/
Автор: Денисов В.И.
Теги: физика электродинамика
Текст
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................... 6
Глава!. Уравнения электромагнитного поля 7
§ 1. Основные математические соотношения,
используемые в классической электродинамике 7
§ 2. Плотность заряда и плотность тока ...... 19
§ 3. Физическое обоснование уравнений Максвелла . 22
§ 4. Закон сохранения энергии в электродинамике . 37
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля....... 42
§ 6. Калибровочная инвариантность классической
электродинамики ............................. 45
§ 7. Вывод уравнений для потенциалов......... 48
Глава II. Стационарные электромагнитные
поля..................................... 52
§ 8. Уравнение для потенциала электростатического
поля и его решение .......................... 52
§ 9. Разложение потенциала электростатического
поля по мультиполям ......................... 59
§ 10. Электрический дипольный момент и его поле 68
§11. Электрический квадрупольный момент
и его поле .................................. 72
§ 12. Энергия электростатического поля....... 76
§13. Энергия и сила взаимодействия двух удаленных
систем зарядов............................... 78
§ 14. Уравнение для векторного потенциала
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
статического магнитного поля и его решение - 82
§ 15. Векторный потенциал и поле магнитного
диполя ...................................... 85
§16. Энергия постоянного магнитного поля . . 91
Глава. III. Электромагнитные волны ... 93
.§ ] 7. Свойства плоских электромагнитных волн . . 93
§18. Запаздывающие потенциалы..................... 97 ’
§19. Потенциалы Лиенара - Вихерта ...............107
§ 20. Физические условия применимости
мультипольного разложения для излучающих
систем.......................................111
§21. Электрическое дипольное излучение ..... 125
§ 22. Магнитное дипольное излучение........ 134
§ 23. Электрическое квадрупольное излучение ... 136
§ 24. Сила радиационного трения
в нерелятивистском приближении . . ... 140
§ 25. Рассеяние электромагнитной волны
на изотропном гармоническом осцилляторе . . 148
Глава IV. Специальная теория
относительности ..............................159
§ 26. Принцип относительности.....................159
§ 27. Преобразования Лоренца . ................. 163
§ 28. Преобразование промежутков времени и длин
отрезков . . 168
§ 29. Релятивистский закон сложения скоростей . . 176
§ 30. Преобразование углов................ . 179
§31. Тензоры в пространстве Минковского .... 183
§ 32. Четырехвектор плотности тока и
четырехпотенциал поля ......................190
§ 33. Тензор электромагнитного поля....... . . 195
§ 34. Законы преобразования векторов поля.....200
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 35. Инварианты электромагнитного поля .....202
§ 36. Ковариантная запись уравнений Максвелла . . 206
§ 37. Законы преобразования частоты и волнового
вектора .....................................212
§ 38. Эффект Доплера и астрономическая аберрация 215
§ 39. Четырехвекторы скорости и ускорения....220
Глава V. Принцип стационарного действия 227
§ 40. Основные постулаты принципа стационарного
действия.....................................227
§ 41. Уравнения движения релятивистской
заряженной частицы во внешнем
электромагнитном поле в четырехмерном виде 232
§ 42. Уравнения Лагранжа, второго рода для
релятивистской заряженной частицы
во внешнем электромагнитном поле ...........240
§ 43. Связь между энергией, импульсом, массой и
скоростью релятивистской частицы.............244
§ 44. Мощность излучения быстро движущегося
заряда в зависимости от скорости и ускорения 247
§ 45. Мощность излучения заряда, быстро
движущегося во внешнем электромагнитном
поле.........................................251
§ 46. Плотность функции Лагранжа для
электромагнитного поля при заданном
движении источников..........................252
§ 47. Получение уравнений Максвелла из принципа
стационарного действия.......................258
§ 48. Тензор энергии-импульса электромагнитного
поля ........................................261
§ 49. Законы сохранения энергии и импульса
в электродинамике ...........................267
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В первой части нашего курса будут изучаться раз-
личные электродинамические процессы, происходящие в
вакууме, с участием заряженных частиц. Такое изучение
мы будем проводить на основе классической (некванто-
вой) электродинамики, основные уравнения которой бы-
ли открыты в 1868 г. Максвеллом.
§ 1. Основные математические соотношения,
используемые в классической электродинамике
Для описания уравнений электромагнитного поля и
решения различных задач в электродинамике широко ис-
пользуются векторная алгебра и векторный анализ. На-
помним основные сведения из них, необходимые нам для
дальнейшего.
В первой части курса, вплоть до начала изучения
специальной теории относительности, мы будем исполь-
зовать, в основном, так называемые, физические компо-
ненты векторов в трехмерном евклидовом пространстве,
которые можно ввести в любой криволинейной, но ор-
тогональной, системе координат. Будем также считать,
что все используемые нами системы координат являются
правыми.
В случае прямоугольных декартовых координат (в
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. I
дальнейшем просто декартовы координаты) трехмерный
вектор А представляет собой совокупность трех скаляр-
ных функций А^, Ау. Az. называемых компонентами век-
тора, взятых в определенном порядке:
где ег, еу и ez - базисные орты, направленные вдоль осей
и z. соответственно.
В произвольной ортогональной криволинейной сис-
теме координат с осями т1, х2 и т3 вектор А будет иметь
компоненты.
А — + А‘2^2 + Азвз ~ {А1,А2?Аз},
где ei, е>2 и ез -- базисные орты, т.е. взаимно ортогональ-
ные единичные векторы, в каждой точке пространства
направленные по касательным к координатным линиям.
В физических компонентах любой ортогональной
криволинейной системы координат скалярное произведе-
ние (АВ) векторов А = {A1.A2.A3} и В ~ {В1.В2.В3}
имеет очень простой вид:
(АВ) — А1В] + А2В2 + А3В3,
Векторное произведение [АВ] этих же векторов можно
найти, если раскрыть определитель:
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
9
И, наконец, смешанное произведение трех векторов имеет
вид:
(А[ВС]) =
Л-2
с2
Аз
Среди формул векторной алгебры для наших целей боль-
шое значение имеет формула двойного векторного произ-
ведения
[А[ВС]] = В(АС) - С(АВ). (1.4)
В произвольной ортогональной криволинейной системе
координат основные дифференциальные операторы име-
ют вид
1 дф 1
grad ф = ei ——- + е2г-
hi дх1 Л2
/iiei
а
дхх
^2^2
дх3.
где hi, h2, Нз - коэффициенты Ламэ:
(1-6)
10
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
Приведем вид множителей Ламэ (1.6) в наиболее употре-
бляемых ортогональных системах координат: hi = h2 —
кз = 1 - в декартовых координатах, hi — ha = 1, h2 — г -
в цилиндрических координатах (ж1 — г = у'т2 + г/2, ж2 =
9?, ж3 = г), hi — 1, h2 = г, Л3 = г sin# - в сферических
координатах (ж1 = г — -у/ж2 + у2 + г2. ж2 — 0, ж3 — 92).
Оператор Лапласа от скалярной функции ф в этих
координатах вычисляется по формуле
А ф = div grad ф =
(1.7)
Используя выражения (1.6) для множителей Ламэ, не-
сложно записать формулы (1.5) и (1.7) в наиболее упо-
требляемых системах координат. В цилиндрической си-
стеме координат имеем:
(1.8)
1 д(гА^)
.г дг
§ 1]
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
11
В сферической системе координат формулы (1.5 и (1.7)
принимают вид:
5(гА^)-| 1 г5(гА^)
дг . 6 г . дг
л / - AAf 2^\ , М 1 д/ . дф\ , 1 д2Уд
г2 dr V dr / г'2 Lin# дб \ П дО/ sin2#^2-'
При проведении практических расчетов в электро-
динамике значительное упрощение формул достигается,
если использовать оператор ’’набла”, имеющий в декар-
товой системе координат вид:
С помощью этого оператора можно вывести форму-
лы, позволяющие записывать результат действия диф-
ференциального оператора на произведение двух скаляр-
ных или векторных функций в виде выражений, содержа-
щих действие этого оператора только на один сомножи-
тель. Запомнить эти формулы достаточно сложно, го-
раздо проще запомнить алгоритм вывода этих формул.
Он состоит из нескольких этапов.
12
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
Продемонстрируй этот алгоритм на примере вычи-
сления rot [А В], На первом этапе дифференциальные
операторы записываются через оператор набла в соот-
ветствии с равенствами:
grad гр = V ф, div А = (V A), rot А — [V А]. (1.10)
Следует отметить, что помимо операторов grad , div и
rot самостоятельное значение имеет и оператор
, . д д д
(А V) — Ах ——h Ay——Ь Аг —,
дх ду dz
который представляет собой производную по направле-
нию вектора А.
В нашем случае rot [А В] принимает вид:
rot [А В] = [V[A В]].
На втором этапе переписываем правую часть столько
раз, сколько скалярных и векторных функций в нее вхо-
ди! , и отмечаем тильдой в первом слагаемом первый со-
множитель, во втором слагаемом - второй сомножитель
и т.д. В нашем примере это будет выглядеть так:
rot [А В] = [V[A В]] + [V[A В]].
После этого используя правила векторной алгебры
и свойства скалярных, векторных и смешанных произ-
ведений, рассматривая оператор набла, как некоторый
обычный вектор, преобразуем правую часть полученно-
го соотношения, переставляя сомножители, если требу-
ется, так чтобы помеченный сомножитель стоял справа
§ 1] ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 13
от вектора набла, а не помеченные сомножители - слева.
В нашем случае, раскрывая двойные векторные произве-
дения, получим:
rot [А В] = A(V В) - B(V А) + А(V В) - B(VA) =
= (В V)A - В(V А) + A(V В) - (A V)B.
На последнем этапе необходимо ’’прочитать” результат,
переходя от оператора набла к grad , div и rot в соответ-
ствии с представлениями (1.10).
В нашем случае приходим к соотношению:
rot [А В] = (В grad)A — (A grad)B + Adiv В — Bdiv А.
Приведем для справки остальные формулы, которые не-
сложно получить, действуя по указанному алгоритму:
grad (А В) = (В grad)A + (A grad)B+ (1-11)
+ [В rot А] + [A rot В].
grad ($ • 9?) = ф grad 92 + 92 grad ф,
div А) = ф div А 4- (A grad ф),
rot (ф А) — ф rot А — [A grad '</-’],
div [А В] = (В rot А) — (A rot В),
С помощью оператора ” набла” несложно установить ряд
важных соотношений для дифференциальных операций
второго порядка. В частности, имеем:
rot grad ф = [WVd = [W]^ = 0, (1.12)
14
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
так как в силу соотношения (1.2) определитель будет со-
держать две одинаковые строки. Совершенно аналогич-
но, в силу соотношения (1.3) приходим к равенству
div rot А = (V[VA]) = 0.
(1-13)
И. наконец, используя формулу (1.4) для двойного век-
торного произведения и правила действия с оператором
’’набла”, получим соотношение
rot rot А = [V[VA]] =
(1.14)
= grad div A — V2 A = grad div A — Д A.
Это соотношение очень часто используется для записи
оператора Лапласа от вектора в произвольной ортого-
нальной криволинейной системе координат
ДА = grad div А — rot rot А. (1-15)
Из интегральных соотношений для нас наибольший
интерес будут представлять теоремы Стокса и Остро-
градского - Гаусса. Рассмотрим некоторый объем про-
странства V, ограниченный замкнутой поверхностью S.
Теорема Остроградского - Гаусса утверждает, что
div AdV — f (AdS) — (An)dS,
s s
(1.16)
где n - единичный вектор внешней нормали в той точке
поверхности, где находится элемент площади dS.
Рассмотрим теперь некоторый гладкий замкнутый
контур L без самопересечений. Введем в каждой точке
§ 1] ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
15
этого контура бесконечно малый вектор Л, касательный
к контуру. Пусть S - произвольная поверхность, ограни-
ченная этим контуром. В силу теоремы Стокса справед-
ливо следующее соотношение
(АЛ).
(1.17)
Интеграл, стоящий в этом соотношении справа, называ-
ется циркуляцией вектора А по замкнутому контуру L,
причем обход контура L должен проводиться в положи-
тельном направлении, когда обходимая область остается
слева.
При вычислении полной интенсивности излучения
произведение двух и более компонент единичного векто-
ра п = г/г = = пх ж/г, П2 = Пу = у/т, п3 =
nz — z/г} — {sin 0 cos 99, sin 0 sin 9?, cos ff] необходимо ин-
тегрировать по сферическим углам. Результат такого
интегрирования удобно записывать в тензорном виде, по-
лагая, что па — (n)Q. :
4тг
5
О
(1-18)
7Г 2тг
sin 0(10 dip Т1 аПрПи = 4" ,
О О
где 8av - символ Кронекера.
В теоретической физике широкое применение нашла
дельта-функция Дирака, являющаяся обобщенной функ-
цией. Не претендуя на полноту изложения, приведем
16 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
основные сведения о дельта-функции Дирака, знание ко-
торых необходимо для изучения классической электроди-
намики. Одномерная дельта-функция Дирака 6(х — т0)
определяется требованиями:
если х — То,
если х То,
(1-19)
<5(х - То) =
если т0 Е
если То = а или то — Ь,
если хо [а, Ь].
Представление о дельта-функции дает график, приведен-
ный на рис.1, если его максимум устремить к бесконеч-
ности, сохраняя площадь под графиком равной единице.
Рис.1.' График функции, имеющей пределом дельта-
функцию Дирака.
§ 1] ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 17
Очевидно, что дельта-функцию S(x — то) можно рас-
сматривать как предел целого ряда аналитических функ-
ций 6(х — то, се) :
8(х — а?о) = lim 8(х — то, се).
а—>оо
В частности, всем поставленным требованиям (1.19) удо-
влетворяют, например, следующие функции:
shice(t — То)
о(т — т0) = lim ---z-----г—,
о—>оо тг(т — То)
6(х - То) = lim -j——
<WK> 7г[1 4- СЕ2(т — To)2]
6(x - To) = lim " e~“2(*-*o)2
a—>oo л/7Г
Их этих примеров непосредственно видно, что размер-
ность дельта-функции обратна размерности ее аргумен-
та. Легко также заметить, что дельта-функция четна:
6(—т) = <5(т). Кроме того, из определения (1.19) можно
установить еще и следующие свойства:
ОС
У /(т)^(т - т0)^т = /(то), (1.20)
— ос
N
«№)) = £
к=1
6(х - Хк)
18
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
где Хк - корни уравнения F(xk) — 0.
Важным частным случаем последней формулы явля-
ется соотношение
_ о2) = fc£)+£(5_±£)_
2|а|
В ряде приложений бывает необходимо разложить дель-
та-функцию в интеграл Фурье. Учитывая свойства (1.20)
и определение интеграла Фурье, можно получить следу-
ющее разложение:
оо оо
8(х - т0) = ~ I dkeik^~^ = i I dk cos k{x - t0).
— oo 0
(1-21)
Обобщение одномерной дельта-функции на трехмерный
случай дает:
<5(г - го) = <5(х - х0)8(у - у0)Ф - z0),
(1.22)
оо
<(Г “ Го) = (2?Р / <|3ке'1'<Г’"'°)’
— ОО
I dVf(r)6(r - г0) =
V
' У(го), если точка Го внутри объема V,
= |/(г0), если точка Го на границе объема V,
. 0, если точка Го вне объема V.
§2]
ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА
19
С использованием дельта-функции Дирака можно дока-
зать два соотношения, которые нам потребуются в даль-
нейшем:
= -- 4тг<5(г — г'),
(1.23)
В классической электродинамике очень часто встречают-
ся функции двух точек - точки наблюдения г = {x,y,z}
и точки г' = {x',y',zf}, где находится элемент dV' —
dx'dy'dz' объема интегрирования: F = F(r, г', t). Во избе-
жание путаницы при действии дифференциальных опера-
торов на такие функции мы в качестве векторного индек-
са будем указывать тот радиус-вектор, по координатам
которого производится дифференцирование:
„ х dF dF dF
Vr F(r,r ,t) = ег— + ey— +e2 —,
dx dy oz
„ , dF dF dF
Vr< F(r,r,t) = e*—-f-e,,—+ e2—p
dx' dy' dz'
Совершенно аналогичный смысл будет иметь векторный
индекс и у других дифференциальных операторов.
§ 2. Плотность заряда и плотность тока
В классической электродинамике одним из основных
объектов является электрический заряд.
20 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
Первоначально считалось, что носителями зарядов
являются два вида особой электрической жидкости, одна
из которых обладает положительным зарядом, а другая -
отрицательным. Для количественного описания процес-
сов перераспределения этих заряженных жидкостей, по
аналогии с гидродинамикой, были введены понятия объ-
емной плотности заряда р — р(г, /) и объемной плотности
тока j — j(r, t) :
/>(г, 0 = Jimo , j(r, t) = p(r, i)v, (2.1)
где Ag - количество электрического заряда, содержаще-
гося в элементе объема А V, v - скорость движения носи-
телей электрического заряда.
Наряду с объемной плотностью заряда в классиче-
ской электродинамике используются поверхностная ps и
линейная ръ плотности заряда:
r г Ад/,
' as->o AS дь-ю AL
где Ags - количество заряда, содержащаяся в элементе
площади AS некоторой поверхности, а Ад/, - количество
заряда, содержащаяся в элементе длины AL некоторой
линии.
Введение понятий плотности заряда и плотности то-
ка оказало положительное влияние на развитие электро-
динамики и использование этих терминов продолжается
и в настоящее время.
Однако, впоследствии выяснилось, что носителями
электрического заряда являются дискретные объекты -
§ 2] ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА 21
элементарные частицы, причем у всех известных заря-
женных частиц абсолютная величина заряда одна и та
же: е = 4,8- 1О~10 г1/2 см3/2/сек. Так как величина этого
заряда чрезвычайно мала, то очевидно, что в случае ма-
кроскопических тел, заряженных макроскопическим ко-
личеством заряда Q >> е, дискретность распределения
зарядов мало сказывается на создаваемом ими поле и в
этом случае можно продолжать пользоваться старыми
представлениями о непрерывном распределении заряда.
Но для описания электромагнитных полей, создавае-
мых отдельными элементарными частицами, такое при-
ближение оказывается уже не справедливым. Поэтому
возникла необходимость построения модели заряженной
элементарной частицы.
Поскольку в классической теории поля элементар-
ные частицы считаются точечными объектами, то такой
моделью в электродинамике стало заряженное тело исче-
зающе малых размеров, но обладающее не равным нулю
зарядом. В силу определения (2.1) плотность электриче-
ского заряда должна быть бесконечной в точке г = го(£),
где находится заряженная точечная частица, и обращать-
ся в нуль в остальных точках.
Для описания такого распределения зарядов и то-
ков удобно использовать дельта-функцию Дирака, основ-
ные свойства которой изложены в предыдущем парагра-
фе. Если точечная частица имеет заряд q и движется по
закону г — г0(2), то ее плотность заряда р(г,/) и плот-
ность тока j (г, t) можно представить в виде:
p(r, f) = q6(r - r0(f)), (2.2)
j(M) = qv0(t)S(r - r0(i)), r—
’ Г $ ч - i-чк
I «•
99
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
где v0(i) = dro(t')/dt - скорость частицы.
Для системы, состоящей из N точечных заряженных
частиц, имеем:
N N
Ж 0 = 22Ра(ГЛ) = (2.3)
а—1 а—1
TV N
JO, *) = = ^P9avaW<4r- Га(/)).
а=1 а=1
Таким образом, зная величину каждого заряда qa и
закон движения каждой заряженнох! частицы г — ra(t),
из соотношений (2.3) несложно найти плотность заряда
и плотность тока всей системы. По заданным же p(r,i)
и j(r,i), как мы увидим далее, уравнения Максвелла по-
зволяют определить создаваемое этой системой электро-
магнитное поле.
§ 3. Физическое обоснование
уравнений Максвелла
Уравнения электромагнитного поля были выведены
Максвеллом на основе четырех законов электромагнетиз-
ма, открытых к ’середине XIX века. Это - закон сохра-
нения электрического заряда, закон Кулона, закон Био -
Савара - Лапласа и закон Фарадея. Покажем как из этих
законов можно вывести уравнения Максвелла.
а) . Закон сохранения электрического заряда
Этот закон был сформулирован к середине XVII века
в результате исследований ряда ученых. Согласно суще-
ствовавшим в то время представлениям все электриче-
ские явления происходили как результат взаимодействия
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 23
двух различных видов электрической жидкости. На осно-
ве ряда экспериментов было установлено, что нельзя со-
здать один вид электрической жидкости без того, чтобы
не возник и другой вид. Отсюда непосредственно сле-
довало, что электрический заряд (алгебраическая сумма
количеств обоих видов электрической жидкости) в любом
явлении не изменяется.
Исходя из этих представлений, по аналогии с гидро-
динамикой, можно получить дифференциальный закон
сохранения заряда - уравнение непрерывности. Действи-
тельно, выделим в каком-либо заряженном теле произ-
вольных! объем V. Если плотность заряда в точке г обо-
значить через р — p(r, Z), то полный заряд Q, содержа-
щийся в объеме V, будет равен:
Q = y dVp(r,f). (3.1)
v
Подсчитаем изменение заряда Q в объеме V с течением
времени. Так как заряды в силу закона сохранения не
исчезают и не появляются, а лишь перераспределяются,
то единственной причиной изменения заряда Q в объеме
V может быть только перетекание зарядов через поверх-
ность S, ограничивающую объем V. Вводя обозначение
j(r, t) для вектора плотности тока зарядов, найдем вели-
чину полного потока зарядов I через поверхность S :
I=f(jdS). (3.2)
S
Поскольку с физической точки зрения при I > 0 поток
I представляет собой количество электрического заряда,
24 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
покидающего объем V в единицу времени {dQ/dt < 0),
то мы можем написать интегральный закон сохранения
заряда в виде:
dt
Подставляя в это выражение соотношения (3.1) и (3.2),
получим:
~ У* dVp(r, t) + j(jdS) = 0.
v ’ s
Изменяя порядок следования независимых операций диф-
ференцирования по времени и интегрирования по объему,
а также используя теорему Остроградского - Гаусса, име-
ем:
fdV ^^ + divj(r,i) =0-
V
Так как это равенство справедливо при любом выборе
объема интегрирования V, то выражение, стоящее в ква-
дратных скобках, должно быть тождественно равно ну-
лю:
dp(r,t) ..... . .
—+ divj(r,/) = 0. (3.3)
Это соотношение представляет собой дифференциальный
закон сохранения заряда или, как его еще иногда назы-
вают, уравнение непрерывности.
б) . Закон Кулона для электрических зарядов
В 1785 г. Ш.Кулон установил закон взаимодействия
для покоящихся точечных зарядов. Как следовало из ре-
зультатов экспериментов, сила F, действующая на проб-
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 25
ный точечный заряд q со стороны другого точечного за-
ряда. Q. находящегося в покое на расстоянии R от него,
равна:
qQR
Г = —
R3 '
(3-4)
где R — ri — r2, a iq иг2 - радиусы-векторы зарядов q и
Q. соответственно.
Используя закон Кулона (3.4), можно определить на-
пряженность электрического поля Е, создаваемого заря-
дом Q в точке, где находится пробный заряд q. По опреде-
лению напряженность электрического поля Е равна силе,
с которой это поле действует на единичный пробный за-
ряд. Поэтому в рассматриваемом случае:
Если теперь считать, что заряд Q находится в начале
координат, то выражение (3.5) будет описывать напря-
женность электрического поля в произвольной точке с
радиусом-вектором R.
Используя выражение (3.5), мы можем получить од-
но из уравнений Максвелла. Для этого рассмотрим не-
которую произвольную замкнутую поверхность S, охва-
тывающую заряд Q. Найдем величину потока вектора
напряженности электрического поля Е через эту поверх-
ность. Поток d&E вектора Е через элемент площади dS
по определению может быть записан в виде
d$E = (EdS) = (En)dS,
где и - вектор внешней нормали к элементу поверхности
dS.
26 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
Подставляя в правую часть этого соотношения вы-
ражение (3.5), имеем:
(EdS) = Q^^-dS = -^dScos(n R).
/Г
(З.в)
Учитывая, что dS cos(n R) представляет собой проекцию
элемента площади dS на сферу радиуса R. мы можем за-
писать: dS cos(n R) = dSaph- где dSsph - элемент площа-
ди сферы радиуса R. (см.рис. 2).
Рис. 2. Элемент сферической поверхности.
Как следует из рис. 2, элемент поверхности сферы
dSSph с точностью до бесконечно малых высшего поряд-
ка может быть представлен в виде: dSsph ~ АВ AD.
Учитывая, что АВ = AD --- RA6. легко найти,
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 27
что dSgph = R2 sin edddtp. Если теперь ввести обозначе-
ние dQ -- sin OdO dtp для элемента г) телесного угла dQ,
то получим окончательно:
dSaph = P2d£l.
Поэтому соотношение (3.6) принимает вид:
d$E = (EdS) = QdQ.
Интегрируя это равенство по всей поверхности S, имеем:
Воспользовавшись теоремой Остроградского - Гаусса,
преобразуем интеграл по замкнутой поверхности S в ин-
теграл по охватываемому данной поверхностью объему
V. Тогда, учитывая определение (3.1), получим:
У dVdiv Е = 4ttQ = 4тг J dV pipe).
V v
Так как данное соотношение справедливо при произволь-
ном выборе объема интегрирования V, то
div Е(г) — 4тгр(г).
(3.7)
2) Элемент телесного угла определяется как эле-
мент поверхности сферы единичного радиуса, образован-
ный дифференциалами сферических углов d3 и dtp.
28
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
Таким образом, из закона Кулона непосредственно
следует, что в электростатическом случае вектор Е(г)
удовлетворяет уравнению (3.7). Однако, при создании
своей теории Максвелл пошел дальше и в качестве по-
стулата предположил, что вектор Е удовлетворяет это-
му же уравнению и в самом общем случае, когда Е и р
зависят от времени:
div Е(г,/) = 4тгр(г,£).
(3.8)
Это предположение, как оказалось, не противоречит
остальным уравнениям Максвелла и правильно отража-
ет действительность.
Используя уравнения (3.3) и (3.8), мы можем полу-
чить еще одно полезное соотношение. Для этого продиф-
ференцируем уравнение (3.8) по времени и учтем, что
dp/dt — —div j. В результате получим: Sdiv Е/dt =
—4?rdiv j. Переставляя местами независимые операции
частного дифференцирования по времени и координатам
в левой части данного равенства, имеем:
div
fc® , д о
{аГ+4’г-,} = °-
Поскольку дивергенция вектора, стоящего в фигурных
скобках, равна нулю, то согласно векторному анализу
данный вектор является соленоид ал ьным. Поэтому сум-
ма ЗЕ/сЙ + 4тг j всегда может быть выражена через ротор
некоторого пока неизвестного вектора X :
— + 47г j = rot X.
<4+
(3.9)
; 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 29
в) . Закон Био - Савара - Лапласа
В результате ряда исследований Ж.Био, Ф.Савара,
И.Лапласа и других ученых к 1820 г. было установле-
но, что напряженность магнитного поля, создаваемого в
вакууме элементом постоянного тока Id\ (см. рис. 3),
определяется выражением:
</Н(г) =
I[dl R]
cR3
(3.10)
где R — г — г', а г = {ж, у, г} и г' = {х', у', z'} - радиусы-
векторы точки наблюдения и элемента тока (Л, соответ-
ственно, с - электродинамическая постоянная, совпада-
ющая со скоростью света в вакууме, которую в нашем
курсе будем считать равной: с — 3 • 1О10 см/сек.
Рис. 3. Проводник с током.
30 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
Интегрируя выражение (3.10) по всей линии тока L,
получим:
Н(г) = j dH(r). (3.11)
L
Учтем теперь, что ток в линейном проводнике (т.е. в про -
воднике, длина которого значительно превышает мак-
симальный линейный размер его поперечного сечения)
можно представить в виде:
1 = I
S
где S - сечение проводника.
Так как векторы j(r') и Ш в линейном проводнике
коллинеарны, то j(r')dl = j(r')tiZ. Учитывая, что dSdl —
dV, выражение (3.11) перепишем в виде:
V
Данное соотношение позволяет получить еще одно
уравнение Максвелла. Для этого воспользуемся равен-
ством:
[j(r')(r - г')] _ j(r')
(г — Г'|3 rOtr |r_r/|’
где индекс г у оператора rot означает, что ротор берется
по координатам вектора г = \x.:y.:z}.
Поэтому соотношение (3.12) можно записать в виде:
H(r) = -rot [ ^dV'.
с J |г — r'j
V
j 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 31
Возьмем ротор от правой и левой частей равенства. Ис-
пользуя известное соотношение rot rot а = V div а - Д а,
получим:
rot H(r) - -{v div / -^~dV — Д [
' J cl J |r-r'| J |r-r'| J
V V
(3.13)
Рассмотрим каждое слагаемое, стоящее в правой части
этого выражения, по отдельности.
Поскольку операция взятия дивергенции по коорди-
натам вектора г и интегрирования по координатам век-
тора г' независимы, то мы можем поменять их местами.
Поэтому
div j —— тб?Т'1 = (3.14)
J |г- г'|
V
Учтем теперь, что
где индекс г' у оператора набла означает, что градиент
берется по координатам вектора г' — {ж', у1, г'}.
Тогда соотношение (3.14) можно переписать в виде:
div / “ - J л" (8ЛБ)
У ’ V
32
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО поля
[ГЛ. 1
Легко убедиться, что
(ЖХУг'т-Цг) = divr. (7^7)
\ |г — г'|/ \ |г — г'|/
—“pdivr, (j(r')) •
г — rz| 4 "
Так как в рассматриваемом нами случае токи не зависят
от времени, то заряды в проводниках совершают стаци-
онарное движение, а поэтому в каждой точке проводника
плотность зарядов не зависит от времени: dpjdt = 0. В
силу дифференциального закона сохранения заряда (3.3)
это означает, что divr»j(rz) — 0. Поэтому соотношение
(3.15) принимает вид:
V
Преобразуем интеграл, стоящий в правой части, по те-
ореме Остроградского - Гаусса в поверхностный. В ре-
зультате будем иметь:
J |г — r'| J lr — rl '
V Soo
где Soo означает, что интегрирование ведется по беско-
нечно удаленной поверхности, охватывающей все про-
странство.
Так как на пространственной бесконечности токи от-
сутствуют, то j(r') — 0 на Soo- Следовательно,
div
dV - 0.
v
§ 31 ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 33
Далее учтем известное соотношение математической фи-
зики (1.23):
Д У = ~^7Г /~ r')dV' = —47rj(r).
v ' v
В результате выражение (3.13) примет вид:
4тг
rot Н(г) = —j(r). (3.16)
с
Это соотношение представляет собой сдно из уравнений
Максвелла для случая стационарных токов. Можно было
бы предположить, как это мы сделали в случае уравне-
ния (3.8), что данное уравнение применимо для изучения
не только стационарных, но и любых, в том числе и зави-
сящих от времени, процессов. Однако, такое предполо-
жение противоречило бы дифференциальному закону со-
хранения заряда (3.3). Действительно, взяв дивергенцию
от правой и левой частей уравнения (3.16), мы получили
бы:
„ 4тг ..
О = —div j(r,t).
Но, согласно дифференциальному закону сохранения за-
ряда (3.3),
div j(r,t) - - — ~
и dp/dt 0 в самом общем случае. Поэтому уравнение
(3.16) должно быть дополнено еще одним слагаемым, ко-
торое Максвелл назвал плотностью тока смещения:
rot H(r,t) = —- [j(r,i) + jd;s(r,t)
(3-17)
34
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
Так как ток смещения в стационарном случае должен ав-
томатически обращаться в нуль, то очевидно, что вектор
может быть представлен в виде частной производной
по времени от некоторого вектора Y : = дХ jdt. То-
гда уравнение Максвелла (3.17) примет вид:
4тг г 1
rot H(r,i) = — j(r,t) + .
cl at J
Сравнивая это уравнение с уравнением (3.9), легко убе-
диться, что, если ограничиться только частными произ-
водными первого порядка, то для их совместности необ-
ходимо положить X = сН, Y = Е/4тг.
Поэтому, уравнение Максвелла, применимое в самом
общем случае, должно иметь вид:
. 1<ЭЕ 4тг.. .
rot Н(г,/) = + —j(r,i).
с at с
Следовательно, плотность тока смещения определяется
скоростью изменения вектора Е с течением времени:
1 5Е
47: at
г). Закон Фарадея
К 1831 г. в результате исследований М.Фарадея был
установлен закон электромагнитной индукции. Согласно
этому закону электродвижущая сила индукции, возника-
ющая в замкнутом контуре L, оказывается связанной с
изменением потока вектора Н через любую поверхность
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 35
S, опирающуюся на контур L. Если считать контур L не-
подвижным и использовать современные обозначения, то
закон Фарадея примет вид:
^(Еа) =-1^/(н<®).
L S
Перенесем все члены налево и применим теорему Стокса.
В результате получим:
/ ([rotE+=°-
s
Так как данное выражение должно быть равным нулю
при любом выборе контура L и поверхности S. то в силу
основной леммы вариационного исчисления имеем:
1 дН ,
rot Е —---— - (3.18)
с dt v 7
Это соотношение представляет собой еще одно уравнение
Максвелла.
Для получения последнего уравнения Максвелла вы-
числим дивергенцию от обеих частей равенства (3.18). В
результате получим:
—div Н — 0.
dt
Так как в общем случае вектор Н зависит от времени, то
наиболее просто обеспечить выполнение этого соотноше-
ния, если положить
div И = 0.
36 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
Данное соотношение и является последним из уравнений
Максвелла. С физической точки зрения оно эквивалентно
утверждению об отсутствии в природе магнитных заря-
дов.
Система полученных уравнений
1 дЕ 47г
rot И +-~j(r,t), (3.19)
С ОТ с
rot Е —-----—
с dt ’
div Н = О,
div Е = 4тгр(г, t)
называется системой уравнений Максвелла для электро-
магнитного поля в вакууме.
Сила, действующая в электромагнитном поле Е —
E(r, t) и Н = H(r, t) на частицу с зарядом е, имеет вид:
F = еЕ + -[vH]. (3.20)
Это выражение в научной литературе получило название
силы Лоренца.
В случае, когда рассматривается система распреде-
ленных зарядов с плотностью заряда р = р(г, £)и плот-
ностью тока j = j(r, t), вместо силы Лоренца необходи-
мо использовать плотность силы Лоренца f, равную си-
ле. действующей со стороны электромагнитного поля на
единицу объема. Она имеет вид:
f = pE + |[jH]. (3.21)
§ 4] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 37
Система уравнений Максвелла (3.19), дополненная
выражениями для силы Лоренца (3.20) и плотности си-
лы Лоренца (3.21), дает возможность решать широкий
круг задач о движении и излучении заряженных частиц
в вакууме.
§ 4. Закон сохранения энергии
в электродинамике
Рассмотрим систему уравнений Максвелла:
, тт 1Ж 47V.
rot Н = - + —j,
с dt с
(4.1)
rot Е = —
IgH
С dt
div H = 0,
div Е — 4ттр.
Умножим первое уравнение данной системы скалярно на
вектор Е, а. второе уравнение - на. вектор Н. Вычитая из
первого уравнения второе, получим:
(Е rot И) - (Н rot Е) = 1 { (Ef) + (Hf) } + ^(Ej).
(4-2)
Воспользовавшись известными соотношениями
div [ЕН] = (Н rot Е) - (Е rot Н),
— 1 J F2 j- W21
- 2аДЕ +н !
38
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
и разделив равенство (4.2) на 4тг/с, приведем его к виду:
дгЕ2 + Н2-> с гг,тт1 , ч ч
}+d,v-|EH] + (Fj) = °. (4.3)
Выясним теперь физический смысл каждого слагае-
мого в данном выражении. Для этого выделим некото-
рый фиксированный объем V, содержащий всю систему
заряженных частиц, и проинтегрируем соотношение (4.3)
по всему объему:
д f (Е2 + Н21 Г с Г
V V V
Так как после интегрирования по объему величина
f {Е2 + H2]dV будет зависеть только от t, то в первом
V
слагаемом частную производную по времени можно за-
менить на полную. Кроме того, преобразуем по теореме
Остроградского - Гаусса второе слагаемое. В результате
получим:
i I {?-5~}dv+ /“([EHMS)+ Де))Л' = о,
at J < отг > J 4тг J
V S V
(4-4)
где S - поверхность, ограничивающая объем V.
Используя выражение (2.3) для плотности тока, по-
следнее слагаемое этого соотношения можно преобразо-
•* вать к виду:
г \ /'
/ (Ej)oT = У^с1а / S(r - ra(f))(vaE(r))dV =
v v
§ 4] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 39
N Лг
= 52 Qg (v°E(r«)) = 52 { (Е(г«)v«) +
с=1 а=1
с=1
где Еа - сила Лоренца (3.20), действующая на частицу с
номером а со стороны поля.
Таким образом, последнее слагаемое в соотношении
(4.4) представляет собой мощность сил электромагнит-
ного поля, действующих на систему заряженных частиц.
Согласно уравнениям механики эта величина равна про-
изводной по времени от суммарной кинетической энергии
системы частиц:
^Екгп
dt
Поэтому соотношение (4.4) принимает вид:
= -/£(№) («)
V S
Из этого выражения непосредственно следует, что
величина {Ех + Н2}/8тг имеет размерность плотности
энергии (энергии, содержащейся в единице объема), а ве-
личина с[ЕН]/4тг - размерность плотности потока энер-
гии (энергии, проходящей в единицу времени через по-
верхность единичной площади). Поскольку эти величи-
ны зависят только от характеристик элекромагнитно-
го поля, то естественно предположить, что плотность
40 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
энергии w и вектор плотности потока энергии сг для
электромагнитного поля имеют вид:
Е2 + Н2 с
w = —я-----' а = /НЕНЬ (4-6)
О7Г 47Г
Это предположение находится в полном согласии с тео-
ремой Умова, в которой впервые было введено понятие
плотности потока, энергии и в общей форме проведено
изучение локализации и движения в пространстве любых
видов энергии. Так как впоследствии аналогичный во-
прос применительно к электромагнитному полю исследо-
вал Пойнтинг. то вектор <т в электродинамике называют
вектором Пойнтинга.
Соотношения (4.3) и (4.5) представляют co6oii закон
сохранения энергии электромагнитного поля и заряжен-
ных частиц в дифференциальной и интегральной формах,
соответственно. Вводя обозначение
V
для энергии электромагнитного поля, содержащейся в
объеме V, мы можем переписать их в виде:
~~ = div cr + (Ej), (4.8)
Ekm + Е/1 = У (<rdS).
s
Согласно первому из этих соотношений уменьшение
плотности электромагнитного поля в какой-либо точке
§ 4] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 41
пространства с течением времени приводит в общем слу-
чае к появлению в данной точке отличной от нуля дивер-
генции вектора Пойнтинга и к совершению полем работы
над заряженными частицами.
Таким образом, данное дифференциальное соотно-
шение описывает баланс энергий в каждой точке про-
странства. Однако, в большинстве случаев детальное
знание такого баланса оказывается ненужным. Обычно
возникает необходимость исследовать движение и распре-
деление энергии электромагнитного поля интегрально.
Для этой цели служит второе из соотношений (4.8).
