Автор: Тимашев А.Н.
Теги: математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 978-5-9912-0546-7
Год: 2016
Текст
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Тимашев А. Н.
Тимашев А. Н.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Изложен современный курс математического анализа, предна-
значенный для изучения на механико-математических и физикомате-
матических факультетах университетов и других вузов с повышенной
математической подготовкой.
Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обуча-
ющихся по техническим специальностям, может быть полезно
специалистам.
Сайт издательства:
www.techbook.ru
Тимашев А. Н
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Рекомендовано федеральным государственным казенным
образовательным учреждением высшего профессионального образования
"Академия Федеральной службы безопасности Российской Федерации"
в качестве учебного пособия для студентов (слушателей) высших учебных
заведений, обучающихся поукрупненной группе направлений подготовки
и специальностей 10.00.00 «Информационная безопасность»
Москва
Горячая линия - Телеком
2016
УДК. 517(075.8)
ББК 22.16
Т41
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, с.н.с. А. Л1. Шойтов-.
доктор физ.-мат. наук, доцент Ф. К. Алиев
Тимашев А. Н.
Т41 Математический анализ. Учебное пособие для вузов. -
М.: Горячая линия - Телеком, 2016. - 552 с.: ил.
ISBN 978-5-9912-0546-7.
Изложен современный курс математического анализа, предна-
значенный для изучения на механико-математических и физико-
математических факультетах университетов и других вузов с повы-
шенной математической подготовкой.
Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обучаю-
щихся по техническим специальностям.
ББК 22.16
Адрес издательства в Интернет ИТПР TECHBOOK.RU
Учебное издание
Тимашев Александр Николаевич
Математический анализ
Учебное пособие для вузов
Редактор Ю. Н. Чернышов
Компьютерная верстка Ю. Н. Чернышова
Обложка художника В. Г. Ситникова
Издание осуществлено при финансовой поддержке Федерального агентства
по печати и .массовый коммуникациям в рамках Федеральной целевой программы
«Культура России (2012 2018 годы)
Г1одшк'<шо в печать Щ 08.2010 Печаыофсешая Формат 60x88 16
5ч ПЛ1 л 31.5 Тираж 1000 «к» Изд V 160-546
ООО «Нах чно-техническое и яательс:во «1 орячая линия Гелском*
ISBN 978-5-9912-0546-7 © А. Н. Тимашев. 2016
© Издательство «Горячая линия - Телеком». 2016
Предисловие
В науке нет широкой столбовой до-
роги. и только тот может достичь её
сияющих вершин, кто, не страшась
усталости, карабкается вверх по её
каменистым тропам.
К. Маркс
Книга представляет собой обработанные и несколько расширен-
ные записи лекций по курсу математического анализа, которые ав-
тор многие годы читал на факультете прикладной математики Ин-
ститута криптографии, связи и информатики. По форме изложе-
ния — это нечто среднее между учебником и конспектом лекций.
Автор стремился «соединить доступность изложения, свойственную
учебнику, с краткостью конспекта» [1; с. 5]. Насколько ему это уда-
лось — пусть судит читатель.
Объем материала соответствует программе курса анализа, чита-
емого в течение первых двух лет обучения на механико-математиче-
ских и физико-математических факультетах университетов и других
вузов с повышенной математической подготовкой (с некоторыми до-
бавлениями), за исключением следующих разделов: кратные интег-
ралы, метрические и топологические пространства, криволинейные
интегралы, дифференциальные формы и элементы теории поля. Те-
му «Кратные интегралы» целесообразно рассматривать в курсе «Те-
ория меры и интеграла», так что практикуемое в курсе анализа изло-
жение теории кратных интегралов Римана не вызвано существенной
необходимостью (хотя простейшие типы таких интегралов рассмат-
риваются в книге). Излагаемые обычно в анализе элементы теории
метрических и топологических пространств до некоторой степени
«повисают в воздухе», поскольку в курсе анализа почти нет приме-
ров метрических пространств с метрикой, отличной от евклидовой
(исключение составляет пространство , а также некоторые экзо-
тические примеры), так что для нужд анализа, как правило, вполне
достаточно теории конечномерных евклидовых пространств над по-
лем вещественных чисел. То же справедливо и в отношении топо-
логических пространств, так как при рассмотрении этих вопросов в
курсе анализа не изучаются топологические пространства, не явля-
ющиеся метризуемыми. существование которых как раз и оправды-
вает переход к более общему понятию топологии. По мнению автора,
место этих разделов — в курсе функционального анализа. Наконец,
элементы теории криволинейных интегралов и дифференциальных
форм излагаются (в двумерном варианте) в курсе теории функций
4
Предисловие
комплексного переменного (включая формулу Грина), где они непо-
средственно и применяются.
Несмотря на наличие большого количества учебников, курсов
лекций и учебных пособий по математическому анализу, как оте-
чественных, так и переводных, автор не пытался кого-либо копиро-
вать. Однако при написании книги были использованы идеи, за-
имствованные из [5. 29] и. особенно. [22] — эти издания послужили
вдохновляющими примерами.
Материал книги разбит на главы. Нумерация осуществляется
по следующему принципу: параграфы нумеруются в пределах каж-
дой главы, причем номеру параграфа предшествует номер главы.
Для утверждений используется тройная нумерация: номер главы,
номер параграфа, номер утверждения. Утверждения нумеруются
подряд в пределах данного параграфа независимо от их типа. При
такой нумерации для случая примера цифра 6 не означает, что это
шестой пример в данном параграфе, а указывает лишь общий по-
рядковый номер в ряду выделенных утверждений параграфа. Ра-
венство. справедливое по определению, обозначается символом =.
В заключение хочется вспомнить своих учителей: П.С. Алексан-
дрова, II.А. Вайнштейна. А.И. Узкова, И.Я. Верченко. И.Ф. Лохина.
Г.П. Толстова и других.
Автор признателен товарищам по кафедре за полезные замеча-
ния. конструктивную критику и. самое главное, многолетние содер-
жательные беседы и обсуждения.
Сентябрь 2015 г.
Глава I Введение
1.1. Логические основы
В этом параграфе обсуждаются правила логического вывода,
которыми следует руководствоваться при проведении доказательств
утверждений и обосновании логических высказываний (подробнее
эти вопросы рассматриваются в курсе математической логики). Ло-
гические высказывания (или утверждения) — первоначальные не-
определяемые понятия. Каждое логическое высказывание может
быть либо истинным, либо ложным, причём сразу и тем и другим
быть не может.
Логические высказывания будем обозначать заглавными буква-
ми латинского алфавита: А. В. С. D и т. д.
Рассмотрим некоторые примеры логических операций, т. е. пра-
вил, согласно которым одному (или нескольким) логическим выска-
зываниям ставится в соответствие другое высказывание. Эти пра-
вила описываются с помощью так называемых таблиц истинности, в
которых для всех возможных случаев, соответствующих истинности
или ложности исходных высказываний, указывается, являются ли
это другое высказывание истинным или ложным (такие случаи да-
лее обозначаются буквами II и Л соответственно). Ниже для каждой
операции приводятся таблицы истинности.
а) Операция логического отрицания
Если А — логическое высказывание, то его отрицание обозна-
чается А. _______
А А
И Л Л И
б) Импликация А => В (читается: из А следует В):
6
Глава I
А в А => В
И и II
И л л
л II II
л л II
в) Двойная импликация А <=> В:
А в А <=> В
II и И
II л л
л и л
л л II
Из этой таблицы следует, что двойная импликация А о В ис-
тинна лишь в том случае, когда обе импликации А => В и В <= А
истинны (этот факт часто формулируют так: если двойная импли-
кация А <=> В истинна, то высказывание А истинно тогда и только
тогда, когда истинно высказывание В: вместо слов «тогда и только
тогда» иногда используют выражение «в том и только в том случае»)
Говорят также, что для истинности А необходима и достаточна ис-
тинность В.
г) Конъюнкция А /\ В (читается: А и В):
А в А/\ В
И II И
II л л
л и л
л л __lJ
Конъюнкция .4 Л В истинна тогда и только тогда, когда оба
высказывания А и В истинны.
1.1.1. Утверждение. Двойная импликация
(.4 => В) о (.4 Л В)
всегда истинна.
Доказательство. Справедливость утверждения проверяет-
ся непосредственно во всех четырёх возможных случаях, если ис-
пользовать таблицы пс гпнпости операций отрицания, импликации и
конъюнкции.
1.1.2. Замечание. Из утверждения 1.1.1 следует, ч го имплика-
ция А => В истинна тогда и только тогда, когда ложна конъюнкция
А Л В.
д) Дизъюнкция A\J В (читается: .4 или В).
Введение
7
А в A VB
И и И
И л и
Л и и
л л л
Дизъюнкция А / В истинна тогда и только тогда, когда истинно
хотя бы одно (т. е. ровно одно или оба) из высказываний А или В
(говорят также либо А. либо В).
Широко применяемый метод доказательства «от противного»
основан на следующем утверждении.
1.1.3. Утверждение. Двойная импликация (А => В) <=> (В =>
=> А) всегда истинна.
Доказательство. Справедливость этого утверждения уста-
навливается так же. как и утверждения 1.1.1.
Из утверждения 1.1.3 следует, что импликация А => В истинна
тогда и только тогда, когда истинна импликация В => А (или экви-
валентно. когда ложна конъюнкция А Л В — согласно утверждению
1.1.1). Таким образом, для доказательства истинности импликации
А => В достаточно обосновать истинность импликации В => А (по-
лученной из первой по методу «от противного»).
Кроме логических операций, для связи между логическими вы-
сказываниями употребляются специальные символы, называемые
логическими кванторами: квантор существования 3 (читается: су-
ществует): квантор всеобщности V (читается: для любого (любой,
любых)): квантор единственности «!» (читается: единственный (един-
ственная. единственное)): устанавливающий квантор «:» (или |) —
читается: такой, что (или обладающий свойством). Иногда исполь-
зуется обозначение □ (читается: пусть). Кроме того, пишут Д (чи-
тается: не существует).
1.1.4. Замечание. Логические кванторы следует употреблять
в строго определенном порядке. При изменении порядка расположе-
ния кванторов смысл логического высказывания может измениться
(в дальнейшем изложении у нас будет возможность не раз в этом
убедиться).
1.2. Элементы теории множеств
Понятие множества — одно из самых фундаментальных поня-
тий всей математики. Оно является первоначальным (исходным) и
не определяется (т. е. не выражается через другие математические
понятия) в том же смысле, в котором в элементарной геометрии не
определяются понятия точки, прямой и плоскости. Эту аналогию
можно продолжить и дальше. В элементарной геометрии точки.
8
Глава I
прямые и плоскости задаются с помощью системы аксиом Евкли-
да. Аналогично, излагаемая логически строго теория множеств ба-
зируется па соответствующей системе аксиом (так называемая сис-
тема Цермело-Френкеля. о которой можно почитать, например, в
[10. ч. I]). Мы. однако, будем изучать элементы теории множеств,
исходя из «наивной» (т. е. неаксиоматичсской) точки зрения: впро-
чем. в следующем параграфе приводится формулировка одной из
аксиом теории множеств — аксиомы выбора: далее формулируется
утверждение, которое можно принять за аксиому, поскольку оно ло-
гически не зависит от остальных аксиом (так называемая гипотеза
континуума).
Будем понимать множество как совокупность элементов. Каж-
дый элемент множества считается в нем ровно один раз. Множество,
не содержащее пи одного элемента, называется пустым и обознача-
ется символом 0. Далее множества, как правило, будем обозначать
заглавными буквами латинского алфавита: A.B.C.D и т. д.. а их
элементы — строчными буквами: a. b. с. d и т. д.
1.2.1. Определение. Запись a Е А означает, что а является
элементом множества А (или эквивалентно, что элемент п принад-
лежит множеству А). Запись а А означает, что а не является
элементом множества А (т. о. элемент а не принадлежит .4).
1.2.2. Определение. Запись А — {а} означает, что множество
.4 состоит из элементов а. Если Р — некоторое свойство, которым
каждый из рассматриваемых элементов может обладать пли не об-
ладать. то запись А = {а | Р} означает, что А - множество всех
рассматриваемых элементов а. обладающих свойством Р (и только
таких элементов).
Далее будем обозначать:
N - множество всех целых положительных (т. о. натуральных)
чисел:
7L - множество всех целых чисел:
Q — множество всех рациональных чисел:
IR — множество всех вещественных (т. е. действительных) чисел:
С - множество всех комплексных чисел:
Иногда обозначают также:
(Д) множество всех иррациональных чисел (определения всех
этих множеств будут даны ниже).
1.2.3. Определение. Множество .4. содержащее единствен-
ный элемент а. называется одноэлементным. При этом пишут:
А = {«}.
1.2.4. Пример. Справедливо равенство {n G N 1 п2 = 4} =
- {2}-
Введение
9
1.2.5. Определение. Запись А С В означает, что любой эле-
мент множества А является элементом множества В (т. е. Va € А
a е В). При этом А называют подмножеством множества В. Если,
кроме того, А В т. е. (36 G В: Ь 3- А), то А называется собствен-
ным подмножеством В.
1.2.6. Замечание. В дальнейшем изложении, как правило,
союз «и» понимается как конъюнкция, а союз «или» — как дизъ-
юнкция.
1.2.7. Определение. Если А С В и В С А то говорят, что
множества А и В равны, и пишут А = В. В противном случае (т. е.
если За е А : а 0 В или 36 е В : b 4) пишут А / В п говорят,
что множества 4 и В не равны.
Таким образом, запись 4 = В означает, что множества А и В
содержат одни и те же элементы (либо вовсе не содержат их. если
4 = 0 и В = 0).
1.2.8. Замечание. Символ С называется символом включе-
ния,
1.2.9. Определение. Если 4 0. то 4 называется непустым
множеством.
1.2.10. Утверждение. Для любого множества 4 4 G 4 и
0 С 4.
1.2.11. Утверждение. Если 4 С В и В с С. то 4 С С.
Справедливость утверждений 1.2.10 и 1.2.11 проверяется непо-
средственно. исходя из определения 1.2.5 символа включения.
1.2.12. Замечание. Если 01 и 0» — два пустых множества,
то согласно утверждению 1.2.10 0j С 02 и 02 С 01, так что 0: = 02
Таким образом, существует только одно пустое множество.
1.2.13. Пример. Справедлива цепочка включений N С 2 С
С Q С R С С (это будет доказано ниже).
1.2.14. Пример. Справедливы равенства {.г е К | т2 = 2} С J:
{т € R | т2 = 2} П Q =- 0 (это также будет доказано ниже).
Операции над множествами
1.2.15. Определение. Объединением множеств 4 и В назы-
вается множество 4 U В. содержащее все те и только те элементы,
каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств 4
или В.
1.2.16. Определение. Пересечением множеств 4 и В называ-
ется множество 4Г1В. содержащее все те и только те элементы, каж-
дый из которых принадлежит как множеству 4. так и множеству В.
1.2.17. Замечание. Может случиться, что 4 П В = 0. В этом
случае множества 4 и В называются непересекающимися.
1.2.18. Пример. Имеем <7n(Q = 0:Nnj7=0.
10
Глава I
1.2.19. Утверждение. Всегда Л А 0 = 0: Л U 0 = Л; Л П В -
= В A A; A U В =- В U А. Кроме того, справедливы законы дист-
рибу 'тивности:
ЛА (В U С) = (АПВ) U (Л А С):
A U (В А С) = (Л U В) А (Л U СУ
Доказательство. Для обоснования каждого из выписанных
равенств достаточно проверить, что любой элемент, принадлежащий
множеству, находящемуся в левой части равенства, принадлежит
множеству, находящемуся в его правой части, и обратно. Если, на-
пример. х 6 (Л U (В А С)) то х е Л или .г е (В А С) Если х Е Л. то
х Е (Л U В) и х Е (Ли С), поскольку Л с (Л U В) и А с (Ли С).
Следовательно, х Е (Л U В) А (Л U С). Если же х Е (В А С). то х Е В
и х Е С. так что х Е (Л U В) и г Е (Л U С), поскольку В С (Л U В) и
С С (ЛUС). Поэтому и в этом случае х Е (ЛиВ) А(ЛиС). Обратно,
если х Е (Л U В) А (Л U С). то .г € (Л U В) и .г g (Ли С). Рассуж-
дая далее аналогично, убеждаемся в том. что тогда х Е Ли (В АС).
Тем самым мы доказали второй закон дистрибутивности. Остальные
равенства либо непосредственно следуют из определений операций
объединения и пересечения, либо (первый закон дистрибутивное ги)
доказываются аналогично.
1.2.20. Замечание. Если считать, что Л. В. С - вещественные
числа, и рассматривать объединение как сумму, а пересечение — как
произведение, то. как известно из арифметики, первый закон дист-
рибутивности будет справедлив, а второй — нет (точнее, он будет
справедлив тогда и только тогда, когда Л -- 0 или Л - В т С = 1).
1.2.21. Определение. Разностью множеств Л и В (в ука-
занном порядке) называется множество Л \ В содержащее все те и
только те элементы, каждый из которых принадлежит Л и не при-
надлежит В.
1.2.22. Следствие. Всегда Л \ Л = 0: Л \ 0 -- Л: 0 \ Л = 0.
Кроме того. если А С В. то Л \ В — 0. и обратно.
Доказательство. Справедливость следствия вытекает непо-
средственно из определений операции разности и символа включе-
ния.
1.2.23. Определение. Если В С Л. то разность Л \В называ-
ется дополнением множества В во множестве Л.
1.2.24. Замечание. Пишут Л \В -- В. если В С Л и известно,
о каком множестве Л идёт речь.
1.2.25. Пример. Если Л = 1R и В =- Q. то В = J.
1.2.26. Определение. Симметрической разностью множеств
Л и В называется множество Л Д В - (Л \ В) U (В \ Л)
Отметим еле дующие свойства симметрической разности:
Введение
И
а) ААВ = (A U В) \ (В ПЛ);
б) ААВ = В А А;
в) (ААВ) АС = АА(ВАС).
Эти свойства доказываются по той же схеме, по которой дока-
зывалось утверждение 1.2.19.
1.2.27. Определение. Пусть А А 0; В ф 0; а е A: be В.
Упорядоченной парой (а. Ь'\ при а ф b называется множество {{а; Ь}:
{а}}. При а =-- b упорядоченной парой (а. а) называется множество
{{«}}•
1.2.28. Замечание. При а 7^ b смысл сформулированного
определения состоит в том. что оно указывает порядок расположе-
ния элементов а и b в упорядоченной паре (а, Ь) (т. е. а — первый
элемент, а b — второй). Из этого определения следует, что при
а Ь (а,Ь) (&,а), причем (а, Ь) = (а',Ь') тогда и только тогда,
когда а = а' и Ъ = Ь'. Упорядоченная пара (а. Ь) называется также
двумерным вектором с компонентами а и Ъ (в указанном порядке).
1.2.29. Определение. Декартовым произведением множеств
А 0 и В 0 (в указанном порядке) называется множество А х В =
= {(а,Ь) | а £ А: Ь & В}.
Если хотя бы одно из множеств А пли В пусто, то полагают
А х В = 0.
1.2.30. Определение. Множество R2 = Rx R называется
декартовой плоскостью. Множество R3 = (R х R) х R называет-
ся трёхмерным евклидовым пространством (или декартовым прост-
ранством).
Свойства декартова произведения:
а) А х (В U С) = (А х В) U (А х С):
б) А х (В Г) С) = (А х В) П (А х С):
в) (А х В) С (С х В) тогда и только тогда, когда А С С и В С D
(при условии А Д 0 и В 0):
г) А х В =- В х А тогда и только тогда, когда А -= В (при том
же условии).
Все эти свойства доказываются по той же схеме, что и в 1.2.19.
с использованием определений операции декартова произведения, а
также объединения, пересечения и символа включения.
Далее определяется понятие семейства множеств. Мы дадим
два определения этого понятия: неформальное и математическое
(т. е. формальное) — последнее определение будет приведено позднее.
1.2.31. Определение (неформальное). Пусть I ф 0. и пусть
каждому элементу а 6 I поставлено в соответствие некоторое мно-
жество Аа. В этом случае говорят, что задано семейство множество
{Аа | а £ I}.
12
Глава I
1.2.32. Замечание. При условиях сформулированного опре-
деления возможен случай, когда За. 3 6 Г. а 3 и Ап — Aj.
Множество I 0 называется множеством индексов, а его эле-
менты — индексами.
1.2.33. Определение. Объединением семейства множеств
{Аа | а € 1} называется множество, содержащее все те и только
те элементы, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из
множеств этого семейства. Таким образом, если (J Ап - объедине-
аё/
ние семейства множеств {Аа | а е /}. то
Ап -= {а | За G I'- а в А„}.
аё/
1.2.34. Определение. Пересечением семейства множества
{Att | a G 1} называется множество, содержащее все те и только
те элементы, каждый из которых принадлежит всем множествам
этого семейства.
Следовательно, если Q А„ — пересечение семейства множеств
аё/
{Ао | а € I}. то
f') Аа = {а | Va € Г. а 6 Аа}.
Из сформулированных определений следуе г. что всегда Q An С
аё/
С Uag/^с^-
ЗаКОНЫ двойственности (де Моргана)
а) Пусть {Аа | a 6 1} — семейство множеств и пусть U — неко-
торое множество, причем Va € I А„ с U. Тогда
U = А Ко
аё/ аё/
- первый закон двойственности (все дополнения рассматриваются
во множестве 13].
б) При условиях пункта а)
АИ = 1М
<>С/ аё/
— второй закон двойственности.
Доказательство. При рассматриваемых условиях
Введение
13
Пусть a G ( U Ла \. тогда а ё U и а £ I |J Аа 1. и поэтому Vo G I
\а£/ / \а6/ /
а $ Аа. Таким образом, Vet е I а ё (Ы\Аа) = ЛД так что а ё Q ЛД
Обратно, если а ё р| Лп, то Vo G I а ё Ло. так что а Аа. поэтому
«е/
а $ U А . Так как а ё U, то а ё (U \ (J Ла ) = |J Аа. Тем
a&I \ / а£1
самым мы доказали первый закон двойственности. Второй закон
двойственности доказывается аналогично.
Кратко утверждения пунктов а) и б) формулируют так: допол-
нение к объединению равно пересечению дополнений: дополнение к
пересечению равно объединению дополнений.
1.2.35. Определение. Семейство {Ла | о ё 1} называется
семейством попарно непересекающихся множеств, если Vo, 3 ё Г.
(а В) => (Л„ П Аэ = 0).
Если, в частности. I = {о} — одноэлементное множество, то со-
ответствующее семейство содержит одно множество Л„ и является
семейством попарно непересекающихся множеств, поскольку усло-
вие а 3 при а. 3 ё I не может выполняться, так что импликация
(а Л 3) => (Ла П Ла — 0) истинна.
1.3. Отображения (функции)
1.3.1. Определение. Пусть Л Л 0 и В Л 0- Всякое непустое
подмножество декартова произведения Л х В называется бинарным
отношением из Л в В (в указанном порядке).
1.3.2. Определение. Бинарное отношение f из Л в В назы-
вается отображением Л в В (или функцией). если Va 6 Л 3! Ъ ё В:
(а.Ь) ё f.
1.3.3. Пример. Если множество В содержит хотя бы два раз-
личных элемента, то декартово произведение Л х В не является ото-
бражением. Действительно, так как Л Л 0. то 3<7 € Л. Кроме того.
361. Ьо ё В: Ь) Л &2- Тогда (а-ЬД ё (Ах В) и (а.Ь2) В (Ах В). причём
(«.Ь]) Л (а-Ь2). что противоречит единственности выбора элемента
Ъ ё В. для которого (а.Ь) ё (Л х В)
1.3.4. Определение. Если f - отображение (функция) Л в В.
то пишут /: Л —> В. При этом множество Л называется областью
определения функции f. Если а ё А: b ё В и (а.Ь) ё f. то пишут
b =- f(a) и называют элемент Ь образом элемента а при отображении
/ (говорят также, что элемент b поставлен в соответствие элементу
а при отображении /).
1.3.5. Определение. Если /: Л —> В. то множество упорядо-
ченных пар {(a.f(a)) | а ё Л} называется графиком функции /.
14
Глава I
1.3.6. Замечание. Определение 1.3.5 означает, что график
функции f — не что иное, как сама эта функция.
1.3.7. Определение. Если /: А В. то множество /(Л) =
- {& е В | За £ Л: /(а) = Ъ} называется образом области опре-
деления функции / (или. эквивалентно, множеством значений этой
функции). Очевидно, что всегда /(Л) С В и /(Л) /- 0.
1.3.8. Определение. Если f: А —> В и Ло С Л; Ло 0. то
множество /(Ло) = {b £ В | За £ Ло: /(а) -“ Ь} называется образом
множества Ло при отображении /. Если, кроме того. /(Ло) — од-
ноэлементное множество, то пишут / = const на Ло и говорят, что
функция / постоянна на Лц.
1.3.9. Замечание. Если Ло - 0. то полагают /(0) = 0.
1.3.10. Определение. Если /: Л —> В и Во С В: Во / 0.
то множество /-1(В0) = {а € Л | /(а) £ Во} называется полным
прообразом множества Во при отображении /.
1.3.11. Замечание. Если Во - 0. то полагают /-1(0) = 0-
Если /: Л —> В. го /-1(В) = А. При таком условии возможен
случай, когда ЗВа С В: Во А 0 и /~](В0) ~ 0 (так будет в том и
только в том случае, когда /(Л) П Bq = 0).
1.3.12. Определение. Если Ьо € В и Во = {&о} одноэле-
ментное множество, то множество /-1({&о}) называется полным про-
образом элемента Ьо при отображении f (пишут просто /-1({&о})
= ГЧМ-
1.3.13. Замечание. Из определения 1.3.2 следует, что два
отображения /: Л —> В и д: С —> D равны (т. е. / = д'), тогда и
только тогда, когда А = С (т. е. их области определения совпадают)
и Аа £ Л /(а) = д(а) (при этом необязательно, чтобы В - В).
1.3.14. Определение. Пусть /: Л —> В: Ло С Л:Ло / 0 и
пусть д: Ло -> В. причем Vo £ Ло /(а) = д(а). Тогда отображение
д называется сужением отображения / с множества Л па множест-
во Л(). а отображение / называется продолжением отображения д с
множества Ло на множество Л.
Теперь мы можем сформулировать формальное определение се-
мейства множеств.
1.3.15. Определение. Пусть U 0. и пусть Р{Ы) — множест-
во всех подмножеств U (включая само U и пустое подмножество).
Тогда, если I А 0 и /: I —> Р(М). то отображение / называется
семейством множеств (точнее, подмножеств множества Z7).
1.3.16. Замечание. При условиях сформулированного опре-
деления. полагая Va £ Г Ап - /(a) С U. семейство / можно записать
в виде {Л„ | о £ /}. При этом множество Лл поставлено в соответ-
ствие элементу a £ Г в том смысле, что (о. Л„) £ /.
Введение
15
Свойства образов и прообразов
1.3.17. Утверждение. Пусть ft А —> В. и пусть {А„ | а €
£ / } семейство множеств, причём Vo £ I Аа С А. Тогда:
ЯП f U Ла) = U /(Ла):
\а6/ / а(Е/
б) f ( П Ла) С А /(Ла).
\ае/ / ае/
Доказательств о. При сформулированных условиях
( U ) С А и ( Q Да ) С А.
\а£/ ) \а€/ /
Пусть Ь £ / I U Ла тогда За € I (J Ао ): /(о) — Ь. Далее.
\а€/ / \а£/ /
За0 € I: (а £ Ла0) => {Ъ = /(а) € /(А„о)). и так как /(А«о) С
С I U /(Ла) ) то Ь € А /(Лп). Аналогично проверяется, что если
\а6/ / ае/
b £ U /(Ла)- то Ь £ f I (J Ло Тем самым доказано равенство
аС/ \аё/ /
пункта а). Докажем включение пункта б). Если b £ / А ЛЛ • то
\аё/ )
Зо £ А Л«: /(а) = Ь. Так как Va £ I а € А„. то b — f(a) & /(Ао)
ле/
II поэтому Ь £ А /(Ла).
ае/
1.3.18. Пример. Пусть I = {1:2}. и пусть А] и — одноэле-
ментные множества, такие, что Aj = {ai}: Аг - {«2} и aj аг- Если
В -у 0 и 6 £ В — фиксированный элемент множества В. то определим
отображение/: А —> В. полагая А = {орог}: /(«1) = /Аг) -- Ъ. Тог-
да А] И Аг = 0. так что /(А] А Аг) = 0. однако /(АД /(Аг) {&}.
так что /(АД П /(Д2) = {6} Д 0.
Следовательно, при таких условиях равенство /(Ai С Аг) =
- /(ЛД П /(Д2) неверно.
1.3.19. Утверждение. Пусть f: А —> В. и пусть {Вл ; а £
£ 1} семейство множеств, причём Va £ I Bn С В. Тогда:
Л1 ( U В(1) - U /"’(Во).-
б') Г1 ( А 5а) = А /-'(Во).
\а6/ / а€/
Свойства а') и б') доказываются аналогично по образцу преды-
дущих рассуждений.
1.3.20. Определение. Пусть /: А —> В и д: В С. Положим
Va £ А (р(/))(а) - <7(/(а)). тогда g(f): А -э С. Отображение g(f)
16
Глава I
называется композицией (или суперпозицией) отображений f и д (в
указанном порядке).
Если f: А —> А и д: А —> А. то определены оба отображения
g{f): А -> А и /(g): А —> .4. При этом необязательно g(/) = /(g)
(т. е. может случиться, что За £ А: д(/(а)) A fid)0-})- Например,
если А = {1:2:3} и /(1) = 2: /(2) = 3; /(3) = 1; д(1) = 3: д(2) = 2;
д(3) = 1, то при а = 2 /(д(а)) = 3 + g(f(aY) = 1.
1.3.21. Утверждение. Если /: А —> В; д: В —> С; h: С —> D.
то h(g(JY) = Л.(д)(/) (свойство ассоциативности композиции отобра-
жений).
Доказательство. При условиях утверждения 1.3.21 g(f).
А С, и поэтому h(g(f)): А —> D. Кроме того. Л(д): В —> D, так что
Л(д)(/): А —Э D. Согласно замечанию 1.3.13 достаточно проверить,
что Уа £ А Л(д(/))(а) = Л(<?)(/(а)). Имеем Л(д(/))(а) = Л.(д(/(а)))
и /г(д)(/(а)) = /i(g(/(a))) (все эти равенства следуют из определе-
ния 1.3.20 композиции). Тем самым свойство ассоциативности уста-
новлено.
1.3.22. Определение Отображение /: А —> В называется инъ-
ективным (или инъекцией), если Va'a" £ А: (а' У а") => (/(а') У
/ /(«"))•
1.3.23. Пример. Пусть А N и /: N -> N. причем Ун € N
/(п) = 2п. Тогда / — инъекция.
1.3.24. Определение. Отображение /: А —> В называется
сюръективным (или сюръекцией), если /(А) = В (т. е. У& £ В 3a G А:
/(а) = Ь).
1.3.25. Замечание. Сюръективность отображения /: А —> В
зависит не только от самого отображения, но и от выбора множества
В. Точнее, если В С С, то /: А —> С. причём при ВАС такое
отображение / не будет сюръективным, хотя /(А) = В. Например,
отображение / из примера 1.3.23 будет сюръективным, если считать,
что /: N —> В. где В = {'2п 1 n £ N}. Если же считать, что /:
N —> С. где С = N. то отображение / не является сюръективным,
поскольку /(N) = В А К.
1.3.26. Определение. Отображение /: А —> В называется
биективным (или биекцией), если оно является как инъективным,
так и сюръективным.
1.3.27. Замечание. Если отображение /: А - > В сюръек-
тивно. то говорят, что / отображает А на В и пишут /: А В.
Если же /: А —> В — биекция, то говорят, что / отображает А на
В взаимно однозначно.
1.3.28. Пример. Если Уж £ R. /(.г) = ж3. то / отображает R
на R взаимно однозначно.
Введение
17
1.3.29. Утверждение Отображение f: А —> В является инъ-
ективным (сюръективным, биективным) тогда и только тогда, когда
ЧЬ G В полный прообраз f ~] (Ь) содержит не более одного элемента
(соответственно. f~l(b) 0 и /-1(Ь) — одноэлементное множество).
Это утверждение является просто переформулировкой опреде-
лений инъекции, сюръекции и биекции.
1.3.30. Определение. Пусть /: .4 -> В — биекция. Положим
/ 1 = {(&. а) а е A: b € B:(a.b) & f}. тогда /-1: В —> А — также
биекция. Отображение /-1 называется обратным к отображению /.
Поясним смысл определения обратного отображения. Посколь-
ку /: Л -э В - биекция, то согласно утверждению 1.3.29 V& е В
3! а е Л: {о} = /-1(Ф- Следовательно, /(а) =- Ь. т. е. (а. Ь) G /.
Таким образом. V6 £ В 3! а € A: (b.a) е и поэтому f~} —
отображение В в Л. Если 1р.Ь2 6 В. причём ф А Ь2. то. полагая
/-1(Ь1) = {ai}; f~l(b2) ~ {о2}. где ai.fl2 £ -4- можно утверждать,
что 01 ф а2 (в противном случае /(o.J = f(a2). что противоречит
равенствам /(oi) - bp. f(a2) = b2). Следовательно. /-1 — инъек-
ция. Если о € Л. то. полагая b = /(о) G В. можно утверждать, что
(b. a) G f~}. т. е. о = /-1(6). и поэтому отображение f~Y сюръектив-
но. Таким образом. — биекция.
1.3.31. Замечание. Если/: А -> В — биекция, то (,/' '.Г1 = /•
1.3.32. Утверждение. Пусть f: Л —> В и д: В —> С. Если
оба отображения f и д инъективны (сюръективны, биективны), то
композиция g(f) также инъективиа (соответственно, сюръективна,
биективна). В последнем случае (g(J)'r1 - (т-с- отобра-
жение. обратное к композиции биективных отображений, есть ком-
позиция обратных отображений в обратном порядке).
Справедливость утверждения 1.3.32 следует непосредственно из
определений композиции и обратного отображения.
1.3.33. Определение. Отображение /: Л —> А. для которого
Vo G Л /(о) = о. называется тождественным отображением Л на Л.
Из этого определения следует, что всякое тождественное ото-
бражение является биекцией, обратное к которой совпадает с ней
самой. Кроме того. ясно, что композиция двух тождественных ото-
бражений - снова тождественное отображение.
1.3.34. Определение. Бинарное отношение R из Л в Л назы-
вается отношением эквивалентности па Л. если выполнены условия:
a) Vo G Л (а. о) 6 R (рефлексивность):
б) Vo.i.09 G Л: ((01.02) € R) ((o2.oi) е R) (симметричность):
в) Va1.02.03 t Л: (((oi.o2) G R) и ((о2.а3) 6 /?)) => ((oi.a3) G
G R) (транзитивность).
1.3.35. Замечание. Если R отношение эквивалентности на
Л и (01.02) € R. то пишут О] ~ 02 (читается: элемент oj эквпвален-
18
Глава I
тен элементу аг)- В таких обозначения условия а), б), в) принимают
следующий вид:
a) Va £ А а ~ а:
б) Vai,«2 G A: (ai ~ а2) => (аг ~ аД;
в) Vai.a2.a3 € A: (ai ~ а2 и а2 ~ а3) => (ai ~ а3).
1.3.36. Пример. Пусть А 0 и R — {(а. а) | а £ А}. Тогда
R — отношение эквивалентности на А (диагональ множества А или,
что то же самое, тождественное отображение А на А). При этом,
если ai.a2 € А, то ai ~ а2 тогда и только тогда, когда ai = а^-
1.3.37. Пример. Пусть А = R. и пусть х. у £ R. Будем
считать, что х ~ у тогда и только тогда, когда х — у £ Q. Тогда ~ —
отношение эквивалентности на R. Действительно, так как х — х —
= 0 £ Q, то х ~ х. Если х ~ у, т.е. х-у £ Q, то у-х = -(х-у) £ Q.
так что у ~ х. Если ещё z £ R, причём a,~yny~z. тот — y£Q
и у — z £ Q. и поэтому х — z = (х — у) + (у - z) £ Q, так что х ~ z.
Таким образом, Vx,y,z £ R выполнены условия а), б), в).
1.3.38. Замечание. Условия а), б), в) в определении 1.3.34
(или, эквивалентно, в замечании 1.3.35) называются аксиомами реф-
лексивности. симметричности и транзитивности соответственно.
1.3.39. Определение. Пусть ~ — отношение эквивалентнос-
ти на А. Если a £ А. то положим Ка = {а' £ А ( а! ~ а} и назо-
вём множество Е'„ классом эквивалентных элементов, порожденным
элементом а.
Свойства классов эквивалентных элементов
а) Va € А Ка 0.
Действительно, так как а ~ а. то a € Ка (положить в определе-
нии 1.3.39 а' = а), так что К„ 0-
б) Если aj.a2 £ А. причём ai ~ а2, то Кау = К(12.
Действительно, если а' £ А'а1, то а' ~ сц. и так как ai ~ а2. то
по аксиоме транзитивности а' ~ а2. т.е. а' € К„2. Следовательно.
Kai С К„2. Аналогично проверяется, что Ка2 С КП1. Следователь-
но К„} = Ка2.
в) Если ai.a2 € А. причем a i / а2 (т. е. (aj.a2) R). то К„Л П
АКа2 = 0.
Действительно, если предположить, что За' £ (Ка П А'а,). то
а' ~ ai и а' ~ а2, так что по аксиоме симметричности ai ~ а'. Но тог-
да по аксиоме транзитивности ai ~ a2 — противоречие с условием.
г) У а £ А Ка с А - согласно определению 1.3.39.
1.3.40. Замечание. Из свойства г) и того факта, что Va £ А
a £ Ка. следует, что
U ка = А.
Введение
19
Далее сформулируем одну из основных аксиом теории множеств —
аксиому выбора.
Аксиома выбора
Пусть {Ап | а 6 1} — семейство непустых попарно непересе-
кающихся множеств. Тогда существует множество А. обладающее
следующими свойства ми:
a) Vo 6 I АЛ Г) А - одноэ.темент ное множество:
б) А С f U
Смысл этой аксиомы состоит в том. что для любого семейст-
ва непустых попарно непересекающихся множеств существует мно-
жество. полученное путем выбора из каждого множества семейства
ровно по одному элементу: это множество содержит все выбранные
элементы и не содержит никаких других элементов.
1.3.41. Пример. В [10. ч. I. с. 39] в формулировке аксиомы
выбора опущены слова «попарно непересекающихся». В такой фор-
мулировке соответствующее утверждение неверно.
Действительно, если I = {сд: п2: сц} — множество из четы-
рех попарно не равных индексов и Aaj = {1:2: 3}: Аг>2 = {1:3:4}:
А„3 = {1:2:4}: А„4 = {2:3:4}. то {А„ а е 1} — семейство непустых
множеств. Если предположить, что сущеегвует множество А. обла-
дающее свойствами а) и б), то каждое из множеств А П А(1; является
одноэлементным; I - 1.2. 3.4. Множество А не может быть одно-
элементным. так как в противном случае согласно а) ( р| А(>) А 0.
что на самом деле не так. Это множество не может быть и двух-
элементным (т. е. содержать ровно два различных элемента), так
как в противном случае при некотором о £ I А О А„ — двухэле-
ментное множество, что противоречит условию а). Аналогично про-
веряется. что А не может быть трёхэлементным множеством. Если
А = {1.2. 3.4}. то А Г। Ап - А(1 . что опять противоречит усло-
вию а). Остается заметить, что согласно условию б) А С {1.2.3.4}
и так как согласно а) А А 0. то никаких других случаев быть не
может. Итак, в рассматриваемых условиях множество А со свойст-
вами а) и б) не существует.
1.3.42. Теорема о разбиении множества с заданным от-
ношением эквивалентности на попарно непересекающиеся
классы эквивалентных элементов.
Всякое непустое множество с заданным на нем отношением эк-
вивалентности может быть представлено в виде объединения семей-
ства попарно непересекающихся классов эквивалентных элементов.
20
Глава I
Доказательство. Пусть ~ — отношение эквивалентности на
множестве А / 0. Рассмотрим семейство {Ka I а £ А} классов эк-
вивалентных элементов. Этому семейству соответствует множество
{А' За € А: К = Ка} классов эквивалентных элементов. Если
А\ и К? — два разных класса из этого множества, то A'i ± К^- и
поэтому согласно свойствам б) и в) этих классов А\ Я = 0. Выбе-
рем из каждого класса, входящего в это множество, ровно по одному
элементу (это можно сделать, поскольку каждый класс — непустое
множество согласно свойству а)). Согласно аксиоме выбора сущест-
вует множество А. содержащее все выбранные элементы (и только
эти элементы). При этом А С А.
Рассмотрим семейство классов {Ка’ | а' е А}. Для этого се-
мейства
( U Ка' I с А-
\а'еА /
Согласно определению множества А, если a', a" € А, причем а' / а",
то А'а/ Я Ка„ =0.
Таким образом, {Ка' a1 G А} — семейство попарно непересека-
ющихся классов эквивалентных элементов. Покажем, что
А= (J А>.
а' £А
Пусть а € А, тогда А Я Ка — одноэлементное множество, т. е.
3! Яц € (А Я Ка)- Так как а'о G Ка. то а'о ~ а. и поэтому Ка^ = Ка.
Следовательно, а € АД. поскольку а € Ка. Значит a g ( (J АД)
а'6А
(так как Ка’ с ( IJ Ао,)). Итак, А С ( J Аа,). Тем самым те-
<Г6А а'еА
орема доказана.
Пусть п с N. Далее будем обозначать Nn = {k g N | fr n} =
— {1:...: n} Положим также No = N U {0}. Пусть { Aj:...; An} =
= {Ад. | к e Nn} — семейство непустых множеств. При п = 2 де-
картово произведение Ai х А? определяется согласно 1.2.29. Пусть
п > 2.
1.3.43. Определение. Если п 3. то
Ai х Д2 х ... х Ап = (А] х ... х A„-i) х Ап.
В частности, при п = 3
А] х А2 х Аз = (Ai х А2) х А3.
1.3.44. Замечание. В выражениях в правых частях послед-
них двух равенств скобки обычно опускают. Если щ 6 Ах..а„ g
ёА„. то соответствующий элемент декартова произведения А] х ...
Введение
21
... х Ап обозначается (ai..<?„). Этот элемент называется «-мер-
ным упорядоченным набором (или «-мерным вектором) с компонен-
тами ai...ап Например, при п = 3 полагают
((а}.а2).аз) = (а}.а2.а3).
Если а\ е Ai......а'л е .4,,. то (щ....а„) = (а\......а'п) тогда
и только тогда, когда ср = .....а„ = а'п. Если хотя бы одно из
множеств Ai......Лп пусто, то полагают Л] х ... х Л,, = 0.
1.4. Сравнение множеств
1.4.1. Определение. Пусть Л / 0: В Д 0- Говорят, что мно-
жества Л и В равномощны (или имеют одинаковую мощность), если
существует биекция, отображающая Л па В.
1.4.2. Замечание. Если множества Л и В имеют одинаковую
мощность, то пишут |Л| — \В\. При этом .чы не определяем, что
такое мощность, а лишь указываем правило сравнения мощностей.
1.4.3. Замечание. Пусть U 0. и пусть А. В € В(В). причем
Л ф 0: В ф 0. Положим Л ~ В тогда и только тогда, когда |Л| = |В|.
Тогда ~ — отношение эквивалентности па множестве P(U) \ {0}.
Действительно, если Л = |В|. то существует биекция /: Л —> В. Но
тогда /-1: В —> Л также биекция, гак что В = |Л|. Кроме того,
всегда |Л| - |Л|, поскольку тождественное отображение Л на .4-
биекция. Наконец, если |Л| - |В| и |В| ;С|. то существуют биекции
/: Л —> В и д: В —> С. При таких условиях композиция g(f): Л —> С
и <?(/) — биекция, так что !Л| - |С|. В соответствии с доказанным
результатом множества, имеющие одинаковую мощность, называют
эквивалентными.
Если Л и В — два непустых множества, то логически возможны
следующие случаи:
а) ЗЛ0 С Л: |Л0| - )В| и ЗВ0 С В: |В0| = |Л|:
б) ЗЛ0 С Л: |Л() = |В| и ДВ() С В: |В0| -- 1Л|:
в) ДЛ0 С Л: |Л0| - [В| и 3B(i С В: |В0! = |Л|:
г) ДЛ0 С Л: 1Л()| = \В\ и ДВ0 С В: |В0| = Л|.
Для случая а) справедлива следующая теорема (указания к её
доказательству можно найти в [10. ч. 1. с. 42]).
Теорема Кантора-Бернштейна
В случае а) множества Л и В равномощны (т.е. Л = В|).
1.4.4. Определение. В случае б) будем говорить, что мощ-
ность множества Л больше мощности множества В. и писать | Л | >
> |В|. В случае в) будем говорить, что мощность Л меньше мощ-
ности В и писать !Л| < В|. Будем также писать [Л |В|. если
Л > \В\ или |Л1 = \В\. и |Л1 Д |В|. если |Л < В или Л = |В|.
22
Глава I
1.4.5. Замечание. Имеем: |Л| |В| тогда и только тогда,
когда |В| |Л|. Кроме того, если |Л| > |В| и |В| |С|. то |Л| |С|.
1.4.6. Замечание. Используя аксиому выбора можно дока-
зать, что случай г) на самом деле невозможен (т. е. существование
множеств А и В с указанными в пункте г) свойствами противоречит
системе аксиом Цермело-Френкеля).
1.4.7. Следствие. Для любых двух непустых множеств А и В
справедливо ровно одно из следующих условий:
1) |Л| < \В\:
2) |Л| > \В\:
3) |Л| = |В|.
Утверждение следствия 1.4.7 означает, что мощности любых
двух непустых множеств сравнимы (т. е. всегда можно указать, ка-
кая из мощностей |Л| и |В| больше и какая меньше, если известно,
что они не равны).
1.4.8. Утверждение. Vn € N |N„| < |N|.
1.4.9. Утверждение. Если m,n е N и m > п, то |Xm| > |Nn|.
Справедливость утверждений 1.4.8 и 1.4.9 можно обосновать,
используя определение множества N (см. ниже).
1.4.10. Определение. Множество Л 0 называется конеч-
ным. если Bn е N: |Л| = |Nri|.
Из утверждения 1.4.9 следует, что если для заданного множест-
ва Л 0 такое число n € N существует, то оно единственно.
1.4.11. Определение. Если п е N и |Л| -- |Nn|. то п называет-
ся числом элементов множества Л (это число можно отождествить
с мощностью Л).
Пустое множество также считается конечным: число его эле-
ментов полагают равным 0.
1.4.12. Определение. Множество называется бесконечным,
если оно не является конечным.
Из утверждения 1.4.8 следует, что N — бесконечное множество.
1.4.13. Определение. Множество Л называется счетным, ес-
ли |Л| = |N|.
1.4.14. Следствие. Всякое счетное множество бесконечно.
Любые два счетных множества равномощны.
1.4.15. Определение. Множество называется не более чем
счетным, если оно или конечно, или счетно.
1.4.16. Определение. Бесконечное множество называется
несчетным, если оно не является счетным.
1.4.17. Определение. Семейство множеств {Л„ | а е 1} на-
зывается конечным (счетным, несчетным), если множество индексов
конечно (соответственно, счетно, несчетно), и не более чем счетным,
если оно не более чем счетно.
Введение
23
Теорема Кантора
Для любого множества А |А| < Р(А).
Доказательство. Положим А* = {{а} | а В А}. Так как
Vo 6 А {а} 6 Р(А). то А’ с Р(А). Кроме того. |А*| = |А|. посколь-
ку существует биекция ц: А —> А* (достаточно положить Vo 6 А
д(о) -- {о} G А*). Так как |А*| < |Р(А)|. то |А| < |Р(А)|. Покажем,
что равенство L4 = |Р(А) не может выполняться. Если А ~ 0. то
А| --- 0 < !Р(0) - 1 (действительно. Р(0) = {0})- Пусть А Д 0. и
пусть |А| = |Р(А)|. тогда существует биекция f: А — Р(А). При
этом Vo е А /(о) 6 Р(А). т. е. /(о) С А. Элемент о е А назовем
особенным, если о f(a). и неособенным, если о € /(o'). Пусть Ао —
множество всех особенных элементов, тогда A(J С А. т. е. Ао € Р(А).
Положим /-1(Ао) -- ао G А. тогда /(ао) = Ао. Если элемент о0 -
особенный, то Oq f(ari') = Ао- что противоречит определению мно-
жества Ао. Если же ои — неособенный элемент, то оп 6 /(ао) = Ао-
что опять противоречит определению Ао- Таким образом, указанной
выше биекции /: А —> Р(А) не может существовать, что означает,
что равенство |А| = |Р(А)| неверно. Следовательно. |А| < Р(А).
1.4.18. Следствие. Не существует множества наибольшей
мощности.
1.4.19. Следствие. Множество Р(К) несчетно (действительно,
но теореме Кантора |N| < |Р(У)|).
Нетрудно показать, что справедливы следующие утверждения.
1.4.20. Утверждение. Если |А| = п t N. то !Р(А)| -- 2”.
1.4.21. Утверждение. Если |А| - п е N. |В| = m € К. то
А х В\ = тп.
Читателю предлагается проверить самостоятельно следующие
свойства.
Свойства счетных и несчетных множеств
а) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножест-
во.
б) Всякое подмножество счетного множества не более чем счет-
но.
в) Множество А бесконечно тогда и только тогда, когда оно со-
держит собственное подмножество, равномощное А.
г) Если А счетно и В конечно, то А \ В и А и В — счетные
множества.
д) Если А несчетно и В не более чем счетно, то А\В = АиВ =
= |А| (и поэтому А \ В и A U В — несчетные множества).
е) Объединение не более чем счетного семейства счетных мно-
жеств
счетное множество.
24
Глава I
ж) Если А счетно и В & нс более чем счетно, то А х В -
счетное множество.
з) Если А счетно, то множество всех конечных подмножеств А
счетно, а множество Р(А) несчетно.
1.5. Вещественные числа
1.5.1. Определение. Множество Р называется полем, если за-
даны два отображения Р х Р в Р, называемые сложением и умноже-
нием. обозначаемые — и и удовлетворяющие условиям: Va. b. с€ Р
I) а + b = b -г а (коммутативность сложения);
а b — b • а (коммутативность умножения):
(а — 6) + с = а + (6 + с) (ассоциативность сложения);
(а • Ь) • с = а (Ь с) (ассоциативность умножения);
(а -г Ь) • с = (а • с) + (6 • с) (дистрибутивность умножения отно-
сительно сложения);
II) 3 элементы 0 € Р; 1 6 Р такие, что 0/1иа-г0 = а1=а;
III) 3(—а) 6 Р: а + (—а) = 0; если а 0. то За-1 £ Р: аа-1 = 1.
1.5.2. Пример. Пусть Р = {0; 1}. причем 0^1. и пусть
0-0=14-1=0;
0 + 1 = 1 + 0 = 1;
01 = 10 = 0- 0=0:
1-1 = 1.
Тогда все условия в определении 1.5.1 выполняются, так что Р -
поле из двух элементов (поле Галуа GF(2)).
1.5.3. Определение. Если Р — поле, то элемент 0 называется
нулем поля Р, а элемент 1 называется единицей поля Р. Элемент
—а называется противоположным элементу а Е Р: если а 0. то
элемент а-1 называется обратным для элемента а.
1.5.4. Утверждение. В любом поле Р имеется ровно один
нуль и ровно одна единица. Для любого элемента a € Р имеется
ровно один противоположный элемент (—а) Е Р и. если а 0. то
ровно один обратный а-1 € Р.
Доказательство. Пусть 0 и 0' — два нуля Р. тогда 0 + 0' =
= О' — 0 = 0 = 0' согласно определению поля. Аналогично проверя-
ется. что. если 1 и 1' — две единицы поля Р то 1 = 1'. Пусть a £ Р.
и пусть a — Ь = 0. где b € Р. тогда (—а) — (а - Ь) = (—а) — 0 = -а =
= (—а — а) — 5 = 0 — b = Ь. так что b = —а. Аналогично устанавли-
вается. что. если a/0uab = 1. то 5 = а-1.
1.5.5. Определение. Если а, b 6 Р. где Р — поле, то элемент
(а + Ь) € Р называется суммой элементов а и Ь. а элемент (ab) £ Р
называется произведением элементов а и Ь.
Далее считаем, что Р — поле.
Введение
25
1.5.6. Утверждение. Если а.Ь € Р. то уравнение а~х = Ъ
имеет в поле Р единственное решение х Ь - (—л). При этом пи-
шут х Ь — а и называют элемент х разностью элементов b и а (в
указанном порядке).
1.5.7. Утверждение. Если a.b € Р. причем о -/ 0. то уравне-
ние ax — b имеет в поле Р единственное решение х = Ьа~1. При этом
пишут х — Ъ/а и называют элемент х частным от деления элемента
Ь на элемент а.
1.5.8. Замечание. Операция разности называется вычитани-
ем. Таким образом, вычитание — это отображение Р х Р в Р. а
деление — отображение Р х (Р \ {0} в Р.
Свойства элементов поля
Пусть Р — поле. Тогда \fa.b 6 Р
а) a • 0 = 0:
б) — (—а) = а:
в) (—а) • Ь = л(—Ь) = — (ab):
г) (~а) ' (~Ь) =
д) если а / 0. то (л-1)-1 = а:
е) если а b - 0. то или а = 0. или Ъ = 0 (т.е. в любом поле
нет делителей нуля: делители нуля — это такие элементы а.Ь. для
которых а J 0; Ъ / 0 и а • Ъ — 0).
Доказательство. Так как 0 — 0 = 0. то а • 0 = (а • 0) — (а • 0) и
согласно единственности нуля в поле Р отсюда следует, что а () = 0.
Далее, а (—а) = (—а) — а - 0. и согласно единственности противо-
положного элемента получаем, что — (—а) = а. Равенство пункта в)
следует из соотношений (л • 6) — ((—л) Ь) = (л — (—а)) Ъ = 0 • b =
= Ь • 0 = 0 и аналогично (а • Ь) - (а • (—6)) а • (Ь - (—6)) = л • 0 — 0.
Так как а л-1 = 1 при а 0. то л-1а — 1. и поэтому справед-
ливо утверждение пункта д). Наконец, если а Ъ 0 и а 0. то
л-1 (л • Ь) = а~1 • 0 -- 0 - (л-1 • л) • b = 1 • Ь = Ь. так что Ь - 0.
Аналогично проверяется, что если а Ъ = 0 и b 0. то а = 0.
1.5.9. Определение. Пусть и € У и f: У„ —э .4. Положим
л/.- = f(k) Е А \/к е У„. Отображение f называется конечным се-
мейством элементов множества .4 и записывается в виде {лi:...: л,,}.
1.5.10. Замечание. В условиях определения 1.5.9 может слу-
читься так. что Эк'.к" G У„: к' / к" и = а/,.".
1.5.11. Определение. Пусть и £ У и {ni:...:n;l} конечное
семейство элементов поля Р. Положим
1 2
= Л1- лА. s - а?.
к 1 *— 1
26
Глава I
Если п 3, то положим
п п— 1
&к — &к ~ ^П'
к X к=1
Далее положим
1 2
JJ йк = ai; a-к = «1^2-
к-1 к- 1
При 7? > 3 положим
п /п—1 \
Пak s Па*')
к = 1 \к- 1 /
1.5.12. Замечание. При таком определении суммы и произ-
ведения конечного семейства элементов поля Р значение как сум-
мы, так и произведения не зависит от способа расстановки скобок,
а также не меняется при любой перестановке элементов ai....an.
Для упрощения записи примем соглашение, в соответствии с кото-
рым умножение выполняется раньше сложения (что позволяет не
ставить лишних скобок). Например, при п = 4
4
ak = ((ai • a2) • a3) • а4 = щ • (a2 • a3) • a4;
fc--l
при n = 5
«1 (a2'0.3.) ~ (04 ' O5) = 01 + 020,3 x OjO.s.
1.5.13. Определение. Пусть a E P. Положим a0 = 1 € P
(здесь 0 — вещественное число нуль). Если п € N. то положим при
п = 1 о1 = о: при п 2 положим ап = ап~1а.
1.5.14. Замечание. Нетрудно проверить, что если а Е Р и
о 0. то Vn € N ап 0 (применить метод математической индукции
no п Е N - см. ниже). При п = 2 это утверждение следует из того,
что в поле Р нет делителей нуля.
1.5.15. Определение. Пусть а £ Р и а Д 0. Положим V?i € N
о"’ =~ (о")-1.
1.5.16. Замечание. При условиях определения 1.5.15 нетруд-
но показать. чтоа-Г! = (а-1)" (снова применить метод математичес-
кой индукции по п Е N и использовать следующее свойство: если
a.b Е Р. причем а Д 0 и Ь 0, то (а • Д ] = а”1 • &'1; действи-
тельно. (а-1 Ь^1) • (а • Ь) = (а-1 • &-1) • (Ъ • а) = а"1 • (Ь-1 Ь) а =-
= а^1 • 1 • а = а-1 а == 1).
Введение
27
Свойства степени с целыми показателями
а) Если a.b € Р и п £ N. то
(о &)" - ап -Ьп:
б) Если а £ Р и т.п € N. то
(ат)п = ап‘":
в) Если а, Ь € Р. причем а 0 и b 0. то при т.п ^TL
(ab)ni = ambm:
(ат')п - а"'п:
атап =ат^‘
Все эти свойства доказываются методом математической индук-
ции (сначала для случая, когда т.п е N. а потом при условии
т.п -_7L — определения .множеств N и TL см. ниже).
1.5.17. Определение. Положим 0! = 1. Если п £ N. то
положим л! = (л — 1)!л (в частности, 1! = 1). Символ л! читается:
«л-факториал».
Формула бинома Ньютона
Если a. b € Р и п € N. то
(о -Ь)п = ^СкакЬп~к.
k о
Формула бинома Ньютона также доказывается с помощью ме-
тода математической индукции. Числа Ск называется биномиаль-
ными коэффициентами (другой термин: Ск — число сочетаний из п
по А). В доказательстве используется следующее легко проверяемое
свойство этих чисел:
= А 1.2.....л-1.
1.5.18. Определение. Поле Р называется упорядоченным,
если существует подмножество Р С Р. такое, что:
а) Если о. д £ Р . то а — b & Р~ и ab £ Р':
б) Vo € Р справедливо ровно одно из трех условий: а € Р :
а = 0: (-а) £ Р~.
1.5.19. Утверждение. Пусть Р — упорядоченное поле. Тогда
1 е Р~.
Доказательство. Если 1 Р~. то из условия 1 ф 0 следует,
что (—1) £ Р . но тогда 1 = ( —1)(—1) Р — противоречие.
1.5.20. Следствие. Поле Галуа Р = GF(2) но является упо-
рядоченным.
28
Глава I
Доказательство. Предположим противное, тогда 1 G Р~
Так как в поле Р = GF(2) 1- 1 0. то 0 £ F — противоречие.
1.5.21. Определение. Пусть Р — упорядоченное поле и а.
b 6 Р. Пишут а > Ь тогда и только тогда, когда а — b £ F: а > &
тогда и только тогда, когда а > b или а = b (в частности, а > 0
тогда и только тогда, когда а € Р~"). Пишут также, что а < b тогда
и только тогда, когда b > а; а < b тогда и только тогда, когда а < b
или а = b (в частности, а < 0 тогда и только тогда, когда (—а) £ Р^)-
1.5.22. Замечание. Из определения 1.5.21 нетрудно вывести
все основные свойства неравенств, известные из школьного курса
(например, если а > b и с > 0. то ас > Ьс; действительно, так как
(а — b) € ’ и с € Р+. то (а — Ь)с = ас — Ьс £ т. е. ас > Ьс).
1.5.23. Определение. Пусть Р — упорядоченное поле и а € Р.
Положим о = а. если а > 0; |0| = 0; |а| ~ —а. если а < 0 (читается:
модуль а).
Свойства модуля
а) Всегда |а| 0, причем |а| = 0 тогда и только тогда, когда
a = 0;
б) | - а = |а|;
bJ \ab\ = \a\\b\:
г) \a + b\ |а| + |6|.
Докажем, например, утверждение пункта г) (утверждения пунк-
тов а), б), в) проверяются непосредственно, исходя из определения
1.5.23). Если a — Ь = 0. то неравенство пункта г), очевидно, справед-
ливо. Пусть a + b > 0. тогда |а + 6| = a + b < |а| — |&|. поскольку всегда
a < |а| и Ь < |6|. Если же a + b < 0. то достаточно в приведенном
рассуждении заменить а на —а и b на — Ь.
1.5.24. Следствие. Если n Е N и {aj:...: ап} — конечное
семейство элементов упорядоченного поля Р. то
Оба этих свойства доказываются с помощью метода математической
индукции.
1.5.25. Определение. Пусть Р -- упорядоченное поле: .4 С Р;
Д 0. и пусть с Е Р. Элемент с называется верхней границей
множества Л. если Va Е Д а < с. Элемент d Е Р называется нижней
границей множества А. если Va Е Аа d. Если множество А имеет
в поле Р хотя бы одну верхнюю (нижнюю) границу, то говорят, что
А ограничено сверху (снизу). Если А ограничено как сверху, так и
снизу, то Д называется ограниченным множеством.
Введение
29
1.5.26. Определение. Если с € Л - верхняя граница А. то
говорят, что с — максимальный элемент А и пишут с = max Л. Если
же d е А — нижняя граница А, то говорят, что d — минимальный
элемент А. и пишут d = min Л.
1.5.27. Замечание. Если максимальный (или минимальный)
элемент А существует, то он единственный. Действительно, если
Ci = max Л и <?2 = max Л. то ci с.2 и сг Q, так что cj = С2 (ана-
логично и для случая, когда Д = min Л и d2 = min Л). Кроме того,
максимальный (минимальный) элемент Л является верхней (ниж-
ней) границей Л (но. вообще говоря, не наоборот, поскольку верхняя
(нижняя) граница Л может не принадлежать Л).
1.5.28. Утверждение. Любая нижняя граница А не превос-
ходит любой верхней границы.
Действительно, если d и с - - соответственно нижняя и верхняя
границы Л, то, выбирая элемент a € Л, можно утверждать, что
d Д а и а < с. так что d < с.
1.5.29. Утверждение. Если существует min Л и max Л. то
min Л < max Л. При этом min Л = max Л тогда и только тогда,
когда А — одноэлементное множество.
Действительно, неравенство min Л max Л следует из опреде-
ления 1.5.26. Если О].аг 6 Л, причем oj ао, то либо <ц < аг,
либо аг < 01- В первом случае min Л < «] < «2 max Л, так что
min Л Д max Л. Во втором случае min Л Д «2 < «i max Л и опять
min Л Д max Л.
1.5.30. Определение. Пусть Р — упорядоченное поле; Л С Р\
Л Д 0 и Л ограничено сверху. Элемент b £ Р называется верх-
ней гранью множества Л. если он является минимальным элементом
множества всех верхних границ Л. При этом пишут b - sup Л.
1.5.31. Замечание. Условие (sup Л) £ Л может, вообще го-
воря. не выполняться. Если же (sup Л) £ Л. то 3 max Л = sup Л.
В общем случае (т. е. при условиях определения 1.5.30) sup Л в по-
ле Р может не существовать. Если же sup Л существует, то такая
верхняя грань единственна.
1.5.32. Определение. Пусть Р — упорядоченное поле; Л С Р;
Л Д 0: Л ограничено снизу. Элемент b 6 Р называется нижней
гранью множества Л. если он является максимальным элементом
множества всех нижних границ Л. При этом пишут b = inf Л.
По отношению к нижней грани справедливо замечание 1.5.31 с
заменой sup Л на inf Л и max Л на min Л Очевидно также, что если
inf Л и sup Л существуют, то inf Л sup Л.
30
Глава I
Характеристические свойства верхней и нижней грани
I. При условиях определения 1.5.30 b = sup А тогда и только
тогда, когда выполнены условия:
а) ia е А а < b (т. е. h € Р — верхняя граница А):
б) Vc £ Р: £ > 0 За £ A: a > b — е.
II. При условиях определения 1.5.32 b - inf А тогда и только
тогда, когда выполнены условия:
а) Va 6 A a Ь (т. е. b € Р — нижняя граница А):
б) W 6 Р: г > 0 За £ А: a < b + е.
Доказательство. Докажем свойство I (свойство II обосновы-
вается аналогично). Пусть b £ Р и b = sup А. Из определений 1.5.26.
1.5.30 следует, что b — верхняя граница А. т. е. выполнено условие
а). Предположим, что условие б) не выполнено, тогда Зг € Р: £ > 0
и Va £ A: a < b — г. Следовательно. Ь — £ является верхней границей
А. что противоречит неравенству b — £ < Ь (поскольку Ь — наимень-
шая верхняя граница А). Обратно, пусть выполнены условия а) и
б). Предположим, что равенство b = sup А неверно, тогда ЭЬ' < Ь:
Ь' — верхняя граница А. Полагая £ = b - Ь' > 0. согласно б) можно
утверждать, что За £ А: а > b — £ — Ь’. что противоречит условию,
согласно которому Ь’ — верхняя граница А.
1.5.33. Определение. Упорядоченное поле Р называется пол-
ным. если любое непустое подмножество Р. ограниченное сверху,
имеет в Р верхнюю грань.
1.5.34. Определение. Упорядоченные поля Р и Р' называ-
ются изоморфными, если существует биекция f: Р —> Р'. такая ч то
Va.b £ Р
f(a — b)=f(a) . f(b):
f(ab) = f(a)f(by.
a < Ь тогда и только тогда, когда /(а) < /(6).
Такая биекция / называется изоморфизмом.
1.5.35. Замечание. Если упорядоченные поля Р и Р' изо-
морфны. то можно отождествить каждый элемент a £ Р с его обра-
зом /(a) £ Р'. При таком отождествлении можно считать, что Р и
Р' - два экземпляра одного и того же поля. В этом случае говорят,
что поля Р и Р' совпадают с точностью до изоморфизма.
Теорема об изоморфизме полных упорядоченных полей
Любые два полных упорядоченных поля изоморфны.
Указания к доказательству этой теоремы можно найти в [10.
ч. I. с. 77-78].
1.5.36. Определение. Множеством всех вещественных (дейст-
вительных) чисел R называется полное упорядоченное поле.
Введение
31
1.5.37. Замечание. Согласно замечанию 1.5.35 определение
1.5.36 однозначно задает такое ноле (с точностью до изоморфизма).
Что касается вопроса о том, существует ли такое поле, по этому пово-
ду можно сказать следующее. Если существует множество всех на-
туральных чисел, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пе-
ано, то существует и поле R. (Доказательство этого утверждения
можно найти в [17].) В нашем изложении мы, однако, предпочитаем
сначала задать поле так, как это сделано выше, а затем определить
множество R (этот способ значительно короче).
1.5.38. Определение. Множеством А с R называется индук-
тивным, если 1 € А и Va G А (а + 1) £ А.
Например. А = R — индуктивное множество. Другой пример:
множество А = {a € R | а 1} является индуктивным.
1.5.39. Определение. Множеством N всех натуральных чисел
называется пересечение семейства всех индуктивных множеств.
1.5.40. Следствие. Множество N является индуктивным.
Основная теорема индукции
Пусть А — индуктивное множество, причем А С N. Тогда
А = N.
Доказательство. Согласно определению 1.5.39 N С А, и по-
этому А = N.
1.5.41. Замечание. Основную теорему индукции можно сфор-
мулировать следующим образом: если 1 € А и Va £ А (а — 1) £ А.
причем А С N, то А = N (принцип полной математической ин-
дукции) .
1.5.42. Замечание. Из определения 1.5.39 можно вывести все
свойства натуральных чисел, известные из школьного курса. На-
пример. если т.п G N. то (ш -т- n) € N и (т n) £ N; если п £ N:
х е R. причем п < г < n + 1. то т N и т. д.
1.5.43. Определение. Число z € R называется целым, если
z g N или (—г) е N пли z — 0. Множество всех целых чисел будем
обозначать Z.
Имеем N С TL С R. При этом N 7^ TL. т.е. (Z \ N) 0. Дейст-
вительно. ( — 1) R. поскольку в противном случае из равенства
— (—1) -- 1 £ N следовало бы что 1 + ( — 1) = 0 £ N — противоречие,
так как согласно доказанному выше 1 > 0 и. если п € N и п > 0. то
zz 1 > 1 > 0 и поэтому Vn g N п > 0. Таким образом. (—1) € (Z\N)
и 0 € (Z \ N).
Можно также утверждать, что TL = N и {—N} U {0}. где —N =
= {—п | п £ К}.
1.5.44. Замечание. Из определения 1.5.43 следуют все свойст-
ва целых чисел, известные из школьного курса. Например, если
32
Глава I
к е 7L и I е TL. то (к -() € Z и (кГ) е Z: если г 6 1 z е В и
z < х < г + 1. то х / Z и т. д.
Можно доказать также, что справедливо следующее утвержде-
ние.
1.5.45. Утверждение. Vz € R 2! z G 7L-. z С х < г — 1.
1.5.46. Определение. Число z, существование и единствен-
ность которого следует из утверждения 1.5.45. наз'ывается целой
частью вещественного числа х и обозначается z = [z].
Принцип минимального элемента
Любое непустое подмножество N имеет минимальный элемент.
Этот принцип можно обосновать, используя метод полной ма-
тематической индукции.
Заметим ещё. что если такое подмножество ограничено сверху,
то оно имеет максимальный элемент (доказательство проводится
аналогично).
1.5.47. Определение. Число г € R называется рациональ-
ным. если Зн? е 7L и Зп € К: г - m/п. Дробь m/п называется
рациональной дробью.
1.5.48. Определение. Рациональная дробь т/п называет-
ся несократимой, если Н.О.Д.(тп: 7?) = 1 (здесь Н.О.Д.(т:т?) - наи-
больший общий делитель чисел in € TL и n G N). и сократимой в
противном случае.
1.5.49. Замечание. Из определения 1.5.47 следуют все свойст-
ва рациональных чисел, известные из школьного курса. Например,
если ГП1/П1 и П12/П2 — две рациональные дроби, то
772] ))12 777 । 7?2 - 777 2 77 ] 777 } 772'2 777 1 7772
771 П‘2 72 1 772 П] Н2 72 ] 72'2
если т/п — рациональная дробь и т 6 N. то (zn/n)-1 = n/т (в
случае, когда ( — 7») € N. имеем (т/п) = —??/( —ш) и т.д.).
Ясно также, что всякая сократимая дробь равна некоторой несо-
кратимой (достаточно разделить числитель и знаменатель такой
дроби на их наибольший общий делитель)
Множество всех рациональных чисел, как сказано выше, будем
обозначать Q. Имеем X С Z С Q С R. В обосновании нуждается
только включение TL С Q. Эго включение следует из того, что если
z € TL. то z = | e Q.
Обозначая 2 = 1 — 1 > 1. можно утверждать, что 1/2 € (Q \ Z).
Действительно, если z - \/‘2 £ 7L. то 1 = 2с. так что либо z > 0 и
тогда z € X в г 1 — противоречие, так как 2с 2 > 1. либо z < О
и тогда 1 2с < 0 - противоречие.
1.5.50. Утверждение. Множество всех рациональных чисел
счетно.
Введение
33
Доказательство. Из определения 1.5.47 следует, что Q с
(Z х IN), так что |Q| < х N|. Множество TL счетно. Действитель-
но. полагая /(1) = 0; /(2) = -1: /(3) = 1; /(4) = -2; /(5) = 2 и т.д.
(фраза «и так далее» обосновывается с помощью метода математи-
ческой индукции: при этом 3 = 2 + 1: 4 = 3 + 1; 5 = 4 + 1 и т. д.),
можно утверждать, что /: N -> Z — биекция. Поскольку декарто-
во произведение двух счетных множеств счетно, то множество Q не
более чем счетно. Так как N с Q, то |N( < Qтак что Q не может
быть конечным. Следовательно, Q — счетное множество.
1.5.51. Утверждение. Множество всех рациональных чисел
является упорядоченным полем.
Доказательство. Если /ц £ Q и r2 £ Q. то согласно пра-
вилам действий с дробями (п -+ г2) £ Q и (грд) € Q. Кроме того,
0 = 0/1 £ Q: 1 = 1/1 £ Q и. если г £ Q, то ('—г) g Q;b случае, когда
г 0. г-1 € Q. Поэтому Q — поле. Положим Q ” = {г £ Q | г > 0},
тогда, если п € Q" и г2 £ Q А то (п + г2) £ Q- и (tit2) 6 Q-- При
условии г £ Q либо г = 0, либо г > 0 и тогда г £ Q^. либо г < 0 и
тогда (-г) £ Q+. Итак. Q — упорядоченное поле.
1.5.52. Замечание. Далее будем показано, что упорядочен-
ное поле Q не является полным. Отсюда, в частности, следует, что
J = IR\Q 0. Так, определенное множество ^/называется множест-
вом всех иррациональных чисел, а его элементы — иррациональны-
ми числами. Имеем Ди Q = R; Д’П Q = 0.
Теорема о существовании нижней грани
Всякое непустое подмножество R. ограниченное снизу, имеет в
поле R нижнюю грань.
Доказательство. Пусть Д — такое подмножество, тогда
3d £ R: Va £ A a d. Положим Д = {—a | a £ Д}. Так как
Va £ A —a А — (I. то число —с? является верхней границей множест-
ва —А (при этом (—Д) А 0- поскольку Д А 0)- Значит, множест-
во —А ограничено сверху в полном упорядоченном поле, и поэтому
Зс = sup(—Д) £ R. В частности. Va £ А (—а < с) =+ (а > —с), так
что число —с является нижней границей множества Д. Покажем,
что —с = inf Д. Действительно, в противном случае ЗА > —с: с' -
нижняя граница множества Д. Следовательно, число —А являет-
ся верхней границей множества — А. что противоречит неравенству
—с' < с = sup(—Д). Итак. 3 inf Д = — sup(—Д).
Теорема Архимеда
Множество IN в поле R нс ограничено сверху.
Доказательство. Надо доказать, что V.r £ R Зп £ N: п > х.
Если множество N ограничено сверху, то 3(supN) £ R. Согласно
34
Глава I
свойству б) верхней грани отсюда следует, что Зп € У: п > sup У — 1.
так что n -и 1 > sup У. Так как У — индуктивное множество и п € У.
то и — 1 g N - противоречие.
1.5.53. Следствие. Vs > 0 Зпц 6 N: Vn по 1/п < =•
Доказательство. Имеем 1 /п < е тогда и только тогда, когда
п > 1/е. По теореме Архимеда Зпо G У: по > 1/е. Если п по.
то и подавно п > 1/е.
1.5.54. Утверждение. Упорядоченное none Q не является
полным.
Доказательство. Покажем сначала, что уравнение г2 = 2 не
имеет решений, г е Q. Действительно, если г = m/n (т € %: n & N)
и г2 = 2. то т2 2п2. Дробь т/n можно считать несократимой.
Если т = 2к + 1. где к Е 7L. то т2 ~ 4А?2 -4 -1k -+- 1 = 2(2А-2 — 2к.) —1.
т. е. число т2 нечетно — противоречие, так как т2 — 2п2. Итак.
Зк е Z: (m = 21-) => (т2 = 4А?2 --- 2п2). т.е. п2 = 2к2. Следовательно.
п четно, и поэтому Н.О.Д.(т. п) 2. так что т/п - сократимая
дробь, и мы пришли к противоречию.
Далее положим А = {г € Q | г > 0 и г2 < 2}. Так как IgA.
то А / 0. Поскольку Vr g А 0 < 2 - г < 4 - г2 - (2 — г)(2 + г).
то г < 2. т.е. 2 — верхняя граница А. Следовательно, множество
А в поле Q ограничено сверху числом 2 g Q. Допустим, что Q —
полное поле, тогда За? = (sup .4) € Q. При этом а-2 / 2: а? > 0. Если
1 / 1 \ ~
а?2 < 2. то 2 — х2 > 0. Далее. Vn е У а' • - g Q и г-I = х2
п \ п /
2а- 1 2 2а- - 1 Л 1 2 - а-2 „
——<—-z у т -I----------< 2. если — < -----. Последнее неравенст-
п п2 n п 2а-— 1
во согласно следствию из теоремы Архимеда справедливо
Vn > по (т.е. такое число n0 € -V существует). Полагая го
= а- - 1/по € Q. видим, что го > 0. и поэтому г() е .4. что про-
тиворечит неравенству г0 > X = sup.4.
Если а-2 > 2. то
/ 1\2 2 2.г
а-----а-2--------
\ п) п
1 J’2 - 2 „
— < —----. Выонрая
.г2 — 2 > 0 и Vn g У а- - 1/n е Q. причем
1 2 2а- 2а? 2
----i > .г------->2. если — < а’ — 2. т.е.
772 п II
n = ni £ У так. чтобы последнее неравенство
выполнялось, видим, что х—1/111 А. и. если 0 < а----< г < .г. где
П1
г е Q (первое неравенство справедливо для всех достаточно больших
значений /ц. поскольку ,г > 0). то 2 < (а? —1/щ)2 < г2 < х2. и
поэтому г .4.
Если положить е = — > (). то получим, что V/- € .4 г V а- — с <
гц •
< х = sup .4. поскольку при условии а’2 > 2 х £ .4. Таким образом
Введение
35
при таком условии число х - е является верхней границей А, что
противоречит неравенству х — г < sup Л.
В итоге получаем, что ни один из трех возможных случаев
х2 = 2; .г2 < 2; х2 > 2 не может иметь места. Это означает, что
множество А не имеет в поле Q верхней грани. Следовательно, поле
Q не может быть полным.
1.5.55. Замечание. Так как .4 с R; А 0 и А ограничено в
R сверху числом 2. то 3(supA) 6 R. Если положить х = sup А. то
согласно утверждению 1.5.54 т 6 (R\Q). Таким образом, существует
иррациональное число .г > 0. квадрат которого равен 2. Такое число
единственно (в противном случае, если у > 0 и у2 — 2, причем у ф х,
то (у'2 = .г2) => {{у - х)(у + х) = 0) => (у = д) — противоречие).
Пишут х = л/2.
1.5.56. Утверждение. Если х, у е R, причем х < у, тоЗг 6 Q:
х < г < у (свойство плотности множества Q во множестве R).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
у > 0. Действительно, если х < у < 0. то 0 А — у < -х. Если
утверждение верно при у > 0, то. заменяя у па х. получаем, что
Зг £ Q: (-у < г < -.г) => (х < -г < у), причем (-г) е Q.
Пусть у > 0 и х < у. Тогда Зп е N: 1/п < у — х. Зафиксируем
такое значение п и положим А = {m € X | (77г — 1)/п < у}. Тогда
А С N и А / 0, так как 1 € А; А ограничено в R сверху числом
1 пу. Поэтому ЗтахА = к е N. При этом к е А, т. е. (к —
— 1)/п < у. Покажем, что (к - 1)/п > х. Если (к - 1)/п < х. то
— (к — 1)/п — х. и поэтому 1/п = к/п — (к— 1}/п у-х, поскольку
к/n у (если к/п < у. то к - 1 е А. что противоречит условию
к = max А). Мы получили противоречие. Следовательно, х < г < у.
если положить г = (к — 1)/тг 6 Q.
1.5.57. Следствие. При условиях утверждения 1.5.56 сущест-
вует бесконечно много рациональных чисел г. таких, что х < г < у.
Доказательство. Достаточно, установить, что Vn € N таких
рациональных чисел больше п. Если /ц G (Q п ,г < п < у. то Зтд t Q:
,г < Г1 < Г2 < У- Для обоснования сформулированного утверждения
достаточно использовать метод математической индукции.
1.5.58. Определение. Пусть a.b € R и а Ь. Положим
[а Д] = {т € R | a < .т < Ь}
и назовём множество [а. &] отрезком (пли сегментом) с концами в
точках а и b (если, в частности, a = Ь. то говорят, что этот отрезок
вырождается в точку). При a < b положим
(а. Ь) = {.г G R ; a < х < Ь}
36
Глава I
и назовём множество (а. Ь) конечным интервалом с концами в точках
а и Ь. Положим далее
[а. Ь) = {.г- S R | а С х < Ь}:
(в. = {г € R | о < / Ь}
и назовем множества [а. 6) и (а. 6] конечными полуинтервалами с
концами в тех же точках.
Все эти множества будем также называть конечными промежут-
ками длины b — а.
1.5.59. Определение. Пусть А / 0 и f: N —> А. Всякое та-
кое отображение f называется последовательностью элементов мно-
жества А. Множество /(N) С А называется множеством значений
последовательности f.
1.5.60. Замечание. Если положить Vn € N /(п) = а„ £ .4.
то последовательность f обычно записывается в виде {а„}. п —
— 1.2...... Множество значений /(N) - {а 6 А | 3?? € N: /(п) = а}
этой последовательности не более чем счетно (и непусто).
1.5.61. Замечание. Если Д„ 6 Р(И). п = 1.2.то пишут
U = U CU = П
п 1 neN n=i neN
1.5.62. Определение. Если ап Е R. п = 1.2..то последо-
вательность {о,г} называется вещественной последовательностью.
1.5.63. Определение. Пусть .4 С R: В с R: А 0: В / 0.
Множества А и В называются отделимыми, если Зс £ R: Va £ А.
ЧЬ £ В а С с Ь. Число с при этих условиях называется отделя-
ющим числом.
Теорема об отделимости
Пусть .4 С R: В С R: .4 / 0: В / 0 и пусть Va Е .4. V& Е В а С Ь.
Тогда множества АиВ являются отделимыми.
Доказательство. Пусть b € В (Ь - фиксировано), тогда
Va Е .4 а Ч Ь. и поэтому b — верхняя граница А. Так как .4 0 0
и ограничено сверху, то 3(sup.4) Е R. При этом ЧЬ Е В b sup .4.
т. е. sup .4 — нижняя граница В. Поскольку В 0 0 и ограничено
снизу, то по теореме о существовании нижней грани 3(inf В) Е R.
причем sup .4 0 inf Г?. Если выбрать число с Е R так. чтобы sup А 0
0 с 0 inf В. то с будет отделяющим числом, так как Ча Е .4 ЧЪ £ В
а 0 sup .4 0 с 0 inf В 0 Ь.
1.5.64. Замечание. Если при условиях теоремы об отдели-
мости sup .4 = inf В. то отделяющее число с единственно (а именно
с - sup.4 - inf В). Если же sup .4 < inf В. то можно выбрать лю-
бое значение с Е [sup .4. inf В] (и поэтому таких чисел с бесконечно
много).
Введение
37
1.5.65. Замечание. При условиях теоремы об отделимости
sup Л = inf В тогда и только тогда, когда. Ve > 0 За 6 А ЗЬ G В:
Ь — а < £ (это следует из свойств а), б), а), б) верхней и нижней
грани).
Теорема Кантора о последовательности вложенных
сегментов
Пусть {[ап,Ьп]}, п = 1.2,..— последовательность сегментов, и
пусть Vn е N [an+1.fen_i] С [an.bn|, т.е. an ап.щ 6„_i Ьп (та-
кая последовательность называется последовательностью вложен-
ных сегментов). Тогда ( Q [оп,Ь„]) 0.
П=1
Доказательство. Если т.п 6 N. то am a„,+i ^ ... ^
ат п С bmin С bmin-i ••• Ъп. Пусть А — множество зна-
чений последовательности {а,,}; В — множество значений последо-
вательности {Ьп}, тогда Va G А ЧЬ Е В а < Ь, причем А 0 и
В 0. Согласно теореме об отделимости Зс 6 R: Va G A, ЗЪ Е В
а с Ь, т.е. Vm.n Е N ат С с < Ьп- В частности, при т = n Е N
ап с Ьп, т.е. се |а„.6п]. Следовательно, (с Е f) [an,bn]), так
П~-1
что ( П [an, 6„]) / 0.
П“1
1.5.66. Следствие. Если при условиях теоремы Кантора
sup Л = inf В, то р) |an.bn] — одноэлементное множество.
П=1
Для справедливости последнего равенства необходимо и доста-
точно. чтобы Ve > 0 Зп Е N: bn - an < е. Если же a = sup Л <
< 3 = inf В, то
Q[an.b„] = [a. 3].
П = 1
1.5.67. Замечание. Для последовательности вложенных ин-
тервалов или полуинтервалов соответствующее утверждение, вооб-
ще говоря, неверно. Пусть, например. an = 0: Ь„ - 1/n. п = 1.2.
тогда Vn Е К (0.1/(п— 1)) С (0.1/п). хотя Q (0.1/п) - 0: в про-
п-1
тивном случае Зс Е ( П (0.1/п) )• т.е. Vn е N 0 < с < 1/п. что
\п= 1 /
противоречит следствию из теоремы Архимеда. Аналогично прове-
ряется. что
П(о.1Дп[-1.|))=в.
1 ’ \ П ' 1 71 J
п=Л х J n~l u
38
Глава I
Теорема Кантора о несчетности множества R
Множество R всех вещественных чисел несчетно.
Доказательство. Так как N С R. то |R| Д Х|. так что R —
бесконечное множество. Покажем, что |R| > |Х|. Предположим,
что |R| -- |N|. тогда существует биекция f: N R. Если V/? 6 N
хп = /(n) е R. то /(N) = R. причем Vm.n G N: (тп п) => (тт /
Д ,тп). Достаточно проверить, что отрезок [0.1] несчетное мно-
жество (поскольку [0.1] С R. то |[0.1]| < R|). Если Е = {^ \ п Е N}.
то Е С [0.1] п Е — счетно. Следовательно. [0.1| — бесконечное мно-
жество. Заменяя в предыдущем рассуждении R на [0.1] и предпо-
лагая. что множество всех точек отрезка [0.1] счетно, получаем, что
существует последовательность {;„}. для которой
UU} = [0.i]
п- 1
и Утп.п е N: (ш Z?) => (з,„ z„).
Разделим отрезок [0.1] на три равных по длине отрезка точками
| и Хотя бы один из этих отрезков не содержит точку cj. Пусть
[ai.fei] — такой отрезок. Разделим его на три равных по длине от-
резка. и пусть [щ-Ы — гот из этих отрезков, который не содержит
точку г2. При этом [«2-^2] С [«1.61]. Рассуждая далее по индукции,
получаем последовательность {[а;).6га]} вложенных сегментов, для
которой V?? € X г„ [cz„.6„|. По предыдущей теореме существует
точка с е (аЛ,. Ьп]: п = 1.2. Так как [<Zi.6i] С |0.1] и с е [ai. t>j ].
то с Е [0.1]. и поэтому 3/?о т N: с = что противоречит усло-
вию с„0 [о„0.6„0]. Следовательно, отрезок [0.1] не может быть
счетным множеством, что и доказывает теорему.
1.5.68. Определение. Если |Д| = |R|. то говорят, что мно-
жество Д имеет мощность континуума.
Свойства множеств мощности континуума
а) Множество R х R имеет мощность континуума.
б) Если Е - счетное множество, то множество Р(Е) имеет мощ-
ность континуума.
в) Если a. Ь Е R л а < Ь. то каждый из промежутков с концами
в точках а и b имеез мощность континуума.
г) Пусть F = {/ | /: R -> {0:1}'}‘ Тогда \F' > R| (точнее.
Е\ = \Р(Е)Ц.
Читателю предлагается обосновать эти утверждения самостоя-
тельно. используя, в частности, свойства счетных и несчетных мно-
жеств. рассмотренные выше.
1.5.69. Замечание. Поскольку множество R несчетно, a Q
счетно, то согласно одному из указанных выше свойств IR \ (Q = R
Введение
39
(т. е. множество всех иррациональных чисел имеет мощность конти-
нуума).
Гипотеза континуума
Не существует множества А. такого, что |N| < А < |R|.
Это утверждение было высказано в качестве гипотезы более ста
лет тому назад. На протяжении длительного времени его не уда-
валось ни доказать, ни опровергнуть (хотя к тому времени систе-
ма аксиом Цермело-Френкеля была уже известна). Лишь в 1966 г.
американский математик П. Коэн доказал неожиданный результат,
смысл которого состоит в том. что гипотеза континуума логически
не зависит от аксиом теории множеств. Точнее, это означает сле-
дующее. Если система аксиом Цермело-Френкеля непротиворечива
(т.е. не существует утверждения, формулируемого в терминах этой
системы аксиом, которое, опираясь на указанные аксиомы и прави-
ла формальной логики, можно как доказать, так и опровергнуть),
то добавление к ней в качестве новой аксиомы как гипотезы конти-
нуума, так и её логического отрицания в обоих случаях приводит к
непротиворечивой системе аксиом. На языке математической логи-
ки это означает, что система аксиом теории множеств не является
полной. Заметим, что ещё в 30-х годах XX века немецкий матема-
тик К. Гёдель доказал теорему о неполноте, утверждение которой,
грубо говоря, заключается в том. что если некоторая аксиоматичес-
кая система содержит не слишком мало аксиом, то она обязательно
будет неполной.
Расширенные множества действительных чисел с одной
и двумя бесконечно удаленными точками
Рассмотрим, наряду с множеством R. элемент ос R. Назовем
этот элемент бесконечно удаленной точкой. Положим R = R U {ос}
и назовём множество R расширенным множеством действительных
чисел с одной бесконечно удаленной точкой. Далее положим:
а) ос • ос = ос:
б) V.r е R х/ос = 0: х - ос = ос — х = ос;
в) V.r е R (д 0) => (х • ос = ос • х = ос).
Рассмотрим ещё два элемента (—ос) R и ( — ос) R. Эти
элементы также будем называть бесконечно удаленными точками.
Множество R = R U {-<-ос: —ос} назовём расширенным множеством
действительных чисел с двумя бесконечно удаленными точками. По-
ложим далее:
а) (-ос) + (-ос) = -ос:
б) (-ос) - (-ос) = -ос:
в) V.t £ R х — (+оо) = (—ос) — х = —ос; х — ( — ос) = ( — ос) + х =
40
Г л а в a I
г) V.r е R: (я- > 0) => (т(гэс) = (-ос).т = -ос и х( —ос) =
= (_^)т = -эс):
д) V.r е R: (т < 0) => (т( • ос) = (н-ос)гг = -ос и х(-эс) =
= (-эф = —ос):
с) (*-ос)(-эс) = (—ос)(—ос) = -ос: (-эс)(-эс) = (-ос)(-ос) =
= —ос:
ж) Vt 6 R x/-i-oo = х/—х, = 0:
з) —ос < —ос п Vr € R — ос < х < - ос.
1.5.70. Определение. Пусть А С R: А ф 0. Если А не
ограничено сверху, то положим sup А — +ос. Если А не ограничено
снизу, то положим inf А = —ос.
1.5.71. Утверждение. .Множество А С R: А / 0 ограни-
чено тогда и только тогда, когда 3.1/ > 0: Va € А |а| V .1/ (т.е.
а е I-.1/..1/]).
Доказательство. Если А ограничено, то Зс.d G R: Va G А
d < а с. и поэтому |а| О .1/ = гаах{|с|: |</|} (последнее неравенство
следует из свойств модуля). Обратно, если 3.1/ > 0: Va Е A|a| V .1/.
то. полагая d = —М и с = М. видим, что Va G A d V а с т.е.
А ограничено в R.
1.5.72. Определение. Пусть a € R. Положим
[а. -ос) = {а- € R | а .г}:
(а. —ос) = {х е R | а < т}:
(—ос: а] = {я € R | т < а}:
( — ос:а) = {т € R | х < а}:
(-ос:-ос) = R:
[—ос:—oc] = R.
Назовем все эти множества бесконечными промежутками (при
этом множества [а.-ос) и ( — ос: а] называются бесконечными полу-
интервалами. а множества (а.—ос), ( — ос:а) и ( — ос:—ос) - беско-
нечными интервалами).
1.5.73. Замечание. Выражаясь на геометрическом языке,
можно сказать, что между множеством R и множеством всех то-
чек числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие.
Это соответствие сохраняет порядок в том смысле, что большему
числу соответствует точка, лежащая правее на числовой прямой.
По этой причине множество R иногда называют числовой прямой, а
его элементы (т.е. действительные числа) — точками этой прямой.
Десятичные дроби
Пусть ,т € R и .г > 0. Положим по = |я'|. тогда hq g Nq. Если
числа nj.....пд-i € {0:1:... :9} уже выбраны, то пусть гр- — паи-
Введение
41
<- ni
оольшее целое число, такое, что п.п---------h .
10
условий следует, что 0 < < 9: к = 1,2...
-----Г < х (из этих
10fc v
и Vi € N Эк E N:
к > i и nk 9).
Пусть E = 7i0 -i- + • • + I € N |. тогда x = sup E. Раз-
ложение числа x в бесконечно десятичную дробь имеет вид х =
= По, П]П'2... п*..... Обратно, для любой бесконечной десятичной
дроби вида по.ПлП-2 - Пк-. такой, что Vi 6 N Эк Е N: к > i и
Пк ф 9, множество Е ограничено сверху и эта дробь является деся-
тичным разложением sup Е.
Если х = 0. то полагаем х = 0.0... 0...; если же х < 0 и -х =
= По- Пг'По . . . Пк . • .. TO X = —По- • • • Пк .
1.5.74. Замечание. Нетрудно проверить, что десятичная
дробь по. П1П-2 ... Пк = х является периодической (т. е. ЗА’о € No и
ЭТ Е N: Vm Е N /ц.о= Пк0 + тТ — i: i = 1.........Т) тогда и только
тогда, когда х Е <Q.
1.5.75. Замечание. Вместо бесконечных десятичных дробей
можно рассматривать бесконечные двоичные, троичные дроби и т. д.
(при этом основание системы счисления 10 заменяется на 2, 3 и т. д..
а цифры 0,1 9 заменяются соответственно цифрами 0.1: 0,1.2
и т. д.).
1.6. Топология числовой прямой
1.6.1. Определение. Пусть х0 Е R. и 5 > 0. Тогда интервал
W-(zo) = (то - + г) называется e-окрестностью точки ,т0. Мно-
жество Щто) = £4(zo)\{.ro} называется проколотой е-окрестностыо
точки .г().
1.6.2. Замечание. В определении 1.6.1 число г > 0 называется
радиусом окрестностей £Л(.Го) и 1Е(хо)- Если это число не задано,
то окрестности обозначаются соответственно U(xo) и Z/(.r0).
1.6.3. Определение. Пусть Е С R. Точка ,т0 Е R называется
предельной точкой множества Е. если Vs > 0 (IE(xq) А Е) 0.
1.6.4. Определение. При условиях определения 1.6.3 точка
л’о G Е называется внутренней точкой множества Е. если 3s > 0:
Us(xo) С Е. При тех же условиях точка Тц t (R \ Е) называется
внешней точкой множества Е. если она является внутренней точкой
дополнения R \ Е.
1.6.5. Определение. Точка ,т0 € R называется граничной
точкой множества Е. если Vs > 0 (lE(xo) А Е) ф 0 и (£4(-Го) А
A(R. \ Е)) ф 0.
1.6.6. Определение. Множество всех внутренних точек Е
называется внутренностью множества Е и обозначается Int Е. Ана-
логично определяется внешность множества Е.
42
Глава I
1.6.7. Определение. Множество всех граничных точек Е на-
зывается границей множества Е и обозначается Г(Е).
1.6.8. Утверждение. Пусть Е С R. Тогда Int Е U Int(R \ Е) U
иГ(Е) - R. причем эти три множества попарно не пересекаются.
Справедливость этого утверждения следует непосредственно из
сформулированных выше определений. Если, например. Е = R. то
IntE = R: Int(R \ Е) = Int 0 = 0: Г(Е) = 0. Если'же Е = X. то
IntE = 0: Int(R \ Е) = R \ Х; Г(Е) = Л’. Если, наконец. Е - Q. то
Int Е = 0 (в противном случае должен существовать интервал, все
точки которого рациональны, что противоречит счетности множест-
ва Q и несчетности интервала): Int(R \ Е) - 0 согласно свойству
плотности множества Q: Г(Е) = R.
Теорема Больцано-Вейерштрасса для ограниченного
бесконечного множества точек из R
Всякое ограниченное бесконечное множество точек из R имеет
в R хотя бы одну предельную точку.
Доказательство. Пусть Е — такое множество, тогда ЗЛ/ >
> 0: Vt е Е |т| < Л/ (т. е. х G [—ЛЕ Л/]). Разделим отрезок [—ЛЕ Л/]
на два равных по длине отрезка [—ЛЕО] и [0. ЛЕ]. Хотя бы один
из этих отрезков содержит бесконечно много точек из Е. Пусть
[щ. &]] — такой отрезок, тогда [ai-bi] ГЕ — бесконечное множество.
Точка (щ + 6j)/2 делит этот отрезок на два равных по длине отрез-
ка. хотя бы один из которых содержит бесконечно много точек из Е.
Пусть |д2.62] — такой отрезок, тогда [о2- ^г] С [ор и [о2. М А Е -
бесконечное множество. Кроме того, bi — ai -- Л/ и 62 — д2 = Л//2.
Рассуждая далее по индукции, убеждаемся в том. что существует
последовательность вложенных сегментов {[«„.£>„]}. п - 1.2.та-
кая. что Vn g X' [о„. bn] Г। Е бесконечное множество и bn — а„ —
= ЛЕ/2"~1. По теореме Кантора
т. е. Vn € Х«„ .го Ь„. Пусть с > 0 выбрано произвольно, тогда
3// g X: Ь„ — «„ Л//2"-1 < с (действительно, последнее нера-
венство справедливо, если Л//п < s. т. е. п > М/с. так как Vn € X
2"~ п. что нетрудно проверить по индукции). Для этого n g X
имеем а„ St .г0 St 6,, и Ьп — а„ < г. и поэтому Vx € |а;1.Ь,г] из
неравенств ап st ,г SJ Ьп следует, что 0 st blt — .г Ьп — ац < е и
0 st х — о„ Ь„ — а„ < е. Таким образом. — ~ < ап — Ьп х — .го
b,i — а„ < г. т.е. х € 1Е(х0). Это означает, что [«„.&„] С ZE(.z’o).
и поэтому
([а,г.Ь„] П Е) с (E£(j?o) А Е).
Введение
43
Так как Ь„] П Е - бесконечное множество, то из этого вклю-
чения следует, что Ме(тд) Л Е — бесконечное множество и, значит.
IE(xq') Л Е — бесконечное множество, так что ДЕ (ад) Л Е) Д 0.
В итоге получаем, что Jq € В - предельная точка множества Е.
1.6.9. Утверждение. Пусть х^ ~предельная точка множества
Е. Тогда Vs > 0 £Д(ад) Л Е -- бесконечное множество.
Доказательство. Предположим, что 3s > 0: ££(ад) Л Е —
конечное множество (и непустое по определению предельной точки).
Тогда 3/г £ N: ]/£(Дд) Л Е\ = п (т.е. // - число элементов множества
£Е(ад) Л Е). Имеем /£(ад) Л £ = {ад:... :тп}. причем х, Д хд при
/ -/= у. i.j = 1 п. Так как х, Д ад. то г > Д’( — а’о| > 0. i =
= 1....п. Положим Т = min{|a'i — ад|:...: |тп — ;го|}- тогда 0 < s' Д
< \т, — ад|. г — 1.п. Следовательно, s' < s и Z£/(.r0) С £Д(ад). так
что ДЕДад) Л Е) С Д4(ад) Л Е) — {ад:. .лад} Если З.г £ (йе’(тп) Л
ЛЕ), то отсюда следует, что 3zu € N„: .г = х1(). что противоречит
неравенствам |.г?|) — ,гд| Д s' и 0 < 1,т — ад' < s'. Таким образом.
/ЕД/гд) Л Е = 0. что противоречит определению предельной точки
ад множества Е.
1.6.10. Следствие. Конечное множество Е С R не имеет в
предельных точек.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, ес-
ли Е - N. то Е — бесконечное множество, нс имеющее ни одной
предельной точки.
1.6.11. Утверждение. Пусть Е С R: Е V 0. и пусть множест-
во Е ограничено сверху (снизу). Если хе = supE у Е (соответствен-
но. ад = inf Е Е). то в обоих случаях ./д — предельная точка Е.
Доказательство. Пусть а’о - sup Е Е. тогда V.r £ Е
.г Д лд. и так как а’о Е. то .г Д а’о. т.е. а’ < ад. Кроме то-
го. согласно характеристическому свойству верхней грани Vs > 0
З.г £ Е: х > ад — s. Для этого значения ,г ад - s < а- < ад и поэтому
х € ДЕ(лд) Л Е). так что ZE(.r0) Л1 Е Д 0. Следовательно, ад — пре-
дельная точка Е. В случае, когда а’о - inf Е у Е. доказательство
проводится аналогично.
Для случая, когда а’о = sup Е £ Е пли ад = inf Е £ Е. утверж-
дение 1.6.11. вообще говоря, неверно. Например, если Е = |0.1]и{2}.
то .Го - supE = 2 £ Е и а’п не является предельной точкой Е. так
как при s = 1 ZE(.z\)) Л £ — ((1-2) U (2.3)) Л Е = 0.
1.6.12. Определение. Пусть Е С R. и пусть Е' С R — мно-
жество всех предельных точек Е. Положим Е - £ Л Е' и назовём
множество Е замыканием множества Е.
1.6.13. Замечание. Если Е = 0. то полагают Е' = 0. так что
0=0. Если же Е - R. то Е' = R и Е - R. В обоих случаях Е - Е.
44
Глава I
Свойства замыкания
а) Всегда Е С Е;
б) Если Е С F С R. то Е С F:
в) Если Е^.Е'2 С R, то Ei U Е2 = Ei U Е2.
Доказательство. Включение Е С (Е U Е') очевидно. Если
Е С F. то Е' с F'. и поэтому Е С F. Так как Ei Q (Ei U Е2), то
EJ С (Ei U Е2)' и аналогично Е2 С (Ех U Е2)'. Значит. Ei U Е2 С
С Ei U Е2. Покажем, что справедливо включение Ei U Е2 С Е] UE2.
Для этого достаточно убедиться в том. что (Ei U Е2)' С (EJ U Е2).
Пусть хо — предельная точка множества Ei иЕ2, т. е. Ve > О ZZ(.ro) П
П(Е] U Е2) Д 0. Предположим, что ЗЕ] > 0: Z7£1 (гц) A Ei = 0 и Зе2 >
> 0: ZYe2(xo) АЕ2 = 0. Если е = min{Ei;E2} > 0. то Z/£(tq) С ZEt (то) и
Us(xq) С zZ2(х0). так что (я?о) П Е] = 0 и W£(xq) А Е2 = 0. Поэтому
Z/£(xq) A (Ei U Е2) = 0 — противоречие. Итак, если хо £ (Ех U Е?)',
то Хо € (Е[ U Е2). В итоге получаем, что (Ej U Е2) С (Ех U Е2) и
(Е] U Е2) С (Ei U Е2).
г) Всегда Е = Е.
Доказательство. Имеем Е с Е согласно свойству а). Таким
образом, достаточно проверить, что Е С Е. Так как Е — EU (Е)'.
то нужно обосновать включение (Е)' С Е. Пусть xq £ (Е)', тогда
Ve > 0 Z7£(xo) АЕ 0. так что либо Ve > О Z7£(zo) А Е / 0. т.о.
т0 € Е'. либо Ve > 0 W£(to) А Е' Д 0. т. е. х0 6 (Е')'. Действительно,
если 3ci > 0W£1(tq) А Е = 0 и Зе2 > 01E2(xq) А Е' = 0. то. выбирая
е = min{ei:£2} аналогично доказанному выше, можно утверждать,
что ZZ-До) А Е = 0 — противоречие. Если .то £ Е'. то гд € Е. так
как Е' с Е. Остается проверить, что если xq £ (Е')'. то xq £ Е'.
Пусть Зе > 0: Z7£(xo) А Е = 0. Из условия ,т0 £ (Е')' следует, что
ZZ.(z<j) ПЕ' 0. т. е. Эх' £ (W£(tq) А Е'). Так как х' £ Е', то Vd > 0
U$(x') А Е £ 0. Покажем, что число 6 > 0 можно выбрать так.
чтобы Z4s(x') С ZZ(.ro). Действительно, поскольку х' £ ZV£(xo). то
0 < \х' — хо| < е и. если х е Uf,{x'). то 0 < |х — .Д < 6. Значит, при
условии 0 < 6 < тт{Д' — Хо|:е — |х' — zo|} имеем 0 < 1т — ,го| $
|х — а?'| — |Д — То| < е. т. е. х £ Z/£(zo). Итак, при выбранном таким
образом значении д > 0 its (х') С ZE(t-o) и поэтому (/УДД) А Е) С
С (W£(to) А Е) = 0. т.е. А Е = 0 — противоречие. Таким
образом. (Е')' С Е'.
1.6.14. Замечание. При обосновании утверждения пункта г)
попутно было доказано, что если х' £ йг(хо). то 3(5 > 0: U^{x') С
С ^У£(то). Аналогично обосновывается, что если х' £ W£(zq). то
3d > 0: Ub(xo) С Z7£(to) (т.е. каждая точка окрестности W£(a?o) при-
надлежит ей целиком вместе с некоторой своей окрестностью).
Введение
45
1.6.15. Определение. Пусть Е С R. и F G R. Говорят, что
множество Е плотно в F. если F С Е. В частности, если F = R и
Е плотно в R. то говорят, что Е всюду плотно.
Например, если Е = Q. то можно утверждать, что Q всюду
плотно согласно свойству плотности множества (Q.
1.6.16. Утверждение. Если Е плотно в F и F плотно в G.
то Е плотно в G.
Доказательство. По условию F С Е и G С F. так что F С
С Е -= Е. Следовательно. G С Е.
1.6.17. Определение. Множество F С R называется замкну-
тым (bR). если оно содержит все свои предельные точки, т. е. F' С F.
1.6.18. Утверждение. Множество F С R замкнуто тогда и
только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, т. е. F = F.
Дока з а т е. 1 ь с т в о. В силу равенства F — F U F' условия F =
- F и F' С F равносильны.
1.6.19. Утверждение. Если Е G R. то множество Ё замкну-
то.
Доказательство. Это утверждение следует из предыдуще-
го. если положить F = Е и использовать свойство г) замыкания,
согласно которому F = Е = Е.
1.6.20. Пример. Если Е 0. то Е - 0. так что пустое мно-
жество замкнуто. Если же Е В. то Е -- 1R = В и поэтому мно-
жество R также замкнуто (само в себе).
1.6.21. Пример. Если Е = [оД]. где a.b е R; а < Ъ. то
Е' - Е = [<?Д]. так что отрезок [аД] - замкнутое множество. Ес-
ли же Е = (о. Ь). то Е' = [а. 6| / («.6). и поэтому интервал (а.Ь)
не является замкнутым множеством (аналогично обстоит дело для
полуинтервалов [а.Ь) и («Д|).
1.6.22. Пример. Если Е - Q. то Е' - R. и поэтому множество
Q не является замкнутым.
1.6.23. Определение. Множество G G R называется от-
крытым (в R). если каждая точка G является его внутренней точ-
кой (т. е. принадлежит G педиком вместе с некоторой своей окрест-
ностью).
1.6.24. Пример. При условиях примера 1.6.21 отрезок [о. Ь]
не является открытым множеством, поскольку точки a G (аД| и
Ь G [аД] не являются его внутренними точками (аналогично обсто-
ит дело для полуинтервалов [аД) и (аД]). Интервал (а.Ь) — от-
крытое множество. Действительно, если .т t (аД). то а < .г < Ь.
Пусть 0 < с < min{.c — «Д — т}. тогда ZE(j’) G (а.Ь). поскольку
а < .т — £ < т < .г — г < Ь. Следовательно, .г - внутренняя точка ин-
тервала (о. Ь). В частности, любая окрестность каждой точки ,т € R
является открытым множеством.
46
Глава I
1.6.25. Пример. Если Е = Q и хо 6 Q то Уе > 0 U£(xq) Л
n(R\ Q) Д 0 (в противном случае Зе > 0: Ge(to) С Q. что противо-
речит равенствам |Де(.го)| = |R| и |Q| = |N|). Таким образом, xfi не
является внутренней точкой, и поэтому Q не может быть открытым
множеством. Аналогично проверяется, что множество J = R. \ Q не
является ни открытым, ни замкнутым.
1.6.26. Утверждение. Множество F С R замкнуто тогда и
только тогда, когда его дополнение G = R \ F открыто.
Доказательство. Пусть F замкнуто в R. и пусть G — R \ F.
Если F = R. то G = 0 — открытое множество в R. поскольку оно не
содержит внутренних точек. Если же F = 0, то G = R — открытое
множество (само в себе). Пусть G = R \ F Д 0. и пусть х 6 G.
Надо доказать, что Зе > 0: ЦДт) С G. Если это не так. то Уе > 0:
Д/Дт) Л F) 0 (действительно, так как G = R \ F. то F = R \ G).
Поскольку т F. то Уе > 0 (Z4(.r) Л F) Д 0, так что х — предельная
точка F. В силу замкнутости F должно быть х g F — противоречие.
Итак, х — внутренняя точка G, и поэтому G = R \ F открыто в R.
Обратно, если G = R \ F открыто в R. то F замкнуто в R.
Действительно, в противном случае 3tq F: — предельная точка
F, т.е. У- > 0 Д4(жо) Л F) Д 0. Так как х0 R \ G. то т0 G G. и
поэтому, так как G открыто в R. - внутренняя точка G, т.е.
3s > о“Д4До) С G) л (ДДх0) Л F = 0) => ((Й£Ы Л F) = 0) -
противоречие. Поэтому точка tq с указанными выше свойствами не
может существовать, что означает, что F замкнуто в R.
1.6.27. Утверждение.
а) Пусть {Gq | a G 1} — семейство открытых в R множеств, и
пусть G = IJ Gn. Тогда G открыто в R.
aEl
б) Пусть {Gi:...; G„}(n G IN) — конечное семейство открытых
п
в R множеств, и пусть G = П G*.. Тогда G открыто в R.
А- 1
Доказательство.
а) Если Ус; G I Ga -- 0. то G = 0. и поэтому G открыто. Пусть
G — IJ G„ 0. и пусть .то G G. тогда За0 £ I'. х0 Е GaQ. Так
как Gon открыто, то 3s > 0: ДД.т0) С Ga(J С G = |J Ga. Значит.
aei
при любом выборе Хо Е G xq — внутренняя точка G. и поэтому G
открыто.
б) Если
п
G= П GA. - 0,
А?=1
Введение
47
то G открыто. Пусть G ф 0. и пусть .г о 6 G. тогда .го £ Gk- к =-
= 1 п. и поэтому VA Е N„ Зс/.. > 0: 77£/.(т0) С Gk- Если с =
= min{ci:...: }. то с > 0 и /ЕДо) С lFk(.To) С G/.. к = 1.п.
гак что
(п \
П Ga = G .
А— 1 /
Значит, любая точка .го t G является внутренней точкой G. т. с. G
открыто.
1.6.28. Пример. Пусть Vk Е N G\. = ( — тогда Gk -
открыто в R, к = 1.2.... п
G = Q Gk = {0}
А' = 1
не является открытым множеством. Таким образом, утверждение
пункта б) вообще говоря, неверно для счетного семейства открытых
множеств.
1.6.29. Утверждение.
а) Пусть {Fn \ а Е 1} — семейство замкнутых в R. множеств, и
пусть F = Q Fn. Тогда F замкнуто в R.
б) Пусть {Ед ...: F„ }(н е N) — конечное семейство замкнутых
п
в И множеств, и пусть F = |J F/,.. Тогда F замкнуто в R.
k-1
Доказательство.
а) Достаточно доказать, что множество G = R \F открыто в R.
Имеем согласно закону двойственности
Так как Va G I F(y замкнуто, то R\Frl открыто, и поэтому G открыто
согласно пункту а) утверждения 1.6.27.
б) Если положить
(п \ п
JF, = p|(R\F,).
А- 1 / А-1
то каждое из множеств R\F/,- открыто, k - 1.п. поэтому согласно
п
пункту б) утверждения 1.6.27 G открыто, так что [J F/,. = R \ G
А--1
замкнуто (что следует из утверждения 1.6.26).
1.6.30. Пример. Пусть F/. = [1/А\2 — 1/А]. тогда каждое из
множеств Fk замкнуто, к ---- 1.2. Если F = [J F/.. то F = (0.2) и
48
Глава I
множество F не является замкнутым. Следовательно, утверждение
пункта б), вообще говоря, неверно для счетного семейства замкну-
тых множеств.
1.6.31. Утверждение. Пусть F 0 и F замкнуто в R. Ес-
ли. кроме того, F ограничено сверху, то (supF) £ F; если же F
ограничено снизу, то (inf F) £ F.
Доказательство. Так как F 0 и ограничено сверху, то
3(supF) G R. Положим л'о = supF. Если xg F, то согласно
утверждению 1.6.11 ту является предельной точкой F. Поскольку F
замкнуто, то тогда xg £ F — противоречие. Аналогично рассматри-
вается случай, когда F ограничено снизу.
1.6.32. Утверждение. Пусть Е С R. Тогда Int Е — открытое
множество, а граница Г(Е) — замкнутое множество.
Справедливость этого утверждения следует непосредственно из
определений внутренности множества Е и его границы, а также из
свойств открытых и замкнутых множеств, изложенных выше (чита-
телю рекомендуется проверить это самостоятельно).
Теорема о структуре открытого множества точек из R
Всякое непустое открытое множество точек из R может быть
представлено в виде объединения не более чем счетного семейст-
ва попарно непересекающихся интервалов (конечных или бесконеч-
ных).
Доказательство. Пусть G открыто в R и G 0. Если
х, у € G. то положим
А(х.у)ЛН' eV-1"
Цу.Д. если у < х.
Пусть х. у € G. Положим .г ~ у тогда и только тогда, когда
А(.т.у) С G. При этом х ~ х, так как А(.г..г) = {т}: если х ~ у.
то у ~ х. так как А(х.у) А(у.т); если же х ~ у и z £ G. причем
у ~ z. то х ~ z. поскольку А(.т. z) С (АД. y)UA(y. z)) при любом рас-
положении точек ,г. у. z на числовой прямой. Итак, есть отношение
эквивалентности на множестве G.
Согласно теореме 1.3.42 3/ С G: G = (J К,.. причем V.r. у & I:
хе/
(.г у) => (Кх п Ку = 0). Здесь Кх = {у е G \ у ~ т} (х £ I). Пока-
жем. что Vt £ I Кх — интервал в R. Пусть х £ I (х — фиксирован),
и пусть
ax = inf{y € G | у < .г и у - х}:
bx = sup{y £ G | у > х и у ~ ,т}
(здесь inf и sup рассматриваются в R).
Введение
49
Так как I С G. то т € G. Поскольку G открыто в R. то Зг > 0:
UE(x) С G. Если у € (х — е.т). то у < т и А(.г. у) = [у.х] С (х — е.
.г] С UE(x) С G. т.е. у ~ .г. Кроме того. (мг С у) => (од < т).
Аналогично получаем, что если у € (.т. х — е). то у ~ .г и у < Ъх. так
что х < Ьх. Проверим, что V.r 6 I Кх — (ах.Ьх). Пусть z G (ax.b-:).
тогда о.,. < z < Ъх. Согласно определению и второму свойству
нижней грани Зу Е G: ах < у < z и у ~ .г. т.е. Д(х. у) = [у..г] С G.
Если, кроме того, z < .г. то ([г..г] С G) => (г ~ х) => (г Е А'Д-
Аналогично, если z > х, то ([.г.;] С G) => (с ~ х) ==> (с £ Кх). Если
л = х. то 2 Е Кх. Итак, (ax.bx) С Кх.
Обратно, пусть z € Кх. тогда z Е G и с ~ х. Если z = х. то
г Е (ах.Ьх). так как а.,- < х < Ьх. Пусть z < х. тогда A(z.x) = [с. .r] С
С G. Поскольку G открыто в R. то из условия z Е G следует, что
3=] > 0: ILAz) С G. п поэтому (г — ед. z] U |г.х) = (с — гд.г] С G. Со-
гласно определению ах отсюда следует, что (a.r г — £Д < z < .т) =>
=> (z t (ах.х)) => (z Е (ах.Ьх)). так как (ах.х) С (ах.Ьх). Анало-
гично устанавливается, что если z > .г. то с Е (ах.Ьх). Итак. V.r Е I
С (ял.Ь.г).
В итоге получаем, что Х/х Е I Кх - (ах.Ьх). Выберем V.r Е I
в интервале (ах.Ьх) ровно одну рациональную точку z'(.r). и пусть
Qo = {г(.г) | х € I}. Тогда <Q0 C Q. так что множество Qo не более
чем счетно. Если х. у Е I. причем х у. то Кх П KtJ = 0. и поэтому
/ '’(у). Если положить /(.г) = г(.т)(т t /). то f: I -о (Ql) и f -
биекция, так что |7[ = [Q()[ < <Q| = |К|. Следовательно, семейство
интервалов b,) , х Е 1} не более чем счетно.
1.6.33. Утверждение. Пусть Е открыто в R и Е замкнуто в
R. Тогда либо Е R. либо Е = 0.
Док аз а те.льет во. Предположим, что Е у R и Е Ф 0. тогда
Зад В Е и Зд'2 Е (R\E). причем ад G у2. Не ограничивая общности,
можно считать, что ,гд < х2 (если х2 < .гд. то в изложенном ниже
рассуждении нужно заменить Е па R\E). Положим А = [лд.ад]
тогда .4 0. так как лд t .4: .4 ограничено в R сверху, так как
-4 С [лд.лд]. и поэтому х2 — верхняя граница А. Следовательно.
3(supA) t R. Положим .г() д sup А. тогда лд < xq < х2. поскольку
ад - inf А. и если а’о = х2. то согласно второму свойству верхней
грани Ve > 0 З.г € А: х > х2 — что невозможно, поскольку тогда
((.гд — с.т2] П Е А 0) => (1П{х2) С Е ф 0). Действительно, множество
R \ Е открыто в R. и так как х2 Е (R \ Е). то число г > 0 можно
выбрать так. чтобы (б/г(.гд) С (R \ £')) (^(.1’2) П — 0). Сле-
довательно. .1'о < .гд• Аналогично получаем, что лд < .Tq. В про-
тивном случае кд = .i’() -= sup А. и тогда А - {.гд}- Это также
невозможно, поскольку ад — внутренняя точка Е. так что Зд > 0:
бС(.1д ) = (ад — г. ад - г) с Е. Если выбрать х > .гд так. чтобы
50
Глава I
х < min{a-1 — т.тД, то получаем, что х € А — противоречие. Итак.
Xi < то < -г2- Так как xq е Л. то либо то € Е. либо х<, € (R \ Е}.
Если то 6 Е. то то — внутренняя точка Е. так что хо принадле-
жит Е целиком вместе с некоторой своей окрестностью. Поскольку
То < тд. то отсюда следует, что Зх 6 А: х > sup И = xq — про-
тиворечие.
Если же х0 е (R \ Е), то. выбирая г > 0 так, чтобы ДДхо) С
С (R \ Е). можно утверждать, что Z7£(xq) П Е = 0. Однако это
невозможно, так как ац < Xq. и поэтому из существования такой
окрестностиZ4(-1’0) и определения множества А следует, что (IE(xq)H
Г А) = 0) => ((.Го — £. j*o] П А = 0), что противоречит равенству
.То = sup А и второму свойству верхней грани.
Итак, исходное предположение во всех случаях ведет к проти-
воречию. так что либо Е = 0, либо Е = R.
1.6.34. Определение. Пусть М £ R и А/ > 0. Положим
Ц—ос) = (М. —ос):
Й(-ос) = (—ос.—АГ):
Й(оо) = (А/, -*-ос) U (-ос. -АГ)
и назовём множества Л( + эс) и U( —ос) проколотыми окрестностями
точек —ос и —ос в R. Множество W(oo) назовем проколотой окрест-
ностью точки ос в R. Далее положим
W(+oc) = W(-roc) U {+оо}:
U{-ос) = Е( —ос) U {—ос}:
Л(ос) = W(oc) U {ос}
и назовём множества Л(+ос) и Z7( —ос) окрестностями точек — уз и
— ос в R. Множество W(oc) назовём окрестностью точки ос в R.
1.6.35. Определение. Пусть Е С R и Е Л 0- Говорят, что
— ос ( — ос) — предельная точка Е. если пересечение Е с любой про-
колотой окрестностью точки — ос (—ос) непусто. Говорят также, что
ос — предельная точка Е. если пересечение Е с любой проколотой
окрестностью этой точки непусто.
1.6.36. Утверждение. Пусть Е С R и Е Д 0. Тогда -ос
(—ос) — предельная точка Е в том и только том случае, когда мно-
жество Е не ограничено сверху (снизу'). Точка ос — предельная точ-
ка Е тогда и только тогда, когда множество Е не ограничено (или,
эквивалентно, не ограничено либо сверху, либо снизу). При этом
Д(—ос) П Е (соответственно Л(-ос) П Е. Й(ос) Г\ Е) — бесконечные
множества при любом выборе окрестностей Л(-гОс). W(—ос). Z7(oc).
Это утверждение следует из определения 1.6.35. а также опре-
делений ограниченных множеств.
Введение
51
1.6.37. Определение. Семейство т всех открытых в R мно-
жеств называют топологией числовой прямой. Упорядоченная пара
(R.t) называется топологическим пространством.
1.6.38. Замечание. Из определения 1.6.37 и утверждения
1.6.27 следует, что объединение любого семейства множеств, принад-
лежащих топологии г, также принадлежит этой топологии. Кроме
того, конечное пересечение множеств из т должно принадлежать т.
В теории топологических пространств эти свойства принимаются за
аксиомы топологического пространства (подробнее такие вопросы
рассматриваются в курсе функционального анализа).
1.7. Показательная, степенная,
логарифмическая функции в вещественной
области
Теорема о существовании и единственности
арифметического корня
Для любого вещественного числа о > 0 и любого значения п Е К
существует единственное положительное число у Е R. такое, что
уп = °-
Доказательство. Если n = 1. то у" = у и достаточно по-
ложить у а. Пусть и Е N и и 2. Если 0 < yi < г/2- то
?/2 - у" = (у? - У1 КуГ1 ' уГ2У1 + • • • - №уГ2 + у"-1) > °- так
что у." > у". Это означает, что существует не более одного числа у
с указанными свойствами.
Пусть Е = {t Е R | I > 0 и tn < «}. Если t -- то 0 < t < 1.
и поэтому t" < t < а. Следовательно, тф £ Е. так что Е / 0. Если
t Е Е. то f С 1 ' поскольку в противном случае t" t > а. что
невозможно. Итак. Е ограничено сверху. Пусть у = supE. тогда
у > 0. Предположим, что у" < а. и выберем h Е R так. чтобы
о — Цп
0 < h < 1 и h < -------------. Тогда у - h > у и (у - Л)" =
(1 - У)" - У"
= У" - Ё C*y"“A'/ifr < уп - Л Ё СА’уп-А’ у" ~ - У)" - У") <а-
А-=1 А--1
Значит, у — h Е Е. Так как у — h > у = supE. то мы пришли
к противоречию. Пусть у" > а. Выберем 1щ Е (0.1) так. чтобы
( un — а 1
Ло < min у: ——------ >. Если Оу- Ло > 0. го
I (1-у)"-y'JJ
п
Г" >(x)-h0Y^ У” -YS’>yn~k(-Vkh» =
к- -1
и и
у -Ло2дс;1у I-1' "о СУ - »о у д „у
А-=1 А- 1
52
Глава I
= уп-^«1+у)п~уп)>а.
так что t Е. Но тогда число у — ho является верхней границей Е и,
поскольку у - h0 < у = sup Е. то мы опять пришли к противоречию.
В итоге получаем, что у” = а.
1.7.1. Определение. Значение у. существование и единствен-
ность которого утверждается в теореме, называется арифметичес-
ким корнем n-й степени из числа а > 0 и обозначается у = у/а =
= аНп.
1.7.2. Замечание. При п = 2 индекс у корня опускается, т.е.
пишут у = у/а = а1/2. В частности, при а = 2 3! у > 0: у2 = 2.
При этом пишут у = -\/2.
1.7.3. Определение. Если а > 0 и т.п 6 X, то положим
flm/n = (^)™.
1.7.4. Замечание. Имеем ( у/а)т = у/а™. Действительно, ес-
ли возвести обе части последнего равенства в степень п, то получим
((^/а'П'У1 = (= (( ^)”)m = ат = ( W777 )"
В силу единственности арифметического корня отсюда следует
справедливость нашего замечания. Если т'/п! = т/п, где тп',п' £
g jN, то апг'/п' = что доказывается аналогично, если возвести
обе части этого равенства в степень пп' и использовать формулу
т'п = тп'.
1.7.5. Определение. Если а > 0 и т. п £ N. то положим
а-т/н _ ПрИ т _ Q ПО1ОЖИМ а° = 1,
1.7.6. Следствие. Если а > 0 и b > 0. то Vrz, г" £ Q аг а1' =
= аТ' г": {аг'У" ~ ar'r ": (ab)r = аг Ьг .
При а = 0 полагают 0т/п = 0 {т.п Е N).
1.7.7. Утверждение. Если a > 1 и р. q Е Q. причем р < q. то
ар < а'1: если же 0 < а < 1. то при р < q ар > а4.
Справедливость этого утверждения устанавливается непосред-
ственно. исходя из изложенных выше свойств степени с рациональ-
ными показателями.
1.7.8. Определение. Пусть а £ R; а > 1: ,r £ R. Положим
сП = sup {аг | г Е Q: г д}.
1.7.9. Замечание. Если взять число ту £ ((д — 1.2’) П Q). то
го < х. и поэтому аго < сП. если г о < г С х и г £ Q — согласно
утверждению 1.7.7. Следовательно, множество {аг | г £ Q: г < 2’}
0 (поскольку (.т — 1,т) П Q ф 0) и ограничено сверху числом а'’1,
где Г1 £ <Q и 7’1 > х. так что верхняя грань в определении 1.7.8 су-
ществует. Если, в частности, х Е Q. то согласно утверждению 1.7.7
sup{a' | г £ Q;/’ < т’} - а1 в смысле определения символа аг при
Введение
53
,? € Q. приведенного в 1.7.3 (т. с. определения 1.7.3 и 1.7.8 согласу-
ются между собой). Кроме того, из определения 1.7.8 следует, что
Vz € R ат > 0.
1.7.10. Утверждение. При а > 1 Vx € R ar inf{ar г е Q:
/ > х}.
Доказательство. Если г1 г” G Q и г' > х; г” < х. то а1'
аг . Поэтому по теореме об отделимости а‘ < inf{ar | г € Q:
/• > х}.
Если х t Q. то утверждение 1.7.10 справедливо, поскольку из
условий г Е Q: г х тогда следует, что аг а1'. Пусть х 6 (R \ Q).
Покажем, что Уй > 0 dzio с N: У/? ф л о л1//'1 < 1 - Ь. Последнее нера-
венство можно представить в виде а < (1 — й)11. Согласно формуле
бинома Ньютона (1 — й)'г 1 — лй(/г Е N).
Если выбрать л0 t N так. чтобы п0 > (а — 1)/й то Чп по
о < 1 nd С (1 — й)". так что а1/» < 1 й.
Пусть £ > 0. и пусть й = ДаД-1 > 0. Тогда число п Е N можно
выбрать так. чтобы ai;n < 1 - й = 1 - Да*)-1. Далее выберем число
г" Е Q так. чтобы г” Е (х — 1//г. х). тогда г' = г” — 1/п Е (х.х — 1/п).
Для таких значений г' и г" имеем а1' — а'' = аг (а1''1 — Г) < а,гй = е.
Согласно следствию из теоремы об отделимости отсюда получа-
ем наше утверждение.
1.7.11. Замечание. При а = 1 определение 1.7.8 также при-
менимо. и поэтому Ух € R Iх = 1. При 0 < а < 1 полагают
ах = (1/а)-г > 0.
При таких условиях Ух е R а1 = inf{ar | г € Q:r < х} =
= sup{ar [ г Е Q:r > х}.
Если а = 0 и х > 0. то 0' = 0.
1.7.12. Утверждение. Если .гд.Хг € R. причем Х; < лд. то
при а > lari < ах~. а при 0 < а < 1 о'1 > а'-. Если 0 < а < b и
х Е В. то при х > С) а ’ < Ьг. а при х < 0 аг > Ьг.
1.7.13. Утверждение. Пусть a. b > 0 и х. хi ..?’?€ R- Тогла:
а) ст''1 'a'Hi'?: б) в) (ab)r = aJ'br.
Справедливость утверждений 1.7.12 и 1.7.13 нетрудно прове-
рить. исходя из 1.7.8 1.7.10 и соответствующих свойств степени в
случае, когда .г.лд.ло € Q.
Теорема о существовании и единственности логарифма
Пусчь a > 0; a /1. Тогда Чу > 0 3!.rf) Е R: (Т'о = у.
Доказательство. Если с'1 = л'2 = у. причем ад < ад. то
при 0 < a < 1 л '1 > ах-. а при a > 1 л '1 < л г2. В обоих случаях
получаем противоречие. Поэтому Чу > 0 уравнение сгг = у имеет
не более одного корня.
54
Глава I
Пусть, для определенности, а > 1. Положим
А ~ {а; е R | ах < у}: В = {z 6 JR | ах > у}.
Тогда 4х^ € А 4x2 € В (ах1 < у < aJ'2) => (ад < д-2) (в про-
тивном случае согласно условию а > 1 ах1 ахъ — противоре-
чие). Покажем, что А / 0 и В 0. Если а = 1 — 5, го 6 > 0 и
ап = (1 + <5)n 1 + пд. Выбирая п. е N так. чтобы п > (у — 1)/д.
будем иметь (ап > у) (п € В) => (В / 0). Далее, неравенство
а~п < у эквивалентно неравенству ап > 1/у > 0. Значит, А 0.
По теореме об отделимости Зто € R: 4х± € А4х2 6 В ад < ж0 < х2-
Если а?о € А, т. е. ахо < у, то уа~х° > 1 и тогда согласно доказанному
выше в 1.7.10 Эп € N: а1/" < уа~хо. Полагая Xi = xq -J- 1 /та, имеем
ад > Zq и a1! = ax0aVn < у, т. е. тд е А, что невозможно. Анало-
гично проверяется, что случай, когда .гд € В. т.е. ахо > у, также
невозможен. Следовательно. ато = у. Случай, когда 0 < a < 1,
рассматривается аналогично.
1.7.14. Следствие. Пусть a > 0; а 1. пусть4х € К/(т) = ах.
Тогда f: R —> R+ е {у t В | ,г/ > 0} и / - биекция. Функция f
называется показательной функцией с основанием а.
1.7.15. Следствие. Существует обратное отображение f-i:
R+ —> R, являющееся биекцией. Это отображение называется ло-
гарифмической функцией с основанием а. Пишут /-1(у) = loga у
(у > 0) и называют число loga у логарифмом числа у > 0 по осно-
ванию а. Если у > 0 и х = loga у, то х € R и ах = aloga v = у, так
что logQ(ax) = х.
Свойства логарифмической функции
а) Область определения функции log„ у — множество ЕС = {у €
е R | у > 0}.
б) Если 0 < a < 1 и 0 < yi < у2. то loga yi > loga у2; если же
a > 1. то при том же условии log„ yi < loga г/2-
в) Если У!.у2 > 0. то logn(yi(/2) = loga yi - loga y2.
Справедливость этих свойств следует из соответствующих
свойств показательной функции.
1.7.16. Определение. Пусть а g R. Положим 4х > 0 д(х) =
= х°. Функция д называется степенной функцией с показателем
степени а.
1.7.17. Следствие. Если а / 0. то д: R R" и д -
биекция. Если а < 0 и 0 < ад < х2. то д(хт.) > д(х2). а если о > 0.
то при том же условии д(Х)) < д(х2).
1.7.18. Замечание. Если agZ.ro полагают при х < 0
a _ J (—2')“. если о - - четно:
[ — (—х)". если а — нечетно.
При о > 0 полагают 0п = 0.
Глава II Функции вещественного
переменного: предел,
непрерывность
2.1. Пределы вещественных
последовательностей
2.1.1. Определение. Число zq € В называется пределом ве-
щественной последовательности {.г,,}. если Vc > 0 Зпо С N: V?? > п()
|.г„ — зд| < с (т.е. х„ G Z7£(i’o)). При этом пишут
lim = зд
п—>ос
ИЛИ Хп —> То при П —> X.
2.1.2. Определение. Последовательность {зд }• имеющая ве-
щественный предел, называется сходящейся. В противном случае
она называется расходящейся.
2.1.3. Замечание. В определении 2.1.1 число по € N, вообще
говоря, зависит от выбора е > 0.
2.1.4. Утверждение. Любая вещественная последователь-
ность имеет в Л не более одного предела.
Доказательство. Пусть {ад} — вещественная последова-
тельность. имеющая в R хотя бы два различных предела зд и Ту.
Пусть, для определённости, зд < т'о. Положим
тогда Зн0 е N: V/; п0 |зд -зд| < £ и 3«у е N: V;/ п'о |зд -Ту| < =.
Если п € N и и тах{»о: Ну}. го выполняются оба последних нера-
венства. так что зд — с < ,т„ < зд—£ и .Гу — £ < тп < Ду —£. Поскольку
•(’о - £ — т'о — 5. то мы пришли к противоречию. Значит, последова-
тельность {зд} с указанными свойствами не может существовать.
2.1.5. Утверждение. Пусть с € R. и пусть Зпу € У: Vn
т„ — с (такая последовательность {з",,} называется локально-посто-
янной). Тогда
3 lim тп = с.
56
Глава II
Доказательство. Имеем Vn. по \/е > 0 |хп — с| = 0 < е.
2.1.6. Замечание. Удаление или изменение конечного се-
мейства элементов последовательности не влияет па её сходимость
или расходимость, а также на значение предела в случае сходящей-
ся последовательности (это следует непосредственно из определения
2.1.1).
2.1.7. Определение. Вещественная последовательность {хп}
называется ограниченной, если множество её значений ограничено в
R, т.е ЭЛУ > 0: Vrz е N С Л/.
