого е > 0» сказал «для любого е». Су-
Существуют ли последовательности, обладающие пределом при таком
определении?
366.1. Формулируя определение предела последовательности
студент вместо «для любого п > N» сказал «для любого м». Ка-
Какие последовательности будут иметь предел при таком определении?
367.1. Формулируя определение предела, студент вместо «для
любого е > 0» сказал «хотя бы для одного е>0». Докажите, что
при таком определении последовательность 2,2, 2, 2, ..., 2,... име-
имеет предел 7. Какое г надо при этом взять?
368.1. Формулируя определение предела, студент вместо «най-
«найдется такое N» сказал «при всех N». Какие последовательности име-
имеет предел при таком определении?
369.1. Формулируя определение предела, студент вместо «най-
«найдется такое Ny что при п > N выполняется неравенство \ап — а \ <С
<е» сказал «найдется такое N, что \а^ — а|<е». Какие пос-
последовательности будут иметь предел при таком определении?
370.1. Формулируя определение предела, студент вместо «вы-
«выполняется неравенство | ап — а\ < е» сказал «выполняется нера-
неравенство ап — а<е». Докажите, что при таком определении чис-
число 5 является пределом последовательности 1, 1, 1, ..., 1,...
371.1. Исказится ли определение предела, если вместо \ап—а|<
< е написать \ап — а \ < е?
372.1. Рассмотрим следующее условие: «Найдутся е > 0, k
и п> k, такие, что \хп — а\< е». Легко видно, что этому усло-
условию удовлетворяет любая последовательность. Действительно, возь-
возьмем например, е = \а% — а\ -\- 1 и положим k = 1, п = 2. Тог-
Тогда мы имеем \а2 — а \ <s . В дальнейшем такие условия будем
кратко писать так:
т. е. писать з вместо «найдется такое..., что» и v вместо «для лю-
любого».
7S

Выяснить, что означают следующие условия:
аK8>0 3*3 п> к \хп — а\>г\
б) 3^ > О 3&V п > k \хп — а\<г\
в) 3е > 0 3kyn>k \хп — а\>г\
г) 3е > О V&3 л> k \хп — а\<г\
д)Зе>0 V^3 n>k \хп — а\>г;
е) Э8 > О V^V n>k \xn — а\
ж)з^>0 \/k\/n>k \xn — a\
3)Ve>° 3^3 ^>* |хя —а|
и) V8>° з^З ^>^ |а'я —а|
к) V8 > О 3&V п"> k I хЛ — а |
л) V8 > О 3^V л > А | хп — а |
м) V8 > О V^3 л > k \xn — a\
н) V8 > О V^3 n> k \xn—a\
о) V8 > О V^3 п > * I *л — 01
п)\/8>0 v*3 n> k \хп*— а\
Доказать, что условия
а) V8^>0 V*3 n>k \xn — а\>&
6) n
эквивалентны при любом а: если последовательность удовлетворя-
удовлетворяет одному из них, то она удовлетворяет и другому.
373.1. Доказать эквивалентность условий:
а)зе>0 \/k\/n>k \xn — а|<е;
б) зе>0 3kyn>k \xn —
в) зе>0 V" |л:л —
г) Эе>0 уп |*я1<8-
§ 10. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ.
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ.
Пример 1. f (х) = Ъх — 2. Пользуясь (е — б)-определением предела
функции, доказать, что lim / (х) = 1. Каково должно быть б, чтобы при
х-*1
0 < | х — 1 | < б имело место неравенство | / (х) -— 1 | < 0,001?
Решение. Нам надо доказать, что для всякого 8 > 0 существует такое б > 0,
что из неравенства 0<| х— 1 | <б следует, что | / (х) — 1| < е. Зададим 8 > О
и составим выражение |/ (х) — 1 | = \Ъх — 2 — 1 | = 3 \х — 1 |. Если взять
б <— , то для всех значений х, удовлетворяющих условию | х — 1 | < б, будет:
3
j =8.
79

Следовательно, lim C* — 2) = 1. Число б определяется из неравенства:
X -1
6< —-. В частности, если е = 0,001, то можно взять б = — .
3 3
2х + I
Пример 2. / (х) = — . Пользуясь (е — б)-определением предела
+ 3
1
функции, доказать, что lim / (х) = —•— .
х ->—1 2
Решение. Нам надо доказать, что по любому заданному е > 0 можно
подобрать б так, что как только [ х + 1 | < б, то
5*+ 5
2.V+1
2C + *)
< 8, ИЛИ
ДС+1
Не теряя общности, можно считать, что б < 1. Но если \х + 1 | < 1, то
|* + 3| = |х+1+2|>2 — |*+1|>2 — 1=*!. Поэтому при | х + 1 |< I
имеем:
х+1
х + 3
< | х + 1 |. Чтобы выполнялось неравенство
х+1
х + 3
достаточно, чтобы | х + 1 | < —- е. Таким образом, в качестве б можно выбрать
5
2 / 2 \
меньшее из чисел 1 и — е, б =min 1, — е ) .
5 V 5 /
Пример 3. / {х) = У х + 4. Пользуясь (е — б)-определением предела
функции, доказать, что iim / (х) = 3.
х -* 5
Решение. Составим выражение
Покажем, что по заданному е > 0 можно подобрать б > 0 так, что как только
| х — 5 | < б, то | Ух + 4 — 3 | < 8. Так как \Yx + 4 + 3 | > 3 при всех зна-
значениях х из области существования функции / (х), то \Ух + 4 — 3 | < ,
о
Поэтому при значениях х, для которых | х — 5 | < Зе, будет выполняться и
неравенство \У х + 4 — 3 | < 8. Значит, lim Yx + 4 = 3.
х + 1 х -5 1
Пример 4. / (х)= . Доказать, что lim f (х)= —¦ .
Решение. Равенство Нт / (х) = — на языке неравенств означает,
х -+ со 2
что для всякого 8 > 0 существует число М > 0, такое, что для всех х, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству |л;|>Л1, выполняется неравенство е' А
2л:+ 1
-т—~ТТ < 8* Отс1°Да I 2х + 1 I > — • Так как | 2л: + 1 | > \2х\ —1,
I 2х + 1 | 8
то достаточно решить неравенство | 2х \ —* 1 > — . Решая это неравенство,
8
получим 1*1 > — A—| ). Положим теперь М= . Из наших рассуждений
2\ г] 2е
1
следует, что при ] х) > М выполняется неравенство
тельно,
80
/м-т
< е. Следова-

Л
I
Пример 5. f (*) = . Доказать, что lim f(x) = oo.
x — 1 x -*i
Решение. По определению lim / (x) == oo, если для любого М > Э
х -*а
можно подобрать б>0, так, что для всех значений хфау удовлетворяющих усло-
условию | х—а |<б, будет выполняться неравенство: |/ (д:) | >Af. В нашем случае по
заданному М > 0 будем подбирать б из условия
Следовательно, положив б = — , получим, что для всех значений х, удов-
удовлетворяющих условию | х — 1 | < б, выполняется неравенство: | / (х) | > М.
Значит, lim f (x) = оо .
374.1. / (х) = Ъх — 5. Пользуясь (е — б) - определением
предела функции, доказать, что lim / (х) = 1. По заданным зна-
х ->2
чениям Gt = 1, е2 = —-, 83,= — подобрать соответствующие
6i, 62, б3.
375.1. / (х) = 3jc2 — 2. Пользуясь (е — б)-определением пре-
дела функции, доказать, что lim f (x) = 10. Как подобрать б>0,
х-*2
чтобы из неравенства | х — 2 | < 6 следовало неравенство | / (л:) —
— 10 |< 0,01.
х ^
376.1. f(x) = . Доказать, пользуясь (е — б)-определением
ох -]— 2
предела функции, что lim f(x) = — .
X ~* со 3
377.1. / (х) = j/^jc2 +1 — х. Пользуясь определением предела
функции, доказать, что lim / (х) = 0. Как должно быть выбра-
но М > 0, чтобы из неравенства х> М следовало неравенство
\f(x) — 0|<0, 001?
378.1. / (х) = loga а: ( а > 1). Пользуясь определением пре-
предела функции, доказать, что lim / (х) = + со.
*- + »
Замечание. Надо показать, что для всякого Л > 0 существует М > 0,
такое, что из неравенства х > М следует неравенство log^* > A.
379.1. / (х) = cos л:. Пользуясь определением предела функ-
функции, доказать, что lim / (х) = cos хо.
i
380.1. Чему равен предел функции f {х) = * sin — при
х -> 0 и при а: -> оо?
381.1. / (jc) = sin jc, ф (х) = tg x. Доказать, что не существуют
пределы функций / {х) и ф(лг) при л:->оо, х-+—оо, х-^+оо.
81

382. 1. Сформулировать с помощью неравенств следующие ут-
утверждения:
a) \imf(x) = b; 6) 1ип/(л;)=оо;
в) limf(x) = + оо; г) Нт/(л:) =—оо,
х -* о х -* а
и привести соответствующие примеры.
383. 1. Изучить поведение корней ху и х2 квадратного уравне-
уравнения ахг + Ьх + с = 0, у которого коэффициент а стремится к
нулю, а коэффициенты Ъ и с постоянны, причем Ь Ф 0.
§ 11. ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Найти предел
х + 2х — 8
hm .
х-+2 л* — 8
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя равны 0. Следователь-
Следовательно, применить теоремы о пределе частного нельзя. Разложим числитель и знаме-
знаменатель на множители и сократим на общий множитель (х —-- 2), который обращает
е нуль знаменатель и числитель. Тогда получим:
* + 4 _ 6 _ 1
1™ 12 2*
2 sin2 x + sin x — 1
Пример 2. lim - ¦ . - — -7,
jt2sin2*—-Ssin^-fl
Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители1:
2(sinл; + I) (sinд; — — J
lim / (х) = lim
я sin х — 1 . я_ 1
~*б БШ6 "~ "" 2
cos f-sinf
Пример 3. lim -
^? cos л:
2
Реше н ие. Так как cos x = cos2 — — sin2 — , то получаем:
Z 2
1 Ради краткости записи функцию, стоящую под знаком lim, будем обозна-
обозначать через/ (х).
82

,. COS f-sin f- ,. 1 1
hm = lim sa —--=..
n[ x , jt\/ x . x \ я x . x у 2
x ~*T I cos—+ sin—Icos sin— X"*7T cos -— + sin —-
2 \ 2 2/V 2 2/2 2 2
3/x 1 2
Пример 4. lim
a: — 9
Решение. Умножая числитель и знаменатель на неполный квадрат
суммы выражения Yx — 1—2, получим:
lim I (x) = lim
9 э
"Л?
— 1)я + 2 f^jc — 1 4- 4] (х — 9)
*-9
—Па +2^ — 1+4 4 + 4 + 4 12'
(Оо ^ 0, &о ^ 0).
Решение. Для нахождения предела вынесем за скобки в числителе хп%
а в знаменателе хт. Тогда получим:
/ (*) = xn~m ¦
Предел второго множителя равен —- ф 0. Предел первого множителя зависит от
bo
соотношения между числами пит. Если п > т, то *"~т -> оо и, следовательно,
f (х) -+оо . Если л = т, то *л-от = ^о=1 и / (х) -» — .
Наконец, если п < т, то xn"OT = ~~^f -> 0 и / (я) -> 0.
Например, lim — = — 2.
2
Пример 6. lim
д: - + - у$х _ 2
Решение. Разделим числитель и знаменатель на "^7. Тогда получим:
JL 5
2 + у - + J S/^з о
lim
12 9 /3
(а:3 д:2 \
-— — 1.
2х 1 2х -4- 1 /
83

Решение. Приведя к общему знаменателю, получим:
1 +
X X2 X*
Пример 8. lim (У х2 + 1 — *).
Решена е. Умножая и деля на функцию, сопряженную данной, получим:
Hm
так как знаменатель при х ->• + оо есть функция бесконечно большая.
Vx2 + 1
П р и м е р 9. lim
X -+ оо X •
Решение. Так как
Vx2 4- 1
lim V ^ = lim : ~±_ = lim
+1
\ х)
а при х ->¦ — с» имеем: lim / (х) =— 1 (покажите!), то предела не существует.
X -*— оо
1
1+-
х
Пример 10. lim
*-*о sin*
Решение.
lim —; = lim = ; = — = 1.
х - о sin x x - 0 sin x sin л: 1
lim
х х-+о х
sin Зле
Пр и мер 11. lim
Решение. Так как при х ->- 0 sin Зл: и Зх — эквивалентные бесконечно
малые (sin Зх ~ Зх) и tg 5д: — 5я, то
sin 3* Зх 3
lim —- = lim —==--.
х - о tg Ъх х-+ оо* 5
Пример 12. / (*) = g * ~~ Sin X ; найти lim / (*).
*3 х -+0
X X2
—,
2
sinx: A—cosjc)
X X2
Решение. Так как sin х ~ х и 1 —cos х =2 sin2 — ~ —, то
2 2
lim / (jc) = lim
sin x A — cos x) 1 2 1
= hm hm = hm . l == — .
*-o x3 ^-ocosjc *-0 x3 2
84

Замечание. Необходимо обратить особое внимание на то, что в случаях,
когда в числителе или в знаменателе (или и в числителе и в знаменателе) стоит
сумма (или разность) бесконечно малых функций, то при вычислении предела,
вообще говоря, нельзя заменять отдельные слагаемые эквивалентными функцями.
Такая замена может привести к неверному результату. В нашем примере при
замене tg х на х и sin х на х получили бы — , откуда следовало бы, что предел
функции равен 0, что неверно. При нахождении пределов может оказаться полез-
полезной замена аргумента функции новым аргументом, так чтобы новый аргумент
стремился к нулю.
ях
Пример 13. lim A — х) tg — .
х -И 2
Решение. Положим 1 — х =у. При х -> 1 имеем у -»- 0. Поэтому
lim A - *) tg^ « limjf tg-J- A -у) =
у ."У r •yC°S? г У1
lim .у ctg — = hm = lim
y~»o 2 y-+o . ny y-+o ny
sin—- —
2 2
/ з\*+4
Пример 14. lim 11 + -—)
x -*- — «> \ h x ]
Решение.
Г/ 3 \* I3 / 3 \4
lim/(jc)=lim I 1 + — 3" lim 1+ — )==^.1=в».
П р и м е р 15. lim
Решение,
lim / (x) = hm
-Г
Яра нахождении пределов функции вида [и (x)]v^x\ если и (х) -»- 1, а у (я) -> оо,
в большинстве случаев целесообразно применять следующий прием. Запишем функ-
функцию uv в виде и0 = evlntl и предположим, что существует предел lim [v In а].
X -+Х0
Тогда получим (ехр а = еа):
lim а^ = lim ехр [v In а] = ехр [lim v In а].
x -* x0 x -* x0 x -+x0
Так как при x-+xOy и ->> 1, mo In а = In [1 + (и — 1I ^ (" — 1) "• следова-
следовательно,
lim с/ In и = lim == lim —— = lim v (и ~ 1).
x -• x0 x -+xQ I x -* x0 _1_ дс ¦* л:0
V V
Поэтому; чтобы найти предел lim и° где lim и = 1, lim v = с», «а^о сначала
х - х„ л: -* х0 л; -* *„
Л = lim v (и — 1). Гогда lim и? = И .
85

2
хг
Пример 16. Найти lim (cos х).
Решение. В данном случае и = cos x, v= —~п. Мы имеем:
х2
?2
А = lim v(u — 1) = Hm = lim = — —.
* - 0 x->0 X2 x->0 X2 2
L — L
Поэтому Hm (cos x)x* = e 2 .
Весьма полезным при нахождении пределов функций является внание следую-
щих пределов:
) ; ) )
х -О X х -О X х-+0 X
Пример 17. lim x [In (* + 1) — In x].
Решение. Заменяя разность логарифмов через логарифм дроби, получим:
lim / (х) = lim х \\п ^-1 = lim x In [ 1 + — )= lim [х • — ) = 1.
Х-+ + О* *-+«,[. * J *- + оо \ */*- + »\ X)
In A + л: + >:2) + In A — х + л:2)
Пример 18. hm .
Решение.
Иш/W-lta ЬA+х + ^0-
0 0 X2
v х + Х 1
= hm — = 1.
*-*о х2
Замечание. Если бы мы заменили в числителе каждый логарифм через
эквивалентную бесконечно малую функцию и перешли к пределу, то получили
бы неверный ответ:
*-0 ж-О X2 х->0 X2
что, как мы уже знаем, неверно.
При изучении пределов часто бывает полезным следующий факт. Если при
х -> а величины alf ..., аЛ — бесконечно малые функции более высокого порядка,
чем а, а Р1э..., Р/ — бесконечно малые функции более высокого порядка, чем Р ,
то
a + at + -.. + <*<k . «
hm —j --г- = hm —
(а может быть и числом, и одним из символов +оо, — оо, оо).
_ 1О ,. sin 5л: + tg2x + In A +л:2)
Пример 19. Hm , а , —гт '.
х .+ о х + х2 + arc sin2*
Решение. Согласно сформулированному предложению
55
х -*-0 х -*0 ^ х -+Q X
86

гт ол г л^ + Bа — I)8 + (cosл: — IJ
Пример 20. hm ¦
о
x -*o 3 arc sin3 x + я3 In A + x)
Решение.
хг
2х2 — 1 ~ а;21п 2, cos а: — 1 — ,
2 '
arc sin х ~ х, In A + л:) — х. Тогда
B*? — l) ~ a;4 In2 2, (cos х — IJ ~ — , arc sin3 х ~ х?, xs In (I + х) »* х*.
Следовательно,
X3 X3 1
lim / (х) = lim -~ = lim —- = — .
*_o х^0 Загс sin3 а; ^о Зх3 3
Пример 21. Определить, какие из нижеследующих функций при х -> О
будут бесконечно малыми одного порядка, высшего порядка, низшего порядка по
сравнению с х:
а) а± (х) = 2а;; б) а2 (х) = sin a;3;
в) а3 (а;) = У tg х; г) а4 (х) == cosx — 1;
2 sin л: — 1
Д) а5 =
1п2
а, (а;) а2 (а;) л?
Решение, a) Hm =2; б) lim-^—= lim—= 0; в) lim
*-*оа; х -о х х -+о х х -v о х
,. V *&х ,. *3 ,. 1 ч ,. a4W ,. cos^ — i
= hm = hm — = hm = oo; r) hm —s— = iim
= lim = 0; д) lim -'^-^ = lim ——1 = lim '""/ = —¦ = 1;
*-*o x x->o x x-+o а;1п2 ^^.о а;1п2 1п2
e) hm = hm = —.
x ~>Q X x -+Q X 6
Итак, ax (a;), aQ(x) — бесконечно малые одного порядка с х ->• 0, а2 (а;), ос4(лг) —•
бесконечно малые более высокого порядка, чем х\ ос3(л;) — бесконечно малая бо-
более низкого порядка, чем х\ аь (х) — эквивалентная с х бесконечно малая функ-
функция.
Пример 22. Найти в точке х = 1 односторонние (левый и правый) пре-
пределы функции
при 0 < х < 1,
[ 2а; + 3 при 1 < х < 2.
-ь
Решение. Для значений х < 1 наша функция определена формулой
f (х) = х + 2. Следовательно, левый предел функции х = 1 определяется равен-
равенством: lim / (а:) = lim (х + 2). Так как предел функции {х + 2) при х -> 1
*-+!_() л: - 1—0
равен 3, то lim f (x) = lim (л;+2) = Hm (x + 2) = 3,
х -* 1~о х -* 1—0 х -+ 1
87

Рассуждая аналогично, имеем: lim / (л;) =
«= iim Bх + 3) = lim Bл+3)=б" (рис. 31.1).
х -* l-j-О х -* 1
Пример 23. Доказать, что функция
cos — при 0 < х < + оо,
/<*) = '
х cos — при — оо < х < О
X
не имеет предела справа, но имеет предел слева в точке О.
Решение. Возьмем две последовательности
значений, сходящиеся к нулю:
т—, Хн_ 1 „/_ 2
f 2 Л 2лл rt я Dп +1)
Рис. 31.1 , t , ч лDп + 1)
Тогда / (*л) = cos 2яп = 1, / (хп ) = cos ——J—) =0.
7 2
Следовательно, lim/(x/1) = l, a lim/(A:/!l)=0. Но а:л-> + 0. ^->- +0.
П -*¦ со П -+ оо
Следовательно, предела функции справа не существует. Предел функции слева
существует. В самом деле, л; cos — при х->0 есть произведение бесконечно
малой функции х на ограниченную функцию cos —. Значит, lim x cos — == 0.
X х-+0 X
Отсюда и следует, что lim / (а;) = lim x cos — = 0.
Найти пределы функций:
384.1. lim З*4-2*2
385.1. lim—^—i-
386.1. lir
X 1 X3
387.1. lim -^-^
388.1. lim
х3 — Зх — 2
389.1. lim 4*2-3*
„о 2^-9^- — Л'о7^Тб-4-
391.1.
392.1.
393.1.
394.1.
чек 1
396.1.
lim
2
lim
lim
lim
lim
sin x + 2
)/2_,_
f/ 1 —X — 1
^r 2 .-J
ctgA;
a;
17
2
r__
|/ +A:
л
390.1. lim
^2_5лг + 6
; -*¦ 2 Jt3 — 2*2 — X + 2
88

397.1. lira V*-*-V* +V*
398.1. Hm
399.1. lim
x-+n sin 2*
YjL±L
r
400.1. lim
x-+7 x2 —49 •
ллг , ,. cos x — sin x + 1
401.1. lim
cos x + sin a: — 1 '
з —
402.1. lim v ^_ Указание. Положить ж = г16.
403.1. lim 4 Указание. Сделать замену х — 1=у.
404.1. lim (^ + 1M-A-3^
З2 ^
405.1. lim (^-^)-^rt-1(^-fl) (n_ натуральное).
х - а (х — аJ
Указание. Сделать замену х — а = у.
406.1. Hm ( —— ^ ] (m, n — натуральные числа).
Указание. Сделать заменух — 1 = у и привести к общему знаменателю.
407.1. lim
}
409.1. lim ( лГ1— +--24)
410.1. lim /-7=1 + 2*~' )
411.1. lim -^—^
x -+ oo 3x6 + 2x*
3x3 — 2x +
412.1. lim
X -*¦ oe
413.1. lim
^4_7x + l '
89

414.1. lira *V*+*V»+*Vi
_ 2
— 3 •
415.1. lim
416.1. lim
417.1. lim (yx*+x— \—ух*—х+ 1).
418.1. lim (VxVx
X- + 0.
419.1. lim
4-0.1. lim
x~l n/T-i
•3a;2 — Vx%—:
- (m, n — натуральные).
421.1. Hm
x-+Q X
ж sin*
422.1. lim
*-° Sia2x' 433.1. lim
423 1. lim sin7x — sin2* *-o tg2*-f-l— cos2*
x -. о sin *
424.,. It, t'-^' 434X '""
x -> о sin3x
v _ JL 2 sin2x — 1
4
425.1. lim
arc sin 2x
x - о sin x
4 6.1. lim
435.1. lim
У 2 cos * — 1
q x — sin 2x'
436.1. lim
427.1. lim
о arc sin 3x *
im
-.1 X2— 1
428.1. lim
cos 3x
437.1. lim
429.1. lim
x - о x tg 2
1 — j^
im[sin(;c-
-H-2L X2 — ¦
+ 2
438.1. lim
* - о 1 — cos
sin2 —
430.1. lim —-
431.1. lim
x - о x sin
432.1. lim
439.1. lim a
x - о arc sin 2 x
440.1. lim Sin*-CQS*
Д 1 — tg^ д; .
4
/i/iii 1. 1 — cos x l^cos 2л; f^cos 3x
441.1. hm —-— .
WO X2
90

442.1. lim A +tgx)ct*4
443.1. lim
X-+ oo
444.1. lim
Ctfi X
445.1. lim (sinx)
» \2x +
446.1. lim
X-* oo
l-VT,
X-* oo \2 + X ]
447.L limfsin— +cos—\*
448.1. lim
П -*• oo
450.1. lim
451.1. lim {л:11п(л: + с) — In a:]}.
452.1. lim 2Jr~xa
*-2 « —2 •
Указание. Сделать замену х— 2=у.
453.1. lim
454.1. lim
— i
-f
«^0
455.1. lim и2(х"—д:п+
456.1. lim ln<*2 + *+
457.1. lim
458.1. lim
li f
x -*¦ о \sin mx /'
/
459.1. lim
460.1
l+tg*\x
. limf 1+tg
461.1. lim х(Л- l)
x-,0 \ Г
462.1. lim i
x->e
463.1.
464.1.
465.1.
466.1.
lim
lim-
lim
lim
x+
91

V2 cos x — 1
Рис. 32. L
467.1. lim
468.1. Дан равносторон-
равносторонний треугольник со стороной
а\ из трех высот его строит-
строится новый равносторонний
треугольник, и так п раз.
Найти предел суммы площа-
площадей всех треугольников при
469.1. Два круга радиу-
радиусов R и г (R > г) касают-
касаются в начале координат оси
Оу и расположены правее
нее (рис. 32.1). Какого по-
порядка относительно х -»- О
будут бесконечно малый отре-
отрезок ММ' и бесконечно ма-
малый угол а?
470.1, Считая централь-
центральный угол АОВ (рис. 33.1) ос-
основной бесконечно малой, оп-
определить порядок малости
следующих величин:
1) хорды АВ\
2) стрелки CD\
3) площади сектора АОВ\
4) площади треугольника
АВО\
5) площади трапеции
ВВ
Л 6) площади сегмента ЛВС.
471.1. 1) Определить, какие из нижеследующих функций при
х ->¦ 0 будут бесконечно малыми одного порядка, высшего порядка
низшего порядка по сравнению с х\ 2) определить порядок малости
по сравнению с бесконечно малой р (х) = х:
; в) а3 =
к) а10 - КГ=^-КГ^
92

472.1. Определить порядок малости нижеследующих бесконеч-
бесконечно малых функций относительно бесконечно малой функции
Р (х) = х — 1, если х ->- 1:
a) at (х) = х3 +2л- 3; б) <z2 = In (х2 + 2х — 2);
в) <х3 = У\ - Ух; г) <х4 = хх - 1.
473.1. Определить порядок нижеследующих бесконечно боль-
больших функций по сравнению с бесконечно большой Р (х) = х :
а) О1 (х) = Зх* +5х-3; б) <х2 (х) = г_Х
в) а3(х) = Ух*-Ух + V*\ г) ак(х) = InB + ^2);
Д) а5(х) = Кз+К^
474.1. При х -> 1 нижеследующие функции являются бесконеч-
бесконечно большими. Определить их порядок по сравнению с бесконечно
большой функцией Р (х) = {х -*• 1):
X —
a) ai(x) = -?-; 6) а, (л-) = ^7-=»; в) a3(x) =
г) a4 (x) = -^^—; д) ab(x) =
475.1. Определить односторонние пределы функций:
a)M*) = f 5+.11ПрИЛ<21о
/л\/ \— 2л: + 1 при х > 2
б) /2(я-) = — (х ф 0) при х -> 0;
Iх I
в) Ux) = ^=-! (а: ч* 1) при х -* 1;
I ^I
г) fi(x)=Vl~™2x (х * 0) при х ^ 0;
Л-
Д) Ы*) = cos — (х ^ 0) при л: -> 0;
X
е) /6 W = ^ (л* 9Ь 3) при л: -^ 3;
ж) /7 W = Iх Н ^—г—\ (^ ^ 2) при х -> 2;
з) f8 (х) - ¦
, если х < 0,
х —2
1, если х = 0,
л:, если 0<х< 1,
— 2х, если 1 < х < 2 при х = 0, х = 1.
93

и)
cos л
_ (х Ф 0) при х -> 0;
3 — 2
,sin х
Ш) =
(х Ф 0) при х -+ 0.
§ 12. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ КАК ПРЕДЕЛЫ
Пример 1. Определить, не пользуясь символом предела, следующие
функции:
1 +x2n
a) /(*) ==Итfn (*), где fn (x) = ^ n ;
Решение, а) Мы покажем сейчас, что
1
б) /(*)=lim
f(x)
при
< 1,
2
у при |*| =1,
О при 1 х | > 1.
В самом деле, при каждом значении *, удовлетворяющем условию |*| < 1,
Ш при п -> оо х2п -> 0 и **Л -> 0 и, следовательно, / (*) == — При | * | =» 1 и
2
Шбом п х2п = I и х*п = U следовательно, / (*) =—
При каждом значении *, для которого |*| > 1, и при п -> о* *2Л-i-+
1 i .лп —2л
оо и *4Л-> + оо. Тогда I (*) = lim
: lim
+
! ва 0, так
шаж числитель стремится к 1, а знаменатель к + ов. График функции / (*)
¦юбражен на рисунке 34.1.
б) Так как при |*|<1 имеем lim;c'l = 0, а при 1*|>1 имеем
Л1
о
Рис. 34.1
94

№¦¦
' 0, если | х | < 1,
—, если х = 1,
1, если | х | > 1.
При я=—1 функция не определена, так как при нечетных п знаменатель об-
обращается в нуль.
График функции изображен на рисунке 35.1.
о
Рис. 35.1
Построить графики предельных функций:
476.L / {х) = lim arc tg пх, — оо < х < + оо,
477.1. f(x) = \imll +—)", —оо<:х< + оо.
478.1. / (*) = lim n (Vx _i_ _L — Vx~ 1 0 < x < + oo.
Я-* oe \ Г Я /
479.1. f(x) =\\m^ -^i+x» + (Лп (x > 0).
481.1. f(x)= lim(;c+ l)arctg
к x**1 -4- 1 *
Вычислить функции:
482.L / (x) = lim lim I—arctg[m sin2 (n! nx)]\
483.1. f(x) = \\m Hm'cos2^^! nx).
tl -*¦ oo 171 -*¦ oo
Указание. Рассмотреть случай, когда х рационально и когда х иррацио-
иррационально.
Указание. Рассмотреть случаи, когда:
х > 0, х = 0 и * < 0.
95

ГЛАВА 4.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 13. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧНА РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
Пример 1. Исходя из определения непрерывности функции (lim / (х) =
= / (xQ))t доказать непрерывность дробно-рациональной функции
__ а0 + агх + а2х2 + . . . +апхп
~~ Ьо+ Ьхх + Ь2х* +... + Ьтх™
в каждой точке xOt в которой знаменатель не обращается в нуль.
Решение. Возьмем любое значение х0 на числовой оси, при котором зна-
знаменатель не обращается в нуль, и вычислим предел функции в этой точке:
lim/ (х) -
Hm (bQ + blX + ... + bmx™) bo+ bx lim x
Отсюда следует непрерывность дробно-рациональной функции.
Пример 2. f (х) — sin Bjc — 3). Доказать непрерывность этой функции
при любом значении х, пользуясь определением непрерывности функции
(Hm/(*) = /(*<>)).
х -*¦ хй
Решение. Возьмем любое значение х0 на числовой оси и составим
разность:
sin Bх — 3) — sin Bх0 — 3) = 2 cos (х + х0 — 3) sin (х — х0) = а (х).
Так как |cos(*+a:0—3) |<1, a |sin(A:—xQ) \<\х—*0|, то при x->xQsln(x—*0)
есть бесконечно малая функция. Следовательно, и а (х) бесконечно мала при
х ->• х0 как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию.
Отсюда следует, что lim sin Bx — 3) = sin BxQ — 3). Непрерывность sin Bx — 3),
X -> Хй
таким образом, показана.
Пример 2. Дана функция / (х) == ух + 4. Доказать на «8 — 6»-языке
непрерывность функции в точке х = 5.
Решение. В точке х = 5 функция определена: / E) = 3.
Зададим е > 0. Составим разность f (х) — / E) = \^х + 4 — 3 и оценим
ее по модулю. При 6 > 0 для значений я, удовлетворяющих неравенству
| х —- 5 | < 6, будет также выполняться и неравенство
Если положить —= е, т. е. 6= Зе, то при значениях xt для которых | х — 5| <
о
< Зе, будет выполняться неравенство | Ух + 4 — 3 | < 8. Непрерывность функ-
функции при х = 5 доказана.
Пример 3. Можно ли формулировать определение непрерывности функ-
функции в точке х0 следующим образом: а) функция / (х) называется непрерывной в
точке я0, если для любого 8 найдется 6 > 0, такое, что как только \х — *0| < б,
то будет | /(*)—/ М I < 6-
96

б) Функция f (х) называется непрерывной в точке л*0, если для любого s > О
найдется б, такое, что как только | х — х0 | < б, то будет \ f (х) — / (л:0) | < г.
Решение, а) Нет, так формулировать нельзя. Если взять 8 отрицатель-
отрицательным, то | / (х) — f (х^) I не может быть меньше е, каким бы ни выбирали б > О
и какую бы функцию ни рассматривали.
б) В этой формулировке не сказано, что б > 0. Если мы положим б < 0,
то множество х} для которых | х — х0 | < б, пусто, а потому для всех таких х
выполняется любое свойство, в том числе и | / (х) — / (*0) | < 8. Значит, при та-
таком «определении» все функции окажутся непрерывными.
х
Пример 4. у = ——-. Исследовать на непрерывность эту функцию,
1 + х
доказав, что lim д у = 0.
Решение. Возьмем любое значение х. Дадим ему приращение Дл: и рас-
рассмотрим значение аргумента х + Ал:. Тогда функция получит приращение Ду:
х + х3 +Ах + х*\х —х — х3— 2х*Ьх — х&х2 Ах — х2Ах
При любом фиксированном х lim Ay = 0. Значит, функция непрерывна на
д*-*о
всей числовой оси.
В большинстве случаев непрерывность функций устанавливается на основа-
основании теорем о непрерывных функциях (теорем о сумме, разности, произведении
и частном непрерывных функций, а также теоремы о непрерывности суперпо-
суперпозиции непрерывных функций).
Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию
(х- — 3) 2х + arc tg x cos x
У~~ (*3-f l)sin3x '
Решение. Каждое слагаемое в числителе при всех значениях х есть не-
непрерывная функция как произведение непрерывных функций. Сумма двух непре-
непрерывных функций есть функция непрерывная. Знаменатель тоже функция, непре-
непрерывная при всех значениях х как произведение непрерывных функций (х3 + 1) и
sin3 х. Знаменатель обращается в 0 при х= — 1 и х= кп (п = 0; ± 1;
± 2; ...). Значит, рассматриваемая функция будет непрерывной при всех зна-
значениях, кроме х — — 1 и х = яп, где она не определена.
Пример 6. Исследовать на непрерывность функцию у = sin \oga x}
0 < X < + оо.
Решение. Имеем суперпозицию функций. Полагая z—\oga х} получим у=
= sin 2. Так как логарифмическая функция z = \oga x непрерывна на @; +оо),
а функция sin z непрерывна на (—оо; + оо), то на основании теоремы о непре-
непрерывности суперпозиции функций данная функция непрерывна на @; +оо).
Пример 7. Построить пример функции, определенной для всех зна гений
х и непрерывной только при х = 0.
Решение. Функция, определяемая формулами
( х} если х — рационально,
У =
{ — х, если х — иррационально,
будет непрерывна при х = 0 и разрывна во всех остальных точках В самом деле,
/ @) = 0, lim / (х) = 0. Значит, функция непрерывна при х = 0.
х -о
97

Возьмем теперь значение (любое) х0 ф 0, например рациональное. Значение
функции при х = х0 будет равно *0: / (x0) = х0. Тогда lim / (л;) = л:0, если х,
стремясь к х0, пробегает последовательность рациональных значений, lim / (х) =
= — х0, если х> стремясь к х0, пробегает последовательность иррациональных
значений. Так как х0 ф — х0, то отсюда и следует, что функция разрывна в
точке xQ.
Пример 8. Исследовать на непрерывность и построить график функции
f (х) = lim (x - 1) arc tg xn. r r v w
П -* oo
Решение. При х < — 1 функция не определена. При | х \ < 1, хп -> О,
arc tg xn -> 0 и, следовательно, / (х) = 0. При х= 1 / A) = 0; при х > 1 хп -»
-> + oo, arc tg xn -> —, а / (л;) =
= ~ (х — 1). График функции изобра-
изображен на рисунке 36.1.
Пример 9. Исследовать на
непрерывность функции / [g (x)] и
g [f (x) ], построить их графики, если:
а) / (х) = sgn х и g (х) = 1 + х2',
б) / (х) =sgn х и g (х) = х A-х2).
Решение. a) f[g (x)] =
=sgn(l+x2)—1. Следовательно, / (g (л;))
непрерывна при всех значениях х.
P0
1 при х = 0.
Рис. 36.1
/¦¦
Рис. 37.1
л
98
Рис. 38.1

Значит, g [f (x) ] разрывна при х = 0 (рис. 37.1).
( 1 при О < х < \ и х < — 1,
б) I [g (*) ]=sgn [х A-х2)] = | О при х = О и х = ± 1,
( — 1 при х>1и — 1<х<0.
Значит, функция разрывна при х = О, х = ± 1. Во всех остальных точках фун-
функция непрерывна (см. рис. 38.1).
§ [f Ml = sgn x A — sgn2*) =0 — непрерывна при всех значениях х.
Исследовать функции на непрерывность, непрерывность справа и слева и
установить характер точек разрыва.
\х2-\
при х Ф 1,
Пример 10. у = { х 1
5 при х = 1.
Решение. При х Ф 1 функцию можно переписать в виде у = х + 1, и,
следовательно, функция при любом значении х Ф 1 будет непрерывной. При
х = 1 значение функции равно 5, a lim у = lim (х + 1) = 2. Значит, при
х = 1 функция будет разрывной, так как
предел функции не равен значению
функции в этой точке. Точка х = 1
является точкой устранимого разрыва
функции (см. рис. 39.1).
Пример 11. у=Е (х).
Решение. Из определения функ-
функции следует, что она непрерывна при
всех нецелых значениях х, так при
х $ (п; п + 1) (п = 0, ±1, ± ...)
ук
Рис. 39.1
Рис. 40.1
функция постоянна и ее значения соответственно равны п (см. рис. 2.1, стр. 13).
Возьмем значение х — п. Мы имеем: lim f (х) = п — 1 и lim / (х) = п.
х -+ п—Ь х -* л-{-0
Следовательно, предела функции в точке х = п (п — 0, ±1, ± 2, ...) не суще-
существует, и функция при х = п разрывна. Так как существуют конечные преде-
пределы слева и справа в каждой точке х = п и эти пределы не равны, то точки х = п
являются точками разрыва 1-го рода. Предел справа в каждой точке х = п ра-
равен значению функции в этой точке. Значит, в каждой точке х = п функция не-
непрерывна справа.
99

Пример 12. f(x) = <j e
> 0
при x Ф 0,
при х = 0.
L
Решение. !im / (x) — lim ex = 0, lim f (x) = lim ex = -f oo.
д- _ _o x-y—Q X-++0 X-++0
Если хотя бы один из пределов (слева или справа) не существует или равен бес-
бесконечности, то в точке функция имеет разрыв второго рода. Это и имеет место для
кашей функции в точке х = 0. Так как предел слева в точке х = 0 равен значе-
значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке х = 0. При
остальных значениях х функция непрерывна, по теореме о непрерывности суперпо-
суперпозиции функции (см. рис. 40.1).
A
Пример 13. f (x) —
Рис. 41.1
\n\x\ при х < 0,
х при 0 < х < 1,
х2 + 1 при 1 < х < 2,
5 при 2 < x < -f- оо.
Решение. Функция задана различными формулами на различных про-
промежутках. В каждом из промежутков л: < О, 0 < дг < 1, 1 < * < 2, 2 <*<+oo
функция непрерывна. Следовательно, разрыв может быть только на стыке
промежутков, т. е. в точках: 1) х = 0; 2) х = 1; 3) х = 2.
Мы имеем:
1) lim / (х) = lim In \х | = — оо.
х _> _о х - —0
Значит, в точке х = 0 функция имеет разрыв 2-го рода. При этом lim / (х) =
= lim х = 0 = / @). Значит, функция непрерывна справа в точке х = 0;
2) I A — 0) = lim / (х) = lim х = lim х = 1,
* _* i_o * -> 1—о * -* 1
f A + 0) = lim / (х) = lim (х2 + 1) = lim (*2 + 1)
14 о ifo *i
2.
4 о f
Значит, точка я = 1 есть точка разрыва 1-го рода. Так как предел слева в точке
х = 1 равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке
3) / B - 0) = lim (*2 + 1) = 5, / B + 0) = lim 5 = 5.
х ->2 х -2
100

Значит, в точке х — 2 функция непрерывна (см. рис. 41.1.).
Пример 14. Даны функции:
а) ф (х) = arc tg —; б) яр (*) = arcctg—;
X X
в) Л, (я) = In | sin х |; г) v (x) = я sin —,
которые не определены в точке х = 0, но определены и непрерывны в некоторой
окрестности этой точки. Можно ли определить (доопределить) каждую из функ-
функций в точке х = 0 так, чтобы она стала непрерывной и в этой точке?
Решение, a) lim ф (х) = lim arc tg — = —
* - о х -* о я2 2 '
Следовательно, если за значение функции в точке х = 0 взять число —, то фун-
функция станет непрерывной при х = 0;
б) найдем односторонние пределы функции в точке х = 0:
<ф (—0) =lim arc ctg — = arc ctg (— oo) = n,
x -*—o x
ip(-f-O) = lim arc ctg— =arc ctg (+ oo) =0.
x -++0 x
Так как предела функции при х -> 0 не существует, какое бы число за значение
функции мы ни взяли, функцию нельзя доопределить до непрерывной;
в) lim к (х) = lim In |sin х \ = — оо. При любом выборе К @) эта функ-
х-+о х-+о
ция останется разрывной в точке х = 0;
г) lim v (х) = lim x sin — =0, так как х есгь бесконечно малая функция
х -+о х -*о х
при х -> 0, a sin — — ограниченная функция. Значит, положив значение функ-
х
ции равным нулю при х = 0, получим функцию, непрерывную при л: = 0.
Исходя из определения (lim / (х) = / (х0)), доказать не-
JC -» Хо
прерывность функций:
485.1. у = Зх2 —-2.x + 1 для всех х: — оо < х < +оо.
488.1. у = х* + х "" [ в промежутке: 2<л:<3.
^ 2х2 -|- Зх — 5
л;5 — 1
487.1. у = для всех х: —оо<х<;-Ь00-
х2 — х -f- 1
488.1. у — cos (ал: + b) для всех л:: — оо < л: < + оо.
489.1. у= ^2 CQSx • для всех х: —оо<:х<+оо.
1 + sin2 л:
3 х
490.1. у = для всех х, кроме х = 1.
л —j— i
Исходя из определения непрерывности функции в терминах «8 —
—6», доказать непрерывность функций:
х + 3 1
491.1. у = - в точке я = — .
-^ 2 — 3* 2
492.1. у = sin х для всех х: — оо < х < + сх>.
101

493.1. у= Ух для всех х > 0.
494.1. у = arc tg х для всех х: — оо <; х <С + оо.
495.1. у = л'3 для всех х\ — оо <; х <С + оо.
Пользуясь определением непрерывности функции через прира-
приращения аргумента и функции (lim Ay = 0), доказать непрерывность
следующих функций:
496.1. у = х2-— Ъх + 1 для всех х\ —оо < х < + оо.
497.1. у = Ух для всех я: — оо < х < + оо.
498.1. у = arc sin х для всех я из промежутка (—1; 1).
499.1. у = 2х для всех я: — оо < х < + оо.
Пользуясь теоремами о непрерывности суммы, разности, произ-
произведения, частного и суперпозиции функций, доказать непрерывность
следующих функций:
500.1. y = sin3x для всех л*: —оо<<х«<+оо.
501.1. у= 21 + *2 для всех х: —оо<л:< + оо.
(X \
cos— для всех х: —оо<л*<С + оо.
503.1. у = sin3 2х + в3х (х2 — х — 5) для всехх: —oo<x<;+oo«
504.1. у = 1пD + *2)' 3 для всех х, кроме х = 1.
arc cos :
В следующих задачах исследовать функции на непрерывность,
непрерывность справа и слева, установить характер точек разрыва
и построить графики:
505.1. у =
у
4
507.1. у = arctg- .
X
х arc tg — при х ф0,
508.1. у = х
а при х = 0.
509.1. у = I*—1! при х 4ffc 1.
Можно ли доопределить функцию при х = 1 так, чтобы функция
стала непрерывной при х = 1?
102

Найти и исследовать точки разрыва функций:
510.1.
511.1.
512.1.
513.1.
514.1. у =
515.1. у =
516.1. У =
517.1. у =
хфО,
1,
при л: > 1.
х при л* < 0,
1 — х при 0 < х < 1,
при х> 1.
1 — *
f х2 при л;<0,
| 1 при х = О,
[ tgx+1 при х>0.
х2 при х< 1,
х3 при л*> 1.
р
518.1. Функция f (х) не определена в точке х = 0. Определить
значение / @) так, чтобы / (х) стала непрерывной при х = 0, если:
а)
в) f(x)= A+xY
б) /(х) =
е)
In A — Зх)
arc sin x
2tgx
519.1. Дано: а) в точке л:0 функция / (^) непрерывна, а функция
Ф (х) разрывна. Что можно сказать о непрерывности суммы / (х) +
+ ф (х) в точке х0? б) f (х) и ф (х) разрывны при х = л:0. Что
можно сказать о непрерывности суммы f (х) + ф (#) в точке х =
= xQ? Привести примеры.
520.1. Дано: а) / (х) непрерывна, a g (х) разрывна при х =
= Xq. Что можно сказать о непрерывности произведения / (х) • g(x)
103

в точке х0? б) / (х) и g (x) разрывны в точке х0. Что можно сказать
о непрерывности произведения fg в точке х0? Подобрать соответ-
соответствующие примеры функций.
521.1. Функция определена следующим образом:
г 1 для рациональных значений,
\ х для иррациональных значений.
При каком значении х эта функция непрерывна?
522.1. При каком значении х непрерывна функция:
к2, если х — рациональное число,
х2, если х — иррациональное число?
523.1. При каком значении х непрерывна функция:
Ъх — 2, если х — рациональное число,
х2, если х — иррациональное число?
524.1. При каких значениях % и \х функция
I (х2)» sinM*2), х^О,
Пх)=\ 0, х = 0
непрерывна в точке х = 0?
525.1. При каких значениях К и (д. функция
0, л; = 0
непрерывна в точке л: = 0?
526.1. Пусть для каждого 6 > 0 существует число 8=8 F; х0),
такое, что если |/ (х) — / (х0) | <&, то | х — xQ \ < 6. Означает
ли это непрерывность функции в точке х — xQ? Какое свойство
функции / (а:) описывается данными неравенствами?
527.1. Сформулировать на языке «в —б» утверждение: «функ-
«функция / (х), определенная в точке х0, не является непрерывной в этой
точке».
528.1. Пусть для каждого е>0 существует число 6 =
= 6 (е, xQ) >0, такое, что если \ f (х) — / (х0) | < е, то | х — х0 \ <
< 6. Следует ли отсюда, что функция / (х) непрерывна при зна-
значении х = х0? Какое свойство функции описывается этими нера-
неравенствами?
529.1. Доказать, что если функция f (х) непрерывна в проме-
промежутке а < х < + оо и существует конечный предел lim / (х),
то эта функция ограничена в этом промежутке.
530.1. Пусть ф (х) и г|) (х) — непрерывные периодические функ-
функции с общим периодом Т, определенные на всей оси, и lim[cp (x) —
+
М) = 0- Доказать, что ф (х) =-ф (х).
531.1. Пусть функция f (х) обладает следующими свойствами:
104

1) определена и монотонна на отрезке [а, Ь]\
2) в качестве своих значений принимает все числа между / (а)
и f F). Доказать, что / (х) непрерывна на [а, Ь].
532.1. Функция f (х) определена следующим образом: если х
рационально, т. е. равно некоторой несократимой дроби — , то
Q
f (х) = —. Если же х иррационально, то / (х) = 0. Доказать,
q
что / (х) непрерывна при каждом иррациональном значении х
и разрывна при каждом рациональном значении х.
533.1. Показать, что на отрезке —2 < х < 2 функция
_(_L+L)
f{x)=(x+l)e м х при х^=0 и /@) = 0
принимает все без исключения значения, содержащиеся между /(—2)
и /B), и что она все же разрывна при некотором значении х (каком?).
Построить график функции.
534.1. При каких значениях х будет разрывной функция, рав-
равная нулю при любом рациональном х и — при любом ирра-
X
циональном х?
535.1. Построить функцию, определенную при всех значениях
х, разрывную всюду, кроме точек х = 1 и х = — 1, и непрерыв-
непрерывную в этих точках.
536.1. Построить функцию, разрывную во всех точках числовой
прямой, кроме точек х = 0, ± 1, ± 2, ... .
537.1. Доказать, что функция, непрерывная на всей оси и име-
имеющая сколь угодно малые положительные периоды, постоянна.
538.1. Исследовать на непрерывность функцию f (х), если
| х2 в рациональных точках,
[ — х2 в иррациональных.
539.1. Привести пример функции / (лс), такой, что / (х) разрывна
во всех точках отрезка [0; 1 ], а |/ (*)| непрерывна на [0; 1 ].
540.1. Исследовать на непрерывность функции / [g (x) ] и
g If (x) ], если / (х) = sgn х и g (х) = 1 + х — Е (х).
541.1. Доказать, что если функция / (л;) непрерывна, то функ-
функция
f
Су
(x),
с,
если
если
если
/
(X)
(X)
(X)
< — с,
I < с,
> с,
где с — любое положительное число, также непрерывна.
542.1. Исследовать на непрерывность и построить графики функ-
функций:
105

a) f(x) = lim -?—n\
543.1. Исследовать на непрерывность суперпозицию функций:
6) / (x) = lim
t --{-00
а) у =
где
б) у = /(а) = cos
где
= ф W =
х, если х — рациональное число,
- х9 если х — иррациональное число,
если —я < и < it,
л:2, если х — рациональное число,
х2, если х — иррациональное число.
544.1. Требуется изготовить металлическую квадратную плас-
пластинку со сторонами jc = 10 см. В каких пределах допустимо изме-
изменять сторону пластинки я, что-
чтобы ее площадь отличалась от
проектной площади у0 = 100 см2
не более чем на ± 0,01 см2?
545.1. На горизонтальной
плоскости Р стоят один на дру-
другом три цилиндра, радиусы ос-
оснований и высоты которых со-
соответственно равны: нижнего 3
и 2, среднего 2 и 3, верхнего 1
и 1 м (рис.42.1). а) Выразить объ-
объем части тела, заключенного
э^. между плоскостью Р и плоско-
х стью горизонтального сечения,
Рис 42 1 как функцию расстояния этого
сечения от плоскости Р. Будет
ли эта функция непрерывной?
Построить график этой функции; б) выразить площадь горизонталь-
горизонтального сечения тела, образованного этими цилиндрами, как функцию
расстояния сечения от плоскости Р. Будет ли эта функция неп-
непрерывной? Построить график этой функции.
0
§ 14. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Решить неравенство
(х + 3) (х + IJ (х - IK (х - 2) > 0. (*)
Решение. Функция / (х) = (х + 3) (х + IJ (х — IK (х — 2) непрерыв-
непрерывна на всей вещественной оси и обращается в нуль при х=—3, —1, 1, 2. Эти
106

точки разбивают ось на промежутки (—оо; —3), (—3; — 1), (— 1; 1), A; 2),
B, + со). В силу непрерывности функции / (х) она сохраняет на этих промежут-
промежутках свой знак. Поэтому достаточно подставить любые значения х, принадлежащие
этим промежуткам, чтобы узнать знак функции на всем промежутке. Беря пробные
точки — 4,-2, 0 - , 3, находим: / (— 4)< 0, /(— 2) > 0, / @) > 0, / (~)<G,
/ О) > 0.
Поэтому функция / (х) положительна на промежутках
(- 3; - 1), (- 1; 1), B; +оо) {••)
и отрицательна на промежутках (—оо; -3), A; 2). Неравенство (*) выполняете!
на множестве, составленном из промежутков (**).
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Так как (х2 — 6х + 8J > 0, то это неравенство эквивалента*
неравенству (х* + 1) (х2 — \х + 3) (х2 — 6* + 8) > 0.
Разлагая на множители, получим:
(*»-*+1)(*+1)(*-1)(*-3) (jt-2) (х-4) >0. A)
Решая неравенство A) точно так же, как в предыдущем примере, получаем, чт®
его решение состоит из промежутков — 1<*<1, 2<*<3, 4<*< + оо,
Пример 3. Решить неравенство sin x —- pos x > 0.
Решение. Так как функция f (х) = sin л; — cos x непрерывна, наша
задача сводится к решению уравнения
sin х — cos x = 0.
На отрезке [0; 2я] данное уравнение имеет корни хг = — и х2 = — . Они ра»-
4 4
[ я\ /я 5я\ /5л 1 тт
бивают отрезок [0;2я] на промежутки 0; — , — ; — , —; 2л .На эти
L 4/ \4 4 / \4 J
промежутках функция f(x) сохраняет знак. Методом пробных точек получаем, чт©
/я 5я\ _
неравенство sin х —cos х > 0 выполняется на промежутке — ; — . В силу
л. И 4 /
периодичности тригонометрических функции решение неравенства состоит п
промежутков
+ 2ki5 у + 2fciV /г = 0, ±1, ±2.
4 ]
Пример 4. Имеет ли уравнение *4 — Зх2 + 2х — 1 = 0 хоть один ка-
рень на отрезке [1; 2]?
Решение. Положим / (х) — х4 — Зх2 + 2х — 1. Эта функция непре-
непрерывна на отрезке [1;2] и на его концах принимает значения разных знаков: /A) ^
= — 1 < 0, / B) = 7 > 0. Следовательно, существует по крайней мере одна точ-
точка с A < с < 2), в которой функция равна нулю. Число с и является корнем
нашего уравнения.
Пример 5. Доказать, что функция / (х) = 2х + sin х, — оо < х < оо,
имеет определенную на всей числовой оси непрерывную возрастающую обратную
функцию.
Решение. Пусть хг < х2. Тогда / (х2) — / (#i) = 2х2 + sin x2 — 2xt —
— sin xx = 2 (*а — *i) + sin Ч — sin хг > 2 (х2 — jcj} — |sin x2 — sin хг\.
Так как
| sin х2 — sin х±\ < х2 — xlt
107

/ (Ч) — f (*i) > 2(^2 — xi) —(x2—xl)=x2— хг > О.
Значит, функция / (x) возрастает на всей числовой оси. Она непрерывна как сум-
сумма двух непрерывных функций. Наконец, lim f,(x) =—- оо, lim / (x) =-f-oo.
Поэтому функция / (х) имеет непрерывную возрастающую обратную функцию,
определенную на всей числовой оси.
Пример 6. Существует ли однозначно определенная обратная функция
у функции f (х) = я4 — 2л;2 + 4? Выделить однозначные ветви обратной функ-
функции.
Решение. Так как / (— х) = / (х), то различным значениям аргумента
могут соответствовать одинаковые значения функции. Чтобы выделить однознач-
однозначно определенные ветви обратной функции, надо разбить числовую ось на проме-
промежутки возрастания и убывания функции f (x). Мы имеем:
/ (х) = х* — 2х2 + 4 = (х2 — IJ + 3.
Функция у = х2 — 1 на луче (— оо; — 1] положительна и убывает. Поэтому и
функция / (х) на этом луче убывает. На отрезке [— 1; 0] функция х2— 1 отрица-
отрицательная и убывает. Поэтому функция f (x) на этом отрезке возрастает. На отрез-
отрезке [0; 1] функция / (х) убывает, а на луче [1; + оо) возрастает. При этом /(—1) =
= / A) = 3, / @) = 4 и lim jF (x) = lim fj(x) =-f-oo. Следовательно, функция
X -*¦ — оо X -<- -j- oo
у = / (х) имеет непрерывную убывающую обратную функцию, определенную
на луче [3; +оо) и принимающую значения на луче (— оо; — 1]. Она
имеет также непрерывную возрастающую обратную функцию, определенную
на луче [3; +оо) и принимающую значения на луче [1; -f~oo). Кроме то-
того, она имеет обратную функцию, определенную на отрезке [3; 4] и прини-
принимающую значения на отрезке [— 1; 0] , и обратную функцию, определенную на
отрезке [3; 4] и принимающую значения на отрезке [0; 1]. Обе эти функции не-
непрерывны, причем первая из них возрастает, а вторая убывает.
В этом примере мы можем написать явную формулу для обратных функций,
решив биквадратное уравнение л;4— 2х2 + 4 — у = 0.
Именно
пли, меняя роли х и у,
=±V~l ± \< х-3.
Различные зетви обратной функции возникают при разных выборах знаков перед
радикалами.
Пример 7. Будет ли ограниченной функция
у = 5*2arc tg —— + (х2 — х + 2) sin /3 + х2,
х+ 1
рассматриваемая на отрезке [0; 100]? Существуют ли такие значения, при которых
функция принимает наибольшее и наименьшее значения?
Решение. Данная функция непрерывна на отрезке [0; 100], так как на
этом отрезке непрерывны функции 5*2, arc tg , (х2 — х + 2), sin УЗ + х2.
х -\- 1
Тогда по теореме Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функ-
функции следует, что данная функция будет ограничена на отрезке [0;100]. Так как
функция непрерывна на отрезке, то по соответствующей теореме Вейерштрасса
существуют значения хх и х2, при которых она принимает наибольшее и наимень-
наименьшее значения (которые являются точными верхней и нижней гранями функции).
108

Пример 8. На отрезке [— 1; 1] задана функция
( — х2 + 1 при — 1 < х < О,
/(*)={ 0 при * = 0,
( х2— 1 при 0 < х < 1.
Принимает ли функция наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке?
Решение. sup / (х) = 1; inf / (х) =— 1.
—1<*<1 — \<х<\
Однако не существуют никакие значения х, при которых функция принимала бы
значения, равные верхней и нижней граням функции. Это объясняется тем, что
функция при х = 0 имеет разрыв.
Замечание. Необходимо отметить, что условие непрерывности функ-
функции на отрезке является достаточным, чтобы функция принимала наибольшее и
наименьшее значения на отрезке. Однако условие непрерывности не является
необходимым, чтобы функция принимала наибольшее и наименьшее значения на
@,1)
Рис. 44.1
отрезке. Другими словами, если функция, заданная на отрезке, принимает наи-
наибольшее и наименьшее значения, то она может быть или непрерывной, или
разрывной.
Например, функция
г/ч (*+* ПРИ —1<*<0,
\ — х при 0 < х < 1
разрывна при х = 0, но она принимает наибольшее значение f @) = 1 и наимень-
наименьшее значение / A) = — 1.
546.1. Решить неравенства:
а) Bх —
0.
В)
г) sin 2х — sin Зл: > 0;
Д) tg|-tg|>0;
е) sin 2х < cos 2x\
109

