Ю. В. НОВОЖИЛОВ, Ю. А. ЯППА
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей университетов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

637
H74
УДК 538.3
Электродинамика. Новожилов Ю. В., Я п-
п а Ю. А., учебное пособие, Главная редакция фи-
физико-математической литературы издательства «Нау-
«Наука», М., 1978, 352 стр.
Книга представляет собой курс электродинамики,
включающий элементы ряда современных ее приме-
применений: магнитной гидродинамики, нелинейной оптики,
теории движения заряженных частиц в неоднородных
полях и др. В ней содержатся как релятивистская
электродинамика (с подробным рассмотрением тео-
теории излучения), так и основы нерелятивистской элек-
электродинамики сплошных сред Изложение начинается
с формулировки общих уравнений Максвелла, а за-
затем рассматриваются их применения с учетом тех
дополнительных соображений, которые при этом не-
необходимы. Таким образом, всюду проведен принцип
«от общего — к частному»; в этом состоит основное
отличие данного курса, электродинамики от всех дру-
других аналогичного объема, имеющихся на русском
языке.
20402-094 ,л --- -- © Главная редакция
"—nmmn—-7u~ ЬД-ои-Уо— /о физико-математической литератур!
053@2)-7В издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Основы электродинамики Максвелла 7
§ 1. Уравнения Максвелла. Единицы измерения электромагнитных
величин 7
§ 1. Потенциалы электромагнитного поля. Градиентная инвариант-
инвариантность. Вектор Герца 23
§ 3. Законы изменения энергии, импульса и момента импульса ... 28
§ 4. Замечания о математических свойствах уравнений Максвелла.
Единственность решения в ограниченной области. Условия
на границе двух сред 34
Глава 2. Релятивистская формулировка электродинамики 40
§ 5. Принцип относительности. Преобразования Лоренца н основы
релятивистской кинематики 40
§ 6. Релятивистская динамика материальной точки 51
§ 7. Уравнения Максвелла в релятивистской форме. Преобра-
Преобразования напряженностей 55
§ 8. Релятивистские уравнения движения заряда 65
§ 9*. Вариационный принцип для электромагнитного поля 70
§ 10*. Теорема Э. Нетер. Дифференциальные и интегральные законы
сохранения для электромагнитного поля в релятивистской
форме 77
Глава 3. Статические поля. Решение волнового уравнения. Поле
излучения 86
§ 11. Электростатическое поле 86
§ 12. Магнитостатическое поле, создаваемое токами 94
§ 13. Решение неоднородного волнового уравнения. Потенциалы
Льенара — Вихерта 99
§ 14. Напряженности поля точечного заряда. Поле излучения. Равно-
Равномерно и прямолинейно движущийся заряд 106
§ 15*. Закон сохранения энергии-импульса для электромагнитного
поля точечного заряда в релятивистской форме 112
§ 16. Энергия излучения движущегося заряда . , . 119
§ 17. Излучение ограниченных колеблющихся источников 127
Глава 4. Свойства излучения в изотропных средах 135
§ 18. Плоские волны. Отражение и преломление. Интерференция ... 135
§ 19. Релятивистские преобразования плоской волны 142
§ 20. Принцип Гюйгенса. Основы теории дифракции 148
§ 21. Приближение геометрической оптики 156
§ 22. Основы термодинамики излучения 160
I*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Уравнение Лоренца — Дирака. Рассеяние и поглощение электро-
электромагнитного поля 1'2
§ 23*. Уравнение Лоренца — Дирака. Реакция излучения 172
§ 24*! Перенормировка массы. Гиперболическое движение заряда .... 176
§ 25. Спектральный состав излучения осциллятора. Рассеяние и поглоще-
поглощение излучения 180
Глава 6. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле. Система
взаимодействующих зарядов 190
§ 26. Интегрирование уравнений движения 190
§ 27. Теория дрейфа в неоднородном электромагнитном поле .... 203
§ 28. Система взаимодействующих частиц 210
Глава 7. Сплошные среды в электрическом поле 221
§ 29. Введение в электродинамику сплошных сред 221
§ 30. Свойства идеальных проводников в электростатическом поле . . 224
§ 31. Свойства диэлектриков в электростатическом поле. Изотропные ди-
диэлектрики 233
§ 32. Анизотропные диэлектрики 246
Глава 8. Электрический ток. Магнитное поле в сплошной среде . , .251
§ 33. Магнитная энергия и силы в системе контуров постоянного тока.
Квазистационарные токи в линейных цепях 251
§ 34. Вихревые токи. Термоэлектрические и термомагнитные явления.
Эффект Холла 260
§ 35. Элементы магнитной гидродинамики , 267
§ 36. Простейшие свойства ферромагнетиков . 274
§ 37. Феноменологическое описание сверхпроводимости 286
Глава 9. Переменное электромагнитное поле в сплошных средах 293
§ 38. Электромагнитные волны в проводниках. Волновод и резонатор . 293
§ 39. Дисперсия электромагнитного поля в веществе. Волны в анизотроп-
анизотропных средах 300
§ 40. Волны в магнитной гидродинамике . , 312
§ 41. Понятие о нелинейной оптике ........,,.,.. 317
Приложения 321
A. Основные формулы тензорного анализа 321
Б. Векторный анализ в трехмерном евклидовом пространстве 328
B. Основные формулы с дельта-функцией и ее производными 334
Г. Интегрирование по гиперповерхностям в пространстве Минковского . 336
Д. Применение преобразования Фурье для решения волнового уравнения 341
Список принятых обозначений 345
Предметный указатель , 348

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга возникла на основе опыта преподавания
электродинамики в качестве составной части цикла лекций по тео-
теоретической физике, читаемых в Ленинградском университете для
всех студентов физического факультета — как теоретиков, так
и экспериментаторов. Изложение электродинамики опирается при
этом на сведения по электромагнетизму, полученные студентами
ранее в общем курсе физики, и вместе с тем должно впоследствии
служить основой для многих специальных дисциплин (таких, как
физика плазмы, распространение радиоволн, электромагнитные
методы в геофизике, теория ускорителей и др.). Такая роль курса
и обусловливает содержание и стиль этой книги.
Повышение уровня преподавания общей физики привело к тому,
что, приступая к изучению электродинамики, студенты обладают
достаточными сведениями о том научном материале, обобщением
которого являются уравнения Максвелла. Sfro позволяет нам
исходить в нашем изложении из самих этих уравнений и ставить
себе задачу: показать, каким образом выводятся из них различные
проблемы электромагнетизма с учетом свойств тех или иных мате-
материальных сред. Подход с точки зрения уравнений Максвелла
позволяет додвести читателя наиболее экономным и современным
путем к постановке целого ряда проблем, интенсивно разрабаты-
разрабатываемых в настоящее время в научной литературе. Из затронутых
в этой книге к ним относятся, например, некоторые вопросы маг-
магнитной гидродинамики, задача о движении заряженных частиц
в неоднородном электромагнитном поле, формулировка феномено-
феноменологических уравнений сверхпроводимости. Мы включили также
понятие о пространственной дисперсии, сведения о постановке
задач нелинейной оптики и пр. Разумеется, изложение всех таких
вопросов не может претендовать здесь на полноту.
В согласии с назначением книги мы предполагаем, что мате-
математическая подготовка читателя должна соответствовать первым
двум курсам физических факультетов. Этого достаточно для пони-
понимания всего ее содержания. В приложениях приводятся основные
сведения из векторного и тензорного анализа, используемые на про*
тяжении всего текста, а также некоторые свойства дельта-функции,
Особое внимание уделяется вопросам, связанным с примене»
нием специальной теории относительности, р главе 2 кратко

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
рассмотрены основы этой теории, а в других местах книги с ее
помощью изучаются различные проблемы. В частности, особенно
подробно излагается релятивистская теория излучения точечного
заряда. Читатель, более интересующийся нерелятивистскими во-
вопросами электродинамики, может пропустить некоторые параграфы.
Они отмечены звездочкой.
Вопросы, требующие применения квантовой теории и стати-
статистической физики, не могли быть изложены. Поэтому книга не со-
содержит обсуждения электродинамики материальных сред с точки
зрения микроскопической их теории. Однако термодинамический
аспект взаимодействия электромагнитного поля со средой обсуж-
обсуждается всюду, где это представилось возможным.
Объем книги не позволил включить в нее решение конкретных
задач математической физики, возникающих на материале элек-
электродинамики. По этой же причине отсутствуют задачи и упражне-
упражнения. В известном задачнике по электродинамике В. В. Батыгина
и И. Н. Топтыгина читатель может найти подходящие задачи почти
для всех разделов предлагаемого курса. Нужно, кроме того, иметь
в виду, что изложение в нем довольно сжатое и требует вниматель-
внимательного чтения с самостоятельным проведением многих промежуточ-
промежуточных выкладок.
Число рассматриваемых в книге вопросов довольно ограни-
ограничено, так как она в основном соответствует читаемому в Ленин-
Ленинградском университете курсу. Надеемся, однако, что из ее содер-
содержания видно, насколько разветвленным является предмет элек-
электродинамики и каким образом некоторые из его ветвей связаны
с их общим источником — уравнениями Максвелла.
Авторы глубоко благодарны научному редактору книги проф.
С. В. Измайлову, а также рецензентам — проф. В. И. Григорьеву
и проф. В. Г. Соловьеву. Их многочисленные критические заме-
замечания и конкретные предложения во многом способствовали улучше-
улучшению нашей рукописи.
Стиль и содержание этой книги сложились при определяющем
влиянии педагогических принципов нашего учителя Владимира
Александровича Фока, светлой памяти которого мы хотели бы
посвятить ее.
Ю. В, Новожилов, Ю. А. Яппа

Глава 1
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА
§ 1. Уравнения Максвелла. Единицы измерения
электромагнитных величин
1.1. Экспериментальное и теоретическое исследование физиче-
физических явлений привело к выводу о существовании электромагнитного
поля как физического объекта, обладающего определенными,
характерными для него свойствами. Электромагнитное поле порожда-
порождается источниками— электрическими зарядами, токами, постоянны-
постоянными магнитами — и обусловливает взаимодействие между источника-
источниками. Поле, создаваемое одним источником, может быть измерено
по тому, как оно влияет на другие источники. Для количествен-
количественного определения поля нужно прежде всего измерить ту механи-
механическую силу, с которой оно действует на так называемые пробные
источники. Для того чтобы источник мог служить в качестве
пробного, его пространственные размеры должны быть пренебре-
пренебрежимо малыми, а поле, создаваемое им самим, — настолько слабым,
чтобы оно не влияло на результаты измерений. Таким образом,
можно в принципе определить поле в любой точке пространства.
Кроме того, поле, вообще говоря, зависит от времени. Механиче-
Механическую силу, измеренную в момент времени t с помощью пробного
источника, помещенного в точку г, обозначим через F (r, t).
Свойства электромагнитного поля «в чистом виде» проявляются
при изучении действия его источников в вакууме. Всякая мате-
материальная среда состоит из простейших частиц — атомов, электро-
электронов, молекул, которые всегда обладают определенными электро-
электромагнитными свойствами. Эти их свойства, а также взаимное про-
пространственное расположение частиц и состояние их движения отно-
относительно друг друга являются причиной той или иной реакции
данной среды на «внешнее» электромагнитное поле. С макроскопи-
макроскопической точки зрения оказывается по большей части возможным
не учитывать дискретности строения вещества и описывать его в виде
непрерывного распределения источников поля. Состояние этого
распределения может изменяться под действием внешнего электро-
электромагнитного поля, создаваемого сторонними источниками, а также
при изменении термодинамических условий, в которых находится
среда. Электромагнитные свойства материальных сред чрезвычайно
разнообразны, но они описываются, как мы вскоре увидим, с по-

8 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
мощью всего лишь двух макроскопических характеристик — элек-
электрической поляризации и намагниченности.
Математическую формулировку основных законов электро-
электромагнитного поля с учетом макроскопических свойств материаль-
материальных сред представляет собой система уравнений Максвелла, кото-
которая будет рассмотрена в настоящем параграфе. Такая наиболее
общая формулировка должна быть, по возможности, независимой
от тех или иных конкретных предположений о микроскопической
структуре сред. Разумеется, одна из основных задач физической
теории состоит в микроскопическом объяснении наблюдаемых
фактов. Более того, именно микроскопическая теория часто поз-
позволяет предсказать новые физические явления и способы их наблю-
наблюдения. Однако феноменологическое описание, которым мы ограни-
ограничимся в дальнейшем, имеет свое преимущество: оно использует
только характеристики явлений, измеримые, хотя бы в прин-
принципе, с помощью макроскопических приборов. Любая микроско-
микроскопическая теория со своей стороны должна неизбежно приводить
к определенным выводам именно по отношению к феноменологи-
феноменологическим характеристикам, предсказывать и объяснять то или иное
их поведение. Это замечание относится не только к классической
электронной теории, но и к современной квантовой теории строения
вещества. По словам Н. Бора, «недвусмысленное истолкование
любого измерения должно быть, по существу, выражено в терми-
терминах классических теорий, и мы можем сказать, что в этом смысле
язык Ньютона и Максвелла останется языком физиков на все
времена» *).
Всякая физическая закономерность, в том числе и уравнения
Максвелла, удовлетворяет требованиям инвариантности по отно-
отношению к определенным группам преобразований связываемых
ею физических величин. Прежде всего, должен выполняться прин-
принцип относительности, т. е. уравнения Максвелла должны при-
приводить к одинаковым результатам при одних и тех же граничных
и начальных условиях в любой инерциальной системе отсчета.
Само понятие электромагнитного поля как физического объекта,
не зависящего от выбора инерциальной системы, может быть опре-
определено лишь с помощью явного учета требований принципа отно-
относительности. В каждой данной инерциальной системе электромаг-
электромагнитное поле «расщепляется» на два различных по своим свойствам
поля — электрическое и магнитное. Именно они и подлежат непо-
непосредственным измерениям. Мы отложим рассмотрение принципа
относительности и выводов из него до следующей главы и огра-
ограничимся пока изучением уравнений Максвелла в произвольно
выбранной инерциальной системе отсчета. В такой системе отсчета
*) См. Н. Бор, Максвелл и современная теоретическая физика (в сборнике
«Дж. К- Максвелл. Статьи и речи», «Наука», 1968, стр. 251),

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ 9
уравнения не должны зависеть от направления ее пространствен-
пространственных осей. Мы увидим, что уравнения Максвелла действительно
записываются в виде соотношений между трехмерными векторами,
так что требование инвариантности по отношению к вращениям
координатных осей в трехмерном пространстве удовлетворяется *).
Итак, мы прежде всего попытаемся установить основные за-
законы электрического и магнитного полей в произвольной, но фик-
фиксированной инерциальной системе отсчета, т. е. одной из тех
систем, которые движутся относительно друг друга с произволь-
произвольными постоянными скоростями. Нужно еще иметь в виду, что для
применяемых в электродинамике величин должны быть определены
размерности и единицы измерения. Эта проблема также будет нами
рассмотрена.
1.2. Предположим вначале, что исследуемое поле является
статическим. Это, по определению, означает, что сила, создавае-
создаваемая заданным распределением источников и действующая на проб-
пробный источник, не зависит от времени, т. е. представляет собой
некоторую функцию F (г) трехмерного радиуса-вектора г, опре-
определяющего положение точечного пробного источника в простран-
пространстве. Электрическое и магнитное статические поля порождаются
различными по своим физическим свойствам источниками и обла-
обладают различной структурой. Для их определения большое зна-
значение имеет исследование того частного случая, когда источники,
создающие поле, сами являются точечными. При этом поля таких
точечных источников могут обладать различными свойствами сим-
симметрии, т. е. свойства функции F (г) могут быть различными.
Однако электрическое поле, с одной стороны, и магнитное поле,
с другой, могут порождаться такими точечными источниками, кото-
которые имеют простейшие, характерные для этих полей, свойства.
Таким простейшим источником электрического поля является
точечный заряд. Порожденное им поле имеет сферическую симме-
симметрию.
Экспериментальное исследование показывает, что если в неко-
некоторую точку пространства, окружающего произвольный (не обя-
обязательно точечный) источник электрического поля, помещать
различные точечные заряды, то каждому из них можно поставить
в соответствие такое число q, что для любых двух точечных заря-
зарядов выполняется равенство F^ : Fa' = Qi '¦ Цг (« = 1, 2, 3). При этом
оказывается, что число q (называемое количеством заряда) харак-
характеризует физические свойства самого точечного заряда, о котором
идет речь: оно не зависит ни от свойств источника, поле которого
действует на этот точечный заряд, ни от точки пространства, в кото-
которую помещается последний. Нет необходимости предполагать и то,
*) Краткое изложение необходимых сведений из векторного анализа см.
в Приложениях А и Б в конце книги.

10 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
что поле, создаваемое самим точечным зарядом, является слабым
по сравнению с полем, в которое он вносится. Для различных
точечных зарядов характеристика q может принимать положитель-
положительные и отрицательные значения.
Указанное определение количества заряда ничего не говорит
о том, какой размерностью должна обладать эта величина. Ясно,
однако, что некоторый заряд всегда можно определить как еди-
единичный. Сила, действующая со стороны данного источника элек-
электрического поля на единичный точечный заряд, называется напря-
напряженностью поля Е (г):
F(r) = qE(r). A.1)
Результаты экспериментального изучения свойств напряжен-
напряженности статических электрических полей, создаваемых всевозмож-
всевозможными источниками, выражаются в виде уравнений для вектора
Е (г), которые мы сейчас сформулируем.
Прежде всего, если s — произвольный замкнутый контур,
то выполняется равенство
§Eds = 0. A.2)
S
Другими словами, работа при переносе точечного заряда в ста-
статическом электрическом поле по незамкнутому пути не зависит
от пути переноса, а только от начальной и конечной точек этого
пути. Формула (Б.25) позволяет найти соответствующее дифферен-
дифференциальное уравнение для векторной функции Е (г):
rot? = 0, A.3)
которому эта функция должна удовлетворять во всех точках про-
пространства. Уравнения A.2) и A.3) выполняются для статического
поля как в том случае, когда заряды находятся в вакууме, так
и в присутствии каких-либо материальных сред.
Если источник электрического поля не является точечным
зарядом, то создаваемое им поле оказывается возможным предста-
представить в общем случае как результат действия непрерывного рас-
распределения зарядов с объемной плотностью р (г) *). Полный за-
заряд q источника, находящийся в объеме V, может быть выражен
равенством
q = \p{r)dV. A.4)
*) В дальнейшем будут рассматриваться также и распределения на дву-
двумерных поверхностях с поверхностной плотностью %, однако мы здесь не оста-
останавливаемся на такой возможности, которая не вносит сколько-нибудь сущест-
существенных изменений в рассуждения.

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И
Поле Е, создаваемое зарядом q в вакууме, как бы ни был этот
заряд распределен в некотором объеме V, удовлетворяет следую-
следующему основному уравнению:
eo§Enda = q. A.5)
Здесь а — произвольная двумерная поверхность, охватывающая
объем 1/, ая- единичный вектор внешней нормали к этой по-
поверхности. Введение коэффициента е0 обусловлено соображениями,
связанными с выбором размерностей и единиц измерения для элек-
электрических величин.
Определение A.1) напряженности электрического поля пока-
показывает, что произведение размерностей величин q и Е должно
быть равно размерности механической силы F. Умножая обе сто-
стороны уравнения A.5) на величинуд',,имеющую размерность заряда,
мы получим необходимое требование, которому должна удовлетво-
удовлетворять эта размерность *):
[qf = [F}[Lf[%]. A.6)
Выбор размерности для величины е0, которая называется элек-
электрической постоянной, как мы увидим в дальнейшем, может быть
различным; в соответствии с этим будет различной и размер-
размерность [q]. Существуют эксперименты (например, основанные на явле-
явлении электролиза), с помощью которых эталон заряда может быть,
хотя бы в принципе, установлен совершенно независимо от меха-
механических измерений величины поля. Тогда размерность постоян-
постоянной е0 определяется уравнением A.6), а численное значение этой
постоянной зависит от выбора эталонов основных механических
величин и заряда.
В том частном случае, когда заряд q является точечным, возьмем
поверхность а в виде сферы радиусом г, центр которой совпадает
с той точкой, где находится заряд. Из соображений симметрии
ясно, что напряженность Е должна быть во всех точках этой
сферы направлена по радиусу, т. е. Е = Еп, причем на сфере
Е = const. Тогда A.5) сразу же приводит к равенству
т. е. к закону Кулона.
Возвращаясь к общему случаю и сжимая поверхность а к лю-
любой точке, находящейся внутри первоначального объема V, мы,
с помощью формулы (Б.22), получим eodiv?= lim rr \ p(/~)dV.
*) Квадратными скобками здесь обозначаются размерности.

12 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ.-1
т. е. при достаточно широких предположениях в отношении свойств
функции р(г)
eodiv? = p(r). A.8)
Таким образом, вместо интегральных соотношений A.2) и A.5)
можно рассматривать систему дифференциальных уравнений A.3)
и A.8).
Следует иметь в виду, что если рассматривается некоторое
распределение зарядов с плотностью р (г), то, так как заряды
могут быть положительными и отрицательными, из равенства
<7 = О, вообще говоря, не следует, что поле Е равно нулю. Это
свойство электрического поля качественно отличает его от ньюто-
ньютоновского поля тяготения, где выполняются оба закона A.2) и A.5),
но из условия ц = 0 следует, что и Е = 0.
Уравнения электрического поля линейны. Поэтому к нему
применим принцип суперпозиции: любая линейная комбинация
с постоянными коэффициентами решений уравнений A.3) и A.8)
является также возможным их решением. В дальнейшем мы увидим,
что этим свойством обладают и общие уравнения Максвелла для
широкого класса материальных сред.
1.3. Рассмотрим теперь тот случай, когда в пространстве вокруг
заряда, действие которого в вакууме определяется соотноше-
соотношением A.5), находится некоторая материальная среда. Эта среда
может заполнять какую-либо ограниченную область или все бес-
бесконечное пространство вокруг заряда. Пусть при этом количество
заряда, заключенное внутри данной замкнутой поверхности а,
не изменяется по сравнению с тем, каким оно было в вакууме, так
что правая часть уравнения A.5) остается прежней. Опыт пока-
показывает, что напряженность Е (г), создаваемая зарядом в присут-
присутствии материальной среды, отличается от напряженности Ео (г),
создаваемой им же в вакууме, так что для Е (г) уравнение A.5)
перестает быть справедливым *). Напротив, для того чтобы сохра-
сохранить в присутствии среды неизменной напряженность ?0 (/•),•- соз-
создаваемую каким-либо распределением заряда в вакууме, нужно
взять другой заряд. С целью математического описания таких экс-
экспериментальных фактов вводится векторное поле D (г), называемое
электрической индукцией, которое определяется так, чтобы поток
вектора D через произвольную замкнутую поверхность равнялся
заряду, находящемуся внутри этой поверхности, т. е. чтобы выпол-
выполнялось равенство
§o = q. A.9)
*)' В рассматриваемом случае может происходить перераспределение плот-
плотности заряда в объеме V при условии, что jp(r)dV = jP0(r)dV, если р0 —
плотность аяпяля r RaKWMP. я о —- r с.прпр. V У
плотность заряда в вакууме, ар — в среде.

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ 13
Обозначения здесь те же, что и в уравнении A.5). Совершенно
аналогично с формулой A.8) можно получить дифференциальное
уравнение
divZ) = p. A.10)
Для характеристики свойств среды определяется вектор поляри-
поляризации Р с помощью равенства
. A.11)
В вакууме вектор Р равен нулю.
Уравнение A.2) (или соответственно A.3)) остается, как уже
было упомянуто выше, справедливым и в присутствии среды. Та-
Таким образом, в общем случае статическое электрическое поле опре-
определяется с помощью системы уравнений A.2) и A.9) (или в диффе-
дифференциальной форме — A.3) и A.10)).
Фундаментальным свойством заряда, твердо установленным
в экспериментальном отношении, является закон его сохранения:
изменение количества заряда в объеме V, ограниченном произ-
произвольной замкнутой поверхностью а, всегда равно потоку заряда
через эту поверхность. Если обозначить через j {r, t) плотность
тока проводимости, т. е. количество заряда, протекающее за еди-
единицу времени в направлении вектора j в точке г и отнесенное к еди-
единичной площадке, перпендикулярной к /, то закон сохранения
заряда будет иметь вид
§С. t)ndo. A.12)
В частности, когда поверхность а фиксирована, можно записать:
-щ- \ pdV= \ -gfdV. Так же, как это было сделано при выводе
уравнений A.8) или A.10), можно получить дифференциальное
выражение закона сохранения заряда:
|e.+divy=0. (i.i3)
С физической точки зрения большую важность имеет тот слу-
случай, когда электрический ток j существует в нейтральной среде.
Рассмотрим объем V, имеющий форму тора. Предположим, что этот
объем заполнен неподвижным в данной инерциальной системе
распределением заряда одного знака и сквозь него движется объемно
распределенный заряд противоположного знака так, что полное
количество заряда, заключенное внутри любого отрезка тора,
не изменяется со временем (часто это количество заряда можно
считать равным нулю). Тогда уравнение A.12) приводит к \]пхAох=

14 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
= $//?,da2 для двух произвольных поперечных сечений а1 и а2
тора (здесь положительное направление одной из нормалей пх
и л2 заменено на обратное). При этом /не должно зависеть от вре-
времени t и ток называется постоянным. Легко обобщить рассмотрен-
рассмотренную картину на случай переменного тока, когда для каждого
отрезка тора необходимо применять уравнение A.12) и количество
заряда, заключенное в этом отрезке, может изменяться. Интеграл
I = \tjnda называется силой (электрического) тока через поверх-
а
ность а.
1.4. Электрические токи, т. е. движущиеся заряды, взаимо-
взаимодействуют между собой при посредстве создаваемого ими магнит-
магнитного поля. Если, как в только что рассмотренном случае, плот-
плотность тока не зависит от времени, то такой ток является источником
статического магнитного поля. Помимо электрических токов,
магнитное поле может порождаться ферромагнитными средами
(магнитами). Тождественность свойств полей, источниками которых
служат токи, с одной стороны, и магниты, с другой, была уста-
установлена экспериментальным изучением взаимодействия токов и
магнитов *).
Свойства магнитного поля характеризуются тем, что, в отли-
отличие от рассмотренного выше электрического поля, не существует
таких точечных источников, порождаемое которыми магнитное
поле обладало бы сферической симметрией. Простейший по своим
свойствам источник магнитного поля называется магнитным момен-
моментом. Для его описания нужно представить себе некоторый вектор т
в той точке, где этот источник находится **). Например, поведение
бесконечно малой петли с током можно описать вектором т, вели-
величина которого зависит от тока /, протекающего в этой петле, а на-
направление выбирается по нормали к плоскости, в которой распо-
расположена петля, и связано по правилу правого винта с направлением
тока. Вектор т называется магнитным моментом замкнутого тока.
Действие магнитного поля на пробный источник такого рода
проявляется в том, что он испытывает механический момент вра-
вращения N, величина которого зависит от магнитного момента проб-
пробного источника и от магнитного поля. Напряженность магнитного
поля В определяется равенством
N = mxB. A.14)
Пока у нас еще нет средств определить сами величины т и В;
неизвестна и их размерность. Можно лишь сказать, что произве-
*) Мы имеем в виду, прежде всего, классические опыты Эрстеда и Ампера,
проведенные в конце второго десятилетия XIX века.
**) Точнее, т, а также вводимая ниже величина В, являются псевдовекто-
псевдовекторами. Обсуждение этого вопроса см. в начале § 2.

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ 15
дение размерностей [т] и [В] должно равняться размерности
механического момента вращения (или, что то же самое, — раз-
размерности работы). По историческим причинам поле В называ-
называется обычно не полем напряженности, а полем магнитной ин-
индукции.
Свойства вектора В могут быть описаны с помощью уравне-
уравнений, выражающих основные свойства магнитного поля. Первое
из этих уравнений мы запишем сначала для того случая, когда
распределение источников, создающих магнитное поле, находится
в вакууме. Если s — произвольный линейный замкнутый контур,
а а — произвольная двумерная поверхность, ограниченная конту-
контуром s, то основное уравнение магнитостатики утверждает, что
= § jndo, A.15)
т. е. что циркуляция вектора В вдоль контура s численно равна
полному току, протекающему сквозь поверхность а, или, другими
словами, охватываемому контуром s. Множитель а/ц0 является
коэффициентом размерности, сама необходимость которого оче-
очевидна, так как размерность правой части уравнения A.15) стано-
становится определенной, если только определить размерность заряда,
а размерность величины В остается еще неизвестной. Запись же
этого коэффициента размерности в виде отношения двух величин,
причем постоянная ц0 называется магнитной постоянной, оказы-
оказывается в дальнейшем весьма удобной.
Второй основной закон магнитостатики выражает в матема-
математической форме высказанное выше утверждение о том, что в при-
природе не существует точечных зарядов, которые бы порождали
магнитное поле. Другими словами, не существует точечных маг-
магнитных зарядов, а магнитное поле не может иметь сферическую
симметрию. Не существует поэтому и таких магнитных полей,
которые создавались бы распределениями магнитных зарядов
с суммарным количеством заряда, отличным от нуля. Поэтому
вместо формулы A.5) для магнитного поля выполняется уравнение
§Bndo = 0, A.16)
где а — произвольная замкнутая поверхность.
Если заданное распределение токов находится не в вакууме,
а в материальной среде, то создаваемое им поле В перестает удов-
удовлетворять уравнению A.15). В этом случае, однако, можно опреде-
определить поле магнитной напряженности Н (г):
Н=±В-М, A.17)

16 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ I
где М — поле намагниченности среды, равное нулю для вакуума.
При этом требуется, чтобы выполнялось уравнение
da. A.18)
Равенство же A.16) продолжает оставаться в силе. Мы видим, в част-
частности, что введенный ранее коэффициент \х0 может связывать между
собой различные, в принципе, размерности полей В и Н анало-
аналогично тому, как е0 связывает размерности D и Е.
Применяя (Б.22) к уравнению A.16) и теорему Стокса (Б.26)
к уравнению A.18), легко найти их дифференциальные аналоги:
div 5 = 0, A.19)
arot//=/ A.20)
1.5. Перейдем теперь к общему случаю полей, действующих
в присутствии материальных сред и зависящих от времени.
Посмотрим прежде всего, при каком условии соотношение A.10)
между полем электрической индукции D и зарядом q, выведен-
выведенное первоначально для статического случая, будет выполняться
и тогда, когда Ои р зависят от времени. Предполагая, что это
так, и дифференцируя A.10) по времени, получим соотношение
,. 3D др „
между производными: ciiv-^т = -?-. Ьсли же учесть закон сохра-
сохранения заряда A.13), то предыдущее равенство может быть записано
в форме divfy+-j7) = 0. Как видно из (Б.13), оно будет выпол-
выполняться, если существует такое векторное поле Н (г, t), что
arot #=./+ — . A.21)
Наоборот, если выполняется A.21), то, повторяя предыдущее
рассуждение в обратном порядке, придем к равенству -кг (div D —
— о) = 0. Таким образом, если уравнение A.10) выполняется в ка-
какой-либо момент времени, то, на основании A.21), оно будет иметь
место всегда. Уравнение A.21) представляет собой обобщение урав-
уравнения A.20) на случай, когда поля зависят от времени. Член 3D Idt,
введенный впервые Максвеллом, называется плотностью тока
смещения.
Нам остается сформулировать последнее основное соотноше-
соотношение теории электромагнитного поля. Рассмотрим линейный контур s
и произвольную поверхность а с краем s. Электродвижущей силой
в контуре s называется интеграл §Eds. Поток магнитной индук-
индукции выражается интегралом Ф — ^Bnda. Как было эксперимен-
о
тально установлено Фарадеем, изменение потока магнитной индук-

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ 17
ции через поверхность а вызывает электродвижущую силу в кон-
контуре s. Этот физический закон электромагнитной индукции фор-
формулируется в виде равенства
4 J.do. A.22)
Производная по времени в правой части этого равенства опреде-
определяется как функциональной зависимостью подынтегральной функ-
функции В (г, t) от времени, так и возможной зависимостью от вре-
времени пределов интегрирования. Последняя может возникнуть,
если рассматриваемый контур s деформируется с течением времени
или движется относительно источников магнитного поля. Мно-
Множитель р в левой части введен, как и выше, для обеспечения равен-
равенства размерности правой и левой частей; это — последний необ-
необходимый нам коэффициент размерности. Из A.5) легко сделать
вывод, что размерность интеграла в левой части A.22) равна
[eg]-1 [q] [L]'1 [р]. С другой стороны, из A.12) и A.15) следует,
что размерность правой части есть [цо/а] [q] [L] [ТУ2. Эти размер-
размерности будут одинаковыми, если [цого/а$] = [LIT] ~2 *).
Если зависимость от времени в правой части A.22) целиком
обусловлена изменением подынтегральной функции, то -^ \ Bndo ~
-щ nd.au, совершенно аналогично выводу соотношения A.20),
получим дифференциальную форму закона индукции Фарадея:
prot?+f = 0. A.23)
Применение операции div к обеим частям A.23) приводит к равен-
равенству -щ div В = 0. Отсюда следует, что если уравнение A.19)
имеет место в какой-либо момент времени, то оно выполняется
всегда.
Рассмотрим теперь уравнения A.8), A.19), A.21) и A.23) в ва-
вакууме (когда следует положить В = ц0Н в О = ео?), причем
будем считать, что источники поля находятся вне той части про-
пространства, в которой поле изучается (так что можно положить
р = 0 и j = 0). Применяя в этих условиях к обеим частям A.21)
операцию rot и используя формулу (Б.21), а также A.19) и A.23),
получим в декартовых координатах уравнение второго порядка
*) Заметим, что размерности электрических и магнитных величин считаются
пока независимыми. В частности, размерность магнитного момента не зависит
от размерности электрического заряда. Из уравнений A.1), A.14) и A.22) следует
соотношение Р=~-у -=- , непосредственно поясняющее физический смысл коэф-
коэффициента р.

18 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ..1
для Н:
С помощью A.8) и A.21) совершенно аналогичным способом из урав-
уравнения A.23) можно сделать вывод, что и поле Е удовлетворяет
уравнению вида A.24) с точно таким же коэффициентом при про-
производной по времени.
С физической точки зрения сделанный вывод имеет принципиаль-
принципиальную важность. Он показывает, что как поле Н, так и поле Е
обладают способностью распространяться в вакууме со скоростью
с = }Ляр7(Цо8о)' и^° именно такой смысл имеет коэффициент при
второй производной по времени в волновом уравнении A.24). Мы
уже видели ранее, что размерность правой части в выражении для с
действительно должна быть равна размерности скорости. Получен-
Полученный результат связывает все введенные в уравнения Максвелла
коэффициенты размерности с величиной, которая может быть экс-
экспериментально определена. Это обстоятельство можно положить
в основу классификации систем единиц, используемых для измере-
измерения электромагнитного поля.
1.6. Все обычно применяемые системы единиц могут быть полу-
получены, если считать, что а = р\ так что должно выполняться соот-
соотношение
c = a/Veo\io. A.25)
В свою очередь константе а приписывается то или иное значение.
Нужно иметь в виду два следующих основных случая:
1. Положим а = с. Тогда диэлектрическая и магнитная про-
проницаемости вакуума должны быть связаны равенством ]/"eo|io=l.
Система единиц будет определена полностью, если считать, что
как е0, так и ц0 безразмерны, причем е0 — ^0 = 1. Такая система
единиц называется абсолютной системой (СГС) или гауссовой
системой. Из приведенных ранее определений A.11) и A.17) выте-
вытекает, что размерности всех четырех векторов Е, D, В и Н счита-
считаются в этой системе единиц одинаковыми. Размерность заряда
оказывается при этом производной от размерностей механических
величин (см. A.6)).
2. Пусть постоянная а безразмерна и равна 1. В этом случае
должно выполняться равенство еоцо = 1/с2. Тогда широко исполь-
используются следующие три способа введения системы единиц.
Во-первых, можно считать, что е0 — безразмерная величина,
равная 1, а цо = 1/с2. Соответствующая система единиц называется
электрической (СГСЭ).
Во-вторых, можно условиться, что, напротив, ц0 безразмерна
и равна 1, а ев = 1/с2. Тогда получается магнитная система еди-
единиц (СГСМ).

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ 19
Наконец, как уже упоминалось выше (стр. 11), можно с самого
начала отказаться от сведения размерности электрического заряда
к размерностям механических величин и считать, что единица заряда
устанавливается с помощью независимых измерений. Так, напри-
например, для электролиза одного килограмм-эквивалента вещества
необходимо пропустить через электролит определенное количество
электричества, которое может служить для введения единицы
измерения (кулона). Удобно считать, что оно равно 96,485 • 10е Кл(ку-
лон). Однако в связи с практической невозможностью осуществле-
осуществления такого эталона за основную единицу принимается единица
силы тока — ампер (А). При этом 1 Кл = 1 А • 1 с. Помимо секунды,
в качестве основных механических единиц используются метр (м)
и килограмм массы (кг). Такая система четырех основных единиц
входит в состав Международной системы единиц (СИ), утвержден-
утвержденной XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 г. и при-
принятой с 1 января 1963 г. в Советском Союзе в качестве государ-
государственного стандарта. В дальнейшем (см. § 29) будет показано, что
величинам е0 и ц0 в отдельности могут быть приписаны определен-
определенные численные значения.
Несомненно, система СИ наиболее удобна с практической точки
зрения. Однако во многих физических вопросах, особенно относя-
относящихся к взаимодействию источников в вакууме, уравнения Макс-
Максвелла приобретают более наглядный вид, если записывать их
в гауссовой системе единиц. Отметим, кроме того, что мы всюду
использовали так называемые рационализированные единицы.
Нерационализированные единицы отличаются лишь другой норми-
нормировкой векторов поля, при которой плотность заряда в A.10)
и плотность тока в A.20) должны быть умножены на 4я.
1.7. Итак, уравнения Максвелла могут быть записаны в сле-
следующем виде:
divZ) = p, (M.I)
div# = 0, (М.2)
4
rottf=^(/+^j. (M.4)
Выбор а = 1 или же а = с и ц„ = е0 = 1 соответствует использо-
использованию системы единиц СИ или гауссовой системы единиц.
Интегральные аналоги уравнений (МЛ) — (М.4) имеют форму:
a = q, (MM)
(М'.З)

20 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ- I
Равенство (М'.4) может быть получено интегрированием обеих
сторон (М.4) по произвольной поверхности а, ограниченной конту-
контуром s, и последующим применением теоремы Стокса (Б.26).
Именно систему уравнений Максвелла (М) .или (М') следует
теперь считать полной исходной формулировкой законов электро-
электромагнитного поля. При этом, например, закон сохранения заряда
в форме уравнения непрерывности A.13) может быть получен из си-
системы (М), если продифференцировать по времени уравнение (М.1)
и воспользоваться уравнением (М.4). С физической точки зрения
более естественно, однако, считать закон сохранения заряда неза-
независимым от системы (М) соотношением и с его помощью, как это
было сделано ранее, прийти к выводу о том, что уравнение (М.1)
не изменяется с течением времени. Тогда основное значение при-
приобретают уравнения (М.З) и (М.4), уравнение непрерывности A.13)
и уравнения (МЛ) и (М.2), взятые в некоторый начальный момент
времени.
Используя определения поляризации A.11) и намагниченности
A.17), уравнения (МЛ) и (М.4) можно записать также и несколько
иначе:
= ^(p-divP), (М.Г)
Система уравнений (М.Г), (М.2), (М.З) и (М.4') при заданных
источниках р и J определяет неизвестные функции Е (г, f) и
В (г, t) лишь тогда, когда известны характеристики среды Р
и М. Эти характеристики в свою очередь зависят от полей, соз-
создаваемых источниками в среде, и от физической структуры среды.
Поэтому указанная система уравнений определяет электромагнит-
электромагнитное поле по свойствам источников только в вакууме, когда Р — 0
и М — 0. В своем общем виде она представляет собой недоопределен-
ную систему соотношений между связываемыми ею физическими
величинами.
В принципе, для того чтобы уравнения Максвелла стали раз-
разрешимыми, необходимо знать функциональные зависимости типа
Р = Р (Е) и М = М (В), или, что то же самое, D = D (Е)
и Н = Н(В). Такие зависимости для каждой среды могут быть
определены только с помощью исследования ее конкретных физи-
физических свойств. Однако экспериментальное исследование электро-
электромагнитных свойств материальных сред позволяет выделить целый
ряд их важных разновидностей. Остановимся здесь на простейших
из них; о некоторых обобщениях будет сказано в § 4.
Прежде всего, это — класс изотропных сред, для которых вы-
выполняются соотношения
М = %тН, A.26)

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ 21
где %е — коэффициент диэлектрической, а %т — магнитной восприим-
восприимчивости. Из A.26) следует
A.27)
где
8 = еоA+Хе), f* = Ml+Xm). A.28)
Подставим A.27) в уравнения (М) и предположим, что е и |л по-
постоянны, а р и j равны нулю. Тогда совершенно аналогично
выводу уравнения A.24), мы получим равенство, состоящее в том,
что оператор А—t . | будучи применен к Е икй, дает нуле-
нулевой результат. Коэффициент при производной по времени нужно
считать равным обратному квадрату скорости распространения
электромагнитного поля. При постоянных е и jj, среда называется
однородной. Из A.25) следует
±_ A.28')
Часто для характеристики среды (не только однородной) приме-
применяются относительные проницаемости е' = е/е0 и \л' = [x/fi0-
Более общие линейные зависимости
?>а = 8аР?р, Ва = [гаРЯв> A.29)
Где 8ар = 80 (бар + Хге)сф) И Цсф = М (^аР + Х(т)ар) — ТСНЗОрЫ ВТО-
рого ранга относительно трехмерных вращений *) имеют место
для анизотропных сред. Необходимо иметь в виду, что соотношения
типа A.27) и A.29) могут выполняться лишь в определенном интер-
интервале значений аргументов Е и В, за пределами которого (т. е. при
достаточно сильных или, наоборот, слабых полях) они нарушаются.
Применимость этих соотношений зависит и от термодинамического
состояния среды, в частности от температуры, при которой среда
рассматривается. Теоретический вывод «материальных соотношений»
такого типа и определение условий их применимости представляют
собой одну из проблем теории микроскопического строения вещества
и в конечном счете относятся к области квантовой теории.
Эксперимент показывает, что всегда %е >> 0, но магнитная
восприимчивость Хт может быть как положительной, так и отри-
отрицательной. В первом случае среда называется парамагнитной,
а во втором — диамагнитной. Во всех рассмотренных выше урав-
уравнениях поляризация Р и намагниченность М обращаются в нуль
вместе с соответствующими полями (Е или Н).
Это условие не выполняется для намагниченности ферромаг-
ферромагнитных веществ и для поляризации сегнетоэлектриков благодаря
*) Из общих термодинамических соображений следует, что тензоры еая
и Пар симметричны (см. § 32).

22 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. I
тому, что для этих сред не имеют места простые линейные зависи-
зависимости вида A.29).
Для сегнетоэлектриков и ферромагнетиков характерно явле-
явление гистерезиса (см. § 36), благодаря которому вектор поляриза-
поляризации Р или намагниченности М могут быть отличны от нуля при
Е = О или соответственно В = 0. Обозначим через Л10 такую
остаточную намагниченность. Из уравнения (М.4') следует, что
rot Mo может служить источником поля В. В этом состоит фено-
феноменологическое описание действия постоянных магнитов *). Заме-
Заметим, что выше определенной температуры (точки Кюри) ферромаг-
ферромагнетики превращаются в парамагнитные среды.
Кроме приведенной выше классификации сред, основное зна-
значение в электродинамике имеет разделение их на проводники и
диэлектрики. В широком интервале значений Е выполняется закон
Ома, а именно
/а = <таР?р + /<Г>, A.30)
где аар — коэффициент (тензор) электропроводности, a /"' — та
часть тока, которая может считаться заданной независимо от поля Е.
Она создается «сторонними» по отношению к полю источниками,
которые могут иметь неэлектромагнитный характер и действовать
за счет превращения других видов энергии в работу по перемеще-
перемещению электрических зарядов (примеры: химический элемент, дина-
момашина и т. д.). Предположим, что /ст) = 0, аар = о8а$, а а
и е постоянны (мы считаем, что A.27) также выполняется). Тогда
уравнение непрерывности A.13) после использования уравнения
(М.1) и перечисленных выше условий примет вид
div(ef +0?) = O. A.31)
Для того чтобы это равенство выполнялось, достаточно предполо-
предположить, чтЕ~Еоех.р\ — —(t—Q . Из (М.1) видно, что аналогично бу-
будет зависеть от времени и плотность заряда: р = р0 ехр — — (t —10) .
Величина е/о играет роль характерного для данной среды времени
релаксации Т. При е/о^-Т среда называется диэлектриком, а
при е/а ^ Т ¦— проводником. Только в первом случае среда может со-
содержать заряд достаточно долго, во втором жеслучае заряды, внесен-
внесенные внутрь среды, быстро исчезают. Из закона сохранения заряда
видно, что если проводник заполняет все пространство, то заряды ухо-
уходят на бесконечность, если же он ограничен диэлектрической средой,
то заряды могут задержаться на граничной поверхности между
*) См. об этом подробнее в § 36.

§2] Потенциалы элетромагнитного поля 23
проводником и диэлектриком. При этом образуется поверхностный
заряд. Из рассуждения, предшествующего формулировке уравне-
уравнения A.21), видно, что такое условие релаксации применимо при
условии Н ~ 0.
§ 2. Потенциалы электромагнитного поля.
Градиентная инвариантность. Вектор Герца
2.1. Будучи инвариантными по отношению к вращениям в трех-
трехмерном пространстве, основные величины электрического и магнит-
магнитного полей по-разному ведут себя при отражениях. Эксперименталь-
Экспериментальные данные о свойствах электрического заряда не противоречат
предположению о том, что количество заряда q — величина ска-
скалярная. Отсюда на основании закона сохранения заряда A.12),
где в левой части производится интегрирование по объему, а в пра-
правой—по ориентированной поверхности, следует, что плотность
электрического тока J обладает свойствами полярного вектора.
Напряженность электрического поля Е также оказывается поляр-
полярным вектором, что можно видеть из уравнения (МЛ), записанного
для вакуума. Но так как операция rot имеет псевдовекторный харак-
характер, из уравнения (М.З) видно, что магнитная индукция В (а зна-
значит, в силу A.17), напряженность Н и намагниченность М) должна
также быть псевдовектором *). Другими словами, положительное
направление этих векторов может быть определено лишь после
того, как принято соглашение, какую из двух возможных ориен-
ориентации систем координат (правую или левую) нужно считать поло-
положительной. При отражении в трехмерном пространстве это направ-
направление изменяется на противоположное **).
При исследовании уравнений Максвелла (М) важную роль
играет возможность выразить электрическое и магнитное поля
через вспомогательные поля — потенциалы. Характер преобразо-
преобразования потенциалов при вращениях и отражениях в трехмерном про-
пространстве устанавливается с помощью выясненных выше свойств
напряженностей и индукций.
Электромагнитные потенциалы вводятся следующим образом.
Прежде всего, соотношение (Б. 13) позволяет сделать вывод, что
уравнение (М.2) будет решено, если удастся найти такую век-
векторную функцию А (г, t) (векторный, или магнитный, потенциал),
чтобы выполнялось равенство
В = гоМ. B.1)
*) См. Приложение Б, текст, следующий за формулой (Б.20).
**) Заметим, что в формуле A.14) векторное произведение является псевдо-
псевдовектором — моментом вращения N. В механике псевдовекторный характер
момента TV обусловлен тем, что он равен векторному произведению двух поляр-
полярных векторов. Но так как в нашем случае В — псевдовектор, то и я следует
считать псевдовектором.

24 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
Если теперь подставить B.1) в (М.З), то получим
Поэтому на основании (Б. 12) электрическое поле Е можно выра-
выразить в виде
J^-gradcp-i^-, B.2)
где функция ф называется скалярным или электрическим потен-
потенциалом. Из формул B.1) и B.2) видно, что величина А должна
быть полярным вектором, а функция ср — скаляром (а не псевдо-
псевдоскаляром).
Выражения B.1) и B.2) для векторных функций В и ? через
потенциалы А и <р не зависят от каких-либо предположений отно-
относительно свойств среды, в которой действуют поля В и Е. При
этом они показывают, что при заданных функциях В я Е потен-
потенциалы могут быть выбраны бесконечным числом способов.
Действительно, из (Б. 12) следует, что если функция А (г, t)
удовлетворяет уравнению B.1) с заданной левой частью, то и любая
функция А' вида
A' = A+gradty, B.3)
где ф (г, t) — произвольная дифференцируемая функция, также
является решением этого уравнения. При этом и Е (г, t) оста-
останется неизменной, как можно видеть из B.2), если одновременно
произвести замену ф на ф', где
Преобразование потенциалов, определенное уравнениями B.3) л
B.4), при котором решения В и Е уравнений Максвелла не изме-
изменяются (а значит, не изменяются и сами эти уравнения), называ-
называется градиентным (или калибровочным) преобразованием.
Для вывода уравнений, позволяющих вычислить потенциалы,
необходимо использовать уравнения Максвелла (МЛ) и (М.4),
связывающие электромагнитное поле с его источниками. Рассмотрим
случай изотропной однородной среды, когда выполняются соот-
соотношения A.27) с постоянными е и \л. При учете этих соотношений
подстановка в упомянутые уравнения Максвелла формул B.1)
и B.2) и использование равенства (Б.21) позволяют записать в декар-
декартовых координатах:
B.42)

§ 2] ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 25
(здесь, как и в A.28'), v = а/ Уе\у). Полученные уравнения для
потенциалов существенно упрощаются, если можно считать, что
выполнено условие калибровки Лоренца в виде
div4+f* = 0. B.5)
Действительно, в этом случае
Покажем, что фактически можно всегда считать, что условие Ло-
Лоренца выполнено. Эта возможность существует благодаря той сво-
свободе выбора потенциалов, которая обеспечивается градиентной
инвариантностью. В самом деле, предположим, что каким-либо
образом найдены функции А и ср, удовлетворяющие, при заданных
В и Е, уравнениям B.1) и B.2), но для этих А и ср соотношение
B.5) не имеет места. Совершим градиентное преобразование по фор-
формулам B.3) и B.4) и потребуем, чтобы для новых потенциалов А'
и ф' условие B.5) было выполнено. Подставляя А' и ср' в B.5)
и выражая их через А и ср, получим условие для функции ф:
Так как мы предположили, что А и ср известны, правую часть этого
неоднородного волнового уравнения можно считать заданной функ-
функцией. Таким образом, выбор в качестве функции ф любого решения
уравнения B.7) позволяет, не изменяя физического содержания
задачи, перейти к потенциалам А' и ср', для которых удовлет-
удовлетворяется B.5). Но уравнение B.7) имеет при весьма широких пред-
предположениях бесконечное множество решений. Более того, если для
исходных потенциалов А и ср условие Лоренца уже выполнено,
то B.7) превращается в однородное волновое уравнение для i|>,
которое также обладает бесконечным множеством решений, удов-
удовлетворяющих принципу суперпозиции. Отсюда видно, что потен-
потенциалы, для которых выполняется условие Лоренца, могут быть
определены лишь с точностью до градиентных преобразований
специального вида с функцией i|>, являющейся произвольным реше-
решением однородного волнового уравнения. Легко видеть, что такие
градиентные преобразования составляют подгруппу в группе всех
градиентных преобразований.
Из предыдущих рассуждений видно, что. условие Лоренца
не является единственно возможным ограничением выбора потен-
потенциалов. Например, часто используется так называемая кулоновская

26 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
калибровка, определяемая требованием
div4 = 0. B.8)
При этом уравнения B.4Х) и B.42) преобразуются к виду
АФ = -1р. B.92)
Величина grad-^ в правой части B.9Х) может быть вычислена,
если известно решение уравнения B.92), и представляет собой
как бы добавку к току проводимости ] (см. об этом подробнее
в § 13). Условие, аналогичное B.7), для функции ty, позволяющей
перейти от произвольных потенциалов к таким, которые удовле-
удовлетворяют кулоновской калибровке, имеет вид
Агр = —div/4. B.93)
Если известно распределение источников, т. е. заданы функ-
функции р (г, t) и j (r, t), то, решая сначала уравнения B.6) или же
B.9) для потенциалов, можно вычислить поля В и Е, создавае-
создаваемые этими источниками, с помощью формул B.1) и B.2). Однако
такие выражения для полей не являются самыми общими. В самом
деле, если какие-либо источники находятся вне той области, в кото-
которой получено решение, то они все же могут создавать в ней поле.
Соответствующие функции В и Е должны в рассматриваемой
области удовлетворять уравнениям (М) с j = 0 и р = 0. Общее
решение уравнений Максвелла выражается, таким образом, в виде
суммы частного решения, найденного при заданных р и /, и общего
решения однородных уравнений Максвелла, как это и должно быть
в случае системы линейных уравнений с частными производными.
Соображения, полностью аналогичные приведенным в начале
этого параграфа, показывают, что решение уравнений Максвелла
(М) при j = 0 и р =0 можно искать в виде
Z) = _roM\ //=-gradcp*-i^. B.10)
При этом А* следует считать псевдовектором, а <р* — псевдо-
псевдоскаляром.
Из уравнений (М) следуют равенства
Аналогично тому, как это было сделано выше, можно ввести усло-
условие Лоренца:
div,4* + ^ = 0. B.11)

§ 2] ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 27
В случае, когда выполнены условия A.27) с постоянными 8 и \л,
мы получим следующую запись общего решения уравнений Макс-
Максвелла:
B = rot,4-?^-Vgradcp*,
1 дА 1 BЛ2)
2.2. Рассмотрим теперь еще один метод решения уравнений
Максвелла, который особенно удобен в том случае, когда они
записываются в виде системы (МЛ'), (М.2), (М.З), (М.4'), а функ-
функции ]и р можно считать равными нулю. При этом предполо-
предположим, что поляризация Р и намагниченность М удовлетворяют
соотношениям
Р = еоХеЕ+Ро, М^ХтН+М0. B.13)
Векторы Ро и Мо будем считать обусловленными не действием
внешнего поля, но какими-либо особыми свойствами структуры
рассматриваемой среды. Так, Ро Ф О для сегнетоэлектриков и
пироэлектриков, а Мо ф О для ферромагнетиков. Удобно описы-
описывать с помощью Ро и Мо также такие источники электромагнит-
электромагнитного поля, которые встречаются в теории антенн. Учитывая A.28),
т. е. В — \iff + iV^o, D = вЕ + Ро, нашу систему уравнений
Максвелла можно переписать (считая 8 и jn постоянными) в виде
?f ?тГ div//=-^divM0. B.142)
Обратим сначала внимание на уравнения B.14Х). Предполо-
Предположим, что существует вспомогательное векторное поле П (оно назы-
называется вектором Герца), которое удовлетворяет соотношениям
Л=-^Ж' Ф=-^П. B.15)
При такой подстановке условие Лоренца B.5) выполняется авто-
автоматически. Если при этом еще считать, что Мй = 0, так что
В= \iH, то поле Н также определится соотношением B.1).
Используя B.1), B.2) и B.15), можно привести первое из уравне-
уравнений B.14а) к виду
Таким образом, величина, заключенная в круглые скобки, может
отличаться от — Ро только на слагаемое, равное произвольной функ-
функции f (r), зависящей только от координат. Положим эту функцию

28 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. !
равной нулю. Тогда аналогичная подстановка показывает, что
второе уравнение B.14Х) удовлетворяется автоматически. Вос-
Воспользовавшись формулой векторного анализа (Б.21), получим
волновое уравнение для определения вектора Герца
[ = -|р0- B.16)
Электромагнитное поле, полученное при перечисленных выше
условиях, называется полем электрического типа.
Обратимся теперь к уравнениям B.142) и предположим при
этом, что Ро = 0. Тогда D == вЕ, а для определения векторов
D и Н в этом случае воспользуемся формулами B.10). Введем
псевдовекторную величину П* (также называемую вектором Герца)
так, чтобы выполнялись соотношения
А*^Чг' Ф* = —divn* B.17)
(ясно, что А* и ф* удовлетворяют при этом условию Лоренца).
Подстановка в первое уравнение B.142) формул B.10) и B.17)
приводит на основании рассуждений, полностью подобных про-
проведенным в предыдущем абзаце, к волновому уравнению для П*
вида
Д-^~]П* = — &М0. B.18)
Электромагнитное поле, определенное при этих условиях, назы-
называется полем магнитного типа.
§ 3. Законы изменения энергии, импульса
и момента импульса
3.1. Энергия. Уравнения Максвелла были сформулированы
выше в самом общем виде. С их помощью можно сформулировать
законы изменения величин, характеризующих механические свой-
свойства поля, которое взаимодействует с источниками в материальных
средах. Ввиду общности рассмотрения этих величин их можно
попытаться определить, руководствуясь, прежде всего, соображе-
соображениями размерности.
Если размерность [q] количества заряда установлена, то урав-
уравнение A.1) вместе с уравнениями Максвелла приводят к следую-
следующим размерностям электрического и магнитного полей:
Учитывая размерности векторов Е и В, можно заключить, что
\BD\~IHB\-\F\ [L}\ C,2)

§ 3] ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 29
т. е. эти билинейные величины имеют размерность объемной плот-
плотности энергии независимо от выбора системы электромагнитных
единиц. Поэтому можно ожидать, что с ними связано определение
энергии ё поля. Закон же изменения энергии выводится с по-
помощью уравнений Максвелла столь же автоматически, как, напри-
например, из уравнения Ньютона можно получить изменение энергии
материальной точки.
Умножим обе стороны уравнения (М.З) скалярно на вектор //,
а обе стороны уравнения (М.4) — на вектор Е и после этого вычтем
одно из другого. С помощью (Б. 19) эта разность принимает вид
ad\v[Exfi] + E^ + fid^+jE = O. C.3)
Соотношения C.1) показывают, что величина а [Е X //] обла-
обладает размерностью [$] -ILY2 IT]'1. Рассмотрим объем V, ограни-
ограниченный замкнутой поверхностью 0, проинтегрируем уравнение C.3)
по этому объему и применим в первом слагаемом теорему Остро-
Остроградского — Гаусса. Мы получим интегральный аналог уравне-
уравнения C.3):
[ = O. C.4)
На основании C.2) можно интерпретировать второе слагаемое
в C.4) как величину, выражающую изменение в единицу времени
энергии поля, заключенного в рассматриваемом объеме. Член
EdD Idt определяется только свойствами электрического поля;
поэтому естественно ожидать, что он равен скорости изменения
объемной плотности dwe/dt «электрической энергии»; аналогичным
образом величина HdBldt выражает изменение dwm/dt энергии
магнитного поля, а сумма этих величин равна изменению dw/dt
объемной плотности полной энергии поля. Вывод соотношения C.4)
не зав! сит от каких-либо конкретных предположений о зависимо-
зависимостях D (Е) и В (//). Однако приращения dwe = EdD, dwm =
= Н dB и dw = dwe -f- dwm не являются, вообще говоря, пол-
полными дифференциалами, так что нельзя указать явные выражения
для we, wmu w. Если же выполняются уравнения A.29) и га?1 и |лар
не зависят от времени, то, используя симметричность диэлектри-
диэлектрической и магнитной проницаемостей по отношению к перестановке
индексов, легко показать, что
FdD _±д , . ндВ _ 1 д . „_>
Т, $,
W,mj ED, Wm**jtfB, W^We + Wrr,, C.5)

30 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
Рассматриваемый интеграл приобретает тогда смысл производ-
производной по времени от полной энергии электромагнитного поля, заклю-
заключенной в объеме V. Такая интерпретация предоставляет ключ для
понимания физического смысла также и остальных двух слагае-
слагаемых, содержащихся в уравнении C.4). Действительно, поверхност-
поверхностный интеграл выражает поток электромагнитной энергии, прохо-
проходящий сквозь поверхность 0, причем его плотность и направление
в каждой точке этой поверхности определяются вектором Умова —
Пойнтинга:
5 = а[?хЯ]. C.6)
Наконец, последнее слагаемое в C.4) равно работе, затрачиваемой
в единицу времени электромагнитным полем на создание токов
проводимости в рассматриваемом объеме. Частично этот член ответ-
ответствен за обычно возникающие тепловые эффекты (см. § 33), поэтому
несколько неточно это слагаемое называется джоулевым теплом.
Таким образом, уравнение C.4) имеет смысл закона изменения
энергии электромагнитного поля (а C.3) — плотности этой энер-
энергии): энергия может изменяться только за счет создания джоулева
тепла и потока энергии через граничную поверхность 0. Нужно
иметь в виду, однако, что энергия поля может переходить в различ-
различные другие виды энергии: механическую, химическую, тепловую,
а также возникать в результате превращения этих видов энергии.
Поэтому, если в рассматриваемом объеме такие процессы происхо-
происходят, то это должно учитываться включением в левую часть допол-
дополнительного слагаемого d ё(ст) Idt, выражающего участие энергии §(ст)
«сторонних» источников в общем энергетическом балансе. Правда,
часть таких факторов, а именно те их них, которые связаны с рабо-
работой «сторонних» источников, затрачиваемой на перемещение заря-
зарядов, уже учтены в джоулевом тепле JE. Действительно, как было
упомянуто в § 1, ток у обычно может быть представлен в виде,/ =
= оЕ +у(ст), где член у(с/г) обусловлен действием на заряды сил
неэлектромагнитного происхождения. Когда закон Ома выполня-
выполняется, часто пользуются также записью /ст) = а?(ст); это уравне-
уравнение, разумеется, представляет собой просто определение вектора
?(ст). То обстоятельство, что выражение для тока может иметь та-
такую структуру, будем иметь в виду и в дальнейших рассуждениях
настоящего параграфа.
3.2. Импульс и момент импульса. Перейдем теперь к выводу
с помощью уравнений Максвелла закона изменения импульса элек-
электромагнитного поля.
Рассмотрим, прежде всего, величину (rot Е) х D. Из опре-
определений операции rot (см. (Б. 10) и (Б.11)) и векторного произве-
произведения (Б.З) следует, что
дЕг
[(rot E) X D]a = e«Pv8peC -^ Dr

§ 3] ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 31
С помощью первой из формул (Б.1) произведем суммирование
по индексу р\ Результат примет вид
^vv?g-?adivZ>. C.7)
Предположим теперь, что выполняются соотношения A.29) с еар
и цар, не зависящими от координат *). В этом случае, как мы видели
выше, Е-^у = ~2~fa\(ED)- Используя, кроме того, уравнение
(М.1), получим
[(rot Е) х D]a = ^ [EaDy -16ayED) - Р?„. C.8)
Ясно, что величина
$ C.9)
является по отношению к трехмерным вращениям тензором вто-
второго ранга. Этот тензор при наших предположениях необязательно
симметричен (EaDy = гуъЕаЕ& =? гаьЕуЕ&).
Совершенно аналогичное преобразование приводит с помощью
A.29) к результату
C.10)
(при этом учтено, что divfi = 0). Здесь
C.11)
Тензор Тау = Т% + Tffi называется тензором натяжений Макс-
Максвелла, Tal — его электрической, а Т1^' — магнитной частью.
Образуем теперь векторное произведение, умножив обе стороны
уравнения Максвелла (М.4) на вектор В, а уравнения (М.З) —
на вектор D. Сложение полученных результатов приводит, с при-
применением C.8), C.9) и C.10), к соотношению
C-12)
При его физической интерпретации можно руководствоваться
тем фактом, что рЕ представляет собой объемную плотность силы,
Действующей со стороны электрического поля на заряды. По ана-
*) Не следует, разумеется, в дальнейшем путать диэлектрическую прони-
проницаемость eaj3 с псевдоскаляром ва$у\

32 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
логии с этим имеющую ту же размерность величину JxB, пол-
полностью определяемую распределением токов /' и магнитной индук-
индукцией В, нужно понимать как силу, с которой магнитное поле
действует на токи *). Полная объемная плотность сил называется
плотностью силы Лоренца:
l C.13)
По определению механического импульса р, следует считать,
что
f=dp/dt. C.14)
Но аналогичную структуру имеет и последнее слагаемое в правой
части C.12). Так как оно вполне определяется векторами D и В,
можно сделать вывод, что векторное произведение
g=~[DxB] C.15)
выражает объемную плотность импульса электромагнитного поля.
Уравнение C.12) принимает в этих обозначениях вид
C-16)
В частном случае, когда выполняются условия A.27), вектор g
пропорционален вектору S Умова — Пойнтинга
g=j?S (ЗЛ7)
(здесь использованы соотношения A.25) и A.28'); ясно, что для
поля в вакууме v = с).
Теперь рассмотрим левую часть C.12). Проинтегрируем ее по
объему V, ограниченному поверхностью а. Полученный интеграл
с помощью теоремы Остроградского — Гаусса преобразуем в поверх-
поверхностный. Подынтегральное выражение в поверхностном интеграле
имеет вид
cpp = 7pvnY. C.18)
Размерность вектора <р равна размерности силы, отнесенной к еди-
единице поверхности. Отсюда виден также и смысл тензора натяже-
натяжений Тр7- Он устанавливает линейное соотношение между вектором
силы в данной точке поверхности а и единичным вектором нормали
к поверхности в.этой точке. Если поверхность 0 не зависит от вре-
времени, то, приравнивая рассмотренный только что интеграл от левой
*) Разумеется, в дальнейшем такая интерпретация должна быть проверена
на конкретных примерах (см., например, § 12),

§ 31 ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 33
части C.12) объемному интегралу от правой части этого равенства,
получим результат
§ ?§ V, C.19)
представляющий собой закон изменения импульса. Именно, ско-
скорость изменения полного импульса поля, зарядов и токов, заклю-
заключенных в некотором объеме, равна полной силе, действующей на гра-
граничную поверхность, или, что то же самое, — потоку импульса.
Аналогично тому, что было отмечено в связи с законом изменения
энергии (см. стр. 30), в объеме У может происходить изменение дру-
других видов импульса благодаря тому, что заряды и токи могут под-
подвергаться действию сил неэлектромагнитного происхождения. В
этом случае нужно добавить в правой части равенства C.19)
изменение импульса di°(CT) Idt, а в левой — поверхностную плот-
плотность сил ф(С1), соответствующие этим «сторонним» воздействиям.
После того как определен импульс, становится очевидным,
что поле обладает также и моментом импульса. Действительно,
плотность момента импульса, обусловленная полем, а также токами
и зарядами, согласно общим правилам механики, измеряется выра-
выражением гп = г X (р + g). При этом г не зависит от времени,
будучи радиусом-вектором фиксированного элемента объема. Умно-
Умножая обе стороны дифференциального закона изменения импульса
векторно на радиус-вектор г, получим соотношение
Но
Если тензор натяжений симметричен (T6v = ТуЬ), то последнее
слагаемое тождественно равно нулю. Тогда выполняется уравнение
где яр? = е^уъх^Т^. Физический смысл этого тензора можно опре-
определить, если проинтегрировать его по объему и воспользоваться
теоремой Остроградского — Гаусса в форме (Б.23'):
J ^Г dV = § 8pve*7 TK4do = § 8M*V do = §[rx ф]р do.
Здесь применено соотношение C.18). Мы получили полный момент
поверхностных сил, действующих на границу а рассматриваемого
объема (он же — поток момента импульса). Окончательно закон
2 Ю. В. Новожилов, Ю. А, Яппа

34 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРО ДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
изменения момента импульса принимает следующий интегральный
вид:
4-AmdV=*tbrxyda. C.22)
at J J
Здесь также может оказаться необходимым учет действия «сторон-
«сторонних» сил.
В дальнейшем (см. § 9) законы сохранения будут рассмотрены
с более общей точки зрения. При этом мы воспользуемся вариа-
вариационным принципом и изучим связь этих законов со свойствами
инвариантности поля по отношению к преобразованиям различного
типа. 'Заметим, что в однородных средах все законы сохранения
выполняются в форме C.3), C.12) и C.21), причем плотность
энергии определяется уравнением C.5), а тензор натяжений —
уравнениями C.9) и C.11).
§ 4. Замечания о математических свойствах
уравнений Максвелла. Единственность решения
в ограниченной области. Условия на границе двух сред
4.1, Математические свойства системы уравнений Максвелла,
разумеется, существенно зависят от того, какие предположения
сделаны в отношении функциональных зависимостей Р(Е) и
М(В) (или М(Н)). В простейшем случае однородной изотроп-
изотропной среды при известной зависимости источников р и J от коорди-
координат и времени уравнения (М) сводятся, как мы видели, к волновым
уравнениям вида B.6) для потенциалов, решение которых при за-
заданных граничных и начальных условиях будет нами рассмотрено
в § 13. Применим теперь операцию rot к обеим сторонам уравне-
уравнений (М.З) и (М.4). Если использовать формулу (Б.21), а также осталь-
остальные уравнения Максвелла, то легко показать, что напряженности
удовлетворяют в декартовых координатах волновым уравнениям:
1 аз \ „ на/ , 1
Необходимо иметь в виду, что решение уравнений B.6) экви-
эквивалентно решению уравнений Максвелла первого порядка, в то
время как D.1) представляет собой лишь необходимое следствие
последних. Частный вид уравнений D.1) в пространстве, свободном
от источников, мы уже использовали в § 1 в форме A.24).
Большой интерес представляет с физической точки зрения
исследование таких сред, для которых выполняются соотношения
A.29), где еа|з и [лар являются функциями координат и времени.
В некоторых случаях при этом можно предполагать, что векторы

§ 4] МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 35
индукции в точке г в момент времени t зависят от напряженностей,
заданных в той же точке и в тот же момент времени. Тогда для век-
векторов поля можно получить дифференциальные уравнения второго
порядка с переменными коэффициентами. Однако обычно следует
учитывать явления дисперсии, выражающиеся в том, что значения
индукции в точке л* и в момент времени t зависят также от значе-
значений напряженностей в более ранние моменты времени (это явление
называется частотной дисперсией) и напряженностей, существую-
существующих в других точках среды (пространственная дисперсия). В этом
случае, записывая соотношения вида A.29), нужно считать 8ар и
цар операторами, которые, действуя, например, на напряжен-
напряженность Е, превращают ее в индукцию D. Во многих случаях эти
операторы являются линейными и интегральными, так что A.29)
принимает, например, вид
Da [г, t) = \ dt'\dV^{t-t',r-г') ?р(г', f). D.2)
— со
Уравнения же Максвелла становятся при этом интегродифферен-
циальными. Подставляя в D.2) разложение в интеграл Фурье
E(r', t') = \da\dk е'<Аг<-шп ?(ft> m) D 3)
и аналогичное разложение для D, можно привести равенство D.2)
к виду
Da(k, (o) = eaP(ft, (o)?p(ft, со), D.4)
где eap (ft, со) — коэффициенты Фурье для функций eap (t, r).
В дальнейшем (см. § 39) мы еще вернемся к проблеме дисперсии.
Отметим, однако, уже здесь, что при этом необходимо учитывать
и затухание электромагнитного поля в среде, которое, как мы уви-
увидим, проявляется в том, что вектор ft нужно считать комплекс-
комплексным. Поэтому изучение дисперсии тесно связано с рассмотрением
тензора eap (ft, со) методами теории функций комплексной пере-
переменной.
Наконец, если зависимости Р (Е) и М (В) нелинейны, то урав-
уравнения Максвелла приобретают характер нелинейных дифферен-
дифференциальных (без учета дисперсии) или же нелинейных интегродиффе-
ренциальных уравнений (с ее учетом). В § 1 уже упоминалось, что
нелинейная зависимость М (В) имеет место для ферромагнитных
сред, а зависимость Р(Е) нелинейна для сегнетоэлектриков.
Кроме того, эти зависимости могут становиться нелинейными в том
случае, когда поля В и ? достаточно сильны, хотя бы даже среда
обладала линейными свойствами по отношению к слабым полям.
В связи с технической возможностью создания столь сильных
полей, например, лазерными источниками, такие случаи приоб-
приобрели большой физический интерес в недавнее время ц служат

3G ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
предметом изучения в нелинейной оптике (см. §41). В нелинейном
случае принцип суперпозиции не выполняется.
Итак, с математической точки зрения свойства уравнений Макс-
Максвелла могут быть чрезвычайно разнообразными в зависимости от
свойств тех сред, электромагнитные свойства которых подлежат
изучению. Весьма различны и математические методы, применяе-
применяемые для их решения.
4.2. Рассмотрим две теоремы, необходимые для дальнейшего.
Одна из них применима для однородных сред, другая же описывает
свойства решений уравнений Максвелла в общем случае.
Покажем, что решения уравнений Максвелла в однородной
среде единственным образом определяются с помощью задания гра-
граничных и начальных условий. Рассмотрим ограниченный объем
пространства. Если среда однородна, то, как было показано в § 3,
закон сохранения энергии имеет вид
^ D.5)
Пусть, для определенности, выполняется и закон Ома в форме
/= оЕ. «Материальные константы» о, еар, |лар всегда неотрица-
неотрицательны. Поэтому всегда неотрицательны и подынтегральные выра-
выражения JE, ED и НВ. Первый интеграл и производная по вре-
времени от второго могут, разумеется, принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Предположим теперь, что найдены
два решения уравнений Максвелла Еъ Нх и Е2, Н2, принимаю-
принимающие на поверхности а одинаковые значения, т. е. удовлетворяющие
одним и тем же граничным условиям:
Ei\a = E2\a, H1\a = Ht\a, D.6)
и одинаковым начальным условиям:
E1\t=ta = E2\t=t0, Milt^to^ffilt^h- D.7)
Так как при наших предположениях принцип суперпозиции имеет
место, векторные поля Е — Ег — ?2 и Н = Нх — Н2 будут
также решением уравнений Максвелла. Это решение, как показы-
показывают уравнения D.6) и D.7), удовлетворяет нулевым граничным
и начальным условиям:
?|о = 0, //|а = 0, ?|,=(„ = 0, //|,=,0 = 0. D.8)
Но для полей Е и Н должен выполняться закон сохранения
энергии D.5). При этом первое слагаемое в D.5) равно нулю бла-
благодаря первым двум условиям D.8). Проинтегрировав остальные
два слагаемых по времени от начального момента t0 до произволь-
произвольного момента t, получим соотношение
\ ^^ dVJE,

4]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
37
I
Первое из этих равенств является следствием начальных условий
D.8). Правая часть выведенного соотношения неположительна,
левая же — неотрицательна. Поэтому они равны лишь в том слу-
случае, когда обе обращаются в нуль, что в свою очередь возможно
только при Е = 0 и Н = 0, т. е. при Ег = Е2 и Н1 = //2.
Если поле рассматривается в бесконечном объеме, то его
свойства следует изучать с помощью равенства D.5) в пределе,
когда граничная поверхность о неограниченно расширяется. Един-
Единственность решения зависит от поведения интегралов в этом пре-
пределе, которое в свою очередь определяется характером поведения
функций Е и Н при | л* j —*- оо. Если эти граничные свойства соот-
соответствуют, например, так назы-
называемому условию излучения (см.
§ 20), то решения уравнений
Максвелла обладают свойством
единственности и в бесконечном
объеме.
Теперь рассмотрим тот слу-
случай, когда электромагнитные
свойства среды различны по обе
стороны некоторой поверхности
0, которая с макроскопической
точки зрения является бесконеч-
бесконечно тонкой. Будем считать, что
по одну сторону от этой поверх-
поверхности находится среда I, а по другую — среда II. Векторы Е, D, В
и Н будем, в соответствии с этим, отмечать значками I или II в за-
зависимости от того, в какой из этих сред рассматриваются свойства
поля. При этом обычно можно предположить, что сами векторы
поля при переходе через границу двух сред конечны, а производ-
производные их по времени изменяются непрерывно. Уравнения Максвелла
в интегральной форме (М') позволяют тогда сделать определенные
выводы о том, как связаны между собой значения векторов поля
при переходе через границу раздела.
Прежде всего, применим уравнение (ММ) к объему, ограничен-
ограниченному цилиндрической поверхностью, верхнее основание которой
находится в среде II, а нижнее — в среде I, причем они достаточно
малы, чтобы их можно было считать с хорошей точностью парал-
параллельными участку поверхности а, выделяемому тем же цилиндром
(рис. 1). Пусть AS — площадь основания цилиндра, a Ah — его
высота. В этом случае полный заряд, заключенный внутри ци-
цилиндра, равен q = pA/iAS (с точностью до величин более высо-
высокого порядка малости), причем р — значение плотности заряда
в некоторой точке внутри цилиндра. Предположим, что площадь AS
настолько мала, что значение вектора D можно считать постоянным
на каждом из оснований. В этом случае, с точностью до бесконечно
Рис. 1.

38 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА [ГЛ. 1
малых более высокого порядка, из (ММ) получим равенство
AS (Dntii + Dln2) + интеграл по боковой поверхности = р А/г AS.
Боковая поверхность пропорциональна А/г. Устремим теперь
А/г к нулю (это фактически означает, что площадь боковой поверх-
поверхности мы считаем бесконечно малой высшего порядка по сравнению
с AS). При этом будем считать, что р -*¦ оо, но выполняется усло-
условие, при котором предел lim рД/гззЯ остается конечным.
р—voo, Д/1-+0
Ясно, что величину X следует назвать поверхностной плот-
плотностью заряда на поверхности 0в той точке, к которой стягивается
цилиндрическая поверхность. Если р непрерывна в этой точке,
то X = 0. Учитывая все эти обстоятельства и обозначая пх = п,
щ = — п, мы придем к результату
(Du-Dl)n = X. D.9)
Здесь пх и пг — внешние нормали к цилиндрической поверх-
поверхности а, которые используются при вычислении потока вектора
в теореме Остроградского — Гаусса,
_ у ал — направление перехода из среды
' ^ I в среду II, т. е. вектор нормали к
поверхности о, направленный из сре-
среды I в среду II.
I """""Н^»,.-*-' /^ Обратимся теперь к уравнению
(М.4) и выберем контур интегрирова-
интегрирования в левой части этого уравнения
в виде бесконечно малого прямоуголь-
PllCt 2- ника (рис. 2), верхняя сторона кото-
которого проходит в среде II, нижняя —
в среде I и обе они направлены параллельно некоторой каса-
касательной к поверхности а. Обозначим через As длину каждой из
этих сторон, а А/—длину остальных двух сторон контура.
Пусть sx = s, s2 = —s, где s — единичный вектор касатель-
касательной к поверхности 0. Тогда, считая, что А/ стремится к нулю
быстрее, чем As, уравнение (М'.4) можно, с точностью до величин
более высокого порядка малости, записать в виде *)
А/.
Определим поверхностную плотность тока условием
/= lim УД/.
У-юо, Д(-*0
Первое слагаемое в правой части стремится к нулю благодаря пред-
предположению о непрерывности производной dD/dt. Итак,
~iv. D.10)
*) Направление вектора v связано с обходом контура по правилу правого
винта, как изображено на рис. 2.

§ 4] МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 39
Применив соображения, совершенно аналогичные предыдущим,
к уравнениям (М'.2) и (М'.З), получим результат:
В1)я = 0. D.12)
Уравнения D.9) — D.12) называются граничными условиями или
условиями сопряжения векторов поля по обе стороны границы
раздела двух сред. В этой форме они, однако, не определяют пол-
полностью характера перехода из одной среды в другую. Так, напри-
например, неизвестно поведение тангенциальных составляющих век-
вектора В, нормальной составляющей вектора ? и т. д. Недостаю-
Недостающие сведения можно получить лишь в том случае, когда известны
дальнейшие свойства сред I и II, например, в форме соотношений
A.11) и A.17) с заданными поляризациями и намагниченностями.
Из общих граничных условий D.9) — D.12) следует:
80(?" - Е1) п = К + (Р1 - Рп) п,
- ff) я = (Ml - Мп) п.
Эти соотношения упрощаются для того случая, когда имеют место
соотношения A.27), т. е. для изотропных сред, и принимают вид
_L яп L яЛ с —<•
гг О г- D )Л —lv,
11 ; 1 D-14)
Они используются, например, при изучении отражения и пре-
преломления электромагнитных волн (ср. § 18).

Глава 2
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 5. Принцип относительности. Преобразования Лоренца
и основы релятивистской кинематики
5.1. Наблюдатели, изучающие электромагнитное поле, могут
находиться в различных системах отсчета, отличающихся одна
от другой относительным движением. Формулировка законов элект-
электромагнетизма, изложенная в главе 1, целиком основана на пред-
предположении, что существуют такие системы отсчета, в которых
эти законы подтверждаются физическими измерениями. Основой
всякого эксперимента является умение измерять пространственные
расстояния и промежутки времени. Тогда могут быть определены
и кинематические характеристики движения любого материального
тела: его скорость и ускорение в данной системе отсчета.
Так как всякая система отсчета связана с некоторым материаль-
материальным телом и приборами, служащими для измерений, то естественным
образом можно определить класс инерциальных систем отсчета.
В этот класс входят системы, обладающие тем свойством, что любые
две из них движутся относительно друг друга с постоянной ско-
скоростью. С точки зрения наблюдения физических событий всякая
инерциальная система характеризуется следующими свойствами.
1. При отсутствии сил тело в инерциальной системе движется
прямолинейно и равномерно (фактически в этом заключается основа
для определения понятия механической силы)_.
2. Измеряемая в инерциальной системе скорость с электромаг-
электромагнитного поля в вакууме не зависит от скорости движения источника
этого поля относительно наблюдателя (принцип независимости
скорости света в вакууме от движения источника *).
Класс инерциальных систем занимает особое положение среди
всех возможных систем отсчета. А именно, физические законы могут
быть сформулированы так, чтобы не зависеть от того, в какой из
инерциальных систем они рассматриваются. Другими словами,
должен выполняться принцип относительности: равномерное и
прямолинейное движение системы как целого не влияет на ход
*) Это второе требование, которое отсутствовало в классической механике,
не учитывавшей электромагнитных явлений, было впервые введено Эйнштейном
в 1905 г.

§ 5] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 41
процессов, происходящих внутри системы, т. е. законы физических
процессов одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Рассмотрим две инерциальные системы: систему /( и систему /(',
движущуюся относительно К. с постоянной скоростью v. Пусть
в системе К используются декартовы координаты х1, х2, х3 и время t,
а в системе К' —декартовы координаты х1', х2', л;3' и время f.
Для того чтобы определить, как связаны между собой уравнения,
выражающие любой физический закон с точки зрения систем К и
/(", необходимо прежде всего выяснить связь пространственных
и временных измерений х' (i = О, 1, 2, 3) и хи (i' = 0', Г, 2', 3');
при этом удобно обозначить х° = d и х0' = ct'. С математической
точки зрения задача заключается в определении возможного вида
функций:
х1'=!1'(х°, х\ х2, хъ), E.1)
причем нужно использовать сформулированные выше свойства
инерциальных систем и принцип относительности *). Функции f1'
должны быть такими, чтобы уравнение E.1) можно было разрешить
относительно переменных х1 (т. е. чтобы существовало обратное
преобразование). Кроме того, нужно как-то ограничить тот класс
функций, в котором следует искать решение (естественно, напри-
например, предположить, что эти функции по крайней мере дважды
непрерывно дифференцируемы). Одно из важных ограничений
возможного вида связи между переменными х1' и х1 вытекает из
принципа независимости скорости света в вакууме от движения
источника. В самом деле, если точки испускания и последующего
поглощения света по измерениям, произведенным в системе К,
отделены расстоянием dr и этот процесс происходит за время dt,
то соответствующие измерения в системе К' должны привести к ре-
результатам dr' и dt'. Но скорость распространения света с, в соот-
соответствии с упомянутым принципом, в обеих системах одинакова.
Другими словами, из равенства c2dt2 = dr2 должно следовать
равенство c2dt'2 — dr, и обратно. Решение математической задачи
определения возможного вида функций /'' на основе указанных
физических принципов **) приводит к теореме о том, что эти функции
могут быть только линейными, т. е. они должны иметь вид
xi' = А\'х{ + аУ, xi = А\, х1' + а', F.2)
*) Наше изложение теории относительности служит в основном лишь в ка-
качестве сводки для дальнейшего использования. Оно не может заменить основа-
основательного изучения предмета, для которого следует обратиться к специальным
Руководствам. Наиболее строгое изложение можно найти в книге В. А. Фока
«Теория пространства, времени и тяготения» (Физматгиз, 1961), гл. I и II. См.
также В. А. Угаров, Специальная теория относительности, «Наука», 1977.
. **) См. В. А. Фок, Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз,
*"Ь1. 6 я.

42 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
причем коэффициенты А1., А\< и величины а1", а' постоянны. Если
же выполняются соотношения E.2), то принцип независимости
скорости света от движения источника приводит к равенству
fA E.3)
(независимо от того, обращается ли эта квадратичная форма в нуль
или нет). Величина ds2 == c2dt2 — dr2, таким образом, инвариантна
относительно преобразования E.2). Она называется пространствен-
пространственно-временным интервалом между двумя событиями, а преобразова-
преобразования E.2) — преобразованиями Лоренца. Величины а1' характеризу-
характеризуют возможный сдвиг начала отсчета измерений пространственных
координат и времени в одной системе по отношению к другой.
Положим пока а1' — О, ограничиваясь такими инерциальными
системами, прямолинейные траектории которых определяются тем
условием, что в некоторый (общий для всех этих систем) началь-
начальный момент времени совпадают их начала отсчета пространствен-
пространственных координат.
5.2. Если использовать геометрическую терминологию (см. При-
Приложение А), то на основании сказанного выше мы видим, что
принцип относительности определяет геометрию четырехмерного
пространственно-временного ^многообразия как псевдоевклидову
геометрию, в которой инвариантное скалярное произведение выра-
выражается формулой (А. 14), где N = 4 и k = 1 (ясно, что геометрические
соотношения будут точно такими же, если положить N — k = 1
и k = 3). Интервал ds2 интерпретируется, таким образом, как ква-
квадрат длины четырехмерного «радиуса-вектора», характеризующий
«пространственно-временное расстояние» между соответствующими
физическими событиями, не зависящее от выбора инерциальнои
системы отсчета. Коэффициенты преобразований Лоренца связаны
при этом уравнениями (А. 11), поэтому однородное преобразование
Лоренца может зависеть, вообще говоря, от шести линейно незави-
независимых параметров (а самое общее, неоднородное, преобразование
при а1' ^=0 — от десяти). Геометрический смысл этих параметров
очевиден: так как преобразование Лоренца представляет собой,
как видно из предыдущего, вращение в четырехмерном псевдоев-
псевдоевклидовом пространстве, оставляющее инвариантным интервал ds2,
то оно может быть разложено на шесть независимых вращений по
числу взаимно ортогональных плоскостей четырехмерного про-
пространства. Ясно, что совокупность преобразований Лоренца обра-
образует группу. Обычные вращения трехмерного евклидова простран-
пространства (определяемые условиями dr2 = dr'2 и dt = dt'), очевидно,
также удовлетворяют определению преобразований Лоренца; они
составляют подгруппу группы Лоренца.
Итак, если руководствоваться геометрической картиной, то
мы видим, что всякой инерциальнои системе отсчета следует со по-

§ 5] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 43
ставить некоторую систему базисных векторов et в псевдоевклидо-
псевдоевклидовом пространстве RI *) указанной выше структуры, нормирован-
нормированных так, как в уравнении (А. 13), т. е.
ео=1, ва=-1, (е,, ej) = 0Ja=l, 2, 3; i^j). E.4)
Переходу к новой инерциальной системе соответствует поворот
векторов et в пространстве RI, переводящий их в векторы е?, сопо-
сопоставленные этой новой системе, т. е. преобразование
ei. = A\*i, е1 = А\'е,> E.5)
(ср. (А.2)). При этом коэффициенты преобразования Лоренца долж-
должны быть подчинены уравнениям (А. 11)
gijAi'Ai, = gi,r или g'iAi'A'f^g1'''. E.6)
Здесь gtj = (et, ef) и gvr = (er, er), а потому g00 = 1, gaa = —1,
gij = 0(i?> /)•
Всякое преобразование Лоренца может быть разложено на не-
некоторые трехмерные вращения и преобразование, переводящее
базисные векторы е0, ег соответственно в векторы ео>, е^ и не затра-
затрагивающее остальных базисных векторов (оно называется частным
преобразованием Лоренца). Ясно, что именно последнее представ-
представляет, с нашей точки зрения, интерес, так как свойства трехмерных
вращений можно считать хорошо известными.
Мы не будем приводить доказательства этого утверждения**),
а поступим следующим образом. Ясно, что преобразование, при
котором выполняются равенства х2 = х2' их3 — х3', причем
(dx0J — (dx1J = (dx0'J — (dx1'J, сохраняет пространственно-вре-
пространственно-временной интервал и является частным преобразованием Лоренца.
Определить коэффициенты этого преобразования нетрудно. После
того как это будет сделано, мы покажем, как с помощью этих коэф-
коэффициентов выражается преобразование Лоренца общего вида.
Уравнения E.6) в указанном двумерном случае принимают форму
(Л$.J-(ЛМ=1, (Л?0«-(ЛМ = -1, АЬАЬ = А1.А[.. E.7)
Решение этих уравнений может быть выражено через параметр
Р = Al'/Al' = ЛЦ'/Л}'. В результате уравнения (А.5) для преобра-
преобразования координат приобретают вид
*) Стрелками обозначаются векторы в четырехмерном пространстве.
**) См., например, П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный ана-
анализ, Гостехиздат, 1953, § 48.