2.1.8. Утверждение. Любая сходящаяся последовательность
ограничена.
Доказательство. Пусть
3 lim xn = ад € R.
п—>оо
Полагая е = 1 > 0. можно утверждать, что Зпо 6 X: Vn по
|хп - Яд| < 1, И поэтому Vn. По |жп| |х0| + |ад - 2?о| < 1 -1- |о?о|-
Если обозначить Л/ = max{|xi|;...: |ад0|; 1 + |д?о|то Л/ > 0 и Vn е X'
|х„| Л1. т.е. последовательность {хп} ограничена.
2.1.9. Пример. Пусть xn = (—l)n; п = 1.2,..., тогда Vn g X’
|хп | = 1, и поэтому последовательность {х„ } ограничена. Однако эта
последовательность расходится. Действительно, в противном случае
3 lim (—1)” = хо е R.
т.е. Vc > 0 Зп0 е X: Vn > п0 (|(-1)" -ад| < е)(хо-е < (-1)" < ад +
—г). Если п по и п чётно, то ( — l)n = 1, так что xq—s < 1 < яд Ч-s.
Если же п По и п нечётно, то zq — £ < — 1 < яд — е.
Полагая е =. 1. получаем, что яд — 1 < 1 < тд — 1 и ад — 1 <
< — 1 < яд -1-1. Значит 0 < ад < 2 и — 2<ад<0 — противоречие,
поскольку (0.2) О (—2.0) = 0.
Этот пример показывает, что утверждение, обратное 2.1.8. во-
обще говоря, неверно.
2.1.10. Утверждение. Пусть {яд} и {(/„} — вещественные
последовательности, и пусть Зпо 6 X: Vn > по хп - уп. Тогда
lim xn = lim уп
п—>эс
в том смысле, что из существования одного из этих пределов следует
существование другого и их равенство.
Утверждение следует непосредственно из определения 2.1.1.
2.1.11. Утверждение.
lim — = 0.
» -> ЭС и
Доказательство. Поскольку Vs > 0 Зпо 6 X: по > 1/г, то
Vn > п0 1/п 1/по < с.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
57
2.1.12. Утверждение. Пусть Е С R, Е Д 0, и пусть х0 £ R.
Тогда то является предельной точкой Е в том и только том слу-
чае. когда существует последовательность {.ту}, удовлетворяющая
условиям:
xn £ Е: хп / .ту, п -= 1,2....: lim х„ = т0. (*)
п—>эс
Доказательство. Пусть ту — предельная точка Е. Полагая
= 1/п > 0, п = 1,2......................
можно утверждать, что \/п £ N 1Еп(хо) А Е 0. так что 3xn £
£ (//£„(лу) А Е). Поэтому Vn 6 N xn е Е: хп ф ау и
Jirn^ay = .ту.
Действительно, так как Vn € N |ау — ayl < 1/п, то выбирая no £ У
так. чтобы Vz> > По 1/п < £. получаем, что Vn > по ту — .ту < е
(здесь £ > 0 выбрано произвольно). Следовательно, последователь-
ность {ту} удовлетворяет условиям (*).
Обратно, если выполнены эти условия и е > 0, то
Зп0 е N: Vn > п0 (|ау - ау| < е)(ау £ We(ay)).
Кроме того, согласно условиям (*) |ау — яу| > 0 и хп £ Е. так что
V/7 > по хп £ (^е(х0) А Е) и We(ay) А Е =/- 0. Это означает, что
.то — предельная точка Е. Доказанное утверждение, как нетрудно
проверить, справедливо и для случаев, когда .г о £ R или .т0 £ R.
2.1.13. Утверждение. Пусть {.ту} и {у„} — вещественные
последовательности, и пусть хп < уп, п = 1.2... Тогда
lim ,т„ < lim у,,.
72—>ОС 72—>ОС
если оба этих предела существуют.
Доказательство. Пусть
.То = lim .ту и j/o = lim у„.
72—>ОС 72—>ОС '
Предположим, что .ту > уо- Положим
_ _ -C(J - Уо „
с “ 2
тогда Зп0 £ У: Vn по х0 — е < хп < хп -ей Зп'о £ N: Vn > п'о
уа - ; < уг, < Уо г.
Поскольку Хо — о = уо — е. то V/т > тах{пи.По} тп > уп -
противоречие. Следовательно, xq < уа.
2.1.14. Пример. Пусть .т„ = 0 и у„ ~ 1/п. п -- 1.2.тогда
Vn £ К хп < уп и io = ту = Уо = 0. Следовательно, если в условиях
утверждения 2.1.13 х„ < yn. п 1.2.....то необязательно х0 < уо-
58
Глава II
Лемма о сохранении знака
Если
lim ,т„ = .r() / 0.
>dg
TO 3n0 e N: Vzz Д По x„x0 > 0 (в частности. xn 0/
Доказательство. Положим г = До I/2 > 0. тогда 3«о G N:
Vn > 7?о |т„ -т0| < До|/2. т.е.
Если то > 0. то |а?о| = т0. и поэтому Vn Д п0 хп > ,г0/2 > 0. Если
же то < 0. то Toj = —з’о. и поэтому Vzz > по х„ < до/2 < 0. В обоих
случаях Vn п0 тГ1.Го > 0 (т.е числа х„ и т0 имеют одинаковый знак).
Оценочный признак существования предела вещественной
последовательности
Пусть {.z-„ }. }. {с„ } — вещественные последовательности и
пусть х„ < zn < yn: и = 1,2... Пусть, далее.
lim xn = lim yn — zu & R.
п—п—юс
Тогда
3 lim z„ = ср-
п—>эс
Доказательство. Из определения модуля вещественного
числа, приведённого выше, нетрудно вывести, что если а.Ь.с € R
и а < с < Ъ. то |с| < max{|«|:|b|}. Если положить с = с„ - с0:
а = т„ - с0: Ь = у„ — .:и. то а < с < Ь. и поэтому \с' - с„ - с0) V)
< max{|al: ф|} = тах{|.г„ - со|: |у,7 - г()|}: z? -- 1.2. Пусть г > 0.
По условию. Зло € X: Vn > /г(> Д„ — с()| < ~ п 3n'o t N: Vn > Пр
г/„ — Д)1 < £. Если z? > тах{п0: n('j}. то |г„ — Со| < г. поскольку
тах{|.т„ - г0|: \у„ - г0|} < s. Поэтому
lim zn = с().
п —> эс
Свойства пределов вещественных последовательностей,
связанные с арифметическими действиями
Пусть {.гп }. {уп} - вещественные последовательности, и пусть
lim х„ = .го t R: lim у,, = уо G IR. Тогда справедливы следующие
yi верждения:
а) 3,1111^ (х„ - у„ ) ~-= .го - уо:
б) 3 lim (.г,,/;,,) -= .Toy,).-
в) 3 lim (схп) = с.г’о (с = const 6 1RJ:
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
59
г) Если, кроме того. Уп G N уп / 0 и уо 0. то
□ ( хп\ То
В lim I — I — —-.
п-+эс\Уп/ Уо
Доказательство, а) Имеем: Vs > О Зпо £ N: Vn. > по kn —
— т0| < £/2 и Зпд е N: Уп п'о \уп-Уо| < е/2. Если п max{no; По},
то К^п + Уп) - (хо ~ Уо)| < |«п - £о| + 1г/п - уо| < г и поэтому
lim (.т„ - уп) =хо-уо-
б) Имеем Уп е N \хпуп - х0г/0| = kn(«M - Уо) + Уо(хп - х0)| <
кп||з/гг — 3/о| Шк« — хо|- Пусть s > 0. Поскольку обе после-
довательности {хп} и {г/п} сходятся, то они обе ограничены, т.е.
ЗЛ/ > 0: Уп € N kn| С и |j/n| ^-Е Кроме того, Зпо € IN: Уп по
|г„ - а?0| < e/(2Af) и Зп„ е N: Уп п'о |у„ - у0\ < e/(2.V). Если
щ = max{no:n()}. то Уп ni
\х„уп - хоуо| М~ = £
(действительно, так как Уп е N —М V уп V М. то согласно утверж
дению 2.1.13 —Л/ уо М. т.е. |?/о| М)- Поэтом}7
= то ?/о-
в) Если положить уп = с. п = 1.2.то уо -си утверждение
пункта в) следует из б).
г) Достаточно доказать, что
г 1 1
hm — = —
«->=° Уп у о
и далее использовать утверждение пункта б). Имеем Зпо £ 2S1:
Vn п0 \уп - г/о| < |г/о|/2 (при этом |уо|/2 > 0). т.е. уа - \уо\/“2 <
< уп < уо У ,Уо|/2- Если уо > 0. то отсюда следует, что Уп по
Уп > Уо/"к если же уо < 0. то Уп п0 уп < г/о/2. В обоих случаях
Уп по [t/Д > |уо|/2. и поэтому Vs > О
Ц_________i_| = \jjn_ -_у^_
\уп Уо\ |уп||уо|
< 5. если \уп - г/01 < ^у--
Последнее неравенство справедливо Уп п'о (т. е. такое значение
п'о € N существует). Итак. Уп inax{n0: |1/у„ - 1/у0| < £. Это
означает, что
9 lim — = —.
Уп У о
2.1.15. Определение. Вещественная последовательность
{т„} называется неубывающей (строго возрастающей), если Уп € N
60
Г л а в a II
хп С xn_i (хп < х„ i)- Эта же последовательность называет-
ся невозрастающей (строго убывающей), если Vn с X .т„ хп . i
(хп > .Г„_ц).
2.1.16. Определение. Последовательность {.г,,} называется
монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозраста-
ющей. и строго монотонной, если она является либо строго возрас-
тающей. либо строго убывающей.
2.1.17. Утверждение. Всякая монотонная ограниченная по-
следовательность сходится. Если Е — множество значений такой
последовательности {>'„}. то
lim xn = sup Е
П-4 ОС
для неубывающей последовательности {тп} и
lim xn = inf Е
п,—>ос
для невозрастающей последовательности {т„}.
Доказательство. Пусть {.г,,} — неубывающая последова-
тельность. ограниченная сверху числом .V > 0 (т. е. Vn. € X xn jW).
и пусть Е — множество её значений, тогда Е С R: Е 0 и Е
ограничено сверху. Поэтому 3sup£' = J'o е R. При этом Vn g N
(т'п С £") (j'n Tq).
Согласно второму свойству верхней грани Vc > 0 Яд € Е: .г >
> xq-e- Так как х £ Е. то Яп0 G X: х = т„0. так что -е < xnQ
< т0. Следовательно. Vn п0 (т„0 х„ j-0) => (хп е (х0 - е..г0
+ £)=> (|т„ - х0| < £•). Итак.
Я lim х„ = хо - sup Е.
71—>ОС
В случае, когда {тп} — невозрастающая последовательность, рас-
суждения проводятся аналогично.
Число е
Положим
тогда
Покажем, что последовательноеть {л’,г} строго возрастает, а после-
довательное гь {(/,;} строго убывает. Для этого воспользуемся нера-
венством Бернулли
Vn е X: п > 2 Vr > -1: х 0 (1 - т)" > 1 -- пт
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
61
(это неравенство нетрудно доказать методом индукции по п 6 N;
при n = 1 или при х = 0 оно, очевидно, превращается в равенство).
Имеем Vn € N
так что > хп. Далее, Vn е N
Уп = П А _ 1 \ > П / _ 1_\_ т
Уп] 1 п + 1 \ п(п-“-2)/ и - 1 \ п)
так что уп > Упщ- Так как 0 < х„ < уп. п = 1.2....то последова-
тельность {уп} сходится. Поэтому последовательность {.т,,} также
сходится и притом к тому же пределу, поскольку
е = lim ( 1
2.1.18. Определение.
1V
+ -
п /
2.1.19. Следствие. Vn € N
( 1 \п ( 1 \п 11
(1---I < е < ( 1 -t— |
\ п/ \ п/
(в частности, при п 6 имеем 2.5 < е < 3).
2.1.20. Определение. Пусть х > 0. Логарифм числа х с осно-
ванием е называется натуральным логарифмом и обозначается In .г.
2.1.21. Утверждение. Vn G К
—< In f 1 - -
п — 1 \ п
Доказательство. Так как е > 1. то достаточно прологариф-
мировать по основанию е левую и правую части неравенств в следст-
вии 2.1.19.
2.1.22. Утверждение. Если
1
п
1
bn = « = °- Т2.............
к'.
то Vn е Nq
Ьп < о и
lim bn = с.
П—^Х.
Доказательство. Согласно формуле бинома Ньютона имеем
1 п(п - 1) • (п — к -г 1)
к\ пк
62
Глава II
причём
п(п — 1) •••(/?- к — 1)
пк
Итак, при п 2
п.
(это верно и при п = 1).
Если т > п. то
1 т(т — 1) • • • (т к — 1)
к'. тк
> 1 ДЕ 1 m(m — 1) • • (и? - к — 1)
' А’! тк
А-=1
При фиксированном п е N перейдём в этом неравенстве к пределу
при т —э ос. Тогда получим
е = lim ,тт
m—>ос
Так как последовательность {Ь,,} строго возрастающая, то на самом
деле Vn е N Ьп < е.
Итак. Vn е X
A" ,
1----Е о„ < е
n J
и поэтому согласно оценочному признаку существования предела ве-
щественной последовательности lim,,^.^ b„ = е.
2.1.23. Утверждение. Число е иррационально.
Доказательство. Если т > п. то
n^h -h - v- 1 - 1 Л .. 1 _ .. 1 „
А j к\ (п — 1)! \ и - 2 " ’ (// - 2) • • • т )
1_______1 _______________1 \ _
н-1 (// - I)2 (н — I)'"-"-1 /
1 1 ~ (п - !)'"-« 1 1—1
(п — 1)! 1--Ц < (п - 1)! 1------1— ////! ’
4 7 н-1 v 7 /г-1
Переходя к пределу в полученном неравенстве при т —> ос п фик-
сированном /г е N. получаем: V/? е N
1
(» - 1)1
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
63
Если положить 0п = ш?!(е - &„). то получим 0 < 6n < 1 и
1 9П e = V77 + ^7’ пеХ- 2—' к\ птг. fc=o
В частности, . V- 1 1 0<е-у'—п = 1,2 к'. пп\ Аг-0
Эти неравенства позволяют оценить число е с любой степенью
точности, затратив небольшое время для вычислений, поскольку при
п —> ос 1/(пп!) —> 0 достаточно быстро. Имеем далее 9п _ 1 #п-1 пп\ (тг —- 1)! (п - 1)(п + 1)!'
т. е. _ П е N. п + 1 (п + I)2
Так как 0 < 9пщ 1. то
0 п „ п(п + 2) < —7 < < 7 п2 < L n е N- п + 1 (п - I)2
Если е = m/n. m. n G N. то . Л п! 9П еп! = > ту + — z—' к\ п к=0
и поэтому з |3Ф II д 1 3_
В этом равенстве число 0п/п € (0.1). а число
т(п - 1)! - р € Z. А-^0 К'
Получим противоречие. Таким образом, её (R \ Q).
2.1.24. Определение. Пусть {zn} — вещественная последо-
вательность. Пишут:
тогда и только <тп ос) — lim xn - —ос п—>ос тогда, когда V.U > 0 Эно 6 N: Vz? па xn > .W (т. е. (Л/, -гос)):
тогда и только (т.е. xtl е Z7(-c lim хп - —ос П~ЭОС тогда, когда V.A/ > 0 3?(о ё N: Vn ??о х:) = (—ос. —Л/)); lim - ос Г?-ЭОС
64
Глава II
тогда и только тогда, когда VII/ > 0 3«о & ^!i Г!о |^п > (т-е-
х„ 6 W( oc ) = ( —ос. —.1/) U (Л/. —ос)).
2.1.25. Замечание. Если lim х„ = -ос пли lim ,г„ = —ос.
п—плх.
то в обоих случаях
lim хп - ос.
>ОС
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, если
х„ -- (~Г)пп. п =-- 1.2.то |.r„j = п -ос при п —У ос. так что
lim .г„ = ос.
п—>ос
хотя ни одно из равенств lim .г» = — ос: lim хт, = — ос не выпол-
п—>ос п—>ос
няется.
Кроме того, lim х„ = ос тогда и только тогда, когда
П—>0С
lim |.г„| = -ос.
И—»ОС
2.1.26. Замечание. Если последовательность {.г,,} имеет бес-
конечный предел, то она не является ограниченной, и поэтому рас-
ходится.
2.1.27. Замечание.
lim .т„ — — ос
п—>ос
тогда и только тогда, когда для любой окрестности W( - ос) сущест-
вует п0 е N: V?? V «о хп G - ос). Аналогичные утверждения спра-
ведливы и для случаев, когда lim х„ — — ос или lim„^x..r,1 = ос.
2.1.28. Замечание. Свойства бесконечных пределов, связан-
ные с арифметическими действиями, справедливы во всех случа-
ях. когда соответствующие действия со значениями пределов имеют
смысл. Например, если lim .т„ = — ос и lim уп = — ос. то
п —> ос п —> ОС
;6тДт„ - (/„) = (-ос) - (-ос) = -ос.
Действительно, V.V > 0 З/щ € X Vn > По т,( > .1//2 и Этф е X
Vn ф и), у„ > У1/2. Следовательно. Vn > шахрщ: п',} .т„ у„ > М.
так что
lim (.r„ - </„) - - ос.
n—> OG
Если же lim xtl = xq е R и lim у,, - ос. причём уц / 0:
п —> X 71 —> X 1
п = 1.2..... то
1 ‘1’п о
lim — =0.
Уч
что соответствует равенству Тц/ос = 0. Действительно, достаточно
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
65
доказать, что lim 1/уп = 0. По условию. VAZ > 0 Зп0 е К: Vn > п0
71—>ЭС
и если выбрать е > О произвольным образом и положить М = 1/е >
> 0. то при п 4 по |1/г/„| < г. так что
, 1
hm — = 0.
уп
Аналогичные рассуждения можно провести во всех остальных
случаях.
2.1.29. Определение. Пусть пд- £ N и пд.] > nk и пусть
{хп} — некоторая последовательность и ук = хПк. к = 1,2.Тогда
последовательность {1д.} называется подпоследовательностью после-
довательности {хп}.
2.1.30. Замечание. При условиях определения 2.1.29 пд > к,
к = 1.2..... и поэтому
lim пк = — ос.
п—>ос
Действительно, при к = 1 Пх е N, и поэтому Пд 4 Е
Если при некотором к € N пк к. то nk-i п к- I 1 4 к 4 1 и
наше утверждение доказано по индукции.
2.1.31. Замечание. Всякая последовательность {24} является
подпоследовательностью самой себя.
Действительно, если положить пк = к. то ук -- А’ = 1.2..
2.1.32. Определение. Пусть {.г,,} — вещественная последова-
тельность и пусть {х,ц.} — её подпоследовательность, для которой
Я lim хп. = ,гп е IR.
к-кх *
Тогда элемент tq называется частичным пределом последователь-
ности
2.1.33. Замечание. Если
3 lim .vn - - .го е R.
71—> ОС
то последовательность {.т,,} имеет единственный частичный предел,
равный х’о- Действительно, если {.т,чД — любая подпоследователь-
ность последовательности {.г,,} и W(.tq) — произвольная окрестность
точки ад. то Зпо G X: Vn 4 По .г,, е <7(.1’о). Поэтому
VA 4 п0 (nk 4 А- по) => е АУ(хо)).
так что 3 lim т,1/г = tq.
66
Глава II
2.1.34. Утверждение. Пусть Ху £ В — предельная точка
множества значений последовательности {а",,}. Тогда Ху является
частичным пределом этой последовательности.
Доказательство. Пусть Е - множество значений последо-
вательности {хп}. тогда при любом выборе проколотой окрестнос-
ти А7(,Ту) имеем А7(ху) П Е / 0. и поэтому Зг/ g (Z/(xy) А X). Ес-
ли Ху е В. то. полагая Z7(xy) = Z7i/*.(xy). можно утверждать, что
3yk € (Z71/fc(x0) А Е). Так как yk 6 Е. то Зп*. £ X: (д - хПд.
к - 1.2...... Поскольку пересечение Z/i/*.(xy) АХ — бесконечное
множество, то последовательность {щ.} можно выбрать так. что-
бы Пк+1 > Пк- к = 1.2.... Тогда {х„А.} -- подпоследовательность
последовательности {-г,г}. причём
- Х)| < т 0 при к эс.
К
Значит.
3 lim хП1 - Ху
fr-юс
и поэтому .то — частичный предел последовательности {хп}.
Пусть ад € (В \ В). т.е. ху = —ос или хо - — ос. Предполо-
жим. что Хо = —ос. тогда при любом выборе проколотой окрестнос-
ти ЪЙ —ос) имеем Z7( <-эс)АХ 0. и поэтому Зу £ ZY(-ос) АХ. Полагая
Z/(-t ос) — (к. —ос), можно утверждать, что Зук £ ((Ал —ос) А X). Так
как yk £ X. то Зпк € X: гд. = хПк. к = 1.2....
Используя тот факт, что (А’.—ос) АХ — бесконечное множест-
во. последовательность {и*} можно выбрать так. чтобы rtk- j > Пк.
к = 1.2.... Тогда {х,|д.} — подпоследовательность последователь-
ности {г,,}. причём хПд > к -э —ос при А’ —> ос. так что
3 lim х„. = — ос - хо.
к--эх к
Поэтому точка —ос является частичным пределом последователь-
ности {х,(}. Аналогичные рассуждения можно провести п в случае,
когда .го = -ос.
2.1.35. Пример. Если хп = ( — 1)". и £ X. п Ху - 1. то
Хо — частичный предел последовательности {.?'„}• поскольку мож-
но положить Пк = 2к. к = 1.2...... и тогда х,ч = Х2к ~ 1 = Ху.
А’ = 1.2... так чго
lim х„ = х().
к—эх к
Кроме того. Пк -1 = 2А’- 2 > Пк = 2к. к - 1.2.п поэтому {х„А.}
подпоследовательность последовательности {х„ }.
При рассматриваемых условиях X - { — 1:1} и точка Ху 1 не
является предельной точкой X. Таким образом, обратное к 2.1.34
утверждение, вообще говоря, неверно.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
67
Далее будем обозначать Е* С R. — множество всех частичных
пределов последовательности {.тГ)}. принадлежащих R.
2.1.36. Утверждение. Пусть Е* П R 0, и пусть xq € R —
предельная точка множества Е* OJR. Тогда xq € Е* (т. с. множество
Е* П R замкнуто в RJ.
Доказательство. По условию Ve > 0 LL(xo') О {Е* ПR) ± 0.
и поэтому Зя* £ (1Е(хо) П (Е* П R)). Согласно замечанию 1.6.14
3U(x*) С Us(xq). Так как х* £ Е*. то х* — частичный предел после-
довательности {дп}. т.е. 3 подпоследовательность {z,l/c} последова-
тельности {хп}. для которой хПк —> х\ к —> оо. Значит. 3fco £ N:
VA- Ад хПк £ Цд*), так что хПк £ We(x0). Поскольку хПк € Е.
к = 1.2...то VA: Js к0 хПк £ (We(x0) n Е), т.е. Vs > О i/e(xo) С Е ф 0
и, значит. а?о — предельная точка Е. Из утверждения 2.1.34 следует,
что то — частичный предел последовательности {тп}. т.е. Хц € Е*,
и поэтому а?о € (Е* П R).
2.1.37. Замечание. Если то = +эс — предельная точка мно-
жества Е* П R 0, т. е. Д(—ос) С (Е* П R) 0 при любом выборе
окрестности М(ч-ос). то множество Е* О R не ограничено сверху, и
обратно. В этом случае (-*-ос) € Е*. Действительно, при таких усло-
виях Vfc £ N(fc. —оо) П Е* 0. так что Зх£ £ ((к. +эс) П Е*). Далее,
существует окрестность С (Е —оо). Так как хк е Е*, то рас-
суждая так же. как и выше, убеждаемся в том. что Е П (А-. +оо) 0,
и поэтому Зтц. € К: х„к > к и Пд-+1 > пд-. к = 1.2,.... Значит,
lim .т„, = —оо.
А—юо *'
так что (ч-оо) € Е*. В случае, когда xq = —ос. справедливо анало-
гичное утверждение.
Теорема Больцано-Вейерштрасса для ограниченной
вещественной последовательности
Всякая ограниченная вещественная последовательность содер-
жит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть Е - множество значений последо-
вательности {т,Д. Тогда Е С R: Е 0: Е ограничено в R. Кроме
того. Е не более чем счётно, и поэтому возможны только два случая:
1) Е — бесконечное множество (точнее. 1Е| = |Х|). Согласно тео-
реме Больцано-Вейсрштрасса для ограниченного бесконечного мно-
жества точек из R Зад € R: До - предельная точка Е. Применяя
утверждение 2.1.34. получаем, что .го — частичный предел после-
довательности {т,,}. так что существует сходящаяся подпоследова-
тельность {дП(с} последовательности {.г,,}, для которой
lim хп. = До-
А
68
Глава II
2) Е — конечное множество (причём Е 0). Тогда Зт е X:
\Е\ = |Nm|. т.е. Е = (при этом е, 6j при i / j:
i,j = 1....77?). Положим
А, = {n е N | хп = ej. ? - 1....in.
тогда
in
Л, =N и A, Ci Aj =0 при i j; i.j 1........m.
i i
Все множества Ai.... A„, не могут быть конечными, и поэтому
3io е |Л1(1| = |N|.
Пусть «j = min А,о е N. и пусть тд. = min{At(, \ {гц:...:
к = 2.3,...). Тогда тд. е А,(). так что х„к = ei(). А- -- 1.2. Следо-
вательно. согласно 2.1.5 {х„л } — сходящаяся подпоследовательность
последовательности {-г,,}, для которой
= Go-
2.1.38. Утверждение. Если последовательность {.гп} не огра-
ничена сверху (т. е. множество её значений не ограничено сверху), то
существует подпоследовательность {,тПд.} этой последовательности,
для которой
lim хп. = +эс.
к->ос А
Аналогичное утверждение справедливо и для последовательности
{хп}. не ограниченной снизу.
Доказательство. Для случая не ограниченной сверху по-
следовательности {т,,}. имеющей множество значений Е. точка - эс
является предельной точкой этого множества, и поэтому согласно
утверждению 2.1.34 - эс — частичный предел последовательности
{.т,,}. Аналогично можно рассуждать и в случае, когда последова-
тельность {.?'„} не ограничена снизу.
2.1.39. Следствие. Для любой вещественной последователь-
ности {тп} Е* 0.
Доказательство. Если последовательность {.г,,} ограниче-
на. то по теореме Больцано Вейерштрасса она содержит сходящуюся
подпоследовательность. предел которой принадлежит Е*. и поэтому
Е‘ П R 0.
Если же эта последовательность не ограничена, то она не огра-
ничена либо сверху, либо снизу. Согласно предыдущему утверж-
дению тогда либо (-ос) € Е*. либо (—ос) G Е". Во всех случаях
0.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность 69
2.1.40. Определение. Вещественная последовательность {тп}
называется фундаментальной, если
Vs > О Зп() е N: Vm, п е К: (т > п. п0) => (|тт - Тп| < £)•
Свойства фундаментальных последовательностей
а) Всякая фундаментальная последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть {т„} — фундаментальная последо-
вательность. Полагая е = 1 в определении 2.1.40, можно утверж-
дать. что Зпо е N: Vm.n е N: (m > n > n0) => (|тт - xn| < 1).
Пусть n - ng. тогда
Vm > п0|тт - тПо | < 1,
так что
\Xm I \хт ~ %ng | *" |тПд | < 1 l-Tny |.
Если
М = max{|r1|:...; |т„0| + 1}.
то Vm 6 N |zm| С А/, и поэтому последовательность {г,,} огра-
ничена.
б) Если фундаментальная последовательность содержит сходя-
щуюся подпоследовательность, то она сама сходится, и притом к
тому же пределу.
Доказательство. Пусть {тПк} — подпоследовательность
фундаментальной последовательности {т,,}, и пусть
lim хп. - т0 € R.
А-—>ос *
Если с > 0. то
Зт?о е N: Vm. nCN: (m > n no) => (|тт - xn| < •
Кроме того,
3k0 e N: Vfc > kg - x0| < |.
Положим kj = maxf^o: no} e N. тогда Ал А’о и VA' ki
|Tnjt— To I < f- Далее. VA’ Ад nt Ai no- и поэтому,
полагая m = пь ng. имеем V/7 n^-.
K, -t„| < j.
Значит. Vn па-j
|t„ - T01 |.rn - Th^ I - It,^^ - to I < £.
так что
3 lim = a?o-
70
Глава II
Критерий сходимости Коши
Вещественная последовательность {.г,,} сходится тогда п только
тогда, когда она является фундаментальной.
Доказательство. Если
lim .г„ = I’o £ IR.
п —>эс
то V- > 0 Зп0 6 N: \Д > п0 |.г„ - та < I- Пусть т.п е X и
т > п по- тогда |.г,„ - т„| < \хт - .го| — Цо - -Л, < £• так что
последовательность {.г,,} является фундаментальной.
Обратно, если последнее условие выполнено, то последователь-
ность {т,,} по свойству а) ограничена и по теореме Больцано-Вейер-
штрасса содержит сходящуюся подпоследовательность {.г,ч}. По-
этому по свойству б) последовательность {т,,} сходится.
2.1.41. Определение. Пусть {т„} - вещественная последова-
тельность и Е* - множество всех её частичных пределов, принад-
лежащих К.
Если Е* — {-нос}. то положим
lim .r„ = lim ,т„ = - ос
(элементы lim т„ и lim х„ называются соответственно нижним и
верхним пределами последовательности {.г,,}).
Если Е* = { — ос}. то положим
lim = lim ,т„ = — эс.
П->ЗС " 'Х
Если же Е” = {-х:х(. то
lim хп = -ос: lim ,т„ = -ос.
Пусть Е” Л R / 0. Если ( — ос) 6 Е”. то
lim ,г„ - — эс:
ZJ—>эс
если же (- эс) G Е". то
lim .г„ = — эс.
II —
Если ( —эс) Ц В", то множество £’*лЖ ограничено снизу, и тогда
lim .rn = inf(£"‘ Л R) > —эс.
п —> эс
Если, наконец. ( —эс ) Ц Е~. то множество Е* 7R ограничено сверху,
и тогда
lim = sup(£” Л R) < -эс.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
71
Свойства верхних и нижних пределов
a) lim х„ = lim .т„ = Xq £ R тогда и только тогда, когда
п-lx
3 lim х„ - Хц.
Доказательство. Пусть
lim хп — lim х„ = Хо £ R.
п->эс
и равенство
lim х,; - хо
не выполняется. Тогда Зт > 0 и 3 подпоследовательность {x„fc}
последовательности {х„}. такие, что х„А. — Хо| > 5. А 1.2......
Вещественная последовательность {х,ч.} имеет хотя бы один час-
тичный предел хо £ IR согласно следствию 2.1.39. Элемент Xq. оче-
видно. является частичным пределом последовательности {х,,}. т. е.
Хо £ Е*. Из наших условий следует, что |ху - xq > £ > 0, т. е.
Xq / xq. так что либо Хо < хо. либо х0 > Хо- В первом случае
х0 < lim х„:
п —>эс
во втором случае
хо > lim х„.
п—>ос
Поскольку Хо £ Е*. то в обоих случаях получаем противоречие с
определением 2.1.41. Следовательно.
3 lim х„ - хо-
п—>зс
Если
lim х„ - lim х„ = — ос.
n-tx
то Е* = { — ос}. Если, кроме того, равенство
lim х„ = — ос
п эс
неверно, то 33/ > 0 и 3 подпоследовательность {х„А } носледова-
le.TbiiocTii {х,,}. такие, что х„А. ЗА. А 1.2. Выбирая элемент
хо £ R так же. как и выше, имеем хо < 3/ < — ос. причём xq £ Е* -
противоречие. Значит.
3 lim х„ = — ос.
/I—
Аналогично рассматривается случай, когда
lim ,х„ - lim :г„ = — ос.
,1-^Х "
Обратно, если
lim х„ -- .то £ R.
/1 —
72
Глава II
то, выбирая любую подпоследовательность (хПк } последовательнос-
ти {л’п}, можно утверждать, что
3 lim хп = т0.
к—>оо
Это означает, что Е* — {то}, и согласно определению 2.1.41
lim хп = lim хп = а’о-
п—>ОС 77—ЮС
б) Всегда
( lim хп ) € Е* и ( lim хп ) е Е*.
Уп—>ос / Уп—юс /
Доказательство. Пусть
lim х„ = а?о 6 R,
П —ЮС
тогда либо Tq = —ос. либо .т^ € R, либо х^ - +оо. Предположим,
что т(* $ Е*. тогда во всех этих случаях х() — предельная точка Е*.
и поэтому Тц G Е* — противоречие. Аналогично рассматривается
случай, когда
lim хп = Xq € R.
77—ЮС
в) Vy* е £*
lim хп С У* Ипэ хп
n-юо п~>°°
(следует непосредственно из определения 2.1.41).
г) Если у е R и у > lim хп. то Эт?о € N: Vn > хп < у. Если
П—ЮС
же у G R и у < lim хп- то Зщ ё N: Vn П\ хп > у.
Доказательство. Докажем первую часть утверждения
пункта г) (вторая часть доказывается аналогично). Допустим, что
Vng EN Зп По: хп I? у. Тогда существует подпоследовательность
{тПд.} последовательности {тЛ1}. такая, что хПк у. к = 1.2. По-
следовательность {тПд.} имеет хотя бы один частичный предел у ё R.
Элемент у является частичным пределом последовательности {хп}.
т. е. у ё Е*. По теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем
У У > Jiny х„.
что противоречит определению 2.1.41. Значит, наше допущение не-
верно и первая часть утверждения пункта г) обоснована.
2.1.42. Замечание. Из свойств б) и в) следуют, что верхний
предел последовательности {т„} — это наибольший из её частичных
пределов, а нижний предел {т,,} — наименьший частичный предел
этой последовательности.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
73
2.2. Вещественные функции и их пределы
Пусть Е С R: Е / 0. и пусть /: Е -> R: т0 ё R - предельная
точка Е.
2.2.1. Определение. Говорят, что функция / имеет предел,
равный уо £ Н- при .г —> г(| по множеству Е. и пишут
lim f(x) -- у0.
х-,,0
xqE
если Vs > 0 3d' > 0: V.r ё Е: (0 < |т — .tq| < d) => (|/(т) — уо| < г)(или.
эквивалентно. Vs > 0 3d > 0: Vx ё (^(т0)ПЕ) /(т) ё ZE(y0)). Пишут
также: Дт) —> у0 при х —> дд: х ё Е.
Сформулированное определение называется определением пре-
дела функции по Коши (или в терминах окрестностей).
Локальное свойство функций, имеющих предел
Пусть f: Е —> R: д: Е —> R: Е С R: x<j — предельная точка Е.
и пусть существует окрестность Н(хо). такая, что Ух е (ДДо) П Е)
f(x) - g(x) (т.е. функции fug локально совпадают). Тогда
lim f(x) = lim g(x)
r-*J0 л т0
rgE ice
в том смысле, что из существования одного из этих пределов следует
существование другого и их равенство.
Это утверждение следует из определения 2.2.1 и того факта, что
пересечение двух окрестностей одной и той же точки снова является
окрестностью этой точки.
Предел по подмножеству
Пусть
lim /(.г) = у0
Х-Г0
геЕ
и пусть Ео С Е и то - предельная точка Е(). Тогда
lim /(.г) = у0.
о
^е0
Доказательство. Так как Е(| С Е. то (W(.ro) П Eq ) С (Z7(х{1) П
ПЕ) при любом выборе окрестности П(хо}- С учётом определения
2.2.1 отсюда следует наше утверждение.
Предел локально-постоянной
Пусть f: Е —> R: лд предельная точка Е. и пусть с ё R и
существует окрестноеiь НСгф. такая, что Ух ё (Д(го) Е) f(x) = с
(т.е. функция f локально-постоянна). Тогда
3 lim f(x) = с.
I =е
74
Глава II
Доказательство. Если е > 0. то Vx G (Z/(xq) ПЕ) |/(х) — с| =
= 0 < £.
2.2.2. Определение. Функция f: Е —> R называется ограни-
ченной на Е, если ЗЛ/ > 0 : Vx ё Е |/(х)| М < —ос.
2.2.3. Определение. Функция /: Е —> R: Е С R называется
локально ограниченной при х —> xq. х ё Е. если 3W(xq) и 33/ > 0:
Vx ё (W(xq) П Е) |/(х)| М < +оо.
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей
конечный предел
Если 3 lim /(х) € R. то функция f локально ограничена.
х->хо
хеЕ
Доказательство. Полагая в определении 2.2.1 е = 1, мож-
но утверждать, что существует окрестность W(xo). такая, что Vx €
ё (Цхо) П Е) |/(х) - Уо\ < 1, где
Уо = Нт /(х) € R.
Таким образом. Vx € (W(x0) П Е) |/(х)| |/(х) - у0| + Ы < 1 - |уо|-
Если положить 3/ = 1 — |г/0| € R- то получим, что функция f
локально-ограничена.
2.2.4. Определение. Пусть Е С R; f: Е -> R: xq — предель-
ная точка Е. Пишут
lim /(х) = у0,
если для любой последовательности {хп}. удовлетворяющей услови-
ям (*). справедливо равенство
lim /(хга) = у0.
п —>ос
Сформулированное определение называется определением предела
функции по Гейне.
Теорема об эквивалентности двух определений предела
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалент-
Доказательство. Будем считать, что Хо ё R: уо ё R (хотя,
как будет видно далее, это утверждение справедливо и в случае,
когда Xq € R: уо ё R). Пусть lim*-^0 /(х) — уо (в смысле Коши).
хеЕ
Если {хн } — любая последовательность, удовлетворяющая условиям
(*). то из определения 2.2.1 следует, что Эп0 € N: Vn п0 (хп ё
ё (We-(xo) П Е)) => (/(хп) ё 7/г(уо)). Таким образом.
3 lim /(хп) =- уо,
п—>эс
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
75
что соответствует определению 2.2.4. Обратно, пусть выполнены
условия этого определения. Допустим, что равенство
•ini f(x) = у0
т~Е
(понимаемое в смысле Коши) не выполняется. Это означает, что
Ес > 0: Vd > 0 Зх £ (/7а(то) П Е): |/(х) - уо| £ Положим д' ~
== 1/и > 0. п - 1.2..... Тогда
Vn £ N Зх„ е {Up (х0) П Е): \f(xn) - у0| > = •
И
Так как 0 < |х„ — То| < 1/п- п = 1-2..... то
lim хп - хо-
п—>ос
Кроме того, х„ € Е. п =1.2.......так что последовательность {хп}
удовлетворяет условиям (*). Однако равенство
lim /(х„) = уо
п—>ос
не может выполняться, поскольку |/(х„) — г/о| = -- const > 0.
и -= 1.2....
Полученное противоречие доказывает, что при наших условиях
•im ZU) -= Уо
теЕ
в смысле Коши.
2.2.5. Следствие. Любая функция f: Е —> R имеет при х —>
-> хо: х £ Е не более одного предела.
Действительно, соответствующее утверждение справедливо для
случая, когда рассматриваются пределы вещественных последова-
тельностей. Поскольку определения предела функции по Коши и по
Гейне эквивалентны, это утверждение должно быть справедливо и
для вещественных функции.
Свойства пределов вещественных функций, связанные
с арифметическими действиями
Пусть
lim /(х) уо ей и lim = Zo € JR.
r-"() r^ro
i C
Тогда справедливы следующие утверждения:
а) 3 lim (/(.г) - g(x)) = уо - z0:
'""’г*
б) 3 lim (/(х)<?(х)) = yozo:
.r g A
в) если c = const £ R. to 3 lim (c/(.r)) - cyo'-
‘-‘’о
76
Глава II
г) 3 lim с = с:
т-^.г0
теЕ
д) если Ух е Е д(х) Д 0 и z0 Д 0. то 3 lim
X-+XQ 9\х) Xq
хеЕ
Доказательство. Поскольку соответствующие свойства пре-
делов были доказаны для вещественных последовательностей, то из
теоремы об эквивалентности двух определений предела следует, что
они должны быть справедливы и для вещественных функций.
Оценочный признак существования предела вещественной
функции
Пусть f: Е -д R: д: Е —> R; h: Е —> R. и пусть
lim /Д) = lim д(х) = г/0 6 R.
геЕ хеЕ
Пусть, далее, существует окрестность Щхо}, такая. что Vz е
Е (W(xq) П Е) f(x) < h(x) д(х). Тогда
3 lim ЛД) = д0.
хеЕ
Доказательство. Пусть {т,г} — любая последовательность,
удовлетворяющая условиям (*). Так как хп —> т0, то 3n0 G N:
Vn > nQ х„ е (ПДо)ПЕ), и поэтому /Дп) < h(xn) < д(хп). Согласно
определению предела по Гейне
lim /Дп) = lim д(хп) = у0.
Г>~^2>С ??—>ОС
Поэтому
lim Л(х„) = уо.
п—юс
Следовательно, по определению предела по Гейне
3 lim h(x) = до.
1СЕ
Теорема о переходе к пределу в неравенствах
Пусть
lim f{x) = уо £ R: Нт з(^) = z0 & R.
.Г—»Tq -Г-*-Г о
х£Е хеЕ
и пусть существует окрестность И(.го). такая, что \/х 6 (Н(т'о) П Е)
/(т) < д(х). Тогда у„ < г0.
Доказательство. Поскольку утверждение теоремы справед-
ливо для случая вещественных последовательностей, то для случая
вещественных функций оно следует из теоремы об эквивалентности
двух определений предела.
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
77
Лемма о сохранении знака
Пусть
lim /Д) = у0 + 0.
T->Jo
,г=£
Тогда существует окрестность такая, что Vx 6 (£/До) П Е)
> 0.
Доказательство. Положим г = |у0|/2 > 0. тогда 35 > 0:
V.?' 6 (Д5Д0) П Е)
, । |Уо I |Уо I п \ Уо|
!/(•') - Vol < Щу-- т.е. уо - — < /Д) < у0 - —
Если обозначить Ц$До) = ДДо)- то 53г е (ДДо) Гi Е) /Д) >
> у0/2 > 0. если уо > 0- и /(.г) < уо/2 < 0. если у0 < 0. В обо-
их случаях /(.г)уо > 0.
Критерий Коши существования конечного предела
вещественной функции
Для существования конечного предела функции f при х -д чг0:
х е Е необходимо и достаточно, чтобы Ve > 0 ЗДДо): V.r'.
.г" е (ДД0) П Е)
|/Д')-/(.т")| <с'.
Доказательство. Пусть
Hm /Д) - уо е R.
тогда Ve > 0 327До): V.r 6 (W(.t0) О Е) ДД) - уо1 < f • Если х'.х" €
£ Й.Г„) П Е). то '/Д') - /Д")| < |/Д') - уо| |уо - /Д")| < £.
Обратно, пусть выполнено \словно критерия Копш. п пусть {.г,,}
любая последовательность, удовлетворяющая условиям (*). Тогда
Зи0 е N: Vn V "о ,г„ е П Е).
Если т.п € N. причём т /;0 и /? > ГЦ), то |/(.rm) — /(.rfi) < г
(достаточно в условии критерия Коши положить .г' = гт: х" = ,г„).
Таким образом, вещественная последовательность {/(хп)} является
фундаментальной, и поэтому согласно критерию Коши сходится, т. е.
3 lim = уо € R.
и—>ос
Покажем, что значение уо не зависит от выбора последователь-
ности {.г,,}, удовлетворяющей условиям (*). Действительно, если
{•Д} - другая последовательность, удовлетворяющая этим услови-
ям. то
3 lim /Дп) = уо € IR.
78
Глава II
Рассмотрим последовательность .Тх. ад. ад Д'2 Эта последо-
вательность, очевидно, удовлетворяет условиям (*). и поэтому су-
ществует предел соответствующей последовательности /(л'х), f(xo).
f (Х2). f (5'2) ., равный zq € R. Так как {f(xn)} и {f(in)} — подпос-
ледовательности указанной последовательности, то уо = zq и у0 = z0,
так что у о = уо-
Таким образом, согласно определению предела' по Гейне
3 Дт f(x) = Уо £ R-
xgE
Теорема о пределе сложной функции
Пусть
Дт f(x) = уо.
2 о
.г е Е'
и пусть существует окрестность П(хо). такая, что \/х е (П(х0) П Е)
f(x) Ф Уо- Тогда уо — предельная точка множества f(E). Если,
кроме того, g: f(E) —> R и
Дт д(у) = zo.
у-Щ(Е)
то
3 Дт g(f(.r)) - 2о-
х^Е
Доказательство. Пусть {хп} — любая последовательность,
удовлетворяющая условиям (*). Тогда Зп0 G N: Vn > (ад G
е (Й(х0) П £)) => (f(xn) 4 уо)- Положим у,, = f(xn). тогда
lim у,, -= у0.
П—ЬЭС
При этом yn G f(E). п = 1.2 и уп у о при п 'у пд- Таким
образом, последовательность {щ} удовлетворяет условиям (*) с за-
меной хп на уп и Е на f(E). за исключением того, что неравенство
Уп Уо выполняется не для всех значений п G N. а только при
п пд (в теореме об эквивалентности двух определений предела это
несущественно). Следовательно, уо — предельная точка f(E) и
3 lim д(уп) = lim g(f(xn() = z0.
п-ээс п—>эс
Согласно упомянутой теореме это означает, что
3 lim g(f(x)) = г0.
2.2.6. Пример. Пусть .Гц = уд = 0. и пусть Е = IR и
I/п. если х = m/п, где т Е Z: п Е N: Н.0.Д.(т,п ) = 1:
0. если .г G (R \ Q).
/(Д = |
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
79
Пусть, далее.
д(у) =
если у ф 0:
если у - 0.
Тогда
lim f(x) = 0.
.г-J о
zelR
Действительно, это означает, что V.- > (J 35 >O:V.rC ((—6.0) U
U(0.5)) |/(т)1 - f(x) < £. Если предположить противное, то Зе > 0:
V5 > 0: З.т е ((—5.0) U (0.5)): ,/'(.т) ф е. С учётом определения
функции f получаем, что Зс > 0: V5 > 0 Вт t TL Bn 6 N: 1 <
< mj < nd и 1/n e.
Следовательно, n > 1/5 и n < 1/5, так что (1/5 < 1/e) => (c < 6).
Последнее неравенство не может выполняться при произвольном
5 > 0 (например, оно неверно, если 5 = с/2). Поэтому
Пт /(т) = 0.
Функция f называется функцией Римана.
Далее получаем
2о = Пт g(y) = 1
(здесь /(/?) {1/п | п е N} U {0}). Однако
( 1. если т е Q:
.9ШД1 - |0. еслп r е (R\ (Q)
II
lim р(/(т))
1
r = R
не существует. В самом деле.
lim <?(/(.?•)) = 1 и lim <j(/(.r)) = 0.
' о ‘ ’ о
.=Q ЩВ <Q)
Поскольку 0 — предельная точка как множества Q. гак и мно-
жества IR \ Q. то существование предела
lim з(/(т))
' - Ч)
j-sR
противоречит теореме о пределе по подмножеству. При условиях
примера окрестность Д(0) = Н(то). о которой говорится в теореме о
пределе сложной функции, не может существовать (действительно,
если 37/(0): Va? G 7/(0)/(.т) ф 0. то Vt G W(0) х е Q. т. е. 7/(0) С Q. что
противоречит счётности Q и несчётности множества 7/(0)). Таким
80
Глава II
образом, условие существования окрестности Ы(хо) в указанной те-
ореме нельзя опустить. Заметим ещё. что функция g(f) называется
функцией Дирихле.
2.2.7. Определение. Пусть Е С R; /: Е —> R. и х0 — пре-
дельная точка Е. Пусть, далее, {х„} — любая последовательность,
удовлетворяющая условиям (*). Если
3 lim f(xn) = уо £ R.
п—>оо
то элемент уо называется частичным пределом функции f при
х —> ,г0: х £ Е.
2.2.8. Утверждение. Любая функция f: Е —> R имеет при
х —> .то; х G Е хотя бы один частичный предел. Если эта функция
локально-ограничена, то она имеет при х —> Xq: х G Е хотя бы один
конечный частичный предел.
Доказательство. Пусть {т„} — любая последовательность,
удовлетворяющая условиям (*). Соответствующая последователь-
ность имеет хотя бы один частичный предел, принадлежа-
щий R. Этот предел является частичным пределом функции f при
х —> tq: т € Е. Если функция f локально-ограничена, то 3Z7(tq)
и ЗЛ/ > 0: Vt е (Z7(t0) П Е) |/(т)| < .V < —ос. Если {т,чД —
подпоследовательность последовательности {тп}. для которой
3 lim = у0.
k^x
то ЗА:0 е N: W Д к0 (хПк 6 (Z/(x0) П Е)) => (!/(т„Д| А/). Следо-
вательно. |уо| < AI, так что уо е R.
2.2.9. Утверждение. Если
lim /(т) = уо € R.
J —
то функция f имеет при х —> то-’ т 6 Е единственный частичный
предел, равный уо-
Доказательство. Если уо е R и {т,,} — любая последова-
тельность. удовлетворяющая условиям (*). то согласно определению
предела функции f по Гейне
3 lim /(т„) = уо.
п—>эо
что и доказывает утверждение 2.2.9 в случае, когда уо е R. Если
Уо = или уо = —ос. то доказательство такое же, как и в преды-
дущем случае, с учётом определения бесконечного предела функции
f. которое сформулировано ниже.
2.2.10. Определение. Пусть Е С R: f: Е —> R; xq е R или
.г0 е R — предельная точка Е: yn 6 IR или у0 £ R. Говорят, что
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
81
функция / имеет при х xq; ,т ё Е предел, равный уо, и пишут
lim /(.г) = у0.
< еЕ
если для любой окрестности У(уо) точки уо существует окрестность
Z/(.z'o) точки Хо. такая, что V.r 6 (ZV(xq) V Е) f(x) ё V(yo)-
Если при условиях определения 2.2.10 уо — бесконечно удалён-
ная точка, то говорят, что функция f имеет при х —> гд: .г £ Е
бесконечный предел. Если же при этих условиях .г() — бесконечно
удалённая точка, то говорят о пределе функции f в бесконечности.
2.2.11. Замечание. Если, например. т() =- эс и у0 = —ос. то
соответствующий бесконечный предел является также пределом в
бесконечности. Равенство
lim /(.г) = -^эс
геЕ
согласно определению 2.2.10 означает, что эс - предельная точка
Е С R и V.U > 0 3.17 > 0: V.r ё Е: (|д| > Si) => (f(r) > М). Если
же то ё R и уо E R. то определение 2.2.10 равносильно определе-
нию 2.2.1.
2.2.12. Замечание. Определение предела функции по Гейне
применимо и к бесконечным пределам, а также к пределам в бес-
конечности. Теорема об эквивалентноеги двух определений предела
справедлива во всех этих случаях.
2.2.13. Замечание. Свойства пределов вещественных функ-
ций. связанные с арифметическими действиями, для случаев беско-
нечных пределов и пределов в бесконечности имеют место во всех
случаях, когда соответствующие арифметические операции со зна-
чениями пределов имеют смысл. Например, если
lim fix) - -эс и lim о(.г) = у0 ё R.
•'’-о ‘
rlE /~Е
то
3 lim (f(x) - y(.r)) --- ( - эс) - у,-, = - эс.
г
Действительно. пусть .11' > 0. тогда 3 окрестность Z-/(.i’o). та-
кая. что V.r ё (ДД’о) П Е) f(x) > АГ. Кроме того, полагая т = 1.
можно утверждать, что существует окрестность ZV(.ro). для которой
V.r ё (7(.г0) П Е) д(х) > уо — 1. Если Z7(a’o) = W(j"o) П 7(го)- то
V.r ё (7(.tq) ПК) f(x) — g(x) > AI' — уо — 1. Если выбрать число .1/ > 0
произвольным образом и положить .11' = тах{1: .1/ — уи • 1} > 0. то
-V' > 0 и .1/' +- уо — 1 JV .1/. так что V.r ё И Е) fix) - у(.т) > .1/.
г.е. fix) g{x) е (.1/. - эс).
82
Глава II
Поскольку (Л/.-гос) — произвольно выбранная проколотая
окрестность точки +ос, то отсюда следует доказываемое равенство.
Аналогичные доказательства можно провести и во всех остальных
случаях.
Если же lim fix) = —ос и lim д(х) = -ос. то относительно
J v 7 х-х0
хеЕ t^E
существования и значения предела lim (fix) + д(х)). вообще говоря,
х-*х0
х^Е
ничего сказать нельзя. Это обстоятельство соответствует тому, что
операция сложения (—ос) -г (—ос) в R. не имеет смысла.
2.2.14. Определение. Функция f называется бесконечно
большой (б.б.) при х —> Хо; х £ Е, если
Inn /(х) = ос.
хеЕ
2.2.15. Определение. Функция f называется бесконечно ма-
лой (б.м.) при х —> а’о; х G Е. если
Пт /(х) = 0.
хеЯ
2.2.16. Утверждение. Пусть Vx £ Е f(x) f 0. Тогда функция
f является б.б. при х -> хо; х € Е в том и только том случае, когда
1// — б.м. при х -> хо: х 6 Е.
Доказательство. Пусть f - б.б. при х -> xq; х € Е. тогда
W > 0 3W(x0): Vx £ (Й(х0) Я Е) (|/(х)| > Л/) =>
1
7Й
м)'
Пусть с > 0 выбрано произвольно. Положим Л/ = 1/с. тогда
Vx 6 (Й(хо) Г) Е) |1//(х)| < е. Таким образом,
т.е. f — б.м. при х —> xq;x € Е.
Обратное утверждение доказывается аналогично с учетом того,
что Vx е Е /(х) 0.
2.2.17. Утверждение. Пусть f — б.м. при х —> х0: х € Е. и
пусть функция д локально ограничена. Тогда fg — б.м. при х —> Xq:
х € Е.
Доказательство. По условию.
ЭН(хо) и ЗЛ/ >0: Vx € (W(xq) О Е) |</(х)| Д/ < —ос.
Далее.
Ve > 0 ЗП(хо): V.X е Йх0) П Е) |/(х)| <
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
83
Если U (.то) = Й(.гд) ГШ(.гд). то
Vt € (U (.r0) П Е) |/(z)5(z)| = |/(т)||5(х)( < s.
Следовательно.
Дт (/(т)д(а:)) = 0.
т е к
г. е. fg — б.м. при .< —> Zq; т 6 Е.
2.2.18. Утверждение. Если обе функции fug - б.б. при
х —> ад: х е Е. то fg — б.б. при х —> ад: х Е Е.
Доказательство. По условию.
lim /(.г) = lim g(x) = эс.
г£ Е , :Е
Так как в R ос • эс = эс. то согласно замечанию 2.2.13
lim (/(.т)<7(.г)') -= эс.
3 Зо
i‘E
т.е. fg — б.б. при х —> ад: х е Е (этот факт можно доказать и
непосредственно).
Заметим, что при условиях утверждения 2.2.18 функция f -+- д
необязательно является б.б. при х —> ад: х 6 Е. что соответствует
тому обстоятельству, что операция ос - х в R не имеет смысла.
Например, если Е = R и /(.г) = х: д(х) = —х: xq = — эс. то
lim /(.т) = -* эс.
т<=К
и поэтому
lim /(т) эс.
< ? £
Аналогично.
lim д(х) -- — эс.
।
так что
lim д(х) -= эс.
Однако V.r е IR f(x) — д(х) = 0 и lim ____ (/(т) — д(х)) = 0.
2.2.19. Определение. Пусть /: Е -a IR: д: Е -х IR и пусть
V.c G Е р(.т) / 0. Пишут /(.г) = о((/(.г)) (читается: о — малое) при
84
Глава II
2.2.20. Определение. Пусть f: Е —> R и д: Е —> 1R. Пишут
f(x) = О(д(х)) (читается: О большое) при х —> хо; х G Е, если
ЭЛ/ > 0 и 3Z7(xq): Vx е (Z7(xq) П E) |/(x)| С A/|(?(x)|.
2.2.21. Замечание. Если Vx c £ g(x) 0. то равенство /(x) =
= O(g(x)) при x —> Xq: x e E означает, что функция f/g локально
ограничена.
2.2.22. Определение. Пусть f:E—> R:'p: Е —> R. и пусть
Vx € Е f(x) 4 0 и <?(х)) / 0. Пишут /(х) ~ д(х) при х —> хо;
х G Е. если
Um ZW =1.
Дто д(х)
2.2.23. Утверждение. Пусть F = {f \ f: Е —> В и Vx е Е
f(x) 4 0}. Тогда символ ~ определяет отношение эквивалентности
на множестве F.
Доказательство. Если Д./2 е F и fi ~ /2, то
Пт ЛИ , L
—р /2(х)
.гев
По свойствам пределов отсюда следует, что
Um ЛН =
Л<1)
так что /2 ~ fi- Так как Vx G Е
Л(-т) = 1
Л(т-) -
1- /1(^)
Ji1? ттп
/2W
= 1.
то
lim
Л(*) ,
и поэтому Н ~ /1. Если ещё /3
lim Ш =
T4To f2(x)
£ F. причём ,Л ~ /2 и /2 ~ f-з- то
11m =. 1.
ДЧ) /л(х)
следовательно.
lim
!^'0
Л(-т)
/з(т)
lim
Л U) /3(2")
т.е. Л ~ /3.
Свойства символов о и О
а) Если f(x) — o(g(x)) при х —> Хц; х € Е и функция h локально
ограничена, то f(x)h(x) = o(g(x')) при х —> Xq: х G Е.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность 85
Доказательство. По условию Vr G Е 0. так что
f(x)h(x) _ /(х)
g(x) g(x) X '
причём функция f /g - б.м. при x —> аду, x G E. Согласно утверж-
дению 2.2.17 отсюда следует, что функция — б.м. при х -> яг0;
х & Е. т.е.
Um = о.
те.Е
Это означает, что f(x)h(x) = o(g(x)) при х —> аду х е Е.
б) Если f(x) = O(g(x)) и g(x) = O(h{x)) при х -> z0; х £ Е. то
f(x) - О(Н(х\) при х —> х0: х G Е.
Доказательство. По условию,
ЭМ > 0 и 2Z7(xo): Va? G (£4До) П E) 4 M\g(x)\.
Кроме того.
ЭМ > 0 и 37/(а:о): Vz G (W(zq) И Е) |р'(яг)| 4 M\h(x)\.
Если tl (а?о) = Д(а?о) DW(io). то
Va- G (W’(x0) П Е) I/O) | 4 MM\h(x)\.
т.е. f(x) = O(h(x)) при x —> аду x G E.
в) Если f(x) = o(g(x)) при x —> яду x G E, to f(x) = О(д(х))
при x xq; x E E.
Доказательство. По условию
lira = 0.
Дто д(х)
и поэтому
Зф0): Vz G (W(a’o) П Е) Z^2i<s = i.
9W I
т.е. l/(r)| < [<j(;r)|. Это означает, что f(x) = О(д(х)) при х —> xq:
х G Е.
Утверждение, обратное к утверждению пункта в), вообще гово-
ря. неверно.
Если, например. Vz G Е f(x) = д(х), то при х —> xq: х Е Е
f{x) = О(д(х)) и равенство /(.г) = o(p(z)) не может выполняться,
так как
ь» 44=г
д(х)
г) Если = О(д(х)) и д(х) = o(h(x)) при х —> zq: х G Е. то
f(x) = o(h(x)) при х —> хо; х G Е.
86
Глава II
Доказательство. Действительно. ЭД/ > 0 и ЗДДо): V.r g
е (Z7(.To) П Е)
(1Ж)1 М\д(х)\) =>
По условию
lim
г^о
gfr)
h(x)
и поэтому
lim
л->г0
zee
m=o.
т.е. f(x) — o(h(x)) при x —> ад: x G E.
j) Если f(x) - o(g(x)) и g(x) = O(h(x)) при x —> x^: x e E. to
f(x) = o(h(x)) при x —> .To-' x e E.
Доказательство проводится аналогично доказательс тву пункта
г)-
2.2.24. Первый замечательный предел. Пусть Е =
= (—1.0) U (0.- ос). Тогда
lim (1 4 .г)1/'г = е.
з-О
хе А
Доказательство. Пусть х^ > 0. к - 1.2........ и lim ад. = 0.
А-->эс
Тогда VA’ е N x/f g Е и ЗАд € X: VA- ку 1/ад- > 1 (поскольку
1/а?л- -> -ос).
Пусть при А > ко ?ц. = [1/za]. тогда а*, е X и гц. 1/.тА. < щ. -1.
При А‘ -> эсаЛ. -> - эс. так как при А- > А'о ??л- > 1/j’a- - 1. Имеем
Ук ко
1 1
----- < xk ~
»А- 1-ПА-
11 поэтому
< (1 ’.ГА-)1М
При А- -4- эс
Согласно оценочному признаку существования предела отсюда еле-
дует, что
3 lim (1 — □"а )1^‘Гл‘ = е.
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
87
По определению предела по Гейне имеем
lim (1 — х)1^ = е.
х—>0
xe(0.J эс)
Положим у = -х/(1 - а-) -> 0 при х —> 0, тогда х - -у/(1 — у) > О
тогда и только тогда, когда у 6 (—1.0).
Используя тождество (1 — x)1Cr+1 = (1 - у)1^. справедливое
при х > 0. и применяя теорему о пределе сложной функции, полу-
чаем. что
lim (1 - у)}/у -- lim (1 — x)1//j'+1 = е.
t/->0 х-+0
»е(-1.0) хе(0.+=е)
Таким образом, Vc > 0 3<5i > 0: Vx е (0,<5i) |(1 + х)1/-* - е| < е и
Зд*2 € (0.1): Vx € (—<?2.0) |(1 — х)1/* — е| < е. Если S = min{<5i; <5о} > 0.
то Vx С £7,5(0) |(1 — х)1^ — е| < е. Это означает, что
lim (1 — х)1/* = е.
•г^О
хеЕ
2.2.25. Утверждение. Пусть а > 0; а 1. Тогда \/уо > 0
1оёа У = log„ у0.
ре(0. + ос)
Доказательство. Достаточно проверить, что
Так как при у —» уа у/у0 —> 1, то по теореме о пределе сложной
функции достаточно убедиться в том. что
lim log,, z = 0
Z—>1
ге(О.-ос)
(положить Z = у/уо).
Последнее равенство означает, что
Vs > 0 3<5 > 0: Vz € (1 — <5.1 <5) — £ < log,, z < е.
Если а > 1. то эти неравенства можно записать в эквивалентном
виде:
а~~ < z < ст.
Следовательно, полагая <5 = min(l — а~е:а~ — 1) > 0. получаем наше
утверждение.
В случае, когда 0 < а < 1. доказательство проводится анало-
гично.
2.2.26. Следствие. При условиях утверждения 2.2.24
i,m = 1.
.г-О X
88
Глава II
Доказательство. Утверждение следствия выводится непо-
средственно из 2.2.24 и 2.2.25.
Иногда это утверждение записывают в виде: при .г —> 0: х Е Е
1п(1 — х) ~ х.
2.2.27. Следствие. При тех же условиях
еу — 1
1.
lim
«-о
.</ e R
Доказательство. Пусть у = ln(l— .г) —> 0 при ,т —> 0: .г G Е =
= ( — 1-0) U (0. ^эс). тогда е?; — 1 = .г. так что по теореме о пределе
сложной функции
Ml - J-)
= 1.
lim
.>-0
аУ — 1 т
lim ------ = lim --------
а-0 у х-0 111(1 4- т)
yeR 1<=Е
Утверждение следствия 2.2.27 иногда записывают в виде: при
0: у е R с" - 1 ~ у.
2.2.28. Замечание. Второй замечательный предел обычно
записывают в виде
, Sin х
lim -------- - 1
т 0 1'
xelR.
(это утверждение будет доказано ниже для более общего случая,
когда .1’ Е С).
Рассмотрим ещё несколько пределов, под знаком которых фигу-
рируют показательная, степенная или логарифмическая функции.
2.2.29. Утверждение.
а) Если a > 0. то Vjo € R.
lim ar = о'0
(условие х Е R будем опускать).
Доказательство. Если a = 1. то V.r Е R я’’ = 1, и это
утверждение, очевидно, справедливо. Пусть о > 0 и a г- 1. До-
статочно показать, что
lima' = 1
(положить t = х — .i-о — 0 при х -о- zq п воспользоваться теоремой о
пределе сложной функции). Пусть Н > 0. k - 1.2...и пусть
lim Д = 0.
А—-х
Допустим, что a > 1. Выше было установлено, что Ve > 0 t 2\:
о1/'1!) < 1 — Так как tk -д 0 при к —> эс. то ЗД Е У: VA- > ко
( 0 < Д < — ) => (1 < я/д < я1/,1и < 1 - И .
У «о/ v /
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
89
Таким образом.
3 lim atk = 1.
А--юс
Значит, согласно определению предела по Гейне
Я lim а1 = 1.
t-o
Но тогда
lim а 1 = lim — = 1.
t-»0 t->0 ст
te(O.+ =c) «е(ОЛэс)
Так же, как и в 2.2.24, выводим отсюда, что
3 lim а‘ = 1.
t-+o
Если 0 < а < 1. то
lim а* = lim -——- = 1.
t->o f-»o
б) Если а > 1, то
lim ах = +ос и lim ах = 0.
т—-ЭС IF—> —OG
Если же 0 < а
< 1, то
lim ах
х —
= 0 и lim а'г = +ос.
Доказательство. Выше было показано, что УЛ/ > 0 Зп ё N:
а" > Л/ (в предположении, что а > 1). Если х > п. то ах > а" > М,
и поэтому а'' —> - ос при х -> - ос. Пусть х —> —ос. тогда — х —> —ос.
так что ах = —> 0 при х -> —ос. В случае, когда 0 < а < 1.
вторая часть утверждения пункта б) следует из равенства
х 1
а = 7--ГГ~-
справедливого V.r € IR.
в) Пусть а > 0: а / 1. Тогда. если а > 1, то
lim logo у = - ос и lim log,, у = -ос
У-.О
уе(О. - эс)
Если же 0 < а < 1. то
lim log,, у = -ос и lim loga у = -эс.
У тс «-*()
Уе(о.-^)
Доказательство. Пусть а > 1 и М > 0. тогда log,, у > Л/ в
том и только том случае, когда у > aAl. Поэтому loga у —> — ос при
у -> -нос. Если у -> 0: у ё (0. -ос), то 1/у -> +ос и log,, (1/j/) =
— — log,, у —> —оо. так что log,, у —> —ос. В случае, когда 0 < a < 1.
рассуждения проводятся аналогично.
90
Глава II
г) Если xq > 0 и a Е R. то
lim xa = .Cq.
-re(O. “ )
Доказательство. Если о - 0. то утверждение справедливо,
поскольку тогда Vr > 0 х° = 1. Пусть о 0. Достаточно пока-
зать. что
lim zn - 1
г-Л
гё(0. + эс)
(положить z = .г/а'о —> 1 и воспользоваться теоремой о пределе
сложной функции).
Допустим, что о > 0. Тогда Vc Е (0.1) из неравенств
0 < 8 < min|l - (1 -е)1/л;(1-с)1/п - 1}
следует, что Mz Е (1 - d: 1 — <5) (1 - 8)п < z“ < (1 — <5)°. и поэтому
-£ < (1 - 8)a - 1 < za - 1 < (1 - <5)° - 1 < с.
т. е. \zn — 1| < е. Это означает, что при а > 0Д‘ —> 1 при z —> 1:
Z Е (0. + ос).
Если о < 0. то
z“ = ——> 1 при z —> 1: z Е (0. - ос).
д) При а > 0
lim = -‘-ос и lim ,та = 0.
./•-+ 'ос , ->0
ri«J.
При а < 0
lim .с'* =0 и lim хп - ос.
.1—>-ОС Г-Ш
хё((>.-^)
Доказательство. Пусть о > 0. и пусть Л/ > 0. тогда, по-
лагая то = Л/1/п > 0 имеем Va- > а’о a,n > xfi = Л/. что означает
справедливость соотношения ,т° —> -"-ос при .г —> ос. Далее.
" (Да 0 ПР" г 0: ‘г е (°- эс>-
поскольку при таких условиях (2,-1)° —> — ос.
Случай, когда о < 0. рассматривается аналогично.
2.2.30. Определение. Пусть Е С К: /: Е —> IR: 20 пре-
дельная точка Е. и пусть Е” — множество всех частичных пределов
функции f при 2’ —> 2'о: .г € Е. принадлежащих 1R. Тогда Е" 0.
Если Е* { —эс}. го
lim /(л-) = Пт /(z) = -ос
'"‘Д
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
91
(эти элементы называются соответственно верхним и нижним пре-
делом функции f при х —> ,г0: т е Е).
Если Е* = {—ос}, то
lim f(x) = lim /(.т) = —эс.
г ~’А) ' х ’Ц)
хе-Е геЕ
Если же Е* = { + эс: — ос}, то
lim У(х) = -эс; lim f(x) = - эс.
х-,х0 1-+ГЛ
Пусть Е* A R 0. Если (тос) € Е*, то
lim /(.г) = -эс:
хеЬ’
если ( — ос) 6 Е*. то
lim /(х) = —эс.
Если же ( — эс) Е*, то множество Е* AIR. ограничено снизу и тогда
lim f(x) = inf(E* A R) > -эс.
г~*то
reE
Наконец, если (+ос) £ Е*. то множество Е* A R ограничено
сверху и тогда
Jim /(х) = sup(E* A R) < —ос
г е л;
(ограниченность множества Е* A R соответственно снизу и сверху
доказана ниже).
Свойства верхних и нижних пределов
a) Чу* е Е"
фц /Д) < у* < Пт f(x).
Справедливость этого утверждения следует непосредственно из
определения 2.2.30.
б) Если Дос) Е” и E*AR / (D. то множество Е* AR ограничено
сверху. Если же (— ос) Е* и Е* A R / 0. то множество Е* П R
ограничено снизу.
Доказательство. Докажем первую часть утверждения пунк-
та б) (вторая часть доказывается аналогично). Пусть ( ^эс) Е* и
Е* A R -ф 0. Предположим, что множество Е* A R не ограничено
сверху, тогда Vn 6 N е (Е* A R): yn > п 4- 1. Так как у„ е Е*.
92
Глава II
то существует последовательность {х^Д}. к = 1.2......удовлетворя-
ющая условиям (*) и такая, что
lim /(х*.'0) = у,>. » 1-2....
к'—
Поскольку lim х[.’^ = xg. то в предположении Xg £ IR ЗАДп) £
€ N: Vfr Д A*g(n) |Xj.n' — Xg| < I/?), n = 1.2 Если Xg = + ЭС. TO
3A’g(/;) £ N: VA: Д A’g(n) > n: если же хо = —эс. то 3Eg(n) £ N:
VA- Д A’o(z?) x* < —n. n - 1.2..... Если, наконец, xg = эс. то
3A'o(n) £ N: VA- Д A’g(n) x["^ € ( — эс. — n) U (п,—эс). Далее. ЗАДл):
VA' > А'Дл) |/(x^'’)) - г/„| < I/n. n 1.2..
Если положить A'(n) = max{A'g(??): ky (n)} и обозначить х» =
= x^j. п = 1.2.....то Vn £ N |х„ - хд| < 1/п. если xg £ R; х„ > п.
если х0 = — эс: х„ < —п. если xg = —эс: |хп| > п. если хд -- эс.
Кроме того, последовательность {.х„} удовлетворяет условиям (*).
поскольку в каждом из этих четырёх случаев lim хп - xg.
п —>DC
Имеем
!/(-Сп) - Уп\ < - и у„ > п 4- 1.
77
так что
> Un Уп 1 Z7, 72 — 1.2..
7?
Следовательно,
lim /(хп) = -эс
п~>ос
и поэтому (—эс) £ Е* — противоречие с условием. Итак. Е" Пй
ограниченное сверху множество.
в) Всегда
lim /(х) £ Е* и lim /(х) £ Е ”.
'Д '^'о
Доказательство. Если (— эс) € Е*. то
Нт /(х) -- — эс £ Е*.
Пусть (-эс) Е~. тогда либо Е" = {-эс}. либо Е* П R Д 0.
В первом случае
lim /(х) — — эс £ Е".
r^J-g
.Г€ Е
Пусть Е* ОН? Д 0. Если множество Е* не ограничено сверху, то
из б) следует, что (—эс) £ Е* — противоречие. Значит, при наших
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность 93
условиях Е* ограничено сверху и поэтому Е* OR ограничено сверху,
так что
у = lim /(ж) = sup(E* ПК) < —ос.
Х->.ТО
х^Е
Надо доказать, что у € Е* (при этом у 6 R). Согласно второму
свойству верхней грани
Мп е К Зу„ € (Е* П R): у уп > у -
п
В частности,
lim уп = у.
Повторяя рассуждения пункта 6), получаем, что существует после-
довательность {.х'п }. удовлетворяющая условиям (*), для которой
|/(жп) ~ Уп\ < п=1.2......
Так как
1
Уп - У\ <
п
то 2
\f(xn) - у\ < - -> ос при п -> ОС
и поэтому
3 lim f(xn) = у.
n—tX
Значит, у е Е*. Для случая нижнего предела рассуждения прово-
дятся аналогично.
г) _________________________ _
lim f(x) = lim f(x) = у ё R
i-t/n J^T()
xeE X^E
тогда и только тогда, когда
3 lim f(z) = у.
jt^x0
кк
Доказательство. Если
Jim = у-
х^Е
то согласно определению предела функции f по Гейне
lim J(i„) у
п—>эс
при любом выборе последовательности {т„}, удовлетворяющей усло-
виям (*). Поэтому Е* = {у} и
Шп /(х) = lim /(г) - у.
х—*хо П гР
94
Глава II
Обратно, если два последних равенства выполняются, то предпо-
ложение
У £ lim
Х^1ТТ
геЕ
означает, что 3 последовательность {.г,,}, удовлетворяющая услови-
ям (*). для которой равенство
lim f(xn) = у
п-ех
неверно. В терминах окрестностей это значит, что 3 окрестность
Lt(y') и 3 подпоследовательность {тПд} последовательности {х,г}. та-
кие. что f(xnK) к/(у). к = 1-2.... Вещественная последователь-
ность {f(xn/,)} содержит подпоследовательность {f(xnk )}. I = 1.
2....для которой
Ши f(x„k/) = Z е R.
Так как /(д„ ) U(y). то равенство г = у не может выполняться.
Поскольку последовательность {д„ } удовлетворяет условиям (*).
то г g Е*. Однако согласно условию Е" {г/} — противоречие с
неравенством z / у.
д) Если у € R и
У > Пт /(т).
г-и0
хеЕ
то 3 окрестность г/(до). такая, что \/х е (ZV(xq) ПЕ) /(д) < у. Если
же у g R и
У < lim /(д).
Х-Го
гег
то 3 окрестность Z7(t0) такая, что Уд_е (Й(д0) П Е) /(д) > у.
Доказательство. Пусть у € R п
У > Um /(д).
Предположим, что V окрестности t/(.r0) Зд € (й(д0) п Е): f(j-) у.
Если ди g R. то отсюда следует, что Vn € X Зт„ € (Ui (д0) С Е):
/(•Л1) > У- Так как |д„ — д0| < ± —> 0 при п —> эс. то
lim ,гп = .то
п—>ос
и последовательность {.г,,} удовлетворяет условиям (*).
Соответствующая последовательность {/(д„)} содержит подпос-
ледовательность {/(.т,1А)}. для которой
3 а_1ш^ /(.т,ч) = у* е R.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность 95
Так как f(x„k) у. к = 1,2..... то
У* > У > Нт /(.т).
теЕ
Поскольку последовательность {.r„fr} также удовлетворяет условиям
(*). то у* е Е*. что противоречит утверждению пункта а).
Если а?о = —эо или .то = —ос (или д'о = ос), то вместо окрест-
ности Z7i(tq) следует рассмотреть окрестность Z7(+oc) = (п.—оо)
л
пли Z7( —ос) = ( — ос.—/?) (или Z/(oc) = (—ос, —n) U (п.—ос)) и далее
провести аналогичные рассуждения.
Если у € R и у < lim /(т). то доказательство проводится ана-
хе.Е
ЛОГИЧНО.
2.3. Непрерывность вещественных функций
2.3.1. Определение. Пусть Е С R: Е 0; f: Е -> R: ,r0 е Е.
Функция / называется непрерывной в точке х0. если Vs > 0 35 > 0:
Vt £ (%(т0) ПЕ) |/(т) - /(т0)| < Е (т.е. /(т) е W£(/(t0)).
Функция f называется непрерывной на множестве Eq С Е;
Eq / если она непрерывна в каждой точке этого множества.
2.3.2. Замечание. Если tq 6 Е. то либо а’о — изолированная
точка Е. либо д() — предельная точка Е. В первом случае функция
f непрерывна в точке .со, поскольку 35 > 0: %(до) П Е = {а’о}- так
что V.r € (ПД-то) А Е) (.г = .г0) => (|/(д) - /(а?о)| - 0 < е). Во втором
случае функция f непрерывна в точке ад тогда и только тогда, когда
3 lim /(г) = /(а’о).
теЕ
Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной
функции
Пусть
lim /(.?) = у0 е R
.геЕ
и пусть д: (/(Е) U {уо}) —> R и функция д непрерывна в точке
Уо- Тогда
3 Дт у(/(х)) -у(уо)-
,r=E
Доказательство. Если уо - предельная точка множества
f(E) J {1/о}- то уо является предельной точкой и множества f(E).
При таких условиях утверждение теоремы следует из теоремы о пре-
деле сложной функции, поскольку
lim д(у) --= д(уо).
У^.«0
уе/(Е)
96
Глава II
Условие существования окрестности Д(ту). для которой
Ух е (Цт0) Cl Е) f{r) f Уо. при сформулированных предположе-
ниях не обязано выполняться, поскольку, если х € Е и /(т) = уо-
то g(/(z)) - д(у0) = о.
Если же уо — изолированная точка множества /(Е) U {уо}. то
функция f локально постоянна при х —> xq: х € Е. и поэтому 3
окрестность U(x'o). такая, что Vz е (Е(хо) A E)'g(f(x)) = у(уо)-
Следовательно.
3 lim g(/(z)) = д(уа).
x~,zo
хеЕ
Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция f: Е TR непрерывна в точке zq G Е. и пусть д:
f(E) —> R и функция д непрерывна в точке /До). Тогда функция
g(f) непрерывна в точке хд.
Доказательство. Если zo — изолированная точка Е. то из
условия g(f): Е -> R следует, что g(f) непрерывна в точке zq. Если
же а?о — предельная точка Е. то
3 lim /(z) = /(z0).
ieE
Согласно предыдущей теореме получаем, что
3 Hm y(/(z)) = <7(/(z0)).
хеЕ
Из замечания 2.3.2 выводим, что функция g(f) непрерывна в точке
z0.
2.3.3. Замечание. Согласно 2.2.25: 2.2.29 показательная, сте-
пенная и логарифмическая функции (а поэтому и их всевозможные
конечные композиции) непрерывны всюду, где они определены.
Локальные свойства непрерывных функций
а) Функция f: Е —> R. непрерывная в точке z() € Е. локально
ограничена при .г —> zq: z € Е.
Доказательство. В случае, когда zo — изо.шровапная точка
Е. функция f локально постоянна при z хо- х € Е. и поэтому
локально ограничена на Е. В случае, когда z() - предельная точка
Е. имеем
lim /(z) = /(zn) е R.
'~'о
и поэтому утверждение пункта а) следует из локальной ограничен-
ности функции, имеющей конечный предел.
б) Если функция f непрерывна в точке Хо и /(.Го) 0. то Bt'(.ro):
Vz 6 (Е(т0) А Е) /(z)/(z0) > 0.
Функции вещественного переменного: предел, непрерывность
97
Доказательство. Если То — изолированная точка Е, то
3W(t0): ^х е (U(x0) ПЕ) (х = х0) =у (/(т) = /(т0)) =>
=> (,f(x')f(xo') = /Ф’о)2 > 0). Если же то — предельная точка Е. то
3 /0е) = f(xo) ± о
хсЕ
и доказываемое утверждение следует из леммы о сохранении знака.
Необходимое и достаточное условие непрерывности по
Гейне
Пусть Е С R; f: Е —> R: то € Е. Для того чтобы функция f
была непрерывна в точке то, необходимо и достаточно, чтобы для
любой последовательности {т7!}. такой, что хп е Е. п = 1. 2.
lim т„ = т0
п—>ос
выполнялось равенство
lim /(.rn) = /(то).
п —>ос
Доказательство. Если то — изолированная точка Е, то
3W(t0): W(to) О Е = 0
и функция / непрерывна в точке т(). Если {т„} — любая после-
довательность с указанными свойствами, то Зт?о 6 N: Vn > по
Дп е ([/(т0) А Е)) => (хп = То) => (/(тп) = /(то)). Значит.
3 lim /(тп) = /(т0).
п-дэо
Пусть / непрерывна в точке Ту и т0 — предельная точка Е. тогда
3 ,!“? /0е) = /Ы
J —» J 0
тС Е
и согласно определению предела по Гейне
3„|™с/(5‘") = Л-Со)
для любой последовательности {тп}. удовлетворяющей условиям
(*). При таких условиях
lim /(т„) = /(т0).
п —>ос
поскольку, если при некотором значении n G N т„ = tq. то /(.Тп) =
= /(то). так чт° ограничение т„ / tq. п = 1.2. несущественно
для справедливости равенства
---- /(^о).
Обратно, если это равенство выполняется для любой последова-
тельности {т,,}. удовлетворяющей сформулированным условиям, то
lim /(тп) = /(т0)
98
Глава II
для любой последовательности {т,г}. удовлетворяющей условиям (*)
(такая последовательность существует, если .то — предельная точка
Е). так что
3 lim /(т) = /(.т0)
'-’'о
И Е
и функция f непрерывна в точке ./’о (что верно и в случае, когда
то изолированная точка Е).
Свойства непрерывных вещественных функций, связанные
с арифметическими действиями
Пусть f:E—> R; д: Е -Э R: то € Е. и пусть обе функции f и д
непрерывны в точке xq. Тогда функции f — д: fg: cf (с = const е R)
непрерывны в точке .tq. Если, кроме того. д(хо) 0. то функция f /д
определена на пересечении множества Е с некоторой окрестностью
точки хо и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если хо — изолированная точка Е. то
функции f ч- д: fg: cf непрерывны в точке хо- Если, кроме того.
р(то) 0. то 3 окрестность W(zo). такая, что W(a.'o)riE' = {го}. В этом
случае функция определена на пересечении П(то)Г\Е и непрерывна
в точке То. являющейся изолированной точкой множества £/(го) ТЕ.
Если то — предельная точка Е. то существуют пределы
lim /(.г) = /(т0) и Inn р(т) - д(т0)
,г~т0 J->0
геЕ t^E
и поэтому существуют пределы
lim (/(т) - <у(т)) - /(т0) - р(т0):
j--.ro
.Г€ Е
lim (/(т)р(т)) = /(.то).9(.го):
г1
lim (с/(х)) - с/(т0).
г —
ie£
Согласно замечанию 2.3.2 отсюда следует, что функции f — д: fg: cf
(с =- const g R) непрерывны в точке .Гц. В случае, когда ,д(то) 0.
из равенства
(lhn р(т) = р(.т0)
следует, чго 3 окрестность М.Го). такая, что
V.r е (Г'(то) П £')(<7(ч-)5(.г’о) > 0) => (р(.т) / 0).
Поэтому функция f /д определена на пересечении £7(.Гц) П Е и
,im да. да>
/Г (? г ,9(-Л>)
1
функции вещественного переменного: предел, непрерывность 99
(при этом .то — предельная точка множества U(i'o) Г1 Е). Таким
образом, функция непрерывна в точке Zg.
Первая теорема Вейерштрасса для функции, непрерывной
на отрезке
Пусть f - вещественная функция, непрерывная на отрезке [а. Ь]
(a. I) G R: а < Ь). Тогда функция f ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Предположим, что f не ограничена на
[а.Ь]. тогда Vn G N 3z„ 6 [а. 6]: j/(.zri)[ > п. Последовательность
{./„} точек отрезка [а.Ь] ограничена и согласно теореме Больцано-
Вейерштрасса содержит сходящуюся подпоследовательность {.г„( }.
для которой
ЕИЙП Z,4 =Хо.
Так как а < .г,ч < b. k = 1.2.то по теореме о переходе к пределу
в неравенствах а zg < Ь. т. е. Zg G [а.Ь]. Поэтому функция f
непрерывна в точке .гд. так что согласно условию непрерывности
по Гейне
= /(z0) G R.
0 другой стороны, ио сделанному предположению
\f(.T,4 )| > гц,- к. А'=1.2...
и при А’ —> ос получаем, что /(z„A.) —> —ос. г. е.
^lim_ f(xnk) = ос
- противоречие. Значит, f ограничена па [а.Ь].
Вторая теорема Вейерштрасса для функции, непрерывной
на отрезке
При условиях первой теоремы Вейерштрасса функция f прини-
мает на [а. Ь] своп максимальное и минимальное значения.
Доказательство. Нужно доказать, что
a.ri.J'2 е [a.b]: Vz G [a.b] /(zj /(z) < /(z2).
Пусть m = inf/([а.Ь]) и .V = sup/([a.b]) (при этом /([a.b]) C
C R и /([a.b]) ф 0). Согласно первой теореме Вейерштрасса —ос <
< ni S) М < —ос. поскольку множество /([a.b]) ограничено в R.
В частности, m 6 R и 3/ 6 R. Надо доказать, что 3z].z2 t [a.b]:
./(.i’i) - m и /(z2) = 3/. Допустим, что точки Zi G [a.b] с указанным
свойством не существует, тогда Vz G |a.b] /(z) > m. По.тожим
g(z) = ------- > 0. z G [a. b],
/Д) - n:
100
Глава II
тогда функция д непрерывна на [а, Ь] (и поэтому ограничена на [а, Ь]).
Значит. ЭК = const. > 0: \/х & [а, Ь] д(х} Л К < тос, т.е.
/(ж) > т -г = const > т.
что противоречит второму свойству нижней грани. Итак, Зац 6
£ [а.Ь]: /(ад) = т.
Аналогично доказывается, что Зад 6 [а.Ь]: /(ад) = 3/.
2.3.4. Замечание. Если f - вещественная функция, непре-
рывная на интервале (а. Ь). то соответствующие утверждения, вооб-
ще говоря, неверны. Пусть, например.
/(.г) = |, х € (0.1).
тогда функция f непрерывна на интервале (0,1) и не ограничена на
этом интервале, поскольку
lira /(д) = -гэс.
хе(0.1)
Если же д(х) = х (д G (0.1)), то функция д также непрерывна
на (0.1) и не принимает на (0.1) максимального и минимального
значений, так как т = infp((0.1)) = 0 и XI = sup<?((0,1)) = I.
Теорема о промежуточных значениях непрерывной
функции
Пусть f — вещественная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь].
и пусть f(a) < f(b) (или f(a) > f(b)). Если с 6 (/(а),/(b)) (соответ-
ственно. с е (f(b'). /(а))). то в обоих случаях Зад G (а. Ь): /(.гд) = с.
Доказательство. Пусть, для определённости, /(о) < f(b) и
с е (/(а)./(b)). Положим д(х) ~ f(x) - с (.г G [а.Ь]). тогда д(а) —
= /(а) — с < 0: д(Ь) — f(b) - с > 0 и равенство /(ад) = с равносильно
соотношению д(.то') — 0.
Пусть Е = {х е [а.Ь]: д(х) < 0}. тогда Е С [а.Ь] и Е ф 0, так
как a G Е (при этом b / Е).
Пусть, далее, ад = sup Е. тогда а Л ад Л Ь. Если ад £ Е. т. е.
<7(2’0) < 0. то .Го < Ь и существует окрестность Ь/(.ад). такая, что
Уд £ (Ь/(ад) Г [а.Ь]) <?(.г) < 0. Действительно, функция д непрерыв-
на на [а.Ь]. и поэтому непрерывна в точке .Го 6 [а.Ь]. так что су-
ществование такой окрестности U(ад) следует из локальных свойств
непрерывных функций. Так как ад < Ь. то Зд' £ (Ь/(ад) Cl [а, Ь]):
х’ > хо- Поскольку (Ь/(д’о) Л [а.Ь]) С Е. то х' е Е - противоречие с
неравенством х' > .tq = sup А. Итак. ,г0 Е. т.е. д(.сф 0.
Поскольку од Е. то согласно 1.6.11 дд — предельная точка
Е. и поэтому из 2.1.12 следует, что существует последовательность
функции вещественного переменного: предел, непрерывность 101
{.г,,}, удовлетворяющая условиям (*). В частности. £ Е. т.е.
< 0. п = 1.2... Кроме того.
lim .г,, - .Гц.
n—>ос
гак что из условия непрерывности функции д в точке а?о по Гейне
следует, что
lim ф.г») = р(.то).
п —юс
По теореме о переходе к пределу в неравенствах g(.i’o) < 0. Сле-
довательно. д(т0) = 0. В случае, когда /(«) > /(b) псе (/(b),/(а)),
доказательство проводится аналогично.
2.3.5. Определение. Пусть Е С R: /: Е —> R. Функ-
ция / называется неубывающей (строго возрастающей) на Е. ес-
ли V.Ti.To t Е: (.7’1 < ;г2) => (/(.г'1) < /(•’’г)) (соответственно,
/(дф < /(^г))- Эта же функция называется невозрастающей (стро-
го убывающей) па Е. если Vj’i..r2 £ Е: (эд < т2) => (f(-i'i) /(.i‘2))
(соответственно. /(эд) > /(т2)). Функция / называется монотонной
(строго монотонной) на Е. если она является на Е либо нсвозраста-
ющей. либо неубывающей (соответственно, либо строго убывающей,
либо строго возрастающей).
2.3.6. Замечание. Любое строго монотонное на Е отображе-
ние инъективно на Е.
Теорема о пределе монотонной функции
Пусть Е С R: /: Е —> R и функция f монотонна на Е. Если
.г и = supE Е. то
, ( sup ЦЕ). если f — неубывающая функция на Е:
d lim f(х) = < 1 J v
7 [inf/(E). если f — невозрастающая функция на E.
Аналогичное утверждение справедливо и тогда, когда при про-
чих одинаковых условиях ту ее inf Е Е (при этом в форматировке
утверждения sup/(E) и inf/(E) меняются местами).
Доказательство. Рассмотрим случай, когда .то = supE Е
и / — неубывающая функция на Е. В этом случае нужно доказать,
что для любой окрестности У(А) точки А д ьщуЦЕ) существует
окрестность Ыфо) точки .гц. такая, что Vz £ (Ь/(.со)ПЕ) /(.г) 6 У(А).
Можно утверждать, что .г() — предельная точка Е. Пусть
I'o £ IR. Согласно второму свойству верхней грани З.тд £ Е: /(.i’i) £
£ V(A) (это верно как в случае, когда А £ R. так и в случае, ког-
да А - эс). При этом .7’1 < .I'd = supE. и так как .ту Е.
го .7’1 < .7’0- Положим г = .Г() - .7’1 > 0. ТОГДЭ V.7’ £ (We-(.7’o) Л Е)
(т > .7’0 - £ -7’1) => (/(л’1) < /(.?’) С А ЕЕ sup/(E)). Таким образом.
102
Глава II
из условия /(хд) € У(Д) следует, что /(х) € У(Л). Значит, можно по-
ложить Z7(x0) = /С(хо). Пусть Хо = +ос. тогда, выбирая ад £ Е так
же. как и выше, положим 17(хо) = (ад. —ос). Если х £ (W(xq) АЕ). то
(х > Xi) => (/(xi) < /(х) А = sup/(E)) => (/(х) € V(A)).
Остальные случаи в доказательстве теоремы рассматриваются ана-
логично.
Теорема о непрерывности обратной функции
Пусть f - вещественная функция, строго монотонная и непре-
рывная на отрезке [а. Ь]. Тогда отображение f биективно и функция
f ' строго монотонна и непрерывна на отрезке с концами в точках
/(а) и f(b)
Доказательство. Пусть, для определённости, функция f
строго возрастает на [а, Ь]. Поскольку по условию a < b. то /(а) <
< /(b). Кроме того, согласно 2.3.6 отображение / инъективно. По-
кажем, что / сюръективно. Для этого достаточно проверить, что
Vy £ [/(а),/(Ь)]3х € [а.Ь]: /(х) = у (если х £ [а.Ь]. то а < х < Ь,
и поэтому /(а) ,/(х) /(b). так что /([а. b]) С [/(а)./(b)]). Ес-
ли у = f(a) (у = /(b)). то можно положить х = а(х = Ь). Ес-
ли же /(а) < у < f(b), то по теореме о промежуточных значени-
ях непрерывной функции Зх £ (а.Ь): /(х) = у. Следовательно. /
сюръективно. В итоге получаем, что / — биекция, отображающая
отрезок [а, Ь] на отрезок [/(a)./(b)]. Значит, существует обратное
отображение /_1 : [/(a)./(b)] —> [а.Ь]. являющееся биекцией. Ес-
ли уг.у2 £ [/(а)./(b)], причём yi < у2. то. полагая .гд = /-1(yi):
х2 = /~1(у2). можно утверждать, что /(xj - yj < /(х2) = у2. Если
бы Xi > х2. то /(xi) > /(х2) (поскольку функция / строго возрас-
тает на [а.Ь]) — противоречие. Поэтому xj < х2. т. е. функция /-1
строго возрастает на отрезке [/(a)./(b)].
Покажем, что Vyo £ [/(«)• /(b)] функция /-1 непрерывна в точ-
ке уо. Пусть {уГ1} — любая последовательность, для которой yn £
£ [/(a)./(b)]. п = 1.2. и
lim уп = уо-
п—Юс
Достаточно проверить, что
3 lim f~\y„) = f~\yo)-
n—>
Положим /-1(у0) = Хо £ [а.Ь]. тогда /(х0) = у0: /-1(у») = х(1 €
£ [a.b] и f(.Tn) = yn. п = 1.2. Нужно показать, что
lim х„ = Xq.
Предположим противное, тогда Зе > 0 и 3 подпоследовательность
{хПд,} последовательности {х„}. такая, что |x7lfc —хц| > с, k = 1. 2.
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
103
Вещественная последовательность {а,'Пд} ограничена, поскольку
а 1’гц. b. к - 1.2...... Следовательно, по теореме Больцано-
Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность
{z„ }. I = 1.2...для которой
Bjlim x„ki = io G [а.Ь].
Так как функция f непрерывна в точке То- то
Нт /(х,Ч;) = lim у„ч = /(То).
Поскольку {yni!} — подпоследовательность последовательности
UJ и
lim уп = уо.
11^ эс
то /(То) - уо = /(-То)- В силу инъективности / отсюда следует, что
т0 = То- Из неравенств |т,1А. — tqI к = 1.2.....выводим, что
т„, — Хо\ I = 1.2....... Получаем противоречие, так как
lim х„. = То = До-
1->х К1
II гак.
lim xn - tq.
71—>ЭС
так что согласно условию непрерывности по Гейне функция /-1
непрерывна в любой точке отрезка |/(а)./(Ь)|. и поэтому непрерыв-
на на этом отрезке.
Если / строго убывает на [а.Ь]. то доказательство проводится
аналогично (при таких условиях функция /-1 строго убывает на
отрезке [/(Ь),/(а)]).
2.3.7. Определение. Пусть Е С IR: /: Е —г В. Говорят, что
функция / равномерно непрерывна на Е. если
Vc > 0 3d' > 0: Vti..c2 е Е: (|ti - х->\ < d') => ('/(ад) - /7г)| < г)-
2.3.8. Следствие. Если функция / равномерно непрерывна
на Е. то она непрерывна на Е.
Действительно, если положить Т] = х & Е и использовать опре-
деление 2.3.7. то получится, что / непрерывна в любой точке х € Е.
т. е. непрерывна на Е.
2.3.9. Пример. Пусть
/(-7 = 1 те (0.1).
Положим £ = 1. и пусть Ь > 0. Не ограничивая общности, можно
считать, что 5 € (0.1/2). Если a?i = d € (0.1/2) и х? = 2d е (0.1).
то -.Г] - т2| = d и
1-1 =--!>£ -г
j’2 2d
104
Глава II
Это означает, что функция /, будучи непрерывной на интервале
(0.1). не является равномерно непрерывной на этом интервале. Та-
ким образом, утверждение, обратное к утверждению следствия 2.3.8,
вообще говоря, неверно.
Теорема Кантора о равномерной непрерывности
Функция f, непрерывная на отрезке [а.Ь]. равномерно непре-
рывна на этом отрезке.
Доказательство. Предположим, что функция f не является
равномерно непрерывной на [а.Ь]. Тогда Зе > 0: V<5 > 0 3m, #2 €
G [а. b]: |m - m| < 6 и |/(m) - /(m>)| £
Положим Vz? G N 6 = 1/n > 0, тогда Зтп,^2п £ [аД]: |m« —
- 2'2n| < 1/п и /(m„) - /(ты)| > £ Вещественная последова-
тельность {жщ} ограничена и по теореме Больцано-Вейерштрасса
содержит сходящуюся подпоследовательность {тщ.}, для которой
3 lim xink = xq е [а, Ь].
к —>эо
Так как
1 1
- -т:-2п \ < — т -> 0
* к Пк к
при к -э х. то lim mni. = xq.
t-кю *
Поскольку функция f непрерывна в точке Дг то
fclimy(mre/c) = = /(m) £ R.
так что
lim (/(xi„ ) - /(i2nJ) = 0.
к—>ос
что противоречит неравенствам |/(.ri,4.) — /(mnA.)| = const > 0.
к = 1.2.... Таким образом. / равномерно непрерывна на [а.Ь].
2.3.10. Определение. Пусть /: [а.Ь) -э- К (a. b G 1R: а < Ь) и
пусть то G [аД). Тогда предел
Jim f№
(если он существует) называется пределом справа функции / в точке
то и обозначается
lim f(x) =
.г-эт0 -
Пусть /: (а, 6] —> R (а. b Е К; а < 6). и пусть хо Е (а. 6]. Тогда
Jim /(.г)
г-’-го
функции вещественного переменного: предел, непрерывность 105
(если он существует) называется пределом слева функции f в точке
То и обозначается
lim /(т) = f(x0-).
т->а-0-
2.3.11. Утверждение. Пусть a. b € IR: а < b и пусть f: (а. 6) —>
—> R: То 6 (а.Ь). Тогда
lim f(x) — у. у е R или у Е R.
z^'()
ге(а.Ь)
в юм и только том случае, когда
lim f(x) = lim f(x) = у.
x->x0-' •‘-’•‘'о-'
Это утверждение следует из теоремы о пределе по подмножеству
и определения предела функции f в точке.
2.3.12. Определение. Если
lim f(x) = /(т0).
то говорят, что функция f непрерывна в точке то справа. Ес.чи же
lim f(x) = f(x0).
J—».г-0-
то говорят, что функция f непрерывна в точке ад слева.
2.3.13. Следствие. Пусть а.Ь 6 R: а < Ь. и пусть f: (a.b) ->
-> 1R: то € (a.b). Тогда функция f непрерывна в точке х0 в том и
только том случае, когда она непрерывна в этой точке как справа,
так и слева.
2.3.14. Определение. Пусть Е С R: /: Е —> R: то € Е.
Говорят, что функция f разрывна в точке ад (или. эквивалентно, что
ад точка разрыва функции /). если она не является непрерывной
в этой точке.
2.3.15. Следствие. Если ад С Е точка разрыва функции f:
Е —> R. то то — предельная точка Е.
Действительно, если ад изолированная точка Е. то f непре-
рывна в этой точке.
2.3.16. Определение. Пусть ,тд — точка разрыва функции
f. Говорят, что то — точка разрыва 1-го рода этой функции, если
существуют конечные пределы
lim f(x) и lim f(x).
•<-»>д- *->о-
2.3.17. Замечание. Если То — точка разрыва 1-го рода функ-
ции f. то либо
lim f(x) / lim f(x).
.r->j o • ' <—>.'д-
106
Глава II
либо
lim /(г) = lim f(x) ф f(x0)
(в последнем случае говорят, что х0 — точка устранимого разрыва
функции f).
2.3.18. Определение. Точка разрыва т0 функции f называ-
ется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва
1-го рода.
2.3.19. Пример. Пусть
0. если (К \ Q):
1, если TgQ.
Тогда Р: R —> {0; 1} (функция Р называется функцией Дирихле).
При этом любая точка ж0 € R является точкой разрыва 2-го рода
функции Р.
Действительно. Vtq 6 IR пределы
P(.r) Щ
lim Р(т) и lim P(rr)
rr-^ZQ-l- T—>.TQ~
не существуют, поскольку
lim Р(д) = lim P(r)
I'—>.1'q+ x~>j'O
/сТц.-х!
lim P(t) = 1:
Tg((.r0,-5c)-.<Q
lim P(z) = 0.
re(r0.+ ^)n(R\Q)
так что существование предела
lim P(.r)
T—I
противоречит теореме о пределе по подмножеству (аналогично и для
предела lim Р(х)).
2.3.20. Утверждение. Пусть а.Ь ё R: а < b и пусть f: (а.Ь) —
неубывающая (невозрастающая) функция на интервале (а. 6). Если
Хо ё (а.Ь). то существуют конечные пределы
lim f(x) и lim f(x).
причём
lim /(.г) < /(.r0) < lim /(.г):
->.Г0- .1-+.rQ-t-
соответственно.
lim /(.r) > /(j’o) > lim /(.r).
.r-^TQ t-
Кроме того, если Xi,X2 E (a.b). причём x± < X2. to
lim f(x) < lim f(x):
.t—T—>^2”
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
107
соответственно.
lim f(x) lim /(т).
] * х—>.г2 —
Доказательство. Пусть, для определённости, f — неубы-
вающая функция на (а.Ь) (для случая невозрастающей функции f
доказательство проводится аналогично). Если то 6 (а.Ь). то по тео-
реме о пределе монотонной функции
л lim f(x) = sup f((a. т0))-
r-->r0-
Так как Vx e (я.т0) f(%) f(x0). to sup/((fl.xq)) /(то) и поэтому
lim f(x) /(а’о).
J—>x0-
Апалогичпо можно показать, что
3 lim f(x) f(x0).
2—>.r0-
Пусть a < xi < X2 < b. тогда
3 lim f(x) = lim f(x) = inff((xi. t2)) sup f((xx.t2)) -
r->rj
>s(rj.r2)
= lim f(x) = lim f(x).
х~*г2 2->.Г2-
.re(J-1.j2)
2.3.21. Следствие. Все точки разрыва функции f. монотон-
ной на интервале (a.b). суть точки разрыва 1-го рода, ни одна из
которых не является точкой устранимого разрыва.
Теорема о множестве точек разрыва монотонной функции
Множество всех точек разрыва функции f. монотонной на ин-
тервале (о. Ь) (конечном или бесконечном). не более чем счётно.
Доказательство. Пусть, для определённости. / — неубыва-
ющая функция на (а. Ь). и пусть А С (о. Ь) — множество всех её точек
разрыва. Если т<) 6 А. то согласно 2.3.20 и 2.3.21
lim /(.г) < lim f(x).
J-+.rQ- Jo
Выберем для заданного значения То € А ровно одну точку г(.То) € Q
так. чтобы
lim f(x) < г(т0) < lim f(x).
т^.г0- J'-+.r0
Пусть Qo = {'’(to) ! To € А}, тогда Q() C Q и множество Qo
не более чем счётно.
Положим р’(то) = г(т0) (то € А), тогда р: А -э Q().
Если Т] с А и т2 е А. причём ti < т2. то согласно 2.3.20
lim /(т) lim f(x).
1. j—»j-2-
108
Глава II
и поскольку
r(xi) < lim f(x) и r(a?2) > lim f(x).
.г—>.T]— т—>j*2 —
то r(zi) < г(х2), т.е. < 92(2:2). так нто отображение у? инъ-
ективно на А. Кроме того. «ДА) = Qo. и поэтому 92 сюръективно.
Следовательно, <р — биекция А на Qo и |А| = |Q0|. так что множест-
во А не более чем счётно.
2.4. Комплексные числа. Пределы и
непрерывность комплексных функций
Пусть a € R;6 € R. тогда (а. 6) € R х R = R2. Как известно
из алгебры, множество R2 является двумерным векторным прост-
ранством над полем R. Определим в R2 две внутренние бинарные
операции (т. е. два отображения R2 х R2 в R2). называемые сложени-
ем и умножением, обозначаемые + и • и удовлетворяющие условиям:
V(a.6) € R2 (c.d) 6 R2
(a, b) -1- (с. d) = (а — с. b -г d);
(а. 6) • (с. d) = (а • с — Ь d, a d + b • с).
В частности.
(а. Ь) — (0. 0) = (а. t>);
(о.б)-(1.0) = (a, b).
Кроме того.
(а. 6) т (—а. —6) - (0.0):
(о b \
"2—Г2-—= <L0 •
Я2 — О2 Я2 — О2/
если я2 + Ь2 > 0.
Нетрудно проверить, что множество R2 с так определёнными
операциями сложения и умножения является полем. Элемент (0.0) —
это нуль этого поля, а элемент (1.0) — единица поля.
2.4.1. Определение. Множество R2 с определенными выше
операциями сложения и умножения называется полем комплексных
чисел С. а его элементы - комплексными числами.
2.4.2. Замечание. Если положить R = {(a.O) | a € R} С С.
то. сопоставляя элементу (я.0) € R вещественное число я € R. по-
лучаем изоморфизм. Таким образом. R — поле (подполе поля (С),
изоморфное R. и с точностью до изоморфизма можно считать, что
R = R. Следовательно, можно считать, что R С С. В частности,
пишут a € R вместо (я.0) е R.
2.4.3. Определение. Комплексное число (0.1) называется
мнимой единицей и обозначается i = (0.1).
функции вещественного переменного: предел, непрерывность 109
2.4.4. Следствие. Если (а.Ь) Е С. то (а.Ь) - {а.О') + (Ь. 0) х
х(0.1) = а — Ы (алгебраическая форма записи комплексного числа
(а.Ь)).
2.4.5. Определение. Если z = а - Ы Е С. где а 6 R: b е R.
то число а называется вещественной частью комплексного числа z.
а число Ъ — его мнимой частью. При этом пишут а - Re г: b = Im г.
Если, в частности, а = 0. то число z = Ы при Ь / 0 называется
чисто мнимым.
2.4.6. Утверждение. Поле комплексных чисел С не является
упорядоченным.
Доказательство. Имеем г (0.1) / (0.0) = 0. Если бы по-
ле С являлось упорядоченным, то Е<Г г С С: либо i 6 С~. либо
(—?') € С-. В первом случае г = ( — 1.0) = —1 S СУ -- противо-
речие. поскольку известно, что в упорядоченном поле Р(—1) Р'
(положить Р = С п Р” = С~). Во втором случае ( — г)2 = ( — /)(—/) =
= г -I е С - противоречие. Поэтому С не может быть упо-
рядоченным полем.
2.4.7. Определение. Если z = а - Ы Е С (а Е R: b Е R).
то число 7 = о — Ы Е С называется комплексно-сопряжённым с
числом z.
2.4.8. Замечание. Отображение р : С —> С. для которого
V; € С д(.г) = г. называется операцией сопряжения.
Свойства операции сопряжения
a) z = z тогда и только тогда, когда z е R:
б) VZi.22 Е <С С] - 22 = 21 - 22 И ЕщЕ = ~Л>2-
в) если z - a — bi <= С (a. Ъ € RJ. то zz = a2 — b2 0.
Все эти свойства следуют непосредственно из определений.
2.4.9. Определение. Модулем комплексного числа г = я —
-- Ы е С. а.Ь Е R. называется вещественное неотрицательное число
г| = у)Р - Ь2 > 0.
Свойства модуля
a) Vci. z-2 е С 2]22| = I21II22I и |zi — г2| < М — |22|:
б) |г| = |Д:
в) max{| Re г|: |1т г;} < |г| | Res| — |1т г|.
Доказательство. В обосновании нуждается только неравен-
ство пункта а). Если = Я; - Ьд: г2 = а2 где Я]. д2- bi. € R.
то cj-221 = у/(«1 - аг)2 - = Ь2)2 у/а? - - у/гД - Ь22 (послед-
нее неравенство можно обосновать, возводя в квадрат его левую и
правую части: затем следует возвести в квадрат обе части получив-
шегося неравенства).
2.4.10. Следствие. V21.22 € С Д] — д2 Д Нм! — 22||.
no
Глава II
Доказательство. He ограничивая общности, можно считать,
что |ci | > | z21, так что | |zi | — |z2| | = |z21 -1z2 ], и поэтому доказываемое
неравенство равносильно неравенству |zi| Дг! + — 22|, которое
следует из неравенства пункта а).
2.4.11. Замечание. Если, в частности. z б R. toz = а £ Ки
|г| = Да2 = |а|. где |а| — модуль вещественного числа а. Это означа-
ет. что определение 2.4.9 в частном случае, когда z £ R, совпадает
с определением 1.5.23.
2.4.12. Замечание. Множество <С называют комплексной
плоскостью.
Рассмотрим, наряду с комплексной плоскостью <С, элемент
ос С. называемый бесконечно удалённой точкой, и положим <С =
= Си {ос}. Множество С будем называть расширенной комплексной
плоскостью с одной бесконечно удалённой точкой.
2.4.13. Определение. Положим Vz 6 С:
z/oc = 0;
z ос = ос з- г = ос;
если z Д 0, то г • ос = ос: • z = ос;
• ТО — 'X'
2.4.14. Определение. Пусть z0 6 С. Положим
We(z0) = {z € С | 0 < |z - z0| < s}:
U£(z0) = {z e C | |z - z0| < s}
и назовём множество ZZ(z0) (We(zo)) проколотой s-окрестностью точ-
ки zq (соответственно, е-окрестностью точки zq).
2.4.15. Определение. Положим
Д(ос) = {z б С | |z| > Л/}. Д/ = const > 0:
W(oc)=Z>(oc)u{oc}
и назовём множество Д(ос) (Д(эс)) проколотой окрестностью беско-
нечно удалённой точки сю (соответственно, окрестностью точки эс).
2.4.16. Определение. Пусть Е С С: Е А 0. Точка г0 б С
называется предельной точкой множества Е. если Vs > 0 Де(го) П
Г\Е 0. Бесконечно удалённая точка эс называется предельной
точкой Е. если Д(эс) П Е У 0 при любом выборе проколотой окрест-
ности Д(эс).
2.4.17. Замечание. Аналогично случаю, когда Е С R: Е Д 0
определяются понятия внутренней, изолированной, внешней и гра-
ничной точек множества Е С С: Е 0. а также понятия внутрен-
ности. внешности и границы Е.
Соответствующие свойства, доказанные для вещественного слу-
чая. при таких условиях остаются справедливыми.
функции вещественного переменного: предел, непрерывность 111
2.4.18. Определение. Если zn 6 С. п = 1.2.то последова-
тельность {zn} называется комплексной последовательностью.
2.4.19. Определение. Множество Е с С; Е 0 называется
ограниченным (в С), если ЗЛГ >0: Vz € Е |z| Л/. Комплексная
последовательность {zn} называется ограниченной, если множество
её значений ограничено (т.е. ЗЛ/ >0: Vn € N |zn| Л/).
2.4.20. Определение. Пусть {z„} — комплексная последова-
тельность. Говорят, что последовательность {zn} сходится к пределу
Zq € С. и пишут
lim z„ = z0.
n —>эс
если V? > 0 3n0 € Vzi n0 \zn - z0| < e (т.е. zn e W£(z0)).
2.4.21. Определение. Говорят, что последовательность {z,,}
имеет бесконечный предел, и пишут
lim г,, = ос.
п —>ос
если V.V > 0 Зпо € N: Vzz > no |zn| > Л/ (т.е. z„ G М(оо) = {z 6
е С | |z) > л/).
Заметим, что lim zn =- ос тогда и только тогда, когда
п—>эс
lim |z„| = -гос.
л—>ос
2.4.22. Утверждение. Пусть zrl = ,r„ — iyn; xn.yn € R. n =
1.2......и пусть zq - то — ?Уо- сю л’о- Уо € R- Тогда
lim z„ - Zo
n—>oc
в том и только том случае, котла
lim хп ~ х0 и lim уп - уо-
/4—П-4-ЭС
Доказательство. При п — 1.2....
max{|r„ - .г0|: \у„ - </о|} \z„ - z0| |х„ - т0| - |у„ - уо|.
поскольку z„ - z0 = (х„ - То) - ;((/„ - </о)-
Используя соогветс гвующие свойства вещественных последова-
тельностей. из этих неравенств получаем паше у гверждение.
2.4.23. Замечание. Утверждение 2.4.22 для случая бесконеч-
ных пределов, вообще говоря, неверно. Так. например, если
( in. если и чётно:
( п. если п нечётно.
то |д,/ - и. п =- 1.2. так что
lim zn -- эс.
112
Глава II
Если zn = хп — iyn: xn,yr) 6 R, n = 1.2... то
f 0, если n чётно:
” [ n. если n нечётно:
J n, если n чётно;
0. если n нечётно.
При таких условиях пределы последовательностей {жп} и {уп} не
существуют.
2.4.24. Замечание. Все соответствующие утверждения из тео-
рии пределов вещественных последовательностей (вместе с их дока-
зательствами) переносятся на случай комплексных последователь-
ностей, за исключением утверждений, связанных с неравенствами.
В частности, аналог леммы о сохранении знака формулируется сле-
дующим образом. Если {zn} — комплексная последовательность и
lim zn = zq 0. то Эпо € R': Vn > по zn / 0.
Теорема Больцано-Вейерштрасса для ограниченного
бесконечного множества точек из С
Пусть Е С С; Е — бесконечное множество, и пусть Е ограничено
в С. Тогда множество Е имеет в С хотя бы одну предельную точку.
Пусть
Доказательство. По условию. ЗА/ >0: \/z е Е |г|
М.
-А/ < Re z А/; )
-М Im г С -V, J '
Ко = < z 6 С
тогда Е С Ко- поскольку Vz € Е | Rcz| |z| А/ и |Imz| |г| М.
Разделим квадрат А'о на четыре одинаковых квадрата со сторона-
ми. параллельными осям координат. Хотя бы один из этих квад-
ратов (обозначим его Kj) обладает тем свойством, что Е A Ki -
бесконечное множество. При этом АА с А’о- Продолжая этот про-
цесс и рассуждая далее по индукции, получаем последовательность
замкнутых квадратов {АА,}. такую, что ATn+i С Кп и Кп Г\Е — бес-
конечное множество, п — 1.2..... Если Кп = [ап,Ь„] х [c„.drij. то
[an_].&„+i| С [fln.&nl и (сп-щ.г/пщ] С [с„.ф,]. причём
А; О-n = dn C,i 2^ — 1 * ~ ....
По теореме Кантора о последовательности вложенных сегмен-
тов Зто е ( П ЬпА]) и £ ( А кп-Ф,] )•
\П — 1 / \п 1 /
Если го = .то гуо- то
го € ( П К„ ) .
функции вещественного переменного: предел, непрерывность 113
--------------------------------------
Выбирая произвольную проколотую окрестность ?4(г0) и рас-
суждая далее аналогично случаю, когда £cIR. убеждаемся в том.
что 24 (го) ПЕ 4 0 (при этом используются равенства lim (b„-an) =
= lim (<-4 сп) 0).
>2-
Следовательно, го € С и го — предельная точка Е.
Теорема Больцано-Вейерштрасса для ограниченной
комплексной последовательности
Всякая ограниченная комплексная последовательность содер-
жит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть {zn} — такая последовательность, и
пусть г„ = xn — iyn', xn & R; уп € К- п — 1.2. Тогда обе последова-
тельности {т,,} и {уп} ограничены в R. поскольку max{[.r„|; \уп\} <
zn|. и = 1,2...... Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса ве-
щественная последовательность {.г„ } содержит сходящуюся подпос-
ледовательность {хП1е}. для которой
3 Jim x„k = з'о е R.
Соответствующая вещественная последовательность ограни-
чена в R. и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность
I = 1.2...., для которой
3 lirn ynfr( = Уо € R.
Поскольку {хПд } — подпоследовательность последовательности
то
3 Пт = х0.
Если го = Д’о +- гуд. то
lim г„, = г0 € С.
и поэтому {zni. } — сходящаяся подпоследовательность последова-
тельности {г,,}.
2.4.25. Определение. Пусть Е С С и f: Е —> С. и пусть
го € С - предельная точка Е: А е С. Пишут
Jim /(г) = А.
z^E
если для любой окрестности V(A) точки А существует окрестность
Цго). такая, что Уг е (£/(г0) П Е) f(z) е У(А).
2.4.26. Определение. При условиях предыдущего определе-
ния пишут
lim /(г)-А.
114
Глава II
если для любой комплексной последовательности {г,,}. удовлетво-
ряющей условиям (*) (с заменой хп па г„ и .го на го), выполняется
равенство
Нт /(г„) - Л.
п—>ос
2.4.27. Замечание. Первое из сформулированных определе-
ний называется определением предела функции / при z —> го; z £ Е
по Коши, а второе — по Гейне. Как и для случая вещественной
функции вещественного переменного, нетрудно проверить, что эти
два определения в логическом смысле равносильны.
2.4.28. Утверждение. Пусть f = fi + if2- где Vz £ Е fifz) =
= R.e/(z): /2(г) = Im/(г). Тогда
lim f(z) - Л £ (С
тогда и только тогда, когда
lim /1(г) = Л] € R и lim /2(г) = Л2 6 R.
г^-'о г~го
z € Е zeE
где Л = Л1 - ?Л2.
Это утверждение следует из 2.4.22 и равносильности двух опре-
делений предела функции.
2.4.29. Замечание. Теория пределов комплексных функций
(т. е. функций со значениями в С) комплексного переменного может
быть изложена (с соответствующими доказательствами) аналогично
теории пределов вещественных функций вещественного переменно-
го. за исключением свойств пределов функций, связанных с нера-
венствами.
2.4.30. Определение. Пусть Е С С: /: Е —Э С: го £ Е.
Говорят, что функция / непрерывна в точке го. если
> 0 3d > 0: Уг 6 Е: (|г - г0! < d) => (|/(г) - /(г0)| < е).
2.4.31. Определение. При условиях предыдущего определе-
ния говорят, что функция f непрерывна в точке гц. если для любой
последовательности {г,,}, такой, что г„ t Е. п = 1.2.
lim г„ =- г0.
п —>эс
выполняется равенство
lim /(;„) - /(г0).
п —
2.4.32. Замечание. Первое из сформулированных определе-
ний называется определением непрерывности функции / в точке гц
по Коши, а второе — по Гейне. Как и для случая пределов функций,
эти два определения в логическом смысле равносильны.
функции вещественного переменного: предел, непрерывность
115
2.4.33. Определение. Говорят, что функция f непрерывна на
некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого
множества.
2.4.34. Замечание. Если при условиях определения 2.4.30
zo — изолированная точка Е. то функция f непрерывна в точке zy.
Если же при таких условиях zy — предельная точка Е. то функция
f непрерывна в точке zy тогда и только тогда, когда
3 Л™ Лг) = /(z0).
zee
2.4.35. Замечание. Дальнейшая теория непрерывных ком-
плексных функций комплексного переменного может быть изложе-
на по аналогии с теорией непрерывных вещественных функций ве-
щественного переменного (включая понятие равномерной непрерыв-
ности функции на заданном множестве). При этом, если Vz £ Е
/(z) = /i(z) - z/2(z), где Е -> R. и z0 6 Е, то функция f
непрерывна в точке zy тогда и только тогда, когда обе функции Д
и /2 непрерывны в этой точке.
2.4.36. Теорема. Пусть f — комплексная функция, непре-
рывная на замкнутом и ограниченном множестве Е С С. Тогда f
ограничена на этом множестве и равномерно непрерывна на нём.
Доказательство. Предположим, что функция f не ограни-
чена на Е, тогда Vn € N 3zn 6 Е: > п. Так как Е —
ограниченное множество, то последовательность {z„} ограничена и
по теореме Больцано-Вейерштрасса содержит сходящуюся подпос-
ледовательность {zn;.}. для которой
3 lim zn. = z0 £ С.
Допустим, что zy Е. По условию. Ve > 0 ЗА?о € R’: Vk ко
Znk € W£(z0). Так как zn(. е Е. к = 1.2..и z0 £ Е. то (z,4
z0) => (znj, € Z/£(zo)). если к к^. Итак. Vs > 0 ZZ(zy) П Е
V 0. т. е. zo — предельная точка Е. В силу замкнутости Е отсюда
следует, что Zy € Е. Таким образом, предположение Zy Е ведёт
к противоречию. Следовательно, zq € Е. В частности, функция f
непрерывна в точке Zy. так что согласно определению непрерывности
по Гейне
3 lim f(z,4) = /(z0) € С.
к—->эс
Поэтому последовательность {/(zn/.)} ограничена в С. что противо-
речит неравенствам > пц- А’ —> оо при к —> ос.
Значит, функция f ограничена на Е. Вторая часть утвержде-
ния теоремы, т. е. свойство равномерной непрерывное™ функции f
на Е, с учётом проведённых выше рассуждений обосновывается так
116
Глава II
же. как и в доказательстве теоремы Кантора о равномерной непре-
рывности.
2.4.37. Определение. Пусть zi = щ — bii: z? -- a-2 - b?i. где
a1.a2.61.62 € R. Положим Z] x Z2 = Oia? 6162 6 R и назовём
значение Zi x z% скалярным произведением чисел z\ и z?.
2.4.38. Утверждение. Vz].Z2 € С
l-sj x z2| |zi||~2|-
Доказательство. В обозначения сформулированного опре-
деления надо доказать, что
|aia2 - 61621 < \/о? -t b2-
После возведения обеих частей этого неравенства в квадрат получа-
ем равносильное неравенство
(aia2 - 6162)2 (а2 - 6, )(а§ - Ь'2).
которое можно записать в эквивалентном виде
(a26i - (iib-2)2 0.
Таким образом, исходное неравенство всегда справедливо, при-
чём равенство достигается тогда и только тогда, когда
0o6i — O162 = 0.
В алгебраических терминах последнее равенство означает, что век-
торы (01.02) и (б].Ь-2) над полем R линейно зависимы.
Доказанное неравенство — частный случай неравенства Коши-
Буняковского-Шварца (см. ниже раздел об евклидовых пространст-
вах).
Глава III Дифференцируемые функции
вещественного переменного
3.1. Производные вещественных функций
на промежутке
3.1.1. Определение. Пусть a.b Е R. а < Ь. и пусть /: [а.Ь] ->
—> R: х е [а, 6]. Функция f называется дифференцируемой в точке
.г. если существует конечный предел
lim
фу t — X
te|a.b]
Число /'(.г) называется производной функции f в точке .г.
3.1.2. Определение. Функция /: [а.Ь] -> R называется диф-
ференцируемой на множестве Е С [а. Ь]; Е 0. если она дифферен-
цируема в каждой точке этого множества.
3.1.3. Замечание. Если функция / дифференцируема на мно-
жестве Е. то можно определить функцию Е —> R. значение ко-
торой в каждой точке т € Е равно f'(x). Эта функция называется
производной функции f на множестве Е.
3.1.4. Замечание. В определении производной функции / в
точке х можно рассматривать случаи, когда /: (а. Ь) —» R и х 6 (а. Ь)
(злесъ а.Ь 6 R и а < Ь).
3.1.5. Определение. Пусть /: [а.Ь| —> R и .г € (а.Ь]. Тогда
конечный предел
lim
t—>.г —
Ж - fW
t — X
(если он существует) называется производной функции f в точке х
слева и обозначается f_{x).
Аналогично определяется производная функции f в точке х
справа (в предположении, что х Е [а.Ь)). Эта производная обозна-
чается /+(д).
118
Глава III
3.1.6. Утверждение. Пусть /: [а.&] —> Rn.r е (а. Ь). Для того
чтобы функция f была дифференцируема в точке .с. необходимо и
достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке х как слова,
так и справа и выполнялось соотношение f'_(x) = fL(x).
При этом значение f'(x) равно общему значению производных
Д(.т) и
Справедливость этого утверждения следует из соответствующе-
го свойства функций, имеющих предел.
3.1.7. Пример. Пусть Д 6 [—1.1| /(/) = |1| и пусть .г = 0.
Тогда
f (0) = lim — = -1 и f'. (0) = lim - = 1.
так что функция f не дифференцируема в точке 0. хотя и непре-
рывна в этой точке.
3.1.8. Утверждение. Функция f. дифференцируемая в точке
х. непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть /: [а.5] —> R и .г € |«Д]. тогда
3 lim = /'(х) е R.
' гr, t — х
Поэтому при t -э х: t £ [а.6] f(t)~f(x) = (1-х~](/'/т) - о(1)) —> 0. т.е.
Jim Ж =/(•?)•
te [а.Ь]
Это означает, что функция f непрерывна в точке х.
3.1.9. Пример. Пусть п € N: < о2 < ... < an и пусть
VI 6 R f(t) = — а.] | -+-... - |f — о„|. Функция f непрерывна на R и
дифференцируема всюду на R. за исключением точек су...а„ (это
обосновывается так же. как в примере 3.1.7).
3.1.10. Утверждение. Для того чтобы функция f была диф-
ференцируема в точке х. необходимо и достаточно, чтобы 3.4 £ R:
при t -э X f(f) - f(x) = A(t - х) - o(t - х). При этом А = f'(x).
Доказа тельство. Имеем при t -> х A(t — т) — о(1 — т) =
(1-.т)(.4 - о(1)). так что при t / х ——~———— = А- о(1) ->
.4 при t х.
С учётом определения 3.1.1 отсюда следует пате утверждение.
3.1.11. Замечание. Значение /'(.г) (если оно существует) рав-
но угловому коэффициенту касательной к графику функции f в точ-
ке .г. Уравнение этой касательной в координатах (1. у) имеет вид:
у - JW - Г ИИ - х).
3.1.12. Определение. Пусть функция f дифференцируема в
точке х. Тогда линейная функция df аргумента Ах. определяемая
Дифференцируемые функции вещественного переменного
119
равенством df(Ax) = f'(x)Ax (Ах € IR) называется дифференциалом
функции / в точке х (первого порядка).
3.1.13. Замечание. При условиях определения 3.1.12 df: R —>
(if
-7 R. При Ах Д 0 имеем f'(x) = ————. При этом rfx(Ax) — х'Ах =
= Ах. так что
= df(\x)
dx(Ax)
Обычно пишут
f'(x) =
dx
(т.е. аргумент Ах опускают).
Если функция f дифференцируема в точке х и f(x) Д 0. то
значение дифференциала df(A.x) = $'(х)Дх есть главная линейная
часть приращения функции / в точке х (т.е. разности /(f) - f(x),
если положить Ах = t — х). Действительно, при t —> х Ах = t — х —> 0
11 /Ю ~ /(r) = f'txj&x + о(Ах), причём
°(д-*’) 1 .. о(Ах)
hm 7//’ ,А = 7777 11111 "7------ = 0
Ат->о f (х)Ах Д(х) дм0 Ах
и /(f) — /(х) = df(&x) + о(Дх), так что
о(Ах)
lim -------- = 0.
Дх->о df(Ax)
Свойства производных, связанные с арифметическими
действиями
Пусть f: [а.Ь] —э R; д: [а.Ь] —> R; х Е |а.Ь] и пусть функции f
и д дифференцируемы в точке х. Тогда функции f g. fg. cf (с ~-
= const E R) дифференцируемы в точке x и справедливы равенства:
a) (f ~ gY(x) = f'(x) - g'(x):
6) ffgY(x) = ffx)g(x) 4 /(x)g'(x):
в) (cfytx) = cffx):
г) Если, кроме того. g(x) Д 0. то функция f/g определена на
пересечении отрезка [а.Ь] с некоторой окрестностью точки х п диф-
ференцируема в этой точке, причем
IУ , . = /'(4г)д(,т) - /(.r)ffz(x)
э) 1 МУ
До к аз а те л ь с г в о. Равенство пункта а) следует из того, что
приращение суммы функций равно сумме их приращений, а также из
теоремы о пределе суммы. Аналогично, равенство пункта в) следует
из того, что приращение функции cf равно приращению функции
/. умноженному па с.
120
Глава III
Для обоснования утверждения пункта б) заметим, что при
t —> х: t £ (а. Ь]
- f(x)g(x) ~ _ f(x}9^~9^ ->
t — X t — X t — X
9(x)f\x) -L /(z)g'(z).
поскольку
lim g(t) = g(x)
t—>r
te(a.6|
в силу непрерывности функции д в точке х.
Пусть д(х) 0. Так как функция д непрерывна в точке х. то
существует окрестность ZV(z) точки х такая, что V# £ (77(.r) Р [а, &])
g(t) 0. Поэтому Vt € (Z7(z) О [a.fe])
1 ГЛО
t - X [g(f)
f_W
д(х)
1
д^)д(х)х
g(t) - д(х)\
t-x) J
\ t - X
Г(х)д(х) - g'(x)f(x)
(дИУ
3.1.14. Следствие. Пусть f,: [а. 6] —> R; i = 1...п. п £ N.
и пусть все функции fa....fn дифференцируемы в точке х £ [с. Ь\.
Тогда функция fa- - fn дифференцируема в точке х и справедливо
равенство
7? 7?
(Л П/*•(*)•
7=1 А-= 1
А У I
Утверждение следствия получается из пункта б) с помощью ме-
тода математической индукции.
3.1.15. Пример. Пусть \/t € R /(t) = с const £ R. Тогда
Vz £ R /'(.г) = 0.
3.1.16. Пример. Пусть a = const > 0. и пусть Vt £ R. f(t) - a*.
Тогда Vz € R /'(z) — «'Tim. Действительно, если a = 1. то Vt £ R
/(t) = 1. так что Vz £ R f\x) - 0 = Phil. Пусть a > 0 и a / 1.
тогда £ V.z-R
. ф — n-v — 1 hi<t i
f (z) - lim------ = aJ lim--------- - <r’ lim----------.
t-X t-fj- t-x l->r t-x
Полагая s = t — x —> 0 при t —> z видим, что при t yt j- имеем
s 0. так что ио теореме о пределе сложной функции
/'(•’’) ~ « г Нт ----- - ал In а.
S
поскольку при s —> 0 e'lnu — 1 ~ sin а (мы учитываем, что при о 7^ 1
Ina у< 0).
Дифференцируемые функции вещественного переменного
121
В частности, при а= е /(f) = е'. t € R, и /'(ж) = ej;, х & R.
3.1.17. Пример. Пусть а — const > 0; а Д 1. и пусть Vt > 0
, Inf
/(t) = logflt = ---.
ma
Тогда Vr > О
> 0
ln(l + ^)
= hm----------—
~ ж
t>0
/'(*) =
ж In a
Действительно, достаточно проверить, что если Vt > 0 g(t) = Int, то
V.r > 0 д'(х) = 1/ж. Имеем при х
ч , bit — In х
q (X) = hm ----------
t - .г
t>0
Полагая s = (t — x)/x —> 0 при t —> x видим, что при t/is/O
п по теореме о пределе сложной функции
, 111(1 + s) 1 111(1 - s) 1
д (х) = hm---------- = - hm------------= -.
s->0 SX X s-Ю s x
Теорема о производной сложной функции
Пусть f : [а,Ь] —> R: f дифференцируема в точке х е (a, t>] и
пусть /([а.Ь]) С I, где I — некоторый отрезок. Если, кроме того,
g: I —> R и функция д дифференцируема в точке /(ж). то функция
h = g(f ) дифференцируема в точке х и
h'(x) = g'(f(x))f'(x).
Доказательство. Пусть у = /(ж). тогда у Е /([аД]) С I.
Кроме того, h = g(f): [а.Ь] -> R. При t -> .г: t £ [а.Ь] /(f) - /(ж) =
(1-ж)(/'(ж)-о(1)). При s -д у; s € I g(s)-g(y) = (s-t/)(y'(y) + o(l)).
Если s = у, то последнее равенство остаётся справедливым. Полагая
s = f(t) Д у = /(ж) при t -> х. получаем, что y(/(t)) - g(y') =
= hit) - /г(ж) = (/(t) - /(ж))Д'(/(ж)) - о(1)). Поэтому при t -> х:
t е [а. ь]
~ h{x)- = -0(1)) rW(/W)
t - X t - X
Это означает, что 3/i'(.r) — f (ж)g'(J(.r)).
3.1.18. Пример. Пусть a = const € R. и пусть Vt > 0 b(t) = ta.
Тогда V.r > 0 h'(x) = ат"-1. Действительно, при t > 0 /i(f) = y(/(t))-
где /(t) = a hit и <?(s) = es. Поэтому по теореме о производной
сложной функции V.t > 0 (здесь обозначено es = exp(.s))
h'(x) = g'(.f(x))f'(x) - ехр(/(ж))| = xa~ = аж0-1.
3.1.19. Замечание. Если, в частности, a Е Z. то равенство
Л'(х) = o.rQ-1 справедливо Vz / 0. Если же a е N. то это равенство
справедливо V.r £ R (при a = 1 и х = 0 считаем, что 0° = 1).
122
Глава III
3.1.20. Пример. Пусть «о.....аТ1 = const € R; п = const С Nq
и пусть Vf е R P(t) = «о -аД т.. +ап1п (функция Р называется мно-
гочленом над полем R: если ап 0. то говорят, что Р — многочлен
степени п. и пишут deg Р = п: если P(t) — 0 Vt £ R, то считают,
что degP = —ос). Тогда Р — дифференцируемая на R функция,
причём Vx 6 R Р'(х) = а; — C2ci‘2x +... -J- папх'!-1. так что Р' — также
многочлен над полем R (если ап Д 0. то degР' = п — 1 = degP — 1
при п 1).
Инвариантность формы дифференциала первого порядка
При условиях теоремы о производной сложной функции имеем
dh -= h/(x)dx = g'(f(x))f'(x)dx = g'(f(x))df. Если опустить аргу-
мент х. то получим dh — g'(f)df.