з) з*
и) bgax + loga(* + 1)< logaBx + 6)
(разобрать случаи, когда а > 1 и 0 < а < 1);
к) logx+24>log^2;
л) lg|2x —3|<1;
м) lo
lg
3
x—l
2х+ 1
547.1. Будет ли функция / (х) = хь — Зх + 1 в какой-либо
точке отрезка [1; 2] иметь значение, равное нулю?
548.1. Имеет ли хотя бы один корень уравнение sin х — х +
+ 1-0?
549.1. Сколько вещественных корней имеет уравнение хъ +
+ 3х — 7 = 0?
550.1. Сколько вещественных корней имеет уравнение х+ sim:^=
«0?
551.1. Доказать, что нижеследующие уравнения имеют решения
на указанных в задачах отрезках:
а) Xs — Зл: + 1 = 0, — 1 < х < 0;
б) х5 — б*2 + Зх — 7 = 0, 0 < х < 2;
в) 3 sin3 х — 5 sin x + 1 = 0, 0 < * < -;
г) 8* — 3 • 2х — 16 = 0, 0 < х < 2.
552.1. Доказать, что каждое алгебраическое уравнение нечет-
нечетной степени имеет по крайней мере один вещественный корень.
553.1. Функция f (х) непрерывна на отрезке [0; 1]. Известно,
что / (х) принимает только рациональные значения и что/( —) ==
-1. Наа™ ,{Щ.
554.1. Функция / (х) непрерывна на отрезке [0; 1]. Известно,
что / (л:) принимает только иррациональные значения и что /[—W
~V2. Найти f№f).
555.1. Доказать, что функция у = х + arc tg x, — <*> <д:<оо,
имеет непрерывную обратную функцию, определенную
на всей оси.
110

556.1. Доказать, что функция
у = - arc ctg х + ——о, 0 < х < + оо,
Я 1 + X2
имеет непрерывную обратную функцию, определенную на полуоси
[2; +оо).
557.1. Доказать, что функция у = In2 x имеет непре-
непрерывную обратную функцию, определенную на [0; оо). Какие зна-
значения принимает обратная функция?
Для всех непрерывных однозначных функций, обратных
к функции у = In2 xy указать область определения и область
значений функции.
558.1. Для функции
f(x)== | х* ~4 при 0 < а; < 2,
( (Х — 4J + 6 при 2 < х < 4
мы имеем / @) = — 4, / B) = 10, / D) = 6.
Существует ли значение а, такое, что / (а) =1? Существует
ли значение а, такое, что / (а) = 7?
у 1 ^
559.1. Для функции f(x) = мы имеем /E)= ,
X *~~ JLX ~— ^тс «7
/ G) = — . Следует ли отсюда существование такого а, что
о
5 < а < 7 и /( а) = 0. Существует ли такое а?
560.1. Доказать, что каждый многочлен четной степени прини-
принимает наименьшее или наибольшее значение. Каков коэффициент
при старшем члене этого многочлена, если многочлен принимает
наибольшее значение?
§ 15. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Показать, что функция f (х) — — , непрерывная в промежут-
промежутке @;1), не является равномерно непрерывной в этом промежутке.
1 1 1
Решение. Зададим 8 = — и возьмем числа хх— — и х2— , где
2 п п -\-1
п — целое положительное число. Составим разности | jcx — аг2 |= -— и
= | л —я—1 | =
Какое бы б > 0 мы ни выбрали, число п можно выбрать настолько большим, что
I *\ — Ч I = / ' , it < б- в то же вРемя I / (*i)— /ta)l = 1 > s = —. А это
Л \п "Г Ч *
и значит, что / (х) = — не является равномерно непрерывной на проме-
промежутке @;1).
111

Пример 2. Показать, что функции: а) у = х и б) у = sin x — равномер-
равномерно непрерывны на всей числовой оси: — оо < х < -j- оо.
Решение, а) Зададим произвольное s > 0 и выберем 6=8. Тогда из
неравенства | х1 — х2\ < б будет следовать неравенство | / (хг) — / (х2) [ = | х1 —
—л:2|<8. б) Зададим произвольное е>0 и возьмем два значения хг и х2 аргумен-
хг-\- х2
та. Составим разность sin^—sin;t2= 2 cos sin
x1
и оценим ее по
модулю: | sin х1 — sin х2 | < 2 • 1 •
¦х2\. Из полученного нера-
неравенства видно, что если положить 6=8, то из неравенства | хх— х2 | < б будет
следовать неравенство | sin хх — sin x2 | < е.
Пример 3. Доказать, что функция / (х) = х2 не является равномерно
непрерывной на всей числовой оси.
Решение. Зададим е = — и возьмем хг = Уп и х2 —Уп + 1 (п ~
натуральное). Тогда
-x1\ =
Уп + 1 + Уп
¦= ~* 0 при п-
\f W ~
Следовательно, какое бы б > 0 мы ни выбрали, при достаточно большом п для
точек Xi = Уп и х2 = }гп + 1 будет выполняться неравенство \х2 — хг\ < б,
а I/ (Х2 — / (*i) | — 1 >& = -—. Из этого следует, что функция / (х) = х2 не
является равномерно непрерывной на всей числовой оси.
Пример 4. Исследовать на равномерную непрерывность функцию / (х) =
= In х на промежутке @;1).
Решение. Эта функция не является равномерно непрерывной на проме-
промежутке @;1). Зададим s= — In 2. Возьмем х±= — и х2 = — , где п— нату-
натуральное число. Тогда
1-iU-Uo
п 2п\ 2п
-4(*2)i =
In In —
п 2п
= | 1п2|.
Какое бы б > 0 мы ни выбрали, п можно выбрать настолько большим, что будет
I Ч - Ч \ = \- < б, а | / (хг) - / (х2) | = | In 2 | > 8 = ^ in 2. Из этого
и следует, что функция / (я) = In x не является равномерно непрерывной на @;1).
Пример 5. Охарактеризовать классы функций, обладающих следующи-
следующими свойствами: а) для любого е найдется б > 0, такое, что каждый раз, как | хх —
- х2\ < б, будет | / (хг) - f (x2) | < 8.
а) Р е ш е н и е. Не существует никакой функции, которая обладала бы
свойством, описанным в задаче. В задаче сказано, что берется любое 8 (а не 8 > О!).
Если взять s < 0, то, какую бы функцию / (х) мы ни взяли, неравенство | / (хг)-^
/()! 8 невозможно. Значит, не сказав в формулировке определения рав-
112

номерной непрерывности функции, чго s > 0, мы получили определение, не име-
имеющее смысла.
б) Для любого 8 > 0 найдется 6, такое, что каждый раз, как | j^—. х2 | < б,
будет | / (хх) — f (x2) | < е.
Решение. В этой формулировке в отличие от определения разномер-
разномерной непрерывности не сказано, что 6 > 0. Получаем, что указанным свойством
обладают все функции.
в) Для любого е > 0 найдется 6>е, такое, что каждый раз, как \х1—х2\ <
< 6, будет | / (хг) - / (х2) | < 8.
Решение. В этой формулировке в отличие от определения равномерной
непрерывности сказано, что найдется не просто6> 0, а 6 > 8, т. е. 6 > 0 да.
кроме того, оно должно быть не меньше 8. Этому дополнительному ограничению
удовлетворяет не любая непрерывная функция на [а; Ь]. Например, функция у=
— 2х не входит в класс функций, которые обладают свойством, описанным в ус-
условии задачи. Напротив, например, функция у= — х обладает свойством, опи-
описанным в задаче. Следовательно, класс функций, обладающих свойством, описан-
описанным в задаче, является частью класса всех непрерывных на [а; Ь] функций.
Это будут функции, удовлетворяющие неравенству | / (х±) — / (х2) \ < \хх —•
— х2\, которое назызают условием Липшица с константой к = 1 (в общем виде
условие Липшица записывается в виде: ]/ (хх) — / (х2) \< k \ хг — х2 |, где k —
постоянная).
Исследовать на равномерную непрерывность в заданных обла-
областях следующие функции:
561.1. у = х2 (— 1 <х< 1).
562.1. у = sinx2 (—2; 3).
563Л. у = sin х2 (— оо < х < + <х>).
564.1. у = ctg х @ < х< 1).
565.1. у = ^ [0; 1].
У arcsin2 + 2
566.1. у = У"х A < X < + оо).
567.1. у = е* (—оо <х < + оо).
568.1. Для е > 0 найти какое-нибудь б = б (е), удовлетво-
удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции/ (х)}
заданной на соответствующем промежутке, если:
а) / (х) = — х + 1 (—оо < х < + оо);
б) f(x) =1 @,1 <* < 1);
в) / (х) = V7 @ < х < + оо);
Г) / (Х) = х2 — 2х — 1 (— 2 < х < 5);
д) f (х) = 2 sin х — cos x (— оо < х < + оо).
569.1. На сколько равных между собой отрезков достаточно раз-
разбить отрезок [1; 10 ], чтобы колебание функции / (х) = хг на каж-
каждом из этих отрезков было меньше 0,0001?
570.1. Доказать, что произведение конечного числа равномер-
равномерно непрерывных на промежутке (а; Ь) функций равномерно непре-
непрерывно на этом промежутке.
571.1. Показать, что функция f (х) = ¦sin x равномерно не-
113

прерывна на каждом промежутке — 1 <С л: < О и 0 < я < 1
в отдельности, но не будет равномерно непрерывной на сумме
этих промежутков: 0 < | х | < 1.
572.1. Доказать, что если функция f (x) определена и непре-
непрерывна на луче 0 < х < + °° и lim / (х) (конечный) сущест-
вует, то она равномерно непрерывна на этом луче.
Функция у = ф (х) называется кусочно-линейной, если ее
график — ломаная линия, состоящая из конечного числа прямо-
прямолинейных звеньев.
573.1. Доказать, что если функция у = / (х) непрерывна на
отрезке [a; b ], то для любого е > 0 найдется кусочно-линейная
функция у = ф (х), такая, что | / (х) — Ф (я) | < е для всех х
из данного отрезка.
574.1. Показать, что нельзя подобрать такую кусочно-линейную
функцию у = ф (л*), для которой | х2 — ф {х) | < 1 для всех х.
575.1. Подобрать такую кусочно-линейную функцию у = ф (я),
что для всех х выполняется неравенство | 3 • 10~-*2 — ф (х) | <С 1.
576.1. Доказать, что всякая кусочно-линейная функция ф (я)
может быть представлена в виде
где ck — абсциссы вершин ломаной.
577.1. Найти формулу вида (*) для кусочно-линейной функции,
ваданной на отрезке [0; 7] следующими уравнениями:
9У 1 PPTTLT П ^ Y ^ 9
/(*) =
2х — 1, если 0 < х < 2,
5 — я, если 2 < х < 3,
х — 1, если 3 < х < 5,
4, если 5 < х < 7.
578.1. Функция у = sin— не имеет разрывов на промежут-
промежутке 0 < х < 1. Доказать, что она не является равномерно непре-
непрерывной на этом промежутке.
579.1. Если функция f (х) непрерывна и ограничена на луче
0< х <. + оо, то будет ли она равномерно непрерывна на этом
луче?
580.1. Доказать, что непрерывная ограниченная монотонная
функция / (х) на конечном или бесконечном промежутке (а; Ь)
равномерно непрерывна на (а; Ь).
581.1. Модулем непрерывности функции f (х) на промежутке
(а; Ь) называется функция ос^ (б) = sup | / (х{) — / (х2) \ , где
xi и Х2 — любые числа из (а; &), связанные условием: \х{ — х21< 6.
Доказать, что для равномерной непрерывности функции / (х) на
114

(a,b) необходимо и достаточно, чтобы lim со, (S) = 0.
6-0 J
В следующих задачах на языке «е — 6» указано некоторое
свойство, по формулировке очень сходное, а может быть и совпада-
совпадающее, с определением равномерной непрерывности функции.
Охарактеризовать класс функций, обладающих тем свойством, ко-
которое указано в задаче.
582.1. Для любого 8 найдется б, такое, что каждый раз, как
l*i — Ч К в, будет |/ (Xi) — f (х2) | < е.
583.1. Для любого 8 > 0 найдется 6 > 0, причем б < е, та*
кое, что каждый раз, как | xi — х2 | < б, будет | / (х{) — / (х2)\ <
< е.
584.1. Для любого 8 >• 0 найдется б > 0, такое, что, как
только ( х{ — х2 | < б , будет / (х{ ) — / (л:2) < е.
585.1. Для любого е > 0 найдется б > 0, такое, что из xi —
— х2 < б вытекает | / (х{) — / (х2) | < е.

Р аздел 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава
ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Пример 1. Определить среднюю скорость движения тела за промежуток
времени 2 <t < 2 + At, если закон движения задан формулой s = t2 — /4- 1,
где t— время (в секундах), s — расстояние (в метрах). Подсчитать среднюю ско-
скорость для: a) Д f=0,l сек; б) Д*=0,01 сек; в) Д* =0,001 сек; г) Д* ==0,0001 сек.
Найти мгновенную скорость в момент tQ = 2.
Решение. Известно, что
AS
л/
= lim ^-s.
t
Учитывая, что As= s(t+ At) — s (t) = [(* + ДО2 — (/ + ДО + 1] —
— (t2 — t + 1) = 2tAt + (AtJ — At = B* — 1) Д * + (ДО2, получим:
= # — 1 + At.
Результаты расчетов занесем в таблицу
2
2
2
2
дг
0,1
0,01
0,001
0,0001
2t- 1
3
3
3
3
3,1
3,01
3,001
3,0001
Из рассмотрения таблицы видно, что при t = 2 со стремлением А/ к 0 сред-
средняя скорость уср стремится к скорости, равной имгн = lim B/ — 1 + ДО =
= 2/ — II =3 ж/се/с.
Пример 2. Точка совершает гармонические колебания по закону х =
= 15 sin 3*. Найти мгновенную скорость точки в момент времени t0.
Решение. В момент времени t0 координата точки равнялась *о=15 sin3^0,
а в момент времени t-\- At она равнялась *0+Д*=15 sin 3 @0 + Д t).
Поэтому путь, пройденный за промежуток времени [/0; /0 + Д^], равен Ах =
= 15 sin 3 (ta + Д^) — 15 sin 3^0 = 30 cos 3 (/0 Н } sin 3 — , а средняя ско-
\ 2/ 2
рость точки за этот же промежуток времени равна:
Д*
116

Следовательно, мгновенная скорость точки в момент времени /0 равна:
ы
/ AASln37
vMrH = lim уср = lim 30 cos 3 /0 + — —-— =
Д/ - о д* - о V 2 / M
3 Д*
— sin 3 —
/ АЛ 2 2
= 30 lim cos 3 К + — lim I = 45 cos 3fo-
д*-.о \ 2/д/-.о Д^
2
Так как уМгн = xt » то мы можем сказать, что производная функции х =
= 15 sin 3? равна 45 cos 3*.
Пример 3. Количество радиоактивного вещества в момент време-
ч t
ни t выражается формулой т — М\ — , где Г—так называемый период по-
полураспада, а /И— первоначальное количество вещества (количество вещест-
вещества в момент времени t= 0). Найти мгновенную скорость распада вещества
в момент времени t0.
Решение. Найдем среднюю скорость распада за промежуток вре-
времени |Y0; /0 + Д t\. В момент времени tQ количество вещества было га0 =
p
== М I — I , а в момент времени t0 + Д t стало т = М ( —) . По*
\2/ \2 i
этому за промежуток времени [?0; t0 + Д t] количество вещества изме-
изменилось на
(отметим, что Дт < 0, так как количество радиоактивного вещества умень-
уменьшается). Средняя скорость распада за промежуток времени [/0; t0 -j- At]
равна:
Дт J2 l2 /i
= —- = м =m[ —
lfr (if
Поэтому мгновенная скорость распада выражается формулой
омгн = lim vcp = lim M —
At -+ 0 At -* 0 \ 2
I 1 \ у
Так как М ( —) не зависит от А/, это выражение можно вынести за знак
предела:
д/ - о А/
М1п2 /_1_\т" m0ln2
7
117

Мы видим, что скорость радиоактивного распада в момент времени f0
пропорциональна количеству вещества в этот момент времени.
Пример 4. Пусть в электрической цепи течет постоянный ток.
Под постоянным током мы будем понимать количество электричества, про-
протекающее в цепи за единицу времени. Дать определение переменного тока
в момент времени t и вычислить его, если количество электричества, про-
протекшее в цепи за промежуток времени [0; /], равно Q (t).
Решение. Количество электричества, протекшее в цепи за про-
промежуток1 времени [t\ t + A t], выражается формулой
Л Q = Q(t+ At) - Q(t).
Относя это количество к единице времени, получим средний ток за про-
промежуток времени [t; t + Д /]:
/ср д! •
Мгновенным током в момент времени t называют предел среднего тока за
промежуток времени [t\ t + A t ], когда A t -> 0:
/мгн = lim /Ср = lim
At-+o м-+о At
Это означает, что /мгн •=- производная функции Q (t):
/мгн W = Q' @-
1.2. Найти мгновенную скорость прямолинейно движущейся
точки, если ее координата в момент времени t выражается форму-
формулой *= /4 + 4/2 — 2t — 1.
2.2. Найти мгновенную угловую скорость вращающегося тела,
если в момент времени t угол поворота равен ср = 2t3 — 3* + 1.
Используя понятие производной, дать точные определения терми-
терминов, встречающихся в приведенных задачах.
3.2. Твердое тело вращается около неподвижной оси, причем
в момент времени / угол поворота равен ср (/). Что следует пони-
понимать под: 1) средней угловой скоростью вращения за некоторый
промежуток времени; 2) угловой скоростью вращения в данный
момент t?
4.2. Точка движется по прямой (вообще говоря, неравномерно
и неравномерно-ускоренно), причем известна ее скорость v (t) как
функция времени t. Дать определение терминов: 1) среднее уско-
ускорение за данный промежуток времени; 2) ускорение в данный момент.
5.2. Твердое тело вращается около неподвижной оси, причем
в момент времени t угловая скорость равна со (t). Дать определение
терминов: 1) среднее угловое ускорение за промежуток времени It;
t + At ]; 2) угловое ускорение в момент времени /.
6.2. Медный стержень, длина которого при 0° равна /о, имеет
при температуре f длину /. Дать точное определение понятия
«коэффициент линейного расширения меди при температуре t°Q».
7.2. Количество тепла, необходимое для того, чтобы повысить
температуру 1 г вещества от 0° до /°, равно Q (/°). Дать точное
определение понятий: 1) средняя теплоемкость вещества в темпера-
118

турном промежутке: [t°0\ t°0+At°]; 2) теплоемкость вещества
при температуре t°0.
8.2. Если опустить кристалл вещества в насыщенный раствор
этого вещества, то кристалл начнет увеличиваться. Обозначим
через т (/) его массу в момент времени /. Дать точное определение
понятий: 1) средняя скорость изменения массы кристалла за проме-
промежуток времени [t\ t + A t]\ 2) скорость изменения массы крис-
кристалла в момент времени t.
9.2. В процессе распада радиоактивного вещества А появляет-
появляется радиоактивное вещество В, которое в свою очередь распадается.
Обозначим через т (t) количество вещества в момент времени t.
Дать точное определение понятия «скорость распада вещества В
в момент времени /».
10.2. Тело движется по прямой линии под действием перемен-
переменной силы, направленной по той же прямой. Работа, необходимая
для перемещения тела из начала координат в точку В с координа-
координатой xt равна А (х). Как связана функция А (х) с силой, дейст-
действующей на тело в точке 5?
11.2. Работа, произведенная за единицу времени, называется
мощностью. Дать точное определение понятия мощности в данный
момент времени и установить связь этого понятия с функцией A(t)—
работой, произведенной за промежуток времени [0; t ].
12.2. Материальный отрезок АВ неоднороден. Задана функ-
функция т {х) — масса части отрезка AM, где х — длина этой части.
Что следует понимать под: 1) средней (линейной) плотностью отрез-
отрезка на участке [х\ х + А х ]; 2) плотностью (линейной) в точке л:?
13.2. Обозначим через р (h) давление воздуха на высоте h над
уровнем моря. Как связана функция р (К) с плотностью воздуха
на высоте К>
14.2. Радиус круга равномерно увеличивается со скоростью v.
С какой скоростью увеличивается площадь круга (начальное зна-
значение радиуса равно нулю)?
15.2. Радиус шара равномерно увеличивается со скоростью v.
С какой скоростью увеличивается объем шара? С какой скоростью
увеличивается его поверхность (начальное значение радиуса равно
нулю)?
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Пример 1. Исходя из определения производной, непосредствен-
непосредственно найти производную функции у = V х.
Решение. Найдем сначала приращение функции при изменении
аргумента от х до х + Ал;. Оно равно
Ду = У х + Дл; — У~х.
Поэтому
Д* Дл;
119

Перейдем к пределу при Да; -> 0:
д* »0 Ал: Ах - О Дл:
Чтобы вычислить этот предел, умножим числитель и знаменатель на
+ У 1с:
у' = liin —
Ах(Ух + Ах+У х )
х + Ах — х 1
lim . ,г—,—-- , .—т"— i™ ' ,/-—
Таким образом, (Yx У = —т=.
^ |к а;
Пример 2. Вычислить производную функции
!/'*» + За;5 — 4
7K^+2a;—1 *
Решение. Заменяя корни степенями с дробными показателями,
получаем:
2_
а;3 + За;5 — 4
1х + 2а; — 1
По правилу дифференцирования дроби и суммы имеем:
L L L L
, _ Gа;2 +2у— 1) (/ +За;5~4)л Gл;2 + 2л: — 1)^ (л;3 + Зл;5 — 4)
Gл:2 +2х— IJ G/ + 2л; — IJ
^4
7л:2 +2а; —
Пример 3. Найти производные следующих функций:
ех
а) у = х2 sin л: 1п х; б) у = tg x -\
1 +л"
Решение, а) Используя формулы производных элементарных
функций и правило дифференцирования произведения, получим:
у' = (х2 sin х In x)r = (a;2)' sin л: In л: + л:2 (sin x)' In x + л;2 sin л; (In л;)' =
= 2л; sin х In л; + л;2 cos x In л: + х sin л:.
б) Используя правила дифференцирования суммы и частного, полу-
получим:
cos2 л:
(l+s)(e)g(l+*) =_L_ , A+^)^^ L_ ^
"*" A + jcJ cos2 x A + a:J cos2 а; + A + x)a*
120

Пример 4. Найти производную суперпозиции функций у =
= и2 + 3 \ги~— 1, и = х4 + 1.
Решение. По правилу дифференцирования суперпозиций имеем:
+
Так как и = х*-\-\, то
Пример 5. Найти производную функции у = е**.
Решение. Представим функцию у = е*2 в виде суперпозиции
двух функций: у = ей и и =;= х2. По правилу дифференцирования супер-
суперпозиции функций имеем:
У* = У'и ¦и'х = (е»)'и.(Х')'х=е».2х.
Подставляя х2 вместо и, получим: уг = 2хе*2.
Пример 6. Вычислить производную
у = In Т/ \Л--Г-*П^— 1У
Fх3 + IJ etg5A: •
Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов,
получим:
5 7 2 1
у = — In (х2 + 4) -f- — In (Зх — 1) — — In Fx3 -f- 1) — — tg 5x.
3 3 3 3
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим*.
5 2х 7 12х2 5
У = 3 х2+ 4 ' Зх — 1 ~~ 6х3 + 1 ~~ 3 cos25x *
Если выражение, которое нужно продифференцировать, упрощается
после логарифмирования, целесообразно искать сначала не у'', a (In у)'. Формула
для (\пуУ вытекает из правила дифференцирования суперпозиции функций:
Поэтому у' — у (In у)'.
Пример 7. Найти производную функции
= 1 / ~esin4A" (*3 + 6л- — IJ
Решение. Логарифмируя правую и левую части, получам:
1 2 4
\пу = — sin 4х + — In (х3 + 6х — 1) — — In (х4 — 5х2 + 3).
Дифференцируем обе части полученного равенства:
4 6х2+12 16х3—40х
(toy) -y^s^+
121

откуда:
" " " 6х2+12
+ 6л; — 1)
16.У3 — 40л:
1
Пример 8. Найти производную функции:
у = (cos x)s[nx.
Решение. Прологарифмируем равенство (*):
1п у = sin х • In cos x.
Дифференцируем обе части полученного равенства:
/, w 1 sin2*
(In у) = cos х • In cos x — ,
cos*
откуда
sin2x
y( = (COS x)slnX (COS X • In COS X —
cosx
X2 1
Пример 9. Доказать, что функция у = удовлетворяет уравне-
уравнению ху' — у — Y х^-\-у2 = 0.
Решение. Найдем производную данной функции у и покажем, что при
подстановке значений у и у' в данное уравнение получим тождество. Имеем:
(х2— \у 2х
у =J
Подставим значения у и/в уравнение: х2 — — 1/ х2-\- — (х2 — IJ =
Х2 I 1 1
16.2. Пользуясь определением производной, вычислить произ-
производные следующих функций:
6)yV*i в) у
г) у = ]/> — 3; д) у = tg ах; е) у = tg2 x;
ж) у = е**; з) у = arc sin x\ и) у== sin2 r,
к) у = cos2 л:; л) у = arc sin2 г, м) у = arc sin Y^x;
н) у = arc tg г, о) у = In (х2 — 1).
Пользуясь общими правилами дифференцирования, найти про-
производные данных функций:
17.2. у^!^3
1 — л;5-
122

18.2. а) у =
( )(+ )
б) у = 8-3 1^+2*
19.2. а) у = 3/х2 sinx In л;
б) у = .arctg*..
arcsin л:
20.2. а) у = ех (sin х + cos х);
б) у = л; (arccos л; + arctg х).
21.2. у = иъ, где а = sinx;
и= \пх; и = Зх2 — 1.
22.2. у = arctg и, а = у4, где о = 2л: + 1;
и = ^; v = "Кх"; у = arcsin x
23.2. у = In (л: + ]/х2 + 4).
24.2. у == sin4 5x. __
25.2. у = arctg3 Bл; — 1) + arcsin3 Ух .
26.2. у = In [In (In x)\.
27.2. у = /sin 2x + cos Зх.
28.2. у = Vx + Vx+V7.
29.2. у = е* ]/1 + х2.
г 1-х2
30.2. у = sin (cos x) + cos (sin x).
tgi-
31.2. у = 2 * + esinx\
l2
2 ° 2 2 sinV
34.2. j,_
* sin .v:2
35.2. у = /g
36.2. y = C0S3X3'—^2tgx.
37.2. y= In2 cos3 (Ax— 1).
38.2. у = e arct^3 Vx+A.
39#2. у = In2 arcsin3 ]/T.
40.2. у = arcsin3 [In2 (e*T 4- 1)].
cos (In x)~ sin (In x)
Ы-Л- У- е arcsin^ + 5 '
42.2. у = 1п-4^.
43.2.y = /l+x2-l u r .^
123

44.2. у = 1 In *!±
45.2. у = In
46.2. у = In T/
P (х — 2) e arctg
47.2. у=^
48.2. у = sh3 4x -^ch3 }/лГ.
49,2. у = th8 Be^r — 1).
50.2. у = sh [In (л + /л2 + 1)].
51.2. у = (arc cos xJ j In2 (arc cos a;) — In (arc cos x) + —I
n%X
53.2. у = у'
54.2. v=
2)e
55.2. у = (х3 — 2J V (х3 + бJ
56.2. у = arc cos ————.
57.2. у = In i/ xZ~~ * + 1 H т= (arc tg * _--f arc 1
58.2. y =
In sin22A;"
59.2. y =
60.2. у = earc sin^^Ii".
61.2. у=^=
у л;2
62.2. у = earc
63.2. y= -J
64.2. у = -_L=^arctg(|/"i=|tg^
65.2. у = In,- (x* + 4).
66.2. у = (ж2 + 1L
67.2. y = (cosA)J-
124

68.2. y = {x + l)sin*-
X
69.2. y = xln2x'
70.2. у = y"Bxsinx+ IJ.
Л О лi vSinje
*?i. у Л/ ,
72.2. у = хк\
73.2. у = л:**.
Найти частные значения производных:
74.2. у = —?HLf_ ПпИ х _- 0; 1, —, — и
1 +cosx _J 4 8
75.2. y=s?i!L? /'A). ГB), rf}?lV /V) и /'/fl+e<
)
76.2. у ^arcsin ]А2--1; ГО). Г(^), /'(yV), /44
77.2. у = Ъ arc sin — — ]/"б2— л^2 при х = —
78.2. у = 2 "^ЗГагс tg ~= + In ]/"л:2 + 3 при д: = 3.
79.2. у= 151ntg— +^^-(8cos4x — 25cos2^+ 15) при х = —
2 sin4A: 2"
80.2. у = ^^
81.2. у = 111- при х = —.
cos x — 1 8
82.2, у = ilzi?l при x = — и л: = —.
J sin^2 ^ 2 4
83.2. у = ^sin Ух2 + 1 при л: = 0.
84.2. у == ту —~~* sinх при х = 0.
Г Kl +^
85.2. Доказать, что функция у = ^ sin x удовлетворяет урав-
уравнению -2 ^ = tg .x:.
cos*
86.2. Доказать, что функция у = 3 + — удовлетворяет урав-
уравнению ху'+ У = 3.
87.2. Доказать, что функция у=(л;+1)?* удовлетворяет
уравнению у' — у = е*.
88.2. Доказать, что функция у = arc ctg У^х + С при любом
постоянном значении С удовлетворяет уравнению у' = —sin *sm У
cos3 x cosy"
89.2. Доказать, что функция у =У21пх — х2 + С при любом
125

постоянном значении С удовлетворяет уравнению хуу' = 1 — х2.
Найти такое значение С, что у = 2 при х = 1.
90.2. Доказать, что функция y=arctg[C(l—exf] удовлетворяет
, Ъгх sin у cos у
уравнению у = - -.
ел 1
§3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Доказать, что функция
ГЛХ) \х\х>0,
дифференцируема в точке х = 0.
Решение. Так как функция / (х) задается различными аналитическими
выражениями на лучах (— со; 0), [0; со), общим концом которых является точ-
точка х = 0, вычислим односторонние производные в точке х = 0. Сначала найдем
/'(+ 0). Если А х > 0, то f(Ах) = Ах2, а поэтому
Ах -> 0 Ал: Ах ~* 0 Ах Ах -> 0
А* >0
Если же А х < 0, то jF (А х) = А я3, а поэтому
Дд;0 А Ах0
Ал;<0
Так как односторонние производные равны, то производная функции / (х) в точ-
точке х= 0 существует (она равна нулю), а значит, функция f'{x) дифференцируема
в точке х = 0.
Пример 2. Доказать, что функция
Г*2, *<0,
1 sin *, jc > 0,
ке имеет производной в точке х = 0.
Решение. Мы имеем:
f(+)^
Ах-* 0 Ах
Ах> 0
В
Ал:2
П-0) =lim "г~=0.
Ajk-0 Ад;
Ajc< 0
Так как производные слева и справа различны, то функция недифференцируема
в точке х = 0.
Пример 3. Показать, что функция у = \/~х2 не имеет производной
в точке х = 0.
Решение. Ду = |/"(* + А*J —*^х2, отсюда значение Ду в точке
jc= 0 будет равно у^ДлГ2; поэтому
Ау
А* ~~ A*
126

следовательно, ух==о = Hm 3/-— =оо, т. е. конечная производная не сущест-
Дд: -> 0 у Ах
вует (рис. 1.2).
Пример 4. Показать, что функция
x2sin —, если х Ф О,
х
О, если х = О,
(*)
имеет производную при всех значениях х, но ее производная разрывна при х = 0.
Рис. 1.2
Решение. При х Ф О производная вычисляется по формулам дифферен-
дифференцирования /' (х) — 2 х sin — — cos —. Если же х = 0, то вычисляем производ-
ДС X
ную непосредственно по определению:
fr{x) = lim
Д
(АхJ sin-^
Ах . 1
- =hm Ax sin-— = О,
I Ах А*-* 0 Ах
так как sin ограниченная функция, а Ах -> 0. Таким образом, функция
Ах
Нх) всюду дифференцируема. Но lim/'(x) не существует, так как lim 2x sin — =
х ->о х ->о х
= О, a Hm cos — не существует. Поэтому производная функции {*) раз-
х -*- Ь X
рывна при х = 0.
Пример 5. Доказать, что функция
0, если х рационально,
х2, если х иррационально,
дифференцируема в точке х = 0.
Решение. Мы имеем / @) = 0. Пусть Ах стремится к нулю, пробегая
рациональные значения. Тогда / @ + А х) = / (Ах) = 0, а значит, и
Ал:» 0
Ал:
lim
Ад;-* 0 Ал:
Если же Ал: стремится к нулю, пробегая иррациональные значения, то
/ @ + Ах) = Ах2 и
/@ + А)П0) А20
lim
Ал:-0
= hm
Ах
== 0.
127

Так как оба предела совпадают, то функция / (я) дифференцируема при х = 0.
Отметим, что она разрывна во всех точках, исключая точку х = 0.
91.2. Доказать, что:
а) если f(x) = f (— х), то /'(*) = — Р(— *);
б) если f(x) = -f(- x), то /'(*) = /'(- х).
92.2. Доказать, что если / (х + Т) = / (*), то /'(* + Г) = /'(*).
93.2. Показать, что следующие функции не имеют производных
в указанных точках:
а) у = |/"х — 1 в точке х = 1;
б) у = | х — 1 | в точке # = 1;
2__
в) у = (л: — IM в точке х = 1;
г) у = | In х | в точке jc == 1;
д) у = arc cos (sin я) в точке х = fen;
a: sin — , если # Ф 0,
е)
X
ж) /(*) = { 9
I л:2
0, если х = 0,
в точке х == 0;
( л:2 для всех рациональных значений х,
{ 9
I — л:2 для всех иррациональных значении
в любой точке, отличной от нуля;
1х для х ф 0,
0 для # = 0
в точке л: = 0;
1х arc tg — при х ф 0,
0 при х = 0
в точке х = 0.
94.2. Доказать, что функция
х2, если х рационально,
1 — л:2, если х иррационально,
дифференцируема при х = 0.
95.2. Доказать, что функция
0, если х = 0,
—, если
П + 1 Я
, если < л: <
п п п
дифференцируема в точке х = 0.
128

96,2. Доказать, что функция
О, если х = О,
--, если — ^. | х | <^ —,
пй п -\- i п
дифференцируема в точке х = 0.
97.2. Доказать, что функция
sin xt если х рационально,
х, если х иррационально,
дифференцируема в точке х = 0.
98.2. Построить функцию f (x), дифференцируемую в точках
#1 = 0, х2 = 1, а:3 = 2 и разрывную в остальных точках.
99.2. Построить функцию / (х), дифференцируемую в точках
х = ± 1. ± —» ± —,...» ± —, ... и разрывную в остальных
2 3 п
точках.
100.2. Изменить функцию (см. пример 99.2.) так, чтобы она стала
дифференцируемой и в точке х = 0.
101.2. Пусть для функции у = / (х) существует предел
Вытекает ли отсюда дифференцируемость этой функции в точке х=
= а? Рассмотреть функцию
'««-К:
0, если х рационально,
если х иррационально,
в точке х = 0.
102.2. Пусть последовательность { ап} сходится к нулю. Пос-
Построить тавгую функцию / (х)9 что
Шп /(« + «.)-/(«) = о,
но производной в точке х = а функция / (х) не имеет.
103.2. Какие условия нужно наложить на показатель п, чтобы
функция
^sin-, x^O,
х
0, х - 0,
129

а) была непрерывна при х = 0;
б) была дифференцируема при х = 0;
в) имела непрерывную производную при х = 0.
104.2. При каком условии функция
/(*) =
0, х = 0 ,
имеет:
а) производную в точке х = 0;
б) ограниченную производную в окрестности точки х = 0;
в) непрерывную производную в точке х = 0;
г) неограниченную производную в точке х = 0.
105.2. Построить пример непрерывной функции, не имеющей
производной в данных точках х = а4, а2, ..., ал.
106.2. Построить пример всюду дифференцируемой функции,
производная которой разрывна в данных точках х = а4, ... , ал.
107.2. Найти точки, в которых недифференцируема функция
п
cos —
л:
Принадлежит ли к их числу точка х = 0?
108.2. Доказать, что функция
недифференцируема в точке х = 0.
109.2. При каких значениях Я дифференцируема в точке х = 0
функция
/<*) =
— , если
п
& я +1
0, если х-0?
110.2. Пусть функция <р (х) непрерывна в точке а. Найти ле-
левую и правую производные функции у = \х — а \ ф (дс). При ка-
каком условии эта функция дифференцируема в точке а?
111.2. Пусть
F (х) = I Х' еСЛИ Х < Х°'
\ ах + Ь, если х > х0.
Как следует подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы функция Z7
была непрерывной и дифференцируемой в точке х = х0?
130

112.2. Пусть функция у = / (х) определена на луче (— оо;
хо) и дифференцируема слева в точке х = х0. При каком выборе
коэффициентов а и Ь функция
| / (х), если х < Ха,
W ~~ I ах2 + Ь, если х > х0,
дифференцируема в точке х = х0 (х0 Ф 0)?
113.2. Пусть функции у = / (х) и у = ф (х) не имеют про-
производной в точке х = а. Следует ли отсюда, что в этой точке не
имеют производной функции:
у = /(*) + ф М; у = И*) ф (*); У =^
Разобрать примеры функций:
а) / (*) = | х |, ф (х) = — | х | , а = 0;
б) / (х) = ф (х) = | х |, а - 0;
в) /(*) = ф(х) = |xj + 1, а-0.
114.2. Пусть функция у = / (х) имеет производную в точке
х = а, а функция у = ф (х) не имеет производной в этой точке.
Следует ли отсюда, что следующие функции не имеют производной
в точке х = а:
в) у = ^Ь
115.2. Для нижеследующих функций найти точки, в которых
производная не существует. Найти для этих точек левую и пра-
правую производные:
a) f(x) = E (x) sinn х\ б) f(x) =
в) /(х) =1/— cos 2л:;
д)
ж) Дх) == arc sin (sin х);
и) f(x) = arc sin ; к) у = arc sin j/^l — x2;
1 + x2
(x — a) arc tg —— , хф a,
x — a
0, x = a;
I X2 2x 4- 1
м) у = arc sin ; н) у = arc cos _,; o) y=arc cos (Зх—4Х3).
I + x x у о
116.2. Исследовать на дифференцируемость функцию
к sin ~ 4- *2 cos —, х ч»ь 0,
у = { ^ х
0, х = 0.
131

117.2. Дана функция f (х) = — у? —х2 + 1. Найти такое
б > 0, что при всех /г, для которых | h | < 6 и всех х из отрезка
I , — , выполняется неравенство
L 2 2 J
Г М —
нужно
5, а, &, с, чтобы функция
/г
118.2. Какие нужно наложить условия на коэффициенты а,
У ах2 + Ьх + с
имела бы при любом л: отличную от нуля производную?
§ 4. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Пример 1. Кривая задана уравнением: у = х2 + 5* + 3. Определить
угол между касательными к кривой в точках с абсциссами х= — 2 и *=0.
Решение. Угловой коэффициент касательной равен производной у\
вычисленной при значении х, равном абсциссе точки касания. Поэтому начинаем
решение задачи с вычисления производной:
у' = 2х + 5.
Обозначим через а угол наклона касательной в точке с абсциссой х = — 2, а
через Р — в точке с абсциссой х = 0, получим:
U2
tg P = У' U=o = 2.0 + 5 = 5.
Угол ф между касательными равен Р — а. Поэтому
Из таблиц находим, что ф = 0,588.
Пример 2. На кривой у — Ах2 — 6* + 3 найти точку, в которой каса-
касательная параллельна прямой у = 2х.
Решение. Пусть искомая точка касания есть (х0; у0). Тогда угловой ко-
коэффициент k касательной равен значению производной в точке касания, т. е.
8* — 6
х=х0
х=х0
=8х0 - 6=2 D*о — 3).
Для того чтобы касательная была параллельна прямой у = 2х, их угловые
коэффициенты должны совпадать, т. е. k = 2 или 2 Dх0— 3) = 2. Решая послед-
последнее уравнение относительно х0, получим: 4*0 — 3 = 1, 4хо= 4, х0 = 1. Подстав-
Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в уравнение кривой, найдем
значение ее ординаты у0:
Уо=4. 12-6. 1 + 3- 1.
Итак, искомой будет точка A; 1).
Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к кривой
1
У " 1 + х2
в точке с абсциссой 2.
132

Решение. По заданному значению х0 — 2 находим у0 = = — .
1 + 22 5
Значит, касательная проходит через точку М I 2; — ) . Пишем уравнение
пучка прямых, проходящих через точку М I 2; —I:
\ 5 /
Находим угловой коэффициент касательной
1
х=2
_ 4_
№2~"~~25
Поскольку нормаль и касательная к кривой, проведенные в одной точке кривой,
25
взаимно перпендикулярны, то для нормали угловой коэффициент к = — . Под-
Подставляя полученные значения k в уравнение пучка прямых, найдем искомые
уравнения касательной и нормали:
уравнение касательной: у = , или 4х + 25у — 13 = 0,
2о
; 246
уравнение нормали: у = —^-^ , или 125л: — 20у — 246 = 0.
Пример 4. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний
конец лестницы начинает отодвигаться от стены с постоянной скоростью 2 м/сек.
С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы? Чему
равно его ускорение в этот момент времени?
Решение. За t сек нижний конец лестницы пройдет расстояние в 2t м.
По теореме Пифагора верхний конец находится в этот момент на высоте
h = /25 — 4*а . (*)
Чтобы найти скорость движения, вычислим производную функции
s = 5 — h. Имеем:
ds dE — h) dh 4t
dt dt dt
Так как ускорение является производной от скорости по времени, то
do 100
а = — =
dt B5 — -
Пример 5. Резервуар, имеющий форму полушара, заполняется водой.
Считая, что радиус резервуара равен RQy а скорость заполнения сосуда vQ, оп-
определить скорость повышения уровня воды в резервуаре.
Решение. Скорость повышения воды в сосуде равна производной по
времени от уровня воды в сосуде.
Если уровень воды в сосуде h, то интересующая нас скорость и определится
dh „
из условия и = — . Найдем зависимость h от t.
dt
Объем воды V, заполнившей резервуар, определяется по известной формуле
/ /Г
3.
133

а так как h = /(/), то V есть сложная функция от t. Следовательно, по правилам
дифференцирования суперпозиции функции имеем:
dV_ dV_ dh
dt^dh ' dt '
dV
Учитывая, что — — скорость заполнения, нам известна и равна v0, a
получим:
dV
dt ~~ dV = nh BR — h)
dh
Пример 6. Найти формулу для суммы sn = I2 + 22 х + ... + п2хп'К
Решение. По формуле для суммы геометрической прогрессии имеем:
xn+i
1+х+х* + ...+Х»-
Почленно дифференцируя это равенство, получаем, что
(a;— IJ w
Умножим обе части равенства (*) на а; и снова продифференцируем обе части
равенства. Мы получим, что
12 ,
г (л:—IK
119.2. Под каким углом пересекается парабола у = jc2 с прямой
— у — 2 = О?
120.2. Под какими углами пересекаются параболы: у = х2 и
= х?
121.2. Под какими углами пересекается гипербола у = — с
параболой у =
122.2. Написать уравнения касательной и нормали, проведенных
к кривой у = л:3 в точке с абсциссой 2.
123.2. При каком значении независимой переменной касатель-
касательные к кривым у = х2 и у = х3 параллельны?
124.2. В какой точке касательная к параболе у = х2: 1) парал-
параллельна к прямой у = 4х — 5; 2) перпендикулярна к прямой 2х —
—6у + 5 = 0; 3) образует с прямой Зх — у + 1 =0 угол в 45°?
125.2. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами xi =
= 1, х2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке
параболы касательная к ней будет параллельна проведенной се-
секущей?
134

126.2. Через фокус параболы проведена хорда, перпендикуляр-
перпендикулярная оси параболы. Через точки пересечения этой хорды с парабо-
параболой проведены касательные. Доказать, что эти касательные пере-
пересекаются под прямым углом.
127.2. Написать уравнения касательной и нормали к гиперболе
у = — в точке с абсциссой х = .
х 2
128.2. Показать, что отрезок касательной к гиперболе у = —,
X
заключенный между осями координат, делится в точке касания по-
пополам.
129.2. Показать, что для гиперболы ху = а площадь треуголь-
треугольника, образованного любой касательной и координатными осями,
равна площади квадрата, построенного
на действительной полуоси.
130.2. Написать уравнения каса-
касательной и нормали к кривой у = л:4 —
— 3, проходящих через точку A; —2).
131.2. Написать уравнения каса-
касательной и нормали к кривой у = х2 +
+ 2х — 1 в точке ее пересечения с
параболой у = 2а:2.
132.2. Составить уравнение каса- р 2 2
тельной к кривой у = In x. В какой
точке эта касательная: а) параллельна
прямой у = х— 1; б) перпендикулярна к прямой 2х + Зу = 1?
133.2. Составить уравнение нормали к параболе у = х2 + 4х +
+ 1, перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат
с вершиной параболы.
134.2. Точка движется по прямой у = Ъх — 4 так, что ее аб-
абсцисса возрастает с постоянной скоростью v = 7. С какой скоростью
изменяется ордината?
135.2. Тяжелая балка длиной / м опускается на землю так, что
ее нижний конец прикреплен к вагонетке (см. рис. 2.2.), а верхний
удерживается канатом, намотанным на ворот, который сматывается
со скоростью v м/сек. При этом балка опускается и вагонетка от-
откатывается. Определить ускорение, с которым откатывается ваго=
нетка в тот момент, когда ее расстояние от стены равно Ъ м.
136.2. Канат висящего моста имеет вид параболы и прикреп-
прикреплен к вертикальным опорам, отстоящим одна от другой на 200 м.
Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точек подвеса.
Найти угол между канатом и опорными колоннами (рис. 3.2.).
Указание. Сначала, исходя из условия задачи, составить уравнение
параболы, т. е. определить величину k в уравнении у = kx2.
137.2. Колесо вращается так, что угол поворота пропорциона-
пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 сек.
135

Определить угловую скорость со через 32 сек после начала движе-
движения.
138.2. Два самолета вылетают (не одновременно) из пункта А
й летят: один со скоростью 850 км/ч в южном направлении, дру-
другой — со скоростью 900 км/ч в западном направлении. С какой
скоростью возрастает расстояние между самолетами во время поле-
полета? Какова эта скорость в момент, когда расстояние первого само-
самолета от пункта А равно 75 км, а второго — 180 км?
200
Рис. 3.2
139.2: Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом,
за t секунд поворачивается на угол ф = а + Ы — ct2, где а, Ь
и с — положительные постоянные. Определить угловую скорость
и ускорение вращения.
140.2. Точка движется по параболе у = 7 — х2 так, что ее
абсцисса изменяется с течением времени t по закону х = t3. С
какой скоростью изменяется ордината?
141.2. Имеется тонкий неоднородный стержень А В длиной 20 см.
Известно, что для любой точки С стержня, отстоящей от А на рас-
расстоянии 1 см, масса куска стержня АС определяется по формуле:
М = 312 + 5/.
Найти линейную плотность стержня:
а) в точке, отстоящей от точки Л на / = 5 см;
б) в самой точке А\
в) в конце стержня.
142.2. Закон движения тела дан формулой:
S = а + Ы + ct\
Показать, что действующая сила постоянна.
Указание. Иметь в виду, что ускорение пропорционально действующей
силе.
143.2. Распад радия совершается по закону
где Ro — количество радия в начальный момент времени t = 0,
a R — количество нераспавшегося радия в момент времени t.
Определить закон зависимости скорости распада радия от вре-
времени. Показать, что скорость распада пропорциональна налично-
наличному количеству радия.
136

144.2. Постоянный ток определяется как количество элек-
электричества, протекшее через поперечное сечение проводника в еди-
единицу времени. Дать в соответствии с этим определение пере-
переменного тока. Определить ток в конце пятой секунды, если
известно, что количество электричества, протекшее через провод-
проводник, начиная с момента времени / = 0, дается формулой:
Q = 2t2 + 3/ + 1 (кулонов).
145.2. Вывести формулы для следующих сумм:
а) 1 .2 + 2-3* + ... +п(п+ I)**-1;
б) 1 + Зх2 + 5л:4 + ... + Bп — 1) х2п~2\
в) 1 — 5л-4 + 9л:8 + ... + (— I)*-1 Dл — 3) х*п~*;
г) I2 + 32х2 + 52х4 + ... + B/Z — IJ &"~\
146.2. Вывести формулу для суммы sn = sin x + sin 2x +
+ ... + sin nx.
х
Указание. Умножить обе части равенства на 2 sin —, после чего вос-
воспользоваться формулой 2 sin a sinp = cos (а —Р) — cos (а + р).
147.2. С помощью формулы, полученной в задаче 146.2, вывести
формулы для следующих сумм:
а) cos х + 2 cos 2х + ... + п cos nx\
б) sin х + 22 sin 2х + ... + п2 sin nx\
в) cos х + 23 cos 2x + ... + /г3 cos nx.
148.2. Вывести формулу для суммы Sn = (- cos л: + cos 2л: +
+ ... + cos aijc.
149.2. Вывести формулы для сумм:
а) sin х + 2 sin 2# + ... + п sin ш:;
б) cos х + 22 cos 2# + ... + п2 cos nx;
в) sin л: + 23 sin 2x + ... + n3 sin nx.
150.2. Найти значение произведения
г-, XXX X
П„ = cos — cos — cos — ... cos — .
2 4 8 2n
Указание. Умножить обе части равенства на 2 sin — и воспользовать-
воспользоваться формулой 2 sin a cos а = sin 2а.
151.2. С помощью формулы, выведенной в задаче 150. 2, найти
значения следующих сумм:
137

)+4
4 cos2 — 16 cos2 — 22n cos2 —
2 4 2я
Указание. Прологарифмировать формулу, полученную в задаче 150.2,
и продифференцировать обе части полученного равенства.
Глава 2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции у = х3 + 2х
в точке х = 2, при Дл; =0,1 и при Ал: = 0,01. Найти абсолютную и относитель-
относительную погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функции ее
дифференциалом.
Решение. Имеем: Ау = [ (х + АхK + 2 (х + Ах) ] — (х3 + 2х) =
= Зх2 Ах + ЗхАх2 + Ах3 + 2Ах = (Зх2 + 2) Ад: + ЗхАх2 + Ах3.
dy= y'Ax= (Зх2 + 2) Ах.
При х = 2 и Ах = 0,1 имеем:
Ау = 3 • 22 . 0,1 + 3 • 2 • 0,12 + 0,13 + 2 • 0,1 = 1,461,
dy= C . 22+ 2) . 0,1 = 1,4.
Абсолютная погрешность | Ay — dy \ = 0,061, а относительная погрешность
Ay — dy
0,061
, т. е. относительная погрешность будет около 4%.
1,461
При х= 2 и А х=0,01.
Ау = 3 • 22 . 0,01 + 3-2. 0,012 + 0,013+ 2 - 0,01 = 0,140601,
dy = C • 22 + 2) . 0,01 = 0,14.
Абсолютная погрешность ) Ау — dy | = 0,000601, а относительная погрешность
Ay — dy
0,000601
, т. е. будет уже около 0,4%.
0,140601
Пример 2. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить
приближенно изменение, претерпеваемое функцией у = х3 — 7ха + 80 при из-
изменении х от значения 5 к значению 5,01.
Решение. В данном случае будем считать х = 5, а Ах = 0,01. Изменение
функции А у приближенно равно дифференциалу dy:
ду ~ dy = у' Ах = (Зх2 — 14х) Ах = C • 52 — 14 . 5). 0,01 = 0,05.
Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное
при х= 0,15.
Решение. При х = 0 значение функции находится легко (равно 1).
Остается подсчитать, насколько изменится значение у при переходе х от значе-
значения 0 к значению 0,15. Произведем приближенный подсчет с помощью дифферен-
дифференциала. Имеем:
, _ • 2 + х _ 4У
5 D — х2) 5 D — х2)
— 4 у Ах
Ay « dy = у'Дх = - .
* * * 5D-х2)
138

Подставляя х = 0, у =
1 и Дд:=0,15, получим Ау «———! =—0,03.
5-4
0,97.
Следовательно, yXs-Q 15 = у^о + Л у « 1 — 0,03 ;
Если вычислить искомое значение с помощью четырехзначных таблиц, то
оно будет равно 0,9704. Как видим, сделанное нами вычисление верно с точностью
до 3 десятичных знаков.
Пример 4. Площадь круга вычисляется по формуле S = зхг2. При из-
измерении радиус г оказался равным 5,2 см, причем максимальная возможная при
этом погрешность измерения Аг находится в пределах ±0,05 см. Определить аб-
абсолютную и относительную погрешности, допускаемые при вычислении площади
круга по указанной формуле.
Решение. Абсолютная погрешность:
|AS| « \dS\ = \2nr • dr\ =2я- 5,2- 0,05 = 0,52я «1,63.
Найдем относительную погрешность:
AS
S
dS
S
2nrdr
лг2
о
— Z
dr
т
Оказалось, что относительная погрешность равна удвоенной относительной по-
погрешности при измерении радиуса. Численно получим:
dS
0,05
1
т. е. относительная погрешность будет около 2%.
152.2. Найти дифференциалы заданных функций:
+ 5; б) y = V{x+lf;
в) У = A +Vx?\
д) у = sin х — х cos x\
ж) у =
и относительную погрешность
г) у = У х +
е) у = cos (In л:);
з) у = arc sin — .
153.2. Найти приращение и дифференциал функции у == 2а:2 —
— Зх в точке х = 1 при Ах = 1, Ал: = 0,1 и Ал: = 0,01. Найти для
каждого значения Ах абсолютную погрешность |Ау — dy\
Ay — dy
~А~у
при замене приращения дифференциалом функции.
154.2. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенно
значения функций:
а) f{x) = (х — ЗJ (х — 2K(л: — 4) при х == 4,001;
б) f(x) = УЪхъ -\-2x-A при х = 1,001;
в) f (х) = х In (х — 2) при л: = 3,001.
155.2. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближен-
приближенное значение функции у = х? — 2х4 + Зх3 — 4л:2 +6 при х ==
= 1,001.
которые допускаются
139

156.2. Найти приращение и дифференциал площади квадрата
S = х2 при некотором приращении аргумента. Дать им геометри-
геометрическое истолкование.
157.2. Вычислить приближенно значения: а) ^27,0081; б) sin 29°;
в) cos 151°; г) tg 44° 41'; д) arc sin 0,5011; е) arc tg 1,002. Полу-
Полученные результаты сравнить с табличными.
158.2. Цилиндр, диаметр которого 10 см, высота 20 см, при шли-
шлифовке поверхности потерял в весе 2 г. На сколько уменьшился его
диаметр, если удельный вес вещества цилиндра равен 2,5?
159.2. На сколько уменьшится величина степени З4, если ос-
основание уменьшить на 0,0063?
180.2. Ток / определяется по тангенс-гальванометру по фор-
формуле /=Ctgcp. Пусть dcp— ошибка, допущенная при отсчете
угла ф. Найти абсолютную и относительную погрешности при оп-
определении /. При каком угле ф относительная погрешность будет
минимальной?
161.2. С какой относительной погрешностью допустимо изме-
измерить радиус R шара, чтобы объем его можно было определить с точ-
точностью до одного процента?
162.2. Период качания маятника вычисляется по формуле:
s
где / — длина маятника, g — ускорение силы тяжести (g =
=981 см/сек2). Какое влияние на погрешность при вычислении пе-
периода Т окажет погрешность в один процент при измерении: а)
длины маятника /; б) ускорения g?
163.2. По данному расстоянию d светящейся точки от оптичес-
оптического центра двояковыпуклого стекла может быть вычислено рас-
расстояние ее изображения согласно формуле:
1 + 1 = 1
d ^ f F '
где F — постоянная для данного стекла и данного сорта лучей.
Как влияет погрешность в измерении d на погрешность в вычисле-
вычислении /?
§ б. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пример 1. Пусть
у = Djc + IO (х2 + 6* — ЗI0 (х + 5)ia. (*)
Найти выражение для у<39) и для уD0).
Решение. Если раскрыть скобки в выражении (*), то получим много-
многочлен со старшим членом 47*39. Известно, что при п > k (k и п — натуральные
числа) имеем (xk)^n) = 0, а (хл)(/г) = п\ Поэтому 39-е производные от всех слагае-
слагаемых, кроме старшего, равны нулю, а 39-я производная старшего члена равна
47> . 39! Итак, уC9) = 47 . 39!
Ясно, что уD0) = 0.
140

Пример 2. Найти выражение для производной л-го порядка функции
у = ekx.
Решение. Мы имеем:
у' = kekxt
у" = кЧкх,
у"' = k3ekx.
Естественно предположить, что
У(п) = кпекх. (*)
Докажем это утверждение по индукции. При п — 1 формула (*) верна. Пред-
Предположим, что уже доказано равенство
у(п) z==knekA.
Дифференцируя обе части этого равенства, получаем, что
у(п+\) -= (knekx)' = kn+1ekx.
Это показывает, что из справедливости формулы (*), для п вытекает ее справед-
справедливость для п+ 1. Значит, она верна при всех значениях л.
Пример 3. Найти выражение для я-й производной функции у =
= sin Ьх cos 2х.
Решение. Преобразуем заданную функцию по формуле sin a cos Р =
= — [sin (а + Р) + sin (а — Р)]. Так как у= — (sin 6# + sin 2x).
(sin ах)(п) = ап sin (ах + ^ j ,
ТО
Пример 4. Найти выражение для п-й производной функции
1 }
Решение. Представим функцию (*) в виде
2х + 3 А В
i "Г о ' \
X2 _ & + 6 (* __ 2) (x — 3) x — 2 ^ x — 3 "
Чтобы найти коэффициенты А и В, приведем обе части равенства (**) к одному
знаменателю и отбросим его. Мы получим: 2х + 3 = А (х — 3) + В (х — 2) =
= (А + В) х + (— ЗА — ЗВ). Чтобы это равенство было верно при всех значе-
значениях х, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
— ЗА — 2В = 3.
Отсюда находим А = — 7, 5=9, а потому
7 9
х2-- 5* + 6 х — 2 1 х — 3
Так как
\(л) /_ \\пг
141

то имеем:
2х + 3 \(я) 7(—l)n+1n\ 9 (— 1)я /il
+
Пример 5. Пользуясь формулой Лейбница, найти пятую производную
х
от функции у = хье* .
X
Решение. Полагая и — хъ и v = е2 , найдем:
«' = 5х4, и" = 20х3, и'" = 60х2, аD) = 120х, а<5) = 120, v' = ^ е , tT =
^ X X X
Подставляя в формулу Лейбница при п = 5, получим:
У5>/"+ 5 • 120* • | еГ+ Y\ 60*2 • J еГ+ -у?- 20^ . I ,2" +
1 /+ хь 1 ,2"^ е2"^ 120+ зоо^+ 150x2+ 25x3+ |^+ i x^J.
Пример 6. Найти значение при х = 0 производной л-го порядка для
функции arc tg x.
Решение. Мы имеем:
/ ¦
и потому A + х2) у' = 1. Продифференцируем обе части этого тождества п — 1
раз, применив к левой части формулу Лейбница. Так как
A + х2)' = 2х, A + х2)" =2, A + х2)"' = 0 и т. д.,
то имеем:
A + х2) у(л) + 2 (п — 1) ху("-0 + п (п — 1) у(л-2) = 0.
Полагая здесь х = 0, получаем:
/<я)@) + я(/1-1) f("-2)@)=0.
Это соотношение связывает /(«) @) с f(n—2) @). Так как f @) = arctgO= 0,
то имеем:
/"@)=-2. 1 7 @) = 0.
/D) @) = — 4 • 3 /" @) = 0
и вообще
pk) @) = 0.
Так как
Г @) = — 3 . 2/' @) = — 3!
/E) @) = — 5 • 4f' @) = 5 • 4 • 3! = 5!
142