44 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
причем знаки плюс или минус можно выбирать в первых двух фор-
формулах независимо. Коэффициенты преобразования E.8) можно за-
записать в виде матрицы
у 1>Р О О"
0=
0 0 10
-0 0 0 U
E.8')
где у = A — р2)/2. Этим обозначением мы часто будем пользо-
пользоваться в дальнейшем.
Остановимся сначала на том случае, когда выбраны оба знака
плюс. Прежде всего можно определить физический смысл параме-
параметра р. Рассмотрим в системе К движение той точки, координаты
х1', х2', х3' которой в системе К' фиксированы. Записывая соотно-
соотношения между дифференциалами координат, следующие из E.8),
получим уравнения движения этой точки в системе отсчета К'
^ - _ ft ^L-О **--<)
dx° ~ p> dx<>~~v' ~dx*~~ ¦
Отсюда видно, что р = зри/с, где v —скорость точки, фиксирован-
фиксированной в системе К.' (т. е. самой системы К') относительно системы К..
Знак минус следует выбрать, если эта скорость направлена одина-
одинаково с осью х1, а знак плюс в противоположном случае. Преобразо-
Преобразования, обратные E.8), имеют совершенно аналогичный вид, с за-
заменой х° на х°', х1 — на х1', и обратно, а также р на —р.
Для движения фиксированной в системе К' точки первое из
уравнений E.8) принимает вид
dx0' = 1/Т^р2 dx?. E.9)
Смысл полученного соотношения состоит в том, что если часы,
находящиеся в этой точке в системе К.', измеряют промежуток
времени dx0', то по часам системы К. точка системы К! движется от
своего положения в системе К> соответствующего началу проме-
промежутка времени dx0', до положения, соответствующего его концу,
за время dx°. Таким образом, это соотношение выражает реляти-
релятивистский эффект замедления времени.
Пусть теперь два физических события одновременны в системе /С,
т. е. для них dxu = 0. Обозначим dx1 пространственное расстояние
между ними в этой системе (это означает, что начало и конец про-
пространственного расстояния измеряются в один и тот же момент
времени). Тогда, согласно E.8):
Wdx1', E.10)
где dx1' — расстояние между теми же событиями в системе К'-
Мы получили выражение для релятивистского эффекта сокращения
масштабов. Отсюда, а также из того, что dx2' — dx2 и dx3' — dx3,

§ 5] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 45
сразу следует правило преобразования трехмерного объема:
dV = VT^fidV. E.10')
Нужно подчеркнуть, что смысл этого соотношения состоит в сле-
следующем. Если непрерывное множество точечных физических собы-
событий, происходящих в состоянии покоя относительно системы /(',
заполняет в этой системе отсчета трехмерный объем dV, то изме-
измерения трехмерных положений этих событий, произведенные в си-
системе К в один и тот же момент времени по часам этой системы,
заполнят трехмерный объем dV.
Ясно, что оба рассмотренных эффекта являются проявлением
инвариантности пространственно-временного интервала.
Возвращаясь к исходным геометрическим соображениям, не-
нетрудно заметить, что в рассматриваемом частном (двумерном)
случае вектор е1 совпадает по направлению с вектором относи-
относительной скорости v в системе К, а вектор е^ — с вектором — v
с точки зрения системы К'. Предположим теперь, что оси еъ е2, е3
и оси ег', е2', е3' подвергнуты одинаковому трехмерному вращению
относительно рассмотренного основного положения. При этом оси
системы К' останутся параллельными осям системы К., а вектор v
будет образовывать такие же углы с осями системы К, как вектор — v
с осями системы К.'¦ Трехмерный радиус-вектор г в системе К
может быть представлен в виде суммы двух ортогональных проек-
проекций: г =г,| + >"±. где f"ii — составляющая вектора г в направле-
направлении вектора v, a rj_ — в ортогональной к вектору v двумерной
плоскости. Аналогично г' — г[\ + г']_ (по отношению к направ-
направлению вектора — v). Обозначим через vx единичный вектор в нап-
направлении v. Тогда преобразования Лоренца частного вида E.8)
можно переписать в форме
х~ х> 7 л' v ; EЛ1)
хй' — у I х° — — rv j
(в последнем соотношении учитывается, что r\\V == rv). Таким
образом,
г' = (/•?«>!) vx + r\=y [(«д vx - - х°г>] + г j. =
Г 1 1
— y\\t"au'ai x°v + г — v"O\) ®it
т. е.
E.12)

46 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
Мы получили преобразование Лоренца, связывающее между собой
инерциальные системы отсчета, пространственные оси которых
параллельны, но относительная скорость не направлена вдоль
какой-либо из осей.
Наконец, наиболее общее преобразование Лоренца соответст-
соответствует тому случаю, когда пространственные оси двух систем не па-
параллельны. Но этот случай получается из предыдущего, если под-
подвергнуть вектор г' соответствующему трехмерному вращению S (т. е.
в левой части E.12) заменить г' на Sr').
5.3. Выведем теперь релятивистскую формулу сложения ско-
скоростей. Пусть движение материальной точки (вообще говоря,
ускоренное) изучается в системах отсчета К и К'- Скорость мате-
материальной точки в системе К в некоторый момент времени по часам
этой системы равна и = dr/dt. В системе К! скорость той же ма-
материальной точки в- соответствующий (согласно преобразованию
Лоренца) момент времени будет равна и' — dr' Id?. С помощью
E.12) легко найти соотношения между dr' и dr, с одной стороны,
и между d? и dt — с другой. Образуя отношения этих дифферен-
дифференциалов, получим искомую формулу в виде
Вектор и' называется релятивистской суммой4 скоростей и и о.
Нужно иметь в виду, что результат такого сложения зависит от
того, в каком порядке складываются скорости а и v (правая часть
в E.13), вообще говоря, изменяется, при замене и на о, а о на и).
В частности, когда и и о ортогональны, то и' => — (а ± yv).
В случае же, соответствующем частному преобразованию Лоренца,
формула E.13) принимает вид
l±
При величине v, очень малой по отношению к скорости света
в вакууме с, можно положить р « 0, т. е. у ->¦ 1. В этом пределе
формулы E.12) и E.13) превращаются в преобразования Галилея
и закон сложения скоростей классической механики:
r'c^r±vt, t'~t, u'~u±v. E.14)
При v > с, т. е. при | р | > 1, коэффициенты в формулах преобразо-
преобразования E.14) становятся мнимыми. Следует считать, что это обсто-
обстоятельство свидетельствует о невозможности физического осущест-
осуществления инерциальных систем, удовлетворяющих условию v > с.
Скорость с света в вакууме оказывается, таким образом, предельной

§5] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 47
скоростью распространения физического процесса. Действительно,
всегда можно считать, что с материальным носителем этого процесса
связана некоторая система отсчета. При этом «распространением»
называется ряд последовательных состояний, находящихся друг
с другом в причинно-следственной связи. В соответствии с этим все-
всевозможные интервалы ds2, связывающие данное физическое событие
с любым другим, разделяются на три класса. Если ds2 — О, то соот-
соответствующие два события можно рассматривать как совпадающие
с началом и концом распространения светового луча (такой интер-
интервал называется поэтому световым). Если ds2 > 0, то события могут
быть связаны с помощью процесса, распространяющегося со ско-
скоростью v < с (времениподобный интервал). Наконец, при ds2 <; О
причинной связи между событиями существовать не может (про-
странственноподобный интервал). Аналогичным образом по харак-
характеру их пространственно-временной длины г2 различаются и ко-
конечные радиусы-векторы г в пространстве-времени *). Световые
интервалы, исходящие изданной точки пространства-времени, обра-
образуют световой конус. События, связанные сданным пространственно-
подобными интервалами, называются квазиодновременными с ним.
Ясно, что квазиодновременные события не могут влиять друг на
друга. Если же ds2 > 0, то при dt > 0 события принадлежат абсо-
абсолютному будущему, а при dt < 0 — абсолютному прошлому по
отношению к тому событию, которое является началом такого вре-
мениподобного интервала. Указанное разделение событий по отно-
отношению к любому из них имеет инвариантный характер, благодаря
инвариантности пространственно-временных интервалов. Легко по-
понять, что с геометрической точки зрения события, времениподоб-
ные данному, находятся внутри светового конуса с вершиной в нем,
а квазиодновременные — вне этого светового конуса.
С физической точки зрения большую важность имеют времени-
подобные кривые и пространственноподобные гиперповерхности
в пространстве-времени. Первые определяются условием ds2 > О
для любых двух точек, находящихся на такой кривой. Вторые
же — условием ds2 <; 0 для любых двух точек, принадлежащих
такой гиперповерхности. Ясно, что времениподобные кривые и
пространственноподобные (трехмерные) гиперповерхности являются
инвариантными геометрическими образами. Из предыдущих заме-
замечаний следует, что любая времениподобная кривая представляет
собой геометрическую картину возможного движения материальной
точки (такого, что скорость может быть переменной, но никогда
не достигает величины с). Пространственноподобные гиперповерх-
гиперповерхности важны тем, что на них можно произвольно задавать состоя-
состояния физических объектов, не заботясь о выполнении принципа
причинности. Важный пример пространственноподобной гиперпо-
*) Как и раньше, стрелкой обозначаются четырехмерные.векторы.

48 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
верхности, это — трехмерная гиперплоскость, определяемая урав-
уравнением t = const в некоторой системе отсчета. В дальнейшем (см.
§ 9) мы познакомимся с интегрированием по пространственноподоб-
ным гиперповерхностям. Эта операция существенна при изучении
вариационного принципа.
5.4. Времениподобная кривая, которая также часто называется
мировой линией, может быть определена с помощью уравнений
вида х' = х' (т), где т., вообще говоря, — произвольный параметр.
Удобно выбрать этот параметр пропорциональным длине дуги кри-
кривой, а именно в виде
dx = 1 ds = 1 Vc2 df - dr2 = dt УП^Т2. E-15)
Тогда он называется собственным временем движущейся материаль-
материальной точки. Естественно при этом ввести понятия четырехмерной
скорости и и четырехмерного ускорения w, которые определяются
следующим образом:
Если выбрана какая-либо инерциальная система отсчета, то компо-
компоненты этих величин можно легко выразить через* трехмерные ско-
скорость v и ускорение а:
и° = су, u« = cpaY> ' E.17J
да° = 74(И. ^a = aaY2 + PV(P«)- E.17а)
Последнее равенство легко привести также к виду
™ = Y4(« + Px[Pxa]) F.17,)
(здесь всюду используется очевидное обозначение Р s=v/c).
Из E.17J следует:
и2 а (ы0J - и2 = с2. E.18)
Отсюда
гш = 0. E.19)
Кроме того, с помощью E.172) не составляет труда вычислить:
w2 = (w0J -w2 = — f [фаJ + у~2а2]
или
w2 = — ув(а2-[Рха]2). E.20)
Таким образом, w2 < 0, т. е. да — пространственноподобный век-
вектор. Это свойство w можно вывести и из E.19), если учесть, что и —
времениподобный вектор.

§ 5] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 49
Заметим, что при действиях с векторами в псевдоевклидовом
пространстве-времени необходимо различать ковариантные и контра-
вариантные их компоненты, как об этом сказано в Приложении А
(см., в частности, формулу (А. 17)).
5.5. Остановимся теперь на выборе знаков знаменателей в на-
нашем основном преобразовании E.8). Ясно, что нашему выбору
знаков (в обоих случаях плюс) соответствует непрерывная сово-
совокупность инерциальных систем, получаемых при изменении чис-
численного параметра р. При этом определитель преобразования Ло-
Лоренца все время остается равным +1. Все инерциальные системы
такого рода называются системами с одинаковой ориентацией,
совпадающей с ориентацией исходной системы, получаемой при
р = о.
Выбор различных знаков приводит при р = 0 к следующим
возможностям:
а) хй' = х°, х1' = —х1;
б) х0' = —х\ х1' = х1;
в) х0' = — х°, х1' = —хх.
Случай а) представляет собой преобразование пространственного
отражения, случай б) — отражения времени, случай в) — про-
пространственно-временного отражения. Определитель преобразова-
преобразования в первых двух случаях равен —1, т. е. он испытывает разрыв-
разрывное изменение по сравнению со значением при отсутствии отраже-
отражений. В случае в) он равен +1, но лишь как результат двух раз-
разрывных преобразований. В каждом из указанных трех случаев
с помощью последующего непрерывного изменения параметра р
можно получить соответствующую совокупность инерциальных
систем. Заметим, что преобразование отражения в трехмерном
пространстве может быть определено также и условием хР-' =
= —Xй (а = 1, 2, 3), когда изменяется знак всех трех простран-
пространственных координат (преобразование инверсии). Однако изучение
отражений в трехмерном пространстве показывает, что при этом
мы не получаем ничего нового. Отражение же только в двух на-
направлениях не изменяет знака определителя, а потому может быть
сведено к непрерывному преобразованию вращения. Все эти сооб-
соображения легко можно распространить и на преобразования Лоренца
общего вида E.12). Первоначально сделанный выбор преобразова-
преобразований, не изменяющих ориентации, определяет группу преобразова-
преобразований, называемую обычно собственной группой Лоренца. Совокуп-
Совокупность всевозможных преобразований Лоренца (включающая ука-
указанные выше преобразования отражения а, б, в) называется полной
группой Лоренца. Итак, полная группа Лоренца распадается на
четыре связные области — четыре компоненты. Внутри каждой из
этих компонент «перечислить» содержащиеся в ней инерциальные

50 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ., 2
системы можно с помощью непрерывного изменения параметров пре-
преобразования Лоренца. Переход же от одной из этих компонент
к любой другой совершается с помощью разрывного преобразова-
преобразования отражения. Кстати, из формулы E.12) и следующего за ней
замечания легко установить физический смысл входящих в нее па-
параметров. Три из них — это компоненты относительной скорости v,
а три остальные — углы трехмерного вращения, если оно необ-
необходимо.
5.6. Часто оказывается полезным применение бесконечно малых
преобразований Лоренца. Коэффициенты таких преобразований сле-
следует записать в виде
лГ-бГ+ю^бГ+адоА E.21)
где со'7 —v 0. Подстановка E.21) в основную формулу E.6) приво-
приводит к условию
ю/чб[+ <»('$' = 0 E.22)
(при этом учитываются лишь члены, линейные относительно беско-
бесконечно малых (i>''i). Само же преобразование координат в простран-
пространстве-времени записывается с помощью E.21) в виде
У
*'' = Л <'*'«*** +«У
о'
Благодаря бесконечной малости коэффициентов со'/ и так как
в нулевом приближении х" — х':, штрихованные и нештрихованные
индексы у со./ различать не нужно. Поэтому окончательно преобра-
преобразование принимает вид
l E.23)
причем на основании E.22)
E.23')
Таким образом, тензор со(/ имеет шесть линейно независимых
компонент, определяющих бесконечно малые вращения в шести
взаимно ортогональных плоскостях четырехмерного пространства-
времени. В самом общем случае, когда нужно использовать преобра-
преобразования E.2), нужно учесть еще четыре бесконечно малые трансля-
трансляции, соответствующие входящему в E.2) вектору. При этом E.23)
принимает вид
''¦ E.24)
Не составляет труда убедиться в том, что коэффициенты соар соот-
соответствуют трехмерным вращениям.

§ 6] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 51
§ 6. Релятивистская динамика материальной точки
В предыдущем параграфе (см. стр. 46) было показано, что пре-
преобразования Галилея, представляющие собой основу классической
механики, являются предельным частным случаем преобразований
Лоренца при о <J с Отсюда ясно, что понятия классической меха-
механики нуждаются в уточнении, чтобы они стали инвариантными по
отношению к преобразованиям Лоренца. Только после этого меха-
механика будет удовлетворять принципу относительности, т. е. ее за-
законы приобретут физический смысл, не зависящий от выбора си-
системы. отсчета, в которой они записываются. Так как при малых
по сравнению со скоростью света скоростях относительного движе-
движения законы Ньютона выполняются с очень большой точностью,
необходимо потребовать, чтобы точные законы механики перехо-
переходили в законы Ньютона в этом приближении *).
Будем рассматривать мировые линии точечных частиц (см.
стр. 48). Прямолинейные мировые линии (и только они) отвечают
описанию равномерных прямолинейных движений материальных
точек. Поэтому, если материальная точка испытывает ускорение по
отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета, то ее ми-
мировая линия будет искривленной — и это свойство мировой линии
должно наблюдаться в любой инерциальной системе. Примем в ка-
качестве меры такого искривления величину четырехмерного ускоре-
ускорения в данной точке мировой линии. Тогда, по аналогии со вторым
законом Ньютона классической механики, можно определить вели-
величину четырехмерной силы F с помощью уравнения
F—mow- F.1)
При этом предполагается, что динамическое поведение материаль-
материальной точки можно охарактеризовать с помощью параметра т0,
имеющего размерность массы и инвариантного по отношению
к преобразованиям Лоренца. Кроме того, мы пока будем считать,
что т0 не зависит от собственного времени т, отсчитываемого вдоль
мировой линии. Уравнение F.1) представляет собой основной
постулат релятивистской механики, правильность которого может
быть в конечном счете установлена лишь с помощью эксперимен-
экспериментальной проверки. Пока, можно только сказать, что определение
силы F.1) инвариантно по отношению к переходу из одной инер-
инерциальной системы в другую и, по-видимому, является простейшим
обобщением второго закона Ньютона, которое обладает этим свой-
свойством.
Рассмотрим уравнение F.1) с точки зрения некоторой произ-
произвольно выбранной инерциальной системы. Четырехмерная сила F
*) Это требование обычно называют «принципом соответствия Эйнштейна».

52 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. i
определяет в этой системе четыре величины К.1 = y^F'. Простран-
Пространственные компоненты К.а имеют при этом вид
ka d
Да= т0
Мы воспользовались предположением о независимости т0 от т.,
а потому и от t, а также уравнением E.17!). Здесь
pa = mva, m = mJVl- рЧ F.3)
Но уравнение F.2) можно интерпретировать как запись второго
закона Ньютона для материальной точки с массой т0 и импульсом р,
с тем отличием от классической механики, что масса движущейся
материальной точки зависит от скорости движения по отношению
к данной системе отсчета. Величина т0, т. е. масса, измеренная
в той инерциальной системе, скорость которой в данный момент
совпадает со скоростью материальной точки (такую систему назы-
называют мгновенно сопутствующей), называется массой покоя. Зависи-
Зависимость F.3) подтверждается экспериментально.
Компонента F0 четырехмерного вектора силы также имеет физи-
физический смысл. Из соотношения E.19) совместно с уравнениями
E.17!) и определением F.1) видно, что
cK° = Kv. F.4)
Так как вектор К был интерпретирован как ньютоновская сила
(уточненная благодаря учету зависимости массы от скорости),
то из- F.4) следует, что величина сК0 должна выражать работу
силы в единицу времени. Обозначая через Ш энергию материальной
точки, мы видим с помощью F.1) и формулы E.17Х) для и0, что
^f ^ ско _ JL m<>c2
dt dt J/ТнЗг '
т. е. что с точностью до постоянного слагаемого, которое мы поло-
положим равным нулю,
ё = тос*/УГ^. F.5)
С другой стороны, если воспользоваться определением E.16) че-
четырехмерной скорости и', то ра = тоиа. Поэтому четырехмерный
вектор р с компонентами
Р1 = тои1 F.6)
называется четырехмерным импульсом. Тогда
#> = ?/с F.7)
и основное уравнение F.1) может быть переписано в виде
Fl = dpHdx. F.8)

§ 6] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 53
Из соотношения E.18) следует, что
т. е.
? = Ут1с*+рас2. F.9)
Определение энергии F.5) приводит к выводу, имеющему фун-
фундаментальное физическое значение: материальная точка в той
системе отсчета, где ее скорость обращается в нуль, обладает энер-
энергией покоя, равной
Это уравнение, установленное Эйнштейном, выражает закон взаи-
взаимосвязи массы и энергии. Заметим, что оно является непосредствен-
непосредственным следствием того, что при выводе уравнения F.5) возможное
постоянное слагаемое было положено равным нулю. Однако нену-
ненулевая добавка к энергии F.5) приводила бы к физически бессмыс-
бессмысленному результату. Действительно, предположим, что Ш1с =
= тос1У 1 — р2 + а°> где а0 — постоянная. Выражение для трех-
трехмерного импульса определено уравнением F.2) также с точностью
до некоторых постоянных аа. Итак, запишем р' = тои1 + а1.
Величины а' должны быть компонентами некоторого пространст-
пространственно-временного вектора для того, чтобы четырехмерный импульс р
представлял собой физическую величину с точки зрения принципа
относительности. Но трехмерный импульс р по своему физическому
смыслу непременно должен быть равен нулю при нулевой скорости
материальной точки, а потому величины аа должны быть равны нулю
во всех системах отсчета. Тогда и а0 = 0 во всех системах; иначе
существовали бы и такие системы, где аа =? 0.
Закон взаимосвязи массы и энергии утверждает, по сути дела,
что всякое изменение инертной массы покоя частицы сопровож-
сопровождается изменением энергии, и наоборот. Это утверждение служит
основой для интерпретации чрезвычайно обширного круга явле-
явлений, связанных, например, с превращением одних элементарных
частиц в другие. В частности, энергия электромагнитного излу-
излучения может превращаться в массу покоя таких частиц, как элек-
электрон и позитрон (или протон и антипротон). Напротив, масса покоя
одних частиц может превращаться в кинетическую энергию движе-
движения других или в энергию электромагнитного излучения.
Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, таким образом,
что массу покоя т0 в самом общем случае нужно считать зависящей
от времени. В качестве соответствующего обобщения уравнения
F.1) нужно рассматривать уравнение вида F.8), где импульс,
как и прежде, определяется соотношением F.6), в котором, однако,
т0 = т0 (т).

54 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
Чаще всего изменения массы покоя т0 могут происходить
при столкновениях частиц. В этом случае мировые траектории
частиц, вступающих в столкновение, и частиц, выходящих после
него, являются прямолинейными и образуют пучок, проходящий
через одну точку в пространстве-времени. Взаимодействие же
ограничивается весьма малой областью пространства-времени,
окружающей эту точку. Физическое событие, состоящее в столк-
столкновении частиц и в превращении одних частиц в другие в ходе
такого столкновения, должно характеризоваться выполнением
законов сохранения импульса и энергии. Более подробно это зна-
значит, что полные импульс р и энергия Ш частиц непосредственно
перед моментом столкновения (когда частицы еще не взаимодей-
взаимодействуют) должны быть соответственно равны полным импульсу р
и энергии Ш частиц, появление которых отражает результат взаи-
взаимодействия, происшедшего при столкновении. Мы' здесь можем
ограничиться предположением, что частицы полностью характери-
характеризуются значениями их масс покоя (хотя на практике необходимо
учитывать еще их спины, заряды и т. д.). Законы сохранения
энергии и импульса, упомянутые выше, объединяются благодаря
соотношениям F.6) и F.7) в единый релятивистски-инвариантный
закон сохранения энергии-импульса, записываемый в виде
р'=/>'. F.11)
Ш 1 v
Здесь р° = — — — У %[, причем N — число сталкивающихся ча-
i = 1
стиц, a %i — энергия 1-й частицы перед столкновением; р0 =
N
= -- = — 2_, ^Г' где N — число частиц, возникших после столкно-
вения, a <fz~— энергия 1-й частицы. При этом, на основании F.10):
Sl = YmoiCi+p'ic2 и аналогично %j = Vtr<ioi^JrP)c%. Столкнове-
Столкновение можно назвать упругим, если N = N и массы покоя ты
не изменяются. В противоположном случае столкновение будет
неупругим и сопровождается обменом энергии между частицами,
часть которой может превратиться в массу покоя. Пространствен-
Пространственные компоненты соотношения F.11) с помощью введенных обозна-
обозначений могут быть подробнее записаны в виде
Это уравнение выражает закон сохранения импульса.

$ 7] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 55
§ 7. Уравнения Максвелла в релятивистской форме.
Преобразования напряженностей
7.1. Приступая к применению принципа относительности в элек-
электродинамике, необходимо потребовать, чтобы физический закон
сохранения заряда приобрел инвариантный смысл, т. е. не зависел
бы от того, в какой инерциальной системе он рассматривается.
Для этого достаточно считать, что плотность заряда р и плотность
тока j связаны между собой как компоненты четырехмерного век-
вектора тока s', а именно
Cp = s°, f = sa. G.1)
Действительно, уравнение непрерывности для электрического за-
заряда A.13) при этом может быть записано в виде
= 0, G.2)
где левая часть является скаляром по отношению к преобразова-
преобразованиям Лоренца *).
Из определений G.1) видно, что уравнения Максвелла (М.1) и
(М.4) должны быть как-то объединены друг с другом, если рассма-
рассматриваются переходы между различными инерциальными системами.
С этой точки зрения мы изучим прежде всего уравнения Максвелла
в вакууме. Запись их становится наиболее простой, если восполь-
воспользоваться гауссовой системой единиц, т. е. положить а = с, е0 =
= |д,0 = 1, откуда следует, что Е = D и В = Н. Покажем, что
упомянутое объединение уравнений может быть достигнуто, если
считать, что со своей стороны скалярный потенциал <р и векторный
потенциал А представляют собой компоненты Ф( четырехмерного
вектора, а именно
Ф = —Фо, Ла = Фа. G.3)
Формулы B.1) и B.2), определяющие напряженности В и Е через
потенциалы, теперь могут быть записаны в виде
Г1к,1 ('.О)
дх1 dxk v
преобразующаяся как антисимметрический тензор второго ран-
ранга при преобразованиях Лоренца, позволяет полностью описать
Отсюда можно заключить, что величина
<ЭФ(
*) Напоминаем о необходимости здесь и в дальнейшем внимательно отно-
относиться к различию между ковариантными и контравариантными компонентами
векторов и тензоров в пространстве-времени.

56 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
электрическое и магнитное поля в любой инерциальной системе
с помощью равенств
E* = Fao, B, = F23, Вя = Ра, B3 = Flt. G.6)
Последние три определения учитывают псевдовекторный характер
магнитного поля В при отражениях в трехмерном пространстве,
являясь просто другой записью первого из уравнений G.4). Тен-
Тензор Fik называется тензором поля или тензором напряженностей.
Вводя обозначения G.6) и G.1) в уравнения Максвелла (МЛ)
и (М.4), легко видеть, что оба они могут быть записаны в форме
одного равенства
инвариантность которого по отношению к преобразованиям Ло-
Лоренца очевидна. Заметим, что из формулы (А. 19) следуют соотно-
соотношения
FaO = -Fao, F** = Fay. G.8)
Оставшиеся уравнения Максвелла (М.2) и (М.З) также прини-
принимают инвариантный вид
дх1 дх' дх» К ' '
Это проверяется непосредственным переписыванием уравнения
G.9) с подстановкой «трехмерных» обозначений G.6). Левая часть
G.9) — это тензор третьего ранга, полностью антисимметричный
по отношению к перестановкам своих индексов.
Итак, на основании постулатов G.1) и G.4) система уравнений
Максвелла в вакууме превращается в инвариантную систему G.7)
и G.9), служащую для определения тензора поля Fik. Именно вве-
введение этого тензора позволяет описывать электромагнитное поле
инвариантным образом в смысле принципа относительности. Его
компоненты могут быть физически интерпретированы по отдельно-
отдельности*-, только если выбрана система координат в четырехмерном про-
пространстве-времени, т. е. какая-либо инерциальная система отсчета.
Только в этом случае можно разделить понятия электрического и
магнитного полей. Рассмотрим подробнее, как осуществляется такое
разделение.
С помощью тензора поля Fik можно, прежде всего, построить
величины, квадратично зависящие от компонент электрического и
магнитного полей и инвариантные относительно преобразований
Лоренца. Если определить псевдотензор Ffm = 1/2?imikFik, то из
элементарных свойств тензоров (см. Приложение А) видно, что
такими инвариантными величинами будут
Il = 1ttFlkF'* = B>-Et G,10,)

§ 7] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 57
G.10,)
При этом первая из них инвариантна относительно любых преобра-
преобразований Лоренца, вторая же — только относительно преобразо-
преобразований Лоренца без отражений, а при отражениях ее знак изме-
изменяется на обратный.
7.2. Преобразования напряженностей В и Е можно найти
с помощью общего закона преобразования тензора поля
F^'^A'iAt'F1*. G.11)
При этом основную роль играет, разумеется,' та форма, которую
этот закон приобретает, когда совершается преобразование Ло-
Лоренца частного вида E.8). Воспользовавшись таблицей коэффициен-
коэффициентов E.8') этого преобразования, а также соотношениями G.6) и
G.8), нетрудно переписать уравнение G.11) в виде
Вспоминая то, что было сказано на стр. 43 о виде общего преобра-
преобразования Лоренца, можно понять, что мы получим правильный
результат для произвольного направления относительной скорости
систем отсчета, если перепишем закон преобразования G.12),
придав ему форму, инвариантную по отношению к трехмерным вра-
вращениям, с помощью трехмерных векторных обозначений. Роль на-
направлений осей х1 и хг> должны в этом случае играть направления
относительной скорости v в рассматриваемых системах отсчета.
Так как в формулах G.2) р = —vjc *), то, учитывая, что при част-
частном преобразовании Лоренца v2 = v3 = 0, мы видим:
Применив аналогичные соображения ко второй строчке G.12),
получим желаемый результат:
Y(?i+}bxB]),
Здесь значком || отмечаются составляющие векторов Е, Е', В и
в', параллельные направлению относительной скорости о, а знач-
значком j_— лежащие в ортогональной к ней плоскости. Формулы об-
обратных преобразований имеют аналогичный вид с заменой Е на
?'. В на В' и обратно, а также v на — v.
*) Если считать, что система К! движется в положительном направлении

58 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
При л^св формулах G.13) можно считать у х 1, т. е.
Е{ = Щ, E'L^E±+yVXB,
с G.13')
В[*=ВЬ B'L^BL-TvxE.
Выразив параллельные и ортогональные скорости компоненты
векторов В и ? с помощью единичного вектора vlv, получим также
G.14)
В' = у В + •—^ v (Bv) ~^~vxE.
Инварианты /х и /2 можно использовать для характеристики
различных типов электромагнитного поля. При этом инварианты,
как и само поле, являются, разумеется,-функциями от простран-
пространственных координат и времени. Поэтому и классификация полей
по значениям инвариантов может быть проведена лишь «локально».
Благодаря непрерывности функций В и Е, а значит, и инвариан-
инвариантов их свойства сохраняются в достаточно малой окрестности во-
вокруг выбранной точки пространства-времени.
Мы видим, что если /2 = 0, то это означает взаимную ортого-
ортогональность соответствующих полей В я Е во всех инерциальных
системах отсчета. При этом инвариантные типы электромагнитного
поля различаются еще по тем значениям, которые принимает другой
инвариант, /х. Пусть /х > 0, т. е. В% > Е2 во всех системах от-
отсчета. Тогда существует такая система отсчета К', в которой
Е' = 0. Действительно, из первой строчки G.13) видно, что если
в /С поля В и Е заданы и взаимно ортогональны, то можно выбрать
скорость v системы К' так, что E'L—y(EL-\—oxB)=0 и
?'[ = ?ц = 0, т. е. E_l = Е. Это будет выполнено, если абсо-
абсолютная величина Скорости такова, что vie = E/Bj_. Направление
скорости v всегда можно выбрать ортогональным вектору В. При
этом vie = EIB <; 1, т. е. такая система К' действительно суще-
существует.
Напротив, если /х <^ 0, то с помощью совершенно аналогичных
рассуждений можно убедиться, что, направляя вектор v ортого-
ортогонально плоскости, проходящей через векторы В и Е, и определяя
его абсолютную величину равенством vie = В/Е, можно ввести
такую систему отсчета К', в которой электромагнитное поле ста-
становится чисто электрическим, т. е. В' = 0. Здесь также v < с.
Из приведенных соображений видно, что если в некоторой инер-
циальной системе оказывается Е = 0 или В = 0, то во всех осталь-
остальных инерциальных системах оба поля отличны от нуля и взаимно
ортогональны, причем в первом случае всегда ?" <| В', а во вто-
втором В' < Е\

§ 7] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 59
Рассмотрим теперь такой класс полей, для которых /2 Ф 0.
Можно показать, что в этом случае всегда существует такая инер-
циальная система, в которой электрическое и магнитное поля
параллельны одно другому. Другими словами, если в некоторой
системе отсчета К. поля В и Е удовлетворяют условию BE 4= 0»
то существует и такая система отсчета /С', в которой выполняется
также и условие Е' X В' = 0.
Если уже в системе К выполняется равенство Е X В = 0,
то задача становится тривиальной. Предположим поэтому, что
? X В=^0. Тогда существует вполне определенная плоскость,
содержащая векторы В и Е. Выберем скорость v новой системы К.
в направлении, ортогональном этой плоскости. Таким выбором обес-
обеспечивается выполнение равенств Щ\= Ец = Ои В[\ = Вц = 0,
а поэтому и Е = Е±, В = Bj_, Е' = Е± и В' = fij_. Из фор-
формул преобразования G.13) и условия Е' X В' = 0 следует, что
скорость v должна при заданных В и Е удовлетворять соотно-
соотношению
? + у о X в] X [В - у о X ?] = 0.
После перемножения с учетом ортогональности векторов v и В,
а также векторов v и Е это соотношение приводится к виду
Как видно из предыдущего, вектор v может быть направлен па-
параллельно или антипараллельно вектору Е X В. Предположим
первое. Тогда, проектируя предыдущее равенство на направление
вектора v, получим квадратное уравнение для р == vie:
Такое уравнение при заданных В и Е всегда имеет два положи-
положительных корня рх и р2, причем рхр2 = 1. Отсюда следует, что один
из этих корней всегда будет меньше единицы. Выбирая абсолютное
значение скорости, соответствующее этому корню, мы вполне опре-
определим движение системы /(', в которой выполняется соотношение
Е' х В' = 0. Если теперь перейти от этой системы К' к любой
другой инерциальной системе отсчета К", скорость которой в си-
системе К' совпадает по направлению с параллельными один другому
векторами В' и Е', то из G.14) ясно, что и в такой системе отсчета
К", какова бы ни была абсолютная величина ее скорости, векторы
в" и Е" остаются параллельными один другому. Скорость и'
любой такой системы К" по отношению к исходной системе К опре-
определяется релятивистской формулой сложения взаимно ортогональ-
ортогональных скоростей системы К.' относительно К. и /(" — относительно К,'
(см. стр. 46).

60 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
7.3. Обратимся к выводу уравнений для потенциалов электро-
электромагнитного поля. Подставляя выражение G.5) тензора поля через
четырехмерный потенциал Ф, в левую часть G.9), легко убедиться,
что это релятивистское уравнение Максвелла удовлетворяется тож-
тождественно. Такой результат понятен, так как G.9) представляет
собой инвариантную запись как раз тех двух уравнений (М.2) и
(М.З), которые служат для определения связи между напряженно-
стями и потенциалами. Далее, соотношения G.3) позволяют запи-
записать в инвариантном виде условие калибровки Лоренца:
0. G.15)
Предыдущее равенство получено непосредственно из B.5). Ясно,
что условие кулоновской калибровки B.8) не имеет инвариантного
смысла. Градиентные же преобразования B.3) и B.4) принимают
вид
Таким образом, если функция ¦ф инвариантна, то градиентное пре-
преобразование не нарушает векторного характера потенциала Ф'.
Наконец, подстановка G.5) в G.7) дает, при учете G.15), уравнение
второго порядка для четырехмерного потенциала
Таким образом, задача определения электромагнитного поля сво-
сводится в этом случае к решению волнового уравнения G.16) при
заданных граничных и начальных условиях, с учетом требования
G.15). Уравнения G.16) полностью совпадают при любом выборе
инерциальной системы отсчета с полученными ранее B.6t) и B.62).
Изучим несколько подробнее также и свойства вектора тока s'.
Так как обычно можно записать j = pv, то из определения E.17Х)
четырехмерной скорости и' следует, что
s* = Po«', G.17)
где р0 — р У\ —р2. Соотношению G.17) можно удовлетворить,
только считая, что р0 — скаляр (он называется инвариантной
плотностью заряда). Смысл инвариантной плотности легко понять,
если рассмотреть заряд, заполняющий объем dV, с плотностью
р0 в той системе отсчета, где все точки объема dV покоятся. Тогда
в другой системе отсчета, относительно которой объем dV движется
с постоянной скоростью v, будет на основании E.10') выполняться
равенство р dV = podV. Другими словами, полное количество
заряда остается инвариантным по отношению к преобразованию
Лоренца.
Поставим себя теперь на место наблюдателя, находящегося
в системе отсчета К,. Так как s' — вектор в пространстве-времени,

§ 7] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 61
его компоненты преобразуются по формулам E.12) с заменой х°-
на sa = }а их0 — на s° = ср, т. е.
G.18)
В соответствии со сказанным выше мы выписали формулы преобра-
преобразования от К' к К- Отсюда видно, в частности, что плотность р'
заряда, покоящегося в системе К', определяет в системе К часть
тока проводимости, пропорциональную p'v и называемую конвек-
конвекционным током. С другой стороны, в формуле для плотности заряда
возникает релятивистская добавка -^j'v, благодаря которой даже
в том случае, когда в движущейся системе р' = 0, но j' =f= О,
наблюдатель в системе К должен заметить некоторое распределение
заряда в движущемся относительно него теле и измерить соответ-
соответствующее этому распределению электрическое поле.
7.4. Перейдем к построению релятивистской теории электро-
электромагнитного поля в материальных средах. Прежде всего запишем
основные формулы релятивистской электродинамики вакуума в меж-
международной системе единиц вместо использованной ранее гауссовой
системы. При этом возникает возможность различать векторы D
и //, с одной стороны, и векторы В и И, с другой. Эти векторы
связаны соотношениями D = е0Е и В = \ioff. В системе единиц
СИ коэффициент а в уравнениях (М) принимается равным единице.
Определение компонент тока s' остается прежним. Компоненты же
потенциала принято определять иначе. Именно, вместо G.4) введем
вектор ф; с компонентами
Фо = -уФ. Фа = Ла. G.19)
Условие Лоренца B.5) в вакууме имеет вид div A-\-eo\io~- = O,
т. е. на основании A.25) div Л+-^^ =0. Считая, что дифферен-
дифференцирование выполняется по контравариантным компонентам ха,
*°, и подставляя вместо А и ср контравариантные компоненты Ф',
соответствующие определению G.19), найдем, что условие Лоренца
примет инвариантный вид G.15) с заменой Ф' на Ф'.
Обратимся к определению тензора поля. В системе единиц СИ,
как мы видели в § 1, одинаковую размерность имеют величины сВ
и Е. Компоненты тензора
(дФк дФ

62 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
с учетом G,19) выражаются следующим образом:
Fa0 = Ea, Flt = cB, и т. д. G.21)
Формулы преобразования напряженностей G.13) и их следствия
останутся, разумеется, в силе, но в них нужно заменить В на сВ.
То же относится и к релятивистскому^уравнению Максвелла G.9).
В нем нужно лишь заменить Fik на Fik.
Для релятивистской записи уравнений Максвелла с источни-
источниками необходимо пользоваться уже не векторами В и Е, а величи-
величинами Н и D, имеющими другую размерность. Соображения § 1,
относящиеся к размерности, показывают, что в системе СИ одинако-
одинаковую размерность имеют Н и cD. При этом
?. G.22)
Из определений G.20) и G.21) следует, что величина
fi*=VbfoFi* G.23)
является тензором, причем
Ахо = сАх> /i2 = #3 и т. д. G.24)
С помощью этого тензора получим
dfik[dxk = sl. G.25)
Этим уравнением следует заменить уравнение G.7). Из G.25) с по-
помощью G.23), G.20) и G.15) можно вывести волновое уравнение
для потенциалов:
dxk dxk
Совместное рассмотрение тензора поля Рш и тензора flk, кото-
который мы назовем тензором индукций, необходимо при построении
релятивистской электродинамики для материальных сред. Такое
построение может быть осуществлено только с помощью дополни-
дополнительного постулата, характеризующего поведение полей В и Е,
а также полей И и D в материальных средах, когда совершается
переход из одной инерциальной системы в другую. Такой постулат
подлежит экспериментальной проверке. Он, в частности, должен
удовлетворять требованию, чтобы для наблюдателя, покоящегося
относительно среды, уравнения электромагнитного поля совпадали
с уравнениями Максвелла (М).
С этой точки зрения наиболее естественным представляется пред-
предположение, что векторы сВ и Е в среде описываются, так же как
в вакууме, тензором Ftk, а векторы Н и cD — тензором fik, хотя
связь между В и //, а также между D и Е уже, вообще говоря,
не сводится к простой пропорциональности. Инвариантную запись

§ 7] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 63
уравнений Максвелла составят тогда релятивистские уравнения
той же формы G.9) и G.25), что и ранее. При изучении электромаг-
электромагнитных свойств сред в релятивистском пределе они называются
уравнениями Минковского. Во избежание недоразумений нужно
подчеркнуть, что пропорциональности вида G.23) между тензорами
ftk и Ptk> вообще говоря, уже не будет и тензор fik определяется
в любой инерциальнои системе только с помощью соотношений
G.24).
Разность между тензором G.23) индукций в вакууме и тензо-
тензором ///, индукций в среде есть также тензор:
G.27)
Сравнивая определения G.21) и G.24) с определениями поляриза-
поляризации A.11) и намагниченности A.17), легко видеть, что компоненты
9Л« имеют следующий физический смысл:
а>?ао = -|Лх, a»u = M, и т. д. G.28)
Тензор Ш!к принято называть тензором моментов. С геометрической
точки зрения структура этого тензора вполне аналогична струк-
структуре исследованного ранее тензора поля Fik. В частности, закон
преобразования компонент тензора моментов при переходе к новой
инерциальнои системе может быть сразу выписан по аналогии с урав-
уравнениями G.13):
\ \ G-29)
Из G.29) вытекает важное физическое следствие. Именно, если
некоторое тело в сопутствующей ему инерциальнои системе (си-
(системе покоя) обладает электрической поляризацией, но не намаг-
намагничено, то оно оказывается намагниченным с точки зрения любой
другой инерциальнои системы. Наоборот, если тело только намаг-
намагничено в системе покоя, то в движущейся относительно него системе
оно имеет также и электрическую поляризацию. Такая «кинемати-
«кинематическая» (т. е. являющаяся следствием преобразований Лоренца)
связь между поляризацией и намагничением подтверждается экс-
экспериментально. Если Р = 0, а М Ф 0, то в нерелятивистском
пределе (у » 1) уравнения G.29) принимают вид
С
G.290
Если же, напротив, М = 0 и Р ф 0, то
M'cx-jVxP, P'o^P. G.29,).

64 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
Остановимся теперь на том важном частном случае, когда
связь между индукциями и напряженностями в той системе отсчета,
где среда неподвижна, выражается равенствами A.27). Какой вид
примет соотношение между этими величинами для движущейся
среды? Ответ на этот вопрос можно получить, если учесть, что за-
закон преобразования индукций D и //записывается в виде, вполне
аналогичном преобразованию напряжеиностей G.13):
Коэффициенты перед векторными произведениями в этих формулах
соответствуют используемой здесь системе единиц СИ; в гауссовой
системе оба они должны быть равны 1/с, как в G.13).
Пусть среда находится в состоянии покоя в системе отсчета К',
так что D' = &Е' и В' — [iH1. Воспользуемся в левой части
этих соотношений уравнениями преобразования G.30), а в правой
части — уравнениями G.13) (где, как мы уже упоминали, в исполь-
используемой системе единиц нужно заменить В на сВ). Полученный
результат имеет вид
xH
,
G.31)
Снова в отдельности для продольных и поперечных" компонент из
предыдущих формул следует
= гЕь A - ^- $Adl=е A - р») EL +(ец - 8#0) [vX Н],
G 32)
lP2y
При этом принимается во внимание, что с = (фо)
Определение в релятивистском случае для поля в среде таких
сохраняющихся величин, как энергия и импульс, далеко не три-
тривиально и требует внимательного обсуждения *). Мы ограничимся,
однако, изложенными выше формальными основами электродина-
электродинамики движущихся сред **). Они достаточны для понимания того,
какие проблемы могут возникнуть в этом случае и в чем его отличие
от релятивистской электродинамики в вакууме. С экспериментальной
точки зрения среды, движущиеся с релятивистскими скоростями,
*) См. В. Л. Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика, «Наука»
1975, гл. 12.
**) Дополнительные сведения в этом отношении см. в книгах А. Зоммер-
фельда «Электродинамика» и В. А. Угарова «Специальная теория относитель-
относительности».

§ 8J РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА 65
исследованы совершенно недостаточно, а это затрудняет физиче-
физическую интерпретацию теории. Практически важен ее нерелятивист-
нерелятивистский предел для сред, движущихся относительно наблюдателя доста-
достаточно медленно. В этом пределе (когда учитываются только члены
порядка не выше vie) возникает целый ряд интересных эффектов.
Один из них (индукция Фарадея в движущемся контуре) будет под-
подробно изучен в дальнейшем в связи с основами магнитной гидро-
гидродинамики (см. § 35). Другие эффекты (например, униполярную
индукцию) читатель может изучить по книге И. Е. Тамма «Основы
теории электричества» («Наука», 1976, гл. 8).
§ 8. Релятивистские уравнения движения заряда
8.1. Релятивистские уравнения движения заряда в заданном
электромагнитном поле должны представлять собой частный слу-
случай релятивистской механики, изложенной в § 6. Нужно лишь
установить, каким в этом случае будет выражение для силы F,
а именно, как оно связано с тензором электромагнитного поля Fim.
В § 3 было показано, что действие поля на заряды и токи выра-
выражается объемной плотностью силы Лоренца C.13). Именно это выра-
выражение для силы должно быть теперь изучено с целью получить его
релятивистское обобщение.
Построим четырехмерный вектор — s,F'ft. С помощью определений
G.1), G.6) и G.8) можно выписать компоненты этого вектора в лю-
любой инерциальной системе отсчета. Они имеют следующий вид:
(8.1)
Соотношения (8.1) показывают, что выражение —s;fft можно счи-
тать искомым релятивистским обобщением силы Лоренца. В самом
деле, его пространственные компоненты совпадают с C.13), чет-
четвертая, временная, компонента, как и должно быть в соответствии
с § 6, равна работе силы Лоренца при перемещении зарядов.
Из самой формулировки (8.1) видно, что мы получили выра-
выражение для объемной плотности силы в выбранной инерциальной
системе отсчета. Поэтому его следует приравнять производной
по собственному времени от объемной плотности импульса среды,
Движущейся под действием приложенного «внешнего» электромаг-
электромагнитного поля. Будем рассматривать «пылевидную» среду, харак-
характеризуемую тем, что частицы ее не взаимодействуют между собой,
т- е. движутся в электромагнитном поле совершенно независимо
одна от другой. Ясно, что во всяком случае объемная плотность
3 Ю. В. Новожилов, 10. А. Яппа

66 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ГГЛ. 2
импульса среды (не обязательно «пылевидной») может быть выра-
выражена в виде %оик, где к0 — инвариантная плотность массы покоя
(определяемая совершенно аналогично инвариантной плотности
заряда, см. стр. 60). При этом аналогично закону сохранения за-
заряда должен выполняться закон сохранения массй. Легко понять,
что этот закон может быть выражен в виде равенства нулю четырех-
четырехмерной дивергенции:
J*(*o«*) = O. (8.2)
Если вспомнить закон взаимосвязи массы и энергии (см. § 6), то
можно сделать вывод, что масса покоя каждого элемента среды за-
зависит от взаимодействия его со всеми другими элементами этой
среды, т.е., вообще говоря, -—¦ = -~k uk Ф 0 (здесь т — собствен-
собственное время, отсчитываемое вдоль мировой линии данного элемента
среды). В случае пылевидной материи такого взаимодействия нет,
поэтому нет и зависимости х0 от т. Таким образом, dxo/dx = 0,
откуда на основании (8.2) следует, что дик/дхк = 0.
Вспомним уравнения движения, установленные в § 6. Из при-
приведенных выше соображений мы видим, что релятивистское урав-
.нение движения бесконечно малого элемента пространственного
объема пылевидной среды может быть записано в виде
r,lk
Во втором равенстве использовано выражение G.17) для четырех-
четырехмерного тока st.
8.2. К изучению пылевидной среды мы вернемся в конце этой
главы. Здесь же рассмотрим подробнее движение точечной частицы
под действием заданного поля. Для этого следует предположить,
что инвариантные плотности заряда и массы покоя выражаются
так:
Щ = то$ (х-х(х)), po = qb(x-x (т)).
Здесь та — масса покоя, q— заряд точечной частицы. Дельта-
функция определяется равенством
8(x-x(x))=f[8(xl-xl(x)),
1 = 0
причем х1 (т) — координаты частицы, соответствующие ее положе-
положению на своей мировой линии в точке, определяемой значением т
собственного времени.
Подставляя эти формулы в уравнение движения и интегрируя
по всему пространству-времени обе стороны уравнения с исполь-

§ 8] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА 67
зованием основного свойства дельта-функции, получим равенство
duk a rik /о о\
m l"f <83)
в котором F!k зависит от т через посредство координат частицы
в пространстве-времени.
Воспользуемся в правой части (8.3) выражением G.5) для тен-
дФк дФк dxi d$>
зора поля. Благодаря равенству щ = -- = можно пе-
дхг дх1 dx dx
реписать (8.3) в форме
где
nk = mouk - ^ Фк. (8.5)
Уравнение (8.4) может быть получено с помощью вариацион-
вариационного принципа. Пусть, в соответствии с нашими исходными пред-
предположениями, в некоторой области пространства-времени можно
считать заданным четырехмерный потенциал электромагнитного
поля Ф (х). Возьмем внутри этой области две фиксированные
пространственно-временные точки хх и х2 (причем будем считать для
определенности, что х2 находится в области абсолютного будущего
по отношению к Хх). Рассмотрим всевозможные времени подобные
кривые, соединяющие точку хх с точкой х2. Вариационный принцип
утверждает, что существует функция Лагранжа X (х, и), с помощью
которой можно построить интеграл действия $= ^ ?{х, u)dx,
принимающий экстремальное~значение на мировой траектории, по
которой действительно движется частица под действием заданных
сил. Другими словами, на этой мировой траектории выполняется
условие
8$ = б \ X (х, и) dx = 0. (8.6)
Необходимым следствием выполнения такого условия экстремума
являются уравнения Эйлера — Лагранжа
dx duk ~ dxk ¦ ^•')
В интересующем нас случае точечной частицы во внешнем поле урав-
уравнения (8.7) совпадают с уравнениями движения (8.4), если выбрать
3*

68 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
функцию Лагранжа в виде
«2? = \ т0 (u"uk -c2)-j- ФЧ. (8.8)
Это проверяется непосредственно подстановкой (8.8) в (8.7) *).
Таким образом, равенство (8.8) определяет функцию Лагранжа
точечного заряда, взаимодействующего с заданным электромагнит-
электромагнитным полем.
Вариационный принцип (8.6) с функцией Лагранжа (8.8) имеет
следующие характерные черты. Прежде всего, очевидно, функция
Лагранжа и сформулированный с ее помощью вариационный прин-
принцип удовлетворяют требованию релятивистской инвариантности.
Далее, вариационный принцип применяется здесь для определения
мировой линии, заданной параметрически с помощью уравнений
xk _ xk (T)_ Так как фактически параметр выбран так, что выпол-
выполняется равенство E.18), т. е. ukuk = с2, то, когда начальный и ко-
конечный концы варьируемых траекторий фиксированы, функция
действия % зависит уже только от геометрической формы этих траек-
траекторий и не изменяется при переходе к новому параметру т', если
только этот переход достаточно непрерывен и обладает свойством
монотонности. В этом непосредственно можно убедиться, если
произвести в интеграле (8.6) с функцией Лагранжа (8.8) замену
параметра т на новый параметр т', причем d% = ~ d%' и скорость uk
нужно после такой замены определять как dxkld% .
Наконец, градиентное преобразование вида G.15') не изменяет
уравнений движения (8.4). Действительно, из (8.8) видно, что в ре-
результате такого преобразования к функции Лагранжа добавляется
производная ^- ик = ~? (если функция \р не зависит от параметра х
явно), не влияющая, как видно из (8.6), на результат исследования
условия экстремума.
8.3. Уравнения движения заряженной частицы могут быть за-
записаны и в гамилыпоновой форме. Прежде всего из сравнения (8.5)
и (8.8) видно, что
= л". (8.9)
Уравнения (8.5) можно использовать для того, чтобы выразить
компоненты скорости ии как функции от переменных хил. Гамиль-
тонова форма уравнений-движения будет получена, если считать,
что именно координатами хк и импульсами пк определяется состоя-
состояние исследуемой частицы.
Функцию Гамильтона <=%", ^аналогично тому, как это дела-
делается в классической механике материальной точки, определим
*) При этом коэффициент то/2 играет роль множителя Лагранжа, заранее
считаемого постоянным.

§ 8] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА 69
равенством
' = nkuk-X. (8.10)
Тогда
, dui д? дХ dui д? dnk
дхк dx/i дХ/, дщ дх^ дх^ dx
дХ dui dXj,
Мы получили уравнения движения в гамильтоновой форме. При
их выводе использованы уравнения движения Лагранжа (8.7)
и соотношения (8.9).
Определение (8.10) совместно с (8.8) и (8.5) приводит к сле-
следующему выражению для функции Гамильтона:
+ '-f- «••«>
Первое слагаемое в правой части этого выражения, согласно
(8.5), равно 112т0и2 = 1fitn0c2. Таким образом, на той мировой
линии частицы, которая реально осуществляется в заданном поле
потенциала Ф, т. е. на экстремали функции действия %, импульс
пк частицы должен удовлетворять соотношению
¦="- («, л;- g ~~ 2т \ ~ с I ~ 2 ° ' \v.iuf
С помощью этого соотношения можно временную компоненту я0
четырехмерного импульса я выразить как функцию четырехмер-
четырехмерного радиуса-вектора х и остальных трех компонент я06 импульса:
п° = л° (х, я). Если функцию я0 подставить в гамильтониан е%,
то уравнения (8.12) и (8.13) приводят к тождеству
<?% (я, п°(х, я), х) = т{)с2. (8-14)
Дифференцируя (8.14), получим
дхк ^ дл« дхк "• дяа ' ая» ал""" ^¦1"'
Из уравнений Гамильтона (8.11) с помощью (8.15) следует:
dxa _ дЖ" I д^Г дл° dna дла
dx0 дла ( дл° дла ' dx0' дха'
Поэтому, если выбрана какая-либо инерциальная система отсчета,
то функцию <а%" = сп° (х, я) можно назвать «трехмерным» гамиль-
гамильтонианом частицы, причем последние уравнения примут вид
dt ~ дпа ' dt ~ дха •

70 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ' . [ГЛ 2
Явное выражение для функции я%' можно найти, если переписать
равенство (8.14) в используемой инерциальной системе:
Следует при этом вспомнить формулы G.3) для потенциала и исполь-
использовать его контравариантные компоненты или же ковариантные
компоненты одновременно для я и для Ф. Отсюда
В нерелятивистском приближении, когда о<; с, т. е. (л — -- А
п \2
А)
(8.18)
В этом приближении можно пользоваться уже не преобразованиями
Лоренца, а преобразованиями Галилея. Тогда энергия и импульс
не составляют более единого четырехмерного вектора и постоян-
постоянная т0с2, т. е. энергия покоя, может быть в (8.18) отброшена. Это
условие определяет в данном случае просто выбор начала отсчета
для энергии частицы, которая приравнивается разности о%'—т0с2.
При этом из (8.18) видно, что л — — А = mov.
Так как на экстремали выполняется равенство и2 — с2, то,
обозначив —% = %-\-тосг, получим
(8.19)
В таком виде функция Лапранжа используется очень часто. При
Р <j; 1 она приближенно равна разности кинетической и потенци-
потенциальной энергий частицы (если отбросить слагаемое —т0с2).
§ 9*. Вариационный принцип для электромагнитного поля
9.1. Подобно тому как уравнения движения заряженной мате-
материальной точки во внешнем электромагнитном поле могут быть вы-
выведены из вариационного принципа, можно сформулировать и ва-
вариационный принцип, из которого будут вытекать уравнения
Максвелла. Это имеет важное значение, поскольку, с одной стороны,
многие вычислительные методы основаны на вариационных прин-
принципах, а с другой стороны, вариационный принцип электродина-
электродинамики является прототипом для всех вариационных принципов,
позволяющих устанавливать уравнения поля для микрочастиц
в современной физике.

§ 9] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 71
Применения вариационного принципа к теории электромагнит-
электромагнитного поля связаны с интегрированием в четырехмерном простран-
пространстве-времени. Рассмотрим поэтому сначала такое интегрирование
в его геометрическом аспекте. Действительно, оно может произ-
производиться по объектам различной геометрической природы: по
четырехмерному объему, по какой-либо трехмерной гиперповерх-
гиперповерхности, по двумерным поверхностям и, наконец, вдоль одномерных
кривых.
При интегрировании по четырехмерному объему бесконечно
малый элемент этого объема может быть выражен в произвольно
выбранной инерцйальной системе отсчета в виде dQ = dV dxu.
При преобразованиях Лоренца без отражений, т. е. не изменяющих
ориентации первоначально выбранной системы отсчета, этот эле-
элемент четырехмерного объема инвариантен. В самом деле, если х1' =
= А1!х1, то
dQ' = dQ d{f^Xl'i? = dQ ¦ det (Л f) = dQ.
Теперь рассмотрим трехмерную гиперповерхность 2. Элемент
объема такой гиперповерхности определится бесконечно малым
параллелепипедом, построенным на трех некомпланарных векто-
векторах dx, dy, dz, исходящих из одной и той же точки и лежащих
внутри гиперповерхности 2. По определению в качестве меры этого
объема в любой инерцйальной системе принимается антисимметри-
зованное произведение компонент dx^'dykdz!h Квадратные скобки,
поставленные при индексах, обозначают операцию антисимметри-
антисимметризации (альтернирования), а именно
dxV dyk dz11 = ~ ^ ± Р dx1 dyk &*. (9.1)
При этом какой-либо порядок значений индексов (например, рас-
расположение их в порядке возрастания) принимается за исходный;
суммирование же производится по всем возможным 3! перестанов-
перестановкам Р этих индексов. В сумме берется знак плюс в случае четной
перестановки и знак минус — в случае нечетной. Соотношением
(9.1) определяется полностью антисимметричный тензор третьего
ранга (ср. Приложение А). Удобно, однако, применять для измере-
измерения элемента трехмерного объема гиперповерхности 2 псевдовек-
*
тор п , определяемый в пространстве-времени соотношением
nmdl = етШ dxV dyk dz!l. (9.2)
Здесь етШ — единичный псевдоскаляр четырехмерного простран-
пространства-времени, введенный в уравнении (А.9), т. е. е0123 = 1, а множи-
множитель d2 (т. е. абсолютная величина элемента трехмерного объема)

72 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
*т
определяется условием птп = 1. Псевдовектор пт нормален к ги-
гиперповерхности 2 в рассматриваемой точке. Действительно, вся-
всякий вектор da, исходящий из этой точки и принадлежащий гипер-
гиперповерхности 2, может быть представлен в виде линейной комбина-
комбинации векторов dx, dy и dz: dam =• a dxm + Р dym + у dzm. Но тогда
k nm dam) dl = a dxm етШ dx^ dyk d& +... = 0.
Такое определение объема трехмерной гиперповерхности в четырех-
четырехмерном пространстве вполне аналогично определению площади
двумерной поверхности в трехмерном пространстве; как оно, на-
например, получается в соответствии с уравнением (Б.7).
Выпишем формулы для частного случая трехмерной простран-
ственноподобной гиперповерхности, определяемой в некоторой
системе отсчета уравнением х" = const. В этом случае dx4 = dy° =
= dz° ~ 0 для векторов dx, dy, dz, построенных в любой точке та-
такой гиперповерхности. Но из приведенного выше определения (9.2)
следует, что
*
яа = 0 (а= 1,2,3); nod2 = dx1 dx2dx3 = dV. (9.3)
Для гиперповерхности же общего вида выражение (9.2) приводит
к формулам
nx d2 = dx1 dx3 dx°,
n2 d2 = dx3 dx° dx1, n3 d2 = dx" dx1 dx2.
Ясно, что замкнутый четырехмерный объем Q' ограничивается
некоторой трехмерной гиперповерхностью 2. При этом в полной
аналогии с обычным выводом теоремы Гаусса — Остроградского
может быть доказано ее обобщение на этот случай в виде
а также
В дальнейшем мы не будем рассматривать операции отражения,
а поэтому не будем и проводить различия между'векторами и псев-
псевдовекторами.
Свойства интегралов по двумерным поверхностям и связь их
с интегралами по трехмерному объему не требуют дальнейших пояс-
пояснений, так как мы будем рассматривать эти операции внутри зара-
заранее выбранной из каких-либо соображений трехмерной гиперпо-
гиперповерхности, В этом случае не будет никаких дополнительных слож-

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
73
ностей по сравнению с известными теоремами, приведенными
в Приложении Б.
Наиболее важным для использования в дальнейшем будет инте-
интегрирование по четырехмерному объему, определенному следующим
образом. Возьмем две пространственноподобные гиперповерхности
И1 и 22 такие, что любая точка гиперповерхности Ех содержится
в области абсолютного будущего по отношению к некоторым точ-
точкам гиперповерхности 22 (рис. 3). Проведем интегрирование сна-
сначала по четырехмерной области,
ограниченной цилиндрической
трехмерной гиперповерхностью,
основания которой лежат. на 2Х
и 22. Часто нужен предел такого
интеграла, когда боковая поверх-
поверхность цилиндра удаляется на бес-
бесконечность в пространственно-
подобных направлениях, так что
основания его заполняют всю по-
поверхность Ei и всю поверхность
-Е2. Заметим, что к внутренней
Ъбласти такого цилиндра можно
применять теорему Остроградско-
Остроградского — Гаусса в форме (9.5) или (9.5').
9.2. После этих предварительных замечаний обратимся к сооб-
соображениям о формулировке уравнений электромагнитного поля с по-
помощью вариационного принципа.
Состояние электромагнитного поля в некоторой области про-
пространства-времени можно считать известным, если в этой области
задан четырехмерный потенциал Ф'. Определим функцию действия
поля как интеграл по рассматриваемой пространственно-временной
области от некоторой функции Лэгранжа %\
Рис. 3.
S [ф, (*')] =
Ф,
(9.6)
Здесь следует считать, что индексы i, I, m пробегают все возмож-
возможные для них значения. Это же условие нужно иметь в виду и в отно-
отношении всех прочих формул настоящего параграфа. Интеграл дей-
действия $ рассматривается как функционал, зависящий от электро-
электромагнитного потенциала Ф;, что и указано в левой части равенства.
Кроме того, он, разумеется, зависит и от вида области Q, по которой
производится интегрирование.
Основное утверждение вариационного принципа состоит в том,
что уравнения движения электромагнитного поля, т. е. уравнения
Максвелла, а также физические законы сохранения, которым это
поле подчиняется, могут быть получены в качестве необходимых
условий экстремума функционала %. Этот экстремум должен

74 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ, 2
достигаться по отношению к бесконечно малым вариациям простран-
пространственно-временных координат х' и функций Ф; (х1).
Мы будем применять вариационный принцип прежде всего
к изучению электромагнитного поля в вакууме при отсутствии
источников. Если обратиться к рис. 3, то это означает, что в слое
между 2Х и 22 существует поле, созданное источниками, действовав-
действовавшими в промежуток времени, более ранний по отношению к Е2,
причем в самом этом слое источники, по той или иной причине,
могут уже не учитываться. В конкретных формулах, относящихся
к этому случаю, мы будем использовать гауссову систему единиц.
Нашей задачей будет показать, что функция Лагранжа в формуле
(9.6) действительно может быть выбрана так, что с ее помощью
будут получены уравнения Максвелла, вид которых нам известен.
Вначале, однако, мы рассмотрим интеграл действия и условия его
экстремума в общем виде и лишь затем обратимся к конкретиза-
конкретизации полученных результатов для случая электромагнитного поля.
Предположим, что координаты х' и функции Ф? (х'), входящие
в (9.6), подвергаются преобразованию, при котором вместо х'
вводятся новые координаты х', а вместо Ф, (х') — новые функции
Ф; (х'). Определим вариации 8х' и 6Ф, (х'), которые будем считать
бесконечно малыми *), равенствами
Ф;(х0-Ф/И = бФ/М- (9.7а)
Важным примером бесконечно малой вариации координат является
формула E.24) для преобразования Лоренца. По поводу формулы
(9.72) заметим еще, что вариация функций Фг может совершаться,
вообще говоря, независимо от вариации координат, но так как
с помощью (9.7J координаты х1 можно выразить через х', то новые
функции Ф, можно всегда считать зависящими от этих последних.
Действительно, вариации Ьх1 в формуле (9.7i) нужно рассматривать
как заданные функции.
Переход от х1 к х' связан, разумеется, с изменением области
интегрирования. Новую область обозначим Q. Таким образом,
в результате вариации будет получен новый интеграл действия,
имеющий вид
§ [ф, (х-)] = J #(*', 6, (*'), %, (*')) dU. (9.8)
*) Изучение вариационного принципа проводится ниже в соответствии
с изложением в курсе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина «Вариационное исчисле-
исчисление» (Физматгиз, 1961), а также в гл. I книги Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова
«Введение в теорию квантованных полей» («Наука», 1976). Подробное вычисление
вариаций необходимо для правильной их интерпретации.

§ 9] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 75
Необходимое условие экстремума для 8 состоит в том, что если
рассмотреть разность
*[<Ь/(*')]-*[Ф/№ (9.9)
разложенную в ряд Тейлора по степеням вариаций Ьх1 и 6Ф,,
то член первого порядка в этом разложении должен обращаться
в нуль при произвольных бесконечно малых Ьх{ и 6Ф;.
9.3. Для исследования формулы (9.9) понадобится ряд допол-
дополнительных сведений о вариациях, которые мы сейчас получим.
Определим прежде всего бесконечно малую разность
Ф/(*0-Ф/(*0 = бФ/(х'I (9.10)
которую естественно назвать вариацией формы функции Ф, (х').
Из (9.72) и (9.10) видно, что
') = Ф, (*') - Ф, (*') + 6Ф, (х1)
6Ф, (х<) ^ ^- 8х! + Щ. (9.11)
дх'
бх + 6Ф, (х) ^
дх' дх'
Таким образом, полная вариация функции 6Ф, представлена
с точностью до бесконечно малых порядка выше первого в виде
суммы двух членов, первый из которых обусловлен вариацией
координат, а второй не зависит от этой вариации. В дальнейшем
знаком ~ всюду обозначаются равенства, выполняющиеся с такой
же точностью. Далее
дх" ) дх1 ~ д& дхк дХ*
дхк дхк дх1 \ ik дх" ) дх1
_а a ^ д(Ы) д 12
дх" dxk dxk gjci *¦ • >
Обозначим теперь через б(—н главную часть разности —1,>? ' ~
Lill. Можно записать:
дх'
= Л. [ф, (я*) _ Ф|
дх' дх' дх' l v ' ц
- (9ЛЗ)
В правой части (9.13) дифференцируемая функция в первом слагае-
слагаемом— величина первого порядка малости; поэтому в силу (9.12)
д/дх" можно заменить на д!дхк. Итак, первое слагаемое с точностью
до величин более высокого порядка малости может быть записано

76 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
в виде (бФ,(х*))~—гFФ;(**)). Второе слагаемое после раз
ах' дх1
ложения дифференцируемой функции в ряд Тейлора с такой же
точностью равно (—- 8х*).
F дх1 \ дх» )
Наконец,
д— _ _i_) ф/ (Х*) ~(JL--L.) Ф: (х*) ~-
Итак, окончательно
)^^бл (9Л4)
Элемент интегрирования dU в интеграле (9.8) связан, как обычно,
с dQ, соотношением
5 (х°, х1, х2, х3)
Из формулы (9.7j) видно, что
dxi . а(бх')
~гт- — o;fc i———;
dxk dxk
поэтому главная часть якобиана равна
д (.?», х\ х\ л») _ t а (бх') 915)
а (х°, х1, х2, хз) ах1' \ ¦ )
Если теперь обозначить через 8$ сумму членов в (9.9), линей-
линейных относительно дх' и 6Ф;, то с учетом (9.15) получим
J L 5х аФ, а (дФ^дхд \ ах<
Если же выразить 6Ф/ через 6Ф; с помощью (9.11), а также вос-
воспользоваться формулой (9.14), то
ах' аФ/ ах* а (аФ;/ад;() ах* ах'
Первые четыре подынтегральных слагаемых можно записать в виде
а
ах*
а пятое — в виде
_!_(—bJL—бфЛ_(_^ ^—)вф
5х* \д(дФ1/дх'<) I \dxk "/О/Тч |3 ь> '

§ 10] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 77
В результате получим
axft (^/
+ ДГдЛ
п. (9.17)
Вектор Ф; называется экстремальным вектором функционала <§,
если он является решением уравнений Эйлера — Лагранжа:
¦**=-* «—. (9 18)
дФ/ ах* d(dOi/dxk)
Предположим теперь, что по отношению к произведенной ва-
вариации координат х1 и потенциалов Ф; функция действия & инва-
инвариантна, т. е. разность (9.9) обращается в нуль. Тогда из (9.17),
(9.18) и (9.11) следует, что любой экстремальный вектор Ф, удов-
удовлетворяет также уравнению
_а_ г—dje— - х Ьхл =
дх* [а(дФ,/ах*) J
= _?_Г дЛ (&ф ^8хт\ + Х вх»] = 0. (9.19)
Это соотношение — основное при выводе законов сохранения.
§ 10*. Теорема Э. Нетер. Дифференциальные
и интегральные законы сохранения
для электромагнитного поля в релятивистской форме
10.1. Пусть бесконечно малая вариация координат предста-
представляет собой неоднородное преобразование Лоренца E.24), т. е.
6xft = g-w'co^ + cofe. A0.1)
Все параметры cofty- и сой линейно независимы между собой, функ-
функция Ф' определяется тем, что она преобразуется как вектор при
собственных преобразованиях Лоренца, при трансляциях же не
изменяется. Тогда, по самому определению вектора, при бесконечно
малых преобразованиях должно иметь место соотношение
6Ф* = ^*(о^ф/, A0.2)
аналогичное A0.1). При подстановке A0.1) и A0.2) в (9.19) коэф-
коэффициенты при каждом из параметров coy и cofe должны обращаться
в нуль независимо друг от друга.
Определим тензорные величины:
Т* dj? аФ; S у /ГЛ О\
а(аФ,/ал:*) ах™ { '
= TkmXj - TkJXm (Ю.4)

78 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
И
Тогда результат упомянутой подстановки с учетом антисиммет-
антисимметричности параметров coy выразится в виде уравнений
^^ A0.6)
0
dx*
И
Л— lufiml + Gkmj\ = ()_ A0.7)
dxk '
По причинам, которые вскоре станут понятными, Tkm называется
тензором энергии-импульса, \ikm> — тензором момента импульса,
а а1*171' — тензором спина электромагнитного поля. Точнее, эти
тензоры описывают плотности названных физических величин. Мы
видим, что выполнение равенства A0.6) следует из инвариантности
функции действия & относительно группы трансляций в простран-
пространстве-времени, а равенства A0.7) — из инвариантности относительно
группы собственных преобразований Лоренца. Совместное же вы-
выполнение обоих этих равенств является следствием инвариантности
функции действия & по отношению к неоднородной группе Ло-
Лоренца, которая включает указанные преобразования в качестве
своих подгрупп. Соотношения A0.6) и A0.7) называются дифферен-
дифференциальными законами сохранения энергии-импульса и четырехмер-
четырехмерного момента импульса. Мы доказали в нашем частном случае
так называемую первую теорему Нетер. Эта теорема утверждает,
что инвариантности функции действия относительно всякой группы
преобразований с конечным числом параметров соответствует вы-
выполнение дифференциального закона сохранения. Нужно помнить,
что таким законам сохранения удовлетворяют, как видно из выше-
вышеизложенного, только функции Ф', обладающие свойством экстре-
экстремальности, т. е. являющиеся решениями уравнений Лагранжа.
Мы видим, что дифференциальным законом сохранения для
некоторой величины называется утверждение о том, что четырех-
четырехмерная дивергенция этой величины обращается в нуль. Смысл
такой терминологии можно понять, если вспомнить формулу G.2),
выражающую закон сохранения заряда в дифференциальной форме,
т. е. уравнение непрерывности в виде равенства нулю четырехмер-
четырехмерной дивергенции вектора тока. Формулы A0.6) и A0.7) отличаются
лишь тем, что аналогичному условию подчиняются величины тен-
тензорного типа. Более конкретное их истолкование будет рассмотрено
ниже.
10.2. Перейдем к изучению некоторых важных особенностей
тензоров A0.3) — A0.5) в связи с формулировкой для них законов
сохранения.

§ 10] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 79
Пусть, прежде всего, tylkm — произвольный тензор третьего
ранга, антисимметричный по отношению к индексам k и /, т. е.
^kim __ _1|)Kmi Рассмотрим величину
A0.8)
Так как д^1кт 1дхкдх1 = 0 по предположению о свойстве антисим-
антисимметрии тензора tyklm, то Т'кт удовлетворяет закону сохранения
A0.6), если Ткт удовлетворяет этому закону. Другими словами,
форму тензора энергии-импульса можно изменить преобразованием
вида A0.8), не нарушая закона сохранения.
Рассмотрим теперь момент импульса A0.4) и вычислим его ди-
дивергенцию d\ikmJ7dxk, входящую в уравнение A0.7). Непосредст-
Непосредственно из A0.4) следует
d\ikm//dxk = T/m — Tm>, A0.9)
если только Ткт удовлетворяет уравнению A0.6). Поэтому в слу-
случае, когда Ткт — симметричный тензор, правая часть A0.9) обра-
обращается в нуль. Отсюда, принимая во внимание A0.7), получим ра-
равенства
da ??/ A0.10)
dxk дхк
Другими словами, если тензор энергии-импульса симметричен, то
момент импульса и спин поля сохраняются каждый в отдельности.
Если же тензор энергии-импульса не симметричен, то в принципе
можно попытаться использовать преобразование A0.8), подобрав
функцию tylkm так, чтобы тензор Т'кт оказался симметричным.
С помощью дифференциальных законов сохранения A0.6) и
A0.7) могут быть получены интегральные законы сохранения. Для
этого достаточно проинтегрировать равенства A0.6) и A0.7) сна-
сначала по цилиндрической четырехмерной области, изображенной
на рис. 3. Если 2 — полная поверхность, ограничивающая такую
область, то теорема Остр о градского — Гаусса вида (9.5') приводит
к равенствам
<§ Tiknk A11=0, § ([ikm> + akmi) nk d2 = 0.
± х
Устраним теперь боковую поверхность цилиндра, неограниченно
расширяя ее между фиксированными пространственноподобными
поверхностями 2Х и 22. Ограничимся исследованием таких полей,
Для которых интегралы от рассматриваемых тензоров по этой бо-
боковой поверхности обращаются в нуль при упомянутом предельном
переходе. Это означает, что поле должно достаточно быстро убы-
убывать на пространственноподобной бесконечности. Тогда интеграл
по 2 сведется к интегралам по 2Х и 2а. Как всегда, применение

ния:
80 • РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
теоремы Остроградского — Гаусса связано с выбором положитель-
*
ного направления нормали пк, например в сторону, внешнюю
по отношению к объему, по которому производится интегрирова-
интегрирование. Определив вместо этого вектор пк с положительным напра-
направлением в сторону области абсолютного будущего на обеих гипер-
гиперповерхностях, получим равенство
s, х2
и аналогичное равенство для второго интеграла. Введем определе-
* A0.12)
/ [2] = В \ ([xfrm/ + ckm>) nk dl,
где 2 — произвольная пространственноподобная гиперповерх-
гиперповерхность, а А и В — скалярные коэффициенты. Из предыдущих рас-
рассуждений следует, что если Tlk и \ikmi + okm> удовлетворяют диф-
дифференциальным законам сохранения, то Р' и Мт> не зависят от
выбора гиперповерхности 2. Это и значит, что для Р1 и Мт> вы-
выполняются интегральные законы сохранения.
10.3. Нам нужно применить изложенную общую теорию к ис-
исследованию электромагнитного поля. Ясно, что основой такого
применения является правильный выбор функции Лагранжа.
Инвариантность функции действия (9.6) по отношению к преобра-
преобразованиям Лоренца будет обеспечена, если функция Лагранжа будет
инвариантом этих преобразований, так как dQ сам по себе обладает
этим свойством (см. стр. 71). Поэтому в качестве функции Лаг-
Лагранжа следует взять инвариант преобразований Лоренца, пост-
построенный с помощью потенциалов и их производных. Из релятивист-
релятивистской теории, изложенной в § 7, видно, что непосредственное от-
отношение к описанию электромагнитного поля имеет инвариант Ilt
определенный равенством G. IOj). Выберем функцию Лагранжа X
в виде
и покажем, что такой выбор приводит к правильным с физической
точки зрения результатам. Разумеется, умножение функции Лаг-
Лагранжа на постоянный множитель, в частности изменение ее знака,
существенно не влияет на эти результаты. Удобнее всего функ-
функцию X переписать так:

§ 10] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 81
в соответствии с формулой G.5). Такая функция X обладает и
свойством градиентной инвариантности. Это очевидно, так как тен-
тензор Fik градиентно-инвариантен.
Уравнения Эйлера — Лагранжа (9.18) принимают в нашем
случае вид
= 0, . A0.15)
дх' д(дФк/дх()
я„\ 1 г AОЛ6)
дхи \ дх[ I
Благодаря градиентной инвариантности функции X можно всегда
считать, что потенциалы подчинены условию Лоренца G.15). Тогда
предыдущее равенство примет вид однородного волнового урав-
уравнения
д2Фк/дхг дх' = 0 A0.17)
для электромагнитного поля в отсутствие источников.
Перейдем к исследованию сохраняющихся величин. Прежде
всего вычислим производную дХ Id (дФ^дх). Так как в A0.14)
проведено суммирование по всем значениям индексов i и k, произ-
производная дФ^дх при фиксированных значениях / и т встретится
в этой сумме дважды: в члене F\m и в члене Fin- Поэтому
д (d$>i/dxm)
Здесь по I и по т уже не проводится суммирования. В выражение
для тензора энергии-импульса A0.3) входит, таким образом, сумма
gkkgllFni дФ,/дхт. Запишем ее в виде
ё g гы~дх^
= gkkgllFUiFml + gkkgn ~ (Fft/Om) - gMgllOm ^j- A0.18)
дх1 дх1
(суммирование только по индексу /!). Но последнее слагаемое обра-
обращается в нуль, так как gkkgH dFk[/dxl равно левой части уравне-
уравнения A0.17). Предпоследнее же слагаемое имеет вид добавки к тен-
тензору, рассмотренной в связи с преобразованием A0.8). Отбросим
его и перейдем тем самым к новому тензору Ткт, не нарушая закона
сохранения. Этот новый тензор энергии-импульса оказывается к тому
Же симметричным:
Тит = ~?llFklFmi - gkm% = ~gnFklFml + ^UgkmF^F™. A0.19)
Путем умножения обеих частей предыдущего равенства на ghk
индекс k тензора Ткт был опущен вниз. Из A0.19) следует
Fоа + V2 (В2 - Е2) = V2 (Е2 + В2). A0.20,)

82 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
Вспоминая закон сохранения энергии поля, который был сформу-
сформулирован в § 3, мы видим, что компонента 7V> имеет физический
смысл плотности энергии поля.
Так же, непосредственно из сравнения A0.19) с определениями
G.6) и формулами § 3, находим *)
Tan = Toa = -[ExB]a = ~±Sa, A0.20a)
~Та^Т§, + Т§ЫтТ1 A0.20а)
При этом были использованы определения C.6), C.9) и C.11) век-
вектора Умова — Пойнтинга S и тензора натяжений Максвелла,
который мы обозначаем здесь Т*$$ .
10.4. Теперь изучим интегральные сохраняющиеся величины
A0.12). Возьмем гиперповерхность 2 в виде гиперплоскости, опре-
определяемой условием t = const. Тогда вектор nft определяется фор-
формулой (9.3). При этом
Р°[Ъ] = А \ T°<>dV,
I A0.21)
Ра [Щ = А $ Та0 dV = сА \ Sa dV.
v ¦ v
Таким образом, если взять А = с, то временная компонента
вектора Pl [S] равна полной энергии поля, деленной на с, а его
пространственные компоненты равны соответствующим компонен-
компонентам полного импульса поля. Поэтому Р1 [S] называется вектором
энергии-импульса; для гиперповерхности S общего вида
/"[2] = 1 Jr»nftd2. A0.22)
Если, кроме того, выбрать В — с1, то на основании A0.22) и A0.4)
можно во второй формуле A0.12) **) записать:
dMmJ = — |и*т'/гА dH = x> dPm — xm dP>. A0.23)
Это равенство напоминает определение момента импульса в клас-
классической механике в виде векторного произведения радиуса-век-
радиуса-вектора на импульс.
Ввиду антисимметричности тензора Мт{, он обладает шестью
линейно независимыми компонентами. При этом, как непосредст-
непосредственно видно из формулы A0.23), пространственные компоненты
*) Правила обращения с ко- и контравариантными индексами показывают,
что Га° = -Гм, Та$ = ГаР = -Гар.
**) Учитывая лишь плотность \xkml, так как здесь выполняются равенства
A0.10).

10] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 83
могут быть в трехмерных обозначениях представлены вектор-
векторным произведением г X dP, т. е. совпадают с классическим опре-
определением плотности'момента импульса. Остальные же три компо-
компоненты записываются в виде dMoa == х% —— — ctdPa. Сравнение
с классической механикой приводит к выводу, что закон сохранения
этих трех величин представляет собой закон движения центра
инерции рассматриваемого элемента объема поля. Действительно,
dwlc1 == dm — это масса, соответствующая энергии, заключенной
в данном элементе объема. В частном случае, когда закон сохране-
сохранения величины dMOa применяется к двум бесконечно близким гипер-
гиперплоскостям t = const, получим dMoa/dt = 0, т. е. (dm) v = dP,
где хР- = dxa/dt.
Если перейти к трехмерным обозначениям, то з^акон сохране-
сохранения A0.6) для тензора энергии-импульса примет следующую форму:
ПО 24)
дхо ¦+" дх* ~и> дх<> + дха -U-
Первое из этих уравнений при учете A0.20) оказывается законом
сохранения энергии C.3): dw/dt + div S, = 0, для поля в той
области пространства, где отсутствуют источники j. Второе же
следует сравнить с законбм сохранения импульса C.13), так как
— Т0У интерпретируется в качестве плотности импульса поля.
И здесь имеет место полное совпадение.
С точки зрения упомянутой на стр. 78 теоремы Нетер получен-
полученный результат нужно интерпретировать так: если интеграл дейст-
действия поля инвариантен относительно преобразований неоднородной
группы Лоренца, то различным подгруппам, которые содержатся
в этой группе, соответствуют следующие законы сохранения: под-
подгруппе трансляций на времениподобный вектор —• закон сохране-
сохранения энергии; подгруппе трансляций в трехмерном пространстве —
закон сохранения импульса; подгруппе трехмерных вращений —
закон сохранения момента импульса; наконец, подгруппе вращений
в плоскостях вида @, а) — интеграл движения центра инерции.
Мы видели, что существует еще одна сохраняющаяся величина —
спиновый момент импульса, конкретное выражение для которого
определяется формулами A0.5) и A0.14). Физическая интерпрета-
интерпретация этой величины может быть получена с помощью квантовой
теории поля. С точки зрения этой теории электромагнитное поле
описывается как совокупность элементарных частиц — фотонов,
каждый из которых обладает собственным, присущим ему, момен-
моментом импульса — спином (помимо орбитального момента, рассмот-
рассмотренного выше). Суммарная величина спина и описывается в клас-
классическом приближении формулой A0.5) (ср. § 5 книги Н. Н. Бого-
Боголюбова и Д. В. Ширкова, цитированной на стр. 74). Напомним

84 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. 2
вновь, что, как показывает формула A0.10), спиновый и орбиталь-
орбитальный моменты импульса сохраняются каждый в отдельности. По-
Поэтому, если ограничиваться вопросами классической электродина-
электродинамики, то наличие спинового момента можно не учитывать.
Определение A0.13) функции Лагранжа, которое мы использовали, не яв-
является единственно возможным в теории электромагнитного поля. Так, например,
в качестве функции Лагранжа часто применяется выражение
2 \V / - <10-25)
где Ж определяется, как и раньше, формулой A0.13). При этом легко видеть, что
Cfttlttlgll _L_
^ ___фк^_ _ фт
дх1 ) 2 дхт \ dxk dxk j'
Так как второе слагаемое имеет вид дивергенции, в качестве функции Лагранжа
можно использовать и одно лишь первое слагаемое, не изменяя физического
содержания вариационного принципа. Определение A0.25) не обладает свойством
градиентной инвариантности. Уравнения движения при использовании этой
функции Лагранжа получаются непосредственно в виде A0.17); таким образом,
функция Лагранжа X1' включает в себя условие Лоренца. Физические величины,
получаемы* с помощью X', также не будут удовлетворять градиентной инвари-
инвариантности. Однако можно показать, что разности между ними и ранее получен-
полученными с помощью функции X градиентно-инвариантными величинами не дают
вклада в интегральные динамические характеристики поля, удовлетворяющие
законам сохранения. Мы не будем останавливаться подробнее на этом вопросе,
хотя представление функции Лагранжа в виде A0.25) оказывается удобным в кван-
квантовой электродинамике.
10.5. Перейдем теперь к формулировке вариационного принципа
для электромагнитного поля, взаимодействующего с источниками
в вакууме. Такая формулировка зависит, разумеется, от того,
какие предположения следует сделать в отношении свойств источ-
источников. В случае, когда источники распределены в пространстве
как «пылевидная» среда, рассмотренная в § 8, функцию Лагранжа
можно взять в виде
% % + O< l
где s' = рои1 — вектор тока. Вариация функции действия 6$ =
= 8^-25 (П^ может вычисляться двояким образом. Если-эту вариа-
вариацию производить, считая, что вектор и1, а значит, и ток s' не варьи-
варьируются, а изменяются потенциалы, как это было ранее при иссле-
исследовании свободного поля, то уравнения Лагранжа — Эйлера при-
принимают вид
дх'1
вместо A0.16), как это и должно быть.
Предположим теперь, что вектор Фг можно считать заданным
и не варьировать. В формуле для вариации функции действия

§ 101 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 85
интеграл можно преобразовать следующим образом:
Здесь dq = podV и dV — объем элемента среды в той системе
отсчета, где он покоится. Предположим, что варьированию подвер-
подвергаются мировые линии элементов среды с фиксированными началь-
начальными и конечными точками. Условие экстремума по отношению
к такой вариации примет вид уравнений Эйлера — Лагранжа:
dx ди' дх1
Подстановка функции Лагранжа % приводит к результату
du' , Ро d<S>1 __ 1 дФк
dx с dx с дх'
d<$' дФ1 ь du1 1 „¦,,
т. е., так как — = ——«*, то щ— = — skP .
dx dxk dx с
Фактически мы здесь повторили рассуждения § 8 при исполь-
использовании функции Лагранжа X и с учетом дополнительных условий
по отношению к способу вариации. Функция Лагранжа X может
быть применена для вывода законов сохранения системы поля и
источников. Мы не будем здесь разбирать этот вывод, так как он
не содержит ничего принципиально нового. Отметим лишь, что,
например, закон сохранения тензора энергии-импульса в этом случае
примет вид
где Т^ст = щи1ик представляет собой тензор энергии-импульса
источников, т. е. «пылевидной» материи.
Разумеется, можно рассматривать также и распределения источ-
источников, обладающие более сложными свойствами, чем «пылевидная»
среда, — например свойствами идеальной жидкости. При этом массу
покоя щ следует уже считать зависящей от собственного времени
благодаря взаимодействию между элементами среды. В дальнейшем,
однако, нам не представится случая воспользоваться этой теорией,
и поэтому мы не будем здесь на ней останавливаться *).
*) Изложение вариационного принципа при различных свойствах среды
и определение тензора энергии-импульса см. в §§ 32,46—49 книги В. А. Фока,
цитируемой на стр. 41.

Г л а в а 3
СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ- РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.
ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 11. Электростатическое поле
11.1. В § 2 было показано, что основными уравнениями, упра-
управляющими поведением электромагнитного поля в однородных изо-
изотропных средах, можно считать волновые уравнения B.6!) и B.62)
для потенциалов при лоренцевой калибровке последних. Решение
этих уравнений становится возможным, если потребовать выполне-
выполнения начальных и граничных условий, соответствующих физической
постановке задачи. Функции р {г, t) и j(r, t), определяющие
распределение в пространстве источников поля и изменение этого
распределения с течением времени, будем считать известными в той
мере, в какой это необходимо для решения.
Предположим, что j = 0, магнитное поле полностью отсутст-
отсутствует, плотность же распределения заряда р и скалярный потен-
потенциал ф не зависят от времени. Уравнение B.62) принимает при
этом вид уравнения Пуассона
АФ = -1р(г), A1.1)
которое является основным уравнением электростатического поля.
Действительно, знание функции <р (г) обеспечивает возможность
вычисления напряженности электрического поля по формуле
Е = —gradcp. . A1.2)
Напомним известные из теории уравнений математической фи-
физики факты, относящиеся к решению уравнения Пуассона A1.1).
Основную роль играет нахождение так называемого фундамен-
фундаментального решения уравнения Пуассона. Оно определяется как ре-
решение, соответствующее точечному источнику в бесконечном про-
пространстве (когда граничные условия состоят в требовании доста-
достаточно быстрого убывания решения на бесконечности). Плотность
распределения точечного источника в пространстве выражается
дельта-функцией 8 (г — г'), где г' — радиус-вектор той точки,
в которой находится источник. Другими словами, фундаментальным
решением уравнения A1.1) является частное решение / (г, /*') не-
неоднородного уравнения
А/(г, r') = —J-6(r-r'), A1.1')

<$ Tl]
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 87
удовлетворяющее требованию достаточной быстроты убывания при
\г — г' | -> оо. Можно показать, что
fir, r')=Am ' . A1.3)
г—г'
Действительно, обозначим R = г — г'. При R =^= 0 выпол-
выполняется равенство Д-=- = 0, которое легко проверить непосредствен-
непосредственным вычислением. Однако \ Ь-д-dV ФО ввиду сингулярности
подынтегральной функции при R = 0 (дифференцирование совер-
совершается по переменной г, а интегрирование — по переменной г'!).
Значение этого интеграла можно оценить с помощью следующего
(совсем нестрогого) рассуждения. Пусть интегрирование произво-
производится по трехмерному объему, содержащему точку г' = г и огра-
ограниченному замкнутой сферой о с центром в этой точке. По теореме
Остроградского — Гаусса \ S.-—dV-=^)-^--^ da. Но так как
— — = —ы-, a do = R%d?l (здесь du — элемент телесного угла
дп R К j i
на сфере), получим \ Д-^-dV" = — 4л, т. е. Д— = — 4яб (/?).
Мы не будем здесь пытаться обосновать более строго полученный
результат.
Из формулы A1.3) сразу же следует, что решение уравнения
A1.1) в бесконечном пространстве представляется в виде
Здесь и в дальнейшем мы обозначаем буквой г радиус-вектор точки
наблюдения, а буквой г' — радиус-вектор местонахождения источ-
источника *). Если применить оператор А к обеим частям равенства A1.4)
и учесть A1.Г) с использованием свойств дельта-функции, то функ-
функция A1.4) действительно оказывается решением уравнения A1.1).
Заметим, что фундаментальное решение (Н.З) симметрично:
f (г — г') = / (/"' — г), так же, как и дельта-функция. Поэтому
оно удовлетворяет и уравнению вида (И.Г) с оператором А', дей-
действующим на штрихованные переменные. Вообще, дифференциаль-
дифференциальные операции по отношению к г' обозначаются штрихом. Важно
иметь в виду, что
grad/(r-r') = — grad'/(/--г'). A1.5)
Это соотношение часто используется.
Общее решение неоднородного уравнения A1.2) можно записать
в виде
б (г, f) = f(r, r') + F(r, r'), A1.6)
*) Краткая сводка формул, выражающих простейшие свойства дельта-
ФУнкций, приведена в Приложении В.

