Автор: Новаку В.
Теги: физика электродинамика теоретическая физика издательство иностранной литературы
Год: 1963
Текст
VALER NOVACU
Membru Corespondent al Academiei R, P« R.
INTRODUCERE IN
ELECTRODINAMICA
Teoriile Microscopies $1 Relativists
Editura Academiei Republicll Populare Romtne
В. НОВАКУ
ВВЕДЕНИЕ
В ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ
Перевод с румынского
Н. М. ОСТИАНУ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1963
Редактор
Р. Розман
Редакция литературы по физике
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящая книга написана одним из известных физиков-теоре-
физиков-теоретиков Румынской Народной Республики проф. В. Новаку. В про-
процессе редактирования перевода она была с участием автора
существенным образом переработана и сейчас представляет собой
фактически новое, второе издание.
Проф. В. Новаку внес много добавлений и исправлений, дал
предисловие к русскому изданию и написал заново заключи-
заключительную (восьмую) главу. Автор с большим вниманием отнесся
и к предложениям редакции по уточнению и изменению ряда
мест книги. Такое содружество в работе во многом способствовало
улучшению книги в ее русском варианте. Издательство считает
своим приятным долгом выразить автору искреннюю благодарность
за проделанную им большую работу.
Настоящая книга, несомненно, может служить полезным допол-
дополнением к имеющейся учебной литературе по электродинамике.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
В основе настоящей книги лежит часть курса электродинамики,
который читается мною начиная с 1948 г. на физико-математиче-
физико-математическом факультете Бухарестского университета.
В ней излагаются основы микроскопической электродинамики,
т. е. классическая электронная теория и специальная теория отно-
относительности, развиваемая на основе электродинамики движущихся
тел. Рассматриваются также вопросы релятивистской микроскопи-
микроскопической и макроскопической электродинамики.
Оригинальное (румынское) издание этой книги вышло в свет
в 1955 г. В настоящем издании помимо исправления замеченных
опечаток был внесен ряд изменений и дополнений, не нарушающих,
впрочем, общий план книги, но улучшающих изложение курса.
Поэтому это русское издание можно рассматривать как новое
издание, имеющее вполне самостоятельное значение.
Автор надеется, что книга окажется полезной всем изучающим
теоретическую физику и будет принята в Советском Союзе с тем же
интересом, как и оригинальное издание в Румынии. Подготовка
к изданию перевода книги вызвала весьма плодотворное сотрудниче-
сотрудничество автора и редакции, сделавшей интересные замечания и пред-
предложения, которые улучшили текст. Поэтому я хочу выразить свою
благодарность физической редакции Издательства иностранной
литературы за компетентный интерес и заботу об улучшении каче-
качества кциги.
Л. НОВАКУ
Март, 1963
Бухарест
АТОМИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
ГЛАВА I
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Введение
При феноменологическом изучении электричества1) системати-
систематически пренебрегают вопросом о строении вещества, так как одна из
основных гипотез теории Максвелла состоит в непрерывности среды,
которую характеризуют следующие «постоянные»: е — диэлект-
диэлектрическая проницаемость, \i — магнитная проницаемость и у —
проводимость. Такая точка зрения позволяет объединить все элект-
электромагнитные явления, которые не зависят от внутренней структуры
вещества, в гармоническую систему, основанную на гипотезе
электромагнитного поля, определяемого уравнениями Максвелла:
B=0,
причем
D = eE, B = jxH, i = YE-
Границы применимости этой теории указывают, однако, на то,
что феноменологическое исследование следует дополнить исследова-
исследованием, проведенным с микроскопической точки зрения с учетом экс-
экспериментально выявленной атомистической структуры вещества.
Так, соотношение п = х1/2 (где п—показатель преломления ике—¦
относительная диэлектрическая проницаемость, ке= г/&0) удов-
удовлетворяется только для электромагнитных волн, длина которых
велика по сравнению с расстоянием между атомами. Экспери-
Экспериментальное исследование дисперсии света свидетельствует о том,
что вообще показатель преломления п не постоянен. Иссле-
Исследование диэлектрических сред, находящихся под действием
г) Читателю рекомендуется книга И. Е. Тамма («Основы теории электри-
электричества», М., 1956). В дальнейшем она будет цитироваться как: Тамм, стр. 000.
В книге используется рационализованная система единиц MKSQ (система
Джорджи), в которой основными единицами являются метр (м), килограмм
(кг), секунда (сек) и кулон (к), а вакуум наделяется проницаемостями ео =
= 8,854-102 ф/м и ^о = 4л;-1О-7 гн/м.
12 Гл. I. Основы классической электронной теории
переменного электромагнитного поля, показывает, что е также
нельзя считать постоянным. Из экспериментального исследования
оптических и электрических свойств вещества следует, что и у
нельзя считать постоянным. А исследование магнитных свойств
веществ, в особенности ферромагнетиков, приводит к такому же
заключению и относительно \i. В случае переменных электромагнит-
электромагнитных полей эти «постоянные» часто ведут себя совсем иначе, чем
в случае статических полей, для которых они были определены.
С другой стороны, опыт противоречит теории Максвелла, в кото-
которой электричество рассматривается как непрерывная субстанция.
Действительно, с точки зрения теории Максвелла электрический
заряд не имеет реального существования, а рассматривается как
вторичная величина, порожденная существованием электрического
поля. Так как электрический заряд определяется уравнением
то он связан с источниками силовых линий электростатического
поля. Однако экспериментальные исследования привели к заключе-
заключению, что электричество имеет дискретную структуру, так как оно
состоит из «электрических атомов», называемых электронами, реаль-
реальное существование которых следует учитывать в теории электриче-
электрических явлений.
В заключение можно сказать, что уравнения Максвелла подтвер-
подтверждаются опытом, лишь если мы ограничиваемся электромагнит-
электромагнитными явлениями в пустом пространстве. Параметры, при помощи
которых описываются электрические и магнитные свойства веществ
(такие, как сопротивление, электрическая и магнитная поляризации
и т. д.), подверглись подробному анализу для выяснения их значе-
значения и природы. Результатом этого анализа явилось создание микро-
микроскопической (атомистической) теории электричества, которая разви-
развилась на основе классической электронной теории благодаря трудам
Г. А. Лоренца A895 г.)
Прежде чем перейти к изложению основных принципов класси-
классической электронной теории, сделаем краткий исторический обзор
важнейших открытий, приведших постепенно к концепции атомисти-
атомистической природы электричества и пониманию электрического строе-
строения атомов вещества.
§ 1. Экспериментальное доказательство атомистического
строения электричества
Впервые связь между атомистическим строением вещества
и электричества была установлена Гельмгольцем в 1881 г. при интер-
интерпретации законов электролиза, открытых Фарадеем A833 г.). Систе-
Систематически изучая электрическую проводимость электролитов,
§ 1. Экспериментальное док-во атомист, строения электричества 13
Фарадей вывел хорошо известный закон, согласно которому каждый
грамм-атом одновалентного электролита переносит одно и то же
количество электричества, называемое фарадеем A фарадей —
— 96522 к/моль). Так как один грамм-атом электролита содержит
Л/=6,02-1023 одинаковых атомов, то, следовательно, каждый ион
одновалентного металла переносит и высвобождает у катода одно
и то же минимальное количество электричества, равное
е=™= 1,602-109 к.
Любые заряды, переносимые при электролизе, являются целыми
кратными этого минимального заряда.
Законы Фарадея вместе с гипотезой существования атомов при-
привели Гельмгольца к заключению, что в случае электролиза электри-
электричество имеет дискретную структуру и состоит из единиц заряда,
равных е.
Исследование электрических разрядов в разреженных газах
привело Дж. Дж. Томсона к доказательству ионного характера
проводимости газов. Путем измерения коэффициентов подвижности
и диффузии ионов в газах было показано, что заряды этих ионов
имеют тот же порядок величины, что и заряды ионов электролитов.
И в этом случае было выявлено существование элементарных элект-
электрических зарядов.
Исследование электрических разрядов в разреженных газах
привело к открытию катодных лучей A869 г.), которые, как следует
из различных измерений [Дж, Дж. Томсон A897 г.), Перрен A905 г.)],
представляют собой поток очень малых частиц, несущих отрицатель-
отрицательный заряд, также равный элементарному заряду е. Эта элемен-
элементарная частица по предложению Стони A874 г.) была названа элек-
электроном1).
Прежде чем мы перейдем к изложению метода, использованного
Томсономдля определения удельного заряда ионов и частиц из катод-
катодных лучей, продолжим для завершения этого краткого историче-
исторического обзора перечисление экспериментальных результатов, под-
подтверждающих существование электронов.
Существование электронов постоянно подтверждалось впослед-
впоследствии при экспериментальном изучении ряда вновь открываемых
явлений: термоэлектронного эффекта (Ричардсон, 1884 г.), фото-
фотоэлектрического эффекта (Столетов, 1888 г.), ^-излучения радио-
радиоактивных веществ (Гизель, 1899 г.) и т. д. Во всех этих случаях
определение удельного заряда привело к значениям, которые
оказались очень близкими к найденному в случае катодных
лучей.
Название электрон было предложено Стони в 1891 г.—Прим. ред.
14 Гл. I. Основы клаесической электронной теории
Упомянем также об экспериментальных определениях удельного
заряда электронов, основанных на проявлениях инерции свободных
электронов в металлах. Основная идея этих опытов состоит в том,
что присутствие электронов в свободном состоянии внутри металлов
может быть выявлено с помощью механических эффектов, возни-
возникающих благодаря инерции элект-
электрона, рассматриваемого как мате-
материальная частица.
Так, Никольс показал действие
, V центробежной силы на электроны
внутри быстро вращающегося ме-
металлического диска. А именно
вследствие быстрого вращения
диска электроны скопляются у его
периферии, так что возникает раз-
ф и г* ность потенциалов V между сере-
серединой и краем диска (фиг. 1). Вы-
Выражение для разности потенциалов можно вывести, заметив, что
при постоянной скорости вращения устанавливается равновесие;
действие центробежной силы компенсируется возникшим электри-
электрическим полем. Будем иметь, следовательно,
mrco2 = еЕ (г),
где со— угловая скорость; Е(г) — напряженность электрического
поля в точке, находящейся на расстоянии г от оси вращения;
е — заряд и т — масса электрона. Интегрированием получим
Эта разность потенциалов может быть измерена с помощью галь-
гальванометра. Так, для #=10 см и со^ 100 сек'1 получаем 1Л=3- 100в.
Вычисленный при помощи этой формулы удельный заряд электрона
подтверждает сделанное предположение.
Действие внезапного торможения металлического стержня на
имеющиеся в нем свободные электроны было экспериментально
изучено Толменом, а также Томсоном и Стюартом. При внезапном
торможении концы стержня заряжаются электрическими зарядами
противоположного знака благодаря инерции электронов. Этот
эффект может быть обнаружен и измерен с помощью чувствитель-
чувствительного баллистического гальванометра. Из формулы, которую можно
вывести, получается величина е/т, хорошо согласующаяся с из-
известным значением.
Кроме удельного заряда elm, Томсон определил непосредственно
из эксперимента и заряд е электрона, измерив средний заряд одного
§ 2. Определение удельного заряда электронов 15
иона в газе. Впоследствии Милликен A911 г.) точно определил
величину заряда электрона путем измерения заряда каждой частицы
в отдельности1). Иоффе огГределил заряд электронов, испускаемых
при фотоэлектрическом эффекте A912 г.).
Дискретная структура электричества, иначе говоря, существо-
существование электронов (и позитронов, т. е. атомов положительного
электричества, открытых позднее), ныне обнаруживается и пря-
прямыми методами, позволяющими наблюдать эффект, производимый
отдельной элементарной частицей. Это достигается при помощи
приборов, постоянно используемых в физических лабораториях:
счетчиков Гейгера A913 г.) и Мюллера A928 г.) в усовершенствован-
усовершенствованных теперь формах и камеры Вильсона A912 г.), а также при помо-
помощи фотографических пластинок со специальными эмульсиями, имею-
имеющими дифференцированную чувствительность, которые позволяют
регистрировать путь, пробегаемый отдельным электроном под дей-
действием известного поля.
Таким образом, можно считать, что дискретная структура элек-
электричества является достоверным фактом, который подтвержден
существованием электронов, т. е. отрицательных элементарных
зарядов, свободных и неделимых.
§ 2. Определение удельного заряда электронов1)
Если заряженные частицы, движущиеся прямолинейно, попадают
в однородное электрическое или магнитное поле, направленное пер-
перпендикулярно их скорости, то такие частицы отклоняются от своего
пути. Причем в электрическом поле частицы движутся так, что
отклонение будет параллельно полю, а в магнитном поле — перпен-
перпендикулярно как полю, так и скорости. Оба отклонения пропорцио-
пропорциональны удельному заряду частицы, т. е. отношению заряда к массе.
Это — основная идея в проведенных Томсоном исследованиях
катодных лучей, которые привели к определению удельного заряда
электронов.
Для изучения действия однородного поля на движущийся элек-
электрон будем рассматривать электрон как очень маленькую сфериче-
сферическую частицу массы т, несущую отрицательный электрический заряд
е и имеющую скорость v, которая предполагается постоянной и
малой по сравнению со скоростью света.
Поведение электрона в электростатическом поле Е можно легко
определить, если учесть, что на него действует сила
Fe = eE. A.1)
Для справок см., например, [1].
16 Гл. I. Основы классической электронной теории
Действие магнитного поля В определяется, если допустить
справедливость закона Лапласа
(здесь F — сила, действующая на проводник объемом Т, по которому
течет ток плотностью i) и учесть, что равномерно движущиеся
электроны эквивалентны стационарному электрическому току про-
проводимости. Вследствие тождественности магнитных свойств конвек-
конвекционных токов и токов проводимости [Роуленд A875 г.) и Эйхен-
вальд A903 г.)] силу этого тока можно вычислить, исходя из опре-
определения силы стационарного тока проводимости
Здесь / — количество электрического заряда, проходящего через
сечение линейного проводника за единицу времени. Так как число
электронов, проходящих через площадку S за время dt со скоростью
и, равно nSvdty то имеем dQ = nevSdt, где п — число электронов
в единице объема, или
Idt = nev S dt.
Это можно записать в виде
/ dl = nevS dl = Nev,
где N = nS dl — общее число электронов в объеме S dl%
Итак, для одного электрона имеем следующее векторное
соотношение:
выражающее силу конвекционного тока.
Следовательно, сила, действующая на электрон, будет равна
Fm = -^/^lxB = evxB. A.2)
Отметим, что прямым подтверждением этой формулы является
эффект, открытый Холлом A880 г.) и названный его именем. Он
состоит в следующем. Если металлический проводник, через кото-
который течет ток, помещен в магнитное поле, то линии тока смещаются
так, как если бы на них действовала электродвижущая сила, пер-
перпендикулярная одновременно к направлению тока и к направлению
магнитного поля. То же явление наблюдается, впрочем, и в случае
электролитов и разреженных газов.
§ 2. Определение удельного заряда электронов
17
Это явление противоречит классической теории Максвелла,
согласно которой магнитное .поле действует только на металличе-
металлический проводник, через который проходит ток, а не на линии тока.
Следовательно, если проводник находится в состоянии покоя, то
линии тока должны были бы остаться неискаженными. Явление же,
открытое Холлом, подтверждает электронную теорию, согласно
которой линии тока должны быть смещены под действием магнит-
магнитного поля, так как они на самом деле
являются траекториями электронов.
Фиг. 2.
1. При помощи формул A.1) и A.2) можно вычислить отклоне-
отклонение пучка электронов в однородном постоянном электрическом
или магнитном поле. Так, в однородном поперечном электрическом
поле конденсатора электроны описывают параболу (фиг. 2), опре-
определенную системой уравнений
1 е V „
или уравнением
2у
A.3)
где V — разность потенциалов, / — расстояние между обкладками
конденсатора, E=V/l. Если определить экспериментальным путем
х и у, то при известной скорости v0 можно вычислить е/т. Итак,
пучок электронов, прошедший путь x=d в однородном электро-
электростатическом поле, отклонится на
' '*\ A.3')
2. В однородном поперечном магнитном поле электрон опи-
описывает окружность, радиус которой R определяется из равен-
равенства между центробежной силой и силой Лоренца A.2) (фиг. 3):
В. Новаку
18 Гл. I. Основы классической электронной теории
Уравнение круговой траектории имеет вид
Для значений х, удовлетворяющих условию х < /?, имеем
Из A.5) следует равенство
поэтому, если известны В, R и v0, можно вычислить значение
е/т. К сожалению, скорость v0 не может быть известна с до-
достаточной точностью. Итак, пройдя путь х — & в однородном
магнитном поле, пучок электронов отклонится на
п __ l e о d2 /л с'\
Um-~2-m~B~^ # ( '
3. Для определения удельного заряда elm нужно, следова-
следовательно, измерить отклонения последовательно в поперечных
электрическом и магнитном полях, исключая при вычислении
скорость электронов (именно так сделал Дж. Дж. Томсокг
в 1897 г.). Находим
^-= 1,759.10й к/кг.
Неожиданным был тот результат, что удельный заряд катодных
частиц оказался значительно больше удельного заряда самого легкого
одновалентного иона электролита. В самом деле, для иона водорода
±- = F = 96 490 к/г ^ 108 к/кг.
тн
Отсюда следует, что его удельный заряд приблизительно в 2000 раз
меньше удельного заряда электронов. Предположив, что они несут
одинаковые заряды, приходим к заключению, что масса электрона
приблизительно в 2000 раз меньше массы атома водорода.
Заметим, что более точные результаты получаются, если под-
подвергнуть электроны одновременному воздействию обоих полей,
направленных параллельно.
4. Пусть электрон движется в однородных электрическом и маг-
магнитном полях, имеющих одно и то же направление. Примем это
направление за ось Ох, а за ось Oz — направление пучка электро-
электронов. Если скорость электронов значительно меньше скорости света
§ 2. Определение удельного заряда электронов 19
, то уравнения движения будут иметь вид
dvx eE
Полагая vz ^v и считая, что величинами vx и vy можно пренебречь
по сравнению с v для отклонения в момент t=d/v (когда электроны
попадают на фотопластинку), из первых двух уравнений при помо-
помощи интегрирования получаем выражения
Х~ т 2у2 '
__ еВ д?_
У~~Ж 2v *
Таким образом, получаем параболы у2= ±Сх, где С=
~(eB2d2)/BmE), знак плюс соответствует случаю, когда электриче-
электрическое поле антипараллельно магнитному. Эти параболы касаются
друг друга в точке х=у=0, соответствующей скорости v=od.
Следовательно, электрическое и магнитное отклонения будут
перпендикулярны друг другу и результирующее отклонение зави-
зависит от скорости электронов. Каждой точке фотографической пла-
пластинки или флуоресцентного экрана соответствует определенная
скорость электрона. Если электронный пучок состоит из электро-
электронов с одинаковой скоростью, то на экране этот пучок попадет в одну
точку. Таким образом можно провести анализ скоростей и удель-
удельных зарядов заряженных частиц (Кауфман, 1901 г.).
5. Пусть электроны движутся в однородных электрическом
и магнитном полях, направленных взаимно перпендикулярно.
Выберем координатные оси так, чтобы Е=ЕУ и B=BZ. Для
очень малых скоростей (v<tc) уравнения движения имеют вид
Умножив второе уравнение на /, положив х + ]'у=^^ и склады-
складывая оба уравнения, получим
т 7
2*
20 Гл. I. Основы классической электронной теории
где (й~(е/т)В. Общий интеграл уравнения будет иметь вид
Если в начальный момент ? = 0 мы имеем dy/dt~09 то
L = х0 = — /соЛ + -g-
и ^0 = Л + С; получаем, следовательно,
Таким образом,
х — д:0 = аф — 6 sin ф,
где ф=со^, а=A/со)(?/В), 6=—A/со)[л:о— (Е/В)]. Мы получили
параметрическое уравнение циклоиды. Если х0 =0 и, следователь-
следовательно, 6=а, получаем уравнение простой циклоиды.
В случае, если электрическое и магнитное поля действуют одно-
одновременно, а их направления перпендикулярны друг другу и напра-
направлению движения электронов, можно скомпенсировать оба откло-
отклонения. Таким способом осуществляется разделение пучков электро-
электронов на компоненты, состоящие из электронов с одинаковой ско-
скоростью (Бюхерер, 1909 г.; Гюйи и Лаванши, 1916 г.). Этим методом
были получены очень точные определения, которые показали, что
масса электрона меняется с изменением скорости.
6. Рассмотрим теперь движение электрона в произвольно напра-
направленных постоянных однородных электрическом и магнитном полях
в случае, когда ?><с. Если направление поля В принять за ось Ог,
а плоскость, образованную векторами Е и В, считать плоскостью
yOzy то уравнением движения будет
x В.
Его можно записать и в виде;
тх = еуВ.
wy~eEy — exB,
mz=-eEz.
Из третьего уравнения следует, что вдоль оси Ог заряд дви-
движется равномерно-ускоренно:
§ 2. Определение удельного заряда электронов 21
Первые два уравнения можно легко проинтегрировать. Для
этого умножим второе уравнение на / и сложим их. Получим
где со = (е/т) В, t>~x-{-jy. Интегрирование дает
где а = beia — комплексная постоянная. Из этого соотношения
следует
х = Ъ cos (at — a) + ~ ,
у= — bsin(co^--a),
откуда видно, что скорость является периодической функцией t.
Если предположить, что в момент / = 0 скорость направлена по
оси Ох, то можно положить а = 0, и тогда интегрирование дает
y=z — (COSCD^— 1).
Эти уравнения суть параметрическое уравнение трохоиды. В слу-
случае, когда Ь= —Еу/В и ф = со/, мы имеем
Следовательно, в этом случае проекция траектории на плоскость
хОу является циклоидой.
Полученные формулы используются в теории магнетронов.
7. Непосредственное экспериментальное определение заряда
электрона методом «уравновешенной капли», проведенное Мил-
ликеном A909 г.), привело к значению
е= 1,60199-109 к.
22 Гл. I. Основы классической электронной теории
По известному заряду электрона из величины удельного заряда
была определена масса электрона
т = 9,1055- 1СГ31 /сг= 9,1055-10'28 г.
§ 3. Основные гипотезы теории Лоренца
Тот факт, что электричество имеет атомистическую структуру
и что «атомы электричества» (которые, как оказалось впоследствии,
являются настоящими материальными частицами), называемые
электронами, могут высвобождаться различными способами из раз-
разных веществ, привел к гипотезе, сформулированной Резерфордом,
что атомы состоят из электронов и положительно заряженного ядра.
Эта гипотеза помогла объяснить образование ионов в электролитах
и газах. Была поставлена, таким образов, проблема объяснить
физические явления на основе существования элементарных зарядов
и электромагнитных волн, порожденных этими зарядами в пустом
пространстве. Это было осуществлено в ограниченных рамках клас-
классической физики Лоренцем [2, 3] A885 г.) — создателем классиче-
классической электронной теории. Ниже мы изложим эту теорию в общих
чертах, учитывая и последующие достижения в области познания
строения вещества. Сначала мы изложим кратко гипотезы, на основе
которых пишутся уравнения электромагнитного поля электрона,
и изучим свойства этих уравнений, затем рассмотрим связь, суще-
существующую между лоренцевым микроскопическим электронным
полем и максвелловым макроскопическим полем.
В теории Лоренца в отличие от теории Максвелла (допускавшего
существование различных сред, характеризующихся постоянными
е, (л и у) допускается существование единой среды, а именно «не-
«непрерывного эфира», в котором происходят все явления, порожден-
порожденные движением электронов или ионов.
Сам эфир, т. е.то, что сегодня мы понимаем под пустым прост-
пространством, играет роль диэлектрика в прямом максвелловом смысле
этого слова, а тела представляют собой ассоциации движущихся по-
положительных или отрицательных зарядов.
Концепция, что вещество состоит из движущихся заряженных
частиц, не нова, так как и теории Вебера, Римана и Клаузиуса
строились на ее основе. Совершенно новой, однако, является гипо-
гипотеза Лоренца, что взаимодействие между заряженными частицами
происходит в соответствии с концепцией Максвелла, т. е. через
посредство поля, в то время как в предшествующих теориях в соот-
соответствии с концепцией Ньютона допускалось лишь мгновенное
воздействие на расстоянии.
Отметим, что уравнения микроскопического электромагнитного
поля электрона вытекают из соответствующим образом преобразо-
преобразованных уравнений Максвелла.
§ 3. Основные гипотезы теории Лоренца 23
При осуществлении этих преобразований Лоренц исходил из
следующих гипотез, сформулированных на основе эксперименталь-
экспериментальных данных:
1°. Электричество имеет атомистическую структуру. Оно состоит
из неделимых элементарных зарядов е, которые можно считать
микроскопическими частицами. Эти частицы были названы электро-
электронами и имеют вполне определенный удельный заряд.
2°. Уравнения Максвелла справедливы в пустом пространстве.
Следовательно, допускается существование непрерывной среды
(эфира), характеризующейся постоянными е0 и (х0, в которой рас-
распространяются электромагнитные возмущения и движутся элек-
электроны. Все электромагнитные явления должны объясняться движе-
движением электронов.
3°. В проводящих средах электроны предполагаются свободными
и перемещающимися как в среде с сопротивлением. Следовательно,
когда устанавливается разность потенциалов между двумя точками
проводника, то электроны будут перемещаться в направлении
электрической силы с постоянной скоростью, порождая электриче-
электрический ток, т. е. перенос электричества. Ток проводимости, опре-
определенный в теории Максвелла соотношением i=Y^» заменяется
конвекционным током. Следовательно, y получает статистический
смысл.
4°. В диэлектрических средах предполагается, что электроны
связаны квазиупруго с положительно заряженными ядрами атомов
или молекул. Поляризационные заряды, которые появляются
под влиянием электрического поля, обусловлены движением этих
связанных электронов под действием внешнего электрического поля.
Таким образом^ понятие «ток смещения» в диэлектрических средах
становится конкретным, а гипотетичным в максвелловом смысле
остается только «ток смещения в пустом пространстве» id=D=e0E.
Отсюда вытекает статистический смысл е.
5°. Явление магнитной поляризации объясняется движением
электронов по замкнутым орбитам (которые для простоты предпо-
предполагаются круговыми) вокруг положительно заряженных ядер,
находящихся внутри вещества.
Таким образом, гипотеза молекулярных токов Ампера конкрети-
конкретизируется. Магнитные массы, появившиеся в результате поляриза-
поляризации, находят свое объяснение в этих круговых конвекционных
токах, магнитное поле которых тождественно полю, порожденному
эквивалентным магнитным листком. Отсюда вытекает статистиче-
статистический СМЫСЛ (X.
6°. В общем случае неидеальной среды мы сталкиваемся с двумя
видами электронов: свободные электроны, которые порождают кон-
конвекционные токи, и связанные, или поляризационные, электроны,
24 Гл. I. Основы классической электронной теории
которые порождают токи смещения и, следовательно, поляризацион-
поляризационные заряды. Полный электрический ток обусловлен движением этих
двух видов электронов, к которому следует добавить «ток смещения»
Максвелла в пустом пространстве.
В согласии со сделанными гипотезами уравнения Лоренца пишут-
пишутся в предположении, что справедливы уравнения типа Максвелла
и что они применимы к микроскопическому электромагнитному
полю движущихся электронов со следующими изменениями.
Во-первых, вместо макроскопического электромагнитного макс-
максвелл овского поля, определенного векторами Е, D и В, Н, вводится
микроскопическое электромагнитное поле, определенное векто-
векторами ей Ь.
Микроскопическое электромагнитное поле связано со своим
источником — движущимся электроном, поэтому следует считать,
что оно быстро меняется в пространстве и времени. Так как это поле
определено в точках, внешних по отношению к электрону, уравне-
уравнениями Максвелла для пустого пространства, то для его описания
достаточно знать два основных вектора: вектор напряженности
электрического поля и вектор магнитной индукции, которые мы будем
обозначать соответственно е и Ь. Очевидно, для векторов электри-
электрической индукции d и напряженности магнитного поля h имеем
d=eoe, h=(l/|xo)b.
Так как, согласно концепции Лоренца, вещество, которое с мак-
макроскопической точки зрения представляет собой непрерывную среду,
фактически является областью пустого пространства, в которой
находится огромное количество элементарных заряженных (поло-
(положительно или отрицательно) непрерывно движущихся частиц, то
макроскопическое поле представляет собой усредненный в прост-
пространстве и времени результат наложения микроскопических элек-
электромагнитных полей всей совокупности этих элементарных частиц.
Во-вторых, вместо тока проводимости и тока смещения вводится
конвекционный ток j электронов (эквивалентный в соответствии
с опытом Роуленда току проводимости) и ток смещения в эфире
(пустом пространстве) еое.
Плотность конвекционного тока равна, по определению,
i = Qv, A.7)
где v — скорость электрона, ад — плотность зарядов в рассма-
рассматриваемой точке. Очевидно, QФ0 только внутри электрона. Она
определяется соотношением
о = lim -г— ,
где предполагается, что элемент объема Да стремится к нулю так,
чтобы точка, в которой находится электрон, оставалась внутри него.
§ 3. Основные гипотезы теории Лоренца 25
В случае протяженного электрона следует уточнить закон распре-
распределения электрических зарядов в нем, а в случае точечных элект-
электронов необходимо, вообще говоря, сделать специальные предполо-
предположения относительно распределения электронов внутри конечного
объема рассматриваемого вещества, чтобы узнать, каким образом
плотность q зависит ©т переменных пространства и времени. Вели-
Величины q и v являются функциями пространства и времени и свя-
связаны между собой уравнением непрерывности.
Полный ток будет, следовательно, равен
qv + еое.
Поэтому основные уравнения классической электронной теории
имеют вид1)
J> A.8)
Vxe=-b,
V8oe==6' A.9)
к которым следует добавить еще выражение для плотности силы,
действующей на заряд:
WPo = Qe + jXb = Q(e + vxb). A.10)
Последнее уравнение постулирует выражение пондеромоторной
силы, называемой силой Лоренца, которая действует на заряды
в единичном объеме. Чтобы уточнить изменение скорости со вре-
временем, т. е. закон движения электронов, постулируется справед-
справедливость уравнений движения материальной точки классической
механики.
Отсюда вытекает, что если в заданный начальный момент извест-
известны значения е, b, q и v в некоторой области пространства, то выше-
вышеприведенные уравнения дают значения е, b и g в любой последую-
последующий момент, а значение скорости v может быть выведено из урав-
уравнения движения одного (или соответственно нескольких) электро-
электрона, рассматриваемого как материальная точка массы т, на которую
действует сила fMHKP0, заданная формулой A.10).
К этим уравнениям нужно добавить уравнение непрерывности
A.11)
г) В большинстве работ эти уравнения пишутся без постоянных е0, fx0.
Здесь они появляются из-за применяемой системы единиц (см. прим. на стр. 11).
26 Гл. I. Основы классической электронной теории
сходное с аналогичным уравнением теории Максвелла, которое выра-
выражает закон сохранения количества электричества. Это уравнение
легко выводится, если взять дивергенцию от обеих частей первого
уравнения A.8); получаем
откуда, если учесть A.9), немедленно следует уравнение A.11).
Уравнение непрерывности выражает очевидный факт, что поток
конвекционного тока, т. е. электронов, через замкнутую поверхность
равен убыванию плотности электрических зарядов, т. е. электронов,
в объеме, ограниченном рассматриваемой поверхностью.
1. Отметим, что в пустом пространстве имеем (>=0, если пред-
предположить, что в нем нет ни одного электрона; следовательно, в пу-
пустом пространстве уравнения A.8) и A.9) совпадают с уравнениями
Максвелла для пустого пространства (е=е0, \^=\^о, У=0).
В этом случае векторы е и b можно было бы отождествить с век-
векторами Ей В теории Максвелла. В действительности же этого сде-
сделать нельзя, поскольку такое отождествление несправедливо в об-
общем случае, когда q=?0. Следует различать, с одной стороны,
микроскопическое поле е и b одного электрона или небольшого числа
электронов, а с другой — макроскопическое поле Е и В, которое
определяется феноменологически для очень большого числа заря-
зарядов, содержащихся в теле конечных размеров.
2. Система уравнений Максвелла—Лоренца A.8)—A.10) полу-
получена из системы уравнений Максвелла надлежащим преобразованием
последней на основе некоторых общих предположений. Справедли-
Справедливость системы не доказывается. Вытекающие из нее следствия
нужно сопоставить с экспериментальными данными и выяснить,
в какой мере они этими данными подтверждаются.
Так как эти уравнения относятся только к одному электрону
или к небольшому числу электронов, то они не могут быть непосред-
непосредственно использованы в реальных случаях, ибо здесь всегда при-
приходится иметь дело с очень большим числом электронов. В приложе-
приложениях к ним следует добавить некоторые соображения статистического
характера относительно распределения электронов в веществе,
уточнив значение плотности заряда q, входящей в эти уравнения.
3. Теория представляет собой оригинальный синтез концепций,
касающихся элементарной заряженной частицы и электромагнит-
электромагнитного поля, непрерывным образом распределенного в пространстве,
заполненном покоящимся гипотетическим эфиром. Эта тесная связь
между частицей и полем является основной чертой теории Лоренца.
Она выражается в допущении, что в пустом пространстве пригодны
как уравнения Максвелла, так и уравнения ньютоновой механики,
описывающие движение элементарных частиц.
§ 3. Основные гипотезы теории Лоренца 27
4. Следует отметить, однако, что электронная теория Лоренца
чрезвычайно непоследовательна в том, что связано с самой при-
природой электрона, которая остается совершенно неуточненной. Мож-
Можно сказать даже, что электрон является чем-то посторонним в клас-
классической теории электрона. Действительно, электрон как элемен-
элементарный заряд в основные уравнения A.7)—A.10) не входит, что
значительно снижает ценность этой теории, несмотря на пользу,
которую она приносит в области познания электрических и маг-
магнитных явлений.
В эти уравнения входит только плотность заряда q, причем пред-
предполагается непрерывное распределение электричества. Из выра-
выражения A.10) для лоренцевой силы следует, что она действует на
единичный объем, в котором может содержаться большое количе-
ствоэлектронов; однако при помощи этой силы отнюдь нельзя объяс-
объяснить существование самого электрона, которое предполагает нали-
наличие определенного электростатического равновесия электрических
зарядов одинакового знака.
Тем не менее заметим, что этот недостаток можно до некоторой
степени устранить, введя функцию Дирака, позволяющую учесть
существенную разрывность, связанную с реальным существованием
неделимых электронов. А именно если считать электроны точечными
зарядами, подобно тому как принято считать в механике материаль-
материальные точки, то в случае одного электрона, имеющего координаты
го(а:о, у0, 20), можно записать
в(г) = «в(г0-г),
j(r) = ev6(ro-r), (iAZ)
где
б(го-г) = б (хо-хN(уо-У) б (zo-z) A.13)
есть функция Дирака, которая фактически является пределом
функции с резко выраженным максимумом в одной точке и такими
значениями в остальных точках, которыми можно пренебречь.
Функция д(х0 — х) определяется следующим образом:
f оо при хо = ^, п 1/П
n ^ 1.14)
0 при хофх>
причем
$(*0-*)d*=l. A.14')
Из этого определения следует, что для произвольной функ-
функции f(x)
I f(xN(xo-x)dx = f(xo). A.14")
28 Гл. I. Основы классической электронной теории
Безусловно, операция введения 8-функции не помогает решить
основную задачу выяснения природы электрона и влечет за собой
неудобство, что электрон нужно предполагать точечным. А именно
в отличие от обычной механики в теории микроскопических полей,
как следует из уравнения A.10), ускорение электрона определяется
не непосредственно положением остальных электронов или заря-
заряженных частиц, а значением микроскопического поля в окрест-
окрестности рассматриваемого электрона.
Но рассматриваемый электрон также участвует в создании этого
поля своим собственным полем, причем это поле является беско-
бесконечным в точке, в которой находится частица, в силу того что она
предполагалась точечной. Кроме того, из уравнения A.10) сле-
следует, что в случае, когда рассматривается полное микроскопическое
поле, частица воздействует сама на себя. Это противоречит первому
закону Ньютона. Чтобы устранить эту трудность, необходимо разло-
разложить полное микроскопическое поле на «собственное» и «внешнее»
поля и ввести в A.10) только последнее из них. Но без дополнитель-
дополнительных условий собственное поле не определяется однозначно урав-
уравнениями микроскопического поля.
5. Отправляясь от уравнений движения электронов и учиты-
учитывая основные уравнения теории A.8) и A.9), можно показать, что
законы сохранения энергии и импульса формулируются так же,
как и в макроскопической электродинамике.
Так, в случае системы движущихся заряженных частиц
et (i = 1, 2,..., п), имеющих соответственно скорости v^ = г<, где
тг— радиус-вектор, можем записать
A.15)
Умножив скалярно на г^ и сложив, получаем
что можно представить в виде
d f тг\ 1 -2\ dT
где Т — кинетическая энергия системы материальных точек.
Пользуясь понятием плотности заряда Q, суммирование можно
заменить интегрированием пр объему
i;. A.16)
Так как из первого основного уравнения имеем
§ 3. Основные гипотезы теории Лоренца 29
то выражение A.16) примет вид
W-=S -i_(Vxb)edt,- J eoee^.
Учитывая соотношение
V(exb) = b-V Xe-e-V X b,
получаем
^\ V(exb)du
^\ V(exb)du[ hbdv-eo\ eedv,
ИЛИ
^fi^S(i0 AЛ7)
Предположим, что на границе S рассматриваемой области
микроскопическое поле равно нулю. Это означает, что мы выбрали
достаточно большую область, для того чтобы можно было пол-
полностью пренебречь действием электронов на ее границе. В этом
случае соотношение A.17) перепишется так:
Из полученного соотношения следует, что, хотя система замкну-
замкнута, механическая энергия системы не постоянна. Следовательно,
для выполнения закона сохранения энергии необходимо посту-
постулировать существование энергии поля, локализованной в микро-
микроскопическом поле и имеющей плотность
Ц7=1Геое^ + -^ьЛ A.19)
Чтобы интерпретировать соотношение A.17), справедливое и
в общем случае, необходимо допустить, так же как и в макроскопи-
макроскопическом случае, существование потока энергии, плотность которого
определена вектором Умова—Пойнтинга микроскопического поля
Y = — exb. A.20)
Таким образом, A.17) можно переписать в виде
ndS. A.21)
Следовательно, закон сохранения энергии в данном случае будет
формулироваться так: выполнение механической работы системой
электронов производится частично за счет электромагнитной энер-
энергии, аккумулированной в микроскопическом поле, и частично за
счет переноса энергии, вызванной потоком энергии, проходящим
через границу рассматриваемой области.
30 Гл. /. Основы классической электронной теории
Чтобы вывести закон сохранения импульса, будем исходить
из уравнений A.15), которые в силу определения импульса
рг = тг\г могут быть переписаны следующим образом:
г г
или, в интегральной форме,
Q(e + vxb)*;, A.22)
где р —полный импульс системы материальных точек.
Учитывая уравнения A.8) и A.9) микроскопического поля
Vb=O, Q = e0Ve, j = qv = -^- V X b —eoe,
можно переписать соотношения A.22) следующим образом:
*Р = \ reoeVe + -^-bVb b x (V X Ь)-еоёх bl do.
С помощью равенства
еое X (V X е) = — еое X b
можно записать
*Е= J [60eVe-60ex(Vx e) + ~^ bVb--^ b X (V X b)] dv-
—^ Jeoexbdt;. A.23)
Легко проверить, что выражение, стоящее под знаком первого
интеграла в A.23), можно записать в виде дивергенции, если
заметить, что, в частности,
eo[eVe-ex (VXe)],=
Мы получили компоненты максвеллова тензора натяжений микро-
микроскопического поля *)
^\ A.24)
называется символом Кронекера:
0, если i Ф k,
1, если t=k.
§ 3. Основные гипотезы теории Лоренца 31
Аналогично члены, содержащие магнитный вектор, приводят
к компонентам тензора
T^ = -^bibk~-^bik{b)\ A.25)
Следовательно, выражение, стоящее под знаком интеграла, можно
записать в виде дивергенции тензора
Tik = Tt + T%\ A.26)
Отметим также, что выражение, стоящее под знаком второго
интеграла в A.23), может быть записано как вектор
g = eoexb. A.27)
Поэтому соотношение A.23) можно записать в виде
\Tdv> (L28)
ИЛИ
В случае, когда рассматриваемая область достаточно велика
для того, чтобы на границе микроскопическое поле было пренебре-
пренебрежимо малым, интеграл по поверхности в выражении A.28) обра-
обращается в нуль, и мы имеем
?[dv = O. A.29)
Отсюда следует, что закон сохранения импульса будет выполнен,
только если мы постулируем вслед за Абрагамом[4], что вектор g
представляет собой плотность электромагнитного импульса микро-
микроскопического поля. Следовательно, микроскопическое поле является
носителем импульса, и для того чтобы объяснить соотношение
A.28) нужно вообще допустить существование в поле потока им-
импульса.
Учитывая, что пондеромоторные силы, действующие на систему
частиц, определяются производной по времени механического им-
импульса системы, можно записать
p I p UP
микро — г 1 "Г г 2 — "^ »
где
V -nfe0e2 + ^b2) | dS=\ TihnkdS
s
Ш2
32 Гл. I. Основы классической электронной теории
здесь п —нормаль к поверхности ?F\ еп и Ьп — компоненты по
нормали) и
F — —
д(*микроэлм
(здесь Омикроэлм — электромагнитный импульс микроскопического
поля).
Следовательно, сила FMHkpo разделяется на две составляющие:
Fi — выражающую давление на поверхность S, порожденное
полем е и Ь, и F2 —силу, действующую на объем Т, которая
в теории Максвелла представляет собой силу, действующую на
эфир в случае пустого пространства. Если на поверхности <У
поле е = 0 и Ь = 0, а значит Fi = 0, то
ди
микро —
При стационарном режиме F=F4. Отметим, что принцип дей-
действия и противодействия, по крайней мере в обычной для механики
форме, не соблюдается в случае электрона Лоренца, так как элект-
электроны не оказывают никакого механического действия на электро-
электромагнитное поле. Однако, если ввести понятие микроскопического
электромагнитного поля, данный принцип будет соблюден и в этом
случае.
§ 4. Электромагнитное поле электрона,
движущегося медленно и равномерно
Рассмотрим электрон, который движется равномерно с постоян-
постоянной скоростью v (v < с) по направлению оси Ох. Предположив, что
в момент t=0 электрон находится в точке О, выбранной в качестве
начала координатных осей (фиг. 4), вычислим электромагнитное
поле, порожденное движущимся электроном в некоторой точке
Р(х, у, z). Для этого предположим, что электрон несет с собой соб-
собственное поле — это математически выражается постоянством
вектора е относительно системы осей, жестко связанной с движу-
движущимся электроном. Следовательно, записав, что е имеет одно и то же
значение и в точке Р(х, у, z) в момент /ив точке (х—vdt, у, z) в мо-
момент t—dt, получаем
е(*, у% z, t) = e(x-vdt, у, г, t-dt). A.30)
Разложение в ряд Тейлора дает соотношение
де де dx __ ^
§ 4. Электромагнитное поле электрона
33
которое символически можно записать так:
Следовательно, в общем случае, в предположении, что элект-
электрон движется в произвольном направлении, будем иметь симво-
символическое соотношение
А = _ = г
dt
д ,
V
v/
A.31')
Таким образом, если от-
отнести уравнения Максвел-
Максвелла—Лоренца A.8), A.9) к
системе координат, жестко
связанной с электроном,
то они не будут зависеть
от t. В самом деле, если х" Фиг. 4.
учесть общее соотношение
A.3Г) и то, что V —по-
—постоянный вектор, то уравнения A.8) можно переписать в виде
V х е == (vV) b = - V X (v X b).
Из первого уравнения получаем
Из A.33) b определяется с точностью до градиента
вольной скалярной функции (которую мы обозначим через
В силу A.9) имеем
или
A.32)
A.33)
произ-
f)
A.34)
-i-
Подставляя A.34) в A.32), легко убедиться, что все члены
части второго уравнения A.32) имеют порядок величины
3 В. Новаку
A.34')
правой
vVc2.
34Гл. /. Основы классической электронной теории
Так как 0<с, то можно написать
Vxe = 0. A.35)
Итак, с точностью до членов порядка v2/c2 мы получим стацио-
стационарное электрическое поле, тождественное полю одного заряда
в состоянии покоя. Следовательно, в любой момент времени поле е
тождественно полю покоящегося электрона, расположенного в той
же точке пространства, т. е.
где е — заряд электрона.
Вектор магнитной индукции b в точке Р (х, у, z) определяется
из уравнения A.34), если подставить в него выражение е из A.36),
причем в силу A.34') и A.35) следует положить Д/=0. Получаем,
таким образом, для магнитного поля, порожденного движущимся
электроном, следующее выражение:
Силовые линии магнитного поля, как и в случае постоянного
тока, представляют собой окружности, описанные вокруг траекто-
траектории электрона. Сравнив полученное выражение A.37) с законом
Био—Савара (см. Тамм, стр. 206) и учитывая соотношение A.7),
отметим интересную аналогию. Если элемент электрической цепи
dly через которую проходит ток силы /, содержит Ndl электронов,
движущихся с постоянной скоростью и, то имеем /= Nev. Маг-
Магнитное поле, порожденное в некоторой точке на расстоянии г от
этого элемента, будет равно
\l0I dl sin 0 __ дг «, \ioev sin0
Этот результат подтверждается опытами Роуленда и Эйхенвальда.
1. Отметим, что решение A.37) уравнения A.33) только при-
приближенное, так как мы предположили, что е — электростатическое
поле, что справедливо, лишь если мы рассматриваем мгновенное
поле, поскольку из-за движения электрическое поле меняется.
2. При помощи выведенного приближенного значения поля
одного электрона, движущегося медленно и равномерно, можно
вычислить соответствующие электромагнитную энергию и количе-
количество электромагнитного движения.
В самом деле, благодаря тому, что электрон, рассматриваемый
в какой-то момент как неподвижный, окружен электростатическим
§ 4. Электромагнитное поле электрона 35
полем е, ему можно приписать энергию
o|e|2<fo, A.38)
где интеграл берется по всему пространству. Вычисление этого
интеграла вызывает затруднение, так как выражение A.36) для е
справедливо только для больших значений г. Так как поле статиче-
статическое, имеем
е = - VV,
1 С 1
Где1/= — \ — Qdv] для больших значений г поле равно е/4яе0г.
При малых значениях г существенно распределение заряда в элек-
электроне; следовательно, необходимо уточнить выражение плотности
ааряда q. Для простоты допустим, что распределение зарядов
обладает сферической симметрией, т. е. электрон считается сплош-
сплошной или полой сферой радиуса а. В последнем случае заряды рас-
распределены только по поверхности. Если учесть выражение A.36),
получим
о —
A.39)
Это дает приблизительное значение энергии покоя электрона с по-
поверхностным распределением заряда. Для объемного распределе-
распределения результат отличается от полученного на числовой множитель
порядка единицы. Следовательно, можно сказать, что своим заря-
зарядом электрон создает электростатическое поле, энергия которого
равна
ну в2
ще коэффициент а зависит от закона распределения зарядов в элект-
электроне и от выбранной системы единиц.
К этой энергии покоя добавляется энергия магнитного поля,
порожденного движением электрона
которую можно вычислить из соотношения A.37)
e|«sm«(v, v)do.
3*
36 Гл. I. Основы классической электронной теории
Если считать, в частности, что скорость v параллельна оси
Ox(vx = v, vy = vz = 0), то получаем
%^ 4(|H) A.41)
так как
|e|2sin2(v, r) = 4 + ^2,
а в предположении сферической симметрии электрического поля
имеем
J e%dv= J e\dv = J eldv = -j Jj |e|2cfo. A.42)
<^/> ^/9 <^/Э <^>
Электромагнитный импульс поля, созданного движущимся
электроном, вычисляется по выражению A.27). А именно с уче-
учетом A.37) находим, что плотность импульса задается соотношением
т. е.
g = ^rlv|ef-e(ve)]. A.43)
В случае, когда vx — v, vy = vz — 0, получаем
g* = *g- D + Ф. §у = ~ ^ V*. ft = —? еге-
следовательно, полный импульс равен
Л, Gy = Gz = O, A.44)
где компоненты, нормальные к Ох, обращаются в нуль в силу
симметрии.
Следовательно, если допустить сферическую симметрию рас-
распределения зарядов q электрона, то в этом приближении, согласно
A.38) и A.42), имеем
G* = y«^. 0-44')
Точное значение будет получено в следующем параграфе.
3. По аналогии с выражением для импульса материальной
точки можем записать
G = m*v, A.45)
где
"** = у5 A.46)
есть приближенное значение массы электрона.
§ 4. Электромагнитное поле электрона 37
Выражение A.41) может быть записано в виде кинетической
энергии
Wm = \m*#. A.47)
Обозначив через т0 массу электрона, получаем для полной кине-
кинетической энергии электрона, движущегося медленно и равно-
равномерно, выражение
Следовательно, появление магнитного поля приводит к увели-
увеличению массы электрона, которая в предположении, что электрон
представляет собой заряженную сферу радиусом а, и с учетом
A.39) и A.46), равна
т т +*Е*т + 1 A.48)
и ' 3 с2 ° 1 6яе0с2 a
Член 4Wq/3c2 был назван Томсоном A881 г.) «электромагнитной
массой» [5]. Действительно, если бы маленькая заряженная элект-
электричеством сфера не обладала никакой инертной массой т0, то из
вышеизложенного следовало бы, что она ведет себя таким образом,
как будто ее инертная масса равна т*, а импульс определен соот-
соотношениями A.46) и A.45). Эта электромагнитная масса тем больше,
чем меньше радиус электрона. Следовательно, выбирая подходя-
подходящее значение для радиуса а, можно было бы получить значение,
равное наблюдаемой инертной массе тела, заряженного элект-
электричеством, считая таким образом всю массу электромагнитного
происхождения. Эта гипотеза, предложенная Томсоном, была
впоследствии развита Лоренцом, Абрагамом и Пуанкаре.