По индукции получаем;
Пример 7. Доказать, что функция
dn(x*—\)n
удовлетворяет дифференциальному уравнению
(х* - 1) Р"п (х) + 2хР'п (х) -п(п + 1)Рп (х) = 0. (*)
Решение. Положим и = (х2 — 1)Л. Так как и' = 2пх (х2 — lO1, то
и' (х2 — 1) = 2пх (х2 — \)п = 2яа:ы.
Возьмем от обеих частей равенства производные порядка я+ 1. Применяя фор-
формулу Лейбница, получаем:
_ 1} + (я
Замечая, что и(">) = Р„ (х), и^п^г ^ = Р^ (л:), w(n+ 2^ = Р^ (х), приходим после
несложных преобразований к равенству (*).
Пример 8. Найти дифференциалы dy и сРу от функции у = я4 — Зх2 +
+ 2 в случае, когда:
1) х — независимая переменная;
2) х — функция от другой независимой переменной.
Решение. Дифференциал первого порядка dy в силу свойства инвари-
инвариантности его формы представляется в обоих случаях одинаково:
dy = fdx = D*2 — 6*) dx = 2 Bjc3 — 3*) dx.
В перврм случае под dx понимается приращение независимой переменной
Ах (dx = Д#), во втором случае — дифференциал от х как от функции (dx Ф Ах).
Что же касается дифференциалов высшего порядка, то для них, как извест-
известно, свойство инвариантности формы нарушается. Следовательно, при отыскании
d2y приходится решать задачу для каждого случая отдельно.
1) Пусть х — независимая переменная. В этом случае dx = Ах не зависит от
х и его можно выносить за знак дифференциала, получим:
d2y = d (dy) = d [ 2 Bx3 — 3jc) dx J = 2dx • d Bxs — 3*) =
= 2dx • Fx2 — 3) dx = 6 Bx2 — 1) dx2.
2) Пусть x является в свою очередь функцией от некоторой другой перемен-
переменной. В этом случае dx уже зависит от этой переменной, и выносить его за знак
дифференциала, как мы это делали в первом случае, нельзя. Нужно вычислить
дифференциал как от произведения двух функций. Будем иметь:
d2y = d (dy) = d [ 2 Bx3 — 3x) dx ] = 2d [Ba:3 — 3x) dx]=
= 2 [d Bx3 — 3x) dx + Bx3 — 3x) d (dx) ] =
= 2 [3 Bx2 — l)dx-dx+ Bx* — 3a:) . d2x ] ==
= 6 Ba:2 — 1) dx2 + 2 Bjc3 — 3x) d2x.
164.2. Найти уD) для функции у = x6 + e2x.
165.2. Показать, что функция у = A cos x + В sin x, где А
и В — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению /'+
+ У = 0.
143

168.2. Доказать, что функция у = ех cos x удовлетворяет
уравнению у4) + 4у = 0.
167.2. у = хУ1+ х2. Найти у".
168.2. у = ?Г*Ч Найти уш.
169,2. y^=Y~x*' Найти у"'.
170.2. у = л: sin2 х. Найти уD).
171.2. Доказать, что функция y^xMQ cos (In х) + С2 sin(ln х)]
(где Сь С2 я п — постоянные) удовлетворяет уравнению
х2 у" + A — 2я) ху' + A + /г2) у - 0.
172.2. Доказать, что функция у = ]/2х — хг удовлетворяет
уравнению у3у'' +1=0.
173. Найти у(^ для следующих функций:
Х2 _ 4х + 4 ^ jc2 (л: — 1) ' ' *" х (х — 1) '
4) у = (Зх2 + 2х + 1) 1п(х + 1); 5) у = Eх2 — l)sin2x.
174.2. Пусть Дх) - (Ах3 + Зх— II1 • (х4 + 4I2(л:7 — 5)в. Найти
() /()
175.2. Найти р>A4,8), если / (х) - (х2 + Зх + 5K (* — 4N,
176.2. Найти lim \f{n)B)l если /(х) = -,
177.2. у - Л*Т Найти уB0>.
178,2. y-xlnx. Найти у<5>.
179.2. у = ех cos x. Найти уD>.
180.2. у = -^-. Найти у(8).
181.2. у = r 1 Найти уF>.
182.2. у = \tLr-. Найти уA00>.
у 1 —х
Указание. После первого дифференцирования результат представить
в виде суммы дробных степеней линейной функции, для которых можно получить
общую форму я-й производной.
183.2. у = х2 sin 2x. Найти уE0>.
184.2. Найти значения производных порядка п при х = 0
от нижеследующих функций:
а) у = xkeax; б) у = arc sin х\ в) у = *rc sin х ¦; г) у=arc sin2*;
У 1 — х2
д) у = sin (m arc sin *); e) у = em arc sin *; ж) у =
m
= A + x2J sin (m arc tg x)\ з) у = In A — 2x cos a + x2).
Jug x2
185.2. Положим е*г — = pn(x). Доказать, что:
dxn
а) Рь(х)=—2пряЛх);
б) Pn+i(x) + 2xpn(x) + 2npn^{x) - 0;
144

в) Рп (х) — р;_, (х) + 2л-р„_, (х) = 0;
г) P'n(x)=-2npn_i(x).
186.2. Положим
Доказать, что:
а) Pn+z (х) —Bл + 1) xPn+i (х) - я2 A - л:2) Рп (х) = 0;
б) A —х2)Р'п(х) + Bп — 3)хР'п(х) — (п — \уРп(х) = (
в) Ргш (х) = [1 ¦ 3 • 5 •... • Bk — I)]2 [1 +
ft т
г) Р2к(х) = [1 • 3 • 5 • ... • Bk— 1)]2л-[1
fe1
^ B/ + 1I
187.2. Положим
Доказать, что:
а) Pn+i(х)-2Bп + 1)хР„(х) + 4п2Р„_4(х) = 0;
б) (л2 - 1) Р; (х) = пл;Р„ (х) - 2/г2 Р„_4 (х) =
2Bn + l) "
188.2. Доказать, что выражение
pn (x) = (д: + Yx*— 1> + (x — Vx^l)n
является многочленом от х степени п. Показать, что для любого
натурального т.:
d^PAx) + Bm + t
189.2. Пусть x и у — координаты точки кривой второго поряд-
порядка
Ах2 + 2Бху + Су2 + 2D* + 2Еу + F = 0.
Доказать, что
Г —Г
190.2. Пусть д; и у — точки параболы. Доказать, что
г „ir
[(Л 3J =0.
191.2. Пусть функция у = / (х) удовлетворяет соотношению
(ах2 + 6х + c)y'f + (dx + e)y' + g-y = Q.
145

Показать, что все функции /<л) (х) удовлетворяют аналогичным
соотношениям. Выписать соотношение для /'" (х).
192.2. Даны функции: а) у = уОс2; б) у= ]/1п2л* — 4. Найти
считая, что л: — независимая переменная.
193.2. Дана функция:
у = In Ь^-.
' 1 + X2
Найти d2y при условии, что 1) х — независимая переменная;
2) х — функция от другой переменной.
194.2. у = sin г, где 2 = ах и х = t3. Выразить d2y че-
через: а) г и его дифференциалы; б) х и его дифференциалы; в) t и dt.
195.2. Показать, что если тело движется по закону s = aet +
+ Ье~1, то его ускорение численно равно пройденному пути.
196.2. Точка движется так, что скорость ее пропорциональна квад-
квадратному корню из пройденного пути (как это, например, имеет мес-
место при свободном падении). Показать, что движение происходит
под действием постоянной силы.
Указание. Иметь в виду, что ускорение пропорционально действую-
действующей силе.
197.2. Тяжелая материальная точка М (х\ у) брошена в верти-
вертикальной плоскости Оху под углом а к плоскости горизонта с началь-
начальной скоростью v0. Составить (пренебрегая сопротивлением воздуха)
уравнения движения и определить величину скорости v и ускоре-
ускорения со, а также траекторию движения. Чему равны наибольшая вы-
высота подъема точки и дальность полета?
198.2. Доказать, что ускорение гармонического колебания х =
= A sin (со/ + а) пропорционально отклонению х от положения
равновесия.
199.2. Точка совершает затухающие колебания по закону х =
= Ae'ktsin (cot +a). Установить связь между ее координатой xt
скоростью v и ускорением а.
Глава 3.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 7. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИИ
Пример 1. Показать, что уравнение х3 + Зх — 6=0 имеет только
один вещественный корень.
Решение. Рассмотрим функцию: { (х) = я3 + 3# — 6. Она непрерывна
на (—оо; + оо) и имеет производную
Легко видеть, что /' (х)Ф 0 при любых вещественных значениях х. Но тогда наше
уравнение может иметь не более одного вещественного корня, так как если бы
146

оно имело, например, два корня ?, и с2, то f(cx) = / (с2) — 0, и по теореме Ролля
между сг и с2 нашлась бы такая точка с, что /' (с) = 0. Последнее невозможно.
Существование же вещественного корня следует из того, что многочлен f (x) не-
нечетной степени.
Пример 2. В формуле Лагранжа определить значение с для функции
f (*) = 4*з — 5*а + х — 2 на отрезке [0, 2].
Решение. Воспользуемся формулой Лагранжа о конечном приращении:
/ (а) = ? @) =—2, /' (*) = 12jc2— 10* + 1,
В данном случае / (Ь) = / B) = 12,
/'(с) = 12с2—Юс+1.
Подставляя полученные значения в формулу Лагранжа, будем иметь:
12-(-2) =/'(*)• 2,
откуда
Г (с) = 7,
т. е. 12с2 —Юс + 1 = 7.
Из последнего уравнения определяем значение
г- 5 + У 97
12
не годится, так как оно не лежит на отрезке [0; 2].
Значение с = - I-2L
Пример 3. Можно ли на отрезке [— 1; 1] применить к функции / (х)=2 — >/~л:2:
а) теорему Ролля;
б) теорему Лагранжа о конечных приращениях?
Решение. Проверим, удовлетворяет ли данная функция условиям тео-
теорем Ролля и Лагранжа. Легко видеть, что / (х) = 2 —=• |Лк2 непрерывна в каждой
точке числовой оси, следовательно, и на
отрезке [—- 1; + 1] (рис. 4.2). На кон-
концах этого отрезка значения функции сов-
совпадают: / (— 1) = / A) = 1. Что же ка- 2
сается производной
2
то она не существует в точке х = 0. Но
точка х = 0 является внутренней точкой
рассматриваемого отрезка [— 1; +1]. Сле-
Следовательно, условие существования ко-
конечной производной на (—1; + 1), тре-
требуемое в теоремах Ролля и Лагранжа, не
выполняется. Указанные теоремы к дан-
данной функции на отрезке [—1; +1] не-
неприменимы.
Пример 4. Применима ли теорема
Ролля к функции
я
на отрезке [0; 1]? В каких точках /' (х) = 0?
Решение. Так как lim x sin — = 0, то функция / (х) непрерывна в
147

точке х = 0. Очевидно, что она непрерывна во всех остальных точках отрезка
[0; 1]. Далее, при х Ф 0 имеем:
/' (х) = sin — — — cos — .
ххх
Поэтому функция / (х) дифференцируема во всех внутренних точках отрезка [0;1]
(отметим, что она недифференцируема в точке х = 0, так как предел (рис. 5.2)
Рис. 5.2
.. / (А*) - / @) ,. . п
hm - = hm sin —
Д* - 0 Ах Д* -* 0 Ах
не существует). Наконец, / @) = / A) = 0. Поэтому теорема Ролля применима
к функции / (х). Приравнивая производную нулю, получаем уравнение:
или иначе
п п п
sin — == — cos — ,
ххх
Л 1С
tg - = -,
X X
имеющее бесконечно много решений на отрезке [0; 1].
Пример 5. Доказать, что если хг является корнем многочлена / (х)
кратности k, то для производной /' (х) он будет корнем кратности k — 1.
Решение. Пусть многочлен / (х) имеет fc-кратный корень хг. Тогда, как
известно из алгебры, этот многочлен можно представить в виде:
148

где ф (л:) — многочлен, не делящийся на х — xv Найдем производную:
U М = k (х - xj*-1 Ф (х) + (х - xj* q/ (х) =
+ (х - хх) <р' (х)].
Так как (х — х±) ф' (х) делится на (х — х±), а ф (л;) не делится на х — лгь то вы-
выражение в квадратной скобке не делится на х —- xv Отсюда следует, что /' (л:)
делится на (х — х^*-1, но не делится на (х —. х^, это и означает, что х = хх —
корень k — 1-й кратности для /' (х).
Пример 6. Доказать, что функция f (х), где / (х) = (х — 4J (х Н- 2J,
имеет на промежутке (— 2; 4) два корня.
Решение, Так как / (х) — многочлен четвертой степени, то /" (х) —
квадратный многочлен, а потому имеет не более двух вещественных корней. Так
как / ( — 2) = / D) = 0, то по теореме Ролля на отрезке [— 2; 4] есть точка с,
такая, что /' (с) — 0. Но х± = — 2 и х2 = 4 — корни всорой кратности функции
/ (л:). Поэтому /' ( — 2) = f D) = 0. Применим теорему Ролля к функции /' (х)
на отрезках [— 2; с] и [с; 4]. Мы получим, что существуют точки сг и с2, —2 <
< q < с, с < с2 < 4, такие, что /" (q) = /г/ (с2) = 0. Значит, оба корня функции
/; {х) вещественны и лежат на отрезке [—2; 4].
Пример 7. Для функции / (л:) = хех найти такое б > 0, что если
1*2 — *il< 3 при 0 < xj. < х2 < 2, то |/ (ха) — / (хО | < 0,001.
Решение. По теореме Лагранжа
где хг < с < х2.
Если /(х) ^л:^, то f{ (х) =ех + хех = ехA + х). При 0 < х < 2 имеем
е* A + х) < Зе2. Поэтому
Для того чтобы выполнялось неравенство | / (х2)—/(^i)| < 0,001, достаточно
0,001 0,001'
чтобы | х2 — хх | было меньше, чем —^~ . Поэтому можно выбрать о= -
Пример 8. Функция у = Сех обладает тем свойством, что она всюду
равна своей производной (Сех)' = Сех. Существуют ли еще какие-нибудь
функции, обладающие этим свойством?
Решение. Пусть функция / (х) такова, что f (x) = f (x). Введем в рас-
рассмотрение функцию
и вычислим ее производную:
, f'(x)ex-f(x)ex
Так как это равенство тождественное, т. е. верное при всех х, то ф (х)= const.
Обозначая эту постоянную через С, получим / (х) = Се30, Этим исчерпываются
все решения уравнения у' ~ у.
Пример 9. Определить промежутки монотонности функций:
х2
a) f (х)=х5 + 2х* + х; б) Ф (х) = 1 — х3; в) Ц (х) = - — In x.
Решение. Поскольку все эти функции имеют непрерывную производ-
производную, обращающуюся в нуль не более чем в конечном числе точек, то решение
задачи сводится к установлению для каждой из данных функций промежутков,
где производная не меняет знака. Функция будет монотонно возрастающей (убы-
(убывающей) там, где ее производная больше (меньше) нуля.
149

а) Для первой функции производная равна /' (х) = 5х* + б*2 + 1. Легко
кидеть, что /' (х) > 0 в любой точке числовой оси. Следовательно, / (х) монотон-
монотонно возрастает в узком смысле на (— оо ; +оо ).
б) Для функции ф (х) производная равна ф' (х) = — Зх2. Так как <р' (х) <
< 0 при всех х и лишь в одной точке производная обращается в нуль (ф' @) =
=0), то функция ф (х) будет монотонно убывающей на всей оси (— оо; +оо).
в) Функция я|з (х) определена при х > 0 и имеет своей производной ip'(*) =
х 1
= ~5 ~~7'
Для определения промежутков убывания функции 1|з (х) решаем неравенство:
х2— 5
——<о.
Ьх
Но так как одновременно х> 0, то, значит, 1|э(*)< 0 в промежутке 0 < х <уг5"и,
следовательно, функция я|з (х) монотонно убывает на промежутке @; ]/).
В данном случае производная не имеет на всем промежутке @; сю) постоян-
постоянного знака. Поэтому для определения промежутков монотонного возрастания
ty(x) решаем неравенство:
х 1 х2 — 5
— — — > 0, или —— > 0.
5 л; ох
Из последнего следует, что числитель и знаменатель дроби должны быть одного
знака. Но так как х > 0, то должно быть и х2 — 5 > 0, откуда х > |/~5~]
Следовательно, функция я|з (х) монотонно возрастает на промежутке (]/~5~;+оо).
х? л
Пример 10. Доказать неравенство tgjt > л; + — при 0<л: < — .
3 2
о; —)
L 2 /
Решение. На промежутке о; —) рассмотрим функцию:
L 2 /
л?-
о
Производная этой функции /' (х) = cos~2 х — 1 — х2 = tg2 х — х2 = (fg x —
— х) - (tg х + л:) будет положительной на промежутке 10; — ), так как на
этом промежутке х > 0, tg х > 0 и tg х > #. На основании теоремы о монотон-
монотонности функции можно утверждать, что f(x) на 0; —¦ J монотонно возрастает в уз-
узком смысле. Так как / @) = 0, то для х > 0 будет и / (х) > 0, т. е.
tg х — х — — > 0, или tg х > х + -¦ .
Обращаем внимание читателя на то, что, хотя требуемое неравенство нужно до-
доказать в открытом промежутке, вспомогательную функцию мы рассматривали на
промежутке, включающем конец х = 0.
Пример 11. Доказать, что функция
* ™ ** _ 6* - 16
имеет монотонно убывающую непрерывную обратную функцию, определенную
на всей числовой прямой и принимающую значения на промежутке —2 < х < 8.
150

Решение. Мы имеем: lim f(х) = lim — ¦ =4-оо,
*->_2+0 X-+-2+0X2 — 6* — 16
lim /(*)= lim — — =—оо.
х _> 8-о х - со -о х2 — 6л; — 16
д.2 10
Кроме того, Г (х) - (х2_6х_16J < 0.
Значит, функция f (х) на промежутке ( — 2; — 8) монотонно убывает от + оо до
Поэтому она имеет обратную функцию с указанными свойствами.
200.2. а) Построить функцию / (x)f дифференцируемую во внутрен-
внутренних точках отрезка [а; Ъ ], удовлетворяющую условию / (а) = / F),
для которой нет точки с, а < с <; 6, в которой /' (с) = 0.
б) Построить функцию / (х), непрерывную на отрезке [a; b ],
удовлетворяющую условию / (а) — / F), для которой нет точки
с, а < с < 6, в которой /' (с) = 0.
в) Построить функцию / (х), непрерывную на отрезке [а; Ь],
дифференцируемую во внутренних точках этого отрезка, для кото-
которой нет точки с, а < с < 6, в которой /' (с) = 0.
201.2. Доказать с помощью теоремы Ролля, что уравнение
х4 — 4л: — 1 = 0 не может иметь более двух вещественных корней,
а с помощью теоремы Больцано—Коши установить, что два вещест-
вещественных корня действительно существуют.
202.2. Доказать, что все корни производной от многочлена f (x) =*
= (х + 1)(х — 1)(х — 2)(х — 3) вещественны, и указать гра-
границы, между которыми они заключены.
203.2. Доказать, что многочлен
имеет п корней на промежутке (—1; 1).
204.2. Доказать, что многочлен р** dn (е ' имеет п веществен-
dxn
ных корней (принять во внимание, что для любого k имеем
lim xke-*2 = 0).
X -*¦ оо
dn (xne~x)
205.2. Доказать, что многочлен ех— ¦ имеет п положи-
dxn
тельных корней.
206.2. Обнаружить ошибку в следующем рассуждении.
По теореме Лагранжа имеем:
f,(x+Ax)-f(x) = ^
Ах
где х < с < х + Дя. Перейдем к пределу, когда Дл: -> 0. При
этом х + Дх -> х, а потому с -> jc . Значит,
lim f (с) = lim ,/(* + А*)
с -* л; Ддр -^ 0 Ал:
151

т. е. производная любой функции, удовлетворяющей на некотором
отрезке условиям теоремы Лагранжа, непрерывна на этом отрезке.
207.2. Дана функция
/(*)=
х2 sin — , х ф 0,
*
0 , х = 0.
Покажите, что, хотя на отрезке [0; 1 ] для нее выполняются усло-
условия теоремы Лагранжа, ее производная разрывна в точке х =0.
Найдите точки, где f (х) = /' @) = 0.
208.2. Докажите, что если функция / (х) имеет производную
в некоторой окрестности точки а (исключая, быть может, саму эту
точку) и если существует lim /' (х) = L, то /' (а) = L.
х
209.2. Показать, что если / (х) и g (x) — дифференцируе-
дифференцируемые функции на отрезке [а; 6 ], то для некоторого с, а <С с < Ь,
имеем:
Г (с) = f(c)-f(a)
g'ip) g(b)-g(c) '
Указание. Рассмотреть / (х) g (х) — f (a) g (х) — g (b) f (x).
210.2. Обнаружить ошибку в следующем доказательстве теоремы
Коши. Пусть функции / (х) и g (x) на [а; Ь] удовлетворяют всем
условиям теоремы Коши (обобщенной теоремы о конечных прира-
приращениях). Тогда каждая из них будет удовлетворять и условиям
теоремы Лагранжа. Следовательно, для них можно записать форму-
формулу Лагранжа:
f(b) — f(a) = r(c)(p — a), где а<с<Ь,
g(b) — g(a) = g'(c)(b — a\ где a<c<b.
Разделив почленно первое равенство на второе и произведя сокра-
сокращение, получим формулу Коши:
g(b)—g (a)
211.2. На кривой у = х2 + Зх + 1 найти точку, в которой
касательная параллельна хорде, соединяющей точки А (—1; —1)
и ВA; 5).
212.2. Используя теорему Лагранжа о конечных приращениях,
доказать справедливость неравенств:
а) | sinх2 — sin xi \ < | х2 — х{ \, где xi и х2 — любые действи-
действительные числа;
б)
в) 1 Inл:2 — 1пл;д|< i*2""*1' , где хх и х2 из [а;
152

213.2. Определить значение с в формуле Коши для функций:
f(x) = x* и g(x) =х* + 1 на [1; 2].
214.2. Тоже самое для/ (л;)=sin x и g(x) = l +• cos х на |0; —1.
215.2. Удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля функция
. _ f х + 3, если х < —1,
* х4, если л: > — 1?
216.2. В формуле Лагранжа
определить значение с для функции у = хъ + Зл:2 + 6 на отрезке
[1; 2].
217.2. В формуле Лагранжа определить значение с на отрезке
[а; Ь\ для функций:
\^
а) у = х2; б) у = 5х3 + 2х; в) у = -^ ; г) у = хГ.
218.2. Функция f(x) = имеет равные значения на концах
отрезка [—1; +1 ], но ее производная /' (х) не обращается в нуль
ни в одной точке этого отрезка. Не противоречит ли это теореме
Ролля?
219.2. Почему теорема Коши не применима для функций / (х) =
= х2 и g (х) = Xs на отрезке [—1; + 1 ]?
220.2. а) Применима ли формула Лагранжа для функции / (х) =
= — на отрезке [а; Ь ], если аЬ < 0?
X
б) Применима ли теорема Лагранжа к функциям у = \х \ и
у = х2/3 на отрезке [—1; 1]? Дайте геометрическое истолкование.
221.2. Удовлетворяет ли функция
х, если х < 1,
f(x)
— , если х > 1,
X
условиям теоремы Лагранжа на отрезке [0; 4]?
222.2. Удовлетворяет ли функция
х2
условиям теоремы Лагранжа на отрезке [—1; 2]?
223.2. Удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля функция
х + 1, если х < 0,
е\ если х>0,
на отрезке [— 1; +1]?
153

224.2. Удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля функция
f(x) = ! 1~х*> если х<0'
Д ( l_x3, если х>0,
на отрезке [—1; + 1 ]? Если теорема применима, то найти ту точ-
точку с, в которой производная обращается в нуль.
225.2. Удовлетворяет ли функция f(x) — угхй(х— 1) усло-
условиям теоремы Лагранжа на отрезке ; — ?
Истолковать геометрически результат исследования.
226.2. Удовлетворяет ли функция f (х) = 4 -— х2 условиям
теоремы Лагранжа на отрезке [ —2; + 1 ]? Если теорема примени-
применима, то найти ту точку с, в которой
Истолковать геометрически результат исследования.
227.2. Если функция
х2, если л:< 1,
4х — х2 — 2, если х > 1,
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [0; 2], то
найти ту точку с, в которой /' (с) = "~" ' .
Ь — а
Вычертить график функции на указанном отрезке и истолко-
истолковать геометрически результаты исследования.
228.2. Удовлетворяют ли функции
/ (х) = ех и ф (х) = ~^Ц
условиям теоремы Коши на отрезке [—2; + 2 ]?
22^2. Удовлетворяют ли функции / (х) = sin x и ф (х) =
= V^ условиям теоремы Коши на отрезке [—8; +8 ]?
230.2. Доказать тождества:
a) arcsinx + arccosx= — , х ? [—1; 1];
б) arc sin
2х
п — 2arctg^:, если х> 1,
х2 2 arc tg*, если — 1 < х < 1,
1 —я—2arctgx, еслих< —1;
в) arctg* + arc
+х
-, если х>— 1,
4
, если х<.— 1,
4

«ccos 1^1-^_ 0<
— arc cos У 1-х2, — 1 <x< 1;
д) arcsinx =arctg
—— ,
1 — X2
Указание. Достаточно показать,что производные левой и правой частей
равны во всех внутренних точках, а сами функции равны хотя бы в одной
точке.
231.2. Показать, что y=cos2x+cos2( — + х\—cosx-cos (— +х\
есть постоянная (не зависит от х). Найти значение этой постоянной.
232.2. Показать, что функция у = 2 arc tg x + arc sin
1 + х2
остается постоянной при х > 1. Найти значение этой постоянной.
233.2. Для функции у = / (х) найти такое б > 0, что для лю-
любых двух точек хи х2 отрезка [а; 6 ], таких, что | х2 — xi [<
< б , выполняется неравенство | / (х2) — / (*J | < е:
а) f(X) = x3 — Зх2 + х + 1, а=— 1, 6 = 3, е =0,01;
б) f(x) = хsinxt a = 0, 6 = я, 8 = 0,001;
в) f(x) = х2 In x, а=1, 6 = 4, 8 = 0,01;
г) f(x) = arc sin л: + е*, а = > 6 =- —, 8=0,01;
д) /(*)=A:arctgA;, a=— 1, 6=1, 8 = 0,001.
234.2. Показать, что функция у = arc tg x — х убывает на
всей числовой оси.
235.2. Показать, что функция у = х — sin x возрастает на
всей числовой оси.
236.2. Определить промежутки возрастания и убывания функ-
функций: а) / (х) = Зх2 — 2х\ б) ф (х) = еХ + 5 х.
237.2. а) При каких значениях коэффициента а функция / (х) =
== х3 — ах возрастает на всей числовой оси?
б) При каких значениях коэффициента 6 многочлен Р (х) =
— х2 — Ъх убывает на отрезке [—1; + 1 ]?
238.2. Доказать, что если через рп и Рп соответственно обоз-
обозначить периметры правильных многоугольников, вписанных в
2 1
окружность радиуса R и описанных около нее, то — рп + — Рп>
О О
R.
239.2. а) Показать, что функция / (х) = х + cos х + а
возрастает на всей числовой оси.
б) При каких значениях Ь функция / (х) = sin х — Ьх + с
убывает на всей числовой оси?
153

240.2. Доказать, что функция у = х\пх имеет монотонно
возрастающую непрерывную обратную функцию, определенную на
луче ; + оо |. Исследовать вторую ветвь обратной функции,
определенную на ; 0 .
L s /
241.2. Исследовать ветви обратной функции для функций:
а) у = (х - 3)]/х; б) у = | - Vx\ в) у =
и
1_
г) у=-; д) У = A + *)*, 0<л;<-)-оо.
242.2. Доказать неравенства:
а) cos* > 1 при х > 0;
б) sin х > х при х > 0;
6
вJ"|/л:>3 —-
г) х — ~<arctgx<.x;— ^ @<х< 1);
3 о
д) {а + Ь
243.2. Доказать, что при х > 0 верны неравенства:
а) е* > 1 + л;
б) е*>1+х + ^;
в) e>i+ +
г) гх < 1 +.
д) ех < 1 + х + - '
+ ... + +
2! я! (я + 1)!
е) In {1 +*)<.*;;
Ж) ln(l +X) >Х— — ;
з) ^|
И) (+)>Х+...
2 3 2п
к) ind+xXx—-+- — ... +
2/z+l*
244.2. Используя полученные выше неравенства, вычислить зна-
значения: a) sin 0,21; б) cos 0,32; в) е^1ь\ г) In 1,12 с точностью
до 0,0001.
156

§ 8. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ
Пример 1. Пользуясь правилом Лопиталя, найти
1 — cos *
lim — .
X -> 0 tg *
Решение. Имеем неопределенность вида —. Применяя правило Лопи-
Лопиталя, получим:
1— cos* t. (I — cos*)' sin* 0
lim = hm ——— = lim — = — = 0.
x-*o tg* x-o (tg*) *-ocos-2* 1
Пример 2. Пользуясь правилом Лопиталя, найти
хх — *
lim —¦ .
х -> 1 In * — * + 1
0
Решение. Имеем неопределенность вида —. Применяя правило Лопи-
Лопиталя, получим:
(хх —х)'
¦
х х
hm = lim
im
-\ (In*—-
lim
hm lim .
х -l 1 х-+1 1 — *
*
После первого применения правила Лопиталя мы снова получили неопределен-
0
ность вида — . Применим к полученному выражению еще раз правило Лопита-
Лопиталя, т. е. еще раз заменим отношение получившихся функций отношением их про-
производных. Но прежде чем перейти к последующему дифференцированию, полезно
произвести возможные упрощения, сокращение общих множителей, использо-
использование уже известных пределов и т. п. В нашем примере можно в числителе выне-
вынести х за скобки и, перейдя к пределу, заменить его единицей.
Получим:
хAп*+1) 1 ,. (х\пх + х)(\пх + \) + х
lim = lim — =— 2.
х-+\ 1 —* х •* 1 — 1
Пример 3. Найти предел функции у = х2е— o.oix при * -> -}- оо.
Решение. Имеем неопределенность вида оо . 0. Сначала преобразуем
оо
ее к неопределенности вида —, затем применим правило Лопиталя:
оо
Jim A-"»*- lim -^ -шт Щ^ШТ" =\% (oOljUu =0.
Здесь также пришлось дважды применять правило Лопиталя.
Пример 4. Найти предел функции
lim
X -+ оо
157

00
Решение. Данный предел представляет собой неопределенность вида — •
Однако правило Лопиталя не может быть к нему применимо, так как предел от-
1 + cos х
ношения производных, т. е. lim ¦ , не существует.
X -* оо 1
Для вычисления данного предела разделим числитель почленно на зна-
знаменатель:
lim JLtiiH
I sinx\
= lim 1 + = 1,
*-oo\ X J
так как
sin*
lim = 0.
X-* oo X
Пример 5. Найти предел функции:
Решение. Данный предел представляет собой неопределенность вида
О
оо — оо. Сведем ее к виду — , для чего достаточно привести дроби к одному
знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Ло-
Лопиталя. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем
иметь:
а — 1 — х
x-*o\x ex — \j x-+o x(ex—l)
i. g-1 r
lim -—.—¦ = lim
^ l+*
.lim
— l+xe* x - о ex + ex + xe*
Пример 6. Найти предел функции
lim (sin х)
я
Решение. Данный предел представляет собой неопределенность вида
1 °°. Для вычисления данного предела следует искать предел не данной фун-
функции, а ее логарифма. Зная, чему равен предел логарифма данной функции,
мы легко получаем и предел самой функции. Найдем предел логарифма данной
функции:
lim In (sin х)г8 х = lim tg x • In sin x = lim =
я я я ctg*
Поэтому
158
lim -
"* 2
COS*
sin л;
sin**
lim (sin *)tj
я
— lim sin* cos*
x~* 2

Пример 7. Доказать, что при х ->¦ + оо функция г =
стрее любой степенной функции.
Решение. Положим х = у2. При любом п имеем:
растет бы-
быlim
= lim —= lim
= ... = lim
¦=+oo.
Это и показывает, что при х -Н~ оо функция г=е растет быстрее любой
функции / (а:) = хп.
Вычислить пределы:
245.2. lim
л;— а
246.2. lim
_> о cos а: —
260.2. lim
f + sin a;
261.2. lim [tg*-—1— 1.
л^ L 1 — sin x J
sin2
247.2. lim
— tgcp
я 1 + cos 4ф
248.2. lim ** — *"*
х->о InA + лс) '
рХ /,sin x
249.2. lim - .
X -+0 X —
250.2. lim
x-+0
262.2. lim
im [—- -i-
-1 I* — 1 ш *
263.2. lim
264.2. lim (-— (
265.2.
— 10'
*-oL*(i+*)
251.2. lim *»i"(»in*)-sin»*. 266e2e Um ^i_^
252.2. lim
x ->0
253.2. lim
sin a; — x cos a:
sin3 a:
ex e-x 2x
267.2. lim
im ;
:->0 L
nx— 1
2a:2
x — sin a:
254.2. lim lnA+*2)
^ -* о cos 3a: — e~x
255.2. lim a" ~ .
x -> l In a:
256.2. lim
268.2. lim (-2
269.2. lim
In A -{-ax)
iB
x»2
258.2. lim
259.2. lim
X -> oo
— 3x+ 2
я \ ctg x 2 cos x
*" 2~
270.2. lim^.
271.2. lim***
272.2. lim (-
273.2. lim (cosax)sin" **
274.2. lim 2 — -
x ->a\ a
яд:
'2a
159

275.2.
276.2.
277.2.
л
278.2.
279.2.
lim I
lim л
X-.+O
lim |
lim (
X -*- o»
¦ i yg ^
i
:ln(«*-l) e
l
lim Vx\nmx.
283.2.
284.2.
285.2.
fjo а о
287.2.
lim
x-+0
lim
lim
lim
(cos
ln(l
(-1
1
— ) •
1
axf.
arctgxj .
a/ a
280.2.' lta arc sin ^-a ctg (x - a). 288'2'
lim e-(l+*)
*
282.
291
Ук
292.
в точке
.2.
.2.
аз
2.
1Ш1 ^l
lim (tg
Найти
а н и е.
Найти
х = 0.
1
lim б
д; -0 Xй
2Q0
Сделать подстановку х — — .
у
производную функции
/(*) =
\е х\ х*
1 0, х =
2
0,
о,
lim v
X •* U Л
Указание. Воспользоваться определением производной и результатом
задачи 291.2.
293.2. Построить функцию / (х), бесконечно дифференцируемую
на всей прямой, не равную тождественно нулю и обращающуюся
в нуль вне отрезка [—4; 5].
294.2. Показать, что
х — sin х
х - ос х -4- cos х
lim
существует и равен 1, но не может быть вычислен с помощью прави-
правила Лопиталя.
160

295.2. Применимо ли правило Лопиталя для вычисления следую-
следующих пределов:
X к
a) lim б) lim ?
х _* + *> х — sin х х -> + °° е~х B — sin х — cos х)
Исследовать эти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
296.2. Сравнить порядок роста при х ->¦ + °° следующих
функций с порядком роста степенных функций:
О I
6)y = (\nxf, р>0; е)у=— р;
в) у = sh а:; 1 — Г т
г) у = ]/ЗГ arctgx; ж) у =хх — 1;
v _ -./— . л:2 cos3 л: 3) у = In (л: In X).
щ у- vх+ 1 + Х2 ;
297.2. Сравнить порядок роста этих функций при х ->+ °° с
порядком роста функций у = еа*, у = в^а, у = (lnjc)a.
298.2. Сравнить эти же функции при х -> 0 со степенями пе-
переменной х.
299.2. Существует ли ПтехПе~еХ?
Глава 4.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
§ 9. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию: у = -~ х3 — — х2 +
о 2
+ 6х.
Решение. Находим производную: у' = х2 — Ъх + 6. Приравниваем
ее нулю: х2 — Ъх + 6 = 0. Корни уравнения хг = 2 и х2 = 3 будут стационар-
стационарными точками. Поскольку производная всюду существует и конечна, то в данном
случае нет других точек, «подозрительных» на экстремум. Проверим достаточные
условия экстремума. Для этого производную удобнее представить в следующем
виде:
у'- (* —2)(* —3).
1) Исследуем точку хх = 2. Рассматривая значения *, близкие к хг = 2,
т. е. значения х из некоторой окрестности B —6, 2 + 6), достаточно малой, что-
чтобы в нее не попала вторая «подозрительная» точка л:2=3, мы увидим, что уг > 0
при х < 2 и у < 0 при х > 2. Следовательно, в точке хх = 2 функция имеет
максимум. Значение функции равно:
161

2) Исследуем точку х2 = 3. Аналогично, рассматривая значения х, близкие
к х2 = 3, мы получим, что ут < 0 при х < 3 и /> 0 при * > 3. Следовательно,
в точке х2 = 3 имеется минимум. Значе-
Значение функции равно:
=Д • З3 — -
*=з 3 2
Используя сведения, полученные о
функции, и замечая, что у = О при # = О,
можно дать приближенное графическое
изображение этой функции (рис. 6.2).
Пример 2. Исследовать на экст-
экстремум функцию у = (х — 2J (х + IK.
Решение. Функция определена и
непрерывна на всей оси (—* оо ; +оо).
Ее производная
у()(+) + (
2J (х + IJ = (*- 2) (* + IJ Bх + 2+
всюду непрерывна. Следовательно, «по-
«подозрительными» на экстремум будут
лишь точки, в которых производ-
производная равна нулю. Решая уравнение
/ 4\ 4
(л: — 2) (х + IJ л: — —¦ = 0, получим: хх =— 1, х% = — , х3 = 2.
\ О / О
Этими стационарными точками область определения функции разобьется на сле-
следующие промежутки:
Беря на этих промежутках пробные точки, убеждаемся, что распределение
знаков у' будет следующее:
(
-ос; -1), (-I;"}), (j: 2)'
Отсюда видно, что в точке хг =— 1 экстремума нет; в точке х2 = — имеем мак-
симум У
2244
о 7
в точке
— минимум у (
0.
5
Заметим также, что постоянство знака производной внутри каждого из про-
промежутков указывает на монотонность функции в каждом промежутке.
162

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию у = | х | .
Решение. Находим производную. Для х > О будет \х\ = х и у'= 1,
для х < 0 будет |x| = — х и у' = — 1. В точке * = 0 производной нет, но функ-
функция непрерывна. Однако в этой точке налицо минимум, так как при переходе
через х = О производная меняет знак с минуса на плюс. Значение функции:
у|х=о =0. График этой функции изображен на рисунке 7.2.
2_
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию у =*3 .
1 х
1 \
I
1
1
1
-/
У i
и
х
\
\
0
/
/I
/ I
/ I
/ j
; к
Рис. 7.2
Решение. Находим производную:
/={*
В точке х—0 она не существует и lim у'=оо. Следовательно, эта точка являет-
х -*• О
ся «подозрительной» на экстремум. Так как у' < 0 при х < О и у' > 0 при х> О,
то в точке х = 0 имеется минимум. Значение функции у\х=о = 0.
График этой функции изображен на рисунке 8.2.
Пример 5. Исследовать вто-
вторым способом на экстремум функцию
Рис. 8.2
Решение. Мы имеем:
Стационарными точками функции / (х) яв-
являются точки хг = 2 и х2 = 3.
Находим вторую производную:
f" (х) = 2* — 5.
Так как /" B) = 2 -2 — 5 < 0, то в
точке хх = 2 имеем максимум.
Так как /" C) = 2 -3 — 5 > 0, то в
точке х2 = 3 имеем минимум.
Второй способ исследования стационарных точек не всегда применим. Слу-
Случаи, когда первой производной в исследуемой точке не существует, а также когда
вторая производная равна нулю, этим способом исследования не охватываются.
Иногда и вычисление второй производной настолько громоздко, что проще вос-
воспользоваться первым способом исследования.
Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у =
= я4 —» 2х2 + 5, заданной на отрезке [ ,— 2; + 2].
163

Решение. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую произ-
производную у' = 4х3 — Ах = 4х (х2 — 1). Решаем уравнение: 4х (х2 — 1) = 0, и
находим стационарные точки хг = 0, х2 = — 1 и х3 = 1.
Определяем значение функции в найденных точках и на концах отрезка:
Сравнивая значения функции в стационарных точках и значения на концах,
заключаем, что у = 4 является наименьшим, а у = 13 — наибольшим значени-
значениями функции на указанном отрезке.
Замечание. При решении задач практического содержания часто мож-
можно не проверять аналитически достаточность условий экстремума (с помощью
первой или второй производной). Заключение о наличии экстремума обычно лег-
легко сделать на основании условий задачи. Это относится также и к отысканию наи-
наибольших и наименьших значений.
Примерный план решения текстовых задач на экстремум таков:
1) Выбрать независимое переменное и установить область его изменения.
2) Выразить исследуемую величину через аргумент.
3) Найти стационарные точки и точки, в которых исследуемая функция не
имеет производной (в частности, точки, где производная обращается в бесконеч-
бесконечность). Из числа последних точек исключить точки несуществования функции.
4) Вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка
изменения аргумента и выбрать из этих значений наибольшее или наименьшее.
Для упрощения исследования на экстремум функции у = / (х) иногда можно
заменить ее более простой функцией у — ф (л:). Именно:
1) Если исследуемая функция имеет вид у = kq> (х) + Ь, где k и b постоян-
постоянные, причем k > 0, то ее можно заменить функцией у = Ц> (х), поскольку / (х)
и ф (я) имеют одни и те же точки экстремума (хотя экстремальные значения у
этих функций различны). Если k < 0, то функции f(x) и ф (х) имеют одни и те
же экстремальные точки, причем точкам максимума функции / (х) соответствуют
точки минимума ф (я) и обратно.
2) Если функция / (л:) имеет вид ]/"ф (я), то ее можно заменить функцией
Ф (а:), поскольку f (х) и ф (х) имеют одни и те же точки экстремума (в области
<Р (х) > 0).
3) Функцию вида у = при ц> (х) > 0 можно заменить функцией ф (л:),
<р(х)
имея в виду, что точкам максимума функции соответствуют точки мини-
Ф W
мума функции ф (х), и обратно.
Пример 7. Найти число, которое, будучи сложенным со своим квадратом,
дает наименьшую сумму.
Решение. Обозначим искомое число через х. Сумма
х + х2 = / (х), — оо < х < + оо ,
«удет, очевидно, функцией, подлежащей исследованию. Имеем:
/'(*) = 2*+1,
и решая уравнение 2х + 1 = 0, получаем х— . Так как f"(x) = 2 для
всех х, в том числе и для х =—-— , то f(x) в точке дс=—— имеет минимум.
Его значение /I — —) =— — + — =— —- . Это значение, очевидно, будет
V 2 / 2 4 4
и наименьшим значением, так как на всей области своего существования (-^ оо;
-f оо ) функция не имеет больше точек экстремума.
164

Пример 8. Нужно построить прямоугольную площадку возле камен-
каменной стены так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а
четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров
сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую пло-
площадь?
Решение. Обозначим стороны площадки через х
и у, как показано на рисунке 9.2. Тогда площадь пло-
площадки будет равна 5 = ху. По условию, данному в за-
задаче, должно выполняться равенство 2* + у = а. Поэто-
а
му у = а — 2х и 5 = х (а — 2х), где 0 < х < — . (Об-
(Область существования функции 5 определяется из тех со-
соображений, что длина и ширина площадки не могут быть
отрицательными.) Теперь решаем по обычной схеме:
5' = а — 4х, а — 4х = 0, х = — ,
4
у= а —
Рис. 9.2
• 4 < 0, то при х = — функция 5 имеет максимум. Значение
4
Так как S" =
функции
Поскольку функция S (а:) непрерывна на
CL I CL \ CL ^\
И]-
ее значения на концах 5@)
и S — I равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением
функции. Таким образом, наиболее выгодным
соотношением сторон площадки при данных
у
условиях задачи является — = 2.
Пример 9. В данный шар вписать ци-
цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверх-
поверхность.
Решение. Пусть радиус шара R, а ра-
радиус основания цилиндра г (рис. 10.2). Тогда
высота цилиндра h определится по формуле
/i== 2J/"/?2 — г2, а боковая поверхность S — по
формуле: 5 = 2яг . 2 У R2 — г2, при этом 0 <
< г < R. Отсюда
S' = 4я (/Я2- г2 —
Рис. 10.2
S' = 0 при R2 — 2г2 = 0, откуда г = —-=• -
165

Функция S(r) положительна и непрерывна на [0; /?]. На концах отрезка она рав-
на нулю. Следовательно, внутри отрезка и именно при г = -= она имеет наи-
наибольшее значение. Цилиндр такого радиуса будет искомым.
Пример 10. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки
берега А. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу
на расстоянии 5 км от А. Лодка проп-
проплывает по 4 км в час, а пассажир, выйдя
из лодки, может в час пройти 5 км. К
какому пункту берега должна пристать
лодка, чтобы пассажир достиг села В в
кратчайшее время (рис. 11.2)?
Решение. Путь Sx пассажир про-
проплывает со скоростью vx =4 км/ч, а путь 52
пассажир проходит со скоростью у2=5/сж/ч.
Так как St = У9 + х2, a S2 = 5 — х, то
исследуемая функция будет такова:
в
f_ V9 +
4
i+5-x
Рис. 11.2
Дифференцируя полученную функ-
функцию, имеем:
Приравняв производную нулю, получаем х = 4 /слс, а следя за знаком первой
производной для значений, несколько меньших 4 и несколько больших 4, убеж-
убеждаемся, что производная меняет знак с — на +, т. е. функция t при х = 4
имеет минимум. Итак, лодка должна пристать к пункту С, находящемуся на рас-
расстоянии 4 км от пункта Л.
Найти максимумы и минимумы функций и построить графики
этих функций:
309.2. у=— х2У(х — 2J.
14
300.2. у = л:2 — 6* + 8.
301.2. у = л;2(л; — 4).
302.2. у = х*е~х.
303.2. у = {/**.
304.2. у = л3— 12л:+1.
305.2. у = sin х + cos л:.
306.2. у = ех + е'х.
307.2. у =
л;2+4'
ЗЮ.2. у=
311.2. у = у2х* + Зл:2 — 36*.
312.2. у = sin х — х.
313.2. y=sinx—* + -.
3
314.2. у =
если л: 9Ь 0,
если л: = 0*
308.2. у = уОс2 + У{х — 2J. 315.2. у = ]/е*$ — х2.
166

Выяснить, существуют ли наибольшие и наименьшие значения
функций на указанных промежутках. Если они существуют, то най-
найти их значения:
316.2.
317.2.
318.2.
319.2.
320.2.
321.2.
322.2.
323.2.
324.2.
325.2.
У =
У =
У ==
У =
У =
У =
У =
у =
|л:|
л:3 —6л:
л: + 2]/Ос
х2
cos л:
1
Е(х)
г4 _ 9 у2 J-.
х + 2|/*х"
х 1—х
(—1 <х<1).
(— 3 < х < 4).
@<л;<4).
@<л< 1).
(о<*<|).
@<х<4).
(—2 <*<!).
[-2; 2].
[0; 4].
@<дс<1, а>0, 6>0).
326.2. у = sin 2x — х (—- <х <-),
V 2 2/
327.2. y = 2tgx —
328.2. у = Xх @,1 < х <оо).
329.2. у = yf(x2 — 2лJ @ < х < 3).
330.2. у = arc tg!—^ @ < х < 1).
1 -р X
331.2. Дано л положительных чисел аи а2, ..., аЛ. Определить
наименьшее значение функции
% +
У
при jc > 0. Пользуясь полученным результатом, доказать мето-
методом математической индукции, что
-{ai + a2+ ... + ап).
п
Выяснить, существуют ли наибольшие и наименьшие значения
функций на указанных промежутках.
332.2. у =
333.2. у = cos* + sin* .v^^v>^- ,.
334.2. y = i.
x
167

335.2. Доказать, что функция у = х sin — имеет бесконеч-
X
ное множество точек максимума и минимума на отрезке [0; 1 ].
336.2. Можно ли утверждать, что если функция / (х) в точке
х0 имеет максимум, то в некоторой достаточно малой окрестности
этой точки слева от точки х0 функция / (х) возрастает, а справа от
нее убывает? Рассмотреть пример:
f(x) = 2 — х2 B + sin -!), если х ф 0 и /@) = 2.
337.2. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра,
вписанного в полуокружность радиуса /?.
338.2. В сегмент круга радиуса /?, имеющего центральный
угол а, а<я, вписать прямоугольник наибольшей площади.
339.2. На странице книги печатный текст должен занимать S см2.
Верхнее и нижнее поля должны быть по Ь см, правое и левое —
по а см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то
каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
340.2. В прямоугольной системе координат дана точка A; 2).
Провести через эту точку прямую линию так, чтобы она образовала
вместе с положительными полуосями координат треугольник наи-
наименьшей площади.
341.2. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полу-
полукругом. Периметр равен Р. Каковы должны быть размеры окна,
чтобы оно пропускало наибольшее количество света?
342.2. Проволоку, имеющую длину /, предполагают разрезать
на две части, из которых одну требуется согнуть в окружность,
а другую — в квадрат. При какой длине каждой из чаетей сумма
площадей круга и квадрата окажется наибольшей?
343.2. Предполагают изготовить пластинку в форме прямоуголь-
прямоугольника с приставленными к нему на двух противоположных сторонах
полукругами. Каковы должны быть линейные размеры пластинки
для того, чтобы при заданном периметре 2р контура ее площадь
была наибольшей?
344.2. Имеются три доски шириной а, а и 2а. Из этих досок
требуется изготовить наибольшего объема желоб, у которого бока
были бы одинаково наклонены ко дну.
345.2. Найти длину наименьшего отрезка, который делит равно-
равносторонний треугольник на две равновеликие части.
346.2. Через точку Р внутри угла АОВ провести пря-
прямую MNy отсекающую от угла треугольник M0N наименьшей
площади.
347.2. Найти углы треугольника ABC с наибольшей площадью,
если даны основание ВС = а этого треугольника и противолежа-
противолежащий ему угол ВАС=а.
348.2. Найти углы треугольника ABC с наибольшим перимет-
168

ром, если даны основание треугольника ВС = а и противолежащий
ему угол ВАС =а.
349.2. В круговой сегмент с центральным углом а вписать тра-
трапецию наибольшей площади.
350.2. В круговой сектор радиуса R с прямым центральным
углом вписан прямоугольник так, что одна его вершина совпадает
с центром круга, а противоположная ей вершина лежит на окруж-
окружности. Определить размеры прямоугольника: а) наибольшей пло-
площади; б) наибольшего периметра.
351.2. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного
треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот
треугольник круга был наибольшим?
352.2. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС па-
параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника
ABC была наибольшей.
353.2. Через данную точку Р A; 4) провести прямую, не прохо-
проходящую через начало координат, так, чтобы сумма длин отрезков, от-
отсекаемых ею на положительных координатных полуосях, была наи-
наименьшей.
354.2. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади,
вписанного в эллипс
v2 V2
- +2- = 1.
а2 ^62
355.2. На оси параболы у2 = 2рх дана точка М на расстоянии
а от вершины. Найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой.
356.2. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около
данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и b рав-
равна nab).
357.2. Через какую точку эллипса — + -^- = 1 следует провес-
8 18
ти касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой
касательной и осями координат, была наименьшей?
358. 2. Для какой точки Р параболы у2 = 2рх отрезок нор-
нормали в Р, расположенный внутри кривой, имеет наименьшую
длину?
359.2. Показать, что касательная к эллипсу, отрезок которой
между осями имеет наименьшую длину, делится в точке касания
на две части, соответственно равные полуосям эллипса.
360.2. В прямоугольной системе координат хОу даны точка
Р (а\ Ь) и кривая y=f (x). Показать, что расстояние между постоян-
постоянной точкой Р (а\ Ь) и переменной N (х; f (x)) может достигнуть экстре-
экстремума только в направлении нормали к кривой у = / (х).
361.2. Дана парабола у2 = 2рх, р > 0, . и точка Р (х±\ уг)
внутри нее (у\ < 2pxt). Найти кратчайший путь, ведущий от
данной точки Р к точке Q параболы, а затем к фокусу F I ~; 0J
169

параболы. Показать, что угол FQP делится нормалью параболы
пополам и что прямая QP параллельна оси параболы.
362.2. Дан эллипс х— + у— = 1 и точка Р ( х{\ у{) внутри не-
него. Найти кратчайший путь, ведущий от данной точки Р к точке
Q эллипса, а затем к фокусу ^4 (с; 0) эллипса.
363.2. Показать, что (см. 362. 2) угол FQP делится нормалью
эллипса пополам и что прямая QP проходит через второй фокус
^2 (—с\ 0) эллипса.
364.2. Дан ящик с квадратным основанием и объемом V. Ка-
Каковы должны быть его размеры для того, чтобы поверхность (без
крышки) была наименьшей?
365.2. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиуса R.
366.2. Найти высоту конуса наибольшего объема, который мож-
можно вписать в шар радиуса R.
367.2. Около данного цилиндра описать конус наименьшего
объема (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать).
368.2. Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего объ-
объема, описанного около шара радиуса R.
369.2. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наимень-
наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара.
370.2. В данный конус вписать цилиндр наибольшего объема.
371.2. Определить отношение высоты конического шатра к ра-
радиусу основания при условии, что его боковая поверхность наимень-
наименьшая при заданной вместимости.
372.2. Каковы должны быть размеры консервной банки, име-
имеющей наибольший объем, при заданной площади поверхности?
373.2. Консервная банка имеет форму цилиндра объема V.
Каковы должны быть высота и диаметр основания, чтобы на изготов-
изготовление банки пошло наименьшее количество жести?
374.2. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Ка-
Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного
вращением этого треугольника вокруг его основания, был наиболь-
наибольшим?
375.2. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Ка-
Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованно-
образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наи-
наибольшим?
376.2. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного
около полушара радиуса R (центр основания конуса лежит в цент-
центре шара).
377.2. Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар
радиуса /?, для того чтобы его боковая поверхность была наиболь-
наибольшей?
378.2, Коническая воронка, радиус основания которой R, а
высота Я, наполнена водой. В воронку погружается шар. Каким
170

должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из во-
воронки погруженной частью шара, был наибольшим?
379.2. Требуется изготовить коническую воронку с образующей,
равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем
был наибольшим?
380.2. Из круга радиуса R вырезан сектор с центральным уг-
углом а. Из сектора сделана коническая поверхность. При каком угле
а объем полученного конуса будет наибольшим?
381.2. Из всех ваз одинаковой вместимости и имеющих форму
усеченного конуса, в котором образующая составляет с основанием
угол а, найти ту, у которой полная поверхность была бы минималь-
минимальной.
382.2. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде
открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму
дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опи-
опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наи-
наибольшей.
383.2. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диа-
диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м. Требуется
вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось
которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наи-
наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
384.2. Ряд опытов привел к п различным значениям: xi9 х2, ...,
хп для исследуемой величины А. Часто принимают в качестве зна-
значения А такое значение х, что сумма квадратов отклонений его от
xi9 хъ ... , хп имеет наименьшее значение. Найти х, удовлетворяю-
удовлетворяющее этому требованию.
385.2. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки бе-
берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный
в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега
(лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком
по 5 км/ч ,а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он дол-
должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
386.2. Прямо над центром круглой площадки радиуса R нужно
повесить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наи-
наилучшим образом освещал дорожку, которой обведена площадка
(Степень освещения некоторой площадки прямо пропорциональна
косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света.)?
387.2. На отрезке длиной /, соединяющем два источника све-
света силы /4 и 1^ найти наименее освещенную точку.
388.2. Картина в 1,4 м высотой повешена на стешу так, что ее
нижний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоя-
расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было
наиболее благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол зре-
зрения был наибольшим)?
389.2. Дождевая капля, начальная масса которой т0, падает
171

под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль
массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональнос-
пропорциональности равен k). Через сколько секунд после начала падения кинети-
кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротив-
(Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
390.2. Рычаг второго рода имеет точку опоры в Л; в точке В
(АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага равен k.
Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновешивался
наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен рав-
равняться сумме моментов груза Р и рычага.)
391.2. Из круглого бревна данного диаметра d требуется вы-
вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы она, находясь
в горизонтальном положении, оказала наибольшее сопротивление
на изгиб (известно, что сопротивление изгибу прямо пропорциональ-
пропорционально произведению ширины сечения на квадрат высоты сечения).
392.2. Три пункта Л, В и С расположены не на одной прямой;
/.ABC = 60°. Из точки А выходит автомобиль, а одновременно из
точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению к Б со
скоростью 80 км/ч, поезд — по направлению к С со скоростью
50 км/ч, В какой момент времени (от начала движения) расстояние
между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ =
= 200 км?
393.2. От канала шириной а под прямым углом к нему отходит
канал шириной Ь. Стенки каналов прямолинейны. Найти наиболь-
наибольшую длину бревна /, которое можно сплавлять по этим каналам из
одного в другой.
394.2. Завод А стоит от железной дороги, идущей с юга на се-
север и проходящей через город В, считая по кратчайшему расстоянию,
на а км. Под каким углом ср к железной дороге следует построить
подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из Л в В
была наиболее экономичной, если стоимость провоза одной тонны
груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути р руб.,
по железной дороге — q руб. (р <.д) и город В расположен в Ь
км севернее завода Л?
§ 10. НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ КРИВОЙ.
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Пример 1. Кривую у = Зле4— 8х3 + б*2 f 12 исследовать на направле-
направление вогнутости и найти ее точки перегиба.
Решение. Находим производные:
у' = 12л;3 — 24л:2 + 12*,
f = 36л:2 - 48л: + 12 = 36 (х - 1) (х—-)9
1 V 3/
откуда видим, что у" = 0 в точках х = 1, х = — . Вся область определения
о
функции разбивается этими точками на три промежутка:
172

Hi)- {b
На каждом из них у" будет иметь постоянный знак.
1
Методом пробных точек получаем, что на промежутке х < — у" > 0, при
— < х < 1, у" < \ и при х > 1
о
у" > 0. Распределение знаков у"
по промежуткам показывает, что данная кривая в точках х = — и jc= 1 имеет
о
перегибы, на промежутках I — оо; -— 1 и A; + оо) вогнута вверх (так как у">0),
\ 3 /
а на (— ; 1 ) вогнута вниз (так как у" < 0).
/ _
Пример 2. Кривую у = УхЪ исследовать на направление вогнутости
и найти ее точки перегиба.
Решение. Находим производные:
1
/ 5 V 2
, Г 5 Г „ Ю
У = W / = -х , у"=-
X =
В данном случае у" нигде в нуль не обра-
обращается. В точке х = 0 вторая производная у"
не существует. Но так как у" < 0 при х < 0 и
у" > 0 при х> 0, то в точке х= 0 кривая
имеет перегиб, и направление вогнутости вниз
сменяется на направление вогнутости вверх
(рис. 12.2).
395.2. Показать, что кривая у =
= х2 +¦ #4 всюду вогнута вверх.
396.2. Показать, что кривая у =2х2+
+ Зх — 1 везде вогнута вверх.
397.2. Показать, что кривая у = Рис. 12.2
= 1п (х2— 1) везде вогнута вниз.
398.2. Показать, что кривая у=(х + IL + ех везде вогнута
вверх.
399.2. Исследовать данные кривые на направление вогнутости
и перегиб: а) у = х4 — 6л2 + 5; б) у = л;4 A2 1пл*-— 7); в) у =
Д) У = •
"^ А" "^ I
400.2. Определить направление вогнутости кривой у = д5 —
— 5л:3 — 15х2 + 30 в точках х = 1 и * = 3.
о
401.2. При каких значениях а кривая у = х* + ах* + — х2 +
+ 1 будет вогнута вверх на всей числовой оси?
402.2. Показать, что кривая у = —— имеет три точки пере-
перегиба, лежащие на одной прямой.
173