88 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
где F — общее решение однородного уравнения A'F = 0 (здесь
и в дальнейшем нам удобно пользоваться оператором А', функции
же G и F считаются симметричными). Функция G (г, г') назы-
называется функцией Грина для уравнения Пуассона. С ее помощью
можно получить решение этого уравнения в конечном объеме про-
пространства при определенных граничных условиях на поверхно-
поверхности а, заключающей в себе данный объем. В качестве таких гранич-
граничных условий часто используются условия Дирихле, когда на. а
задаются значения потенциала ср, и условия Неймана, когда на а
считается заданной нормальная производная потенциала дц>/дп,
т. е. нормальная составляющая электрической напряженности A1.2).
Условия Дирихле и условия Неймана обеспечивают единствен-
единственность решения граничной задачи. Предположим, что найдены два
решения фх и ср2 уравнения A1.1), удовлетворяющие одним и тем
же граничным условиям на поверхности а.
Обозначим и = ф! —• ф2. Воспользуемся теперь формулой (Б.27),
полагая в ней ty = ф = и. Эта формула примет вид
^Ua'. A1.7)
Но в области V выполняется уравнение А'и = 0, на границе же a
этой области либо и = 0 (если (рг и ф2 удовлетворяют одним и тем же
условиям Дирихле), либо же ди/дп' = 0 (в случае условий Неймана).
В обоих случаях должно иметь место равенство j[ jgrad'« |2 dV' =
v
= 0, возможное, лишь если grad'« = 0 в объеме V, т. е. если и
постоянна в этом объеме. Для условий Дирихле приходим к вы-
выводу, что и = 0, т. е. фг = ф2, для условий же Неймана фх может
отличаться от ф2 на аддитивную постоянную, что несущественно.
Воспользуемся теперь в применении к нашей области V форму-
формулой Грина (Б.28), считая при этом, что ф — какое-либо решение
уравнения A1.1), а г|)— какая-либо функция Грина вида A1.6),
удовлетворяющая уравнению A1. Г). С помощью свойств дельта-
функции получим интегральное уравнение для функции ф:
Ф (г) = j р (г') G {г, г') йУ + § [С (г, г') JL - Ф (О '-%^-j da'.
(П.8)
Выбирая ту или иную функцию Грина G, можно удовлетворить
тем или иным граничным условиям. Так, если функция Грина Сд
обладает свойством Од (г, г') = 0 при г' ? а, то первое слагаемое
в интеграле по а обратится в нуль и мы получим решение, соот-
соответствующее заданию граничных условий Дирихле. Несколько
более сложно получить интегральную формулу для граничных
условий Неймана. Наконец, если положить G = /, то формула A1.8)

§ 11]
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
89
примет вид
1 Г р (г') dV
\r-r'\
ф(Г)=-
r—r'|
l Ida'. A1.9)
\r — r'\\ v
Из предыдущих рассуждений ясно, что так как задание на поверх-
поверхности о одной лишь функции ф или одной лишь производной ду/дп
однозначно определяет решение <р уравнения A1.1), равенство A1.9)
следует рассматривать как интегральное соотношение, которому
должно удовлетворять решение, соответствующее произведенному
выбору G = /.
Если заряд распределен не в трехмерном объеме, как до сих пор
предполагалось, а на двумерной поверхности а с поверхностной
плотностью к (г1), то, по аналогии с первым слагаемым в A1.9) или
с формулой A1.4) для бесконечного пространства, можно записать:
A1.10)
_J_ С К (г1) da'
~ 4яе ) \г—г'\ '
Это — так называемый потенциал простого слоя (т.- е. слоя зарядов,
нанесенного на поверхность а). Члены вида A1.10) следует доба-
добавлять в правую часть формулы A1.8) в тех случаях, когда внутри
объема V содержатся двумер-
двумерные простые слои. Вместе
с тем, по аналогии с A1.10),
первое слагаемое в поверх-
поверхностном интеграле формулы
A1.9) может быть названо по-
потенциалом простого слоя, на-
нанесенного на граничную по-
поверхность а с поверхностной
плотностью заряда, численно
равной dq/дп'. Второе слагае- 󗦦
мое в этом интеграле также до- л'
пускает физическое описание, Рис. 4.
которое мы рассмотрим позже.
11.2. Разложение потенциала по мультипольным потенциалам.
Применим формулу A1.4) для вычисления потенциала в важном
частном случае, когда весь заряд, создающий поле, находится
внутри некоторой сферы конечного радиуса R (ограниченное рас-
распределение заряда) и нас интересует потенциал вне этой сферы.
Возьмем за начало отсчета О любую точку внутри этой сферы
(удобно, однако, считать началом отсчета центр сферы) и будем
интересоваться значениями поля в точке наблюдения Р, находя-
находящейся вне сферы (рис. 4). Рассматривая величину 1/jr — г' \ как

90 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ- ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. .3
функцию компонент х'а вектора г', можно разложить ее в ряд
Тейлора около точки г' = 0:
2! дха
л!
Заметим, что принятые условия г > R, r' <^ R обеспечивают схо-
сходимость полученного ряда. Подстановка его в исходное выраже-
выражение (Н.4) приводит к бесконечному ряду для потенциала -
оо
Ф=ЦФ«, A1.12)
я = 0
причем
Член фя этого ряда называется потенциалом мультиполя порядка п,
а само разложение A1.12) носит название разложения по мулыпи-
полям.
Рассмотрим более подробно первые два члена разложения A1.12).
Прежде всего член
имеет вид потенциала точечного заряда q = ^p(r')dv', сосредо-
сосредоточенного в начале координат. Выражение ср0 может быть получено,
если в формулу A1.4) подставить р (rr) = q8 (rr).
Следующий член в векторном обозначении принимает вид
A1.13)
где вектор р определяется равенством
p = \P(r')r'dV A1.14)
и называется дипольным моментом распределения зарядов.
Выражение вида A1.13) может быть получено из общей фор-
формулы A1.4) следующим образом. Предположим, что точечный отри-
отрицательный заряд —q находится в начале координат, а точечный
положительный заряд +.<7 — в точке с радиусом-вектором /. Плот-
Плотность такого распределения зарядов представляется в виде
р (/¦').= ? [6 (г'-/)-
Считая вектор / малым по абсолютной величине, можно формально
разложить первое слагаемое в ряд Тейлора по / и ограничиться

§ И] ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 91
двумя первыми членами этого разложения, так что
p(r')c^-q(l, grad'S(r')), A1.15)
причем значение градиента берется в точке, характеризуемой
условием / = 0, т. е. в начале координат. Пусть теперь абсолютная
величина вектора / стремится к нулю, а величина заряда q —к бес-
бесконечности таким образом, что предел произведения lim pl=p
q —юэ, Z—*0
существует. Вектор р называется тогда дипольным моментом
точечного диполя (находящегося в нашем случае в начале
координат). Подставляя A1.15) после такого предельного перехода
в формулу A1.4) и пользуясь свойствами производной от дельта-
функции) (см. Приложение В), получим, с учетом соотношения A1.5),
ф(Г) =
= _ 1 с (frg-d'*^-,) 1 / d,_L
4яе J \г — г \ 4ji8 v \f — г
1 I \ 1 / 1 \
, grad-j гт ) = —7— [р, grad — . A1.16)
Сравнивая формулы A1.13) и A1.16), мы замечаем их формальную
тождественность. Таким образом, член q^ разложения потенциала
ограниченного распределения зарядов по мультиполям можно рас-
рассматривать как потенциал точечного диполя, помещенного в точке,
выбранной, как это сделано выше, за начало отсчета. Дипольный
момент этого диполя численно выражается формулой A1.14).
Заметим, что уравнением A1.14) дипольный момент опреде-
определяется неоднозначно, так как он зависит от выбора начала коор-
координат. Легко убедиться, что если перенести начало координат
в точку г0, так что г = r0 -f r", то дипольный момент сделается
равным
где q — полный заряд, заключенный внутри сферы а. Дипольный
момент не зависит от выбора начала координат только для нейт-
нейтральной в целом системы (когда q = 0). То же относится и к муль-
мультиполям высшего порядка (см. ниже). Мультиполь порядка п
определен однозначно, только если равны нулю все мультиполи
порядков ниже п.
Выражение A1.16) может быть использовано для непосредст-
непосредственного построения некоторых обобщений. Так, если считать век-
вектор р функцией пространственных координат, то можно предста-
представить себе распределение точечных диполей в пространстве или на
Двумерной поверхности. Электрические потенциалы, создаваемые
такими распределениями в точке наблюдения г, будут выражаться
формулой
^$( grad J7^rj)dVf A1.17)

92 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
в случае объемного распределения диполей. Если диполи распре-
распределены по поверхности о, то нужно лишь заменить интегрирова-
интегрирование по объему интегрированием по этой поверхности. Такая по-
поверхность с распределенными на ней диполями называется двойным
слоем. Можно заметить, что именно формальную структуру потен-
потенциала двойного слоя имеет второе слагаемое в поверхностном
интеграле, входящем в формулу A1.9). При этом нужно считать,
что диполи направлены по нормали к поверхности о и рп> {г') =
= р (/"') = —ф (г1). Таким образом, весь этот поверхностный
интеграл представляется физической картиной простого и двойного
слоев, одновременно нанесенных на поверхность а.
Напряженность электростатического поля Е, вычисляемая,
как было уже сказано выше, по формуле A1.2), может быть запи-
записана для рассмотренных выше случаев в следующем виде:
Первая из этих формул получается с помощью A1.4), вторая, опре-
определяющая напряженность поля, создаваемого точечным диполем,
получается из A1.16) с помощью (Б. 18) и, наконец, третья следует
из A1.17).
Упомянем важную теорему о том, что если плотность заряда
р (/*') является ограниченной и кусочно-непрерывной функцией
пространственных координат *), то потенциал ср (г) и напряжен-
напряженность Е (г), определяемые формулами A1.4) и (ПЛвх), будут
конечными и непрерывными функциями от г. Аналогичным свой-
свойством обладают потенциал и напряженность, создаваемые распре-
распределением диполей согласно формулам A1.17) и A1.183), причем
условие теоремы должно теперь выполняться для плотности рас-
распределения диполей р (г')- Если функция к (г'), определяющая
потенциал простого слоя в выражении A1.10), ограничена и ку-
кусочно-непрерывна на поверхности о, то этот потенциал ограничен
и непрерывен во всем пространстве, а значит, не испытывает раз-
разрыва при переходе через поверхность а. Однако напряженность
поля, создаваемого простым слоем, имеет конечный разрыв при
переходе через этот слой. Это непосредственно следует из гранич-
*) То есть существует конечное число областей, в каждой из которых функ-
функция р (г') непрерывна.

§ 11] ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 93
ных условий для уравнений Максвелла, рассмотренных в § 4.
Наконец, двойной слой обладает тем свойством, что при переходе
через него уже сам потенциал испытывает конечный скачок.
П.З. Аналогично тому, как на стр. 90 мы рассмотрели поле
двух противоположных по знаку зарядов, представим себе теперь
два точечных диполя с противоположно направленными и равными
по абсолютной величине дипольными моментами, находящиеся
в точках г' — 0 и г' — I. Подынтегральное выражение в A1.17)
может быть тогда преобразовано с помощью разложения:
р(г) Р[б(г/)б(г)]^^гб(г)|г=о.
дх р
Пусть существует предел da$~ lim p^fi, когда рассматри-
ваемые диполи помещаются в одну и ту же точку, причем
величина дипольного момента бесконечно возрастает. Тензор daV
называется квадрупольным моментом получаемого при этом рас-
распределения зарядов, которое носит название квадруполя. В этом
пределе
ж'Р v дх* \r-r'\
d d
4jte дх'$дха \r — r'\ 4л8 дхадх$ г'
Сравнение с формулой A1.12) показывает, что член разложения
потенциала по мультиполям можно рассматривать как потенциал
некоторого квадруполя. Такой процесс образования мультиполей все
более высокого порядка может быть продолжен неограниченно.
Тензор daP можно считать симметричным, так как его антисим-
антисимметричная часть все равно выпадает из рассмотрения благодаря
суммированию; другими словами, перед переходом к пределу про-
произведение ра/& может быть симметризовано. Для непрерывного
распределения зарядов нужно положить
^^4p(r')dV. A1.19!)
Рассмотрим тензор:
Qap = QPa = \ Р(Г') (&&СЭ- Aip) dV'. A1.19,)
Легко показать, что
= 1 rfgP У 11 Qgp ЭЗ 1
^2 *¦ ' 2
2 4яе ах„ Эхз г 6 4jte
Таким образом, тензор Qap можно принять в качестве определения
квадрупольного момента непрерывного распределения зарядов.

94 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ- ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
Этот тензор обладает свойством: ^]Qaa = 0, т. е. у него имеется
а
лишь пять линейно независимых компонент.
Подсчитаем в заключение силу F, с которой заданное электро-
электростатическое поле ? действует на диполь. Из предыдущего ясно, что
эта сила должна определяться выражением
= lim
если диполь находится в точке г. Производя разложение в ряд Тей-
Тейлора и вспоминая определение дипольного момента р, получим
F=(p, grad)?. A1.20)
Формула A1.20) для статического поля может быть записана
в виде F = —grad U, где
U = —pE A1.21)
— потенциальная энергия диполя в поле Е. Вращающий момент,
действующий на диполь со стороны поля Е, может быть вычислен
по формуле
N= Hm lx(qE)=pxE, A1.22)
так как равные с точностью до бесконечно малых поправок силы
+ | q ) Е и — | q ( Е, действующие на положительный и отрица-
отрицательный заряды, образуют механическую пару сил.
В дальнейшем мы еще вернемся к изучению электростатического
поля, в частности его энергетических свойств, тензора натяжений
Максвелла и т. д. (см. гл. 7).
§ 12. Магнитостатическое поле, создаваемое токами
12.1. Перейдем теперь к изучению статического магнитного
поля, источником которого является распределение токов с не за-
зависящей от времени плотностью,/ (г), рассматриваемое в некоторой
инерциальной системе отсчета. В том случае, когда среда одно-
однородна и изотропна, т. е. В = [xfi и магнитная проницаемость ц,
постоянна, основные уравнения A.19) и A.20) статического маг-
магнитного поля принимают вид
divB = 0, rote=?/ A2.1)
Векторный потенциал А при условии dA/dt = 0 (обеспечивающем
отсутствие электрического поля в данной системе отсчета) удов-
удовлетворяет в декартовых координатах уравнению .
bA=-^j. A2.2)
Заметим, что плотность заряда р считается равной нулю.

§ 12] МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ТОКАМИ 95
Решение уравнения A2.2) в неограниченном пространстве, удо-
удовлетворяющее условию достаточно быстрого убывания на беско-
бесконечности, можно построить для каждой компоненты вектора А
в отдельности точно так же, как это было сделано в предыдущем
параграфе для случая скалярного потенциала ср. Результат запи-
записывается в виде
A{r) = ~ [ J(r'\] dV. A2.3)
Вектор магнитной индукции В (г) вычисляется с помощью
формулы B.1) В — rot А. При этом дифференциальная опера-
операция rot производится по отношению к радиусу-вектору г точки
наблюдения. Применив формулу (Б.143), получим
= 4~ J gradrp^Fi-xyfrW'. A2.4)
Рассмотрим случай, когда распределение токов может быть
представлено в виде некоторого числа замкнутых линейных конту-
контуров. Элемент объема каждого из этих контуров может быть записан
в виде dV = do' ds', где da' — площадь поперечного сечения,
a ds' — элемент касательной в данной точке. Считая, что направле-
направления векторов плотности тока jn касательной s' совпадают, и опре-
определяя полную силу тока / формулой / = / da, получим полезное
для дальнейшего соотношение
j(r')dV' = Ids'. A2.5)
Из уравнения непрерывности ясно, что / = const вдоль всего кон-
контура. Учитывая это, можно выписать частный вид формулы A2.4),
определяющий напряженность В (г) магнитного поля, создавае-
создаваемую в точке г наблюдения данным замкнутым контуром:
A2.6)
Мы получили математическую формулировку закона Био — Са-
вара — Лапласа. Этот закон часто записывается в дифференциаль-
дифференциальной форме:
|r-r',3
Заменим теперь в формуле A2.7) обозначения / на Ix, ds' —
на dst иг' — на г1 и предположим, что в точке г2 существует элек-
электрический ток с плотностью у2 (/"г)- Тогда напряженность В (га)
определяет по формуле C.13) объемную плотность силы /13 (га),
Действующей на этот ток:
С".) =Л С*) х B(rz) = j^ § J, (rj

96
СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
[ГЛ. 5-
Полная же сила, действующая со стороны первого контура на вто-
второй, может быть вычислена, если проинтегрировать f12 (r2) по
всему второму контуру. Пользуясь при этом аналогичным A2.5)
соотношением j2 (r2) dVg = l2ds2, получим результат:
12 :
?i?
4л<х
1 2
A2.9)
где R12 = r2 — ri. С помощью (Б.6) интегралы, входящие в A2.9),
можно переписать в виде
sx (ds2, ^12)
Но ids,,
§§
1 2
1 2
= -T-[~\ds2, а потому первое слагаемое со-
Ki^/ «S2 \A12 ;
держит интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала
и обращается в нуль. Таким образом,
[ (ds1 ds2) = —,
A2.10)
где F21 — сила, действующая со стороны второго контура на пер-
первый и получаемая перестановкой индексов 1 и 2, с учетом того,
что Rn = — R12. Итак, силы, действую-
действующие между двумя замкнутыми конту-
контурами, удовлетворяют третьему закону
Ньютона. Из A2.10), в частности, вид-
видно, что одинаково направленные токи
притягиваются, а противоположно —
отталкиваются.
12.2. Рассмотрим достаточно малый
замкнутый контур с током (рис. 5).
Подобно тому, как это было сделано
в предыдущем выводе, для силы, действующей на элемент ds
контура, в магнитном поле запишем выражение
Рис. 5.
dFJdVxBIdsxB.
Силе dF будет соответствовать механический момент
diV = г х dF= ~r x[dr х В],
так как ds — dr. С помощью (Б.6) можно видеть, что полный
момент вращения, действующий на контур, равен

§ 12] МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ТОКАМИ 97
Если контур бесконечно мал, то второе слагаемое, на осно-
основании интегральной теоремы о среднем, преобразуется к виду
#(г„)§й(г2/2) = 0, где г0 — некоторая точка внутри контура.
Считая, что всюду внутри контура В (г) ~ В (/*0), подынтеграль-
подынтегральное выражение в первом интеграле можно, опять-таки с помощью
(Б.6), преобразовать к следующему виду:
(rB)dr^1/2[[rxdr]xB] + %d((rB)r). A2.11)
При этом учитывается, что dB — 0. Интеграл по замкнутому кон-
контуру от полного дифференциала равен нулю, и, таким образом,
получаем окончательный результат:
N = mxB, A2.12)
где величина
nda = — Sn A2.13)
ОС
называется магнитным моментом рассматриваемого малого кон-
контура с током. В формуле A2.13) п —нормаль к плоскости контура,
a da — элемент площади. Другими словами, магнитный момент
пропорционален площади, охватываемой контуром, несущим ток.
Можно сравнить выражения A2.12) и A1.22). Это сравнение
показывает, что действие магнитного поля В на элементарный кон-
контур с током, обладающий магнитным моментом т, аналогично
действию электрического поля Е на точечный диполь с дипольным
моментом р. Такая аналогия доказана нами пока лишь в отно-
отношении «пассивного» поведения токов в поле, создаваемом внешними
источниками. Однако мы сейчас покажем, что она имеет место и
для токов, когда они рассматриваются в качестве источников
магнитного поля.
12.3. Исследуем подробнее вид формулы A2.3) для того случая,
когда все токи, создающие магнитное поле, заключены внутри
ограниченного трехмерного объема. Тогда можно воспользоваться
разложением A1.11). Подставив его в A2.3), получим в векторных
обозначениях
п = 0
Рассмотрим первые два члена. Распределение токов вновь будем
считать таким, что его можно разложить на некоторое число замк-
замкнутых нитей. Так как окончательная формула может быть получена
буммированием по этим нитям, рассмотрим одну из них в отдель-
4 Ю. В. Новожилов. Ю. А. Янпа

98 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ- ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
ности. При этом первый член оказывается равным нулю, так как
[jdV = 1 §ds' = 0. Ненулевым и наиболее медленно убываю-
убывающим с расстоянием членом является второй. Подынтегральное
выражение, входящее в него, можно преобразовать с помощью
формулы, аналогичной A2.11). Нужно лишь в последней заменить г
на г', dr ~ на dr', вместо В подставить grad — , а дифференцирование
во втором слагаемом правой части применять к г', считая точку
наблюдения фиксированной, так что dfgrad—) = 0. Таким образом,
г' grad ¦}) dr' =
=--[[/¦'xdr']xgrad }] + -J-d ((r' grad I)r'). П2.15)
При интегрировании полного дифференциала по замкнутому кон-
контуру получаем нуль и, отбрасывая более быстро убывающие члены,
что можно сделать на достаточно больших расстояниях от объема,
занятого токами, приходим к формуле
ixgrad|. A2.16)
Здесь магнитный момент контура, порождающего магнитное поле,
определяется прежним выражением A2.13).
Обратимся теперь вновь к основным уравнениям A2.1) и заме-
заметим, что во всех тех точках пространства, где j = 0, выполняется
равенство rot В = 0, а также rot H = 0. Попробуем на основа-
основании этих равенств ввести скалярный магнитный потенциал г|) вместо
векторного А, которым мы до сих пор пользовались, с помощью
определения
H(r) = — grad ^р. A2.17)
Предположим для простоты, что токи, создающие поле, как и
раньше, составляют несколько замкнутых контуров. Интегральная
форма A.18) основного уравнения магнитостатики в нашем случае
может быть записана в следующем виде:
§Hds = ±I, A2.18)
где / — полный ток, протекающий сквозь контур, по которому про-
проводится интегрирование в левой части. Если теперь г|H (г) — неко-
некоторое значение магнитного потенциала, установленное при начале
обхода контура, то по завершении этого обхода и возвращении
в точку г потенциал г[з должен принимать некоторое новое значе-
значение г[з (г) такое, что
№)\=^1\ A2.19)

§ 13] ПОТЕНЦИАЛЫ ЛЬЕНАРА - ВИХЕРТА 99
этот результат можно проверить, подставив A2.17) в A2.18). Таким
образом, магнитный скалярный потенциал не может быть одно-
однозначно определен как функция от г, в отличие от электростатиче-
электростатического скалярного потенциала, так как rot Е = 0 повсюду. Нужно
подчеркнуть, что наше обсуждение относится здесь к магнитному
полю, источником которого являются электрические токи. Но маг-
магнитное поле может порождаться и постоянными магнитами, т. е.
ферромагнетиками, о чем уже упоминалось в § 1. В применении
к этому случаю понятие магнитного скалярного потенциала будет
полезным, и мы вернемся еще к его обсуждению в § 36 *). В главе 8
будут¦ рассмотрены дальнейшие вопросы, касающиеся структуры
магнитного поля токов, а также энергетические свойства магнит-
магнитного поля в различных средах.
§ 13. Решение неоднородного волнового уравнения.
Потенциалы Льенара — Вихерта
13.1. Решения уравнений Максвелла во многих важных случаях
удовлетворяют волновым уравнениям с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Так, в § 1 было получено однородное волновое уравнение A.24)
для напряженностей электромагнитного поля в вакууме при отсут-
отсутствии источников, а в § 2 выведены для этого же случая волновые
уравнения для потенциалов. Последние принимают особенно сим-
симметричный вид B.6j) и B.62), если используется лоренцева кали-
калибровка. Напомним, кстати, что в § 7 была установлена релятивист-
релятивистская инвариантность уравнений B.6) и условия Лоренца для полей
в вакууме. Свойства решений таких волновых уравнений при тех
или иных граничных и начальных условиях можно изучить на
примере волнового уравнения вида
(>-. t) = -g{r, t) A3.1)
для скалярной функции г|), считая при этом функцию g заданной.
При g = 0 мы получаем- соответствующее однородное уравне-
уравнение, сферически-симметричные решения которого, как легко про-
проверить непосредственным дифференцированием, выражаются в виде
X(r. t) = ^ + h-^-, A3.2)
где / и h — произвольные дважды дифференцируемые функции.
Решение это имеет особенность в точке г = 0. Первое слагаемое
*) Заметим здесь, что источником этого потенциала является распределение
магнитных диполей. При этом магнитный диполь, в отличие от электрического,
не имеет смысла представлять в виде пары положительного и отрицательного
3аРядов. Магнитные заряды сами по себе не существуют. Важно лишь то, что
простейшие (в идеале — точечные) источники магнитного поля обладают ориен-
ориентацией, которая и характеризуется направлением их магнитных моментов.
4*

100 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ 3
описывает волны, расходящиеся из этой точки, второе же — волны,
сходящиеся в нее. Роль решения A3.2) по отношению к уравнению
A3.1) аналогична роли, которую играет функция MR в уравнении
Цуассона, изучение которого содержится в § 11.
Рассмотрим область V трехмерного пространства, ограниченную
поверхностью а, и попытаемся определить решение уравнения A3.1)
в «точке наблюдения» г' = 0, находящейся внутри области V,
в момент времени f = 0. Воспользуемся для этой цели формулой
Грина (Б.28), считая, что входящая в нее функция г|) удовлетворяет
уравнению A3.1), а функция ср является решением однородного
волнового уравнения. Эти условия приводят к соотношению
Проинтегрируем обе части равенства A3.3) по времени. Пределы
интегрирования t[ и t't выберем при этом так, чтобы на всей гра-
граничной поверхности а выполнялись неравенства
'i' + y<0, 4 + г->0. A3.4)
Предполагая, что поверхность а расположена на конечном расстоя-
расстоянии от точки наблюдения, условию A3.4) можно всегда удовлетво-
~ , Э2ш д2у> д I, Эш ftp \
рить. Так как 1|з^-ф^ = — (г|5^-ф^1, получаем равенство
С физической точки зрения понятно, что в качестве функции ср
нужно взять то решение однородного волнового уравнения, которое
описывает волны, сходящиеся в точку наблюдения г' = 0. Кроме
того, будем считать, что эти волны представляют собой «мгновен-
«мгновенные импульсы», т. е. положим h (t' -f- r' Iс) = S (f + г' /с). Наконец,
так как выбранная функция сингулярна в точке г' = 0, окружим
эту точку сферой alt радиус которой следует впоследствии устре-
устремить к нулю. Благодаря условию A3.4) дельта-функция обращается
в нуль на пределах интегрирования. Поэтому в левой части второе

§ 13] ПОТЕНЦИАЛЫ ЛЬЕНАРА - ВИХЕРТА 101
слагаемое исчезает. В результате
A3.5)
Здесь использовано определение д/дп' = (я', grad'). Нужно иметь
в виду, что поверхностный интеграл в правой части состоит из двух
слагаемых: из интеграла по прежней («внешней») граничной по-
поверхности и интеграла по сфере alt введенной выше. Далее,
При этом
' = -r'lc
Используя свойства дельта-функции и в остальных слагаемых,
результат для внешней границы можно записать в следующем виде:
гр grad'l-^^ grad'г'-igrad'Tp, я') |<#=_г7с da'. A3.6)
¦ Перейдем к интегралу по внутренней сфере. При этом будем
искать решение гр в классе таких функций, которые вместе со своими
производными регулярны в точке наблюдения /¦' = 0. Так как
do' — г'2 dQ!, где dQ' — элемент телесного угла, то оценка интег-
интеграла вида A3.5) при г' -*¦ 0 с помощью теоремы о среднем показы-
показывает, что в нем остается конечным лишь первое слагаемое. Нужно
учесть при этом, что направление положительной нормали п'
к внутренней сфере ох прямо противоположно направлению век-
вектора г' (рис. 6). Поэтому
у, п'\ do' = & tJ> -^
г
'2
A3.7)

102
СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
?ГЛ. 3
Собирая результаты A3.5), A3.6) и A3.7), получим
Ясно, что эта формула останется справедливой, если заменить t'
на t' — t и г' — на R = г — г' при единственном условии:
? — t + | г — г' | /с = 0.
Это означает, что наблюдение проводится в точке с координа-
координатами г и в момент времени t. Окончательно:
+ ОО
где интеграл по внешней границе рассматриваемой области
называется интегралом Кирхгофа *). Мы обратимся к более подроб-
подробному рассмотрению его в § 20 в связи с теорией дифракции электро-
g магнитных волн. Пока же предположим,
что поверхность ст расширяется на бесконеч-
бесконечность и что при этом выполняется условие
/к -> 0. Это условие выделяет класс таких
решений т\>, которые достаточно быстро
убывают на бесконечности. В этом случае
решение может быть записано в виде
— Г' \ f =*t-
Рис 6. A3.10)
В дальнейшем всюду в этой главе мы будем считать, что /к = 0.
В частности, для электромагнитных потенциалов в декартовых коор-
координатах
A3.11,)
-со
-(-со
S
V
, о.
5
— со V
Такие потенциалы называются запаздывающими.
*) При этом мы для простоты обозначений устремили t[ к —°°, а
что, как видно из предыдущего, не влияет на результат.
— к +°°,

§ 13] ПОТЕНЦИАЛЫ ЛЬЕНАРА - ВИХЕРТА ЮЗ
13.2. Физический смысл формул A3.11) совершенно очевиден.
Потенциал, наблюдаемый в точке г в момент времени t, предста-
представляет собой суммарный эффект мгновенных импульсов, успеваю-
успевающих к этому времени с конечной скоростью с распространения дойти
от источников до точки наблюдения. Ясно, что решение для произ-
произвольной однородной изотропной среды получится просто заменой с
на скорость v распространения электромагнитных импульсов в этой
среде. Имея это в виду, мы будем в дальнейшей части этого пара-
параграфа выписывать формулы для случая вакуума, используя при
этом гауссову систему единиц.
Если применить оператор А —-г-^ к обеим частям формулы
A3.8), то получим необходимое следствие того факта, что эта фор-
формула выражает решение уравнения A3.1) (в бесконечном простран-
пространстве, так как /к = 0):
(r-r', t-t') = — b(r'-r)b(t'-t). A3.12)
Функция G имеет вид
G(r-r', г-Г) = Ь{г'~г+}г_-г'\1с). A3.12')
Она называется фундаментальным решением неоднородного вол-
волнового уравнения. Отсюда можно видеть, что формула A3.8) запи-
записывается также следующим образом:
я|>(г, 0= \ dt'\dV'G(r-r', t-t')g(r', t'). A3.13)
— со V
При этом фундаментальное решение A3.12') обеспечивает выполне-
выполнение условия причинности, совпадающего с рассмотренным выше
условием запаздывания.
Функция A3.12') релятивистски-инвариантна. Действительно,
формула (В.7) показывает, что при любом фиксированном \ г — г' \
П.
но вместе с тем при интегрировании по dV должно быть \г — г' \ =
= —с (f — t) в силу свойств дельта-функции. Поэтому можно
записать также:
t >f
где dQ' = dt'dV — элемент четырехмерного объема в простран-
пространстве Минковского. Интегрирование производится по той половине

104 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
светового конуса j г — г' |2 — с2 (/ — t'J, имеющего вершину
в точке наблюдения, которая направлена в прошлое (f <^ t). С уче-
учетом релятивистских обозначений для тока G.1) и потенциалов G.3),
формулы A3.11) также принимают явно инвариантный вид:
I dQ'fi(|«a)s'(r', Г). A3.14)
Здесь /? — четырехмерный вектор в пространстве-времени с ком-
компонентами R0 = с (t — t') и Ra = f- —r'a.
Заметим, что использование при решении волнового уравнения
сбоих слагаемых формулы A3.2) (а не только второго из них, как
это было сделано выше) с дельтообразными функциями h и / при-
привело бы, как легко в этом убедиться, просмотрев еще раз ход ре-
решения., к представлению потенциалов в бесконечном пространстве
в виде суммы рассмотренных выше запаздывающих выражений
с опережающими, для которых должно выполняться противополож-
противоположное условие t — V — \ г — /•'' | /с, и которые, таким образом, не
удовлетворяют условию причинности. В четырёхмерной записи
A3.14) этому соответствует интегрирование по всему световому
конусу с вершиной в точке наблюдения ct, r, т. е. отказ от усло-
условия t > t'.
13.3. Важный частный случай полученного решения A3.11)
для потенциалов имеет место тогда, когда источником электромаг-
электромагнитного поля является единственный точечный заряд. При этом
удобнее всего использовать формулы A3.11), включающие дельта-
функцию; Предположим, что уравнение движения заряда г' =
= г' (f) известно. Плотность заряда выражается в виде р (г', t') =
= с/5 (/•' — г' (t1)), а электрический ток, соответствующий дви-
движению заряда в пространстве, равен,/(г', t') — pv. Скорость v
также можно считать известной функцией от t'. Таким образом,
ф(г, *) = ? j лф
— со
\r-r'(V)\ ¦ <13-15)
— CO
Формула для А отличается лишь присутствием множителя |i =
= — v(t') под интегралом.
Дельта-функция зависит здесь от аргумента Т = f — t -f-
+ — \r'(t') — r\, переменной же интегрирования является /'.
Для вычисления интеграла следует использовать формулу (В.8).
При этом
l-p«, A3.16)

§ 13] , ПОТЕНЦИАЛЫ ЛЬЕНАРА - ВИХЕРТА ' 105
где и = R/R, R = г — r'(t) и |i = о/с = dr'/c dt'. Таким
образом,
Совершенно аналогичное вычисление приводит к результату:
Вводя, как в формуле A3.14), четырехмерный вектор R, лежа-
лежащий на световом конусе в прошлом (для которого R° = \ R |),
легко убедиться в том, что выражения A3.17) и A3.18) записы-
записываются релятивистски-инвариантным образом:
«- A3Л9)
Потенциалы A3.17) и A3.18) точечного источника называются
потенциалами Льенара — Вихерта. С их помощью можно вычислить
напряженности поля, создаваемого таким источником, что и будет
сделано в следующем параграфе.
13.4. Напомним еще раз, что волновое уравнение принимает
одинаковый для всех декартовых компонент четырехмерного потен-
потенциала явно релятивистски-инвариантный вид A3.1) лишь при
использовании лоренцевской калибровки. В кулоновской калиб-
калибровке (см. § 2) уравнения для потенциалов имеют форму B.9).
Уравнение B.92) для скалярного потенциала представляет собой
уравнение Пуассона и решение его может быть записано в виде A1.4)
Обращаем внимание на то, что A3.20) описывает мгновенное дей-
действие источника, так как аргумент t должен быть одинаковым
в обеих частях равенства. Кроме того, теперь можно считать член
— grad -У в уравнении B.9Х) для векторного потенциала известной
функцией от координат и времени.
С помощью уравнения непрерывности A.13) можно записать:
^^. A3.2.)
С другой стороны, выражение для J может быть записано в виде
J=Jt+Jl, A3.22)
где, по определению,

106 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
Ясно, что rot jL = 0. Кроме того,
(div' / с
4л|г_г>.- dV = div j- J div'/S (r -r') dF=0.
Этот результат получен с использованием A1.Г) и A1.3). Формула
A3.22) представляет разложение тока Уна «поперечную» часть jT
и «продольную» jr Подставляя это разложение в правую часть
уравнения B.92) и учитывая, что в силу A3.21) и A3.23) jL —
= grad ~, получим
(S)=~U- 03-24)
Решение же этого последнего уравнения выражается формулой
A3.112), если заменить в ней у на поперечную часть тока jr
Использование кулоновской калибровки не изменяет физиче-
физического смысла решений уравнений Максвелла, хотя и не обладает
явной релятивистской инвариантностью. Если, например, источник
электромагнитного поля находится в той же системе отсчета, что
и наблюдатель, то исследование этого поля с помощью кулоновской
калибровки часто упрощается.
§ 14. Напряженности поля точечного заряда.
Поле излучения. Равномерно
и прямолинейно движущийся заряд
14.1. Напряженности поля произвольно движущегося точеч-
точечного заряда могут быть вычислены по формулам B.1) и B.2), если ф
и А представляют собой потенциалы Льенара — Вихерта, опре-
определенные выражениями A3.17) и A3.18). Содержащаяся в этих
формулах дельта-функция облегчает учет условия запаздывания.
Производя под знаком интеграла дифференцирования по времени t
и координатам г наблюдения, заметим прежде всего, что
"^ с
Здесь, как и в § 13, /? = г — г' (f), grad = д/дг, Т = Г — t +
-f Rlc. Далее
1 дЛ _ Iэр &L L Is
с dt ~ с дТ dt ~ с df
, б (Г) 1 s .„, . 1 d8 (Г)

$ 141 НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА Ю7
Таким образом, получим
С помощью формул (В.З) и (В.8), а также обозначения A3.16)
для производной можно записать следующие выражения для интег-
интегралов:
Г ихР d&(T) ,,, = _ _d_ ГихР] = _ L А Г^2?Ё 1
J R dT йг[ х? |г = о "и d/'[ «Л Jr=o"
Условие Т = 0 есть просто условие запаздывания. В результате
A4.1) преобразуется к виду
Остается произвести в полученных формулах дифференцирова-
дифференцирование по времени V. Эта операция будет в дальнейшем обозначаться
точкой. Запишем:
i _ их[яхР]
Здесь использована формула (Б .6) с учетом того, что я2 = 1.
Выполняя теперь дифференцирование, можно сначала получить
равенства
Л— Г и « d I ' \ Р LA/JM]
, Г] - q | х2;?2 -(- сх dp \^Rj 2^2 \yJ
откуда видно, что
В = пхЕ. A4.3)
Доведя до конца дифференцирование, указанное в формуле для Е,
получим после громоздкого, но элементарного приведения подоб-
подобных членов
. д ях[(я-р)хр]
A4.4)
Первое слагаемое зависит только от скорости источника и убывает
при увеличении расстояния от него пропорционально R'2; второе

108 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ 3
же объединяет все члены, зависящие от ускорения |i, и убывает
пропорционально R'1. Обозначим первое слагаемое Еа, а вто-
второе Еп). Аналогичным образом может быть разделен на две части
вектор В, определяемый формулой (Н'.З).
14.2. Рассмотрим поток энергии через двумерную сферу R (f) —
= const (при некотором фиксированном t'), который вычисляется
с помощью C.6) и C.4). Так как элемент поверхности этой сферы
имеет вид R2dQ, где dQ — элемент телесного угла, а произведение
ЕхВ, определяющее плотность потока энергии, содержит, как
видно из A4.3) и A4.4), члены, пропорциональные R'2, R~s и /?~4,
то при достаточно больших значениях R только первые из них
могут давать ненулевой вклад в полный поток энергии, проходя-
проходящий через сферу. Но это именно те члены, которые определяются
векторным произведением ?A)хВA). Итак, наблюдатель, нахо-
находящийся достаточно далеко от излучающего заряда, заметит поток
энергии, определяемый только векторами ?A) и ВA). Поэтому ?A)
и В'1' = п х ?'х) называются полями излучения. Более быстро
убывающие с расстоянием поля Е° и В0 можно назвать квазиста-
квазистационарными. Отметим, что из A4.4) следует:
т пЕ^ = 0. A4.5)
Поэтому часть вектора S, определяющая на
больших расстояниях от заряда поток энер-
., гии, после применения (Б.6) выражается
п в виде
S = c[BVx[nxEW]] = cn\EW\2. A4.6)
С другой стороны, с помощью A4.5) и (Б.6)
Рис7. ?<1) = В<1)Хя. A4.7)
Во всех приводимых формулах необходимо иметь в виду условие
запаздывания. Равенства A4.3) и A4.7) показывают, что векторы п,
?A) и ВA), взятые в момент времени f в точке R (f), образуют
ортогональную тройку векторов (рис. 7). При этом вектор п, как
видно из A4.6), определяет направление распространения энергии
излучения. Таким образом, поле излучения является поперечным
(по отношению к п). Далее, из A4.3) или A4.7) следует, что
A4.8)
Поэтому выражение A4.6) для потока энергии можно использовать
также в виде
5 = ся|ВA)|2 = ся-1/2((?<1)|2 + |ВA)|2) = с«ш<1', A4.9)
где шA) — плотность энергии поля излучения в данной точке,
согласно C.5). Итак, явление излучения состоит в переносе энер-
энергии w{l) со скоростью с (мы рассматриваем излучение в вакууме).

§ 14] ' НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА 109
С точки зрения релятивистского описания электромагнитного
поля соотношение A4.3) приводит к тому, что оба инварианта G.10)
для поля излучения обращаются в нуль. Отсюда видно, что попереч-
ность поля" излучения и равенство A4.8) являются релятивистски-
инвариантными свойствами этого поля, т. е. имеют место в любой
инерциалыюй системе отсчета.
Мы еще вернемся в дальнейшем к более детальному рассмотре-
рассмотрению свойств излучения.
14.3. Изучим сейчас подробнее тот случай, когда р = 0 и
поэтому поля Е и В целиком сводятся к их квазистационарным
составляющим Е° и В0. Вплоть до конца настоящего параграфа
мы не будем выписывать индекс 0, имея в виду только эти соста-
составляющие. Итак, формулами
г=о
A4.10)
определяется электромагнитное поле точечного заряда, движущегося
равномерно и прямолинейно относительно наблюдателя. Эти фор-
формулы сравним с результатом релятивистских преобразований G.13)
электромагнитного поля. _
Прежде всего, в той системе отсчета (обозначим ее К), где заряд
покоится, т. е. при условии Р = 0, получим
Е(г, 9 = ?!р=о = 4§». В = В!р=0 = 0. A4.11)
Как и следовало ожидать, это — обычное выражение для электро-
электростатического поля точечного заряда (ср. § 11). Условия запаздыва-
запаздывания Т = 0 здесь учитывать не нужно просто потому, что R в дан-
данном случае не зависит от времени.
Если в системе отсчета, движущейся равномерно и прямоли-
прямолинейно вместе с точечным зарядом, поле, создаваемое им, опреде-
определяется формулами A4.11), то поле, наблюдаемое в любой другой
инерциальной системе отсчета, может быть получено с помощью
преобразований Лоренца G.13) для напряженностей. При этом
нужно иметь в виду, что вектор R, входящий в A4.11), следует
интерпретировать как расстояние между положениями заряда и
точки наблюдения, одновременными по отношению к системе от-
отсчета, связанной с зарядом. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
введем для него новое обозначение R и перепишем формулу A4.11)
в виде
i B=0, A4.11')
так как п = R /R. Рассмотрим теперь электрическое поле Е
в системе отсчета К наблюдателя, по отношению к которой заряд

40 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ \ГЛ. 3
движется со скоростью о. Непосредственное применение формул,
обратных G.13), дает результат:
если обозначить R радиус-вектор, соединяющий положения заряда
и наблюдателя, одновременные по отношению к системе отсчета /•(*).
Действительно, формулы /?ц = уЯц и R± = R^, использован-
использованные для вывода A4.12), выражают эффект сокращения движуще-
движущегося масштаба, рассмотренный в § 5.
Совпадение формул A4.12) и A4.10) еще не очевидно, однако оно имеет место,
как этого и следует ожидать. Для того чтобы убедиться в этом, запишем формулу
A4.12) в несколько ином виде, определив в системе отсчета новый вектор R^
равенствами R^\\ = *ц. Я* j = Y^- ТогДа
т. е. R = yR и
Е=штк*- A4ЛЗ)
Кроме того, R^ = Ц + y-2R\_ = Я2 + (Г2 — 1) Я]_ = R2 — f>2R] = R2 —
— IP X/?]2, так как /?L = р^1 [Р X R].
Теперь следует учесть, что вектор R, используемый в формуле A4.10),
вычисляется в системе отсчета К наблюдателя, но связывает между собой не одно-
одновременные положения источника и наблюдателя, а вычисляется с учетом условия
dR
запаздывания. При этом можно записать R (f) = R (t)-\-(f — ()--;| так как
\ dR с , . а 1 dr' n ,ч „
— -7т, = — р = const (напомним, что р = — —,, a R = г — г). Если условие
С 0,1 ' С ОХ
запаздывания выполняется, то f = t— R3s,Jc и R3an — R — ^^-7,-, = R+P>R3an.
Отсюда, кстати, сразу следует, что Р X R3Sn = Р X R, а вектор R, соединяю-
соединяющий одновременные положения, совпадает по своему смыслу с входящим
в A4.13).
С помощью A3.16) и предыдущих формул легко убедиться в том, что
и п — Р = (#мп — Р#зпп) /Изяп = R /#зап = *R /R*- Подстановка этих ре-
результатов в формулу A4.10) приводит ее к виду A4.13).
С помощью аналогичных соображений можно записать магнит-
магнитное поле, создаваемое равномерно и прямолинейно движущимся
зарядом, в виде
В нерелятивистском пределе у « 1, а потому и R* mR. Если
еще ввести обозначение j = ро для тока, обусловленного движе-
*) Напомним, что индексы || и _1_ обозначают компоненты, соответственно
параллельные и ортогональные к относительной скорости v.

§ 14] НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА Ш
нием заряда, то выражение A4.14) формально совпадает с законом
Био — Савара — Лапласа A2.7), если положить I ds' — J. Сов-
Совпадение это имеет, однако, лишь очень ограниченный физический
смысл. Прежде всего, сам дифференциальный закон A2.7) может
быть должным образом интерпретирован лишь в связи с интеграль-
интегральным соотношением A2.6), определяющим магнитное поле, которое
создается в данной точке пространства замкнутым контуром по-
постоянного тока, рассматриваемым как целое. Кроме того, вектор
магнитного поля точечного заряда, определяемый по формуле A4.14),
изменяется по величине )\ направлению при движении этого заряда
в пространстве, в отличие от постоянного поля, определяемого вы-
выражением A2.7). Таким образом, аналогия между рассматриваемыми
полями ограничена лишь бесконечно малым промежутком времени.
Для того чтобы она стала более полной, можно представить себе,
что точечный заряд, уходящий из данной точки пространства, сразу
же сменяется в этой точке другим таким же зарядом, движущимся
с той же скоростью. Но и в этом случае аналогия ограничивается
тем, что не существует такой системы отсчета, в которой поле то-
точечного заряда оказалось бы чисто магнитным; напротив, как мы
видели выше, существует такая система отсчета, в которой оно
чисто электростатическое.
С точки зрения релятивистской теории преобразований элект-
электромагнитного поля (см. § 7) поле точечного заряда относится к
классу таких полей, для которых выполняется неравенство /х < О,
где инвариант /х определяется формулой G. IOj). Напротив, маг-
нитостатическое поле, рассмотренное в § 12, является примером
противоположного случая, когда 1г > 0. Действительно, такое поле
может создаваться, например, током, протекающим внутри замкну-
замкнутого контура (проводника) произвольной формы, все части которого
находятся в покое в некоторой инерциалыюй системе отсчета,
в которой и будут справедливы формулы, выведенные в § 12. .При
этом проводник всегда можно считать нейтральным, благодаря
чему в этой системе отсчета будет отсутствовать электрическое поле.
Условие нейтральности можно считать выполненным в том случае,
если плотности положительного и отрицательного зарядов распре-
распределены по объему проводника с макроскопической точки зрения
непрерывно и в каждой точке этого объема уравновешивают друг
друга. Распределение точечных зарядов привело бы к наличию
дипольного момента, поэтому и необходимо предположить, что плот-
плотность заряда не имеет особенностей.
С точки зрения другой инерциалыюй системы К' равенство
положительной и отрицательной плотностей заряда нарушится
(при этом полный заряд, разумеется, останется равным нулю) *).
Поэтому в системе К', помимо магнитного, появится и электриче-
*) См. формулы преобразования G.18) на стр. 61.

112 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
ское поле, которое можно вычислить по формулам G.13), если
известно поле В в системе отсчета К- Разумеется, поле, создавае-
создаваемое движением положительного заряда, находящегося в объеме dV'
проводника, с некоторой скоростью о в системе К по отношению
к отрицательному, который для простоты будем считать неподвиж-
неподвижным, может быть вычислено по формуле A2.7), если подставить
в нее I ds' = jdV = pv-dV.
В заключение заметим, что точечный заряд, движущийся по
замкнутому контуру, будет испытывать ускорение, а поэтому в прин-
принципе должен излучать, постоянный же ток не создает излучения.
§ 15*. Закон сохранения энергии-импульса
для электромагнитного поля точечного заряда
в релятивистской форме
15.1. С помощью формул, полученных в предыдущем параграфе,
можно непосредственно вычислить поток энергии излучения, соз-
создаваемого точечным зарядом, угловое распределение этого потока
и т. п. (см. § 16). Однако из этих
формул трудно понять, какой смысл
имеет явление излучения с точки
зрения специальной теории отно-
относительности. Для того чтобы отве-
ответить на этот вопрос, нужно придать
всему исследованию поля излучения
релятивистскую форму, опираясь на
релятивистски-инвариантную запись
потенциалов Льенара — Вихерта
A3.19). Это и будет сделано ниже.
Приведенные в настоящем параграфе
результаты получены разными авто-
авторами совсем недавно *).
Рис 8. Прежде всего, представим напря-
напряженность поля, создаваемого точеч-
точечным зарядом, и тензор энергии-импульса этого поля в удобной
для дальнейшего применения форме.
Обозначим через х четырехмерный радиус-вектор точки Р в про-
пространстве Минковского, в которой наблюдается излучение, и через
z — радиус-вектор мировой линии точечного заряда (рис. 8). Будем
считать, что на этой мировой линии задан параметр собственного
времени т, так что z = г (т). Дифференцирование по параметру т
обозначается в дальнейшем точкой. Напомним формулы E.16),
*) Наше изложение здесь и частично в §23 основано на работе: P. A. Hogan,
Nuovo Cimento 15B, 136 A973), которая в свою очередь опирается на результаты
Синга и Рорлиха.

<S 15] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 113
E.18) и E.19):
и = г, w=~u, ~и2~с2, uw = 0. A5.1)
Вектор и/с—единичный времениподобный вектор, касательный
к мировой линии заряда в точке г, вектор же четырехмерного уско-
ускорения w пространственноподобен.
Определим
Д = *-г(т). A5.2)
Как было показано в § 13, условие возможности наблюдения в точ-
точке Р электромагнитного излучения, испускаемого в точке Q, со-
состоит в том, что
Я2 = 0, * A5.3)
3
т. е. Rn = ху — zu = ± | R |, где j R |2= У] {^-^f- Наблю-
<x= 1
дение в Р происходит по времени позже, чем испускание в Q, в том
случае, когда R0 > 0, т. е. R0 = + | R |. Поэтому нулевой вектор
fl = { -f- I /? I, /? } будем называть запаздывающим.
Введем теперь в точке Q пространственноподобный вектор р *),
определяемый так, что
р2 = -1, ир = 0, A5.4)
причем требуется, чтобы можно было записать разложение
A5.5)
где -р и р' — некоторые числа. Другими словами, р является
единичным вектором проекции вектора R на пространственноподоб-
ную гиперплоскость, ортогональную к вектору и. Из A5.3) и A5.5)
с учетом A5.1) следует р' = ±р/с, т. е. R = р (р ± и/с). С по-
помощью A5.4) и A5.1) отсюда получим p = ±~-(uR).
Учтем теперь условие запаздывания. Так как выражение для р
релятивистски-инвариантно, можно подсчитать его в мгновенно
сопутствующей системе отсчета, где и = (с, 0} и, таким образом,
р = ±R°, т. е. если для R выполняется условие запаздывания,
то р — ± | R \. Таким образом, можно выбрать верхний знак,
считать р для «запаздывающего» вектора R произвольным неотри-
неотрицательным числом и записать разложение этого вектора в виде
R = p(p+u/c). ' A5.6)
*) Он, разумеется, не имеет ничего общего с четырехмерным импульсом

114 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
Из определения р' и р видно, что выбору р = + | R | должен
соответствовать выбор знака плюс в скобках. Заметим, что второе
из условий A5.4) может быть записано в виде р° = — vp, и поэтому
С
в мгновенно сопутствующей системе р° = 0. С другой стороны, из
A5.6) следует
р = -рЯ. A5.7)
Таким образом, в мгновенно сопутствующей системе р = pR. Отме-
Отметим также для дальнейших ссылок рассмотренное выше равенство
p = j'uR. A5.8)
Потенциал Льенара — Вихерта в точке х, определяемый форму-
формулой A3.19), с учетом A5.8) принимает вид
15.2. Вычисление тензора Fmn (х) напряженностей поля должно
производиться с помощью дифференцирования выражений A5.9)
по координатам хг точки наблюдения Р. При этом нужно рассмат-
рассматривать виртуальные смещения dxr этой точки. Но эти смещения
должны быть такими, чтобы точка Р оставалась возможной точкой
наблюдения. Для того чтобы удовлетворить этому требованию,
нужно при дифференцировании вводить также и смещение точки Q
по мировой линии частицы такое, чтобы точки Р и Q все время оста-
оставались связанными одна с другой нулевым запаздывающим векто-
вектором R. Итак, при дифференцировании по точке Р нужно учитывать
равенство Я dRIdx = 0, т. е. R (dxldx — ы) = 0.
Появление здесь производной dx-ldx как раз и обусловлено тем
обстоятельством, что при заданной мировой линии точку Р нельзя
смещать «куда угодно» без риска нарушить условие возможности
наблюдать в ней излучение, испускаемое с этой мировой линии.
Использование формулы A5.6) с учетом A5.1) и A5.4) дает
Но при такой однозначной связи точек Р и Q можно и параметр т
считать функцией координат хт (т. е. параметризовать рассматри-
рассматриваемый участок мировой линии с помощью этих координат). Тогда
dx = —^-dxm. Сравнивая это выражение с A5.10), можно видеть,
что
дх>п ~~ со Ат< AО-1Ч

§15] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ¦ 115
Отсюда
диг dur дх _ 1 г, Пс ]9V
Далее, из определения A5.2) следует
dRr r,r dzr дх
и из A5.8), A5.12) и A5.13):
0 дхг
Введем обозначения:
т _ ^ _
—*«=.?. фр) A5.14)
B=~(l-W). A5.15)
Тогда
Теперь из A5.9), A5.12) и A5.16) получим
Определим вектор:
. Vbs-w+ВЪ. A5.18)
Тогда
Здесь А[тВп] = АтВп — АпВт. Последнее слагаемое в A5.17)
при антисимметризации исчезает. Формулы A5.19) при переходе
к трехмерным обозначениям совпадают с выражениями для напря-
женностей поля, полученными в § 14. В качестве полезного упраж-
упражнения предлагаем читателю убедиться в этом.
Вспомогательный вектор V обладает следующими свойствами:
w2 + c2B\ VR=c, V~u = c2B. A5.20)
При выводе второго из них нужно воспользоваться соотношением
A5.6) и определениями A5.14) и A5.15).
15.3. Подставим формулы A5.19) в определение A0.19) тензора
энергии-импульса электромагнитного поля. Учитывая второе из

116 СТАТИЧЕСКИЕ, ПОЛЯ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
равенств A5.20), а также A5.3), получим
[ГЛ. 3
Р4
abF"b = (VaRb - VbRa){VaR» -
= 2V2R2 - 2 (VRJ = — 2c2.
Аналогично вычисляется и член F,dF .m. В результате
VkRm + VmRP)-RkRj*~c^gb\ A5.21)
С помощью последней формулы легко вычислить также «проекции»
тензора энергии-импульса на векторы р, R и и/с, которые необхо-
необходимы для дальнейших вычислений. Именно, пользуясь разложе-
разложением A5.6), а также обозначениями A5.14) и A5.15), запишем
A5.23)
A5.24)
q)
2p3
Знание тензора энергии-импульса позволяет рассмотреть за-
законы сохранения. Проведем в пространстве-времени вокруг мировой
в-Ъ)
p-R
линии С точечного заряда две цилиндрические гиперповерхности,
определяемые уравнениями р = е и р = R (рис. 9). Обозначим
через Q четырехмерный объем, ограниченный этими поверхностями,
а также пересекающими их двумя световыми конусами, отходящими
от мировой линии С в точках т = Тх и т = т2, как показано на
рисунке. Из уравнения дТ'Чдх3 — 0, которому удовлетворяет
тензор энергии-импульса в этом объеме, с помощью иытегрирова-

§ 15] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСЛ I'7
иия по объему й и применения теоремы Остроградского — Гаусса
следует
§Trsd2s = 0. A5.25)
Считая за положительное направление нормали к граничной гипер-
гиперповерхности, внешнее по отношению к объему Q, уравнение A5.25)
можно переписать в виде
Рг (тх) - Рг (т2) = Qr (R) - Qr (г). A5.26)
Обозначения здесь ясны из чертежа. В частности,
т = т2 т=т,
Qr(R)=lF J T«d2lt Qr(e) = j j T"d2,. A5.27)
T=Ti T=Ti
(P=«) (p = e)
Нас будут интересовать равенства A5.26) и A5.27) в пределе,
когда е ->- 0, а /? -*¦ оо. Для того чтобы произвести вычисление век-
векторов Qr (е) и Qr (R), необходимо прежде всего выяснить геометри-
геометрические свойства гиперповерхностей р = е и р = R при указан-
указанном переходе к пределу.
Направление нормали к гиперповерхности р = const совпадает
с направлением grad p *). Последнее может быть определено с
помощью равенств A5.16) и A5.14). Так как W -> 0 при р-»-0,
то из A5.16) следует, что в этом пределе
ш-рп A5.28)
т. е. гиперповерхность, по которой производится интегрирование
при вычислении Qr (e), следует считать времениподобной (нор-
(нормаль — рг к ней пространственноподобна).
В пределе R ->- оо имеет место неравенство | W \ ^ 1, поэтому
из A5.16) вытекает, что
дхг ~w\c +)
Другими словами, в пределе R -*¦ оо, -~г ~- -> 0 и гиперповерх-
гиперповерхность р = R принимает характер светового конуса. В настоящем
параграфе нас интересует именно этот предел, т. е. величина Qr (R)
при R -> оо **).
Элемент объема светового конуса может быть вычислен по фор-
формуле (Г.8), где направление нормали произвольно. Будем считать,
что п = р; тогда в формуле (Г.8) dl, будет элементом времениподоб-
*) Здесь, разумеется, grad — четырехмерный градиент в пространстве
Минковского.
**) Вычислением Qr (e) при е -*• 0 и физической интерпретацией этой вели-
величины мы займемся в § 23.

1)8
СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
[ГЛ. 3
ной плоскости, который в свою очередь может быть вычислен по
формуле. (Г.4). Эту произвольную времениподобную плоскость
можно считать локально совпадающей с участком времениподобной
поверхности р = е, так что из (Г.8), (Г.4) и A5.28) для элемента
интегрирования dl,, в интеграле Qr (R) следует
дхг
Из A5.27) и A5.23) при р ~ R видно, что
-и
ZE7
A5.30)
A5.31)
при R ->¦ схз, так как интеграл по dco конечен, а интеграл по ds
при достаточно близких друг к другу значениях s1 и s2 можно пред-
представить в виде As//?2.
Выберем теперь четырехмерный объем Q интегрирования так,
как это показано на рис. 10. Он образован пересечением двух
пространственноподобных плоскостей
/ и 2, обладающих общей нормалью
иг1с с двумя световыми конусами.
При R ->¦ оо поток энергии-импульса
через оба световых конуса стремится
к нулю, как это было показано в вы-
выражении A5.31). Поэтому поток энер-
энергии-импульса через часть гиперпо-
гиперповерхности /, вырезаемую этими све-
световыми конусами, равен потоку че-
через аналогичную часть гиперповерх-
гиперповерхности 2 и в этом смысле выпол-
выполняется закон сохранения энергии-
импульса для поля излучения вдали
от источника. Для вычисления
потока энергии-импульса излучения нужно оценить интеграл
^ \ \ TrmumR2 dp dco
(ср. формулу (Г.2)) по участку пространственноподобной гипер-
гиперплоскости с единичной нормалью ит1с. Подсчитаем поток излучения
через сферический слой толщины dp = с dx в этой гиперплоскости.
Тогда
Рис. 10.
i
r (s) = i J Т"п i^-
Воспользуемся теперь формулой A5.24). При р = /?-> схэ
конечное выражение дает только слагаемое —
1 ,
^« V2Rk =

lfi| ЭНЕРГИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА I19
= 2ш""^2(^''' + "¦"")• Подставляя V2 по формуле A5.20) и В сог-
W \ с
ласно A5.15), получим при R -> оо
так как
р2 ?2 С2
В полученном выражении можно отбросить слагаемое, пропорцио-
пропорциональное pk, так как члены, содержащие его, зависят от нечетного
числа сомножителей р' и при интегрировании по da дают нуль
(см. Приложение Г, п. 2). Итак,
dp? _ _ /
dx ~ \ 4л ,
Интегрирование производится с помощью формул (Г.5) и (Г.6).
Именно:
\ ш2^(о = ш2^ю==4лш2, \wkd(i> = 4nwk, A5.32)
4я ь
так как ши = 0. Аналогично
(шрJ da = — ~ ш2. A5.32')
Выражения A5.32) будут еще использованы в § 23. Окончательно
получаем
Этой формулой определяется количество энергии и импульса, пере-
переносимое полем излучения за единицу собственного времени заряда.
Рассматриваемые энергия и импульс излучения являются резуль-
¦ татом лействия заряда на отрезке dx его мировой линии между точ-
точками /' и 2' на рис. 10, когда эти точки неограниченно Сближаются
одна с другой.
§ 16. Энергия излучения движущегося заряда
16.1. Для вычисления потока энергии, переносимой полем
излучения, можно воспользоваться формулами A4.6) или A4.9).
Нас будет интересовать угловое распределение излучения, а также
его полная энергия, проинтегрированная по углам. Разумеется,

120 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ 3
результаты будут зависеть от того, с точки зрения какой системы
отсчета они получены, т. е. просто от того, каково значение скорости
источника v в выражениях для напряженностей поля.
Начнем с простого вычисления полной энергии излучения в той
системе отсчета, в которой в данный момент времени о = 0. При
этом условии формулы A4.4) и A4.3) принимают вид *)
Обозначая через д угол между направлениями векторов п и |5,
мы видим с помощью A4.9), что поток энергии следующим образом
зависит от этого угла:
Из A6.2) видно, что максимальный поток энергии в собственной
системе отсчета заряда находится в плоскости, ортогональной к ус-
ускорению (¦& = я/2), тогда как вдоль направления о (д = 0, я)
излучения нет. Интенсивность излучения убывает обратно пропор-
пропорционально R2, что соответствует хорошо известному закону для
точечного источника света.
Элементарное интегрирование по сфере а радиуса R позволяет
получить полную энергию, излучаемую источником по всем направ-
направлениям за единицу времени:
г1
Ф Sn da = ¦
ом»
В соответствии с условием запаздывания для наблюдения, произво-
производимого в момент времени t, центр сферы а следует поместить в той
точке, где находился источник в момент t — R/c. Соотношение
A6.3) называется формулой Лармора.
16.2. Перейдем к общему случаю, когда заряд движется относи-
относительно наблюдателя со скоростью v. При этом обратим внимание
на условие запаздывания в применении к формуле A4.3) для век-
вектора Пойнтинга. Согласно этому условию левая часть формулы
определяет поток энергии, отнесенный к времени наблюдения t,
правая же ее часть вычисляется в момент t' = t — R/c. Однако
нас прежде всего интересует вычисление мощности излучения не
за время наблюдения dt, а за время dt' испускания этого излучения.
Действительно, именно это количество энергии теряет заряд, по-
порождающий электромагнитное поле. В соответствии с этим для
*) Всюду в этом параграфе мы опускаем индекс 1 у напряженностей поля,
имея в виду только поле излучения. Условие запаздывания также явно не ука-
указывается; оно должно учитываться всюду.

S 16]
ЭНЕРГИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА
121
мощности, излучаемой зарядом в телесный угол dQ, получим
дР
dt
A6.4)
-|?-=1+---^-=1-рл = х, как и в формуле A3.16).
Ot С ut
Квадрат длины вектора Е выражается следующим образом;
A6.5)
где
Воспользуемся системой сферических координат, как это показано
на рис. 11. Азимутальный угол ? отсчитывается от плоскости,
содержащей векторы иив, поляр-
полярный же угол ¦& — от вектора v. Из
рис. 11 видно, что
nv — vcos •&,
nv = v (cos d' cos ¦& -f-
-f sinft' sin •& cos y,
= yi> cos ¦
A6.6)
Подставляя A6.6) в A6.5), A6.5)
в A4.6), а эту последнюю формулу
в A6.4), мы выразим мощность
излучаемой в телесный угол dQ
энергии через углы Ф и ?. Она
будет зависеть при этом также и
от угла ¦&' между скоростью и
ускорением. Для нахождения пол-
полной мощности излучени-я необхо-
необходимо проинтегрировать по dQ.
Займемся прежде всего этой задачей.
Существенное значение для дальнейшего вычисления имеет
разложение
Ь A6.7)
Рис. 11.
— вектора ускорения на составляющие, параллельную и ортого-
ортогональную скорости. Подставим это разложение в A6.5) и выпишем
прежде всего те члены, которые содержат произведения компо-
компонент г»ц на компоненты t»j_. Они имеют вид
Из A6.6) следует, что
nv = v cos i>' cos d, nv± = г» sin d' sin Ф cos g,

122 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
г. е. выражение A6.8) пропорционально cos ?, а поэтому приводит
к нулевому результату при интегрировании по всем углам ?. Осталь-
Остальные множители в A6.4) от угла t, не зависят, поэтому при интегри-
интегрировании слагаемое A6.8) можно отбросить. В интеграле, содержа-
содержащем A6.5), остаются два члена. Один из них зависит только от ©ц,
другой же — только от t»j_. Итак,
dw(Q, ?) .„ dW , dW»
dW ?
~dF = J
f "-^— ^ т^ fti • v1"-^;
Подынтегральные функции вычисляются с помощью A6.4) и A6.5):
dw, 1 о2 . . .. __.
dW L q4*L (Г sin ® d® dt, г sin3 ft c
dF~ = DлJ? U (l-pcosflM-~( " ^ 3 A-
Таким образом, если подставить выражения для х, лРц, nfii через
углы, то получим
1 ft cos21, dft i
1 2 <?2 j^
= 4л" ' 3""^- (l_paJ > A6.12)
tff ? sin3ftdft 1 2 <;2 ii|
2c3"] A— PcosftM = 4л 7" A— p2K ' A6-13)
dt' Dл)
о
Наконец, складывая две предыдущие формулы, получим
A6.14)
Этот результат (несколько неожиданно после его громоздкого
вывода) имеет очень простой смысл с точки зрения релятивистской
кинематики частицы. Действительно, вспоминая формулу E.20),
мы видим, что
dt' ~ 4л 3 с3 ' (lb.lt»)
где w — четырехмерный вектор ускорения. Сравнение же с полу-
полученной ранее в системе покоя заряда формулой Лармора A6.3)
показывает, что последняя совпадает с A6.15), если заменить v на да.
Кстати, формула Лармора получена при условии х = 1, и поэтому
в ней dt — dt'. Выражение A6.15) совпадает с временной компонен-
компонентой уравнения A5.33), если учесть в последнем то, что Р° — Wlc,

§ 16] ЭНЕРГИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 123
ы° = су и у dx -— dt'. Различие в знаках между этими формулами
обусловлено тем, что, как было сказано в § 15, выражение A5.33)
равно энергии, переносимой излучением, в то время как A6.15) —
это энергия, теряемая при излучении источником — ускоренно
движущимся точечным зарядом.
16.3. Рассмотрим теперь отдельно те случаи, когда ускорение
направлено вдоль скорости, т. е, v = г»ц, и когда оно ортогонально
к ней, т. е. v = t»j_. В первом из этих случаев для углового рас-
распределения мощности излучения следует применять формулу
A6.11), во втором же — формулу A6.10). Разумеется, вывод каждой
из этих формул в отдельности несколько упрощается, если восполь-
воспользоваться условиями о направлении ускорения непосредственно
в выражении для Е. Сравнивая соответствующие этим случаям
выражения A6.13) и A6.12) для полной мощности, убеждаемся в том,
что при одинаковой абсолютной величине ускорения отношение
полного излучения при v _[_ v к полному излучению при i)\\v
равно 1 — р2. Формула A6.11), выраженная через угол ft, которую
мы уже использовали при вычислении интеграла A6.13), дает
dm __ 1 q2 г>2 sin2 Q Mfiifi*
dt' ~~ DлJ с*№ (l-pcosflM- A0.10)
Зависимость от угла ft может быть исследована с помощью обычных
методов дифференциального исчисления при разных значениях
параметра р. При этом качествен-
качественный характер распределения с уве-
увеличением Р изменяется так, как '
это показано на рис. 12. Случай
Р = 0 отвечает, разумеется, усло-
условию применимости формулы Лар-
мора A6.3). Характерно-при этом
все большее с возрастанием р
вытягивание «лепестков» излуче- Рис'
ния (или, скорее, «конуса», так как
картина симметрична относительно оси v) и сближение их с на-
направлением вектора v. Можно показать, что угол, при котором
мощность излучения максимальна, равен
flmax = arccos (~- /1 + 15P» - 1).
В пределе р = 1 этот угол стремится к значению 1/2-у, а сама мощ-
мощность в максимуме пропорциональна ys. Приближенно,
dt' ~~ л2 с3 у A+72*2M' dt' ~ 3 с3 » 4л ' 1 °' и>
Предыдущее рассмотрение показывает, в частности, что при
торможении электрона во внешнем поле он излучает: возникает

124 _ СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
тррмозное излучение, учет которого важен в целом ряде физических
задач. Если торможение происходит без изменения направления
движения электрона, то тормозное излучение может быть иссле-
исследовано на основе приведенных формул.
Случай рр = 0 имеет место, например, для мгновенного излу-
излучения при движении заряда по окружности. Применимая здесь
формула A6.10) при условии р -»- 1 (т.е. у ->¦ <х>) приближенно
записывается в виде
„в ' Г1 472^ cosH 1 /1 к
Y TT+v^L ОТ?*5M"]" (
dt' ~ 2я2 с3
При этом опять-таки очевидна концентрация излучения в направ-
направлении движения (т. е. при Ф->-0). Такого рода «игольчатое» излу-
излучение наблюдается при движении заря-
заряженных частиц в циклических ускорите-
ускорителях (рис. 13).
16.4. Помимо энергии, вычисление кото-
которой мьгдо сих пор производили, поле излу-
излучения обладает также и механическим
импульсом, который определяется форму-
формулами A0.22). Вычисление импульса ничем,
по существу, не отличается от проведен-
проведенного выше для энергии. Несколько более
Рис. 13. сложен вывод выражения для момента
¦импульса МаР поля излучения с помощью
общего выражения A0.23), которое в трехмерных обозначениях
приводит к закону изменения C.22). Стоящая в этой формуле под
знаком поверхностного интеграла функция г X ф может быть
интерпретирована как поток момента импульса через границу ст
рассматриваемого объема. Вектор <р, как было показано в § 3,
определяется соотношением сра = Та$п$, где ГаР — тензор натя-
натяжений Максвелла, а я — нормаль к поверхности ст. С помощью
формул § 3 Для тензора натяжения легко видеть, что
A6.19)
а отсюда можно подсчитать в векторной форме плотность г х <р
потока момента импульса. В частности, рассмотрим эту величину
в системе покоя источника, когда v = 0, и подсчитаем полный
поток момента импульса через сферу, центр которой совпадает
с положением источника, т. е. вычислим интеграл
§[rxy]ndo A6.20)
по этой сфере, причем нормаль к ней совпадает с вектором л =
= R/R, Но
, п)(пВ). A6,21)

§ 16] ЭНЕРГИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 125
С помощью формул A6.1), определяющих значения напряженностей
поля, легко ьидеть, что в нашем случае \г х <р]л = 0 и, зна-
значит, момент количества движения сохраняется в системе покоя
частицы.
16.5. Выше мы рассматривали поток энергии излучения в эле-
элементарный телесный угол dQ за время dt' и затем интегрировали
его по углам. Часто представляет интерес другая задача: рассчитать
поток энергии, проходящий в данный телесный угол в течение всего
времени излучения. При этом обычно требуется определить этот
поток с точки зрения наблюдателя, т. е. рассмотреть мощность
излучения как функцию от времени t, без пересчета к времени f,
произведенного выше в формуле A6.4). Обозначим через Ш полную
энергию излучения, проинтегрированную по времени. Тогда
+ОО
-¦с J R2(E(t)Jdt. A6.22)
В дальнейшем для'краткости введем обозначение A (t) = c1/2RE (t).
Необходимо иметь в виду, что имеющиеся у нас формулы непосред-
непосредственно определяют поле Е с учетом запаздывания, т. е. для вре-
времени'?'. Это обстоятельство будет принято во внимание при вычисле-
вычислении. Кроме того, при использовании формулы A6.22) фактически
предполагается, что за все время излучения область, в которой нахо-
находится источник, видна из точки наблюдения под малым телесным
углом.
Воспользуемся разложениями в интеграл Фурье, аналогичными
формулам приложения (Д. 12) и (Д. 13):
+СО +СО
1 Г 1 Г
A(t) =-т=А A (a>)e~mda, А (со) = \ A(t)emtdt. A6.23)
V 2л J у 2я J
—со —со
Удобнее записывать нормировочный множитель при интегралах
несколько иначе, чем это сделано в Приложении Д. Так как A (t) —
вещественная величина, т. е. A (t) —¦ A (t)*, то
А (со) = А* (—со). A6.24)
Формулы A6.23) выражают спектральное разложение излучаемого
поля по всевозможным частотам со. Подстановка их в A6.22) при-
приводит к результату
+ ОЭ +СО +СО
= ~ (' dt j dco f dco'А (со') А (со) ё (»'+«»( =
—со
+'CO CO
= \ \ А (со) p da = 2 [ | А (со) |2 dco, A6.25)
—CO —CO —CO
+00

126 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
куда входит квадрат модуля комплексной величины | А (со) |2.
Здесь использовано разложение (В. 14) дельта-функции в интеграл
Фурье и соотношение A6.24).
Можно определить также энергию df(co)/dQ, излучаемую
в единичный телесный угол; прежде всего подсчитаем ту ее часть,
которая переносится колебаниями с частотами в интервале от <а
до со + <2ю. Как можно видеть из формулы A6.25),
#}^», A6.26,
О
где
d/(<o)/dQ=2| Л (со) |2 A6.27)
— спектральная интенсивность излучения в единичный телесный
угол.
Конкретизируем предыдущие общие формулы на случай поля
излучения, определяемого членом Ew в выражении A4.4) (по-
прежнему обозначая этот член просто Е). Из A6.23) получим
А (со) = (Х_)-1/аТ^Mfr-WxW I dt =
Для сокращения обозначений выберем начало отсчета в той огра-
ограниченной области, где совершается движение источника, и будем
считать, что точка наблюдения находится от этой области очень
далеко, т. е. что г^> г'. Тогда
R(t')c^r-~nr{t'). A6.29)
Здесь л = г/г — в отличие от предыдущих случаев, где мы
обозначали так единичный вектор направления R. Подставляя
A6.29) в A6.28), получим, если отбросить постоянный фазовый
множитель ехр (--cor),
+
А (со) = Щ12 J ехр {/со [t-^P-]} 'I^JM- dt. A6.30)
Непосредственно вычисляя производную, можно показать, что
d
dt

§ 17] ОГРАНИЧЕННЫЕ КОЛЕБЛЮЩИЕСЯ ИСТОЧНИКИ 127
(напоминаем, что х = 1 — njj). Поэтому интеграл в формуле A6.30)
можно вычислить по частям, если считать при этом, что р обращается
в нуль в начале и в конце промежутка интегрирования. Это вполне
согласуется с уже использованным условием о характере той облас-
области, из которой совершается излучение. Тогда формула для спектраль-
спектральной интенсивности A6.27) принимает вид
^gL = ^coff«x[nx№xp{/co[^^]}^|2. A6.31)
—со
Заметим, что если заменить q на р dV, а выражение рр положить
равным j/c, то с помощью A6.31) можно найти формулу для излу-
излучения, создаваемого непрерывным распределением источников:
<*У = J^\ С dt i' dVnx[nxj(r, /)]expft0)^—^I Г A6.32)
При этом неявно предполагается, что все элементы объема этого рас-
распределения источников излучают независимо один от другого,
§ 17. Излучение ограниченных колеблющихся источников
17.1. Поле точечного заряда было вычислено выше без приме-
применения каких-либо приближений. Формулы A3.11) позволяют,
в принципе, вычислять электромагнитные поля, создаваемые произ-
произвольными распределениями источников в бесконечном пространстве.
Однако если и известны функции р (/-', t') и/(/•', t'), такое вы-
вычисление представляет обычно весьма трудную задачу и лишь
в исключительных случаях может быть проведено точно. Мы рас-
рассмотрим сейчас один из простейших и, вместе с тем, практически
наиболее важных случаев приближенного вычисления поля на
основе формул A3.11). Условие запаздывания при этом будет учи-
учитываться с помощью дельта-функции.
В радиотехнике, а также при классическом рассмотрении излу-
излучения атома нужно считать, что заряды и токи, создающие излу-
излучение, сосредоточены в каком-то фиксированном объеме. Вычисле-
Вычисление, к которому мы переходим, позволяет определить поле именно
в этом случае, причем на расстояниях, больших по сравнению с ли-
линейными размерами области, занятой источниками *).
Воспользуемся для функций А, ср, j и р разложениями в ин-
интегралы Фурье вида (Д. 12) и подставим эти разложения в формулы
*) Более полное изложение этого вопроса читатель может найти в книгах
по теоретической радиофизике, например: В, В. Никольский, Электродинамика
и распространение радиоволн, «Наука», 1973; Л. А. Вайнштейн, Электромагнит-
Электромагнитные волны, «Сов. радио», 1957; Дж. Стрэттон, Теория электромагнетизма,
Гостехиздат, 1948, гл. 8.

128
СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
[ГЛ. 3
A3.11). Пользуясь свойствами дельта-функции и сравнивая коэффи-
коэффициенты при ехр (—iat) в правой и левой частях этих формул, легко
получить соотношения для амплитуд (которые имеют вид (Д. 18))
)=] dV'
Jklr — r
=j dV e
r-r'\
Jk\r-r'\
A7.1)
r
Здесь, как обычно, k = со/с = 2л/А,, а Я, — длина волны гармони-
гармонического колебания с циклической частотой со, распространяющегося
со скоростью с (для определенности мы будем иметь в виду случай
вакуума). В дальнейших формулах мы, как правило, будем отбра-
отбрасывать индекс со -при ам-
амплитудах.
Предположим теперь,
что заряды и токи, создаю-
создающие электромагнитное по-
поле, по крайней мере за
промежуток времени, суще-
существенный для наблюдения,
не выходят за пределы ог-
р 14 раниченной области про-
пространства. Размеры этой
области можно охаракте-
охарактеризовать тем, что всю ее можно заключить в сферу конечного
радиуса А. Выберем для простоты начало отсчета пространствен-
пространственных координат где-либо внутри этой области (рис. 14). Нас будет
интересовать поле в точке наблюдения, находящейся очень далеко
от расположения источников. Это значит, что г ^> А. При этом,
так как г' < А, г ^> г'.
Однако для применения того приближенного метода вычисления,
которым мы собираемся воспользоваться, одного этого условия еще
недостаточно. Нужно, кроме того, предположить, что длина %
тех волн излучения, которые нас интересуют, также значительно
больше характеристической длины А, так что фактически условия
приближения можно записать в виде
Л<Я, и
A7.2)
Из A7.2) следует, что kr' <; 1.
Рассмотрим разложение функции ехр (ik \ г — г' \I \г— г' \
по указанным малым параметрам kr' и .r'lr. При этом мы будем
вычислять лишь члены, убывающие с расстоянием не быстрее
чем г2. С такой точностью разложение можно провести весьма просто.
Действительно, для этой цели можно в выражении \г— г' | =
= )'V — 2 (гг')-{- г'2 пренебречь отношением (г'Iff по сравнению

§ 17], ОГРАНИЧЕННЫЕ КОЛЕБЛЮЩИЕСЯ ИСТОЧНИКИ 129
с единицей уже под знаком корня и записать
я».' ,-w г пг' /1 7 *3\
— ~пг —г пг . (i'.-э)
Здесь п обозначает единичный вектор г/г, а не R/R, как это было
раньше. Следует иметь в виду, что отброшенное под корнем слагае-
слагаемое при более точном вычислении приводит под знаком интеграла
к таким добавкам, как, например, (г'Iff exp (ik \r —г' |). Их
можно не учитывать лишь при той точности вычислений, к которой
мы здесь стремимся.
Воспользовавшись приближением A7.3) также и в показателе
экспоненты, разлагая последнюю в ряд по малому параметру kr'
и сохраняя члены интересующего нас порядка, получим
Д(г) = Д1"(г) + Д(«(г), A7.4)
где
^§(r')dV> A7.5)
(г) =-^l(±-ifc) ?/(/•') (яг') dV. A7.6)
Аналогичные формулы получатся, разумеется, и для амплитуды
Ф (г), причем нужно лишь заменить в подынтегральных выражениях
У на р.
Из формул, связывающих напряженности с потенциалами, видно,
что если последние зависят от времени по закону е ~mt, то такой же
будет зависимость от времени и напряженностей. Подставляя в урав-
уравнения Максвелла выражения Е = Еш(г) е~ш( и В = Вю (г) eUat,
получим
E^-xotBn A7.7)
для точек пространства, находящихся вне области расположения
источников. При этом, как обычно, магнитное поле вычисляется по
формуле
#ю = гоМю. A7.8)
В дальнейшем индекс со отбрасывается, как это уже было сделано
для потенциалов. При исследовании результатов мы можем учиты-
учитывать еще сравнительную величину Я и г (считая, разумеется, что
A7,2) все время выполняется). Область, где г^>Х, называется
волновой зоной, область же, где г' <^ г <J Я, — ближней зоной.
Для дальнейшего применения удобно привести интегралы,
входящие в A7.5), к несколько иному виду. Именно, используя
Уравнение непрерывности, которое в нашем случае принимает
форму
t-copffl = div/ffl) A7.9)
б Ю, В. Новожилов, Ю. А, Яппа

130 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ' [ГЛ. 3
можно подынтегральное выражение записать через р. Для каждой
компоненты х'а радиуса-вектора г' с помощью (Б. 142), запишем:
uiv'(x'aj(r'))=:x'au\v'ji-{grad'x'a, 7) = x'adiv'7 + f. A7.10)
Но интеграл по объему от левой части этого соотношения может
быть преобразован в интеграл по. поверхности, а поверхность про-
проведена так, чтобы токи на ней равнялись нулю (например, можно
взять хотя бы сферу, изображенную на рис' 14). Таким образом,
из A7.9) и A7.5) получим
) = — ikp^, A7.11)
где
p = ]r'p(r')dV, A7.12)
т. е. р представляет собой дипольный момент распределения ис-
источников, определяемый точно так же, как в § И. Для рассматри-
рассматриваемой гармонической составляющей потенциала, которая обладает
частотой со, можно также записать ЛA) (г, t) = ЛA) (г) e~iu>t =
= р (t) e'kr/4nrc, если р (t) = pe~i(i>t. Такое представление для ЛA)
через р остается, очевидно, справедливым для всех тех длин волн,
по отношению к которым выполнены условия применимости исполь-
использованного при выводе приближения.
17.2. Вычисление электромагнитного поля в первом приближе-
приближении осуществляется подстановкой A7.11) в A7.8), после чего нужно
применить A7.7). Элементарное вычисление с помощью (Б.143)
приводит к результату
ikr .
if, \
"r. A7.14)
Совершенно так же, как и выше, и при тех же оговорках вместо
k2p можно записать ^р, а —ikp заменить на —р. Это отно-
С С
сится и к выражениям, которые рассматриваются в дальнейшем.
В ближней зоне формулы A7.13) и A7.14) принимают вид
AnBw = ik[nxp] ~y, 4ji?A) = {Зл (пр) — p) —§-. A7.15)
Первая из них совпадает с законом Био — Савара — Лапласа,
если только вместо элемента тока / ds' подставить в него —/со/? = р.
Это совпадение имеет место в каждый момент времени, причем обе
части равенства зависят от времени по закону ехр (—iat). Совер-
Совершенно так же нужно учитывать зависимость от времени и во второй
формуле. Как легко убедиться с помощью результатов § 11, поле ?A)

§ 17] ОГРАНИЧЕННЫЕ КОЛЕБЛЮЩИЕСЯ ИСТОЧНИКИ 131
в ближней зоне является напряженностью статического электри-
электрического поля, создаваемого диполем с дипольным моментом р.
В волновой зоне
4лВ{1) = к2[пхр]~, 4nE^ = k2[nxp]xn^-. A7.16)
Эти выражения показывают, что волновое поле имеет структуру,
аналогичную полю излучения точечного заряда. Прежде всего,
сравнение зависимости полей A7.15) и A7.16) от расстояния г
позволяет повторить вывод о том, что только волновому полю соот-
соответствует поток энергии на больших расстояниях от источников
(ср. стр. 108). Далее, оно определяется второй производной р (f)
по времени аналогично тому, как поле заряда определяется его
ускорением. Наконец, непосредственно из A7.16) следуют соотно-
соотношения
Е11) = В™хп, в1« = ях?A>. A7.17)
При этом второе из них выполняется, как можно видеть из A7.13)
и A7.14), не только в волновой зоне, но всюду в пределах примени-
применимости условий A7,2). Таким образом, волновое поле является по-
поперечным и векторы я, ?A) и В{1) расположены в каждой его точке
так, как это показано на рис. 7. Существенным отличием является,
однако, то обстоятельство, что в выражениях A7.13)—A7.16) левая
и правая части относятся к одному и тому же моменту времени t,
т. е. моменту наблюдения, в то время как, например, в A4.14) нужно
в явном виде учитывать запаздывание.
17.3. При вычислении потока энергии в интересующем нас
здесь случае приходится иметь в виду, что напряженности выражены
в комплексной форме. На стр. 108 поток энергии определен с по-
помощью вещественных напряженностей. Можно, разумеется, отде-
отделить вещественные части в формулах A7.16). Однако когда зави-
зависимость от времени гармоническая, проще воспользоваться непо-
непосредственно этими формулами, если еще считать, что наблюдение
производится в течение промежутка времени At, значительно пре-
превышающего период наблюдаемых колебаний электромагнитного
поля. Тогда интересующей наблюдателя величиной фактически
является среднее значение потока (Sn) r2 в единицу телесного угла
за этот промежуток времени. Ввиду условий ортогональности
A7.17) [Е х В] п = ЕВ. Нас интересует, однако, не эта комп-
комплексная величина, а произведение Re ?-Re В, которое только и
имеет физический смысл. Так как Re Е = V2 (E -f E*) и анало-
аналогичное выражение можно записать для Re В, то
В случае чисто гармонической зависимости с частотой со первые
два слагаемых содержат ехр (—2Ш) и exp 2ia>t соответственно,

132 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ- ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
экспоненциальные же множители в остальных двух слагаемых
взаимно сокращаются. Обозначая через (...)д/ операцию усредне-
усреднения за время Д/, мы видим, таким образом, что
<Re?.ReB>A<=1/4(?*S + ?B*) = 1/2Re(?B*)) A7.18)
причем в правой части этой формулы можно считать, что Е и В —
комплексные амплитуды. Поэтому усредненная мощность излуче-
излучения электрического диполя р в обозначениях предыдущего пара-
параграфа записывается в виде
Re {г2 [Е X В*] п) dQ
- DяJ -^ = ~ Re {г2 [Е X В*] п) dQ = ~ fc* | л х [л хр] \2 du.
A7.19)
Здесь были использованы формулы A7.16).
Обозначая через '¦& угол между векторами л и р и предполагая,
что колебания составляющих дипольного момента р не отличаются
по фазе, получим формулу для углового распределения мощности,
теряемой диполем на излучение:
-DjiJ^- = |-6Vsm2ftdQ. A7.20)
Проинтегрировав предыдущую формулу по углам, определим
полную мощность:
17.4. Вычисление поля в следующем приближении осуществля-
осуществляется совершенно аналогичным образом на основе формулы для
потенциала A7.6). При этом подынтегральное выражение следует
представить в виде суммы симметричной и антисимметричной
частей:
Дпг') - Va \J(nr') + r' (nj)] + Va U(«г') - г' (nj)] A7.22)
и рассмотреть каждую из них в отдельности.
Интеграл, содержащий симметричную часть выражения A7.22),
можно преобразовать, используя соотношение
щ div' (xtax*J) = /ip*'Vp div'74 [J(nr') + /•' (лу)]»' A7.23)
и учитывая, точно так же, как это было сделано по отношению
к формуле A7.10), что интегрирование левой части дает нулевой
результат. Применяя еще уравнение непрерывности в виде A7.9),
получим соответствующую часть векторного потенциала:
p(r')dV'. A7.24)
Сравнение с A1.19) позволяет записать входящий сюда интеграл
в виде nadap. Поэтому поле, определяемое «симметричной» частью
векторного потенциала, можно назвать квадрупольным.

§ 17] ОГРАНИЧЕННЫЕ КОЛЕБЛЮЩИЕСЯ ИСТОЧНИКИ 133
По формулам A7.7) и A7.8) можно, с помощью A7.24), вычислить
квадрупольные электрическое и магнитное поля, Мы приведем
здесь лишь некоторые результаты. В волновой зоне
BM = ik[nxAW], EW = ik[nxAw]xn. A7.25)
При этом, если использовать определение A1.19) квадрупольного
момента Qap и ввести вектор Q с помощью равенства Qa — Qa$n&, то
nxQ(n). A7.26)
Вычисление же средней мощности излучения аналогично тому,
как это было сделано на стр. 132, и приводит к формулам
а, р
Отметим зависимость от ke, в отличие от дипольного излучения,
мощность которого пропорциональна &4.
Антисимметричное слагаемое в A7.22) непосредственно преоб-
преобразуется к виду: 1/2 п х \j X г') = V2 [/-' х j] X п. Вспомним
теперь определение магнитного момента A2.13) (при этом сейчас
а = с) и учтем A2.5). Ясно, что выражение
m = ~rxj A7.28)
имеет смысл объемной плотности магнитного момента. Полный же
магнитный момент, получаемый интегрированием плотности A7.28)
по всему объему, обозначим аМ. Таким образом,
A7.29)
При тех же оговорках, которые были указаны в отношении A7.15),
можно записать также iaa/ft = —o/fi (t). Сравнение полученного
результата с формулой A7.13) для Bw показывает, что с точ-
точностью до постоянного коэффициента эти выражения формально
совпадают, если в A7.13) заменить р на аМ. Поэтому вычисление
с помощью A7.29) магнитного поля В{2) по формуле A7.8), также
с точностью до постоянного коэффициента, дает результат, совпа-'
дающий с формулой для ?A), вычисленной на основе A7.7). Итак,
+ {3(М)М\ (L )fHr. A7.30)
Теперь легко установить, что электрическое поле имеет вид
--j^-), A7.31)
т. е. может быть формально получено из A7.13), если заменить р
на a/fi и знак на обратный.
Электромагнитное поле, определяемое магнитным моментом <М
по формулам A7.30) и A7.31), называется полем, магнитного диполя,-

134 СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. 3
Таким образом, в интересующем нас приближении поле ограничен-
ограниченного распределения источников может быть представлено как сумма
полей электрического и магнитного диполей и электрического
квадруполя.
Из того, что было сказано выше о формальных соответствиях
между полями электрического и магнитного диполей, можно сделать
вывод, что во втором случае все формулы, в частности — для мощ-
мощности излучения, получаются из соответствующих выражений для
первого случая заменой Е на В, В на — Е и р на <М, Однако
поля электрического и маг-
„ нитного диполей отличаются
направлением электрического
-B>- вектора по отношению к век-
торам п и р в первом случае
или оМ — во втором, т. е.
_ поляризацией (рис. 15).
Сделаем еще одно общее
с И) замечание, относящееся к ме-
тоду вычисления полей излу-
Рис- 15- чения. Мы убедились выше
в той существенной роли, ко-
которую играет при вычислении полей уравнение непрерывности.
Во многих случаях распределение источников, создающее поле,
обладает такими свойствами, что уравнение непрерывности можно
учесть с самого начала. Действительно, предположим, что суще-
существует вектор Ро, удовлетворяющий соотношениям
J=dP0/dt, p = _div/V A7.32)
Тогда уравнение непрерывности будет выполняться тождественно,
уравнения же Максвелла примут вид B.14Х). Как было показано
в § 2, их можно решить, рассматривая волновое уравнение второго
порядка B.16) для вектора Герца П, определяемого соотношениями
B.15). Решение волнового уравнения может быть получено обычным
способом; в частности, для гармонической компоненты П с волно-
волновым числом k = со/у выполняется формула
4яП(г)=С/>0(r')-^-dV\ A7.33)
V Н
Она может служить отправной точкой для получения приближений
совершенно аналогично тому, как это было сделано выше для потен-
потенциалов. Зная вектор Герца, можно вычислить потенциалы по фор-
формулам B.15) или же поля по формулам
? = graddivn-efx —, //=erot-~. A7.34)
Такой метод часто используется, например, при исследовании излу-
излучения, создаваемого антеннами.

Глава 4
СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
§ 18. Плоские волны. Отражение и преломление.
Интерференция
18.1. В предыдущих параграфах (см. также Приложение Д)
было показано, как построить решение неоднородного волнового
уравнения с помощью функции Грина, в качестве которой выбирает-
выбирается решение однородного волнового уравнения, обладающее осо-
особенностью нужного типа при R -> 0. В частности, нужно обратить
внимание на формулу (Д. 17), определяющую вид сферически-
симметричной функции Грина для уравнения Гельмгольца. Соот-
Соответствующее решение волнового уравнения, гармонически завися-
зависящее от времени и описывающее поле, которое распространяется от
точечного источника, имеет форму
и называется сферической волной. Если выбрать произвольную
сферическую систему координат с началом отсчета в той точке, где
находится источник, то амплитуда А
может зависеть от координатных углов ¦&
и ф этой системы.
Формулы A7.11) и A7.16), получен-
полученные для потенциала и напряженностей,
соответствующих наиболее медленно
убывающему с расстоянием в волновой . ^
зоне электромагнитному полю электри- / -^^ 1
ческого диполя, также имеют вид сфе-
сферической волны A8.1), причем ампли- "
туда А определяется свойствами источ- Рис. 16.
ника. На очень больших расстояниях
от источника сферические волны могут рассматриваться с до-
достаточно хорошим приближением как плоские. Это вполне
очевидно с геометрической точки зрения, но может быть по-
показано и с помощью уравнения A8.1). Выберем новую точку на-
наблюдения Р, имеющую радиус-вектор /?ь как показано на рис. 16,
так что /?= /?! +ги Ri = const. Если Rt настолько больше г,
что с хорошим приближением можно положить \/R — l/Rx, то

136 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. 4
л
A8.. 1) будет лишь на постоянный множитель ir-eikRl отличаться
от функции g'(*'--coo) определяющей плоскую волну.
Сеойствз плоских волн играют весьма существенную роль
в теории электромагнитного поля. Это должно быть очевидно уже
из того важного значения, которое имеет разложение Фурье по
плоским волнам, введенное и использованное в предыдущей главе.
Для электромагнитного поля такого вида особенно простое
выражение получает свявь между потенциалами и напряженностями.
Действительно, если положить"
А - Аакё(*'-»'), «р-<рв*«< <*'-»'>, A8.2)
где Аак и ерши ¦— постоянные амплитуды, а к — со/с *), то условие
Лоренца, которому должны удовлетворять потенциалы, чтобы
волновые уравнения для них имели одинаковую форму, запишется
в виде
уа = пАа>. A8.3)
Здесь и в дальнейшем, говоря о плоских волнах, мы обозначаем
через л единичный вектор Hlk, а индекс k при амплитудах часто
отбрасывается для сокращения записи. Из предыдущего рассмотре-
рассмотрения очевидно, что вектор п ортогонален к плоскости, совпадающей
с фронтом волны.
Подстановка выражений A8.2) в основные формулы B.1) и B.2)
дает
Еш = — I (йфи - kAa) = — ikn х [л х Аа],
Заметим, что аналогично условию (Д.6), для того чтобы потенциа-
потенциалы Л и ф были вещественными, нужно, чтобы комплексные ампли-
амплитуды обладали следующими свойствами:
ДО* = Д1О1_*, Фсо* = ф-И,-*. A8.5)
Физический смысл имеют, разумеется, вещественные части
формул A8.4). Образуя суммы 1/2 (Е + Е *) и V2 (В + В *),
получим
ReEa^knxlnxlmAa], ReBa = — knxlmAli), A8.6)
так что Re?B = ReBffl х л и Re5ffl = л X Re?ffl. Здесь
1тЛщ = —1lii {Аш — А%). Мы видим, что электромагнитная
плоская волна поперечна: векторы напряженностей Е и В лежат
в плоскости ее фронта. Кроме того, они взаимно ортогональны.
Напомним, что рассматриваемые здесь плоские волны с веществен-
вещественными значениями k являются решениями уравнений электромагнит-
электромагнитного поля в однородном изотропном диэлектрике.
*) Величины k и со считаются вещественными.