Гипотеза полевой массы, предложенная Томсоном, связана с его
взглядами на природу электромагнитного поля, которому он при-
приписывал, помимо энергии, также и механический импульс в смысле
действительной величины. Он считал, что энергия и масса электрона
полностью обусловлены энергией электромагнитного поля, связан-
связанного с электроном. Как мы увидим (см. § 5), экспериментальный факт
зависимости массы электрона от скорости казался серьезным аргу-
аргументом в пользу этой гипотезы. На самом деле в классической ме-
механике Ньютона глубоко укоренилась аксиома о неизменяемости
массы, т. е. о ее независимости от условий движения, так что изме-
изменение массы со скоростью казалось подтверждением того, что у
электрона нет другой инерции, кроме инерции, обусловленной его
электрическим зарядом.
Специальная теория относительности показала необоснованность
этого вывода, доказав существование общего соотношения между
38 Гл. /. Основы классической электронной теории
массой любого тела (даже незаряженного) и его скоростью (см. гл. 6,
§ 8). Итак, тождественность законов изменения механической массы
и электромагнитной массы со скоростью не позволяет сделать ника-
никаких выводов о природе массы электрона.
Но гипотеза полевой массы важна тем, что удалось эффективно
показать, что часть массы электрона имеет явно электромагнитный
(полевой) характер и прибавляется к механической массе.
Инертность, измеренная массой, осталась необъясненной в клас-
классической механике Ньютона. Понятие полевой массы явилось пер-
первым шагом на пути эффективного объяснения этого свойства.
Как мы увидим (см. гл. 6, § 9), в рамках классической теории
поля не удалось объяснить механическое поведение электрона, так
как его масса (соответственно энергия и импульс) не могли быть
приведены в соответствие между собой.
Открытие этих новых свойств электрона (полевая масса, зави-
зависимость массы электрона от скорости) привело к провалу механи-
механицизма—мировоззрения, согласно которому задача физики сводится
к объяснению явлений природы на основе принципов классической
механики. Этот провал рассматривался большинством физиков-меха-
физиков-механистов как кризис физики, как «провал материалистической интер-
интерпретации» физики вообще, как «исчезновение материи» (они сводили
материю к одному из ее свойств: инертности). В действительности же,
как показал В. И. Ленин [6] еще в 1908 г., это означало более глу-
глубокое проникновение в природу материи, замену механистического
мировоззрения электромагнитной концепцией, которая в свою оче-
очередь оказалась недостаточной, неполной, приближенной. Физиче-
Физические теории становятся все более глубокими и более совершенными,
оставаясь в то же время не всеохватывающими, не абсолютными.
В. И. Ленин также показал, что для решения основного вопроса
философии не имеет значения, похож ли электрон или нет по своим
физическим свойствам на обычное вещество, постоянна ли его масса
или нет. В. И. Ленин полностью устранил эту трудность, дав опре-
определение материи как объективной реальности. Разработка этого
исключительно важного тезиса сыграла огромнейшую роль в раз-
развитии естественных наук.
Сокращение размеров равномерно движущегося электрона.
Мы показали выше, что медленное прямолинейное равномерное
движение электрона можно интерпретировать как стационарное
явление.
Определим, как и в теории Максвелла, электродинамические
потенциалы У и А соотношениями
e=-W-A' A.49)
b = VxA, V ;
§ 4. Электромагнитное поле электрона 39
где V и А удовлетворяют условию Лоренца
^ = 0. A.50)
Эти потенциалы удовлетворяют уравнениям, которые аналогичны
уравнениям для макроскопических потенциалов
1уу _____ л
ДА L^.^ _
с2 dt2
Для электрона, равномерно движущегося по направлению оси
Ox (vx = v), с учетом соотношения A.31) можно записать
д/д\ д Г д \
I _____ ] —— ___ г% I ___ ч\ _____ ]
т. е.
Следовательно, обозначив у/с = р, можно записать уравнения
A.51) в виде
Производя замену переменных1)
замечаем, что уравнение A.53) можно записать в виде
совпадающем с уравнением Пуассона электростатики. Следователь-
Следовательно, явление распространения в системе координат OxQy0z0 при-
приобретает статический характер.
Система координат Ox0yQz0 перемещается вместе с электроном.
Следовательно, относительно этой системы электрон находится
в состоянии покоя и все электромагнитные явления носят характер
статических.
По отношению к этой движущейся системе Ox0y0z0 система Oxyz
считается неподвижной, и электрон относительно нее перемещается
с постоянной скоростью по направлению оси Ох.
1) Эта идея предложена Дж. Дж. Томсоном и Хевисайдом A889 г.)
40 Гл. I. Основы классической электронной теории
Из уравнений A.53) следует соотношение
А = -^У. A.56)
В силу инвариантности полного заряда электрона
\ Qo{XoyoZo)dvo=- jj Q(xyz)dv,
и, так как
получаем
qo = qA-P2I/2- A-57)
Таким образом, учитывая, что решением уравнения A.55) является
электростатический потенциал
— ? Q°dv°
и возвращаясь при помощи A.54) к исходным переменным, получаем
где
8 = {{х-х'У + {\-Шу-У'У + {г-г7\}Щ- A.69)
Следовательно, в случае точечного электрона имеем
V = -^—. A.60)
Вычисляя при помощи соотношений A.49) поле равномерно дви-
движущегося электрона, получаем с учетом A.31), A.56) и A.60)
дг ~~4яе0 s3
Как видно из фиг. 5,
Следовательно, выражение электрического поля в векторной
форме может быть записано следующим образом:
е== е г ^-Р2 /163\
4Я80 ГЗ (lp2sin2eK/2 * \ - *
§ 4, Электромагнитное поле электрона
41
Аналогично магнитное поле имеет вид
V Л S ~~
S ?
или
С? V Уч Г
A.64)
Из соотношений A.63) и A.64) следует, что при малых скоростях
поля сводятся к кулонову полю и к магнитному полю постоянного
тока. При больших скоростях оба поля зависят от угла 0, обра-
образованного направлением движения электрона и радиус-вектором г.
Уо
А
Фиг. 5.
Из выражения A.63) для электрического поля видно, что компонента
электрического поля, перпендикулярная направлению движения,
больше в A—p2)"V2 раз, а компонента по направлению движения
меньше в A—р2) раз по сравнению с электростатическим полем. Сле-
Следовательно, электрическое поле электрона сжимается в направле-
направлении движения. Магнитное поле также деформируется из-за быст-
быстрого движения электрона.
При очень больших скоростях, близких к скорости света, поле
электрона будет все больше сжиматься в плоскости, перпендику-
перпендикулярной направлению движения, т. е. будет иметь вид поля плоской
поперечной волны. Заметим, что движущийся равномерно электрон
не излучает, т.е. его поле не теряет энергию. Это можно проверить,
вычислив значение вектора Умова—Пойнтинга A.20).
В случае, когда электрон предполагается протяженным в прост-
пространстве, поле можно вычислить, заметив, что из A.57) вытекает
следующее соотношение между скалярными потенциалами:
VO = VA-|32)V2. A.65)
Компоненты электрического и магнитного полей можно вычис-
вычислить, как и в предшествующем случае, пользуясь соотноше-
соотношениями A.31), A.56) и A.65). Легко проверить, что энергии
42 Гл. I. Основы классической электронной теории
электрического и магнитного полей могут быть записаны соот-
соответственно в виде
v9. A.66)
' 2 A — 02)V2
Следовательно, если известен потенциал Vo, то можно легко
вычислить We и Wm, а также А, т. е. е и Ь. Имеем также
\ —г г UC/Л.
A-67)
Итак, вычисление величин, связанных с электроном, сводится к вы-
вычислению скалярного потенциала Vo. Для этого необходимо сделать
некоторые предположения о форме электрона и распределении элект-
электрического заряда. Проще всего полагать, что электрон имеет форму
шара радиуса а. При сферической симметрии заряд может быть
равномерно распределен либо по объему, либо по поверхности.
Чтобы разработать теорию «электромагнитной массы» электрона,
Абрагам предложил гипотезу жесткого электрона, рассматривая
электрон как твердое сферическое тело, сохраняющее свою форму
при движении. Эта гипотеза предполагает существование беско-
бесконечно больших внутренних сил неэлектромагнитной природы,
способных обеспечить такую жесткость. Развитие теории отно-
относительности, а также сопоставление теории и экспериментальных
данных привели к тому, что в настоящее время эта гипотеза пол-
полностью отвергнута. Из этого предположения следует, что в системе
Ox0y0z0 сферический электрон ведет себя как вытянутый эллипсоид
врашения с полуосями ао=а(\—C2)~1/2, #> #• В случае поверхностно-
поверхностного распределения заряда при C<1 для We и Wm находим в первом
приближении выражения A.39) и A.41), а для G получаем выраже-
выражение A.44').
Лоренц исходил из гипотезы, что электрон деформируется, и
постулировал, что в системе координат Ox0y0z0, движущейся вместе
с электроном, электрон имеет шарообразную форму. Следовательно,
относительно неподвижной системы координат Oxyz электрон во
время движения деформируется согласно условиям A.54), а имен-
именно его размеры уменьшаются в направлении движения. Итак,
$ 5. Поле электрона, движущегося ускоренно 43
в системе Oxyz шар становится сплющенным эллипсоидом враще-
вращения, так называемым эллипсоидом Хевисайда, с полуосями
ЛA_р2I/а> пу а,
В этом случае Vo является потенциалом электростатического
поля со сферическим распределением заряда. Учитывая сфериче-
сферическую симметрию, можно записать
дУ0 == дУ0 = дУ0
дх0 ду0 дг0 '
и, согласно теореме Грина (см. Тамм, стр. 597) в предположении
поверхностного распределения электронов на шаре радиуса а
1см. A.39)], имеем
S [(?)+(?)'+(?
Следовательно, принимая во внимание A.67), получаем
Г — Г — __!_ 2 Р е2 _ 4 у w/
UU^ 3 C(l-p2)l/2T-" ^
При р< 1 это соотношение сводится к A.44').
§ 5. Поле электрона, движущегося ускоренно
Для вычисления поля ускоренно движущегося электрона исполь-
используем уравнения A.49), где электромагнитные потенциалы V и А
определены уравнениями A.51) и удовлетворяют условию Лоренца
A.50). В отличие от случая равномерного движения здесь упростить
уравнения оказывается невозможным. Приходится рассматривать
решения этих уравнений, записанные в общем виде для запаздываю-
запаздывающих потенциалов
1 = 2-^- \ -^W, A.69)
где
—?) v (л;', у', z', t-^ , A.70)
причем r = Y(x — х'У-\-(у — у'J + (z — z'f — расстояние некоторой
точки внутри электрона в данный момент времени t от точки
Р (х, у, z), в которой вычисляется потенциал, a % = t — r/c~
запаздывающее время, время вычисления потенциала.
Вообще говоря, вычислить поле ускоренно движущегося электро-
электрона сложно. Для простоты ниже мы ограничимся случаем точечного
электрона.
44 Гл. /. Основы классической электронной теории
1. Для точечного электрона выражения потенциалов A.69) мо-
могут быть записаны в более простой форме, называемой потенциалом
Льенара — Вихерта. Для этого полезно воспользоваться функцией
Дирака. А именно с учетом свойства A.14") скалярный потенциал
можно записать в следующей эквивалентной форме:
где \ — вспомогательный параметр. Обозначим через г(?) вектор,
соединяющий точку, в которой находится электрон в момент ?,
с точкой Р(Ху г/, z). Тогда в силу точечности электрона
q(*', y\ z',t) = e6[r-r(s)]f
где
Интегрируя по *', у' и г\ получаем
Введем новую переменную u = ^ — t-\-r/c. Заметим, что
du _ 1 , 1 dr _ 1 vr
где v —скорость электрона в момент ?. Выражение для dr/ds
получается, если учесть, что г = (гг)х/2; знак минус связан
с выбранным нами направлением вектора г от электрона к точке
наблюдения Р (х, у, г). Теперь имеем
+оо
следовательно,
4JT8O I. ГA-УГ/СГ) ]f_r 4Я80 L S J г* K '
с с
Аналогично,
д _ У*е Г v ] Иов. r_v_"l /, ?2ч
rt 4я Lr(l-vr/cr) J(_r~4n Is }f_r- V-'*'
С С
Эта более простая форма записи запаздывающих потенциалов,
справедливая для точечного электрона, и известна под назва-
названием потенциалов Льенара —Вихерта.
§ 5. Поле электрона, движущегося ускоренно 45
Заметим, что в случае равномерно движущегося точечного
электрона эти потенциалы эквивалентны потенциалам, получен-
полученным нами в § 4, п. 1. В самом деле, если г0 —радиус-вектор,
начало которого совпадает с положением электрона в момент tf
а конец —с точкой наблюдения P(xyz), и г— радиус-вектор,
начало которого совпадает с положением электрона в запазды-
запаздывающий момент x = t — г/с, а конец—с точкой наблюдения, то
имеем соотношения
ro = r — v-^- и roxv = rxv.
Следовательно, выражение
_ rv
~" с
может быть записано в виде
или
s2 = « - xf + (у'о - yf + (г; - zf - -J [(у'о - yf + (го - zf] =
= rg(l —P2sin29).
Последняя форма записи совпадает с A.62).
2. Чтобы упростить вычисление поля ускоренно движущегося
электрона при помощи потенциалов A.71) и A.72), заметим, что
выражение, стоящее в знаменателе, имеет вид
s = s(xy у, z; х'у у\ z'),
где
х' = х'(%), y'^y'(i), z' = z'(t)
есть заданные функции от x = t — r/c, a
В уравнения
е— —VV— А
е~ УУ А' A.73)
b=VxA V ;
входит оператор V, означающий частное дифференцирование по
х, у и z при t = const, и оператор d/dt, который предполагает
дифференцирование при х, у, z = const. Так как в выражение
потенциалов непосредственно входит запаздывающее время
t = t — r/c, то удобно предварительно выразить d/dt и V как
функции от д/дх при х, у, z = const.
46 Гл. I. Основы классической электронной теории
С этой целью заметим, что из соотношения r=(rr)V2 следует
(^L\ rv
\ dx Jxyz г '
где
v dx '
Аналогично, из соотношения
получаем
С другой
стороны,
dr
~di
dr
dt
dr
dx
dx
dt
dx\
ту dx
r dt •
т. e.
dx
= [ i — .
rcj s
Из последних двух соотношений следует
т. е. можно вообще записать
JL — JLA.
dt~ s дх '
Применяя оператор V к A.74), получаем
Vr= -cVt. A.76)
В то же время замечаем, что можно записать
Vr = (Vtr)t + g? Vt, A.77)
где Vi означает дифференцирование по х, у, z при постоянном т.
Таким образом, имеем
Vr = y-^Vt. A.78)
Из сравнения соотношений A.76) и A.78) следует
CS
Подставив это в A.77), получаем
i.
A-79)
§ 5. Поле электрона, движущегося ускоренно 47
Следовательно, в общем виде можно записать
3. Поле ускоренно движущегося точечного электрона можно
легко вычислить, подставив потенциалы A.71) и A.72) в урав-
уравнения A.73) и воспользовавшись соотношениями A.75), A.79').
Получаем
е e~s2 V/16 cs д%) s dx\sc*J '
Так как
Vi5"" г с ' дх~ r с с '
имеем
l*?oe-lf-—-^Л , (rL Г\ ^_?X__L V——^ - v
е *~~ s*\r сУ"^ A3 cs*J \ г сУ с J cW
Группируя члены подходящим образом, получаем
4яе0 s
Это выражение может быть записано в виде
-Ш^{1^) + Ш0^Х^Х^. A.80)
Аналогично,
ИЛИ
^ ^^^{[(=)]} A.81)
Из сравнения выражений A.81) и A.80) следует равенство
Ь
A.82)
т. е. магнитное поле всегда перпендикулярно электрическому полю
и радиус-вектору г.
Из выражений A.80) и A.81) видно, что каждое из полей уско-
ускоренно движущегося электрона состоит из двух частей. Так, в выра-
выражении электрического поля первый член пропорционален скорости,
направлен по движению и убывает с расстоянием как 1/г2. Он сов-
совпадает с выражением для поля равномерно движущегося электрона
(см. §4, п. 1), т. е. первый член соответствует квазистатическому
неизлучательному полю. Второй член пропорционален ускорению,
48 Гл. I. Основы классической электронной теории
направлен перпендикулярно движению и убывает как 1/л Этот
член выражает поле излучения ускоренного электрона.
4. Когда скорость ускоренно движущегося электрона мала
(v < с, р < 1), то г0 ^ г и s ъ г. В этом случае поле излучения
может быть записано в виде
^Х(гХУ)' b' = d^Xr==i;Xer. A.83)
Формально это поле тождественно полю излучения осцилли-
осциллирующего диполя. Соответствующий вектор Умова — Пойнтинга
будет
^ ^^^. (..84)
Следовательно, энергия излучения распределяется симмет-
симметрично относительно направления движения. Энергия, излучаемая
за единицу времени через сферу радиуса г, равна
2л я .
о о
A.85)
5. В частном случае, когда ускорение параллельно скорости
(v||v), поле излучения может быть записано в виде
Замечаем, что в отличие от выражения A.83) сюда входит мно-
множитель (r/sK = (I — |5cos6)~3. Наличие этого множителя в выра-
выражении вектора Умова — Пойнтинга показывает, что энергия из-
излучается преимущественно по направлению движения.
При вычислении излученной энергии в этом случае следует
учитывать, что вектор Умова — Пойнтинга выражает поток энер-
энергии за единицу времени, измеренного в масштабе t, а интенсивность
излученной энергии равна потоку энергии, отнесенному к интер-
интервалу времени dx — продолжительности излучения электромагнит-
электромагнитной волны. Следовательно, интенсивность энергии, излученной в эле-
элемент телесного угла dQ, равна
"™ dx > dx ~~ |x0 I I dx — о | г |
а энергия, излученная в направлении 6, будет такова:
~"d* ЧТбя^У A — р cos 6M •
§ 6. Динамика электронов, совершающих квазистац. движение 49
Полученное выражение полезно при вычислении излучения
электрона при торможении, так называемого тормозного излуче-
излучения (Bremsstrahlung), возникающего, например, в рентгеновской
трубке.
§ 6. Динамика электронов, совершающих
квазистационарное движение
Рассмотрим электрон, совершающий переменное движение,
ограничиваясь, однако, случаем квазистационарного движения,
т. е. такого движения, при котором в каждый момент времени поле
электрона может считаться эквивалентным полю равномерно
движущегося электрона. Это всегда возможно, когда ускорение элек-
электрона достаточно мало. В первом приближении в окрестности
электрона его поле можно тогда представить как стационарное
поле, чтобы при вычислении обратного действия поля на электрон
учитывать только это стационарное поле.
Для вычисления обратного воздействия поля на электрон, со-
создавший это поле, используем основное соотношение
в которое входит полное поле электрона, т. е. Fi= 0 (см. § 3).
Это уравнение можно разложить на две составляющие: одна из
них соответствует движению по направлению скорости vt— это пря-
прямолинейное ускоренное движение, а вторая соответствует движе-
движению по направлению нормали nt к траектории и в первом приближе-
приближении описывает равномерное криволинейное движение1).
Так как на основании формулы Френе имеем
где R — радиус кривизны траектории, то можно записать
Gvlf G = d
в силу чего получаем
G = Gvlf G = d— vwi + —¦ Gnu
G v*
О-87)
Поскольку импул&с электромагнитного поля растет со скоростью
электрона, то эти уравнения показывают, что из-за реакции поля
х) vt и щ — единичные векторы: v = uv1.
4 В. Новаку 73
50 Гл. /. Основы классической электронной теории
инерция электрона растет и, следовательно, можно рассматривать
dGldv и Glv как электромагнитные массы электрона. Однако так
как, вообще говоря, G не является линейной функцией скорости v,
эти два выражения различны и называются продольной массой
«-?—И? с-88»
и поперечной массой
mt = -=-4-- A-89)
V С р V '
Создавая механику электронов на основе уравнений A.87),
Абрагам [4] разработал механику, которая отличалась от ньютоно-
ньютоновой. Это отличие становится еще более четким, если заметить, что
массы т1 и mt изменяются со скоростью.
Зависимость этих электромагнитных масс от скорости обуслов-
обусловлена предположениями, сделанными о структуре электронов.
А именно в случае деформируемого электрона Лоренца, приняв во
внимание значение G, полученное из A.68), имеем
1-р«Г8/«=, * ?a(i+3p«+.. V A-90)
Следовательно, согласно A.48), можно записать
т т / л г\л \
тг = зт » mt=- тг • (I -91)
A —р2K/2 A— р2I/2 v '
В случае твердого электрона Абрагама выражения для масс
отличаются от A.90), а именно:
6яе0 ас* \ 5 J
' 3,5 r ' J
Найденные формулы основаны в обоих случаях на предположе-
предположении о поверхностном распределении заряда. Можно показать, что
в случае объемного распределения каждое из вышеприведенных вы-
выражений следует умножить на 6/5.
Вообще, первый вывод, который можно сделать, следующий:
m{>mt и в случае v<tc электромагнитные массы становятся равными
1 е*
6я80 ас2
До появления теории относительности экспериментальной про-
проверке закона зависимости массы от скорости придавали большое
§ 6. Динамика электронов, совершающих квазистац. движение 51
значение, ибо, как мы видели, казалось, что это приведет к важным
выводам относительно структуры электрона, которая определяет
величину его электромагнитной массы. Экспериментальное иссле-
исследование изменения массы со скоростью было проведено Кауфманом,
но точность определения не была достаточной, чтобы можно было
прийти к окончательному заключению о справедливости формул
A.90) или A.92). Многочисленные последующие исследования
катодных лучей большой скорости и р-лучей позволили дать удовле-
удовлетворительный ответ, а именно подтвердились формулы A.91),
установленные Лоренцом. Впрочем, формулы Лоренца согласуют-
согласуются с формулами, полученными в специальной теории относитель-
относительности .
Следовательно, напрашивается вывод, что электрон имеет форму
шара и может деформироваться, а заряд его распределен по поверх-
поверхности. Но эта модель электрона не позволяет устранить все труд-
трудности, ибо, как показал Пуанкаре, для того чтобы считать такое
распределение стабильным, нужно допустить существование очень
больших сил сцепления.
Проблема внутреннего строения электрона и ее согласование
с классической теорией электромагнитного поля не нашли удовлет-
удовлетворительного решения. В современной физике эти трудности иногда
можно обойти, если считать электрон точечным, т. е. лишенным
структуры, но в этом нельзя видеть решение вопроса, так как
это предположение влечет за собой другие затруднения. В частно-
частности, собственная энергия такого электрона становится бесконечной,
а это лишено всякого смысла. Во всяком случае, приходим к выводу,
что электрон — материальная частица, которой следует приписы-
приписывать объем и, следовательно, радиус, имеющий важное физическое
значение1). Величину радиуса электрона, если бы вся его масса
оказалась полевой, можно оценить из соотношения
1 е2 2 1 в2
т==6я^^2=1я^^2 > A.93)
*) При данном уровне знаний нельзя еще дать окончательный ответ на
вопрос о способах преодоления затруднений, с которыми сталкивается совре-
современная теория элементарных частиц. Отказ от концепции точечных элемен-
элементарных частиц является лишь одним из возможных путей решения этой про-
проблемы, причем приходится учитывать квантовую природу взаимодействий.
Опыты по рассеянию электронов на нуклонах действительно показали
сложную структуру последних. Весьма вероятно, что вскоре можно будет
поставить опыты по рассеянию сверхбыстрых электронов на электронах, ко*
торые дадут сведения и о структуре электронов. Интересующимся этим
вопросом рекомендуем прочитать книги С. Д. Д р ел л и Ф. Заха-
р и а з е н, «Электромагнитная структура нуклонов», ИЛ, 1962; А. А. С о-
колов, Д. Д, Иваненко, «Квантовая теория поля», М., 1952.—
Прим. ред.
4*
52 Гл. I. Основы классической электронной теории
откуда
2 1 е 1 е2
а е г
Зная из результатов эксперимента значения удельного заряда и ве-
величину заряда е в предположении поверхностного распределения
заряда, получаем (е2/тс2=г0=2у8-10~13 см)
а = а.1(Г13 см± 30%
где а — числовой множитель порядка единицы.
§ 7. Атомистические основы теории Максвелла
в случае стационарных полей
Основная проблема электронной теории состоит в переходе от
уравнений Лоренца A.8), A.9), определяющих микроскопическое
поле, к уравнениям Максвелла, описывающим макроскопическое
поле.
Микроскопическое поле является сложной функцией простран-
пространства и времени, меняющейся быстро и нерегулярно даже внутри
одного атома. Поэтому применять его в обычных практических
задачах электродинамики очень трудно. Следовательно, необходимо
вывести из уравнений A.8), A.9) уравнения, которым удовлетворяли
бы средние статистические величины микроскопического поля, и за-
затем выяснить связь между этими статистическими средними и макс-
велловым электромагнитным полем. Такое рассуждение основы-
основывается на том, что величины, определяющие макроскопическое
поле, являются средними соответствующих величин микроскопичес-
микроскопического поля, относящимися к пространственным и временным интерва-
интервалам, большим по сравнению с характерными для атома размерами
и промежутками времени.
Среднее значение некоторой функции от координат и времени
f(xy y> z, f)=f(P,t) определяется следующим образом. Проведем
вокруг точки Р как центра шар радиусом г и ограничимся промежут-
промежутком времени т. По определению, средняя по пространству и вре-
времени внутри шара радиусом г и для промежутка времени
—т<6<т равна
+т
1(х, у, г, 0 = ^7 I \ f(* + k 0 + Л, z + ?, / + 6)dEdT|dCde,
A.95)
где v = 4/з я/*3 — объем рассматриваемого шара. Из этого опреде-
определения следуют, если положить гит постоянными, важные
§ 7. Атомистические основы теории Максвелла 53
соотношения
д 7^7 д JW /1 ОА\
которые не зависят от г и г.
Отметим, что для того, чтобы определение A.95) можно было
использовать в физике, оно не должно зависеть от выбора гит;
математическиэтоэквивалентнотребованию,чтобысредняя/(х,г/,2,/)
была пределом выражения, стоящего в правой части, при г->0,
т -*0, ибо только в этом случае она может быть определена как
непрерывная функция. Следовательно,
+t
J(P, /) = Hm-L \ С f(P', t')dv'df. A.95')
Однако необходимо, как это сделал Лоренц, уточнить различие
между понятием «физической бесконечно малой» и «математической
бесконечно малой», которые имеют совершенно различный смысл.
Так, малые области, подобные шару радиуса г, которые могут
содержать очень большое количество атомов, должны предпола-
предполагаться достаточно малыми, чтобы их можно было рассматривать
с макроскопической точки зрения как бесконечно малые, т. е. как
интервалы, внутри которых макроскопические величины не изме-
изменяются. Только при этом условии средние значения микроскопиче-
микроскопических величин, вычисленные для таких бесконечно малых с точки
зрения физики областей, могут рассматриваться как непрерыв-
непрерывные функции.
Усредняя члены уравнений A.8) и A.9), находим
-L V X b = j + еое, Veoe = q,
1X0 _ A.97)
Vxe= -b, Vb = O.
Так как в уравнения, стоящие во второй строке, не входят
плотность заряда и плотность тока, то их можно сопоставить с соот-
соответствующими уравнениями теории Максвелла
VxE=-B, VB = 0
и, следовательно, установить тождества
ё=Е, Ь=В. A.98)
Для сравнения уравнений A.97), записанных в первой строке,
нужно подставить в максвелловы уравнения векторы электриче-
электрической индукции D и напряженности магнитного поля Н, определен-
54 Гл. I. Основы классической электронной теории
ные соотношениями
D = e0E + P, H = — В-М. A.99)
И'О
В результате получаем
(где q,— плотность свободных зарядов). Следовательно, уравнения
будут совпадать, если выполняются соотношения
~e = e<-VP' A.101)
j=i + P + VxM.
Итак, доказательство этих соотношений сводится к оценке средней
плотности заряда и тока.
Для простоты ограничимся случаем стационарных полей, т. е.
полей, не зависящих от времени, или полей квазистационарных,
т. е. медленно меняющихся со временем.
Поскольку вещество состоит из нейтральных атомов (или моле-
молекул), ионов, т. е. заряженных, атомов (или молекул), и свободных
электронов, при оценке средних статистических q и j нужно при-
принимать во внимание каждую из этих составляющих.
1. Самый простой вид переноса электрических зарядов состоит
в движении ионов или свободных электронов, которое имеет место
в электролитах или металлах соответственно под влиянием элект-
электрического поля. Это случай конвекционного тока1). Чтобы опре-
определить его среднее значение, предположим, что в единице объема
рассматриваемого вещества имеем
rii ионов с зарядом ev и скоростью vb
п2 ионов с зарядом е2 и скоростью v2 и т. д.
Рассмотрим элемент поверхности dS. Тогда, по определению, сила
конвекционного тока равна суммарному заряду ионов различных
видов, которые проходят через поверхность dS за интервал времени
dt,т.е. суммарному заряду ионов, находящихся в цилиндре, осно-
основание которого dS, а высота vlndt или v2ndt и т. д. Так как элект-
электрический заряд, который проходит через dS за время dt, равен
dS dt (eitiiVin + e2n2v2n + - • • )>
x) Автор пользуется названием «конвекционный ток» для обозначения
суммы тока проводимости (движение свободных электронов) и собственно
конвекционного тока (движение среды вместе с содержащимися в ней заряда-
зарядами).— Прим. ред.
§ 7. Атомистические основы теории Максвелла 55
то плотность конвекционного тока будет
N
2 A.102)
где yV=n1+n2+. • • общее число ионов или электронов в единице
объема. Аналогично, плотность свободных (или истинных) зарядов,
по определению, будет
N
...=^ei. A.103)
2. Кроме того, под влиянием электрического поля молекулы
вещества поляризуются, так что каждому атому или молекуле можно
приписать дипольный момент р^. Дипольный момент единицы объема
рассматриваемого вещества, в котором содержится N атомов или
молекул, равен
.. . A.104)
Дипольному моменту р атома или молекулы соответствует потенциал
С другой стороны, атом или молекулу можно рассматривать как
систему электрических зарядов еи е2, ..., положение которых отно-
относительно центра атома или молекулы определяется векторами
Si, s2,... . Потенциал в некоторой точке (х, у, г), расположенной на
расстоянии г0 от центра атома (или молекулы) и на расстоянии rt от
/-го заряда, будет
г
так как для roy s имеем
В силу того что атом или молекула нейтральны, 2^=0» и»
сравнивая два выражения потенциала, получаем
Р=2*Л, Р = 2е^. A.105)
г г
Но атом или молекула могут характеризоваться с макроско-
макроскопической точки зрения непрерывным распределением зарядов
с плотностью qA, я, ?), и в этом случае суммы из A.105) заме-
56 Гл. /. Основы классической электронной теории
няются интегралами
A.106)
A.106')
Выражение для поляризационного тока получается при помощи
аналогичных рассуждений. Обозначим через Ь$и 6s2, ... смеше-
смешения составляющих заряда атома е^ е2, ... под влиянием элект-
электрического поля. Следовательно, через поверхность dS пройдет
количество электричества
где 6s1 = v1d/. Если в 1 см3 находятся п одинаковых атомов,
то они вызывают поляризационный ток [см. A.105)]
1р = л2>^ = /гр. A.107)
г
Следовательно, учитывая соотношения A.107) и A.104), по-
получаем выражение для поляризационного тока
ip = /i1p1 + /i2p2+...=P. A.108)
С помощью уравнения непрерывности можно вывести выражение
для плотности поляризационных зарядов. Отметим, что проведен-
проведенные рассуждения справедливы, когда атомы или молекулы имеют
произвольное расположение. Однако в случае кристаллических
сред, где молекулы расположены симметрично, найденное значение
для ip зависит от ориентации поверхности dS, поэтому необходимо
провести усреднение по различным ориентациям поверхности:
Изменение величины поляризации связано с появлением поля-
поляризационных зарядов, плотность которых может быть определена
при помощи нижеследующих более строгих рассуждений [7].
Согласно макроскопической теории Максвелла, поляризацион-
поляризационные заряды появляются в областях неоднородности на поверхности,
соединяющей два разных диэлектрика. Следовательно, в атомисти-
атомистической концепции они возникают при различной плотности распре-
распределения атомов (или молекул) с обеих сторон общей поверхности
двух соседних элементарных объемов. Тогда при перемещении меж-
межатомных зарядов под влиянием внешнего поля часть из них перейдет
из рассматриваемого элементарного объема в соседний. Когда атомы
распределены однородно, число зарядов, переходящих из одного
объема в другой, будет одинаково и средний поляризационный
§ 7. Атомистические основы теории Максвелла 57
заряд будет равен нулю. В случае же неоднородного распределения
атомов средняя величина поляризационных зарядов отлична от нуля.
Пусть атом находится в некоторой внутренней точке Р. Выра-
Выразим распределение заряда относительно точки Р: в некоторой точке
РО) отстоящей от Р на расстоянии га, плотность (переменная) будет
иметь вид q(P, га), поскольку она зависит от положения атома.
Разберем частный случай, когда все атомы, находящиеся в рас-
рассматриваемом элементарном объеме, одинаково ориентированы
в пространстве. Пусть N(P) — плотность распределения атомов
в элементарном объеме. Мы будем считать ее непрерывной, медленно
меняющейся функцией. Пусть Р'— точка соседнего элементарного
объема, расположенного вблизи элемента dS поверхности рассмат-
рассматриваемого объема. Предполагается, что эта поверхность проходит
через точку Р. Под влиянием внешнего поля заряд перемещается
на расстояние га. Если этот вектор пересекает поверхность dS, то
через нее пройдет заряд q(P' ,га) атома Р'. То же самое будет иметь
место и для других атомов, находящихся вблизи поверхности эле-
элемента объема. Так, в направлении га пересекут элемент dS заряды
q(P', ra) dva всех атомов, которые находятся внутри цилиндра
с основанием dS и высотой (гап)=г'(пг2), где г°—единичный вектор
направления га.
Следовательно, полный заряд, проходящий через элемент dS>
будет равен
га
apdS = dS J dvanr*^dr'<i(P',ra)N(Pt).
Атом О
Разлагая функцию qN в ряд Тейлора, получаем
q(P', ra)N{P') =
поэтому
dva
J raQ(P,ra)N(P)-±n J dvara(ra.VPQN)] .
Atom Atom
Первый интеграл в квадратных скобках есть дипольный момент
атома [см. A.106)], а второй — квадрупольный момент атома»
которым в первом приближении можно пренебречь. Следовательно,
Если поступить аналогичным образом для атомов, имеющих раз-
разную ориентацию, то с учетом соотношения A.104) получаем
Этот заряд, пересекающий элемент dS в направлении вектора п>
в случае когда dS принадлежит поверхности физического разрыва
58 Гл. L Основы классической электронной теории
между двумя диэлектрическими средами, будет представлять собой
поляризационный заряд этой поверхности.
В общем случае неоднородной среды будем иметь и объемные
поляризационные заряды. Чтобы вычислить их плотность qp,
заметим, что поляризационный заряд, содержащийся в элементар-
элементарном объеме dVj получается интегрированием вышеприведенного
выражения по поверхности элементарного объема (мы учитываем,
что нормаль п направлена внутрь, и применяем теорему Гаусса):
Qp=-;MMS=-VP. A.109)
Полученный результат согласуется с результатом, выведенным
феноменологическим путем. Поляризационный ток вычисляется из
уравнения непрерывности.
3. Чтобы вычислить силу тока, обусловленную магнитной поля-
поляризацией, будем учитывать, что электроны атома, перемещающиеся
по замкнутой орбите, эквивалентны магнитному диполю. Обозна-
Обозначив через т дипольный магнитный момент атома и предположив,
что в единице объема находятся пг атомов с моментом ть п2 ато-
атомов с моментом т2 и т. д., получаем, что намагниченность
m = nimi + n2m2 + .. • =S^m;. A.110)
Выражение дипольного магнитного момента атома вычисляется
просто, если учесть, что векторный потенциал, соответствующий
плотности тока j в атоме, имеет вид
?) О-111)
с другой стороны, векторный потенциал А связан с дипольным
моментом соотношением
где гп —выражение соответствующего дипольного магнитного
момента
Если вместо плотности тока j непрерывного распределения атомов
рассмотреть ток, порожденный различными электронами, то соотно-
соотношение A.113), выражающее среднюю величину, перепишется сле-
следующим образом:
m = \j1ei'&xVi). A.114)
§ 7. Атомистические основы теории Максвелла 59
Выражение тока, обусловленного намагничиванием, или моле-
молекулярный ток im, можно получить, рассуждая, как и выше, путем
вычисления плотности поляризационных зарядов, а именно заме-
замечая, что этот ток обусловлен неоднородностью пространственного
распределения атомов. Так, заменив q на j=QV, получаем
) jj ИЛЛг„)(п-гв)&>в> A.115)
Атом
что в первом приближении дает
im = -
или с учетом A.110)
Применяя формулу E6*) из приложения к книге Тамма
{стр. 599), имеем
J (nxM)dS=
Следовательно,
im = VxM. A.116)
Это соотношение совпадает с соотношением, полученным фено-
феноменологическим путем для молекулярных токов Ампера.
В заключение заметим, что основной результат проведенного
анализа состоит в том, что мы выявили зависимость между макро-
макроскопическими величинами, входящими в уравнения Максвелла,
и структурными свойствами атома (соответственно молекулы), выра-
выраженными в первом приближении через дипольные моменты.
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ
ЯВЛЕНИЙ
Введение
Для дополнения макроскопической теории Максвелла рассмотре-
рассмотрением электрических и магнитных свойств различных веществ в духе
теории Лоренца необходимо изучать эти свойства с учетом дискрет-
дискретности структуры вещества и факта существования электронов.
Изложение последовательной микроскопической теории свойств
проводящих, диэлектрических и магнитных сред увлекло бы нас
слишком далеко, ибо в настоящий момент эти теории вышли далеко
за рамки классической физики. Поэтому в последующем мы ограни-
ограничимся изложением некоторых основных результатов, в особенности
касающихся интерпретации постоянных у> ? и \х на основе рассуж-
рассуждений классической статистики. Такого типа теории предшествовали
развитию квантовой теории, и в общих чертах их можно считать окон-
окончательно установленными. Их можно вывести и на основе новых
квантовых теорий. Отметим, однако, что электронная теория метал-
металлов, а также теория магнитных явлений — это существенно кван-
квантовые теории, и их изложение не входит в задачи, которые мы перед
собой поставили в настоящей книге.
§ 1. Электронная теория проводимости металлов
С точки зрения теории Максвелла все проводящие электричество
тела эквивалентны. Они отличаются друг от друга только числовым
значением у, которое определяется экспериментально. В действи-
действительности же существует большая разница между металлами, удель-
удельное сопротивление которых имеет порядок 10~8 ом-м, и изолятора-
изоляторами, удельное сопротивление которых очень велико, например
в случае парафина оно равно 1016 ом-м. Как следует из опыта, из
всех твердых тел только металлы обладают очень большой электро-
электропроводностью, причем ионы совершенно не участвуют в образовании
тока; последние составляют кристаллическую решетку металлов.
Кинетическая теория электропроводности металлов основывается
на гипотезе, что электроны перемещаются свободно между атомами
или ионами кристаллической решетки. Эта гипотеза основывается
§ 1. Электронная теория проводимости металлов 61
на результатах опытов Толмена, Холла и других исследовате-
исследователей.
Чтобы вывести закон Ома, Друде A898 г.) выдвинул простую
гипотезу «электронного газа». В этой гипотезе пренебрегается
сложным взаимодействием между электронами и ионами, а при
вычислениях допускается, что по отношению к решетке металла
«свободные» электроны ведут себя как «газ», находящийся в тепло-
тепловом равновесии с соответствующим металлом. Когда потенциал
различных областей металла одинаков, свободные электроны нахо-
находятся в беспорядочном тепловом движении, подобно молекулам
идеального газа. Следовательно, к ним применим закон Максвелла
из кинетической теории газов о распределении скоростей. Элект-
Электроны будут характеризоваться средним свободным пробегом /.
В момент приложения электродвижущей силы под влиянием воз-
возникшего электрического поля на хаотическое тепловое движение
накладывается упорядоченное движение по направлению электри-
электрического поля. Это направленное движение электронов сопровождает-
сопровождается множеством их столкновений с ионами металлической решетки.
Для простоты Друде предположил, что электроны, ускоренные
электрическим полем, движутся как бы между молекулами неко-
некоторого газа, что, безусловно, является грубым приближением.
Для упрощения вычислений допустим, пренебрегая хаотичностью
теплового движения, что все электроны имеют одну и туже скорость
и один и тот же свободный пробег / (т. е. что пути, пройденные между
двумя столкновениями, одинаковы). Время т между двумя столкно-
столкновениями задается соотношением
т = —, B.1)
где vt— скорость теплового движения электронов. Это соотношение
справедливо, только пока скорость движения под действием элект-
электрического поля Е очень мала по сравнению с vt.
Под действием постоянного электрического поля Е в интервале
времени т между двумя столкновениями электроны получают уско-
ускорение еЕ1т\ следовательно, к скорости vt прибавляется скорость vc%
задаваемая соотношением
еЕ .
ь т '
средняя величина которой равна
^^. B.2)
Так как при обычной температуре эта скорость мала по срав-
сравнению с vti допускают, что она не меняет закон распределения ско-
скоростей.
62 Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
В расчет удельной проводимости входит только эта скорость,
обусловленная действием поля, так как тепловое движение в силу
хаотичности в среднем ничем не способствует переносу электриче-
электрических зарядов. Предположив, что число свободных электронов в еди-
единице объема металла равно N', находим следующее выражение для
плотности электрического тока:
отсюда видно, что ток i пропорционален полю Е. Из сравнения с
законом Ома i = yE для удельной проводимости y получаем вы-
выражение
e2Nl /о
Применяя к электронному газу закон о равномерном распре-
распределении энергии по степеням свободы из кинетической теории
газов, получаем
\mv] = ~kT,
следовательно, выражение B.3) можно записать в виде
B-3)
откуда следует закон изменения удельной проводимости в зависи-
зависимости от температуры. В полученное выражение, помимо универ-
универсальных постоянных, входят еще две характеристики рассматри-
рассматриваемого металла, а именно N и /.
С помощью электронной теории можно дать также объяснение
явлений, наблюдаемых на поверхности металлов. Легко понять, что
на поверхности металлов образуется двойной электрический слой.
В самом деле, электроны, которые вследствие теплового движения
выходят из металлической решетки, остаются тем не менее в сфере
электростатического влияния ионов и образуют поверхностный слой.
Для того чтобы электрон мог покинуть металл, он должен обладать,
согласно гипотезе Ричардсона A903 г.), кинетической энергией,
достаточной для преодоления разности потенциалов V двойного
слоя. Допуская справедливость закона распределения Максвелла
для скоростей электронов в металле, получаем для числа dn элект-
электронов, имеющих компоненту скорости по оси Ох в интервале от
о* До vx+ dvx, следующее выражение:
Зт Л /л ак
^x. B.4)
Через двойной слой могут пройти лишь те электроны, у кото*
рых нормальная к поверхности компонента скорости будет
§ h Электронная теория проводимости металлов 63
больше [2V (е/т)]1/*. Следовательно, умножив число электронов,
проходящих через поверхность металла за 1 сек, на заряд е,
получаем плотность электронного тока эмиссии
/2 С
\
BeV/m)V2
откуда
f kT
l="neKjm
Полученная формула хорошо согласуется с экспериментальными
данными.
Эта теория разъясняет также и появление разности потенциалов
при соприкосновении двух металлов. Обозначив через Nx и соот-
соответственно через N2 число свободных электронов в единице объема
соприкасающихся металлов, получаем, согласно кинетической тео-
теории газов, что давление электронного газа в первом металле будет
2/zNikT, а во втором 2/3N2kT. Следовательно, электроны будут
стремиться переходить из металла с большим W (меньшей работой
выхода) во второй металл. Этот переход будет продолжаться до тех
пор, пока силы электрического поля свободных зарядов, появив-
появившихся из-за диффузии электронов, не уравновесят разность дав-
давлений электронного газа. В случае этого термодинамического рав-
равновесия будем иметь, следовательно,
eEN= -Vp,
где р — давление электронного газа. Отсюда следует
Контактная разность потенциалов получается путем интегриро-
интегрирования по толщине переходного слоя между этими двумя метал-
металлами
K ) ^ 1гЫ
-F-2T
Из этой формулы следует закон Вольта о контактной разности
потенциалов:
Аналогичным образом легко объясняются термоэлектрические
эффекты Пельтье и Томсона, которые наблюдаются в нагретых
металлах
металлах.
64
Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
Как мы видим, хотя классическая электронная теория и осно-
основана на очень простых гипотезах, она оказалась в состоянии дать
удовлетворительное в первом приближении толкование ряда явле-
явлений, наблюдаемых в металлах. Вместе с тем, теория Друде, раз-
развитая Лоренцем, встретилась с серьезными трудностями. Одна из
них связана с вопросом о теплоемкости металлов. Если электроны
ведут себя внутри металла как молекулы идеального газа, то, соглас-
согласно кинетической теории, этот электронный газ должен был бы уве-
увеличить удельную теплоемкость металла, подчиняющуюся правилу
Дюлонга и Пти, по крайней мере на 3 кал! град-моль, что однако
"Л
Ш
ш
\
У/л
1
/
1
уф
\
у}
ш,
V/////
X
1
%
1
I
У
1
уА
1
\
>
i
/
//
/
1//
Фиг. 6.
не обнаруживается экспериментально. Зоммерфельд A928 г.) на-
нашел выход из этого тупика классической теории, приняв вместо
статистики Максвелла—Больцмана квантовую статистику Ферми1).
Применив эту статистику к электронному газу, приходим к за-
заключению, что так как последний является «вырожденным» газом,
он почти не меняет удельную теплоемкость соответствующего метал-
металла вплоть до температур порядка 1000° К.
Электронная теория металлов была впоследствии развита Бло-
хом, Пайерлсом, Бриллюэном и Френкелем2). Согласно этим совре-
современным теориям, поскольку атомы твердых тел образуют решетчатую
структуру (теория Борна и Кармана), допускается, что внутри
металлов существует периодическое в пространстве электрическое
поле, создаваемое положительными ионами, расположенными
в узлах кристаллической решетки. В поперечном сечении это поле
имеет вид, представленный на фиг. 6. Кривая показывает изме-
изменение потенциала с расстоянием; в окрестности ионов решетки
потенциал максимален, а между двумя ионами минимален. В этом
смысле говорят о «горах» и «долинах» потенциала внутри металлов
и твердых тел вообще. Электроны скапливаются естественным обра-
образом в «долинах» потенциала, заполняя их до определенного уровня.
г) См. [1], гл, 5 и [2], §39.
2) См. [3J.
§ L Электронная теория проводимости металлов 65
Чтобы электрон мог свободно перемещаться внутри металла
в смысле, принятом в первоначальной классической теории электрон-
электронного газа, он должен быть в состоянии пройти через «гору» потен-
потенциала. С точки зрения классической физики это возможно, только
если кинетическая энергия электронов, обусловленная тепловым
движением, достаточно велика. С точки зрения квантовой теории
благодаря «туннельному эффекту» электрон может пройти через
такой «потенциальный барьер» и при меньшей кинетической энер-
энергии. Квантовая теория приводит также к заключению, что, как
и в изолированных атомах, энергия электронов в твердых телах
не может быть любой. Напротив, допустимы только определенные
значения энергии, так что электроны в металлах распределяются
по определенным уровням энергии, образующим так называемые
энергетические полосы (а, Ь, с на фиг. 6). Эти полосы разделены ин-
интервалами, в которых нахождение электронов запрещено. Согласно
статистике Ферми, электроны занимают энергетические полосы
последовательно, начиная с наименьших значений энергии. Внутри
каждой полосы существует одинаковое число состояний, соответ-
соответствующих движению электронов в заданном и в противоположном
направлениях, причем энергии электронов в отсутствие внешней
разности потенциалов в обоих случаях одинаковы. Следовательно,
когда не наложено электрическое поле, число электронов, дви-
движущихся в противоположных направлениях, одинаково, так что
фактически через твердое тело не проходит никакой ток. Однако
если к кристаллу приложить извне разность потенциалов, то состоя-
состояния, соответствующие движению по полю и против поля, приобретут
разные энергии. В этом случае возникает следующая альтернатива:
если все занятые энергетические полосы заполнены электронами
до отказа, то не произойдет никакого изменения по сравнению
со случаем, когда разность потенциалов не приложена; если же
наиболее высокая из занятых полос не полностью заполнена, то
электроны перераспределятся по состояниям данной полосы таким
образом, что станут преобладать состояния, соответствующие дви-
движению электронов по полю, т. е. возникнет электрический ток.
Эта теория приводит к установлению различия между металлом и изо-
изолятором (фиг. 7). А именно в металлах верхняя полоса не полно-
полностью заполнена электронами, в то время как в изоляторах все поло-
полосы, содержащие электроны, полностью заполнены, и, следователь-
следовательно, электроны в них не могут свободно перемещаться. Существует
и промежуточная категория веществ, называемых полупроводни-
полупроводниками, в изучении которых большую роль сыграли советские физики1).
Полупроводники при низких температурах ведут себя как изолято-
изоляторы. Но в отличие от изоляторов у них расстояние между последней
*) См., например, [4].
5 В. Новаку
66
Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
полосой, заполненной электронами, и следующей незанятой по-
полосой настолько мало, что при повышении температуры благодаря
Метам
Изолятор
Фиг. 7.
тепловому движению некоторое число электронов оказывается
переброшенным в незанятую полосу. Вследствие этого электро-
электропроводность полупроводников растет с температурой.
§ 2. Теория электрической поляризации
В отличие от феноменологической теории поляризации диэлект-
диэлектриков, основанной на гипотезе непрерывности среды, в которой ис-
используется вектор индукции D=eE, где е — определяемая из опыта
постоянная, в атомистической теории, основанной на гипотезе
прерывности вещества и электричества, величина D утрачивает
свой интуитивный смысл и вместо нее рассматривается поляризация
Р, играющая фундаментальную роль.
Чтобы вычислить поляризацию Р, т. е. суммарный дипольный
электрический момент единицы объема диэлектрика, нужно знать
строение данного вещества. Появление суммарного дипольного
электрического момента при наложении внешнего электрического
поля можно объяснить двумя способами, поскольку молекулы веще-
вещества могут либо иметь собственный дипольный электрический мо-
момент, либо быть неполярными.