403.2. Показать, что точки перегиба кривой у = л: sin л;
лежат на кривой у2 D + х2) = 4jc2.
404.2. При каких значениях а и Ь точка А A;3) является точ-
точкой перегиба кривой у = ах3 + Ьх2?
405.2. На примере функции у = *4 + 8а;3 + 18х2 + 8 про-
проверить, что между абсциссами точек перегиба кривой может и не
быть точек экстремума.
406.2. Доказать, что: а) график всякого четного многочлена с
положительными коэффициентами обращен выпуклостью вниз;
б) график всякого многочлена нечетной степени, отличного от ли-
линейного, имеет хотя бы одну точку перегиба.
407.2. Доказать, что О (о,о) является точкой перегиба для кри-
кривой у = л? + л:4 sin —.
х
408.2. Выбрать а и Р так, чтобы кривая *2у +си + ру =0
имела точку А B; 2,5) точкой перегиба. Какие еще точки перегиба
будет она иметь?
409.2. При каких значениях а график функции у == е* + ах3
имеет точки перегиба?
410.2. Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функции
не может совпадать с точкой экстремума этой функции.
411.2. Показать, что у любой дважды дифференцируемой функ-
функции между двумя точками экстремума лежит по крайней мере одна
абсцисса точки перегиба графика функций.
412.2. При каких значениях р и q функция у = хр/9 имеет
точку перегиба при х = 0?
§ 11. АСИМПТОТЫ КРИВОЙ
Пример 1. Найти асимптоты кривой:
2х* + Зх — 5
У~ х(х-4) '
Решение. Так как
г 2л:2 + Зх - 5 п
hm у = hm = 2,
*-><» *->ео Х(Х — 4)
то прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой данной кривой. Посколь-
Поскольку, как легко видеть, у -> оо при х -+0 и при х -^ 4, то прямые х = 0 (ось Оу)
и х == 4 являются вертикальными асимптотами.
Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот, т. е. асимптот вида
у = kx + b. Найдем сначала угловой коэффициент k наклонной асимптоты, т. е.
у
предел отношения — при х -> оо :
х
у , 2х2 + 3* — 5
к = lim - = Urn —-7 — =0.
К * » X X -> « X2 (X 4)
Так как k = 0, то данная кривая наклонных асимптот не имеет.
При построении графика функции следует прежде всего нанести на чертеж
ее асимптоты, если таковые имеются. Это значительно облегчит построение гра-
174

фика и даст представление о его поведении за пределами чертежа. График данной
функции изображен на рисунке 13.2.
Пример 2. Найти асимптоты гиперболы:
х* У2 ,
Решение. Преобразуем уравнение гиперболы к явному виду:
Поскольку
lim у = Нт (± -~Ух2— 9 ]=±оо,
-2
2 3
5 6 7 8 9
Рис. 13.2
то горизонтальных асимптот нет. Легко видеть, что у->± оо только при
у
Значит, у кривой нет и вертикальных асимптот. Найдем предел отношения — при
lim
У / 4 •
X X --\-О9 \ О
4
Значит, k = ± "г* . Найдем предел разности у — /гя при я -> оо :
3
e±-i lim
3
lim (± 1^?379Т1*) =
3 ^
1 lim
3
= 0.
175

4
Значит, 6=0. Наклонными асимптотами гиперболы являются прямые у = — х
и у = — — х. Они являются асимптотами и при х -*- —сю.
«3
Пример 3. Найти асимптоты кривой:
у = 2х + arc tg -^ .
/ *\
Решение. Так как lim у = lim 2х +агс tg — = оо,
Х-+ оо *-* оо \ 2/
то горизонтальных асимптот у кривой нет. Нет у нее и вертикальных асимптот,
поскольку у -> оо только при * -» оо . Выясним вопрос о наклонных асимпто-
асимптотах. Имеем: при х -> + оо
T
lim ~= lim =2 (fc=2),
lim (у — 2*)= lim arctg~ = -^ lb=~)m
-4-ое a: ->+oo 2 2 \ 2 /
Если же jc-> — со, то/г=2и 6= .
Следовательно, кривая имеет две наклонные асимптоты:
у =2х+ — (при х->+оо),
у = 2х—~ (при л:->—оо).
413.2. Найти асимптоты кривых:
л:2 — 1
д4
(l +xJ ' е) у = i
ж) у = л* f 1 4- — V. (л: > 0).
V */
414.2. Найти асимптоты кривых:
\ 2х — 1 # б^ v — ^2 ~ sin3*
^ — 1 х2 + 9
в) у = —^ ; г) у = Зл: —
д) у = 4л: + arc tg —; е) у =
176

§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ
При построении графиков исследование функций можно вести по схеме, из-
изложенной на стр. 44, дополнив ее вопросами:
1) отыскать экстремумы функции;
2) исследовать функцию на выпуклость и вогнутость и найти ее точки перегиба.
При исследовании функции следует применять методы дифференциального
исчисления.
Пример 1. Исследовать и построить график функции:
X2
У ~ 4 - х2 '
Решение. 1) Функция существует всюду, кроме точек х = ± 2.
2) Она является четной, так как f (— х) = / (я). Следовательно, ее график
симметричен относительно оси Оу. Воспользуемся этим обстоятельством и огра-
ограничимся исследованием и построением графика функции только для х > 0. Вто-
Вторая часть графика для х < 0 может быть достроена по симметрии.
3) Функция не периодична.
4) В точке х = 2 функция имеет разрыв второго рода, причем:
х2 v2
Игл ;=+оо, Нт
х -> 2—0 4 —• Xй х-* 2-fO 4-Х2
Значит, прямая х = 2 является вертикальной асимптотой для данной кривой.
5) Исследуем поведение кривой при х -*• + оо . Имеем:
lim -±— =-1.
*-> + оо 4— X2
Таким образом, прямая у =—1 является горизонтальной асимптотой для дан-
данной кривой.
6) Кривая проходит через начало координат, так как у =0 при х = 0. Дру-
гих точек пересечения кривой с осями координат нет.
7) Находим производную:
D — х2) 2х + 2х • х2 8х
У ~ D —л:2J ~~ D—л:2J '
и приравниваем ее нулю. Получим 8* = 0, или х = 0. Поскольку точка х = 0
фактически является внутренней точкой области определения функции, то в ней
может быть экстремум. Но мы не будем проверять достаточные условия экстремума
в этой точке, так как при симметричном достраивании графика вопрос об экстре-
экстремуме в этой точке будет решен и без этого.
8) Исследуем кривую на направление вогнутости и перегиб. Имеем:
„ __ 8 D — х2) + 16* D — х2) 2х __ 24л:2 + 32
У "" D-х2L " D — X2)* '
Знак у" совпадает со знаком ее знаменателя (так как числитель всегда положи-
положителен):
у" > 0 при 4 — х2 > 0, откуда 0 < х < 2,
у" < 0 при 4 — х2 < 0, откуда х > 2.
Значит, на промежутке @; 2) кривая направлена вогнутостью вверх, а на проме-
промежутке B; + оо) — вогнутостью вниз. Точки перегиба, как известно, могут быть
на границах между промежутками с различными направлениями вогнутости
кривой. В нашем случае такой граничной точкой является точка х = 2, но в ней
функция не существует. Следовательно, точек перегиба нет. График этой функ-
177

ции дан на рисунке 14.2. Как
видим, в точке х = О функция
имеет минимум, у|*=о = 0, а
прямые х= 2 и х= — 2 явля-
являются вертикальными асимпто-
асимптотами.
Пример 2. Исследовать
и построить график функции
+ 42
Решение. Проведем ис-
исследование по предложенной^
выше схеме.
1) Функция существует для
всех х Ф 0, так как только при
х = 0 она теряет смысл.
2) Функция не является ни
четной, ни нечетной, так как
+42 /()
Рис. 14.2
(()ф(()
3) Функция непериодична.
4) В точке х = 0 функция имеет разрыв второго рода. При этом
Km ( — + 4х2 ) =—оо, lim ( — + 4*2 |=+оо.
^__о\^ / х-*+о\х )
5) Вертикальная асимптота х = 0. При я-»»оо прямолинейных асимптот
нет, кривая асимптотически приближается к параболе у = 4л:2.
6) При х = 0 функция не определена, а потому ее график не пересекается
с осью ординат. Уравнение Ь 4*2= 0 имеет корень х = — Л— . Учитывая,
что х = 0 — точка разрыва, получаем промежутки знакопостоянства
На первом и третьем промежутках функция положительна, а на промежутке
^-L—< х < 0 отрицательна.
7) Находим производную:
и приравниваем ее нулю:
' — 1
= 0.
Точка л; = — будет стационарной. Других «подозрительных» точек нет. Прове-
Проверим достаточные условия экстремума в точке х = — . Так как знаменатель про-
производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя.
Получаем: у'< 0 при х < -— и уг> 0 при х > — . Следовательно, в точке я =
178

= — функция имеет минимум, ее значение в этой точке у \Xss J. = 3.
8) Чтобы исследовать график на выпуклость и вогнутость, найдем у"-.
2
у" =1
х3
2 \Г$~ /
Решая уравнение 8+—= О, находим *=— L— . На лучах (—оо;
— Г ,2 ) и @; +оо) имеем у" > 0, а на промежутке ( — i_JL ; 0] имеем у" <
< 0. Поэтому на указанных лучах график обращен вогнутостью вверх, а при
— У < * < 0 — вогнутостью вниз. Точка * =— L.— является точкой пере-
гиба данной функции.
По полученным данным строим
график функции. Сначала наносим ха-
характерные точки. Затем делаем набро-
набросок кривой, исходя из характеристики
ее на каждом из участков. Получим
график, который изображен на рисун-
рисунке 15.2. Рассмотренная кривая носит
название — «трезубец Ньютона».
Пример 3. Провести иссле-
исследование и построить график функции:
sin2*
J 2 +sin*
Решение. 1) Функция сущест-
существует для всех *, так как 2+ sin x>0.
2) Функция не является ни чет-
четной, ни нечетной, так как
3) Функция непрерывна на всей ис# ^^
оси и имеет период 2я. Учитывая пос-
последнее утверждение, будем исследовать ее и строить график только в пределах
одного периода, например, на промежутке [0; 2я). Затем, пользуясь перио-
периодичностью функции, продолжим график на всю ось.
4) Так как функция периодична, нет необходимости исследовать ее поведе-
поведение на бесконечности.
п2 *
=0 имеет корни **= 0,
2 + sin *
*2 = я. Точки * = 0, * = я разбивают промежуток 0 < * < 2я на части @; я),
(я; 2я). Методом пробных точек устанавливаем, что и при 0 < * < я и при я <
< * < 2я имеем: / (*) > 0. Точки * = 0, * = я являются точками касания гра-
графика с осью абсцисс.
6) Находим первую производную:
5) При х = 0 имеем: у = 0. Уравнение
B + sin *) 2 sin * cos x — sin2 x cos *
B +sin*J
sin * cos * D + sin *)
B + sin *J
179

и приравниваем ее нулю:
sin х cos x D + sin x)
= 0.
B + sin xJ
Отсюда следует, что sin x cos х = 0 (так как 4 + sin хф 0). Последнее в пределах
я 3
отрезка [0; 2я] имеет место при х = 0, —•, я, -—я, 2я. Других «подозритель-
ных» на экстремум точек нет. Знаки производной по интервалам распределяются
следующим образом:
(о; f)
(о; f). (f;«).
По чередованию знаков заключаем, что в точке х— — — максимум,
1
c= EL = 7Г» в точке x = я — минимум, у
: 0; в точке х = —я—мак-
—я—максимум, у
3 = I
7) Построим график, не исследуя направления вогнутости кривой. Из ри-
рисунка 16.2 видно, что в каждом из промежутков
о; f
».}»)¦ (|«;2я
имеется точка перегиба. Вычислив у" и приравняв ее нулю, мы могли бы опре-
определить точное положение этих перегибов. После построения графика функции
на промежутке [0; 2я] можно периодическим продолжением получить график на
всей оси и станет видно, что в точках #=0 и х = 2я функция имеет минимум. На
рисунке 16.2 изображена часть графика, соответствующая отрезку [— 2я; 2я].
Пример 4. Исследовать функцию
y=arcsinJE_
и построить ее график.
Решение. 1) Чтобы найти область определения функции / (х), решим не-
неравенство
?
180

Так как при всех х имеем \2х | < 1 + л:2, то функция всюду определена.
2) Так как
'<-*> =arc sin 1 + (-,). —arc sin ГТТ2 =~; w'
то функция нечетна, ее график достаточно построить при х > 0.
3) Функция не является периодической.
2#
4) Мы имеем lim arc sin = arc sin 0 = 0.
X - oo 1 + X2
Поэтому горизонтальной асимптотой является ось абсцисс.
5) При х = 0 имеем у = 0. Других точек пересечения с осями координат
график не имеет.
6) Найдем производную
f, () _ 1 2A +^) —4^_ 2A-*»)
/rmuz A+*2J A+х в
1 + X2 '
2
1 + х
если — 1 < х < 1,
, если | х\ > 1.
Точками экстремума являются точки х= — 1, х= 1, в которых производная не
определена. Мы имеем:
X .+ 1_0 а; -> 1—0 1 + X2
lim /'(*)= Hm
l+0 1+
im /(*) Hm ^1.
l+0 je - 1+0 1 + X2
Поэтому в точке х = 1 функция имеет пикообразный максимум. В силу нечетно-
нечетности функции при х = — 1 имеем пикообразный минимум.
7) Наконец, находим:
г w =
Ясно, что f" (х) обращается в нуль при х = 0 и не существует при х = ± 1. На
промежутке @;1) имеем /''(а:) < 0, и потому график обращен вогнутостью вниз.
На луче х > 1 он обращен вогнутостью вниз. Точка х = 0 является точкой пере-
перегиба. График изображен на рисунке 17.2.
Пример 5. Исследовать функцию у = х2 In л: и начертить ее график.
Решение. 1) Функция определена при х > 0.
2) Так как область определения функции несимметрична, функция не яв-
является ни четной, ни нечетной.
3) Функция не является периодической.
4) Функция не имеет точек разрыва. Исследуем ее поведение на границе об-
области определения:
lim х2 In x = lim — = lim —— = lim -^ = 0.
0J J2 0^
181

5) Решая уравнение х2 In х = 0, находим точку пересечения кривой с осью
абсцисс: х — 1. С осью ординат кривая не пересекается, так как при *=0 функ-
функция не определена, но график неограниченно приближается к началу координат,
так как lim / (х) = 0.
*->-1-о
6) Так как lim x2 In х — оо и lim x In х = оо , то график не имеет
ни горизонтальной, ни наклонной асимптоты.
7) Чтобы найти точку экстремума, вычислим f (х) = 2х In x + лс. Корнем
уранения 2х In х + х = 0 является х= е 2 . При 0 < х < е 2 имеем f'(x) < 0,
а при х > е 2 имеем f (х) > 0. Поэтому х— г 2 — точка минимума нашей
функции. В этой точке у = — —.
1,57
1
-7
-157
Рис. 17.2
Отметим, что
Нт /'
х _ 4-0
lim Bx In x + х) = 0,
+о
^ /,35
Рис. 18.2
182

и потому график функции, дополненный точкой @;0), касается оси абсцисс в точ-
точке х = 0.
8) Мы имеем /" (*) = 2 In х + 3. Решая уравнение 2 In х + 3 = 0, нахо-
__ з_ _ з_
дим корень # = е 2 . На промежутке @; е 2) кривая обращена вогнутостью
__3_
вниз, а на луче (е 2 ; + оо) — вогнутостью вверх. График функции изображен
на рисунке 18.2.
а ь с
Рис. 19.2
Пример 6. На рисунке 19.2 изображен график функции / (х). Изобра-
Изобразить схематически график ее производной.
Решение. На отрезке [0; а] функция возрастает. Поэтому ее произ-
производная на этом отрезке положительна. При этом, так как график функции обра-
обращен на этом интервале вогнутостью вниз, производная при 0 < х < а убывает
от значения /'@) до нуля. Так как касательная к графику функции при х = 0
образует угол а
— с осью абсцисс, то /' @)
4
*?-¦
На промежутке (а; Ь) функция убывает, а потому ее производная отрицатель-
отрицательна. При этом в точке х—Ь производная не существует, причем lim f'(x) = — оо.
х-Ь—О
Поэтому при х = b график функции у = /' (х) имеет вертикальную асимптоту.
При х ~> Ь + 0 мы имеем lim /' (*) = + оо. На промежутке (Ь\ с) производ-
х -»-Ь+0
ная убывает от +оо до нуля. Она здесь положительна, так как функция ((х)
возрастает при Ь < х < с. На промежутке (с\ k) производная отрицательна, так
как на этом промежутке функция / (*) убыва-
убывает. Точкой минимума является точка х = kt
соответствующая точке перегиба графика У
функции f (х). \
Пример 7. Начертить в окрестности У
точки х = 2 график функции у = / (*), ес-
если известно, что / B) = 3, /'B)= —1,
f»B)=f'" B)=/D) B)=/E> B)=0, /<6>B)=1440. j
Решение. Уравнение касательной к
кривой в точке х = 2 имеет вид у — / B) =
= /'B) (х — 2), т. е. у — 3 = — (х — 2).
Отсюда имеем у = — х + 5.
Положим /D) (а:) = Ф (х). Так как по усло-
условию ф' B) =/<5) B) = 0, а ф" B)=/F> B)> О,
то точка х= 2 является точкой минимума
для ф {х). Поскольку Ф B) = /D) B) = 0, то Рис. 20.2
183
0

в некоторой окрестности точки х = 2 имеем ер (л:) ^ 0. Положим г|) (х) =
= f"(x). Поскольку г|/B) = /'" B) = 0 и г|)" (*) = /D) (л;) > 0, в некоторой
окрестности #=2, функция ty(x) имеет в точке л: = 2 минимум. Поскольку г|) B) =
= /"B) = 0, то в окрестности этой точки функция ф (х) — f"(x) неотрицательна.
Значит, функция у = f (х) в окрестности точки х = 2 вогнута вверх. Ее график
расположен в этой окрестности выше касательной и имеет вид, изображенный на
рисунке 20.2.
415.2. Построить графики следующих рациональных функций:
а) у = (х — IJ (х + 2); б) у = л*3 — 4х2 + 7х — 4;
в) у = х(х— IK; г) у = j-~-2;
Д)У- 2 * ; е)у=*2+-Ь
Л — ОХ -\~ ? X
ж) у = х(х — IJ (х — 2K; з) у = ¦ х ' ;
у2 1 1 — а:2
и) у = -; к) у = i -;
^ .v2 + 4 ; У 4 — л;2
Л) у ^ | Mj у = ^Л? —— —J
у4 уЗ
П) у =
-4I
а:
л:2
С) у = -L-(^2_3J; Т) у =
у) у^4^2 —%е + —
а:2
416.2. Построить графики следующих иррациональных функ-
функций:
р) у = (х + 5K - (*-5K;

417.2. Построить графики тригонометрических функций:
а) у = sin2 х + cos х\ б) у = sin х + sin 2х\ в) у = cos Зх —
— 3cosx; г) у = - ¦ ; д) y=sin3 х + cos3 х\ е) у = sin x +
sin д; + cos х
+ — sin 2x + — sin Зх.
418.2. Построить графики показательных и логарифмических
функций:
i_ 1
б) у = е~^;
г) у = A +
а)
в)
Д)
ж)
и)
л)
н)
У =
У =
У =
У =
У
У-
у =
1
е*г-2}
X -|-
*+1
1-д:2
е)
з)
к)
У
У
У
е~
2
= д:3
1
ех
б Х2
I
м) у = ^ "-4;
о) у = е х4 ;
п) у = я — In (л: + О» Р) У = * Н »
д:
с) у = л:Aпл:+ 1); т) y = xln(l + х2);
у) у = л:3 In2 х\ ф) у = In (х — -jj;
х) у = In D — л:2).
419.B). Построить графики сложных функций;
а) у = In sin х\ б) у = х + arc tg #;
в) у = arc tg x2 , 4; г) у = л: — arc tg у >
X X2 — 1
д) у = arc sin ^TZTi» е) У = агс *8'
185

ж) у = lnarctg-^Tp
и) у = е~2х sin Зх:;
л) у = In к — arc tg x\
н) у = arc tg (In л:);
з) у = к arc sin
1 —
к) У =
м) у =
о) У =<
sm х
y--f(x)
Рис. 21.2
420.2. По графику функции (рис. 21.2) выяснить вид графиков
ее первой и второй производных.
421.2. То же сделать по графику функции (рис. 22. 2).
422.2. Выяснить вид графика функции по данному графику ее
производной (рис. 23. 2).
Рис. 22.2
Рис. 23.2
186

423.2. Выяснить вид графика функции по данному графику ее
производной, изображенному на рисунке 24.2.
у'-г'щ
Рис. 24.2
Рис. 25. 2
424.2. На рисунках 25.2 и 26.2 изображены графики функций.
Изобразите схематически графики их производных.
Рис. 26.2
Рис. 27.2
425.2. На рисунке 27.2 изображен график производной f (х).
Изобразите схематически график функции / (л:), если известно, что
/A) 2
)
426.2. Изобразить график функции / {х) в окрестности точки
х = а, если:
а) а = 3, / C) --= 1, Г C) = f C) = Г C) = 0, /<*> C) <0;
б)а = -1, /(-!) = _ 2, П-1) = 1, Г(—1) = 0,
/'" (- 1) > 0;
в) а = 0, / @) = 4, Г @) = - 2, F @) = Г @) = 0,
/<4> @) > 0;
г) а = 1, / A) = 2, lim f (х) = - оо, lim {'(х) = + оо;
** ' Л х •* 1+0
г -^ 1—0
187

д) а = % f B) = 1,
е) a = 1, / A) = 2,
lim f {x) = + oo, lim f'(x) = +
* - 2—0 x - 2-j-O
lim /' (x) - — oo, lim / (x) = a
l0 l+0
oo:
§ 13. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 1. По окружности радиуса R катится без скольжения касаю-
касающаяся ее извне окружность радиуса г. Вначале окружности касаются в точке А
пересечения неподвижной окружности с положительной полуосью абсцисс. Най-
Найти параметрические уравнения линии, описанной точкой А подвижной окружно-
окружности при качении по неподвижной.
Решение. Выберем за параметр t угол между 0^0 и положительным
направлением оси абсцисс Ох. Координаты (§; г\) центра Ох катящейся окружности
равны:
I = (R + г) cos /,
ц = (R + г) sin t.
Пусть Аг — положение точки А в рассматриваемый момент времени. Так как
качение происходит без скольжения, то дуги АВ и ВАХ равны. Но ^ АВ = Rt и
\j BAi = r 9, где 9— угол ВОгАг. Поэтому 9 = —t.
г
Проведем через точку Ох горизонтальную прямую О±К. Угол ВОХК равен
я —¦ tf, а потому угол А^О^К равен л — / — 9 и, следовательно, A±L =
R + r
= г sin (я — / — 9) = г sin (t + 9) = г sin t.
Точно так же находим, что
R +r Л
r cos t.
Но координаты точки А1 имеют вид х =
у = л —
а потому
у ='•
COS t — COS
sin t — sin -
Мы получили параметрические уравнения нашей линии. Ее называют эпи-
эпициклоидой.
Пример 2. Преобразовать уравнение эллипса к параметрическому ви •
ду, положив х = a cos U
х2 уа
Решение. Подставляя х = a cos t в уравнение эллипса — + — = 1,
а2 Ьг
получаем, что у = ± b sin /. Выбирая знак «плюс», получаем параметри*
ческие уравнения эллипса в виде
f х = a cos t,
\ у = Ь sin t.
Значениям t = 0 и ^ == 2л соответствует одна и та же точка эллипса А (а, 0).
При этом легко видеть, что при 0 < t < 2л; мы получаем точки, отличные от Л.
Поэтому t меняется от 0 до 2я.
Пример 3. Исключить параметр t из параметрических уравнений де-
декартова листа (рис. 28.2)
3at
Х ~ 1 4- Р'
«Lo — oo < t < + oo.
188

Решение. Из данных уравнений мы имеем — = t. Подставляя это зна-
значение t в первое уравнение, получаем после несложных преобразований уравне-
уравнение
х3 + у3 — Ъаху = 0. (*)
Пример 4. Записать уравнение кардиоиды г = а A + cos ф) в парамет-
параметрическом виде.
Решение. Так как х = г cos ф, у = г sin ф, то имеем:
х = а A + cos ф) cos ф,
у = а A -j- cos ф) sin ф.
Пример 5. Записать в полярных координатах уравнение лемнискаты
(д.2 _(_ у2J — а2 (д.2 _ у2)
Решение. Полагая х = г cos ф, у = г sin ф, получаем:
г2 = a2 cos 2ф.
Так как г2> 0, то кривая определена в области, где cos 2ф > 0, т. е. < ф <
4
я 3 5
< —, —- я < ф < —-п.
4 4 4
Пример 6. Найти точку самопересечения декартова листа (см. пример 3):
at
а/2
Решение. Система уравнений
at,
at9
at
at*
при конечных значениях tx и /2 имеет лишь решение tt= t2- Тем не менее данная
кривая (декартов лист) имеет точку самопересечения. Именно при t ~+ оо имеем:
lim = 0, lim = 0.
t - оо 1 + t* ' t^ оо 1 + Р
Решая систему уравнений
l+t\~
= 0,
находим tt = 0. При tx = 0 имеем л: = 0, у = 0. Начало координат является
точкой самопересечения для декартова листа (см. рис. 28.2).
Пример 7. Найти производную от у по х, если
х = cos /,
у = tf + sin /.
Решение. Производная от функции, заданной параметрически, вычис-
вычисляется по формуле:
189

В нашем случае y't = 1 + cos t, x't = — sin t.
Следовательно,
1 + cos t t
у = —Ц— = — ctg —.
* — sm t 2
Рис. 28.2
Пример 8. Найти вторую производную у"х* от функции, заданной
параметрически:
( х = 2 cos t,
\ i t
у = sin t.
Решение. Вычислим сначала производную первого порядка:
y't cost I . .
lgt
Теперь нужно дифференцировать по х уже найденную производную^. Но она
выражена через параметр t. Поэтому лужно еще раз применить то же правило,
что и выше, но только не к у, а к у'х\
( — V 1
(У/)/ __ \ 2 CgV _ 2sin4 __ 1
xt — 2 sin / — 2 sin / 4 sin3- ^#
Ул-2" »= {Ух)х =
Пример 9. Найти кривизну линии у = sin х в точке х = ¦—
Решение. Кривизна выражается формулой
[1 +(
В нашем случае у' = cos х, у" = — sin *, и потому
— sin х _
/г = . При
(l+cos2A:K/a
имеем * =
190

Пример 10. На кривой у = In x найти точку, в которой кривизна имеет
экстремальное значение.
Решение. Так как у = -, / = — —, то
X X
\_
у2 X
Нам надо найти экстремальное значение функции (*). Мы имеем:
, _ A + л:2K/2 — Зх2 A + х2I/2
k - ~ A + х2?
Приравнивая производную нулю, получаем уравнение:
A + *2K/2 — Зх2 A + х2I/2 = 0,
из которого находим, что х = —— у
Итак, кривизна принимает экстремальное значение в точке х— . Оно рав-
2/5"
Пример 11. Найти экстремальное значение кривизны для кривой
Г х = а (/ — sin /), 0 . t о
\ у = а A - cos /), U < г < Zn*
Решение. Сначала найдем производные первого и второго порядков
у/ a sin t t
y--1"d*7
^
a A - cos 0 *
4a sin4 —
Отсюда видно, что кривизна выражается формулой
1
4a sin* -
4а sin4 —
2
Экстремальное значение кривизны достигается в точке, где sin —• = 1, т. е. при
1
t = я. Оно равно — -т.
191

Пример 12. Найти геометрическое место центров кривизны для кривой
( х = a cos3 ty
\ у = a sin3 t.
Решение. Координаты центров кривизны выражаются формулами:
В нашем случае
v\ За sin2 t cos t
y* *', — 3a cos2 * sin/ * '
1
COS2
—За cos2 / sin t За sin / cos4 /
и потому
| = a cos3 t + tg t = a cos3 t + За sin21 cos / = a cos t A + 2sin2 0»
За sin t cos4 t
1 + tg2 t
tj = a sin3 / + = a sin3 / + За sin t cos21 = a sin / A + 2cos2 /).
За sin f cos4 ^
Итак, мы нашли параметрические уравнения геометрического места центров кри-
кривизны (эволюты данной кривой):
= a cos t (I + 2 sin2 f),
I = a sin * A + 2 cos2 t).
427.2. Дана прямая О* и внешняя точка Л на расстоянии а
от нее, лежащая на перпендикуляре к Ох, восставленном в точ-
точке О. Вокруг точки А вращается луч Ох, и на нем в обе стороны от
точки В пересечения с прямой Ох отложены отрезки BMt и ВМ2
длины ОВ. Найти геометрическое место точек М4 и М2.
428.2. Дана прямая Ох> и на расстоянии а от нее дана точка А.
Через эту точку проводятся всевозможные прямые, и на каждой
из них от точки В ее пересечения с прямой отложены отрезки BMt
и ВМ2 постоянной длины Ь. Найти уравнения геометрических мест
точек ВМ{ и ВМ2.
429.2. Отрезок прямой данной длины / скользит своими конца-
концами Л и В по двум данным прямым Ох и Оу. Найти геометрическое
место оснований перпендикуляров, опущенных из точки О на отре-
отрезок АВ.
430.2. Отрезок прямой АВ данной длины / скользит своими
концами по двум перпендикулярным прямым Ох и Оу. Из вершины
С прямоугольника ОАСВ на движущийся отрезок опускается пер-
перпендикуляр. Найти геометрическое место оснований этого перпен-
перпендикуляра.
192

431.2. Дана окружность, диаметр которой О А = 2г. Из конца
диаметра О проведена хорда 05, и из ее конца В опущен перпен-
перпендикуляр на диаметр 0А\ из основания этого перпендикуляра С
опущен перпендикуляр обратно на хорду ОВ. Какую кривую опи-
опишет основание М этого второго перпендикуляра, когда хорда ОВ
вращается вокруг О?
432.2. Дана окружность радиуса г и на ней точка О. Вокруг
точки О вращается луч, который пересекает окружность в перемен-
переменной точке А. От точки А в положительном направлении луча от-
откладываем отрезок AM = ЛВ, где В — точка окружности, диа-
диаметрально противоположная точке О. Какую кривую опишет точ-
точка М при вращении луча?
433.2. Дана окружность, диаметр которой О А = 2г. В одном
конце диаметра проведена касательная А Т, а через другой конец В
проведен секущий луч, встречающий окружность вторично в точке
В и данную касательную в точке С. На этом луче от начала О от-
отложен отрезок ОМ, равный отрезку ВС. Найти кривую, описы-
описываемую точкой М при вращении луча.
434.2. Дан отрезок 00' = d. Из точки О проводится произволь-
произвольный луч, и на него из точки О' опускается перпендикуляр О' М.
Берется точка М', симметричная с М по отношению к прямой О'О,
и из нее опускается на ОМ перпендикуляр. Найти линию, описы-
описываемую основанием этого перпендикуляра при вращении луча.
435.2. Дан круг радиуса R с центром в точке О и два перпенди-
перпендикулярных диаметра О А и ОВ. Из точки А проводится произволь-
произвольный луч, встречающий ОВ в точке М. Из М проводится прямая,
параллельная АО, встречающая окружность в точке N. Наконец,
из N проводится прямая NQ параллельно ОВ. Найти геометри-
геометрическое место точек Р пересечения прямых NQ и AM.
436.2. Найти геометрическое место вершины прямого угла в
прямоугольном треугольнике с катетами R и 2R, гипотенуза кото-
которого одним концом скользит по прямой, проходящей через диаметр
круга радиуса R, а другим — по окружности того же круга.
437.2. Циклоидой называется траектория любой точки окруж-
окружности, катящейся без скольжения по прямой. Составить парамет-
параметрические уравнения циклоиды, приняв за параметр угол поворота
радиуса, соединяющего центр катящегося круга с образующей точ-
точкой.
438.2. Круг катится без скольжения по прямой. Составить па-
параметрические уравнения траектории точки Л, лежащей внут-
внутри этого круга, выбрав тот же параметр, что и в предыдущей задаче.
439.2. Вывести параметрические уравнения траектории точки,
лежащей вне круга.
440.2. Окружность радиуса г, г < R, катится без скольжения
по окружности радиуса R, оставаясь внутри нее. Написать пара-
параметрические уравнения траектории любой точки окружности,
выбрав в качестве параметра угол между линией центров двух ок-
193

ружностей и радиусом, проведенным из центра катящейся окруж-
окружности в образующую точку. Рассмотреть случаи г = — г = ~г.
441.2. На окружность радиуса R намотана нить (не имеющая
толщины). Она разматывается так, что все время касается окруж-
окружности. Написать параметрические уравнения линии, описанной кон-
концом нити.
442.2. Преобразовать к полярным координатам уравнения ли-
линий и построить эти линии:
а) (х2 + у2J = 2а2ху;
б) (х2 + у2K = 4а2ху (x2 — у2);
в) а (х3 + у8) = (х2 + у2);
г) (х2 + у2K= а2 (х* + у4);
Д) х4 + У4 = а2ху;
е) х4 + у4 = а2 (х2 + у2);
ж) (х2 + у2J = а2х2 + 62у2.
443.2. Преобразовать к параметрической форме уравнения сле-
следующих линий, положив у = tx, и построить эти линии:
а) (х + уJ = а (х - у);
б) (х + уK = аху;
в) (х + уK = а2(х-у);
г) (х + уL = ах2у;
Д) (х + уL = а2 (х2 + у2);
L L L
е) х3 + У3 = а3 •
444.2. Исключить параметр t из уравнений следующих линий:
в) f x
\У
Д) \x
х = a cos3 /,
у =» a sin31\
a cos
a sin3
e* cos t,
e* sin t\
a(t — sin 0.
a A — cos 0;
б)
r) / x = a cos4
у = a sin4 /;
. 3a* t
У =
За4
1 +
445.2. Найти точки самопересечения кривых:
а)
х —
l+t*9
6t5
б)
X =
У =
5a/3
446.2. Продифференцировать следующие параметрически задан-
заданные функции (найти у'х и у"х*):
а) { х = k sin / + sin &, б) Г Зек
\ у = k cos / + cos kt; .
104

в)
у -1 + а» + ?
д)
У
У
= arc
= arc
sin
cos
г) f x = arc sin tf
у = arc sin ]/~l—/2.
+
l
447.2. Доказать, что параметрически заданная функция
x = j(lnt + С),
y = |(ln/+C) + -f
при любом постоянном С удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
1
448.2. Доказать, что параметрически заданная функция
Г х = In t — arc sin t + С,
1 у = / + уТИТ5
при любом постоянном С удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
у = у' + Ki^OO2.
449.2. Доказать, что параметрически заданная функция
х = Се-' — 2t + 2,
/ х =
\у =
при любом постоянном С удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению у = A + у') х + (у'J.
450.2. Доказать, что параметрически заданная функция
х = A - О2 ~ *'
сч*
при любом постоянном С удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению у = х (у'У + (у'J.
451.2. Найти вторые производные -^ от функций, задан-
заданных параметрически:
а) х = a cos t, у = a sin ^;
б) х = cos3 /, у = sin31\
I*

в) х = а (ф — sin ф), у = а A — cos ф);
г) х = 1 + sin / cos 2/, у = 1 — sin 2t - ctg f;
1 -f cos t 1 — In ^
e) x = 1 — In2 /, у = 3**.
452.2. Найти уравнение касательной и нормали к кривым:
а) х = 2е', у = 0~' при t = 0;
я
б) х = sin /, у = cos / при t = ~т;
За/ За/2 6а 12а
В) Х — 1 I ^2> У = I I f2 ПРИ * = Т> У = ~^"-
453.2. Найти угловые коэффициенты касательных и нормалей
к кривым:
а) | х = /2 — 3/ + 4,
\у = ?2 — 4/+ 4 в точке х = 2, у = 1;
б) | х = 2 cos t, у~Ъ
\ у = sin / в точке х = 1, у = — -^
454.2. На кривой, заданной параметрически,
х = 2/3 —9/2 + 12/ — 1,
найти точки, в которых касательная параллельна оси Оу, и точки,
в которых касательная параллельна прямой у = Зх — 4.
455.2. Написать уравнение касательной к циклоиде
х = a (t — sin /),
у = а A — cos /)
точке А [а (~ — 1 j; a ].
456.2. Найти угол, под которым пересекаются кривые линии:
| х = cos /,
и \ у = sin t.
3
х = — cos t,
{ у = - sin f;
457.2. Доказать, что кривая
х = a (In ctg - — cos 0,
у = а sin t
имеет постоянную длину касательной.
458.2. Доказать, что отрезок нормали к кривой
, 1
\ х = a (sin / + Y sin / cos2 /),
196

заключенный между осями Ох и Оу, имеет постоянную длину.
459.2. Дана кривая
х = 2а (In sin/ —sin2/),
у == a sin 2/.
Доказать, что отрезок оси Ол; между касательной и нормалью к
этой кривой имеет постоянную длину 2а.
460.2. Найти точки, где кривизна следующих линий принимает
экстремальное значение.
а) у = ахп\ д) х = a cos5 /,
б) у = sin х\ у = a sin5 /;
? _ ? е) г = aefe(p;
4-е Ч ж) г = а A + cos Ф);
г) { л; = ^ (cos / + t sin /), и) г = а cos3<p.
\у = R (sin / — / cos /);
461.2. Найти эволюты следующих линий:
а) параболы у2 = 2рх\
б) гиперболы 2ху = а2;
3
в) циссоиды у2 =
а ( а а
г) цепной линии у = у I е + е
д) астроиды | у = а sin3
л: = а cos3 /,
| у = а sin3 /;
е) кардиоиды г = а A + cos <p);
ж) эвольвенты круга
( х = R (cos t + t sin /),
1 у = R (sin * — * cos /);
з) гипоциклоиды
x = -f* B cos / + cos 20,
о
у = -| B sin / — sin 2t).

Раздел 3
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
глава 1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ
Приведем вначале таблицу основных интегралов (т. о. и.),
на которую мы в дальнейшем будем ссылаться:
2) J^ =
3) J «** = -?; +С,
3') \exdx = е* + С;
4) \ cos х dx = sin x + С;
5) J sin x dx = — cos x + С;
7)
= — ctg x + C:
sin^x
8) [shxdx = chjc+ С;
9) J ch x dx = sh x + C;
11) J
12) f_i?-=±
= -ln
a
x — a
C, a* 0;
lM
15) f-^.-tol^+^+el+c.
Некоторые функции удается проинтегрировать, разложив их на сумму функ-
функций, к которым непосредственно применимы формулы 1—15.
198

Пример 1. Вычислить интеграл
/
= Г
+ 4
X
Решение. Проводя необходимые преобразования и используя основные
свойства неопределенных интегралов, получим:
1
С .Го, rs Г 4" С dx
J = 3\ x^dx + Б \ х2 dx — б \ х dx -j- 4 I — ,
Используя формулы 1 и 2 (см. т.о.и.), получим:
4 3 5
Пример 2. Вычислить интеграл
-I
л
dx.
Решение. На основании свойств неопределенных интегралов имеем:
I —. dx — 3 I
J /16-** J
/16-**
Преобразуя подынтегральные выражения и применяя формулы 14, 15 (см. т.о.и.),
получим:
Г dx я Г dx
I = I —ZZZZZ" —о I . :
Пример 3. Вычислить интеграл
dx
16—*4'
Решение. Умножим знаменатель и числитель подынтегрального выра-
выражения на 8 и произведем преобразование: 8 = 4 + х2 + 4 —* х*. Используя
свойства неопределенных интегралов и формулы 12,13 (т.о.и.), получим:
/=1 Г Ых _ 1 f D + ^2) + D-^2) 1 Г Г dx
8 J 16—д^ 8 J D — а:2) D + а:2) в 8 L J 4-^a ~^
Пример 4. Вычислить интеграл
/ =
Решение. Произведем преобразование

Используя формулу 3 (т.о.и.), получим:
П* I-.
1 1
/=
1 , 1 ^ 5х In 5 2х In 2
Пример 5. Вычислить интеграл
7^ — 6x3 + *2 — 136а: + 6
*
Решение. Выделим целую часть дроби у подынтегрального выражения,
разделив (с остатком) числитель на знаменатель. Мы получим
С С
Отсюда, применяя формулы 1 и 12 (см. т.о.и.), получим:
dx 7 х
7^=—дс* —17^ + jc + arctg—
Пример 6. Вычислить интеграл
/ = J tg2 * <&.
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение
cos2 л:
Используя свойства неопределенных интегралов и применив формулы 1.6 (см.
т.о.и.), получим:
J ^57-J *-**-
Часто при вычислении интегралов используют следующее равенство.
Если J / (*) dx = F (x) + С, то
Г / (ах + Ь) dx = — Г / (ах + Ъ) d (ах + Ъ) = — F (ах + Ь) + С.
J a J a
(*)
Этот прием в сочетании с методом разложения позволяет упростить вычис-
вычисление ряда интегралов^
Пример 7. Вычислить интеграл
dx
х2 + 6х + 34 '
Решение. Выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный
квадрат х2 + 6* + 34 = (х + ЗJ + 52. Применяя формулы 12 (см. т.о.и.) и
(*), получим:
/_ Г dx Г d(x + S)
Пример 8. Вычислить интеграл
dx
Ух - \/х~1Г\ '
200

Решение. Освободимся от иррациональности у знаменателя подынтег-
подынтегрального выражения
(/*"+ УТ^Л) dx
<yj- ут=л) (У7+ ух -1)
1 1 3
У __ i. 2" ?
о о
Вычислить интегралы:
1.3. j (х + 2K C* — 5) dx. 18.3.
2.3. Г**-6*2 + 3/Г_+У7-1 rfv 19.з. Г l+cos2* ^
J хУх J cos^
20.3. Г- cos2xdx
J cos д: — sin д:"
+ 2 w»- o< о С dx
4.3. * т' dx. 213
- '4) #t" J sin2 д: cos2 x '
5.3. J 3_^^_?l+fLdx. 223 jB + Зл.I4^
6.3. —. 23.3. Г—^*_.
J У * J 7 — 9jc
7.3. J (/_- JTJdx. 24-3- J sin E^ - 2) &
8.3. f^-j^L^. 25S CC0SnxdXt
J Yax J §
26.3.
sin2 (9* + 1)'
2—.cos23x -
dx.
201

§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЕМ ПОДСТАНОВКИ
Пример 1. Вычислить интеграл
С dx
/ = I cos (In x) —¦ .
Решение. Так как — = d (In x), то
х
I = Г cos (In x) d (In *).
Это выражение отличается от формулы 4 (см. т.о.и.) тем, что х в нем заменено
на In х. Поэтому и в правой части формулы 4 надо заменить х на In x. Мы полу-
получаем
\ cos (In х) — = sin (In x) + С.
Пример 2. Вычислить интеграл
exdx
i
Решение. Заметим, что е* dx = d Fх ). Так как ё*х = {6х )а, то по
формуле 15 (см. т.о.и.) получаем:
d(ex)
= ln(e* + yV + 5)+C.
Пример 3. Вычислить интеграл
/ = ( i^sin2 х cos dx.
Решение. Используя, что d (sin x) = cos x dxt получим:
2 5
Г 3 —-
/ = \ sin 3 xd (sin x) = — sin3 д: + С.
Часто для упрощения записи полагают <р (л:) = и и вместо интеграла от х
пишут интеграл от и. После того как он вычислен, вместо и подставляют выраже-
выражение ф (х).
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение. Учитывая, что d (In x) = —, производим подстановку In x =
и. Тогда
d(l)fo
Подставляя полученные выражения в первоначальное выражение интеграла,
получаем:
da и

(мы применили формулу A4) из т.о.и.). Заменяя и на In x, получаем:
\пх
I = arc sin —— + С
В некоторых случаях выполнение подстановки сопровождается теми или
иными преобразованиями.
Пример 5. Вычислить интеграл
-J-
У Bх — 5K *
Решение. Применим подстановку Y^x «=¦ 5 = /. Тогда
/2 + 5
2х — 5 = t2, х = —— , dx = tdt,
Возвращаясь к переменной х> получим:
12
Пример 6. Вычислить интеграл
3cos2A:+4sinax#
Решение. Разделив числитель и знаменатель подынтегрального выра-
2
dx
жени я на cos2 x, получим:
/ _ Г cos2х __ С
""J 3 + 4tg2x" J
j3 + 4tg2x 4 //3-\* v 2/3"
/Уз
+№*
Если подынтегральная функция является дробью, числитель которой равен
производной знаменателя, то, интеграл равен натуральному логарифму модуля
знаменателя
J
Пример 7. Вычислить интеграл
Cx2+l)dx
-J-
Решение. Так как (х3 + х + 8)' = З*2 + 1, то
/ = In | х3 + х + 8 | + С.

Наряду с подстановками <р (х) = и применяют подстановки вида х =i|>(/).
Здесь после интегрирования надо решить уравнение х = ty(t) относительно t и
подставить полученное выражение для t в ответ.
Пример 8. Вычислить интеграл
Решение. Здесь целесообразно применить подстановку х = ^9, благода-
благодаря которой извлекаются все корни. Если х = ?6, то dx = 6/5<#. Следовательно,
= 6 j (V+*4+ я+ 2Я + a + 2 + ^j dt
Из л: = /6 получаем, что t = я6 . Поэтому
ILL
ILL
6 л:3 2x2 l- - 1 -
1 5 ' 4 ' 3 '
Пример 9. Вычислить интеграл
f
Решение. Применим подстановку:
1
* = — , dx=
Следовательно,
Рассмотрим теперь различные тригонометрические подстановки.
Замечание. Если интеграл содержит радикал У а2— х2, то можно
применить подстановку х = a sin t (либо подстановку х = a cos /).
Если интеграл содержит радикал Ух2— а2, то можно применить подстанов-
( \
р р р У
а ( а \
ку х = либо подстановку х = .
cost \ smt j
\ j
Если интеграл содержит радикал V~x2-\- а2, то можно применить подстанов-
подстановку х = a tg t (либо подстановку * = a ctg ^).
Иногда целесообразно пользоваться также гиперболическими подста-
подстановками.
Пример 10. Вычислить интеграл
j /а2— х2 dx (— а < х < а).
204

Решение. Применим подстановку х = a sin t I -— — < t < —ь). Эта
функция монотонна и имеет непрерывную производную х/. При этом, когда I
Я Я
меняется от до —, переменная х изменяется от —а до а. Далее, имеем dx=*
= a cos Ш. Следовательно,
|Уа2— х2 dx= f /a2 — a2 sin2 / a cos tdt = a2 (* cos2 / d*.
(Заметим, что так как cos t>0 для всех t из отрезка — —; — , то арифмети-
арифметическое значение корня У а2 — х2 равно a cos t)\ интегрируя, получим:
С а2 С а2 а2
a2 cos2 tdt = — \ A + cos 20 dt = — J + -j sin 2^ + С
Вернемся к переменной *. Из равенства х = a sin /, находим:
у V
sin t= — , t = arc sin — ,
a a
/l— sin2
Подставив, окончательно получим:
/ =2 — l/l—~ = ~/a2—^
а г а2 a2
\
— x2dx=-- arc sin — + -~ /a2—x2 + С
Пример 11. Вычислить интеграл
dx
(a > 0).
Решение. Применим подстановку ^ = a sht. Эта функция монотонная
и имеет непрерывную производную #/, причем, когда переменная t изменяется
в промежутке (— оо ; +о° ), переменная х также изменяется в промежутке
(— о©; -)-о© ). Далее имеем: dx = ch t dt и
dx С chtdt Ccht
Вернемся к переменной х. Выполнив элементарные преобразования, получим»
Подставив значение t, получим:
(постоянное слагаемое — In a включено в С). Мы пришли к известному таблич-
табличному интегралу.
Найти интегралы, применяя указанную подстановку:
35.3. ( т- (подстановка х + 1 = t2)-
J 1+ V х+ I
205

36.3.
37.3. f-
38.3. Г
dx
х У х2 — 1
x2dx
¦2+IJ
6х dx
dx
39.3.
sin2 x
Вычислить интегралы:
40.3.
подстановка х = — .
(подстановка х = tg t или х = sh t).
(подстановка 3 + 4e* = f).
(подстановка tgx = f).
sin * d*
42.3.
43.3.
44.3.
45.3. ]
46.3.
47.3.
A -b x2) arc tg x '
dx
V \ — x2 arc sin x
dx
V\ — 4x2 arc sin? 2x '
dx
x In6 x
dx
48.3. J e
49.3. j ^
50.3. j /+JC+1B^+l)dx.
51.3. Г e 8 x dx \
J COS2 X
52.3. jsin(e*)e*dA;.
53.3. J cos Cex + 1) ex dx.
54.3. Г ** m
J x sina (In *)
55.3. f-
cos2
J s2 (л2 + 1)
56.3. J л; sin D— x*)dx.
57.3.
58.3.
59.3. j
60.3. Г
61.3. J
cos6*
ch (tg *) dx
cos2*
•dx.
62.3.
p cos 4*— sin 2*
J sin 4* + 2 cos 2*
Лс.
^ —sin2x(sinA:—cos*)
63.3. \ —— : dx.
sin^ * + cos3 *
64.3. f E21?_
J 1 -f- 2 sin
1ft1
66.3.
67.3.
68.3.
69.3.
70.3.
71.3.
2 sin*
sin x dx
+ 2cos x'
dx.
f
J
J x« + 4*
1-е** *
206

Вычислить
72.3.
73.3.
74.3.
ПК Q
1 !#.«).
76.3.
77 Ч
I 1 «С*.
78.3.
79.3.
80.3.
I-
j<
J-
I-
/]
In;
2-
>2Х
in
интегралы:
xdx
/arctge^ dr
с — 3 ,
e**dx
\__ •
dx
дс In дс In (In >r)
o ^ o f sin jc + cos x «
ol.t>. \ з . ax.
J >/ sin x — cos *
82.3. f 9 1* .
J sin2 x у ctg x
83.3.
/2-х
84.3. f
85.3.
Г ?^ dx.
86.3. j
87.3.
88.3.
J Г a — ;
90.3.
89.3. \ l/i±i
91.3. Неопределенный интеграл u= J sin x cos л: dx можно
вычислить тремя способами:
1) Подстановкой sin x = t, причем получится
2) Подстановкой cos x = t, причем получится
3) Преобразованием sin x cos х = — sin 2x, причем получится
и = — + С.
4
Показать, что эти результаты отличаются друг от друга лишь ви-
видом произвольной постоянной.
92.3. Неопределенный интеграл и = I r — можно вы-
числить:
207

1) подстановкой j/l + х+ х2 = / + х , причем получится
2лг — 2]Л +л: +
2) подстановкой VI + х + #2 = 1 + Ьс, причем получится
Преобразовать один ответ в другой.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Этот метод опирается на равенство
f udv = uv — J vdu.
Для применения этого метода подынтегральное выражение следует предста-
представить в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. При
этом целесообразно в качестве и выбирать функцию, упрощающуюся при диф-
дифференцировании (In х, arc sin x, arc tg x). Иногда бывает полезно выбрать в ка-
качестве и многочлен, а в качестве v — функцию, мало меняющуюся при дифферен-
дифференцировании — показательную, тригонометрическую и т. д.
Пример 1. Вычислить интеграл / = f In x dx.
Решение. Положим здесь и = In х, dv — dx, откуда du = — и v =*
х
«= J dx = x. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
С С dx
/ = \ In xdx = х\пх — \ х— — х\ъх — х+ С.
Пример 2. Вычислить интеграл / = f x2e* dx.
Решение. Положим и = л:2, dv = 6хdx, откуда du = 2xdx, v = J e^dx ==
s= e* и
2§ex xdx= хЧх — 2/х.
Для вычисления lx = j ex xdx опять применим формулу интегрирования по
частям. Положим и = х, dv—^ dx, откуда du = dx, v = Ij* e* dx = ex и
/x = xe* — j ex dx= xex — e*.
Подставляя, находим:
/ = X2 ^ _ 2 (xe^ — e^) + С = e* (д:2 — 2x + 2) + С
Пример 3. Вычислить интеграл / = J "jA + x2 dx.
Решение. Здесь после интегрирования по частям и преобразований
получим в правой части тот же интеграл, что и в левой. Решая получившееся
уравнение относительно интеграла, находим значение этого интеграла.
Положим и = У\ + х2, dv = dx, откуда
xdx
d
208

г* у2 Л- 1 1 С С dx
/1+л;2— —Т dx^xVl + л:2— У\ + хЫх+ •
J У 1 + х2 J J У 1 +х2
Отсюда
2/ = х Л/~ 1 -4-"^ -4-
и окончательно имеем:
/ = - [х VI + х» + In (х+ VI + *»)] + С.
Рассмотрим применение метода интегрирования по частям к вычислению
интегралов некоторых типов.
I. Интегралы вида j P (x) еах dx, где Р (х) — многочлен.
С помощью интегрирования по частям эти интегралы сводятся к аналогич-
аналогичным интегралам, содержащим многочлен меньшей степени. Для этого надо пола-
полагать Р (х) = w, dv = eax dx.
Пример 4. Вычислить интеграл / = f &-х (х2 — 6л: + 2) dx,
Решение. Положим и = х2 — 6* + 2, dv = &х dx, откуда du =
&xdx = -— е3^. Следовательно,
/B6 + 2)|§*x(*)d (
где /x = j (?x (x - 3) dx.
Применим опять интегрирование по частям. Положим: и = х — 3, dv
С &х
= е3^^, откуда du—dx, v = \ е3*^* = — . Следовательно,
1
откуда
Замечание. Из разобранного примера видно, что в результате вычис-
вычисления интегралов вида j eaxP (x) dx мы получаем выражение еах Q (х), где
Q (х) — многочлен той же степени, что и многочлен Р (х).
Это обстоятельство позволяет применить для вычисления интегралов указан-
указанного типа метод неопределенных коэффициентов, сущность которого выясним на
следующем примере.
Пример 5. Найти методом неопределенных коэффициентов интеграл
/ = f #х (Х2 _ 6* + 2) dx.
Решение. Полагаем
j &* (х2 — 6* + 2) dx = &х (Ах2 + Вх+С).
209

Остается найти коэффициенты Л, В, С. Для этого продифференцируем обе
части равенства, получим:
ез* (х2 _ 6х + 2) = Зе3* (Л*2 + Я* + С) + е3* BЛ* + В).
Сократив на е3*, получим:
хъ _ бх + 2 s ЗЛ*2 + (ЗЯ + 2Л) * + В + ЗС.
Но многочлены равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинако-
одинаковых степенях переменных совпадают.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим;
1=ЗЛ,
6 З Л
( 1=
I 2 =
В + ЗС.
1 2° г, 28 ^
Откуда, решив систему, получим: Л = ¦— , В =— -— , С= —. Следова-
3 У 2,1
тельно,
II. Интегралы вида J [ Р (х) cos ах + Q (x) sin ах ) dx.
К этим интегралам также применим метод неопределенных коэффициентов.
Действительно, можно заметить, что для функции
Р (х) sin ах + Q {x) cos ojc
первообразной будет функция вида:
S (х) sin ах + Т (х) cos ax,
где 5 (#) и Т (х) — многочлены, вообще говоря, той же степени, что и многочлены
Р (х) и Q (я). Если многочлены Р (х) и Q (*) имеют различные степени, то в ответе
надо брать многочлены большей из этих двух степеней. Поэтому пишем:
§[P(x)cosax+ Q(x) sinax] dx =S (x) sinax+ T(x)cosax+C. (*)
Остается продифференцировать обе части равенства (*), приравнять коэф-
коэффициенты при подобных слагаемых вида xk sin ах и xk cos ax и определить неиз-
неизвестные коэффициенты.
Пример 6. Вычислить интеграл / = J (х2 — х + 1) sin x dx.
Решение. Положим
J (*2+ х + 1) sin х dx = (Ло + Ахх + А2 х2) sin x +(BQ + BlX+B2x2)cos x + С.
Дифференцируем обе части равенства и получаем:
{х* + х + 1) sin х = sin х [ (At — Во) + BА2 — Вх) х — В2 х2 ] +
+ cos х [ А2х2 + (Ах + 2?а) * + (Ло + Вг) ].
Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем систему
уравнений:
1 = Ах — В о (коэффициенты при sin x)t
1 = 2Л2 — Вх (коэффициенты при х sin x)t
1 = — в2 (коэффициенты при х2 sin x),
О = Ло + Вх (коэффициенты при cos x),
О = Ах + 2?а (коэффициенты при * cos я),
О == Ла (коэффициенты при х2 cos я).
210

Решая систему, получаем: А2 = О, В2 = — 1> Вх = —- 1, Ао = 1, At = 2, ?0 =
= 1. Следовательно,
J (*2 + * + 1) sin х dx = (— х2 — л: + 1) cos x + Bх + 1) sin x + С.
III. Интегралы вида J P (x) In jc dx, J P (*) arc tg x dx,
J P (*) arc ctg x dx, J P (x) arc sin л: dL«, J P (x) arc cos x dx.
Эти интегралы, где Pt(jc) — многочлен, всегда берутся методом интегриро-
интегрирования по частям, если за и принять трансцендентную функцию, являющуюся
множителем при Р ( х).
Пример 7. Вычислить интеграл / = Г л: arc tg л: dx.
dx x2
Решение. Положим arc tg x—u, xdx=dv, откуда du= j , v = —.
Следовательно,
Л == I ——j= \ ———I—dx=* \ dx-- \ ——- = x— arc tg x.
J 1 + X2 J 1 + X2 J J 1 + X2
Окончательно получим:
С ill
/ = \ x arc tg x dx = — jc2 arc tg * + — arc tg jc — ¦— x + C.
J 2 2 2
IV. Интегралы вида J eax cos bx dx , J efljrsin 6* dJt.
К этим интегралам формула интегрирования по частям применяется после-
последовательно два раза, причем оба раза за и выбирается либо показательная функ-
функция, либо тригонометрическая; после двукратного интегрирования по частям
получается линейное уравнение относительно искомого интеграла.
Пример 8. Вычислить интеграл / = ^е2х sin 3xdx.
Решение, а) Положим е?х = и, sin 3xdx = dv, откуда du = 2e2xdxt
Г 1
Г
Г 1
1>= \ sin Ъхйх = —— cos Ъх. Следовательно,
/ = — — е2Х cos Зх + 4" [ е2Х cos 3jc djc = — -^- ^' cos Зх + — /ъ
о 3 J 3 3
§e2xcos3xdx.
Снова интегрируем по частям. Положим е2Х = и, cos Зх dx = dvt откуда
2e2Xdx = du, v = — sin Зх. Следовательно,
о
1 2 С
1г = — е2* sin 3jc -— — \ ё*х sin 3jc rfjc.
0 3 J
Таким образом,
1 2 4 f
/ = — — е2Х cos Зх + — е2* sin 3^ — — I в2д: sin Зх dxt
3 ^9 9 J
1 „ . 2 4.
recos3*+ e«sin3x—
о У У