181
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
137
Пусть при постоянных е и \i выполняются соотношения D = гЕ
и В = \кН. Тогда, представляя векторы В и Е в виде плоских
волн, распространяющихся со скоростью v в среде с постоянными
амплитудами, можно получить с помощью уравнений Максвелла
(М.З) и (М.4) (записанных, например, в гауссовой системе единиц)
пхЕ, A8.7)
откуда следует, в частности,
/цЛ = у7?. A8.8)
Разумеется, этот результат мог быть получен и с помощью выпи-
выписанных выше выражений для потенциалов.
18.2. Из A8.7) видно, что векторы Е, В, л всегда образуют
правовинтовую систему. По исторической традиции (Френель)
плоскость, содержащую векторы В и п, называют обычно плоско-
плоскостью поляризации, а направление вектора В—направлением
поляризации. Если при распространении волны это направление
не изменяется в плоскости ее фронта, то такая волна называется
линейно поляризованной. В общем случае конец вектора В будет
с течением времени описывать некоторую кривую в этой плоскости.
Определим характер этой кривой. Введем декартовы координаты
в плоскости фронта волны. Изменение компонент вектора В в этих
координатах может отличаться, самое большее, начальной фазой.
Записывая уравнения в вещественной форме, получим
BL = a1cos (T + di), B2 = a2 cos (т + б2), A8.9)
где т == kr — со^. Ясно, что A8.9) описывает процесс сложения
двух таких колебаний, которые мы выше назвали линейно поляри-
поляризованными (в направлении первой и
второй осей). Интересующее нас урав- i хг
нение кривой будет получено, если
исключить переменную т. из A8.9).
Оно имеет вид
A8.10)
Рис. 17.
где 6 = 6! — б2. Легко убедиться
с помощью обычных методов анали-
аналитической геометрии, что уравнение A8.10) определяет эллипс,
вписанный в прямоугольник, стороны которого параллельны осям
координат и равны соответственно 2ах и 2а2 (рис. 17). Конец магнит-
магнитного вектора, описывающий эллипс, может двигаться по нему
в любом из двух возможных направлений. Из соотношений A8.7)
следует, что и электрический вектор описывает в этом случае эл-
эллипс, параметры которого легко определить. Такой общий случай

138 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. 4
называется эллиптически поляризованной плоской волной. При
б = л/2 получается частный случай круговой поляризации, а при
6 = 0 — линейной поляризации. В первом из них происходит
вырождение эллипса в окружность, во втором же он представляется
в виде двух взаимно ортогональных прямых, каждая из которых
определяет одно из возможных направлений колебаний. В общем
случае поляризация называется правой, если наблюдателю, смот-
смотрящему навстречу лучу, представляется, что конец магнитного
вектора движется по часовой
стрелке; в противоположном
случае она называется левой *).
18.3. Посмотрим теперь, что
происходит, когда плоская вол-
волна падает на границу раздела S
двух сред, различающихся зна-
значениями в и (I (рис. 18). Обо-
Обозначим через v единичный век-
вектор нормали к плоскости раз-
раздела S, направленный из среды /
в среду //, и выберем для удоб-
удобства начало отсчета где-либо на этой плоскости. Тогда уравнение
плоскости раздела будет иметь вид хг = 0.
Пусть падающая на S плоская волна распространяется со сто-
стороны среды //. Напряженности поля Еп и Нп этой волны можно
записать в виде
сп = hoe 2 ° , пп = —— лохсп. (lo.ll)
Вторая из этих формул следует из второй формулы A8.7), если
учесть, что скорость распространения волны v2 = fe^)/2 и k2 —
= со/у2. Мы обозначили через п0 единичный вектор, указывающий
направление падающей волны. Плоскость, содержащая векторы
л0 и v, называется плоскостью падения. Поле плоской волны, име-
имеющееся в среде //, должно на границе S этой среды удовлетворять
граничным условиям D.14). Будем считать, что на плоскости S нет
ни зарядов, ни токов, т. е. что в формулах D.14) А, = 0 и / = 0.
Прежде всего, из граничных условий видно, что в среде /при падении
волны на границу раздела также должно возникнуть электромаг-
электромагнитное поле, которое мы обозначим ?пр, //пр и назовем преломлен-
преломленной волной. Можно показать, однако, что граничным условиям
удовлетворить возможно только в том случае, если в среде // воз-
возникает еще одна компонента поля, которая называется отраженной
волной. Обозначим ее Етр, //отр. Попытаемся удовлетворить гра-
граничным условиям, предполагая, что преломленная и отраженная
*) Заметим, что часто плоскость поляризации определяют не магнитным,
а электрическим вектором.

$ 18] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ 139
волны являются плоскими, как и падающая, и имеют ту же частоту со.
В очевидных обозначениях (см. также рис. 18)
р _ р pik^r-Ш ff =АЙ у/7
fcnp-ZV , Ппр ЛхХЛпр,
f
р
ft A0.12)
Еотр — •С2е , "отр — м„ «2 * сотр.
Условия непрерывности тангенциальных составляющих поля
могут быть записаны, например, в виде [v х Ег ] e'ft»"ir =
= [v X Ео] е'к'п'г -f- [v X Е2] е'к2Г (при этом /- лежит в пло-
плоскости S). Но векторы Ео, Ег и Е2 считаются не зависящими от г.
Отсюда сразу следует, что требуемая непрерывность будет иметь
место лишь в том случае, когда показатели экспонент совпадают
при г eS, т. е. когда щг = пхг и щг = л2г. Воспользуемся
теперь тождественным равенством г — (rv) v — [vxiv. X г]], откуда
г — — [v X [v x r ]] на S, когда хг = 0. С его помощью получим
Мо Ь' X [v X г]] = fc2«2[v X [v X Г ]] = fetHjv X Иг П.
Из (Б.5) следует л0 [v X [v X г ]] = [v X г ] [л0 X v] и аналогич-
аналогичные формулы для остальных двух векторных произведений. Таким
образом,
([nAXv]-[n.Xv])[vx/'] = 0,
(k2[n0Xv]-k1[n1Xv])[vxr') = 0. { ¦ >
Отсюда следует, что все векторы v, л0, пх и л2 лежат в одной и той же
плоскости (т. е. в плоскости падения). Обозначая углы так, как это
показано на рис. 18, получаем в результате
sin ^2 = sin (я — #0) = sinft0, ^2sin^0 = ^1sin^1. A8.14)
Этими равенствами выражаются законы отражения и преломления
Снеллиуса.
С помощью граничных условий можно продвинуться еще дальше
и определить соотношения между амплитудами *), которые позво-
позволяют вычислить относительные интенсивности падающей, отражен-
отраженной и преломленной волн. Далее можно изучить изменения состоя-
состояния поляризации плоской волны в ходе преломления и отражения.
Заметим, что выведенные выше законы Снеллиуса справедливы
и в том случае, когда среды I я II обладают электропроводностями,
отличными от нуля. Таким образом, например, равенство углов
падения и отражения наблюдается и при падении света на ровную
поверхность воды, и на металлическую амальгаму обычного зеркала.
Соотношения между интенсивностями волн, о которых было упо-
упомянуто выше, могут оказаться при этом весьма различными **).
*) Они называются формулами Френеля.
**) Их вывод и исследование заняли бы слишком много места и потому,
¦ к сожалению, не могут быть приведены здесь. См., например, М. Борн и Э. Вольф,
Основы оптики, «Наука», 1970, § 1.5. Там же рассматривается явление полного
внутреннего отражения.

140 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ • [ГЛ. 4
18.4. Рассмотрим процесс сложения полей двух плоских моно-
монохроматических волн, т. е. опишем простейший случай явления
интерференции. Предположим, что обе эти волны имеют одну и ту
же частоту со и запишем их в комплексном виде: Ех = Ахе~ы ,
Ег = A2eriat. Здесь Аг и Аг — комплексные амплитуды, причем
можно предполагать, что множитель ёкг включен в них. Результи-
Результирующее поле благодаря принципу суперпозиции, который в свою
очередь выполняется по причине линейности уравнений Максвелла,
а в данном случае — однородного волнового уравнения, запишется
в виде Е = Ej + Е2. Обозначим через А амплитуду поля Е.
Разумеется, представляет интерес тот поток энергии, который пере-
переносится полем Е. Будем считать, что наблюдение поля Е совер-
совершается в течение промежутка времени, достаточно большого по
сравнению с периодом колебаний, так что наблюдателя интересует
средний поток энергии за это время. Тогда применимы соображения,
рассмотренные на стр. 131 в § 17 и приводящие к формуле A7.18).
Имея в виду общий случай однородной изотропной среды, когда
справедливы соотношения A8.8), можно записать абсолютную
величину вектора Умова — Пойнтинга для поля излучения в виде
<(Re?J>.
а
и
<(Re Ef) = V, IЕ Is = Vi I Ei + E2 |a =
Угловые скобки, как и в § 17, обозначают усреднение по времени.
В нашем случае равенство A7.18) принимает следующую форму:
A8.15)
Первые два члена описывают интенсивности каждой из волн в от-
отдельности, последнее же слагаемое называется интерференционным
членом. Заметим, что мы переписали формулу A7.18) в применении
к векторам вместо их абсолютных значений, что, как легко убедить-
убедиться, не нарушает условий ее вывода. Множители типа ёкг, упомяну-
упомянутые выше, взаимно сократятся в правой части A8.15), так что
в дальнейшем их также можно не учитывать. Запишем теперь комп-
комплексные величины Аг и А2, отделяя вещественные и мнимые их
части в виде Ala = aae'sa, A2a = baeih<x, где аа, Ьа, ga, ha вещественны
и а — 1, 2, 3. В этих обозначениях
Re(iMJ) = 2 flARe[e'(ga-^)] = 2«AcC0s(?a-/ia). A8.16)
a a
Предположим теперь, что условия эксперимента обеспечивают
равенство разностей ga — ha при всех a: ga — ha = б (a = 1,2,3) *).
*) Такие условия обеспечиваются в классических опытах с бипризмой Фре-
Френеля, билинзой Бийе и пр. (см. любой курс общей физики), когда интерферируют
две волны, исходящие из одного и того же источника.

§ 18] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ 141
Величина б называется разностью фаз волн, приходящих в точку
наблюдения. Тогда интерференционный член примет вид
I = (a&)cos6. A8.17)
Все эти результаты получены без использования того факта,
что электромагнитные волны чисто поперечны *). Рассмотрим част-
частный случай интерференции двух волн, не предполагая заранее,
что они поперечные, когда обе волны распространяются в направ-
направлении 3, электрический вектор одной из них лежит в плоскости
A, 3), а электрический вектор второй — в плоскости B, 3). Тогда
в использованных выше обозначениях а2 = О, ЬХ = 0 и J12 =
= аф3 cos б. Опыты Френеля и Араго показали в свое время,
однако, что при этих условиях на самом деле J12 = 0 независимо
от величины б, так что интерференция отсутствует. Отсюда нужно
заключить, что а3 = Ь3 = 0, т. е. что волны действительно попе-
поперечны, как это и следует из общей теории.
В упомянутом частном случае распространения выпишем фор-
формулы для интенсивности поля Е, предполагая еще, что обе волны
линейно поляризованы и их электрические векторы направлены
вдоль оси 1. При этом а2 = а3 — Ь2 = Ь3 = 0, так что полная
интенсивность равна / = 1г + /2 + 2 Vhh cos б, где /х = а\/2,
/2 = Ь\12. Таким образом, интерференция будет наблюдаться в виде
чередования максимумов интенсивности при |б| = 0, 2я, 4я, ...
с ее минимумами при 1б| = я, Зя, 5я, ... Удобно с помощью соот-
соотношения А/ = Х0б/2я ввести так называемую оптическую разность
хода А/ двух волн; здесь \ —длина волны в вакууме, соответст-
соответствующая частоте со.
Мы рассмотрели интерференцию двух монохроматических волн.
Весьма важной проблемой является определение тех условий, при
которых электромагнитные волны, порождаемые физическими источ-
источниками в реальных условиях, могут интерферировать. Допустим,
что излучение, наблюдаемое в некоторой точке пространства,
создается N источниками. Каждый из них создает в этой точке свое
поле Ek, Hk (k = 1, 2, ..., N). Так как электромагнитное поле
удовлетворяет принципу суперпозиции, все источники вместе по-
рождают поле E—^Ek и 7/= ^ Hk. Поток энергии поля,
который, как мы видели ранее, и характеризует явление излу-
излучения, определяется абсолютной величиной вектора Пойнтинга
*) Действительно, при их выводе не применялась теория электромагнитного
поля, так что они справедливы для волн любой природы.

142 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. 4
Как мы уже упоминали, наблюдается обычно среднее значение-
вектора Пойнтинга за некоторый промежуток времени (обознача-
(обозначаемое угловыми скобками). Таким обрааом, интенсивность /р поля
излучения в точке Р выражается формулой
Если выполняется условие2 (EkxHt) = 0, т. е. I(P)=
k
где Sk — вектор Пойнтинга, соответствующий k-щ источ-
источнику, то рассматриваемые поля Е, Н называются некогерен-
некогерентными. Интерференция в принципе возможна, лишь если усло-
условие некогерентности не имеет места (мы вынуждены ограничиться
этим «отрицательным» определением). Выше было показано, что
две монохроматические волны интерферируют. Условия когерент-
когерентности в общем случае слишком сложны, чтобы можно было рассмот-
рассмотреть их здесь; для этого требуется подробное изучение усреднения
полей *). Вообще говоря, поле не является когерентным, если его
слагаемые можно считать взаимно статистически-независимыми.
Это условие выполняется для естественных источников света, поле
излучения которых порождается обычно огромным числом незави-
независимо излучающих атомов. Однако в настоящее время существуют
и широко применяются такие оптические и радиотехнические прибо-
приборы (например, лазеры), которые создают почти монохроматическое
излучение. Принцип действия таких приборов основан на квантовой
теории **).
§ 19. Релятивистские преобразования плоской волны
19.1. Обратимся к вопросу о том, как электромагнитное поле
плоской волны в вакууме описывается с точки зрения различных
инерциальных систем отсчета. В предыдущей главе уже говорилось,
что такие особенности поля излучения, как взаимная ортогональ-
ортогональность векторов В и Е и равенство их абсолютных величин обладают
релятивистской инвариантностью. Заметим теперь, что условие
Лоренца для плоской волны, выраженное формулой A8.3), можно
переписать в виде
й'Ф; = 0, A9.1)
если обозначить k° — со/с и вспомнить определение четырехмерного
вектора потенциала G.3). В § 7 мы убедились, что условие Лоренца,
сформулированное для потенциалов общего вида, релятивистски-
инвариантно. Отсюда следует, что и соотношение A9.1) для потен-
*) См. цитируемую выше книгу М. Борна и Э. Вольфа, гл. 10.
**) Элементарную теорию их см., например, в книге Н. И. Калитеевского
«Волновая оптика».

§ 19] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 143
циалов плоской волны инвариантно. Но это может быть лишь
в том случае, когда четыре величины W являются компонентами
пространственно-временного (т. е. четырехмерного) вектора. Отсюда
следует также, что фаза плоской волны может быть записана в виде
кг — at = kr — k°x° = —k'xt, т. е. она релятивистски-инвари-
релятивистски-инвариантна. Четырехмерный вектор К при этом является нулевым, т. е.
удовлетворяет равенству k'kt = 0.
Умножим теперь вектор Е, определяемый формулой A8.4), ска-
лярно на единичный вектор п: En = i (k(fa — kAa) = 0. Оче-
Очевидно, что образованное скалярное произведение имеет релятивист-
релятивистски-инвариантный характер. Поэтому поперечность электрического
(и аналогично — магнитного) вектора по отношению к направлению
распространения плоской волны — также релятивистски-инвари-
релятивистски-инвариантное свойство.
Пусть в инерциальной системе К плоская волна характери-
характеризуется величинами ft и со. В системе отсчета К', которая движется
относительно К со скоростью v, та же плоская волна будет иметь
волновой вектор ft' и частоту со'. Значения ft' и со' связаны с ft и со,
как показывает предыдущее рассуждение, преобразованиями Ло-
Лоренца вида E.12), причем ft преобразуется как радиус-вектор г, а
со/с — как координата времени х°. Удобно записать эти формулы
преобразования в следующем виде:
A9A)
о'=7(со — Щ. A9.22)
Как всегда, значком _L отмечается составляющая, ортогональная
к относительной скорости v. При этом Л = --я и k' = --n'.
Первую из этих формул можно также переписать несколько иначе,
а именно ft' = ft + (Y — 1)Лц — у -%г», откуда следует, что век-
тор ft' лежит в плоскости, содержащей векторы ft и г).
Преобразование частоты A9.22) представляет собой релятивист-
релятивистскую формулировку эффекта Доплера. Если обозначить через д
угол между векторами ft и г), то A9.22) можно более подробно пере-
переписать в виде
!^
Отметим свойство релятивистской формулы A9.3), качественно
отличающее ее от нерелятивистского описания эффекта Доплера.
Если О = я/2, т. е. световая волна попадает в систему отсчета
наблюдателя по направлению, ортогональному к его скорости v
относительно источника, то эффект Доплера не исчезает, как это
было в классической теории, а выражается формулой со' = со/)/! — ^

144
СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
[ГЛ. 4
(поперечный эффект Доплера). Такая связь частот обусловлена
эффектом релятивистского замедления времени в движущейся систе-
системе. Можно представить себе, например, что «покоящаяся» система
отсчета К соединена с источником, излучающим световые волны,
имеющие частоту со. Тогда должно выполняться равенство ai'dt' =
= со dt, так как число, например, максимумов волн, подсчитываемых
двумя наблюдателями за соответственные промежутки времени,
должно быть одним и тем же. Но dt' = dt |/"l — р2. В случае же,
когда движение имеет и радиальную составляющую, нужно еще
учитывать классический эффект Доплера *).
Обозначим через ¦&' угол, образуемый вектором k' с направле-
направлением вектора v (выше мы видели, что этот угол отсчитывается в той
же плоскости, что и угол ¦&). Проекции преобразования A9.2!) на
направления, ортогональное и параллельное v, имеют вид
со' sin ¦&' — со sin ft, со' cos ft' = yu> (cos ft — v/c). A9.4)
Поделив первое равенство на второе, получим
У I — р2 sin ft
:- cos ft—p ¦
A9.5)
Предположим, что kv ~ 0, т. е. ft ~ я/2, а скорость относитель-
относительного движения нерелятивистская, так что р <J 1. Пусть, однако,
cos ft <^ р (например, можно рассмотреть
случай, когда угол ft точно равен я/2).
Тогда tg О' = —Р. Для интерпретации
этой формулы можно рассмотреть в каче-
качестве источника света какую-либо звезду,
расположенную на небесном своде таким
образом, что в связанной с нею системе от-
отсчета направление движения Земли по ор-
орбите образует с испускаемым звездой лу-
лучом света угол ¦&. Тогда формула A9.5)
определяет тот угол, под которым эта звезда
будет видна с движущейся Земли. Смысл
только что рассмотренного нерелятивист-
нерелятивистского приближения понятен без дальней-
дальнейших объяснений из рис. 19. Этот эффект
наблюдается в астрономии и называется астрономической абер-
аберрацией. Предсказываемые точной формулой A9.5) поправки по-
порядка р2 и выше слишком малы, чтобы их можно было измерить
в настоящее время.
Релятивистскую аберрацию A9.5) следует рассматривать как
эффект, возникающий благодаря сложению скорости света со ско-
Рис. 19.
*) Поперечный эффект Доплера был экспериментально обнаружен в 1938 г.
Айвсом и Стилвеллом.

§ 191 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 145
ростью наблюдателя относительно той системы, в которой источник
света покоится. Это сложение должно производиться по релятивист-
релятивистской формуле E.13). Из нее непосредственно видно, что скорость и'
лежит в плоскости, определяемой векторами и и v. Обозначая
через О угол между этими векторами, а через О' — угол между и'
и v, можно спроектировать обе стороны выражения E.13) на на-
направление г) и на ортогональную к v плоскость, а затем поделить
второе из полученных при этом выражений на первое. В результате
получим
*ipEE\ A9.6)
В частном случае, когда и = с, формулы A9.6) и A9.5) совпадают.
Формулу сложения скоростей уместно применить также для
объяснения результата опыта Физо, в котором измерялась скорость
света, распространяющегося в движущейся со скоростью v относи-
относительно наблюдателя среде. Как мы уже отмечали, скорость света
по отношению к покоящейся среде равна cln, где п з= ]/e(i, ас —
скорость света в вакууме. Без ограничения общности можно считать,
что среда движется вдоль оси х в системе отсчета наблюдателя,
а свет распространяется в том же (или в прямо противоположном)
направлении. Тогда можно применить преобразование Лоренца
частного вида от системы отсчета, движущейся вместе со средой,
к системе наблюдателя и взять соответствующую формулу сложений
скоростей E.13'). Если обозначить через с' скорость света по отно-
отношению к наблюдателю, то из E.13') следует, что
c_ W _v\ c_+v[l_ J\ A9J)
П /\ ^ СП I П \ rfij '
1 ;t V/СП \П /\ ^ СП I П
при нерелятивистских скоростях v движения среды. Таким образом,
нужно не просто сложить скорость света cln со скоростью v среды,
что следовало бы из преобразования Галилея, но еще умножить
предварительно эту скорость на так называемый коэффициент
Френеля 1 — Ш2. Этот результат здесь просто следует из реляти-
релятивистской кинематики и справедлив, разумеется, не только для
плоских волн, но и для световых импульсов произвольной формы,
распространяющихся в среде с групповой скоростью cln *).
19.2. Рассмотрим, как преобразуется абсолютная величина
вектора электрического поля в волновой зоне при переходе к новой
системе отсчета. Вначале не будем предполагать, что волна плоская,
а используем лишь условие поперечности. Выберем начало системы
пространственных координат в некоторой точке пространства
системы отсчета К, через которую проходит световая волна, напра-
направив ее оси так, как показано на рис. 20. Направление вектора v
*\ О понятии групповой скорости см. в § 39.

146
СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
[ГЛ. 4
относительной скорости новой системы /(' определим с помощью
полярного угла О и азимутального угла ?. Возведем в квадрат
первую из формул G.14). Обозначая vt == vlv, получим Е'2 =
= — P'Y2(?©1J-(-Y ?Н—Хд . Но
Evt = E cos ? sin d,
Гу X в]2 = Р2?2 A - cos2 (B?v)) = р2?2 A - sin2 ? sin2 0),
причем в последних двух равенствах было учтено, что Е = В в вол-
волновой зоне. Окончательно, после приведения подобных членов:
). A9.8)
С помощью формулы Доплера A9.3) этот результат для плоских
волн может быть выражен в виде
A9.9)
Соответствующая плотность потока энергии определяется абсо-
абсолютной величиной вектора Умова — Пойнтинга
S' = с?'2 = S A
cos
отсюда
S'/S = (со'/соJ.
A9.10)
Интересно подсчитать, какая энергия заключена в конечном
объеме, движущемся вместе с плоской волной. Для этого необхо-
необходимо провести некоторые вспомога-
вспомогательные рассуждения. Пусть имеются
две инерциальные системы: система /( и
движущаяся относительно нее со ско-
скоростью v система К.'. Для наших це-
целей достаточно считать при этом, что
выполняются условия, при которых
системы К и К' связаны между со-
собой преобразованием Лоренца част-
частного вида. Рассмотрим некоторую
пространственную область, все точки
которой чмеют по отношению к систе-
системе К' скорость и', образующую с
осью х' угол ¦&'. Обозначим че-
через dV0 «собственный» объем этой
области, измеренный неподвижным относительно нее наблюдателем.
С точки зрения системы К' объем области, как мы видели при вы-
выводе уравнения E.10), равен dV = dV0 УI — и'2/с2. Относительно
Рис. 20.

§ 19] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 147
системы отсчета К та же движущаяся область имеет скорость и, кото-
которую можно определить с помощью релятивистской формулы сложе-
сложения скоростей E.13'). Из этой формулы следует
и'2
u'v cos •&' + а2 — (и'У/с2) sin2 ¦&'
откуда VI -u2/c2 = [l + (u'v/c*) cos Щ'1 VT~ и* Id1 Y{ —%• Но
dV = dV0 V"l — u2/c2 — это объем с точки зрения системы отсчета К,
поэтому dV = dV'|/"l—p2fl ^--Pcos^'V1. Заметим, что при
и' -> с одновременно и -> с, а объемы dV и dF' стремятся к нулю.
Однако выведенная формула показывает, что отношение dV/dV
в этом пределе принимает определенное значение. Именно, при и'-ус
dV = dV У7^р*/A + р cos О'), т. е. dV ¦ со = dV ¦ со'.
Энергия поля, содержащегося в объеме V, определится равен-
равенством: W=1/2\(E2 + Hi)dV = \E*dV. Но мы видели, что ?2
преобразуется пропорционально со2. Используя только что полу-
полученное соотношение для V, придем к выводу, что
W/a = W'/a>'. A9.11)
Обозначим через D общее значение этого отношения, являющееся
инвариантом преобразований Лоренца. Полный импульс поля,
заключенный в объеме V, на основании формул § 3 равен
Таким образом, величины Wlc и Р образуют совместно четырех-
четырехмерный вектор нулевой длины (W2/c2 — Р2 — 0), пропорциональный
вектору U'. Квантовая теория утверждает, что D — Nh/2n, где
N — произвольное целое число, a ft — постоянная Планка. При
N = I мы получаем соотношения, выполняющиеся для отдельного
кванта поля излучения — фотона. Так, из определения длины
волны % = c/v = 2яс/со получим, в частности,
G = h/X, $ = h(x>/2n. A9.12)
Здесь Ш — энергия, a G — импульс фотона.
19.3. В заключение этого параграфа покажем, как релятивист-
релятивистские формулы преобразования позволяют определить характерис-
характеристики световой волны, отраженной от движущегося зеркала. Пусть
в системе отсчета К, относительно которой зеркало движется со
скоростью v, световая волна, падающая на зеркало, характери-
характеризуется частотой со и направление ее распространения образует
с осью х угол О0. В системе К', движущейся вместе с зеркалом,
согласно формулам A9.2), получим частоту со' и волновой вектор к'.

148 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. 4
Мы запишем здесь эти формулы для большей наглядности в виде,
соответствующем частному преобразованию Лоренца от К к К.':
Предположим, что в системе К.' выполняется обычный закон
отражения Снеллиуса A8.14), выведенный выше. Тогда в этой
системе отраженная волна получится просто заменой п'х> на —п'х>,
т. е. для этой волны «'у = — (cos 00 — Р)/A — р cos ®0). А теперь
с помощью формул преобразования, обратного по отношению к
A9.2),для отраженной волны, рассматриваемой уже с точки зрения
системы /С, находим
- - «¦
sinA_n _ ny'^t=y_ sindo(l-p^) -л, i OR sin ^ cosfl
sintr-rty- 1 + pn^ - l _2p cos *o + P2 ~ °+ P ° °"
A9.13)
В конце каждой строки указано нерелятивистское приближение.
Эти формулы играют важную роль в теории теплового излучения,
будучи основой вывода закона смещения Вина, который рассматри-
рассматривается в § 22.
§ 20. Принцип Гюйгенса. Основы теории дифракции
20.1. Перейдем к вопросу о том, что произойдет, если распро-
распространяющееся в пространстве поле излучения встретит какое-либо
препятствие (например, в виде экрана с отверстиями). Эта проблема
(составляющая предмет теории дифракции) очень важна для оптики
и теории распространения радиоволн. Из курса общей физики
читатель знаком с элементарной формулировкой принципа Гюйген-
Гюйгенса и методом рассмотрения дифракции с помощью зон Френеля.
Здесь мы имеем возможность, опираясь на известное уже решение
волнового уравнения, изучить постановку задачи о дифракции в бо-
более общем виде.
Вспомним запись решения неоднородного волнового уравнения
в виде формул A3.8) и A3.9). Как было указано в начале § 13, в ка-
качестве функции ф может быть взята любая из декартовых компонент
векторов Е и В. Пусть область, в которой нас интересуют напря-
напряженности электромагнитного поля, не содержит источников этого
поля и имеет граничную поверхность а. Тогда на основании упомя-
упомянутых формул должно выполняться соотношение между значением

5 201 ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 149
поля в точке наблюдения и его значениями на замкнутой граничной
поверхности а, окружающей эту точку.
Напомним, что R — г— г'.
Считая, что зависимость функции г|) от времени — гармоничес-
гармоническая, т. е. что я|; (г, t) = \\> (г) ехр (—гсо^), можно сразу же пере-
переписать предыдущую формулу в виде соотношения между амплиту-
амплитудами:
§^[ ('±)§]в. B0.1)
При выводе равенства B0.1) следует заметить, что в рассматриваемой
области функция ty (r) должна быть решением однородного уравне-
уравнения Гельмгольца *). Применим теперь к этой области формулу
Грина (Б.28), считая, что функция ср = G является функцией Грина
для уравнения Гельмгольца, т. е. (А + k2) О (г, г') = —6 (г — г').
Тогда, интегрируя, как это было сделано и в § 13, по штрихованной
переменной, получим
г]5 (г) = <^)«(G grad' ф — ф grad' G) da. B0.2)
Если в качестве функции Грина подставить в B0.2) фундамен-
фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в виде расходящейся
сферической волны, определяемой формулой (Д. 17) со знаком плюс
в показателе степени, то мы возвратимся к соотношению B0.1).
Однако формула B0.2) — более общая, так как произвольная функ-
функция Грина G может быть получена как сумма фундаментального
решения, использованного при выводе B0.1), с общим решением
однородного уравнения-. Легко также заметить аналогию между
соотношением B0.1) и формулами § 11, связывающими электростати-
электростатическое поле в точке наблюдения с простым и двойным слоями, нане-
нанесенными на граничную поверхность. Из предыдущих рассуждений
ясно, что вид интеграла в B0.2) должен определяться действием
источников, находящихся, по предположению, вне поверхности
а, но обуславливающих существование поля внутри этой поверх-
поверхности.
В области, ограниченной поверхностью а, единственность реше-
решения г]; обеспечивается, как это было и в случае статического поля
(см. § 11), заданием на а либо только значений \|) (задача Дирихле),
либо только dt|>/dn (задача Неймана). Доказательство этого факта
вполне аналогично проведенному в § 11, если использовать уравне-
уравнение Гельмгольца, а не уравнение Пуассона, Поэтому значения \|)
*) См. формулу (Д. 14).

150
СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
[ГЛ. 4
и &ф/дп не могут быть заданы на поверхности одновременно произ-
произвольным образом, а B0.1) является интегральным соотношением,
непротиворечивость которого нуждается в проверке в каждом
конкретном случае.
Формулу B0.2) можно интерпретировать как правило, позво-
позволяющее построить электромагнитное поле в точке наблюдения
в виде «суммы» элементарных волн вида G, излучаемых каждым
элементом граничной поверхности о (при этом под знаком интег-
интеграла функции ty и grad' ty следует считать известными, заданными
в качестве граничных значений на а). В частности, в B0.1) эти
элементарные волны являются сферическими. При таком истол-
истолковании B0.2) представляет собой общую формулировку принципа
Гюйгенса.
Рис. 21.
Предположим, что пространство разделено на две части беско-
бесконечной поверхностью, которая обладает некоторыми физическими
свойствами. Эту поверхность мы будем в дальнейшем называть
экраном. Пусть все источники электромагнитного поля находятся
по одну сторону от экрана, сам же экран имеет какое-то количество
отверстий. При падении поля излучения, создаваемого источниками,
на экран, часть поля отражается от экрана в обратном направлении,
часть же проходит через экран в другое полупространство. При этом
представляет интерес сравнение проходящей волны с падающим на
экран излучением. Если свойства этого излучения, а также свойства
экрана известны, то определение проходящей волны представляет
собой одну из основных задач теории дифракции. Можно рассматри-
рассматривать также экран в виде замкнутой поверхности, внутри которой
находятся источники (рис. 21). Область, содержащую источники,
будем в дальнейшем обозначать цифрой /, а область, в которой
измеряется дифрагированное излучение, — цифрой //.
Рассмотрим сначала первый из вариантов постановки задачи
о дифракции (рис, 21, а). Образуем замкнутую поверхность аг + а2,

§ 20] ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 151
часть которой о2 представляет собой полусферу, содержащуюся
в области // и вырезающую из экрана часть av Формула B0.1)
определяет поле в любой точке внутри этой поверхности, если
только известны значения поля на экране аг и на полусфере о2.
Таким образом, т|з(г) = / [аг] + I IR], где / — поверхностный
интеграл, входящий в правую часть формулы B0.1), a R — радиус
полусферы а2. Рассмотрим теперь lim / (R). Значения этого предела
зависят, разумеется, от предположений о свойствах функции i|),
содержащейся под интегралом. Те или иные предположения такого
рода выделяют класс функций, в котором мы ищем решение интере-
интересующей нас проблемы. Будем рассматривать такие функции i|),
которые удовлетворяют условию излучения, а именно, принимают
вид расходящейся сферической волны вдали от экрана, т. е. при
достаточно больших значениях R
JkR
Ф)^-, Я->оо. B0.3)
Легко подсчитать, что на о2
дп R ~ dR R —\Ш ~R~)[~R
и члены порядков l/R, 1/R2 и 1/R3 в подынтегральном выражении
взаимно сокращаются. Остающиеся же члены убывают быстрее,
чем 1/jR3, и, следовательно, если условие излучения выполнено, то
lim I(R) = 0. После перехода к пределу интеграл / [oj будет
R-.-OO
распространен уже на весь экран (разумеется, вместе с имеющимися
в нем отверстиями).
Аналогичным образом при выполнении условия излучения обра-
обращается в нуль интеграл по сфере о2, проведенной в области //,
как это показано на рис. 21, б. Поэтому предыдущее рассуждение
полностью применимо и в данном случае, если вначале граница
области состоит из двух поверхностей ах и а2 и в пределе остается
только интеграл по поверхности alt совпадающей с экраном. Нужно
еще учесть, что в приведенных выше формулах положительным
направлением нормали считается направление из области // в об-
область /, в соответствии с обычным выбором его при использовании
теоремы Гаусса и ее следствий. С физической точки зрения естествен-
естественно изменить этот выбор на обратный. Сделав это, получим
^[ (^)^]o. B0.4)
а,
Итак, поле в области //, в принципе, можно вычислить, если
только известно поле на поверхности cij. Разумеется, даже если

152 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. 4
полностью известны свойства источников, нахождение поля на ог
представляет задачу, разрешимую только в исключительных слу-
случаях. Это поле зависит от физических свойств экрана и при его
определении следует учитывать взаимодействие падающего поля
с экраном. Однако огромное число задач классической оптики ока-
оказывается возможным разрешить с достаточной! точностью, если вос-|
пользоваться так называемым приближением Кирхгофа. Оно содер-j
жит следующие предположения: ;
1. Функции ф и grad ф на at обращаются в нуль всюду со стороны
этой поверхности, примыкающей к области //, за исключением
отверстий.
2. Функции ф и grad ф в отверстиях экрана равны соответствую-
соответствующим величинам падающей волны при отсутствии экрана.
Сформулированные условия, строго говоря, несовместны с мате-
математической точки зрения. Действительно, как уже было упомянуто
выше, значения ф и grad ф нельзя задавать в точках граничной
поверхности независимо одни от других. Нужно заметить также,
что если в экране имеются отверстия, то предположения 1 и 2 при-
приводят к тому, что вдоль контура каждого из этих отверстий функция
ф испытывает разрыв непрерывности, в то время как теорема Грина
справедлива только для функций, непрерывных всюду на граничной
поверхности о. Успешность приближения Кирхгофа в оптических
задачах объясняется главным образом тем, что отношение длины
волны к характерным размерам отверстий в этих задачах мало *).
Поэтому дифрагированное излучение в основном сохраняет на-
направление падающей волны и предположение о равенстве нулю поля
на затененной стороне экрана приблизительно выполняется.
Формулу Кирхгофа B0.4) можно в принципе заменить другим
соотношением, которое строго соответствует теореме единственно-
единственности. Для этого нужно вернуться к уравнению B0.2) и, вместо того
чтобы брать в качестве функции G фундаментальное решение урав-
уравнения Гельмгольца, определить эту функцию с помощью следующих
дополнительных условий:
G = 0 на ох, /?|*-м)->0 при /?->оо. B0.6)
Благодаря второму из них
при R -*¦ оо, если по-прежнему предполагать, что функция ф удов-
удовлетворяет условию излучения. Первое же из условий B0.5) выражает
отличие функции G от сферической волны, использованной ранее.
*) Обычно взаимодействие вещества экрана с излучением можно считать
сильным на расстояниях порядка длины волны.

§ 20] ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 153
Благодаря ему член в подынтегральном выражении, умноженный
на dty/dn, исчезает и результат записывается в виде
gdcr. B0.6)
Таким образом, здесь достаточно знать лишь граничные условия
для функции i|), и предположение Кирхгофа, относящееся к этой
функции, может быть использовано без каких-либо противоречий.
С физической точки зрения, однако, применение условий Кирх-
Кирхгофа и в данном случае можно оправдать лишь приближенно, так
как электромагнитное излучение всегда взаимодействует с экраном
и потому в отверстиях отличается от падающей волны. Кроме того,
оно не может и полностью исчезать на затененной стороне экрана.
С точки же зрения практического вычисления применение формулы
B0.6) связано с необходимостью определения функции Грина,
удовлетворяющей условиям B0.5). При этом первое из них факти-
фактически требует нахождения своей функции Грина для каждой кон-
конкретной формы экрана. Решение такой задачи представляет зна-
значительные математические трудности и может быть получено в зам-
замкнутом виде лишь в случае плоского экрана. Математическая же
нестрогость формулы Кирхгофа мало сказывается в том приближе-
приближении, в котором она применима, но компенсируется ее общностью.
Рассмотрим теперь геометрическую поверхность оь не являю-
являющуюся экраном (т. е. лишенную каких-либо физических свойств)
и разделяющую все пространство на области / и //, как это показано
на рис. 21. Тогда в области // при выполнении условия излучения
поле ty (г) будет определяться формулой B0.4), где интегрирование
проводится по всей поверхности аъ а под интегралом стоит выраже-
выражение для падающей волны. Пусть теперь с поверхностью aL совпадает
материальный экран, прорезанный, как и ранее, отверстиями.
Обозначим ч&рез а<а) сплошную часть экрана аъ а через а<*> его
геометрическую часть, образованную отверстиями, так что можно
записать аг = о<а) + а<6). Если применимо приближение Кирх-
Кирхгофа, то поле tyb (г) в области // определяется только интегралом
по а[Ь). Заменим сплошную часть экрана а<и-> отверстиями, а отвер-
отверстия а[Ь) — сплошной поверхностью. В этом случае поле tya (r)
в области // определяется интегралом, взятым только по а'а>, Из этих
соображений сразу же следует, что ipo (г) + tyb (r) — ty (r). Экра-
Экраны, для которых вычислены дифрагированные поля % и г|зь, естест-
естественно назвать взаимно дополнительными. Выведенное только что
равенство называется принципом Бабине для дифракции на таких
экранах.
Важно отметить, что выведенные до сих пор формулы являются
скалярными, т. е. все компоненты векторов Е и В рассматрива-
рассматриваются отдельно одна от другой, Такая скалярная теория дифракции

154
СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
[ГЛ. 4
не позволяет рассмотреть эффекты, связанные с тем, что поляри-
поляризация дифрагированной волны может изменяться. Эти эффекты
часто существенны, например, при изучении дифракции электро-
электромагнитных волн в диапазоне радиочастот. Имеется векторное обоб-
обобщение формулы Кирхгофа, позволяющее их вычислить.
Проще всего такая задача решается записью формулы B0.2)
для каждой компоненты вектора Е и векторным сложением, в ре-
результате которого получаем
E{r) = §[G (ngrad')E-E(ngvad' G)}da. B0.7)
Аналогично записывается выражение для В. Формула B0.7) ока-
оказывается, однако, неудобной для вычислений. На практике чаще
используются другие форму-
формулы *).
20.2. Не имея возможности
изучать здесь векторные фор-
формулы, попытаемся несколько
продвинуться вперед в физи-
физической интерпретации соотно-
соотношения B0.6) для простейшего
случая. Именно, предполо-
предположим, что экран плоский, при-
причем плоскость его опреде-
Рис 22. ляется уравнением г — 0, а
точечный источник излучения
расположен в точке Р с координатами х, у, г (рис. 22). Пусть
точка S — зеркальный образ точки Р относительно экрана, т. е.
она имеет координаты х, у, — г. Составим для произвольной точ-
точки Q с координатами ?, "л, ? (на рисунке она изображена лежащей
в плоскости экрана, т, е. при ? = 0) функцию
Экран
oikr>
eikr*
Г],
B0.8)
Легко видеть, что эта функция удовлетворяет условиям, опре-
определяющим функцию Грина, в том числе и условиям B0.5). Из
последующего вывода будет ясно, что особенность функции G в точ-
точке S (т. е. при г2 = 0) роли не играет. Из B0.8) следует
-tkr'
d
d le"
'dr.
Если точка Q находится на экране, то (см. рис. 22) гх = г2 = г,
дгл дг« ( ""^ \ да dQ с д (eikr\ ( -^ \ „
Щ = - ас = cos ^- г> т- е- Ш - ~ Ж = 2 дг Ы cos Vй' '•)¦ Но
*) См., например, X. Хёнл, Л. Мауэ, К. Вестфаль, Теория дифракции,
«Мир», 1964, стр. 33—35.

§ 20] ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 155
д (eikr\ ., eikr I. 1 \ 2ni eikr n
5-—) = tk— 1 — T7- }c^— , если считать, что источник Р
дг \ г I г \ ikr) Кг
находится далеко от экрана, а именно /ег = -^^>1. Теперь B0.6)
при подстановке функции Грина B0.8) примет вид
*Ч (г) = ^ J ^ cos (л» ф da, B0.9)
о
где, в соответствии с приближением Кирхгофа, интегрирование
производится лишь по отверстиям в плоском экране. Итак, формула
B0.9) говорит о том, что из каждого элемента da отверстия выходит
сферическая волна, амплитуда и фаза которой определяются па-
падающей волной г]:. Поле по ту сторону отверстия представляется
в виде суперпозиции этих сферических волн. Мы вновь получили
принцип Гюйгенса в его наиболее наглядной формулировке.
Подставим для подынтегральной функции ф значения, соответ-
соответствующие падающей сферической волне с амплитудой А, испускае-
испускаемой точечным источником, находящимся на расстоянии г' от отвер-
отверстия. Тогда
B0л0)
Если характерные размеры отверстия, т. е. области интегрирования
в правой части B0.10), малы по сравнению с г и с г', то множитель
cos (я, r)lrr' почти постоянен и его можно вынести за знак интегра-
интеграла. Для применимости приближения Кирхгофа нужно, кроме того,
считать, что k — большая величина, и поэтому функция eik^r+r">
очень быстро осциллирует. Разложим г по степеням | и х\, причем
\ = 0. Если R — значение г, соответствующее началу координат О
(помещаемому, как и раньше, на плоскости экрана), а а и E — нап-
направляющие косинусы луча, соединяющего точку О с точкой наблю
дения, относительно осей | и tj, то разложение имеет вид
. У . _1_ /62 | 2\
S D I I 9D w I I /
A ^t\
5R2 + Ti"-K + PyJ]. B0.11)
Пусть a0, po — аналогичные косинусы для луча, соединяющего
источник Р с точкой О, а —а0, — E0 — для противоположного
вектора. Для г' можно записать приближенное выражение, анало-
аналогичное B0.11), с заменой R на R' и а, E — на а0, р0. Отсюда
exp [ik (г + г')] = exp [ik (R + R')) exp (—ikQ>), где Ф — квадра-
квадратичная форма относительно \ и т}, которую легко выразить в явном
виде с помощью использованных разложений вида B0.11). Считая
медленно изменяющийся множитель под интегралом равным его

156 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. 4
значению в точке О, получим
(г) = ^А-. cos (tCR) eik <*+«'> J е-** d? Л). B0.12)
При всех использованных предположениях задача о вычислении
дифрагированной волны сводится, таким образом, к вычислению
интеграла, входящего в формулу B0.12), по площади отверстия.
Если еще можно считать, что R -> оо и R' -> оо, то выражение для
Ф сводится к линейной функции: Ф ~ (а — а0) | + (E — E0) -ц,
и вычисление существенно упрощается. Такой случай называется
дифракцией Фраунгофера. Общее же выражение B0.12) определяет
дифракцию Френеля.
Так же, как и в предыдущих параграфах, мы ограничим изуче-
изучение явления дифракции одной лишь постановкой задачи и кратким
обсуждением ее физического смысла, приведенным выше. Для реше-
решения конкретных проблем математической физики, относящихся
к дифракции, развито большое число методов, подробное описание
которых можно найти в специальных монографиях *).
§ 21. Приближение геометрической оптики
21.1. Описание поля излучения в пределе очень коротких длин
волн (К -> 0) может быть сведено к ряду геометрических закономер-
закономерностей.
Предположим, что среда изотропна и не обладает электропро-
электропроводностью. Особый интерес в дальнейшем представляет случай,
когда эта среда неоднородна. Для монохроматического излучения,
как мы видели в предыдущих главах, уравнения Максвелла при
отсутствии источников принимают вид
V? = 0, rot E-ik^H=Q,
dive? = 0, div|x//=0. ( '''
Здесь можно считать, что Н и Е — амплитуды, зависящие
только тэт г. Кроме того, k0 = 2я/Я0 = а/с, где Яо — длина волны
в вакууме, а е и |х могут зависеть от г.
Попытаемся теперь приближенно представить электромагнит-
электромагнитное поле на очень больших расстояниях от источников в комплекс-
комплексном виде:
E~e(r)eik<'C(r)t н=h (r) elk°c <-*, B1.2)
где е, ft, С — вещественные функции. Подставим B1.2) в B1.1).
С помощью формул векторного анализа (см. Приложение Б)
*) См., например, книгу, цитированную на стр. 154,

§ 21] ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 157
лолучающиеся при этом соотношения приводятся к виду
grad С х h -f- ее = — -^ rot h,
grad Cx*-ц* = -^ rot«, B1.з)
(е, gradC) = — w(egrad (Ine) + dive),
I/Co
(Л, gradQ = — ^-(Agrad(l
Нас интересует предел при k0 -> оо. Если в этом пределе правыми
частями предыдущих уравнений можно пренебречь, то получаются
соотношения
= 0, grad Схе —|хЛ =
<>gradC = O. AgradC = 0. ( '
Ясно, что независимыми из этих уравнений являются лишь первые
два. Исключая функцию h, получим
(еgrad С)gradC-e(gradСJ + ще = О,
т. е. на основании третьего из уравнений B1.4)
B1.5)
если обозначить п = щ
Предположения, сделанные при выводе уравнений B1.4), можно
считать оправданными, если е, ц и | grad С | — величины порядка
единицы, а изменения функций е и h на расстояниях, сравнимых
с длиной волны, малы по отношению к самим е a h. Если поле
излучения достаточно резко стремится к нулю на границах неко-
некоторой области (например, там, где начинается тень), то указанное
условие нарушается. Не выполняется оно и в окрестностях фокусов
оптических приборов, где интенсивность излучения резко возрастает.
Функция С, введенная определением B1.2), называется опти-
оптическим путем или эйконалом, уравнение же B1.5) — уравнением
эйконала. Поверхности, определяемые условием
С (г) = const, B1.6)
называются геометрическими волновыми фронтами, а кривые,
ортогональные к этим поверхностям, — геометрическими световыми
лучами. Пусть г = г (s) является параметрическим уравнением
светового луча, причем в качестве параметра s выбрана длина дуги
луча, отсчитываемая от некоторой взятой на нем начальной точки.
Тогда drlds == s есть единичный вектор, касательный к лучу, и
условие ортогональности луча волновому фронту выражается в виде
rtS = nJ=gradC, ' B1.7)'

158 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ 4
Выясним физический смысл вектора s, а именно покажем, что он
определяет направление, в котором распространяется поток энергии
излучения. Так как мы рассматриваем предел очень больших частот,
то для вычисления этого потока должна быть использована усред-
усредненная формула вида A7.18)
<S> = ~Re|>xA]. B1.8)
Подставим сюда h из второго уравнения B1.4). С помощью тре-
третьего уравнения B1.4), а также B1.7), можно преобразовать B1.8)
к виду
v(w)s. B1.9)
Здесь на основании A7.18) среднее значение энергии равно
<ш> = 2<ше> = 2<е2>,
a v — скорость распространения волн в среде, равная с/]/"ц,е. Итак,
наше утверждение доказано. Формулу B1.9) поучительно сравнить
с точной формулой A4.9) для
излучения точечного заряда и
с полученными на стр. 132
аналогичным усреднением по
времени формулами для огра-
ограниченного распределения ис-
источников.
Если в области распро-
распространения излучение не про-
производит механической рабо-
Рис 23. ты, то легко понять, что за-
закон сохранения энергии C.3)
примет вид div 5 = 0. Отсюда и для среднего по времени
следует div (S) = 0. Интенсивность излучения определяется как
абсолютная величина усредненного вектора Пойнтинга: / =
— I (S) I = v (w)- Следовательно, div (Is) = 0. Рассмотрим труб-
трубку, образованную световыми лучами и замкнутую поперечными
поверхностями dax и da2 (рис. 23). Применение теоремы Гаусса
к этой трубке непосредственно дает
h dax = /2 do2, B1.10)
если учесть, что нормаль к боковой поверхности трубки всюду
ортогональна к вектору s. Формула B1.10) называется законом
интенсивности в геометрической оптике. В частности, если свето-
световые лучи исходят из одной точки и прямолинейны (мы вскоре
увидим, что условие прямолинейности выполняется в однородной
среде), то, выбирая в качестве dax и da2 элементы сферических
поверхностей, общим центром которых является источник, получим

§ 21] ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 159
/ (R) = const//?2, т. е. закон обратного квадрата расстояния для
интенсивности излучения.
Соотношение B1.7) можно выразить также в форме
n, B1.11)
где слева стоит производная функция С по направлению светового
луча. Интеграл вдоль светового луча между взятыми на нем точками
я»
Рх и Р2 ^ nds — C(Pi) — C(P1) называется оптической длиной
Pi
этого отрезка луча. Как мы видели выше, п ds = с ds/v = с dt,
где dt — время, за которое энергия распространяется на расстояние
ds по лучу. Отсюда следует, что оптическая длина отрезка светового
луча, деленная на скорость света в вакууме, равна времени, в те-
течение которого излучение пройдет весь этот отрезок.
21.2. Исследуем некоторые дальнейшие свойства уравнения
B1.7). Прежде всего с помощью B1.5) можно исключить функцию
С. Именно
ш [п ъ) = ъ (gfad c)=(*• gfad) gfad c=
= -- (grad С, grad) grad С = ^ grad (grad Cf = ^ grad n2,
В частности, отсюда следует, что d?r/ds2 — 0 при п — const, т. е.
что в однородной среде световые лучи представляют собой прямые
линии.
Далее, непосредственно из уравнения B1.7) следует соотно-
соотношение
rot(/w) = 0. B1.13)
Так как по формуле (Б.143) rot (ns) = grad n X s + п rot s,
то из B1.13) вытекает также, что s rot s = 0. В однородной же
среде, где п — const, выполняется равенство rot s = 0. Рассмот-
Рассмотрим теперь произвольную незамкнутую поверхность о с контуром /.
Проинтегрируем по этой поверхности нормальную к ней составляю-
составляющую rot (ns) и применим теорему Стокса. Вследствие формулы
B1.13)
§/zsd/ = 0. B1.14)
Интеграл в левой части этого равенства называется интегральным
инвариантом Лагранжа. Такое название объясняется тем, что,
как видно из B1.13), значение интеграла вида \ nsdl не зависит
Рх
от формы кривой, соединяющей точки Рг и Р2.

160
СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
[ГЛ. 4
Из теоремы Лагранжа B1.14) выводится вариационный прин-
принцип Ферма (принцип наикратчайшего оптического пути), которому
удовлетворяют реальные световые лучи. Для этого нужно предпо-
предположить, что рассматриваемая область пространства является регу-
регулярной, т. е. что в ней не существует таких точек, в которых свето-
световые лучи могли бы взаимно пересекаться. Подсчитаем оптические
длины отрезка /\Р2 одного из световых лучей и кривой С, соеди-
соединяющей те же точки (рис. 24). Точки Qb Q2
и С1; С2 взяты на пересечениях светового
луча и кривой С соответственно со свето-
световыми фронтами 1 и 2, как это показано на
рисунке. Точка Q'% находится на пересече-
пересечении светового фронта 2 со световым лучом,
исходящим из точки d. Применим теперь
B1.14) к замкнутому контуру C1C2Q'iCi.
Именно
(ns, dl)Ciii tQitQi
Рис. 24. B1.15)
На волновом фронте 2 выполняется соотношение ортогональности
(s, *U)q q'2 = 0, так как dl лежит на этом волновом фронте, а
s — направление светового луча. Далее, из B1.11) видно, что,
(п ds)CiC?j = (n ds)QiQ. Наконец, из определения скалярного про-
произведения (ns, dl)Clc, < (я ds)clc1- Итак, B1.15) принимает вид
(п ds)QlQ, *=? (п ds)Clc2, поэтому
\nds<\nds.
й С
B1.16)
Знак равенства мог бы иметь место, лишь если s dr = ds всюду
на кривой С, т. е. если эта кривая является реальным лучом. Но
такой случай исключается введенным выше предположением, что
через каждую точку рассматриваемой области проходит лишь один
луч. Формула B1.16) и представляет собой математическое выра-
выражение принципа Ферма.
Геометрическое исследование световых лучей является осно-
основой построения теории оптических изображений, на которой мы
не имеем возможности здесь останавливаться *).
§ 22. Основы термодинамики излучения
22.1. Термодинамические свойства поля излучения были впер-
впервые исследованы в трудах Кирхгофа, Стефана, Больцмана, Вина
и Планка, относящихся к последней четверти XIX века. При этом
*) См. подробное изложение геометрической оптики,, например, в книге!
М. Борн и Э, Вольф, Основы оптики, «Наука», 1970, гл. 3 и 4,

§ 22] ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ 161
были получены условия, выполнение которых необходимо для теп-
теплового равновесия излучения с окружающей средой, определено
понятие температуры равновесного излучения, изучено уравнение
состояния последнего и выведен ряд закономерностей, относящихся
к зависимости спектральной плотности энергии излучения от длины
волны. Применение в дальнейшем к излучению основных положе-
положений классической статистической механики привело, как известно,
к противоречию, выход из которого указала квантовая теория
вещества. В настоящем параграфе мы изучим вкратце основные
аспекты термодинамики излучения, непосредственно примыкающие
к классической электродинамике.
Для установления термодинамических свойств излучения чрез-
чрезвычайно важно определить, какое давление оказывает излучение
на вещество. Вычислим давление излучения прежде всего для про-
простого частного случая. Именно, пусть вещество заполняет все
полупространство справа от плоскости х1 = 0, а слева на эту
плоскость падает плоская волна, распространяющаяся вдоль оси
х1. Выделим в веществе цилиндр, основание которого da лежит
на плоскости х1 = 0, а высота равна h. Будем предполагать, что
на расстоянии h от границы вещества все излучение, проходящее
внутрь этого вещества, поглощается последним, так что поля Е
и Н можно считать равными нулю.
Вспомним теперь уравнения C.9) — C.16), определяющие силы,
действующие со стороны электромагнитного поля на среду, которую
будем считать линейной, так что D — гЕ и В = \iff. Считая,
что р = 0 и j — 0, получим
где
ТйР = (EaD& + ЯаВэ) - VA* (ED + НВ). B2.2)
Поперечность электромагнитного поля плоской волны выражается
в нашем случае равенствами ?х = О, #Х = 0. С их учетом объем-
объемная сила /х> действующая ортогонально к границе х1 = 0 на осно-
основании формул B2.1) и B2.2) принимает вид
Поверхностная же сила фъ как следует из соотношения C.19),
определяется равенством J /x dV — \ фх da. Если рассмотреть упомя-
h
нутый выше цилиндр, то отсюда следует yi — \fxdx. Наблюдаемой
о
величиной, однако, является не мгновенное значение этой силы,
но среднее по времени, которое можно определить так:
6 Ю, В. Новожилов, 10. А. Яппа

162 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ (ГЛ. 4
Т
<Ф1> = lim by \ fidt- Таким образом, нас интересует величина
Т —> со *j
h
(<Pj) = J (Jty dx. При вычислении среднего значения </х> с помощью
о
B2.3) учтем, что зависимость от времени вектора Пойнтинга плос-
т
кой волны гармоническая. Поэтому величина \ -^ [ Е х Н\ dt =
-7
7
= [?x//Ji ограничена и при вычислении предела, входяще-
го в определение среднего значения, результат получается равным
нулю. Производя интегрирование первого члена B2.3) по dx
с учетом того, что на глубине h поле обращается в нуль, для вели-
величины давления излучения на границу вещества получим
где до — плотность энергии электромагнитного поля на границе
вещества.
Рассмотрим теперь другой случай. Именно, представим себе,
что излучение заполняет замкнутую полость, окруженную вещест-
веществом (стенками). Свойства вещества внутри полости будем считать
неотличимыми от свойств вакуума, так что в применяемых здесь
гауссовых единицах D = ? и В — Н. Можно считать, что излу-
излучение либо порождается,стенками, либо же излучателями, нахо-
находящимися внутри полости, но занимающими ничтожно малую часть
ее объема. Далее, поле излучения будем предполагать изотропным,
т. е. таким, что в среднем (за достаточно большой промежуток
времени) свойства его одинаковы по всем направлениям. В любых
двух взаимно перпендикулярных направлениях компоненты поля
предполагаются статистически-независимыми. Собственно говоря,
по определению это означает, что выполняются равенства вида
(ЕгЕг) = 0. Кроме того, без доказательства примем, что средние
значения от производных равны производным от средних значе-
значений. Обоснование всех этих предположений требует значительно
более серьезного, чем мы можем предпринять здесь, изучения ста-
статистических свойств электромагнитного поля. Если же они выпол-
выполняются, то вычисление давления становится элементарным.
Среднее значение вектора Пойнтинга равно нулю ввиду стати-
статистической независимости различных компонент поля, выраженной
приведенными в предыдущем абзаце равенствами. Но тогда
1-<т(Ех НУ) = дт (ЕхН) = 0. Кроме того, благодаря предполо-
\ Ot I Ot ii
жению об изотропии выполняются равенства вида {Е2а) = 1/3 Ш3).
Рассмотрим элемент поверхности стенки и направим ось х1 по нор-

22] ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
163
мали к этому элементу внутрь вещества. Из соображений симмет-
симметрии (как для идеального газа в сосуде) следует, что лишь компонента
/t силы может быть отлична от нуля. Все эти соображения с помощью
уравнения B2.3) приводят к результату
V1/ a*1 y-
откуда для давления р получим
Р = $ <fi> dx = 1 <?* + #2> = | ш. B2.5)
К совершенно такому же результату можно прийти, если считать,
что стенки полностью отражают падающее на них излучение. Соот-
Соотношение B2.5) между давлением и плотностью энергии, как мы
вскоре увидим, позволяет получить фундаментальные законы тер-
термодинамики излучения *). Оно играет при этом роль уравнения
состояния «фотонного газа». Во всех дальнейших рассуждениях
мы будем иметь в виду именно такое излучение в полости, для кото-
которого было получено это уравнение.
22.2. Для того чтобы можно было пользоваться термодинами-
термодинамическими соображениями, необходимо определить понятие темпе-
температуры излучения. Естественно считать, что излучение находится
в состоянии теплового равновесия со стенками, имеющими некото-
некоторую температуру 8, если последние за единицу времени поглощают
столько же энергии, сколько излучают. Тогда излучение называется
равновесным и его состояние следует определять той же темпера-
температурой 8-
Заключенное в полости излучение состоит из волн, обладаю-
обладающих, вообще говоря, всевозможными частотами. Если обозначить
через wvdv количество энергии излучения в единице объема, кото-
которым обладают волны, имеющие частоту в пределах от v до v + dv, то
оо
u»=5 wvdv. B2.6),
о
Именно введенная здесь функция wv (спектральная плотность
энергии) представляет в дальнейшем основной интерес.
Казалось бы на первый взгляд естественным предположить,
что распределение энергии равновесного излучения по частотам
должно зависеть от свойств того вещества, с которым это излуче-
излучение находится в равновесии. Однако, как показал Кирхгоф, такое
*) Подробное обсуждение вопросов термодинамики излучения можно найти
в книгах: М. Планк, Теория теплового излучения, и Р. Беккер, Электронная
теория (ОНТИ, 1936), к сожалению, в наше время являющихся библиографиче-
библиографической редкостью. См. также И. Г}, Базаров. Термодинамика, «Высшая школа»,
1976. '

164 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ 4
предположение противоречит второму началу термодинамики: если
бы оно было справедливо, то можно было бы построить вечный дви-
двигатель второго рода. Поэтому имеет место закон Кирхгофа: функция
wv определяется только температурой 8 и не зависит ни от каких
величин, характеризующих конкретные свойства вещества стенок *).
Прежде чем перейти к дальнейшему исследованию свойств
функции wv (б), необходимо ввести еще некоторые величины,
тесно связанные с этой функцией. Рассмотрим внутри полости,
заполненной излучением, бесконечно малый элемент поверхности
do (в частном случае он может совпадать с элементом поверхности
стенки, а вообще говоря, — это бесконечно малая часть произволь-
произвольной геометрической поверхности). Элемент do по всем направлениям
пронизывается излучением, поэтому можно рассмотреть свойства
излучения, исходящего из этого элемента поверхности. Пусть те-
телесный угол dQ исходит из элемента do под углом # к нормали.
Поток энергии, проходящий в этот телесный угол, будет, в част-
частности, пропорционален cos # (так как излучение предполагается
изотропным, а в этом случае поток энергии пропорционален попе-
поперечному сечению трубки, в которую попадает энергия, распростра-
распространяющаяся от do под углом ф). Поэтому энергию, поступающую
за время dt в телесный угол dQ, следует считать равной
К cos ft dQ do dt. Здесь коэффициент К называется яркостью или
удельной интенсивностью излучения и, как обычно, dQ =
— sin ft dft dt,.
Посмотрим, как связаны величины К и w. Пусть do — элемент
поверхности стенки, а V — произвольный, но очень малый объем
внутри полости, находящийся на расстоянии г от элемента do.
Возьмем такой телесный угол dQ, чтобы соответствующий ему
конус пересекался с объемом V; при этом ввиду малости объема V
получается почти цилиндр. Обозначим через df поперечное сечение
и через h — высоту этого цилиндра. По определению телесного
угла, dQ = df/r2. Если какая-то энергия излучается элементом
do стенки за единицу времени в направлении dQ, то в цилиндре
находится часть hlc этой энергии, т. е., согласно определению в пре-
предыдущем абзаце, в нем содержится количество энергии, равное
— К cos $ do-t. Просуммируем теперь по всем пучкам излучение,
исходящее из do и пересекающееся с объемом V. Так как (с достаточ-
достаточной точностью) 2/i df — V, получим энергию, содержащуюся во
всем объеме V; она равна VKdo1^-. А теперь проинтегрируем
по всей границе объема. Результат можно записать в виде
VK С cos ¦» da
)
*) Вывод закона Кирхгофа из второго начала термодинамики см. в книгах^
цитированных на стр. 163,

§ 221 ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ 165
Интеграл в правой части — это сумма телесных углов, под кото-
которыми видна стенка из объема V; он равен 4л. Итак, мы получаем
связь между К и w в форме следующего простого равенства: w =
— —К. Его можно, очевидно, записать в виде соотношения между
спектральными плотностями
wdyKdv
B2.7)
Часто используется понятие одностороннего излучения. Так назы-
называется излучение, испускаемое элементом стенки в полусферу
(т. е. в телесный угол 2л). Соответствующая энергия L равна
Я/2 2л
К I dftcosflsinfl \ йц> = лК. B2.8)
о о
Отсюда и из B2.7) получаем
L = xUcw. B2.9)
22.3. Определив термодинамическое состояние равновесного из-
излучения, можно применять к нему все методы термодинамики.
Так, например, рассматривая равновесное излучение в качестве
«рабочего вещества» гипотетической тепловой машины, можно изу-
изучить соответствующий цикл Карно. При этом определяется энтро-
энтропия теплового излучения. Если состояние излучения определяется
объемом полости и температурой, то основное термодинамическое
соотношение можно записать в обычном виде:
V. B2.10)
Здесь $ — полная энтропия в объеме V, a W — энергия. Нужно,
очевидно, считать, что в наших условиях энергия излучения рав-
равномерно распределена по занятому им объему, так что W = wV.
С помощью B2.10), при использовании уравнения состояния
излучения B2.5), можно вывести закон Стефана — Больцмана:
плотность энергии излучения пропорциональна четвертой степени
температуры. Так как по закону Кирхгофа w зависит только от 9, то
d^dQ. ¦ B2.11)
Подставляя B2.11) и B2.5) в B2.10), получим
Ш1110(|)у=Т1 и EF)e = Tlr Так как^-функция сос-
ТОЯНИЯ, ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ раВеНСТВО ду да ~ да дт/ • ВЫЧИСЛИВ

166 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. 4
эти вторые производные, получим соотношение dw/dQ =
из которого видно, что
ы) = стб4. B2.13)
Здесь сг — универсальная постоянная Стефана — Больцмана, зна-
значение которой равно 5,67 -1Сг"8 Вт-м-2-град-* в единицах СИ. Из
B2.13) и B2.7): /С=^84. Давление р=уа84, а для энтропии
получается результат: S = 4/3 ct83V.
Мы можем перейти теперь к доказательству закона Вина, кото-
который сводит определение спектральной плотности wv (8) к задаче
нахождения другой функции, которая зависит только от v/g.'
В этом доказательстве излучение рассматривается в такой полости,
стенки которой предполагаются абсолютно отражающими (зеркаль-
(зеркальными). По этому поводу нужно сделать следующее замечание.
Из условий вывода закона Кирхгофа и самого этого закона видно,
что равновесное излучение образуется в том случае, когда излуча-
излучатель обладает способностью поглощать все те частоты, которые он
испускает, причем интенсивность поглощения для каждой частоты
равна интенсивности ее испускания. Такой излучатель обычно назы-
называется абсолютно черным телом, а равновесное излучение —
излучением абсолютно черного тела или даже «черным» излучением.
При выводе закона Вина для полости с зеркальными стенками пред-
предполагается, что абсолютно черный излучатель вводится внутрь
этой полости и является очень малым («пылинка сажи»). Именно
благодаря взаимодействию с таким излучателем излучение будет
равновесным. При этом предполагается, что если объем полости
подвергается бесконечно медленному адиабатическому изменению,
то излучение в ходе такого изменения объема остается равновес-
равновесным *). Можно представлять себе полость в виде цилиндра с
поршнем.
Рассмотрим, что будет происходить с функцией wv, когда поршень
движется. Поверхность его, обращенная к излучению, представ-
представляет собой медленно движущееся зеркало. В § 19 мы получили
результаты, показывающие, что при отражении от такого зеркала
частота излучения изменяется. Этот эффект Доплера выражается
первой из формул A9.13) (она понадобится нам здесь в нереляти-
нерелятивистском приближении). Так как одностороннее излучение стенки
определяется соотношением B2.8), а частота v в наших условиях,
как только что было сказано, изменяется, энергия wvdv-V, соот-
соответствующая частоте v, уменьшается за время dt на величину
nKvA dv dt, где А — полная площадь движущегося зеркала. Но
за тот же промежуток времени отражение от движущегося зеркала
переведет другие частоты в интересующий нас интервал от v до
v -f- dv. Вычислим увеличение энергии, соответствующей этому
*) См. цитируемую выше книгу Планка,

<> 22] ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ 167
интервалу частот, которое происходит благодаря такому эффекту.
Обозначим через v' частоту падающего на поршень излучения.
Если излучение направлено в пределах телесного угла dQ, образую-
образующего угол ф с нормалью к поверхности поршня, то за время dt
энергия излучения в интервале частот от v' до v' + d\', как видно
из определения величины Kv, равна AKv cos Ф dQ dtdv'. Это
излучение приобретет частоту v после отражения, если v и v' свя-
связаны соотношением A9.13). Но в § 19 было показано также, что
связь между энергиями и частотами излучения, измеряемыми
в различных системах отсчета, выражается равенством W/v = W N'.
Поэтому при вычислении энергии в системе, неподвижной относи-
относительно стенок, нужно умножить указанное выражение еще на отно-
отношение
.L=l+??cos0. B2.14)
Из всех этих соображений видно, что в интервал частот (v, v +
+ dv) поступит энергия, равная
cos # J dQ dv' dt. B2.15)
A J /Cv
При очень малых разностях v' —v можно, воспользовавшись соотно-
соотношением B2.14), получить Kv = К* + Щ*- (v' - v) = Kv - ^ ^Vcos 0.
Подставляя это значение Kv в формулу B2.15) и интегрируя по
полусфере, получим
Отсюда нужно вычесть указанное ранее уменьшение энергии wvdv
за счет выхода частот из рассматриваемого интервала. Тогда
Но ясно, что Av dt = — dV, и поэтому, если учесть B2.7),
то dCVwv) — -*--^ dV. Так как зависимость wv от V выражает,
по сути дела, зависимость этой функции от времени при движении
поршня, последнее соотношение приводит к уравнению
vdwv v dwv 90 1ft
Для того чтобы определить функцию wv, удобно перейти к новым
переменным: х — V, у = v3V. Рассматривая теперь wv как функцию
этих переменных, можно B2.16) привести к виду ^-
откуда следует, что xwv = ty (у). Функция ijj не может быть

168 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. i
конкретно определена на основании сделанных предположений.
Возвращаясь к прежним переменным, получим
wv(V) = y^(v3V)=Bv\(vsV), B2.17)
где введено обозначение ф = v3i|)/V.
Функция wv рассматривается выше в зависимости от V. Но нас
интересует зависимость wv от б! Для того чтобы получить ее, вос-
воспользуемся записью первого начала термодинамики для адиабати-
адиабатического процесса, связанного с движением поршня:
V = 0. B2.18)
С помощью закона Стефана — Больцмана B2.13) и указанного
в связи с этим законом выражения для р, B2.18) приводится к виду
Отсюда следует, что Vb3 — const. Поэтому B2.17) можно записать
и так:
wv (9) = v3f (v/8). B2.19)
Этим равенством и выражается закон Вина. С его помощью получается
и другой закон Вина — так называемый закон смещения. Для этого
перейдем от распределения энергии по частотам к распределению
по длинам волн: w%dX. Так как | dv | = -^ | dX\, из B2.19) сразу видно,
что W\ (S) = Х~ъ g (Xfi). Обозначим через Хт ту длину волны, при
которой для данной температуры 9 функция w\ (g) достигает мак-
максимума. Условие dw%ldX = и принимает форму: 5g (Хтв) =
= XmQg' (XmQ). Другими словами, произведение XmQ должно быть
равно некоторой универсальной постоянной, определяемой как
корень уравнения 5g (I) = |g'(i). Равенство XmQ = const и выра-
выражает закон смещения.
22.4. Для того чтобы полностью определить вид функции wv (T),
соображений, вытекающих из классической электродинамики и
термодинамики, оказалось недостаточно. Более того, дальнейшее
их развитие привело к явно неверной с физической точки зрения
формуле Релея — Джинса для этой функции. Только возникшая
из исследований Планка и Эйнштейна квантовая теория излучения
указала выход из этих принципиальных трудностей. Полученное
Планком распределение энергии позволяет, в частности, вычислить
ту постоянную, которая должна входить в закон смещения. Резуль-
Результат этого вычисления может быть записан в виде КтТ^ тт^бб'
Здесь h — постоянная Планка, a k — постоянная Больцмана.
Упомянутая формула Релея — Джинса, полностью (но неверно)
определяющая функцию wv (9), была получена с помощью более
детального исследования свойств излучения, которое заполняет

5 22] ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ '69
полость с зеркальными стенками, используемую при выводе закона
Вина. При этом применялось представление поля излучения в виде
бесконечной суммы стоячих волн. Аналогичный метод применяется
и в современной электродинамике, например при переходе к кван-
квантованию электромагнитного поля. Отличие от метода Джинса
состоит в том, что стоячие волны считаются при этом поперечными,
в то время как в полости с отражающими стенками электрический
или магнитный вектор волны обязательно имеет и продольную
составляющую (см. § 38). Если же рассматривать только попереч-
поперечные волны, то можно представлять себе, что поле излучения созда-
создается в вакууме чрезвычайно удаленными источниками. При этом
предполагается, что в поле можно выделить такой объем (например,
кубической формы), что свойства поля остаются неизменными при
переносах на длину ребра этого куба (в направлении любого из его
ребер) достаточно большое число раз (условие периодичности).
Изучим несколько подробнее метод стоячих поперечных волн
ввиду его большого теоретического значения. Формулы A8.3)
и A8.4) показывают, что для того чтобы световая волна была попе-
поперечной, достаточно положить ц>а = 0, так как тогда
пАа = 0, Ea = ikAa и Ba = ik[nxAa].
Таким образом, условие ф = 0 или соотношение div А = 0, сле-
следующее при этом из условия калибровки Лоренца, сами выражают
условия калибровки, допустимые для поля поперечных электро-
электромагнитных волн. При этом
E = — idAt H=votA. B2.20)
Если имеет место периодичность по отношению к кубу со стороной
L, то
A(x + L, у, г) = А(х, y + L, z) = A(x, у, z + L) = A(x, у, z).
B2.21)
При этом в рассматриваемом случае
B2.22) ¦
Будем искать решение этого уравнения в виде
[О 4fl. B2.23)
i
При этом обеспечена вещественность потенциала А (г, t), а комп-
комплексные функции q% и А\ удобнее здесь обозначать с помощью
индексов к, а не со, как это было в § 18. При подстановке B2.23)
в B2.22) переменные разделяются и должны выполняться урав-
уравнения
(А + v?/c2) Ах = 0, q\ + vtqk = 0 B2.24)

170 СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ [ГЛ 4
при любом X. Здесь \{ — постоянная разделения переменных. Реше-
Решениями этих уравнений будут
Ак = сгке'^), ?, = |^|e-'V. B2.25)
При этом \х\\ = vi/c, a e^ — вектор, определяющий направле-
направление поляризации; ввиду поперечности е^ = 0. Таким образом,
<7а А% — это волна, распространяющаяся в направлении -f у.к.
В дальнейшем будем обозначать через 4_х волну, направление
распространения которой определяется вектором — v.%.
Если должно выполняться условие периодичности B2.21), то
компоненты векторов х\ определятся равенствами
хха=^%а (а=1, 2, 3), B2.26)
где пъа — произвольные целые (положительные или отрицатель-
отрицательные) числа.
Из формулы B2.25) следует, что выполняются соотношения
ортогональности и нормировки:
\ D,4*) dV = $ (АХА^) dV = с28м. B2.27)
Здесь и в дальнейшем будем для простоты считать L = 1.
Введем теперь вещественные переменные:
= Qa- B2.28)
Функция
dT, = 2vlqxql = V2 (Pi + v?Q?) B2.29).
имеет вид гамильтоновой функции осциллятора, колеблющегося
с частотой V},.
Покажем, что энергия поля может быть представлена в виде
суммы энергий таких осцилляторов со всевозможными частотами,
т. е.
j 2v B2.30)
Из B2.20) и B2.23) видно, что Е= — ^^(qiAi + qUx). Вычис-
х
ление интеграла ^E2dV с использованием этой формулы, уравне-
уравнения B2.27) и первого из определений B2.28) дает в результате
Для того чтобы вычислить ^ Н2 dV, рассмотрим сначала интеграл
вида ^ (rot Ax, rot 4ц) dV. Подынтегральное выражение можно

§ 22] ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
преобразовать по формуле
(rot Аъ votA^) = A\\[A^xrotA}]^-[A^, rot rot
Ввиду периодичности ф п [4ц X rot 4х] do = 0 (интегрирование про-
производится по граничной поверхности куба). Поэтому
(rot 4,, rot An) dV = -J J
С помощью соотношений B2.27) при подстановке И = rot 4
получим jj H2dV = 2 v|Q|. Собирая все эти результаты, мы видим,
х
что равенство B2.30) действительно выполняется.
Подсчитаем теперь число осцилляторов поля, соответствующих
определенному направлению поляризации е?., вектору хь лежа-
лежащему в элементе телесного угла dQ, и частотам от v до v + dv.
Из B2.26) видно, что
v? = Bnc/Lf (til + «L + nl3). B2.31)
Всем частотам, меньшим, чем некоторая частота v?v, соответствуют
точки с целочисленными координатами пъ п2, п3, попадающие внутрь
шара в трехмерном пространстве. Грубый подсчет количества таких
точек, заключенных в шаровом слое от v^ до vk + dvb можно про-
произвести, считая распределение точек в этом слое приблизительно
непрерывным. Тогда n2dn dQ = v2dv dQL3/BncK, и число осцилля-
осцилляторов поля, отнесенное к единице объема, оказывается пропорцио-
пропорциональным v3. Если e?v — средняя энергия, приходящаяся на каж-
каждый такой осциллятор поля, то wvr-^v2$v. Мы упоминали, что
в применении к термодинамическим свойствам излучения рассмат-
рассматривалась полость с зеркальными стенками, здесь же постановка
задачи несколько иная. Однако в § 38 мы увидим, что число стоячих
волн в такой полости определяется совершенно аналогичным соот-
соотношением. Теорема классической статистики о равномерном рас-
распределении энергии по степеням свободы: Sv — <f = kb и приводит
к формуле Релея — Джинса, согласно которой полная плотность
энергии, вычисляемая в соответствии с B2.6), бесконечна при любой
температуре. Для того чтобы получить правильные результаты,
необходимо использовать формулу средней энергии Планка
v exp (hv/Щ — 1 *

Глава 5
УРАВНЕНИЕ ЛОРЕНЦА — ДИРАКА. РАССЕЯНИЕ
И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 23*. Уравнение Лоренца —Дирака. Реакция излучения
23.1. Поля, порождаемые движущимся электрическим зарядом,
должны с этим зарядом взаимодействовать и тем самым влиять
на его движение. Наиболее примитивным образом можно оценить
такой эффект, применяя закон сохранения энергии к явлению излу-
излучения, рассмотренному в § 16. Мы видели тогда, что в нерелятивист-
нерелятивистском приближении система, состоящая из заряда и создаваемого
им поля, излучает за единицу времени по всем направлениям энер-
энергию, выражаемую формулой Лармора A6.3). Будем считать, что
закон сохранения энергии выполняется благодаря замедлению дви-
движения излучающего заряда, которое является результатом действия
на него со стороны поля излучения добавочной силы FpaK, анало-
аналогичной силе трения. Такая сила называется радиационным тре-
трением или реакцией излучения. Потребуем, чтобы работа этой силы
компенсировала потерю энергии, происходящую благодаря излу-
излучению. Тогда на основании A6.3) можно записать:
Здесь произведено интегрирование по частям. Предположим теперь,
что внеинтегральный член по тем или иным причинам равен нулю.
Например, если рассматривается колебательное движение заряда,
когда v и г» достаточно хорошо аппроксимируются периодическими
функциями, можно сравнивать левую и правую части предыдущей
формулы после усреднения по большому числу периодов. Тогда
в среднем внеинтегральный член действительно можно считать
равным нулю, а для силы трения принять выражение
Fvn = rnxoi, B3.1)
где
Т° — 4я 3 An • Vй-l>
Величина т0 имеет размерность времени. Учитывая радиационное
трение, уравнение движения заряда нужно писать в виде
m{v~ xov) = F, B3.3)

§ 23] УРАВНЕНИЕ ЛОРЕНЦА - ДИРАКА 173
где F — все внешние силы, действующие на заряд (например,
сила Лоренца), за исключением реакции излучения. Значение пара-
параметра т, введенного равенством B3.2), полностью определяется
зарядом и массой частицы, порождающей излучение. Так, если q и
т — заряд и масса электрона, то для т0 получится величина порядка
10~24 с. За это время свет проходит расстояние порядка 10~13 см.
23.2. Неудовлетворительность приведенного выше обоснова-
обоснования уравнения B3.3) очевидна. Помимо фактически произвольного
устранения внеинтегрального члена, этот вывод не удовлетворяет
требованию релятивистской инвариантности, в результате чего и
окончательный результат B3.3) не инвариантен. Тем не менее
применение его для исследования излучения заряда, движущегося
под действием квазиупругой силы (т. е. осциллятора), приводит
к правильным результатам в отношении спектрального состава
этого излучения (см. ниже, § 25).
Релятивистское исследование вопроса о реакции излучения
было проведено Дираком в 1938 г. *). При этом, однако, исполь-
использовались не только запаздывающие, но и опережающие потенциалы
для вычисления электромагнитного поля. Кроме того, уравнение
движения было выведено с применением асимптотического условия,
состоящего в том, что действие сил на заряд прекращается в отда-
отдаленном прошлом и в отдаленном будущем.
Мы выведем здесь релятивистское уравнение движения элект-
электрона с учетом реакции излучения (уравнение Лоренца — Дирака)
с помощью методов, уже использованных в § 15 для иной цели.
При этом асимптотическое условие Дирака оказывается ненужным.
Вспомним закон сохранения энергии-импульса электромагнитного
поля, выражаемый соотношениями A5.26) и A5.27). Если в § 15
нас интересовали свойства поля на очень больших расстояниях
от излучающего заряда, то здесь, как видно из предыдущего, мы
должны изучать их в непосредственной близости от заряда, т. е.,
в обозначениях § 15, при е -> 0.
Прежде всего нужно вычислить величину Qr (е) в этом пределе.
Некоторые необходимые для этого формулы, в частности A5.28),
были уже получены в § 15. Вычисление элемента времениподобной
гиперповерхности р = е производится с помощью формулы (Г.4),
в которой производная др 1дхг должна быть выражена в виде A5.16).
Тогда, считая, что направление нормали к гиперповерхности р =
= е достаточно хорошо определяется оценкой A5.28) (это пред-
предположение сводится к отбрасыванию бесконечно малой величины
более высокого порядка), можно записать
Qr(e)= \ ds\Tkmpme2(l-W)da. B3.4)
*) См., например, А. А. Соколов и И. М. Тернов, Релятивистский электрон,
«Наука», 1974, § 11.

174 РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 3
Подынтегральное выражение определяется здесь формулой A5.22).
Полезно выразить все входящие в него члены с помощью A5.20)
и A5.15) через величину W, которая, как показывает ее определе-
определение A5.14), пропорциональна р, т. е'. е. Кроме того, для Rk нужно
подставить разложение A5.6). Те члены в подынтегральном выра-
выражении, которые содержат произведения нечетного числа сомно-
сомножителей pi, могут быть отброшены, так как при последующем инте-
интегрировании по da они дают нулевой результат (см. Приложение Г,
п. 2). Заметим, что W пропорционально р,. Таким образом, можно
привести подынтегральную функцию к виду
? Р + И2] + О (в). B3.5)
Интегралы по da вычисляются с помощью формул A5.32) и A5.32').
Окончательный результат:
Следует обратить внимание на тот факт, что первое слагаемое в пра-
правой части при е -*¦ 0 расходится. Мы вскоре увидим, что оно свя-
связано с «собственной энергией» излучающего заряда.
Из A5.26), A5.31) и B3.4) следует
где внутренний интеграл по da имеет вид B3.6).
Будем считать, что тх и т2 очень близки друг к другу, а именно
т2 == т, тх = т — Ат, где Дт > О и Дт = О (е). Для вычисления
интеграла по dx от выражения B3.6) воспользуемся теоремой о
среднем. Тогда
т2
2s
+ -|s- W (x - k At) ш2 (т - k Ax)] At + О (e At). B3.8)
Здесь 0 < &< 1. Применяя разложение в ряд Тейлора к левой
части соотношения B3.7) и к формуле B3.8), получим по сокраще-
сокращении на Ат
dx 4яса
Здесь 6Г ^ dwr/dx. Член 6Г мы сохраняем потому, что он делится
на е. Положим теперь k Ат = 4е/3с. Смысл этого условия, как мы

§ 231 УРАВНЕНИЕ ЛОРЕНЦА - ДИРАКА 175
вскоре увидим, состоит в том, чтобы обеспечить ортогональность
четырехмерной силы к четырехмерной скорости и тем самым —
постоянство массы покоя излучающего заряда вдоль его мировой
линии. При этом
Полный 4-импульс поля и частицы должен сохраняться при
переходе к пределу е -» 0. Другими словами, должно выполняться
равенство
4W + F B39)
Здесь FBHeuIH — внешние силы, действующие на частицу и не зави-
зависящие от того, излучает она или же нет. Производная dPrldx>
как мы уже упоминали, содержит расходящийся член, пропорцио-
пропорциональный е. Однако он может быть устранен с помощью метода
перенормировки. Именно, будем считать, что масса покоя \л (так
называемая «затравочная» или «голая» масса частицы) ненаблюдаема.
Образуем сумму:
Ш B3Л°)
Наша теория предсказывает, что для точечной частицы т0 ->¦ оо.
Отнесем это на счет недостатков теории, не дающей объяснения
происхождению массы и заряда и формально приравняем т0 наблю-
наблюдаемому (конечному и постоянному) значению массы покоя *).
Тогда уравнение B3.9) примет вид
^L) B3.11)
Мы получили релятивистское уравнение Лоренца — Дирака, опре-
определяющее движение излучающего заряда с учетом свойств созда-
создаваемого им поля излучения. Заметим, что из соотношения wu = 0
следует, что
bu = — w2. B3.12)
Поэтому, как и утверждалось выше, проекция на и правой части
уравнения Лоренца — Дирака равна нулю. Член, пропорциональ-
пропорциональный Ъ, называется вектором Шотта, а слагаемое в круглых скоб-
скобках — вектором Абрагама. В нерелятивистском пределе уравне-
уравнение B3.11) совпадает с B3.3).
*) См. дополнительные замечания до этому поводу в начале следующего
параграфа.

173
РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 5
§ 24*. Перенормировка массы.
Гиперболическое движение заряда
24.1. Перенормировка массы B3.10) была произведена в точ-
точном уравнении движения Лоренца — Дирака для ускоренно дви-
движущегося заряда. Для того чтобы яснее понять физический смысл
перенормировки, рассмотрим
заряд, движущийся с постоян-
постоянной скоростью, т. е. положим
w = 0. Будем считать, что
этот заряд в своей системе
покоя имеет форму сферы ра-
радиусом е. Произведем вычис-
вычисление вектора энергии-им-
энергии-импульса поля, содержащегося
в пространственноподобной
плоскости, ортогональной к
мировой линии заряда (рис.
25). Плотность энергии-им-
энергии-импульса определяется по фор-
формуле A5.24). Но так как вы-
выражения A5.14), A5.15) и
A5.18) приводятся в данном
i I
I 1
1!
и
Рис. 25.
случае к виду W = 0, В = 1 /р, V =
формула A5.24) принимает простой вид:
п)р, так что Р = с2/р
/4я\а тш ит
\
1
Поэтому
\ Ч 1
2ср4
4я/
Так как множитель при и* должен быть инвариантным, вычисление
интеграла по da дает одинаковый результат в любой системе отсчета.
В частности, можно воспользоваться сопутствующей заряду сис-
системой, в которой, как было показано в Приложении Г, можно счи-
считать р радиусом-вектором в сферических координатах трехмерного
евклидова пространства, так что da = p2dp dco и интеграл оказы-
оказывается равным 4л/е. Окончательно Рк = -Й^5Г и". Таким образом,
вектор энергии-импульса равномерно движущегося заряда принимает
вид Рк = metuk, где масса те1 (называемая электромагнитной мас-
массой частицы) как раз равна добавочному (перенормирующему)
слагаемому в формуле B3.10). Для точечного заряда она расходится.
Смысл те1 можно видеть из того факта, что <72/&гсе — это энергия
электростатического поля заряда в его системе покоя, а множитель
с соответствует переходу от энергии к массе покоя по формуле

§ 24] ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА 177
Эйнштейна. Таким образом, в общую инерцию частицы входит
эффект инерции увлекаемого ею поля. Нужно иметь в виду, что ком-
компонента сР° получаемого выражения обладает смыслом энергии
только в сопутствующей системе. Энергия же сР0' частицы в какой-
либо другой системе отсчета связана с энергией в сопутствующей
системе обычными формулами преобразования: сР° = у (сР0' +
+ vP' ).
24.2. Обратимся теперь к уравнению Лоренца — Дирака B3.11)
и рассмотрим случай, когда внешние силы отсутствуют, т. е.
FBHeum = 0. Тогда это уравнение принимает вид
wr = т0(br-f- иrw /с ). B4.1)
Ясно, что w = 0 является решением этого уравнения. Однако
помимо данного решения, которое одно лишь имеет физический
смысл, существуют и другие. Пусть движение происходит по пря-
прямой в трехмерном пространстве, так что четырехмерные векторы
можно представить лишь двумя ненулевыми проекциями (на оси 1
и 0). Как обычно, а0 = ус, и1 = yv = и. Отсюда v = ис (с2 + и2)'1/2
и «° = (с2 + а2I/,2. Далее, wl = ii, w° = iiu (с2 + и2)'1'2. Такт-
образом, из B4.1) получаем
[flu \
Подставим и = с sh X. Тогда предыдущее уравнение приводите}
к виду к — то1 = 0. Отсюда К = Аех'х° + В, т. е. и = с sh (Aex'x« -f
+ В). Таким образом, при т -»¦ оо скорость и неограниченно воз-
возрастает, если только А ^ 0. При А — 0 получается предыдущий
случай равномерного движения. Самоускоряющиеся движения сво-
свободной частицы, полученные при А т4 0, лишены физического смыс-
смысла. Это показывает, что при исследовании уравнения Лоренца —
Дирака, вообще говоря, нельзя обойтись без дополнительных усло-
условий, которые бы отбирали физические решения этого уравнения *).
Так, например, можно потребовать, чтобы скорость частицы оста-
оставалась конечной при т -» оо — это требование имеет характер
асимптотического условия для движения заряда в бесконечно уда-
удаленном будущем.
Перейдем к тому случаю, когда движение излучателя можно
назвать равномерно ускоренным. Уравнение B3.11) было выведено
в предположении, что масса покоя частицы постоянна. Поэтому,
как мы видели, вся правая его часть, а также оба составляющих
ее слагаемых в отдельности ортогональны к вектору и четырехмер-
четырехмерной скорости. Условие w = b — 0 противоречит этому предполо-
предположению. В этом легко убедиться, скал яр но умножая обе стороны
*) Несмотря на то, что сам вывод уравнения в § 23 их не использовал.

178 РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ |ТЛ. 5
B3.11) на вектор "и (если только оу ф 0). Однако понятие равномерно
ускоренного движения следует вводить в релятивистской механике
иначе. А именно, движение называется равномерно ускоренным,
если постоянным остается значение четырехмерного вектора уско-
ускорения, вычисленное в любой момент собственного времени при пере-
переходе в систему покоя движущейся частицы. Так как компоненты
четырехмерного ускорения выражаются по формулам E.172), это
означает, что условие w (т3) = w (тх) сводится к условию h =
=.da Idt = Ов системе покоя. Из E.172) легко построить с помощью
дифференцирования компоненты четырехмерного вектора b в общем
случае. Они равны
В системе покоя (v = 0 и у — 1) они принимают значения 6° =
= а2 1с, Ь = h. Определим составляющую 6j_ четырехмерного
вектора Ь, ортогональную четырехмерной скорости и, соотношением
bj_u = 0. Это соотношение, разумеется, релятивистски-инвариантно.
На основании B3.12) можно сделать вывод, что
Ь~и
В системе покоя получаем Ь^ = Ь = h, b\ = 0; поэтому условие,
при котором движение следует назвать равномерно ускоренным,
принимает в этой системе отсчета вид 6j_ = 0. Но в такой форме
оно инвариантно и должно иметь место в произвольной системе
отсчета. Итак, равномерно ускоренное движение определяется
соотношением
Ь+^-и = 0, B4.2)
т. е. при таком движении обращается в нуль вектор Абрагама.
С помощью приведенных выше выражений для компонент вектора Ь
предыдущее равенство принимает следующий вид в трехмерной
записи (в произвольной системе отсчета):
h + ^-(va)a = 0. B4.3)
Из B4.2) следует Ът — ww= -д--т-(ьуJ = 0. Таким образом, мощ-
мощность излучения, равная, согласно A5.33) или A6.15), <М —
= — -т— -~ w2, постоянна, а уравнение Лоренца — Дирака запи-

§ 24] ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА 179
сывается в форме: mw = FBIiemH. Тем не менее закон сохранения
энергии-импульса выполняется, так как приведенные соотношения
получены как непосредственные следствия именно этого закона
в рассматриваемом частном случае. При этом, однако, правая часть
^янешн уравнения Лоренца — Дирака не может быть задана про-
произвольно, но должна быть согласована с условием B4.2), из кото-
которого следует FBHemn = — (?ВНешн w) ~. Такое изменение со временем
приложенной внешней силы компенсирует диссипацию энергии,
происходящую благодаря излучению. При этом четырехмерная
сила изменяется в пространстве Минковского только по направле-
направлению, так как
В кинематическом отношении релятивистское равномерно уско-
ускоренное движение вполне определено. Действительно, B4.2) при-
приводится к виду
d4i . „-
¦W = Л "'
где Л2 == (Ml (т0тс2) — постоянная, Л > 0. Отсюда
a = aeAT + pVAT, B4.4)
где аи р не зависят от т. Условие и2 = с2 показывает, что эти век-
векторы должны удовлетворять равенствам а2 = f>2 = 0 и 2 оф = с2.
Далее, из B4.4)
г = у4-Л-1(аеЛТ-|е-ЛТ). B4.5)
Рассмотрим простой частный случай, когда одномерное движение
происходит вдоль оси х в некоторой системе отсчета, а у — 0. Выбе-
Выберем а0 = — Р° = с/2, а а1 = р1 = с/2. При этом условия, опреде-
определяющие свойства векторов аир, выполняются. Тогда ct =
= A ch (Лт) и х = A sh (Лт), где А = сЛ. Отсюда с2? — х2 = А2,
т. е. мировая линия частицы является времениподобнои окружнос-
окружностью в пространстве Минковского и изображается на диаграмме Мин-
Минковского в виде гиперболы. Благодаря наличию такого частного
случая релятивистское равномерно ускоренное движение называется
иногда гиперболическим *).
*) Рекомендуем читателю ознакомиться с вопросом о гиперболическом дви-
движении также по книге: В. Л. Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика,
«Паука», 1975, гл. 2.