Так, двухатомные молекулы (N2, H2 и т. п.), состоящие из оди-
одинаковых атомов, молекулы с линейной симметрией (СО2, С2Н4 и т. п.)
или молекулы с тетраэдральной структурой (СН4, СС14 и т. п.)
не обладают дипольным моментом.
Так как структура молекул НС1, HBr, HJ нелинейная, то
они обладают дипольным моментом, так же как и молекулы Н2О, СО.
Дипольный момент этих двухатомных молекул очень мал, а именно
это величина порядка 10~18 электростатических единиц. В случае
многоатомных молекул дипольный момент может быть в 2—3 раза
больше.
§ 2. Теория электрической поляризации 67
В первом приближении можно развить формальную теорию, если
допустить, что каждая молекула имеет средний электрический
момент р (который первоначально может быть равен нулю или может
иметь определенное значение, отличное от нуля), и не входить
в подробности относительно структуры молекул и внутренних сил
взаимодействия.
В случае когда молекулы соответствующего вещества и в отсутст-
отсутствие поля имеют собственный электрический момент, отличный от
нуля, естественно допустить, что в отсутствие внешнего электри-
электрического поля оси полярных молекул направлены произвольно, так
что суммарный дипольный электрический момент равен нулю. При
наличии внешнего электрического поля эти молекулы будут стре-
стремиться расположиться так, чтобы их дипольные электрические
моменты было направлены по полю. Этому стремлению к ориента-
ориентации противодействует тепловое движение молекул. Следовательно,
идеальное упорядочение всех полярных молекул может иметь место
либо при бесконечно большой силе внешнего поля, либо при тем-
температуре абсолютного нуля. Если допустить, что Р зависит линей-
линейно от Е, то коэффициент пропорциональности между Р и Е, т. е.
диэлектрическая восприимчивость %е, будет зависеть от температуры.
Если молекулярный электрический момент возникает при поля-
поляризации молекулы под влиянием внешнего электрического поля, та
естественно допустить, что поляризация происходит из-за деформа-
деформации молекулы в электрическом поле вследствие перемещения элект-
электронов, так что центроид электрического заряда электронной обо-
оболочки не совпадает более с центроидом положительного электриче-
электрического заряда ядра. Дипольный электрический момент, который в ре-
результате возникает, направлен по электрическому полю и предпо-
предполагается пропорциональным напряженности поля.
1. Теория индуцированной поляризации. Предположим, что
соответствующее вещество содержит в единице объема N молекул
(или атомов), которые не обладают собственным дипольным электри-
электрическим моментом.
Если пренебречь взаимным влиянием между индуцированными
диполями, то в первом приближении можно рассматривать диполь
как квазиупругий:
Р = ае0Е, B.6)
т. е. можно допустить, что индуцированный дипольный электриче-
электрический момент р одной молекулы пропорционален индуцирующему
электрическому полю. Коэффициент пропорциональности а назы-
называется поляризуемостью молекулы; это постоянная, зависящая от
особенностей структуры рассматриваемой молекулы.
Поляризуемость атомов и ионов есть скалярная величина раз-
размерности L3. Для молекул, не обладающих сферической симметрией,
5*
68 Га. II. Теория электрических и магнитных явлений
поляризуемость может зависеть от направления, т. е. может быть
тензорной величиной, так что индуцированный момент р может
иметь направление, отличное от направления внешнего электриче-
электрического поля Е (при условии, что свободное вращение молекул за-
запрещено). В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда поля-
поляризуемость есть скалярная величина.
Предположение B.6) справедливо лишь, когда напряженность
постоянного внешнего электрического поля мала по сравнению с на-
напряженностью внутреннего электрического поля молекулы (или
атома), что и имеет место при обычных экспериментальных условиях.
В этом случае очевидно, что смещение, которое испытывает элект-
электронная оболочка, мало, и, следовательно, смещение электронов
из положения равновесия можно рассматривать как квазиупругое,
предположив, что электроны связаны квазиупруго, и допустив, что
на них действует пропорциональная смещению квазиупругая сила,
уравновешивающая действие электрического поля.
Дипольный электрический момент единицы объема, т. е. поляри-
поляризация, будет равен
Р = Мхе0Е = Хее0Е. B.7)
Однако полученное выражение справедливо, только если рас-
расстояние между молекулами достаточно велико, чтобы можно было
пренебречь взаимодействием между диполями. В случае твердых
тел и жидкостей это приближение несправедливо, так как расстояния
между молекулами малы, и, следовательно, взаимодействием нельзя
пренебрегать. Здесь нужно ввести понятие внутреннего электриче-
электрического поля или эффективного поля Е*, которое, как показал Лоренц,
отличается от внешнего электрического поля Е.
По определению, внутренним электрическим полем называется
электрическое поле, действующее в точке1), в которой находится
рассматриваемая молекула или атом, т. е. поле, которое эффективно
порождает поляризацию. Соотношение B.6) нужно, следовательно,
заменить соотношением
р = ае0Е*. B.6')
Для вычисления Е* предположим, что рассматриваемая точка
окружена маленькой сферой. Можно считать, что Е* состоит из
трех членов: поля Е*, обусловленного действием диполей, находя-
находящихся внутри рассматриваемой сферы, которым можно пренебречь,
предполагая, что в случае изотропной среды имеет место взаимная
*) To есть, по определению, в Е* не входит электрическое поле, созданное
самой молекулой (или атомом). Далее, такое определение предполагает, что
Е* приблизительно однородно во всей области, занятой молекулой (атомом),
иными словами, что расстояние между молекулами достаточно большое.
§ 2. Теория электрической поляризации 69
компенсация1); поля Е*, обусловленного действием диполей, нахо-
находящихся вне рассматриваемой сферы, и поляризующего внешнего
поля Е.
Выясним роль диполей, находящихся вне сферы и предполагае-
предполагаемых точечными, в создании поля Е* в центре. Действие внешних
диполей эквивалентно полю, созданному фиктивными зарядами,
распределенными на поверхности сферы
На самом деле, на границе двух сред вектор индукции удовлет-
удовлетворяет граничному условию
где а —плотность поверхностного заряда. Но, по определению,
D = e0E + P,
следовательно,
е0 (Е2п - Ein) = a — (Р2п - Pin).
Итак, равномерная поляризация среды эквивалентна появлению
поверхностного заряда
о'=-(Р2п-Рт),
или, если вторая среда —вакуум,
Следовательно, проекция напряженности электрического поля на
направление Р в центре сферы будет
2я Л
о о
Таким образом, можно записать
Поэтому соотношение B.7) заменяется соотношением
B.9)
откуда
^*oE. B.10)
х) Можно доказать, что поле Е* строго равно нулю для кубической ре-
решетки, состоящей из молекул, каждая из которых эквивалентна в электро-
электростатическом отношении диполю. Для изотропного вещества, например для
жидкости, равенство Ef=O получается только если пренебречь поляризую-
поляризующим действием рассматриваемой молекулы на молекулы, окружающие ее.
70 Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
Так как диэлектрическая восприимчивость %е определяется соот-
соотношением B.7)
а диэлектрическая проницаемость ке = %е + 1 = е/е0, то имеем
р __ о ty, 1 \ с ___ / g р\р •о 114
Из B.10) и B.11) получаем
Na
или
Эта формула известна под названием формулы Клаузиуса — Мосот-
ти. Она была выведена для частного случая электростатическо-
электростатического поля.
Обычно формулы B.8) и B.12) называются формулами Лоренца —
Лоренца по именам датского (L. Lorenz) и голландского (Н. A. Lo-
rentz) физиков, которые в 1880 г. независимо вывели их на основе
изложенных рассуждений, учтя разницу между средним макроско-
макроскопическим полем Е и эффективным полем Е*.
Согласно формуле B.12), для заданного вещества величина
(ке—1)/(хв+2) пропорциональна N и, следовательно, плотности d.
Рассматривая а как инвариантную молекулярную постоянную,
получаем
^f = Cd. B.12')
Эта формула определяет зависимость диэлектрической прони-
проницаемости от плотности рассматриваемого вещества1). При ее помощи
можно определить диэлектрическую проницаемость смеси, если
предположить, что при смешивании структура молекул не меняется.
Пусть ке1— диэлектрическая проницаемость некоторого вещества с
плотностью Dt, a dt— концентрация этого вещества в смеси; можно
показать,что
Определим также и так называемую «молярную поляризацию».
Если обозначить через \i молекулярный вес, то имеем N\i/d= NQi
где No— число Авогадро (No— 6,06-1023). Молярная поляризация
сР определяется соотношением
х) Это соотношение было экспериментально проверено в 1899 г. русским
физиком П. Н. Лебедевым для паров ряда органических соединений.
§ 2. Теория электрической поляризации71
BЛЗ)
так что B.12) принимает вид
* = -^i~§-. B-14)
Молярная поляризация — это величина, определяемая экспери-
экспериментально, так как величины хв, \х и d могут быть получены из экс-
эксперимента; она имеет размерность объема и принимает значения
от нескольких единиц до нескольких сот кубических сантиметров.
Следовательно, зная #\ по соотношению B.13) можно вычислить
значение а.
В случае газообразных веществ можно положить хе + 2^3 (это
означает, что в этом случае Е*=Е); следовательно,
& = -**=LJL. B.14')
При выводе формулы B.8) мы предположили, что можно пре-
пренебречь полем, порожденным молекулами, находящимися внутри
сферы, описанной вокруг точки, в которой мы вычисляем Е*. Это
справедливо для кристаллов с кубической решеткой или аморфных
веществ, а вообще следует считать, что созданию поля Е* способ-
способствует и поле этих поляризованных молекул; в таком случае нужно
писать
где s — поправочный коэффициент, зависящий от характера распре-
распределения молекул.
Отметим также, что при выводе формулы B.6') мы предположили,
что молекулы изотропны. Из этого предположения следовало, что
поляризуемость есть скалярная величина. Однако в случае кри-
кристаллов ни молекулы, ни их распределение не изотропны. Поэтому
соотношение B.6') заменяется здесь тензорным соотношением, а соот-
соответственно и диэлектрическая проницаемость принимает тензор-
тензорный характер.
Итак, резюмируем. В поляризационной среде каждой молекуле
(или атому) приписывается момент р, который пропорционален
эффективному полю Е* и определен соотношением B.6'). Следо-
Следовательно, основная величина, к определению которой сводятся наши
вычисления, это коэффициент пропорциональности а, который мож-
можно определить как средний электрический момент, приобретае-
приобретаемый молекулами под влиянием поляризующего электрического
поля единичной напряженности.
Отметим, что частицы (молекулы, ионы, атомы), которые испы-
испытывают полярную индукцию, находятся в постоянном тепловом дви-
движении. Когда поляризуемость частицы есть скалярная величина,
72
Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
т. е. не зависит от ориентации частицы, индуцированная поляриза-
поляризация не влияет на тепловое движение. Если же поляризуемость —
тензорная величина и молекулы имеют возможность свободно вра-
вращаться (жидкость или газ), то они будут ориентироваться преиму-
преимущественно таким образом, чтобы ось максимальной поляризуемости
была направлена по полю. Однако такой ориентации будет противо-
противодействовать тепловое движение. Этот случай значительно более
сложный и мы его рассматривать не будем.
2. Молекулы с постоянным дипольным моментом. Эксперимен-
Экспериментальное исследование соотношения между ке, соответственно еГ>,
и температурой показывает, что вещества делятся на две катего-
категории, а именно: у одних молярная поляризация не зависит от тем-
температуры, а у других она линейно зависит от \/Т (фиг. 8). В первом
120
WO
60
40
го
-
Q0025
Фиг.
CH3Cl
cci4
0,0030
if
8.
Фиг. 9.
случае очевидно, что мы имеем дело с неполярными молекулами,
а во втором вещество (например, хлористый метил СН3С1) состоит
из полярных молекул.
Для вывода закона изменения сГ> с температурой предположим,
что каждая молекула имеет собственный постоянный электрический
момент р0, который в первом приближении может рассматриваться
как дипольный.
В отсутствие внешнего поля оси этих элементарных диполей будут
направлены произвольно, так что средний результирующий момент
единицы объема Р будет равен нулю. Когда рассматриваемое веще-
вещество будет находиться во внешнем электрическом поле, оси дипо-
диполей ориентируются по полю. Этому стремлению к ориентации будет
противодействовать беспорядочное тепловое движение молекул.
В среднем поляризация единицы объема окажется отличной от
нуля, причем вклад р каждой молекулы в поляризацию будет
составлять дробную часть от р0. Необходимым условием этого яв-
§ 2. Теория электрической поляризации 73
ляется подвижность молекул, т. е. вещество должно быть газом или
по крайней мере жидкостью.
Для простоты рассмотрим газ, состоящий из полярных молекул,
находящихся в электрическом поле Е*. Подсчет степени ориента-
ориентации молекул, т. е. среднего значения проекции электрического
момента молекулы на направление поля, в зависимости от темпе-
температуры и от напряженности поля является статистической задачей,
Мы будем основываться на законе распределения Больцмана из
кинетической теории газов. Согласно этому закону, в условиях тер-
термодинамического равновесия число п частиц газа, которые при тем-
температуре Т в рассматриваемом поле сил имеют потенциальную
энергию w, задается соотношением
n = Ae-™/kT, B.15)
где А — постоянный коэффициент пропорциональности, a k —
постоянная Больцмана. Эта формула известна под названием баро-
барометрической, так как она дает распределение по вертикали моле-
молекул воздуха под влиянием тяжести.
В настоящем случае потенциальная энергия w диполя с момен-
моментом ро в поле Е* будет
oj= — p0?*cos9.
Изображая «следы» осей диполей точками на сфере единичного
радиуса, получаем для числа dN точек, лежащих в шаровом поясе,
образованном пересечением конусов с углами раскрытия 0 и 9+d9
с поверхностью сферы (R= 1), следующее соотношение:
S, B.16)
где dS = 2jx sin 6 dQ — поверхность сферического пояса, 9 — угол
между осью диполя и направлением поля Е* (фиг. 9) (заметим,
что телесный угол dQ = dS — 2я sin 9 d9). Число диполей, оси кото-
которых находятся в телесном угле dQ, равно
Q. B.17)
Для определения коэффициента А заметим, что число диполей
в единичном объеме равно числу молекул в единичном объеме,
т. е.
я
N = 2пА J exp f^ff- cos 6 ) sin 9 d9.
о
Производя замену переменных
х «М!. cos9, B.18)
М
74 Гл. П. Теория электрических и магнитных явлений
получаем
+ро/
* \
-PoE*/kT
где гиперболический синус
Учитывая, что элементарный диполь, ось которого образует
угол Э с направлением поля, увеличивает результирующий
момент Р на величину p = p0cos0, получаем, что среднее значе-
значение момента молекулы равно
- _ I A exp [(PoE*!kT) cos 6] р0 cos 8 du
\ A exp [(p0E*/kT) cos Q\du '
Используя замену переменных B.18) и принимая во внимание
<2.19), имеем
xexdx
ИЛИ
(^l^) B.21)
Это соотношение было выведено Ланжевеном A905 г.) для
случая магнетизма. Функция, заключенная в скобки,— функция
Ланжевена — обычно обозначается
х
так что можно записать
¦p = p0L(-^p-). B.2Г)
При больших значениях х функция L(x) стремится к 1, а при
малых значениях ведет себя как х/3 (фиг. 10). Так как р0 очень
мал, то в первом приближении можно записать
Л - 1 РоЕ*
) ~~~ з kT J
§ 2. Теория электрической поляризации
75
откуда
B.21")
В силу основного соотношения B.6')
р = ае0Е*
имеем
а12*
1
Зе0
B.22)
Следовательно, в силу соотношения B.13) молярная поляри-
поляризация будет Цх)
- 1 V0^L B.23)
9еп
Учитывая также B.11), вместо
соотношения B.12) получаем
1 м Ро
9е0 iV kT '
B.24)
2 3
Фиг. 10.
Отсюда следует, что в пер-
первом приближении можно счи-
считать диэлектрическую прони-
проницаемость не зависящей от
поля.
Итак, в случае разреженных газов точное выражение, учиты-
учитывающее как индуцированный, так и постоянный моменты моле-
молекул, будет иметь вид
а поскольку
то
Из вышеизложенного следует, что точным выражением для
молярной поляризации является
#) B-25)
где <х0 не зависит от температуры (что соответствует неполярным
молекулам).
Для жидкостей и твердых тел будем иметь
76 Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
следовательно,
откуда
Из соотношений B.23) и B.24) можно вычислить дипольный мо-
момент молекулы р0. Для большинства полярных молекул находим
величину порядка 10~29/с«ж, что оправдывает принятое приближение.
Если известно строение молекулы, то можно вычислить значение
ее дипольного момента. Можно найти зависимость между диэлект-
диэлектрической проницаемостью и химическими свойствами веществ, т. е.
их молекулярной структурой. Таким образом, определение диэлект-
диэлектрической проницаемости позволяет выяснить структуру молекул,
в особенности органических веществ, из сопоставления полученных
результатов с данными спектроскопических измерений. Исследова-
Исследования такого рода были проведены в основном Дебаем [5], которому
мы обязаны теорией полярных молекул, развитой, в частности,
в исследованиях Иоффе, Курчатова, Кобеко, Сканави1).
Если бы вышеизложенная теория была строго верной, то вооб-
вообще при одной и той же температуре молярная поляризация не
должна была бы зависеть от агрегатного состояния вещества. В част-
частности, она не должна была бы меняться при испарении или при пла-
плавлении. В действительности же в случае воды, например, имеем
хе=80 для жидкого состояния и ке—4 для твердого состояния.
Это объясняется тем, что у жидкостей в отличие от газов мы
не можем предполагать, что макроскопическая поляризация полу-
получается простым сложением элементарных дипольных моментов,
так как образуются ассоциации молекул, причем дипольный момент
такой ассоциации отличен от суммы моментов составляющих ее
молекул. Наконец, в случае твердых тел молекулы не могут сво-
свободно двигаться.
Из формулы B.21) следует, что вообще среднее значение проек-
проекции момента молекулы не пропорционально полю, а представляет
собой более сложную функцию. Следовательно, и диэлектрическая
проницаемость зависит от поля, чем объясняются диэлектрические
аномалии, обнаруженные в опытах с сегнетоэлектриками (явления
гистерезиса и т. д.).
Для сильных полей ме уменьшается, а Р не растет линейно с Е>
а изменяется более медленно.
г) См., в частности, книгу Г. И. Сканави [6].
§ 3. Теория намагничивания 77
§ 3. Теория намагничивания
Согласно современным представлениям, диамагнетизм и пара-
парамагнетизм считаются атомными свойствами. Ланжевен A905 г.)
показал, что их можно объяснить движением электронов внутри
атома. А именно изолированный, т. е. свободный от влияния какого-
либо внешнего магнитного поля, атом может иметь либо не иметь
собственный магнитный момент. Это зависит от его внутренней
структуры (от конфигурации электронных орбит, согласно теории
атома Бора — Резерфорда). Однако в обоих случаях под влиянием
внешнего магнитного поля атом приобретает индуцированный маг-
магнитный момент (диамагнитный), ось которого ориентирована в на-
направлении, противоположном направлению поля. Диамагнетизм
является общим свойством вещества. Когда собственный момент
атома равен нулю, имеем дело с диамагнитными веществами в обыч-
обычном смысле слова. Если же собственный момент атома отличен от
нуля и превышает индуцированный момент, что, как правило, и
имеет место, то происходит наложение этих двух моментов и вещество
ведет себя как парамагнитное. По аналогии с теорией электриче-
электрической поляризации в случае намагничивания будем допускать, что
в первом приближении образуются магнитные диполи и что имеет
место наложение полей этих диполей. Намагниченность М и магнит-
магнитная восприимчивость Хт приобретают, таким образом, реальный
смысл вместо Н и [х.
1. Теория диамагнетизма. Опыты, проведенные П. Кюри, пока-
показали, что восприимчивость диамагнетика не зависит от температуры
(за исключением висмута); поэтому диамагнетизм можно приписы-
приписывать электронам атома, которые эквивалентны круговым токам. Как
показал Ланжевен, диамагнетизм можно объяснить на основе индук-
индуктивного действия внешнего магнитного поля на атомные электроны.
Для упрощения изложения этой теории примем упрощенную
модель атома, предположив, что электроны движутся вокруг атом-
атомного ядра по круговым траекториям. Пусть г — радиус такой тра-
траектории и со — постоянная угловая скорость. Линейная скорость
электрона будет, следовательно, v=ru>. Электрон, который описы-
описывает круговую траекторию со скоростью v, эквивалентен круговому
току. Согласно теореме Ампера, круговой ток эквивалентен с точки
зрения магнитного действия магнитному листку с моментом mo = 5J,
где S=nr2 — поверхность, ограниченная круговой траекторией,
3=е/х — сила тока и r=2nr/v — время оборота электрона по
орбите. Следовательно, mo=1/2ervi или в векторной форме1)
1) Знак минус обусловлен тем, что заряд электрона равен — е(е>0).
78 Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений ^
где g=m(rXv) —момент количества движения, или механический
момент. Это соотношение проверяется экспериментально. А именно
оно доказывается тем, что намагничивание железного цилиндра
вызывает его вращение (Эйнштейн —де Гааз, 1915 г.) и, обратно,
вращение цилиндра намагничивает его (Барнетт, 1917 г.)
Полный магнитный момент атома будет, следовательно, равен
то = ~ у 2 r* x v*
г
(суммирование по всем электронам атома).
Вообще т0Ф0 для парамагнитных веществ. Если же атом имеет
симметричную структуру, то может случиться, что будет то=О,
Этот случай соответствует диамагнитным веществам.
Атом с симметричной структурой получает под влиянием внеш-
внешнего магнитного поля магнитный момент, направленный против
поля (диамагнитный).
Предположим для простоты, что внешнее магнитное поле
перпендикулярно плоскости траектории электрона. В отсутствие
внешнего магнитного поля имеем
F = mcoV, B.27)
где F — сила, действующая на электрон во внутриатомном поле-
Внешнее магнитное поле В, перпендикулярное траектории, проявит-
проявится в дополнительной лоренцевой силе Bev, направленной по радиусу
круговой траектории от центра или к центру в зависимости от на-
направления движения электрона. Из-за этой дополнительной силы
угловая скорость меняется на А со, так что имеем
F-Bev = mr (со + АсоJ. B.27')
Когда А со очень мала по сравнению с со, можно пренебречь А со2.
Исключая F из B.27) и B.27'), получаем
Ao)==-2^S=-TlS- B-28>
Это соотношение известно под названием теоремы Лармора A897 г.)
Из этой теоремы следует, что под действием поля электроны атома
приобретают дополнительную угловую скорость, совершая равно-
равномерную прецессию вокруг направления поля.
Точнее, пусть va— скорость электрона, движущегося под дей-
действием силы Fa, обусловленной внутриатомным полем, и силы Лорен-
Лоренца, обусловленной внешним магнитным полем. Уравнение движе-
движения будет иметь вид
/rcva = Fa + eva х В. (а)
§ 3. Теория намагничивания 79
В системе координат, вращающейся с угловой скоростью o&l»
имеем
где г = v. Учитывая, что производные по времени от вектороа
во вращающейся и покоящейся системах координат связаны соот-
соотношением (а)ПОк= (а)вРащ + <*> X а, получаем
va = v+2(oLxv+o)Lx((oLxr). (б)
Из соотношений (а) и (б) с точностью до членов второго
порядка по В при учете [согласно B.28)]
Ao) = (oL= — —В = — цВ
следует» что сила Лоренца уравновешивается силой Кориолиса
— 2m(dL х v, так что уравнение движения во вращающейся системе
координат сводится к
Следовательно, при наличии магнитного поля в рассматриваемом
приближении движение электрона представляет собой наложение
прецессии Лармора с частотой соL на движение под действием силы Fa.
Следовательно, можно сказать, что атом в целом ведет себя
под влиянием поля как волчок, вращающийся вокруг направления
поля со скоростью А со.
Прецессия Лармора порождает дополнительный механический
момент J(oL, где J = ^ tnhd\ — момент инерции атома относительна
к
оси, проходящей через ядро и параллельной (oL. Тогда, согласно
B.26) и B.28), индицируется атомный магнитный момент
md= -TiJ<oL= -rJJB. B.29)
Направление этого момента всегда противоположно направлению
поля, следовательно, он объясняет существование диамагнетизма.
Обозначая через N число атомов в единице объема, получаем
для средней плотности диамагнитного момента следующее выра-
выражение: _
Md = md# = - NrfjB. B.30)
Так как из-за прецессии
то магнитный момент атома будет
==: -Т 2 r* x V?""T
80 Гл. //. Теория электрических и магнитных явлений
Первый член справа равен нулю, так как он представляет собой
магнитный момент т0 атома в отсутствие внешнего поля. Следо-
Следовательно,
i
Заметив, что cul=co@, 0, coL), vt = r(xb yiy zt)y имеем
i i
mz= -|-g)l 2 (** + #*)•
i
Считая распределение электронов в атоме сферически сим-
симметричным, имеем
i i i t
следовательно,
а среднее значение момента инерции равно
i
Итак,
Md = XmH, B.30')
откуда следует, что восприимчивость диамагнетика равна
i
Отметим, что в формулу B.31), строго говоря, входит |л, а не pi0.
Но у диамагнетиков разница между |л и (л0 настолько мала, что
практически ею можно пренебречь. Из этого соотношения видно,
что %т не зависит от температуры и зависит от структуры атома,
т. е. от распределения электронов в атоме, что согласуется с экспе-
экспериментальными результатами.
Отметим, что формула B.31) дает правильное значение A0~6)
порядка величины восприимчивости диамагнетиков, согласующееся
с экспериментальными данными. Чтобы получить восприимчивость
одного атома, следует разделить %т на число Авогадро (~ 1023).
При выводе формулы B.30) мы предполагали, что индуцирован-
индуцированные в атомах магнитные моменты не влияют друг на друга. Для
учета этого взаимодействия, как и в случае электрического поля,
следует ввести понятие эффективного магнитного поля Лоренца.
3. Теория намагничивания 81
По аналогии имеем
По определению,
м== Жв,
Н-о
где %м — диамагнитная восприимчивость единицы объема вещества.
С другой стороны,
М = -^-В*,
Но
где %т определяется формулой B.31). Следовательно,
откуда
»в4е' B'32)
Это точное выражение для восприимчивости единицы объема веще-
вещества в зависимости от восприимчивости атома или молекулы. В дей-
действительности же B.32) мало отличается от B.31), так как в отличие
от случая электрической поляризации выражение, стоящее в зна-
знаменателе, близко к единице.
Однако следует отметить парадоксальный факт, что с точки зре-
зрения классической теории диамагнетизма полученный результат,
хотя и согласуется с экспериментальными результатами, является
совершенно ошибочным. В формуле B.31) предполагается, что теп-
тепловое движение не влияет на результат статистического усреднения.
Правильнее при вычислении статистической средней магнитного
момента атомов из заданного объема учитывать и тепловое равнове-
равновесие этих атомов, т. е. пользоваться законом распределения Больц-
мана.
Как показали Ван-Левин и Терлецкий, в рамках классической
статистики магнитный момент единицы объема газа, состоящего из
атомов в стационарном состоянии, находящихся под влиянием
постоянного магнитного поля, равен нулю. Формула B.31) оправда-
оправдана только при допущении существования стационарных орбит
внутри атома в согласии с квантовой теорией атома. Строгая теория,
основанная на результатах квантовой механики, была развита
Ван Флеком [7]1).
В случае атомов и ионов, а также молекул, обладающих сфери-
сферической симметрией, диамагнитная восприимчивость есть скалярная
величина. Восприимчивость молекул, не обладающих сферической
симметрией, меняется в зависимости от направления оси молекулы,
как и в случае электрической поляризации. Диамагнитная
х) Для справок см. также [8].
6 В. Новаку
82 Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
анизотропия, наблюдаемая у некоторых молекул, позволила сделать
важные выводы относительно их строения (например, бензола,
нафталина).
2. Теория парамагнетизма. Теория парамагнетизма была разра-
разработана Ланжевеном и будучи совершенно аналогичной теории поля-
поляризации веществ, состоящих из полярных молекул, послужила Дебаю
в качестве модели для объяснения электрической поляризации.
Как и в случае электрической поляризации, теория строго справед-
справедлива для газов, но применяется и для разбавленных растворов пара-
парамагнитных солей или даже для некоторых твердых веществ всякий
раз, когда удовлетворяется закон Кюри, т. е. когда %тТ~ const.
Будем считать, что молекулы (или атомы) имеют собственный
дипольный магнитный момент т0. В случае внешнего поля В на
эти диполи эффективно будет действовать внутреннее магнитное
поле В*, вообще говоря, отличное от В. Для среднего магнитного
момента, который устанавливается вследствие равновесия между
тепловым движением и стремлением диполей к ориентации, будет
справедливо выражение, аналогичное выражению B.21), а именно
т = т0 ( cth ^Щг- - ~V J ' B.32')
или
tn = itiqL ( —yp— ). B.33)
Для малых значений m0B*/kT и в случае, когда можно заме-
заменить В* на В, имеем в первом приближении аналогично B.2Г)
т ~~ ~ъ ~ьт "о11 • \?.оо )
Следовательно, вектор намагниченности равен
M = ^-|i0Hf B.34)
а магнитная восприимчивость есть
_ М __ 1 Nm% -
%m — ~Jf — "з" fop H-O* (Z.OO)
Если N = No (число Авогадро), то получим молярную воспри-
восприимчивость
Это соотношение выражает закон Кюри, установленный экспери-
экспериментально еще до разработки теории.
Формула B.35) была выведена в предположении, что магнитное
поле В не слишком сильное и температура Т не слишком низкая.
§ 3. Теория намагничивания 83
Как показывает опыт, при очень низких температурах обнаружи-
обнаруживаются заметные отклонения от значений, которые получаются
по формуле B.35). Замена поля В внутренним полем Лоренца при-
приводит, как и в случае диамагнетизма, лишь к незначительной
поправке.
Следует отметить, что последовательная электронная теория не
укладывается в рамки классической физики, ибо решающую роль
играет тот факт, что числовые значения магнитного момента атомов
образуют дискретную совокупность, т. е. что магнитный момент кван-
квантован, как это было показано впервые Прокопиу и Бором A912 г.).
Кроме того, согласно гипотезе Гоудсмита и Уленбека A925 г.),
следует учесть спин электронов, который порождает дополнитель-
дополнительный магнитный момент. Учет спина не меняет выведенные основ-
основные соотношения, но дает возможность правильно истолковать
магнитомеханические или гиромагнитные явления, о которых мы
вскользь упомянули. Строгой парамагнитной теорией, построенной
на основе квантовой механики, мы обязаны Ван Флеку.
3. Элементарная теория ферромагнетизма. Некоторые вещества*
такие, как железо, кобальт, никель и их сплавы, железные руды
(магнетит и пирит), так называемые сплавы Гейслера, а также гадо-
гадолиний (из группы редких земель), характеризуются с магнитной
точки зрения очень большой намагниченностью и называются ферро-
ферромагнетиками. Существенной характеристикой ферромагнитных
веществ является способность намагничиваться до насыщения
даже при относительно слабой напряженности внешнего магнит-
магнитного поля. При этом намагниченность перестает линейно зависеть от
напряженности внешнего поля: оно растет медленнее, чем увеличи-
увеличивается напряженность, и снижается с повышением температуры,
При температуре, превышающей определенную критическую тем-
температуру, называемую точкой Кюри, вещество утрачивает свои
ферромагнитные свойства и становится парамагнитным. В этом
состоянии восприимчивость удовлетворяет так называемому закону
Кюри—Вейсса (аналогичному закону Кюри)
где в— температура Кюри. Ферромагнетизм существует только
ниже этой критической температуры. Так, железо утрачивает свои
ферромагнитные свойства при 770° С, никель — при 358° С,
а кобальт—при 1120° С. Экспериментальные исследования пока-
показали, что различие между ферромагнетизмом и парамагнетизмом
отнюдь не сводится к количественной разнице. В самом деле, боль-
большие значения магнитной восприимчивости, а также ее характерная
зависимость от напряженности внешнего поля отмечаются при
6*
84 Гл. //. Теория электрических и магнитных явлений
низких температурах у определенных типично парамагнитных веще-
веществ. Да и явление гистерезиса не является характерным для ферро-
ферромагнетиков, представляя собой больше структурное свойство второ-
второстепенного порядка.
Тщательные экспериментальные исследования, проведенные
в основном школой Вейсса, позволили установить неопровержимым
¦образом, что между ферромагнетизмом и парамагнетизмом суще-
существует качественное различие, а точка Кюри является узловой точ-
точкой качественного скачка, свойственного определенным веществам.
В то время как диа- и парамагнетизм являются атомными свой-
свойствами, относящимися к одному атому или молекуле, ферромаг-
ферромагнетизм есть свойство определенных множеств атомов, т. е. отно-
относится к целой совокупности атомов, между которыми существует
определенная связь. Доказательством правильности этой концеп-
концепции является тот факт, что атом ферромагнитного вещества ничем
не отличается с точки зрения магнитных свойств от атомов пара-
парамагнитных веществ; так, укажем, например, что компоненты фер-
ферромагнитных сплавов Гейслера (Al, Mn, Cu, Zn) сами не являются
ферромагнетиками.
Эта новая точка зрения на ферромагнетизм привела к совре-
современным теориям, которые дали возможность объяснить это сложное
явление. А именно, по Вейссу A907 г.), ферромагнетик представляет
собой агрегат элементарных областей, намагниченных «до насыще-
насыщения» спонтанным образом так, что направления намагничивания этих
областей направлены в разные стороны (размер таких областей
составляет 100—10 000 диаметров атомаI). Как и в случае парамаг-
парамагнитных веществ, эти элементарные области состоят из полярных
молекул, которые ориентируются под влиянием их взаимодействия;
условно можно заменить это взаимодействие внутренним ми-
микроскопическим полем, называемым молекулярным. Введенное
Вейссом понятие молекулярного поля, ответственного за «спонтан-
«спонтанное намагничивание», играет основную роль в теории ферромагне-
ферромагнетизма. Зоны спонтанного намагничивания у ферромагнитных веществ
могут быть выявлены методом Акулова.
Сложный характер ферромагнитных явлений обусловлен боль-
большими силами взаимодействия между соседними атомами ферромаг-
ферромагнетика, зависящими от относительной ориентации магнитных осей
атомов. Парамагнитными силами взаимодействия можно пренебречь
по сравнению с этими силами; так объясняется с помощью понятия
молекулярного поля отсутствие пропорциональности между намаг-
намагничиванием ферромагнетика и внешним магнитным полем, а также
х) Последующие исследования Я. Г. Дорфмана и Я. И. Френкеля
A930 г.) показали, что линейные размеры этих областей зависят от линейных
размеров всего тела.
§ 3. Теория намагничивания 85
остаточное и спонтанное намагничивания, характерные для ферро-
ферромагнетизма.
Предположив, что молекулярное поле пропорционально сред-
среднему молекулярному моменту т, можно записать соотношение
B* = fx0(H + nS), B.37)
где п — эмпирическая постоянная, a m задан законом Ланжевена
для парамагнетизма B.33'), который мы предполагаем справедли-
справедливым и в данном случае.
Следовательно, в первом приближении можно записать
ф B.38)
Относя все к одному молю вещества и обозначая через
^ = mN0 молярный момент, через оМ^ — m0N0 значение насыщения
молярного момента (при низких температурах или сильных полях),
вместо соотношения B.33) получаем
(
Jtzi^psTV). B.39)
?
Отсюда в первом приближении получаем
что соответствует B.38). Из B.40) выводим
-jj- = %м = гр ф , B.41)
где
'6k
Соотношение B.41) представляет собой закон Кюри—Вейсса,
который проверяется экспериментально для большинства ферро-
ферромагнитных веществ, а 0—критическая температура Кюри, выше
которой спонтанное намагничивание исчезает.
Обозначив
можно переписать соотношение B.39) следующим образом:
^ l. B.39')
86
Гл. II. Теория электрических и магнитных явлений
Когда внешнее магнитное поле равно нулю (Я = 0), имеем
Следовательно,
_ N20kT
а.
B.42')
B.43)
Н>0
Отложив на графике зависимость аМ,1оМ<х>оч а (фиг. 11), заме-
замечаем, что B.43) представляет собой уравнение прямой, проходящей
через начало координат. Пересечение этой прямой с кривой
B.39') (точка 2 на фиг. 11) дает
величину спонтанного намаг-
намагничивания (#=0). Чтобы это
пересечение существовало,
угол наклона прямой должен
быть меньше угла наклона ка-
касательной к кривой L(a) в на-
начале координат. Но, как мы
указывали, для малых зна-
значений аргумента L(a)=a/3;
следовательно, это условие
имеет вид
J_
< з •
Фиг- и- откуда Г<в. Строго говоря,
прямая B.43) пересекает кри-
кривую B.39') в двух точках: в начале координат (что соответствует
еМ=0, отсутствию намагничивания) и в точке 2 (соответствующей ко-
конечной намагниченности). Для того чтобы выяснить, какое из этих
состояний фактически осуществляется, необходимо установить, ка-
какое из них наиболее устойчивое. Квантовомеханический расчет по-
показывает, что точка 2 соответствует минимуму свободной энергии и,
следовательно, является наиболее устойчивой. Когда #=^0, вме-
вместо B.42') справедливо B.42), которое можно записать в виде
-== ща — п2Н,
B.44)
где ttt и п2— постоянные. Следовательно, намагниченность м в поле
Я задается пересечением прямой B.44) с кривой Ца). Эта прямая
параллельна прямой, проведенной через начало координат О и точку
2 (фиг. 12).
Когда //>0, пересечение произойдет в точке 1, а когда #<0,
точка пересечения будет лежать между точками 2 и 3, которые
§ 3. Теория намагничивания
87
являются точками пересечения кривой L(a) с этими параллельными
прямыми, соответствующими некоторому частному значению —Нп.
При Н<.Нпточка пересечения может лежать только на отрицатель-
отрицательной ветви кривой L (а), за точкой 3'. Отсюда следует, что кривая
намагничивания разрывна. Результат этих рассуждений может
быть представлен графически
(фиг. 12).
Таким образом, теория
Вейсса позволяет просто ис-
истолковать явление намагничи-
намагничивания через ориентирование в
направлении внешнего поля
элементарных, самопроизволь-
самопроизвольно намагниченных областей —
доменов и объяснить основные i 1 ! ~ Н
особенности ферромагнетизма.
Баркгаузен в своем клас-
классическом опыте A919 г.) по-
показал, что изменением направ-
направления внешнего магнитного
поля В можно обнаружить
внезапные повороты элемен-
элементарных областей ферромагне- Фиг. 12.
тика, и тем самым подтвердил
гипотезу Вейсса.
Отметим, что хотя теория Вейсса и дает простое феноменологи-
феноменологическое объяснение поведению ферромагнитных веществ в магнит-
магнитном поле, она приводит к слишком большим значениям для молеку-
молекулярных полей и не дает никакого объяснения механизму образова-
образования областей спонтанного намагничивания.
Объяснить возникновение молекулярного поля оказалось воз-
возможным только на основе квантовой механики, а именно с помощью
учета сил обменного взаимодействия между электронами сосед-
соседних атомов ферромагнитного тела (Гейзенберг). Большой вклад
в развитие квантовой теории ферромагнетизма сделан советскими
физиками1).
Сравнивая электрическую поляризацию веществ с магнитной,
интересно отметить, что, поскольку электрическая поляризуе-
поляризуемость всегда положительна, среди диэлектриков нет аналога диа-
магнетикам, восприимчивость которых всегда отрицательна. Напро-
Напротив, ферромагнетики имеют электрический аналог в виде сегнето-
электриков, исследование которых представляет большой интерес.
г) См. для справок [8, 9].
ГЛАВА III
ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
Введение
В этой главе мы предполагаем изложить вводные, элементарные
понятия молекулярной оптики вообще и явлений дисперсии в ди-
диэлектрических и проводящих средах в частности. Это является
необходимым дополнением в духе микроскопической теории к элек-
электромагнитной оптике, построенной на основе макроскопической тео-
теории Максвелла (см., например, Тамм, гл. VII). В вопросе о диспер-
дисперсии электромагнитных волн мы ограничимся классической элемен-
элементарной теорией, в свое время послужившей отправной точкой для
развития строгой квантовомеханической теории, изложение кото-
которой выходит за рамки настоящей книги.
§ 1. Теория дисперсии в диэлектрических средах
Теория дисперсии электромагнитных волн основана на предста-
представлении о молекулярном строении вещества. Молекулы рассматри-
рассматриваются как динамические системы, состоящие из электронных
осцилляторов, которые, по Лоренцу, подчиняются законам класси-
классической механики.
Действие монохроматической электромагнитной волны на моле-
молекулы проявляется (если пренебречь магнитным действием) в инду-
индуцировании электрической поляризации, периодически меняющейся
с частотой, равной частоте падающей волны. В свою очередь эти
осциллирующие диполи излучают вторичные волны, т. е. приводят
к рассеянию падающей волны. Эти вторичные волны интерферируют
между собой и с падающей волной, вследствие чего в случае изо-
изотропной среды образуется единственная результирующая волна,
распространяющаяся в среде с той же частотой, что и падающая
волна, но с измененной (зависящей от частоты) фазовой скоростью.
Этим и объясняется явление дисперсии. А именно показатель пре-
преломления среды, будучи равен отношению скорости распростране-
распространения в свободном пространстве к скорости распространения в рас-
рассматриваемой среде, очевидно, будет изменяться с частотой. В этом
и состоит дисперсионное действие диэлектрических сред. При про-
§ U Теория дисперсна в диэлектрических средах 89
хождении волны через диэлектрическую среду энергия, которую
несет волна, теряется либо в силу рассеяния, либо в силу поглоще-
поглощения, т. е. переходит в тепловое движение молекул.
Следовательно, теория этих явлений тесно связана с атомисти-
атомистической теорией диэлектрической поляризации. Связующим звеном
является соотношение Максвелла, справедливое для низких частот,
которое в предположении, что среда не магнитная, приводится
к виду
п2 = ке.
Следовательно, согласно B.12), имеем
Я2 llmr /O1V
и с помощью равенства B.12') получаем формулу
*,9. 1
:Cd, C.2)
известную под названием формулы Лоренца — Лоренца A909 г.).
В элементарной теории дисперсии предполагается, что это соотноше-
соотношение справедливо для любых частот.
1. Классическая теория дисперсии света получится из этих
соотношений, если вычислить постоянную а, основываясь на струк-
структуре атома или молекулы. Лоренц и Друде предположили, что
каждый атом содержит некоторое число электронных осцилляторов,
равное числу «электронов валентности». Под влиянием излучения
осцилляторы совершают вынужденные колебания и становятся
эквивалентными электрическим диполям, моменты которых про-
пропорциональны напряженности электрического поля падающей
волны.
Рассмотрим один электронный осциллятор и для простоты пред-
предположим его колебания незатухающими и квазиупругую силу
одинаковой во всех направлениях (т. е. осциллятор — изотроп-
изотропным). Уравнение свободного осциллятора имеет вид
v = 0. C.3)
Пользуясь комплексными величинами, можно записать свобод-
свободные колебания электрона в следующей форме:
г = Го^®о<, C.4)
где со0= 2rtv0— (k/m)l/2—частота свободного колебания, т. е. соб-
собственная частота электрона.
Если предположить, что на осциллятор действует плоская моно-
монохроматическая электромагнитная волна, которую мы можем счи-
считать линейно поляризованной, то, выбирая в качестве оси Ох
90 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика ь
направление распространения волны, а в качестве оси Ох направле-
направление электрического поля, имеем
/с>, ?, = ?z = 0. C.5)
Предположим, что магнитное поле волны (с компонентами
Н = Ну, Нх = Hz = 0) не влияет существенным образом на колеба-
колебания вдоль оси Ох. Тогда для вынужденных колебаний получаем
следующее уравнение:
Х = ^=-^Ех. C.6)
Если искать решение в виде
C.7)
то с помощью C.5) имеем
Отсутствие затухания приводит к парадоксальному заключению,
что в случае резонанса (со=со0) амплитуда вынужденных колеба-
колебаний становится бесконечной. На самом деле колебания всегда
являются затухающими. В рамках классической теории были
сделаны многочисленные, впрочем, безуспешные попытки ввести
различные причины затухания. При этом уравнение C.6) заме-
заменялось уравнением
f+±f + a,Jr--^E*. C.8)
где Е* — внутреннее поле, заданное соотношением B.8').
Поскольку введение затухания позволяет избежать «катастро-
«катастрофы резонанса», в дальнейшем при вычислениях мы будем ограни-
ограничиваться выражениями C.7) и C.7'). Следовательно, можно ска-
сказать, что под влиянием плоской падающей волны колебания элек-
электрона пропорциональны амплитуде Ео падающей волны и происходят
в фазе с ней, за исключением случая, когда со очень близко к со0.
Этим вынужденным колебаниям соответствует электрический момент
следовательно, осциллятор может быть представлен осциллирую-
осциллирующим диполем с моментом
е2 е2
Чтобы вывести выражение для поляризуемости атома, доста-
достаточно заметить, что вообще в атоме могут быть Л^ электронов
§ L Теория дисперсии в диэлектрических средах 91
с собственной частотой vb N2 электронов с частотой v2 и т. д.,
т. е. осцилляторы с различными периодами. В этом случае будем
иметь
i
Следовательно, соотношение C.1) принимает вид
п*—\_ 1 Ne2 угу Nt C Ш
п2+2 3 те0 *-* со?—со2 ' V • /
i
В случаях, когда значение п близко к 1, можно заменить
на 3; следовательно,
Эта классическая формула дисперсии справедлива, когда частота ю
не близка ни к одной из собственных частот со^.
Так как, вообще говоря, собственные частоты vt принадлежат
ультрафиолетовой части спектра, то, когда v находится в видимом
спектре, можно записать
2^.032 - о)| V L С0| ) "" 0)
следовательно,
2_i , gW у Nt , ^ у А/, 2
Для одного осциллятора можно записать (со =
^ + ... . C.13)
Эта формула выведена Коши A830 г.). Она справедлива для
видимого спектра.
В случае, когда п^1, можно заменить п2—1 на 2(м — 1)
и, следовательно, вместо C.12) записать
Кривая дисперсии имеет характерный вид, приведенный на
фиг. 13. Заметим, что в видимой части спектра (от а до C) показатель
преломления п растет с частотой падающей волны. Безусловно, п
не обращается в бесконечность для критических частот, так как,
если учесть затухание вынужденных колебаний, легко убедиться,
что п остается конечным.
92
Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
Итак, формула C.12) поясняет зависимость хе и п от частоты
v падающей электромагнитной волны (что самое существенное
для явления дисперсии); она справедлива, когда частота v доста-
достаточно далека от собственных частот — это так называемый случай
нормальной дисперсии. Вблизи же значений собственных частот ке
и п резко возрастают и наблюдается аномальная дисперсия (как
она называется в оптике), замеченная впервые Христиансеном и
Рождественским. Характерным для аномальной дисперсии являет-
является убывание показателя преломления с ростом частоты: dn/d(u<0.
Фиг. 13.
2. Вышеприведенные формулы могут быть непосредственно вы-
выведены из уравнений Максвелла макроскопического поля. Рассмот-
Рассмотрим изотропную и прозрачную диэлектрическую среду. Оптиче-
Оптическое поле будет описываться векторами Е и Н световой волны:
D = 80E + P, В = ц0Н, C.15)
где Р —поляризация, вызванная тем, что под влиянием поля Е
электроны выведены из положения равновесия, и равная
р= -ЛГет, C.16)
где Л^ —число электронов, принимающих участие в явлении
дисперсии, в единичном объеме, а г —смещение электронов
из положения равновесия.
Если предположить, следуя Лоренцу, что электроны связаны
«квазиупруго» со своим состоянием равновесия, то уравнение
движения электронного осциллятора примет вид1)
х) Строго говоря, вместо Е следовало бы писать поле Е*, заданное соотно-
соотношением B.8); см. также [1].
§ 1. Теория дисперсии в диэлектрических средах 93
т
C.17)
Предположим, что собственная частота со0 электрона принад-
принадлежит далекой части ультрафиолетового спектра (как, например,
в случае газов Н2, О2 и т. д.). С учетом C.16) уравнение C.17)
может быть записано в виде
а2 . 2\ п Ne*
+ co*J)P = —E. C.18)
Для определения векторов Н, Е, Р следует присоединить сюда
и уравнения Максвелла
Исключая Н, запишем
ео^оЁ + щ>Р = - V X (V X Е) = ДЕ, C.20)
ибо VE = 0. Исключая Р из C.18) и C.20), получаем уравнение
для определения Е:
) (^)« = 0. C.21)
В частном случае монохроматической плоской волны, поляри-
поляризованной линейно, которая распространяется по направлению
оси Ох:
Ех=Еое№-к2К C.22)
имеем
т
откуда следует
Так как фазовая скорость плоской волны v = (x>/k, то, по опре-
определению, показатель преломления будет
с ck
~~ V ~~ О) '
следовательно, из C.23) вытекает соотношение
п,2 =1-4- _— СЗ 24^
те0 со§ — со2 ' V • /
полученное уже нами ранее [см. C.12)], согласно которому показа-
показатель преломления есть функция частоты.
94 Гл. IIL Теория дисперсии. Молекулярная оптика
Поскольку для видимого спектра со< со0, то знаменатель со*—со*
положителен, и для красных лучей больше, чем для синих; сле-
следовательно, для синей области спектра дисперсия сильнее, чем
для красной, и, значит, дисперсия нормальна.
Так как мы предположили, что со0 очень велико, то можно вос-
воспользоваться разложением в ряд по степеням со/соо; при этом в пер-
первом приближении из C.24) получаем формулу C.13), выведенную
Коши на основе упругой теории света. Эта формула проверяется
в видимой части спектра для идеальных газов, если считать, па
эмпирическому правилу Друде, что число «дисперсионных» элект-
электронов равно валентности соответствующего атома. Однако эта
элементарная теория является неудовлетворительной при совре-
современном уровне знаний структуры атомов и молекул.
3. Выше предполагалось, что поляризация молекул Р опреде-
определяется только внешним полем Е. В действительности же при ее
определении следует учитывать и влияние электрических моментов
соседних молекул. Таким образом, учитывая соотношение Клаузи-
уса — Мосотти [см. B.12)], получаем соотношение C.1), из кото-
которого, если вместо Na подставить
Ne* 1
те0 (й% — со2 '
получаем
„2-1 1 УУ.2 !