Перенося / в левую часть, получим:
откуда
3/2 \
— е2х I — sin Зх—cos Зх + С.
V. Наконец, рассмотрим интегралы вида / = § еах [Рп (х) cos bx +
+ Qn (x) sin 6х] dx, где Рл (х) и Qn (x) — многочлены n-й степени. В этом
случае результат интегрирования имеет аналогичный вид
/ = еах [Rn (x) cos bx + Sn (x) sin bx),
A)
где Rn(x) и Sn (x) также многочлены л-й степени с неопределенными коэффициен-
коэффициентами. Чтобы найти эти коэффициенты, надо продифференцировать обе части ра-
равенства A) и сравнить коэффициенты при одинаковых выражениях вида
х™^* cos bx и х™^* sin bx. Из полученной системы уравнений мы и найдем
искомые коэффициенты.
Отметим, что если многочлены Рп(х) и Qn(x) имеют различные степени, то
в ответе оба многочлена Rn (х) и Sn (x) берутся большей из двух степеней.
Пример 9. Вычислить интеграл
/ = J егх [(х2 + 1) cos 2x — х sin 2x ] dx.
Решение. Будем искать ответ в виде
/ = ег* [(Аг х2 + А2х + А3) cos 2х + (Вхх2 + В2х + В3) sin 2x] + С
(оба многочлена берем второй степени, хотя коэффициент при sin 2x — многочлен
первой степени). После дифференцирования получаем равенство:
егх[ (х2 + 1) cos 2л: — л: sin 2x] =
= - е-х{ (Ах х2 + А2 х + А3) cos 2x +
+ (Вгх2 + В2х + В3) sin 2x] +
-j- €ГХ[ BАХ х + А2) cos 2л: — 2 (Ахх2 + А2х + А3) sin 2x +
+ BВХ х + Во) sin 2л: + 2 (Вх х2 + В2 х + В3) cos 2x] =
х{ [ BВ АJ + BВ + 2А А) +
= егх{
3)
- А2) х +
+
х
Х ,) + BВ2 +
BВ3+ А2 — А3) ] cos 2x +
+ [ (- В1 — 2АХ) х2 + BВ1 — Ва — 2Л2) х
+ (B2-B3-2A3)]sm2x}.
Из этого равенства вытекает система уравнений:
^^ ,
2В2 + 2АХ — А2 = О,
2В3 + Л2 —Л3 = 1,
— Вх — 2А± = О,
2ВВ2А
Решая эту систему, получаем:
1 л 16 я 17
=-7> И,--, Л3=-,
2 13 31
=T> В,»-, В,-—, ипотому
212

VI. С помощью метода интегрирования по частям можно вывести так назы-
называемые рекуррентные формулы, дающие возможность свести некоторые интегра-
интегралы к интегралам того же типа, но более простым по своей структуре.
Пример 10. Вывести рекуррентные формулы для вычисления интег-
интегралов:
a) ln = J cos" х dx;
Г dx <*)
Решение.
а) Iп = j cos" x dx = J cos" x dx — J cos" x sin2 x dx = In_2 —
_ j cos" x sin2 x dx. B)
Второй интеграл правой части будем интегрировать по частям.
Положим и = sin х, dv = cos" x sin xdx, откуда dw == cos xdx, v =»
=— J cos" x d (cos x) = — ¦ cos" x. Следовательно,
n — 1
sin x cos" x 1 i' sin x cos" jc
cos" xsin2 xdx= — + cos" x dx = — -f-
n — 1 n — 1 J /г — 1
Подставив в B), получим:
sin x cos"x 1
n—1 n — 1
Приведя подобные члены, получим:
/г sin x cos" x
л —1 Л = Л + JT^l '
Отсюда
С sin х cos" x n — 1
ln = J cos" x dx = + —— /л_2 (Л ^0). C)
Полученная формула сводит вычисление интеграла 1п к вычислению интег-
интеграла /fl_2 с меньшим на две единицы индексом.
Повторным применением этой формулы мы приведем вычисление интеграла
J cos" x dx к вычислению одного из двух интегралов: f dx или j cos x dx в за-
зависимости от того, является ли п четным или нечетным числом.
Например, полагая п = 6, по формуле C) получим:
(' sin х cos5 x 5 f
\ cos6 х dx == + — \ cos4 x dx,
но
sin x cos3 x 3 С"
cos4 x dx = + —• cos2 x dx,
4 4 J
, If. sin x cosx 1
Таким образом, окончательно получим:
1 5 5.3-1
cos8 x dx = — sin x cos5 x + —- sin x cos3- x + sin x cos x
о 6«4 6» 4 • 2
, 5- 3- 1
+ + c
213

С dx
б) Представим интеграл 1п = \ 2 в виде
г) х^ "Т* ^ /
dx
_ Г <** L Г <2 + аа —^ . 1 Г Г
J (x* + aY\
(х2 + а2)'2
Ко второму слагаемому применим метод интегрирования по частям, положив
х dx
Тогда du= dx и
С xdx \ Cd (*2+fl2) 1
У = J (Х2 + а2)я "" 2 J (х2 + а2)" ~~ "" 2 (п—1) (х2 + а2)л-1*
Поэтому
¦-m
+
(*2 + в2)" 2 (п — 1) (х2 + а2)л-1
2(п—1) J (х2 + а2)*-1 J " а2 [г (л—1) (х2 +а*)я-1 + ( 2 ""
1 ^ ] = _L Г f . 2*п?7 I
2(л— 1) / "^J а2 L2(«—lX^ + a»I1-!"^ —2 Л"х J'
Отметим, что
Используя полученную рекуррентную формулу, легко подсчитать, например,
/ = Г dx
8 J (*» + 4K *
/ = f ^ _ 1 Г ^ 3 ]^±( х
3 J (х2 + 4K 4 [ 4 (х2 +4J ^ 4 2 J 4 \ 4 (х2+ 4)8 "Г
3 Г х 1 ] \ If х Зх 3
+ 16 L 2 (х2+4) + 2 7l J Г 4 \ 4(х2+4J + +
4(х2+4J +32(х2
Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:
93.3. f In x dx. 102.3. J In (x + У4 + x2) dx.
94.3. J In2 x dx. 103.3. J (x2 — 2jc + 3) In x dx.
95.3. J arc sin x dx. Ю4 3 f ^l+x* ,
J _ x2
96.3. J arc sin2^ dx. 105.3. J Ух In x dx.
97.3. J arc tg x dx. 106.3. j sin x In (cos x) dx.
С • *
С x arc sinx dx I arc sin "Г
Oft ^ \ 1П7 01 2 j
•/O.o. 1 л/~ \ 2 • iviiOi I (XX
J У1-' J /2^
99.3. Г x2 arc tg 4x dx.
100.3. J x2 arc sin 2x dx.
101.3. j e~ x sin2 x dx.
114

/¦» x
x ars cos — dx
108.3. I a .
109.3. —— .
j sin x
110.3. J In (x + Va2 + x2 ) dx.
1113 f x3 в з" dx
П2.3. J (x2 — 2x + 3) sin 2x dx.
113.3. J(l + x2J cos x dx.
114.3. ] x*sin5xdx.
115.3. J e3* (sin 2x — cos 2x) dx.
116.3. j e2'sin2 x dx.
117.3. f (x + ex cos xJ dx.
С L
118.3. J x2(hixJdx.
119.3. \e~ixx3dx.
120.3. J arc tg x
121.3. Вычислить методом неопределенных коэффициентов ин-
интегралы:
а)
б)
в)
' (л:2 + х — 2) е~ах dx;
[(jc2 + 1) cos 2л; — (х2 + 4) sin 2л;] dx;
[(л:2 + Зл; + О cos х + (х — 1) sin x] dx;
г) j е~* C cos 2л: + 4 sin 2л;) dx;
д) J е-" [л; cos Зл: — (л: + 1) sin Зх] dx.
Найти интегралы, сделав сначала замену переменной, а потом
интегрируя по частям:
С х2 arc tg x
122.3. j l+x2 dx.
123.Г ¦ dX
f* arc sin x dx
J.3. r
J A ~ X*J
124.3. Вывести рекуррентные формулы для интегралов:
а) 1п = f sinn х dx\ найти 14 и 1б;
бIл = J хп е~х dx; найти 110;
(D
125.3. Вычислить интегралы, применяя рекуррентные соотно-
соотношения:
a) J cos8 x dx\ б) J cos* x dx\
в) j sine x dx; r) J sin7 x dx.
215

126.3. Вычислить интегралы:
хъ dx
dx
8)*
Глава 2
ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Разложим знаменатель на множители. Замечая, что х1= — 1,
х2 = 1, х3 = — 2, *4 = 2 являются корнями многочлена х4 — Ъхг + 4, получаем:
*4 __ 5а:2 + 4 = (х — 1) (х — 2) (х + 1) (х + 2).
Поэтому подынтегральную функцию разложим на такие простейшие дроби:
х—2) jc+1 "*" jc—1 ~*~ х
Приводим равенство A) к общему знаменателю и отбрасываем его:
х± _ х + 2 = А (х - 1) (х + 2) (х - 2) + В (х+ 1) (* + 2) (х - 2) +
+ С (х + 1) (х - 1) (* - 2) + D (* + 1) (х - 1) (х + 2). B)
Отсюда, перемножив и приведя подобные члены, будем иметь:
Х2 _ х + 2 = *3 (Л + В + С + D) + х2 (— Л + В — 2С + 2D) +
+ * (_ 4Л — 4В — С — D) + 4Л — АВ + 2С —- 2D.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тожде-
тождества, получим систему уравнений для определения коэффициентов А, В, С, D:
Л + Я + С + ? = 0,
— А + В — 2С + 2D = 1,
_ 4Л — 4В — С — D = — 1,
4Л — 4Я + 2С — 2D = 2.
2 12 1
Решив систему, получим: Л = — Б = — —, С = — —, О = —.
3 3 3 3
Таким образом, мы получили разложение рациональной дроби на простейшие:
х2 — х + 2 2 1 2 1
х4 — 5х2 + 4 = 3 (* + 1) 3 (х - 1) 3 (х + 2) + 3 (х — 2)
Интегрируя, получим:
J ^4 _ 5jc2 + 4 ^ - з J * + 1 ~ 3 J x - 1 "" 3 J ^
т-1"
— 1) (дс + 2)
216

Замечание. Часто нахождение коэффициентов разложения значитель-
значительно упрощается, если применить так называемый метод произвольных значений.
Рассмотрим с этой точки зрения только что приведенный пример.
Полученное в этом примере равенство B) есть тождество, справедливое при
любом значении х. Поэтому выберем четыре (по количеству неизвестных коэф-
коэффициентов) значения х таким образом, чтобы каждое обратило в нуль какой-
нибудь из сомножителей в правой части B).
В нашем примере такими значениями являются корни знаменателя хх = — I,
Подставив поочередно эти значения в равенство A), получим:
при х = — 1 имеем: 4 = А ( — 2) A) (— 3) + В - О + С . О + D • 0, от-
откуда А = —;
при х = 1 имеем: 2=Л-0 + Я.2.3(— 1) + С • 0 + D • 0, откуда В =»
при х = — 2 имеем: 8 = А . О + В - О + С ( — 1) (— 3) (— 4) + D • О,
2
откуда С = — —;
при х = 2 имеем: 4=i4-0+fl.0+C-0+D«3-l-4f откуда D =»
На практике указанный метод наиболее целесообразно применять в случае,
Р(х)
когда знаменатель Q (х) правильной рациональной дроби —— имеет вещественные
простые корни.
Пример 2. Вычислить интеграл
— 1) dx
J JC2 (jc-
-2)
Решение. Разложение на простейшие дроби имеет вид
jc2 (л:—2)(х+1J jc2 ' л: jc — 2 (jc+1J ' х+ Г
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравняем числители
л: — 1 = А (х — 2) (* + IJ + Вх (х — 2) (х + IJ -f
+ Сх2 (х + IJ + Dx* (х — 2) + F*2 (* + 1) (* — 2). (*)
Полагая последовательно х= 0, *=2, jc= — 1, находим, что
1 = 36 С,
— 2 =. — 3D,
1 1 2
откуда Л = —> С = --, D = —. Подставим эти значения в (*) и раскроем
2, 35 3
скобки. Получим:
(
()
Приравнивая коэффициенты при х3 и *, получим:
217

5 _ И „ л \ _ б 1
откуда В = - —, F = ~. Итак, А = —, В = --, с=8^
«=--. Таким образом,
З1
-Т1п|^+Гб1п|д:-2-з1ГПУ
l2^ 9 J
2 ' 3 J (x+\)'
2 . "
2x
Пример 3. Вычислить интеграл
5х + 12
*
Решение. Знаменатель не имеет вещественных корней. Множители
знаменателя второй степени и не повторяются, поэтому разложение данной пра-
правильной дроби на простейшие имеет вид:
З*2 Ч- 5* + 12 Ах+В Сх+Р
+
Приводим дроби в правой части равенства к общему знаменателю и прирав-
диваем числители:
Зх2 + 5* + 12 = (Ах + В) (х2 + 1) + (С* + D) (х2 + 3) =
= (Л + С) *3 + (В + D)*2 + (А + ЗС) х + (В + 3D).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы х в левой и пра-
правой частях равенства, будем иметь:
А + С = О,
В + D = 3,
Л + ЗС = 5,
В + 3D = 12.
5 3 б 9
Отсюда, решая систему, получим: Л = — ¦—, В = — —-, С = —, D = —,
откуда
5* + 12
5jc+3 5jc
+
*
xdx
_2 Г dx А Г
i 2 J *2 + 3+ 2 J ]
C.
Пример 4. Вычислить интеграл
/=J_|L±JL
218

Решение. Разложим данную дробь на простейшие
Зх + \ _ А_ Вх + С Dx + F
. i /I I „9\ •
X A + *2J X ' A + X2) ' A + X2J '
Приведем к общему знаменателю правую часть равенства и приравняем чис-
числители, получим:
Зх + 1 = А A + *2J + (Вх + С) х A + х2) + (D* + F) х =
= (А + В) х* + С*3 + BЛ + В + D)x2 +(C+F)x+ A.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой час-
частях, получим систему уравнений:
А + В = О,
С = 0,
2Л + В + D = О,
С + F = О,
Л = 1.
Решив систему, получим: Л= I, В= — 1, С=0, Z)=^l, F=3. Сле-
Следовательно,
х(\+ х2J ~~ х 1 + х2 + A + *) J ( + )
f х dx С xdx п С dx , 1
J+3Jl|l
Г» 3* + 1 Г dx
J х A + х2J Х=э J х ~~
1
Остается вычислить интеграл
~ dx
'2 = '
Используя рекуррентную формулу (см. стр. 214), получим:
dx 1 х . 1 х
Т 7i =
(*2 + IJ 2 *2+ 1 4 2
=rGTT)+iarctg"
Итак, окончательно получим:
/
=]¦
В заключение заметим, что иногда интегралы от рациональных дробей уда-
удается вычислить не прибегая к методу неопределенных коэффициентов. Покажем
это на примере.
dx
Пример 5. Вычислить интеграл \ •
Ре
*(<
=-
ше
dx
3 +
~ 3
ние.
1
. 18
Г dx _J_ С 3 + <«— x» 1 Г dx
J xC + *eJ~3j *C + д:«J ~ 3 J д: C +
219

Найти интегралы:
127.3. a) [2xl-xi+ldx; 6) [*=ldx.
J & — X J X2 — 1
128.3. a) f x2 + l dx; 6) f
129.3. а) С 5*~14 dx; 6) f .
,30.3. a) f "*+16 dx; 6) f <!>'^
131.3. a) f^ Г^
: б)Г
,32.3. K-6.^ + 12^ + 6
J л;3 — 6*2+12х — 8
,33.3. f *Z dx.
,34.3. Г 2*-*»+7* + Б dx.
J (» + + 1)B)
,35.3. f
J
f
J
f
. A + хГ
136.3. Г —
J л»(х + 2)«
137.3.
138.3.
!¦
+
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
Ниже мы рассмотрим некоторые типы интегралов, которые надлежащей за-
заменой переменного могут быть сведены к интегралам от рациональных функций,
а следовательно, могут быть выражены через элементарные функции.
Пример 1. Вычислить интеграл
/ =
хА +1
Решение. Под интегралом стоит рациональная функция от дробных сте-
степеней х. Общее наименьшее кратное знаменателей 2 и 4 равно 4, а потому пола-
полагаем: х = *4, d# == 4t3dt. Отсюда
С t2P Г tbdt
220

Подстановка привела к рациональной дроби:
4
Возвращаясь к переменной х, получим:
з з
Пример 2. Вычислить интеграл
dx
1 J (i_jc)j/-r^2 "
Решение. Так как A— х)У\ — л:2=A — х) У A-х) A + х) = A— х){1 +
- *) 1/ х , то подынтегральное выражение есть рациональная функция от
г 1 + х
Г 1 + ^
х , поэтому сделаем подстановку
I-/2 -4/d/
Следовательно,
/ =—-
1+х
2t2
1+/2 '
Г1
dt
откуда
1
2
1+^2
1+ р l+i
Возвращаясь к переменной х, получим:
— х
Вычислить интегралы от иррациональных функций:

§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ВИДА R (хУах* + Ьх + с)
1. Пусть R (х, у) -— рациональная функция от переменных х и у. Заменив
в ней у на У ах2 + Ьх + с, получим рациональную функцию
R (х, У ах2 + Ьх + с) от х и ^ ах2 + 6х + с. Например,
(х У хЧЛ — х3J
•— рациональная функция от х и j^x2 + 1.
I. Интегралы вида j R (х, У^ах2+ Ьх+ с) dx всегда могут быть приве-
приведены к интегралу от рациональной функции при помощи подстановок Эйлера.
а) Если а > 0, то применяется подстановка У ах2 + Ьх + с = t = xY~a
[первая подстановка Эйлера).
Пример 1. Вычислить интеграл
J
Решение. Так как а = 4 > 0, то применим подстановку Эйлера
л:2+4л: + 3 = * — 2х. Отсюда 4х2 + 4х + 3 = t2 — 4ta + 4х2, 4л; + 3 = t2 —
4A+0 4A + 0°
2 (/2 — 3) <2 + 2< + 3
Q __ ^ .
4A+0 2A+0
Подставив в интеграл, получим:
7=2
Возвращаясь к переменной х, окончательно получим:
dx In 2х+У4х2 + 4х + 3 — УГ3' , с
Г 2 + V'~42 4 3 + /Г
/ _ Г In
~~ J хУ%х2 + \х + 3 КГ 2х + V'~4x2 + 4х + 3 + /Г
б) Если в трехчлене ах2 + Ьх-\- с свободный член с > 0, то применяется
подстановка У ах2 -{- Ьх -\- с = tx — Ус (вторая подстановка Эйлера).
Пример 2. Вычислить интеграл
J
Решение. Здесь а < 0, с > 0, поэтому применяем подстановку
+ х — х2 = /х — 1. Отсюда
*2 = ^д-2 _ 2tX + 1 ,
х) = х(/2х — 20,
— 1
222

Подставив в интеграл, получим:
-Mr+77+TF=-2arctg(<+1)
Возвращаясь к переменной х, получим:
x)yi+x* 2arctg
J
Заметим, что этот интеграл можно было бы вычислить проще, подстановкой
l + x-I.
Замечание. Случаи, рассмотренные выше (а > 0 и с > 0), приводятся
один к другому подстановкой х = —. Поэтому всегда можно избежать пользо-
пользования второй подстановкой.
в) Если квадратный трехчлен имеет вещественные корни а и р, то подын-
подынтегральное выражение можно привести к рациональному виду при помощи под-
подстановки
Уах2 + Ьх + о = Уа (х — a) (jc — Р) = (х — а) t
[или (х — р) t] (третья подстановка Эйлера).
Пример 3. Вычислить интеграл
(x-l)dx
-J-
Решение. Квадратный трехчлен х2 + 2* имеет здесь два различных
вещественных корня: а = 0, р = -=• 2. Поэтому применим подстановку Эйлера
Ух2 + 2х = xt. Отсюда
х2 + 2х = Ла, * + 2 = х*а,
2 4^ Л
Подставив в интеграл, получим:
/ «L
Но
Ух*+2х
i —- ¦ •
л:
Поэтому, возвращаясь к старой переменной х, получим:
f (у+1)Фс 1+2х
JB + 2jc) УхЩГТ^ УЖТг +

Подстановки Эйлера, вообще говоря, ведут к громоздким выкладкам, а по-
поэтому к ним следует прибегать лишь тогда, когда не видно других путей к вычис-
вычислению данного интеграла.
5* + 4
Решение. Сделаем подстановку: t = — (х2 + 2х + 5)' = х + 1. Отсюда
2х + 5 = Y(x + IJ + 4 =
У t2 + 4.
Подставив в интеграл, получим:
5* — 1 „С Ш
-5J /Тч^Т J
= 5/*2+ 4 — In | / + / *2 + 4 | + С.
Возвращаясь к переменной х, получим:
1 = f iTfTfTf*1 = 5 /(*+!)*+*- In | ж + 1 +
t) Y X —р* ?Х ~у~ О
+ /(л: + 1J + 4 | + С =5 /jc2+ 2х + 5 — In | х + 1 + /х2+2л: + 5|+ С.
Г Рт (л:)
II. Интегралы вида \ А dx,
J /ал:2 + 6л: + с
где Рт (л:)— многочлен степени т. Этот интеграл вычисляется по следующей фор-
формуле:
у ах2 + bx + c
где Q/u-i W— многочлен степени (m—1), а /С — некоторое число.
Коэффициенты Qm-i W и число /( находятся методом неопределен-
неопределенных коэффициентов.
Решение. Воспользуемся формулой (*):
j 0 I
Числа Л, Б, С, /С подлежат определению. Дифференцируем последнее ра-
равенство
+ х + 1
= BЛл: + В) Yx2 + * + 1 +
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители дробей в правой
и левой частях:
224
= {2Лх + В) [х2 + х + 1) + (Л*2 + Вх + С) (* +-i W /С.

15
Отсюда находим, что А = -- , В=— — , С=
3 12
17
— , К = —. Таким об-
2А. \Ь
разом,
Окончательно имеем:
16
HI. Интегралы вида
Jx
. Этот интеграл сводится
к предыдущему типу подстановкой
Решение. Применим подстановку х — 1 = — .
dt
Отсюда ^=— — , х2 — 2х
1 1 — 2/3
— 1)а —2 = — — 2= —^— . Под-
Подставив в интеграл, получим:
г л»
Полученный интеграл вычисляется приемом, рассмотренным в предыдущем
примере. Он имеет следующее значение:
Возвращаясь к переменной xt получим:
dx 1
¦J<-
1
Вычислить интегралы:
144.3.
dx.
+a
225

145.3 Г/* 1493 Гdx
5.3. Г
J
146.3. Гdx
J
[1+ /*(! + *)]*¦
147.3. С *2 + 4x— ^
J /x2 + 2л: + 2
148.3. ..,-_-+-2
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Интегралы вида f R (sin x, cos x) dx.
Интегралы вида j R (sim:, cos л:) dx, где R— рациональная функция от sin x
и cos xt преобразуются в интегралы от рациональной функции подстановкой
tg |- = * (—я < х <я). (¦)
Для этого с помощью равенства (*) выражаем: sin xt cos х и л: через I, а также
d* — через t и dt:
l
Подстановка (*) называется универсальной тригонометрической подста-
подстановкой.
х
Замечание. Иногда вместо подстановки tg — = t выгоднее сделать
х
подстановку ctg — = t @ < х < 2я).
i+sin*
/ = I -: ^—: dx.
Пример 1. Вычислить интеграл
f—-
J sinx(l +cosx)
X
Решение. Сделаем подстановку tg —• == tt получим:
226

2dt
Замечание. Хотя всегда подстановкой t = tg — интегралы вида
\ R (sin x,cos x) dx приводятся к интегралам от рациональных функций,
но часто это ведет к слишком громоздким выкладкам.
Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более
простых подстановок.
а) Если выполняется равенство R ( — sin x, cos л:) = — R (sin x, cos x),
то выгодно применить подстановку cos x = t.
б) Если выполняется равенство R (sin х, — cos х) = — R (sin x, cos x),
то выгодно применять подстановку sin x— t.
в) Если выполняется равенство R (— sin х, — cos л:) = R (sin xt cos x),
то выгодно применять подстановку tg x =— t или ctg x = /.
Пример 2. Вычислить интеграл
dx
Решение.
/ =
Если в выражение
-J-
sin х sin 2x
sin x sin 2x
1
dx
2 sin2 я cos я
подставить — cos x вместо cos x, то дробь
2 sin2 x cos x
изменит знак на противоположный, поэтому здесь выгодна подстановка sin x = t,
dt r
х = arc sin t, dx — ^Гл jn • , cos x = у I — t2, отсюда
V\ — p
_ 1 Г dt
2j/2(l-
11
2/^2
1
2 sin л: 2
Пример 3. Вычислить интеграл
1 —
1 + sin х
• sin x
+ C.
J sir
dx.
sin3 x + 2 cos2 x
Решение. Так как при изменении знаков у sin x и cos л: подынтегральное
выражение не меняет знака, применим подстановку tg x = t.
Разделив числитель и знаменатель на cos2 x, получим:
f_f 2tg* + 3 р Btg* + 3)-^-
= J sin2 x + 2 cos4 x J
cos2*
tg2 x + 2
! + 2
227

II. Частными случаями разобранных выше интегралов являются интегралы
типа J sinm х cos" x dx. Если т нечетно, то следует применить подстановку
cos x= t, а если п нечетно, то подстановку sin x—t.
Пример 4. Вычислить интеграл
р cos8 х J
I = \ —- dx.
J sin6 x
Решение.
P cos3 x P P
/ = I * dx = I (sin *)~6 cos2 xcosxdx = \ (sin x)~e A — sin2 x) d (sfn x)
J sin6 a: J J
«= Г siir6 Ы (sin jc) — j (sin a:) d (sin x)= у (sin a:)-6+ — (sin д)~8 + С =
3 sin3 x 5 sin6 д
Если оба показателя т и п— четные неотрицательные числа (в частности,
один из них может быть равным нулю), целесообразно заменить sin2 x и cos2 x
по формулам
1 — cos 2а: о 1 + cos 2a:
sin2 х = , cos2 х = .
Пример 5. Вычислить интеграл / = J sin4 x cos2 x dx.
Решение.
Р A — cos 2а:J /1 + cos 2х\ 1 р
/-J1 i~^~^ )^=-J(l-cos22*)(l-
If 1 Р IP
= — \ sin2 2a: A — cos 2a:) dx = — \ sin2 2x dx 1 sin2 2a: cos 2x dx
x sin 4a: sin22x
) = -—^-_-r.
Оба показателя тип четные, причем хотя бы один из них отрицателен.
Пример 6. Вычислить интеграл
fsin*
/ = \ dx.
J cos6 х
В этом случае можно сделать замену tg х = t или ctg х = /.
Решение.
•dx =
J COS6 X J COS2 X
III. Интегралы вида J sin mx cos nxdx, Jsin mx sin nxdx, J cos mx cos n*d*
(где т и м — целые положительные числа).
Эти интегралы берутся с помощью следующих тригонометрических формул!
sin mx cos nx = — [ sin (m — я) * + sin (m + n) x ],
228

cos mx cos nx — — [ cos (m — n) x + cos (m + n) x ],
sin mx sin nx = — [ cos (m — я) x — cos (m + n) x ].
Пример 7. Вычислить интеграл
j cos 2л: sin 4xdx.
Решение. Так как cos 2x sin 4x = — (sin бдс + sin 2x)t
Z
то I cos 2x sin 4лЛ = — I (sin 6*+sin 2x) dx= — I sin
1 С 1 1
+ — I sin 2xd Bx) =s— — cos 6x — — cos 2^ + C.
» t/ ^^
Пример 8. Вычислить интеграл
J cos x cos 2* cos 5*^*.
Решение. Имеем:
(cos x cos 2x) cos 5x = — [cos (— x) + cos Злг] cos 5* = — cos л: cos 5^:+
z z
+ — cos 3x cos 5a; = — [cos (— 4x) + cos 6*]-f- у [cos (— 2x) + cos 8*]=
л 4 4
= — cos 2x -f- — cos 4x-\ cos 6x-\ cos 8x.
4 4 4 4
Таким образом,
\ cosx cos2xcos5xdx = — \ cos2xdx + — \ cos4xdx-\ \ cos6xdx+
-] \ cos 8xdx= — sin 2x + — sin 4x + — sin 6л: -| sin 8* + C.
Вычислить интегралы:
152.3. J^^oi^Tsin3A:^c. 153.3. [ — dx.
J COS2 X
154.3. l$\n*xdx. 155.3.
156.3. [~^dx. 157.3.
J sin4 x
158.3. Jsin3xcos2A:dA:. 159.3. f
J 8 — 4 sin x + 7 cos a:
0.3. f————x . 161.3. Jj/ +sinxrfx.
J A + cosx) sin* J
2.3. f * , ,63.3. f
J /1 +cos* ua J
160.
162. , ,63.3. .
J /1 +cos* ua J 3 + 5cosa?
229

1А4<* Г -~3sinx + 2 cos x A iakq Г (l+sinx)dx
Io4.o. \ ¦ aX. iDO.o. \ —
J + J sinx(I-{-cosx)
166.3. f^dx 167.3. f sin3* dx.
J COS 4X J COS2 X + 1
168.3. f i^+^
J
f
J 3 cos2 x + sin4
f
169.3. f - .
J sin2 x — 4 sin x cos x + 5 cos2 x
170.3. f 171.3. f ^^ dx.
Jt 7 cos2 x+2sin2 x J cos4 л: + sin4 x
172.3. Г — . 173.3. f — .
J sin4 x cos4 x J sin3 x cos6 jc
mQ fsin2A; . 17-Q f sin4xd*
.6. \ ax. 175.3. \ .
J cos4* J cos*
176.3. \ . 177.3. \ L/ dx.
J sin2 x J у cos x
178.3. f ^ . 179.3.
J sin x cos3 a:
180.3. f гг dx ^,
J у sin8 Jf cos6 x
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ
ФУНКЦИЙ
В настоящем параграфе рассмотрим примеры на интегрирование некоторых
других трансцендентных функций.
Пример 1. Вычислить интеграл
•J-
dx
dt
Решение. Положим е* = /, х = In tt dx — — •
Jdt
1 ,f * .
'A-0 J ^2(i-0
Интегрируя эту рациональную функцию, получаем:
/ =— у + In m + In | 1 — ^ | + С =— ~+* + ln|l-e
з_
Пример 2. Вычислить интеграл J д;2 (In xJ dx.
Решение. Положим In х = /, х = ef, dx = ё dt. Отсюда
Г 1 Г ! ГА,
J a; 2 (In xJ rfx = J (еО2 ^^ = j Pe2 dt.
230

Интегрируя дважды по частям, найдем:
Возвращаясь к переменной х, будем иметь:
3
(} № *-1 In x + ^
J
С.
Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции, вы-
выполняется почти так же, как интегрирование выражений, содержащих тригоно-
тригонометрические функции.
Пример 3. Вычислить интеграл J sh*xdx.
Решение. Так как sh2 х — ch2 х — 1, sh xdx — d (ch x), то
С С ch3 x
sh3xdx = (ch2x—\)d(ch x) = —— — ch x + C.
Пример 4. Вычислить интеграл Г th4
Решение. Положим th* = w. Тогда
du
Поэтому
и + 1
+ С = — th х —
th3*
Вычислить интегралы:
181.3.
2 sh x + 3 ch
186.3. farctg—i-d«.
187.3. y^^
188.3. Jch4xdx.
189.3.
190.3. Г
Ш.З. j
192.3. ]tht'xdx.
193.3. l ga* dx.
194.3. $eatcs*xdx.
195.3. J" (x*+x—3)sh2xdx.
196.3.
197.3.
198.3. f- ,
J V(f- if
199.3. J xe^x dx.
231

Глава 3
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 9. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА. НЕЛОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Ниже мы будем иметь дело с суммами некоторых конечных последователь-
последовательностей.
Напомним некоторые суммы, известные из элементарной математики:
h=\
h=l
n
1 — цп
l—q'
Пример 1. Доказать методом математической индукции, что
Решение. При п = 1 это равенство, очевидно, выполняется, так как
1 • 2 \2
. Предположим, что оно уже доказано при п— т. Тогда имеем:
2
т-\-\
Поэтому равенство (*) справедливо и при п = т + 1. В силу принципа матема-
математической индукции равенство (*) верно для всех значений п.
Пример 2. Вычислить сумму
я 2я . Зя тп ,..х
S = sin — + sin — + sin —+... + sin — . (**)
n n n n
Решение. Умножим обе части равенства (**) на 2 sin —•. Так как
tot . п B?1)я
2 sin — sin —- = cos — cos
n 2/z 2/z
232

то получаем, что
Л . я о я Зя Зя 5я 5я
2 sin —¦ • 5 = cos — — cos — + cos —- — cos —¦ + cos —- — ... —
2n 2л 2/г 2л 2л 2л
Bm + 1) я я Bт + 1) я Л . (т + 1) я . тя
— cos ¦;—*-*- = cos — — cos —— ' ' = 2sin 1—¦—— sin — .
2л 2л 2л 2л 2л
Поэтому
. (т + 1) я . тп
sin *—¦—— sin —
2л 2л
sin —
2л
В частности,
. я , . 2я , . пя 2л я
sin — + sin h ... + sin — = = ctg —¦ .
n n n я 2л
sin —
2л
Пример 3. Тело движется по прямой линии, причем его скорость v (f)
в момент времени t равна Р сек. Найти путь, пройденный телом с начала движения
(/ = 0) до момента t = Ъ.
Решение. Разобьем промежуток времени [0; Ь\ на л равных частей.
I)
Длительность каждой части равна — = А/, причем k-я часть начинается в
kb (k + l)b
момент времени tk = — и кончается в момент времени tk+1 = .
л л
Сначала найдем приближенное значение пройденного пути. Мы будем счи-
считать, что в течение каждого частичного промежутка времени [tk, tk+1] тело
движется со скоростью, равной той, которую оно имело в начале этого промежут-
промежутка, т. е. в течение промежутка времени [/^, tk+l\ тело движется со скоростью
Тогда путь As*, пройденный за k-й промежуток времени, приближенно выража-
выражается формулой
As* * v (tk) At = t\M.
Весь путь s F), пройденный телом, приближенно выражается следующей
суммой, состоящей из л слагаемых:
s (Ь) = As0 + Asx + ... + Д s^ » v (t0) M + v (tx) At + ... + v (tn. x) At =
Так как t^ = — , Аг = — , то эту сумму можно записать так:
л—1 я—1 л—1 л—1
fe=l fe=0 ft=0 fe=0
_ ^. (^ —1) n B/г—1) ^ ^ (л — 1)Bл — 1)
""л3 6 ~ 6 л2
233

Чем больше значение л, тем меньше частичные промежутки времени и тем
меньше ошибка, которую мы делаем, заменяя движение в течение промежутков
времени [tk\ tk+1] равномерным. Поэтому путь, пройденный телом за промежу-
промежуток времени [0; Ь] равен пределу суммы (*):
/г—1 п—1
s (Ь) = lim У. v (tk) М = lim V t\ М = lim б3 (/г — 1) B/г — 1) №
Л -¦> оо =
6л2 3
Сумма
/г=0
является интегральной суммой для определенного интеграла
соответствующей разбиению отрезка [0; Ь\ на п равных частей и выбору точек |д
в начале соответствующих отрезков [/#; t^+1]. Если бы мы положили скорость,
равной скорости в конце соответствующих отрезков, то получили бы другую
сумму
л—1 л—1
fc=O fe—О
Однако предел этой суммы при п -> оо был бы тем же самым.
Итак, мы доказали, что
Ь
Путь, пройденный за промежуток времени [а; Ь], равен
б3 а3
В то же время он равен интегралу J/2 dt. Поэтому
1<
а3
и
Пример 4. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограничен•
ной сверху кривой у = е*, 0 < х < 1.
Решение. Разобьем отрезок [0;1] на п равных частей точками
1 п п " п п '
Длина каждого отрезка [л^; xk+1] равна Axk = — . Положим 5^ == xk =
/i
, Л=вО, 1, ... , л—1. Тогда
п
234

Будем считать, что площадь части трапеции, расположенной над /г-м отрезком,
приближенно раЕна площади прямоугольника с основанием Ах^ и высотой
/ (|д). Тогда приближенная величина площади выразится суммой
л—l k_ _L L Hz}
л 1 !\ , п , п /г \ 1
в . - = 1 + б + е + ... + в • - ,
п \ п
Значение площади отыскивается как предел lim 5Л. Так как
... + е Л = —¦ (сумма л членов геометрической прогрессии
со знаменателем q—^ и первым членом ао=1), то
п L
S = lim Sn = (e — 1) lim
Так как при х -> 0 имеем е* — 1 ~ х, то
J
lim
Следовательно, S = lim Sn = (е —-1) • 1 =в — 1. Предел суммы
л—1 к_
Sn =s — 2j e ПРИ л -*- оо является определенным интегралом функции
е* по промежутку [0,1]:
1 я—1 ft_
e*dx=)im — V еЛ =е— 1.
о
Пример 5. Вычислить, исходя из определения, интеграл
2
f cos x dx.
235

[о; |] на п
Решение. Разобьем отрезок 0; —¦ на п равных частей точками хо= 0,
__ я __ 2я _ kn _ пп _ я
Х1~Гп' **~2^ ч~ in *""&"!•
Длина каждого частичного отрезка равна A xk = xft+1 — xk = — .
2/г
В качестве §ft выберем правый конец /г-ro частичного отрезка.
Вычислим значение функции в точках \k\
COS|0 = COS J- , ... , cos lk = cos (fe+1)jl , ..., cos tn^ = 0.
in in
Составим интегральную сумму
я—1 л—1
** = 1 cos |ft - = - cos - + cos - + ... + cos -^
Эта сумма вычисляется точно так же, как сумма в примере 2), и равна
. п (/г —1)я
л sin — sin
2 л sin —
4/г
Найдем предел интегральной суммы при п -> оо :
л
i o t V t ^T = li
I cos xdx = lim ол = hm >. cos |л 2л л -
J /l-»-oett-*oo .31
о ft=o 2 л sin —
4/г
. я . (/г — 1) я
я sin—sin
4 4^
Ho lim 2я sin — = — , и потому
n-^o, 4n 2
я
я sin2 —
4
cos x dx—'
я
и 1
В некоторых случаях целесообразнее разбивать промежуток интегрирова-
интегрирования на неравные части.
Пример 6. Вычислить, исходя из определения, интеграл
Ь
?xmdx, О < а < Ь, тф—1.
а
Решение. Положим q — 1/ — и разобьем отрезок [а; Ь] на части
V а
точками х0 = а, хъ ..., хп = Ь, где хк = aqk. На отрезке [ xk\ хк+1] выбе-
выберем точку lk — xk = aqk. Тогда интегральная сумма примет вид:
236

n—1 л—1 n—1
s« = 2 ^ (**« - *») - 2 и*г ° (*ft+1 ~ *ft)=°m+1 (?-1) 2
fe=O ft=O ft—0
По формуле для суммы геометрической прогрессии получаем отсюда
п
__ am+1) bm+1 —
n/~~b
Если л->оо, то <?= 1/ —-> 1 и, следовательно, max [qk+1 — qk 1 -> 0.
г а о<л<л—l
Поэтому
n bm+l am+1 bm+1 am+1
\ xm dx = lim Sn = lim — —- p = —— •
J wh.00 q-*\ qm + qm'x + ... + 1 m+l
Эта формула верна для любого вещественного /я, отличного от —1.
200.3. Доказать методом математической индукции равенства:
п
б)
в)
l)Bm2 — ла — л).
9тТ m
201.3. Вычислить сумму cos —I- cos —(- ... + cos ~
п п п •
202.3. Доказать, что 2 а* + 2 &* = 2 ^а* "*" Ь^'
fe=l fe=i ft—1
237

203. 3. Вычислить путь, пройденный точкой за время от t =
= 2 сек до t = 5 сек, если скорость v = It.
204.3. Вычислить силу, с которой вода, налитая в сосуд формы
прямоугольного параллелепипеда, давит на его боковую грань,
если размеры этой грани а м в ширину и Ъ м в глубину.
205.3. Определить площадь, ограниченную осью Ох и одной вол-
волной синусоиды у = sin х.
206.3. Вычислить объем тела, получаемого при вращении дуги
параболы у = х2, 0 < х < а, вокруг оси абсцисс.
207.3. Тело движется по прямой линии, причем на него дейст-
действует сила притяжения, направленная к началу координат и обратно
пропорциональная квадрату расстояния от этого начала: F = .
Вычислить работу, затраченную на перемещение тела из точки А (а)
в точку В (ft), 0 < а < Ъ.
208.3. Тело движется по прямой линии. Вычислить работу, за-
затраченную на перемещение тела с момента времени а до момента вре-
времени 6, если мощность двигателя зависит от времени и выражается
формулой W = kt3.
209.3. Найти количество электричества, протекшего по провод-
проводнику за промежуток времени 0 < / < 6, если зависимость силы
тока от времени выражается формулой
/= Л sin?*.
ъ
210.3. Вычислить следующие интегралы, используя определе-
определение определенного интеграла как предела интегральных сумм:
\ 2
a) f sin* Же; б) \j-9
0 1
в)
Ь 1 е
г) |е**Жс; д) J*(l — x*)dx\ e){lnxdx
а 0 1
(разбить отрезок [1; е] на части точками, образующими геометри-
геометрическую прогрессию);
и
ж) f xex dx\
о
238

о
С* dx
з) \ — @ < а < Ь) [положить % = У xt xi+i (i = О, 1, ... , n)];
а
b
и) I — dx (разбить отрезок [а\ b] на части точками, образу-
а
ющими геометрическую прогрессию).
4
211.3. Вычислить интеграл Г х3 dx следующими способами:
а) Разбивая отрезок [1; 4] на равные части и выбирая в качест-
качестве lk левые концы этих частей.
б) Разбивая отрезок [1; 4 ] на равные части и выбирая в качест-
качестве точек lk правые концы этих частей.
в) Разбивая отрезок [1; 4 ] на равные части и выбирая в качестве
?Л середины этих частей.
г) Разбивая отрезок [1; 4] на части точками х0, хи ... , хп>
где xk = qk, q = -/4, и выбирая в качестве точек lk левые
концы этих частей.
д) Разбивая отрезок [1; 4 ] на части теми же точками, но выбирая
в качестве точек lk правые концы этих частей.
е) Разбивая отрезок [1; 4] на части теми же точками и выбирая
в качестве точек %к средние геометрические левых и правых кон-
концов частей.
а \_
212.3. Пользуясь ответом примера 6, вычислить Jn= f xn dx.
Найти lim Jn. Истолковать результат геометрически. Сделать
а
то же самое для Jn = f xn dx, 0 < а < 1.
§ 10. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пример 1. Известно, что
Ь
m(b — a)< \f(x)dx<M(b — a), A)
а
где т — наименьшее, аМ — наибольшее значение функции / (я) на отрезке [а; Ь\.
Пользуясь оценкой A), оценить интеграл:
2
V"l + cos2* d*.
239

Решение. На отрезке — ; — функция cos * монотонно убывает и ме-
няется от ^2 до 0. Поэтому для функции / (х) = Vl + cos2 x m = 1, М ¦¦
Следовательно,
f. e.
2
п
л
Г
/1 + cos8 * dx <
8 #
Пример 2. Оценить интеграл
18
i
cos8*
dx.
Решение. Так как cos8 х < 1, то при х > 10 выполняется неравенство
cos2*
Поэтому
cos2*
1+*8
dx
< ЮЛ
< A8 —12) Ю-8 < 10-1.
Пример 3. Докажите, что если функция р (х) интегрируема и неотри-
неотрицательна на отрезке [а; Ь], а функция / (*) удовлетворяет на этом отрезке условию
т < f (х) < М, причем / (*) • р (х) интегрируема, то
ь ь ь
m\p(x)dx< §f(x)p(x)dx< M§p(x)dx. (¦)
а а а
Решение. Из условия вытекает, что при а < х < Ъ выполняется нера-
неравенство
тр (х) <f(x)p (х) < Мр (х).
Интегрируя это неравенство, приходим к соотношению (*). Это соотношение на-
называют обобщенной теоремой о среднем для интегралов.
Пример 4. Доказать, что
1
1 С x*dx 1
240

Решение. Положим
Так как на отрезке 0 < х < 1 имеем -у=. < ¦ < 1 то
У 2 у 1 + х
Но из формулы, приведенной в примере 6 § 9, следует
1
1
о
и потому
x*dx 1
< 77 •
10/2 J VT+x
Пример 5. Пусть на отрезке [а; Ь] заданы функции Р (х), f (x)t q> (x)>
t|) (jc), причем:
а) функция Р (дс) неотрицательна;
б) выполняется неравенство ф (х) < / (х) < г|) (*);
в) функции / (д:) Р (х), ф (л:) Р(х)иф (х) Р (х) интегрируемы.
Доказать, что
Ь Ь Ь
Jq>(*) Р (х) dx < J/M Р (дс) ?tx < J*(х) Р (х) dx. С)
а а а
Решение. Из неравенств Р (х) > 0, ф (х) < f (x) < \|> (х) вытекает, что
V(x)P(x)<f(x)P(x)<ip(x)P(x)t
а потому имеет место неравенство (*).
Пример 6. Пользуясь неравенствами
— -~ < sin* < х, х > 0, (*)
о
доказать, что
<dx<
21 J УГ 3 •
Решение. Из неравенств (*) вытекает, что
Д ? 2 2
6 f sinx ^ f л;
rdx< \ — dx< \-pi
Ух
3
241

2/1 5 \ 21 2 5_
X
0 0
1 2" I f 2\ If
— — x ] dx = \ x dx— ~Z \
4 l/ g 1/9 20 1^?
= —r — r = r ,,. Поэтому справедливо неравенство (**).
о 2\ 2л
Для решения следующего примера мы используем неравенство Буняков-
ского — Шварца
Ь |2 ъ Ь
Ь |2
$f(x)g(x)dx
а \
\ а а
Пример 7. Доказать, что
л
I
х j/sinx dx < — .
б
Решение. Положим / (x) = x, g (x) = у sin x. Тогда
я я я
р р (* 2я3
\ х у sin х dx < \ х2 dx \ sin xdx = — .
J J J 3
0 0 0
Пример 8. Для интеграла
я
j sin x dx
о
найти верхние и нижние интегральные суммы, соответствующие разбиению
отрезка [0; я] на 3 равные части. Найти верхние и нижние интегральные суммы
соответствующие разбиению этого же отрезка на 6 равных частей.
Решение. Разобьем отрезок [0; я] на 3 равные части точками
— о _ Л —5? —
На отрезке 0; — функция sin x монотонно возрастает, и потому для этого от-
L 3 J _
резка имеем т0 — sin 0 = 0, MQ = sin — =i_-l_ . На отрезке — ; —
3 2 |_ 3 3 J
я т^о~
меньшим значением функции является mx= sin — = 1—- , а наибольшим М^
я Г2я я!
= sin — = 1. На отрезке — ; — функция sin x монотонно убывает, и потому
2я ь^ч~
т2 = sin я = 0, М2 = sin — = UL .
3 2
Так как все АхЛ равны — , то
3
2
242
наи-
»0,907,
/г=0

При разбиении отрезка {0; я] на 6 равных частей точками
я я я 2я 5я
6 3 2 3 6
таким же путем находим:
т0 = О, Мо = sin ~ = — ,
о z
. Я 1 .. .Я |/о"
т2 = sin — = I— , М2 = sin у = 1,
m3 = sin — = 1_ , М3 = sm — = 1,
5я
2я
т5 = sin я = О,
Для этого разбиения получаем:
5я 1
Мь = sin -—=-—.
1,43.
S* = ~ (Мо + М{ + М2 + Мъ + М4 + Мь) = -^ C + Jr 3) » 2,48.
6 и
Как и должно быть, выполняются неравенства
я
s<s*< \ slnxdx <S* <S
(точное значение интеграла равно 2).
Пример 9. При каком б > 0 из неравенства max A^ < 6 вытекает
соотношение
3
f sin
о
— У! sin
< 0,001,
(*)
Где о = хь < хх < .„ < хп = 3 и g& — любые точки отрезков [xkf xk+l]>
Решение. Мы знаем, что
я—1 3 п—\
ls\n50xdx<
О
и
п—1 п—1 л—1
2 т*Дхл < 2 sin 50?*Ад:л < 2 M*A*ft, Г)
^0
243

где mk — наименьшее, a Mk — наибольшее значение непрерывной функции
sin 50* на отрезке [х^, xk+1). Поэтому для выполнения неравенства (*) доста-
достаточно, чтобы выполнялось неравенство
я—1 л—1 л—1
< °>001' т* е' 2 ДО* —т*)ДхЛ< 0,001.
Но mk и МЛ— значения функции / (х) = sin 50* на отрезке [xk\ xk+1\: mk =
= sin bQak, Mk = sin 50bk. Так как /' (х) = 50 cos 50*, то по формуле
Лагранжа имеем:
Ми — Щ — sin 506л — sin 50 aft = 50 FЛ — ak) cos 50cft,
где ak < ck < 6ft.
Так как | cos 50сл | < 1 и mk < Mk, то
0 < Mk — тл < 50 \bk — ak |.
При этом, поскольку точки аь и Ъъ лежат на отрезке [*$; хк+1], то | Ьл — ал | <
< А*^, а потому
0 < Mk — mk
л—1 я—1
т*>Л;с* <50 2 Axh-
hQ
я—1
Так как 2 &xk = 3, то при max Axk < б имеем:
&=о
л—1 я—1
50 2 A*i <50б 2 Д^Л = 1506.
ft=0 Л=0
Итак,
л-1
2 (Mk — тЛ) Д*Л < 1505.
/1=0
Поэтому, для того чтобы выполнялось неравенство (*), достаточно выбрать
0,001
~~ 150 '
Вообще, если функция / (*) имеет ограниченную производную во всех точках
отрезка [a; b], \ fr (х) \ < М, то для выполнения неравенства
л-1
достаточно, чтобы max Д*^ < 6, где
=
В случае, когда функция / (*) монотонна на отрезке [a; b]t задачу можно
решить иначе. Если, например, функция / (*) монотонно возрастает, то mk =f (xk),
Mk = / (**+i), и потому
n—\ я—1
2 (Mk - mk) Axk = 2
ft ft0
причем при всех k имеем / (^*+i) — / (xk) > 0. Если при любом k имеем
max &xk < 6, то при любом k имеем:
- mk) Д xk = I f (xk+i) ~ / (**) ] Д *Л < 6 [/ (*ft+1) - / (**) ],
244

и потому
/1-1 /2-1
2 (Mk - mk) bxk<d]? [f (xk+l) - / (xk) ].
n—1
В сумме 2 I/ (xk+i) —' f (xk) 1 все слагаемые, кроме / (хп) = / (b) и
— / (xo) == — / (я), входят дважды с противоположными знаками и потому вза-
взаимно уничтожаются. Поэтому
g
Следовательно, если выбрать 6 = , то при max Ад:^ < б вы-
п—1
полняется неравенство 2 (^л — mk) & xk < е» а тогда имеет место и нера-
/1=0
венство
л—1
Пример 10. При каком значении 6 > 0 из неравенства max Адсл < 6
вытекает, что
I 7 /i—i
< 0,001.
I — ¦-
Решение. Функция у = х2 монотонно возрастает на отрезке [2; 7]. Мы
имеем / G) = 49, / B) = 4. Поэтому можно выбрать
А 0,001
о = .
45
Если функция f (х) интегрируема в [а\ Ь], то она необходимо ограничена в
этом промежутке. Однако отсюда не следует, что всякая ограниченная функция
интегрируема (см. следующую задачу).
Пример 11. Показать, что функция Дирихле, которая задается на от-
отрезке [0; 1J следующим образом:
1, если х рационально,
0, если х иррационально,
не интегрируема.
Решение. При фиксированном разбиении отрезка [0; 1] мы должны учи-
учитывать, в частности, две возможности: 1) все точки |/рациональны; 2) все точки
li иррациональны. В первом случае интегральная сумма равняется единице, во
втором случае — нулю. Следовательно, как бы мы ни уменьшали максимальную
длину частичных отрезков разбиения, мы всегда получим интегральные суммы,
равные 1, и интегральные суммы, равные 0. Поэтому не существует предела ин-
интегральных сумм, а это значит, что функция г|з (х) не интегрируема в промежут-
промежутке [0; 1].
Пример 12. Найти производную функции
Y7
F{x)= J cos t2dt.
245

Решение. Положим ух = и и
Ф(и) = J
и
cos
По теореме о производной интеграла по верхнему пределу имеем Ф' (и) = cos и2.
Так как F (х) = Ф (}/"* ), то
Г (х) = Ф' (а) 4 = cos и* (/7)'
2 у х
Чтобы найти производную функции
YT
F (х) = j cos t2dtt
X
надо представить эту функцию в виде
с Yx~ х Ух~
F(x) = J cos t4t + J cos t2dt = — J cos t2dt + j cos t2dt
1_ с с с
X
и положить в первом интеграле— «= и, а во втором VT = о.
213.3. Оценить интегралы:
"з г 2л
O/-J/1+I****, «)j
J Ю + 3 cos x
о о
в) Г
{V
г)
1 vT
д) Г *" -dx: e) f a; arc tg x dx.
,3e Доказать, что:
а) lim -=- = 0;
Л -* оо J 1 -}- X
о
if
2
б) [f s n * dx > — A — i
0
246

в) 0,5 <(' dx
r) — < f dx
6 J^4-^-
д)
ж)
з)
и)
^-
2
X
18
г*
9<J
8
1
2
0
Х+ 1 -
х+2
1
р
0
:1т<
г'
<1;
+ +...+<<1++...+ Ц;
2 3 n J x 2 /г— 1
l
к) проверить справедливость неравенства ех + е~х > 2 + х2,
а затем доказать, что
л) убедившись в справедливости неравенств — > In х > I
е
(х > ?), доказать, что
4
0,92<Г ^__ <1.
з /inx
215.3. Доказать, что
f
216.3. Выяснить, не вычисляя интегралы, какой из интегралов
больше:
1 1
a) ^yi+x2dx или Г xdx\
I о
247

1 1
б) \x2sin2xdx или I х sin2 xdx;
J J
0 о
2 2
в) ( \nxdx или к (lnxJdx;
1 'i
4 4
г) ( In x dx или \ (In xJ dx;
з з
л 2л
д) f ?~*2 cos2 х dx или Г ?~*2 cos2
J J
о л
217.3. Доказать, исходя из геометрических соображений, что
если функция f(x) в промежутке [а \Ь] возрастает и ее график
обращен вогнутостью вниз, то
Записать соответствующее неравенство, если график обращен
вогнутостью вверх.
218.3. Доказать, что если / (х) — непрерывная монотонно воз-
возрастающая функция на отрезке [а, 6], то
ь
(b-a)f(a)<^f(x)dx<(b-a)f(b).
219.3. Применить неравенство примера 3 к оценке интегралов:
1 е
г* с*
a) \ e*2 dx\ б) 1 In x dx;
о 1
1 2
в) Гб?агс *** dx\ г) Г arc tg (^ dx
о о
220.3. Доказать, что если функций / (х) непрерывна и монотон-
монотонно возрастает на отрезке (р — а\ р + а), то
2а/ (q — р2) < J f(x2 _ 2рх + q) dx < 2а/ (а2 + q - р2).
р-а
248

221.3. Доказать, что
з
2.5~2< Г ^ <2-4-2.
^ J (*2_ Ax + 8J ^
222.3. Исходя из соотношений
6 л
;c*dx = ——«JL тф — \% \si
а О
и неравенства (*) примера 5 (стр. 246) оценить следующие интегралы:
а) (-**_; б) Г?1±Ж
J 1 J 2
- I 1 + л*
о 1
л е
y\2 + x sin xdx\ r) I-/ + In2*
о Г
223.3. С помощью неравенства (*) примера 5 и соотношения
х < sin х < х + — (х> 0), оценить интегралы:
L
2( 0,64 0,512
а) \ ii2-f dx\ б) ( Ух sin^dx; в) Г Yxunxdx.
J ^ J J
оо о
224.3. С помощью неравенства (*) примера 5 и соотношения
х — — < In A + х) < х — — + — (х > 0) оценить интегралы:
2> 2 о
а)
0,5 0
225.3. С помощью неравенства Коши—Буняковского доказать,
что:
1
а) (У 1 + х2 Vrx*+ I dx<-\ б) [Vl +x* dx<
о о
249

л
/ \ У ^*li^ ил -^ ,
0
г) f
+ л3) sin х dx < 2л + ^ •
0
226.3. Доказать, что наименьшее значение выражения
ь ь
J ' W J JEW
а а
при условии, что функция / (х) положительна на отрезке [а; 6 ],
достигается, когда f (x) — постоянная на этом отрезке.
227.3. Для нижеследующих интегралов вычислить верхние и
нижние интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка
[а; 6] на п равных частей:
2
а) [\gxdx, /1=10; б) Г -^-, п = 5, п = 10;
J J 1 + *а
1 5
1
в) ^er*dx, /i= 10.
228.3. Для интеграла f lgArcU вычислить верхние и ниж-
нижние интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка [1; 2 ]
на части точками: хо = 1, хх = 1,1» #2 = 1,2, д;3 = 1,4, #4 =
= 1,6, х5= 1,8, ^6 = 2.
229.3. Найти такое S > 0, что из max A xk <C б вытекает
Ь л—1
/г=0
если:
а) / (х) = л:3 — 3*, а = — 2, b = 2, е = 0,01;
б) / (jc) = хе~\ а = 0, 6 = 3, 8 = 0,001;
в) / (х) = arc tg л;, а = 0, 6 = 1, 8 = 0,01;
Г) / (л;) = cos 100л:, а = 0, 6 = 2, е = 0,01;
Д) / (х) = х3ех, а = 0, 6 = 1, е = 0,001.
230.3. Доказать, что если функции ср (х) и я|) (х) непрерывны
на отрезке [а; 6 ], то
л—1 Ь
lim ^] ф &k) я|) (%) А** = JV {х) я|) (a:) dx,
max Ал:^ ->0 ^=0 а
где ?й, % —точки отрезка Uft; Xk+\].
231.3. Доказать, что функция
250

_ I x2, если х рационально,
1 0, если х иррационально,
неинтегрируема на отрезке [0;11.
232.3. Постройте пример неинтегрируемой функции, квадрат
которой интегрируем.
233.3. Постройте пример двух неинтегрируемых функций, сум-
сумма которых интегрируема.
234.3. Может ли произведение интегрируемой и некнтегрируемой
функции быть интегрируемой функцией? А сумма?
235.3. Найти экстремум функции
1+*
236.3. Найти производные следующих функций:
х VT
a) F (х) = Г In tdt (x > 0); б) F (х) = Г cos (/2) dt (х > 0);
X
237.3. Найти производную —, если
dx
\nt
238.3. Найти производную —, если
dx
x= Ulntdt, y= (tHntdt (t>0).
l
239.3. Найти:
sin jc
х-0 л х-+±0 1у
J j^sin х dx
о
251

240.3. Найти точки экстремума и точки перегиба функции
о
241.3. Найти экстремум функции
ф(;с)= ГГ~A— t*)dt.
i
242.3. Найти радиус кривизны линий:
х = f cos eHty
J
о
у = Г sin eldt\ б)
[
dt,
о
dt.
243.3. Найти производную у'х функции, заданной неявно:
У х
[ е' Л + f cos t dt = 0.
о о
244.3. Найти значение второй производной по z от функции
22
Г
J
при г = 1.
245.3. Функция / (t) непрерывна при всех значениях t, а функ-
функция F (х\ б) определена равенством
б
F(x; б) = 1
26
—6
где б — фиксированное положительное число. Доказать, что:
а) функция F (г, б) имеет непрерывную производную при всех
значениях х\
б) для любого фиксированного отрезка [a; b \ и любого г >
> 0 можно найти такое б > 0, что при а < х < Ь выполняется
неравенство \F (х\ б) — f {х)\ <г.
246.3. Вычислить функцию F (х\ б), если / (х) = \х\. При
каком б > 0 неравенство \F (x; б) — \х\ |< 0,001 выполня-
выполняется на отрезке [—2; 2]?
252