Согласно этому интегральному соотношению суммарное
уменьшение энергии поля и кинетической энергии ча-
стиц в некотором объеме V происходит только из-за на-
личия потока энергии электромагнитного поля через по-
верхность, ограничивающую данный объем. Используя
выражение (4.4), это соотношение можно записать и в
несколько иной форме:
~~ = I («л») + У (Ej)dV. (4.9)
S V
Эта форма записи интегрального закона сохранения
энергии означает, что изменение энергии поля в некото-
ром объеме V происходит из-за наличия потока энергии
через поверхность, ограничивающую объем V, и умень-
шения энергии частиц (или совершения полем работы
над заряженными частицами, находящимися в данном
объеме).
Помимо плотности энергии w электромагнитное по-
ле имеет плотность импульса Р :
Р=? = 4^ЕН1- <4'10>
42
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
Таким образом, электромагнитное поле, как и остальные
формы материи, обладает энергией и импульсом. Это
означает, что оно является не каким-то удобным, но бес-
предметным понятием, а представляет собой объектив-
ную физическую реальность.
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля
Характеризуя с математической точки зрения систе-
му уравнений Максвелла
тт 1 5Е 4тг.
rot Н = ----- + —J,
с от, с
(5.1)
rot Е =
15Н
с dt ’
div Н = О,
div Е = 4тгр,
необходимо прежде всего отметить, что она состоит из
восьми линейных дифференциальных уравнений в част-
ных производных первого порядка. При заданных р —
р(г, t) и j = j(r, t) эта система содержит шесть независи-
мых функций по числу компонент векторов Е и Н. От-
сюда непосредственно следует, что система (5.1) либо пе-
реопределена и поэтому в ряде случаев может не иметь
решения, либо содержит линейно зависимые уравнения.
Легко убедиться, что в действительности реализу-
ется вторая из этих возможностей. Для этого возьмем
дивергенцию от правой и левой частей первого из век-
торных уравнений (5.1). В результате получим:
15 47г
О = -—div Е -I--div j.
с at с
§ 5] ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 43
Используя уравнение div Е = 4тгр системы (5.1), прихо-
дим к соотношению
4тг f др .•}
1я7 diV j 1 = О,
с I dt )
которое выполняется в силу дифференциального закона
сохранения заряда (3.3). Поэтому первое и последнее
уравнения системы (5.1), называемые первой парой урав-
нений Максвелла, не являются независимыми друг от
друга. Совершенно аналогично можно убедиться в зави-
симости и второй пары уравнений Максвелла - второго
и третьего уравнений системы (5.1).
Таким образом, система уравнений Максвелла (5.1)
фактически содержит лишь шесть линейно независимых
уравнений относительно шести независимых функций Е
и Н и при заданных начальных и граничных условиях
имеет единственное решение.
Однако непосредственное определение векторов Е и
Н из системы (5.1) в большинстве случае чрезвычайно
затруднено, поскольку каждое из уравнений Максвелла
содержит несколько неизвестных компонент векторов Е
и Н. Поэтому для практических целей обычно требуется
сначала свести систему уравнений первого порядка (5.1)
к системе уравнений высшего порядка, каждое из кото-
рых содержит только одну неизвестную функцию. Это
можно осуществить несколькими способами.
Один из них состоит в введении вспомогательных не-
известных функций, которые в научной литературе по-
лучили название потенциалов электромагнитного поля.
Так как этот способ чаще всего используется, то изу-
чим его подробнее. Рассмотрим последнее из уравнений
44
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 1
Максвелла (5.1):
div Н — 0.
Оно утверждает, что вектор напряженности магнитного
поля всегда имеет соленоидальный характер. Поэтому
данный вектор может быть представлен в виде ротора
от некоторого вспомогательного вектора А, называемого
векторным потенциалом электромагнитного поля:
H(r,t) = rot A(r, f).
Подставляя это соотношение во второе из векторных
уравнений (5.1) и переставляя местами независимые опе-
рации взятия ротора и частного дифференцирования по
времени, получим:
Так как это равенство должно выполняться тождествен-
но, то выражение, стоящее в фигурных скобках, всегда
можно представить в виде градиента от некоторой ска-
лярной функции. В силу исторической традиции этот
градиент обычно записывают со знаком минус:
Е+ = “grad <p(r,t),
с at
а вспомогательную скалярную функцию ^(.r,t) в этом
случае называют скалярным потенциалом. Таким обра-
зом, векторы напряженностей электрического и магнит-
ного полей можно выразить через потенциалы электро-
магнитного поля
H(r, f) — rot А,
(5.2)
§ 6] КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 45
Е
—grad 9? —
IgA
с dt
и, тем самым, обеспечить тождественное выполнение
второй пары уравнений Максвелла.
§ 6. Калибровочная инвариантность класси-
ческой электродинамики
Выясним теперь, насколько однозначно могут быть
выбраны потенциалы электромагнитного поля. Как сле-
дует из выражений (5.1), (3.20) и (3.21), скалярный <p(r,t)
и векторный A(r, t) потенциалы явным образом не вхо-
дят ни в уравнения Максвелла, ни в уравнения движе-
ния заряженных частиц. Эти уравнения зависят от по-
тенциалов 9? и А только косвенно: через напряженности
электрического Е и магнитного Н полей. Поэтому ника-
ким физическим экспериментом1) нельзя, например, из-
мерить значения потенциалов и А в какой-либо точке
пространства.
Отсюда следует, что в классической электродинами-
-1) В квантовой теории ситуация выглядит иначе, по-
скольку ее уравнения формально содержат скалярный и
векторный потенциалы электромагнитного поля. В ре-
зультате волновая функция (точнее, ее фаза) зависит от
потенциалов (эффект Ааронова-Бома). Поэтому кали-
бровочные преобразования потенциалов приводят к неод-
нозначному виду волновой функции. Однако, в квантовой
теории ни сама волновая функция, ни ее фаза измерены
быть не могут. Более того, волновая функция обычно
определяется с точностью до произвольного комплексно-
го множителя ехр(ш).
46 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
ке потенциалы и А сами по себе не имеют непосред-
ственного физического смысла, а играют вспомогатель-
ную роль. В то же время напряженности электрического
и магнитного полей всегда могут быть измерены по ве-
личине силы, действующей на пробный заряд, а, следо-
вательно, они имеют реальный физический смысл.
Таким образом, классическая электродинамика до-
пускает возможность преобразований потенциалов, кото-
рые не изменяют значений полей Е и Н. Такие преобра-
зования в научной литературе получили наименование
калибров очных или градиентных преобразований.
Найдем эти преобразования. Для этого обратим вни-
мание прежде всего на первое из равенств (5.2). Так как
для любой функции координат и времени /(г, Я справед-
ливо соотношение rot grad /(г,t) = 0, то очевидно, что
вектор напряженности электромагнитного поля не изме-
нится, если к векторному потенциалу А добавить гради-
ент от произвольной скалярной функции У(г,<), называ-
емой калибровочной функцией:
А = А' + grad /(г, /).
(6-1)
В этом случае Н = rot А = rot А1 — Н' и вектор Н' ока-
зывается независящим от выбора калибровочной функ-
ции Однако такое преобразование, вообще говоря,
изменяет вектор Е. Действительно, подставляя соотно-
шение (6.1) во второе из равенств (5.2), получим выра-
жение, в которое калибровочная функция /(г, /) входит
явно:
тг я 1 ^А г 1 д ) 1 дА
Е = -grad — = -gradjv + - 0} - ~
(6.2)
§ 6] КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 47
Для того, чтобы обеспечить независимость вектора Е' от
калибровочной функции при преобразовании (6.1),
необходимо, чтобы скалярный потенциал также изменял-
ся по закону.
, 1 a/(r, t)
v = v-------—•
с dt
Тогда выражение (6.2) примет вид:
„ 1 19А л ' 1ЭА'
Е = -grad у-----— = -grad у------— = Е .
сот ст
Отсюда следует, что только совместное преобразование
потенциалов
1 df<r t.}
А = А' + grad /(г,t), tp = ^ - -—— (6.3)
обеспечивает независимость векторов Е' и Н' от выбора
калибровочной функции /(г,/).
В математике выражение, остающееся неизменным
при определенном преобразовании переменных, входящих
в это выражение, называется инвариантом. Таким обра-
зом, напряженности электрического Е и магнитного Н
полей являются инвариантами при проведении калибро-
вочных преобразований (6.3) потенциалов <р и А, а само
свойство этих напряженностей не изменяться при кали-
бровке потенциалов называется калибровочной инвари-
антностью.
Так как входящая в выражения (6.3) скалярная функ-
ция /(г, t) является совершенно произвольной функцией
координат и времени, то мы можем использовать эту не-
однозначность в выборе потенциалов в дальнейшем для
существенного упрощения уравнений.
48 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ГЮЛЯ [ГЛ. 1
§ 7. Вывод уравнений для потенциалов
У становии теперь уравнения, которым должны удо-
влетворять потенциалы в микроскопической электроди-
намике. Для этого подставим выражения (5,2) в первое
из уравнений (5.1). Используя известное соотношение
rot rot А = grad div А — A А,
где А - оператор Лапласа:
д2 д2 д2
д^ + д^ + а^2 ’
и переставляя местами независимые операции частного
дифференцирования по времени и взятия градиента, при-
ведем первое уравнение (5.1) к виду:
А А-
1 а2 А
с2 dt2
(7.1)
Совершенно аналогично, подставляя выражение (5.2) в
четвертое из уравнений (5.1) и учитывая, что div grad —
А <£>, получим:
Л 1 а2^ . 1 а г 1 dip _
+ d,vAr l'-2’
Рассматривая структуру уравнений (7.1) и (7.2). лег-
ко заметить, что они легко упрощаются в том случае,
когда выражения, стоящие в фигурных скобках, обраща-
ются в нуль. Поэтому возникает естественный вопрос:
а нельзя ли, воспользовавшись неоднозначностью (6.3) в
§7]
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
49
определении потенциалов, добиться существенного упро-
щения уравнений (7.1) и (7.2)? Ответ на этот вопрос, как
мы увидим далее, положительный.
Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что ка-
либровочное преобразование (6.3) не изменяет вида урав-
нений (7.1) и (7.2). Действительно, подставляя соотно-
шения (6.3) в уравнения (7.1) и (7.2), получим:
1 <Э2А' 47Г.
с
с2
dt2
1 д\
с2 dt2
-j + e:rad ) —-—|- div А' >. (7.3)
I с dt J
—-—I- div А.' >.
с dt )
Таким образом, калибровочная функция J(r, t) в эти
уравнения не вошла и единственное изменение по срав-
нению с уравнениями (7.1) и (7.2) состоит в появлении
штрихов у скалярного и векторного потенциалов.
Предположим теперь, что в первоначальной кали-
бровке потенциалов величина
-^ + div А = F(r,t) (7.4)
с dt
не равна нулю, а является некоторой функцией координат
и времени. Выясним, можно ли так подобрать калибро-
вочную функцию f(r,t), чтобы откалиброванные потен-
циалы (/ и А' уже удовлетворяли условию
--тот + div А' = 0. (7.5)
СОТ
Для этого подставим соотношения (6.3) в выражение
(7.4). В результате получим:
1 1- A I XI 1 ^2/
”-ЧГ + div А + А / - “г
с dt с2 dt2
= F(rj).
50 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1
Отсюда следует, что для выполнения дополнительного
условия (7.5) калибровочная функция f(r, t) должна удо-
влетворять условию:
1 d2f
Так как это уравнение всегда имеет решение, а иных
ограничений на выбор функции /(г, t) нет, то в резуль-
тате калибровочного преобразования (6.3) всегда можно
добиться выполнения условия (7.5). При таком выборе
потенциалов уравнения (7.3) значительно упрощаются.
Опуская несущественные для дальнейшего штрихи в вы-
ражении (7.5) и используя оператор Даламбера
получим следующие уравнения для потенциалов:
4тг
□ A(r,i) =—~j(r,t), (7.6)
□ ^(r,t) = -47rp(r,t).
Входящие в уравнения (7.6) потенциалы должны удовле-
творять дополнительному условию
1 dtp
+ div А — 0. (7.7)
с dt
которое называется условием Лоренца.
Следует отметить, что условие Лоренца (7.7) не фик-
сирует однозначно калибровку потенциалов у? и А, по-
зволяя проводить калибровочные преобразования (6.3) с
§7]
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
51
функцией У (г, t), удовлетворяющей уравнению □ f — 0.
Эти преобразования иногда используются для того, что-
бы наложить на потенциалы более жесткое условие:
div А = 0.
Это дополнительное условие в научной литературе полу-
чило название условия Кулона (кулоновская калибровка).
Уравнения для потенциалов (7.1) и (7.2) в калибров-
ке Кулона принимают вид:
Д р> = —4лр,
. 4тг.
□ А =-------j + grad
с
(7-8)
1 др>
с dt ‘
Калибровка Кулона наиболее часто используется в кван-
товой электродинамике, а также при изучении процессов
с участием электромагнитных волн вне источника излу-
чения (т.е. в тех областях пространства, где р(г, /) =
0, j(r, t) = 0). В последнем случае в формулах (7.8) не-
обходимо положить </5 = 0. Это позволяет существенно
уменьшить число неизвестных в уравнениях для потен-
циалов.
ГЛАВА II
СТАЦИОНАРНЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
§ 8. Уравнение для потенциала
электростатического ноля и его решение
Электростатическая часть уравнений Максвелла
(3.19) имеет вид:
rot Е(г) = 0, (8-1)
.» div Е(г) = 4тгр(г).
Так как плотность заряда р(г), входящая в эту систе-
му, не должна зависеть от времени, то все заряды, со-
здающие электростатическое поле, обязаны находиться
в покое. Изучим характер распределения электростати-
ческих полей в пространстве.
Из первого уравнения системы (8.1) следует, что в
вакууме электростатическое поле всегда потенциально.
Вводя скалярный потенциал в соответствии с определе-
нием (5.2), мы можем записать:
Е = —grad (8-2)
Подставим теперь это соотношение во второе уравнение
системы (8.1). В результате мы получим уравнение, свя-
зывающее потенциал электростатического поля с плот-
ностью заряда:
А ^(г) = —4тгр(г).
(8-3)
§ 8] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 53
Это уравнение в научной литературе получило назва-
ние уравнения Пуассона. С математической точки зре-
ния оно представляет собой уравнение в частных про-
изводных второго порядка эллиптического типа. Как из-
вестно из математической физики, для обеспечения един-
ственности решения таких уравнений необходимо зада-
вать тем или иным способом граничные условия. В ми-
кроскопической электродинамике, предполагающей, что
во всем пространстве имеются только источники поля и
вакуум и отсутствуют какие-либо среды, наиболее часто
используются так называемые естественные граничные
условия, определяющие поведение потенциала (иногда и
его производных) на пространственной бесконечности. В
частности, если источники поля сосредоточены в области
пространства островного типа, то естественное гранич-
ное условие принимает вид:
lim </?(г) = 0. (8.4)
С физической точки зрения это означает, что коль скоро
источниками поля являются заряды, а они сосредоточе-
ны в ограниченной области пространства, то нет ника-
ких оснований для роста абсолютной величины потенци-
ала по мере удаления от этой области. Кроме того, при
решении задач электродинамики мы также часто будем
явно использовать условие ограниченности напряженно-
стей во всех точках пространства, в которых плотности
заряда и тока конечны.
Предположим, что рассматриваемая нами система
зарядов полностью сосредоточена в области простран-
ства островного типа та р — р(г) является заданной функ-
цией координат. Используя метод функции Грина, най-
дем решение уравнения Пуассона (8.3), удовлетворяющее
54 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
естественному граничному условию (8.4). Для этого по-
тенциал, создаваемый системой зарядов, представим в
виде:
<£>(r) = / dV'G(r, r')p(r'),
(8-5)
где dV — dx dy dz и интегрирование производится по
объему, занимаемому системой зарядов.
Функция Грина G(r,r'). входящая в это соотноше-
ние, должна удовлетворять уравнению:
ArG(r, г') — — 4тг£(г — г').
(8-6)
Действительно, подействуем оператором Лапласа на обе
части равенства (8.5). Так как операции интегрирования
по координатам г' и дифференцирования по координатам
точки наблюдения г независимы, то получим:
A <p(r) =
dV'ArG(r, r')p(r').
Если теперь потребовать, чзобы функция Грина удовле-
творяла уравнению (8.6), то это соотношение примет вид
уравнения Пуассона:
А 9?(г)- - —4тг j dV'8(r — rz)p(r/) = —4ттр(г).
Для решения уравнения (8.6) и нахождения, тем са-
мым, функции Грина воспользуемся методом интеграла
§ 8] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 55
Фурье. Представим функцию Грина в виде интеграла
Фурье с некоторым неизвестным ядром G'(k, г'') :
оо
G(r,r') = 7—-т / d3fce^kr-'G(k,r'), (8.7)
(2тг)3 j '
где d3k — dkidkidk^.
Используя известное представление
<К(г - г') = -1—- [ d3kei(k(r~r'^
V ? (27Г)3 J
— ОО
(8.8)
для дельта-функции Дирака, разложим в интеграл Фурье
и правую часть уравнения (8.6). Подставим теперь соот-
ношения (8.7) и (8.8) в уравнение (8.6). Учитывая, что
действие оператора Лапласа Д на интеграл Фурье (8.7)
эквивалентно умножению подынтегрального выражения
на —к2, получим:
к2С(к,г') + 47ге-г(кг'*} =0.
В силу единственности разложения функции в интеграл
Фурье выражение, стоящее в фигурных скобках, должно
быть равно нулю. Отсюда следует, что
G'(k,r') =
-г(кг')
k2
56
стационарные электромагнитные поля
[ГЛ. II
Таким образом, соотношение (8.7) для функции Грина
принимает вид:
(8.9)
Следует отметить, что подынтегральное выражение это-
го соотношения сингулярно при к —> 0 Однако, из-за
наличия в правой части соотношения (8.9) трехкратного
интегрирования интеграл сходится и, притом, абсолют-
но.
Проинтегрируем выражение (8.9). Для этого при
каждых фиксированных векторах г и г' введем в фазо-
вом пространстве, определяемом вектором к. сфериче-
скую систему координат с полярной осью, направленной
вдоль вектора г — г' :
к]~ к sin 0 cos Ф,
к% = к sin 0 sin Ф,
к$ = к cos 0.
В этом случае элемент объема d?k — к2 sin Qdkd®d$,
скалярное произведение (k(r — г')) = fcjr — r'| cos 0 и вы-
ражение (8.9) принимает вид:
оо тг 2тг
G(r,r') = Jdk I Sin0d0 у ^e^|r-r'icOSe
0 0 о
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
57
§ 8]
Интегрирование по углу Ф даст множитель 2тг, а при ин-
тегрировании по 0 удобно сделать подстановку cos 0 = £.
Тогда sin 0<70 = —В результате получим:
ОО
0(г>г ) = ~1----77 / ------7------•
тг|г — г'| J к
о
И, наконец, последний интеграл при |г — г'| / 0 равен
тг/2. Поэтому
М Sgn|r-r'|
G(r,r
где sgn(T’) - знаковая функция: sgn(i’) = 1 при х > 0 и
sgn(a:) = — 1 при х < 0.
Подставляя это соотношение в равенство (8.5), полу-
чим следующее выражение для потенциала электроста-
тического поля:
, ч f dV'p(r')
V
Анализируя интегральное выражение (8.10) с физи-
ческой точки зрения, следует отметить (см. рис. 4),
что вклад некоторого текущего элемента объема dV,
центр которого помещен в точку с радиусом-вектором г',
в величину потенциала, измеряемого в точке с радиусом-
вектором г, определяется законом Кулона: он пропорци-
онален величине заряда dq — p(r')dV, содержащегося в
этом элементе объема dV, и обратно пропорционален ве-
личине расстояния R = |г — г'| между центром объема
58 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
и точкой наблюдения. Полное значение потенциала в си-
лу линейности электродинамики, очевидно, должно пред-
ставлять сумму вкладов всех частей объема, занятого ис-
точником. Интегрирование в выражении (8.10) еще раз
подтверждает это свойство электродинамики.
Рис. 4. Интегрирование по объему источника.
Легко убедиться, что потенциал (8.10) удовлетворя-
ет естественному граничному условию (8.4) и, тем са-
мым, обеспечивает единственность решения задач элек-
тростатики для безграничного пространства с источни-
ками островного типа. Следует однако напомнить,
что для некоторых задач к решению (8.10) неоднородно-
го уравнения (8.3) - уравнения Пуассона - необходимо
добавить общее решение однородного уравнения Д 92 = 0
- уравнения Лапласа.
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 59
§ 9. Разложение потенциала
электростатического поля по мультиполям
Интегральное соотношение типа (8.10) между плот-
ностью заряда и создаваемым потенциалом в ряде случа-
ев оказывается неудобным для проведения практических
расчетов. Поэтому для детального анализа поля, созда-
ваемого заданным распределением зарядов, довольно ча-
сто приходится привлекать те или иные методы прибли-
женного вычисления потенциала.
Всякий метод приближенного вычисления, как из-
вестно, обычно состоит из выявления безразмерных ма-
лых параметров, которые встречаются в задаче, и после-
дующем разложении всех выражений с заданной степе-
нью точности по этим малым параметрам.
В рассматриваемом нами случае островного распре-
деления покоящихся зарядов одним из малых параметров
может быть отношение максимального линейного разме-
ра L области, занятой источником, к расстоянию от ис-
точника до точки наблюдения. Разложение потенциала
(9-ц
V
по степеням этого отношения в научной литературе по-
лучило название мультипольного разложения.
Поместим начало координат прямоугольной декар-
товой системы отсчета, в какую-либо точку источника
(см. рис. 4). Обозначим в этой системе отсчета радиус-
вектор точки наблюдения через г, а радиус-вектор цен-
тра некоторого текущего элемента объема интегрирова-
ния dV через г'. Вполне очевидно, что расстояние |г'| от
60 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
начала отсчета до центра этого элемента в рассматри-
ваемой нами системе координат никогда не превысит ве-
личины L - максимального линейного размера области,
занятой источником: |r'| < L.
Найдем приближенное выражение для потенциала
(9.1) на достаточно больших (по сравнению с L) расстоя-
ниях от источника: |r| >> L. Для этого нам прежде всего
необходимо разложить величину l/|r — r'j, стоящую под
знаком интеграла (9.1), в бесконечный ряд по степеням
малого параметра г /г < L/г << 1. Как известно, любая
функция /(R), бесконечно дифференцируемая в некото-
рой окрестности точки R = г, может быть представлена
в этой окрестности в виде степенного ряда:
/(R) = /(r)+i((R-r)v)/(r) + l ((R-r)v)2/(r)+....
Воспользовавшись этим разложением и полагая в нем
R = г — г', /(R) = 1/|г — г'|, получим:
1
|г-г'|
C-ir 1
^-/-(r'grad)’1-.
n! г
(8-2)
Легко убедиться, что этот ряд представляет собой имен-
но разложение по степеням малого параметра г /г. Дей-
ствительно, так как операция дифференцирования функ-
ции 1/г по порядку величины эквивалентна умножению
дифференцируемой функции на 1/г, то каждое действие
оператора
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 61
по порядку величины соответствует умножению диффе-
ренцируемого выражения на г /г << 1. Поэтому фак-
тически по сравнению с предыдущим членом этого ряда
каждый последующий член ряда (9.2) содержит на еди-
ницу большее число малых сомножителей г /г.
Подставим теперь разложение (9.2) в выражение для
потенциала (9.1). В результате оно примет вид:
ОО
<т’(г) = (р’п(г)> (9-3)
п=0
где
^п(г) = 1) - / dV'p(r')(r'grad)n-. (9.4)
72. J Т
V
Выражения (9.3) и (9.4) представляют собой мультиполь-
ное разложение скалярного потенциала для системы за-
рядов островного типа.
Рассмотрим несколько первых слагаемых этого бес-
конечного ряда и выясним их физический смысл. При
п = 0 из выражения (9.4) имеем:
У’о(г) = f dV'p(r')- = —,
J г г
v
где Q - полный заряд системы:
Q = j dV'p(r'\ (9.5)
v
Для системы, состоящей из N точечных частиц, заряды
которых qa и радиусы-векторы га заданы, можно запи-
сать
N
p(r') = qa^r' ~ г“)- (9-6)
а=1
62 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ НОЛЯ [ГЛ. II
Поэтому выражение (9.5) для полного заряда системы
примет вид:
Q — j Ча
а=1
Таким образом, в нулевом приближении потенциал си-
стемы зарядов островного типа на больших расстояниях
от нее совпадает с кулоновским потенциалом точечной
частицы, имеющей заряд, равный полному заряду Q си-
стемы.
Учитывая, что
(г grad)- =
следующий член ряда. (9.3) можно записать в виде:
Так как вектор г не зависит от переменных интегриро-
вания, то его можно вынести из-под знака интеграла. В
результате выражение для <^i(r) примет вид:
где введено обозначение
d = / dV'p(r')
(9-8)
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 63
для вектора электрического дипольного момента систе-
мы зарядов.
В научной литературе потенциал /’i(r) получил на-
звание потенциала электрического диполя.
В случае системы, состоящей из N точечных частиц,
вектор электрического дипольного момента d в силу вы-
ражений (9.6) и (9.8) принимает вид:
А
d = (9.9)
а=1
И, наконец, подействовав оператором (r'V) на функ-
цию 1/г два раза, будем иметь:
, , jx2 1 ' f л\(Г<Г) Г> 1 З(г'г)2
(г grad) - = -(г grad)^- = ----- +
Подставляя это соотношение в выражение (9.4), для по-
тенциала ip-2 (г) получим:
«Ю = =f dV'p(r’) . (9.10)
J L 1 1-1
V
Потенциал ^2 (г) и все последующие потенциалы ря-
да (9.3) принимают наиболее компактный вид, если ис-
пользовать индексную форму записи векторов г и г', при-
нятую в тензорном анализе. При такой форме записи
компоненты радиуса-вектора некоторой точки г предста-
вляют в виде ха = {.т],.г2,.г’3}-, неявно предполагая, что
индекс, обозначенный любой греческой буквой (а, /?, р и
т.п.), может принимать три значения: 1, 2, 3. В декарто-
вых координатах обычно полагают а:1 = х, х2 — у, х3 =
64 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. И
Совершенно аналогично и любой трехмерный вектор
А можно записать в виде Аа = {А1, А2, А3}, причем в де-
картовых координатах его компоненты будут иметь сле-
дующий смысл: А1 = Аж, А2 = Aj;, А3 = Аг.
Необходимо отметить, что наряду с вектором А°, ин-
декс у которого расположен вверху (контравариантный
индекс), мы можем использовать и вектор Ао, индекс у
которого расположен внизу (ковариантный индекс). В об-
щем случае компоненты этих двух векторов не совпада-
ют: А1 Ах, А2 Аг, А3 A3. Однако, в применении к
нашей задаче такая степень общности является излиш-
ней, поэтому вплоть до § 31, где будут введены более
строгие представления о тензорах, условимся не делать
различия между контравариантными и ковариантными
индексами у всех тензорных величин: А" = Ао, = х$.
Для того, чтобы это соглашение не приводило к каким-
либо ошибкам, компоненты всех трехмерных тензоров не-
обходимо записывать только в декартовых координатах.
Индексная форма записи и принятое соглашение по-
зволяют представить скалярное произведение двух век-
торов А и В несколькими эквивалентными способами:
зззз
(АВ) = 52 А“Ва = у А°в° = У А-ва = У А°ва-
а—1 се—1 а—1 а=1
Для упрощения записи подобных выражений, в тензорном
анализе обычно широко используется правило суммиро-
вания Эйнштейна: по индексам, обозначенным одной и
той же буквой и стоящими один вверху, а другой внизу,
предполагается суммирование по всей совокупности при-
нимаемых данными индексами значений. В соответствии
с этим правилом скалярное произведение векторов А и В
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 65
может быть записано без использования знака суммиро-
вания:
(АВ) = АаВа = АаВа.
Следующим по сложности геометрическим объектом, ко-
торый нам потребуется, является тензор второго ранга
- тензор, имеющий два индекса AqA Примерами таких
тензоров служат, например, тензор инерции тел в меха-
нике абсолютно твердого тела, тензор скоростей дефор-
маций в механике сплошных сред и ряд других тензоров.
Так как индексы о и /3 у тензора второго ранга Аар мо-
гут принимать независимо друг от друга значения 1, 2,
3, то в общем случае данный тензор имеет девять не-
зависимых компонент и его можно представить в виде
матрицы, строки которой нумеруются первым индексом,
а столбцы - вторым индексом:
А11 А12 А13
Аар = А21 А22 А23
А31 А32 А33
(9-11)
Важным частным случаем тензора второго ранга явля-
ется символ Кронекера 8ар, который имеет вид:
8а/з = 8а-в =
1, если а — /3,
О, если а =4 (3.
(9-12)
Тензор Кронекера позволяет представить скалярное
произведение двух векторов А и В еще и в виде:
(АВ) - 6а/3АаВр = 8^АаВр.
66 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Кроме того, с помощью тензора 6ар обычно определяется
и след любого тензора. Аа0 второго ранга:
з з
= f,^Aae = Sa„A^ = £ £ SallA^.
а=1 0=1
Из соотношений (9.11) и (9.12) следует, что след тензо-
ра AQ 7 в декартовых координатах является суммой его
диагональных компонент:
= Аа^ 8ар — А} + А| + A3.
Используя тензорную форму записи, представим вхо-
дящее в выражение (9.10) скалярное произведение векто-
ров г и г' в виде:
(г'г) = хаха, г2 = 8af)xax0, (г'г)2 = х^хаХрх0.
Подставляя эти соотношения в выражение (9.10), полу-
чим:
га 0 г
Ы*) = j dV'p(r') [Зт^ - г'Чар .
v
Вводя обозначение
Dap = У dV р(х')(3х'ах1в - г,28пв] (9.13)
V
для тензора электрического квадрупольного момента си-
стемы, выражение (9.10) мы можем записать в достаточ-
но компактном виде:
й(г) = (9-И)
§ 9]
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ
67
Потенциал <,02 О’) в научной литературе получил название
потенциала электрического квадруполя.
В случае системы, состоящей из N точечных частиц,
тензор электрического квадрупольного момента Dap в
силу выражений (9.6) и (9.13) принимает вид:
N
Da!) = - <W(20)}-
а — 1
Из выражений (9.7) и (9.14) следует, что на боль-
ших расстояниях от системы зарядов (г —> ос) потенциал
электрического квадруполя уДг) убывает быстрее, чем
потенциал электрического диполя ^i(r), а тот, в свою
очередь, убывает быстрее потенциала кулоновского поля
^о(г) :
/1 1 7 1
<Мг)~;, Ыг)~^,
Для сравнения потенциалов ^o(r), 971(г) и ‘/’г (г) по по-
рядку величины учтем, что
|(rd)|~r|d|, \xax^Dap\r2max Da/3.
Оценки величин |d| и max Dag можно получить из вы-
ражений (9.8) и (9.13):
dV'p(r')(r'| < L\ J' dV'pl')\ ~ \Q\L,
V V
max Da/s = max f dV'p(r')[3x'ax'^ — r'"6ap] ~ lQi-Ь2-
v
68
СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. II
Тогда при Q 0 и d О
Таким образом, определяющий вклад в потенциал
(9.3) системы зарядов в общем случае дает кулоновский
потенциал <ро(г) — Q/r- Физический смысл этого утвер-
ждения достаточно очевиден: на больших расстояниях
от системы детали распределения зарядов оказываются
мало существенными и в начальном приближении всю
систему можно рассматривать как точечный заряд Q =
J dV' р(г'), помещенный в начато координат.
V
Напряженность электрического поля Е = —V^o(r),
обусловленная этой частью потенциала, с ростом г убы-
вает как 1/г2 :
.з ‘
Это хорошо известное выражение для поля кулоновского
центра.
§ 10. Электрический дипольный момент и его поле
Если полный заряд системы равен нулю, то веду-
щую роль в разложении (9.3) начинает играть потенциал
!pi(r) — (rd)/г3. Он совпадает с потенциалом точечного
диполя, дипольный момент которого равен дипольному
моменту рассматриваемой системы зарядов.
§ 10] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 69
Используя известные соотношения
1 пт
grad— =---—,
grad(rd) = d,
найдем напряженность поля электрического диполя:
Е1 = 3(r<t)v-r; <1
Таким образом, поле электрического диполя не является
центральным, так как [Ег] 0. На больших расстояниях
от диполя оно убывает как 1/г3. Представление о сило-
вых линиях поля электрического диполя дает рис. 5.
Изучим теперь свойства вектора электрического ди-
польного момента системы d. Как следует из выражения
(9.8), этот вектор зависит не только от распределения за-
рядов в системе (что обеспечивается наличием плотности
заряда р(г') под знаком интеграла (9.8)), но и от выбо-
ра начала отсчета декартовой системы координат (из-за
присутствия вектора г' в выражении (9.8)).
Поэтому возникает вполне естественный вопрос: в
какой мере вектор d характеризует симметрию в распре-
делении зарядов внутри рассматриваемой системы, а в
какой мере отражает, может быть, не совсем удачный вы-
бор начала отсчета декартовой системы координат. Или,
говоря иными словами, если мы в какой-либо системе ко-
ординат, измеряя поле Ei(r) определим величину вектора
d, то можно ли на основании этих данных судить о на-
личии какой-либо симметрии в распределении зарядов в
системе. Или же эта величина настолько зависит от вы-
бора координат, что не позволяет делать таких выводов?
70 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Для ответа на этот вопрос вычислим электрический
дипольный момент одной и той же системы точечных за-
рядов в двух декартовых системах координат, начала от-
счета которых не совпадают, а координатные оси парал-
лельны, и сравним полученные результаты.
Рис. 5. Силовые линии поля электрического диполя.
Обозначая радиус-вектор заряда с номером а (а =
1,2..АГ) в первой системе координат через га, плотность
рассматриваемой совокупности точечных зарядов мы мо-
жем записать в виде:
N
р(г) = ^qaS(r - Га).
а—1
Подставляя это выражение в соотношение (9.8), опреде-
§ 10] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 71
лим вектор d в первой системе координат:
N
d = 9ага.
а=1
(Ю.2)
Предположим теперь, что начало отсчета второй систе-
мы координат помещено в точку, радиус-вектор которой
Ro- Обозначая в этой системе координат радиус-вектор
заряда с номером и через га, будем иметь:
N
р(г) = 52 t?a^r - г«)-
а=1
Поэтому во второй системе координат
d' = У*дага'.
а=1
(10.3)
Выразим теперь радиус-вектор г'„ через га:
r'a = ra -Ro
Подставляя это соотношение в равенство (10.3), получим:
N
d' = d - Ro qa = d - R0Q,
a=l
где Q - полный заряд системы.
Отсюда непосредственно следует, что в общем слу-
чае, когда полный заряд системы Q отличен от нуля,
электрический дипольный момент существенно зависит
72 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
от того, в какой точке помещено начало отсчета. В част-
ности, если начало отсчета декартовой системы коорди-
нат при Q f 0 поместить в точку с радиусом-вектором
Но — d/Qi то электрический дипольный момент обра-
тится в нуль независимо от характера распределения за-
ряда в системе. Система координат, в которой вектор
d равен нулю, в научной литературе получила название
системы центра заряда.
Таким образом, при Q / 0 вектор d не может слу-
жить характеристикой, отражающей наличие или отсут-
ствие какой-либо симметрии в распределении зарядов в
рассматриваемой системе. Если же полный заряд систе-
мы равен нулю, то ее электрический дипольный момент
становится независимым от выбора начала отсчета, в ре-
зультате чего по величине и направлению вектора d мож-
но делать некоторые предположения о характере распре-
деления зарядов в системе. В частности, учитывая, что
для двух разноименных точечных зарядов ±д, располо-
женных на расстоянии I друг от друга, d = с;1, мы можем
любую нейтральную систему зарядов представить себе
как состоящую из двух подсистем: положительной и от-
рицательной, центры зарядов которых смещены на вели-
чину 1 пропорциональную d : I — d/q. Следует однако
отметить, что знание вектора d не позволяет однозначно
судить о расределении плотности заряда в системе.
§ 11. Электрический квадрупольный момент
и его поле
Перейдем теперь к изучению поля электрического
квадруполя (9.14). Простейшим примером электрическо-
го квадруполя является система, состоящая из четырех
§ 11] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 73
равных по абсолютной величине зарядов, расположенных
в вершинах квадрата, причем знаки зарядов должны че-
редоваться. Следует отметить, что эквивалентным пред-
ставлением квадруполя может служить также и систе-
ма из двух равных по величине и противоположных по
направлению электрических диполей, смещенных на не-
большое расстояние.
Поле электрического квадруполя имеет ярко выра-
женный нецентральный характер и его удобно предста-
влять, используя тензорную форму записи:
9^2 SxaDp^xPx11 Da/3xP
= (ПЛ)
Из этого выражения следует, что при г —> оо поле убыва-
ет как 1/г4. Поэтому учет поля электрического квадру-
поля обычно производится в том случае, когда электри-
ческий заряд и дипольный момент системы равны нулю.
Следует, однако, отметить, что потенциал ^(г) и
соответствующее ему поле Ео являются предметом ис-
следования даже тогда, когда полный заряд системы не
равен нулю и основная роль в создании поля принадле-
жит кулоновской части потенциала. Это связано с тем,
что измерение поля Ео позволяет установить величину
компонент тензора электрического квадрупольного мо-
мента Da'3, которые характеризуют степень несферично-
сти в распределении заряда в изучаемой системе. Имен-
но таким путем была измерена величина электрического
квадрупольного поля у атомных ядер и на этой основе
сделан вывод об отсутствии сферической симметрии в
распределении заряда у некоторых из них.
Выясним теперь, сколько независимых компонент
74
СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. II
может иметь тензор электрического квадрупольного мо-
мента в случае произвольной системы зарядов.
Как известно, трехмерный тензор второго ранга в
общем случае содержит З2 = 9 независимых компонент.
Тензор Da&. хотя и является тензором второго ранга, в
силу присущих ему свойств имеет значительно меньшее
число компонент. Во-первых, из определения этого тен-
зора (9.13 ) следует, что он симметричен по индексам а и
/3: при перестановке этих индексов он не изменяется, т.е.
Da/3 = J P(r)[3x'ax'p - 8a0r!2]dV =
= / P(r)[3a’^'4 - 8ai3rl2]dV = £Да.
Это означает, что матрица
-DJ2
D22
Du D12
D2i D22
D31 d32
D]3
D23
D33
элементами которой являются компоненты этого тензо-
ра, совпадает с транспонированной матрицей: D = DT.
Следовательно компоненты тензора Dap должны удовле-
творять трем соотношениям:
D12 — D2i, D\3 — Р31, D‘23 = D32-
Таким образом, симметрия тензора £>Ci|g уменьшает
число его независимых компонент до шести. Но это еще
не все. Из определения (9.13) легко убедиться, что дан-
ный тензор является бесследовым: его след равен нулю.
Действительно, учитывая, что
= г12, 6^6^ = 3,
§ 11] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 75
получим:
В“ = Dap8a0 = 0.
Расписывая это выражение покомпонентно, имеем:
£>п + -D?2 ~Ь Дзз — Д
Данное соотношение еще на единицу уменьшает число
независимых компонент.
И, наконец, производя преобразование поворота де-
картовой системы координат, мы можем обратить в нуль
еще три (по числу независимых углов поворота) компо-
ненты этого тензора. Таким образом, тензор электриче-
ского квадрупольного момента имеет всего две независи-
мые компоненты.
Проще всего в этом убедиться следующим образом.