180 РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 5
§ 25. Спектральный состав излучения осциллятора.
Рассеяние и поглощение излучения
25.1. Вернемся к нерелятивистскому уравнению B3.3), опи-
описывающему движение заряда при учете реакции излучения. Рас-
Рассмотрим его сначала в том случае, когда движение одномерно, а
внешнюю силу можно считать квазиупругой. Тогда уравнение B3.3)
принимает следующий вид:
х-х0х + а>1х = 0. ¦ B5.1)
Точками в B5.1) обозначается дифференцирование по времени t.
Если бы постоянная т0 была равна нулю, то это уравнение описы-
описывало бы гармонические колебания с частотой соо; выбирая должным
образом начало отсчета на оси х и начальную скорость, решение
его можно представить в виде х (t) — xne~iti>ot, где х0 — веществен-
вещественная постоянная. При т0 ^ 0 будем искать решение уравнения B5.1)
с помощью подстановки х (t) = xQe~at, считая а комплексным чис-
числом. Для определения а получаем уравнение
Корни этого кубического уравнения для а могут быть определены
в замкнутом виде. Один из них — вещественный и отрицательный.
Легко понять, что он должен быть отброшен, так как соответствует
«самоускоряющемуся» решению. Комплексные же корни удобнее
выразить приближенно, считая, что ? = шото <^ 1. Оценка величины
т0, приведенная в начале § 23, позволяет предположить, что такое
условие может выполняться для широкого класса излучателей.
Введем безразмерную величину а' = а/со0. Уравнение принимает
вид ?а'3 + а'2 +1=0. Теперь подставим разложение а' ~ р -f
+ yt, + б?2. Оставляя лишь члены порядка не выше ?2 и приравни-
приравнивая нулю коэффициенты при ?°, I,1, ?2 в отдельности, получим ра-
равенства р2 + 1 = 0, Р2 + 2у = 0 и ЗуР2 + Y2 + 2рб = 0, откуда
последовательно находим р = ± i, у — г/2 и б = q15/8i. Здесь
верхние и нижние знаки для ри б должны выбираться одновременно.
Подставив найденные коэффициенты в разложение для а' и воз-
возвращаясь к а, получим в рассматриваемом приближении
где
Величина Г называется естественной шириной уровня, а Асо — сдви-
сдвигом спектральной линии. Смысл такой терминологии будет ясен
в этом параграфе, когда мы будем исследовать свойства излу-

§ 25] СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ИЗЛУЧЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 181
чения, испускаемого осциллирующим зарядом. Уравнение движе-
движения такого заряда принимает вид
где со' = й0 + Дсо. Таким образом, благодаря реакции излучения
колебания, как и следовало ожидать, являются затухающими.
Поправка Асо весьма мала и, как правило, не учитывается. Поэтому
в дальнейшем можно считать со' « соо.
Рассмотрим теперь сферический осциллятор, уравнения движе-
движения которого имеют вид B5.1) для каждой из трех пространствен-
пространственных координат. В изучаемом нерелятивистском пределе энергия
излучения определяется формулой Лармора A6.3), т. е. она пропор-
пропорциональна г2. Если осциллятор совершает гармонические колеба-
колебания с частотой соо, то его электромагнитное излучение будет иметь
характер воли такой же частоты. При учете радиационного трения
движение осциллятора, как уже было показано, будет иметь экспо-
экспоненциально затухающий характер. Можно представить себе, что
первоначальное отклонение частицы от положения равновесия вызы-
вызывается в момент t = 0 какой-либо внешней силой, которая тут же
перестает действовать. Затухающие колебания заряда приведут
к излучению, которое также будет лишено гармонического харак-
характера, а именно будет сходить на нет со временем. Спектральный
состав такого излучения исследуется с помощью разложений в
интеграл Фурье.
Мы увидим в дальнейшем, что затухание колебаний вызывается
не только силой реакции излучения, но и взаимодействием осцил-
осциллятора с окружающей средой, которое феноменологически описы-
описывается включением в уравнение движения силы трения, пропор-
пропорциональной г. Более того, такая сила, действие которой учиты-
учитывается в уравнении B5.11), оказывает обычно значительно большее
влияние на движение осциллятора, а потому и на характер излу-
излучаемого им электромагнитного поля, чем реакция излучения. Однако
при решении уравнения B5.11) будет показано, что и это влияние
может быть описано с помощью введения ширины спектральной
линии.
Общее решение задачи о движении осциллятора, как видно из
результатов, полученных выше, может быть представлено в виде
г == Ае~ <г/2 + 1а'1' -f Ве~ <г/2 - ш"> К
Так как г — вещественная величина, т. е. г = г*, должно выпол-
выполняться равенство А = В*. Произведем спектральный анализ
первого слагаемого; при этом будем требовать, чтобы г (t) = О
при / <^ 0 в соответствий с предположением о характере движения.

182 РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 5
Тогда, пользуясь формулой типа (Д. 12), можно записать:
— — /—¦• +03
Ае 2 ~"° = $ а(ы)ешскд при />0,
— СО
-f со
5 а (со) <r'<°<dco = 0 при
— оо
Если проинтегрировать обе части этого равенства по времени от
— оо до + оо, то в левой части интеграл фактически должен
вычисляться в пределах от нуля до + оо. Выполним интегриро-
интегрирование, предварительно умножив правую и левую стороны равенства
на еш. Тогда
где использована формула (В. 14) для дельта-функции. Производя
элементарное интегрирование в левой части, получим (заменяя
обозначение со на со)
Ясно, что разложение в интеграл Фурье второго слагаемого в фор-
формуле для г будет отличаться лишь заменой со' на — со'. Дифферен-
Дифференцирование же по t под знаком интеграла при вычислении г дает
дополнительный множитель со2. Итак,
+ 00
г@= I /(со) е-ш(Ь, B5.3)
— оо
где
/И—Шг[г/2-<(ш-Ш') + Г/2-Цсо + о)')]- B5'4)
При этом /* (— со) = /(»)• В результате формулу B5.3) можно
записать в виде
-\- оо
r@= \ /•(a)e'udffl. B5.5)
— оо
Полная энергия излучения, испускаемого осциллятором за
время от ?=0 до t = + оо, равна, согласно A6.3),
+00
где правая часть является определением величины W (со), которая
называется спектральной плотностью энергии. Из формул B5.3),

СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ИЗЛУЧЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
183
B5.5) и (В. 14) следует
СО со -f- СО ¦-{- ОО
) 0 — со — со
> = 4л$ |/(co)|2dco, B5.7)
— оо О
гак как в нашем случае j / (— со) |2 = | / (со)|2. Подсчет этого подынте-
подынтегрального выражения должен быть произведен с помощью B5.4).
Можно во многих случаях считать, что Г <^ соо, и ограничиваться
узкой полосой частот со, определяемой условием j со— соо| <^ ;соо|.
Тогда по абсолютной величине первое слагаемое в B5.4) гораздо
больше второго, которое на этом основании не будем принимать
во внимание в дальнейшем. При этом
"-ЖУ- B5.8)
где введено обозначение
у у _ 2
= З
и, в соответствии с указанными выше предположениями, произве-
произведена замена величины со4 на со'4. Смысл введенного обозначения
состоит в том, что W = ^ W (со) с(со, т. е. это — полная энергия,
— ОО
излучаемая осциллятором за все то время, в течение которого он
совершает свои колебания.
Мы не будем здесь останав-
останавливаться на выполнении этого
интегрирования.
Характер зависимости от со
энергии W (со), соответствую-
соответствующей формуле B5.8) и излу-
излучаемой в виде волн с часто-
частотами, лежащими в интервале
от со до со + dco, можно ви-
видеть на рис. 26. Ясно, что Рис 26.
максимум излучаемой энергии
приходится на со' ж соо и осциллятор излучает волны всевозможных
частот с различными интенсивностями, в то время как излуче-
излучение гармонического осциллятора состоит только из волн с ча-
частотой соо.
Из графика видно, что величина Г равна ширине распределения
энергии на ординате, равной Wmax/2. Поэтому часто называют Г
полушириной (это название не соответствует ее истинному смыслу).

184 РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 5
25.2. До сих пор мы рассматривали «свободное» движение осцил-
осциллирующего излучателя, находящегося под действием двух сил:
квазиупругой, которая стремится восстановить равновесие, и силы
со стороны излучаемого поля. Перейдем теперь к задаче о «выну-
«вынужденных» колебаниях, вызываемых действием внешних сил, при-
приложенных к частице в данный промежуток времени. Такие внешние
силы могут быть вызваны взаимодействием частицы с электромаг-
электромагнитными волнами. Это взаимодействие приводит к рассеянию и
поглощению излучения.
Предположим сначала, что квазиупругая сила отсутствует
и что плоская монохроматическая электромагнитная волна взаимо-
взаимодействует с заряженной частицей, в других отношениях свободной.
Под действием поля волны заряд ускоряется и излучает. Все рас-
рассмотрение, как и везде в этом параграфе,нерелятивистское. При этом,
так как v <J с, действием магнитного поля падающей волны можно
пренебречь и записывать уравнение движения заряда в виде
Здесь е — единичный вектор поляризации волны, а Е — ее ампли-
амплитуда. Волны, излучаемые при ускоренном движении заряда в этих
условиях, называются рассеянными. Поток энергии такого рассеян-
рассеянного излучения должен вычисляться по формуле A6.2) с учетом
A7.18), так как ускорение записано в комплексном виде. Последнюю
формулу можно считать применимой, если за время наблюдения
рассеяния излучающий заряд под действием падающего на него
поля волны успевает совершить достаточно большое число коле-
колебаний. Итак,
2sin29--~|©|2
dfi 2 '
Здесь аналогично § 16 8 — угол между направлением ускорения
заряда (т. е. направлением поляризации падающей волны) и направ-
направлением излучения в телесный угол dQ. Так как l/ac i<f,2 — усред-
усредненный по времени поток энергии падающей волны через единицу
поверхности (ср. § 17), то удобно определить отношение вычисленной
интенсивности рассеянных волн к этому потоку da/dQ, которое назы-
называется дифференциальным сечением рассеяния. Если, как показано
на рис. 27, обозначить через г|з азимутальный угол вектора поляри-
поляризации н (в направлении которого, как мы видели, совершаются
вынужденные колебания излучателя) в сферической системе коор-
координат, то угол 9 совпадает с углом между векторами пне, откуда
sin2 9=1— sin2 ¦& cos2 (ф — г|з).

25]
СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ИЗЛУЧЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
185
Предположим теперь, что падающее излучение не поляризовано
и усредним сечение по углу ip. Тогда
da
dQ
С25.9)
Полученное выражение называется формулой Томсона. Полное том-
соновское сечение рассеяния вычисляется интегрированием по dQ:
а —
3""\4nmcV
B5.10)
Величина, заключенная в скобки, называется классическим радиу-
радиусом частицы (в частности, электрона или протона, если подставить
соответствующие значения заряда и массы).
Перейдем к тому случаю, когда электромагнитное излучение
взаимодействует с частицей, связанной квазиупругой силой с поло-
положением равновесия. Реакцию излучения учитывать сначала не
будем, но предположим, что на ча-
частицу действуют какие-либо силы
трения со стороны окружающей ¦
среды, пропорциональные скоро-
скорости. Как и в предыдущей задаче,
магнитными силами будем прене-
пренебрегать. Тогда уравнение движе-
движения примет вид
т
B5.11)
Рис. 27.
где Г' — коэффициент трения. Ре-
Решение этого неоднородного урав-
уравнения может быть получено с по-
помощью разложения Фурье в форме
(Д. 12) функций г (t) и Е (t). При этом (аналогично рассмотренным
выше случаям) благодаря вещественности г и Е соответствующие
коэффициенты Фурье удовлетворяют соотношениям г (со) =
= г* (— со) и Е (со) = ?* (— со). Из B5.11) получим
г (со):
-(шГ' — со2 '
B5.12)
Работа, совершаемая излучением при вынужденных колебаниях
заряда, равна
W= ^ 'rEdt- B5.13)
— со
Поле Е (t) можно взять в точке равновесия осциллятора, если ампли-
амплитуда его колебаний достаточно мала. Дифференцируя разложение
для г (t) и подставляя его и разложение для Е (t) в формулу B5.13),

186 РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 5
получим
-f- оэ оо
W = — 2га \ cor (со) Е* (со) dco = 4л $ со Im (г (со>?* (со)) t/co.
— со О
Последнее равенство является следствием указанных выше условий
вещественности г (t) и E{t). С помощью B5.12) оно приводится
к виду
±t? | Е()|» Я" ^ B5.14)
Подынтегральное выражение имеет острый максимум при со = соо.
Заменим поэтому Е (со) на ? (соо); вычисление интеграла дает
результат я/2. Таким образом, полная работа падающего на осцил-
осциллятор излучения равна
^\\ B5.15)
Это выражение может быть записано также несколько иначе.
Совершенно аналогично соотношению B5.7) можно получить ра-
равенство
-\- оо оо
$ A*(t)dt = in\ | Л (со) |2 t/co, B5.16)
— оо О
связывающее вещественную функцию A (t) с ее преобразованием
Фурье (в теории интеграла Фурье это соотношение называется
срормулой Планшереля). В частности, для отнесенного к единице
площади потока энергии излучения, которое вынуждает колебания
заряженной частицы, получим
-f- оо оо
S = c\ E*dt = Anc\ |?(co)[2dco. B5.17)
— оо О
Таким образом, dS/da> = s (со) = 4яс | Е (со) |2 и
W==T&S М = 2зх V s К). .- B5.18)
?• Hit/
Эта величина представляет собой энергию, расходуемую излуче-
излучением на возбуждение колебаний заряда, и, таким образом, она опре-
определяет поглощение излучения осциллятором. С другой стороны,
если определить а (со) = dW/du>, то формулы B5.14) и B5.18)
могут быть переписаны в виде
\ а (со) du> = 2я2г0 s (со0). B5.19)
Последнее уравнение называется иногда правилом суммирования.

§ 25] СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ИЗЛУЧЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 187
Обратимся теперь к рассеянию и поглощению излучения осцил-
осциллятором при учете реакции излучения, продолжая предполагать,
что на осциллятор действуют также силы трения, пропорциональные
скорости заряженной частицы. Ограничимся случаем падающей
монохроматической волны, когда Е (t) = eEe~iat (мы будем счи-
считать, что поле волны мало отличается от его значения в точке равно-
равновесия осциллятора, которую примем за начало отсчета пространст-
пространственных координат). Вместо B5.11) нужно тогда решать уравнение
г + Г'г-тг + ы1г = -^-еЕе~ш. B5.20)
После подстановки г = r$-ial найдем
/¦(*) = —в — =-, B5.21)
w m со2,— со2 — коГ
где
Г = Г' + (со/сооJГ. B5.22)
25.3. Займемся прежде всего вопросом о рассеянии. Для этого,
аналогично тому, как это было сделано в задаче о рассеянии на сво-
свободном заряде, нужно вычислить энергию, излучаемую осцилля-
осциллятором при его движении, которое определяется формулой B5.21).
Электрическое поле излучения, испускаемого осциллятором,
может быть определено формулой A6.1), т. е.
изл = АпсЩ Iй ^ [Я X Л" J ban •
Здесь R — расстояние от положения равновесия осциллятора
до точки, в которой производится наблюдение излучения. При до-
достаточно большом удалении от осциллятора можно считать его то-
точечным. Условия для этого были подробно исследованы в § 17.
В силу запаздывания нужно подставить г в виде
Ее
~ш'
m (cog — со2) — 1"соГ
где f = t — R/c и t — время наблюдения. Далее, так как вектор е
ортогонален к вектору л, а последний имеет единичную длину:
п X [ п X е] = — е.
Предположим, что нужно вычислить ту часть энергии излучения,
которую переносит волна, поляризованная в направлении е'.
Из предыдущих формул находим
„г Ее~шеш* ее'
е'Д
изл inmc2 со2 —и2—tof Я
На расстоянии R от излучателя в телесный угол du проходит
энергия V2c |(e' Еизл)\2 R2dQ. Энергия же, вызывающая колебания
заряда, благодаря которым совершается излучение по всем направ-
направлениям, равна 1/2с|?|2 (также на единицу поверхности). Отношение

188
РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 5
первой из этих величин ко второй называется, как и в рассмотрен-
рассмотренной выше задаче о свободном заряде, дифференциальным сечением
рассеяния излучения, поляризованного в направлении в':
da (ш, е')
dQ
(ЕЕ'J
. B5.23)
При со <^ со0> когда Г ~ Г', получим приближенную формулу
Этот случай называется рассеянием Релея.
Пусть теперь со ~ со0, так что имеет место резонанс падающей
волны с собственной частотой колебаний осциллятора. Тогда в зна-
знаменателе формулы B5.23) можно записать: (соо — со) (соо + w) ~
~ 2соо (соо — со), а в числителе заменить со4 на со*. При этом Г ~
~ Г' + Г, как видно из B5.22). Таким образом, сечение рассеяния
определяется величиной [(со0 — соJ + (Г72J] с точностью до коэф-
коэффициента, не зависящего от со. Такое рассеяние называется резо-
резонансной флуоресценцией. Интегрирование по углам dQ и по часто-
частотам приводит к полному сечению рассеяния, пропорциональному
(Г/ГJ.
Легко видеть, что при со ^> соо формула B5.23) переходит в фор-
формулу Томсона B5.9) (при учете определения углов в этих двух выра-
выражениях).
Перейдем к поглощению. Из предыдущего рассмотрения видно,
что поглощение определяется формулой вида B5.14), где'нужно
лишь Г' заменить на Г. Поэтому в предположении о монохроматич-
монохроматичности падающего поля получаем
^ ^**B5.25)
т
Деля на энергию падающей волны, равную, как можно видеть из
обсуждения формулы B5.17), 4зтс \Е (co)j2, получим величину,
называемую сечением поглощения:
Соответственно трем случаям, упомянутым выше при изучении
рассеяния,
co2f/coj ¦ при со<^соо,
1 Г
тс , ¦.
Щ »погл N =
4 (йH — с
Г/со2
при со~соо, B5.26)
При СО^>СО(,,

§ 25] СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ИЗЛУЧЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 189
Заметим, что сечение поглощения, как это часто и делается,
можно назвать полным сечением. Действительно, энергия рассеян-
рассеянных волн возникает за счет превращения энергии падающего излу-
излучения в энергию движения излучателя. В формулах же для сечения
поглощения учитывается и работа по преодолению нерадиацион-
нерадиационных сил трения, характеризуемых величиной Г'. Разность полного
сечения и сечения рассеяния называется сечением реакции.
При использовании полученных в настоящем параграфе формул
нужно иметь в виду, что они выведены на основе классической тео-
теории. При больших частотах, сравнимых с величиной тс2/Н, где
тс2 — собственная энергия рассеивающей частицы, ah — постоян-
постоянная Планка, деленная на 2я, начинают играть существенную роль
квантовые эффекты. В этих эффектах проявляются корпускулярные
свойства электромагнитного излучения, состоящего из фотонов,
и характер зависимости поглощения и рассеяния от частоты сущест-
существенно изменяется.
Расширение спектральной линии, описываемое величиной Г,
имеет, по сути дела, простую причину, а именно оно обусловлено
тем обстоятельством, что излучатель (например, атом) в течение
конечного промежутка времени испускает световые колебания, имею-
имеющие частоты, достаточно близкие к некоторой средней частоте соо.
Помимо реакции излучения, рассмотренной в начале этого пара-
параграфа, причиной прерывания процесса испускания света могут
быть, например, столкновения между излучающими атомами. Именно
такие процессы и учитываются в уравнении движения членом Т'г,
который был интерпретирован выше как действие сил трения со
стороны окружающей среды. Совсем другой причиной расширения
наблюдаемых спектральных линий, испускаемых атомами, является
эффект Доплера. Если даже не учитывать сил трения и считать,
что осциллятор в сопутствующей ему системе отсчета испускает
свет, частота которого в точности равна соо, то при движении осцил-
осциллятора относительно наблюдателя эта частота смещается. Если
скорости наблюдаемых излучателей обладают каким-либо разбро-
разбросом (например, распределены по закону Максвелла), то полная
интенсивность наблюдаемого излучения будет зависеть от частоты.
При максвелловском распределении скоростей получим / =
= /оехр f— (со — too)/D]2, где D = ~- BRQ/m)V2 (доплерова ширина
спектральной линии), R — газовая постоянная и б — температура.

Глава 6
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ.
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ
§ 26. Интегрирование уравнений движения
Если можно считать электромагнитное поле, действующее на
заряженную частицу, заданным как функция координат и времени,
то проблема определения траектории точечной частицы сводится
к интегрированию уравнения (8.3) с известной правой частью.
При этом влияние поля, создаваемого самой частицей, на ее движе-
движение, проявляющееся в реакции излучения, не учитывается *),
Напомним, что правая часть (8.3) имеет вид C.13) (здесь будет ис-
использоваться гауссова система единиц, и потому следует положить
а^= 1).
Проблема интегрирования уравнения движения может быть
решена точно лишь в некоторых частных случаях. В настоящем
параграфе будут рассмотрены наиболее важные из них. Предполо-
Предположим сначала, что выполняются условия применимости нереляти-
нерелятивистского приближения. Тогда, как следует из общего уравнения
движения частицы (см. § 6), параметр собственного времени т может
быть заменен на время t. Таким образом, в этом пределе урав-
уравнение приобретает форму
mo^- = qE + ^vxB. B6.1)
Релятивистский случай будет изучен несколько позднее (см. п. 4
этого параграфа).
26.1. Рассмотрим статическое однородное магнитное поле В;
? = 0.
Выберем ось г в направлении вектора В. В проекциях на оси
координат уравнение B6.1) примет вид
dvx dvu du,
-5Г = Ш^. -rff=-wi^. -зг = 0. B6.2)
Здесь введен важный для дальнейшего параметр
»!.-?. B6-3)
*) Это означает, что потерей энергии заряда на излучение пренебрегается,
т. е., как видно из § 16, ускорение следует считать здесь «достаточно малым»,
поэтому при использовании результатов настоящего параграфа следует иметь.
в виду их приближенный характер.

§ 26] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 191
называемый циклотронной или ларморовой частотой *). Начальную
скорость обозначим через v0. Третье уравнение B6.2) описывает
равномерное движение вдоль оси г и интереса не представляет.
Интегрирование остальных двух уравнений проще всего произ-
произвести, если'умножить второе из них на мнимую единицу in почленно
сложить с первым. В результате получим
^ + kol^=0, B6.4)
где w = vx + ivy. Обозначим w0 =uo.v + ivoy. Тогда w — j%?~"°L'.
Разделение вещественной и мнимой частей дает
vx = vox cos coL* + voy sin (?>J,
Vy = voy cos (»Lt - vox sin cdJ,
так что vx + Vy = v\x + vly ^ t'oi. где значком J_ обозначена
ортогональность к вектору В. Предыдущие формулы можно запи-
записать в векторном виде
siiKUL*. B6.5)
Здесь Вг ^ BIB — единичный вектор оси г. Обозначая Vj =
^ dr_|_ Idt, сразу получаем
wLr± =[B1x©0]coscoL; + z>0± sinwL^, B6.6)
если постоянную интегрирования приравнять Вх х v0 . Это озна-
означает- просто выбор определенного положения начала отсчета на
плоскости х, у. Пусть voz — 0, так что v0 — vo±. Из B6.6): rj =
= u0/o)j = cmovo/qB. Таким образом, частица описывает в плоскости,
ортогональной направлению поля В, окружность радиусом rj_
(тем меньшим, чем больше напряженность поля) с частотой col.
Начало отсчета выбрано нами в центре этой окружности. В даль-
дальнейшем вместо г± мы будем использовать обозначение rL (радиус
Лармора). Непосредственно из B6.6) и B6.5) получаем
Частицу, вращающуюся по окружности под действием магнит-
магнитного поля, можно рассматривать как линейный ток, которому
нужно приписать силу / = qvo/2nrL (так как v = у0). Вспомним
теперь определение A2.13) магнитного момента такого тока. В нашем
случае его можно записать в виде ц = — nIS, где 5 — площадь
круга радиусом rL. Положительное направление нормали п совпа-
совпадает с направлением вектора г\. х / т. е. у нас rL X v —
*) Иногда частотой Лармора называют и?= <?S/Bmoc). См. стр, 194 и 218.

192 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
= — (Di/I Bx. Итак,
Vf(fJ B6.7)
Первое из этих равенств фактически не зависит от причины, вызы-
вызывающей вращение, так как здесь Вг — просто единичный вектор
нормали к плоскости орбиты. Оно может быть записано также в
виде n = ~rLX5. Сравним эту формулу с формулой для момен-
момента импульса заряда при вращении его по орбите. Этот момент равен
М'мех — /~l X mov. Отсюда следует важное соотношение, • связы-
связывающее абс<?лютные величины механического момента импульса
и рассмотренного здесь «орбитального» магнитного момента:
Например, для электрона это отношение определяется универсаль-
универсальными постоянными — его зарядом и массой.
Нужно обратить внимание на то, что направления вращения
в заданном магнитном поле взаимно противоположны для частиц
с противоположным знаком заряда,
магнитный же момент тока, создавае-
мого этими частицами, согласно пре-
дыдущим формулам, вне зависимости
от знака их заряда направлен в сто-
сторону, противоположную вектору по-
поля В.
26.2. Уравнение B6.1) интегри-
интегрируется и в том более общем случае,
когда магнитное поле В по-прежнему
статическое и однородное, однако при-
присутствует также и электрическое поле,
Рис- 28- направление которого постоянно, но
абсолютная величина может зависеть
от времени. Ось г системы координат, так же как и в предыдущей за-
задаче, направим вдоль вектора В. Оси же х и у всегда можно считать
при этом направленными так, чтобы плоскость х, г содержала век-
вектор Е (рис. 28). Проектируя B6.1) на оси координат и вводя комплек-
комплексную величину w, как это было сделано в п. 1, получим уравнения
^x(t), ?%-~±-E.<f). B6.8)
Параметр col по-прежнему определяется равенством B6.3). Здесь
уравнение для vs может быть в принципе проинтегрировано,
если Ez (t) — известная • функция времени, и основной интерес
вновь представляет, функция w, Решение уравнения, которому она

§ 26) ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 193
удовлетворяет, равно сумме решения однородного уравнения B6.4)
и частного решения wlt соответствующего заданной в B6.8) правой
части. Легко убедиться с помощью подстановки, что такое частное
решение можно взять в виде
AV(^) B6.9)
Таким образом,
/~t*tB6.10)
где w0 имеет тот же смысл, что и в п. 1.
Пусть теперь Е = const. Тогда из B6.9) следует
4) B6.11)
Подстановка B6.11) в B6.10) и приравнивание вещественных и
мнимых частей дают результат
vx — vOx cos со t + (voy + cEx/B) sin to t,
(9(\ 19^
cos u>Lt — vox sin u>Lt, ¦
который мог бы быть получен из B6.5) заменой vy на v'y = vy +
•f cEJB и voy — на v'ay — voy + cEJB. Таким образом, вектор v\
с компонентами v'x = vx и. v'y соответствует вращению в плоскости
а;, у с частотой col, рассмотренному в п. 1. Так как при нашем выборе
системы координат Еу — 0, легко убедиться в том, что выполняется
равенство
В. B6.13)
с
Итак, частица, вращаясь по круговой орбите, кроме того, смещается
в плоскости, ортогональной вектору В, с постоянной скоростью,
равной второму слагаемому в B6.13). Такое перемещение называется
электрическим дрейфом, а мгновенный центр вращения — ведущим
центром.
Заметим, что полученный результат непосредственно следует
из уравнения B6.2), если положить v = v^, E = Ej_ и перейти
к новой, движущейся, системе отсчета, выбрав ее так, чтобы скорость
частицы относительно этой системы была равна
V = v--~ExB.
Другой важный частный случай формул B6.9) и B6.10) имеет
Место, когда поле Е {t) периодически зависит от времени, так что
Ех (t) = Ео cos to^. Интеграл в B6.9) легко вычисляется. При этом
Удобно записать cos a>t в комплексной форме, a e~~"°Ll представить
7 Ю. В. Новожилов, Ю. Л. Яппа

194 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. О
в виде ехр [— 1/2i (col — «)Л -ехр [— V2i (coL + со)/] и е'<0< — в виде
exp lV2t (col + со)/] -exp I— V2i (coL — со)Л. Тогда после разделе-
разделения вещественной и мнимой частей в интеграле B6.9) (полагая
wi = vix + ivly) получим
сш, Е
"IX— в
rcos1^ (wL — ш)^ sin J/2 (wl+m)/ sin1^ (coL — со^ссв'/г (Wl + w)^
X I ' 77 i " \~ 77 77 I j
I CO г + 0) CO t — W I
2cco?? /со, —со) Ceo, + col
i) ° ".inK ' f "An v y /
Предположим, что частота со внешнего поля почти совпадает с лар-
моровой частотой coL. При этом условии (coL — со) sin 1/2 (col —
— со)/ ~ //2. Таким образом, в этом случае, который называется
циклотронным резонансом,
сЕп .
сЕ to, .
yw~—^—/sincoLr.
Если пренебречь вкладом первого слагаемого в vlx, имеющего
периодическую зависимость от / (это, во всяком случае, законно,
если иметь в виду усреднение по времени), то кинетическая энергия
К поперечного движения будет неограниченно возрастать:
К(; 1 пМ
Этот эффект используется для ускорения заряженных частиц.
Разумеется, на практике действуют разнообразные силы трения,
благодаря чему кинетическая энергия ограничена.
26.3. Представляет интерес тот случай, когда на заряд, помимо
статического магнитного поля действует квазиупругая сила. Пред-
Предположим, что Е = 0. Тогда уравнение движения принимает вид
r + ulr^-^rxB. B6.14)
Обозначая ? = х -(- iy и производя вычисления точно так же, как
в п. 1, получим решение в виде
; = е"°ь' (Ле'а°' + Я<г-''<о. B6.15)
где Л и В — постоянные. В данном случае со? = qB/Bm0c),
/г. е. этот параметр оказывается вдвое меньшим, чем в п. 1. На сос-
составляющую колебаний вдоль оси г магнитное поле, направленное
по условию вдоль той же оси, влияния не оказывает.

$ 26] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 195
Если произвести анализ излучения такого осциллятора анало-
аналогично тому, как это было сделано в начале § 25 (причем здесь можно
считать Г = 0), то легко убедиться в том, что, помимо спектральной
линии с частотой соо, возбуждаемой колебаниями осциллятора вдоль
оси г, появится еще излучение с частотами соо — со? и соо + со?.
Таким образом, вращение осциллятора под действием магнитного
поля приводит к расщеплению испускаемой им спектральной линии
на три составляющие. Это явление называется нормальным эффек-
эффектом Зеемана. Если излучателем является атом, то столь простая
модель неприменима и полное описание излучения в присутствии
магнитного поля достигается на основе квантовой теории.
26.4*. Обратимся теперь к исследованию релятивистского урав-
уравнения (8.3), т. е.
В том случае, когда все компоненты тензора напряженностей
Fik постоянны, можно получить некоторые общие выводы о харак-
характере решения. Будем искать решение в виде
где х{ вещественны, а Я — комплексная постоянная. Подстановка
в (8.3) приводит к алгебраической системе уравнений
Kxoi = xolF'.i.
Эта система имеет решение, если выполняется условие
det {Fl.i - >Д') = 0, B6.16)
т. е. если X является решением характеристического уравнения
(собственным значением матрицы ||F{,-||). В том случае, когда
к — корень уравнения B6.16), можно записать:
det {Fl.i + Яб{) = det (f} + Яб!) =
= det (— Fit + Яб{) = + det (Fit - Я6«) = О.
В первом из этих равенств использована неизменяемость определи-
определителя при перестановке строк и столбцов, а во втором — свойство
антисимметрии тензора Р\г *). Таким образом, — % также является
корнем. Поэтому уравнение B6.16) должно иметь вид Xй + аК2 +
+ Р = 0, причем, так как оно инвариантно относительно преобра-
преобразований Лоренца, .постоянные а и \i должны выражаться через
величины 1Х и /2, определенные уравнениями G.10). Конкретный
вид а и р проще всего определить, непосредственно вычисляя детер-
детерминант.
*) Третье равенство справедливо для определителя четного (в нашем случае ¦
четвертого) порядка.
7*

196 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 3
Обозначая а1л = Fit — %b\ и &Шт — единичный псевдоскаляр,
определенный в Приложении А, воспользуемся формулой
det {al.i) = ^i2lsila\\d.\a%ac.\, B6.17)
в которой правая часть фактически является определением левой
и которая непосредственно связана с законом преобразования
(А.9) псевдоскаляра. Ввиду антисимметричности тензора F\i диа-
диагональные элементы al.t равны просто — "к. Поэтому член в B6.17)
с коэффициентом е1234 раиен АЛ Коэффициент а при А,2 получим,
если выделим все те ненулевые члены суммы, в которых только
какие-либо два сомножителя равны диагональным элементам а1.}.
Например, такой член будет получен, если i1 ~ I, г2 = 2, i3 = 4,
г4 = 3; он равен K4123iF*3Fa.4 = — А,2е1234 (F34J = — Х2Е1 на осно-
основании G.6). Здесь для несколько большего удобства вычислений
мы временно заменили индекс 0 на 4. Таким образом, можно пока-
показать, что а = В2 — Е2.
Перейдем к вычислению коэффициента Р, когда ни один из эле-
элементов al.i не диагональный. В этом случае
Свойства антисимметрии тензора F[k и коэффициента г1Ыт приводят
к следующим комбинациям значений индексов iu i2, i3, iit дающим
ненулевой результат: 2143, 2341, 2413, 3142, 3421, 4123, 4312, 4321.
Соответствующие члены суммы имеют, например, такой вид:
вми/^^У^ = - Е^Вфъ, или е3412 = Fl^F^F^ = - Е\В\.
Окончательно получим
det(f'() = — (EB)\ B6.18)
Заметим, что при опускании индекса / значение определителя не
изменяется. Равенство нулю коэффициентов при К и А,3, которое было
показано выше из общих соображений, может быть, разумеется,
получено непосредственно с помощью вычисления, аналогичного
проведенному здесь.
Уравнение B6.16) приводится к виду
А,4 + (В2 - ?2) X2 - (ЕВJ = 0. B6.19)
Отсюда
А, = ± [Vs (Е2 -В2)±У V4 (Е2 - В2J + (ЕВJ]1'2. B6.20)
Случай, когда оба инварианта электромагнитного поля равны
нулю, является особым и должен быть исследован отдельно. Поэтому,
исключая зтот случай, выражение, стоящее в скобках под знаком
корня, положительно. В общем случае при /t =^0 и /2 Ф 0
V, 1 В2 - Е21 < | WjB~2-E2

§ 26] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 197
Как при В2 > Е2, так и при Е2 < В2 выбор знака плюс перед кор-
корнем делает выражение, заключенное в квадратные скобки, поло-
положительным, а знака минус — отрицательным. В первом случае
получаются два вещественных, равных по абсолютной величине,
но противоположных по знаку значения: Х1 = — Х2. Во втором
же — два чисто мнимых взаимно сопряженных значения: ш,
— t'co. Вещественным собственным значениям соответствуют аперио-
апериодические движения, зависящие от е±%х, мнимым же — периодичес-
периодические вида е±шх.
Запишем на основании проведенного исследования возможный
вид решения в вещественной форме:
х(т) = а(| cos сот —1] sin cox) + &(ach Хт — jish |ят) + .г0. B6.21)
Здесь a, b — вещественные амплитуды, а a, J3, f, tj, x0 — постоян-
постоянные векторы в пространстве Минковского, причем х0 определяется
начальными данными. Знаки в предыдущей формуле выбраны из
соображений удобства. Подстановка B6.21) в (8.3) и приравнивание
входящих в правую и левую части членов, обладающих одинаковой
зависимостью от т, приводят к следующим уравнениям для век-
векторов:
««--^Ч'ГЛ «"]"=-?, W. B6.22.)
В формуле B6.21) мы пользуемся прежними собственными значе-
значениями, умноженными на q/moc. Исследование уравнений B6.22)
показывает, что они совместны, причем векторы ?, tj, a и Р можно
считать взаимно ортогональными. Действительно, из B6.22х)
благодаря антисимметрии тензора F?. Совершенно аналогично
из B6.222) следует, чтст{5 = 0. Используя теперь первое уравнение
B6.22J и затем — второе уравнение B6.222), найдем
Аналогично из второго уравнения B6.22t) и первого B6.222) имеем
Здесь также использована антисимметричность FJ'. Из двух пре-
предыдущих равенств получим

198 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
Таким образом, (со2 + |л2) Ъ,'а.1 = 0 и, так как со и \\ вещественны,
\'at = 0, а значит, и "Л%.= 0- Итак, взаимная ортогональность
векторов 1, т], a, р1 доказана. Совершенно сходным путем проверя-
проверяются равенства I2 = rj2 и а2 = — р2. Благодаря присутствию коэф-
коэффициентов а и b можно считать векторы а, р, |, т] единичными.
Но из четырех взаимно ортогональных векторов в пространстве
Минковского три должны быть пространственноподобными и один —
времениподобным. Из соотношений между длинами этих векторов
видно, что имеются лишь две возможности: времениподобным может
быть либо вектор а, либо вектор р. Но отсюда, в свою очередь,
следует, что компонента движения во времениподобном направле-
направлении всегда является апериодической, как это и должно быть *).
Четырехмерная скорость движения должна быть времениподоб-
ной. На основании B6.21), с учетом указанных выше свойств век-
юрных амплитуд, получается равенство (dx/drJ = —a2to2 =j= &2|я2,
причем верхний знак соответствует времениподобному вектору а,
а нижний — времениподобному вектору р. В первом случае усло-
условие для скорости не может быть выполнено. Поэтому именно век-
вектор \5 следует считать времениподобным.
Дальнейшее исследование при произвольном направлении по-
полей В и Е не может быть проведено в общем виде, даже если
эти поля, как здесь предполагается, статические и однородные.
Однако несколько важных частных случаев могут быть полностью
исследованы. Они выделяются условиями относительно значений
инвариантов.электромагнитного поля. Полезно при этом вспомнить
сведения о свойствах преобразований поля, изложенные в § 7.
26.5*. Прежде всего, будем считать, что ЕВ = 0, и поэтому,
согласно B6.18), det (Fa) = 0. Рассмотрим сначала случай В2 > ?2.
В § 7 было показано, что при этих условиях существует такая
система отсчета, в которой Е' = 0. Из B6.20) видно, что имеются
два ненулевых собственных значения: ico = ±i—-(В2 —?2)'/а .
Заметим, что в вышеупомянутой системе отсчета, где электро-
электромагнитное поле является чисто магнитным В', абсолютная вели-
величина этих собственных значений совпадает с ларморовой часто-
частотой' B6.3). В данном случае, однако, нужно еще учесть, что благо-
благодаря указанному равенству нулю определителя существует ненуле-
ненулевое решение v' системы алгебраических уравнений
vlFi = 0, B6.23)
а поэтому, помимо решения вида B6.21) (где нужно положить
И- = 0), уравнению (8.3) можно удовлетворить также, положив
*) Разумеется, периодическое движение вдоль оси времени означало бы нару-
нарушение принципа причинности!

§ 26] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ДВИЛШШЯ 190
х1 = v'x -f- v\, где второе слагаемое постоянно. Общее решение
принимает вид
J (т) = а A cos сот — r| sin сот) + от, B6.24)
если выбрать начало отсчета так, чтобы постоянное слагаемое
в B6.21) в сучмме с и0 обратилось в нуль. Следует заметить, что
аргументом в B6.24) является именно собственное время т, а не
время t в какой-либо произвольной системе отсчета. Чтобы ввести- в
качестве аргумента это последнее, нужно определить функциональ-
функциональную зависимость т = т (/) и разрешить ее относительно t.
Обозначим буквой ©трехмернуюскорость, соответствующую четы-
четырехмерной скорости v. Тогда, переходя к трехмерным обозначениям,
уравнение B6.23) можно переписать в виде v X В= — сЕ. В § 7 мы
видели, что тогда v является скоростью той самой системы отсче-
отсчета, в которой Е' = 0. Умножая предыдущее равенство векторио на В
и используя формулу для двойного векторного произведения,
получим, что проекция скорости v на плоскость, ортогональную
вектору В, равна vL = -^ЕхВ. Мы вновь получили скорость
электрического дрейфа, входящую и в нерелятнвпстское равенство
B6.13). Таким образом, скорость v—это скорость ведущего
центра, который движется равномерно и прямолинейно.
Перейдем в систему отсчета, связанную с ведущим центром,
и обозначим через v скорость частицы в этой системе отсчета.
Так как Е' = 0, нулевая компонента уравнения движения (8.3)
частицы примет вид d (ynoc) Idx = 0, т. е. у — A — и2/с2)-1'2 =
= const, а значит, и v — const. Первые два члена в формуле B6.24)
описывают, таким образом, равномерное ларморово вращение.
При этом из dxldt = у следует т == ty1 и аргумент тригонометри-
тригонометрических функций записывается в виде сот = -2— t. Поэтому в системе
отсчета, связанной с ведущим центром, релятивистская частица
-вращается'так же, как это было в нерелятивистской задаче (п. 1),
Нужно лишь заменить в формуле B6.3) массу покоя т0 на массу
движения т = тоу.
Этот же результат немедленно и еще проще получается и из про-
пространственных компонент уравнения (8.3), которые в системе от-
отсчета ведущего центра вполне аналогичны уравнениям B6.2), а
dv. q
=
dv. q
именно: —г— = v^xB, и могут быть проинтегрированы совер-
совершенно так же, как это было сделано в п. 1. Поэтому и выводы
об эквивалентном магнитном моменте, указанные в конце п. 1,
остаются в силе при замене т0 на т.
26.6. Продолжая считать BE — 0, предположим теперь, что
?г -> gi для исследования такой задачи удобнее всего восполь-
воспользоваться результатами § 7 и проводить вычисления в той системе

200 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ ГГЛ. 6
отсчета, где выполняется равенство В — 0. Пространственные
компоненты уравнения (8.3) в этой системе записываются в виде
dp Idt = qE, где р = moyv — релятивистский импульс частицы.
Направим ось х вдоль вектора Е. Проектирование уравнения
на ось х и на ортогональную к ней плоскость приводит к резуль-
результату: рх = moyvx = qEt + рох, pj_ = moyv± = poL = const. Здесь
Pox и po± определяются начальной скоростью. Теперь можно вос-
воспользоваться соотношением тоус = (р2 + WoC2I'2 = {pi + ?^оI/2 =
= l(qEt + pOxf + ^B,]V2 (Cp. § 6)> где о," =/,5. +/njc» = const,
определяющим временную компоненту импульса. Для большей
наглядности последующих формул ограничимся в дальнейшем тем
случаем, когда рох = 0. Тогда
Vx = ~ = cqEt[wl + (qEiy]-[/2,
I B6.25)
ЧГ
Разумеется, в плоскости, ортогональной оси х, всегда можно на-
направить одну из лежащих в ней координатных осей (пусть это будет
ось у) вдоль poj_. Интегрирование формул B6.25) от начального
момента времени t0 = 0 дает результат:
B6.26)
—4
qE
Здесь начало отсчета на плоскости (х, у) выбрано так, чтобы по-
постоянные слагаемые в B6.26) были равны нулю. Вся траектория
лежит в этой плоскости. Из B6.26) можно исключить время и полу-
получить уравнение траектории частицы в виде
B6.27)
В нерелятивистском пределе положим w0 ^ тос и роу ~movoy.
Так как мы рассматриваем случай рох = 0, начальная кинетиче-
кинетическая энергия частицы равна 1l?pl<ply = То. Нерелятивистское
приближение справедливо лишь на достаточно малых расстояниях
от точки, из которой начинается движение частицы, так как бла-
благодаря ускоряющему действию поля скорость ее в принципе может
достигать значений, сколь угодно близких к с. Считая аргумент
в сп достаточно малым, получим
^ii^^ + const. B6.28)

§ 26] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 201
Это — уравнение параболы в плоскости (л;, у). Предоставим иссле-
исследование траектории в общем случае читателю в качестве упраж-
упражнения.
26.7. Рассмотрим случай, когда ЕВ = ЕВ, т. е. электриче-
электрическое и магнитное поля параллельны.'Ось г пространственных коор-
координат может быть повернута вдоль общего направления этих век-
векторов. При этом Ez = Е, Вг = В. Уравнение (8.3) записывается,
как нетрудно в том убедиться, в виде следующей системы равенств:
d4 dy d2y dx
l^~WL~dY' rf?--<OiW
№г__ qE_dt_ <Pt_ jE_ dz_
dt2 ~ m0 dx ' dt2 ~ m0c2 di '
Здесь со;. — нерелятивистская частота Лармора B6.3). Очевидно,
первые два уравнения описывают периодическое движение с часто-
частотой соь вторая же пара уравнений — апериодическое движение
вдоль оси г. Можно сравнить этот результат с формулой B6.21),
однако мы не будем изучать такое движение более подробно.
26.8. В заключение настоящего параграфа исследуем движение
частицы в поле плоской волны. При этом оба инварианта электро-
электромагнитного поля равны нулю. Анализ движения в периодически
зависящем от времени поле, проведенный в п. 2, предполагал это
поле однородным в пространстве и, кроме того, был нерелятивист-
нерелятивистским. В данном случае имеют место формулы A8.7)
В = пхЕ, Ел = 0, B6.29)
где п =¦ klk. Зависимость от времени имеет вид ехр [i (kr — со^)] =
= ехр [—ico (t — nrlc)]. Запись ее в комплексной форме здесь
несущественна, и мы используем фактически вещественную часть
экспоненты, считая при этом векторы В и ? также вещественными.
С помощью B6.29) пространственные компоненты уравнения (8.3)
принимают следующую форму:
{(??)±} B6.30)
Временная же компонента, как обычно, выражает закон сохранения
энергии, т.е. -^ (mc2)=q(Ev). Проектируя B6.30) на постоян-
постоянный вектор п и принимая во внимание B6.29), получим -г- (mvri) =
= -- Ev = -ц (тс). Таким образом, т (vn — с) = const. Примем
за начало отсчета t = 0 тот момент времени, когда v = 0 и, сле-
следовательно, т = та. Тогда mvn = (т — т0) с, т. е. vn=^~ с
или —ц- = y 2 = 1 — = -g?-, если обозначить V == t — —. Отсюда

202
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ
[ГЛ. 6
dt'"
mv = mo-7-,- -~н — mo~лр~• Умножим обе части уравнения B6.30) на
dtldt'. Тогда при учете предыдущих соотношений получим
•.(Е-). - B6.31)
пцс \ dt' I
Следует полагать, что вектор Е может быть задан как' функция
от t'. Направим ось х по вектору п распространения плоской
волны. Проектируя B6.31) на этот вектор и( на ортогональную
ему плоскость, находим
d?x q i dr \ q / _dr
" " ! dt'
dt'z n\c \ dt' I moc \
Из второго уравнения B6.32)
dt'
dt'2
= — Е.
m0
B6.32)
о о
- Тогда первое уравнение дает
^ = 4 E(t') f E (f) dt"^-^ ±; \ E (O dt" .
dt пцс .) Imlc dt J J
Отсюда
К Г'"
n- B6.33)
Важно еще раз подчеркнуть, что предыдущими формулами г
задается как функция вспомогательной переменной времени /'
или, что в данном случае то же самое, как функция собственного
времени т. Для того чтобы определить закон движения частицы
в зависимости от времени t, следовало бы исключить f из уравне-
уравнения t = f + г (/') и/с = f 4- х (f) с, где x(t') определяется по
формуле B6.33). Интегрирование в этой формуле произвести легко,
так как вещественная часть поля записывается в виде Е (/"') =
= ?0cosfof", однако уравнение для V_ является трансцендент-
трансцендентным, а потому может быть решено лишь численными методами.
Изученные выше случаи не исчерпывают всех возможностей
точного решения уравнений движения. Так, например, можно было
бы рассмотреть некоторые статические, тю уже неоднородные маг-
магнитные поля. Такие результаты можно найти в специальной лите-
литературе *).
1967.
*) См., например, Б. Ленерт, Динамика заряженных частиц, Атомиздат,

§27] ДРЕЙФ В НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОМЛГНИТНОМ ПОЛЕ 203
§ 27. Теория дрейфа
в неоднородном электромагнитном поле
27.1. Для исследования поведения частицы в неоднородных
и зависящих от времени полях применяются различные прибли-
приближенные методы. Мы остановимся здесь на одном широко используе-
используемом в таких задачах методе теории возмущений, причем будем
руководствоваться наиболее простыми предположениями. Грубо
говоря, физическая картина, лежащая в основе этого метода, —
это движение в виде достаточно быстрых ларморовых осцилляции,
наложенное на сравнительно медленное перемещение «ведущего
центра». В однородных статических электрическом и магнитном
полях такая картина движения является точной (см. предыдущий
параграф, п. 2). В неоднородных полях, при определенных усло-
условиях, она достаточно хорошо соответствует описанию поведения
частицы в первом приближении.
Все вычисления будут проводиться в нерелятивистском пре-
пределе. Предположим, прежде всего, что магнитное поле достаточно
медленно изменяется как в пространстве, так и во времени. Это
условие выражается неравенствами
<
Bj
l
dt
<\Bj
Здесь col и /"l — ларморовы частота и радиус, определенные по
формулам п. 26.1. Производные по координатам и по времени
вычисляются в системе отсчета, сопутствующей частице. Анало-
Аналогичные неравенства должны выполняться и для остальных внеш-
внешних сил, действующих на частицу. В качестве таких внешних сил
мы будем учитывать в дальнейшем в явном виде только электриче-
электрическую силу qE. Если действуют также и силы /другого происхож-
происхождения, то все последующие формулы будут выполняться при за-
замене qE на (/? + /= F. Нужно лишь предположить, что состав-
составляющие F\\ = В (FB) /В2, параллельные магнитному полю, малы,
а составляющие F\_ не изменяют существенным образом ларморова
радиуса г^.
Для применения теории возмущений приведем уравнение дви-
движения B6.1) к безразмерному виду. Для этого обозначим буквой L
характеристический размер той области неоднородного поля, в кото-
которой изучается движение, Во (t) — напряженность магнитного поля
в момент t и v0 — скорость движения по ларморовой окружности
в этом поле. Тогда безразмерные переменные могут быть введены
с помощью равенств: р = l/Lr, f = votlL, В = В (/) 1В0 (/).
Если еще определить безразмерную величину Ё^-^щ-Е, то урав-
уравнение B6.1) принимает после подстановки всех этих функций

204 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
безразмерную форму:
-L~-^ = E + ~xB. B7.1)
L dT2 dT K '
Здесь, как и в п. 26.1, ль — mocvo/qBQ. Но уравнение B7.1) фор-
формально совпадает с B6.1), если заменить rJL на moc/q. Поэтому
каждому решению одного из этих уравнений соответствует реше-
решение другого. Можно, таким образом, применять теорию возмуще-
возмущений непосредственно к уравнению B6.1). Малым параметром
в B7.1) будем считать rt/L. Тогда малым параметром при исследо-
исследовании уравнения B6.1) будет & = tnoc/q:
e-^ = cE+vxB. B7.2)
Введем теперь основное предположение теории возмущений,
которую мы рассмотрим здесь лишь с точностью до первого порядка
по параметру е. Именно, предположим, что радиус-вектор частицы
можно записать в виде
г (t) = гц @ + rL @ = гц @ + е {ег cos <oLf + ег sin <oLf). B7.3)
Здесь, аналогично формуле B6.6), векторы et и ег считаются еди-
единичными и взаимно ортогональными, причем
е*-^. «,, = ?. - B7.4)
Радиус-вектор гц (t) описывает движение «ведущего центра»,
а Гь @ — ларморово вращение, упомянутое в начале этого пара-
параграфа. В дальнейшем будут использоваться также обозначения
©ц = drjdt и Vl = drjdt, так что v = va + Vt.
Применяя условие о медленности изменения полей, можно вос-
воспользоваться их разложениями вблизи точки га в виде
Индекс «ц» означает вычисление каждого из слагаемых в точке
г = Гц. Подставим B7.3) и B7.5) в уравнение B7.2), причем вместо
параметра е можно воспользоваться его явным выражением. Тогда
получим
B7.6)
Последние два члена в правой части неявно содержат множитель е.
Такой же множитель содержит и последнее слагаемое в левой
части, но его обсуждение требует осторожности и будет проведено

§27] ДРЕЙФ В НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ~ 205
несколько позднее. Поэтому можно считать, что разность tno—r
— -~®lXBu «почти равна нулю». Это и означает, что частица
совершает прежде всего вращательное движение с ларморовой
частотой. В результате такого (достаточно быстрого) вращения
поля В и Е в системе отсчета, сопутствующей частице, периоди-
периодически изменяются со временем с частотой coi..
Произведем в обеих частях уравнения B7.6) усреднение по вре-
времени. Такое усреднение составляет чрезвычайно существенную
черту излагаемого метода теории возмущений и позволяет отделить
сравнительно быстрые движения от медленных. Ясно, что при
этом средние значения векторов Гь и V\_ равны нулю. Кроме того,
равны нулю.и средние значения «флуктуации» б? и 6# электро-
электромагнитного поля. На первый взгляд кажется, что и член oL X ЬБ
должен давать нулевой вклад, однако мы убедимся сейчас, что это
не так.
Прежде всего запишем:
J- vL X бй = [rL X йх] X ((rL
= — rL (Blt (rL grad) B) + Bx (rL, (rL grad) B).
Пусть направление оси z локальной системы координат совпадает
с вектором fix в начале отсчета этой системы. Проекция Гь на ось г
при этом равна нулю. Отсюда
— [vl-XЩх = — rLx(rL, grad) В, = — rlx -fc- — rLxrLy -щ[-,
— [v L X Щу = — rLy (r l grad) Вг = — rLyrLx -gf- - r\u -щ-,
^- [vL x Щг = rue (rL grad) Bx + rLy (/-l grad) Btf =
dy l dx I
Средние по времени от rlx и г\у равны rl/2, средние же по вре-
времени от п.жГ1.у равны нулю. Используем, кроме того, уравнение
.div В = 0, т. е. dBJdx + дВц/ду = —дВг1дг. Тогда, обозначая
скобками < > результат усреднения, получим
<t>LX6fi> = —V2«>L/igradB,. B7.7)
Но если воспользоваться предположениями о малости компонент
поля Вх и Ву по сравнению с компонентой Bz и о медленном их
изменении, то
grad Bz=~ grad Bl =
~ (grad S2 - 2B- grad 5* - 2fii/ grad В„) ^ grad

206 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ 6
Подстановка B7.7) в B7.6), с учетом всех сделанных приближений,
приводит к уравнению
:vaxB-M grad В. B7.8)
qa>r r~, q Щ uj
Здесь M=—p— = к- Wl^l = -q~ -g-. Таким образом, М явля-
является абсолютной величиной магнитного момента тока, соответ-
соответствующего движению частицы по ларморовои орбите, определенной
ранее уравнением B6.7). Можно сказать, что в данном приближе-
приближении реальная частица заменяется «эквивалентной» частицей, дви-
движение которой совпадает с траекторией ведущего центра, причем
эта частица обладает, помимо заряда, еще и магнитным моментом М.
Физический смысл полученной картины является вполне нагляд-
наглядным; необходимо, однако, еще раз подчеркнуть решающую роль
усреднения по периодическому ларморову движению при ее выводе.
Рассмотренное первое приближение, разумеется, весьма грубо
изображает реальность. Для самого его обоснования и установления
границ его применимости необходимо было бы изучить разложе-
разложение г (/), а также полей В и ? в бесконечные ряды по степеням е,
а также с достаточной строгостью провести усреднение. Такая
задача решена в трудах различных авторов, однако она, разуме-
разумеется, слишком сложна, чтобы быть здесь изложенной *).
27.2. Перейдем к дальнейшему исследованию уравнения дрей-
дрейфового движения B7.8). Индекс «ц» при этом можно не выписывать.
Проектируя это уравнение на вектор Въ получим дрейф в направ-
направлении магнитного поля:
') = qE\\ — М (Вл grad) В.
ВыЕести уравнение для поперечного дрейфа в удобной форме
более трудно. Обозначим через г»щ единичный вектор скорости
вдоль магнитных силовых линий. Тогда v = vu Vr:1 + ©j_ и
dv dv dv, rf^N]
~dl = C|U ~dT ^—W~ ~t" Vi lit ' ^сли тепеРь умножить уравнение B7.8)
векторно на Вг и учесть, чтоВ~2 [В х [v x fill = v — BL
= ©j_> a также ©|ij X B1 = 0, то оно примет вид
Но, по самому своему определению, вектор V\\i направлен всегда
вдоль поля В, т. е. dv \г = dBx = (fii grad) Bxdl, причем dl ==
== v dt, где Vjj — значение скорости в начале рассматриваемого
бесконечно малого приращения. Таким образом, dvtl/dt —
= ум (В1 grad) В1. На основании формулы (Б. 18), при а = & = Вг, так
что grad а2 == 0, имеет место соотношение (Вг grad) В1 = — В1 X
*) См., например, цитируемую на стр. 202 книгу Б. Ленерта.

§ 27j ДРЕЙФ В НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 207
ГУ I 1 ~1
X rot Вг. Далее, rot B1=rot ^ = ^rot B+ grad-g x B\, по фор-
формуле (Б.143). Обозначая (grad В)^ = grad В — Вх (Вх grad В),
получим
(Вг grad) Вх = ~-3 ((grad B)L - В х rot В). B7.10)
Подставим B7.10) в формулу для производной cto, Jdt, а эту пос-
последнюю — в уравнение B7.9). Выполним векторное умножение
на В, указанное в этом уравнении, и учтем при этом, что (grad В) j_ X
X В = (grad В) х В, а также воспользуемся очевидным обо-
обозначением: (rot B)j = fij X [rot В х fl^. На основании урав-
\ дЕ.
нения Максвелла (rot B)L = у—gp окончательно получим
где
т0 dv .
B
М I 2vS \ mQ dE
Член Ve описывает эжктрический дрейф, аналогичный тому, кото-
который был рассмотрен в п. 26.2. Скорость Vi соответствует так назы-
называемому поперечному инерционному дрейфу. Он пропорционален
массе т0 частицы и представляет собой как бы результат центро-
центробежной силы, действующей на эту частицу при ее движении вдоль
искривленной магнитной силовой линии. Слагаемое vP называется
поляризационным дрейфом. Его присутствие связано с тем, что
при движении в переменном электрическом поле электрический
дрейф частицы изменяется с течением времени. При этом внешнее
электрическое поле совершает над частицей некоторую работу,
приводящую к ее дополнительному ускорению. Помимо равно-
равномерного движения со скоростью ч>е, которое совершалось бы,
если бы электрическое поле было постоянным, частица еще «падает»
в поле от одной его эквипотенциальной поверхности к другой.
Наконец, член vB, пропорциональный grad В и магнитному
моменту М называется градиентным дрейфом. Он обусловлен неод-
неоднородностью магнитного поля и направлен вдоль поверхностей
В = const. Более подробное его изучение показывает, что первое
слагаемое в нем' описывает влияние неоднородности поля на лар-
моровское вращение, второе же связано с влиянием кривизны маг-
магнитных силовых линий.
Обратим внимание на то, что все слагаемые дрейфа, кроме ve,
изменяют свой знак при перемене знака заряда. Благодаря этому
явление дрейфа используется на практике для разделения проти-
противоположных зарядов, например электронов и ионов плазмы,

208 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
27.3. Движение частицы в рассматриваемом приближении с ме-
механической точки зрения является почти периодическим: на перио-
периодическое движение — вращение по ларморовой орбите, налагается
весьма медленное по сравнению с ним перемещение ведущего центра.
Если движение, которому соответствуют обобщенная координата q
и обобщенный импульс р, строго периодично, то в аналитической
механике доказывается, что выражение J = § р dq, где интегриро-
интегрирование производится по периоду колебания, является инвариантом
движения. При почти периодическом движении, когда параметры
системы изменяются адиабатически, т. е. достаточно медленно
по сравнению с периодом, причем характерное время этого изме-
изменения не соизмеримо с ним (это условие исключает возможный
в противном случае резонанс), указанные интегралы остаются
постоянными и называются поэтому адиабатическими инвариан-
инвариантами рассматриваемой системы.
В -п. 26.1 для случая строго периодического движения в стати-
статическом магнитном поле было показано, что эквивалентный магнит-
магнитный момент М тока, обусловленного таким движением, инвариан-
инвариантен. Для движения с учетом дрейфа, описываемого уравнением
B7.8), можно доказать,"что в используемом приближении по преж-
прежнему dM/dt = 0, т. е. что М является адиабатическим инвариантом.
Умножим скалярно B7.8) на вектор va. Полученное соотношение
^ •¦ шп dvl
-r-1±=q(Eva)-M(vilgradB) B7.11)
выражает закон изменения энергии при дрейфе. Полный закон
сохранения энергии имеет, как обычно, вид
f^ B7.12)
Вычтем почленно равенство B7.11) из B7.12). Тогда
Щ- ~ (vl + 2vLva) = q (EvL) + М (z>ugrad В). B7.13)
Вторым слагаемым в левой части можно пренебречь, так как в на-
нашем приближении уц <^ v^. Подставим выражение электрического
с 1 \ дА
поля через потенциалы Ь = — graa ср j— и проинтегрируем
обе части B7.13) по времени за период ларморова вращения TL =
= 2я/|а>1.|. Если v't, В, Е и ©ц (но не ©L) слабо зависят от вре-
времени, то результатом интегрирования будет
2 lL dt ~
§ (grad cp, vL)dt-± j (?A, „LJ^. B7.14)

§ 27] ДРЕЙФ В НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 209
Но vLdt — drL. Поэтому
\ (gradcp, vL) dt=§(grad ф,
о
W' B7.15)
В первом соотношении равенство нулю приближенное, так как
частица движется по почти замкнутой, но все же не в точности
замкнутой кривой. Во втором же используется теорема Стокса
по отношению к ларморовои окружности и охватываемому ею кругу.
Знак устанавливается из того соображения, что вращение в задан-
заданном магнитном поле по ларморовои окружности противоположно
для частиц с разным знаком заряда (для отрицательно заряжен-
заряженных — против, а для положительно заряженных — по часовой
стрелке). Учитывается, кроме того, приблизительная ортогональ-
ортогональность магнитного поля плоскости вращения и малость его изменения
на расстояниях порядка г^.
Подставим B7.15) в B7.14) и учтем, что М = -~ Ul/"l согласно
формуле B6.7). Результат принимает вид
В.
2 dt
Производная по времени dldt является здесь «субстанциональной»,
т. е., как и всюду выше, вычисляется в системе отсчета, сопутствую-
сопутствующей частице. Вообще говоря, dldt = dldt + (v, grad), где v —
полная скорость. Однако в уравнении B7.8), где выполнено усред-
усреднение по периодической компоненте Vl, фактически следует счи-
считать, что dldt = dldt + (сц, grad). Так как можно записать еще
М = movl/2B, что тоже указано в B6.7), то предыдущее равенство
преобразуется к виду
т.е.
в рассматриваемом приближении.
При некоторых конфигурациях магнитного поля имеются и дру-
другие адиабатические инварианты, кроме эквивалентного магнитного
момента. Так, могут существовать поперечный адиабатический
инвариант вида р]_1В, где р± — импульс движения, ортогональ-
ортогонального по отношению к полю, и продольный адиабатический инвариант,
определяемый импульсом продольного дрейфа. Первый случай
соответствует возможности почти замкнутой траектории попереч-

210
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ
[ГЛ. 6
В
ного дрейфового движения (рис. 29, а), второй же — периодиче-
периодическому дрейфовому движению между силовыми линиями поля,
имеющему характер последовательных отражений от них, как
от зеркал (рис. 29, б). Мы не
будем здесь изучать эти воз-
возможности. В каждой точке
траекторий такого типа со-
совершается быстрое ларморово
вращение, причем эквивалент-
эквивалентный магнитный момент со-
сохраняется, как это было по-
показано выше.
§ 28. Система
взаимодействующих частиц
Ю
Рис. 29.
28.1. Пусть имеются две
заряженные частицы. Задачу
о движении таких частиц
естественно рассматривать в
системе отсчета, связанной с их центром инерции, который движется
равномерно и прямолинейно. Мы ограничимся тем случаем, когда
масса одной из частиц настолько больше, чем масса другой, что с до-
достаточной точностью можно считать центр инерции системы совпадаю-
совпадающим с большей массой и совместить с ним начало отсчета пространст-
пространственных координат. В такой системе отсчета взаимодействие частиц
описывается законом Кулона. Тогда задача сводится к опреде-
определению траектории более легкой частицы в заданном кулоновском
поле (задача Кеплера). Рассмотрим ее решение в релятивистс-
релятивистской форме.
Сила взаимодействия имеет вид/^-^i^-r. Запишем уравнения
движения:
?4 ^ B8.1)
~
где, как обычно, у = A — у2/с2)-1/2, a k = qxq%lmu. В случае при-
притяжения k •< 0, а в случае отталкивания k > 0. Правая часть
d I k \
второго из уравнении равна — , 1 — 1, поэтому, как и должно быть,
это уравнение выражает закон сохранения энергии в виде
yc* + k/r=W, B8.2)
где W — постоянная. Умножим теперь обе части первого уравне-
уравнения на г векторно. Так как г х ~ (yv) = d( (y[rxv])t получаем
y[rx.v]
B8.3)

§ 28] СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 211
где А — постоянная. Это соотношение выражает закон сохранения
момента импульса. Из него видно, что движение происходит в неко-
некоторой определенной плоскости. Введем цилиндрические коорди-
координаты с осью г, направленной вдоль вектора г XV, нормального
плоскости движения; обозначим через г, ср полярные координаты
в этой плоскости. В таких координатах соотношение B8.3) прини-
принимает форму
yr**L = A. B8.4)
' at
Далее, и2 = г2 + г2ф2 и, с другой стороны, легко проверить ра-
равенство у2у2 = с2 (у2 — 1); отсюда
YV2 = с2 (у2 - 1) - у2г2ц>2 = с2(у2-1)- А2/г2.
Здесь была использована формула B8.4). Оставшуюся в правой
части величину у2 выразим через переменную г с помощью урав-
уравнения B8.2). Тогда
•*]¦*. B8.5)
В свою очередь из B8.4) следует уф = А1г%, и, так как dyldr ~ ф/Л
получим
С*
B8'б)
Здесь введены обозначения Wo == с2, Ао = й/с. Введенные в B8.2)
и B8.3) энергия W и момент импульса А отнесены к единице массы
движущейся частицы. Вернемся к равенству B8.5). Разумеется,
величина уг принимает только вещественные значения. Устремим
сначала в правой части г к бесконечности. При \W\ < с2 подкорен-
подкоренное выражение отрицательно, поэтому при \W\ •< Wo уход частицы
на бесконечность невозможен. Теперь рассмотрим случай г -*- 0.
Сохраним под корнем только члены, пропорциональные г2.. В этом
случае корень становится мнимым при А > \klc\ = |Л0|. Нужно
заметить, что Ао >.О при отталкивании и Ао <0 при притяжении.
Только что выписанное неравенство следует рассматривать как
условие, при выполнении которого невозможно падение частицы
на центр.
Интегрирование в формуле B8.6) может быть легко проведено.
С помощью обозначений
B8.7)

212 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
эта формула приводится к виду
А С di А I А 1 /ос . WA0\
Ф - Фо= - - ) (Ьг_^,2 = - arccos -ь- = - arccos ft- (T + -^-).
- Фо)]Ч B8.8)
+ А1
4г, \1/2
Отсюда
Здесь
УУ2_Ц75) -11/2
B8.9)
Рис. 30.
При исследовании уравнения траектории B8.8) необходимо учиты-
учитывать, что, как видно из B8.2), притяжению соответствуют значения
W < yW0, т.е. в крайне релятивистском случае представляют
интерес значения W < Wo. Напротив,
s^" ^^ отталкивание имеет место непременно
при W > Wo. Если бы выполнялось
равенство ? = 1 (что невозможно), то
уравнение B8.8) описывало бы эллипс
при |е| •< 1, гиперболу при |е| > 1 и
параболу при |е| = 1. Фактически же
движение имеет более сложный ха-
характер. Перечислим наиболее важные
частные случаи.
a) W < Wo, А > Ао. Из B8.9)
видно, что |е| < 1. Однако г воз-
возвращается к своему исходному значе-
значению при изменении угла не на вели-
величину Аф = 2л, а на Дер = 2л/? =
¦A'llA2) ~1/2. Такая траектория представляет собой эллипс,
прецессирующий вокруг начала отсчета (часто говорят при этом об
эффекте смещения перигелия, пользуясь терминологией, заимство-
заимствованной из астрономии). Она изображена на рис. 30.
б) W > Wo, А > Ао. Траектория мало отличается от гипер-
гиперболы.
в) W < WQ, А < |Л0|. В этом случае t = if, где f — веще-
вещественная постоянная. Траектория имеет вид спирали, неограни-
неограниченно приближающейся к началу координат. В случае притяже-
притяжения Ао < 0, поэтому р > 0. При этом г —- р [1 + е ch ?' (ср + ср0)].
Знак величины Ао соответствует, разумеется, тому или иному на-
направлению движения частицы по своей траектории. Эти направле-
направления для притяжения и отталкивания взаимно противоположны.
г) W > WQ, А < Ао. При Ао > 0 (отталкивание) траектория,
аналогично случаю (б) имеет характер гиперболы. Если же Ао •< 0,
то вновь получается спираль, неограниченно приближающаяся
к началу координат (т. е. к притягивающей массе).
= 2л A

S 28] СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 213
28.2. Если массы взаимодействующих частиц сравнимы по вели-
величине, то релятивистская задача определения их движения стано-
становится чрезвычайно сложной. В этом случае необходимо рассматри-
рассматривать систему уравнений вида
dw
При этом Fl^ определяется, с учетом запаздывания, полем второй
частицы, действующим на первую, a Fff, — также с учетом запазды-
запаздывания, полем первой частицы, действующим на вторую. С матема-
математической точки зрения такие уравнения называются разностно-
дифференциальными, и исследование их в интересующем нас слу-
случае мало продвинуто.
При упрощающих предположениях, сводящихся в основном
к достаточной медленности движения частиц по сравнению со ско-
скоростью света, можно получить полезные приближенные результаты,
относящиеся к свойствам системы, состоящей из N частиц. Для
-того чтобы это сделать, удобно сначала рассмотреть запаздываю-
запаздывающие потенциалы, создаваемые непрерывным распределением зарядов
и токов, которые определяются по формулам A3.11). Прежде всего
займемся формулой для скалярного потенциала, а именно:
'. R = \r-r'\. B8.10)
Предположим, что р (/"', V) соответствует «почти точечной» ча-
частице, причем скорость этой частицы и высшие производные ее коор-
координат по времени f достаточно медленно изменяются со временем.
Тогда можно произвести разложение функции р по степеням с1
и сохранить лишь несколько первых членов:
--?-J-p(r\ t) + ±R>*pir', i)+...
B8.11)
Подстановка B8.11) в B8.10), с учетом того, что Jp(/"', t) dV = q
не зазисит от времени (q — полный заряд частицы), дает
4лФ(г, 0 = ] P(fy +±-^jp{r', t)RdV'+... B8.12)
Если учесть, что р (г1, t) =qn& (r' — ra (t)), то B8.12) принимает
вид
Яа
-га@1 ~ Ж Ш \-\г-га\
где va == drjdt. Совершенно аналогичным образом, принимая,
что J — рс, можно получить первый член разложения векторного

214 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
потенциала, который совпадает с полученным ранее потенциалом
статического магнитного поля:
QaVa
An А (г, 0 = „ 1а аг ¦ ¦ B8.14)
Дальнейшие члены разложения векторного потенциала не учиты-
учитываются, так как в уравнениях движения слагаемые, содержащие
векторный потенциал, имеют дополнительный множитель с1.
Воспользуемся теперь градиентным преобразованием B.4) и B.3),
причем положим
4яф = —-%- ("°;Г7Ч B8.15)
Новый скалярный потенциал сводится к статическому кулоновскому
потенциалу, векторный же потенциал получает добавку, которую
нетрудно подсчитать по формуле (Б. 18):
grad vf- = (vgrad)j.
Таким образом, если обозначить новые потенциалы так же, как
исходные, получим
B8.16)
Из сравнения с формулами B.8) и B.9) видно, что в ходе вычисле-
вычисления совершен переход к кулоновской калибровке потенциалов.
Равенство div A =¦- 0, характеризующее эту калибровку, легко
проверить непосредственно с помощью B8.16).
Рассмотрим функцию Лагранжа (8.19), описывающую поведение
частицы с зарядом q и радиусом-вектором г в заданном поле,
причем будем считать, что это поле определяется потенциалами
B8.16) и создается другой частицей. Очевидно, что слагаемые
— ^Ф + уЛ© в функции Лагранжа симметричны относительно
перестановки зарядов q и qa и скоростей v и va частиц. Эти слагае-
слагаемые можно интерпретировать как выражение мгновенного даль-
дальнодействия между частицами, хотя, как мы видели выше, струк-
структура их определяется с помощью приближенного учета запазды-
запаздывания. Если теперь перейти к рассмотрению системы Af частиц,
то соответствующая функция Лагранжа может быть определена
формулой
с2 / 8я Ad \ra —
а, Ь
афЬ
L
а, Ь
афЬ

§ 24] СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 215
В исполъзуемом приближении
Формула B8.17) называется лагранжианом Дарвина. Он играет
значительную роль в квантовомеханических расчетах спектров
многоэлектронных атомов. Квантовомеханический аналог рассмот-
рассмотренного здесь взаимодействия называется взаимодействием Дар-
Дарвина — Б рейта.
Исходя из B8.17) и B8.18), найдем формулу для функции Га-
Гамильтона системы частиц. Для сокращения записи введем обозначе
ния: гаЬ == гп — гь и паЬ = rab/rab^ Запишем
Ра = Wa = ШаЪа + Ш^ 2^?"[Cft + Паь (v"n">)l
Ъ
Скорости можно выразить через импульсы путем последовательных
приближений. Если пренебречь вторым слагаемым, то va — ра1та
Подставляя это приближение для скорости во второе слагаемое,
получим
Практически важен случай, когда все массы та равны одному
и тому же значению т0 (например, массе электрона). Определяя
обычным образом гамильтониан, нетрудно с помощью предыдущих
формул получить с точностью до членов порядка (у/сJ:
где п = паЬ. Именно это выражение представляет интерес для
квантовой теории атома. Если система взаимодействующих частиц
находится в заданном внешнем поле, то в исходном выражении для
функции Лагранжа нужно заменить ср на ср + ср' и А — на А + А',
если ф' и А' — потенциалы этого внешнего поля.
28.3. В том случае, когда существует такая система отсчета,
в которой все скорости зарядов в точности равны нулю, из формулы
B8.19), если принять в качестве нерелятивистского определения
энергии разность U=<Ш —^тосг, получаем потенциальную энер-'
гию такой системы зарядов:
а, Ь
a -Jz Ь

216 . СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
Разумеется, это выражение для энергии можно получить и непо-
непосредственно из уравнений электростатики, рассмотренных в § 11.
Ввиду важности формулы B8.20) проведем такой вывод. Общее
выражение для энергии электростатического поля в вакууме можно
преобразовать следующим путем:
$ Е2 dV = — $ (?, grad ер) dV = — $ div (ip?) dV + $ cpdiv EdV =
„ dcr -f- J рф dV.
При этом были последовательно использованы соотношение Е ~
= —grad ф, справедливое в электростатике, формула (Б. 142) век-
векторного анализа, теорема Гаусса—Остроградского и, наконец,
уравнение div E = р (мы продолжаем пользоваться гауссовой
системой единиц и поэтому не делаем в вакууме различия между
D и Е). Будем считать, что все заряды находятся на конечных
расстояниях друг от друга, а именно внутри выбранной здесь
замкнутой поверхности а. Можно считать, что при удалении этой
поверхности ,на бесконечность первый из полученных интегралов
стремится к нулю, так как подынтегральное выражение пропор-
пропорционально гг. Если заряды точечные, то их распределение описыва-
описывается формулой р (г) = 2 °iJ> {г — га)- Поэтому второй интеграл при-
а
нимает вид V ^оф(/-о). Пользуясь выражением ф (/-„) = т- У ^~
~~ ^я *d rab
а (афЬ)
для кулоновского потенциала, создаваемого в точке га всеми про-
прочими зарядами, и учитывая множитель 1/2, входящий в формулу
для энергии поля, получим B8.20) *).
Пусть теперь скорости и' ускорения зарядов настолько малы,
что электростатическую потенциальную энергию можно считать,
несмотря на их движение, достаточно точным выражением их мгно-
мгновенного дальнодействия. При этом полная энергия системы заряжен-
заряженных частиц имеет вид W = Л^г2 + U и движение каждой частицы
а
описывается уравнением классической механики
dva 8U ¦ 9Я „
*) В действительности «р (га) содержит член Ь— а, который бесконечен
в случае точечных зарядов, поэтому ^ E2dV содержит бесконечную собственную
энергию зарядов. Конечное значение B8.20) получается в результате «перенор-
«перенормировки», при которой бесконечная собственная энергия просто отбрасывается
и сохраняется лишь «взаимная» энергия зарядов.

<S 28] СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 217
Умножим обе части этого уравнения скалярно на га. Тогда его
можно преобразовать к виду
т" Tt (гл)~maV'a ==~ГадГ
Произведем теперь суммирование по индексу а. После подстановки
в правую часть для U выражения B8.20) можно записать резуль-
результат в виде суммы по а и по Ь при а Ф b членов вида
( 5 1, д 1 \
ЧаЯъ[ Га Qf ~- + ГЬ g- — =
\ ora rab arb rabl
= — ЧаЦь JT [Га (Га - Г„) + Гь (Гц - Га)] = — ^ •
Таким образом, 2,ro^—= —U. Этот результат следует и из тео-
а
ремы Эйлера об однородных функциях. Вводя еще обозначение
a(rava) = -^2m°r°' ПОЛУЧИМ 2% = —и
а
К — полная кинетическая энергия. Если частицы, составляющие
систему, совершают почти периодические движения, то при усред-
усреднении по достаточно большому промежутку времени (как это было
и выше, мы обозначаем такое усреднение угловыми скобками)
= 0. Полученный результат называется теоремой вириала:
B8.22)
При ее выводе применялись лишь следствия классической механики.
Формула B8.22) может выполняться лишь при (U) < 0, т. е. если
действие сил притяжения преобладает над действием сил отталки-
отталкивания. Далее, для постоянной полной энергии замкнутой системы
получаем: W = (К) + (U) = —(К). При уменьшении размеров
системы в пространстве ее потенциальная энергия убывает по абсо-
абсолютной величине, кинетическая же энергия увеличивается (на вели-
величину, вдвое меньшую).
28.4. Теорема Лармора. Как и в п. 3, будем считать,
что влиянием запаздывания и магнитными полями, создаваемыми
системой зарядов, можно пренебречь, и поставим задачу о поведе-
поведении этой системы в заданном внешнем поле. Относительно внешнего
электрического поля предположим, что оно обладает цилиндриче-
цилиндрической симметрией. Введем ось z координат, направленную вдоль
оси симметрии. Величины зарядов, входящих в систему, будем
считать равными между собой. В наших предположениях потен-
потенциал внешнего электрического поля, действующий на заряд а,
может быть представлен в виде ф (га, га), где ra = V~Xa + ya- Урав-
Уравнение движения частицы записывается в виде
O» B8.23)

218 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [ГЛ. 6
где
" rb) + \'U, ¦ B8.24)
a grada обозначает дифференцирование по координатам га.
Теорема Лармора, которую мы здесь получим, показывает, как
преобразуется движение такой системы заряженных частиц при
включении внешнего статического однородного магнитного поля,
направленного вдоль оси г.
Пусть функции х„ (/), уа (t), га (t) описывают решение системы
уравнений B8.23). Обозначим через r'a (t) координаты, описываю-
описывающие движение частицы после включения магнитного поля. Тогда
электрические взаимодействия в присутствии магнитного поля
будут определяться функцией Ф', которую можно получить из фор-
формулы B8.24) с помощью подстановки г'й вместо га, т. е. Ф' (г[, ...
..., r'N) — Ф (r't, ..., r'N) (здесь N — число частиц). Уравнения
движения с учетом магнитного поля принимают вид
mjr'a = — grad^' + --©aXB. B8.25)
Здесь grada — операция дифференцирования по г'а, а v'a = dr'Jdt.
Проекция уравнения B8.25) на ось г имеет в наших условиях точно
такой же вид, как проекция на ту же ось уравнения B8.23). Поэтому
основной интерес представляет сравнение движений в плоскости
(х, у), описываемых уравнениями B8.23) и B8.25). Аналогично
тому, как это было сделано в п. 26.1, введем комплексные перемен-
переменные: la (I) = Ха (/) + 1Уа (t) И l'a (t) = Ха (t) + iy'a (t). ТоГДЭ Х- И
г/-компоненты уравнений B8.25) можно объединить в одно равенство
вида
% B8.26)
Здесь
co'L = — qB/Bmoc). B8.27)
Эта величина совпадает с обозначенной так же частотой, введенной
в п. 26.3. Нужно обратить внимание на то, что она вдвое меньше,
чем частота coL, которая соответствует движению заряда, взаимо-
взаимодействующего с одним лишь статическим магнитным полем.
Мы покажем сейчас, что если внешнее магнитное поле доста-
достаточно слабое, то приближенное решение уравнений B8.26) выра-
выражается в виде
K = ?ae'B'L', B8.28)
т. е. в вещественной форме
х'а=Ха COS COl (t) — !/asinC0iX y'a = Ха Sill iSn'\J. -j- У a COS i

i, 28] ' СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 219
Таким образом, исследуемое движение является вращением в пло-
плоскости х, у с частотой co'L. В этом и заключается формулировка
теоремы Лармора.
Для доказательства обратим внимание на тот факт, что функ-
функция Ф в соответствии со сделанным выше предположением зависит
только от величин га и (га —гь)г. Но эти величины не изменяются
при указанном вращении. Поэтому, если новые радиусы-векторы
определяются с помощьюB8.28), то Ф' (г[, ..., r'N) = Ф (rlt ...,rN).
Со своей стороны, из формул преобразования координат ха и уа
следует, что
дх ^ ду ~ ° \дх' т ду' j ¦
Поэтому
дх ' ду ] \дх ' ду
Подставим эту формулу, а также выражения, получаемые из B8.28)
при дифференцировании по t, в уравнение B8.26). Оно принимает
вид
дФ , . дФ\ ,'*.
дха дуа)
Таким образом, если ?,а (О является, как мы предполагаем, реше-
решением для B8.23), а член, пропорциональный со?2, настолько мал,
что его можно отбросить, то в рассматриваемом приближении
функции B8.28) действительно представляют решение уравнений
B8.26).
Для оценки сделанного приближения предположим, что дви-
движение под действием одних лишь электрических сил достаточно
хорошо описывается как почти периодический процесс с некоторой
характерной частотой со0. Тогда решение t,a при отсутствии внешнего
магнитного поля будет приближенно пропорционально еш°', а пред-
.положение о малости а{ можно выразить неравенством |соlI =
= I ?г— -<СО)о- Если, например, считать характерную частоту со0
величиной порядка частоты оптических колебаний, а значение
отношения q/tn0 взять для электрона, то оказывается, что теорема
Лармора применима при очень больших значениях поля В (до сотен
Миллионов гаусс). Сам процесс включения магнитного поля, если
оно ранее отсутствовало, требует специального исследования,
так как переменное магнитное поле вызывает появление вихревого
^ j. г- 1 дВ „
электрического поля с, для которого rot ?= =-. Поэтому
теорему Лармора естественнее всего рассматривать как утвержде-
утверждение, относящееся к сравнению двух разных систем зарядов, на одну
из которых магнитное поле действует постоянно, на другую же
нет.

220 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ [гл- 6
Из B8.28), повторяя вычисления, аналогичные проведенным
в п. 26.1, легко видеть, что теорема Лармора может быть сформу-
сформулирована также следующим образом: если до включения магнит-
магнитного поля заряженные частицы обладали скоростями v°a, то после
включения этого поля их скорости становятся равными va = v%-\-
+ [ft)LX/"o], где«в?=(йьВ1 = — 2пГс^' ^а основании соображений
п. 26.1 видно также, что система зарядов обладает эквивалентным
магнитным моментом, равным
2a[raXCa]- <28-29)
При этом часть магнитного момента, индуцированная внешним
полем, выражается формулой
М (В) = ^ 2 Ч" \-Га X [WL X Га]1
а
Наблюдаемое значение такого магнитного момента можно получить,
произведя усреднение по времени. Если считать, что все qa = q,
то среднее значение магнитного момента в направлении магнитного
поля, т. е. вдоль оси г, равно
Если распределение зарядов можно считать сферически-симметрич-'
ным, то <4> = (Уа) = V3 D). Отсюда
Коэффициент при В называется диамагнитной восприимчивостью
системы зарядов.
Существует и аналог другого важного вывода, полученного
в п. 26.1 для свободной заряженной частицы в магнитном поле.
А именно, продолжая считать, что система состоит из одинаковых
частиц, момент импульса такой системы запишем в виде М =
= то 2 \-Га х **«]• Сравнивая его с магнитным моментом B8.29),
а
получаем
ц/М = q/Bmoc). B8.31)
Таким образом, отношение магнитного момента системы к ее меха-
механическому моменту импульса в этом случае является универсаль-
универсальной постоянной.

Глава 7
СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
§ 29. Введение в электродинамику сплошных сред
29.1. В самом начале книги уже было упомянуто (см. § 1),
что в теории электромагнитных явлений необходимо различать
два подхода к изучению, хотя они неразрывно связаны и не могут
существовать в отдельности. Один из них можно назвать макро-
макроскопической электродинамикой. Он окончательно сложился во вто-
второй половине XIX века и воплощен в уравнениях Максвелла,
описывающих электромагнитные свойства материальных сред и
электромагнитное поле как материальную среду особого рода.
Можно сказать, что исследования Фарадея и Максвелла привели
к определению того, что следует называть электромагнитными
явлениями с макроскопической точки зрения. Это определение
согласуется со всеми требованиями макроскопической физики,
в частности — со всеми экспериментами, и не зависит от детальной
теории атомистических свойств вещества. Другой подход состоит
в объяснении макроскопических свойств материальных сред (в част-
частности — самого электромагнитного поля) с помощью представле-
представления об их атомистической структуре и электромагнитных свой-
свойствах молекул, атомов, электронов, ядер. Впервые такая микро-
микроскопическая теория электромагнетизма была создана Лоренцем
на рубеже XIX и XX столетий и с тех пор непрестанно развивается
и совершенствуется, по мере того как углубляются знания о час-
частицах вещества и их взаимодействиях. Современная микроскопиче-
микроскопическая теория должна строиться на основе квантовой физики, а объ-
объяснение с ее помощью макроскопических свойств веществ — на
основе квантовой статистики.
Часто получают макроскопические величины, связанные урав-
уравнениями Максвелла, следующим путем. Сначала рассматривают
классическую систему зарядов и токов в вакууме и принимают ее
в качестве модели распределения микроскопических источников
поля. Порождаемые этими источниками поля также называют
микроскопическими. Далее вводится предположение о том, что изме-
измерения, производимые макроскопическим наблюдателем, соответ-
соответствуют усредненным значениям этих микроскопических величин.
Усреднение должно проводиться и по пространственным коорди-
координатам, и по времени, Сама по себе идея такого усреднения вполне

222 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
разумна, более того, она неизбежна при всякой попытке обосновать
соотношения между непосредственно наблюдаемыми величинами
с точки зрения теории строения вещества. Однако при этом, вообще
говоря, следует руководствоваться современной теорией, а не клас-
классической физикой. Кроме того, сама операция усреднения должна
производиться на основе достаточно четкого применения методов
теории вероятностей. Приводимый обычно в учебниках классиче-
классической электродинамики «вывод» макроскопических уравнений Макс-
Максвелла для материальных сред не удовлетворяет этим требованиям.
По этой причине в дальнейшем изложении мы ограничиваем себя
феноменологической стороной электродинамики материальных сред
и не пытаемся «обосновывать» ее методами классической физики.
Во избежание недоразумений, нужно подчеркнуть, что мы совсем
не хотим сказать, будто бы в современной физике применение
упомянутой классической модели всегда лишено смысла. Однако
вопрос о пределах ее применимости всегда должен решаться по от-
отношению к достаточно конкретным задачам, а не к «электродина-
«электродинамике вообще». Интересующийся классическим методом усредне-
усреднения читатель найдет достаточно подробное его изложение, например,
в книге Дж. Джексона «Классическая электродинамика» («Мир»,
1965 г.).
29.2. Перечислим те фундаментальные соотношения, которые
были сформулированы в главе 1 и которые постоянно должен пом-
помнить читатель, приступающий к изучению нерелятивистской элек-
электродинамики сплошных сред. Прежде всего это, разумеется, урав-
уравнения Максвелла, которые в форме, допускающей использование
либо Международной системы единиц (СИ), либо гауссовой системы
единиц, имеют вид (МЛ) — (М.4). Эти уравнения должны быть
дополнены определениями электрической поляризации A.11) и
намагниченности A.17). С их помощью, как это было показано
в § 1, систему уравнений Максвелла л о кно записать также в виде
(М.Г), (М.2), (М.З) и (М.4'). Такая форма уравнений будет встре-
встречаться в этой и последующих главах.
При исследовании взаимодействий зарядов и распространения
излучения в вакууме, проведенном в главах 4—6, удобнее всего,
как это и делалось, пользоваться гауссовой системой единиц, когда
электрическая постоянная е0 и магнитная постоянная \х0 безраз-
безразмерны и считаются равными единице. Напротив, свойства мате-
материальных сред, несомненно, проявляются более отчетливо, если
применять Международную систему единиц. Различие размерно-
размерностей напряженностей и индукций в этой системе единиц отражает
различие физического смысла этих величин, не существенное
в случае вакуума, но, не учитываемое в гауссовой системе также
и в применении к материальным средам, когда его следует постоянно
иметь в виду. Если применяется Международная система единиц,
то, как было показано в § 1, коэффициент а в уравнениях Макс-

§ 29] ' ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ СПЛОШНЫХ СРЕД 223
велла нужно считать безразмерным и положить равным единице.
Величины е0 и \а0 приобретают определенную размерность, а их
численные значения должны быть связаны соотношением A.25),
где с — скорость света в вакууме, которую во всех практических
применениях можно считать равной 3-Ю8 м/с. Величина заряда
измеряется в системе СИ в единицах, не зависимых от механических
основных единиц. Такая единица заряда называется кулоном.
Здесь мы не будем излагать определений единиц измерения
основных электрических и магнитных величин и соотношений между
этими единицами в различных системах. Остановимся лишь на
определении численных значений коэффициентов е0 и р0 в системе
СИ, так как многие формулы дальнейших, параграфов содержат
эти величины. Ясно, что если известно значение одной из них,
то соотношение A.25) определяет и другую. Мы будем исходить
из определения магнитной проницаемости \i0. Для этой цели можно
воспользоваться уравнением A2.10), выражающим силу взаимо-
взаимодействия между токами, учитывая, что фактически в Международ-
Международной системе единиц за основу принимается единица силы тока —
ампер (ср. § 1). В этом уравнении следует положить для нашей
цели а = 1 и fx = fx0. Если входящие в него механические вели-
величины (силу и расстояние) измерять в единицах СГС и положить
fx0 = 4л (продолжая считать а — 1), то единица силы тока может
быть выражена через механические единицы. В этом случае она
получает размерность M4tLlliT-x и называется электромагнитной
единицей силы тока или абсолютным ампером. Величина же ампера
в системе СИ по определению полагается равной 0,1 абсолютного
ампера и, как упоминалось выше, принимается за основную еди-
единицу этой системы наряду с механическими. В системе СГС имеет
место соотношение 1 дина = 1 (абс. ампер) 2. Для перевода в си-
систему СИ нужно единицу силы системы СГС — дину выразить через
единицу силы системы СИ — ньютон, использовать только что
упомянутое соотношение между абсолютным ампером и ампером СИ
и учесть коэффициент [хо/4л в уравнении A2.10). Подставляя так-
также равенство 1 А = 1 Кл/с, получим: 10~5 Н = 10~5 кг -м/с2 =
= fxo/4n 102 Кл2/с2, откуда
[хи = 4л-10-' кг-м/Кл2~ 12,57• 10'7 кг^м/Кл2.
Заметим, что единица, равная 1 кг -м2/Кл2, в системе СИ назы-
называется 1 генри (Г). Таким образом, магнитная проницаемость изме-
измеряется в единицах 1 Г/м.
Из A.25) получаем
е0 —8,854-Ю-12 Кл2 • с2/кг • м3.
Единица 1 Кл2 -с2/кг • м2 в системе СИ называется 1 фарада (Ф),
т. е. диэлектрическая проницаемость измеряется в единицах 1 Ф/м.