247.3. Вычислить функцию F (х; б) для разрывной функции
— 1, х<0,
sgn х= .
И, х>0,
и показать, что функция F (x\ 6) непрерывна.
248.3. Доказать, что если f (x) — непрерывная неотрицатель-
ь
ная функция на отрезке [а; Ь ] и Г / (х) dx = О, то / (х) == 0.
§ 11. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С ПОМОЩЬЮ ПЕРВООБРАЗНЫХ
Пример 1. Вычислить интеграл
Т
sin2 х *
4
Решение. Так как одной из первообразных для функции
f (х) == а" является функция F(x) = — ctg x9
то
~2
я ft
Г 4
= — @— 1) = 1.
Пример 2. Вычислить интеграл
ь
J х
Решение. Рассмотрим три случая: 1) 0 < а < Ь. Тогда / (х) = — = 1
при х > 0, и поэтому
b b
J / (х) dx=[dx = b—a.
а а
\х\ ь
2) а < b < 0. Тогда / (*) = — = — 1 при х < 0 и j f (x) dx .
х а
Ь Ь
(—1) dx =— J Ле = — (Ь — а) = а — &.
253

3) a < 0 < b. В этом случае
ь о ь о ъ
§f(x)dx=§f(x)dx + §f(x)dx = -$dx + \dx=a + b.
а а О а О
Все три случая, как легко проверить, можно объединить одной формулой
Ь
Пример 3. Вычислить интеграл
100 я;
/ = j уг
Решение. Имеем: У\—cos2x = У |sinjc|. Поэтому
юо я 100 я /я 2я
J У\ — cos 2x dx = Y2 J |sin jcJ dx = |^2 j J sin x dx — J sin x dx +
о о \o я
Зя An 100 я \ _
+ j sin*d*--J sinxd* + ... + J sin*d;t =j/ B + 2 + 2+...+ 2) =
2я __ Зя 99 Я /
= 200 У 2.
Замечание. Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона —
Лейбница, следует обратить внимание на условия законности ее применения. Эта
формула применяется для вычисления определенного интеграла от непрерывной
на отрезке [а; Ь] функции / (х) лишь тогда, когда равенство/7' (х) = f (x) выпол-
выполняется на всем отрезке [а; Ь].
Например, при вычислении интеграла / = \ нельзя брать в ка-
качестве первообразной функции F (х) = arc ctg — , так как при х = 0 нарушается
равенство F'(x) = (при х ф 0 это равенство имеет место). При х = 0
1 + х*
функция F (х) разрывна и не может быть первообразной.
Пример 4. Можно ли применить формулу Ньютона—Лейбница к инте-
интегралу
5
dx
Решение. Нет, нельзя! Если формально вычислять этот интеграл по
формуле Ньютона — Лейбница, то получим неверный результат, Действитель-
Действительно,
254

;
; — 4K
3 192 192 64'
о о
Но подынтегральная функция / (х) = — > 0 и, следовательно, интег-
интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что
подынтегральная функция f(x) = — имеет бесконечный разрыв в точке
(х — 4)
х = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, примене-
применение здесь формулы Ньютона — Лейбница незаконно.
249.3. Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти интегра-
интегралы:
д)
1 In 2
——
/» cos3 xdx (*
б) f «,-т- ; e)
J /sinx J
2
V7
7
J x '
1
2
f
и) f eXdx .
l
250.3. Вычислить интеграл
2
/ = Г i i _ x | dx.
251.3. Вычислить интегралы;
—l
Ш

252.3. Объяснить, почему формальное применение формулы
Ньютона—Лейбница приводит к неверным результатам, если:
2л 1
a) f * ; 6)f A
О —1
§ 12. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Пример 1. Вычислить интеграл
VT
2
О
Решение. Применим подстановку х = cos t. Такая замена переменной
законна.
Действительно:
1) функция х = ф @ = cos t непрерывна на всей числовой оси;
2) когда новая переменная t изменяется в —; — , значения старой перемен-
переменной х = ф if) пробегают отрезок 0; L-iL ;
(!)=?• »(т)-*
4) ф' @ = — sin t непрерывна на отрезке
L4 2J
Таким образом, все условия теоремы о замене переменной интегрирования в
определенном интеграле выполнены.
Итак, х — costt dx =—sintdt, ф( — 1=0, т. е. tt= —¦, Ф[—)
я
т. е. t2 = — ,
1+* 1+cos/
Следовательно,
Г l/iii rfx = ctg - (—sin/) Л = \ A+ cos /) d/ = [t + sin /] 2
2 2
n , , " /2" я /f
Следует обратить внимание на то, что, производя замену переменной в опре-
определенном интеграле, мы затем не возвращаемся к первоначальной переменной.
Вместо этого мы изменяем пределы интегрирования — когда х изменяется от 0
до I— , переменная / меняется от — до — .
2 2 4
256

Замечание. Часто вместо подстановки х = <р (t) применяют обратную
подстановку t = -ф (х). В этом случае пределы ^ и t2 определяются непосредст-
непосредственно: /х= г|э(а) и ?2 = i|?(ft). Однако здесь следует иметь в виду, что функция
х = ф @, обратная к функции ^>(*), должна по-прежнему удовлетворять всем
условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле. В частности,
функция х = ф @ должна быть непрерывной, однозначной функцией от / в пре-
пределах интегрирования, и при непрерывном изменении t от tx до t2 переменная
х должна изменяться от а до Ь.
Замену переменной обычно производят с помощью монотонных диффе-
дифференцируемых функций, с которыми проще оперировать и которые гарантируют
однозначность как прямой, так и обратной функции. При этом значения функции
х = ф @ не выходят из промежутка [а; Ь\ при изменении / на отрезке [ а; р ]
(рис. 1.3).
а
Л
Рис. 1.3
Пример 2. Вычислить интеграл
In 5
• dx.
ех +3
Решение. Применим подстановку Уел — 1 = t, отсюда при хх = 0 tx =
= 0, при х2 = In 5^2 = 2. Следовательно, когда * изменяется на отрезке [0; In 5],
новая переменная t изменяется на отрезке [0;2]. Функция х = In (I + t2), об-
обратная к функции t= Ye* — 1, является монотонной, непрерывной вместе с ее
производной х/ = ¦ - на этом отрезке. Таким образом, законность под-
подстановки доказана. Имеем:
П 4S
JV Р+4
-— =4 — П.
257

Замечание. При вычислении определенного интеграла по формуле
ь tt
"/1фЮ1ф'@*
новые пределы интегрирования tx и t2 находятся, очевидно, решением уравнений
а — Ф (О И Ь = Ф @ относительно неизвестной U
Если функция х = ф (t) не монотонная, то может случиться, что эти уравне-
уравнения дадут несколько различных пар t± и t2, удовлетворяющих условиям теоремы
о замене переменной в определенном интеграле. Любая пара tx и t% в этом случае
пригодна.
Пример 3. Вычислить интеграл
2
dx
Решение. Применим подстановку х = sin t (данная функция не моно-
монотонная), dx = cos t dt и потому подынтегральное выражение примет вид:
dt
если cos t > 0,
cost dt
sin t Y cos2 /
sinf
dt
sint
если cos t < 0.
Новые пределы
1
и t2 находим из уравнений —¦ = sin t\
sin t. Можно
я я о
принять tx = — и t2 = — , но можно также принять, например, tx = ¦— ^
6 3 о
[1 т/"з~
2 2
J
(рис. 2.3).
Покажем, что результаты интегрирования совпадут. Действительно, если
я п
t± = —- , ^2 = —- , то cos /> 0, и потому
л
J
Рис. 2.3
2л t
258

dx
С dt t
= \ = In tg —
,2+'
Если же
VT
2
5 2
= — л, t2 = — л, то cos* < 0, и потому
6 3
sin*
=- In tg -
(*)
Результат не изменился. В этом можно было убедиться, сделав в интеграле (*)
подстановку t = n — х. Тогда dt = — dx, sin ? = sin x\ а когда / меняется от
5л 2я я л
— до — , х меняется от — до — .
6 3 6 3
2
Пример 3. Вычислить интеграл J x2dx с помощью подстановки х2= t.
Решение. Произведем указанную подстановку: х2 = t, 2xdx = dt, x =
— ]/~t . При х= — l*i= 1, при х = 212 = 4. Следовательно,
1
2
Однако
J
-1
_i __1
Ошибка здесь состоит в том, что функция * = х2 имеет две обратные фун-
функции x — Vt и х = — Yt . Если взять х = }/V, то а= ф.(*]) = Kl = 1,
но не —1, как требуется по условию; если же взять х = — Y* > то Ь = ф (t^=
— — j/4 = — 2, но не + 2, как требуется по условию.
Чтобы получить правильный ответ, надо разбить интеграл следующим обра-
образом:
2 0 2
\ хЧх^ \ x2dx+ \ x2dx,
— 1 —1 0
и в первом интеграле положить х = — Y*> а в0 втором х = ]/**. Тогда по-
получим:
о о 3_о
г ioj * I - /-7- *. ^ ^^2
Г 1 Г*
-l
3 4
259

1 8
Таким образом, / = Ix + /2 = Ь — = 3.
о о
Пример 4. Доказать, что
?Х Я_
2 2
I / (sin x)dx=\ f (cos x) dx.
о о
Решение. Сделаем в правом интеграле подстановку х = — — t, dx =?
— — dt. При я = 0 tx = — , при х = — t2 = 0. Отсюда
0
2 2
о __
2
что и требовалось доказать.
1
Пример 5. Можно ли в интеграле f Ух1 + 1 dx сделать подстановку
о
* ?
л — г
COS /
Решение. Нет, нельзя! Так как всегда -> 1, а отрезок интегриро-
cos t
вания [0; 1].
253.3. Используя правило замены переменной в определенном
интеграле, вычислить интегралы:
8 2
а) - ¦ dx
1 _
л f ye*dx
1
29 6
д) f |/(.-2)^х . е)
-9
dx
х*
2
я я
и) f dx ; к) f
7 1 2-4- cos ^ ' J
J 2 + cos л; J 1 + sin x
0 6
260

2 ~2
dx . Г COS X dx
Jl+a2sin2A; ' j 6 — 5 sin* + sin2 x
о о
н) 1 о) Г arcsin^dc.
J a2 cos2 x + b2 sin2 л: ' j/ V * (l — *)
L
2
2л
p) в интеграле Г / (х) cos x dx выполнить замену переменного
sin х = t.
254.3. Объяснить, почему формальная замена переменной при-
приводит к неверным результатам, если:
1 2
а)
—1
1
б)
2д
J
О
255.3. Очевидно, что
1
/а
J
ал:2 2/а
Однако если для вычисления этого интеграла сделаем подстановку
х = — , то получим / =?= ^=^ . Выяснить, в чем ошибка,
/ а и 2 V<x
256.3. Доказать справедливость равенств:
"IrfHi
f
+ Х»
261

б)
в)
г)
ь
J7
0
а
0
л
2
Г/
0
257.3.
(XjdX= f
0
3f(x2)dx =
{tgx)dx =
Доказать,
JX
>f{b-x)d
a2
о
л

( /(ctgx)
0
что
x;
:)dx (a.
dx.
я
2
С л; / (sin л:) dx = п Г / (sin х ) dx.
о о
Применить полученный результат к вычислению интеграла
п
J 1+о
• COS2 X
о
258.3. Применить равенство
2
( f(cosx)dx = \f(sinx)dx
2
о
к вычислению интегралов
1 
\ cos2 л: dx и ( sin2 лил:.
о о
о
2
259.3. а) Можно ли в интеграле Г У\ — х2 dx сделать подста-
о
новку х — cos t?
б) Можно ли в интеграле
2л
dx
Г
J 12 —
о
5 cos x
сделать подстановку tg— = t?
7
в) Можно ли в интеграле Г (*2 — 6х +13) dx сделать под-
\
становку хг — 6х + 13 = ??
262

i
г) Можно ли в интеграле \Vl—х2 dx при замене перемен-
о
ной х = sin / в качестве новых пределов взять числа яи -?
д) Можно ли в интеграле
dx
1 + sin2 x
сделать подстановку tg x =t?
е) Можно ли в интеграле
ь
dx
cos2 x + b2 sin2 x
сделать подстановку tg x = t ?
260.3. Доказать, что:
С 1 1
a) J xQ sin7 х dx = 0; б) f ecos x dx = 2 f
jx —10
261.3. Вычислить интегралы:
A 1
a) f In (x + Vx2 + 1) dx\ 6) f x4 arc sin6 x dx;
6 2
B) f (x5 — Зх3 + я) cos x dx\ r) f (x7 — 7л:) In3 (x4 + 1) dx.
262.3. Доказать, что:
2Я
а) Г sin3xdx = 0;
cos3*
6) f cos5 x dx = 0;
= 0; r)
263.3. Доказать, что если / (x) нечетная функция, то
263

264.3. Доказать равенства
f xm A — xfdx = J xn A — лг)" dx
о о
265.3. Доказать справедливость следующих равенств:
а а
а) f cos x f (л:2) dx = 2 [cosxf (x2) dx\
—a 0
a
б) f sin x f (cos x) dx = 0.
§ 13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ. НЕКОТОРЫЕ
РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Пример 1. Вычислить интеграл J х3 arc tg xdx.
Решение. Положим arc tg x = и, dv= x3 dx, откуда du ¦
dx
v = —. Следовательно,
4
x3 arc tg x dx = — arc tg д:
4
\_ С x*dx n J_[V
+ arc tg x
oj~~16 12 4 16= 6 "
Пример 2. Вычислить интеграл
a
Решение. Применим подстановку х = a sin /, dx= a cos / d/. При
jc = 0 ^ = 0, при х = a t2 = — . Тогда
(а2 ~ х2)"
264

Мы знаем (см. стр. 213) рекуррентную формулу
С sinx cos"* x m — \ Г
\ cos™ х dx = + \ cosm~2 x dx.
J m m J
Поэтому
2
С „.., . sin* cos2"
\ cos
о
2л+ 1
0
2л р
2л+ 1 J C0S2n
Так как sin0 =0 и cos — =0, то получаем
Повторно

J<
0
Поэтому
JX
1
\ cos2"+1 x dx =
5
JX

2л ?•
= 2л + 1 J
0
cos2"-1 х dx.
применяя это соотношение, выводим, что1
АИЛ"я+1 '
2л —2
2л —1
2л Bл —2)... 2
Bл+1)Bл-
/
-1) ... 3. 1
2
2 f
... . \ cos л: dx
о
B/t) !!
Bn + l)!l '
r2/M-l
/, а
Bл+1)!!
Пример 3. Пользуясь результатом предыдущей задачи, получить сле-
следующую формулу суммирования:
^?1,1^, п Сп 2>4»6...2л Bд)И
;2л+1 ЬЗ-5...Bл + 1) Bл+1I!'
где Ckn — биномиальные коэффициенты.
Решение. Рассмотрим интеграл
1
/ = J A — Х2)П dXt
о
Он равен (см. предыдущую задачу, положить а= 1):
Bл+1)!!
1 Символом л!! принято обозначать последовательное произведение натураль-
натуральных чисел, не превосходящих п и одьой с ним четности. Так, например,
8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9.
265

С другой стороны, разлагая степень двучлена по формуле для бинома Ньютона
и интегрируя в пределах от 0 до 1, получим:
1 i
о
[X 3 + 5 7+-+ 2rt+ljo=3 3 +
1 5 7 2я+1
Отсюда, сравнивая (*) и (**), получим искомую формулу суммирования.
Пример 4. Многочлены Лежандра Рп (х) определяются равенством
Доказать, что если / (х) — многочлен степени т < п, то
1
$f(x)Pn(x)dx=0.
Решение. Заметим сначала, что многочлен (х2 — 1)" имеет два корня
n-й кратности хх = — 1 и х2 = 1. Отсюда вытекает, что если к < /г, то многочлен
dk
—- (х2 — 1)" обращается в нуль при х = — 1 и х = 1.
Выполним в интеграле
1 1
1 1
интегрирование по частям, положив
Получаем
1 1
2пп\ \ f (х) Рп (х) dx = / (х) ——(х2 — 1)п —
—1 —1
1
d
Как было указано выше, многочлен д_1 (х2 — \)п обращается в нуль при
лс=«=1и*=1,а потому
1 1
n(x)dx= - Г /'(*) ^L(^i_l)«dx.
—1
266

Продолжая интегрирование по частям, через т + 1 шагов придем к интегралу
1
J
который равен нулю, так как /<m+I) (x) = 0.
266.3. Вычислить интегралы:
а) г х cos х dx;
x2dx
—a
1
dx\
ж)
л
и) Г л:3 sin х dx\
л) fe
*i
sin4 л: cos2 x dx\
б) Г arc sin л: dx;
о
Г)
1
л
~3
к)
м) Г (arc sin л:J dx\
о)
2
P) I In (sin x + Vsin2x + eC0Sx) dx\
267

л

с)
1 + cos л:
6
я я
"I т
у) f sin7" x cos (m + 2) x dx\ ф) f cos x cos 2n x dx.
j j
о о
267.3. Применяя многократное интегрирование по частям,
вычислить интеграл Эйлера
В{т\ п) = \
где тип — целые положительные числа. С помощью полученного
огвета доказать, что
-l)fe Ck (m-l)l (я-1I
268.3. Составить рекуррентную формулу для вычисления инте-
л
грала/т>л= f sin771 xcosn xdx(m и п — целые положительные
о
числа; исследовать частные случаи четных и нечетных значений
т и п).
Вычислить интегралы:
1
269.3. j Рп {х) Рт (х )dx, пф т.
1
270.3. f & Рп(х ) dx.
268
1
271.3. j Pi (x) dx.
272.3. Доказать, что
rsinmx А _@ при т четном,
i —.— ах — i
J sin* [ я при т нечетном.
JX
273.3. Доказать, что Г cos2/1a: dx = —^— .
274.3. Доказать, что
1 _ i
Мл: = /г^^ '— п{п— 1) Г (arc cos х)"
о

275.3. Доказать, что если f (x) — непрерывная функция на от-
отрезке [а; Ъ ], то справедливо равенство
xf" (x) dx = Щ' (Ь) -/(&)] -\af (a) - f (a)].
а
Глава 4
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пример 1. Вычислить предел
.. 1 / I 1 1\ A)
lim — я л - I кч
п-+ оо п \е -\-е + ... + 6
JL -L IL
Решение. Слагаемые ё1, еп , ..., ел представляют собой значения функ-
ции е? в точках ^ = — , х2 = — , ... , хл = — = 1, делящих отрезок [0; 1 ]
п п п
на п равных частей:
[0; #]_], [#2i *i]» ... , [Хя-it хпЬ
длины А^ = — .
п
Так как предел интегральной суммы не зависит от выбора промежуточной
точки \i из элементарного отрезка [#/_t; xj\, то можно принять \t = xb и,
следовательно, наша сумма является интегральной для функции [ (х) = ех на
отрезке [0; 1].
По определению
lim — \еп
2 л \ 1 1
— — 1 с* I
е + ... + е ) = \ ех dx = ех \ = е — 1.
Пример 2. Вычислить предел
Л = lim
Решение. Мы имеем:
In A = lim Jn J^HL = lim [- (In 1 + In 2 + ... + Ь л) - In n } ¦.
1 Г 1 2 /г"]
= lim — In — + In — + ... + In — .
269

Выражение, стоящее под знаком предела в правой части этого равенства, есть
интегральная сумма для интеграла
1 1
I \nxdx= (х\пх — х)
о
п/—г
Поэтому In А =— 1 и lim * п' = в.
П П
=—1.
П -* оо П
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
276.8. lim A + 1
277.3. lim (—— + -1- + ... + -L-)
278.3. lim
W+ I2 ^ n2+ 22
279.3. lim 1 + V2 + V3
280.3. lim -[l + l/"_JL_ + Т/_Л_ + + i/ 2 1.
[ l l ' 1
281.3. lim
+ +... +
— I2 ^4n2— 22 j/
282.3. lim n f ' 1 ! h ... + —^
«,- L(«+D2 (« + 2J T Bn)
283.3. lim nA l- H h ... +
„,.. L(«2+lJ (n2 + 2J ^ ^ (n2
285
' 1
«3— «2 J
284.3. lim -Lf 1 + -L + ... + -1=1
.3. lim — fl -f- i + ... H l- 1.
cos2 — cos2 —
L 4n 4n .J
§ 15. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пример 1. Найти среднее значение ц функции у = cos ax в промежут-
-И}
Решение. Средним значением \х функции / (х) на отрезке [а; Ь] называет-
ь
ся
число [х = \ / (х) dx. В нашем случае
о — а.)
270

n n_
a a
1 Г* а С
u= — \ cos ax dx = — \
я J я J
а
а С а
cos ax dx = — \ cos ax dx — — sin ax
J
= Q.
J J net
о о о
a
Пример 2. На отрезке ABt имеющем длину а> взята на расстоянии х от
конца А точка Р. Показать, что среднее значение площадей прямоугольников,
построенных на отрезках АР и РВ как на сторонах, равно — а2.
6
Решение. Если одна сторона прямоугольника ху то другая сторона (а — x)t
поэтому S = х (а — х), где 0 < х < а.
Отсюда среднее значение \i площадей прямоугольников будет
1 Г 1 [ах2 х*~] а2 а2 а2
о о
Замечание. Во многих случаях (например, в электротехнике) раосмат-
раосматривают среднее значение квадрата функции
(х) I2 dx.
Корень квадратный из этого среднего называется средним квадратичным
значением функции на данном отрезке.
Пример 3. При каком значении | выполняется равенство
где f(x) = е2Х, а= О, 6=1.
Решение. Мы имеем:
1 1
\**dx~- - —.
О О
Поэтому g надо искать из уравнения
6 = 2 '
Решая это уравнение, находим:
286.3. Определить среднее значение функции:
а) /(*) = 1—^- на отрезке [1; 15];
X ~у~ X
б) / (х) = cos3 х на отрезке [0; я ];
в) I (х) = а +6 cos л; на отрезке [—я; я ];
271

г) / (х) = \ на отрезке [0; 2 ];
Д) / (х) = ]/*" на отрезке [0; 100];
е) / (х) = sin2 х на отрезке [0; п ];
ж) / (х) = sin4 л; на отрезке [0; п ];
з) / (х) = 10 4-2 sin л: -+- 3 cos л: на отрезке [0; 2я];
и) / (л:) = sin х sin (л: + ф) на отрезке [0; 2л ];
К) f(X) = E?5l? на отрезке Го; -1.
1 ' sin2 х + 4 cos2 л: L 2 J
В последнем примере проверить непосредственно, что среднее
значение является значением функции / (х) для некоторого х = |
из данного отрезка.
287.3. Тело, падающее на землю из состояния покоя, пройдя
вертикальный отрезок s = slf приобретает скорость vi = Y~2gsi.
Показать, что на пройденном пути s средняя скорость оср рав-
на } v,
288.3. Найти среднее значение функции
. 2я a t
sin
Г 711
где а— параметр, на отрезке 0; '— .
L 4J
289.3. При каком значении параметра ф среднее значение функ-
функции / (t) = sin (— +ф) на отрезке 0; — равно—?
\ Т j I 4 J n
290.3. При каком значении ф среднее значение функции / (/) =
*= sin (— +ф) на отрезке 0; — равноа? Установить значения а,
\ Т ) I 4 J
при которых задача имеет вещественные решения.
291.3. При каком знчении ? выполняется равенство
ь
f (х) dx = / (|) (b - a), a < g < 6,
a
о
272

где:
а) / (х) = 2х — - х2, а = О, Ь = 2;
4
б) /(x) = tga*f a = -7. 6 = °;
4
в) /(x) = -V, а = О, & = ?¦;
cos2 x 3
г) /(х) = 1пл;, а=1, 6 = е2?
292.3. При каком значении I выполняется равенство
о о
J f (х) р (X) dx =/ (g) j р (X) dx,
если:
а) / (х) = х, р (х) = VI — х2, а = О, 6 =
б) / W = ]/Т=^, р (х) = х, а = 0, 6=1;
в) /(*) = *+!, pW = -Lr, а = 0, 6=1;
г) / (*) = — -» р М = х + 1, а = О, 6=1;
]Л —л;2
д) / (х) = х, р (х) = cos х, а = 0, 6 = ^-;
е) / (*) = cos *> Р (л:) = х, а = 0, 6 = —?
293.3. Определить среднюю длину положительных ординат эл-
липса \- —~ = 1 при изменении х от —а до а.
а2 б2
294.3. Найти среднее значение т обратных величин всех поло-
положительных вещественных чисел, лежащих между а и 6, 0 < а <
<х< 6.
295.3. Определить среднее расстояние некоторой точки О,
лежащей на окружности радиуса R, от всех других точек этой ок-
окружности, если за переменную принять полярный угол, имеющий
О полюсом.
296.3. Из фокуса эллипса проведены радиус-векторы ко всем
точкам верхней половины этого эллипса. Найти среднюю длину
этих радиус-векторов, считая, что равномерно изменяется поляр-
полярный угол, имеющий полюсом фокус. Полярное уравнение эллипса
имеет вид:
г = с
1 — е cos
273

b2
где р = — и е — эксцентриситет эллипса.
а
297.3. Показать, что средняя длина радиусов кривизны циклоиды
х = a (t — sin t)f
у= а A — cos t)
в промежутке @; 2л) равна—.
я
298.3. Закон изменения напряжения обычного переменного
тока (городского), имеющего 50 периодов в секунду, дается форму-
формулой Е = EQ sin 100 Jtt, где Ео — максимальное напряжение,
а / — время. Найти среднее значение квадрата напряжения за 1
период @,02 сек).
Показать, что при постоянном сопротивлении переменный ток
выделяет за 1 период столько же тепла, сколько и постоянный, име-
имеющий напряжение, равное V Е2ср (ввиду этого выражение |/Ejjp
называют эффективным напряжением переменного тока).
§ 16. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у = х
и параболой у = 2 — х2.
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой,
решив систему уравнений (см. рис. 3.3).
у = 2 — х2.
Решая систему, получим хх— —2, х$=
= 1— это и будут пределы интегрирова-
интегрирования. Искомая площадь равна:
1
5= ( [ B — х2) ~x}dx = 2л:—
Рис. 3.3
—2
—2
¦4 + JL
3
Пример 2. Вычислить пло-
площадь сегмента круга с основанием а и
высотой к. Радиус круга равен г.
Решение. Расположим оси
координат так, как показано на рисун-
рисунке 4.3. Площадь 5 криволинейной
трапеции ABCDE равна
274

JABCDE
= f ]/>—
tfdx = —
2—x* +
arcsin
т]
2__ — _|_ Г2 arc sjn
4 2г
Из рисунка 4.3 видно, что
Y
г2 =r — h, a
4
a a
arc sin — = —,
2r 2
где а — центральный угол, опираю-
опирающийся на основание сегмента. Следо-
Следовательно,
а ш*2
BJ
/
/
\
_ а
2
>
\Т
\
h
ос /
7
/
\
\
Е \ _.
п X
z Рис. 4.3
Чтобы получить искомую площадь сег-
сегмента, надо из площади криволинейной
трапеции ABCDE вычесть площадь прямоугольника ABDE. Таким образом,
Легко заметить, что
Подставив, получим:
а
2r sin —-, г
аг а
~a{r-h) = — - - (г _ Л).
¦ h= r cos —.
.— «-^-2 sin— - ~Г
2 2 sln 2 cos 2 ~" 2
Эта формула хорошо известна из элементарной математики и может быть получе-
получена геометрическим путем.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кри-
кривой (у — хJ = хъ и прямой jc = 1.
Решение. Заметим, что у как неявная функция от х определена лишь
при х > 0 (левая часть уравнения всегда неотрицательна). Найдем уравнение
двух ветвей кривой: у — х = ± х ух, yt= х + х ух, у%— х — х ух.
Очевидно, что .У! (х) > у2 (х) при х > 0 (см. рис. 5.3). Поэтому
1
: \ {х + х Vx —х+х Vx ) dx = 2
о
-1
~ 5'
Замечание. При вычислении площади криволинейной трапеции в слу-
случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями х = ф (t),
275.

у = г|) (i), в формуле S = J _yd* надо сделать замену переменной, положив х =
а
= ф (t), d#= ф'(^) <#. Тогда получим:
S = j гС (О Ф' @ <#>
а
где аир — значения параметра ty соответствующие значениям х = а и х = 6, т. е.
а= ф(а), 6= (Р)
У
Пример 4. Найти площадь фигу-
фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
I
х = a (t — sin t),
у = я A — cos О
и осью Ох.
X
Рис. 5.3
Рис. б.З
Решение. Арка циклоиды описывается при изменении t в пределах от О
до 2л;, так как у @) = у Bя) = 0, а в остальных точках указанного промежутка
у > 0. Пределы интегрирования равны соответственно х @) = 0 к х Bл) = 2яа.
Следовательно, искомая площадь равна:
S = \ ydx.
6
Сделаем подстановку х = a (t — sin 0» у = а (I ¦— cost), dx = a A — cos 0 dt.
Когда # пробегает отрезок [0; 2ла], t пробегает отрезок [0; 2л]. Поэтому
2Я
5 = Г а A — cos /) а A — cos t) dt = Зла2.
Так как площадь круга радиуса а равна ла2, то полученный результат показы-
показывает, что площадь арки циклоиды в три раза больше площади круга.
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и пер.
вым витком спирали Архимеда
276

Решение.
2я
а2 8д3 4
— • — = — зт3а2.
2 3 3
О о
Заметим, что точка С пересечения первого витка спирали с полярной осью
отдалена от полюса на расстояние р = 2па. Поэтому круг радиуса ОС имеет пло-
4
щадь л . ОС2= 4я3а2 = 3 . -¦ я3а2 = 35 0АВС.
о
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым
витком спирали Архимеда, равна — площади круга с радиусом, равным наи.
о
большему из радиус-векторов то-
точек витка (рис. 6.3). К этому вы-
выводу пришел еще Архимед.
Пример 6. Найти площадь
фигуры, ограниченной одним ле-
лепестком кривой р2 = a2 cos 2ф
(лемниската).
Решение. Правая часть рис# 73
уравнения кривой неотрицательна
при значениях ф, для которых cos 2Ф > 0. Поэтому первый лепесток лежит в углу,
я я я я
где —— <2ф< —, т. е. —— <ф < —. Следовательно (см. рис. 7.3),
SOABCD
= у ] cos 2Ф ^Ф = у •
299.3. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = х2 +
+ 1 и прямой х + у = 3.
300.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями у = 0,
у = (л: + IJ и у = 4 — х.
301.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями у2 = 2х +
+ 1 и х — у — 1 = 0.
302.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями у = 2 —
_ х2 и у2 = х3.
Вычислить площадь, ограниченную линиями.
303.3. y = |lgx|, у = 0, х = 0,1, х = 0.
304.3. у = х , у = х + sin2 х, 0 < х < я.
305.3. Вычислить площадь, заключенную между параболой у =
= х2 — 2лл + 2, касательной к ней в точке М C; 5) и осью ор-
ординат.
306.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у = — х2 + 4х — 3 и касательными к ней в точках Мх @; —3)
и М2 C ; 0).
307.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у =
= х4 — 2л:3 + х2 + 3, осью абсцисс и двумя ординатами, соот-
соответствующими точкам, в которых функция у имеет минимум.
277

308.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой
Ах* + 2Вху + Су2 = 1 (АС — В2 > 0).
309.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями
у2 = 2рх, 27ру2 = 8 (л: — рK.
310.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями у = sin3x,
у = cos3 х, х =
311.3. Вычисляя площадь области, ограниченной астроидой
- - - 3
х3 + У3 — #3» студент получил ответ — яа2. Правдоподобен ли
этот ответ? Покажите, что площадь меньше, чем а2 У2 .
312.3. Выразить координаты точки М (х\ у) гиперболы х2 —
—- у2 = а2 как функции площади гиперболического сектора S =
= ОМ'М, ограниченного дугой гиперболы М'М и двумя лучами
ОМ и ОМ', где ЛГ (х; —у) — точка, симметричная М относи-
относительно оси Ох.
313.3. Вычислить площадь между гиперболой х2— у2 = 9,
осью Ох и диаметром гиперболы, проходящим через точку М E; 4).
314.3. Окружность х2 + у2 = а2 разбивается гиперболой
х2 — 2у2 = — на три части. Определить площади этих частей.
4
315.3. Кривая у = ё~~ах sin fix пересекает полуось Ох (л:>0)
в точках
/2JX / / /л 1 л \
Доказать, что площади Siy S2, S3, ограниченные осью Ох и полу-
полуволнами кривой, образуют геометрическую прогрессию со знамена-
¦"" ft
телем q = e
316.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой
317.3. Вычислить площадь, ограниченную петлей кривой
x^j^x2— y2 = 0.
318.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями я == 0, у
319.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями х (у — ех) =
= sin х, 2ху = 2 sin х + х3, х = 0 и х = 1.
320.3. Доказать, что площадь S криволинейной трапеции, ог-
ограниченной осью Ох, прямыми х = а, х == Ь и параболой у =
=Лх3 + Вхг + Сх + D, можно вычислять по формуле Чебышева
278

где
321.3. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у =
= — а: от параболы у = 2х— х2.
322.3. Найти площадь каждой из фигур, ограниченных окруж-
окружностью хг + у2 + 6х — 2у+ 8 = 0 и параболой у = л:2 + 6% +•
+ 10.
323.3. Вычислить площадь, ограниченную кубическими парабо-
параболами 6х = у3 — 16у и 24л; = у3 — 16у.
324.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой
X2 У2
~ "^ = 1 и прямой х = 2а.
325.3. Вычислить площадь двух частей, на которые круг х2 4-
+ у2 = 8 разделен параболой у2 = 2х.
326.3. Вычислить площадь петли кривой у2 = х (х — IJ.
327.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у=»
=sin3 a;+cos3 x и отрезком оси абсцисс, соединяющим две последо-
последовательные точки пересечения кривой с осью абсцисс.
328.3. Найти площадь части фигуры, ограниченной кривыми
ут = хп и уп = хт9 где т и п _ целые положительные числа,
расположенной в первом квадранте. Рассмотреть вопрос о пло-
площади всей фигуры в зависимости от характера четности чисел тип.
329.3. Вычислить площадь эллипса х = a cos t, у = Ь sin t.
330.3. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой х —
= а B cos / — cos 2t), у = а B sin t — sin 2t).
331.3. Вычислить площадь петли кривой х = З/2, у = 3t —
— /3.
332.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой р =
= a sin 2ф.
333.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой р = 2acos3q>
и лежащую вне круга р = а.
334.3. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми
двумя радиус-векторами гиперболической спирали рф = а и ее
дугой, прямо пропорциональна разности этих радиусов.
335.3. Найти площадь, ограниченную кривой я4 + у4 = х2 +
+ У2-
336.3. Найти площадь, ограниченную астроидой
х = a cos31,
I у = a sin31.
337.3. Определить площадь, ограниченную подерой эллипса
(х2 + у2J = а2*2 + Ь2у2 (перейти к полярным координатам).
279

338.3. Вычислить площадь, ограниченную одной ветвью тро-
трохоиды
и касательной к ней в низших ее точках.
339.3. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кардиоиды
х = a cos t (I —cos t),
у = a sin t A — cos /).
340.3. Вычислить площадь, ограниченную осью Ох и тракт-
трактрисой х = \пи^> и ~у У а2 — у2 , 0<у<а.
341.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой л:4 + у4 =
= ах2у. (Привести уравнение к параметрическому виду, положив
у = tx.)
342.3. Вычислить площадь, ограниченную одной петлей кри-
кривой
х = a sin 2t,
у = a sin t.
343. 3. Вычислить площадь, содержащуюся внутри петли
Х = 1 + Р ' У "" \+t*
344.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой р2 = a2 cos 4ф.
345.3. Вычислить площадь, ограниченную координатными ося-
осями и прямой р =
/ я
COS ф — —
346.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой
cos ф sin ф /п ns
=а0<ф<
347.3. Вычислить площадь, ограниченную линиями р =
=^21/3 a cos ф и р = 2а sin ф.
348.3,. Найти площадь, заключенную между линиями р = 2 —
— cos ф; р = cos ф.
349.3, Вычислить площадь общей части кругов р = асозф, р =
= a cos ф + а sin ф.
350.3. Вычислить плсщадье ограниченную лемнискатой (л:2 +
+ у2J = 2а2 ху.
§ 17. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
Пример 1. Вычислить объем пирамиды с высотой Н и площадью осно-
основания So (рис. 8.3).
Решение. Вершину пирамиды S примем за начало координат и напра-
направим ось Ох по высоте Н пирамиды от вершины к основанию. Рассечем пирамиду
плоскостью, параллельной основанию и отстоящей от вершины S на расстоянии
280

xt О < x < H. Площадь этого сечения зависит от х, и мы обозначим ее через
S (х). Пользуясь известным свойством сечений пирамиды, параллельных осно-
основанию, составляем пропорцию.
5 (х) х2
Я2'
откуда
Пример 2. Определить объем сегмента параболоида вращения.
Решение. Пусть уравнение параболы, вращение которой вокруг оси
Х-ов дает данный параболоид, будет у2 = 2рх. Обозначим: h — высота сегмента
параболоида вращения, г— радиус основания сегмента, х — расстояние плоско-
плоскости, параллельной основанию сегмента от вершины параболы вращения, а р—
радиус окружности, получающейся в сечении параболоида вращения указанной
плоскостью. Тогда р2 = 2рх, а площадь 5 (х) указанного сечения равна S (х) =
= яр2 = 2ярх. Объем Vh сегмента параболоида вращения равен:
V = Г 2прх dx = лр.42
о
= лрИ2.
Площадь S основания сегмента равна пг2 и так как г2 = 2p/i, то 5 = 2nph. Отсюда
jxp/i = —, и формулу для объема сегмента можно записать так:
281

т е. объем сегмента параболоида вращения равен половине произведения площа-
площади основания сегмента на его высоту.
Пример 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох площади, ограниченной параболой у = х2 -\-1 и прямой у = Зл; — 1.
Решение. Тело образовано вращением площади, ограниченной заданны-
заданными кривыми (рис. 9.3) вокруг оси Ох. Чтобы найти абсциссы точек пересечения
кривых решаем систему уравнений:
\
у=Зх-1.
Отсюда х1 = 1, х2 = 2. В нашем
= Зх—1. Следовательно, имеем:
случае ух (х) = х2 + 1 и у2 (х)
2 2
V = я [ [ C* — IJ — (х2 + IJ ] dx = п{ Gх2 — 6>х — л;4) rfx =
1 1
~Я|_3 * Х 5 Ji 15я'
Пример 4. Вычислить объем
тора. Тором называется тело, полу-
получающееся при вращении круга радиуса
а вокруг оси, лежащей в его плоскости
на расстоянии Ь от центра (Ь > а)
(форму тора имеет, например, баран-
баранка).
Решение. Пусть круг враща-
вращается вокруг прямой АЕ (рис. 10.3).
Тогда объем тора может быть рас-
рассмотрен как разность объемов враще-
вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Оу.
Если систему координат поместить, как показано на рисунке 10.3, то урав-
уравнение jokppkhocth LBCD будет иметь вид: (х — ЬJ +у2 = а2, откуда х = b ±
± у а2 —у2, причем уравнение кривой BCD
Рис. 10.3
= Ь + У а2 —j
а уравнение кривой BLD
х = Ь — Vа2 —
Следовательно, искомый объем равен:
—у*)'-(ь-V* —у*)*]
= 2л2 а2 Ь.
Пример 5. Вычислить объем тела, которое образуется при вращении
одной арки циклоиды х = a (t — sin t), y—a(\-^ cos t) вокруг оси абсцисс.
Решение. В формуле
1/ = я Г у dx
0
282

делаем замену переменной, полагая х = a (t — sin t). Когда х изменяется от О
до 2 л a, t изменяется от 0 до 2л:
2я
V = ла3 J A — cos О3 Л = 5л2 а3.
Пример 6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг поляр-
яой оси фигуры, ограниченной этой осью и дугой логарифмической спирали г =»
= еф , 0 < ф < л.
Решение. Преобразуем уравнение кривой к параметрическому виду
х = г cos ф = еф cos ф,
у = г sin ф = еф sin ф.
Мы имеем у2 = № sin2 ф и dx = (еф cos ф — еф sin ф) dcp.
Поэтому
ь я
V = л ( fdx= л е3ф ^п2ф(со8ф— sinq>)dq>=— ~( е3л — l).
J .' 15
а О
Мы получили отрицательное значение V, так как значению ф = 0 соответствует
точка A; 0), а значению л — точка N (— ел , 0), лежащая левее точки М. Итак,
351.3. Вычислить объем части цилиндра, отсеченной плоскостью,
которая проходит через диаметр 2R его основания под углом а к пло-
плоскости основания.
352.3. Вычислить объем трехосного эллипсоида
353.3. Найти объем, ограниченный двумя эллиптическими ци-
цилиндрами
аТ+^-1 и ?+?-L
354.3. Вычислить объем тела, образованного вращением фигу-
фигуры, ограниченной линиями:
а)лгу = 4, я = 1, х = 4, у==0 вокруг оси Ох;
б)\ у2 == (х + 4K и х = 0 вокруг оси Оу\
в) (У ~ ЗJ + Зл: = 0, а: = — 3 вокруг оси Ох.
355.3. Вычислить объем усеченного конуса, основания которо-
которого — эллипсы с полуосями а, Ь и а', Ъ\ а высота равна h.
356.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
х2 + у2 ~ ах, х — 2 = 0, х + z = 0, рассмотрев сечения, пер-
перпендикулярные Ох.
357.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
#2 ^ у2 —. \9 х2 + г2 =1, рассмотрев горизонтальные сечения.
358.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Х2 + У2+ 22 = 1, X2 +у2 = X.
283

359.,3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
360.3. Пусть для кубируемого тела площадь S = S(x) его попе-
поперечного сечения, перпендикулярного к оси Ох, изменяется по квад-
квадратичному закону
S (х) = Ах2 + Вх + С [а < х < b ],
где А, В и С —• постоянные.
Доказать, что объем этого тела равен
где Н = Ь — а (формула Симпсона).
361.3. Вычислить объем, полученный при вращении вокруг оси
Ох площади, ограниченной цепной линией у = a ch ~, осью
а
Ох и прямыми х = ± а.
362.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг
оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной кривой х2 +
2
+ У
363.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг
оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой у2(х —
— 4а) = ах (х —За) @ < х < За).
364.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении вок-
вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной кривой
(у2 _ 62J = аЗ х ( __ Ь < у < 6)
365.3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной этой осью, кри-
кривой у = arc sin х и ординатой jc = 1.
366.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении во-
вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =
= хе*9 у = 0 , х = 1.
367.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении эл-
эллипса х2 + ху + у2 =3 вокруг оси Ох.
368.3. Найти объем тела, полученного при вращении сегмента
круга вокруг его хорды. Радиус круга R, длина хорды 21 (рассмот-
(рассмотреть случаи, когда сегмент больше полукруга и когда он меньше
полукруга).
369.3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг
оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс
и дугой параболы у = х D — х).
284

370.3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси
ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс,
ординатами х = 0, х = 2 и кривой у = ех.
371.3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг
оси ординат круга, ограниченного окружностью {х—RJ + у2 = R1.
X2 V2
372.3. Через фокус F (с, 0) гиперболы у— = 1 прове-
а2 б2
дена хорда, перпендикулярная оси абсцисс. Найти объем
тела, полученного при вращении вокруг этой хорды отсекаемого
ею сегмента гиперболы.
X2 V2
373.3. Через фокус F (с, 0) эллипса —|- ^— = 1 проведена
а2 Ьг
хорда, перпендикулярная оси абсцисс. Найти объем тела,
полученного при вращении вокруг этой хорды отсекаемого
ею сегмента эллипса (рассмотреть случаи, когда сегмент больше
полуэллипса и когда он меньше полуэллипса).
374.3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Оу фигуры, ограниченной астроидой х = a cos31, у = b sin31.
Доказать, что этот объем равен объему тела, полученного при вра-
вращении той же фигуры вокруг оси абсцисс.
375.3. Найти объем тела, которое получается от вращения фи-
фигуры, ограниченной кардиоидой р = а A + coscp) вокруг поляр-
полярной оси.
376.3. Вычислить объем, который образуется вращением круга
р = a sin ф вокруг полярной оси.
377.3. Найти объем тела, получаемого при вращении вокруг
оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс
и первой аркой циклоиды х = a (t — sin t), у = а A — cos t).
Указание. При вращении вокруг оси ординат
ь
ь
= 2k \
xydx
а
378.3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг
оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой х = a sin t,
у = b sin 2t.
379.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг
оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной дугой эволюты
2 2
с2 с2
эллипса х = —cosЧ, у= sin31, лежащей в первом квадран-
а ь
те, и осями координат.
380.3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг
оси абсцисс лепестка декартова листа
1 + Р '
285

381.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении во-
вокруг полярной оси фигуры, ограниченной кривой р = a cos2cp.
382. 3. Вычислить объем тела, полученного при вращении во-
вокруг полярной оси фигуры, ограниченной кривой р = a cos3 ср.
383.3. Вычислить объем тела, полученного при вращении вок-
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой (х2 + У2J = а2 (х2 — у2).
Указание. Перейти к полярным координатам.
384.3. Найти объем тела, полученного при вращении той же
фигуры вокруг прямой у = х.
385.3. Найти объем, получаемый при вращении вокруг оси аб-
абсцисс лепестка лемнискаты р2 = a2 sin 2cp.
386.3. Найти объем, получаемый при вращении того же лепест-
лепестка вокруг прямой у = — х.
§ 18. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
Пример 1. Вычислить длину дуги / = Л В цепной линии, заданной урав-
уравнением
(X X
е* + е
от точки х — 0 до точки х = 4.
Ь
Решение. Воспользуемся формулой / = J Y1 + у'2 dx. Имеем:
а
х \ [ х
- -4-1 1 МГ "
-е ^т=1^ ~~е
• ' - 4
Отсюда
U4 — е 4 j|o
2
о
Пример 2. Вычислить длину дуги кривой:
х — ef sin t,
у = е* cos t
я
от t = 0 до t — — .
Решение. Дифференцируя по t параметрические уравнения кривой,
получим:
x't = e* sin t + ef cos t = et (sin t + cos t),
y\ = e' cos t -~efsint = ef (cos / — sin t).
286

Пользуясь формулой для длины дуги в параметрическом виде» получим:
л ?
 2 л;
/ = f ]/"е2' [(sin / + cosj/J + (cos / — sin /J] d/= f /2Vd/ = /2" (e 2—1).
о 6
Пример З. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически
t t
[4 cos г Г sin г
х ::=^ l " ¦""¦ uZt у = l ~~~~~~~ dz
J z J г
1 1
от начала координат (/ = 1) до ближайшей точки с вертикальной касательной.
Решение. Очевидно, что при / = 1 кривая проходит через начало коор-
координат. Далее,
Г rsin2 л Т
—— dz slnt
v'- — - L 1
Ух i
t -j
cos/
dz\
[ •
Таким образом, касательная к данной кривой будет вертикальна во всех
точках, для которых cos t = 0, т. е. в точках t = Bk + 1) •— (k =-• 0, ± 1, ± 2...).
Ближайшей к началу координат {t = 1) является точка со значением параметра
Jt
Таким образом, пределы интегрирования найдены: 1 < t < •—¦ . Теперь
, cos^ , sin/
Ж i/cos2/
sin2/
—72
Следовательно,
?t Я
T 
d/
J
1
Jt
Пример 4. Найти длину замкнутой кривой р = a sin
Ф
in3 -—
Ф
Решение. Так как должно быть р > 0, то sin ~ > 0, Отсюда 0 <
3
< Зя.
При изменении ф от 0 до — Jt длина радиус-вектора р возрастает от 0 до а,
287

а конец радиус-вектора описывает дугу ОАМВ (рис. 11.3). Затем при изменении
о
Ф от — я до Зд величина р убывает от а до 0; при этом описывается дуга ВС АО,
к
симметричная дуге ОАМВ относительно прямой <р = ± •— .
Теперь вычислим длину кривой
i . 9 Ф Ф
РФ= asm2 JC0SJ
л Г /2 ~\ Г CD CD ф
У р2+рф = у a2 sine f +a2 sin4 у cos2 ~ =
= а sin2 J у sin2 -| + cos2 -| = а sin2 у ,
Зл Зя
,9 Ф, а (•/ 2Ф\ а Г 3 2ф]3я Зая
2
о
Определить длину дуги кри-
кривой:
387.3. у2 = #3, отсеченной
прямой х = — .
388.3. у=~ — 1, отсеченной
осью Ох.
389.3. у2 = (х+ IK, отсе-
отсеченной прямой х = 4.
390.3. 9у2 = jc (*— ЗJ меж-
между точками пересечения с осью
Ох.
391.3. у = arc sin e~* от
х = 0 до х = 1.
392.3. у = In sin х между точками, абсциссы которых — и — t
2 о
393.3 у = Уегх — 1 — arc tg Уе2х — 1 от начала координат
до точки, для которой х — 1.
394.3. у = In cth — j от х = а до х = b @ < а < Ь).
\ а ] __
395.3. у = Ух — х2 + arc sin |/Т.
396.3. Найти периметр фигуры, ограниченной линиями д:2 =
= (у + IK и у - 4.
397.3. Найти периметр фигуры, ограниченной кривыми у3 =
= х2и у = У2 — х2.
398.3. Вычислить длину дуги кривой
у ех + 1
~ ех — 1
от л^ = а до л:2 = 6.
288

399.3. Найти длину кривой, заданной уравнением
у = \ ]/cos х dx.
400*3. Вычислить длину дуги кривой х = t2, у = t t3 в
пределах от 0 до ]/~3.
401.3. Вычислить длину эволюты эллипса
х = — cos31,
а
y=CJr sin31,
о
(C* = a2—b2), a>b.
402.3. Вычислить длину дуги кривой
( х = (t2 — 2) sin t + 2t cos t,
\ у = B — t2) cos / + 2t sin /
(от /4 = 0 до t2 = я).
403.3. На циклоиде x = a (* — sin 0, у = a A — cos 0 най-
найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отноше-
отношении 1: 3,
404.3. Найти длину астроиды
х = a cos31,
у = a sin31.
405.3. Найти длину кривой
f х = е? (cos t + sin /),
\ у = е* (cos < — sin t)
от точки ^ = 0 до точки t2 = 1.
406.3. Найти длину эпициклоиды
{ л: == a B cos / — cos 20,
1 у = а B sin / — sin 2t).
407.3. Найти длину эвольвенты окружности
| х = a (cos / + t sin 0»
1 у = a (sin f — t cos /)
от ^ = 0 до / = 2я.
408.3. Вычислить длину дуги циссоиды
f х = 2 г sin2 /,
1 У = 2 г sin2 tg t
в пределах от 0 до t.
289

409.3. Найти длину кардиоиды г = а A + cos q>).
410.3. Найти длину гиперболической спирали pep = 1 от точ-
точду р
ки B; — ) до точки (--; 2).
411.3. Вычислить длину прямой линии — = cos [ф — — \
9 \ 3/
в пределах от % = 0 до ф2 = —.
412.3. Вычислить длину дуги циссоиды Диоклеса
2aiin^
СОБф
в пределах от ^ до ф2.
413.3. Вычислить длину дуги части параболы ~ == cos2 ?. t
и 2
отсекаемой от параболы вертикальной прямой, проходящей через
полюс.
414.3. Вычислить длину кривой р = a cos4^.
4
415.3. Найти длину дуги кривой
Р
Р =
1 + COS ф
§ 19. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Пример 1. Вычислить поверхность шара радиуса а.
Решение. Можно считать, что шар получен вращением вокруг оси Ох
У
полуокружности у
Отсюда
— х2.
b
Следовательно, по формуле Р = 2я ( у
Пример 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
дуги кубической параболы у = х3 вокруг оси Ох от начала координат до точки о
абсциссой х= I (рис. 12.3).
Решение. В этом случае у' «= Зха, }Л + у/2 = }Л+ 9х\ Следователь-
1
2я
J
о
1
Г^3 V'l + 9x*dx=- A0 /10 — 1).
о
290

Пример 3. Вычислить площадь
поверхности, образованной вращением
лемнискаты р = а У cos 2ф вокруг по-
полярной оси.
Решение. Действительные значе-
значения для р получаются при cos 2ф > О,
л л
т. е. при < ф < — (правая ветвь ле-
4 4
3 5
мнискаты) или при— я < ф < -- я (ле-
4 4
вая ветвь лемнискаты). Дифференциал ду-
дуги лемнискаты равен:
dl
: "I /
a2 cos 2ф + I —
ady
J/^cos 2ф
Рис. 12.3
Кроме того, у = р sin ф = a sin ф V cos 2ф.
Искомая площадь поверхности Р равна двум площадям поверхности, обра-
образуемой вращением правой дуги. Поэтому
1 = 2 . 2я
I ydS = 4я I "~
J J
о о
cos 2ф sin
cos 2ф
4jx \ a2 sin
ВОЙ:
2jxa2 B —
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кри-
X2
416.3. у = — , отсеченной прямой у = 1,5, вокруг оси Оу.
417.3. у2 = 4 + х, отсеченной прямой х = 2, вокруг оси Ох.
418.3. у = cos — вокруг оси Ох от xi = — а до х2 = а.
419.3. Эллипса Зх2 + 4у2 = 12 вокруг оси Оу.
420.3. Петли кривой 9л:2 = у C — уJ вокруг оси Оу.
421.3. Петли кривой 8у2 = х2 — х4 вокруг оси абсцисс.
422.3. Дуги параболы у2 = 2х между точками пересечения
с прямой 2л: = 3.
423.3. х = — у2 — ~ In у вокруг оси Ох от у = 1 до у == е.
424.3. Кривой у2 + 4х = 21пу вокруг оси Оу от у = 1 до
у = 2.
291

425.3. x = ef sin tt у = ё cos t вокруг оси Ох от tt = 0
— iE
2 2
426.3. { jc = 2 cos * — cos 2t,
\ у = 2 sin f — sin 2?
вокруг оси Ox.
427.3. х = —, у = 4 вокруг оси Ox между точками пе-
о 2
ресечения с осями координат.
428.3. Петли кривой х = t2y у = — (t2 — 3) вокруг оси Ох.
429.3. Окружность р = 2 г sin <p вращается вокруг полярной
оси. Найти площадь поверхности, которая при этом получается.
430.3. Вычислить площадь поверхности, полученной от вра-
вращения кривой р2 == a2 cos 2ф: а) вокруг оси <р = — ; б) вокруг оси
я
4
431.3. Дуга цепной линии у = — \еа + е а /, концы которой
имеют абсциссы х — 0 и х = а, вращается вокруг оси Ох. Пока-
Показать, что площадь поверхности S и объем V образуемого при
2
этом тела связаны соотношением S = —V.
а
432.3. Вычислить поверхность тора, полученного при вращении
круга радиуса R вокруг прямой, лежащей в той же плоскости, рас-
расстояние которой от центра круга равно а> R.
Глава 5
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ К ВОПРОСАМ
МЕХАНИКИ, ФИЗИКИ, ТЕХНИКИ
§20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ, МЕХАНИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
И ДРУГИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Пример 1. Найти величину давления на полукруг, вертикально погру-
погруженный в жидкость, если его радиус равен /?, а верхний диаметр лежит на сво-
свободной поверхности жидкости (рис. 13.3); удельный вес жидкости равен у.
Решение. Проводим горизонтальную пслсску на глубине х. Пусть ши-
ширина полоски dx, а длина ее /. Принимая эту полоску за элемент площади, для
дифференциала площади получим выражение
dS = / dx.
По хеореме Пифагора имеем:
292

/ = 2 YR2 — .
Отсюда
и, следовательно,
dS = 2 /Я2 — л:2 d*.
Сила давления жидкости на нашу элементарную полоску равна
dP = yxdS = 2ул; /Я2 _ Х2 dx.
Таким образом,
R
—x2 dx = — y \(R2— x
\
\W//////W/////////
Рис. 13.3
Пример 2. Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, может
быть закрыт заслонкой. Определить давление, испытываемое этой заслонкой,
если ее диаметр равен 60 см, а центр находится на глубине 15 м под водой.
Решение. Длина хорды, отстоящей на расстоянии х от центра круга, равна
г^ЗО2—л:2, при этом она находится на глубине 1500—* (*>0 для верхней полови-
половины круга, *<0—для нижней). Поэтому dS=2 "^ЗО2—х2 dx и dP=A500—x) dS =»
Л302 — х2 dx. Следовательно, сила давления воды равна
=A500 — х) 2
зо
Р =
A500 — х) 2 /ЗО2 — х2 dx = 1 350 000я.
Пример 3. Работа, которую необходимо затратить, чтобы поднять тело
от одной высоты до другой, равна произведению веса тела на высоту подъема. Вы-
Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из цилинд-
цилиндрической цистерны, радиус которой равен R, а высота Л.
Решение. Разобьем объем цистерны плоскостями, параллельными ос-
основанию и находящимися друг от друга на расстоянии dx. Объем любого получен-
полученного элементарного цилиндра равен
dV = nR2 dx
и, следовательно, такова же численная величина его веса.
Элементарная работа dA, затраченная для поднятия этой массы, находящейся
на глубине х, выразится так:
293

и вся работа равна
А - ПК J хйх - 2 .
О
Пример 4. Вычислить кинетическую энергию диска массы /И и радиу-
радиуса R, вращающегося с угловой скоростью со около оси, проходящей через его
центр перпендикулярно к его плоскости.
Решение. Масса кругового кольца толщины dr, находящегося на рас-
М
стоянии г от центра диска, равна 2nprdr, где р = — поверхностная плот-
nR2
ность. Линейная скорость v = cor кольца. Следовательно, его кинетическая энер-
энергия будет:
v2 M
dl\ — — dm=зтрсо2г3 dr= — co2r3 dr.
2 #2
Поэтому кинетическая энергия диска равна
R
433.3. Определить силу давления воды на вертикальный прямо-
прямоугольный шлюз с основанием 18 л* и высотой 6 м,
434.3. Вычислить силу давления воды на треугольник, высота
которого равна h см, а основание Ь см, если он погружен в воду
таким образом, что основание его лежит на поверхности воды, а вы-
высота направлена вертикально вниз.
435.3. Вычислить силу давления жидкости на вертикальный
эллипс с осями 2а и 26, центр которого погружен в жидкость на
уровень h (h> b). Плотность жидкости d.
436.3. Вычислить силу давления воды на вертикальную плоти-
плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой имеет
70 м в длину, нижнее 50 м> а высота 20 м.
437.3. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со сто-
стороной, равной 8 му лежит на поверхности воды. Определить величину
давления на каждую из частей шлюза, образуемого делением квад-
квадрата одной из его диагоналей.
438.3. Вычислить силу давления жидкости на боковые стенки
кругового цилиндра, высота которого равна h см, а радиус основа-
основания г см. Плотность жидкости равна у и жидкость полностью
заполняет цилиндр.
439. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного
вершиной вниз. Высота конуса Я, радиус R.
440.3. Вычислить давление воды на вертикальный параболи-
параболический сегмент, основание которого равно 4 м и расположено на
поверхности воды, а вершина находится на глубине 4 м.
294