Рассмотрим некоторую квадратичную форму, коэффици-
ентами которой являются компоненты тензора Dap-.
I = Daijxax0.
Как и всякую квадратичную форму, ее всегда можно пу-
тем преобразований поворота привести к главным осям,
в результате чего все перекрестные слагаемые исчезнут
и она примет вид:
/ — £)цж2 4- Д22У" + -Озз^2-
Поскольку след тензора Daij сохраняет свое значение при
преобразованиях поворота, то
D33 — — Д] — D-22-
76 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. П
Таким образом, после перехода к системе координат, оси
которой ориентированы вдоль главных осей, отличными
от нуля компонентами тензора электрического квадру-
польного момента в общем случае могут быть только
компоненты Рп, Аг и Аз = -(А1 + Аг)-
§ 12. Энергия электростатического поля
Найдем теперь энергию электростатического поля,
создаваемого некоторой системой покоящихся зарядов. В
соответствии с общей формулой (4.7) плотность энергии
электрического поля в вакууме определяется выражени-
ем: w — Е2/(8тг). Поэтому энергию поля, содержащуюся
в некотором объеме V, можно найти, интегрируя плот-
ность w по данному объему V:
£ = ~[dVE2. (12.1)
8 -7Г J
V
В типичных задачах классической электродинамики в ка-
честве объема V иногда выступают конечные области
пространства, но чаще же интересуются энергией поля,
заключенной во всем пространстве. В последнем случае
использование выражения (12.1) может оказаться не со-
всем удобным по целому ряду причин. Поэтому наряду с
выражением (12.1) в электростатике используется и дру-
гое выражение для определения энергии поля. Для его
получения учтем, что Е — —grad tp. Подставляя это со-
отношение в выражение (12.1), найдем:
£ = I dV(E grad у>).
v
§ 12] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 77
Преобразуем теперь подынтегральное выражение. Ис-
пользуя известное соотношение
div (<^Е) — div Е + (Е grad<^>),
получим:
£ = - — [ dVdiv (<^Е) + ~ [ dV^div Е. (12.2).
ОТТ J О7Г J
V V
Первый из этих интегралов по теореме Остроградского -
Гаусса представим в виде поверхностного интеграла, а во
втором учтем, что в силу уравнений Максвелла div Е =
4-тгр. В результате выражение (12.2) примет вид:
£ = “ S /(dSE)v + 2 / ₽<ГИГЖ <12-3)
S V
где S - поверхность, ограничивающая объем интегриро-
вания V.
Эта формула для вычисления энергии электроста-
тического поля полностью эквивалентна формуле (12.1)
и может применяться как для конечных, так и для беско-
нечных областей пространства, причем в последнем слу-
чае она существенно упрощается. Действительно, если
по условиям задачи электрические заряды сосредоточе-
ны только в области островного типа и на бесконечности
отсутствуют, то скалярный потенциал <^>(г) и напряжен-
ность электрического поля Е(г) на достаточном удалении
от системы (г —> оо) убывают не медленнее, чем
v(r)~l Е~1
78 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Элемент же поверхности интегрирования |cZS| ~ r2d£l ра-
стет только квадратично с ростом расстояния от систе-
мы. Поэтому при достаточно больших значениях г по-
верхностный интеграл в выражении (12.3) убывает не
— 1
медление, чем г :
У (dSE)y> < У dS|E|^ ~ | У dfi,
s s h
в результате чего в пределе при г —> оо он обращается в
нуль (j> dQ = 4тг). Таким образом, в случае бесконечной
S2
области интегрирования V, выражение для энергии элек-
тростатического поля, создаваемого островной системой
зарядов, принимает вид:
£ = 2 /
v
(12.4)
§ 13. Энергия и сила взаимодействия
двух удаленных систем зарядов
Рассмотрим две системы заряженных частиц, зани-
мающих объемы V i и 1'2 и находящиеся на расстоянии,
превышающем их линейные размеры. В соответствии
с постановкой данной задачи полную плотность заряда
р(г) можно разбить на две части
Р(Г) = + РгМ,
(«О
где плотность pi(r) отлична от нуля в объеме Ц, а плот-
ность р2 - в объеме 1'2.
§ 13]
ЭНЕРГИЯ И СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
79
В силу линейности электродинамики потенциал (/’(г),
создаваемый этими системами, также может быть пред-
ставлен в виде суммы потенциалов, создаваемых каждой
из систем
^(r) = ^i(r) + ^2(г),
(13.2)
Подставляя соотношения (13.1) и (13.2) в выражение
(12.4), будем иметь:
£ =
У Pi (r)^i (r)dV +1 У dV [pi (r)y>2 (г) + p2(r)^i (г)] +
V V
+| У Л>2(г)'^2(г). (13.3)
Проанализируем каждое из слагаемых полученного
выражения. Первое из них, очевидно, представляет собой
энергию собственного поля первой системы. Эта величи-
на не зависит от того, имеются ли еще другие частицы и
где они расположены, и в этом смысле является постоян-
ной аддитивной добавкой в выражении (13.3). Совершен-
но аналогично можно убедиться, что и последнее слагае-
мое в правой части выражения (13.3) представляет собой
энергию собственного электростатического поля второй
системы, обладающей теми же свойствами, что и энергия
первой системы. Оставшиеся два слагаемых выражения
80 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
(13.3) содержат как характеристики первой системы, так
и характеристики второй системы:
£12 - g У pi(r)^2(r)dV , £21 = | / p2(r)^i(r)JV. (13.4)
V V
Используя выражения для потенциалов (13.2) и подста-
вляя Их в соотношения (13.4), легко убедиться, что они
равны
£2i = | [dV I =
2 J J |r-r'|
2 J J jr - r'|
V V
и существенно зависят от величины расстояния между
двумя системами.
В результате энергию взаимодействия двух удален-
ных друг от друга систем зарядов можно записать в виде:
£int = / р1(г)<^2 (г) dV.
Если первая система состоит из точечных зарядов, то
N
Р1(г) = дяд(г — га). В результате получим:
а—1
N
£int — ^аг’гС^’а)-
а=1
Данное выражение существенно упрощается, если поле
^2(1*0) медленно изменяется на расстояниях порядка раз-
мера первой системы. Для этого радиус-вектор каждой
ЭНЕРГИЯ И СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
81
§ 13]
частицы первой системы представим в виде га = г + г'а,
где г - радиус-вектор центра масс первой системы за-
рядов, г'а - вектор, проведенный из центра масс первой
системы к а-ой частице.
В результате получим:
N
Sint = 22 <W2(r + га). (13.5)
а=1
Разложим теперь потенциал 9?2(г+га) в ряд Тейлора
в окрестности точки с радиусом-вектором г:
¥>г(г + г'о) = р2(г) + «grad )^2(г) + ... (13.6)
Так как величина вектора г'; по определению не превы-
шает размеров первой системы, а внешнее поле в преде-
лах системы изменяется медленно, то каждое слагаемое
в данном разложении будет значительно меньшим, чем
предыдущее, в результате чего сходимость этого ряда
будет обеспечена. Подставляя разложение (13.6) в выра-
жение (13.5) и вводя обозначения
N N
Qi = 52 di = 52
й —1 й—1
для полного заряда Qi первой системы и ее электриче-
ского дипольного момента d], получим окончательно:
Sint = Qi^(r) - (E2(r)di) + ... (13.7)
Соотношение (13.7) позволяет достаточно легко по-
лучить выражения для силы и момента силы, действую-
щих на систему заряженных частиц со стороны внешнего
82 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
поля в статическом состоянии. Для этого в соответствии
с алгоритмом аналитической механики мы должны по-
строить функцию Лагранжа L рассматриваемой системы
и продифференцировать ее по обобщенным координатам
ai. Тогда обобщенная сила Ft, соответствующая обоб-
щенной координате а,, будет иметь вид:
dai'
Как будет показано в § 46, функция Лагранжа (46.8) для
системы зарядов, покоящейся во внешнем электростати-
ческом поле, может быть выражена через энергию взаи-
модействия:
L — £int COTtst
где const - постоянная величина, не зависящая от обоб-
щенных координат.
Поэтому выражение для обобщенной силы, действу-
ющей на такую систему, принимает вид:
d8int
dai
(13.8)
§ 14. Уравнение для векторного потенциала
статического магнитного поля и его решение
В случае магнитостатики уравнения Максвелла
(3.19) принимают вид:
4тг.
rot Н = —j,
с
div Н = 0.
(14-1)
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА
83
§ И]
Изучим эти уравнения подробнее. Возьмем дивергенцию
от первого уравнения системы (14.1). Учитывая, что для
любого вектора а справедливо соотношение div rot а = О,
получим:
divj = 0. (14.2)
Таким образом, в рассматриваемом случае как вектор j,
так и вектор Н, являются соленоидальными векторами.
Используя второе уравнение системы (14.1), напряжен-
ность магнитного поля можно выразить через векторный
потенциал:
Н = rot А. (14-3)
В этом случае второе из уравнений (14.1) будет удовле-
творяться тождественно. Подставляя соотношение (14.3)
в оставшееся уравнение системы (14.3) и учитывая, что
rot rot А = grad div А — Д А,
получим:
4тг,
ДА — grad div А =-------j. (14-4)
с
Для упрощения вида этого уравнения воспользуем-
ся калибровочным условием Лоренца (7.7). Поскольку в
случае стационарных полей скалярный потенциал не за-
висит от времени, оно принимает вид: div А = 0. Учи-
тывая это соотношение, из выражения (14.4) получим:
4тг
ДА =------j. (14.5)
с
В декартовых координатах решение этого уравнения для
системы островного типа можно записать по аналогии с
84
СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. II
решением
циала:
9? = f dV p(r')/|r — г'| для скалярного потен-
(14-6)
Легко убедиться, что выражение (14.6) удовлетворя-
ет условию Лоренца:
div А =
Учитывая, что
div А =
dV' и- V
-----г divr> j(r ).
Поскольку divr. j(r') = 0, то второй интеграл в этом вы-
ражении равен нулю. Преобразуя первый интеграл в по-
верхностный по теореме Остроградского - Гаусса и учи-
тывая, что для островных систем токи на бесконечно уда-
ленной поверхности Sc<1 отсутствуют, получим:
div А = — / (dS'r^-b
с J \ |г — г'|
= 0.
s.
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО диполя 85
Таким образом, выражение (14.6), удовлетворяя уравне-
нию (14.1) и условию Лоренца, дает возможность по из-
вестному распределению плотности тока j — j(r) найти
создаваемый этим током векторный потенциал.
§ 15. Векторный потенциал
и поле магнитного диполя
Для определения напряженности магнитного поля,
создаваемого системой токов островного типа, подставим
соотношение (14.6) в выражение (14.3):
= lrot I
С J |r-r'|
Так как операции интегрирования по координатам век-
тора г' и дифференцирования по координатам вектора г
независимы, то их можно поменять местами. Учитывая,
что
rotr
в результате получим
Это равенство представляет собой обобщение закона Био
- Савара - Лапласа на случай произвольной островной
системы стационарных токов.
Следует отметить, что в большинстве практически
важных случаев провести точное интегрирование в вы-
ражениях (14.6) и (15.1) зачастую не удается, поэтому
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО диполя 87
левой части также равен нулю. Поэтому для системы
островного типа соленоидальный вектор независимо от
выбора функции /(г) должен удовлетворять условию:
У (j(r)grad)/(r)dV =0. (15.2)
Наибольший интерес для наших целей это соотноше-
ние представляет лишь при двух частных выборах вида
функции /(г). В первом из них положим последовательно
/(г) — Учитывая, что
(j(r) grad)r = j(r),
из выражения (15.2) будем иметь:
I j(r)dV = У j(r')dV' = 0. (15.3)
В другом случае, выбирая /(г) = г(гг'), где г - некото-
рый вектор, не зависящий от г', и используя соотношение
(j(r)grad)(rr/)r = (r'j(r))r + (rr')j(r),
получим:
У dV{(r'j(r))r + (r)(rr')j} = 0.
Заменяя в этом выражении г на г', г' на г и dV на dV',
будем иметь окончательно:
У dV'{(rj(r'))r' + (rr')j(r')} = 0. (15.4)
v
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО ДИПОЛЯ 87
левой части также равен нулю. Поэтому для системы
островного типа соленоидальный вектор независимо от
выбора функции /(г) должен удовлетворять условию:
У G(r)grad)/(r)dV =0. (15.2)
Наибольший интерес для наших целей это соотноше-
ние представляет лишь при двух частных выборах вида
функции /(г). В первом из них положим последовательно
/(г) — ж, у, я. Учитывая, что
(j(r)grad)r = j(r),
из выражения (15.2) будем иметь:
f j(r)dH = J j(rz)dVz = 0. (15.3)
В другом случае, выбирая /(г) — г(гг'), где г - некото-
рый вектор, не зависящий от г', и используя соотношение
(j(r)grad)(rr')r = (rzj(r))r + (rr')j(r),
получим:
У dV{(r'j(r))r + (rr')j(r)} = 0.
V
Заменяя в этом выражении г на г', г' на г и dV на dV',
будем иметь окончательно:
У dV'{(rj(r'))r' + (rrz)j(r')} = 0. (15.4)
v
88 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Рассмотрим некоторую систему стационарных токов j =
j(r) островного типа. Поместив начало отсчета декар-
товой системы координат в какую-либо точку источни-
ка, обозначим радиус-вектор точки наблюдения через г,
а радиус-вектор центра текущего элемента объема инте-
грирования - через г'. Полагая, что |г'| <£и L/r < 1,
воспользуемся разложением (9.2). Подставляя его в вы-
ражение (14.6), будем иметь:
ОО
А(г) = У? Ап(г), (15.5)
п=0
где
An(r) = [ ^V'j(r')(r'grad)n-. (15.6)
СП. J Т
Выражение (15.5) и представляет собой мультипольное
разложение векторного потенциала в стационарном слу-
чае.
Рассмотрим несколько первых слагаемых этого бес-
конечного ряда. При п = 0 из выражения (15.6) имеем:
А0(г) = - [ dV'j(r')i = - [ dV'j(r').
С J г ст J
В силу соленоидальности вектора j, интеграл (15.3), как
мы видели, равен нулю, поэтому и потенциал Ао(г) = 0.
Таким образом, в магнитостатике, в отличие от элек-
тростатики, у векторного потенциала отсутствует моно-
польная часть: А ~ 1/г. Учитывая, что
( ' ДА1 (ГГ')
(г grad)-= -—5-,
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО диполя 89
следующий член ряда (15.5) можно записать в виде:
Проводя тождественные преобразования, это соотноше-
ние запишем в виде
+ (rr')j(r') + (rj(r'))r}.
Легко убедиться, что первые два члена в подынтеграль-
ном выражении представляют собой двойное векторное
произведение [г [j(r') г']], а интеграл от оставшихся двух
членов в силу условия (15.4) равен нулю. Поэтому, вводя
обозначение
т = ~ [ dV [r'j(r')] (15.8)
2с J
для вектора магнитного дипольного момента системы,
выражение (15.7) приведем к виду:
. , fmrl
А,(г) = ГЛ. (15.9)
Это выражение в научной литературе получило название
потенциала магнитного диполя. Из выражения (15.9)
следует, что на больших расстояниях от системы токов
векторный потенциал убывает не медленнее, чем А ~
1/г2.
Исследуем поле магнитного диполя. Учитывая, что
вектор m является постоянным вектором, из общих фор-
мул векторного анализа получим:
г г г
Н — rot [m— ] = — (mgrad)—- + mdiv —. (15.10)
90 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Воспользовавшись известным из электростатики соотно-
шением
,. -<гх т <?Г л с/ ,
div и, = div —- — —47Г§с(г),
легко установить, что
г
div — — —4тг£(г).
Но так как наше разложение применимо при выполнении
условия L/r < 1, то последний член в выражении (15.10)
будет всегда равен нулю. В результате выражение для
поля магнитного диполя примет вид:
3r(mr) — г2т
(15.11)
Отсюда следует, что поле магнитного диполя на боль-
ших расстояниях убывает: Н ~ 1/г3.
Сравнивая выражения (15.11) и (10.1), видим, что
они имеют аналогичный вид. Следовательно, уравнение
магнитных силовых линий и их график для поля маг-
нитного диполя будет совпадать с уравнением силовых
линий и графиком для поля электрического диполя (см.
рис. 5).
§ 16. Энергия постоянного магнитного поля
Предположим, что в некоторой области простран-
ства островного типа находится система стационарных
токов. Вычислим энергию постоянного магнитного по-
ля, содержащегося в некотором объеме V. Для этого нам,
как и в случае электростатики, необходимо проинтегри-
ровать выражение для плотности энергии w = Н2/(8тг)
§ 16]
ЭНЕРГИЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
91
’Л. и
ТИО-
по объему:
Н2Ж
(16.1)
НИИ
.10)
цля
г ак как в большинстве случаев в качестве объема инте-
грирования выбирается все пространство, то прямое ис-
пользование этой формулы оказывается не совсем удоб-
ным. В этих случаях может оказаться полезным дру-
гое выражение для энергии магнитного поля, физически
эквивалентное выражению (16.1). Для его получения вы-
разим вектор Н через векторный потенциал: Н = rot А.
Тогда, используя известное соотношение
И)
НЬ-
ЕТО
те
аг-
ых
м.
(Hrot А) = div [А Н] + (Arot И)
и учитывая, что в стационарном случае
, „ 4тг .
rot Н = —j,
из выражения (16.1) будем иметь:
£ = /rfy{^:div I4 + ^0 А)}-
Преобразовав интеграл от первого слагаемого в поверх-
ностный, получим:
н-
IX
о-
и,
'и-
г = “ / (|A H]dS) + 1 I (A j) Л'.
S V
(16.2)
Таким образом, для вычисления энергии магнитного по-
ля нет необходимости интегрировать по всему объему V.
92
СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. II
Для этого согласно выражению (16.2) достаточно вычи-
слить поток вектора [А Н]/8тг через поверхность S, огра-
ничивающую объем V, и прибавить к нему интеграл от
функции (A j)/2c по области, занимаемой токами. Наи-
более же простой вид выражение (16.2) принимает в том
случае, когда область V совпадает со всем простран-
ством. Поскольку при г ч ос векторы А, Нис/S имеют
асимптотику
|а|~1 |н|~4’
то очевидно, что при интегрировании по бесконечно уда-
ленной поверхности первый интеграл в выражении (16.2)
обращается в нуль. Тогда
£ = < [а а)л<
2с J
(16.3)
Следует еще раз отметить, что хотя интеграл в этом
выражении формально берется по всему пространству,
фактически же, из-за того, что j О только в отдельных
областях пространства островного типа, интегрирование
производится по области, занимаемой токами.
Как будет показано в § 46, функция Лагранжа в слу-
чае магнитостатики (46.9) для системы стационарных
токов, помещенной в постоянное внешнее магнитное по-
ле, совпадает с ее энергией: L — Етад. Поэтому обоб-
щенная сила Fi — dL/'doi. соответствующая обобщенной
координате в магнитостатике имеет вид:
dEint
(16.4)
отличаясь знаком от выражения (13.8), справедливого в
электростатике.
Глава III
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 17. Свойства плоских электромагнитных волн
Наиболее просто уравнения Максвелла могут быть
решены в том случае, когда заряды и токи в рассма-
триваемой области пространства отсутствуют и решение
ищется в виде плоских волн.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла (3.19) без
источников:
(17.1)
div Е =0,
div Н =0.
Будем искать решение этой системы уравнений в виде
плоской электромагнитной волны:
Е —Ео ехр{—г [wt — (к г)]},
Н =Но ехр{—г [wi — (к г)]}.
(17.2)
В полной аналогии с механикой векторы Ео и Но назо-
вем амплитудами электрического и магнитного полей, ш
- круговой (или циклической) частотой, к - волновым
вектором, а саму величину оЯ — (к г) - фазой волны. В
94
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
соответствии с этими определениями мы можем ввести
понятие длины волны Л, как расстояния между двумя по-
верхностями постоянной фазы, колебания в которых в ка-
ждый момент времени отличаются по фазе на.2тг, а также
периода колебаний Т - как промежутка времени, в тече-
ние которого фаза волны изменяется на 2тг. В силу этих
определений имеем, как обычно:
кХ = 2тг, шТ =- 2тг
Следует заметить, что векторы напряженностей магнит-
ного и электрического полей, как и всякие другие фи-
зически измеряемые величины, всегда должны быть ве-
щественными. Поэтому компоненты электромагнитной
волны, строго говоря, необходимо было бы искать в яв-
но вещественном виде, взяв, например, только реальную
часть от выражений (17.2). Однако, во всех линейных
(по векторам Е и Н) соотношениях мы можем исполь-
зовать комплексное представление волны (17.2), имея в
виду, что после осуществления всех операций в качестве
результата будет рассматриваться лишь действительная
часть полученных выражений.
Найдем условия, которым должны удовлетворять все
входящие в соотношения (17.2) величины в силу уравне-
ний Максвелла. Подставляя соотношения (17.2) в урав-
нение (17.1) и учитывая, что в рассматриваемом случае
rot Н = г[к Н], —— = — гшН, div Н — г(к Н),
получим после сокращения на несущественный множи-
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ волн
95
тель г :
(17.3)
[k Н] = - -Е,
с
[к Е] =-Н,
с
(к Е) =0,
(к И) =0.
Из последних двух уравнений (17.3) следует, что у плос-
кой электромагнитной волны векторы Е и Н перпенци
кулярны к волновому вектору к. Так как волновой век-
тор определяет направление распространения волны, то
плоская электромагнитная волна оказывается попереч-
ной волной.
Выясним теперь, как связан волновой вектор с ча-
стотой волны. Для этого выразим из первого соотноше-
ния (17.3) вектор Е и подставим его во второе. После
несложных преобразований получим:
2
.2
И = 0.
Совершенно аналогично, выражая из второго соотноше-
ния (17.3) вектор Н и подставляя его в первое, имеем:
2 .
к2------ )Е = 0.
Так как у электромагнитной волны векторы Е и Н не
могут быть тождественно равными нулю, то для выпол-
нения двух последних равенств необходимо, чтобы
к2 = ^.
С-
96
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
Отсюда легко найти закон дисперсии плоских электро-
магнитных волн в вакууме — зависимость частоты от
волнового вектора:
о? = ск.
Используя известные соотношения
легко установить, что А = сТ. Вводя единичный вектор
п, направленный вдоль вектора к, из выражения (17.4)
получим:
к = — п. (17.5)
В этом случае первые два. соотношения (17.3) примут
вид:
Е = -[п Н], Н = [п Е]. (17.6)
Таким образом, векторы и, Е, Н образуют правую трой-
ку взаимно ортогональных векторов. Взяв модуль от со-
отношений (17.6), легко убедиться, что у плоской элек-
тромагнитной волны, кроме того, модули векторов Е и
Н должны быть равными:
|Е| = |Н|.
(17.7)
До сих пор мы рассматривали монохроматическую элек-
тромагнитную волну, т.е. волну, у которой векторы Е и
Н являлись гармоническими функциями времени с опре-
деленной и строго постоянной частотой ш. Однако, на
практике всякая электромагнитная волна, как правило,
имеет не одну определенную частоту, а содержит целый
§ 181 ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 97
спектр частот. Такую волну можно описать, представив
ее в виде волнового пакета - совокупности монохромати-
ческих волн, амплитуды которых зависят от частоты:
СО
Е=У Eo(w)e“^-(k
"Z (17.8)
Н -- J Н0(щ)е“г^-(к г)^щ.
—оо
Выражения (17.8) в научной литературе получили наиме-
нование спектрального разложения полей Е и Н.
Так как при каждом фиксированном значении и? в
силу (17.5) и (17.6) должны выполняться соотношения
к = ^п, Е0(щ) = —[п Н0(щ)], H0(w) = [и Е0(щ)],
то и волна (17.8) будет удовлетворять аналогичным со-
отношениям:
к = |n, Е = -[и Н], Н = [и Е].
Таким образом, в случае плоской немонохроматической
волны напряженности электрического и магнитного по-
лей равны по модулю и векторы n, Е, Н составляют пра-
вую тройку взаимно ортогональных векторов.
§ 18. Запаздывающие потенциалы
Теперь нам необходимо найти решения уравнений
(7.6) для потенциалов в общем случае, когда плотности
заряда, и тока зависят от времени:
□ (г, t) - -4яр(г, 0, (18.1)
98 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. ш
4тг
□ A(r,t) =----j(r,t).
с
Как известно из математической физики, общее ре-
шение неоднородного уравнения состоит из частного ре-
шения неоднородного уравнения и общего решения од-
нородного уравнения. Если такое решение будет найде-
но, то используя начальные и граничные условия, мож-
но установить значения констант интегрирования, вхо-
дящих в общее решение однородного уравнения, и обес-
печить, тем самым, единственность решения задачи.
Предположим, что рассматриваемая нами система
зарядов и токов является островной, т.е. плотности заря-
да p(r, t) и тока] = j(r, t) отличны от нуля только лишь в
ограниченной области пространства, максимальный ли-
нейный размер которой конечен. Определим электромаг-
нитное поле, создаваемое этой островной системой.
Так как уравнения (18.1) для потенциалов <р и А име-
ют одинаковый вид, то построим сначала решение для
скалярного потенциала <р, а соответствующее решение
для векторного потенциала А запишем по аналогии.
В случае, когда плотность заряда не зависит от вре-
мени р = р(г), решение уравнения (8.3), как мы устано-
вили в § 8, имеет вид (8.10):
dV'piy)
Однако, если предположить, что и в общем случае, когда
плотность заряда зависит от времени р = p(r,t), реше-
ние первого уравнения системы (18.1) имеет аналогии-
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
99
§ 18]
ный вид
^,0=дадо,
7 J |г- Г'|
V
(18.2)
то несложно убедиться, что уравнение (18.1) не выполня-
ется, так как в общем случае б?2р(г', 2)/Д£2 0. Действи-
тельно, подставляя выражение (18.2) в первое уравнение
системы (18.1), получим:
. . . . 1 [ dV 52р(г'Д)
ММ) = -47гр(гД)--у / -<ММ).
V
Поэтому частное решение неоднородного уравнения
(18.1) в общем случае, когда р = p(r.t), будем искать в
виде
, х f dV'p(v\S(t,v^ , х
V
где S(t, г, г') - некоторая неизвестная функция времени f,
радиуса-вектора г точки наблюдения и радиуса-вектора
г' элемента объема интегрирования dV.
Отметим прежде всего, что функция S(t, г, г') долж-
на включать радиусы-векторы г и г' только в виде их
разности г — г'. Действительно, рассмотрим некоторую
систему зарядов из двух систем координат, начала отсче-
та которых расположены в двух различных точках трех-
мерного пространства. Тогда при произвольной зависи-
мости функции S(t. г, г') от г и г' выражение в правой
части соотношения (18.3) будет различным в этих двух
системах координат и потенциал i/>(r, i), создаваемый од-
ной и той же системой зарядов в одной и той же точке
100 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
наблюдения г, будет различен при его вычислении в раз-
личных системах координат. И лишь в том случае, когда
радиусы-векторы г и г' входят в функцию S(t,r,r') в ви-
де разности г — г', потенциал ф(г, f) не будет зависеть от
того, в какой точке пространства помещено начало от-
счета системы координат, а будет определяться только
взаимным расположением системы зарядов и точки на-
блюдения.
Учтем также, что функция S(t,R) является скаля-
ром. Так как в инерциальных системах отсчета в трех-
мерном пространстве нет выделенных направлений, то
функция S должна зависеть не просто от разности век-
торов г — г', а от модуля этой разности: S = £(£, |г — г'|).
Таким образом, частное решение неоднородного уравне-
ния (18.1) следует искать в виде:
z ч Г dV'ptr'.Sft.R'))
y(r,t) = j —СШ...' , (18.4)
V
где для удобства дальнейших вычислений введено обо-
значение R — (г — г'|.
Подставим выражение (18.4) в первое уравнение си-
стемы (18.1). Учитывая, что Д = div grad ф, найдем
сначала grachp :
p(r',S(/,2?))grad i
It it О j Utt )
V
Взяв дивергенцию от этого выражения и добавив вторые
производные по времени, получим:
□ V = I {p(r',S(t,R^ l + ^^gradBgrad 1) +
V
(18.5)
§ 18]
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
101
1 d2S
i a2si
2 1 8S А К
+ лакл (?Rdt2
w-Mr)2»
R дБ2
1 д2р цдБ
+r as2 Как
Используя вспомогательные формулы
grad R —
1 (г
к = ~|7
AjR = div grad R =
A — = —4тг$(г — г'),
2
2
выражение (18.5) приведем к ваду:
□ </> = j | — 4тгЛ(г — r')p(r', S(t, -R)) +
v
idprd2s ia2s-i 1а2Рг/0Ку2 i r^syn
+BasLaR2 c2 dt2 j R dS2 tvdRJ c2\dt ) j
Интегрируя первое слагаемое в этом выражении и под-
ставляя полученное соотношение в левую часть первого
уравнения системы (18.1), будем иметь:
fdV'[dprd2S 1 02S1 а2рг/55\2 1 /asy-n
J R \dsldR2 C2 dt2 J + ds2 [как/ j JJ
(18.6)
—4?rp(r, S(t, 0)) = — 4?rp(r, f).
Проанализируем это равенство. Отметим прежде всего,
что для совпадения внеинтегральных членов необходимо
потребовать выполнения условия
102
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ.
Тогда соотношение (18.6) примет вид:
dv (др ra2s
R t dS L&R2
1 02 Si
c2 5^1
d2p r/c?S\2
+ dS2 1лак7
c2\dt ) JJ
= 0.
Так как это равенство должно выполняться для всех си-
стем зарядов и при произвольном соотношении между ве-
личиной производных др/dS и д2 р/dS2, то в силу основ-
ной леммы вариационного исчисления выражения в ква-
дратных скобках должны тождественно обращаться в
нуль:
д2 S 1 д2 S
dR2 с2 dt2
(18.8)
0S\2
or)
c2 \dt )
= 0.
Из курса математической физики известно, что первое
уравнение системы (18.8) представляет собой волновое
уравнение, решение которого имеет вид:
S(t,7?) - /1 (t - -) + /2 (t + --Y (18.9)
\ с J \ с /
где /1 и /2 - произвольные функции своих аргументов:
функция /1 зависит от t — R/с. а функция /2 ~ от t + R/c.
Функция /i(i — R/c) при t > 0 описывает сфериче-
скую волну, распространяющуюся из точки г' в напра-
влении пространственной бесконечности (расходящаяся
сферическая волна), а функция f2(f + Я/с) при t < 0
§18]
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
103
сферическую волну, распространяющуюся из простран-
ственной бесконечности в точку г' (сходящаяся сфериче-
ская волна).
Подставляя выражение (18.9) во второе уравнение
системы (18.8), получим:
где штрих обозначает производную по аргументу функ-
ции.
Из этого уравнения следует, что возможны два слу-
чая: /{(i - R/c) ± 0. /'(f + Л/с) = 0 и /{(t- Л/с) =
0, /'(г + Л/с)^0.
Рассмотрим первый из них. В этом случае функция
/i(t — R/c) может быть произвольной функцией своего
аргумента, а функция /2(£ + Л/с) обязана быть равной
некоторой константе Cq. Тогда функция S(t, R) примет
вид:
S(t,R) = f1(t-R) + C0. (18.10)
Из условия (18.7) и выражения (18.10) следует, что
/i(t) = t — Со при Л = 0. Поэтому при Л 0
R}-t R Г
W -----) — t-------------Со-
с с
В результате из выражения (18.10) имеем:
S^t ,R ) = t- (18.11)
В этом случае частное решение неоднородного уравнения
(18.1) в силу соотношений (18.3) и (18.11) принимает вид:
^г’*) = [ (18-12)
J Iх х I х ° '
104
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ш
Совершенно аналогично можно убедиться, что в слу-
чае — R/c) = 0, fz(t + R/с) 0 приходим к выраже-
нию:
Г dV' / lr-r'lx
<p(r.t) = / .---др(г'Л+ -------П. (18.13)
J |r — r'| X с /
Таким образом, исходному уравнению (18.1) удовлетво-
ряют два различных частных решения (18.12) и (18.13).
Исследуем эти решения. Отметим прежде всего, что при
"выключении” зависимости р от времени оба выражения
(18.12) и (18.13) переходят в выражение (8.10) для потен-
циала статического поля.
Далее, из выражения (18.12) следует, что скалярный
потенциал в точке наблюдения с радиусом-вектором г
и в момент времени t определяется распределением за-
ряда., взятым в предшествующий момент времени т =
t — |г — г'|/с < t. Поэтому выражение (18.12) в научной ли-
тературе получило название запаздывающего потенциа-
ла, а величина |г—г'|/с, равная времени распространения
электромагнитного сигнала от элемента объема dV (см.
рис. 4) до точки наблюдения, называется временем за-
паздывания. Это решение удовлетворяет принципу при-
чинности, поскольку здесь причина (наличие нестацио-
нарных зарядов в какой-либо точке) всегда предшествует
следствию появлению электромагнитного излучения в
других точках.
Рассмотрим теперь выражение (18.13). Из этого вы-
ражения следует, что скалярный потенциал в точке на-
блюдения с радиусом вектором г и в момент времени t
определяется распределением заряда, взятым в последу-
ющий момент времени т — £ + |г — г'\/с > t. Поэтому вы-
ражение (18.13) в научной литературе получило название
§ 18] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 105
опережающего потенциала, а величина |г — г'|/с, равная
времени распространения электромагнитного сигнала от
элемента объема dV до точки наблюдения, называется
временем опережения. Это решение не удовлетворяет
принципу причинности, поскольку здесь следствие (по-
явление электромагнитного излучения) опережает при-
чину (наличие нестационарных зарядов в какой-либо точ-
ке). Опережающие потенциалы иногда используются в
квантовой теории поля.
В нашем курсе классической (неквантовой) электро-
динамики мы будем считать, что принцип причинности
является фундаментальным физическим принципом, по-
этому в задачах об излучении электромагнитных волн
нестационарными системами зарядов и токов в качестве
частных решений неоднородных уравнений (18.1) будем
использовать только запаздывающие потенциалы:
Прямым вычислением несложно убедиться, что запазды-
вающие потенциалы (18.14) удовлетворяют условию Ло-
ренца (7.7).
Запаздывающие потенциалы находят широкое при-
менение при решении задач на определение электромаг-
нитного излучения, создаваемого островными системами
с заданным распределением плотностей заряда р — р(г, /)
и тока j = j(r, t) .
В заключение этого параграфа обсудим важный во-
прос об уравнении фронта электромагнитной волны в
электродинамике Максвелла.
106 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III
Рассмотрим некоторую покоящуюся систему заря-
дов. Поле такой системы является статическим во всем
пространстве. Предположим теперь, что в некоторый
момент времени t = to заряды пришли в неинерциальное
движение и система начала излучать электромагнитные
волны. Так как в электродинамике Максвелла, как мы
видели, излучение распространяется с конечной скоро-
стью, то все пространство будет разделено на две обла-
сти некоторой зависящей от времени поверхностью, та-
кой что впереди нее все компоненты поля излучения бу-
дут равны нулю, а позади нее могут быть отличны от
нуля. Поэтому на самой поверхности компоненты поля
будут терпеть разрыв. Эту поверхность в научной ли-
тературе и называют фронтом волны, а дифференциаль-
ное уравнение, которому она удовлетворяет, - уравнени-
ем фронта волны.
Как показывает более детальный анализ, уравне-
нием фронта волны является второе уравнение системы
(18.8), которое в научной литературе иногда называют
уравнением эйконала или даже уравнением Гамильтона
- Якоби.
В простейшем случае излучения зарядами, содержа-
щимися в элементе объема dV и находящимися в точке
г', фронтом волны, как мы видели, является сфера ради-
ус которой линейно возрастает с течением времени:
/ 7?\ (г- г'|
Sit----)=f-i--------- = t0. 18.15)
X с / с
В общем же случае фронт волны в результате сложения
вкладов от различных частей излучающей системы мо-
жет иметь более сложную форму.
§ 19] ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА - ВИХЕРТА 107
Таким образом, фронт волны представляет собой
движущуюся в пространстве поверхность, координаты
которой связаны со временем некоторой зависимостью
S(t,R), удовлетворяющей уравнениям (18.8).
§ 19. Потенциалы Лиенара - Вихерта
Одним из немногих примеров точных решений урав-
нений Максвелла, получаемых с помощью запаздываю-
щих потенциалов, являются потенциалы произвольно
движущейся заряженной частицы. В научной литерату-
ре это решение получило название потенциалов Лиенара
- Вихерта.
Предположим, что точечная частица, имеющая за-
ряд е, движется по некоторому заданному закону г =
Го(^). Скорость этой частицы v0(t) = dr^/dt, естественно,
будем предполагать меньшей скорости света в вакууме:
|v0| < с.
Определим потенциалы и напряженности электро-
магнитного поля, создаваемого данной частицей. Для
этого воспользуемся выражениями (18.14), сделав в них
замены:
p(r',t
ОО
I dt'p(rz
—оо
t'
ОО
ЦА = / f
—oo
108
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ш
В результате будем иметь:
(19.1)
Используя трехмерную дельта-функцию Дирака, плотно-
сти заряда и тока рассматриваемой частицы можно за-
писать в виде:
p(r,t) = e<S(r-r0(f)),
j(r,t) = pv0(i) = ev0(t)5(r - r0(t)).
(19.2)
Подставляя выражения (19.2) в соотношения (19.1), по-
лучим:
—ею
— - t'
оо
A(r,t) = | У dt' I .—2^(г' -r0(f'))<$(*-*'
—оо V
С
Учитывая, что dV — dx'dy'dz', проинтегрируем эти вы-
ражения по объему источника. Используя свойства (1.22)
трехмерной дельта-функции Дирака, в результате будем
ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА - ВИХЕРТА
109
§ 19]
иметь:
_____dt'_____
|г “ г0(£')1
|г — r0(tz)!
с
со
а<г’(>=17 -г< -
— ос
(19.3)
Аргумент дельта-функции, входящей в эти выражения,
в общем случае произвольного закона движения частицы
представляет собой некоторую довольно сложную функ-
цию от переменной интегрирования t' :
F(f) = t - t' -
Исследуем свойства этой функции, считая г и t фиксиро-
ванными величинами. Для этого сначала продифферен-
цируем функцию F(f') по f. Вводя обозначение R(f') =
г — получим:
dF (vo(*')R(/'))
-— = —1 + А------------L
dt' cR(t')
Так как |vo(t/)l < <4 а |R(^)/-^(^)I ~ то легко убедить-
ся, что данная производная всегда отрицательна. Это
означает, что функция F(t') при фиксированны?-: значе-
ниях /иг монотонно убывает с ростом t'. Поэтому в ин-
тервале —ос, < t' < ос, функция F(t'} имеет только один
корень t1 = т и он является однократным. Следовательно,
по
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
в рассматриваемом нами случае можно воспользоваться
известным свойством дельта-функции Дирака:
{(F(r)) = = —
1гг((' = г)! [cR(T) - (v0(r)R(r))]
Подставляя это соотношение в равенства (19.3) и инте-
грируя их по t', получим окончательные выражения для
потенциалов Лиенара - Вихерта:
= -—---------г----------х-т,
сЛ(т) - Qr,(t)v0(t)J I
А(М) = ------ = ДИ
cR(r) ~ ^R(t)v0(t)J |
(19.4)
где R(r) = г- г0(т).