Таким образом, форма записи дифференциала первого порядка
сохраняет свой вид вне зависимости от того, является ли f аргумен-
том функции д или функцией от другого аргумента х. Это свойство
дифференциала первого порядка называется инвариантностью его
формы.
Теорема о производной обратной функции
Пусть функция f непрерывна и строго монотонна па отрезке
[а. 6] и пусть f дифференцируема в точке х € (а. 6]. причём f(x) / 0.
Тогда функция f~A дифференцируема в точке у = /(х). причём
(/ х)'(у) = утщ --
Доказательство. По теореме о непрерывности обратной
функции существует обратная функция /-1. непрерывная и стро-
го монотонная на отрезке с концами в точках f(a) и f(b) (при этом
/(«) Имеем
= )1Ш J У > J = Иш '
s^y S-у f(t) - /(х)
где х - t = так что s = /(t). При ,s -> у t /-1(s) ->
—> f~\U) 2 x. поскольку функция J-1 непрерывна в точке у. Кроме
того, при s у t у! х в силу строгой монотонности функции /_]. По
теореме о пределе сложной функции получаем, что
/(0 - /(х)
Л. Я0-/(х)\
111 п --------
\го-.г t - X 7
1
Дифференцирование функций, заданных параметрически
3.1.21. Определение. Пусть X.Y.T / 0. и пусть р: Т —> Л';
Т - биекция: г: Т —> Y. Положим f = i.’(r-1)- гДе А' —> Г —
Дифференцируемые функции вещественного переменного
123
обратная биекция, тогда f: X —> Y. При этих условиях говорят, что
функция f задана параметрически системой уравнений
а: = p(ty,
У = v(t).
Аргумент t G Т называется параметром.
Заметим, что из этой системы следует, что у = f(x) (х G X).
3.1.22. Замечание. Если Т = |а, Ь] (а < Ь) и функция 'р непре-
рывна и строго монотонна на [а. Ь]. то у биекция. Если, кроме
того, функция ф непрерывна на [а.Ь], то <р(|а,Ь]) = [с,d] (с < d) и
ц([а,Ь]) = [ci.rfi] (ci < di). Действительно, существование отрезков
[с. d] и [ci.di] с указанными свойствами следует из теоремы Вейер-
штрасса для функций, непрерывных на отрезке, а также теоремы о
промежуточных значениях непрерывной функции.
При таких условиях X = [с. d]; У = |ci, dj и f : [с. d] —> [ci.di]
причём функция f непрерывна на [с, d] как композиция непрерывных
функций р-1 и ф, поскольку f — ф(р-1). Здесь р-1: [с, d] —> [a.b]
и у 1 непрерывна на [с. d] по теореме о непрерывности обратной
функции.
Теорема о производной функции, заданной
параметрически
Пусть функция р: [a. b] —> [с. d] непрерывна и строго монотон-
на на [а. Ь], и пусть у. дифференцируема в точке t е [а. Ь]. причем
p'(f) У 0. Пусть, далее, у: [a. b] —> R и функция v дифференцируема
в точке t е [а.Ь]. Если f = v(y-1). то функция f дифференцируема
в точке х = р(1) € [с. d], причём
f'(x) =
O'it)
A'W
Доказательство. Согласно теореме о производной обратной
функции (р-Д'Д) = 1// (t). Кроме того, t = у Дх). так что по
теореме о производной сложной функции
Г(х) = ы'«1М)(р-1)'Д) = ™^.
3.1.23. Утверждение (поведение функции в окрестности
точки, в которой ее производная отлична от нуля). Пусть
f: (a.b) —> R: .г € (a.b), и пусть f дифференцируема в точке х.
причём f'(r) > 0 (f'(x) < 0). Тогда существует окрестность U(x) С
С (а. Ь). такая, что € Й(т)(/(Ь) — f(x))(t — х) > 0 (соответственно.
(/(b) - /(-г))(1 - -с) < 0).
124
Глава III
Доказательство. Пусть /'Д) > 0 (в случае, когда f'(x) < О,
доказательство проводится аналогично’). Тогда
f (.г) = lim --------- > 0.
7 t - х
ts(a.b)
Согласно локальному свойству функции, имеющей отличный от ну-
ля предел, отсюда следует, что 3L((x) С (a.b): Vf е Ц(х) > g
и поэтому (/(t) — f(x))(t — х) > 0.
3.1.24. Определение. Пусть Е С R: /: Е —> R; .гд ё Е.
Говорят, что функция f имеет в точке ту локальный максимум
(минимум), если 3 окрестность С’Дд). такая, что Vf G ([/(эд) С Е)
/(f) < /До) (соответственно, /(f) > /(ад)). Говорят, что / имеет
в точке ад локальный экстремум, если / имеет в этой точке либо
локальный максимум, либо локальный минимум.
Говорят, что функция / имеет в точке ад строгий локальный
максимум (строгий локальный минимум), если 3 окрестность/7(ад)
такая, что Vf ё (//(ад) П Е) f(t) < f(x0) (соответственно, /(f) >
> /(а’о)). Говорят, что / имеет в точке .го строгий локальный экстре-
мум. если / имеет в этой точке либо строгий локальный максимум,
либо строгий локальный минимум.
Теорема Ферма
Пусть f: (а.Ь) -> R. и пусть функция f дифференцируема в
точке xg ё (а.Ь). Если, кроме того. / имеет в точке ад локальный
экстремум, то f'(xo) = 0.
Доказательство. Пусть, для определённости, функция /
имеет в точке ад локальный максимум. Тогда ЗП(ад) С (a.b): Vf ё
€ Цад) /(f) < /(ад). Если f ё W(.r0). то — ~—- —°- 0 при f < ад.
f — То
и f < 0 при f > ад. Кроме того. /'(ад) = /’((ад) = Л (ад).
’ *^0
Из наших условий следует, что /Дад) Д 0 и //(.гд) 0. Таким об-
разом. /'(.то) = 0.
3.1.25. Пример. Пусть Vf ё (— 1.1| /(f) = /{. и пусть .то = 0.
Тогда функция / имеет в точке 0 строгий локальный минимум, по-
скольку /(0) = 0 и при / / 0 |fj > 0. При этом / не дифференци-
руема в точке 0.
3.1.26. Пример. Пусть Vf ё [—1.1] /(f) = f3 и пусть ад = 0.
Тогда /'(f) = 3f2 при f ё [-1.1]. так что /'(0) =- 0. При таких усло-
виях функция / не имеет в точке ад -= 0 локального экстремума,
поскольку /(0) = (J и /(f) > 0 при f ё (0.1]: /(f) < 0 при f ё (—1.0).
3.1.27. Пример. Пусть Vf ё [0.1] /(f) = t и пусть эд == 0.
Тогда функция / имеет в точке 0 строгий локальный минимум, при-
чём /'(0) = /'ДО) -- 1 -/ 0. Этот пример по противоречит теореме
Дифференцируемые функции вещественного переменного
125
Ферма, так как в условиях этой теоремы а?о — внутренняя точка
области определения функции f (т.е. интервала (а, Ь)), а при усло-
виях примера т0 = 0 — граничная точка отрезка [0.1]. являющегося
областью определения функции f.
Теорема Ролля
Пусть f — вещественная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь]
и дифференцируемая на интервале (а. Ь). и пусть f(a) = f(b). Тогда
€ (a.b): Г(£) =о.
Доказательство. Согласно второй теореме Вейерштрасса о
свойствах функций, непрерывных на отрезке, существуют точки
ад.т2 £ [а.Ь]. такие, что /(ад) = sup {f(x)} и f(x2) = inf {f(x)}.
Если ад = а и x2 = b (или наоборот) или если .гд = х2 = а или
ад = ад = Ь, то во всех таких случаях f(x) = с = const при х £ [а, Ь]
в силу равенства /(a) = f(b). и поэтому Va; £ [а, b] f'(x) = 0.
Если же гд € (а, Ь) или х2 £ (а. Ь). то по теореме Ферма f'(xi) =
= 0 или f(x2) = 0. так что можно положить £ = ад или £ = ад.
Действительно, функция f имеет в точке ад локальный максимум,
а в точке х2 — локальный минимум.
Теорема Лагранжа
Пусть f — вещественная функция, непрерывная на отрезке [а. Ь]
и дифференцируема на интервале (a.b). Тогда ЕД £ (а. Ь):
f(b)-f(a) = f'^)(b-a).
Доказательство. Положим Vf £ |а. b] g(t) = (f(b) — f(a))t —
- (b - a)f(t). тогда функция g непрерывна на отрезке [а.Ь], диффе-
ренцируема на интервале (а. Ь) и g(a) = g(b) = af(b) — bf(a). Поэтому
по теореме Ролля ЕД £ (а.Ь): д'(£) = f(b) - f(a) - (b - a)f'(£) - 0.
Теорема Коши
Пусть f и д — вещественные функции, непрерывные на отрезке
[а.Ь] и дифференцируема на интервале (а.Ь). Тогда ЕД £ (а.Ь):
(f(b) - f(a))g'(^ = (g(b) - g(a))f'(£).
Доказательство. Положим Vf £ [а.Ь] h(t) = (f(b)-f(a)) x
x.g(t) — (9(b) — g(a))f(t). тогда функция h непрерывна на отрезке
[а.Ь] и дифференцируема на интервале (а.Ь). причём h(a) = h(b) =
f(b)g(a) — f(a)g(b). Согласно теореме Ролля ЕД £ (а.Ь):
h'(e = (f(b) - f(a))g'(O - (g(b) - g(a))f'(^) = 0.
3.1.28. Следствие. Пусть при условиях теоремы Лагранжа
Vt £ (а.Ь) f'(x) = 0. Тогда Vx £ [а.Ь] f(x) - с = const.
126
Глава III
Доказательство. Пусть тцлд € [а. Ь] и .i’i < z2- тогда
[яд.-гд] С [а.Ь] и функция f (точнее, её сужение на отрезок [zi.zo])
удовлетворяет на отрезке [zi.z2[ условиям теоремы Лагранжа, со-
гласно которой 3£ е (zj.z2): /(z2) — /(тд) = (z2 — xj)f'(^) = О,
поскольку по условию /'(Д = 0. так как £ £ (а.Ь). Значит, f(.i'i) -
= f(z2). и поэтому f постоянна па отрезке [а. Ь].
3.1.29. Следствие. При условиях теоремы Лагранжа
'f(b) - f(a)\ (b- a) sup {|/'(z)|}.
.г6 (а.Ь)
Доказательство. Действительно, если значение £ £ (а.Ь)
выбрано так. чтобы f(b) — f(a) = f'(£,)(b — а), то
|/'(Д1 < sup {|/'(Д|}.
J-e(a.b)
3.1.30. Утверждение. Пусть f: (a.b) -о IR. a.b £ IR: a < b. и
пусть функция f дифференцируема на интервале (a.b). Тогда f -
неубывающая (невозрастающая) функция на (а. Ь) в том и только в
том случае, когда V.r £ (a.b) f'(x) 0 (соответственно. f'(x) < OJ
Доказательство. Пусть f — неубывающая функция на ин-
тервале (a.b). Тогда, если .г £ (a.b). то
. hm m = lim /от - м 10.
• ' f-Z i-.r- t-.T
Обратно, если V.r £ (a.b) f'(.r) 0. то при условии Zi.z2 £ (a.b):
.1’1 < x-2- функция f на отрезке [zi.z2] удовлетворяет условиям тео-
ремы Лагранжа, и поэтому £ (ад.ад): f(z2) — .f(.ri) = //(Д(г2 ~
— -T1) > 0. поскольку /'(Д > 0.
Таким образом, f — неубывающая функция на (a.b). Случай,
когда f - невозрастающая функция на (a.b). рассматривается ана-
логично.
3.1.31. Утверждение. Пусть f: (a.b) —> IR. и пусть функция
f дифференцируема на (а. Ъ). причёмЧ.г £ (a. b) f'(.r) > 0 (f'(.r) < 0).
Тогда f строго возрастает (строго убывает) на (a.b).
Обоснование этого утверждения аналогично предыдущему до-
казательству с учётом того, что все неравенства будут строгими.
3.1.32. Пример. Пусть V3 £ [ — 1.1] f(t) = t3. тогда функция f
строго возрастает на отрезке [-1Л] и Г(0) = о.
Этот пример показывает, что утверждение, обратное к утверж-
дению 3.1.31. вообще говоря, неверно.
3.1.33. Замечание. Если /: (a.b) R. функция / дифферен-
цируема и строго монотонна па (a.b). то нс существует интервала
(о. 3). такого, что (о. J) С (a.b) и Vz £ (a. 3) f'(.r) = 0 (в противном
дифференцируемые функции вещественного переменного
127
случае V.r € (а. 3) f(x) = const, что противоречит условию строгой
монотонности функции f на интервале (а.Ь)).
3.1.34. Определение. Пусть f: (a.b) —> JR; дд £ (a.b) и
пусть f'(xo) = 0. Тогда точка .Tq называется стационарной точкой
функции f.
3.1.35. Замечание. Утверждение теоремы Ферма означает,
что если /: (a.b) —> IR: f — дифференцируема в точке .tq £ (а-b) и
имеет в точке ад локальный экстремум, то xq — стационарная точка
функции /.
3.1.36. Утверждение. Пусть функция f дифференцируема на
интервале (a.b). и пусть ад € (a.b) — стационарная точка функции
f. Если, кроме того. Va1 £ (a.xo) f'(x) ф 0 (f'(x) < 0) и Vt G (xo.b)
f'(x) < 0 (f'(x) ф 0). то функция f имеет в точке ад локаль-
ный максимум (локальный минимум). Если же \/х £ ((а.Ь) \ {ад})
f'(.r) > 0 пли V.T £ ((а. Ь) \ {ад}) f'(x) < 0. то в обоих случаях функ-
ция f не имеет в точке а?о локального экстремума.
Справедливость этого утверждения следует непосредственно из
предыдущих определений и утверждений, связанных с понятием ло-
кального экстремума.
Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной
Пусть функция f дифференцируема на отрезке |а.Ь]. и пусть
f'(a) < А < f'(b) или f'(a) > X > f'(b). Тогда в обоих случаях
¥ £ (а.Ь): /'(<) = Л.
Доказательство. Пусть, для определённости. f'(a) < А <
< f'(b). Положим Vt £ [а.Ь] p(t) = f(t) — At. тогда p'(t) = f'(t) — A:
в частности. p'(a) - f'(a) - A < 0; p'(b) = /'(Ь) - A > 0. По теоре-
ме о поведении функции в окрестности точки, в которой производ-
ная отлична от нуля, можно утверждать, что Зф £ (0,Ь — a): Vt £
£ (а. а -t <$i) p(t) < p(a) и 36? £ (0. Ь — а): Vt £ (Ь — ф. b)p(t) < ф(Ь).
Поскольку функция д дифференцируема на отрезке [а.Ь]. то она
непрерывна па этом отрезке и поэтому согласно второй теореме Веп-
ерштрасса 3£ £ [а. Ь|: Д/) - inf {r'(t)}. Из наших условий следует.
#е|а.Ь]
что 5 ф а и £ / Ь. так что £ £ (а. Ь). Так как функция р имеет в точке
s локальный минимум, то по теореме Ферма Д(£) = 0. т.е. /'(£) - А.
В случае, когда f'(a) > А > f'(b). доказательство аналогично.
3.1.37. Замечание. Можно доказать, что если функция /
дифференцируема на отрезке [а.Ь]. то производная /' не имеет на
этом отрезке точек разрыва 1-го рода (если предположить, что
.'’о £ [а. Ь] — точка разрыва 1-го рода функции /'. то нетрудно прове-
рить. что функция /' ие будет принимать все промежуточные значе-
ния между некоторыми двумя её различными значениями, что про-
тиворечит теореме Дарбу).
128
Глава III
3.1.38. Пример. Пусть
t2 sin (1/t);
0:
([-1.0) U (O.l|);
t = 0.
Тогда функция f дифференцируема всюду на отрезке [—1.1], вклю-
чая точку 0. поскольку
/'(0) . 11m №|~Я
lim
t—>0
t2 sin(l/£)
t
= 0
по теореме о пределе произведения бесконечно малой на ограни-
ченную функцию (считаем известным, что Мх е R |sina’| < 1 и
sin'(ж) = cos ж — это будет доказано ниже).
При таких условиях
lim fit) = lim [2? sin (- | — cos (- | |
t->0 t-H0 \ \t J \t J J
не существует, так как
lim ( 2f sin - | ) = 0
£—>0 у у t J J
по той же теореме и
lim cos - — lim cos s
f-+0 у t J s->oc
не существует. Действительно, если = 2тгп, то sn —ос при
п —> ос и cos(sn) = 1, п = 1.2....; если же sn = тг/2 + 2тгп. то
sn —> +эс при п —> оо и cos(sri) = 0. п = 1.2....: таким образом,
lim cos(sn) = 1 / lim cos(sn) = 0.
n—>oq тг—>эс
что в предположении существования предела lim,-^, coss противо-
речит определению предела по Гейне (все использованные свойства
функции cos и sin будут установлены ниже).
Таким образом, в условиях рассматриваемого примера точка О
является точкой разрыва 2-го рода функции /'.
Правило Лопиталя
Пусть fug— вещественные функции, дифференцируемые на
интервале (a.b) (a.b & IR; a < b). и пусть \/x е (a.b) g'(.r) 0 и
существует предел
lim
л1——
g'(x)
= А е IR.
Если, кроме того.
lim /(z) = lim р(х) = О
<r—>а г г—1- *
или если
lim g(x) = -гсю.
.г—1
Дифференцируемые функции вещественного переменного
129
то в обоих случаях существует предел
lim
x—>a I
№)=л
уИ
Диалогичное утверждение справедливо и тогда, когда х -У Ь— или
д(х) -> -ОС.
Доказательство. Из условий правила Лопиталя и теоремы
Дарбу следует, что производная д' сохраняет знак на (a.b) (если
£ (a.b): ,i’i < ,r> и д'(х1)д'(х2) < 0. то по теореме Дарбу 3£ €
£ (.1’1..тг): <]'(£,) = 0 — противоречие).
Пусть
lim f(.v) -- lim д(х) = 0.
z—>а-|- х—-
тогда Vz £ (a.b) д(х) Д 0 (если бы 3zq € (a.b): g(xa) = 0. то
V.r £ (а. то) д(х) < 0 и lim д(х) < 0 по теореме о пределе моно-
х—*х—
тонной функции в предположении, что V.r 6 (a.b) д'(х) > 0. т.е. что
д строго возрастает на (a.b): аналогично рассматривается случай,
когда V.r е (a.b) д'(х) < 0).
Пусть сначала — эс < .4 < — эс. тогда выберем д е 1R так. чтобы
.4 < q. Если г £ (A.q). т.е. А < г < q. то из равенства
ш» Ш = Л
согласно локальному свойству функций, имеющих предел, следует.
f'(t)
Зс е (a.b): Vt £ (а. с) < г.
Пусть a < х < у < с. тогда функции f и д на отрезке |.г. у] удов-
летворяют условиям теоремы Коши, согласно которой 3£ € (.г. у):
ш <
f(x) ~ f(y)
У(-Г( - 9(У(
Зафиксируем у У (а. с), тогда при .т —> о — , используя равенства
lim /(.г) = lim д(х) 0.
получаем, что
(/•
,f(y)
д(у)
Таким образом. Vg > А Зс £ (a.b): Vi/ £ (a. с) f(y)/g(y) < q.
Аналогично доказывается, что если —эс < А < - эс. то
V/? < А 3d £ (a. b): \/у £ (a. d) > р.
д(у)
130
Г л а в а Ш
Из этих двух утверждений следует, что согласно определению пре-
дела в терминах окрестностей существует предел
1,ш дй=л.
у->а+ д(у)
Пусть теперь lim g(a?) = +оо. Выбирая (в предположении, что
х—>а+
—оо А < +оо), число с е (а,Ь) так же, как и выше, и считая, что
а < х < у < с. можно утверждать, что
/(*) - f(y)
д(х)-д(у)
Фиксируя у € (а, с) и предполагая, что х —> a-t-, имеем д(х) ->
—> —'Ос, и поэтому Е<?1 € (a-у)- Ух 6 (a.ci)
(p(.r) > max{0:5(j/)}) =>
q-
д(у)
g(x)
ИЛИ
q при х -> а~.
Л*) < г 9<У) Ку) ,
g(a?) д(х) д(х)
Значит, Зег € (a.ci): Ух € (н.сг)
fW
Аналогично доказывается, что если —эс < А +ос. то Ур < А
Зсз € (a.b): Va? £ (а.Сз)
® >р.
эИ
Согласно определению предела в терминах окрестностей это
означает, что если при остальных условиях правила Лопиталя
lim р(а?) - —ос,
то существует предел
Случаи.
логично.
3.1.39.
lim 44
9W
Ь— или </(.т) —> —ос, рассматриваются ана-
Пример.
sin х
lim ---- = lim
i \
— sin a: = 0.
x J
и если положить f(x) = sin.r: g(x) = x (x e R). to Va? ё R f'(x) =
= cos a?: g '(a?) = 1 / 0 и не существует предел
lim cos г = lim
Дифференцируемые функции вещественного переменного
131
3.1.40. Определение. Пусть f: [a. -too) ае R. и пусть
lim (/(т) — кх — Ь) = 0 k.b — const G IR.
Тогда прямая, имеющая уравнение у = kx + Ь (в координатах (х, у))
называется наклонной асимптотой к графику функции f.
3.1.41. Утверждение. Для того чтобы для функции f: [а.
-ос) —> R существовала наклонная асимптота. имеющая уравнение
у = кх ч- Ь. необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные
пределы
k = lim Х и b = lim (/(х) — кх).
>тэс X -ЭС
Доказательство. Если такие конечные пределы существу-
ют. то
lim (f(x) — кх - b) = 0.
Д-—> I ос
так что прямая с уравнением у = кх-1-Ь является наклонной асимпто-
той к графику функции f. Пусть выполнено последнее условие, т. е.
lim (f(x) - кх - b) = 0.
Тогда
lin, (7W_t_T)s|).
х->+эс \ Д’ X/
Г(т) Ь
т.е. к = lim ----. поскольку lim - = 0.
Т-4-ОС X " .г^ эс х
Кроме того.
b - lim (/(х) — кт).
3.1.42. Замечание. Аналогично определяется наклонная
асимптота в случае, когда f : ( — ос. я) —> R и х —> —эс. Если f:
|«. 6] -> R: .Гц G |а.Ь] и
lim fix) - — эс или lim fix)-- — эс.
'-’•‘о ' rJJ'o
г ф [a b]
го говорят, что прямая с уравнением .г = .То является вертикальной
асимптотой к графику функции f.
3.2. Производные и дифференциалы высших
порядков
3.2.1. Определение. Пусть f: [a.b] —> R: х G [a.b| и пусть
/(0)(х) = f(x): /(1'(х) = f'(x). Если n G N. то положим f^'fx) =
= (/i'I-4)'(.r) в предположении, что производная определена
па пересечении отрезка [a.b] с некоторой окрестностью точки х.
132
Глава Ш
3.2.2. Замечание. Для того чтобы при условиях определения
существовало значение f(n\x) (называемое производной n-го поряд-
ка функции f в точке х), необходимо и достаточно, чтобы функция
была дифференцируема в точке х. При п 2 для этого необ-
ходимо, чтобы функция была дифференцируема на указан-
ном пересечении.
3.2.3. Пример. Пусть а = const > 0 и Vt е IR /(t) = а*.
Тогда VugNVteR = ах(1па)”. В частности, при а — е
f(n\x) = ех.
3.2.4. Пример. Пусть а = const > 0; а / 1, и пусть Vt > 0
„. . , In t
Л() = 1ог«, = ьЦ'
Тогда Vi > 0 Vn G N
/W = {
В частности, при а = е
/(п)(х) = (~1)П
хп
3.2.5. Пример. Пусть а = const € IR и Vt > 0 /(t) = t“. Тогда
Vz > 0 Vn Е IN f^'^x) — a(a — 1) • • • (a — n -+- l)xQ_". При a = n
это означает, что f<-n\x) = nl. При a < n f^n\x) = 0. если a € N.
Все утверждения в примерах 3.2.3-3.2.5 доказываются с помощью
метода математической индукции, используя 3.1.16-3.1.18.
3.2.6. Следствие. Производная порядка n € X любого много-
члена степени, не превосходящей п — 1, в любой точке х е R равна
нулю.
3.2.7. Пример. Пусть n € N. и пусть
tn. если t > 0:
—tn. если t < 0.
Тогда 3/(п-1)(0) = 0 и Д/(п,(0).
Это утверждение также доказывается с помощью метода мате-
матической индукции (при n = 1 оно справедливо согласно 3.1.7).
3.2.8. Утверждение. Пусть функция f п раз дифференциру-
ема на отрезке [а. Ь] (т. е. в любой точке х Е [а, 6] существует произ-
водная n-го порядка этой функции), и пусть Vz 6 [а. &] f^n\x) = 0.
Тогда f — многочлен над полем IR степени, не превосходящей п — 1,
п = 1.2
Доказательство. При n = 1 это утверждение означает, что
если Vz Е [а. 6] f'(x) = 0. то f(x) = С = const всюду на [а. 6]. Такое
утверждение справедливо согласно следствию из теоремы Лагранжа.
Дифференцируемые функции вещественного переменного 133
Пусть функция f удовлетворяет условиям утверждения с заме-
ной п на п — 1. т.е. V.r € [а.6] = (/(")у(т) = 0. Тогда
согласно этому же следствию Ес = const £R: V.r Е |a.b] = с.
Положим
, . . Ст"
5 И = ./ т)-----.
п\
тогда Vt € [а.Ь] Д'бД-) f(n\x) — с = 0. поскольку, если у?(д) = д".
то = п!. Согласно предположению индукции можно считать,
что д ~ многочлен над полем R степени, не превосходящей п — 1. Но
тогда / — многочлен степени, не превосходящей п.
Свойства производных высших порядков
Пусть f: [а. Ь] R; д: [а. Ь| —> R. и пусть обе функции /ид
п раз дифференцируемы в точке т 6 [а.Ь]. Тогда функции f -г д:
fg: cf (с = const 6 R) п раз дифференцируемы в этой точке и
справедливы равенства:
a) U - 9)М<Л) = f(n\x) g(n\x):
б) (cf)("fx) = cfd'fx):
в) (fg)W(x) = 52 (формула Лейбница),
к-о
Все эти утверждения доказываются по методу математической
индукции (при n = 1 они доказаны выше: в частности, форму-
ла Лейбница при n = 1 соответстует равенствам - /’(.с):
/(1)М = /'(х): С? = С) = 1).
3.2.9. Замечание. Если т.п Е N и функция f т — и раз
дифференцируема в точке .г. то (это следует
из индуктивного определения 3.2.Г).
3.2.10. Определение. Пусть функция fn раз дифференци-
руема в точке х. Функция d" f аргумента dx = Ах. определяемая
равенством dnf(dx) = f{n>(x)(dx)". называется дифференциалом
функции f в точке х (n-го порядка, п - 1.2....).
Заметим, что при п - 1 dlf = df. Далее будем обозначать f" =
~ f^-. f"’ = f^-. /IV = /(J’ и т.д. Если n - 2. то d2/ = f"(x)(dx)2.
3.2.11. Замечание. При условиях теоремы о производной
сложной функции, полагая h = g(f). можно утверждать, что h'(.r) =-
d'(f (•I’))./',(-г)- Если, кроме того, обе функции f и g дважды диф-
ференцируемы (в точках х и f(x) соответственно), то функция h
также дважды дифференцируема в точке ,т и
Л"(.т) = <7"(/(r))(/'(.r))2 - g'(f(x})f"(x).
Поэтому
d2h = h'/x^dx)2 = g"(f(x))(df)2 - У(/(.т)')с/2/.
134
Глава III
Поскольку в общем случае g'(f(x))d2f 0, то дифференциал второ-
го порядка (в отличие от дифференциала первого порядка) уже не
обладает свойством инвариантности формы. Тем более не обладают
таким свойством дифференциалы больших порядков.
3.2.12. Определение. Функция /: (а, Ь) —> R называется
выпуклой вниз на интервале (а, Ь). если Уад,х2 € (а.Ь) Vai V 0;
а2 > 0:
(ai J-a2 = 1) => (JtaiXi — а2х2) C а1/(ад) + a2/(a’2)).
Если при ад х2 и ац.а2 6 (0.1) последнее неравенство является
строгим, то говорят, что функция f строго выпукла вниз на (а, Ь).
3.2.13. Замечание. Геометрически условие выпуклости вниз
функции f: (а, Ь) —> R означает, что точки любой дуги графика
функции f лежат под хордой, стягивающей эту дугу (здесь под дугой
графика функции f понимается множество точек с координатами
(а?,/(.г)), таких, что ад < х < ад, где а < ад < ад < Ь).
3.2.14. Замечание. Аналогично определяется понятие выпук-
лости вверх функции /: (a. b) —> R и строгой выпуклости вверх;
следует изменить знак на V (соответственно. < на >, если яд од
и a1;a2 & (0,1)) в неравенстве /(оцяд + одад) сиДад) — a2/(x2).
3.2.15. Замечание. При условиях определения 3.2.12 и ад > 0:
ад > 0. полагая х = ахад -г а2х2. где а < ад < ад < Ь. соответствую-
щее неравенство можно переписать в эквивалентном виде, а именно
/(a-) - /(ад) < /(ад) - /(а)
х — ад ад — х
При этом учитывается, что при условиях ад < ад и ai.a2 6 (0,1)
х = ахад + а2ад е (ад, ад).
3.2.16. Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на ин-
тервале (a.b) функция f: (a.b) —> R была выпуклой вниз на (a.b).
необходимо и достаточно, чтобы производная f не убывала на (a.b).
При этом строгому возрастанию f соответствует строгая выпук-
лость вниз функции f.
Доказательство. Если функция f выпукла вниз на (a.b).
то из условий а < ад < х < ,r2 < b следует, что согласно теореме
Лагранжа 3£i € (ад. а’) и 3$2 £ (х.хД:
f(x)~f(xv) f(x2)-f(x)
----------- = J (/1) II ------------ = J
X — X% ~ X
Поскольку для выпуклой вниз функции f
f(x) - /(ад) f(x2) - /(.r)
X — X1
X2 — X
Дифференцируемые функции вещественного переменного
131
то при х —> a?i-r получаем, что р, X . f(xo) - f(Xl) f (Xi) X2 ~ Xi
Аналогично, при x -> r2- /(x2) - /(-Tl) . f (x2 . X2 — X1
Таким образом. f (Xi) ^/(z2). X2 — Xi
Это означает, что производная f не убывает на (а, Ь).
Обратно, если выполнено последнее условие, то при а < Xi <
< х2 < b
f(x) - /(zi) _ , , _ /(т2) - /(х)
— J (£1) J (£2) —
X — ,Т] ,Г2 — X
поскольку £1 < х < £2.
В случае, когда соответствующие неравенства строгие, доказа-
тельство аналогично.
3.2.17. Замечание. Утверждение теоремы 3.2.16 справедли
во и для выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) функции f. При
этом производная f должна не возрастать (строго убывать) на ин-
тервале (а.Ь).
3.2.18. Следствие. Для того чтобы дважды дифференци-
руемая па интервале (а. Ь) вещественная функция f была выпукла
вниз (вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы
V.r € {a.b) f"(x) Д 0 (соответственно. Vx & (a.b) f"(x) $ 0). Для
строгой выпуклости вниз (вверх) такой функции достаточно, чтобы
Vx е (a.b) f"(x) > 0 (Vz е (a.b) f"(x) < 0).
Утверждение следствия получается непосредственно из 3.1.30:
3.1.31; 3.2.16: 3.2.17.
3.2.19. Утверждение. Пусть f: (a.b) —> IR и функция f диф-
ференцируема на интервале (a.b). Функция f выпукла вниз (вверх)
на (a.b) тогда и только тогда, когда все точки сё графика лежат не
ниже (не выше) любой проведённой к нему касательной. Для стро-
i ой выпуклости вниз (вверх) такой функции необходимо и достаточ-
но. чтобы все точки её графика, за исключением самой точки каса-
ния. лежали строго выше (строго ниже) любой такой касательной.
Доказательство. Пусть х е (a.b). Уравнение касательной к
графику функции / в точке (х. f(x)) имеет вид у = f(x) — f'(x)(t — x)
(в координатах (t. у)). Значит. f(t) у f(t) — f(x) — f'(x)(t — х) =
= (f'(£)~/z(x))(l — х)- гДе точка £ лежит между t и х. Если функция
/ выпукла вниз на интервале (о. Ь). то производная /' не убывает на
136
Глава III
/'(*)•
> ГИ-
этом интервале, так что при t х разности /'(£) — f'(x) и t — х
имеют одинаковый знак, и поэтому \/t Е (a,b) f(t) — у 0. Если
f строго выпукла вниз на (а,Ь), то f строго возрастает на (а.Ь), и
поэтому f(t) - у > 0 при t е (а. Ь) и t / х. Обратно, если Vi е (а. Ь)
f(t) ~У = - f'(x)(t - х) > 0, то при t < х
f(t) - f(x)
t - X
a при t > x
f(t) - /w
t - x
Если a < x\ < x < x<2 < b, то отсюда следует, что
/(x) - /(xi) < /(x2) - f (x)
X — Xi X2 — X
(достаточно положить t = Xi < x в первом случае и t = х2 > х
во втором).
При этом, если Vi € (a. b): (i х) => (/(f) - у > 0). то
/(х) - /(xi) < /(х2) - /(х)
X — Х1 х2 — X
В сил}' замечания 3.2.15 отсюда следует утверждение в случае
выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) функции f. В случае вы-
пуклой вверх (строго выпуклой вверх) функции f доказательство
аналогично.
3.2.20. Определение. Пусть /: (а. Ь) -э R и х € (а. Ь), и пусть
существует окрестность W(x) С (а.Ь) такая, что в её левой половине
(т.е. на множестве W(x) А (—ос.х)) f выпукла вниз (вверх), а в её
правой половине (т. е. на множестве Ь/(х) О (х, —ос)) f выпукла вверх
(вниз). Тогда точка (х./(х)) называется точкой перегиба графика
функции /.
3.2.21. Следствие. Пусть f : (a.b) —> R и функция f дважды
дифференцируема в точке х G (a.b), являющейся абсциссой точки
перегиба графика f. Тогда f"(x) = 0.
Утверждение следствия выводится непосредственно из 3.2.16;
3.2.17. а также теоремы Ферма.
3.2.22. Следствие. Пусть f: (a.b) —> R и х е (a.b) и пусть
существует окрестность U(x) с (a.b). в которой функция f дважды
дифференцируема. Если f"(x) =- 0 и в левой половине окрестности
1Г(х) значение f" имеет один знак, а в правой половине — противо-
положный знак, то (x.f(x)) — точка перегиба графика функции f.
Действительно, при таких условиях /' в левой и правой поло-
винах окрестности U(x) монотонна, но имеет разный характер мо-
нотонности. так что утверждение следствия получается из 3.2.16;
3.2.17.
137
Дифференцируемые функции вещественного переменного
Неравенство Йенсена
Пусть функция f: (а.Ь) R выпукла вниз, и пусть п 6 TJ;
Т1....х„ С (a.b)rai...ап — неотрицательные числа, для которых
Q1 н- ... - an = 1. Тогда
/(ац?1 - ... - ап.т„) а]/(гг]) - ... + anf(xn).
Доказательство. При п = 1иО1=Д неравенство Йенсена
превращается в равенство. При п — 2 это неравенство содержится в
определении 3.2.12 выпуклой вниз функции.
Пусть это неравенство справедливо для значения n— 1 при п 2,
тогда из условий о/,.<Хг-1 0; од-г .. . а;,., = 1: ад.€
€ (а, Ь) следует, что
/(a'jTi + ... - - ... + а'п-Ж-]).
Если в наборе (од..сщ) an = 1. то ai = ... = an-i = 0,
и тогда доказываемое неравенство равносильно равенству f(xn) =
= Пусть an < 1. Положим
Clj = ----. 2 = 1...77—1.
1
тогда о\..а'г_1 — неотрицательные числа, для которых —...
- = 1, так что
Положим далее х' = o'1a’i — ... - тогда из условии
.Г] Tn-i € (a.b) следует, что х' € (a.b). Так как функция /
выпукла вниз на интервале (a.b). то
/((1 - а„)х’ - апт„) = /(qiTi - ... - - anxn)
С (1 - а„)/(.т) - anf(x,l) oi/(t]) - ... - a„_if(xn_i) - пп/(тР).
Таким образом, неравенство Пенсена доказано методом математи-
ческой индукции.
3.2.23. Замечание. Если функция / строго выпукла вниз на
(а. Ь) п среди чисел oi.п„ по крайней мере два отличны от нуля,
то знак равенства в доказанном неравенстве имеет место тогда и
только тогда, когда .гх - ... = .г,, (это следует из приведённого
доказательства).
Для функции f. выпуклой вверх па (а.Ь). при соответствующих
условиях справедливо неравенство /(«i-Ti - ... - a„xn) ciif(xi) -
- ... — a„f(xn) (с аналогичным замечанием в случае строго выпук-
лой вверх функции /).
138
Глава III
3.2.24. Пример. Пусть при х > 0 f(x) = hire, тогда Vx > О
г'и = -4 < о.
х
и поэтому функция / строго выпукла вверх на интервале (0,+оо).
Следовательно, если х.\...хп > 0; а, > 0; i = 1.....п; ах + ... +
— ап = 1, то ах 1пхх + ... -г а„ lnx„ 1п(аххх — ... — апх„), т. е.
х"1 • -x“n < аххх + ... - апхп.
В частности, полагая ад = ... = ап = 1/п. получаем неравенство
Коши ।
Г/Х1 • • Х„ < - <ХХ -Г ... -Г х„). п е К.
п
между средним геометрическим и средним арифметическим п по-
ложительных чисел хх.....хп. Равенство в этом неравенстве имеет
место тогда и только тогда, когда хх = ... = хп.
Полагая п = 2; ах = 1/р: аг = 1/q: 1/р — 1/q = 1; р > 1;
хх = а > 0: х-2 = Ь > 0. получаем неравенство Юнга
а1/Р61/9
Р Q
с равенством тогда и только тогда, когда а = Ь.
Если же /(х) — хр при х > 0 и р > 1, то f"(x) — р(р — 1)хр“2 > 0.
так что функция f на интервале (0. —ос) выпукла вниз, и поэтому
согласно неравенству Йенсена
СП \ Р п
7 — 1 / i^l
Если считать, что 1/р + 1/q = 1. и положить
а, =
J=1
Хг ь}/(р-у'
где «г > 0: bt > 0, i = 1.п. то получим неравенство Гёльдера
п
7^1
Дифференцирование комплексных функций
3.2.25. Определение. Пусть /: |а. Ь] —> С и х е [а.Ь]. Тогда
предел
lim
, t — X
t е [«.fc>]
Дифференцируемые функции вещественного переменного
139
(если он существует и конечен) называется производной функции f
в точке х. Функция /. имеющая производную в точке х. называется
дифференцируемой в этой точке.
3.2.26. Утверждение. Пусть f: [а.6] -> С: х G [а.Ь] и пусть
W 6 [а.Ь] f(t) = /iff) - ?/2(f). где f-,: (а.Ь] -> R: j е {1;2}. Тогда
функция f дифференцируема в точке ,т в том и только в том случае,
когда обе функции j\ и jy дифференцируемы в этой точке, причём
f'M = f[(x) +
Это утверждение следует из соответствующего утверждения
для комплексных функций, имеющих предел.
3.2.27. Пример. Пусть Vf е [0,2л] /(t) = cost — г sin#. тог-
да функция f дифференцируема на отрезке (0.2л] и V.r € [0.2л]
/'(.г) = - sin x-i-i cos .г. Следовательно. |/'(г)| = \/sin2 х + cos2 х = 1.
и поэтому /'(г) ф 0 при г е [0.2л] (последнее равенство будет до-
казано ниже). Имеем /(2л) = /(0) = 1 п V/ е (0.2л) /'(£) Д 0. так
что утверждение теоремы Ролля для функции / на отрезке [0. 2л] не
может выполняться (так же как и утверждения теорем Лагранжа и
Коши, если положить g(x) = х V.r е (0. 2л]).
3.2.28. Пример. Пусть Vr е (0.1)
Тогда V.r € (0.1) д(х) Д 0 (если бы З.г t (0.1): фа?) = 0. то
/ 1 \ ( l\ 1
cos -х ч- г sin — = —.
\х~) ) т
так что
и поэтому х = 1 — противоречие). Кроме того. Va? t (0.1)
поскольку fa — Ь| Д | о| — |Ы|. так что при
2
г
a = 2х ( cos ( —
\ \
и b = — 1 получаем, что
, / 1 2
\д (.г)| > |а| - 1 - 2\/.т2---------л 1 >------------1-
V Л .T
140
Глава III
Имеем далее
. ,im
lira . .
ж->°-г g(x)
:----i----------г- = 1 ± lim = °-
cos + i sin х-»о+ д (т)
Действительно, при х 6 (0.1)
, J < ——--------> 0 при х
\д'(х)\ 2-х
f'(x)
g'(x)
Замечая, что в условиях примера
lim /(х) = lim д(х) = 0,
х—>0-1- z—>0+
можно сделать вывод о том. что при этих условиях правило Лопи-
таля становится неверным.
Таким образом, правило Лопиталя, вообще говоря, неверно для
комплексных функций.
Сформулируем и докажем аналог теоремы Лагранжа для ком-
плексных функций (теорему о конечных приращениях).
Теорема о конечных приращениях
Пусть f: [a.b] —> <С и функция f непрерывна на отрезке [a.b] и
дифференцируема на интервале (a.b). Тогда 3£ € (a.b):
\f(b)-f(a)\^\f'^)\(b-a).
Доказательство. Положим Vt € [a.b] g(t) = (f{b) — f(a)) x
x/(t) (скалярное произведение), тогда g: [a.b] —> R. g непрерыв-
на на отрезке [a.b] и дифференцируема на (a.b). Согласно теореме
Лагранжа 3£ 6 (a. b): g(b) — д(а) = д'(£)(Ь — а). При этом
дф) - д(а) = (f(b) - f(a)) х (/(b) - /(а)) = |/(Ь) - /(«) |2 О
9'^) =(f(b) -f(a)) х/ш
так что согласно неравенству Коши-Буняковского-Шварца
|</(01 - !(/(*>) - /(a)) X /'(<)] [/(b) - /(а)| !/'(О|.
Значит.
S/(b) - /(a)|2 = (b - а)|У(/)| |/(b) - /(а)] |/'(е)|(Ь - а)
и поэтому ]/(Ь) - /(а)| |/'(^)|(Ь - а).
3.2.29. Следствие. При условиях теоремы о конечных при-
ращениях
|/(Ь)- /(а)|^(Ь-а) sup {|/'(т)1}.
j-e(a.ft)
3.2.30. Определение. Пусть /: [а.Ь] -> С и / = /i -1- г/г. где
fi-f-2- [a. b] —> IR. Говорят, что функция / п раз дифференцируема в
Дифференцируемые функции вещественного переменного
141
точке х € [а.Ь], если обе функции fa и /2 п раз дифференцируемы
в точке х. При таких условиях полагают
fM(x) = f[n\X)+if^n\x).
3.2.31. Замечание. Свойства производных n-го порядка, свя-
занные с арифметическими действиями (включая правило Лейбни-
ца), справедливы и для комплексных функций.
3.2.32. Определение. Пусть функция f и раз дифференци-
руема в точке х. Тогда полагают dnf = dnfa — idnf2 = (f[n\x) +
ifS^Xxfatdx'y1 и называют функцию dnf аргумента dx дифферен-
циалом n-го порядка функции f в точке х.
3.3. Формула Тейлора и разложения
элементарных функций
Формула Тейлора. Пусть f: [а.Ь] —>• R, и пусть для неко-
торого значения n € N производная непрерывна на отрезке
[а, Ь], а производная существует Vt g (а.Ь). Еслпх,хо g (а, Ь],
причём X fa Xq. ТО
Х--0
где £ — некоторая точка интервала с концами в точках х и хо-
Доказательство. При n = 1 сформулированное утвержде-
ние совпадает с теоремой Лагранжа на отрезке с концами в точках
х и xq. Так как х fa xq. то существует число М g R. для которого
формула Тейлора справедлива с заменой /("\^) на М. Положим
tft g [а. Ь]
g(t) = f(t) - £ - x0)fc - - xafa.
kl n'
k=0
Нужно доказать, что 3£ g (а.Ь): /(”)(£) = -W. Имеем Vf € (a.b)
<j('>)(/( — y('l)(f) _ _u. поскольку ((f — To)"/") — nl.
Таким образом, достаточно доказать, что Д g (а.Ь): </щ£) = О-
При t = xq gfaco) --- f(xo) — f(xo) = 0. Кроме того, согласно опре-
делению числа Л/ д(х) = 0. Пусть A(z.To) — отрезок с концами в
точках х и гд. Функция д на этом отрезке удовлетворяет услови-
ям теоремы Ролля, и поэтому существует точка Д g fax.xo) (здесь
fax. Xq) — интервал с концами в точках х и то), такая, что </(ф) = 0.
При n = 1 можно положить £ = ф и формула Тейлора будет спра-
ведлива. Пусть n fa 2. тогда продолжим этот процесс далее, имея в
виду, что при n fa 2 д'(х0) = /'Д’о) - /'(^о) = 0.
142
Глава Ш
Согласно определению точки ф а: о Ч £1- и поэтому функция д'
на отрезке Д(.г0. ф) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, так что
Зф € Z(-r0. ф): д"(ф) = 0. Если п = 2. то можно положить £ = и
формула Тейлора будет справедлива. Пусть п 3. тогда продолжим
этот процесс далее, имея в виду, что при тг > 3 (/"(а’о) = /"(а’о) —
— f'4xo) = 0. Так как ,г0 / ф. то. рассуждая аналогично, получаем,
что Зф £ /(а?0.ф): У"(ф) = 0.
В общем случае заметим, что если
?»-.« = -W--
где t € [а. 6], то
0(t) = /(A)-P„_1(A)-^(A-.TO)’‘.
и поэтому gw(a?o) = /О)(а-о) - /0)(^о) = 0. j = 0.п - 1.
Действительно, ((f—.z’o)")(j) “ п(п — 1) • (n—J- 1 )(А — a’o)'!-J = 0
при t = .r0: j = 0.п - 1. Кроме того.
= £ ^^(а - = /Ыы.
к - о
J =0.1...77 — 1.
так как при 0 < к < j - 1 ((А - а’0)А')(j) =0. поскольку к{к - 1) • • • (А: -
— j — 1) =0: при j т 1 < к < п — 1 ((А — .('о)А')1'' = 0 при t = о.’о:
при к = j ((А - а’о)А)(А) = /!.
Рассуждая далее по индукции, за конечное число шагов полу-
чим. что Зф G /(од. а’): дМ^п) = 0.
Полагая £ = ф,. получаем формулу Тейлора. Заметим, что в
общем случае <Д = ф,(.т) (т.е. ф зависит как от п. так и от .г)-
3.3.1. Определение. Многочлен F„_j. определённый выше,
называется многочленом Тейлора для функции / порядка п — 1 (при
этом degPn_! С п - 1). Если 7?„(А) = /(А) - F„-i(A). А £ [а.Ь]. то
функция В,, называется остаточным членом /?-го порядка формулы
Тейлора для функции /. Равенство
РД.г) = ^ЕЦ.г.л-о)-
7?!
доказанное выше, называется представлением остаточного члена
77-го порядка в форме Лагранжа.
3.3.2. Пример. Пусть о < 0: b > 0: xq = 0. и пусть V.r £ [о. Ь\
f(x) = ег. Тогда VA- е No /^Чо’о) = /^А)(0) = 1. Поскольку функция
/ бесконечно дифференцируема на R (т. е. V.t е IR V/7 £ К 3/(">(д)).
Дифференцируемые функции вещественного переменного
143
то Vn g IN Vx € [a. &]:
(ж Д 0) f/(x) = = У? vt + ^n(x)
\ k'
ee
где Rn(x) = i € /(0,x).
3.3.3. Следствие. Vx g IR Vn g IN
Действительно, так как £ g 1(0.x). to e^ < Кроме того, числа
a < 0 и b > 0 можно выбрать произвольно. При х = 1 получаем,
что Vn g IN
3.3.4. Пример. Пусть a g (—1,0); Ь > 0; х0 = 0. и пусть
Vx g [a, b\ f(x) = ln(l u x). Тогда /(xq) = /(0) = 0. и если n g IN,
то при k = l....,n - 1 /(fc)(0) = (-l)fe-1(fc - 1)!. так что согласно
формуле Тейлора Vx g [a, 6]
”-1 (_i V—i
ln(l + x) = У2-----------xk x Rn(x). x / 0.
fc=i
где Rn(x) = ^xn. £ £ /(0.x).
На самом деле полученная формула справедлива Vx g (( —1.0) U
U(0. Too)).
3.3.5. Пример. Пусть a = const g IR; Xo — 0. и пусть a g
g (-1.0); b > 0 и Vx g [a. 6] /(x) = (1 x- x)a. Тогда /(0) — 1, и
если n g IN. to
fm(0) = Q(a -!)••• (a - Ar - 1). k = 1..n - 1.
Учитывая, что числа
вольно, получаем, что V/?
a g ( —1.0) и b > 0 можно выбрать произ-
g IN Vx g ((-1.0) U (0. —эс))
„ a(a - 1) • • (о — к - 1)
a -=1 - Е -—------------х -
А—1
где
a(a - 1) • (о - п + 1)(1 — £)'* ”х"
п С g /(0.x).
144
Глава III
3.3.6. Утверждение. Пусть при условиях формулы Тейло-
ра. производная ограничена на пересечении интервала (a.b) с
некоторой окрестностью точки оу. Тогда при х —> ay: х G (а.Ь) и
фиксированном n € X’
R„(x) = О((х - то)71) = о((х - .то)"-1).
Доказательство. Если х 6 [«. t>] и х ф До-. то
причем £ € /(.Го..г) С (a.b). По условию ELW = const > 0: V/ 6
е ((a.b) П U(ay)) < Л/ < 4-ос. Следовательно, если х &
€ ((а.Ь) П и(хф). то £ t ((а.Ь) П U(x0)). и поэтому
Л/
|ад| < ^"То|П-
так что при х -у х0: х е (a. b) Rrl(x) = О((х - х0)") = о((х - х0)п~1)
(последнее равенство следует из определения символов Оно).
3.3.7. Замечание. Представление остаточного члена n-го по-
рядка формулы Тейлора для функции f в виде R„(x) - о((х—.г0 )',2—1)
(т -Д а?о: т ё (а.Ь)) называется остаточным членом п-ГО порядка в
форме Пеано.
3.3.8. Следствие. При х -у 0: n е X (н фиксировано)
С = £^-О(.г”).
А=0
В частности, при n - 1 er = 1 + О(х): при и = 2 ег = 1 - .г — О(х'2) и
т.д. При этом каждая последующая формула является уточнением
предыдущей.
3.3.9. Следствие. При х -Д 0 и фиксированном п 6 X: п ф 2
1п(1 - = ---.vk^O(xn).
В частности, при н 2 1п(1 - х) = т — О(х2): при п = 3
Г-
1п(1 - т) =: .г - у - О(Г3)
и т.д.
3.3.10. Следствие. При х -д 0: a = const 6 R и фиксиро-
ванном n £ X: и ф 2
(1 = 1 . g
Дифференцируемые функции вещественного переменного
145
Если, в частности, a 6 N, то получаем формулу бинома Ньютона
=^Ckaxk
k~0
(при таких условиях n ~ 1 — а и остаточный член вида 0(хп) равен
нулю).
3.3.11. Теорема. Пусть f — вещественная функция, опре-
делённая на интервале (а, Ь) и п раз дифференцируемая в точке
то € (а. Ь). Пусть, далее, /^!-(то) 0 и /^\то) = 0. k = 1.п — 1.
Тогда, если п — нечётно, то функция f не имеет в точке хо локаль-
ного экстремума. Если же п — четно, то при условии /1'и(Т(|) > О
< 0) функция f имеет в точке Хо строгий локальный ми-
нимум (строгий локальный максимум).
Доказательство. Если n = 1 и f'(xo) Д 0, то функция / со-
гласно теореме Ферма нс имеет в точке то локального экстремума.
Пусть п 2, и пусть /^п)(то) > 0. Тогда существует окрестность
Z7(.r0) С (a.b) такая, что Vt е Z7(t0) /(п-1)(т) < /("-1\т0) = 0.
если х < х0, и Д’1-1)(т) > f^n~1}(x0) = 0, если х > х0 (это сле-
дует из равенства = (J*"-1’)')- Если п = 2, то /'(то) = 0 и
V.r € U(xq) f'(x)(x — Tq) > 0. Значит, функция f имеет в точке То
строгий локальный минимум. Пусть п Д 3. тогда функцию /' можно
разложить по формуле Тейлора с остаточным членом порядка п — 2
в форме Лагранжа в некоторой окрестности Н(т0) точки т0- Выби-
рая радиус этой окрестности достаточно малым, можно утверждать,
что Vt € Й(хо)
г и = Ё (Л^о)и- - - Лп-2(т) =
k^G
= Е (Д -I)! ~х°) +^п-2(т) = Нп-2(х).
поскольку f^(xo) -- 0. к = 1.п — 2. Кроме того. Vt € П(хо)
Если радиус окрестности Е(то) достаточно мал. то V.r 6 W(tq)
> о. если х > то- и (^) < 0. если х < т0.
При чётном п 4 получаем, что V.r е Й(хо) f'(x) > 0. если
х > xq, и f'(x) < 0. если х < то- Таким образом, при чётном ?? 4 и
условии /(',1\.То) > 0 функция f имеет в точке Хо строгий локальный
минимум.
Пусть п > 3 и п нечётно, тогда Vt € Й(хо) f'(x) > 0. т.е. в
окрестности E’(tq) функция f строго возрастает. Значит, f не име-
146
Глава III
ет в точке ад локального экстремума. Случаи, когда f("Yxo) < 0.
рассматривается аналогично.
3.3.12. Пример. Пусть
г/ X = Г exp ( —1/.т2) при х Ф 0:
Л ’ [0 при х - 0.
Положим ад = 0, тогда функция f имеет в точке строгий локальный
минимум, поскольку при 0 f(x) > 0 = /(0). Покажем, что
Vn 6 N /(п,(0) = 0. Для этого предварительно проверим, что Vz; 6 N
Vx Д 0
= exp рп •
где Рп некоторый многочлен. Если л = 1. то при х 0
/'(х) = ехр (—щ ) Pi ( - ) .
\ а- ) \х)
где Pi(y) = 2у3 — многочлен от у (здесь у — 1/х). Предполагая,
что производная /(Г!)(х) при х 0 имеет указанный выше вид. по-
лучаем. что
/("+%) = = ехр (-1) Рп Н1 Q) .
где Рп . Ду) = 2у3Рп(у) — у2Р'Г1(.у\ так что F,) + i — также многочлен.
Далее, при т? = 1
/'(0) = lim ZilLlZM = lim f- exp (—4^ = ± lim ~ = °
J K >o f Z-t-0 \ t V f J / •’-> e"
(знак —. если f->0. и знак —. если t —> 0_).
Если при некотором п t N /(п,(0) = 0. то
/<-» я 1.™ - F’<’)
v ' t->0
= ± lim
= ]in рИ1/Г)
t z^o t exp (1/i2)
VsPr,(±\/s) = 0
(с той же оговоркой относительно случаев, когда t —> (Н или f —> 0- ).
Таким образом, функция f в точке То -- 0 бесконечно диффе-
ренцируема и все её производные в этой точке равны нулю.
3.3.13. Замечание. Пусть f: [a.b] —> R и функция / непре-
рывна на [а.Ь]. Согласно второй теореме Вейерштрасса. существуют
точки .ri.z’2 е [а.Ь]. для которых
/(ад)--- sup {/(.г)} и /(х2) = inf {/(а-)}.
При таких условиях, по-видимому, не существует алгоритма, позво-
ляющего за конечное число шагов найти точки .;] и ад.
Дифференцируемые функции вещественного переменного
147
Предположим дополнительно, что функция f дифференциру-
ема на интервале (а.Ь). Если при этом xj G (a.b). то по теореме
Ферма /'(ад) = 0: если же х2 G (а,6), то f'(x2) = 0. Таким образом,
при таких условиях Х1ИХ2 — стационарные точки функции f. Для
нахождения этих точек следует, найдя все стационарные точки f
на (а,Ъ) (т.е. решив уравнение f'(x) = 0 при условии х & (а.Ь)), вы-
брать те их них. которые являются точками локального экстремума.
Среди выбранных точек найдём те. в которых функция f принима-
ет наибольшее и наименьшее значение. Затем сравним эти значения
со значениями функции на концах отрезка [а. 6] и опять выберем те
точки, в которых значение f максимально (минимально). Эти точки
(по одной для каждого случая) и есть соответственно .щ и ад.
3.3.14. Замечание. Для функции /: [а, 6] —> С, непрерывной
вместе со своей производной 11 на отрезке |щ Ь] и дифференци-
руемой п раз на интервале (а. Ь). формула Тейлора в приведённой
выше формулировке, вообще говоря, неверна, поскольку, например,
при n = 1 эта формулировка соответствует теореме Лагранжа, ко-
торая. как мы видели выше, неверна для комплексных функций.
3.4. Первообразные и неопределённые
интегралы
3.4.1. Определение. Пусть / — вещественная функция, опре-
делённая на промежутке Д (конечном или бесконечном, не вырож-
дающемся в точку). Функция F : Д —> R называется первообразной
для функции f на этом промежутке, если она дифференцируема на
Д и Ут е Д F'(x) = f(x).
3.4.2. Замечание. Далее будет доказано, что если функция
f: Д —> /? непрерывна на промежутке Д. то она имеет на этом про-
межутке первообразную. Если же f имеет на Д хотя бы одну точку
разрыва первого рода, то не существует первообразной F для функ-
ции f на промежутке Д (в противном случае производная F' имела
бы на Д точку разрыва первого рода, что противоречит следствию
из теоремы Дарбу).
3.4.3. Утверждение. Пусть F — одна из первообразных для
функции f на промежутке Д. Тогда множество всех первообразных
лля f на Д совпадает с множеством {F — с | с G R}. с = const.
Доказательство. Если с - const G R. то Ут G Д (F — c)'(x) =
= F'(x) — d - F'(x) = f(x). так что функция F — с является перво-
образной для функции / на Д. Если же F — любая первообразная
для f на Д. то Ут G Д (F — F)'(x) — F'(x) — F'(x) = f(x) — f(x) = 0.
n согласно следствию из теоремы Лагранжа Зс G R: Ут G ДР(х) =
=- F(x) с (утверждение следствия, доказанное для случая, когда
148
Глава III
Д — отрезок, будет справедливо и в случае произвольного проме-
жутка Д, поскольку оно верно для любого отрезка |а.6] С Д).
3.4.4. Следствие. Любые две первообразные функции f: Д —>
—> R отличаются на промежутке Д на аддитивную постоянную.
3.4.5. Определение. Пусть f — вещественная функция, име-
ющая на промежутке Д первообразную. Тогда множество всех пер-
вообразных для f на Д называется неопределённым интегралом от
функции f на этом промежутке и обозначается
У f(x)dx.
Символ f называется знаком интеграла, функция f — подынтег-
ральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным выра-
жением.
3.4.6. Следствие. Пусть F — одна из первообразных для
функции f на промежутке Д. Тогда на этом промежутке
J f(x) dx = {F + с | с е R}.
Обычно пишут
У /(т) dx = F(x) -L с. х € Д.
Свойства неопределённого интеграла
а) Если
F S У /(х) dx
на промежутке Д. то dF = f(x)dx (х & Д).
Действительно. dF = F'(x)dx = fix') dr.
б) Если F — вещественная функция, дифференцируемая на про-
межутке Д. то
У dF = F(a-) - с. х е Д.
Действительно. dF •- F'(x)dx. п поэтому
У dF = у F'(z) dx = F(x) - с. x e Д.
в) Если fug вещественные функции, имеющие первообраз-
ные на промежутке Д. то
У (/(т) ± g(x)) dx = у /(.г) dx ± д(х) dx
Дифференцируемые функции вещественного переменного
149
(выражение в правой части равенства следует понимать как ариф-
метическую сумму множеств, т. е.
У f(x) dx± У g(x) dx = ^F ± G | F e j f(x) dx\ G e g(x) dx \ .
г) Если c = const e R: с ф 0, то
У (c/(z))dz = с у f(x)dx,
где
с У /(z) dx = |cF | F & У f(x) dx j
(при c = 0 это утверждение неверно).
3.4.7. Определение. Функции вида f(x) = с = const 6 R:
f(x) = ax (a = const > 0): f(x) = logQ x (a - const > 0; a ф 1);
f(.r) = z“ (a = const € R); /(z) = sinz: /(.r) = cost: /(z) = tgz;
/(z) = ctgz: /(z) = arcsinz: /(z) = arccosz; /(z) = arctgz: /(z) -
= arcctg x (каждая из этих функций задана в своей области опреде-
ления: относительно тригонометрических и обратных тригономет-
рических функций см. ниже) называются простейшими элементар-
ными функциями.
Пусть Е С R. Функция f: Е —> R. называется элементарной,
если она может быть получена из простейших элементарных функ-
ций или их сужений путём использования четырёх арифметичес-
ких действий и композиций, применяемых последовательно п раз.
п = 1.2,....
3.4.8. Следствие. Пусть f: Е -э R — элементарная функ-
ция. Тогда f непрерывна на Е (т. с. каждая элементарная функция
непрерывна в любой точке своей области определения).
Действительно, это верно для простейших элементарных функ-
ций (обоснование для тригонометрических и обратных тригономет-
рических функций будет приведено ниже). Справедливость утверж-
дения следствия устанавливается с использованием свойств непре-
рывных функций, связанных с арифметическими действиями, а так-
же теоремы о непрерывности сложной функции.
3.4.9. Следствие. Пусть при условиях следствия 3.4.8 (a.b) С
С Е (a.b £ R; а < Ь), и пусть функция f дифференцируема на ин-
тервале (а. Ь). Тогда функция f: (a. b) —> R является элементарной.
Действительно, если f — простейшая элементарная функция,
то f' — также элементарная функция (с аналогичным замечанием
относительно тригонометрических и обратных тригонометрических
функций), так что для обоснования утверждения следствия 3.4.9 до-
статочно использовать свойства дифференцируемых функций, свя-
150
Г л а в a III
занные с арифметическими действиями, а также теорему о произ-
водной сложной функции.
3.4.10. Замечание. Далее будет доказано, что справедливы
соотношения:
sin'(x) — cos ж. х Е R:
cos' (х) = - sin х. х Е R:
1 7Г
tg (х) = —. х Е R: х —<- ктг: к ^TL-.
cos- х 2
ctg'(x) =----3—, х Е R: х / А’тг: к Е TL-.
sin х
arcsin'(x) = 1 х Е ( — 1.1):
VI - х2
arccos'(x) - —===. х Е ( — 1.1):
V1 - х2
arctg'(x) = -—г-, х Е R:
1 тГ
arcctg'(x) -- --——-х Е R.
1 -г х2
3.4.11. Пример. Если /(х) = ехр(-х2). х Е R. то перво-
образная функции f на R существует, поскольку f непрерывна на
R (см. замечание 3.4.2). Можно доказать, что ни одна из таких
первообразных не является элементарной функцией. Аналогичные
утверждения справедливы и в случаях, когда
/(х) = ;—• х Е А: А = (0.1) или А = (1. -"-ос):
1пх
/(х) - —-—, х Е А: А = (—эс.О) пли А = (0. -эс)):
,, . cos х
/(х) =-------. х е д.
X
с теми же ограничениями на выбор промежутка А:
Дх) = sin(x2). х Е R:
f(x) - cos(x2). x E R.
3.4.12. Определение. Пусть f — вещественная функция, име-
ющая на промежутке А первообразную F. Если функция F не яв-
ляется элементарной, то говорят, что неопределённый интеграл
/(z) (Li-
ne выражается в элементарных функциях. В противном случае го-
ворят. что этот интеграл выражается в элементарных функциях.
Дифференцируемые функции вещественного переменного 151
3.4.13. Замечание. Условия определения 3.4.12 не зависят от
выбора первообразной F функции f. Действительно, функция F
является элементарной тогда и только тогда, когда VC = const G R
функция F + С является элементарной.
3.4.14. Пример. Согласно 3.4.11 можно утверждать, что ин-
тегралы вида:
2
е х dx — интеграл Эйлера-Пуассона;
dx
------интегральный логарифм:
тт
sin(s2)ds; fcos(t2)c(t — интегралы Френеля;
sins /' cosz
-----------dx; I -----ат (интегральный синус и интегральный ко-
синус) не выражаются в элементарных функциях.
Таблица основных неопределённых интегралов
1) J 0 dx = С, х G R;
2) [ ах dx = ----С, а = const >0; а / 1; х G R:
7 In а
г ха 1
3) / ха dx =------- + С. а = const G R: а / —1; х > 0;
7 о-1
Г dx
4) / — = In |т| — С. т G Д: Д = (—оо. 0) илиД = (0. +ос):
5) У sinsctr = - cost + С. т G R:
6) У cosxdx = sins — С. т G R;
7) [ d'1— = tgT — С. г G i\: 'ik Е Ж - - ктг 4 А:
J cos2 х 2
г dx
8) / —л— = ~ otgT C. x G Д: VA’ G Z irk £ Д:
7 sin т
, f dx J arctg.T ' C. x G R:
' / 1 — t2 ( - arctgT -i- C. x G R ;
I' dx _ (arcsinт - C. TG(-l.l):
7 y/i — x2 [ — arccosx — C. x G ( — 1.1):
11) i — = In |т — \/t2 ± 1 — C. x G Д.
7 vt2±1
где в случае знака — Д = R. а в случае знака — Д - (—ос. —1)
или Д — (1,—эс);
152
Глава III
12) [ - С. x € A.
1 J 1 - a-2 2 11 - x
где A — (—эс. —1) или A = (—1. 1) или A = (l.-f-oo).
Формулы 1)—12) следуют из соответствующих формул для про-
изводных.
3.4.15. Определение. Функция f называется рациональной,
если f ~ P/Q. где Р и Q - многочлены и многочлен Q не равен
тождественно нулю (такая функция f называется ещё рациональной
дробью).
Далее рассматривается случай, когда Р и Q — многочлены над
полем R; Р - Р(х); Q = Q(x). х е R и Q 0. В этом случае
функция f = Р/Q определена всюду' на R за исключением точек
х е R. для которых Q(z) = 0 (множество всех таких точек конечно).
3.4.16. Пример. Пусть а = const G R: а / 0. Положим
у = [_____________________
п е N.
При п = 1
,, / dx 1 /х\ ~
У} = ~---9 = “ arCtS ( ~ ) Т С. Х 6 К'
а \а/
Теорема о замене переменной в неопределённом
интеграле
Пусть f — вещественная функция, дифференцируемая на про-
межутке А. ид -- вещественная функция, определённая на проме-
жутке и имеющая на нём первообразную G (f / const). Тогда
композиция G(f) является первообразной функции g(f)f па А, т. е.
g(fM\f,(x)dT^GU^)') - С. тел.
Доказательство. Поскольку А - промежуток и функция f
непрерывна на А. то /(А) -- также промежуток, и так как f const,
то этот промежуток не вырождается в точку. Поэтому по теореме о
производной сложной функции Vz € А
(G(/))'(z) - G'(/(.z))/'(z) - ff(/(z))/'(z).
Заметим, что если положить // - f. то утверждение теоремы можно
записать в виде
У </(.</) dy = G(y) - С.
Формула интегрирования по частям в неопределённом
интеграле
Пусть и. г - вещественные функции, дифференцируемые на
промежутке А. и пусть на этом промежутке существует первообраз-
Дифференцируемые функции вещественного переменного
153
ная F функции uv'. Тогда функция uv — F является первообразной
для функции vu' на Д, т. о.
J v(x)u'(x) dx = u(x)v(x) - у u(x)v'(a:) dx.
Доказательство. Имеем V.r G Д
{uv - F)'(x) = u'{x)v{x) + u(x)v'(x) - F'{x) = u'{x)v{x),
поскольку F'{x) — u{x)v'{x).
Заметим, что формулу интегрирования по частям можно запи-
сать в виде
В условиях примера 3.4.16 положим х = at, тогда dx = adt и по
теореме о замене переменной в неопределённом интеграле
у - 1 [ dt - 1
n a2’1-1 J (i2 + 1)« " а2п-1Уп'
При п — 1
f dt /х\
У1 = t2 + 1 = arctg^ + С = arctg J - С.
Применяя формулу интегрирования по частям, при п 2 получа-
ем. что
»" = и,-. -1 ДДДу = ».-! + /“'«*’ +1)’<"-1)) =
t 1 Г dt
-Уп-1 2(n- 1)(£2 + I)"-1 2(п — 1) / (t2-l)'’-! “
t 2n - 3
~ 2(n - l)(i2 - 1)"-’ ~ 2n —2^n-1
Полученные рекуррентные соотношения позволяют выразить интег-
рал уп (а поэтому и Yn) через yi и тем самым вычислить этот ин-
теграл в элементарных функциях.
3.4.17. Определение. Рациональная дробь Р/Q называется
правильной, если 0 degP < degQ.
Пусть Р и Q — многочлены над полем R и многочлен Q не равен
тождественно нулю, и пусть deg Р degQ. Тогда, как известно из
алгебры, существуют многочлены Р\ и Q\ такие, что
Р Qi
д = pi ~ 77 и degQ]
degQ.
Если при таких условиях Qi = 0. то P/Q = Р] и
154
Глава III
причём последний интеграл есть множество многочленов, отличаю-
щихся на аддитивную постоянную.
Если же многочлен Q\ не равен тождественно нулю, то дробь
Qa/Q является правильной и
dx' -
Таким образом, для вычисления интеграла
достаточно научиться интегрировать правильные рациональные
дроби.
Пусть P/Q — правильная рациональная дробь, тогда degQ 1.
Достаточно ограничиться случаем, когда коэффициент при старшей
степени многочлена Q равен 1. При таких условиях, как известно
из алгебры. V.t € R
7П 11
qm = -х^Пк х W ~pi1'
fr=l 1^1
где о а- е N: к = 1...т: 3i е N; I = 1.../г: х, 7^ Xj при г
М = 1.....тп; (pi.qj при i j: i.j = 1....п: т.п € No:
т — п > 0: р2 — 4qi < 0 (т. е. квадратный трёхчлен х2 — pix- qi не имеет
вещественных корней): I = 1.... п: х^ ё R; к = 1..т: pi.qi € R:
о
I = 1...п: пустое произведение П • • • считается равным единице.
А=1
Теорема о разложении правильной рациональной дроби
на простейшие
Пусть PIQ — правильная рациональная дробь, и пусть много-
член Q удовлетворяет сформулированным выше условиям. Тогда
Vt е (R \ {т1:...:тт})
Ру1) у-' Ок! У~~' у—' ЬцХ — С)J
QW f-; - pi^ -qi'i-1 '
h — 1 I - 1 I — i J -
где air,, к = 1.m: i = 1...a*.; b/j. c/j. I = 1.n: j = 1....-
о
вещественные постоянные: пустая сумма ^2 .. считается равной
к-1
нулю.
Т1ис.та ai-r.bij-.cij по заданной правильной рациональной дроби
Р/Q определяются однозначно.
Сформулированная теорема обычно доказывается в курсе ал-
гебры.
Дифференцируемые функции вещественного переменного
155
3.4.18. Замечание. Утверждение теоремы означает, что вся-
кая правильная рациональная дробь может быть представлена в ви-
де суммы простейших дробей. Простейшей дробью называется ра-
циональная дробь одного из следующих типов:
-------. а = const 0: зд = const £ R;
х - ,т0
1)
2)
2:
(т - То)' ‘
Ьх -г с
„ . Ь.с - const € IR; р. q - const £ R: 62 с2 > 0;
- — px t- q
< 0:
bx + c
3)
р- - -iQ
4) , „ ---г. j £ N: j 2: b. с = const е IR; р. q - const £ R:
(х2 + рх + q)J
b2 - с2 > 0: р2 - 4</ < 0.
Чтобы найти числа a^pbi р. ср по заданной правильной рацио-
нальной дроби Р/Q. следует все простейшие дроби в разложении
дроби Р/Q привести к общему знаменателю Q(x). В числителе по-
лучившейся дроби должен стоять многочлен Р(х). Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях .г в этом многочлене, по-
лучим систему линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных щ г: bp: ср.
Согласно теореме о разложении па простейшие дроби эта сис-
тема имеет единственное решение. Найдя это решение, для вычис-
ления интеграла
dx
достаточно научиться интегрировать простейшие дроби указанных
типов.
3.4.19. Замечание.
А = 1.......m: i = 1...
Если к £ {1:...: щ}. то
Чтобы вычислить коэффициенты сц.;.
можно поступить следующим образом.
Ч-К-.п k
4k.<4
lim
11111 ---~-------
-'t Q(j-)
Для вычисления этого предела можно применить правило Ло-
пнталя. Если од. R 2. то. найдя ау,ч. можно утверждать, что
QW
Если аА. 3. то продолжим этот процесс далее аналогичным
образом, пока не дойдём до коэффициента аАд.
Так же можно вычислять коэффициенты Ьр:ср. I - 1......п:
j --- 1.3/. если учесть, что при фиксированных I £ {1:...:/;,} и
156
Глава III
3 & {1;...;3/}
bijX -i- cij _ 5Г-' / As_,___Bs A
(t2 -rpix -r qi)j ~'1\(x~zix>4 s <x-zi2)sJ'
где 2ц: 2/2 € С - корни квадратного трёхчлена х2 -гpixqr, AS.BS =
= const 6 C, s = Коэффициенты As и можно опре-
делить, представив их в виде пределов аналогичным образом: для
вычисления этих пределов можно применять правило Лопиталя в
комплексной области (это правило, как нетрудно доказать, остаётся
справедливым при вычислении предела отношения двух многочле-
нов). Найдя As и Bs, из последнего равенства получим значения
коэффициентов bij и тем же способом, что и выше.
Интегрирование простейших дробей
.fa, f dx . . . _ . , .
1) / ----—- dx = a ----— = a In |t - хо + С, те A: To $ A.
J x - To J X - To
2) При i 2
[ a [ dx a
J (т-т0)г J (т-то)г (г — 1)(т — то)г 1
т e A: To A.
3) При b2 -r c2 > 0; p2 — iq < 0
[ —~~ = in(y2 ~ “2) + (c - W2) V, (y) =
J x- — px + q 2
6, . 2 , c-bp/1! x I x — p/2 \ „
= - 1п(т2 -т px + q) T- - - : arctg - - - - Г + C.
2 vq-p2/4 \vq-p2/4/
где
4) При у = x -v р/2 рассуждая аналогично, интеграл
f bx — с >9
J (т2 -px- q)j ' 3
сведём к интегралу У}(у) = Yj (т г р/2). который, как установлено
выше, выражается в элементарных функциях.
3.4.20. Следствие. Неопределённый интеграл от любой раци-
ональной дроби выражается в элементарных функциях.
3.4.21. Замечание. Если с помощью теоремы о замене пере-
менной и формулы интегрирования по частям неопределённый ин-
теграл сводится к интегралу от рациональной функции, то говорят,
что соответствующая замена рационализирует этот интеграл.
Дифференцируемые функции вещественного переменного
157
3.4.22. Определение. Пусть Р(х.у) — конечная сумма вида
Тогда функция Р(д. у) называется многочленом от двух переменных
Д’, у (здесь am.„ = const £ IR пли am,n = const € С). Если
7?(.г. у) =
Р(х. у)
Q(x-yY
где Р(х.у) и Q(x. у) — многочлены от переменных х.у, причём
Q(.r. у) ф 0. то функция /?(.г. у) называется рациональной функцией
(или рациональной дробью) от двух переменных.
Пусть у = у(аг) — вещественная функция переменного х Е А.
Интегралы вида J R(x.y(x)) dx в некоторых специальных случаях
допускают замену переменного, которая их рационализирует. Такая
замена определяется формулой х = x(t). где обе функции т(1) и
y(.r(t)) являются рациональными функциями переменного t. При
таких условиях производная .r'(t) — также рациональная функция и
У R(x.y(x))dx = У R(x(t).y(x(t)))x'(t)dt.
причем под знаком последнего интеграла стоит рациональная функ-
ция от t.
Например, если
„ ах - Ъ
у = \ -----з •
V сх — а
где n = const е N: a. b.c.d const е К: ad — be 0: с2 + d2 > 0. то
можно положить у = t. тогда
_ dt" - b
а — cf”
Если у = у/ах2 — Ьх - с. где a.b. с - const е R: а / 0. то речь идёт
об интегралах вида
J R(x. \/ах2 - Ьх — с) dx.
Выделяя полный квадрат в трёхчлене ах2 — Ьх с и осущест-
вляя соответствующую линейную замену переменного, общий слу-
чай можно свести к одному из следующих случаев:
У R^t.y/t2 - 1)Л: У Я2(Т \/t2-l)dt: У /?3(Е \/1-/2)Л.
Здесь Ri.R-2.Rj — некоторые рациональные функции двух перемен-
ных.
158
Г л а в a III
Для рационализации последних трёх интегралов достаточно по-
ложить соответственно y/i2 U1 = ts 1; \/f2 — 1 = s(t — 1); vl — t2 =
s(l — t) и. тем самым, свести дело к интегрированию рациональных
функций переменного s. Указанные три подстановки были предло-
жены Эйлером, и поэтому называются подстановками Эйлера.
Если считать, что в интеграле
У R(x. у(х\) dx
у(х) = у/Р(х), где P(z) — многочлен степени п 3, то такой ин-
теграл в общем случае не выражается в элементарных функциях
(теорема Абеля-Лиувилля). Если п = 3 или п = 4. то указанный
интеграл называется эллиптическим, поскольку через один из таких
интегралов выражается длина дуги эллипса (см. ниже).
Если же п 5, то этот интеграл называется гиперэллиптичес-
ким. Можно доказать, что общий эллиптический интеграл с по-
мощью замен переменного, реализуемых с использованием только
элементарных функций, приводится к так называемым эллиптичес-
ким интегралам первого, второго и третьего рода (в форме Лежан-
дра). имеющим вид
/ - — ; [ J1 — к2 sin2 y:dy:-,
J \/1 — к2 sin2 д J
f<______________________
J (1 — h sin2 ^) \/l — A:2 sin2 д
Здесь h = const; к = const G (0.1).
Рассмотрим ещё интеграл
где т.п.р = const G Q: a. b = const e R: a 0: b У 0: n A 0: p Д 0.
Соответствующая подынтегральная функция называется диф-
ференциальным биномом (или биномом П.Л. Чебышёва). Если по-
ложить t = хп. то получим интеграл вида
i У С (a -ht/dt.
где q = (m — 1)/п — 1 G Q. Такой интеграл, как несложно прове-
т 1 сп L 1
рить. рационализируется, если одно из трёх чисел р. ——.р--
целое. Можно доказать, что при сформулированных условиях не
существует других случаев, в которых интеграл от дифференциаль-
ного бинома выражается в элементарных функциях (теорема Чебы-
шёва).
Глава IV Функциональные
последовательности и ряды
4.1. Числовые ряды с комплексными членами
4.1.1. Определение. Пусть {а„} — комплексная последова-
тельность и пусть 5,, = ау + ... — ап: п = 1.2. Тогда упорядо-
ченная пара последовательностей (}. {.5'„}) называется числовым
рядом (или просто рядом). Если п £ N. то число ап называется н-м
(или общим) членом ряда: число Sn называется n-й частичной сум-
мой этого ряда.
4.1.2. Замечание. Так. определенный ряд обозначают сим-
во. юм
У2 («ли «1 ~ ~ а» - • • )•
/г-1
Иногда рассматриваю! также ряды вида
V Я,,. »о t No-
“-«о
Этот случай отличается от рассмотренного выше только обозначе-
ниями (точнее, изменением нумерации).
4.1.3. Определение. Ряд называется сходящимся, если схо-
дится последовательность {5,,} его частичных сумм. Если lim S„ -
= S е С. то число S называется суммой этого ряда (говорят также,
что ряд сходится к сумме 5).
4.1.4. Замечание. Если ряд V а„ сходится к сумме S. то
п-1
пишут
= s
п-1
(т.е. обозначение ап используется как для самого ряда, так и
для его суммы).
160
Глава IV
4.1.5. Определение. Ряд называется расходящимся, если он
не является сходящимся.
4.1.6. Замечание. Расходящемуся ряду не приписывают (в
обычном смысле) никакого значения суммы.
4.1.7. Утверждение. Если сходится ряд 52 an то
П=1
сходится ряд 52 ап. Если rm — сумма последнего ряда и
П=7П+1
ОС
~ S,
П=1
ТО
S — Sm Т Г?71-
Доказательство. Если n m -г 1, то
п
= sm - &к ’
/с=га4-1
так что при п сю и фиксированном m G N получаем, что
S — lilH Sn — Sm “Ь &к — Sm “Ь I'm*
п-^ос L'
к — гп — 1
причем из существования и конечности lim Sn следует существова-
ние и конечность предела
lim ak = rm-
z—*
k=m— 1
4.1.8. Замечание. Справедливо и обратное утверждение: если
для некоторого значения m € N ряд 52 (1>. сходится к сумме rm.
k=m—l
то ряд 52 an также сходится, и его сумма S = Sm — rm.
n=]
4.1.9. Следствие. Удаление или изменение конечного семейст-
ва членов ряда не влияет на его сходимость пли расходимость (одна-
ко. вообще говоря, влияет на значение суммы в случае сходящегося
ряда).
4.1.10. Определение. Если ряд 52 an сходится, то Vm € N
п = 1
величина
Гт = Яп
n = l—m
называется п?-м остатком этого ряда.
Функциональные последовательности и ряды
161
4.1.11. Следствие. Если ряд an сходится, то
п-1
lim rm — 0.
m—>оо
Действительно. Vm eNS = Sm + rm. и поэтому из равенства
lim Sm = S следует, что lim rm = 0.
rn—>oc
4.1.12. Утверждение. Пусть {Sn}. n = 1,2,..., — комплекс-
ная последовательность, и пусть ai = Sy: an = Sn — Sn-i. n =2.3.
Тогда последовательность {S„} сходится к пределу S G С в том и
только в том случае, когда ряд an сходится к сумме S.
77 = 1
Доказательство. Если п 2, то
п п
Уда- = Si -Г ^(Sa- - Sa-1) = s„.
k=l A=2
так что последовательность {Sn} является последовательностью час-
тичных сумм ряда V an.
п—1
Таким образом, утверждение 4.1.12 позволяет сводить вопрос о
сходимости последовательности {Sn} и значении её предела в случае
сходящейся последовательности к соответствующему вопросу для
ряда
Si -£(SA. -Sa-i).
fr=2
4.1.13. Утверждение. Пусть an = т„ — iyn. где xn = Rean:
.у,, = Iman. n -- 1.2. Тогда ряд Y, an сходится к сумме StC
77—1
тогда и только тогда, когда ряды
п
,1-1 ,11
сходятся к суммам S' G R и S" G R соответственно. где S1 — ReS:
S" Im S. т. е.
П=] 77 — 1 71-1
Доказательство. Достаточно заметить, что V» € У
(77 \ 77 / 71 \ 71
' 52^ п im izLaA ) -
А—-1 / А- 1 \А-1 / Л—1
н затем перейти к пределу при п —> эс. используя соответствующее
утверждение из теории пределов комплексных последовательностей.
162
Глава IV
Необходимое условие сходимости ряда
Если ряд Д ап сходится, то
п^1
lim ап = 0.
п—>ос
Доказательство. Имеем при п > 2 Sn = ап + Sn-i, и если
3 lim Sn = S е С, то
lim ап = lim (Sn - Sn-г) = 0.
п—>оо п—>ос
поскольку
lim Sn-i = S.
п—>ос
4.1.14. Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря,
неверно. Рассмотрим так называемый гармонический ряд. для ко-
торого ап = 1/п, п = 1.2. Такой ряд называется гармоническим,
поскольку при п 2 его n-й член ап равен среднему гармоническо-
му соседних членов a,t-i и a„-i. т.е.
2
п 1/a^i + lK-/
Для этого ряда
lim ап = lim — = 0.
n-ЮС n-юо П
Однако такой ряд расходится: поскольку Vz? > 2
Д? = Sn— i 3“ > Ьл — i,
n
то
/11 1\
lim Sn = lim 1 ч-------... 3— = 3-oc
n-»oc n->oc \ 2 3 n )
по теореме о пределе монотонной последовательности. Это следует
из критерия Коши сходимости ряда.
Критерий Коши сходимости числового ряда
Ряд V ап сходится тогда и только тогда, когда Ve > 0 3zzq ё N:
71 = 1
Vm. л ё N:
(т > п по) =>
Доказательство. Имеем при указанных значениях тип
Функциональные последовательности и ряды
163
так что условие критерия Коши равносильно фундаментальности
последовательности {Sn } частичных сумм ряда Ё2 которая яв-
ляется необходимым и достаточным условием сходимости этой по-
следовательности.
Сформулируем логическое отрицание условия критерия Коши.
Это отрицание имеет вид: Зе > 0: V??o £ N 3m, n е N: (m > n no)
и
гп
k—n-
Возвращаясь к рассмотрению гармонического ряда, положим
г = 1/2 и выберем произвольное значение no € N. Полагая далее
п = по и тп = 2ио > п - «о- имеем
2п0
(в сумме 52 1/& имеется в точности По слагаемых, наименьшим
А—г>0 I 1
из которых является слагаемое при к - 2по. равное 1/(2но)).
Таким образом, согласно критерию Коши получаем, что гармо-
нический ряд расходится.
4.1.15. Пример. Пусть q = const е С. Рассмотрим ряд 52 Чп-
п—0
Назовем этот ряд геометрической прогрессией со знаменателем q.
Если q - 1. то Vn G N
Ё^
к -О
при п —> эс. так что при q
то V/; е N
1 наш ряд расходится. Если q 1.
При условии </| > 1 имеем |gn| = |g|n 1. и рассматриваемый
ряд также расходится. Пусть ,g| < 1. тогда
и поэтому
lim |gln = 0
п —> эс
lim Ёг/' = ~
164
Глава IV
Таким образом, при \q\ < 1 геометрическая прогрессия сходится к
сумме, равной (1 — д)-1.
4.1.16. Определение. Ряд 22 ап называется рядом с неот-
П=1
рицательными членами, если а„ > О, п = 1.2.... (все члены такого
ряда вещественны).
4.1.17. Утверждение. Ряд с неотрицательными членами схо-
дится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных
сумм ограничена.
Доказательство. Если {S7i} — такая последовательность и
an 0, то S„+i = Srl — an Sn. n = 1.2.так что последователь-
ность {S„} неубывающая. Такая последовательность, как известно,
сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.
4.1.18. Следствие. Если при условиях утверждения 4.1.17
ряд 22 а,; сходится к сумме S е R, то
П— 1
S = sup{Sn}.
Действительно, для неубывающей последовательности {S',,}
lim Sn = sup{S„}.
n->oc neN
4.1.19. Замечание. Равенство S — sup {S„ } справедливо и для
neN
расходящегося ряда с неотрицательными членами (в этом случае обе
части этого равенства равны + эс). Например.
У - = -ос.
п
п=1
4.1.20. Пример. Пусть ад. = 1/А’2. к = 1.2.тогда VA > 2
о<4<^- —
к2 к(к — 1) к — 1 к
п поэтому при п 2
о V’ 1 V- ( 1 1А 1
Sn = л2ак~л2тг<У\ ---------7 - 7 - 1 = 2---------<2.
21^ д-2 \ Ь _ 1 7 у ??
А--1 А-Щ А=2 4 2
Следовательно, ряд 22 V^’2 сходится. Можно доказать, что
А-1
к'2 6
А = 1
(это равенство впервые установлено Л. Эйлером).
Функциональные последовательности и ряды
165
4.1.21. Пример. Рассмотрим ряд
(А -1Дд 2)(А’-3)’
При А - 0.1.... справедливо тождество
1 1 ( 1 1 \
(А-— 1)(А-+ 2;'Д' - 3) ~ 2 \А’~ 1 ’ А- 3)
Поэтому
при п эс.
Таким образом, наш ряд сходится к сумме 1/4 (в [10. ч. I. с. 116]
приведен неверный ответ 3 - е).
4.1.22. Определение. Ряд 52 (а6„) называется суммой
рядов 52 an и 22 Ъ„.
n 1 п — 1
Если с = const € С. то ряд 52 (са>>) называется произведением
» -1
ряда 52 ,1п на число с.
п-1
4.1.23. Утверждение. Если оба ряда 52 а» и 22 сходятся.
?/—1 /11
то их сумма также сходится, причем
^/?) — 2Z " 2 у *
П —1 п-1 П—1
Кроме того, ряд 52 (со,,) также сходится и
^2(с«п) - с^2«„.
п- 1 » = 1
Доказательство. Если {£,,} и {S/Д - последовательности
частичных сумм рядов 52 °" 11 22 а {^>>} ~ последовательность
71 1 7? 1
166
Глава IV
частичных сумм ряда У (ап -г ЬГ|), то \/п G N У = Sn S'n, и при
п—1
п —> эо получаем, что
3 lim дп = lim Sn + lim S'n.
n€oo nEoc- nEoc
Кроме того.
3 lim (са! са„) = с lim Sn.
nEoo nEoc
ос ос ос
Если оба ряда У ап и У Ьп расходятся, то ряд У (ап — Ьп) может
п—1 п~1 77 — 1
как сходиться, так и расходиться. Например, если ап = — Ьп = 1/п,
п — 1.2,..., то ряд
п- 1 п—1
сходится к сумме, равной 0, хотя оба ряда
расходятся.
Группировка членов ряда
4.1.24. Определение. Пусть {т,п}, п — 1.2.... - строго воз-
растающая последовательность натуральных чисел, и пусть то = 0.
Если ап = аГПп_1 н -г- ат„_ j 2 + • • • + . и = 1.2.... то ряд У ап
П—]
называется сгруппированным рядом по отношению к ряду У ап.
71 — 1
4.1.25. Замечание. В условиях определения 4.1.24 тп п и
6п = О] -+... ч- о „ — Gi a tTI п : Smn. п — 1.2....
Прямая теорема о группировке членов ряда
Если
= S е С.
то сгруппированный ряд У ап сходится к сумме S.
п-1
Доказательство. При п —> эс тп —> эс. и поэтому
~ ^rrin
4.1.26. Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря,
неверно. Например, ряд
f^-l)"-1 = -1-1т...
П-1
функциональные последовательности и ряды 167
расходится, поскольку его n-й член не стремится к нулю при п —> эс;
полагая то = 0 и тГ1 = 2n. n = 1.2.... получаем ряд
= £°-
72 = 1 71—1
Этот ряд сходится к сумме 0. Если же положить то = 0; тп =
= 2?7 — 1. п = 1.2... то соответствующий сгруппированный ряд
также сходится, но к сумме 1. поскольку в этом случае ср = тр = 1
И On = (12n-2 + Й2п-1 = 0. П = 2. 3 . . ..
Первая обратная теорема о группировке членов ряда
Если an ~ ряд с неотрицательными членами и сгруппировап-
П- 1
ный ряд 52 а" сходится, то исходный ряд также сходится, и притом
п -1
к той же сумме.
Доказательство. Так как ni„ > п. то из условия а„ 0
следует, что
= О [ ... ~г~ О.n = Ср — ... Сmn Ср On = Sn. 71 — 1.2...
Последовательность {<),,} сходится, и поэтому ограничена. Зна-
чит. последовательность {£„} также ограничена. Согласно утверж-
дению 4.1.17 отсюда следует, что ряд V an сходится. Из прямой
77 ~1
теоремы о группировке членов ряда выводим, что
Ean = lim 8„.
п- 1
Эго означает, что оба рассматриваемых ряда сходятся к одной и гой
же сумме.
Вторая обратная теорема о группировке членов ряда
Если lim a„ = 0 и последовательность {mn — ограничена
сверху, то'из сходимости сгруппированного ряда следует сходимость
исходного ряда и равенство их сумм.
Д ок а з ате л ь с т во. Из определения 4.1.24 с. юдует. что Vn € X:
(п > пр) => 3!А' € X: пр < п V пр._]). Так как zrp. А. то при
А' —> эс и —> эс. Обратно, при и —> ос (пр -1 —» эс) => (пр. —> ос) =>
(А- -э эс).
Для гак выбранных значений к и п имеем
| бц дд-1 - |Отд - 1 • еп | V |Птд. 11 • • |п„ | -С
«S (п - пр.) sup {|flj}.
J>"P
Поскольку последовательность {mn — mn-i} ограничена сверху.
168
Глава IV
то ЭМ — const > 0: m*.+1 — ггд М; к — 1.2.... Поэтому из
неравенств 0 < п — тк — тк М следует, что
|5П - М sup {|aj}.
J>mfc
При п —> ОС- к —> ОС', И поэтому ИЗ условия sup —> 0 при
3>тк
к -4 оо следует, что если lim 6k = <5 е (С, то lim = 6.
fe—>ос ' woo
Признак Коши для рядов с невозрастающими
неотрицательными членами
Пусть Vn е N ап аПп.1 0. Тогда ряд 22 ап сходится в том и
71=1
только в том случае, когда сходится ряд 22 2fea2t.
k—-G
Доказательство. Пусть п € N и к е No, и пусть
к
tk = 2-?а27 •
7--0
Если п С 2k. то
Sn = ai +... -г an St ai - (аг т аз) -1-... -1- (a2k -г ... + a2*;+i-i,' $
С aj - 2аг *-... + 2^a2k = tk-
Если же п > 2к. то
Sn = ai — ... + ап ai -t- аг + (аз + ад) т ... -г (а2к- i_-l — ... + a2k)
2й1 ~1" °2 "г "• ~ 2* la2fc = 2^’
В первом случае при п —> оо к —> ос: во втором случае при к —>
ос п -4 оо. Таким образом, последовательности {S„} и {Д} либо обе
ограничены, либо обе не ограничены. Поскольку ап 0, п = 1, 2 ...,
и tk 0. к = 0.1.2 .... то это означает, что эти последовательности
либо обе сходятся, либо обе расходятся.
4.1.27. Пример. Пусть р - const G R. Рассмотрим ряд
J2 ^/пр- Если р 0. то V/i € N \/пр 1. и поэтому этот ряд
П--1
расходится. Если же р > 0, то полагая ап = 1/пр. можно утверж-
дать, что Vn € N ап > an_i > 0. Поэтому ряд 22 сходится
7) = 1
тогда и только тогда, когда сходится ряд
к^0 к-О
где q = 2] р > 0.
Функциональные последовательности и ряды
169
Условие q < 1 выполняется лишь в случае, когда р > 1.
Таким образом, исходный ряд сходится тогда и только тогда,
когда р > 1.
4.1.28. Пример. Тем же способом нетрудно проверить, что ряд
ОО 1
сходится тогда и только тогда, когда р > 1. Такое же утверждение
справедливо и для ряда
1
7llnn(lnlnn)P'
4.1.29. Замечание. Пусть an > 0 и Sn = ai + ... 4- an, n =
= 1.2 .... и пусть ряд ^2 an расходится. Используя критерий Коши
77=1
сходимости ряда, нетрудно показать, что тогда ряд
Sn
расходится, а ряд
^77
ql-T <5
С>п
сходится (5 = const > 0).
Это утверждение — одна из теорем Абеля о числовых рядах.
4.1.30. Следствие. Для любого расходящегося ряда ^2 <4
с положительными членами существует расходящийся ряд ^2 Ьп с
П — 1
положительными членами, такой, что b„ — o(an) при п эс.
Действительно, в условиях замечания 4.1.29 можно положить
bn = an/Sn > 0. п = 1.2.... тогда ряд 2Z расходится. Кроме
77 = 1
того, из равенства
lim Sn = — эс
77-ЭОС
следует, что bn = o(an) при п > эс.
Признак сравнения I
Если |a„| bn. n = 1. 2.... и ряд £ Ьп сходится, то ряд ^2 arl
77=] 77 = 1
также сходится.
170
Глава IV
Доказательство. Согласно критерию Коши сходимости ря-
да Ьп имеем Ус > 0 3«о £ N: Ут.п € N:
П = 1
Если т > и по. то
Это означает, что ряд 52 ап сходится по критерию Коши.
Признак сравнения II
Пусть ап 0; Ьп 0. и пусть
ап- 1
ап
и -= 1.2....
Ъ,
Если ряд 52 Ъп СХОДИТСЯ, ТО ряд 52 О-п также сходится,
п 1 П—1
Доказательство. По условию |аг/«1| &г/&1- и поэтому
|«2| (|ai|/i»i)&2- Так как |а3/а2| b3/b2. то |a3/ai| Ьз/£>1- Мето-
дом индукции по п £ N выводим, что Vn € N |an/ai| Ьп/Ь\. т.е.
|ап| < (|<И 1/&1Ж- Так как ряд
сходится, то по признаку сравнения I ряд 52 ап также сходится.
П = 1
Предельный признак сравнения
Пусть при п -> эс а„ - О(Ь,,). и пусть Ь„ > 0. и =1.2.... и ряд
52 Ь„ сходится. Тогда ряд 52 ап также сходится.
"~~1 п-1
Доказа те льет во. По условию ЗС = const > 0 3;/о G N: Уп >
«о 1а„| С С|6„| = СЬ„. Так как ряд 52 сходится, то ряд 52 ап
« 1 П- П()
(а поэтому и ряд 52 а„) также сходится по признаку сравнения I.
П - 1
4.1.31. Следствие. Пусть а„ > 0: Ьп > 0. n = 1.2 .... и пусть
0 < lim lim — < - эс.
п—О„ Я—>ЭС О,;
Тогда рялы 52 ап 11 52 -7/1бо оба схолятся. либо оба расходятся.
П - 1 ?) -1
функциональные последовательности и ряды
171
Доказательство. Пусть СХ,С2 = const 6 R, и пусть
О < Ci < lim ~ п lim < С2 < +ос.
п—>OG Ьп П—>ОС 0п
Тогда по свойствам верхнего и нижнего предела Зтц £ N Vn ni
<1п/Ьп > C\ и 3n2 E N: Vz? > n2 an/bn < C2. Поэтому Vn д
> max{ni,n2}
0 < an < C2bn и 0 < bn < -^-an.
Ci
так что при n->xa„ = O(bn) nbn = O(an). Согласно предельному
признаку сравнения это означает, что ряд V. an сходится тогда и
>1 = 1
только тогда, когда сходится ряд У) Ьп.
П=1
4.1.32. Следствие. Пусть an > 0; bn > 0, n — 1.2 .... и пусть
3 lim е (0; +ос).
n-юс Ьп
Тогда справедливо утверждение следствия 4.1.31.
4.1.33. Пример. Рассмотрим ряд
При п ос
Ряд l/™2 сходится и все его члены положительны, и поэтому
п=1
согласно предельному признаку сравнения исходный ряд также схо-
дится. Пусть
(константа у называется постоянной Эйлера).
Если и € N. то
s- = Ё - - ^(in(i-A-)-infc) -
А-—1 ' ' ' ' k=l k—1
= Z ~ 1п(,г - = E | -ln n - з
k— 1 A—1
при n —> эс. Таким образом, при n —э эс
V - = In 7? т Л -
к
к -1
172
Глава IV
где lim еп = 0. В частности, при п —> оо
In п.
Можно показать, что у = 0.5772 ....
Признак сходимости Д’Аламбера
Пусть ап 0. п — 1.2.... Если
то ряд 22 ап сходится. Если же
п=1
lim > у
п—>ос | О-п
то этот ряд расходится.
Доказательство. Пусть
Выберем q = const с IR. так чтобы
lim
77—>ЭС
Qn-Ul
< q < 1-
По свойствам верхнего предела отсюда следует, что Зпо £ N:
Vn > по
|«п-1 г/"'1
I ап q~ q"
Ряд 22 (l" сходится, поскольку 0 < q < 1. По признаку сравнения
" "о
II получаем, что ряд 22 я„ (а поэтому и ряд V ап) также сходится,
о —«0 п -1
Пусть
Г I 0,1 1 I 1
Inn 1----- > 1.
„-►эс | Пп |
тогда по свойствам нижнего предела 3zii € N: Vn > n, jazl. j/ап| >
> 1. Методом индукции выводим, что Vn щ 1а„| > \а„ | > 0.
Значит, равенство
lim пп - 0
77—>ОС
не может выполняться, так что ряд 22 а" расходится.
Функциональные последовательности и ряды
173
4.1.34. Следствие. Если
□ р &п+1
d lim ----- = ct,
7Z->OC Qn
OO
то при a > 1 ряд ^2 an расходится, а при a < 1 этот ряд сходится.
n=l
Радикальный признак сходимости Коши
Если
lim у/|а„ I < 1,
п—>ос
ОС
то ряд 52 an сходится. Если же
П —1
Jin^ УкП > 1.
то этот ряд расходится.
Доказательство. Пусть
lim у/|ап | < 1
n—>oc
и пусть q = const € R выбрана так, чтобы
lim a/KJ < q < 1.
Тогда Эп0 e N: Vn > nQ (<<?)=> (|an| < gn). Ряд 52 Qn
n=n0
сходится, и поэтому по признаку сравнения I ряд 52 а« (а поэтому
П=П0
ОС
и ряд 52 ап) также сходится.
П=1
Пусть
lim УК| > 1.
п—>ос
По свойствам верхнего предела существует подпоследовательность
{яПд}, последовательности {а„}. такая что
Jim "yioZj = Jun. > Р
Поэтому 3A'i е N: V/c > Ад ( I > 1) (1ащ| > !)• Как и
выше, отсюда следует, что равенство
lim an - О
rt^-oc
не может выполняться. Значит, ряд 52 an расходится.
П=1
4.1.35. Замечание. Можно показать, что если сп > 0. п -
= 1.2 .... то
174
Глава IV
Отсюда следует, что если для ряда 22 ап признак Д'Аламбера ука-
Л = 1
зывает на его сходимость (или расходимость), то и признак Коши
указывает на сходимость (или расходимость) этого ряда.
4.1.36. Пример. Пусть O2fe-i = 1/2к: а.2к = l/3fr, к = 1,2....
тогда
~ 2 3 22 З2
При таких условиях
так что согласно признаку Коши такой ряд сходится. Кроме того.
.. О„ 4-1 I
hm ------ = 0 и
П—ЮС dn I
и поэтому признак Д'Аламбера
ключений о сходимости ряда.
V— un-l
hm ------- - -*-эо.
п—юс ап |
не позволяет сделать никаких за-
Интегральный признак сходимости Маклорена-Коши
Пусть функция f непрерывна, неотрицательна и не возрастает
на промежутке [1, -t-эс), и пусть F — первообразная функции f на
этом промежутке. Тогда ряд 22 f(n) сходится в том и только в том
п = 1
случае, когда функция F ограничена на [1.—эс).
Доказательство. Имеем Ут > 1 F'(r) - /(.т) 0. и поэтому
F неубывающая функция на указанном промежутке. Кроме того.
УА- е N F(k — 1) - F(k) = F'(e*-)- где Д. € (k. к -- 1). Поскольку
д'(ед = /(ед. то
о < /(А' - 1) /(еД = F(A- - 1) - F(A-) st /(АД. к --- 1.2 ...
Значит. Vn е X
II П ‘-1 и
Е /(А- - 1) = Е /(Д < E(F(A- - 1) - F(A-)) -
к- 1 к—2
п
= F(O-1)-F(1)^£/(A’).
А— 1
Допустим, что ряд /(А’) сходится. Так как все члены этого ряда
А---1 '
неотрицательны, то последовательность его частичных сумм огра-
ничена сверху, т.е. ЗД/ = const > 0: Vz? € N
(n \
Е/(Д^Д/ ^(F(n-l)^-U -F(l)).
A- 1 /
Функциональные последовательности и ряды
175
Далее, V.r е [1,+оо) 3n е X: (т < п — 1) => (F(x) < F(n + 1) <
< F(l) М < +ос). Таким образом, функция F ограничена на
[1,—ос), поскольку при ,'О 1 F(a?) Э F(l).
Обратно, пусть V.r Э 1 F(x) < М' = const. В полученных выше
неравенствах заменим п на п — 1. тогда получим, что Vn > 2
п
52/(fc)<F(n)-F(l),
k^2
т. е.
п
52 f (fc) F(n) - F(l) + /(1) < ЛГ - F(l) + /(1) < - эс.
fc=i
Таким образом, последовательность частичных сумм ряда 52 /(^’)
fe-i
ограничена сверху. Поскольку f(k) 0, к — 1,2..., то этот ряд
сходится.
4.1.37. Пример. Пусть р = const > 0. Рассмотрим ряд
^2 1/пр. Полагая V.t > 1 /(х) = .гр. можно утверждать, что функ-
п—1
ция f имеет на промежутке [1,— ос) первообразную F. такую что
при х 1
F(x) = ( х1~Р/(1 “ РУ если Р ± 1:
(Inz, если р = 1.
Поэтому
f 0. если р > 1:
lim Ft) = 1 7 .
х->-оо ' [+ос. если0<р<1.
Согласно интегральному признаку Маклорена-Коши это означает
что ряд J2 сходится тогда и только тогда, когда р > 1.
п —1
Признак Раабе
Пусть an Д 0. и = 1.2 ...,, и пусть За -- const е R: при п -э эс
1 , а /1\
а„ n \n J
Тогда, если a > 1, то ряд 52 ап сходится. Если же a < 1. то ряд
ЭС 71- 1
52 |сп| расходится.
П=1
Доказательство. Пусть a > 1. и пусть 1 < р = const < a.
Положим bn = l/np. n = 1.2.... тогда ряд 52 сходится. Имеем
П — 1
Vn G N
176
Глава IV
Покажем, что Зпо € N: Vn по
1-^+о
п
т. е. ——— + о ( — ) >0. или а - в + о(1) > 0.
п \п)
Последнее неравенство должно выполняться для всех достаточ-
но больших значений п. поскольку а — р — const > 0.
Итак, Vn «о
Он— 1
U77
Ъп-1
~ь~
и согласно признаку сравнения II ряд ^2 ап сходится.
п—1
Пусть а < 1. Положим сп = 1/п. тогда ряд £2 сп расходится.
71 = 1
причем сп > 0. п = 1,2..... Имеем
^П + 1 J 1
С„ П - 1
при п —> эс.
Можно утверждать.
= 1-1д-О(±) =
п п/
что 3п1 € N: Vn щ
, а
1---------о
п
или. эквивалентно. 1 - а- о(1) > 0. Последнее неравенство справед-
ливо при всех достаточно больших значениях п. поскольку 1 — а =
= const > 0.
Таким образом. Vn п\
1
Поскольку гармонический ряд 22 еп расходится, то предполо-
п-1
жепие о сходимости ряда V 1а,,,1 (но не ряда ) а„) противоречит
п — 1 п - 1
признаку сравнения II. Значит, этот ряд расходи гея.
Признак Гаусса
Пусть а„ > 0. п - 1.2...п пусть 35 = const > 0: при и -> эс
а„ п \ч /
Тогда ряд J2 ап расходится.
Функциональные последовательности и ряды
177
Доказательство. Пусть Ьп = l/(nlnn), п = 2,3...., тогда
ряд Ьп расходится и при п — ос
п=2
для всех достаточно больших значений п; действительно, это нера-
венство означает, что
что следует из равенств
^/InnA Л/1пп\
hm О ----- I = lim О —т ) = 0.
п—>оо \ П J п—>ос \ J
Итак, Зп0 € N: Vn пд
и поскольку ряд 52 расходится и an > 0. n = 1.2.... то согласно
п—2
признаку сравнения II ряд 52 an также расходится.
П = 1
Заметим, что если, как и выше. bn = l/(nlnn). и = 2.3....то
при п —> оо Ьп = о(1/п) и /36 = const > 0: bn = О (1/п1в
противном случае Эпд е X: Эс = const > 0: Vn no М =
V с/n1+<5, т. е. 1 < cln n/n5. что противоречит равенству
111 п
lim —j- — 0.
1->зс Пд
Формула Абеля суммирования по частям
Пусть {а,,} и {Ь,г} — комплексные последовательности, и пусть
Sn=^^ak. п= 0.1.2...: S-i = 0.
А-=0
Если p.q G Nq и р < q. то
ч д-1
~ ' Sn(bn bn~ I ) Sqbq Sp—\bp
n—p n=p
178
Глава IV
(пустая сумма, в которой нижний индекс суммирования больше
верхнего, считается равной нулю).
Доказательство. Имеем
9 9 9 9-1
5 = 5 ^(S'n ~ Sn—\}bn — 5 , Snbn 5 Snbn^i =
пр п—р п=р п—р—1
9-1
= S'^b’‘ - + - SP^bP-
п=р
Признак Дирихле сходимости числового ряда
Пусть Vn 6 No bn bn+i и lim bn — 0. Если, кроме того.
п—>ос
последовательность частичных сумм ряда 52 an ограничена, то ряд
п,—0
52 anbn сходится.
п=0
Доказательство. При рассматриваемых условиях Vn € Nq
> 0 и ЭМ = const > 0: |S„| -V. п 0.1.. Так как lim bn = 0.
то Vs > 0 Эл» е N: Vp п0 0 Ьр < е/(2М). Если p.q е Ко. причем
Q > Р > «о- то
9
52 а"ь"
П~ р
<7-1
(^n ~ &qbq Sp— 1 &р
п=р
9-1
< 52-6”-1) - мьч - мьр =
п=р
= М(ЬР - Ьч) - Mbq - Mb,, = 2Mbp < е.
Следовательно, согласно критерию Коши ряд 52 (1nbn сходится.
п -О
Признак Лейбница
Если Vn е No b„ bn^i и lim bn --- 0. то ряд 52 ехо-
п~*~,с п- □
дится.
Доказательство. Положим «„ s ( —1)". п =0.1......тогда
5н=у(_1)Л- П- если п четно:
' 0. если п нечетно.
А- - 0 k
Таким образом, последовательность {S,,} ограничена, так что со-
гласно признаку Дирихле ряд 52 (—1)п^« сходится.
п -О
Функциональные последовательности и ряды
179
4.1.38. Пример. Рассмотрим ряд
Если |г| < 1, то Vn € N |г'г/п| < |г|п, причем ряд 52 1г1" сходится.
72=0
По признаку сравнения I исходный ряд в этом случае также схо-
дится. Если |Д > 1. то \zn/n\ = \z\n/n —> ос при п —> ос и наш ряд
расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Если z = 1,
оо
то получаем гармонический ряд $2 1/п. который расходится. Пусть
п=1
|г| = 1 и z Д 1, тогда, полагая Ъп = 1/п, получаем, что Ьп > Ьп+р.
lim Ъ„ =0.
п—>оо
и VAT g N
(1 - zN)z 1 + |z|Л’ 2
1-2 |1 - Z 1 - Z\ < +0°’
Значит, при таких значениях z последовательность частичных сумм
ряда J2 z'‘ ограничена, и согласно признаку Дирихле ряд 52 1П
72=1 72 — 1
ОС
сходится. В частности, при z = — 1 получаем, что ряд 52 ( — 1)7!/п
72=1
сходится (это следует также из признака Лейбница).
4.1.39. Определение. Ряд, удовлетворяющий условиям при-
знака Лейбница, называется рядом Лейбница. Ряд 52 сп- Для ко-
72 = 0
торого с„ G R. и cncn^i < 0, п = 0.1... называется знакочереду-
ющимся.
4.1.40. Замечание. Можно доказать (см., например. [29, т. II.
с. 303]. что если 52 ( — — РЯД Лейбница и
71=0
г« = Е (-оч.
к~ п — 1
то |rj < и ( — Г)'"'1/',, > 0. п = 0.1...
Признак Абеля
Пусть ряд 52 an сходится и последовательность {Ьп} монотонна
п-0
и ограничена. Тогда ряд 52 сходится.
72 — 0
Доказательство. Пусть, для определенности, последова-
тельность {Ьп} невозрастающая, и пусть b = lim bn G R (по теореме
180
Глава IV
о пределе монотонной ограниченной последовательности этот предел
существует и конечен). Тогда bn — b 0. п - 0.1...и Vn 6 No
п п п
^Takbk = ^ak(bk - Ь) : b^ac
Ю1) к—0 к»
Ряд ^2 ak(bk — b) сходится по признаку Дирихле. Ряд 52 ak также
А--0 а-—о
сходится. Значит, существует конечный предел
lim 5 акЬк.
п—¥ос
k=0
т.е. ряд 52 (1кЬк сходится.
А-О
4.1.41. Определение. Ряд 52 называется абсолютно схо-
п==1
дящимся, если сходится ряд 52 1а»1-
п— 1
Если а„ > 0. то абсолютная сходимость ряда 52 ап совпадает с
п~ 1
его обычной сходимостью, поскольку |а„| = ап. п = 1.2.
4.1.42. Определение. Если ряд 52 а» сходится, а ряд 52 KJ
П -1 П- 1
расходится, то говорят, что исходный ряд сходится неабсолютно (или
условно).
(~ 1)п
4.1.43. Пример. Ряд Лейбница ----------- сходится неабсо-
п—о п
лютно.
Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда
Если ряд 52 и „ сходится абсолютно, то он сходится.
п 1
Доказательство. Согласно критерию Коши сходимости ря-
да 52 Vt > 0 Зло 6 N: Vm.77 € N:
» л
Это означает, что для ряда 52 г'„ выполнено условие критерия Коши
его сходимости Значит, этот ряд сходится.
4.1.44. Замечание. Рассмотренные выше признаки сравне-
ния. а также признаки Д'Аламбера. Коши. Раабе. Гаусса и интег-
ральный признак являются признаками абсолютной сходимости, и
Функциональные последовательности и ряды
181
поэтому не дают никакой информации о неабсолютно сходящихся ря-
дах (исключением являются признаки Дирихле, Лейбница и Абеля).
4.1.45. Определение. Ряд У) сп называется произведением
п=0
рядов У) an и Ьп по Коши, если
п=0 71 = 0
п
Сп = ^2акЬп-к, п = 0.1......
к^О
4.1.46. Пример. Пусть an = bn = ( — l)n/\/n + 1, тогда
с (-1/ (-1)"-* 1
^т1 у/п-к+1 у/(к + 1)(п - /с + 1)
п = 0.1,..., и поэтому
। । > V 2 - 2(п + _ э
|с«|^Хп + 2“ п + 2 2
к=0
при п —> ос. Действительно,
____________________________п _|_ 9
\/(fc — 1)(и — А: — 1) —-—, к = 0.1....п.
Значит, равенство lim с„ = 0 неверно, так что ряд У) сп расходит-
ги-ос п=0
ся. хотя оба ряда У ап и У) Ьп сходятся по признаку Лейбница (и
П~ 0 71 = 0
притом неабсолютно).
Теорема Мертенса
Пусть оба ряда У) an и У Ьп сходятся, причем хотя бы один
п—0 п—О
из них сходится абсолютно. Тогда произведение по Коши этих ря-
дов есть сходящийся ряд. сумма которого равна произведению сумм
исходных рядов.
Доказательство. Пусть
п п л м
Сп — У А- п — А- Ап — а А-. Вп = Ьк. ('г. — , Ск.
А—О а--0 А-0 А--о
А = lim А„ = У' ak: В = lim Вп = Ьк. и = 0.1............
п—юс ' п—юс '
А-=0 А—0
тогда, полагая Зп = ВГ1 — В. п -- 0.1.можно утверждать, что
lim Зп = 0.
п—>зс
182
Глава IV
Пусть, для определенности, ряд а„ сходится абсолютно, и пусть
п—О
п—-О
тогда 0 а < —оо. Если а = 0. то ап = 0. так что сп = 0. п = 0.1..
и утверждение теоремы, очевидно, справедливо.
Пусть 0 < о < —ос. тогда при п = 0.1....
п пт
С-т ^к^т—к ~
т—0 т—0 к—О
п п—к п п п
— ак 'У Ьг = а^Вп-к = В 4- а^Зп-к = ВАп -+• ^Г1.
к=0 г-О А’=0 k-zO к=0
гДе 7n = X? О-кЗп—к-
Аг—О
Так как lim Ап = А, то достаточно убедиться в том. что
п—»ос
lim 7П = 0 (из этого равенства следует, что lim Сп = АВ). Имеем
п~' п—>эс
п
|%| ^2 НРп-А-1- П=0.1............
А-—0
Поскольку lim Зп = 0. то Ve > 0 3n0 е N: Vn > п0 Ш < с. Если
п—>эс
n € N и п > по- то
п п
52 |«А-||Л-А-| = 52 I^IK-A-I =
А- 0 А- О
"0 п
= ^2 1ЛК-А-1 - 52 Р’К-А-1 = Si(H) - S2(n).
к 0 к — п q — 1
В сумме Sj(n) имеется Но4-1 слагаемых. При фиксированном по G N
п п —> эс каждое из этих слагаемых стремится к пулю, поскольку
lim jo„_A |' - 0. к = 0.1....................но.
п—>ос
Значит.
lim Si(n) = 0.
Если п > «о- то 0 С S‘2{n) 1 — - jaoi') С =ti. Поэтому
0 lim h'n I
п—>эс
В силу произвольности выбора г > 0 это означает, что Шп |т„| = 0.
Так как
0 lim Г.„| lim |~„| -= 0.
п-»тс П^ТС
Функциональные последовательности и ряды
183
то
lim = 0.
71—>ОС
Итак. 3 lim (''„J = 0. и поэтому 3 lim = 0.
п—>ОС п—>0С
4.1.47. Утверждение. Если оба ряда 52 °п 11 52 сходятся
72—0 72—0
абсолютно, то их произведение по Коши есть абсолютно сходящий-
ся ряд.
Доказательство. Имеем
п
Сп = CLkb-n— fc, П — 0. 1,. . . ,
А--0
где ^2 сп — произведение по Коши двух исходных рядов. Значит.
п- 0
при п — 0.1,...
7?
Ы < 52 1аА-||Ь„_А-| = dn.
к- О
Ряды 52 1а'<| и 52 IM сходятся абсолютно. Так как ряд 52 — пх
72-0 77“0 71—0
произведение по Коцш. то по теореме Мертенса этот ряд сходится.
Согласно признаку сравнения I отсюда следует, что ряд 52 сп также
п- о
сходится и притом абсолютно.
Теорема Абеля
Пусть
п
СП = 2_,akbn-k. ?;. = 0.1...
л—о
и пусть вес три ряда 52 а": 52 Ъп и 52 с» сходятся к суммам А: В:
>1-0 п -о п~=О
С соответственно. Тогда С = АВ.
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже (в парагра-
фе «Степенные ряды»).
4.1.48. Замечание. В [7: с. 108] произведение рядов по Коши
названо «нелепым» и сказано, что оно «...не имеет смысла ни для
каких рядов, кроме степенных рядов одной переменной.» В дейст-
вительности. как будет видно далее, это произведение имеет важное
значение во многих вопросах анализа (включая теорию асимптоти-
ческих разложений и метод степенных рядов в теории обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.) Кроме того, такое произведе-
ние имеет смысл отнюдь не только для степенных рядов одной пе-
184
Глава IV
ременной, а для произвольных сходящихся числовых рядов, хотя бы
один из которых сходится абсолютно.
4.1.49. Определение. Пусть д: N —> N - биекция, и пусть
ОО
a!n = av(n), п = 1. 2 .... Тогда ряд 52 ап называется перестановкой
п=1
ряда £ ап.
п=1
ОС
Заметим, что ряд 52 ап является перестановкой самого себя
п-1
(действительно, достаточно положить Дл) = л, л = 1,2 ....
4.1.50. Определение. Ряд 22 ап называется безусловно схо-
71 = 1
дящимся, если все его перестановки сходятся к одной и той же сумме.
Очевидно, что если ряд сходится безусловно, то он сходится.
4.1.51. Утверждение. Ряд 52 ап сходится безусловно тогда
П—1
и только тогда, когда он сходится абсолютно.
ОС
Доказательство. Пусть ряд 52 ап сходится абсолютно, и
71=1
пусть а'„ = п = 1.2 ..., где рх N —> N — биекция. Пусть, далее,
п п
Sn — ' о-ь, Sn = У ак- л = 1,2....
fc=-i k-л
Тогда 31imn_f0C Sn = S 6 (С (согласно доказанной выше теореме ряд
ос
22 ап сходится). Надо доказать, что
71 = 1
3 lim S'n = S.
или. эквивалентно, что
lim (Sn - S'n) = 0.
71 —>OG
По критерию Коши можно утверждать, что Vc > 0 Зло €
Vm.n е N:
(т \
lafcl < £ •
k — п - 1 /
Для заданного значения По 6 N 3!pi....p„0 € N: ДрД = к.
к = 1.2....л0- Пусть р = max{pi:... -Pn0}. тогда р е N. р по
и {1:2:...: л0} С {Д1);Д2):...; Др)}. Если л е N и п > р. то
л л о и все элементы o.i anQ входят (в качестве слагаемых)
как в сумму S„. так и в сумму S'n. Значит, в разности Sn — S'n эти
элементы попарно сокращаются, и поэтому при п 'у р |Sn — S'| < £
функциональные последовательности и ряды
185
согласно критерию Коши сходимости ряда 52 1ап|- Действительно.
П — 1
m
\Sn-s'n\^ £ Ы<^
при некотором m > п0. Таким образом, lim (Sn - S') = 0. Это
n—>oc
означает, что ряд 5~2 an сходится безусловно,
n—1
Обратно, пусть ряд 52 ап сходится неабсолютно, и пусть an =
п=]
= х„ ~ iyn. где xn.yn G R, п = 1.2... Так как |а„| |х„| + \уп\,
п = 1,2.... то хотя бы один из рядов 52 или 52 Уп сходится
72,-1 П—1
неабсолютно. Согласно теореме Римана (см. ниже) отсюда следует,
оо ос
что существует перестановка 52 а» ряда 52 ап- для которой а'п —
7l_l 71 ”1
ОО
= х'п — iy'n. где х'п. у'п 6 R. п = 1.2 .... причем либо ряд 52 х'п- либо
п=1
ряд 52 У» расходится.
п-1
Используя утверждение 4.1.13. выводим, что тогда ряд 52 а'п
71 — 1
также расходится. Это противоречит предположению о безусловной
сходимости этого ряда. Следовательно, при гаком предположении
ряд У) ап сходится абсолютно.
71 1
4.1.52. Следствие. Если все перестановки ряда сходятся. то
они сходятся к одной и той же сумме.
Действительно, такой ряд должен быть сходящимся. Если он
сходится абсолютно, то он сходится безусловно. Если же он сходит-
ся неабсолютно, то по доказанному выше существует расходящаяся
перестановка этого ряда, что противоречит условию.
Теорема Римана о перестановке членов неабсолютно
сходящегося ряда
Пусть 52 aи — неабсолютно сходящийся ряд с вещественными
п г
членами. и пусть 52 a'n перестановка этого ряда с последовало.! ь-
п--1
ностыо частичных сумм {£(,}. Если а. 3 е R. причем л У 3. то ряд
186
Глава IV
52 а'п можно выбрать так, чтобы
72 = 1
lim S', = а и lim S'n = 0.
Доказательство. Положим рп = (|ап| + ап)/2 > 0; qn =
= (|ап| — аи)/2 0, п = 1.2.... Если при некотором п G N an 0,
то рп = ап и qn = 0; если же ап < 0, то рп = 0 и qn = — ап. Оба
ряда 52 Рп и 52 Чп расходятся. Действительно, если бы оба этих
п~1 п—1
ряда сходились, то ряд
эо оо
52^” Т- qn) = 52 KI
п=1 п=1
был бы сходящимся, что противоречит условию. Если бы один из
ОО
этих рядов сходился, а другой расходился, то ряд 52 ап был бы рас-
п — 1
ХОДЯЩИМСЯ, ЧТО ОПЯТЬ противоречит условию. Пусть Pl ... Рп ... —
оо
последовательность неотрицательных членов ряда 52 ап • занумеро-
72=1
ванных в порядке их расположения в этом ряде, и пусть <51, • • •.
Qn,... — последовательность модулей отрицательных членов это-
ОС оо
го ряда, занумерованных таким же способом. Ряды 52 К и 52 Qn
П—1 72 — 1
ОС оо
отличаются от рядов 52 Рп 11 22 Чп только нулевыми членами, и по-
п=1 п—1
этому оба расходятся. Пусть {ап} и {Sn} — вещественные последо-
вательности. такие, что ап < Зп. п = 1.2...; Qn_i < 5„, п = 2, 3...;
lim ап = a; lim Зп = 3 (существование таких последовательное-
72 —>ОО 77—>ОС
тей следует из условий теоремы).
Пусть далее, mi € N и Pi + ... Pmi > 3i. и пусть mi — наи-
меньшее натуральное число с такими свойствами. Пусть Ад € N —
наименьшее натуральное число, для которого Pi ... + Pmj — Qi —
— ... — Qa-j < Qj (существование таких чисел mi и Ад следует из того,
что lim (Fi - ... - Fnl) = - эс: lim (Qi - ... - Qa) = -эс и сд < Si),
m—>эс А -> тс
Пусть теперь m2 Е У — наименьшее натуральное число, такое,
что т2 > пц и Рх-.. m-Pn^-Qi.-. • .-Qa-j-Fmi^i-.. .-Р,П2 > 32.
и Ад £ X - наименьшее натуральное число, такое, что к2 > Ад и
Pl~ — Pm1~Ql~-- —Qk} — Pm i . 1 — — Pm2— Qkt Qk2 <
< a2 (существование таких чисел rn2 и Ад обосновывается аналогич-
но. если заметить, что сд < 32 и а2 < 32).
Рассуждая далее по индукции, получим две строго возрастаю-
щие последовательности натуральных чисел {т„}. {Ап}. удовлет-
воряющие следующим условиям: если в построенной знакоперемен-
функциональные последовательности и ряды
187
ной сумме ограничиться последним слагаемым, равным Pmn. то эта
сумма будет больше Зп: если же ограничиться последним слагае-
мым равным —Qkn- то соответствующая сумма будет меньше an.
п = При этом на каждом шаге mn и kn — наименьшие
натуральные числа, удовлетворяющие этим условиям и такие, что
mn > mn-i и kn > кп_ъ n = 2.3......
Рассмотрим ряд Р| 1 . . - + Pmi -Ql~- .-Qk1+Pm1+1~- - + Pm2~
— Qky щ — ... — Qk2 ~ Pm2+\ + • • Этот ряд является перестановкой
ряда У an.
П-1
Пусть хп — частичная сумма этого ряда, последнее слагаемое в
которой равно Pmrl, и пусть уп — частичная сумма того же ряда, по-
следнее слагаемое в которой равно —Qkn. и = 1.2.... Если п 2. то
из способа построения последовательностей {///,,} и {к,,} следует, что
|.rZi - 5„| < Р„1п и \у„ - о„| < . При л ч % т„-> х 1й„-> ос.
так как Vn С N mn п и кп п. Ряд У an сходится, и поэтому
П = 1
lim an = 0. Значит, lim Pn = lim Qn = 0. так что lim Pmn =
n—>эс n—>эс n—>OC fl—>эс
= lim Qkn = 0. Из выписанных выше неравенств и условий теоре-
н—> эс
мы. таким образом, следует, что lim хп = 3 и lim = о.
п—>ос п—>эс
Пусть {S',} — последовательность частичных сумм построенно-
го ряда, тогда из определения последовательностей {.г,,} и {уп}. в
свою очередь, следует, что а и 3 — частичные пределы последова-
тельности {£„}. Если Е R, причем у < а или у > 3. то из наших
условий вытекает, что элемент у не может быть частичным пределом
этой последовательности. Значит, о = lim S,', и 3 = lim S'n.
tl—tX п—УЭС
4.1.53. Следствие. При условиях теоремы Римана ряд У a'n
'1Z1
можно выбрать так. чтобы он был расходящимся. Если a Е R. то
этот ряд можно выбрать так. чтобы о = lim (в частности, при
и—>эс
о t R такой ряд будет сходиться к сумме о).
Действительно, для первого случая достаточно положить о < 3:
для второго случая достаточно положить о - 3.
4.2. Бесконечные произведения
4.2.1. Определение. Пусть {р„}. п = 1.2.... - веществен-
ная последовательность. Тогда упорядоченная пара последователь-
ностей ({р„}. {F,,}). таких что Р„ - Ц рк. п = 1.2.... называется
А--1
бесконечным произведением и обозначается ]”[ рп (пли р^ • • ptl • •).
n 1
188
Глава IV
Если 3 lim Рп = Р € R, то пишут П Рп = Р и называют элемент
П=1
Р значением бесконечного произведения.
4.2.2. Определение. Если бесконечное произведение имеет
конечное значение Р 0. то оно называется сходящимся. В против-
ном случае оно называется расходящимся. Если, в частности, Р = 0,
то говорят, что бесконечное произведение расходится-к нулю.
4.2.3. Замечание. Если Зп е N: рп = 0. то соответствующее
бесконечное произведение расходится к нулю. Поэтому в дальней-
шем изложении будем предполагать, что рп ф 0, п = 1.2 ... (в этом
случае Рп 0. п = 1.2....).
4.2.4. Пример. Рассмотрим бесконечное произведение
Имеем при п = 1.2...
1 А ГТ к{к 2) _ п'(п + 2)! п + 2 . 1
(А + I)2 J “ И (A - I)2 ' 2(п + 1)|2 - 2(п +1)^2
при п —> ос. Поэтому такое бесконечное произведение сходится к
значению 1/2.
4.2.5. Пример. Бесконечное произведение П (1 - 1/2") схо-
п=1
дится, поскольку
(п - 1 \
- 2~к 1 = ехр (-2 + 2-'"-1’) > е-2. п = 1.2 .
к-0 /
так что
3 lim Рп = Р > е-2.
П —»ОО
4.2.6. Пример. Бесконечное произведение J~[ соз(д/2") при
П—1
р = 0 сходится к 1. Из равенств Рп =-- соз(д/2А’) следует, что
к=1
Рп sin (</2") = (sin^)/2". п = 1.2.... так что при / 0 для всех
достаточно больших значений п
р sin,; _____________sin д
" 2nsin(,;/2'1) ru-эс д
Таким образом, при р кп. к =- 0. ±1,±2.......... это произведение
сходится к значению (sin^)/^.
функциональные последовательности и ряды
189
(одна из формул Виета).
4.2.7. Пример. Рассматривая бесконечное произведение
можно утверждать, что при п = 1.2,...
Рп
П 4- 1
ехр
так что при п —> эс
= ехр(1пп '-7 = " ,(1 о(1)) _ с,(1 т
п 1 п - 1
где
/ » , i \
у - lim У'---------Inn — 0.5772 ... — постоянная Эйлера.
п->ос \ 4-- к /
\fc -1 /
Значит, это бесконечное произведение сходится к значению е"*.
4.2.8. Утверждение. Если произведение рп сходится, то
п -1
сходится и каждое из произведений П pa. m -1.2...... Обратно.
П — 171 -1
из сходимости при некотором m 6 N произведения | J р„ следует
И ~П1 1
сходимость произведения И рп. При этом, если f] р„ ~= Р и тгт =
п-1 п 1
ЕЕ П Рп- ТО Р -= Р,„7Г,„. m - 1.2....
п-
Обоснование этого утверждения получается непосредственно из
сформулированных выше определений, если учесть, что Vm g N
190
Глава IV
Vn > т
п
Рп — Pm J J Pk
k~m-- 1
и затем перейти к пределу при п —> ос.
4.2.9. Следствие. Если бесконечное произведение f] рп схо-
п~1
ДИТСЯ. ТО
lim тгт = 1.
Действительно, поскольку Рт 0, т = 1.2,..., то при т —> оо
Р
Т^т — ---> 1,
Гт
так как Рт -Э Р 0.
ос
4.2.10. Следствие. Если бесконечное произведение Ц рп схо-
71—1
ДИТСЯ, ТО
lim pn = 1.
тп—>ос
Действительно, при п = 2,3,...
Рп Р .
Р» = ъ-------> Ъ = L
Лг-1 п-»эс Р
4.2.11. Замечание. В случае сходящегося произведения из
равенств рп = Pn/Pn-i< п = 2, 3..... и соотношения
lim Рп = Р 0
п —>ос
следует, что 2п0 € N: Vn п0 рп > 0.
Имея в виду утверждение 4.2.8. можно без ограничения общнос-
ти считать, что рп > 0, п = 1.2... В дальнейшем изложении это
предположение будем считать выполненным (из него, в частности,
следует, что Рп > 0. п = 1. 2...., и Р = lim Рп > 0. если бесконеч-
ное произведение сходится).
4.2.12. Утверждение. Для сходимости бесконечного произ-
ведения Д рп необходима и достаточна сходимость ряда )Ф 1ир,г.
п=1 »=1
Если этот ряд сходится к сумме L и Ц рп = Р. то Р = eL.
71—1
Доказательство. Если Ln — п-я частичная сумма указанно-
го ряда, то L„ = 1пР„. так что Рп = е£п. п = 1.2. При п —> эс,
учитывая, что Р > 0. получаем сформулированное утверждение и
равенство Р = eL.
Положим рп = 1 ап. тогда из условий рп > 0 следует, что
ап > —1. п = 1.2.....
функциональные последовательности и ряды 191
4.2.13. Утверждение. Если Зпд € У: V/z > zz0 an > 0 (или
3/?о € У: Vn > по о„ < 0). то в обоих случаях для сходимости бес-
конечного произведения Ц (1 + an) необходима и достаточна сходи-
П = 1
мость ряда 52 °п -
71=1
Доказательство. Для сходимости как этого произведения,
так и соответствующего ряда необходимо, чтобы lim an = 0. Если
это условие выполняется, то
1п(ап + 1)
11Ш -------- = 1,
п—>эс (Хп
и так как при n tlq члены ряда сохраняют знак, то этот ряд и
ряд ln(an — 1) либо оба сходятся, либо оба расходятся. Остается
71—1
воспользоваться утверждением 4.2.12.