224 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
Если среда линейна, т. е. выполняются соотношения A.27),
то часто удобно характеризовать ее свойства с помощью безраз-
безразмерных относительных проницаемостей е' = е/е0 и fx' = fx/[A0, кото-
которые, согласно A.28'), связаны между собой при постоянных е и ja
следующим образом:
Здесь v — скорость распространения электромагнитных волн в рас-
рассматриваемой среде.
§; 30. Свойства идеальных проводников
в электростатическом поле
30.1. Исходя из уравнения непрерывности электрического за-
заряда в форме A.31), мы видели в § 1, что все материальные среды
могут быть разделены на два класса — проводников и диэлектри-
диэлектриков. Такое разделение является приближенным, однако оно во мно-
многих случаях достаточно четко соблюдается на практике. Основным
свойством проводников следует считать возможность свободного
перемещения зарядов по их объему. В результате, как уже упоми-
упоминалось в § 1, при отсутствии переменного электромагнитного поля
устанавливается состояние, при котором внутри проводников р = 0
и Е — 0. Если проводник занимает ограниченный объем и окру-
окружен диэлектрической средой, то на его поверхности может суще-
существовать распределение заряда с поверхностной плотностью X.
В настоящем параграфе мы, как правило, будем рассматривать
свойства системы N таких ограниченных проводников. При этом
будем считать, что диэлектрик, в который погружены эти про-
проводники, является неограниченным, однородным и изотропным,
т. е. что для него выполняется соотношение вида A.27), причем
е = const. Предположим, кроме того, что объемный заряд в этом
диэлектрике отсутствует, так что в каждой его точке div D = 0.
Это условие почти всегда выполняется в практически важных слу-
случаях, и оно несколько упрощает вывод тех результатов, которые
мы намерены здесь получить.
Рассмотрим электростатическое поле в непосредственной бли-
близости от поверхности а проводника. Для этого воспользуемся
граничными условиями в виде уравнения D.11) и первого из урав-
уравнений D.14). Пусть среда I — проводник, а среда II — примыкаю-
примыкающий к его поверхности диэлектрик. Тогда, как было уже упомя-
упомянуто, можно считать, что Е\ = 0 и Di = 0. Пользуясь формулой
A1.2), выражающей электростатическое поле Е через потенциал ср,
из D.11) получим (индекс II не будем выписывать)
~ds
= 0, т. е. ф (г) \0 = const. C0.1)

§ 301 ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
225
Другими словами, поверхность проводника является эквипотенци-
эквипотенциальной поверхностью электростатического поля. Силовые линии
этого поля ортогональны к этой поверхности в каждой ее точке.
С другой стороны, из граничного условия D.14) следует
откуда
q = — е & -^ do = су Dn da,
C0.2)
где q — полный заряд, находящийся на поверхности проводника *).
Полученные уравнения составляют основу электростатики про-
проводников и с их помощью можно вывести целый ряд дальнейших
соотношений.
Обозначим через а; поверхность t-ro проводника (i = 1, 2,...
..., N) и через а — некоторую замкнутую поверхность, проведен-
проведенную так, что все рассматриваемые
проводники содержатся внутри нее
(рис. 31). Возьмем теперь два различ-
различных распределения поверхностных за-
зарядов на проводниках-а;, так что в
одном случае это распределение пред-
представляется функциями Х{ (г), а в дру-
другом — К'с (г). При этом предположим,
что ни форма, ни взаимное располо-
расположение проводников не изменяются.
В первом случае заряды создают в
пространстве, окружающем провод-
проводники, электрическое поле с потенциа-
потенциалом ф (г), во втором же —поле с не-
некоторым другим потенциалом ср' (г).
Воспользуемся формулой Грина (Б.28)
в применении к объему V, внешнему по отношению к проводникам
и заключенному внутри поверхности а, полагая в этой формуле
¦ф = ф'. Тогда Дф = Дф' = 0, так что левая часть формулы Грина
обращается в нуль, поверхностный же интеграл, входящий в пра-
правую часть, будет равен сумме интегралов по всем поверхностям
проводников и по поверхности а. Что касается этой последней, то при
устремлении ее в бесконечность соответствующий поверхност-
поверхностный интеграл стремится к нулю (подынтегральное выражение про-
пропорционально г3); предположим, что этот предельный переход
Рис. 31.
*) Здесь считается положительным направление нормали из проводника
с диэлектрик.
8 Ю. В. Новожилов, Ю. А. Яппа

226 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
выполнен. Тогда формула Грина приводит к соотношению
N N
doi
21" дт' , \1
ф Ф~*- dot = /
(=1 at i = I
Но при любом электростатическом поле, как мы видели выше,
ф|а. = ср;, ф'|а. = фь где ф; и ф; постоянны на поверхности t-ro
проводника. Вынося эти постоянные за знак интеграла, мы полу-
получим в каждом члене суммы выражения вида C0.2) для полного
заряда q, на поверхности соответствующего проводника. Итак,
N N
Ц <7/Ф/ = Ц <№• C0.3)
1=1 1=1
Эта формула называется соотношением взаимности Грина. Она
имеет большое практическое значение при решении электростати-
электростатических задач, как можно видеть из следующих простейших при-
примеров.
Рассмотрим частный случай формулы Грина C0.3), когда N = 2,
Я\ = Ц'г — Я и Ц\ = Чъ = 0. Тогда из нее следует, что ц>{ = ф2.
Другими словами, при нанесении заряда q на поверхность провод-
проводника 2, потенциал незаряженного проводника 1 будет таким же,
что и потенциал незаряженного проводника 2 при нанесении за-
заряда q на поверхность проводника 1.
N
Добавим к обеим частям равенства C0.3) сумму JP
i =
Тогда получим
Это означает, что если зарядам qt соответствуют потенциалы ф,-,
а зарядам q\ — потенциалы ц>'с, то заряды qt + q\ создают потен-
потенциалы фг + (f'{. Таким образом, имеет место принцип суперпози-
суперпозиции, выражающий линейную зависимость потенциалов от создаю-
создающих их зарядов.
Предположим теперь, что в формуле C0.3) подвергается изме-
изменению только один из зарядов, так что q'k = qk + 8qk и q\ = qt
при i =? k. Обозначим 8<pf == <p? — <${ (i — 1, 2, ..., N). После
подстановки этих обозначений равенство C0.3) принимает вид
N
4>k=^]skiq{, C0.4)
i = i
где введено определение ski ё= бф;/б^А. Величины ski называются
потенциальными коэффициентами. Из C0.4) следует, что вели-
величина ski равна потенциалу, который устанавливается на k-м про-

S 30] ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 227
воднике, если поместить единичный заряд на t'-й проводник, при-
причем на всех прочих проводниках заряды отсутствуют. Вывод,
полученный выше из соотношения взаимности Грина для случая
двух проводников, показывает, что sH = sik. Можно доказать
это свойство симметричности также и непосредственно с помощью
C0.3), если записать это равенство в форме V ф8<рг == ^ 6<7;ф/- Коэф-
фициенты вы всегда положительны, так как помещение положитель-
положительного заряда на проводник повышает потенциалы остальных про-
проводников.
Систему уравнений C0.4) можно разрешить относительно заря-
зарядов qk:
N
Як = 2] с«Ф*. C0.5)
/=i
Здесь cki — элементы матрицы, обратной по отношению к матрице,
составленной из потенциальных коэффициентов. Числа cki назы-
называются коэффициентами емкости рассматриваемых проводников.
При этом сы = cik. Диагональные элементы ckk называются соб-
собственными емкостями, a cik при i Ф k — взаимными емкостями
(или индукционными коэффициентами).
При соединении двух проводников так, что у них образуется
общая поверхность (непосредственным сближением или при помощи
проводящей 'проволоки), на этой поверхности устанавливается
новое общее для этих проводников значение потенциала. В част-
частности, большую роль играет понятие заземления, когда проводник
соединяется с Землей, а потенциал Земли считается равным нулю.
Потенциал заземленного проводника ввиду огромной емкости
Земли также практически равен нулю. Пользуясь этим понятием,
можно сказать, что собственная емкость ckk равна отношению
заряда к потенциалу на k-м проводнике, когда все остальные про-
проводники заземлены.
30.2. Вычислим теперь энергию электростатического поля, соз-
создаваемого поверхностными зарядами проводников. Для этого
нужно воспользоваться формулами § 3 и, в частности, плотностью
энергии вида C.5). С помощью (Б.142) и A1.2) получим
= — \ (D,
V
C0.6)
Здесь объем V определяется так же, как при выводе формулы
C0.3) (рис. 31). При этом можно считать, что интегрирование рас-
распространяется на всю область внутри поверхности а, так как зна-
значение подынтегрального выражения внутри проводников обра-
в* }

228 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
щается в нуль. Применим теперь теорему Остроградского — Гаусса
к первому слагаемому в правой части предыдущего уравнения:
N
J div (q>0) dV = ф фп da ~ ^ § фп. da,. C0.7)
V о i = I а.
Интеграл по внешней поверхности а обращается в нуль при уда-,
лении этой поверхности на бесконечность. В остающихся интегра-
интегралах ф = фг = const на поверхности каждого из проводников и
Dn. = kt на основании граничного условия (нужно обратить вни-
мание на то, что в соответствии с соглашением, принятым при
записи теоремы Остроградского — Гаусса, положительным направ-
направлением нормали считается внешнее по отношению к области интег-
интегрирования, т. е. обратное сравнительно с записью граничных усло-
условий). Счлтая в виде исключения, что в диэлектрике существует
объемный заряд, так что div D = р, получим
N
^ C0.8)
С помощью C0.4) и C0.5), если вновь положить р = 0, можно
видеть, что энергия системы заряженных проводников выражается
также в виде билинейной формы от зарядов или от потенциалов:
В уравнении C0.8) энергия преобретает вид, характерный для
дальнодействия между зарядами, помещенными на проводниках.
В данном случае статического поля, когда запаздывание не играет
роли, само поле оказывается исключенным из выражений для вели-
величин, характеризующих взаимодействие. Отметим также формаль-
формальную аналогию между первым слагаемым в C0.8) и выражением
B8.20) для энергии взаимодействия точечных зарядов. В этом пос-
последнем случае, однако, энергия действия заряда самого на себя
бесконечна и должна быть отброшена, в то время как в C0.8) учи-
учитываются и действия каждого из проводников самого на себя,
в данном случае конечные.
Докажем теперь теорему Томсона: поверхностное распределе-
распределение зарядов на проводниках обладает тем свойством, что энергия
создаваемого ими электростатического поля минимальна. Мини-
Минимальность энергии имеет при этом место по отношению к таким вирту-
виртуальным изменениям поверхностной плотности заряда, при которой
полные заряды, находящиеся на поверхности каждого из провод-
проводников, остаются неизменными.

§ 30] ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 229
Пусть D — поле индукции, фактически установившееся в ди-
диэлектрике, который заполняет пространство, окружающее про-
проводники, a D' — поле, являющееся результатом вариации поверх-
поверхностных распределений. На основании C0.2) условие, при кото-
котором совершается эта вариация, можно записать в виде
§ (D'n. - Dn() da,- = 0 A = 1,2,..., N). C0.10)
Учитывая, что D = гЕ и D' = еЕ', получим для разности энер-
энергий следующее тождественное преобразование:
2 (W - W) = \ (E'D' - ED) dV =
= $(?'- Е) (D' - D) dV -2\ED dV + \ED' dV + $ ED dV =
= $(?'- E) (D' - D) dV + 2 $ (?, D' - D) dV. C0.11)
Последнее слагаемое можно рассмотреть тем же путем, как это
было сделано выше при вычислении энергии. Именно, подставим
Е = —grad ср, воспользуемся формулой (Б.142), а также теоремой
Остроградского — Гаусса. Тогда, учитывая, что интеграл по внеш-
внешней поверхности а, как и ранее, можно считать равным нулю,
имеем
W?. D'-D)dV=y
Итак,
l^E'-E)'dV>0 C0.12)
при Е' j= E.
Решение электростатической задачи при заданных граничных
условиях единственно (см. §§ 4 и И). Поэтому теорему Томсона
следует рассматривать как установление свойства экстремальности
этого единственного решения по отношению к рассматриваемым
вариациям источников.
Легко показать, что как потенциал ср, так и его производные
могут достигать максимума или минимума только на поверхностях
проводников. Действительно, предположим обратное, а именно —
пусть в некоторой точке внутри окружающего проводники диэлек-
диэлектрика потенциал ф имеет минимум (для случая максимума ниже-
нижеследующее рассуждение видоизменяется очевидным образом). Для
этого нужно, чтобы в этой точке все три частные производные

230 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
д2ц>/дх2, д2гр/дг/2, d\ldz2 были положительны. Но это противоре-
противоречит тому, что в диэлектрике, по предположению, выполняется
уравнение Пуассона Дер = 0. Отсюда следует, что ни в одной точке
электростатического поля точечный заряд не может находиться
в состоянии устойчивого равновесия, если только на него не дей-
действуют силы неэлектрического происхождения. Это утверждение
представляет собой частный случай теоремы Ирншоу.
Аналогично теореме Томсона доказывается, что введение неза-
незаряженного проводника в поле заданной системы заряженных
проводников уменьшает полную энергию этого поля. Обозначим
через а0 поверхность незаряженного проводника, а через Vn —
объем, заключенный внутри этой поверхности. Так же, как и выше,
пусть V — объем, внешний по отношению к N заряженным про-
проводникам, находящимся внутри некоторой поверхности а. Если
ввести еще один, незаряженный, проводник также внутрь поверх-
поверхности а, то вне всех проводников объем будет равен Vx — V — Vo.
Разность энергий поля W до внесения незаряженного проводника
и W' •— после его внесения определится равенством
2(W-W') = \ EDdV-\ E'D'dV = \ EDdV + \ (ED-E'D')dV.
V V, Va Vt
C0.13)
Второе слагаемое преобразуется точно так же, как в C0.11). Оно
вновь равно C0.12), где интеграл следует брать по объему Vu
так как полный заряд на каждом из заряженных проводников не из-
изменяется. Но и первое слагаемое в C0.13) неотрицательно. Отсюда
W > W, что и следовало доказать.
Так как энергия реально установившегося поля по теореме
Томсона должна быть минимальной, то из полученного результата
видно, что незаряженный проводник должен как бы втягиваться
в область, где расположены заряженные проводники. Действую-
Действующие при этом на него силы объясняются тем обстоятельством, что
поле, в котором он находится, вызывает его поляризацию: положи-
положительные и отрицательные заряды перераспределяются на его поверх-
поверхности так, что, оставаясь в целом нейтральным, проводник приобре-
приобретает свойства, аналогичные системе диполей. В одних точках его
поверхности образуется избыток положительного заряда, в других
же — отрицательного.
Предположим, что незаряженный проводник находится настолько
далеко от зарядов, что создаваемое ими поле Е можно в окрест-
окрестности проводника считать однородным. В результате разделения
зарядов на его поверхности проводник можно заменить некоторым
эквивалентным диполем с дипольным моментом р. Потенциальная
энергия диполя U определяется формулой A1.21). Дипольный
момент р линейно зависит от Напряженности Е, а именно pt —

§ 30] ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 231
= VailtElt *). Здесь V — объем проводника, а коэффициенты aik
образуют так называемый тензор поляризуемости **). При этом
U = — 1/2VaikElEk. C0.14)
30.3. Общей формулой, которая определяет силы, действующие
на поверхность проводника, является C.18), причем в данном
случае тензор натяжений Максвелла следует использовать в виде
C.9). Нужно учесть, что напряженность у поверхности провод-
проводника имеет только нормальную составляющую. Поэтому Е = Еп
и поверхностная плотность сил принимает вид
<р, = f$nk = еЕ,Екп* -Щ-п1 = ~ п>. C0.15)
Здесь положительная нормаль направлена из проводника в окру-
окружающий его диэлектрик. Отсюда видно, что силы C0.15) являются
растягивающими, т. е. стремятся увеличить объем проводника,
на поверхность которого они действуют. Полная сила определяется
интегралом jj 1/2еЕ2п da. Явление изменения объема тела (в данном
случае проводника) под действием внешнего поля называется
электрострищией; мы еще вернемся к его рассмотрению в сле-
следующем параграфе.
Для вычисления сил, действующих на проводники, иногда
удобно пользоваться свойством минимальности энергии, определяе-
определяемой формулами C0.9), и приравнивать работу сил вариации энер-
энергии при виртуальных перемещениях проводников, как это обычно
делается в механике. Предположим, что расположение проводни-
проводников может- быть охарактеризовано с помощью задания некоторого
числа обобщенных координат \а, соответствующих имеющимся
механическим степеням свободы. Представляют интерес два вида
виртуальных перемещений системы, соответствующие двум спосо-
способам записи энергии, указанным в C0.9): либо при условии неиз-
неизменности заряда на каждом из проводников, либо при условии
неизменности потенциала на его поверхности. Обозначим через Fa
обобщенную силу, соответствующую виртуальному изменению
координаты %а. Тогда при выполнении первого из вышеупомяну-
вышеупомянутых условий для произведенной работы получим
ял /zw/\ \fdW\
6Л = — (б W)BCe q. = const = — ? \Щ^ j
* a
a a '
С другой стороны, как обычно, 8А — 2 ^aS|a. Сравнивая эти два
выражения и пользуясь первым из равенств C0.9), приходим к
*) Ранее греческие индексы использовались для компонент трехмерных
тензоров. Здесь и в дальнейших главах будут встречаться только такие тензсты.
поэтому удобнее обозначать их индексы латинскими буквами,
**) Они зависят от формы проводника.

232 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ • [ГЛ. 7
выводу:
Mtiqk- C0Л6)
I, k
Если теперь проводники смещаются так, что заряды, находя-
находящиеся на них, не изменяются, то потенциалы не могут оставаться
прежними. Поэтому, если нужно обеспечить постоянство потен-
потенциалов при виртуальном перемещении в отличие от предположе-
предположений, приводящих к предыдущей формуле, то придется изменять
количества зарядов, находящиеся на каждом из проводников.
Можно представить себе, что во время процесса их перемещения
проводники соединяются с каким-то резервуаром зарядов, с помощью
которого можно ввести недостающие заряды и удалить излишние.
При перемещении этих компенсирующих зарядов между проводни-
проводниками и резервуаром будет совершаться дополнительная работа бЛ',
которую необходимо учитывать в общем балансе энергии, так что
бЛ = бЛ' — 8W. Если по условию все потенциалы постоянны,
то из C0.5) следует ^ = ^ f* rfc'* = 2 ф* Z ^ d-a-
к к а
Пусть резервуар зарядов имеет потенциал ср0 = 0. Тогда работа
по перемещению заряда dqt на t-й проводник из резервуара (которая
в электростатическом поле не зависит от пути этого перемещения)
ф,
Л,- = — (dqt) ]Eds = (dq,) \ dcp = Ф/(dqt).
Знак минус выбран в связи с тем, что здесь вычисляется работа
против сил поля, создаваемого источниками. Таким образом, пол-
полная работа по зарядке проводников в процессе их виртуального
перемещения при условии постоянства потенциалов равна
N N
Как видно из второго равенства C0.9),
N
V dcik о (&W \
^i "Sa \"ъа /все ф.= const
i. A=l '
Поэтому 6Л = бЛ' - 6№ = У (U) dla, т. е.
AJ \°Sa/ фг
|^Ф<Ф*, C0.17)
i, А^= 1
Следует обратить внимание на то, что если бы работа бЛ' не была
учтена, то выражение для Fa получилось бы с обратным знаком.
а
N

§31] ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ -233
§ 31. Свойства диэлектриков в электростатическом
поле. Изотропные диэлектрики
31.1. В предыдущем параграфе мы видели,, что внутренний
объем идеального проводника в электростатике не содержит ни за-
зарядов, ни поля. В противоположность этому диэлектрики харак-
характеризуются тем, что электростатическое поле пронизывает весь
их объем, а значит, может оказывать влияние на их физическую
структуру. Так, например, даже если материальные частицы,
из которых состоит диэлектрик, остаются в целом нейтральными,
при действии на них электрического поля в каждой из них может
возникнуть дипольный электрический момент. Это проявляется
как поляризация среды, причем становится необходимым разли-
различать понятия электрической индукции и электрической напряжен-
напряженности (как было уже указано в § 1).
Для лучшего уяснения понятий индукции и поляризации по-
полезно рассмотреть простой эксперимент. Фактически он впервые
был проведен Фарадеем. Возьмем два проводника, имеющих поверх-
поверхностные заряды. Для определенности предположим, что они имеют
форму плоских пластин, расположенных параллельно одна другой
(плоский конденсатор). Если между пластинами находится вакуум,
то заряды будут создавать внутри конденсатора поле Ео, кото-
которое непосредственно вблизи поверхностей пластин может быть
определено из граничного условия D.14): Еоп = Я/е0, аналогично
тому, как это было сделано в общем'случае в начале предыдущего
параграфа. При этом, если потенциал одной из пластин равен cp'j,
а другой ц>1 ^> Фь то из Ео — —grad Ф легко видеть, что Ео =
— (ц>1 — ф5) Id, где d — расстояние между пластинами. Введем
теперь в пространство между пластинами слой диэлектрика. Опыт
показывает, что потенциал на каждой из пластин при этом изме-
изменится, причем изменится и напряженность электрического поля
внутри конденсатора. Это — результат возникновения в диэлек-
диэлектрике добавочного внутреннего поля. Новая напряженность элек-
электрического поля Е определится из условия Е = —grad ср, где ср —
новый потенциал. В частности, если диэлектрик однородный и изо-
изотропный, то Е — (ср2 — фг) Id. Если внутрь диэлектрика может быть
помещен сторонний заряд, то именно такая сила действует на еди-
единицу этого заряда. Напряженность Е уже не удовлетворяет условию
Еп = ^/е0, однако можно определить вектор Р, зависящий от струк-
структуры диэлектрика, такой, что Еп — (к — Рп) /е0. Слагаемое Рп
объясняется появлением на границе диэлектрического слоя поверх-
поверхностных «связанных» зарядов, экранирующих «истинные» заряды,
находящиеся на обкладках конденсатора.
Предположим теперь, что пластины конденсатора соединены
с источником электрического заряда (электрическим элементом),
поддерживающим на них одинаковую разность потенциалов как

234 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
в отсутствие диэлектрического слоя, так и при его наличии. В этом
случае напряженность электрического поля внутри конденсатора
останется неизменной: Е = Ео, но количество заряда на обклад-
обкладках конденсатора при внесении диэлектрика изменится; плот-
плотность его вместо % станет равной %'. При этом выполняется соотно-
соотношение:
Все такие эффекты и были учтены с самого начала при форму-
формулировке уравнения Максвелла для вектора электрической индук-
индукции, как было сделано в § 1.
Перейдем к общему исследованию уравнения (МЛ). Подставив
Е — — grad ф, мы приведем его к виду
Дф — (Р + р')> C1Л)
где величина р' = —div P иногда называется объемной плот-
плотностью связанных зарядов. Слагаемое же (Р1 — Ри) п в равен-
равенстве D.13) можно назвать поверхностной плотностью связанных
зарядов на границе двух диэлектриков. Решение уравнения Пуас-
Пуассона C1.1) с учетом потенциала, который могут создавать связан-
связанные заряды, появляющиеся на границах раздела различных сред,
может быть сразу же выписано по аналогии с формулами A1.4)
и A1.10) в форме
Здесь, как обычно, R={r —г'] и штрихом отмечается дифферен-
дифференцирование по координатам источника. Применим теперь в первом
слагаемом формулу (Б.142):
Idiv'Р = div'f4)-fgrad'1,'
а затем — теорему Остроградского — Гаусса. С помощью послед-
последней получим
div'(?dV'= §?*>'+2 §?
i — I ;
Здесь первый из интегралов взят по некоторой достаточно удален-
удаленной замкнутой поверхности, охватывающей' интересующий нас
объем. Если объем, занятый диэлектриком, ограничен, то эту поверх-
поверхность всегда можно провести так, чтобы поляризация в каждой ее
точке равнялась нулю. Что же касается второго слагаемого — суммы
по границам раздела, отделяющим одну от другой части диэлек-

§ 31] ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ 235
трика с различными свойствами, то нужно учитывать, что каждая
такая граница входит в эту сумму дважды (рис. 32) с противо-
противоположными направлениями нормалей (например, при интегриро-
интегрировании «со стороны объема V\» и «со стороны объема У2»). Совер-
Совершенно аналогично можно разбить второй член в поверхностном
интеграле, входящем в C1.2) (направления нормалей в нем проти-
противоположны тем, которые выбираются при использовании теоремы
Остр о граде ко го —¦ Гаусса). В результате можно видеть, что полу-
получающиеся интегралы по внутренним поверхностям разрыва все
взаимно сокращаются и остается лишь вклад нормальной состав-
составляющей поляризации внешней поверхности диэлектрика. Что же
касается объемного потенциала (кото-
(который только и будет интересовать нас
здесь), то он записывается в виде
C1.3)
Сравнение с формулой A1.17) пока-
показывает, что второе слагаемое имеет
вид потенциала, создаваемого объем-
объемным распределением диполей с плот-
плотностью электрического момента Р I на-
1 1 \ Рис. 32.
помним, что grad -- = — grad -=r- .
к к I
Ясно, что создание объемного дипольного момента в диэлектрике
требует затрат энергии. При их вычислении необходимо учитывать
термодинамические условия, в которых находится диэлектрическая
среда. В зависимости от этих условий энергия, необходимая для
возникновения определенной поляризации, может быть различной.
31.2. Изучение закона сохранения энергии, проведенное в § 3
и основанное непосредственно на уравнениях Максвелла в их общей
форме, показало, что изменение энергии поля в среде, независимо
от структуры этой последней (т. е. без каких-либо конкретных
предположений относительно связи между D и Е) выражается
членом Е dD. Поэтому первое начало термодинамики с учетом
действия на среду электрического поля должно быть сформулировано
в следующем виде:
C1.4)
Здесь все величины отнесены к единице объема, U — внутренняя
энергия, dQ — количество теплоты, х — плотность массы, ? —
химический потенциал. Обозначение d выражает тот основной факт
термодинамики, что количество теплоты не является полным диф-
дифференциалом, но зависит от того процесса, при котором изменяется

236 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ \ТЛ. 7
состояние среды. Согласно второму началу термодинамики
dQ = TdS, C1.5)
где Т — температура и S —энтропия, которая, как и внутренняя
энергия U, является функцией состояния, т. е. однозначно опре-
определяется параметрами, необходимыми для определения состояния.
Такими параметрами считаются здесь величины к и D. Рассматри-
Рассматриваются обратимые (квазистатические) процессы.
Большую роль в дальнейшем играет свободная энергия — функ-
функция состояния, определяемая равенством
F = U-TS. C1.6)
Отсюда следует, что
dF = — SdT + t,dK + EdD; C1.7)
Таким образом, напряженность электрического поля
E
Используется и другая
так что
d~F =
и поэтому индукция
_(dU\ _(dF\
термодинамическая функция
P = F-ED,
- SdT + t,dK-DdE,
C1
C1
C1.
• 8)
.9)
10)
L- C1.11)
Покажем, что выражение C.5) -^ (е?2) для плотности энергии
изотропного диэлектрика непосредственно связано с его термодина-
термодинамической свободной энергией. При этом не нужно предполагать,
что диэлектрик однородный, так что е может зависеть от координат.
Экспериментальные данные показывают, что диэлектрическая про-
проницаемость может зависеть от плотности и от температуры: е =
= е (к, Т). Будем считать пока, что плотность х постоянная. Тогда
^ dT и C1.4) с учетом C1.5) принимает вид
j ^ C1.12)
Состояние среды удобно характеризовать температурой Т и вели-
величиной Е2. Так как U и S — функции состояния, можно записать:
^ ^ § ^ C1.13)'

§ 31] ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ 237
Подставляя эти последние формулы в C1.12) и сравнивая коэффи-
коэффициенты при dT и при d (Е2), получим
US I fdU ^деЛ OS \ ( dU в\ .^ ^
дТ Т\дТ ^ дТ/' д (?2) Т \д (?2) 2
Но вследствие того, что dS — полный дифференциал, вторые произ-
производные функции S не зависят от порядка дифференцирования.
Аналогичное утверждение выполняется по отношению к U. Учи-
Учитывая это и раскрывая равенство
дТд{Щ д (?2) дТ '
с помощью C1.14) приходим к уравнению
Подстановка C1.15) во второе из соотношений C1.14) дает результат:
OS 1 де
C1.15)
ультат:
C1.16)
д (?2) ~ 2 дТ -
Из C1.15) и C1.16) следует
|) E~%. C1.17)
• Здесь Uo и So не зависят от электрических величин е и Ег. С помощью
C1.17) свободная энергия C1.6) принимает вид
C1.18)
Таким образом, мы приходим к выводу, что выражение C.5) пред-
представляет собой слагаемое в свободной энергии, приращение которой,
как известно из термодинамики, равно максимальной механической
работе, которая может быть совершена при изотермическом про-
процессе. Слагаемое же Fo = Uo — TS0 равно той свободной энергии,
которой обладает среда в отсутствие электрического поля.
На основании сказанного будем при всех последующих вычисле-
вычислениях энергии изотропных диэлектриков считать, что процессы
изменения энергии являются изотермическими, и поэтому пользо-
пользоваться свободной энергией в виде C1.18).
Нужно заметить, что возникновение поляризации в изотропных
диэлектриках обусловлено, вообще говоря, двумя факторами.
В некоторых диэлектриках молекулы обладают и при отсутствии
внешнего поля дипольными моментами, но направления этих момен-
моментов распределены хаотично (дипольные диэлектрики). Внешнее
поле в известной степени упорядочивает молекулярные дипольные
моменты, что и приводит к макроскопическому эффекту поляризации.
В других средах внешнее поле само индуцирует дипольные моменты

238 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
молекул, без него отсутствующие. Для многих днпольных диэлект-
диэлектриков (газообразных и жидких) зависимость е от температуры может
быть представлена формулой
, Const ,п , 1 п\
е + Cll9)
Из первой формулы C1.17) видно, что изменение энергии, обуслов-
обусловленное полем, равно V2 боЕ2, т. е. что слагаемое в C1.19) зависящее
от температуры, вклада в энергию не дает *).
Формула C1 17) далее показывает, что энтропия возрастает с уве-
увеличением Е при дг/дТ>0 и убывает при дг/дТ <0. Во втором
случае это значит, что упорядоченность вещества увеличивается;
в частности, так обстоит дело, когда выполняется равенство C1.19).
В первом случае, который может наблюдаться в твердых телах,
напротив, молекулярные диполи обладают некоторой упорядочен-
упорядоченностью при отсутствии внешнего поля. Поле же, вызывая поворот
этих диполей, может нарушить первоначальный порядок.
Тепло, поглощенное в единице объема при включении поля, на
основании C1.5) и C1.17) равно
В частности, если применима формула C1.19), то dQ ¦< 0 при
dD >¦ 0, т. е. тепло выделяется при наложении поля и поглощается
при снятии его.
31.3. Вычислим теперь энергию диэлектрического тела во внеш-
внешнем поле. Предположим, что в некоторой диэлектрической среде
с проницаемостью г1 создано поле Ег. В эту среду вводится «инород-
«инородное» диэлектрическое тело, проницаемость которого равна е2**).
Источники поля Ех считаются при этом неизменными. Процесс
внесения инородного тела предполагается изотермическим. До нача-
начала этого процесса электростатическая энергия равна
где интеграл берется по всему пространству. После внесения тела
установится новое поле Е. Рассмотрим достаточно большую часть
пространства, ограниченную „поверхностью а, внутри которой со-
содержится внесенный диэлектрик (рис. 33). Объем последнего обо-
обозначим через V2> остальной же объем внутри а, заполненный преж-
прежним диэлектриком, обозначим через Уг. Представляет интерес
*) Действительно, при подстановке C1.19) в C1.17) слагаемые е, зависящие
от Т, взаимно сокращаются.
**) Точнее, некоторый объем диэлектрика с проницаемостью ь± заменяется
диэлектриком с проницаемостью &j.

\
\
\
5 311 ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ 239
разность энергий поля в новом и в старом состояниях:
EDdV-~ J ExDxdV, C1.20)
которая должна быть равна работе, совершенной при изотерми-
изотермическом процессе внесения диэлектрического тела в поле, а потому
равна потенциальной энергии этого
тела. Предположим, что отсутствуют „-- --_ е
как объемные заряды, так и поверх-
поверхностные заряды на границе двух ди-
диэлектриков. Тождественное преобра- '
зование позволяет записать равенство /
C1.20) в виде \
2AW = \E(D-Dx)dV +
+ ](E-E1)DldV. C1.21)
Первое слагаемое преобразуем, как . Рис. 33.
это уже неоднократно делалось в ана-
аналогичных случаях выше, с помощью подстановки Е = —grad ф
и использования формулы (Б. 142) и теоремы Остроградского —
Гаусса. Учитывая, что div Z?=div Dx = 0, получим
5 E(D-Dx)dV = — \ div ^(D-D^dУ.
Далее, если обозначить через о' поверхность раздела двух диэлект-
диэлектриков, будем иметь
\ div (ф (D - Dx)) dV = \ div (ф (D - Dx)) dV +
+ \ div (ф (D - Dx)) dV = § Ф (Dn - Din) do +
- V2 о
+ § ф (Dl - D\a) do'-§y (D]nl - D'i) da'.
a' o'
Считая, что первый из полученных интегралов обращается в нуль
при удалении поверхности а на бесконечность, и выполнив этот
предельный переход, правую часть предыдущей формулы приведем
к виду
ф Ф (Di - Di1) do' - ф ф (D\n - D\\) do' = 0
о' о'
в силу условия о том, что поверхностные заряды отсутствуют.
"' Перейдем ко второму слагаемому в формуле C1.21). Так как
D = &ХЕ в объеме Vt и Dx = гхЕх , можно записать
\ (E-Elt Dx)dV= \ (D-Dx, Ex)dV.
Vi V,

240 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
Совершенно так же, как это было сделано в предыдущем абзаце,
можно показать, что
\ (D - Dlt ?j) dV = \ (Еъ D-DJdV+l (Еъ D - DJ dV = 0.
v,+ v2 . vx v2
Отсюда следует
2ДГ= J (E-Elt D1)dV= \ {Е-Еъ D1)dV-
- \ (Еъ D-DJdV= \ (ED.-E^dV.
Или, так как D = г2Е в объеме V2, a Dx = ejfj :
aw — 2 \ (кх— гг) c.c.1av. (oi.zz)
В случае, когда ег = е0, т. е. диэлектрик вносится в вакуум, и если
учесть, что P = D—е0Е = (е2 — е0) Е, формула C1.22) прини-
принимает вид
IV. C1.23)
Из соотношения C1.22) следует, что если диэлектрическая про-
проницаемость в объеме, заполненном диэлектриком, претерпевает
, бесконечно малое увеличение, так что е2 = ег + бе, где бе > 0 и,
очевидно, Е с=: Е1 с точностью до бесконечно малых, то
dV, C1.24)
т. е. полная энергия поля уменьшается. Более тонкие термодинами-
термодинамические соображения, на которых мы не будем останавливаться,
показывают, что для любого диэлектрика выполняется неравенство
е> е0.
31.4. С помощью известных нам теперь формул могут быть
вычислены силы, действующие в диэлектрике. Рассмотрим те силы,
которые действуют на бесконечно малую плоскость, проведенную
внутри диэлектрической среды. Они определяются формулой C.18).
Среди всевозможных направлений этой плоскости могут быть
выделены такие, что вектор поверхностной силы оказывается сов-
совпадающим с вектором нормали, т. е. выполняется равенство <р =
= %п или Tlknk = %nt. Это — так называемые главные направ-
направления тензора натяжений Максвелла. Они могут быть определены
из условия разрешимости предыдущего уравнения, т. е. из соотно-
соотношения det (Tik — X6ik) = 0. Заметим, что из симметричности тен-
тензора натяжений (Tik ==-- Tki) следует, что главные направления,
соответствующие различным значениям К, взаимно ортогональны.

§ 31] ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ 241
Действительно, пусть Tikn'\ = 'kjiu и Tiknk, = X2n2i. Умножим
первое из этих уравнений на п2,-, второе — на пц и просуммируем
после этого по i. Получим Tikn\n.\ = ix {щ п2), Tiknk,n\ = Тап\п\ =
= Х2 (/ii«2)- Отсюда при \ =? "кг следует /ii«2 = 0- Если же
какие-либо два или все три возможных значения числа X совпадают
между собой, то соответствующие главные направления всегда
могут быть ортогонализованы.
Если тензор натяжений имеет, в частности, вид C.9), то вы-
вычисление определителя третьего порядка, указанного выше, приво-
приводит к уравнению 8Х3 + 4Х2е?2 — 2Хе2?4 — е3?6 = 0. Решениями
этого уравнения являются три корня: Х1 = -^ ?2, Х2 — Хя = — -^ Е2.
При этом ось 1 выбирается вдоль вектора Е, а две остальные оси —
в ортогональной к этому вектору плоскости. Результат интерпре-
интерпретируется как сила растяжения вдоль поля и силы сжатия, попереч-
поперечные по отношению к полю Е *).
Вычисление объемных сил, действующих в диэлектрике, мы
проведем, учитывая также зависимость е от плотности масс я и от
координат. На основе общих принципов механики работа 8е^ таких
сил / при бесконечно малом смещении бг элемента объема dV
равна бе?/ = /бг. Полная работа сил, произведенная в некотором
объеме, должна равняться изменению свободной энергии этого
объема:
Ш = — \Ъз^ dV. C1.24')
С другой стороны, если может быть найден такой тензор Tik, для
которого будет выполнено соотношение Д = дТ1к1дхк, то он будет
тензором натяжений, описывающим, в принципе, упомянутые
выше эффекты неоднородности, которые не принимались во вни-
внимание при выводе тензора натяжений Максвелла в § 3.
При смещении элемента объема среды в электрическом поле он,
вообще говоря, испытывает деформацию. Обозначая через dV1 —
начальный и dV2 — конечный элементы объема, заключающие
одну и ту же массу вещества, можно записать
где х\ и х\ — координаты точек объема в его начальном и конечном
положениях. Если х\ = х\ + Ьх\ где смещение бесконечно малое,
то, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, при
вычислении определителя следует оставить лишь его диагональные
*) Следует подчеркнуть, что речь идет о тензорном представлении сил,
с которыми электрическое поле действует на связанные заряды.

242 ¦ СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
элементы:
где для сокращения обозначено s == бг.
Из условия сохранения массы смещаемого элемента объема
видно, что щ dV1 = к3 dV2 = к2 dV1 (I + div s), т. е. и2 — щ =
= бх ~ —и div *. Если перейти из точки г — * в точку г, то изме-
изменение диэлектрической постоянной с той же точностью равно
бе = — ($, grad e) -f ~ бх = — (*, grad е) - х ~ div s.
Теперь из формулы C1.24) в нашем приближении следует
, grad e) + xg-div s]dV. C1.25)
Преобразуем второе слагаемое подынтегральной функции по фор-
формуле (Б.142):
По теореме Остроградского — Гаусса
N
div [e*x g s) rfy = § ЕЫ ? 8я da+ 2
Как обычно, первый интеграл в правой части вычисляется по доста-
достаточно удаленной поверхности и его можно считать равным нулю.
Наличие второго интеграла обусловлено возможностью присутствия
погруженных в диэлектрик Af проводников, на поверхности которых
этот интеграл и распространяется. Будем считать эти проводники
жесткими в том смысле, что на их поверхностях смещение удовлет-
удовлетворяет условию sn = 0. Тогда
Из C1.24) и определения работы объемных сил наконец получаем
f=--2-?2grade + A-grad(?2xJ). C1.26)
Сам вывод этой формулы для объемных сил показывает, что если
в диэлектрике существует распределение р объемного заряда,
то необходимо учитывать еще работу сил, действующих на этот
заряд и вычисленных уже в § 3 при предположении о том, что ди-
диэлектрическая проницаемость е постоянна. Такие силы равны рЕ
и должны быть добавлены к правой части формулы C1.26).

§ 31] ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ 243
Легко проверить непосредственным дифференцированием, что
с учетом члена рЕ имеет место равенство fi = dTikldxk, где
% C1-27)
причем
h = — ^l. /31 28)
Обратим теперь внимание на то, что при вычислении объемных
сил мы не учитывали не зависящего от электрических величин
члена Fo (T), входящего в полное выражение C1.18) для свободной
энергии. Однако этот член тоже изменяется при виртуальном сме-
смещении элемента объема, и это изменение ответственно за возникно-
возникновение механических сил давления. Произведем вкратце соответствую-
соответствующие вычисления, для того чтобы получить полную силу, действую-
действующую в диэлектрике. Прежде всего,
Но, как мы видели выше, б (dV) = div * dV и бх = —к div S.
Таким образом,
6 \FodV= UFo-хд^divsdV. C1.29)
Напомним, что величина Fo относится к единице объема. Свободная
энергия, заключенная в достаточно малом объеме V, содержащем
массу М, равна F0V = —--. Отсюда -^f-1 = щ-=^ (FovrJ), a
это последнее выражение совпадает с заключенным в скобки в
C1.29). Но если поддерживать постоянными все термодинамичес-
термодинамические характеристики состояния, за исключением объема, то левая
часть последнего равенства равна —р. Производя вычисления,
аналогичные выполненным при переходе от C1.25) к C1.26), полу-
получим б \FodV = \ (grad p, s) dV, откуда сила /давл = —grad p, где
р — давление.
Выпишем общее выражение объемных сил с учетом всех указан-
указанных выше соображений:
/= —gradp + p?-y grade + igrad (^2к^). C1.30)
Термодинамические формулы C1.6) и C1.7) были записаны
для величин, отнесенных к единице объема. Если же представляют
интерес полные значения величин в некотором объеме, то величина
этого последнего является одним из параметров, определяющих
термодинамическое состояние. Первое начало термодинамики для
них принимает вид (пока без учета энергии электрического поля):
C1.31)

244 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
Фактически это соотношение уже было использовано выше при
выводе сил гидростатического давления. Величина AW, определяе-
определяемая формулой C1.23), представляет собой электрическую часть
свободной энергии, содержащуюся в объеме диэлектрика. Предпо-
Предположим, что в рассматриваемом объеме электрическое поле Е почти
однородно. Тогда <У' Е = S.W = —1/2<^ьЕ, где $* — полная поля-
поляризация, т. е. дипольный момент всего объема. Пусть, далее, век-
вектор <у* линейно зависит от Е: $" = ео%еЕ, где %е — скалярная
диэлектрическая восприимчивость. При вариации поля Е измене-
изменение свободной энергии ^ е запишется в виде d-Уе = —<^° dE. Этот
член должен быть добавлен в предыдущее соотношение C1.31).
Обозначим ^ = а^0 + ^е-
31.5. Остановимся более подробно на термодинамическом смысле
величины е?е- Вспомним прежде всего первое начало термодина-
термодинамики C1.4) для объемных плотностей, считая для простоты к посто-
постоянной. Подставляя C1.5) и пользуясь соотношением D = е0 Е + Р,
получим
(^f) C1.32)
Левая часть имеет смысл изменения внутренней энергии единицы
объема за вычетом энергии поля Е в вакууме. Отсюда
= -SdT + EdP.
Величина F — 1/2е0 Ег является, таким образом, функцией состоя-
состояния в том случае, когда в качестве внутренних параметров рассмат-
рассматриваются Т и Р. Аналогично переходу от C1.6) к C1.9) можно
перейти к параметрам Т и Е, если рассмотреть /¦' = F — I^E'1 ¦—
— РЕ. Тогда
dF' = — SdT~PdE. ¦ C1.33)
При изотермическом процессе (dT = 0) и условии, что поле Е изме-
изменяется по величине, оставаясь однородным в пределах рассматри-
рассматриваемого объема, интегрирование по объему предыдущего равенства
приводит к величине &¦>?,Е. Само же это равенство является гораздо
более общим, так как при его выводе не предполагалось никаких
ограничений в отношении зависимости Р от Е.
Вместо объема V часто удобнее считать независимым параметром
'давление р. Для этого вместо свободной энергии ^ вводится другая
функция состояния — термодинамический потенциал Ф = &F +
+ pV. Из предыдущих соображений видно, что при изотермических
процессах dO = Vdp — ffidE. Так как ^Ф — полный дифферен-
дифференциал, отсюда следует
дР )т,е-

31]
ИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ
245
Это соотношение определяет зависимость объема диэлектрика от
величины приложенного поля (эффект электрострикции). В правой
части зависимость поляризации $* от давления/? обусловлена, разу-
разумеется, конкретной структурой рассматриваемого диэлектрика.
В результате под действием электрического поля может наблюдаться
как растяжение, так и сжатие различных диэлектриков. Если вы-
выполняется равенство A.26), то соотношение C1.34) принимает вид
др )т,е' ч '
Здесь Vo — объем диэлектрика в отсутствие внешнего поля.
Вернемся к формуле C1.30) для объемных сил, действующих
в изотропных диэлектриках. Предполагая, что р = 0, условие
механического равновесия диэлектрика / = 0 можно с помощью
простого преобразования выразить в виде
grad/?= g grad(^E2-d~
Если известно уравнение состояния жидкости, т. е. зависимость
давления р от плотности х, то отсюда следует
РС dp _ E^ йг
J IT "~ ~2~ Их.
C1.36)
где pi — давление в точке г{. Таким образом, давление зависит
только от электрического поля в данной точке. Часто можно считать,
что выполняется условие несжимаемости, т. е. и не зависит от р.
Зависимость е от и в ряде случаев хорошо аппроксимируется сле-
следующей формулой Клаузиуса — Мосотти (которую называют также
и формулой Лорентц — Лоренца):
8' + 2 -^л'
где е' == е/е0, а С— константа, зависящая от конкретной природы
диэлектрика. Легко подсчитать, что тогда х de/dx = 1/3е0 (е' — 1) х
X (е' + 2) и C1.36) приводится к виду
Pi—
В заключение отметим следующее обстоятельство. Зная тензор
натяжений, можно вывести ряд механических соотношений, которые
должны иметь место на границе между двумя различными средами.
Действительно, на такой границе должно выполняться равенство
действия и противодействия для поверхностных сил, а именно
Ф1 = —ф11, где ф1 — поверхностная сила, действующая из первой
среды на вторую, а фп — из второй среды на первую. С помощью

246 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ГЛ. 7
тензора натяжений это равенство переписывается в виде Tjl{nVl =
-= —TllknUk. Здесь п1 и п11 взаимно противоположны. Полагая
п = я1, получим (Т\к — Т1^)пк = 0. Если теперь выразить Т\к
через величины, относящиеся к первой среде, а Г^1 — ко второй,
по формуле C1.27) (к которой для учета гидростатического давления
нужно, как видно из • приведенных ранее соображений, добавить
слагаемое — pdik в правую часть), то можно получить соотношение
для разности давлений у поверхности раздела. При этом из
граничных условий следует, что в тангенциальных направлениях
равенство сил выполняется тождественно, соотношение же для нор-
нормального направления нетривиально. Мы не будем здесь выписывать
эти формулы, предоставляя это в качестве упражнения читателю.
§ 32. Анизотропные диэлектрики
32.1. Анизотропными диэлектриками называются такие диэлек-
диэлектрические среды, поляризация Р которых не совпадает по направ-
направлению с электрической напряженностью Е. Анизотропными свой-
свойствами обладают обычно среды, частицы которых образуют кристал-
кристаллическую решетку. Последняя характеризуется своей симметрией,
т. е. регулярностью расположения частиц в пространстве. Сама же
эта симметрия объясняется тем, что взаимодействия частиц в крис-
кристалле в одних направлениях гораздо сильнее, чем в других (таковы
особенности химической связи молекул). В результате и направле-
направления электрических дипольных моментов, образующихся в молеку-
молекулах под действием внешнего поля, определяются не только этим
полем, но и распределением взаимодействий в кристаллической
решетке. Простейший пример — так называемые пироэлектричес-
пироэлектрические среды, в которых поляризация существует и в отсутствие
внешнего поля. Ясно, что для того, чтобы дипольные моменты
молекул давали, складываясь, ненулевой общий эффект, необходима
определенная закономерность в расположении молекул. Полный
вектор поляризации Ра, возникающий в этом случае («спонтанная»
поляризация), определяет в среде выделенное направление. Поэтому
симметрия пироэлектрического кристалла должна, в частности,
характеризоваться наличием такого направления (в кристаллогра-
кристаллографии говорят при этбм об оси симметрии).
Теория симметрии кристаллов, в которой рассматривается и
связь этой симметрии с физическими свойствами кристаллической
среды, слишком обширна, чтобы мы могли ею здесь заняться *).
Однако некоторые свойства анизотропных диэлектриков можно
рассмотреть и без конкретных результатов этой теории.
*) См., например, Л. Д. Ландау и Е.-М. Лифшиц, Электродинамика сплош-
сплошных сред, Гостехиздат, 1957 или Док. Най, Физические свойства кристаллов,
ИЛ, 1960.

§ 32] АНИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ 247
Будем в дальнейшем предполагать, что анизотропная среда
является линейной. Это значит, как было упомянуто еще в § 1, что
между поляризацией и электрической напряженностью выполняется
линейное соотношение
P, = eoxvE' + POlJ. C2.1)
В этой формуле учитывается и возможность существования спонтан-
спонтанной поляризации Ро, упомянутой выше. Величина "/<у должна быть
тензором второго ранга, так как Р и Е — векторы. Она называется
диэлектрической восприимчивостью. При этом между напряжен-
напряженностью Е и индукцией D выполняется соотношение A.29), где
диэлектрическая проницаемость еу также будет тензором второго
ранга. Кроме того, среду будем считать однородной, т. е. компонен-
компоненты тензоров y.!j Ич.е,у не зависящими от координат точки среды. Это
значит, что физические свойства среды, измеренные по взаимно
параллельным направлениям в любых двух ее точках, совпадают.
При изучении термодинамических свойств анизотропных ди-
диэлектриков следует обратить внимание на то, что основные термо-
термодинамические соотношения, рассмотренные в предыдущем пара-
параграфе, остаются применимыми и в данном случае, так как были
сформулированы без специального предположения об изотропии.
Это относится, в частности, к уравнениям C1.4), C1.7), C1.10),
а также C1.33) и C1.32). Последнее из них удобно использовать
для доказательства симметричности тензора /у диэлектрической
восприимчивости. При адиабатическом процессе, когда dS = 0,
это уравнение принимает вид dW = EdP, где W — термодинами-
термодинамическая функция состояния, имеющая смысл внутренней энергии
среды. Подставим сюда соотношение C2.1), считая для простоты,
как и всюду в дальнейшем, что Ро = 0 и 7>у не изменяется при
термодинамическом процессе. Тогда dW = ео%у E'dE1'. Но так как
dW — полный дифференциал, должно выполняться равенство
дР дс ¦ = Qp.Qp, Для любой пары индексов i и /, откуда и следует
Ъ] = 1ц- Эт° значит, что и е,;- = eJ{. Поэтому поле в анизотропной
среде обладает плотностью энергии we, определяемой уравнением
C.5), при выводе которого симметричность тензора &и использо-
использовалась без доказательства.
32.2. Перейдем к некоторым вопросам, относящимся к связи
между механическими свойствами твердого тела и его электричес-
электрическими свойствами.*Предположим, что на поверхность твердого ди-
диэлектрика действует поверхностная сила <р. Совершенно аналогично
тому, как это было сделано в § 3 при рассмотрении тензора натяже-
натяжений Максвелла (когда фактически использовалось условие изотро-
изотропии), можно определить в общем случае тензор натяжений Ту соот-
соотношением
ф; = */,< C2.2)

248 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
где п — единичная нормаль к поверхности. Предположим, что
тензор натяжений симметричен: ту = T;j. Такие натяжения назы-
называются однородными. С помощью C2.2) легко убедиться, что на
поверхности куба однородность натяжений означает равенство
по величине и противоположность по направлению сил, действующих
на противоположные грани. Мы не будем заниматься вопросом
о том, как выражаются компоненты тензора ту через напряженность
и индукцию в анизотропном случае.
Существуют такие твердые кристаллы, у которых приложенные
к их поверхности силы вызывают электрическую поляризацию.
Это явление называется прямым пьезоэлектрическим эффектом.
При этом можно записать соотношение между поляризацией и меха-
механическим натяжением:
P* = d,.«T*'. C2.3)
Пьезоэлектрические коэффициенты diht являются компонентами
тензора третьего ранга, причем по индексам k, l они симметричны.
В дальнейшем мы рассмотрим также обратный пьезоэлектрический
эффект, состоящий в том, что внешнее электрическое поле вызывает
деформацию кристалла вследствие возникающих под его действием
механических натяжений. Однако сначала вспомним некоторые
сведения, относящиеся к описанию деформаций в механике сплош-
сплошной среды.
Пусть под действием приложенных сил точки среды смещаются
из своих первоначальных положений, причем смещение точки,
имевшей радиус-вектор г, равно * (г). Деформация среды опреде-
определяется тем, насколько различно смещаются соседние точки, т. е.
она характеризуется вектором 6s = * (г + Ьг) — * (г) ~ (br, grad) s
(при бесконечно малом бг). Это равенство можно переписать в виде
&* = а„в** + М**, где aUl = ± l^L + ff-) и bik = ± (±L _ дМ.
2 \ dxk дх1 I 2 \ dxk dx'J
Тензор bik определяет вращение рассматриваемого бесконечно
малого объема как целого. Действительно, по формуле (Б. 10)
можно ввести Ъ = rot 5, т. е. Ь* = еш—^- так что bih —
dxk '
= Vo skU bi и bik 8xk = V2 ziik bl dxk = V2 [rot s x br)t. Поэтому
данная часть смещения не представляет интереса. Тензор же aih
симметричен; он определяет собственно деформации, а именно,
растяжения и сдвиги. В частности, чистое растяжение происхо-
происходит, если выполняется условие aikbxk — lbxit т. е. оно имеет место
при смещении вдоль главных осей тензора aik. С помощью при-
приближенного вычисления якобиана легко установить также, что
коэффициент объемного расширения равен (8V" — 6У)/6У = div *
(ср. вычисление сил в изотропном диэлектрике, проведенное в пре-
предыдущем параграфе).

§ 32] АНИЗОТРОПНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ 249
Во многих случаях выполняется эмпирический обобщенный
закон Гука, состоящий в том, что тензор натяжений ту связан
с тензором деформаций а.ц линейно:
ti] = cijklaM, aij=stjtixkl. C2.4)
При этом коэффициенты Сщ1 называются модулями упругости,
a Sijki — коэффициентами упругости. Матрицы, составленные из
величин cms, взаимно обратны.
Термодинамическое состояние твердого тела можно определить
заданием температуры Т, электрического поля Е и, например,
компонент тензора натяжений т/;-. Тогда должны выполняться
уравнения
OS \ , I dS \ ,Р . [ dS \ ,„
дхы )е, т ki ' \dEkJx,T " г\ дТ /%, е
Коэффициенты в правых частях этих уравнений описывают следую-
следующие физические эффекты *). В первом уравнении это — упругость,
обратный пьезоэлектрический эффект и тепловое расширение. Во
втором — прямой пьезоэлектрический эффект, электрическая поля-
поляризация и пироэлектрический эффект. Наконец, в третьем — пьезо-
калорический и электрокалорический эффекты, а также теплоем-
теплоемкость, деленная на Т. Между всеми этими эффектами существует
ряд соотношений, которые могут быть получены, исходя из свойств
термодинамических функций состояния.
Первое начало термодинамики можно записать в виде
Здесь первый член, как можно показать с помощью теории упру-
упругости, описывает изменение упругой энергии сплошной среды.
Часто, однако, удобнее пользоваться другой термодинамической
функцией, а именно термодинамическим потенциалом Гиббса G,
который определяется следующим образом:
так что
dG = — ац d%4 -PdE-SdT.
*) Ниже мы перечисляем эти коэффициенты слева направо в правых частях
каждого из уравнений C2.5).

250 СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. 7
Из того обстоятельства, что dG — полный дифференциал, следует,
в частности, равенство
дЮ дЮ дРк бац
F-p Л J
Общее значение этого выражения может быть обозначено также через
dkj], как показывает определение C2.3). Но отсюда следует, что об-
обратный пьезоэлектрический эффект, т. е. зависимость тензора натяже-
натяжений от внешнего поля, определяется теми же пьезоэлектрическими
коэффициентами, что и прямой эффект.
Более подробное исследование позволяет вычислить, например,
объемные силы, возникающие в анизотропном диэлектрике при
его деформации под действием электрического поля. Мы не рас-
рассматриваем эту задачу *), так как она потребовала бы гораздо более
детального изучения свойств тензоров натяжений и деформаций.
*) См., например, цитируемую выше книгу- Ландау и Лифшица, или
Дж. А. Стрэттон, Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948 (особенно
§ 2.22).

Глава 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
§ 33. Магнитная энергия и силы в системе контуров
постоянного тока. Квазистационарные токи
в линейных цепях
33.1. В § 12 мы уже рассматривали электрические токи в изотроп-
изотропной однородной среде, для которой выполняется соотношение
A.27) между магнитной индукцией и магнитной напряженностью,
причем магнитная проницаемость ;.i считается постоянной. Электри-
Электрические токи изучались в виде линейных контуров постоянного тока.
Основной интерес представляли магнитное поле, создаваемое то-
токами, и взаимодействие токов между собой при .посредстве этого
поля. В результате были получены формула A2.3) для векторного
потенциала, закон Био—Савара—Лапласа A2.7) и выражение
A2.10) для полной силы, действующей между двумя линейными
контурами. При использовании Международной системы единиц
СИ коэффициент с. во всех этих формулах нужно положить равным
единице. В настоящем параграфе дополним результаты § 12, а имен-
именно исследуем энергетические свойства магнитного поля постоянных
токов. Далее будут рассмотрены некоторые свойства переменных
токов. В § 34, привлекая термодинамические соображения, мы при-
приведем некоторые сведения об электрических и магнитных эффектах,
связанных с одновременным наличием электрического тока и потока
тепла в среде.
Будем предполагать, что плотность тока удовлетворяет обобщен-
обобщенному закону Ома A.30), который для изотропных сред принимает
вид
J=oE+Jn. C3.1)
Плотность тока,/сг обусловлена «сторонними» силами, вызывающими
движение зарядов в среде. Как уже упоминалось в § 1, такие силы
могут возникать за счет использования химической энергии
(элемент, батарея), механической энергии (динамомашина) и т. п.
Для того чтобы описать сторонние силы, удобно определить век-
вектор Е' соотношением
/ст = а?', тогда /= а (? + ?'). C3.2)
В замкнутом контуре достаточно малого поперечного сечения,
в котором имеется электрический ток (такие контуры будем называть

252 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ |ТЛ. 8
квазилинейными) *), полная электродвижущая сила U определя-
определяется интегралом по этому контуру.
U = §(E + E')ds. C3.3)
Если магнитное поле не изменяется со временем, можно положить
Е — —grad ф, и поэтому первое слагаемое в предыдущей формуле,
определяемое электростатическим полем, обращается в нуль. С по-
помощью C3.2) и C3.3) получаем соотношение
. C3.4)
Вспомним равенство A2.5), которое можно рассматривать просто как
определение силы тока /. Направление тока в каждой точке квази-
квазилинейного контура совпадает с направлением ds в этой точке.
Кроме того, элемент объема контура можно записать в виде dV =
= ds-A2, где Д2 — площадь поперечного сечения контура. Поэ-
Поэтому с помощью A2.5) подынтегральное выражение в C3.4) пере-
переписывается следующим образом:
Если ток постоянный, то, по определению, это означает, что вели-
величина / одинакова во всех сечениях контура. Тогда при подстановке
предыдущего выражения в C3.4) это последнее принимает вид
U = IR, C3.5)
где R s= <т> g As . Величина R называется полным сопротивлением
контура; разумеется, если электропроводность а и сечение контура
Д2 = S постоянны на всем протяжении контура, то R = 1/oS,
где / — длина контура. Размерность величины а легко определить,
если известны размерности плотности тока } и электрической напря-
напряженности Е\ тогда определяется и размерность сопротивления R,
а затем по формуле C3.5) — размерность электродвижущей силы О.
В системе СИ единицей сопротивления является 1 Ом, а единицей
электродвижущей силы (которая называется также напряжением
в контуре) — 1 вольт (В). Сила тока при этом измеряется в амперах
(ср. § 1 и § 29).
Предположим теперь, что контур разомкнут, так что постоянного
тока в нем быть не может и/= 0, но сторонние силы в этом контуре
действуют. Тогда с помощью C3.3), интегрируя по контуру между
*) Точнее, квазилинейным называется контур (проводник), в котором
электропроводность а и поперечное сечение А2 зависят только от одной линейной
координаты s, отсчитываемой вдоль контура,

§ 33] КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ 253
его концами 1 и 2, получим равенство
2 2
\ <))E' d$ = §E'ds = U. C3.6)
Интеграл по замкнутому контуру записывается с учетом того, что
на разомкнутом участке цепи ?" = 0. Левая часть формулы
C3.6) характеризует электростатическое напряжение в разомкнутой
цепи и равна разности потенциалов ф A) — ф B). Смысл этой фор-
формулы состоит в том, что в разомкнутой цепи действие сторонних
сил компенсируется возникновением электростатического поля
зарядов, другими словами, э. д. с. измеряется разностью потенци-
потенциалов на концах разомкнутой цепи.
33.2. Пусть в однородной изотропной среде с магнитной прони-
проницаемостью (х имеется N квазилинейных контуров sa (a = 1, 2, ..., N)
с постоянными токами /а. Изучим выражение для энергии W магни-
тостатического поля, создаваемого этими токами. Используя опре-
определение плотности магнитной энергии, рассмотренное в начале § 3,
и последовательно применяя формулу B.1), соотношение (Б. 19)
и уравнение Максвелла A.21) при 3D Idt = 0, можно записать
следующее преобразование:
2W = $ HBdV = \ HxoiA dV = $ div [A xfi]dV + \jA dV. C3.7)
Первое слагаемое в этой формуле с помощью теоремы Остроград-
Остроградского — Гаусса может быть представлено в виде интеграла
&[АхН]п do по замкнутой поверхности, охватывающей все
контуры тока. При удалении поверхности на бесконечность можно
считать этот интеграл стремящимся к нулю, так как подынтеграль-
подынтегральное выражение пропорционально г3. Обратимся ко второму сла-
слагаемому. Оно может быть преобразовано двояким способом. Прежде
всего, можно сразу учесть, что интегрирование производится в нем
б 0
лишь
Тогда
по
с
той области
помощью A2
\jAd\
, где J фО, т. е.
.5) получим
N
7 = И Ia$Adsa
а=1 sa
ТОЛЬКО ПО
N
= 2 /«Фа-
а = 1
§2l C3.8)
sa a = 1
При этом по теореме Стокса
<§ A dsa = ^ rotn A doa = $ Вп doa = Фа. C3.9)
sa
Здесь, как обычно, оа — двумерная поверхность, краем которой
является контур sa. Величина Фа — магнитный поток, протекаю-
протекающий сквозь площадь, определяемую контуром sa.
С другой стороны, воспользуемся выражением A2.3) для
векторного потенциала, найденным при решении уравнений

254 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
магнитостатики:
Интегрирование, так же как и раньше, распространяется здесь
лишь на сами квазилинейные контуры. При этом нужно различать
два случая: объемы dV и dV' могут принадлежать одному и тому же
контуру или различным контурам. Соответственно этому двойной
интеграл может быть записан в следующем виде:
n ,.
a=\
Учитывая, что токи постоянны, перепишем правую часть в форме
N
2 ^ас^а+ 2SW"^= .S^aB^cJfl' C3.10)
а=1 а^|3 а, р
где введены обозначения:
4л 'a J J !Ла Ла|
(а)
. V ! С С J(ra)J(r$) ... ...
LaB = -,—j—f— \ \ dVadV
а|5 4л /a/e J J \ra — ra\ a
а C3 111
Эти величины не зависят от силы тока. Применяя к правой части
равенства C3.11) для Lap соотношение A2.15), получим
Аналогичный переход в Laa не имеет смысла, так как для линейных
проводников соответствующий интеграл расходится. Для вычисле-
вычисления Laa надо пользоваться формулой C3.11).
Величины Lap называются коэффициентами индукции; в част-
частности, при а = р коэффициентами самоиндукции, а при а -/= р
коэффициентами взаимной индукции рассматриваемой системы
квазилинейных контуров. Радиусы-векторы ra, r'a пробегают
точки контура с номером а.
В формуле C3.11') элементы dsa и ds$ берутся на различных кон-
контурах. В § 12, рассматривая два контура, мы ограничивались лишь
этим последним случаем. Из самих выражений C3.11) видно, что

§~33] КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ 255
коэффициенты индукции определяются только геометрической фор-
формой каждого контура и их взаимным расположением в простран-
пространстве. Очевидно также, что Lap = Lpa.
С помощью C3.10) выражение C3.9) для магнитного потока
принимает вид
Фа= ? Ь„р/р. C3.12)
х |3=1
Из C3.7), C3.8) и C3.12) следует, что магнитная энергия системы
контуров записывается следующим образом:
N
=4 2
Lap/a/p- (ЗЗЛЗ)
a=l a, C=1
Такое выражение для энергии соответствует представлению о мгно-
мгновенном дальнодействии между токами. Слагаемые с a = р опи-
описывают действие данного тока самого на себя. Слагаемые же с а Ф$
следует интерпретировать как результат взаимодействия между
разными контурами sa и Sp. Если учесть симметричность Lap, то
энергия такого взаимодействия равна
Wap = Lap/a/p. C3.14)
33.3. Пусть контур sa виртуально смещается как твердое тело,
так что радиус-вектор га в любой точке этого контура получает
одно и то же бесконечно малое приращение. Обозначим через grada
соответствующую операцию дифференцирования. Будем считать,
что все остальные контуры Sp при |3 фа неподвижны. Тогда фор-
формулу A2.10) для силы взаимодействия можно применить к взаимо-
взаимодействию между контуром sa и любым из контуров Sp. Если индекс 1
заменить в этой формуле на р, а индекс 2 — на а и воспользоваться
обозначением C3.11), то сила, действующая со стороны контура р
на контур а, принимает вид
Fap = (gradaLap)/a/p. C3.15)
Если считать, что смещается один из контуров Sp, а прежний
контур sa остается неподвижным, то gradaLap = —gradpLap при
а Ф р, так как зависимость от координат определяется функцией
-; г в формуле C3.11). Отсюда вновь следует закон равен-
I ''a ''pi
ства действия и противодействия Fa$ — —Faa, уже рассмотренный
в § 12.
Полезно, однако, попытаться обосновать выражение для силы
C3.15) непосредственно с помощью энергии поля C3.13). Именно,
можно опять рассмотреть виртуальное смещение каждого из кон-
контуров и изучить происходящее при этом изменение энергии. Если,

256 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
например, контур Sp смещается, как твердое тело, со скоростью «р,
то механическая работа силы Fp, действующей на этот контур
со стороны магнитного поля, за единицу времени равна Fp«p.
Поэтому, казалось бы, можно записать закон сохранения энергии
в виде FpMp + dW/dt = 0 и отсюда, подставляя C3.13), вычислить
силу Fp. При этом, однако, получится неверный результат. Дело
в том, что при таком смещении контура изменяются магнитные по-
потоки, проходящие оквозь все контуры. Это произойдет благодаря
явлению электромагнитной индукции, которое вызовет в каждом
контуре дополнительную электрическую напряженность Е, а эта
последняя приведет к возникновению токов индукции. Поэтому
во время смещения токи в каждом из контуров перестанут быть
постоянными и формула C3.13) неприменима. Можно, однако,
предположить, что в ходе виртуального смещения сторонние силы,
действующие в каждом контуре и обеспечивающие наличие тока,
изменяются так, что благодаря их действию совместно с электро-
электродвижущей силой индукции все токи сохраняют свою первоначаль-
первоначальную величину.
Запишем формулы, соответствующие этим соображениям. Закон
сохранения энергии, согласно § 3, следует выразить так:
0. C3.16)
Здесь последнее слагаемое представляет собой работу электричес-
электрических сил. Ток с учетом сторонних сил имеет вид C3.2), поэтому
JE — o'lf —j'E'. Переходя от объемного интегрирования к ин-
интегрированию по квазилинейным контурам с помощью формулы
A2.5), аналогично тому, как это делалось выше, и считая, что токи
в каждом контуре постоянны, получим
\JE'dV
N N
Л /V C3.17)
a=l sa a=l
Таким образом, C3.16) принимает вид
N N
a=l a=l
С другой стороны, закон Фарадея (М.З) для произвольного контура
sa после подстановки Е = а/— Е' записывается аналогичным
образом в виде
laRa-Ua = — d<bjdt. C3.19)

§ 33] КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ 257
Считая опять-таки все токи постоянными, можно воспользоваться
формулой C3.13), При этом —т- = -2- У /а —jf-- Подставляя это
а
равенство, а также C3.19) в C3.18), получаем
C3-20)
Без учета всех предшествующих соображений правая часть этой
формулы имела бы обратный знак. Так как смещению подвергается
только контур sp, правую часть можно записать и следующим об-
образом: dWIdt — gradgtF -щ *). Разумеется, фактически подвер-
подвергаются дифференцированию коэффициенты индукции C3.11), вхо-
входящие в выражение энергии W, а именно те из них, которые зависят
от гр, т. е. коэффициенты LRa при всех а. Таким образом, ввиду
произвольности вектора щ скорости смещения, сила, действующая
* на данный контур sg со стороны всех контуров (включая его самого),
равна
Fp==gradpir. C3.21)
Отсюда непосредственно выводится уравнение C3.15) для силы
взаимодействия двух разных контуров, но на этом мы останавли-
останавливаться не будем.
33.4. Займемся теперь исследованием переменных токов в не~
разветвленном линейном контуре. При этом будем считать, что
токи квазистационарны. Это значит, что сила тока / (t) в любой
момент времени t одинакова во всех точках контура, но с течением
времени может изменяться**). Тогда полученные выше формулы
C3.17) остаются в силе. Обозначим через L коэффициент самоин-
самоиндукции контура. Согласно C3.13) магнитная энергия, связанная
с электрическим током в контуре, равна W(m) = V2L/2. Предполо-
Предположим, что контур содержит также и конденсатор. При прохождении
тока по контуру на обкладках конденсатора будут возникать элект-
электрические заряды, величина которых зависит от времени. При нали-
наличии конденсатора цепь, состоящая из проводников, становится
разомкнутой. Тем не менее прохождение переменного тока по этой
цепи возможно. Разберемся в этом подробнее. Еще в § 1 мы видели,
что электрический ток в общем случае состоит из двух слагаемых —
тока проводимости (обусловленного движением свободных зарядов)
и тока смещения 3D Idt. В отношении проводящих участков цепи
условие квазистационарности означает, по сути дела, возможность
считать, что во всех точках цепи одновременно устанавливается
одна и та же сила тока. Другими словами, скорость распростра-
*) Определение операции gradg см. выше, на стр. 255.
**) Подробный анализ условий квазистационарности был проведен В. К. Фре-
дериксом в книге «Электродинамика и введение в теорию света», ГТТИ, 1934.
9 Ю. В. Новожилов, Ю. А. Янпа

258 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
нения электромагнитного возмущения считается практически бес-
бесконечной. Вывод волнового уравнения для электромагнитного поля
показывает, что такое предположение можно делать, лишь прене-
пренебрегая членом 3D /dt. В конденсаторе же дело обстоит как раз наобо-
наоборот. Ток проводимости в конденсаторе следует считать равным нулю,
главную же роль играет именно ток смещения. Благодаря уравне-
уравнению непрерывности сила тока смещения, проходящего через кон-
конденсатор, должна быть равна силе тока проводимости в примыкаю-
примыкающих к конденсатору проводниках. Отсюда следует, что dqldt — I, и,
кроме того, если на одной обкладке конденсатора образуется
заряд+ ?@.то па другой будет заряд—q (t) (так как вся цепь в це-
целом считается нейтральной).
Изменение энергии электрического поля в объеме конденсатора
определяется, согласно C.5), величиной \ Е -^т-dV, непосредствен-
непосредственно зависящей от тока смещения. Если среда, заполняющая конден-
конденсатор, линейна, то (как в § 3) получим dW^/dt, где W(e) =
= Vs \EDdV. Предположим, что в выражении поля Е через
потенциалы можно отбросить член dAldt (это означает пренебре-
пренебрежение в объеме конденсатора «вихревым» электрическим полем,
возникающим благодаря фарадеевой индукции) и внутри проводя-
проводящих обкладок конденсатора нет объемного заряда (имеется лишь
заряд на их поверхностях). Тогда в каждый момент времени для
W(e) применимы вычисления, проведенные в § 30, результатом кото-
которых является формула C0.9).
В нашем случае (один конденсатор) имеется, лишь один коэффи-
коэффициент емкости С и один потенциальный коэффициент, причем эти
коэффициенты взаимно обратны. Поэтому электрическую энергию
можно записать в виде W(e) = q2/2C. Закон сохранения полной
энергии можно использовать в виде C3.18), где нужно лишь поло-
положить Ир = 0, W = W(m) + №(е) и рассматривать один контур:
ML M = IU. C3.22)
Вообще говоря, коэффициенты L и С могли бы зависеть, например,
от характера изменения токов и зарядов со временем. Однако в тео-
теории квазистационарных токов такой зависимостью обычно пренеб-
пренебрегают. Тогда
dW{m) _ dl dW{e) _1 d*_l
dt —Ll dt' dt ~~ C'q~dt~ С ql-
Таким образом, закон сохранения энергии C3.22) принимает вид
+ q\IR = U. В такой записи он называется вторым
законом Кирхгофа для неразветвленной линейной цепи. Часто для
такого линейного контура можно считать (как это фактически было

§ 33] КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ 259
сделано выше), что на одних его участках преобладают тепловые
потери (т. е. основную роль играет «активное» сопротивление R),
на других — влияние индуктивности (катушки), на третьих —
емкости (конденсаторы). Тогда второй закон
Кирхгофа можно рассматривать как равен-
равенство полного напряжения U, создаваемого
в цепи сторонними силами, сумме падения
напряжений на участках активного сопротив-
сопротивления R и реактивных сопротивлений L и С
(рис. 34). Первый закон Кирхгофа о разветв-
разветвлении токов непосредственно следует из урав-
уравнения непрерывности. Совокупность первого рис 34
и второго законов Кирхгофа представляет ос-
основу общей теории линейных цепей, в которой
предполагается, как это и было неявно сделано выше, что индук-
индуктивность и емкость элементов цепи не зйвисят от силы тока / *).
Так как / = q, I = q, второй закон Кирхгофа в нашем случае
принимает вид
Решение этого уравнения при U =^~0 записывается следующим
образом:
q^de^ + C^'K C3.24)
Здесь постоянные С1 и С2 определяются начальными условиями.
При этом —'
k1A = —§-±X, ^(-iS--^I72. C3.25)
R 1
Из последних двух формул следует, что при —> , ¦ величина со
вещественна и в контуре происходит апериодический процесс.
Если же ~- <YTE' Т° ^ = fC°' ГД6 Ю ~ (тс ~ 'Ш)'2 ~ вещест"
венная величина и заряд q на конденсаторе (а следовательно, и
ток / = dq/dt в контуре) изменяется периодически с частотой со.
В частности, при R -> 0 получается формула Томсона со = (LC)/2.
Выше, естественно, приходилось учитывать лишь самоиндукцию
в контуре. Важным случаем, когда играют существенную роль
коэффициенты взаимной индукции, является индуктивная связь
между двумя контурами переменного тока. При этом, если в одном
из них имеется ток /ь а в другом /2 и можно пренебречь емкостями
(рис. 35), то при записи закона сохранения энергии для каждого
*) См. учебники электро- и радиотехники, например А. П. Молчанов и
П. Н. Занадворов, Курс электротехники и радиотехники, «Наука», 1976.
9*

260
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 8
контура следует учитывать член взаимной индукции L12/i/2 в выра-
выражении магнитной энергии W(my Второй закон Кирхгофа для сово-
совокупности таких двух контуров записывается в виде системы двух
связанных дифференциальных уравнений
г d/i _^_ . dl2 , г, , ,,
n~~dT~ 12 ~df * а х ~~ '
dl2
d/j i
—fa Г
LZ
решая которую, можно определить токи /х и /2. Обратим внимание
на то, что взаимная индукция вызывает в каждом из контуров
дополнительную «стороннюю» электро-
электродвижущую силу, пропорциональную
скорости изменения тока в другом
контуре. Здесь предположено, что
сторонняя э. д. с. О действует лишь
в одном из контуров.
?п Y Как известно, колебания в конту-
1 Ч ре, соответствующие, например, фор-
л h к^г муле Томсона, могут приводить к из-
лучению электромагнитных волн в
Рис. 35. окружающее пространство. Так, кон-
контур может быть связан с антенной,
которую часто можно описывать как электрический или магнит-
магнитный диполь, излучающий волны. Процесс излучения был уже
описан в § 17. Происходящая при излучении утечка энергии должна
компенсироваться включением источника энергии в контур с током.
§ 34. Вихревые токи. Термоэлектрические
и термомагнитные явления. Эффект Холла
34.1. До сих пор мы изучали лишь свойства токов в линейных
цепях. Рассмотрим теперь более общие проблемы, связанные с на-
наличием электрического тока. Прежде всего займемся задачей об
определении объемных распределений токов в сплошной среде.
Такие токи возникают, например, в проводниках под действием
переменного магнитного поля (вихревые токи или токи Фуко).
Для их исследования нужно вернуться к общим уравнениям Мак-
Максвелла. При этом, однако, предположим, что ток смещения отсут-
отсутствует, т. е. 3D Idt = 0. Это предположение фактически равносильно
пренебрежению эффектами запаздывания *). Кроме того, по-преж-
по-прежнему будем считать, что выполняется закон Ома j = оЕ, причем
значение электропроводности о то же, что и в стационарном случае,
С микроскопической точки зрения это означает, что частота внешнего
*) Ср. предыдущий параграф,

§ 34] ВИХРЕВЫЕ ТОКИ. ЭФФЕКТ ХОЛЛА 261
поля должна быть значительно меньше, чем обратная величина
времени свободного пробега электронов в проводнике. Соответству-
Соответствующие оценки приводят к выводу о том, что поле может изменяться,
самое большое, с инфракрасными частотами.
С учетом сделанных предположений уравнения Максвелла
принимают вид
rot? = — ~, rot B = \wE, divB = 0. C4.1)
Из второго уравнения следует div E = 0 *). Кроме того, будем
считать В = цН. Применяя ко второму уравнению C4.1) операцию
rot и преобразуя в декартовых координатах rot rot с помощью
(Б.21), получим
AJ* = |ior-f-. C4.2)
Это уравнение имеет вид уравнения теплопроводности (или диф-
диффузии). Его нужно решать при учете условий D.10) и D.12) на
границе проводника, т. е. Вп1 = Вп2, Htl = НB- Если при ^этом
распределение поля будет найдено, то распределение токов может
быть вычислено по формуле /= — rot В, Можно, однако, вывести
и непосредственно уравнение для плотности тока. Действительно,
применяя операцию rot к обеим сторонам C4.2), найдем
Уравнение C4.2) чаще всего используется для решения следующих
задач. Либо рассматривается случай, когда внешнее поле выклю-
выключается и представляет интерес затухание поля в проводнике; либо
предполагается, что внешнее поле изменяется периодически с часто-
частотой со; при этом исследуется проникновение магнитного поля и ин-
индуцированного им электрического поля в глубь проводника, а также
распределение токов в его объеме. Рассмотрим эту вторую задачу.
Пусть поверхность проводника совпадает с плоскостью г = 0.
Магнитное поле запишем в виде В = В(й)е~ш, Будем, кроме того,
считать, что В(о) зависит только от г (причем ось г направлена от
поверхности в глубь проводника). Уравнение C4.2) принимает вид
^= 0,
где
k == (щасоI'2 — A + 0
Если предположить, что В -у 0 при z -*- оо, то В^ = belkz,
где Ь — постоянный вектор, т. е. /?@) —- Ье~ш. Обозначим d s=
*) Среда предполагается однородной.

262 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ ' [ГЛ. 8
Тогда решение записывается в виде
Таким образом, поле экспоненциально убывает внутри проводника..
Величина d называется глубиной проникновения поля и опреде-
определяет толщину того поверхностного слоя проводника, в котором
следует учитывать наличие магнитного поля и токов. Существова-
Существование магнитного поля и токов в этом поверхностном слое называется
скин-эффектом. Благодаря возникновению токов при скин-эффекте
происходит диссипация энергии (выделяется джоулево тепло),
однако мы не будем заниматься ее вычислением. В дальнейшем
будет рассмотрена также задача о распространении электромагнит-
электромагнитных волн в проводящей среде, когда токи смещения 3D Idt учиты-
учитываются (см. § 38).
34.2. Другое обобщение прежнего подхода к явлению электри-
электрического тока состоит в учете термодинамических соображений.
Именно, будем считать, что в сплошной среде, где имеются токи
проводимости, существует также градиент температуры, вызываю-
вызывающий поток тепла. Кроме того, присутствуют электрическое и маг-
магнитное поля. Сначала ограничимся одним лишь электрическим по-
полем и предположим, что среда изотропна. Движение заряженных
частиц в любом направлении вызывается теперь двумя факторами:
и действием электрического поля, и теплопроводностью. Поэтому
в выражении для тока проводимости нужно учесть дополнитель-
дополнительный член, пропорциональный grad Г, а в тепловом потоке — член,
пропорциональный Е. Происходит как бы суперпозиция указан-
указанных двух факторов. Плотность тока проводимости j и плотность
теплового потока q запишем в следующем виде:
J=oE+p grad T, g = YEJr^gradT. C4.4)
Изучение процессов переноса — это одна из проблем неравно-
неравновесной термодинамики. Часто можно считать, что выполняется
принцип взаимности Онзагера, связывающий между собой процессы
переноса различного типа. Мы сейчас сформулируем этот принцип,
задача обоснования . которого решается методами статистической
физики *). Этот принцип позволяет установить соотношения между
коэффициентами, входящими в формулы C4.4). Каждый ток /,-,
существующий в среде (в-нашем случае У и д), порождается некото-
некоторой соответствующей ему «обобщенной силой» Х{. Для определения
этой обобщенной силы нужно принять во внимание, что благодаря
сообщению количества тепла dQ рассматриваемому объему среды
изменяется и энтропия S, а именно, согласно второму началу термо-
термодинамики, dS = dQ/T. Отсюда можно определить скорость измене-
*) См., например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Статистическая физика,
ч. I, «Наука», 1976, стр. 398.

§ 34] ВИХРЕВЫЕ ТОКИ. ЭФФЕКТ ХОЛЛА 263
ния энтропии S ;е= dSldL Предположим, что S выражается в виде
линейной функции от токов lt: S = —'?iJiXi. Коэффициенты
при Ji и называются обобщенными силами. Предположим теперь,
что и сами токи можно выразить линейно через обобщенные силы,
а именно
У, = -2>А. C4.5)
* ' i
Тогда принцип Онзагера состоит в утверждении, что (в отсутствие
магнитного поля) матрица коэффициентов а,^ симметрична *):
aik = a1ti. C4.6)
Рассмотрим изменение энтропии в нашем конкретном случае.
В каждом элементе объема выделяется количество тепла, равное
—div<7 (это есть просто определение теплового потока д), и, кроме
того, благодаря работе, совершаемой электрическим полем, проис-
происходит диссипация энергии JE. Поэтому
Первый интеграл можно преобразовать с помощью формулы (Б. 142)
и теоремы Остроградского — Гаусса. Тогда при очевидных предпо-
предположениях предыдущая формула принимает вид
Таким образом, роль обобщенных сил играют здесь—grad -=r и
—7jr. Уравнения C4.4) преобразуются к виду C4.5) следующим
образом:
/ == — @* — ~т*~) — Р -* grad ^-, q ^ — yi I — ^=-} — т[ grad ~- •
\ * J * \ * / j
Тогда соотношение C4.6) выражается так:
7 = — рГ, a = — t,T. C4.7)
Удобно использовать уравнения C4.4) в виде, разрешенном отно-
относительно Е, а именно:
E=rj+r]gradT, <7 = n/-xgrad:r. C4.8)
*) Линейные зависимости вида C4.4) и C4.5) выполняются, если ограни-
ограничиться эффектами, в определенном смысле малыми, т. е. если считать, что токи
достаточно мало изменяются при изменении обобщенных сил (см. обсуждение
этого вопроса в цитируемой выше книге Ландау и Лифшица, а также в книге:
И. П. Базаров, Термодинамика, «Высшая школа», 1976, гл. 12),

264 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
Здесь г^сг1, г] = —Ра-1, П = усг1, % = -yficr1— ?. Из первого
соотношения C4,7), следует
(^ ф C4.9)
Первое из уравнений C4.8) показывает, что при /= О
, C4.10)
т. е. если в проводнике существует какое-лдбо распределение тем-
температур, то в нем возникает электрическое поле. Введя скалярный
потенциал, можно преобразовать предыду-
предыдущее равенство к виду —~ = ц. Вели-
Величина г] называется дифференциальной тер-
термодвижущей силой; ее значение-для раз-
разных проводников различно. Это обстоя-
обстоятельство приводит к возможности исполь-
использовать термоэлектродвижущую силу в
качестве одной из сторонних сил, т, е.
к созданию термоэлемента.
Рассмотрим цепь, составленную из двух
разных металлов а и Ь, спаянных между
собой в точках / и 2 (рис. 36). Обозначим
через 7\ температуру в точке / и через
Т2 — в точке 2. Аналогично тому, как это делалось при выводе
равенства C3.6), подсчитаем электродвижущую силу, возникающую
в цепи. Для этого разомкнем цепь, например, где-либо на участке
металла а, причем будем предполагать, что температура образовав-
образовавшихся при этом свободных концов одинакова, как показано на
рис, 36, Из C3,6) и C4.10) получаем
Все остальные коэффициенты, входящие в уравнения C4.8)
определяются, так же как и ц, конкретными свойствами данного
проводника. Это приводит к целому ряду дальнейших эффектов.
Пусть ток у проходит через точку спая двух различных металлов а
и Ь. Во всех точках цепи температуру будем считать одинаковой,
Согласно второму уравнению C4.8) по обе стороны спая возникнут
потоки тепла qa и qb, обусловленные электрическим током (рис. 37);
причем, вообще говоря, цафЦь- Поэтому будет существовать
избыточное тепло W, которое выделяется или поглощается в спае,
а именно

5 34] ВИХРЕВЫЕ ТОКИ. ЭФФЕКТ ХОЛЛА 265
Этот эффект называется эффектом Пельтье, а коэффициент П —
коэффициентом Пельтье. Будет ли тепло выделяться или погло-
поглощаться (т. е. каков знак W), зависит от направления тока.
Пусть теперь существует градиент температуры. Вычислим
более подробно количество тепла Q, которое при этом выделяется
в проводнике. Как мы уже видели выше, при подсчете изменения
энтропии, для единицы объема
в единицу 'времени. Подставим сюда C4.8):
Q = г? + ч (j, grad Т) - -^ (J, grad T) = г? - т (j, grad T).
При этом мы считаем, что grad П = -j=- grad T и член с коэффициен-
коэффициентом теплопроводности в C4.8) вносит сравнительно малый вклад.
Первое слагаемое описывает просто джоулево
тепло, второе же соответствует так называе- t/a q,
мому эффекту Томсона (дополнительное ко- „_ $*-
личество тепла, выделяющееся в результате ,//т///////////\
неравномерной нагретости проводника). Коэф-
Коэффициент Томсона х связан с коэффициентом
Пельтье следующим соотношением:
"^ AT AT "
Здесь использована формула C4.9). Эффект Томсона легко отделить
от джоулева тепла, так как последнее пропорционально f и, в про-
противоположность томсонову теплу, не зависит от направления тока.
Коэффициент т может быть и положительным, и отрицательным.
В первом случае тепло выделяется, когда ток направлен вдоль гра-
градиента температуры и поглощается при его противоположном на-
направлении. Во втором случае имеют место обратные соотношения.
34.3. Если проводник анизотропен, то нужно записывать обоб-
обобщенные равенства C4.8) в виде
-|?-, qi = nikj»-xik^-. C4.11)
Тогда принцип Онзагера выражается так:
rlk = rki, х;А = хи, Uik = Tr\k{. C4.12)
Предположим теперь, что проводящая среда находится во внеш-
внешнем магнитном поле Н. Как показывают опыт и микроскопическая
теория, в этом случае все коэффициенты в уравнениях C4.11) ста-
становятся функциями от этого магнитного поля. Тогда принцип
Онзагера следует записывать в обобщенной форме, а именно
TTiw(—Д). C4.13)

266 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
Даже если в отсутствие магнитного поля среда изотропна, вклю-
включение его обычно вызывает анизотропию. Так, например, в случае,
когда магнитное поле достаточно слабое, можно рассмотреть раз-
разложение функции г (//) по степеням его компонент, т. е.
Члены с коэффициентами г"', rj-|', ... описывают появляющуюся
в присутствии поля зависимость свойств среды от направления.
Будем считать поле настолько слабым, чтобы можно было ограни-
ограничиться линейными эффектами. В таком случае, например, общий вид
добавочных членов в уравнениях C4.8) легко установить, непосред-
непосредственно руководствуясь свойствами преобразования поля при
вращениях и отражениях в пространстве. В начале § 2 было пока-
показано, что поле Е является полярным вектором; то же относится
и к величинам /, q и grad Т. Поле же Н — аксиальный вектор.
Поэтому, например, поправка к вектору Е, обладающая нужным
законом преобразования полярного вектора и линейная по отноше-
отношению как к У, так и к Я, должна быть пропорциональна векторному
произведению Н X / Итак, следует ожидать, что уравнения
C4.8) должны быть заменены следующими:
gTadT), C4.14^
grad71). C4.142)
Здесь R, N, В, L — постоянные коэффициенты. Принцип симметрии
кинетических коэффициентов приводит к выводу, что В = NT.
Если положить grad T = 0, то первое из предыдущих уравне-
уравнений показывает, что при прохождении тока по проводнику в при-
присутствии магнитного поля возникает электрическое поле, равное
R (И х f). Разложению коэффициента г по степеням поля Н
должно соответствовать аналогичное разложение электропровод-
электропроводности о. При записи токов в виде C4.4) это приведет к появлению
поправки в выражении для/ причем из аналогичных соображений,
относящихся к закону преобразования, видно, что эта поправка
должна быть пропорциональна векторному произведению Е х Н.
Таким образом, под действием магнитного поля появляется допол-
дополнительный ток в направлении, перпендикулярном электрическому
полю, причем величина этого тока пропорциональна магнитному
полю. Оба описанные здесь явления представляют собой различные
аспекты так называемого эффекта Холла.
34.4. С помощью уравнений C4.14) можно рассмотреть и не-
несколько других наблюдаемых эффектов. Предположим, что ось z
декартовых координат совпадает с направлением поля Н и рассмот-
рассмотрим тот частный случай, когда ток направлен по оси х: ) — jx.
Пусть, прежде всего, в направлении оси х отсутствует градиент
температуры, т, е, дТ/дх ~ 0, а вдоль оси у нет потока тепла,

§ 35] ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ 2С7
qy = 0. Спроектируем уравнение C4.14а) на ось у. Тогда дТ/ду =
= BHj/x. Это означает, что ток, направленный вдоль х, при дей-
действии магнитного поля, направленного вдоль оси г, вызывает гра-
градиент температуры вдоль оси у. Это явление называется эффектом
Эттингсгаузена.
Предположим теперь, что по-прежнему qy = 0, но, в противо
положность предыдущему случаю, / = 0, а дТ/дх ф 0. Снова
проектируя уравнение C4.142) на ось у, получим градиент темпера-
температуры, обусловленный магнитным полем и направленный по оси
у: -у- = — Н -=?¦. Мы получили формулу для эффекта Ледюка —
Риги: магнитное поле оказывает влияние на теплопроводность
С помощью уравнения C4.14Х) покажем, что градиент темпера-
температуры по оси х в присутствии магнитного поля может обусловливать
возникновение термо-э. д. с. вдоль оси у. Действительно, если /' = 0
и дТ/ду = 0, то Еу = NH дТ/дх. Такое влияние магнитного поля
на термо-э. д. с. называется эффектом Нернста.
Мы ограничимся здесь приведенными элементарными сведениями
о термоэлектрических и термомагнитных явлениях, которые все
же дают некоторое представление о причинах их возникновения.
Исследование процессов переноса в проводниках под действием
электромагнитного поля составляет обширную и весьма важную
часть современной неравновесной статистической термодинамики.
Заметим также, что среди причин, вызывающих электрический ток,
мы не рассматривали здесь превращения химической энергии
в электрическую, которое обусловливает действие гальванических
элементов,
§ 35. Элементы магнитной гидродинамики
35.1. Предмет магнитной гидродинамики состоит в исследовании
свойств проводящих жидкостей или газов в присутствии электро-
электромагнитного поля. Благодаря деформируемости этих сред взаимо-
взаимодействие поля с имеющимися в них токами может оказывать сущест-
существенное влияние на их гидродинамические свойства. Так же, как
и в остальной части этой книги, мы ограничимся здесь феномено-
феноменологическим подходом и не будем, заниматься вопросами, касающими-
касающимися микроскопической структуры среды. Однако следует представлять
себе, что рассматриваемая в магнитной гидродинамике жидкость
состоит из достаточно свободно перемещающихся друг относительно
друга положительно и отрицательно заряженных частиц (напри-
(например, ионов и электронов). В большинстве случаев можно считать,
что эта среда в целом нейтральна, т. е. находящиеся в любом мак-
макроскопически малом объеме полные положительный и отрицатель-
отрицательный заряды равны по абсолютной величине. Такими свойствами
обладают металлы в расплавленном состоянии и, что особенно важно,

268 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ 8
полностью ионизованные газы (это состояние вещества называется
плазмой).
Исследование феноменологических свойств плазмоподобных сред
методами магнитной гидродинамики, а их микроскопических свойств
с помощью статистической физики в настоящее время интенсивно
развивается и играет чрезвычайно большую роль в современной
астрофизике и в теории управляемых термоядерных реакций *).
В обоих этих случаях рассматриваются вполне ионизованные среды.
Мы изложим здесь лишь самые элементарные сведения о магнитной
гидродинамике, которые все же позволяют уяснить специфику
этого предмета.
Приступая к изучению движущейся среды, необходимо различать
две системы отсчета: лабораторную и сопутствующую (лагранжеву).
Обозначим через Е и В электромагнитное поле в лабораторной
системе, а через Е' и В' — в сопутствующей. Пусть (возможно,
в течение некоторого достаточно малого промежутка времени)
среда движется по отношению к лабораторной системе с постоянной
скоростью©. Тогда сопутствующая система является инерциальной,
а поля ?', В' и Е, В связаны преобразованием Лоренца, которое
было рассмотрено в § 7. Если v <J с, то нужно применять формулы
G.13'). Используя Международную систему единиц, необходимо
учесть замечание, сделанное непосредственно вслед за уравнением
G,21). Тогда GA3') записывается в виде
E'cxE+[vxB], B'~B-~[vxB]~B. C5.1)
Поучительно рассмотреть вывод первого из нерелятивистских
соотношений C5.1) с помощью закона индукции Фарадея для дви-
движущегося контура. Если бы контур покоился по отношению к лабо-
лабораторной системе отсчета, то закон индукции следовало бы записать
в виде
§ ^^-nda. - C5.2)
Так как в нашем приближении В' ~ В, движение среды можно
рассматривать как смещение ее относительно магнитного поля.
Поэтому отличие Е' (т. е. напряженности, определяющей э. д. с.
в движущемся контуре) от Е объясняется с точки зрения лабора-
лабораторной системы необходимостью применять закон Фарадея для кон-
контура, движущегося вместе со средой, а именно
<?>
Е' ds = — ¦— J Bn da, C5.3)
*) Последовательное изучение магнитной гидродинамики было начато рабо-
работами X. Альвена в 1942 г.