Корень уравнения F(r) — 0. входящий в выражения
(19.4), удобно представить в виде, определяющем его как
неявную функцию г и t :
т(г,г) = (_|щд«1.
с
(19.5)
Таким образом, значения потенциалов электромагнитно-
го поля в точке наблюдения с радиусом-вектором г и в
момент времени t в силу выражений (19.4) определяют-
ся не положением заряда ги(£) в тот же самый момент
времени, а положением заряда Го(г) в некоторый пред-
шествующий момент времени г, отличающийся от мо-
мента наблюдения t на величину времени запаздывания
|г —Го(т)]/с необходимого для прохождения возмущением
электромагнитного поля расстояния J?(r) = |г — го(т)|.
§20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 111
§ 20. Физические условия применимости
мультипольного разложения
для излучающих систем
Рассмотрим некоторую систему заряженных частиц,
движение которых происходит в области пространства
островного типа, причем зависимости плотностей заряда
и тока от координат и времени будем считать известны-
ми: р = p(r,i), j = j(r,t). Потенциалы электромагнит-
ного поля, создаваемого данной системой, как мы уже
знаем, могут быть записаны в виде запаздывающих по-
тенциалов:
(20.1)
Согласно этим выражениям для нахождения скаляр-
ного и векторного потенциалов электромагнитного по-
ля в некоторой точке пространства с радиусом-вектором
г в любой момент врехиени t необходимо проинтегриро-
вать по объему, занимаемому источником, произведение
характерной весовой функции |г — г'}-1 на плотность за-
ряда и, соответственно, на плотность тока, взятые в раз-
личные для каждой точки источника предшествующие
моменты времени t! — t — |r — г'|/с. Однако, точное инте-
грирование в подавляющем большинстве случаев произ-
вести как раз и не удается.
Поэтому в электродинамике широкое распростране-
ние получили различные методы приближенного опре-
112 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ill
деления электромагнитных полей, создаваемых система-
ми заряженных частиц. С одним из них, получившим
наибольшее распространение при исследовании излуче-
ния островных систем, мы сейчас и познакомимся.
Как известно, практически любой метод приближен-
ного вычисления основан на разложении точных выра-
жений в ряды по одному или нескольким малым пара-
метрам, которые встречаются в задаче. Таким образом,
первым этапом на этом пути является отыскание малых
параметров, наличие или отсутствие которых целиком
предопределяется постановкой задачи.
Очевидно, что в рассматриваемом нами случае, как
и в электростатике, одним из малых параметров может
служить отношение максимального линейного размера
источника L к расстоянию г от источника до точки на-
блюдения. Это означает, что мы будем интересоваться
электромагнитным полем только на далеких расстояни-
ях от источника, значительно превышающих его макси-
мальный линейный размер.
Используя это обстоятельство, произведем разложе-
ние выражений г' — |г — г'|/с и |г — входящих в со-
отношения (20.1). Помещая начало отсчета системы ко-
ординат в какую-либо точку источника и учитывая, что
в этой системе координат
г'
г
г
выражения для т' и |г — г'1 1 мы можем записать в виде
113
§ 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ
абсолютно сходящихся бесконечных рядов:
(20.2)
Однако, в отличие от электростатики, для исследования
поля излучения в данных разложениях достаточно огра-
ничиться всего одним-двумя членами. Для определения
требуемой точности разложения величин т' и |r — r'l"1
нам необходимо конкретизировать понятие излучения.
Электромагнитным излучением мы будем называть
ту часть электромагнитного поля, которая способна пе-
реносить энергию от источника поля до пространствен-
ной бесконечности. Для количественного описания про-
цесса переноса любого вида энергии, как известно, слу-
жит вектор потока энергии. В электродинамике этот век-
тор называется вектором Пойнтинга а и он представляет
собой простейшую комбинацию векторов Е и Н : or —
с[ЕН]/(4т). Используя вектор or, можно определить ин-
тенсивность электромагнитного излучения сП через эле-
мент площади dS :
di = (<tcZS) = (tr n)dS,
где n - вектор внешней нормали к элементу площади dS.
С физической точки зрения di представляет собой ко-
личество энергии электромагнитного поля, протекающей
в единицу времени через площадь dS. При проведении
практических расчетов интенсивность электромагнитно-
го излучения di удобно относить не к элементу площади
114 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ill
dS. а к элементу телесного угла c/Q, определяемого как
элемент сферической поверхности единичного радиуса и
образованного дифференциалами сферических углов d() и
d<fi (см. рис. 2).
Как было показано в § 3, dCl = sin 6d6 dip, <\dS = r2dfi.
При таком выборе элемента поверхности вектор ее внеш-
ней нормали совпадает с единичным вектором, напра-
вленным из источника в точку наблюдения п — г/г, по-
этому интенсивность электромагнитного излучения, от-
несенная к элементу телесного угла, принимает вид:
dfi = r = 4^(rtEHD- (20-3)
Из этого выражения следует, что перенос энергии
электромагнитным полем от источника островного ти-
па до бесконечно удаленных от него точек пространства
lim di/dQ =4 0^ возможен только в том случае, когда
вектор О’ при г -> оо убывает не быстрее чем 1/г2. По-
этому при исследовании электромагнитного излучения
от островных систем заряженных частиц все поправки
к вектору о-, убывающие быстрее чем 1/г2 при г —> со,
могут быть отброшены.
Заметим теперь, что потенциалы (20.1), а, следова-
тельно, и напряженности полей Е и Н, создаваемые си-
стемами островного типа, на больших расстояниях убы-
вают не медленнее чем 1/г. Так как вектор ст пропор-
ционален произведению векторов Е и Н, то отсюда непо-
средственно следует, что для изучения электромагнитно-
го излучения системами островного типа в выражениях
для потенциалов и А должны быть оставлены только
те члены, которые при г -> ос убывают как 1/г. Это озна-
чает, что с достаточной для наших целей точностью в
§ 20]
ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ
115
соотношениях (20.1) вместо второго из разложений (20.2)
можно положить:
1 1
По этой же причине в разложении для т' нам следует
ограничиться лишь двумя членами:
(20.4)
Действительно, записывая первое из разложений (20.2) в
виде
легко убедиться, что отброшенные члены в соотношении
(20.4) имеют следующий порядок малости:
г'2 _ г'
— tprop-l
СТ Г
где tprop — г'/с ~ L/с - собственное запаздывание в си-
стеме - время, необходимое электромагнитному возмуще-
нию для распространения в пределах излучающей систе-
мы.
Так как г'/г 1 и при г —> оо это отношение стре-
мится к нулю, то очевидно, что величиной r'tproplr мож-
но пренебречь по сравнению с tprop. Поэтому с достаточ-
ной для дальнейшего точностью полное время запазды-
вания т' можно представить в виде (20.4). Следует от-
метить, что каждое слагаемое в этой сумме имеет свой
определенный физический смысл: первое слагаемое пред-
ставляет время рапространения электромагнитного сиг-
нала из центра источника до точки наблюдения (в силу
116
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ш
чего величина tayst — г/с может быть названа временем
запаздывания всей системы), а второе - описывает соб-
ственное запаздывание в системе.
Подставляя полученные разложения в выражения
(20.1) и учитывая, что г не зависит от переменных инте-
грирования , получим:
, 1 f . г (гг')
<p(r, f) = - / dV р { г ,t-----Ь ----
г J \ с ст
А(г,0 - — [ dV'j (r',t - - +
cr. \ с сг
(20.5)
Следует отметить, что в отличие от электростатики пер-
вый из полученных интегралов, вообще говоря, не совпа-
дает с полным зарядом системы, а второй - не равен ну-
лю. Основной причиной этого является зависимость р и
j от времени, в результате чего плотность заряда и плот-
ность тока в разных точках источника должны быть взя-
ты в различные моменты времени, зависящие от времени
запаздывания в системе (г г')/(ст) ~ г'/с.
Легко понять, что данное обстоятельство существен-
но осложняет интегрирование в выражениях (20.5). По-
этому возникает необходимость в устранении зависимо-
сти величин р и j от времени запаздывания в системе.
Очевидно, что проще всего это сделать, разложив функ-
ции р и j в ряды Тейлора в окрестности точки т — t—r/c :
(, г (гг')\ / , ч
г Л - - + ----- = р(г ,т)+
с cr J
(20.6)
Напомним, что dV — dx'dy'dz1 и г' = {ж', у1, z1, } .
§20]
ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ
117
1 5р(г',т)
1! дт
1 д2р(г',т)
2! дт2
. / z Г
J г ,t-- +
\ С
= j(r', г) + •
1 Qj(rZ, 7-)
1! дт
Для того, чтобы данные разложения имели смысл и их
можно было почленно интегрировать, необходимо нало-
жить на функции р и j ряд ограничений. С математиче-
ской точки зрения эти ограничения эквивалентны требо-
ванию сходимости рядов (20.6) во всех точках источника
и во все моменты времени.
Это требование заведомо может быть обеспечено, ес-
ли члены этих рядов будут достаточно быстро убывать,
т.е. ряды (20.6) будут представлять собой разложения по
степеням некоторого малого безразмерного параметра.
Так как величина (г г')/(ст) ~ г'/с, степени которой фи-
гурируют в разложениях (20.6), является размерной ве-
личиной, то она не может служить таким параметром.
Для выяснения вида этого параметра возьмем отноше-
ние некоторого члена ряда к предыдущему члену:
1 дпР 7(г г')У
п! дтп I cr J
1 дп~1 р ( (г г') \ п
(п—1)! дтп~1 у cr J
дпр
дтп
дп~1р
Пдтп~1
Полагая, что дпр/дтп ~ шпр, где iv - некоторая характер-
ная частота излучения системы, отсюда будем иметь:
fn
fn-1
<v (г г') ivr' a>L L
п cr с с А
118
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
Таким образом, безразмерным параметром в разло-
жениях (20.6) служит отношение максимального линей-
ного размера системы L к длине волны, излучаемой этой
системой. Поэтому для обеспечения сходимости рядов
(20.6) достаточно потребовать выполнения условия:
L А.
(20.7)
С физической точки зрения это условие означает, что раз-
ложения (20.6) будут иметь смысл, если за время, равное
периоду волны Т, распределение зарядов и токов в систе-
ме изменится несущественно и смещение зарядов за. это
время будет значительно меньше длины волны А. Обо-
значая характерную скорость движения зарядов в систе-
ме через V, смещение зарядов за время Т можно пред-
ставить в виде I = vT. Так как /\ = сТ, то из условия
Z/A << 1 следует, что характерные скорости зарядов в
системе должны быть значительно меньше скорости све-
та:
V с.
(20.8)
Полагая, что условия (20.7) и (20.8) выполнены, под-
ставим разложения (20.6) в выражения (20.5). В резуль-
тате получим:
A(r,t) = l Л(г»л" + ~~ f dv'j(r', <)“+•••
сг J сг от J сг
(20.9)
119
§ 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ
Вводя удобные для дальнейшего обозначения
9?o(r,^)= | [ dV'p(r'r), (20.10)
/ x 1 & I
^T^r&^J
1 d2
2
Ai(r,r
A f X - 1 0
2^’' ) 2cr dr
cr
1(г'ы ) -
cr
г
и ограничиваясь только выписанными в разложении
(20.9) членами, будем иметь:
<£>(r, t) = 95О(г, г) + 9?i(r, т) + 0 + <р3(г, г),
A(r, t) = Al (г, г) + А2(г, г) + Аз (г, т).
(20.11)
Используя обозначения (9.5), (9.8), (9.13) и (15.8), вы-
разим встречающиеся в данных разложениях интегралы
через мультипольные моменты системы.
Начнем с разложения скалярного потенциала. Учи-
тывая, что входящая в эти выражения функция р(г', т)
должна быть взята в один и тот же момент времени т =
t — г/с для всех точек системы, первое из соотношений
(20.10) можно записать в виде:
г
120 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III
где Q(t) - полный заряд системы в момент времени г.
Очевидно, что в силу закона сохранения заряда эта
величина не зависит от времени, в результате чего по-
тенциал описывает постоянное кулоновское поле и не
дает вклад в поле излучения. Поэтому в дальнейшем мы
его будем опускать.
Обозначая производную по времени т точкой и учи-
тывая, что единичный вектор и — r/г, направленный из
источника в точку наблюдения, не зависит от перемен-
ных интегрирования, второе из соотношений (20.10) при-
ведем к виду:
^1(г,т) = (20.12)
сг
где d = d(z) - вектор электрического дипольного момен-
та.
Рассмотрим теперь потенциал срз. Вспоминая опре-
деление
0“» = 3 / SV'р(т')х'ах'^
для тензора электрического нвалрупольного момента систе-
мы Qa@, этот потенциал можно записать в виде:
^(г,^) =-^-пап^фа/3(т), (20.13)
ос4 г
где использована тензорная форма записи и учтено, что
согласно принятому нами (вплоть до изучения специаль-
ной теории относительности) соглашению па ~ па =
{?Ц = Пх, П2 = Пу, Пз — пг} и по дважды повторяющимся
греческим индексам подразумевается суммирование от 1
до 3.
§ 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 121
Совершенно аналогично и все оставшиеся члены в
разложении (20.9) скалярного потенциала t) могут
быть выражены через производные по времени т от муль-
типольных моментов системы высших порядков.
Переходя к анализу разложения векторного потенци-
ала А, следует отметить, что в рассматриваемом нами
случае, в отличие от случая стационарных магнитных
полей, плотности заряда и тока явно зависят от времени,
в результате чего дифференциальный закон сохранения
заряда (3.3) можно записать и в терминах запаздываю-
щего времени т :
-J^-p(r', г) + div г/ j(r', г) = 0, (20.14)
ОТ
где радиус-вектор г', стоящий внизу у дифференциаль-
ного оператора, означает, что дифференцирование про-
изводится по штрихованным переменным:
div r> j(r', т) =
, djy(r',т) , djz(r',r)
dx1 ду' dz'
Поэтому соотношение (15.3) здесь уже не выполняется
и потенциал Ai в общем случае оказывается не равным
нулю. Для того, чтобы записать его в терминах мульти-
польных моментов, рассмотрим вспомогательное соотно-
шение:
d(r) = f
Умножая это равенство скалярно на произвольный по-
стоянный вектор а и учитывая дифференциальный закон
сохранения заряда (20.14), будем иметь:
(ad) = - [ dV'(ar')div r-- j(r',z).
122
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ш
Проводя тождественное преобразование под знаком инте-
грала с использованием соотношения
(ar')div r. j = div r<{(ar')j} - (j(r',T) gradr,)(ar') =
= div r.{(a/)j} - (aj(r',r)),
получим
Так как поверхность интегрирования в этом выражении
предполагается целиком находящейся вне источника из-
лучения, то плотность тока j(r', г) на ней тождественно
равна нулю. Это обстоятельство позволяет утверждать,
что скалярное произведение
a,d - / dV j(r',r) ) = О
(20.15)
при любом выборе постоянного вектора а. Легко убедить-
ся, что это условие может быть выполнено лишь в том
случае, когда
d = ydV/j(r». (20.16)
Действительно, выбирая, например, вектор а = {а, 0,0} ,
приведем соотношение (20.15) к виду:
§ 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 123
При с 0 из этого равенства следует, что
(Як ---
dV'jx(r',r).
Выбирая вектор а параллельным другим осям координат,
можно убедиться в справедливости и оставшейся части
соотношения (20.16).
Учитывая равенство (20.16), потенциал Ах можно
записать в виде:
A1(r,0 =
СТ
(20.17)
Перейдем теперь к векторному потенциалу Аг- Лег-
ко заметить, что подынтегральное выражение у этого
потенциала представляет собой двойное векторное про-
изведение [r[j r/]]/(cr). Воспользовавшись тем, что еди-
ничный вектор п = г/?’ не зависит от переменных инте-
грирования и учитывая определение (15.8)
т(т) =
У dV'[r'j(r', г)],
будем иметь:
а2(м) = (20.18)
сг
И, наконец, рассмотрим потенциал A3. Для приведения
его к более компактному виду, выведем сначала одно по-
лезное соотношение. Продифференцируем произведение
n/3Qal3(T) по времени т. Используя определение для Qa/3,
получим:
з [
От J от
124
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
Учитывая соотношение (20.14), легко убедиться, что
~^Qal3np = -Чпр <£ (dSj(r',r))T/aa;//3 +
+3пр f dVf(j(r',r) gradr,^ х'° хг/3.
Так как на границах объема интегрирования заряды и
токи отсутствуют, то первый интеграл в этом соотноше-
нии равен нулю. Преобразуем теперь второй интеграл.
Учитывая тривиальное равенство
(j gradr<),T/a = = Г,
будем иметь:
Сравнивая это соотношение с последним из выражений
(20.10) и учитывая, что (пг') — прх'13, получим:
А* = (20.19)
6czr
Таким образом, потенциалы, входящие в разложение
(20.11), естественным образом разбились на отдельные
группы, в каждую из которых входят производные по
времени только от одного из мультипольных моментов
системы: <pj и At содержат электрический дипольный
момент, А2 - магнитный дипольный момент, а <р3 и А3
- электрический квадрупольный момент.
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 125
Поэтому в научной литературе потенциалы и Ai
получили наименование потенциалов электрического ди-
польного приближения, потенциал А2 - потенциала маг-
нитного дипольного приближения, а потенциалы и Аз
- потенциалов электрического квадрупольного прибли-
жения. Такое деление, кроме чисто внешнего, имеет и
более глубокий физический смысл, так как эти группы
потенциалов представляют собой разные порядки разло-
жения по степеням малых параметров Т/А и г/с. Поэтому
основной вклад в излучение, как правило, вносят потен-
циалы электрического дипольного приближения. Излу-
чение же в магнитном дипольном приближении, а тем бо-
лее в электрическом квадрупольном приближении, обыч-
но имеет характер малой добавки к электрическому ди-
польному и учитывается не всегда.
В заключение еще раз перечислим физические усло-
вия применимости полученных разложений (20.11) для
потенциалов электромагнитного поля в случае излучаю-
щих систем:
а) малость линейных размеров излучающей системы
L по сравнению с расстоянием г от системы до точки
наблюдения;
б) малость линейных размеров излучающей системы
L по сравнению с длиной волны А излучаемых электро-
магнитных волн;
в) малость длины волны излучения А по сравнению
с расстоянием г от системы до точки наблюдения (вол-
новая зона).
§ 21. Электрическое дипольное излучение
Изучим теперь характерные особенности излучения
126
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
в электрическом дипольном приближении. Как следует
из выражений (20.12) и (20.17), потенциалы электромаг-
нитного поля в этом приближении целиком предопреде-
ляются первой производной по запаздывающему времени
т — t — r/c от вектора электрического дипольного момен-
та системы:
A(r,t) =Ж
сг
(21.1)
Используя эти выражения, мы можем найти векто-
ры Н и Е для поля излучения. Учитывая, что grad т ~
—г/сг — —п/с, для напряженности магнитного поля бу-
дем иметь:
г <Д(т11 г 1
Н(г,П rot А = V = V — d(r) + (21.2)
L cr cr J
+ Fgrad т —~ • [n d(r)J - — [nd(-r)].
cr 1 cr1 с2-г
Рассмотрим полученное выражение. Легко заметить, что
первое слагаемое в правой части этого соотношения не
удовлетворяет требованиям, предъявляемым к полю из-
лучения, так как при г —> ос оно убывает быстрее, чем
1/г, и поэтому не принимает участия в переносе энергии
от источника на пространственную бесконечность. Вто-
рое же слагаемое имеет требуемую асимптотику и при
г —> оо представляет собой поле излучения. Однако, вы-
делить поле излучения из общего поля можно не при всех
значениях г, а лишь в той области пространства, где пер-
вое слагаемое выражения (21.2) пренебрежимо мало по
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 127
сравнению со вторым слагаемым. Выясним, при каких
значениях г это условие выполняется. Для этого разде-
лим первое слагаемое, взятое по модулю, на модуль вто-
рого слагаемого. Полагая, что
|[nd]| ~ u?|[nd]|,
где о? — 2~с/Х - характерная частота излучения систе-
мы, легко получить, что данное отношение по порядку
величины равно А/г.
Это означает, что второе слагаемое в выражении
(21.2) вносит основной вклад в общее поле лишь в тех
точках пространства, расстояние от которых до излуча-
ющей системы значительно больше длины излучаемой
волны: г А. Эта область пространства в научой ли-
тературе получила название волновой зоны или дальней
зоны.
Если же расстояние от излучающей системы до точ-
ки наблюдения сравнимо с длиной волны (г ~ А), то
переменное поле имеет сложный характер, выделить из
которого поле излучения практически невозможно. По-
этому область пространства, удовлетворяющая соотно-
шению г ~ А, в научной литературе получила название
ближней зоны или неволновой зоны.
Так как основной интерес для нас будет предста-
влять поле излучения, то в дальнейшем будем предпо-
лагать, что точка наблюдения находится в волновой зо-
не, в результате чего условие г А всегда выполняется.
В силу этого условия при дифференцировании потенциа-
лов множитель ]./? и вектор и мы будем считать посто-
янными величинами, так как их дифференцирование в
рассматриваемой нами области пространства приводит к
128
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
появлению так называемых неволновых слагаемых (убы-
вающих быстрее, чем 1/г), которыми мы должны пре-
небрегать по сравнению со слагаемыми, описывающими
поле излучения.
Таким образом, единственной величиной, которая в
области г > А может быть подвергнута дифференцирова-
нию, является запаздывающее время т = I — г/с. Учиты-
вая это обстоятельство, для напряженностей полей Н и
Е в электрическом дипольном приближении будем иметь:
E(r,i)
С2 Г
Н(г,1)=М.
С1 Г
(21-3)
Проанализируем полученные выражения. Покажем, пре-
жде всего, что в рассматриваемом нами случае электро-
магнитная волна является сферической. Действитель-
но, замечая, что напряженности полей электромагнит-
ной волны (21.3) зависят от времени лишь в комбинации
т = I — г/с, убедимся, что поверхность постоянного ар-
гумента (или постоянной фазы в случае монохроматиче-
ской волны) для вектора d имеет вид: t—r/c — тс, = const.
Разрешая это уравнение относительно г. получаем урав-
нение сферы: г2 — c2(f—то)2, что и оправдывает название
волны.
Далее, из выражений (21.3) следует, что векторы Е
и Н этой волны ортогональны направлению ее распро-
странения - вектору п. Это означает, что данная волна
является поперечной. Подставляя второе из соотноше-
ний (21.3) в первое, легко убедиться, что векторы Е и Н
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
ортогональны и друг другу:
129
Е =
-[пН].
(21-4)
Отсюда следует, что векторы Е, Н и п, входящие
в выражение (21.3), взаимно ортогональны и образуют
правую тройку. И, наконец, взяв модуль от равенства
(21.4) и учитывая, что |nl = 1, получим: |Е| = |Н|.
Таким образом, в электрическом дипольном при-
ближении поле излучения представляет собой сфериче-
скую электромагнитную волну, которая обладает мно-
гими свойствами, присущими плоской электромагнитной
волне: векторы Е и Н этой волны в любой точке вол-
новой зоны равны по модулю и ортогональны друг дру-
гу и направлению распространения. Именно это обсто-
ятельство и позволяет любую сферическую волну в ма-
лой области (точнее, в области пространства, линейные
размеры которой малы по сравнению с расстоянием от
этой области до излучающей системы) рассматривать
как плоскую электромагнитную волну.
Определим теперь интенсивность излучения в эле-
мент телесного угла d£l в рассматриваемом нами случае
электрического дипольного приближения. Исходя из об-
щей формулы (20.3), будем иметь:
Так как |Е| = |Н| и все три вектора, входящие в это выра-
жение, взаимно ортогональны, то его можно переписать
и в двух других эквивалентных формах:
di сг2Н2 сг2Е2 .
dsi = ~ (2Lo)
130
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ill
Отсюда непосредственно следует, что интенсивность из-
лучения в любой элемент телесного угла является функ-
цией знаконеотрицательной (di/dQ > 0), причем в нуль
она обращается только в отсутствие электромагнитного
поля. Это, в частности, означает, что электромагнит-
ные волны переносят положительную энергию, умень-
шая, тем самым, энергию источника излучения.
Подставляя второе из выражений (21.3) в соотноше-
ние (21.5), получим:
di [d(r)n]2
dQ, 4тгс3
(21.6)
Из этого выражения следует, что интенсивность излу-
чения в элемент телесного угла существенно зависит от
взаимно!! ориентации векторов d(r) и п: при n || d она
равна нулю, в то время как для точек наблюдения, вектор
п которых ортогонален вектору d(r), она максимальна.
Вводя обозначение 0 для угла между векторами d(r) и п
и учитывая, что [dn]2 = |d|2 sin2 0, мы можем построить
диаграмму направленности электрического дипольного
излучения, откладывая в определенном масштабе из на-
чала отсчета отрезки, пропорциональные интенсивности
излучения в данном направлении.
В результате мы получим поверхность, симметрич-
ную относительно вращений вокруг оси, определяемой
вектором d(r), одно из сечений которой показано на рис.
6. Следует отметить, что как величина вектора d, так
и его ориентация в пространстве, может изменяться с
течением времени, в результате чего и угол 0 в общем
случае будет функцией времени.
Поэтому и вся диаграмма направленности излуче-
ния, представленная на рис. 6, может с течением времени
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 131
Рис. 6. Диаграмма направленности излучения в
электрическом дипольном приближении.
Найдем теперь количество энергии, излучаемой си-
стемой в единицу времени по всем направлениям в элек-
трическом дипольном приближении. Эта величина в на-
учной литературе получила название полной интенсив-
ности излучения и ее обычно обозначают буквой I. Для
ее определения мы должны проинтегрировать выражение
(21.6) по всему телесному углу:
(21.7)
Учитывая, что ориентация вектора d(r) может изменять-
ся с течением времени, это можно сделать двумя способа-
132
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. п:
ми. Во-первых, можно, зафиксировав некоторый момент
времени, ввести сферическую систему координат, поляр
ную ось которой удобно направить вдоль направления
вектора d в данный момент времени, после чего проинте-
грировать выражение (21.7) по всем направлениям. Tai.
как в выбранный момент времени [d n]2 = d2 sin2 6Ь то
выражение (21.7) примет вид:
тг 2~
I = [ sin Odd i d<p si11-2
0 c
Интегрируя это выражение, получим:
2d2
Зс3 ’
(21-8)
Однако, с нашей точки зрения, более последовательным
является второй способ, который, к тому же, оказывается
единственно возможным при вычислении полной интен-
сивности излучения в высших мультипольных приближе-
ниях. Для его использования подставим первое из выра-
жений (21.3) в соотношение (21.5). В результате будем
иметь:
Запишем теперь скалярное произведение, входящее в это
выражение, в явно тензорном виде:
(nd) = nQdQ,
(nd)2 = nan.r}da d@.
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 133
Проинтегрируем выражение (21.9) по телесному углу Q.
Учитывая, что
d£l =
Г 4%
/ rtanpdi'l = — 8ар,
после интегрирования выражения (21.9) по углам в и </>,
получим:
I ~
1 - 3^‘
В случае, когда рассматриваемая нами излучающая
система состоит из одной частицы с зарядом q, движу-
щейся со скоростью v с по закону г — r(t), выражения
для интенсивности и полной интенсивности существен-
но упрощаются. Действительно, так как для одной заря-
женной частицы d(r) = §г(т), то d(r) = $а(т), где а(т) -
ускорение частицы в момент времени т. Поэтому выра-
жения (21.6) и (21.8) в этом случае принимают вид:
di q2
dQ, 4тгс3
2q2a2
= ~3rT"
(21.10)
Из этих выражений непосредственно следует, что излу-
чение частицы в электрическом дипольном приближении
возникает только при ее ускоренном движении. Учиты-
вая уравнения движения
m а = F = q{E + -[vH]},
с
134 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ {ГЛ. III
выразим ускорение частицы через внешнюю силу, дей-
ствующую на нее. В результате получим:
I = ГтД’ = Дтг {Е + l[vH]}2.
Таким образом, интенсивность излучения частиц, движу-
щихся в одном и том же внешнем поле, оказывается про-
порциональна четвертой степени величины их зарядов и
обратно пропорциональна квадрату массы. Поэтому из-
лучение протона, масса которого примерно в тысячу раз
больше массы электрона, а заряд равен заряду электро-
на, при движении в одном и том же поле оказывается в
106 раз менее интенсивным.
§ 22. Магнитное дипольное излучение
Основной вклад в поле излучения для большинства
излучающих систем, как уже упоминалось, вносит из-
лучение в электрическом дипольном приближении, в ре-
зультате чего магнитным дипольным излучением обыч-
но пренебрегают. Но в тех случаях, когда система по
тем или иным причинам не излучает в электрическом
дипольном приближении, или оно сильно подавлено, маг-
нитное дипольное излучение начинает играть ведущую
роль. В этом приближении скалярный потенциал элек-
тромагнитного поля равен нулю, а векторный зависит
от изменений магнитного момент а системы с течением
времени:
. . ч |т(т),п1
A(r, £) = i—. (22.1)
cr
Используя выражения (5.2) и (22.1), легко найти напря-
женность электрического поля магнитного дипольного
§22]
МАГНИТНОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 135
излучения:
E(r,f) =
(22.2)
Пренебрегая неволновыми слагаемыми, напряженность
магнитного поля в этом приближении можно найти по
формуле:
Н — rot А =
сг
= — [V т[т,п]] =
сг
[п, [т, п]]
с2 г
V
(22.3)
Подставляя соотношение (22.2) в выражение (22.3), полу-
чим:
Н = [п, Е].
(22.4)
Из выражений (22.2) - (22.4) следует, что в магнитном
дипольном приближении векторы Е и Н ортогональны
вектору и и друг другу и образуют правую тройку. Учи-
тывая это обстоятельство, интенсивность излучения в
элемент телесного угла мы, как и в случае электрическо-
го дипольного излучения, можем представить в любой из
двух форм (21.5). Вторая из них приводит к соотноше-
нию, аналогичному соотношению (21.6):
di 1 г -• / 12
= 7---о |П1(т),П]\
dQ, 4тгс3' v ' J
(22.5)
Таким образом, диаграмма направленности магнит-
ного дипольного излучения аналогична диаграмме на-
правленности электрического дипольного излучения (см.
рис. 6), только вектор d(-r) в рассматриваемом нами слу-
чае необходимо заменить на вектор ш(т).
Полную интенсивность излучения можно найти,
проинтегрировав выражение (22.5) по телесному углу. В
136
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. К
(22.6
результате будем иметь:
_ 2m2
= ~з^”’
Сравнивая это выражение с выражением (21.8), видим,
что они полностью аналогичны и отличаются только век-
торами дипольных моментов. Так как отношение модуля
вектора магнитного дипольного момента к модулю век-
тора электрического дипольного момента по порядку ве-
личины равно v/c << 1, то интенсивность магнитного
дипольного излучения, как правило, меньше интенсив-
ности электрического дипольного излучения.
§ 23. Электрическое квадрупольное излучение
Проведенный в предыдущих параграфах анализ по-
казал, что существуют системы, которые не излучают ни
в электрическом, ни в магнитном дипольных приближе-
ниях. Поэтому низшим ненулевым приближением явля-
ется электрическое квадрупольное излучение, к изуче-
нию которого мы и приступаем.
Потенциалы электромагнитного поля в этом прибли-
жении, как следует из выражений (20.13) и (20.19), зави-
сят от вторых производных по запаздывающему времени
т от компонент тензора электрического квадрупольного
момента:
_ Qa^n^l& ла _ QaPn0
9^ о 1 9
Oczr ОС2Г
Проведем калибровочное преобразование (6.3)
лов (23.1) с калибровочной функцией
потенциа-
18сг
(23.2)
§23]
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
137
Подставляя выражение (23.2) в соотношения (6.3) и оста-
вляя после дифференцирования только волновые слагае-
мые, получим:
<^(r,f) =
AQ(r,t) =
PQ^(r)nftn^
6с2 г
Ьа0(т)пр
6с2г
(23.3)
Так как при исследовании полей излучения вектор п не
дифференцируется, то эти тензорные соотношения обыч-
но переписывают в трехмерном векторном виде, вводя
вспомогательный вектор D, компоненты которого соста-
влены из тензора Da0 и вектора пр = (п)^ по правилу:
(D)Q = Da0np.
(23.4)
Учитывая, что (Dn) = DC(0nanp, выражения (23.3) мож-
но переписать в формально векторном виде:
(пР)
6с2 г ’
D
6с2г
(23.5)
Следует особо подчеркнуть, что в отличие, скажем, от
вектора d, вектор D определяется не только свойства-
ми излучающей системы (в силу зависимости от тензора
Da0), но и расположением точки наблюдения (в силу за-
висимости от вектора п^). Поэтому при интегрировании
по телесному углу выражений, включающих вектор D,
его нельзя, например, выносить за знак интеграла.
138
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ill
Найдем теперь напряженности полей Е и Н электри-
ческого квадрупольного излучения. Дифференцируя вы-
ражения (23.5), получим:
n[D п]
6с3г
(23.6)
н = [D п]
6с3г
Сравнивая выражения (21.3) и (23.6), видим, что фор-
мально они аналогичны, если не обращать внимания на
различия в коэффициентах и в числе производных. В си-
лу этой аналогии очевидно, что векторы Е, Н и п вза-
имно ортогональны и образуют правую тройку. Также
легко убедиться, что векторы Е и Н сферической вол-
ны (23.6) равны по модулю. Однако, выражения (23.6)
дают более сложное распределение энергии излучения в
пространстве, чем электрическое дипольное приближе-
ние. Для того, чтобы в этом убедиться, подставим пер-
вое из выражений (23.6) в соотношение (21.5). Раскрывая
двойное векторное произведение и учитывая, что
D2 =Da^n0Davn\
получим:
~ = —J—-Dapnan0DtlvntlnI/}. (23.7)
dSl 1447ГС5
Для получения полной интенсивности излучения си-
стемы в электрическом квадрупольном приближении нам
§ 23] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 139
необходимо проинтегрировать равенство (23.7) по телес-
ному углу. Воспользовавшись формулами (1.18)
/4тг
Г 4тг
/ d\l nvnp =
а также учитывая, что
Da0DvaS0v =Da0Da$,
D^8aP = О,
Da0D^6afi6Pv =Da0Da^,
получим:
Da0DQ/3
180c5 ‘
Анализируя это выражение, следует отметить, по край-
ней мере, три обстоятельства.
Во-первых, предполагая, что по порядку величины
выполняется соотношение.©^5 ~ uj3Da/3, легко заметить,
что интенсивность электрического квадрупольного излу-
чения, в отличие от интенсивности электрического и маг-
нитного дипольных излучений, оказывается пропорцио-
нальной шестой степени частоты.
Во-вторых, как показывает детальный анализ, элек-
трическое квадрупольное излучение имеется практиче-
ски у любой излучающей системы, в результате чего по-
иск таких физических ситуаций, при реализации кото-
рых система не излучает в электрическом квадрупольном
приближении, представляет собой непростую задачу.
140 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III
И, наконец, третьей характерной чертей электри-
ческого квадрупольного приближения является то, что
частота излучаемых волн в большинстве случаев равна
удвоенной частоте электрического дипольного излучения
этой же системы (если оно есть).
§ 24. Сила радиационного трения
в нерелятивистском приближении
Как известно, в механике Ньютона уравнения дви-
жения заряженной частицы под действием внешней силы
F, как и любой материальной точки, имеют вид:
^=F’ (24.1)
d£ ч
а -(Fv)’
где р = mv - импульс частицы, а 8 = mv2/2 - ее кине-
тическая энергия.
Согласно этим уравнениям при наличии внешней си-
лы частица должна двигаться неинерциально. Однако,
любая заряженная частица, движущаяся неинерциально,
в силу уравнений Максвелла излучает электромагнит-
ные волны, в результате чего она должна постоянно те-
рять свою энергию. Потеря энергии частицей, очевид-
но, должна сопровождаться и потерей импульса, так как
уходящие электромагнитные волны обладают не только
энергией, но и импульсом. Уравнения же (24.1) эго обсто-
ятельство не учитывают. Поэтому для согласования ме-
ханики Ньютона с электродинамикой Максвелла в этом
вопросе в правые части уравнений (24.1) необходимо до-
бавить слагаемые, которые должны отражать обратное
§24]
СИПА РАДИАЦИОННОГО.ТРЕНИЯ
141
влияние создаваемого электромагнитного излучения на
частицу, уменьшающее ее энергию и импульс:
d „ „
з-р =F + Fro(f,
at
=(Fv) + (Frodv).
at
Сила Fro<i, стоящая в этих уравнениях, в соответствии
с придаваемым ей смыслом, в научной литературе по-
лучила название силы радиационного трения или силы
лучистого трения.
Таким образом, для реализации этой идеи нам оста-
ется найти явное выражение для силы Fro(| в виде функ-
ции от кинематических и, возможно, иных характери-
стик излучающей частицы. Однако, последовательное
решение этой задачи оказалось невозможным. Действи-
тельно, для правильного описания потерь энергии части-
цей на излучение произведение (Frodv), равное работе
сил радиационного трения, совершаемой в единицу вре-
мени, в соответствии с его физическим смыслом нам не-
обходимо приравнять полной интенсивности излучения
частицы, взятой с обратным знаком:
(Fradv) = (24.3)
После этого, рассматривая данное соотношение как урав-
нение относительно силы Fro(j, следует определить ее яв-
ный вид. Но интенсивность излучения заряженной ча-
стицы даже в низшем электрическом дипольном прибли-
жении не содержит зависимости от скорости частицы, а
определяется квадратом ее ускорения:
2^ 2 = 2f 2
Зс3 Зс3 '
(24.4)
142 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III
Отсюда непосредственно следует, что при произвольном
законе движения заряженной частицы уравнение (24.3) не
может быть решено.
Обсуждение этого обстоятельства и поиск наиболее
приемлемого с физической точки зрения выражения для
силы Frod явились предметом многочисленных исследо-
ваний, не утративших своего значения и в наше время.
Одно из первых предложений по решению этой про-
блемы было высказано еще Лоренцем в 1892 г. Его смысл
состоял в следующем. Так как соотношение (24.3) не
позволяет в обшем случае найти явное и строгое выра-
жение для силы радиационного трения, то вместо него
нам необходимо сконструировать некоторое приближен-
ное выражение, которое можно было бы использовать хо-
тя бы в ряде важнейших частных случаев, например, при
квазипериодическом движении. Для этого, вместо усло-
вия (24.3), обеспечивающего равенство (Frodv) и — I в
каждый момент времени, потребуем, чтобы это соот-
ношение выполнялось в среднем за некоторый характер-
ный для рассматриваемого движения промежуток време-
ни. Таким образом, предположим, что заряженная ча-
стица под действием внешних сил совершает квазипери-
одическое движение, при котором ее скорость и ускоре-
ние через определенный промежуток времени принима-
ют исходные значения. Обозначая два последовательных
промежутка времени, в которые частица возвращается в
исходное состояние, через ti nt?, будем иметь:
v(*i)=v(*2), а(*1) =.a(t2), (24.5)
Очевидно, что такое движение может быть осуществле-
но, если внешняя сила за рассматриваемый период полно-
§24]
СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ
143
стью компенсирует потери энергии и импульса частицей
на излучение.