4.2.14. Утверждение. Если вместе с рядом 52 fl" сходится
71 — 1
ряд 52 то бесконечное произведение f] (1-*-ап) также сходится.
71 = 1 П—1
Доказательство. Из сходимости указанных рядов следует,
что lim an = 0. Поэтому при п —> эс
77—ЮС
1п(а„ + 1) = an - -a2n - о(а2г).
так что
ап-1п(а„ + 1) 1
ИГЛ ------------ = — .
Значит, ряд 52 (ап ~ 1н(а„ 4- 1)) сходится. В силу сходимости ряда
п - 1
52 On получаем, что ряд 52 In(Qn ~ 1) является сходящимся.
П - 1 П — 1
4.2.15. Следствие. Для того чтобы бесконечное произведение
fj (1 — оп) имело нулевое значение, необходимо и достаточно, чтобы
п 1
^2 Ma,, - 1) -ос.
71-1
В частности, это будет так. если afi < 0. п = 1.2.и
-ос.
п-1
пли если ряд 52 о,, сходится, а ряд 52 an Расходится.
192
Глава IV
4.2.16. Определение. Если ряд ln(a„ 1) сходится аб-
п~ 1
оо
солютно, то произведение f] (1 а„) называется абсолютно сходя-
П=1
щимся.
4.2.17. Следствие. Для абсолютной сходимости произведения
И (1 an) необходима и достаточна абсолютная сходимость ряда
П=1
Е а»-
п~ 1
4.2.18. Следствие. Если бесконечное произведение сходится
абсолютно, то оно сходится.
4.2.19. Утверждение. Пусть р: N —> N — биекция и пусть
ОО
a'n = n = 1,2...... Тогда, если произведение f] (1 + ага) сходит-
П=1
ся абсолютно, то его значение равно произведению [] (1 4- а'Д) (т. е.
п- ]
в случае абсолютной сходимости значение произведения не зависит
от порядка расположения сомножителей).
Доказательство. С учетом следствия 4.2.17 достаточно со-
слаться на теорему об эквивалентности абсолютной и безусловной
сходимости числового ряда.
ОО
4.2.20. Пример. Произведение П (1 = const > 0.
И— 1
сходится при х > 1 и расходится при 0 < х 1 в соответствии
с таким же поведением ряда Е Vn'T- Сумма этого ряда Дх) —
П^-1
так называемая дзета-функция Римана, играющая важную роль в
аналитической теории чисел, в особенности в теории распределения
простых чисел. Эта роль становится более ясной, если учесть сле-
дующее принадлежащее Л. Эйлеру утверждение.
4.2.21. Утверждение. Пусть pi = 2; р? = 3: р3 = 5:... —
последовательные простые числа. Тогда при х > 1
П(1 -PkTr' = Ф)-
к~-1
Доказательство. Имеем при х > 1
zn~-0
Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем
простым числам, не превосходящим числа У е N. то такое частич-
функциональные последовательности и ряды
193
ное произведение окажется равным
Е d-s'C'E^- Е ±
к: n—1 n^N- 1
где штрих означает, что суммирование распространяется лишь на
те (не считая единицы) натуральные числа, которые в своем разло-
жении на простые множители содержат только простые числа, не
превосходящие Д’. Поэтому
при N ос. поскольку х > 1. Значит.
Jim =
п—1
4.2.22. Замечание. При х = 1
еГ’ п М'Г'Д)-»
к‘. П = 1
при Д’ —> ос, т. е.
Па-р;1)’1 =
А-^1
Следовательно. Ц (1 — !) = 0. а поэтому ряд 1/рь расходится
fr-i " А = 1
(этот результат также принадлежит Л. Эйлеру). Отсюда, в частнос-
ти. следует, что простых чисел бесконечно много (доказательство
этого факта отлично от известного доказательства Евклида).
4.2.23. Утверждение. Постоянная Эйлера
Доказательств о. Имеем
Изменение порядка суммирования оправдано тем. что ряд
194
Глава IV
сходится, поскольку при к —> оо
Д1п (1-1
к \ к
и ряд 1Д2 сходится.
fc=i
Теорема Абеля
Пусть ап > 0; Sn = с it. . - + ап, п = 1.2,.... Тогда ряд 22 an/Sn
П=1
сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд 22 ап-
П=1
ОС
Доказательство. Если ряд 5? ап сходится к сумме S > 0,
П=1
оо
то Sn ~ S. и поэтому при п —> оо an/Sn ~ an/S, причем ряд 22 an/S
П=1
оо
сходится. Значит, ряд 22 ап/8п также сходится.
П=1
Обратно, если Sn -> оо при п —> ос, то произведение
ОО / \ ОС Q
ГТ / 1 \ __ ТТ *“>п—1
расходится к нулю, поскольку
при п —> оо. Следовательно, согласно утверждению 4.2.13 ряд
22 CLn/Sn расходится.
п= 1
4.2.24. Следствие. Для любого расходящегося ряда 22 ап
И—1
с положительными членами существует расходящийся ряд 22 ьп-
П— 1
такой, что Ьп > 0. п — 1.2.. и при п —> ос b„ = o(an).
Действительно, достаточно положить bn = an/Sn > 0. n — 1.
2....тогда ряд 22 Ьп расходится и
п ^1
г Ь“ г 1 О
lim — = lim —- =~ 0.
п-^х an ьп
п !еп
4.2.25. Пример. Пусть ап ~ п ~ 1.2....тогда при
рП—1/2
Функциональные последовательности и ряды
195
и 2
Причем
так что при к —> ос
afro-i
Ofc
Значит, ряд
сходится. Пусть
Qfci 1
ОС
А —1
тогда
ГТ = е* и lim an -= aies = es 1 = С > 0.
11 fl,
Поэтому при n —> эс
/ Т> X П
п! ~ Су/п (— ) .
\ е /
где С = const > 0. Положим Vn € N
(2п-1)!! = П(2А--1): (2n)!! = f] (2fc).
fc 1 А—1
тогда
(2п - 1)!!(2п)!! = (2п)!: (2п)!! = 2пп!.
так что
Далее будет доказана формула Валлиса
7Г .. 22п(п\)2
' ’ _ 1 • ____________\ /________
2 “ (2n - l)!!2(2z? — 1) ’
196
Глава IV
Подставляя в эту формулу вместо п! выражение Су/п [п/е)п. а вмес-
(2п)!2
то (2п)! — выражение Су2п (2п/е) п и заменяя (2n—I)!!2 на ^2,
после элементарных преобразований получаем оценку
7Г С2
2 ~ 4 ’
из которой следует, что С ~ \/2тг. Поскольку С = const, то С = х/2тг.
В итоге получаем формулу Стирлинга: при п ос
, к—(П\п
п\ ~ .
\ е/
Гамма-функция Эйлера
Пусть х G R и х
произведение
{0; —1; —2;...}. Рассмотрим бесконечное
(1 + l/nf
1 4- х/п
х(х — 1)
2п2 4
При п —> ос
(1 1/п)
1 -*- х/п
Согласно следствию 4.2.17 это произведение абсолютно сходится при
указанных значениях х. Положим при таких х
r(1) =1 fl
X “ 1 + х/п
п -1 '
тогда Г(а?) 0. С учетом множителя I/х имеем
1 1V пхп\
п J х(х — 1) • • •
(l-rl/fc)
п = 1.2
Поэтому
Г(т) = lim
7Г п'.
п)‘
называется гамма-функцией Эйлера.
Функция Г
Заменяя в последней формуле х на х — 1. получаем
Г(х — 1) , пх
——— = lim ---------- = х.
1 (т) П-7ЭО х - 1 -Г п
так что Г(т— 1) = тГ(.г) (формула понижения для гамма-функции).
Поскольку
71111
Г(1) = lim 7 - - = 1.
функциональные последовательности и ряды
197
то Г(т + 1) = ml, m = 1,2. Последняя формула справедлива и
при m = 0, если считать, что 0! = 1.
Обобщая пример 4.2.7, нетрудно убедиться в том, что
Так как
то, перемножая почленно эти соотношения, получаем
, оо
пгтт)П ((Ч)
4 7 П=1
(формула Вейерштрасса для гамма-функции).
При х = 1/2 имеем
согласно формуле Валлиса.
Дальнейшее изучение свойств гамма-функции будет проведено
ниже.
4.3. Функциональные последовательности
4.3.1. Определение. Пусть {/„} —последовательность функ-
ций, определенных на одном и том же множестве и принимающих
значения из другого множества. Тогда последовательность {fn} на-
зывается функциональной последовательностью.
4.3.2. Определение. Пусть fn: Е —> (С, п = 1.2,..., и пусть
х € Е и комплексная последовательность fn(x) сходится. При та-
ких условиях говорят, что функциональная последовательность fn
сходится в точке х. Если последовательность {./,,} сходится в лю-
бой точке х € Е, то говорят, что эта последовательность сходится
поточечно на множестве Е.
4.3.3. Замечание. Если функциональная последовательность
{fn} сходится поточечно на Е. то Vz € Е 3 lim fnM = f(x) € С,
п—>эс
причем f: Е —> С. В этом случае говорят, что последовательность
{fn} сходится поточечно на Е к предельной функции f. Множество
Е называется множеством сходимости этой последовательности.
4.3.4. Пример. Пусть Е = [0,1]. и пусть Vn е N
9
П X.
1/х.
если 0 < х 1/п:
если 1 /п х С 1.
198
Глава IV
Тогда каждая из функций /„ непрерывна на отрезке [0,1] и
. .. , , . Г О, если х = 0;
/W = hm /„(.г) = < о < х < 1
Действительно, если 0 < х С 1 и точка х фиксирована, то Зпо £ N:
Vn по
f- аА => f/„(.r) = => (f{x) = lim fn(x) = .
\7l / \ xj \ n-toc X/
Далее имеем Vn £ N sup {/„(.г)} = n < +эо- так чт0 каждая из
хб[0Л]
функций fn ограничена на отрезке [0.1]. Однако функция f раз-
рывна в точке 0 и не ограничена на [0,1].
4.3.5. Определение. Пусть fn: Е —> С, п = 1.2,.... Говорят,
что функциональная последовательность {fn} сходится равномерно
на Е к предельной функции f (или равномерно относительно .г €
£ Е). если
Vs > 0 Зпо £ N: Vn > ng Vx е Е \fn(x) - f(x)\ < £.
4.3.6. Замечание. Условие равномерной сходимости на Е по-
следовательности {/,,} к функции f можно записать в эквивалент-
ном виде:
lim sup{|/„(x) - /(т)|} =- 0.
п->^ 1-еЕ
4.3.7. Замечание. Условие поточечной сходимости на Е по-
следовательности {fn} к функции f означает, что
Ve > 0 Vx £ Е Зп0 € У: Vn Э «о |/7! (х) - /(х)| < £.
(т.е. значение ng £ N. вообще говоря, зависит как от выбора £ > 0.
так и от выбора х £ Е). При условиях определения 4.3.5 значение
по € У зависит только от выбора £ > 0.
4.3.8. Следствие. Если последовательность {/„} сходится
равномерно на Е к функции f. то она сходится поточечно на Е к
этой функции (обратное утверждение, вообше говоря, неверно, од-
нако оно верно в случае, когда множество Е конечно).
4.3.9. Замечание. Пусть {/„} — функциональная последова-
тельность. сходящаяся равномерно на множестве Е. и пусть Eg С Е:
Eg -f Ь. Тогда последовательность сужений функций /„ с Е на Ед
сходится равномерно на Ед.
4.3.10. Определение. Если V.r £ Е 3 lim fn(x) £ С (т.е.
п—
последовательность {/„} сходится поточечно на Е) и эта последова-
тельность не является равномерно сходящейся на Е. то говорят, что
{fn} сходится на Е неравномерно.
Функциональные последовательности и ряды
199
В условиях примера 4.3.4 последовательность {/„} сходится не-
равномерно на отрезке [0,1], поскольку
sup {\fn(x) - f(x)\} = +ос, п = 1,2,....
a?e|o,i]
Критерий Коши равномерной сходимости
функциональной последовательности
Для того чтобы функциональная последовательность {/п } схо-
дилась равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы
Ve > 0 Зпо Е N: Vm.n Е N:
(т пуп п0) => ( sup{|/m(x) - /п(ж)|} < £
Доказательство. Если последовательность {/п} сходится
равномерно на Е, то
Ve > О Зп0 Е N: Vn > п0 Ух Е Е \fn(x) - f(x)\ < |,
где f — предельная функция для этой последовательности. Если
т ng; п д по, то Ух Е Е
\fm(x) - fn(x)\ \fm(x) - f(x)\ + \f(x) - fn(x)\ < | + | = e.
Обратно, пусть x E E и выполнено условие критерия Коши рав-
номерной сходимости последовательности {/„}. Тогда комплексная
последовательность {fa(x)} является фундаментальной, и поэтому
3 lim fn(x) Е С. Значит, существует функция f: Е -> <С. такая,
п—>ос
что Ух Е Е f{x) = lim fn(x). При этом последовательность {fn}
п—>ос
сходится к этой функции поточечно на Е. Покажем, что {fn} схо-
дится к f равномерно на Е. Если п по (п фиксировано) и т по,
то Ух Е Е
\fm(x) -fn(x)\ < s.
При т —> ос получаем, что |/(т) — /„(т)| V е. Значение п-о G N не
зависит от выбора точки х Е Е. поэтому из условия \f(x) — fn(x)\ < е
следует, что Vn > no sup{|/(.r) — Д(ф)|} е. Это означает, что
тЕЕ
последовательность {fn} сходится к функции f равномерно на Е.
4.3.11. Утверждение. Если каждая из функций fn ограни-
чена на Е и последовательность {fn} сходится к функции f равно-
мерно на Е, то f ограничена на Е.
Доказательство. Пусть £ -- 1. тогда Зпу € N: Уп по
sup{|/„(t) - f(x)\} < 1.
Функция /,,0 ограничена на Е. поэтому 3.W =- const > 0:
sup{|/„0(a?)| sC -V < 4-ос.
200
Глава IV
Значит. Vx € Е
|/(т)К1/М-/п0(-г')Ь |/п0(х)|<Л/+1.
т.е. sup{|/(x)|} М + 1. Следовательно, функция f ограничена
хеЕ
на Е.
4.3.12. Определение. Пусть fn: Е —> (С. п — 1„ 2. Гово-
рят, что последовательность {/п} поточечно ограничена на Е, если
\/х € Е комплексная последовательность {/п(х)} ограничена.
Очевидно, что если последовательность {/п} сходится поточеч-
но на Е, то она поточечно ограничена на Е.
4.3.13. Определение. Говорят, что последовательность {/п}
равномерно ограничена на Е, если
sup {|/nCr)|} < +эс-
х€.Е\ hgN
4.3.14. Замечание. Если последовательность {/„} равномер-
но ограничена на Е. то она и поточечно ограничена на Е и каждая
из функций fn ограничена на Е. Действительно. Vz € Е
sup{|/„(z)|} с л/ И Vn 6 N sup{|/n(x)|} < Л/,
n € N .т € Е
где М ~ sup {|/„(z)|}.
хЕЕ: neN
4.3.15. Пример. Пусть Е — R и /ri(z) - х/п. Тогда Vz G R
lim fn(x) — 0. Однако Vn € N sup{|f„(z)|} = •’-ос. т.е. каждая
п~*х гбВ
из функций fn не ограничена на R, хотя последовательность {fn}
сходится поточечно на R. и поэтому поточечно ограничена па R.
4.3.16. Утверждение. Если каждая из функций f„ ограниче-
на на Е и функциональная последовательность {fn} сходится равно-
мерно на Е. то эта последовательность равномерно ограничена на Е.
Доказательство. Пусть s ~ 1. тогда Зпо € N.’ Vn по
sup{|/„(r) -/(.г)|} < 1.
хЕЕ
где Vx е Е /(.г) = lim /n(z).
и—
Выше установлено, что функция f ограничена па Е. т. е. 3Д/о =
- const > 0: sup{l/(z)|} < .Wo < — эс. Если п п0. то Vz G Е
хЕЕ
\f,M\ 1Л0-) - /u-)i - 1/gh; < -п0 - г
Кроме того, все функции fY.....fnQ ограничены на Е. и поэтому
3.W, == const > 0:
sup{j/,(.r)|} < -ос. /—1.2......но-
хеЕ
Функциональные последовательности и ряды
201
Пусть М = max{Mi;...; MnQ; Мо -г 1}, тогда
SUP {|/п(-г)|} < М = const < —ос.
хеЕ:пеДч
Это означает, что последовательность {fn} равномерно ограничена
на Е.
4.3.17. Утверждение. Пусть fn: Е С, Е С <С, и пусть фун-
кциональная последовательность {fn} сходится к функции f равно-
мерно на Е. Если, кроме того, каждая из функций fn непрерывна в
точке xq 6 Е, п = 1,2,..., то функция f непрерывна в точке xq.
Доказательство. По условию, Ve > 0 Зпо £ N: Vn по
Vx е Е
\fn(x) - /(ж)| < |.
Для выбранного значения е > 0 3d > 0: Vt £ (%(то) Г) Е)
\fn0(x) -Л0(т0)| < |
(это следует из непрерывности fnQ в точкето). Следовательно, Vt €
£ (НДтд) П Е)
|/(т) - f(x0)\ |/(т) - /п0(т)| + |/п0(т) - fn0(x0)\ -Г
+ l/no(zo) - /(-ro)l <|^5‘г|=£-
Это означает, что функция f непрерывна в точке то.
4.3.18. Следствие. Если при условиях утверждения 4.3.17
каждая из функций fn, п = 1,2,..., непрерывна на Е, то функция
f непрерывна на Е.
Пространство С[а Ь| и его полнота
4.3.19. Определение. Пусть С[а (,| = {f : [а.Ь] —> R: f непре-
рывна на [а, Ь]}, и пусть f.g £ Положим
р(/.5) = sup {|/(т) -£(т)|}
л 6 . b]
и назовем число p(f.g) расстоянием (метрикой) между точками f.g
пространства <Д[а,ь|-
Свойства метрики
Пусть f.g.h е С|а.ь], тогда справедливы следующие утвержде-
ния:
10^ p(f-g) < -гэс- причем f -= g тогда и только тогда, когда
p(f.g) ~ 0 (рефлексивность):
2) p(f-g) = p(g-f) (симметричность);
з) p(f-g) p(f- h) -г p(h.g) (неравенство треугольника).
202
Глава IV
Доказательство. Поскольку функция \f — д\ непрерывна на
отрезке [а. 6]. то она ограничена на этом отрезке, и поэтому р(/. д') <
< —оо. Если р(/, д) = 0. то Vt € [а, 6] |/(т) — р(т)| = 0, т. е. f(x) =
= д(х). Значит, f = д.
Утверждение пункта 2) следует из того, что Vt 6 [а.Ь] |/(т) —
- Р(*)1 = Кроме того, |/(х) - д(х)\ sj |/(т) - /г(т)| -
+ |Л(т) — р(х)|, и поэтому
sup {|/(т) - д(х)\} sup {|/(т) - /i(x)| + \h(x) - д(х)\}
sup {\f(x) - - sup {|Л(ж)-<?(х)|}.
л€[а,Ь] j‘€[a.b]
что равносильно неравенству треугольника.
4.3.20. Определение. Пусть f € С[а.ь| и fn € Cja.b|- и =
= 1,2....... Говорят, что последовательность {fn} точек пространст-
ва С[а.Ь] сходится по метрике р к точке f этого пространства, если
= 0.
4.3.21. Замечание. Последовательность {/п} сходится по мет-
рике р к точке f пространства С[п.ь] тогда и только тогда, когда
lim fn(x) = f(x) равномерно относительно х G [аД].
4.3.22. Определение. Последовательность {fn} точек из С[а,ь|
называется фундаментальной по метрике р, если
Vc > 0 Зп0 6 N: Vm. n п0 p(fm.f„) < е.
4.3.23. Следствие. Последовательность {fn} точек прост-
ранства С|„.ь] является фундаментальной по метрике р тогда и толь-
ко тогда, когда она удовлетворяет условиям критерия Коши её рав-
номерной сходимости на отрезке [аД].
Теорема о полноте пространства С|а.ь|
Пространство C|„.t,] с метрикой р является полным (т.е. лю-
бая фундаментальная по метрике р последовательность точек этого
пространства сходится по этой метрике к некоторой точке того же
пространства ).
Доказательство. Пусть {/,,} — такая последовательность.
Согласно предыдущему следствию она удовлетворяет условиям кри-
терия Коши равномерной сходимости на отрезке [а. &]. Значит, после-
довательность {/„} сходится равномерно (а поэтому и поточечно) на
|«Д]. Пусть V.r е [аД] f(x) = lim fn(x). тогда функция f непрерыв-
л—>эс
на на [аД] как предел равномерно сходящейся последовательности
{/„} непрерывных функций. Это означает, что f е Cja.(,|. Посколь-
ку lim fn(x) = f(x) равномерно относительно х & 1аД]. то согласно
замечанию 4.3.21 последовательность {/„} сходится по метрике р к
точке f пространства С|„.Ь|.
Функциональные последовательности и ряды
203
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функциональной последовательности
Пусть fn: Е -> С, п = 1.2,..и пусть существует сходящий-
ся числовой ряд 52 ^п, такой, что sup{|/n(ar) - /n_i(x)]} Мп,
п—1 х^Е
п = 1,2,...; /о(.е) = 0, х € Е. Тогда функциональная последова-
тельность {/„} сходится равномерно на Е.
Доказательство. Согласно критерию Коши сходимости ря-
да ^2 Mn Ve > 0 Зпо € N:
П=1
(т
52 Mk < £
к—п-т 1
При таких значениях тип имеем Ух € Е
- /„(х)| =
। m
I fc—Пт 1
m m
^2 \fk(x) - fk-l(x)\ £ Mk<£-
fc=n+l fe—n-l-1
Значит, последовательность {fn} согласно критерию Коши равно-
мерной сходимости сходится равномерно на Е.
Признак Дини равномерной сходимости функциональной
последовательности
Пусть {fn} — последовательность вещественных функций, не-
прерывных на отрезке [а, 6], и пусть эта последовательность сходится
поточечно на [а, Ь\ к функции f, непрерывной на [а, Ь]. Если, кро-
ме того. Ух е [а,Ь] Уп е N fn(x) /п_1(х). то f(x) = lim^ fn(x)
равномерно относительно х € [а.Ь].
Доказательство. Положим gn{x) = fn(x) ~ f{x). тогда
д,,(х) йпл(х) 0 и lim дп(х) = 0 (л g N; х 6 [а.Ь]). Нужно
доказать, что lim дп(х) = 0 равномерно относительно х е [а.Ь]. т.е.
что Уе > 0 Зл0 € N: Уп п0Ух & [а.Ь] дп(х) < е.
Достаточно проверить, что Уе > 0 Зло € N: Ух € [а. Ь] дпо(х) < £
(если п п0. то 0 дп(х) 5п0(х) < е). Допустим, что Зс > 0:
Уп 6 N За: = хп € [а.Ь]: дп{хп) £. Последовательность {х„} огра-
ничена и по теореме Больцано-Вейерштрасса содержит сходящуюся
подпоследовательность для которой 3 Jim хПк - Хо- Кроме
того. дпк(хПк) е. к - 1.2... Пусть m е К фиксировано, тогда
Ук m (пк к т) (дт{х11к) дПк{х„к) с). При А: -> эс
204
Глава IV
fjm(xnk) —> Pm(^o)- поскольку функция дт = fm - f непрерывна на
[а, 6] и хо G [а, 6]. Поэтому дт(хо) е. т = 1.2...что противоре-
чит равенству lim дт(хо) = 0.
4.3.24. Замечание. Анализируя доказательство признака Ди-
ни, нетрудно убедиться в том, что отрезок [а, 6] в формулировке это-
го признака можно заменить на любое замкнутое ограниченное мно-
жество точек из R. При прочих одинаковых условиях соответству-
ющее утверждение остается справедливым.
Теорема о независимости результата от двух предельных
переходов
Пусть fn: Е -> С, п = 1,2,...; £ С С, и пусть функциональ-
ная последовательность {/„} сходится равномерно на Е к функции
f: Е —> <С. Пусть, далее. хо — предельная точка Е и существуют
конечные пределы
lim /п(х) = уп £ С. п = 1,2.....
Х->ХО
пеЕ
Тогда последовательность {г/,,} сходится и
3 lim /(.г) = lim уп.
п—>ос
n€ Е
т. е.
Доказательство. Согласно критерию Коши равномерной
сходимости последовательности {/„} к функции f
Ve > 0 Зпо е N: Vm.n n0 V.r е Е |/т(а?) - /„(т)| < |.
О
При фиксированных значениях т.п по перейдем в этом нера-
венстве к пределу' при а- —> ад: х € Е. тогда получим, что \ут — у,,'\ С
е/3. Это означает, что последовательность {</„} является фунда-
ментальной. и поэтому сходящейся по критерию Коши.
Пусть у = lim уп. тогда у е С и Vn е N Va- е Е \f(x) — у\ С
— |Л(т)-уп\ ~ £/|- При всех достаточно больших
значениях п е N \у„ -у\ < г/3 и Vz е Е < е/3. Зафик-
сируем какое-либо значение п G N с такими свойствами. Так как
Jim = у„. то для выбранного £ > 0 35 > 0 : V.r е (МЛ(а-0) П Е)
п$Е
— Уп\ < |) => ~У\ < -)• Это означает, что 3 lim /(т) --
Д ^г0
пеЕ
= lim у„ = у.
Функциональные последовательности и ряды
205
4.3.25. Замечание. Нетрудно проверить, что если условие
равномерной сходимости последовательности {fn} к функции f на
множестве Е заменить условием её поточечной сходимости на этом
множестве и предположить, что lim fn(r) = уп равномерно относи-
с-ио
п^Е
тельно n G IN. то при прочих одинаковых условиях соответствующее
утверждение остается справедливым (что дает ещё одно достаточное
условие возможности перестановки двух предельных переходов).
Теорема о почленном дифференцировании
функциональной последовательности
Пусть {/,,} — последовательность комплексных функций, диф-
ференцируемых на отрезке [а, Ь], и пусть существует точка xq G [а, Ь],
такая, что последовательность {/«(то)} сходится. Пусть, далее,
функциональная последовательность {/'} сходится равномерно на
[а. Ь]. Тогда последовательность {fnj также сходится равномерно на
[а.Ь] к некоторой дифференцируемой на [а, Ь] функции f, причем
Vx G [а,Ь] f'(x) = lim /„(х).
п—>оо
Доказательство. Согласно критерию Коши равномерной
сходимости последовательности {/'JVs > 0 Зпо € IN: Vm, n no
Vt G [a.b]
Число no € IN можно выбрать столь большим, чтобы при ука-
занных значениях тип |/т(^о) —/п(-Го)| < е/2. Зафиксируем такие
значения т и п, и пусть р = fm — fn, тогда функция р дифферен-
цируема на [а,Ь] и Vt € [a.b] p'(t) = так что |<^/(t)| <
< e/(2(b — a)). Пусть ещё x G [a.b], причем x ± t, тогда соглас-
но теореме о конечных приращениях для функции р на отрезке с
концами в точках х и t
\pH-p{t)\ = |/m(x)-/n(x)-/m(t)-/n(f)| < \р’(£)\\х-t\ =
где £ - некоторая точка, лежащая внутри этого отрезка. Поэтому
из неравенства |Л,(£) - Л(С)| < е/(2(Ь - а)) следует, что |^(т) -
— у?(Ь)| < е|аг — t\/(2(b — а)) < е/2. поскольку |.r — t| b — а.
Полагая t ~ xq, имеем при х хо
- /nMI < ~ fn(x) - fm(x0) - f„(x0)\ +
I' — Л,(т0)| < 2 2 = '
При X = x0 |/т(жо) - Л(2’о)| < s/2 < £•
206
Глава IV
Поскольку значение по € N не зависит от выбора точки х ё [а. Ь],
то согласно критерию Коши отсюда следует, что последовательность
{/„} сходится равномерно на [а.Ь].
Пусть
f(x) = lim fn(x). х е [a,b].
п—>00
тогда f: [a,t>] —> (С. Пусть, далее, точка x € [a.b]-фиксирована.
Положим при t € [a.b|; t / x
w{t) =——--------; w) =—г---------------. n=i.2.......
t — X t — X
Последовательность un сходится равномерно на E = [a. b] \ {z}. по-
скольку vt e E
н Л
< + |Д(х)-/(х)|
|t - z| \t - z|
при n —> оо и. если т.п no- to
|„4 rn ,, _ \fm^) ~ fn(x) - f„,(t) + fn(t)\ £
Согласно критерию Коши равномерной сходимости =
= lim un(t) равномерно относительно t ё Е. Кроме того, х — пре-
дельная точка £ и Vn е N
□ Г™ i + \ т fn(t) f п(х) f \
3 пп Vn(t) = lim------—--------= fn(x) =yne<E.
teE teE f ~ T
Применяя теорему о независимости результата от двух предель-
ных переходов, получаем, что Vz 6 [a.b] последовательность {/'(х)}
сходится к пределу, равному
lim t-(f) = lim Z1L) 2-/(Г) = /'(x).
ieE teE ' 1
t. e. функция f дифференцируема на [a.b| и Vx e [a.b] f\x) =
=
4.3.26. Пример. Пусть
. , . sin(nz) ,
/„(z) n e x e o. 1 .
\/n
тогда Vz € [0.1] !/;i(z)[ l/s/n —> 0 при n —> эс. так что
lim /„(z) - 0 = /(z)
ll—>oc
равномерно относительно x € [0.1]. При этом равенство
lim /'(z) --f'(x) прит= 0
п —
функциональные последовательности и ряды
207
неверно, так как
/ДО) = \fn оо при п —> оо.
В условиях этого примера последовательность {.//} не является
равномерно (и даже поточечно) сходящейся на отрезке [0,1].
Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной
функции последовательностью многочленов
Пусть f — комплексная функция, непрерывная на отрезке [а, 6].
Тогда существует последовательность многочленов {Рп} с комплек-
сными коэффициентами, такая, что
lim Рп(х) = f(x)
равномерно относительно х 6 [а. Ь].
Доказательство. Заметим, что достаточно ограничиться
случаем, когда a = 0 и b = 1. Действительно, если положить
= /(а + (Ь — t € [О’ 1]’ то можно утверждать, что функция
Ф непрерывна на отрезке [0.1] и, если существует последователь-
ность многочленов Р* с комплексными коэффициентами, такая, что
lim P*(i) = ДО равномерно относительно t е [0,1], то. полагая
Рп(х) = Р* _ д ' П € N: т £ [а. 6].
получаем последовательность многочленов Рп. для которой
lim Рп(т) = f(x) равномерно относительно х е [а.Ь].
И—>ос
Кроме того, достаточно ограничиться случаем, когда f — ве-
щественная функция, непрерывная на [0.1]. В самом деле, если
f = fi + if2, где fi = Re/; /2 = Im/. то fi и /2 — веществен-
ные функции, непрерывные на [0,1] (это следует из непрерывности
функции /). Пусть {Р,,} и {Р„} — последовательности многочленов
с вещественными коэффициентами, такие, что
lim Рп(х) = /Да:) и lim Р„(х) = f2(x)
п—>ос п —>ос
равномерно относительно х G [0.1]. Полагая Pn = Р„ — iPn. п =
-= 1.2..можно утверждать, что {Р„ } — последовательность много-
членов с комплексными коэффициентами, для которой lim Рп(х') =
п—>эс
= /(j?) равномерно относительно .г е |0.1].
Пусть / — вещественная функция, непрерывная на отрезке [0,1].
Определим последовательность {В,,} многочленов Бернштейна для
функции /. полагая Vn е N V.r € R:
п
к -0
208
Глава IV
Достаточно доказать, что lim Вп(х) = f(x) равномерно относитель-
но х € [0.1]. Заметим, что Vn G N Vr € R справедливо тождество
У (А - пх)2Скхк(1 - х)п~к = пг(1 - х) .
к=0 4
Действительно, если х — 1, то это тождество, очевидно, справедливо.
Пусть х / 1. Из формулы бинома Ньютона
п
(1-^тГ = £с^-
А*-0
следует, что
У *Скхк = пх(1 +т)"-]
(достаточно продифференцировать по х и умножить обе части по-
лучившегося равенства на т).
С этим тождеством сделаем то же самое, тогда
У к2Скхк - пт(1 — пт)(1 +- т)п-2.
к=0
Доказываемое тождество следует из выведенных соотношении
и равенств
(А - nr)2 = к2 - 2пкх + п2г2.
справедливых при к = 0.1..п.
Далее имеем Vx € (0.1) Vn. е N
п
f(x) = ^Ckxk(l-x)n~kf(x).
к—О
И поэтому
хУ~к = S„(x).
Функция /. будучи непрерывной на отрезке |0.1]. ограничена на
этом отрезке, и поэтому 3.W = const > 0: йирге(0 ]]{|/(г)|} < -V.
Нужно доказать, что lim S’,, (г) — 0 равномерно относительно
X е (0.1]. Имеем
Sn(x) S„(x) - S„(x).
функциональные последовательности и ряды
209
где
п
= £
|к/п-х'<5
Sn(x) = Sn(x) - Sn(x).
(АА
-j -Ж) с^(1-ЭД
Значение ё > 0 определяется следующим образом. Согласно те-
ореме Кантора функция f равномерно непрерывна на отрезке [0,1].
т.е. Ve > 0 35 > 0: Vxi,x2 6 [0,1]
(|х1-х2|<5)^(|/(х1)-Ж2)|)<|)
Если \k/n — x\ < 5, где 0 к п. то \f(k/ri) — f(x)\ < е/2, и поэтому
п п
о < ЭД < f £ С>*(1 - ^ | £C^fc(l - x)n~k = |.
Если же \k/n — a:| 5 при 0 < k < n, to \f(k/n) — /(x)| C 2Af, так что
(A- — nx)2 n2S2;
21\, [ n
О^ЭД^-^ £ Ckxk(l-x)n~k(k-nx)2 <
nW
\k/n — xl^6
2Л/ fc/j _ x\n~k(k _ nx\2 _ ~ x) < M < £
C n2S2 2^Cnx (1 X) ПХ) - n62 2n52 < 2-
/v~0
если n > M/{sd2').
Поскольку значение дроби Л//(ед2) не зависит от выбора х €
G [0.1], то
sup {|Вп(х) - /(я-)|} sup {S„(t)} Е,
^е[о,1] xe[o.ij
если п > 3//(г52). Это означает, что lim Sn(x) = 0. и поэтому
п—>ос
lim |В„(т) — /(х)\ = 0 равномерно относительно х G [0.1].
4.4, Функциональные ряды
4.4.1. Определение. Пусть fn: Е -> (С. и пусть Sn = fi -
+ ... — fn. n = 1.2.Тогда упорядоченная пара ({fn}. {5П}) функ-
циональных последовательностей {fn} и {$£} называется функци-
ональным рядом. Последовательность {Sn} называется последова-
тельностью частичных сумм этого ряда.
4.4.2. Замечание. Так определенный функциональный ряд
210
Глава IV
обычно записывают в виде
Е fn (или /1 д-... -г /п +
4.4.3. Определение. При условиях определения 4.4.1 говорят.
ОО
что функциональный ряд 52 fn сходится в точке х € Е. если число-
п — 1
вой ряд 52 fn(x) сходится. Если это верно V.r £ Е, то говорят, что
П = 1
функциональный ряд 52 fn сходится поточечно на множестве Е.
72=1
4.4.4. Определение. Если функциональный ряд 52 fn схо-
п= 1
дится поточечно на множестве Е. то пишут
/ = Е^П (здесь УжеЕ f(x) = ^/„(афтак что f:E -> С j
п=-1 \ п —1 /
и называют функцию f суммой этого ряда, а Е — множеством по-
точечной сходимости ряда.
4.4.5. Определение. Функциональный ряд 52 fn называется
П=1
равномерно сходящимся на множестве Е. если на этом множестве
равномерно сходится последовательность {Sri} его частичных сумм.
4.4.6. Замечание. Равенство
/-Ел
П -- 1
справедливо тогда и только тогда, когда Vt Е Е /(.г) = lim Sr2(x).
п—>ос
При этом
/(*) = E^w
П = 1
равномерно относительно .г Е Е (т.е. функциональный ряд /п
п 1
сходится равномерно на Е к сумме /) тогда и только тогда, когда
последовательность {£„} сходится равномерно на Е к функции f.
4.4.7. Определение. Если V.r е Е
/(Л - E^w
п- 1
и функциональный ряд не является равномерно сходящимся
п -1
на Е. то говорят, что этот ряд сходится к сумме / неравномерно на Е.
функциональные последовательности и ряды
211
4.4.8. Следствие. Если функциональный ряд f„ сходится
П=1
к сумме f равномерно на Е. то он сходится к f поточечно на Е.
4.4.9. Пример. Пусть Е = [0.1); fn(x) = xn, п £ No; х е [0,1),
тогда \/х & Е
/(я) = 52 Л W = гз
так что функциональный ряд У fn сходится поточечно на [0,1) к
п-~0
сумме /. При таких условиях
П 1 _ <гп+1
Sn(x) = А(®) = т-_ -
k^O
и поэтому
|5п(т) - /(х)| = — -> О при п -э эс
неравномерно относительно х G [0.1). поскольку, например, при х =
= 1 - 1/п € [0.1)
т"-11 / 1 \,1-1
--- = п I 1---) —> эс при п —> ОС.
1 — X \ п)
Следовательно, функциональный ряд ^2 /п сходится к сумме / нерав-
п-~0
номерно на полуинтервале [0.1).
4.4.10. Утверждение. Если каждая из функций fn: Е —> С.
и = 1.2...ограничена на Е и функциональный ряд fn сходится
П — 1
равномерно на Е к сумме f. то функция f ограничена на Е.
Доказательство. Если положить Sn~ fi -t-... ~ fn. то каж-
дая из функций Sn будет ограничена на Е. причем lim Sn(z) = f(x)
n—>oc
равномерно относительно х € Е. Поэтому это утверждение следует
из соответствующего утверждения для функциональных последова-
тельностей.
В условиях примера 4.4.9 каждая из функций /„ ограничена на
Е = [0.1). поскольку V.r € [0.1) 0 fn(x) = хп < 1. n = 1.2. Од-
нако сумма f ряда У) fn нс ограничена на [0.1). так как lim f(x) =
n —0
4.4.11. Утверждение. Если функциональный ряд ^2 fn схо~
П -]
дится равномерно на множестве Е С <С к сумме f и каждая из
функций fn непрерывна в точке .го 6 Е. п - 1.2. то функция
f непрерывна в точке .го.
212
Глава IV
Доказательство. Если {S'n} — последовательность частич-
ных сумм ряда 22 Л, т0 из равенств Sn = Д + ... + fn следует, что
П=1
каждая из функций Sn непрерывна в точке xq, п = 1,2,.... Посколь-
ку последовательность {Sn} сходится равномерно на Е к функции /,
то справедливость утверждения 4.4.11 является следствием соответ-
ствующего утверждения для функциональных последовательностей.
4.4.12. Следствие. Если при условиях предыдущего утверж-
дения каждая из функций fn, п = 1,2,..., непрерывна на Е, то
функция f непрерывна на Е.
Смысл следствия 4.4.12 часто формулируют так: сумма равно-
мерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна.
Критерий Коши равномерной сходимости
функционального ряда
ОО
Для того чтобы функциональный ряд 52 fn сходился равномер-
П=1
но на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы Vc > 0 Эп0 € N:
Vx е Е \fm,n € N:
52 ao®)
( m > n пф =>
/с—n-|- ]
Доказательство. Если {Sn} — последовательность частич-
ОС
ных сумм ряда 22 fn- т0 Vt 6 Е Vm.n £ N:
П—1
(тп > П По) =>
\Sm(x) - Sn(x)\ =
52
k—n — l
Поэтому условие критерия Коши равномерной сходимости ряда рав-
носильно условию доказанного выше критерия Коши равномерной
сходимости последовательности {£„}•
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда
Пусть fn: Е —> С, п = 1,2..... и пусть существует вещественная
последовательность {Мп}. такая, что
suP{|ACr)|} С АД. И = 1,2.....
хСЕ
Если, кроме того, ряд 22 сходится, то функциональный ряд
П=1
2д f n сходится на множестве Е равномерно и абсолютно (т. е. Vx е Е
n—L
ряд V fn(^) сходится абсолютно).
п-1
функциональные последовательности и ряды
213
Доказательство. Поскольку Vt £ Е 'in € N |/п(т)| С Л/п и
ряд У? А/„ сходится, то по признаку сравнения I ряд 52 fn сходит-
п-1 п-1
ся абсолютно. Равномерная сходимость ряда 52 fn на множестве Е
72 = 1
следует из признака Вейерштрасса равномерной сходимости функ-
циональных последовательностей с учетом неравенств
|5т(т)-Sn(x)| =
£
k=n4-}.
rn m
< £ £ Mk.
fc—-n+l
справедливых Vt £ E im.n € IN, таких, что m > n, если заметить,
что из сходимости числового ряда 52 Мп согласно критерию Коши
71 — 1
вытекает, что Ve > 0 Зпо £ К: im.ri £ IN:
(rn \
£ Л/* < е j .
k~n11 /
4.4.13. Замечание. Из абсолютной сходимости функциональ-
ного ряда на некотором множестве, вообще говоря, не следует его
равномерная сходимость на этом множестве. Например, если Е =
= [0.1] и Vt £ [0.1]
f , ч Г х n = 1:
~ (тп-т""1. п>2.
ТО
п ГО. если 0 т < 1:
к 7 72->эс [ 1, если т = 1.
Поскольку |/а-(т)| = т*-1 - тА’ при к 2, то
Е.., „ Г 2т. если 0 т < 1:
А-(т) 2т - т" —> 1 .
v 71 п->эс I 1. если т = 1.
А—1 k
Таким образом. Vt £ (0.1] ряд 52 1/»(а')1 сходится, т.е. функци-
п 1
опальный ряд 52 fn сходится абсолютно на отрезке (0.1]. Однако
7? - 1
сходимость неравномерна на [0.1| (в противном случае функция
/(т) = lim Sn (т)
71 —ГЭС
была бы непрерывна на [0.1] как предел равномерно сходящейся по-
следовательности {£„} непрерывных функций, что противоречит то-
му. что f разрывна в точке 1).
4.4.14. Замечание. Из равномерной сходимости функцио-
нального ряда ^2 fn на некотором множестве, вообще говоря, не
п- 1
214
Глава IV
следует его абсолютная сходимость на этом множестве. Например,
если Е = [0,1] и Vx е [0,1]
Л(1). „ = 1.2.....................
то функциональный ряд ^2 /п сходится равномерно на [0,1] по при-
п=1
знаку Дирихле равномерной сходимости (см. ниже), но не является
абсолютно сходящимся ни при каком значении х ё [0,1]. Действи-
ОО
тельно, если Зх ё [0,1]: ряд |/п(^)| сходится, то из равенств
П=1
X2 1
|/„(Ж)| = + ±, 77 = 1,2.....
тД 71
ОС оо
и сходимости ряда ^2/п2 следует, что ряд 1/п сходится --
72=1 71=1
противоречие.
Признак Дини равномерной сходимости функционального
ряда
Пусть {/„} — последовательность вещественных функций, не-
прерывных на отрезке [аД], и пусть функциональный ряд 22 fn
71=1
сходится поточечно на [аД] к функции f непрерывной на [аД]. Ес-
ли. кроме того, fn(E) 0, n € N: х ё [аД], то этот ряд сходится
равномерно на [аД].
Доказательство. Если {Sri} — последовательность частич-
ных сумм ряда 22 /п» то каждая из функций непрерывна на
72= 1
[а. Ь]. п = 1,2...., и
lim Sn(x') = /(т). х ё [аД].
72—>ОО
Кроме того,
5пц(х) = 5п(т) - /гы-Дт) Sn(x). п ё N: х ё [аД],
так что достаточно сослаться на признак Дини равномерной сходи-
мости функциональных последовательностей (в приведенной выше
формулировке этого признака следуют заменить fn(x) на (—Sn(x)) и
учесть, что V.r ё [аД] lim (-Sn(z)) = х Е ]аД]).
71-ДОС
Признак Дирихле равномерной сходимости
функционального ряда
Пусть fn: Е —> С; gn: Е —> R, п = 0,1...и пусть последова-
тельность частичных сумм ряда 22 fn равномерно ограничена на Е.
функциональные последовательности и ряды
215
Пусть, далее. lim gn(x) = 0 равномерно относительно х & Е
п—юс
и 9n(x) gnl.](x). n е Nq; х 6 Е. Тогда функциональный ряд
52 fn9n сходится равномерно на Е.
«-о
Доказательство. По условию ЗА/ = const > 0:
sup {|S„(ar)|} s? М,
.геЕ-.пеУ
где {S,,}— последовательность частичных сумм ряда 52 fn-
п=0
Кроме того. 5п(т) 0, n G No; х & Е, и Vr > О Зпо G N:
\/р no sup2.€£{|pp(j,)|} < е/(2Л4). Если q р по, то Vx £ Е
согласно доказанном}’ выше (см. доказательство признака Дирихле
сходимости числового ряда)
ч
^2 f" ^9" <22
П--р
< 2ЛД/р(.г) < г.
Поскольку значение no € N не зависит от выбора точки х £ Е,
то согласно критерию Коши равномерной сходимости получаем, что
функциональный ряд 52 fnQn равномерно сходится на множестве Е.
п~ 0
4.4.15. Пример. В условиях примера 4.4.14. заменяя /„ на
произведение fngn- где
2
<л(х) = /Дх) = (-1)”. n £ N: х £ [0.1].
можно утверждать, что
. ( — 1. если п нечетно;
п — Л Jn — | g если и четно.
Следовательно, последовательность частичных сумм ряда 52 fn
п~ 1
равномерно ограничена на Е -= [0.1). Кроме того.
sup {|<7Дх)|} = Д »? -- 1.2........
.re|o.i] м
причем (n - V)/n'2 —> 0 при ?/ —эс. Это означает, что lim с/„(х) = О
равномерно относительно х £ [0.1].
Так как при .г £ [0.1]
г2 — п г2 - п 1 ,
---л— > ---------п-- и =^1.2.....
п2 (п-11-
то по признаку Дирихле функциональный ряд
дится равномерно на отрезке [0.1].
216
Глава IV
4.4.16. Пример. Пусть fn(x) — sin(nx’); х е Е; дп(х) = дп ==
= const, п = 0,1,... (т.е. дп не зависит от .г): Е = [а. 6], и пусть
отрезок [а, 6] не содержит точек, кратных 2%, т. е. [а, 6] О {2ттг | т €
G Z} = 0. Пусть, далее, дп gn^i, п = 0,1,..., и
lim дп = 0
п—>ос
(например, можно положить до = 1 и дп = 1/п. п = 1,2,...). Тогда
Vn £ jN0 Vx G [а.Ь]
причем sin — 0. поскольку х/2 € [а/2,6/2] и [а/2, 6/2] О {тшг | т G
€ Z} = 0. Значит.
{ п
|y^sin(fca:)| \ sup
|fc=0 iJ г6|а.ь|
пеЛ'о
1
. X
sm —
2
Действительно, если бы inf {| sin(x/2)|} = 0, то в силу непре-
а?б[а.6]
рывности функции | sin(x/2)| на отрезке [а, 6] согласно второй теоре-
ме Вейерштрасса Зжо € [а, 6]: (sin(a?o/2) = 0) => (а?о/2 = ттг | т G
Z) — противоречие (соответствующие свойства функции sin, вклю-
чая непрерывность этой функции всюду на R, будут установлены
ниже).
Так как дп —> 0 при п. —> ос равномерно относительно х G [а, 6],
ОО
то при сделанных предположениях ряд У/ PnSin(nx) сходится рав-
л—О
номерно на любом отрезке, не содержащем точек, кратных 2тг, по
признаку Дирихле равномерной сходимости. В частности, таким
свойством обладает ряд
эс . , .
sin(ni-)
п
П--1
Признак Абеля равномерной сходимости
функционального ряда
Пусть fn: Е —> (С: дп: Е —> R. п = 0.1... и пусть функ-
циональный ряд У/ fn сходится равномерно на Е. Пусть, далее.
п=-О
последовательность {gr,} равномерно ограничена на Е. Если, кро-
ме того, дг1(х) дп.и1(х), n е No-' х 6 Е. то функциональный ряд
У) fngn сходится равномерно на Е.
n=Q
функциональные последовательности и ряды
217
Доказательство. По условию ЭЛ/ = const > 0: Vn G No
V.r G E |рп(ж)| hl. Согласно критерию Коши равномерной сходи-
мости ряда fn можно утверждать, что Ve > 0 Эп0 G N: Vp, q G N:
n=0
q p no V.r G E
9“1
\ (S„ (т) — Sp- j (т)) (gn (д) — gn_f-i(x))
n—p
Для таких значений p. q. x имеем согласно формуле Абеля суммиро-
вания по частям
<?
п=р
~ (Sq(x) - Sp-i(x))gq(x) |sj (gp(x) - gq(x) + \gq^)\)^j £
(здесь Sn(x) = f0(x) + ... -г fn(x), n = 1.2,...; x G E, при выводе
последнего неравенства использована некоторая модификация фор-
мулы Абеля, которая, как легко проверить, равносильна самой этой
формуле). Отсюда следует, что согласно критерию Коши функцио-
нальный ряд У) fngn равномерно сходится на множестве Е.
п— о
Теорема о почленном переходе к пределу для
функционального ряда
Пусть fn: Е -> С. п -- 1.2..... Е с С. и пусть функциональный
ряд 52 fn сходится к сумме f равномерно на множестве Е, имею-
П — 1
шем предельную точку .то- Если, кроме того, существуют конечные
пределы
lim Л,(.г) = zn G С. п — 1.2...
теЕ
ю ряд 52 Z'i СХОДИТСЯ И
3 lim f(x) --- 5?
n ~ 1
т. e.
\;i 1 / n-1 \
Доказательство. Достаточно положить
yn = lim S„(z) - lim (/](.?)--...-f-/„(.r)) = ...-2„. n==1.2......
J_>'o
xeE i^E
218
Г л а в a IV
и воспользоваться теоремой о независимости результата от двух пре-
дельных переходов для функциональной последовательности {У}-
учитывая, что lim Sn(ar) = f(x) равномерно относительно х е Е и
п—>ос
lim уп = У", zn.
„ = 1
Теорема о почленном дифференцировании
функционального ряда
Пусть fn: [а, Ь] -> С. и пусть каждая из функций fn диффе-
ОО
ренцируема на отрезке [а, Ь] и ряд У /п(#о) сходится для некоторой
П=1
точки хо ё [а, Ь], а функциональный ряд У сходится равномер-
П=1
ОС
но на [а, 6]. Тогда ряд У fn также сходится равномерно на [а, 6] к
п—1
некоторой дифференцируемой на [а, 6] функции f, причем \/х G [а, 6]
ОО
/м = 52
П=1
т. е.
/ оо \ ' ос
152-М = 52-М*)-
\т?-1 / п=1
Доказательство. Достаточно заметить, что если Sn =
= Д fn. то каждая из функций Sn. п = 1.2......дифференци-
руема на отрезке [а, Ь] и существует конечный предел
lim Sn(x0) = V frfxof
п—юо
n=l
и далее воспользоваться теоремой о почленном дифференцировании
функциональной последовательности {Sn}. учитывая, что при таких
условиях последовательность {S'J сходится равномерно на [а. 6] (эта
последовательность является последовательностью частичных сумм
Ряда У f'n).
72 — 1
В заключение этого параграфа сформулируем и докажем ещё
одну теорему, также принадлежащую К. Вейерштрассу.
Теорема Вейерштрасса
Существует вещественная непрерывная на 1R функция, которая
нигде не дифференцируема.
Доказательство. Покажем, что если f: [а,6] —> R и f диф-
ференцируема в точке х е (a.b). то из условий a < am < х < ,Зт < Ь.
Функциональные последовательности и ряды
219
тп = 1.2......
lim (5m — am) = О
m—>oo
следует, что
3 Um /(^m) - = fl(xy
ТП-¥ОС — am
Для этого положим
__ 3m %
Am = 3 •
Pm
тогда 0 < Am 1. m = 1,2.......
Если am = x при всех достаточно больших значениях m, то до-
казываемое утверждение, очевидно, справедливо. Поэтому, не огра-
ничивая общности, можно считать, что am < х, m = 1,2...... При
таких условиях
/ (3m) ~ /(^т) _ \ _ X (f(Prn) ~~ f (х) _
3,п ~(Рт И ’ ~ т к Зт - X 1
41-Am)(/(QmW(Z)-/W)-
\ % /
При 77? —> ОС
/(Зт) ~ f№
Зт~Х
f'(x) и
/(Qm) ~ f(x) ,
%
поскольку lim Зт = Ит ат = х.
т-+ос т—>ос
Кроме того. Аш е (0.1] и 1 - Ап? € [0.1). т - 1.2. Поэтому
При 777 —> эс
/(.^)-/(am) _ 0
От — Рщ
Далее положим
. , f т. если х е [0.1];
х ~ 1 2 — т, если те [1.2].
Функция д непрерывна на отрезке [0. 2]. причем ^(0) -- д(2) -= 0.
Пусть V.r е R ^(.г) = р(х 2). тогда д: IR —> IR и д непрерывна на
IR. Теперь определим функцию /: R —> R. полагая Vz Е R
п=0 v 7
д(4'Д).
Так как Vr 6 R 0 < д(.т) < 1 и ряд 52 (3/^)" сходится, то по
»=о
признаку Вейерштрасса функциональный ряд. определяющий функ-
цию f. равномерно сходится на R. Поскольку Vz? Е No функция
(3/4)" д(4".г) непрерывна на R. то функция f непрерывна на R.
220
Глава. IV
Покажем, что функция f нигде не дифференцируема. Пусть
х 6 К (т фиксировано), тогда Vm е N 3!fc £ TL-. к < 4тх < к + 1
(достаточно положить к = [4mz]). Пусть ат = 4~тк и /Зт = 4-т х
х (к+1), тогда ат V х < 0т, причем /Зт—ат = 4~т —> 0 при т —> оо.
Рассмотрим числа 4пат и 4п/Зт. где п = 0,1.2. Если п > т,
то разность 4п/Згп — 4пат — 4п~т — целое четное число; если п =
= т, то каждое из этих чисел целое, а их разность’равна 1; если же
п < т, то между числами 4пат и 4п/Зт нет ни одного целого числа.
Поэтому
0, если п > т;
4п~т. если п т.
Значит,
f(0m)-f(am) = Е (Т)
71=0 ' '
так что
|/(^)-/(ат)|>
Отсюда следует, что
I f(0m) — f(otm) | 1 „т
Т" 7. ' ° • ,П ~~ 1 z.
I Pm |
Если бы функция f была дифференцируема в точке х. то
lim = 6 R
m-юс Dm - ат
и мы приходим к противоречию, так как |Зт —> -i-оо. Таким образом
Vr £ R не существует конечной производной f'(x). Это означает, что
функция / нигде не дифференцируема.
Построенный пример функции / принадлежит Ван-дер-Вар-
дену.
4.4.17. Следствие. Существует последовательность функций,
дифференцируемых на отрезке [а.Ь], равномерно сходящаяся на этом
отрезке к функции, нигде не дифференцируемой на [а, 6|.
Доказательство. Пусть / — функция, построенная в приме-
ре Ван-дер-Вардена (точнее, её сужение на отрезок [а.Ь]).
Такая функция непрерывна на [а, 6]. и поэтому по теореме Вей-
ерштрасса существует последовательность многочленов (всюду диф-
ференцируемых на [а. 6)). равномерно сходящаяся на отрезке [а. Ь] к
функции /. нигде не дифференцируемой на [а.Ь].
функциональные последовательности и ряды
221
4.5. Степенные ряды
Далее считаем, что Mz G С z° = 1.
4.5.1. Определение. Пусть {cn}, п = 0,1..... — комплексная
последовательность, и пусть z0 = const 6 С: z g С. Тогда функ-
циональный ряд вида
- z0)n
>1=0
называется степенным рядом. Числа сп называются коэффициента-
ми степенного ряда.
ос
4.5.2. Замечание. Степенной ряд 52 сп(2 — ~о)п при z = zq
n=0
сходится к сумме, равной со = const е (С.
4.5.3. Определение. Пусть 0 < lim х/|сД < +ос. Положим
п—>ос
R = ( lim Д/ с,, ) “1 (формула Коши-Адамара). тогда 0 < R < -эс.
n—tOC
Если lim С/|с„ | = +ос, то положим R = 0; если же lim v/|c„ | = 0.
п—>оо ' п—>ос
то положим R = 4-ос. Элемент й 6 R. назовем радиусом сходимости
степенного ряда 52 c»(z — ?о)п-
и -о
Всюду далее R — радиус сходимости этого ряда.
4.5.4. Утверждение. Если 0 < R < -f-эо. то степенной ряд
ОС
52 cn(z - zo)n сходится абсолютно при \z- z0\ < R и расходится при
п=0
lz — со) > R- Если R - 0. то этот степенной ряд сходится только при
z = z0: если же R = ~эс, то Vz <£ С такой ряд сходится абсолютно.
Доказательство. Пусть 0 < R < — ос. Положим «„ = cn (z —
— с0)'!. п = 0,1.тогда получим ряд 52 an- Если |z — zq| < R. то
n-0
lim lim \/|сД|г - z0| < 1
n —> DC n —> ОС
п согласно радикальному признаку сходимости Коши ряд 52 aп сх0'
_______________________________________________ п-0
дится абсолютно. Если же )z — Zo| > R. то lim ((/la,; | > 1 и согласно
тому же признаку этот ряд расходится.
Если R - 0. то lim х/|с» = эс и при z zq lim х/Э» | = -эс.
И—>ос и—>эс
гак что ряд 52 °и расходится. Если, наконец. R = —эс. то lim
__________ п=0 __
’\/'сп [ 0. и поэтому Vz е С lim \/|an = 0. Это означает, что
п—>ос
\/з G <С ряд an сходится абсолютно,
п -о
222
Глава IV
4.5.5. Замечание. Если 0 < R < -ьос и \z — 20| = Я. то о
ОО
сходимости или расходимости ряда У, Cn(z — zo)n в точке z, вообще
п=0
говоря, ничего сказать нельзя. Например, если сп — 1, п = 0,1,...,
и 20 = 0, то получаем ряд £2 г”, Для которого R = 1, и при jz| = 1
и—О
этот ряд расходится, поскольку равенство lim zn =-0 не может вы-
полняться.
Если сп = 1/п, п = 1,2,...; z0 = с0 =0, то получаем ряд
ОО
У zn /п, который расходится при z — 1 и сходится неабсолютно
п~1
при |z| = lHZ^lno признаку Дирихле, поскольку при таких
значениях z VN G N
N
n— 0
|1 -zN+1| 2
|1 - z| |1 - z\
и последовательность {1/п} — строго убывающая, причем
lim 1/п = 0. Если же zq = Со = 0 и сп = 1/п2, то соответству-
ющий ряд У zn/п2 сходится абсолютно при |z| — 1, так как ряд
п=1
оо
У 1/п2 сходится.
П— 1
4.5.6. Определение. Пусть г > 0 . Положим
Kr = {z G С | \z - z0| < г}; Kr = {z G С | |г - zq| г}.
Если, в частности, г = R > 0, то множество Kr называется откры-
ОО
тым кругом сходимости ряда У Cn(z — Zg)”.
п—0
4.5.7. Следствие. Степенной ряд при R > 0 сходится абсолют-
но всюду внутри своего открытого круга сходимости. Если R < -гос,
то этот ряд расходится вне замкнутого круга Kr.
4.5.8. Замечание. При R = 0 замкнутый круг Kr вырож-
дается В точку Zq. При Я = -! ЭС ОТКРЫТЫЙ круг СХОДИМОСТИ Kr
совпадает с комплексной плоскостью С.
Первая теорема Абеля о степенных рядах
Если ряд У cn(z — zo)n сходится при z — z\^ z0, то он сходится
п~-0
абсолютно при всех значениях z. для которых \z — zg| < - Zo|.
Доказательство. При условиях теоремы R > 0 и |zi — zg|
R. так что из неравенства |z —zg| < следует, что \z—Zg| < R-
Значит, при таких значениях z ряд сходится абсолютно.
4.5.9. Замечание. При R > 0 степенной ряд может сходиться
неравномерно в открытом круге сходимости. Например, для ряда
функциональные последовательности и ряды
223
5/ zn имеем 7? = 1 и Kr = Ki = {z £ С [ [г[ < 1}. Этот ряд сходится
л -=0
неравномерно относительно z £ /<i, так как при |г| < 1 и N £ IN
I 30 1гЛГ4-11
Ы*)| - Q2 *П =
ln=,Vil 1 1
при N —> ос неравномерно в открытом круге Ki, поскольку, напри-
мер. при z zn = 1 — 1/iV £ Ki. N = 1.2...., имеем |ддг| < 1 и
|г,у(гл)| = 7V(1 — 1/jV)a 1 -> оо при N —> ос.
4.5.10. Утверждение. Пусть R>0n0<r<R. Тогда
степенной ряд 52 с»(2 ~ 2о)" в замкнутом круге Кг сходится рав-
п--0
номерно и абсолютно.
Доказательство. Если \z — Zo| г < R, то в точке z этот
ряд сходится абсолютно. Кроме того, при п = 0.1....
|C„(z-zo)n|^ |с„|г".
'ЭС эс
причем ряд 52 К1Г" сходится, поскольку ряд 52 спг" сходится аб-
п—0 п-0
солютно (действительно, если z — Zq -г г. to |s — Zq| — т < R и
cn(z — го)" = с,,гп, п = 0,1....). По признаку Вейерштрасса равно-
ОС
мерной сходимости отсюда следует, что степенной ряд 52 cn(z ~~ ~о)"
________________________________________ п--0
сходится равномерно в замкнутом круге К,..
4.5.11. Замечание. Можно доказать более общее утвержде-
ние: если В > 0 и Е с Кд — замкнутое и ограниченное множество
точек из С. то степенной ряд 52 с«(г — ~о)” сходится равномерно
л—О
на Е. Действительно, согласно утверждению 4.5.10 достаточно до-
казать. что Зг € (0./?): Е С К,-. Предполагая противное, можно
утверждать, что Vr £ (0.7?) Зг £ Е: |z — ;0| > г. Так как Е С Kr,
то |г — 2о| < R-
Пусть В < - эс. Полагая при всех достаточно больших значе-
ниях n £ N г = r„ = R — 1/п £ (0.7?). получаем, что 3zri £ Е:
7? — 1/п < |г„ " ~о| < К Значит.
lim |z„ - z0| == В.
n—t'X.
Поскольку zn £ Е при всех достаточно больших значениях и &
У. и множество Е замкнуто и ограничено, то последовательность
{z„} ограничена, и поэтому содержит сходящуюся подпоследова-
тельность {г,, }. для которой 3 lim znk = г’. Так как zr,k € Е.
к - 1.2....и Е замкнуто, то г* € Е. Кроме того.
R ^liin \z„k - г0| = р* - г0|.
224
Глава IV
что противоречит условию Е С Kr, поскольку z* 6 Е. Пусть
R = +ос, тогда из ограниченности множества Е следует, что Зс > 0:
Е С Кг (т. е. при условии R = +ос, доказываемое утверждение спра-
ведливо без предположения о замкнутости Е).
4.5.12. Утверждение. Пусть R = н ос и степенной ряд
^2 с„(г — 2о)" сходится равномерно на всей комплексной плоское-
ти <С. Тогда Эпо € N: Vn > no сп = 0 (т. е. функция
f(z) = YlCn^z~ г°)"
п—0
является многочленом).
Доказательство. Предполагая противное, можно утверж-
дать, что существует подпоследовательность {cnfc} последователь-
ности {сп}, для которой сПк 0, k = 1.2.Согласно критерию Ко-
ши равномерной сходимости, полагая е = 1, получаем, что Зйо €
Vm.n € N Vz € <С
52 ci(.2~zoy
(m > n no) =>
\ /=п-*-1 I /
Если к > по, то Пк к > По. так что при п — п*.-1ит = Пк
имеем Уг € С
|сПА. ||г - г0ГА' < 1-
Однако сПк 7^ 0. и поэтому |cnfc| = const > 0 (т.е. |cnfc| не зависит
от выбора z е С). Так как Пк € N. то lim \z — гор* = +ос. что
противоречит неравенству |г — zo|'!k < 1-
4.5.13. Утверждение. Если для ряда
и 3 lim
Если
функциональные последовательности и ряды
225
если R > 0. Таким образом, при R > 0
3 lim
п—>оо
сп-ы(г - z0)"+1
сп(г - г0)"
\z - Zp|
R
Если \z — zq| < R, то по признаку Д’Аламбера степенной ряд
52 c„(z—zo)n сходится абсолютно. Если же при R < +оо \z—zq\ > R,
n-0
то этот ряд расходится.
В случае, когда R = 0, имеем lim |cn^i/cn| = -t-оо, так что при
п—>оо
z Zo
lim
п->оо
Cn4-l(z - Zo)n + 1
Cn(z - Z0)"
и наш степенной ряд расходится. Теперь равенство R = R следует
из утверждения 4.5.4.
Вторая теорема Абеля о степенных рядах
СЮ
Пусть ряд 52 cn(z — Zq)” СХОДИТСЯ при Z = Z1 7^ Zq. и пуст,
п=0
Е = {z0 + t(zi - z0) I t e [0,1]}.
Тогда этот ряд сходится равномерно на множестве Е (т.е. отрезке с
концами в точках zq и Zi).
Доказательство. При условиях теоремы R > 0. Если t €
е [0,1], то z = zo + t(zi - Zq) € E и
52 сД2 - 2o)n = 52 c"(zi - zo)ntn-
n=0 n=0
Достаточно проверить, что полученный ряд сходится равномерно от-
носительно t € [0,1]. Положим при t е [0.1] fn(t) = cn(zi - zo)n;
g„(t) = tn. n = 0.1... тогда получим ряд У /«(Ofl'n(i)- который
n=0
сходится равномерно относительно t е [0,1] по признаку Абеля рав-
номерной сходимости, поскольку ряд
52/n(t) - Zq)”
n--() n—0
сходится и притом равномерно на отрезке [0.1] (так как его члены
не зависят от выбора точки t е ]0.1]), а последовательность {gn}
равномерно ограничена на [0.1] (действительно. ]t"| < 1 при t С |0.1].
и £ No) и Vi е [0.1] Vn € No 0 < gn-i(t) < ffn(i))-
4.5.14. Следствие. Если при условиях второй теоремы Абеля
226
Глава IV
И |z — Zq| < Д1 — Zq| ИЛИ Zj = Z
/Д) = ^(V\Z - -о)"-
п=О
то lim /(с) = /(zi) (т. е. сужение функции f на множество Е непре-
2-»21
zeE
рывно в точке 21 6 Е).
Доказательство. Обозначая указанное сужение той же бук-
вой f, можно утверждать, что f непрерывна на множестве Е как
сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. В част-
ности, f непрерывна в точке zj € Е.
4.5.15. Замечание. Вторую теорему Абеля также можно
обобщить. Можно показать, что при её условиях степенной ряд
52 cn(z — zq)'1 сходится равномерно относительно z & F, где F —
п=0
множество точек открытого круга Кц. лежащих в угле, образован-
ном двумя хордами с концами в точке z, (вместе с самой этой точ-
кой) (здесь R = |zi — zqD-
4.5.16. Утверждение. Пусть R > 0 и при |z - zq| < R
f(z) = ^Cr,(z - z0)'1.
n=-0
Тогда функция f непрерывна в открытом круге сходимости Кц.
Доказательство. Пусть |z — zq| < Д. т.е. z 6 Кд. Зафикси-
руем точку z — z* с таким свойством. Тогда Зг G R: |z*—zq| < г < R.
Согласно утверждению 4.5.10 степенной ряд 52 с,г(; — zo)'! сходится
п=0
равномерно относительно z 6 Кг. и поэтому функция f непрерывна
на Кг как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функ-
ция. Поскольку z* 6 К,. С Кг. то z* — внутренняя точка замкнутого
круга К,.. Значит функция f непрерывна в любой точке z* G Кд и.
тем самым, непрерывна в А'д.
Далее будем рассматривать случай, когда z = х g R п Со =
= То £ R (при этом с„ £ С. и = 0.1.. В этом случае получаем
ряд 52 с’п(-с ~ •i’o)'i- который сходится абсолютно при |.г — д’0| < R.
п - О
т.е. д’ £ До — R. .ту — R). в предположении, что R > 0. Интервал
(.го — R. .Гц - R) называется интервалом сходимости степенного ряда
52 С„(.г - .Го)'!.
п^О
Если R < —эс и |,2’ — J"o| > R- т.е. .г € ( — эс.а’о — R) или .г G
£ До Д- —эс). то в точке т этот степенной ряд расходится. Все
Функциональные последовательности и ряды
227
изложенные в этом параграфе результаты с соответствующими из-
менениями в формулировках переносятся на этот случай.
Теорема Абеля
ОО ОО ОС
Пусть ряды У) an; Ъп; У/ сп сходятся к суммам А, В, С
п=0 п=0 п=0
соответственно, и пусть
п
Сп — Cl k Ьп—к > 72 = 0, 1.... .
к=0
Тогда С = АВ.
Доказательство. Пусть при х € [0,1]
ОО ОС оо
А(х) = апхп\ Д(т) = С(х) = У спхп,
п=0 п=0 п=0
тогда
п
CnXn = У^акХкЬп-кХп~к, п = 0,1....,
k=0
причем при 0 < х < 1 все три степенных ряда сходятся абсолютно.
Согласно теореме Мертенса отсюда следует, что при таких значе-
ниях х С(х) = А(х)В(х). Поскольку по второй теореме Абеля о
степенных рядах
lim А(х) = А(1) = A; lim В(х) = В; lim С(х) = С.
х—>1— X—>1— X—>1 —
то, переходя к пределу при т —> 1— в полученном равенстве, полу-
чаем, что С = АВ.
4.5.17. Замечание. Прямое обращение второй теоремы Абеля,
вообще говоря, неверно. Например, если То = 0; сп = (—1)". п =
= 0,1,..., то
1
п—0
1 + X
при х 6 (—1.1). так что. полагая ад = 1. видим, что этот степенной
ряд расходится в точке 1. хотя 1/(1 — х) —> 1/2 при х —7 1—.
Однако справедливо следующее утверждение.
4.5.18. Утверждение. Пусть сп 0. п = 0.1...ряд У) спхп
п—0
сходится при — В < х < R < +эс и 3 lim ( У c„xn I = 5 € R.
Тогда
^cnRn = S.
и - О
228
Глава IV
Доказательство. Не ограничивая общности, достаточно
рассмотреть случай, когда R = 1. Кроме того, достаточно прове-
рить, что ряд 22 cnRn сходится, поскольку тогда по второй теореме
71—0
Абеля сумма этого ряда будет равна S. Пусть
7?
Sn = Удь п = 0,1.......
fc=0
Поскольку сп 0, п — 0,1,.... то достаточно доказать, что последо-
вательность {Sn} ограничена сверху. Пусть, далее,
S(t) = У^СпХп
П--0
при 0 < х < 1 и
S„(x) = 57 скхк
k=0
при 0 х < 1; п =0.1,.... Тогда Sn = Sn(l). п = 0,1... Далее
имеем Vn € No Vt е [0.1)
Sn(x) = ^Рскхк S(t).
а- о
Кроме того. 3 lim S(t) = S. Но тогда в силу монотонности функ-
ции 5(т) на полуинтервале [0.1) и теоремы о пределе монотонной
функции S = sup {S(t)}. и поэтому Vt € [0,1) S(x) S. Следова-
ze(o.i)
тельно. Sn(.r) S(t) S < - эс. так что S,, = S„(l) = lim Sn(x) <
х—>1 —
=% S < т эс, п = 0.1. Это означает, что последовательность {Snj
ограничена сверху.
Теорема о почленном дифференцировании степенного
ряда
Пусть R > 0 и Vt е (т0 - R. т0 - R)
= 52с'1^’ ~
п-0
Тогда функция f дифференцируема на интервале сходимости и
Vt е (т0 — Л. т0 - R)
f'(-r) = = 1)с„_ i(t - т0)".
Функциональные последовательности и ряды
229
Доказательство. Пусть R* — радиус сходимости степенно-
го ряда
+ 1)сп+1(х - Т0)”,
п—О
тогда согласно формуле Коши- Лдамара
R* = Hm ( \/(?i + l)|cn+i|) = Kin ( v/lcn+il) =
n-юс \ / n-»oo \ /
/ __ / , , .----\ (n+l)/n\ —1 / ___________-1
= lim п+У|сп+1| = ( lim п+Ж7П) = Я
(равенство R* = R верно также в случае, когда R = +оо, т. е.
lim у/сД = 0).
п—>ос
Если х* € (tq — R.x0 + R), то |т* — то| < R, и поэтому Зг G R:
|гс* — гео | < г < R. Следовательно, х* — внутренняя точка отрезка
[tq — г. то + г] С (то — R,xq — R). Используя аналог утверждения
4.5.10 для случая, когда z = х е R и z0 = х0 е R, получаем, что ряд
ОО
^2(п + 1)сп-1(т - То)"
п=0
равномерно сходится на этом отрезке. По теореме о почленном диф-
ференцировании функционального ряда отсюда следует, что функ-
ция f дифференцируема на указанном отрезке и Vt е [т0 - г. xq + г]
/'(®) = - 1)спх1(т - то)".
п=0
В частности, это верно при т = т*. Так как т* — произвольная точка
интервала сходимости (то — R. То R). то это равенство справедливо
Vt £ (то — Я, то — R), так что функция f дифференцируема всюду
на этом интервале.
Теорема о почленном интегрировании степенного ряда
Пусть Vt е (т0 — R.x0 + R)
Р! \ - V" ~ Х0)"
Е(.т) = --------.
П— ]
Тогда, функция F является первообразной для функции
/(^) = 52с„(т-т0)"
п - 0
на интервале сходимости (т0 — Я, т0 + Я), удовлетворяющей условию
Я(т0) = 0
230
Глава IV
Доказательство. По предыдущей теореме Va- е (хо ~ R-
х0 -t- R)
F'(X) = = ^сДх-Хо)" = /(х).
п=1 п=О
причем при х = Хо все члены ряда
(х - Хо)П
у Сп-\-----—--
п
п=Л
обращаются в нуль. Значит. F(xo) = 0.
4.5.19. Следствие. При условиях теоремы о почленном диф-
ференцировании степенного ряда функция f бесконечно дифферен-
цируема на интервале сходимости, причем Vx € (хо — R,Xq R)
Vk е N
/(fc)(x) = ^(п -ь 1) • • • (n - k')cn~k(x - хо)п.
п^О
В частности, при х = xq /^(хо) = k\ck. к — 0,1.
Доказательство. При к — 0 /^°\хо) = f(xo) = cq, поскольку
01=1. При к ~ 1 утверждение следствия совпадает с утверждением
указанной теоремы.
При произвольном к € N это утверждение устанавливается с
помощью метода математической индукции: при этом возможность
индуктивного перехода от значения к к значению к + 1 основывается
на той же теореме.
4.5.20. Определение. Пусть Xq G JR и f — комплексная функ-
ция. определенная в окрестности W(xo). Говорят, что функция f раз-
лагается в степенной ряд в этой окрестности (по степеням х — xq),
если существует комплексная последовательность {cn}, п = 0,1.
такая, что Vx € Ы(хо)
f(x) = £с„(х -х0)".
п—0
4.5.21. Замечание. Если функция f разлагается в степенной
ряд в окрестности C'(xq) (по степеням х — xq). то это разложение
единственно (т. е. все коэффициенты с„ но заданной точке xq и за-
данной функции f определяются однозначно). Кроме того, функция
f бесконечно дифференцируема в этой окрестности.
Действительно, при п =0.1....
Единственность коэффициентов имеет место п при более слабых
предположениях (см. ниже теорему' единственности).
Функциональные последовательности и ряды
231
4.5.22. Пример. Пусть
f(v\ = f ехр(- 1/z2) при х 0;
\ 0 при х = 0.
Выше было установлено (см. пример 3.3.12), что Vn е No 3
/^п\0) = 0. Полагая хо = 0 и рассматривая произвольную окрест-
ность W(0) точки 0, можно, таким образом, утверждать, что функция
f бесконечно дифференцируема в окрестности U(0) (существование
производных всех порядков функции f в любой точке z 0 уста-
навливается с использованием метода математической индукции и
теоремы о производной сложной функции). Однако f не может раз-
лагаться в степенной ряд в этой окрестности (по степеням х).
Действительно, в противном случае Vz С /7(0)
ОО
/(*) = 52спЖп,
п-= 0
причем сп = = 0, п = 0,1,..., так что Vz е U(0) /(z) = 0 —
противоречие (при z / 0 /(z) > 0).
4.5.23. Определение. Пусть f — комплексная функция, бес-
конечно дифференцируемая в окрестности W(zq) точки Zq € R. Тог-
да степенной ряд
называется рядом Тейлора функции f (если, в частности, zq = 0, то
этот ряд называется рядом Тейлора-Маклорена).
4.5.24. Следствие. Если функция f: Z7(zo) —> С разлагается
в степенной ряд (по степеням х — хо) в окрестности Z7(zq), то этот
ряд является её рядом Тейлора.
4.5.25. Утверждение. Пусть f — вещественная функция, бес-
конечно дифференцируемая в окрестности W(zq) точки xq G R. Для
того чтобы функция f разлагалась в ряд Тейлора в этой окрестнос-
ти. необходимо и достаточно, чтобы Ух € 7/(zq)
lim 7?n(z) = 0.
n—>оо
Здесь (z) — остаточный член n-го порядка формулы Тейлора для
функции f в точке х.
Доказательство. Согласно формуле Тейлора имеем Vn G N
Vz е ZV(zo)
/(x) = ^^^(z-z0)^R„(z).
k~-0
232
Глава IV
= —^(x-x0)n
ni
и значение £ заключено между х и xq. При п —> ос получаем, что
равенство
/И = 2^—fci—(^-^о)
fc=O
справедливо тогда и только тогда, когда
lim 7?п(х) = 0.
п—>эс
4.5.26. Утверждение. Пусть при условиях предыдущего
утверждения ЗС = const >0: Vn G N Vx е Z/(xq)
|/(n)(x)| с".
Тогда функция f разлагается в ряд Тейлора в окрестности Шхо).
Доказательство. Достаточно показать, что Vx € U(xq)
lim 7?n(x) = 0. Имеем Vn € IN Vx € ZV(xq)
n! n!
Аналитические функции вещественного переменного
4.5.27. Определение. Пусть G С R: G открыто в R и ft
G —> С. Функция f называется аналитической на множестве G. если
она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой
точки этого множества.
4.5.28. Замечание. Функция /. аналитическая на множест-
ве G. бесконечно дифференцируема на этом множестве (обратное
утверждение, вообще говоря, неверно).
Лемма об изменении порядка суммирования двойного
ряда
Пусть {a,,,,,}, n. m - 0.1. - двойная последовательность
комплексных чисел (т.е. отображение Nо х До в С/ и пусть
|е,пп| < эс. г? — 0.1.......
in — 0
и ряд 52 Ъп сходится. Тогда
п -О
и все фигурирующие здесь ряды сходятся.
функциональные последовательности и ряды
233
Доказательство. Пусть Е — счетное множество попарно
различных точек xq, Xi, ... из R, и пусть lim xk = Xq. Положим
к—»оо
/п(^о) — О'ПШ',
т=0
к
fnfak) — ^птч — 0. 1, . . . k — 1,2, ... 5
т=0
оо
= ^fn(x), хеЕ.
п=0
Последний ряд сходится \/х 6 Е. Действительно, поскольку |а„т| <
< Ьп, п, т = 0.1,..., то каждый из рядов 52 anm, т = 0,1,..схо-
п=0
оо
дится по признаку сравнения I; так как ряд 52 Ъп сходится. Поэтому
п - О
ос
каждый из рядов 52 fn(xk), к = 1,2,.... сходится как конечная сум-
п=0
ОО
ма сходящихся рядов 52 anm, "г = 0,1,... ,к. Кроме того, ряд
п=0
' fn(Xo) = ' I dnm j
71=0 72=0 \m—0 /
также сходится, поскольку
^ПГП 1^72772 | = ^711 = 0. 1, ... ,
ЭС 772 = 0 772 = 0
И ряд 52 сходится.
72 = 0
Далее, так как каждый из рядов 52 anm, п = 0,1........сходится
772=0
(и даже абсолютно), то lim /п(хк) = До), т. е. каждая из функций
к—>оо
fn: Е —> С, п = 0.1........ непрерывна в точке Жд. Имеем Vx G Е
V/7 е Ng I/Дх) О Ьп. и так как ряд 52 сходится, то по признаку
77—0
Вейерштрасса функциональный ряд 52 fn сходится равномерно на
72— 0
Е к функции д. Следовательно, функция д непрерывна в точке xq.
т.е. lim = д(хд). что равносильно равенству
234
Глава IV
Действительно, при к = 1.2....
оо / к \ к / оо \
У? I У?йпт) = Е (Еапт I
и—0 \т-0 / т—0 \п—0 /
по теореме о сумме сходящихся рядов.
Теорема об аналитичности суммы степенного ряда
Пусть R > 0 и Vx 6 (rco — R.xq + R)
= Е Сп(х ~ х°')п •
п=0
Если Xq — R < a < Xq R. то функция f разлагается в степенной
ряд в окрестности точки а радиуса, равного R—\a — xo\ (по степеням
х — а), т.е. при |х — а| < R — |а — а:о|
м = Ё
777 =0
Доказательство. Прежде чем доказывать эту теорему, за-
метим. что её утверждение означает, что сумма f степенного ряда
является аналитической функцией на интервале сходимости (это бо-
лее сильное свойство по сравнению со свойством бесконечной диф-
ференцируемости функции /).
Пусть |я? - а| < R - |а - до|- тогда |т - т()| |х - а| +- |а - zq| < R.
так что х е (xQ - R.xq R) и
/О’) = ^2с„(т - х0У' = ^сп((х - а) ч (а-2?0))п =
77=0 77 = 0
= Е (Е - ^о),!-т)
77=0 \т=0 /
(полагаем Су = 0 при m > п). Если в полученном двойном ряде
можно изменить порядок суммирования, то
fM = Е (Е ) о- - «)т-
777=0 \77 = 777 /
Полагая k = и — m 0. получаем
£ с;;'сд« - .Го)'1-т V - хаУ. п, -- о. i.
2klmi
n -т А—0
и поэтому
30 (т — п^т
fM = Е ~--------Е^ - О • • • (А’ - iii)c„, к(а - то/’ =
т О ’ А-_()
функциональные последовательности и ряды
235
так как согласно следствию 4.5.19
/^m)(a) = £(fe — 1) • • • (fc + m)cm+t(a — z0)fc, m = 1,2....
k=0
(эта формула справедлива и при m = 0, если произведение (fc +
— 1) • • • (fc -f- m) заменить на (m + fc)!/fc! = 1).
Изменение порядка суммирования согласно доказанной выше
лемме оправдано, если ряд
£ ( £ \?пС™(х - a)m(a - л.-о Г - ) =
п=0 \т=0 /
ос п оо
= £ Ы £ C^\a - *o|n-m|z - a|m = £ Ы(1* - a| + |a - *о|)"
n=0 m=0 n=0
сходится. Сходимость этого ряда следует из неравенства
- a| + |а - т0| < R,
поскольку в интервале сходимости степенной ряд сходится абсо-
лютно.
4.5.29. Замечание. Из доказанной теоремы следует, что ра-
диус сходимости степенного ряда
)-
771=0
не меньше, чем R — |а — то|. В действительности возможен случай,
когда этот радиус больше, чем R — |a — То|. В этом случае функцию f
можно аналитически продолжить за пределы интервала сходимости
(.то — R.xq + R)- полагая её значения в соответствующих точках х
равными сумме этого степенного ряда.
Теорема единственности
Пусть степенные ряды
£ ап(х - х0)п и £ Ьп(,г - л’о)"
71=0 П —0
сходятся в интервале (то — R.xq R'i. и пусть
Е = < .7’ е (.7’0 - R. .7’0 + R)- £ ап(х - .7'0.)" = £ ьп(х - ,7’о)” > •
t 71 = 0 77 = 0 J
Если множество Е имеет хотя бы одну предельную точку, принад-
лежащую этому интервалу, то ал = Ьп. п = 0.1........ и поэтому
236
Глава IV
Vx е (х0 — R.xq + R)
52 M-r - zo)n = 52 bn^x ~ Х°^П-
n=0 n=0
Доказательство. Пусть cn = an — bn. n = 0,1...... и V.r €
€ (a?o - R. x0 - R)
f(x) = 52 “ ж°)”'
n—0
тогда Vrr 6 E f(x) = 0. Пусть Gi = E' A (,ro — R.x$ — R); Go =
= (.r0 - R. Xq - R) \ Gy (здесь E' - множество всех предельных точек
Е). По условию Gy У 0. Кроме того. Gy U G? = (яд — R-Xq + R)
и Gy П G2 = 0. Так как (Е'У = Е'. то множество Gy замкнуто
в (х0 — R.xq -t- /?) и поэтому Go = (то — Я.xq — R) A (R \ Gi) —
открытое множество. Если a G Gy. то Xq — R< a< Хо — R и согласно
теореме об аналитичности суммы степенного ряда
/(ж) = 52 d™(X ~
ТП—0
при Д - a\ < R - \а - го|. Покажем, что dm = 0. т = 0,1,....
Предположим, что 3m € No: dm 0. Пусть к = min{m G Nq:
dm У 0}. тогда /(т) = (.г - а)кд(Е), где
рД) = 52 dk+m(x - а)"1 при Д - а\ < R - |а - т0|.
т=0
Функция 9 непрерывна в точке а и д(а') = dk У 0. Поэтому
35 > 0 : при Д - а| < дд(х) У 0. Следовательно, при Д - а| < 5
и .г Д a f(x) = Д — а)кд(х) Д 0. Так как о е Gy. то а е Е'. так
что Д/Да) П Е) Д 0. Пусть Ху 6 (ДДа) П Е). тогда f(xy) Д 0, что
противоречит условию яд € Е. Таким образом. dm = 0. т = 0.1..
и поэтому f(x) -- 0 при Д — а | < R — Д — ж0|- Значит, 3Z7(a) С Е. Но
тогда W(a) С Е'. поскольку окрестность Ы(а} — открытое множество.
Следовательно. U(a) С Gy. так что G; — открытое множество (явля-
ющееся также замкнутым). Используя утвс'рждение 1.6.33 с заменой
R на интервал (.То — R.xyy ~ R). получаем, что тогда либо Gy = 0.
либо Gy = (i'o — R.xo — /?) (в последнем случае G3 = 0). Так как по
условию Gy Д 0. то Gi (ад — R. хо - R). т.е. (,т0 — R. х{у - /?) С Е'.
Поскольку функция / непрерывна на пнтервале(.Го — R.xq R) и
Vi* е Ef(x) = 0. то V.r € (ад — Я. .то — R) f(x) - 0. и поэтому
со = /(то) -- 0 и сп — /("’(.Ги)/п! = 0. п = 1.2. Это означает,
что ан = Ь„. п = 0.1...
4.5.30. Пример. Пусть /(.г) — е7'. х е R: ,т0 --- 0. Согласно
формуле Тейлора с остаточным числом в форме Лагранжа Vn е N
функциональные последовательности и ряды
237
\/х О
е- = £^ + ад.
k=O
Здесь /(fc)(O) = 1, к = 0.1,..., так что
е^ = Е^ад,
k=O
где
fM^xn _ ±хп
I Ivc •
п! п\
Поскольку значение £ заключено между 0 и х, то 0 < е? е^,
и поэтому |1?„(гг)| < е^ \х\п/п\ 0 при п -> оо. Следовательно,
Vt € В
(при х = 0 это тоже верно). Этот степенной ряд сходится абсолютно
Vt € R и называется экспоненциальным рядом.
В частности, при т = 1
ос к п-1
е = Е Н = Е г + я^1)-
к' к\
к^О к=0
где
е 3
0< йп(1) < - < -. п = 1.2....
тг! п!
4.5.31. Пример. Имеем Vt € ( — 1:1)
По теореме о почленном интегрировании степенного ряда получа-
ем. что
k О А-- 1
При т = 0 отсюда выводим, что значение с равно нулю. Таким
образом. Vt е (—1:1)
1п(1 + т) = £(-1Л1у
к-1
(логарифмический ряд).
238
Глава IV
Если х = —1. то логарифмический ряд расходится. Если же
х = 1, то он сходится по признаку Лейбница и притом неабсолютно.
Используя вторую теорему Абеля, находим, что
3 lim In(l — а;) = 1п2 = У^(—
г-н- к
к=-1
Значит, разложение функции 1п(1 +х) в логарифмический ряд спра-
ведливо и при х = 1.
4.5.32. Пример. Пусть a = const € R. и пусть д(х) = (1т т)'1
при — 1 < х 1: а?о = 0. Положим С" = -------------)--------
гл!
п — 1,2...., С & = 1. Числа называются обобщенными биноми-
нальными коэффициентами.
Рассмотрим так называемый биноминальный ряд
п—О
При х = 0 этот ряд сходится к сумме, равной 1. Пусть х 0. Если
a € Nq. то биноминальный ряд согласно формуле бинома Ньютона
сходится к сумме д(х) = (1+ а?)“. поскольку при п > о - 1 Q1 = 0.
Далее будем считать, что a No- тогда
Если х е (-1:1). то по признаку Д'Аламбера биноминальный ряд
сходится абсолютно. Пусть Vx ё ( — 1:1)
/(т) = £С"г".
72=0
тогда по теореме о почленном дифференцировании степенного ряда
f(a-)=£cr1k -ik".
п=0
и поэтому
(1 - -О/'к) = £ С"' 1(п - 1)т" - £ с^х" =
п- 0
-a - £((п- 1)СГ] - nC")z"
72 -1
Так как ](н - 1) - С£п = аС”. п =1.2...........то
(1 - x)f'(x) = а ( 1 - £ С"т" ) == а/(.г).
\ п 1 /
функциональные последовательности и ряды
239
Значит. Vx G (—1:1)
(LYг)га~1 ~~ /Wg'G'r) _ п
\gj w (1+х)2“
поскольку д'(х') = а(1 4- .с/’"1.
Итак, при указанных значениях х/(х) — сд(х) = с(1 4- х)“, где
с = const е К.
При I — 0 /(0) = 1 = с1а = с. т. е. с = 1. Мы доказали, что
Vx € (—1:1)
п~=0
Если |х| > 1, то при а No биноминальный ряд расходится по
признаку Д'Аламбера.
Пусть |х| = 1, и пусть a > 0 и a N, тогда
1С"_'1хп4-1| |а — n| п—а
| С™хп | п 41 п — 1
Так как
п — а a J-l (1 \
-------------- = 1 с о — при п —> эс.
П 4- 1----------------П---\ П J
причем а- 1 > 1. то по признаку Раабе биноминальный ряд сходится
абсолютно. Согласно второй теореме Абеля при а > О
limjl + x)Q = 2° = и lim (1-х)а =0 = ^(-1)пС".
п-0 п=0
Итак, при а > 0 и х € [-1:1]
£С"х"-(1-х)п.
п- О
Пусть о < 0и|х| = 1. Если .г - —1. то биноминальный ряд расходит-
ся. так как lim (1 - .r)n = —эс. Если же z = 1. то при a G ( — 1-0)
биноминальный ряд сходится неабсолютно, а при о — 1 расходится
(что нетрудно проверить непосредственно).
4.6. Показательная и тригонометрические
функции в комплексной области
4.6.1. Определение. Vt G С
е"
240
Глава IV
4.6.2. Замечание. Сходимость экспоненциального ряда в этом
определении (и притом абсолютная) при z / 0 следует из признака
Д'Аламбера, так как
zn+1n!
zn(n + 1)!
——— —> 0 при п —> ос.
п+1
Функция е2 называется экспонентой. Пишут е2 = exp(z).
Если, в частности, z € R, то новое определение функции е2
совпадает со старым определением (см. пример 4.5.30).
Теорема сложения
Vzi,32 6 С
е21-22 =ег1е22
Доказательство. По теореме Мертенса
е21е22
~т Jc-m
Z1 z2
m! (к — пг)!
оо - к оо / , \к
= Е Дг) = ег,тг2.
к=0 ‘ т=0 к=0
(в предпоследнем равенстве использована формула бинома Ньюто-
на).
4.6.3. Следствие. Vz Е С ег 0.
Доказательство. Если 3z ЕС: ег = 0, то 0 = еге~г = е° =
= 1 — противоречие.
4.6.4. Утверждение.
Доказательство. Если |z| 1, то
30 ,n °° I _ I п х <‘п—2
п=2 п-2 п — 2
Если, кроме того, z ф 0. то |(е2 - l)/z - 1| |z| —> 0 при z -> 0:
z € С. Отсюда следует, что
е2 — 1
3 lim --------- 1.
z-»0 z
4.6.5. Следствие. Vn 6 X Vz 6 С
(е2)" = е"2.
Это равенство доказывается методом математической индукции
с использованием теоремы сложения (имеем Vn € N Vz 6 С (е2)" rl =
= (е2)пе2 и если (е2)" = еП2, то (е2)""1 = (е2)пе2 = <^П | ^2).
функциональные последовательности и ряды
241
4.6.6. Утверждение. Пусть Е с С: Е — ограниченное мно-
жество. Тогда экспоненциальный ряд сходится равномерно относи-
тельно z € Е.
Доказательство. По условию
Зг > 0: Vz € Е (|z| г) => (z € Кг).
На замкнутом круге Кг экспоненциальный ряд сходится равномерно,
поскольку для этого ряда В. = -гос. Следовательно, он равномерно
сходится на множестве Е.
4.6.7. Следствие. Экспонента является непрерывной функци-
ей на всей комплексной плоскости (в силу равенства R = -too).
4.6.8. Следствие. Vz € С
ои 1-2 — Р2
lira - = е2.
u-О и
иеС
Доказательство. Имеем по теореме сложения еи+г = еиег,
так что
eu-rz _ ez eu-l . „
= е > е при и —> 0: и € С.
и------------и
4.6.9. Определение (Л. Эйлер). Vz € С
ег2 т е~!г . егг — e~’z
cos z = - -; sm z = — .
4.6.10. Следствие. Vz € С
е1г = cosz -т isinz.
4.6.11. Следствие. Vz £ С
cos2 z — sin2 z = 1.
Действительно, согласно теореме сложения
2 е2'2 — е'212 - 2 . 2 е2гг
cos z =---------------: sin z ---------
4
4.6.12. Следствие. Функции cos и sin
комплексной плоскости.
4.6.13. Утверждение.
sine
lim --- = 1.
г-0 Z
2ёС
Доказательство. Имеем
— e 2,2 — 2
’’
непрерывны на всей
lim — lim ——
z-o Z г-0 2lZ
поскольку lim егг == е° == 1.
' Z-0
е2'2 - 1
= Inn —---------
г-о 2ize'z
zeC
о2'2 - 1
г6С
242
Глава IV
Полагая и = 2г z —> 0 при z —> 0; z ё С, получаем по теореме
о пределе сложной функции
4.6.14. Утверждение. Vz ё (С
00 72fe ос ^2fc-H
Доказательство. Имеем Vz ё С
П- ’ п-
п—0 п—0
Если п = 2к, к ё No, то г" = (—l)fc; если же п = 2fc+l, то гп = г(—l)fc.
Подставляя значения гп при п = 2к и п = 2к -1- 1, к = 0,1....,
получаем разложения функций cosz и sinz в степенные ряды, вы-
писанные выше.
4.6.15. Следствие. Если z = х ё R, то (cosz) € JR и (sinz) ё
ё IR, и поэтому | cosz| < 1 и |sinz| 1.
Действительно, Vz ё R cos2 z — sin2 z = 1, так что 0 cos2 z =
— 1 — sin2z 1; аналогично и для функции sinz.
4.6.16. Следствие. Vz ё JR
Re(e“) = cosz; Im (егж) = sinz; |e“| = 1.
Действительно. e“ = cosz—sinz. так что |егх| = v cos2 z + sin2 z = 1.
4.6.17. Замечание. Если n ё N. то при n —> оо
... en + e-n . ,4 e~n - e”
cos(m) =---------> oc: sin(m) =-----------> co,
2 v ' 2i
так что функции cos и sin не ограничены на комплексной плоскости.
4.6.18. Следствие. Vz ё С
(cos z -t- i sin z)n = cos(nz) + i sin(nz)
(формула Муавра).
Действительно, достаточно заметить, что егг = cos z ->- i sin z со-
гласно следствию 4.6.10. и далее воспользоваться следствием 4.6.5.
заменяя в нем г на iz (здесь п ё N).
4.6.19. Следствие. Если г = х — iy. х,у е JR. то Не(ег) =
-- e'rcosy: 1т(ег) = ехзтг/ и |ег| = ех = eRez.
4.6.20. Следствие. Функции cos и sin (точнее, их сужения
на JRJ бесконечно дифференцируемы на IR (и даже являются на IR
аналитическими функциями).
Это непосредственное следствие утверждения 4.6.14. если заме-
нить в нем z ё С на х ё JR.
функциональные последовательности и ряды 243
---------
4.6.21. Утверждение. Vn € N \/х 7 0, х G R,
"Д (“l)kX2fe v~'1 (~l)fc.r2*:+1
cosx = 22~-(2i^r^R'^- sinz=22+Rn(x).
где
_(-ir_cosj 2„. ~ (.-.1).гасо.Й 2nM
(2n)! ’ n[ ’ (2n)!
и значения £ и £ заключены между 0 и х.
Выписанные формулы суть формулы Тейлора для функций cos
и sin при Хо = 0 с остаточными членами n-го порядка. При их
выводе следует учесть, что sin'(x) = cosx: cos'(x) = — sinx (эти
соотношения следуют из определения производной и утверждения
4.6.13 с заменой в нем z € С на х G R; для их вывода можно также
использовать утверждение 4.6.14 с такой же заменой и теорему о
почленном дифференцировании степенного ряда).
4.6.22. Утверждение. Vz.u G С
cos(z + u) = cos z cos и — sin z sin u:
cos(z — u) = cos z cos и + sin z sin u:
sin(z u) = sin z cos u -t- cos z sin u:
sin(z — u) = sin z cos u — cos z sin u;
cos( — z) — cos z: sin(—z) = — sin z: cosO = 1: sin0 = 0.
Все эти соотношения следуют из определения 4.6.9 и теоремы
сложения.
4.6.23. Замечание. Нетрудно проверить, что Vz е <С е2 =
- lim (1 — z/n)" (в случае, когда z = х G R. это равенство следует
п—>эс
из соотношений
1 Л х\п 7 Л х
In ( 1 -I— — nln Iй — ~ п— = X.
\ п/ \ п/ п
справедливых при х / 0 и п —> эс).
4.6.24. Определение. Пусть с € С. Тогда
sine .
tg z = ----. cos 2 0:
cos z
cosz . .
etg z = —--. sm z 7^ 0:
sm z
t e2 - e 2 sh - - eC ’ e '
<h,_ 2 . 2
, shz thz = . ch z 0:
ch z _ ch z Ctll2 = — . sh z . shz^O.
244
Глава IV
Эти функции называются соответственно тангенсом, котанген-
сом, гиперболическим косинусом, гиперболическим синусом, гипер-
болическим тангенсом и гиперболическим котангенсом. Заметим,
что Vz € С
ch2 z — sh2z=l и ch z + sh z = ez.
Кроме того, Vz € <C
cos(iz) = chz; sin(fz) = ishz.
Если z — x + iy. x, у E R, to
cos z = cos x cos(jy) — sin x sin(iy) = cos x ch у — i sin x sh у,
так что
| cos(a; -4- гу)| = \Jcos2 x + sh2 y;
sin(a; + iy) = sinzcos(zy) t- cosrsin(iy) — sin arch у + i cos x shy,
так что
| sin(x — iy)\ = yjsin2 x + sh2 y.
Число 7Г
Рассмотрим функцию cos на отрезке [0, 2]. Имеем cos 0 = 1 > 0 и
~ 24тх2 / 4 \ cos 2 = 1 - > 1 1 1 '0 (4m 4- 2)! (4m -г 3)(4m -1- 4) /
При тп = 1,2,... ^1<1, (4т — 3)(4т + 4) 14
так что п , 22 ( 4 \ 1 cos 2 < 1 - — 1 — — ) = --<0. 2! \ 12/ 3
Функция cos непрерывна на отрезке [0.2]. и поэтому соглас-
но теореме Вейерштрасса о промежуточных значениях непрерывной
функции Зато G (0.2): cosz0 = 0.
Пусть Е = {.)' > 0: cost = 0}. тогда Е / 0. так как Xq G
G Е. Следовательно SinfE 0. Покажем, что inf Е > 0. Пред-
полагая противное, имеем inf Е — 0 Е. и поэтому inf Е — пре-
дельная точка Е. Но тогда 3 последовательность {т,г}. такая, что
х„ £ Е. п -- 1.2..... и lim хп = 0. Поэтому coszn — 0. п =
п—>эс
= 1,2.... Так как функция cos непрерывна в нуле, то cosxn =
— cos 0 ~ 1 и мы получили противоречие. Итак, inf Е > 0.
Покажем далее, что (inf Е) G Е (и поэтому cos(infЕ) — 0).
Действительно, если (inf Е) £ Е. то inf Е — предельная точка Е и
cos(inf Е) Д 0. Выбирая последовательность {т„} так. чтобы хп € Е.
функциональные последовательности и ряды
245
п = 1.2,.... и lim xn = infЕ. имеем cosif! = 0. п = 1.2........ и
Z7—>ЭС
cosin = cos(inf Е) 0, и мы опять приходим к противоречию. По-
этому (inf Е) е Е, так что cos(inf Е) = 0.
4.6.25. Определение.
тг = 2 inf {ж > 0: cost = 0}.
4.6.26. Следствие. 0 < тг < 4 и costt/2 = 0.
Действительно, поскольку тг/2 = inf£ то и то € (0,2), то
тг/2 < 2, так что тг < 4.
4.6.27. Следствие. Ух € [0,тг/2) cost > 0.
Доказательство. Допустим, что 3ti € (О.тг/2): costi = 0.
Тогда S Е, и поэтому ад inf Е = тг/2 — противоречие. Значит,
Ух € [0,тг/2) cost 0, и поэтому cost > 0 (действительно. cosO =
= 1 > 0 и. если Зт' £ (О.тг/2): cost' < 0, то Зт" € (0, т') С (О.тг/2):
cost" = 0 — противоречие).
4.6.28. Следствие. Функция sin строго возрастает на отрезке
[0. тг/2] от sin 0 = 0 до sin тг/2 - 1. Функция cos строго убывает на
этом отрезке от cosO = 1 до costt/2 -= 0.
Доказательство. Имеем Ух € [0, тг/2) sin'(T) = cost > 0, так
что функция sin строго возрастает на отрезке [О.тг/2]: в частности,
Vt £ (0, тг/2] sinT > 0. поэтому cos'(t) = — sinT < 0. Следовательно,
функция cos строго убывает на указанном отрезке. Так как cos тг/2 =
= 0. то sin2 тг/2 = 1 и. поскольку sin тг/2 > 0. то sin тг/2 = 1.
4.6.29. Следствие Ух € R
sin — т) = cost: cos — т) — sinT.
Действительно.
/тг \ . тг тг .
sin----т = sm — cost — cos — suit = cost.
k 2 / 2 2
Аналогично.
тг тг
= cos — cos т — sm — sm x - sm x.
2 2
4.6.30. Следствие. Справедливы равенства:
3/г Зтг
costt = — 1: sin7r = 0: cos — - 0: sin—- — 1:
cos 2 л = 1: sin2~ = 0.
Действительно,
Остальные равенства доказываются аналогично.
4.6.31. Следствие. Функция cos на отрезке [0. тг] строго убы-
вает от cosO =- 1 до cos тг = — 1. а на отрезке [тг. 2тг] строго возрастает
246
Глава IV
от cos тг = — 1 до cos 2тг = 1. Функция sin на отрезке |тг/2. Зтг/2] строго
убывает от sin тг/2 = 1 до sin Зтг/2 = —1, на отрезке [Зтг/2,2тг] строго
возрастает от sin Зтг/2 — —1 до sin2rr = 0, а на отрезке [—тг/2, тг/2]
строго возрастает от sin(—тг/2) = —1 до sin тг/2 = 1.
Все эти утверждения устанавливаются аналогично; следует ещё
учесть, что sin(— z) = — sinz, г 6 R.
4.6.32. Следствие. Vz £ (С
sin(z + 2тг) = sin z: cos(z + 2-тг) = cos z;
tg(z -г тг) = tg z, cosz^O;
ctg(z + тг) — ctgz, sinz 7^0.
Доказательство. Имеем
sin(z 4- 2тг) = sin z cos 2тг 4- cos z sin 2тг = sin z.
При условии cosz / 0
, . sin(z -г тг) sin z cos тг 4- cos z sin тг
tg(z 4- тг) = -)--у = ----------------:--=
cos(z + тг) cos z cos тг — sm z sm тг
— sin z sin z
=-------= -----= tgz.
— cos z cos z
Остальные тождества доказываются аналогично.
4.6.33. Утверждение. Если х £ ® и cost 0, то tg'(z) =
= l/cos2z > 0. Еслижех £ Rnsinz 0, тоctg'(z) = —1/sin2z < 0.
4.6.34. Следствие. Функция tg строго возрастает на интерва-
ле (—тг/2. тг/2) от —оо до г ос (т. е. lim tgz = —оси lim tgz =
z—> —7r/2x X~>-l7t/2—
= -roc).
Функция ctg строго убывает на интервенте (0. тг) от -гос до —ос
(т.е. lim ctgz = +ос и lim ctgz = —ос).
х—►О4- г—> —тг 4-
4.6.35. Следствие. Пусть п £ Z: z £ R. Уравнение sinz = 0
имеет корни х = тгп. Уравнение sinz = 1 имеет корни х = тг/2 2тгп,
а уравнение sinz = — 1 — корни х = —тг/2 4- 2тгп.
Аналогично, если cosz = 0. то г = тг/2 — тгп; если cosz = 1. то
z = 2тгп: если же cosz — —1, то z = тг(2п х 1).
4.6.36. Утверждение. Если sin z = 0. z £ С. то z - тп. п £ Z;
если же cosz = 0. z £ С. то z - тг/2 тгп. n £ 7L.
Доказательство. Пусть z = х -- iy. х. у £ R. тогда sin z —
= sin z ch у — i cos z sh у и. если sin z = 0. то sin x ch у = i cos z sh у = 0.
Если sinz = 0. то z = тгп. n € IL. и cost = ( — 1)”. так что shy = 0.
т.е. (ey = e-y) => (e2y = 1) => (y = 0) => (z = тгп).
Поскольку Vy £ IR. chy = (еу -1- e“y)/2 > 0. то других корней
уравнение sinz = 0 не имеет. Уравнение cosz = 0. z £ С, рассмат-
ривается аналогично.
функциональные последовательности и ряды
247
4.6.37. Утверждение. \/z £ (С e2_u27ri = е*.
Действительно, по теореме сложения
ег + 2тгг _ (CQS 2^ + j sjn 2тг) — е2.
4.6.38. Следствие. е2г' = 1.
4.6.39. Утверждение. Если 0 < ф < 2л, то ег* 1.
Доказательство. Если е1^ = 1, то cosy = 1 и sin у = 0, так
что при условии ф £ [0.2л] либо у = 0, либо ф = 2л.
4.6.40. Утверждение. Если е2 = 1. z € С, то z = 2лпг. п £ 2.
Доказательство. Пусть z = х — iy. х.у е R, тогда е2 =
= еДсоэу + zsiny) и |е2| — ех = 1, так что х = 0.
Значит, cosy = 1 и sin у = 0. откуда у = 2лп, n е 7L.
4.6.41. Утверждение Пусть z £ С и |г| = 1, тогда 3!уо G
€ [0.2л): е'^0 = z. Если — z. где ф 6 R, то ф = фо т 2лп, п € Z.
Доказательство. Пусть z = х -г iy. х. у £ R, тогда, если
е'^о = z. фо € R. то х - cos фо и у = sinyo, причем |Д = [е'^о| =
= 1 = т2 — у2.
Если х — 1 и у = 0. то при условии фо е [0,2л) имеется ровно
одно значение фо = 0. Если х = — 1 и у = 0, то аналогично фо = л.
Пусть — 1 < х < 1, тогда из свойств функции cos на промежутке
[0.2л), установленных выше, следует, что 3!уг 6 (л. 2л): cos фо. = х и
3!yi € (0, л): cos= х. Если у < 0, то уо = £2 (и других значений
Уо на промежутке [0.2л) нет). Если же у > 0. то аналогично у0 = Ф1 •
Пусть е'*5 = z. ф £ R. тогда cosy = cospo и sin у = sinyo. так
что cos(y - у0) = cos ф cos po + sin ф sin фо = z2 - у2 = 1 и поэтому
ф — фо = 2лп. п £ Z.
4.6.42. Следствие. Пусть z £ С и z 0. Тогда 3!уо £ [0.2л):
z = |г|ег^о и. если z = |г|е’’;, ф £ R. то ф — фо — 2лп. n £ Z.
Действительно, достаточно заменить в утверждении 4.6.41 z на
Д. и тогда = 1.
4.6.43. Определение. Пусть г£0: гу^0:д£Киг =
= |z|e'< тогда число ф называется аргументом комплексного числа
z и обозначается ф = arg с. Если, в частности, ф -- До € [0.2л). то
Фо называют главным значением аргумента z.
4.6.44. Следствие. Любое комплексное число z Д 0 имеет
счетное множество аргументов.
4.6.45. Определение. Пусть z £ С: |с| = г > 0. и пусть
Ф =- arg г. Тогда равенство г = re'r' = /’(cosy - г sinф) называется
тригонометрической формой записи комплексного числа z.
Заметим, что при г =~ 0 г = 0. и поэтому равенство z = r(cosy —
— i sin ф) справедливо Vy £ R.
4.6.46. Замечание. Если z = х ~ iy. х.у £ R. то г = |Д =
= у/ х2 - у'2: если, кроме того, ф =- arg с при z 0 (т.е. при г > 0).
248
Глава IV
то х — г cos 9?; у = г sin:/?, так что cos</> = x/r, sin^? = у/г (и поэтому
при х 0 tgр = у/х).
Пусть zi = пе4*’!; z2 = r2e‘fiP ri,r2 > 0; y?i,</?2 £ В, тогда
~i-2 = О
Это означает, что при умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются (точнее, 'сумма любых
двух значений аргументов сомножителей равна некоторому значе-
нию аргумента произведения). Заметим также, что если z = reiV, то
Vn ё N г" = Гпе^п — rn(cOsnip 4- isinn/j).
4.6.47. Определение. Пусть z £ С; п € N, и пусть и € С,
причем ип = z. Тогда число и называется корнем п-й степени из
комплексного числа z.
Пусть z = 0, так что ип = 0, п 6 N. Тогда и = 0 и других
корней нет.
4.6.48. Утверждение. Корень п-й степени из любого ком-
плексного числа z V О существует и имеет ровно п различных зна-
чений, п = 1,2,....
Доказательство. При n = 1 u1 = u = z и утверждение
справедливо. Пусть п 2, и пусть z = re1*, где г = |z| > 0; р £ R;
и = ре,е, где р = |и|; в € R. Если un = z, то рпегпв = гег*, и поэтому
|цга| = рп = |z| = г. Следовательно, р = к/т > 0. Кроме того,
пд = р + 2ттк, fc £ Z,
так что 0 ~ 0k = (р т 2тг/г)/п.
Если к, I £ {0; 1;...: п — 1}, то при к I 0 < \&k — 0;| =
= (2тг|Аг — 1\)/п < 2тг. и поэтому егвк егв/. Если fc £ 1L и к < 0
или к п, то соответствующее значение 9k обладает тем свойством,
что оно равно одному из значений е’ео....el(>n-V
Итак, все решения уравнения un = z определяются из соотно-
шений
и = ик = у/ге1вк = \/r(cosOk = isin6fc).
где 0k = (р -+- 2тгА-)/п. к = 0,1.п — 1.
Таких решений ровно п (и других решений нет).
Обратные тригонометрические функции
Функция sin непрерывна и строго возрастает на отрезке
(—тг/2.тг/2] от sin(—тг/2) = — 1 до sinтг/2 = 1. По теореме о непре-
рывности обратной функции существует обратная функция arcsin.
непрерывная и строго возрастающая на отрезке [ — 1.1] от —тг/2 до
тг/2. Уравнение sinx = у, у £ [—1,1]; х £ R, имеет корни х =
= arcsin у 2тгп и х = тг — arcsinу — 2тгп, n £ Z). Если у £ (—1.1), то
Функциональные последовательности и ряды
249
при х = arcsin у имеем по теореме о производной обратной функции
1
1
• // х 1 1
arcsin (у) = - — — . ч ,-------------------
sin х cosz cos (arcsin у) л/1 — у2
(перед корнем знак поскольку Vz € (—тг/2,тг/2) cosz > 0).
Кроме того, Чу е [-1,1] arcsin(-t/) = - arcsin у. Если у е (-1,1),
то
arcsin'(y) - (1 - 1/7 1/2 = £ Сп ! (-1) V" =
^0 2
- 1 _ V' (2и ~ 1)!!„2» = V' С2п 2п
2^ 2пп\ У 22пУ
п=1 п—О
и этот ряд сходится абсолютно (см. пример 4.5.32).
По теореме о почленном интегрировании степенного ряда при
у е (-1,1)
arcsin^ С.
п—0
где С = const е R. При у = 0 arcsin 0 = 0 и все члены этого ряда
обращаются в нуль. Значит, С = 0.
При у -= 1 этот ряд сходится абсолютно по признаку Раабе,
поскольку, если
а" - 22«(2п-1)‘ -
ТО
а„-1 = (2п 4- I)2 । . ,7
а„ (2п 2)(2п - 3) 2n \п)
при п —> ос
Согласно второй теореме Абеля сумма нашего ряда при у - 1 равна
7Г
lim arcsin у -- arcsin 1 = —.
у —> 1 — 2
При замене у = 1 на у = — 1 все члены ряда меняют знак, так что
этот ряд в точке у - -1 также сходится.
Итак. Vy € [—1-1]
arcsin у
-----------„2п-
22"(2п - 1)У
В частности, при у = 1
2
Е1 2»
2'-”’(2п 1
п -0 v
250
Глава IV
Функция cos непрерывна и строго убывает от 1 до —1 при возрас-
тании аргумента от 0 до я. Поэтому существует обратная функ-
ция arccos, непрерывная и строго убывающая от я до 0 на отрез-
ке [-1,1]. Уравнение cosa; = у, у е [-1,1]; х € R, имеет корни
х = ± arccosy т 2яп, п € 7L. Если у g (—1,1) и х = arccosy, то
,, , 1 1 1 1
arccos (у) = — = —;----------= —-------------г =
cos'(a:) sin a; sin(arccosy)
(при этом sin(arccosy) = у/1 — у2, поскольку Vx е
Поэтому при у 6 ( — 1,1) arcsin'(y) + arccos'(y) = О,
arcsin у + arccosy = Со = const.
При у = 0 arcsin0 + arccosO = 0 + 5 = Со, т. е.
Итак, Vy G [—1,1]
я
arcsin у -1- arccos у = —.
На интервале (—1,1) имеем
- У2
(О, я) sinx > 0).
т. е. Vy е (-1,1)
arcsin у -г с;
— arccos у 4- с, ’
7 д/1 - У2
где с, с = const € R.
Функция tg непрерывна и строго возрастает на любом отрезке
вида [—я/2 —е, я/2 — г), где е = const G (0, я/2). Поэтому на соответ-
ствующем отрезке [tg(—тг/2-t-е), tg(?r/2 — е)] определена, непрерывна
и строго возрастает обратная функция arctg. Так как lim tgar =
х—> — 7г/2~
= —оо и lim tga; = -*-оо, то функция arctg определена, непре-
г-иг/2-
рывна и строго возрастает на R. причем
lim arctg у = тг/2.
Отсюда следует, что Vy б R
~2 < arctgy <
Уравнение tgz = у. х, у € R, имеет
п £ TL. Если у е R и х = arctg у, то
arctg'(y) = ——- — cos2 х = cos2(arctgy) =
tg W
Если у G (-1.1). то
lim arctgy = —я/2 и
корни х = arctgy -г яп.
1
1—tg2(arctgy) 1т у2’
1
1 * У2
,2п
п-0
2'
1
и поэтому
,2
= arctgy т С = ^(-1)"2_—
функциональные последовательности и ряды 251
При У = 0 получаем, что С = arctgO — 0. Ясно также, что Vy g R
arctg(-y) = -arctg у.
При у =1 ряд
,2п-г1
сходится (неабсолютно) по признаку Лейбница, поэтому согласно
второй теореме Абеля его сумма равна lim arctgy = arctgl = тг/4.
y-+i-
поскольку sin л/4 = cost;/4 =
Итак, Vy € [—1,1]
,.2nrl
"с‘^ = Е<-1>"йГ7Т
71=0
В частности, при у = 1
ТГ (-1)“
4 ^2п + Г
п=0
4.6.49. Замечание. Полученные равенства позволяют вычис-
лить число л с любой заданной степенью точности, используя вы-
писанные выше оценки остатка ряда Лейбница. Однако такая про-
цедура в применении к случаю, когда у = 1. не очень эффективна,
поскольку соответствующий остаток стремится к нулю достаточно
медленно. Для улучшения скорости сходимости следует брать зна-
чения у. близкие к нулю. Например, можно использовать легко про-
веряемое тождество
J = 4arctgJ-arrtgA.
Полагая последовательно у = 1/5 и у = 1/239. можно исполь-
зовать оценки остатка ряда Лейбница, которые будут стремиться к
нулю достаточно быстро.
Аналогично определяется функция arcctg. Следует учесть, что
функция ctg на интервале (0. тг) непрерывна и строго убывает от з-ос.
до —эс. и поэтому существует обратная функция arcctg. непрерыв-
ная и строго убывающая на R от л до 0. При этом оказывается,
что Ny € R
о 1
arcctg (у) = - у -,2.
гак что
(arctg- arcctg)'(y) — 0.
Значит, (arctg - arcctg)(у) = с = const. При у - 0 arctgO = 0 и
arcctg0 •= тг/2. так что с -- л/2. Значит. Vy е R arctgу - arcctg у —
--- л/2.
252
Глава IV
Уравнение ctgz = у, х.у G R, имеет корни х = arcctgy д- тгп,
п е 7L.
4.7. Суммирование расходящихся рядов
ос
Пусть 52 сп — числовой ряд с вещественными членами. Сопос-
п=0
тавим этому ряду число S G R по некоторому правилу и назовем это
число обобщенной суммой ряда. Таким образом, каждому такому
правилу соответствует некоторый метод суммирования этого ряда.
4.7.1. Определение. Пусть Si и S2 — обобщенные суммы ря-
дов 52 ап и 52 соответственно, полученные по некоторому мето-
71=0 п=0
ду суммирования. Этот метод называется линейным, если Va, 3 е R
обобщенная сумма ряда
ОО
^2(aan + вЬп)
п=0
равна aSi 0S2, и регулярным, если любой сходящийся в обычном
смысле ряд суммируем по такому методу и притом к той же сумме.
ОС
4.7.2. Определение. Пусть 52 ап — числовой ряд, и пусть
п—О
степенной ряд
ос
/(^) = апхП
п=0
сходится при 0 х < 1. Если существует конечный предел
lim f(x) = S, то число S называется обобщенной суммой ряда
52 «п в смысле Пуассона-Абеля.
п--О
Соответствующий метод суммирования называется методом
Абеля-Пуассона.
4.7.3. Следствие. Метод Абеля-Пуассона является регуляр-
ным.
Доказательство. Согласно второй теореме Абеля о степен-
ных рядах, если
Ea" =S.
n=0
то Э lim /(г) = S. так что сумма S сходящегося ряда 52 а« явля-
" п-0
ется его обобщенной суммой в смысле Пуассона-Абеля.
функциональные последовательности и ряды 253
4.7.4. Пример. Если an = (—l)n, п = 0.1,..., то при |ж| < 1
00 1 1
У' anxn =------ —>
1 -г х г-н- 2'
71=0
ОС
поэтому 5=1/2 — обобщенная сумма ряда У ( — 1)" в смысле Пуас-
п=0
сона-Абе ля, хотя этот ряд расходится.
4.7.5. Пример. Пусть в € [—тг.тг] и an = sin(n$). n = 0,1...
Ряд an сходится лишь при 9 = 0 или 9 = ±тг, поскольку при
n=Q
0 < 9 < к или —тг < 0 < 0 равенство lim sin(nfl) = 0 не может
выполняться. При |т| < 1
оо . п
Е. / r> sin и
sm(n0)a; = ---------—-----у, х 6 R.
1 - 2т cos 9 + х2
п=0
Чтобы это проверить, достаточно положить z = хегв. тогда |г| =
= |т| < 1, и затем просуммировать ряд
ОО ОО
У^ zn = V ZTcos(^) -isin(n0)) = -------= -----------—. . —:
1-г 1 - Т COS <9 + 2 3111(9)
П-0 n=0 ' '
в полученном выражении следует выделить мнимую часть.
Далее, при х —> 1— и 9 / 0
. .. n sin9 1 ( 9\
2>ПИ)* _ со;ё) = 2ctg Ы
п—0 v ' 4 7
(при 0 = 0 £ sin(n#);rn = 0, если х е ( — 1,1)).
п=0
Таким образом, сумма ряда 52 sin(n^) (в смысле Пуассона-Абе-
71 = 0
ля) равна (1/2) ctg(0/2) при 0 / 0 и равна нулю при 9 = 0.
4.7.6. Замечание. Непосредственно ясно, что метод Пуассо-
на-Абеля является линейным.
Теорема Таубера
Пусть S е R — обобщенная (в смысле Пуассона-Абеля) сумма
ряда 52 Если при п —> ос а„ = о(1/п). то этот ряд сходится
п-0
к сумме S.
Доказательство. Пусть d„ = max|код|, п = 0.1.......... тогда
к^п
50 > 0 и lim 6„ = 0. Имеем при Л' = 1.2....
п—>эс
Л’ X ос ос
- S = - хп) - а<Нп У2 ЯпХП ~ S'
11 = 0 71-0 71 — ЛГ— 1 77=0
254
Глава IV
Если 0 < х < 1, то при п 2
1 — хп = (1 — т)(1 + т — ... + х"-1) < п(1 — х).
Кроме того,
n-N-j-i
так что
N
- s
77 = 0
N ос
< 22 ina«i(i - х) + 22
n=0 n=N-
< (1 - J-) Л'до ч-
d/v+i
(TV- 1)(1 -х)
Выберем £ е (0.1). и пусть Лг(1 — х) = t. тогда х = 1 — e/N. так что
z —> 1 — при Д’ —> ос. Если значение Лт g N достаточно велико, то
дд’„1 < £- и при указанном значении х
п—0
При таких Л’ и х
d.v 11 £2 г
(Л--1)(1-.т) £(1 + ±)“1-±
и поэтому
.V
52«п -5
п=0
До - 2е = (до - 2)е.
Это означает, что
.V
lim > а7! = S.
.V-»oc
п-0
4.7.7. Замечание. В теореме Таубера условие ап = о(1/п)
может оыть заменено условием 0(1/и). Это теорема Литтлвуда
(см. ниже).
Теорема Коши
Пусть {S„}_— вещественная последовательность, и пусть 3
lim S„ = Л t R. Тогла
So-... ,
lim ----------- Л.
n-ITC n - 1
Доказательство. Пусть A g IR. тогда Vs > 0 3nu g N:
Vn no IS, - Л| < s.
функциональные последовательности и ряды
255
Если п > по, то
So + ••• + SnQ — (no -г 1)А (SnQ1-i — А) + ... -г (Sn — А)
п 1 п + 1
так что
So + . + Sn д < So + ... + S„o — (no + 1)А
n-*-l п -г 1
+ ^-г(|5П0м-А| + -^|5п-А|)
п -1- 1
Sp т т Srap - (n0 -j- 1) А (п - п0)е
п + 1 п + 1
Оставляя е > 0 и no € N фиксированными, можно утверждать, что
3п1 > По: Vn «1
So т ... -г SnQ — (п0 -г 1)А
п -1-1
Так как при п > По 0 < (п - по)е/(п + 1) < е, то Vn Пх
..4 2
n -t-1
Это означает, что
Случай, когда А = -+-ос или А = —ос. рассматривается аналогичнс
ОС
4.7.8. Определение. Пусть для ряда ^2 а„
77 —О
s„ = а0 + + а„. п = 0.1,...,
и пусть
So .. + Sn о
3 lira ----------= S.
n-»oc П 1
Тогда число S называется обобщенной (в смысле Чезаро) суммой
этого ряда.
4.7.9. Пример. Если an = ( — 1)”. п — 0.1.то
ГО. если п нечетно:
п 11, если п четно.
Значит.
с с (п-2
5о — • • • — ----- если п четно:
------Z3— = 1 2п ~ 2
п 1 [ 1/2, если п нечетно.
256
Глава IV
Следовательно, ряд V ( — 1)" суммируем методом Чезаро к сумме,
72=0
равной 1/2.
4.7.10. Следствие. Метод Чезаро является регулярным.
Утверждение следствия является другой формулировкой теоре-
мы Коши.
4.7.11. Утверждение. Если ряд 22 ап суммируем методом
71=0
Чезаро к конечной сумме S, то ап — о(п) и Sn = о(п) при п ос.
Доказательство. Положим an = (So + ... 4- S„)/(n -г 1), где
Sn = а® — an, п = 0,1...... Тогда
_ So + • • + Sn-i „
1 —
П
И
П 4- 1
-----(Tn S При 77, ОС.
П
так что
(n + 1)а„ -7?gn-i = Sn 0
п п
и при n = 1,2....
Sn Sn—1 Sn й 1 Sn—1
— =-----------=----------------- —» 0 при 71 —> ос.
п п п п п п — 1
4.7.12. Пример. Рассмотрим ряд £2 ( —1)"(п !)• Дйя эт0"
/2 = 0
го ряда
— = (-1)"(1 - -). 77 = 1.2..
77 77
и равенство lim = 0 не выполняется. Значит, такой ряд не
п —> эс т 1
суммируем методом Чезаро. однако суммируем методом Пуассона-
Абеля к сумме |. поскольку при 0 < х < 1
, 11
J2(-1)'!(t7 - l)zn = —-— -> - при .г -> 1 - .
nV f1--1’)2 4
Теорема Фробениуса
Если ряд
п-0
суммируем методом Чезаро к конечной сумме S. то он суммируем
методом Пуассона -Аб<\ 1я и притом к i ой же сумме.
Доказательство. Сохраняя обозначения из 4.7.11. предпо-
ложим. что ст,, —> S при п -т эс. Тогда а„ — о(п) и. поскольку ряд
функциональные последовательности и ряды
257
52 пхп сходится при 0 < х < 1, ряд 52 anXn также сходится, и
п-=0 п=0
притом абсолютно. При х е (0,1)
57 апхП = (1 - ж) 57 SnXn = (! “ х)2 52" + 1)сгп;Г"’
n=0 n=0 п=0
так как Sn = ао + + ап и (п 4 1)<тп = So + • • + Sn, n = 0,1,....
Кроме того, для таких значений х
(1—х)2 52(п = 1
п—0
и поэтому
s — 57 апхп = (1 — х)2 57 (n ~ i)(£ — .
п=0 п=0
По условию Ve > 0 ЗУ 6 N: Vn > N |S — <т„| < £. Значит, Vt € (0,1)
оо N
s - 57 апхП (1_ х)2 57(п + _ сг«1а’"+^ < 2е.
| п-0 п=0
если
N
(1 - х)2 52^n + - an\xn < е.
п=0
Последнее неравенство будет выполняться, если 1 — 5 < х < 1.
где 6 > 0 (величина <5, вообще говоря, зависит от выбора е > 0, но
не зависит от х. поскольку N не зависит от выбора х е (0,1)). Это
означает, что
3 lim I 2 апх
х—>1— \
\п~0
= S.
4.7.13. Утверждение. Если ряд 52 суммируем по Чезаро
п=0
к конечной сум^ю и ап 0. и — 0.1..то этот ряд сходится к той
же сумме.
Доказательство. Если ряд 52 ап расходится, то lim Sn =
г,-О "^х
= j ос и по теореме Коши
1 "
— Т 5 “* СЮ
п - 1 '
А-=0
- - противоречие с условием.
4.7.14. Утверждение. Пусть ряд 52 ап суммируем по Чезаро
п -о
258
Глава IV
к конечной сумме. и пусть
п
tn = У kak- п = 0.1....
А=0
Тогда этот ряд сходится в том и только в том случае, когда tn =
= о(п) при п —> оо.
Доказательство. Имеем
1 n n к - п п
an = —т 52Sk = 52 52am = тт 52am 521 =
п^1^о п + 1^о^о n + 1 ,Т) ГДп
1 -
=-----7 У'(п - m 1)ат.
Пт 1
7П=0
Значит.
п п
(п -т- i)sn - (п + 1)<тп = (п +1) 52am “ 52 _ m+^“т
т—0 т—О
п
= ТП(1т — tn
m—О
и поэтому Sn — <тп = tn/(n — 1). п = 0.1.... Следовательно, при
П ОС'
= Sn - <т - о(1).
тг — 1
где ст = lim <т„ е R.
п—>ос
Значит, равенство lim Sn ~ а справедливо тогда и только тог-
п—>ое
да. когда tn = о{п) при п ос.
4.7.15. Следствие. Если ряд Т2 °п суммируем! по Чезаро к
п-0
конечной сумме и а,, = о(1/и) при п —> эс. то этот ряд сходится.
Доказательство. Так как =- о(1) при п —> эс. то по
теореме Коши
1 ТI л
— - — У код —> 0 при п —> эс.
n n
А—0
так что tn = о(/?) и остается сослаться на предыдущее утверждение.
4.7.16. Утверждение. Ряд а„ суммируем по Чезаро к
и—О
конечной сушю а тогда и только тогда, когда ряд
У- tk-
h Kk -1)
Функциональные последовательности и ряды
259
сходится. При выполнении последнего условия
ое
ЕН
Доказательство. Имеем Vn е N
n I П k п п Л
El'k 1 V"' J-
+и - g жл) E ’"°" - g ra“- £ «ту, =
= 52 ma„ (- - —) ’ V - —JT = 52 a„ - S„ +«„ =
m=l x 7 m —1 m=l
= <7n — Go,
так что lim an = a e R тогда и только тогда, когда
“ г
— ст — ао.
Теорема Харди-Ландау
ОО
Пусть ряд 52 an суммируем по Чезаро к конечной сумме о и
п=0
an = О(1/п) при п —> оо. Тогда этот ряд сходится к сумме а.
ОО
Доказательство. Допустим, что ряд 5? an расходится. Тог-
п—О
да равенство tn = о(п) при п —> ос неверно, и поэтому ЗС = const >
> 0: tk > Ck для бесконечного множества значений к € N (или
ft < —Ck для аналогичного множества значений к е N). Пусть, для
определенности, справедливо первое утверждение. Так как tnj-i =
= tn + (n l)an+i и an = 0(1/п) при n —> ос. то ЗС] = const > 0:
tnA i > tn — Ci, n — 1.2,.... Если при некотором k € N Д > Ck,
to H-j-i > Д — Ci > Ck — Ci и т. д. Значит, если i € No и 0 i
C Cfc/(2Ci). to tk^ > Ck - iCt Ck/2.
Считая число CA’/(2Ci) целым (чего можно добиться за счет
подходящего уменьшения константы С), имеем
fc>Cfe/(2C1) A--CV(2Ci)
Eln > ДД. 1
n(n — 1) 2 п(п — 1)
n-~k n—k
Ck (1 1 \ С2А-
2 A--Cfc/(2Ci) -1) > 4С] (k - Cfc/(2Ci) - 1)
С2
> дс^сГ) = c011st > °
для бесконечного множества значений к е N. Согласно критерию
260
Глава IV
Коши получаем, что ряд
E tn
п(п — Г)
п -= 1 v
расходится. Это противоречит утверждению 4.7.16. Таким образом,
ряд ап должен быть сходящимся (и притом к сумме <7 согласно
п—О
теореме Коши).
Теорема Харди-Литтлвуда
Пусть для ряда V ипхп радиус сходимости 7? = 1. и пусть
п—О
an 0. п = 0,1.... и при т —> 1 —
ОС
/Д') = Uni'" ~ (1 - т)-1.
п=0
Тогда при N -д эс
.v
Ъд' = , a,t Л.
л=0
Эта теорема будет доказана ниже (см. разд. 5.2).
4.7.17. Утверждение. Пусть f — вещественная функция,
дважды дифференцируемая на полуинтервале [0.1). и пусть при
х -Д 1— существует конечный предел /(.<) и f"(x) - О((1 — х)~~).
Тогда
ГИ=о^1-хГ1)
Доказательство. Пусть 0 < 5 < 1/2. и пусть х' = х д <5(1 —
— х) е [5. Г), если х е [0.1). Тогда .г < х' и
№') = /(.г) - 5(1 - .т)Г(т) - -(1 - .г)2/"Д).
где х < £ < х'. Поэтому
(1 - -Д/Д’) = /(У) ~ /(т) - |(1 - .Д2/"Д).
Далее, можно утверждать. что
V=->O35e(o.0: j|(l - т)2/"(/)| < |
при всех значениях х 6 [0.1), достаточно близких к 1. Действи-
тельно.
(1-^)2гю = ^-9|^(1-е2ле
функциональные последовательности и ряды
261
(1- хг
и каждое из отношений ——— и 2 ограничено при всех х,
достаточно близких к 1, так как
о < ~ ж)2 < t1 ~ ХУ = 1
(1-4)2 (1-О2 (1-<5)2 '
Зафиксируем указанное значение 5, тогда при х—>1-,х'->1-и
6
поскольку предел lim / (х) существует и конечен. Значит, при всех
значениях х G [0,1), достаточно близких к 1,
|(1 -х)/'(х)| < е.