3 тг0 со* —со2 * t
Это соотношение совпадает с C.11) при Ni=l и со^ = соо. Она
справедливо для жидких и твердых тел.
4. Заметное различие между показателем преломления для види-
видимого света и для радиоволн заставляет нас предполагать, чтог
когда тело прозрачное, т. е. когда его собственные частоты не лежат
в видимой части спектра, играют роль не только собственные частоты
электронов (лежащие в ультрафиолетовой части спектра), но и
собственные частоты вращения молекул (лежащие в инфракрасной
части спектра). Очевидно, эти инфракрасные собственные частоты
следует приписывать не электронам, а ионам, масса которых значи-
значительно больше.
Следовательно, в этом случае поляризация Р будет состоять
из двух частей,обусловленных электронами и соответственно ионами:
P = Pi + P2. C.26)
Пусть (Од— собственная частота электронов и ы — собственная
частота ионов. Согласно соотношению C.18), дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний электронов в переменном поле
Е имеет вид
(^0'=^Е- <3-27>
§ 1. Теория дисперсии в диэлектрических средах 95
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ионов
под действием переменного поля Е таково:
где М — «приведенная масса», соответствующая системе из двух
колеблющихся ионов противоположных знаков, определенная
соотношением
а р — валентность ионов. Ввиду нейтральности вещества числа
ионов в единичном объеме равно N/p, а заряд их будет равен
р зарядам электрона [следовательно, для перехода от C.27)
к C.28) надо заменить N на N/p и е2 на р2е2].
Согласно C.20), связь между Р и Е, выраженная уравнени-
уравнениями Максвелла, имеет вид
е0Щ)'Е + Mo (Pi + Р2) = АЕ. C.30)
Исключая Р4 и Р2 из уравнений C.27), C.28) и C.30), мы
получаем для Е сложное дифференциальное уравнение шестого
порядка. Не выписывая этого уравнения, заметим, что для пло-
плоских монохроматических и линейно поляризованных волн типа
C.22), согласно уравнениям C.27) и C.28), величина
Pt пропорциональна ^ § »
а величина
Р2 пропорциональна „2 2 .
Величина же fe2, согласно C.30), определяется через со2 из алге-
алгебраического соотношения
/о 0J __ 2 ( /Уе2 1 t Me2 1
Если ввести коэффициент преломления, то отсюда получим
Это соотношение можно переписать в более удобной форме>
если перейти к длинам волн
Тогда
„2
96 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
или
«2_
где
При X —» оо получаем
Отсюда видно, что соотношение Максвелла (n=xJ/«) справедливо
только в этом предельном случае (^<^).
Формула C.32) проверяется экспериментально и позволяет оп-
определить значения К'о и ^ для заданных веществ.
§ 2. Аномальная дисперсия
Рассмотрим, как протекает дисперсия в окрестности собствен-
собственной частоты (о=(о0. Будем предполагать, что со0 принадлежит ви-
видимой части спектра, в которой можно сделать точные измерения.
Следовательно, мы уже не будем предполагать рассматриваемое
вещество прозрачным, а его окраска будет определяться значе-
значением соо.
Поскольку, согласно C.3'), при (о=со0 амплитуда колебаний
должна была бы быть бесконечно большой, мы должны предполо-
предположить, чтов уравнение осциллятора входит член вида gr, связанный
с затуханием, т. е.
г + -*-г + ©Цг= —-Е.
1 т ' ° т
Следовательно, вместо C.18) будем иметь
где т — масса колеблющихся частиц, a g'=g/m.
Нужно учитывать, что, как правило, аномальная дисперсия
в видимой области обусловливается электронами. И лишь в тех
случаях, когда в видимой области лежат колебательные спектры
(например, в случае молекулы воды), аномальная дисперсия может
вызываться колебаниями ионов. Тогда под т следует понимать при-
приведенную массу ионов. Для монохроматической плоской волны
р =
т (х>1 — со2—j
Следовательно, поляризация, индуцированная в единичном
объеме, будет приблизительно выражаться действительной частью
§ 2. Аномальная дисперсия 97
Еыражения
C.33)
где Е=Еоехр[—/со/], а константа а2 прямо пропорциональна числу
осцилляторов в единице объема, имеющих собственную частоту (Оо1).
Константа g' характеризует затухание осциллятора, а именно она
зависит от диссипативных сил, вызванных столкновением молекул.
Для низких частот падающей волны поляризация Р близка по
значению к постоянной
| C.34)
и поскольку Р = (хР— 1)е0Е [см. B.11)], то
х.= 1+-^. C.35)
При возрастании со нужно использовать выражение C.33) пол-
полностью. В этом случае по аналогии с предыдущим необходимо
ввести, по определению, комплексную диэлектрическую проницае-
проницаемость х'с при помощи уравнений
Р = (х; - 1) е0Е, D = х;е0Е, C.36)
где, учитывая C.33),
х;= 1 +_^ f . , . C.37)
В этом случае уравнения Максвелла записываются следую-
следующим образом:
а волновое уравнение имеет вид
Дф-вО|1ох;^*- = О. C.38)
Это уравнение допускает в качестве решения плоскую волну
г[> = -фо^' (^-©0, C.39)
где
k' = ^-Yl? = k + is. C.40)
Следовательно,
х) Точнее, амплитуда поляризации равна модулю выражения C.33),
а отношение вещественной части к мнимой характеризует запаздывание по
фазе поляризации относительно электрического поля.
7 В Новаку
98 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
Фазовая скорость волны будет
»=т=т. C-42>
где в соответствии с соотношениями C.41) и C.37) к и п —
функции частоты.
Полученный результат позволяет проанализировать различные
возможные случаи.
Для паров и газов плотность поляризованных молекул мала,
так что а< 1, а поскольку ке приблизительно равна 1, можно
разложить (Xe)V2 в биномиальный ряд. Согласно соотношению
C.40), будем иметь
? X <3'43>
1°. Когда частота падающей волны достаточно низка, можно
записать
со -Л-1 -1 2оJ ' ^Л^
Итак, в этом случае коэффициент преломления, а следовательно,
и фазовая скорость не зависят от частоты —дисперсии нет.
2°. Если частота падающей волны велика по сравнению с соо,
то |со* — со2|> cog', и можно записать
i?. = rt=1+!_^_. C.45)
о 2 o)q — о)^ ч '
Коэффициент затухания s=0; следовательно, среда прозрачна и
диссипативна. При (о<оH показатель преломления я>1 и возра-
возрастание со приводит к увеличению п и уменьшению фазовой скоро-
скорости v. При со>(о0 показатель преломления /г<1, но возрастанию со
опять соответствует увеличение п. В этом случае имеем так назы-
называемую нормальную дисперсию.
3°. Если же значение частоты падающей волны со прибли-
приближается к частоте резонанса со0> т0 из C.43) получаем
П = ~^:=Г +~K-0JJ+0Jg'2'
Строя график изменения п—1 и коэффициента поглощения sc/ы
в зависимости от со вблизи резонансной частоты соо (фиг. 14), полу-
получаем для коэффициента поглощения резкий максимум при со= со0.
Таким образом, для падающей волны с частотой, близкой к со0,
среда непрозрачна. В области значений со, лежащих за со0, пока-
показатель преломления ведет себя аномально, т. е. убывает с ростом
§ 2. Аномальная дисперсия
99
частоты. Принято говорить, что дисперсия аномальна. Следует от-
отметить, что это.«аномальное» поведение—общее свойство веществ.
В случае жидких и твердых тел полученные выше результаты
несколько меняются, поскольку отпадает предположение, что
плотность вещества мала. Вообще же говоря, кривая дисперсии,
т. е. зависимость п от частоты со, остается той же.
Фиг. 14.
Отметим, что мы ограничились анализом поведения константы
распространения &', заданной соотношением C.40), в окрестности
одной только частоты резонанса. В действительности же молекула
представляет собой сложную динамическую систему, обладающую
бесконечной последовательностью собственных частот, влияющих
на взаимодействие между молекулой и электромагнитным полем
падающей волны. Каждой частоте будет соответствовать выражение
вида C.37), причем константы, входящие в эти выражения, обычно
выбираются с таким расчетом, чтобы получить соответствие с экс-
экспериментальными данными.
Итак, теория дисперсии в диэлектрических средах показывает,
что совершенные диэлектрики, вообще говоря, имеют ограничен-
ограниченную область прозрачности, зависящую от частоты падающей волны.
Этим она отличается от феноменологической теории Максвелла,
согласно которой поглощающими являются только проводящие
среды, а диэлектрические среды совершенно прозрачны. Получен-
Полученные нами выводы согласуются с экспериментальными данными,
и это придает теории дисперсии твердую основу, несмотря на все
неизбежные ограничения.
Элементарная теория, развитая выше, фактически применима
лишь к случаю идеальных газов. Следует, однако, отметить трудно-
7*
100 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
сти, возникающие при анализе тонкого механизма поляризации
диэлектрической среды, связанной с интерференцией падающей вол-
волны и вторичных волн, излученных молекулами.
Строгая теория дисперсии требует внимательного анализа обра-
образования волн, распространяющихся путем поляризации среды,
с одной стороны, и влияния распределения молекул на интенсив-
интенсивности проходящего и рассеянного излучения — с другой. Полное
исследование вопроса требует в случае твердых тел учета кристал-
кристаллической структуры среды.
Затухание атомных осцилляторов, которым объясняется погло-
поглощение излучения, было введено формально безотносительно к меха-
механизму, порождающему его. В действительности же основная при-
причина заключается во влиянии на гармонические колебания столк-
столкновений между молекулами вследствие их теплового движения.
Наряду с затуханием, обусловленным столкновениями, существует
и диссипативная реакция атомных осцилляторов, обусловленная
рассеянием падающей волны и испусканием вторичных волн. Как
показал Лоренц, этот механизм рассеяния излучения способствует
поглощению падающей волны в диэлектрической среде.
Наконец, следует отметить тот факт, что при сравнении формулы
нормальной дисперсии C.14) с экспериментальными данными обна-
обнаруживается, что числа Мг не являются целыми, несмотря на то что
они выражают число электронных осцилляторов. Следовательно,
классическая концепция электронных осцилляторов не точна, хотя
она и дает правильную форму кривой дисперсии. Поскольку крити-
критические частоты соь входящие в формулу дисперсии, должны сов-
совпадать с собственными частотами спектра излучения атома или
молекулы, то отсюда следует, что электронных осцилляторов дол-
должно быть по меньшей мере столько же, сколько спектральных
линий содержит спектр излучения, что неприемлемо. Эти трудно-
трудности были разрешены квантовой механикой, на основе которой Кра-
Крамере и Гейзенберг разработали квантовую теорию дисперсии.
§ 3. Дисперсия в металлах
Элементарная теория дисперсии, хотя и является очень схема-
схематичной, приводит к поразительно точной теории оптических свойств
металлов. Рассмотрим «газ» свободных электронов, который нахо-
находится в статистическом равновесии с положительными ионами,
образующими решетку металлического проводника. Электрическое
поле падающей волны вызовет перемещение этих электронов по
направлению поля. Этому перемещению противодействует взаимо-
взаимодействие электронов с решеткой положительных ионов, приводя-
приводящее к затуханию движения электронов. В первом приближении
пренебрегаем влиянием связанных электронов.
§ 3. Дисперсия в металлах 101
Рассмотрим уравнение электронных осцилляторов вида
*'. C.47)
Частный интеграл, соответствующий равновесию осцилляторов
в отсутствие поля, будет
г=
g —/со com
Отсюда следует, что если в единичном объеме содержится N
электронов, то плотность тока равна
^^-E. C.48)
Следовательно, по аналогии с законом Ома для постоянных
токов можно определить комплексную проводимость у' соотноше-
соотношением
, _NeVm_ 3.49)
g —](й
а комплексный волновой вектор будет задаваться соотношением
k'2 = [хеш2 -р jy'iMo.
Поскольку резонансные частоты связанных электронов атомов
металла лежат в ультрафиолетовой части спектра, то для области,
которая начинается с видимого красного света и распространяется
в сторону инфракрасного и радиоволн, можно предполагать, что
8 = 80 и (х^^о, если металл не является ферромагнитным. Тогда
Учитывая C.49) и отделяя действительную часть от мнимой,
получаем
С2 Я28ОСО CO2-t g'* '
Поскольку при низких частотах в C.47) можно пренебречь си-
силой инерции тх по сравнению с силой mg'x, выражение C.49) при-
приводит к постоянной величине
>
C-52)
которая должна быть тождественна значению проводимости у для
статического случая. Экспериментальные исследования, проведен-
102 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
ные Рубенсом и Хагеном A903 г.), доказали, что статическим зна-
значением проводимости можно успешно пользоваться в инфракрасной
части спектра. Однако для длин волн А,<25 мк проводимость зависит
существенным образом от частоты, и обнаруживаемую дисперсию
можно объяснить при помощи соотношений C.51).
Итак, соотношения C.49) — C.51) позволяют расширить область
справедливости классической электромагнитной теории за пределы,
произвольно установленные феноменологической теорией.
Следует отметить важное открытие Аркадьева о зависимости
\х от частоты падающей волны. А именно, исследуя поглощение
электромагнитных волн, распространяющихся вдоль металличе-
металлических проводников, и их отражение в кристаллической решетке фер-
ферромагнитных металлов, Аркадьев установил A908—1911 гг.), что
при переходе от волн длиной А.=70 см к волнам с Х= 1,3 см проис-
происходит почти полное исчезновение ферромагнитных свойств соответ-
соответствующего металла, выражающееся понижением проницаемости
fx до значений, близких к единице. Аркадьев считал, что это явле-
явление вызвано «магнитной вязкостью» среды, т. е. является резуль-
результатом влияния изменения вязкости на ориентацию элементарных ди-
диполей (областей спонтанного намагничивания). Вводя «время релак-
релаксации» диполей, он показал, что, когда частота волны намного
превышает частоту релаксации диполей, изменение их ориентации
становится незначительным, так что [х ->1. Эти исследования Аркадь-
Аркадьева положили основу исследования «магнитного резонанса» и маг-
магнитной спектроскопии1).
§ 4. Распространение электромагнитных волн
в ионосфере
Недавние исследования по распространению радиоволн в высо-
высоких ионизированных слоях атмосферы2) открыли новое поле при-
приложения теории дисперсии, в которой используются формулы,
установленные в предыдущем параграфе.
В высоких слоях атмосферы из-за низкого давления средний
свободный пробег электронов чрезвычайно велик, и, следовательно,
в C.49) можно пренебрегать коэффициентом затухания. Тогда
кажущаяся проводимость есть чисто мнимая величина:
Следовательно, имеем
»2 = ^Г=1-=. s = °- C-54)
г) Для справок см. [2].
*) Для справок см. [3J.
§ 4. Распространение электромагнитных волн в ионосфере 103
Итак, электромагнитная волна распространяется в атмосфере
электронного газа без затухания и с фазовой скоростью, большей
скорости света в пустом пространстве.
Для частот, меньших критической, значение которой опреде-
определяется соотношением
тг0 '
из C.54) следует, что показатель преломления становится мнимым.
Можно проверить, что на граничной поверхности такой среды вол-
волна полностью отражается.
Проблема распространения электромагнитных волн в ионо-
ионосфере сложна из-за необходимости учета влияния земного магнетиз-
магнетизма. Она была исследована советскими физиками Шулейкиным
и Жекулиным A930 г.).
Предположим, что плоская электромагнитная волна распро-
распространяется вдоль оси Oz. Для простоты рассмотрим случай газа,
состоящего из одного компонента (электронов), и примем, что число
частиц в единичном объеме равно N. Постоянное магнитное поле
может быть разложено на две составляющие: продольную (по на-
направлению распространения волны) и поперечную. В первом при-
приближении можно учитывать только продольную составляющую Яо.
С учетом выражения силы Лоренца A.10) уравнения движения
электронов будут в этом случае иметь вид
2 = 0. C.55)
xEx^y, yEt +
Поскольку движение происходит в плоскости хОу, которая со-
содержит и векторы падающей волны, предпочтительнее исполь-
использовать комплексные величины
u = x + jy, E = Ex + jEyy H = Hx+jHy. C.56)
При этом уравнения C.55) можно записать в следующей более
сжатой форме:
? . ФоЯо^= „±_е. C.57)
a m m v '
Уравнения электромагнитной волны в этом случае имеют вид
дЕ . дН п дН , . дЕ
Чтобы найти решение, одновременно удовлетворяющее уравне-
уравнениям C.57) и C.58), положим
Е = A'ebKiv-at), н = Л"е±^г-0)<\ и = Се^*-^. C.59)
Эти выражения представляют собой гармонические волны, рас-
распространяющиеся в направлении оси Oz с волновым вектором h.
104 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
Подставляя их в C.57) и C.58), получаем однородную систему
линейных уравнений
Л" = 0, C.60)
е0соЛ' + jhA" + NeaC = 0.
Чтобы для А', А", С получить ненулевые значения, необходимо,
чтобы определитель системы был равен нулю. Это условие позволя-
позволяет определить значение Л:
Ые*/тг0
со2 1 со2 if: (e
Поскольку фазовая скорость равна v=(u/h, для показателя
преломления среды получаем
*-?-¦?. C.62,
Итак, приходим к интересному заключению, что электронный
газ, на который действует постоянное магнитное поле, ведет себя
как анизотропный двоякопреломляющий кристалл, в котором воз-
возможны два вида бегущих волн с различными скоростями:
f72-v —I Ne2/me0
Видно, что при подходящем выборе со показатель преломления
п- может стать бесконечным, а при другом значении частоты п+ ста-
становится равным нулю.
Эги формулы позволяют объяснить замечательные оптические
свойства слоев Кеннелли — Хевисайда. Так, линейно поляризован-
ная падающая волна разлагается в этой среде на две составляющие,
поляризованные по кругу в противоположных направлениях, кото-
которые распространяются со скоростью v+ и v_ соответственно.
Поскольку полное отражение волны определяется коэффициентом
преломления среды, то при отражении в ионосфере поляризация
волны может быть искажена, так что волна, возвращающаяся
на Землю, может содержать поляризованную по кругу компоненту,
которая способствует наблюдаемому нерегулярному изменению ус-
условий приема коротких радиоволн, так называемому «замиранию».
§ 5. Классическая теория когерентного рассеяния
Теория Максвелла — Лоренца позволяет дать простое объяс-
объяснение принципу, на котором основывается явление когерентного
рассеяния света. А именно предполагается, что электронные осцил-
§ 5. Классическая теория когерентного рассеяния 105
ляторы атомов под влиянием электромагнитной волны совершают
вынужденные колебания с частотой падающей волны. Поскольку
электрический момент колеблющегося электрона меняется во вре-
времени, то электрон будет излучать вторичные электромагнитные
волны, имеющие частоту вынужденных колебаний, т. е. частоту
падающей волны. Существование этих вторичных волн порождает
явление когерентного рассеяния.
Для простоты рассмотрим случай линейного осциллятора, колеб-
колеблющегося под действием плоской монохроматической электромаг-
электромагнитной волны, которая предполагается поляризованной линейно
и распространяется по направлению оси Ог. Электрическое поле
волны будет иметь вид
^) ?у = ?2 = 0. C.64)
Поскольку магнитное поле очень мало влияет на движение элек-
электрона по направлению оси Ох, в первом приближении можно пре-
пренебречь магнитным действием, и вынужденное колебание электрона
будет определяться уравнением
* = -©!*- —?0cosg> ( t-^ ) ,
откуда
x = . 9 °—«r- cos со ( t — ) , C.65)
m (щ — со2) \ с у ч '
где (О0=^2яг0 — собственная частота осциллятора.
Мы опустили член затухания, но в действительности движение
осциллятора всегда затухает вследствие реакции излученного света,
не говоря уже об остальных возможных причинах затухания, кото-
которые, однако, в классической теории не приводят к удовлетвори-
удовлетворительным результатам. Полагая, что частота падающей волны отлич-
отлична от резонансной частоты, мы можем ограничиться выражением
C.65) без введения затухания. Этому вынужденному колебанию
соответствует [см. C.9)] электрический момент
Излучение этого осциллятора может быть выражено череа
поток энергии осциллирующего диполя за единицу времени на еди-
единицу площади:
где Yr — среднее значение во времени, т. е. средний поток в напра-
106 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
влении радиус-вектора г, а рх — амплитуда рх. Следовательно,
-Uin2e. C.67)
По определению, это есть интенсивность рассеянной волны
в направлении Э на расстоянии г.
В случае, когда падающий свет не поляризован, имеем
no
следовательно,
Или, поскольку
sin2 Qx + sin2 Э^ = 1 + cos2 92,
Y - g4 f2o fl+Cos2e ) C'6Г)
Ir"" 32я2сз8()т2 ((о2_(о2J -72-U-t-cos ог;.
Полный поток получается интегрированием вышеприведенного
выражения по шару радиусом г. В случае неполяризованного
света имеем
8 е*Е%
3 16яс3е0т2 (cog —о2J *
Обозначив через /0 поток энергии падающей волны за единицу
времени на единицу площади, получаем
/о = сео?о- C.68)
Энергия, рассеянная осциллятором за единицу времени, будет
равна
Id = 6J*m^ -^,-^?- /0. C.69)
Коэффициент рассеяния (или эффективное сечение рассеяния) а ве-
вещества, по определению, равен отношению энергии, излученной
электронами за единицу времени, к энергии, падающей за единицу
времени на единицу площади. Следовательно, молярный коэффи-
коэффициент рассеяния будет
10 6ле§/я2с4 ^-J (со?—со2J *
i
§ 5. Классическая теория когерентного рассеяния 107
В случае рассеяния света со0 > «, поскольку собственные час-
частоты электронов обычно принадлежат ультрафиолетовой области.
Следовательно, формула C.69) указывает, что рассеяние света
пропорционально четвертой степени частоты, или Аг4. Это зна-
знаменитый закон Релея A871 г.), который хорошо выполняется для
видимой области спектра. Между прочим, этот закон позволяет
объяснить голубой цвет неба. А именно в соответствии с ним при
рассеянии белого света солнца на молекулах воздуха больше всего
будут рассеиваться коротковолновые компоненты (фиолетовые, си-
синие, голубые), которые и определят цвет неба. Хотя такое объясне-
объяснение позволяет качественно интерпретировать ряд явлений приро-
природы, но количественно оно противоречит экспериментальным дан-
данным. Как показал Мандельштам, для правильного объяснения нуж-
нужно принимать во внимание флуктуации плотности атмосферы.
Рассмотрим объем V рассеивающей среды, который мы разобъем
на маленькие ячейки. В каждой такой ячейке центры рассеяния
распределены произвольно, но фазу рассеянной волны можно отне-
отнести к фазе рассеянной волны, исходящей из центра О объема. Сле-
Следовательно, будем считать, что фазы <рь ф2,. . . , фе есть разности фаз
вторичной волны, испускаемой молекулой, которая находится
в определенной точке ячейки, и рассеянной волны, исходящей из
центра О. Пусть Nt — число молекул, на которых рассеянные волны
получают фазу ф/. Результирующее поле рассеянных волн в некото-
некоторой точке, внешней по отношению к объему V, будет пропорцио-
пропорционально величине
Следовательно, в выражение вектора Умова — Пойнтинга вой-
войдет Ф2. В выражение интенсивности рассеянного излучения будет
входить тот же множитель. Сразу же замечаем, что если распределе-
распределение молекул однородное, то Ф обращается в нуль; поэтому свет
совершенно не будет рассеиваться. Таким образом, рассеяние света
в газе представляет собой явление, зависящее существенным обра-
образом от неоднородности распределения молекул газа, т. е. от термоди-
термодинамических флуктуации. Если обозначить через 6Л^ отклонение
числа соответствующих молекул от средней статистической Ni9 то
интенсивность рассеянного света будет пропорциональна вели-
величине
| Ф |2 = | 2 ej^Nt |2 = 2 FЛ/*J + 2 №-"*> bNJNk.
i гфк
Чтобы провести сравнение с экспериментальными данными, необ-
необходимо взять статистическое среднее этой величины. В случае раз-
разреженного газа можно пренебречь корреляцией между различными
108 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
элементарными объемами, тогда будем иметь
Следовательно, полное рассеяние пропорционально среднему числу
центров рассеяния в рассматриваемом объеме:
В этом состоит правильное объяснение явления когерентного
рассеяния света в атмосфере. Отметим, что Араго открыл явление
деполяризации света при рассеянии в атмосфере. Для объяснения
его нужно учесть, что в случае несимметричных молекул поляри-
поляризуемость является тензорной величиной (см. Борн [4]).
В случае рассеяния света на свободных электронах в формуле
C.69) следует положить со0^0. При рассеянии на атомах то же
приближение справедливо в случае рассеяния рентгеновских лу-
лучей, когда со0<со и, следовательно, величиной со0 можно пренеб-
пренебречь. При этом формула C.69) принимает вид
Поскольку эффективное сечение а имеет размерность площади,
с учетом A.37) можно записать
Следовательно, в этом случае рассеяние не зависит от со и обу-
обусловлено электронами, которые ведут себя как сферические час-
частицы радиусом а = аг0, если положить, что a = ]/8/3. Эта формула
получена Дж. Дж. Томсоном.
Отметим, однако, что для случая рентгеновских лучей эффектив-
эффективное сечение может быть точно вычислено только с помощью кванто-
квантовой механики или соответственно квантовой электродинамики.
Рассеяние электромагнитных волн системой электронов отли-
отличается от рассеяния волн одним покоящимся электроном прежде
всего тем, что вследствие движения электронов внутри системы
частота рассеянного излучения отличается от частоты падающих
волн. А именно в спектральное разложение рассеянного излучения
вместе с частотой со падающей волны входят и частоты
где (о^) — основные частоты вынужденного периодического движе-
движения электронов внутри системы и л(<> — произвольные целые числа.
Это дает так называемое комбинационное рассеяние, открытое Ра-
маном и независимо от него для случая кристаллов — Мандель-
Мандельштамом и Ландсбергом A928 г.).
§ 6. Молекулярная теория распространения света 109
§ 6. Молекулярная теория распространения света
Ниже мы изложим, следуя Борну [4], строгую статистическую
теорию распространения света в изотропных макроскопических
средах (в газах, жидкостях и стекле или других аморфных телах).
Для этих сред характерно, что в среднем молекулы ориентированы
одинаково для всех направлений пространства; следовательно,
р = ае0Е', C.70)
где а — средняя поляризуемость молекулы. Предположим, что мо-
молекулы распределены в пространстве равномерно со статистической
точки зрения и что плотность N молекул постоянна.
Падающая световая волна действует на диполи-молекулы, и, сле-
следовательно, каждый возбужденный диполь будет излучать вторич-
вторичную световую волну сферической формы. Эти сферические волны
будут интерферировать между собой, что приведет к явлениям,
описываемым в макроскопической теории Максвелла формулами
Френеля. Покажем это.
Поле диполей может быть представлено вектором Герца (Тамм,
стр. 466)
Мы предположили, что в нормальном состоянии атомы среды
не имеют магнитных моментов или что в случае видимого света их
влиянием можно пренебречь.
Полное электрическое поле EJ, действующее на /-й диполь вну-
внутри среды, будет состоять из поля падающей волны Е@> и полей,
порожденных остальными диполями
е; = е(м+2'ел. (з.72)
Поле диполя / в точке, в которой находится диполь /, будет
C.73)
где Rji — расстояние между диполями, а запаздывающее время
равно t — Rjilc.
Если статистическое распределение диполей, которое в сред-
среднем предполагается однородным, заменить непрерывным распре-
распределением, т. е. если считать дипольный момент р = р (г, /) функцией
вектора положения г и времени /, а плотность N — N (г), то можно
записать
l^ C.74)
ПО Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
где
dv' = dx' dy'dz\ R = r-r',
а интеграл распространяется по всему полупространству z < О
рассматриваемой среды, за исключением маленькой сферы ра-
радиусом а, заключающей точку, в которой находится диполь /.
Чтобы вычислить этот интеграл, предположим, согласно C.70),,
что полный дипольный электрический момент равен
Р = Np = Mxe0E' = Р@) ехр [BяA) /sr] ехр [ - /со/] =
= Fexp[-/W]. C.75)
Это сводится к предположению, что в рассматриваемой среде
распространяется плоская волна, которая отличается по направ-
направлению и длине волны от падающей волны Еси). Имеем
F (г) = Р@) ехр [BлА) /sr]. C.76)
Следуя методу, указанному Озееном [6], можно записать
E' = E(O) + VX(VX J), C.77)
где
dv = l? (Г) ^ м. (з.78)
Замечаем, что функция F удовлетворяет уравнению
(з.79)
Так как дивергенция Е' равна нулю, то из C.77) следует
VF = O. C.80)
Соотношение C.78) можно переписать следующим образом:
4ne0J = ег№ J F (г') ф (R) dS\ C.81)
где
ф (#) — g3fl> f Дф — у (\7ф) = — ^. ф. C.82)
Применяя формулу Грина и учитывая C.79), можно показать,
что C.81) переписывается и так:
где интеграл берется по внешней граничной поверхности среды
B) и по сфере (а), описанной вокруг выделенной точки, которую
мы полагаем внутренней по отношению к среде.
§ 6. Молекулярная теория распространения света
Ш
Таким образом, переменное поле диполей из C.77) заменено
фиктивным распределением диполей на граничных поверхностях.
Следовательно, интеграл C.83) может быть разбит на две части
У о и 3z\ первый из них обращается в нуль, когда выделенная точка
лежит вне рассматриваемой среды. Эти два интеграла могут быть
вычислены путем разложения в ряд. Что касается первого интеграла,
не приводя непосредственных вычислений, которые довольно трудо-
трудоемки1), заметим, что
C.84)
Действительно, пусть рас-
рассматриваемая среда предпо-
предполагается неограниченной,т.е.
поверхность B) лежит в беско-
бесконечности. Тогда, чтобы ди-
польная волна сохранялась
под действием излучения
других диполей, мы должны
просто отбросить в C.77) па-
падающую волну Е@) и положить
E' = VX(VX Jo) =
Фиг. 15.
~" Зе0 л2 — 1 '
В последующем мы дадим оправдание этой гипотезы выводом
соотношения C.96).
Из написанного выражения с учетом C.75) имеем
T^-fey. C-84')
что дает известную формулу Лоренца — Лоренца B.12) и тем
самым обосновывает соотношение C.84).
Возвратимся к соотношению C.83) и предположим, что грани-
границей B) среды является плоскость г=0 и что падающая волна при-
приходит из пустого пространства (г>0) к телу, которое находится
в области г<0. Нужно вычислить интеграл
<3-85>
распространенный по плоскости z = 0. Предположим, что выде-
выделенная точка А находится на таком расстоянии г от B) (фиг. 15),
См. [4], стр, 426—432 перевода,
112 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
которое значительно превосходит длину волны %0\ следовательно,
В этом случае, согласно C.76) и C.82),
^r F (г') = -?г Р ^
. (о OR
Подставляя в C.85), получаем
—«—ds- C-85)
) i 1
B)
Выберем в плоскости z = 0 ось Ох так, чтобы единичный
вектор s нормали к дипольной волне лежал в плоскости xOz
и выделенная точка находилась бы на оси Oz. Имеем
dR__ z—z' __ r
dv' ~~ R -~ R '
и, поскольку вектор г' имеет компоненты (х\ у', 0), а вектор
s — компоненты (sinгр, 0, — cosi|)), где гр— угол между s и внут-
внутренней нормалью —v' к B), то
r's = rs — Rs = rs — xr sin op — r cos ij>;
следовательно,
-jco(f- -rs)
)gco(n2^1) \±(-rr + ncos^e№**dx'dy'9 C.87)
B)
где
/С = R — n (r cos i|) + jc' sin op). C.88)
Интеграл вычисляется просто, если выбрать подходящую
систему криволинейных координат в плоскости B). В качестве
координатных линий удобно выбрать кривые К — const и полярный
угол w исходящего из точки Ао [определенной вектором
г0 (а:', у\ 0)] радиус-вектора с осью Ох. Легко проверить, что урав-
уравнение C.88) описывает семейство эллипсов с центрами в точках
где
f 6. Молекулярная теория распространения света ИЗ
и минимальное значение К (определяемое из условия s/К = 0) равно
Ко = г (cos ф - п cos ф). C.88')
Итак, полагая
dS = dx' dy' = f (/C, w) dK dw,
переписываем интеграл C.87) в виде
4яе0Js =» /fl) („,!) P@)^-^^Kco/c)n(rs) x
2Л
x J eiwo*dK \g(K>w)f (/C, w) doy. C.89)
Учитывая C.86) и применяя теорему о среднем к последнему
интегралу, получаем
2Л 2Я
\g(K,w)f(K,w)dw = g(K,w) \f(K.w)dw, 0<ш<2я.C.90)
о о
Интеграл C.90), умноженный на dK, описывает кольцевую
область, заключенную между двумя эллипсами К и K dK
поэтому
2л
F (/С) d/C = 5 $f(ff,o;)dffl>d/C = rta&,
где a, 6 —полуоси эллипса К = const. Следовательно, имеем
4яе0J2 = jS^rr)p{0>e"*B<eJWc)n(ri) \ 8 (К. й»)f (/С) eJ(«/c)KЛС. C.91)
Интеграл можно взять по частям, заметив, что величина /Со.
согласно C.88'), пропорциональна г; получаем следующее разло-
разложение в ряд:
со
Ко
Для вычислений ограничимся первым членом разложения.
Заметим, что при /?== оо можно положить (/г^)к==Оо:=0, поскольку
8 В. Новаку
114 Гл. 111. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
можно пренебречь влиянием остальных граничных поверхностей
тела, а также бесконечно удаленной части поверхности B).
Чтобы вычислить значение, соответствующее К0 = 0, заметим,
что при К —>К0 эллипсы окружают точку с координатами х'о = г tg ф,
Уо = О, z'0 = 0, в которой вектор R = r — г' имеет компоненты
( — г tg ф, 0, —г); следовательно,
R = (г2 tg2 ф + г2I/2 = т^—
и
g = coscp (cos ф + п cos if>),
Последнее выражение получается, если заметить, что
Запишем уравнение семейства эллипсов К = const в канонической
форме:
+ •—— = 1.
и- Ь'2
где
1—п2 sin2 if)
-nr cos 'Ф)
fe~ 1 —n2sin2i|)
Тогда
F ^JC+rncos
v 7 COS3 ф
или с учетом C.88')
F ^°) =
При этом
p = 2j|; 2л
^ cos ф sin i|? cos ф
Аналогично,
n (rs) + К о = w cos г|) + г (cos ф — n cos i|)) = r cos ф = rs°,
где единичный вектор s° имеет компоненты (sin ф, 0, — cos ф).
Наконец из C.9Г) и C.91) получаем
§ 6. Молекулярная теория распространения света 115
это выражение волны, распространяющейся со скоростью с
в направлении s°, отличной от падающей волны по направлению
и интенсивности.
Возвращаясь к основному соотношению C.77), замечаем, что
V X Р@>в~^'~г8в) = / —(s° X pw)*"*0''") C.93)
у х p
2^^!) sin ^ cos Ф lS X(S XF )J*
C.94)
где
s° X (so x P(o)) = so (s°P@)) - P(o). C.95)
Следовательно, дипольную волну можно разложить на две со-
составляющие Js и Jo- Напишем теперь условие, чтобы эти дипольные
волны компенсировали падающую волну, а именно чтобы, согласно
C.77), выполнялось соотношение
E(C) + VX (VX J2) = 0. C.96)
Разложим падающую волну и дипольную волну на две состав-
составляющие: одну— параллельную плоскости падения, а вторую —
перпендикулярную, поскольку плоскость падения содержит век-
векторы s и s°, образующие угол ф — г|? (см. фиг. 15). Тогда ком-
компонентой Р™ будет Р@), а компонента Р{^ будет перпендикулярна
вектору s@) и равна P@)cos(cp — if>). Следовательно, будем иметь
2e
1 р@)
o(n8-l) -1
Р@) 5Ш(г|?+ф)С05(ф — "ф) ' ' '
11 2ео(п2—1)
где Л^[\ Л^ — компоненты амплитуды волны Е(С).
В силу соотношения C.84') имеем уравнение
P = D-80E = E0(n2-l)E, C.98)
которое определяет «макроскопическое поле» Ed внутри рассматри-
рассматриваемой среды. Следовательно,
Подставляя в C.97), получаем формулы Френеля для преломленной
волны.
Вычисляя аналогичным образом интеграл J2 для простран-
пространства, внешнего по отношению к среде (г>0), получаем аналогичный
результат с той лишь разницей, что вместо г, sz и ф нужно взять
8*
116 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
соответственно —г, — sz и п — ф. Вводя вместо вектора s° вектор
s' с компонентами (sincp, 0, coscp), получаем по аналогии с C.97)
соотношения
4 = р
Л± 2во(/1*-1) г± sin ф cos Ф '
А(п 1 п(о) sin(<p —г|>) cos(9+^) * ' '
ЛН 2ео(п2—1) |j sini|)cos<p
Исключая Р^> и Р№> из соотношений C.97) и C.100), получаем
формулы Френеля для отраженной волны.
Таким образом, мы показали, что для изотропных тел влияние
среды на распространение света может быть истолковано при помо-
помощи рассмотрения излучения диполей в пустом пространстве. Эта
молекулярная теория света шире феноменологической теории
Максвеллаv поскольку она, помимо обычного распространения све-
света, охватывает и рассеяние его. Действительно, в выражении C.74)
под знак интеграла входит плотность N молекул. Выше мы пред-
предполагали, что N постоянно, на самом же деле плотность молекул
флуктуирует. Следовательно, разработанная теория дает представ-
представление о распространении света статистически в среднем. Кроме того,
должно существовать и нерегулярное распространение света, обу-
обусловленное флуктуациями. Таким образом, мы пришли к истолко-
истолкованию явления молекулярного рассеяния света.
§ 7. Явление Фарадея, магнитное вращение
плоскости поляризации
Возвратимся к уравнениям колебания электрона C.6) и рассмот-
рассмотрим электрон, находящийся во внешнем магнитном поле В. На элек-
электрон будет действовать сила Лоренца
xB). C.101)
Если принять направление поля В за ось Oz и предположить,
что световая волна распространяется в том же направлении, то
векторы Е и г будут лежать в плоскости хОу. Уравнение C.101)
можно записать при помощи проекций на оси координат
где coj=:6/m. Умножив второе уравнение на ±] и сложив
с первым, получаем
R T -^ JBR + ©;/? = - JL Е, C.102)
§ 7. Явление Фарадея, магнитное вращение плоскости поляризации 117
где использованы обозначения
R = x±jyt E = Ex±jEy. C.103)
Введение комплексной величины Е вместо прямоугольных компо-
компонент означает, что мы перешли от линейной поляризации к круго-
круговой. Следовательно, если падающая волна будет линейно поляри-
поляризованной:
Е = Ех = A cos со/, Еу = 0, C.104)
то это означает, что мы разложили ее на две поляризованные по
кругу волны: правовращающуюся (Е+) и левовращающуюся (?_),
так что
ЕХ = ±(Е+ + Е-), Еу = -±[(Е+-Е.). C.105)
Теперь мы при помощи величин Е± выразим поле световой волны
в магнитном поле, а после того как волна пройдет область магнит-
магнитного поля, мы опять возвратимся к описанию поляризации колеба-
колебаний как линейной и вычислим угол поляризации с направлением
исходного колебания Ех.
Допустив, что световое колебание монохроматично, положим
Е± = А ехр [j (k±z- со/)]. C.106)
Предположим теперь, что R± имеет такую же периодическую
форму. Из C.102) следует
Для вектора поляризации, пропорционального г, будем иметь
P± = Px±jPy; C.108')
следовательно,
В этом случае из дифференциального уравнения C.20) получаем
соотношение
^(llO <3'109>
Соответственно будем иметь два различных показателя пре-
преломления
Q
определенных соотношением
Л/-2 1
118 Гл. III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика
Различие между этими двумя показателями невелико, ибо из
вышеприведенного соотношения в первом приближении получаем
л* -м2 = Ne* 2 е В@
д+ п~ me m
2
me0 m (со*—0JJ •
или если определить средний показатель преломления п =
^ ( "-)> то
Заметим, что можно записать
k — — (k -J-Л
(*+*-) ± 4- (*+—*-)• (ЗЛ12)
Введем обозначения
-cot C.113)
для разности фаз, соответствующей пути, пройденному светом
в магнитном поле от z = 0 к z = /, и
Х = 4-(?+-й-)> C.114)
выражающее угол вращения. Таким образом, согласно соотно-
соотношениям C.106) и C.112), имеем
Е± = Ае&е±п, C.115)
откуда, согласно C.105), следует
?х = Ле*Р cos х, Ey = AeWsm%. C.116)
Поскольку Ех и Еу имеют одну и ту же фазу, их можно
представить в виде суммы. Это даст линейно поляризованную
волну, направление поляризации которой относительно первона-
первоначального направления поляризации будет повернуто на угол х
в положительном направлении относительно поля В. Фаза волны
изменяется на г/21 (k+ + k~).
Заметим, что в выражение C.110) входит частота Лармора
(см. гл. II, § 3, п. 2)
которая мала, так как мы предположили, что магнитное поле
слабое. В этом случае можно пренебречь величиной со^ по срав-
сравнению с со* и записать
/Л80
§ 7. Явление Фарадея, магнитное вращение плоскости поляризации 119
Это значит, что можно рассматривать я- как функцию co + coL
и соответственно п+ как функцию со —coL. Поскольку coL < со,
то их разность может быть записана следующим образом:
dn o
Поэтому можно переписать C.114) в виде
Эта формула впервые была выведена Беккерелем. Она удовлет-
удовлетворительно выполняется в случае диамагнитных веществ. Однако,
как показал Ладенбург, в случае парамагнитных веществ формулу
C.114') следует дополнить членом, в знаменатель которого входит
абсолютная температура. Эта формула была выведена Кронигом.
Угол поворота плоскости поляризации % может быть измерен
очень точно при помощи формулы
C.117)
где V — постоянная Верде — согласно C.114) и C.111) равна
v__ со п+ — п_ _ Ne* со2 п ]]R,
2с В ~~ 2пт2се0 (cog — ©2J • ^о.ио;
Угол X зависит от частоты; следовательно, магнитное вращение
плоскости поляризации связано с дисперсией. Формула C.117) про-
проверяется экспериментально для газов (Н2, О2, N2). Используя
последовательное отражение световой волны, как делал Фарадей,
можно усилить этот эффект, поскольку это приводит к увеличению
пути волны в магнитном поле.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ГЛАВА IV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕДЛЕННО
ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛАХ
Введение
В электромагнитной теории Максвелла допускается, что элек-
электромагнитные волны распространяются в гипотетической среде,
названной эфиром, который рассматривается как материальная
основа распространения этих волн. Под действием электромагнит-
электромагнитного поля в эфире происходят квазиупругие изменения. До сих
пор при выводе системы основных уравнений поля мы считали,
что тела находятся в состоянии покоя. Теперь мы обсудим вопросы,
возникающие в случае движущихся тел. Этот более общий слу-
случай представляет большой интерес, поскольку чаще всего мы имеем
дело с электромагнитными явлениями, порожденными заряжен-
заряженными телами, которые находятся в движении, а понятие абсолют-
абсолютного покоя является всего лишь теоретической фикцией.
В основе электродинамики движущихся тел лежит установлен-
установленный экспериментально факт, что явления индукции возникают неза-
независимо от того, происходят изменения магнитного потока в дви-
движущейся или неподвижной цепи. Этот факт может быть объяснен
двумя способами:
Г. Если принять, что эфир подвижен, т. е. увлекается движу-
движущимся телом, как полагал Герц, то нужно считать, что электродви-
электродвижущая сила индукции зависит только от относительной скорости
тела и эфира.
2°. Если же считать, что эфир неподвижен, как полагал Лоренц,
то нужно принимать во внимание абсолютное движение тела по
отношению к эфиру.
В свете экспериментальных данных гипотеза движущегося эфи-
эфира оказалась неприемлемой. Достаточно напомнить опыт Физо
A851 г.), который опровергает ее, допуская объяснение, как пока-
показал Френель, на основе предположения о неподвижном или части-
частично увлеченном эфире. Отметим также, что в системе, находящейся
в равновесии по отношению к Земле, никаких явлений индукции
не возникает.
С другой стороны, гипотеза неподвижного эфира требует сущест-
существования абсолютной системы отсчета, жестко связанной с эфиром.
124 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
Это означает, что если отнести экспериментальные измерения к сис-
системе отсчета, находящейся в относительном покое, то должны иметь
место эффекты, связанные с относительным движением. В частно-
частности, согласно этой гипотезе, возможно выявить абсолютное дви-
движение Земли по отношению к эфиру, наблюдая явления распростра-
распространения электромагнитных волн (так называемый «эфирный ветер»).
Обсуждение результатов, полученных в многочисленных опытах,
представляет исключительный интерес. Оно привело к новой поста-
постановке задачи. Для этого обсуждения необходимо кратко изложить
обе теории1), предложенные в классической физике/в предположе-
предположении, что скорость движения тел мала по сравнению со скоростью
света.
§ 1. Уравнения Максвелла — Герца
Распространение теории Максвелла для покоящихся сред на
случай движущихся сред было сложной задачей для классической
электродинамики. Герц [3, 4] попытался осуществить это обобще-
обобщение в рамках классической теории, предположив, что эфир полно-
полностью увлекается движущимися телами. Постановка задачи в форму-
формулировке Герца аналогична с постановкой, предложенной позже
Эйнштейном в теории относительности. А именно ставятся следую-
следующие задачи:
1°. Какой вид имеют в неподвижной системе координат урав-
уравнения Максвелла, характеризующие электромагнитные явления,
которые происходят в движущихся телах?
2°. Если известны уравнения Максвелла в неподвижной сис-
системе координат, то какой вид примут они в подвижной системе?
Чтобы найти ответ на вторую задачу, Герц, который предпола-
предполагал, что эта задача просто вычислительная, молчаливо допустил
гипотезы, которые считались очевидными, а именно что можно ис-
использовать так называемое преобразование Галилея из класси-
классической механики и что евклидово пространство изотропно и одно-
однородно, т. е. что можно допускать относительность положения
и ориентации.
Будем исходить из интегральной формы уравнений Максвелла
\
\ J -±-\ DndS,
(Г) у) (J)
D.1)
(D
*) Для справок см. работы Мандельштама [1] и Лауэ [2].
§ L Уравнения Максвелла — Герца
125
которые мы будем считать справедливыми для тел, находящихся
в состоянии покоя. В случае движущихся тел, как и раньше, можно
считать, что контур (Г), вдоль которого берется интеграл из пер-
первого уравнения, неподвижен, а поверхность (#*), которая опирает-
опирается в момент t на этот контур (Г), движется; она перемещается
и деформируется со скоростью v, меняющейся от точки к точке.
Символ dldt означает, что производная берется по движущейся
поверхности {of). Изменения потока, пронизывающего соответ-
соответственно неподвижный контур, движущий-
движущийся контур или движущуюся поверхность,
опирающуюся на неподвижный контур,
имеют различный смысл. Запишем век-
векторное соотношение
, D.2)
которое получается, если заметить, что
полное изменение потока вектора D сла-
слагается из изменения потока, которое Фиг. 16.
наблюдалось бы, если бы поверхность
оставалась неподвижной, и из изменения, возникающего в силу
движения поверхности. Чтобы вычислить изменение, вызванное
движением поверхности, заметим, что каждый элемент d\ движу-
движущегося контура описывает за время dt параллелограмм (фиг. 16),
площадь которого можно выразить векторным произведением
dlxvdt.
С другой стороны, изменение потока, вызванного переме-
перемещением поверхности (<^) в бесконечно близкое положение, равно
(Г) (J)
Следовательно, если применить теорему Гаусса к объему,
заметённому этим движением, получаем
\ D(dlxv)=
(Г)
jj DntdS'- J Dnt
(Г) (S)
следовательно,
J DntdSr- J
(П V)
vn4DdS.
126 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
Преобразуя в правой части криволинейный интеграл в интеграл
по поверхности при помощи теоремы Стокса и принимая во вни-
внимание разложение в ряд Тейлора Dnt_dt, получаем
[ ]
Следовательно, формула D.2) доказана1).
С учетом соотношения D.2) первое уравнение D.1) принимает
вид
(Г) () ()
Применяя формулу Стокса к левой части, получаем дифферен-
дифференциальное уравнение, отнесенное к неподвижной системе координат:
^ (Dxv), D.3)
в котором мы положили
VD = q. D.4)
В D.3) v представляет собой скорость среды в точке, где мы
рассматриваем электромагнитные поля относительно неподвижной
системы координат.
Путем аналогичных рассуждений и применяя формулу, ана-
аналогичную формуле D.2), можно привести второе уравнение D.1)
к виду
VxE=-[|- + Vx(Bxv)], D.5)
где принято во внимание условие
VB = 0. D.6)
Система уравнений D.3)—D.6) образует систему Максвелла —
Герца, которая в случае v=0 сводится к системе Максвелла.
Скорость v относится не только к телам, но и к пустому простран-
пространству, поэтому, для того чтобы уравнения имели смысл, следует
допустить, что эфир полностью увлекается со скоростью v.
Относительно поведения электромагнитных уравнений при пре-
преобразовании Галилея
Xi = Xi — Uit,
г) Можно легко показать, что мы получим тот же результат, если пред-
предположим, что контур движется, а поверхность жестко связана с контуром,
и будем учитывать зависимость поля от времени.
§ 2. Уравнения Максвелла — Лоренца в случае движущихся тел 127
где u — скорость равномерного перемещения осей х\ относительно
осей xt, Герц предполагает электромагнитное поле абсолютным,
т. е.
При таком предположении можно сразу показать, что уравнения
инвариантны относительно преобразования Галилея. Таким образом,
Отметим, что в отличие от механики эти уравнения не зависят
от выбора частной системы координат, так как они инвариантны
относительно любого вращения вообще или относительно любого
движения системы координат;
Следовательно, ни движение Земли по орбите, ни вращение ее
не влияют на электромагнитные явления.
Согласно этой теории, электромагнитные явления, происходя-
происходящие в теле, находящемся в состоянии покоя или движения, не
претерпевают никакого изменения, когда к имеющемуся движе-
движению добавляется движение всей системы в целом. Следовательно,
электромагнитными измерениями нельзя обнаружить никакого аб-
абсолютного движения. Таким образом, Герц установил принцип
относительности электродинамики, более общий, чем принцип отно-
относительности классической механики Ньютона.