Потребуем теперь, чтобы соотношение (24.3) выпол-
нялось в среднем за период:
*2 *2
У (Fredv)dt = - у Idt. (24.6)
‘i «1
Подставляя в правую часть этого соотношения выраже-
ние (24.4), проведем в нем тождественные преобразова-
ния, учитывая, что
, dv d . . da
* =a* = 3i(av)-vS-
В результате будем иметь:
Легко убедиться, что в силу условий (24.5) внеинтеграль-
ный член в этом выражении равен нулю и соотношение
(24.6) принимает вид:
Сравнивая сомножители, стоящие при векторе v в этом
соотношении, можно утверждать, что для его выполне-
ния достаточно положить
_ 2<j2 da 2<}2г
rad ” 3? dt ~ IZ®-’
(24.8)
144
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
Таким образом, в случае квазипериодического дви-
жения частицы воздействие на нее силы (24.8) в сред-
нем за период приводит к тем же самым потерям, что и
на излучение. Следует отметить, что при ином законе
движения частицы такое соответствие из-за Неравенства
нулю внеинтегрального члена в соотношении (24.7) уже
не выполняется. Однако, из-за отсутствия другого, бо-
лее последовательного описания реакции излучения, вы-
ражение (24.8) приходится использовать в качестве силы
радиационного трения и при отсутствии квазиперисдич-
ности в движении частицы. С учетом этого выражения
уравнения движения нерелятивистских (у << с) заряжен-
ных частиц во внешнем поле следует записать в виде:
- „ 292г
mr=F+3^’
£с _fPv^ , 2g2(vr )
d^-(Fv)+ Зс3
(24.9)
Характеризуя эти уравнения с математической точ-
ки зрения, следует отметить, что они представляют со-
бой систему из четырех обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений относительно трех координат частицы.
Как и в механике Ньютона, можно показать, что четвер-
тое уравнение системы (24.9) - уравнение для энергии -
является следствием трех первых уравнений и поэтому
может быть опущено.
Важнейшим отличием уравнений системы (24.9) от
уравнений механики Ньютона является их порядок: они
представляют собой систему уравнений не второго, а тре-
тьего порядка. Согласно обшей теории обыкновенных
§ 24] СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ 145
дифференциальных уравнений для получения единствен-
ного решения этих уравнений необходимо задавать не
шесть начальных условий, как в механике Ньютона, а
девять, например, значения координат, скорости и уско-
рения частицы в некоторый начальный момент времени.
Последнее обстоятельство оказалось (в определенной
степени) в противоречии с существовавшими в ньюто-
новской механике представлениями о детерминизме, со-
гласно которым ускорение частицы в любой момент вре-
мени должно определяться ее положением и скоростью,
взятыми в тот же момент времени. Как следствие на-
рушения этого условия, уравнения (24.9) при неудачном
выборе начальных условий (в основном, для начального
ускорения) в ряде случаев приводят к физически абсурд-
ным предсказаниям.
Особенно ярко это можно увидеть в том случае, ко-
гда на заряженную частицу не действуют внешние силы.
Уравнения (24.9) в этом случае принимают вид:
тпг —
2д2г
Зс3
(24.10)
Общее решение этого однородного уравнения будем, как
обычно, искать в виде:
г = Re“‘.
Подставляя это выражение в уравнение (24.10), будем
иметь:
а2 [тп — ^т-а] г = 0.
L Зс3 J
146
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ш
Для получения нетривиальных (г / 0) решений этого
уравнения необходимо потребовать, чтобы выполнялось
равенство:
"’I”1
Отсюда следует, что параметр а шжг принимать три
значения:
Зтс3
«1 =0, а2 = 0, а3 = ——
292
Поэтому общее решение уравнения (24.10) будет иметь
ВИД:
_ _ r3mc3t]
г = Ri + vi t + R2 exp .
I Zq* J
Согласно этому соотношению, если частица в момент
времени t — 0 имела начальное ускорение а(0) = ао (на-
пример, выходила из области действия внешних сил и
далее на нее внешние силы не действовали), то при t > 0
она будет двигаться по следующему закону:
г = Ro - (5—3) ао + (vo - ^-£ao)t+
\3mcd/ \ 3mc3 /
/ 2q2 \2 ГЗтс3£1
где Ro и Vo - положение и скорость частицы при t — 0.
Таким образом, мы приходим к физически неприем-
лемому результату: после прекращения действия внеш-
ней силы любая заряженная частица согласно уравнени-
ям (24.10) должна ускоряться по экспоненциальному за-
кону, причем показатель экспоненты очень велик (для
§24]
СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ
147
электронов mc3/g2 sb 1023 сек*1, а для других заряжен-
ных частиц еще больше).
Как показывает более детальный анализ, существу-
ет несколько путей, позволяющих избежать получение
таких физически абсурдных результатов. Один из них
предполагает, что выражение (24.8) для силы радиаци-
онного трения может быть использовано лишь в том слу-
чае, когда внешняя сила F, действующая на нереляти-
вистскую частицу, значительно больше силы Frat/:
|F| » |Frad|-
(24.11)
В этом случае силу Fro<i можно рассматривать как ма-
лую добавку к внешней силе и учитывать ее по методу
последовательных приближений. Если же условие (24.11)
не выполняется, то должны использоваться более слож-
ные методы решения задачи о движении заряженной ча-
стицы с учетом потерь энергии и импульса на излучение.
Выясним, какие ограничения накладывает условие
(24.11). Для этого, считая, что условие (24.11) выполня-
ется, ускорение частицы мы можем представить в следу-
ющем приближенном виде:
F
г S3 —,
т
(24.12)
Подставляя это соотношение в выражение (24.8), полу-
чим:
Зс3 Зтпс9
П слагая, что по порядку величины |F| ss ui|F|, где ы -
148
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
характерная частота излучения, из условия (24.11) и со-
отношения (24.12) будем иметь:
<12и ,
тс3
Используя обозначение го = д2/(тс2) и переходя от ча-
стоты излучения к длине волны А = 2irc/w, это неравен-
ство мы можем записать в виде:
А » г0.
Так как для заряженных частиц го < 10~12 см, то условие
(24.11) применимости метода последовательных прибли-
жений в случае частиц, движущихся со скоростью значи-
тельно меньшей скорости света в вакууме, оказывается
выполненным для широкого диапозона электромагнитно-
го излучения, вплоть до жестких рентгеновских лучей,
где вступают в действие квантовые закономерности и
классическая электродинамика оказывается непримени-
мой.
Тем не менее, при решении задач с участием силы
радиационного трения (24.8) всегда необходимо прове-
рять выполнение условия (24.11) и, по возможности, осво-
бождаться в выражении (24.8) от трех производных по
времени с помощью приближенного соотношения (24.12).
§ 25. Рассеяние электромагнитной волны
на изотропном гармоническом осцилляторе
При падении внешней электромагнитной волны на
систему заряженных частиц они в результате действия
§ 25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 149
силы Лоренца приходят в движение. Это движение, есте-
ственно, сопровождается излучением частицами вторич-
ных электромагнитных волн. Этот процесс в научной ли-
тературе получил название рассеяния электромагнит-
ной волны на системе заряженных частиц.
Для изучения характерных особенностей этого про-
цесса рассмотрим рассеяние плоской линейно поляризо-
ванной электромагнитной волны на одном заряде, входя-
щем в состав изотропного гармонического осциллятора
с собственной частотой и>о- Найдем закон движения это-
го заряда под действием линейно поляризованной элек-
тромагнитной волны. Напряженности электрического и
магнитного полей падающей волны в рассматриваемом
случае можно записать в виде:
Е = Ео cos [wt - (kR)],
Н = Носов [wt —(kR)], 1 ‘ ’
где вещественные векторы Ео, Но и к взаимно перпен-
дикулярны и удовлетворяют соотношениям: |Е0| = |Но|,
|к| = ы/с.
Считая, что скорость заряда во все моменты времени
значительно меньше скорости света в вакууме, запишем
уравнение его движения с учетом силы радиационного
трения:
- 2e2R
mR + mw£(R-Ro) = -—-+ (25.2)
+е Ео + ~[RHo] сов [wt — (kR)],
где т - масса частицы, Ro - радиус-вектор положения
равновесия осциллятора, R - радиус-вектор заряженной
частицы.
150
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. Ш
Вводя вектор смещения частицы относительно по-
ложения равновесия г = R — Ro, уравнение движения
(25.2) мы можем записать в более удобной для наших
целей форме:
тг + тгш^г = й|е0 + -[гН0]| X
х cos [art - (kr) - (kRo)] +
Для дальнейшего упрощения этого уравнения учтем, что
в изотропном гармоническом осцилляторе возвращающая
сила по модулю дал.* на превосходить остальные силы,
так как в противном случае осциллятор был бы разру-
шен. Поэтому приближенно можно считать, что г sa
—WqF. Используя это соотношение, понизим порядок про-
изводных в. силе радиационного трения (в соответствии
с рекомендациями формулы (24.12)):
Уравнение движения частицы в этом случае примет вид:
. О В (w-. lr-w» 1)
г + чг + о^г = — < Ео + -[гН0] > х
т с J
х cos [art — (kr) — (kRo)], (25.3)
где ч = 2e2wg/(3mc3) = 2a$r0/(3c) > 0.
Таким образом, мы получили систему нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка. Реше-
ние ее в приведенном виде встречает определенные ма-
тематические трудности. Поэтому рассмотрим условия,
§251
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
151
при которых это векторное уравнение может быть лине-
аризовано и выясним их физический смысл.
Учтем сначала, что у нерелятивистской заряженной
частицы скорость движения мала по сравнению со ско-
ростью света: v << с. Так как |Ео| = |Но|, то это до-
пущение позволяет пренебречь магнитной частью силы
Лоренца по сравнению с ее электрической частью:
|-[гНо]| ~ -|Н0| « |Ео|-
с с
И, наконец, для окончательной линеаризации уравнения
(25.3) необходимо исключить зависимость фазы электро-
магнитной волны от скалярного произведения (кг). Учи-
тывая соотношение ш — 2кг/X, мы можем записать:
(кг)~кг =
Из этого соотношения следует, что величина (кг) мала
лишь в том случае, когда длина волны падающего излу-
чения значительно больше величины смещения заряжен-
ной частицы от положения равновесия. Полагая, что и
это условие выполняется уравнение движения (25.3)
в начальном приближении по указанным малым параме-
трам принимает вид:
г + 7г 4- ШцГ = cos [wt — (kRo)].
(25.4)
В случае атомов, например, максимальная величи-
на смещения зарядов по порядку величины совпадает с
размером первой боровской орбиты г ~ 10~8см, поэто-
му условие г С А достаточно хорошо выполняется для
всего диапоэона электромагнитного излучения вплоть до
рентгеновского.
152
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
Решение этого линейного неоднородного уравнения
с постоянными коэффициентами не представляет особого
труда. Согласно теории, его общее решение равно сумме
общего решения соответствующего однородного уравне-
ния и любого частного решения неоднородного. Решение
однородного уравнения
г + 7Г + wgr = О
будем, как обычно, искать в виде:
г = Гое ,
где а - неизвестный параметр.
Подставляя это выражение в однородное уравнение,
получим:
[а2 + «7 + о$г = 0.
Для того, чтобы это уравнение имело нетривиальные ре-
шения (г / 0), необходимо, чтобы выражение в квадрат-
ных скобках равнялось нулю. Отсюда следует, что пара-
метр а может принимать два значения:
(25.5)
Так как обычно -у2 « Wq, то общее решение однородного
уравнения будет иметь вид:
roffw = rieoi‘ + г2е°3*,
(25.6)
§ 25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 153
где Г1 и г2 — произвольные постоянные векторы.
Для нахождения частного решения неоднородно-
го уравнения (25.4) удобно воспользоваться его линей-
ностью и перейти к комплексной форме записи:
г + 7Г + WqF = exp { - i[wt - (kRo)]},
предполагая в окончательном результате взять только
вещественную часть от решения этого уравнения. Под-
ставляя вектор г в виде
Гчвсш — г3 exp { - ifort - (kRo)]},
сведем данное дифференциальное уравнение к алгебраи-
ческому:
г 2 2 ! еЕд
М5 - ы* - tw7]r3 =-----
Отсюда следует, что
^част — Г 2 2 —:—у exp { — *[wt — (kRo)]}.
mlwo — — tu>7]
Взяв вещественную часть от этого выражения и добавив
общее решение однородного уравнения, получим оконча-
тельно:
г = [ив01* + г2е“а‘] +
еЕо cos [wt — (kRo) + V']
m[(w®-w2)2+w272]i/2 ’
где V’=-arctg[7w/(wg — w2)].
Для определения постоянных интегрирования ri и
г2 необходимо использовать начальные условия, задав,
154 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ (ГЛ. III
например, смещение и скорость заряженной частицы е
момент времени t = 0. Однако, как следует из соотно-
шений (25.5), вещественная часть показателей экспонент
обоих независимых решений (25-6) однородного уравне-
ния является отрицательной. Поэтому при любых на-
чальных условиях (при любых векторах и и rj) вектор
Говц, с течением времени будет экспоненциально убывать
и при t » 1/7 он становится исчезающе малым. Поэто-
му, начиная с некоторого момента времени, им можнс
пренебречь. О таком состоянии, когда влиянием началь-
ных условий на изучаемый процесс можно пренебречь,
обычно говорят как об установившемся режиме.
Таким образом, установившиеся колебания заряжен-
ной частицы будут описываться выражением:
eEocosp-(kRo) + V>]
т[(ш2-ш2)2+ш272]1/2 ’
Сравнивая это выражение с соотношением (25.1), легко
увидеть, что колебания заряженной частицы отстают от
колебаний полей Е и Н падающей волны в точке, где
находится положение равновесия, на угол
Используя закон движения (25.7) заряженной части-
цы, найдем теперь ее излучение. Так как в рассматри-
ваемом нами случае скорость движения частицы предпо-
лагается малой по сравнению со скоростью света, то для
вычисления ее излучения можно воспользоваться форму-
лами электрического дипольного приближения. Учиты-
вая, что для одной частицы d = ег, будем иметь:
_ e2w2E0cos [шт - (kRo) + V]
~ ~ т[(ш2 - ш2)2 4- ш272р/2 •
§25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ волны 155
Так как напряженности полей излучаемой частицей элек-
тромагнитной волны в электрическом дипольном при-
ближении линейно зависят от вектора d(r), то отсюда не-
посредственно следует, что при рассеянии на одном изо-
тропном осцилляторе рассеянная электромагнитная вол-
на в этом приближении имеет ту же частоту, что и па-
дающая, и, кроме того, она является также линейно по-
ляризованной.
Для интенсивности этого излучения в элемент телес-
ного угла будем иметь:
di _ e4u>4[E0n]2 cos2 [tvr - (kRp) + V>]
dQ 4тгт2с3[(ш2 — w2)2 + w272] ’
где n - единичный вектор, направленный из начала ко-
ординат в точку наблюдения.
Таким образом, интенсивность рассеянного излуче-
ния оказывается зависящей как от свойств рассеивате-
ля - значений т, е, о>о, 7, так и от интенсивности I
(амплитуды Е) и частоты ш падающей волны. Поэтому
для количественной оценки рассеивающих свойств той
или иной системы зарядов необходимо использовать не
интенсивность рассеянной волны, а иную характеристи-
ку, которая не зависела бы от интенсивности падающей
волны. Для этих целей обычно используют величину da,
которая определяется соотношением
da = =, (25.9)
где di - усредненное по периоду количество энергии, из-
лучаемой системой в данном направлении, а /о - среднее
156
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. III
за период значение плотности потока энергии падающей
на систему электромагнитной волны.
Так как это соотношение имеет размерность площа-
ди, то величину do называют дифференциальным сечени-
ем рассеяния.
Найдем дифференциальное сечение рассеяния рас-
сматриваемого нами изотропного гармонического осцил-
лятора. Для этого вычислим сначала Iq. Согласно опре-
делению 1о совпадает с модулем вектора Пойнтинга па-
дающей волны (25.1), усредненным по периоду:
Io=-~; J dr|<r|.
Так как в плоской электромагнитной волне (25.1) |Е| =
|Н| и вектор Е ортогонален вектору Н, то отсюда полу-
чим:
1о = / drE§cos2[wr - (kr)].
Интегрируя это соотношение, будем иметь:
Совершенно аналогично, усредняя соотношение (25.8) по
периоду Т = 2тг/ш, после подстановки в выражение (25.9)
найдем:
_ e4w4sin20
~ тп2с4[(«2 -w2)2 4-72w2] ’
(25.10)
§ 25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 157
где 0 - угол между векторами п и Eq.
Ориентируя ось z декартовой системы координат
вдоль постоянного вектора Ео, проинтегрируем соотно-
шение (25.10) по телесному углу. В результате получим
полное эффективное сечение рассеяния а :
° ~ Tm2C«[(wg-w2)2+72w2] • I25"11)
Используя определение классического радиуса заряжен-
ной частицы го = е2/(тс2), это выражение можно запи-
сать и иначе :
_ _ 87гго_____1
3 [(w2 -W2)2 +72W2]‘ (25Л2)
Проанализируем полученные соотношения. Заметим,
прежде всего, что дифференциальное сечение рассеяния
(25.10), как и полное сечение рассеяния (25.11), пропор-
ционально четвертой степени заряда частицы и обрат-
но пропорционально квадрату ее массы. Это означает,
что более легкие заряженные частицы являются лучши-
ми рассеивателями электромагнитных волн, чем тяже-
лые. В частности, так как заряды протона и электрона
равны по абсолютной величине, а масса протона почти в
две тысячи раз больше массы электрона, то и рассеива-
ющие способности протона при прочих равных условиях
оказываются более чем в 106 раз худшими, чем у электро-
на. Поэтому при изучении рассеяния электромагнитных
волн атомами и молекулами вкладом протонов обычно
пренебрегают по сравнению с рассеянием на электронах.
Следует также отметить характерную резонансную
зависимость величин da и а от частоты падающей вол-
ны. В частности, если частота оказывается значительно
158
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[гл. ш
меньше характерной частоты осциллятора w0, то сечение
(25.12) будет пропорционально четвертой степени отно-
шения ш/«о :
8лт2 / w \ 4
— 1
3 \«о/
Это сечение в научной литературе получило название
сечения Рэлея по имени английского ученого, впервые
экспериментально установившего эту зависимость при
W С Wo-
Другой предельный случай реализуется, когда ча-
стота падающей волны оказывается значительно боль-
шей характерной частоты осциллятора w w0. В этом
случае сечение рассеяния зависит лишь от классического
радиуса частицы:
Эта формула в научной литературе получила название
формулы Томсона.
ГЛАВА IV
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 26. Принцип относительности
Исторически сложилось так, что начальные предста-
вления о теории относительности возникли задолго до
создания электродинамики Максвелла. Именно наблюде-
ние различных механических явлений впервые показало
выделенность инерциальных систем отсчета, т.е. систем
отсчета, в которых тела в отсутствие внешних сил со-
храняют состояние покоя или равномерного и прямоли-
нейного движения, В таких системах отсчета описание
движения тел осуществляется наиболее простыми урав-
нениями. Так как инерциальных систем отсчета имеется
бесчисленное множество, то у ученых того времени воз-
ник вопрос: а есть ли среди них какая-нибудь выделенная
система отсчета или все они полностью равноправны?
Изучение механических явлений показало, что все инер-
циальные системы являются полностью равноправными.
Этот экспериментальный факт нашел свое отраже-
ние в формулировке принципа относительности Галилея.
Согласно этому принципу законы механики будут одина-
ковыми как для покоящегося наблюдателя, так и для на-
блюдателя, находящегося в состоянии равномерного по-
ступательного движения. Поэтому результаты любого
механического эксперимента, проведенного в двух раз-
160
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
личных инерциальных системах отсчета, при соответ-
ственных начальных условиях (т.е. одинаковых для ка-
ждой системы отсчета) будут одинаковыми и скорость
относительного движения систем отсчета не может быть
определена из результатов этих экспериментов.
Принцип относительности Галилея, сформулирован-
ный впервые на основе результатов экспериментальных
исследований, оказывается, может быть установлен и при
математическом анализе уравнений механики.
С математической точки зрения этот принцип экви-
валентен утверждению о форминвариантности (неизмен-
ности формы) уравнений механики при преобразовани-
ем коор динат и времени, описывающих переход от одной
liner чой системы отсчета к другой инерциальной
системе отсчета. Поэтому закон преобразования коорди-
нат и времени, описывающих этот переход, может быть
установлен непосредственно из анализа уравнений меха-
ники. Чтобы в этом убедиться, запишем уравнения Нью-
тона в некоторой инерциальной системе отсчета для си-
стемы, состоящей из двух взаимодействующих матери-
альных точек:
mi = (и - г2)/(|гх - г2|), (26.1)
= (г2 - rj/dn - г2|),
гд е Г) и г2 - радиусы-векторы первого и, соответственно,
второго тела, a mi и т2 - их массы.
Функция /(|ri — г2|) зависит от физической приро-
ды действующей между телами силы. Это, например,
§26]
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
161
может быть сила упругости /(|ri — г2|) = — к или тяго-
тения
Л|г,~Гг|) = кГ^Р’
где G — гравитационная постоянная, к - коэффициент
жесткости упругого элемента, соединяющего тела.
Легко убедиться, что вид этих уравнений не изменя-
ется при осуществлении преобразований Галилея:
t = t', (26.2)
г = г' + V*',
где V - некоторая постоянная скорость.
Действительно, так как при этих преобразованиях
ускорения тел не изменяются
<fr cP , , dV
df2-df«^r+ dt12
и в выражения для разности векторов П — г2 = rj —
вектор V не входит, то уравнения (26.1) при любом зна-
чении V переходят в уравнения:
= ~ Г2^(1Г1 “
= (г2 - r'i)/(lrJ ~ r2l)-
Таким образом, единственное отличие у уравнений дви-
жения в штрихованной системе отсчета - это наличие
штрихов у всех входящих в них величин.
162 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Несложно установить и физический смысл преобра-
зований Галилея, выяснив закон движения начала отсче-
та одной системы координат относительно другой. Для
этого положим в выражении (26.2) г' = 0. В результате
получим;
ГО> = vt
Это соотношение означает, что начало отсчета О' штри-
хованной системы координат движется относительно не-
штрихованной системы с постоянной по величине и на-
правлению скоростью. А так как в силу соотношений
(26.2) оси координат все время остаются сонаправлен-
ными, то можно сделать вывод, что преобразования Га-
лилея в механике Ньютона описывают переход от одной
инерциальной системы отсчета к другой инерциальной
системе отсчета, движущейся относительно исходной с
постоянной скоростью V.
Взяв дифференциалы от правых и левых частей ра-
венств (26.2), несложно получить закон сложения скоро-
стей в механике Ньютона:
dr dr' + Vdf
dt ~ dt'
(26.3)
Кроме того, из выражений (26.2) следует, что в ме-
ханике Ньютона длина одного и того же отрезка и про-
межуток времени между двумя событиями, измеряемые
из лабораторной (’’неподвижной” системы отсчета) и из
движущейся инерциальной системы отсчета, будут оди-
наковыми:
|г2 - Г1| = |Г2 - rj I, t2 - ti = t'2 - t'i. (26.4)
§27]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
163
Последующее развитие физики показало, что инер-
циальные системы отсчета являются равноправными для
описания и других физических явлений. Поэтому прин-
цип относительности в настоящее время принял сле-
дующую форму: законы физических явлений одинаковы
для "неподвижного” наблюдателя и для наблюдателя, со-
вершающего равномерное поступательное движение, так
что мы не имеем и не можем иметь способа определить,
находимся ли мы в подобном движении или нет.
Таким образом, классический принцип относитель-
ности, утверждающий равноправие всех инерциальных
систем отсчета для описания физических явлений, экви-
валентен требованию форминвариантности (неизменно-
сти формы) уравнений физики при преобразованиях ко-
ординат и времени от одной инерциальной сйстемы от-
счета к другой инерциальной системе отсчета. Это, в
свою очередь, означает, что для нахождения соотноше-
ний, связывающих координаты и время в двух физиче-
ски равноправных, с точки зрения какого-нибудь фунда-
ментального уравнения физики, системах отсчета, мож-
но воспользоваться условием форминвариантности дан-
ного уравнения относительно искомого преобразования
систем отсчета.
§ 27. Преобразования Лоренца
Предположим, что у нас есть исходная лаборатор-
ная инерциальная система отсчета, в которой уравнения
Максвелла имеют вид (3.19). Поставим задачу опреде-
лить закон преобразования координат и времени при пе-
реходе от исходной системы отсчета К к другой инер-
циальной системе отсчета К', которую условно назовем
164 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГП. IV
штрихованной системой отсчета.
Так как все инерциальные системы отсчета должны
быть эквивалентными, то уравнения Максвелла в систе-
мах отсчета К и К' должны иметь одинаковый вид, т.е.
быть форминвариантными. Но уравнения Максвелла, в
отличие от механики Ньютона, помимо производных по
координатам и времени содержат еще и векторы Е и Н,
законы преобразования которых нам пока не известны.
Поэтому для решения поставленного вопроса удобно ис-
пользовать не уравнения Максвелла, а уравнение фронта
(18.15) электромагнитной волны, которое является пря-
мым следствием уравнений Максвелла и не содержит по-
лей Е и Н.
Преобразуем уравнение (18.15), описывающее рас-
пространение фронта электромагнитной волны, к виду:
c2(t — t0)2 — (г — г')2 = 0.
Полагая в этом соотношении t = to + dt, г = г* 4- dr, не-
сложно убедиться, что в исходной лабораторной системе
отсчета, в которой мы сформулировали систему уравне-
ний Максвелла (3.19), уравнение, описывающее распро-
странение фронта волны, примет вил:
c2dt2 — dr2 — c2dt2 — da:2 — dy2 — dz2 = 0.
Так как это уравнение содержит только координаты и
время и не содержит, в отличие от уравнений Максвел-
ла, из которых оно получено, векторов Е и Н, то его
мы и будем использовать для анализа представлений о
пространстве и времени, с которыми согласуется элек-
тродинамика Максвелла.
§27j
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
165
Обозначая координаты и время исходной системы от-
счета К буквами х, у, z, t, а системы отсчета К' - штри-
хованными буквами х', у', z', t1, уравнения, определяю-
щие распространение фронтов в этих системах отсчета,
мы можем записать в виде:
c2dt2 —dx2 — dy2 — dz2 = О,
Jd^-dx12 - dyn - dzn = 0.
(27.1)
Таким образом, наша задача определения закона пре-
образования координат и времени при переходе от систе-
мы К к системе К' сводится к поиску такой зависимости
t = t(t',x',y,'z'), х = x(t',x',y,' z'),
у = y(t',x',y,' z'), z = z(t',x',y'z'),
которая после подставки в первое из выражений (27.1)
переведет его во второе из этих выражений.
Предположим, что искомые преобразования являют-
ся преобразованиями Галилея с относительной скоростью
V, параллельной оси X. Обозначая координаты и время
системы отсчета, получаемой из исходной путем преобра-
зований Галилея, заглавными буквами, будем иметь:
х =Х + VT,
t =Т, у = Y, z = Z.
(27.2)
Взяв дифференциалы от этих соотношений и подставив
в первое из выражений (27.1), получим:
JdT2(l-^-2VdTdX-dX2 - dY2 - dZ2 = 0. (27.3)
166 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Сравнивая это равенство с соотношениями (27.1), видим,
что преобразования Галилея не обеспечивают формин-
вариантности интервала (27.1), поскольку в него явным
образом вошла относительная скорость V и появился пе-
рекрестный член 2VdTdX. Для приведения выражения
(27.3) к виду (27.1) выделим в нем полный квадрат так,
чтобы исчез перекрестный член. В результате будем
иметь:
г Vdx
V с?
---------ттт-dY2 -dZ2 = 0.
1УЛ
Теперь для приведения этого выражения к виду (27.1)
нам достаточно ввести штрихованные координаты в со-
ответствии с равенствами:
f = Т
(27.4)
у' = У, / = Z.
Тогда выражение (27.3) принимает требуемый вид (27.1):
ds2 = c2dtn — dx12 — dyn — dz12 = ds12 — 0.
Таким образом, два последовательных преобразова-
ния (27.2) и (27.4) перевели первое выражение (27.1) во
второе. Следовательно, мы совершили переход из лабора-
торной системы отсчета К в эквивалентную ей, с точки
§27]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
167
зрения электродинамики, систему отсчета К'. Исключая
с помощью выражений (27.2) из соотношений (27.4) про-
межуточные переменные X, Y, Z, Т, получаем связь ко-
ординат и времени систем отсчета К и К':
, — 71х , х ~ Vi ,
t = х = у = у, У = z. (27.5)
Эти преобразования в научной литературе получи-
ли название обратных преобразований Лоренца. Пря-
мые преобразования Лоренца получаются, если соотно-
шения (27.5) разрешить относительно нештрихованных
переменных:
t' + х' + Vt'
y = y',z = z>. (27.6)
Обсудим теперь преобразования (27.5) и (27.6). Во-пер-
вых, заметим, что преобразования Лоренца, также как
и преобразования Галилея, описывают переход от исход-
ной лабораторной инерциальной системы к другой инер-
циальной системе. Для того чтобы в этом убедиться,
найдем закон движения начала отсчета О' системы К' с
точки зрения наблюдателя, находящегося в системе от-
счета К. Подставляя х' = у' = z' = 0 в выражения (27.5),
получим следующий закон движения точки О' по часам
наблюдателя К:
x = Vt.
Это означает, что система отсчета К' движется равно-
мерно и прямолинейно относительно инерциальной си-
стемы отсчета К, т.е. и сама является инерциальной.
168 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Во-вторых, следует отметить, что преобразования
Лоренца существенно отличаются от преобразований Га-
лилея, переходя в них с некоторой точностью при V << с.
Так как первые из них описывают переход между двумя
инерциальными системами отсчета, оставляющий фор-
минвариантными уравнения электродинамики, а вторые
- тот же переход между двумя инерциальными система-
ми отсчета, но оставляющий форминвариантными урав-
нения механики Ньютона, то возникает вопрос, как со-
гласовать между собой это противоречие между требо-
ваниями электродинамики Максвелла и механики Нью-
тона.
Как мы увидим далее, данное противоречие меж-
ду требованиями электродинамики и механики решается
в пользу электродинамики, в результате чего механика
Ньютона будет заменена релятивистской механикой, пре-
дельным случаем которой при V « с является механика
Ньютона.
И, наконец, анализ соотношений (27.5) и (27.6) по-
казывает, что они имеют смысл только при V < с. Это
означает, что преобразования Лоренца (27.5) и (27.6) со-
гласуются с принципом предельности скорости света, со-
гласно которому любой физический объект не может дви-
гаться со скоростью, большей скорости с, причем пре-
дельную скорость V = с могут иметь только безмассовые
частицы.
§ 28. Преобразование промежутков времени
и длин отрезков
В качестве непосредственных кинематических след-
ствий преобразований Лоренца рассмотрим как в специ-
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ И ДЛИН 169
альной теории относительности происходит преобразова-
ние промежутков времени и длин отрезков при переходе
от одной инерциальной системы отсчета к другой инер-
циальной системе отсчета.
Для сравнения напомним, что при преобразованиях
Г млея (26.2) ни промежутки времени, ни длины отрез-
ков (26.4) не изменяются. Это свойство является прямым
следствием абсолютности времени и независимости про-
странства от времени в механике Ньютона.
Предположим, что мы имеем две инерциальные си-
стемы отсчета: лабораторную К и движущуюся отно-
сительно нее вдоль оси X со скоростью V систему К'.
Оси этих систем отсчета будем считать параллельными
и сонаправленными. Предположим далее, что в системе
отсчета К' в одной и той же течке происходят какие-либо
два события в моменты времени и <£, разделенные про-
межутком времени т0 = — f2 по часам наблюдателя,
покоящегося в системе отсчета К'. Определим, какой
промежуток времени между этими событиями измерит
людатель, находящийся в системе отсчета К. Для
этого воспользуемся преобразованиями Лоренца (27.6) и
найдем моменты времени и <2, соответствующие этим
Ц: ум событиям по часам наблюдателя, находящегося в
рстеме Кг
<2 =
Гак как в системе К* оба события произошли в одной
той же точке, то — х2 и промежуток времени т =
!з — ti между этими событиями, измеренный по часам
170
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
наблюдателя системы К, будет равен:
(28.1)
Отсюда непосредственно следует, что согласно спе-
циальной теории относительности промежуток времени
между двумя событиями, в противовес механике Нью-
тона, уже не является абсолютной величиной, а зависит
от выбора инерциальной системы отсчета и достигает
минимального значения в той системе отсчета, в кото-
рой оба события происходят в одной точке пространства.
Этот эффект, при всей его внешней парадоксальности,
нашел свое экспериментальное подтверждение и в насто-
ящее время широко используется в физике высоких энер-
гий для транспортировки пучков короткоживущих ча-
стиц на значительные расстояния, для увеличения сред-
него времени жизни этих частиц и постановки экспери-
ментов по изучению их свойств.
Действительно, если рассматриваемые нами два со-
бытия представляют собой рождение и, соответственно,
распад нестабильной частицы, то в системе отсчета, где
эти два события происходят в одной точке пространства,
это время, как правило, чрезвычайно мало (например,
то » 2,6 - 10~® сек для пионов и т0 ~ 2,2 • 106 сек для
мюонов). Поэтому, если бы промежуток времени меж-
ду событиями не удовлетворял релятивистскому соотно-
шению (28.1), то даже в случае движения со скоростью
V — с, частица не улетела бы от места своего рожде-
ния на расстояние большее, чем L = сто, что составляет
L ~ 7,8 метров для пионов и L ~ 600 метров для мюонов.
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ БРЕМЕНИ И ДЛИН 171
Однако, в действительности такое предсказание ока-
зывается неверным, и частицы, движущиеся со скоро-
стью V, от точки своего рождения до точки распада про-
летают расстояние
которое при скорости V, приближающейся к с, может до-
стигать сколь угодно больших значений.
В частности, упоминавшиеся выше пионы, рожда-
ющиеся на высоте 20 - 30 км в широких атмосферных
ливнях космических частиц, благополучно достигают по-
верхности Земли и регистрируются научной аппарату-
рой. И хотя этот факт убедительно подтверждает форму-
лу (28.1), иногда можно встретить скептическое замеча-
ние о том, что в этих опытах измеряется путь, пройден-
ный пионом, но не измеряется его скорость. А поскольку
преобразования Галилея не запрещают движение частиц
со сверхсветовыми скоростями, то и пионы в этом случае
могут иметь скорость больше, чем с.
Однако, формула (28.1) проверялась в эксперимен-
тах неоднократно и в различных условиях, когда измеря-
ется не только путь, пройденный частицей, но и ее ско-
рость. Так, например, в знаменитом церновском экспе-
рименте ”g - 2” мюоны вводились в кольцо радиусом 5 м
и удерживались там на почти круговых орбитах магнит-
ным полем. Целью эксперимента было точное измерение
магнитного момента мюона, но попутно была проверена
и формула (28.1). Измерения средней длины пробега и
скорости мюонов показало, что время их жизни в соот-
ветствии с формулой (28.1) возрастало в 12 раз.
172
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(ГЛ. IV
Поэтому в настоящее время нет никаких сомнений в
правильности предсказаний специальной теории относи-
тельности о релятивистском эффекте замедления време-
ни. Чтобы глубже понять природу этого эффекта, полез-
но провести его вычисление несколько иным способом,
учитывающим, что в системе К события происходят в
разных точках. Для этого воспользуемся обратными пре-
образованиями Лоренца (27.5) и составим разности t2 —t\
и х2 - х^. В результате получим
T0=t' -tj =
<2 — *1 — ~g(g2 — Х1)
(28.2)
Так как в системе К' события происходят в одной и той
же точке (х'2 = ®i), то из второго из этих равенств най-
дем:
Х2 - Х1 = V(<2 — h) = Vr.
Подставляя это соотношение в первое из равенств (28.2),
приходим к формуле (28.1).
Другим кинематическим следствием специальной те-
ории относительности является эффект сокращения дли-
ны движущегося отрезка. Предположим, что в инерци-
альной системе отсчета К' покоится отрезок длины /0,
параллельный оси X и координаты его концов равны х{
я х'2 (см, рис. 7). Определим длину этого отрезка при
измерении его в лабораторной системе отсчета К.
Так как в системе отсчета К отрезок движется, то
процедура измерения его длины должна состоять в опре-
делении (считывании) координат его концов Xi и х? > a?i
§2 , :11д : ' wh 173
в един и тот же момент времени = ti по часам наблю-
дателя системы К. Тогда длиной движущегося отрезка
принимается величина I = х? — #1 •
Рис. 7. Измерение длины движущегося отрезка.
Таким образом, используя преобразования Лоренца
(27.6), мы можем записать:
г ~ ~ х2 ~xi + ^(*2 *1
I = Х2 — Ti = ----------------:---
. А _
(28.3)
Разность #2 ~ tit входящая в это выражение, не равна
нулю, так как согласно специальной теории относитель-
ности два события, одновременные в какой-либо инерци-
альной системе отсчета, но происходящие в разных ее
точках, будут неодновременными в любой другой инер-
циальной системе отсчета. Чтобы в этом убедиться, вое-
174 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
пользуемся формулами (27.5) и вычислим разность <2~tj:
t2 tj
t2 $1 р(д;2 — Д1)
Так как <2 = tj, a xz — =1, то отсюда имеем:
*2 — —
(28.4)
Таким образом, с точки зрения наблюдателя систе-
мы отсчета К1 ’’считывание” координат тг и Xi в системе
отсчета К происходит не одновременно. Образно говоря,
наблюдатель системы отсчета К' увидит процесс изме-
рения отрезка в системе отсчета К следующим образом:
наблюдатель системы отсчета К в некоторый момент
времени t2 считал координату х? отрезка, потом выждал
некоторый промежуток времени, зависящий от длины от-
резка (а отрезок движется все это время относительно не-
го в положительном направлении оси X!), и после этого
считал координату другого конца отрезка з?1 <
Уже одно это обстоятельство позволяет утверждать,
что в результате такого измерения длина отрезка в си-
стеме К окажется меньше его длины, измеренной в систе-
ме покоя К'. И формулы это подтверждают. Действи-
тельно, подставляя выражение (28.4) в (28.3) и проводя
несложные алгебраические преобразования, получим:
/ V2
I = к)\11----Л" < ^0-
V с2
(28.5)
§ 29] РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
175
Этот эффект в научной литературе получил название эф-
фекта сокращения длины движущегося отрезка. Следу-
ет отметить, что никакого реального сокращения отрез-
ка, появления в нем каких-либо напряжений или дефор-
маций не происходит. Во всех инерциальных системах
отсчета физическое состояние отрезка одно и то же.
’’Сокращение” (28.5) длины отрезка происходит во
многом в силу принятого способа измерения длины дви-
жущегося отрезка, как процесса одновременного считы-
вания значений координат концов отрезка. Поэтому дан-
ный эффект, как мы видели, возникает из-за того, что
в специальной теории относительности одновременность
двух событий, происходящих в разных точках простран-
ства, является не абсолютным фактом, а относительным,
зависящим от выбора системы отсчета: два события,
происходящие одновременно в разных точках одной си-
стемы отсчета, обязательно будут неодновременными в
любой другой системе отсчета.
Абсолютное значение в специальной теории относи-
тельности имеют только два события, происходящие од-
новременно в одной и той же точке, так как они будут
одновременными и происходящими в одной точке в лю-
бой системе отсчета.
В заключение следует отметить, что результат изме-
рения длины отрезка, расположенного перпендикулярно
направлению относительного движения, в обоих систе-
мах отсчета К и К' будет одним и тем же. Так как
поперечные размеры тел при преобразовании Лоренца не
изменяются, а продольные сокращаются, то объем тела,
покоящегося в некоторой инерциальной системе отсчета,
при переходе к другой инерциальной системе отсчета со-
176 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
кращается в ^/1 — V2/c2 раз.