Это означает, что lim (1 — х)/'(х) = 0, т.е. при х—>1 —
r^-oai-x)-1).
Теорема Литтлвуда
ОС
Пусть для ряда dnxn радиус сходимости R = 1, и пусть при
п=0
X —> 1 —
/(х) == У anxn -> S € R.
п=0
причем an = G>(l/zz) при п —> ос. Тогда
ОС
0>П = S.
п=0
Доказательство. Поскольку an = О(1/п) при п —> ос, то
при г —> 1 —
f"(x) = У п(п — l)anxn~2 = О (у(л - l)zn~2 j = О((1 -х)-2)
п~2 \п—2 /
Согласно утверждению 4.7.17 при х -> 1 —
/W = У nanxn~v = о((1 - х)-1).
П -1
Пусть константа С > 0 выбрана так. чтобы
|пап| С. н = 1.2......
Тогда при х —> 1 —
262
Глава IV
и так как
, пап
«=1.2................
О
то согласно теореме Харди-Литтлвуда при п -> ос
так что
57 ^ак = о(п).
/г-]
Пусть
п = 1.2
; t0 = 0.
тогда
/(*) - ао = £ ~
, п
п—1
хп
t.
п
*
п-1 v 7
Так как при п —> ос tn = о(п) то при х —> 1 —
П = 1
Действительно. Ve > 0 B/iq € N: V/i no Vx G
[0.1)
tn
— п —
”0
j-no
1 -X
Кроме того, для заданного значения т?о
lim
t„
п ~ I2
- 0.
tn = 57 ^а*--
4 — i
—X
п
п п — 1
п = 1
X — X
П — 1
п - 1
и поэтому
< 2c
функциональные последовательности и ряды
263
при всех х € [0,1), достаточно близких к 1. По условию, при х —> 1 —
/(х) = S + o(l). Значит,
ос
3 lim V - — -xn = S-a0.
x-t-i- п(п + 1)
п—1 х '
Поскольку - . —-—г = о(1/п), то по теореме Таубера
п(п + 1)
°0 t
У у Гх = s - а0.
z—< п(п 4- 1)
П=1
Из утверждения 4.7.16 теперь следует, что
п=0
Глава V Определенный интеграл
5.1. Интеграл Стилтьеса
5.1.1. Определение. Разбиением Р отрезка [а.Ь] называется
конечное семейство точек xq .. ,хп. п G N, таких, что
а = хо хп = Ь.
При этом пишут Р = {.го:... :хп}.
Пусть f — вещественная функция, ограниченная на [а.Ь]. и
пусть а — неубывающая функция на отрезке [а. Ь]. Поскольку
Vt € [а. Ь] а(а) С а(т) < а(Ь).
то функция а ограничена на [а.Ь].
Пусть Р = {т0:...: тп} — разбиение [а.Ь]. Положим
Дт, = х, - т,_1 > 0: Да, = а(т,) - a(xt-j) > 0:
31, = sup{/(T) | т е [т,-1.т,]}: гп,- = inf{/(.r) | т £ [.г,_i. .гг]}.
тогда —ОС' < т, < 31, < —оо. ? = 1...п.
5.1.2. Определение. Положим
U(P. f. а) = ^2 31, Да,: L(P.f.a) = т,Да,
г-1
и назовем эти суммы верхней и нижней суммами Дарбу для функций
f и а (в заданном порядке) при заданном разбиении Р. При этом
всегда
C’(F./-a) ^L(P.f.a).
5.1.3. Определение. Положим
[fda = inf{U{P. f.a)}: [f da = sup{L(P. f. a)}
J J (P}
и назовем эти величины верхним и нижним интегралами Стилтьеса
от функции / относительно функции а по отрезку [а.Ь].
Определенный интеграл
265
5.1.4. Замечание. Так как функция f ограничена на [а, 6], то
3m. М € IR: У.т € [а, Ь] m С f(x) < М
(и поэтому m тг С Mi Л1, i — 1,...п. Значит, для любого
разбиения Р отрезка [а.Ь]
U(P, f, а) М Аа, = М(а(Ь) — а(а)) < -гое,
г=1
и аналогично
п
L(P, f,a) т 57 Ла, = т(а(Ь) - а(а)) > —ос.
i=i
Поскольку U(P,f,a) L(P.f,a), то
т(а(Ь) - а(а)) < jf da < М(а(Ь) - а(а)),
и аналогично
т(а(Ь) - а(а)) Jf da С Л1(а(6) -а(а)).
5.1.5. Определение. Если
Уf da = У f da,
то говорят, что функция f интегрируема относительно функции a
на отрезке [а. Ь] по Риману-Стилтьесу, и пишут
У fda = jfda = J f da.
Величина
y'/rfa
J a
называется интегралом Римана-Стилтьеса от функции f относи-
тельно функции а по отрезку [а, 6]. Если такой интеграл сущест-
вует, то пишут f g 7£(a).
5.1.6. Пример. Если Ут £ [а.Ь]
/(.г) = С — const g R.
то для любого разбиения Р отрезка [а.Ь]
U(P. f. а) = L(P. f. а) = С(а(Ь) - а(а)).
Поэтому
Jfda- jfda = j f da = C(a(b) - a(a)).
так что f e 'P-(a') на [a.b].
266
Глава V
5.1.7. Определение. Разбиение Р* отрезка [а.&] называет-
ся измельчением разбиения Р того же отрезка, если каждая точка
разбиения Р является точкой разбиения Р*. Если Pi и Р2 — Два
разбиения отрезка [а. 6]. то будем говорить, что Р* — их общее из-
мельчение. если Р* является измельчением как разбиения Pi. так и
разбиения Р2 (такое разбиение Р* всегда существует: действительно,
достаточно в качестве множества точек разбиения Р* взять объеди-
нение множеств точек разбиений Ру и Р2).
5.1.8. Утверждение. Пусть Р* — измельчение разбиения Р.
тогда
L(P..f.a( < L(P*. f. a)-. U(P.f.a) > U(PPf.a).
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем, когда
разбиение Р* содержит на одну точку т* больше, чем разбиение
Р. Если Р — {До:...: }. то при таком условии 3!/ 6 z(_] <
< т* < .г,.
Пусть = inf {/(.г)}. m[2) = inf {/Д)}. тогда
Д1 (2)
rn; > mt и zn; > шг.
Имеем
L(P*./,a)-£(P./.a) = ш,(1)(оД*))) -n<2)(a(.r,)-о(.т*)) -
- т,(аДг) - а(.т,_1)) -- - т,)ДД* - o(.r,_i')) - (m.2) - zn,)x
x— аД*)) > 0.
Аналогично проверяется, что U(P.f.a) f U(P*, f. a).
5.1.9. Утверждение. Всегда
У fda < J fda.
Доказательство. Пусть Р3 и Р2 — произвольные разбиения
отрезка [а.Ь]. Достаточно доказать, что L(Pi.f.a) < U(P2. f.a).
Пусть Р* - общее измельчение разбиений Pi и Р2. тогда
L(Pi.f.a) ^L(P\f.a) ^U(PPf.a) < П(Р2./.Д.
Критерий интегрируемости функции / относительно
функции о
/ 6 Р(о) на [а. Ь] тогда и только тогда, когда Vs > 0 существует
разбиение Р отрезка [а. 6]. такое, что U(P.f.a) — L(P. f.a) < s.
Доказательство. Имеем L(Pi.f.a) < t’(P2./.a) при любом
выборе разбиении Pj п Р2 отрезка [а. 6]. Из равенств
f f da - sup{£(Pi./. о)} и [fda = inf U(P2. f.a)
J (F,) J (P2)
Определенный интеграл
267
согласно следствию из теоремы об отделимости получаем, что
У fda = У fda.
(т.е. f € Р(о) на [а.6]) тогда и только тогда, когда Ve > О су-
ществуют Р[ и Р2 (разбиения отрезка [а. 6]). такие, что U(p2.f.a) —
— L(Pif. о) < £ Если Р — общее измельчение разбиений Pi и Р2. то
Р(Р /. а) - ЦР. f. а) П(Р2. /. а) - ЦР,. /. а) < г
5.1.10. Замечание. При условиях критерия интегрируемости
L(P./.q)^ [ fda^U(P.f.a)
J a
при любом выборе разбиения Р отрезка [а.Ь].
5.1.11. Определение. Пусть Р = {тц: ..:хп} — разбиение
отрезка [а. 6]. Положим
д(Р) = шах{Дх,} > 0
и назовем число д(Р) диаметром разбиения Р.
5.1.12. Замечание. Если {Ра} — последовательность разбие-
ний отрезка [а, &| и па- — число отрезков разбиения Р^. к = 1.2.
то из равенства
д(Ра-) = О
следует, что
^lim «а = эс
(обратное утверждение, вообще говоря, неверно).
-г „ п г (к) (к)
Действительно, если Ра == {Ху :...:хПк. то
Z(A-) _ р(Рк). i = 1........на-.
и поэтому
= 4^ -л#'1 = b-a < пад(Ра). к = 1.2......
<=1
так что
б-а
" р(РА.) ЭС‘
если д(Ра) —> 0.
5.1.13. Утверждение. Пусть / — вещественная функция,
непрерывная на отрезке [а.Ь]. Тогда f € Р(а) на [а.6] и V= > 0 Э<5 >
> 0: V разбиения Р =- {.т0: отрезка [«.&). такого, что р(Р) < 6.
268
Глава V
€ [хг_1,Xi], i = l,...,n. справедливо неравенство
f da
e.
Доказательство. Пусть £ > 0, тогда Зт] > 0: r)(a(b) — о(а)) <
< £.
Для выбранного значения г) > 0 36 > 0: Vx.t е [а, Ь]: (Д — t\ <
< 6) => (|/(ж) — /(t)| < /у) (согласно теореме Кантора о равномерной
непрерывности).
Пусть Р — любое разбиение {.то;...;хп} отрезка [а, &], для кото-
рого д(Р) < 6. тогда, как легко проверить, Мг — mt < г/, г = 1....п,
и поэтому
U(P. f. а) — LIP. f. а) = У^(АД - тг)Аа{ ту &Qt =
г-1 г=1
= т](а(Ъ) - о(а)) < £.
Согласно критерию интегрируемости получаем, что f € Ща) на
[а.Ь].
Если € [;г,_!.тг] то тг /(£,) < Af,. г = 1....и, так что
L(PJ.a)
?=]
Согласно замечанию 5.1.10 получаем, что если fi(P') < 6, то
52"=1Л6)Д<М - J fda
е.
5.1.14, Утверждение. Пусть функция f монотонна на [аД]
и пусть a — неубывающая функция, непрерывная на [аД]. Тогда
f G ТДа) на [аД].
Доказательство. Пусть £> 0. Можно утверждать, что Vn £
N 3 разбиение Р - {tq: ... ;.т„} отрезка |а. Ь], такое, что
Л / \ , X о(а)-а(Ь) .
Да( = а(.гг) — а(д',-1) = ----. г = 1....п.
Существование такого разбиения Р следует из теоремы о проме-
жуточных значениях непрерывной функции а с учетом неравенств
Ааг 0. г = 1....п. если заметить, что
v-Д аД) — а(а) . .
У2 До, = У2---------- 7- 0.
? = 1 г-1
Пусть, для определенности, f — неубывающая функция на [а, 6].
тогда
Д/? = m7 /(a-i), ?’ = 1...........п.
Определенный интеграл
269
и поэтому для выбранного разбиения Р
ЩР. f.a) — ЦР. f. a) - ^(ЛД -- m,)Aa, =
1 -1
= £(Ж) - ZCn-J) = ^^(/(6) - fW) < £
n n
7 — 1
для всех достаточно больших значений n G N. Согласно критерию
интегрируемости f € 7?.(о) на (а, Ь].
Свойства интеграла Римана-Стилтьеса
1. Если fa € P(a) и /2 € P(a) на (а.Ь], то fa f2 G P(a) на
(а.Ь]. Если f G Р(а) на [а,6] и с = const G 1R. то (с/) 6 Р(а) на
[а.Ь]. При этом
/•Ь ид pb
/ (farfa>)da = / fada+ / f2da:
J a J a J a
[\cf)dar--c Сfda.
J a J a
Доказательство. Пусть f = fa - /2 и P -- любое разбиение
отрезка [а.Ь]. тогда
ЦР. fa, а) -г ЦР. fa. a) ЦР. f. a) < U(P. f. a)
<U(P.fa.a)^U(P.fa.a).
Действительно, если P = {т0:... ;т„} и
m?’ = inf {AM}: m'f> = inf {AC?’)}:
Л/,'1’= sup {,Л(.т)}; sup Щ.т)}.
'•е(.гг^]..г,| .re|r,^] ..г,)
то rn, < M, — Л/,^2). i = 1.........n.
Умножая на До, ^Ou суммируя по всем значениям i — 1.......п.
получаем выписанные выше неравенства.
Далее, согласно критерию интегрируемости Vr > 0 существуют
разбиения Fj и Р> отрезка [о.Ь]. для которых U(P). fa.a) —
- L(Pj.fj.a) < Ц2. j = 1.2.
Эти неравенства сохраняются, если Р\ и F2 заменить их общим
измельчением F. Поэтому U(P. f. a} — ЦР. f. о) < г/2 - с/2 = £. так
что f = fa — f‘> е P(a) па [а.Ь].
Для этого же разбиения F имеем
U(P.fa.a)< [Ь fa da j -1.2.
270
Глава V
Поскольку значение е > 0 выбрано произвольно, то
fab rb fab
/ f da fa I fa da- fa da.
J a a J a
Действительно,
/»6 rb />Ь
fda fa U(P, f. a) < fa da + /. fa da +
J a J a J a
и при e —> 0+ получаем предыдущее неравенство.
При замене функции f на функцию — f
sup{—/(ж)} = - inf {/(т)} и inf {—/(ж)} = -sup{/(z)},
жед »-ед хеД хеД
где А с [а. 6] — любой отрезок. Поэтому U(P,—f,a) = -L(P,f,a)
н L(P.-f.a) = —U(P.f.a), так что из условия f е Р(а) на [а, 6]
следует, что (—/) € Р(а) на [а.Ь] и
rb fab
/ (-/)da = - / fda.
J a J a
Заменяя в неравенстве
pb pb fab
/ f da fa I fa da — I fa da
J a Ja J a
функции fi и fa на — fi и — fa, получаем, таким образом, что
fab fab fab
/ f da fa fa da — fa da.
J a J a J a
Итак.
fab fab fab
/ (/i + ffada = fada + fa da.
J a J a J a
Пусть f e P(a) на [a. 6] и c = const € R. Тогда при условии с > 0
U(P. cf. a) = сЛДДа, = cU(P. f. a)
i=i
и аналогично L(P,cf.a) = cL(P.f.a). Поэтому
U(P. cf. a) - L(P. cf. a) = c(U(P. fa a) - L(P. f. a)) < e.
если U(P. f.a) — L(P.f.a) < fa Значит, при с > 0 (cf) G Pfafa на
[a.b]. Кроме того.
[ (cf) da = inf{K(F. cf. a)} = cinf{C'(F. f. a)} = c [ fda.
Ja (P) (F) Ja
Если c = 0. to cf = 0 и утверждение пункта 1. очевидно спра-
ведливо. Если же с < 0. то условие (cf) G Р(а) на [а. Ь] и равенство
fa b fab
/ (cf) da = с f da
J a J a
Определенный интеграл
271
следуют из соотношения
/ (-f)da = - f da.
J a J a
2. Если fi € 11(a) и f2 E U(a) на [a, 6]. причем Vx e [a, 6]
AW < AW- to
rb pb
/ fadah / f2 da.
J a J a
Доказательство. Используя введенные выше обозначения,
имеем i = 1...п. так что для любого разбиения Р
отрезка [а. Ъ]
U (Ph. a) < U(Pfa,a).
Поэтому
I" h da - inf'{U(P. fa. a)} inf {U(P, fa.a)} = [ h da.
Ja v J v } J a.
3. Если f 6 11(a) на [a. b] и a < с < b. to
[Ь fda= PfdaE [bfda.
J a J a J c
Доказательство. По критерию интегрируемости Ve > 0 3
разбиение Р отрезка [а. 6]. такое, что (U(P.f.a) - L(P.f.a)) < £.
Если с Р, то присоединим с к точкам разбиения Р и обозначим
получившееся разбиение Р*. Если же с Е Р. то положим Р* = Р.
Тогда Р* — измельчение Р. и поэтому
U(P*.f.a) - L(P*.f.a) U(P.f.a) - L(Pf.a) < е.
Пусть Pi — разбиение отрезка [а. с], соответствующее разбиению
Р* (т.е. состоящее из всех точек разбиения Р*. лежащих на отрезке
[о, с]). Тогда
U(P]. f.a) — L(Pi. f. a) U(P*. f .а) — L(P*. f .а) < =.
так что f t Р(а) па [и. с]. Аналогично доказывается, что f Е Р(а)
на [с. 6] (строго говоря, речь идет о сужениях функции f на отрезки
[с/, с] и [с. 6|).
Далее, можно утверждать, что существуют разбиения Pi и Р2
отрезков [а. с] и [сД] соответственно, для которых
LhP.f.a) < ,fda - |: U(P2.f.a) < j f da - |.
Если P* — разбиение отрезка |«.6|. состоящее из всех точек, каждая
из которых принадлежит хотя бы одному из разбиении Pi и Р>. го
U(P*.f. а) = U(Pi.f.a) - U(P2. f. а).
272
Глава V
и поэтому
U(P*,f.a) < f f da + f fda — s.
J a J c
Так как при любом выборе разбиения Р* отрезка [а.Ь], таком,
что с & Р*,
U(P*, f.a) = U(P\,~U(P2. f,oi) [ fda + [ fda,
J a J c
TO
inf {U(P*,f.a)} = [ fda+ f fda.
iT* } da de
Если P — любое разбиение [а, Ь] и P* — измельчение разбиения
P, содержащее точку с, то U(P*.f.a) S? U(P.f,a). Значит,
inf /,«)} = inf {С7(Р,/, a)} = [ fda.
так что
pb pc pb
/ fda = fda- fda.
J a J a J c
4. Если f E Ща) на [a. с] и на [с, Ь]. где a < с < b, то f е 7£(a)
на [а. Ь] и
pb pc pb
/ fda - / fda+ fda.
J a J a J c
Доказательство. Достаточно проверить, что f € P(a) на
[a. Ь]. Пусть с > 0. тогда существуют разбиения Pi и Р2 отрезков
[а, с] и [с. Ь] соответственно, такие, что
U^.f.a^-UPi.f.a) < -r U(P2.f.a)-L(P2.f,a) < |.
Выбирая разбиение Р* отрезка [а. Ь] так же. как и выше, видим, что
2
U(P*.f.a) -UP'.f.a) = ^и(РгМ)-ЦР^.а)) < | - | = е.
j-i
Значит, f Е Р(а) на [а.Ь].
5. Если f Е Р(а) на [а.Ь] и
sup {,'/(т)|} Л/ = const.
•тб [а.Ь]
ТО
Л/(а(6) -а(а)).
Определенный интеграл
273
Доказательство. По условию Vx С [аД] —М $2 f(x) ^ 7
и поэтому
6. Если f е 7^(ai) и f Е 'ЕДД на [аД]. то f £ 7£(сц -
на [а. 6] и
pb rb pb
/ /d(ai+ai) = / fdai+ / fda2.
J a J a J a
Доказательство. Так как обе функции щ и а2 — неубЬ1ва.
ющие на отрезке [о. 6]. то функция ai — а2 также неубывающая на
отрезке [аД]. Если Р — любое разбиение [аД]. то
U(P.f.ai -а2) = U(PJ.a1')^U(Pf.a2y.
L(P.f.ai^a2) = L(P.f.a1^L(P.f.a2).
Кроме того. Ve > 0 3 разбиения Pi и Р2 отрезка [аД], такие, щ
U^Pj.f.a^-L^.f.aj) < |: j = 1.2.
Если Р — общее измельчение разбиений Pi и Р2. то
U(P.f,aj)-L(P.f.a,)< |. 7 = 1.2.
Поэтому
UtPf.ax - а2) - L(P.f.ay - а2) < | - | = £.
т.е. f Е на [аД]. Из выписанных выше равенств следует.ло
/»b г b /• b
/ /rf(ai-a2)^ / fdai- fda2
J a J a ci
П I lb
I fd(al-a2')^ I ,fdn} - I f da2.
J a J a J a
Следовательно.
7. Если / E 7^(o) на [оД] и с = const > 0. то f Е P(ca) на ,i] и
fda.
274
Глава V
Доказательство. При с = 0 утверждение, очевидно, спра-
ведливо. Пусть с > 0, тогда Vs > 0 существует разбиение Р отрезка
[а, Ь], для которого
П(Р,/.а)-Ь(Р,/,а) < -.
с
Поскольку U(P.f,ca) - L(P,f,ca) = c(U(P,f,a) - L(P, f, а)) < e,
to f € 7?.(са) на [a, &]. Кроме того, при любом выборе разбиения Р
отрезка [а, Ь| U(P,f.ca) — cU(P, f.a), и поэтому
fd(ca)^mf{U(P.f.ca)}=cia^{U(P.f,a)}=cJ fda.
5.1.15. Утверждение. Пусть f £ 7^(а) на [а, 6], и пусть Ух £
€ [а, 6] m /(ж) М, где m,M & R. Пусть, далее, <р — вещест-
венная функция, непрерывная на отрезке [тп, Л/]. Если Ух £ [а, Ь]
h(x) = <^(/(х)), то h £ 7£(а) на [а, Ь].
Доказательство. По теореме Кантора функция ip равномер-
но непрерывна на отрезке [m, М], и поэтому Vc > 0 25 > 0: 8 < е и
Vs, t £ [m. Л/|: (|s — t| < 5) => (|^>(s) — ^(£)| < £)- Так как f £ 7£(a)
на [a. 6], то по критерию интегрируемости существует разбиение
Р = {жо; - -Хп} отрезка [а. Ь], для которого U(P. f, а) - L(P, f. а) <
< 52. Пусть
М* = sup {h(x)}. m* = inf {Л(аг)},
тогда —оо < m* М* < -“-ос. i = 1.п. Действительно, функция
<р ограничена на отрезке [т.Л/], и поэтому функция h ограничена
на [а. &].
Положим jNn = A U В. где
А = {i £ Nra | Ар — rm < d}: В = {? £ JNn | Mi —mt^ 5}.
Тогда А О В = 0 и. если i £ А. в силу выбора 8 М* — m* е. Если
же i £ В. то М* — тп* 2К, где
К = sup {|y?(t)|} < -эс-
/б[тп,Л/]
Значит.
ieB rsB
= U(P.f.a)-L(P.f.a)<82.
т. е.
Z Aq’ s-
геВ
Определенный интеграл
275
Далее имеем
U(P.h.a) - L(P.h.a) = У (АД* - m*)Aa, -г У (АД* - m^Aa, Д
isA isB
£ У Ao, + 2А' У А«, < £ У Ааг + 2Kd = e(a(b) — a(a) + 2А).
is А ?еВ 1—1
так что согласно критерию интегрируемости h £ F(a) на [а.Ь].
5.1.16. Пример. Пусть
. (0. если х е (JO [а.Ь]);
ад = (1: если xe(QA [а.Ь]).
где J = К, \ Q.
Функция D называется функцией Дирихле.
Если Р = {т0:... :.тп} — любое разбиение отрезка [а.Ь] и а —
неубывающая функция на этом отрезке, то
(П(Р. D. а) - Д(Р. D. а)) = у (АД - пр)До, = у Да, = а(Ь) - a(a).
;=1 1=1
поскольку Vz G N„ либо Д.г, = 0, и тогда Да, = 0. либо Ат, > 0. и
тогда [x,-i. т,] П J f- 0 и [т,_1. т,] П Q 0. так что АД = 1 и т, = 0.
Равенство а(Ь) — а(а) = 0 может выполняться только в случае,
когда a = const на [а.Ь], в этом случае D е А(а) на [а.Ь] и
f Dda = 0.
J а
Если же а Д const на [а. Ь]. то а(Ь) — а (а) > 0. и поэтому из критерия
интегрируемости следует, что D Д 7?-(а) на [а.Ь].
5.1.17. Утверждение. Пусть f € 7£(о) и g е 77(a) на [а.Ь].
Тогда (fg) 6 77(a) на [а.Ь], |/| £ 77(a) на [а.Ь] и
da.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим р( t) = f2. t е [zn. J/]. тогда функ-
ция р непрерывна на отрезке [т. Л/] и согласно утверждению 5.1.15
функция p(f) = f'2 е A(a) на [а.Ь]. Далее имеем
fg = |((/ - 9? ~(f- g)2) е ТЦо) на [а. Ь]
согласно свойству 1 интеграла Римана-Стилтьеса.
Если же положить p(t) = |Д. t е [т.Л/]. то р по-прежнему
непрерывна на [гн.Л/], и поэтому \f] S TZ(a) на [а.Ь].
Для обоснования последнего неравенства выберем константу
276
Глава V
с е { —1;1} так, чтобы с f'‘ f da 0. Тогда
/*Ь
/ fda = с fda = (cf)da^ / \f\da
J a J a J a J a
согласно свойству 2 интеграла Римана-Стилтьеса, поскольку cf Д
\f\ всюду на [а, 6].
Интеграл как предел интегральных сумм
5.1.18. Определение. Пусть Р = {xq: ...; хп} — разбиение от-
резка [а, 6], и пусть € [x,~!,£,], i = 1,... ,п. Тогда точки С1> • • • >Сп
называются промежуточными точками для разбиения Р. а сумма
п
S(P.f,a)^^f^ai
i=l
— интегральной суммой для функции f относительно функции а при
заданном разбиении Р и заданных промежуточных точках С1> • • • > Сп-
5.1.19. Следствие. Всегда L(P,f,a) S(P,f,a) < U(P.f,a).
Действительно, если Ci 6 [хг_],хг], то m,; < С Мг, так что
тгДаг /(С,)Даг Л^Дсц. г = 1......п.
Суммируя эти неравенства по i = 1,....п, получаем утверждение
следствия.
5.1.20. Замечание. Если Р — фиксированное разбиение от-
резка [о,. 6], то
sup {S(Pf.a)}=U(Pf.ay, inf {S(P. f, о)} = L(P, f. a)
(Ci..<n) «1.M
Верхняя и нижняя грани вычисляются по множеству векторов
(С1----,Сп), где Ci € [xj-i.xj, i = l,....n.
5.1.21. Определение. Пишут
lim S(P.f.a) = /ей.
л(Р)->о
если V? > 0 3d > 0: для любого разбиения Р = {хо:... :хп} отрезка
[а. 6], у которого /ДР) < 6. справедливо неравенство |S(P. /. a) —1\ <
< е при любом выборе промежуточных точек Ci € [xt_i.X|]. г =
= 1...п.
5.1.22. Замечание. Если
3 lim StP.f.ay
^Р)^о
то такой предел — единственный (для заданных функций f и а).
Действительно, если предположить, что
lim S(P. /. а) = Д е R и lim S(P. f. а) -- Ь е R.
Определенный интеграл
277
причем Л < 72 то выбирая s = |(72 - Л) >0. можно утверждать,
что 351 > 0: для любого разбиения Pi отрезка [а, Ь]. у которого
p(Pi) < 51, выполняется неравенство
\S(Pi.f,a)-h\ <s.
Аналогично 352 > 0: для любого разбиения Р> отрезка [a.b], у кото-
рого р(Р2) < 52. выполняется неравенство
|S(P2,/. а) — 72| < £.
Если Р — разбиение [а, Ь], удовлетворяющее условию р(Р) <
< min{5i;52}. то эти неравенства справедливы с заменой Pi и Р2 на
Р. Но тогда
= \h - HI |/2 - S(P,/,a)| + |5(P./.a) - < 2s = I2 - h
— противоречие.
5.1.23. Утверждение. Если существует конечный предел
lim S(P.f.a).
к(Р)->о
то f е Р{сР) на [a.b] и
гь
/ f da = lim S(P.f.a).
J a
Доказательство. Пусть
lim S(P. /. a) = 7 e R.
тогда Vs > 0 35 > 0: 7 - e/2 < S(P.f.a) < I т s/2 для любого
разбиения P отрезка [a. Ь]. такого, что p(P) < 5. и при любом выборе
промежуточных точек.
Используя замечание 5.1.20. выводим, что если р(Р) < 5. то
£ ч ч с
I--^L(P.f.a)^U(P.f.a)^I- -.
2.
Но тогда (СДР. f. а) -ЦР. f. a)) s и по критерию интегрируемости
f е Р(а) па [я. Ь].
Так как всегда
h
ЦР-f.a)
U(Pf.a).
то
ь
1--^
2 V 2
Переходя к пределу при s -> 0 й. получаем, что I ~ da.
5.1.24. Утверждение. Если функция f непрерывна на [a.b]
или если f е 7^(а) на [а. Ь] и а непрерывна на [а. Ь]. то в обоих случаях
3 lim S(P./.a)= [ fda.
Ja
278
Глава V
Доказательство. Если f непрерывна на [а.Ь], то согласно
утверждению 5.1.13 f е 7£(а) на [а, Ь] и
3 lim 5(Р./,а) = [ f da.
Пусть f е Р(а) на [а.Ь] и а непрерывна на [а, Ь]. Тогда по
критерию интегрируемости Ve > 0 3 разбиение Р* отрезка [а, Ь], для
которого
С7(Р*,/,а)-Р(Р*,/,а)<
Пусть п* — число отрезков в разбиении Р*. Так как функция /
ограничена на [а,Ь], то
ЭМ = const > 0: sup М < +<х>.
Для выбранного значения е > 0 3<5 > 0:
(ц(Р) <<?)=> (тах{Да1;...; Дап} < ,
где п — число отрезков в разбиении Р. Это следует из условия
непрерывности функции а на[а, 6], поскольку при таком условии а
равномерно непрерывна на [а.Ь].
Если /л(Р) < 6, то вклад в сумму
- /п,)Да, = СДР,/, а) - Т(Р,/,а)
г=1
тех отрезков разбиения Р. внутри каждого из которых содержится
хотя бы одна точка разбиения Р*, не превосходит
(п* - 1)2ЛР—< |.
v 7 4ЛГп* 2
Вклад в эту сумму всех остальных отрезков разбиения Р не пре-
восходит
U(P*. f.a) — L(P*. f.a) < |
Итак, если ц(Р) < 5. то (U(P.f.a) — L(P. f.а)) < е. По определению
это означает, что
lim (U(P.f.a) — L(P. f. а')') = 0.
м(Р)-+о
Так как при любом выборе промежуточных точек £, € [ад-ьад]
i -= 1..... п.
L(P.f.a) < у6 f da < U(P.f. а):
L(Pf.a)^S(P.f.a) ^U(P.f.a).
Определенный интеграл
279
то из условия р(Р) < 5, таким образом, следует что
< е.
Значит.
Э lim S(P.f.a) = f fda.
м(Р)->о Ja
5.1.25. Следствие. При условиях утверждения 5.1.24 в обоих
случаях существуют пределы
lim U(P.f.a) = lim L(P.f.a) = [ fda.
h(P)^o Ja
(которые определяются так же, как предел интегральных сумм, -
отсутствуют только промежуточные точки).
5.1.26. Следствие. Для существования конечного предела ин-
тегральных сумм необходимо и достаточно, чтобы существовали ко-
нечные пределы
lim U(P,f.a)= lim L(P.f,a),
ц(Р)->0 m(p)-»o
а также необходимо и достаточно, чтобы
3 lim (U(P,f,a) - L(P.f.a)) = 0.
м(Р)-»о
5.1.27. Пример. Пусть a = —1: b = 1, и пусть
. f 0. если -1 х < 0: , . _ Г 0. если -1 х < 0;
если 0 х 1; ~ [ 1. если 0 < х С 1.
Тогда, как легко проверить, f € Р(а) па [—1.1]. хотя предел
lim S(P.f.a)
в(Р)~>о
не существует.
5.1.28. Замечание. Нетрудно показать, что если
3 lim L(P.f.a) = I G R.
то
1^' = 1
Аналогично, если
3 lim U(P.f.a) -= 7 G R.
то __
[fda = 7.
280
Г л а в a V
5.1.29. Утверждение. Пусть f— вещественная функция, не-
ограниченная на отрезке [а, Ь], и пусть функция а строго возрастает
на [а, &]. Тогда не существует конечного предела интегральных сумм.
Более того, для любого разбиения Р отрезка [а, &] интегральную сум-
му S(P, f, а) можно сделать сколь угодно большой по модулю только
за счет выбора промежуточных точек ф,... ,£п.
Доказательство. Пусть Р = {я?о;... ;in} — фиксированное
разбиение отрезка [а, 6]. Тогда функция f не ограничена хотя бы на
одном из отрезков разбиения Р. Пусть, для определенности, функ-
ция f не ограничена на отрезке [xo,a:i], тогда яд > я?о = а. Зафик-
сируем промежуточные точки & G [яд_1,яд], г = 2,... ,п. Имеем
п
5(Р,У,а) = /(Ci)Aa1 +$2/(ег)Да„
г=2
причем Лад = a(xi) — а(а) > 0, поскольку яд — а > 0 и функция а
строго возрастает на отрезке [а, яд]. Меняя точку € [я?о, яд], можно
добиться того, чтобы значение /(ф) (а поэтому и значение S(P, f, а))
было сколь угодно большим по модулю, поскольку функция J не
ограничена на отрезке (яго, ад].
Интегрирование комплексных функций
Пусть / = У1+гУ2: [а, &] -> С, где fa, f2: [а, b] -> R, и пусть функ-
ция У ограничена на отрезке [а, &] (отсюда, следует, что обе функции
У1иу2 ограничены на [а, 6]). Пусть, далее, а — неубывающая функ-
ция на (а, Ь].
5.1.30. Определение. Пишут f G 7?.(а) на |а. 6] тогда и только
тогда, когда fa G F(o) на [а, 6], j = 1,2. При этом полагают
рЬ рЬ рь
/ У da = fida + i fzda.
J a J a J a
5.1.31. Утверждение. Пусть f.g: |a, b] —> С и f. g G F(a) на
[a. Ь]. Тогда f -t- g G F(a). cf G F(a) на [a, b] (c = const G С) и
pb pb pb pb pb
/ (f-t-g)da=l fda+l gda: / (cf)da = c fda.
J a J a J a Jo. J a
5.1.32. Утверждение. Пусть a < с < b. Тогда f G F(a) на
[a. b] в том и только том случае, когда f G 7£(a) на [a, с] и У G JRa)
на [с, 6]. При этом
pb pc pb
/ fda= / fda-. / f da.
J a J a J c
5.1.33. Утверждение. Если f.g G 'F(ci) на [a,6]. to (f • g) G
G F(q) на [a. 6] н (У x g) G F(a) на [a, 6]
Определенный интеграл
281
5.1.34. Замечание. Если при условиях определения 5.1.30
g = 51 + ’52, где 51,52: [а,6] -> R, то
f ' 5 = /151 - /252 + «(/152 + /251); f х 5 = /151 -г /252
(скалярное произведение функций / ид).
5.1.35. Утверждение. Пусть ai и а2 — неубывающие функ-
ции на отрезке [а, 6). и пусть с = const > 0. Если, кроме того,
f е Щец) и f £ 72(а2) на [а, 6], то f £ 72(ат -г а2) и / € 72(cai)
на [а.Ь], причем
гЪ pb г>Ь
/ /</(а1+а2)= / fdar+ / f da2;
J a J a J a
[ fd(cai) = c f f dai.
J a J a
Все эти утверждения выводятся из соответствующих утверж-
дений для вещественных функций и определения 5.1.30 с учетом
свойств 1-7 интеграла Римана Стилтьеса.
5.1.36. Оценка модуля интеграла Римана-Стилтьеса.
Пусть f ; [а, 6] -э С; / € 72(а) на [а, 6]. Тогда |/| £ 72(a) на [а, Ь] и
дЬ pb
/ /da «5 / |/| da.
Ma Ja
Доказательство. Пусть f = fi -г if2, где fi,f2: [a,6] -> IR,
тогда |/| = -у/? ”г/2• Так как согласно определению 5.1.30 Д £
£ 72(a) и /i £ 72(a) на [а,6], то /2 + /2 £ 72(a) на [а.Ь]. Поскольку
I/! = ‘Х/2 4" /2)> где 'ХО = Л при t 0, то из непрерывности
функции р согласно 5.1.15 следует, что |/| £ 72(a) на [а, 6].
Пусть
Vj = / fjda. j = 1.2,
J a
тогда, если у = yi iy2, то
/ fda = у и |5|2 = у} -г yl = yi / fida-t-y2 f2da^
J a J a J a
= [ (51/1 - 52/2) da.
J a
Согласно неравенству Коши-Буняковского Vt £ [a, 5]
У1/1 (^) 52/2(21) I51/1W - 52/2(2?)! C
< y2-\ff?(x) + /2(ж) = \y\\fH\-
Значит,
282
Глава V
Если ф| = 0, то г/i = У2 = О и доказываемое неравенство, оче-
видно, справедливо. Если же |у| > 0. то
ГЬ
т. е.
ь
f da
а
Ь
5.2. Интеграл Римана
Пусть f — вещественная функция, ограниченная на [а.Ь]. Пусть
Vx € [а,Ь] а(х) = х, тогда Да, = а(х,) — a(x,_i) = х, - х,-1 = &Xi,
г = 1,....п, если Р = {хо;...;хп} — некоторое разбиение отрезка
[а, Ь]. Кроме того, при таких условиях согласно замечанию 5.1.4
t/(P,/.a) = Г(Р,/) = У^МДхд
£(Р f. а) = £(Р, /) = ^2 m'Ar
m(b - а) < £(Р, /) < Р(Р f) М(Ъ - а);
5.2.1. Определение. Если
то пишут
•л
и называют значение
ь
•J а
интегралом Римана от функции / по отрезку [а. Ь]. При этом пишут
f € Р па [а. 6] (это означает, что функция f интегрируема по Риману
на отрезке [а. Ь]).
5.2.2. Пример. Если V.r G [а.Ь] /(х) — с — const, то
так что f Е 11 на [а. 6] и
ГЬ
(см. пример 5.1.6).
Определенный интеграл
283
5.2.3. Критерий интегрируемости по Риману. Функция
f е Р на [а, Ь] тогда и только тогда, когда Ve > О В разбиение Р
отрезка [а. 6]. такое, что
U(Rf)-L(P,f)<e.
Это частный случай критерия интегрируемости функции f от-
носительно функции а (см. выше).
Заметим, что в случае, когда Vt е [а, 6] а(т) = z, имеем
п
U{P, f) - L(P, f) = - mJ Az..
г—1
5.2.4. Следствие. Если функция f непрерывна на [а, Ь] или
f монотонна на (а, 6], то в обоих случаях f <= Р на [а, Ь] (следует из
утверждений 5.1.13 и 5.1.14).
5.2.5. Следствие, f е Р на [а, 6] и
[ f(x) dx — I
J a
тогда и только тогда, когда существует конечный предел
lim SIP, /) = I.
(следует из утверждений 5.1.23 и 5.1.24, если обозначить
S(P,/) = 5(P,/,o)
в предположении, что Vz € (а, b] а(х) — х, и заметить, что функция
а непрерывна на [о, &]).
5.2.6. Следствие. Пусть f G Р на [а, Ь], и пусть Vz £ [а, Ь]
m /С1) М, m- М = const € R. Если функция р непрерывна на
отрезке [/тг, М] и Vz € [а, b) h(x) = <p(/(z)), то h € Р на [а. Ь] (следует
из утверждения 5.1.15).
5.2.7. Пример. Пусть
р, . _ ( 1/п. если х = m/п. где т 6 1L\ п & N; н.о.д.(т. п) = 1:
Г [ 0. если х € (R \ Q).
Функция R ограничена на R. непрерывна в любой точке т €
€ (R \ Q) и разрывна в любой точке z £ Q. Действительно, если
z € Q, то Р(х) > 0.
Поскольку z — предельная точка множества R \ Q. в любой
точке которого функция R равна нулю, то равенство
lim
E(t) = 0 = R(z)
284
Глава V
не может выполняться. Согласно теореме о пределе по подмножест-
ву равенство
lim R(t) = R(x)
Вэ(->т
также не может выполняться, и поэтому R разрывна в любой точке
х € Q.
Пусть х € (R \ Q), тогда R(x) = 0. Равенство '
lim /?(t) = 0
справедливо тогда и только тогда, когда
lim R(t) = 0
(что очевидно, поскольку Vt G (R \ Q) R(t) = 0) и
lim R(t) = 0.
Если последнее равенство неверно, то
Зе > 0: Vd > 0 3/ € (%(аг) Г) Q): R(t) е.
Для таких значений t = т/п (т € 7L-. п е IN; н.о.д.(т.п) = 1) имеем
1/п е, т. е. п 1/е, и поэтому п < [1/е].
Рассматривая все дроби вида т/п 6 Us(x), удовлетворяющие
указанным условиям, можно утверждать, что таких дробей для за-
данного значения 6 > 0 — конечное число, поскольку для каждой из
них 1 п < [1/е] (при е 1: если е > 1, то таких дробей нет) и
х т
х — о < — < х ; д.
п
т.е. п(х — д') < т < п(х т 5).
Так как х g (R \ Q), то ни одна из этих дробей не совпадает с
х. Следовательно, расстояние от точки х до ближайшей к х дроби
такого вида положительно. Пусть р > 0 — это расстояние. Пола-
гая d\ = min{d:p} > 0 и рассматривая окрестность //^(гс), мож-
но утверждать, что в этой окрестности нет пи одной из этих дро-
бей. Поэтому, если х 6 (//^(т) П Q) и х = т/п (тп € TL-. п € N:
н.о.д.(т.п) = 1). то 1/п < с. т.е. п > 1/е — противоречие. Значит.
lim R(t) — 0
и поэтому функция R непрерывна в любой точке х Е (R\Q). Функ-
ция R называется функцией Римана; па любом отрезке [o.b] (a.b Е
€ R: а < Ь) она имеет счетное множество точек разрыва.
5.2.8. Утверждение. Функция Римана интегрируема ио Ри-
ману на любом отрезке.
Это утверждение будет установлено ниже как следствие более
общего результата (критерия Лебега интегрируемости по Риману
ограниченной функции).
Определенный интеграл
285
<p(f) =
5.2.9. Пример. Пусть R — функция Римана (точнее, ее суже-
ние на отрезок |0,1]), и пусть
1, если<е(0;1];
О, если t = 0.
Тогда R-. [0,1] —> [0,1] и R интегрируема по Риману на [0,1]. Функ-
ция <р непрерывна на (0,1] и в точке t = 0 разрывна (и поэтому,
как следует из критерия интегрируемости, интегрируема по Риману
на [0,1]).
Пусть h = тогда Уж е [0; 1] Л(х) = у?(/(ж)) = £>(л), где D —
функция Дирихле (см. пример 5.1.16). Эта функция не интегрируе-
ма по Риману на |0,1] (что следует из того же примера).
Таким образом, условие непрерывности функции <р в утвержде-
нии 5.1.15 и 5.2.6, вообще говоря, нельзя заменить условием интег-
рируемости этой функции.
5.2.10. Замечание. Утверждение 5.1.29, в частности, спра-
ведливо и в случае, когда Уж € [а; 6] а(х) = х и функция f не
ограничена на (а; 6].
Теорема о непрерывности интеграла как функции
верхнего предела интегрирования
Пусть f € R на [а.Ь], и пусть Уж € [а;6]
F(t) = [ ^при ж = a f f(t)dt = O
J a \ J a
Тогда функция F равномерно непрерывна на [а; 6].
Доказательство. По условию, f ограничена на [а;6], и по-
этому ЭМ = const >0: Vt € [а. 6] \f (t)| М. Если а С ж < у С Ь, то
\F(y) - Е(ж)| = Г f(t)dt
J X
ГУ ГУ
I \f(t)\dt^ / Mdt = М(у - ж).
X J X
Пусть е > 0 и 6 = е/М > 0. тогда, если \у — ж| < 6. то |F(y) —
— Е(.т)| < е, что и означает, что функция F равномерно непрерывна
на [а. &].
Теорема о дифференцируемости интеграла как функции
верхнего предела интегрирования
При условиях предыдущей теоремы и непрерывности функции
f в точке хо G [а.Ь] функция F дифференцируема в точке xq и
F'(x0) = /(ж0).
Доказательство. По условию Уе > 0 3d' > 0:
(t е [а. Ь]; \t - То| < <5) => (|/(t) - /(ж0)| < г).
286
Г л а в a V
Если, кроме того, t > xq, то
F(i) - F(x0)
~ f т-----Ж)
7—I— I f(xo))ds — f \f(s)-f(x0)\ds^
t-X0 J XQ t- Xq JXq
C------ / eds = £.
t - XO Jxq
поскольку из неравенств xq s C t следует, что ,/(s) — /(xo)l < £-
Случай, когда t < xq, рассматривается аналогично; при этом
следует учесть, что в этом случае
/г0
f(s) ds.
Таким образом,
3 lim
‘-*0
t€[a.b]
F(t) - F(x0) .. .
—7— ---------= •'(zo -
t - Xq
t. e. функция F дифференцируема в точке a?o и F'(a?o) = f(xo).
5.2.11. Следствие. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, 6]. Тогда она имеет на этом отрезке первообразную; одной из
таких первообразных является функция
F(x) = I f(t)dt. х£[а, 6].
J a
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть f 6 TZ на [а. 6], и пусть существует первообразная F для
функции f на [о. Ь]. Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница
dx = F(b) - F(a).
Доказательство. Пусть F = {х<у....: т„ } — произвольное
разбиение отрезка [а.6]. Применяя теорему Лагранжа о конечных
приращениях (функция f считается вещественной), можно утверж-
дать. что V/ € е [T,_i.r,]: F(.r;) - F(z,_j) - /(Сг)(т, - ,r,_i).
Поэтому
п п
F(b) - F(«) = £(F(t,) - F(x,^)) = £ /(6)(хг - x,^).
г.)
Так как f е F на [я. Ь]. то при //(F) —> 0 согласно следствию 5.2.5
Определенный интеграл
287
существует предел
\ уЬ
У2/(Сг)Дхг I = / f(x)dx.
ill J Ja
Значит.
F(b) - F(a) = [ f(x)dx
J a
Заметим, что разность F(b) - F(a) обозначается F(z)|^.
5.2.12. Замечание. Если a x t < b, то по определению
У /(s)ds = -y f(s)ds.
Отсюда следует, что если x,t,y— любые точки отрезка [а, Ь], то при
условии f G 77 на [а, Ь]
ГУ ft ГУ
/ /(s)ds= / /(s)ds+ / /(s)ds.
J X J x j t
Кроме того,
\f(s)\ds
Теорема о сведении интеграла Римана-Стилтьеса
к интегралу Римана
Пусть f & 1Z на [а, Ь], и пусть а — неубывающая функция, диф-
ференцируемая на [а, Ь], причем а' € 77 на [а, Ь]. Тогда f € 77(а)
на [а, Ь] и
f da = i f (x)a'(ar) dx.
J a
Доказательство. Имеем fa1 € 77 на [а.Ь]. Так как a' 6 77
на [а.Ь], то функция а' ограничена на [а,Ь]. т.е. 33/ = const > 0:
Vz € [а.Ь] 0 а'(х) М. Кроме того, так как / 6 77 на [а,Ь]. то
Ve > 0 3d' > 0:
/ п
(д(Р) <<)')=> 52(3/, - тг)Дх, < -у
\ г— 1
Здесь Р = {.г0: • • • -Хп}- Кроме того. Vz е Nn 3£,- е [r,_i.z,]: а(.т,) -
- Ск(т;_1) - а'{^)^х,. Если д(Р) < 6, то
52(л/’ - «1г)даг = 52^''^ - л^2/= е’
1=1 1
288
Глава V
Это означает, что / € 7£(а) на [а, Ь]. Так как fa' € на [а. 6). то
Vs > О Зф > 0:
(м(Л < 51) =>
7Z />Ь
^2Ж)оЖ)Ж ~ / f(x)a\x)dx
Ja
при любом выборе точек ф.....£п на соответствующих отрезках раз-
биения Р. Пусть эти точки выбраны так, как сказано выше, т.е.
Лец = а'(ф)Атц г = 1...п, тогда, если р(Р) < <51 то
£Ж)а^-
•ь
Поскольку f € 7£.(а) на [а, 5] и а непрерывна (и даже диффе-
ренцируема) на [а. 6), то согласно утверждению 5.1.24
lim S(P, f,a) = [ /(x'fa'fxjdx.
м(Р)->0 Ja
Но тогда из утверждения 5.1.23 следует, что
e Um 0 эд/.а)=2!ia-
Значит,
i fda = [ f(x)a\x)dx.
J a J a
5.2.13. Замечание. Теоремы о непрерывности и дифферен-
цируемости интеграла как функции верхнего предела интегрирова-
ния справедливы при соответствующих условиях и для комплекс-
ных подынтегральных функций; то же верно в отношении форму-
лы Ньютона-Лейбница и теоремы о сведении интеграла Римана-
Стилтьеса к интегралу Римана.
Множества меры нуль
5.2.14. Определение. Множество Е С R называется мно-
жеством нулевой меры (в смысле Лебега), если Ve > 0 существует
не более чем счетное семейство интервалов (an.b,i). п = 1.2.та-
кое. что
Е С Ьп) и - ап) < е.
(«) (»)
5.2.15. Утверждение. Пусть Е С R; Е — не более чем счетное
множество. Тогда Е — множество нулевой меры.
Доказательство. Пусть е > 0. Если Е - 0. то утверждение,
очевидно, справедливо. Пусть Е у 0. тогда Е = {.гц; .г2:...
Определенный интеграл 289
Xi Xj при i ± 3\ гИ = 1,2,.... Положим an = xn — e/2”+1; Ьп =
= xn + e/2"+1, п = 1,2...., тогда
,^(bn - an) = Е sj е и Е с (J(an,6n),
(«) («) (я)
так как xn € (а„.Ьп), п = 1,2,....
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Можно пока-
зать (это делается в курсе теории меры и интеграла), что существу-
ют множества Е С R, имеющие мощность континуума и нулевую
меру.
5.2.16. Утверждение. Всякое подмножество множества ну-
левой меры имеет нулевую меру. Это очевидным образом следует
из определения 5.2.14.
5.2.17. Утверждение. Пусть (Efc, к = 1,2,...} — не более чем
счетное семейство множеств нулевой меры, и пусть
(k)
Тогда множество Е имеет нулевую меру.
Доказательство. По условию, Ve > 0 Vfc = 1,2,... существу-
ет не более чем счетное семейство интервалов (а^, b^), n = 1,2,...,
такое что
Efcc|J(aW,bW) и
(«) (п)
Семейство интервалов {(a^fc\d^fc^), n,k = 1,2,...} не более чем
счетно и
ЕС
(n,fc)
Кроме того,
Е^-^Е^.
(n.fc) (ft)
Значит, Е имеет нулевую меру.
5.2.18. Утверждение. Пусть a.b £ IR и a < Ъ. Тогда отрезок
[а. 6] не является множеством нулевой меры.
Доказательство. Пусть Ve > 0 существует не более чем счет-
ное семейство интервалов (а„Д„), п = 1.2.такое что
[а.Ь] С |J(aa.b,i) и ^(bn - ап) < е.
(п) (п)
Не ограничивая общности, можно считать, что это семейство ко-
нечно.
290
Глава V
Действительно, если оно счетно, то [а.Ь] С U (аг1.Ьп). Пока-
71=1
п
жем. что тогда Эп £ IN: [а,Ь] С U (а^.Ьд,).
А-1
Предполагая противное, можно утверждать, что Vn G N Вхп £
€ [а, 6]: хп (J(ai.bi). Последовательность {.г,,} ограничена и по-
z=i
этому содержит сходящуюся подпоследовательность {тгад.}, для ко-
торой 3 lim хп. = хо £ [а,Ь]. Значит, 3n0 £ N: х0 £ (аПГ1,Ьп„).
к-Аоо и и
Отсюда следует, что ЗА?о £ N: Vfc > ко хПк £ (апо,Ьпо). Если взять
к max{fco:no}, то
пь
(пк к^ п0) => ((аПо,Ь„о) С (J(az.bz)).
z=i
’Ц
Значит, при таких значениях к хПк £ [J (az, bz) — противоречие.
i=i
Поскольку Vn £ N
п оо
^2(bfc - ак) < - ак).
к = 1 к=1
то условие конечности семейства интервалов {(ап.Ьп). п = 1.2....}
не ограничивает общности нашего рассуждения.
Таким образом, достаточно доказать, что если Л' £ N и [а. Ь] С
N
с и (ап.Ьп). то
п-1
.V
5?(ЬП - а„) > Ь - а > 0
П = 1
(тогда предположение о том. что отрезок [а, Ь] имеет нулевую меру,
при с € (0:6 — а) приведет к противоречию).
Воспользуемся методом математической индукции. При Лт = 1
имеем [a.b] с (ajbi). т.е. ах < а < b < bz. и поэтому Ь, — ai > b — а.
Если последнее утверждение справедливо для числа интервалов
меныпего пли равного .V и
.V-1
IJ (an.b„) D [а.Ь].
П~ 1
то Зп0 € N: < N 1 и а е (a„a.brlQ). Если, кроме того. brlQ > b.
то [а.Ь] С (аПо.Ь,Ч)) и Ь„о - a/iQ > Ь - а. Если же Ь„о < Ь. то
.V-1
|Ь,(О.Ь]С [J (а,г.Ьп).
;1 1
"о
Определенный интеграл
291
и по предположению индукции
N4-1
(Ьп On) Ь ^ng,
' П=1
П^Пд
так что
N+1
b a — (b 6nQ) Н“ (^Пд в) < (6 ^Пд) ~ь (^Пд ^Пд ) (^П &п)*
П=1
5.2.19. Следствие. Множество Q имеет нулевую меру.
Действительно, достаточно заметить, что Q — счетное множе-
ство.
5.2.20. Следствие. Если a < Ь. то интервал (а, Ь) не является
множеством нулевой меры. Более того, если a < b и (a, b) С Е С Ш,
то Е не является множеством нулевой меры.
5.2.21. Утверждение. Если Е Q [а, Ь], а < Ь, и Е — множество
нулевой меры, то множество (а.Ь] \ Е всюду плотно в [а, Ь].
Доказательство. Нужно доказать, что если xq € Е, то хо —
предельная точка множества [а, 6]\£'. Предполагая противное, мож-
но утверждать, что Это € Е и существует окрестность U(xq'), такие,
что U(xq) О ([«,£>] \ Е) = 0. Это означает, что (ZV(tq) Г) [а, Ь]) С Е.
Значит, Ь/(то) Г) [а, Ь] — множество нулевой меры, что противоречит
следствию 5.2.20.
Критерий Лебега интегрируемости по Риману
ограниченной функции
Пусть f — вещественная функция, ограниченная на отрезке
[а.Ь]. Тогда f € Е на [а, Ь] в том и только том случае, когда мно-
жество всех точек разрыва функции f имеет нулевую меру.
Этот критерий доказывается в курсе теории меры и интеграла.
5.2.22. Пример. Пусть D — функция Дирихле, определенная
на отрезке (а, Ь], a < b. Согласно критерию Лебега D £ Е на [а. Ь],
поскольку D разрывна всюду' на [а. Ь]. так что достаточно использо-
вать утверждение 5.2.18.
5.2.23. Пример. Если R — функция Римана, определенная на
отрезке [а. Ь]. то Qn[a. Ь] — множество всех точек разрыва функции R
на [а, Ь]. Это множество счетно и согласно утверждению 5.2.15 имеет
нулевую меру. Поэтому из критерия Лебега следует, что R. G Е
на [а.Ь].
5.2.24. Следствие. Пусть функция f: [a. Ь] —> R ограничена
на [а, Ь] и множество всех точек разрыва функции f не более чем
счетно. Тогда f G Е на [а.Ь].
292
Глава V
5.2.25. Замечание. В курсе теории меры и интеграла до-
казывается. что существуют интегрируемые по Риману функции с
несчетным множеством точек разрыва.
5.2.26. Замечание. Пусть f 6 Л на [а. 6] и /: [а, b] -> [с, d]
и пусть <р: [с, d] —> R и р непрерывна на [с. d]. Если h = то
h е 1Z на [а, &].
Действительно, функция h непрерывна во всех точках отрезка
[а, &], в которых непрерывна функция f. Поскольку р ограничена
на [с, d], то h ограничена на [а, Ь]. Значит, согласно критерию Лебега
h G Л на [а, Ь] (частный случай утверждения 5.1.15).
Используя понятие интеграла Римана, докажем теорему Харди-
Литтлвуда (см. разд. 4.7; это доказательство принадлежит Кара-
мата) .
Доказательство. Пусть функция д непрерывна на отрезке
[0,1]. Тогда Vs > 0 существуют многочлены рД) и РД), такие, что
Vt е [0.1]
р(т) < рД) < РД);
/ (дД) - рД)) dr sj е и / (РД) - g(x))dx е.
Jo Jo
Действительно, согласно теореме Вейерштрасса о приближении
непрерывной функции последовательностью многочленов для функ-
ции д — s/2 существует многочлен рД). такой что
Имеем Vt[0: 1] рД) дД) и дД) — рД) £, и поэтому
[ (д(х) -p(x))dx е.
Jo
Аналогично устанавливается существование многочлена Р(х) с нуж-
ными свойствами.
Пусть теперь функция д непрерывна на [0.1]. за исключением
точки с 6 (0.1). являющейся точкой разрыва первого рода для этой
функции. Тогда Vs > 0 также существуют многочлены р(х) и РД)
с нужными свойствами. В самом деле, пусть, например.
lim дД) < lim дД).
.т—>с— х—
Тогда положим
(дД) -- £/2.
рД) = < П1ах{1Д):дД)-*-е/4}.
[ lim.r-^c . дД) - s/2.
если 0 < .г < с — 6 или г > с;
если с — 6 < .г < с;
если ,г = с.
Определенный интеграл
293
где 6 € (0; с) и 1(х) — линейная функция, определенная на отрезке
[с — 6, с] и такая, что
1(с-8) = д(с — 5) + |; 1(c) = lim д(х) + |.
' 2 х—>с+ 2
Функция непрерывна на [0,1] и \/х € [0,1] <р(х) > д(х), если
считать, что
д(с) = lim д(х).
х—¥с —
При достаточно малом 8 > 0 многочлен Р(х), хорошо аппрокси-
мирующий функцию tp в указанном выше смысле, обладает требуе-
мыми свойствами. Подобным же образом строится многочлен р(х).
Покажем далее, что для любого многочлена Р(х)
^lim_(l - г) 57 anXnP(zn) = I P(t) dt.
Достаточно рассмотреть случай, когда Р(х) = хк, к е No- В этом
случае, используя условие
ОО
52 Яп-ЕП ~ (1 — z)-1 ПрИХ->1-
п—0
получаем
(1 - х) 52 anxnp(xn) = (1 - х) 52 an^(fc4'1)п =
п-0 п—О
1 — °° 1
= ~ при х -> 1 - .
п=0
Поскольку при таких условиях
f P(x)dx— i хк dx = - — fc=0,1,...,
Jo Jo к 1
то наше утверждение установлено.
Если функция д непрерывна на [0,1] или имеет на [0,1] одну
точку разрыва первого рода, то
оо »1
lim (1 - x)^2anxnд(хп) = / g(t)dt.
Действительно, пусть Р(х) и р(х) — многочлены, удовлетворяющие
указанным выше условиям.
Так как Vt 6 [0.1] д(х) Р(х) и an 0. п = 0.1.....то
lim (1 — х) 5^ cinXng(xn) < lim (1 — х) 5^ a„xnP(xn) -
г—>1— -т—>1— -*
?г-0 п—0
294
Глава V
При е -> 0+ получаем, что
g(t)dt.
Подобным же образом, пользуясь многочленом р(х). получаем нера-
венство
ОО fl
lim (l-a.’)V' anxng(xn) / g(t) dt.
z-+l- J Cl
Из этих неравенств следует выписанное выше равенство.
Теперь положим
0, если 0 t < е-1;
1/t, если е-1 sj t 1.
Тогда
так что, полагая х = ехр (—1/1V) € |0; 1], N = 1.2...., имеем
оо N
^2anxng(xn) = (1 -я)-1 = (1 -e-1/‘v)-1 ~ Л\
71 = 0 п — 0
поскольку х = ехр(—1/.V) —> 1— при N —> ос.
5.2.27. Замечание. В [7: с. 171] об интеграле Римана сказа-
но. что «...любому работающему математику (при всем уважении
к гению Римана) совершенно ясно, что в наши дни эта «теория»
может претендовать лишь на место не слишком интересного упраж-
нения в общей теории меры и интеграла. Только упрямый консерва-
тизм педагогической традиции сохраняет интеграл Римана как пол-
ноправную часть учебной программы, хотя давно уже он пережил
свое историческое значение».
По прошествии более 50 лет после выхода в свет книги [7] при-
ходится констатировать, что и в настоящее время процитирован-
ное высказывание ее автора не соответствует реальному положению
вещей. Интеграл Римана и сейчас остается интегралом, наиболее
часто используемым в практических приложениях и педагогической
практике. Причина этого заключается, по-видимому, в его простоте
и возможности вычисления с использованием знаменитой форму-
лы Ньютона-Лейбница. Достаточно общих аналогов этой формулы,
применяемых на практике, для случая интеграла Стилтьеса (и тем
Определенный интеграл
295
более интеграла Лебега) не существует. Кроме того, интеграл Рима-
на имеет важное значение во многих теоретических вопросах анали-
за. В частности, теорема о сведении интеграла Римана-Стилтьеса к
интегралу Римана позволяет вычислить соответствующий интеграл;
при невыполнении ее условий процедура вычисления этого интег-
рала не может быть реализована достаточно удовлетворительным
образом.
5.3. Функции ограниченной вариации
5.3.1. Определение. Пусть ft [а, 6] —> <С, и пусть Р =
= {ад;...;хп} — разбиение отрезка [а.Ь]. Положим Д/г = /(хг) —
- /(хг-1), г = 1..п;
{п 1
£|ДЛ1 ?
г=1 J
тогда 0 < V(fta. b) < -гоо. Назовем величину V(f;a,b) 6 R полной
вариацией функции / на отрезке [а, 5). Если 6) < +ос, то
говорят, что f — функция ограниченной вариации на [а, 6].
5.3.2. Утверждение. Пусть f = fi + if2t [а,5] —> С, где /i./г-’
[а.Ь] —> R. Тогда
V(fy.a,6) V(/; а, 5) < V(J}ta,b)-^ V(/2; a. b). j - 1.2
fn поэтому V(f:a.b) < +oc в том и только том случае, когда
V(fjta.b') < -roc, j - 1,2).
Доказательство. Сохраняя введенные выше обозначения,
имеем
1Л(^г) - Л(^-1)1 1ДЛ1 - /1(^-1)! + - /2(жг-1)|.
i = 1...п.
так. что
п п п
£ 1Ш) - Ш-Л < £ 1А.Л1 с £ 1/Н*,) - АСп-i)! -
г=1 i -]
п
-EibW-hfr,-!)!. j = 1.2.
Переходя в этих неравенствах к верхним граням по всем разби-
ениям Р отрезка [а. 6]. получаем нужное утверждение с учетом того,
что верхняя грань суммы не превосходит суммы верхних граней.
5.3.3. Замечание. Если функция f монотонна па [а. 6]. то
V(/:a.b) = |/(Ь) -/(а)| < -эс.
296
Глава V
Действительно, при таком условии все приращения АУ), г = 1,..., п,
имеют одинаковый знак и
£>/,= /(&)-/(а).
г=1
5.3.4. Замечание. Если функция f дифференцируема на [а, Ь]
и производная f ограничена на [а, Ь], то V(f;a, &) < too.
Действительно,
ЭМ = const > 0: sup М < +оо
и для любого разбиения Р = {хо; • • •;^п} отрезка [а, Ь]
п п п
у; 1Ж) - = М{Ъ - а),
г=1 г=1 г=1
если / — вещественная функция на [а, Ь] и & € [xj-i, □?*], ? = 1,..., n.
Значит, V(f-.a, b) M(b — a) < +oc.
Справедливость сформулированного замечания для комплекс-
ной функции f следует из утверждения 5.3.2.
5.3.5. Следствие. Пусть функция f непрерывно дифферен-
цируема на [а, Ь]. Тогда V(/;a,b) < +оо.
5.3.6. Замечание. Если V(/;a,b) < +оо, то f ограничена на
[а, Ь], поскольку Vx € [а, b] |/(х) — /(а)| С V(f;a, Ь).
5.3.7. Пример. Пусть
xsin (д/х), если 0 < х 2;
0, если х = 0.
тогда функция f непрерывна на отрезке [0,2]. Выбирая подходя-
щим образом разбиения отрезка [0,2] и переходя к верхним граням,
нетрудно показать, что Е(/;0,2) = —оо.
5.3.8. Пример. Пусть
{X . /7Г
— sin -
1„.г U
7Г. X = 1.
Рассуждая так же. как в предыдущем примере, несложно прове-
рить. что функция f дифференцируема на отрезке [0.2] и V(f; 0.2) =
= +ос.
5.3.9. Утверждение. Пусть f и д — комплексные функции
ограниченной вариации на отрезке [а.Ь]. Тогда f т- д; fg; cf (с =
= const с С) - функции ограниченной вариации на [а.Ь].
Доказательство. Пусть Р = {хо;...;х„} — произвольное
/(®) = |
), х€ ((0.1) U (1.2]);
х = 0;
Определенный интеграл
297
разбиение отрезка [а.Ь]. Тогда
п п п п.
52+»<)1 = 52 +А^1 5212
1=1 г=1 г—1 г=1
V(f;a.b) -r V(g:a,b)
и поэтому V(f + д: a, b) V(f: a, b) -г V(д-, а, Ь) < -тоо.
Поскольку функции f и д ограничены на [а, Ь]. то ЗА, В =
= const > 0: Va? е [а,6] |/(х)| V А и ,р(з?)| В. Если h = fg, то
Aht = f(x,)Agt -г g(xi-X)Afi. i = 1.... ,n.
так что
п п п
52|Д/1г|< Л ^2 |ДРг| + В 52| АЛ К AV(g-,a.b) + BV(f:a,b)
г=1 г=1 г=1
Поэтому
V(fg;a,b) AV(g;a,b) + BV(f-.a.b) < -ос.
Далее,
£|Д(С/)г| = 22|сАА| = |с|£|ДЛ1 \c\V(f;a.b).
i=l г = 1 i-~l
Отсюда следует, что V{cf;a.b) "У \c\V(f:a.b) < Too (на самом деле
V(cf-.a.b) = \c\V(f-.a.b)).'
5.3.10. Следствие. Пусть /ид- неубывающие функции на
отрезке [«./>]. Тогда f — д — функция ограниченной вариации на
этом отрезке.
5.3.11. Следствие. При условиях утверждения 5.3.9 функ-
ция f х д (скалярное произведение) имеет ограниченную вариацию
на [а.Ь].
5.3.12. Определение. Пусть V(f-.a.b) < +эо. Положим /х £
£ [а.Ь] Vf(x) = V(f-.a.x). тогда 0 < гу(а?) V(f: a.b) (так что функ-
ция Vf ограничена на [а. Ь]). Назовем iy функцией полной вариации
для функции f па отрезке [а.Ь].
5.3.13. Утверждение. Если V(f:a.b) < -=х. то гу(а) = 0 и
Vf — неубывающая функция, ограниченная на [а.Ь].
Доказательство. Пусть ау,а.’2 € |«,Ь] и Xj < Х2- Тогда
'-'/(Z’l) < ty(^'2)- т.е. V(/:a.j'i[ < V(/:a.X2)- поскольку [a.i’i] С
С [а..ад], так что
[а.-тг] = [a-Ti] U [ад.ад].
Теорема об аддитивности функции полной вариации
Пусть f - комплексная функция ограниченной вариации на
[а.Ь], и пусть а а- < у < Ь. Тогда Vf(y) -- 1'/(т) - V(f-.x.y).
298
Глава V
Доказательство. Если а = х или х = у, то утверждение
теоремы, очевидно, справедливо. Пусть а < х < у С Ь, тогда Ve > О
существует разбиение Р = {ад...; т„} отрезка [а, у], такое, что
п
Му) -£ < 521/(М - Му)-
£=1
Если х {ад... то добавим точку х к точкам разбиения Р,
тогда получим разбиение Р*, для которого оба предыдущих нера-
венства будут выполняться. При этом
Slip У'|А/г|
(i)
> = vf(x) + V(f-,x,y).
Значит, Vf(y) - £ < г.у(х’) + V(f;x, у) Vf(y).
При е —> 0+ получаем равенство, которое нужно доказать.
Теорема о непрерывности функции полной вариации
Если V(f;a,b) < +оо и функция f непрерывна на [а, Ь], то и
функция Vf непрерывна на [а. 6].
Доказал ельство. Пусть a < у < Ь. Покажем, что функция
Vf непрерывна в точке у слева (и поэтому непрерывна слева в любой
точке.полуинтервала («,&]). Надо доказать, что
lim vf(x) = vf(y\
x^ry-
Если a < х < у, то Vf(y) — Vf(x') = V(f;x, у). Следовательно, нужно
проверить равенство
lim V(f;x.y) = 0.
х->у-
При фиксированном значении у и возрастании х вариация
V(f: х, у) не возрастает, оставаясь неотрицательной. По теореме о
пределе монотонной функции существует
lim V(f:x. у) 0.
х->у-
Предположим, что
lim V(f: х. у) > 0.
х—ьу—
и пусть
5= j Hm V(f;x.y).
Z x—>y-
Тогда Vz € [а. у)
V’(f: .г. у) > lim V(f; t. у) > S.
t->V~
Определенный интеграл
299
При х — а получаем, что существует разбиение {др...; хп} от-
резка такое что
п
£|ДЛ1>^-
4=1
При этом х,I = у и без ограничения общности можно считать, что
.Тп-i < У- Поскольку функция f непрерывна слева в точке у, то
За] 6 числа |/(у)-/(х„_1)| и \f(a1')-f(xn-i')\ сколь угодно
близки друг к другу. При этом |Д/П| = \f(y) - f(xn-i)\. Значит,
неравенство
£|ДЛ1 >6
7 = 1
останется справедливым, если заменить у таким числом aj. Это
означает, что Эсу < у: V^f'.a.a^ > 6. Продолжим этот процесс
далее, заменив а на сц и т. д. В итоге получим, что VN € N сущест-
вуют числа a = ao < ai < ... < ajy < у, такие, что П(/; су) > <5,
i = 1....N.
Согласно свойству аддитивности функции полной вариации от-
сюда следует, что
.V
V(/;a,aA) = £ > N6.
г-1
Используя неравенство
Vf(y) = V(/:a.a.v),
получаем, что V(f'.a.y) > N6, N = 1,2...
Оставляя 6 > 0 фиксированным, при N —> эс выводим равенст-
во V(f-,a, у) = -эс. Поскольку Vy е (а, 6] V(f;a,y) V(f',a,b), то
V(f; а. Ь) = -‘-ос.
что противоречит условию. Значит.
lim V(f: х. у} = 0.
т-эу-
т. е. функция г/ непрерывна слева на полуинтервале (а. 6].
Аналогично доказывается, что эта функция непрерывна справа
па полуинтервале [я. Ь) Таким образом, функция гу непрерывна на
отрезке [я. 6].
5.3.14. Утверждение. Пусть f — вещественная функция
ограниченной вариации на отрезке [а. Ь]. Тогда существуют неубыва-
ющие на [а. 6] функции р и q. для которых p(a) - q(a) — 0 и V.r 6 [а. &]
/(.т) = /(а) - р(х) - q(x): vf(x) = рф) -г дф).
300
Глава V
Доказательство. Положим Vx € [а, b]
р(х) = дМх) + /(®) - /(«)); 9(ж) = |(v/(x) - f(x) + /(а)),
Л &
тогда p{a) = q(a) = 0 и значения р(х) и q(x) удовлетворяют выпи-
санным в формулировке утверждения равенствам.
Пусть а С х < у < Ь, тогда
2(р(г/)—р(ат)) = vf(y)-Vf(x)+f(y)-f(x) = V(f;x,y)->-f(y)-f(x) 0,
поскольку по определению полной вариации \f{y') — f(x)\ V(j-,x,y).
Аналогично получаем, что
2(?(у) - q(x)) = V(J;x,y) - (/(у) - /(х)) 0.
Таким образом, р и q — неубывающие функции на [а, Ь].
5.3.15. Следствие. Если при условиях утверждения 5.3.14
функция f непрерывна на [а.Ь]. то функции р и q также непрерывны
на [а, Ь].
5.3.16. Следствие. Функция f: [а.Ь] —> R имеет ограничен-
ную вариацию на [а, Ь] тогда и только тогда, когда она представима
в виде разности двух неубывающих функций.
5.3.17. Следствие. Пусть f — функция ограниченной вари-
ации на [а, Ь]. Тогда
Vx € (a.b] 3 lim /(t); Vx E [a, b) 3 lim f(t)
t—ьх— t—>z4~
и множество всех точек разрыва функции f на [а, Ь] не более чем
счетно.
Доказательство. Если f = fi + if?, где fi.f2- [a.b] —> R,
то множество всех точек разрыва функции f на [a. b] является объ-
единением соответствующих множеств точек разрыва функций /1 и
/г- Таким образом, достаточно проверить утверждение следствия
для вещественных функций. В этом случае f = оц — »2. гДе и
0.2 ~ неубывающие функции на [а, Ь]. При таких условиях Vx £ (a, b]
3 lim a,(i) и Vx £ [a.b) 3 lim аД£), j = 1,2, и множество точек
t—>X~ t-EEy
разрыва как функции од, так и функции о? не более чем счетно.
Значит, множество всех точек разрыва функции / на [a.b] не более
чем счетно.
5.3.18. Определение. Пусть g: [a.b] —> R: V(g:a.b) < ч-эс и
д = Qi — а.2, где Qi. 02 — неубывающие функции на [а. Ь]. и пусть /:
[а.Ь] —> С, причем f £ 7£(сц) и f Е Т^/аг) на [а.Ь). Положим
pb pb рЪ
/ fdg= f dai - fda2.
J a J a J a
5.3.19. Замечание. Если g = ф — Зг. где З1.З2 — неубы-
вающие функции на [а.Ь]. и f Е 7^(3]); f Е 1ЦЗ2) на [а.Ь]. то при
Определенный интеграл
301
условиях определения 5.3.18
pb pb pb pb
/ fd(ai+/32) = / fday + / fd82 = / /d(a2 + z?i) =
J a J a J a J a
= [bfda2 + [Ь fd8t,
J a J a
так что
/»Ь pb p b pb
/ fdar- f da2 = I f dpi - f d82.
J a J a J a J a
Это означает, что определение 5.3.18 корректно в том смысле, что
значение интеграла f dg не зависит от выбора неубывающих фун-
кций Qi и а2, для которых g — ai — а2, если только f € 7£(ai) и
f е ^(ог)-
5.3.20. Следствие. Если функция f непрерывна на [а, Ь] и g —
вещественная функция ограниченной вариации на |а. Ь] или если f
ид— вещественные функции ограниченной вариации на [a.b] и д —
непрерывна на [а, &], то в обоих случаях интеграл f dg существует.
Доказательство. Для первого случая утверждение следст-
вия, очевидно, справедливо. Во втором случае f = 71—72, где
*1,72 — неубывающие функции на [а. 6]. и д — Qi — a2, где си и
a2 — также неубывающие функции на [а, 6]. Так как д непрерывна
на [а. 6], то функции aj и а2 можно выбрать так. чтобы они бы-
ли непрерывны на [а. 5). Тогда 71 С Д(сц) и € Д(сц). так что
f 6 Ш1).
Аналогично проверяется, что f € Д.(а2)- Это означает, что ин-
теграл fb f dg существует.
5.3.21. Замечание. При условиях следствия 5.3.20 в обоих слу-
чаях теорема об интеграле как пределе интегральных сумм приме-
нима в полном объеме.
5.3.22. Определение. Пусть f = fi — if2. д = ,7i г ig2. где
fi- fi-9}-9i~ вещественные функции, определенные на отрезке (а. 6].
Пусть, далее, выполнено одно из условии:
a) f непрерывна на [а. Ь] и д - функция ограниченной вариации
па [а.5]:
б) /и д - функции ограниченной вариации на [а. 5] и д непре-
рывна на [а. 6].
Положим
pb pb pb / pb pb \
/ fdg= fi dgi - fidg2 - i( fi dg2 - f2 dgi .
J a J a J a \J a J a j
Заметим, что при условиях определения 5.3.22 /, € М 6
€ {1.2}. При этом как в случае а), так и в случае б) теорема об ин-
302
Глава V
теграле как пределе интегральных сумм снова применима в полном
объеме.
5.3.23. Утверждение. Пусть /ид комплексные функции,
удовлетворяющие условию а) или б), и пусть vg — функция полной
вариации для функции g на [а, Ь]. Тогда \ f\ € 'JZ(vg') на [а.Ь] и
\f\dVg.
Доказательство. При выполнении условия а) функция |/|
непрерывна на [а, Ь]. Если же выполнено условие б), то функция
vg непрерывна и не убывает на [а, Ь]. Поскольку в этом случае
< +оо, то V(|/|;a,Ь) < +ос (действительно, из неравен-
ства ||а| — ]Ь|| < |а — 6| следует, что V(|/|:а,Ь) < У(/;а,Ь)). Значит,
как при условиях а), так и при условиях б) |/| 6 на [а, 6].
Пусть, далее, Р = {zq; .. • ;хп} — произвольное разбиение [а, Ь]
и & е [2?г-1,жф тогда A(vs)i = Vg^Xi) - = И(р;^_1,а;Д
i = 1,.... n.
Имеем
n
£Ж)Д<К ^£|Ж)1 \^9i\
., n, по определению
так как |Др»| Д(а9), = И(р;жг_1
вариации.
Если ц(Р) —> 0, то как при условии а), так и при условии б)
П гЪ
3 lim УЖМ = / fdg
и
b
3 lim
M(P)^0
Значит,
•ь
b
g-
g-
5.3.24. Следствие. При условиях утверждения 5.3.23
^V(g;a.b) sup {|/(х)|} <-эс.
Действительно.
J\dvs^ sup^{|/(x)|}y dvg =
= sup {|/M|}(r9(6)-r’9(a)) = sup {j/(x)|}V(g:a.b).
Определенный интеграл
303
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
для интегралов
Пусть a — неубывающая функция на отрезке [а. &], и пусть f е
£ 7£(а) ц д £ на [а. д]. Тогда
/ гь \
/ 1/дМа| / |/|2Ж* / \g\2da.
Доказательство. Имеем VA £ IR.
pb pb pb pb
0^ / (1/1 4- A|5|)2da= / \f\2da + 2X \fg\da + X2 |g|2 da
J a J a J a J a
Если
fb
/ ф;2Ла>0,
то дискриминант полученного квадратного трехчлена неположите-
лен, т.е.
/ , \ 2 . ,
/ ро \ ро ро
/ -/ \f\2da \g\2da^0.
\J a J J a J a
Если же
I \g\2da=0,
J a
то либо
/ \f9\da = 0
J a
и тогда неравенство, которое нужно доказать, обращается в равенст-
во. либо
da
что ведет к противоречию при А —> — эс.
5.3.25. Следствие. При условиях предыдущей теоремы
Действительно, имеем
5.3.26. Замечание. Аналогичны:»! способом можно доказать.
ч то если g. f: [а Д] —> С и у — вещественная функция ограниченной
304
Глава V
вариации на [а, Ь], то
pb pb рЪ
/ fgd<p < / \f\2dv^ / l^l2^
J a J a J а
в предположении, что функции f и д непрерывны на [а, 6] или f и д
имеют ограниченную вариацию на [а, Ь] и у? непрерывна на [а, &].
5.4. Интегрирование по частям и замена
переменной. Теоремы о среднем.
Формула интегрирования по частям
Пусть f и д комплексные функции ограниченной вариации на
[а, 6] и функция д непрерывна на [а, Ь]. Тогда
[ fdg = f(b)g(b) - f(a)g(a) - [ gdf.
J a J a
Доказательство. Ясно, что при сформулированных услови-
ях оба интеграла Д6 f dg и д df существуют.
Если Р = {ж0;...;хп} — разбиение [аД] и & € [xi_i,xj, i =
= 1,... ,п; £0 = а; Сп+1 = Ь, то Q = {£0;... ;£п-г1} — разбиение [а, &].
Используя формулу Абеля суммирования по частям, получаем,
что
п
S(P,f,g) = £Ж)(3(^) -Sfe-i)) =
г=1
п+1
= f(b)g(b) - f(a}g{a) - ^р(х^1)(/(^) - Ж-i)) =
г=1
= fWg(b) - f(a)g(a) - S(Q. g. f)
(при этом учитываем, что x,_i € г = 1....n + 1).
Если p(P) —г 0, то и д((?) -> 0, поскольку p(Q) 2д(Р). Ис-
пользуя теорему о пределе интегральных сумм, имеем
rb pb
HtaoS(P./.9) = 2 fdg-. Jm()S(Q.9,/) = gdf.
Отсюда следует формула интегрирования по частям.
5.4.1. Следствие. Пусть f и д ~ комплексные функции, непре-
рывно дифференцируемые на [а. Ь]. Тогда
[ f(^)g\x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - i g(x)f'(x) dx.
J a J a
Для обоснования этого равенства достаточно использовать фор-
мулу интегрирования по частям и теорему о сведении интеграла
Римана-Стилтьеса к интегралу Римана.
Определенный интеграл 305
Первая теорема о среднем значении
Пусть f — вещественная функция. непрерывная на отрезке [а, Ь].
и пусть функция g монотонна на [а, Ь]. Тогда G [а, Ь]:
/ fdg = f(£)(g(b) - g(a)).
J а
Доказательство. Пусть, для определенности, д — неубыва-
ющая функция на [а. Ь], и пусть
М~ sup {/(х)}; m= inf {/(х)}.
ге|а.Ь] хб|а.Ь|
тогда —ос < т < М < +ос и
m(g(b) - g(af) [ f dg С M(g(b) - д(а)).
J а
Если g(a) = д(Ь), то д = const на [а.Ь| и
[bfdg = O.
*/ а
Если же д(а) < д(Ь), то положим
Л = (g(b) -g(a))-1 f fdg.
J а
Тогда m < А < Л/ и согласно теореме о промежуточных значениях
непрерывной функции е [а. Ь]: /(£) = А.
5.4.2. Пример. Пусть
, , (0, если х — а:
а(х) — < . _ , ,
[ 1, если а < х С о.
и пусть f — вещественная функция, непрерывная и строго возрас-
тающая на [а, 6]. Тогда
/ f dg = f(a) = f(a)(g(b) - g(a)).
J a
гак что можно положить С — a- Однако при а < £ b равенство
/ fdg = /(C)(g(b) - g(a))
J а
не может выполняться. Поэтому в первой теореме о среднем зна-
чении условие £ £ [а.Ь]. вообще говоря, нельзя заменить условием
$ е (а.Ь).
Вторая теорема о среднем значении
Пусть f монотонна на |сг. Ь| тг - вешественная функция oipa-
ниченпой вариации, непрерывная на [а.Ь]. Тогда 3£ G [а.Ь]:
/ fdg-- f(a)(g(£) - g(a)) - f(b)(g(b) - §(?)).
J a
306
Глава V
Доказательство. Согласно формуле интегрирования по час-
тям и первой теореме о среднем значении
I fdg^ f(b)g(b) - /(а)р(а) - f gdf =
= f(b)g(b) - /(a)s(a) - g(£)(f(b) - f(a)),
где £ e [a, &].
5.4.3. Замечание. Интеграл Римана-Стилтьеса J f dg (в
частности, интеграл Римана f(x) dx) называют определенным ин-
тегралом (в отличие от неопределенного интеграла, рассмотренного
ранее).
Теорема о замене переменной в определенном интеграле
Пусть функции f: [a, 6] —> С и р: [a, 6] —> R непрерывны на
[a, &], р строго возрастает на [а, 6] и = V’- Тогда
rb r-vW
/ f(x)dx = / f (ip) dip.
J a J tp(a)
Доказательство. Если P = {т():...;xn} — произвольное раз-
биение отрезка [а, 6] и уг = р(зц), i = 0, то р(хф) = р(а) =
= Уо', ^(хп) = р(Ь) = уп и ?/г_1 уц i = 1,...п. Поэтому Q =
= {у0;...: уп} — разбиение отрезка [(^(а), ¥?(&)]. Положим g = f(ip) =
= /(<^-1), тогда g непрерывна на [^(а), ^(&)] по теореме о непрерыв-
ности обратной функции. Кроме того. xt = ip(yt), i = 0,.... п, и
п п
^f(&)(xi -T,_i) = ^9(yi)(v(y,) - №-1)),
i=l i=l
если выбрать С = Xi E i = l,...,n.
Если p(P) —» 0, то и p(Q) —> 0, поскольку функция <p равномер-
но непрерывна на [a, 6].
Функции fug непрерывны на |a, &] и [^(a), г(^)] соответственно,
и поэтому при ц(Р) —» 0 в пределе получаем равенство
/ f(x)dx = f(v)du.
Ja J^p(a)
5.4.4. Следствие. Пусть функция f непрерывна на [a. t>] и р
непрерывно дифференцируема на [а. 6]. причем Vx Е [а. 6] р'(х) >
> 0. Тогда
гь r-fW
/ f(x)dx= f(u(.y)K'r(y)dy.
J a J
Действительно, функция у/ непрерывна на отрезке [г(а)^Г(0]>
поскольку У у Е [г’(п)- по теореме о производной обратной функ-
Определенный интеграл
307
ции
*,'w = 7ЙЙГ
Поэтому утверждение следствия получается из теорем о замене пе-
ременной и сведении интеграла Римана-Стилтьеса к интегралу Ри-
мана.
5.5. Предельный переход под знаком интеграла
Римана-Стилтьеса
Первая теорема о предельном переходе под знаком
интеграла Римана-Стилтьеса
Пусть a — неубывающая функция на [а, Ь], и пусть f„ € Р(а)
на [а,b], п = 1,2,..., и lim fn(x) = f(x) равномерно относительно
х € [а, Ь|. Тогда f € 7£(а) на [а, 6) и
pb rb
lim / fn da = / f da.
J a J a
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем, когда
fn — вещественные функции на [а, 6]. п = 1.2.. Имеем Vf > 0
Зц > 0:
фаф) -а(о)) < j.
Для выбранного значения ц > 0 Зло € N: Vn По
sup {|/n(z) - /(х)|} s? 7?
(в частности, отсюда следует, что функция f ограничена на [а, 6]).
Далее, существует разбиение Р отрезка |а.6]. такое, что
U(P. fnQ.a) — L(P. f,l(t.a) < |
О
(поскольку fn € Р(а) на [а. 6]).
Из определения числа тщ 6 N следует, что
U(P.f.a) U(P.fno.a) - фа(Ь) - а(а)) [ДР./„„.а) - |
и аналогично
L(P.f.a)^L(Pfn0.a)---.
О
Значит, по выбору разбиения Р
U(P.f.a)-L{P.f.a)^S.
гак что согласно критерию интегрируемости f € Р(а) на [«.&].
308
Глава V
Если п по, то
Л
Это означает, что
Теорема о почленном интегрировании функционального
ряда
Пусть a — неубывающая функция на [а. 6], и пусть fn G 7£(а),
ОС
п = 1,2,..., на [а, 6] и функциональный ряд fn сходится равно-
П=1
мерно на [а, Ь] к сумме f. Тогда f G 7£(а) на [а, 6] и
ос «ь
fda = ^ fn da,
n=lJa
(т.е. этот ряд можно интегрировать почленно).
Доказательство. Пусть
Sn — fi + • fn-
Тогда Sn € 1Z(d), n — 1,2,.... на [«, 6] и функциональная последова-
тельность {5га} сходится равномерно на [a. 6] к функции f. Согласно
предыдущей теореме при тг —> оо
Zb n rb оо pb г>Ъ
Sn da = / fkda^ST fkd,a= I f da.
fc=i •'a fe=i •'a
5.5.1. Пример. Пусть
{тг2х. если 0 < х 1/тг;
2тг — п2х, если 1/тг х 2/п: п = 2.3....
0. если 2/п х 1,
Тогда Чх € [0.1]
lim fn(x) = /(х) = 0.
77—>ОС
так что
хотя
Определенный интеграл
309
В условиях этого примера последовательность {fn} сходится к нулю
поточечно на [0,1], но неравномерно.
5.5.2. Пример. Пусть {п; г2;...; гп-...} — все рациональные
числа отрезка [а, &] (числа с разными номерами различны), и пусть
= еслиге {n;r2;...:r„}; _
(0, если х G [а,6| \ {ri;r2;...;rn}; ’
Тогда fn € 72. на [а, Ь] и
[ fn(x)dx = 0, 71 = 1,2,...,
J a
причем Vx € [а, 6]
lim /п(х) = Р(х),
п—>ос
где D — функция Дирихле. При этом D 72. на [а, 6].
Этот пример говорит о том, что поточечная сходимость после-
довательности интегрируемых функций не обеспечивает интегриру-
емости предельной функции.
Теорема Арцела об ограниченной сходимости
Пусть а — неубывающая функция на [а, Ь], и пусть fn £ 7£(а),
п = 1,2,..., на [а, 6] и Vx € [а, 6]
3 lim /п(х) = /(х).
п—ЭОС
Если, кроме того, f е 7£(а) на [а, 6] и последовательность fn на [а, Ь]
равномерно ограничена, то
Эта теорема является частным случаем теоремы Лебега о пре-
дельном переходе под знаком интеграла, доказываемой в курсе те-
ории меры и интеграла.
Вторая теорема о предельном переходе под знаком
интеграла Римана-Стилтьеса
Пусть функция f непрерывна на [а. Ь] и — последователь-
ность вещественных функций ограниченной вариации, сходящаяся
поточечно на [а.Ь] к функции д. Если, кроме того. ЗЛ/ = const > 0:
V(дл; a, Ь) С М. п = 1.2,..., то V(g: а. Ь) st Л/ и
рЪ рЬ
lim / f dgn = f dg.
7г—эос f I
J a J a
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда /:
[а.Ь] —> R. Пусть Р = {хц;... :хт} — произвольное разбиение отрез-
310
Г л а в a V
ка [а. 6]. Положим
Sn — \§п (З-i) 1)|* 1,2....
г=1
Так как Vz £ [а, &]
11т_р,г(т) = д(х).
то
т
lim Sn = V* |p(xj) - д(хг-г)|.
п—>ос £'
г=1
При п = 1,2.... Sn V'g.n: a. b) < М < +оо, так что
771
52 -3(^-1 )i
г=1
Поскольку разбиение Р отрезка [а, />] выбрано произвольно, то. пе-
реходя к верхней грани по множеству всех разбиений, получаем, что
V(g-.a,b) < М (т.е. д — функция ограниченной вариации на [а.6]).
Далее имеем при п = 1.2...
pb pb
I fdg- fdgn
a J а
(/(» - f^t))dg(x)
т
~ 521^’) ~ 5(^-1) - дп(хг) - 5„(хг_1)| -
2 — 1
Г1'
(№г) - f(x))dgn(x) .
i=l Лг-1
Действительно.
ь
ь
а
9п)
(Ж) - f(x))dgn(x) -
л
т
- f(.T,y)dg(P) -
Определенный интеграл
311
I fxi
52 / ~f(x))dgn(x)
г=1 \Jx.-l
m
+ 52 l/MI Isfe) - 9&-1) - gn(xi) + 5п(хг_1)|, ?г = 1,2............
i=l
При рассматриваемых условиях f e P-(g) на [a, 6]. Так как
функция f равномерно непрерывна на [а, 6|. то Ve > О > 0: VP:
(/z(F) <<$)=> (|Дх) - f(xi)\ < х € [х»_1,х»];г = 1,...,т) .
Для такого разбиения Р = {а?о;---;^т}
(/U) - f{xi))dg(x)
п=1,2,...
О
тп
^^V(g;xi-i,xt){\f(x) - f(xi)\} V(g-,a,b)^— |
Olvl о
i=l
Аналогично проверяется, что
m .Xi
52 / (/(^)-/(х))^п(ж)
i=i Jx^~i
Для выбранного разбиения Р Эпо € N: Vn > no — <?n(Zi)|
e/(6m/<), i = где
= sup {|/(x)|} < -oo.
[a, b]
®,-1
Поэтому Vn 7?o
52^(Xi)l |з(^г) -д(а:г-1) -5п(^г)-5п(Жг-1)| = 3'
г = 1
Значит, Vn no
Это означает, что
pb pb
lim / fdg„ = lim / fdg.
Ja n^x J a
5.5.3. Замечание. Если функция f непрерывна на [п. b] и
{gn} — последовательность вещественных функций ограниченной
вариации, сходящаяся равномерно на [а. 6| к функции д. то равенство
pb pb
lim / fdgn= f dg.
n^x J a
312
Глава V
вообще говоря, неверно даже в случае, когда д — функция ограни-
ченной вариации на [а. 6].
5.5.4. Пример. Пусть
Еж 1 , sin па;
-^cos(Arar); дп(х) = —п & К; х £ [0;2тг].
к=1
Тогда
lim д„(т) = д(х) = 0
равномерно относительно х £ [0: 2тг] и каждая из функций дп имеет
ограниченную вариацию на [0; 2тг], поскольку производная
д'п(х) = y/ncosnx
непрерывна на [0: 2тг], п = 1.2 .... Кроме того, функция f непрерыв-
на на [0: 2тт] как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных
функций (поскольку
1
712’ *=1.2....
кг
cos(/c6z)
и ряд 1/А:2 сходится, то применим признак Вейерштрасса равно-
<=1
мерной сходимости относительно х £ [0;2тг]).
Тем не менее, нетрудно проверить, что
у2тг
/ f dgn = тг fyn,
Jo
если п = к6, к £ X (достаточно использовать теорему о почлен-
ном интегрировании функционального ряда). Поскольку в услови-
ях примера
/*2тг
/ fdg = O
Jo
и при к -> ос и п = А’6. А' е X.
/ f dgn -> эс.
J о
то равенство
lim i fdgn = f fdg
r,^xJo Jo
не может выполняться.
5.6. Формулы Валлиса и Стирлинга
Формула Валлиса
.. 22"(п!)2
11П1 -----
Определенный интеграл
313
Доказательство. Положим
/•тг/г
Im= sin"1 х dx, т = 0.1,...,
Jo
тогда /о = тг/2; Д = 1 и при т 2
W2 „/9
Im= sinm 1xd(-cosx') = -sin"1 1xcost|0
Jo
гтг/2 утг/2
-r(m—1) I sinm~2 a;cos2 xdx = (m— 1) / sin™-2 a;(l— sin2 x) dx =
Jo Jo
= (m - l)/m_2 - (ni - l)/m.
Отсюда получаем реккурентные соотношения
dm — An—2, И/ — 2,3,....
m
Определим так называемые двойные факториалы следующим
образом. Если n € N, то положим
(2п)!! = 2 • 4 • • • 2n = fj(2fc);
fc=i
(2n - 1)!! = 1 3 • 5 • • • (2n - 1) = JJ(2fc - 1).
fc=i
Тогда
(2n)!!(2n - 1)!! = (2n)!; (2n)!! = 2nn!.
Из выведенных реккурентных соотношений следует, что V/г £ N
2п - 1 _ _ (2п - 1)'.! тт _
l2n ~ 2п 2п~2 ~ (2П)!! 2’
г 2п т (2т?)!!
/2"X1 = 2n-r 1 2"-1 = •' = (2п+1)!!’
Заметим, что Vt € [0, тг/2] Vn 6 IN
sin2”41 х < sin2” x sC sin2”-1 x.
Проинтегрировав эти неравенства по х от 0 до тг/2. получаем
d2n~ 1 ^2п ^2п-1-
или. что то же самое,
(2п)!! (2п-Г)!!тг (2п-2)!! 1 9
(2/7 + 1)!!^ (2п)!! 2^(2п-1)!Г
Подставляя значения двойных факториалов, выводим, что Vn G N
24"(п!)4 я 24п(п!)4
°n = (2n)!2(2n + 1) 2 С (2п)!2 • 2п ~
314
Глава V
Так как
lim — = 1.
i-юо ап
то
lim ап = lim b„ = -
I—>оо n->oo 2
Значит,
lim
что равносильно формуле Валлиса.
Формула Стирлинга
Vn € К 30п е (0,1):
п\ = V2irn
Доказательство. Положим
— = 1
1 - t
1
п
тогда
1
2n + 1
1
3’
п = 1.2
Поэтому
т=1
m = 2к + 1. к -- 0.1
fc=o
t2k
2k + 1
(положить
Подставляя значение t = l/(2n 1).
2 А 1
выводим, что
In (1 * -
\ п
2//1 (2А- ' 1)(2п1Д'-' ” Ъ2
Значение (п - 1/2) 1п(1 - 1/п) > 1 и
In 1 11 fl V 1 1
\ 2/ 1 y1 n/1 3(2n - 1)2A' 1 12n(n-l)'
n = 1.2....
Таким образом, при n - 1.2....
n -1/2
< exp
1 \
12n(n - 1)/
1 -
п
1 < о
Определенный интеграл
315
Если обозначить
то
п !е"
= nn-rl/2
п = 1,2,...,
и так как Vn Р N an > 0, то
3 lim an = А 0.
п—>0С
Кроме того, an > А, п = 1,2,....
С другой стороны,
an / 1 \ _ ехр(1/(12п))
an+i < еХр \12n(n-H)7 exp(l/(12(n+ 1)))’
так что
“exp("s)<“"’,exp(“W7u)’ п = 1’2’
Имеем
lim I an exp ( --т- I ) = А.
п—>оо у у 12п / У
Следовательно, 0 < апехр( —1/(12n)) < А < an, т.е.
0 < А < an < А ехр ( | , n = 1,2,....
\12п )
Если положить
0п = 12n(lnan - In А),
то получим, что 0 < 9n < 1 и 1нап = In А 0,г/(12п), т.е.
/ вп \ п!еп
an = А ехр — = _ .
\i2nj пп
Это означает, что Vn € N
где А > 0 — некоторая постоянная. Используя формулу Валлиса,
можно утверждать, что
А = У2^.
и мы получаем формуле' Стирлинга.
5.6.1. Следствие. При п -> эс п! ~ е/2тгп(п/е)
316
Глава V
5.6.2. Следствие. При п —> оо
5.6.3. Следствие. Справедливы неравенства
5.6.4. Замечание. Можно доказать, что
lim вп = 1:
п —> оо
отсюда, в частности, следует, что при п —> ос
. /х— / п
а! = ч/2тгп —
\ е
Таким образом, при п —> оо
А X
12а ~ 12а'
и поэтому согласно формуле Стирлинга
Это означает, что при замене значения а! на выражение ^2тга(а/е)''
при всех достаточно больших значениях а, е N относительная по-
грешность будет сколь угодно мала, а абсолютная — сколь угодно
велика.
5.6.5. Замечание. Обобщая замечание 5.6.4. можно дока-
зать. что существует вещественная последовательность А*,, такая,
что VA’ 6 К (А; фиксировано) при а —> эс
(при этом А) = 1/12: Ао = 1/288 и т. д.).
5.7. Несобственные интегралы
Пусть а е IR: f: [fl. *эс) —> С. и пусть VA > a f 6 77 на [а. А].
5.7.1. Определение. Если существует конечный предел
то говорят, что несобственный интеграл J f(.r)d.r сходится, и пи-
шут
Определенный интеграл
317
Если же указанного конечного предела не существует, то гово-
рят, что несобственный интеграл J °° f(x) dx расходится.
5.7.2. Замечание. Если f = /j + if2, где fi и /2 — вещест-
венные функции на промежутке [а, +оо), то из сформулированно-
го определения следует, что интеграл J °° f(x) dx сходится в том
и только том случае, когда сходятся оба интеграла f ж fj(x) dx,
j = 1,2. При выполнении последнего условия
J a
Несобственный интеграл fix') dx называют несобственным
интегралом 1-го рода.
5.7.3. Пример. Рассмотрим интеграл
xa dx,
1
(Аа+1 — 1 )/(<а + 1), если а / —1;
In А, если a = — 1.
где a = const G R. Имеем VA
rA
Ji
Следовательно, интеграл °° xa dx сходится тогда и только тогда,
когда а < — 1, причем при таких значениях а
1
xa dx = —
а + 1
5.7.4. Пример. Интеграл
/ cos х dx
Jo
расходится, так как VA > О
/ cos xdx = sin A
Jo
и 4 lim sin А не существует.
5.7.5. Пример. Пусть
, f 0. если х > 0: х 4- N:
f(X) =1 г, J- АТ
v I я. если х 0: х G iNo-
Тогда VA > О
А
= 0
Jo
и поэтому несобственный интеграл f(x)dx сходится и равен
пулю.
318
Глава V
В этом примере подынтегральная функция f не ограничена на
[а. 4-ос) и lim f (х) не существует.
5.7.6. Замечание. При условиях определения 5.7.1 и Ь > а
несобственные интегралы f(x)dx и fb Xf(x)dx или оба схо-
дятся, или оба расходятся. Если они сходятся, то
у + эо rb ['X.
/ /(x)dx= / f(x)dx + / f(x)dx.
J a J ci J b
5.7.7. Определение. Пусть a € IR: /: (—oo. a] —> С и \A < a
f € Tv на |.4, а]. Если существует конечный предел
lim / f(x)dx,
то несобственный интеграл f(x) dx называется сходящимся.
При этом пишут
/ f{x)dx= lim [ f(x)dx.
J-ос A-t-<xJA
Если же такого конечного предела не существует, то этот несобст-
венный интеграл называется расходящимся.
Пусть теперь f: IR —> С и f G 7? на [а,6]. где а.Ь (а < 6) -
любые вещественные числа.
5.7.8. Определение. Пишут
lim I f(x) dx = I € С.
А
если Ve > О ЕЛ/ > 0: УЛ < —Л/ VB > Л/
5.7.9. Определение. Если существует конечный предел
hm
/(т) dx.
то говорят, что несобственный интеграл f(x)dx сходится, и пи-
шут
У /(z) dx = Jmi^ У /(т) dx.
Если же указанного конечного предела не существует, то говорят,
что несобственный интеграл f f(x)dx расходится.
Так. определенные несобственные интегралы f"^.f(.x)dx и
f_x f(x) dx также называют несобственными интегралами перво-
го рода.
Определенный интеграл
319
5.7.10. Замечание. Если для некоторого значения а е К. схо-
дится каждый из несобственных интегралов /(л) dx и
f(x) dx, то сходится и несобственный интеграл
/»4-оо /»а /ч-оо
1 /(т) d.r = I f{x) dx + f(x) dx.
—oo J —oo Ja
Дальнейшие утверждения формулируются для случая, когда
рассматривается несобственный интеграл f(x) (^х (для осталь-
ных случаев эти утверждения формулируются и доказываются ана-
логично).
Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости
Несобственный интеграл
сходится тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих
условий:
а) 31 ё С; Ve > О ЗА0 > a: VA > Ао
/(х) dx - I
< е;
б) для любой вещественной последовательности {Л,,}, такой,
что А,, > a, п = 1,2,..., и lim Ап = -гоо, существует конечный
п-+ос
предел
г Ап
lim / f(x)dx;
n->oc/„
в) для любой последовательности {А,,}. удовлетворяющей усло-
виям пункта б), ряд
f(x) dx
сходится:
г) Ve > О ЗА0 > a: VА'. А" > Ао
Е.
Доказательство. Условие а) есть определение предела
функции
М
ip(A) s / /(.т) dx при А —>• -i-ос.
J а
320
Глава V
Условие г) есть критерий Коши существования этого предела.
Условие б) есть определение предела функции <р(А) при А —> -t-оо по
Гейне. Для обоснования условия в) достаточно заметить, что
Хд1 rAn+i гАк
/ /(ж) dx= f(x) dx -> I £ С при N -> оо
n=l An J Ay
тогда и только тогда, когда сходится интеграл
[ f(x) dx.
J a
5.7.11. Утверждение. Пусть Ух у a f(x) 0. Тогда несобст-
венный интеграл f °° f(x) dx сходится в том и только том случае,
когда функция
д(А) = / f(x) dx
J a
ограничена на промежутке [а, —оо).
Доказательство. Пусть
sup {д(А)} < +ос.
Ле|а, 1 ос]
Если А2 > Ai а, то
ГА2
д(Л2) - т(Л) = / f(x) dx 0.
J Ах
так что функция д не убывает на [а, 4-ос). Согласно теореме о пре-
деле монотонной функции
рУх f ГА ~1
2 lim .ДА) = / f(x)dx= sup < / f(x)dx> < - эс.
4->тос Д€[а. осЦЛ J
Если же
sup {д(А)} - -эс.
-4с|«. . Д
то
Jim <(.4) = --v.
и интеграл [ х f(x)dx расходится.
5.7.12. Следствие. Пусть V.r > a f(x) 0. и пусть существу-
ет первообразная F для функции f на промежутке [а. — эс). Тогда
несобственный интеграл f х f(x) dx сходится в том и только том
случае, когда функция F ограничена на [а,—эс). При этом
I f(x)dx= lim F(.r) - F(a) - sup {F(x)} - F(a).
Jo .4-)-oo ,re|„.-oc|
Определенный интеграл
321
Утверждение следствия 5.7.12 получается из формулы Ньюто-
на-Лейбница
[ f(x)dx = F(A) — F(a),
J a
справедливой VA > а с учетом того, что F — неубывающая функция
на [а, -t-oo).
5.7.13. Пример. Так как
f dx
всюду на К, то несобственный интеграл
f+x dx
Jo 1 +
сходится и равен
Inn arctg А = —.
.4-> + ос 2
Признак сравнения
Если < д(х), то из сходимости интеграла
+оо
g(x) dx
следует сходимость интегралов
ОО /*1-00
\f(x)\dx и / f(x)dx
«/ a
(в предположении, что VA > a f е F на [а. А]).
Доказательство. Согласно условию г) Vr > О ЗАо > а:
\/А',А" > Ао
Значит, если А', А” Aq . то
Остается опять использовать условие г).
5.7.14. Определение. Несобственный интеграл fa^ f(x) dx
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
fa+X IfWIdx.
5.7.15. Определение. Если интеграл dx расхо-
дится. а интеграл f ж f(x)dx сходится, то говорят, что интеграл
f' х f(r) dx сходится пеабсолютно.
322
Глава V
5.7.16. Утверждение. Если интеграл f(x)dx сходится
абсолютно, то он сходится (в предположении, что VA > я / t К
на [а, А]).
Доказательство. Достаточно в признаке сравнения Ух a
положить д(х) = |/(лг)|.
5.7.17. Определение. Если интеграл f(x)dx сходится
абсолютно, то функция f называется абсолютно интегрируемой на
промежутке [а + ос).
Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла
Пусть f и д - вещественные функции на промежутке [а -г ос) и
пусть функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную
на этом промежутке. Если, кроме того, д монотонна на [а -+ ос) и
lim д(х) = 0, то несобственный интеграл fax f(x)g(x) dx сходится
(вообще говоря, неабсолютно).
Доказательство. Пусть, для определенности, функция д не
возрастает на [а + ос). Если А" > А' > о, то согласно формуле
интегрирования по частям
('А" ч [А"
/ f(x)g(x)dx= g(x)dF(x) = F(x)g(x)\%" - F(x)dg(x)
J A' J A' JA'
(здесь F — первообразная для функции f на промежутке [а — ос)).
По условию ЭЛ/ = const > 0:
sup{|F(x)|} < Л/ < —ос.
x^a
Поэтому |F(A")p(A") - F(A')ff(A')| M(g(A") e g(A')). Функция
—g является неубывающей, и поэтому
rA
А"
А
F(x)d(-g(x))
У! j* d(—g)(x)) = .Щд(А') - д(А")).
Из формулы интегрирования по частям следует, что Ve > 0
। [А /(т) dg(x)\ < Щд(А') - д(А")) - М(д(А') - д(А")) =
\JA' |
= 2Л/9(А') < е.
если А" > А' Aq. где Ао а выбрано так. чтобы VA Ао
д(А) < е/(2Л/).
5.7.18. Пример. Пусть a = const > 0. Рассмотрим интеграл
sinx ,
/ —— dx.
.4
Определенный интеграл
323
Полагая f(x) = sinz; д(х) = za;a=l;z^lH используя
признак Дирихле, убеждаемся в том, что при а > 0 интеграл
М00 sinz
/ ---dx
Ji ха
сходится. Значит, интеграл Дирихле
[ 00 sinz ,
/ —-— dx
Jo X
также сходится (в точке z = 0 подынтегральная функция доопреде-
ляется по непрерывности и считается равной 1).
5.7.19. Пример. Интеграл
у + ос
/ sin(z2)dz
Jo
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
/•-‘-оо /»4-ос
J sin(z2)dz = j f(x)g(x)dx,
где при z > 1 /(z) = zsin(z2); <y(z) = 1/z.
Имеем
У zsin(z2)dz = | У sin(z2) d(z2) = -1 cos(z2) 4-С,
так что любая первообразная функции /ограничена на [l.^-oo). По
признаку Дирихле интеграл
а поэтому и интеграл
/‘-‘-ОС
/ sin(z2)dz.
Jo
называемый интегралом Френеля, сходится. Заметим, что равенство
lim sin(z2) = 0 неверно, т.е. подынтегральная функция сходяще-
гося интеграла Френеля нс стремится к нулю при z —> — ос.
Заметим также, что рассмотренный выше интеграл Дирихле
сходится неабсолютпо. Действительно, достаточно проверить, что
интеграл
sin z ,
/ ----dx
Jx а-
сходится неабсолютно. Поскольку Vz € IR
2 1 1
О О sin ' 2 ~ 2 cos(“z) I sinz|.
324
Глава V
то из предположения об абсолютной сходимости интеграла
/"+о° sin а; ,
/ -----dx
Ji х
и признака сравнения следует, что интеграл
Г+°° sin2 х ,
/ ----dx
Ji х
сходится.
При Л > 1
/,'4sin2a: In Л 1 ГА cos 2х , In Л 1 [2А cost ,
Ji x 2 2 Jj x 2 2 J2 t
при A —> +oo, поскольку интеграл
сходится по признаку Дирихле. Значит, интеграл
/+oosin2z ,
/ ----ах
J1 х
расходится, и наше предположение неверно.
Аналогичным способом нетрудно проверить, что интеграл Фре-
неля также сходится неабсолютно (полагая t = х2, имеем
Г°° /2^ 1 Г°° sint ,
/ sm(;r ) dx = - / —dt
Jo 4 Ji
по теореме о замене переменной в несобственном интеграле — см.
ниже).
Признак Абеля сходимости несобственного интеграла
Пусть fug — вещественные функции на промежутке [а,—оо),
и пусть функция f непрерывна на [а,+оо) и интеграл f(x)dx
сходится. Если, кроме того, функция g монотонна и ограничена на
[а. +оо), то несобственный интеграл f f(x)g(x) dx сходится.
Доказательство. Первообразная
F(x) = [ f(t)dt. х a.
J a
ограничена на [«. —эс). Действительно, если
/(т) dx — I 6 R.
то
3 lim F(r) = I.
Определенный интеграл
325
Поскольку функция F ограничена на любом отрезке вида [а, А].
А > а, то она ограничена на [а, +оо). Кроме того,
3 lim g(x) = a € R.
X —>4-ОС
При х a f(x)g(x) = f(x)a + f(x)(g(x) — а), причем
lim (^(ж) — а) = О
х—>ф-оо
и функция g~а монотонна на [a. -гоо). Значит, по признаку Дирихле
интеграл
[ f(x)(g(x)-a)dx
J a
СХОДИТСЯ.
Интеграл
/»—ОО РТОО
/ (f(x)a)dx~a f(x)dx
J a J a
также сходится. Значит, интеграл faX f[x)g(x) dx сходится.
Теорема о замене переменной в несобственном интеграле
Пусть функция f непрерывна на промежутке [а. — оо). функция
у непрерывно дифференцируема и строго возрастает на промежутке
[а.+оо), причем )y(|ci. +ос)) = [а. -г ос). Тогда из сходимости одного
из несобственных интегралов
/ f(x)dxn [ f(v(y))v'(y)dy
J a J a
следует сходимость другого и равенство этих интегралов.
Доказательство. Очевидно, что р(о) = а. Пусть А > а;
А € R. Тогда 3!3 € R: v(/3) = А и v(|a. 3)) = [а. А).
Действительно, по теореме о непрерывности обратной функции
существует обратная функция V-1: [а, -эс) —> [а,-^ос). так что до-
статочно положить с'- 1(Л) = 3. По теореме о замене переменной в
определенном интеграле
I f(x)dx= [ Ж’(г/)МДу)) = f /(c(y))r'(l/)dy.
J a J a J a
поскольку к предпоследнему интегралу применима теорема о сведе-
нии интеграла Римана-Стилтьеса к интегралу Римана.
При этом А — t’(4) —> -эс тогда и только тогда, когда 3 —> —эс.
Заметим, что аналогичные утверждения справедливы и для слу-
чая, когда и строго убывает на промежутке [а. -гос) или когда вмес-
то промежутка [а,—эс) рассматривается промежуток (—эс.а]
326
Глава V
Формула интегрирования по частям для несобственных
интегралов
Пусть fag — вещественные функции, непрерывно дифференци-
руемые на промежутке [а, +оо), и пусть существует конечный предел
lim (f(x)g(x)).
х—>4-00
Тогда из сходимости одного из несобственных интегралов
/•4-00 г-гоо
/ f(,x)g'(x)dx и / g(x)f'(x)dx
J a J a
следует сходимость другого интеграла и равенство
/*4-оо г4-оо
/ f(x)g'(x)dx = lim (/(а;)^(®)) - / g(x)f\x) dx - f(a)g(a).
Ja x->+oc Ja
Доказательство. Если A > а, то
/ f(x)g'(x) dx = I f(x) dg(x) = f(A)g(A) - f(a)g(a) -
J a J a
~ [ g(x) df(x) = f(A)g(A) - f(a)g(a) - f g(x)f'(x) dx.
J a J a
При A —> +oo получаем в пределе формулу интегрирования по час-
тям.
Интеграл Эйлера-Пуассона
Так называют несобственный интеграл
г+оо
/ exp(—y2)dy.
Jo
Покажем, что он равен Для этого положим
1П = [ (1 — x2)ndx, п = 0.1....
Jo
При п = О
/0 = / dx — 1.
Jo
По формуле интегрирования по частям
In - х(1 - x2)n\l+ f 2mr2(l -x2)n~1dx = 2n [ т2(1 - z2)"-1 dx =
Jo Jo
= 2n f / (1 - a:2)"-1 dx - [ (1 - x2)n d.zA = 2n(/fi_i - In).
\Jo Jo J
и поэтому Vn G N
I - 2n I
n~ 2n + Г"-1’
Определенный интеграл
327
Из этих рекуррентных соотношений следует, что
т _ (2п)!!
п = 1,2
" (2п—1)!!’
Далее рассмотрим интеграл
dx
dx =
— 2п(/Сп Anui),
и поэтому Vn
п*
ы _ 2п - 1 ы
е N
‘2п
При n = 1
Значит,
dx
1 + х2
7Г
2
(2п-3)!!
7Г
(2п-2)!1 2’
Нетрудно проверить, что dx е R
1 - х2 < ехр(-ж2)
А',
п = 2.3
о
1
так что Vn е N (1 - г2)" ехр(-пт2) при 0 х £ 1 и ехр(-пх2) S
1/(1 -р х2)п при х 0.
Следовательно, при п = 2,3...используя соотношение
2) dx =
Jo
выводим, что
у/п(2п)\'.
x/n(2n — 3)!! тг
о (2п — 2)!! 2-
При п —> эс левая и правая части в этих неравенствах согласно
формуле. Валлиса стремятся к одинаковому пределу, равному
о
Несобственные интегралы 2-го рода
Далее рассматривается комплексная функция /.
5.7.20. Определение. Пусть функция f определена и не огра-
ничена на промежутке [a. b) (а. b £ R: а < 6). но ограничена и интег-
рируема по Риману на любом отрезке вида [а.6 —е]. где 0 < £ < Ъ — а.
328
Глава V
Положим
rb гЪ—е
I fix') dx = lim / f(x) dx,
Ja
если этот предел существует и конечен; при выполнении этого усло-
вия несобственный интеграл 2-го рода fa f (т) dx называется сходя-
щимся. Если же указанного конечного предела не существует, то
этот интеграл называется расходящимся. Точка Ь при таких услови-
ях называется особой точкой функции f.
5.7.21. Замечание. Аналогично определяется сходящийся
несобственный интеграл 2-го рода для случая, когда функция f
определена и не ограничена на промежутке (а. 6], но ограничена
и интегрируема по Риману на любом отрезке вида [а — е, Ь], где
О < е < Ь — а. В этом случае полагают
pb rb
/ f(x)dx = lim / f(x)dx.
J a s^0+ Ja+e
если этот предел существует и конечен. Точка а при таких условиях
называется особой точкой функции f.
5.7.22. Пример. Рассмотрим интеграл
f ха dx
Jo
где а = const < 0. Поскольку
lim ха = +оо.
Г-+0+
то этот интеграл является несобственным интегралом 2-го рода. По-
дынтегральная функция на отрезке интегрирования имеет единст-
венную особую точку 0.
Если 0 < Е < 1, то
[1xadx = ( -£“+1)/а- 1 приа/-1;
Je In е при а = —1.
Значит, предел
lim / ха dx
^о+ Je
существует и конечен в том и только в том случае, когда а > — 1.
Итак, при условии — 1 < о < 0 несобственный интеграл второго
рода f0 ха dx сходится и равен
, 1-Е^1 1
lim -------=-------.
е-»0 Г 0 + 1 0—1
Если же о 0, то интеграл ха dx существует и равен 1/(о — 1)
в смысле Римана.
Определенный интеграл
329
Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости
Несобственный интеграл 2-го рода f(x) dx с единственной осо-
бой точкой b сходится тогда и только тогда, когда выполнено одно
из следующих условий:
а) 31 е С: Ve > О Эд € (0.6-a): W/ 6 (0.5)
б) для любой последовательности {еп}, такой, чтоеп € (0.6 —а),
п = 1,2,..., и lim сп = 0, существует конечный предел
п—>ос
в) для любой последовательности {=,,}. такой, чтоеп е (0,6 — а),
п = 1,2...., и lim = 0, ряд
п—>оо
сходится;
г) Ve > 0 35 е (0,6 - а): Veb е2 е (0,5)
< е
(критерий Коши сходимости несобственного интеграла f(x) dx).
Доказательства этих утверждений аналогичны обоснованиям
соответствующих утверждений для несобственных интегралов 1-го
рода. Для несобственных интегралов второго рода можно анало-
гично сказанному выше сформулировать признак сравнения, ввести
понятие абсолютной сходимости, доказать правило замены перемен-
ной и формулу интегрирования по частям.
При некоторых ограничениях на подынтегральные функции не-
собственные интегралы второго рода выражаются через несобствен-
ные интегралы первого рода.
5.7.23. Утверждение. Пусть функция f непрерывна на ко-
нечном промежутке [а. 6) и не ограничена на этом промежутке. Тог-
да из сходимости одного из несобственных интегралов
f( .. Г* f(h dt
f(x)dx и / .t[b- - -у
следует сходимость другого и равенство этих интегралов.
Доказательство. Положим х — 6 — 1/1. тогда dx = dt/t2 и.
если a < х < 6 — е. где г G (0. 6 — а), то 1/(6 — а) V t < 1/ё. По
330
Глава V
теореме о замене переменной в определенном интеграле
dt
При е —> 0— 1/е —> -гоо и обратно, и поэтому, переходя к пределу в
этом равенстве, получаем наше утверждение.
5.7.24. Определение. Пусть /: R —> С и f интегрируема по
Риману на любом сегменте. Тогда предел
/М
lim / f(x)dx
A^+ooJ_aJV
(если он существует и конечен) называется главным значением не-
собственного интеграла f_°° f(x) dx и обозначается символом
/Ч оо
v.p. / /(х) dx
J — оо
(от французского valeur principal — главное значение).
5.7.25. Утверждение. Если при условиях определения 5.7.24
функция f нечетна (т.е. Ух е R f(x) = -/(-ж)), то
ZTCC
f(x) dx = 0.
-оо
Если же при этих условиях функция f четна (т. е. Ух ё R /(—х) =
= /(*)), то
v.p. / f{x)dx = 2 / f(x)dx
J—oo J 0
в предположении сходимости интеграла в правой части равенства,
(если этот интеграл расходится, то главное значение не существует).
Доказательство. Если функция f нечетна, то \/Д > 0
/*А гО г А
/ f(x) dx = / f(x) dx + / f(x) dx =
J—A J —A JO
pA nA pA
= / f(-x)dx^ / f(x)dx = / (/(-т) /(.r)) dx = 0.
Jo Jo Jo
так что
v.p. j f(x)dx = 0.
Если же функция f четна, то аналогично получаем, что УД > 0
если несобственный интеграл f(x)dx сходится.
Определенный интеграл
331
5.7.26. Определение. Пусть функция f определена и не огра-
ничена на множестве [а, 6] \ {с}, где a < с < Ь, и интегрируема по
Риману на любом сегменте вида [а, с — ei], 0 < ед < с — а, а также на
любом сегменте вида (с 4- £2- 0 < с 2 < b — с. Тогда предел
lim | [ f(x)dx-r [ f(x)dx )
\da Jc+e )
(если он существует и конечен) называется главным значением не-
собственного интеграла f(x) dx и обозначается
yb
v.p. / f(x)dx.
J a
Заметим, что сам несобственный интеграл f(x')dx при условиях
5.7.26 определяется как предел
lim | I f(x)dx+ [ f{x)dx j = / f(x)dx+ [ f(x)dx
\Ja Jd-ey J da de
e2-°+- X 7
(в предположении существования обоих несобственных интегралов
в правой части последнего равенства).
5.7.27. Утверждение. Если несобственный интеграл
[ f(x)dx
J — ос
сходится, ТО
Bv.p. У f(x)dx~ У f(x)dx.
Доказательство. Так как
У f(x)dx = Jim У f(x)dx,
то в определении этого предела достаточно положить В = —А.
Аналогичное утверждение справедливо и для несобственных ин-
тегралов второго рода.
5.7.28. Пример. Пусть Vt € IR /(т) = т. тогда
так как функция f нечетна, и интеграл f(x) dx расходится.
Действительно, если А > 0. то
f2'4 о А2 3
/ xdx —- 2А2------— = - А2 —> —эс при А -> —ос.
./ .1 2 2
332
Глава V
5.7.29. Пример. Пусть f(x) = \jx при х е [-1,1]; х 0. Тогда
и интеграл /} 11/х dx расходится, поскольку оба интеграла /J 1/xdx
и 1 Iх dx расходятся.
5.8. Асимптотические разложения
В этом параграфе рассматривается понятие асимптотического
разложения, впервые введенное А. Пуанкаре и обобщающее соотно-
шения вида
/(ж) ~ 5(ж); /(т) = о(д(х)); f(x) = О(д(х)).
5.8.1. Пример. Ранее было доказано, что справедливы асимп-
тотические формулы:
а) In .г = о(х~а) при х —> 0+, a = const > 0;
б) 1п.т = o(.rQ) при х -too, a = const > 0;
в) sin 2 ~ z при z —> 0; z & <С;
г) sin а; = 0(1) при х -> +оо; х е R (однако соотношение sinz =
= 0(1) при z -> оо; z е С неверно);
,д) п\ ~ \/27гп(?г/е)п при п -» оо; п Е N (формула Стирлинга).
5.8.2. Пример. В теории чисел доказывается, что если при
х 2 тг(а’) — количество простых чисел р, таких, что р х, то при
х +оо 7г(а?) ~ а?/1пх (П.Л. Чебышев — Адамар — Валле-Пуссен).
5.8.3. Пример. Пусть n£lNnA:61N;l^A:^ п. Положим
(n)fc = п(п - 1) • • • (п - к + 1); (п)о = 1-
Тогда (п)^ = п\/(п — А)!, к = 0 п. Покажем, что при п —» ос и к = к(п) при к 2 . ( 1\ ( 2\ п A(n)fc =1 11 \ п) \ nJ и поэтому ln(n-A'(n)fc) = In ( 1 Так как к = о(\/п). то к/п = о(1) и i/n = тельно г = 1 А — 1. Значит, In fl - =--+□ у nJ п = о(у/п) ~ пк. Имеем / к - 1 \ • • 1 \ nJ i \ n J = о(1) равномерно относи- \п2 J
Определенный интеграл
333
Это означает, что
тГк(п)к = ехр(о(1)) = 1 + о(1),
т.е. nk ~ (n)fc.
Из приведенного доказательства следует, что если при п —> оо
к = О(/п). то
к2 / 1
1п(п~к(п)к) = + О ( —=
Ш \ х/п
и поэтому в этом случае
/ /с2 \ / /1
(n)fc = пк exp - — 1 + О -у=
\ 2п / \ \ х/п
5.8.4. Пример. При х —> -t-oo
1 -Г
(Ьт)1/1
(1пт)2 1 / 1 \
2т2 Г х2 ° \.г2 /
Действительно.
1п((1 -г □т)1/х) -
111(1 п-т) 1пт 1п(1 -I- 1/х) 1пт 1 / 1
X X X X X2 \х2
Поэтому при х —> — 00
5.8.5. Пример. При т —> 0- и у = е г
V -е-"1' = V' — = — 1п(1 — у) = — 1п(1 - е ’г) ~ - 1п х.
п п
п-1 П=1
так как при х —> 0— по правилу Лопиталя
lim
х-»0-
111(1 — е х)
In.г
v х
Inn --------1
>о- сх - 1
334
Глава V
Заметим, что дифференцирование соотношений эквивалентнос-
ти не всегда допустимо. Если, например, f(x) = х — cost:, х £ R,
то f(x) ~ х при х —> -i-оо, однако соотношение f'(x) = 1 - sins ~ 1
при х —> -гоо неверно.
Теорема Де Брейна
Пусть f — непрерывно дифференцируемая функция при х а,
и пусть /(т) ~ ха при х —> -I-оо, а = const > 1. Если, кроме того,
f — неубывающая функция при х > xq Э а, то f'(x) ~ при
х —> +ос.
Доказательство. Если £ £ (0.1), то 3a?i > max{a;0}: Vt >
> Xi f(x) = т“(1 + p(z)), где |p(x)| < £ Пусть h > 0, тогда при
x > max{xo; xi}
hf(x) < У f’(y)dy = f(x + h) - f(x) = У ayQ-1dy +
+ (x + /i)Qp(a; + Л) — tqt?(t) < ah(x -r 7i)Q-1 + 2e(x + h)a.
Положим h ~ Xyje > 0 при x > шах{то;Т1}, тогда при таких
значениях х
2
/'(*) < ат“-1((1 + + -1А(1 + >/ё)°).
а
max{a:o,Ti}
Аналогично доказывается, что при х > —————
(2 \
(1 — Ve)a-1-) •
а /
В силу произвольности выбора £ > 0 это означает, что
5.8.6. Утверждение. Пусть функция f определена при х а
и пусть /(т) ~ ха при х +эо (а — const G R). Если интеграл
fx Х di сходится при х > Хо а, то при х —> +оо и а < —1
Г+°° ха^
/ ----------------.
Л а -1
Если же f £ TZ. на любом отрезке вида [а.т]. где х > а. то при
С = const, если а < — 1;
1пт. если а = — 1:
----если а > — 1.
qJ-1
Доказательство. Докажем, например, третье из выписан-
ных в фигурной скобке соотношений (остальные соотношения дока-
зываются аналогично).
Определенный интеграл
335
Пусть a > —1. По условию Ve > 0 Зжо > max{a;0}: Vt > хо
f(x) = xa(l + 77(1)).
где |?/(ж)| < е. Поэтому при х > хо
[ f(t)dt = [ f(t)dt-r -2—-(.г'п -Zo’,1)+ [ tar](t)dt,
J a J a a -f- 1 JXQ
так что при a > — 1
522 Г /(i)di-l = 2±l Г° f(t) dt - + 5212 Г tar)(t)dt.
.,.«-1 / J ' T-o4-! I J ' 1 TaH Ta-rl / z
Ja J a J xq
При x —> -“-ос и фиксированном xq первые два слагаемых в пра-
вой части последнего равенства стремятся к нулю, а модуль третьего
слагаемого не превосходит е. Значит, при х —> -“-ос разность в левой
части этого равенства стремится к нулю.
5.8.7. Утверждение. Пусть функция f непрерывна, неотри-
цательна и монотонна при х 0. Тогда при п эс
YfW= Г/(т)& + о(/(н + 1)) + о(1).
fe—о
Доказательство. Пусть, для определенности, функция f не
убывает при х 0. Тогда
[ f(x)dx f(k) [ f(x)dx. к = 1,2.............
Jk-1 Jk
Суммируя эти неравенства по к = 1.....п, выводим оценки
/(0) У? f(k) - [ f(x)dx Ф /(0) -L [ f(x)dx — I f(x)dx^
д, q J 0 Jn J 0
f(n +• 1) + /(0) - [ f(x)dx. n = l,2..
Jo
При n —> ос получаем равенство, которое нужно доказать.
5.8.8. Утверждение. Пусть функция f непрерывно диффе-
ренцируема при х 0. Тогда
п = 1.2
Доказательство. При к — 1.2....
С f(x)dx-f(k)= Г (/(т)-Ж)сГ.г= [ ([ f'(y)dy} dx=~-
к-1 Jk-L Jk-l \Jk J
= [ \f'(y) [ dr j фу =- [ f\y)(k -1 - y)dy.
Jk-l \ J у ) Jk-\
336
Глава V
и поэтому
I /-к гк
\ (/(ж) - f(k))dx / \f'(y)\dy
\Jk-l Jk-l
(третье из выписанных равенств является следствием элементарной
версии теоремы Фубини — см. гл. VII).
Суммируя полученные равенства по к = 1,2,..., п и учитывая
эти неравенства, получим наше утверждение.
5.8.9. Пример. При п —> оо
V - ~ Inn; к ° ~ а = const > -1.
к z-' а + Г
к=1 к=1
5.8.10. Утверждение. Пусть функция f непрерывна и строго
возрастает в интервале (а,+оо), и пусть f(x) ~ х при х —> -t-oo.
Если х — <р(у) — корень уравнения у = f(x), принадлежащий этому
интервалу, где
У >
t—
то при у -> +ос Ду) ~ у.
Доказательство. Так как
у> lim /(t) = inf {/(«)},
t—>а-*- t€.(a,-±oo)
то такой корень существует и единствен по теореме о непрерывности
обратной функции. Поскольку при ip(y) -Д +оо (а значит, и при
у -Д +оо по свойствам обратной функции)
3/ =/(Ду)) ~
то Ду) —> +оо при у —> +00 И Ду) ~ у.
5.8.11. Пример. Рассмотрим уравнение
t2 - In t = у.
Полагая t2 = х. получаем х — 0.5 In х = у. Пусть у = f(x) = х —
— 0.51пт, тогда при х > 0,5 f'(x) = 1 — 0.5/.г > 0.
Если х = д(у'). то согласно предыдущему утверждению при у -д
-Д -ос Ду) ~ у.
Если t = t(y) — корень уравнения t2 — Inf = у (такой корень
существует и единствен при всех достаточно больших значениях у).
то отсюда следует, что при у -д +эо t(y) ~ Ду. При этом
х = +(у) = (f(l/))2 = y^lnt(y) =у- -1пу + о(1),
и поэтому
Определенный интеграл
337
Очевидно, что эту процедуру можно продолжить, находя все
более точные приближения к значению t(y) при у —> -изо.
5.8.12. Пример. Положим при х 2
Гх dt_
2 In t'
Соответствующий неопределенный интеграл, как мы знаем, не
выражается в элементарных функциях (так называемый интеграль-
ный логарифм). Таким образом, функция F является неэлементар-
ной. Однако по теореме о дифференцировании интеграла как функ-
ции верхнего предела интегрирования при х 2
1
Ina;'
Покажем, что при х —> +оо F(x) ~ х/1пх. Применяя правило
Лопиталя, получаем, что
lim
а.--> + ос
F(x) Ina;
—-— = lim --------
X Ina; z-ц-оо Ina; — 1
= 1.
Сравнивая с примером 5.8.2, можно утверждать, что при х —> +оо
Т(а;) ~ тг(х) ~
ш х
Этот результат можно существенно усилить, заменив соотноше-
ние эквивалентности символом асимптотического разложения (см.
ниже).
ОС
5.8.13. Определение. Пусть £2 сп — функциональный ряд:
гг=О_
cn: X —> С; f: X —> <С; X С С; xq € R или хр € С — предельная
точка множества X и пусть
х„(х) = /(х) - с0(х) - ... - с„(х), х е А', п = 0,1,....
Пусть, далее, Vn € No 3 окрестность Z/n(xo) точки хо, такая,
что Vx е (Wn(xo) П АГ) сц(х) / 0.
Функциональный ряд сп называется асимптотическим раз-
71=0
ложеиием функции f при х —> х е X, если Vn 6 No
lim
тех
rn(x)
Cn(x)
Этот факт записывают в виде: при х —> хд: х £ А
/(х) ~ с0(х) - ... + сп(х) - . . . .
5.8.14. Замечание. Поскольку
г,г(х) = С,,4.1(2’) —г г„щ(х). хе А
338
Глава V
то при условиях определения 5.8.13 Va: б (/^(^о) О &п+1(хо) О X)
гп(х) = c„ + i(x) Л г„н(х)\
сп(х) сп(х) \ cn+i(z)/’
так что
5.8.15. Замечание. Ряд. являющийся асимптотическим раз-
ложением функции f при х —> Xq; х б X, не обязан сходиться ни в
какой окрестности точки xq.
Рассмотрим частный случай, когда х0 = +ос; сп(х) = ап/хп;
ап = const б R; ап / 0, п = 0,1,.... Если при х -> +эс
п~ О
то гп(х) = о(х га), т.е.