§ 2. Уравнения Максвелла — Лоренца в случае
движущихся тел
Чтобы написать уравнения электромагнитной теории в слу-
случае движущихся тел, «Лоренц A895 г.; см. [6, 7]) исходил из сис-
системы уравнений A.8), представляющей микроскопическое поле
электронов, в предположении, что макроскопическое поле полу-
получается усреднением этих микроскопических полей A.72), т. е. что
Е=ё, В = Ь. D.7)
Чтобы получить уравнения для движущихся тел в случае
немагнитных сред, заметим, что если обозначить через и скорость
среды по отношению к эфиру и через v' скорость электронов по
отношению к среде, то абсолютная скорость (по отношению к эфи-
эфиру) будет выражаться следующим образом:
v = u + v\ D.8)
а конвекционный ток, обусловленный движущимися электронами,
равен
128 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно, движущихся телах
следовательно, мы получим полный ток, если- возьмем среднюю
величину
qv = qu + qv\ D.9)
Но полный ток по отношению к среде слагается из тока i,
обусловленного свободными электронами, и поляризационного
тока Р, обусловленного связанными электронами. Заметив, что
для Р можно записать уравнение, аналогичное уравнению D.2),
а именно
с учетом D.10) и выражения q = Qi — VP [см. A.101)] уравне-
уравнение D.9) можно переписать следующим образом:
QV = QZU+i + ^- + VX(PXU). D.11)
Следовательно, учитывая соотношение D = e0E + P, получаем
уравнение, справедливое для движущихся немагнитных тел:
V X Н = ^- + i + QU + V X (Р X и), D.12)
где Qi заменено на обычное макроскопическое q. Уравнение D.12)
может быть записано также в виде
VxB e0E + P + i + QU + Vx(Pxu). D.12')
Второе уравнение
VxE = -В D.13)
переписывается для движущихся тел без всяких изменений.
Действительно, заметим, что сила, действующая на единичный
заряд, движущийся со скоростью v, равна не е, а
Переходя путем усреднения к макроскопическим величинам,
т. е. учитывая D.7) и D.9), получаем
'xB, D.14)
где
Е* = Е + ихВ D.15)
есть эффективное поле, действующее на заряды тела, которые
находятся в относительном покое. Следовательно, закон Ома
§ 2. Уравнения Максвелла —Лоренца в случае движущихся тел 129
для движущихся тел должен иметь вид
i = YE*. D.16)
Заметим, что аналогично D.10) имеем
jg- = -|L + uVB + Vx(Bxu), D.17)
где VB — 0. Следовательно, для движущихся тел второе урав-
уравнение принимает вид
V X Е*= -^- = -4г~ V х (В х ц)- <4ЛЗ'>
Оно тождественно уравнению D.13), если учесть D.15).
Перемещение связанных, т. е. поляризационных, электронов
происходит под действием той же силы Е*; следовательно,
в предположении квазиупругой связи будем иметь
Р = (е-ео)Е*. D.18)
Поэтому, ввиду того что D=60E + P, вместо соотношения
D = eE вводится соотношение
D = eoE + (e-eo)E*, D.19)
или
D = еЕ + (е - е0) (и X В) = еЕ* — еои X В. D.20)
Итак, сравнивая уравнения Герца D.3), D.5) с уравнениями
Лоренца D.6'), D.7'), замечаем, что эти уравнения являются одно-
однотипными, но отличаются видом некоторых слагаемых.
А именно по сравнению с правой частью первого уравнения
Максвелла (обобщение соотношения Ампера) к электрическому то-
току i+D добавляются новые члены, обусловленные движением тела:
конвекционный ток, или ток Роуленда, который в теории Герца
равен qv, а в теории Лоренца qu, и ток Рентгена, который в теории
Герца равен Vx(Dxv), а в теории Лоренца Vx(Pxu).
Ток Рентгена равен ротору вектора Dxu или Рхи, что озна-
означает, что он может быть порожден вращением диэлектрического
диска (и=ыг).
Аналогично в правой части второго уравнения Максвелла (обоб-
(обобщенное соотношение Фарадея) прибавляется, помимо магнитного
тока смещения, магнитный ток Рентгена Vx(ВXv) или Vx(Bxu),
который появляется всякий раз, когда отличен от нуля ротор
вектора Bxv или Вхи.
Отметим, что уравнение, полученное Лоренцем, не приводит
к удовлетворительному результату в том, что касается намагничен-
намагниченности М, и не дает общего выражения поляризации Р.
Я В. Новаку
130 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
§ 3. Электромагнитные явления в телах,
движущихся относительно Земли
Ниже мы хотим кратко описать опыты, проведенные для обнару-
обнаружения явлений, вызванных движением тел относительно Земли.
В зависимости от постановки опыта можно наблюдать электричес-
электрические, магнитные и оптические эффекты.
Электрические эффекты были изучены на следующих опытах»
которые стали классическими:
Фиг. 17.
а) Опыты Вильсона A904 г.). В этих опытах цилиндр из диэлек-
диэлектрического вещества вращается в магнитном поле, параллельном
оси цилиндра. При вращении этот диэлектрический цилиндр прио-
приобретает объемную поляризацию, вызванную перемещением свя-
связанных электронов под действием магнитного поля.
Следовательно, согласно D.18), в этом случае
Рв(е-в0)оВ. D.21)
Поэтому на поверхности диэлектрика появляются поляризацион-
поляризационные заряды, плотность распределения которых выражается равен-
равенством
с' = ± Р = ± (е - е0) vB. D.22).
Заряд цилиндра можно измерить при помощи электрометра. Итак,
при вращении незаряженного диэлектрического цилиндра в маг-
магнитном поле, направленном по оси цилиндра, подключая электро-
электрометр к металлическим пластинкам, находящимся на поверхности
диэлектрика, можно выявить существование разности потенциалов.
Чтобы провести сравнение двух рассматриваемых теорий, для
упрощения вычислений заменим вращение параллельным перено-
переносом, предположив, что диэлектрическая пластинка движется ме-
между двумя металлическими пластинками в магнитном поле, пер-
перпендикулярном к плоскости чертежа (фиг. 17). Теория Герца при-
приводит к неправильному заключению, так как, поскольку магнит-
магнитное поле стационарно (dB/dt=O), мы имеем
§ 3. Электромагн. явления в телах, движ. относит. Земли 131
откуда с точностью до градиента
Е= — Вх v.
Следовательно,
а' = | Dn | = е | Еп | = е | (В х v) n | = е В \ v.
Измеряемая разность потенциалов равна
Согласно теории Герца, мы должны были бы иметь
V=\B\vd.
Однако Вильсон показал экспериментальным путем, что
Bxv|d D.23)
в согласии с предсказаниями теории Лоренца, откуда следует
непригодность теории Герца для объяснения этого явления.
б) Опыт Вина A914 г.). Появление электрического поля при
движении тел в магнитном поле (эффект Вильсона) может быть
обнаружено, как показал Вин, и тогда, когда соответствующим
телом является атом водорода. А именно, для того чтобы выявить
электрическую поляризацию, возникающую в поперечном магнит-
магнитном поле, Вин воспользовался эффектом Штарка, который состоит
в расщеплении спектральных линий атома водорода в электричес-
электрическом поле на ряд компонентов. И этот опыт подтверждает формулы,
установленные для опыта Вильсона, так как поле оказывается
пропорциональным vB.
Магнитные эффекты были выявлены путем следующих опытов:
а) Опыт Роуленда A876 г.). Роуленд показал, что свойства
электрического тока порождать магнитное поле может быть выявле-
выявлено и в случае конвекционных токов.
Опыт состоял во вращении эбонитовой пластинки, покрытой
металлической фольгой, между двумя стеклянными дисками, также
покрытыми металлической фольгой. Металлическая фольга диска
(фиг. 18) заряжалась электричеством, так что вместе со стеклян-
стеклянными дисками она образовывала конденсатор, заряженный до вы-
высокого напряжения. Конвекционные токи возникали в результате
быстрого вращения диска. Магнитное поле, порожденное этими
токами, обнаруживается при помощи астатической магнитной стрел-
стрелки, подвешенной над стеклянным колпаком, в котором помещалась
установка.
Для простоты рассмотрим параллельный перенос эбонитового
диска со скоростью v. Из уравнений Герца D.3) следует, что
9*
132 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
движущийся заряд эквивалентен с магнитной точки зрения току
j=gv=vVP, так как слагаемое!) равно нулю вследствие стационар-
стационарности электрического поля и Vx(DXv) = 0. Таким образом, этот
эффект объясняется как теорией Герца, так и теорией Лоренца.
Фиг. 18,
Магнитное поле, порожденное движущимися зарядами, выво-
выводится из закона Био — Савара (см. Тамм, стр. 206), если учесть,
что в этом случае мы имеем дело с конвекционным током qv:
Я^-Lq usi"9 . D.24)
4л * г2 v '
б) Опыты Рентгена A888 г.) и Эйхенвальда A903 г.) [7, 8].
Эти опыты аналогичны опытам Роуленда с той лишь разницей, что
в этом случае использовались поляризационные заряды, возникаю-
возникающие на поверхности диэлектрика, вращающегося между обкладка-
обкладками заряженного конденсатора. Как следует из теории, возникает
электрический ток, называемый током Рентгена, магнитное поле
которого определяется соотношением
Однородное поле конденсатора вызывает поляризацию Р диска
в направлении, нормальном к его поверхности. Так как поляриза-
поляризация однородна, связанные заряды возникнут лишь на поверхности
диска асв=±|Р|. Ток Рентгена, который возникает благодаря вра-
вращению этих связанных зарядов, выражается через ротор вектора
PXv, и, следовательно, можно считать, что он возникает в пере-
переходном слое между диэлектриком и воздухом. Поскольку скорость
направлена тангенциально, ротор
V х (Р X v) = - v (VP) = - vorCB D.25)
будет также тангенциальным и его значение будет—|Р|и. Этот
ток Рентгена на каждой стороне диска имеет направление, проти-
противоположное направлению конвек-^-пного тока Роуленда, который
§ 3. Электромагн. явления в телах, движ. относит. Земли 133
мы получили бы, вращая металлические обкладки конденсатора,
создающего то электрическое поле, которое поляризует вращаю-
вращающийся диэлектрический диск.
В отличие от выведенного выше по теории Лоренца выражения
для плотности тока Рентгена теория Герца приводит к выражению
— | D | v. Если иметь в виду, что на поверхности диска |D | =<т,
это предположение означает, что ток Рентгена мог бы быть ком*
пенсирован током Роуленда, вызванным одновременным вращением
металлической обкладки, и, следовательно, мы не получили бы
никакого магнитного эффекта. Опыт Эйхенвальда опровергает этот
вывод теории Герца, основанный на гипотезе движущегося эфира,
и подтверждает вычисления, проведенные на основе теории Лорен-
Лоренца, согласно которой плотность тока Рентгена равна
?=(е —eo)|vxE|.
Эйхенвальд проверил экспериментально это соотношение и дока-
доказал также, что вращение как диэлектрика, так и металлических
дисков приводит к тому же магнитному эффекту. Магнитное дей-
действие в этом случае не зависит от природы диэлектрика, поскольку
сила тока зависит от
D — Ро = е0Е0.
Оптические эффекты при распространении света в движущихся
средах были выявлены путем следующих опытов:
а) Опыт Физо A851 г.). Исходя из явления, обнаруженного еще
Френелем путем измерения скорости распространения света, иссле-
исследовался эффект увлечения движущейся оптической средой (теку-
(текущей водой) распространяющихся в ней световых волн. Опыт пока-
показывает, что в среде, движущейся со скоростью у, относительная
скорость света получается не путем простого векторного сложения
где п — показатель преломления среды, а задается формулой
<4-26>
которая была выведена Френелем в предположении, что эфир час-
частично увлечен [коэффициент увлечения равен A—п'2)]. Этот ре-
результат в корне опровергает теорию Герца, согласно которой сг=
~c/n±v. Лоренц показал, что наблюдаемый эффект может быть
объяснен при помощи гипотезы неподвижного эфира.
Электромагнитное поле в свободном от зарядов диэлектрике,
движущемся со скоростью v, определено, согласно D.12), D.13)
134 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
и D.18), соотношениями
— VxB = D + Vx(PXv), VD = O,
VxE=-B, VB = O, D.27)
D = 6ОЕ + P, P = (e - e0) (E + v X В).
По сравнению с уравнениями поля в покоящейся среде сюда
дополнительно входит ток Рентгена, т. е. конвективное увлече-
увлечение поляризационных зарядов. Поэтому магнитная индукция отли-
отличается от [ЛОН; магнитная поляризация также зависит от магнит-
магнитной индукции.
Запишем выражения для поля плоской волны
В = Bj° (' -?), Е = Ее/* (' ~% D.28)
здесь и — скорость волны в движущейся среде:
и = сг = щ± kv, D.29)
a щ = с/п — скорость волны в покоящейся среде и k — коэффи-
коэффициент увлечения. В случае плоской волны D.28) будем также
иметь
('"^) D.30)
Подставив D.28) и D.30) в D.27), получим
— 4" п X Во = J/Do — п X (Ро X v), nD0 = 0,
пхЕ0 = иВ0, пВ0 = 0, D.31)
Ро == (8 — е0) (Eo + vX Во), Do = еЕ0 + (с — е0) v X Во.
Очевидно, удобно выразить Ео и Ро как функции Во, Do:
D.32)
После подстановки в уравнения D.31) имеем
- п х Во = но (и— -^r^n
§ 5. Электромагн. явления в телах, движ, относит. Земли
135
где мы пренебрегли членами порядка E2 = и2/с2, поскольку, по
предположению, скорость v мала. Исключая Во или Do, получаем
и 8—е0 nvy = е0
с е с J е
с г с
Учет соотношения с2еоцо=1» или
с
(е/е0)
,V2
D.33)
показатель преломления среды, дает
v. D.34)
поскольку п-
Следовательно, теория Лоренца приводит к такому же «коэффи-
«коэффициенту увлечения», на который умножается и, какой был получен
Френелем [см. D.26)].
б) Опыт Саньяка — Харреса A912 г.I). В этом опыте как источ-
источник света, так и прибор, состоящий из ряда зеркал и фотореги-
стрирующего устройства, заменяю-
заменяющего наблюдателя, скреплены с круг-
круглым равномерно вращающимся дис-
диском. И хотя все части системы сами
участвуют во вращении, все же влия-
влияние этого вращения на свет не про-
пропадает.
Схема экспериментального устрой-
устройства изображена на фиг. 19. Световой
луч, исходящий от источника S, раз-
разделяется на два луча в результате
отражения и преломления полупро-
полупрозрачной пластинкой Р. Образовавшие-
Образовавшиеся два луча, отражаясь от зеркал Oi9 O2
и О3, пробегают стороны квадрата в
противоположных друг другу напра-
направлениях. После этого они интер-
интерферируют перед объективом фотографического аппарата F, реги-
регистрирующего полосы интерференции, которые можно регулировать
при помощи стеклянной пластинки Р. Опыт показывает, что при
вращении диска интерференционные полосы смещаются. Допуская
гипотезу неподвижного эфира Лоренца, можно вычислить это сме-
смещение полос. Для этого учтем, что из-за вращения диска световой
х) В радиофизике аналог этого опыта был осуществлен советским физи-
физиком Бернштейном, который измерил изменение скорости распространения
радиоволн в коаксиальном кабеле, заполненном диэлектриком и намотанном
навал, который можно вращать (см. [8]).
Фиг. 19.
136 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
луч, пробегающий по направлению вращения путь P
должен пройти большее расстояние, чем луч, который пробегает этот
же путь в противоположном направлении. (Можно предварительно
отрегулировать устройство так, чтобы эти расстояния в состоянии
покоя были строго равны между собой.) Находим соотношение
где со — угловая скорость, г — радиус диска, S — площадь, огра-
ограниченная световым путем (т. е. POfi2OzP), и К — длина волны
монохроматического луча.
Для доказательства соотношения D.35) заметим, что угол, обра-
образованный двумя зеркалами в состоянии покоя, равен фо=я/2.
Заметим далее, что в силу законов отражения для движущихся зер-
зеркал, плоскость которых параллельна направлению движения, этот
угол будет
jt , 1
Ф± =-2"± j
где знак «+» относится к случаю, когда направление лучей совпа-
совпадает с направлением вращения, а т+ есть интервал времени,-за кото-
который соответствующий световой луч пробегает путь от S до F. Этот
путь для обоих лучей один и тот же (фиг. 19). Если пренебречь рас-
расстояниями SP и PF, то он равен ст±,т. е. учетверенной стороне
квадрата, удлиненной или соответственно укороченной из-за вра-
вращения. Следовательно, имеем
(~ ± ~т
Разность времен представим в виде уравнения
16г /я.сОдЛ. со
=—cos Ст+тв Avsin те"
Приближенно имеем
СО , , Л .СО СО
sin -^g- (т+ + т.) ^ sin -g- т0 ^ -g-10,
где to — время пробега в случае, когда диск покоится:
*о=— smT.
§ 4. Влияние движения Земли на электромагнитные явления 137
Отсюда следует
Л — J??L 2
Учитывая, что
можно записать
С ГС
откуда сразу получается формула D.35), если от разности времен
перейти к смещению полос.
Формулу можно проверить экспериментально. Этот опыт под-
подтверждает оптическим путем тот известный из механики факт, со-
согласно которому явления, отнесенные к вращающейся системе коор-
координат, отличаются от отнесенных к покоящейся системе. Отметим,
что в этом случае замеченный эффект будет первого порядка по
отношению к $=v/c.
Итак, все рассмотренные явления, вызванные относительным
движением тел, суть первого порядка по Р = vie и могут быть истолко-
истолкованы при помощи гипотезы неподвижного эфира Лоренца; некото-
некоторые из них решительно опровергают гипотезу движущегося эфира
Герца.
Отметим, что во всех этих опытах скорость v очень мала по срав-
сравнению со скоростью света с в пустом пространстве (Р < 1); поэтому
вызванные ею эффекты очень малы и их трудно обнаружить. Но ско-
скорость, с которой вращается Земля вокруг Солнца C0 км/сек),
значительно больше скоростей, полученных в этих опытах; и по-
поэтому какие-либо явления, порожденные этим движением относи-
относительно эфира, значительно легче обнаружить экспериментально.
§ 4. Влияние движения Земли
на электромагнитные явления
Основная идея экспериментальных исследований, проведенных
для выявления оптических или электрических явлений, вызван-
вызванных движением Земли в эфире, следующая. Наблюдается оптиче-
оптическое или электрическое явление, которое распространяется в опре-
определенном направлении (чаще всего принимается направление дви-
движения Земли), и то же явление, распространяющееся в обратном
или в перпендикулярном направлении. Если эфир неподвижен и,
следовательно, если можно говорить об абсолютном движении Зе-
Земли по отношению к эфиру, то числовые значения, определенные
при этих двух наблюдениях, должны быть различными.
138 Гл. IV. Электромагнитные явления я медленно движущихся телах
Оптические эффекты, вызванные движением Земли, наблюда-
наблюдались давно. Среди них:
Г. Аберрация света. Это оптическое явление, открытое еще
астрономом Бредли A727 г.), состоит в кажущемся изменении поло-
положения звезд, вызванном движением зем-
f лых наблюдателей, увлеченных враще-
вращением Земли вокруг Солнца.
Пусть ON — направление движения
наблюдателя и v — скорость этого дви-
движения. Пусть 50 — направление луча,
исходящего от рассматриваемой звезды к
наблюдателю, и со — угол образованный
ON и 05 (фиг. 20). Если бы наблюдатель
оставался неподвижным в точке О, то,
для того чтобы звезда была ему видна,
он должен направить подзорную трубу
по направлению 05. Поскольку он дви-
движется со скоростью v в направлении ON,
то, для того чтобы видеть звезду, он
ф и г- 20- должен отклонить трубу ОМ на угол а.
При этом ему будет казаться, что он
видит звезду в положении 5'. Угол а, называемый углом абер-
аберрации, задается соотношением
sina = — sinco,
D.36)
согласно корпускулярной теории света, или соотношением
tga = ysinco, D.36')
согласно волновой теории.
Угол аберрации имеет максимальное значение при со = 90°,
когда
sinam = —, или
D.36")
Следовательно, для звезд, находящихся вблизи полюса эклиптики,
ат одно и то же, и его расчетное значение совпадает с тем, которое
получается из определений, т. е. am=20",47. Эйри A871 г.) доказал
экспериментально, что величина аберрации не зависит от природы
среды, в которой распространяется свет.
Итак, это объяснение явления аберрации опровергает гипотезу,
что среда, в которой передается свет, оказывает влияние на ско-
скорость его распространения. Явление аберрации не может дать
никаких сведений о движении Земли относительно предполагае-
предполагаемого неподвижным эфира.
§ 4. Влияние движения Земли на электромагнитные явления 139
Возможность наблюдения аберрации обусловлена различием
направления движения Земли в течение года. Если бы движение
Земли происходило по прямой линии, аберрация ускользнула бы
от наблюдения.
2°. Эффект Допплера A845 г.) заключается в изменении частоты,
вызванном движением источника световых волн или движением
наблюдателя относительно среды, в которой распространяются
волны. Важно заметить, что в теории Лоренца эффекты, обуслов-
обусловленные движением источника и наблюдателя, не одинаковы (пер-
(первое изменяет длину волны, а второе — кажущуюся скорость). Они
совпадают, лишь когда радиальная скорость источника, а также
и скорость наблюдателя малы по сравнению со скоростью света
в пустоте.
В этом последнем случае имеем
) D.37)
где v — частота источника, v'—кажущаяся частота, a vr —
относительная радиальная скорость приближения источника к наб-
наблюдателю.
Рассматривая эфир как среду, в которой распространяются
электромагнитные явления, и как абсолютную систему отсчета,
исследуем, каким образом распространяются световые волны в сис-
системе отсчета, движущейся относительно эфира.
Пусть (S) — декартова система координат, покоящаяся отно-
относительно эфира, и (S') — система, совершающая равномерное дви-
движение со скоростью v вдоль оси Ох. Для простоты рассмотрим плос-
плоскую электромагнитную волну, нормаль которой лежит в плоско-
плоскости хОу. Она будет описываться функцией вида
D.38)
где
xcosa4- и sin a
^
Фаза имеет простой физический смысл, а именно в системе (S)
она выражает общее число колебаний, проходящих через точку
Р (ху у), отстоящую на расстояние / от начала координат О, за интер-
интервал времени t — l/c. По определению, в системе координат (S')
-x/cosa/ + ^sina/), D.39)
€сли при t = tr точка Р'(х\ у') совпадает с точкой Р(х, у).
140 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
Учитывая, что переход от системы E) к системе (Sf) осуще-
осуществляется при помощи преобразования Галилея
приравнивая выражения D.38) и D.39) и считая, что это спра-
справедливо при любых х' и у\ получаем
г х* cos a'4-y' sjn a'\
Отсюда следует
()f ^) D.40)
Л-sina'= —sina, Л-cos a' = — cosa. D.41)
с с с с
Из последних двух уравнений получаем
tga' = tga, т. е. a' = a, D.42)
и
с' = с — v cos a = с — vn. D.43)
Из соотношения D.42) следует, что направление нормали к волне
не меняется, а соотношение D.40) выражает частоту v' в подвиж-
подвижной системе координат через частоту v в системе, находящейся
в абсолютном покое.
Так как эффект Допплера проявляется при определении частоты
движущегося источника, то, чтобы получить формулу D.37), исклю-
исключим частоту v и введем собственную частоту v° источника, записав
vo = v Г 1 —^- J , D.44)
где v° — скорость источника относительно эфира. Из D.40)
и D.44) имеем
1——
nvr (nvO) (nvr) "I
где vr=v — v° — относительная скорость. Следовательно, в первом
приближении {v<tc) эффект Допплера зависит только от относи-
относительного движения источника и наблюдателя.
Эта формула проверяется измерением смещения линий погло-
поглощения и излучения в спектрах звезд. На основе этого эффекта в астро-
астрофизике определяются в настоящее время радиальные скорости
звезд.
§ 4. Влияние движения Земли на электромагнитные явления 141
Следовательно, и этот эффект первого порядка относительно
$=v/c не дает никаких сведений об абсолютном движении Земли
относительно эфира.
3°. Отметим также опыты Кетлера A872 г.), который пытался
выявить движение Земли относительно эфира, наблюдая интерфе-
интерференцию двух лучей, пересекающих в противоположных направле-
направлениях две трубки, наполненные водой и ориентированные по напра-
направлению движения Земли. Хотя теоретически можно было ожидать
смещение полос, экспериментально оно не было установлено. Опыты,
связанные с оптическими явлениями, обусловленными движением
Земли, многочисленны и все приводят к отрицательному ответу.
Аналогичный отрицательный результат был получен и при ис-
исследовании электрических эффектов. Отметим опыты Де-Кудра
{1889 г.), касающиеся влияния движения Земли на явления электро-
электромагнитной индукции.
Итак, все попытки выявить экспериментальным путем абсолют-
абсолютное трансляционное движение Земли привели к отрицательному
результату, ибо измеренные величины настолько мало отличаются
от оценки вероятных ошибок, что можно предположить отсутствие
искомого эффекта.
В предположении неподвижного эфира Лоренца, которое, как
мы видели, дает удовлетворительное объяснение перечисленным
опытам, абсолютное равномерное и прямолинейное движение неко-
некоторого тела, например Земли, теоретически должно проявляться
в «эфирном ветре», который изменяет электромагнитные явления.
В самом деле, на короткий отрезок времени движение Земли можно
считать равномерным и прямолинейным, происходящим со скоро-
скоростью v=30 км/час. Вычисления, проведенные на основе теории
Лоренца, приводят к заключению, что электромагнитные явления
должны претерпевать изменение, которое является функцией от
$=v/c (для Земли C=10 4). Разлагая в ряд относительно р, будем
говорить, что порядок эффекта равен единице или двум в зависи-
зависимости от того, будет ли изменение пропорциональным |3 или |32.
Опыты, приведенные выше, как мы заметили, соответствуют
эффектам первого порядка. Этот факт привел Лоренца к формули%
рованию принципа относительности равномерного прямолиней-
прямолинейного движения: абсолютное равномерное движение не может быть
обнаружено в приближении ниже второго порядка.
Иными словами, согласно этому принципу, можно сказать, что
не существует такого эффекта первого порядка, в силу которого
можно было бы решить, неподвижно тело или оно движется относи-
относительно эфира.
В отличие от этого абсолютное движение вращения Земли можно
выявить. Опыт был проведен Майкельсоном и Гэйлом A925 г.) при
помощи метода Саньяка. Поскольку угловая скорость Земли очень
142 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
мала, то, для того чтобы эффект стал измеримым [см. D.35)], необ-
необходимо, чтобы площадь (S), ограниченная контуром, который опи-
описывают световые лучи, была бы очень велика (несколько гектаров).
Это можно осуществить, если считать диском саму поверхность
Земли. Этот опыт является оптическим аналогом опыта с маятни-
маятником Фуко.
§ 5. Экспериментальное исследование эффектов
второго порядка
Еще в 1878 г. Максвелл заметил, что если эфир не увлекается
движением Земли, то должен существовать эффект второго порядка.
Однако измерительные приборы в то время не были способны обна-
обнаружить этот эффект, учитывая порядок величины |32 A0 8). Май-
кельсон возвратился в 1881 г. к идее
Максвелла и построил интерферо-
интерферометр нужной точности с целью
обнаружения оптического эффекта
второго порядка, который следовал
из гипотезы Лоренца.
0 1/> А 0 Принцип измерения заключается
- * =^Х /У. Ц^ в интерференции двух взаимно пер-
1</\С O?i a ' пендикулярных световых пучков,,
которые могут быть ориентированы
v в различных направлениях путем
вращения установки. Вот краткое
описание этой установки (фиг. 21).
Параллельный пучок света (моно-
хроматический) от источника S па-
падает под углом 45° на полупрозрач-
полупрозрачную грань стеклянной плоско-параллельной пластинки L, кото-
которая отражает часть лучей в сторону зеркала Ot и пропускает
через себя другую часть в сторону зеркала О2. Эти плоские зер-
зеркала расположены перпендикулярно к направлению лучей на
одинаковом расстоянии от L. Соответствующей регулировкой, уста-
установив на пути отраженных лучей прозрачную пластинку Z/,
параллельную L и имеющую ту же толщину, можно в контрольном
опыте добиться равенства оптических путей LOtL и LO2L. Отражен-
Отраженные от зеркал О4 и О2 световые пучки попадают тогда в объектив О
зрительной трубы наблюдателя, так что фазы их совпадают и полу-
получается впечатление оптического контакта зеркал Ot и О2. Если одно
из зеркал несколько смещено, в поле трубы появятся интерферен-
интерференционные полосы. Аналогично любое изменение продолжительности
пробега луча будет проявляться в смещении полос. Плита, на кото-
которой установлены приборы, должна быть очень жесткой, чтобы устра-
§ 5. Эксперимент, исслед. эффектов второго порядка 14&
нить любую упругую деформацию, которая могла бы стать источни-
источником систематических ошибок. В опытах Майкельсона приборы уста-
устанавливались на базальтовой плите, плавающей на ртути. Все
устройство заключается в хороший термостат, обеспечивающий
постоянство температуры с точностью до 10~6 град. Чтобы построить
теорию интерферометра Майкельсона, предположим, что плечо
с зеркалом Ot направлено по движению Земли. В этом случае
в предположении неподвижного эфира относительная скорость
света (в лабораторной системе координат) в направлении от L к О4
равна с—v, а при возвращении ее величина будет с + v. Следова-
Следовательно, время, за которое свет проходит вдоль этого плеча между h
и О1э равно
. __/ . / = 21с __ 2/
где / — длина оптического пути ZA. Разлагая в ряд по степе-
степеням р, получаем
*1==^(l+p2+..O- D.45)
Скорость света в перпендикулярном направлении, вдоль плеча
с зеркалом О2, равна (с2—v2I^. Следовательно, время, за которое
свет проходит путь в прямом и обратном направлении между L и О2,
равно
2/ _ 2/ 1 Г4 46)
или, разлагая в ряд,
Следовательно, разность времен для этих двух путей будет равна
А* «*!-/,= 4 р«. D.48)
Итак, допуская существование неподвижного эфира, мы приходим
к заключению, что из-за движения всей системы свет пробегает
этот путь в разных направлениях за различное время.
Разности А/ соответствует разность оптических путей, равная
стольким длинам волн, сколько раз период колебаний света т содер-
содержится в А/. Например, при А/ = т интерференционная картина
сместится на целую полосу. Иными словами, разность фаз можно
наблюдать по поведению интерференционных полос.
Если повернуть интерферометр на 90°, эти два плеча поменяются
ролями и легко заметить, что изменится знак А/. Следовательно„
144 Гл. IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах
вращение установки приводит к удвоению разности оптических путей.
Число интерференционных полос, на которое сместится система
полос в результате вращения системы, будет
2Л/ = М = _|р2==^.р2) D.49)
ибо Л, = сх. Следовательно, смещение полос — эффект второго
порядка. Чтобы выявить такое смещение, следует выбрать большое
расстояние / и подходящую длину волны X (желтый свет натрия).
В первых своих опытах Майкельсон не обнаружил никакого сме-
смещения полос. Опыт был повторен Майкельсоном и Морли A887 г.),
причем оптический путь лучей был удлинен при помощи многократ-
многократных отражений так, что / стало равно 22 м\ следовательно, согласно
D.49), смещение должно было быть равным N = 0*037. В действи-
действительности же оказалось, что N < 0,02, т. е. порядок его равен
порядку ошибок считывания. Опыт был повторен Морли и Миллером
A904 г.) при помощи интерферометра, в котором оптический путь
был равен 68 му так что теоретически смещение должно было соста-
составить N = 1,5; измерения^ показали, однако, что N < 0,0076.
Опыт был повторен также Йоосом A930 г.), который увеличил точ-
точность измерений: он получил N < 0,001.
Итак, эффект, вызванный, согласно теории, движением Земли
в неподвижном эфире, не может быть обнаружен экспериментально,
хотя аналогичный опыт в области акустики указал бы с уверен-
уверенностью на существование ветра, порожденного движением тел
в воздухе.
Отрицательный результат опыта Майкельсона, который так
и не был объяснен, привел к кризису в электромагнитной теории,
которая впервые пришла к явному противоречию с эксперимен-
экспериментальными фактами.
Чтобы объяснить отсутствие эффектов второго порядка, физики
Фитцджералд A891 г.) и затем Лоренц выдвинули гипотезу, что
все тела, движущиеся относительно эфира, испытывают сокращение
линейных размеров в направлении движения, причем это сокраще-
сокращение происходит в отношении а = A—Р2)~1/2, которое зависит
только от линейной скорости v. Допуская эту гипотезу, можно легко
объяснить отрицательный результат опытов Майкельсона. В самом
деле, размеры плеча LOt будут сокращаться и длина его станет
равна l' = (\la)l\ следовательно,
а, значит, /t = t2 и Д/ = 0.
Лоренц пытался оправдать эту странную гипотезу предположе-
предположением о деформации электрического и магнитного полей электронов,
§ 5. Эксперимент, исслед. эффектов второго порядка 145
движущихся равномерно. Эта деформация, по мнению Лоренца,
приводит к изменению сил сцепления внутри движущегося тела.
Троутон и Нобл A903 г.) попытались выявить эффект второго
порядка, подвешивая на нити заряженный проводник. Этот провод-
проводник должен вращаться из-за движения Земли, причем момент вра-
вращения есть величина порядка Р2, а именно
где ф —угол между силовыми линиями и скоростью \> a We —
электростатическая энергия конденсатора. Однако вопреки пред-
предсказаниям теории Лоренца никакого эффекта не наблюдалось.
Позже Томашек повторил этот опыт с большей точностью, но также
ничего не получил.
Релей и Брейс A904 г.) попытались выявить сокращение Лоренца
при помощи двойного лучепреломления, возникающего вследствие
изменения оптических свойств (изотропии) тел. Проведенные ими
опыты показали, что ожидавшийся эффект порядка 10~8 не может
быть больше 7-Ю'13.
Ренкин и Троутон A908 г.) также изучали возможность выявле-
выявления сокращения Лоренца — Фитцджералда, вызванного движе-
движением Земли, надеясь зарегистрировать изменение электрического
сопротивления металлической нити в мостике Уитстона. Проведен-
Проведенные опыты показали, что нельзя обнаружить изменение сопроти-
сопротивления даже порядка 10~10 ом.
Кеннеди и Торндайк A932 г.) возобновили опыт с интерферо-
интерферометром Майкельсона с неравными плечами и показали, что эффект
равен нулю, даже если учесть гипотезу сокращения Лоренца —
Фитцджералда.
Итак, классическая физика зашла в тупик, так как никакая
последовательная теория не могла дать единого толкования этих
опытов, в частности объяснить результаты опытов Физо, Майкель-
Майкельсона — Морли и аберрацию света.
Ю В. Новаку
ГЛАВА V
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Введение
Как мы видели в предыдущей главе, все опыты, поставленные
для того, чтобы выявить влияние движения Земли на электромаг-
электромагнитные явления (оптические эффекты, электрические и т. д.), при-
привели к отрицательному результату. Итак, можно сказать, что отно-
относительно системы координат, связанной с Землей (т. е. движущейся),
свет (или электромагнитные возмущения вообще) распространяется
с одинаковой скоростью во всех направлениях. Следовательно,
принцип относительности справедлив не только для механических
явлений, а также и для электромагнитных.
Поскольку принцип относительности впервые был сформулирован
в классической механике, мы попытаемся в дальнейшем проанали-
проанализировать основные понятия, которые используются в формулировке
этого принципа.
Ньютон основал классическую механику, которая делится
на кинематику и динамику, на понятиях абсолютного простран-
пространства, которое предполагалось изотропным и однородным, т. е.
евклидовым, и абсолютного времени, которое предполагалось уни-
универсальным.
В классической кинематике предполагается справедливым так
называемый принцип относительного движения. Этот принцип
основан на существовании привилегированной системы отсчета
в пространстве. С одной стороны, постулат универсального вре-
времени означает, что движение идеального твердого тела не влияет
на ход событий. С другой стороны, так как пространство предпола-
предполагается евклидовым, а теоремы евклидовой геометрии инвариантны
относительно группы движений идеального твердого тела, то суще-
существуют привилегированные системы координат (декартова система
координат), получающиеся одна из другой при помощи линейных
ортогональных преобразований координат. Следовательно, неза-
независимость пространства, которое предполагалось евклидовым, от
течения времени предполагает существование в пространстве при-
привилегированной системы отсчета. Предполагалось, что принцип
относительности движения, основанный на этом постулате, хороша
Введение 147
согласуется с опытом, и поэтому этот принцип классической кине-
кинематики был распространен на всю физику.
В классической динамике предполагается справедливость так
называемого принципа относительности Галилея. Этот принцип осцо-
ван на том, что основное уравнение динамики материальной точки
является характеристическим инвариантом группы равномерных
параллельных переносов декартовой системы отсчета
xk = xh-vkt (*«1, 2, 3), t' = t,
которые были названы Эйнштейном преобразованиями Галилея.
Действительно, эти преобразования оставляют инвариантными уско-
ускорения, и вдобавок постулируется инвариантность масс и сил.
Отметим, что принцип относительности классической динамики
ограничивает в значительной степени справедливость принципа
относительного движения классической кинематики. В самом деле,
законы классической динамики выделяют бесконечное множество
привилегированных систем отсчета, называемых инерциадьными
системами, которые совершают относительное поступательное дви-
движение. Эти системы образуют отдельную группу по отношению
к системам отсчета, совершающим ускоренное поступательное дви-
движение или вращение, в которых действуют инерциальные силы,
позволяющие путем опытов, проведенных внутри рассматриваемой
системы, определить ее ускорение.
Распространение классической кинематики на оптические явле-
явления означало отождествление эфира, т. е. гипотетической среды,
через которую распространяются электромагнитные волны, с абсо-
абсолютным пространством, постулированным классической механикой.
Эфир считался упругой средой и по аналогии с изотропным рас-
распространением упругих волн предполагалось, что и распространен
ние электромагнитных волн изотропно в пустом пространстве. Это
означает, однако, что распространение волн относительно некоторой
инерциальной системы не может уже быть изотропным. Если обозна-
обозначить через с скорость распространения электромагнитных волн
в пустом пространстве, т. е. в эфире, то скорость распространения
относительно некоторой инерциальной системы, движущейся со
скоростью v в направлении распространения электромагнитных
волн, будет с—v. Таким образом, мы пришли к заключению, что
можно обнаружить эфирный ветер, т. е. движение относительно
эфира, находящегося в абсолютном покое. Но гипотеза частичного
увлечения эфира, сформулированная Френелем, фактически экви-
эквивалентна компенсации любых эффектов первого порядка, связанных
с эфирным ветром. Этот факт был распространен Лоренцем на все
электромагнитные явления. Гипотеза Фитцджералда — Лоренца
10*
148 Гл. V. Релятивистская электродинамика
утверждает в одно и то же время и существование эфира и невоз-
невозможность его экспериментального обнаружения при помощи эффекта
второго порядка. Опыты показали, что любая попытка обнаружить
оптически существование такой абсолютной системы отсчета обре-
обречена на неудачу. Следовательно, в электродинамике инерциальные
системы обладают такой же привилегированной эквивалентностью,
как и в классической динамике. Иными словами, принцип относи-
относительности Галилея распространяется и на электромагнитные явле-
явления вообще.
Но в то же время следует отметить, что уравнения распростране-
распространения электромагнитных волн, а также и уравнения Максвелла —
Лоренца не инвариантны относительно преобразования Галилея.
Применив это преобразование к основным электромагнитным
уравнениям и к уравнениям Максвелла — Лоренца A.8), A.9),
мы видим, что их вид не сохраняется, ибо в выражения входит
скорость v. Следовательно, электромагнитная теория Максвелла —
Лоренца противоречит классическому принципу относительности.
Этот факт легко понять, если заметить, что в пустом простран-
пространстве свет распространяется в виде сферических волн; следовательно,
x2 + y2 + z2 = cH\ E.1)
т. е. радиус сферы равен г = ct. Однако уравнение E.1) не инва-
инвариантно относительно преобразования
x' = x — vt, y' = y, г — г\
ибо
Распространение принципа относительности на электромагнит-
электромагнитные явления приводит к проблеме отыскания общего преобразова-
преобразования, которое оставляло бы инвариантной систему уравнений
Максвелла — Лоренца при любом равномерном параллельном пере-
переносе. Это преобразование было найдено Лоренцем A904 г.) [1];
оно содержит в качестве предельного случая (с-> оо) преобразова-
преобразование Галилея.
Отметим, что один из важных выводов, который был оконча-
окончательно утвержден теорией относительности, это ненужность «эфира»
как основы электромагнитного поля, и даже невозможность его
существования вследствие опытов, упомянутых в предыдущей
главе. Эфир, который был необходимым для механистических теорий
света и рассматривался как среда, обладающая всеми качествами
действительных упругих сред, с появлением электромагнитной
теории света стал тормозом при объяснении явлений, ибо у него
было лишь единственное свойство — опоры или локализации поля.
Если отказаться от существования эфира, то остаются только
уравнения электродинамики, но уже без возможности их интуи-
§ L Пространственно-временная симметрия электромагнитного поля Н9
тивного истолкования. Некоторые физики, не подготовленные в
области философии и склонные колебаться в сторону идеализма,
сделали из этого вывод, что эти уравнения совсем не отражают
объективной реальности. В связи с этим обычно цитируют знамени-
знаменитое высказывание Герца: «Основное в теории электромагнетизма —
это система уравнений Максвелла».
В действительности же электромагнитные явления существуют
вне нас и независимо от нас. Что касается вопроса, могут ли быть
представлены эти явления в виде интуитивных механических
моделей или же они не поддаются интуитивной интерпретации,
то его решение не может служить аргументом за или против объек-
объективного характера самих явлений. Правильная точка зрения
состоит в том, что следует считать электромагнитное поле особой
формой материи.
§ I. Пространственно-временная симметрия
электромагнитного поля
Если вместо старых переменных х9 у, г и t ввести независимые
переменные
хг = х, х2 = у, xz = z, xk = jct, E.2)
где с — скорость света в пустом пространстве, можно обнаружить
замечательную симметрию уравнений Максвелла.
В самом деле, при таких обозначениях уравнения, которым
удовлетворяют электродинамические потенциалы, могут быть
записаны в следующем виде:
дх\
E.3)
дх\ ^ дх\ ^ дх\ ^ дх\ е0 '
где fe=l, 2, 3; а условие Лоренца —в виде
dxi дх2 "¦" дх3 ~т~~с ~дх^"" ' ' *
Так как в эти соотношения входят компоненты четырехмерного
оператора «набла» d/dxv (v=l, 2, 3, 4), то, вводя обозначения
с
можем переписать соотношение E.4) в более сжатой форме
150
Гл. V. Релятивистская электродинамика
Аналогично уравнения E.3) могут быть записаны в виде
где 1=1, 2, 3, 4 и
E.7)
E.8)
Соотношения между векторами электромагнитного поля и потен-
потенциалами
Е = —VV-A, B = VxA
могут быть записаны следующим образом:
Р _ dV , с дАк
(?=1,2, 3),
E.9)
В последнем уравнении индексы /, fe, / переставляются цикли-
циклически. С учетом обозначений E.5) эти соотношения могут быть
записаны в виде
дфк
E.9')
Учитывая правую часть этих соотношений, можно определить
при помощи таблицы
1
2
3
4
1
0
-в,
в2
2
в3
0
-в,
U/с) Е2
3
Bi
0
(/7с) ?3
4
- (/7с) Ei
- Шс) Е2
- a ic) е3
0
E.10)
§ U Пространственно-временная симметрия электромагнитного поля 151
Следовательно, имеем
^14= ~у^1> ^24= с~^^ ^34= "~7"^3*j
сразу убеждаемся в справедливости условия
В этих обозначениях соотношения E.9) запишутся в следую-
следующей симметричной форме:
^-¦Sg-TEf (I*, v-1.2, 3. 4). E.11)
Уравнения Максвелла в случае пустого пространства также
примут чрезвычайно простой вид. Так, первая группа уравнений
1 дВ3 1 дВ2 dE
дВ2
при учете обозначений E.8) и таблицы E.10) может быть запи-
записана в следующей сокращенной форме:
которую в свою очередь можно привести к виду
2-g* = |W*. E.12)
Из соотношения E.11) следует
дх^дх^
dxv
откуда после суммирования получаем соотношения
152 Гл. V. Релятивистская электродинамика
где А,, (г, v = 1, 2, 3, 4. Отметим, что в каждом из членов индексы
должны быть различными, чтобы результат был отличным от нуля.
Легко проверить, что вторая группа уравнений Максвелла экви-
эквивалентна соотношениям E.13), если учесть таблицу E.10). В самом
деле, заметив, что перестановка индексов A,, |jt, v в E.13) приводит
к тому же результату, имеем
_ + _
1. Ковариантность уравнений Максвелла в четырехмерном
пространстве. Результаты, полученные выше при приведении урав-
уравнений Максвелла к симметричной форме относительно прямоуголь-
прямоугольной системы отсчета в четырехмерном многообразии, весьма просто
позволяют выяснить условия инвариантности уравнений Максвелла
относительно ортогонального преобразования.
В самом деле, мы видели, что уравнения Максвелла сводятся
к уравнениям 4-потенциала E.6) и E.7). В последнем случае эти
уравнения могут быть записаны в виде
? (D = -fi0J E.14)
и
VO = div<t> =0, E.15)
где мы использовали четырехмерный оператор Даламбера
который является аналогом трехмерного оператора Лапласа А,
и четырехмерный оператор «набла», определенный соотношениями
так что скалярное произведение E.15) есть дивергенция четырех-
четырехмерного векторного потенциала.
§ 1. Пространственно-временная симметрия электромагнитного поля 15$
Чтобы выяснить поведение этих величин при ортогональных
преобразованиях в четырехмерном пространстве, заметим, что при
ортогональном преобразовании
четырехмерный оператор «набла» ведет себя как 4-вектор, т. е.
J уа ±_
щ> ~ f ^ дх*
Чтобы вывести законы, по которым меняются величины Ф^,
F^y и J^ в случае ортогонального преобразования координат про-
пространства — времени, предположим, что уравнения Максвелла
ковариантны относительно этого преобразования. Такое предполо-
предположение имеет глубокий физический смысл. Ведь если ковариантность
относительно ортогонального преобразования 3-мерного простран-
пространства означает изотропность пространства, т. е. эквивалентность
разных направлений, ковариантность в четырехмерном пространстве
означает также инвариантность законов электродинамики в систе-
системах, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью.
Для того чтобы уравнение E.6) оставалось инвариантным отно-
относительно ортогонального преобразования, должны выполняться
соотношения
следовательно,
и
V
м.
V
>ц = <[
дФм.
'VdXv
)v, или d
V д
V
V
откуда следует, что четырехмерный потенциал Ф^, определен-
определенный соотношением E.5), есть 4-вектор.
Так как оператор Даламбера
? = у д2
инвариантен относительно ортогонального преобразования, то из
уравнения E.7) следует, что величины J^, определенные соотноше-
соотношениями E.8), суть компоненты 4-вектора. А из соотношения E.11),
в котором в правую часть входят компоненты четырехмерного ротора
4-вектора Ф^, следует, что F^, которые определяются из таблицы
E.10), являются компонентами антисимметричного тензора второго
154 Гл. V. Релятивистская электродинамика
порядка. В самом деле, имеем
dZdZ ^
р о р a
Уравнение E.15) также инвариантно, так как четырехмерная дивер-
дивергенция 4-вектора есть инвариант, выражающий изотропность четы-
четырехмерного мира.
Следовательно, общее значение уравнений Максвелла, не зави-
зависящее от выбора системы координат, выявлено. Это инвариантное
значение уравнений электромагнитного поля и выражает принцип
относительности в электродинамической концепции.
Теперь инвариантная форма уравнений Максвелла E.12) и E.13)
становится очевидной, если заметить, что в E.12) входит диверген-
дивергенция антисимметричного тензора 2/vv, который эквивалентен 4-век-
тору; следовательно, можно записать
a/uv2F = Mv (v=l, 2, 3, 4), E.18)
или
div2F = \i0J. E.18')
Что касается уравнения E.13), то оно является обобщением трех-
трехмерного векторного уравнения
divB = 0, B = rotA,
выражающего тот факт, что индукция В определяется векторным
потенциалом А. А именно E.13) выражает то, что 6-вектор 2F
может быть получен из 4-потенциала Ф согласно соотношению
E.11).
К этим уравнениям добавляется уравнение непрерывности,
которое может быть записано в виде четырехмерной дивергенции
от четырехмерной плотности тока
дшЛ = 0. E.19)
Итак, в четырехмерном представлении интерпретация уравне-
уравнений Максвелла в случае пустого пространства очень проста. Они
выражают следующие общие свойства, не зависящие от выбора
координат:
а) 4-вектор плотности тока есть векторная дивергенция 6-век-
тора поля;
б) 6-вектор поля есть ротор 4-потенциала.
1. Отметим, что это четырехмерное представление уравнений
Максвелла приводит нас к выявлению некоторых инвариантов,
поскольку любой 4-вектор обладает одним инвариантом и любой
6-вектор обладает двумя инвариантами.
§ 1. Пространственно-временная симметрия электромагнитного поля 155
Итак, из того, что плотность тока J и 4-потенциал Ф являются
4-векторами, следует, что величины
E.20)
являются скалярными инвариантами в четырехмерном простран-
пространственно-временном континууме.
Шестивекторы 2F и дуальный ему 2F* также приводят к инва-
инвариантам:
E21)
= F ^ = - 4 -L BE.
С
2. Интересно отметить, что можно рассмотреть 6-вектор, дуаль-
дуальный самому себе, например
F^ = F^v + F*v = F^v + F^y E.22)
который, как легко проверить, эквивалентен трехмерному вектору,
имеющему только три компоненты
E.23)
0 аг — а2
аъ 0 at fl2
a2 _ai 0 a3
.-at — a2 -«3 0
Следовательно, в четырехмерном пространстве комплексный
вектор
a=B-i-E E.24)
можно рассматривать как самодуальный тензор вида E.22).