§ 29. Релятивистский закон сложения скоростей
Полученные формулы (27.5) и (27.6) преобразований
Лоренца позволяют установить закон сложения скоростей
в специальной теории относительности. Для этого рас-
смотрим две инерциальные системы отсчета: лаборатор-
ную К и инерциальную систему отсчета К', квяжушу-
юся относительно системы К со скоростью V вдоль оси
X. Предположим, что наблюдатели, находящиеся в этих
системах отсчета, измеряют скорость одной и той же ма-
териальной точки. Так как компоненты трехмерной ско-
рости в любой системе отсчета определяются чисто кине-
матически как отношения дифференциалов соответству-
ющих координат к дифференциалу времени, то мы можем
записать:
• dx dy dz
V-=di’ (29-1)
, dx1 , dy' , dz'
V* = Vy = ~dV' V* = dt>'
Таким образом, для получения закона сложения ско-
ростей нам необходимо найти связь между дифференци-
алами координат и времени в обоих системах отсчета.
Для этого возьмем дифференциалы от правых и левых
частей соотношений (27.5):
,, dt — %dx . dx — Vdt , , , , , ,
df* — —, - --, dx* = — dy1 = dy. dz1 = dz.
где /3 = V/c.
§ 29] РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 177
Подставим теперь эти выражения в последние три
равенства (29.1). Учитывая первые три равенства (29.1),
будем иметь:
, dx - Vdt v£ - V Ут = 4 V j = 1 ’ V V ’ (29.2) dt —-?dx 1 *4- t - dyVl - _ v&Vi ~62 vy- dt-Vdx " ’ , dzy/l-p2 _Vzy/1~62 V*- dt-^dx ’ 1-^ ' c
Эти соотношения и представляют собой релятивист-
ский закон сложения скоростей. Совершенно аналогично,
взяв дифференциалы от правых и левых частей соотно-
шений (27.6), мы можем получить формулы, позволяю-
щие определить скорость частицы V в системе отсчета
К по известным компонентам скорости этой же частицы
у' в системе отсчета К1 :
(29.3) 1 + ^- v„ -— ,, , , vz = , У 1 i Vv' , i । Vv' 1 4 г- 1 4 5s- 1 c3 c3
Сравнивая выражения (29.2) и (29.3), легко отметить
характерную черту перехода от формул, описывающих
зоямые преобразования, к обратным и наоборот: для
мого во всех формулах достаточно провести взаимную
замену штрихованных величин на нештрихованные и за-
:енить V на —V.
178 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Таким образом, закон сложения скоростей в специ-
альной теории относительности существенно отличается
от закона сложения скоростей Галилея (26.3). Однако, в
нерелятивистском случае, когда скорость материальной
точки и скорость относительного движения систем от-
счета малы по сравнению со скоростью света, формулы
(29.2) и (29.3) переходят в хорошо известные формулы га-
лилеевского закона сложения скоростей (26.3). Действи-
тельно, считая, что V2/c2 « 1, Vvx/c2 << 1 и прене-
брегая этими величинами по сравнению с единицей, из
выражений (29.2) и (29.3) получим:
v'x = «X - v, v'y = Vy, и' = vz.
В случае же релятивистского движения отношения
V2/c2 и Упх/с2 могут уже быть сравнимыми с едини-
цей, в результате чего преобразования компонент ско-
рости описываются нелинейными выражениями (29.2) и
(29 3}, которые показывают, что относительное движе-
ние систем отсчета вдоль одной из осей координат (на-
пример, вдоль оси X, как в нашем случае) изменяет не
только компоненту скорости, параллельную данной оси,
но и перпендикулярные к ней компоненты, если они не
равны нулю.
' Следует также отметить, что скорость кванта элек-
тромагнитного поля - фотона, равная v — с в какой-либо
одной инерциальной системе отсчета, в силу законов сло-
жения скоростей (29.2) и (29.3) будет равна v' = с и в
любой другой инерциальной системе отсчета. Для то-
го, чтобы в этом убедиться, предположим, что скорость
фотона в нештрихованной системе отсчета лежит в плос-
кости ХОУ и составляет угол а с осью X:
vx = ccosa, vy = csina.
§30]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УГЛОВ
179
Подставляя эти выражения в соотношения (29.2), после
несложных вычислений легко получить:
И, наконец, релятивистские формулы сложения ско-
ростей (29.2) и (29.3) позволяют элементарно доказать,
что скорость v — с является предельной скоростью для
всех материальных тел. Действительно, составляя раз-
ность vrl — с2 и используя выражения (29.2), несложно
получить:
v'2
-с2
(1 -$)(!-$)
с2.
Так как 1 — V2/с2 > 0 и 1 — г2/с2 > 0, то v'2 — с2 < 0. Это
означает, что если в одной системе отсчета (например,
нештрихованной) скорость материального тела v < с,
то в любой другой системе отсчета, движущейся отно-
сительно исходной со скоростью V < с, скорость этого
материального тела также будет меньше с. А так как
все системы отсчета создаются из материальных тел, то
никаким переходом к другим системам отсчета нельзя
превысить скорость света.
§ 30. Преобразование углов
Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании углов
при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой инерциальной системе отсчета.
Следует сразу же отметить, что какого-то единого
закона преобразования углов не существует, так как в
ISO
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
зависимости от того, чем ооразован угол, применяются
те или иные формулы преобразования. Рассмотрим не-
сколько наиболее важных частных случаев.
Предположим, что в лабораторной системе отсчета
К вдоль оси X со скоростью V движется штрихованная
инерциальная система отсчета К'. Пусть в системе от-
счета К1 покоится прямоугольный треугольник, один из
катетов которого параллелен оси Х\ а другой - оси Y'.
Тогда тангенс угла в', составляемого гипотенузой это-
го треугольника с осью Аг/, в системе отсчета К' будет
равен:
tg е' =
14 ~41
14 - 4 Г
где |4 — 41 ~ длина первого катета, а !4 ~ 41 ~ длина
второго катета, измеренные наблюдателем штрихован-
ной системы отсчета.
В лабораторной системе отсчета тангенс этого же
угла будет определяться аналогичным выражением:
tg 0 =
IZ/2 ~^1|
1^2 ~ Т] I'
При преобразованиях Лоренца (27.5) и (27.6), как мы
видели в § 28, длина движущегося отрезка, параллельно-
го вектору скорости V штрихованной системы отсчета,
и измеряемая из лабораторной системы отсчета, сокра-
щается в v'l — V2 /с1 раз, а длина отрезка, перпендику-
лярная вектору V, не изменяется:
|тг — Т’1 j
14 ~ 41
V2
1 ~
|г/2 —2/1| = 14-41-
§30]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УГЛОВ
181
Поэтому тангенсы этих углов треугольника оказываются
связанными соотношением:
/ V2
tg 0' = V1 —2 tg
V с
(30.1)
Предположим теперь, что в системе отсчета К' дви-
жется частица со скоростью v' под некоторым углом к оси
X*. Не ограничивая общности, будем считать, что век-
тор скорости v' частицы расположен в плоскости X'O'Y'
в составляет угол ff с осью X*. Тогда обозначая угол
между вектором скорости этой частицы v и осью X в
системе отсчета К через в, будем иметь:
vx = v cos в, vv = v sin в,
v' = у* cos O’, v* - v‘ sin O'.
Подставляя эти соотношения в выражения (29.3) для ре-
лятивистского закона сложения скоростей, получим:
и cos 6 =
у’ cos О’ — V
1 +• cos О' ’
v sin О =
где (3 = V/c.
г/sin ву/1 — (З2
1 + cos ’
(30.2)
Исключим из этих равенств скорость v. Для этого
разделим второе соотношение (30-2) на первое. В резуль-
тате будем иметь:
tg 6 =
у'sin 6'у/Г^2
v‘ cos О' — V
(30.3)
182 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. Г.
Совершенно аналогично можно получить и формулы
обратного преобразования:
, vsin 0х/1~/32
tge = -------
v cos 8 — V
(30.4'
Таким образом, в этом случае законы преобразова-
ния углов (30.3) и (30.4) зависят от скорости частицы v!
и отличаются от закона преобразования (30.1). Поэтому
две частицы, движущиеся в штрихованной системе от-
счета с различными скоростями rj и под одним и тем
же углом 8' к вектору V, в лабораторной системе отсчета
в общем случае будут двигаться под разными углами 8-L
и 8%:
sin 8'^/1 — Pl
tg 8х =
. Д - ^2 0
У 2 г?2 cos 8'2 4- V
Исключение составляет тривиальный случай движения
частиц вдоль вектора V : при 0* = имеем: 0( —
02 = 0.
Формулы преобразования углов (30.3) и (30.4) спра-
ведливы для любых частиц, включая и фотоны. В по-
следнем случае в выражениях (30.3) и (30.4) следует по-
ложить: v = г/ = с. В результате будем иметь:
COS 8' 4- р
(30.5)
sin 8y/l — p?'
tg 8' = .
COS 8 — Р
§ 31] ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 183
Позднее мы эти формулы получим и из закона преобра-
зования частоты и волнового вектора электромагнитной
волны. Совпадение формул, получаемых двумя разными
способами, лишний раз свидетельствует о непротиворе-
чивости специальной теории относительности.
§ 31. Тензоры в пространстве Минковского
Изучение уравнений электродинамики показало, что
пространство и время представляют собой единое целое
- четырехмерное пространство-время. В этом четырех-
мерном пространстве мы можем ввести четыре взаимно
ортогональные оси: х° = ct, ж1 — ж, ж2 = г/, ж3 — z. То-
гда радиус-вектор некоторой точки этого пространства
будет иметь четыре компоненты и его можно записать в
виде: хк = {ж0, ж1, ж2, ж3} = {cf,r} .
При такой записи обычно считают, что любой ин-
декс, обозначенный буквой латинского алфавита (г, J, к
и т.д.), может принимать четыре значения: г, J, к —
0,1,2,3, а индекс, обозначенный буквой греческого алфа-
вита (а, /3, 7 и т.д.), может принимать три значения:
а, /3, 7 = 1,2,3.
Любой четырехвектор Ак можно спроецировать на
четыре координатные оси и определить его проекции сле-
дующим образом: Ак = {.4°, А1, А2, А3}. По аналогии
с компонентами хк компоненту .4° называют временной
компонентой, а компоненты А1, А2, А3 - пространствен-
ными компонентами. В прямоугольных декартовых ко-
ординатах компонентам А1, А2, А3 соответствуют ком-
поненты Ах, Ау, Az.
Четырехвектор Ак, у которого индексы расположены
вверху, называется контравариантным. Наряду с кон
184 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 1\
травариантными четырехвекторами существуют и кова-
риантные четырехвекторы, у которых индексы располо-
жены внизу: Ак = {Ао, Ai, А2, Аз}.
Следующим по сложности объектом является конта-
еариантный тензор второго ранга, имеющий два индек-
са: Тгк. Так как индексы г и к у этого тензора могут
принимать независимо друг от друга значения 0,1,2,3.
то данный тензор можно представить в виде матрицы,
строки которой нумеруются индексом i (первый индекс),
а столбцы - индексом к (второй индекс). При этом сле-
дует учесть, что в отличие от обычной матрицы здесь
нумерация начинается не с единицы, а с нуля: сначала
идет нулевая строка, за ней первая и т.д.:
, j~O0 j->01 rp02 gn03
rpik 1 j-io j-i'20 Jill g-i21 j->12 -p 22 gnl3
у 31 y32 rp33
Наряду с контравариантными тензорами в электро-
динамике употребляются ковариантные тензоры второ-
го ранга, у которых индексы расположены внизу:
Tik =
/ ?оо Toi Тог ТЬз \
Tic Til 712 7’13 j
Тго Т21 7’22 723 I
V Тзо 7з1 Тз2 Тзз /
Кроме того, используются и смешанные тензоры второ-
го ранга, у которых один индекс является ковариантным
(расположен внизу), а другой - контравариантным (рас-
положен вверху).
§31] ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 185
Тензор называется симметричным, если он не изме-
няется при перестановке индексов Тгк — 7'кг и антисим-
метричным, если при такой перестановке он изменяет
знак: Т‘к = —Ткг. Любой тензор второго ранга Тгк все-
гда можно представить в виде суммы симметричного и
антисимметричного тензоров:
rpik ___ rp^ik) ।
где Т^гк’ = — [Тгк +Т*г]/2 - симметричная часть
тензора Тгк, а — —ТМ _ — Ть]/2 - антисим-
метричная.
Одним из наиболее важных тензоров второго ранга
является ковариантный метрический тензор gtk. Пред-
полагается, что этот тензор является симметричным и
определитель матрицы gik всегда отличен от нуля, по-
этому по данной матрице gik мы всегда можем построить
ей обратную. Тензор дгк соответствует матрице, обрат-
ной к матрице gik', его называют метрическим тензором
с контравариантными индексами (или, просто, контрава-
риантным метрическим тензором).
В декартовых координатах инерциальной системы
отсчета псевдоевклидова пространства-времени матри-
цы, соответствующие тензорам gik и дгк, совпадают:
/1 0 0 0 \
1 0 9гк — I р -1 0 0 -1 0 1 0 / = л (31.1)
\0 0 0 -1/
гетырехмерное пространство-время, у которого метри-
:^:кий тензор в декартовых координатах инерциальной
186 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
системы отсчета имеет вид (31.1), называется простран-
ством Минковского.
Так как матрицы дгк и дгк взаимно обратны, то вы-
полняется соотношение
з
Vni гг
, 9кп д — 0к
п—О
О при i / к,
1 при i — к.
В тензорном анализе обычно принимают правило сумми-
рования Эйнштейна: по индексам, обозначенным одной
и той же буквой и стоящими один вверху (контравари-
антный индекс), а другой внизу (ковариантный индекс)
предполагается суммирование по всей совокупности при-
нимаемых данными индексами значений. В силу этого
правила, записывая выражение дгпАпк^ мы подразумева-
ем, что по индексу п происходит суммирование от 0 до
3:
з
дпк — Дпк
дгп /1 — ? дгп /г
п=0
Это правило позволяет в ряде случаев значительно упро-
щать запись сложных тензорных выражений.
Используя метрический тензор, мы можем опускать
и поднимать индексы и у других тензоров, и, тем самым,
находить связь между контра- и ковариантными компо-
нентами одного и того же тензора. По определению име-
ем:
Tik = ginTnk, Тгк = дгп9ктТпт, (31.2)
= ginTnk, Тгк = gingkmTnm.
§ 31] ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 187
Так как в определение тензора входит расположение и
порядок следования индексов, то рекомендуется вакан-
сии для индексов обозначать точками, чтобы при мно-
гократном поднятии и опускании каждого индекса было
наглядно видно его место среди других индексов.
В пространстве Минковского из-за чрезвычайно про-
стого вида метрического тензора (31.1) существует про-
стая связь между ковариантными и контравариантными
компонентами в декартовых координатах инерциальной
системы отсчета: при поднятии или опускании индексов
1,2 и 3 компонента тензора изменяет знак на противопо-
ложный, а при поднятии и опускании индекса 0 компо-
нента тензора не изменяет знак:
TGk=TG\ TiG = ТМ, (31.3)
у к __ ylfe у- 2 __ _Т‘2 Т & __ _
Поэтому, если Ап = {.4°. А}, то Ап = {-40 = А°, —А}.
С помощью метрического тензора gik можно полу-
чить обобщение понятия расстояния между двумя точ-
ками на случай четырехмерного пространства-времени.
Соответствующее ” расстояние” в этом случае называет-
ся интервалом ds. По определению квадрат интервала ра-
вен:
ds2 = gikdxldxk. (31.4)
В декартовых координатах инерциальной системы
отсчета псевдоевклидова пространства-времени квадрат
интервала имеет вид:
ds2 — c2dt2 — (dr)2 — c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2. (31.5)
188 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Отсюда уже видно, что в четырехмерном пространстве-
времени квадрат интервала ds2 не является знакоопреде-
ленным: в зависимости от величин dt и dr он может
быть меньше, равен или больше нуля.
Метрический тензор используется и для построения
скалярного произведения двух четырехвекторов Аг и Вк :
(АВ) = gikA'Bk = A'Bi = АкВк. (31.6)
При А1 = В' из этого выражения получаем квадрат че-
тырехвектора В* :
(В)2 = gikB'Bk — В'В,. (31.7)
В пространстве Минковского при использовании декар-
товых координат инерциальной системы отсчета это вы-
ражение принимает вид:
(В)2 = (В0)2 - (В1)2 - (В2)2 - (В3)2. (31.8)
Таким образом, в этом случае квадрат четырехвектора
равен разности квадратов его временной компоненты и
пространственных компонент.
Четырехвектор, квадрат которого больше нуля, на-
зывается времениподобным, при равенстве нулю четы-
рехвектор называется изотропным и, наконец, если ква-
драт четырехвектора меньше нуля, то он называется про-
странственноподобным.
При любых преобразованиях координат четырехмер-
ного пространства-времени х'1 = х'г(хп) (переход от не-
штрихованных координат хп к штрихованным коорди-
31]
ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО
189
затем хп) якобиан преобразования
8х'°
а»*1
&Х1
бха
&Х1
&х'я
8х'°
'ах*'
8хп
Ьх*
8хп
Их*
8х,я
аёг
должен удовлетворять условиям: J / О, J / ±оо. Тогда
преобразования х1' = хп(хп) будут взаимно однозначны
г для них будут существовать обратные преобразования
= хп(хн).
Тензоры являются выделенными системами функций
роди других систем функций тем, что удовлетворяют
трого определенным законам преобразований при пре-
образованиях координат четырехмерного пространства-
зремени.
Простейшим тензором является скаляр - одна функ-
ция S(x°, х1, х2, х3) = S(x), которая при преобразованиях
координат преобразуется по закону:
S'(x’0,x'1,x,2,x,3) = S(x°(xH),x1(x'i),x2(x'i),x3(x’i)).
(31.9)
Поэтому скаляр иногда называют инвариантом.
Четырехвекторы имеют по одному тензорному ин-
дексу и преобразуются по закону:
Частными случаями четырехвекторов являются бес-
конечно малый контравариантный четырехвектор dx* и
190
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. :
ковариантный четырехвектор - градиент dS/dxk от ск-
лярной функции S-
И, наконец, тензоры второго ранга преобразуются г.
закону:
Т[к
дхп дхт
дх* ’ дх'к 'Тпт
rplik __ грпт /о, , -
дхп'дхт' ’ 131‘ *
Сравнивая выражения (31.9) - (31.11), несложно пс
нять принцип построения закона преобразования тензора
при преобразовании координат: сначала у каждой компо-
ненты тензора нештрихованные аргументы заменяются
на штрихованные с помощью соотношений х* = х'(х'"
Затем на каждый ковариантный индекс следует добг
вить множителем производную от нештрихованных ко-
ординат по штрихованным, а на каждый контравари
антный индекс следует добавить множителем произвол
ную от штрихованных координат по нештрихованныз.
после чего провести суммирование индексов преобраз;-
емого тензора с индексами нештрихованных координат
входящих в производные.
§ 32. Четырехвектор плотности тока
и четырехпотенциал поля
Установив геометрию пространства-времени и выя :
нив законы преобразования тензорных величин при пре
образованиях координат, мы оказались подготовленным.,
к переформулированию электродинамики на четырехме:
ный тензорный язык.
Это, с одной стороны, позволит нам установить тек
зорную природу входящих в уравнения Максвелла велп
чин, зная которую, достаточно легко построить законы
§ 32] ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА 191
преобразования их при любых преобразованиях коорди-
нат и времени и, прежде всего, при преобразованиях Ло-
ренца.
С другой стороны, запись основных уравнений и со-
отношений электродинамики в четырехмерном виде, как
мы увидим далее, даст возможность уточнить уравнения
механики. И, наконец, в качестве дополнительного аргу-
мента в пользу четырехмерного языка укажем, что мно-
гие парадоксы и задачи, возникающие в специальной те-
ории относительности, могут быть непротиворечиво раз-
решены только на основе использования такого языка.
Перевод выражений и соотношений электродинами-
ки на четырехмерный тензорный язык начнем с одного
из наиболее фундаментальных законов электродинамики
- дифференциального закона сохранения заряда (3.3). В
подробной записи он имеет вид:
др , djx , djv djz п
dt dx dy dz
Заменяя в этом выражении координаты и время их четы-
рехвекторными эквивалентами х° -= ct, х1 = х, х2 — у,
х3 = z и учитывая, что jx — j3,jv = j2, jz = j3, получим:
d di3 di2 di3
ТТоМ + Йг + ё? +&=0- (32Л)
dx° dx1 dx2 dx3
Рассмотрим это уравнение. Легко заметить, что по-
следние три члена в левой его части представляют собой
трехмерную часть свертки по индексам, стоящим у век-
торов j и г, и не имеют свободных индексов. Так как в
любом тензорном равенстве все слагаемые должны иметь
одинаковую тензорную природу, то и первое слагаемое в
192 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. IV
выражении (32.1) не должно иметь свободных индексов и
также представлять собой часть четырехмерной свертки.
Эти два требования могут быть удовлетворены, если и
только если, плотность заряда, умноженная на скорость
света, является временной компонентой j° = ср некото-
рого четырехвектора тока:
jn = {j° = cp, j}. (32.2)
Тогда соотношение (32.1) принимает вид:
din
^=0. (32.3)
В четырехмерном пространстве-времени выражения та-
кого типа, по аналогии с соответствующим сражени-
ем в трехмерном случае, называют четырехдивергенци-
ей. Таким образом, плотность заряда р и вектор плотно-
сти тока j с точки зрения четырехмерного пространства-
времени представляют собой разные проекции единого
четырехвектора тока (32.2).
Это обстоятельство дает возможность достаточ-
но просто получить закон преобразования р и j при пре-
образованиях Лоренца. Для этого запишем общий закон
(31.10) преобразования контравариантого вектора а’ :
a'V) = ^an(^'))- (32.4)
Для простоты-предположим, что движение штрихован-
ной системы отсчета относительно лабораторной совер-
шается вдоль оси X. В этом случае обратные преобразо-
вания Лоренца (27.S) в индексной форме записи примут
§32]
ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА
193
вад:
_д1 @х° - т13 - тз
vT^-’ " 0^2’ х х ~х-
Составим всевозможные производные от штрихованных
координат по нештрихованным. Ненулевыми из них бу-
дут:
дх'° дхп 1
дх° ~ дх1 ~ ^/1 - у32 ’
Эх70 = дх^_ _ 0 дх12 дха
дх1 дх° у/\- р2' дх2 ~ дх3
Полагая в выражении (32.4) i = 0 и раскрывая суммиро-
вание по индексу п, получим:
а'°
дхЮ п дх'° 0 дх10 ! дхЮ 2 дхЮ ,
-^а = -я~оа + 7ГТ° + + 7TTG
дхп дха Эх1 дх2 дх3
Подставляя в это выражение производные (32.5), будем
иметь:
а , о _ «° ~ Ра1
(32.6)
Совершенно аналогично при г = 1,2,3 получим:
/ 1 Д рСр У 2 2 Z 3 3
а' = £—, а' 2 = а2, а' 3 = а3.
Обратные преобразования имеют вад:
л/Г^
(32.7)
194
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
х a^+ZJa'0
° — 7==—5
а2 = а ' 2, а3 = а ' 3.
Из этих выражений легко заметить характерное свойство
преобразования компонент любого четырехвектора: при
преобразованиях Лоренца изменяются только временная
компонента и компонента, параллельная вектору отно-
сительной скорости, компоненты же, перпендикулярные
вектору скорости, остаются неизменными.
Полагая, что аг — j1, из выражений (32.7) найдем
. Зх + Ур' (32.8)
Зх
Зя = Зу> 3* ~ 3z-
Рассмотрим теперь другое важное дифференциаль-
ное соотношение, использованное нами в электродинами-
ке - условие Лоренца:
4-div А = 0.
с сП
Повторяя почти дословно ход приведенных выше рассу-
ждений, можно утверждать, что скалярный потенциал
<р и векторный потенциал А представляют собой разные
проекции четырехпотенциала
А' = {А° = у, A}, A, = {Ао = <р, -А} (32.9)
§ 33] ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
и условие Лоренца принимает вид:
195
dAi
дх*
= 0.
Следовательно, при преобразованиях Лоренца (27.6) ска-
лярный и векторный потенциалы преобразуются по за-
кону:
Ау — Ар, Аг — A'z.
А' +№'
Из этих выражений видно, что скалярный потенциал и
компонеты векторного потенциала являются величинами
относительными, зависящими от выбора системы отсче-
та.
§ 33. Тензор электромагнитного поля
Перейдем теперь к выяснению геометрической при-
роды трехмерных векторов Е и Н, рассматриваемых с
точки зрения четырехмерного пространства-времени.
Для этого мы должны выбрать какие-либо уравне-
ния или соотношения электродинамики, в которые наря-
ду с известными уже нам геометрическими четырехмер-
ными объектами входили бы и эти векторы, и, изучая
которые, можно было бы выяснить тензорную природу
векторов Е и Н. В качестве таких соотношений наи-
более естественно выбрать выражения, связывающие на-
пряженности полей Е и Н с потенциалами электромаг-
нитного поля:
ISA
Е = (зз1)
Н = rot А.
Действительно, так как в выражения (33.1) входят потен-
циалы электромагнитного поля, тензорная природа ко-
торых нами уже установлена А’ = {А0 = А}, Ап =
{Ao — у>, —А}, а также операторы дифференцирования
по координатам и времени, то, представив правые части
в явных тензорных обозначениях, мы, тем самым, уста-
новим тензорную природу и левых частей.
Запишем, используя определения (33.1), выражение
для компоненты Нх:
гт _ ЭАг __ ЭАУ
х ~ ду dz'
Учитывая, что у = х2, z = х3, Ау = А2 = —Аг, Az =
А3 = —Аз, это соотношение мы можем представить в
двух видах:
_ 5А2 ДАз ЭА3 дА2
дх3 дх2' И Ux дх2 дх2’
Но с точки зрения тензорной алгебры последнее из этих
соотношений является неправильным, так как содержит
два члена, индексы которых имеют существенно разное
расположение: у первого члена индекс 3 является контра-
вариантным, а индекс 2 - ковариантным1 \ в то время как
Индексы, стоящие у дифференциалов координат в
выражениях для частных производных, для всего выра-
жения являются ковариантными. Это непосредственно
следует из того, что при преобразованиях координат вы-
ражение д/дх*, в силу принятых правил дифференциро-
вания, преобразуется по закону ковариантного 4-вектора.
§ 33] ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 197
у второго члена они расположены наоборот. Так как в
определение тензора входит порядок и расположение ин-
дексов, то эти два члена имеют разную геометрическую
природу и производить их алгебраическое сложение не-
льзя, также как нельзя, например, производить сложе-
ние двух тензоров А* + В*. Поэтому для Нх остается
единственное представление, согласующееся с правила-
ми тензорной алгебры:
_ дА2 _ дАз
1 ~ дх3 дх2 ’
Так как справа имеются два свободных (по ним нет сум-
мирования!) ковариантных индекса 3 и 2, то компонента
Нх, очевидно, должна быть компонентой некоторого ко-
вариантного тензора второго ранга. Обозначая этот тен-
зор буквой F, мы можем записать: Нх — F32. Поступая
аналогично, несложно установить, что Ну — J13, Hz =
Р21. Таким образом, компоненты вектора Н не являют-
ся пространственной частью какого-либо четырехвекто-
ра, а представляют собой пространственные компоненты
тензора второго ранга:
=В - В- <зз-2>
В этой связи возникают два вопроса: в какой геометриче-
ский объект входят напряженности электрического поля
и что дают компоненты тензора Fik, когда один из ин-
дексов равен нулю. Оказывается, что на эти два вопроса
ответ один: компоненты тензора Fit при i = 0, к = а и
г = a, fc = О дают как раз все компоненты вектора Е.
198 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Для того, чтобы в этом убедиться, запишем выражение
(33.2) при г = 0, к = 1:
F = dA1 -
01 “ дх° дх1 ’
Учитывая соотношения а:0 = ct, х1 — х, х2 = у, х3 — z и
А„ = {Ао — <р, —А}, отсюда получим:
F01 —
dtp 1 дАх
дх с dt
Совершенно аналогично можно установить, что F02 =
Еу, F03 = Ег. Таким образом, компоненты векторов Е и
Н с точки зрения четырехмерного пространства-времени
не являются независимыми друг от друга величинами, а
представляют собой различные компоненты тензора вто-
рого ранга (33.2). Этот тензор в научной литературе
получил название тензора электромагнитного поля.
Изучим тензор электромагнитного поля подробнее.
Из определения (33.2) следует, что этот тензор является
антисимметричным, поскольку при перестановке индек-
сов ink он изменяет знак: Fik = —Ft,, причем при i = к
соответствующие компоненты его равны нулю. Отсюда
следует, что из шестнадцати компонент тензора электро-
магнитного поля независимыми являются только шесть,
по числу компонент векторов Е и Н. Если представить
тензор Fik в виде матрицы, строки которой нумеруются
первым индексом тензора поля, а столбцы - вторым, то
будем иметь:
О Ех Еу Ег
—Ех 0 -Нг Ну
-Еу Нг О —Нх
—Ег -Ну Нх О
(33.3)
Fik .=
§33]
ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
199
Поднимая индексы у этого тензора с помощью устано-
вленного в § 31 правила: поднятие нулевого индекса не
изменяет знак у этой компоненты, а поднятие простран-
ственного индекса изменяет знак на противоположный,
несложно установить, что
(О Ех Еу Ег \
Ех О Н, -Ну I
Еу -Нг 0 Нх I’
Ег Ну -Нх 0 /
(33.4)
/ О -Ех -Еу —Ez\
pit _ I Ех 0 ~Нг Ну |
I Еу Нг О -Нх I •
\ЕХ -Ну Нх 0 /
Соотношение (33.2), связывающее тензор поля Ец, с че-
тырехпотенциалом Ai, также как и соотношения (33.1),
допускает проведение калибровочного преобразования,
оставляющего тензор электромагнитного поля инвари-
антным (неизменным). Это преобразование имеет вид:
Ai = A'i-
дх' ’
где f (г, t) - произвольная дважды дифференцируемая по
своим аргументам функция.
Используя это преобразование, всегда можно добить-
ся, чтобы четырехпотенпиал удовлетворял условию Ло-
ренца
^.0,
дх'
200 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
позволяющему существенно упростить решение многих
задач электродинамики.
§ 34. Законы преобразования векторов поля
У становие тензорную природу компонент векторов Е
и Н, мы, тем самым, получили возможность находить за-
коны их преобразования при различных преобразованиях
координат и времени. Для нас наибольший интерес, есте-
ственно, представляет закон преобразования векторов Е
и Н при преобразованиях Лоренца. Найдем этот закон.
Для этого запишем сначала общий закон преобразования
тензора второго ранга:
дхп г)тт
F-=d^d^F- (34Л)
Так как и лабораторная, и штрихованная инерциальные
системы отсчета являются физически эквивалентными,
то в штрихованной системе отсчета связь компонент тен-
зора F-k с компонентами векторов Е' и Н' может быть
представлена матрицей, аналогичной матрице (33.3):
/ 0 Е'х \
Fik = 1 1 0 -и' 0 Н'у -Я' (34.2)
\-Е'г И; 0 /
Поэтому для получения законов преобразования векторов
Е и Н необходимо произвести перебор шести значений
индексов i и к в выражении (34.1), соответствующих ше-
сти компонентам векторов Е и Н. Для этого чаттиптем
преобразования Лоренца (27.6) в индексной форме:
Xю + /Зх'1
ДД&'
хл + (Зхл
уД^'
§ 34] ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ ПОЛЯ 201
Составим всевозможные производные от нештрихован-
ных координат по штрихованным. Ненулевыми из них
будут:
=____1_ {343)
дх*> ~ дх* у/\-р' 1 ’
дх° дх1 _ ft дх2 дх3
дха дх'0 дхп дх’3
Полагая в выражении (34.1) i = 0, к = 1, будем иметь:
. _ дхп дхт
01 дхю дх11 пт‘
Раскроем суммирование по индексу т в правой части
этого равенства и учтем соотношения (34.3). В резуль-
тате получим:
, дхп гдх° дх1 дх2 дх3 _ ]
01 ~ 'вргFn0 + аргFnl + 3PrFn2 + aPrF"3J =
_ Р дхп 1 дх"
^Г^дх* п0+^&« п1’
Раскрывая оставшееся суммирование по индексу п, при-
ходим к равенству: Fgj = FOi- Из выражений (33.3) и
(34.2) для матриц Fik и F-k следует, что Fgj = Ех, FOi =
Ех. Поэтому при i = 0, к = 1 имеем: Ех = Ех.
Совершенно аналогично можно найти формулы пре-
образования и для остальных компонент векторов Е и Н.
В результате будем иметь:
Е'х = ЕХ, Н'х = Нх,
F' Еу, ~ п' - Н» +
у у/1 - 02 ’ ’ у/1 - /Р ’ (34.4)
_ Нг - pEv
г у/Г^' Ж~ у/Г^-
202 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Соотношения (34.4), связывающие компоненты по-
лей в системах К и К', несложно записать в векторном
виде, позволяющем рассматривать инерциальное движе-
ние в произвольном направлении. Обозначая компонен-
ты полей Е и Н, параллельные вектору относительной
скорости V. через Ец и Нц соответственно, а перпенди-
кулярные компоненты - через Ех и Hj_, будем иметь:
Е|| =Ец, Ну = Нц,
_Ei+l[VH] _Hx-HVEl (МБ)
’ Н±" 0-/^ ’
Обратные преобразования получаются из этих формул по
общему правилу:
Ец =Е||, Нц = Нц,
Е'± - 1[VH'] Н'± + 1[VE'] (34.6)
Kj I — , • in. « X"i I . । । •
Из этих выражений видно, что, подбирая соответствую-
щим образом инерциальную систему отсчета, в ряде слу-
чаев можно значительно упростить выражения для полей
Е и Н в этой системе отсчета.
§ 35. Инварианты электромагнитного поля
Как следует из выражений (34.5) и (34.6), при пре-
образованиях Лоренца величина и направление векторов
Е и Н могут существенно изменяться. В этой связи воз-
никает вопрос: а есть ли какие-то величины, построен-
ные из полей Е и Н, которые при преобразованиях ко-
ординат и времени не изменяются, т.е. являются ин-
вариантными (неизменными) во всех системах отсчета?
§35]
ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
203
Оказывается, что такие величины есть и их бесконечно
много. В качестве таких инвариантов может быть взят
любой скаляр, построенный из тензоров поля.
Введем некоторые определения. V-ой степенью тен-
зора Fjjt мы будем называть тензор второго ранга F-^+i,
построенный из тензоров Fik, все индексы которых после-
довательно свернуты за исключением первого индекса у
первого тензора и последнего индекса у последнего тен-
зора:
Р^) = р. р. . pin-iiN р. .
riltN+l ГЧ*3Г r«S»4 rIJV»N+l •
N
Сворачивая оставшиеся индексы в этом выражении,
получим скаляр, который будем называть инвариантом
электромагнитного поля N-ro порядка:
= С2+У1,л,+1-
Легко убедиться, что из-за антисимметрии тензора Fik =
—Fa, четные степени этого тензора будут симметрич-
ными t ), а нечетные степени - анти-
симметричными (F$™+V = -Fi™+V). Так как тензор
д,к является симметричным, то несложно убедиться, что
инварианты электромагнитного поля нечетных порядков
тождественно равны нулю. Поэтому отличными от то-
ждественного нуля могут быть только инварианты элек-
тромагнитного поля четных порядков:
Ь = Fik Fki, I4 = Fik Fkl Flm Fmi, (35.1)
le = Fik Fkl Flm FmnFnp F^, ....
204 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. IV
Все эти инварианты не зависят от выбора не только инер-
циальной, но и неинерциальной системы отсчета: в лю-
бой из них каждый инвариант остается неизменным. Од-
нако не все из них являются независимыми. Как можно
показать, среди бесконечного числа инвариантов элек-
тромагнитного поля четного порядка несколько инвари-
антов являются независимыми, а все остальные могут
быть выражены через них. Число независимых инвари-
антов для произвольного тензора зависит от числа из-
мерений N пространства-времени, совпадая с ним для
случая симметричного тензора и равняясь [2V/2] - целой
части от половины размерности пространства-времени в
случае антисимметричного тензора. Так как тензор элек-
тромагнитного поля является антисимметричным, а раз-
мерность пространства-времени равна четырем, то неза-
висимых инвариантов электромагнитного поля всего два.
И даже если бы вдруг обнаружилось пятое измерение, это
число не изменилось бы, что свидетельствует об опреде-
ленном ’’запасе прочности ” электродинамики по отноше-
нию к изменению размерности пространства-времени.
Таким образом, в качестве независимых инвариан-
тов тензора электромагнитного поля можно выбрать лю-
бые два из бесконечной совокупности (35.1) инвариан-
тов. Очевидно, что наиболее простой случай реализу-
ется, если в качестве независимых инвариантов выбрать
инварианты низшего порядка I2 и Ц:
h = Fik Fki, Ц = Fik Fk,Flm Fmi. (35.2)
Используя представления (33.3) и (33.4), раскрывая сум-
мирование в этих выражениях, после несложн- ;х, но весь-
ма громоздких вычислений можно найти явную зависи-
мость инвариантов I2 и Ц от векторов полей Е и Н в
§ 35) ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 205
декартовых координатах инерциальной системы отсче-
та:
h = 2(Е2 - Н2),
Д = 2(Е2 - Н2)2 + 4(ЕН)2.
Сравнивая эти выражения, легко заметить, что инвари-
ант Ц содержит инвариант 12 как свою составную часть:
А = |/22 + 4(ЕН)2.
Поэтому в декартовых координатах инерциальной систе-
мы отсчета в качестве независимых инвариантов элек-
тромагнитного поля можно взять более простые выра-
жения:
Ji = Е2 - Н2, J2 = (ЕН)2. (35.3)
Подставляя в эти инварианты выражения (34.6), непо-
средственной проверкой можно убедиться, что
Л = Е2 - Н2 = Ett - Н'2, J2 = (ЕН)2 = (Е'Н')2.
Существование инвариантов электромагнитного по-
ля (35.3) накладывает определенные ограничения на воз-
можности изменения полей при преобразованиях Лорен-
ца, позволяя установить ряд утверждений, имеющих аб-
солютный характер, независящий от выбора системы от-
счета. В частности, если в какой-либо точке простран-
ства одной из инерциальных систем отсчета |Е| = |Н|, то
и в любой другой инерциальной системе отсчета в этой
точке в силу условия Ji = 0 поля Е' и Н' будут удовле-
творять соотношению |Е'| = |Н'|, хотя, возможно, они
будут и изменяться: |Е| |Е'|.
206 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. IV
Другим важным частным случаем является случай
взаимно перпендикулярных векторов электрического и
магнитного полей. В этом случае если в какой-либо точ-
ке пространства в одной из инерциальных систем отсчета
Е ± Н, то в силу того, что J2 = 0, и в любой другой инер-
циальной системе отсчета в этой точке векторы поля бу-
дут либо взаимно перпендикулярными (при Ji = 0), либо
один из них обратится в нуль (при «Д 0.) В последнем
случае Е' = 0, Н' 0 при J\ < 0 и Е' / 0, Н' = 0 при
J1 > 0. Поэтому при Ji / 0 мы можем исключить либо
электрическое, либо магнитное поле, переходя в одну из
указанных систем отсчета.