так что
ап = аЛ^оо - ао - - хП- п=
(при п = 0 ао = lim /(а:)). Таким образом, ограничение ап / О,
х —>сх?
п = 0.1,..., можно опустить.
5.8.16. Следствие. Если для заданной функции f асимпто-
тическое разложение вида
f(*) - £ £
п—0
существует, то оно единственно (такое разложение называется
асимптотическим степенным рядом).
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например,
функции /(а?) и f(x) —г е~г при х —> —эс имеют один и тот же асимп-
тотический степенной ряд (если он существует).
5.8.17. Определение. Пусть существует окрестность Z/( -эс).
такая, что Vr б - эс) и(х) 0. Тогда запись
/(.г) ~ ^(z) - С'(х) У2 Л?
г, -о
означает, что при х —> — эс
Далее считаем, что xq = —эс.
Определенный интеграл 339
Свойства асимптотических разложений
а) Если
ОС оо ,
ж>~Е^ и
п=0 п=0
ТО
оо ,
Ed-n zt on
n=0
Это свойство очевидным образом следует из определений.
б) При условиях пункта а)
оо I
~ Е
п=0
где
п
dn == /с, гь о, 1,....
fc=0
Доказательство. Имеем при х —> н-оо
f(x) =ао + ^ + ...+ ^ + о(аГп);
д(х) = 6от-^... + ^+ о(х~п),
так что
f(x)g(x) + о(х~п),
где dn = aClbn -г ... + anbo, n = 0,1,....
в) Пусть функция f непрерывна на промежутке [а.-тоо). где
а > 0, и пусть при х —> +оо
/(^)~Е“Г’ «о = «1=0.
хк
к-~2
Тогда а интеграл f(t) dt сходится и при х -> -гоо
/ ЖЛ^£2(Г-1И-’’
Это асимптотическое разложение получается из предыдущего по-
членным интегрированием и изменением знака.
Доказательство. Пусть при х a
sn(x) = Е Э’ Гп^ = ~ Sn^' п = ‘2'3.
к=2^
340
Глава V
и пусть е > 0 и число п 2 фиксированы. Тогда Зжо(^) > а-
Ух > 2?о(п)
arn|rn(x)|
Если еще x' > x, то
1 _ 1
,fc-1 (х')к~1
J х к=2
При х' —> +оо получаем, что
/» — ОС
rn(t)dt.
j х^):
Jx к-2 ' 7
Так как п > 2 и гп(х) = о(х~п) при х -> +ос. то интеграл
сходится.
Кроме того, при х1 > х > ,то(н)
X
e
п — 1 \ хп~х
1 1
(*')г
и при х' —> +эс отсюда следует, что
(п- 1)х"-1
Значит.
lim (xn-1fln_i(x)) = 0.
т. е.
I /(<) л
Jx к—2 v
Заметим, что если ai 0. то интеграл f(t) dt при .г а расхо-
дится. поскольку тогда при t —> —эс и оо ~ 0 /(f) ~ aj/f и интеграл
/2. х a^/tdt расходится.
Если же <?о 0. то при t -> -гос /(f) ~ ао и интеграл /(f) dt
также расходится.
5.8.18. Пример. Пусть /(т) = е”7' sin(ei). х € К. Тогда
JimJf(x)xn) = 0.
и поэтому ап = 0. » - 0.1....Однако /'(т) = cos(cr) — e_J' sin(e' ) и
/3 _ Нт^/'(.т).
Определенный интеграл
341
так что не существует асимптотического разложения вида
ОО 7
/’w~e4
п=0
Таким образом, формальное почленное дифференцирование асимп-
тотических разложений, вообще говоря, недопустимо.
5.8.19. Утверждение. Пусть функция f непрерывно диффе-
ренцируема на промежутке [а, -тоо), где a > 0, и пусть при х —> +оо
ОО ОО 1
«=)-£> ”
п=0Х п=0 Х
Тогда bo = bi = 0 и bn — -(n - l)an_i, п = 2,3.
Доказательство. Если a < х < у, то
f(y) - Л*) = [ f'(t)dt-
J X
- Ь0(у-х) + 61 In (-} + [ -Ьо- у4) dt.
'х' Jx \ * /
Кроме того, lim /(у) = ао и интеграл
у-4 + оО
/•4-ос / 7 \
/ /'(*) -b0-°^)dt
Jх \ /
сходится, поскольку при t —> +ос f'(t) — bo — bi/t — 0(t~2). Значит,
bo = bi = 0 и а0 - /(х) = У f(t) dt.
Так как при t -> +оо
п=2
то согласно свойству в) при х —> 4~оо
/•-ТОО 00 L
Л ПХп
По условию, при х —> —ос
1
п~ 1
В силу единственности асимптотического разложения отсюда следу-
ет. что
6nri = -nan. п = 1.2..
или. эквивалентно.
Ьп - -(п - п = 2.3,...
342
Глава V
Изложенные результаты и их доказательства почти дословно пе-
реносятся на случай, когда f — функция комплексного переменного
z, определенная при |z| > д О или при \z\ > a 0 и а < arg г < /3
(имеется в виду главное значение аргумента z), причем а?о = оо.
5.8.20. Замечание. Разложение в асимптотический степенной
ряд при з —> ос обычно имеет место в угле, определяемом нера-
венствами
a < argz < /3.
В разных углах одна и та же функция может иметь разные асимпто-
тические разложения (т. е. в этой ситуации единственность асимпто-
тического разложения не имеет места, поскольку, если при z —> оо,
то значение предела
п—1
/w-ЕЭ
к=0 Z
вообще говоря, зависит от выбора угла a < argz < в. Этот факт
называется явлением Стокса.
Деление асимптотических разложений
Пусть
ОС
~ Е Э ПРИ Z —> ОС
71 — 0
и пусть ао # 0. Если
к-0
то при всех достаточно больших значениях |z| f(z) /0 и
1 _ 1 (— 1)Л /«1 _ _ Я»-1 _
/(z) ао-гДг) Оо”1 г"~‘ ~ 7
(-1)п(п(г))п п = 12
«о («о * ri(z))’
Так как ri(z) = O(z~l) и rn(z) = О(г~'!) при z —> эс. то
1
Ж
п = 1.2
к 0
где
1
До
6о -
«) Д] - До«2
01 =----2: "2 = -----Ч----И Т-Д”
°0
«о
Определенный интеграл
343
в общем случае имеем
a(jF: 1 Т" . . • “Г к = 1,2,...
с начальным условием 6q = 1/а0-
Таким образом, асимптотическое разложение функции l//(z)
существует и имеет вид: при z —> ос
1 _ ^А-
/(z) ' zk ’
J v 7 fc=O
где коэффициенты определяются однозначно по приведенным вы-
ше формулам. Если ао = 0, но существует п 6 N, такое, что an О,
то, полагая
«о = min{n € IN | an 0},
имеем
ОО
fc=0
причем а„0 0 и при z -> оо
^QZk'
где коэффициенты Ьк определяются так же, как и выше, с заменой
ak на к = 0,1,... (в частности, b0 = l/ano).
5.8.21. Пример. Уточняя результат, полученный в примере
5.8.12, можно утверждать, что при х —> +ос
г/ 1 V' (п — I)-1
(In x)n
J 2 1116
Действительно, полагая
, 1 _ (п - 1)!® ! 9
C„(l) = —:---------------------г . П = 1.2........
7 7 (In.г)"
имеем С1(.г) = х/ In х и согласно этому результату
F(r)~ci(z) при z —>-гос.
При n = 1 ri(j-) = F(x-) - ci(o?) и
I- Г1(х) л
lim —— = 0.
Согласно замечанию 5.8.14 достаточно установить, что
rn(i) ~ сп-| 1(х) при х -> -ос: и = 1.2....
При n = 1
г Ах) = F(j?) - Ci(or) = F(t) -
344
Глава V
поскольку по правилу Лопиталя
, F(x) — ar/lnx In ж
lim -----—---— = lim ------------- = 1.
ж-+*оо т/Цпгг)2 х->+ос Ina? — 2
Дальнейшие рассуждения проводятся по индукции, имея в ви-
ду, что
хс'п(х) = Сп(х) - Сп+1(х). п = 1,2,.:..
В аналитической теории чисел доказывается, что при х —> +ос
Зс = const > 0; а — const > 0
тг(а;) — F(x) + <9(а;ехр(-с(1па:)а)).
Поскольку ехр(—с(1па?)°') = о((1па?) п) при х —оо; п = 1,2....,
то функция тг(гг) имеет то же асимптотическое разложение, что и
функция F(x). т.е. при х —> +оо
Ах) ~ у
1 (Ina;)"
5.8.22. Пример. Уточняя формулу Стирлинга, можно пока-
зать, что при п —> ос
nk
к=0
где ai = 1: аг = 1/3 и при т 3
1 т— 1
«т-1 1 V-'
«т — , Г о / «k«m + l —к
т + 1 2
к—2
(так что аз = 1/36; = —1/270 и т. д.) — см. [15. с. 75-81]. Согласно
замечанию 5.6.5 это означает, что А*. = (2 к — l)!!a.2fc-1, к = 0,1.
Можно показать также, что при любом фиксированном п G N
ряд
(2к + 1)1!
-----к----«21'1
ПК
расходится.
Метод интегрирования по частям
Одним из простейших путей получения асимптотического раз-
ложения функции, заданной в виде определенного интеграла, яв-
ляется метод интегрирования по частям. При использовании это-
го метода члены асимптотического ряда находятся последовательно,
один за другим повторным применением формулы интегрирования
по частям; асимптотический характер получившегося ряда затем ус-
танавливается исследованием остаточного члена, который имеет вид
определенного интеграла.
Определенный интеграл
345
Неполная гамма-функция
Пусть
7(а,х)= / e~yya~1 dy. а > 0; х > 0,
Jo
Функция 7 называется неполной гамма-функцией.
Если разложить экспоненту в ряд и проинтегрировать почленно,
то получим
7(a,z)
у, (-1)"ха+п
2--' (а + п)п!
п=0 4 '
Однако для вычислений при больших значениях х этот ряд
практически бесполезен. Например, если х = 10 и а = 1/2, то наи-
больший по модулю член ряда, соответствующий п = 8, равен при-
мерно 923, в то время как 7(1/2,10) = %/тг с ошибкой порядка 10~5.
Положим
Г(а,х)= / е~ууа~гdy,
J X
тогда, как нетрудно проверить, этот интеграл сходится при х > 0
и а е R.
Интегрируя по частям, получим
Г(«,2г) = — [ уа~х d(e~v) = ха~1е~х -г (а — 1)Г(а - 1,х).
J X
Повторяя этот прием, находим, что Va 6 N функция Г(а,х)
является произведением функции е~х на многочлен от х степени
(а — 1). В общем случае после п интегрирований по частям полу-
чим, что
Г(а,ат) = ^(а — 1)а— ie~xxa~k т (а — 1)„Г(а — n,х), n = 1.2....
k-i
Здесь, как и выше, полагаем
(z)fc = z(z - 1) • • • (z - к - 1). fc = 1.2....: (г)о = 1.
Если n > а — 1. то
(а-1)„ [ " е-ууа-п~Чу |(а — l)n|xa~n-1 / °* e~ydy =
J X J х
= |(а — l)n|xQ_”_1e-i.
Это означает, что при х —> -тоо
Г(а,х) ~ ^(а - 1)к_1ха~ке~:г.
к-Л
346
Глава V
причем погрешность, совершаемая при замене Г(а, х) частичной сум-
мой этого асимптотического ряда с номером п > а — 1, меньше по
абсолютной величине, чем модуль первого отбрасываемого члена.
5.8.23. Следствие. При А —> +оо
Г+°° 2 е-А г-Д / 1 А
(-ад1
А2*"1
где Г — гамма-функция Эйлера.
Действительно, достаточно заметить, что при А > О
адЧг(1’А2)
и при х > О
Г(т)= [ F^e^dt
Jo
(последнее соотношение будет доказано ниже).
Интегралы Френеля
Рассмотрим при х > 0 интегралы Френеля, имеющие вид
/•4-оо г+ос
/ cos(y2) dy и / sin(2/2) dy.
J X J X
Эти интегралы могут быть представлены в виде
и являются (с точностью до постоянного множителя) действитель-
ной и мнимой частями интеграла
F(x,a)=J^ e'yy~a dy
(при а = 1/2. если заменить х2 на х). Этот интеграл при а > О
сходится Vt > 0.
Интегрируя по частям, имеем
F(x. а) — ield'x~a — iaF(x.a - 1).
Повторяя п раз этот прием, находим, что
F(x.a) = ie'd'x~a 57(а ~ к - 1)a(^)-A -
А-0
-г (а _ а - п + 1). п = 0.1.....
Значит, при х —> — эс
F(xa) ~ ielJ'x~a ^(« — k - l)k(ix)~k =-
Л—О
Определенный интеграл
347
k=o
Г(а + к)
Г(«)
Действительно, для абсолютной величины остаточного члена с
номером n J-1 справедливо неравенство
Г(а + п +1) j" iy (а+п+1) , Г(а + п 4- 1) (а+п)
Г(а) Jx У ау^Ца)(а^п)Х
в правой части которого стоит модуль (п + 1)-го члена разложения.
Несложно проверить, что полученное асимптотическое разложение
имеет место и в случае, когда Rea > 0, a G С.
Интегралы Стилтьеса
Положим
F(z) = / е“у
Jo У +
Этот интеграл сходится Vz £ С \ {— х | х 0}.
Действительно, если z — такая точка, то Зг > 0 е (0,7г):
Ы е и |arg z | С тг — 8 < тг (считаем, что главное значение аргумента
argz принадлежит полуинтервалу (—тгтг]). При таких значениях е и
6 и у 0
\z + у\ |z| sin8 ssinJ > 0.
Это означает, что интеграл
Jo y + z
сходится.
Интегрируя по частям п раз, получаем
к=1
Покажем, что всюду расходящийся ряд
fc=l
является асимптотическим степенным разложением функции F(z).
справедливым при z —> эс в угле
|argz| < тг - 6. 8 — const € (0. тг).
Для этого заметим, что если у 0 и |argz| тг-d. то |z—у\ |z|sin<5.
При таких значениях z
348
Глава V
и поэтому при z —> оо; |argz| тг — 5 < тг
F(z) ~ - 1)!г~*.
й-=1
Если, в частности, z = х > 0 и
п
R^ = F(x^^-l)k-4k-l)lr-k.
k=l
то
/‘-г'ос (Ут/ 1
О < (-1ПМ.) , nl]Q
и поэтому остаточный член 7?„(х). п = 1.2... с номером п име-
ет тот же знак, что и (п — 1)-й член асимптотического разложения,
и меньше его по абсолютной величине; Таким образом, это асимп-
тотическое разложение — знакопеременный ряд. частичные суммы
которого попеременно больше или меньше значения F(z). Наилуч-
шее приближение этого значения частичными суммами получается,
если остановиться перед наименьшим по абсолютной величине чле-
ном. Можно получить более точный результат, прибавив половину
наименьшего члена.
Интегралы Лапласа
Интегралы вида
/(z) = / ехр(-.гг)д(.т) dx
Jo
называются интегралами Лапласа.
Далее считаем, что УД > 0 д € F на [0. Д] и функция д имеет
непрерывные производные всех порядков при .г > 0. Предполагая,
что рассматриваемый интеграл сходится при всех достаточно боль-
ших значениях z] в угле q < argz < .3. с помощью метода интегриро-
вания по частям нетрудно получить, что при z —> эс и а < arg z < .3
д(п)(0)
~ ~п 1
п~ О
Этот результат можно также вывести, если заменить функцию д ее
рядом Тейлора и формально проинтегрировать почленно. Обосно-
вание этого формального процесса содержится в следующей лемме.
Лемма Ватсона
Пусть функция у аналитична в некоторой окрестности нуля
(как функция вещественного переменного), и пусть
Определенный интеграл
349
— ее ряд Тейлора. Пусть, далее, при х 0 < Kexp(axr), где
К = const > 0; а = const > 0; г = const 6 (0,1]. Тогда при z -> оо и
|argc, < тг/2 — е < тг/2, е = const G (0, тг/2).
л+оо эс / ч
/ ехр(—zxr")tp(x) dx ~ У [ 2J_i ) г-(п+1)Л
“'О п=0 Г ' г /
В частности, при г = 1
exp(-zz)^>(x) dx У' n!rinz~''"ri = ,
fa gYi,n~l
о
- 52
Сд exp(axr)xN.
n=0 n=0
Доказательство. Имеем: VW 6 N ЗСдг = const > 0: \/x 0
| N-l
anx'
I n=0
Поэтому, если Rez > 0, то
л + ос N-l
zx
n=0
о
/ xnexp(—zxr) dx + Rn(z) =
'o
N-l
z~(n^y/r
n=0
где
N-l
52 anx'
n=0
dx
(в предположении, что интеграл f0 x exp(—zxr)<p(x) dx сходится).
Поскольку |argz| тг/2 - e < л/2. то Rez > [z,sint -> оо при
z —> ос. При этом |e_a:2| = e-2:Re2, если x > 0, и поэтому
|e Ж2| |д(т), Kexp(axr - .rRez) А'ехр((а - Rez)^),
так как 0 < г < 1. Следовательно, при условии Rez > а интеграл
e~z:1’p(x)dx сходится абсолютно.
Нужно показать, что функция е^Л rl')/l7?,v(z) ограничена, если
,arg г|^л/2 — е < тг/2 и [z[ достаточно велик. Пусть Rez = t. тогда
при t > a
/ ехр((« — t)xr)xy dx = ——Г
о г
Пусть |z| > o/sine, тогда t > а. и поэтому при условиях
л . 2а
- и z > -—
2 sine
|argz| sj -
350
Глава V
имеем
с ( V Ч |z|(JV+1)/r(|z| sine - а)-^+1’/г Г \ Г J
< —Г 1 Г <д+цр_у(''',,/г. Л, = 1.2 (г / \ sin £ /
5.8.24. Пример (логарифм гамма-функции). Из формулы
Эйлера
п^х ,г(т 4- 1) • • • (.Г + п — 1)
нетрудно вывести, что
л гм/ \ Г/(х) г Л 11
(InГ) (т) = ——- = hm Inn-------------------..
Г(х) п-юо у X X + 1
о,
(достаточно обосновать возможность перестановки операций диффе-
ренцирования и перехода к пределу, используя теорему о почленном
дифференцировании функциональной последовательности).
Отсюда следует, что
Согласно теореме о предельном переходе под знаком несобствен-
ного интеграла (см. гл. VII) при х > О
Определенный интеграл
351
Если положить
1 _ 1 = _ У' B2m t2m-i _ 1
t 1 — e-i (2т)! 2’
m-1 v ’
то числа B^m называются числами Бернулли: при этом
1 1
1
lim
1 — e-t
1
2
и Bi = -1/2; В2 — 1/6; #4 = -1/30 и т. д.; B2m+i = 0, т = 1,2,....
В теории функций комплексного переменного доказывается, что
радиус сходимости полученного степенного ряда равен 2тг.
Таким образом, разложение функции
, ч 1 1
~t~
в этот степенной ряд справедливо при |t| < 2тг
Кроме того, lira ^(t) = — 1. Это означает, что функция ip огра-
t—>ос
ничена при t 0. так что к интегралу
dt
применима лемма Ватсона, согласно которой при х —> +оо
Г(х) 2х 2т
' 7 т -1
Интегрируя это асимптотическое разложение, получаем вслед за
О. Коши, что при х —> +оо
1»Г(Х) ~ (х - 0 In.т - х + f 4. С.
х 7 т = 1
где С = const (еще раньше этот ряд появился у Дж. Стирлинга).
Поскольку при х > 0 1пГ(1 - х) = In л: 1пГ(т). то при х —> — ос
1пГ(1 -х) ~ (х - (И 111 х - я- 52 о 2171 • 1тЛ~(2т~1) С.
\ 2 2т(2т -1)
При х = n G N
1пГ(1 — п) = 1п(п!) - 11п(2тг) — | Inn — n Inn — и — о(1)
согласно формуле Стирлинга, так что
С - j 1п(2тг).
Полученный асимптотический степенной ряд называется рядом
Стирлинга. Этот ряд. как можно показать, расходится при любом
фиксированном значении х > 0.
Глава VI Функции многих вещественных
переменных
6.1. Евклидовы пространства
6.1.1. Определение. Положим R1 = R: Rfc+1 = Rfe х R,
к = 1,2,.... Множество Rfc называется А:-мерным евклидовым прост-
ранством: его элементы х = (xi,..., хд,) € Rfe, xj G R; j = 1,..., к,
называются fc-мерными векторами (или точками пространства Rfc).
6.1.2. Замечание. Запись (xi,... .Хк) вместо ((xi,...
Xk) обоснована выше (см. об ассоциативности операции декартова
произведения в гл. I).
6.1.3. Замечание. Используя определение 6.1.1 и применяя
метод математической индукции, нетрудно показать, что Vfc € К
|R*| = |R| (т.е. множество RA имеет мощность континуума). Заме-
тим еще. что если х = (xi.... , х*,) € Rfc, то число Xj £ R называется
J-й, j = 1,..., к, координатой (или компонентой) вектора х.
6.1.4. Определение. Пусть х = (xi,...,х*,) G Rfr; у = (yi.... ,
у к) € R", и пусть a G R. Положим
х + у = (xj + yi,.. ..хк - ук) G Rfc;
х - у = (xi - у!..хк - Ук) G Rfe:
ха = ах = (axi...ахд.) € Rfc.
6.1.5......Замечание. Так определенные операции сложения, вы-
читания и умножения на вещественное число подчиняются законам
коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности умножения
относительно сложения и превращают RA в векторное пространст-
во над полем R. Нулевой элемент пространства R* — это вектор
9к = (0....0). так что Vx G R х — Ок = х. Размерность векторного
пространства R* равна к. В частности, при к = 2 R2 — двумерное
векторное пространство, множество точек которого такое же, как у
поля (С (в этом смысле пишут R2 — (С).
Функции многих вещественных переменных
353
6.1.6. Определение. Если х = (xj,... ,х&) G Rfc; у = (yi.
yk) е R*', то число
к
хху = 6
j=l
называется скалярным произведением векторов х и у.
6.1.7. Замечание. Если х, у. z 6 R* и a G R, то всегда
xx(y+z) = xxy+xxzt тху ухх', (ах)ху = а(хху); ххх > 0.
причем х х х = 0 тогда и только тогда, когда х = 9к. Однако ра-
венство (х х y)z = x(z х у), вообще говоря, неверно.
6.1.8. Определение. Если х. у е Rfc и х х у = 0. то векторы
х и у называются ортогональными.
6.1.9. Определение. Если х = (xi,... ,хк) 6 Rfc, то число
называется евклидовой нормой вектора х. Заметим, что при к = 1
и к = 2 евклидова норма — это модуль соответствующего вещест-
венного или комплексного числа, поскольку R1 = R и в указанном
выше смысле R2 = С.
6.1.10. Утверждение. Пусть x.y.z € Rfc и а £ R. Тогда:
а) ||х|| > 0. причем ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = f)k;
б) |М = |а| И;
в) |х х j/| sj ||х|| ||у||:
г) П-Г + у\\ 1И + Ы-
j) II* - *11 < - 2/11 + II// - 2Н;
е) \ 1И1 - \\у\\ К к - ’/11-
Доказательство. Свойства а) и б) очевидным образом сле-
дуют из определений. Докажем свойство в) (неравенство Коши-
Буняковского-Шварца). Если Л G R. то (х - Ху) х (г — Ху) =
= ||х — Az/||2 = (х х х) -г 2А(х х у) — А2(з/ х у) 0. Если у х у — 0. то
у = вк. и поэтому || у|| = 0. так что доказываемое неравенство пре-
вращается в равенство 0 = 0. Пусть у х у > 0. тогда дискриминант
квадратного трехчлена неположителен, т. е. (х х у)'2 (х х х)(з/ х у).
что равносильно свойству в). Далее имеем:
|| х - з/||2 (х - у) х (х - у) = (х X х) - 2(х X у) - (у х у)
< ||х||2 - 2||х|| ||?/|И IIj/II2 - (1И1ЧЫ1)2-
п отсюда следует свойство г).
354
Глава. VI
Очевидно, что свойство д) следует из свойства г); то же верно
в отношении свойства е), поскольку ||а?|| С ||а — у\\ -г ||у]| и \\у\\ с!
||у - х|| - ||а||, причем ||а? - 3/Ц = ||з/ - а||.
6.1.11. Утверждение. Если к Е N. причем к 2. то для
Ух € R* Зу Е Rfc: у 9к и х х у = 0.
Доказательство. Пусть х = (ад...........хк) ей1 и у = (yi.
ук) Е R*, тогдатху = хру\-х.. .^хкук и уравнение ад yj + - • -+хкук =
= 0 при к 2 и произвольном выборе коэффициентов ад...., хк Е R
имеет хотя бы одно ненулевое решение. Действительно, если х — 6к,
т. е. ад = ... = хк =- 0, то вектор у = (yi.ук) £ Rfc можно выбрать
произвольно с условием у Д 9к. Если же х 0к, то 3jo е N/д ф 0,
и можно положить
1 А'
выбирая вектор (уi yJ0-1 ’ Уао “1 Ук) е 1 отличным от век-
тора 9к_ 1. При к = 1 утверждение 6.1.11 неверно (достаточно вы-
брать х = ад ей так. что бы ад 0).
6.1.12. Определение. Если a-^bj £ R и aj < bp. j = 1.к,
то множество (ai.&i) х ... х (а/,../д) называется A-мерным интер-
валом (или fc-мерным открытым параллелепипедом). Множество
[од, 61] х ... х [dfe, Ьк] называется A-мерным сегментом (или А-мерным
замкнутым параллелепипедом).
6.1.13. Определение. Пусть A С Rfc: А А 0. Множество А
называется ограниченным, если ЗМ £ R: Va? G А ||а?|| Л/.
Нетрудно показать, что любой Адмерпый сегмент пли А-мерный
интервал является ограниченным множеством. Если, например :с =
= (ад....ад.) е [ai.bi] х ... х то a3 С х3 bj. и поэтому
,ау| < с} = тах{|а7|; |&7|}. j = 1.к. Значит.
1/2
А-
Д' „2
= _U
Аналогично доказывается ограниченность Ar-мерного интервала.
6.1.14. Замечание. Иногда норма вектора т = (ад..ад
€ R* определяется по другому. Полагают
1И1т = max {|Zj|}.
Это так называемая максимум-норма. В этом случае свойства а), б),
г), д). е) сохраняются, а свойство в) заменяется неравенством
При к = 1 максимум-норма и евклидова норма совпадают.
Функции многих вещественных переменных 355
Теорема о последовательности вложенных fc-мерных
сегментов
Пусть {Д} — последовательность к-мерных сегментов, такая,
что 1П~1 С Д. п = 1.2.... Тогда
П In £ 0-
>1—1
Доказательство. Пусть Д = [«,>1 Дп]| х ... х &„*.]. тогда
согласно условию [an-i;J. bn_, i;J С [anj. bnj]. n = 1.2....: j = 1.k.
и поэтому по теореме Кантора
f']kv:6nj] 7^ 0- j =- 1.k
Значит.
Зге, € Q|an/M- J = 1......k-
n- 1
Если x - (a’i.Xk)- to x € Q Д. так что p| Д -/ 0.
n -1 n- 1
Если в формулировке этой теоремы заменить Аг-мерпые. А’ =
= 1.2.... сегменты на А-мсрные интервалы, то опа станет неверной.
6.1.15. Определение. Пусть А С ЙА': А / 0. Множество А
называется выпуклым, если Vx. у 6 A Vo € |(): 1] о.т - (1 — а)у £
€ .4. Нетрудно проверить, что любой A-мерный сегмент и А-мерный
интервал являются выпуклыми множествами.
6.1.16. Определение. Пусть г0 £ КА и г > 0. Тогда мно-
жество СД(го) = {г е RA':||z - хо|| < г} называется открытым шаром
радиуса г с центром в точке го (или окрестностью точки J’o ради-
уса г). Множество Д*(го) = {т € RA: ||г — Хо|| г} называется
замкнутым шаром радиуса г с цен гром в точке Zq.
6.1.17. Утверждение. В пространстве ЙА любой открытый
или замкнутый шар является выпуклым множеством.
Доказательство. Пусть х. у £ U*(xq). и пусть о £ [0:1].
Тогда ||х - то|| < г п Ц.1/ - Toll г. и поэтому
[Inr - (1 - о)?/ - roll = ||о(х - то) - (1 - а)(</ - г0)||
< а||х - хоЦ - (1 - о)||(г/ - r0)|| nr - (1 - о)/' - г.
так что or — (1 — сАу £ L'*(zo).
Для случая открытого шара доказательство аналогично.
6.1.18. Определение. Пусть А С ЙА: А / 0. Тогда величина
<Z(A) = sup {||z- -эс
г.уСЛ
356
Глава VI
называется диаметром множества А. Используя свойства нормы,
несложно доказать, что множество А 0: .4 С RA является ограни-
ченным тогда и только тогда, когда d(A) < —ос.
6.1.19. Утверждение. В евклидовом пространстве Rfc диа-
метр любого шара (открытого или замкнутого) равен его удвоенно-
му радиусу.
Доказательство. Пусть х,у £ U*(xq), тогда ||х — хо|| г и
\\у ~ ж0|| < г. так что \\х - у\\ С ||ж _ хо|| + ||ж0 - 2/|| < 2г. Если х =
= (ад,..., Xk) £ U*(xo), причем ||х-то|| = г и .т0 = (ж,0). .... ж^), то
/ k \ 1/2
I -Яд0)2 I =г-
V=1 /
Если ещё у = (г/i..yk) £ U*(x0) и \\у - ж0|| = г, то
/ k \ 1/2
^(Уз - ^0))2 =г-
\j=i /
В частности, можно положить = 2ж^ — Xj. j = 1......к. и тогда
||у - ж0|| = ||ж - ж0|| = г и
/ к \ 1/2
112/-*|| = 2 I ^(ж7 ”ж'0))2 I = 2г.
V=1 /
Равенство d(U* (хоУ) = 2г следует из первого и второго свойств верх-
ней грани. Аналогично доказывается, что о!(С7г(жо)) = 2г.
6.1.20. Замечание. Используя понятие окрестности, мож-
но определить внутренние, граничные, предельные, изолированные,
внешние точки множества A Q Rfc; А / 0 так же. как это было
сделано для случаев к = 1 и к = 2. Соответствующие свойства
этих точек остаются справедливыми (доказательства не меняются).
В частности, справедлива следующая теорема.
Теорема Больцано-Вейерштрасса для ограниченного
бесконечного множества точек пространства RA
Всякое ограниченное бесконечное множество точек пространст-
ва RA имеет в этом пространстве хотя бы одну предельную точку.
При доказательстве этой теоремы используется (как и в одно-
мерном и в двумерном случаях) теорема о последовательности вло-
женных A-мерных сегментов.
Используя понятия внутренней и предельной точек в простран-
стве Rfc. можно определить открытые и замкнутые множества в этом
пространстве так же. как это было сделано для случаев k = 1 и к = 2.
функции многих вещественных переменных
357
Соответствующие свойства открытых и замкнутых множеств оста-
ются справедливыми (и опять доказательства не меняются). Так же.
как и выше, доказывается, что в пространстве RA всякий открытый
шар — открытое множество, а замкнутый шар — замкнутое множест-
во. Аналогично устанавливается, что всякий fc-мерный интервал —
открытое множество, а ^-мерный сегмент — замкнутое множество.
6.1.21. Определение. Множество А С Rfc называется связ-
ным. если не существует двух непересекающихся открытых мно-
жеств G'i и G-2 таких, что (Gi П-4) Д 0; (G? П^4) Д 0 и А С (G1UG2).
Легко видеть, что пустое и одноточечное множества являются связ-
ными.
Критерий связности
Множество А с RA' связно тогда и только тогда, когда Ух'.х" е
е A 3G С A: G связно и х'.х" е G.
Доказательство. Если А связно, то можно положить G =
== .4. Обратно, пусть выполнено сформулированное условие, и пусть
А не является связным, тогда существуют два непересекающихся
открытых множества G'i и G2 такие, что (Gi П-4) 0; (<^2 П-4) Д 0
и А С (Gi UGo). Пусть х’ € (Gj П-4) и х" С (G2 П А), тогда 3G С А:
G связно и х’.х" € G. При этом G С (Gj U G2): (GiQG) Д 0:
(G2 П G) Д 0. Н° эт0 противоречит связности G.
6.1.22. Замечание. Нетрудно проверить, что если A].A2 —
связные множества, причем (AjH^k) А 0- то объединение Aj U
U Аг связно. Обобщая это утверждение, легко показать, что ес-
ли Ai......Ап. п 2. — связные множества и АгП-4г->1 Д 0. г =
И
- 1...п — 1. то объединение |J А, связно.
1
Критерий связности в R
Пусть А С R. Множество А связно тогда и только тогда, когда
Vx.y е A Vz € R. (х < z < у) => (г £ А).
Доказательство. Допустим, что Я.т. у ё А Зс е R: .г <
< z < у и z А. Пусть G] = (—эс.г) и G2 = (г.-эс). тогда G;
и G'2 - открытые множества, причем GiQGj = 0: х € (GiH-4):
у ё (G2 П -4): А С (Gi UG'2) -= R \ {г}. Следовательно А не является
связным.
Обратно, пусть А не связно, тогда З.г. у ё А: т < у и 3 открытые
непересекающиеся множества Gj и СД такие, что х е Gy. у е G2 и
А с (Gi U G2). Пусть Е = G] Пк- У\- тогда х е Е. так что £ Д 0.
Множество Е ограничено сверху, поскольку у — верхняя граница £.
и поэтому SsupE = г € R. При этом z < у. Так как у G G2 и
G-2 открыто, то г < у. Если бы г 6 Gj. то из неравенства z < у
358
Глава VI
следовало бы, что z < supE, так как G± открыто. Значит, z Gi.
Поскольку I е Gi и Gi открыто, то х < z. Если бы z G G2, то
из последнего неравенства следовало бы. что z / sup Е, так как
открыто; G2p|E = 0 и z Е. Значит, z G2. Из включения А С
С (G’i UG2), таким образом, следует, что z £ А. При этом х < г < у,
так что условие критерия связности в R не выполнено.
6.1.23. Следствие. Множество А с R связно тогда и только
тогда, когда оно является промежутком (конечным или бесконеч-
ным, быть может, вырождающимся в точку или пустое множество).
Действительно, условию критерия связности в R удовлетворяют
все такие промежутки (и только они).
Заметим, что столь же простой характеристики связных мно-
жеств в Rfc при к (р 2 не существует.
6.1.24. Определение. Пусть х,у е RA. Положим рк(х.у) =
= ||.т — у\\ и назовем число рк(х.у) евклидовым расстоянием (или
метрикой) между точками х и у.
Свойства евклидовой метрики
а) Всегда рк(х, у) 0, причем рк(х, у) = 0 тогда и только тогда,
когда х = у.
б) Всегда рк(х,у) = Рк(у.х).
в) Всегда pk(x.z) Рк(х.у) + рк(у. z) (неравенство треуголь-
ника).
Эти свойства следуют из соответствующих свойств евклидовой
нормы. Заметим, что в наших обозначениях t7r(a?o) = {а? е Rfr:
рк(х,х0) < г}; U*(x0) = {х G Rfc: рк(х. х0) г}.
6.1.25. Определение. Пусть xn € Rfc. n = 1.2 .... и х е Rfr.
Говорят, что последовательность {г,,} сходится в пространстве RA к
точке х. если Vs > 0 Зп0 £ N: Vn > п0 рк(хп.х) < г. Такая точка х
называется пределом последовательности {;гп}. При этом пишут
х = lim хп или хп —> х при п -> эс.
и—>ос
6.1.26. Определение. Последовательность {гсп} точек прост-
ранства Ra' называется сходящейся, если она имеет предел в этом
пространстве. В противном случае эта последовательность называ-
ется расходящейся.
6.1.27. Утверждение. Пусть хп = (хуп....хкп) Е RA. п =
= 1.2....и х = (т11)....х^) е Ra'. Тогда
lim хп = х
Г1->эс
в том и только в том случае, когда
lim х.„ = j = 1.........к.
ri—>OG
функции многих вещественных переменных 359
Доказательство. Если lim хп = х то из неравенств 0 <
V < ||.т„ - ,r||. j = 1.k: n - 1.2.следует, что
lim xjn = j = 1.......k.
n—toc
Обратно, если последние k равенств выполняются, то Ve > О
Эпо е N: Vn. > п0
— a?(j)| < ~. j = 1....к.
УК
Поэтому Vn > по
/ . \ 1/2
/ К \
Pk(xn.x) = ||г„ - х|| =- | - т*0))2 < £.
V 1 /
6.1.28. Замечание. Используя утверждение 6.1.27. свойст-
ва евклидовой метрики и свойства пределов вещественных последо-
вательностей. можно построить теорию пределов последовательнос-
тей в пространстве JR4', аналогичную теории пределов вещественных
последовательностей. Соответствующие утверждения (вместе с их
доказательствами) переносятся па случай к > 1 без каких-либо су-
щественных изменений: исключения составляют свойства пределов,
связанные с неравенствами, поскольку в пространстве R2 и. более
общим образом, в Rfe при к 2 неравенства не могут быть опре-
делены разумным способом. Можно проиллюстрировать это общее
положение на примерах отдельных утверждений.
6.1.29. Утверждение. Пусть {.г{(/,,} — последовательнос-
ти точек пространства IR1': {tr,} — вещественная последовательность,
и пусть
lim хп - х е RA': lim у„ = у <= RA’: lim t„ = t G R.
M—>ЭС П—>ЭС N—>ЭС
Тогда
lim (,т„ - ,y„) .r - y: lim tx:
n—>OC 11 —>oc
lim (,r„ x y„) = x x y: lim Д-Ц.
Л—/I—>эс
Кроме того.
lim x„ ~ x e Ra'
n —
'/oiда и только тогда, когда
lim |Ц-„ - л’1!,» = 0.
п—>эс
Теорема Больцано-Вейерштрасса для ограниченной
последовательности точек пространства RA
Всякая ограниченная последовательность точек пространства
RA содержит сходящуюся подпоследовательность.
360
Глава VI
Доказательство. Пусть {.£„} — ограниченная последова-
тельность точек RA' и пусть хп = (тд^.....х&п). п = 1-2. Тог-
да вещественная последовательность {х’щ} ограничена, поскольку
(ограниченность последовательности {жп} означает, что
ЗЛГ = const £ R: ||з;га|| Л/ при всех п = 1.2....). Значит, она со-
держит сходящуюся подпоследовательность {жх„т}, для которой
3 lim .rinm = £ R.
т—>ос
Вещественная последовательность {х?пт } ограничена, и поэто-
му содержит сходящуюся подпоследовательность {x2nm }, J = 1-2, •••,
для которой
3 lim т2пт = т(2) € R.
J-»OC J
Рассуждая далее по индукции, за к шагов мы построим подпос-
ледовательность последовательности {тп}, предел которой сущест-
вует и равен (ж^......х^) £ R*’.
6.1.30. Определение. Последовательность {хп} точек прост-
ранства Rfc называется фундаментальной, если Ve > О 3n0 £ N:
Vm . п > по рк\хт. жп) < е.
Свойства фундаментальных последовательностей, установлен-
ные выше для к = 1 и к = 2, без каких-либо изменений переносятся
на случай произвольного к £ N. В частности, остается справедли-
вым критерий Коши.
Критерий Коши сходимости последовательности точек
пространства Rfc
Последовательность точек пространства RA' сходится в этом
пространстве тогда и только тогда, когда она является фундамен-
тальной.
6.1.31. Определение. Пусть xn £ RA. п = 1.2. Пишут
lim жп — эс.
п—>эо
если
Jnn ||жп|| —эс.
6.2. Компактные множества
6.2.1. Определение. Множество К С RA; К 0 называется
компактным (или компактом), если любая последовательность то-
чек этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность,
предел которой принадлежит К.
Критерий компактности в пространстве Rfe
Множество К с RA ; К 0 компактно тогда и только тогда,
когда оно замкнуто и ограничено.
функции многих вещественных переменных
361
Доказательство. Если множество К не ограничено, то
V/? ё N ё А': > п. Последовательность {.£„} не может
быть сходящейся, поскольку, если
3 lim хп -те Rfr.
п—>эс
ТО
lim ||.тп|| = ||т|| G R.
П—>00
что противоречит равенств}7.
lim ||.rTi|| = too.
п—>ос
Такое же утверждение справедливо и для любой ее подпосле-
довательности. Если же К не является замкнутым, но ограничено,
то К — бесконечное множество, так как конечное множество всег-
да замкнуто. По теореме Больцано-Вейерштрасса К имеет хотя бы
одну предельную точку х 6 RA’. В этом случае существует последо-
вательность {?„}. такая, что xn ё К, п = 1.2..и
lim хп — х.
п—>оо
Так как К не является замкнутым, то точку х можно выбрать
так. чтобы х К. что противоречит компактности К. Обратно,
пусть К замкнуто и ограничено в RA', и пусть хп ё К. п = 1.2....
Тогда последовательность {т,,} ограничена, и поэтому содержит схо-
дящуюся подпоследовательность. Если х ё RA — предел этой после-
довательности. то х ё К. поскольку К замкнуто.
6.2.2. Определение. Пусть {G(, | а ё 1} — семейство откры-
тых в Ra множеств, и пусть .V С RA. Если
М С (J Ga.
пет
то говорят, что это семейство образует открытое покрытие Л/. Если
еще oj.....а„ ё I. п ё N. и
п
-и С (J Gn,
1 1
то говорят, что семейство {G(>1:...: Ga„ } образует конечное подпок-
рытие .1/.
Теорема об открытом покрытии
Множество Л1 С RA: 3/ / & компактно тогда и только тогда,
когда любое открытое покрытие М содержит конечное подпокрытие.
Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы. Выби-
рая произвольно £ > 0. можно утверждать, что
AI С J Ш
.гем
362
Глава VI
Поскольку Vx 6 М открытый шар U€(x) является открытым
множеством, то семейство {Ue(x) | х е М} образует открытое по-
крытие М. Значит, 3n g N 3xi......хп G М:
п
м С и Us(xt).
2 = 1
Поскольку объединение конечного семейства ограниченных
множеств ограничено, то из условия М ф 0 следует, что М огра-
ничено в Rfe. Покажем, что М замкнуто в Rfc (тогда из критерия
компактности будет следовать, что М компактно). Для этого доста-
точно проверить, что Rfe \ Л/ открыто в Rfc. Пусть у g (RA' \ М)
и х g М, тогда pk-(x,y) > 0. поскольку х / у. Если положить
е(х) = 0,5pk(x, у) > 0 (х € Л/; у g (RA' \ М); у — фиксировано), то
П Ue(x)(y) = 0 и Л/ с {[^(ж) | X g М}
и поэтому, как и выше, Зн g N 3xi,..., хп g М:
п
м с им^),
1-1
где Ei = е(хг), i =
Пусть г = min{Ei;...; sn} > 0, тогда
!7£(z/)nQ^(x,) = 0.
г=1
так что Ue(y) П М = 0, и поэтому Ue(y) С (Rfc \ М). Значит, у —
внутренняя точка множества RA" \ М. т. е, Rfe \ 3/ открыто в Rfc.
Обратно, пусть Л/ компактно, и пусть Xi Е Л/ и £ > 0. Если
Vx Е М рДх. ii) < £, т.е. х Е Ue(xi), то М С ly(xi). Если же
3^2 € Л/: рДх1.х2) £, то могут быть два случая: либо Vx g М
выполняется хотя бы одно из неравенств р*(х. Xi) < £ или pk(x. х2) <
< £ (в этом случае Л/ С (С'ДхДиЕЛДхг))). либо Зхз Е М: рДх^Хз)
£. i = 1,2. Рассуждая далее по индукции и предполагая, что
существует £ > 0. для которого включение
п
м с U
2 = 1
не выполняется при любом выборе п Е N и Xi......хп Е М. полу-
чаем. что существует последовательность {хг} точек множества Л/,
такая, что pk(xl.xJ) с, i.j = j). В силу компактнос-
ти AI существует подпоследовательность {хг„,} последовательности
{хг}. сходящаяся к некоторой точке из Л/, что невозможно, посколь-
ку такая подпоследовательность должна быть фундаментальной —
противоречие условиям р(х,т: х;/) > £. т. I = 1. 2....; т 7^ I.
функции многих вещественных переменных 363
Итак. Vs > 0 Зп б N Эту...хп б Л/:
п
л/с и^Ш).
(=1
Пусть {Ga | а 6 1} — произвольное открытое покрытие Л/.
Тогда Зе > 0: V.r б Л/: За. б I Us(x) С G,,.
Действительно, предполагая противное, можно утверждать, что
Ve > 0: Зт б Л/: Va б I Ue(x) \Ga ф 0. Поэтому существует
последовательность {еГ!}. такая, что zn > 0. п — 1.2...
lim £п — 0
п—>эс
и существует последовательность {т,,} точек из Л/, для которой Vn б
N t/E„(rn) \ Ga 0 при любом выборе об/. Далее. Va б I 3
подпоследовательность {тг,7} последовательности {т,,}. такая, что
3 lim тП/ = т0 € Л/.
Значит. Зао б /: То € Ga(). Так как множество G(>0 открыто, то
3d > 0: С/6(т0) С Ga&.
Кроме того. Эго € N: е„,о < д/2 и Pk(xn, ,Хо) < <5/2. так что
Ugn (^п, ) С ПДто) С Gan
‘О 0
и поэтому
^,1!o^%)\G«o =- 0-
Мы получили противоречие, из которого следует, что сделанное
предположение неверно, т.е. Эе > 0: Vt б Л/ За б /: Ь3(т) С Ga.
При таком значении е > 0 Зп б N 3tj...тп б УГ.
п
У1С J l;-(t,).
При этом Vz в Nz, За, € I: L\(.rJ С G(4. и поэтому
и
М С U Ga,
1-1
гак что {G,(]G„n } — конечное подпокрытие У1.
6.2.3. Утверждение. Пусть — фундаментальная пос.те-
довате.тьность точек компакта К. Тогда
3 lim т„ б К.
Доказательство. Согласно критерию Копш
3 lim тп б Ra’.
364
Глава VI
Так как К — замкнуто, то
lim хп е К.
6.2.4. Замечание. Как видно из приведенного доказательства,
достаточно считать, что К — замкнутое множество (не обязательно
ограниченное).
6.2.5. Утверждение. Если F замкнуто в JR,fe, а К — компакт-
но, причем F Г) К / 0. то F О К — компактно.
Доказательство. Так как (F П К) С К и К — ограничено,
то из условия F П К 0 следует, что F П К ограничено. Кроме
того F Г К замкнуто в R*. поскольку К замкнуто в R*. Согласно
критерию компактности множество F П К компактно.
6.2.6. Утверждение. Пусть {Ka | a 6 7} — семейство ком-
пактных подмножеств R*, и пусть пересечение любого конечного
подсемейства этого семейства не пусто. Тогда
П кп ± </).
aei
Доказательство. Пусть оо € 7, и пусть Ga = IRk\Ka, a £ I.
Допустим, что в KaQ нет такой точки, которая принадлежала бы
всем множествам Ка. Тогда
7<ао С |J Ga.
nei
причем Ga открыто в Rfe, поскольку Ка замкнуто в IR*. о в I. Так
/ п \
как KaQ компактно, то Зн € К 3ai,....an € I: Као С I (J Gat I.
\i=i /
Это означает, что
что противоречит условию. Значит. Зт € КП(, I х € Q Ка. так что
п€7
П кп + 0.
6.2.7. Следствие. Пусть {7<„} - последовательность ком-
пактных множеств, такая, что Knr\ С Kn. n = 1.2 .... Тогда
П Кп + 0.
П = 1
Достаточно заметить, что если т? е N и аз.ап 6 N. причем
функции многих вещественных переменных
365
а = max{ai,.... ап}, то а Е N и
п
Q каг = ка^$.
?—1
и далее использовать утверждение 6.2.6.
6.2.8. Утверждение. Множество М с lRfc; М Д 0 компактно
тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество М
имеет предельную точку, принадлежащую ЛЕ.
Доказательство. Пусть М — компактно. Если множество
.U конечно (очевидно, всякое конечное множество компактно), то
из условия Е с Л/ следует, что Е — конечное множество. Пусть
М — бесконечное множество, и пусть Е С М и Е бесконечно. Так
как М ограничено, то Е также ограничено и по теореме Больцано-
Вейерштрасса имеет в ]Rfe хотя бы одну предельную точку х0. По-
скольку М замкнуто, то з?о € М.
Обратно, пусть каждое бесконечное подмножество М имеет пре-
дельную точку, принадлежащую М. Если М не ограничено, то
Vn € IN Эхп Е М: ||жп|| > п. Пусть Е — множество всех значений по-
следовательности {тп}, тогда Е С М и Е — бесконечное множество.
При этом Е не имеет предельных точек в и. тем более, в М. что
противоречит условию. Значит множество М ограничено.
Если М не замкнуто, то Это G (Rfc \ М): г’о — предельная точка
Л/. Тогда Vn е N Этп € М: - яго|| < 1/п. Пусть Е — множество
всех значений последовательности {тп}, тогда Е С М и Е — бес-
конечное множество. В противном случае 2 подпоследовательность
последовательности {тп} и Вт* е М: хщ = х*. I = 1.2,..., и
тогда Vf G IN ||т„( — ,го|| = — то|| = const > 0. что противоречит
неравенствам
\Хщ — Хо|< — >0 при I —> 00.
Так как Vn € IN Е Е. то то — предельная точка Е и в I?
нет других предельных точек Е. Действительно, если у,, Е RA и
Уо т0. то
kn -Уо|| > 11-Го - Уо|| - |Ц’п - Toil !ко — Уо|| ” - 2^'° ” Уо^ > °
для всех достаточно больших значений и Е IN.
Это показывает, что уо не может быть предельной точкой Е.
Значит. Е не имеет предельных точек, принадлежащих Л/. что про-
тиворечит условию. Следовательно. Л/ замкнуто в RA и согласно
критерию компактности ЛЕ компактно.
6.2.9. Определение. Множество Е С RA называется нигде
не плотным, если любой открытый шар U содержит внутри другой
открытый шар V, такой, что V П Е = 0.
366
Глава VI
6.2.10. Определение. Множество М С ВА' называется мно-
жеством первой категории, если оно может быть представлено в ви-
де объединения не более чем счетного семейства нигде не плотных
множеств. Множество А С ® А. не являющееся множеством первой
категории, называется множеством второй категории.
6.2.11. Пример. В случае к = 1 Q является, множеством
первой категории, а I = J? \ Q — множеством второй категории. Это
следует из теоремы Бэра.
Теорема Бэра о категориях (частный случай)
Пространство Rк с евклидовой метрикой является множеством
второй категории.
Доказательство. Предположим. что
R" = J ЗД.
п=1
N
где АД. п = 1.2..нигде не плотно (если IR* = J АД, то можно
п- 1
положить АД = 0. п ~Л'т1. Л' + 2....). Пусть х е Ra. Рассмотрим
замкнутый шар U*(.г). Так как множество A/j нигде не плотно, то
внутри соответствующего открытого шара СМ-т) найдется замкну-
тый шар U* (ад) С ПД-т). не содержащий точек из АД. Рассуждая
далее по индукции, получаем, что существует последовательность
замкнутых шаров {ДД (.г,г)}. такая, что
(п \
U -U 0- » -1.2.........
,-л /
Поскольку Vn 6 N замкнутый шар (хп) является замкнутым и
ограниченным множеством, то он компактен. Согласно следствию
6.2.7
П СД(т„)^0.
П = 1
так что
Зл-о е П Q(j’»)-
Н -1
При этом то Мп- 7? = 1.2....так что
2-0 £ U АД = R*
77-1
Функции многих вещественных переменных 367
— противоречие. Значит, представление
Rfe = Q Мп
71=1
где каждое из множеств Л/„, п = 1,2,.... нигде не плотно, невозмож-
но. Это означает, что RA' не является множеством первой категории.
Поэтому RA' — множество второй категории.
6.3. Вектор-функции: пределы, непрерывность,
дифференцируемость
6.3.1. Определение. Пусть А 0 и /: А —> RA:. Тогда
функция f называется вектор-функцией. При этом Va € A f(a) =
= (/i(a) A(a)) 6 R*. где Д: .4 -> R. j = 1....L Функции
/j....fk называются компонентами вектор-функции /. Пишут / =
= (/1....Л).
6.3.2. Определение. Пусть А С R(; од € R! — предельная
точка А. и пусть /: А —> RA. Пишут
lim /(а?) = у е RA'.
х&А
если Ve > О Э<5 > 0: Vz е (Us(xo) П A) pj;(/(z),y) < е.
В сформулированном определении
(75(я:о) = € R' | 0 < ||х - х0|| < <5}.
6.3.3. Утверждение. Если / = (Д....Д): А —> RA’ и у =
= Ук) 6 R\ то
lim /(г) = у
хе.4
тогда и только тогда, когда
\im fj{х) =yj. j = l....k
,T€A
6.3.4. Утверждение. Пусть
3 lim /(.т) = у & RA и 3 lim g(x) = z 6 RA'.
*-**() r^ro
г e A t € .4
Тогда
3 lim (/-5)(т) = y^ z.
A
Если c = const € R. to
3 lim (cf(z)) =- cy.
те A
368
Г л а в a VI
6.3.5. Замечание. Если положить
к
f =
J-i
где f = (Д......Д) и д = (р!.....дк). то при условиях утвержде-
ния 6.3.4
Э lim (/ х д)(т) = у х z.
те.4
Критерий Коши существования конечного предела
вектор-функции
Для существования предела
rHm /(o') е Rk
необходимо и достаточно, чтобы Ve > 0 Эд > 0: G (t7j(ro) П А)
рДДх1)-/(х2У) < г.
6.3.6. Определение. Пусть А С R : то 6 R — предельная
точка А. и пусть f: А —> Rk. Пишут
lim f(x) - ос.
j-e.4
если
lim ||/(xr)[[ = -оо.
г-х0
хе.4
Теорема о пределе сложной функции
Пусть А С R;: ад € R? — предельная точка А. и пусть f: А ->
Rk: g: f(A) -> Rm и
3 lim /(т) - yo G RA-
-e4
Если, кроме того. Эд > 0: V.r £ (б’й(ад) Р А) /(х) / уо и
3 lim g(y) oo€R"'.
yeH-l)
TO
3 lim <?(/(.r)) = co-
। e 4
Все эти утверждения доказываются так же. как и в одномерном
случае (с заменой модуля на норму).
6.3.7. Замечание. Определение предела вектор-функции по
Гейне формулируется так же. как и в одномерном случае: теорема об
эквивалентности двух определений предела остается справедливой.
функции многих вещественных переменных 369
6.3.8. Определение. Пусть А С RZ; То € A; f: А -> RA.
Говорят, что функция / непрерывна в точке т0, если Ve > 0 35 > 0:
Ух е (Us(x0~) Г\ А) Ра-(/(т)./(.т0)) < £.
6.3.9. Замечание. Если tq — изолированная точка множества
А и /: А —> Rfc, то функция f непрерывна в точке т0- Если же
Хо — предельная точка множества А и ft А —> Rfc. то функция f
непрерывна в точке в том и только в том случае, когда
3 Дт f(x) = /(.то).
хе А
6.3.10. Замечание. Функция / = (/j...Д): А -> Rfc непре-
рывна в точке ад € А тогда и только тогда, когда каждая из ее
компонент /1....Д. непрерывна в этой точке.
Необходимое и достаточное условие непрерывности
по Гейне
Функция f: А —> RA' непрерывна в точке xq S А тогда и только
тогда, когда для любой последовательности {хп}, такой, что xn е А,
п = 1.2....: lim Xn = tq, выполняется равенство
п—>оо
Jim^/(T„) = /(то).
6.3.11. Определение. Пусть /: А —> RA’ и Ао С А; Ао f 0.
Говорят, что функция / непрерывна на множестве Ао- если она
непрерывна в каждой точке этого множества.
6.3.12. Замечание. В /с-мерном случае остаются справедли-
выми все свойства непрерывных вектор-фупкций, связанные с ариф-
метическими действиями (если эти действия со значениями вектор-
функций определены). Например, если /: А —> RA: g: А —> RA и
обе функции / и g непрерывны в точке ,т0 € А. то функции f — g; eg
(с = const € R): / х д непрерывны в точке Tq. В частности, каждый
многочлен Р: Rk —> С от к переменных над полем С непрерывен на
RA' (здесь V(ti...Та-) € RA
....^л-)= v c"i........
(”i..nk>
где ni....n*. € Nq: c«i..nk — комплексные постоянные и сумма
содержит конечное число отличных от нуля слагаемых).
6.3.13. Замечание. Если т. т0 € RA, то | ||т||-||т0|| | ||т—т0||.
Поэтому, если V.r G Rfc i;(.r) = |.г||. то c: Rk’ -> R — непрерывная
на Ra вещественная функция.
6.3.14. Следствие. Пусть ft А -> RA'; / непрерывна на А
и ДЛЯ Vx G А д(т) = (/(т)||. Тогда д: А -> R - непрерывная
функция на А.
370
Глава VI
Это следствие справедливо согласно теореме о непрерывности
сложной функции (которая формулируется и доказывается так же.
как и в одномерном случае).
Критерий непрерывности вектор-функции
Пусть А С R* и f: А -> RA'. Тогда функция f непрерывна на
А в том и только в том случае, когда множество 1 (G) открыто в
А для каждого открытого в Rfc множества G (т. е. полный прообраз
любого открытого множества открыт).
Доказательство. Заметим, что фраза «множество /-I(G)
открыто в А» означает, что Vxq g J-1(G) 3d > 0:
(УДто)ПД) СГ’(О)
(здесь Уй(а?о) ' окрестность точки .то радиуса <5 в пространстве Rz).
Выберем хо £ А и s > 0. и пусть G = (7г(/(т0)). Тогда G открыто
в Rfr. и так как /(а?о) 6 G. то .г о е /-I(G). Если /-1(G) открыто
в А. то 35 > 0:
(V6(ar0)nA)c/-1(G).
т. е.
f(V6(xo)^A)cG
Это означает, что f непрерывна в точке tq (и поэтому f непрерывна
на множестве А).
Обратно, пусть f непрерывна на А. т. е. Vzq € A Ve > 0 35 > 0:
Vx е (Ш) ПА)
/(!•) е Д£(/(то)).
Пусть G открыто в RA'. и пусть /-1(G) 0. Если хц € (/-1(G)n
ПА), то /(ту) 6 G и а’о € А. Поскольку G открыто в RA. то Зе > 0:
Пг(/(2’о)) С G. Так как функция f непрерывна в точке х0. то 35 > 0:
ЖДх0) О А) с ПД/(.го)) С G.
Значит.
(^-(j-o)nA)cr1(G).
т.е. множество / '(G) открыто в А.
Теорема о компактности образа компактного множества
при непрерывном отображении
Пусть А С IRZ: А компактно, и пусть f: А —> RA' и функция f
непрерывна на А. Тогда множество f(A) компактно.
Доказательство. Пусть у,, е /(А), п 1.2 тогда V?? £ N
З.г„ g A: f(xn) = у„. Последовательность {т„} точек компакта А
содержит сходящуюся подпоследовательность т,ъ. такую, что
lim хп .то е А.
Функции многих вещественных переменных 371
Так как тПг е A, i = 1,2..... и функция f непрерывна в точке то, то
3 Ит /(ти?) = /(т0) е /(А),
т. е.
2 1пп у„г = уо е /(А),
где уо = f(x0).
Теорема о непрерывности обратной функции
Пусть А С Вг; А компактно, и пусть f: А -> Rfe; f — биективна
и непрерывна на А. Тогда функция f~x непрерывна на f(A).
Доказательство. Пусть у0 6 /(А) и yn е f(A), п = 1,2,...,
и пусть
lim уп = у0.
71—>ОС
Нужно доказать, что
3 lim f~\yn) = f~\yo)-
П—>ОС'
Положим т0 = /-1(1/о) И -Гп = /-1(уп), П = 1,2,..., тогда тре-
буется проверить, что
3 lim хп = хо-
п—¥оо
Если это не так. то 3 подпоследовательность {тП1} последователь-
ности {т„} и Зг > 0, такие, что ||тПг -tq|| > е, г = 1,2. Так как А
компактно, то последовательность {т„г} содержит сходящуюся под-
последовательность {хп^ }, для которой
3 lim хп = Хп е А.
j~>X J
Поскольку функция f непрерывна в точке tJ, то
3 lim f(xn, ) = /(Tq).
J-4OC J
По условию,
3 lim /(т„) = /(т0)
и—>эс
(действительно, /(т„) = уп- п -- 1.2..и /(то) = г/о). Значит,
lim /(,т„г ) = /(то).
>-»ЭС 3
так что /(то) = /(^о)- Аз условия биективности / получаем, что
т0 = Tg. т.е.
lim хп = т0.
7->эс Ъ
что противоречит неравенствам
||т„г - т011 > £ = const >0, J = 1.2.
372
Глава VI
Значит. 3 lim х„ = ад. т.е.
п—
lim У X(yn) = У-1(Уо)-
П-4-ОС
Отсюда в силу произвольности выбора точки уо € f (А) следует, что
функция У-1 непрерывна на У(А).
Теорема о связности образа связного множества при
непрерывном отображении
Пусть А С R1: А связно: f: А -> RAи f непрерывна на А.
Тогда множество f{A) связно.
Доказательство. Если /(А) не является связным, то сущест-
вуют два открытых в RA' непересекающихся множества Gy и G2,
таких, что (Gi А /(А)) А 0; (G2 О /(А)) 0 и /(А) С (Gj U G2).
При таких условиях А С /-1(Gi U G2) = У"1 (GJ U У“1(Сг). при-
чем (y-^GJOA) * &: (y-](G2)AA) # 0: f-^Gr) П f~\G2) =
- y-1(Gi П Go) = У-1(0) = 0- Кроме того, множества f J(GJ и
y-1(G2) открыты в А. Отсюда следует, что А не является связным —
противоречие. Значит множество У (А) связно.
Теорема Больцано о промежуточных значениях
непрерывной функции
Пусть А С RA'r А связно: f: А —> R и f непрерывна на А. Тогда
Уад.д2 е А: У(11) < f(r2)Vc е (У(т]).у(г2)) Эт0 € A: f(xa) = с.
Доказательство. Согласно предыдущей теореме множество
У (А) С R связно. Значит. У (А) — промежуток в R. и поэтому с Е
€ У(А). если У(з?1) < с < У(т2) и ад. ад € А. Следовательно. Зад 6 А:
У(ад) = с.
6.3.15. Утверждение. Пусть A CR1; А компактно: f: А —>
—> R* и У непрерывна на А. Тогда функция f ограничена на А.
Доказательство. Согласно теореме о компактности образа
компактного множества при непрерывном отображении множество
У(А) С Ra компактно, и поэтому ограничено. Значит, f ограниче-
на на А.
Теорема Кантора о равномерной непрерывности
При ус.ювиях утверждения 6.3.15 функция f равномерно непре-
рывна на А.
Доказательство. Пусть f не является равномерно непре-
рывной на А. По определению это означает, что Зг > 0: \/6 > 0
Зад.ад € А: ||ад - а?2|| < 5 и ЦУ(.тд) - У(.т2)|| е. Если поло-
жить 5 = 1/п. п = 1.2..то получим, что V/г € X € А:
Ha’i'^ — .T’^'ll < 1/п и ||У(а-(]">) - У(.т2,))|| = Последовательность
Функции многих вещественных переменных
373
{д’1’1'1} точек компакта А содержит сходящуюся подпоследователь-
ность {х^}, для которой
3 lim Xj”’^ = xq € А.
i—*oc
Так как — Х2П*^|| < 1/щ С 1/i —» 0 при i —> ос, то
3 lim х^ = Хо-
Функция f непрерывна в точке xq G А. и поэтому
Дт/(х^п,)) = Дт/(х^п,)) = /(х0).
Значит,
lim ||/(x(1"i)) -/(4'Ч))11 =°-
что противоречит неравенствам ||/(Х1П,)) — /(х2Пг^)|| ^ £ = const > О,
г = 1,2... Таким образом, f равномерно непрерывна на А.
6.3.16. Утверждение. При условиях утверждения 6.3.15 и
к — 1 существуют точки xj,x2 € А. такие, что
/(xi) = sup{/(x)}./(x2) = inf {/(х)}.
х£А Х^А
Доказательство. Пусть
М = sup{/(x)},
х G -А
тогда AI < тоо, поскольку функция f ограничена на А. Допус-
тим, что Vx € A f(x) < М. и положим </(х) =
1
лГ-Тн
> о.
х € А, тогда g: А —> R и непрерывна на компакте А. Значит,
g ограничена на А, т.е. ЗА’ >0: Vx € A g(x) < N. и поэтому
/(х) М — 1/N = const < Л/, что противоречит второму свойству
верхней грани. Значит, условие Vx € А /(х) < Л/ не может выпол-
няться. Поскольку Vx е А /(х) АД то это означает, что 3xi G А:
f(xi) = Л/. Аналогично доказывается, что если
m = inf {/(х)},
af/I
то m > —эс и Зх2 G А: /(х2) = т.
В качестве приложения изложенных результатов докажем тео-
рему Гаусса об алгебраической замкнутости поля С.
Теорема Гаусса
Пусть ао....а„ бС. n е N. и пусть ап 0 и Vc £ С
11
Р(г)=^акгк.
k-~Q
Тогда Bzo Е С: Р(^о) = 0.
374
Глава VI
Доказательство. Имеем Vz е С
p(z) ап f 52 ~zk г"') •
U-о а" /
Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда ап = 1. По-
ложим
М = inf {|P(z)|} > 0.
гСЛ
Из равенства
(п-1 \
1 - 52 а^п
к=0 /
справедливого при z / 0, следует, что
lim Р(2) = ос.
Значит. BR > 0: (|z| >/?)=> (,F(z)| > у + 1).
Функция |Р| непрерывна па замкнутом круге {z € С | |г| R}.
являющемся компактом. Поскольку при |г| > R |F(z)| > ц — 1. то
inf {|F(z)|} = у.
Согласно предыдущему утверждению 3zo € С: |sq| < R и
|P(zq)| = ц. Таким образом, достаточно показать, что ц = 0. Пред-
положим. что ц > 0. тогда F(z<j) / 0. Положим
Q(z) = -РрГ г } = 1 - Ь1г - ... - bnzn.
R(z0)
Тогда Q — многочлен, отличный от постоянной, причем Q(0) = 1 и
Vz ё (С !Q(z)| > 1. Пусть А’о = min{A- е N„ ] bk / 0}. тогда Vz £ С
Q(z) = 1 -bkazko. ,-bnzn. Кроме того. Ька 0 и bn = 1/P(zo) / 0.
Так как I - |6а-0|/^0| = 1. то Зу е IR: е'*оу = — |Ьа()|/&А-0. Поэтому при
всех достаточно малых значениях г > 0
|Q(re'<)| 1 - rA’0(|6,o| - фА.о . J - ... - г'-*О|Ь„|).
Согласно неравенству l^1 > 0 отсюда следует, что при всех доста-
точно малых г > 0 |Q(re'y)| < 1 — противоречие.
Таким образом, ц = 0. т. е. P(z) = 0.
Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений)
Пусть А С ВА: А замкнуто в R4. и пусть f: .4 —> .4. Если,
кроме того. Зо = const е (0.1): V.r. у е А щ (/(.т)./(у)) npk(x.y).
то существует ровно одна точка .т0 £ И- такая, что /(л’о) - г о (такая
точка называется неподвижной точкой отображения f).
Доказательство. Выберем произвольно точку т е А и по-
ложим .Г] = /(г); т„._1 s /(т„). п = 1.2.тогда Vn 6 X х„ Q А.
Функции многих вещественных переменных 375
Покажем, что последовательность {хп} является фундаментальной.
Имеем
Pfc(zi,T2) = Pk(f(x).f(x1)) ^ар^.х) = apk(x.f(x)).
По индукции получаем, что Vn € N
Pfc(xn,xn+i) «С anpk(x. f(x)).
Если m, n € IN, причем m > n, to
pki^n* %ni) Pk (#n • %n+ 1) • • • "Г Pk 1 > ^rn)
< (or‘4 a^p^x. f(x)) =
an — otm Ctn
= —:------Pk(x, f(x)) < --pk(x, /(x)) -> 0 при n -> oo.
1 - a 1 - a
поскольку 0 < a < 1 (здесь точка x G А фиксирована).
Значит, последовательность {т„} фундаментальна, так что со-
гласно критерию Коши
3 lim xn = Xq € Rfc.
п—>ос
Так как xn е А. п = 1,2....и Л замкнуто в Rfc, то Xq 6 А.
Покажем, что f(xo) = Xq. Для этого заметим, что Vn € N
О рДУ(хп),/(хо)) apk(xn,x0) -> 0 при п -э оо. так что
lim /(rn) = /(хо).
п—>оо
Поскольку f(xn) = xn+i. п = 1.2......то это означает, что
lim хп-1 — lim хп = /(жи),
И ПОЭТОМУ /(Жо) = Xq.
Если х0.у0 е Л, причем /(ж0) = х0 и /(у0) = Уо- то
Pk(f(xo).f(yo)) рк(хо.уо) ^apk(xo-yo)-
т.е. (1 - a)pk{xo. уо) 0.
Так как 0 a < 1. то 1 - a > 0. так что рк{хо.уо) 0. Значит.
Рк(хо-Уо) = 0. В итоге получаем, что х0 = Уо-
6.3.17. Следствие. При условиях теоремы Банаха Vn G N
a"
Pk(xn-x0) < -—— Рк(х. f(x)).
1 — Q
Доказательство. При т.п 6 N и т > п
ап
рк{хп.хт) < —~pk(.l\f(x)).
Фиксируя п 6 X. перейдем в этом неравенстве к пределу при т —>
оо. Тогда получим
ап
lim pk(xn.xm) =•- pk(xn.xo) ----pk(x.f(x)).
т—>эс 1 — Q
376
Глава VI
Последнее равенство следует из того, что согласно неравенству треу-
гольника р^(д„.Т0) рк\тп.Хт') — pk(xnl.X(t) и рк(хп.хт)
р*.(т„.х0) - />л(т0.тт). так что
|pfc(xn.xm) -рл-Un-^o)! < Pk(xm-x0) -> 0 при т -> оо.
6.3.18. Замечание. В приведенной формулировке теорема Ба-
наха — частный случай общего принципа сжимающих отображений,
принадлежащего Банаху и доказываемого обычно в курсе функци-
онального анализа.
6.3.19. Пример. Пусть для Vx € R f(x) - х + тг/2 — arctgz,
тогда f(x) 7^ х. поскольку arctgх < тг/2. Значит, отображение / не
имеет ни одной неподвижной точки. Однако, если х. у € R. причем
х < у. то
Pi (/(*)• Л»/)) = = |у — — (arctg у — arctg а?)| =
, ч 1
у - X - (у - х)^^2
У2 У2
т---72 |у - х| = ------^Р1(т.г/).
1 - £ 1 - С
где $ е (х.у).
Если положить п = £2/(1 — /2). то 0 a < 1 и Pi(/(j)./(у)) =
= api{x. у). Тем не менее, условия теоремы Банаха не выполняются,
поскольку значение a = £2/(1 - Д2)- вообще говоря, зависит от выбора
точек х и у.
Заметим ещё. что при условиях этой теоремы отображение f
называется сжимающим. При этом расстояние между образами лю-
бых двух различных точек меньше расстояния между прообразами
(так же обстоит дело и в предыдущем примере).
6.3.20. Утверждение. Пусть А С Rfc: А компактно и пусть
f: А -> А. Если, кроме того. Ух. у е А: (х £ у) =$> (pk(f(x). f(y)) <
< рк(х. у)), то отображение f имеет ровно одну неподвижную точку.
Доказательство. Если х € .4 (х фиксировано), то
lim Pfe(/(.r)./(</)) = 0.
поскольку при у —> х рк(х.у) —> 0. Это означает, что отображение /
непрерывно в точке х. и поэтому непрерывно на .4. Положим V.r 6
€ -4у?(т) = рк(х: f (.г)), тогда р: .4 —> R и функция р непрерывна на
А как композиция непрерывных функций.
Пусть
m = inf {^(х)} > 0.
j-g.4
тогда З.г() G .4: ^(1’о) = m (поскольку А компактно). При этом
Яа’о) - 0 тогда и только тогда, когда .гд = /(то). Таким образом,
нужно доказать, что m = 0. Предположим, что m > 0. тогда •р(.т’о) -
‘ Рк(хо. > 0. Значит, /(то) хп. и поэтому рк(г0./(.Го)) >
Функции многих вещественных переменных
377
> щ(/(хо).уо). где у0 = /(/(^о))- Это означает, что <^(ж0) = m >
> у?(/(хо)). Поскольку /(х0) € А. то это невозможно согласно опре-
делению т. Следовательно, т = 0, т.е. /(о>о) = ^о- Если х0 е А
и /(io) = io, причем х0 х0, то щ(/(х0)./(io)) = Pk(xo,xo) <
< pk{xo.xo). и мы пришли к противоречию. Таким образом, f имеет
ровно одну неподвижную точку гтц g А.
Рассмотрим далее последовательность {/„} комплексных функ-
ций, определенных на множестве Е С . Пусть эта последователь-
ность поточечно ограничена на Е. При таких условиях для нее мо-
жет не существовать подпоследовательности, сходящейся поточечно
на Е.
6.3.21. Пример. Пусть к = 1; Е = [0.2тг]. и пусть fn(x) —
= sin(nx). n Е N; х € Е. Предположим, что существует подпоследо-
вательность {/«„} последовательности {fn}- сходящаяся поточечно
на Е. Тогда Va? Е [0,2тг]
lim (sin(nmx) - sin(nm ,д)) = 0.
т—>оо
и поэтому
lim (sin(nmx) - sin(nm-ix))2 = 0.
т—>оо
Так как | sin(nx)| < 1, n Е N; х Е Е. то согласно теореме Арцела об
ограниченной сходимости
/*2тг
lim / (sin(nTOx) — sin(nmJ_]x))2 dx = 0.
JQ
Легко проверить, что на самом деле
/»2тг
/ (sin(nmx) — sin(nTO_ix))2 dx = 2тг. m = 1.2......
Jo
и мы приходим к противоречию. Таким образом, последователь-
ность {/„} непрерывных на [0,2тг] функций равномерно ограничена
на |0,2тг] и не содержит подпоследовательности, сходящейся пото-
чечно на [0. 2тг].
6.3.22. Замечание. Если {/„} —последовательность комплек-
сных функций, поточечно ограниченная на Е. причем множество Е
не более чем счетно, то существует подпоследовательность
сходящаяся поточечно на Е (это будет установлено ниже при дока-
зательстве теоремы Арцела).
х2
6.3.23. Пример. Пусть Е — |0.1] и /п(х) =
(Z. ~~~ ( 1 71Of }
n € N: х Е Е. Тогда | /п(х) 1. n = 1.2....: х Е Е. так что
{fn} ~ равномерно ограниченная на компакте Е последовательность
непрерывных функций. Кроме того, Vx Е Е
lim /„(т) = 0.
378
Глава VI
так что последовательность {/„} поточечно сходится на Е к пре-
дельной функции, равной тождественно нулю. Однако /п(1/п) — 1.
п = 1.2.....и поэтому не существует подпоследовательности после-
довательности {fn}, равномерно сходящейся на Е = [0.1).
6.3.24. Определение. Семейство Е комплексных функций,
определенных на множестве Е С Rfc. называется равностепенно не-
прерывным на Е. если Ve > 0 3d > 0: V/ е EVx.y 6 Е:
{рк{х. у) < д) => (|/(г) - /(у)| < в).
6.3.25. Следствие. Если Е — равностепенно непрерывное на
Е семейство функций, то Vf G Е функция f равномерно непрерыв-
на на Е.
Утверждение, обратное к утверждению следствия 6.3.25. вообще
говоря, неверно.
6.3.26. Пример. Пусть Е = [0.2тг]: fn{x) -- sin(nx). n е N;
х € Е. и Е = {fn | n G X}. По теореме Кантора Vn € N функция
fn равномерно непрерывна на Е. Однако семейство Е не является
равностепенно непрерывным на Е. Действительно, выбирая е =1/2
и полагая Vd > 0 х = 0: у = тг/(2п). где n е X и п > тг/(2<5). можно
утверждать, что х G Е: у 6 Е и |т-у| = ”/(2п) < d: \fn{x)-fn(y)\ =
= 1 > £.
6.3.27. Замечание. Если Е — конечное семейство комплекс-
ных функций, непрерывных на компакте А' С то это семейство
равностепенно непрерывно и равномерно ограничено на К. Дейст-
вительно. по теореме Кантора каждая из функций f G Еравномерно
непрерывна (и ограничена) на К. Значит. Ve > 0 V/ G J?3dy > 0:
Vxr. у € А':
(pA-(z.y) < dz) => (|/(х) - /(у)| < £).
Полагая
5 = min{d/} > 0.
/ег
получаем, что W > 0 3d > 0: V/ G EVx.y е А':
U(z.y)<d')=>(|/(x)-№)|<3).
Кроме того. V/ € Е
sup{|/(.r)l} < -эс,
хе
п так как F конечное семейство, то
sup {,/(щ)[} < -эс.
тек
/еЛ
6.3.28. Утверждение. Пусть {/,>} — равномерно сходящаяся
на компакте К С последовательность комплексных функций.
функции многих вещественных переменных 379
непрерывных на К. Тогда семейство {fn | n е N} равностепенно
непрерывно на К.
Доказательство. Согласно критерию Коши равномерной
сходимости Ve > О Згщ £ N: Vn > no Vz 6 К
о
Функции {fn I n £ jK«0} образуют конечное семейство А функций,
непрерывных на компакте К. Согласно замечанию 6.3.27 семейство
У равностепенно непрерывно на А', т.е. Зй > 0: Vz, у £ К:
(Pk(x.y) < 5) => (|/„(z) - yn(j/)| < |. л = 1.2.п0.
Если х.у е К и рь(х.у) < 6. то Vn > по
1/nW - fnWt \fn(l) - Л0(я)| -1- |/п0Сг) - /п0(у)| -
- 1Л0(?/) - /-<(?/)! +
о о о
Значит. Vz,j/ £ К: рк(х.у) < 5 Vn £ N
1/п (я) -/п(у)| <£
Теорема Арцела
Пусть {fn} — последовательность комплексных функций на
компакте К С RA . и пусть семейство {/„ | n £ N} поточечно огра-
ничено и равностепенно непрерывно на К. Тогда эта последователь-
ность содержит равномерно сходящуюся на К подпоследователь-
ность и равномерно ограничена на К.
Доказательство. Пусть К = {z,:...: хр} — конечное мно-
жество. Поскольку последовательность {/Д-гД} ограничена, то опа
содержит сходящуюся подпоследовательность {/nm(zi)}: далее, по-
следовательность {/„„, (тг)} ограничена, и поэтому содержит сходя-
щуюся подпоследовательность {/lm/(z2)} п т. д. За конечное число
шагов приходим к выводу, что существует подпоследовательность
последовательности {/,,}• сходящаяся поточечно на К. Так как А’ —
конечное множество, то эта подпоследовательность сходится равно-
мерно на А’.
Далее, последовательность {/„(.г,)} ограничена, и поэтому
SUp{|/„(z,)j} < -ЭС. ( = 1...Р-
Значит.
sup {\f„(z,)|} < -эс.
>1
т.е. последовательность {/„} равномерно ограничена на А'.
380
Глава VI
Пусть К — бесконечное множество, и пусть г > 0 и U(х. г) =
= {у Е К: Pk{x,y) < г}, где х Е К. При фиксированном г > 0 мож-
но утверждать, что семейство {U(x,r) | х € К} образует открытое
покрытие К (множества U(x,r) открыты в пространстве К). В си-
лу компактности К существует конечное подпокрытие {[/(яд. г);...;
U{xm. г)} множества К (нетрудно показать, что К компактно в про-
странстве И? тогда и только тогда, когда К компактно в себе).
Полагая г = 1/п и рассматривая множества U(x\n\ 1/п), п Е N;
i = l,...,m(n), получаем счетное покрытие К, для которого мно-
жество Е = {х,’^ | п € N, i = 1....т(п)}. счетно и всюду плот-
но в К (поскольку К — бесконечное множество, то Е не может
быть конечным). Изменяя обозначения, можно считать, что {яд},
г = 1.2..., — все попарно различные точки множества Е.
Рассматривая ограниченную последовательность {/„(яд)}, мож-
но утверждать, что она содержит сходящуюся подпоследователь-
ность {/п(яд)}. Рассуждая далее по индукции, получаем, что су-
ществуют последовательности Ty.T2.T2.....которые можно распо-
ложить в таблицу:
Т = {/1Р/12; • }:
Т2 = {for, fn- •};
Tn = {fni'~fn2- •};
Эти последовательности обладают следующими свойствами:
а) Тп — подпоследовательность последовательности Тп-у. п =
= 2,3....;
б) последовательность {fn.i{xn)}, I = 1.2 .... сходится при I —> ос
и любом фиксированном п Е N (поточечная сходимость последова-
тельности {/„} позволяет выбрать Тп с таким свойством):
в) порядок, в котором выписываются функции, один и тот же
во всех последовательностях Тп (т. е. если одна из функций пред-
шествует другой в последовательности Ту то эти функции так же
расположены во всех последовательностях Тп до тех пор. пока одна
из них не вычеркивается).
Рассмотрим теперь диагональную последовательность Т= {/ц:
fo'2-
Согласно свойству в) последовательность Т является подпосле-
довательностью последовательности Т (за исключением, возможно,
первых i — 1 членов, i - 2.3....: при i — 1 7~— подпоследовательность
последовательности Тц). Поэтому из свойства б) следует, что после-
довательность (тг)}. п — 1.2......сходится при п —> ос и любом
функции многих вещественных переменных
381
фиксированном а?,- € Е. i = 1,2.. Далее. Vs > 0 35 > 0: Ух. у € А':
(pfc(.r.y) < 5) => (|/„(т) - /„(у)| < ^. п = 1.2.
Пусть «о € А’ выбрано так. чтобы 1 /т7д < 3. Рассмотрим от-
крытое покрытие К. имеющее вид {[7(а?*"°\ 1/п0). 7 = 1.... ,m{no)}.
Для этого покрытия
„ » г (no) (no)i
Значит, существует конечное семейство точек (Д :... ;хт^ j мно-
жества Е. такое, что
т0
А С (J {/(^.5)
г=1
(здесь х, = е Е. i = 1.........т(по) = то). Выберем N G N так,
чтобы V777.77 > N
\frn.m (-Т;) — fn.n (Т;) | < —. 7 = 1. 777g.
О
Поскольку Ух G А’ 3?о G NmQ: тг € U(.x,Q. 6). то Ут. n > N Ух е К
\fn.n(x) fm.m(x)\ \fn.n(x) ~ /n.n(-^/g)l т |/n.n(-^/g) fm.m (Д) ) I T
— \fm.m (^'g ) ~' fm.m(x)\ < ~ =~
О О О
Число N е N не зависит от выбора точки х G А’. Согласно кри-
терию Коши равномерной сходимости это означает, что последова-
тельность {fn.n} сходится равномерно на К (и является некоторой
подпоследовательностью последовательности {/„}).
Пусть
Да?) = sup{|/n(r)|}. хе К.
пеУ
Тогда Ух е А’ 0 Да?) < — ос. Имеем Vs > 0 35 > 0: Ух. у е К'
{pkfx.y) < 5) => (|Л(Д - fn(y)\ <£ 77 = 1.2.....
Зафиксируем точки х. у € А', для которых рк (х. у) < 5. Пз
неравенств \f,,(y)\ < |.А(т)1 - с и < |/п(у)| - £ следует, что
Д.т) у {у) - s и р(у) р(х) - £. Значит |ДД - ДД| ё. Это
означает, что функция р равномерно непрерывна на А' и в силу
компактности А’ ограничена. Таким образом, последовательность
{fn} равномерно ограничена на А'.
6.3.29. Замечание. Теорема Ариела и утверждение 6.3.28 при
соответствующих условиях справедливы и для вектор-функций (до-
казательства не меняются, нужно только по ходу изложения заме-
нить. где требуется, модуль на норму).
382
Глава VI
6.3.30. Утверждение. Пусть {/„} - равностепенно непрерыв-
ная последовательность вектор-фуакций, определенных на компакте
К, и пусть эта последовательность сходится поточечно на К. Тогда
последовательность {/п} сходится равномерно на К.
Доказательство. При сформулированных условиях после-
довательность {fn} поточечно ограничена на К, так что согласно
теореме Арцела она содержит подпоследовательность, сходящуюся
равномерно на К. Кроме того, Vs > 0 3<5 > 0: Vx, у е К:
(Pk(x,y) <<$)=> (\fn(x) - Ыу)\ <{:, п = 1.2,...,
О
(предполагаем, что К С Rfc). Можно утверждать, что существует
конечное семейство {ад;... ;гсг} точек компакта К, такое, что
К С
(см. доказательство теоремы Арцела). Это означает, что Vx € К
Зг0 G Nr: pk(x.xiQ) < 5 (и поэтому \fn(x) - fn(xiQ)\ < j, n = 1,2,...).
Если m,n G N, то Vx G К
- fn(x)\ < \fm(x) - - \fm{xtQ) - /n(^0)| +-
~ |/п(2ч()) — /п(а;)| < ДТ " — /п(^гд)|-
О
Последовательность {fn} сходится поточечно на конечном мно-
жестве {од;...: xr} С К, и поэтому она сходится равномерно на этом
множестве. Согласно критерию Коши равномерной сходимости для
выбранного значения е > 0 ЗАГ G N: Vm.n > N
- fn{Xi)\ < i = l......г.
О
Если т.п > N. то \fm(x,0) - /п(х»0)| < е/3. так что Vx G К
\fm{x)— fn(x)\ < е. Число N G К не зависит от выбора точки х G К.
Значит, последовательность {fn} сходится равномерно на К.
6.3.31. Определение. Пусть f: [a; 6] -> Rfc и х G [а; Ь\. Тогда
конечный предел
lim = фф.) 6
г - х
(если он существует) называется производной вектор-функции f в
точке х.
Функция /. имеющая производную в точке х. называется диф-
ференцируемой в этой точке. Если Е С |а: &]: Е / 0 и f диффе-
ренцируема в каждой точке Е. то говорят, что f дифференцируема
на множестве Е.
383
функции многих вещественных переменных
6.3.32. Утверждение. Вектор-функция f = (Д.....jy) диф-
ференцируема в точке х тогда и только тогда, когда каждая ее ком-
понента дифференцируема в этой точке. При этом f'(x) = (Д(т).
6.3.33. Замечание. Теорема о непрерывности дифференци-
руемой функции остается верной и для вектор-функции: то же от-
носится к теореме о производной суммы и скалярного произведения
двух вектор-функций. Однако, как показано выше, теорема Лагран-
жа и правило Лопигаля. вообще говоря, неверны уже для комплек-
сных функций, когда к = 2.
Теорема о конечных приращениях для вектор-функций
Пусть f : [а: Ь] -Д R*. f непрерывна на [а: Ь] и дифференцируема
на интервале (а. Ь). Тогда 6 (а. Ь): \\f(b) - f(a)\\ (b - Ol-
Доказательство. Положим — /(а)) х f(t). t &
е [а.Ь]. тогда р — вещественная функция, непрерывная на [а.Ь]. По
теореме Лагранжа Д € (а.Ь): р(Ь) — р(а) = р'Д)(Ь — а). При этом
д(Ь) - Да) = (/(&) - /(а))(/(Ь) - /(а)) = ||/(Ь) - /(а)||2
и
/(«) = (fW - №))/'(£)
и поэтому согласно неравенству Коши-Буняковского
||/(Ь) - /(а)||2 = (/(Ь) - /(а)) х /'(Д(Ь - а) -
|(Ж - /(а)) х ДДД - а) < ||(/(Ь) - /(а))|| ||/'(е)||(Ь - а).
6.3.34. Следствие. При условиях теоремы о конечных при-
ращениях
||(Ж-/(а))1К(Ь-а) sup {|1Г(.т)||}.
j-e(o.b)
6.3.35. Определение. Пусть /: Д —> где Д — промежуток
в К (не вырождающийся в точку). Вектор-функция F: Д -»
называется первообразной вектор-функции f на промежутке Д. если
F дифференцируема на Д и V.r 6 Д F'(.t) = - f(x).
6.3.36. Утверждение. Любые две первообразные функции f
па промежутке Д отличаются па аддитивную постоянную с € Rfc.
6.3.37. Утверждение. Вектор-функция f: Д —> IRA. непре-
рывная на промежутке Д. имеет на этом промежутке первообразную.
Действительно, при к =1 эго yi верждение доказано выше. В об-
щем случае для произвольного к оно следует из того, что вектор-
функция F = (Fj....Fk) является первообразной для вектор-функ-
ции f = (/j........Д) на Д тогда и только тогда, когда V.r € Д F'(x’) -=
Д(.г). j = 1/...F
384
Глава VI
6.3.38. Определение. Множество всех первообразных для
вектор-функщш f: А —> Rfc называется неопределенным интегралом
от этой функции и обозначается f f(x) dx.
Если F — одна из таких первообразных, то J f(x) dx = {F + с
| с £ R} (кратко пишут J f(x)dx = F(t) + с). Заметим, что в обо-
значениях, введенных выше, можно утверждать, что
У f(x)dx = (J fi(x)dx^ х ... х fk(x)dx^
(в правой части стоит декартово произведение множеств).
6.3.39. Определение. Пусть f = (Д........Д): [а, Ь] —> Rfc и
пусть а — неубывающая функция на [а.Ь]. Будем писать f £
на [а,Ь], если Д € 7^(а), j = 1,.. ..к. на [а.Ь].
При таких условиях положим
/•6 / pb fib \
/ f(x)dx=t fi(x)dx...../ fk(x)dx £R*.
J a \J a J a J
6.3.40. Утверждение. Если / £ 7?(o) на [a. b] и g e Tl(a) на
[а. Ь], to f т g 6 ТДа) и (cf) € 1Z(a) на [a, 6] (c - const e R), причем
pb fib fib fib fib
/ (f + g)da = / fda+ / gda: / (cf)da = c fda.
J a J a J a J a J a
Кроме того, (f x g) E H(a) на [a.b].
6.3.41. Замечание. Теорема о производной интеграла как
функции верхнего предела интегрирования сохраняет силу и для
вектор-функций. То же относится к формуле Ньютона-Лейбница,
а также к теореме о сведении интеграла Римана-Стилтьеса к интег-
ралу Римана (формулировки не меняются).
6.3.42. Утверждение. Пусть f: [a. b] —> Rfc. f £ 7?(a) на [a, Ь].
Тогда ll/ll £ K(a) на [ab] и
Доказательство. Пусть f = (Д.......Д). тогда
/ к \ 1/2
II/H- £ Л2
х-7 1 /
Так как Д £ К(а) на [а.Ь]. то Д2 £ 7?(а), j — 1..к. на [а.Ь]. и
поэтому ||Д'[ £ 7?-(а) на [а.Ь]. Положим у = (yi.ук). где
Уз= [ fjdn- J .........к-
функции многих вещественных переменных
385
Тогда
Согласно неравенству Коши-Буняковского Vi ё [a, ё]
da.
k
Mimi-
Значит,
и поэтому при у V 6k
6.4. Спрямляемые кривые
6.4.1. Определение. Пусть р: [а. 6] —> R*'. непрерывна на
[о.Ь]. Тогда отображение р называется кривой в Rfc. а множество
у([й.6]) С Rfc называется траекторией (образом) кривой р.
6.4.2. Следствие. Если р — кривая в Rfc, то её траектория —
связное множество (как образ связного множества |а.ё] при непре-
рывном отображении р).
6.4.3. Замечание. Существует кривая р: |0.1] —> ((0.1] х
х [0.1]). траектория которой совпадает с квадратом [0.1] х [0.1]
(кривая Пеано).
6.4.4. Определение. Если р: [я, 6] —> RA' — кривая в R* и
р([я,6]) С А С R* . то говорят, что р — кривая в А.
Достаточное условие связности
Пусть А С R1 и Уэд.эд е .4 3 кривая в .4. траектория которой
содержит точки эд над. Тогда множество А связно.
Доказательство. Пусть эд.эд ё .4. тогда существует кривая
д: |яД] —> А. такая, что эд ё ^([а.Ь]): эд ё Д[я.Ь]). Поскольку
р непрерывна на [а.Ь]. го множество G = Д[а.Ь]) связно, причем
G С .4 и эд. .гд ё G. Согласно критерию связности отсюда следует,
что .4 связно.
6.4.5. Следствие. Всякое выпукдое множество точек прост-
ранства Ra связно.
Действительно, если А - такое множество, то Узд. эд ё A Vo ё
ё [0.1] оэд - (1 — о)дд ё .4. Пусть р(о) = оэд - (1 — о).г2 ё .4. если
386
Глава VI
a е [0.1]. Это означает, что >д: [0,1| —> А; р непрерывна на [0, 1] и
Х|.Х2 € <д([0.1])> т-е- выполнено достаточное условие связности.
6.4.6. Определение. Если <д: [а, > Rfc — кривая в Rfe,
причем 92(a) = <£(&), но ^(Н) 7^ для любой другой пары (fi-^z)
различных точек отрезка [а. 6], то р называется простой замкнутой
кривой.
6.4.7. Замечание. Если р: [а, &] —> Rfc — кривая в RA'. то
р = (y?i pk). причем для Vt 6 |а. b] p(t) = (ад ад), где 2д =
= pi(t)'... .:Xk = V'klt) (эти уравнения называются параметрически-
ми уравнениями кривой р). Здесь рг: |а, 6] —> R и pt, i = 1...., к,
непрерывны на [а.Ь].
6.4.8. Определение. Кривая р: [а, 6] —> Rfc называется спрям-
ляемой. если р — функция ограниченной вариации на |а. Ь]. В этом
случае число V(p;a.b) называется длиной кривой р.
6.4.9. Замечание. При определении полной вариации V(y?;
а, Ь) в случае, когда к 3, модуль заменяется на евклидову норму.
Таким образом
{п
V ||<Дад) - Х^-1)|| > •
г--1 J
где Р = {то;... ;хп} —- произвольное разбиение отрезка [а; &]. Не-
трудно проверить, что аналогично доказанному выше при к = 2
V(p;a.b) < —ос тогда и только тогда, когда П(^г;а,&) < +ос. г =
= 1....к.
Теорема о длине непрерывно дифференцируемой кривой
Пусть р: [a, b] —> Rfr — непрерывно дифференцируемая кривая
в R* (т. е.. если р = (р-у...., р/У), то каждая из функций р^,.... рь
непрерывно дифференцируема на [а. &]/ Тогда кривая р спрямляема
и ее длина равна
/ \ 1/2
/> Ъ СЬ к \
V{p-.a.b)= / !|/(t)||dt - / £(/,(W2 dt
Ja J a \ j—1 /
(при 3T0MVt e [a.6] /(t) = (p[(ty....p'k(ty)).
Доказательство. Пусть P = {.тп:...:— произвольное
разбиение отрезка [a. 6]. тогда
Wr'^Wdt.
функции многих вещественных переменных
387
Переходя к верхней грани по всем разбиениям Р. получаем. что
У(^; а,6)^ [ ||У(£)|| ей < —ос.
J а
и поэтому кривая спрямляема.
Далее, Vs > О Эй > 0: Vs. t € fa. 6]
(I* - f| < *) => (||/W - /ЮН < 2(бЪ))
Пусть Р = {хо‘- • • • ’••£«} и д(Р) < 5. Если t £ [х,-!.!,]. то
Н/ЮН ||/(t) - /(х,)|| - ||/(х,)|| < Ц/ЮЮ1 - 2(^у-
г = 1,.... п.
Значит.
2(Ь-а^Х'
--------Дт,.
2(6-а) 1
так что
—-—Дт,. г = 1.п.
Ъ — а
Отсюда следует, что
П/ЮН^
п
Переходя к пределу при г -> 0 -. получаем неравенство
J а
Следовательно.
V(p:a.b) -- [ \^(P\\dt.
J а
6.4.10. Определение. Кривая [о. 6] —> IR* называется
гладкой, если .р непрерывно дифференцируема на [а. 6] и VI е [а. 6]
||/(t)|l > 0 (т.е. /(П ек -- (0..0)).
388
Глава VI
6.4.11. Пример. Пусть Vf £ [0:2тг] <p(f) = е'4, тогда <р(0) =
— ^(2тг) = 1, однако т(Н) /- Для любой другой пары (fi.t2)
различных точек отрезка [0: 2-тг] (в противном случае cosfi = cos £2 и
sinН = sint2, так что fi—1-2 = 2тгп. где n € Z; поскольку ti,f2 € [0; 2тг]
и fi 7^ f2, то ti = 0; f2 = 2тг или Н = 2тг; f2 = 0, и мы приходим к
противоречию).
Значит. д — простая замкнутая кривая в Rfc. При этом Vf £
€ [0;2тг] ys'(f) = ielf и ||<r'(t)|| = 1< так что ~ гладкая кривая в
Ra. Если дц = cost и т2 = sint, то Vf £ |0:2тг] Т| -г ix2 = е.'1 = ip(t)
и .г2 + а.’2 = 1.
Это означает, что образ ^([0:2тг]) — окружность единичного ра-
диуса с центром в нуле. Длина кривой 9? (т.е. этой окружности)
равна
И(^;0.2тг) = / ||tp'(f)|| dt = / dt = 2тг
Jo Jo
(так что отношение длины окружности к длине ее радиуса равно 2тг).
6.4.12. Пример. Пусть <^(t) = е214. t £ [0,2тг]), тогда —
гладкая замкнутая кривая в Rfe. поскольку ДО) = Д2тг) = 1. Эта
кривая не является простой, так как ДО) = Дтг) = Д2л) = 1. Длина
кривой равна
[ 2dt = 4ir.
Jo
и образ Д [0.2тгj) — окружность единичного радиуса с центром в нуле
(при возрастании параметра t от 0 до 2тг эта окружность пробегается
дважды, и ее длина удваивается).
6.4.13. Пример. Положим Д^ = ехр(2тгг!sin(l/f)), если f €
G (0.2тг]; у?(0) = 1. Образ Д[0.2тг]) является подмножеством мно-
жества всех точек единичной окружности с центром в нуле.
Параметрические уравнения кривой имеют вид:
Ti = cos(27rf sin(l/f)):
гд = sin(27rtsin(l/f)). t £ (0.2тг)
(при t = 0 а?] = 1: ,т2 = 0).
Нетрудно проверить, что V(^:0,2тг) = —эс (т.е. кривая не
является спрямляемой).
6.4.14. Пример. Пусть f - вещественная функция, непре-
рывно дифференцируемая на отрезке [«.&]. и пусть Vf 6 |«. 5] >^(f) =
= ^i(f) -t- i^2(f). где ^i(f) = f; ^2(f) = /(f).
Тогда у? — непрерывно дифференцируемая кривая в R2. образ
которой совпадает с графиком функции / (действительно. Vf £ [а. 6]
функции многих вещественных переменных 389
у ~ t ~ 7УА) — U-/W))- Длина кривой у? равна
W: а. Ь) = [Ь y(^(t))2-(^(f))2^ = Г Vl + WYdt.
J a J а
Это случай кривой, заданной явным уравнением.
6.4.15. Замечание. Если [a. b] —> lRfc - кривая в К*; д:
[с. с?] [а. 6] — непрерывная биекция, причем д(с) = а и g(d) = b.
то. полагая ту = можно утверждать, что ф — кривая в RA'.
Нетрудно доказать также, что и - простая замкнутая спрямляемая
кривая тогда и только тогда, когда то же самое справедливо для
кривой -р и что кривые р и и имеют одну и ту же длину (нужно ис-
пользовать тот факт, что при сформулированных условиях функция
д строго возрастает на отрезке [с. б?|). Это утверждение — свойство
независимости длины кривой от способа параметризации.
6.5. Двойные, частичные и повторные пределы
Пусть k,l е N. тогда Rk х R1 = Rk+l. Заметим, что если
Т1..г2 е RA' и У1.1/2 е то (j-i.i/i) е (т2.у2) е Rfc~; и
^-/(Ai.yJ.^.y/)) -= у/р1\х1.х2) - (обобщенная теорема
Пифагора). Пусть, далее, Е\ С RA: Е2 С R;; Го € RA: уо 6 R;. тогда
г0 = (то.уо) € R/A Несложно проверить, что если £еЬ|ХЕ2с
С RA'~1 и го — предельная точка Е. то либо xq — предельная точка
Ei. либо уо -- предельная точка Е2. Обратно, если т0 — предельная
точка Ei и уо — предельная точка £2. то zq = (ад-Уо) — предельная
точка Е = Ei х Е2.
6.5.1. Пример. Если Ei = {до} — одноточечное множество:
.1’0 € RA' и уо € R; — предельная точка множества Е2 С®', то. пола-
гая Е = Ei х Ео. можно утверждать, что zy = (ту. уу) ' предельная
точка Е. хотя .г у не является предельной точкой Ei.
Далее считаем, что .г у € RA — предельная точка Ei С RA:
Уо € RA - - предельная точка £2 С R1 (так что гу ---- (дц.уо) — пре-
дельная точка Е - Ei х Еф).
Пусть /: Е -х R"’; Е - Ei х £2. Положим V.r £ £j г"х(у) =
т= f(x.y). у е Е2. тогда p.r: E? —> R'"- Аналогично. Vy 6 £2 поло-
жим с\(.г) = f(.r.y). х G Ei. тогда cu: £1 Rm.
6.5.2. Определение. Пусть .г t £;: у € £2 и z = (.г. у) 6 Е =
= £] х £2. Тогда предел
liin/(i’.y)= lim f(x.y)
~ Щ Ф-у^Ф0-у0
(если он существует) называется двойным пределом функции f.
390
Глава VI
6.5.3. Определение. Пусть у € Е2 (у — фиксировано). Тогда
предел
lim /(т.у) = lim -фу(х')
(если он существует) называется частичным пределом функции f
при х —> то; х € Е1- При фиксированном х Е Е\ предел
lim f(x,y) = lim ^(у)
у у «(j
!/€^2 УеЕ2
(если он существует) называется частичным пределом функции f
при у -> у0; у Е Е2.
6.5.4. Замечание. Вообще говоря, значение частичного пре-
дела зависит от выбора переменного, не затронутого предельным
переходом (такое переменное называется свободным переменным).
Предположим, что оба частичных предела существуют и конеч-
ны при всех значениях свободных переменных. В этом случае они
представляют собой функции с областями определения Е2 и Е\ со-
ответственно, принимающие значения в Rm. В рассматриваемой
ситуации можно сформулировать следующее определение.
6.5.5. Определение. Пределы
lim ( lim fix. у)) и lim ( lim fix. у))
теЕ-у а-бЕД yeEy
(если они существуют) называются повторными пределами функ-
ции f.
6.5.6. Определение. Пусть Vy € Е2
lim vy(x) = lim f(x.y) = д(у) е Rm.
X'GjEj x 6 Ь |
В этом случае говорят, что семейство функций {иу | у Е Е2} сходит-
ся при х —> то: х € Е} поточечно на Е2 к функции д. Говорят также,
что это семейство сходится при х —> х0: х € Ei равномерно на Е2
(или равномерно относительно у 6 Е2) к функции д. если
Hm sup {рт(/(т.у).у(у))} = 0.
Аналогично, пусть Vx € Е\
Нт ^(у) = Дт /(х.у) = й(х) е Rm.
При таких условиях говорят, что семейство функций {д.г | х Е £1}
сходится при у —> у0: у € Е2 поточечно на Е\ к функции h. Если же
lim sup {pm(f(x. у). h(x))} = 0.
»'=е2
функции многих вещественных переменных 391
то говорят, что это семейство сходится при у —-> у0-. у £ Е2 равномер-
но на E’i (или равномерно относительно х € ЕС) к функции h.
При сформулированных условиях можно утверждать, что д:
Е2 -> Rm и h: 'еа -> Rm.
Критерий Коши равномерной сходимости семейства
функций
Для того чтобы семейство функций {рх ] х 6 ЕД сходилось при
у Уо-' У € Е'2 равномерно на Е\. необходимо и достаточно, чтобы
Vc > 0 35 > 0: Чу'.у" £ Е2- (0 < я(у'.уо) < 6:
0 < pi(y".yo) < 5') =Ф | sup {pm(px(y'). Дт(у"))} < -‘ •
ДбЕ; J
Доказательство. Пусть выполнено условие критерия Коши.
II пусть уп е Еу. уп А у0. п ~ 1.2.... и
Нт Уп = уо-
п.—>эс
Для выбранного значения 6 > 0 Зп0 £ X: Vn А тщ Pi(yn-yo) < $
Если т.п Э по- то
SUp {Pm (р.г (Ут)- р.г (.Уп )) } < -•
Это означает, что Va? £ Е] последовательность {-дДуД}- п =- 1.2.
является фундаментальной. Значит. Va- £ Ej
3 lim р.АУп) = h(.r) t R"1
n—>эс
(в частности, h: Ei -э R"!). По сказанному выше (в разделе о функ-
циональных последовательностях и рядах) функция h не зависит
от выбора последовательности {у,,}, удовлетворяющей сформулиро-
ванным условиям. Согласно критерию Коши равномерной сходи-
мости функциональной последовательности можно утверждать, что
последовательность {рл-(Уп)} сходится при // —> эс равномерно от-
носительно х £ Е]. т.е.
lim sup {РпЛр.АУпбФ-Е})} = U-
Используя теорему об эквивалентности двух определений предела,
получаем, что
lim sup {р,-n(.f(-r-,у}-Л(т))} - 0.
"ПФ .rCEj
г. е. что семейство функций {д.с j т £ ЕД сходится при у —> уо:
У £ Е2 равномерно на Е2 к функции Л.
392
Глава VI
Обратно, пусть выполнено это условие, тогда Vs > 0 25 > 0:
Vy е Е2:
(0 < pi(y,yo) <<*)=> sup {рт(фх(у),Ь(хУ)} < I ) •
V€£i 2 J
Если у', у" е Е2, причем 0 < pi(y'. у0) < 5 и 0 < pi(y", у0) < S, то
sup {рт(гРх(у'),Рг(у"У)} sup {pm(‘px(y').h{x'))} +
xG.E±
+ sup {A(x),pm(^x(j/"))} < I + = £.
Z6£q 2 2
6.5.7. Замечание. Аналогичное утверждение критерия Коши
справедливо и в случае, когда рассматривается семейство функций
{фу | у € Е2}. При соответствующих условиях справедлив необхо-
димый и достаточный признак равномерной при х —> од; х 6 Ei схо-
димости на множестве Е2 этого семейства к функции д: Е2 —> В”1.
Теорема Мура-Осгуда о двойных и повторных пределах
Пусть Е\ С Rfc; Е2 С R;; х0 G Rfc — предельная точка Ei;
у о € RZ — предельная точка Е2; Е = Е\ х Е2 С RA+i; f: Е —> Rm.
Тогда:
а) если существует двойной предел
lim f(x,y)
(x.p)-+(jQ.y0)
и Vx G Ei существует частичный предел
уеЕ2
то существует и повторный предел
lim I lim f(x. w)
X->XQ I I
xefc’i yygK2 /
который равен двойному;
б) если Vx е Ei существует частичный предел
}nnof(x.yY
УеЕ2
Vy е Е2 существует частичный предел
тИт /(т.у). х0 Е}. уо Е2.
причем хотя бы в одном из этих двух случаев сходимость равномерна
(относительно х G Ei или у £ Е2 соответственно), то существует как
двойной предел, так и оба повторных, причем все три предела равны.
Функции многих вещественных переменных
393
Доказательство.
а) Так как
3 lim f(x.y) = А G Rm.
(х.у)-»(х0.у0)
хеЬД; уеЕ2
то Ve > О > 0: \/х е Ei Vy е Е2:
^(х,у) /- (х0,у0) и pfc+J((x,y),(x0.y0)) =
= ^.(x.xq) +р(2(у,у0) < => (рт(/(х.у),Д) < £)•
Пусть х € Ei, х ± х0 и р^х.Хо) < 6. Тогда Vy 6 Е2 из не
равенства
Р^У-Уо) < \Л2 -р2(х,х0)
следует, что pm(f(x.y). Д) < е. Переходя в последнем неравенстве к
пределу при у уо'- У € Е2, получаем, что
Дт pm(,f^- у), Д) = Pm I Дт Ж у). Д I С е
уеЕ2 \уеЕ2
Значит,
Д%Жг/М
zeEy \уеЕ2
п поэтому
Дт f(x.y).A
т. е.
lim
x-*zn
Дт /(-г.у)
У=е2
б) Пусть, для определенности. Vy € Е2
3 Дт f(x.y) = д(у) и 3 Дт Да-, у) = Л(х)
xelTj У^Е2
равномерно относительно хе Ei- Тогда Vc > 0 3d > 0: Vy £ Е2:
(0 < Р/(У-Уо) <<>')=>( sup {рт(/(х.у).Л(х))} < | .
\-reF] °/
394
Глава VI
Выберем у* £ Е2 так. чтобы 0 < р/(у*.уо) < <$ и зафиксируем
у*. Пусть у е Е'2 и 0 < р/(у.уо) < д. тогда
sup {pm(f(x.y).f(x,y*})} sup {pm(/(j?.y)./i(a?))} +
x(EE\
+ sup {p,n(h(x).tf(x.y*))} =
J.-6EJ О О a
Кроме того. Vs > 0 35, > 0: P'r £ Ep
(0 < pk(x.x0) < 5i) => (pm(/(i.jT)-5(!/*)) < j) •
и поэтому, если .г..г' £ £\ и 0 < рДт.-Го) < ф; 0 < рк(х'.Хо) < 51- то
pm(f(x,y*\f(x'.y*)) < pm(/(x.y*),g(y*)) - <
£ € £
< 6 + 6 = 3’
Положим do = min{<5.<5]} > 0. и пусть х.х’ £ Ер. 0 < рдфг.то) <
< 50: 0 < ра(.г',.го) < 50. Пусть, далее, у.у' £ Е2. причем 0 <
< Рг(У-Уо) < 50: 0 < р^у'.уо) < 50. Тогда
Prn(f(x'. у'). f(x. у)) P,n(f(x. у'). f(x'. у*)) - p,n(f(x'. y*).f(x. у*)) -
Pm(f(x.y*)-f(x.y)) <|“г^~|<£-
Полагая z = (х.у) £ Е - х Ex. z' = (х'.у'') £ Е = Е\ х Е2.
2о = (,2’о:уо). видим, что из условий еу Ер. уо Е2 следует, что
Vs > 0 Зй0 > 0: Vz.z' € Е-
(0 < pfrl./(z.z0) < 50: 0 < pk.i(z'.z0) < 50) => (p„,(/(z)./(z')) < s).
Согласно критерию Коши это означает, что
3 lim f(z) = lim /(.г. ?/).
,геЛр.уеЬ2
Далее следует использовать утверждение пункта а).
6.5.8. Пример. Пусть к = т = I = 1: Еу = Е2 - R: Е = 1R2
п пусть
. fl. если ху = 0:
Ж^ = (о. если .гу = 0.
Положим то уо = 0. тогда
. f 0. если у = 0:
lim fix. у) = q {у) = < л
^-^о [1- если у 4 0.
'^г1
Кроме того.
lim f(x.y) = h(yE) = / е<?ЛИ , 2'
1 1. если т / 0.
Функции многих вещественных переменных
395
Если х 0, то
sup{|/(x.y) -д(у}\} = 0,
и поэтому
Hm sup {|/(х, у) - у(у)|} = 0.
^2
Аналогично, если у 0. то
sup {\f(x.y) - Л(х)|} = 0,
х^Е^
так что
lim sup {\f(x. у) - h(x)\} = 0.
v "о X&E}
v^bi
Таким образом, сходимость равномерна в обоих случаях (на
множествах Е2 11 Ei соответственно), хотя двойной предел
lim /(х.у) = lim /(х.у)
(х.у)—>(xq,j/q) (х.«)-»((),0)
xeEj: yeE^ xeR; jeR
не существует, поскольку, например, /(0.0) = 0. и если ху ф 0. т. е.
X2 + у2 > 0, то f(x.y) = 1 (точки (х, у), для которых X2 + у2 > 0,
можно выбрать сколь угодно близко от точки (0.0)).
В этом примере условия пункта б) теоремы Мура-Осгуда вы-
полняются, за исключением условия .т0 Ер. у0 Е2- Значит, по-
следнее условие в пункте б) этой теоремы существенно.
6.6. Линейные операторы
6.6.1. Определение. Пусть X. Y — векторные пространства
над одним и тем же полем. Тогда всякое линейное отображение X
в Y называется линейным оператором на X.
6.6.2. Определение. Линейный оператор на X называется
обратимым, если он инъективен и отображает X на X.
6.6.3. Замечание. Пусть А — обратимый линейный оператор
на А'. Положим Vx € А'А-1(.4х) = х. тогда .4(А-1х) = х и А 1 —
обратимый линейный оператор на X (мы пишем Ах вместо Л(х)).
6.6.4. Утверждение. Пусть А: X —> X — линейный оператор
на конечномерном векторном пространстве X. Тогда А инъективен
в том и только в том случае, когда он сюръективен, т. е. А(А’) = X.
Это утверждение обычно доказывается в курсе алгебры.
6.6.5. Определение. Пусть L(X. У) — множество всех ли-
нейных отображений векторного пространства X в векторное прост-
ранство У. Если, в частности. А’ = У. то будем писать L(X. У) =
= L(X). Если Ai. А? е L(X. У), где Х.У — векторные пространства
396
Глава VI
над полем R (или над полем <С). и Ci. с2 — const G R (соответственно.
С1.С2 = const е С), то положим Vx € А'
(CjAi — C2A2)(.r) = С1А1Х С2А2Х.
При этом С1А1 — С2А2 Е L(X.Y). Если X. У. Z — векторные прост-
ранства над одним тем же полем и A G L(X. У): В G Е(У, Z). то
положим Vx Е X (ВА)(х) = В(А(х)), тогда В А Е LAX.Z).
Заметим, что. вообще говоря, АВ ВА даже в том случае,
когда А’ = У = Z.
6.6.6. Определение. Пусть А € £(Rn.R”1). Тогда число
НИ = sup {||М1}
zeR”:||x||^l
называется нормой линейного оператора А.
6.6.7. Замечание. Всегда ИИ 0 и ||А|| < т-эс (это нера-
венство будет доказано ниже).
6.6.8. Утверждение. Если А € L(R".R"’). то Vx G R'1
ИМ ||А|| ||<
Доказательство. Если .г = О,, = (0......0) е R'!. то ||Ат|| =
= |ЦМ = НМ = О (здесь 9,п = (0.......0) е Rm).
Пусть х --/= 9п, тогда ||z/||x|||| = 1. и поэтому согласно опреде-
лению 6.6.6
Ах |
И I
им
1И
CII4
6.6.9. Утверждение. Если А - const Е R и Vx G R" ||.4х|| С
А||.т||. то ЦАЦ < А.
Доказательство. Имеем А>0и
||А|| = sup {ЦММ sup {А|И1} = А sup {||.т||} = А.
zeRn:||z||^l zeR":||x||^l
6.6.10. Следствие. Если .4 G L(R".R"'). то
НН = sup {||М}
zeR'MMl 1
6.6.11. Утверждение. Пусть .1 G Z(R''.R'”). Тогда |Ц|| <
< — эс и .4 - равномерно непрерывное отображение R'1 в R"'. Если,
кроме того. В Е L(R".’Rr") ис = const е R. то Ц.4- В\\ ||А||
||сА|| -= |с| ||.4|1. Если р(А. В) = ||А —ВЦ- то функция р удовлетворяет
аксиомам метрики (рефлексивность, симметричность, неравенство
треугольника). Если, наконец. С € £(R'".RA'). то ||С.4|| ||С|| И!!-
Доказательство. Пусть Ci = (1.0.....0) е R”: е2 s (0.1.
... .0) £ R”; ...; е„ = (0.0.1) G R". тогда {ер ... :е„} - базис
векторного пространства R" (этот базис называется стандартным
Функции многих вещественных переменных
397
базисом).
Пусть, далее.
п
х = £xiei = •'Л+) G R'! И ||х|| < 1,
1=1
тогда
1|Ах||
п
^£ы п>м
j=i
Значит,
/ \ 1/2
/ п \
МЦ< £ ЦЛе.Ц2 <+00.
\j=i 7
Если х,у е R", то ||Ах - Ау\\ = ||А(х - у)|| ЦЛЦЦх - у\\ < е,
е = const > 0, если рп(х.у) = Цх — у\\ < е/||Л|| (при условии, что
||Л|| > 0, а если ЦЛЦ = 0, то Vx £ R" Ах = вп £ Rn). Таким образом,
отображение Л: R." —> Rm равномерно непрерывно на R".
Далее, если В £ L(Rn.Rm). то Vx £ R” ||(Л - В)х\\ = || Ах +
+ Вх\\ ЦЛх|| + \\Вх\\ ЦЛЦ ЦхЦ - ЦВЦ ЦхЦ = (ЦЛЦ + ЦВЦ) ЦхЦ
||Л|| —1|S||. если ЦхЦ 1. Следовательно, ||Л+В|| ||Л|| + ||В||. Так
как Vx £ Rn Ц(сЛ)х|| = |с| ||Лх|| и |с| > 0. то согласно определению
нормы оператора Л ЦсЛЦ = |с| ЦЛЦ, с = const £ R.
Если р(А. В) = || Л — ВЦ то согласно уже установленным свойст-
вам нормы р(А. В) = || Л — В|| = 0 тогда и только тогда, когда А—В —
нулевой оператор, т.е. Vx € Rn (А — В)х = вт £ R™. Это означает,
что Лх = Вх, т.е. Л = В. Если еще D g L(R'l,Rm), то р(А. D) =
= IIЛ - ВЦ = II(Л - В) + (В - В)|| < ЦЛ - ВЦ - ЦВ - D\\ = р(Л. В) -
— р(В, D). и мы получили неравенство треугольника для метрики р.
Пусть С £ £(Rm.RA). тогда С А £ L(R”,RA?). поскольку ком-
позиция линейных отображений является линейным отображением.
Если х £ RT то ||(СЛ)х|| = ||С(Лх)Ц ЦСЦ ||Лх|| ЦСЦ ЦЛЦ ЦхЦ. и
поэтому ЦСЛЦ ЦСЦ ЦЛЦ.
6.6.12. Замечание. Из доказанного утверждения следует, что
на пространство L(Rn.R'“) можно перенести такие понятия, как
окрестность, открытое и замкнутое множество, предельная точка
и т. д. Кратко можно сказать, что £(R".Rm) — метрическое прост-
ранство с метрикой р (в общем случае метрические пространства
изучаются в курсе функционального анализа).
398
Глава VI
Пусть {в]:...: е„ } и {e'f ...: е'т} — стандартные базисы в прост-
ранствах R” и Rm. и пусть A G £(R'‘.R"'). тогда существуют ве-
щественные числа aiy. i = j = 1....п. такие, что
т
Aej = У7о,7-е'. j = 1....п.
г—1
Эти числа по заданному линейному оператору А определяются од-
нозначно (и обратно, такие числа однозначно определяют линейный
оператор А. для которого выполнены выписанные выше равенства).
Пусть [А) = — матрица линейного оператора А (в
стандартных базисах). В этой матрице имеется т строк и п столб-
цов.
6.6.13. Утверждение. Если A € £(R'’.Rn'). то
1/2
п.
Доказательство. Пусть х = xjej € Rn, тогда
j-i
п п т т/п \
Ах = 52 xJAej= 52 xj 52a^e' = 52 52 a^x> е'*
j = l j=l г=1 г=1 1 /
так что
(\ 2 / \ /
Г1 \ 77? / п п \ т / п
52a^j < 52 52 52xj = in2 52 52al
J = 1 / i -1 \J-1 j 1 / i-1 \j=l
Согласно определению нормы оператора А это означает, что
/ \
/ т п \
мл« ЕЕ»И
\' 1J-1 /
6.6.14. Утверждение. Если A G L(R".Rm). го
Доказательство. Имеем ||Ае7|| ||А|| ||с_,|| - ||А||. j 1.
....л. так что
||А|| ||Ас/
п.
функции многих вещественных переменных
399
6.6.15. Следствие. При n = 1
/ m \ V2
МИ= £<£
\г-=1 /
(в этом случае матрица [Л] есть вектор-столбец).
6.6.16. Следствие. Пусть А € £(R",RTn) и Ar е L(Rn,Rm)
и пусть
[А] = (av)i^i<m и [Ar] = (aA)iClCm, г = 1,2,...
(в стандартных базисах). Тогда
lim р(Аг, А) = О
Г—>0С
в том и только в том случае, когда
lim а$ = a,,, г = 1,... , m; j = 1...n.
Г—>OC
Доказательство. Имеем
[^4r .4] — (®27 , Г = 1,2, . . »
и
/ \ 1/2
/ m n \
IIAr - A|| £ £(a? ~ M2
\i=l j-1 J
так что. если
(г)
lima,,- =о7,, г = 1......m; j - 1...., n.
r^-oo lJ J J
to || AT — A|| —> 0 при r —> oo, t. e.
lim p(Ar. A) = 0.
Обратно, если выполнено последнее равенство, то из неравенств
/ m \ V2
Иг - AI > I £(«5' -«о)2I ..................п-
\t=. 1 /
следует, что
lim с№ = а,,, г = 1......m: j = 1....п.
Г ACXD J
6.6.17. Утверждение. Метрическое пространство L(R".Rm)
с метрикой р является полным (т. е. всякая фундаментальная по мет-
рике р последовательность точек этого пространства является схо-
дящейся по этой метрике к некоторой точке того же пространства).
Доказательство. Пусть Ar G L(R".Rm). г = 1.2...., и
{А,.} — фундаментальная по метрике р последовательность, т.е.
400
Глава VI
Ve > 0 Зго € N: Vr'.r" го р(Аг>.Аг") < £. Пусть, далее, i £
и j £ N„ (г. J фиксированны), тогда
р(Лн.Л-) = ||Ад-Аг»||^|аУ)-<Г")1-
так что |<А ’ — а\'- < г. если г', г” га. Это означает, что вещест-
1 LJ LJ 1
венная последовательность г — 1-2........ является фундамен-
тальной. Значит,
3 lim = а„ € R. г = 1.......т: j = 1....п.
Если [А] = то А € L(R".Rm) и согласно следст-
ВИЮ 6.6.16
lim р(Аг, А) = 0.
т.е. последовательность {А,.} точек пространства £(Rn.Rm) сходит-
ся по метрике р к точке А этого пространства.
6.6.18. Утверждение. Пусть а, у. Rfc —> R. и пусть все функ-
ции а,3 непрерывны на Rfe. i = 1.m: j = 1..п. Пусть, да-
лее. Vt е Ra [A.r] = (аг;(т)) i^,^m . так что A.r £ £(R".Rm). Если
и(т) = Aj.. х g Ra. то С: Ra —> £(R”.Rm) и у - непрерывная
функция на Rk'.
Доказательство. Пусть т0 € RA и т £ RA. тогда
при х —> .tq. Это означает, что функция и непрерывна в любой точке
.То £ Rfr. и поэтому непрерывна на R* .
6.6.19. Утверждение. Линейный оператор А £ L(R”) обра-
тим тогда и только тогда, когда dct[A] /- 0.
Это утверждение известно из курса алгебры.
6.6.20. Замечание. Вообще говоря, матрица |А] линейного
оператора А £ E(R'!.R"1) зависит от выбора базисов в пространст-
вах R'1 п R”'. В частости, это верно и при n = гп. Однако, если
А £ Z(R"). то det|AJ не зависит от выбора базиса в R". Это утверж-
дение также обычно доказывается в курсе алгебры.
6.6.21. Утверждение. Пусть Q — множество всех обратимых
линейных операторов на R”. Если А £ О: В £ L(R") и |1В - А|| <
< (||А-1 II)-1. ти В ё Q. Кроме того. О открыто в Z(R") и ото-
бражение А —> А-1 непрерывно на Q ("это отображение биективно
отображает Q на £1 и является обратным к самому себе).
Функции многих вещественных переменных
401
Доказательство. Пусть а 6 R и ||В - А|| < а < (||А_1||)-1.
Тогда Va: е JR" ||;г|| = ||А-1(А;г)|| ||А~ЧЩА^Ц V (1/а)||Аж||. и по-
этому, если \\В - А|| = 3 < а. то (а - 0)|Д|) || Агс|| - /3|Д|| sj
< 11^11 - 11(5 - так как ||(В - А)х|| \\В - А|||Д|| = 3\\х\\.
С другой стороны, ||Ах|| - \\Вх + (А - В)х|| \\Вх\\ -г ||(А - В)Д| =
= ||Вт|| — || (В — А)х||, так что || Аж|| — || (В — А)ж|| < ||5гг||. Следова-
тельно, (а — /3)||а;|| < ||Вгг||(щ € R'1). Если ещё у € R" и х у, то
\\Вх - Ву\\ = \\В(х - у))| > (а - &)\\х - у\\ > 0, т.е. Вх / By.
Значит, оператор В ннъектнвен. Так как он определен на конеч-
номерном векторном пространстве Rn, то он биективен, т.е. В 6 £2.
Итак, если р(А, В) = ||А — ВЦ < (||А_1||)-1, то В е £2. Это означает,
что £2 открыто в L(Rfl).
Если у е Rn, то (а - 3)||5~1у|| < ||В(В^1у)|| = ЦуЦ, или
Ц5~1у|| (о - #)-11Ы1> откуда следует, что ||В-1|| (а - /З)-1.
Поскольку В-1 — А-1 = В-1 (А — В)А“1, то
ЦВ-1 - А-11| ||В-1 II || А - ВЦ 11 А-1 II
а(а — р)
Таким образом, если р(А, В) = ||В - А|| = 8 -> 0, то pfB1. А-1) =
= ||В-1 - А~11| -> 0 (здесь а > 0 фиксировано).
Если положить <ДА) = A-1, A G О. то
jim ^(В) = ^(А)
в смысле сходимости по метрике пространства L(Rn).
Значит, отображение ф: £1 —> £2 непрерывно на £2, причем ф =
= ^-1. так как (А-1)-1 = А. А Е £2.
6.7. Дифференцируемые отображения
6.7.1. Определение. Пусть Е открыто в R”: .г g Е; f: Е —>
—> Rm. Если существует линейный оператор А Е £(R".Rm). та-
кой. что
lim №М0- /(,)-.м _ 0
h^en ||h I
то говорят, что отображение f дифференцируемо в точке х. и пишут
/'(т) = А. Если Bq С В: Во 0 и / дифференцируемо в каждой
точке х Е Во, то говорят, что f дифференцируемо на множестве Bq.
6.7.2. Замечание. Так как В открыто в Rr! и х Е Е. то х h Е
Е Е, если норма ||/г|| достаточно мала (действительно. pri(x. х — h) =
= ||^||). При таких значениях h Е R” функция / определена в точке
x~h. причем f(x-rh) Е Rm: Ah Е Rm. В случае, когда п — 1. новое
определение производной f'(x) эквивалентно старому определению,
402
Глава VI
согласно которому /'(гг) — у G JR"’. если
/(х - Л) - /(т) — yh.
11111 — ------—:--- — “m*
л-»»,, h
heJR."
При этом всякому вектору у £ Rm можно взаимно однозначно по-
ставить в соответствие линейный оператор Ау £ L(R_. Rm). такой,
что Vh е R Av(h) - hy. При этом [Ау] = у (у понимается как
вектор-столбец). Обратно, если А £ Z(R, R”1). то А = Ау. если
у = A(l) е R"'. Кроме того, ||AV|| = ||у||, поскольку
||Ау|| = sup {ИМИ = 1Ы1-
ЛеК: |ft|sgi
6.7.3. Замечание. Если f дифференцируемо на Е. то Vx £ Е
/'(х) = Ах £ L(Rn,Rm). так что Vh £ R" f'(x)h = Axh £ Rm. Зна-
чит, при таких условиях определено отображение/': Е —> L(R". R'").
Это отображение называется полной производной отображения / на
множестве Е.
6.7.4. Замечание. Предельное соотношение, фигурирующее
в определении дифференцируемой функции, можно представить в
эквивалентном виде:
/(х - Л) = /(х) - f'(r)h -г г(Л).
(т.е. при h -> 9п: h £ R" /(х — J?) - /(х) = f'(x)h - о(||/1.||)).
При условии, что /'(х) — ненулевой оператор, это означает, что
при фиксированном х € Е и малых по норме значениях h справед-
ливо приближенное равенство /(х — Л) — f(x) ~ f'(x)h (с точностью
до бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ||Л||)-
6.7.5. Определение. Если отображение / дифференцируемо
в точке х. то положим V/i € R" df(h) = f'(x)h и назовем так опреде-
ленную линейную функцию аргумента Л дифференциалом отобра-
жения / в точке х (первого порядка).
Согласно замечанию 6.7.4 дифференциал есть главная линейная
часть приращения функции.
6.7.6. Утверждение. Ес.ш /'(.г) = .41 и f'(x) = .42. где
Ai..42 £ L(R".Rm). то .41 = .42.
Доказательство. Пусть В = .4] — .42 g Z,(R'!.R'f!). Если
h £ R” и норма (‘/ill достаточно мала, то
IB/4 = \\АХН-А2]ГЛ = ,|(/(т- . h)-/M-A2/i)-(/(z .-А)-/(Т’)-
-.4^)11 ||(/(з- .
Функции многих вещественных переменных
403
Поэтому
Пусть Ло е Rn; Ло дп\ ho фиксировано, тогда, полагая Л = tho,
t 6 R, имеем ||Л|| = |t| ||Ло|| 0 при t —> 0. так что по теореме о
пределе сложной функции
При t 0
Значит, ||ВЛо|| = 0, т.е. Bho = 0m. Кроме того, Ввп = 0т и поэтому
В — нулевой оператор. Это означает, что Л1 = До.
6.7.7. Замечание. Если f € L(Rn.Rm), то Ух € R" f'(x) = f,
так что
f' = {(x.f)\xenn} = Rn x{f}.
Действительно, в этом случае Уд 6 R'1 УЛ € R'1
h) — /(х) = f'(x)h.
6.7.8. Утверждение. Если отображение f дифференцируемо
в точке х, то оно непрерывно в этой точке.
Доказательство. При Л —> Qn\ Л е R" f(x + Л) — /(д) =
= f'(x)h + г(Л) и
||/(г - Л) - /(д)|| = \\f'(x)h + г(Л) || С ||/'(х)||||Л|| -г ||г(Л)|| 0.
lim f(x Л) = /(д).
h-^On
heRn
Обратное утверждение, как известно, неверно даже в случае m =
— п = 1.
6.7.9. Утверждение. Пусть отображения /ид дифферен-
цируемы в точке х. Тогда f - g дифференцируемо в точке х и
(f — = f'(x) д'(х). Если, кроме того, с = const е R. то
отображение cf дифференцируемо в точке х и
(с/)'(х) = cf(x).
Справедливость этого утверждения следует непосредственно из
определения дифференцируемого отображения.
404
Глава VI
6.7.10. Замечание. Если при условиях определения дпффе-
/ А \
ренцируемой функции f = ... I. то все функции Д.fnl диф-
\f„J
ференцируемы в точке т и обратно. При этом
/ 1/»1 \
l./A ./•) | = ... •
Теорема о производной композиции дифференцируемых
отображений
Пусть Е открыто в R": /: Е —> R"’: / — дифференцируемо в
точке Xq £ Е. и пусть G открыто в Rm; f(E) С G: g: G —> RA и g
дифференцируемо в точке /(.z'o). Если F = gif')- то F дифференци-
руемо в точке х0 и F'(.r0) = Ж/ЯоШ'Яо)-
Доказательство. Поскольку /'(то) 6 L(IR".Rm): g'(f(xo)) 6
£ Z(Rm.Rfr). то
5'(/(x0))//(x0)GZ(R''.R/r).
Пусть Уо = /(до) G /(£): А = f'(x0): В = д'(у0)- Нужно до-
казать. что
3F'(z0) ВА.
Если х у Е: у У G. то положим
ц(х) = f(x) - /(.То) - А(х - То):
Ф) = Ф) - </(Уо) - В(у ~ Уо):
г(т) = F(.r) - F(t0) - ВАф: - т0).
По условию
Требуется доказать, что
Нетрудно проверить, что V.c 6 Е г(х) - r(f(x)) — Bu(x). Имеем
далее: W > 0 ЕН > 0 Эд > 0: ||г(г/)|| < ф\у - у0Ф если \\у - уо!1 < >] и
ZU) -/(o’o)ll sS 'У IM-Ad г||т-т0||. если т-.г()|| < д.
Значит, при условии ||.г — л‘о|| < 0
Н/(Я)|| г||/(Я -/(-i’o)ll = г||и(т)-Д(т-а-о)||
^е2||.Г-Т0||-£||Л||||т-Т0||:
|Вф-)|| < \\В\\ ||и(т)1КД|В|| Hz-Toll.
Функции многих вещественных переменных
405
Поэтому, если 0
д, то
^£2+е(ИЫ1ВЮ.
поскольку
НФ)11 М/(*))11 + 1|Вф>
Это означает, что
и» JfcWL.o.
||z - аг0|
хе Е
6.7.11. Следствие. При условиях теоремы
\F'(xa)] = [g'(f(x0))] [f'(x0)].
- __ _ >
fcxn kxm rrixn
6.7.12. Следствие. При тех же условиях \/h е Rn dF(h) =
— д'(f (xo))df (h) (свойство инвариантности формы дифференциала
первого порядка).
Действительно, если h € Rn, то
dF(h) = F'(x0)h = g'(f(x0))f'(x0)h = g'(f(x0))df(h).
6.7.13. Пример. Пусть
.т3
х2 -+
О,
f(x,y) =
.2 '
если г2 i у2 > 0;
если х = у = 0.
Тогда /: R2 —> R, так что п = 2 и m = 1. Функция f непрерывна
всюду на R2, включая точку (0. 0). Действительно.
lim fix. у) = 0,
(т.у)^(О.О)'
поскольку при условии х2 л- у2 >0 \f(x.y)\ |а?| —> 0 при х —> 0.