Можно рассмотреть также антидуальный 6-вектор
F\x.v — F\i.v — Fjxv, E.25)
at-F
a3=7
Таким 6-вектором
44-^23-^14-
>34 =7^2 = ^34-
будет
{- F23 = Bi
f FZi = B2
±Fi2 = Bi
]_g
с ь
; F
156 Гл. V. Релятивистская электродинамика
который приводит нас к вектору
4Е E-26)
При интегрировании уравнений Максвелла удобно пользоваться
комплексным вектором В ± (j/c)E.
§ 2. Постулаты специальной теории относительности
Положение дел перед созданием теории относительности можно
охарактеризовать следующим образом: хотя большинство выводов
теории Максвелла и было подтверждено опытом, все опыты, поста-
поставленные с целью обнаружения системы отсчета, находящейся
в абсолютном покое, существование которой, казалось, следовало
из теории, потерпели неудачу. С другой стороны, как показали еще
Лоренц A904 г.) и Пуанкаре A905 г.), уравнения Максвелла согла-
согласуются с принципом относительности, так как они инвариантны
относительно преобразования, которое теперь носит название пре-
преобразования Лоренца. Впрочем, мы уже видели, что они кова-
риантны относительно группы линейных ортогональных преобра-
преобразований 4-мерного пространства, определенного в предыдущих
параграфах, которое, как показал Минковский A908 г.) в своей
ставшей классической работе, является представлением группы
Лоренца.
Физическая интерпретация этих результатов, имевшая очень
большое значение для последующего развития физических наук,
была дана Эйнштейном A905 г.), который показал, что все труд-
трудности, о которых мы говорили в гл. IV, § 5, в принципе могут
быть устранены. Эйнштейн пошел по пути, отличному от указан-
указанного в предыдущем параграфе, хотя теперь этот путь кажется нам
самым логичным, ибо он может непосредственно привести к теории
относительности и естественным образом вытекает из свойства
ковариантности уравнений Максвелла. В своей работе, ныне класси-
классической, Эйнштейн [2]1) установил принцип относительности электро-
электродинамики, отправляясь от критического анализа значения класси-
классических понятий пространства и времени, введенных в механику
Ньютоном, и которые он нашел несовместными с теорией электро-
электромагнетизма.
Для Эйнштейна относительность движения означает, во-первых,
что движение тел происходит одно относительно другого и не может
быть отнесено к абсолютно неподвижным телам или к неподвижной
среде (эфиру), так как таковых в действительности нет. Здесь
х) Для справок см. также [3]
§ 2. Постулаты специальной теории относительности 157
вспоминаются слова Ф. Энгельса [4]: «Движения отдельного тела
не существует,— о нем можно говорить только в относительном
смысле».
Таким образом, Эйнштейн приходит к заключению, что отрица-
отрицательный результат опытов Майкельсона вызван самой природой
вещей. Отправляясь от этой аксиомы, Эйнштейн разработал новую
концепцию пространства и времени, которая была облечена в кон-
конкретную геометрическую форму Минковским при посредстве 4-мер-
4-мерного пространственно-временного абсолютного мира как единства
понятий пространства и времени — форм существования материи.
Специальная теория относительности Эйнштейна основывается
на двух постулатах, которые могут быть сформулированы следую-
следующим образом:
Г. Невозможно обнаружить или выявить экспериментально
равномерное прямолинейное движение некоторой системы в пустом
пространстве или в среде вроде эфира.
2°. Скорость распространения электромагнитного возмущения
в пустом пространстве есть универсальная постоянная, не завися-
зависящая от относительной скорости источника или инерциальной
системы отсчета.
Первый постулат устанавливает, следовательно, отсутствие физи-
физического смысла понятия абсолютной скорости изолированной системы
в пустом пространстве. Этот постулат может быть сформулирован
и следующим образом.
Существует кубическая бесконечность (оо3) инерциальных систем
отсчета, совершающих одна по отношению к другой равномерное
прямолинейное движение, относительно которых физические явле-
явления протекают абсолютно одинаково.
Постулируя универсальную справедливость принципа относи-
относительности, т. е. привилегированной эквивалентности инерциальных
систем отсчета, Эйнштейн тем самым отрицает справедливость
принципа относительного движения классической кинематики как
слишком широкого и в то же время отрицает постулат абсолютного
пространства, т. е. существование упругого эфира, с которым свя-
связана идея абсолютно покоящейся системы отсчета, как слишком
ограниченного. При этом он основывался на том, что оба эти прин-
принципа противоречили экспериментальным данным.
Следуя Эйнштейну, будем называть эти системы отсчета галилее-
выми системами, так как для них предполагается справедливым
закон инерции Галилея. Отсюда следует, что общие законы, описы-
описывающие физические явления, не должны зависеть от неускоренного
движения системы координат, к которой отнесено явление. Следо-
Следовательно, математическая форма законов физики, в частности зако-
законов электромагнетизма, инвариантна относительно преобразований,
переводящих одну галилееву систему отсчета в другую.
158 Гл. V. Релятивистская электродинамика
В этом виде обычно и формулируется принцип специальной
относительности. Эта точка зрения составляет обобщение ньютонова
принципа относительности классической механики. Кажется
ненужным лишний раз подчеркивать, что этот постулат обоснован
многочисленными опытами. Следует однако отметить, что из сфор-
сформулированного выше принципа относительности еще не вытекает
ковариантность законов природы, и в частности электромагнетизма,
относительно группы Лоренца. Так, например, уравнения класси-
классической механики согласуются с принципом относительности, не
являясь ковариантными относительно преобразования Лоренца.
Отсюда следует необходимость второго постулата, сформулирован-
сформулированного Эйнштейном.
Второй постулат можно рассматривать как результат сочета-
сочетания принципа Френеля из теории светового эфира, согласно кото-
которому скорость света не зависит от скорости источника, с основ-
основной идеей первого постулата, согласно которой невозможно при-
придать никакого практического смысла абсолютной скорости и можно
лишь говорить об относительной скорости источника и системы
отсчета.
Этот постулат характерен для теории поля, ибо он неявно содер-
содержится в уравнениях Максвелла.
Когда Эйнштейн сформулировал свою гипотезу, с эксперимен-
экспериментальной точки зрения независимость скорости света от скорости его
источника еще не была доказана; это позволило Ритцу усомниться
в справедливости этого постулата. Однако теперь результаты,
полученные экспериментально, достаточны для того, чтобы исклю-
исключить возможность аддитивности скорости света со скоростью его
источника. Напомним исследования Комштока A910 г.) [5] и де
Ситтера A913 г.) [6] по орбитам двойных звезд и опыты Толмена
A910 г.), Ла Роза A912 г.) и Томашека A924 г.), поставленные при
помощи интерферометра Майкельсона, в которых использовались
лучи Солнца вместо земного источника света.
В самом деле, если бы скорость света зависела от скорости источ-
источника, то в случае двойных звезд мы должны были бы заметить особое
явление: появление и исчезновение так называемых «звезд-духов».
Дело в том, что двойные звезды постоянно меняют свою радиальную
скорость относительно Земли, и, следовательно, в определенных
условиях к Земле могли бы прийти одновременно лучи, испущенные
двойными звездами в разные моменты времени с разных точек их
орбит. Иными словами, наблюдатель на Земле должен был бы заме-
заметить периодическое появление и исчезновение добавочных звезд —
«звезд-духов». Пусть v — изменение скорости света (Дс = v)r
тогда t = dlc\ следовательно, Л^/Дс ^ —die2, Д^ ^ —vd/c2,
где t — время, за которое свет пробегает расстояние d от двойной
звезды до Земли. Так как с2 ~ 1021 см2-сек~2, v— 10б см-сек~ху
§ 2. Постулаты специальной теории относительности 159*
d > 1018 СМ, ТО
Д*> 103 сек.
Итак, это явление вполне наблюдаемо, однако оно не обнаружено.
Следовательно, оба постулата достаточно обоснованы с эксперимен-
экспериментальной точки зрения. Однако их значимость нужно оценивать
с точки зрения области приложения теории, которая строится на
базе этих постулатов, и экспериментальной проверки следствийг
вытекающих из этой теории.
В связи с тем что в пустом пространстве скорость света есть уни-
универсальная постоянная, отметим, что это означает возможность
произвольного выбора спектральной линии (например, из спектра
кадмия) в качестве эталона длины и времени. Самые недавние изме-
измерения скорости света в пустоте, проведенные Андерсоном [7],
и выполненный Бирджем [8] критический анализ множества изме-
измерений за последние 50 лет, приводят к заключению, что скорость
света в пустоте действительно есть универсальная постоянная.
Заслуга Эйнштейна, как отмечает академик Мандельштам [91,
состоит в том, что он заметил, что допущение принципа относитель-
относительности и независимости скорости света от движения источника вынуж-
вынуждает нас отказаться от преобразования Галилея, от которого фор-
формально (с математической точки зрения) уже давно отказались
Лармор A900 г.), Лоренц и Пуанкаре при введении гипотезы сокра-
сокращения.
Следует сделать еще одно замечание, касающееся вышеприведен-
вышеприведенных постулатов. Так как первый постулат является следствием точки
зрения Ньютона, допускающей пустое пространство, а второй —
естественным следствием противоположной идеи о пространстве^
заполненном эфиром, нужно ждать, что при сочетании этих двух
постулатов мы придем к выводам, которые не согласуются с класси-
классическими понятиями о пространстве и времени. Соединение этих
постулатов нужно рассматривать как диалектический синтез, пре-
превосходящий каждый из принципов богатством и глубиной содер-
содержания.
Сказанное выше можно проиллюстрировать следующим приме-
примером. Рассмотрим источник света 5 и два тела А и 5, движущихся
равномерно в противоположных направлениях (фиг. 22). Предпо-
Предположим, что с каждым из тел связана система отсчета, относительно
которой насечками соответственно а, а' и 6, Ь' отмечается одна
и то же постоянное расстояние (например, 1 км), причем скорость
света определяется интервалом времени, за которое свет пробегает
это расстояние.
Согласно первому постулату, мы не можем приписать никакого
реального смысла абсолютным скоростям этих двух систем, но
можем говорить о их скоростях относительно источника. Из вто-
160 Гл. V. Релятивистская электродинамика
рого постулата следует, что измеряемая скорость света не зависит
от относительной скорости источника по отношению к наблюдателю.
Следовательно, мы приходим к заключению, что время, необходимое
для того, чтобы свет прошел путь от а до а', должно быть равным
времени, за которое свет пройдет путь от b до Ь', несмотря на то что
Ь В Ъ'
Фиг. 22.
А и В движутся в противоположных направлениях относительно
источника. Этот результат кажется противоречивым из-за простран-
пространственно-временных соотношений, принятых в классической физике.
Итак, допущение обоих постулатов теории относительности при-
приводит к пересмотру понятий пространства и времени классической
механики Ньютона.
§ 3. Преобразование Лоренца
Рассмотрим две системы координат E) и E') и предположим, что
система E') движется равномерно и прямолинейно относительно
системы (S) со скоростью v, которую для простоты будем предпо-
предполагать направленной по оси Ог, соответственно Ozf (фиг. 23).
Будем также предполагать, что с каждой системой связаны часы,
отмечающие время t и соответственно Г. Для простоты предпо-
предположим, что, когда О совпадает с О', время t = t' = 0.
Для того чтобы охарактеризовать какое-нибудь физическое явле-
явление, нужно уточнить его положение в пространстве и времени.
Место, в котором протекает явление, определяется координатами
х, у у z рассматриваемой точки в системе E) или х\ у\ z' в системе
E'). Время, в которое наблюдается явление, отсчитывается по
часам, а именно оно будет t в системе (S) или соответственно /'
в системе (S').
Ставится задача отыскания общих формул, выражающих прин-
принцип относительности, т. е. отыскания формул, связывающих вели-
величины х, у, г, t системы E) с величинами х', у', г', V системы (S')
в случае, когда считаются справедливыми оба постулата Эйнштейна.
Эти формулы преобразования должны оставлять инвариантным
уравнение распространения света в пустом пространстве, т. е. вол-
§ 3. Преобразование Лоренца
161
новое уравнение
дх2 г ду2 ' dz2 с2 dt2 # ^
В частности, должно оставаться инвариантным уравнение
x2 + y2 + z2 = c2t2, E.28)
описывающее равномерное распространение фронта сферических
О' v .
Ф и г. 23.
световых волн, испускаемых точечным источником в пустом про-
пространстве. Это можно проиллюстрировать фиг. 24. Предположим,
что в начальный момент t = t' = 0 в точке О испускается световая
волна. Фронт волны в последующие моменты можно представить
в виде сферы радиуса г = ct. С точки зрения классической теории
Ньютона, в которой время считается абсолютным (t — t'), в двух
системах (S) и (S'), движущихся равномерно одна относительно
другой, световую волну можно представить как сферу радиуса
г = ct с центром в точке О (фиг. 24). Напротив, согласно постулатам
теории относительности Эйнштейна, поверхность волны будет
представлять собой сферу с центром в точке О относительно системы
(S) и сферу с центром в точке О' относительно системы (S') (фиг. 25),
так как уравнение E.28) остается инвариантным.
1. Математическое выражение искомого преобразования было
дано в частной форме Лоренцем, поэтому оно и называется преобразо-
преобразованием Лоренца1).
*) В отличие от Эйнштейна Лоренц интерпретирует время V не как истин-
истинное время в другой системе координат, а как фиктивную величину, которую
он называет «локальным» или «эффективным» временем. Отметим также, что
идея этого преобразования сформулирована еще Фойгтом [10].
11 в. новаку
162
Гл. V. Релятивистская электродинамика
Пусть
Xl4=x, x2 = y, х3 = г, Xb = jct E.29)
будут компонентами вектора R в четырехмерном многообразии
(*i, x2, xz, jc4), следовательно,
+ xJ. E.30)
Постулат постоянства скорости распространения света будет
удовлетворяться группой линейных преобразований, оставляющих
инвариантной эту длину.
Фиг 24
Фиг. 25.
Кроме параллельных переносов, наиболее общим линейным
однородным преобразованием, оставляющим инвариантной квадра-
квадратичную форму E.30), которая выражает расстояние в четырехмерном
многообразии, будет группа ортогональных преобразований, назы-
называемая группой преобразований Лоренца:
(ц, v = l, 2, 3, 4),
где
(К (л = 1» 2» 3, 4).
E.31)
E.32)
§ 3. Преобразование Лоренца 163
Так как определитель | а^ | может быть равен ± 1, причем значение
— 1 соответствует инверсиям (или отражениям), будем различать
цолную группу Лоренца и собственную группу Лоренца, которая
содержит только преобразования, для которых |a|iV|=s+ 1.
Поскольку компоненты xk (ft= 1, 2, 3) вещественные, a лг4 = jet
мнимая, то это значит, что aki вещественные, а^ (k = 1, 2, 3)
мнимые, в то время как а44 вещественный. Из условий ортогональ-
ортогональности (v = 4, \i = 4) следует, что
E.33)
k
Так как
ТО
следовательно
«44 > + 1 ИЛИ Я44< — 1- E.34)
Таким образом, собственная группа Лоренца разбивается на две.
Случай отрицательного аи соответствует инверсии во времени.
В дальнейшем мы будем рассматривать только случай положитель-
положительного а44, соответствующий собственным ортохронным преобразо-
преобразованиям Лоренца, которые также образуют группу, ибо содержат
тождественное преобразование.
Если а44 = 1» то из E.33) следует
а, значит,
х'ь = Хь, Xk = akiXi (ft, t=l,2, 3),
что соответствует простому вращению триедра в пространстве.
Отсюда следует простая интерпретация девяти коэффициентов ahi.
Если а44 > 1, то, чтоби выразить движение начала координат О
системы (S) относительно системы E'), положим xk = 0 (k = 1,2, 3),
тогда E.31) принимает вид
откуда
Следовательно, jc(akjau) (k = 1, 2, 3) — компоненты скорости v°
начала координат О системы (S), движущейся относительно (S')*
11*
164
Гл. V. Релятивистская электродинамика
Так как
из условий ортогональности следует, что
Поскольку а44 вещественный, то получаем важное неравенство
—
С
или
Следовательно, относительная скорость двух инерциальных систем
всегда меньше универсальной постоянной с, которую можно рас-
рассматривать как предел скорости.
Специальное преобразование Лоренца соответствует частному
случаю, когда равномерный параллельный перенос системы (S)
происходит в направлении одной из осей системы E'), например
Oz\\O'z'. Чтобы найти выражение коэффициентов, заметим, что
х[ = Хи х\ = х2; следовательно, матрица коэффициентов имеет вид
х'з
xi
1
0
0
0
х2
0
1
0
0
*з
0
0
«43
Ч
0
0
«34
«44
Условия ортогональности запишутся следующим образом:
«33 + 4> = 1 , «33^34 + «43^44 = 0, п*и + ?& = 1 . E.35)
Так как при
х'3 = azzxz + а34^4 = 0 E.36)
имеем
*з = 1*= -/Рх4 E.37)
{где Р = о/с], то из E.36) и E.37) следует
*в4 = /№*»• E.38)
§ 3. Преобразование Лоренца
165
Подставляя это значение в E.35), получаем
ah - Р2<4 = 1» «зз = а, а34 = /Ра.
Подставляя найденные значения во второе равенство из E.35),
получаем
и, наконец,
Матрица преобразования будет иметь вид
10 0 0
/0 1 0 0
o(lv= 0 0 а /ра ]¦ E.39)
Ч) 0 —/ра а
Таким образом, преобразование имеет вид
•а ч E-4°)
Л2 — Х2ч Л4 — IX уХк — /Р-^3/ >
откуда следует, что система Ох{х2хъ смещается относительно
О-^ффГд вдоль Охъ со скоростью dxz/dt =¦ Рс.
Возвращаясь к исходному пространственно-временному мно-
многообразию, имеем
Л — Л, ?, — IX ус ULj-i
или, обратно,
= a(z' + vt')>
E.41)
E.42)
Эти уравнения составляют основу специальной теории относи-
относительности Эйнштейна и известны под названием специального
преобразования Лоренца. Легко проверить, что эти преобразова-
преобразования образуют группу.
Преобразование Лоренца E.41) зависит от одного параметра v.
Преобразование E.42) есть обратное преобразование, которое
получается из E.41) заменой v на —у. Два последовательных
применения преобразования Лоренца (Li) и (L2) с параметрами
v = Vi, v=v2 дают преобразование Лоренца, причем соответствую-
соответствующие матрицы для переменных г и t имеют вид
а2 -
a.
166
Гл. V. Релятивистская электродинамика
где at = A — Pi)~1/2, a2 = A — $l)~1/2 и pi = vjc, p2 = v2jc. Пере-
Перемножая матрицы, получаем
1
- P1P2)
Принимая обозначение
и замечая, что
с ' с
"а ==
E.43)
U,
получаем следующий результат:
который также выражает преобразование Лоренца.
2. Рассмотрим случай, когда равномерный параллельный пере-
перенос осуществляется в некотором произвольном направлении v,
образующем угол ср с осью Ох фиксированной системы. Предполо-
Предположим, что v лежит в плоскости хОу. Можно рассмотреть промежуточ-
промежуточную систему отсчета OxiyyiZitu полученную в результате операции
поворота (R) на угол ср в плоскости хОу и определенную уравнениями
\ • )
= — xsincp + ycoscp, ti =
Если в момент времени t = 0, t' = 0 система Ofx[y[z[t[t движу-
движущаяся равномерно относительно системы Oxiy&di в направлении
Охи совпадает с последней, то, согласно специальному преобразо-
преобразованию Лоренца, имеем
*; = a(*i — vtt), у[ = У,
, E.45)
Наконец, если повернуть систему O'x\y\z\t\ на угол—ер в пло-
плоскости х[О'у[, то получим систему O'x'y'z't' при помощи преобра-
преобразования (Z?), определенного соотношениями
х =
у' = х\ sin ф + у[ cos ф,
г =21Э
E.46)
§ 3. Преобразование Лоренца
167
Следовательно, переход от неподвижной системы Oxyzt к системе
О'x'y'z't', равномерно движущейся в направлении v, может быть
определен четырехмерным ортогональным преобразованием, кото-
которое можно записать в следующей символической форме:
L' = R-xLRy E.47)
или при помощи матрицы
х'
у'
Z'
jet'
X
1+ (а—1) соб2ф
—(а— 1) cos ф sin ф
0
— / fkx cos ф
У
(а —1) cos фзт ф
1+(а — l)sinaq>
0
— j разтф
z
0
0
1
0
jd
j pa cos ф
/fkx sin ф
0
а
«•-0-4^
Преобразование E.47) может быть записано в трехмерной век-
векторной форме при помощи векторов r(x, y,z) и г'(х', у', z') (Герглотц,
1911 г.I):
E.48)
Если разложить вектор г так, чтобы одна из компонент гц была
направлена по скорости v, а вторая г^ — перпендикулярно напра-
направлению v, то получим следующие соотношения:
Гц = (X (Гц — Vt), Г | = Г | , Г =:: О ( Г 2" ^|| ) > \p*4i\))
так как
= r —ги, r' =
3. В случае р < 1, т. е. v < с, уравнения E.41) приводятся
к формулам преобразования Галилея классической механики
См. также [11].
168 Гл. V. Релятивистская электродинамика
Следовательно, преобразование Галилея нужно рассматривать
как первое приближение, как предельный случай; его можно интер-
интерпретировать как принцип относительности, соответствующий миру,
в котором электромагнитное поле распространяется с бесконечной
скоростью.
4. Инвариантность уравнений E.27) относительно преобразо-
преобразования E.42) можно легко проверить непосредственным вычислением.
Так, имеем
аФ - „ аФ _j_ JL п *Р
W ~ a dz ~r с* а dt '
__ д2Ф v а2Ф v*_
"~а ~dz^~tZa с* дШ^а с*
А поскольку
то
1. Геометрическое представление преобразований Лоренца. Как
показал Минковский, преобразование Лоренца является переводом
на геометрический язык привилегированной эквивалентности инер-
циальных систем как эквивалентности декартовых систем коорди-
координат в четырехмерном псевдоевклидовом1) многообразии. Этот факт
приводит, однако, к новой кинематике, отличной от классической
кинематики, которая основана на эквивалентности декартовых
систем координат в трехмерном евклидовом пространстве. Следова-
Следовательно, классическое понятие пространства и времени как двух
континуумов, существующих независимо друг от друга, должно
быть заменено концепцией единого пространственно-временного
многообразия, согласно группе преобразований Лоренца.
Пуанкаре A906 г.) и особенно Минковский A908 г.) [12] пред-
предложили ввести понятие пространства — времени как четырехмер-
четырехмерного многообразия, называемого «миром». Геометрически это озна-
означает введение четырехмерного ги пер пространства, в котором время
играет роль четвертого измерения.
Идеи Минковского о четырехмерном пространственно-временном
многообразии и его соображения о системах отсчета, рассматривае-
рассматриваемых им как способ для представления пространства и времени,
позволяют обойти трудности, которые появляются при интерпре-
х) Такое многообразие называют также несобственно евклидовым
Прим, ред.
§ 3. Преобразование Лоренца 169
тации так называемой «относительности» длины, продолжитель-
продолжительности и одновременности. Что касается смысла основного элемента
геометрии мира, Минковский настаивал на том, что никто никогда
не видел точек в неопределенный момент времени и не имел дела
со временем в неопределенных точках — в физике все происходит
в определенный момент времени, в некоторой определенной точке
пространства. Поэтому основным элементом пространственно-вре-
пространственно-временных соотношений являются не точка пространства и время, как
таковые, а событие, которое определено четырьмя величинами:
тремя пространственными координатами и временем; это приводит
к выводу, что мир имеет четырехмерный характер.
Следовательно, явления определяются четырьмя величинами,
которые можно рассматривать, как это делал Минковский, по ана-
аналогии с аналитической геометрией как координаты. Мы получаем
мировую точку, и множество этих точек образует псевдоевклидово
четырехмерное многообразие Минковского. Основной характери-
характеристикой «мира» является закон, по которому преобразуются рас-
рассмотренные четырехмерные величины, которые мы считаем коорди-
координатами мировой точки, представляющей событие.
Мировая точка — событие в системе координат, состоящей из
четырех взаимноперпендикулярных осей, на которых отклады-
откладываются величины х, у, z и t,— имеет, следовательно, четыре коор-
координаты Xij x2j xz и #4» необходимые для описания пространственно-
временных событий.
При использовании этого геометрического языка необходимо
предостеречь от ошибки рассматривать все четыре направления
этого гиперпространства как эквивалентные. Протяженность во
времени не имеет ту же природу, что и протяженность в простран-
пространстве, хотя мы считаем их направленными по сходным взаимнопер-
пендикулярным осям. Аналогично было бы ошибочным считать
эквивалентными давление и объем только потому, что они отклады-
откладываются по двум взаимноперпендикулярным осям на диаграмме
Клапейрона. С другой стороны, достаточно отметить, что нельзя
смешивать эталон длины с часами, т. е. с инструментом, измеряю-
измеряющим длительность во времени. Чтобы подчеркнуть это различие,
отметим, что время следует рассматривать не как четвертое измерение
пространственно-временного континуума, а скорее как специальное
измерение мира Минковского, который, следовательно, никоим обра-
образом не изотропен, так как метрика его псевдоевклидова.
Геометрический характер мира Минковского определен инва-
инвариантностью относительно преобразования Лоренца E.31) выра-
выражений
x2-\-y2 + z2-c2t2, E.50)
dz2-c2dt2. E.51)
170
Гл. V. Релятивистская электродинамика
Вводя обозначения
= У,
эти соотношения можем переписать в виде
E.52)
+ ^ + dx*. E.51')
Соотношения E.50) и E.51) можно интерпретировать как соотноше-
соотношения, выражающие квадрат расстояния от начала координат до миро-
мировой точки, имеющей координаты Хи х2, #з и А> и соответственно
Фиг. 26.
инфинитезимальное расстояние между двумя мировыми точками
с координатами хи х2, хг, х4 и xt + dxu x2 + dx2, хъ + dxZy
Хь + dxk, т. е. «элемент длины» ds мировой линии.
Отсюда вытекает следующая геометрическая интерпретация
преобразования Лоренца.
Так как выражения E.50) и E.51) должны оставаться инвариант-
инвариантными, то по аналогии с трехмерным пространством можно сказать,
что преобразование Лоренца должно быть четырехмерным враще-
вращением вокруг начала системы координат.
В случае специального преобразования Лоренца E.41) это
можно доказать очень просто, ибо хг = ху у' = у, а значит, в этом
случае должно оставаться инвариантным выражение
Следовательно, вращение осей хг = z и х4 = jet в плоскости
хъ0хь должно быть эквивалентным специальному преобразованию
Лоренца (фиг. 26). Этот поворот осей на угол ср выражается соотно-
соотношениями
#3 = хъ cos ф + xk sin ф,
*4 = — *з sin ф + xk cos ф.
v • /
§ 3. Преобразование Лоренца 171
Легко проверить, что, если
т. е.
coscp = a, sin ф == /Раэ E.55)
соотношения E.53) приводятся к соотношениям E.40).
Из соотношения E.55) следует, что угол вращения ср мнимый
и пропорционален скорости v поступательного движения системы
(S') относительно системы (S). Можно, следовательно, записать
г|)=/ф, E.56)
где я|) вещественное и задано соотношением
thi|)=-p, E.57)
а E.55) принимает вид
ch^ = a, sh г|) = - Pa. E.55')
Специальное преобразование Лоренца может быть записано
в эквивалентной форме в виде вращения (в плоскости)
( }
это мнимое вращение в плоскости (х3, jc4).
Такое символическое представление преобразования Лоренца
значительно упрощает вычисления благодаря замечательной сим-
симметрии, которой оно обладает.
1. В качестве приложения этого геометрического представления
можно вывести релятивистский закон сложения скоростей. Пусть
v — скорость системы (S') относительно системы (S) и v' — ско-
скорость тела, движущегося относительно (S'). Для простоты пред-
предположим, что обе скорости параллельны оси Oz. Согласно E.54),
равномерное движение со скоростью v соответствует повороту
на угол ф, а движение со скоростью v' — повороту на угол ф\
Чтобы вычислить скорость v" тела, движущегося относительно (S),
необходимо осуществить поворот на угол ф + ф'. Согласно E.54),
будем иметь
Следовательно, формула сложения одинаково направленных ско-
скоростей имеет вид
172 Гл. V. Релятивистская электродинамика
Ее можно сравнить с формулой E.43).
Из релятивистской формулы сложения скоростей непосредст-
непосредственно видно
т. е. результирующая скорость меньше суммы слагаемых скоростей.
Из E.59) также следует, что скорость света есть предельная ско-
скорость, которая не может быть превзойдена, т. е. она является верх-
верхним пределом скоростей, осуществляемых в природе.
В самом деле, разность с—v" всегда положительна, ибо
vv'
так как по предположению v <с к v' < с, то
а если v — c, то v" — c при любом v'.
2. Из релятивистского закона сложения параллельных скоро-
скоростей E.59) следует
где р4= vjc, $2= v2/c. Если предположить, что скорость v2 — это
скорость распространения света в покоящейся изотропной среде
с показателем преломления п, то
Тогда если vt = v есть скорость трансляционного движения этой
среды по отношению к любой системе отсчета, то значение ско-
скорости света относительно рассматриваемой системы будет
с =-
СП
В первом приближении находим знаменитый закон Френеля,
который экспериментально был проверен Физо:
3. Минковский показал, что преобразованию Лоренца можно
дать и другую геометрическую интерпретацию, если рассматривать
мир как четырехмерное гиперпространство, в котором вместо мни-
мнимой величины #4 = jet берется вещественная величина и = ct.
§ 3. Преобразование Лоренца
173
Каждой движущейся точке, у которой координаты, определяю-
определяющие положение в пространстве (х, у, г), суть функции времени, будет
соответствовать кривая, которая называется мировой линией.
Когда точка равномерно движется со скоростью v, мировая линия
будет прямой, образующей с осью Ои угол г|>, заданный соотноше-
соотношением E.57); следовательно,
ф = arc tg ~ .
Так как v < с, то *ф < я/4. В случае специального преобразования
Лоренца, когда во время параллельного переноса обе оси Oz и Oz'
остаются параллельными, преобразование имеет место только
Фиг. 27.
в плоскости zOu. Чтобы найти геометрическую интерпретацию и в
этом случае, рассмотрим в плоскости zOu равнобочные гиперболы
г2-.^-^ 1 E.60)
и их общие асимптоты
z'-u2 = 0. E.61)
Рассмотрим на положительной ветви гиперболы / точку U',
а на положительной ветви гиперболы // точку Z', выбранную так,
чтобы асимптота z = и была биссектрисой угла z'Ou' (фиг. 27).
Следовательно, Ои' и Oz' являются сопряженными диаметрами
обеих гипербол. В случае, когда точка V совпадает с точкой ?/,
лежащей на оси Ои, точка Z' совпадает с точкой Z, лежащей на
174 Гл. V. Релятивистская электродинамика
оси Oz. Специальное преобразование Лоренца
z'^a(z-vt),
E.62)
может быть интерпретировано как замена осей Ои и Oz сопря-
сопряженными диаметрами Ои', Oz'.
В самом деле, прямые Ои' и Oz' задаются соответственно урав-
уравнениями
V V
В системе zOu координатами точек V и Z' будут
[/'(a, pa), Z' (Pa, a),
а в системе г'Оа'
U'(l, 0), Z'@, 1).
Уравнения, определяющие преобразование системы z'Ou'
в систему zOut имеют вид
z' —az — $au,
E.63)
и = аи — раз; v 7
они тождественны уравнениям E.62). Очевидно, выражения
z2 — u2 и x2 + 2\2 2
инвариантны относительно этого преобразования.
В случае общего преобразования Лоренца приведенное выше
построение следует перенести на четырехмерное пространство вместо
двумерного.
В этом случае гиперболам E.60) будут соответствовать гипер-
гиперболические пространства
+ z2-u2=±l, E.60')
а их асимптотам E.61)—коническое пространство
х* + у* + г*-и* = 0. E.61')
В рассматриваемом четырехмерном гиперпространстве гипер-
гиперболическое пространство E.60') играет роль сферической поверх-
поверхности обычного трехмерного пространства.
В самом деле, в трехмерной геометрии, если отложить от начала
координат О по всем исходящим из него направлениям единичный
отрезок, получим сферическую поверхность х2 + у2 + z2 = 1.
В четырехмерном гиперпространстве для явлений, представленных
мировыми точками, для которых интервал, определяющий их рас-
§ 3. Преобразование Лоренца
175
стояние от принимаемой за начало мировой точки О, равен единице*
имеем
Это уравнение трехмерного гиперболоида.
Четырехмерное гиперпространство, т. е. мир Минковского, раа-
делено трехмерным конусом
на три области
1°. Область прошедшего (А) (фиг. 28), для которой
и2> x2 +
Через каждую точку А этой области можно провести времениподоб-
ную ось Ои' (т. е. ось, которую при помощи подходящего преобразо-
преобразования Лоренца можно перевести в ось Ои), причем время растет
Фиг. 28.
в направлении АО. Любое событие из этой области протекает да
события, соответствующего точке О в любой системе отсчета.
2°. Область будущего (Р), для которой
Через каждую точку этой области может проходить времениподоб-
ная ось Ои'; время растет в направлении ОР. Любое событие из этой
области происходит после события, соответствующего точке О
в любой системе отсчета.
176 Гл. V. Релятивистская электродинамика
3°. Промежуточная область (/), для которой.
Все точки этой области представляют собой события, одновре-
одновременные с событием О. В самом деле, оси, соединяющие начало О
с некоторой точкой из этой области, являются пространственно-
подобными осями (т. е. всегда можно подобрать такую инерциальную
систему отсчета, в которой оси Ог' соответствует ось Oz).
Итак, мировая линия, соответствующая движущейся материаль-
материальной точке, должна непременно лежать внутри конического про-
пространства, а именно она проходит из конуса прошедшего в конус
будущего через начало О. Конус будущего (Р) содержит совокуп-
совокупность событий, которые могут быть предупреждены событием О,
т. е. они могут получить световой сигнал из О. Следовательно,
события из конуса прошедшего могут быть причиной события О,
а события из конуса будущего могут быть вызваны событием О.
В промежуточной области течение времени лишено смысла и между
событием из этой области и событием из О не может быть причинной
связи.
4. В трехмерном евклидовом пространстве элемент дуги задается
следующим образом:
По аналогии в неевклидовом четырехмерном многообразии за эле-
элемент дуги мировой линии принимается инвариант
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 — c2dt2, E.64)
выражающий расстояние между двумя бесконечно близкими собы-
событиями.
Учитывая, что скорость v движущейся точки, которой соответ-
соответствует мировая линия, задается соотношением
\dtj
можно записать соотношение E.64) в следующем виде:
ds2 = (v2~c2)dt2. E.65)
Если, помимо системы координат (х, у> г, jet), выбранной произ-
произвольно, выберем вторую систему координат (|, т], ?, jcx) так, чтобы
ось /' = jcx была параллельна элементу рассматриваемой линии ds,
то будем иметь d\ = dr\ = dt, = 0. Следовательно, относительно
новой системы координат имеем
ds2 = —c2dx2,
или
E.66)
§ 3. Преобразование Лоренца 177
Поскольку скорость света, согласно теории относительности,
является пределом для относительных скоростей, будем всегда иметь
в силу соотношения E.65)
ds2 < 0, следовательно, dx2 > О,
а так как ds2 — инвариант, то и dx2 — также инвариант.
Элемент dx называется элементарной продолжительностью соб-
собственного времени, соответствующего рассматриваемой материаль-
материальной точке. Из уравнения E.65) вытекает связь между элементарной
продолжительностью собственного времени и времени, измеренного
в некоторой системе отсчета:
dx = -i- dt = dt A - Р2I/2- E.67)
Согласно соотношению E.66) часы, связанные с движущимся
телом, отсчитывают длину дуги мировой линии, деленную на /с,
а мировая линия, соответствующая световому лучу, имеет, согласно
соотношению E.65), нулевую длину.
Так как
ds2 = 2 dxl - c2dt2 = (v2 - с2) dt2 < О,
к
то временная ось инерциальной системы координат в четырехмерном
мире остается всегда времени подобной осью, а оси dxk (k=l, 2, 3)
сохраняют всегда свой пространственноподобный характер. Вообще
4-вектор uv является пространственноподобным, времениподобным
или изотропным в зависимости от того, будет ли 2ul положитель-
положительной, отрицательной или равной нулю. Характеристика времени-
подобных 4-векторов состоит в том, что всегда существует специаль-
специальная система координат, называемая «собственной», в которой три
пространственные компоненты вектора равны нулю.
5. Следует отметить, что при геометрической интерпретации
преобразования Лоренца замечается стремление свести четырехмер-
четырехмерный мир к простому математическому приему, в котором время сво-
сводится к «однородной координате». В действительности же четырех-
четырехмерный мир нужно рассматривать как динамическое единство поня-
понятий пространства и времени, которые являются формами существо-
существования материи. Четырехмерный пространственно-временной мир
является динамическим единством, относительно которого формаль-
формально ньютоново трехмерное пространство представляет собой непол-
неполную, статическую проекцию. Это позволяет правильно объяснить
поведение микрочастиц, движущихся с очень большими скоростями.
Пространство — время носит абсолютный характер, а его деление
на пространство и время в области физических процессов, происхо-
происходящих со скоростями, сравнимыми со скоростью света, носит до
некоторой степени относительный характер. Так же как и в обыч-
обычной трехмерной геометрии, где выбор системы координат не влияет
12 В. Новаку
178 Гл. V. Релятивистская электродинамика
на геометрическую форму и на размеры тел, в четырехмерной гео-
геометрии Минковского выбор системы отсчета не влияет на простран-
пространственно-временную форму физических процессов; она остается абсо-
абсолютной для любой системы отсчета. Пространственная и временная
формы меняются, только когда они взяты раздельно. Так, относитель-
относительность одновременности некоторых пространственно изолированных
событий можно понять по аналогии с геометрией. А именно анало-
аналогично тому, как проекции двух различных точек на некоторую плос-
плоскость могут совпасть или остаются различными в зависимости от
выбора ориентации плоскости в пространстве, и временной интервал
между событиями, различными в пространственном отношении, как
проекция некоторого четырехмерного интервала, может варьиро-
варьировать в зависимости от выбора гиперповерхности, на которую его
проектируют.
2. Физическая интерпретация преобразования Лоренца. Физи-
Физический смысл преобразования Лоренца впервые был проанализиро-
проанализирован Эйнштейном.
Дифференцируя уравнения E.41), получаем
dx' = dx, dz' = a (dz — v dt),
л / j л/ f л. v , \ E.68)
dy =dy, dt^r'^t л-, \ \ /
Заметим, что в этих уравнениях дифференциалы можно заменить
конечными величинами, выражающими в соответствующей системе
отсчета меру пространственного или временного интервала, соответ-
соответствующего паре соседних физических событий.
Следовательно, при помощи этих уравнений можно сравнивать
эталоны длины и часы, связанные с двумя системами E) и E').
а) Лоренцево сокращение длины. Рассмотрим в системе E') стер-
стержень, находящийся в состоянии покоя и расположенный вдоль оси
Ozr. Координаты его концов z[ и zf2 не будут зависеть от f и длина
равна
В системе E) длина / стержня будет определена с учетом, что z{
и г2 суть функции t и что расстояние / между двумя концами стерж-
стержня нужно измерять в один и тот же момент, т. е.
поскольку эти положения не одновременны в (S'), постольку /
и /0 не равны между собой. В самом деле, из E.36) следует, что
г\ = a [z2 @ - vt], z; = а [zt (t) - vt];
§ 3. Преобразование Лоренца 179
поэтому
/0 = а/, E.69)
или
/ = /0A-Р2I/2, E.70)
что, впрочем, следует и из E.68), если учесть, что при dt = O имеем
dz'=adz. Следовательно, линейные размеры движущегося тела
сокращаются в направлении движения в 1/а = A — р2) Va раз.
Из эквивалентности систем отсчета немедленно следует тот же
вывод и в обратном случае.
Размеры отрезков, перпендикулярных направлению движения,,
остаются без изменения. Поэтому если тело, отнесенное к некоторой
системе координат, находящейся в относительном покое, есть сфера,
то в движущейся системе отсчета оно становится эллипсоидом вра-
вращения, сплющенным в направлении движения. Таким образом, тео-
теория относительности не допускает абсолютно инвариантных форм,
а допускает только относительные формы.
Получаем как следствие из уравнений преобразования сокраще-
сокращение Лоренца — Фитцджералда, которое в гипотезе Лоренца рассмат-
рассматривалось как изменение длины эталона в зависимости от скорости
его движения относительно неподвижного эфира, который считался
реально существующим.
Итак, пространственные интервалы проявляются как относи-
относительные с точки зрения их измерения в различных движущихся
системах, и лоренцево сокращение считается в принципе опреде-
определимым.
б) Увеличение промежутков времени. Из уравнений E.68) можно
прийти к аналогичным выводам и при сравнении показаний двух
часов, находящихся в относительном движении.
Рассмотрим сначала два события, происходящих в одной и той
же точке, но в различное время. В этом случае временной интервал
может быть измерен при помощи одних часов. Предположим, что
часы, связанные с системой (S'), измеряют отрезок времени А/' =
= t'2 — t[ между этими двумя событиями, происходящими в одной
и той же точке относительно системы (S'). Рассмотрим, каков будет
результат измерения того же отрезка времени при помощи часов,
связанных с системой E). Так как эти два события происходят
в одной и той же точке относительно (S'), то
E.71)
Подставляя этот результат в E.68), получаем
dt' = ~dt;
12
180 Гл. V. Релятивистская электродинамика
таким образом,
Д/ = аД/\ E.7Г)
где Д/ = ^2—h- Имеем, следовательно, At > ДГ, т. е. отрезок вре-
времени между двумя событиями, рассматриваемыми относительно
системы (S), кажется более продолжительным, чем если его рас-
рассматривать относительно движущейся системы (S').
Для эталонов времени, так же как и для эталонов длины, резуль-
результат симметричен относительно этих двух систем.
Итак, относительно покоящейся системы отсчета равномерно
перемещающиеся часы или осциллятор замедляются, причем степень
замедления зависит от относительной скорости перемещения.
Временные интервалы проявляются как относительные с точки зре-
зрения их измерения в различных движущихся системах отсчета.
Отметим, что подобно тому, как опыт Майкельсона — Морли
можцо рассматривать как непосредственную проверку сокращения
Лоренца, опыт Кеннеди — Торндайка можно рассматривать как
непосредственную проверку увеличения отрезков времени (см.
гл. IV, § 5).
Найденный выше результат может быть немедленно установлен
из фиг. 26. Пусть т' — период осциллятора (или колебательного
контура), покоящегося относительно системы (S') и движущегося
равномерно относительно системы (S).
Отнесенный к системе (S) период осциллятора будет [см. E.55)]
следующий:
т = х' cos у = —^-р- = ат'. E.72)
Такой осциллятор может быть осуществлен при помощи быстродви-
жущегося атома, излучающего монохроматическую спектральную
линию, например ионов водорода в каналовых лучах. Так, Айве
и Стилуэлл A938 г.) определили красное смещение спектральной
линии На, излученной движущимся атомом водорода, и пришли
к результатам, подтверждающим вышеприведенную формулу. В свою
очередь Разетти A941 г.) и Росси, сравнивая среднюю продолжитель-
продолжительность жизни нестабильных pt-мезонов в поглощающей среде, т. е.
практически покоящихся, и в космических лучах, при помощи
измерений поглощения обнаружили огромное увеличение среднего
времени жизни [л-мезонов:
т 7-10-5 сп
Отсюда при помощи соотношения E.72) можно получить ско-
скорость мезонов
50 у
§ 3. Преобразование Лоренца 181
Полученное значение согласуется с определениями энергии ^-мезо-
^-мезонов [13—15]. Только таким образом можно, впрочем, объяснить то,
что до поверхности Земли доходят pt-мезоны, время жизни которых
составляет т= 1,5«10~6 сек и которые, следовательно, образовав-
образовавшись на высоте 10—20 км, могли бы пролететь в атмосфере лишь
несколько сот метров.
в) Относительность одновременности. Рассмотрим два события,
происходящих в двух различных точках, и предположим, что
относительно системы (S) они происходят одновременно в точках
zi9 z2i т. е. ti = t2. Из уравнений E.41) следует, что относительно
системы (S') имеем
значит, t[ Ф t'2. А значит, два события, происходящих в двух раз-
различных точках Р{ и Р2 и одновременных относительно системы (S),
относительно движущейся равномерно системы (S') не являются
одновременными. В теории относительности одновременность, так
же как и длительность, рассматривается как относительное понятие;
это не означает, однако, что одновременность событий не всегда
носит объективный характер.
Итак, интерпретируя преобразования Лоренца на основе посту-
постулатов Эйнштейна, приходим к заключению, что длительность во
времени, так же как и пространственные интервалы, относительна.
В ньютоновой концепции, которая лежит в основе классической
физики, пространство и время считаются абсолютными рамками,
в которых развертываются физические явления. Так, понятие абсо-
абсолютного времени основано на утверждении, что часы можно перено-
переносить с места на место без изменения их хода. Следовательно, если
в пределах экспериментальных погрешностей показания двух часов,
находящихся в одном и том же месте, совпадают, то это совпадание
(синхронность) должно сохраниться и при любом расстоянии между
часами. Для синхронизации допускается дополнительно теорети-
теоретическая возможность мгновенно передавать сигналы на любое рас-
расстояние. Эти гипотезы лежали в основе понятия абсолютного и уни-
универсального времени. Естественно поэтому, что если мы отказы-
отказываемся допускать возможность мгновенного действия на расстоя-
расстоянии, то понятия абсолютного пространства и абсолютного времени
ньютоновой механики утрачивают свой физический смысл. В опре-
определении понятий пространства и времени нужно учитывать конеч-
конечную скорость распространения сигналов, что приводит нас к проти-
противоречию с классическими (ньютоновыми) понятиями пространства
и времени. Значение теории относительности именно и состоит в том,
что она вскрыла конкретные формы связи пространства и времени,
которые определены преобразованием Лоренца.
182 Гл. V. Релятивистская электродинамика
Выводы теории относительности, касающиеся относительности
пространственного интервала и временной продолжительности,
были извращены некоторыми физиками, попавшими под влияние
идеалистической философии, тормозящей развитие физических наук.
«Физический» идеализм махистского типа проявился в абсолютиза-
абсолютизации релятивизма и отрицании объективного характера движения,
пространства и времени. Такой релятивизм восхваляет феноменоло-
феноменологическое описание явлений и полностью отказывается от причинного
истолкования.
В этой связи полезно привести слова Зоммерфельда: «Вопрос,
является ли сокращение Лоренца «действительным» или «кажу-
«кажущимся», естественно считать столь же праздным, как и вопрос о том,
движется ли тело «в действительности». Столь же беспредметным
и произвольным является и различие между покоящейся и движу-
движущейся системами» [16].
Диалектический материализм рассматривает пространство
и время как формы существования материи. Так, Ф. Энгельс ([4],
стр. 550) указывает, что «...обе эти формы существования материи
без материи суть ничто, пустые представления, абстракции, суще-
существующие только в нашей голове». Пространство и время нераз-
неразрывно связаны с движущейся материей, так как они являются,
как указывал Энгельс [17], объективными формами ее существо-
существования: «...основные формы всякого бытия суть пространство
и время; бытие вне времени есть такая же величайшая бессмыслица,
как бытие вне пространства». Материальное единство мира,
неразрывная связь пространства и времени с движением материи,
определяет также их взаимную связь, которую теория относитель-
относительности конкретизирует, полностью подтверждая предпосылки диалек-
диалектического материализма.
Специальная теория относительности есть физическая теория
пространства и времени, т. е. теория пространственных и временных
связей между предметами и явлениями. Объективное содержание
этой теории можно понять, только отправляясь от того, что про-
пространственно-временные соотношения не существуют сами по себе,
а определяются при посредстве материальных связей между пред-
предметами и явлениями.
Классическая теория пространства и времени основывалась на
законах движения твердых тел и выражалась при помощи евклидо-
евклидовой геометрии и «классической» ньютоновой кинематики. Основными
понятиями были евклидово пространство и абсолютное время.
Исследование электромагнитных явлений в движущихся телах
привело к выводам, которые противоречат понятию абсолютного
времени. Понятие абсолютного времени оказалось не соответствую-
соответствующим экспериментальной действительности. Основным выводом
является закон постоянства скорости распространения электромаг-
§ 3. Преобразование Лоренца 183
нитных явлений, из которого следует существование универсаль-
универсального соотношения между пространственными и временными
величинами.
Основной вывод теории относительности состоит в установлении
взаимозависимости пространства и времени. Это означает, что разде-
разделение на пространство и время не имеет абсолютного характера.
Все «парадоксы», обсуждаемые физиками, возникают именно при
попытке отделить пространственную форму существования движу-
движущихся тел от временной формы. В геометрической интерпретации,
данной Минковским (§3, п. 1),этот факт выражается существова-
существованием четырехмерного инварианта (пространственно-временного
интервала) относительно преобразований Лоренца. Как мы увидим
в гл. VI, § 8, другим важным выводом является изменение массы
тел в зависимости от скорости и закон взаимозависимости массы
и энергии. Итак, материя не может быть сведена, как в ньютоновой
механике, к частицам, обладающим инвариантными массами.
Важно отметить, что принцип относительности не является про-
произвольным постулатом, его нужно рассматривать как закон приро-
природы, носящий объективный характер. Следовательно, ошибочна интер-
интерпретация принципа относительности как принципа «зависимости
явлений от точки зрения наблюдателя». Пространственная и вре-
временная форма физических процессов не результат выбора системы
отсчета, а объективная форма пространственно-временного суще-
существования. Теория относительности единым образом отображает как
абсолютное, так и относительное. Материалистическо-диалекти-
ческая концепция единства относительного и абсолютного, их особен-
особенностей и проявления в различных соотношениях противоположна
метафизической концепции, которая противопоставляет относитель-
относительное абсолютному, разрывая их объективное единство. Совершенно
ошибочно отождествлять пространство и время с четырехмерной
геометрией Минковского, которая фактически является только
замечательной интерпретацией, математической формой теории.