Если же Jj 0, Ji 0, то всегда можно найти
инерциальную систему отсчета, в которой векторы Е' и
Н' будут параллельными.
В заключение этого параграфа отметим, что поле
излучения в электродинамике занимает привилегирован-
ное положение, так как для всех электромагнитных волн
в вакууме выполняются соотношения: Jj =, J2 = 0. Это
означает, что в любой системе отсчета поля Е и Н элек-
тромагнитной волны при ее распространении в вакууме
должны быть взаимно перпендикулярными и равными
друг другу по модулю.
§ 36. Ковариантная запись уравнений Максвелла
Поставим теперь задачу записать уравнения Макс-
велла в четырехмерном виде, или, как иногда говорят, в
ковариантной форме. Уравнения Максвелла (3.19) пред-
ставляют собой систему уравнений в частных производ-
ных первого порядка относительно векторов Е и Н. По-
этому и их четырехмерный аналог должен также содер-
§ 36] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 207
жать только частные производные первого порядка от
тензора электромагнитного поля Fik. Но так как систе-
ма уравнений Максвелла содержит две существенно раз-
ные группы уравнений - однородные и неоднородные, то
и четырехмерное обобщение этих групп осуществляется
по-разному. Рассмотрим сначала однородные уравнения:
rot Е = —
1ЭН
с dt ’
divH=0.
(36.1)
Из этих уравнений, как показано в § 5, однозначно следу-
ет связь между полями Е и Н и потенциалами и А :
Е = — grad tp
IdA
с dt ’
(36.2)
Н = rot А.
Сейчас же возникает обратная задача: зная четырех-
мерное обобщение
Р - дАк - dAi ик
Fik ~ dx* dx* (36,3)
соотношений (36.2), необходимо найти четырехмерный
аналог уравнений (36.1). В качестве руководящей идеи
при решении этой задачи воспользуемся тем обстоятель-
ством, что уравнения (36.1) обращаются в тождество при
подстановке в них соотношений (36.2). Поэтому нам не-
обходимо построить такую комбинацию частных произ-
водных dFik Idxn, которая автоматически обращалась бы
в нуль при подстановке в нее выражения (36.3). Для по-
лучения такого соотношения запишем верное равенство:
dFik _ d г5А* сМ,1
dxn dxn I dx* dxk J
208 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Так как в классической электродинамике вторые частные
производные непрерывны, то переставим их местами. В
результате будем иметь:
= _ Ar^il (364)
дхп дх' I дхп J дхк 13а:" J '
Учтем теперь, что в силу определения (36.3) справедливы
равенства:
3Ajt 3An дА' - дАп f
дхп дхк кп' дхп дх' т
Подставляя эти равенства в правую часть соотношения
(36.4), приводя подобные члены и перенося все слагаемые
налево, получим:
dFik dFkn dFni
дхп дх' дхк
(36.5)
Таким образом, тензорное уравнение (36.5) при подста-
новке в него соотношений (36.3) удовлетворяется тожде-
ственно в силу своей математической конструкции.
Подсчитаем теперь число уравнений в выражении
(36.5) и выясним, при каких наборах значений индексов
г, к и п эти уравнения дают уравнения (36.1). Так как
в равенстве (36.5) любой из индексов может принимать
четыре значения независимо от других индексов, то од-
но тензорное уравнение (36.5) оказывается эквивалент-
ным, вообще говоря, 43 = 64 покомпонентным уравне-
ниям. Однако, независимых и нетривиальных среди них
всего четыре. Чтобы в этом убедиться, заметим прежде
всего, что выражение, стоящее в левой части уравнения
§ 36] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 209
(36.5), является абсолютно антисимметричным, так как
оно изменяет знак при перестановке любых двух индек-
сов. Поэтому, при совпадении хотя бы двух индексов,
уравнение (36.5) превращается в тривиальное тождество
0 = 0. Несложно подсчитать, что среди всевозможных
наборов значений индексов в уравнении (36.5) имеется
сорок таких случаев.
Таким образом, нетривиальные уравнения можно по-
лучить из уравнения (36.5) только в тех случаях, когда
все три индекса», к и п принимают разные значения. Но
так как эти индексы входят равноправно, то все их пере-
становки дают с точностью до знака одно и тоже урав-
нение. Следовательно, из 24 нетривиальных уравнений
независимых только 4. Эти уравнения удобно классифи-
цировать по тому значению индексов, которое не содер-
жится в индексах уравнения (36.5). Пусть, например, ни
один из индексов этого уравнения не равен нулю. Тогда
с точностью до перестановки индексы г, к и п могут при-
нимать значения i = 2, к = 1, п = 3 и уравнение (36.5)
дает:
ЭЕц 5-F13 д-Рзз _
дх3 + дх2 + дх1 - ’
Заменяя в этом выражении компоненты тензора F,k ком-
понентами векторов электромагнитного поля с помощью
соотношения (33.3), получим:
divH = 0.
Полагая г — 0, к '= 2, п = 3, будем иметь:
5Jq2 ЭГ23 5Рзо _
дх3 дх° дх2
210 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
В силу соотношения (33.3) это равенство принимает вид:
дЕ± _ dE, _ 1ЭЯ»
dz dy с dt
Это уравнение представляет собой проекцию на ось X
векторного уравнения
„ 1<ЭН
rot Е =----—-
с dt
Несложно убедиться, что выбор значений i = 0, к —
1, п = 3 и: = 0, к = 1, п — 2 приведет к получению
оставшихся проекций уравнения (36.6).
Рассмотрим ^теперь неоднородные уравнения Макс-
велла:
(36.6)
4тг.
V
(36.7)
„ 1<ЭЕ
rotH =-д-
с т
div Е = 4тгр.
Поскольку в правую часть этих уравнений входят компо-
ненты четырехвектора тока j* = {J° = ср, j}, то очевид-
но, что четыре уравнения (36.7) должны представлять из
себя четыре проекции одного четырехвекторного соотно-
шения. Несложно убедиться, что вид этого соотношения,
включающего только частные производные первого по-
рядка от тензора Fit, практически единственнен:
dFik .
. = aj ,
дхк J
rjxe а - некоторый постоянный множитель.
Полагая в этом уравнении i = 0,1,2,3, видим, что
компоненты уравнения (36.8) совпадают с уравнениями
(36.7) при а — — 4тг/с.
(36.8)
§ 36] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 211
Таким образом, система уравнений Максвелла в че-
тырехмерных тензорных обозначениях принимает вид:
dFni _
дх” дх' дх* ’ (369)
dx* с
Эти уравнения мы будем использовать при дальней-
ших исследованиях, в частности, при построении тензора
энергии-импульса электромагнитного поля и при изуче-
нии некоторых других вопросов.
Найдем теперь уравнение, которому удовлетворяет
четырехпотенциал А’. Для этого, учитывая определение
(36.3) и используя правило поднятия индексов, запишем:
-9 9 Fnm= g — - g
Подставляя это соотношение в последнее из уравнений
(36.9) и учитывая, что компоненты метрики псевдоев-
клидова пространства-времени в декартовых координа-
тах инерциальной системы отсчета постоянны, получим:
к„ д2А' in &А* 4тг.
дх*дхп дхпдх* с
Если теперь воспользоваться калибровочной инвариант-
ностью тензора Fik, а следовательно, и данного уравне-
ния и потребовать выполнения условия Лоренца
дА*
дх*
= О,
212 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
то это уравнение существенно упрощается:
_ 92 = _ •».
5 дхкдхп с3 '
Раскрывая суммирование в этом уравнении по индексам
к и п, несложно убедиться, что в декартовой системе ко-
ординат инерциальной системы отсчета частные произ-
водные второго порядка образуют даламбертиан:
. 4тг
л* = -т3'-
Очевидно, что это уравнение при i — 0,1,2,3 дает четыре
уравнения (7.6) для потенциалов, которые мы использо-
вали ранее.
ПЛ‘ =
c2dt2
§ 37. Законы преобразования частоты
и волнового вектора
Полученные нами законы преобразования электро-
магнитных полей (34.6) при преобразованиях Лоренца по-
зволяют доказать утверждение об инвариантности фазы
электромагнитной волны и установить тензорную приро-
ду ее частоты и волнового вектора.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: ла-
бораторную К и штрихованную К', движущуюся со ско-
ростью V относительно лабораторной. Предположим,
что в пространстве распространяется плоская монохро-
матическая волна. Тогда из-за равноправия всех инерци-
альных систем отсчета, напряженности электромагнит-
ного поля этой волны в системах отсчета К и К' будут
иметь аналогичный вид:
.2
Е = Еоexp{i[wt — (кг)]}, к2 = —,
§37]
ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТЫ
213
Н = Но ехр {»[wt — (к г)] } = —[к Е],
Е' = Е'ехр{i[U't' - (к' г')]}, fc« = ,
Н' = Но exp {» [wY - (к' г')]} = ^,[к' Е'],
различаясь только наличием или отсутствием штрихов.
В силу преобразований Лоренца для полей (34.6) эти
векторы будут связаны соотношениями:
Еоцехр{{[ы*-(к г)]} =E^exp{i[w't'-(k'r')]}, (37.1)
Но|| ехР {• [w< ~ (k г)]} = но|| ехР {* Р*' ~ (к' г')] }>
Еоле{4“,-(к ')]} = ЕРЛ..~
НОхе{‘[“'-(ь '>) = jSttsE=5s!e{i[“''’-<,‘v>]}
где. как обычно, знаки || и ± означают компоненты векто-
ра параллельные и, соответственно, перпендикулярные к
вектору относительной скорости.
Так как соотношения (37.1) должны выполняться во
все моменты времени t и в любой точке пространства, то
показатели экспонент в правых и левых частях равенств
(37.1) должны быть равны друг другу независимо от ве-
личины и направления относительней скорости:
ut — (к г) = uj't' — (к'г').
(37.2)
214 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Сравнивая это выражение с законами преобразова-
ния (31.9) - (31.11) тензоров, несложно убедиться, что
при преобразованиях Лоренца фаза плоской электромаг-
нитной волны преобразуется как скаляр. Поэтому она и
является скаляром при преобразованиях Лоренца. Это
обстоятельство позволяет нам установить геометриче-
скую природу частоты и волнового вектора.
Пусть, например, вектор относительной скорости V
направлен вдоль оси X. Тогда подставляя соотношения
(27.5) в правую часть равенства (37.2), получим :
ut — (к г) =
u' + Vk1
у । Vt£
----- х — kvy — kzz.
Так как это равенство должно выполняться в любой мо-
мент времени t и в любой точке г, то отсюда следует, что
при выбранных нами преобразованиях Лоренца частота
ш и компоненты волнового вектора к плоской электро-
магнитной волны должны преобразовываться по закону:
_^ + Vk'x _k'x + Vw'/c2 , ,, ,
к*~ л/гг^2 ’ *«--*»’ к’-к>-
(37.3)
Разделив правую и левую части первого из равенств
'X —
(37.3) на скорость света с и сравнивая полученные соот-
ношения с законом (32.7) преобразования четырехвекто-
ра, несложно убедиться, что частота и волновой вектор
образуют волновой четырехвектор кп, компоненты кото-
рого имеют вид:
к° = кх = кх, к2 = ку, к3 = кг.
§ 38] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА И АСТОНОМИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ 215
Опуская тензорный индекс у этого вектора, имеем: кп =
{fco = w/c, —к}. Используя это выражение, соотношение
(37.2) в декартовых координатах инерциальной системы
отсчета можно переписать в виде скалярного произведе-
ния векторов кп и хп:
wt — (к г) = кпхп = w't' — (к' г') = к'пх'п = inv.
Построим теперь квадрат волнового четырехвекто-
ра:
кпкп = -у - к2.
с2
Так как в вакууме к2 = w2/c2, то кпк„ = 0. Таким
образам, волновой четырехвектор является изотропным
четырехвектором.
§ 38. Эффект Дешлера
и астрономическая аберрация
Законы преобразования (37.3) частоты и волнового
вектора позволяют исследовать ряд релятивистских эф-
фектов. Одним из них является эффект Доплера. Для ис-
следования его характерных особенностей предположим,
что в штрихованной системе отсчета К' помещен ис-
точник электромагнитных волн с собственной частотой
ш' = а)0. Будем считать, что вектор относительной ско-
рости V направлен вдоль оси X, а вектор к' расположен в
плоскости XOY. Тогда из последнего соотношения (37.3)
следует, что kz = k'z — 0. Поэтому и вектор к будет рас-
положен в плоскости XOY. Обозначим углы, которые
составляют векторы к и к' с вектором V, через в и, со-
216 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
ответственно, О':
кх = к cos в, fcB = fcsm0, к'—к'созв', к'=к'ып6'.
(38.1)
Запишем формулы, обратные формулам (37.3):
v<
f и> Vkx t кх гт 1/ ,
W = ,----- , К = —, к. = к„.
у/Г^ Х у/Г-Р* У v
Подставляя сюда выражения (38.1) и учитывая, что к =
w/c, к' = w'/c, получим:
, (1-/7 COS б) /оогл
“-“уиН’ (38-2>
t -r (cos 6 — /3) . . Л.
COS V =W------ cv sin# =u? sin 6.
Первая из этих формул дает эффект Доплера - из-
менение частоты электромагнитных волн при движении
приемника относительно их источника. Предположим,
что в движущейся инерциальной системе отсчета покоит-
ся источник электромагнитного излучения, частота кото-
рого в этой системе отсчета равна ш ' — w0. Подставляя
и ' = wo в выражение (38.2), найдем частоту ы, измеря-
емую в лабораторной системе отсчета в зависимости от
направления распространения электромагнитной волны:
a> = w0 (38.3)
1 — р cos в
Исследуем эту формулу. Для наблюдателей, находящих-
ся в лабораторной системе отсчета, на оси X угол в = О
§ 38] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА И АСТОНОМИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ 217
или к, в зависимости от того, приближается к ним или
удаляется от них источник излучения. В первом случае
(0 = 0) измеряемая в лабораторной .системе отсчета ча-
стота w будет больше частоты ш' = w0:
Wj = Wo
1+0
1-0
> Wo,
а во втором (в = тг) - меньше wq:
U>2 ~ CUq
1-0
1+0
Это так называемый продольный эффект Доплера. При
малых скоростях (0 1) выражения для wj и W2 в ли-
нейном приближении по 0 совпадают с соответствующи-
ми выражениями для эффекта Доплера, установленного
в нерелятивистской физике:
W1 = Wo(l + 0), W2 = Wq(1 — 0).
Однако, в отличие от нерелятивистской физики, специ-
альная теория относительности предсказывает существо-
вание и поперечного доплеровского эффекта, когда вол-
новой вектор к электромагнитной волны перпендикуля-
рен вектору V. В этом случае в = тг/2 и из выражения
(38.3) имеем
w — Wo \/1 — 02 < Wq.
Так как для наблюдения поперечного эффекта До-
плера требуется скорость движения источника, сравни-
мая со скоростью света, то этот эффект после его пред-
сказания достаточно долго не имел экспериментального
218 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
подтверждения. И лишь в 1938 году в экспериментах с
каналовыми лучами американских физиков Айвса и Сти-
уэлла этот эффект был обнаружен и исследован.
Найдем теперь при каких значениях угла 9о изме-
ряемая в лаборатории частота w совпадет с собственной
частотой а>о излучения движущегося источника: w = о?о-
Подставляя в это равенство выражение (38.3), получим:
COS^g — “ [1 — \/1 —/?2] = --у----- < 1.
Р L J 1 + -
Таким образом, при (3 0 частота w измеряемая на-
блюдателями, находящимися на поверхности конуса 9 =
Оо = arccos [/3/(1 + х/Г^)] < тг/2, ось которого совпа-
дает с направлением вектора V, будет совпадать с соб-
ственной частотой wo движущегося источника электро-
магнитных волн. Для наблюдателей, попавших внутрь
конуса 9 = Оо, измеряемая частота w будет превышать
wo, в то время как для наблюдателей, находящихся вне
этого конуса, измеряемая частота w < wq.
Доплер-эффект в настоящее время считается надеж-
но проверенным предсказанием специальной теории от-
носительности. Поэтому он нашел широкое применение
для измерения скорости движения различных объектов
от автомобилей и самолетов до звезд и галактик.
Соотношения (38.2) позволяют установить и закон
преобразования углов, составляемых волновым вектором
электромагнитной волны и вектором относительной ско-
рости V двух инерциальных систем отсчета. Так как в
вакууме поток энергии электромагнитной волны распро-
страняется вдоль волнового вектора этой волны, то этот
угол совпадает с углом между электромагнитным лучом
и вектором V.
§ 38] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА И АСТОНОМИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ 219
Для нахождения законов преобразования этих углов
при переходе из одной инерциальной системы отсчета к
другой подставим первое соотношение (38.2) во второе
и третье. Тогда после сокращения общих множителей
получим:
сое» = ----------, sint? = ——\------—. (38.4)
1 —/3cos0 1—/3cos0
Обратные преобразования можно получить из этих вы-
ражении по общему правилу, заменив V на —V, убрав
штрихи там, где они есть, и поставив там, где их нет:
сов 9 =
сов (У +/3
1 +/?созв'’
sin 0 =
sin О'-^/1 —/З2
14-/3 сое 6'
(38.5)
Из формул (38.4) и (38.5) следует, что один и тот же луч
света в разных инерциальных системах отсчета будет на-
блюдаться под разными углами к вектору относительной
скорости V. Этот эффект в научной литературе получил
название астрономической аберрации, так как впервые
был замечен при астрономических измерениях углового
положения звезд на небесной сфере еще в XVIII веке.
Углом аберрации принято называть изменение угла,
под которым наблюдается луч, при переходе от одной
инерциальной системы к другой. Земля с большой точно-
стью представляет собой инерциальную систему отсчета,
вектор скорости которой относительно центра масс Сол-
нечной системы очень медленно изменяет свое направле-
ние. Через полгода этот вектор изменяет свое направле-
ние на противоположное.
Поэтому угловые положения звезд на небесной сфе-
ре, измеряемые с Земли, через каждые полгода должны
220 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ._ IV
изменяться на некоторую величину. Действительно, рас-
смотрим, например, Полярную звезду. Ее лучи в инерци-
альной системе отсчета, связанной с центром масс Сол-
нечной системы, составляют с вектором скорости Земли
V угол в « тг/2. Этот угол, измеряемый на Земле, бу-
дет отличаться от угла в = тг/2 на угол аберрации Д0.
Поэтому выражения (38.4) в рассматриваемом случае да-
дут:
cos — Д$) — sin Д0 = —0,
sin — Д$) = сое Д0 = у/1 — 02.
Так как Земля движется по орбите со скоростью v «
30 км/с, то отсюда получается, что Д в » 10~* радиан
» 2Q угловых секунд.
§ 39. Четырехвекторы скорости и ускорения
В механике Ньютона одними из важнейших кинема- ।
тических величин являются скорость v и ускорение а ма- I
териальной точки. Переходя к изучению релятивистской
механики, выясним, как можно обобщить эти понятия на ;
четырехмерный случай. Начнем с четырехвектора ско-
рости.
Отметим прежде всего, что три компоненты вектора
V не могут быть объявлены трехмерными компонентами
четырехвектора
и* = {и0, и1, и2, и3}. Действительно, если бы выполня-
лись соотношения
u1=vx, u2 = vy, u3 = vz, (39.1)
§ 38] ЧЕТЫРЕХВЕКТОРЫ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 221
то при переходе из одной инерциальной системы отсчета
к другой в силу закона (39.1) преобразования четырех-
вектора
ы0=п^ и3 ыз = ы13
v/Г^г ’ у/Г^’
компоненты трехмерной скорости v преобразовывались
бы по закону:
vx = и1 = Vv = vjp vz = v'z. (39.2)
V1 — P
Сравнивая эти законы с релятивистским законом сложе-
ния скоростей (29.3), несложно убедиться, что никаким
выбором ию в выражениях (29.3) и (39.2) не свести одно
к другому. Поэтому соотношения (39.1) не могут свя-
зывать компоненты трехмерной скорости с трехмерными
компонентами четырехвектора скорости.
Более последовательным способом построения четы-
рехвектора скорости и* является следующий. Рассмо-
трим дифференциал dx*. Как показано в § 31, он пред-
ставляет собой бесконечно малый контравариантный че-
тырехвектор. Для получения из него конечного четырех-
вектора нам необходимо разделить dx* на дифференци-
ал какого-то универсального скаляра. Как мы видели, в
пространстве Минковского таким дифференциалом явля-
ется интервал ds.
Поэтому с геометрической точки зрения и* = dx'/ds
будет представлять собой четырехвектор. Однако ква-
драт интервала может быть отрицательным, равным ну-
лю и положительным, в зависимости от рассматривае-
мых событий. Четырехвектор и* будет вещественным
222 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
вектором, компоненты которого принимают конечные
значения, если и только если ds2 > 0. Используя опреде-
ление (31.5), это условие в декартовых координатах инер-
циальной системы отсчета запишем в виде:
/ v2\
ds2 = c2dt2 — dr2 = с2 (1--7- ) dt2 > 0.
\ c*}
Отсюда непосредственно следует, что четырехвек-
тор и' — dx'/ds можно использовать только для описа-
ния частиц, скорость движения которых не превышает
скорость света: v < с. В дальнейшем мы, не оговаривая
особо, будем предполагать выполнение этого условия.
Выразим компоненты четырехвектора и* через ком-
поненты трехмерной скорости v = dr/dt в инерциальной
системе отсчета. Для этого учтем соотношения
__________ I ^2
ds = у/c2dt2 — dr2 = су 1 — dt, dx* = {da;0 = cdt, dr}.
В результате получим:
,• dx' f n dx° 1 dr v ,
«* = — = {t*u = — = —t=, u - у = —.-------------}•
ds 1 ds К v3 ds „ /, v3
v1-^ cv1-^
(39.3)
Этот четырехвектор в научной литературе получил на-
звание четырехвектора скорости. Следует отметить,
что четырехвектор и' безразмерен. Поэтому для получе-
ния величины с размерностью скорости, его необходимо
умножить на скорость света.
При малых скоростях движения, когда можно пре-
небречь величиной v2/c2, соотношение (39.3) принимает
вид:
и* — {ц° = 1, и --- —
С
§ 39] ЧЕТЫРЕХВЕКТОРЫ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 223
Отсюда следует, что только при v2 <sC с2 трехмерная
часть четырехвектора си’ переходит в три компоненты
вектора V.
Найдем теперь квадрат четырехвектора и*. Исполь-
зуя определения (31.4) и (39.3), несложно установить, что
в любой системе отсчета
= 9ik
dx* dxk gu,dx*dxk
ds ds ds2
-
~ ds2
= 1.
Таким образом, квадрат четырехвектора скорости для
любой массивной частицы не зависит от величины ее
трехмерной скорости (при условии, что v < с) и равен
единице.
В справедливости соотношения д^и’и* = 1 в инер-
циальной системе отсчета можно убедиться и непосред-
ственно, подставляя в выражение дци*ик = (и0)2 — и2 яв-
ный вид (39.3) компонент четырехвектора скорости. Так
как квадрат четырехвектора скорости положителен, то
он является времениподобным вектором.
При переходе из одной инерциальной системы отсче-
та в другую инерциальную систему отсчета, движущу-
юся относительно первой со скоростью V, направленной
вдоль оси X, компоненты четырехвектора скорости, как
и компоненты любого четырехвектора, преобразуются по
закону:
д u1 — Vu°/с
U = ----,
' V2
U '3 = U3
1 -
224
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
Разделим последние три равенства на первое. В резуль-
тате получим:
_ и * 1 и1 — Уй°/с
~ - ~ vP-Vu'/c
с и л ы° — Vu^/c
с и10 ifi—Vv^jc
Приставляя в правые части соотношений (39.4) выраже-
ния для компонент четырехвектора скорости (39.3), при-
ходим к релятивистскому закону сложения скоростей:
Этот результат еще раз свидетельствует о том, что спе-
циальная теория относительности является самосогласо-
ванной теорией й внутренне не противоречивой.
Построим теперь четырехвектор ускорения w*. Для
этого продифференцируем четырехвектор скорости по da
и рассмотрим подученное выражение w* = du*/ds. Учи-
тывая, что в декартовых координатах инерциальной си-
стемы отсчета справедливо соотношение
d = d_____________1 d
da y/(?dt2 — dr2 С.Д _ «= dt
§ 38] ЧЕТЫРЁХВЕКТОРЫ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 225
и используя явный вид (39.3) компонент четырехвектора
скорости, будем иметь:
(39.5)
где а = dv/dt - трехмерный вектор ускорения.
При малых скоростях движения, когда величиной г/с
можно пренебречь, этот четырехвектор принимает вид:
w* = {w° = 0,w = а/с2}.
Найдем квадрат четырехвектора ускорения. В де-
картовых координатах инерциальной системы отсчета из
выражения (39.5) получим:
(39.6)
Так как квадрат четырехвектора ускорения отрицателен,
то этот четырехвектор является пространственноподоб-
ным. При малых скоростях v с выражение (39.6) лает:
i а
WjW = —
с4
(39.7)
И, наконец, построим скалярное произведение четырех-
векторов скорости ы* и ускорения w*. Для этого продиф-
ференцируем выражение диси'и* = 1 по ds. Учитывая,
что метрический тензор (31.1) является симметричным
и в декартовых координатах инерциальной системы от-
счета его компоненты не зависят от координат и времени,
226 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
будем иметь:
= 2ffntu‘wk = 0.
as
Таким образом, четырехвекторы скорости и* и уско-
рения ш* являются взаимно ортогональными векторами.
Это свойство аналогично известному свойству трехмер-
ных векторов: если квадрат трехмерной скорости v по-
стоянен по величине, то вектор ускорения а ортогонален
вектору скорости: (va) = 0.
Следует отметить, что в справедливости соотноше-
ния
Pjju’w* — u°w° — (uw) = 0. (39.8)
можно убедиться и непосредственно, подставляя в выра-
жение (39.8) компоненты (39.3) и (39.5) четырехвекторов
и* и wk.
ГЛАВА V
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
§ 40. Основные постулаты
принципа стационарного действия
В настоящее время вариационный принцип стаци-
онарного действия стал основным способом построения
теорий различных физических полей и уравнений дви-
жения частиц. Ключевыми моментами этого принципа
являются два утверждения:
а) каждая физическая система может быть охаракте-
ризована некоторой функцией от обобщенных координат
q(t) и их производных от времени, так называемой функ-
цией Лагранжа L = L(qi(t),qi(t), •••,<), с помощью кото-
рой можно построить функцию действия S (или просто,
действие):
S = J Ldt, (40.1)
*1
б) истинное движение системы в промежутке време-
ни от ti до <2 соответствует такому виду обобщенных
функций qi(t), для которого функция действия (40.1) при-
нимает стационарное значение, в результате чего вариа-
ция функции действия должна обращаться в нуль:
<55 = 0.
(40.2)
228 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
Размерность действия S равна произведению размер-
ностей энергии и времени. С точки зрения математики
действие представляет собой функционал, ставящий в со-
ответствие каждой зависимости определенное число,
Поэтому, если мы имеем два состояния системы: началь-
ное, характеризуемое значениями обобщенных координат
системы и конечное Qi(<a), то каждой из зависи-
мостей qi(t). переводящей начальное состояние системы
в конечное, допускаемое связями, будет соответствовать
свое вполне определенное число.
Среди всех возможных зависимостей qi(t) имеется
одна, которая реализуется при действительном движении
системы. Согласно интегральному вариационному прин-
ципу Гамильтона эта зависимость выделена среди дру-
гих тем, что действие S при действительном движении
принимает стационарное значение.
Это означает, что если мы рассмотрим действитель-
ное движение Qi(t) и движение ^(t) +5§,-(£), отличающееся
от действительного на малую вариацию 6qi, то разность
соответствующих им функционалов S[q,- + в
первом порядке малости относительно 6q, всегда должна
обращаться в нуль: 6S = 0.
Таким образом, для получения уравнений движения
механической системы необходимо задать функцию Ла-
гранжа L исследуемой системы частиц и провести ва-
рьирование функции действия. В случае, когда функ-
ция Лагранжа зависит только от обобщенных координат
qi, обобщенных скоростей q, и, быть может, от време-
ни L = L(qi,qi,t), применение вариационного принципа
стационарного действия, как известно, приводит к следу-
ющим уравнениям движения, называемым уравнениями
- 40] ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ ПРИНЦИПА 229
.хагранжа 2-го рода:
4(£)-£=°-' w
dt J
Поэтому, зная явный вид функции Лагранжа, уравнения
движения можно получить непосредственно из соотноше-
ния (40.3), не обращаясь каждый раз к принципу стаци-
энарного действия (40.2).
Производная от функции Лагранжа по обобщенной
скорости
Pi = (40.4)
Oqi
в научной литературе получила название обобщенного
чмпульса системы, а производная по обобщенной коор-
динате
Fi = ~ (40.5)
uqi
обобщенной силы.
Использование функции Лагранжа L для получения
уравнений движения не исчерпывает область ее приме-
нения. Как показывает практика, функция Лагранжа
играет большую роль при поиске законов сохранения (ин-
тегралов движения) обобщенной энергии и обобщенного
импульса системы.
Таким образом, задание явного вида функции Ла-
гранжа однозначно предопределяет вид уравнений движе-
ния и позволяет указать интегралы движения системы.
Поэтому одной из важнейших задач механики является
установление вида функции Лагранжа для различных ти-
пов взаимодействий. В результате проведенных исследо-
ваний в настоящее время установлены общие принципы,
230 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ.. V
позволяющие облегчить нахождение функции Лагранжа
при построении новых теорий.
Одним из этих принципов является принцип соот-
ветствия, согласно которому все уравнения и соотноше-
ния новой теории в предельных случаях должны приво-
дить к уже известным уравнениям и соотношениям. В
применении к рассматриваемому нами случаю механики
этот принцип требует, чтобы функция Лагранжа L для
заряженной частицы, движущейся во внешнем электро-
магнитном поле, при малых скоростях движения v «с
переходила в хорошо известную функцию Лагранжа не-
релятивистской механики:
2
L=^L._ev, + Z(vA). (40.6)
2 с
Принцип стационарного действия широко применяется и
в теориях различных физических полей. Так как физи-
ческое поле представляет собой не дискретный объект,
как в механике точки, а распределено в пространстве,
то функцию действия S записывают в виде интеграла
по некоторой произвольной четырехмерной области Vt
пространства-времени:
S = - [£<Рх, (40.7)
С J
V4
где = dx°dx1dx2dx3 - элемент четырехмерного объ-
ема.
Функцию £ по аналогии с классической механикой
называют плотностью функции Лагранжа или плотно-
стью лагранжиана. Она связана с функцией Лагранжа L
простым соотношением: L — f £dx1 dx2dx3.
§40]
ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ ПРИНЦИПА
231
Выбор явного вида плотности лагранжиана осуще-
ствляется исходя из ряда требований. Основными из них
являются общетеоретические требования. К их числу,
в первую очередь, относятся условия вещественности и
ковариантности, включая и релятивистскую инвариант-
ность, функции £. Вещественность плотности лагран-
жиана гарантирует, что динамические характеристики
физического поля, такие, например, как четырехвектор
энергии-импульса поля, будут вещественными.
Требование ковариантности плотности лагранжиа-
на £ приводит к ковариантным уравнениям поля, обес-
печивая тем самым их релятивистскую инвариантность.
В силу этого требования выражение для £ не должно
содержать явной зависимости от координат и времени,
поскольку такая зависимость нарушает релятивистскую
инвариантность. Кроме того, функция £ должна быть
плотностью скаляра веса +1. Это означает, что плот-
ность лагранжиана £ должна представлять собой произ-
ведение весовой функции у/—д, где д — определитель ме-
трического тензора, на некоторую скалярную функцию,
построенную из функций поля, метрического тензора и
их производных.
Более специфическими требованиями являются тре-
бования локальности и линейности получаемых уравне-
ний поля и ограничение их порядка не выше второго.
Эти требования обеспечиваются тем, что лагранжиан
строится лишь из квадратичных комбинаций функций
поля и их первых производных. Однако данные требова-
ния не являются обязательными и существуют теории,
уравнения поля которых не удовлетворяют одному или
нескольким из них. Так, например, в настоящее время
232 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
изучаются различные модели теории поля, основанные
на нелокальных или нелинейных уравнениях поля; очень
часто рассматриваются теории поля с высшими произ-
водными (порядка выше второго).
Таким образом, лагранжиан теории должен являться
некоторой скалярной плотностью веса +1, построенной
из изучаемых физических полей, метрического тензора
gik и их частных производных по координатам.
§ 41. Уравнения движения релятивистской
заряженной частицы во внешнем
электромагнитном поле в четырехмерном виде
В аналитической механике уравнения движения не-
релятивистской заряженной частицы во внешнем элек-
тромагнитном поле можно получить, потребовав, чтобы
функция действия
*в
S = У Ldt (41.1)
1л
была стационарна на истинных уравнениях движения:
8S = 0.
Вполне естественно, что для построения уравнений
движения релятивистской механики мы также должны
использовать принцип стационарного действия, соответ-
ствующим образам изменив выражение (41.1) для функ-
ции действия.
Отметим прежде всего, что движение частицы по не-
которой траектории, начавшееся в момент времени f = tx
из точки с трехмерными координатами х = гд, у =
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧВТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 233
уд, г = za и проходящее в момент времени t — te че-
рез точку с координатами х — хв, у = ув, г - гдв
четырехмерном пространстве-времени представляет со-
бой линию, начинающуюся в точке А с координатами
тд = {х°А = <Ла,ха,Уа,^а} и проходящую через точку
г‘в = {жд = УВ-1гв}- Эта линия в научной лите-
ратуре называется мировой линией частицы.
Если использовать понятие мировой линии, то ин-
теграл, стоящий в правой части выражения (41.1), мож-
но интерпретировать как интеграл по проекции мировой
линии на ось времени. Однако, время согласно специаль-
ной теории относительности хотя и является выделенной
переменной, тем не менее представляет собой только од-
ну из четырех координат четырехмерного пространства-
времени.
Поэтому для обеспечения равноправия всех четырех
координат функцию действия мы будем представлять как
криволинейный интеграл по мировой линии частицы от
некоторой начальной точки А до конечной точки В. Для
того, чтобы этот интеграл был инвариантом при пре-
образованиях Лоренца, интегрирование в функции дей-
твия будем осуществлять по интервалу ds :
В
А
(41-2)
Скалярная функция /, входящая в выражение (41.2),
должна зависеть от характеристик частицы и внешнего
электромагнитного поля. В качестве характеристик ча-
тицы, очевидно, могут выступать ее масса и заряд, а
также четырехвектор скорости и* и ускорения w* (если
234 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. у
ограничиться, как это обычно делают, уравнениями дви-
жения, содержащими производные от координат по вре-
мени не выше второго порядка). Тензорными величи-
нами, характеризующими электромагнитное поле, явля-
ются четырехпотенциал Ai и тензор электромагнитного
ПОЛЯ File-
Так как функция f является скаляром, то она долж-
на зависеть только от скалярных величин, построенных
из четырехмерных векторов u*, w', Ai и тензора F^. Та-
ких скаляров можно построить очень много: u‘ui, u*u>i,
w'wi, AiU*, A*wi, A‘Ai, Fiku'u*, Fikv>*uk, FikFknu'un и
т.п.
Все эти возможности в теоретической физике были
изучены и выяснилось, что не все из них могут использо-
ваться при построении функции /. В частности, явно не
подходят скаляры н’щ, u'wi и Fucu'uk, так как ii’uj = 1,
= 0 и FikU*uk = 0. Далее, если бы функция f за-
висела от скаляра A'wi, то уравнения движения частиц
не были бы калибровочно инвариантными. Так как ка-
либровочная инвариантность электродинамики является
очень важным свойством, то функция f не должна зави-
сеть от скаляра А'иц.
Скаляр Fikw'uk также должен быть отброшен, так
как приводит к уравнениям движения частицы, содержа-
щим третьи производные от координат по времени.
Следует также отметить, что скаляры, содержащие
характеристики электромагнитного поля в квадратич-
ной и выше комбинациях, приводят к уравнениям дви-
жения, зависящим от внешнего поля нелинейно. Это
свойство электромагнитных полей, возможно, и адекват-
но природе, но при достижимых в лабораторных услови-
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 235
ях полях не проявляется. Поэтому, в качестве первого
приближения к истине, мы будем считать, что функция
f должна быть линейной функцией внешнего электро-
магнитного поля. Это с неизбежностью приводит нас к
выражению:
f = ао + aiAiu', (41.3)
где а® и «1 - некоторые константы.
Функция f должна удовлетворять также и принципу
соответствия: при нерелятивистских скоростях v « с
функция действия (41.3) должна переходить в нереляти-
вистскую функцию действия с лагранжианом (40.6). Так
как L = fds/dt, то из выражений (31.5), (32.9) и (39.3)
следует, что в релятивистском случае
L = аос\/1----х + aic[v?-(v А)]. (41.4)
V с* с
При v « с это выражение можно разложить в ряд Тей-
лора. Ограничившись первыми двумя членами этого ря-
да, получим:
L = о0е — — -(v А)]. (41-5)
ZC с
Так как добавление константы к лагранжиану не изменя-
ет уравнений движения, то отбросим в выражении (41.5)
константу Оос. Сравнивая оставшуюся часть выражения
(41.5) с нерелятивистским лагранжианом (40.6), найдем
константы: «о = —тс, ai — —е/с.
В результате лагранжиан для релятивистской заря-
женной частицы во внешнем электромагнитном поле при-
мет вид:
/ g
£ = —mc2i/1----- — е<р I —(v А). (41.6)
V cz с
236 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. у
Подставляя выражение (41.3) в соотношение (41.2), полу-
чим функцию действия для релятивистской заряженной
частицы во внешнем электромагнитном 'поле
В в
(41-7)
Построив действие (41.7), давайте выведем уравне-
ния движения частицы в четырехмерном виде непосред-
ственно из принципа стационарного действия iS — 0.
Для этого проварьируем функцию действия (41.7). По-
скольку при таком варьировании все мировые линии, ис-
тинные и пробные, должны проходить через две задан-
ные точки А и В, то пределы интегрирования в выраже-
нии (41.7) не изменяются и операция варьирования может
быть переставлена местами с операцией интегрирования:
6S = 0 = —me I ids — - [
J с J
(41-8)
Учтем, что
-« ids2 с 1 i , , с л dAi _ l ,
<Ms = -r-r-, idx = dix , 6Ai = yr-rix. (41.9)
2ds ож*
Используя эти соотношения, выведем вспомогательные
формулы. Начнем с ids :
SdS = = =
Zas Zus
= ^[dx'dxl!igii! + 2ffitdx'dixk].
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 237
В декартовых координатах инерциальной системы от-
счета метрический тензор имеет постоянные компоненты
•31.1). Поэтому 8дц, = 0. В результате будем иметь:
ids = d(gik^8xl,y) - 8xkd(g,k~). (41.10)
Совершенно аналогично найдем, что
Ai8dx* = - Sx'dAi = d\Ai8xJ - ^dxk6xi.