Однако функция f не дифференцируема в точке (0, 0), так как в
противном случае при (г. у) —> (0.0)
fix-y) -/(0.0) = (an.fli2) х (х.у) o(v/x2 - у2) =
= оцг -
где /'(0,0) = А и [Л] = («л-п 1г)- Если, в частности, х = 0 и у ф- 0. то
при у -Д 0 arty - о(\у\) = flO.y) = 0. т.е. а12 -о(|у|/у) = 0, и так как
°(11/|/у) —> 0 при у —> 0. то Ц]2 = 0. Аналогично, если т/0и у = 0.
то f(x. 0) - х = aux -+ о(|Д) при х —> 0. так что 1 =-- «и - о(1ДД’)
и поэтому а и - 1- Итак, при (х.у) —> (0.0)
2ХЛ 2 = х о(у/г2^у2).
xz л у£
406
Глава VI
При х = у —> 0 получаем, что яг/2 = х — о(|х|). т.е. х/2 = о(|.т|). или
1/2 = о(1) — противоречие.
Значит f не дифференцируема в точке (0, 0).
Нетрудно, однако, проверить, что если р: [0.1] —> R2 — диффе-
ренцируемая на [0.1] кривая в R2 и д = то д дифференцируема
на [0.1].
(fА
Пусть Е открыто в Rn: f:E—> Rm. и пусть f — I ... I . Пусть,
\ /
далее, {ei:...;e„} — стандартный базис пространства R'1. Положим
J teR
x 6 E: 1 C i m: 1 j < n
(если этот предел существует и конечен).
6.7.14. Определение. Функция Djf,. для которой
J /eR
называется частной производной функции /, по переменному х}.
6.7.15. Замечание. При фиксированном х € Е число
Djf,(x) — значение частной производной Гфф в точке х. Поскольку
Л(я) = Л(^1...хп). г = 1...тп. где х = £) п-щ. то
А- 1
X^teJ = YAkek = (Xj..2-j-l-^j -+ t.Xj-i.Xn)
к/J
и поэтому I)jf,(x) — это производная функции /, по переменной х}
в точке х при фиксированных значениях остальных переменных.
6.7.16. Замечание. Если отображение f дифференцируемо в
п
точке х = •’’а-Ра-- то по определению полной производной VA 6 Rf!
А —1
п.» = /V)'.-
/ -Г) f J '
Полагая Л = е} и вычисляя i-ю компоненту в этом равенстве (слева
и справа соответственно), получаем следующее утверждение.
6.7.17. Утверждение. Если отображение f дифференциру-
емо в точке х = •’’а-Pa-- то все частные производные Djf,(x) =
_ 9f, .
= 1 ” 1....m: J 1....11 • в точке x существуют: при этом
Djfi(x) " >-я компонента вектора f'(x)ej.
Функции многих вещественных переменных
407
6.7.18. Следствие. Если положить [/'(г)] = [А] = (al3)i^,^
то
D}ft(x) = "= аи
и f'(x)ej — j-tt столбец матрицы [А] = [/'(ж)], i = 1.m; j =
== 1...71.
6.7.19. Пример. В условиях примера 6.7.13 частные производ-
ные ~(х.у) и цц~(х. у), очевидно, существуют в любой точке (х.у).
ох ‘ оу *
для которой х2 -г у2 > 0. Кроме того,
gl(O.O) = lim «‘0) - №о) = 1:
дхk 7 t
^(0.0)нПпА-<0-,>-/<(1-0Ко.
ду t^o t
Q df df ro2
Значит, частные производные — и — существуют всюду на R .
ох оу
включая точку (0. 0). хотя функция f не дифференцируема в этой
точке.
6.7.20. Пример. Пусть Е = (a.b) С R. и пусть G открыто в
R”' и /: (а.Ь) -> G. причем функция / дифференцируема на интер-
вале (а.Ь). Пусть, далее, g: G —> R и функция д дифференцируема
на G. Если F = g(f). то V.r € (а.Ь)
F’(x) -- g'(f(X))f'(x).
При этом f'(x) £ Z,(R.R'n): g'(f(x)) € E(R"'.R). так что F'(.r) G
G L(R. R). Если рассматривать линейный оператор F'(x) как ве-
щественное число (это число есть единственный элемент матрицы
|F'(t)|). то этот оператор есть оператор умножения на F’(x).
По отношению к стандартному базису пространства R"' [/'(.г)|
есть матрица из тп строк и одного столбца, в i-й строке которой стоит
число f',(x). где f,.i — 1.m. — z-я компонента вектор-функции f.
Кроме того. Vz/ 6 G - матрица из одной строки и m столбцов,
в z-м столбце которой стоит частная
При у = f(.r) получаем, что [F'(z)]
одного столбца, единственным элементом которой является число
rn .-j m
П?) = Е - £f,3(/(t))/;(t)
г 1 ,-1
(эти равенства соогветствуют при m = 1 теореме о производной
сложной функции).
производная
т.
— матрица из одной строки и
408
Глава VI
6.7.21. Определение. Пусть f — дифференцируемое на от-
крытом множестве Е С R” отображение Е в R™. Отображение f
называется непрерывно дифференцируемым на £?, если полная про-
изводная Е —> L(R",R"!) непрерывна на Е (т.е. Ve > 0 Vx € Е
35 > 0: Vy е Е-
(||у-х|| < 5) => (||/'(2/) </))•
6.7.22. Замечание. Аналогично определяется дифференци-
руемое на открытом множестве Е с R" отображение /, непрерывно
дифференцируемое в фиксированной точке х 6 Е.
Критерий существования и непрерывности частных
производных на открытом множестве
Пусть Е открыто в Rri и f : Е -> Rm. Тогда отображение f
непрерывно дифференцируемо на Е в том и только в том случае,
когда все частные производные Djfi существуют и непрерывны на
Е. i = 1...., m; j = 1,.... n.
Доказательство. В формулировке теоремы предполагается,
что /1...fm — компоненты вектор-функции /. Если f непрерывно
дифференцируема на Е. то Vz. у 6 Е
11/'(у)-/'(я;)11 НМ = j = 1...n.
Зафиксируем произвольно точку х е Е. Тогда f непрерывно
дифференцируема в этой точке, т. е. Ve > 0 35 > 0: Vy е Е:
(||у-х|| < 5) => (||/'(у) — /'0)11 < с) => (ПЛ/д - /,(а?)е_71| < е.
j = 1....п.
Зафиксируем индексы i € и j £ тогда
\DjMy) ~ Djft(,x)\ = |[/'(y)ej]i - [/'(аОМН = |[/'(у)е> - A-Ojbll <
^11/Ш--Г(^||<е.
если \\у — z|| < 5 (символ [с]; означает г-ю компоненту вектора г).
Чтобы доказать обратное утверждение, достаточно рассмотреть
/Л \
случай m = 1. Действительно, если m Е N. то функция f = ...
\/т/
дифференцируема на Е тогда и только тогда, когда каждая из функ-
ций /1...дифференцируема на Е. а из дифференцируемости f
на Е следует тогда, что / непрерывно дифференцируема на Е. по-
скольку функции Djfi непрерывны па Е (и поэтому непрерывны в
точке х Е Е). i = 1..m: j = 1...п. так что
/ \ х/2
I ТП п \
Wf\y)-f'H\\^ ££(Р7/г(у)-п,/,Д))2 -чо
у
при у х (т.е. при условии \\у ~ .т|| —> 0).
Функции многих вещественных переменных
409
Итак, пусть m = 1. Достаточно доказать, что f дифференциру-
ема в точке х. Здесь Д = f: Е —> R. Зафиксируем х е Е и е > 0.
Так как Е открыто в IR". то Зг > 0: Ur(x) с Е. Если г > 0 вы-
брать достаточно малым, то из непрерывности функций Djf будет
следовать, что
\DJf(y') - < |. ye Ur(x). j = 1.....n.
n k
Пусть h = У) hj^j и ||Л|| < г. и пусть r0 = и гд =
j=i
k = 1..n. Тогда pn(x — h.x) = ||Л|| < г. так что x - h e Ur(x).
Далее.
/(т -r h) - /(t) = J- rj - f(x + Vj-i)).
Так как ||гд.|| С ||Л|| < г. k = 1 п. то х + vk е UT(x). к = 0.1 п.
Поскольку открытый шар П,.(т) — выпуклое множество, то отрезки
с концами в точках х — ('j_i нх-t-Vj, j = 1.п. содержатся в Ur(x).
Имеем Vj — Vy-j - hjej. и поэтому по теореме Лагранжа
/(Z t Vj) - f(x 4 Uj-1) = vj(l) - Uj(0) =
где e (0.1) и
V?(A) = /(A(x - rj - (1 - A)(z -r r7_J). A e [0.1): j = 1.n.
По теореме о производной сложной функции
1’Ж) = ij-i -
(эта теорема применима, поскольку х—v, = x—t'j-i—hjCj. и поэтому
векторы х — Vj пт— i'j_i отличаются только j-й компонентой, j =
= 1....п). Значит.
f(x -h)- f(x) -= ^2 ~ ejhjejY
j -i
причем z- i'7_] —Ojhjej e Ur(x). j --- 1....n. Поэтому
|ЛД^/)(т- -^еД-МЗДИ! J = 1...n.
так что
| n I
|/(т- Л)-/И-£л/ПД)(т) 1£|Л;|
I J 1 J- 1
если Это означает, что если < г и Л 9tl. то
п
Дх-К)-/(х)-^Ь^/)(х)
410
Глава VI
При рассматриваемых условиях
п
^hj(Djf)x = f'(x)h,
>=1
так как [/'(ж)] = ((£>i/)(a?).(£>п/)(х)). Действительно,
hm
ЛеК"
/(^Л)-/(т)-£МВД*)
J=1
п
так что /'(г) — линейная функция, которая вектору h = У. hj€j
j=i
п
ставит в соответствие число У hj(Djf)(x). Таким образом, f диф-
ференцируема в любой точке х € Е.
В ситуации, рассмотренной в примерах 6.7.13 и 6.7.19, частные
df df
производные — и —, как нетрудно показать, разрывны в точке
дх ду
(0, 0).
6.7.23. Утверждение. Каждому линейному оператору A G
Е L(Rn.R) соответствует единственный вектор у € Rn. такой, что
Vh е R" Ah — у х h. При этом ЦАЦ = ||у||.
Доказательство. Пусть [А] = (ац....,ain) = у, тогда V/i €
/ hi \
6 R” Ah = dnhi -г ... — ainhn = у х h, если обозначить h = I ... I.
\ hn J
При таких условиях
/ \ V2
/ п \
нкы = Е <
V-1 /
Если ||у|| = 0. то у = 0п. т.е. ац — ... = ajn = 0. поэтому
Vft 6 IR" Ah = 0. Значит. ЦАЦ — 0 - ||у||. Пусть > 0. Положим
Ло = оу. где значение a 6 R выберем так. чтобы = 1.
Тогда |АЛ0| = |у х Ло| = |a||y х у\ = ja) ||г/||2 = 1Ы1 НЫ1 '= М-
и поэтому ЦАЦ =
Если УЛ € R" Ah = у х h. то. полагая h = eJ} j = 1........n.
убеждаемся в том. что у = [А] = (ац.....ain).
6.7.24. Определение. Пусть Е открыто в Rn: f: Е —> R; f
дифференцируема в точке х е Е. Тогда вектор (grad /) (т) е R". для
которого Vh € Rn (grad/)(.r) х h = f'(x)h. называется градиентом
функции f в точке х.
6.7.25. Замечание. Полагая у = [/'(т)] = (grad/)(т): А =
= //(т) и используя утверждение 6.7.23. из определения 6.7.24 вы-
Функции многих вещественных переменных
411
водим, что
(grad/)(x) = = [/'(х)].
Это означает что компонентами вектора-градиента (grad/)(a-) явля-
ются частные производные (Djf)(x). j = 1....n.
6.7.26. Определение. Пусть Е открыто в R" и f: Е —> R.
Если е & R" — единичный вектор (т.е. ||е|| = 1). то предел
t eR
(если он существует и конечен) называется производной функции f
в направлении вектора е (в точке х € Е).
Таким образом, частная производная (Djf)(x) — это производ-
ная функции f в направлении базисного вектора ej в точке х. т. е.
(Djf) (г) = (Пе/)(т). j = l....п.
6.7.27. Следствие. Если функция f: Е —> R (Е открыто в
R") дифференцируема в точке х € Е. то
а(Д/)(ж) = f'(x)e =-- (grad/)(а?) х е = ^(Е>7/)(х)со8а7,
где а} = arccos(ej х е). так что cos о , = е; х е. j -- 1.п. При этом
^cos2Oj = ||е||2 = 1.
j-1
6.7.28. Следствие. Полагая е* s имеем ||е*|| -
||(grad/)(x)||
— 1 и
|(П,«/)(т)| = || (grad/) (г) И.
причем направления векторов (grad/)(.r) и е* совпадают (в предпо-
ложении. что (grad/)(z) 0п). При этом в направлении вектора
е* производная (D, /)(г) принимает наибольшее значение, равное
||(grad/)(x)||.
Действительно, если е € R” и ||е|| = 1. то
|(Д/)(т)| ||е|| ||(grad/)(j-)l| = li(grad/)(x)|l.
причем равенство в этом неравенстве достигается только тогда, ког-
да е - ±е’.
6.7.29. Определение. Пусть Е открыто в R": /: Е —> R'"
и отображение / дифференцируемо в точке х е Е. Тогда матрица
|/'(т)] называется матрицей Якоби отображения / в точке х. Если, в
412
Глава VI
частности, т = п, то определитель detназывается якобианом
отображения f в этой точке. В этом случае пишут
det[/(®)] = If И = ....
где / = (Л,...,/п)-
6.7.30. Следствие. Линейный оператор f'(x) g L(R") обра-
тим тогда и только тогда, когда If(x) 0.
6.7.31. Утверждение. Пусть Е открыто в Rn; f: Е —> Rn;
f дифференцируемо на Е и непрерывно дифференцируемо в точке
xq g Е, причем If(x0) ф 0. Тогда существует окрестность U(xq)
точкиXq, такая, чтоУх g !7(то) If(x) ± 0 (и следовательно, оператор
f'(x) обратим всюду в этой окрестности).
Доказательство. Пусть Vx & Е If(x) = det[/'(j:)]. Так как
f непрерывно дифференцируемо в точке хд, то /' непрерывно в этой
точке, и поэтому частные производные Djf, (они существуют всюду
на Е) непрерывны в точке Xq, i.j = 1.....П (см. доказательство
критерия существования и непрерывности частных производных на
открытом множестве.)
Значит, If(x) = det функция, непрерывная в точке
Xq. Т.е.
Jim If(x) = If(x0) 0.
xeE
Существование окрестности П{хф) с указанными свойствами следует
из локального свойства функции, имеющей отличный от нуля пре-
дел.
Теорема об обратной функции
Пусть Е открыто в Rn: f: Е -> Rn: f непрерывно дифферен-
цируемо на Е: a g Е и If (а) 0. Тогда существуют открытый шар
U и открытое в R” множество V. такие, что a g U С Е: f инъек-
тивно на U и f(U) = V. Если g = f~l: V —> U. то g непрерывно
дифференцируемо на V и Vy g V д'{у) = (/'(у(у)))-1.
Доказательство. Пусть А = /'(а). тогда из условия If (а)
0 следует, что А g £(Rn) — обратимый линейный оператор, и
поэтому существует обратный оператор Д-1. для которого >
> 0. Пусть А = 1/(4||Д~11|) > 0. Так как f непрерывно диффе-
ренцируемо на Е. то существует открытый шар U С Е с центром в
точке а такой, что Ух g U Ц/'^) ~ ^11 < 2Л. Пусть х g U: h g Rn
и x -t- h g U. Положим
F(t) = f(x - th) - tAh. tg(0.1|.
Функции многих вещественных переменных
413
Так как открытый шар U — выпуклое множество, то т т th £ U
при 0 V t < 1. Следовательно, при таких значениях t
\\F'(t)\\ = \\f'(x х th)h - ЛЛ|| ||/'(r - th) - Л|| ||/г|| 2X\\h\\ =
= 2А||Л“1(ЛЛ)|| 2А||Л-1|| \\Ah\\ = |ЦЛЛЦ.
По теореме о конечных приращениях 3£ £ (0,1):
;;г(1)-г(ожцг(еж|мн-
т. е.
\\f(x + h)-f(x)-Ah\\^ |||ЛМ.
Значит, по свойствам нормы
ПДх^И-Л^И > |рм >2А||Я
если х е U и х J- h € U. Пусть h вп. тогда ||Н > 0 и \\f(x -о h) —
— /(.с)|| > 0. т.е. f{x — h) 7^ fix). Это означает, что f инъектив-
но на U.
Пусть V = f(U) С Rn. Покажем, что V открыто в IRn. Пусть
УО £ V, тогда 3!.r0 € U: f(xo) = Уо- Пусть г > 0 выбрана так.
чтобы U*{xo) С U. Покажем, что U\r(y0) С ДГЛ(а'о)- Поскольку
/(Or(.to)) С f(U) = V. то отсюда будет следовать, что V откры-
то в R".
Зафиксируем вектор у так. чтобы \\у — /(.г0)|| < Аг. и положим
Ах) = \\у-/(д)||. х £ U*(x<A Если Ц-т-Toll — г- т0 п0 доказанному
выше с учетом условий хо £ U: х € (7*(то) С U имеем:
2Аг ||/(.т) - /(то)Ц < АА - <(г0) < р(.г) - Аг.
т.е. р(л'о) < < г(т). если ||.г — Хо]| = г-
Так как функция р непрерывна на компакте U*(xo)- то Зт* £
£ П*(то): Vt £ П*(то) р(т*) С р(т). При этом т* £ Щто) (в
противном случае ||т,‘ - т0|| = г. и поэтому р(то) < Аг < Дт*),
что невозможно, поскольку то £ U*A'o))- Осталось показать, что
у = f(x*). т.е. что ф(х~) == 0 (отсюда будет следовать, что у £
£ /(С,-(то)) С f{U) = V).
Положим и- = у - f(x*). Так как огк'ратор .4 — f'(a) обратим,
то 2/| £ Р": Ah = ie. Выберем t £ (0.1) так. чтобы т* - th £
£ U,.(то) (это можно сделать, поскольку т“ £ Сг(то) и открытый шар
С,.(то) является открытым множеством). Тогда \\f'{x*) — y — A)th)\\ —
= (1-ПМ1 и !1Ж- th) -Ж)- A(th)\\ < 0.5||Л(^)|Г 0.5ПН
(мы учитываем что .г* £ U,-[xq) С U и х* —th Е U,-(xo) С Ст). Отсюда
0 ^(.т* - th) ||/(Г - th) - И ||/(Г) - у - А(И|| -
-||/(.r* -th) -f(x~) - A(f/?)H (1 ~01Мщ ||1^11 = =
414
Глава VI
= f1 “ f1 ~ ^х* +th)
\ “ / у £ J
согласно определению точки х* и включению х* -г th G Ur(xo) С
С U^x0).
Значит. у(ж* + th) = 0, и поэтому <р(ж*) = 0, т. е. w = у — /(ж*) =
= 9п и у = f(x*)-
Итак, V открыто в R".
Чтобы доказать, что д непрерывно дифференцируемо на V. вы-
берем у G V и z € И" так, чтобы у + z G V, и положим х = д(у) G (7;
h = 9(У ~ z) - д(у). Тогда
Полагая далее В = /'(ж), имеем
115-^1 <2Р=Ч<(М-‘Г1.
поскольку ||Л-11| > 0. Согласно утверждению 6.6.21 получаем, что
оператор В обратим. Кроме того,
(ж + h = д(у + г)) => (/(ж -г h) = у + z) => (/(ж h) - /(ж) = z =
= f'(x)h + r(h)).
где
hm
h-*en
hSRn
llrWH _ „
И
Значит, В A z = h— В 1(r(/i)), т.е. h = g(y — г) - g{y) = B~lz -
- B~\r(h)).
Поскольку x-rh e U. to ||z|| = ||/(ж-/г) ~/(ж)|| 2А||/г||, так что
при z —> 9n h = g(y z) — g(y) —> вп. Это означает, что отображение
д непрерывно в точке у.
Кроме того, при z 9п h вп. поскольку д инъективно на V, и
||£?~1(г(Л))|| ||В-]||!|г(/>)|!
Н 2А ||h||
при h —> вп (а поэтому и при z —> 0„).
Таким образом при z —> вп
Ыуz) - д{у) - В~у z\\
Н
Это означает, что д дифференцируемо в точке у (и поэтому всюду
на У) и
Функции многих вещественных переменных
415
Кроме того, отображение д: V —> U непрерывно на V. отображение
f: U —> Q непрерывно на U (здесь О — множество всех обратимых
операторов, принадлежащих L (R")). а переход к обратному — непре-
рывное отображение Q на Q согласно утверждению 6.6.21. Значит,
отображение д': V —> И непрерывно на V как композиция непре-
рывных отображений. Это означает, что д непрерывно дифферен-
цируемо на V.
6.7.32. Следствие. Песть Е открыто в R": f: Е —> Rn: f
непрерывно дифференцируемо на Е, и пусть Vz £ Е If(x) ф 0. Тог-
да, если GcEuG открыто в R", то f(G) также открыто в R" (ото-
бражения f обладающие таким свойством, называют открытыми).
Доказательство. Имеем: Va £ G 3 окрестность U(a) С G,
такая, что f инъективно на U(a). Положим Va = f(U(a)') С f(G).
Так как
U U(a) = G.
a£G
ТО
/(G) = (J /(77(a)) = J К.
aCG aCG
Согласно теореме об обратной функции Va £ G окрестность U (а)
можно выбрать так. чтобы множество К, было открыто в R”. В этом
случае объединение
и К = /(G)
a 6 67
открыто в R".
6.7.33. Замечание. Условия следствия 6.7.32 обеспечивают
Va £ Е существование окрестности U(a) точки о. на которой отобра-
жение / взаимно однозначно (т.е. f локально взаимно однозначно).
Однако при этих условиях / может не быть взаимно однозначным
на всем множестве Е.
6.7.34. Пример. Пусть и = 2: Е = R2: f = (и. с), где V(z. у) £
£ R2
и(.т. у) -- е' cosy: r(z.y) = e^siny.
Тогда Е открыто в R2: /: Е —> R2: / непрерывно дифференцируемо
на R2. поскольку V(z. у) £ R2
du. х , X г
— (z.y)=e cosy: — (,r.y) = -e smy:
a:r c)y
416
Глава VI
так что все эти частные производные непрерывны на R2 и
^(хру) ^(х,у)\
Ых.у) = det ddxv qVv = е2*>0.
ду^У})
Значит, оператор f'(x.y) обратим всюду на В2. Тем не менее, f не
является взаимно однозначным на R2. поскольку например, /(0.0) =
= /(0.27г) = (1,0).
Нетрудно проверить что V(;r,y) G R2 отображение / взаимно
однозначно в окрестности точки (.г. у) радиуса, не превосходящего тг.
6.7.35. Замечание. Записывая равенство у — f(x) поком-
понентно, получаем следующую интерпретацию утверждения тео-
ремы об обратной функции: при условиях этой теоремы равенст-
ва уг = /г(т’1.т,г), i = 1.п. определяют взаимно однознач-
ное соответствие между достаточно малой окрестностью точки а и
некоторым открытым множеством V. таким, что b = f(a) 6 V; при
этом .Ti,.... хп являются непрерывно дифференцируемыми функци-
ями переменных г/i.уп на множестве V (а поэтому и в некоторой
окрестности точки Ъ ~ /(а)).
6.7.36. Замечание. Если х = (ац. £ Rn и у = (щ....
Ут) G Rm, то (х,у) = (ац...хп.У1....,ут) £ R" Ьт (и вообще в
доказательстве следующей теоремы в выражении (т. у) или ему по-
добном х будет означать вектор из R". а у — вектор из Rm).
Теорема о неявной функции
Пусть Е открыто в Rn+m; f:E-> R"; / непрерывно диффе-
ренцируемо на Е. и пусть а Е Rr'; b G Rm: (a.b) Е Е: f(a.b) =
А = f'(a, b) и det[Ai] 0. где [Aij — матрица размера п х п. столб-
цы которой суть первые п столбцов матрицы |А). Тогда существуют
окрестность IV С Rm точки b и единственная функция у: IV —> Rr!.
такие, что g непрерыно дифференцируемо на IV; g(b) = а и Vy Е
€ Wf(g(y).y) = 0п. Кроме того. Vy Е ТГ [^'(г/)] = -[Ai(y)]-1[A2(y)|.
где матрица [АДу)] образована первыми п. а матрица [А2(г/)] — по-
следними m столбцами матрицы [f'(g(y).y)]-
Доказательство. Пусть V(x. у) Е Е F(x. у) = (z, tc) Е R"
где z = f(.r.y) Е Rn: ic = у Е Rm. Матрица [Р'(т,у)] содержит в
ад. , ад. х .
первых п строках частные производные ——(х. у) и ——(х.у). г =
uX j &Ук
= 1..?г: j = 1..tv. к - 1...т. которые непрерывны на Е
/ /Л
(здесь f = ... ): в оставшихся т строках в первых п столбцах
\ f'> )
Функции многих вещественных переменных
417
матрицы [Fz(i’,y)] стоят нули, а в последних m столбцах — единич-
ная матрица размера m х т. Кроме того, согласно теореме Лапласа
det[F'(a.b)] = det[Ai] 0.
Значит, оператор F'(a.b) обратим, причем F'(a.b) £ L(R"~'rl). По-
этому к отображению F применима теорема об обратной функции,
согласно которой существует открытый шар U и открытое множест •
во V. такие, что U С Е: (а.Ь) € U: (6n.b) Е V. причем F взаимно
однозначно отображает U на V и F(a.b) = (6n.b). Отображение
F-1. обратное к F, имеет вид К-1(.г,гг) = (х,у), где х = ^(г.гг):
у = w и (z.w) Е V. При этом компоненты функции р суть первые
п компонент функции F-1.
Кроме того, функция р непрерывно дифференцируема на V, по-
скольку таким свойством обладает функция F-1. и если (z.w) Е V
то f(p(z.w).w) = z. Далее, существует окрестность IV точки b
такая, что Vw Е IV (0n.w) Е V. Пусть Vy £ IV д(у) = р(9п.у).
Тогда, если у Е IV. то. полагая z = вп; w = у. получаем, что
f(p(9n. w). w) = /(у(у).у) = 0n. Так как p(3n.b) = а (это следует
из равенства F(a, b) = (9n.b)). то g(b) = а. Столбцы матрицы (y'(y)]
суть последние т столбцов матрицы у)], и поскольку р непре-
рывно дифференцируема на V. то д непрерывно дифференцируема
на IV. Единственность функции д с такими свойствами следует из
того, что отображение F инъективно на U. Действительно, если
(х.у) Е U: (х*,у) Е и и f(x,y) = f(x*.y) = Зп. то
(F(x.y) =-- F(x*.y)) => ((х.у) = (x*.y)) =>(x = x*) => (gi(y) = g2(y))-
если положить х = gi(y): х* = 92(g)-
По теореме о производной композиции дифференцируемых ото-
бражений Vy € IV [Ai(y)][y'(y)] — [А2(у)| = (0|. где [0] — матрица
размера п х т. все элементы которой равны нулю. Так как
lim (д(у).у) = (а.Ь)
у—ь
,« = 1Г
то. выбирая радиус окрестности IV достаточно малым, можно
утверждать, что Vy Е IV
detfAHy)] = det f ^Цд(у). у)\ 0.
Значит, для таких значении у \д'(у)] = -[А1(у)]“1[А2(у)].
6.7.37. Замечание. При условиях теоремы о неявной функции
функция д определена неявно равенством /(у(у).у) ~ ^„(у £ IV).
отсюда и название теоремы. Эту теорему можно сформировать в
терминах, относящихся к системе п уравнений с п - т неизвестными
....xn.y-i...ут) = 0. ? = 1.....п.
418
Глава VI
Условие det[Ai] =4 0 означает, что квадратная матрица разме-
ра п х п. на пересечении г-й строки и J-ro столбца которой стоит
элемент Ь), i = 1,..., п: j = 1,..., п, невырождена. Если это
условие выполняется и х = (zi..хп) = а; у = (гц...ym) = Ь
удовлетворяют системе, то при остальных соответствующих услови-
ях эту систему можно однозначно разрешить относительно неизвест-
ных зц,..., хп при всяком значении вектора у, достаточно близком к
Ь; при этом для таких значений у х\,... .хп будут непрерывно диф-
ференцируемыми функциями переменных у\,... ,ут.
6.7.38. Определение. Пусть Е открыто в IR”; f: Е —> R" и
пусть 3J е Vz = (zi......zn) e E: fa(x) = x, при i j-, i e Nn
(здесь f = (/i,..., fnfa. Тогда отображение f называется простым.
6.7.39. Замечание. При условиях сформулированного опре-
деления Д(т) = e1/(z) и хг = егх, поэтому равенство /,(z) = z;
равносильно соотношению e2/(z) = e,z, которое означает, что х и
fax) имеют одинаковые г-е компоненты (г j:i £ Nn).
Таким образом, простое отображение / может изменять толь-
ко одну компоненту’ вектора z, причем номер этой компоненты не
зависит от выбора точки z € Е (а может и быть тождественным).
Теорема о разложении
Пусть Е открыто bR"; f: Е ->R"; f непрерывно дифференци-
руемо на Е, пусть 9П € Е; faffa) = 9П и f'(0n) — обратимый оператор.
Тогда существует окрестность точки 9„ такая, что при всех значе-
ниях х из этой окрестности
/(z) = 5п(Вп(зп_1(В„_1 (... (pi(Biz)))...).
Здесь gk — простое непрерывно дифференцируемое отображение не-
которой окрестности точки 0n е R". для которого gklffa) = 9П, а
каждое В^. k = 1..п, — линейное отображение на причем ли-
бо тождественное, либо меняющее местами какую-нибудь одну пару
компонент.
Доказательство. Пусть f = fa. и пусть m £ Nn. Пред-
положим. что fm отображает окрестность точки 9П в пространство
R" fm непрерывно дифференцируемо в этой окрестности, оператор
Am = обратим и fm(9rl) = 0n): e,fm(x) = егт. 1 < i < т. где
z — любая точка указанной окрестности. При т = 1 это предполо-
жение. очевидно, справедливо, поскольку условие равенства компо-
нент с номерами от 1 до т — 1 в этом случае отсутствует.
Положим а,3 = егАтеу. i.j = 1.п. Если г < т и j т. то
a.tj = 0. Действительно в этом случае
ог^еХ(0п)е; = ^(0,г)=^(ф,)=О.
(УД j IJJL, j
Функции многих вещественных переменных
419
где f„h — i-я компонента отображения fm (при i = 1 m — 1 в силу
сделанного предположения ...........хп) = х, всюду в указанной
выше окрестности).
Если бы, кроме того, при всех значениях J > m выполнялось
равенство anlJ = 0, то из представлений
n / Qjj' \
Amej = V' = I ... I . j = m. m -t- 1.......n.
z = 1 \ у
следовало бы, что n — m -г 1 линейно независимых векторов Amem.
..., Amen принадлежат линейной оболочке n — m векто-
ров ст . что невозможно. Значит, существует такое j, что
m < ] п и amj f 0.
Определим операторы Pm.Bm 6 L(R'') равенствами Fme; = ед,
i Л ТЩ Вm^m ~ 9n'. Bmem ~ €j'. Bt71e.j ~ em-. Bmt; = en i ш и i /- j.
Далее положим gm(x) = Pmx - (em/m(Bmz))em. тогда gm -
простое отображение, поскольку при j = rn Bmx — x и em/m(Bm.c) =
— = так что gm (r) = Pmx -r fmm (x)em. Это означа-
ет. что g,n изменяет только rn-ю компоненту вектора х. При j > m
это также верно, так как emfm{Bmx) = fmm{Bmx).
Имеем далее (fmBmy(JQ = f/m(Bm9n')B'm(0n') = f'm(0n)Bm =
= AmBm. поскольку Вт9,т =- 9Г1 и B'm(9n) = Вт. Поэтому, если
h € R'\ то
— Рryj/l T [Г’тАтВт
Если g'ni(9,f)h = 9,,. то Pnih = 9Г1. так что h — Хет. А G R. Кроме
того, в этом случае етЛтВшЛ. = 0. т.е. Aomj = 0 по определению
Вт (действительно, если е,„ Л„,/Д,Л. = 0. то етАтВ„,Хет = 0. т.е.
етЛтЛе7 = 0 и поэтому Аашу - 0).
Так как аш; А 0. то (А =- 0) (h = Ае„( = 9П). Это озна-
чает что д'п,(9„) - обратимый линейный оператор. По теореме об
обратной функции отображение д,п взаимно однозначно в некото-
рой окрестности Urn точки 9П еВ". причем = Vm открытое
в IR'! множество. Кроме того. дт непрерывно дифференцируемо в
этой окрестности, поскольку таким свойством обладает отображение
fm. Теперь положим /тм(.у) s fm )(/)). у е Т’ш.
Если у е 1Д. то у -- <7пг(.т) при некотором х е Um. и тогда
С mil — 9п, (^ ) -- т РщХ ~ е,т,(вшт(1Вгг1л'))€гп — €mfm(BmX).
гак как етРтх = 0 (здесь, как и выше, опущен символ скалярного
произведения).
Далее, при i < т
е ,у — —^,ВП1з с, (е, „ J ,п {Вт х)) ст
420
Глава VI
Поскольку согласно индуктивному предположению при i < т
= е,а;, то по определению Вт
^ifrn + l(y) = Sifm{Bmgm (у)) — Stfm(Bmx) = eiBmX = diX dip.
Кроме того, согласно доказанному выше em/m-i(y) = ernfm(Brnx') =
~ d-гпУ'
Если fm непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестнос-
ти точки 9п, то и fm+i' очевидно, непрерывно дифференцируемо в
этой окрестности.
Оператор f^+1(9n) = fm(9n)Bm(g'm(9n))~'1 является обратимым
как композиция непрерывно дифференцируемых обратимых отобра-
жений (с учетом равенств дт(9п) = /тт1(^п) = #п)- Значит, отобра-
жение fm+i удовлетворяет предположениям индукции с заменой т
на т -г 1, и построение можно продолжить.
Если Втх е Um, то у = pm(Bmx) е Vm и fm(Bmg^(y)) =
= fm^B^x) = fm(x), поскольку В2п — тождественный оператор.
Поэтому fm+i(y) = fm^i{gm(Bmx')'), так что согласно определению
fm I- 1Ут(*г) “ fm — 1 (9 т (^га®))> 6СЛИ ВтХ G Um, ТП = 1. . . . , П.
При т = п — 1 из индуктивного предположения следует, что
fn+i — тождественное отображение. Таким образом, при всех зна-
чениях х, принадлежащих некоторой окрестности точки 9п
f(x) = fi(x) = f2(gi (Bix)) = ... =
= Sn(Bn(ffn-i(Bn-i(. • • (pi(Bjx)))...).
6.7.40. Пример. Пусть n = 2: U — произвольная окрестность
точки (0,0) в пространстве R2, и пусть V(t. у) Е Uf(x.y) = (у.х).
Тогда f = (/1./2), где У(х,у) 6 U fi(x.y) = у; /2(х,у) = ж. и по-
этому If (х.у) = det ^20) = 7^ 0 всюду' в U. Значит, f непре-
рывно дифференцируемо на U: оператор /'(0,0) обратим, причем
/(0,0) = (0.0).
Предположим, что всюду в U f = g2(gi). где pi(0.0) = р2(0.0) =
— (0.0): дх.д2: U —> R2; pi и g2 непрерывно дифференцируемы в
U и являются простыми отображениями. Если дх(х. у) — (х^.у) и
92(хг.у) = (Z1-P1). то = у и ух = х. т.е. дх(х.у) = (у.у) и д2(у.у) =
= (у.х). Но тогда Р1(.т/2.у) = (у. у) и д2(у.у) = (у.х/2). и при х 0
получаем противоречие. Это означает, что представление / = p2(pi)
невозможно.
Заметим, что в условиях этого примера согласно теореме о раз-
ложении V(T.y) е U f = p2(B2(pi(В1(хр))). где операторы В\.В2 е
€ £(R2) удовлетворяют условиям теоремы и радиус окрестности U
выбран достаточно малым.
Функции многих вещественных переменных
421
6.8. Производные и дифференциалы высших
порядков
6.8.1. Определение. Пусть Е открыто в R”; п 2; /: Е —> R
и х € Е. Если 1 г, j п и D,/ существует в некоторой окрестнос-
ти U(x) С Е, то частная производная = Djjf(x) (если
она существует) называется частной производной второго порядка
функции f в точке х. Если, кроме того, i j, то Dijf(x) называется
смешанной частной производной второго порядка.
6.8.2. Замечание. Вообще говоря, при i j Dijf(x) Djif(x)
(если обе эти частные производные в точке х существуют). При
определенных дополнительных условиях равенство Djif(x) =
= Dijf(x) будет справедливо (об этом см. ниже).
6.8.3. Замечание. Обычно пишут
п _ d2f _ д / df \
- dxjdxi^ - dxj [dxi J (*)•
э2/
В частности, если i = j, то пишут Duf(x) =
6.8.4. Определение. Пусть при условиях определения 6.8.1
1 < i^.i‘2 it С п: ii...ik 6 N. Тогда частная производная по-
рядка к функции / в точке х равна (в предположении, что частная
производная Dl} ... ik-if существует в окресности Н(х))
дк f
..~дх^^ = ’ гд—= 2.3...
Если, кроме того, не все индексы G..ik равны между собой, то
эта производная называется смешанной частной производной к-го
порядка. Если i] = ... = ik = i-, то пишут
дк f,
Di...tf(x) = (х).
6.8.5. Определение. При условиях определения 6.8.1 функ-
ция f называется к раз дифференцируемой в точке х. если f к — 1 раз
дифференцируема в любой точке некоторой окрестности U(x) С Е
и все её частные производные порядка к — 1. к = 2,3.существу-
ют в этой окрестности и являются в точке х дифференцируемыми
функциями.
Функция f называется к раз дифференцируемой на множестве
Ео С Е; Eq 0. если она к раз дифференцируема в каждой точке
х е Ео.
6.8.6. Следствие. Если функция f к раз дифференцируема
в точке, х. то все её частные производные порядка к в этой точке
существуют.
422
Глава VI
Обоснование этого следствия проводится с помощью метода ма-
тематической индукции по к - 1.2.... с учетом утверждения 6.7.17.
6.8.7. Пример. Пусть Vrr = (тд...., е R"
т
р(х) = 52 алр-.л,,^1 ?*"
А|...Ап—О
— многочлен от п переменных .г j....:г„ над полем R. тогда Р:
Rn —> IR. Нетрудно проверить что Р — функция, дифференциру-
емая любое число раз всюду на IR" (т. е. бесконечно дифференциру-
емая на Rn).
Чтобы упростить запись, введем так называемые мультииндек-
сы. Будем писать т = (тд тп): если Aj..... Хп £ Nq, то положим
А = (Ai А„): ах = з’А = zf1 а?А": |А| = Аа -г ... + Хп —
степень одночлена хА.
В этих обозначениях многочлен Р(х) можно представить в виде
Р(т) = ^2
А: |А|<А-
(при этом полагаем, если требуется, некоторые коэффициенты ах
равными нулю).
Если при А — к хотя бы один из коэффициентов а а отличен
от пуля, то степень cleg Р = к. Полагаем также хвп = 1 при любом
х € R". Заметим, что в обозначениях примера 6.8.7 к Д тп.
Если f — вещественная функция, к раз дифференцируемая в
точке хо € R". и А = Ai - ... - А,,. причем 1 < |А| < К. то будем
писать
9|А|/
Dxf(xo) = а. = Р1 ...12... 2... /?...
dxpt" ... v—'
A J. Л2 A;}
Будем также писать ГЛд/(.Tq) = /(.т0).
Таким образом. РаД^о) — частная производная порядка |А|
функции f в точке tq.
Далее будем обозначать (А)! = АД -- АД.
6.8.8. Утверждение. Если все частные производные порядка
к функции f непрерывны на открытом множестве Е С R". то f
краз. к — 1.2..дифференцируема на эз ом множестве.
При к = 1 это утверждение совпадает с критерием существова-
ния и непрерывности частных производных на открытом множестве.
Для обоснования его при произвольном к G N следует использовать
метод математической индукции.
Пусть теперь /: Г —> R. где U — открытый шар в R". и пусть f
к раз дифференцируема в точке .Гц G U (далее будет показано, что
Функции многих вещественных переменных
423
из этого условия следует независимость значения частной производ-
ной D\f(xo) от порядка дифференцирования, если |Д| fc). Для
простоты записи будем пока считать, что Xq = 9n е U.
6.8.9. Определение Положим Va? 6 Rn
₽w = L. ~ДГХ
Многочлен р(ж) будем называть многочленом Тейлора функции /
порядка к.
6.8.10. Утверждение. Еслир(х) — многочлен Тейлора функ-
ции f порядка к, то Dap(J)n) = Daf(6n) при |а| к (здесь a =
- (ai.....ап). где av е No, v = 1..... n).
Доказательство. Если |а| < к, то в производную Dap(6n)
ненулевой вклад может вносить только слагаемое соответствующей
суммы с индексом А = a = (aj,.... an).
Действительно, все остальные слагаемые либо содержат некото-
рое переменное xv в степени, меньшей, чем av (здесь 1 С v < п). так
что они обращаются в нуль при av-кратном дифференцировании по
этому переменному, либо же содержат некоторое xv в степени, боль-
шей, чем av. и тогда после такого дифференцирования в них еще
входит по крайней мере один множитель хг. так что они обращают-
ся в нуль при х = в,, (и, значит, при х„ = 0). Однако при А = а
Ра(а;а)(0п) = (а)!, и поэтому при |а| < к Dap(9n) = Daf(9n).
6.8.11. Следствие. Если при условиях утверждения 6.8.10
g = f - р. то при |а| < к Dag(9n) = DaftOn) - Dep(0n) = 0.
6.8.12. Лемма. Пусть U — открытый шар в R"; вп е U и
пусть х £ U: х / 9„.
Пусть, далее, 'it е [0.1) cr(t) = g(tx). где g: U —> R. и функция g
к раз дифференцируема на U. Тогда it G |0.1]
= 52 xv1---rl.llDV1...r^g(tx). р = 1.2........к.
l'i..-1
Доказательство. Поскольку 6 U и х 6 U. то it G [0.1]
tx € U. так как U — выпуклое множество в R". При р = 1 по
теореме о производной сложной функции
ст'(«) = 52 rrin,.1p(tr). t е [0.1].
'1 1
Если доказываемая формула верпа для всех порядков производной,
424
Глава VI
меньших или равных р — 1. где 2^ ц к. то Vf G [0,1]
— xV1 xV/i l ...V/j lg(tx))'
’Т..ид-1 = 1
п
= ^2 т*т x'llDrv..l.llg(tx).
’Т..г> = 1
Заметим,что последняя сумма содержит в точности тН слагаемых.
6.8.13. Следствие. Пусть U — открытый шар в R'1; 9rl G U;
f: U —> R и функция f к раз дифференцируема на U. Если р —
многочлен Тейлора порядка к функции f и g = f — р. то функция g
удовлетворяет условиям леммы 6.8.12, так что в обозначениях этой
леммы </д)(0) = 0. р = 0.1.....к.
Доказательство. Если |а| С к. то Dag(0n) = 0 согласно
следствию 6.8.11, и поэтому при д 1 доказываемое равенство сле-
дует из утверждения леммы. Если д = 0. то <т^°’(0) — <т(0) = <?(0П) =
= 0. поскольку ) = f(0n) -р(М и
р(6п) = =
так как Denf(0n) = (0„)! = хвп = 1.
Формула Тейлора для вещественной функции многих
переменных
Пусть f — вещественная функция, дифференцируемая к — 1 раз
на открытом шаре U С Rn. и пусть л» G U. Тогда V.r g U
, у- £>а/(.т0) А у- Dxf(x0 Л
fw = 2^ А)1 - X --------------•
|А|—О V ;А| A l ' ''
где £ € (0.1): к = 0.1....
Доказательство. При .г = т(| утверждение тривиально.
Пусть .? g U п х zq. Будем пока считать, что j~o = 9n g U.
Согласно следствию 6.8.13 имеем
<7(/,)(0) = 0:д = 0.1.к
Используя формулу Тейлора для функции <т с остаточным членом в
форме Лагранжа, можно утверждать, что Vf g |0.1]
где 0 < $ = ^(x.f) < 1.
Функции многих вещественных переменных
425
Действительно, при наших условиях функция cr k + 1 раз диф-
ференцируема на отрезке [0,1].
Согласно лемме 6.8.12 имеем при ц = к ~ 1 и t = 1
- 3(а’) — м, |\| — + ]\| Е Х,'1 ' ' ' Xvk-[ 13(^Т)
(мы учитываем, что функция д = f — р при таких условиях диффе-
ренцируема к — 1 раз на открытом шаре U").
Зафиксируем вектор А = (Аь..., Ап), для которого |А| = к + 1 и
Хи € Nq, v — С • •, Ti. Число векторов вида .Н--1), таких, что
1 < г/i...., i/fc^i + п и j = хх = х} 1 • • - хХп , как нетрудно
проверить, равно
(/с + 1)! (/с+1)!
(А)! “AJ.-.AJ-
При п = 2 это утверждение определяет число сочетаний
z-+i _ <+? 1)!
4^1 -4-1 - А1!Л2, •
при произвольном п 2 оно соответствует выражению для так на-
зываемого полиноминального коэффициента, равного
(/с + 1)!
AJ---AJ
при условии Ai - ... + Хп = к — 1. Поэтому
Е =(^+1)! Е йд-
"1 ^ + 1-1 |А|—/г+1 k '
Как замечено выше, при условиях формулы Тейлора производ-
ная Dy]...uk_ig{S,x) не зависит от порядка, в котором совершаются
дифференцирования. Значит, если х„г -ху г = хх. то
DV1..= Dxg(£x).
Следовательно.
зи = Е
IA|—A’-i-l
Ддд(С^) а
(А)!
При |Aj = к — 1 Dyp = 0. поскольку р - - многочлен порядка к и
degp к. Из равенства д = f — р таким образом, следует, что при
А) = A l Dxg^x) = Т>л/(^х). так что
д(т) - /(т) - р(т) = 52 ~7ДГ^а?Л
lA + A^l Л
где 0 < ^ < 1.
426
Глава VI
В общем случае, когда т() ё U 11 0п- линейная замена пе-
ременного показывает, что Vt £ U
Л Пд/(то) ,а v- DA/(x0 - Дт - т0))
/М" X ПЛ^(Х"'Го) = -------(АГ-------
|А|=0 k '' |А[_Л-1 1 V ''
х(т-т0)\
6.8.14. Замечание. Доказанное равенство называется фор-
мулой Тейлора для функции / (в точке т). Сумма в правой части
последнего равенства носит название остаточного члена (А’ — 1)-го
порядка в форме Лагранжа.
Теорема о конечных приращениях для вещественной
функции многих переменных
Пусть f — вещественная функция, дифференцируемая на от-
крытом шаре U С R". и пусть то € U. Тогда Vx £ U
f(x) - f(x0) = 52- 4о))£>,Д(то ' Дт - х0)) -
V-1
= grad /(т0 ~ Дт - то)) х (т - т0).
где £ £ (0,1); т - (tj.т„): т0 = (т^и).т,(,0)).
Это утверждение — частный случай формулы Тейлора при
к = 0.
6.8.15. Следствие. При условиях теоремы о конечных при-
ращениях
|/(т)-Дт0)| < ||т-т0|| sup {||grad/(To-^T-TO))||}.
te(o.i)
Утверждение следствия получается из этой теоремы и неравен-
ства Копш-Буняковского.
6.8.16. Следствие. Пусть U — открытый шар в R": f: U —> R:
/ бесконечно дифференцируема на U и то € U. Если Vx £ U
Jnn 7?д (т) = 0.
где Rt(x) — остаточный член k-го порядка в форме Лагранжа фор-
мулы Тейлора для функции f в точке т. то Vt 6 С
г, \ ^aZ(Tq) , . А
= X "Tav-
|А!=О v ’
(ряд Тейлора для функции f. сходимость которого определяется по-
компонентно).
Действительно, при условиях этого следствия формула Тейлора
для функции f в точке т справедлива Vt £ U при всех значениях
к € No-
Функции многих вещественных переменных
427
При к -> ос и любом фиксированном х е U получаем в пределе
утверждение следствия.
6.8.17. Утверждение. Пусть Е открыто в R2, f: Е -> R и
функция f дважды дифференцируема в точке (xi,x2) £ Е. Тогда
Di2f{xi,x2') = D2if(x1.x2').
Доказательство. По условию, частные производные Dif и
D2f определены в некоторой окрестности точки (xi,x2), содержа-
щейся в Е, и являются в этой точке дифференцируемыми функ-
циями. Пусть число h > 0 выбрано столь малым, чтобы точка
(xi — /г. а*2 + Л) лежала в указанной окрестности, и пусть
^(Л) = /(xi - Л.х2 - h) - f(xy — h,x2)~ /(хг, z2 + /1) -r /(xj, ж2)
(при этом точки (ti + h, х2) и (xi. х2 + h) также лежат в этой окрест-
ности) .
Пусть, далее, Vx е [xi,xi — /1] Д(х) = f(x.x2 + h) - f(x,x2) (и
опять при таких значениях х точки (х,х2 + h) и (х,х2) лежат в этой
окрестности). Тогда
= ^(xi + /1) — ^(xi) = ^'(xi 4- 9ih)h =
= (Di/(zi -1- f)ih,x2 + /г) — Dyf^xi + 0i/i,X2))/i =
= ((£>i/(xi - 0i/i,x2 + Л) - T>i/(xi,x2)) -
- (£>i/(xi + 61II.X2) - £’i/(xi.x2)))/i.
где 0 < 0i < 1.
Так как функция D\f дифференцируема в точке (xi,x2). то
Dif(xi + 0i/i.x2 + h) - Dif(xi,x2) =
= Dnf(x1.x2)9ih + Di2f(xi,x2)h + гД/i, 0Д.
где
Г] (/1,01) =
h-5o ||(01h, Л)|| U-
Аналогично получаем, что
О1/(,Г1 - 0i/i,x2) - £>]/(т1.х2) = £>п/(х1,т2)01Л - r2{h.6i).
где
г r^h'9^ _ А
Lo 11(01/1.0)11 °’
Поэтому при h 7^ 0
(n ы п(Л-01) - r2(/i.0i) V2
^(/1) = I b>12j(Xi,T2)------------------------ I П •
причем
гДЛ.,01) - r2(/i.0i)
lim------------;------------ = 0.
/?->0
h
428
Глава VI
С другой стороны, если Vy Е [.r2.x2 + #(у) = /(ят + h.y) —
- f(Xl.y). то
rW = 0(х2 -h)- 6»(z2).
Рассуждая аналогично, выводим, что при Л О
^(/г) = ^O21/(.ri.T2) + А2-
причем 02 G (0-1) и
r(h,O2) = 0
h
Из этих соотношений следует, что
£>12/(г1.х2) = lim D2\f{x],X2).
h->0 ПЛ
6.8.18. Следствие. Пусть f — вещественная функция, к раз
дифференцируемая в точке х € R.”. Тогда значение любой смешан-
ной частной производной порядка < к. к = 2.3.... функции f в
точке х не зависит от порядка дифференцирования.
Доказательство. Утверждение следствия 6.8.18 означает,
что если 2 /л к. то значение производной .........,/mf(x). где
1 щ......vm ^п, не меняется при любой из ml перестановок индек-
сов .....vm. При m = 2 это утверждение следует из предыдущего
(достаточно заметить, что при дифференцировании по переменным
хУ} и х„2 можно считать, что / — функция этих двух переменных,
поскольку все остальные п — 2 переменных этой функции можно за-
фиксировать, положив их равными соответствующим компонентам
вектора т). Значит, при к = 2 утверждение следствия 6.8.18 справед-
ливо. Далее нужно использовать метод математической индукции
по к G N, учитывая определение 6.8.5.
6.8.19. Следствие. Если все частные производные функции f
порядка к непрерывны на открытом множестве Е С R". то Vx € Е
справедливо утверждение следствия 6.8.18.
Доказательство. Достаточно использовать утверждение
6.8.8 и затем воспользоваться следствием 6.8.18. применив его к лю-
бой точке х € Е.
Теорема Шварца о смешанных производных
Пусть Е открыто в R2: f: Е —> IR. и пусть функция f имеет
в некоторой окрестности точки (Х1.я’2) € Е частые производные
Dr2f и D2if- Если, кроме того, эти частные производные непрерыв-
ны в точке (.Т1.т2). то
Di2f^l--r2') - E>2lf{x1.X2).
Функции многих вещественных переменных
429
Доказательство. Сохраняя обозначения, введенные при до-
казательстве утверждения 6.8.17. при достаточно малых значениях
h > 0 имеем
д(Л.) = + 01h.x2 -т h) - Difixi т 0Х я?2))Л. =
= Д12/(-Г1 + 01h,x2 -г 0h)h2,
где 0 < 0i,0 < 1 (последнее равенство справедливо по теореме Лаг-
ранжа). Из непрерывности функции Di2f в точке (ад,т2) следует,
что
С другой стороны, из равенств
сд(Л) = (A/^i + h,x2 + 02Л) - D2f(x1,x2 - 02ft))/i =
= B2i/(zi + Oh. x2 -r- 92h)h2.
где 0 < 02.0 < 1. а также непрерывности функции Dxtf в точке
(,Г1.Т2), выводим, что
limn ППГ = £>2i/(xi.x2).
Л—>0 П*
Значит, Di2f(xx,x2) = D21f(x}.x2).
6.8.20. Замечание. Можно доказать, что из существования
частных производных Dif. D2f, D[2f в некоторой окрестности точки
(.Г1,т2) и непрерывности производной Di2f в точке (.тд.ад) следует
существование частной производной D2if в этой точке и равенство
А2/(Ж1,Х2) = D2Jf(x}.X2).
6.8.21. Определение. Пусть f — вещественная функция, к
раз дифференцируемая в точке х G Rn. Тогда дифференциалом к-
го порядка функции f в точке х называется функция dkf. такая,
что \/h € Rn
n
dkfW= Dl}....,kf(x)htl...hlk. h = (hi..hn).
д 4 = 1
6.8.22. Замечание. В сформулированном определении обычно
считают, что h = (hi..hn) — приращение аргумента х = (ад......
х„). так что можно положить h, - dxj. i — 1..п. и тогда
dkf(h)= ^2 D4.........,kf{x)dxy--dxk.
!1..4-1
В частности, при к = 1
n n
d'fth) ^df(h) = ^Drf(x)h, =Y.D'f^dx> = f'^h-
7 1 7 1
430
Глава VI
поскольку
|/'(т)] = grad/(x) = (Г>1/(т).Е>„/(т)).
Дифференциал А-го порядка можно представить в символичес-
кой форме записи, а именно:
/ п д \ к
dkf(h)= '
при этом считаем, что
Из определения 6.8.21 также следует, что
,_. м
dkf(h) = Е 7VyDxfH(dX)\
1А|-А- '
где h = dx = (dxi.......dxn) и (dx)x — (c?Ti)A1 • • (dxn')Xn: A =
= (Ai....An).
Заметим еще, что дифференциал А-го порядка dkf при А > 2.
вообще говоря, не обладает свойством инвариантности формы (в от-
личие от случая к -- 1 — см. следствие 6.7.12).
Действительно, как показано ранее, это будет так даже в случае,
когда п - 1.
6.9. Локальные экстремумы
6.9.1. Определение. Пусть Е С R"; f: Е —> R; то € Е. Гово-
рят. что функция f имеет в точке ти локальный максимум (локаль-
ный минимум), если существует окрестность П(то) точки т0, такая,
что Vt е (Д(т0) ПЕ) /(т) < /(т0) (/(.г) > /(то)). Говорят, что функ-
ция / имеет в точке То локальный экстремум, если она имеет в этой
точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.
6.9.2. Определение. При условиях определения 6.9.1 гово-
рят. что функция / имеет в точке ;г0 строгий локальный максимум
(строгий локальный минимум), если существует проколотая окрест-
ность С'(.го) точки то- такая, что Ут € (L'(tq) Г Е) f(x) < /(т0)
(/(т) > /(то)). Говорят также, что функция / имеет в точке То
строгий локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо
строгий локальный максимум, либо строгий локальный минимум.
Необходимое условие существования локального
экстремума
Пусть Е открыто в IR": /: Е -г IR. и пусть функция f имеет в
точке То Е Е локальный экстремум. Если, кроме того, при некото-
ром значении j £ существует частная производная Djf(xo). то
эта производная равна нулю.
Функции многих вещественных переменных
431
Доказательство. Положим 'Pj(x) = .. rj°\. г, г(°\,
..., 2?п°Ь- гДе xo = (г^, • • .Жп°Ь и |г — zj°^| < д (так как Е откры-
то в Rn и Zq G Е. то существует 5 > 0, такое, что из неравенст-
ва |x-zj°)| < <5 следует, что (г^0).rj°.\, г, г^р... ,г„0)) G Е).
Уменьшая, если требуется, это значение 6 > 0, можно считать, что
при условии |г - zj0)| < <5 разность ф/г) - /(х0) = <р7(г) - </>,(г(0))
сохраняет знак. Это означает, что функция ipj имеет в точке х^
локальный экстремум. При этом ipj дифференцируема в этой точке,
поскольку = Djf(xo)- Согласно теореме Ферма Djf(x0) =
= ф)(^0)) = О-
6.9.3. Определение. Если Djffxo) = 0, j = 1,..., п. то точка
Го называется стационарной точкой для функции f.
6.9.4. Замечание. Если функция f дифференцируема в точ-
ке го и имеет в этой точке локальный экстремум, то Djf(xo) = О,
j = 1.....П (т.е. grad/(ro) = 0П). Это означает, что го — стацио-
нарная точка для функции f.
6.9.5. Утверждение. Пусть U — открытый шар в Rn; f:
U* —> IR (U* — замкнутый шар того же радиуса с центром в той же
точке): f непрерывна на U* и дифференцируема на U. Если, кроме
того, функция f постоянна на границе U* \U шара U, то Зго G U:
grad/(r0) = 0п.
Доказательство. Так как функция f непрерывна на ком-
пакте U*. то Зго € U*: Ух € U* f(x) /(гу) и Зг0 G U*: Ух е U*
f(x) /(io)- Если г0 = Го. то /(io) = /(io) и поэтому функ-
ция / постоянна на замкнутом шаре U*. В этом случае Ух G U
grad/(г) = 9П. Пусть го / iy. и пусть значение с € IR выбрано так,
чтобы Ух € (С* \ U) f(x) = с = const.
Если го € U. то функция / имеет в точке Го локальный минимум
и согласно замечанию 6.9.4 grad /(го) = 9П. так что можно положить
го = го. Если же го € U. то функция / имеет в точке го локальный
максимум и grad/(io) - 9П. так что можно положить го = io- Если,
наконец, го U и io U. то го € (17* \ U) и го G (С/* \ U). и поэтому
/(io) - /(io) " с. Значит, функция / постоянна на U*. так что
Ух G U grad/(г) = 9П. Заметим, что в случае п — 1 утверждение
6.9.5 следует из теоремы Ролля.
6.9.6. Пример. Пусть п — 2 и У(г1.гг) 6 R2 /(Г1.Г2) =
= 2’1 — г|. и пусть Го = (0.0). Тогда Z?i/(0.0) = Рг/(0.0) - 0. так
что (0, 0) — стационарная точка для функции /. Однако f не имеет
в этой точке локального экстремума, поскольку функция /i(zi) =
= /(ri.O) = г, имеет в точке ri = 0 строгий локальный минимум,
а функция /2(22) = /(О.Гг) = —2’2 имеет в точке Г2 = 0 строгий
локальный максимум.
432
Глава VI
6.9.7. Определение. Пусть а/ИУ £ R. д.ц - 1..п. и пусть
Vh = (/и....h„ € Rn
п
Q(Jt) —
Ц.У — 1
Тогда функция Q: R” —> R называется квадратичной формой над
полем R. а матрица А = — матрицей этой квадратичной
формы.
6.9.8. Следствие. Всегда Q(0n) = 0. Кроме того. Q — непре-
рывная функция на Rn.
6.9.9. Замечание. Далее будем предполагать, что матрица А
симметрическая, т. е. ам„ = а^, при д р: д. ц = 1.п (этого всег-
да можно добиться, если при д А v и А изменить значения
аД1/ и ctpp, положив их равными |(аМР + д.р = 1.........п; при
этом значение формы Q(h) Vh е Rn не изменится).
6.9.10. Определение. Если V/i £ Rn:
(h / 0n) => (Q(ft) > 0)
(соответственно (<2(/i) < 0). то квадратичная форма Q называется
положительно (отрицательно) определенной.
Критерий Сильвестра положительной определенности
квадратичной формы
Квадратичная форма
п
Q(h') — (ifuAi/ihi/
/jm=i
с симметрической матрицей является положительно определенной в
том и только в том случае, когда все главные угловые миноры ее
матрицы больше нуля.
Доказательство критерия Сильвестра обычно приводится в кур-
се алгебры.
6.9.11. Следствие. Квадратичная форма Q(h) с симметричес-
кой матрицей является отрицательно определенной тогда и только
тогда, когда все главные угловые миноры ее матрицы четного по-
рядка положительны, а нечетного порядка - отрицательны.
6.9.12. Замечание. Если Q — положительно определенная
квадратичная форма, то будем писать Q > 0: если же Q — отрица-
тельно определенная квадратичная форма, то будем писать Q < 0.
6.9.13. Замечание. Пусть f — вещественная функция, дваж-
ды дифференцируемая в точке .Гц £ R". и пусть Vh £ R"
п
Q(h) = ^2 Dnuf(xo)hfth„.
Функции многих вещественных переменных
433
Тогда согласно утверждению 6.8.17 D^f(xo) = Dl,M/(xo). /z, и =
= 1,.... п. так что Q — квадратичная форма с симметрической мат-
рицей. При этом V/i € R" Q(/i) = rf2/(/i).
Достаточное условие существования строгого локального
экстремума
Пусть f — вещественная функция, дважды дифференцируемая
на открытом шаре U С Rn. и пусть все частные производные Dvp,f
непрерывны в точке хо € U, щи = 1,.... п, являющейся стационар-
ной точкой для функции f. Тогда, если
QW = 52
— положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма,
то функция f имеет в точке xq строгий локальный минимум (строгий
локальный максимум). Если же Q — неопределенная квадратичная
форма (т. е. ЭН*, h** € Rn: Q(h*)Q(h**) < 0), то функция f не имеет
в точке Хо локального экстремума.
Доказательство. Согласно формуле Тейлора Vt £ U
f(x) - f(x0) =
у— „ v xA V- Dxf(x0-^X~ X0))
= У J Dxf(x0)(x - Xq) + У 4 -------(.r-To)
A|-l IAI-2
где 0 < £ < 1.
Так как x0 — стационарная точка для функции f, то при |А| = 1
Dxf(x0) = 0, так что, если положить h = х - То = (Л1.hn). то
\ -^а/(То + f)(x - Tq)) Л
/W - /Ы = У J -----------—---------(х - Т0) =
|А - 2 1 Л
= ^2 D^f(xo - s.h)hflh^ + -г $/г)Л2.
м.^=1 '=!
Последнее выражение можно представить в виде
1 "
/(т0 h) - /(то) = 2 52
Пусть Q > 0. тогда из критерия Сильвестра и непрерывности
частных производных D^f. ц.и = 1......п. в точке то следует, что
3d > 0: Пд(то) G U и Му € С/(т0) квадратичная форма
п
положительно определена.
434
Глава VI
Полагая у ~ х0 + £(х - .т0). получаем, что V.r £ Us(x0) f(x) >
> f(xo)- Это означает, что функция / имеет в точке xq строгий
локальный минимум. Если Q < 0. то — Q > 0. и поэтому функция
—f имеет в точке Xq строгий локальный минимум. Значит, функция
f имеет в точке то строгий локальный максимум.
Пусть Q — неопределенная квадратичная форма, и пусть h*.
h** £ Rn и Q(h*) > 0 > Q(/i**). При достаточно малом '6 > 0 можно
утверждать, что при |i| < 5. t £ R. ад т th* € U и ад — th** £ U.
Положим Vf € (—<5.6)gi(i) = /(то — th*): дг(А) = /(^o + th**),
тогда
g'At) = ^D,f(x0-th*)ht и g'2(t) = ^/Dl/f(x0 + th**)ht*.
i/-l Г-1
где h* = (h*...h*n): h** = {h**.h*n*). Поэтому g{(0) =-- g'2(0) = 0
и при |i| < 8
n
g"(t) = E D^f)x^th*)h*,hl.
Аналогично.
n
g’^t) = E D,vj\x^ th**)h*;hlV
p..v—\
Значит.
n
<//(0) = E D,J\x{i)h^h*v --- Q(h*) > 0:
fi.l/— 1
n
s"(0) = E D^xoih^IC = Q(h**} < 0.
(J.iv- 1
Это означает, что функция gi имеет в точке t -- 0 строгий локаль-
ный минимум, а функция д2 имеет в этой точке строгий локальный
максимум. Отсюда следует, что функция / не имеет в точке ад ло-
кального экстремума.
6.9.14. Замечание. Если при остальных условиях доказан-
ного утверждения Q - нолуопределенпая квадратичная форма (г. е.
V/i £ R" Q(h) 0 или VA € R" Q(h) < 0). то относительно существо-
вания и типа локального экстремума функции f в точке .го. вообще
говоря, ничего сказать нельзя.
6.9.15. Пример. Пусть п - 2 и Д(.с) -= ,1’j - (.гд — .гд)2.
А' € {0: 3: 4}; .1’ = (ту . .гд). Тогда, если Q*. — соответствующая квадра-
тичная форма для функции Д (в предположении, что лд = (0. 0)). то
Qk{h) = 2(fti - /?2)2 при А- £ {0:3:4}. где h = (/?i./?2). Форма Qi яв-
ляется пол\-определенной (она не зависит от А), однако не является
Функции многих вещественных переменных
435
ни положительно, ни отрицательно определенной. При этом функ-
ция /о имеет в точке Тц локальный (нестрогий) минимум, функция
/з не имеет в точке tq локального экстремума, а функция /4 имеет
в точке 2?о строгий локальный минимум.
6.9.16. Замечание. Обобщая предыдущие рассуждения, мож-
но доказать, что условие дифференцируемости дважды функции f
на открытом шаре U и непрерывности частных производных второ-
го порядка Dltt/f в стационарной точке то 6 U этой функции можно
заменить условием дифференцируемости f на U и её дифференци-
руемости дважды в стационарной точке xq е U функции /. При
выполнении остальных условий доказанное выше утверждение оста-
ется справедливым.
Условные экстремумы
Далее будем предполагать, что Е открыто в Rn: f: Е —> R:
функция f непрерывно дифференцируема на Е: у = (^i.......РтУ
Е —> Rm: функция р непрерывно дифференцируема на Е.
6.9.17. Определение. Говорят, что в точке д0 £ Е функция /
имеет локальный минимум при наличии уравнений связи (дополни-
тельных условий) рДт) = ... - фт(х) = 0. если р(хо) = 8т € R™ и
существует окрестность U С Е точки хи. такая, что (ГПГ-_1(Й„,))
± 0 и
/(до) = inf{/(x) I X е (U П ^“’(б'т))}.
Аналогично определяется локальный максимум функции / при
наличии уравнений связи ^i(t) = ... = = 0. Локальные мак-
симум и минимум при наличии уравнений связи называются услов-
ным локальным экстремумом.
Аналогичным образом определяются строгие локальный мини-
мум и локальный максимум при наличии уравнений связи, а также
строгий условный локальный экстремум.
Необходимое условие существования условного
локального экстремума
Пусть функция f имеет в точке т0 условный локальный экстре-
мум при наличии уравнений связи рД.г) = ... = Ут(уУ = 0. и пусть
rang[p'(.T())] = m < п. Тогда существуют однозначно определенные
числа А]....Аш £ 1R. удовлетворяющие системе уравнений
ГН
Dj/Ы - 52 А'^т'(^о) -=0 j = 1.......п.
г-1
или. эквивалентно.
m
grad/(то) = 52 Л’ gradA/(-^o)-
} 1
436
Глава VI
Доказательство. По условию, ^(xq) = вт т.е. xq G <г-1(#т)-
Поскольку матрица содержит т строк и п столбцов, то усло-
вие rang^'^o)] = т < п означает, что она имеет максимальный
ранг. Значит, эта матрица содержит т линейно независимых столб-
цов. Пусть, для определенности, первые т столбцов матрицы
(<^'(а?о)] линейно независимы, т.е.
....)
если положить х = (xj...., агп).
Пусть ,41 — матрица, образованная первыми т столбцами мат-
рицы тогда det Ai 0. Положим х§ = (а,Ь). где а £ Rm
и b € и воспользуемся теоремой о неявной функции. Так
как ^>(а, Ь) = вт и <р непрерывно дифференцируема на Е, причем
det Ai 0, то согласно этой теореме существует окрестность W С
С Rn~"' точки Ь и единственная функция д: W —> R™ непрерывно
дифференцируемая в окрестности W и такая, что д(Ь) = a\Vy € W
(5(у).у) € Е и <р(д(у).у) = ет-
Окрестность W можно выбрать столь малой, чтобы Vy G W
(д(у).у) € U (здесь U — окрестность точки .то = (a.b), фигурирую-
щая в определении 6.9.17 условного локального экстремума). Пусть,
для определенности, функция f имеет в точке .г о условный локаль-
ный минимум, тогда
f(x0) = inf {f(g(y). у) | у € И7}.
Действительно, с учетом определения 6.9.17 для обоснования этого
равенства достаточно заметить, что при у G W х = (д(у), у) € (С/ О
Полагая h(y) = f(g(y).y), где у 6 ВЛ имеем h(b) ~ f(a.b) =
= f(xo). и поэтому функция h имеет в точке b локальный минимум.
Эта функция непрерывно дифференцируема в окрестности W как
композиция непрерывно дифференцируемых функций. Согласно не-
обходимому условию существования локального экстремума
grad/?(6) -= [й'(Ь)| = [/'(аД)]А = grad/(;r0)A = (0),
где (0) — вектор-строка размерности п — т, все компоненты которой
равны нулю: А = [г'({>)] — матрица размера п х (п — т) и Vy £
€ И-’ ы(г/) = (д(у).у) (при этом v(b) = (a.b) = х0 и Vy & В7 h(y) =
= fMy)))-
Так как Vy £ В” -^(с(у)) = вт. то по теореме о производной ком-
позиции дифференцируемых отображений Vy £ В7 |^'(v(i/))][v/(?/)] =
= (0), где (0) — матрица размера т х (п — т). все элементы которой
равны нулю (при этом [д'(ц’(?/))] — матрица размера тхп. а [ы'(г/)] —
матрица размера п х (п — т)). Кроме того, матрица А — [ь’'(&)]
Функции многих вещественных переменных
437
устроена следующим образом: её первые m строк образуют матрицу
[У(5)] размера тх (п т). а последующие n — тп строк — единичную
матрицу размера (п — m) х (п — т).
Значит, вектор-строка grad f(xo) является решением однородной
системы линейных уравнений с матрицей коэффициентов А, для ко-
торой rang А = п — т.
С другой стороны, полагая у = b € IV получаем, что [</(u'(b))] х
x[v'(b)| = [^'(zo)]A = (0). где. как и выше. (0) — нулевая матрица
размера т х (п — т). Это равенство означает, что строки матрицы
|^г/(я'о)] (таких строк ровно т) являются решениями той же одно-
родной линейной системы. Так как rang А = п — т. то максимальное
число линейно независимых решений этой системы равно т. По-
скольку
д\*Е ]...)
то т строк матрицы [^'(xq)] линейно независимы. Поэтому любое
решение рассматриваемой системы является линейной комбинацией
этих строк с однозначно определенными коэффициентами. В част-
ности, 3!А]...Am G R. :
т
grad/(r0) = ^2 A, grad^j(-To).
г-1
6.9.18. Замечание. Числа At...Хт. существование которых
доказано выше, называются множителями Лагранжа. Для нахож-
дения возможных точек условного экстремума функции f следует
решить систему т - п уравнений с т — п неизвестными ад......хп.
А]..... Хт:
' V1(3’1...z„) = 0:
г Ат (Т1....Тп ) = 0:
т
....С„) = ....T„). j 1......ri.
< г 1
Если сущеетвует хотя бы одна точка zq = (-щ.....) условного
локального экстремума функции /. то эта система имеет хотя бы
одно решение (в предположении, что rang[.^'(.ro)| - т < п).
Найдя из этой системы значения .то = (-Т].z„) и Ai....Х„, G
G К. следует исследовать полученные точки .го па экстремум, чго
делается с помощью соответствующей квадратичной формы
и
QW = 52 D.jL^h.hj.
438
Глава VI
Здесь
т
L = f — У ^t'Pi
— функция Лагранжа, для которой DjL(xo) = 0, j = 1,.. ..п, так
что хо — стационарная точка функции L. При этом Vrr е ^~1(6|т)
L(x) = /(ж).
Квадратичную форму Q нужно исследовать на положительную
(или отрицательную) определенность при условии, что переменные
hi....hn связаны линейными соотношениями
п
Dj^piixo'jhj = 0. i = 1,..., т.
j=i
Выражая из этих соотношений hi.....hm через hm^i.....hn (что
Q / \
делается однозначно, если (а~о) /: 0). и подставляя по-
д{х1,....хт)
лучившиеся выражения в Q(h), получаем квадратичную форму Q
от п - т переменных Лт+1....,/гп, которая исследуется обычным
образом (в предположении, что f и дважды дифференцируемы
в некоторой окрестности точки хо) Обоснование этого алгоритма
можно найти в [10; т. I; с. 529-531].
Такой метод нахождения точек условного экстремума называ-
ется методом множителей Лагранжа.
Заметим, что если исходная квадратичная форма Q положи-
тельно (отрицательно) определена, то таким же свойством обладает
и форма Q. Таким образом, при этом условии нет необходимости пе-
реходить к форме Q. так как можно сразу утверждать, что в точке
а"о функция f будет иметь строгий условный локальный минимум
(строгий условный локальный максимум).
6.9.19. Пример. Пусть ау- > 0. j = 1...п. и пусть
п
Пь = 1
7=1
Покажем, что тогда
Для этого положим при п 2
п
...%„) =
7=1
тогда /: Е -э R, где Е = {(ад..хп) е Rrl: ау > 0:у = 1..п} —
открытое множество в R'1.
Функции многих вещественных переменных
439
Далее положим \/х = (xi,.... хп) € Е
п
= 'гСп.....М = - 1.
тогда р: Е —> Ж (случай, когда m = 1 < п). При этом обе функции
f и р непрерывно дифференцируемы на Е.
Для нахождения точек условного локального экстремума функ-
ции f при наличии уравнения связи
п
г(^1...xn) S - 1 = О
j -1
рассмотрим систему п — 1 уравнений с п — 1 неизвестными дд.хп.
имеющую вид
Здесь мы учитываем, что в условиях примера m = 1:
1 п
Dj+rtxi.....хп) - — Djf(xi....х„) = 1. j = 1....п.
Xj k- i
Из этой системы получаем, что Xj -= Л], j -= 1..и. Так как
значение Ai не зависит от индекса j G N,,. то Xi = ... = хп > 0.
и поскольку .i’i....Tn = 1. то дд = ... = хп - 1. Это означает, что
.то - (1....Д) £ R": А] = 1.
Далее.
п / п \
....ХП) = Е<7 - П Э - 1 '
—1 /
гак что П,7£(д'О) = -1. i.j - 1.....п: i / j: DjjL(xo) = 0. j =
1...п. Поэтому
п
Q(h)= - £ h,hr
'J-i
J
Переменные hi......h„ должны быть связаны линейным соотноше-
нием hi — ... - hn = 0.
При наших условиях матрица [Д(.то)] = (1.....1) с R". так что
эта матрица имеет максимальный ранг, равный 1.
Далее, hi = -(Лг - - h„). так что
/ \ 2
/ п \ п
....hn) Ем -ЕЛ^°-
/ J 2
440
Г л а в a VI
причем Q(hi} • • • hn) = 0 тогда и только тогда, когда = ... =
= hn = 0.
Это означает, что квадратичная форма Q положительно опреде-
лена. Значит, функция f имеет в точке (1...., 1) 6 R” строгий услов-
ный локальный минимум при наличии уравнения связи Xi xn = 1.
Так как /(1....1) = п. то это означает, что из условий Xj > 0,
j = 1.....n; x\--xn = 1, всегда следует, что f(xi.... ,xn) = Xi +
—... + xn n, причем равенство имеет место лишь в случае, когда
= ... = Xn = 1.
6.9.20. Следствие. Пусть ср > 0, j = 1....п. Тогда справед-
ливо неравенство Коши между средним арифметическим и средним
геометрическим п положительных чисел ср,... ,an, а именно:
/ \ 1 /тг
~2^а^ ИМ
j-1 v=i /
причем равенство имеет место лишь тогда, когда сц = ... = an.
Доказательство. Пусть
Р =
0.
тогда, полагая Xj = aj/P > 0, ji = 1.n. можно утверждать, что
7-1
Значит,
п.
Равенство имеет место лишь тогда, когда Xi --=
ср = ... = ап = Р.
= 1, т.е.
Глава VII Интегралы, зависящие
от параметра
7.1. Собственные интегралы, зависящие
от параметра
Пусть к е N, к 2, и пусть ук = [ai&i] х ... х где aj < bj,
j = 1....к. Пусть, далее. Уу = х ... х |а7.67] — /-мерный
сегмент в RJ. j = 1...к, и пусть f: Ук —> R.
Теорема о непрерывности собственного интеграла,
зависящего от параметров
Если V(.T1..Xfr-i) е М-1
ГЬк
.....п-1) = / /(.г,...п-ьпОг/п
•'«1
и функция f: У к -> R непрерывна на У\-. то функция fh—1 непре-
рывна на У к- 1-
Доказательство. Множество Уу замкнуто и ограничено, и
поэтому компактно в R-7. j = 1.к. Так как функция f непрерыв-
на па компакте Ук- то по теореме Кантора она равномерно непре-
рывна на нем. т.е. V; > С) 35 > 0: V.r — (тд....z>) t Ук it -=
= (fl....tk) ё Ук-
di - fii < <5) => (i/и - /а)| < —.
\ t>k - щ. /
Если ПОЛОЖИТЬ tk = -Тк. то получим, что при условии
|(.г’1................-М-i) - (П....^-1)1| < й
1/(^1....Л’а—j-.гд.) ~/(fi.Д_1..тД' < -—г .
Ьк - ак-
тах. что справедливы соотношения
I/a-iOt....-г’А-1) -A-i(fi...=
fbk I
=~ / (/(.rj....Tt-i-Tfr) -/(fl...fA-i..rfr)) di'ki
•f"*- I
442
Глава VII
.,xk-i,xk) - f(ti....tk^1.xk)\dxk
Л ₽
/ —------dxk = £.
ak bk~ak
Так как (zi...xk-i) € Ук-i и (A..At—1) € Ук-1- то это озна-
чает, что функция /fc-i равномерно непрерывна на (А — 1)-мерном
сегменте J4-1-
Продолжим этот процесс далее, полагая V(zi.ад—1) € Jt-i
ГЬк-1
fк — З^Х[. . . . . Тк 2) — I %k— 1) dxk — i
Jak-1
(здесь к 3).
В общем случае
Л
Л-1(^1....А-1) = / Л(-Т1.......x^i.Xj^dXj, j = 2,....k.
Jaj
При j = 1, проинтегрировав функцию j\ по отрезку [ai,A], по-
лучим число /о- которое называется повторным интегралом от функ-
ции f по A-мерному сегменту Ук. Этот интеграл записывается в виде
гь1 I СЬ2 [Ьк-1 / fbk \ \
/о = / I/ •••/ I/ ...................хк)... dxk j dxk^! ... j dx!.
Jai \A2 J°k-1 \yak / /
При таких условиях интегрируем сначала по хк. затем по хк-1 и т. д.,
пока не дойдем до интеграла по Дь Если интегрировать функцию f в
каком-либо ином порядке (скажем, сначала по х^ затем по х,2 и т. д.,
пока не дойдем до интеграла по дц: здесь (ц....ik) — некоторая
перестановка индексов 1,.... Аг), то всего получим к\ способов выбора
порядка интегрирований.
Теорема Фубини для функции, непрерывной на А-мерном
сегменте
Пусть функция f: Ук -л IR непрерывна на Ук. и пусть /0 ~ чис~
.70. полученное после к-кратного интегрирования функции f. осу-
ществленного одним из А! возможных способов. Тогда f0 — f0 при
любом выборе порядка интегрирования.
Доказательство. При А — 2 утверждение теоремы будет до-
казано ниже. При А > 2 это утверждение следует из его справедли-
вости при А = 2 и известной теоремы о представлении произвольной
перестановки в виде произведения конечного числа транспозиций.
7.1.1. Замечание. В случае, когда /: Ук —> С и f непрерывна
на Ук. полагая / = u iv. где и. г: Ук —> R. можно утверждать, что
Интегралы, зависящие от параметра
443
обе функции v и V непрерывны на Ук. причем
/ f(x)dx = / u(x)dx-ri I v[x)dx.
Jyk hk
где два последних интеграла суть общие значения всех А'! повтор-
ных интегралов по fc-мерному сегменту Ук от функций и и v. Так,
определенный интеграл fy f(x) dx называется А-кратным интегра-
лом от функции f по A-мерному сегменту Ук (для кратности пола-
гаем х ~ (Х1...Xk): dx = dxi -dxk). Методом индукции по к е N
легко показать, что
[ f(x)dx [ \f(x)\dx
'Ук •'Ук
(при к = 1 это неравенство доказано выше).
7.1.2. Определение. Пусть ft R*’ —> С. Теша замыкание
множества {г е RA j /(х) 0} называется носителем функции f.
7.1.3. Утверждение. Функция f: Rk —> С имеет компактный
носитель тогда и только тогда, когда существует k-мерный сегмент
У к, такой, что Va* G (RA' \ J4) f(x) =0 (в предположении, что f 0
в
Доказательство. Из определения 7.1.2 следует, что носитель
f — замкнутое множество (и притом непустое, если / 0 в Rfc).
Справедливость утверждения 7.1.3 вытекает из критерия компакт-
ности в пространстве RA.
Пусть f — непрерывная на Д'*' функция (вещественная или ком-
плексная) с компактным носителем, и пусть Ук — A-мерный сегмент,
содержащий носитель функции f. Положим
I f(x)dx = I f(x)dx.
№ Jyk
Нетрудно проверить, что так определенный интеграл не зависит
от выбора к-мерного сегмента Ук. содержащего носитель функции f.
Теорема о замене переменных в кратном интеграле
Пусть Т — взаимно однозначное непрерывно дифференцируе-
мое отображение открытого множества Е С в пространство ПН.
такое. что \/х G Е ут(х) / 0. и пусть f — вещественная (или ком-
плексная') функция, непрерывная на R*. с компактным носителем,
содержащимся в Т(Е'). Тогда
I f(y)dy - [ f(T(x'))\yT(x)\dx.
J~E J Л1'
где Ут(х) — якобиан отображения Т в точке х.
444
Глава VII
Доказательство. Прежде всего заметим, что если х £ Е, то
следует считать, что f(T(z)) = 0. поскольку носитель f содержится
в Т(Е), и поэтому подинтегральная функция в правой части доказы-
ваемого равенства, по определению, равна нулю при х £ Е. Отсюда
следует, что функция f(T(x))\yT(x)\ непрерывна на Rfe. Действи-
тельно, если Xq G Е, то это функция непрерывна в точке xq, как
композиция и произведение непрерывных функций (при этом Хо —
внутренняя точка Е). Если же ,т0 — внешняя точка Е, то z0 явля-
ется внутренней точкой R* \ Е. и из нашего определения следует,
что f(T(xo))\yT^o)\ = 0. Если, наконец, х0 — граничная точка Е,
то жо Е, поскольку Е открыто, и поэтому /(T(zo))|yr(zo)| = 0.
При этом
lim f(T{x))\yT(x)\ = 0.
.t ->ZQ
zeE\E
и остается доказать, что
lim /(Т(х))|уг(х)| = 0.
xqE
Это равенство следует из того, что существует окрестность W(zq)
точки То, такая, что Vz € (Z7(zq) П Е) f(T(x)) = 0. Чтобы это обос-
новать, предположим противное. Тогда существует последователь-
ность {.тп} точек Е, такая, что хп —> ,tq при п —> ос и /(T(zn)) 0,
п = 1,2...... В частности. Vn € N Т(хп) принадлежит носителю
функции f. Пусть К С Т(Е) — этот носитель, тогда T(z„) S К,
п = 1, 2,.... В силу компактности К существует подпоследователь-
ность {T(zn.)}, для которой lim Т{хп ) = у е К. Значит, у е Т(Е').
к к~>ос
и поэтому 3!z € Е: Т(х) = у. При этом хПк —> .То Е при к —> эс.
Поскольку Vz € Е ут (х) 0. то по теореме об обратной функ-
ции отображение Т-1 непрерывно на множестве Т(Е’), а так как
T(z„J е Т(Е). к = 1.2......то
Jnn T-1(T(znA.)) = = -’’О i Е.
С другой стороны, в силу непрерывности Т-1 в точке у
hmT~\T(xnk)) = Г^у = х&Е
— противоречие.
Таким образом, подиптегральпая функция f(T)\yT\ непрерывна
на RA. Кроме того, эта функция имеет компактный носитель, со-
держащийся в Е. Действительно, условие Vz е Е /(Т(хУ)\ут(х)\ о
эквивалентно условию /(T(z)) / 0, поскольку Vz G Е ут(Е) ф 0. Но-
ситель функции /(Г) совпадает с замыканием множества {z € Е |
f(T(x)) 0}. Как показано выше, граничные точки Е не принадле-
Интегралы, зависящие от параметра
445
жат этому замыканию. Значит, носитель функции f(T) содержится
в Е. и поэтому то же верно и для функции f(T)\yT\.
При условиях теоремы носитель функции f(T) равен и
поэтому этот носитель компактен как образ компактного множества
К при непрерывном отображении Т~г. Итак, интеграл
[ f(T(x))\yT(x)\dx
есть интеграл от непрерывной на R*' функции с компактным носи-
телем. содержащимся в Е.
Пусть сначала к = 1. и пусть Т — взаимно однозначное непре-
рывно дифференцируемое отображение R на R, причем V.r g R
ут(х) = Т'(х) V 0. Тогда либо Vx € R Т'(х) > 0. либо Vx g R
Т'(х) < 0. Пусть, для определенности, имеет место первый случай,
тогда функция Т строго возрастает па R. Если f — непрерывная на
R функция с компактным носителем, то
/ f(y)dy= I f(T(x))T'(x)dx
Jr Jr
согласно следствию из теоремы о замене переменной в интеграле
Римана-Стилтьеса. Во втором случае функция Т строго убывает на
R и согласно тому же следствию
[ f<,y)dy = ~ [ f(T(x))T'(x)dx = [ f(T(x))]T'(x)\dx.
Jr Jr Jr
Если E открыто в R. f непрерывна па R. носитель f компак-
тен и содержится в T(E). где T — непрерывно дифференцируемое и
взаимно однозначное отображение Е в R. причем V.r g Е Т'(уЕ) / 0.
то рассуждения аналогичны.
Рассмотрим теперь общий случай, когда к g N. Если при усло-
виях теоремы Т - простое отображение, то утверждение теоремы
справедливо, поскольку тогда Vx g Е ут(х) = ^.)^{х) ± 0. где Т -
(Т1...7д ) и j. 1 < j < к. - номер компоненты, которую изменя-
ет отображение Т. т. е. Т, (.г) — х,. ; — 1.к: i j\ х - (зц.X),).
Действительно, пусть
G = {(xi..................хА.) I Bt е R:
(л’1...Xj-l.t.Xj-i....хА.) g Е} с Ra’_)
(проекция множества Е). и пусть (хд..................хА.) - фик-
сированный вектор из G. Если
F = {t е R | (.гд...г,_1.л.7у-1...хА.) е Е}.
то /•' 0 и открыто в R. поскольку Е открыто в RA. Применяя к
F утверждение теоремы для отображения Т: F —> R. где Vt g F
446
Глава VII
T(i) = Tj(x!.....Xj-1,t,Xj+i.....xk) = TJ(x'). имеем при t e F
T'(t) = VjTj(x') ± 0, и поэтому справедливость утверждения тео-
ремы для этого случая следует из проведенных выше рассуждений
(при этом функция y?(t) = /(rci,... t,Xj+i........хк), где t € F,
имеет компактный носитель, содержащийся в T(F)); остается лишь
проинтегрировать полученное равенство по лi,..., Xj-i, Xj+1.... ,хк.
Далее, если при условиях теоремы отображение Т — линейное пре-
образование, меняющее местами две компоненты, то утверждение
теоремы справедливо. Действительно, тогда Vx 6 Е ут(х) = —1 Д 0,
так что этот факт следует из того, что Vt е Е фт(ж)| = 1, и из
теоремы Фубини для функции, непрерывной на A-мерном сегменте.
Если утверждение теоремы верно для непрерывно дифференци-
руемых отображений Р и Q и если S = P(Q), то
[ f(z)dz= [ /(Р(уУ)\Ур(у№у =
J-Rk JlP
---- [ /(P(Q(rc)))|yp(Q(o:))| \yQ(x)\dx = [ f(S(x))\ys(x)\dx.
JRk
поскольку
yP(Q(x))yQ(x) = det[P'(Q(x))]det[Q'(x)] =
= det[P'(Q(T))Q'O)] = det[S"(rr)] = ys(x).
При этом предполагается, что Va: е Е S(x) дк и отображение S
взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо на Е. Таким
образом, утверждение теоремы верно и для S. При этом из условия
К С P(Q(E’)) следует, что носитель функции f(P) содержится в
Q(E'). так как этот носитель совпадает с Р-1(А') (здесь, как и выше.
К — носитель функции /).
Пусть a G Е, и пусть v(i) = T(t — а) — Т(а), где t е U(9p).
Тогда и — непрерывно дифференцируемое отображение некоторой
окрестности 27(0^.) точки вк в пространство ВА: С’(^а-) = 9к и и'(6к) ~
= T'(a). так что оператор v'(dk) обратим согласно условию
det[T'(a)] = yT(a) 0. По теореме о разложении существует такая
окрестность точки 0к. для всех точек t которой справедливо равенст-
во v(t) = 5a.(Ba.(pa-i(. .. (^i(Bi(t))...) (здесь д,: В, при i = 1.А
выбраны так же. как и в этой теореме). Положим т = [-аё П(а).
где U(n) С Е — некоторая окрестность точки а. Тогда для таких
значений х
Т(т) - Т(а) - fiA-(Sfr(5fc-i(-- • (<7i(Bi(t -а)).. •)•
Пусть V == Т([/(а)), тогда согласно доказанному выше утверж-
дение теоремы справедливо, если К С V. Таким образом, каждая
точка множества Т{Е) (которое открыто в ]RA согласно следствию
из теоремы об обратной функции) имеет окрестность V. такую, что
Интегралы, зависящие от параметра
447
утверждение теоремы выполняется для любой непрерывной функ-
ции f с компактным носителем, содержащимся в V (при этом мно-
жество V также открыто в RA согласно тому же следствию).
Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям теоремы. Тог-
да Vy 6 К существует открытый шар V(у) с центром в точке у и
радиусом г(у). такой, что утверждение теоремы верно для каждой
непрерывной функции с компактным носителем, содержащимся в
П(у). Так как К компактно, то существуют точки yj...ур € К.
р е N. такие, что объединение открытых шаров wt с центрами в
точках у, и радиусами ^r(yt). i = 1,... ,р. содержит К. Пусть 3, —
функция, непрерывная на К.А’. с носителем, содержащимся в П(у,),
такая, что Vy 6 и, 3,(у) - 1. г = 1.p. Положим Qi = 3i и
сц = (1 - 5i) • • • (1 - 5;_1)5I, i = 2.p. Тогда щ ->- ... -г ap =
= 1 — (1 — 5i) •••(! — 5p). Действительно, это равенство верно при
р = 1. Если оно верно для некоторого значения р 6 N. то при
арч-1 = (1 - 51) • • • (1 - 5р)5р+1 имеем
014- ... -г ар |-i — 1 — (1 — 51) ••(! — Зр) -1- (1 — 5]) • (1 — 5р)5р_] =
= 1-(1-51)---(1-5р_1).
р
Далее. Vy е К (1 - 5Ду)) •••(!- 5р(у)) = 0. и поэтому а,(у) = 1.
г= 1
Поскольку носитель 3, содержится в V(yt). то носитель а, также
содержится в V(yt). и поэтому носитель непрерывной па Rfe функции
a,f содержится в V(yt). i = 1.р. Это означает, что утверждение
верно для каждой из функций о,/. i = 1...р. В силу равенства
р
f = V atf и свойства аддитивности интеграла отсюда следует, что
? — 1
утверждение теоремы верно и для функции f.
Теорема об интегрируемости предельной функции
Пусть Е С RAуо Е — предельная точка Е. и пусть f: ([а. Ь]х
хЕ) —> R. Пусть, далее. Vy € Е (у фиксировано) функция f(-r.y)
интегрируема по Риману (непрерывна) на отрезке [а.Ь] и
1/Д
равномерно относительно т Е [а.Ь]. Тогда функция р: (а.Ь] —> R
интегрируема по Риману (непрерывна) на [а.Ь].
Доказательство. Пусть у„ е Е: у„ у0. » 1.2..и пусть
lim у,-, - уо (такая последовательность {у,,} заведомо существует).
Тогда каждая из функций /(.г.у„). .?• 6 [а.Ь]. интегрируема по Ри-
ману (непрерывна) па [а.Ь] и lim f(.r.y„) - р(.г) равномерно отпо-
п—
ептелыю .г € |а. Ь]. Поэтому согласно доказанному выше функция р
интегрируема по Риману (непрерывна) па отрезке [а.Ь].
448
Глава VII
7.1.4. Определение. Пусть Е С Rfc; уо € RA' — предельная
точка Е, и пусть f: ([a, 6] х Е) —> R и Vy б Е функция f(x, у) интег-
рируема по Риману на [а, &]. Положим при у е Е д(у) = f(x. у) dx,
тогда у: Е —> R. При таких условиях говорят, что у(у) — интеграл,
зависящий от параметра у б Е.
Теорема о предельном переходе под знаком собственного
интеграла, зависящего от параметра
При условиях теоремы об интегрируемости предельной функции
Дт / = Дф #(у) = / <p(x)dx.
уев Ja veE Ja
Доказательство. Выше установлено, что <£ б R на [а,&], ес-
ли Vy б Е функция f(x.y) интегрируема по Риману на [аД]. Имеем
Vy е Е
/ f(x.y)dx - / p(x)dx =
J a J a
pb pb
= / - <p(x))dx C / |/(r.y) - ^(x)\dx.
J a J a
Так как
Дт f(x, у) = ^(ж)
yeE
равномерно относительно х б [а. 6]. то Ve > О > 0: Vy £ (7Д(уо) П
ГЕ) Vx б [аД]
|/(ж,у) ->?(ж)| < ——.
о — a
Поэтом}' при таких значениях у
[ \f(x.y) - p(x)\dx
J a
Значит, в обозначениях определения 7.1.4
Дт у(у) = [ ^(.т) dx.
_ j-9 J a
yeE
Теорема о непрерывности собственного интеграла,
зависящего от параметра
Пусть Е С RA; Е — компактно, и пусть f: ([аД] х Е) —> R,
причем f непрерывна на [а Д] х Е. Если Vy б Е
gty) = / f(x- У) dx
J a
то функция д равномерно непрерывна на Е.
Интегралы, зависящие от параметра
449
Доказательство. Имеем ([a,b] х Е) с Rfe-1, причем мно-
жество [а, Ь] х Е замкнуто и ограничено в Rfc+1, поскольку таким
свойством обладает отрезок [а, Ь] (в R) и множество Е (в Rfe). Со-
гласно критерию компактности [а. Ь]хЕ — компактно вй^1. так что
по теореме Кантора функция f равномерно непрерывна на [а. Ь] х Е.
Это означает, что Vs > 0 35 > 0: V(x1, у1)(а?2. J/г) € ([а, Ь] х Е) (здесь
xi,x2 € [а. 6] и уъу2 е Е):
(Рк-1((х1,уА').(х2,у2)) < 5) => (|/(х1.?/1) - /(х2.у2)| < е).
Поскольку при хг = х2 = х € [а, b] Pfc+i((xi.j/i). (х2.у2)) = рк(.У\-У2),
то при условии Pfc(yi,y2) < 5 получаем, что Va; € [а.Ь] pk-i((i,2/i),
{x.yf)) < 5, и поэтому
Ifl’(yi)
(/(Ж.У1) - f{x.y2))dx
Lf(x.yj) ~f(x.y2)ldx ^e(b-a).
J a
Значит, функция g равномерно непрерывна на Е.
7.1.5. Замечание. Утверждение этой теоремы справедливо, в
частности, для случая, когда Е = [a;. bi] х ... х [йц. fyj — fc-мерный
сегмент в В.*'. В этом случае [a.b] х Е — (к + 1)-мерный сегмент
в Rk+1 (оба этих сегмента компактны в пространствах R*' и R*'-1’1
соответственно).
Пусть, например, к = 1 и ai = с; bi = d, тогда Vy € Е = [с. d]
9(У) = I f(x.y)dx
J a
Если положить П = [a.b] x [c,d], то П — замкнутый прямоугольник
в R2 co сторонами, параллельными осям координат. По доказанно-
му выше, если f — вещественная функция, непрерывная на П, то
функция д непрерывна на [с. dj. Далее считаем, что a < b и с < d.
Правило Лейбница
Пусть f: ([a.b] х [с.d]) —> R. и пусть \/у € [с.d] (у фиксировано)
функция f(x.y) интегрируема по Риману на отрезке [а.Ь]. Пусть,
df г
далее, существует частная производная —. непрерывная на а. b х
х[с. d]. Если Vy € [с. d]
ь
Ja
то функция д непрерывно дифференцируема на [с. d] и Vy € [с. d]
rb df
— (.г. у) dx.
д\у) =
450
Глава VII
Доказательство. При условиях теоремы частная производ-
df,x
ная —(хо-уф понимается в определенном выше смысле, если
ду
(хо-Уо) ~ внутренняя точка П =
граничная точка П. то
df, \ г
-^-(х0,Уо ) = hm
ду v^vo
[а, b] х [с,с?]. Если же (то,уо) —
f(x0.y) - f(xo.yo)
У - Z/o
Пусть у G [с. с?] (г/ фиксирован), и пусть t G [с. rf] и t / у, тогда
g(t) -g(y)
t - У
= f‘-/м ravMdl.
L t-г J, dy'
где £ G A(i.y) (по теореме Лагранжа). По теореме Кантора Vs > 0
35 > 0: V(.ri.yi).(a:2.y2) ё ((mb] х [c.d]):
(p2((xi.?/i). (а-2.х/г)) < 5) =>
( df, . df .
^-(j-i-gi) - -Г2-г/2)
V ду ду
Если 0 < \t - у\ < 5. то р2((х.&.(х.уУ) = - у\ \t - у\ < 5.
и поэтому
Значит.
f~y Ja ду
При этом согласно теореме о непрерывности интеграла, зависящего
от параметра, функция д' непрерывна па отрезке [с. d]. Это означает,
что д непрерывно дифференцируема на [с. (/].
7.1.6. Утверждение. Пусть f - вещественная функция, не-
прерывная на замкнутом прямоугольнике [а.Ь] х |с.rf|. Тогла
f{x.y)dx
dy.
Доказательство. Достаточно показать, что \/h G [с. cf]
Г1(^) -- -Г2(Ь). где
Г!(^) = \J f(x.y)dy) dx и = у И f(x.y)d.Tj dy
Интегралы, зависящие от параметра
451
(тогда при h = d получим утверждение). При h = с <£i(c) = у>2(с) =
= 0. Пусть - <р2, тогда р(с) = 0. Далее, УЛ е [с. </]
= f(x. h)
по теореме о производной интеграла как функции верхнего предела
интегрирования. Поэтому согласно правилу Лейбница
гъ
J a
Поскольку ДЬ fix, у) dx — непрерывная функция параметра у G [с, d],
то по этой же теореме
ь
Значит, УД е (с,d] Д(Л) = р'ДЛ) - ~ °- так чт0 rW =
= const = <р(с) = 0, т.е. >Р1(Л) =
7.1.7. Замечание. Утверждение 7.1.6 — частный случай теоре-
мы Фубини для функции, непрерывной на fc-мерном сегменте (слу-
чай к = 2).
Интеграл Дирихле
Рассмотрим интеграл
sin а; ,
----dx.
х
Этот интеграл сходится по признаку Дирихле и называется интег-
ралом Дирихле.
7.1.8. Утверждение.
/+эс sin# , тг
Jo х 2
Доказательство. Пусть А > 0. и пусть Ч(х.у) G ([0.А] х
х(0, A]) f(x.y) — е~ху sinz. Тогда функция f непрерывна на квад-
рате [0. А] х [0. А] и поэтому
[А ( [ e~xysmx
Jo \ Jo
ху sin х dy dx =
— / Sill X
Jo
При этом Ух € (0. А]
Г А
1 — е
х
о
452
Глава VII
Аналогично Vy € [0. А]
ГА
I , 1-е Ау (cos А - у sin А)
/ с vsmx dr —
Jo
Значит. VA > О
ГА
1 + У2
е sinz ,
---------dx =
Jo х Jo х
fA dy ГА е-Лу(со5 А — г/sin А)
о 1 — V2 Jo
1 - У2
fA е -4i/(t/sin А - cos Л)
О
[ 1+У
о 1J/2
1 - У2
, W п 1 + У
(мы учитываем, что Vy 0 --------?
Кроме того.
..la-e-^wo
при А —> +эс (при этом Vz > 0 С 1).
Наконец.
fA dy Гх dy тг
ЛП1эс / = / = arct^lo = 2'
A^—^-Jo 1 У Jo 1 У L
Таким образом.
, Л4 sinz , f430 sinz , тг
hm / dr = —— dx = —.
.4-» ос Jo z Jo x 2
7.1.9. Замечание. Рассмотренное выше правило Лейбница
можно обобщить на случай, когда f — вещественная функция, непре-
рывная на А —1-мерном сегменте Ук~1 = Ук-х [с. где У\- — А'-мерный
сегмент в Rfr. Если, кроме того, существует частная производная
V ж
-т—. непрерывная на ]. то функция
ду
9(У)= [ f(x.y)da\ i/e|c.rf].
Jj-'k
непрерывно дифференцируема на [с. <7] и dy € [с. <7]
У’(У)=[ ~(x.y)dx.
Jyk дУ
Интегралы, зависящие от параметра
453
Теорема о непрерывности интеграла, зависящего
от параметра, для случая переменных пределов
интегрирования
Пусть функция f непрерывна на замкнутом прямоугольнике
[а, Ь] х [с, d], и пусть функции а и 3 непрерывны на [с. d], причем
Vy £ [с, d] а < а(у) < b и а Ь. Если
гв(у)
9{у)= / Ж у) dx. y€[c,dj.
Jody)
то функция д непрерывна на [с. d\.
Доказательство. Пусть у0 € [с.d] (у0 фиксировано). Тогда
Vy е [с. d]
г8(уо) г-3(у) га(эд)
д(у) = / f(x,y)dx-r / f(x.y)dx + / f{x.y)dx.
da(j/g) dm(y)
Первый из этих трех интегралов является непрерывной функ-
цией параметра у Е (с, d] согласно доказанному выше. Пусть
М = sup {\f(x,y)\}.
хЕ [a.b]
ye|r.dj
Тогда М < -гос и
гЗ(у') г#(у) I г8(у)
/ f(x.y)dx / \f(x,y)\dx ОШ dx =
d3(yn) ! 3(у0) |d,3(yo)
= М|й(у) - 0(yo)|-> 0.
при у -> уо; у € [с.d]. Аналогично доказывается, что при у -> уо;
У е [c.d]
Значит, функция д непрерывна в точке у0, и поэтому непрерывна
на [с. d].
Теорема о дифференцируемости интеграла, зависящего
от параметра, для случая переменных пределов
интегрирования
df
Пусть функция f и её частная производная — непрерывны на
замкнутом прямоугольнике (a. 6] х (с, d], и пусть функции а и 3 диф-
ференцируемы на [с. d] и Ч'у е [с. d) a V о(у) С Ь и a С 3(у) V Ь. Если
гЗ(у)
g(y) = f(x.y)dx. ye[c.d].
dn(y)
454
Глава VII
то функция д дифференцируема на [с. d] и Vyo € [с. d]
/•з(уо) я/
у'(уо) / ~x-(x.y0)dx + 3'(уо)/(3(уо)-Уо) - а (уо)/(»(Уо).Уо)-
/«(уо) дУ
Доказательство. Пусть у0 6 |c.d], тогда Vy € [с. d]
1-3(уо) гЗ(у') Нод)
9{У)= f(x.y)dx + f(x,y)dx — f(x.y)dx.
-Mj/q) dj(y0) -My)
Первый из этих интегралов является дифференцируемой функцией
параметра у 6 [с. d] согласно правилу Лейбница, причем производная
этой функции в точке уо равна
гЛ-у°)а/
/ ^-(T.y0)d.r.
Ja(yo) дУ
Пусть Vy € [с. d]
r3(y}
В(у)= / f(x.y)dx.
тогда
В(у) - В(у0) = Ит
у - у0 У^УО у - Уо У3(у0)
1
B'iyo) = Jim
ММ
(с учетом равенства -B(yo) = 0). Согласно первой теореме о среднем
значении
/•3(0
/ f(x.y)dx = f(x*.y)(3{y) - 3(у0)).
Jj(lK))
где значение т* лежит между 3(уо) и 3(у). Если у —> уо. то 3(у) —>
—> З(уо). и поэтому х* -э 3(уо)- Следовательно, /(.г*, у) —> /(3(уо).
Уо). так что
В'Ы= Дт Ж-У) Дт _ ^о) =/(.3(Уо)-Уо)^(Уо)-
«=[<<<] ММ
Аналогично, если Vy € [с. d]
А(у)^- f{.v.y)dx.
то Л'(Уо) =- -/(о(Уо)-Уо)а'(Уо)-
Отсюда следует выражение для производной у'(уо). приведен-
ное выше.
7.1.10. Замечание. Условие непрерывности функции f на за-
мкнутом прямоугольнике [о, 5] х [с. d] при прочих одинаковых усло-
виях теоремы можно заменить на её непрерывность по переменному
Интегралы, зависящие от параметра
455
х € [а, 6] при любом фиксированном у 6 [с, d] (тогда из этих условий
следует непрерывность / на |о,6] х (с, d|).
7.2. Несобственные интегралы, зависящие
от параметра
7.2.1. Определение. Пусть a € R; Y / 0; f : ([а, 4-оо) х У) ->
—> R. Если Yy £ У несобственный интеграл
д(.У) = / f(x,y)dx
J a
сходится, то говорят, что этот интеграл сходится поточечно на мно-
жестве Y.
7.2.2. Определение. Говорят, что несобственный интеграл
p(y) = [ f(x,y)dx
J a
сходится равномерно относительно у £ У (или равномерно на У),
если он сходится поточечно на У и
lim [ f(x,y)dx = д(у)
равномерно относительно у 6 У. или, эквивалентно,
Г
lim sup < / f(x.y)dx
А-+~хуеу I J A
= 0.
Последнее равенство означает, что Vs > 0 ЗЛо > а: УЛ Ло Vy £ У
f(x.y)dx
< £.
Критерий Коши равномерной сходимости несобственного
интеграла, зависящего от параметра
Для того чтобы несобственный интеграл f х f(x. у) dx сходился
равномерно относительно у € У. необходимо и достаточно, чтобы
Vs > 0 ЗЛо > а:
( /'-'г
V.41. Л2 Лп sup < / f(x.y)dx
y£Y J
Действительно, сформулированное условие есть условие крите-
рия Коши равномерной сходимости на множестве У семейства функ-
ций
ру(А)= [ f(x,y)dx, A>a:yeY.
J а
при А -А- —ос.
456
Глава VII
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
несобственного интеграла, зависящего от параметра
Пусть f : ([а, +ос) х У) -> R, и пусть Vy е Y VA > а функция
f(x,y) (у фиксировано) интегрируема по Риману на отрезке [а, А|.
Пусть, далее Vx a Vy £ Y \f(x.y)\ g(x), где g: [а.+эо] —> R
и несобственный интеграл f^xg(x)dx сходится. Тогда, интеграл
f °° f(x.y) dx сходится на множестве Y равномерно и абсолютно
(т.е. Vy £ Y интеграл fn<x \f(x.y)\dx сходится).
Доказательство. Имеем в силу критерия Коши сходимости
интеграла g(x) dx: Ve > 0 3Aq > a: VA-, > Ai Aq
г-4 2
О < / д(х') dx < е.
Ja1
Поэтому Vy Е У
Га2 ГА2 ГА2
/ f(x,y)dx V / \f(x.y)\dx^ / g{x)dx<e.
J Ay J Ay J Ay
Так как значение Aq не зависит от выбора точки у Е У. то при
-4'2 > .41 > Ао
так что f х f{x. у) dx сходится равномерно относительно у Е У со-
гласно критерию Коши равномерной сходимости. Отсюда также
следует, что по критерию Коши Vy С У интеграл |/(.т. y)\dx
сходится.
Признак Дирихле равномерной сходимости
несобственного интеграла, зависящего от параметра
Пусть f: ([а,—ос) х У) —> R. и пусть Vy Е У (у фиксировано)
функция f(x.y) непрерывна по х Е |а.—эс]. Пусть, далее. Э.\1 =
= const > 0: VA > a Vy Е Y
f(.r. у) dx
< Л/.
Если, кроме того, функция д не возрастает на (л. эс) и
lim д(х) — 0.
то несобственный интеграл / х f(x.y)g(x) dx сходится равномерно
на множестве У (вообще говоря, неабсолютно).
Доказательство. Согласно признаку Дирихле несобствен-
ный интеграл f х f(x. у )д(х) dx сходится поточечно на У. Пусть
Интегралы, зависящие от параметра
457
Ао > а выбрано так, чтобы VA > Ао д(А) е/(2Л7), г = const > 0.
Тогда VA2 > 41 > Ло Vy е Y
2Мд(А^ s
(см. доказательство признака Дирихле сходимости несобственного
интеграла). Значит, при таких условиях
так что интеграл /+эс f(x,y)g(x)dx сходится равномерно на Y со-
гласно критерию Коши.
Признак Абеля равномерной сходимости несобственного
интеграла, зависящего от параметра
Пусть интеграл Ja °° f (х, у) dx сходится равномерно относитель-
но у G.Y, и пусть функция д: [«, 4 оо) -> R монотонна и ограничена.
Тогда интеграл f(x. у)д(х) dx также сходится равномерно отно-
сительно у € Y.
Доказательство признака Абеля проводится аналогично доказа-
тельству признака Дирихле.
Признак Дини равномерной сходимости несобственного
интеграла, зависящего от параметра
Пусть функция f непрерывна и неотрицательна на множестве
[а, ~оо) х Y; Y — компакт, и пусть несобственный интеграл
д(.У)= [ f(x,y)dx
сходится поточечно на Y и функция g непрерывна на Y. Тогда этот
интеграл сходится равномерно на Y.
Доказательство. Положим
,9п(у) = / f(x. у) dx. n е N: у ё Y.
J a
тогда каждая из функций gn непрерывна на Y согласно доказанному
выше (следует учесть, что Vn £ N множество [a. a — n] х Y компактно
в пространстве 1 \ если Y — компакт в !>/). Кроме того. Vn € N
Vy е У
gn^i(y) -gn(y) f(x.y)dx^0.
Ja I n
так что gn.. i(y) yn(y) и lim y„(y) g(y).
458
Глава VII
Согласно признаку Дини равномерной сходимости функцио-
нальной последовательности получаем, что последовательность {дп}
сходится при п —> ос к функции д равномерно па У'. т.е.
sup{|5«(y) = sup/ [ -> О
уЕУ У^У {Ja-n J
при п —> ос. Если А a + п, то ту € У
О < [ f(x.y)dx^ [ f(x.y)dx.
JA Ja~n
так ЧТО
О < sup
yev
Это означает, что
lim sup < / /(.г. у) dx > - 0.
А-Ц-ос^у J
Теорема о непрерывности несобственного интеграла,
зависящего от параметра
Пусть функция f непрерывна на множестве |«.^эс) х У: У -
компакт, и пусть интеграл
9(У) = [ f^'-y'fdx
J a
сходится равномерно относительно у с У. Тогда функция д непре-
рывна на У.
Доказательство. Если, как и выше.
дп(у) = / f(x.y)dx. n е N: у е У.
J a
то каждая из функций дп непрерывна на У и последовательность
{р„} сходится к функции д равномерно на У. поскольку
sup{|.?„(y) - д(уУ} - sup
yev yeY
при п -л —ос. Значит, д непрерывна па У.
Правило Лейбница дифференцирования несобственного
интеграла, зависящего от параметра
Пусть функция f и её частная производная ~ непрерывны на
'dy
полунолосе [а.^ос) х [с. с/], и пусть несобственный интеграл
f(x. у) d.r
Интегралы, зависящие от параметра
459
сходится хотя бы в одной точке отрезка [с, d], а интеграл
df,
-^.y)dx
сходится равномерно на [с, d]. Тогда интеграл f ж' f(x, у) dx сходит-
ся на [с, d], функция g дифференцируема на [с. d] и 'dy е [с, d]
а\у) = [ ~dr.y)dx.
Ja ОУ
Доказательство. Пусть an > 0, п = 1,2.и lim an = +ос.
П—>0О
Положим
раф-ап
gn(y)= f(x,y)dx, neN;yeY,
J а
тогда каждая из функций gn дифференцируема на [с, d] и Vy 6 [с. d]
/•a+an Qf
9п^= ~-(x,y)dx
J a Uy
(согласно правилу Лейбница). Кроме того.
sup <! д'М
ve [c,d] I
при n —> оо. Значит, последовательность {у,',} сходится равномерно
на [с. d] к функции, равной
Ja Оу
Так как последовательность {уп} сходится хотя бы в одной точке
отрезка [с. d], то по теореме о почленном дифференцировании функ-
циональной последовательности эта последовательность сходится па
[с. d], т. е. Vy € [с. d]
г'‘‘а„
3 lim gn(y) = lim / f(x,y)dx.
П->Х Ja
Согласно определению предела по Гейне Vy € [с. d]
Я lim / f(x.y)dx = / f(x.y)dx.
A^+xJa JQ
t. e. интеграл
д(у) ~ f f(x.y)dr
J a
сходится на [c. d]. Кроме того, по той же теореме Vy е [с, d]
га' "" Of df
3 lim <4(ур= у'(у) = lim / ~(x.y)dx= ^-(x.y)dx
n-^xja dy Ja dy
(следует еще раз применить определение предела по Гейне).
460
Глава VII
Теорема об изменении порядка интегрирования (один
интеграл — собственный, второй — несобственный)
Пусть функция f непрерывна на полуполосе [cz, -*-оо) х [с,d]. и
пусть интеграл
сходится равномерно на |с. <7]. Тогда
причем все эти интегралы сходятся (или существуют в смысле Ри-
мана).
Доказательство. Согласно доказанному выше функция g
непрерывна на [с.<7]. Поэтому интеграл
rd
d
f(x,y)dx dy
существует в смысле Римана. Далее. Vs > О ЗАо > a: VA Ао
Чу £ [c.d]
/ f(x.y)dx\ <
Ja I d - с
(по определению равномерной сходимости). Если А > Ао, то
f(x.y)dx dy =
Следовательно, при А Ао
/(.r. y)d.r\ dy
Таким образом.
3 lim
Интегралы, зависящие от параметра
461
f(x,у) dx
dy.
7.2.3. Следствие. Пусть функция f непрерывна и неотрица-
тельна на полуполосе [а, +оо) х [с, с/], и пусть интеграл
д(у) = / Жу)Фг
J a
сходится поточечно на [с, d|, причем функция g непрерывна на [с. </].
Тогда справедливо утверждение теоремы.
Действительно, согласно признаку Дини и при условиях следст-
вия интеграл f ж f(x. у) dx сходится равномерно на [с, d\.
Теорема об изменении порядка интегрирования
для неотрицательной подинтегральной функции
(оба интеграла несобственные)
Пусть функция f непрерывна и неотрицательна на множестве
[а,+ос) х [с, 4-ос). и пусть интегралы
д(у) = f(x,y)dx и / f(x,y)dy = /г(т)
J a J с
сходятся на промежутках [с, 4-ос) и [а, 4-ос) соответственно, причем
функции g и h непрерывны на этих промежутках. Тогда из сходи-
мости одного из двух несобственных интегралов
/•Too / /»+ос \ л+ос / /*+ос \
/ ( / f(x.y)dx\ dy и ( f(x.y)dy) dx
J c \J a / J a \J c /
следует сходимость другого и равенство этих интегралов.
Доказательство. Пусть, для определенности.
I ([ f(x,y)dx\ dy
J с \J a /
сходится. Если 4 > а, то
и, если ед >
с. то
dy =
462
Глава VII
\JA / *'с0
Имеем далее: Vc > 0 Зсо > с:
f(x,y)dx ] dy < |.
О
Jco
Так как функция f неотрицательна, то VA
О
и поэтому
а
о
2
интеграл сходится равномерно относительно у е
выбранного значения с> О ЗАо > a: VA Ао
JCQ
На полуполосе [а. — эс) х [с. cq] функция f и её интеграл
fa °° f(x- У) dx удовлетворяют всем условиям признака Дини, соглас-
но которому этот
6 [с.со], т.е. для
Vy е [с, со]
2(с0 - с)'
Значит.
2‘
так что VA Aq
А
dx
Это означает, что
сходится и равен
7.2.4. Замечание. Если /: ([а.— эс) х [с. • эс)) -* R. причем
Vy с {у фиксирован) функция f(x.y) интегрируема по Риману
на любом сегменте вида [а. А]. a V.r а (х фиксирован) эта функ-
ция интегрируема по Риману па любом сегменте вида ]с. с0]. то для
Интегралы, зависящие от параметра
463
справедливости равенства
/* -оо / \ /• -DC / Л -ос \
I \J f(x-y)dy) dx = J (j f(x.y)dx\dy
достаточно, чтобы хотя бы один из повторных несобственных ин-
тегралов
\f{x.y)\dy^
или
dy
был сходящимся (в этом случае другой повторный интеграл также
сходится и они равны). Условие сходимости повторного несобствен-
ного интеграла
|/(аг,?/)|с!у^
dx
означает, что Vr > a
\j\x.y)\dy < +ос и
\f(x.y)\dy
(аналогично формулируется условие сходимости другого повторного
несобственного интеграла).
Сформулированное утверждение — частный случай общей тео-
ремы Фубини. доказываемой в курсе теории меры и интеграла.
Теорема об изменении порядка интегрирования
(общий случай)
Пусть f — вещественная функция, непрерывная на множестве
[а.—ос) х |с. ч-ос). и пусть f х f(x.y)dx сходится равномерно на
любом сегменте вила [с. d], d > с, а интеграл Jc х f(x. у) dy сходится
равномерно на любом сегменте вида [а, 6]. b > а. Если, кроме того,
хотя бы один из несобственных интегралов
f(r-y)dy^ dx или J f(x,y)dx\ dy
сходится равномерно (относительно d € [с. -эс) или Ъ € [л. -ос) со-
ответственно). то
f(x.y)dx dy.
причем все эти интегралы сходятся.
Дока зательство. Пусть b > а и d > с. Положим
464
Глава VII
Если d > с; d фиксировано, то
lim ДЬ,б?) = [ \ [ /(.r,i/)dyj dx = [ ( [ f(x,y)dx\ dy.
b—t+oc Ja c J de \J a /
Если же Ь > a; b фиксировано, то
lim <p(b,d) = / ( [ f(x,y)dx\ dy = [ ( [ f(x,y)dy] dx.
d-^+oo Jc \./a у J a \J c /
Хотя бы в одном из этих двух случаев сходимость на соответствую-
щем бесконечном промежутке будет равномерной. Поэтому согласно
теореме Мура Осгуда
lim ( lim cp(b. d)) = lim ( lim ^(b, d)),
d-+±oc b—>-uoo b~~>4-oc d—>+oc
причем все эти пределы существуют и конечны (что равносильно
утверждению теоремы).
7.2.5. Замечание. Равномерная сходимость хотя бы одного из
указанных в формулировке теоремы несобственных интегралов на
соответствующем бесконечном промежутке следует из предположе-
ния. состоящего в том, что хотя бы один из повторных интегралов
или
конечен.
Действительно, если, например.
то Vd е (с.-*-оо) Vt е [а. —оо)
d
d
\f(x.y)\dy < щоо
и поэтому интеграл
/ У*
сходится равномерно относительно d t (с.--ос) по признаку Вейер-
штрасса равномерной сходимости (это частный случай утверждения,
сформулированного в замечании 7.2.4).
7.2.6. Пример. Пусть
„ , . ] х/п2. если О < х < п;
fn(x) ---- 5 '
(0. если х > п.
тогда fn: [0. —эс) —> R. п = 1,2.причем
sup{|/„(x)|} =- - -> 0 при п эс.
п
Интегралы, зависящие от параметра
465
т.е. последовательность {/п} сходится к функции f = 0 равномерно
на [О.+ос). При этом
так что
/+00 1 г+ж
lim / fn(x)dx = f(x)dx = 0.
п->эо Jo 2 Jo
Этот пример показывает, что одного условия равномерной схо-
димости последовательности {/«.} к предельной функции f недоста-
точно для возможности предельного перехода под знаком несобст-
венного интеграла (в отличие от интеграла Римана-Стилтьеса).
Теорема о предельном переходе под знаком
несобственного интеграла
Пусть {/п} — последовательность вещественных функций, опре-
деленных на бесконечном промежутке [а, +оо), и пусть несобствен-
ный интеграл j'a 30 fn (х) dx сходится равномерно относительно
п 6 N. Если, кроме того, lim fn(x) = f(x) равномерно на любом
п—>ос
сегменте вида [а. А]. А > а, то интеграл х f(x) dx сходится и равен
lim
Доказательство. Согласно первой теореме о предельном пе-
реходе под знаком интеграла Римана-Стилтьеса VA > a f Е 1Z на
[а. А] и
lim / fn(x)dx = / f(x)dx.
J a
Положим
ДА. n) = I fn(x)dx. A > a: n E N.
тогда утверждение теоремы равносильно равенству
lim I lim ДА. п) ) = lim ( lim ДА.?;)).
n—>TC y.l » эс у .4-> < эс \п->эс /
Так как согласно условию
lim ДА.п) = f f„(x)dx
-4 —> ос J п
равномерно относительно n Е N. то справедливость этого равенства
следует из теоремы Мура Осгуда.
466
Глава VII
7.2.7. Замечание. Утверждение теоремы остается справедли-
вым, если предположить, что интеграл fn(x)dx сходится при
п = 1,2,... и
lim / /n(n-)di = / f(x)dx
п ^ос' J а V а
равномерно относительно А € (а, +оо) (при таких условиях для обос-
нования выписанного выше равенства также можно применить те-
орему Мура-Осгуда).
7.2.8. Пример. Нетрудно показать, что
и что каждый из интегралов, стоящих в скобках, сходится равномер-
но на бесконечном промежутке [1,—оо) (следует сравнить условия
этого примера с условиями теоремы об изменении порядка интегри-
рования).
7.2.9. Замечание. Теоремы, аналогичные изложенным выше,
можно сформулировать и доказать и для несобственных интегра-
лов вида
и
Рассмотрим несобственные интегралы второго рода, зависящие
от параметра. Пусть /: ([a. b) х [с. d]) -> R. и пусть Vy Е [с. d] (у
фиксировано) b — единственная особая точка функции f(x. у). Если
Vy 6 [с, d] несобственный интеграл второго рода
9(у) = [ f{x.y}dx
J а
сходится, то говорят, что он сходится поточечно на отрезке [с, d].
7.2.10. Определение. Несобственный интеграл fb f(x.y)dx
называется равномерно сходящимся относительно у е [с, d] (или схо-
дящимся равномерно на [с. d|). если он сходится поточечно на [с, d] и
lim sup
= ‘'° ,ye[c.d]
7.2.11. Замечание. Изложенные условия можно обобщить
на случай, когда вместо отрезка |с. d] рассматривается множество
У / Й. В этом случае функция f должна быть определена на мно-
жестве [а.Ь) х Y и Vy 6 У (у фиксирован) функция f(x.y) долж-
на иметь единственную особую точку Ь. Если Vy g У интеграл
Интегралы, зависящие от параметра
467
д(у) = l^ f(x,y ')dx сходится, то определение равномерной на Y схо-
димости этого интеграла формулируется аналогично.
7.2.12. Замечание. Теоремы о непрерывности и дифференци-
руемости по параметру, а также о возможности изменения порядка
интегрирования для несобственных интегралов второго рода форму-
лируются и доказываются аналогично. На случай несобственных ин-
тегралов второго рода при соответствующих условиях переносится
утверждение теоремы о предельном переходе под знаком несобствен-
ного интеграла. Как установлено выше, некоторые несобственные
интегралы второго рода выражаются через несобственные интегра-
лы первого рода.
7.3. Эйлеровы интегралы
Положим при р > 0 и q > О
B(p,q) = I zp-1 (1 - •г)'7-1 dx.
Jo
Покажем, что этот интеграл сходится. Если р 1 и q 1, то функ-
ция /(.г) = тр-1(1 -т)9-1 непрерывна на отрезке [0.1]. и поэтому она
интегрируема по Риману на этом отрезке. Если выполнено хотя бы
одно из условий 0 < р < 1 или 0 < q < 1. то хотя бы одна из точек
х = 0 или х = 1 является особой точкой функции /. Можно написать
fl/2 fl
B(p.q) = / тр-1 (1 - x)q 1 dx + хр ^l-z)9 у dx
Jo Jl/2
в предположении, что оба последних интеграла сходятся. Если 0 <
< р < 1 и q 1. то первый интеграл имеет единственную особую
точку х = 0. а второй интеграл не имеет особых точек функции f.
Если же 0<q<1 ир>1. то второй интеграл имеет единственную
особую точкут = 1. а первый интеграл особых точек функции f не
имеет. Если, наконец. 0 < р < 1 и 0 < q < 1. то каждый из этих
интегралов имеет по одной особой точке. Пусть 0 < р < 1. и пусть
/•1/2
= хр-\1-хГ~\1х.
Тогда Vz е (0.1/2] 0 < zp-1(l - .г)9-1 где с = const >
> 0 (значение с. вообще говоря, зависит от q. но не зависит от х).
При этом
так что этот интеграл сходится. По признаку сравнения интеграл
/] (р. q) сходится при 0 < р < 1 и любом q G R. Аналогично прове-
468
Глава УП
ряется, что интеграл
^2(р>?) = [ хр~г (1 — х)4-1 dx
71/2
сходится при 0 < q < 1 и любом р £ R.
Значит, интеграл, определяющий функцию В(р, д), сходится при
р > 0 и q > 0. Этот интеграл называется интегралом Эйлера второго
рода. Функция B(p,q) называется бета-функцией Эйлера. Очевид-
но, что при р > 0 и q > 0 B(p,q) > 0.
Далее положим при р > 0
у + оо
Г(р) = / xp~le~x dx.
Jo
Если р 1, то этот несобственный интеграл имеет единственную
особую точку подинтегральной функции, равную +оо. В этом случае
прР 1 р %
lim -----= lim (хр~1е~х^2) = О,
Х—^ОО е X—>ос
и поэтому Зто >0: Ух xq 0 < хр~ге~х < е-*/2, причем интеграл
00 е-а^2 dx сходится. По признаку сравнения интеграл
у>+- ос
/ xp~le~x dx,
Jx0
а поэтому и интеграл хр~1е~х dx сходится. Пусть 0 < р < 1,
тогда
Г(р) = / хр~ге~х dx -г У xp~1e~xdx
в предположении, что оба последних интеграла сходятся.
Если 0 < х < 1. то 0 < хр-1е-1 < хр~г, причем интеграл
Cx^dx^-
Jo Р
сходится. Поэтому интеграл zp-1e_J' dx при р > 0 сходится. Ин-
теграл хр~1е~х dx также сходится при р > 0 (это проверяется
таким же способом, как и выше). Значит, интеграл
f хр~1е~х dx
Jo
при р > 0 сходится. Этот интеграл называется интегралом Эйле-
ра первого рода. Функция Г (р) называется гамма-функцией Эйлера
(ниже будет показано, что новое определение гамма-функции совпа-
дает с её старым определением). Ясно, что при р > 0 Г(р) >0.
7.3.1. Утверждение. Функции В и Г непрерывны на мно-
жествах (0. +эо) х (0. -J-oe) и (0. —ос) соответственно.
Интегралы, зависящие от параметра
469
Доказательство. Поскольку функции Д"Д1 — х)9-1 и
Д-1е"т непрерывны на множествах (0.1) х (0. —ос) х (О.+ос) и
(0.- ос) х (0, -гос) соответственно, то достаточно убедиться в том.
что при ро > 0 и до > 0 интеграл, определяющий функцию В, равно-
мерно сходится на множестве [ро. +ос) х [д0. -гос). Имеем Vs € (0.1)
Vp > ро Vg > g0
О < Д^Д -х)9"1 < хро-!(1
причем интеграл J* До-1(1 — х)9(| 1 dx сходится. По признаку Вей-
ерштрасса интеграл хр~1 (1 —х)9"1 dx сходится равномерно на мно-
жестве [ро.+ос) х [д0,-+-оо).
Для доказательства непрерывности функции Г на промежутке
(0.—оо) достаточно убедиться в том. что интеграл
I x^e-'dx
Jo
сходится равномерно на отрезке [po-Pi]- если 0 < р0 < pi < — эс.
Имеем Vx > 0 Vp € [po-Pi]
0 < хр-1е-’1' < (Д0"1 - ;cP1"1)e"j;.
и поэтому из сходимости интеграла
f (Д0"1 + хР}"1)е-“ dx
Jo
и признака Вейерштрасса следует, что интеграл
I хр~1е~1'dx
Jo
сходится равномерно относительно р е [po-Pi]-
7.3.2. Утверждение. Функция Г бесконечно дифференциру-
ема на интервале (0.— ос). При р > 0
Г(А’\р)= /" xp-\-r(\nx)k dx. А-= 1.2....
Jo
Доказательство. Дифференцируя интеграл, определяющий
функцию Г. по параметру р иод знаком интеграла, получаем интег-
рал
/ хр"1е“г Inxdx.
Jo
который сходится равномерно на любом отрезке [po-Pi]- где 0 < рц <
< р! < — эс. Действительно, если х > 0. то
Д-Д-’ИпД < е~т| М(До-1 - .Д1"1)
470
Глава VII
при р е [ро-Pi], причем интеграл
I е-х| lna;|(.rPo-1 - a?’’1-1) dx,
Jo
как нетрудно проверить, сходится. Поскольку функция тг' ~ 'е '1'1пт
непрерывна на множестве (0,-гос) х (0, +оо), то согласно правилу
Лейбница при р > 0
Г'(р) = / хр~1е~х In .т dx.
Jo
Дальнейшие рассуждения проводятся по индукции (по к = 1,
2,...).
Формула понижения для гамма-функции
При р > 0
Г(р+ 1) = рГ(р)
Доказательство. Согласно формуле интегрирования по час-
тям
Г(р+1) = [ хре~т dx =-хре~х\^х + р I хр~1е~х dx — рГ(р)
Jo Jo
7.3.3. Следствие. При р > п — 1
Г(р + 1) = р(р - 1)... (р - п + 1)Г(р - п -J-1). п = 1,2.
Для обоснования утверждения следствия достаточно применить
метод индукции по п е N.
7.3.4. Следствие. Справедливы равенства Г(п + 1) = п\,
п = 0.1,... (при п = 0 полагаем 0! = 1/
Доказательство. При п = 0
Г(тг т 1) = Г(1) = i е~х dx = 1.
Jo
Если р = п. то согласно следствию 7.3.3
Г(п — 1) = л!Г(1) = п!. л = 1.2.
7.3.5. Утверждение. Справедливы равенства
л = 0,1
Доказательство. При п = 0
Г f / х х dx = 2 [ е dt = дД
\ 2 / Jo Jo
Интегралы, зависящие от параметра
471
(замена t = у/х приводит исходный интеграл к интегралу Эйлера-
Пуассона). Используя следствие 7.3.3. получаем
'.1г
3
П 2
1
2
г(Н)=
_ (2п. — 1)!!
1
П ~ 2
л- (2")! /
2Л v?r 22nn!V
7.3.6. Следствие. При п —> оо
Действительно, с использованием утверждения 7.3.5 достаточно
применить формулу Стирлинга для оценки (2п)! и п!.
Согласно утверждению 7.3.2 при р > 0
n 1^2n!
Г"(р) = / хр ]е ж(1п;т)2 dx > О
Jo
и поэтому функция Г' на интервале (0,—эс) имеет не более одно-
го нуля. Поскольку Г(2) = 1! = 1 = Г(1). то по теореме Ролля
Эро € (1-2): Г'(ро) = 0. При этом функция Г имеет в точке ро
строгий локальный минимум. Так как при р > 0 Г"(р) > 0. то
функция Г на интервале (О.+ос) выпукла вниз. Если 0 < р < ро,
то Г(р) > Г(ро). поскольку функция Г на интервале (О.ро) строго
убывает: если же р > ро. то попрежнему Г(р) > Г(ро), поскольку
функция Г на интервале (ро.-гэс) строго возрастает. Поэтому
Г(ро) = inf {Г(р)}.