Не следует смешивать относительное и субъективное (неправиль-
(неправильно полагать, что только то, что абсолютно с физической точки зре-
зрения, может быть объективным), а, наоборот, следует выявлять
объективное единство абсолютного и относительного. В специальной
теории относительности основным является не принцип относитель-
относительности, а взаимозависимость между пространством, временем и дви-
движением, которая определяет особенность этой теории. Эта физи-
физическая теория, которая, как мы увидим, была подтверждена целым
рядом опытов, занимается реальными явлениями, а не «кажущи-
«кажущимися» эффектами. Содержание ее нельзя понять, если рассматривать
ее с идеалистической точки зрения или с точки зрения метафизи-
метафизического материализма. Выводы, к которым приводит специальная
теория относительности, являются новым блестящим доказатель-
181 Гл. V. Релятивистская электродинамика
ством правильности материалистическо-диалектических концепций
о мире. Следует отметить, что принцип зависимости свойств про-
пространства от материи был высказан в общей форме задолго до появ-
появления теории относительности гениальными создателями неевклидо-
неевклидовой геометрии русским Лобачевским и венгром Бойяи. Их можно
считать предшественниками этой физической теории, в которой
некоторые их тезисы приобретают конкретный характер.
§ 4. Преобразование векторных полей
В предыдущих параграфах мы изучали свойства преобразования
Лоренца, которое было выведено, исходя из постулата о постоянстве
скорости света, и показали, что оно эквивалентно вращению в четы-
четырехмерном пространстве Минковского. Мы видели также, что посту-
постулату относительности удовлетворяют уравнения Максвелла в силу
их ковариантности относительно преобразования Лоренца. Для до-
дополнения результатов, установленных в § 1, п. 1, остается вывести
конкретное выражение преобразования компонент 4-вектора и 6-век~
тора электромагнитного поля относительно специального преобразо-
преобразования Лоренца E.40). Это легко осуществить, если учесть общее
правило преобразования векторов и тензоров при вращении четы-
четырехмерного пространства, в которое следует подставить специаль-
специальные значения коэффициентов, определенных соотношением E.39).
Так, для компонент 4-вектора плотности тока имеем общее соот-
соотношение
Подставляя частные значения коэффициентов, получаем
o(ej,) E-73>
и для обратного преобразования
Аналогично для 6-вектора F^, учитывая общий закон пре-
преобразования антисимметричного тензора
*
§ 5. Релятивистское истолкование эффекта Допплера и аберрации света 185*
получаем с учетом частных значений коэффициентов
F'13 =
24 = Ct (F23 + /P/724> . E.74).
2 23 + «22^44^24 = « (F24 — /Р^2з) »
^34 = (^33^44 — «34^43) ^34 = ^34-
Следовательно, с учетом E.10)
'x = a(Ex-vBy)y
y = a(Ey-+vBx), E.75)
Мы рассматривали частный случай, когда система (S') движется
без ускорения в направлении оси Ох системы (S), но это ограничение
может быть отброшено, и под вектором v можно понимать скорость
Движения системы отсчета (S') в любом направлении относительно
неподвижной системы (S). В общем случае, обозначая индексами
|| и JL компоненты, соответственно параллельные и перпендикуляр-
перпендикулярные к направлению относительного движения, представленного век-
вектором v, получаем
В|'/ = Вц Е[| = Е||,
E.76)
Для случая v < с можно отбросить члены, содержащие с;
получим
Bf, = B|, Е(, = Ец E 76')
4-потенциал Ф^, преобразуется так же, как и 4-вектор плотности
тока:
(
А'у = Ау, V'=a(V-vAz).
§ 5. Релятивистское истолкование эффекта Допплера
и аберрации света
Рассмотрим плоскую монохроматическую световую волну, рас-
распространяющуюся в направлении п. Фазу волны можно записать
186 Гл. V. Релятивистская электродинамика
следующим образом:
Ф= — Ы + — г-п= — со^ + к-г.
с
Так как Ф — скаляр, то это выражение может быть только реляти-
релятивистским инвариантом, т. е. инвариантом относительно преобразо-
преобразования Лоренца. Если определить следующим образом четырехмер-
четырехмерный волновой вектор:
kt=^nt (/=1,2,3), ** = /", E.78)
который является нуль-вектором (изотропным вектором)
то фазу волны можно записать в следующей инвариантной форме:
O = ^V E.79)
Очевидно, фазу можно назвать пространственно-временной пуль-
пульсацией.
Если воспользоваться понятием 4-вектора &ц, то релятивистское
истолкование явления Допплера и явления аберрации света полу-
получится очень просто. Рассмотрим формулы преобразования компо-
компонент 4-вектора k^ при специальном преобразовании Лоренца:
E.so)
Из этих соотношений, учитывая определение E.78) и соотно-
соотношение co = 2nv, получаем
1. Соотношение E.81) выражает релятивистский закон пре-
преобразования частот, т. е. релятивистский эффект Допплера
l-p2)-1/2, E.83)
где через ф обозначен угол между вектором п и осью Ог.
Если р < 1, то это соотношение совпадает с классическим.
Релятивистский множитель A—р2)-1^, входящий в это соотноше-
соотношение, выражает явление увеличения промежутков времени.
Если направление скорости источника перпендикулярно к на-
направлению наблюдения, cos ср = 0 и получаем поперечный эффект
Допплера
v/ = v(l-P2)-1/2. E.84)
$ 5. Релятивистское истолкование эффекта Допплера и аберрации света 187
Если же источник движется в направлении наблюдения, cos ср = 1 и
v/ = v(l-p)(l-P2)-1/2. E.84')
Формулы E.84) и E.84') были экспериментально проверены соот-
соответственно Айвсом и Стилуэллом [18] и Оттингом [19], наблюдав-
наблюдавшими излучение параллельного пучка каналовых лучей, движу-
движущихся с одинаковой скоростью.
2. Соотношения E.82) дают релятивистское истолкование явле-
явлению аберрации. А именно в случае, когда направление светового
луча лежит в плоскости yOz, имеем
следовательно,
Эта формула существенно отличается от классической формулы
релятивистским множителем A—Р2I^.
Когда п[ = п3 = Оу ^=1, то
следовательно,
откуда получаем, что в классическом случае
tga = P или sin a = р.
ГЛАВА VI
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
Введение
Специальная теория относительности позволяет представить
уравнения микроскопического поля электронов, скорость которых
близка к скорости света, в более симметричном и едином виде.
Четырехмерной формулировкой основных уравнений теории элек-
электронов мы обязаны Минковскому. С учетом изложенного в предыду-
предыдущей главе эта формулировка вытекает естественным образом из ана-
аналогии между уравнениями Лоренца и уравнениями Максвелла
в пустом пространстве. Проблема ковариантности уравнений микро-
микроскопического поля ставит задачу отыскания группы более широкой,
чем группа Лоренца, для которой эти уравнения ковариантны.
Не входя в подробности этой проблемы, отметим, что Каннингхем
и Бейтман A910 г.) доказали, что наиболее общей группой является
группа конформных преобразований, оставляющая инвариантным
световой конус в многообразии Минковского.
Четырехмерная формулировка уравнений поля позволяет рас-
распространить все изложенное в гл. I на релятивистский случай и сде-
сделать важные уточнения в области классической теории Лоренца.
Мы будем изучать поле электрона, движущегося равномерно
и ускоренно, а также открытый Черенковым и Вавиловым эффект,
порожденный «сверхсветовым электроном», пользуясь методом, ука-
указанным Зоммерфельдомдля интегрирования четырехмерного уравне-
уравнения потенциалов.
Кроме того, мы будем заниматься проблемой обратного действия
микроскопического поля электрона на сам электрон, а также про-
проблемой массы электрона. Эти проблемы представляют особый инте-
интерес в свете современных исследований микроскопических полей,
которые по-новому трактуют соотношение между частицей и ее
полем.
§ 1. Ковариантность уравнений Максвелла — Лоренца.
4-вектор плотности силы
Уравнения Максвелла — Лоренца A.8), A.9) для микроскопи-
микроскопического поля можно немедленно переписать для четырехмерного
§ 1. Ковариантность уравнений Максвелла — Лоренца 189
случая, если учесть изложенное в гл. V, § 1, а также то, что эти
уравнения сходны по форме с уравнениями Максвелла для пустого
пространства.
Следовательно, обозначив 6-вектор микроскопического поля
через
или, иначе, 168
(faahifu\ \ Ьх Ьу. Ьг 1
V|4f
и определив 4-вектор плотности конвекционного тока соотноше-
соотношениями
получаем уравнения Максвелла — Лоренца в следующей форме:
/V F-4)
dxv
или в эквивалентной форме
dxv
F.5)
F 5')
где Ф^ есть 4-вектор потенциала, определенный соотношениями
E.5)-E.7), т. е.
v=l
^L = 0. F.7)
0X\JL
Ковариантность 4-вектора плотности тока может быть просто
установлена, если учесть инвариантность электрического заряда
и четырехмерного элемента объема
(dx) = dxi dx2 dxz dxk.
Обозначив через Дд заряд электронов, содержащихся в эле-
элементарном объеме (dx), получаем делением Дд на (dx) инвариант.
Умножая его на 4-вектор с компонентами
dxiy dx2, dxz, dXi
190 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
получаем также 4-вектор, являющийся вектором плотности тока
где q —обычная плотность заряда.
Легко видно, что 4-вектор плотности тока имеет то же направ-
направление, что и 4-вектор скорости
X\ dxo dxs dt \ dt , . ч tn rw
1с)<Г 'с> F9>
где т — собственное время, определенное соотношением E.67).
В самом деле, имеем соотношение
J = Q^U = QA-P2I/2U = QOU. F.10)
Легко проверить, что уравнение непрерывности может быть
записано следующим образом:
-|^ = 0, или ^fo%)_o FЛ(Г)
1. Умножая 4-вектор плотности тока на 6-вектор поля fV|1>
получаем 4-вектор, который имеет размерность силы на единицу
объема и называется плотностью силы
?v = /V/vn, F.11>
или
ki = /2/12 + /3/13 + /4/14»
&2 = /1/21 /з/гз + /4/24»
*3 = /|/з1 + /Уз2 +/V34, FЛ1/)
h = /1/41 + /2/42 + /3/43,
откуда следует
(ku k2, ?3) = Q(e + vxb). F.12)
Мы получили плотность силы Лоренца A.22). Компонента
h = jf(ve)=-L(vxkx + vyky+vzkz) F.12')
выражает с точностью до мнимого множителя работу, произве-
произведенную за единицу времени. Легко проверить, что с учетом
соотношений F.10) и F.11) имеем
u.k = 0. F.13)
Полная сила, действующая на конечный объем, содержащий
определенное распределение зарядов, будет
К= J kdy? F.14)
§ 1. Ковариантность уравнений Максвелла—Лоренца 191
где dv = dx dy dz. Но элемент трехмерного объема не является
инвариантом, он меняется из-за сокращения Лоренца; так, относи-
относительно специального преобразования Лоренца E.41) имеем
dv = dv<>(\- p2)V2== J_dt,0> F.15)
где dv° — элемент рассматриваемого трехмерного объема в системе
координат, относительно которой электрон неподвижен. Относитель-
Относительно этой системы, учитывая соотношения, задающие преобразо-
преобразование компонент 4-вектора [см. E.73)], имеем
ki = k°X9 k2 = koy9kz = ak°Z9kl = O. F.16)
Интегрируя с учетом F.15), получаем
КХ = ±К°Х, Ку = ±К°у, Кг = К*. F.17)
2. Рассмотрим электрон, движущийся в электромагнитном поле
Е, В. Электрон, который неподвижен относительно системы (S0),
будет двигаться равномерно со скоростью v относительно системы
(S). Следовательно, если относительно системы (S0) единственной
силой, действующей на электрон, который мы полагаем неподвиж-
неподвижным, будет
то, поскольку относительно системы (S) согласно E.75) имеем
E°x = a(Ex-vBy)9
E°y = a(Ey + vBx)9 F.18)
E°Z = EZ
или [см. E.76)]
xB),,,
FЛ8)
из F.17) автоматически получается выражение (E + vxB) силы
Лоренца.
Итак, для того чтобы из силы Лоренца составить 4-вектор,
ее следует умножить на а. А именно
:В) = аК; F.19)
соответствующая четвертая компонента будет
$ofc«?fo-/eiL(v.E). F.19')
192 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Согласно E.75), имеем также
B°v = a (fiB--?-?,), F.20)
следовательно,
§ 2. Поле электрона, движущегося равномерно
Относительно системы (S0), которая движется вместе с электро-
электроном, электрон находится в состоянии покоя, и, следовательно,
поле его носит электростатический характер:
где
Рассмотрим систему (S), относительно которой электрон движется
равномерно со скоростью v в направлении оси Oz\ согласно
соотношениям F.1), имеем
еу = ае°уу F.22)
Из соотношений F.20) также следует
fex= —a -fdy,
, = а 4, или Ь = а -г-х е°,
с с
F.23)
Согласно E.70), цмеем
X = Xq>
У = Уо, (б_24)
§ 3. Интегрирование дифференциального уравнения 4-потенциала 193
Полагая s(x, у, z) = ro(*o, Уо, z0), имеем
S* = *« + 0a + cAz2.
Следовательно,
_ е f х, у, z
ех, еУ9 ez- — a-^^-^ -3
b Ь - а
9 Оу> Ог- а
S3
ИЛИ
е=-а-г^— 4"» b=-а-^--Ц^-. F.26')
4яе0 s3 4я s3 v '
Таким образом, относительно неподвижной системы E) дви-
движущийся электрон, помимо электрического поля, обладает
и магнитным полем, напряженность которого равна
-^ , F.27)
где sin (г, v) = (х2 + y2)x^/s. Сравнивая это выражение с законом
Био — Савара, замечаем, что соотношение F.27) отличается только
релятивистской поправкой a = A — Р2)-л/2, которая будет второго
порядка относительно Р = vie. Явление сокращения Лоренца,
наблюдаемое у электрона, движущегося равномерно, а также его
поле получаются естественным образом из преобразования Лоренца
без вычислений, проведенных в гл. I, § 4. Это указывает на преиму-
преимущества применения специальной теории относительности для изу-
изучения свойств электрона.
Отметим, что только благодаря специальной теории относитель-
относительности ясно выражается тензорное единство электрического и маг-
магнитного полей в четырехмерном мире, которые могут быть разделены
только относительно частной системы отсчета.
В случае движущегося равномерно электрона поле, связанное
с электроном, движется вместе с ним, не «отделяясь» от электрона.
Таким образом, можно понять известный факт, что движущийся рав-
равномерно электрон не излучает энергии.
§ 3. Интегрирование дифференциального уравнения
4-потенциала
Как мы видели в § 1, поле движущегося электрона может
быть вычислено при помощи 4-потенциала, который удовлетворяет
уравнению [см. F.6)]
? Ф = - Hoi F.28)
при условии
194 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
0, F.29)
где ? — оператор Даламбера:
а V — четырехмерный оператор «набла», т. е. символический
4-вектор:
\дхх дх2 ' дх3 * d
Заметим, что с формальной точки зрения проблема четырехмер-
четырехмерного потенциала, определенного уравнением F.28), тождественна
проблеме трехмерного статического потенциала, заданного уравне-
уравнением Пуассона. Следовательно, для интегрирования F.28) можно
попытаться (как показал Зоммерфельд [1]) распространить на четы-
четырехмерный случай метод, использованный для решения уравнения
Пуассона (см. Тамм, стр. 64).
Рассмотрим в четырехмерном пространстве область (У), ограни-
ограниченную гиперсферой B) (трехмерная «поверхность»), для которой
п — внешняя нормаль; как и в трехмерном случае, имеем
J VOdQ= J (D-ndS. F.32)
{Ф°) B)
Формуле Грина соответствует аналогичная четырехмерная
формула
JJ(^^)S, F.33)
которая немедленно получается из соотношений
[ V(OW)dQ=
Пусть #v — координаты неподвижной точки наблюдения Pf
лежащей внутри области (У), и gv — координаты переменной
точки в области (У), лежащей на B), причем расстояние между
ними равно R:
t(-xvJ. F.34)
В трехмерном случае существенным при интегрировании урав-
уравнения Пуассона было применение формулы Грина, причем использо-
использовалось частное решение уравнения Лапласа вида i|)= Mr. Посту-
§ 3. Интегрирование дифференциального уравнения 4-потенциала 195
пая аналогично, легко проверить, что
есть решение уравнения
? ^ = 0. F.36)
Действительно, имеем
д ( 1 V 2 gv~~*v JLf_LV- — . ±-(г х)*
во всех точках области (Т), кроме особой точки R = 0, которую мы
исключаем, окружая ее гиперсферой B0) радиуса /?0- Отождествляя
Ф с одной из композит4-потенциала Ov, получаем из соотношений
F.33) равенство
Аналогично интеграл по гиперсфере B0) может быть записан
в более простой форме, если заметить, что нормаль совпадает с радиу-
радиусом и направлена к центру (находящемуся вне области интегриро-
интегрирования). Тогда
дп ~ OR J o$
Определим далее площадь гиперсферы (So); для этого введем
полярные координаты
It = Rcos6Ь h- Rsin0! sin02cosф,
g2= i? sin 0! cos 02, ?4 = #sin0sin0sin9 ^ ' '
В этом случае метрические коэффициенты (см., например,
[2, стр. 338J), определяемые из выражения для квадрата эле-
элемента длины в новых координатах
будут равны
Получаем
Ai=l, A2 = /?, A3 = /?sin01, A4 = ^sin0lSin02, F.40)
13*
196 Гл. VL Релятивистская теория электронов
и элемент четырехмерного объема будет равен
du = hxhjxbhk dR d0i dQ2 d<p = R3 sin2 9t sin 92 dR dQt dQ2 dq>. F.41)
Следовательно, «площадь» гиперсферы будет равна
F.42)
(t0) 0 0 0
Итак,
1Jm { 1-ш^р--ф^4-D2~^^= -4я2О\,(х). F.43)
Ко-И
В случае, когда мы предполагаем, что гиперповерхность (Б)
является гиперсферой бесконечно большого радиуса R—>co,
интеграл по поверхности обращается в нуль, и если источники
электричества находятся на конечном расстоянии, то с учетом
F.43) и F.28) равенство F.37) можно записать в виде
где (dQ = d?x d%2 dl3 d?4 — элемент четырехмерного объема.
Полученное соотношение аналогично решению уравнения Пуассона.
Однако в отличие от трехмерного случая, для которого потенциал
имеет особую точку (г = 0), в четырехмерном случае R2 обращается
в нуль на конической трехмерной гиперповерхности
R2 = r* + (U-xk)* = 0, F.45)
где г —трехмерное расстояние и ?4 = jcr, x4 = jet.
С другой стороны, в выражении интеграла F.44) величины /v
заданы только для запаздывающих значений т, предшествующих
моменту наблюдения / (г < f). Так, если / = 0, то т < 0; следова-
следовательно, ?4 ~ —]с \х\ и интегрирование по g4 будет осуществляться
не вдоль вещественной оси —оо < |4 < + °°» а вдоль пути (у),
получаемого из вещественной оси путем деформации. Путь интегри-
интегрирования проходит вдоль мнимой оси из —/ оо до точки, близкой
к началу координат, и затем обратно к —/ оо (фиг. 29).
Легко показать, что F.44) удовлетворяет и условиям F.29), если
учесть, что j удовлетворяет условию
Vj = O. F.46)
В самом деле, имеем
что в результате интегрирования по частям дает
§ 3. Интегрирование дифференциального уравнения 4-потенциала 197
Если известен потенциал, то поле вычисляется при помощи
компонент 6-вектора /^ из соотношения F.5'). С учетом F.44)
Мним, ось
Веществ, ось
Фиг. 29.
это соотношение принимает вид
ИЛИ
>_ ^о
да
F.47)
где (j X R)M,v==/n^v — /V?
торов, что эквивалентно
тензору.
n — векторное произведение двух 4-век-
шестивектору, или антисимметричному
1. Вычисление запаздывающих потенциалов. Потенциалы Лье-
нара — Вихерта. Интегральное представление F.44) компонент
4-потенциала может быть упрощено, если интегрировать либо по
U, либо по %i, ?2, lz.
В первом случае, как показал Герглотц [3], получаем запазды-
запаздывающие потенциалы (см., например, Тамм, стр. 448). Для интегри-
интегрирования по ?4 замечаем, что в комплексной плоскости, согласно
F.45), знаменатель R2 обращается в нуль в точках L, Z/, заданных
соотношением
х4-?4= ±/>, F.48)
198 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
которые являются полюсами подынтегрального выражения F.44).
В окрестности точки L(?4 = —\т + х4) имеем
Я2 = (*4 - ^4 - /Г) (Х4 -U + jr)** 2jr (*4 ~ ?4 - jr).
Применяя метод вычетов, интеграл можно вычислить, если выб-
выбрать в качестве контура вместо кривой (у) окружность вокруг точки
L и бесконечно удаленную окружность. Будем иметь
^4 _ )L
где ]ь — значение / в точке L. Мы учли, что окружность вокруг точки
L проходится в отрицательном направлении и что бесконечно удален-
удаленная точка вклада не дает. Следовательно, F.44) принимает вид
^d|idS2d|3. F-49)
Мы получили выражение для запаздывающего потенциала, так как
]L эквивалентно запаздывающему значению [j], ибо x=t— г Ic.
Заметим, что если вместо точки L рассматриваем точку
L'(?4 — /V + #4) и соответственно деформируем путь интегрирования
таким образом, чтобы он охватывал эту точку, то вместо выражения
F.49) получаем формулу опережающего потенциала.
При вычислении потенциалов поля одного электрона удобно
интегрировать F.44) сначала по ?ь ?2> ?з- По определению [см.
F.8)], для точечного электрона имеем
\ j dgi d\2 dU = e (v, jc) = - ^R, F.50)
где е — заряд электрона и
так как траектория электрона определена уравнениями
Ei = /i@. Ь = /2@. 6з = /з@. U-jet, F.52)
a R — радиус-вектор, проведенный от электрона к точке наблю-
наблюдения. Следовательно, уравнение F.44) может быть записано
в следующей форме:
Чтобы применить метод вычетов, нужно разложить R2 в ряд
в окрестности точки L; получаем
^)+.... F.54)
§ 3. Интегрирование дифференциального уравнения 4-потенциала 199
где
-Shi-я-(**>-?**• F-55)
следовательно,
Учитывая соотношения F.48) и F.51), имеем
)]. F.55')
JC
Следовательно, с учетом F.55) и F.55') интеграл F.53) можно
записать в виде
ф=—Щ|_ !*ь [ ^ > F.56)
что дает
F.57)
и*-т
или
Эти выражения известны под названием потенциалов Льенара — Ви-
херта [4, 5]. В выражениях F.57) и F.57') значения г и v как зна-
значения, связанные с электроном, измерены в определенный момент т,
предшествующий моменту наблюдения на интервал г/с. Эти потен-
потенциалы характерны для точенного электрона; они вычисляются
просто, если известны законы движения и траектория электрона.
Отметим, что потенциалы Льенара — Вихерта могут быть вычис-
вычислены непосредственно при помощи следующих рассуждений
(см. [6]). Рассмотрим 4-потенциал электрона, отнесенный к системе
координат, относительно которой электрон находится в состоянии
покоя:
ф? = ф; = ф; = о, oj = iv° = —i— —. F.58)
1 2 3 * 4 с 4яе0с r0 v '
Соответствующая скорость uv = dlv/dx будет задана соотноше-
соотношениями
и\ = и\ = и\ = 0, и\ = jc. F.59)
Заметив, что ^ — расстояние между электроном и фиксирован-
фиксированной точкой наблюдения —удовлетворяет условию
#2 ^ Г2 __ С2 (Т _ ty ^ 0> F.60)
200 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
имеем
#1 = /*, R2 = rV9 Rz*=rz, Rk = jr. F.61)
Следовательно, с учетом F.58) и F.59) можно получить соот-
соотношение
ф jjoi «fv. /6.62)
v 4я roc ' v r
где е> с и r0 —инварианты, причем г0 — расстояние до элек-
электрона, вычисленное относительно собственной системы отсчета.
Аналогично из F.59) и F.61) можно получить общее соотношение
roc= -2#vMv. F-63>
v
Из F.62) и F.63) при условии F.60) немедленно следует
потенциал Льенара — Вихерта в форме, данной Минковским,
Ov= ^eUv . F.64)
4Я 2 #v"v
v
Полученное выражение приводится к известному выражению
F.57), так как, если учесть E.67), мы имеем
[7
. dt . F65)
Следовательно,
2 ^v^v = tt (ГУ — ГС). F.66)
§ 4. Поле ускоренного точечного электрона
Для вычисления этого поля воспользуемся соотношением F.47).
А именно применим к интегралу метод, использованный в § 3, п. 1.
Интегрируя по |1э ?2> Ез и полагая электрон точечным, получаем,
согласно F.50), следующее равенство:
f — . еУо С (R х R))av .> ,
/nv— — 2я2 j R* ^4> V
где интеграл берется вдоль окружности, охватывающей точку
комплексной плоскости ?4 (см. фиг. 29). Для применения метода
вычетов можно разложить в ряд знаменатель с учетом, что мы имеем
полюс второго порядка. Можно записать вместо F.64) ряд
R* = 2т| (RR)L + г]2 (RR + RR)L + ..., F.68)
4. Поле ускоренного точечного электрона 201
где
т) = lk~lkL . F.69)
Следовательно,
& = 4Л2 (RR)i Г 1 + л RR + RR _ь /1 F.70)
L RR J
Кроме того,
.., F.71)
поскольку R x R = 0.
С учетом соотношений F.69) —F.71) интеграл F.67) прини-
принимает вид
2f _ */ф<>
При применении метода вычетов интерес представляет только
член, содержащий т]; следовательно,
)L RR J
откуда получаем
4sajgjo.rRxR.,(Rx^RR + RR1 . F.72)
4jt l (RRJ (RRK JL
Отметим, что это выражение поля может быть выведено
непосредственно без интегрирования из соотношения F.44) при
помощи F.5'), если учесть F.33) и F.40), а также
откуда
at rv
Кроме того, учитывая 2г4= — ?2> получаем
202
Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Следовательно,
Для вычисления выражения, стоящего в скобках, заметим,
что с учетом F.61) и F.51) имеем
R=-(v, /с), R = (-v, 0).
F.73)
Выражение поля удобно разделить на две части: поле скоро-
скорости и поле ускорения.
1°. Поле скорости представляет
собой поле электрона, движущегося
равномерно. Так как R = 0, имеем
2f==_?^0R><R
4я
RR
(RRK
Поскольку
Фиг. 30. RR=u2-c2,
RR= — (vr —rc) = rc(l —^-) ,
RxR=_(^ r* r> {'
\УХ Уу ^ ^
то с учетом определения F.1) получаем
\i0e у* vxro
4тг г#2 »-2
F.74)
F.75)
h Щ)е-У3
An a2
F.76)
с ==
4Я80
Y3
1 / v \ e Y3 1 /' v Л
где
Y = -
F.77)
1—-
и г о — единичный вектор направления г (от электрона к точке наблю-
наблюдения Р) в момент t — г1с, когда электрон находится в точке L
(фиг. 30).
Отметим, что в частном случае, когда электрон движется в на-
направлении оси Ог, выражения F.76) эквивалентны F.26). Они легко
преобразуются друг в друга, если учесть, что отличие между ними
§ 4. Поле ускоренного точечного электрона 203
состоит в том, что формула F.26) относится к моменту наблюдения tt
когда электрон находится в точке О, и LO = vt', где V = г 1с.
Заметим, что
г> = г'2 + (РгJ + 2r'$r cos 9';
следовательно,
где
теперь получим
J_ Уг_ _ A— р2M/2 J_ _ J_
гз a2 (l —р2)з 5з ~"a S3 *
2°. Поле ускорения получается, если в выражении F.72) опу-
опустить поле F.74):
rj^j*!L] F.78)
(RRJ (RRK
Так как
(rx r y rz jr\
RxR=- . . . , F.79)
\vx vy vz 0 J
с учетом F.75) получаем
F-80)
g == . I л? — \?3 J; I =
^4lt?n I C2A c3^ I
e v2 Г / v Л * •
= ^ \~ Y ( 1*0 ) rov — v .
4яе0 c2r L ' V c / J
Легко проверить, что для обоих полей F.76) и F.80) имеем
соотношение
Ь=-}гохе. F.81)
204 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
В случае поля ускорения, кроме того, имеем
e = cbxr0, ero = bro = O, |b| =— |e|, F.82)
с
т. е. выполняются условия, характерные для поперечного поля.
Отметим, что г0 указывает действительное положение электрона
в момент t — гIc.
1. Когда скорость электрона значительно меньше скорости света
(v < с)г электромагнитное поле ускоренного электрона на больших
расстояниях («волновая зона») может быть выражено приближенно
соотношениями
4я гс
F.83)
которые аналогичны полю излучения (из «волновой зоны») осцил-
осциллирующего диполя (см. Тамм, стр. 472).
2. При релятивистских скоростях, предполагая траекторию
электрона прямолинейной и, следовательно, скорость v и ускоре-
ускорение v электрона параллельными (продольное ускорение), имеем
v(rv) = v(rv);
следовательно,
(rxv)(rv) = (rxv)(rv). F.84)
Если учесть соотношение F.77) и привести в выражении
F.80) скобки к общему знаменателю, то в силу равенства F.84)
некоторые члены сократятся. Тогда для «волновой зоны» полу-
получаем более простые выражения
ь-
4я у сг* '
F.85)
гз -rv+r(rov)
4яе0 У cW
Выбирая систему сферических координат г, 9, ф так, чтобы на-
направление v совпадало с осью 9 = 0, получаем
iV = ucos9, vq= — i>sin9, уф = 0?
vr = v cos 9, vq = — v sin 9, уф = 0;
следовательно,
|rxv| = (rx у)ф, 6=^6Ф, е = ее.
§ 4. Поле ускоренного точечного электрона 205
Тогда F.85) можно записать в виде
sine ,n Rfiv
0*~~ 4ясг A — Р cos 6K» *е~ АлгосЧ A — р cos 9)* * ^ >
Эти выражения отличаются от выражения поля излучения осцил-
осциллирующего диполя релятивистским множителем A —13 cos 6).
Так как значения множителя p(t — r/c) и соответственно мно-
множителя е\ в F.85) отнесены к точке L, то они являются запаз-
запаздывающими значениями (см. Тамм, стр. 472). Выражение вектора
Умова — Пойнтинга имеет вид
Итак, максимальное излучение ускоренного электрона в отличие
от случая осциллирующего диполя не происходит в направлении
6 = я/2 и зависит от скорости электрона (от |3). Выражение F.87)
при малых р достигает максимума в направлении 9, заданном
соотношениями
а для р ^ 1 — в направлении 0:
Полученные выводы позволяют объяснить результаты опытов Кулен-
кампфа, который изучил направление распространения рентгенов-
рентгеновских лучей, получаемых при торможении электронов в чрезвычайно
тонких антикатодах. Преимуществом таких тонких антикатодов
является то, что в отличие от массивных образцов, в которых тормо-
торможение электронов происходит на «зигзагообразных» участках пути,
в этом случае электроны не успевают отклоняться от своего перво-
первоначального направления. Максимум интенсивности проходящих
рентгеновских лучей тем ближе к нормали к антикатоду, чем жестче
катодные лучи, т. е. чем больше скорости электронов.
3. При больших расстояниях в волновой зоне, согласно F.80),
имеем
v]
где ro = r/r указывает направление излучения, и все значения
величин, входящих в правую часть, должны быть измерены
н запаздывающий момент /— г(с.
206 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Интенсивность излучения в телесный угол do равна
следовательно,
Если мы хотим определить угловое распределение полного
излучения на протяжении всего движения, нужно проинтегриро-
проинтегрировать по /. Для этого заметим, что выражение, которое нужно
интегрировать, является функцией от t\ а именно
dt' у
Следовательно, полное излучение в элементарный телесный угол
dco равно
§ 5. Излучение системы точечных зарядов1)
В качестве примера использования выражений F.83) рассмот-
рассмотрим излучение света системой точечных электронов eki которые мы
предполагаем расположенными в окрестности некоторого центра О.
Пусть Ro — расстояние от точки О до точки наблюдения Р, в которой
вычисляется поле излучения, и R&— расстояния от электронов е^
до этой точки. Следовательно,
r, = R0-Rb F.88)
будет выражать смещение электрона ек относительно центра О.
Предположим, что смещения rk малы по сравнению с Ro и что
скорость электронов мала по сравнению со скоростью света:
|rh|«#0. vh€c. F.89)
Вместо запаздывающих времен электронов {t'k = t — Rk/c) введем
запаздывающее время центра инерции системы зарядов
Г = /-^-, F.90)
выразив входящие в F.83) величины как функции 7\ так что
имеем
F.91)
См. общий метод, предложенный Цицейкой [7].
§ 5. Излучение системы точечных зарядов 207
Таким образом, если ввести вектор Z дипольного момента
системы
Z=2>brk(r) F.92)
h
и обозначить через г0 единичный вектор направления Ro, ориен-
ориентированный от О к Р, можно записать
4я80е @ = -~ [ г0 х (г0 X Z) J ,
F.93)
Значения величин, стоящих в квадратных скобках, рассматри-
рассматриваются при запаздывающем времени T=t—R0/c центра инерции
системы.
Следовательно, в первом приближении излучение некоторой
системы электронов может быть представлено в волновой зоне
дипольным излучением.
1. Лучшее приближение получим, если учтем эффект запаздыва-
запаздывания, связанного с тем, что времена t'k не одинаковы для разных
зарядов. Тогда вместо F.92) имеем
2=2>Л(^)- F.92')
k
Разлагая в ряд функцию /? = |R0 — г| по степеням г и учитывая
формулу
получаем
R = R0-rr0. F.94)
Следовательно,
^ АЛ ^«-. F.95)
С V '
Очевидно, времена /& мало отличаются от Т, поэтому можно осу-
осуществить разложение в ряд:
rk(tk) = rk(T) + ik-?!f-. F.96)
Таким образом, F.92х) можно записать в виде
Z Z F.97)
208 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
где
S^) = PA) F.98)
F.99)
k
Вектор Zt тождествен F.92) и представляет собой диполь-
ный момент системы зарядов. Смысл второго члена правой части
уравнения F.97) выявляется после незначительных преобразо-
преобразований. А именно, учитывая соотношение
v (гг0) = ~-^г г (гг0) + ~ v (гг0) -1 г (vr0) =
~~ 2
можно записать
где
2 дТ V1 ¦()/ ~ 2 V о/ 2" V о/
У -^" г (гго) + Т (г X V) X Го,
есть магнитный момент системы [см. A.113)].
В силу соотношений F.93) к вектору Z2 можно добавить
произвольный вектор, пропорциональный единичному вектору
ro = Ro//?o, и при этом поля е и b не изменятся. Учитывая выра-
выражение квадрупольного момента1), замечаем, что если к вектору Z
г) Квадрупольный момент системы точечных зарядов ek, расположенных
на расстояниях г^ от центра О, определяется из разложения потенциала
V(R) в некоторой точке Р в ряд по степеням ^о— обратного расстояния ОР:
v (R)=isi^ i Ащ~ ~2"«дх~(ж)+т
i Ащ~ ~2"«дх~а(ж)+т
а а,
Здесь
есть дипольный момент системы, а тензор
ее квадрупольный момент.
§ 5. Излучение системы точечных зарядов 209
прибавить вектор — A/6^) го(д/дТ) ^, екг\, получаем
"Ж
4"m X
где выражение в квадратных скобках представляет собой произ-
произведение единичного вектора г0 на тензор квадрупольного момента
Pap, т. е. не что иное, как вектор рB). Следовательно,
Z2 = ^pB) + vm><ro- F-99')
Заменяя в соотношениях F.93) Z его значениями из F.98)
и F.99'), получаем соответствующее поле излучения
F.100)
2. В этом выражении основной эффект вызван первым чле-
членом, который содержит дипольный момент. Отметим, что выра-
выражение поля излучения системы точечных зарядов можно вывести
и исходя непосредственно (см. [8]) из выражения запаздываю-
запаздывающего потенциала F.49). А именно с учетом соотношения F.95)
для больших расстояний Ro > г можем записать
F.101)
Так как на больших расстояниях от системы зарядов можно счи-
считать волны плоскими, то, согласно F.82),
e = c(bxr0), b = VxA. F.102)
Выражение поля легко вычисляется, если заметить, что в пер-
первом приближении
А = -^
где Т = t — R0/c. Отбрасывая члены с Ro2 по сравнению с чле-
членом, пропорциональным R'1, имеем
14 В. Новаку
210 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
так как
Следовательно, получаем
b-^Axr0, e = (Axro)Xro. F.103)
В рассматриваемом случае выражение F.101) векторного
потенциала может быть записано следующим образом:
A = -?L ' Узд = ^, F.104)
где дипольный момент рA) рассматривается в запаздывающее
время
j./ гп ггр ± Rp гг0
с ее
Беря в первом приближении запаздывающее время Т центра инер-
инерции системы зарядов, получаем поле F.93), обусловленное диполь-
ным излучением системы. Справедливость и смысл этого приближе-
приближения вытекают из следующего простого рассуждения: если через а
обозначить порядок величины линейного размера рассматриваемой
системы, то время гго/с, которым мы пренебрегаем, будет порядка а/с.
Чтобы распределение зарядов не менялось заметно на протяжении
этого интервала времени, нужно, чтобы ale <С т или а < сх=Х (т ха-
характеризует порядок величины времени, в течение которого распре-
распределение зарядов меняется существенным образом и, очевидно,
совпадает с периодом излученной волны). Следовательно, размеры
системы должны быть малыми по сравнению с длиной излученных
волн. С другой стороны, так как т — alv и Х~ ca/v, из условия а < X
получаем, что v < с; следовательно, скорость частиц должна быть
малой по сравнению со скоростью распространения света.
3. В следующем приближении, учитывая, что запаздывающие
времена частиц t'k не тождественны запаздывающему времени Т
центра инерции системы зарядов О, и используя выражение F.96),
получаем для векторного потенциала А выражение, соответствую-
соответствующее вектору Z, определенному соотношениями F.97) — F.99').
Итак, мы получили квадрупольный эффект в выражении излуче-
излучения, определенного полем F.100).
4. Так как вектор Умова — Пойнтинга, соответствующий пло-
плоской волне, равен
Y = e0c3|b|2r0, F.105)
6. Эффект Черепкова 211
то интенсивность излучения системы зарядов в элементе телесного
угла do, т. е. энергия, излученная за единицу времени через
элемент площади dS==R2odo^ шара радиуса RQ1 будет
dj = e0c3|b|2^dco. F.106)
В случае дипольного излучения, учитывая соотношения F.93),
имеем
roXpa)]2d(o. F.107)
Вводя сферические координаты и замечая, что угол между г0
и рA) равен 6, a dco = sin0d9d(p, получаем
dj = -j^ (р<1)J sin3 G dQ Лр. F.108)
Следовательно, полная интенсивность излучения за единицу
времени равна
Я 2 Я
J = * A (pA)Jsin3ed9 [ 4ф==в^ F.109)
1бЯ280С3 „1 Vh^ ' J 6Л?0С3 V 7
о о
Если учитывать соотношение F.100), которое включает и эффект
квадрупольного излучения, то для полной интенсивности излу-
излучения получаем выражение
* = ik Г з^ (Ра)J + i (Р'2)J + зГз т2 ] F-1Ю)
При вычислении среднего значения dj по всем направлениям
мы учли, что в выражении квадрата магнитного поля все произве-
произведения разных членов из F.100) исчезают и остаются только их
квадраты.
§ 6. Эффект Черенкова
Согласно теории относительности скорость материальных частиц
не может превосходить скорости света в пустом пространстве (v < с).
С другой стороны, фазовая скорость света в среде с показателем
преломления п равна {сIn) < с. Следовательно, скорость движения
электрона в среде v может превосходить фазовую скорость и, т. е.
возможен случай
u<v<c. F.111)
В этом случае «сверхсветовой» электрон будет опережать во
время движения свое поле, которое «оторвется» от электрона, иными
словами, электрон будет излучать. Это излучение электрона, равно-
14*
212 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
мерно движущегося в диэлектрической среде со скоростью, боль-
большей чем соответствующая фазовая скорость света, было открыто
советским физиком Черенковым A934 г.) в лаборатории, руководи-
руководимой С. И. Вавиловым, и известно под названием эффекта Черен-
кова [9—12]1).
Фиг. 31.
Это явление представляет собой электромагнитный аналог волн
Маха, известных из акустики, которые порождаются телами, дви-
движущимися со сверхзвуковой скоростью. Таким образом, тело, летя-
летящее в атмосфере со скоростью v, большей скорости звука, оставляет
за собой волны, распространяющиеся по нормали к образующей
кругового конуса, угол раскрытия которого задан равенством sin 9=
— civ (где с — скорость звука).
Для оптического случая в 1904 г. (до появления теории относи-
относительности) Зоммерфельд [3] показал, что если электрон движется
в пустом пространстве со скоростью, «большей» чем скорость света,
то в силу того, что он испытывает торможение со стороны собствен-
собственного поля, он должен терять энергию в форме электромагнитных
волн. Так как впоследствии стало очевидным, что в пустом про-
пространстве такая скорость невозможна, работа Зоммерфельда была
забыта.
Классическая теория эффекта Черенкова была развита Таммом
и Франком (см. [14—16]) и количественно подтверждена наблю-
наблюдениями, проведенными Черенковым.
г) В отечественной литературе этот эффект часто называют эффектом
Вавилова — Черенкова.— Прим. ред.
§ 6, Эффект Черепкова 213
После появления работ Тамма и Франка стала ясной связь между
вычислениями Зоммерфельда и действительностью, причем полу-
полученные формулы становятся справедливыми, если считать с ско-
скоростью света в диэлектрической среде. Ниже мы будем следовать
методу Зоммерфельда, так как он органически связан с методом,
использованным нами в § 3 этой главы при интегрировании волновых
уравнений.
Рассмотрим электрон, движущийся с постоянной скоростью v
вдоль оси Oz в диэлектрической среде с показателем преломления
n=xJ/2 > 1. Предполагаем, что его скорость удовлетворяет условию
F.88).
Пусть О — положение электрона в момент /=0, которое мы
выбираем в качестве начала системы координат (фиг. 31). Вычис-
Вычислим поле электрона в произвольной точке Р (в момент /=0) с коор-
координатами
2 sin ф,
а F112)
х3= — г cos 9, v '
#4 = jet = 0.
Уравнение 4-потенциала имеет вид
?<D=-|*<J, F.113)
где, однако, в отличие от F.28) следует заменить скорость
света с фазовой скоростью света в рассматриваемой диэлектри-
диэлектрической среде и = с/п\ итак,
5S5S <6Л14>
поскольку
2 а2 _ ф а2 _ 1 а2 __ a2 /fi 1tA,v
П дх%~ ~~~& W~ и* dt* ~-~8И' ~dl2 • @.114 j
Вместо соотношений E.5) и F.3) будем иметь
. FЛ15)
Поступая так же, как и в § 3, для интегрирования уравнения
F.113) выберем частное решение уравнения
?^ = 0 F.116)
вида
214 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
где
R2 = (ti-xi)* + (t2-x2)* + ttz-xz)* + ±(t,-x,y. F.117)
Эта функция удовлетворяет уравнению F.116) всюду, за исклю-
исключением точки Q с координатами (|4, |2» ?з> Ы-
При помощи формулы Грина F.33) получаем результат, ана-
аналогичный F.44) с той лишь разницей, что ?4=- Jcx и xk = \ct
умножаются на 1//г, т. е.
Предполагая электрон точечным, после интегрирования по
г> ?з получаем
Ф1=ф2=0) o3=t^
Для интегрирования по |4 поступим, как и в § 3, заметив, что,
поскольку положение электрона задано только при т < 0, интеграл
будет браться вдоль контура (у), который обходит отрицательную
часть мнимой оси (см. фиг. 29). Интегрирование приведет нас
к результату, отличному от нуля, только если на этой полуоси
существуют точки, в которых знаменатель R2 обращается в нуль,
т. е. полюсы. Выбирая в качестве точки Q точку, в которой нахо-
находился электрон в предшествующий момент х < 0, имеем
|1 = 0, ?2 = 0, Ез = от<0, |4 = /ст. F.120)
С учетом F.117), F.112) и F.120) получаем условие равенства
R2 нулю:
здесь л:4 = 0, так как поле вычисляется в точке Р вмомент t= 0.
Решения этого уравнения имеют вид
T±==_^_rcoS0±f4-sin2eY/2l . F.122)
Следовательно, если
где
sin влг =-^ =-^- , F.123)
уравнение F.121) не имеет вещественных корней и, так как инте-
интеграл равен нулю, потенциалы будут равны 0. Таким образом,
§ 6. Эффект Черепкова
215
в пространстве, лежащем вне кругового конуса с углом раскрытия
0м, поле равно 0.
Напротив, если 9 < 0М, уравнение допускает два отрицательных
вещественных корня (так как v>u); следовательно, обе точки
Ми им. ось
Веществ ось
Фиг. 32.
R=0 лежат на отрицательной части мнимой оси ?4 (в отличие от слу-
случая, рассмотренного в § 3, когда корни R=0 имели разные знаки).
Тогда можно записать
Так как при интегрировании следует обходить полюсы в про-
противоположных направлениях, выберем лемнискатообразный кон-
контур, изображенный на фиг. 32. Применяя метод вычетов, полу-
получаем для полюса т = т+
[ d%4 ^ }с Г dx =
— 2ЯС
ПС / U2 . 2 гЛ-Vfl
= -—( —о— sm2e)
vr \ v2 J
Для полюса т = т- из-за противоположного направления обхода
получаем тот же результат. Следовательно, выражение потен-
потенциала в точке Р имеет вид
я"
I—si Э
F.124)
216
Гл. VI. Релятивистская теория электронов
ИЛИ
F.124')
где
l/2. F.125)
Эквипотенциальные поверхности имеют вид гиперболоидов вра-
вращения
z2 ~ у2 (х2 + у2) = const, F.126)
которые лежат внутри конуса
-z = Y(*a + 02I/a- F.127)
Потенциалы, а следовательно, и поле внутри этого конуса имеют
конечное и отличное от нуля значение, а на поверхности конуса
обращаются в бесконечность.
Фиг. 33.
До сих пор мы вычисляли потенциалы в момент ?=0, что при-
привело нас к мгновенной картине поля, порожденного электроном.
Чтобы учесть движение электрона, достаточно сделать подстановку
г—>г — vty
полагая, что точка О движется вдоль оси Oz или что точка наблю-
наблюдения Р совершает фиктивное движение в обратном направлении,
от Р' к Р" (фиг. 33). Итак, в точке Р' поле равно нулю, в точке Ро
поле достигает максимума и затем убывает по мере смещения
в направлении Р".
§ 6. Эффект Черепкова 217
Из F.124) находим
F.128)
Для вычисления поля воспользуемся соотношением
ЪА'=-ЪЪ* — пШР%. FЛ29)
Для электрического поля, определенного выражением
e=-A-VF,
получаем
F.130)
следовательно, для ^ = 0 можно записать
е= -ш-е-^г^-^п2
Электрическое поле совпадает по направлению с вектором
г (я, у, г) у имеющим составляющие (х, у, z — vt)y который со-
соединяет точку О, где находится электрон, с точкой наблюдения Р*
Вычисляя магнитное поле с помощью соотношения b = VxA,
получаем
F.131)
следовательно, можно записать
b = 4-p«2v°xe, F.131'}
С
где v° — единичный вектор скорости электрона. Силовые линии
магнитного поля представляют собой окружности, проведенные
вокруг траектории электрона, а вектор b направлен по касательной
к круговому сечению конуса F.127) в точке Ро.
218 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Направление излучения определено вектором Умова—Пойнтинга
Y = -J-exb.
Из выражений F.130) и F.131) видно, что вектор Y нормален к по-
поверхности конуса F.127), угол раскрытия которого определяется
формулой F.123). Излучаемый свет поляризован, так как электри-
электрический вектор лежит в плоскости, определенной направлением
движения электрона.
Количественное выражение излучения Черенкова наиболее
удобно получить путем разложения поля электрона в интегралы
Фурье. С этой целью мы будем пользоваться функцией Дирака, при
помощи которой плотность тока точечного электрона может быть
записана в виде
j = Qv, Q = eb(xN(yN(z-vt). F.132)
Разлагая в интеграл Фурье, имеем
i=
откуда следует
-f ОО +ОО
т. е. фурье-образ плотности тока имеет вид
и-~Ь{х)Ь{у)е^«М* F.133)
и является вектором, направленным по оси Ог, так же как и v.
Разлагая в интеграл Фурье векторный потенциал, получаем
/г' г——Л
А (го, /)^Л = 1 \ ej(otdt^ I ^^ dv\
—ОО
где г = г0 — г'. Заменив j его разложением в интеграл Фурье,
получаем
Affl (го) = -g- J dv' J da' J-^y-* & 1«™Ю -L J dt ef (ffl-ffl')'.
Интегрирование по t и по со' легко произвести, если заметить,
что последний интеграл равен 2л б (со — со'). Получаем
§ 6. Эффект Черепкова 219
На больших расстояниях от электрона, где вектор г' намного
.меньше г0, можно положить
и, следовательно,
с г0
Итак,
или, пренебрегая членами порядка 1/rJ, получаем окончательно
Обозначая угол между к и v через 0 и подставляя F.133)
в F.134), можно записать
* i(^z>-kz> cos о)
Так как в волновой зоне аналогично A.82)
то отсюда следует, что среднее значение вектора Умова—Пойн-
тинга равно
поскольку е и b взаимно-перпендикулярны. Следовательно, излу-
излученная в интервале частот dco энергия будет равна
SIS*1
В полученное выражение входит интеграл
Поэтому для направления cos6 = c/na получим бесконечность
220 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Если же рассмотреть излучение электрона на конечном от-
отрезке 21 траектории, то вместо этого интеграла можно записать
интеграл
V
Таким образом, в выражение 6W войдет интеграл
^ l> : <; d(cos6)-
Так как дробь в подынтегральном выражении имеет четко вы-
выраженный максимум (типа б-функции) при cos0 = c/nv> то для
медленно меняющейся функции sin20 удобно использовать это
значение, записав
-¦
— oo
Следовательно, потери энергии на единицу длины траектории
равны
Ш е* f /1 с2
^1
Это выражение» было впервые получено Таммом и Франком. Оче-
Очевидно, излучение направлено перпендикулярно конической поверх-
поверхности, образующей с направлением движения электрона угол 6^,
который определен соотношением F.123). Если электрон внезапно
остановить, то коническая волна будет свободно распространяться
дальше сквозь диэлектрическую среду.