(41-11)
Подставляя выражения (41.10), (41.11) и последнее из со-
отношений (41.9) в равенство (41.8), приведем его к виду:
> l-В .\В
8S ——mcgik-^—6xk\------+
ds 1а с \а
(41.12)
в
e\dAidxiSxk
с 19т* ds
Будем считать, что вариации четырехмерных координат
точек мировой линии, оставаясь произвольными внутри
области интегрирования, на границах этой области, т.е.
в точках А и В, должны обращаться в нуль:
6хп(А) = 6хп(В) = 0.
(41.13)
Таким образом, для вывода уравнений движения в
четырехмерном виде мы имеем, так называемую, вари-
ационную задачу с закрепленными концами. Так как в
238
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
[ГЛ-V
точках А и В вариации координат частицы удовлетворя-
ют условию (41.13), то внеинтегральные члены в выра-
жении (41.12) обратятся в нуль. Переобозначая индесы
суммирования в выражении (41.12), получим:
е
с
А
(41.14)
dAj
дх*
дх* J ds )
Так как внутри области интегрирования вариации ко-
ординат частицы 6хк произвольны, то в силу основной
леммы вариационного исчисления выражение, стоящее в
фигурных скобках под интегралом (41.14), должно быть
равным нулю:
d г е [dAi
jTJ “ clfe*
дАк I dx*
дх* J ds
Учитывая определения (33.2), (39.3) и поднимая свобод-
ный индекс к в этом выражении, получим окончательно:
= -F^ui. (41.15)
ds с
Рассмотрим теперь уравнение (41.15) при частных
значениях индекса к. Положим в нем к = 0 :
du° е _п,-
тс— = -Р" и,-.
ds с
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 239
Подставляя в полученное уравнение выражения (33.4.) и
(39.3), умножая его на с и учитывая, что в нашем случае
J 1 d
ds су/1 - ft2 dt'
в результате будем иметь:
d / тс2 \ .
-с(
(41.16)
где Р обозначает уже иную величину: Р — v/c.
Совершенно аналогично можно убедиться, что при
к = а = 1,2,3 уравнение (41.15) дает:
d / mv \
dt
eE+-(v Н].
С
(41-17)
Так как уравнения (41.16) и (41.17) при v « с пе-
реходят в уравнения для изменения энергии и импульса
механики Ньютона, то величину
тс2
(41.18)
следует назвать энергией релятивистской частицы, а век-
тор
mv
(41.19)
- вектором имцульса этой частицы.
240
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. V
§ 42. Уравнения Лагранжа второго рода
для релятивистской заряженной частицы
во внешнем электромагнитЬом поле
. Получим теперь уравнения движения релятивист-
ской заряженной частицы во внешнем электромагнитном
поле на основе уравнения Лагранжа второго рода
— - —-о
dt \ dq J dq
Как следует из выражения (41.4), функция Лагранжа для
релятивистской заряженной частицы во внешнем элек-
тромагнитном поле имеет вид:
L = —тс2 у/! — /З2 — etp + ^(А v), (42.1)
где (3 = v/c, a А = A(r,t) - потенциалы
внешнего электромагнитного поля.
Выбирая в качестве обобщенных координат декарто-
вы координаты я1 = х, х2 — у, х3 = z частицы, уравне-
ния Лагранжа второго рода можно записать в виде:
~Р - grad L = 0, (42.2)
dt
где Р - обобщенный импульс:
„ dL mN е
Р = — = —===== + -
dv д/1— /З2 с
Используя явный вид (42.1) функции Лагранжа, при-
ведем уравнение (42.2) к виду:
d I ту е , I , е .
— < —-----+ - А > + е grad tp-grad (v A) = 0.
dtlyi3jj2 c J 6 c6 v
(42.3)
§ 42] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА .241
Преобразуем это уравнение. Начнем с последнего сла-
гаемого. Учитывая, что v не зависит от координат и
используя формулы векторного анализа (1.11), получим:
grad (v А) = (v grad)А + [vrot А].
Запишем теперь полную производную по времени от век-
торного потенциала А. Так как вектор А зависит не
только от времени, но и от координат, то эта производная
будет равна сумме частной производной и конвективной
производной:
dA дА ,
dT= sT + (vgrad)A-
Подставляя эти соотношения в уравнение (42.3) и исполь-.
зуя выражения (5.2) для напряженности электромагнит-
ного поля, будем иметь:
где
mv
₽-
Сравнивая уравнение (42.4) с уравнением
dv _ е .________________________.
т— = еЕ + - [vH]
at с
нерелятивистской механики Ньютона, несложно убедить-
ся, что единственным различием между ними является
вид выражения для импульса частицы: в нерелятивист-
ской механике используется соотношение р — ту, в то
(42.4)
(42.5)
242
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. V
время как в уравнении (42.4) используется релятивист-
ское выражение (42.5) для импульса.
Как и в нерелятивистской механике, из уравнения
(42.4) можно получить и уравнение для энергии реляти-
вистской частицы. Для этого умножим уравнение (42.4)
скалярно на вектор V. Расписывая производную по вре-
мени от вектора импульса релятивистской частицы р,
приходим к соотношению:
m(av)
х/(1-/?2)3
= e(Ev),
(42.6)
где а = dv/dt - ускорение частицы.
Возьмем теперь производную по времени от энергии
релятивистской частицы (41.18):
d£ d ( тс2
dt dt I y/1 — (p
m(av)
ч/(1-Ж
Используя это соотношение, перепишем уравнение (42.6)
в виде:
^=e(Ev). (42.7)
at
Это означает, что и в релятивистской механике действие
магнитной части силы Лоренца не изменяет энергию ча-
стицы.
Таким образом, как и следовало ожидать, уравнения
Лагранжа второго рода (42.4) и уравнения движения за-
ряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в
четырехмерном виде (41.15) представляют собой просто
различные формы записи одних и тех же уравнений.
§ 42] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 243
Наличие корня \/1 — /З2 в знаменателях выражений
(41.18) и (41.19) для энергии и импульса приводит к тому,
что релятивистская частица под действием любой конеч-
ной по величине внешней силы не в состоянии достичь
скорости v = с. Это наиболее просто понять из следу-
ющих вычислений. Запишем уравнения для энергии и
импульса частицы в виде:
= п.(.у) - ) (
dt ^1-03)3
dp ma m(av)v _
— = —===== 4------===== = F.
dt c2^/(l-/32)3
где F - сила, действующая на рассматриваемую частицу.
Используя первое из уравнений (42.8), приведем вто-
рое уравнение (42.8) к виду:
ma , (vF)v „
Отсюда следует, что ускорение частицы зависит не толь-
ко от величины действующей на нее силы F, но и от ее
скорости v:
(vF)v
ml с2
(42.9)
Наличие множителя у/1 —/З2 в правой части выражения
(42.9) показывает, что при приближении скорости части-
цы к скорости света приобретаемое ею ускорение под дей-
ствием одной и той же силы F стремится к нулю.
244 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ (ГЛ. V
Фактически же, при действии силы вдоль вектора v,
когда (vF) = vF и Fv = vF, зависимость от множителя
i/l — Р2 много сильнее:
й У(Г^г
т
Поэтому релятивистская частица под действием любой
конечной по величине силы не в состоянии достичь ско-
рости v = с.
§ 43. Связь между энергией, импульсом,
массой и скоростью релятивистской частицы
Рассмотрим четырехвектор рк — тсик. Используя
выражения (39.3), несложно найти его компоненты:
(43.1)
Построим разложения этих компонент в нерелятивист-
ском случае г2 << с2. В результате получим:
n mv2
р = тс + ——, р = mv.
(43.2)
Из этих выражений следует, что компонента р° в нереля-
тивистском пределе содержит некоторую константу тс
и кинетическую энергию частицы, деленную на скорость
света. Исходя из этого разложения, компоненту р° мы мо-
жем связать с энергией частицы £ соотношением £ — ср°.
Тогда ее нерелятивистское (у2 «с2) разложение бу-
дет содержать два члена: £ = тс2 + mv2/2. Первый из
§ 43] СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭНЕРГИЕЙ, ИМПУЛЬСОМ, МАССОЙ 245
них не обращается в нуль при v = 0 и представляет со-
бой энергию покоя частицы тс2. Именно для того, чтобы
подчеркнуть это обстоятельство, в Научной литературе
иногда используют особое обозначение для массы покоя
частицы т = то- Мы же в дальнейшем во всех выраже-
ниях и соотношениях релятивистской механики для мас-
сы покоя будем употреблять обозначение т. Второй член
является выражением для кинетической энергии нереля-
тивистской механики.
Пространственные компоненты вектора рк в нереля-
тивистском приближении (43.2) совпадают с импульсом
нерелятивистской частицы: р = mv. Таким образом, че-
тырехвектор р* можно назвать четырехимпульсом сво-
бодной частицы и записать в виде: рк = тсик = {р° =
£/с, р}, где энергия £ частицы и ее импульс р в общем
случае имеют вид:
mv
Р =
(43.3)
Энергия и импульс частицы не являются независи-
мыми величинами, а в силу равенства дци*ик = 1 связа-
ны соотношением:
£ t С- ъ 2 2
gikpp = - р =
сл
(43-4)
Именно это соотношение в современной физике использу-
ется для определения масс различных частиц. Для этого
в эксперименте измеряется энергия и импульс частицы и
полученные значения подставляются в выражение (43.4).
246 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
Из выражений (43.3) следует, кроме того, что при
v —> с энергия и импульс массивной частицы неограни-
ченно возрастают. Поэтому скорость' любой массивной
(т / 0) частицы не может достигнуть скорости света.
Безмассовые же частицы (т == 0) могут двигаться со
скоростью света, но для них вместо формулы (43.3) спра-
ведливо соотношение 8 — ср, вытекающее из равенства
(43.4).
Следует отметить, что для ультрарелятивистских
частиц, для которых полная энергия значительно превы-
шает энергию покоя 8 тс2, также приближенно спра-
ведлива формула 8 ~ ср.
Кинетической энергией Т релятивистской частицы
обычно называется разность между ее полной энергией
8 и энергией покоя тс2:
(43.5)
При малых скоростях v с из выражения (43.5) имеем:
77W2 Зтпг>4
~1Г + 8с2
Рассмотрим теперь закон преобразования энергии и
импульса частицы при преобразовании Лоренца. Так как
энергия и импульс являются компонентами четырехим-
пульса рк, то в случае относительного движения двух
инерциальных систем отсчета вдоль оси X со скоростью
V будем иметь
8' + Ур'х
(43.6)
§ 44]МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ УСКОРЕНИЯ 247
Р» ~ Ру’
где, как обычно,
Pz = р'г,
(43.7)
Полученные формулы (43.6) позволяют еще раз убедить-
ся во внутренней самосогласованности уравнений и со-
отношений специальной теории относительности. Дей-
ствительно, если подставить выражения (43.7) в правую
часть равенств (43.6) и выразить v’ через v по форму-
лам (29.2) релятивистского закона сложения скорости, то
придем к соотношениям (43.3).
§ 44. Мощность излучения быстро движущегося
заряда в зависимости от скорости и ускорения
Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в ла-
бораторной системе отсчета со скоростью v, сравнимой
со скоростью света: г> ~ с. Найдем количество энергии,
излучаемой этой частицей в единицу времени, т.е. пол-
ную интенсивность I.
Для этого перейдем сначала в мгновенно сопутству-
ющую инерциальную систему отсчета, т.е. в штрихо-
ванную систему отсчета, в которой в интересующий нас
момент времени частица покоится в начале координат.
Так как частица предполагается движущейся с ускоре-
нием, то в следующий момент времени в штрихованной
системе отсчета она приобретет малую скорость v' « с
и покинет начало координат. Очевидно, что в этой си-
стеме отсчета движение частицы некоторое время будет
248 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
нерелятивистским. Поэтому основной вклад в ее излуче-
ние будет вносить электрическое дипольное приближение
и выражение для полной интенсивности будет иметь вил
, = dE' = 2d' 2 = 2q2r' 2 2g2a' 2
“ dt' “ Зс3 ~ Зс3 “ Зс3 ‘
Преобразуем эту формулу, чтобы наиболее наглядно вы-
явить ее тензорную природу
d£'f =
где £'? - энергия, уносимая электромагнитным излучени-
ем.
Так как d£j = cdpm, cdt' = dx10, то получим
dp10 =
2q2a' 2
Зс5
dx10.
(44.1)
Из этого равенства следует, что общая формула должна
иметь вид
dpa = |^а' 2dx,i. (44.2)
Зс5
Действительно, при i — 0 отсюда получим выражение
(44.1), а при г — 1,2,3 соотношение даст закон изменения
импульса электромагнитного поля
dpy =
2 g2 а' 2
Зс5
dr' =
2g2a' 2
Зс®
v'di'.
где ру - импульс, уносимый электромагнитным излуче-
нием.
§ 44]МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ УСКОРЕНИЯ 249
Так как при нерелятивистском движении v' « с,
то c|dp'| « dE' и величиной уносимого импульса можно
пренебречь, что мы и делали в § 21 при расчете элек-
трического дипольного излучения. Однако признать вы-
ражение (44.2) четырехмерным тензорным пока нельзя,
поскольку в него входит квадрат трехмерного ускорения.
Поэтому перепишем выражение (44.2) в виде
j ii_ (Ат1*
dp - 3Jfdx ’
(44.3)
где неизвестная скалярная функция f должна быть по-
строена нами из кинематических характеристик частицы
и при v' « с иметь пределом f -> а' 2.
Составляя различные инварианты (скаляры) из че-
тырехскорости частицы и'к, четырехускорения w'k, че-
тырехвекторов dw'k/ds, <Pw'k/ds2 тл т.д., несложно убе-
диться, что скалярная функция f может иметь только
единственный вид: f = —c4w'kw'k.
Действительно, так как при v' « с функция f не со-
держит производных выше второй (/ —> а' 2), то для по-
строения скаляра f использовать можно только четырех-
векторы и,к и w'k (dw'k/ds и <Pw'k/ds2 содержат da'/dt'
и другие высшие производные).
Из четырехвекторов и'к и w'k можно построить три
скаляра: w'ku'k и w'kw'k. Но так как для любой мас-
сивной частицы — 1, = 0, то нетривиальным
является только третий из них. При v* « с, как следует
из выражений (39.5) и (39.7), w'kw'k = —а' 2/с4. Поэтому
скаляр w'ku'k должен входить в функцию f линейно и с
коэффициентом —с4.
Таким образом, формула, определяющая энергию и
250
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. V
импульс, уносимые электромагнитными волнами, долж-
на иметь следующий четырехмерный вид
dp" = _ ^w^w'kdx4. (44.4)
Зс
Теперь воспользуемся физической эквивалентностью раз-
личных инерциальных систем отсчета: так как в штри-
хованной системе отсчета искомая формула записывается
в четырехмерном тензорном виде (44.4), то в нештрихо-
ванной (лабораторной) системе отсчета, где скорость ча-
стицы уже может быть сравнимой со скоростью света,
эта формула должна иметь тот же тензорный вид, толь-
ко у всех входящих в нее величин будет отсутствовать
штрих:
2g2
dp' = ——wkwkdx'. (44.5)
Зс
Используя это выражение, исследуем потери энергии и
импульса релятивистской заряженной частицей на элек-
тромагнитное излучение. Учитывая соотношение (39.6),
при i — 0 из выражения (44.5) получим
2g2 г a2 (av)2 1
3c3t(l—/?2)2 с2(1 —/?2)3 J ’
При i = 1,2,3 имеем
dp/_2g2r a2 (a v)2 iv
"dF “ &F I (I-/?2)2 + c2(l - 02)3 J 7’
Из этих выражений следует, что при движении ча-
стицы с заданным ускорением а потери энергии и им-
пульса на электромагнитное излучение максимальны при
d£f
(44.6)
(44.7)
§ 45] мощность излучения во внешнем поле 251
параллельных векторах скорости и ускорения и оказыва-
ются пропорциональными шестой степени лоренцевского
фактора Г = 1/^/1 — /З2 : d£/dt ~ Г®, dp/dt ~ Г®.
Если векторы скорости и ускорения перпендикуляр-
ны, то d£/dt и dp/dt оказываются пропорциональными
только четвертой степени лоренцевского фактора Г.
§ 46. Мощность излучения заряда, быстро
движущегося во внешнем электромагнитном поле
Предположим, что частила с зарядом q и массой т
движется в заданном электромагнитном поле Е и Н. То-
гда на нее со стороны этого поля действует сила Лоренца
F = дЕ + «[у Н]. (45.1)
С
Под действием силы F релятивистская частица, как мы
видели в § 42, приобретает ускорение (42.9):
a = J^l^{F~7(F v)}‘
Подставляя это выражение в соотношения (44.6) и (44.7),
после несложных преобразований получим
d£f у)2}
dt 3m2c5(l-/?2) ’
dpf _ 2g2v{c2F2 - (F v)2}
dt Зпг2с®(1 —/?2)
Из этих выражений следует, что под действием заданной
внешней силы излучательная способность частиц обрат-
но пропорциональна квадрату массы частицы. Поэтому
252 принцип стационарного действия (гл. v
излучательная способность электронов при движении в
одном и том же внешнем электромагнитном поле в 4 • 10е
раз выше, чем у протонов.
Исследуем теперь зависимости d£f/dt и dpf/dt от
лоренцевского фактора Г. Если релятивистская части-
ца движется перпендикулярно вектору внешней силы, то
(F v) = 0 и из выражений (45.2) следует, что потери ею
энергии и импульса на излучение оказываются пропор-
циональны квадрату лоренцевского фактора.
Если релятивистская частица движется вдоль векто-
ра внешней силы, то (F v)2 = F2v2 и из выражений (45-2)
следует, что потери энергии и импульса на излучение не
зависят от лоренцевского фактора.
§ 46. Плотность функции Лагранжа
для электромагнитного поля при заданном
движении источников
Действие S для заряженной частицы, находящейся в
заданном электромагнитном поле, как мы видели ранее,
состоит из двух частей:
S = Sp + Sint,
где Sp - часть действия, зависящая только от свойств
частицы (ее массы, скорости), a Sint - часть действия,
описывающая взаимодействие между полем и частицей
и зависящая как от характеристик частицы, так и от
четырехпотенциала А,- электромагнитного поля.
При наличии нескольких заряженных частиц, нахо-
дящихся во внешнем электромагнитном поле, их общее
§ 46J ПЛОТНОСТЬ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
253
действие равно сумме действий для каждой частицы:
S — — ^rnc ids — ~ f-A^dx11. (46-1)
Если теперь рассматривать электромагнитное поле не в
качестве заданного поля, то в выражение (46.1) следует
добавить член
Sj — — У £ fdx°dx1dx2dx3, (46.2)
Vt
описывающий свободное электромагнитное поле. При по-
лучении уравнений движения заряженных частиц в за-
данном внешнем электромагнитном поле этот член нас
не интересовал, так как он не зависел от характеристик
заряженных частиц. Однако, для вывода уравнений элек-
тромагнитного поля он становится одним из централь-
ных объектов.
Так как в декартовой системе координат инерциаль-
ной системы отсчета >/—д = 1 и метрический тензор
имеет вид (31.1), то плотность лагранжиана свободно-
го электромагнитного поля £/, входящая в выражение
(46.2), может зависеть только от функций поля Л,- и их
частных производных.
В теоретической физике все эти возможности были
исследованы и полученные результаты можно сформули-
ровать следующим образом.
Если мы хотим получить калибровочно инвариант-
ные уравнения для электромагнитного поля, содержащие
частные производные не выше второго порядка, то плот-
ность лагранжиана должна быть функцией только
254
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. V
двух независимых инвариантов Ц = FikFknFnmFmt ss.
h=FikFki.
При произвольной зависимости £/ от I2 и уравне-
ния электромагнитного поля будут нелинейными.
Как известно, электродинамика Максвелла в отсут-
ствие вещества является линейной теорией. Ее предска-
зания по самому широкому кругу вопросов, не затрагива-
ющих субатомный уровень, постоянно подтверждаются
со все возрастающей точностью. Построенная на основе
электродинамики Максвелла и дополненная процедурой
перенормировок квантовая электродинамика также хоро-
шо описывает различные субатомные процессы и, по об-
щему мнению, представляет собой одну из наиболее до-
бротных физических теорий.
Г Соэтому, казалось бы, нет никаких оснований рас-
сматривать нелинейные варианты электродинамики в ва-
кууме. Однако из фундаментальных физических сообра-
жений следует, что электродинамика в вакууме должна
быть нелинейной теорией. Эксперименты по неупругому
рассеянию лазерных фотонов на гамма-квантах, выпол-
ненные в 1997 г. в Стэнфорде, подтвердили этот вывод.
Поэтому различные модели нелинейной электродинамики
вакуума и их предсказания, доступные проверке, заслу-
живают самого серьезного внимания.
Однако, при достижимых в земных лабораториях по-
лях В, Е ~ 106 Гс, которые значительно меньше харак-
терного квантовоэлектродинамического значения Bq, nsg^
линейные поправки к уравнениям Максвелла настолько
малы, что наблюдать эффекты, вызываемые ими в ваку-
уме, очень и очень непросто.
Наиболее ярко нелинейно-электродинамические эф-
§ 46] ПЛОТНОСТЬ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 255
фекты должны проявляться в астрофизических условиях,
при полях В ~ 1012 — 1016 Гс, характерных для пульса-
ров и магнетаров. В этом случае должны происходить
расщепление фотонов на два фотона, генерация второй
гармоники, нелинейно-электродинамическое искривление
лучей электромагнитных волн в магнитном дипольном
поле, а также вызываемое двулучепреломлением ваку-
ума нелинейно-электродинамическое запаздывание элек-
тромагнитного сигнала, переносимого одной нормальной
волной, по сравнению с электромагнитным сигналом, пе-
реносимым другой нормальной волной. Однако экспе-
риментальных программ по изучению проявлений таких
эффектов в сильных магнитных полях пульсаров и маг-
нетаров пока нет.
Таким образом, при электромагнитных полях, до-
стижимых в лабораторных условиях, нелинейные члены
в уравнениях электромагнитного поля чрезвычайно ма-
лы и ими можно пренебречь. Поэтому для описания та-
ких электромагнитных явлений мы можем использовать
линейную электродинамику Максвелла, функция £/ ко-
торой имеет вид:
£f = bFikFki,
где b — некоторая постоянная, которая зависит от выбора
системы единиц. В гауссовой системе единиц она равна:
b — 1/(16тг).
Таким образам, в качестве плотности лагранжиана
свободного электромагнитного поля £/ будем рассматри-
вать выражение:
£/ = (46.3)
256 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
Поэтому в декартовой системе координат инерциальной
системы отсчета, где у/—д = 1, действие для системы,
состоящей из заряженных частиц и электромагнитного
поля, принимает вид:
S = — тс I ds — - J Akdxk+ (46.4)
+—^— [ l2dx°dx1dx2dx3.
16тгс J
Vt
Это выражение мы и будем использовать для получения
уравнений электромагнитного поля с помощью принципа
стационарного действия.
Раскрывая суммирование в выражении (46.3) и учи-
тывая соотношения (33.3) и (33.4), плотность лагранжи-
ана в декартовой системе координат инерциальной систе-
мы отсчета можно записать и в виде:
Г/ = ^(Е2 - Н2) - р у, + (j А). (46.5)
Используя плотность лагранжиана (46.5), найдем выра-
жения для функции Лагранжа в случаях электростатики
и магнитостатики. Для этого нам необходимо проинте-
грировать Lf по всему трехмерному пространству:
L
! Cfdxdydz = У LfdV.
V V
(46.6)
В случае электростатики j = О, Н = 0. Подставляя
эти равенства в плотность лагранжиана (46.5), функцию
§ 46) ПЛОТНОСТЬ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
Лагранжа (46.6) запишем в виде:
257
(46.7)
V
Так как в выражении (46.7) интегрирование производит-
ся по всему пространству, то мы можем использовать
соотношения (12.1) и (12.4):
У р <pdV =
v
= 2£е.„
где Ее.я - энергия электростатического поля.
Поэтому функция Лагранжа (46.7) для электроста-
тики принимает вид:
L =
(46.8)
Рассмотрим теперь случай магнитностатики: <р =
О, Е = 0. В этом случае из выражения (46.6) имеем:
r—/E-|oA>k-
V
При интегрировании по всему пространству выражения
(16.1) и (16.3) дают:
17 Г Н2
-y(jA),IV = y— =
V V
где £т.а - энергия магнитостатического поля.
258
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО действия
[ГЛ. V
Поэтому в магнитостатике функция Лагранжа при-
нимает вид:
L = +Ет.а- (46.9)
§ 47. Получение уравнений Максвелла
из принципа стационарного действия
Рассмотрим некоторую систему заряженных частиц,
движущихся заданным образом. В этом случае первое
слагаемое в выражении (46.4) не будет изменяться при
варьировании функции поля А, и его мы можем отбро-
сить. Преобразуем второе слагаемое выражения (46.4)
к виду, аналогичному виду третьего слагаемого. Для
этого учтем, что в используемых нами координатах е =
J pdxxdx2dx3, где р - плотность заряда.
Кроме того, из соотношений
dxk dx° dr ,fc о . .
~dT = {-л =c’dt=v}’ 3 ={J =C^J = ^
следует, что ^2pdxk/dt = jk, где jk - полная плотность
четырехвектора тока.
В результате выражение (46.4) приведем к виду:
S = — [ Izdx°dxldx2dx3 —-j [ Akjkdx°dx1dx2dx3.
1О7ГС J с* J
V* V»
(47.1)
Для получения уравнений электромагнитного поля при
заданном движении источников проварьируем функцию
действия (47.1) и учтем, что в силу принципа стационар-
ного действия 6S = 0. В результате будем иметь:
6S = 0 = —-— f ilzdx(>dxldx2dx3— (47.2)
16тгс J
V»
§ 47) ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 259
—J + jfc5A*]da:0da:1da:2da:8.
vt
Преобразуем подынтегральные выражения в этом соот-
ношении. Учтем, что при заданном движении заряжен-
ных частиц четырехвектор плотности тока jk будет
являться некоторой известной функцией координат и вре-
мени, не зависящей от функции поля Ак и ее частных
производных. Поэтому 6jk = 0. Найдем вариацию 612,
входящую в это соотношение:
6I2 = Fik6Fki + Fki6Fik. (47.3)
Учтем теперь, что метрический тензор не зависит от
функции поля Ак и его можно выносить из-под знака ва-
риации:
6Fki = gimgkn6Fnm.
Поэтому, переобозначая немые индексы в первом слага-
емом выражения (47.3), получим: 6I2 = 2Fk,SFik. Опе-
ратор частной производной по координатам и времени
переставим с операторам вариации. Поэтому в силу вы-
ражения (33.2) можно записать:
дАк dAi _ dSAk d6Ai
ik дх< дхк~ дх* дхк'
Приведем соотношение (47.3) к виду:
cr _9FkidSAk npki^Ai
Sh-2F ~te~-2F toF-
Переобозначая немые индексы i к я к -> » во втором
Слагаемом и учитывая, что тензор Fk* = —F*k является
260 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ (ГЛ. V
антисимметричным, приходим к соотношению:
W2 = 4Ffci^-.
Ох*
Выделим в правой части этого соотношения четырехмер-
ную дивергенцию:
№=4^[*'“Ч--4^5Д‘- <47Л>
Подставляя соотношение (47.4) в выражение (47.2), при-
ведем его к виду:
SS = 0 = /14А1**^J - (47.5)
16тгс J I от’ I J
V«
~4^ . + — |cLr°da:1da:2da;3.
Преобразуем интеграл по четырехмерному объему
Vi от четырехмерной дивергенции в интеграл по поверх-
ности S<, ограничивающей данный объем:
/ f dSiFkiSAk. (47.6)
V4 St
Вариацию четырехпотенциала 6Ак выберем так, чтобы
она была произвольна внутри четырехмерного объема Vi
и обращалась в нуль на поверхности S4. Тогда правая
часть соотношения (47.6) будет равна нулю и выражение
(47.5) примет вид:
SS — 0 = ——— [ + —jfc]^A*dz0<tr1da:2<ir3.
Акс J L Ox' c J
v4
(47.7)
§ 48JTEH3OP ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 261
Так как внутри четырехмерного объема четыре функции
SAk = {SAo = S<p, —А} произвольны, то в силу основной
леммы вариационного исчисления выражение, стоящее в
квадратных скобках под знаком интеграла (47.7), должно
равняться нулю. Поэтому уравнения электромагнитного
поля, полученные из принципа стационарного действия,
имс от вид:
dFki _ 4тг t
дх* с 3
Эти уравнения совпадают с уравнениями (36.9), получен-
ными в § 36 при четырехмерном обобщении уравнений
Максвелла (3.19).
§ 48. Тензор энергии-импульса
электромагнитного поля
Рассмотрим в некоторой инерциальной системе от-
счета и в декартовых координатах плотность лагранжи-
ана свободного электромагнитного поля
£f = -F’kFik/(16n).
Продифференцируем эту плотность по некоторой коорди-
нате х”. В результате получим:
д£г 1 г_ dF'k ^ikdFik] „
-r-i = - Pifc-д—+F'k—-^- . (48.1)
дх” 16тг L дх” дх” J
Учитывая, что в рассматриваемом нами случае компо-
ненты метрического тензора постоянны, можем записать
следующее равенство:
nrtfc Л
262 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ (ГЛ. V
— Fitairndkp^^rn- = Fmp^^
,кЯ 9 дхп дх"
Переобозначая в этом выражении индексы суммирования
т —t i, р —> к и подставляя его в соотношение (48.1),
получим:
d£f _ 1 FikdFik
дхп 8тг дхп '
Воспользуемся теперь первой парой уравнений Максвел-
ла (36.9), записанных в тензорном виде:
dFik dFkn dFni
дхп дх* дхк
Подставляя это выражение в соотношение (48.2), будем
иметь:
_ J_ Г pik dFkn , pik dFnj 1
дхп 8л- ( дх* дхк )
(48.3)
Учитывая, что тензор электромагнитного поля анти-
симметричный (F,k = — Fkl, Fni — —Fin), преобразуем
последнее слагаемое, стоящее в фигурных скобках равен-
ства (48.3):
pik dFnj _ „о, dFjn _ „ki dFjn
dxk dxk dxk’
Переобозначая индексы суммирования i —> к, к —> г в
правой части этого соотношения, получим:
pik dFnj _ pik dFkn
дхк дх*
§ 48JTEH3OP ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 263
d£f
дхп
Следовательно, выражение (48.3) можно переписать в ви-
де:
1 гаЖп/ '
4тг дх*
Выделим теперь в правой части этого соотношения пол-
ную четырехмерную дивергенцию:
pik^nk _ д fjjrikjp \ F (да
F ~d^~~d^{F Fkn}~Fkn~d^' {48’5)
Воспользуемся теперь второй парой уравнений Максвел-
ла (36.9) в четырехмерной форме:
dFik 4тг .j
-дТ = —3
дх* с
В результате соотношение (48.5) примет вид:
Поэтому в рассматриваемом нами случае из выражения
(48.4) имеем:
S = O^(FikFkn) “ ^Fknjt- (48‘6)
Учитывая, что d£f/dxn — d{£f8'n)ldx' и перенося все
члены в одну сторону, получим:
A -йг/| = -Fknjk.
аг* 4тг с
264
ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
[гл. v
Введя обозначение
7’ = ~FikFkn - 6‘n£f = ± [-FifcFnx+ ,
(48.7)
это соотношение можно переписать в более компактном
виде:
/ур» 1
~ = ~Fknjk. (48.8)
дх' с
Поднимая в выражении (48.7) индекс п, будем иметь экви-
валентное соотношение
«Г* - 1 ₽*%•
~d^~cF Зк'
(48.9)
где
1
rpin
4тг
-FikF"k + ^ginFkpFkp .
(48.10)
Прежде чем двигаться дальше, исследуем свойства
тензора Тт. Легко показать, что этот тензор симметри-
чен: Т'п = Тп*. Действительно, учитывая, что gtn — gni,
имеем:
4тг
-FikFnk + |<7n<FfcprJ .
Преобразуем теперь первое слагаемое, стоящее в правой
части:
Следовательно,
4тг
-FnkF\ + ^gniFkpFkp
§ 48]ТЕНЭОР энергии-импульса электромагнитного поля 265
Далее, найдем след этого тензора Т? = р,п7,п. Учитывая,
что gmgin = 6} = 4, F,kF£gin — F,fcFit, также легко
убедиться, что Т? = 7j* + Т} ++ Т% ='6.
Таким образом, шестнадцать компонент тензора Тк
должны удовлетворять шести соотношениям, отражаю-
щим свойство симметрии этого тензора Ttk = Тк'(г >
к), и одному соотношению, являющемуся условием его
бесследовости Т- = 0. Поэтому данный тензор обладает
лишь девятью независимыми компонентами.
Выясним теперь физический смысл каждой из ком-
понент тензора (48.10). При i = п — 0, имеем:
4тг
Учитывая, что Ftp = 2(Н2-Е2), aF°kF?k = F0oF°o =
—Е2, получим:
Т00 = -!-(Е2 + Н2) = w.
Это выражение показывает, что компонента 7100 тензора
7’" представляет собой плотность энергии электромаг-
нитного поля. Полагая далее » = 1, п — 0, из выражения
(48.10) будем иметь:
Раскрывая суммирование по индексу к и учитывая, что
F11 = F%) = 0, приведем это соотношение к виду:
110 —_LffIZfC I F13F°1
266 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
Воспользовавшись представлениями (33.4) для тензора
электромагнитного поля, имеем:
Т10 = ±-[EyHz - EzHy] =
4тг с
Отсюда следует, что компонента Т10 тензора Т'п пропор-
циональна проекции вектора Пойнтинга на ось х.
Совершенно аналогично можно убедиться, что Т20 =
(<r)„/c, 730 = (<г)«/с.
Таким образом, компоненты Т*° = Т°‘ тензора Т'п
описывают энергетически-импульсные характеристики
электромагнитного поля:
7°° = w,
(48.11)
Именно поэтому тензор Т’" и получил наименование
тензора энергии-импульса.
Рассмотрим теперь пространственную часть тензо-
ра Т,п. При n = i = 1 имеем:
Т11 = ~(Е2 + Е2 + Я2 + Я2 - Е2 - Я2).
Совершенно аналогично при * = 1, п = 2 получим:
712 = -^-(ЕХЕУ + НХНУ).
4тг
Выписывая оставшиеся компоненты трехмерной ча-
сти тензора Тгп, можно показать, что
ТаР = -оар = Г-ЕаЕр - НаНр + |<5ojg(E2 + Н2) .
47Г Z
(48.12)
§49J
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
267
Тензор aafl в научной литературе получил наименование
максвелловского тензора натяжений.
§ 49. Законы сохранения энергии и импульса
в электродинамике
Выясним теперь, что означает дифференциальное
тождество (48.9), утверждающее, что четьфехмерная ди-
вергенция тензора энергии-импульса Тт выражается че-
рез четырехвектор Fknjk-
Для этого запишем выражение (48.9) при п = 0. Вы-
деляя в суммировании по индексу i значение 0, получим:
19Т00 дТм
с dt дха
~FaOja-
С
Учитывая, что в силу соотношений (48.11), (32.2) и (33.4)
F°®ja = — (Е j), Т°° — w, Та0 = (с) °/с после умножения
на с будем иметь:
+ div <r = -(Е j).
Это дифференциальное тождество полностью совпадает
с дифференциальным законом сохранения энергии, полу-
ченным в § 4. Поэтому при п = 0 соотношение (48.9) дает
дифференциальный закон сохранения энергии системы,
состоящей из заряженных частиц и электромагнитного
поля.
Запишем теперь выражение (48.9) при значении ин-
декса п — а = 1,2,3 :
1 дТ°° дТ°0
с dt дх&
-F 3k.
268 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
Раскрывая суммирование в правой части этого соотноше-
ния с учетом выражений (32.2) и (33.4), а также проведя
замену = (сг)“/с, Тар = — сгаР, получязл:
с at с
где введено обозначение (f)° = дстар/дхр.
Таким образом, при п = а = 1,2 и 3 соотношение
(48.9) дает в дифференциальной форме закон сохранения
импульса системы, состоящей из заряженных частиц и
электромагнитного поля.
Получим теперь законы сохранения в интегральной
форме. Для этого проинтегрируем соотношение (48.9) по
некоторому объему V :
J 1с at
v
дтпр
дхр
]dV =
(49-1)
Преобразуем полученное равенство. Введем трехмерный
вектор dSp, компоненты которого в декартовой системе
координат совпадают с компонентами вектора (dS)p в
соответствии с равенством: dSp = (dS)p. Тогда интеграл
по объему от трехмерной дивергенции дТпР/хр в силу
теоремы Остроградского - Гаусса можно переписать в
виде:
/дТпР [ й
-~-dV = / TnpdSp.
дх? J
v s
Так как границы объема V не зависят от времени, то в
первом слагаемом соотношения (49.1) мы можем выне-
сти частную производную по времени за знак интеграла
§ 49] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 269
и заменить ее на полную производную. В результате со-
отношение (49.1) примет вид:
(49.2)
Рассмотрим каждое слагаемое этого равенства. Так
как при п = 0 компонента Тп0 совпадает с плотностью
энергии электромагнитного поля, а при п = а — 1,2,3 -
с компонентами вектора Пойнтинга, деленными на ско-
рость света, то интеграл §TnOdVlc является четырех-
v
вектором импульса электромагнитного поля:
pnf = 11 TnOdV. (49.3)
V
Поверхностный интеграл f Tn^dSp представляет собой
S
поток компонент тензора Тп0 через поверхность S, уно-
симый электромагнитными волнами из объема V.
При п = 0 последнее слагаемое в соотношении (49.2)
согласно выражениям (4.4) и (4.5) описывает изменение
энергии заряженных частиц:
I Fkojkdv = - Де j)dv =
V V
При п = а — 1,2,3 последнее слагаемое выражения (49.2)
принимает вид:
J FkajkdV =- - j [F°Qcp + F^] dV =
v v
270 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V
= -/ ([CpE + [jH]])“dV.
V •
Подставляя в правую часть этого равенства выражения
(2.3) для системы точечных частиц, получим:
(49.4)
Выразим теперь силу Лоренца, действующую на ка-
ждую отдельную частицу, через изменение ее импульса:
^ = 9aE+^-[veH].
at с
Тогда равенство (49.4) примет вид:
N
где pPart = 13 Pa - импульс системы частиц.
а=1
Таким образом, интегральное соотношение (49.2)
утверждает, что изменение четырехимпульса электро-
магнитного поля (49.3) в любом объеме V происходит
из-за наличия потока компонент Tnfi тензора энергии-
импульса через поверхность, ограничивающую объем V,
и из-за изменения четырехимпульса заряженных частиц,
содержащихся в объеме V :
^[p?+p;ert] = -/T”W
S
§ 49] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 271
Следует отметить, что из дифференциального зако-
на (48.9) можно получить и закон изменения момента
импульса для системы, состоящей из электромагнитно-
го поля и заряженных частиц.
Учебное пособие
Виктор Иванович Денисов
ЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Издательство УНЦ ДО
ИД № 00545 ОТ 06.12.1900
117246, Москва, ул. Обручева, 55А
Тел./фекс (005) 718-6868, 718-7767, 718-7785
. e-mail: lzdat0abtturcenter.ru
http://abtturcenter.ru/lzdat
Подписано в печать 12.05.2005 г. Формат 60x90/16
Бумага типографская. Усл.печ.л. 17
Тираж 300 экз. Заказ № 810
Отпечатано в Мини-типографии УНЦ ДО
http://ablturcenter.ru/print
в полном соответствии
с качеством представленного оригинал-макета