441.3. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь
основания которого S, а высота Н> плавает на поверхности воды.
Какую работу нужно затратить, чтобы вытащить поплавок на по-
поверхность?
442.3, Вычислить работу, которую необходимо затратить, что-
чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму параболоида враще-
вращения, радиус основания которого равен R, а высота Н.
443.3. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы рас-
растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кг растягивает ее на 1 см.
444.3. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы оста-
остановить железный шар радиуса /?, вращающийся с угловой скоростью
со вокруг своего диаметра.
445.3. Вычислить работу, которую необходимо затратить, что-
чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли (радиус которой R)
на высоту h.
446.3. Вычислить кинетическую энергию шара массы т и ра-
радиуса R, вращающегося с угловой скоростью со около оси, прохо-
проходящей через его центр.
447.3. Шар лежит на дне бассейна глубиной Н. Вычислить ра-
работу, которую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды,
если его радиус равен R, а его плотность б.
448.3. Тело движется прямолинейно по закону х = Ct3, где
х — длина пути, проходимого за время t> С = const. Сопротивле-
Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости, причем коэффици-
коэффициент пропорциональности равен k. Вычислить работу, производимую
сопротивлением среды при передвижении тела от точки х = 0 до
точки х = а.
449.3. Электрический заряд ?, сосредоточенный в начале коор-
координат, отталкивает заряд е из точки (а; 0) в точку F; 0). Определить
работу А силы отталкивания Ft если известно
F = Щ. дин,
где х см — расстояние между зарядами Е и е.
450.3. Ракета поднимается вертикально вверх. Считая, что
при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет умень-
уменьшения ее веса растет по закону / = (а — Ы > 0),
а — Ы
найти скорость в любой момент времени t, если начальная
скорость равна нулю. Найти также высоту, достигнутую ракетой
к моменту времени / = tt.
451.3. Скорость распада радия в каждый момент времени про-
пропорциональна его наличному количеству. Найти закон распада ра-
радия, если в начальный момент / = 0 имелось Qo граммов радия,
а через время Т = 1600 лет его количество уменьшится в два раза.
452.3. Цилиндр с высотой Н и радиусом R, наполненный газом
под атмосферным давлением /?0, закрыт поршнем. Вычислить
295

работу, затрачиваемую на изотермическое сжатие газа при переме-
перемещении поршня на расстоянии h внутрь цилиндра.
Указание. При изотермическом изменении состояния газа, когда его
температура остается неизменной, зависимость между объемом V и давлением р
газа выражается формулой pl/=C=const (закон Бойля — Мариотта).
453.3. Вычислить сопротивление при прохождении тока с од-
одного основания усеченного конуса к другому, если радиусы ос-
оснований равны а и 6, а высота усеченного конуса равна Я.
454.3. Куб погружен в воду так, что его верхнее основание на-
находится на поверхности воды. Определить работу, необходимую
для извлечения куба из воды, если его ребро равно а> а удельный
вес 6 F > 1) .
§21. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
И МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Во всех задачах этого параграфа мы будем считать, что масса равномерно
распределена по телу (линейному, плоскому, пространственному) и что плотность
равна единице.
Пример 1. Найти статический момент верхней части эллипса
а2 Ь2
относительно оси Ох.
Решение. Статический момент Мх кривой АВ относительно оси Ох вы-
выражается так:
Мх = ] yds,
А
где А и В — конечные точки кривой, a ds — элемент дуги. Но при у > 0 получа-
получаем: yds = у У\ + у'2 dx = Уу2 + (уу'J dx. Так как у2 = б2 — —л:2 и
Ь2
УУ' = — — X, ТО
yds =
где е — эксцентриситет эллипса.
Интегрируя от — а до а, находим:
Ь С* . (а \
Мг = — \ у а2 — е2*2 dx = b \b + — arc sin e .
аУ \ e j
—a
Пример 2. Найти статический момент пластинки, ограниченной одной
аркой циклоиды х = a (t — sin t)\ у ==¦ а A—cos t) и ее основанием, относительно
оси Ох
Решение. Имеем:
2л
1 с*
Мх = — \ а(\ — cos 0 а A — cos 0 at =
296

2Я
— ccs t)- dt = — ла3.
Пример 3. Вычислить момент инерции треугольника относительно его
основания.
Решение. Обозначим основание треугольника через Ь, а высоту через h.
Расположим оси координат, как показано на рисунке 14.3. Тогда dlx = у2 dS,
где dS = MN dy, но MN = . Следовательно, dlx = у2 dy
h h
Рис. 14.3
Рис. 15.3
Пример 4. При расчете балочных деревянных мостов часто приходится
иметь дело с круглыми бревнами, отесанными на два канта (рис. 15.3). Опреде-
Определить момент инерции подобного сечения относительно горизонтальной средней
линии.
Решение. Расположим систему координат, как показано на рисунке.
Тогда dlx = у2 dS, где dS = MN • dy = 2х dy = 2 У R2 — у2 dy. Отсюда
h h
—y* dy =4 \ y*VR2 — y2 dy.
о
Вычисляя интеграл с помощью подстановки у = R sin /, получаем, что
/i h
lx = — arc sin — + — Bh2 — R2) У R2 — /i2.
2 R R
В частности, при h = R получаем момент инерции круга относительно одно-
одного из диаметров:
__nR^
297

455.3. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу
треугольника, ограниченного прямыми х + у = 1, х = 0, у=-0.
456.3. Найти статические моменты дуги параболы у2 = 2х (у >
> 0) относительно осей Ох и Оу от х = 0 до л; = 2.
457.3. Найти статический момент относительно оси Ох дуги
косинусоиды у = cos х от точки х = — -^ до точки х = — .
458.3. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а отно-
относительно диагонали.
459.3. Вычислить момент инерции правильной шестиугольной
пластинки относительно ее оси симметрии, проходящей через
противоположные вершины. Сторона шестиугольника а.
460.3. Найти момент инерции треугольника с основанием b и
высотой h относительно его основания.
461.3. Найти статические моменты относительно осей коорди-
координат отрезка прямой ~ + — = 1, заключенного между осями ко-
координат. а ь
462.3. Найти статический момент относительно осей координат
дуги астроиды
? 2_ 2_
хэ +у3 =а3,
лежащей в первом квадранте.
463.3. Найти статический момент относительно оси Ох фигуры,
2
ограниченной следующими линиями: у = и у = л;2.
1 + х2
464.3. Найти момент инерции дуги окружности радиуса а,
соответствующей центральному углу ф.
465.3. Найти момент инерции прямого параболического сег-
сегмента с основанием 26 и высотой h относительно его оси симметрии.
466.3. Найти моменты инерции однородной эллиптической плас-
пластинки с полуосями аи Ь относительно ее главных осей.
467.3. Показать, что статический момент всякой фигуры, имеющей
ось симметрии, относительно этой оси равен нулю.
§ 22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ПЛОСКИХ
КРИВЫХ, ФИГУР И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЛ.
ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА
/. Вычисление координат центра тяжести дуги
Пример 1. Найти центр тяжести полуокружности х2 4* у2 = а2, рас-
расположенной над осью Ох.
Решение. Так как дуга полуокружности симметрична относительно
оси Оу, то центр тяжести дуги лежит на оси Оу, т. е. хс=0. Найдем ординату ус,
пользуясь формулой
(В)
р
()
1 р
7 J
(Л)
у,7 J
(Л)
298

где I — длина дуги.
Имеем: уг =— — , 1 + у'2
dU
v?
¦ = -—. Отсюда
У2
dx = — dx
У
и потому хс = 0, ус = — .
Пример 2. Определить координаты центра тяжести той части дуги аст-
астроиды
2 2 2 У
11
+ у3 = а3,
(*)
которая расположена в первом коор-
координатном углу.
Решение. Из соображений
симметрии заключаем, что хс = ус.
Далее учтем, что длина дуги четвер-
3
той части астроиды I = ~ а. Про-
Продифференцировав выражение (*), по-
получим:
2 -±-
Отсюда
1 ~"з,
3 У :
2 Я
1+у' = ~ Поэтому
2а3
2 5а
2 —з Т
¦—¦ а х
о
Пример 3. Найти декартовы координаты центра тяжести дуги кардиои-
кардиоиды р = a (i + cos ф) от ф = 0 до ф = я.
Решение. Выберем оси координат, как указано на рисунке 16.3. Тогда
х == р cos ф = а A ~Ь cos ф) cos ф,
у = р sin ф = а A + cos ф) sin ф.
Мы получили уравнение кардиоиды в параметрической форме, где парамет-
параметром служит переменная ф. При изменении параметра ф от 0 до к текущая точка
(х\ у) опишет верхнюю часть кривой.
Учтем, что длина всей кардиоиды равна 8а (см. 409.3), поэтому
i я
1 Г if
хс = Т \ydl = ~ ] ^ sin ф A + cos ф) dl.
о о
299

для кардиоиды dl = 2а cos -— . Следовательно,
2
я
If ф 4
— I a sin ф A + cos ф) 2а cos — а*ф = — а.
4а J 2 5
Аналогично получаем: ус ¦
; -— а. Итак л;с
о
4
~ а.
d
Интересно отметить, что центр тяжести рассмотренной половины дуги кар-
кардиоиды лежит на биссектрисе первого координатного угла, хотя сама дуга и не
0 симметрична относительно этой бис-
" | сектрисы.
//. Вычисление координат центра
тяжести плоской фигуры
Пример 4. Найти координа-
координаты центра тяжести четверти эллипса
(рис. 17.3).
Рис. 17.3
О (а 0) *
Решение. Координаты (хс; ус)
центра тяжести криволинейной трапе-
трапеции, ограниченной отрезком [а; Ь] оси
абсцисс, прямыми * = а> х= b и гра-
графиком функции у = I (х), вычисляются по формулам:
ь ь
B)
где S — площадь криволинейной трапеции, по которой равномерно распределе-
распределена масса постоянной плотности р.
_ nab
Площадь четверти эллипса равна — ; остается вычислить интегралы
и а
J xydx и § y2dx:
О О
а а
С Ь Г
\ xydx= — \ ;
J a J
и о
Следовательно,
b Г . аЧ
xydx= — \ х у а2 — я2 dx = — .
a J 3
4а
nab
Далее,
,--и*-*>«-
300

поэтому
2ab2 ^ nab _ 46
Ус ~"~ 3 ' 2 ~~ Зя'
Итак, центр тяжести рассматриваемой фигуры находится в точке
Зя/
Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной параболой х2 +
L L
+ у2 = а2 и осями координат.
Решение. Данная фигура симметрична относительно биссектрисы пер-
первого координатного угла (рис. 18.3), поэтому хс = ус. Остается вычислить
Ь а
площадь фигуры «S и интеграл / == \ xydx. S = И К я — Vх J dx = —•
а 6
а3
Г г— г—ч а3 30 а
Далее, / = I х(уа — ух J rfx = —. Отсюда хс ==— = ---
J ои а о
7
Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке
Рис. 18.3
а х
I
Рис. 19.3
Пример б. Пользуясь второй теоремой Гульдена, вычислить объем
тора, образованного вращением вокруг оси Ох круга (рис. 19.3):
х2 + (У — ЬJ = а\ а < Ь.
301

Решение. Площадь данного круга р = яаа, центр тяжести круга сов-
совпадает с его центром, и, следовательно, путь, описываемый центром тяжести
круга при вращении его вокруг оси Ох, равен 2я6. Тогда по второй теореме Гуль-
Гульдена искомый объем равен:
V = па2 2лЬ = 2л2а2Ь.
Пример 7. Пользуясь первой теоремой Гульдена, найти площадь по-
поверхности тора, рассмотренного в предыдущей задаче.
Решение. Длина I данной окружности равна 2яа. Центр тяжести ок-
окружности, очевидно, совпадает с ее центром. Следовательно, длина пути, описы-
описываемого центром тяжести, равна 2лЬ. По
первой теореме Гульдена площадь по-
поверхности тора равна Р = 2nb * 2яа =
= Ы2аЬ.
Пример 8. Пользуясь второй те-
теоремой Гульдена, найти центр тяжести
полукруга радиуса а.
Решение. Расположим оси коор-
координат, как показано на рисунке 20.3.
В силу симметричности фигуры отно-
относительно оси Оу ее центр тяжести лежит
на оси Оу, значит, хс = 0. Остается най-
р 20 о ти только уСг Для этой цели применим
кис. zu.o вторую теорему Гульдена. Тело, получае-
получаемое при вращении полукруга вкруг оси
4
Ох, есть шар радиуса а, и его объем равен —ла3. Площадь «S вращающейся фи-
3
гуры равна — аА,
а поэтому
-Па*=-а*.
ус
4 а
.
3 я
Пример 9. Квадрат со стороной а вращается вокруг прямой, проходя-
JX Я
щей через его вершину и образующей угол ф g его диагональю —- < ф < — .
Найти объем тела вращения и площадь его поверхности.
Решение. По первой теореме Гульдена площадь поверхности тела вра-
вращения равна периметру вращающейся фигуры, умноженной на длину окруж-
окружности, описанной центром тяжести этого периметра. В нашей задаче периметр
равен 4а, а центр тяжести совпадает с центром квадрата. Этот центр отстоит от
оси вращения на расстоянии d = 2JL— sin ф. Поэтому
-. 4а • 2я !
sin ф = 4яа2
Точно так же находим объем тела вращения. По второй теореме Гульдена
он равен площади вращающейся фигуры, умноженной на длину окружности,
описанной центром тяжести этой фигуры. В данном случае площадь квадрата
равна аа, а потому
2я 5-L— sin ф -.
яа3 У2 sin ф.
302

468.3. Найти центр тяжести дуги кривой х = -у2 In у, со-
содержащейся между точками, для которых у = 1 и у = 2.
469.3. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стя-
стягивающей угол 2а.
470.3. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ограниченной параболами ах = у2, ау = хг (х> 0).
471.3. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ограниченной кривой х2 + Ау — 16 =0 и осью Ох,
472.3. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
2
ной прямой у = —х и синусоидой у = sin х при л; > 0.
зх
473.3. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ограниченной эллипсом х2 + 4у2 = 4 и окружностью a:2 -f у2 = 4 и рас-
расположенной в первой координатной четверти.
474.3. Найти центр тяжести дуги одной арки циклоиды
х = a (t — sin t),
у = а A — cos t).
475.3. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды
{ х = a(t — sin /),
\ у = а A -—cos f).
476.3. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ограниченной верхней половиной кардиоиды р = а A + cos ф).
477.3. Найти координаты центра тяжести сектора, ограничен-
ограниченного одним полувитком архимедовой спирали р = acp от % = 0
до ф2 = я.
478.3. Найти координаты центра тяжести дуги логарифмичес-
логарифмической спирали р = аё9 от cpj = — до ф2 = я.
479.3. Пользуясь теоремой Гульдена, найти центр тяжести по-
полуокружности радиуса а.
480.3. Найти площадь поверхности, образованной вращением
фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды и осью Ох> вокруг
касательной к вершине циклоиды.
481.3. Вычислить по теореме Гульдена объем и боковую поверх-
поверхность прямого конуса с высотой Н и радиусом основания г.
482.3. Правильный шестиугольник со стороной а вращается
вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом полу-
получается.
483.3. Пусть S есть площадь поверхности вращения некоторой
кривой вокруг оси Ох, Пусть St есть площадь поверхности враще-
вращения той же кривой вокруг оси, параллельной оси Ох, находящейся
от нее на расстоянии dL (выше или ниже, но лежащей под кривой).
зоз

Показать, что St = S ± I2ndu где / — длина дуги кривой и где
знак «+ » относится к случаю, когда новая ось лежит ниже оси Ох,
а знак « — » — когда она лежит выше оси Ох,
484.3. Применить вывод предыдущей задачи к определению
площади поверхности вращения полуокружности вокруг оси, ее
не пересекающей и находящейся на расстоянии d от ее диаметра,
в двух случаях: а) когда полуокружность обращена к оси вогну-
вогнутостью и б) когда она обращена к оси выпуклостью.
485.3. Пусть V есть объем, полученный от вращения замкнутой
фигуры вокруг не пересекающей ее оси. Если переместить ось па-
параллельно ей самой на расстояние di9 то при вращении фигуры во-
вокруг новой оси получим объем Vit Показать, что Vt = V dz 2ndl6,
где в — площадь фигуры и где знак «+» нужно взять при уда-
удалении оси от фигуры и «—» при ее приближении к фигуре.
Глава @
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 23. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЭВ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл
е-х2 dx.
I
Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при
всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную Ф (я) = =.--g-*a. По
определению имеем:
\ хг~х'1 dx = lim Г хе~х* dx= lim [— — е~х* 11
оо о
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл
со
dx
х% + 4х + 9 *
Решение. В этом примере оба предела интегрирования бесконечны: по-
поэтому предварительно разбиваем данный интеграл на два:
Г *L_= Г б + Г
dx
304

и
Г dx С
= iim I 4- lim l
a -*¦ — со J (x "-j- 2) -f- 5 & -+ -4- oo J
fl 0
1 a + 2 , ,. 1 6
Т7ГarctgТГ+.i1?» yTarctg-
Пример З. Сходится ли несобственный интеграл
00
f Atsin^A:?
oJ
Решение.
oo b
f x sin x dx = lim f л: sin a:o?aj.
Применим правило интегрирования по частям, полагая и =* xt dx ^ da,
%т х dx =* dv, v =з — cos *. Будем иметь;
ь ь
х sin xdx = lim J x sin xdx = lim [— x cos * | 4-
+ f cos x dx] = lim [— bcosb + sin 6].
Этот предел не существует, следовательно, интеграл расходится.
Пример 4. Вычислить интеграл
2
С sin2 х cos2 jc
(i3 + 3
I dx.
J (sin3 x + cos3 a;K
0
Решение. Положив tg x = t, dx = j cf^, получим?
dl.
(sin3 x + cos3 xJ J A
о о
Мы получили несобственный интеграл. Он легко вычисляется следующим обра-
образом:
Pdt Г Р 1 . г 1if 1
о
305

Вычислить несобственные интегралы:
со оа I
486.3. Г-^1_. 487.3. f ±-е~Т
во «о
488.3. Г . 489.3. Г -?_ .
J х \п1 х
490.3.
494.3.
J
оо
J
«0
г
J
0
оо
!¦
0
arc tg x
arc tg л
(I +x2)
X
x2e~T cL
-1
dx.
3
2
491.3.
ax
dx. 493 '
j
¦ oo
«. I -
4- 5
x У к2 - 1
495.3. Доказать, что следующие интегралы расходятся:
00 o*
в) ^xcosxdx; f) \x2cosxdx;
1 0
Д)
?
oo oe
С xl dx С
ж) ¦— —-; з) x^-^dx.
J X* + X + 1 J
о о
496.3. Исследовать следующие интегралы на сходимость:
ос
а) Г ——— dx\ б)
306

497,3. При каких значениях k интеграл
х — sin x
будет сходящимся?
498.3. При каких значениях k сходится интеграл
dx
§ 24. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл
С х —2
= — dx.
J Vx-1
J
Решение, Преобразуем интеграл следующим образом:
2 2 2 2 2
Г х-2 J С х-1 л Г dx С С dx
. i ———" dx = \ —zzzzr dx — \ zz=r = \ У х — 1 dx— \ ¦ -•
J У7=Л J Yx — i J i^-i J J уХЛ
В интеграле /х подынтегральная функция непрерывна в промежутке [1; 2j,
поэтому его можно вычислять по формуле Лейбница
3 2
2
Интеграл /2 несобственный, так как подынтегральная функция - -¦> <х>
ух — I
при Хт> 1. По определению имеем:
Иш
1Щ \ -
-о J Vx—\
Окончательно,
Km 2 Уд; — 1
-#.-4-2— 4.
: 2 [|/*2 — 1 —Km )/~A4-e)~ij=2.
3 3
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл
*2+2 ,
307

Решение. Преобразуем данный интеграл следующим образом!
1 14 12
/== Г 3x*Z_2 dx =3 (Vd* + 2 f
= 3/,+ 2/я.
Интеграл /г легко вычисляется при помощи формулы Ньютона—Лейбница
(законность применения формулы Ньютона — Лейбница вытекает из непрерыв-
з I
—1
¦—. Интеграл 12 является
ности подынтегральной функции)
несобственным интегралом.
Несобственный интеграл /2 следует представить в виде суммы двух интегра-
интегралов (ибо точка разрыва х = 0 лежит внутри промежутка интегрирования):
2 0 2 12 0—84 2
+ iim I
= Iim
i i
х 3 dx - Iim a*'3 + Iim Зх3 =3 + 3 =6.
Итак, / = 3/i + 2/2 =3 . y+ 2 . 6 = 14 у .
Пример З. Вычислить несобственный интеграл
1
х dx
Решение. Подынтегральная функция неограничена в окрестностях
точек х= 0 и *= 1. Поэтому представим интеграл в виде суммы двух интегра-
интегралов:
i
dx
д;A —х)
Оба интеграла /х и /2 несобственные.
По определению имеем:
2
= Iim f ¦
8i "*0 J
dx
Vx(l-x)
¦+
l72
Iim
s2-o J
1
(i -*)
= Iim [arcsin Bx —. 1) 2 + Iim [arcsinBA; — 1)
8X -*¦ 0 ' J 82 -*• 0
= Iim [arcsin 0 — arcsin Bsx — 1)] +
0
Iim [arcsin A — 2s2) — arcsin 0J = — +— = я.
e2 -*¦ о 2 2
308

Пример '6. Вычислить несобственный интеграл
2
, xdx
i
x dx
Решение. Здесь подынтегральная функция / (я) = ,- терпит
v хи *¦
бесконечный разрыв в точке х = 1, но ее первообразная F(x)= }Лк2— I непрерыв-
непрерывна на промежутке [1; 2]. Поэтому здесь применима формула Ньютона— Лейб-
Лейбница.
2
1
Вычислить несобственные интегралы:
499.3. f * t ¦ . 500.3. Г Jdx .
" 2
501.3. I _ii_. 502.3.
0
2 i
503.3. Г %=т 504.3. Г 3f^I2 dx.
Ь со
505.3. Г dx (a < 6). 506.3. Г dx
J Y(x-a)(b~x) J xY^-\
507.3. l л при т: а) четном; б) нечетном (т > 0).
508.3. Г ^—. 509.3. Г In sin xdx
о о
510.3. При каких значениях k интегралы:
• —сходятся.
о
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
2 1
511.3.
— cos х
309

u. j.
516.3.
515.3.
517.3.
Г sin* dx.
J xVT
xW x
514.3.
516.3.
In? x
dx
x — sinx
§ 25. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, В КОТОРЫХ
ВСТРЕЧАЮТСЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
У ;
х2 + 4а2
и ее асимптотой.
Решение. Ось Ох является асимптотой графика этой функции
Искомая площадь S равна:
С 8ад С Sa6dx
S = I , , , ,- dx = 2
I
х2 + 4а2
I
(в силу симметрии графика относительно оси Оу).
Площадь выражается несобственным интегралом с бесконечным верхним
пределом. Имеем:
А
8а» dx
S li
' = lim I
x2 + 4a2
-2a -a
2a
-a
a la
Рис. 21.3
310

Пример 2. Вычислить площадь петли декартова листа *3-Ьу3—3a#y=0.
Решение. Декартов лист изображен на рисунке 28.2 (см. стр. 190).
Для удобства вычисления перейдем к параметрическим уравнениям:
Ш
При изменении t от 0 до оо точка М (х, у) описывает петлю. Площадь
этой петли определяется по формуле
Пример 3. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, образованной
вращением кривой
1
вокруг оси абсцисс.
Решение, *ЭДы имеем:
1 +*2
Пример 4. Найти длину той части логарифмической спирали р = ещу
которая заключена внутри окружности р = 1 (задача Торричелли).
Решение. Внутри окружности р == 1 лежат точки логарифмической
спирали, соответствующие изменению полярного угла от—оо до 0; если ф->—оо,
то при этом радиус-вектор р спирали будет неограниченно уменьшаться
до нуля, и точки спирали будут неограниченно приближаться к полюсу.
Искомая длина выразится следующим несобственным интегралом:
о о
= \ |/"г2 + г'2 Жр = \
+ a? lim — еаф
А -*—.оо а
о
А
(Торричелли пришел к этому результату до открытия интегрального исчисления.)
Пример 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением зо-
круг оси Ох дуги кривой у = егх от х = 0 до х = + оо.
Решение. Искомая площадь поверхности вычисляется по формуле;
о
Sx =2* Jy yl+y*dx.
311

В нашем случае
Sx = j4 e-xV\ +e~2Xdx.
о
Сделав подстановку е~х = t, получим t1 — 1, t2 = 0, — е~х dx = dtt отсюда
1
Sx = 2к Г ] ' Г+Т* # - х [VT+ In A + /2")].
о
518.3. Доказать, что площадь области, заключенной между
кривой
осью абсцисс, осью ординат и асимптотой х= 1, конечна и равна —.
519.3. Доказать, что площадь области, заключенной между
кривой
v
осью абсцисс и прямыми х = ± 1, конечна и равна 6, а площадь
области, заключенной между кривой у = — , осью абсцисс и пря-
прямыми х = ± 1 , бесконечна.
520.3. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полу-
полученными при вращении линии у = е~х> у = 0@<л:<-(-оо): а) вок-
вокруг оси Ох\ б) вокруг оси Оу.
521.3. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получае-
получаемой при вращении кривой
вокруг оси абсцисс.
522.3. Найти площадь, содержащуюся между циссоидой
у2 = _ и ее асимптотой х = 2а.
2а —х
523.3. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, образо-
ванной вращением циссоиды у2 = вокруг ее асимптоты
2а — х
х = 2а.
524.3. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получае-
получаемого при вращении кривой у2 = 2хе~2х вокруг своей асимптоты.
312

§ 26. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ
И ИНТЕГРАЛ СТИЛТЫСА
Пусть функция у = / (х) задана на отрезке [а; Ь]. Возьмем раз-
разбиение
а0 = х0 <хг < ... <хп = Ь
этого отрезка и составим сумму
п— 1
Эту сумму называют изменением функции f (x), соответствующим
данному разбиению отрезка [а; 6]. Если множество всех таких из-
изменений ограничено, то его точную верхнюю грань называют пол-
ь
ным изменением функции f (х) на отрезке [а; Ь] и обозначают V/ М-
а
В этом случае говорят, что / (л:) имеет ограниченное изменение на
отрезке [а; &].
Пример 1. Найти изменение функции
у = #3 — 4л:2 + х — 7,
соответствующее разбиению отрезка [1; 4J точками
*о === 1> *i == 2, х2 = о, Хз = 4.
Решение. Мы находим
/ A) = - 9, / B) = - 13, / C) 13, / D) = - 3.
Поэтому искомое изменение равно
|— 13 + 9 | + | — 13 + 13 | + | — 3 + 13 | = 14.
Пример 2. Найти полное изменение функции
у = sin4 х + cos4 x A)
на отрезке 10; п I
Решение. Найдем экстремумы функции A). Ее производ-
производная равна
у' = 4 sin3 л: cos л: — 4 cos3 x sin x.
Приравнивая производную нулю, получаем уравнение
4 sin х cos x (sin2 x — cos2 x) = 0.
Решая его, получаем точки на [0; л ]:
/Ч л, л Зл
#1 = 0, хг = —, х3 = —, д:4 == — и л:5 = я.
313

Мы имеем:
Полное изменение монотонной функции равно модулю разности
значений функции на концах отрезка. Поэтому полное изменение
функции / (х) на @; л; ] равно
2
+
1— 1
+
1 ,
+
. 1
Пример 3. Найти полное изменение функции
f(X\- ( х, 0<л:< 1,
Решение. Выберем разбиение отрезка [0; 2 ] точками х0
- 0,
1, х2 = 1+ -,
2. Тогда / @) = 0, f A) = 1,
-)=-!+-, / B) = 0 и
0
п 1
+ 1
1
_1
п
п
= 4 —
2
1 — 0
Поскольку на промежутках [0; 1) и A; 2] функция / (я) монотонна,
ее полное изменение находим, переходя к пределу при п -+ оо :
2
Пример 4. Доказать, что функция
х sin —, х ф 0,
0, * = 0
/(*)
не является функцией с ограниченным полным изменением на от-
отрезке [0; 1 ].
Решение. Выберем точки разбиения х0 = 0, хг =
Мы имеем / (х0) = 0,
с= 2 cin Dn-~ 1)л _
Е=4п—1 2 "~
-l-sin(^+-
314

Значит, этому разбиению соответствует изменение
2
n
4л+1
+
2
i
2
4/1—1 4/2
+
2
+ 1
=
4 /1
4/i—3
, 1
4л—1
Но
Um (— + -
U 5
...+¦
(см. § 9, гл. З, раздел 1). Значит, совокупность изменений
функции f (x) неограничена и ее полное изменение на отрезке [0; 11
бесконечно.
Пусть на отрезке [а, Ь\ заданы две конечные функции f (х) и
g (лг). Разобьем отрезок [а; Ь] на части точками
а = х0 <х± < ... <хп = 6,
выберем на каждом частичном отрезке [*л; xk+i\ по точке cft и со-
составим сумму
B)
Если при стремлении наибольшего отрезка разбиения к нулю сум-
сумма B) стремится к конечному пределу, не зависящему ни от способа
дробления, ни от выбора точек cki то этот предел называют интег-
интегралом Стилтьеса функции f (x) по функции g (x) и обозначают через
ь
'f(x)dg(x).
Интеграл Стилтьеса заведомо существует, если функция / (#) не-
непрерывна на отрезке [а; 6], ag (x) имеет на этом отрезке ограничен-
ограниченное изменение. Если при этом g (x) имеет в каждой точке отрезка
\а\ Ь] производнуюg' (x) и эта производная интегрируема на отрез-
отрезке [а; Ь], то
а а
Если же функция / (х) непрерывна, a g (x) постоянна на каждом из
промежутков [ck; ck+i], где
а = с0 < сг < ... < сп = Ь, то
+ ? /fa)l«rfa + 0)-g{ck-
315
-0)]+f(b)\g{b)-g(b —0)\.

Пример 5. Вычислить интеграл Стилтьеса, если / (я) =л
g (х) = arctgx, а = О, b = 1.
Решение. В данном случае производная
непрерывна на отрезке [0; 1 ] и потому интегрируема. Значит,
f **dfarctg*) = {-**- = f *Лс - f-^L - [?-
J V S .) 1+jc» J J 1 +*¦ L 2
^0
Пример 6. Вычислить интеграл Стилтьеса, если / (х) = л;3,
g(x) = E (jc), с = 0и6==5.
Решение. Функция Е (х) постоянна на промежутках
(п; п + 1) и имеет в точках л: = п скачки, равные 1. При этом
Е{п — 0) = п—1, Е (п) = п9 Е (п + 0) = п.
Значит,
Б
( хЫЕ (х) =Р + 23 + З3 + 43 + 53 = 225.
о
Аналогично вычисляются несобственные интегралы Стилтьеса.
Пример 7. Вычислить интеграл Стилтьеса, если
/ (х) = е-*, g(x) = Е (х), а = 0 и Ь - 1.
Решение. Так же, как в примере 6, имеем:
f e~*dE{x) = У е-*= -?- = -U
О fe = 1
Интеграл
называется fe-ым моментом функции распределения g (x).
Пример 8. Вычислить моменты для функции распределения
Решение. Эти моменты выражаются интегралами Стилтьеса
со
—е-*) = Г xke~xdx.
Г
Интегрируя ^ раз по частям, получаем ответ ak = k\
525.3. Доказать, что при добавлении новой точки разбиения
изменение функции не уменьшается.
316

526.3. Доказать, что разность двух монотонно возрастающих
на отрезке [а\ b ] функций имеет на этом отрезке конечное измене-
изменение.
527.3. Доказать, что если функция / (х) имеет на отрезке [а\ Ь]
ограниченную производную, то ее изменение на отрезке [а\ Ь]
конечно.
528.3. Найти полное изменение на отрезке [0; 2л ] функции у =
= sin3 х + cos3 л:.
529.3. Найти полное изменение на отрезке [0; 6] функции
\ 0 < х < 2,
v= (л2)(*4), 2<
у I (х — бJ, 4<л;<6.
530.3. Доказать, что функция
_ | x2sin—, хф 0,
I 0, х = 0
имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 1 ].
531.3. Доказать, что функция
—, п = 1, 2, <з, ...
У " I 0, х = О
имеет ограниченное изменение на отрезке [0; I ].
532.3. Доказать существование интеграла Стилтьеса
ь
Г / (х) dg (х), если а = 0, 6=1, / (л:) = xk и
а
,W = (x2sin7'x-a
lo, х = о.
ь
533.3. Вычислить интеграл Стилтьеса f / (л*) dg (x), если
а
а) / (х) = х\ g (х) = In х% а = 1, 6 = 5;
Л* ), a = 0, 6 = +оо.
534.3. Найти моменты функции распределения
0, х < 0,
а) ?(*) = { 1— A~~х)п>
0, х < 0,
б) «W = \ юЕw, О,
10000, л:>4.
317

ОТВЕТЫ
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
3.1. Числа вида ± Л, аг... ап 000= ± A, av... ап — 1 999..., где ап > 0.
4.1. Нет. 5.1. Например, а= 1,2020020002 ... иР = 0,2020020002 ... . 6.1. На-
Например, а = 0,2020020002 ... и р = 0,1010010001 ...8.1. а +0, У% ар,
У а + }% У<х+ У 2. 14.1. 0,777 ... «= ~ 15.1. Нет, так как 0,999 ...==
«= 1. 16.1. Нет. 17.1. 0,888 ... = —. 19.1. У к а з а н и е. Ш+ —УТ*=*
9 m + п
\ п / 1 л. -
=0; б) неограничено сверху, inf М == 1; в) sup М == 0, inf М = — 1; г) sup М
Inf М == 2; д) sup M == 2я/?, inf_M = 4R Y% e) sup M = 2я/?, inf М = 6Я;
ж) sup М = л/?2, inf М = 3R2 ^3 ; з) sup М = -- Jii?8, inf M = 0; к) не-
2 о
^
ограничено сверху, inf М = — л/?3; л) sup М == 2, inf М = ]A2 ; м) sup М =
3
о
«= К~2, inf УИ = 1; н) sup М = 0,18 = —, inf М == 0; о) sup УИ = 1, inf =
=^ М = 0, п) sup М = —; inf М = ~; р) sup М = —, inf М = ;
с) неограничено сверху, inf М = 0; т) неограничено сверху, inf М = — 2.
21.1. Например, множество иррациональных чисел а, таких, что 0 < а < 1.
22.1. Для множеств, состоящих из одного числа. 23.1. —1<д:<5. 24.1. х>—1
и х < — 5. 25.1. х < — —. 26.1. — 1 < х <0. 27.1. |*| > YT и |*| < УЪ.
28.1. —J < * < 3. 29.1. л: < — 1. ЗОЛ. х < 2 (* ф 0). 31.1 х > /зГ— 1 и
л < УЪ — 1. 32.1. обик~б. 33.1. — 5 < х < 5. 34.1. л: >4 и х <
< —4. 35.1. —оо < х < + оо. 36.1. хх == — 1,ха= 3. 37.1. х= (- 2/ея (k =
= 0, ± 1, ± 2, ...). 38.1. х=- +nk (/г== 0, ±1, ± 2...).
4
39.1. Решений_не существует. 40.1. \х\ >1 и л:=1. 41.1. 2<л:<3. 42.1. х>Ъ
43.1. |*| >Уг~. 44.1. a) arctg2 2л: — 3 arctg х + 2; б) arctg 2 (д;2 — Зх + 2)';
318

в) 10arctg2x; г) arctg B* 10*); д) arctg Bл:3 sin х)\ е) х3 arctg 2 sin x.
45.1. а) 2**3+ (х*+ IK; б) 2**\х* + IJ; в) 2* (х* + 1). 48. L у *
^(l-j-x)(l—3x)w 1—2^=0,999746. 50.1. 2, 0, 0, 4, 0. 51.1. 0,—,—, не существует.
1 я2 3 13 7
52.1. 2, ~, 1 + —, 1; не существует. 53.1. 1, —, 0, _, —. 56.К - х2 +
/2 4 4 2 5 6
17 10 7 29 "
+ — х + 1. 57.1. ~ хв — — х2 — — х + 2. 62.L 5 == х Y~4R* — х2 ,
б 3 2 о
0 < х < 2R. 63.1. V =
, 0<h<2R. 64.U
) nR3 sin2a A -\- cos a)
- 0 < r < R. 65.1. V = 7d , 0 < a < я.
66.1.S=^ + 2
0< Я <оо. 68.1.
, 0 < И < оо. 67.1.
3
V V 4 2я 2/
—=^— , 0<a< я. 69.1.
а
— 2R'
2R < H < oo. 70.1. S
71.1.
(х -
+
72.1.
$(*)"
у, 0 < / <
&*, 0 < x < a,
62 .2 (x — a)
ab + — arc sin — jl,
4 в '
73.1.
пх%
nrx2 — — , 0 < х < л
+ ЯГ2 (X — А), А < X < Г -f Н.
74.1.
h<x
( 2
3
24 — — A0—
о
я (а: — г~
18
18
5
| (а — а: —
10.
, Rt < х < а —
75.1. у = {х—
319

76.1. a) \x, x>0 6) f°» x>0, B) ( — 2a;—5, — oo<x< — 3,
y=\ У*={ л у={ 1, —3 < jc < —2,
10, x<0; (x, x<0; [ 2x + 5, -2<x< + oo;
r) (x2 — 5a;+ 6, — oo < x < % д) f — 1, — oo < x < 0,
у = J — X2 + Sx — 6, 2 < x < 3, _y = 0, jt = 0,
( ^ __ 5д: + 6, 3 < x < + oo; I 1, 0 < x < + oo;
e) [sin*, 2ял < x < Bл + 1) я, ж) [—lg*, 0 < x < 1,
! — sin л-, Bл—1)я<х < 2ял; (lgx, 1 < х < -f oo.
79Л, а) — oo < х < — 2; б) х = — 1; в) 6 < д; < + оо; г) решений нет; д) х > — 2;
е) v >—8; ж) — оо < л; < оо. 80.1. з>Наим A) = — 1; не существует.
7 я
^! 3-,Унаим Н)=2; не существует. 82.1._унаим A) = 2. 83.1.j>HaHM= —прих=±--+
__ 4 б
+ 2лл; >'н_аиб = 7 + З/з при х = я + 2ял {п_= 0, ± 1, ± 2,...). 84.1._унаиб =
i+/2~ я 1—^2 3
= при х = —• + ял; .Унаим = при х = ¦— —¦ я + пп (п = О,
z о z о
1 + VT 3 I — "|Л2
± 1, ± 2,...). 85.1. ^наиб = 5 при ^ = — -- Я + ПЩ 3>наим = '
^ О Z
прр л;= —¦ + ял (л = 0, ±1, ±2,...). 86.1. Каждое из чисел равно 5.
о
1 + 1 Х 1
90.1. ———-1—. 91.1. —= 92.1. 1-х. 100.1. Например, f (х) = Igx.
х ух.
101.1. Например, / (х) = tg х. 102.1. Например, ф (х) = sin x, if (х) = cos x.
103.1. — оо < X < + оо. __
3 ± 1^17
104.1. Все значения х, кроме х = . 105.1. х ф 0. 106.1. х > 0.
4
107.1.x < ~г. 108.1. х < 1, х >3. 109.1. — 2 <* < 1. 110.1. — 3 <х< — 1,
5
2 < х < 3. 111.1. — оо < х < — 3, —3<х<—2 и 4 < х < + оо.
112.1. — 6 < х < 1, х > 3. 113.1. Все значения, кроме х = 2 и х= 3.
114.1. х > 0, х Ф п (л= 1, 2,...). 115.1. хф 2л + 1 (л = 0, ± 1, ±2, ...),
^ + i-j л Un + Ц л
116.1. 10V 2/ <x<10V 2/ (л== 0, ± 1, ± 2, ... ). 117.1. х >— '
118.1. Данной формулой функция не определяется. 119.1. 1<х < —.
3
о
120.1. —~ < х < 4. 121.1.x ф ± 2. 122.1. — <оо х < + оо. 123.1. |х — ля| <
<7 ("=0, ±1, ±2, ...). 124.1. х<0, хф-п(п= 1, 2, ...).
о
,25.1.
= 0, 1, 2, ,..) . 127.1. Данной формулой функция не определяется. 128.1. х
320

/ 1 \ / 3\
Ф — 1. 129.1. Ul < 1, I 26 + — n <x < \2k + —U (k= 0, ±1, i 2,,..),
0 < * <1, — —< * < 0, x < 0,x < О,—— < x < 0. 130.1. Тождественны на
fl; + oo).131.1. 1) Нет; 2) тождественны на @; + оо). 132.1. Нет, так как функ-
функции определены в различных областях. 133.1. Аналитическое выражение имеет
смысл при всех Т. Физический смысл имеют значения Т > 0. 134.1. Анали-
Аналитическое выражение существует при всех R. Геометрический смысл имеют зна-
значения R > 0. 135.1. Аналитическое выражение существует при всех х. Функ-
Функция определена при 0 < х < L 136.1. V = kR2 (р — 2/?), 5 ==_2лЯ2 + nR (p —
— 2Я),0 < R < -, 137.1. V = - [S —2кД2], 0< R < Л/ — . 138.1. V =*
Ac. j л/К
., R < г < оо. 139.1. F - о "ГЯт t R < г < оо. 140.1.5бок
2nHr(R-r) 2*Hr(R-r) KHr(Rr)
, 5П0Л = + 2*Л F = , 0 < г < R.
тсДз Д E — nR* V 2)
11 v 'о<^<
3 "Г 2 '
= ^- [2 /Д2 — г2 + Д], 0<r<R. 143.1. Например,^
3
144.1. Например, у /рр, у К +
У 5 ух
146.1. Например, у = "l/ . 147.1. Например, j/ = — ¦
V 1-х2 Ksin я^
1
( + )()
/¦~~Го /" [
, у = "I/ 145.1. Например, у == К — sin2™ + ¦•
У 5-*ух
, у = "l/
V
1
148.1. Например, j> = Vs\ukx+ —=-. 149.1. Например, у =*(#— 1) (д; _
7 9 1 *3 1е»
—2)(х — 3) К—хя—1. 150.1. а)-я<х<- я; б) — л < jc < — л;
^ ^ Z 2
в)— oo<jf< + oo;r)—1<*<1;д)— — л<*<— —-л;е) — l<
< 0; ж) — 1 < х < 1; з) д: < 0; и) 0 < х < 1; к) к > 0; л) \х\ < l2l\ m)
< 1. 151.1. х>— 3. 152.1. * > 4. 153.1. —— < х < ~. 154.1. — 3 < х <
< 3. 155.1. Равенство является тождеством в области х Ф \t х =?3, х Ф — I.
74
156.1. а) 0 < д: < 5; б) л:< — 2 или 5 < х < —; в) множество решений пус-
з —Кб""
то; г) 0 < х < —в . 157.1. ср [Ф(лг)] = х\ г|?[г|? (х)] = 2™, ер [г|?(д:)] = 22*,
г|? [ф WI = 2х2 . 158.1. Ф [Ф (х)] = sgn а:, ф [г|? (х)] = jc, л: Ф 0, ф [ф (л:)] ^
= sgnA:, х ф 0, ф [ф (*) ] = sgn х, х Ф 0. 159.1. а) у = z2, z = cos *, ^ =»
= т", б) у = У г t z = t3t t = х + 2; в) у = az, z= t3, t= arc cos и, и =»
За:+ 5 ^
= л:2; г) у = \g z, z = ; д) у = г2, г= arc tg /, i = ctg и, и = —•.
321

160.1. a)M,W]=l; б)/[ф(,)]|
@ — в противном случае;
-) Ф1/О] = {\ кй >!; r> *[*wi - B-1 "
161.1. f[f (x)} = а A + b) + b*xy f l.UJJf (*)]... ] = a A + 6 + ...
9 _ |/89 9
+ bnx. 165.1. a) 0 < t < 3; 6) < t < 0; в) 9 < * < .
166.1. a) sin [sin (sin*)]; 6) sin [ sin2 (* — 1)J; в) sin2 [sin * —J.J.
167.K a)*!= i,*a=—8; 6)^= - 5, x2 = -1, *3l4 = 3 ± V 7;
в) *x = 2, *2 = — —. 168.1. a) x = яп + (— 1)« ~; 6) * = 2яп ± ^-;
oil о о
в) x = 2лл, а: = 2лп± —; г) х = (- яп; х = ям — arctg —; д) х== sin —;
3 4 4 2
е) *! = 4, ^2 = 4 — log 5; ж) *x = 11, х2= 3; з) *х =9, х2 = -—; и) ^=100,
3
JC2 = 77;» к) * = 10- 169.1. а) —оо < х < Iog23, 2<^<+oo; б)—<
1и 1о
1 у^" у~2~ у2~
< х < —; в) при а > I: х < а , х > а ; при 0 < а < 1: а <
. 170.1. a) *=
—1; б) *=2l/
171.1. a) *=1 +")/"l—j;, j/> 1; б) х=\—У\—у, у > 1; в) * = — 2 +
V* У> — 4; г) ^ = —2 — ^4+^, j/>—4. 172.1. a) x=j
6; 6) *= / y+ 27. 173.1. a) * = —:^-1 —, — 1 < j/ < 0;
0 ^ _ , > = 0; У
174.1. a) x=atcs\aYу , — 1 <.y < 1; б) дс = я — arc sin у у , — 1 <y < 1.
175.1. 5 = 4nr УК2 — r2 + 2jw2,
= я_ _
2
5я
177.1. у = / sin[(p0 sin (octf + а)]. Одна из ветвей обратной функции t =
1 Г 1 V 1
= —arc sin —arc sin——a. 179.1. а) Четная; б) ни четная, ни нечет-
@ |_ф0 / J
ная; в) четная. 180.1. а) Ни четная, ни нечетная; б) ни четная, ни нечетная;
в) ни четная, ни нечетная. 181.1. Нечетная. 182.1. а) Ни четная, ни нечетная;
б) четная; в) четная. 183.1. а) Ни четная, ни нечетная; б) четная; в) ни четная,
ни нечетная.
185.1. а) — (V^l — х3 -+- ]/ 1 + *а), — [Y\ — *3 —]Л + *•); б) -<
2, 2 2
322

+ cos3-*), — (cos 3* —cos 3-*); в) —3, 2x; r) — {a* + crx)t — (ax — a-x).
194.1. а) Четная; б) четная; в) нечетная; г) нечетная; д) нечетная; е) четная; ж) не-
нечетная; з) четная. 195.1. а) у = х tg х — sin х, — —- < х < 0; б) у =
196.1. а) у = — sin4 x — cos4 xy — oo < x < 0; б) у = — lg (—x+V*?+ 0 =
^2 '
r) /@) = 0. 198.1. а) Периодическая, Г = я; б) периодическая, 71 = — я;
3
в) периодическая, Т = —; г) периодическая, Т — 2я; д) периодическая, Т = 2;
о
е) периодическая, Г = 2я; ж) периодическая, Т = я; з) периодическая, Т= 2л,
и) непериодическая; к) непериодическая; л) периодическая, Т= 1; м) периодн-
ческая, l — я. iyy.i f {x) — \ e.n v ^ ^ < я Bn + 1),
200.1. / (x)= (x — 4&J + x — 4/г + 1, 4/г < л: < 4 (/г + 1). 201.1. / (х) = (х —
— 4/гJ+л:— 4/г + 1, 4/г — 2 < х < 4/г + 2. Функция совпадает с функцией из
задачи 200.1 на промежутках 4/г < х < 4/г + 2.
0, я Bk — 1) < х < — ~ + 2fere,
я
— cos л:, — — + 2/ея < л: < 2/гя,
202.1. f{x)=l 2
я
cosx, 2&я < л: < 2/гя -f- —,
( 7 \ / 2 \ / 100 \
/ — — я =0, f 21— я) =0, / —— я =0, /(я) и /(Зя) не существуют.
\ 6 / \ 3 / \ 3 /
208.1. а) Возрастает; б) убывает; в) убывает; г) убывает. 209.1. а) Воз-
Возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает. 210.1. а) Возрастает
при х > 0, убывает при х; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает; д) возрас-
возрастает; е) возрастает при х < — 2, убывает при х > — 2; ж) убывает; з) убывает;
и) убывает при х < 2, возрастает при х > 2; к) убывает при х < 0, возрастает
при л; > 0; л) убывает при — — < х < 0, возрастает при 0 < х < —; м) убы-
убывает при х < 3, возрастает при * > 3; н) возрастает при х < 4, убывает при
а: > 4; о) возрастает при 0 < х < — , убывает при ~г<х < я. 211.1. а) Огра-
2 2*
ничена, inf / (х) =2, sup f (х) = 11; б) ограничена, inf / (#) = 0, sup / (х) = 1;
в) не ограничена ни сверху, ни снизу; г) не ограничена снизу, sup f (x) = — -;
д) ограничена inf / (х) = — — sup / (х) = — —; е) не ограничена ни сверху,
3 4
ни снизу; ж) ограничена, inf / {х) = 0, sup f (х) = 1; з) ограничена, inf / (х)=
323

= 2, sup / (*) = 2 —; и) ограничена, inf f (x) = 0, sup / (x) = 1, к) не ограни-
ограничена сверху, inf / (*) = 2. 234.1. х « 1,52. 235.1. х « 1,22. 236.1. хх = 0, х2 «
* 0,88. 237.1. хх = 0, х2 з « ± 0,93. 238.1. х « 0,39. 239.1. * % 0,74.
240.1. х % 4,92. 241.1. '%= 1, х2 w 3,35. 242.1. хх = 10, х2 л 1,37.
243.1. л:, « 0,65, х2 « —0,44. 244.1. х « 1,84. 245.1. * « — 1,49. 246.1. х «
1 1 1 2 6 24 120 1 1 . 3 Ь 3-5
, 0,1. 303.1. а) 0, -, 0, -, 0; б) - -, - - —; в)-, — _,
1-3-5-7 1 •3•5-7-9
2.4.6.8' 2.4.6.8-НГ Г)~2'- "' Ю- 17'-^ Д) '• °' -W 3°.
— 1, 0, 1, 0, ж) 1, —4, —3, 16, 25. 304.1. а) ап = П ~2 ; б) а^К л (/г + 1);
1 (_ 1)я+1 Bя + 1) / Зя \2
в) ап" Т57ТТ; Г) а" = (я + 1н» + ^ ; А) а« -()Л+1 5ЙП)
Т ( + н + ^ Й
(-1)"« 22" • (я !J 1 393
е' а« = То^~; ж) а« = 15оГ- 306Л-a) fl8 = 1^9; б) ав = ^Г;
я2 1265
в) а4л+1 = 1; г) ах = —; д) аъ = . 307.1. а) Убывает; б) убывает; в) воз-
о 10!
растает; г) убывает; д) возрастает; е) убывает. 310.1. а) Верно для всех п; б) вер-
верно для бесконечного множества п\ в) верно почти для всех п\ г) неверно ни для
одного п\ д) верно почти для всех п\ е) верно для бесконечного множества зна-
значений п\ ж) верно почти для всех п; з) верно почти для всех п\ и) верно почти
для всех п\ к) верно почти для всех п\ л) верно почти для всех п. 311.1. ап~
= B/г~1—1)а — BЛ-! — 2)av 312.1. ап= — [б-З"—1]. 314.1. ап = B—п) ах+
3 п2 1
+ (я— 1)а2+ 1— — п+ —. 315.1, х„ = — sina{(l+sin2a)rt—(I— sin2a)n}f
^л = - cosa {(I + sin 2а)*+A — sin 2a)« }. 318.1. *" ~~ п°Ьо =
2 чол an+VaJ,0
/ 1 / \ 2
= I а° ~ а— ] . 326.1. с УУ-100. 328.1. а) 0; б) нет. 330.1. Нет.
341.1. —. 342.1. 1. 343.1. 0. 345.1.0. 346.1. V 5. 349.1. 2яД. 350.1. 2я/?.
3
354.1. Точки Мп сходятся к точке М с абсциссой а. 355.1. а) ——; б) 0;
4
1 4
в) °; г) — „' А) Т; е> lim Xn =
6/ U П -*¦ ©о
0, если \а\ < 1,
J> если а== ^
1, если |а| > 1,
не существует, если а— — 1;
ж) 1; з) 3;
1 10+1
и) —; к) — 1; л) 0. 357.1. Например, ап = . 358.1. Например, ап =
о ft
=. , bn= . 359.1. Да. 360.1. Могут, например, ап= (—1)п,
п +1 п + 1
Ьп — (— l)n+1. 361.1. { ап Ьп } может иметь предел,если Ига ап = 0. Последо-
вательность { ал + ^л } расходится. 362.1. Нет. Например, ап = —, b = п.
324

363.1. Нет. Например, ап = 1 + (— 1)п, Ьп= 1 + (— 1)п+1. 365.1. Нет, так
как при е < 0 неравенство \ап—ап\ < е невозможно. 366.1. Последователь-
Последовательность вида а, а, ... а, ... . 367.1. Например, 8=0. 368.1. Последовательность
вида а, а, ... а 369.1. Содержащие сходящуюся к а последовательность.
871.1. Не исказится. 374.1. 6, = \; 62 = {; б3 = ± 375.1. 6 = JL
С 1
377.1. М = 500. 380.1. 0 и 1. 383.1. Игл % = оо, Игл х2 = — —. 384.1. —.
а - 0 а-»0 Ь 3
9 1 1 2 У 2
385.1. 0. 386.1. оо. 387.1. 0. 388.1. —. 389.1. —. 390.1. --. 391.1. .
о о о JT
1 12 11
392.1. —. 393.1. —3. 394.1. —. 395.1. ——. 396.1. 4. 397.1. —. 398.1. — —.
2 2 о 2 2
2 1 5 31 23
399.1. —. 400.1. ——. 401.1. 1.402.1. —. 403.1.——. 404.1. —.
3 оо о Ни о
405,1. n("~1) ап~\ 406.1. ^А 407.1. ^ 408.1.1.409.1.-2.410.1. 0.
2 2 оо
411.1. —. 412.1. оо. 413.1. 0. 414.1. —:. 415.1. 22». 416.1. ~. 417.1. 1.
з уз 3
418.1. -. 419.1. 2. 420.1. —. 421.1. 2. 422.1. ~. 423.1. 5. 424.1. —.
2 т 2 2
1 9 1
425.1. 2. 426.1. 0. 427.1. —. 428.1. —. 429.1. 0. 430.1. —.
2 4 8
431.1. — —. 432.1. 8. 433.1. j. 434.1. —. 435.1. —. 436.1. j. 437Л. —.
1 3 V2
438.1. —• 439.1. —. 440.1. ——.441.1.3. 442.be. 443.1.1. 444.1.6.
х2
445.1. — 1. 446.1.1.447.1.6.448.1. е 2. 449.1. —3. 450.1. 1. 451.1. а.
452.1. 4 In-. 453.1. 6. 454.1. —-. 455.1. In*. 456. 1. -|- 45?.l. ^1.
г In 3 5
458.1. /п-л. 459.1. -. 460.1. 1. 461.1. 1. 462.1. —. 463.1. -|. 464.1. —.
465.1. . 466.1. —. 467.1. ~. 468.1. Уз а2. 469.1. ММ' и а беско-
К^ 3 4
нечно малые половинного порядка. 470.1. 1) и 3) первого порядка; 2) второго
порядка; 4) 5), 6) третьего порядка. 471.1. 1) а), г), е), ж), и) одного порядка;
д), е) высшего порядка; б), в), з) низшего порядка; 2) б, в) порядок 2; д) поря-
4
док 3; з) порядок —; к) порядок 2. 472.1. а), б), в), г) бесконечно малые перво-
9
3
го порядка. 473.1. а), г) второго порядка; б) первого порядка; в) порядка —;
о
д) порядка —. 474.1. а) Второго порядка; б) первого порядка; в) первого
2
порядка; г) порядка •—; д) бесконечно большая функция. 475.1. a) /i B—
— 0) = 3, М2+0) = -3; б) М0 + 0)=1, /а@ = 0)=-1; в)/, ( 1-
325

- 0) = - 3, /, A + 0) = 3; г) U @ - 0) = - Vi; ft @ + 0) = У~2 ; д) не
имеет пределов; е) /в C — 0) = — оо , fs C + 0) = + оо ; ж) f, B — 0) = 2,
U B + 0)=4; 8)J
, @ _ 0) = - -,
1
• 0)=-2; и)/,@-0)=-, /9@+0) = 0; к)/10 @
О
= 0, /8A_0)= 1, /,A-
= --. 476.1. /(*) =
0, х = 0,
0
477.1./(*) = е*. 478.1. f (х)
2V х
479.1. f (х)= 1, если 0 < * < 1; / (*) = х, если 1 < х < 2;
—, если х > 2. 480.1. f (х) = х при х < 0; f (х) — — при х = 0;
483.1. / (х) =
f(x)=\ при л; > 0. 482.1. / (х) = | j'
1, если х рационально,
0, если х иррационально.
д i f (x)=
если л: рационально,
если х иррационально.
ф(х), л: > 0,
ф (л:) + ф (х)
> функция
ф (л:), х < 0.
непрерывна при всех значениях я, кроме х=1, которая является точкой устра-
устранимого разрыва функции. 506.1. Функция непрерывна при всех значениях х, кроме
точких=\, которая является точкой устранимого разрыва функции. 507.1. Функ-
Функция непрерывна при всех значениях х, кроме точки х = 0, которая является
точкой разрыва первого рода: / @ — 0) = — —, / @ + 0) = —. 508.1. При
а = 0 функция непрерывна при всех значениях х. При а^Ов точке х = 0
функция имеет устранимый разрыв: / @ — 0) = / @ + 0) = 0. 509.1. Функ-
Функция непрерывна при всех значениях х, кроме точки х— 1, которая является
точкой разрыва первого рода: / A — 0) = — 1, / A + 0) = 1. Нельзя.
510.1. х— —3 — точка разрыва второго рода. 511.1. х — ±3— точки раз-
разрыва второго рода. 512.1. х= 2 — точки разрыва второго рода. 513.1. а) х —
*= пп (п — 0, ±1, ± 2, ...)—точки разрыва второго рода; б) х = 0 — точка
разрыва второго рода. 514.1. х = 1 — точка разрыва первого рода. 515.1. х = 0 —
точки разрыва первого рода; х = 1 —точка разрыва второго рода. 516.1. х —
0 — точка разрыва первого рода; х = -— + пп (п = 0,
1, 2, .,.) — точки
разрыва второго рода. 517.
Функция непрерывна всюду. 518.1. а) I @) = ™
= r, г) /@)=J; Д) Й0)= 1п2; е) / @) = j .
I () + ф () ррын
т0 fj (х) + Ф (х) разрывна в х = 0.
непрерывным, так и разрывным
Здесь / (л:)-ф (х) непрерывно при х
ведение разрывно при х = 0;
если f (х) sgn х, ф (*) sgn x,
520.1. Произведение может быть как
в точке х0. а) / (*) = х, ф (х) — sgn x.
= 0, / (*) = х + 2, ф (а:) = sgn л: — произ-
произ326