§ 35]
ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
269
так как зависимость правой части от времени обусловлена и подын-
подынтегральным выражением, и перемещением контура, благодаря чему
пределы интегрирования являются переменными (рис, 38), Вычис-
Вычислим изменение интеграла:
d
\ Bnda= \ Bndo«— \
J J J
Впda2- J Bn
~ ndakdt. C5.4)
Здесь, как видно на рис. 38, ах — поверхность, натянутая на контур
в момент t, а2 — то же в момент t + dt, n — единичный вектор
нормали. Во втором равенстве использовано разложение в ряд
Тейлора B(tJrdt)^B(t)Jr-Q7- dt. Таким образом, подынтег-
подынтегральное выражение в первом слагаемом правой части опреде-
определяется теми значениями, которые поле В принимает в момент вре-
времени t в тех точках пространства, ко-
которые в момент t + dt будут заняты
поверхностью а2. Рассмотрим поэтому
цилиндрическую поверхность, изобра-
изображенную на рис. 38, беря во всех ее точ-
точках значения вектора В, принимаемые
им в момент t. Тогда, согласно урав-
уравнению Максвелла (М',2), <§> Вп da = О,
С другой стороны,
§ Вп da = — $ Вп da.2 +
vit
+ J Вп dax + $ Bv da,
Рис-
где последний интеграл вычисляется по
боковой поверхности цилиндра, a v —
внешняя нормаль к этой поверхности. Разные знаки первых
двух слагаемых объясняются, разумеется, тем, что у нас п со-
сохраняет свое направление при движении контура, в примене-
применениях же теоремы Остроградского — Гаусса считается положи-
положительной внешняя нормаль. Из рис. 38 видно, что для боковой по-
поверхности можно записать v da — v dt X ds. Учитывая, что
В [v X ds] = —[v X B] ds, из предыдущего равенства полу-
получаем
Вп da2 —
ds dt.
Подставим этот результат в C5.4) и учтем C5.2) и C5.3). Тогда
(?' - Е) ds = ф [v х В] ds'. C5.3')

270 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ 8
Это равенство удовлетворяется соотношением C5.1). Член f© X В]
в выражении для Е' представляет с точки зрения лабораторной
системы отсчета не что иное, как силу Лоренца, действующую на
заряды, движущиеся в магнитном поле. Наблюдатель же, неподвиж-
неподвижно связанный со средой, измеряет вектор Е' «в целом», как э. д. с.
в контуре.
35.2. Перейдем к вопросу о связи между токами проводимости
в среде, измеряемыми в рассматриваемых двух системах отсчета.
Она выражается первой из формул G.18). В нашем нерелятивист-
нерелятивистском пределе, когда у» 1, получим J = j' + p'v (второе слагае-
слагаемое называется конвекционным током). Если среда, как мы пред-
предполагаем, нейтральна, т. е. р' = 0, то j = J'. Будем считать, что
в неподвижной среде выполняется закон Ома J'-—- оЕ'. Тогда из
предыдущих соображений и из формулы C5.1) следует, что в лабо-
лабораторной системе (т. е. для движущейся среды) закон Ома принимает
вид
/=ст (? + [©>< В]). C5.5)
Такие явления, как эффект Холла, мы здесь учитывать не будем.
С помощью C5.5) можно сформулировать условие, при котором
рассматриваемая жидкость является идеальным проводником. Оно
состоит в требовании, чтобы а -*- оо при конечной плотности тока/
Такое требование выполняется, если
? + [©хВ] = 0. C5.6)
При v = 0 это сводится просто к отсутствию электрического поля
внутри идеального проводника. При v Ф 0 условие C5.6). нетри-
нетривиально. Сточки зрения закона преобразования C5.1) оно означает
Е' = 0, т. е. отсутствие электродвижущей силы в движущемся
контуре. Другими словами, если Ф — магнитный поток сквозь
движущийся контур, то, как видно из C5.3), d&ldt = 0, если этот
контур движется вместе с бесконечно проводящей средой. Это равен-
равенство называется условием вмороженноспги магнитных силовых линий
в среду. Как видно из рассмотренного вывода закона индукции,
условие вмороженности означает, что всякое движение среды
увлекает за собой магнитные силовые линии. Другими словами,
если магнитная силовая линия в некоторый момент времени про-
проходит через определенный элемент среды, а он испытывает переме-
перемещение, то эта линия будет проходить через него и после перемеще-
перемещения. Ясно, что направление скорости перемещения элемента среды,
вообще говоря, не должно совпадать с направлением магнитных
силовых линий. Следует обратить внимание на то, что условие
вмороженности было получено для совершенно произвольного
контура, проходящего через частицы среды и движущегося вместе
с ними. Это необходимо упомянуть потому, что при заданной кон-
конфигурации магнитного поля могут существовать такие специально

§ 35] ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ 271
подобранные движущиеся контуры, что магнитный поток, проходя-
проходящий сквозь них, остается постоянным. Однако если условие вморо-
женности не выполняется, то всегда найдутся и такие контуры,
что соответствующий магнитный поток будет изменяться.
Можно получить также и запись условия вмороженности в диф-
дифференциальной форме. Из C5.3') с помощью теоремы Стокса и
уравнения rot ? = — дВ Idt, соответствующего формуле C5.2),
следует, что закон индукции для движущегося контура может быть
приведен к следующему виду:
rot?' = — ~ + rot[vxB\. C5.3")
Поэтому условие C5.6) равносильно равенству
C5.6')
В зависимости от удобства можно использовать как это уравнение,
так и исходное соотношение C5,6).
Обозначим через vx составляющую скорости v, ортогональную
полю В, для случая а -> оо. Из C5.6) видно, что
Такое движение жидкости со скоростью v^ называется ее электри-
электрическим дрейфом. Формула C5.7) совпадает с выражением для элек-
электрического дрейфа Ve (cm. стр. 207), полученным при изучении
движения заряженных частиц в электромагнитном поле.
35.3. В общем случае, когда электропроводность произвольна,
ясно, что движение проводящей жидкости должно определяться
совместно с действующими в ней полями. Действительно, основные
уравнения гидродинамики имеют в данном случае следующую
форму:
^ C5.8)
^ C5.9)
Здесь к — плотность массы жидкости. Первое из этих соотношений—
уравнение непрерывности. Второе же — уравнение движения, ос-
основная черта которого состоит в присутствии магнитной силы
J х В, действующей на токи, имеющиеся в жидкости. Член F опи-
описывает все прочие внешние силы, под влиянием которых совершается
движение, например,
F = — gradp + xg, ' C5.10)
где р — давление, a g" — ускорение силы тяжести. В правой части
C5,10) при необходимости могут быть учтены также и силы вязкости.

272 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ ~ [ГЛ. 8
Производная по времени в C5.9) — субстанциональная, т. е.
-^ = -ддТ + (v, grad). ¦ C5.11)
Именно наличие магнитного поля в правой части C5.9) связывает
это уравнение с уравнениями Максвелла. Так как в хорошем про-
проводнике ток смещения 3D Idt можно считать пренебрежимо малым,
уравнения Максвелла следует применять в виде
эр
rot Е + 4--f- - 0, rot В = ц/ C5.12)
При этом мы еще предполагаем, что в рассматриваемой среде
В = \iff и [х постоянна (во многих случаях ц ~ [х0). Таким обра-
образом, основными уравнениями магнитной гидродинамики следует
считать C5.8), C5.9) и C5.12). В общем случае они подлежат сов-
совместному решению при определенных граничных и начальных
условиях. Помимо этого, нужно иметь в виду закон Ома в форме
C5.5).
Из системы уравнений магнитной гидродинамики немедленно
вытекает наличие в жидком проводнике специфических эффектов,
которые называются магнитной диффузией, магнитной вязкостью
и магнитным давлением.
Явление магнитной диффузии характеризует поведение маг-
магнитного поля в движущемся проводнике. Для его рассмотрения
следует воспользоваться уравнениями C5.12) и C5.5). С их помощью
видно, что
М. = _ rot (о-1/- [v х В]) = — — rot rot- В + rot [v X В].
В декартовой системе координат rot rot В —- —ДВ, так как
div В = 0. Поэтому предыдущее уравнение принимает такую форму:
^ AB+mt[vxB]. C5.13)
В" частности, для наблюдателя, движущегося вместе с жидкостью,
т. е. при v = 0, уравнение C5.13) имеет вид обычного уравнения
диффузии (для каждой компоненты вектора В). Таким образом,
при конечных значениях электропроводности а величина магнитного
поля в каждой точке проводника убывает со временем. Этот эффект
можно себе наглядно представить как убывание со временем плот-
плотности магнитных силовых линий. Конкретный характер такой
диффузии может быть определен с помощью интегрирования ука-
указанного уравнения, если известна форма проводника, граничные
и начальные условия. Коэффициент ([ю)'1 играет роль, аналогич-
аналогичную коэффициенту диффузии. Если обозначить через / характерные
размеры проводника, то величина т ^ \ioP имеет размерность вре-
времени и характеризует время релаксации поля в данном проводнике.

« 35] ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ 273
При а -*¦ оо, но конечном ДВ диффузия практически отсутствует,
что соответствует рассмотренному выше условию вмороженности.
Обратимся теперь к уравнению движения жидкости C5.9). Если
представить скорость движения в виде суммы составляющих v =
= ©_!_ + ©к, где V\\ параллельна полю В, a ©j_ ортогональна ему,
то магнитная сила приводится к виду
где ©со — скорость электрического дрейфа для случая бесконечной
электропроводности, определяемая формулой C5.7). Таким обра-
образом, уравнение C5.9) может быть записано в виде системы
dv. dvn
к-—-^Ft + oB*(Vco-vJ, x-J-=F|,.
Отсюда видно, что в направлении, ортогональном полю, действует
сила трения, пропорциональная скорости движения и имеющая
чисто электромагнитное происхождение. Это явление, приводящее
к торможению течения, называется магнитной вязкостью жидкого
проводника.
Магнитные силы могут быть представлены также и в несколько
ином виде, если воспользоваться соотношениями C.11) и C.12)
между ними и магнитной частью тензора натя_жений Магсвелла,
а именно:
S (^) C5.14)
Отсюда
цГ/xBl -fi-i^-ifiA^, два в"
V[jXB\a-B дхЬ — дхЬ +-^В,
т. е., так как div В = О,
V- [/'X В] = (В grad) В -1 grad (В2). C5.15)
Если внешние силы неэлектромагнитного происхождения имеют
вид C5.10), причем можно еще подставить g = —grad yv, где
%—гравитационный потенциал, то, считая х = const, из C5.9) и
C5.15) получим уравнение движения
х Ж = - grad (р + рм + хх) + i (В grad) В. C5.16)
Величина
р^^В2=^г C5-17)
называется магнитным давлением. Смысл этого названия ясен из
уравнения C5.16), где величина ра входит в сумме с гидростатиче-
гидростатическим давлением р.

274 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ 8
Значение двух слагаемых в выражении C5.16) для объемной
магнитной силы можно уяснить из того факта, что поверхностные
силы, действующие на границу объема, определяются, согласно
§ 3, с помощью тензора натяжений C5.14) следующим образом:
Ф<- = ТЫ, = ~ В' (Вп) - ~ 5V. C5.18)
Такая сила <р, действующая на единичную площадку, складыва-
складывается из двух компонент: одна из них направлена по полю В, а дру-
другая — по нормали п. Этим компонентам и соответствуют слагае-
слагаемые объемной силы. Первая из них описывает, таким образом,
натяжения вдоль силовых линий, вторая же — силу, сжимающую
объем rro нормали к его поверхности (в предыдущей формуле п —
внешняя нормаль, а соответствующее слагаемое имеет знак минус),
т. е. силу давления.
Во многих случаях силы латяжения в C5.16) можно считать
достаточно малыми по сравнению с давлением и пренебрегать ими.
Тогда условие статического равновесия жидкости записывается
в виде
^ const.
Отсюда ясно, что гидростатическое давление р может быть ском-
скомпенсировано соответствующим выбором магнитного давления рм.
Другими словами, магнитное поле подходящей конфигурации
может быть, использовано для удержания жидкости в покое («маг-
(«магнитная бутылка»). Это явление называется пинч-эффектом. При
этом, однако, достигаемое равновесие неустойчиво по отношению
к случайным деформациям жидкости и легко разрушается ими *).
§ 36. Простейшие свойства ферромагнетиков
36.1. Макроскопическое описание магнитных свойств вещества
основано на соотношении A.17), которое устанавливает связь между
тремя характеристиками поля и среды: магнитной индукцией В,
магнитной напряженностью Н и намагниченностью М. В § 1 уже
говорилось, что намагниченность является функцией поля М (Н)
(при желании, аргументом этой функции можно считать В, я не Н).
Для линейных сред выполняется равенство A-26); намагниченность
в этих средах может поддерживаться лишь присутствием внешнего
поля Н и обращается в нуль вместе с последним. В случае %т <; О
намагниченность таких сред противоположна внешнему полю
(диамагнетизм), а при %т >> 0 она направлена вдоль внешнего поля"
*) Подробное изложение магнитной гидродинамики см., например, в книге:
Дж. Шерклиф, Курс магии гной гидродинамики, «Мир», 1967; о ее применениях
в астрофизике см. С. Б. Пикельнер, Основы космической электродинамики,
«Наука», 1966,

§ 36] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 275
(парамагнетизм). Диамагнитный эффект, в принципе, возникает
в любом веществе; он связан с возникновением молекулярных
токов, индуцируемых внешним полем, магнитные моменты-которых
направлены так, чтобы скомпенсировать это последнее (по правилу
Ленца). Парамагнетизм имеет место в тех случаях, когда частицы
вещества обладают собственными магнитными моментами, которые
ориентируются вдоль внешнего поля. Разумеется, этот эффект мо-
может быть наблюдаем лишь тогда, .когда он достаточно велик, чтобы
«перекрыть» влияние диамагнетизма.
В теоретическом объяснении магнитных свойств особенно
существенную роль играет применение квантовой механики. Так,
например, в силу так называемой теоремы Ван-Леевена — Терлец-
кого, в термодинамически равновесном состоянии магнитный, момент
любой классической системы движущихся зарядов, помещенных
в постоянное внешнее поле, равен нулю. В классической теории
магнетизма ненулевой результат (например, для намагничения диа-
и парамагнетиков) получается'поэтому лишь путем неявного учета
квантовотеоретических соображений *).
Что касается фейоменологических соотношений для линейных
магнитных сред, то они могут быть получены совершенно так же,
как в теории диэлектриков, рассмотренной в §§ 31 и 32. Нужно
лишь заменить в этих параграфах Е — на //, D — на Виг —
на [х. Неоднородность или анизотропию линейных магнитных сред
на практике приходится учитывать редко.
Природа нелинейных магнетиков также объясняется лишь на
основе квантовой теории. В конечном итоге она сводится к соб-
собственным (спиновым) моментам элементарных частиц (электронов,
ядер), которые упорядочиваются посредством специфически кван-
квантовых взаимодействий (обменных сил). Однако нужно изучать и те
закономерности, которые проявляются на макроскопическом уровне
при феноменологическом описании вещества.
Именно простейшие из этих закономерностей мы и рассмотрим
в настоящем параграфе. Из многих разновидностей нелинейных
магнетиков (ферромагнетики, антиферромагнетики, ферриты), мы
будем для определенности иметь в виду лишь ферромагнетики
(т. е. «постоянные магниты», у которых в упорядоченном состоя-
состоянии спиновые моменты электронов взаимно параллельны) и будем
рассматривать элементарные свойства порождаемого ими магнит-
магнитного поля.
Пусть ферромагнетик помещен в магнитное поле, создаваемое,
например, электрическими токами. Если вначале намагниченность
ферромагнетика равна нулю, а поле медленно увеличивать (уве-
(увеличивая силу электрического тока), то кривая В (//) в любой
*) См. обсуждение этого вопроса в монографии: С. В. Вонссвский, Магнетизм,
«Наука», 1971, § 4, гл. 5.

в
276 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ, 8
точке ферромагнетика имеет вид, показанный штриховой кривой
на рис. 39. Для намагничивания среды при этом производится
работа, численно равная части обозначенного на рис. 39 прямо-
прямоугольника, расположенной над кривой. Начнем теперь уменьшать
внешнее поле. Функция В (//) не только нелинейна, но и неодно-
неоднозначна, а именно, при уменьшении поля до нуля величина В
уменьшается не по прежней кри-
кривой, а по (сплошной) кривой, ле-
„ I жащей несколько выше. В резуль-
1 "^г тате при нулевом внешнем поле Н
вектор В отличен от нуля, т. е.
вещество обладает остаточной на-
намагниченностью М @). При даль-
нейшем изменении поля можно
получить остальную часть кри-
кривой, показанную на рис. 39 пунк-
пунктирной кривой. Изменение В от-
отстает от изменения Н; это явление
называется гистерезисом.
Рис. 39. При гистерезисе происходит
потеря энергии в виде тепла, кото-
которую можно подсчитать следующим образом. При изменении поля
от В1 до В над единицей объема ферромагнетика производится
работа
н
B - \ BdH.
Вычисление при изменении по гистерезиснои петле с возвращением
в точку Вг дает
W = — §BdH.
Это и есть потеря энергии на гистерезис в единице объема *).
При устранении внешнего поля в ферромагнетиках устанавли-
устанавливается распределение «остаточной намагниченности» Мо = М @).
Оно является источником магнитного поля в пространстве, окру-
окружающем ферромагнетик. Действительно, обратимся к уравнению
Максвелла (М.4'). При j = 0, ? = 0, Р — 0 оно принимает
*) Подобная показанной на рисунке «предельная» замкнутая кривая гисте-
гистерезиса получается, если при увеличении Н каждый раз намагничивать ферро-
ферромагнетик до насыщения. Если же намагнитить не до насыщения, то, уменьшая Н,
мы будем перемещаться по кривой, лежащей ниже предельной. В результате,
выбрав подходящий путь намагничивания, можно попасть в любую точку (Я, В),
лежащую внутри петли гистерезиса. Это значит, что зависимость В (Н) беско-
бесконечно многозначна, а получаемые значения В и М определяются предшествующей
«историей» данного образца.

§ 36] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ ¦ 277
вид rot В = [i0 rot ЦЛ0, если вся намагниченность сводится к Мо.
Правая часть этого уравнения играет роль источника по отноше-
отношению к полю В. Отсюда видно, что можно положить В — ^0М0 =
. = —Mo §га& ty< гДе 'Ф — скалярная функция пространственных
координат (знак и множитель выбраны из соображений удобства),
а при сравнении с A.17) видно, что //= —gradi|). Уравнение
для функции гр может быть получено с помощью уравнения (М.2),
которое после подстановки соотношения A.17) принимает вид
div// = — divM0. C6.1)
Таким образом, для функции гр получаем уравйение Пуассона
Ai|j = divAf0. C6.2)
Ясно, что совершенно аналогичный результат следует из урав-
уравнения Максвелла (М.4) при j = 0. Более того, мы уже рассма-
рассматривали его в § 12, но пришли к вы-
выводу, что введение скалярного маг-
магнитного потенциала гр для поля, по-
порождаемого токами, некорректно.
В данном случае, однако, возраже-
возражения, рассмотренные в § 12, непри-
неприменимы, если все магнитное поле
возникает за счет остаточной намаг-
намагниченности Мо.
Уравнение C6.2) формально сов-
совпадает с основным уравнением A1.1) Рис- 40'
для электростатического потенциала,
если ввести «плотность магнитного заряда» рт, определив ее
равенством
Ря, = —divAfo". C6.3)
Мы сейчас увидим, что понятие магнитного заряда все же лишено
физического смысла, как это и должно быть в соответствии с интер-
интерпретацией уравнений Максвелла, приведенной в § 1. Однако для
ферромагнетиков оно иногда полезно с формальной точки зрения.
Рассмотрим решение уравнения C6.2), обращая особое внима-
внимание на возможность наличия поверхностей разрыва поля намагни-
намагниченности. Например, внутри поверхности постоянного магнита,
помещенного в немагнитную среду, намагниченность отлична от
нуля, а вне ее — равна нулю. Пусть а' — замкнутая поверхность,
охватывающая объем Ух. Введем вспомогательную поверхность 2,
окружающую снаружи поверхность а', и обозначим через Уа объем,
находящийся между этими двумя поверхностями (рис. 40). Пред-
Предположим, что намагниченность изменяется скачкообразно при
переходе поверхности а'. Мы опустим в дальнейшем индекс 0 и
обозначим через Мг намагниченность вещества в объеме Уг и

278 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
через М2— в объеме У2. Нас интересует магнитный потенциал
в точке Р (она может быть взята как в объеме Vlt так и в объеме F2).
Для решения уравнения Пуассона с учетом поверхности разрыва а'.
можно применить формулу Грина (Б.28). При этом точку наблю-
наблюдения Р, как это и было в свое время сделано в § 11, нужно вна-
вначале окружить малой сферой, радиус которой- устремляется к нулю.
Поверхностный интеграл в формуле Грина (в которой функцию г|з
и ее градиент следует считать непрерывными) нужно при этом
разбить на четыре части, а именно интеграл по только что упомя-
нутой-малой сфере, интеграл по внешней поверхности 2 и интегралы
по внешней и внутренней (относительно объема Fx) сторонам поверх-
поверхности а'*). Считая интеграл по 2, как обычно, равным нулю
и оценивая интеграл по малой сфере точно так же, как это было
сделано в § 11, получим результат:
4лд|з (Р) =
J
C6.4)
Здесь а+ — внутренняя сторона поверхности а', а а~ — ее внеш-
внешняя сторона и соответственно г|з+ и г|г — значения магнитного
потенциала на каждой из этих сторон. Учтем теперь, что ^-- = — ^—
и обозначим ^—г=——. Кроме того, предположим, что сам маг-
магнитный потенциал остается непрерывным при переходе через
поверхность о'. Тогда предыдущее уравнение принимает вид
• Величину в квадратных скобках естественно назвать магнитным
поверхностным зарядом; обозначим его через Хт. Смысл этой вели-
величины более ясен, если вспомнить граничное условие для магнит-
магнитного поля, т. е.
(Я2-Я1)л = (М1-М2)л. . C6.6)
Таким образом, %т оказывается равной Mln — Min. Что же каса-
касается объемного-интеграла, то, вспоминая определение C6.3), можно
подынтегральную функцию привести к виду
= —div' (-=- +
R \R
*) Точнее, нужно ввести с внешней и внутренней стороны поверхности а'
близкие к ним вспомогательные поверхности и рассмотреть предельный переход,
когда эти последние неограниченно сближаются с а'. Наличие 0' заставляет
в формуле Грина учитывать вначале влияние в точке Р намагниченностей объемов
Vi и V2 в отдельности.

§ 36} ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 279
Первый член в правой части позволяет использовать теорему Ост-
Остроградского — Гаусса (причем вначале рассматривается весь объем
внутри поверхности 2, ибо роль поверхности разрыва уже учтена
выше). Если, как это обычно бывает, намагниченность на 2 по тем
или иным причинам равна нулю, то формула C6.5) получает сле-
следующий окончательный вид:
4т|) (Я) = J (М, grad' ~j dV + § М»-**'"> da'. C6.7)
Отсюда вытекает, что понятие магнитного заряда действи-
действительно исключается. Первый член формулы C6.7) может быть истол-
истолкован как поле, создаваемое системой диполей, распределенной
в пространстве с объемной плотностью М дипольного момента.
Именно этот магнитный момент и следует считать первичным поня-
понятием в теории "постоянных магнитов. Второй член описывает влия-
влияние поверхностной намагниченности.
36.2. Простой, но поучительный пример доставляет случай
цилиндрического постоянного магнита (внутри которого намагни-
намагниченность постоянна), помещенного в среду с нулевой намагничен-
намагниченностью (например, вакуум). Здесь удобнее для вычисления поля,
создаваемого магнитом, использовать формулу C6.5), в которой
объемный интеграл обращается в нуль (так как div' M = 0).
Будем считать также, что вектор М внутри магнита направлен
параллельно его оси, так что М1п = 0 на его боковой поверхности,
тогда остается лишь интеграл по основаниям цилиндра стг и а2,
так что
В этом простом примере величины М1п и М2п играют роль, анало-
аналогичную поверхностным зарядам разного знака, нанесенным на осно-
основания цилиндра. Другими словами, возникают «магнитные полюсы».
Феноменологически, таким образом, можно считать, что заряды
этих полюсов создают внутри магнита некоторое поле //о , направ-
направленное противоположно внешнему полю //внеш„ и намагничен-
намагниченности М. Поэтому //о называется размагничивающим полем.
Внутри магнита суммарное поле равно Н = #внешн + Яо • Если,
как часто бывает, имеет место пропорциональность //о =—vM
(v называется коэффициентом размагничивания), то Н — //внешн —
— vM. Если, кроме того, М = %#, то Н = A + уу)~х Явнеш11
и М = х A + Х^Г1 Явиешч =Хз Дзнешп- Здесь % определяется лишь
структурой вещества магнита и называется поэтому магнитной
восприимчивостью вещества, а %о (магнитная восприимчивость
тела) зависит еще и от коэффициента v, который в свою очередь
связан с геометрической формой магнита. Указанная терминология
обычно используется в теории магнетизма. Мы вернемся еще к ци-
цилиндрическому магниту с точки зрения теории Ампера (см. стр. 283).

2S0 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
Из C6.7) видно, что магнитное поле, создаваемое точечным
магнитным диполем, определяется скалярным потенциалом:
> C6.8)
где т — магнитный момент этого диполя. Именно
tf=4L grad(m, grad I). C6.9)
Эти равенства позволяют провести сравнение постоянных магнитов
и электрических токов в качестве источников магнитного поля.
Основой для этого сравнения служит теорема Ампера, утвержде-
утверждение которой состоит в том, что• магнитное поле кругового тока
на больших расстояниях от его контура совпадает с магнитным
полем диполя, если магнитный момент последнего определить по фор-
формуле A2.13) (в используемой здесь системе единиц а = 1).
Предположение о том, что измерение поля производится вдали
от контура с током, можно заменить предельным переходом к бес-
бесконечно малому контуру, когда площадь, охватываемая им, устрем-
устремляется к нулю, а /-*оо, причем так, что вектор т, определяе-
определяемый формулой A2.13),-остается конечным. В первом неисчезающем
приближении векторный потенциал магнитного поля тока имеет
вид A2.16). Отсюда следует, что
[i] C6.10)
Теорема Ампера будет доказана, если правые части двух пре-
предыдущих формул равны, т. е. если
— rot |mX grad -L] = grad[tn, grad -^. C6.11)
Преобразуем левую часть этого предполагаемого равенства по пра-
правилу (Б.20), а правую — по правилу (Б. 18), полагая в этих послед-
последних а = т и Ъ — grad -„-. Учитывая, что дифференциальные
операции в применении к постоянному вектору т дают нуль и,
кроме того, rot b — rot grad — == 0, можно видеть, что в нашем
к
случае соотношение (Б. 18) имеет вид grad (ab) = (a, grad) b, а соот-
соотношение (Б.20): rot la X b] = — (a, grad) b + a div&. Ho div b =
= Д-~ = 0, так как поле рассматривается при условии R =f= 0 *).
Таким образом, равенство C6.11) действительно выполняется,
и теорема Ампера доказана.
*) Выше мы предположили, что расстояние от контура с током велико,

§ 36] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 281
Теорема Ампера послужила поводом для введения гипотезы
Ампера о природе поля постоянных магнитов. В этой гипотезе
предполагается, что это поле представляет собой эффект «моле-
«молекулярных токов», имеющихся в микроструктуре этих сред. Она
сыграла выдающуюся роль в развитии физики ферромагнетизма.
Благодаря теореме Ампера можно в случае необходимости
заменять электрические токи, порождающие магнитостатическое
поле, эквивалентным распределением магнитного момента, и на-
наоборот. Так, например, если источником поля служит линейный
ток /, то рассмотрим произвольную поверхность, опирающуюся
на контур С этого тока и разобьем ее на элементарные достаточно
малые площадки (рис. 41). Пусть теперь
по контуру каждой из этих площадок
проходит ток силы / в том же направ-
направлении, что и ток по основному контуру.
Все такие токи в отрезках контуров эле-
элементарных площадок, лежащих внутри
основного контура, взаимно уничтожают-
уничтожаются и остается лишь первоначальный
ток. Вместе с тем в пределе, когда
элементарные площадки становятся бес-
бесконечно малыми, ток, протекающий во-
вокруг каждой из них, создает магнит- Рис 41.
ное поле, совпадающее с полем магнит-
магнитного диполя, -момент которого равен dm — In da. В пределе
поле тока, протекающего по контуру С, будет совпадать с полем,
которое создается распределением таких элементарных магнитных
диполей на поверхности, а от формы этой поверхности оно не за-
зависит. Плотность двойного слоя, состоящего из магнитных ди-
диполей, должна быть постоянной по абсолютной величине и рав-
равной dm Ida = т. Потенциал же, создаваемый таким двойным
слоем, равен
\[ i)^JdQ = -/Q. C6.12)
Здесь Q — телесный угол, под которым видна поверхность из
точки наблюдения с радиусом-вектором г. Заметим, что dQ, поло-
положителен, если слой виден со стороны «отрицательных магнитных
зарядов», где потенциал отрицателен.
Дополним поверхность а каким-либо образом до замкнутой
поверхности, предполагая, что на всей этой замкнутой поверх-
поверхности плотность магнитных диполей равна по-прежнему т. Тогда
полный телесный угол Q, под которым видна такая поверхность
из точки наблюдения, равен 4л, если эта последняя находится
внутри поверхности, и нулю, если она расположена вне поверх-

282 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
ности. Отсюда следует, что при переходе из внешней области во
внутреннюю потенциал испытывает скачок, равный i|;+ — яр_ = т
(в отличие от рассмотренного выше случая постоянных магнитов).
Если же возвратиться к незамкнутой поверхности, то при пере-
переходе через нее потенциал может быть представлен в виде суммы
гр + г|/, где ip' происходит от (воображаемого) распределения дипо-
диполей, нанесенного на произвольное дополнение этой поверхности
до замкнутой формы. По доказанному, вся сумма испытывает
скачок, равный т, но г|/ можно, в частности, положить равным
нулю (если диполи на дополнительной поверхности отсутствуют).
Итак, при переходе через любой двойной магнитный слой сг скаляр-
скалярный магнитный потенциал %р испытывает скачок, равный
4 i|j+-i|;_ = T = /. C6.13)
Мы возвращаемся к выводу о неоднозначности скалярного магнит-
магнитного потенциала для магнитного поля токов, полученному иным
способом в § 12 *).
Поле, создаваемое постоянным магнитом, можно на основании
той же теоремы Ампера вычислить и с помощью векторного потен-
потенциала:
$ [ ±] dV, C6.14)
=1г $ [
если намагниченность внутри этого магнита задается функцией
М (г'). С помощью формулы (Б. 14а) подынтегральное выражение
преобразуется таким образом:
I rot' M ii М
rot
Воспользуемся теперь формулой**)
\ §o. C6.15)
Тогда
Второй из этих интегралов вычисляется по поверхности намагни-
намагниченного тела. Объемный же интеграл можно интерпретировать
по аналогии с выражением для векторного потенциала токов, рас-
рассмотренным в § 14. Именно, rot'M естественно назвать плотностью
тока намагничения в объеме V (ср. конец § 34). Тогда и выраже-
, *) Ясно, что предыдущее рассуждение о скачке потенциала относится и
к двойному слою в электростатике.
**) О выводе этого соотношения см., например, Н. Е. Кочин, Векторное
нечисление и начало тензорного исчисления, ГОНТИ, 1938, § 16.

§ 36] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ v 283
ние М х п следует интерпретировать как плотность поверх-
поверхностных токов намагничения. Таким образом, поле постоянного
магнита моделируется полем распределения токов. Подчеркнем,
что такое моделирование не имеет непосредственного отношения
к микроскопической теории ферромагнетизма. Однако уравнение
Максвелла (М.4'), записанное в виде rot В = [х0 (rot М + j),
можно истолковать как выражение того факта, что индукция В
магнитного поля вызывается только токами, а именно током про-
проводимости j и током намагничения /н = rot M, причем послед-
последний связан с микроструктурой ферромагнетика (по упомянутой
выше гипотезе Ампера — с молекулярными токами) *).
Если ферромагнетик намагничен однородно, то все внутренние
токи взаимно компенсируются и магнитное поле вне такого ферро-
ферромагнетика можно считать порожденным поверхностными токами.
Пример: рассмотренный выше цилиндр, намагниченный по направ-
направлению его оси. Поле такого магнита совпадает с полем соленоида,
витки которого лежат на поверхности цилиндра в плоскостях,
перпендикулярных оси. Отсюда ясно, что поле, как мы это и видели
выше, должно определяться концами цилиндрического магнита. -
Описывать это поле вне магнита можно и как порожденное «маг-
«магнитными зарядами» (ср. выше),^и с помощью векторного потенциала,
а именно, второго слагаемого в уравнении C6.16). Намагничен-
Намагниченность М отлична от нуля только внутри магнита и на его поверх-
поверхности. Поэтому вне магнита векторы (Vfx) В и Н совпадают. Внутри
магнита векторы . В и Н направлены взаимно противоположно,
так как первый из них имеет нормальную составляющую к поверх-
поверхности, непрерывную при переходе через границу ферромагнетика,
второй же описывается силовыми линиями, направленными как
вне, так и внутри магнита от положительных «магнитных зарядов»
к отрицательным.
Отметим, что в линейных изотропных средах для магнитной
индукции выполняется система уравнений
§ = I, divfi = 0, B
Она формально аналогична уравнениям постоянного тока при нали-
наличии сторонней электродвижущей силы Ш, рассмотренным в § 34:
§ = %, div/=0, /=ст?.
В этом последнем случае проводник характеризуется сопротивле-
нием К= \ д Д2 , где интеграл вычисляется по контуру данного
проводника. Указанная аналогия позволяет ввести понятие «маг-
«магнитной цепи», где полному электрическому току I = \ jnd% анало-
*) Поэтому Ун = rot M называют плотностью тока «связанных» зарядов,
входящих в микроструктуру вещества.

284 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
гичен магнитный поток Ф — ^Bnda. Так же, как в теории элек-
электрических токов было выведено равенство / = S/R, выражающее
закон Ома, для магнитного потока получается уравнение Ф = IIRm,
причем «магнитное сопротивление» среды равно «„,= \ —ду~.
где интеграл вычисляется по участку. среды с поперечным сече-
сечением АЕ. Это уравнение для магнитного потока позволяет вычис-
вычислять распределение магнитного поля в среде. Получаемое при этом
решение может быть, однако, только приближенным, ибо гранич-
граничные условия в задаче о распределении токов обычно отличаются
от граничных условий задачи о магнитном поле. Тем не менее этот
способ часто может быть использован при решении технических
проблем.
36.3. Рассмотрим некоторые энергетические свойства сред
в магнитном поле. Будем считать, что источниками этого послед-
последнего служат электрические токи. Пусть сначала некоторый объем
V заполнен веществом, обладающим линейными магнитными свой-
свойствами, так что индукция и напряженность магнитного поля
связаны соотношением Bt = \x-t Hv При этом магнитная проницае-
проницаемость может быть функцией точки, другими словами, однород-
однородность вещества не предполагается. Энергия магнитного поля в рас-
сматриваемом объеме равна, разумеется, Wx=-^- \ H1B1dV. Пусть
теперь источники поля выключаются *) и внутрь объема V вносится
тело объемом Vx < V, так что V = Vx + V2. Относительно веще-
вещества, из которого состоит это тело, уже не делается предположе-
предположения о линейности, но можно считать, что в объеме Vt известна
функциональная зависимость Н (В), т. е. закон, по которому
происходит намагничивание. Для определенности предположим,
что первоначально намагниченность в объеме Vx равна нулю.
Теперь восстановим первоначальную силу источников магнитного
поля (т. е. силу тока). При этом тело Vx намагничивается. В резуль-
результате магнитная индукция в объеме V будет иной, чем раньше.
Обозначим ее через В. Подчеркнем, что часть V2 объема V остается
заполненной прежним веществом.
Для включения прежних источников нужно произвести работу,
равную
в в
Ц72= J dV [ndB=Y \ HBdV+ ^ dV \ HdB. C6.17)
Vt+Vi О V2 Vt О
В первом слагаемом (интеграле по объему V2) использована, разу-
разумеется линейность среды, заполняющей этот объем. Разность
*) Это обычно можно считать «мысленным экспериментом», позволяющим
вычислить интересующую нас здесь физическую величину — энергию магнетика
в заданном поле,

§ 36] ПРОСТЕЙШИЕ_ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 285
вычисленных энергий:
C6.18)
В объеме V2 В = щ //. Поэтому первое слагаемое приводится
к виду j \ (Н— Нг) (В4- Вг) dV'. По предположению об одинако-
" v,
вости начального и конечного распределения токов rot (И — Нг) = 0.
Кроме того, div (В + Вх) = 0.
Привлечем теперь граничные условия на границе объема Ух:
\ (H-HjT^iH-Hjr. C6.19)
Во втором из них предполагается, что поверхностные токи на этой
границе отсутствуют. Из указанного равенства ротора нулю сле-
следует, что можно положить Н — //i — —grad ip. Обозначим, кроме
тог."), В + Вг = Q. При интегрировании как по объему ]/ъ так
и по объему V2 выполняется соотношение
$ (grad гр, Q)dV= \div (tyQ)dV-]tydiv QdV =
Отсюда следует, что
$ (grad^, Q)dV = \yQ<?do-\WnvdG = 0. C6.20)
Vt + V, a a
Равенство нулю вытекает из первого соотношения C6.19) *), Мы
доказали, таким образом, что
vt+v3
т. е.
(Н- HJiB + BJ dV = - ~ § (Н- Щ (B + BJ dV. C6.21)
Значение полученной формулы состоит в том, что с ее помощью
интегрирование в C6.18) сводится только к объему тела Vv Именно:
в
W=~ J (HtB-HBi-HB + 2 [ H4B)dV. C6.22)
v, о
Мы получили выражение для энергии намагничения тела в объеме Vv
*) При этом, разумеется, считаем поверхностный интеграл по внешней
границе объема V равным нулю, например, удаляя ее на бесконечность.

286 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ ГЛ 8
В том частном случае, когда внесенное тело тоже линейно
по своим магнитным свойствам, как и окружающая его среда, а имен-
именно, В = \i2 H, предыдущая формула приводится к виду
W=4 J (Н.В-НВ,) dV = { J (щ,-|ах) Л/МУ.
Если ввести индуцированное внешним полем намагничение обыч-
обычной формулой В = ц0 (Н + Ж), то М = (|Vm<o — \) Н = A/цо —
— 1/ц2) 5. Наконец, если окружающая- среда — вакуум, так что
Ц! = Ц0, ТО
№ = -} Aftfi dV. C6.23)
V,
Эту формулу можно сравнить с выражением C1.23) в электростати-
электростатике; отметим, однако, что знак здесь противоположный.
Если тело, занимающее объем Vu уже намагничено, то вычис-
вычисление его энергии в магнитном поле становится затруднительным
и мы заниматься им не будем *).
§ 37. Феноменологическое описание
сверхпроводимости
37.1. Объяснение явления сверхпроводимости (открытого Кам-
мерлинг — Оннесом в 1911 г. и наблюдаемого при температурах,
близких к абсолютному нулю у целого ряда веществ) может быть
достигнуто лишь с помощью современных методов квантовой тео-
теории поля. Однако некоторые существенные черты этого явления
поддаются феноменологическому описанию с помощью дополни-
дополнительных условий к уравнениям Максвелла. Более того, именно эти
условия (уравнения Лондонов) послужили важной руководящей
идеей при-разработке современной теории **).
Как видно из самого названия, явление состоит в падении
электрического сопротивления при достаточно низкой температуре
(в пределах ошибок современных весьма точных измерений сопро-
сопротивление становится равным нулю). Переход в сверхпроводящее
состояние представляет собой фазовое превращение вещества.
Весьма своеобразно поведение сверхпроводников в магнитном
поле. По магнитным свойствам принято разделять их на два класса—
сверхпроводники I рода (обычно это — химические элементы) и
II рода (обычно — сплавы). Сверхпроводники первого рода обла-
обладают тем замечательным свойством, что они являются идеальными
диамагнетиками". Именно, внутри такого сверхпроводника, находя-
*) См., например, Дж. А. Стрэттон, Теория электромагнетизма, Гостех-
издат, 1948.
**) Сведения об этой теории можно найти, например, в книгах: А. Роуз-Инс
и Е. Родерик, Введение в физику сверхпроводимости, «Мир», 1972, а также
В, Буккель, Сверхпроводимость, «Мир», 1975,

§ 371 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ - 287
щегося во внешнем магнитном поле, магнитный поток полностью
равен нулю (эффект Мейсснера — магнитное поле выталкивается
из сверхпроводника). При этом, однако, внешнее поле не должно
превышать определенного критического значения, так как в против-
противном случае переход в сверхпроводящее состояние просто не осу-
осуществится (достаточно сильное магнитное поле как бы разрушает
это состояние). Свойства сверхпроводников II рода несколько
иные, и мы условимся в дальнейшем говорить только о сверхпро-
сверхпроводниках I рода, причем будем иметь в виду образцы достаточно
большого размера (для малых образцов приводимые ниже сведения,
опять-таки нуждаются в существенных изменениях).
Упомянутое свойство идеального диамагнетизма отличает ве-
вещество, находящееся в сверхпроводящем состоянии, от «идеаль-
«идеального проводника» (ср. § 35), когда электрическое сопротивление
стремится к нулю, но магнитные силовые линии становятся «вмо-
«вмороженными». Следует рассмотреть этот вопрос подробнее.
Возьмем сначала идеальный проводник. Условие вмороженности
C5.6') при v = 0 принимает вид dB/dt = 0. Другими словами,
распределение магнитного поля внутри идеального проводника
не может изменяться. Предположим, что изучаемое вещество
становится идеальным проводником при температурах Т, более
низких, чем определенная критическая температура 7кр. При
Т > Т,ф электропроводность конечна. Сравним теперь две различ-
различные постановки эксперимента с внешним магнитным полем. Пусть
сначала поле В отсутствует при Т >Ткр. Произведем охлажде-
охлаждение исследуемого образца до температуры Т < 7кр и затем вклю-
включим магнитное поле. Из условия вмороженности следует, что при
этом внутри идеального проводника должно по-прежнему выпол-
выполняться равенство В = 0. Представим себе теперь, напротив, что
поле В включено при Т > 7кр. Исследуемое вещество выше тем-
температуры 7кр является обычно линейным магнетиком; более того,
часто можно считать, что ц ~ [i0. Поэтому в объеме вещества
создается распределение магнитного поля, вполне определяемое
внешними источниками. Охладим вещество ниже температуры
фазового перехода. Если оно становится при этом идеальным про-
проводником, то распределение магнитного поля внутри него не изме-
изменится. Более того, если внешнее магнитное поле теперь выключить,
то и после этого в силу условия dB/dt = 0 внутри идеального про-
проводника поле будет оставаться тем же самым. Такое поведение
идеального проводника во внешнем магнитном поле объясняется
возможностью возникновения в нем индуцированных токов, магнит-
магнитное поле которых полностью компенсирует влияние изменений внеш-
внешнего поля.
Сверхпроводники ведут себя как идеальные проводники в пер-
первом из рассмотренных выше случаев. Однако во втором экспе-
эксперименте их поведение прямо противоположно; если до.фазового

288 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
перехода поле в среде было отлично от нуля, то после перехода среды
в сверхпроводящее состояние поле в ней исчезает. В этом и состоит
упомянутый выше эффект Мейсснера. Можно считать, что на поверх-
поверхности сверхпроводящего образца возникают поверхностные токи,
экранирующие его внутреннюю область от внешнего магнитного
поля. То же самое явление можно описать как возникновение
внутри образца отрицательного намагничения М = — Не, если
Не — внешнее магнитное поле (ср. предыдущий параграф).
37.2. С феноменологической точки зрения для описания сверх-
сверхпроводимости вводится представление о том, что в сверхпровод-
сверхпроводнике электроны разделяются на два типа — «нормальные» (кото-
(которые ведут себя так же, как в обычном металле, рассеиваются и испы-
испытывают сопротивление) и «сверхпроводящие», которые проходят
сквозь металл без сопротивления («двухжидкостная» модель). Ниже
температуры сверхпроводящего фазового перехода в случае, когда
приложенное напряжение постоянно, весь ток переносится «сверх-
«сверхпроводящими» электронами. Величина тока, разумеется, остается
конечной, несмотря на нулевое сопротивление (она ограничена
внутренним сопротивлением источника, например батареи). Однако
если температура не равна в точности О °К, то некоторая доля элек-
электронов остается в нормальном состоянии. Это сказывается в пере-
переменном поле: под действием его часть тока переносится и нормаль-
нормальными электронами. Выше температуры перехода все электроны
переходят в нормальное состояние. Заметим, что при постоянном
напряжении внутри сверхпроводника должно отсутствовать элек-
электрическое поле, так как иначе сверхпроводящие электроны уско-
ускорялись бы и ток неограниченно возрастал. Но если электрического
поля нет, то ток нормальных электронов, остающихся еще в сверх-
сверхпроводнике, отсутствует, так как. ничто не приводит их в движение.
Итак, для плотности тока запишем равенство
C7.1)
Здесь jn — плотность тока нормальных электронов, причем,/,, =
== а' Е, где а' — электропроводность, обусловленная такими элек-
электронами. Основной интерес для нас здесь представляет сверх-
сверхпроводящая компонента плотности тока Js, a /„ мы вообще рас-
рассматривать не будем. Так как сверхпроводящие электроны сопро-
сопротивления не испытывают, то в присутствии электрического поля Е
каждый из них равномерно ускоряется согласно уравнению дви-
движения
mi)s = eE. C7.2)
С другой стороны, js = nsevs, где ns — число сверхпроводящих
электронов в единице объема. Из C7.2) видно, что

§ 37] СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 289
Будем считать, что сверхпроводник не обладает ферромагнитными
свойствами и что поле достаточно медленно изменяется, чтобы можно
было пренебречь током смещения. Тогда уравнения Максвелла
можно использовать в виде
rotE rot ?P = mJ,. C7.4)
С помощью C7.3) получим
дВ _ т r
Ж ^r
и, далее,
dB/dt = — a rot rot В,
где а == ml (^п^2). Наконец, преобразуя, как обычно, rot rot
в декартовых координатах и учитывая, что div В = 0, приходим
к уравнению г
АВ=-В. C7.6)
|
я?
I
а
Оно показывает, что при углублении в сверх- Ве
проводник В экспоненциально убывает.
Как было упомянуто выше, отличитель-
отличительное свойство сверхпроводника состоит в его
диамагнитности, т. е. в отсутствии внутри
него магнитного потока. Но из C7.6) следует
лишь, что достаточно далеко от поверхности Рис. 42.
сверхпроводника внутри него имеет место
равенство В — 0 (для того чтобы в этом убедиться, достаточно
рассмотреть конфигурацию, изображенную на рис. 42, причем
решение уравнения C7.6) имеет вид B(x) = Bee~xIVa). Нужно,
однако, чтобы выполнялось равенство 5 = 0.
Основное предположение теории Ф. и Г. Лондонов A935 г.)
состоит в том, что поле в сверхпроводнике удовлетворяет не только
уравнению C7.6), но и уравнению
Из этого уравнения в ситуации, изображенной на рис. 42, следует
• В(х) = В,ег*№*. C7.8)
Формулу C7.7) можно получить совершенно так же, как была
получена формула C7.6), если заменить всюду в выводе В на В.
В частности, вместо C7.5) нужно использовать соотношение
В = — p,0arot/s. ¦ C7.9)
10 Ю. В. Новожилов, Ю. А. Япиа

290 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 8
Уравнения C7.9) и C7.3) называются уравнениями Лондонов. Они
могут быть использованы для вычисления распределения магнит-
магнитного ноля в сверхпроводящем образце, причем именно C7.9)
описывает свойство идеального диамагнетика.
На глубине х = У а. внутри сверхпроводника поле убывает
в е раз. Эта величина называется лондоновской глубиной проник- '
новения магнитного поля Кл, т. е.
^Т- <37Л0>
Из второго уравнения C7.4) можно получить распределение тока
в сверхпроводнике. Для случая, представленного на рис. 42, полу-
получим —дВ/дх = [iQjy и из C7.8)
Таким образом, ток присутствует лишь в поверхностном слое,
ограниченном глубиной проникновения.
Предсказания, полученные на основе уравнений Лондонов,
качественно справедливы. Из самого их вывода ясно, что эти урав-
уравнения необходимо рассматривать как дополнительные условия,
добавляемые к уравнениям Максвелла для описания сверхпрово-
сверхпроводящих токов. Сами же уравнения Максвелла остаются по-прежнему
справедливыми и в этом случае.
37^3. Одно из замечательных следствий теории сверхпроводи-
сверхпроводимости, подтвержденное экспериментально, — это квантование маг-
магнитного потока, проходящего в несверхпроводящей среде, окружен-
окруженной кольцам сверхпроводника. Как видно из самого названия этого
эффекта, его объяснение требует применения квантовой теории.
Однако для элементарного описания достаточно будет лишь при-
применить условие квантования Бора — Зоммерфельда, известное
читателю из курса атомной физики. Как мы видели выше, сверх-
сверхпроводящие токи имеются в поверхностном слое глубины кл сверх-
сверхпроводящего кольца; на эту же глубину проникает внутрь кольца
и внешнее магнитное поле. Рассмотрим замкнутый контур, про-
проведенный в этом слое кольца и охватывающий его отверстие. Дви-
Движение зарядов, образующих ток, происходит под действием внеш-
внешнего магнитного поля. Его можно описать с помощью нереляти-
нерелятивистской функции Гамильтона, введенной в конце § 8. Условие кван-
квантования применим к импульсу заряда, проинтегрированному по
упомянутому контуру (аналогично тому, как оно используется в тео-
теории атома для электрона, движущегося по замкнутой орбите).
Именно
§nds = nh, C7 12)

§ 371 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 291
где п — произвольное целое число, a h — постоянная Планка.
В § 8 показано, что я = tnv -f- qA (здесь используется Между-
Международная система единиц). Подставим это равенство в C7.12)
и учтем определение сверхпроводящего тока, следующее непо-
непосредственно за уравнением C7.2) (при этом v = vs и обозначе-
обозначение е мы заменим на q по причине, которая будет объяснена ниже).
Кроме того, воспользуемся равенством
§ A ds = \Bn do,
полученным в § 33. Тогда условие квантования C7.12) примет вид
+ф=т- C7ЛЗ)
Величина Ф в левой части этого уравнения — обычный магнитный -
поток, проходящий сквозь рассматриваемый контур. В целом же
левая часть C7.13) определяет величину, квантованную условием
Бора — Зоммерфельда; эта величина называется флюксоидом. Если
теперь переместить контур интегрирования достаточно глубоко
внутрь кольца, то часть флюксоида, определяемая током у, обра-
обратится в нуль и уравнение C7.13) будет условием квантования
магнитного потока Ф, проходящего сквозь отверстие в кольце:
ф == пФ0. Квант магнитного потока Фо — hlq называется флюксо-
ном. Еще в 1950 г. квантование магнитного потока в рассматри-
рассматриваемых условиях предсказано Ф. Лондоном. В 1961 г. было получено
экспериментальное подтверждение (см. книги, цитируемые выше).
Измерения флюксона показывают, что его значение соответствует
q = 2е (здесь е — заряд электрона), т. е. Фо = h/2e = 2,07 -105 Вб.
Таким образом, сверхпроводящий ток связан с движением частиц,
обладающих удвоенным зарядом электрона.
К тому времени, как был измерен флюксон, уже существовала
несравненно более глубокая, чем у Лондона, квантовая теория
сверхпроводимости, основные идеи которой были развиты почти
одновременно (в конце 50-х годов) Бардином, Купером и Шриффе-
ром в США и Н. Н. Боголюбовым с сотрудйиками в СССР *). Эта
теория связывает явление сверхпроводимости со свойствами кол-
коллектива электронных пар, образующегося в сверхпроводнике.
Силы взаимодействия, связывающие между собой электроны, со-
составляющие каждую такую пару, не могут быть объяснены класси-
классической физикой.
Возвратимся к элементарной теории сверхпроводимости, а
именно, к выводу уравнения Ф = пФ0. Смысл этого уравнения
*) Элементарные сведения об этой теории см. в цитируемых на стр. 286 кни-
книгах. Подробное изложение — в книге: Дж. Шриффер, Теория сверхпроводимости,
«Наука», 1970. Выдающуюся роль в ее создании сыграла работа: Н. Я. Боголю-
Боголюбов, В. В. Толмачев и Д. В. Ширков, Новый метод в теории сверхпроводимости,
Изд-во АН СССР, 1958,
10*

292 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ ГГЛ 8
может показаться не совсем понятным, так как оно получено при
использовании контура, проведенного в такой области сверхпро-
сверхпроводника, где и токи, и магнитное поле обращаются в нуль. Маг-
Магнитный же поток был получен, как мы видели, с помощью преобра-
преобразования интеграла фЛ ds, взятого по этому контуру. Таким обра-
образом, следует считать, что функция А (г) в точках контура не равна
тождественно нулю, в то время как поле В на самом этом контуре
равно нулю. Из связи В — rot А между полем и потенциалом
видно, что это может быть, если потенциал выражается как гра-
градиент: А = grad ?, где ?, вообще говоря, — произвольная скаляр-
скалярная функция. Обозначим X=qr?- Тогда уравнение Ф = пФ0
выражает условие, чтобы полное изменение функции х при обходе
замкнутого контура в сверхпроводнике было равно 2лл. Функ-
Функция х называется фазой электронной пары, являющейся носите-
носителем тока сверхпроводимости. На самом деле она непосредственно
связана с фазой волновой функции, описывающей эту' пару с точки
зрения квантовой теории. Мы возвращаемся, таким образом, к усло-
условию квантования Бора — Зоммерфельда, которое, как доказыва-
доказывается в волновой механике, применимо как раз тогда, когда на зам-
замкнутой орбите «укладывается» целое число волн вероятности,
описывающих частицу.

Глава 9
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
§ 38. Электромагнитные волны в проводниках.
Волновод и резонатор
38.1. Распространение электромагнитного поля в однородной
проводящей среде рассмотрим, предполагая линейность среды,
т. е. выполнение соотношений В = \iH, D = &Е, j = аЕ,
так что уравнения Максвелла примут вид
rot/7-e^ = a?, rot? + ц-^- = 0, div ?=0, div/7=0. C8.1)
Отсюда обычным путем можно получить, например, для поля Е
АЕ^ря-^ + ра-^-. C8.2)
Решение этого уравнения будем искать в виде Е = Eoe~ia>t, так
что производную по времени в C8.2) можно заменить умножением
на —ш. Тогда C8.2) записывается в виде уравнения Гельмгольца
C8.3)
где
^f ") C8.4)
Если ввести «комплексную диэлектрическую проницаемость»
!-, C8.5)
то тем самым достигается формальная аналогия с задачей о рас-
распространении электромагнитного поля в диэлектрике. Естественно
поэтому ввести комплексные величины:
=, «Sf = l^ = ^, C8.6)
V Ц8 V
где п — комплексный показатель преломления. Запишем:
п = пA+Ы). C8.7)
Величина и называется коэффициентом экстинкции (затухания).
Тогда, с одной стороны, л2 = п2 A + 2Ы — и2), а с другой, из

294 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
C8.6): п2 = [ie — ц (е -f- icr/co). Отсюда пг A — х2) = \хе и «ах =
= |ш/2со. Исключая х, получим
Важно иметь в виду, что величины е, a, ц, входящие в предыдущие
формулы, различны для различных частот со и отличаются от соот-
соответствующих статических величин, характеризующих свойства
вещества в постоянных полях. Изучение их функциональной зави-
зависимости от со и ее физических проявлений относится к теории
дисперсии, на которой мы остановимся в следующем параграфе.
В соответствии с полученными результатами уравнение C8.3)
имеет решение в виде плоской волны
Е = Ео exp {i [k (rs) - со*]}, C8.9)
т. е., согласно C8.6) и C8.7):
Е = Ео ехр [- -у пк (rs)] ¦ exp {too [? (rs) - /]}. C8.10)
Таким образом, коэффициент х действительно определяет экспо-
экспоненциальное затухание электромагнитной волны в проводнике.
Представляет интерес изучить плотность W энергии волны,
для вычисления которой следует усреднить по времени Е2. Резуль-
Результат имеет вид
-x(rs)]. C8.11)
Здесь х — постоянный коэффициент поглощения:
Х=^лх = -4^х, C8.12)
причем к — длина волны в среде. Поэтому плотность энергии
уменьшается в е раз на глубине d = X = ^/4лх. Мы получаем
явление, аналогичное описанному в начале § 34 (и названное там
скин -эффектом).
Вспоминая сказанное выше о зависимости характеристик
вещества от частоты проходящего через него излучения, легко
понять, что одно и то же вещество может считаться хорошим про-
проводником в одном диапазоне частот и плохим — в другом. Запишем
формулу C8.4) в виде
? = а+;р. C8.13)
Тогда
Плохой проводник естественно охарактеризовать неравенством
о
— <^ 1. Тогда с точностью до членов первого порядка по этому
cog

§ 38] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПРОВОДНИКАХ 295
малому параметру:
?^1/]? и+ yj/-J-от. C8.15)
В этих вычислениях а считается вещественной величиной. Если
она не зависит от со, то и затухание волны не зависит от со (разу-
(разумеется, в том диапазоне частот, где достаточно хорошо выполня-
выполняется указанное выше неравенство). С другой стороны, для хорошего
проводника нужно считать, что — ^ 1, так что малым параметром
служит сое/а. При этом
k . C3.16)
Для поперечных полей в проводящей среде из второго ротор-
роторного уравнения C8.1) получим
Я = - -k'xU, C8.17)
если оба поля изменяются так, как это указано в формуле C8.9).
Обозначая Но амплитуду магнитного поля, имеем соотношение
Поэтому фазы полей //и Ев проводящей среде различны. Если,
как обычно, определить модуль \k\ = (а2 + р2I/2 и фазу <р =
о
= arctg^-, то отсюда непосредственно вытекает, что
Если среда — хороший проводник, то энергия в основном сосредо-
сосредоточена в магнитном поле, причем магнитное поле отстает от электри-
электрического по фазе почти на 45°. Предоставляем в качестве упражне-
упражнения читателю подробную проверку этих последних утверждений.
38.2. Обратимся теперь к свойствам излучения, которое заклю-
заключено в объем, ограниченный хорошо проводящими стенками. Мы
ограничимся здесь простейшими сведениями об этих свойствах *),
причем будем считать, что вещество стенок является идеальным про-
проводником, т. е. что а ->- оо. Из C8.5) видно, что формально это
значит е-»-too. Для монохроматического излучения уравнения
Максвелла принимают вид
rot E=ik[iH. C8.18)
*) См. книги, указанные на стр. 127, в особенности книгу Л. А. Вайнштейна,
которой мы близко следуем в дальнейшем изложении,

295 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ПОЛЕ [ГЛ. 9
Поэтому предельный переход е -> i oo возможен лишь в предполо-
предположении ? = 0. Но тогда из второго уравнения C8.18) следует,
что и Н з= 0. Итак, внутри идеального проводника электромаг-
электромагнитное поле тождественно обращается в нуль. Заметим, что токи
на поверхности такого проводника могут существовать; более
того, поверхностные токи вообще возможны, лишь если проводник
идеальный. Это легко видеть из закона Ома j = аЕ: плотность
тока, отнесенная к единице длины, может быть не равна нулю
лишь при а ->- оо. Таким образом, непосредственно под поверх-
поверхностью идеального проводника (внутри него) Et = 0, Ht = 0,
а из граничных условий D.14) видно, что непосредственно над его
поверхностью
Et = 0, nxfi=i. C8.19)
Здесь в виде п х Н записана тангенциальная составляющая век-
вектора Н, п — внешняя нормаль к поверхности проводника, а / —
поверхностная плотность тока.
Разумеется, реальные проводящие стенки всегда отличаются
по своим свойствам от этого идеального случая, причем это отли-
отличие обусловлено тем, что в реальных средах происходят потери
энергии на джоулево тепло в скин-слое. Эти потери тем больше,
чем меньше толщина последнего.
Полость, ограниченная стенками со всех сторон, называется
резонатором (или эндовибратором). Если же полость имеет форму
цилиндра произвольного сечения, бесконечного или же с открытыми
основаниями, то в этом случае она называется волноводом. Рас-
Рассмотрим прежде всего именно волноводы.
Характерным свойством волноводов является то, что в них
могут существовать бегущие волны, обладающие продольными со-
составляющими векторов Е и Н. Если магнитное поле волны пол-
полностью поперечно, а вектор Е имеет продольную составляющую,
то такая волна называется электрической или ?-волной (часто вместо
этого говорят о волне типа ТМ). Если же, напротив, полностью
поперечно электрическое поле, а продольная составляющая имеется
у вектора Н, то волна называется магнитной или Я-волной (или же
волной типа ТЕ).
Покажем, что волны этих двух типов действительно могут
существовать (т. е., в частности, удовлетворять указанным выше
граничным условиям).
Пусть ось декартовых координат г направлена вдоль оси вол-
волновода. Тогда для ?-волн должно быть Ег ф 0 и Нг = 0, а для
Я-волн, напротив, Ez — 0 и Нг у^0.
- Волну электрического типа можно определить с помощью элек-
электрического вектора Герца П (см. конец § 2), который в области,
где отсутствуют источники, позволяет записать (для монохромати-

§ 38] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПРОВОДНИКАХ 297
ческого поля) А = —ikH, ц> = —div П, так что
C8.20)
C8.21)
Возьмем вектор Герца в виде
Пл = 0, Пу = 0, Пг = П(х, у)е"иг, C8.22)
где П (х, у) — пока неопределенная функция. Тогда г-компонента
уравнения C8.21) имеет форму двумерного уравнения Гельмгольца:
Из формул C8.20) получим
X I дх > у '' ду ' г ¦*¦ ' V • /
Нх — ik^-eCk^z, H =ik^-eik^z, Hz = 0. C8.24')
Таким образом, мы действительно получили волну электрического
типа. Покажем теперь, что можно удовлетворить также и гранич-
граничное условие Е( = 0 на стенке волновода. Обозначим через С кон-
контур, образованный пересечением плоскости, ортогональной к оси
волновода с его стенками. Потребуем, чтобы выполнялось равен-
равенство П = 0 на контуре С. Из третьей формулы C8.24) сразу видно,
что тогда Ez = 0 на стенке волновода. Если же S — направле-
г, п дх , „ ду
ние касательной к этому контуру, то из bs — hx-~—\-Ьу-ч- =
= iky -j-e'kuz следует Es = 0.
Ввиду того, что Нг = 0, магнитные силовые линии в этом слу-
случае являются плоскими кривыми. Математическое исследование
уравнения C8.23) показывает, что оно имеет решение лишь при
определенных значениях параметра k\_, которое можно упорядо-
упорядочить по их величине: k\t ^ k2^^... (имеется дискретный спектр
собственных значений). Каждому такому k\i соответствуют два
возможных значения k\\ и своя функция П (х, у) (собственная
функция) *). Значения Щ могут быть и положительными, и отри-
отрицательными. В первом случае k\\ =± Уk2 — k\ — вещественное
число; при этом волна распространяется вдоль волновода без зату-
затухания. Во втором &ц = ± i]/&i —k2 и волна затухает. При этом
*) Спектр величин k2j^{ зависит от геометрии волновода, точнее, от формы
сечения волновода плоскостями г = const.

298 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
свойства таких волн напоминают квазистационарные поля в ближ-
ближней зоне излучателя (ср. § 17) и затухание их не связано с потерями
энергии.
Для определения волн магнитного типа можно воспользоваться
формулами § 2, с помощью которых был введен магнитный вектор
Герца П *. С его помощью электромагнитное поле определенной
частоты вычисляется по формулам
?=iJferotn*, /7 = graddivII*+?2II*. C8.25)
При этом
* = 0. C8.26)
Если выбрать вектор Герца следующего вида:
Щ = 0, П; = 0, m = u*(x,y)eikW, C8.27)
то из C8.25) следует
Es = ik~-etkW, Ey = -ik~eCk\iz, ?г = 0, C8.28)
tf, = ttii^e'*ii2, H, = ik,~eikw\ Hz = k\Y\*eik^. C8.28')
Уравнение же C8.26) вновь приводится к двумерному виду
*=0- C8-29)
Можно показать, что граничное условие Et = 0 будет обеспечено,
если дИ*/дп = 0 на определенном выше контуре С.
В строгой теории волноводов доказывается, что совокупность
волн типа Е и волн типа Н образует для волновода полную систему,
т. е. что всякую волну можно представить в виде линейной ком-
комбинации (возможно, бесконечного числа) волн этих типов.
38.3. Перейдем теперь к случаю резонатора с идеально прово-
проводящими стенками и перечислим простейшие результаты. Граничным
условием для всех граничных поверхностей резонатора служит,
как и раньше, равенство Et — 0.
Пусть сначала резонатор имеет вид куба с ребром длины L.
Оси- декартовых координат выберем так, чтобы куб определялся
неравенствами 0 < х < L, 0 <с у < L, 0 < z <; L. Тогда гранич-
граничные условия принимают следующий вид:
Еу = Ег = 0 при x = 0 и x = L,
Ег = Ех = 0 при у = 0 и y = L, C8.30)
Ех = Еу = 0 при г = 0 и z — L.
. Поле Е внутри куба должно удовлетворять уравнению
E=0, C8.31)

§ 38] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПРОВОДНИКАХ 299
Это волновое уравнение решается методом разделения перемен-
переменных с учетом граничных условий и необходимости удовлетворить
также условию div Е = 0 при отсутствии источников внутри
куба. Можно проверить, что всем этим требованиям удовлетворяет
вектор Е с компонентами
„ = В sin^cos-^sin-«??., * C8.32)
Ez = С sin -А-- sin-~- COS ~—.
Здесь А, В, С — постоянные, а пъ п2, п3 — целые неотрицатель-
неотрицательные числа. Условие div E = 0 удовлетворяется при этом, если
имеет место соотношение
я^+ЯаВ + ЯзС^О. C8.33)
С помощью C8.32) и C8.31) волновое число и частота выражаются
следующим образом:
j 2I n5. C8.34)
Отсюда видно, что подсчет числа колебаний с частотой, заключен-
заключенной в интервале от v до v + dv, можно произвести таким же спо-
способом, как это было сделано в конце § 22.
Магнитное поле определяется с помощью первого из уравне-
уравнений C8.18) при подстановке в него решения C8.32).
Более общий случай цилиндрического резонатора получится,
если перегородить рассмотренный ранее волновод проводящими
плоскими стенками (например, в точках г = 0 и г = L), На этих
стенках граничное условие принимает вид Ех = Еу = О при г = О
и г = L. Задача о волнах в таком резонаторе решается аналогично
задаче о волноводе, с тем различием, что граничные условия при-
приводят теперь к необходимости рассматривать не бегущие, а стоячие
волны. Волны электрического типа определяются с помощью
электрического вектора Герца вида Пх = 0, Пу = 0, Пг =
=П (х, y)cos k\\Z. Отсюда легко вычислить векторы Е и //. В частно-
частности, компоненты Ех и Ед пропорциональны sin k\\z; поэтому гранич-
граничное условие при 2 = 0 выполняется автоматически. Граничное
же условие при z = L будет выполнено, если sin k\\L = 0, т. е.
k\\ = рл/L, где р — произвольное целое число. Таким образом,
k = Vk\ + (pnlLf (p = 0, 1, 2, ...). Аналогично стоячие волны
магнитного типа определяются магнитным вектором Герца:
Щ = 0, П* = 0, II; = П* (*, у) sin & г.

300 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛН [ГЛ. 9
§ 39. Дисперсия электромагнитного поля
в веществе. Волны в анизотропных средах
39,1. Переменное электромагнитное поле, проникая в вещество,
взаимодействует с его частицами (электронами, ядрами) и вызы-
вызывает их колебания. Заряженные частицы при этом создают вто-
вторичное излучение. Совокупность таких микроскопических процес-
процессов приводит к поглощению поля в веществе — различному при
разных частотах. С точки зрения классической физики можно пред-
представлять себе, что вещество состоит из осцилляторов, каждый из ко-
которых взаимодействует с электромагнитным полем так, как это было
описано в § 25. Разумеется, такая картина является грубо прибли-
приближенной (не говоря уже о том, что правильное описание эффектов,
о которых идет здесь речь, может быть получено лишь с помощью
квантовой теории). Однако она достаточна для понимания каче-
качественной стороны процессов.
Пусть, для простоты, все упомянутые осцилляторы одинаковы
и имеют одну и ту же собственную частоту со0. Вынужденные элек-
электромагнитной волной колебания осциллятора при учете затухания
описываются уравнением B5.21). Можно считать, например, для
определенности, что осцилляторами являются электроны вещества,
связанные с положениями равновесия квазиупругой силой. Откло-
Отклонение от положения равновесия приводит к возникновению диполь-
ного момента р (t) = qr (t). При усреднении по времени затраты
энергии на создание этого дипольного момента определяются,
как обычно, квадратом модуля амплитуды р0, если записать р (t) ~
=рйе~ш. Из B5.21) видно, что р0 — аЕ, где
есть комплексный коэффициент поляризуемости. Макроскопиче-
Макроскопическую поляризацию некоторого объема вещества под действием элек-
электромагнитного поля можно связать с коэффициентом а. Так, в про-
простейшем случае достаточно разреженного газа может быть полу-
получена формула
где п — комплексный показатель преломления, аналогичный по
своему феноменологическому смыслу величине, введенной в фор-
формуле C8.7) для металлов. Из сопоставления приведенных формул,'
во всяком случае, достаточно очевидно, что комплексность показа-
показателя преломления (а значит, как в предыдущем параграфе, и вели-
величин е, [i) связана с эффектом затухания колебаний каждого эле-
элементарного осциллятора.
Разумеется, реальное вещество обладает, вообще говоря, чрез-
чрезвычайно большим количеством различных резонансных частот соо.
В зависимости от того, какие это частоты, наблюдаются те или

§ 39] ' ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 301
иные свойства вещества в проходящем сквозь него электромагнит-
электромагнитном излучении.
Феноменологическое исследование взаимодействия вещества
с электромагнитным полем должно быть основано на уравнении
типа D.2), связывающем поле и индукцию (аналогичное уравнение
может быть записано, разумеется, и для магнитных величин).
В это уравнение уже включено предположение о линейности упо-
упомянутой связи. Во многих случаях, в частности при достаточно
сильных полях, такое предположение оказывается недостаточным
(см. § 41). Однако в его рамках учитываются: а) возможная ани-
анизотропия вещества (тензорный характер eiA); б) то обстоятельство,
что «отклик» частиц вещества на действие внешнего поля не явля-
является мгновенным (частотная дисперсия, соответствующая зависи-
зависимости eik от t — t') и в) то, что взаимодействие поля с веществом,
вообще говоря, не бывает строго локальным (пространственная
дисперсия, выражаемая зависимостью eik or r — /¦'). Другими сло-
словами, поляризация вещества в данной точке определяется зна-
значениями поля не только в самой этой точке, но и в некоторой области,
окружающей ее. Разумеется, для разных веществ (как и для одного
и того же вещества при разных частотах проходящего излучения)
перечисленные три эффекта могут играть разную роль (например,
один из них может быть выражен гораздо более резко, чем дру-
другие) *). Так, в оптике основную роль обычно играет- частотная
дисперсия. Учет пространственной дисперсии приобрел большое
физическое значение, в основном в связи со сравнительно новыми
проблемами физики, а именно изучением свойств плазмы и феноме-
феноменологическим описанием возбуждений, возникающих в кристаллах.
При этом достигается также последовательное описание явлений,
известных уже давно, как, например, гиротропии (оптической
активности), т. е. вращения плоскости поляризации линейно поля-
поляризованной волны при ее прохождении сквозь вещество (см. цити-
цитированную книгу Аграновича и Гинзбурга).
39.2. Описание дисперсии удобно производить не с помощью
соотношения D.2), а с помощью его преобразования Фурье, кото-
которое, как мы видели в § 4, приводит к формуле
Di(io, k) = BlJ(a, k)E,{a, k). C9.1)
При этом можно считать, что
'«», k) C9.2)
*) Теория дисперсии подробно излагается в книгах: Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-
шиц, Электродинамика сплошных сред (§§ 58—64 и 76—80), а также В. М. Агра-
Агранович и В. Л. Гинзбург, Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии
и теория экситонов, «Наука», 1965, которые мы и рекомендуем читателю, интере-
интересующемуся этим вопросом. В данной книге представлялось, однако, необходи-
необходимым хотя бы схематическое введение в него, которое, возможно, облегчит даль-
дальнейшую ориентировку.

302 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
в соответствии с обычной записью D = е0 Е + Р. Здесь х*/ —
диэлектрическая восприимчивость.
Формула, аналогичная C9.1), таким же образом выводится
и для магнитных величин. Однако (за исключением некоторых во-
вопросов, возникающих в оптике ферромагнетиков) можно считать,
что (Ху = [io6y, если не интересоваться областью очень малых
частот поля (значительно меньших, чем оптические). Соответствую-
Соответствующие оценки см. в цитированной выше книге Ландау и Лифшица
(§ 60). Поэтому в дальнейшем речь идет лишь о тензоре еу (со, ft).
Этот тензор позволяет все же учесть связь между векторами D
и В. Действительно, фурье-преобразование уравнения rot Е =
= —dB/dt дает а>В (со, к) = к X Е (со, к), поэтому если известна
связь между D и Е, то упомянутое влияние В на D также можно
считать известным. Фактически поле В влияет на поляризацион-
. дР д .-. „.
ные токи у = — = — (# — ео?).
В пренебрежении пространственной дисперсией будем полагать
limey (со, ft) = e,7(w). C9.3)
k—*-0
Именно этот случай (практически наиболее часто встречающийся)
мы и рассмотрим несколько подробнее. При этом для простоты
будем сначала считать, что среда изотропна, и интересоваться свой-
свойствами функции е (и). Это значит, что в формуле D.2) ядро под-
интегрального выражения е (t — t') зависит только от разности
времен и интегрирование по пространственной переменной отсут-
отсутствует *).
Непосредственный физический смысл имеют, разумеется, ве-
вещественные значения аргумента со. Вместе с тем функция е (со),
как мы видели выше, принимает, вообще говоря, комплексные зна-
значения. Поэтому можно записать
, C9.4)
где ej и е2 — вещественные функции. Формула C9.2) принимает вид
где
00
X («) = 5 X(T)e'OTdT, x = t-t'. C9.5)
о
Отсюда сразу видно, что
е (—со) = е *(и). C9.6)
*) Действительно, как мы видели выше, зависимость 8 от ft возникает лишь
в результате фурье-преобразования по переменной г.

§ 39] ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 303
Из C9.4) и C9.6) следует
ех (—и) = ех (со), е2 (—w)=—еа((о). C9.7)
При достаточно малых частотах можно рассматривать первые члены
разложения этих функций в ряд Тейлора. При этом естественно
считать, что в диэлектриках Игл ех (со) = е1@), где г1 @) — диэлек-
трическая-проницаемость в статическом поле. Ряд, представляющий
функцию е2, ввиду ее нечетности начинается, вообще говоря, с члена,
пропорционального частоте со.
В применении к металлам функцию е (со) можно определить,
исходя из того условия, чтобы при со -у 0 ток смещения dD/dt
формально равнялся току проводимости <зЕ. В монохроматиче-
монохроматическом поле достаточно малой частоты получим равенство —ioiefi =
= оЕ; поэтому при со -у 0 должно быть е = кг/со, т. е. е (со) имеет
простой полюс при (о = 0. Полученное сейчас равенство можно
сравнить с формулой C8.5) предыдущего параграфа, справедливой
как для хороших, так и для плохих проводников.
При достаточно больших частотах со поляризация в среде
вообще не успевает установиться, поэтому можно считать, что е (со)
стремится к электрической постоянной е0 при со -> оо *).
Покажем, что мнимая часть е2 диэлектрической проницаемости
определяет поглощение энергии поля в среде, причем будем руко-
руководствоваться чисто макроскопическими соображениями. Изме-
Изменение электрической энергии равно Е dD/dt, где Е и D, разуме-
разумеется, вещественны. В комплексной записи следует вместо Е под-
подставить 1/2 (Е + ?*) и вместо D подставить 72 (е.Е 4- е* Е*).
В применении к монохроматическому полю (зависимость от вре-
времени е~ш) вычисление dD/dt дает V2 (—icoe? + t'we* E*). Нас
может здесь интересовать лишь среднее изменение энергии за до-
достаточно продолжительный промежуток времени и, так же как
и в § 16, (?2Х~0, (Е*2Х~0. Поэтому окончательно
C9.8)
Вычисление магнитной энергии приводит, разумеется, к аналогич-
аналогичному результату, но, как было сказано выше, мы считаем, что
^2 = 0. Вычисленная потеря энергии проявляется фактически
как выделение эквивалентного количества тепла AQ в среде. То, что
AQ >¦ 0, следует из необратимости происходящего процесса дис-
диссипации (А5' = -„-> 0). Отсюда видно, что е2 > 0. Если вели-
величина е2 очень мала.,при некоторой частоте со, то поглощение резко
убывает, т. е. вещество является прозрачным для поля этой частоты.
*) Ясно, что это условие соответствует тому, что в рассматриваемом пределе

304 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
39.3. Важные свойства функции е (со) выясняются, если рас-
рассматривать ее на комплексной плоскости @ = 0)! + ш2 (выше
мы указали, как она ведет себя на вещественной оси). Прежде всего,
из C9.5) видно, что, так как % > 0, на верхней полуплоскости
(т. е. при (о2 > 0) подынтегральное выражение содержит множи-
множитель е~0)гТ. Функцию же % (т) следует практически считать отличной
от нуля только в конечном интервале значений т. Действительно,
процессы установления поляризации под действием внешнего элек-
электромагнитного поля характеризуются некоторым временем релак-
релаксации, которым и определяется упомянутый интервал. Поэтому
функция е (со) не имеет особых точек в верхней полуплоскости.
Очень важно подчеркнуть, что это ее свойство следует из требования
, причинности (которое выра-
выражается просто интегрирова-
интегрированием по значениям т^О,
т. е. t 5= ?). Кроме того, как
мы только что видели, е (со)
для случая диэлектриков не
имеет особенностей на веще-
вещественной оси и может иметь
простой полюс ~ 1/ш для
металлов. На мнимой оси
Рис 43. функция е (со) вещественна.
Это следует из C9.5). Дей-
Действительно, при любых комплексных со, е (—со)* = е* (ш), и
поэтому е2 (со) = 0 при со = ш2. Важно отметить, что из C9.5)
следует также, что е -> е0, когда со стремится к бесконечности
по любому пути в верхней полуплоскости (а не только вдоль веще-
вещественной оси, о чем упоминалось выше). Подынтегральный множи-
множитель е'">х — еш'хе-">*х обеспечивает выполнение этого свойства.
Аналитичность функции е (со) в верхней полуплоскости ком-
комплексного переменного со, вытекающая из требования причинности,
позволяет вывести важное соотношение между ее вещественной
и мнимой частями. Пусть со0 — произвольная точка на веществен-
вещественной оси. Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру С, изобра-
изображенному на рис. 43:
Полюс в точке со = и0 и (для металлов) полюс в точке со = 0 выре-
вырезаны полуокружностями бесконечно малого радиуса р -> 0. Радиус
полуокружности, замыкающей контур, стремится к бесконечности.
Как мы видели, на бесконечности е (со) -у е0, и поэтому интеграл
по замыкающей полуокружности стремится к нулю. Так как внутри
выбранного контура подынтегральная функция особенностей
не имеет, выполняется равенство 1 — 0. Результат обхода точки со0

$ 391 ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 305
в пределе р -у 0 имееч вид —in [г (ш0) — е0]. Таким образом, для
диэлектрика, когда полюс при со = 0 отсутствует,
+ СО
V- R J" вГ-т.Ч^ю-Ие(ю°>-^ = 0- C9.10)
— со
Интеграл взят здесь по всей вещественной оси в смысле главного
значения, т. е. по определению
СО | Р
f f
+ СО | Р + йо 00 -,
V P. f ^=^-d© = lim f iH^da)+ { ims-dal
J w — co0 o^0\ J w — w0 J w —w0
— со L — со р +;coo J
Отделяя вещественную и мнимую части в формуле C9.10) получим
+ СО
J ^ C9.11)
= -iv. P. С е'(а)"^(о, C9.12)
n J со —Mt v '
Эти формулы называются дисперсионными соотноишниями Кра-
мерса — Кронига. Учет полюса в точке и = 0 для металлов приво-
приводит к дополнительному слагаемому, равному а/со, в правой части
равенства C9.12).
Нечетность функции е2 (со) позволяет переписать соотноше-
соотношение C9.11) в виде
Здесь введено часто используемое обозначение
^««,-((о), C9.13)
причем / (со) d со называется ш^гой осцилляторов в интервале dco.
Происхождение этого названия станет понятно, если сравнить
последние две формулы с выражением для коэффициента поляри-
поляризуемости а, которое мы привели в начале этого параграфа (полагая
Г = 0). Действительно, / (со) можно интерпретировать как плот-
плотность распределения осциллирующих дипольных моментов, даю
щих излучение в рассматриваемом интервале частот.
39.4. Вернемся теперь к общему случаю C9.1) с учетом ани-
анизотропии и пространственной дисперсии. Тензор еу (со, k) при
вещественных значениях со и ft, вообще говоря, принимает ком-
комплексные значения. Кроме того, он не обязательно симметричен
(при е// Ф eji среда гиротропна). Из приведенных выше для

306 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [Г.П 9
случая частотной дисперсии соображений ясно, что большой интерес
представляет поведение этого тензора в комплексной области аргу-
аргументов со, к. При этом к = к' + ik", где к' и к" — вещественные
векторы. Волны, для которых эти векторы параллельны, называются
однородными. Тогда к = (k' -f ik") s, где $ — единичный веще-
вещественный вектор, и продолжение вектора к в комплексную область
сводится к рассмотрению одной комплексной переменной k' + ik"
(а не трех, как это было бы в общем случае). Важно рассмотреть
теперь вопрос о том, в какой мере независимы переменные со и ft.
Предположим, что в среде задано независимое от проходящей
волны распределение источников поля, т. е. токи,/вн и заряды рвн.
Уравнения Максвелла позволяют выразить поле Е (со, Щ через
увн (со, k) и рвн (со, к). Поэтому в общем случае всегда можно
подобрать такие источники, чтобы определить поле Е при любых
значениях параметров со и к, не зависимых друг от друга. Напро-
Напротив, предположим, что независимые источники пбля в среде отсут-
отсутствуют и сквозь среду проходит электромагнитная волна. Харак-
Характер ее распространения, как мы это уже видели выше, например
в § 38, определяется ее частотой и, вообще говоря, направлением,
в котором она распространяется. Показатель преломления зависит
СО л л л
от частоты. При этом к = — ns и п = п (со, s), так что в конечном
счете к = к (со).
При рассмотрении свойств функции е^ (со, к) в комплексной
плоскости переменной со (причем к играет роль параметра) учет
свойств причинности позволяет прийти к дисперсионным соотно-
соотношениям вида C9.11) и C9.12). В них следует лишь подставить вместо
ех (со0) и е2 («о) соответственно вещественную eA)i;- (со, к) и мнимую
eB)«v (@> Щ части тензора е,;- (со, к) и заменить е0 на еобг/. Вывод
этих соотношений совершенно аналогичен *) проведенному для
е (со, к).
Распространение поля в среде при условиях /ви = 0, рвн = 0
и (х = ц0 определяется уравнениями Максвелла в виде
rottf = ^^-, rot?= — ~^f, divZ> = 0, divtf = 0. C9.14)
При этом здесь, в порядке исключения, мы используем гауссовы
единицы, в которых дальнейшие соотношения принимают несколько
более простую форму. Подставляя
а>'\ C9.15)
где Ео, Do и #„ — постоянные амплитуды, получим
^ = 0. C9.16)
*) См. цитируемую книгу Аграновича и Гинзбурга.

§ 39] ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 307
Здесь Н, D и Е можно считать зависящими от со и ft. Исклю-
Исключим Н из первых двух уравнений C9.16):
с 2 D = — or2 [ft X [ft X Е]] = со2 {k2E - ft (fc?)}. C9.17)
Отсюда с помощью C9.1) получим
{k%f(io, fe)-fe26;/ + M/}?/(«, ft) = 0. C9.18)
Мы получили однородную систему алгебраических уравнений.
Условие существования решения Ej (со, ft) этой системы, не равного
тождественно нулю, записывается так:
det {kHij (со, ft) - k% + kikj) = 0. C9.19)
Уравнение C9.19), если функция еу известна, позволяет выра-
выразить, в принципе, со через ft (или наоборот); его решения вида
(om = com(ft) (m=l,2, ...) C9.20)
определяют все возможные в среде типы электромагнитных волн.
39.5. Будем теперь считать, что компоненты еу не* зависят
ни от со, ни от ft. В этом частном случае нас интересует только
лишь влияние анизотропии среды на распространение волн. Такая
проблема возникает в оптике кристаллов (причем, разумеется,
кристалл считается с макроскопической точки зрения не дискрет-
дискретной, а сплошной средой). Подставим * = уйв уравнение C9.19).
Если, кроме того, принять в качестве декартовых осей координат
х, у, z главные оси тензора еу и обозначить через е(л), е(у), е(г) его
соответствующие главные значения, то уравнение C9.19) принимает
вид
еB)) + /г*е(з/) (е(х) -f еB)) + n|eB) (ew + е
+ ewe(wew = 0. C9.21)
Оно называется уравнением Френеля.
В данном случае, когда е(Л:), е(,у), е(г) предполагаются постоян-
постоянными, уравнение Френеля при заданном направлении волнового
вектора определяет его абсолютную величину. Если углы, обра-
образуемые вектором п с осями координат, заданы, то C9.21) представ-
представляет собой квадратное уравнение для пг. Отсюда следует, что каж-
каждому направлению вектора п соответствуют, вообще говоря, две
возможные его абсолютные величины. В пространстве же с коор-
координатами пх, пу, пг уравнение Френеля в общем случае определяет
поверхность четвертого порядка (поверхность волновых векторов
или оптическая индикатриса).
Конкретная форма оптической индикатрисы целиком зависит
от свойства диэлектрического тензора г,1;-, характеризующего дан-
данный кристалл. В этом отношении следует различать кубические,

308
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. 9
Рис. 44.
одноосные и двухосные кристаллы *). Для кристаллов с кубической
симметрией все главные значения тензора еу равны между собой
и они в оптическом отношении ведут себя так же, как изотропные
среды. Одноосными называются такие кристаллы, в которых можно
выбрать оси координат так, чтобы е(х) = e(i/) = ej_, а значение
ег = Ец отличалось от этих двух. В этом случае уравнение C9.21)
распадается на два следую-
п* "z щих квадратичных уравнения:
— п\ п\4-п2
п2 = г1, -J-+ х у = 1.
el sl!
C9.21')
Таким образом, поверхность
волновых векторов распадает-
распадается на две поверхности — сфе-
сферу и эллипсоидвращения. При
е1 > еП сфера касается эллипсоида извне, а при ej_ <Cе-| —изнутри
(рис. 44). Сферической поверхности соответствует независимость вол-
волнового вектора от направления. Она описывает так называемые
обыкновенные волны, по отношению к которым кристалл не отли-
отличается от изотропного тела. Для волн же, соответствующих эллип-
эллипсоидальной индикатрисе и называемых необыкновенными, напротив,
абсолютная величина волнового вектора зависит от угла наклона
этого последнего к оптической оси кри-
кристалла г.
Двухосные кристаллы характери-
характеризуются тем, что для них все три глав-
главные значения тензора е,у различны. Для
исследования их оптических свойств не-
необходимо рассматривать общее уравне-
уравнение Френеля C9.21), чем мы здесь за-
заниматься не можем.
Вернемся к первым двум уравнениям
C9.16). Из них видно, что векторы D
и И ортогональны друг к другу и к век-
вектору к. Кроме того, вектор Н ортого-
ортогонален к Е, т. е. одновременно к трем Рис. 45.
векторам D, E, k, а потому эти послед-
последние лежат в одной плоскости. Важно обратить внимание на то, что
анизотропия проявляется в несовпадении направлений векторов Ей
D, а так как поток энергии 5определяется векторным произведением
Е X Н, то волновой вектор k (или п) не совпадает с направле-
направлением потока энергии (рис. 45). Это последнее называется направ-
направлением распространения лучей света в кристалле.
*) См. Ландау и Лифшиц, цитируемая книга, §§ 78 и 79.