р>0
Прир -> 0 -Г(р) —> -<-ос: более того. Г(р) ~ 1/р. Действительно,
так как при р > 0 Г(р — 1) = рГ(р). то
Г(р1 = Щ) = 1 _
р р р
При р -» —оо Г(р) -> -*-ос. поскольку при р = n е N Г(п) = (п-1)! —>
—> эс при п —> эс и функция Г строго возрастает на интервале
(ро,—эс). Более точная оценка содержится в следующем утверж-
дении.
7.3.7. Утверждение. При п —> эс. п € У.
Г(п - а) - - Г(н)п
равномерно относительно о € [0.1).
Доказательство. Пусть 3 — a — 1 6 [1-2). тогда согласно
формуле Дирихле (см. ниже)
Г(п)Г(3)
Г(п ‘ 3)
J-] dz =
О
472
Глава VII
I e-nt(l - dt =
о
;3-i
= / t^~1e~nt dt — I
Jo Jo
Первый интеграл в правой части последнего равенства равен
Г(/З)п_/3. Кроме того, из неравенств 1 - e-i t при t > 0; 1 — e-t >
t — i2/2 0 при 0 t < 1 следует, что второй интеграл положи-
телен и меньше, чем
te~1e~nt dt +
e~nt dt
Jo у \
< i Г ta(Tnt dt -r
2./о
Значит,
1--<1-^^^^т ^1, 71 = 1,2,...; /Зе|1,2).
п п Г(п + р)
Поэтому при тг —> оо равномерно относительно в Е [1,2)
1\\
п J J
Доказываемое утверждение следует из этой оценки с учетом ра-
венств Г(п + /?) = Г(1 + п + а) = (п — а)Г(п + а).
e
о
rJwr-"^1+0
Формула Стирлинга для гамма-функции
При р -> +оо
,----------------------/»\р/ (1 \ \
Г(1 — р) = у/2тгр (- ) I 1 + О I - ) ) .
\е/ \ \р))
Доказательство. Положим п = [р] € N; а = р — [р] £ [0.1),
так что р = п + а. Согласно утверждению 7.3.7 при п —> ос
Г(р) = Г(п -а) = паГ(л) (1 + 0
равномерно относительно а Е [0.1). При р -+ эс п = [р] ос. и
поэтому
Г(1 — р) = рГ(р) = (п — а)Г(п - а) = п!пЛ (1 + 0
равномерно относительно а Е [0.1). поскольку п-^а = л(1 + О(1/п))
равномерно в указанном смысле.
Согласно формуле Стирлинга для факториала это означает, что
Интегралы, зависящие от параметра
473
= д/2тг(п + a) ff 1 + О
\ с / \ \п /
Действительно, при п —> оо
равномерно относительно a Е [0,1). Остается заметить, что слагае-
мое О(1/п) можно Заменить на 0(1/(п + а), так как n — a ~ п при
п ос.
7.3.8. Замечание. Формулу Стирлинга можно уточнить сле-
дующим образом: при р > О
Г(1тр)=у^р(-] expf-^-Y
\е/ \12р/
где 0 < др < 1. При этом
Можно показать также, что существует вещественная последо-
вательность {Ал }, такая, что при р —> —оо и любом фиксированном
к е N
(при этом Ai = 1/12: Ао = 1/288 и т. д.). Аналогичное утверждение
было сформулировано выше для функции п! при п —> ос (в этом
утверждении фигурируют те же самые константы Ад-, к = 1.2....
поскольку Vn € N Г(1 - п) = п!).
При этом Vp > 0 (р фиксировано) ряд
EAfc
рА
А--1 г
расходится.
7.3.9. Замечание. Ниже будет установлено, что справедлива
формула дополнения для гамма функции: при 0 < р < 1
г(р)г(1-р) = ^Ц.
Sin(TFp)
Из этой формулы следует, что при р < 0: р — к\ к - 1.2..можно
положить
Г(р) = —-----—
Г(1 -p)sm(Trp)
и тем самым доопределить гамма-функцию Г(р) для отрицательных
нецелых значений р. Отсюда следует. что при р --> 0 — Г (р) ~ 1/р.
так как
/ 7гр \ 1 1
lim (рГ(р)) — lim —-------------- = lim —--------г - ——- - 1.
р-»о- рн-о- \ Г(1 — р) sin(~p) / р->о-Г(1—р) Г(1)
474
Глава VII
При р —> —п. п £ N
(-1)”
Г(р) ~ ( 1 v
тг!(р т- п)
Действительно,
\ т—' / ч ,. 7г(р+п)
lim р + пГ(р)= Inn —-------—-—- =.
p->-n p->-n 1 (1 — р) Sin(7Tp)
1 7Г9 (-1)"
=--------lim-----------= ------.
Г(1 — п) <7->0 sin(7TQ)(— 1)” п!
Свойство симметрии для бета-функции
При р > 0: q > 0
B(p,q) = B(q,p).
Действительно, в интеграле
B(p,q) = [ хр~1(1 — х)4-1 dx
Jo
достаточно сделать замену х = 1 — t, и тогда
В(р,Д= H-^l-tr'd^B^q.p).
Jo
Формула понижения для бета-функции
При р > 0; q > 0
B(p.q + 1) = -j— B(p.q).
p + q
Доказательство. Имеем
B(p.q — 1) = [ xp~1(l-x)q dx = —(1 - x)q +- I xp(l—x)q~1dx =
Jo P о P Jo
= - [ 2,p-1(l - 1 dx - - I - x)q dx =
P Jo P Jo
= -B(p.q) - -B(p.q+ 1).
P P
Отсюда следует формула понижения.
7.3.10. Следствие. При р > 0: q > 0
В(р 1. q - 1) = -----В(р + 1. q) = ---?)•
Таким образом, значения функции B(p.q) при произвольных
р > 0 и q > 0 однозначно выражаются через значения В(р. q) при
0<р<1и0<д<1.
Интегралы, зависящие от параметра
475
Формула Дирихле
При р > 0 и q > О
В(р.д) =
Г(Р)Г(9)
Г(р + д) '
Доказательство. В интеграле
В(р,д) = [ хр-1(1 - х)9-1 с!х
Jo
положим х = i/(l + t), тогда получим
у-эс. tq-l
B(p,q) = I --------г--dt.
Jo (l + t)P+4
Так как B(p, g) = B(q,p), то
p + oC
B(p.q) - / —----г--dt.
V Jo (1 - t)p~q
Далее сделаем в интеграле
Г(р) = [ хр~1е~т dx
Jo
замену х = ty. t > 0, тогда
Заменяя в этой формуле р на р Н q и t на 1 -1-1. получаем, что
Г(р j_g)_ = f х
0 + 0р+д Jo
Теперь умножим обе части этого равенства на £₽-1 и проинтегрируем
по t от 0 до + эс. В результате будем иметь
P-ОС ур-1
(1 . ty-:qdt= r(P~4)B(p.q) --
[ fP^yP^e-^^dySdt.
О /
Если в последнем выражении можно изменить порядок интегриро-
вания. то
I\p~q)B(p.q) = [ уР^-'е-" ( [ tIJ^}o f'J dt} dy.
Jo \Jo /
При этом
ур-1е-^Л =
Г(р)
У1’
У > 0.
476
Глава VII
так что
Г(р - д)В(р. д) = Г(р) [ °° у^е-У dy = Г(р)Г(д).
Jo
Остается обосновать возможность изменения порядка интегри-
рования. Сделаем это при условиях р > 1 и q > 1. При таких
условиях можно сослаться на замечание 7.2.4, поскольку во всех
рассматриваемых интегралах подинтегральные функции неотрица-
тельны. Можно, однако, доказать указанный факт и по-другому,
заметив, что функция f(t,у) = tp~1yp~‘~g~le~(1+t)y неотрицательна и
непрерывна на множестве [0, оо) х |0, оо), интеграл
является непрерывной функцией параметра t на промежутке [0, оо),
интеграл
[+ f(t,y)dt = yp-q-1e~y Г tp~le~ty dt = уЧ-'е-Щр)
Jo Jo
является непрерывной функцией параметра у на том же промежутке
и, кроме того, интеграл
/•-1-00 / р~ ОС \
/ (/ f(t,y)dy\dt
Jo \Jo /
сходится.
Согласно доказанному выше (см. теорему об изменении поряд-
ка интегрирования для неотрицательной подинтегральной функции)
отсюда следует, что интеграл
у+ос / л+эо \
/ / f(t,y)dt\dy
Jo \Jo J
также сходится и равен
\о f^y^y)dt-
Тем самым утверждение теоремы справедливо при р > 1 и q > 1.
Если р> 0 и g > 0. то р — 1 > 1 и g • 1>1. так что
_ 1 _ п = Г(р —1)Г(д—1) = рдГ(р)Г(д) =
Р 'Q Г(р-д-2) (р-д~1)(р-д)Г(р-д)
(p + g- 1)(р +
Отсюда получаем формулу Дирихле при условиях р > 0 и q > 0.
7.3.11. Следствие. При 0 < р < 1
I y------dy = В(рЛ-р) = f xpl(l - x)~pdx = -д-.
Jo 1 - У Jo 8Ш(7Гр)
Интегралы, зависящие от параметра
477
Для обоснования этих равенств достаточно использовать фор-
мулу Дирихле и формулу дополнения для гамма-функции.
7.3.12. Следствие. Бета-функция B(p,q) при р > 0 и q > О
бесконечно дифференцируема и имеет непрерывные частные произ-
водные всех порядков.
7.3.13. Замечание. Из определения гамма-функции на отри-
цательной полуоси (см. замечание 7.3.9) следует, что формула допол-
нения справедлива Vp € (R \ Z), а формула понижения для гамма-
функции верна Vp е R \ {-No}, где -No = {-n | п € No}.
7.3.14. Утверждение. При р > 1
гр-1
где £(р) = 52 п р ~ дзета-функция Римана.
Доказательство. При х
теграл
гр-1
п—2
------ ~ хр \ причем ин-
ех — 1
о
хР-1
Р- 1
1
р -1
о
сходится при р
тр-1
ех - 1
хр *е х и интеграл
J хр 1е х dx
сходится. Согласно предельному признаку сравнения это означает,
что интеграл
хр~1
, dx
Jo е-х - 1
при р > 1 сходится. Далее, при х > О
тр-1 Дц
е
Если этот ряд можно интегрировать почленно, то
xp~\-nxdx -
I -
о
о
= £?ггт(Р) <(р)Г(р).
Для возможности почленного интегрирования достаточно, что-
478
Глава VII
бы при N —> ос
—----е-Л 1 dx —> 0.
ех - 1
Поскольку при х > 0 х < ех - 1. то 0 < 1/(ех‘ - 1) < 1/х, и поэтому
™р-1
0 < —----e~Nx < xp~2e~Nx
ех - 1
Значит, при IV = 1,2....
0 < [ Х ^LLG-NX dx Г xP-2e-Nx dx = jV-(p-l)r^ _ о
Jo е® — 1 Jo
при N ос и р > 1.
7.3.15. Замечание. Дзета-функция Римана играет большую
роль в аналитической теории чисел (в частности, в теории распреде-
ления простых чисел, что впервые было установлено еще Эйлером).
С этой функцией связана одна из наиболее известных нерешенных к
настоящему времени задач — так называемая гипотеза Римана, ко-
торая до сих пор не доказана и не опровергнута. Наиболее важные и
глубокие свойства дзета-функции рассматриваются для случая, ког-
да предполагается, что р = Лег > 1, 2 € С и Дг) = 52 n~z- где
II— 1
n~z = ехр(—2Inn), п — 1.2.....
Нетрудно проверить, что |п-г| = п~р при всех n € N. так что
при условии Re г > 1 ряд 52 71 ~z сходится абсолютно. Затем до-
П=1
называется, что функцию ф) можно продолжить с полуплоскос-
ти Re г > 1 на всю комплексную плоскость, за исключением точки
г = 1. используя некоторое функциональное уравнение (впервые это
было сделано Б. Риманом). Упомянутая связь дзета-функции Рима-
на с теорией распределения простых чисел основана, главным обра-
зом. на тождестве Эйлера, согласно которому при условии Re z > 1
ф) = П(1-р“Т1-
(р)
где бесконечное произведение вычисляется по всем простым числам
р. Это произведение при таком условии сходится абсолютно (в част-
ности. отсюда следует, что при этом условии ф) 0 0). Гипотеза
Римана утверждает, что если 0 < Re 2 < 1 и ф) = 0. то Re z — 1/2.
К настоящему времени доказано, что па прямой Re г = 1/2 находит-
ся бесконечно много нулей функции (J (впервые эго было установ-
лено Г. Харди). Если гипотеза Римана верна, то. обобщая асимп-
тотический закон распределения простых чисел (см. выше), можно
Интегралы, зависящие от параметра
479
доказать, что при х —> +оо
/»ге
7г(х) - / -—- = О(у/х Ina:).
J2 Ini
Сам асимптотический закон, т. е. соотношение тг(х) ~ х/ In х при
X —>• +ос, можно вывести из того факта, что £(z) 0, если Rez = 1.
В настоящее время доказано, что при х -> —ос
fx dt
тг(х) - / — = O(a’exp(-c(ln.r)3/o(lnlnx)-1/5)). с = const > 0.
Ja ini
Формула Эйлера для гамма-функции
Пусть n € IN. п 2. Тогда
Доказательство. Рассмотрим многочлен F(z) = zn — 1, z е
Е С. Этот многочлен имеет корни Zk = ехр(2А:тгг/п), к = 0.1,...,
п — 1. В частности, при к = 0 zq = 1. Значит, при z 1
П 1 1
. = JJ(Z -е2^’7”)
2 fc=i
Переходя в этом равенстве к пределу при z —> 1. получаем, что
Согласно формуле дополнения для гамма-функции (см. ниже)
Г
sin(7rfc/7l) ’
п — 1.
так что
-”-1 _ (глД-1
П — 1
П 81п(тгА’//г)
А--1
С другой стороны,
к = 1
480
Глава VII
и так как Г(к/п) > 0. к = 1....п — 1, то
(27г)'1-1/2
Формула Лежандра для гамма-функции
При р > 0
г(р)г{р-1') = ^тЦ2Р).
Доказательство. Имеем при р > 0
/1/2 /-1
В(р,р)— / х₽-1(1 - х)р 1 dx + / хр 1(1-х)р 1 dx =
7(1 71/2
/1/2 /-1/2 Xi /1 \2\₽-1
= 2 / (х — х2)₽-1 dx = 2 / I - — [ - — х I I dx =
Jo Jo \ 4 \ 2 ) у
= 1 p f IL Г(р)ч/^ = (Г(р))2
22₽-i V'2/ 22р-1Г(р — 1/2) Г(2р) ’
(здесь у = 1 - (1 - 2х)2). Отсюда следует формула Лежандра.
7.3.16. Замечание. Формулу Лежандра называют еще форму-
лой удвоения. Как следует из формулы дополнения (справедливой,
как замечено выше, для любого значения р Е (R\Z). при продолже-
нии гамма-функции на отрицательную полуось формула удвоения
оказывается справедливой Vp £ R \ { — п/2 | п £ Ng}.
Формула Эйлера-Гаусса для гамма-функции
Если р € R \ {—No}, то
п\пр
Г(р) = lim -----------------
р(р-1)...(р - П)
Доказательство. Пусть р > 0. Тогда при п -> эс Г(» -
- р) ~ (н — 1)!пр. Действительно, если р е [0.1). то это соотношение
доказано выше (см. утверждение 7.3.7). Пусть р 1. тогда [р] 1.
и поэтому
Г(» - Р) - (л-Р- 1)...(п -р-|р])Г(/г -р-[р]) ~
~ nlpl(n - 1)!л''-1р1 = (п - 1)!лр.
Поскольку Г(л - р) р(р - 1)... (р - п - 1)Г(р). то
г/ \ г (п - 1)!п₽ г п'пР
Г(Р) = Ьп -------ут—т--------тг = Inn —---------------.
п—к р(р- 1) ... (р- п - 1 р р - 1)... р - л
Интегралы, зависящие от параметра
481
Если р < 0 и р {—N}, то справедливость формулы Эйлера-
Гаусса следует из формулы понижения. Таким образом, определение
гамма-функции, сформулированное в этом параграфе, равносильно
данному выше определению.
7.3.17. Следствие. Если р е R\{—No}, то
гы = } П
(1 -Г 1/п)-
1 — р/п
Доказательство. Пусть N —> эс, N 6 N. Тогда
(1 + 1/п)р = АИ(ТУ г 1)р ~ NWp ~
1-р/п (р -г 1)... (р + Д') (р + 1)... (р + JV)
Формула Вейерштрасса для гамма-функции
При р е R
где = 0,5772... — постоянная Эйлера (при р 6 {—No} считаем,
что 1/Г(р) = 0).
Доказательство. Пусть р Е R\ {-No}, тогда Г(р) 0 и
Д_ = 11т !)•<?+Д) lim (К-Р П ,
Г(р) ЛГ-эос Д/W! 11Л nJ I
Лг
= р lim
где
N 1
$ - - In Д'
Разложение синуса в бесконечное произведение
При р 6 IR
sin(7rp) - тгр ГТ ( 1 -
п-1 4
Доказательство. Если р е Z. то равенство, которое нужно
доказать, превращается в тождество 0 = 0. Пусть р 6 R \ 2. тогда
sin(7rp) = Г(р)Г(1-р) =
482
Глава VII
,. p(p-l) •••(? + Л') ,. (1-р)(2-р)---(У-1-р)
= ТГ 11111 --ГТ——------ 11Ш -----
Л’р/V! .v^i> AW1 е
(12-р2)...(Л’2-р2)(А + 1-р)
= тгр hm ------------------
I2 22 • •
Формула дополнения для гамма-функции
При 0 < р < 1
Доказательство. Пусть р(р) = Г(р)Г(1—р) sin(Trp). р € (0.1),
тогда
lim р(р) = тг.
/> >0 I
поскольку при р —> 0 + Г(р) ~ 1/р и sin(?rp) ~ тгр. Аналогично.
Ит р(р) = тг.
р—> 1 -
Положим р(0) = р(1) = тг, тогда функция р непрерывна на
отрезке [0.1] и Vp е [0.1] р(р) > 0. Из равенства р(р) = Г(1 — р) х
хГ(1— р) sin(?rp)/p и аналитичности функции 5ш(тгр)//т в окрестности
нуля следует, что функция р бесконечно дифференцируема в точке
р = 0. Так как р(р) = р(1—р), гдер G (0.1). тофункция р бесконечно
дифференцируема и в точке р — 1. Если 0 < р < 1. то. заменяя в
формуле Лежандра р на р/2. а затем на (1 — р)/2. получим
г® = ^ТГ(р): Г(МГН) - 2₽^Г(1-р).
Отсюда следует, что
\2/ \ 2/ \ 2 ) \ 2 )
= 27гГ(р)Г(1-р).
Умножая обе части этого равенства на sin(7rp/2) cos(~p/2) п исполь-
зуя определение функции р. имеем
4 (|) Г ’ 7гГИг(1 - Р) sin(-p) -- тгр(р).
Поскольку Г(1/2) — убт. то р(0) = р(1) - р(1/2) = тг. и поэтому
равенство р(р/2)р((1 — р)/2) = тгр(р) справедливо также при р - 0
и р = 1. Пусть ы = (In р)". тогда в силу этого равенства Vp G |0,1)
д(р)
Интегралы, зависящие от параметра 483
Так как функция V’ непрерывна на отрезке [0,1]. то Эк = const > 0:
Vp € [0,1] h/';(p) | к. С учетом последнего равенства отсюда следует,
что Vp Е [0,1] l'V’(p)| Sj к/2. Рассуждая далее по индукции, выводим,
что Vn е N Vp ё [0,1] |V'(p)| < к/2п 0 при п —> ос. Значит,
Vp 6 [0,1] у(р) = 0 и поэтому Эс1,сг = const е R: ln<p(p) = cip + с2,
ре [0,1]. Учитывая, что р(0) = <р(1) = тг, получаем In <р(1)—In <р(0) =
= ci = 0 и 1п<р(0) = с2 = In тг, т.е. Vp £ [0,1] <р(р) = тг, что при
р Е (0,1) равносильно формуле дополнения.
7.3.18. Замечание. Дальнейшая теория гамма-функции свя-
зана с её продолжением в комплексную область. Если z Е <С и
Re г > 0, то можно положить
Г(г) = I tz~1e~t dt,
Jo
где tz~r = exp((z — 1)Inf).
Так же, как и выше, доказывается, что этот интеграл сходится
абсолютно. Можно показать, что если 0 < Rez < 1, то
Г(г)Г(1 - z) =
sm(7rz)
(при этом 0 < Re(l - z) = 1 — Re z < 1). Для остальных значений
z Е <С \ R полагаем
Hz) =________—_____.
Г(1 - z)sin(Trz)’
Рассмотренные выше свойства гамма-функции переносятся на
случай, когда z Е <С (подробнее эти вопросы рассматриваются в кур-
се теории функций комплексного переменного).
7.4. Ряды и интегралы Фурье
7.4.1. Определение. Пусть ао.од.....n.v.bj....Ь.у е С. и
пусть Vt € R
V
Ту(т) = —— У^(ап cos nx ~ bn sin пт).
n - 1
Тогда функция Ту называется тригонометрическим многочленом.
7.4.2. Замечание. Имеем Vt Е R Ту(х — 2тг) = Ту(т). Это
означает, что каждый тригонометрический многочлен является пе-
риодической функцией на R с периодом 2тг.
7.4.3. Замечание. Используя формулы Эйлера
1ПХ Qinx _ ^—tnx
cos пт =-----—-----: sin пт =-----—----. n--0.1......X.
484
Глава VII
получаем, что
N
TN(x) = Е Спе’ПХ'
71^ —N
где
<zn ibn an — ibn tto
Сп =----: с-п =--------------, п=1,...,Л, С° = —.
Обратно, если сп € С, п = 0. ±1....±ДД и многочлен Ту имеет
указанный вид, то его можно представить в исходном виде, если
положить ап = сп + c_n; bn = г(сп — с_п). п = 1.N: ао = 2cq.
7.4.4. Утверждение. Если п € TL, то
— [ einx dx = 1 при п = 0
2л j-n
и
— [ е'пх dx = 0 при п 0.
2л / ,
Действительно, если п € Z и п 0. то
1 /’’Г pin-r
~ / etnxdx=i—
2л ,/_г 2лгп
7.4.5. Замечание. Пусть m € 7L и —Дг С rn N. Умножая
равенство
Л'
тЛ-(т) = £ с»е'пх
n=-N
на е ,тх. интегрируя по х от —тг до тг и учитывая утверждение 7.4.4.
получаем
ст = — [ Ту(х')е~,Тпх dx. /77=0. ±1............±.V.
2tt J-я-
Если тп € 1L и |?т?| > Д', то
Гу(.т)е-'""' d.r = 0.
Таким образом.
гу(.т)= е»е'"Г-
п ——
где коэффициенты сп выражаются по приведенным выше формулам
(с заменой m на /г).
7.4.6. Замечание. Из выписанных выше соо тношений следует,
что все коэффициенты <?o.ai.oy-^i...by вещественны тогда и
Интегралы, зависящие от параметра
485
только тогда, когда c_n = cn, п = 0,1....N. Кроме того, при
m =
Cm Cm T C—m —
= TN(x)(e~imx-eimx)dx = - Г TN(x) cos mx dx;
2~ J-тг " J-тг
6777 C — 777.) —
= — [ Ты(х)(е~1тх — егта) dx = — f Tn(x) sinmxdx;
1 P
a0 = 2c0 = - / TN(x)dx.
к J-n
7.4.7. Определение. Функциональный ряд вида
ОО
V~^ /
— + 2 ,(an cos nx + bn sin nx), x e R.
n=l
называется тригонометрическим рядом.
7.4.8. Замечание. Частичная сумма тригонометрического ря-
да с номером N
N N
Tn(х) = — ~'^(an cos nx — bn sin nx) = 52 cnemx.
n—1 П= —W
Иногда тригонометрический ряд записывают в комплексной
форме
+оо
52 с^тх
п= — ос
(по определению, частичная сумма этого ряда с номером N также
равна Tn(x)).
7.4.9. Определение. Пусть f — комплексная функция, интег-
рируемая по Риману на отрезке [—тг. -тг]. Тогда тригонометрический
ряд
-4- 52 (Qn cos пт — sin пт) — 52 спСтх.
П— 1 П - —ос
для которого
am = — i f(x) cos тх dx. т = 0.1....:
1 Р
bm = — J f(x) sin тх dx. т -1.2....:
ст = тр- [ f(x)e~imx dx. т = 0. ±1. ±2.....
J-TT
486
Глава VII
называется рядом Фурье функции / (относительно тригонометри-
ческой системы функций). При этом коэффициенты ат и Ът назы-
ваются коэффициентами Фурье функции /; коэффициенты ст так-
же называются коэффициентами Фурье функции f (в комплексной
форме).
7.4.10. Утверждение. Пусть тригонометрический ряд схо-
дится к функции f равномерно на |—л. л]. Тогда этот ряд является
рядом Фурье функции f.
Доказательство. Пусть
оо +ос
/(л) = — У2(а„ cos пх + bn sin пх) = спеИ1з;
2 п-1 п —ос
равномерно относительно х € [-л, л]. Тогда функция f непрерывна
(и поэтому интегрируема по Риману) на отрезке [-л. л].
Пусть rn € Z. При умножении ряда спе,пх на ограничен-
п=-ос
ную функцию e^'m r равномерная сходимость сохраняется, так что
f(x)e~imx = спег(п~т)х
П. — — ОС
равномерно относительно х е [—л. л]. Поэтому полученный ряд
можно интегрировать почленно на отрезке | —л. л]. Согласно утверж-
дению 7.4.4 отсюда выводим, что
= у\(х)е— dx.
Поэтому при т — О.1....
ат = ст -+- с_„, = “ У Я1) cos mxdx:
при т —- 1.2... .
ьт = i(cm - с_т) = У ] /(д) sin тх dx.
7.4.11. Замечание. Если Зг > 0: при п —> эс
то ряд
у- - (g„ cos пх • bn sin п.г)
П = 1
сходится равномерно на R (по признаку Вейсрш грасса равномерной
Интегралы, зависящие от параметра
487
сходимости, если учесть, что при таких условиях ряд
lQoI I IA и
I- т |ЬП|)
П=1
сходится).
7.4.12. Определение. Пусть {</?„}, п е К или пей,— после-
довательность интегрируемых по Риману на отрезке [а.Ь] комплекс-
ных функций, такая, что Vn, m е N (или Vn, m е й)
/ ipn(x)tpm(x) dx = 0
J a
при n 7^ m. Тогда последовательность {<pn} называется ортогональ-
ной системой функций на [а, Ь]. Если, кроме того, Vn € N (или
Vn € й)
ь
= 1,
J a
то система функций {<рп} называется ортонормальной.
7.4.13. Пример. Пусть
^inx
= " ,—, п = 0, ±1, ±2,....
Тогда {<^п} ~ ортонормальная система функций на отрезке [—тг.тг]
Действительно, если n,m £ й и n т, то
[ (рп(х)>рт(х) dx - -Д- [ е»(п-т)ж dx - 0.
Кроме того, Vn е TL
7.4.14. Пример. Функции
1 cos a: sin г cos 2х sin2.T
образуют ортонормальную систему на отрезке [—тг.тг].
Действительно.
при n = 1.2....
1 /'7Г 2 1 Г l + cos2n.r If"
— / cos nxdr = — I —---------—-----ax = 1 — — / cos2nxax
уг тг 2 2тг
1
1 — cos 2nx
2
488
Глава VII
cos пх dx =
sin nx dx = 0:
при т.п = 1.2.... и т п
I Г 1 Г
— / sin пх sinтх dx =— / (cos (т — п)х — cos (т + п)х) dx = 0:
* 2тгУ_/
If 1 /”г
— J cos пх cos тх dx = — J (cos (m - n)x — cos (m -r n)x) dx = 0:
при m, n = 1.2,...
1 Г 1 Г*
— / sin nx cosmx dx = — / (sin (m + n)x — sin (n — m)x) dx = 0.
J-тг 2?r ,/_t
7.4.15. Определение. Пусть f € 77 на [a. 6], {^n} — орто-
нормальная система функций на отрезке [a.b], и пусть Vn е N (или
Vn € Z)
сп = / f(x)^n{x)dx.
J a
Тогда число сп называется n-м коэффициентом Фурье функции f
относительно системы {^„}. При этом пишут
f ~ ^1Сг,'?п'
(<>)
Ряд справа называется обобщенным рядом Фурье функции f отно-
сительно системы {£„}.
7.4.16. Замечание. Если
e’nj‘
Pn(^) — ----п = 0, ±1.±2......
у2тг
то так определенные коэффициенты Фурье отличаются от опреде-
ленных выше коэффициентов ст множителем у/^тг. Если же
и т. д.. то так определенные коэффициенты Фурье Обличаются ог
соответствующих коэффициентов ат и Ьт множителем 0г. за ис-
ключением коэффициента
со -- ~ j f(x)dx.
который отличается от соответствующего коэффициента по множи-
телем у/тг/2.
Интегралы, зависящие от параметра
489
Теорема об экстремальном свойстве коэффициентов
Фурье
Пусть ~ ортонормальная система функций на отрезке |о. Ь].
и пусть
п
Sn ~ СтгСртп
m—1
— n-я частичная сумма обобщенного ряда Фурье функции f относи-
тельно системы {^п}, ft = 1.2,.... Пусть, далее,
t-п —
т = 1
где числа ф,... ,dn Е С выбраны произвольно. Тогда Vn е 1N
[ \f-sn\2dx^ f \f — tn\2dx.
J a J a
причем для фиксированного значения n € К равенство в этом нера-
венстве имеет место тогда и только тогда, когда dm = cm, m =
= 1....п.
Доказательство. Пусть zi € IN. тогда
pb рЬ п п _______
/ ftndx= /(*) У dmpH(x) dx = У cmdm
a a т~1 rn- 1
490
Глава VII
I |/|2^-£|Cm|2= [ \f-Sn\2dx.
Ja щ = 1 Ja
причем равенство в этом неравенстве имеет место тогда и только
тогда, когда
п
5 |Фп ст | — о,
т=1
т. е. dm = ст при т = 1,..., п.
7.4.17. Следствие. При условиях доказанной теоремы
П „Ь
52 \ст\2 п=1,2,....
^.1 J a
7П=1
Если {^п} ~ ортонормальная система функций на отрезке [а, Ь] и
f ~
7П—1
то справедливо неравенство Бесселя
оо
52 М2 < / \f(x)\2dx.
оо-, 1 J a
m=i
В частности, ряд Т, |ст|2 сходится и lim cm = 0.
m=l m—Юс
Доказательство. Достаточно заметить, что
[ \f — sn\2dx 0, п = 1,2........
•/ a
Для обоснования неравенства Бесселя следует перейти к пределу
при п —> оо.
7.4.18. Замечание. Для тригонометрического ряда Фурье с
коэффициентами ст неравенство Бесселя принимает вид
I \f(x)\2dx
(это следует из замечания 7.4.16).
Это неравенство можно представить в эквивалентном виде:
уу ' £(К|2 ~ IM2) | [ \f(x)\2dr.
т=1 ‘ '^~7Г
Далее будет доказано, что для непрерывной на отрезке (—тг, тг] функ-
ции f это неравенство обращается в равенство.
7.4.19. Пример. Тригонометрический ряд
sin тт
Интегралы, зависящие от параметра
491
сходится Vt G IR (если х {2Агтг | к G Z}. то это следует из признака
Дирихле). Однако этот ряд не может быть рядом Фурье никакой
интегрируемой по Риману на отрезке [—тг, тг] функции f (если такая
функция f существует, то ряд
52 м2 = £ -
. , П2
тп—1 ш=1
должен быть сходящимся, что невозможно).
Путь f — комплексная функция, интегрируемая по Риману на
отрезке [—/,?], где I > 0. Тогда функция ^(х) = /(/х/тг) определена
и интегрируема по Риману на отрезке [—тг, тг]. Пусть
^>\х) ~ — + у (am cos mx + от sm тх)
т~Л
тогда
1 г
am = — I ip(x) cos mxdx, т = 0.1....;
т J-*
bm = - j ^(т)sinmxdx. т = 1.2.........
7-я
Полагая t = lx/п € [—Z. Z] при х € [—л. л], получаем
1 1'^ TYlTtt
ат = - I /(f) cos—— dt, m = 0,1....:
t J-i I
, If1,,, mitt ,
bm = - /(f) sin —— dt. m = 1.2......
‘ J-i I
При этом
— тригонометрический ряд Фурье функции / на отрезке [—1.1].
7.4,20. Замечание. Если функция /: [—1.1] —> С четна (т.е.
Vf е [-/./] /(-t) = /(f)). то
am = 7 /
' Jo
и поэтому
mitt ,
cos —;— dt. т = 0.1
brn = 0. m =1.2
/(О ~ у , an, cos -y-.
m — 1
Если же функция / нечетна (т.е. Vf g [—^7] /(—f) = —/(f)). то
dm
-- 0. m = 0.1
bm
ni~t ,
sin —-—dt. m -1.2
0
492
Глава VII
так что
Ж ~ 52 6™sin
т~ 1
7.4.21. Утверждение. Пусть Vx е R
п
Vn(z) = £ е‘кх
к——п
Тогда
sin(n + 1/2 т , .
= ------:---тт-----, х 4 {2А’?г \ к 6 Z}:
sin.r/2
1 - cos(n + 1)х , . , ,
------——-----------х & {2/стг к е Z};
(п + 1)(1 -cost) 1 f’
= 1.
Кроме того. Кп(х) 0 и
КДх) <
2
(п + 1)(1 - cos<5)'
если 0 < <5 < |т| < тг.
Доказательство. Имеем (е,а; — 1)7?Д.г) = с^га+1^ — e~inx,
так что
^Qix/2 — е-га:/2) Р„(х) = ег(«+1/2)ж _ е-»(«41/2)г
т.е. з1п(т/2)Рп (т) = sin(n + 1/2)х. Далее.
(п - 1)А'п(т)(е,'Е - 1) = 52 - e~im^
гп—0
и поэтому
Г2
(п-1х„(Д)(е--1) (с-га- -1) = (е-“ -1) 52
т-0
ег(т-1)-г
= 2 — e'^-U-r _ е-г(п + 1).г.
т.е. (?? — 1)К,г(х)(2 — 2cost) == 2 — 2cos(n +1)т. Из этих соотношений
при т Д 2А’л, k 6 TL, следуют тождества для Р,;(.г) и А'„(т). выписан-
ные выше. Из тождества для Кп(.т) следует, что при х 2ктг. к 6 TL,
Кп(х) 0 (при х = 2кл: А- е Z D„(x) = 2п л 1 и Кп(х) = /?-!.
Интегралы, зависящие от параметра
493
п = 0,1....). Если 0 < 3 < .г < тг, то из этого же тождества
следует, что
Кп(х) < ---------------—.
(n + 1)(1 — cos 3)
Наконец, при п = 0.1....
Заметим, что функция P„.(r) называется ядром Дирихле, а
функция Л'Д.т) — ядром Фейера.
Пусть f: [—тг, тг] —> С и f & 11 на |—тг.тг]. Если /(-тг) Д /(тг),
то изменим значения функции / в точках тг и —тг так. чтобы вы-
полнялось равенство /(—тг) = /(тг): остальные значения функции /
на интервале (—тг.тг) оставим без изменения. Коэффициенты Фурье
функции /. вычисляемые по формулам
с„, = Г mtTL
Тп J-т.
от этого не изменятся. Далее продолжим функцию / на R, полагая
V.r £ R /(.г -- 2тг) = /(т). Тогда функция /: R С будет 2тг-пе-
риодической на R.
7.4.22. Утверждение. Пусть р — комплексная 2тг-периодиче-
ская функция на R. и пусть р е 1Z на [—тг. тг]. Тогда V.r е R р £ 1Z
на ].г — тг. .г 1 тг] и
У ' p(s) ds = У p(t) dt.
Доказательство. При сформулированных условиях
Кроме того.
(положить t = .s — 2тг). Поэтому
Из определения интегрируемой по Риману функции следует, что при
рассматриваемых условиях все выписанные интегралы существуют.
494
Глава VII
Пусть f: R —> С — 2тг-периодическая на R функция, и пусть
/ 6 72 на [тг, тг]. Если Sn — п-я частичная сумма тригонометричес-
кого ряда Фурье функции f. то Vx е R
Sn(z)= £ 0^™* = £ ± Г f(t)e-tmte'mxdt =
т=—п т——п ~71
= Т- Г-^) Е e^-t)dt = L Г f^Vn(x-t)dt =
= Л/ f(x - s)T>n(s)ds = [ f(x -tyDn(t)dt, n = О,1,....
JX — 7Г J—It
Для обоснования последнего равенства следует положить <p(s) =
= /(а; — s)7?n(s), s € R. тогда функция р — 2тг периодична на R и
<д € R на [—тг, тг], так что к этой функции применимо утверждение
7.4.22.
Принцип локализации
Пусть f: R —> <С: f € 72 на [—тг.тг], и пусть функция f 2тг-
периодична на R. Если 0 < 6 = const < тг. то Vx 6 R
lim | I f(x - t)T>n(t) dt t [ f(x — t)Dn(t)dt ] =0.
n-»oo i J_7r Jg j
Доказательство. Зафиксируем x € R, и пусть g(t) = 0 при
; 6 и
5(7) =
f(x~t)
sint/2
при 6 тг. Используя утверждение 7.4.21. имеем
f(x - dt
f(x -
n = 0.1
Оба последних интеграла (с точностью до множителя 1 /тг) суть ко-
эффициенты Фурье интегрируемых по Риману на отрезке [—тг. тг]
функций g(t)cost/2 и g(t) sint/2 соответственно, и поэтому они при
л. -> эс стремятся к нулю в силу неравенства Бесселя.
7.4.23. Замечание. Из принципа локализации следует, что
поведение последовательности {5,г(х)} при п —> эс. поскольку речь
Интегралы, зависящие от параметра
495
идет о сходимости, зависит только от значений функции f, прини-
маемых в некоторой (сколь угодно малой) окрестности точки х. По-
этому изучение сходимости последовательности {S'n(ж)} сводится к
изучению поведения интеграла
Г f(x-t)Vn(t)dt
J-i
при п —> эс (точнее,' если 0 < 6 = const < тг, то Vx € И
1 Г5
lim 5п(т) = lim — / /(ж - t)Pn(t) dt
n-юс П-+ОО 2ТГ J
в том смысле, что из существования одного из этих пределов следует
существование другого и их равенство).
7.4.24. Замечание. Можно доказать, что существуют непре-
рывные на отрезке [—7Г, тг] функции, тригонометрический ряд Фурье
которых расходится на несчетном множестве точек (мощности кон-
тинуум и нулевой меры). Из теоремы Карлесона (относящейся к тео-
рии рядов Фурье с позиций интеграла Лебега и доказанной в 1967 г.)
следует, что если функция f удовлетворяет условиям принципа ло-
кализации. то
lim S'n(i’) = /(ж)
71 —>ЭС
почти всюду на [—тг. я] (т.е. Ут е ([—тг.тг] \ Е). где множество Е G
С [—тг. л] имеет нулевую меру). Положение вещей, связанное со схо-
димостью. весьма улучшается при рассмотрении вместо сумм S„(r)
(называемых суммами Дирихле) их средних арифметических
С7п(т) = + 5п(ж)). п = 0,1....
(так называемые суммы Фейера). Заметим, что (как и Sri(x)) суммы
<7п(.т) являются тригонометрическими многочленами. Рассмотрение
сумм Фейера соответствует суммированию ряда Фурье функции f
по Чезаро (см. выше о суммировании расходящихся рядов).
Теорема Фейера
Пусть f — непрерывная 2~-периодическая комплексная функ-
ция на R. и пусть {сг„ } — соответствующая пос. гедовательность сумм
Фейера. Тогда
lim cr„(.r) /(.г
равномерно относительно т Е 1К. Доказательство. При п — п -г 1 ' 2тг J А=0 0.1.... имеем Уж € R f(x — t)'Dk{t)dt-
496
Глава VII
= ^тг/ ^X~t^nTl^T>k^dt= f f(x-t)Kn(t)dt,
так что из утверждения 7.4.21 следует, что
°п(х) - /(х) = f (f(x -t)- f(x))Kn(t) dt.
47Г J—к
При условиях теоремы Фейера функция f ограничена на R, т. е.
ЭМ = const > 0: {|У(ж)|} М (х е R).
Кроме того, при этих условиях f равномерно непрерывна на R,
и поэтому Vs > 0 35 > 0: Va?, у G R:
(|а? - у\ 5) => (\f(x) - f(y)\ < 0 ,
Без ограничения общности можно считать, что <5 < я. Из утвержде-
ния 7.4.21 также следует, что 3N Е N: Vn > N dt:
{5 |t| тг) => (Kn(t) < .
\ 4М /
Для такого значения 5 получаем, что при п = 0,1,...
Г 1/(2--t) - f(x)\Kn(t)dt Г Kn(t)dt
27Г j-б 4тг J_6
^rJLK-^dt‘f2
(мы учитываем, что Kn(t) 0; t 6 R, п = 0.1....). Кроме того.
Vn N
6
f(x)\Kn(t)dt + У \f(x - t) - f(x)\Kn(t)dt
< [ ‘2Mdt=-.
8Л/тг / „ 2
Значит, dx е R Vti N
1
кп(аг) - /(*)| \f(x - t) - f(x)\Kn(t)dt С £
Поскольку согласно выбору N е N значение .V не зависит от х € R.
то Vn Л’
sup |етп(х) - /(х)| е.
j-e lit
Это означает, что
lim ст„(х) = f(x)
n-t-x
равномерно относительно х € R.
7.4.25. Замечание. Если попытаться доказать то же самое
для STI (х) вместо <т„ (х), т. е. если заменить ядро Фейера Л'„ (х) ядром
Интегралы, зависящие от параметра
497
Дирихле Т)п(х). то следует изучить поведение интеграла
1- Г \T>n(t)\dt
J — тг
при п —> оо. Можно показать, что при п —> оо
1 Г* 4
— / \T>n(f)\dt = Inn -г 0(1) -> ос.
27Г J_v 7Г2
7.4.26. Следствие. Пусть f и д — две непрерывные 2т-пе-
риодические комплексные функции на В., имеющие один и тот же
ряд Фурье (т. е. все их соответствующие коэффициенты Фурье со-
впадают). Тогда Va: ё В /(а:) = д(х).
Действительно, если {стп(а:)} — последовательность сумм Фейе-
ра для этого ряда Фурье, то по теореме Фейера Va: € В
/(а:) = lim <т„(а:) = д(х).
и—>оо
Утверждение следствия 7.4.26 называется свойством полноты
тригонометрической системы в классе непрерывных функций. Из
этого утверждения, в частности, следует, что если функция f непре-
рывна и 2тг-периодична на В и Vn € Z
I f(x)e-tnT dx = 0.
то Va: С В f(x) = 0 (достаточно положить Va: € В д(х) = 0). От-
меченное свойство можно сформулировать в эквивалентной форме
так: если функция f непрерывна и 2тг-периодична на В и
— j f(x) cos их dx = 0. n = 0.1....:
1 Г
bn — / f(x) sin nxdx = 0. n = 1.2........
to Va: € В /(a’) = 0
7.4.27. Следствие. Если функция f непрерывна и 2тг-перио-
дична на В. то Va: е В предел
lim Sn(x)
либо не существует, либо равен f(x).
Доказательство. Допустим. что
3 lim Sn(x) - .4 € С.
П—4 ОС
Согласно теореме Коши (см. выше о суммировании расходящихся
рядов) отсюда следует, что
А= lim a„(x) = f(x).
498
Глава VII
Теорема Парсеваля
Пусть fug— непрерывные 2тг-периодические комплексные
функции на R, и пусть
ОС
/(а) ~ стегтх = — (am cos ma + bm sin ma-);
772 6 Z 772=1
g(x) ~ УУ dTOelm2: = у + У7 (a'm cos mx + b'm sin mx).
meTL m=l
Если Sn — n-я частичная сумма ряда Фурье функции f, то
lim [ \f-Sn\2dx = 0.
72—>°С J
Кроме того,
2 У2 Cmdm = - У2 (amQm + bmb'm) = - f(x)g(x) dx\
me7L 2 71
I I2 00 1
2E ы2 = Чг + Е(м2 + 1м2) = - /
Z * 7Г I
me'Z m-1 J n
Доказательство. Из теоремы Фейера следует, что Vs > О
ЗА' е N: Vn N
|/(т) - <т„(а-)| < £, х е R.
Согласно экстремальному свойству коэффициентов Фурье
О^У \f-Sn\2dx^ У |/ - an(x)\2 dx < 2tts2.
если n N. Значит.
lim [ \f — Sn|2 dx = 0.
J-к
Далее, при п = 0.1....
п
eimr^dx= У2 cmd^.
ГП. — — Г1
Согласно неравенству Коши-Буняковского для интегралов име-
ем:
Интегралы, зависящие от параметра
499
при п —> оо. Следовательно.
п _______ ___________ 1 />7Г ___________
lim V cmdm= y^cmdm = -~ / f(x)g(x) dx.
n-t-x L—1 2ТГ
m -n meZ
В частности, если Vx € R /(x) = g(x), то из этого соотношения
получаем, что
Заметим, что последнее равенство называется уравнением за-
мкнутости; свойство, которое оно выражает, называется свойством
замкнутости тригонометрической системы в классе непрерывных
функций. Оно означает, что при условиях теоремы Парсеваля нера-
венство Бесселя обращается в равенство.
7.4.28. Замечание. Условие непрерывности функций f и д в
теореме Парсеваля может быть значительно ослаблено. В частности,
можно показать, что достаточно предположить, что [ид- 2тг-пе-
риодические функции на R. интегрируемые по Риману на отрезке
[-тг, тг] (более общая форма этого утверждения обычно доказывается
в курсе функционального анализа).
Пусть, как и раньше, f — комплексная функция, 2тг-периодиче-
ская на R и интегрируемая по Риману на [—тг. тг]. Выше установлено,
что Vx € К
ЭД - /(х) = 2- Г f(x - t)Vn(t)dt - /(х).
2тг J
и так как
№) = 2- Г f(x)T>n(t)dt.
27Г J-7T
ТО
S„ (х) - /(х) = 1- Г (/(X - 0 - /(х))р„ (t) dt. ,2 = 0.1..
2тг 7-я
Пусть 0 < 6 = const < тг. Тогда из предыдущих соотношении
получаем
Г(/(х-о-/(х))р„а)л. n = o.i
500
Глава VII
Первый и второй интегралы при п —> ос стремятся к нулю по прин-
ципу локализации. Поэтому для справедливости равенства
lim 5п(ж) = f(x)
П-^OQ
достаточно, чтобы Ve > 0 3<5 G (0. тг):
\[\f(x-t)-f(x))Vn(t)dt
2ТГ \J-6
< £
при п = 0,1,....
7.4.29. Определение. Говорят, что функция f, определенная
в некоторой окрестности точки х, удовлетворяет условию Липшица
в этой точке, если ЗМ > 0 38 > 0: Чу & (х — 6, х -г 8)
\f(y) - /(я)! < М\у-х\.
Заметим, что если функция f удовлетворяет условию Липшица
в точке х, то она непрерывна в этой точке (обратное утверждение,
вообще говоря, неверно).
Признак Дини-Липшица сходимости ряда Фурье
Пусть функция f 2тг-периодична на R и интегрируема по Рима-
ну на отрезке [-7Г, тг]. Если, кроме того, она удовлетворяет условию
Липшица в точке х е R, то ряд Фурье функции f сходится в точке
х к значению f(x), т. е.
lim S„(t) = /(.г).
тг—>оо
Доказательство. Имеем при п = 0.1.... и 8 ё (0. тг)
1 Д If15 dt
— / (/(т -t) -f(x))Vn(t)dt < — / |/(т-1) -/(ж)| г.
2тг _/_5 2-тг
поскольку |P„(t)| < 1/| sint/2| согласно 7.4.21 (при 1 = 0 подинтег-
ральные функции в этих двух интегралах можно считать равными
нулю, поскольку Е>п(0) = 2n -1- 1). Выберем Ve > 0 числа М > 0
и 6 ё (0. тт{тг:е/37}) так. чтобы эти числа удовлетворяли опре-
делению условия Липшица функции / в точке х. Учитывая, что
VI G [—тг. тг] [I/ sinf/2| < тг (при 1 = 0 левая часть этого неравенства
доопределяется по непрерывности и равна 2). можно утверждать,
что при п = 0.1....
2^ Ls |/СГ ~t}~ /(Ж)11 sint/2| " 2тг Ls | sint/2\ dt
—Л/л [ dt = M6
2т j_s
Интегралы, зависящие от параметра
501
Отсюда, как замечено выше, следует равенство
lim ЗДт) = /(яг).
7.4.30. Следствие. Пусть f — 2'к-периодичная на R функция,
и пусть f G И на [—л, л]. Если, кроме того, f дифференцируема
в точке х е R, то ряд Фурье функции f сходится в точке х к зна-
чению f(x).
Доказательство. По условию
3 lim tty) ~ № =
У-¥Х У — X
Поэтому 3(5 >0: Чу € W$(x)
—— < \f (х)| + 1.
Если М = |/'(яг)| + 1 > 0, то Vy 6 (т - 5,х + 5)
\f(y) ~ /(®)| < М|у - х|,
т. е. функция f удовлетворяет условию Липшица в точке х, и по-
этому утверждение следствия получится, если воспользоваться при-
знаком Дини-Липшица. Заметим, что условие дифференцируемос-
ти функции f в точке х в утверждении следствия можно заменить
предположением о существовании конечных односторонних произ-
водных fL(x) и f'_(x) (необязательно равных друг другу). При та-
ком предположении функция f будет также удовлетворять условию
Липшица в точке х.
Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье
Пусть функция f 2тг-периодична на R. и пусть ЭМ > 0 3<5 > 0:
V.r ё [—л, л] Vy ё (х — 5, х + 5)
Шу) -/Wl <A/|y-z
(т. е. условие Липшица для функции f выполнено равномерно отно-
сительно х ё [—7Г. л]). Тогда ряд Фурье функции f сходится к этой
функции равномерно на R.
Доказательство. Пусть ; > 0. и пусть 0 < 5 < тт{л: s/.V} и
число <5 удовлетворяет условию Липшица для функции / на отрезке
[—л, л]. Тогда, как показано выше, V.z: £ [—л. л]
-Z) - dt
n = 0.1
Функция f равномерно непрерывна на [—л, л], и поэтому ЭК
= const > 0:
sup {|/(.r)|}<K.
502
Глава VII
Значит,
при п —> ос по принципу локализации, и притом равномерно отно-
сительно х е [-тг.тг]. Таким образом, остается показать, что
lim — ( [ f(x-t\Dn(t)dt + [ f (х - dt] =0
П-+ОО 2тг \J-^ Js J
равномерно относительно x ё [—тг, 7г]. Если g(t) = 0 при |f| < 5 и
g(t) =
f(x -1)
sini/2
при 5 < \t\ < тг, то достаточно проверить, что
lim д„(.г) = lim bnf(x) = 0
n—>oc n—>oo
равномерно относительно x 6 [—тг.тг] (здесь an(x) и bn(x) суть ко-
эффициенты Фурье функций g(t) sini/2 и g(t) cosi/2 соответственно
по косинусам и синусам), что следует из доказательства принципа
локализации. Если Ьп(х) и д„(т) — коэффициенты Фурье функций
g(t) sini/2 и g(t) cosi/2 (по синусам и косинусам соответственно), то
согласно уравнению замкнутости
—+ £(|а2(т)| - |62(т)|) = У _ |.g2(i)|sin2|<it -
- - | [ \f2(x-t)\dt+ [ |/2(z-i)|A j
у./ — ТГ J /
и аналогично
Функции g(t) sini/2 и g(t) cosi/2 непрерывны всюду па [—л. тг].
за исключением, возможно, точек — д п д. Тем не менее, уравне-
ние замкнутости для этих функции справедливо. Для обоснования
этого утверждения следует заменить каждую из них близкой функ-
цией (т.е. отлп’тающейся от соответствующей функции g(t) sini/2
Интегралы, зависящие от параметра
503
или g(t) cost/2 на величину, равномерно ограниченную в произволь-
но малой окрестности каждой из точек —<5 и <5), причем так, чтобы
эти близкие функции были непрерывны на отрезке [—тг,7г]. Учи-
тывая, что для каждой из этих близких функций уравнение замкну-
тости справедливо, следует далее перейти к пределу при стремлении
радиуса г этих окрестностей к нулю, заметив, что по признаку Ди-
ни равномерной сходимости функционального ряда ряды, составлен-
ные из квадратов модулей коэффициентов Фурье близких функций,
равномерно сходятся относительно г € [е, 0] при некотором 9 > 0
и произвольном е € (0,0]. Согласно теореме о перестановке двух
предельных переходов (примененной к последовательностям частич-
ных сумм этих рядов) при г —> 0+ получаем уравнение замкнутости
для каждой из функций g(t)sint/2 и g(t)cost/2. Теперь для дока-
зательства того, что an(x) = Ьп(х) — 0 равномерно относительно
х € [—-тс, тг], опять применим признак Дини. Достаточно показать,
что функции an(x) и Ьп(х), также как и йп(т) и Ьп(х), непрерывны
на [—тг, тг] и что сумма каждого из двух выписанных выше рядов
непрерывна на [—тг, тг]. Имеем
sin - cos nt dt =
cos nt dt +
cos nt dt
так что Va; € [—7г,тг] Vn € No
\an(x - y) - an(ar)| C - [/ \f(x -y -t) - f(x -1)\ dt+
4- r\f(x-y-t)-f(x-t)]dt] <
J6 )
c 2.u|y; -4 0
при у —> 0 (мы учитываем, что при условиях теоремы условие Лип-
шица для функции / выполнено равномерно относительно х G R).
Аналогично получаем
ЬГ!(т) ~ ~ g(t) cos - sin nt dt =
тг J-тг 2
1 A f~s t f77 t
- / /(t — t) etg - sin nt c/t — / f(x - t) etg - sin nt dt
rr 2 J5 2
Глава VII
504
так что Vx G [—тг. тг] Vn € N
-ry-t) - f(x-1)| ctg 11 dt +
J6
—h
7Г
при у —> 0.
Далее, при п = 0,1....
-<5
ctg | dt +
ап(х) =
cos - cos nt dt —
2
~s t t
f(x - t)ctg - cos nt dt 4- / f(x - i) ctg - cos ntdt
2 Js 2
_ 1
тг
— непрерывные функции на [—тг. тг]: при п = 1.2.,
t
sm - sm ntdt =
Ьп(х) =
1
-6 r~ \
f(x - t) sin ntdt 4- / f (x - t) sin ntdt \
-TV J 6 /
— также непрерывные функции на [-тг. тг]. Пусть для х 6 [—тг, тг]
\f(x-t)\2dt- [ \f2(x-t)\dt] ,
1
7Г
тогда
- у) - ^(a-)| |
\\f'4x-y -t)\ - \f2(x -t)\\dt -
.V-01 - ~t)\\dt]
\f2{x ~ у - t) - f2(x - t)\dt ~
У l/(4 -+ y-t)-f(x- t)\\f(x ~ y-t)- f(x -1)| dt -
~ У-t) - - 01 l/Cr -У-t)- f(x - t)\dt \
Jd /
Интегралы, зависящие от параметра
505
< —М|2/|27Г = 4КМЫ -» 0
Л
при у —> 0. Наконец, если
№) = -( [ \f2(x -1)| ctg2 ~dt + [ |/2(x - t)| ctg21 dt]
тг \J-ir 2 Js 2 у
TO
ту) - -ф(х)\ — M\y\ | [ ctg2 ^dt+ [ ctg2 dt ) -> 0
ТГ 2 Jf, 2 J
при у —> 0. Таким образом, ряд Фурье функции f сходится равно-
мерно к этой функции на отрезке [—тг, тг] (а поэтому и равномерно
на R).
7.4.31. Следствие. Пусть f — комплексная функция, 2л-пе-
риодическая на IR, и непрерывно дифференцируемая на [—тг, тг]. Тог-
да ряд Фурье функции f сходится к этой функции равномерно на R.
Доказательство. Так как функция f непрерывна на [—тг, тг],
то ЗМ > 0:
sup {|/'(я)|} < М.
гб| — т,тг]
Поскольку f 2л-периодична на R, то
sup М.
a?(=R; х^(2А'+1)тг
fceZ
Если х G [—тг, тг] и у € [—тг, тг], то по теореме о конечных прира-
щениях \f(y) - f(x)\ Л/|у —иф Пусть -2л < у < -л х л, тогда
на сегментах [г/, —л] и [л, х] то той же теореме получаем, что
1/(-’г) - /(3/)1 < М\У + Ч = Щ~У - тг);
\f(x) — /(—л)| < М\х -г л| = М(х -г л).
Значит,
1№) -/И\ \/И - /(-гг)! + 1Д-7Г) - /(у)|
А/(.г -Г л) -г- М(-у - л) = Л/(т -у) = Л7|х - у\-
Аналогично, если —л С х л < у < 2л. то |/(у) - /(т)|
М\у — т|. Итак, из условий х е [-л. л] и у € (-2л, 2л) следует, что
|/(у)—/(т)] А/|у—т|. Это означает, что при любом фиксированном
д' € (0. л) условие Липшица для функции f выполнено равномерно
относительно х G [—л. л].
7.4.32. Замечание. При условиях теоремы о равномерной схо-
димости ряда Фурье функция f имеет ограниченную вариацию на
506
Глава VII
отрезке [—тг, тг]. Действительно, если Р = {xq: .. .:хп} — произволь-
ное разбиение этого отрезка, то
П П
Л/^2(а:г -хг_!) = 2ттЛ/
г=1 г=1
и поэтому V(/; —тг, тг) 2тгД7 < +оо. Заметим также, что в следст-
вии 7.4.31 достаточно предположить, что f дифференцируема на
отрезке [—тг, тг] и её производная f ограничена на этом отрезке.
7.4.33. Утверждение. Пусть
Esin kt
—:—. t е R; п & IN.
к
fc-i
Тогда последовательность {Sn} равномерно ограничена на R.
Доказательство. Поскольку Sn(0) = 5„(тг) = 0 и |Sn(t)| =
= |Sn(—t)| при n = 1.2,... и t е R, то из периодичности на R каж-
дой функции Sn с периодом 2тг следует, что достаточно убедиться в
равномерной ограниченности последовательности {S'n} на интерва-
ле (0, тг). Пусть U < с < 7Г. тогда sin kt Г* , , —-— = / cos кzdz, к Jo и поэтому pt / n \ pt Sn(t) = / 1 Y^cos/lZ j dz = Jo \A. = 1 / sin(tt-r l/2)z Л / 1 Jo Z " ' Jo \2sinz/2 Кроме того. к = 1.2 sin(n —l/2)z^ t 2 sin г/2 2 П . ( n , t sm In -+- — ] z az — -. z) \ 2) 2
/ . dz~ Jo - Jo где r7 \ _ fy sin 1 * Cv) = / — Jo u Функция F ограничена на |0. - c даже дифференцируема) при у $ lim F(y) = [ эс Jo Значит. Vf e (0. тг) V/z e N f1 sin(z). 1/2)г Jo z du = Г пн— г. u \ \ 2 / / du при у 0. с), поскольку она непрерывна (и 0 и ’10 sin u , тг o' u 2 dz I ед - const.
Интегралы, зависящие от параметра
507
Далее, при t € (0, л) и n € N
поскольку
/ 1 1\
lim —:---—--------- 0.
г-»о+ \2smz/2 z )
Таким образом, Vt € (0, тг) Vn € N
7Г
|S„(t)| < С1 - с2 + - = const.
Признак Дирихле-Жордана сходимости ряда Фурье
Пусть f €77 на [-тг, тг], и пусть функция f 2тг-периодична на R.
Если a < х <Ь, причем V(f-.a,b) < +оо, то ряд Фурье функции f
сходится в точке х к числу (/(т+) 4- f(x—))/2.
Доказательство. В формулировке этого признака
/(х-) = lim /(у) и /(т-) = lim /(у)
y-tx-c У-+Х-
(по свойствам функций ограниченной вариации эти пределы Vt G
G {a.b) существуют и конечны). При 0 < <5 < тг
(f{x -t)- /(?+) + pn(t) dt +
+ f (f& -t)- Vn(t)dt =
Jo \ z /
= 2 Л Z/(x + t)-/(x-t) _ /(*-) + №-)) DM dt
n = 0.1......................
Если f{x) ± (f{x+) + /(т-))/2. to изменим значение функции f
в точке х. полагая /(т) = (/(т~) — /(т-))/2 (от этого коэффици-
енты Фурье функции /. очевидно, не изменятся). Далее положим
VA- € Zf{x -г- 2Ьг) = /(т). т 6 [-тг.тг]. и определим функцию д из
соотношения
н Л (еМ
Тогда
tlim ^(t) = 0 = ^'(0).
т. е. функция д непрерывна справа в точке 0. Пусть 0 < S < пнп(т -
- о:5-т:тг). тогда V(^:0.<5) V(f:a.b) < +оо. В силу принципа
508
Глава VII
локализации достаточно доказать, что Vt > 0 3<5 Е (0. тг):
Можно утверждать, что
п
1 — 2 cos kt
k=i
,.. (_ хУ sin кд \ fs ( sin kt \ „
= <p(6) <5 + 2 V —— - / «-‘-гУ— #(f). n = 0,l,....
\ jb=i k ) Jo \ /
Следовательно, при n = 0,1,...
где V/ — функция полной вариации для функции д на отрезке [0, <5].
Из этих неравенств выводим, что при и = 0.1.... согласно утверж-
дению 7.4.33
^(t)Dn(t)dt
|X<W + 2с) + (<5 - 2с) [ dV^t) =
Jo
= (5-2с)(М5)| + ИДд))
где с = const > 0. Так как функция у? непрерывна справа в точке 0,
то функция VV также непрерывна справа в этой точке, т. е.
lim V-(d') = V-(0) = 0.
<5—>0-*-
Кроме того, при д -Д 0— |<(д)| —> |р-(0)] = 0. Это означает, что
lim [ p(t)D„(t) dt = 0
Jo
равномерно относительно п = 0.1.... (что и нужно было доказать).
Теорема о почленном дифференцировании ряда Фурье
Пусть функция f дважды дифференцируема на отрезке [—тг. тг].
и пусть /(тг) - /(-тг) и f (-тг) = //(тг). Пусть, далее. V.r 6 [-тг.тг]
/(т) = cos nx — sin n:r).
Z( = 1
Интегралы, зависящие от параметра
509
где an и bn: п = 0,1,..., — суть коэффициенты Фурье функции f.
Тогда Ух е [—тг.тг]
ос-
f'(x) = У^(п6п cos nx — nan sin nx)
n=l
(т. e. ряд Фурье функции f можно почленно дифференцировать).
Доказательство. При условиях теоремы функция f непре-
рывна (и поэтому ограничена) на [—тг, тг], так что f € 7Z на [—тт, тг] и
V(/; —7г,тг) < +оо. Продолжим функцию f с периодом 2тг на R (это
можно сделать, поскольку /(тг) = /(—тг)), тогда f будет дифферен-
цируема на R, что следует из условия //(—тг) = /'-(тг), и функция
f будет 2тг-периодична на R. Пусть
ОО
f'(x) ~ -г У^(ап cos nx — bn sin nx)
n=l
— ряд Фурье для функции /' на [—тг, тг]. Так как f дифференци-
руема на [—тг.тг] и 2тг-периодична на R, то согласно следствию из
признака Дини-Липшица Va; ё [—тг.тг]
ОО
f'(x) — ~ + У^(ага cosnx — 6nsinna?).
n = l
Имеем
cos nxdx = —
1 <•/ X
= — J(x)cosnx
cos nx df(x)
f{x) sin nx dx = nbn
(где следует считать, что bo = 0), так как
-f(x) cos nx =0, n=0.1,....
в силу равенства /(—тг) = /(тг):
7.4.34. Пример. Пусть
Esin nx
—
510
Глава VII
при х е [—тг, тг]. Нетрудно проверить.
(тг-х)/2.
/(х) = 0.
—(тг -- ж)/2.
что
x = 0;
x € [—тг, 0),
и что этот тригонометрический ряд является рядом Фурье функции
J. При этом an =0, п = 0,1,.... и bn = 1/п, п = 1,2,..так что
cos nx — nan sin nx) = cos пт
и полученный ряд расходится всюду на отрезке [—тг, тг]. В этом при-
. мере функция f разрывна в точке 0. поскольку
Д Д = Дт /(Д
Теорема о почленном интегрировании ряда Фурье
Пусть функция f непрерывна на отрезке [—тг, тг] и 2тг-периодич-
на на R. и пусть F — первообразная функции f на этом отрезке.
Если
/(ат) ~ ~r У (gn cos nx s'n nx^
- ряд Фурье функции f
то равномерно относительно
aQx йо
гы - — » у
Ьп &п
cos nx -1 sin nr
n--------------n
где
ао = F(tt) + F(— тг
(т. e. ряд Фурье непрерывной функции f. даже расходящийся, можно
почленно интегрировать).
Доказательство. Согласно формуле Ньютона-Лейбница
ао - - Г f(x)dx -= - Д-Д»-
71 J-7Г Д
Отсюда следует, что
Яо7Г а°(_7г)
F(tt)---Y = F(-’r)-------2--
(т. е. значения функции F(.r) —aox/'2 на концах сегмента [—тг. тг] оди-
наковы). Далее. V.r g [—тг. тг]
Интегралы, зависящие от параметра
511
и поэтому из равенства /(тг) = /(—тг) следует, что значения про-
изводной этой функции на концах сегмента [—тг, тг] (справа и слева
соответственно) также одинаковы. Значит, эту функцию можно про-
должить с периодом 2тг на Н. причем так, что это продолжение будет
первообразной для функции / — а0/2 всюду на R.
Пусть
- сю
. . о,ох ао /- , 7 \
г (х)----— ~ > (an cos па: + bn sin пт) .
П—1
Поскольку функция F(x) — aox/2 2тг-периодична и непрерывно диф-
ференцируема на R, то согласно следствию из теоремы о равномер-
ной сходимости ряда Фурье
- оо
, . CLqX (Zq
F(x)-----— = — + У (an cos nx + bn sin nx)
* Л
П-1
равномерно относительно т € [—тг,тг]. Вычислим коэффициенты
Фурье функции F(t) - aox/2. Имеем
512
Глава VII
0-0 Г , an
-----/ cos пт ax =—.
2шт n
так как F(tt) — F(—тт) = ttoq и
У cos nx dx = 0.
7.4.35. Замечание. Равномерная сходимость ряда'
— + (an cos пх + bn sin nx)
2 n~l
следует также из сходимости ряда
|an| 4- |ЬП|
П=1
(эта сходимость легко устанавливается, если использовать неравен-
ства Бесселя и Коши-Буняковского).
Теорема дю-Буа-Реймонда
Пусть f & 11 на [-7Г. тг], и пусть Vx 6 [—тг. тг]
/(.г) = у + уу(а,г cosn2' - sin пх)-
п~1
где an,bn, п = 0.1.. — некоторые постоянные: Ьо = 0. Тогда an и
Ь,, суть коэффициенты Фурье функции f (т.е. тригонометрический
ряд является рядом Фурье функции f).
Доказательство этой теоремы можно найти в [29. т. III. с. 625-
626].
7.4.36. Пример. Пусть
Е;к sin пх
~7(Г' 'reR‘
,i=i '
тогда этот ряд сходится равномерно на любом сегменте [а, Ь]. таком,
что 0 [а, 6] и [а.Ь] С [—тг. тг] (по признаку Дирихле равномерной
сходимости). При .г 0 этот ряд также сходится и его сумма равна
0. Поэтому функция f непрерывна всюду на R. за исключением
точек вида 2/гтг. k е 1L. и 2тг-периодичпа на R. В любой окрестности
точки 0 (а поэтому и каждой из точек указанного вида) функция f не
ограничена (в противном случае f е 71 на | —тг. тг]. что противоречит
неравенству Бесселя, если использовать теорему дю-Буа Реймонда).
7.4.37. Определение. Пусть Z(R) — множество всех вещест-
венных функций /. интегрируемых по Риману на любом сегменте и
абсолютно интегрируемых от —эс до эс. т.е. таких, что
[ \f(u)\du < эс.
Интегралы, зависящие от параметра
513
7.4.38. Утверждение. Если / G T(R). то Vy € R сходится
несобственный интеграл
}(у) = У егиу f(u) du = У (cos uy — i sin tty) du,
называемый прямым преобразованием Фурье функции f. При этом
функция f: R —> С непрерывна на R и
lim f(y) = lim f(y) = 0.
y-H-oc y-»-oc
Доказательство. Если u,y G R. to |eluyy(u)| = |/(u)|, и по-
этому интеграл, определяющий функцию f. сходится равномерно
относительно у € R по признаку Вейерштрасса равномерной сходи-
мости. Функция е'"у непрерывна на R2. Согласно теореме о непре-
рывности несобственного интеграла, зависящего от параметра, отсю-
да следует, что функция f непрерывна на R (по сравнению с усло-
вием этой теоремы под знаком интеграла присутствует добавочный
множитель f(u), значение которого не зависит от у; наличие этого
множителя, как нетрудно проверить, не влияет на справедливость
утверждения теоремы). Покажем, что
Поскольку
lim Ду) = 0.
то Ve > 0 ЕА > 0:
Для этого значения А
Таким образом, достаточно показать, что Зуо > 0:
Так как f G Z(R). то f € 7? на [—А, А]. Значит, существует разбиение
Р = {uo-«i...un} сегмента А. А], для которого
OWJ)- lA^f(u)du<£~.
514
Глава VII
Пусть
Мк = sup {/(«)}, fc=l,...,n.
u6|ujc_l.i')c]
Положим
если Ufc-i < и < ик, fc = 1,..., n;
если и = Uk, к = 0,1,..., n.
Тогда
/а п
fP{u)udu = ^Мк(ик -Ufe-i) =
А fc=i
Таким образом.
г А
А
J —A
Если у 7^ 0, то
£
3
А
А
А
Г eiuy(fp(u) - f(u))du
J — A
«к
I eiyyfP(u)du +
“k-1
Гик
[ \fp(u) - f(u)\du
J-А
к^1
если
«к-Х
2 s 2е
^ + з-У’
etuy du + | ^
О
I Ем-i
S fc—X
(мы учитываем, что при у О
е»«у
iy
e’by _ Qiay
iy
если a.b G R и a < b).
7.4.39. Следствие.
Если f € £(R). то
lim
y-^x
f(u) cos yu du =
f(u) sin уtz du = 0.
7.4.40. Следствие. Если f e TZ на [a. 6]. to
lim [ егид f(u) du = 0.
J a
Интегралы, зависящие от параметра
515
7.4.41. Определение. Для функции / G T(R) назовем предел
e^-^f^du] dy =
eiy^^f^du] dy
(если он существует) интегралом Фурье для функции f в точке х
(или обратным преобразованием Фурье для функции /).
Признак Дини-Липшица сходимости интеграла Фурье
Пусть f € i(]R) и функция f удовлетворяет в точке х £ R усло-
вию Липшица. Тогда интеграл Фурье функции f в точке х сходится
(в смысле главного значения) и равен f(x), т.е.
f(x) = lim ~ [ е "vf(y)dy.
А-»+ос Z7T J_x
Доказательство. Если А > 0, то функция f непрерывна на
отрезке [—А. А], так что интеграл
/•А />А / /’+оо \
/ e~'xyf(y)dy= ( dy
J — X J — A V-x /
существует в смысле Римана. При этом интеграл
сходится равномерно относительно у £ [—А, А], поскольку
так что можно применить признак Вейерштрасса равномерной схо-
димости. Кроме того, f е 77 иа любом сегменте и функция е,у<-и~^
непрерывна на полосе [—А. А| х (—эс. —эс) при любом фиксированном
х ё R II любом выборе А > 0. так что. меняя порядок интегрирова-
ния. получаем
516
Глава VII
С другой стороны, поскольку
/’+°° sin At , /’+ос sins тг
/ -----dt = / ----ds = -
Jo t Jo s 2
при A > 0 (положить s = At), то
1 Г+о° sinAt .. . , ...
~ ——2f(x)dt = f(x),
7Г Jo t
и поэтому 'dx € R VA > 0
e-^}(y)dy-f(x) =
1 Г+°° sinAt... . .. . Л,, ,
= - / —+ t) + f(x -t)- 2f(x\) dt.
я Jo t
По условию, 3<5 > О ЭМ > 0: Vt e (—5,5) \f(x + t) - f(x)\ M|t|.
Можно считать, что 5 < 7гг/(4Л/), где е > 0 — произвольное поло-
жительное число. Далее получаем оценки
1
2л
е-^/(у)^-/(а:)
fs sinAt . Л/ . ,. ,
Jo t
f,
1
[ -t) - f^x^dt -
JO 1
[+°° sinAt... . . ч
( —f—(/(•£ + t) + f(x -t)- 2/(a;)) dt .
1
+ -
л
При выбранном значении 5 > 0
1 f5 sinAt ... . r, .. t
- / UJx + t) -f(xY)dt
к Jo c
z О Ь
fS \f(x + t)-f(x)\ Мб Е
/ -----------------at < ---- < -
О t л 4
и аналогично
£ Г smAt^ _<)_f(x))dt
Jo t
4'
О
Последние два неравенства справедливы VA > 0. Теперь положим
g(t) = 0, если -ос < t < 5, и g(t) = tJjH—Q.——£2, если 1 §
-г 7Г^
Тогда функция д интегрируема ио Риману на любом сегменте и
Д [ (\f(x + t)| 1 \f(x -t)|)dt s? Д f \f(u)\du < -00.
' 0 J6 тг5 J_x
Интегралы, зависящие от параметра
517
Это означает, что g € L(IR). Следовательно.
1 /toosmAi(№ + t) + /(a._0)fl(f = f
nJs t J_-
при A —> +oo. Поэтому 3Ao >0: VA Ao
11 rocsinAt(/(x + f) + /(a._i))c/t
k Jo t
Кроме того,
g(t) sin Xt dt —> О
4
f х sin Xt „, . ,
I ——2f(x)dt
6 f
/+ocsinAt ,
/ ---— dt
Л t
= °°^ds _^0
л \Jxs s
при A —> — оо и постоянном <5 > 0 в силу сходимости интеграла
/+ос sins ,
/ ----ds.
Jo s
Значит. 3Ai >0: VA A]
11 fx sin At ,
- / 2/ x dt <
k Л- t
Если A max{Ao;Ai}. to
[X e-ixyf(y)dy-f(x)
J-x
£
4
Таким образом.
f(x).
lim —
А—>- оо 27Г
7.4.42. Следствие. Пусть f е L(IR) и функция f дифферен-
цируема в точке х € R. Тогда интеграл Фурье функции f в точке х
сходится (в смысле главного значения) и равен f(x).
Теорема о пределе тригонометрических интегралов
Пусть a — неубывающая функция на отрезке [О.д']. Тогда
fs , .sinAt , тг
Inn / a(t)——-dt = -a(0- ).
A-»-oc Jq I I
Доказательство. Имеем
[\^^2±dt - o(0 Д [Ss^dt - Aa(t)-o(0-))^^
Jo * Jo 'Jo 1
причем
k sin At , /’As sin s , f sin s ; ~
/ ----dt = / ---ds -> / ---ds = -
Jo t Jo Jo s 2
518
Глава VII
при А —> +ос. Можно утверждать, что Vf > 0 Згу G (0,6): V/ € (0, ту]
О a(t) — а(О+) < е. Далее получаем
^(Q(t)_Q(O+))^df =
= / (a(t) - а(0+))31П;— dt + [ (a(t) - <а(0+))8Ш ^ dt:,
Jo * j T]
I”1, ,, ,n ..sinAt , ... f'1 sin Xt
/ (a(t) -а(О-Д) —— dt = (a(r/) -a(O-<-)) / —— dt =
Jo t Je ъ
ч;п <.
= (a(ry) - a(O+)) / — ds,
Jxe s
где в G [О.ту] (вторая теорема о среднем). Поэтому
/’', , . . sin Xt ,
/ (o(t) - а(0+))—-— dt
о t
= £\F(Xt]) - F(A0)| 2ke,
где к > 0 выбрано так, чтобы
sup{|F(z)|} к\
2^0
здесь при z > О
. fz sin s ,
F(z) = / ~T~ds
Jo s
и функция F ограничена на [0.+oo), поскольку F непрерывна на
[О,+оо) и
lim F(z) =
z—>-t-oc 2
Последнее неравенство справедливо VA > 0. При А —> —оо и
фиксированном ту > 0 интеграл
..sinXt ,
j (a(t) -a(0+))—dt
стремится к нулю. Действительно, достаточно положить g(t~) = 0
при — <5 < t < zy и g(t) = (a^t) — o(0+))/i при ту < t < 8. и тогда
Г5 , . , sin At , l~s . , , ,
/ (a(t) - a(O-t-))---dt = / g(t) sm At dt 0
Jn J-6
при A —> —эс. поскольку ту G F на [—5, <5]. Значит, ЗАц > 0: VA Aq
Интегралы, зависящие от параметра
519
и поэтому
/"i, , . ..sinAt ,
I (a(t) - a(0+))—— dt
о c
< (2fc+ l)e.
Это означает, что
..sinAt ,
a(0 ij)—-— dt = 0,
откуда следует утверждение теоремы.
Признак Дирихле-Жордана сходимости интеграла Фурье
Пусть / е L(R), и пусть a < х <Ь, причем V(f; a. b) < —оо. Тог-
да интеграл Фурье функции f в точке х сходится (в смысле главного
значения) и равен (/(а?) — /(-х))/2.
Доказательство. Пусть 0 < 5 < min{a: — a;b — х}, тогда
V(f;x - <5, х - 5) С V(f;a.b) < +оо, поскольку [.г - 8. х -г 5] С [а, Ь].
Уже доказано, что VA > 0
1 , 1 Г' °° sinAt ,, . ,
X- / е y}(y)dy=- —— (/(z + t) + /(z - t))dt =
J-x я Jo t
1 ( К sinAt.. ,, .. .
= - / + t) + f(x ~ 0) dt +
тг \J0 t
- [ + t) - f(x - t)) dt\ = Л + I2.
Js f /
Выше установлено, что I2 —» 0 при A -> +oc. Если g(t) =
= f(x -r t) - f(x - t). t e [0,5]. to V(g-.O.d') V(J;x.x + 5) +
— V\f;x — 6.x) = V(f:x — 6.x + 5) < -J-oc. Значит, при t € [0.5]
g(t) = ai(t) — ci2(t), где сц и a2 — неубывающие функции на [0.5].
Поэтому согласно предыдущей теореме
.. 1 /’Л , . sin At , о ,(0^)
lim -/ Oj(t) У. j =1.2.
А—> • ос 7Г Jq I 2
так что
lim 1 [\f(x - f) - /(z - t))^ dt = =
7Г Jq t J
. g(0~) . /(z-)-Z(z-)
2 2
7.4.43. Утверждение. Пусть f e £(R). л пусть функция
unf(u) абсолютно интегрируема на интервале (—эс. -эс). п е У.
Тогда функция
Ку) т У e‘uyf(u)du
520
Глава VII
п раз дифференцируема на (—ос, — оо), причем
lim = 0, к = 1,2,..., тг.
у—>оо
Доказательство. Продифференцируем интеграл, определя-
ющий функцию /, по параметру у под знаком интеграла. Имеем
/ + ос
eiuyukf(u)du, к = 1,..:,п,
-оо
и так как полученный интеграл сходится равномерно относительно
у е R, то отсюда следует законность такого дифференцирования.
Действительно, Чу € R
причем первый интеграл существует в смысле Римана; кроме того,
при к = 1....п
I \u\k\f(u)\du [ |tt|n|/(w)|du [ \u\n\f(u)\du <Лоо
по условию. Таким образом. uA'/(u) € £(R). к = 1.п, и поэтому
по свойствам преобразования Фурье
lim f(k\y) = 0. к = 1...п.
Заметим, что при условиях утверждения 7.4.43 функция Д”) непре-
рывна на (—оо,+ос).
7.4.44. Утверждение. Пусть f е L(R). функция f п раз
дифференцируема на (—ос,+ос), и пусть
lim /(u) = lim = 0. к = 1..........п — 1.
и—>ос и—>ос
причем е £(R). Тогда /(у) - Ту ") при у —> эс.
Доказательство. При у ф 0
так что при у —> эс из условия е L(R) следует, что у"/(у) -д 0.
Интегралы, зависящие от параметра 521
7.4.45. Замечание. Если функция f четная и f £ L(R), то
Vy £ R
р+ОО I—ОС
f(y) = / f(u) cosuydu = 2 / f(u) cosuydu,
поскольку
/-roc
f(u) sin uy du = 0.
Значит, f — также четная функция и обратное преобразование Фу-
рье имеет вид
1 f+°° . 1 *
7TVP- f(y)cosxydy = -/ f(y)cosxydy.
2тг J-x тг ,/0
Если же f — нечетная функция, то при условии f £ L(R) имеем
V y £ IR.
/(у) = 2i / f(u)sinuydu,
Jo
причем f — нечетная функция и обратное преобразование Фурье
имеет вид
-i Гх -
— / f(y) sin ху dy.
ТГ J()
Теорема Планшереля
Пусть f £ L(R). f дважды дифференцируема на (-оо.-1-ос).
f" £ L(R). и пусть
lim /(т) = lim /'(т) = 0.
Если, кроме того, g € L(R), то
У /(^)v(-r) dr =- ~ у f(y)g(y)dy
(обобщенное равенство Парсеваля).
Доказательство. Так как Vt £ R f дифференцируема в точ-
ке .г. то
e~'xyf(y)dy.
Согласно утверждению 7.4.44 при у эс f(y) - o(iy|’2). и поэтому
интеграл
522
Глава VII
сходится на R равномерно и абсолютно (по признаку Вейерштрасса
равномерной сходимости). Пусть А > О, тогда отсюда следует, что
/»А -1 /»А / лН-ос \
У f(x)g(x)dx = — у >д(х) (J e~txvf(y)dyj dx.
Меняя порядок интегрирования (что оправдано в силу равномерной
сходимости), получаем
/А -1 рЧ-оо / г А \
f(x)g(x) dx = — / е-11^) dx f(y) dy =
X J-ос \J-X J
= [ \[ е1ХУ g (x) dx\ f(y)dy.
2?r J-oc \J-x J
поскольку g(x) = g(x) Vx € R. При этом
[ eixyg(x)dx \f(y)\
J-A
/Ч-оо
-оо
(и притом равномерно относительно А € [0, +оо)). По признаку Вей-
ерштрасса получаем, что интеграл
сходится равномерно относительно А € [0,+оо).
Далее, Ve > 0 ЗДо > 0: УД До
sup
А^О
Поскольку
elXiJg(x}dx f(y)dy
Е
2’
\g(x)\dx
то интеграл
сходится равномерно относительно у € R. Значит, для заданного
значения е > 0 ЗАо >0: VA Ао
sup
yeR
е1ХУ
e’^^x) dx
2
Интегралы, зависящие от параметра
523
Поэтому VA Ао VA До
Переходя к пределу при А —> -*-оо. получаем, что VA Ао
В итоге имеем
Остается заметить, что при условиях теоремы
I fWg(x) dx
сходится, и поэтому
^Нш У f(x)g(x)dx-=! f(x)g(x)dx.
Действительно, поскольку lim /(.г) = 0. то Это > 0:
(И > То) =* (|/(т)| 1) => (|/(т)<?(гг)| < |р(т)|)
524
Глава VII
и, значит,
Поэтому интеграл
а тем самым, и интеграл
сходится (и даже абсолютно),
место равенство
Окончательно получаем, что имеет
У f(y)9(y)dy-
7.4.46. Следствие. Пусть f е L(IR), f дважды дифференци-
руема на (—оо,+ос). f" € L(IR). и пусть
lim /(т) = lim f'(x) = 0.
Тогда
Для интегралов Фурье можно с помощью метода интегрирова-
ния по частям получить асимптотические разложения, аналогичные
установленным выше для интегралов Лапласа. Стилтьеса и Френе-
ля. Рассмотрим, например, интеграл Фурье на конечном проме-
жутке.
7.4.47. Утверждение. Пусть функция f имеет N непрерыв-
ных производных на отрезке [а.&]. Тогда при у —> +эс
-егЬ-7(п)(6))
п=0
.V = 1.2
Доказательство. Проинтегрировав по частям jV раз. полу-
чим при у Д О
рЪ А — 1 / . \ тг->-1
(e-V(n)(a)-elbV(,,)W)-=R.v(y).
п~ О
Интегралы, зависящие от параметра
525
где
Гь
RN(y)= - / eiuy f(N\u) du.
\У / J a
Поскольку функция /W непрерывна на отрезке [а, &], то по до-
казанному выше
fb
lim / e“y/w(u)dU = 0,
у-^ + оо Ja
так что при у —> -i оо R.N(y) = o(y~N), N = 1,2,....
7.4.48. Следствие. Пусть функция f бесконечно дифферен-
цируема на отрезке [в, &]. Тогда при у —> — ос
/•Ь ос
/ e,"'V(u) du ~ ^2 гп+1(е^/(п)(а) - егЬу f^^y-^1.
'a п=0
7.4.49. Замечание. Аналогичный результат будет справедлив
для случая b = +оо, если предположить, что
lim /<п)(м) = 0, п = 0,1,..., TV — 1,
и—>4-оо
И
/•+оо
/ du < +оо.
J а
При этом слагаемые вида
~(i/y)n^eibyf^(6), п = 0.1...N - 1,
должны быть опущены. Аналогичное утверждение справедливо и
для случая, когда b € R и а = — оо. Если подинтегральная функ-
ция или её производные терпят разрыв в некоторых точках отрезка
[а. 5], то эти рассуждения неприменимы. Если таких точек конечное
число, то можно ограничиться случаем, когда такая точка одна и
она является концом отрезка интегрирования. Простейший случай
представляет интеграл вида
fbeiuy(u - a)x~4b - uY‘~\f(u) du.
J а
где функция / N раз непрерывно дифференцируема на отрезке [а.Ь].
В этом случае также можно получить асимптотическую оценку ин-
теграла при у —эс. Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема Ван-дер-Корпута
Пусть функция f имеет N непрерывных производных на отрезке
[а. 6]. и пусть 0< А< 1 иО<// < 1. Тогда при у —> —эс
[ ^'^(u-a^^b-uy^f^du -
526
Глава VII
v—« Г(п + А) /. , .. 7ПА dT .,z_i ... ,,
= Е ?ii^expvw~(n+ М u) /(u)) +
n-0 ' xi--a
\ Г(п + и) ( , ъ{\ dn (( \Л —1 г/ \\
+ £ nV+M ехр(гб2/+(п-м)т) &^((u-a) /(u)) +
п=0 -У \ / и=ь
+O(y~N), W = l,2.....
Доказательство этой теоремы можно найти в [15. с. 37-42].
7.5. Метод Лапласа оценки интегралов,
зависящих от параметра
Пусть в интеграле
/>Ь
У(4) = / р>(х) exp(tw(o-)) dx
J a
ip и ш — вещественные функции, непрерывные на отрезке |а. Ь], и
пусть t > 0. Если значение t достаточно велико, то наибольший
вклад в значение интеграла J7(t) дают окрестности тех точек х, в
которых ш(х) принимает наибольшее значение.
Пусть производные ш' и щ" существуют и непрерывны на [а.Ь].
и пусть функция ш достигает своего наибольшего значения в единст-
венной точке х = а, для которой оУ(а) < 0. В этом случае сущест-
вует отрезок [а.а - ц] С [а.Ь], ц > 0. такой, что V.t G [а.а - л/|
ш'(х) < 0. Пусть съ’(т) = ш(а) — у. тогда у монотонно возрастает
от 0 до т = w(a) — — rf). Главная часть функции J(t) при боль-
ших положительных значениях t равна
р(х) exp(tw(x)) dx =
(здесь х — неявная функция от у).
Для достаточно малых т) > 0 Д.г) и сД(т) можно заменить зна-
чениями р(а) и щ'(а). если 0. Тогда получаем
J(t). ехр(М»)) [ exp(-ty)dy
Да) exp(fcc’(a)) _ р(а) ехр(М«))
^'(а) t е ^(«) t
если р(а) / 0. Если -р(а) = 0. то аналогичное рассуждение дает
оценку: при t —> эс
ехр(йД«))
t
где точный порядок зависит от поведения функции в малой окрест-
ности точки о.
J(t) --- о
Интегралы, зависящие от параметра
527
Аналогично проверяется, что если функция ш достигает своего
наибольшего значения в единственной точке х = Ь, причем ш'(Ь) > О,
то при t —> +оо
exp(iw(i>))
w'(6) t
в предположении, что <p(b) 0.
Если функция ш имеет конечное число точек локального мак-
симума, в которых иУ(х") = 0, то можно разбить отрезок интегри-
рования на конечное число таких отрезков, в каждом из которых
ш достигает наибольшего значения только в одном конце. Таким
образом, при этих условиях, не ограничивая общности, достаточ-
но рассмотреть случай, когда функция ш имеет максимум в точке
х = а, причем ш(х} < ш(а), если а < х Ь. В случае, когда мак-
симум функции w достигается в единственной точке Ь, рассуждения
аналогичны. В простейшем случае о/(а) = 0 и w"(a) < 0. При та-
ких условиях существует отрезок [а,а + ту] G [а, 6|, г? > 0, в котором
щ"(х) < 0 и ш'(х) < 0 при а < х < ц.
Определим (следуя Лапласу) новую переменную у > 0 с по-
мощью равенства и(т) = сс(а) — у2; значение у монотонно возрастает
от 0 до т = у/ш(а) - ш(а 4- ту), если х изменяется от а до а 4- ту. Мы
получаем, что при t —> ->-ос
/«+’? yr 2vd,u
ЛС~/ ^)exp(tw(x))dx = - / <ут(а:) exp(t(w(a) - у2))-^г-г.
Ja JO ш \Х)
Если значение ту > О достаточно мало, то р{х) можно заменить на
<р(а) (при условии у>(а) 0). Кроме того, по формуле Тейлора
> , , , ч (а: — а)2 „ ,
у2 = ш(а) - ш(аг) =------~~ш «)>
где а < £ < а - ту, и w'(x') = (х — a)w"(£i), где а < £i < а + р.
Таким образом,
2у _
и при достаточно малых г) > 0 правая часть этого равенства может
быть заменена на —(ш"(а)/2)-1/2. Эти эвристические соображения
приводят к асимптотической формуле Лапласа
_. . 2^(a) exp(fw(a)) [т , 2ч ,
2р(а) exp(iw(a)) [' ' 30 , 2
~ /-Т Т / ехР(-^) dy
(нужно учесть, что главная часть последнего интеграла порожда-
ется окрестностью точки у - 0, в которой достигается максимум
528
Г л а в a VII
подинтегральной функции). Итак, если 93(a) Д 0, то при t —> +ос
~ У(о) ехр(^(а)) J"(q) '
Если же 93(a) = 0, то те же соображения дают оценку: при t -> -гоо
/ехр(<ш(а))\
Лч = 0 ( —— I
где точный порядок зависит от поведения функции 93 в окрестнос-
ти точки а. Если локальный максимум функции ш достигается в
единственной точке Ъ, причем о/(Ь) = 0 и аз"(6) < 0. то справедли-
ва такая же асимптотическая формула с заменой а на Ъ. Если же
п > 2, функция w п раз непрерывно дифференцируема на [а. Ь], при-
чем аз'(а) = ... = а/п-1)(а) = 0 и Дп)(а) < 0, то можно провести
аналогичные рассуждения; в этом случае новая переменная у 0
вводится с помощью равенства w(x) = w(a) — уп.
Теорема Лапласа
Пусть 93 и ш — вещественные функции, непрерывные на отрезке
[а. Ь] (или на полуинтервале [а. Ь). где — оо < a < b -<-оо). такие, что:
1) Vt >0 функция Дж) exp(tw(z)) абсолютно интегрируема на
промежутке [а ,Ь):
2) функция uj имеет ровно один максимум на |а. 6) (или на |а. Ь)) в
точке х = а, причем верхняя грань функции ш на любом промежутке
вида (а + <5, Ь). где 0 < 6 < b — а, строго меньше и(а);
3) функция ш дважды непрерывно дифференцируема на [а. &]
(или на (а,&)), причем lj1 (а) = 0 и w"(a) < 0.
Тогда, если 93(a) 0, то при t —> —эс
р(х) exp(tuj(x')') dx ~ Да) exp(tw(a))
2fw"(a) ’
Доказательство. Имеем Vs € (0. —ai/z(a)) 3d G (ОД — a):
V.r е [a. a - d) Да) — £ Дж) p(a) e и tv"(a) - £
w"(a)—£ < 0. Если a < x C a- d. то Дж) = a>(a) - l(x—a)2w"(g). где
a < £ < a—d. Положим Д = — Д'(а) — £ > 0: В = -а>"(а)->-£ > 0. тогда
при x £ [a. a — d'] значения Дж) — Да) заключены между — B(x — a)2/2
и —.4(.r — a)2/2. и поэтому значение интеграла
•а — д
^(т) ехр(^’(т)) dx
при t > 0 заключено между значениями интегралов
/*а • <5 ( \2
(Да) - с)ехр(Ма)) / exp(-tB{ а) )dx
J а
Интегралы, зависящие от параметра
529
Ы0 + е
. , .(х - а)2, ,
ехр(-М------) dx.
При t -> - эс
Действительно, при t > О
Из этих оценок выводим, что
exp(iw(a?)) dx <
(У’(а) + e)exp(tw(a))^/^(l + О (e~tAg2/2^
и аналогично
а+<5
р(х) exp(£w(x)) dx
(^(а) -e)exp(fw(a))</^ fl + О (e-tB<>2/2')') .
V ZtJD \ \ / /
Для остальной части промежутка [а, Ь) имеем
exp(£cu(;r)) dx
fb
/ |р(.г)|еш('г) dx.
J а+5
где Л/ = sup {w(t)} < w(a) (что следует из условия 2).
j?G[a 1 5.6|
Используя условие 1). получаем оценку
у'(т’) exp(fiv(a,’)) dx
так как согласно этому условию
(и этот интеграл не зависит от t).
530
Глава VII
Пусть
е~?в<52
тогда
л/ exp(t(M — ш(а))) С
fb
/ exp(iw(x)) dx\/texp(—tiv(a)) = S(t)
J a
h[ll(1^o(e-tAs2/2
~л/ exp(t(Af -ш(а))).
При t —> +oc из этих неравенств следует, что
М“’ - 5(0 * >-Й1ЭД
<(y(“)+£)V2(Z"(o) + £)'
В свою очередь, при е 0+ в пределе получаем, что
э,и^ЭД = Д«)^/^.
Это соотношение с учетом определения функции S(f) равносильно
утверждению теоремы Лапласа.
Заметим, что если ^(а) = 0. то сформулированный выше при
таком условии результат можно получить аналогично.
7.5.1. Пример. При t > 0
Г(1 - *) = [
Jo
х*е х dx.
Положим х = ty, тогда
exp(f(-y
-riny))dy.
Если ^(гу) = 1 и Д'(г/) щ —у — 1пу. то функция и? достигает мак-
симума в единственной точке у = 1. причем в этой точке и/(1) - 0 и
д'"(1) — —1. Разобьем промежуток интегрирования на два: от 0 до
1 и от 1 до — эс. а затем применим метод Лапласа к обоим получив-
шимся интегралам. Тогда получим, что при t —> эс
Г(1 - 0 ~
(формула Стирлинга для гамма-функции).
7.5.2. Замечание. Если при условиях теоремы Лапласа пред-
положить дополнительно, что и се — аналитические функции ве-
щественного переменного на интервале (а'. У), где —эс а' < а <
Интегралы, зависящие от параметра
531
b < b' i
rb
ехр(Ма))АДУ:-р?4т —
v \ t n!22n+1 tn
п=0
где коэффициенты ап определяются из разложения
anun,
n=0
а функция ф удовлетворяет условиям w{a + ifi(u)) = ш(а) — и2;
i/>(0) = 0; > 0- При этом условие </?(а) 0 не обязано вы-
полняться (см. [8, с. 16 19]).
7.5.3. Пример. Пусть <р(х) = 1; ш(х) = cost; а = 0; Ь = тг,
и пусть Vt € 1R
cos a?) dx.
тг JO
Разлагая подинтегральную функцию в экспоненциальный ряд,
интегрируя почленно и вычисляя интегралы
I cosnxdx;
о
при этом Ljm+l = 0 и
Jim = 2 / cos2m х dx, m = 0,1....,
Jo
получаем, что Vt e R,
^2т
zo(i) = У2 22т(т!)2'
т=0 v ’
Функция /0 называется модифицированной функцией Бесселя
нулевого порядка первого рода. В данном случае все условия, сфор-
мулированные в замечании 7.5.2. выполнены, причем коэффициенты
ап определяются из разложения
и (U) = 2_^ dnU
п=О
Функция и удовлетворяет условиям:
cos u(u) — 1 — u2; v(0) = 0:
Значит. c’(u) = arccos(l - tz2);
_/ 2\~]/2
v'(u) = \/2 (1 - у ) = \
п
Г”> п2п
C-1/2U
2.
п -о
532
Глава VII
Поэтому ао = л/2 и Vn ё N
^2п —
Следовательно,
(2п)! a2n _ ^2(2»-l)!!2r„ n = 12
n!22n+1 tn 2 23nn!
Согласно замечанию 7.5.2 при t -> -ос- получаем асимптотичес-
кое разложение
e‘
W ~ 7^7
у 27TL
(2n- l)!!2f
8nn!
По правилу Лейбница имеем
cosz) dx.
=
« JO
Отсюда, рассуждая аналогично, нетрудно вывести, что при t +ос
для производной Iq (t) справедливо асимптотическое разложение, ко-
торое может быть получено из предыдущего путем почленного диф-
ференцирования.
7.5.4. Пример. Пусть ^>(х) = 1; cv(z) = — х + Inz: а = 1:
Ь = —эс-. Имеем при t > О
r(l+f) =t
—х -t- Inz)) dx —
—х 1 lnz))dz j .
Положим
У) апип\ щ(1 -г v(u)) = -1 — u(u) 1- ln(l -
п~О
= w(l) — и2 = — 1 — и2: v(0) — 0; uz(0) > С
Можно утверждать, что при t —> ‘эс
п!22п ‘ ’/2 t
При таких условиях
= 2и — 2ис(гу) — 2и -ь 2ип = У~^ Ьли".
п=2 Н и—1
где Ь„ — 2а„-2/л — 1. « = 2.3....: 51 = 2. Перемножая степенные ря-
ды, соответствующие разложениям функций v'(u') п (.’(а), по Коши.
Интегралы, зависящие от параметра
533
выводим, что &1 = а2 = 2, откуда а0 = Д(0) = \/2 (так как Д(0) > 0);
2<Хп —2
п — 1
71
V" ак~1 о о
/ , оГ1 — k, Ц — 2,3
к
fc=l
Из этих соотношений
= -8/135 и
следует, что ai = 4/3; а2 = \/2/6; аз =
1 \ 2
у j «П — jjdl—1
a„_fe+1, п = 4,5,...
fc=3
В частности, = х/2/216 и т.д. Таким образом, при t +оо спра-
ведливо асимптотическое разложение
Г(1 +1) ~ ч/2тгДе *х
/ 1 _i 1 _2 139 571
х И------1 1 ч------1 2--------1 3----------1 4 — ...
V 12 288 51840 2488320
В обозначениях замечания 7.3.8
(2п)!а2та
п!22п+1/2 ’
Можно доказать, что это разложение остается справедливым с за-
меной t на z € С, если z —> оо и |arg z\ < тг — е. 0 < s - const < тг;
предполагаем, что —тг < argz тг) [15, с. 80—81] — см. выше о
продолжении гамма-функции в комплексную область.
Другой вид асимптотической формулы Лапласа получается, ес-
ли положить f(x) = > 0, а именно: если функция f имеет
максимум в точке х = а, причем /'(а) = 0 и /"(а) < 0, то при
остальных соответствующих условиях и t —> 4-ос
rb / _
/ Дт)(ЛД)‘Фг ~ V(aKf(ayf+lf\L.fll(n,
Ja V \а)
(в этом случае Д'(а) = /"(а)//(а)).
7.5.5. Пример. Пусть Vt е R
I„(t)= / exp(t cos х) cos nx dx. n = 0. ±1. ±2....
Jo
(в частности, при n = 1 Ii(t) = /^(t)). Функция In называется
модифицированной функцией Бесселя n-го порядка первого рода.
Если положить Дт) = cos пт; Дт) = cost; а = 0: b = тг. то
Да) = ДО) = 1; Да) - ДО) = 1: Д(0) = 0; Д'(0) = -1. При-
меняя теорему Лапласа, получаем, что при t —> — ос
е^
Д (f) ~ -. п = 0 ± 1...
534
Глава VII
7.5.6. Замечание. Метод Лапласа можно обобщить так. чтобы
он охватывал интегралы вида
у>(х. t) exp(w(x, t)) dx,
где функция <р ограничена на рассматриваемом промежутке при всех
достаточно больших значениях t. а функция w(:r. f) (t фиксировано)
имеет один максимум в точке rco(t) (т.е. точка хо, вообще говоря,
зависит от выбора t). Представление подинтегральной функции в
указанном виде достаточно произвольно, различные разбиения на
множители могут привести к разным асимптотическим формулам,
справедливым при разных условиях. Обычно заменяют (если это
возможно) переменные так, чтобы сделать точку а?о не зависящей от
t. Однако такая замена возможна не всегда, да и не обязательно ее
нужно делать. Например, в случае гамма-функции
г + ос
Г(1 -г f) = I ехр(£1п х — х) dx
Jo
мы не можем положить ^(ж) = е~х и ш(х) = In ад так как в этом
случае функция ш не имеет стационарных точек. Однако мы можем
считать, что у(а’) = 1 и <д(тЛ) = Лпж — х; тогда
дш t
—— (x,t) =---1=0 при х = t.
ах х
причем в этой точке функция ш(ж. t) (рассматриваемая как функция
переменного х при фиксированном t) имеет максимум, так как
<Э2ш, . t
-XS (x.t) =-----2 < °'
с)х~ X2
Полагая Zo(i) = t. можно получить формулу Стирлинга, исходя из
этих функций. В примере 7.5.1 мы избежали необходимости рас-
сматривать точку xo(t) = t. сделав замену переменной х = ty.
Приложение
Методические рекомендации по организации
изучения математического анализа
Анализ требований ФГОС ВО
Дисциплина «Математический анализ» является наиболее фун-
даментальной среди всех математических дисциплин и принадле-
жит базовой части математического и естественнонаучного цикла.
Требования ФГОС ВО нацеливают на применение теоретических
результатов и навыков решения практических задач по этой дис-
циплине при обучении по специальностям направлений подготовки
«Криптографические методы защиты информации», «Информаци-
онная безопасность вычислительных, автоматизированных и теле-
коммуникационных систем», «Компьютерная безопасность», «Ин-
формационно-аналитические системы безопасности», «Безопасность
систем данных» и других. Закончив обучение по каждой из этих
специальностей, выпускник должен обладать, в частности, следую-
щими компетенциями:
• способеностью применять аналитический аппарат, в том числе
с использованием вычислительной техники, для решения про-
фессиональных задач:
• умению интерпретировать профессиональный смысл получен-
ного математического результата:
• способностью выявлять естественно-научную сущность проб-
лем, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
• способностью к самостоятельному построению алгоритма, про-
ведению его анализа и реализации в современных программных
комплексах.
Для реализации перечисленных компетенций в результате изу-
чения дисциплины «Математический анализ» студент должен:
Знать:
основные понятия математического анализа: простейшие прави-
ла логического вывода, элементы теории множеств, свойства вещест-
венных и комплексных чисел и элементарных функций, пределы и
непрерывность функций вещественного и комплексного переменно-
го. дифференцируемость функций вещественного переменного, те-
536
Приложение
орию функциональных последовательностей, числовых и функцио-
нальных рядов, определенного и неопределенного интегралов, функ-
ций многих вещественных переменных и интегралов, зависящих от
параметра (включая свойства эйлеровых интегралов, а также рядов
и интегралов Фурье).
Уметь;
использовать свойства теоретико-множественных операций при
обосновании логических выводов, применять основные понятия те-
ории пределов и непрерывных функций при решении практических
задач, вычислять значения определенных интегралов с помощью
неопределенных, решать геометрические и физические задачи, в ко-
торых используются идеи и методы математического анализа, на-
ходить точки локального экстремума функций одного и многих ве-
щественных переменных, пользоваться свойствами интегралов, за-
висящих от параметра, при исследовании и решении задач вероят-
ностного характера и вычислении прямого и обратного преобразо-
ваний Фурье.
Владеть:
навыками применения аналитических методов в других матема-
тических и специальных дисциплинах, их использования в решении
научно-теоретических и практических проблем профессиональной
деятельности: способами оценки сложности современных алгорит-
мов и трудоемкости их реализации на существующей вычислитель-
ной базе при применении асимптотического подхода.
Изучение идей и методов математического анализа требуется
также обучающимся по другим специальностям при реализации ком-
петенций. предусмотренных требованиями ФГОС ВО в области ин-
формационной безопасности.
Цели и задачи дисциплины, замечания по методике
преподавания
Целью изучения дисциплины «Математический анализ» являет-
ся теоретическая и практическая подготовка специалистов по при-
менению аналитических методов и обеспечение фундаментального
образования в ряде важнейших областей современной математики.
Задачами дисциплины являются: формирование научного ми-
ровоззрения. понимания широты и универсальности аналитических
методов, умение применять эти методы в решении прикладных за-
дач: развитие творческого мышления и воображения, математичес-
кой грамотности, способности критически анализировать собствен-
ные рассуждения и самостоятельно их корректировать: воспитание
математической культуры, которая предполагает четкое осознание
Приложение
537
необходимости и важности математической подготовки для специ-
алиста в области информационной безопасности; ознакомление сту-
дентов с основными понятиями математического анализа, а также их
приложениями для решения различных задач, требующих примене-
ния вычислительных средств; ознакомление с основными принципа-
ми логического мышления и аналитическими методами, а также их
использованием в профессиональной деятельности; выработка навы-
ков обращения с аналитическими конструкциями и умения строить
математические модели объектов и процессов.
Таким образом, дисциплина «Математический анализ» явля-
ется фундаментальной составной частью профессиональной подго-
товки по направлению «Информационная безопасность». Изучение
этой дисциплины призвано формировать специалиста и, в частнос-
ти, вырабатывать у него такие качества, как строгость в суждениях
и творческое мышление.
Дисциплина «Математический анализ» принадлежит базовой
части математического и естественнонаучного цикла и является од-
ной из ее важнейших фундаментальных основ. Для успешного ее
усвоения необходимо, чтобы обучаемый владел знаниями, умения-
ми и навыками, формирующимися параллельно в процессе изуче-
ния дисциплин:
• Алгебра и геометрия — основы общей и линейной алгебры;
• Дискретная математика — основы комбинаторики;
• Аналитическая геометрия — основы теории прямых, плоскостей
и поверхностей второго порядка.
Знания, полученные при изучении дисциплины «Математичес-
кий анализ», используются при параллельном и дальнейшем изуче-
нии большинства математических и специальных дисциплин.
Рекомендации по организации учебного процесса
Особенности данной книги связаны со спецификой основных
целей изучения указанных в оглавлении разделов математики для
будущих специалистов в области защиты информации. Эти цели
преследуют, с одной стороны, формирование фундаментального ма-
тематического образования, ознакомление с проблемами оснований
математики и общее развитие логического мышления, а с другой —
систематическое изучение основных понятий и теоретических поло-
жений математического анализа, лежащих в основе почти всей ма-
тематики.
Во вводной лекции следует ознакомить студентов с предметом
изучения, дать необходимые сведения об историческом развитии ма-
тематического анализа, о вкладе русских и советских ученых в это
538
Приложение
развитие, раскрыть роль математического анализа как фундамен-
тальной науки в общей системе наук и его связь с другими матема-
тическими дисциплинами, обратить внимание обучаемых на миро-
воззренческие вопросы курса и его связь с практическими задача-
ми, а также дать некоторые методические рекомендации по изуче-
нию курса. Следует указать на необходимость вести конспект, дать
рекомендации по работе над ним, отметить часы консультаций как
время, в которое с помощью преподавателя можно внести коррек-
тивы в конспект, дополнить его. Целесообразно дать рекомендации
по ведению тетрадей практических занятий, обратить внимание сту-
дентов на обязательное уяснение решений всех домашних заданий и
сформулировать указания по работе на практических занятиях.
При изучении элементов теории множеств следует ознакомить
студентов с понятием множества, его свойствами и основными опе-
рациями над множествами, а также уяснить мировоззренческие во-
просы, связанные с этим понятием. На примере парадоксов теории
множеств показать, что интуитивное понятие множества, его «за-
дание» некоторой фразой противоречиво. В связи с этим нужно,
в обзорном порядке, рассказать о системе аксиом теории множеств.
В частности, необходимо обратить особое внимание па то. что в курсе
математического анализа все встречающиеся множества полностью
определяются на основе понятия множества вещественных чисел, и
подчеркнуть точные границы области использования таких терми-
нов. как бинарное отношение и функция.
При изложении аксиоматики теории вещественных чисел до-
биться четкого усвоения студентами аксиоматического подхода к по-
нятию вещественного числа, дать понятие об интерпретации аксио-
матической теории.непротиворечивости системы аксиом и конструк-
тивном подходе, основанном на определении натурального ряда как
естественного объекта изучения и построения на его основе множеств
рациональных и вещественных чисел. Следует в процессе лекции по-
стоянно подчеркивать, что развитие математической теории, осно-
ванной на аксиомах, происходит исключительно путем логического
вывода сложных утверждений из более простых, т. е. путем анализа.
Тема «Сравнение множеств» предполагает ознакомление сту-
дентов со способами сравнения между собой бесконечных множеств,
продолжение изучения логики и методики построения аксиоматичес-
кой теории. При этом следует по возможности дать разнообразные
способы установления взаимно однозначных соответствий, а также
рассказать о гипотезе континуума и решении соответствующей про-
блемы.
Далее нужно ознакомить обучаемых с классической топологи-
ей во множестве вещественных чисел и изучить ее свойства. За-
Приложение
539
тем дать представление о пределе числовой последовательности, ее
частичных пределах и их свойствах, доказать основные признаки и
критерий существования предела. Дать определения предела функ-
ции по Коши и по Гейне и доказать их эквивалентность. Изучить
свойства функций, имеющих пределы, и выяснить их связь с теори-
ей пределов последовательностей.
Используя теорию пределов функций, ознакомить студентов со
свойствами основных элементарных функций: показательной, сте-
пенной, логарифмической, и выявить их роль в повседневной мате-
матической и естественнонаучной практике. На примере исследо-
вания этих функций изучить логику и методику применения ранее
введенного математического аппарата.
При изучении вопросов сравнения функций следует ознакомить
студентов с элементарным аппаратом асимптотического анализа и
изучить технику его использования для решения конкретных мате-
матических задач.
Тему «Непрерывные функции» целесообразно начинать с выяс-
нения их простейших свойств и исторических корней этого понятия
для получения представления об использовании непрерывности при
создании естественно-научной модели окружающего мира. При из-
ложении дальнейших свойств непрерывных функций проиллюстри-
ровать различные методы доказательств, характерные для матема-
тического анализа, на примере теорем о непрерывных функциях.
Продолжая логический порядок изложения, ознакомить студен-
тов с понятиями дифференцируемой функции, производной, диф-
ференциала и их простейшими свойствами. Выяснить роль и место
понятия производной в фундаментальных пауках, дать сведения по
истории возникновения и развития дифференциального исчисления.
Изложить основные свойства дифференцируемых функций и вопро-
сы применения производной для исследования функций и построе-
ния их графиков.
При изложении теории числовых рядов целесообразно с самого
начала рассматривать ряды с комплексными членами, выделяя как
важные частные случаи ряды с вещественными и с положительными
членами. Желательно постоянно подчеркивать связь рядов с после-
довательностями. Особо следует выделить признаки сходимости Ди-
рихле (в частности. Лейбница) и Абеля, позволяющие исследовать
сходимость рядов, не являющихся абсолютно сходящимися.
Рассматривая тему «Функциональные последовательности и ря-
ды». нужно выяснить тесную связь между последовательностями и
рядами. Изучая понятие равномерной сходимости, обратить особое
внимание на его отличие от понятия сходимости. Следует исполь-
зовать вариант изложения, при котором формулировки и доказа-
540
Приложение
тельства всех теорем, кроме признаков Дирихле и Абеля, даются для
функциональных последовательностей, а затем в качестве следствий
переносятся на случай функциональных рядов.
При рассмотрении темы «Степенные ряды и аналитические
функции» ознакомить студентов с методами применения общих тео-
рем о функциональных рядах к степенным рядам, выяснить специ-
фические особенности степенных рядов, делающие их мощным ана-
литическим аппаратом исследования функций, уяснить их роль и
место в решении математических задач аналитической направлен-
ности. Затем нужно изложить теорию показательной и тригономет-
рических функций в комплексной области (а после этого изучить их
свойства на числовой прямой).
В начале изучения темы «Неопределенный интеграл» следует
подробно остановиться на понятии первообразной, уделив внимание
вопросам ее существования, выяснить связи неопределенного интег-
рала с операцией дифференцирования, а также роль и место неопре-
деленного интеграла в анализе. Целесообразно прокомментировать
термин «интегрирование в элементарных функциях» и рассказать
о работах Чебышёва и Лиувилля по нахождению соответствующих
интегралов. Необходимо также подробно рассказать о технике на-
хождения первообразных для рациональных функций, на примерах
пояснить методы разложения на простейшие дроби (в том числе и
над полем комплексных чисел).
Продолжая далее изложение, необходимо ознакомить студентов
с предпосылками возникновения понятия определенного интеграла,
выяснить его основные свойства и связь с неопределенным интегра-
лом, уяснить роль и место этого понятия в фундаментальных науках.
При изучении практических приложений определенного интеграла
ознакомить обучаемых с возможными подходами к математической
постановке и решению ряда конкретных задач геометрии, связанных
с измерением точечных множеств, уяснить преимущества, даваемые
общим подходом, основанном на обобщении и выделении главных
закономерностей. Указать важность понятия несобственного интег-
рала для решения практических и теоретических задач.
При изучении теории конечномерных евклидовых пространств
над полем вещественных чисел особо выделить понятия компактнос-
ти и связности, используемые при обосновании свойств непрерывных
функций многих вещественных переменных, обратив внимание на
свойство равномерной непрерывности. Излагая теорию линейных
отображений евклидовых пространств, дать две изоморфные интер-
претации этих отображений, подчеркнув, что использование алгеб-
раических результатов позволяет сделать теорию более компактной.
Приложение
541
Особо следует отметить важность двух фундаментальных резуль-
татов: теорем об обратной и неявной функции. Необходимо четко
выяснить связь и различие понятий дифференцируемости и сущест-
вования частных производных (как первого, так и более высоких
порядков). Изложение теории безусловных и условных экстремумов
целесообразно сопровождать хорошо продуманными примерами, по-
казывающими важность этой теории в практических приложениях.
Чтение лекций по теме «Собственные интегралы, зависящие от
параметра», желательно дополнить простейшим вариантом теоремы
Фубини для функции, непрерывной на многомерном сегменте, и пра-
вилом замены переменных для этого случая. Обоснование теорети-
ческих результатов в разделе «Несобственные интегралы, зависящие
от параметра», нужно систематически иллюстрировать соответству-
ющими примерами, необходимыми для лучшего усвоения материала,
обратив особое внимание на подробное обоснование свойств бета- и
гамма-функций и применение этих свойств при изучении асимпто-
тических разложений интегралов, зависящих от параметра. Тему
«Ряды и интегралы Фурье» следует рассматривать в разделе «Ин-
тегралы. зависящие от параметра», указав на аналогию между ин-
тегралами и рядами Фурье и выработав у студентов умения и навы-
ки использования признаков сходимости несобственных интегралов
для вычисления прямого и обратного преобразований Фурье. При-
мыкающий к основной программе курса раздел об асимптотических
разложениях и их применениях для оценки интегралов, зависящих
от параметра, имеет важное прикладное значение в вопросах изуче-
ния параметров схем защиты информации, для которых нет простых
точных формул, и позволяет находить приближенно значения этих
параметров (во многих случаях с оценкой возникающей погрешнос-
ти). Следует изложить хотя бы два наиболее часто употребляющих-
ся приема такой оценки: метод интегрирования по частям и метод
Лапласа, показав их связь с ранее изученными свойствами интегра-
лов. зависящих от параметра.
Отметим, что по большинству разделов курса математического
анализа необходимый набор задач и упражнений имеется в [6]. Кро-
ме того, для изучения некоторых разделов целесообразно исполь-
зовать и другие сборники задач по курсу (многие из них имеются
в списках литературы, содержащихся в цитированных изданиях).
Ряд примеров и упражнений для самостоятельной работы приведен
по ходу изложения материала книги (эти упражнения необходимо
разбирать и выполнять в ходе проработки соответствующего мате-
риала).
В заключительной лекции нужно подвести итоги изучения кур-
са математического анализа, указать перспективы использования те-
542
Приложение
оретических и практических знаний по курсу в других математичес-
ких и специальных дисциплинах, особо выделив курсы теории функ-
ций комплексного переменного, теории меры и интеграла, функци-
онального анализа и теории вероятностей, и описать роль и место
математического анализа в общей системе фундаментальных наук.
Следует отметить специфику курса, связанную с понятием предель-
ного перехода, и дать рекомендации по методике подготовки студен-
тов к государственным экзаменам. При подведении итогов изуче-
ния курса необходимо обратить внимание на идейно-теоретические
вопросы структуры математических дисциплин, а также подробно
остановиться на логической взаимосвязи между основными поняти-
ями курса (предел, непрерывность, дифференцируемость, аналитич-
ность, компактность и др.), подчеркнув особую важность этих по-
нятий и их использование в других математических дисциплинах.
Целесообразно указать на связь курса с практическими задачами
описания реальных процессов и явлений.
В заключение следует выяснить роль научного мировоззрения
как методологической и философской базы курса математического
анализа.
Литература
1. Архипов Г.И.. Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по матема-
тическому анализу. — М.: Высшая школа, 1999.
2. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. — М.: Наука,
1965.
3. Валле-Пуссен Ш. Курс анализа бесконечно малых. Т. I, II. — Л.-М.:
ГТТИ. 1933.
4. Гелбаум Б.. Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир, 1967.
5. Грауэрт Г.. Либ II.. Фишер В. Дифференциальное и интегральное
исчисление. Т. I—III. — М.: Мир. 1971.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — М.: Наука, 1990.
7. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир. 1964.
8. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.:
Физматгиз, 1962.
9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. I, II. - М.: Мир. 1965.
10. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М.: Наука. 1981: Ч. II. -
М.: Наука. 1990.
11. Ильин В.А.. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I.
Изд. 4-е. перераб. и доп. М.: Наука. 1982: Ч. II. Изд. 2-е. стереотипы. -
М.: Наука. 1980.
12. Ильин В.А.. Садовничий В.А.. Сендов Б.Х. Математический анализ.
Т. I. II. - М.: Изд-во Моск, ун-та. 1985.
13. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т. I. — М.: Изд-во
Моск, ун-та. 1993. Т. II. — М.: Изд-во Моск, ун-та. 1995.
14. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы. - М.: Мир. 1971.
15. Копсон Э. Асимптотические разложения. — М.: Мир. 1966.
16. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. I. II. - М.: Выс-
шая школа. 1981.
17. Ландау Э. Основы анализа. — М.: ПЛ. 1947.
18. Натансон II.П. Теория функций вещественной переменной. - М.:
Физматгиз. 1957.
19. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. I. II. М: На-
ука. 1990.
20. Полна Г.. Сёге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. I. II. Изд. 3-е. -
М.: Наука. 1978.
21. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука. 1983.
22. Рудин У. Основы магматического анализа. М.: Мир. 1966.
544
Литература
23. Садовничий В.А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск, ун-та,
1980.
24. Сакс С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949.
25. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир,
1971.
26. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980.
27. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.-Л.: ТИТ-
ТЛ, 1948.
28. Уиттекер Е.Т., Ватсон Т.Н. Курс современного анализа. Т. I, II. —
Л.-М.: ГТТИ, 1933.
29. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис-
числения. Т. I—III. — М.: Физматгиз, 1969-1970.
30. Халмош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953.
31. Харди Г. Курс чистой математики. Изд. 2-е, стереотипн. — М.: Ком-
Книга, 2006.
32. Харди Г. Расходящиеся ряды. — М.: ИЛ, 1951.
33. Харди Г., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1962.
34. Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М.: ГТТИ, 1937.
35. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л.:
ТИТТЛ, 1946.
36. Шварц Л. Анализ. Т. I, II. — М.: Мир. 1972.
37. Apostol Т.М. Mathematical analysis. Reading. Mass., Addison — Wes-
ley, 1957.
38. Bartie R.G. The Elements of Real Analysis. — New York: John Wiley,
1964.
39. Goldberg R.R. Methods of Real Analysis. - New York: Blaisdell, 1964.
40. Me Shane E.J. Integration. — Princeton, N.J.. Princeton University
Press, 1947.
41. Rankin R.A. An Introduction to Mathematical Analysis. — Oxford:
Pergamon Press, 1963.
42. Royden H.L. Real Analysis. — New York: MacMillan, 1963.
43. Rudin W. Real and Complex Analysis. -- New York: McGraw-Hill, 1966.
44. Taylor A.E. General Theory of Functions and Integration. — New York:
Blaisdell. 1965.
45. Phillips E.G. A Course of Analysis. — Cambridge: Cambridge University
Press. 1950.
46. Hildebrandt Т.Н. Introduction to the Theory of Integration. — New
York: Academic Press. 1963.
47. Hille E. Analysis (2 v.). — New York: Blaisdell. 1964-1966.
48. Hewitt E. and Stromberg K. Real and Abstract Analysis. — Berlin:
Springer. 1965.
49. Hu S.-T. Elements of Real Analysis. - San Francisco: Holden-Day. 1967.
ь
Замыкание 43
Измельчение разбиения 266
Индукция полная математичес-
кая 31
Интеграл абсолютно сходящийся
321
- Дирихле 323
- неопределенный 148
- несобственный 316
- определенный 306
- собственный 441
- Стилтьеса 264
- Римана 282
Френеля 346
Фурье 515
- эйлеров 467
- Эйлера-Пуассона 326
Интегрирование по частям 152
Интегрируемость по Риману-
Стилтьесу 265
- по Риману 282
Интервал 36
сходимости степенного ряда 226
Касательная к графику функции
135
Класс эквивалентности 18
Компакт 360
Композиция отображений 16
Компоненты вектор-функции 367
Косинус 241
Котангенс 243
Коэффициент биномиальный 27
Кривая гладкая 387
- Пеано 385
- спрямляемая 386
Критерий Коши
Предметный указатель
- Коши-Буняковского-Шварца
116. 353
Норма евклидова 353
- линейного оператора 396
Область определения 13
Образ множества 14
Объединение множеств 9
Окрестность 41
- проколотая 41
Оператор линейный 395
Остаток ряда 160
Отношение эквивалентности 17
Отображение 13
- биективное 16
- взаимно однозначное 415
- дифференцируемое 401
- инъективное 16
- линейное 395
- непрерывное 369
- обратное 17
- отрытое 415
- сюръективное 16
Первообразная 147
Пересечение множеств 9
Плоскость комплексная 110
Подпокрытие конечное 361
Подпоследовательность 65
Покрытие открытое 361
Поле 24
- вещественных чисел 30
Последовательность монотонная
60
возрастающая 59
- ограниченная 56
- расходящаяся 55
сходящаяся 55
точек пространства 202
- убывающая 60
- функциональная 197
равномерно сходящаяся 198
- элементов множества 36
Постоянная Эйлера 189
Правило Лопиталя 128
Предел верхний 70. 91
- последовательности 55
- двойной 389
547
- Лейбница 179
- Маклорена 231
- тригонометрический 485
- функциональный 209
— равномерно сходящийся 210
- Фурье 485
числовой 159
- экспоненциальный 237
Свойство замкнутости 499
Семейство функций равностепен-
но непрерывное 378
Симметричность отношения экви-
валентности 17
Синус 241
Система аксиом 8
Сужение отображения 14
Сумма Дарбу 264
- Дирихле 495
- частичная ряда 159
- числового ряда 159
Фейера 495
- функционального ряда 210
Сходимость ограниченная 309
Тангенс 243
Теорема Архимеда 33
- Арцела 379
Банаха 374
Больцано-Вейерштрасса 67
- Бэра 366
- Ван-дер-Корпута 525
- Вейерштрасса 99
- вторая о среднем значении 305
- Дарбу 127
дю-Буа Реймонда 512
единственности для степенных
рядов 235
Кантора 21. 104
- Кантора Бернштейна 21
- Коши 125
Карлесона 495
Лагранжа 125
Лапласа 417
- Литтлвуда 261
- Мура-Осгуда 392
о промежуточных значениях
100
548
Предметный указатель
- о среднем значении 305
- первая о среднем значении 305
- Планшереля 521
- Ролля 125
- сложения для экспоненты 240
- Таубера 253
- Фейера 495
- Фубини для непрерывной функ-
ции 442
- Харди-Ландау 259
Точка бесконечно удаленная 39
- внутренняя 41
- предельная 41
- разрыва функции 105
Транзитивность отношения экви-
валентности 17
Уравнение замнутости 499
Условие Липшица 500
- интегрируемости по Риману-
Стилтьесу 266
Форма квадратичная 432
— неопределенная 433
- отрицательно определённая
432
- положительно определённая
432
— полуопределенная 434
Формула Вейерштрасса 197
- дополнения для гамма-функции
482
- Дирихле 475
- Коши-Адамара 221
- Лежандра 480
- Муавра 242
- Ньютона-Лейбница 286
- понижения для гамма-функции
196
- Стирлинга 196
- Тейлора 141. 424
Эйлера для гамма-функции 479
- Эйлера Гаусса 480
- Фруллани 350
Функция аналитическая 232
— вещественного переменного 73
бесконечно дифференцируемая
146
- Бесселя 531
- гамма 196
- гиперболическая 244
- Дирихле 80
- дифференцируемая 117
- интегрируемая 265
- - инъективная 16
- комплексная 114
- Лагранжа 438
- непрерывная 95
- неявная 416
- обратная 17
- ограниченная 74
- ограниченной вариации 295
- показательная 51
- рациональная 152
- Римана 79
- тригонометрическая 239
- элементарная 149
Часть вещественная 109
- мнимая 109
Число Бернулли 351
- вещественное 30
- действительное 30
- комплексное 108
- тригонометрическая форма
записи 247
- натуральное 31
- рациональное 32
- целое 31
- е 60
- тг 245
Член остаточный формулы Тей-
лора 142
в форме Лагранжа 142
Эквивалентность элементов мно-
жества 17
Экспонента 240
Экстремум локальный 124
Элемент множества 8
Ядро Дирихле 493
- Фейера 493
Явление Стокса 342
Якобиан 412
Именной указатель
Абель (Abel N.H.. 1802-1829) 158
Адамар (Hadamard J., 1865-1963) 221
Александров П.С.(1896-1982) 3
Архимед (Archimedes, III в. до н.э.) 33
Банах (Banah Stefan, 1892-1945) 374
Бернулли (Bernoulli Yacob, 1654-1705) 60
Бернштейн С.Н. (1880-1968) 207
Бессель (Bessel F.W., 1784-1846) 490
Больцано (Bolzano В. 1781-1848) 67
Буняковский В.Я. (1804-1889) 116
Валлис (Wallis J.. 1616-1703) 195
Вандер Варден (Van der Waerden B.L., 1903-1987) 220
Ватсон (Watson G.X., 1886-1965) 348
Вейерштрасс (Weierstrass К.. 1815-1897) 67
Виет (Viete, 1540-1603) 180
Гаусс (Gauss C.F., 1777-1855) 176
Гейне (Heine Е.. 1821-1882) 74
Гёдель (Godel К.. 1906-1978) 39
Дарбу (Darboux J.G.. 1842-1917) 127
Д'Аламбер (D’Alambert J.L.R., 1717-1783) 172
Дирихле (Dirichlet P.G.L., 1805-1859) 80
Дюбуа-Реймонд (Du BoisReyniond, 1831-1889) 512
Евклид (Ег’АгДцД 3 в. до н.э.) 193
Жордан (Jordan С., 1838-1922) 507
Кантор (Cantor G. 1845-1918) 21
Карлесон (Carleson LAE., р. 1928) 495
Коши (Cauchy AL.. 1789-1857) 70
Коэн (Cohen PJ.. р. 1934) 39
Ла Валле Пуссен (La Vallee Poussin С.J.. 1866-1962) 332
Лагранж (Lagrange J.L.. 1736-1813) 125
Ландау (Landau E.G.H.. 1877-1938) 259
Лаплас (Laplace P.S.. 1749-1827) 348
Лебег (Lebesgue Н.. 1875-1941) 291
Лежандр (Legendre А.М.. 1752 1833) 158
Лейбниц (Leibniz G.W.. 1646-1716) 133
550
Именной указатель
Липшиц (Lipschitz R., 1832-1903) 500
Литтлвуд (Littlewood J.E., 1885-1977) 260
Лиувилль Ж. (Liouville J., 1809-1882) 158
Лопиталь (L’Hospital G.F.A. de, 1661-1704) 128
Маклорен (Maclaurin С., 1698-1746) 174
Маркс (Магх К., 1818-1883) 3
Ньютон (Newton I., 1643-1727) 27
Парсеваль (Parseval М.А., 1755-1836) 498
Пеано (Peano G., 1858-1932) 385
Пифагор Самосский (ПиЛгуораС, ок. 570 — ок. 500 до н.э.) 389
Пуанкаре (Poincare Н., 1854-1912) 332
Пуассон (Poisson S.D., 1781-1840) 252
Раабе И.Л. (Raabe J.L; 1801-1859) 175
Риман (Riemann G.F.B., 1826-1866) 265
Ролль (Rolle М., 1652-1719) 125
Стилтьес (Stieltjes T.J., 1856-1894) 264
Стирлинг (Stirling J., 1692-1770) 196
Таубер (Tauber А., 1866-1942) 253
Тейлор (Taylor В.,1685-1731) 141
Фейер (Fejer L., 1880-1959) 495
Френкель (Fraenkel А.А., 1891-1965) 8
Фробениус (Frobenius F.G., 1849-1917) 256
Фубини (Fubini G., 1879-1943) 442
Фурье (Fourier J.B.J., 1768-1830) 485
Харди (Hardy G.H., 1877-1947) 259
Цермело (Zermelo Е., 1871-1953) 8
Чебышёв П.Л. (1821-1894) 158
Чезаро Э. (Cesaro Е., 1859-1906) 255
Шварц (Schwartz Н.А., 1843-1921) 116
Эйлер (Euler L., 1707-1783) 158
Якоби (Jacobi С.G.J.. 1805-1851) 411
Оглавление
Предисловие.................................... 3
Глава I. Введение..................................... 5
1.1. Логические основы............................. 5
1.2. Элементы теории множеств...................... 7
1.3. Отображения (функции)........................ 13
1.4. Сравнение множеств........................... 21
1.5. Вещественные числа........................... 24
1.6. Топология числовой прямой.................... 41
1.7. Показательная, степенная, логарифмическая функции
в вещественной области........................... 51
Глава II. Функции вещественного переменного: пре-
дел, непрерывность................................... 55
2.1. Пределы вещественных последовательностей..... 55
2.2. Вещественные функции и их пределы............ 73
2.3. Непрерывность вещественных функций........... 95
2.4. Комплексные числа. Пределы и непрерывность ком-
плексных функций................................ 108
Глава III. Дифференцируемые функции вещественного
переменного......................................... 117
3.1. Производные вещественных функций на промежутке .. 117
3.2. Производные и дифференциалы высших порядков.. 131
3.3. Формула Тейлора и разложения элементарных фун-
кций ........................................... 141
3.4. Первообразные п неопределённые интегралы.... 147
Глава IV. Функциональные последовательности и ряды 159
4.1. Числовые ряды с комплексными членами........ 159
4.2. Бесконечные произведения.................... 187
4.3. Функциональные последовательности........... 197
4.4. Функциональные ряды......................... 209
4.5. Степенные ряды.............................. 221
4.6. Показательная и тригонометрические функции в ком-
плексной области................................ 239
4.7. Суммирование расходящихся рядов............. 252
Глава V. Определенный интеграл...................... 264
552
Оглавление
5.1. Интеграл Стилтьеса........................... 264
5.2. Интеграл Римана.............................. 282
5.3. Функции ограниченной вариации................ 295
5.4. Интегрирование по частям и замена переменной. Тео-
ремы о среднем................................... 304
5.5. Предельный переход под знаком интеграла Римана-
Стилтьеса................................'....... 307
5.6. Формулы Валлиса и Стирлинга.................. 312
5.7. Несобственные интегралы...................... 316
5.8. Асимптотические разложения................... 332
Глава VI. Функции многих вещественных переменных.. 352
6.1. Евклидовы пространства....................... 352
6.2. Компактные множества......................... 360
6.3. Вектор-функции: пределы, непрерывность, дифферен-
цируемость ...................................... 367
6.4. Спрямляемые кривые........................... 385
6.5. Двойные, частичные и повторные пределы....... 389
6.6. Линейные операторы........................... 395
6.7. Дифференцируемые отображения................. 401
6.8. Производные и дифференциалы высших порядков... 421
6.9. Локальные экстремумы......................... 430
Глава VII. Интегралы, зависящие от параметра......... 441
7.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 441
7.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.... 455
7.3. Эйлеровы интегралы........................... 467
7.4. Ряды и интегралы Фурье....................... 483
7.5. Метод Лапласа оценки интегралов, зависящих от пара-
метра ........................................... 526
Приложение. Методические рекомендации по орга-
низации изучения математического анализа...... 535
Литература.................................... 543
Предметный указатель.......................... 545
Именной указатель............................. 549