6) f 1, если х > О,
I — 1, если х < О.
Тогда /2 (*) = 1 — непрерывная функция, a f (*) [f (*) + 1 ] — разрывная при
*= 0. 521.1. При х== \. 522.1. При х = 0. 523.1. При х= 1, х2 =2. 524.1. При
Х+ И- > 0. 525.1. При X + р, > 0. 526.1. Нет. 528. 1. Нет. Указанные в
задаче неравенства выполнены всегда, если f (x) определена в конечном проме-
промежутке; если хотя бы а или Ь равно символу оо, то lim \f (x)\ = + оо .
533.1. При х= 0. 534.1. При всех значениях х. 535.1. Например,
0, если х рационально,
?(*) =
х2— 1, если х иррационально.
536.1. Например, ( 0, если х рационально,
' sin nx, если х иррационально.
538.1. Непрерывна только при х = 0.
539.1. Например, A, если х рационально,
f()
I — 1, если х иррационально.
540.1. f [g (x)] и g [f (x)] непрерывны. 542.1. а) Непрерывна при всех значениях
х, кроме х— 1 их— — 1, которые являются точками разрыва первого рода.
543.1. а) Непрерывна; б) разрывна, кроме точки * = 0; в) непрерывна.
9кх при 0 < х < 2,
544.1. /99,99 < х < /100,01. а) объем V (х) =
Юте + 4кх при 2 < х < 5,
25я + пх при 5 < х < 6,
при 6 < х < 8;
V (х) непрерывна на [0; +оо]; б) площадь
[ 9тс при 0 < х < 2,
) 4я при 2 < х < 5,
к при 5 < л: < 6,
О при 6 < х < + со;
5 (х) непрерывна в интервалах @; 2), B; 5), E; 6) и F; + оо). В точках 2,5 и
6 S (х) имеет разрывы первого рода.
546.1. а) — оо<х<— 2, — 2 < х < — 1,— < х <2; б) — 3 < * < — 2,
— 1 < л; < 0, 2 < х < 3, 4 < х < + оо ; в) — 1 < х < 1, 3 < х < 6;
ж Зтс 7к 9тг 3
г)_ <х< -,п<х< - _ <,<2п;дH<,<Я. - „<,<&.
9тг ж 5тс
— < л: < бтс и т. д.; е) 0 < л: < — , ~ < х < к\ ж) — 3 < л: < — 1,
2 8 8
1 < л: < 3; з) 5 < х < 3; и) — 3 < х < — 1, 1 < х < 3; к) х < 3, х > 5;
л) при а > 1 имеем 0 < х < 3; при 0 < а < 1 имеем х>3;мH<х< 1, х > 2;
н) — 3,5 < х< 6,5; о) К3~< х < 9. 547.1. Да, так как Я A) =— 1, / B) = 27 .
548.1. Да, так как / @) = 1, / (я) = 1 — п < 0. 549.1. Один корень.
550.1.Один корень. 553.1. / ( ]?l | =_L. 554.1. / | Z-2- ) = уТ". 558.1. f E) =•
V 2 / 2 V 3 /
= —7. Значение 1 функция не принимает. 561.1. Равномерно непрерывна.
562.1. Равномерно непрерывна. 563.1. Не является равномерно непрерывной.
564.1. Не является равномерно непрерывной. 565.1. Равномерно непрерывна.
566.1. Равномерно непрерывна. 567.1. Ш является равномерно непрерывной.
327

569.1. n > 1 800 000. 579.1. Условия задачи не являются достаточными для рав-
равномерной непрерывности.
Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.2. V = 4/3 + 8/ — 2. 2.2. со = Ы2 — 3.
10.2. A'X = F. 11.2. Л',= мощ. 13.2. Р' (t) = р — плотн. 14.2. 2kv4.
2 1
15.2. 4nt«2, SnvH. 16.2. а) - * } б)-*"; в) - *»~ \
уХ^ —у~ ?) О И,
х а 2 tg a; 2sinA: 1
д): е)^ = ^; ж) ке 3)
2 arc sin x 1 1
„)sin2,; K)-sin2,; л) у==; ,<,__, н) ГГ
2д: 5х4A—л:3) —A—х5) З^2
0) ?1ГГ 17-2' ^ A~^J _ •
2 — 76,5 Ух + 48^ -~ 6* Ух — 21 х2 — 4>5х2
18*2. б)
A+6* /*-Зх2J
arc sin x arc tg л:
2
2 sin * In x 5- f sin^ 1+^2 У 1-х2
19.2. a) 7=r— + л; cos д: In x + -77=^ ; 6) ! .
; 3 3 ]/7 ^ (arc sin xJ
20.2. a) 2?*cosa:; 6) arc cosA:+arc tg #+ — f 21.2. a) 5sin 4jccosa:;
In4 x 8 Bx + IJ 4e4* 2^
6M—; в) 30,C^-1)*. 22-2-a)^^^; б) -^ , в)
4 (arc sin ^K д:
r) ; 23.2. ¦ . 24.2. 20sin35xcos5*.
[1 +(arc sin *K ] У 1 — x2 D + У *2+4) Ух2+ 4
3arctg2B*— 1) r ..
25.2. _ \ , / + —==— . 26.2.
In • (In x)An x-x
2 cos 2x — 3sin 3a: Bx + 1 — x4) ex
27,2. —. 29.2. v ^ — . 30.2. —cos (cos x) «sin к +
2 /sin 2a: + cos Зх УI — *4 A— x2)
2 tgMn 2 1 1
+ sin (sin *)• cos x. 31.2.—— r-. 32.2. . 33.2. .
Aos2± sin3^ cos3*
X
3
. 9. . 2(*4+A:)sec2A:2— —¦ x2ig x2
sin a:2(cosa:—sin a:)—2a: cos x cos x- ^ J___ 2
sin2 a:2 '6 ' 1
(*3 + lJ
328

e
36.2. 3cosA:2sin2x2—2^2tgx— —— 37.2. — 72 In cos D* — 1) tg D* — 1).
COS2 X
38.2.3 ^"V^M, 39.2 -9
2 E+ л:) /* + 4 arc sin/х К* A —*)
/ arcsin** ¦ x
18arcsin[ln(gVl)ln(g4l)g* t
40.2. _ e . 41,л.
r 1 - In4 (e*+ 1) (ex3+ 1) ( earc sin4x + 5J
42.2. =
4 (cos In л: — sin In x) earc sin4' arc sin3 * -7=
* + 1 x 1 1 - x
43.2. ——7==r. 44.2. —¦—— . 45.2.
46.2. —f — + — — ~ ). 47.2. arcsin* t 48t2.
3^-1 ^^ + 2 x-2 x* + l) (l2f
3 ,- r- 5th42e/F-l) eVJ ch
+ t= shу x ch2 Vx . 49.2. . 50.2.
2 V* K/F) /ЗГ
sin 4x
e ¦
2 arc cos x In2(arc cos x) 4\паа2х arc ctg crx 12
sin x +cos *
о Г cos x — sin x n
e 3 Dл:3 + 2)
cos 4л: 5 n l
з 9 cos8^
55.2. ~" г 3 18л:5 — 32x2 — (x3—2) (л:3 + 6) cos2* sin x].
V3 6
56.2.
x2 + 3 x4 + 8x3 + 4л:2 — 2х — 5 1
г»» л ! _l ! ' 59 2
2 (*2— 3^ + 3) (л:2+3х+3) 5 (х2+ 4^ + 1) (л:3— х + 1) ' х4 + Г
¦ ^r-o—; X Xя—2arctg*2-j-i- lnx3—1 —?-
60.2. earcsin К*~1:Г7======. 6l.2.e J . x d
1 4
329

1 4- x2 1 / 2*2 \
63.2. —o . 64,2. . 66.2. 2(*2— IJ* In (*2— 1)+ .
l+*2+*4 a+bcosx \ y л:2 — 1 /
sin*
l it . ' — cos *ln (*+1)
67.2. — cos xx . ncQS* + * &x ^ 6,#2. (x + l)sin * . — а
x2 sin2 *
T~rz\nx—1 Xr 2 /2*(*cos*+sin*)
69.2. *ln *- .70.2. /B*sin*+1J-— — [ -—lnB*sin*+l)
In2 * *2\ 2* sin * + 1
71.2. *sin* (^L!L + in * cos *). 72.2. xx2+\\ + 21n *). 73.2. xx* - xx (— +
n2*). 74.2. sin*; 0, sinl; -Чр, sin ~^; sin У 3. 75.2.
J_ 1—71n2 ~ 4 " 4 1+2A — 2a4) In a
e ' ei ' 3 ' a4 ' a2 ae g2
T e A +2~ + 4"
76.2. : 2; не сущ.; не сущ.;
Гаге sin *3-A+*2—*) 3*2 ] 1
e* ух 4-x2 + V\— ,3arcsin^-
80.2. X~—
1 + x2
(cos * — 1) cos2 ^-7=r + VaTtg ^p=r • sin *
81.2. sin*+ V- — V- .
(cos*— IJ
sin — • —~7=r — cos — • —-7=r
sin x2(ex-\-e~x)—2*cos*2(e*—e~x) Aye Aye
sin2 *2 f 1
sin2 —
2 (x + 2)
. 83.2. sinl. 84.2. K~-r }
sin 16 A+ ^I5A-^M
— 4. 98.2.
/ (x\ = / ^' если * — рациональное число,
/ к ' \ *2 (* — IJ (* — 2J, если x —- иррациональное число.
330

99.2.
( 0, если х — рациональное число,
/ \х) sjn2 —> если х — иррациональное число.
100.2.
!0, если х — рациональное число,
я
х2 sin2 —' если х — иррациональное число.
х
101.2. Нет. 102.2.
f ( \— i f (а)> если х= а + ссп,
I \х) — | f (a) _j_ \t если х ф а + ал> л = 1, 2, ... .
103.2. а) л > 0; б) л > 1; в) л > 2. 104.2. а) л > 1; б) л > 1 и л > т + 1;
>)л>1 ил>т+1;гI<л<т+1. 105.2. Л \х — ал |.
1 С 2 1
- алJ sin . 107.2. х = {- ; > . При ^=0
х — а^ Bп -\-1)
в) >
VI 1 С 2 1
106.2. > (^- алJ sin . 107.2. х = {- ; > . При ^=0 функция диф-
^вД х Bп \1)
ференцируема. 109.2. К = 1. 110.2. /' (а — 0) = — <р (a)t f'(a + 0) = <р (а);
функция дифференцируема, если ф (а) = 0. 111.2. а= 3xq , 6 = —2х^ .
112.2. а = (д^"), ^ = /(x0) —-^ /' (^о ~ 0)- П3.2. а), б), в) Не следует.
2х0 2
114.2. а) Следует; б) не следует; в) не следует. 115.2. а) х = л, /'(л — 0) =»
= (-1)л(л-1)я, /'(я + 0) = (—1)Л ял; б)д,= ±2, /'(_2 —0) = —4.
// (—2 +0)=4; Г B — 0) =— 4, /'B+0) =4; в) х = л я, /'(ля — 0) =— у"^
П«я+0)= VТ; г) л: == 0, f(—0) = 1, /'(+ 0) = 0; д) *t= 1, л:2== 3 — точ-
точки разрыва функции; е) хг — 4 — точка разрыва функции, х2 = 3, х3 — 5,
ГC—0) = —1, fC + 0)=l, /'E-0) = -1, Г E+0)= 1; ж) х = у +
+ ял; з) л: = ял; и) *1>2= ± 1; к) * = 0, f (-0) = 1, /'@) = -1; л) х =-
= пу /'(а — 0) = — — , /' (а + 0) = —. 116.2. Недифференцируема при
jc=O. 117.2. —. 118.2. b2 — \ас < 0 и а2$2 — аЬ оф + аса2 < 0.
151
1 111 я 3
119.2. tg91=—, tg<p2 = y; <Pi«—, Ф2~у. 120.2. <Pi= у, tg9a =~; Фа-
=0,64. 121.2. tgq>= 3;ф=1,25. 122.2. j/ =12jc —16; jc -f- 12y = 98. 123.2. 0;
— . 124.2. 2; —|-; —1. 125. 2. 2. 127.2. j/ = —4x —4; 2л: = 83? + 15.
130. 2. j/ = 4jc + 9; 4j> + x — 2 = 0. 131.2. у = 4* — 2; 4y + jc —¦ 9= 0.
331

132.2. у — In *0 = - —; 1;—- 133.2. 48у + 32^ + 157 = 0. 134.2. 21.
х 3
136
в)
.2. tgq>=0t8, Ф= 0,675. 145.2. а) 5Л= ^—j-j ; б) Sn = fr—— ;
Гд; —(—1)" ^"+1 Г Г* — Х2П У \х — Х2П У
я -j- 1 пх
X
тп-
-. 147.2. a) Sn =
л + 1 я
sin л: sin
2
х
sin-
; б) sn =
4 .
sin х sin —
2 2_
л:
sin-
; в) Sn = -
' п + 1 ллГ
sin ——- х sin —
2 2_
л:
sin-
. 148.2. Sn=
sinl" +1)х
2sini
149.2. a) Sn = —
¦ i 1\ "
sin, n -)-— л:
\ 2/
2 sin |
: в) sn=
sin л 4-—
2sin|
; б) sn=*
150.2. Яя=
151.2. a) Sn = ctg * - ^ ctg ^; 6) Sn = - —-j- + -. 164.2. 36Q*«+
+ 16 e2^. 167.2.
x C+ 2*3)
170.2. —16 sin 2л; — 8 лгсоб 2х. 173,
j
42 --
168.2. 4л: C — 2x2) e~x*. 169.2. — x 15
1^5
.2. 1) (—l)"^—1)! + —
L(*-i)" (*+1)л
174.2. а) 4- 123!; в) 0. 175.2. 12! 176.2. + оо. 177.2. 220 е2х [х2+ 20^ + 95].
6 8! 945
178.2. — . 179.2. — 4е* cos*. 180.2. . 181.2. —
64У (ax+hI1 '
332

1398 1 "]
201 + 199 '
A-х) 2 A -x) 2 J
182.2. ^ | "~01 + 1-199- | . 183.2. 2« [sin 2x ( - 2*2 + 1225)
+ 100* cos 2x]t 184.2. a) 0 при л < kt an~k при л > k\
(л — k)\
б) [ЬЗ-5 . ... • B/e — l)]2, если л=2/е + 1; 0, если л=2/г; в) [2 . 4 • 6-... X
Х2/г]2, если л = 2k +1; 0, если п = 2/г; г) 2 [2 . 4 . 6-... .B/г — 2)]2, если /г =¦
== 2/г; 0, если л = 2/г + 1; д) (— l^m (m2 — I2) (m2 — 32)... [m2—Bp — IJ],
если л = 2/? + 1; 0, если 2р + 2; е) т (т2 + I2) (/л2 + З2)... [т2 + Bр — IJ},
если п = 2р + 1; m2 (m2 + 22)... (/п2 + 4р2), если п = 2р + 2; ж) (—iy\../n (i»—
— 1)... (m— 2р), если л = 2р + 1; 0, если л = 2р; з) —2 (л — 1)! cos л а.
2 —?• (х — 1 In2 х — 4л: — х In x (\п2х — 4)
192.2. а) — — а: 3 ^л:2; б) v -. 193.2. 1) —
у
хъ (In2 х — 4J
0,004 1 \ /1 \
д) 6 = . 236.2. а) (— оо, — — убыв.; I —¦ , + оо — возр.; б) возр. фуня-
п +2 3 / \ 3 /
ция. 237.2. а) а < 0; б) b > 2.239.2. б) b > 1. 244.2. a) 0,2085; 6H,949%
в) 1, 1618; г) 0,1133. 245.2. еа. 246.2.-2. 247.2.— —. 248.2. 2. 249.2. 1. 250.2. — .
8 2
251.2. — . 252.2. — . 253.2. 2. 254.2. 0. 255.2. In а — 1. 256.2. 2. 257.2. 0.
258.2. 1 — . 259.2. 1. 260.2. + оо, 261.2. + оо. 262.2. — --. 263.2. — .
2 1 1 я2 я2
264.2.—. 265.2. — — . 266.2. — . 267.2. — . 268.2. —. 269.2. —2.
270.2. 1. 271.2. 0. 272.2. 1. 273.2. eb%. 274.2. е" . 275.2. 1. 276. 2. #.
а_ _
277. 2. 1. 278.2. 1. 279.2. е W . 2с0.2. — . 281.2. 0. 282.2.—. 283.2. / .
а е
— - —L
284.2. е 2 . 285.2. е П . 286. 2. — оо. 287.2. 1. 288.2. 1. 289.2. -^ .
290.2.—. 291.2. 0. ?92.2. 0. 293.2. Например:
а
!0, — 00 < х < — 4,
0,2, 5 < х < +оо.
333

295,2. а) Хотя lim •— не существует, lim ¦ ¦ - = 1; б) хотя lim ¦
X ~»-\-оо F (X) X - -f 00 Г (Х) х -* + °° ** (Х)
не существует, lim -yj- = | +^Л^И д< i пРедел не существует, если а = 1.
296.2. а) Растет быстрее любой степенной функции; б) растет медленнее любой сте-
степенной функции; в) растет быстрее любой степенной функции; г) растет, как —
д) растет, как Yх\ е) растет, как г, ж) растет быстрее любой степенной функ-
функции; з) растет медленнее любой степенной функции. 297.2. а) Растет, как ех® \
в) растет, как — ех\ ж) растет быстрее, чем еах, но медленнее, чем еха , а > 1;
з) растет, как \пх. 298. 2. а) ~л:^ ; б) растет медленнее любой функции у = ха ,
з_
а < 0; г) ~ х ; д) 1^х; е) при х->+0 убывает быстрее любой степенной функции;
ж) ~1п х. 300. 2. х = 3 — min, у = — 1. 301.2. х = 0 — max, у = 0; * =*
8 4 4
= — — min, _у = 28 ~ . 302. 2. х = 0 — min, j/ = 0; л: = 2 — max, ^ =— .
3 9 е2
303. 2. л: = 0 — min, _у = 0. 304. 2. л: = 2 — max, у == 17, л: == 2 — min, .у =
«—15. 305.2. * = — + 2/гя — max, у = /2; л: = h 2/?я — min, у =>
4 4
= — /Г. 306.2. л; = 0 —min, у = 2. 307.2. jc = — 2, .у =— 1 — min; jc = 2,
j; = 1 — max. 308.2. 0<_x < 2, 3/ = 2 — min. 309.2. x = 0, ^ = 0 — max;
10 100^ /6
* = y. У = — 9- j/ 49 + min; л: = 2, _y = 0--max. 310.2. He сущ. ф-я в
точках ± У4 ±YTi. При х =—2, у = — 1 —max; * = 0, у = 7 — min;
х= 2,^= —1—max. 311.2. * = —3, j/= |/Tf7—max; x=2, ^=--^44 —
— min. 312.2. Функция монотонная, х = 2/?я — точки перегиба. 313.2. Ука-
Указание, x = 0 — точка перегиба. Для исследования поведения у' рассмот-
рассмотреть у", функция не имеет экстремумов. 314.2. х =0, у= 0—min. 315.2. л;=
=0, _у = 0 — min. 316.2. х= ±1, у =1—max; х = 0 ^=0 — min. 317.2. х=
= — 3, _у = — 9 — min; х = 4, _у = 40 — max. 318.2. * = 4, у = 8 — max,
min нет; 319. 2. # = 1, у = 1 — max, min нет. 320.2. х— — , у = 0 —min,
max нет. 321.2. *=4, у= — — min, max нет. 322. 2. — 2<л;< — 1, у =
4
и — 2 — min; х = 1, у = 1 — max. 323. 2. л; = ± 2, j>=13 — max; x ==
«± 1,^=4 — min. 324. 2. * = 0, у = 0 — min; л: = 4, j; = 8 — max.
а л
325.2. х = , у == (а + бJ— min, max — нет. 326.2. х = — — , J/ =
= —-у — min; д: = у , у = у — max. 327.2. j/ = -j-, у = 1 — max,
min нет. 328.2. л;= — , у = — min, max нет. 329.2. х = 0 и 2t у =
334

= 0— min; x = 3,у = >/9 — max. 330.2. х = 0,_у = — — max; х = 1, у =
4
п—\ _J_
0 — min. 331.2. ( ai + -+^an'i \ (fli _ ^^ ^ 336.2. Нет. 337.2. а=
нри У? > cos "f"' при Т < cos Т * 339*2' * e г 4 5' ^ = V т s '
2Р
340.2. у = — 2x4-4. 341.2. Основание окна а= . 342.2. Если
4 + п
р
сделан только круг. 343.2. Пластинка должна иметь форму круга радиуса— .
я
|/" 1
344.4. Боковая сторона наклонена к основанию под углом я — arccos о— *
а У 2*
345.2. х = —J- , где а — длина стороны. 346.2. Отрезок делится в .точке Р
пополам. 347.2. Z ABC = ?АСВ. 348.2. Z АСВ = Z ЛВС =-^=^. 349,2. Бо-
__ у2
ковые стороны наклонены к основанию под углом о • 350.2. а) х = у = R -ъ— ;
б) х = у = i? —g— . 358.2. В точке с абсциссой х= р. 364.2. Длина стороны
з— У 20 2 т/^Г
основания у 20, высота —у . 366. 2. -5- /^. 373.2. Диаметр равен 2 I/ о— •
399.2. а) (—сю, —1), A, + сю) вогнута вверх, (—1, +1) вогнута вниз; в) @, +оо)
вогнута вверх; г) (—1,0), (|/г2,+ оо) вогнута вверх, @, j^2) вогнута вниз;
д) I—-«г-, arcsin— Q—J вогнУт2 вверх, I arcsin — 2—' о/ В0ГНУта вниз.
400.2. В обеих точках вогнута вверх. 401.2. \а\ < 2. 404.2. а= —1,5; 6 =
п
= 4,5. 409.2. е*+6ал;=0. 410.2. — > 2. 413.2. а) *= ±1 вертикальная асим-
q 1
птота, горизонтальных нет, наклонная асимптота _у= 2х+1; б) *=1, ——верти-
——вертикальные асимптоты, горизонтальных асимптот нет, наклонная асимптота у = л; —
— 2; в) # = 0 вертикальная асимптота, у = 0 горизонтальная асимптота; г) х =
=0 вертикальная асимптота, у=х +1 наклонная асимптота; д) х=—1 вертикаль-
вертикальная асимптота, других нет; е)\у = 1 горизонтальная асимптота, других нет; ж) х=
= 0 вертикальная асимптота, у=х-{-2 наклонная асимптота. 414.2. а) *=1 вер-
вертикальная асимптота, у — 2 горизонтальная асимптота; б) а Ф Ь асимптот нет,
а= Ь, у = 1; в) л; = ~, —1 вертикальные асимптоты, у = 0 горизонтальная
асимптота; г) I jvt | > 1, у = Зх —— горизонтальная асимптота; д) у= Ах ——
горизонтальная асимптота при х -> — сю ,у = \х -\ горизонтальная асим-
335

птота при х -+ + оо: е) л: > 0, л: <
2
асимптоты, у — х -\ наклонная
е
2 2
— ; х = 0, л: = — —
асимптота.
428.2.
*2у2
вертикальные
427.2. у (х2 + у2) =
429.2. (х2 +
(а + уJ (Ь1 — у2).
L L ?.
+ у2K = 4а2х2у2 или г = а sin/чр. 430.2. л:3 + у3 = а3 . 431. 2. (х
+ у2) = 2ах3 или г = 2а cos3 ф. 432.2. Дуги двух окружностей:
(* — аJ + (у — аJ = 2а2 при у > 0,
(х — аJ + (у + аJ = 2а2 при у < 0.
433.2. y2=- . 434.2. (x2+y2J=dx (x2—y2). 435.2. Взяв точку Л за начало
координат и линию Л О за ось абсцисс, находим уравнение х4 — 2Rxz -{-R2y2 = 0.
438.2. Взяв за ось абсцисс данный диаметр, получаем: (х2 + у2) (х2 + 2у2
>2д|2 437 2 < === ^ ~"~ ^ '' 4ЧЯ 9 \ ^ == ^ — ^ *
^ * ' " ' v = лП —rns^). оо"*' | у =а — b cost, b< a.
ft D j.
x ==(/? — r) cos —- -|- r cos ^,
y = a(l-
j x = R (cos / + f sin 0 •
le2't y = ~
2, ^
у = (/? — г) sin n — — rsin ——
( +
/?(sin/ —
p2 = a2
O
442.2. a) p2 = a2 sin 2qp при 0 < ф < — , я< ф < —- я; б) р2 = — sin 4ф
Z, Z 2
л л
л л Зя 5я Зя 7я 1
при 0 < ф < —, — < ф <—, я < ф < —-, —-< ф <—; в) —= a (cos3- ф+
42 4 42 4р
; г) р2 = cos4 ф + sin4 ф (ф — любое); д) р2=а2
р
\—$
я Зя 9 а2
— ,я<ф<-—; е)р2= —-— .
2 z cos4 ф+sin4 ф
4ф +Sin4 ф)
(ф — любое); ж) р2
при
a3 cos2 ф + 6a sin3 Ф (Ф - любое). 443.2. а) х =
; B) x ~< +1 V t+ vy = 7Ti V ПП :
a2/
+1
a
444.4.
i. 1
=а3; б) у =
336

a* —
2a ± У а2 — л:2
; в)
2arc tg^-
r)
д)
445.2. а) х= у = 0; б) л; = у = 0. 446.2. а) уг=—tg ~^t: б) y'^ff ~~^,
2 ' ' у 1— 2/3 *
1 2/
ч '_ 1. гч v'_ / ~ 1. если 0 < t < 1, _v ,_ / 1, если / > О,
) у—1, г) у- | lf если _1</<0; д)у- ( _lf если^<0;
453.2. а) /екас = 2, /еНОрм = — ~ ; б) /екас = —==. , /енорм = — 2 /зГ
4б°-2-а) ^=
; б) *-1
точек эк-
тс тс/г тел
стремума нет; д) t = — + — , ^ » — ; е) точек экстремума нет; ж) ф = Ы\
Зтс 9 I-
з) ф = я + 2Ы\ и) ф = —¦ + Зял. 461.2. а) у2 = — (л: — рK; б) (л; + уK —
2 32р
у2-4а2 ф У±Уу*-4а» е)
2а 8а
-(х- у? = 2а^"; г) х = a In У±
ля- ж^ a:2 -I- v2
да, ж) jc + у
="™ а B COS ^ + Cos 2^'
=_ a B sin ^ - sin 2t).
Раздел 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.3.
3#б 13л:4
+
2 __
— 18а:2 — 40х + С. 2.3. — х*/х — Ах
7
31п | х| —
— 6^= — = + С- 3<3- —
у х у х
4
— — — +С. 5.3.
2 2а:
qi.iL
+ /25 + а:2 | + 4arcsin —+С. 6.3.—^—^ п + С. 7.3. а2А:~-т а3 а:3
5 л— 1 5
LL
LL
2а2 ^2 -
Li
o_LL
~а 2 х2
о
9.3. ^ arctg * /{ + С. 10.3. Ц. Ш |, + |Л- + 1
11.3. — —
о
. 12.3. х——th 7a: + С. 13.3.
"(г
+ с.
зх
ta7
337

9л:2 11 3 хъ
16.3. — + — In | * — 2 | + — In | л:+2 | +C. 17.3. — —2*+101n (*2+4*+ 5) —
— 10 arctg (a:+ 2) +C. 18.3. — ctg x — x + C. 19.3. 2 sin x + С 20.3. sin* —
B 4- 3*I5 1
— cos* + C. 21.3. tg* — ctg* + C. 22.3. ' + C. 23.3. — —In |7 —
45 9
— 9* | + C. 24.3. — — cos E* — 2) + C. 25.3. — sin кх + С. 26.3. — tg 6*+
5 71 6
+ С. 27.3. — — ctg (9x + 1) + С 28.3. — — ctg 3a: + x + C. 29.3. In | x — 2| —
У «3
1 2л: +1 1
— In | * — 1 | + С. 30.3. — arctg —— + C. 31.3. — [In | 3* + 5 | — In | 1 —
— 3a- I ] + C. 32.3. In | x — — + Vx2 — 3a- + 2 | + C. 33.3. In | x — 1 +
^ io
+ }/*a _ 2x + 5 | + C. 34.3. arcsin ——+C. 35.3.
4
+C. 36.3. C— arcsin — . 37.3. — f arctg x — —— ) + C. 38.3. — lnC + 4ex) +
a: 2 \ *2 + 1/ 4
1 3 - 3 -
+C. 39.3. — In | tg jc | + C. 40.3. — sin3 2a-+ С 41.3. — (arctgл:K + С.
2 ID 4
2 I
42.3. — (arcsin xf + C. 43.3. In | arctgx\ + C. 44.3. In | arcsinx\+C.
45.3. — l- + С 46.3. — —^— + С 47.3. -^ (e2j: + 5L + C.
4 arc sin2 2a- ^ 4 In4 x r 8 v ] '
1 1 о , , ,
48.3.— e'X2 + C. 49.3. — earc ^ 3* + C. 50.3. ел;"+А:+1 + С. 51.3. gte * + С.
52.3. — cos (ex) + С 53.3. — sin (Sex + 1) + С 54.3. — ctg (In a-) + C.
3
55.3. — tg (a:2 + 1) + С 56.3. — cos D — a-2) + С 57.3. l— + C. 58.3.
— — in | cos 4a: I + C. 59.3. — cth (In x) + С = *\ + С 60.3. sh (tg x) + C.
61.3. — In (e2x + e-2X) + С 62.3. — In | sin 4x + 2 cos 2* | +C. 63.3. In |sin3 *+
+ cos3 x | + C. 64.3. — In |1 +2 sin a: | + C. 65.3 — Ki+2cosa: + C.
66.3. l/xa + 1 + In (a- + ]/"*2 + l) + С 67.3. — arctg — + C.
2a a
1 A? 1 i /- j
68.3. — arctg — + C. 69.3. — In | х* + У х* + a \ + C. 70.3. arctg (**) + С
71.3. — In
2
+ С 72.3. arcsin — + C. 73.3. — F (arctg exf + C.
2 ' 3
74.3. 2/^ +C. 75.3. ^-/(lnUDe -6 Kin |*| +C. 77.3. агс*ш У +
о in ^
1 2л2 1
+ С. 78.3. — б + С. 79,3. cos— + С. 80.3. In | In (In * ) I + С
338

81.3. — >^1 —sin 2л:+ С. 82.3. — 4 V ctS3х + с- 83.3. — — C2+8л:-|-
2, 3 15
. ЗлгЗ) У2^х + С. 84.3. In У1+е*-~1 +с 853< ~ У + 2^^ +
Vl A-ex+l 5 L
cos2 л:. 87.3. —ZZZZZ" + С.
88.3. + С. 89.3. У а2— х2 + а arcsin —-. Указание. При-
Применить подстановку x = acos2t. 90.3. — У а2+х2 —— \п[х+ YФ-\-xl)-\*
+С. Указание. Применить подстановку х = a sh ( или л: = a ch t. 93.3. х In x—
— л; + С. 94.3. a; In2 х — 2х\ъх + 2х + С. 95.3. jc arcsin х + V"l — *2 + с-
96.3. л: arcsin2 л: + 2 1^1 — л:2 arcsin х — 2л; + с- 97.3. л; arctg л: —
— — 1п A +*2)+ С. 98.3. х — /1-х2 arcsin jc + С.
99.3. j arctg 4x - ^ + — In J^ + -J + С. 100.3. j arcsin 2л: +
+ (i) У
У i™*2 + с-101-3- ~ Чг V ""Т(cos 2* ¦ sin 2л:)
/ З
In (х + К^2 + 4j — Vx2 + 4 + С. 103.3. (— — х2
2 / 2 х
105.3. — Кх3 I In |*1 — — j + С. 106.3. A — In | cos л: | ) cos x + G.
107.3. 4 У2 + jc — 2 K2 — x arcsin ~+C. 108.3. C—Va2— x2 arccos — — ».
2 a
109.3. — \ { ~A2 h ctg x ) + С 110.3. л; In (x + Va2+ x2) — Va2+ л:2+
J ^ Sin X
A2
^ Sin X
X
+C. 111.3. —3e 3 (x3+9a;2+54x+162)+C. 112.3. — ~ (л;2 — 2^+ 3) cos 2x +
+ —(л:—l)sin2A;+—cos2a:+C. 113.3. B1—10л:2+л:4) sin x— B0л:—4л^) cosa: + С.
e3 е2
115.3. — (sin 2л: — 5 cos 2л:) + С. 116.3. —B — sin 2л: — cos 2л:) + С. Ука-
13 8
1 — cos 2х х3
8 ан ие. Представить sin2* как . 117.3. — + ех [х cos х — A —
~^)sinA;]+ — е2Х + ~ е*х (cos2x+sln2x)+C. Ш.Ъ. /~ 1п2д:— ~ In x +
ЗЭ9

+ —) cos 2x + |~- — |- + -M sin 2x + С; в) (x + 4) cos x + (x2 + Sx) sin x
) cos 2x + |~- | +
^-X e2X
r) T- [ — 11 cos 2x + 2 sin 2*] + С; д) — [ A3*+17) cos 3* + F5x+7) sin3A:] +
о 1оУ
+ С. 122.3. x arctg x — -~ In A + л:2) — — (arctg xf + C. 123.3. * ^^ * +
2 2 V\&
— In I 1-х21 + C. 124.3.
cin3
cos x sin'2 x n — 1
cos x sin3 x 3 sin 2a: cos x sin4 x 4
— —— ; /5 = — — — cos x sin2 *
4 16 5 15
— - cos*; 6) /я = —**;
+ 10 . 9 • 8 ..... 2x + 10 . 9 ..... 1). 125.3. а)
35
+ -c
35 sin л:
—^ + C; 6)
+ 10 • 9^8 + ... +
\ cos7 x + ~ cos6 x +
j_ 6
4 8
b) -¦
5
cos*
35 1 35 sin л: Г 4 81
+ - cos ^j+—^ + C; 6) — ^cos** + -cos«* + -J
Г . 5 15 I 'l5 cos л: Г
sin5 x + — sin3- x + — sin л: + — л; + С; г) — —z— sin6
L ^ J ^^ L
^| + C. 126.3. a)
5J
+ ^
15
в)
r)
_1 5 J5_:
48 (a:2+ 8) [ (x2 + 8J + 32 (x2+ 8) + 512 j
Ji
20 (*2— 5)|_20 x2 — 5j "*" 2000
In
1 x+1 5 *—2
128.3. a) —In +— In +C. 129.3. a)
3 x—1 12 *+2
—^-. 131.3. a) \ In *' 1
>]/2
325 ""° 4
+C. 127.3. а)л:2+1п-
-. 130.3. a) 31n-
11
8
"••"• 2 (*-2J x-2v
133.3. — In | x — 3 | — — In | * — 1 | + -f In (x2 + 4* + 5) + — arc tg (x
——-+ln]/"*2+*+l - —:; arc tg -7=-
+ 2) +С 134.3. — ¦
-ln(* —2) + C. 135.3.
За:
4(*2+ 1) \ 2 x* + l
К
7 arc tg x + C.
4л:2 (a: + 2) 8 "' л: + 2
l^ + l+t
136.3.
+ —^-z_ arc tg ^L—A + c< 139>3>
137.3.
'. 138.3.
л: — л:2
1
|/"C< + IJ +C. 140.3. C
1 in
2
M \+C.
340

142.3.
L L
3(x + IK ~2(x+ IJ + ^-
Г L]
[l + A + xf J —
- у A+ *N + 3 In [l + A + xf J — 6 arc tg A + %N + С 144.3. С —
Vn
2 Bх + 1)
5 [i+x-
+ 1— 2х+ 2]/ х A + *)
.2х — 2ух{\ + х)
+ С 147.3. - (x +
+ 5) V& + 2x + 2 — -^ In U + 1
2
- f * + у) "^^ +2x+ 2 + |- In
1 дс + 6 +
+ 2х + 2 I +C. 148.3. ( ~ х3 —
- К*2 + 2х + 2 |+С. 149.3. С—
l/"l — л:2
3 — 3 — 1
152.3. — — cos3 х + — cos3 л: + С. 153.3. cos x 4 + С. 154.3. С -f
5 11 cos л:
1 /sin 4л: . \ 1 1/
16 \ 2 /' * 3 2 \
_ i!5j?\ +c. 158.3. - JL i^L + cos ,) + C. 159.3. In
7 / 2 \ 5 /
tg
tg
1
X
~2
— 3
+ C. 160.3. —In
162.3. — У In
itg3 f
2 (sinf ~cos f)
Я — X
+ C. 163.3. 4
+ 3 cos x | + С 165.3.
— tg4 —
4 ё 2
2 2
tgf+2
+С. 164.3. ln|2siru+
1
¦С. 166.3.
3 cos3 x
1 3
+ С. 167.3. cos л:—2 arctg(cos х)+С. 168.3. — — In (cos2 x+cos x+i)
1 1 КЗ Г А 2 cos л: —. 1 , 2 cos л: +1
4- —In (cos2 л: —cos x+ 1) + arctg = —arctg ¦
4 6 [ /3 _ VT л
169.3. С + arctg (tg л:-2). 170.3. —l— arctg j "I/- tg* j +C. 171.3. C —
341

8 t?4x 3tg x
— arctg(cos20. 172.3. — 8 ctg 2x — — ctg3 2x + С 173.3.-^— + -^— —
ctg2 a: 1 1
¦p- —^— + 3 In | tg x | + C. 174.3. - +C. 175.3. — — sin3 x — sin x +
2 cos x о
ln
1+tg-
cos4 x 4
+ С 176.3. — + — sin3 x — 4 sin x + C. 177.3.
sin* 3
:. 178.3.
1
2 cos2 x
ln|tgx|+C. 179.3.
16
1
14 4
4 10
— —cos 3 x + —cos 3 x — — cos3 x + С 180.3. 4 4/tg x + C. 181.3. — e* И
4 5 16
+ In — —+ C. 182.3. x — In B + ex + 2 Ve2x + x + l) + С 183.3.
*я) _ 2 /l + x2 In (x + V\ + x2) + 2x + С 184.3.
-+C. 186.3. (x — l)arctg-
- — (# + 3x4 + 6x2 + 6) + C. 185.3. ^ i
+ |[ln(x-lJ + l] + C. 187.3. ln^y-^-
3 1 1
+ —shxchx+ -ch3x + C. 189.3. — ch3 x — ch x + C. 190.3.
8 4 3
2 /5"
188.3. 4
8
5
192.3. —
- arctg (e* yT") + С. 191.3.-Лг In (chx+ Л ch2 x — ~ I
/2 V V 2 /
_1^1± +lnch
:. 193.3.
+ c.
arctg
С 194.3. — earcsin;
1
1
x3
+ — Bx2 + 2x — 5) ch 2x + С 196.3.— In
4 3
197.3. ^- +C. 198.3. arccos — —
. c. 195.3. — — Bx + 1) sh 2x ¦
4
v2 1
l±x
lnx
1-Х
+ C. 199.3.
7+7'п|1-;
— 5x + 20x — 60x 3
]/"x2 —
г 1
— IZUJ -j- С ZUl.o.
m + 1 m
cos —-— к sin — к
2n 2n
sin —
2/2
203.3. 73,5 At. 204.3. — . Указание. Разбить боковую грань гори-
горизонталями на п прямоугольников и считать, что давление на такой прямоугольник
равно весу столба воды, опирающегося на этот прямоугольник, а высоту столба
принять равной глубине погружения верхнего (или нижнего) края прямо-
Ь i — 1
угольника. Давление Р; на t-й прямоугольник равно Pt = — а • .
п п
тс / тс 2тс (П_2)тс
205.3. Указание. Учесть, что — sin — + sin — + ... + sin +
л V л п п
342

тс
sin —
(п ___ 1) ти \ тс п тса5 /1 1 \
+ sin- — == 206.3. — . 207.3. к --- •
п п f7c 5 \а b I
2 sin2 —
2n
k(bx—a*) 2Ab 210—1 ekb — eka
208.3.— -. 209.3. . 210.3. a) 1; 6) In 2; в) ——-; г) ; ;
4 тс In 2 k
д) —; e) 1; ж) aea—ea-\- 1. Указание. Разбить отрезок [0; а] на равные части;
4
1 1
з) — — —. Указание. Положить Ъ = у х* xi + 1 (i = О, 1, ..., п);
a b
In &J—(In aJ
и) —i i т Указание. Разбить отрезок [а; Ь] на части точками, обра-
255 К
зующими геометрическую прогрессию. 211.3. __. 213.3. а) —</<
2к Аи гъ — 1 е3 — 1
е) —</<—; ж) < / < .
9 9 2е4 е4
к -ж / А.
—¦ у 2;
214.3. в) Указание. Очевидно, что У 1— х2 < У \—х2П < 1 при п >\.
Отсюда 1 < —zzzzzr < — ; г) при 0 < х < 1 справедливо неравенство
/1_х2л у \—х2
4 — я2>4 — х2 — *3>4 — 2х2. 216.3. а) Первый; б) второй; в) первый;
г) второй; д) первый.
я
219.3. а) 1 < / < —~^\ б) ^-~ < / < е — 1; в) 1 < / < е4 ; г) arctg e2 +
тс V2~ 1 3 3 УТ ог—
+ —< / < 2arctge2. 222.3. аI </ < —; б)— < / < ; в) 2 у 12 <
4 16 __ 8 4 4
рЗ т v^2~ 0 125
< / < 2 V 12 + тс; г) < / < (е3 — 1). 223.3. а) 0,5 — < / <
< 0,8 Г|@,64)« - jj @,64)* + ^@,64)в ] ; в) 0,8 |j @,512)»- ~ @,512)*] <
< /< 0,8 Jy @,512J - ^@,512L + ± @,512)» ] . 224.3. а) |< / < |;
16 72'
9 *~ 313
б) — < / < —. 227.3. а) 0,152 < / < 0,182; б) 0,945 < / < 1,265, 1,026 <
35 945
< / < 1,187; в) 0,715 < / < 0,778. 228.3. 0,141 < / < 0,193. 229.3. а) б <
1111 _1_ eln2t
3600' 3000' 100' 20000* 2719 * ' In t
1 cos x 1 1 sin Ух"
235.3. — — 15 In 3. 236.3. a) \nx; 6) z: + —cos—; в) . 237.3.
t2
— , 238.3. — t2. 239.3. a) 1; 6) 1. 240.3. minimum при x = 1, точки перегиба:
In*
343

4
*!=—, *2 = 2. 241.3. jc = l(max), х = — 2(min). 242.3- а) /г = e*\ 6) k ¦
о
i _l /2 cos a;
-. 243.3. — . 244.3. — 2. 246.3. F (x; 6) =
з у
Iх'' если I x 1 > б,
a;2 + б2 При б < 0,002 имеем: | F (x; 6) — |jc| | < 0,001.
^7 t если | x | < 6.
i — 1, x<— 6,
147,3. F(*; 6) = i T, - 6 < x< 6, 249.3. a) -; 6) -G \Г \ - 12); в) ~,
¦ о 6 32 4
I 1, x > 6. _
тс 80/3 тс
r) 1—cosl; д) th (In3)—th Aп2); е) —; ж) ; з) ¦-; и) 1п(е+1). 250.3. 1.
тс
cos х при 0 < х < —,
, 1 + cos 2x
151.3. а) 2. Указание. |/ —'— = | cos x |
тс
—cos х при— <*< тс;
1 / ts х \
б) 1. 252.3. а) Функция —— arctg —— , играющая роль первообразной, раз-
/2 \/2 / 1
рывна при 0 < х < 2я; б) функция arctg — разрывна при х = 0.
х
253.3. а) "А б) In 2МШ. в) у*- А= +
» / /-— » / г г~—~ 1 /-——
_3 1 + /5 _ /3 1 + /2
3/3" /3 я тс
тс 4 я я
к} In 2; л) ; м) In—, н) —; о)— . Указание. Применить
; 2/1+ а2 3 4 12
тс2 \
подстановку х2 = a2 cos2 t + b2 sin2 t\ n) --; p) J [f (arcsin 0 —
^ TC2
, f (тс — arcsin 01 dt + J / Bw + arcsin 0 — / (тс — arcsin f)] dt. 257.3. — .
Указание. Сделать подстановку х = я — t. 259.3. а) Нет; б) нет;
в) нет; г) да; д) нет; е) нет. 261.3. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0.
2бб.з. a) y -1; б) 7"~1; Б) а2 {}Г? ~~ln A + )/г~)]; г) 10 ln 2 - 7;
,_ 1 тс (9 — 4/3") 1 3
д) 1С/2 ~4; е) In 2 - — з) ^—— ^+~-1п--; и) к* - бгс; к) 2в-
15 In 2 тс2 тс тс In 2 ти , .—,
~5; л) ^6-iT; м) 7 ~2; н) Г2; 0)— •п) а; р) 1; с) 1 {1 + уз);
тк
cos—
т) 0; у) - —; ф) ^.(-1)л-1. 267.3. (т — 1) 1 (п — 1) ! 2б3^ /^ =
m 4- 1 4/1 (т + п — 1)!
344

(m — 1) (m — 3)... 4» 2
при m нечетном,
(m + n) (m + л — 2) ... (n + 3) (л + 1)
(Л — l) (Л — 3) ... 3 • 1 (m — 1) (m — 3)... 3 . 1 ic
—; ;—-¦ ; — ; —— — при тип четных. 269.3. 0.
(m + n) (m + л — 2) (m + n — 4)... 4 • 2 2
л! 2 к 3
2713 2773 12 2783 2793
270.3.
271.3.
к 3
. 271.3. . 277.3. 1п2. 278.3. —. 279.3. —. 280.3. 2.
Bл + 1)!! 2л + 1 4 4
тс 1 1 4
281.3. — 282.3. —. 283.3. —. 284.3. 2. 285.3. —. 286.3. а) « 0,3648;
6H; в) а; г) 0,283; д) 6—; е) —; ж) —; з) 10; и) — cos ф. 288.3. ~~ C°S * "
3 2 8 2
тссь
289.3. ф = 2
тс т:а V2~ к
== — + 2/ггс. 290.3. ф = 2kn ± arccos - +—,
2 4 4
'4-тс
xVT
Vi
4—. 291.3. a) gx =—f ?2=2; 6) ? = - arctg 1/ ;
в) g = arccos tt^i; г) In ? = ¦. 292.3. а)—; б) Ц/ —; в) —;
б2 Ч~ 1 ^ъ г 9 к
тс — 1 тс — 2 4т: — 8 nb In b — In a
г) Л/ ; д) ; е) arccos . 293.3. —. 294.3. .
тс+ 2 2 к2 4 Ь — а
4R 12 12
295.3. —. 296.3. Ь. 299.3. 4—. 300.3. 10—. 301.3. 5—. 302.3. 2—. 303.3. 9,9-
тс 2 3 3 15
— 8,1 lge« 6,38. 304.3. ~. 305.3. 9. 306.3. 2—. 307.3. 3—.
я 88 / 5 _ 2 ,
308.3. . 309.3. —У2 р2. 310.3. —/2 —— .
УАС-В2 15 \q
312.3, л: = a ch
a sh —.
а2
313.3. ¦- 1пЗ. 314.3.
+ — In
4
321.3. 4-^-. 322.3. 5Х =
. 316.3. - 317.3. —. 318.3. я. 319.3. е-—.
3 15 6
, 52=
-. 323.3. 16. 324.3. аЬ [2 Кз -
— 1п
5,/-
327.3. —|/2 . 328.3.
325.3.
т—- л
+4» 52 = 6л — —. 326.3. — .
о 3 15
т + п
т + л
, если тип оба четны; 2
+ л
если т и п оба нечетны;
т — л
, если тип разной четности. 329.3. nab.
330.3. бля2. 331.3 — УЗ. 332.3. '-^ 333.3. а2 I — +1—
335.3. лу 2. Указание. Перейти к полярным координатам.
336.3. — яа2. 337.3. -- (а2 + Ь2). 338.3. я (б2 + 2а6). 339.3. — па*. 340.3. ^.
L2
4
345

ла2 4
Указание. Ввести параметр t, положив у = a sin t. 341.3. —• 342.3. — а3.
343.3. — —— arctg—. 344.3. а2. 345.3. ~У~3 а2. 346.3. — а2. 347.3. а2 (-л—
\ 17л а2 2
— КЗ). 343.3. •. 3493. — (л — 1). 350.3. а2. 351.3. — /?з tg а.
352.3. — nabc. 353.3. — аб2. 354.3. а) 12л; б) 58—л; в) 72л. 355.3. — [ Bа+
16 2 / 4\ 128 а3л
+a')b+(a+2a')b']. 357.3. —. 358.3. — л — — . 359.3. . 361.3. — (е2+
3 3 \ 3/ 105 4
4 ла3 256 nb9
+ 4 — е~2). 362.3. — л. 363.3. — A5 — 16 In 2). 364.3. -.
о ^ о 1 о а
365.3. л(— — 2). 366.3. — (е2 —1). 367.3. 8л ]/з. 368.3. 2л \R2l — — —
\4 / 4 L 3
/1 Г /3
sin — , если сегмент меньше полукруга; 2л R2l — — —
R 1 L 3
— Я2 Ук2 — /2 arcsin — + л/?2 У #2 — /2 , если сегмент больше полукруга.
512 л 4nb[bs a2c Ь + с
369.3. —л. 370.3. — (е4 — 1). 371.3. 2л2/?3. 372.3. — + — In —!—¦ —
Ьс2Л 4nb\b* аЧ с Ьс2Л 32 8
— -— . 373.3. \—Л arccos—+ — . 374.3 —ла3. 375.3. — ла3,
2 J а [ 3 2 а 2 J 105 3
п2сР 16 16лс^ 4
376.3. . 377.3. 6л3а3 378.3. — ла^2. 379.3. -. 381.3. ка3.
ла3 ла^ Г-1 /— / -ш /—\ 2  к2с^ я2а3
382.3.—. 383.3. — У 2 In A+K2)-- . 384.3. ——. 385.3. —-=.
15 4 [ 3J 4 2|/2
387.3. . 388.3. У 6 1п(У2+Уз). 389.3. —. 390.3. 4Уз*
27 27
391.3. In [е +Уе2 — 1 ). 392.3. — In 3.
2
393.3. е—\. 394.3. In ^—. 395.3. 2. 396.3. 10 ( — +Уъ \
sha \ 27 /
397.3.2^-^ i-+?L-L-? 398.3. In- —. 399.3.4. 400.3. 4/з.
\ 27 4 / еа — е'а
4 (а3 — б3) л3- 2л / 2л У^
401.3. — —. 402.3. —. 403.3. При t = ¦—, л: = а —— -—
ab 3 3 \ 3 2
у=—. 404.3. 6а. 405.3. 2 (в — 1). 406.3. 16а. 407.3. 2ал2.
408.3. 2г ^ 1 + 3 cos2 ^ — )/7 In [УТ cos / + )/" 1 + 3cos2/ )- 2 +
+ VTln B+ Уз). 409 3. 16а. 410.3. — + In —. 411.3.
346

412.3. 2аУг |yi+3cos!jP?__ УН-Зая»^ ^КЗсоз qyfl/l+3 cos*
cosq>2 К A
413.8. 2a[V? + ln(VT+l)].414.S.-j-л 415.3. p [VI + In (l+VT)].
О
416.3. !*L 417.3. ®=, 418.3. 2 ]Л?Т^ + -^ In "+ V *
3 3 я 2a
419.3. 2rcD + 3 In 3). 420.3. Зл. 421.3. ~. 422.3. —^ 423.3. — (e— 1)
z о о
+ 4). 424.3. — л. 425.3. 2n 2 [ en — 2). 426.3. ^-я. 427.3. 29,6я.
3 5 5
428.3.3л. 429.3. 4л2г2. 430.3. 2яя2]/Т. 432.3. 4л2а#. 433.3. 324. 434.3. — bh\
6
1 Y2#2S
435.3. abdnh. 436.3. 11333—. 438.3. nrdh2. 439.3. я/?2Я2. 441.3. -1 , у—
удельный вес дерева. 442.3. ^——. 443.3. 0,18 кем. 444.3. — ^2со2. У к а-
о 5
зание. Количество необходимой работы равно запасу кинетической энергия.
445.3. mg ~^т. 446.3. -^ Mi?2co2. 447.3. i- яТ?3 [R + (d - 1) Я],
к + Л о о
448.3. L /га2 V^oc2" . 449.3. —. 450.3. — In ( —-— ); h = — \ bL — (а —
7 а о\а — до/ 62|_
- W,) In —5—1. 451.3. в =602~Ш0'. 452.3. с In -^—. 453.3. -^-.
а —Ых\ Я — п nab
454.3. а*(б —-). 455.3. Мх=Му=\. 456.3. М^ = 1 E j/T — l), My =-
= — У"Ъ + — In B + Кб"). 457.3. М^ = УТ + In (l + 1/7). 458.3. / -
8 16
= —. 459.3. / = 5 . 460.3. / = — ЬИ*. 461.3.
12* 16 12 2
aVra2+ b2 3 я 4 1
— — .462.3. Мх=Му =~а2. 463.3. —+ —. 464.3. — а3 (ф —
1 4 лаб2 пФЬ 1 /27
-18,п2ф). 465.3. _«,. 466.8.—. —. 468.3. ^-^^(j-
J0 а sin а 9
= ^-3C + 21п2)- т3- *'-—• *' = °- 4^ ^-"-5о *
471.3. ,с=0; ус=|. 472.3. ,с=^^, Ус = Jffg-. 473.3. ,с -
8 4 4 5
= ^—» Ус — —• 474.3. хс = па, ус — -— а. 475.3. хс = яа, ус — — а.
on я 3 6
347

о 2я я 2jt я
а 2е +е а е ¦— 2<? 4а 64Ж
-У'-Т Г--479.3. ,с = 0, ус~з ~. 480.3. улА
481.3. л#/, — я/?2#. 484.3. 2л/ (itd ± 2г), где г — радиус полуокружности,
знак (+) соответствует случаю а) и знак (—) — случаю б). 486.3. — 1п2.
488.3. In A + |/"f). 489.3. 1. 490.3. -^-. 491.3. я. 492.3. — — 1.
8 2
я
493.3. —. 494.3. 16. 496.3. а) Сходится; б) расходится; в) сходится; г) сходится.
6
497.3. При к < — 1 сходится, при к > — 1 расходится. 498.3. При к > 1
о
сходится, при к < 1 [асходится. 499.3. 6. 500.3. ~- |/25. 503.3. 2)/1п2.
604.3. 14—. 505.3. я. 506.3. —. 507.3. -—:=J-p- —-, если л = 2Aj; если
/ & \JLRtf И <и
л ==2/г+ 1. 508.3. —. 509.3. — — In 2. 510.3. При к < 1 сходится, при
/г > 1 расходится. 511.3. Расходится. 512.3. Расходится. 513.3. Сходится при
р > — 1 и ? > — 1. 514.3. Сходится при р > 1 и q < 1. 516.3. Расходится.
я
617.3. Сходится при р < 1 и расходится при р > 1. 520.3. а) —; б) 2я.
я2
52L3. — 522.3. Зяа2. 523.3. 2я2а3. 528.3. 8 — 2 J/TT. 529.3. 26. 533.3. а) 156}
б) -. 534.3. а) *' *! ; б) 9 . 1* + 90 . 2^ + 900 . & + 9000
9 (/с!|л!)

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
РАЗДЕЛ 1
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава 1. Понятие функции
§ 1. Вещественные числа $
| 2. Абсолютная величина вещественного числа 9
§ 3. Функция одного переменного 11
§ 4. Область существования (область определения) функции 22
§ 5. Обратная функция 33
Глава 2. Графики
6. Элементарное исследование функции 34
7. Графики функций 44
Глава 3. Числовые последовательности и теория пределов
8. Числовые последовательности , 60
9. Предел числовой последовательности , . 67
10. Предел функций. Бесконечно большие функции 79
11. Техника нахождения пределов функций 82
12. Функции, заданные как пределы 94
Глава 4. Непрерывность функции
§ 13. Непрерывность и точка разрыва функций 96
§ 14. Свойства непрерывных функций 106
§ 15. Равномерная непрерывность функций 111
РАЗДЕЛ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 1. Производные функций
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной 116
§ ,2. Вычисление производных 119
§ 3. Дифференцируемость функций 126
§ 4. Различные приложения производной 132
Глава 2. Дифференциал функции
§ 5. Дифференциал функции 138
§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков 140
Глава 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
§ 7. Теоремы о средних значениях функции 146
§ 8. Правила Лопиталя 157
349

Глава 4. Исследование функции и построение графиков
§ 9. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 161
§ 10. Направление вогнутости кривой. Точки перегиба 172
§11. Асимптоты кривой 174
§ 12. Построение графиков функции 177
§ 13. Кривые на плоскости 188
РАЗДЕЛ 3
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 1. Неопределенный интеграл. Основные способы интегрирования
§ 1. Интегрирование путем разложения 198
§ 2. Интегрирование путем подстановки 202
§ 3, Интегрирование по частям 208
Глава 2. Основные классы интегрируемых функций
§ 4. Интегрирование рациональных дробей 216
§ 5. Интегрирование простейших алгебраических иррациональностей 220
§ 6. Интегрирование функций вида R (х, )^ал:2+&л;+с) 222
§ 7. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций 226
§ 8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 230
Глава 3. Определенный интеграл
§ 9. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Непосред,
ственное вычисление определенных интегралов 232
§ 10. Основные свойства определенных интегралов 239
§ 11. Вычисление определенных интегралов с помощью первообразных 253
§ 12. Замена переменной в определенном интеграле 256
§ 13. Интегрирование по частям. Некоторые рекуррентные формулы 264
Глава 4. Приложения определенного интеграла
§ 14. Вычисление пределов с помощью определенных интегралов . . . 269
§ 15. Вычисление средних значений функции с помощью определенного
интеграла 270
§ 16. Вычисление площадей фигур 274
§ 17. Вычисление объемов тел t 280
§ 18. Вычисление длины дуги плоской кривой 286
§ 19. Вычисление площади поверхности вращения 290
Глава 5. Приложение определенных интегралов к вопросам механики,
физики, техники
§ 20. Вычисление давления, механической работы и других физических
величин 292
§ 21. Вычисление статических моментов и моментов инерции 296
§ 22. Определение координат центров тяжести простых кривых, фигур и
пространственных тел. Теоремы Гульдена 298
Глава 6. Несобственные интегралы
§ 23. Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных
функций 304
§ 24. Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций 307
§ 25. Геометрические и механические задачи, в которых встречаются
несобственные интегралы 310
§ 26. Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса ... 313
Ответы 318

Наум Яковлевич Виленкин,
Константин Алексеевич Бохан,
Исаак Абрамович Марон,
Иван Васильевич Матвеев,
Марк Львович Смолянский,
Анатолий Тихонович Цветков
ЗАДАЧНИК
ПО КУРСУ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Редактор В. Г. Долгополое
Художник И. Н. Вахлин
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Л. Я- Медведев
Корректоры Н. Иг Новикова, J1*. П*. Михеева
Сдано в набор 26/VI-197O г. Подписано к
29/VI.1971 г. 60X907ie. Бумага типографская
Печ. л. 22,0. Уч.-изд. л. 18,99, Тираж 85 тыс.
(План 1971 г.-21). А-08606.
Издательство «Просвещение» Комитета по п
Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд
рощи, 41. Заказ № 5901.
Отпечатано с готовых матриц типографией им.
Смолоблуправления по печати.
г. Смоленск, проспект Ю. Гагарина, 2.
Цена без переплета 53 коп., переплет 10 коп.

Сдано в набор 26/VI-1970 г. Подписано к печати
29/VI.1971 г. 60X907ie. Бумага типографская № 2.
Печ. л. 22,0. Уч.-изд. л. 18,99, Тираж 85 тыс. экз.
(План 1971 г.—21). А—08606.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при
Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41. Заказ № 5901.
Отпечатано с готовых матриц типографией им. Смирнова
Смолоблуправления по печати.
г. Смоленск, проспект Ю. Гагарина, 2.
Цена без переплета 53 коп., переплет 10 коп.