Vs ^
% 39] ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 309
Итак, если, как мы видели, например, в § 18, в изотропной
среде направление луча совпадает с направлением нормали к фронту
световой волны, то в среде анизотропной они различны. Волно-
Волновой вектор определяется характером распространения поверхностей
равной фазы (какими, по определению, и являются фронты свето-
световых волн), поэтому связанная с ним скорость распространения
называется фазовой скоростью. Поток энергии, вообще говоря,
распространяется с другой (по величине и направлению) скоростью,
которая называется групповой. Для иллюстрации этого явления
можно представить себе, что поток
электромагнитных волн проходит че-
через узкую диафрагму, как показано
на рис. 46 (при этом явлением ди-
дифракции пренебрегаем). Эта диафраг-
ма и вырезает световой луч. Причина «///««««гт »^ww
несовпадения векторов k и S очевидна - ,
из этого рисунка.
39.6. Остановимся на описании
световых лучей в анизотропной среде Рис- 4б-
несколько более подробно. Введем
«лучевой вектор» S, направление которого совпадает с направле-
направлением вектора Пойнтинга S, а абсолютную величину удобно опре-
определить условием
л*=1. C9.22)
Можно было бы, в принципе, считать вектор 5 и единичным. Так
же, как S, вектор s удовлетворяет соотношениям ортогональ-
ортогональности:
s# = 0, s? = 0. C9.23)
Формулы C9.16) при замене k на п имеют вид
Н=пхЕ, Z> = — пхН, Di^EijE,-. C9.24)
Здесь выписана также еще раз связь между D и Е при посредстве
тензора еу. Из C9.24) и C9.23) с учетом C9.22) получаем
H=SXD, E = — sxH, ?, = ei?D/. C9.25)
Здесь добавлено выражение компонент Е через компоненты D,
причем матрица, составленная из компонент тензора elf, обратна
по отношению к матрице ||ег/Ц. Сравнение формул C9.24) и C9.25)
показывает, что выполняется принцип двойственности, а именно:
если существует какое-либо соотношение для волн, то из него можно
получить соотношение для лучей с помощью замены Е на D, п
на s, Btf на ei/ и обратно. В частности, уравнение Френеля C9.21)

310 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
для оптической индикатрисы переходит в уравнение лучевой поверх-
поверхности вида
- [si Ы + e<*>) + 4 Ы + «(«) + $ few + е((/))] + 1=0. C9.26)
Это уравнение для одноосных кристаллов приводит к результатам,
совершенно аналогичным полученным выше с помощью индикатрисы.
При этом нужно иметь в виду, что, согласно принципу двойствен-
двойственности, при замене п на s в уравнении C9.2Г) нужно одновре-
одновременно заменить ej_ на l/ej_ и е,| на 1/ец.
При преломлении световой волны, падающей на поверхность
одноосного кристалла, возникают, как мы видели выше, две волны —
обыкновенная и необыкновенная. Это явление называется двой-
двойным преломлением в кристаллах. При этом экспериментально на-
наблюдаемы не волны, а соответствующие им лучи. Заметим, что
взаимность между волнами и лучами, указанная выше, имеет место
лишь внутри кристалла. На поверхности же его отражение и пре-
преломление световых лучей отличается от отражения и преломления
световых волн. Это обусловлено различием граничных условий
для векторных полей D и Е. В результате, например, необыкно-
необыкновенный луч не лежит в плоскости падения, в то время как волновой
вектор находится в ней.
39.7. Различие между фазовой и групповой скоростями, рас-
рассмотренное выше в случае анизотропных сред, имеет место и для
изотропных сред, обладающих дисперсией, когда со = со (k) (при
этом со (k) = со (—k), так как от направления проходящего излу-
излучения дисперсия не должна зависеть). Разумеется, для монохрома-
монохроматического излучения эти скорости совпадают. Влияние дисперсии
сказывается на прохождении сквозь среду «волновых пакетов»,
т. е. излучения, представляющего собой суперпозицию монохрома-
монохроматических волн, обладающих различными частотами. При этом в изо-
изотропной среде направления фазовой и групповой скоростей совпа-
совпадают, но их абсолютные величины различны. Изучение того, как
распространяются волновые пакеты через среду, позволяет выяс-
выяснить те свойства диспергирующей среды, которыми она обладает,
если в ней отсутствуют независимые от проходящего излучения
источники электромагнитного поля (см. выше, стр. 306). Часто
термин «дисперсия» относят к излучению, проникающему вереду,
имея в виду при этом именно то обстоятельство, что разным часто-
частотам соответствуют разные фазовые скорости («дисперсия волно-
волнового пакета»).
Рассмотрим поэтому определение групповой скорости излуче-
излучения в изотропной диспергирующей среде. Общим решением одно-
однородного волнового уравнения, описывающим произвольную волну
в среде, распространяющуюся в направлении оси х, является

§ 391
ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
311
суперпозиция монохроматических волн:
+ СХЭ
f(x, t)= $ A(k)ef^-
C9.27)
Одной монохроматической волне с волновым вектором k0 соответ-
соответствует A (k) = б (k — k0) Ao. Волновым пакетом обычно называ-
называется такая суперпозиция, в которой функция A (k) быстро убывает
по обе стороны от некоторого выделенного значения k0. Из C9.27)
легко видеть, что такое свойство соответствует тому, что «основ-
«основная часть» волнового пакета сосредоточена в достаточно малой
области пространства. С помощью разложения
(О (k) = @0
da
~dk
(k ko)-\- ... , ,b
dk
did
~dk
! = *„
формула C9.27) преобразуется к виду
f(x, t)~
k. C9.28)
Но из обращения преобразования Фурье C9.27) при t — 0 видно,
что
+ СО
= ~ J f(x, 0)e-ikxdx.
Поэтому интеграл в C9.28) равен fix—
Таким образом,
t,o).
Отсюда видно, что амплитуда волнового пакета'движется со ско-
скоростью
"¦р-аН- . <39-29>
Плотность энергии определяется квадратом модуля амплитуды.
Поэтому скорость распространения энергии волны является именно
групповой скоростью C9.29). Фазовая скорость, равная оф =
= со (k) Ik = с In (k) может быть, в частности, больше с (при
п (k) < 1). Следует подчеркнуть, что соображения теории относи-
относительности по поводу максимального характера скорости света в, ва-
вакууме *) относятся к распространению световых сигналов, т. е.
*) По отношению к скоростям распространения света в любом веществе.

312 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
именно к групповой скорости. Так как п = ck/a, то можно записать
также k (со) = am (со) 1с, если считать показатель преломления
функцией частоты. Отсюда
1 с
Угр = 1ЩШЕ = л (w) + w dn/da ¦ C9.30)
Обычно выполняется условие dn/da > 1 (нормальная дисперсия).
Так как п > 1, то vrp <; с. Однако существуют и области аномаль-
аномальной дисперсии, в которых dti/da <C 0. В таких диапазонах частот,
если dnld® достаточно велико по абсолютной величине, то фор-
формальное применение определения C9.30) может приводить к зна-
значениям vtp > с. Однако само это определение неприменимо в этих
условиях с самого начала, ибо его вывод основывался на предпо-
предположении о достаточно медленном изменении функции со (k) или,
что то же самое, п (со), в то время как в рассматриваемом случае
это изменение должно быть, напротив, быстрым (велика производ-
производная dn/dal).
В анизотропных средах, где мы не учитывали частотной -диспер-
-дисперсии, различие поведения лучей и волн все же можно связать с по-
понятиями групповой и, фазовой скоростей, если считать, что первая
характеризует распространение величин, квадратичных по отно-
отношению к амплитуде волны.
§ 40. Волны в магнитной гидродинамике
40.1. Своеобразные явления волнового характера возникают
при взаимодействии магнитного поля с проводящей сплошной
средой. Основные уравнения для таких процессов были рассмотрены
в § 35. В частности, формулы C5.8) и C5.9) имеют вид
D0.1)
grad)©) = — (i0[A/Xrot A/] —gradp. D0.2)
Здесь х — плотность массы проводящей жидкости и в уравнении
D0.2) использовано определение C5.11) производной по времени.
Для магнитного поля выполняется уравнение
div// = 0, D0.3)
если В = \iofi. Вспомним, наконец, условие C5.6), вытекающее
из предположения о бесконечной электропроводности. Применяя
к C5.6) операцию rot и используя закон индукции rot E =
= —\xodH/dt, можно привести это условие к виду
D0.4)
В дальнейшем будем предполагать, что это условие выполнено.
Рассмотрим прежде всего следующую частную постановку за-
задачи. Пусть плотность х постоянна, а Н — Но + h. При этом Но

§ 40] ВОЛНЫ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 313
постоянно, a А — некоторая функция координат и времени. Поле А
играет роль флуктуации, накладывающейся на первоначальное
поле Но. Выберем ось х декартовой системы координат вдоль //„,
так что #0 = (Яо, 0, 0). В конце § 35 с помощью преобразования
уравнения C5.9), т. е. D0.2), была получена следующая его форма
(см. C5.16)):
i(^U|ad)tf. D0.5)
При наших предположениях Н2 = (Но + АJ, а последнее сла-
слагаемое в правой части преобразуется к виду — \H0-=- + (hgrad) A .
Уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости имеет вид
div v — 0. Кроме того, разумеется, div A = 0.
Покажем, что возможным решением уравнения D0.5) является
© = ± Л((хо/хI/2. D0.6)
Если подставить D0.6) в D0.5), то в последнем слагаемые —(©, grad) v
и —(A, grad) А взаимно сокращаются. Таким образом, получается
равенство
%- = - 1 grad (р + -t» (Но + h)A + &. Яо f-. D0.7)
gra Р + | {Но + Л)) +
Применим операцию div к обеим сторонам последней формулы.
С учетом сказанного выше при этом получится необходимое условие
того, чтобы решение имело предполагаемый вид D0.6), а именно:
Считая; что область флуктуации ограничена в пространстве и вне
этой области А = 0, давление же р = р0, получаем
р + ^-(Но + П)* = Ро + ?ф- = const. D0.8)
Другими словами, всюду в области флуктуации гидростатическое
давление уравновешивается магнитным давлением (см. § 35) и
2 \"u ~т~ '"> j — "• Dи.У)
Уравнение D0.7) принимает вид
dv a.
dt ~ у. ° дх~-
D0-10)
Обратимся теперь к формуле D0.4), в которой следует заме-
заменить Н на Но + А. Согласно (Б.20), с учетом того, что div v = 0

314 переменное Электромагнитное поле [гл. 9
и div h =¦- О,
rot [v X Я] = (#grad) v — (v, grad) H =
!© — (©, grad)/f.
Но из D0.6) следует, что последние два слагаемых взаимно сокра-
сокращаются. Поэтому уравнение D0.4) в нашем случае имеет форму
дН = Н — Г40 1П
Ж п°дх- DU.il)
Уравнения D0,10) и D0.11) нужно решать совместно. Из них видно,
что
?-¦?«&¦ <4fU2>
Совершенно такое же уравнение получается для h. Таким обра-
образом, векторы v и h подчиняются одномерным волновым уравне-
уравнениям. Если задано произвольное начальное распределение ско-
скоростей v, для которого выполняется D0.6), то из D0.12) следует,
что оно распространяется вдоль оси х (т. е. вдоль первоначального
постоянного магнитного поля Но) со скоростью
^. D0.13)
Такие волны в проводящей жидкости называются магнитогидроди-
намическими (МГД) волнами. Решение вида D0.6) уравнений маг-
магнитной гидродинамики впервые было найдено Альвеном в 1942 г.
Подкоренное выражение в D0.13) имеет вид 2/?™/и, где р(^ —
магнитное давление. Поэтому D0.13) можно сравнить с выраже-
выражением для скорости звука v = (уро/кI'"*, получающимся, когда
выполняется адиабатическое соотношение р = ЪС, где у — отно-
отношение удельных теплоемкостей. Более подробное рассмотрение
могло бы показать, что МГД-волны можно представить в виде по-
поперечных колебаний магнитных силовых линий, во многом анало-
аналогичных колебаниям струны. Свойство поперечности отличает их
от звуковых волн, однако, подобно последним, они связаны со
своеобразным, магнитным, давлением, возникающим в проводящей
жидкости под действием магнитного поля.
40.2. Выше не предполагалось, что флуктуации, т. е. V и h,
малы по сравнению с какими-либо характерными величинами.
Можно рассмотреть гораздо более общую постановку задачи, если
такое предположение сделать. По-прежнему основными уравне-
уравнениями магнитной гидродинамики можно считать формулы D0.1) —
D0.4) (в случае бесконечной электропроводности). Если движение
среды предполагать адиабатическим, то для энтропии S единицы
объема должно выполняться уравнение непрерывности (закон

§ 40] ВОЛНЫ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 315
сохранения энтропии)
~- + (v, grad)S = 0, D0.14)
которое нужно присоединить к перечисленным основным формулам.
Пусть первоначальное состояние жидкости характеризуется неко-
некоторой постоянной плотностью х, причем течение происходит с по-
постоянной скоростью ©0 в присутствии постоянного магнитного
поля Но. Пусть по каким-либо причинам все эти характеристики
получают малые флуктуации: х -> х + х1? Но -*¦ Но + Hlt
jj0 _> ©о 4- ©1- При этом также S -*- S + Sx. Подставим все эти
возмущенные значения в уравнения D0.1) — D0.4) и D0.14) и
учтем малость флуктуации, пренебрегая их произведениями. Введя,
аналогично D0.13), обозначения Vo = Но ((хо/хI/2 и V =
= Нх (|io/xI/2, можно получить следующую систему уравнений:
~- + (v0, grad) V' = (V0, grad) V - Vodiv V,
^- + (v0, grad) v, = - ~ grad (// + x Vo, V) + (V, grad) V,
1, D0.15)
1 = O, divV'=0.
Если уравнение состояния жидкости имеет вид р = р (к, 5), то
давление в возмущенном состоянии будет выражаться формулой
S. D0.16)
Здесь дел = хь dS == S^ и если еще обозначить dp = ръ b =
= (dp/dS)x и учесть, что в общем случае, как доказывается в тер-
термодинамике, скорость звука w = У(др1дкM, то
р1 = ю2х1 + Ь511 D0.17)
Будем искать решение системы D0.15) в виде плоских волн
exp U (kr — at)] с постоянными амплитудами. Обозначим еще
соо = о) — kv0. Тогда система D0.15) приводится к соотношениям
щ V + (k V)vx-V (?*>!) = 0,
j-x-1 (p' + x(VV')) k = 0, D0.18)
При этом следует также помнить уравнение состояния D0.17).
Для того чтобы система D0.18) имела решение, отличное
рт нулевого, нужно, чтобы определитель ее равнялся нулю.

316 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
условие после громоздкого вычисления приводится к виду
со§ [©3 - (k Vf] [©} - k- (w2 + V) ©J + Vw* (k Vf] = 0. D0.19)
Перечислим возможные типы волн в соответствии с этим урав-
уравнением *). При этом ясно, что связь между со и со0 представляет
собой просто учет эффекта Доплера при переходе к системе отсчета,
движущейся вместе с жидкостью со скоростью v0.
Прежде всего, имеется решение
ao = ±kV. D0.20)
Волны такого типа называются МКД-волнами (или волнами Аль-
вена) и соответствуют явлению, рассмотренному в начале этого
параграфа. Из D0.20) и D0.18) следует рх = 0, х = 0, S1 =-¦ 0,
а также
V1 = ±V, kV' = 0, VV'^0. D0.21)
Вектор vu характеризующий направление колебаний, таким обра-
образом, ортогонален вектору V, т. е. вектору Но. Вместе с тем из
D0.20) видно, что скорость распространения равна dz ((Хо/хI^ x
хЯ0 cos Ф, где Ф — угол между векторами k и Но.
Другому решению соответствует равенство
соо = 0. D0.22)
Возмущение, раз возникнув, переносится вместе со средой. Будучи
использовано в уравнениях D0.18), это решение приводит к ре-
результату:
Таким образом, оно описывает связанные между собой флуктуации
плотности и энтропии (энтропийные волны).
Наконец, из D0.19) вытекает также возможность равенства
<bJ - k* (V2 + w2) ©5 + k2w2 (k VJ = 0. D0.23)
Ему соответствуют две волны, распространяющиеся со скоростями
VV = iol/k'2 = Va № + V2± V(w2 + Vy-4w2V2cos2®).
Угол ft определяется так же, как это было сделано выше. Такие
волны называются магнитозвуковыми **).
Частотная дисперсия, как видно из приведенных формул, в на-
нашем случае отсутствует, так как скорость распространения волн
*) Наше изложение теории волн в магнитной гидродинамике основано на
статье: С. И. Сыроватский, Магнитная гидродинамика, УФН 52, 247—303 A957).
См. также книгу: Г. Альвен, К.-Г. Фельдхаммер, Космическая электродинамика,
«Наука», 1967.
**) Исследование таких волн см., например, в цитируемой выше статье
С. И. Сыроватского,

§ 4t] ПОНЯТИЕ О НЕЛИНЕЙНОЙ ОГГШКЕ 317
не зависит от со. Если проводимость среды, в отличие от наших
предположений, не бесконечна, то необходимо учитывать магнит-
магнитную вязкость (см. § 35), если же среда обладает заметной гидроди-
гидродинамической вязкостью, то нужно учесть и ее. Введение таких чле-
членов в исходные уравнения приводит к диссипативным явлениям,
т. е. к поглощению энергии и затуханию колебаний. Тогда возни-
возникает и частотная дисперсия.
Нужно еще обратить внимание на то, что формулы вида D0.20)
определяют дисперсию фазовой скорости волны в зависимости от
направления ее распространения. Групповая же скорость, в соот-
соответствии с C9.29), равна daldk — V и одинакова по всем напра-
направлениям.
§ 41. Понятие о нелинейной оптике
41.1. Нелинейность зависимости D от Е или, что то же самое,
поляризации Р от Е (и В или М от Н) сказывается во многих
случаях. Так, мы уже упоминали, что ферромагнетики и сегнето-
электрики обладают нелинейными свойствами. Другой пример от-
отклонения от линейной зависимости — это эффекты насыщения.
Так, например, магнитный момент единицы объема парамагнитного
вещества в определенных пределах изменения внешнего магнитного
поля нарастает приблизительно линейно, но при достаточно силь-
сильном поле дальнейшее нарастание момента становится невозможным
и намагниченность приближается к постоянному значению. В дан-
данном параграфе нас интересуют те нелинейные свойства сред, кото
рые проявляются в основном под действием переменного электро-
электромагнитного поля, если это поле обладает очень большой плотностью
энергии, и экспериментально наблюдаются в виде различных опти-
оптических эффектов. Изучение этих свойств стало актуальным за по
следние 15 лет в связи с разработкой источников мощного коге-
когерентного излучения (лазеры и т. п.).
Аналогично тому, как мы поступили в начале изложения теории
дисперсии (§ 39), приведем и здесь грубую, но наглядную модель
микроскопических свойств среды, приводящих к нелинейным эф-
эффектам. Эта модель состоит просто в том, что при достаточно силь-
сильных внешних воздействиях на среду ее «элементарные осцилляторы»
уже нельзя считать гармоническими. Достаточно большие откло-
отклонения от положения равновесия не позволяют считать силу F,
действующую на осциллятор, квазиупругой. Вместо этого можно
записать F —¦ kx 4- к'хг 4- ... (достаточно здесь рассматривать од-
одномерный случай). Уравнение движения осциллятора под дейст-
действием этой силы и внешнего электрического поля Е (t) принимает
вид
*jL f?. D1.1)

318 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
Последнее слагаемое в правой части, как обычно, служит для учета
эффектов затухания (см. § 25). Отклонению х от положения равно-
равновесия соответствует дипольный момент р — qx. Макроскопическая
же поляризация среды может быть записана в виде Р = yqx, где
коэффициент у зависит от плотности распределения дипольных
моментов. Поэтому уравнение D1.1) служит также для нахожде-
нахождения Р (t). Мы не будем рассматривать решение уравнения D1.1).
Для нас существенно здесь лишь то, что во многих случаях можно
решать его методом последовательных приближений, представляя
поляризацию в виде
где n-й член зависит от n-кратного произведения напряженностей
поля *).
Более подробно каждый отдельный член, входящий в формулу
D1.2), может быть записан в виде
со со
Pf (t)=*\dxx...\ dxnfflt •.. /„ (Тх, .. • , т„) Eh (t-x,)... Е,я (t - т„).
о о
D1.3)
Здесь, аналогично § 39, учитывается возможность частотной дис-
дисперсии в среде. Интегрирование от нуля (а не от — оо) соответст-
соответствует условию причинности, т. е. тому, что значение поляризации
в данный момент времени определяется только более ранними зна-
значениями электрического поля. Практически следует учитывать
в выражении поляризации члены вплоть до третьего порядка вклю-
включительно.
41.2. Мы получим достаточное представление об интересующих
нас нелинейных оптических эффектах, если ограничимся рассмот-
рассмотрением случая, когда
? = ?0 + ?и cos at. D1.4)
(см. цитируемую выше книгу Пекары). При этом пусть
Pt = i№ + &E,Ek + OfiuEtEbEt. D1.5)
Коэффициенты %B) и 5СC) должны быть симметричными по всем
своим значкам, кроме первого. Подставляя D1.4) в D1.5) и учиты-
учитывая эту симметричность, а также элементарные формулы cos at ~
*) См. М. Шуберт и Б. Вильгельми, Введение в нелинейную оптику, «Мир»,
1973. Рекомендуем также в качестве введения в современные проблемы книгу
А. Пекара Новый облик оптики, «Советское радио», 1973. Нелинейной оптике
посвящена ч. III этой книги. Наше изложение имеет лишь цель показать, каким
образом простейшее описание нелинейных эффектов получается расширением
материальных соотношений, добавляемых к уравнениям Максвелла.

§ 41] ПОНЯТИЕ О НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ 319
= V2 (cos 2cot -(- 1) и cos3 wt - 1!i (cos Зсо^ + 3 cos cot), можно вы-
выражение D1.5) представить в виде
Р = Р° + Ра cos cot + Р2Ш cos 2cot + Psa cos 3cot. D1.6)
Здесь Po — постоянная составляющая поляризации. Мы сейчас
выпишем эти слагаемые и кратко обсудим их смысл. Заметим, что
в D1.5) не учитывается дисперсия. Если же принять ее во внима-
внимание, т. е. использовать выражения вида D1.3), то можно видеть,
что при подстановке D1.4) коэффициенты представляются с помо-
помощью преобразования Фурье и зависят от со. В дальнейшем, однако,
мы не будем обращать внимание на эту зависимость, хотя и следует
помнить, что фактически она существует.
Итак, обсудим последовательно члены поляризации, указанные
в D1.6). При этом удобнее всего начать с Р2а. Соответствующая
составляющая поляризации колеблется с частотой, удвоенной по
сравнению с частотой возбуждающего эти колебания поля. Такие
колебания приводят к излучению, обладающему их частотой, кото-
которое наблюдается при прохождении света через вещество (порож-
(порождение второй гармоники). При этом
i = UXiikkj hk-\-oXtjkitjtb hi . D1.7)
Отсюда видно, что эффект возникновения второй гармоники состоит
из двух частей: квадратичной, которая определяется только пере-
переменной составляющей поля D1.4), и кубической, присутствующей
лишь тогда, когда у поля есть постоянная составляющая.
Аналогичное явление — порождение третьей гармоники, т. е.
излучение с утроенной частотой, соответствующее члену с коэф-
коэффициентом
i ^-ftijkiEj EkEi .
Перейдем к остальным двум слагаемым в D1.6). Постоянная
составляющая равна
D1.8)
Первые три члена описывают влияние статического электрического
поля. Квадратичный и кубический члены при определенных усло-
условиях наблюдаются у сегнетоэлектриков. Четвертое слагаемое опи-
описывает возникновение постоянной поляризации при возбуждении
второй гармоники, описанном выше. Последнее же слагаемое пока-
показывает, что если при возбуждении второй гармоники присутствует
и постоянное электрическое поле, то статическая поляризация ис-
испытывает дополнительное изменение,

320 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ. 9
Наконец, составляющая поляризации, колеблющаяся с той же
частотой, что и возбуждающая волна, равняется
Р? = у}У Ef + 2X?bE°iEt + 3y$hE°iElET + */^}>ыЕГЕ%ЕГ. D1.9)
Свойства этой составляющей могут быть выражены через посред-
посредство показателя преломления. Первый член здесь хорошо нам
знаком. Следующие два слагаемых описывают явления, известные
уже давно, задолго до того, как стали известны остальные нели-
нелинейные оптические эффекты. В самом деле, ясно, что для их наблю-
наблюдения достаточно создать сильное постоянное электрическое поле.
Первое из них соответствует эффекту Поккельса A893 г.): при-
присутствие достаточно сильного постоянного электрического поля
влияет на распространение световых колебаний (изменяет показа-
показатель преломления среды). Соображения симметрии, в которые мы
здесь, к сожалению, не можем входить, показывают, что, будучи
эффектом второго порядка, эффект Поккельса может проявляться
лишь в тех кристаллах, которые не имеют центра инверсии. Если
же центр инверсии существует, то соответствующий эффект может
иметь лишь третий порядок. Он описывается тогда третьим слагае-
слагаемым в D1.9) и называется эффектом Керра. Экспериментально он
наблюдается как двойное преломление световых волн под действием
постоянного электрического поля, если среда и была изотропна
при отсутствии такового. Наконец, последнее слагаемое описывает
изменение коэффициента преломления среды под действием самой
проходящей сквозь среду световой волны.
Все перечисленные здесь физические явления экспериментально
подтвердились. Для их теоретического описания необходимы более
полные сведения о структуре сред, в которых они становятся воз-
возможными. Приведенное выше описание этих явлений элементарно
и схематично. При этом существуют многие другие интереснейшие
проблемы нелинейной оптики (такие, как самофокусировка свето-
светового пучка в нелинейной среде), о которых мы лишены возможности
говорить здесь. Однако уже из приведенных сведений должно
быть очевидно, как расширяются возможности описания электро-
электромагнитных явлений при обобщении предположений о свойствах
среды *). Это может служить иллюстрацией широты метода, основы
которого были заложены Максвеллом.
*) Еще раз рекомендуем читателю цитируемые на стр. 318 книги.

ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Основные формулы тензорного анализа
Аксиомы векторного пространства мы предполагаем известными.
В частности, будем считать, что в пространстве Vn существует N
линейно независимых векторов, но любые N + \ векторов
линейно зависимы между собой (аксиома размерности). Если
ег A s^ i s^ N) — какая-либо система линейно независимых век-
векторов, то любой вектор х может быть представлен в виде
x^x'et. (A.I)
Здесь, как и всюду в нашем изложении, используется условие
суммирования Эйнштейна: если в формуле один и тот же индекс
встречается дважды, то подразумевается суммирование по всем
значениям этого индекса (т. е. от 1 до N). Совокупность векто-
векторов et называется базисом векторного пространства.
Пусть || А1., || = А — квадратная матрица такая, что det (А1.,) ф.
т^О (здесь верхний индекс нумерует столбцы, а нижний —строки
матрицы А). С ее помощью мы можем перейти к новому базису,
состоящему из векторов еу, по формулам
et.=*Alt.et. (A. 2)
При этом
х = хс'еу = {AW) et = xeh (A.3)
т, е,
xc = AW. (А.4)
Заметим, что преобразование (А.4) совершается с помощью мат-
матрицы Ат, транспонированной по отношению к матрице А, так как
суммирование производится здесь по нижнему значку V. Разрешая
уравнения (А.4) относительно величин х" (это возможно, так как
det Ат = det Л фО), получим выражение новых компонент век
тора х через старые:
л;'' = л;У. (А.5)
Элементы Af составляют матрицу, обратную матрице Ат. Отметим
формулы, следующие из самого определения обратной матрицы:
А\.А% = 6?:, А\Лй = Ь\. . (А.6)
11 Ю. В. Новожилов, Ю. А. Яппа

322 - ПРИЛОЖЕНИЯ
Множество линейных преобразований А с ненулевыми опреде-
определителями образует группу с обычным законом умножения матриц
(этот закон ассоциативен; каждой матрице соответствует обрат-
обратная; существует единичный элемент — матрица тождественного
преобразования). Это — группа аффинных преобразований вектор-
векторного пространства.
При любой физической интерпретации векторного пространства
необходимо иметь в виду тот фундаментальный факт, что, как можно
видеть из формулы (А.З), понятие вектора является инвариантным.
В противоположность этому численная характеристика вектора
с помощью компонент к1 имеет смысл лишь относительно данного
базиса, и закон (А.5) изменения компонент при данном изменении
базиса выражает неизменность самого вектора х. Однако вектор
представляет собой лишь один из примеров геометрических объек-
объектов векторного пространства, не зависящих от того или иного вы-
выбора базиса. Другим таким примером является линейная числен-
численная (скалярная) функция ср (х), определенная на пространстве Vn *)¦
В этом случае обозначим ср* = <р (ei) и фс = ф (е»<). Тогда
Ф (х) = <f>(xlet) = х'% = х'щ< = х1' (Агщ),
т. е,
Ф,, = Л-/ф,. (А.7)
Здесь матрица || А\- || та же, что и в соотношении (А.1). Числа ф;
рассматриваются как компоненты геометрического объекта, кото-
который называется ковариантным тензором первого ранга (или кова-
риантным вектором). Рассмотренные ранее компоненты х' опре-
определяют контравариантный тензор первого ранга {контравариант-
ный вектор).
В более общем случае геометрический объект может быть опре-
определен с помощью задания в каждом базисе таблицы компонент
7VJ22'" ljk, причем компоненты, относящиеся к разным базисам,
связаны между собой следующим законом преобразования;
г/й-'5=л;м;5...л;м'м;»...л'.^';-'*. ад
Такой геометрический объект называется тензором ранга k + I,
k раз контравариантным и / раз ковариантным. Ясно, что при пере-
перестановке индексов такая таблица может, вообще говоря, изме-
изменяться. Поэтому следовало бы еще обозначить то место, на котором
находятся ковариантные индексы по отношению к контравариант-
контравариантным (например, Т'1т, так как, вообще говоря, T[km i= T'lJ. Для
сокращения записи в формуле (А.8) это не сделано.
*) Условие линейности означает, что <р (cue + Pj> ) = сир (X) + Рф (у),
где а, Р — скалярные постоянные,

А. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА 323
Простейший пример, тензор а второго ранга — прямое произве-
произведение двух векторов, компоненты которого определяются таблицей
произведений вида xky', xkyi или хку, (это — три разных тензора,
так как закон преобразования их компонент различен).
Перечислим алгебраические операции, которые можно произво-
производить над тензорами. В качестве иллюстрации достаточно привести
формулы, относящиеся к тензорам какого-либо небольшого ранга.
1. Сложение. Если сложить одинаковые компоненты двух тен-
тензоров, обладающих одним и тем же законом преобразования, то
в результате получится тензор с таким же законом преобразования.
Например, T[i + T'l = TlJ.
2. Умножение на скаляр. Умножение всех компонент любого
тензора на одно и то же число (например, аТ%) не изменяет закона
преобразования этого тензора.
3. Прямое произведение тензоров. Если имеется любой тензор Т1
ранга пъ который kt раз контравариантен и /j раз ковариантен
(так что ?i + /i = П]), и любой другой тензор Т2 ранга га2, кото-
который k2 раз контравариантен и /2 раз ковариантен (так что /г2 -р 4 —
= га2), то таблица всевозможных произведений компонент тен-
тензора Т1 на компоненты тензора Т2 подчиняется закону преобразо-
преобразования тензора ранга п1 + га2, причем этот новый тензор kx -\- k2
раз контравариантен и 1Х + /2 раз ковариантен.
Например, с помощью компонент тензоров и\1 и vmn можно
образовать компоненты u\l vmn нового тензора.
4. Операция свертывания. Если тензор имеет k контравариант-
ных и / ковариантных индексов, то с помощью его компонент
можно образовать таблицу новых величин следующим образом.
Выберем те его компоненты, у которых значения какого-либо опре-
определенного контравариантного индекса равны значениям какого-
либо определенного ковариантного индекса, и образуем суммы
таких компонент по этим равным индексам. Совокупность этих сумм
образует новый тензор, который будет k — 1 раз контравариант-
ным и / — 1 раз ковариантным.
Например, если Г*(т — тензор, то Tk."lm и Т™!т также будут
тензорами (в данном случае у каждого из них остается лишь по
одному индексу и они преобразуются по векторному закону).
Часто встречается объединение операций прямого умножения
и свертывания, например: umlvt = wm.
Тензор ранга п в /V-мерном пространстве имеет, вообще говоря,
Nn компонент. Если таблица его компонент обладает теми или
иными свойствами симметрии, то между ними возникают алгебраи-
алгебраические соотношения, наличие которых уменьшает число линейно
независимых компонент. В частности, симметричным тензором
называется такой, компоненты которого остаются неизменными
при любой перестановке индексов. Вполне антисимметричный тен-
тензор определяется тем, что его компоненты изменяют знак на обрат-
11*

324 _ ПРИЛОЖЕНИЯ
ный при перестановке любой пары индексов (а значит, и при любой
нечетной перестановке его индексов). Формула (А.8) показывает,
что свойства симметрии тензора одинаковы во всех базисах.
В /V-мерном пространстве не может существовать ненулевой
антисимметричный тензор ранга, большего N. У антисимметрич-
антисимметричного тензора Aui2...iN наибольшего возможного ранга (такой тен-
тензор называется также псевдоскаляром) отлична от нуля компонента
Л12...лГ, все остальные его компоненты, не равные нулю, отли-
отличаются от этой какой-либо перестановкой индексов 1, 2, ... , N.
При четной перестановке индексов значение соответствующей ком-
компоненты равно A12...N, при нечетной же — отличается от A12...N
только знаком. Если A12...n = 1, то обозначим такой тензор сим-
символом Ufa, ... iN, Применение формулы (А.8) приводит для него
к результату
ег-2'... n> = det {A\) ¦ е1а... N. (A.9)
Для простейшего случая тензора Tik второго ранга, не обла-
обладающего определенной симметрией, отметим способ построения на
его основе симметричного и антисимметричного тензоров. Дейст-
Действительно, выражения
Т№ = \-(Т(„+ТЫ), Т$=^{ТШ-ТЫ), Tik = T$ + T\t (A. 10)
определяют тензоры, причем Т$ = Т$ и Г<^> = —Г?р. Следует
помнить, что формулы (А. 10) применимы только к тензору второго
ранга. В более общих случаях следует использовать общее опре-
определение операций симметризации и альтернирования, которые
в нашем изложении не встретятся. В частности, с помощью прямого
произведения Tik == х{ук двух векторов может быть построено
симметризованное произведение ГЦ» и так называемый бивек-
бивектор T\f:
Т$ = \ (х,уь + хкУ1), It = | {Xiyk-XkUi). (A. 10')
Евклидово /V-мерное пространство EN определяется введением
в векторном пространстве Vn билинейной скалярной функции,
принимающей вещественные значения и обозначаемой ср (х, у) =
= (х, у). Эта функция называется скалярным произведением век-
векторов х и у или метрикой пространства EN. При этом предпо-
предполагается, что (х, у) = (у, х). Квадрат длины вектора опреде-
определяется как (х, х) == х2, а ортогональность двух векторов — как
соотношение (X, у) = 0. Функция (X, у) не должна быть обяза-
обязательно знакоопределенной, так что для различных векторов х
может иметь место как неравенство хг > 0, так и х2 <0, а также
равенство х% ^= 0. В случае, когда х2 ^ 0 для всех х, простран-

А. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА 325
ство называется собственно евклидовым, в общем же случае -
псевдоевклидовым.
Обозначим {еи ej) = gij, если et — некоторый базис в VN.
Тогда формулу (А.2) можно применить для вывода соотношений:
gir = (et', er) = Al-Alr(el,ej) = A'i.A/rglJ. (A. 11)
Таким образом, совокупность величин gij является таблицей ком-
компонент тензора, который называется метрическим. При этом мет-
метрический тензор симметричен и полностью определяет метрику
пространства. В дальнейшем предполагается, что метрика не вы-
вырождена, т. е. что выполняется условие
detfe,)^O. (A. 12)
Это означает, что в EN не существует таких ненулевых векторов,
которые были бы ортогональны ко всем векторам пространства.
Исследование вещественных квадратичных форм (см., например,
книгу: П. К.. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ,
Гостехиздат, 1953, § 42) показывает, что среди всевозможных бази-
базисов пространства En можно выделить класс таких базисов, в кото-
которых квадратичная форма х2 приводится к сумме квадратов. Эти
базисы называются ортонормированными, причем составляющие
их векторы (орты) et удовлетворяют соотношениям
ej=l A<1й?/г), е\ = — 1
(e,,ej) = 0 AФ1). (А. 13)
Орты, нормированные на (+1) или (—1), называются единичными
и соответственно мнимоединичными, причем число тех и других
в любом ортонормированном базисе сохраняется (закон инерции
квадратичных форм). Таким образом, в ортонормированном базисе
выполняются фэрмулы
X2 = (**)* +. . . + (xkJ - (XмJ - . . . - (XN)\
.(х, y) = x1y1 + ... + xkyk-xk+1yl'+1-----xNyN. (АЛ4)
Компоненты х1 любого вектора х, определенные по аксиоме раз-
размерности формулой (А.1), называются, в соответствии с введенной
для тензоров терминологией, контравариантными. По отношению
к любому базису вектор может быть также определен заданием N
чисел
(A. 15)
которые преобразуются при изменении базиса по формулам (А.7)
и называются ковариантными компонентами вектора х. В орто-
нормированных базисах формула (А. 15) принимает вид
(без суммирования!). (А. 16)

326 . ПРИЛОЖЕНИЯ
Можно доказать, что если разрешить уравнения (А. 15) относи-
относительно х' и записать это решение в виде
(A. 17)
то g1' являются компонентами дважды контравариантного тензора.
Этот тензор столь же хорошо определяет метрику, как и ранее
введенный:
(х, у) = gifX'y = g4xtyj. _ (A. 18)
При этом в ортонормированных базисах g'> = gy — g»6y.
Формулы (А. 15) и (А. 17) можно назвать правилами поднима-
поднимания и опускания тензорных индексов, которые можно распростра-
распространить на тензоры произвольного ранга, записывая, например,
r:* = g%, T/k = gnTl.k (A. 19)
и т. п. В ортонормированных базисах соответствующие формулы
упрощаются в согласии с (А. 16).
Для того чтобы описать переходы от одного ортонормированного
базиса к другому, нужно среди аффинных преобразований выделить
все такие, с помощью которых соотношения (А. 13) для компо-
компонент gjj в старом базисе переходят в аналогичные соотношения
в новом базисе; другими словами, (ее, ?/-) = О (i' Ф j') и норми-
нормировка векторов е,- сохраняется. С целью определить эти преобра-
преобразования, сравним формулы xv = А\,хс и х1" = А\'х( с соотноше-
соотношением (А. 16). С его помощью закон преобразования, например, конт-
равариантных компонент может быть переписан в виде gin'xv =
= gbA'/Xi, т. е. xv = gi,i,giiA['xlt и поэтому
А]- = gi'i>gnAli (без суммирования!). (А.20)
Преобразования, удовлетворяющие условию (А.20), называются
псевдоортогональными. Легко проверить, что они составляют
группу. В случае собственно евклидова пространства получим усло-
условие А\, = А\', т. е., если вспомнить то, что было сказано на стр. 320:
Л = Ат. Такие преобразования носят название ортогональных.
При переходе'от одного ортонормированного базиса к другому
с помощью псевдоортогональных преобразований компоненты gif
сохраняют свои значения, матрица || g,j || остается диагональной
и ее определитель det (gtj) всегда равен +1 или—1 (что зависит
только от количества мнимоединичных векторов, характеризую-.
щего данное пространство). Поэтому из формулы (А.11) для таких
преобразований получаем [det (Л,,)]2 = 1, т. е.
det (Л^) = det (ЛГ) = ± 1. (А.21)
Первое из равенств (А.21) легко может быть доказано с помощью
(А.20). Псевдоортогональные преобразования с определителем, рав-

А. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА 327
ным +1, называются собственными преобразованиями, или враще-
вращениями, преобразования же с определителем, равным —1, назы-
называются несобственными или содержащими отражения.
В физике очень важно понятие тензорного поля, т. е. тензора,
компоненты которого являются функциями точки некоторого про-
пространства, например Fkl (х). Предполагается обычно, что эти
функции непрерывны и непрерывно-дифференцируемы достаточное
число раз в определенной области изменения своих аргументов.
Области непрерывности могут быть, вообще говоря, отделены одна
от другой поверхностями, на которых компоненты тензорного поля
могут испытывать конечный разрыв. В простейшем случае это
скалярная функция ср (je), определенная в некоторой области век-
векторного пространства. По отношению к любому базису этого про-
пространства можно определить производные дц>/дх1. При изменении
базиса эти производные изменяются по закону
L = ^L !?. = а1-, ^- (А 22) ¦
дх1' дх1' дх1 ' дх' ' V • /
Таким образом, операторы дифференцирования д/дх' образуют сов-
совместно ковариантные компоненты векторного оператора \ (опера-
(оператора градиента, который мы чаще будем обозначать символом grad).
При этом (v, е{) = д/дх'. Ясно, что операторы дифференцирова-
дифференцирования d/dxi по ковариантным компонентам аргумента составляют
контравариантные компоненты вектора \. Если в пространстве
взять единичный вектор S, то производная по направлению s опре-
определяется формулой
' (V, *)Ф^5. (А.23)
С помощью оператора у можно составить целый ряд других опе-
операторов, обладающих определенными свойствами преобразования,
например
У»ввД=^-^—., (А.24)
который называется оператором Лапласа. Скалярная операция
дивергенции векторного поля определяется формулой
d\vA = (\, A) = ~. (A.25)
ОХ
Применение операции градиента к тензорному полю произволь-
произвольного ранга приводит к новому тензорному полю, ранг которого
будет на единицу выше, чем ранг исходного поля, например: dFk4dxm.
Аналогом операции дивергенции в общем случае является сверты-
свертывание тензорного поля с оператором градиента, понижающее на две
единицы ранг производной от тензора, например: dFkmldxm.
Естественно, скалярная операция второго порядка (А.24) при-
приводит к тензору того же ранга, что и дифференцируемый,

328 ПРИЛОЖЕНИЯ
Б. Векторный анализ
в трехмерном евклидовом пространстве
Формулы тензорного исчисления, приведенные в Приложении А,
могут быть легко применены к случаю трехмерного собственно
евклидова пространства Е3. Тензорные индексы, пробегающие зна-
значения 1, 2, 3, будем здесь, как и в основном тексте, обозначать гре-
греческими буквами.
Рассмотрим полностью антисимметричный тензор наивысшего
ранга eaPv, который преобразуется по формуле (А.9). Ввиду свой-
свойства (А.21) ортогональных преобразований этот тензор вполне
характеризуется заданием единственной компоненты, например е123,
не изменяющейся, т. е. обладающей свойством скаляра, при вра-
вращениях и изменяющей свой знак при отражениях. Поэтому есте-
естественно называть тензор eagv псевдоскаляром. Будем считать, что
v ~ единичный псевдоскаляр, т.е. что е123= 1.
Легко проверить выполнение следующих равенств:
Если Аа — трехмерный вектор, а Та& — антисимметричный
тензор, то с помощью свертывания можно построить величины:
л%ру=гРу) 1гЧР? = Л- (Б-2)
Заметим, что в пространстве Е3, согласно (А. 16), нет различия
между ковариантными и контравариантными индексами, поэтому
любой из них можно поставить как наверху, так и внизу, не изме-
изменяя смысла формул. Принимая во внимание (А.8) и (А.9), можно
* *
сделать вывод, что Ау и Т$у изменяются при вращениях соответ-
соответственно как компоненты вектора и антисимметричного тензора
второго ранга, а при отражениях изменяют знак на обратный.
* *
Поэтому Ау называется псевдовектором, а 7pY — псевдотензором.
В трехмерном векторном анализе псевдовекторы часто называются
также аксиальными векторами; тогда «обычные» векторы в неко-
некоторых случаях называются полярными.
Простые геометрические соображения показывают, что удвоен-
удвоенный бивектор (АЛО'), построенный из компонент векторов х и у,
имеет компоненты 27^, численно равные проекции на коорди-
координатные плоскости (a, P) площади параллелограмма, построенного на
этих векторах. С помощью формулы (Б.2) этому бивектору можно
сопоставить псевдовектор:
aPv ( д ^Щ (Б.З)

Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 329
В этом случае вводится обозначение Аа = [х X у К служащее
определением компонент векторного произведения х х у век-
векторов х и у.
С помощью определения (Б.З) легко получить известные свой-
свойства произведений трех векторов. Так, например,
а [Ь х с] = аа [Ь х cf = za^aab$cy. (Б.4)
Так как га^ааЬ^су — г^^афасу = —еаЩаа^ (здесь первое ра-
равенство получено переменой обозначений индексов суммирования,
а второе — с помощью свойства антисимметрии тензора еа№) и,
аналогично этому, ъа®уааЬ$су = evP<*av&pca = —га^саЬ^ау, полу-
получаем
(Б.5)
Аналогичным методом можно вывести формулу
а х [Ь х с] = b (ас) — с (ab). (Б.6)
Обозначим квадратными скобками при тензорных индексах
операцию антисимметризации по этим индексам. Именно
х). х^л = -у У± Рх\ .. .хт-.
L' l\ m\ Ai ( 1
(Р)
Здесь суммирование производится по всевозможным т\ переста-
перестановкам Р индексов ilt ... , im; при этом в члене суммы, получив-
получившемся с помощью четной перестановки из некоторого определен-
определенного порядка индексов, принятого за исходный, берется знак
плюс, в случае же нечетной перестановки — знак минус. Если
а — dx и b = dy — бесконечно малые смещения, исходящие из
некоторой точки двумерной поверхности о и лежащие в касатель-
касательной плоскости к этой поверхности, то формула (Б.З) дает опреде-
определение площади ориентированного бесконечно малого участка
этой' поверхности:
daa = е*Р? dx\b dyy]. (Б. 7)
Соответственно для некомпланарных а = dx, b = dy, с = dz
формула (Б.4) выражает ориентированный трехмерный объем:
dV = za^dx[ady^dzy]. (Б.8)
Для определенности всюду в нашем изложении положительной
ориентацией считается правовинтовая. Ясно, что абсолютные ве-
величины площади 1^ | daa |2V/2 и объема | dV* | от выбора ориен-
\ a /
тации не зависят.
Перейдем к рассмотрению векторных полей в пространстве Ел
и дифференциальных операций, применяемых к этим полям.

330 ПРИЛОЖЕНИЯ
Все сведения относительно операций grad, div и div grad,
приведенные в формулах (А.22) — (А.25), непосредственно пере-
переносятся на частный случай Е3. Лапласиан в дека'ртовых коорди-
координатах принимает вид
^ l l
Специфической особенностью трехмерного пространства яв-
является возможность определения псевдовекторной операции rot
параллельно осуществленному выше введению векторного произ-
произведения двух векторов. С помощью компонент д1дх°- оператора grad
и компонент ДО произвольного дифференцируемого векторного
поля b в декартовых координатах можно составить величины
д№ dba л „
-, представляющие собой компоненты антисимметричного
дха дхр
тензора второго ранга. По общему правилу (Б.2) определим поле
* bW. (Б.ю)
2 \дха дх&/ дха v
Это поле Ау, обладающее псевдовекторным характером преобра-
преобразования, и называется ротором (или вихрем) векторного поля Ь.
При этом вводится обозначение:
iv = (rot6)v. (Б. 11)
Тензорная запись дифференциальных операций, применяемая
нами, позволяет легко и однозначно получить все обычные формулы
векторного анализа, причем на любом этапе остается очевидным
характер преобразования вводимых величин.
Так, например, если b = grad ср, то Av = e"v'aP—2—=0
дха дхР
(ввиду симметричности д2/дхР-дх$ по индексам аи р и антисиммет-
антисимметричности evaP), т. е.
rot grad ф = 0. (Б. 12)
Далее,
с
дхУ дхадхУ
Т. е.
divrot& = 0. (Б.13)
Если ф и г|з — скалярные функции, то элементарным примене-
применением формулы дифференцирования произведения и выписанных
выше основных определений получим
grad (ф-ф) = Ф grad of + q grad ф, (B.Hj)
div^a) = ф div д +(grad ф, а), (Б.142)
rot (фо) = ф rot а + (grad ф ха). (БЛ43)

Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 331
Заметим, что из формул (Б.1), (Б.10) и (Б.11) следует, что
^ = ^_^. (БЛ5)
xv дха дхР
С помощью этого равенства мы выведем выражение для grad (ab).
Вычислим прежде всего grad (о2) = grad (aaaa). В компонентах
запишем
1 д(аааа) даа /даа даР\ $
= п
V ViT fl« Тй а« Гв Га + а« 71 п ^Ва fot « + «а ,
2 ЗхР &Р \дхР дха/ дха 'а дха
т. е., если ввести часто используемое обозначение
аа-^ = {а, grad) (Б. 16)
и вспомнить формулу (Б.З), получаем результат:
~grad (о2) = [oxrot a] + {a, grad) о. (Б. 17)
Применяя формулу (Б. 17) к выражению grad ((а + ЬJ) и исполь-
используя свойство линейности операции grad, можно легко прийти к вы-
выводу, что
grad (ab) = [ax rot b] + [b x rot a] + (a grad) b + (b grad) о. (Б. 18)
Часто используются следующие формулы векторного анализа:
div [oxЬ] = 6 rot a — a rot b, - (Б. 19)
rot [о х b] = (b grad) a —(a grad) b + о div b — b div о. (Б.20)
Вывод последнего равенства получается следующим образом:
rotv [о X b] = evXx А [о X ft]* = evJW{e*w> ^
-bv^-а,,^. (Б.20)
Здесь использована первая из формул (Б.1).
Формула (Б. 19) доказывается аналогично. Можно доказать
также справедливое только в декартовых координатах равенство
rot rot о = grad div о —div grad о. (Б.21)
Из формулы (Б.20') можно видеть, что псевдовекторная опера-
операция rot, примененная к псевдовектору о X Ь, дает в результате
полярный вектор, записанный в правой части этого равенства.
Аналогичный результат, разумеется, будет получен в отношении
ротора любого псевдовектора, а также для «векторного произве-
*
дения» вектора на псевдовектор. Действительно, если Вк =

332 ПРИЛОЖЕНИЯ
= Va sxinbiK, где biK — —bKl, то с помощью первой из формул
*
(Б.1) легко найти, например: rdtn В = db^ddx*. Во всех таких
случаях достаточно определить, изменяется ли знак соответствую-
соответствующего выражения на обратный при пространственном отражении.
Так, например, если известно, что в равенстве rot a = b правая
часть представляет собой полярный вектор, то отсюда можно сде-
сделать вывод, что величина а является псевдовектором.
Основную роль в теории векторных полей играют интегральные
теоремы, формулировки которых приводятся ниже.
Рассмотрим прежде всего трехмерную область V, ограниченную
замкнутой двумерной поверхностью а. Для определенности выбе-
выберем положительное направление единичного вектора нормали п
в каждой точке этой поверхности в сторону области пространства,
внешней по отношению к рассматриваемому объему.
Потоком векторного поля а через поверхность а называется
выражение
§ (а, п) da=s§ an da.
С помощью потока векторного поля можно сформулировать опре-
определение дивергенции div а, не зависящее от предварительного
выбора тех или иных координат в пространстве Е3. Окружим про-
произвольную точку х пространства некоторой замкнутой поверхно-
поверхностью о; обозначим через У объем внутри этой поверхности. Если совер-
совершить стягивание поверхности а к точке х так, что V -> 0, то упо-
упомянутое определение имеет вид
lim ~&>anda=diva(x). (Б.22)
V-+0 V i
В курсах векторного анализа доказывается, что в декартовых
координатах определение (Б.22) приводит к ранее использованной
формуле (А.25), т. е. div a = daF-ldx? (для этого нужно, чтобы
поле а обладало непрерывными частными производными по всем
координатам в области, где рассматривается его дивергенция).
Теорема Остроградского — Гаусса. Если поле а (х) имеет
непрерывную (или кусочно-непрерывную) дивергенцию div а (х),
то для всякой области V с границей а
ф (an) da = ^ div a dV. (Б.23)
Совершенно аналогично обычному доказательству этой теоремы
можно получить формулу для тензорного поля ТаР (х):
lv. (Б.23')

Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 333
Возьмем теперь замкнутый линейный контур s в пространстве Е3
с заданным на нем направлением обхода, т. е. положительным
направлением касательных векторов, и произвольную двумерную
поверхность о, границей которой является этот контур. Одно из
двух возможных направлений нормали к поверхности а в любой
ее точке можно принять в качестве положительного. Мы будем
считать нормаль положительной, если ее направление связано
с направлением положительного обхода контура по правилу пра-
правого винта. Это значит, что если из точки на о, где нужно опреде-
определить нормаль, провести вектор s, единичный и параллельный
какому-либо из положительных касательных векторов контура s,
то вектор b — п х s направлен внутрь этого контура. Правило
левого винта имеет место при противоположном направлении век-
вектора Ь.
Циркуляцией векторного поля а вдоль замкнутого контура s
называется выражение
§(а, s)ds^§asds. (Б. 24)
S '
Понятие циркуляции позволяет определить операцию rot а, не
прибегая к декартовым координатам. Именно, если стягивать
контур s в точку х, лежащую на рассмотренной выше поверхно-
поверхности а, то, по определению,
1 С
rotno = lim-^- ф (a, s)ds. (Б.25)
S —О ^ J
В левой части указана проекция rot а на нормаль п к поверх-
поверхности ст в точке х. Поверхность а, проходящая через точку х,
может быть выбрана произвольно, так что формула (Б.25) опре-
определяет вместе с тем проекцию rot а на любое направление в точке х,
т. е. определяет вектор rot а полностью. Так как мы заранее задали
положительную ориентацию в Е3, то тем самым величина rot a
определена и в качестве псевдовектора. Можно показать, что в де-
декартовых координатах выражение (Б.25) приводит к ранее исполь-
использованному определению ротора, как оно указано в формулах (Б. 10)
и (Б.11)..
Теорема Стокса. Если область 5 на поверхности а ограничена
контуром s, то
ф(д, s)ds= $ (rot a, n)da, (Б.26)
s S
где единичный вектор нормали п к поверхности направлен в поло-
положительную сторону относительно единичного вектора касательной
к контуру s.
Формула Грина. Пусть вектор а в формуле (Б.23) имеет вид
а = "ф grad ср. Раскрывая div а согласно (Б. 142), придем к

334 ПРИЛОЖЕНИЯ
равенству
{г|> АФ + (grad г|>, grad Ф)} dV = ф Ч> ~f da, (Б.27)
где производная дф/дя определена по правилу (А.23). Переставим
в формуле (Б.27) местами символы фифи вычтем полученное таким
образом равенство из (Б.27) почленно. В результате получим фор-
формулу
(г|> ДФ - Ф А-ф) d V = § (г|> g- - Ф g) do, (&:28)
которая называется формулой Грина и имеет важные применения
в теории интегрирования уравнений в частных производных.
В. Основные формулы
с дельта-функцией и ее производными
Изложение свойств дельта-функции, проводимое здесь, ни
в коей мере не претендует на математическую строгость. Читатель,
интересующийся обоснованием этих свойств, должен обратиться
к специальной литературе *).
Будем сначала считать аргумент х одномерным. Дельта-функ-
Дельта-функция б (л; — %) формально может быть определена с помощью сле-
следующего уравнения:
\8(x-l)f(x)dx = f(l), (B.I)
хотя можно показать, что такой функции точки б (л: — ?), которая
бы удовлетворяла соотношению (В.1), не существует. Существуют,
однако, бесконечные последовательности {фя (х)} функций такие,
что равенство (В.1) выполняется в следующем смысле:
lim $ <рп(х-%) f(x)dx =/(?). (В.2)
л->оо
Свойство (В.1) тем не менее формулируют часто с помощью пред-
представления о «несобственной» функции б (х — |), равной нулю при
х Ф\ и обращающейся в бесконечность при х — |, так что
Несмотря на математическую несостоятельность выражения (В.1),
оно может быть использовано для символического получения даль-
дальнейших свойств дельта-функции, которые могут быть строго обос-
обоснованы (см. цитируемые выше книги).
*) Можно указать, например, книги: И.М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обоб-
Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, 1959, или В. С. Владимиров,
Уравнения математической физики, «Наука», 1971, гл. 2.

В. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ С ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЕЙ
335
Применяя к (В.2) формулу интегрирования по частям, получим
f
дх
(В.З)
Здесь считается, что а <С\ <Cb. Фактически (В.З) нужно рассмат-
рассматривать как определение производной от дельта-функции <Эб (л; — 1)/дх.
Аналогично
(B.4)
Из обычных правил замены переменной интегрирования имеем
б(—лг) = б (л:), б'(— х) = — &'(х). (В.5)
Кроме того,
хб (х) = 0. (В.6)
Далее,
^-. (В.7)
Пусть в интервале а < х < Ъ находятся простые корни xs
уравнения ф (х) = 0. Тогда
В частности,
(B-8)
(B.9)
В случае кратных корней соотношение (В.8) неприменимо.
Для символического вывода формулы (В .8) рассмотрим тот слу-
случай, когда в рассматриваемом интервале лежит один лишь корень
х = | уравнения <р (х) = 0. Тогда, вводя вместо х новую перемен-
переменную ф, получим
.._ /(ф)
= fix)
В «-мерном случае формула (В.1) имеет вид

336 ПРИЛОЖЕНИЯ
Можно положить
6(*!-?!, ...,*„-?„)= Пб(*»-Б*). (В.Ю)
Обозначим теперь через (^f) (к) преобразование Фурье функ-
функции f (здесь К — аргумент функции &f). Определение преобразо-
преобразования Фурье (<&~8) (х) дельта-функции вводится с помощью сле-
следующего формального равенства:
\ б (I -1) (ff) (I) d«\ = \ f (х) (<^6) (*) d»x. (В. 11)
Обозначим через (к, х) скалярное произведение в пространстве ар-
аргумента. Так как
предыдущее равенство переписывается в виде
$ $ е< «V *>6 (l-l) f (х) dnx dnl = \ dnxf (x) [J d"^?(»¦. *>6 (I-g)]. (В. 12)
Сравнивая (В. 11) и (В. 12), получим
(оТб^Мя^е'<!.*>. (В. 13)
В частности, qF80 = 1. Таким образом, в «-мерном пространстве
Отметим, что представление о дельта-функции связано с описа-
описанием точечного заряда, производные же дельта-функции — с опи-
описанием точечных мультиполей (ср. § 11).
Г. Интегрирование по гиперповерхностям
в пространстве Минковского
1. Пусть функция р (х) определена так, как это сделано в § 23.
Рассмотрим какую-либо гиперповерхность 2 из семейства времени-
подобных гиперповерхностей в пространстве Минковского, опре-
определенных уравнениями вида р (л:) = const (так что градиент др/дхг,
имеющий направление нормали к гиперповерхности, является
пространственноподобным вектором). Обозначим через —р единич-
единичный вектор нормали к гиперповерхности 2, a v = и/с — единич-
единичную времениподобную касательную к этой гиперповерхности в не-
некоторой точке (рис. 47).
Будем считать, что бесконечно малый элемент сЕ, гиперпо-
гиперповерхности 2 в точке х ориентирован в направлении —р (такое
условие оказывается в дальнейшем удобным). Тогда можно записать

Г. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯМ
337
dSr = —prdlj. Пусть dx — бесконечно малое смещение в напра-
направлении р, так что dxr = prdl. Рассмотрим четырехмерный объем dQ
цилиндра с образующей dx, опирающегося на трехмерный элемент
гиперповерхности dSr. Ясно, что
Однако тот же объем dQ может быть вычислен несколько иначе
(рис. 48). Введем пространственноподобную гиперплоскость П,
проходящую через точку х и определяемую уравнением (dx, v) = 0.
Вектор р принадлежит ги-
гиперплоскости П. Объем ' dQ
может теперь быть расслоен
— а ~-—
-Р-
на Гиперплоскости, параллельные П, общей времениподобной
нормалью к которым является вектор v. Элемент da' гипер-
гиперплоскости П может быть вычислен следующим образом. Так
как R = р (v + р), в гиперплоскости П лежит проекция Ru = рр
этого вектора. Перейдем к системе покоя в точке х. В этой системе do'
выражается просто как элемент трехмерного объема в гиперпло-
гиперплоскости П. Введя в этой гиперплоскости трехмерные декартовы
координаты, можно перейти затем к сферическим координатам,
причем радиус-вектор будет совпадать с /?п> а углы йиф вводятся
обычным образом. В такой сферической системе координат do' =
= р2 dp da, гдейсо = sin ft dft dq>, а элемент четырехмерного объема
принимает вид
dQ = p2dpdads, (Г.2)
где ds — бесконечно малое смещение в направлении вектора v",
ортогонального по отношению к П. Так как четырехмерный объем
инвариантен относительно преобразований Лоренца, он будет
численно равен правой части (Г.2) в любой системе отсчета. Кроме

338
ПРИЛОЖЕНИЯ
того, ясно, что выражения (Г.1) и (Г.2) должны совпадать одно
с другим с точностью до бесконечно малых величин более высокого
порядка. Первое из них получено с помощью расслоения объема
семейством трехмерных времениподобных гиперповерхностей, опре-
определяемых уравнениями р = const, второе же — с помощью расслое-
расслоения того же самого объема на семейство трехмерных пространст-
венноподобных гиперплоскостей, параллельных гиперплоскости П.
С другой стороны, возвращаясь к формуле (Г.1), можно записать:
>= grdxr =dl ?
dxr dxr
т. е.
дхг
Рг
(Г.З)
Приравнивая правые части равенств (Г.2) и (Г.З), получим опре-
определение трехмерного элемента dS времениподобной поверхности 2:
p2 da ds.
(ТА)
Эта формула и была использована в § 23.
2. В мгновенно сопутствующей системе отсчета величины ра
представляют собой косинусы углов, образуемых единичным трех-
трехмерным вектором р с осями а трехмерной декартовой системы ко-
координат. Учитывая, что в нашем случае р2 = —1, получим, интег-
интегрируя по единичной сфере:
4я
(Г.5)
Обычная формула, относящаяся к евклидову пространству, соот-
соответствует замене здесь всех ра на ipa. При этом
= 4я.
(Г.6)
Интегралы, же по единичной сфере от произведений нечетного числа
компонент ра равны нулю.
Удобно использовать формулу (Г.4) в четырехмерном виде.
Действительно, из соотношения up = О следует р0 = -- (vp), а по-
потому в мгновенно сопутствующей системе, где v — О, имеет место
равенство р0 = 0. Поэтому в такой системе отсчета интегралы по
единичной сфере от произведений рора и pi равны нулю тождест-
тождественно. Легко проверить, что это обстоятельство может быть вы-
выражено в виде формулы
4я /с tlillk\ /p у\

F. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯМ
339
При этом по-прежнему интегралы по единичной сфере от произве-
произведений нечетного числа компонент четырехмерного вектора р{ обра-
обращаются в нуль.
Ясно, что так как doa не является релятивистским инвариантом,
данная формула применима только в мгновенно сопутствующей
системе отсчета. Однако выражения, получаемые с ее помощью
в § 23, тем не менее релятивистски-инвариантны, так-как она исполь-
используется там как составная часть инва-
инвариантного в целом интегрирования
по четырехмерному объему.
3. Элемент объема светового ко-
конуса определяется следующим обра-
образом. Рассмотрим сначала гиперсферу
с пространственноподобным радиусом,
определяемую уравнением R2 — —к2.
Элемент объема такой гиперсферы
— рт —
равен dSm = rm d2 = ~ dS . Рассмот-
Рассмотрим теперь произвольную гиперплос-
гиперплоскость с пространственноподобной еди-
единичной нормалью п. Элемент объема
этой гиперплоскости dSm = «md2.
d2 = (hr) d2 = j- (nR) dS , означающее, что d2 определяется как
проекция элемента d2m на гиперплоскость (рис. 49). Обозначим
dFssdSA,. Тогда из предыдущего соотношения следует
(Г.8)
Рис. 49.
Используем соотношение
nR
Левая часть в (Г.8) не зависит от направления вектора п, поэтому
и правая часть не зависит от выбора этого вектора. Далее,
(Г.9)
1«Я|
Но эта последняя формула не содержит зависимости от к, а потому
остается справедливой и при к-у О, т. е. при R2 = 0. В этом слу-
случае она применяется для вычисления интегралов по световому
конусу.
Заметим еще, что формула (Г.9) может быть совершенно .ана-
.аналогичным образом получена с использованием гиперсфер, имеющих
времениподобный радиус и соответственно гиперплоскостей с вре-
мениподобными нормалями. Поэтому вектор п в правой части этой
формулы фактически совершенно произволен (он не может быть
только световым).

340
ПРИЛОЖЕНИЯ
4. Всюду в тексте книги используется метрика пространства
Минковского, определяемая значениями g00 = 1, gaa = —1, gik = 0
при I фк. Многие авторы применяют обратную метрику g\k = ¦—gik,
так что ds'2 = —ds2 = dr2 — c2di2. Полезно провести сравнение
записи величин электромагнитного поля в этих двух метриках.
Будем считать заданными физические величины ф и А как функции
координат и времени. Четырехмерные тензоры, соответствующие
выбору метрики g'm, отмечаются далее штрихом. Связь четырехмер-
четырехмерных величин с функциями ф и А в метрике gik определяется фор-
формулами G.3). При использовании метрики g'tk обычно полагают
ф'т = фт и s'm = sm. Тогда
т. е. Ф'° =
Далее,
ф'т _ g'mn(?>'n — _ ?т«фл = — Фт,
и Ф'а = Аа.
р, дФ^_ _ дФт _ дФп _ дФт _ р
тп~~ дхт дхп ~ дхт дхп ~~ тп>
Fftnn rtna rfib r?f тпа, tib г1 т~шп
= g g Fab = g g Fab^F
Fim rmapr rrmaF Fm
• n — g "an g "an— ' ¦ n'
В метрике
а в метрике
dxkdxk
dxk dxk
= п.
Вместе с тем волновые уравнения для потенциалов имеют одина-
одинаковый вид в обеих метриках, т. е.
, дхк дхь с
В качестве тензора энергии-импульса электромагнитного поля
в метрике gik часто используется величина
= - {FmaFan + 1 gmn (FabFab)} = -
Ттп,
где Ттп совпадает с выражением A0.19). Различие в знаке не имеет
значения при рассмотрении закона сохранения энергии-импульса,
так как он имеет вид
U

Д. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 341
Д. Применение преобразования Фурье
для решения волнового уравнения
В дополнение к § 13 мы рассмотрим здесь решение волнового
уравнения, используя теорию функций комплексного переменного.
При этом будут нужны формулы разложения функций в интегралы
Фурье. С помощью этих формул проводится ряд вычислений и
в основном тексте книги.
Волновое уравнение мы будем здесь записывать в несколько
более общей форме, чем в § 13, т. е. не для случая вакуума,
а для произвольной однородной изотропной среды, причем систему
единиц не будем заранее фиксировать:
Здесь
v = alVw. (Д.2)
Так же как и в § 13, функция г|) может представлять (при соот-
соответствующем выборе правой части g) любую декартову компоненту
потенциалов или же напряженностей электромагнитного поля.
Рассмотрим однородное уравнение, когда g = 0. Непосредст-
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция
^«(r, t) = A(k, аОеМ*-»'», (Д.З)
где амплитуда А не зависит от координат и времени *), является
решением такого однородного уравнения, если только выполнено
условие
fc« = шя/о*. (Д. 4)
Решение (Д.З) называется плоской волной с волновым вектором ft.
Для очень широкого класса функций -ф (г, t) можно считать, что
выполняется формула разложения в интеграл Фурье:
+ СО
г|з(г, t) = \d?k $ dm Л (ft, со) <*<<*>¦-о>о. (Д.5;
— со
Если при этом выполнено и соотношение (Д.4), которое можно
тогда учесть, введя под знак интеграла в правой- части дельта-
функцию б (ft2 — со2/и2), то (Д.5) также будет решением однород-
однородного волнового уравнения. Это видно из формулы для дельта-
функции (В.6). В дальнейшем формула (Д.5) будет применяться
и для решения других уравнений, когда условие (Д.4) не имеет
места.
*) В этой формуле частоту со можно считать как положительной, так и
отрицательной.

342 ПРИЛОЖЕНИЯ
Если функция г|) вещественна, т. е. ф = гр* (звездочкой здесь и
в дальнейшем обозначается комплексное сопряжение), то из (Д.5)
видно, что должно выполняться условие
А* (-к, -<а) = Л(й, со). (Д.6)
Решение неоднородного волнового уравнения для бесконечного
пространства попытаемся представить в форме A3.13). При этом
основную роль играет свойство функции Грина G, выражаемое
уравнением A3.12). Учитывая, что разложение Фурье вида (Д.5)
применимо для функций, удовлетворяющих весьма широким усло-
условиям, запишем функцию Грина в виде
G{r-r', t-t')=\dsk\dag(k, со)e^c-'V-"»«-*'). (Д.7)
Дельта-функция в правой части уравнения, определяющего фунда-
фундаментальное решение, также может быть представлена по формуле
(В. 14) в виде интеграла Фурье. Подставляя эти разложения, полу-
получим с помощью A3.12)
Функция^ (к, со) сингулярна, когда к удовлетворяет условию (Д.4).
Интеграл по переменной со в формуле (Д.7) имеет вид
Потребуем, чтобы функция G удовлетворяла условию причинности
в следующей форме:
G = 0 при t<t'. (Д. 10)
Напомним, что t — время наблюдения, a f — время испускания
электромагнитного импульса источником. Требование (Д. 10) может
быть использовано при вычислении интеграла (Д.9) с помощью
теории вычетов. Подынтегральное выражение в этом интеграле
регулярно при любых комплексных значениях со, за исключением
двух полюсов при со = ±vk. Если t > /' и со = сох + по2, где сох
и со2 вещественны, то ?-««>('-<'> _ e-ia>, |<—пею, i t-f^ причем
со2 | / — /' | < 0 в нижней полуплоскости комплексного перемен-
переменного со (т. е. при со, <0). Поэтому, если выбрать контур интегри-
интегрирования в виде отрезка вещественной оси, замыкающего полуокруж-
полуокружностью в нижней полуплоскости, то интеграл по этой полуокруж-
полуокружности будет содержать экспоненциально убывающий при | сог | -> оо
множитель и, значит, в пределе обратится в нуль. Аналогичное
условие будет выполняться при / < /' для контура с замыкающей
полуокружностью, проведенной в верхней полуплоскости. Для того
чтобы выполнялось условие (Д. 10), нужно, чтобы внутри такого
верхнего контура особенностей подынтегральной функции не было.

Д. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
343
Поэтому сместим упомянутые выше полюсы на бесконечно малое
расстояние вниз от вещественной оси, полагая <о = ±vk — ге, и
вычислим интеграл при е-> 0 и неограниченном расширении замы-
замыкающей контур снизу полуокружности (рис. 50). Теорема Коши
приводит к результату:
^L, (Д.п)
где Т — t— ?. С помощью (Д.7), (Д.8) и (Д.П), производя интег-
интегрирование по углам, получим
оо
G = -~ j d3keiki4(k)=~R J dksinkRsmvkT.
о
Здесь, как обычно, R s= г — г'. Теперь используем четность
подынтегральной функции по аргументу k и будем интегрировать
от —оо до +оо. Обозначая vk з= ?,
Здесь использованы формула (В. 14) и то обстоятельство, что
б (Г + Rlv) e= 0.
Мы получили выражение для функции Грина, полностью совпа-
совпадающее с выведенной в § 13 формулой A3.12') в частном случае
v = с. Вторичный вывод, приведен-
приведенный здесь, интересен благодаря при-
применению методов теории функций
комплексной переменной для выра-
выражения условия причинности (Д. 10).
Разложения в интеграл Фурье
(Д.5) для решения^ и источника g
неоднородного волнового уравнения
неоднократно используются в тексте
книги. В ряде случаев, однако,
достаточно применять лишь разло-
разложения по временному аргументу. Это означает, что формула
(Д.5) записывается в виде
t>t
Рис. 50.
яр (г, /)=
(Д. 12)
С учетом нормировочного множителя можно записать также и об-
обратное преобразование Фурье:
+ оо
(Д. 13)

344 ПРИЛОЖЕНИЯ
При помощи (Д. 12) полезно еще раз рассмотреть решение неодно-
неоднородного волнового уравнения в бесконечном пространстве, которое
при этом получается, собственно, методом разделения переменных.
Подставляя в (Д.1) разложение (Д. 12) и аналогичное разложение
для функции g, получим для амплитуд Фурье -фш (г) и ga (/*) связы-
связывающее их дифференциальное уравнение:
„ = -&» (Д. 14)
которое называется уравнением Гельмгольца. Решение этого урав-
уравнения можно опять-таки искать с помощью соответствующей функ-
функции Грина G (г, г'), которая в данном случае должна удовлетво-
удовлетворять условию
4>a(r) = $G(r, r')g«(r')dV', (Д. 15)
причем
(A + k*)G(r, /•') = —б(г-г'). (Д.16)
Можно показать, что
Таким образом,
и, согласно (Д. 12),
г|,(г, 0 = 4^ J^P-e-'W^WdV'dco. (Д. 19)
Если сдвинуть начало отсчета времени на величину R/v, то, воз-
возвращаясь к функции g (r, t), легко привести предыдущую формулу
к виду
Значения t + R/v являются более поздними, чем время наблюде-
наблюдения t, поэтому физическому условию причинности соответствует
лишь выбор нижнего знака. Таким образом, мы вновь получили
запаздывающие решения того типа, который был рассмотрен в § 13.
Приведенный выше вывод полезно сравнить с использованным
ранее в настоящем параграфе разложением Фурье по всем перемен-
переменным (т. е. по t и по г). В частности, таким способом можно полу-
получить обоснование формулы (Д. 17). Предоставляем это читателю
в качестве упражнения.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Индексы. В главах 1—6 латинские индексы i, j, ... пробегают значения
О, 1, 2, 3, а греческие а, р\... —1, 2, 3. В главах 7 — 9 латинские индексы
пробегают значения I, 2, 3. В § 33 греческие индексы а, р\ ... нумеруют ли-
линейные контуры. В § 34 латинские индексы нумеруют обобщенные силы и
обобщенные токи.
Латинский шрифт.
А— векторный потенциал; А^'—коэффициенты линейных преобразований,
а—трехмерное ускорение; а,-/ —тензор деформаций (§ 32), коэффициенты
Онзагера (§ 34).
В —магнитная индукция.
b = dw/dx.
С —емкость конденсатора, эйконал (§ 21).
с—скорость света в вакууме; с^ — коэффициенты емкости (§ 30); суы —
модули упругости (§ 32).
D—электрическая индукция.
¦' d-L м — пьезоэлектрические коэффициенты (§ 32).
Е — электрическая напряженность; % — энергия материальной точки (§ 6),
полная энергия излучения (§ 16).
е — заряд электрона; в{ — базисные векторы в линейном пространстве;
ei — базисные векторы в пространстве Минковского.
F—механическая сила; Fm3—сила реакции излучения; FBH —внешняя
сила, действующая на заряд; F, F' — четырехмерная сила Минковского; F'k —
тензор напряженностей электромагнитного поля; F — плотность свободной энер-
энергии (§§ 22, 31); F — термодинамический потенциал (§ 31); 3"—полная свобод-
свободная энергия.
/—объемная плотность сил; /'* — тензор индукций электромагнитного
поля (§ 7).
G — функция Грина (§ 11); ^ — потенциал Гиббса (§ 32).
g—плотность импульса электромагнитного поля; gy—метрический тензор.
Я—магнитная напряженность; «2%^—функция Гамильтона (§§ 8, 28).
ft —постоянная Планка (§ 22); h = da/dt (§ 23).
/ — полная сила тока (§ 12); Iit /2 — инварианты электромагнитного поля
(§ 7); / (ш)—энергия излучения частоты со.
/ — поверхностная плотность тока.
fi — обобщенные токи (§ 34).
/ —плотность тока; /ст — плотность стороннего тока; /я, js — нормальный
и сверхпроводящий токи (§ 37).
К,—инерциальная система отсчета, яркость излучения (§ 22), кинетическая
энергия; S/C, з^1' —четырехмерная сила Ньютона.
k — волновое число, постоянная Больцмана; k—комплексное волновое
число; ft, k—волновой вектор.
L — коэффициент самоиндукции катушки; Z.ap —коэффициенты индукции;
X — функция Лагранжа.

346 СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
М — намагниченность; Мо — остаточная намагниченность; Л}'* —полный
четырехмерный момент импульса.
т — магнитный момент; т — плотность момента импульса (§ 3); mi,mj—
плотность четырехмерного момента импульса (§ 10); т0 — масса покоя частицы.
ЛГ—механический момент сил; N — коэффициент Нернста (§ 34), число
частиц (§ 39).
п — единичный вектор внешней нормали; п — показатель преломления
(§§ 19, 39); л —комплексный показатель преломления (§ 39).
Р — электрическая поляризация; Р, р1 — вектор энергии-импульса; Р% —
канонический импульс осциллятора поля (§ 22).
р — плотность механического импульса, импульс материальной
точки, электрический дипольный момент (§ 11); р—давление (§ 22); рм— маг-
магнитное давление (§ 35); р% — канонический импульс осциллятора поля (§ 22).
Q —количество тепла; Qap — квадрупольный момеш (§§ 11, 16); Q?_ — кано-
каноническая координата осциллятора поля (§ 22).
q — электрический заряд; <7 —плотность потока тепла (§ 34); qx — канони-
каноническая координата осциллятора поля (§ 22).
R — активное сопротивление линейного контура (§ 33); R—радиус-вектор,
R~r — г'.
г—радиус-вектор, г' — радиус-вектор источника; rL — ларморовский ра-
Диус; rik—тензор сопротивления анизотропной среды (§ 34).
S—вектор Умова —Пойнтинга; S —плотность энтропии; Щ — интеграл дей-
действия (§ 9), полная энтропия (§ 22).
s — лучевой вектор (§ 39), si^ — потенциальные коэффициенты (§ 30);
si]hi — коэффициенты упругости (§ 32).
Г—температура, время; Tlh — четырехмерный тензор энергии-импульса
поля; Тау — полный тензор натяжений.
t — время, t'—время источника.
U — потенциальная энергия (§ 28), плотность внутренней энергии (§§ 22, 31).
и — трехмерная скорость; ~й, «' — четырехмерная скорость.
V—трехмерный объем, электродвижущая сила в контуре (§ 33).
v — трехмерная скорость; v^—скорость электрического дрейфа для среды
с бесконечной электропроводностью (§ 35); всв — скорость сверхпроводящих
электронов (§ 37); vrp — групповая скорость (§ 39).
iff — энергия излучения.
w — плотность полной энергии; wv—спектральная плотность энергии;
w, w' — четырехмерное ускорение-
Xi—обобщенные силы (§ 34).
~х, у} — четырехмерный радиус-вектор в пространстве Минковского.
Замечание. В§15и Приложении Г используются вспомогательные
обозначения р, W, В, V, имеющие иной смысл.
Греческий шрифт.
a — коэффициент размерности в уравнениях Максвелла, постоянная Лон-
Лондона (§ 37).
Р==»/с, Р==г>/с.
т = A-РГ1/2-
Г — естественная ширина спектральной линии; Г — полная ширина спект-
спектральной линии.
б* —символ Кронекера; б (х — |)—дельта-функция.
8—диэлектрическая проницаемость среды, бесконечно малый параметр
(§ 27); 80 —электрическая постоянная; е' — относительная диэлектрическая про-
проницаемость (§ 29); е —вектор поляризации плоской волны; eapY —единичный
псевдоскаляр (символ Леви-Чивита);

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 347
? — химический потенциал (§ 31), азимутальный угол сферической системы
координат.
¦п —дифференциальная термо-э. д. с. (§ 34).
и —полярный угол в сферической системе координат.
х —плотность масс (§§ 35 и 40); y,= dT/dt' (§ 14); х0 — инвариантная
плотность массы покоя (§8).
\ — поверхностная плотность заряда, длина волны; ^,L —лондсшовская глу-
глубина проникания (§ 37).
(х —магнитная проницаемость среды; jx' —относительная магнитная про-
проницаемость (§ 29); [х0 —магнитная постоянная; ju, —магнитный момент, связан-
связанный с орбитальным движением (§ 26).
v — частота; v — нормаль к границе раздела двух сред (§ 18).
П —вектор Герца (§§ 2, 38); П — коэффициент Пельтье (§ 34).
я, л* —четырехмерный импульс заряда.
р —объемная плотность заряда, четырехмерное расстояние между источ-
источником и наблюдателем (§ 15); р0 — инвариантная плотность заряда.
а — двумерная поверхность, электропроводность, постоянная Стефана —
Больцмана B2.13), сечение рассеяния (§ 25); стиогл —сечение поглощения (§ 25);
°kmj — тензор спина электромагнитного поля (§ 10).
2 — трехмерная гиперповерхность; ДЕ—площадь поперечного сечения
контура (§ 33).
т — собственное время, время релаксации (§ 35), т — коэффициент Томсона
(§ 34); ту — тензор натяжений анизотропной среды (§ 32); т — плотность двой-
двойного слоя (§ 36).
Ф — магнитный поток; Ф, Ф* — четырехмерный потенциал.
ф — скалярный потенциал; ф — поверхностная плотность сил.
%9Л — диэлектрическая восприимчивость; %м — магнитная восприимчивость.
¦ф—магнитный скалярный потенциал, функция, определяющая калибро-
калибровочное преобразование (§ 2), любая из декартовых компонент вектора (§ 20).
Q — четырехмерный объем в пространстве Минковского; rfQ — элемент те-
телесного угла (то же dm —в § 15 и Приложении Г).
а —циклическая частота; wL — ларморова частота (§ 26);
@(у — коэффициенты бесконечно малого преобразования Лоренца.
Готический шрифт.
5Ш,-& — тензор поляризаций (§ 7).
Другие обозначения.
Трехмерные векторы — полужирный шрифт: А.
Четырехмерные векторы — стрелка: ~Ь.
Комплексное сопряжение — звездочка: А*.
Псевдотензор — звездочка над символом: Tlk.
det — определитель.
(...)— операция усреднения по некоторому промежутку времени.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрагама вектор 175
Абсолютно черное тело 166
Адиабатические инварианты движения
208—210
Альвена магнитогидродинамические
волны 314, 316
Ампера теорема об эквивалентности 280
Анизотропные среды 21, 246, 306
Астрономическая аберрация 144
Бабине принцип 153
Био — Савара — Лапласа закон 95
Вариационный принцип для движения
заряженной частицы 67
— — для электромагнитного поля 73,
84
Ведущий центр 193
Вектор энергии-импульса релятивист-
релятивистской частицы 52
электромагнитного поля 82
Векторный потенциал 23
Вина закон 166, 168
Волновод 296
Волновое уравнение в однородной изо-
изотропной среде 34
для напряженностей в вакууме
18
для потенциалов 24, 25
Времениподобная кривая 47
Гельмгольца уравнение 344
Герца вектор 27, 28, 134
Гиперболическое движение 179
Гиромагнитное отношение 192, 220
Гистерезис 22, 276
Градиентное преобразование 24
Граничные условия для электромагнит-
электромагнитного поля 39
Грина соотношение взаимности 226
— формула 333
— функция для уравнения Пуассона 88
Гюйгенса принцип 150
Давление излучения 161—163
Дарвина лагранжиан 215
Двойное преломление в кристаллах 310
Джоулево тепло 30
Диамагнитная восприимчивость 220
Диамагнитные среды 21
Дипольный момент распределения за-
зарядов 90,^1
Дисперсия волнового пакета 310
— пространственная 35, 301
— частотная 35, 301
Дифференциальное сечение рассеяния
электромагнитной волны 184
Дифференциальные законы сохранения
78, 83
Диэлектрическая восприимчивость 21,
247
Доплера эффект 143
поперечный 144
Дрейф частиц в электромагнитном
поле 203—207
Единственность решения уравнений
Максвелла 36
Закон взаимосвязи массы и,энергии 53
— изменения импульса электромагнит-
электромагнитного поля 31
момента импульса поля 34
энергии поля 29
— интенсивности в геометрической оп-
оптике 158
— сохранения заряда 13
импульса при столкновениях 54
Законы отражения и преломления 139
Запаздывающие потенциалы 102
Зеемана нормальный эффект 195
Зона излучения 129
Излучение магнитного диполя 133
— электрического диполя 130
квадруполя 130
Изотропные среды 20
Импульс материальной точки четырех-
четырехмерный 52
— электромагнитного поля 32
Инвариантная плотность заряда 60
Инварианты электромагнитного поля 56
Инерциальные системы отсчета 40

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
349
Интегральные законы сохранения 79,
80
Интервал пространственно-временной
42, 47
Интерференция электромагнитных
волн 140—142
Ирншоу теорема 230
Калибровочное преобразование 24
Квантование магнитного потока 290
Кеплера задача 210—212
Кирхгофа второй закон для линейного
контура 258
— закон теплового излучения 164
— интеграл 102
— приближение в теории дифракции
152
Классический радиус частицы 165
Количество заряда 9
Конвекционный ток 61
Коэффициент размагничивания 279
— экстинкции 293
Коэффициенты емкости 227
— индукции 254
Крамерса — Кронига дисперсионные
соотношения 305
Кулона закон 11
Кулоновская калибровка 25
Лагранжа интегральный инвариант
159
Лармора радиус 191
— теорема о системе частиц в магнит-
магнитном поле 217—220
— формула для энергии излучения 120
— частота 191, 194, 218
Лондонов уравнения для сверхпровод-
сверхпроводников 289
Лоренца — Дирака уравнение 175
Лоренца сила 32, 65, 190
Льенара — Вихерта потенциалы 105
Магнитная восприимчивость 21
— вязкость 273
— диффузия 272
— индукция 15
— напряженность 15
— постоянная 15, 223
Магнитное давление 273
Магнитный момент 14
— — контура с током 97
— поток 16
— скалярный потенциал 98, 277
Максвелла уравнения в дифференци-
дифференциальной форме (МЛ—М.4) 19
• в интегральной форме (М',1—
М'.4) 19
Максвелла уравнения для материаль-
материальных сред (М.Г, М.4') 20
МГД-волны 316
Мейсснера эффект 287
Метод перенормировки 175
Мировая линия 48
Момент импульса электромагнитного
поля 33, 78, 80
Намагниченность 16
Напряженности поля движущегося за-
заряда 107
Напряженность электрического поля 10
Объемные силы в диэлектрике 243
Однородные среды 21
Ома закон 22
Онзагера принцип 263
в присутствии магнитного поля
265
Оптическая индикатриса 307
Оптический путь 157
Остроградского — Гаусса теорема 332
Относительные проницаемости 21
Отражения в пространстве-времени 49
Парамагнитные среды 21
Пельтье эффект 265
Пинч-эффект 274
Пироэлектрические среды 246
Плоская электромагнитная волна 136
Плотность заряда 10,
— — поверхностная 38
— тока 13
поверхностная 38
Поверхностные силы 32
Поглощение излучения осциллятором
188
Поле излучения ускоренного заряда
108
— равномерно движущегося заряда
ПО
Поляризация плоской волны 137
Постоянный ток 14
Потенциал двойного слоя 281
— простого слоя 89
— четырехмерный 55
Потенциалы в кулоновской калибровке
106
Потенциальные коэффициенты 226
Преобразования Лоренца 42, 45
— — бесконечно малые 50
— — частного вида 43
Принцип относительности 8, 40
— суперпозиции 12
в электростатике 228
Пробный источник 7

350
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пространственноподобная гиперпо-
гиперповерхность 47
Пространство-время 42
Пуассона уравнение в электростатике
86
— — для векторного потенциала 94
Пылевидная среда 65
Пьезоэлектрический эффект 248
Разложение по мультиполям векторного
потенциала 97
электростатического потенциа-
потенциала 89
Размерности электрических и магнит-
магнитных величин 17
Рассеяние излучения осциллятором 187
Реакция излучения 173
Резонансная флуоресценция 188
Резонатор 296, 298
Релея — Джинса формула 171
Релея рассеяние электромагнитных
волн 188
Релятивистские преобразования на-
пряженностей 57
четырехмерного тока 61
Релятивистский эффект замедления вре-
времени 44
— — сокращения масштаба 44
Сверхпроводник I рода 286—288
Световой луч 157
Свободная энергия диэлектрика 237
Сечение поглощения 188
Сила тока 14
Система единиц измерения абсолют-
абсолютная 18
магнитная (СГСМ) 18
— — — международная (СИ) 19
электрическая (СГСЭ) 18
Скалярный потенциал 24
Скин-эффект 262, 294
Собственная группа Лоренца 49
Собственное время 48
Сопротивление контура 252
Спектральная плотность энергии ос-
осциллятора 182
Статическое магнитное поле 14
— электрическое поле 9
Стефана — Больцмана закон 165
— постоянная 166
Стокса теорема 333
Тензор индукций 62
— напряженностей 56
поля точечного заряда 116
— натяжений Максвелла 31
Тензор энергии-импульса электро-
магнитого поля 78, 81, 336
Теорема вириала 217
Термоэлектродвижущая сила 264
Томсона теорема в электростатике 228
— тепловой эффект 265
— формула рассеяния 185
— частота 259
Тормозное излучение 124
Угловое распределение энергии излу-
излучения 122—124
Умова — Пойнтинга вектор 30
Уравнение лучевой поверхности 310
Уравнения Максвелла см. Максвелла
уравнения
Условие вмороженности магнитных си-
силовых линий 270
— излучения 151
— калибровки Лоренца 25
— периодичности для поля 169
Фарадея закон электромагнитной ин-
индукции 17, 268—270
Феноменологическое описание 8
Ферма вариационный принцип 160
Ферромагнитные среды 21, 22, 275
Физо опыт 145
Флюксоид 290
Формула сложения скоростей реляти-
релятивистская 46
Фраунгофера и Френеля дифракция
156
Френеля уравнение для волн в крис-
кристалле 307
Функция Гамильтона заряженной час-
частицы 68, 70
— Лагранжа заряженной частицы 68,
70
— — электромагнитного поля 80, 84
Циклотронный резонанс 194
Четырехмерная сила 51
— -скорость 48
Четырехмерное ускорение 48, 178
Четырехмерный объем 71
Ширина уровня осциллятора 180, 181
Шотта вектор 175
Эйконал 157
Электрическая индукция 12, 233
— поляризация 13, 233, 235
— постоянная 11, 223
Электрический дрейф 193
— квадрупольный момент 93

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
351
Электрический потенциал 24
— ток вихревой 260
квазистацнопарный 257
смещения 16
сторонний 251
Электродвижущая сила в квазилиней-
квазилинейном контуре 253
Электромагнитная масса 176
Электромагнитное поле 7, 56
Электромагнитные волны магнитного
типа 296, 298
электрического типа 296, 297
Электропроводность 22
Электрострикция диэлектриков 245
— проводников 231
Энергия в- электростатике 227,
228
— излучения ускоренного заряда 119,
120, 122
электрического диполя 132
— — — квадруполя 133
— среды в магнитном поле 284—
286
— электромагнитного поля 29
Яркость излучения 164

Юрий Викторович Новожилов, Юрий Андреевич Яппа
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
М„ 1978 г., 352 стр. с илл.
Редакторы С. В. Измайлов, Л. П. Русакова
Техн. редактор И. Ult Аксельрод
Корректоры О. Д.' Сигал, Е, Я\ Строева
ИБ № 11465.
Сдано в набор 03.01.78. Подписано к печати 18.05.78. Бумага
6OX9O'/ia, тип. № 3. Литературная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 22. Уч,-изд. л. 22,47. Тираж ' 15500 экз.
Заказ № 1722. Цена книги 1 руб.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградское производственно-техническое объе-
объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполи-
графпрома при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торгов-
торговли 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.