Изложенная теория, построенная на феноменологической
основе, хотя и выявляет характерные особенности излучения «сверх-
«сверхсветового» электрона, обнаруженного Черенковым, но не доста-
достаточно строга. Самое сильное возражение, которое можно привести
против нее, состоит в том, что при вычислении полной излученной
энергии получаем бесконечную величину, что резко противоречит
экспериментальным результатам. Это связано как с точечностью
электрона, так главным образом и с тем, что показатель преломле-
§ 7. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса 221
ния среды п предполагался постоянным, что не соответствует дей-
действительности. Из опыта следует, что спектр излучения обрывается
на определенной частоте, а именно при той, выше которой п начи-
начинает быстро убывать. Следовательно, проведенные выше вычисления
следует дополнить, учитывая дисперсию диэлектрической среды.
Для этого нужно разложить поле излучения в интеграл Фурье
и каждой составляющей придать соответствующий показатель
преломления п (со). При этом можно показать, что эффект Черенкова
обусловливают в основном компоненты Фурье из видимой части
спектра, и в создании его почти не участвуют компоненты, соот-
соответствующие ультрафиолетовому спектру1). Следовательно, можно
сказать, что эффект Черенкова делает электрон видимым, хотя
такая характеристика соответствует скорее явлению излучения
электронов, ускоренных в бетатронах и синхротронах (последнее
известно под названием «светящегося» электрона [17]). Это очень
слабое видимое излучение Черенкова можно наблюдать, пропуская
через жидкости или твердые тела с большим показателем преломле-
преломления (например, циклогексан, для которого п= 1,4367, или тонкие
коллоидные слои) даже электроны, возникающие за счет комптон-
и фотоэффекта от у-излучения радиоактивных препаратов. На про-
протяжении почти тридцати лет, прошедших после открытия и объяс-
объяснения эффекта Черенкова, это явление было предметом многочис-
многочисленных теоретических и экспериментальных исследований, и стало
широко применяться в физике2).
§ 7. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса
микроскопического поля
По аналогии с трехмерным случаем (см. гл. I, § 3) четырехмер-
четырехмерное выражение плотности лоренцевой силы F.11) может быть дано
в виде четырехмерной дивергенции некоторого четырехмерного тен-
тензора второго порядка ^v» а именно
*v = /Vv,x==-^. F.135)
Для доказательства этого тождества воспользуемся первым урав-
уравнением Максвелла — Лоренца F.4). Так, подставляя j^, получаем
F.136)
г) Для справок см. [18].
2) Интересующимся этим вопросом рекомендуем прочитать обзор
Б. М. Болотовского [Успехи физич. наук, 62, вып. 3, 201 A957);
75, вып. 2, 295 A961)] и книгу Дж. Д ж е л л и, Черенковское излучение,
ИЛ, I960.— Прим. ред.
222 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Это выражение может быть записано следующим образом:
*v - дхх
Меняя порядок суммирования и принимая во внимание, что оба
тензора антисимметричны, получаем
-^- . (O. lot)*
Учитывая равенство
находим, что второй член равенства F.137) можно записать
в следующем виде:
^ ~ ^^а^Г '
где мы учли также второе уравнение Максвелла — Лоренца F.5).
Следовательно, F.137) можно записать в виде
^ т$ <6Л38>
Пользуясь инвариантом
<^o = |gax/ax = y [frolbl2-eo|e|2] , F.139)
можно легко проверить, что
где 6v^==0, если v Ф X, и 6V^=1, если v = X,. Следовательно,
ЪГу. ^o). F.140)
Сравнение F.140) с F.135) дает
tvx=gij»v + bvx%o. F.141)
Полученный тензор называется микроскопическим тензором
энергии-импульса. Очевидно, это симметричный тензор второго
ранга, так как между тензорами g^ и /^ существует соотношение
пропорциональности F.1), т. е.
^ = ~/xn/nv + 4J^evx/ax/aT. F.14Г)
С учетом выражения шестивектора fk[L [см. F.2)] можно выяс-
выяснить конкретный физический смысл тензора tvx в зависимости
§ 7. Максвеллов с кие натяжения и тензор энергии-импульса 223
от величин микроскопического поля. Так, легко проверить, что
он имеет 9 пространственных компонент tih вида
совпадающих с компонентами максвелловского тензора натяжений
микроскопического поля [см. A.21)], а также 6 пространственно-
временных компонент вида
/ У /А v и\ У v(.m> — //vf(m)
*z4 — \*~ '^ *^) i — —•— • § | — — /L/M.J ,
JXqC С
выражающих компоненты плотности импульса микроскопического
поля A.20), и вида
представляющих собой компоненты вектора Умова — Пойнтинга
микроскопического поля A.17). И, наконец, компоненту
М-о1
которая суть плотность энергии микроскопического поля. Сле-
Следовательно, микроскопический тензор энергии-импульса имеет вид
4. ( hk —1С
откуда следует его важное физическое значение.
Отметим, что трехмерный тензор натяжений tik сам по себе не
представляет физическую величину, так как, согласно тео-
теории относительности, его следует дополнить энергией, импульсом
и вектором Умова — Пойнтинга для того, чтобы он обрел тензор-
тензорную ковариантность.
Чтобы уточнить физический смысл компонент тензора tvif
отметим, что уравнение F.135) выражает закон сохранения энергии
и импульса микроскопического поля. В самом деле, последнее урав-
уравнение (v=4) может быть записано и следующим образом:
w> + -!^= -i-divY™ + -p- , F.143)
С
или с учетом соотношения F.12) получаем
(v.e) = 0: F.144)
224 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
интегрирование по всему пространству дает
)A; = 0. F.144')
Это уравнение совпадает с уравнением A.16).
Первое уравнение (v=l) F.135) может быть записано в виде
-y-j^, F.145)
или
и д*хх , dtyx . dtzx I dY<m>
Кроме того, имеем еще два аналогичных уравнения (v = 2, 3).
Интегрируя по всему пространству, получаем
F.146)
Эти уравнения совпадают с уравнениями A.18). Релятивистская
интерпретация закона сохранения импульса и энергии F.135), кото-
которой мы обязаны Минковскому, приводит к новой точке зрения:
в любой системе координат, в которой справедлив закон сохранения
энергии, справедлив также и закон сохранения импульса. Эти два
закона проявляются эквивалентно в описании явлений природы.
Так как, согласно F.144), Y<m) представляет собой поток энергии,
величины tik, согласно F.145), можно рассматривать как поток
импульса; таким образом, максвелловские натяжения, которые
раньше имели преимущественно формальное значение, приобретают,
согласно Планку, конкретный физический смысл. Интерпретация
уравнения F.145') состоит в том, что сила Лоренца, действующая
на единицу объема в пустом пространстве, не может быть уравно-
уравновешена упругими максвелловскими натяжениями без учета сопро-
сопротивления, обусловленного инерцией поля, т. е. без учета вариации
импульса микроскопического поля. Таким образом, оправдано
отождествление компонент tu микроскопического тензора энер-
энергии-импульса с компонентами импульса микроскопического поля.
Отметим, что симметрия микроскопического тензора энергии-
импульса следует из соотношения
g<™> = JLY(™\ F.147)
связывающего импульс микроскопического поля с соответствую-
соответствующим вектором Умова — Пойнтинга; она носит частный характер
и характерна для максвелловского поля в пустом пространстве.
§ 8, Релятивистская динамика материальной точки 225
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки.
4-вектор импульса-энергии
Ниже мы исследуем вкратце вопрос, как нужно изменить урав-
уравнения классической механики, чтобы их можно было бы записать
в релятивистско-инвариантной форме. С этой целью начнем с опре-
определения основных понятий: масса, импульс и энергия, учитывая
три закона сохранения. Относительно этих законов отметим, что
в классической механике в отличие от закона сохранения массы,
относящегося к каждому телу в отдельности, законы сохранения
импульса и энергии относятся к изолированным системам тел.
Как показал Минковский, в случае материальной точки четырех-
четырехмерный импульс можно определить как вектор, параллельный соот-
соответствующей 4-скорости
"ix = ^, «ii = a(v, jc), F.148)
при помощи соотношения
Pn^nioUv., F.149)
где т0 — коэффициент пропорциональности, соответствующий рас-
рассматриваемому движущемуся телу, который для того, чтобы рц
был 4-вектором, должен быть скалярной величиной. Следовательно,
компоненты четырехмерного импульса будут
ph = moavk, р4 = jmoac4 F.150)
Следовательно, так же как в классической механике, простран-
пространственные компоненты 4-импульса ри пропорциональны компонентам
vk скорости (трехмерной). Коэффициент пропорциональности
т = тоа = т0 A - p2)-V2 F.151)
должен играть роль, аналогичную роли массы частицы в классиче-
классической механике. Так как т0 — постоянная величина, из F.151) сле-
следует, что масса т имеет различную величину по отношению к раз-
разным инерциальным системам отсчета. В частности, относительно
собственной системы отсчета, в которой v=0, имеем т=т0, поэтому
т0 называется массой покоя частицы.
1. Изменение массы со скоростью является непосредственным
следствием формулировки закона сохранения импульса в реляти-
релятивистской форме.
Чтобы проиллюстрировать этот факт, рассмотрим простейший
случай упругого столкновения двух одинаковых точечных частиц.
Будем предполагать, что взаимодействие между ними сущест-
существует только в момент столкновения, т. е. что они до столкновения
и после столкновения перемещаются свободно. Предположим для
15 В. Новаку
226 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
простоты, что движение происходит параллельно оси Ог. Будем
также предполагать, что относительно системы отсчета (S') центр
массы системы находится в покое, т. е. столкновение симметрично,
и скорости частиц до столкновения равны соответственно +#'
и —и'. Относительно системы E), равномерно движущейся в напра-
направлении Ог' со скоростью и, столкновение уже не будет симметрично.
Согласно E.59), скорости частиц будут следующие:
F'152>
Поэтому относительно системы (S) закон сохранения массы
и импульса записывается следующим образом:
FЛ53)
где М — приведенная масса в момент столкновения, а и —ско-
—скорость центра массы. Исключая М из соотношений F.153), в кото-
которые мы подставили выражения F.152), получаем
тх _ l + u'v/c* _ ( \-иЦс* у/а
т2 — i — u'v/c* ^ V. 1—^2/^2 ) •
Очевидно, нужно допустить справедливость закона изменения массы
со скоростью, выраженного соотношением F.151).
Отметим, что этот пример, приведенный по Толмену [19], пред-
представляет собой идеализированный случай, далекий от действитель-
действительности, так как речь идет о взаимодействии между двумя материаль-
материальными частицами, и, следовательно, для полного описания процесса
нужно было бы учитывать силовое поле, при посредстве которого
передается импульс и энергия от одной частицы к другой. Полный
импульс двух изолированных частиц в заданный момент не имеет
смысла с точки зрения теории относительности. Каждая частица
сохраняет импульс вместе с полем, действующим на нее.
.2. Релятивистская форма закона сохранения импульса требует
сохранения не только трех пространственных, но и временной
компоненты.
Так, для изолированной частицы имеем
рь = const И р4= const. F.154)
С учетом соотношения F.150) из приведенных выше условий следует,
что собственная масса изолированной частицы постоянна, если
принимать во внимание экспериментальный факт, что изолирован-
изолированная частица всегда движется с постоянной скоростью.
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 227
Для физической интерпретации временной компоненты 4-им-
пульса заменим определение Минковского 4-скорости следующим:
' О- FЛ55)
а определение 4-импульса —определением
Ра = т0с2и^ = moa (cv, jc2), F.156)
где, поскольку т0с2—скалярная величина, рд — 4-вектор. Отме-
Отметим, что различие определений F.148), F.149) и F.155), F.156)
состоит в том, что в последние входит с в качестве множителя;
если использоватьсистему единиц, в которой с= 1, как принято в тео-
теории относительности, эти два определения совпали бы.
Рассмотрим изменение во времени временной компоненты 4-им-
4-импульса
Получаем соотношение
^ ;v <*(mv) ^ ;v
l dt '
^ v ^ v
dt ' l dt ' dt '
которое можно истолковать при помощи уравнений движения
классической механики, а именно имеем
F _ dp F __ dp
г " dt ' rv~v dt •
Последнее соотношение выражает изменение работы. Следо-
Следовательно, если учитывать закон сохранения энергии, то отно-
относительно выбранной системы отсчета имеем
~^ = i^j-> откуда р4 = /В7 + const. F.157)
Постоянную, входящую в это соотношение, можно положить рав-
равной 0, так как энергия проявляется только тогда, когда имеется
изменение энергии; поэтому
Р4 = /W- F.158)
Учитывая определение F.156), получаем важное соотношение
U7 = mc2 = m0c2(l-PT1/2, F.159)
которое, очевидно, обусловлено законом сохранения энергии.
Соотношение F.159) было получено Эйнштейном. Оно устанавли-
устанавливает взаимозависимость между энергией некоторой частицы, опре-
определенной через работу, и массой или инерцией частицы, измеренной
15*
228 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
при помощи ее импульса при заданной скорости. Согласно соотно-
соотношению Эйнштейна, когда существует масса, то всегда существует
и энергия. Заметим, что ни масса, ни энергия не являются реляти-
релятивистскими инвариантами.
Обращаясь вновь к определению F.149) 4-импульса, получаем
из соотношения F.158) интерпретацию временной компоненты.
А именно из сравнения F.156) с F.150) следует
p^-Lw. F.160)
Поэтому 4-импульс обычно называется 4-вектором энергии-импуль-
энергии-импульса. Учитывая соотношения F.150), F.151) и F.160), находим, что
выражение
mW—?L=-my F.161)
есть релятивистский инвариант. Для специального преобразования
Лоренца получаем
или
р; = а(рз+|№), \Г = а(№-Eср3). F.162)
Из этих соотношений следует, что любой перенос энергии влечет
за собой и перенос массы и импульса.
3. Возвращаясь к случаю упругого столкновения двух частиц,
из соотношения F.153) с учетом F.151) и F.153') можно вычислить
массу М в момент столкновения. Имеем
Отсюда следует, что М больше, чем
-1/2
»
т. е. больше, чем должна была бы быть общая масса системы двух
частиц с массой покоя /п0, которые движутся со скоростью v
(скорость центра массы). Это увеличение массы соответствует воз-
возрастанию энергии этих двух частиц в момент столкновения. Сле-
Следовательно, в теории относительности различие между упругими
и неупругими столкновениями исчезает, если мы ограничиваемся
первым этапом столкновения; после столкновения возрастание энер-
энергии будет проявляться в виде кинетической энергии обеих частиц.
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 229
4. При определении 4-вектора энергии-импульса можно исходить
из определения 4-вектора плотности силы Лоренца F.11), допу-
допуская справедливость принципов сохранения энергии и импульса.
Рассмотрим тело, несущее электрические заряды. Будем пред-
предполагать, что в промежуток времени At=t2—1{ на него действует
электромагнитное поле. В силу действия силы Лоренца импульс
и энергия тела будут претерпевать изменения:
н
Apt = \ dt [ Udv 4
i 4 ]c
Так как элемент четырехмерного объема есть инвариант, a k^—
4-вектор, то отсюда следует, что и Арь (j/c) AW образует 4-вектор.
Следовательно, и конечные величины pi9 p2, Рз, (j/c)W, относящиеся
к мгновенному состоянию тела, также являются компонентами
4-вектора.
1. Релятивистское уравнение движения материальной точки.
Уравнение движения материальной точки в четырехмерном слу-
случае может быть записано при помощи обобщения теоремы импульса
где 4-вектор /, называемый силой Минковского, аналогичен плот-
плотности силы к Лоренца F.11). Это уравнение эквивалентно урав-
нию Ньютона
F = ^. F.163')
А именно если учитывать F.150) и F.151), то первые три уравнения,
в которые входят пространственные компоненты, совпадают с урав-
нием F.163') при условии
U = aFx, f2 = aFyt h = aFz, F.164)
а последнее уравнение (v = 4) может быть записано в следующем
виде:
dx st )- F.165)
Чтобы найти смысл компоненты /4> умножим уравнения
U-m^ F.166)
230 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
на соответствующие компоненты uv и сложим их. При этом по-
получим
fvKv = mouv ^^^^(uvuy). F.167)
С учетом F.148) получаем
uviiv = a2{v2-c2) = -с2\ F.168)
следовательно,
0. F.169)
Из этого соотношения следует, что сила Минковского пер-
перпендикулярна мировой линии материальной точки. Значение
компоненты /4 получается из F.169):
f4 = 4a(F-v). F.170)
Поэтому уравнение F.165) может быть записано следующим
образом:
= 4(mc2)- FЛ65'>
Сравнивая это уравнение с уравнением классической механики
F-v=--4r' FЛ63">
где Т = mv2/2 — кинетическая энергия частицы, находим, что они
совпадают, если кинетическая энергия определена соотношением
7 = тса +const. F.171)
Так как при v-^О имеем Т = 0, то отсюда следует, что эта
постоянная равна— пгос2.
Так как релятивистские уравнения движения материальной
точки F.163) представляют собой обобщение ньютоновых уравнений
F.163') и F.163"),то, когда скорость v мала, т. е. ji < 1, или в пре-
предельном случае, когда с—>оо, т. е. ^-—^0, они должны сводиться
к последним. Поскольку в этих случаях а—>1, то из F.164)
и F.165), а также из разложений в ряд
m = апг°= /1 IW i
A~Р) F.172)
Г - (а- 1) 2 |р2с2+
-г ... — 2
немедленно следует, что это условие выполнено, и мы получаем
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 231
Итак, уравнения движения материальной точки могут быть
записаны в четырехмерной ковариантной форме F.166) при помощи
4-вектора импульса F.150) при условии, что вместо инвариантной
массы ньютоновой механики пользуемся переменной массой, меняю-
меняющейся согласно F.151), и считаем, что кинетическая энергия опре-
определяется соотношением F.171), а 4-вектор силы — соотношениями
F.164), F.170).
В отличие от ньютоновой механики, в которой масса материаль-
материальной точки дюжет быть формально определена как отношение силы
к ускорению, в релятивистской механике она может быть формаль-
формально определена как отношение количества движения или импульса
к скорости.
Это определение более удобно, так как, если считать, что масса
есть отношение силы к ускорению, можно легко проверить, что
в релятивистской механике это отношение имеет разные значения
в зависимости от того, будет ли сила параллельна или перпендику-
перпендикулярна направлению движения. Таким образом, мы приходим к неже-
нежелательной необходимости различать продольную и поперечную
массы [в случае электронов см. A.70) и A.71)], которые изменяются
со скоростью. Применение релятивистских уравнений движения
к электрону позволяет легко получить результаты, найденные Ло-
Лоренцем для случая деформируемого электрона; эти результаты
были проверены экспериментально. Согласно теории относительно-
относительности, закон изменения массы F.151) является общим свойством
всех тел.
2. Закон эквивалентности массы и энергии. В теории относи-
относительности, помимо массы т движущегося тела, определяется и
масса покоя т0 и аналогично, помимо энергии W движущегося
тела, определяется энергия покоя Wo. Учитывая F.159), получаем
соотношение, выведенное впервые Эйнштейном [20],
W0 = m0c2 и W = mc\ F.173)
или
то = ^. F.173')
Это соотношение, устанавливающее закон эквивалентности массы
и энергии, выражает самый важный результат специальной теории
относител ьности.
1. Соотношение W=mc2, как показал С. И. Вавилов, предста-
представляет собой обобщение соотношения, установленного П. Н. Лебе-
Лебедевым в результате опытов по измерению давления света. А именно,
согласно электромагнитной теории света, давление света на неко-
некоторую поверхность за единицу времени равно Wlc, где W —энер-
232 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
гия световой волны. Если записать, что давление света равно изме-
изменению импульса тс, т. е. что тс = W/c> то получаем вышезаписанное
соотношение, устанавливающее, что поток света обладает «элек-
«электромагнитной энергией», т. е. массой, тесно связанной со световой
энергией.
Общность выражения F.173) дает возможность по-новому рас-
рассматривать массу покоя тел, которая определяется как мера инер-
инерции тела. А именно масса любого тела тесно связана с его энергией.
Планк предложил считать эту связь основным законом природы и
дал следующую формулировку:
«Каждой замкнутой системе, обладающей энергией покоя, соот-
соответствует, согласно соотношению Эйнштейна, одновременно и
инертная масса покоя».
В интерпретации, данной Ланжевеном A913 г.), записав
&W = с2Дт, можно сказать, что любому заданному изменению
энергии некоторого тела соответствует вполне определенное одно-
одновременное изменение его массы. Следовательно, определенное коли-
количество энергии любого вида связано с вполне определенным коли-
количеством массы.
В классической физике нельзя говорить о зависимости между
массой тела и энергией, содержащейся в этом теле. Так, когда
энергия тела возрастала, поскольку, согласно концепции Ньютона,
тело являлось простым реципиентом последней, масса оставалась
«индиферентной» к этим изменениям энергии. Энергия рассматри-
рассматривалась как нечто самостоятельное и воспринималась как нечто суще-
существующее отдельно от материальных предметов. Новый закон, кото-
который выражает неразрывную связь между массой и энергией, делает
невозможным такие выводы, ибо любая энергия должна быть свя-
связана с материальным предметом.
Вскрывая эквивалентность массы и энергии, соотношение Эйн-
Эйнштейна составляет большое завоевание науки, играя фундаменталь-
фундаментальную роль в современной физике. Оно позволило объяснить целый
ряд экспериментальных фактов (дефект массы при ядерных реак-
реакциях, явление аннигиляции пары электрон — позитрон с образо-
образованием фотонов), открыло возможность глубокого исследования
преобразования элементов и создало теоретическую основу исполь-
использования ядерной энергии.
Соотношение между массой и энергией имеет особое философское
и теоретическое значение. Это соотношение следует рассматривать
как выражение глубокой взаимозависимости между основными
физическими свойствами материи: массы, определенной как мера
инерции относительно различных видов движения, являющегося
общим свойством материи, и энергии, определенной как мера
движения разных видов материи. Открытие этого закона еще раз
подтверждает основной тезис диалектического материализма: не
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки
233
существует движения без материи, так же как не существует мате-
материи без движения.
2. Что касается соотношения между кинетической энергией
и количеством движения, отметим, что его можно рассматривать
и с другой точки зрения, а именно исходя из хорошо известного
в классической аналитической механике определения количества
движения как производной кинетической энергии по скорости. Так,
в случае материальной точки имеем А $
F.174)
d*k
где
F.175)
А
1
I
в
0 0
1
I
Фиг. 34.
Это соотношение несправедливо в ре-
релятивистской механике, так как кине-
кинетическая энергия определяется соотношением F.171). Но, опре-
определяя «кинетический потенциал» соотношением
К = тос2 [1 - A -Р2I/2], F.176)
можно, как это легко проверить, сохранить соотношение F.174),
если заменить Т на К и учесть F.150).
3. Закон взаимозависимости массы и энергии является общим
законом природы. Однако по тому, как он был выведен в § 8, могло
показаться, что он относится только к механической энергии.
Ниже мы дополним это доказательством, данным Эйнштейном для
случая электромагнитной энергии. С этой целью Эйнштейн исполь-
использовал следующий мысленный эксперимент.
Рассмотрим цилиндр (фиг. 34) длины L и массы М, в концах
которого находятся тела А и В, имеющие равные массы т, и в ко-
котором создан высокий вакуум. Предположим, что М ^ 2 пг. Пусть
эти тела обладают свойством излучения и полного поглощения излу-
излученной энергии.
Предположим, что в некоторый заданный момент тело А излучает
цуг электромагнитных волн. Этот цуг достигнет тела В и будет
полностью поглощен по истечении времени
Так как волновой пакет переносит электромагнитную энергию
&W и импульс 6G, между которыми существует соотношение
234 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
то это означает, что в силу закона сохранения импульса цилиндри-
цилиндрическая коробка получит в момент испускания волнового пакета
равный и противоположно направленный импульс, благодаря чему
она начнет двигаться со скоростью
__ 6G _Ш_
V~~ M =~ сМ *
За время распространения волнового потока цилиндр сместится на
8х = vx = -др-.
Поскольку весь процесс происходит под действием внутренних
сил, то центр тяжести системы, который совпадает с геометрическим
центром О цилиндра, должен оставаться неподвижным в пространстве.
Однако это означает, что он должен переместиться относительно
коробки на расстояние 8х из О в О'. Но это возможно, только если
в конце процесса масса тела В возросла, а масса тела А умень-
уменьшилась. Отсюда следует, что волновой пакет должен перенести из
А в В массу 8т. Следовательно, в результате поглощения волнового
пакета масса тела В станет равна m+6/n, а масса тела А будет равна
т—8т.
Согласно законам статики, относительно О' должно выполняться
соотношение
откуда следует
2тЬх — Lbm.
Таким образом,
Итак, электромагнитной энергии 8W соответствует масса 8т, вели-
величина которой определяется соотношением Эйнштейна.
3. Релятивистская формулировка принципа минимального дей-
действия. В классической механике, согласно принципу Гамиль-
Гамильтона, движение материальной частицы может характеризоваться
условием стационарности ее действия S— \ Ldt вдоль описанной
траектории. Следовательно, имеем
6S = 6 \ Ldt = O, F.177)
to
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 235
где L — функция Лагранжа, определенная соотношением
L = T-V, F.178)
т. е. это разность между кинетической и потенциальной энергиями
рассматриваемой частицы. Записывая условия Эйлера, необходимые
для того, чтобы интеграл S = \ L dt имел экстремальное значение,
лолучаем уравнения Лагранжа. Если энергия сохраняется, т. е.
то вариационный принцип E.177) может быть записан в виде
h Pi
6S-6 J 2TdT = 6 J mvds^O, F.179)
известном под названием принципа минимального действия. В слу-
случае свободной частицы (u=const) уравнение F.179) выражает извест-
известный факт, что траектория частицы есть геодезическая линия. При
формулировке принципа минимального действия в релятивистской
механике мы исходим из того, что выражение действия должно
быть инвариантным относительно преобразования Лоренца.
В случае материальной частицы, движущейся свободно, выраже-
выражение действия может быть записано следующим образом:
Pi
S= -a^ds, F.180)
Ро
где интеграл берется вдоль мировой линии между «событиями»
Ро и Ри так как интервал ds является единственным инвариантом,
который можно составить из дифференциалов координат заданной
частицы, характеризующейся константой а. Учитывая соотноше-
соотношение E.65), можно записать
J Ldt, F.181)
to to
где
L= -ac(l-p2I/2 F.182)
есть функция Лагранжа, соответствующая свободной частице.
Чтобы определить константу а, заметим, что при с—> оо функция
Лагранжа должна сводиться к ньютоновскому выражению L=T=
= mv2/2. Разлагая в ряд по степеням $=v/c, получаем
235 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Следовательно, а~тос. Замечаем, что выражение функции Лаг-
ранжа совпадает с выражением для кинетического потенциала
[см. F.176)]
1/
но, поскольку моменты t0 и ?4 считаются фиксированными, пер-
первый член не входит в вариацию интеграла F.181). Таким образом,
для свободной частицы релятивистское выражение действия
имеет вид
= ~-mQc ^ds, F.183)
to Po
где соответствующая релятивистская функция Лангранжа равна
l-p2I/2. F.184)
В случае, когда частица движется под действием силы, обла-
обладающей потенциалом V, функция Лагранжа имеет вид
L= _moc2(l-p2I/2~l/. F.185)
Легко проверить, что уравнения движения F.163) могут быть
получены, исходя из вариационного принципа
0f F.186)
где L задано соотношением F.185) и f=— VI/. В самом деле,
F.186) эквивалентно уравнениям Лагранжа — Эйлера
dL Q
Учитывая F.174),
Аналогично
d /dL\
получаем
dL
dxk
dL _
dxk ~~
dK
dxk
t
dxk - !h-
Отметим, что выражение F.185) релятивистской функции Лаг-
Лагранжа материальной частицы может быть непосредственно получе-
получено из классического выражения F.178), если заменить кинетиче-
кинетическую энергию Т кинетическим потенциалом /С, определенным соот-
соотношением F.176), и отбросить постоянный член т0с2.
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 237
4. Вариационный принцип в релятивистской теории электронов.
Выше мы видели, что движение электронов под действием некоторой
силы может быть описано в специальной теории относительности при
помощи вариационного принципа FЛ86), если определить выраже-
выражение действия S и соответственно функцию Лагранжа L соотноше-
соотношениями F.185). Когда электрон движется под действием электро-
электромагнитного поля, определенного 4-вектором Ф[А,(//с)У], то для
получения при помощи вариационного принципа релятивистских
уравнений движения электронов, содержащих силу Лоренца (см. § 1),
нужно прибавить к функции Лагранжа для свободного движения
электрона F.184) соответствующий инвариантный член, который
содержал бы величины, связанные с полем, а также величины,
характеризующие электрон.
Учитывая возможные инварианты, получаем следующее выраже-
выражение плотности функции Лагранжа:
-V), F.187)
где выражение в скобках, взятое с противоположным знаком, извест-
известно под названием электрокинетического потенциала Шварцшильда
[22]. Очевидно, оно представляет собой разность между кинетиче-
кинетической и потенциальной энергиями, т. е. является обобщенной функ-
функцией Лагранжа.
1. В случае, когда электрон движется в электромагнитном поле,
вариационный принцип может быть сформулирован при помощи
функции Лагранжа
(А.у-У) F.188)
в следующем виде:
h
6S = 6 \ Ldt = O. F.189)
«о
Легко проверить, что это уравнение эквивалентно уравнению
движения электрона в поле. А именно, записав соответствующие
уравнения Лагранжа, получаем
d /dL\ dL n
где
^ A, F.191)
или
|j F.192)
238 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Следовательно, уравнение F.190) может быть записано в форме
~(amov + eA) = e(v.V) A + evx (v x A)-eVV. F.193)
Учитывая, что полный дифференциал dk слагается из изме-
изменения во времени векторного потенциала в некоторой точке
и изменения, вызванного перемещением заряда на расстояние dv+
получаем
ж=ж^-^А- FЛ94>
Учитывая связь между потенциалом и полем, можно записать
уравнение F.193) в виде
Pk = e[ek + (vxh)k], F.195)
где в правой части появляется сила Лоренца, а pk = amoVk*
Следовательно, функция Лагранжа F.187) выбрана подходящим
образом.
2. Согласно определению, данному Лагранжем, производная
dL/dv называется обобщенным импульсом электрона:
F.196)
Гамильтониан электрона, по определению, равен
3V = jtkvk-L = amoc2 + eV. F.197)
С учетом соотношений F.150) и F.168), а также F.196) легка
проверить, что
Ш - eVJ = тУ + °2 (п ~ еАУ> F-198>
следовательно,
30 = eV + с [ту + (П - гАJ]1^. F.198')
Уравнение Гамильтона — Якоби электрона, движущегося
в электромагнитном поле, получается заменой в соотношении:
F.198) обобщенного импульса П выражением dS/dr, а ?% выра-
выражением — dS/dt:
+ m^ = 0. (бЛ98">
3. Записывая функцию Лагранжа в виде
L = тос2 [ 1 - A - р2I^) + J ]*Ф dv F.199)
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 239
и учитывая F.10) и F.65), можно так записать функцию действия:
S = - J тос (- i^) dx + J q!^ dv dx9 F.200)
где in — компоненты 4-скорости электрона.
Уравнения Эйлера, соответствующие вариационному принци-
принципу 6S = 0, имеют вид
&-?(f)-°- F-2oi)
Так как
то с учетом F.5'), F.149) и F.168) получаем
^v6v(*) = Wv. F.202)
Это — четырехмерная форма релятивистского уравнения движе-
движения электрона во внешнем поле [см. F.11)].
4. Аналогично можно сформулировать вариационный принцип
и для уравнений Максвелла — Лоренца. Для этого достаточно до-
добавить к функции Лагранжа, выражающей взаимодействие между
электроном и его полем, функцию, выбранную так, чтобы она опи-
описывала поле, т. е. зависела от поля. Из рассмотрения инвариан-
инвариантов поля, вычисленных в гл. V, § 1, п. 1, видно, что можно записать
|2
-е01 е |2) , F.203)
куда, очевидно, входит разность между энергией магнитного поля,
которую мы считаем кинетической по природе, и энергией электри-
электрического поля, которую мы считаем потенциальной по природе;
%ъ— плотность функции Лагранжа Lo.
Соответствующая функция действия имеет вид
= \ (--^M^+j^)(dx), F.204)
где четырехкратный интеграл берется по гиперобъему четырех-
четырехмерного мира.
Записывая вариационный принцип, известный под названием
принципа Шварцшильда,
240
Гл. VI. Релятивистская теория электронов
для случая, когда изменяются только компоненты Ф^ 4-потен-
циала, и предполагая, что вариации бФ^ обращаются в нуль
на границах области интегрирования, получаем уравнение Эйле-
Эйлера— Лагранжа
дх*д(
дФ1Х
V dxv
- дх -о
где мы учитывали, что Фр, — функции от xv. Так как
ьх
dxv
F.205)
F.206)
F.207)
представляет собой лагранжево количество движения поля, то
из F.205) следует уравнение
Ш- F.208)
X|XV
В частном случае микроскопического поля, если учитывать урав-
уравнение F.5'), задающее тензор f^ как функцию 4-потенциала, то
из F.207) следует
11^ = — ^. F.209)
Таким образом, F.208) совпадает с уравнением F.4), представляю-
представляющим собой первую группу уравнений Максвелла — Лоренца.
5. В заключение можно сказать, что принцип наименьшего дей-
действия, сформулированный Шварцшильдом, включает в себя в четы-
четырехмерной инвариантной форме электронную теорию Лоренца и
электродинамику Максвелла.
Как мы видели, из этого принципа можно вывести не только
уравнение микроскопического поля, но и уравнения движения элект-
электрона, включая и силу Лоренца, с которой поле действует на элек-
электрон. Этот вариационный принцип очень привлекателен в силу своей
простоты, так что его можно считать отправной точкой в развитии
как электронной теории Лоренца, так и электродинамики Максвел-
Максвелла, т. е. теории микроскопического поля и соответственно макро-
макроскопической электродинамики в пустом пространстве. Такая про-
программа была с особым изяществом реализована Ландау и Лифши-
цем [8], а также Иваненко и Соколовым [17].
Приложение, а) Движение электрона в однородном электроста-
электростатическом поле. Выбирая в качестве оси Ох направление поля и
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 241
обозначая начальную скорость электрона через v0, можно записать
уравнение движения в следующем виде:
Электрон будет все время двигаться в плоскости, образованной
векторами v0 и Е, которую мы можем принять за плоскость хОу.
Это уравнение можно переписать следующим образом:
следовательно,
px=eE-t, py = Po,
если при / = 0 имеем рх = 0 и ру--=р0. Согласно F.198') (А = 0),
кинетическая энергия электрона равна U^ = ^(m^2 + P2I/2» следо-
следовательно, имеем
Аналогично, учитывая соотношения F.173), можно записать
Итак,
W рс2
= -^v, откуда v = ^
dx _ pxc*
dt ~~ W ~~
где l^0 = с [/п^с2 + Pol1/2-
Полагая постоянную интегрирования С равной 0, получаем
после интегрирования
Аналогично
Исключая t, получаем уравнение траектории
x^ch,
еЕ рос
так называемую цепную линию.
Если v < с, можно положить /?о = /ВДь W0 = m0c2, и, разлагая
правую часть в ряд по 1/с, получаем в первом приближении
классическую траекторию параболы
16 В. Новаку
242 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
б) Движение электрона в кулоновском поле {центральное поле).
Рассмотрим поле, порожденное положительно заряженным цен-
центром Ze = e'\ следовательно, V— —е'/г.
С учетом выражения кинетической энергии F.172) полная
энергия равна
V. F.210)
Так как на электрон действует кулоновская сила, то траек-
траектория будет плоской и закон площадей остается справедливым.
Следовательно, в полярных координатах (г, ф) имеем
тг\ — рф = const. F.211)
Если ввести прямоугольные координаты л: и у, определенные
соотношением
, F.212)
то уравнения движения примут вид
d ее' d ее' /п П1 оч
_m*=—_coscp, ^-т^—^шф. F.213)
Из F.211) получаем
dy __ рф
rn dt r* y
откуда следует
*=1?^JL. F.214)
dt mr2 dq> v '
Применяя этот оператор к первому равенству F.212), получаем
• _ Рф d (r со- ф)
Х~ Тпг* Зф
или
При помощи новой переменной а, где
г = 1, dr=-±do, F.215)
вышезаписанное соотношение можно переписать следующим
образом:
тх= —p(pfosm^ + -^~cos^J . F.216)
Аналогично
( ^) F.216')
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки 243
Применяя еще раз оператор F.214), получаем
d , • ч Р% d { , da \ р2ф / . d2a \
w(mx)=~^^^asinT + ^cos9j=~1J2^a + ^-jcos9,
F.217)
Сравнивая соотношения F.217) и F.212), находим
gg//
Из последнего соотношения имеем
(l_p/2 = _^L^^. +
v r > ee'tn0 \ dy* J
Из выражения энергии F.210) можем получить значение A — (З2)-1^.
Делая подстановку F.215), получаем
0-«-1А=1+^а + ^. F.219)
Из F.218) и F.219) получаем дифференциальное уравнение
которое можно записать в следующем виде:
0 + Y2@-C) = O, F.220)
где
^ ^E) F.221,
Общий интеграл уравнения F.220) имеет вид
a = A cos -уф + В sin уф + С. F.222)
Для определения постоянных интегрирования будем считать,
что ф = 0 соответствует г = гмин, следовательно, <т = амаКс. В этом
случае
f^ -о
значит, 5=0.
16*
244 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Таким образом,
у F.223)
Траектория электрона —розетка; она отличается от эллипти-
эллиптической траектории классической механики множителем *у<1»
причем если с=оо, то у=1-
Из-за множителя у перигелий после одного оборота переме-
перемещается по направлению движения на угол
Отметим, что задачу можно также решить, отправляясь от урав-
уравнения Гамильтона —Якоби F.198"), которое в этом случае будет
иметь вид
или в полярных координатах
(^LY+~C—Y 1 / dS _ ее' Y
Это уравнение можно проинтегрировать методом разделения пере-
переменных. Получаем
IVi
S =
где
Для определения траектории нужно проинтегрировать
уравнение
-^тг = const4
Вычисления оказываются громоздкими, но не представляют
трудности.
§ 9. Проблема определения массы электрона
в электродинамике Максвелла — Лоренца
Как мы указывали в гл. I, в конце прошлого столетия Дж. Дж.
Томсон высказал мысль, что инертная масса электрона может быть
объяснена при помощи электромагнитных свойств его микроскопи-
микроскопического поля, описанного уравнениями Максвелла — Лоренца.
§ 9. Проблема опред. массы электрона в электродин. Максвелла—Лоренца 245
Теория электромагнитной массы электрона была развита Лоренцем
и Абрагамом. Согласно этой теории масса электрона обусловлена
инерцией его поля, а импульс электрона — импульсом его поля.
Масса электрона была определена несколькими путями.
Во-первых, отправляясь от импульса микроскопического элект-
электромагнитного поля, считали, что масса есть коэффициент про-
пропорциональности между импульсом поля и скоростью частицы
[см. A.45]). Если допустить, что заряд электрона распределен по
поверхности сферы, то [см. A.48I
4Ь 4^_. F.224,
Во-вторых, масса электрона может быть непосредственно вы-
вычислена из энергии поля согласно релятивистскому соотношению
F.159); следовател ьно,
Шэлм== ^-17. F.225)
ЭЛМ C2(lp2)V2 V '
Несогласованность этих двух значений вызвана тем, что электро-
электромагнитная теория Максвелла — Лоренца не может объяснить меха-
механического поведения электрона, а именно импульс (количество
движения) микроскопического поля связан неправильным соотно-
соотношением с энергией поля, так как они не образуют вместе 4-вектор1).
Иными словами, импульс G<m> и энергия микроскопического поля W
ведут себя совершенно иначе, чем соответствующие величины
в случае материальной частицы (р и кинетическая энергия К), кото-
которые образуют 4-вектор. Это можно обнаружить просто, так как
компоненты импульса и энергия микроскопического поля являются
компонентами тензора энергии-импульса и определяются (см. § 7)
равенствами
ОГ = - -I J tkk dvt W = $ tu dv. F.226)
Так, в собственной системе координат электрона имеем
dvQ= -| $ ео|е|2^о= -|^о,
F.227)
где учтено, что электрическое поле покоящегося электрона обла-
обладает сферической симметрией, а магнитное поле равно нулю.
х) Более подробно в критическом аспекте эта проблема изложена в книге
[17], § 30.
246 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Если же считать, что импульс и энергия образуют 4-вектор
и полагать
f $*4Л>, F.228)
то с учетом релятивистской ковариантности вектора G{™\ пере-
переходя от системы координат, относительно которой электрон дви-
движется с постоянной скоростью v вдоль оси Ог, к собственной системе
координат при помощи преобразования Лоренца [см. E.40)]
< = хи х\ = х2, хо3 = а (*3 - /PA), xl = а (*4 + /Р*3), F.229)
получаем, поскольку t°u = tl3 = 09
д* dx ,0 , дх^ дх± ,0 ;Rr#2 //о /о \
"a^a^"/33+^: a^-^4-« (^-p^)» F
dv = — dv0.
Отсюда
Таким образом, с учетом F.227) находим
F.232)
ИЛИ
Ц7=^1+^)в70а. F.233)
С другой стороны, если рассматривать ковариантность 4-век-
тора G^ непосредственно, то, согласно теории относительности,
мы должны были бы получить следующий закон преобразования:
G(m) = p, G(rn)° = |«L Gjn)e> F 234)
так как импульс покоящегося электрона равен нулю. Следова-
Следовательно, компоненты G(um) не образуют 4-вектора в отличие от
компонент количества движения электрона
p = moav, p4 = ~^==m0ac, F.235)
а значит, эти величины не могут быть равны между собой.
§ 9. Проблема опред. массы электрона в электродин. Максвелла—Лоренца 247
Итак, электрон, определенный при помощи микроскопического
поля, с точки зрения релятивистской ковариантности его энергии
и импульса не обладает свойствами частицы.
Из F.233) можно получить выражение массы электрона, считая,
что она равна отношению между энергией микроскопического поля
и с2:
F.224')
Очевидно, этот результат не совпадает ни с ошибочным резуль-
результатом F.224), ни с правильным релятивистским соотношением
F.225). Учитывая F.231), F.232), F.234) и определение F.228),
из сказанного выше получаем, что появление множителя 4/3
и члена р2/3 вызвано тем, что
Точнее, для того чтобы импульс G^ образовывал 4-вектор
согласно теореме Лауэ, нужно, чтобы в собственной системе отсчета
(S°) выполнялось равенство \ ^v dvo=O при всех значениях индек-
индексов, кроме (x=v=4.
Следовательно, масса электрона не может быть чисто электро-
электромагнитной природы. С точки зрения теории микроскопического
поля это означает, что нужно ввести вспомогательное поле, отлич-
отличное от максвелловского, чтобы компенсировать член, входящий
в F.231), который, очевидно, происходит от максвелловских натя-
натяжений. Пуанкаре изучал этот вопрос, связывая его с проблемой
сферической модели электрона Лоренца. А именно, чтобы удер-
удержать в «равновесии» отрицательный заряд на поверхности шара,
он ввел механические натяжения, так называемое давление Пуан-
Пуанкаре, которые компенсировали бы электростатические силы оттал-
отталкивания. Это следует рассматривать как неудачу классической
теории Лоренца, основанной на максвеллоеском микроскопиче-
микроскопическом поле.
Рассмотрим электрон в собственной инерциальной системе,
относительно которой его поле будет кулоновским. Собственное
поле будет действовать на заряды электрона с силой, плотность
которой
Эта сила должна быть компенсирована силой k%\ следовательно,
й°й* О
248 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Можно записать соотношение
где Tvx — тензор энергии-импульса неэлектромагнитного поля,
которое следует постулировать, чтобы обеспечить равновесие
электрического заряда электрона. Очевидно, дивергенция тензора
^ а,
равна нулю:
Так как максвелловские натяжения кулоновского поля равны
то, если считать электрон сферическим, натяжение на его
поверхности будет
Поскольку ^4г = /?4 = 0> эти натяжения должны компенсироваться
тензором Tfk вида
где
0_ е* 11 Wp 1 Wo
P ~~ 2DяJе0 а4 З Dя/3)а» 3 V
выражает давление, которое удерживает в равновесии электриче-
электрический заряд, распределенный по поверхности электрона. Это давле-
давление называется давлением Пуанкаре. Здесь Wo — энергия электро-
электростатического поля электрона, а У — объем электрона.
1. Общее выражение тензора энергии-импульса. Рассмотрим
произвольное поле, которое можно определить, как мы видели
в § 8, п. 3, интегралом действия S и в котором конкретный вид функ-
функции Лагранжа не указан. А именно пусть
€-(dx)9 F.236)
где X — произвольная функция величин qa и их производных,
которые представляют собой 4-потенциал [см. F.197)]. Соответ-
Соответствующая функция Лагранжа L будет иметь вид
= J Xdv\ F.237)
§ 9. Проблема опред. массы электрона в электродин. Максвелла—Лоренца 249^
следовательно, ^ — плотность функции Лагранжа. Уравнениями
поля будут соответствующие эйлеровы уравнения
°(°*-)-д*-0, F.238)
dxv\dqaiVJ dqa v
где мы использовали обычные обозначения
<7a,v = !g. F.239)
Эти уравнения следуют из вариации S согласно принципу
минимального действия
или
Замечаем, что второе слагаемое под знаком последнего интеграла
обращается в нуль, так как при помощи теоремы Гаусса, обобщен-
обобщенной на случай четырех переменных, его можно преобразовать
в интеграл по гиперповерхности, распространенный по всему про-
пространству.
Уравнение F.238) можно записать в более сжатой эквивалентной
форме, если заметить, что
dxv dqadxv*dqatVL dxv '
Учитывая F.239) и F.238), а также соотношение
=
dxv dxv
можно переписать F.240) в следующем виде:
дх д (дя\ ,JJedqa,v д ( ex
dxv~ дх^ _
Так как можно записать
то соотношение F.241) можно представить в виде
°- F-242>
Это уравнение эквивалентно уравнению F.238).
250 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Вводя тензорные обозначения
Tvu, = Ь^Х - qa, v ~- , F.243)
равенство F.242), а следовательно, и уравнение F.238) можно
записать в виде
¦& = 0. F.244)
Это выражает равенство нулю четырехмерной дивергенции тен-
тензора F.243). Оно эквивалентно утверждению, что 4-вектор Gv,
определенный соотношением
J^dS^, F.245)
сохраняется. Здесь dS^ — «площадь» проекции элемента гиперпо-
гиперповерхности на гиперповерхность, перпендикулярную нормали. Сле-
Следовательно, имеем
Постоянный множитель С определяется из требования, чтобы G4
(т. е. компонента при v = 4) равнялась энергии поля, умножен-
умноженной на j/c [см. F.228)], т. е. из отождествления Gv с 4-векто-
ром импульса поля. Тогда
4[г d^ = C^ Г44 dv F.246)
(интегрирование производится по гиперплоскости л;4 = const).
Но, согласно F.243),
F.247)
где <7а == dqjdt. Так как F.247) выражает плотность энергии
через плотность функции Лагранжа, то очевидно (см. § 7), что
С=—j/c. Если отождествить Gv с 4-импульсом поля, Tvll будет
тензором энергии-импульса поля, заданным в каноническом виде
F.243).
Отметим, что определение F.243) тензора энергии-импульса при
помощи функции Лагранжа неоднозначно, так как к тензору 7\,ц
можно прибавить величину вида
4^, F-248)
где opvua, — произвольный антисимметричный по индексам \i и X
тензор, таким образом, чтобы новый тензор тоже удовлетворял
$^9. Проблема опред. массы электрона в электродин. Максвелла—Лоренца 251
уравнению F.244). В силу тождества
4-импульс, который получается из T'V[lf не изменится, так как
можно записать
где интеграл справа берется по (двумерной) поверхности, «огибаю-
«огибающей» на бесконечности гиперповерхность (трехмерное многообра-
многообразие), по которой интеграл берется в левой части. Ясно, что этот
интеграл равен нулю в общем случае, поскольку источники поля на
бесконечности отсутствуют. Следовательно, 4-импульс является,
как и должно быть, величиной, определенной однозначно.
Чтобы определить однозначно тензор энергии-импульса поля,
можно потребовать, чтобы тензор момента импульса системы выра-
выражался через 4-импульс следующим образом:
f [(XTXT*) d^ F-249)
XvdG^j^dGv) f
где мы учитывали определение F.245). А именно условие, кото-
которому должен удовлетворять тензор Tvll, следует из закона сохра-
сохранения момента импульса
^-0. F.250)
т. е.
g|:(*v7la-x|4rVji) = 0. F.251)
Учитывая F.244) и замечая, что можно записать
из F.251) получаем
6vAT\a — Sm,aTva, = T^v — TV[l — 0;
следовательно,
T^ = TVVk9 F.252)
т. е. тензор TVM, должен быть симметричным. Действительно, как
было замечено, тензор TV[l можно сделать симметричным, если
к нему прибавить соответственно выбранное выражение типа F.248).
Существует метод, позволяющий непосредственно получить
симметричный тензор TV]L, называемый метрическим тензором.
Этот метод состоит в использовании криволинейных координат
и вариации действия S относительно координат основного метриче-
252 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
ского тензора gVM,, которые мы затем выбираем в соответствии с псев-
псевдоевклидовым миром Минковского (см. [8]).
В отношении определения 4-импульса F.245) замечаем, что если
взять интеграл по гиперплоскости Ar4=const, то Gv можно записать
в следующей форме:
ijjv4<fo, F.245')
где интегрирование производится по всему трехмерному простран-
пространству. Следовательно, компоненты —(j/c)Tu (/= 1, 2, 3) представляют
собой компоненты так называемой плотности импульса, а компо-
компонента—Г44 есть плотность энергии поля.
Чтобы определить смысл остальных компонент тензора энер-
энергии импульса TVM,, перепишем уравнения F.244) в трехмерной форме
Интегрируя эти уравнения по области (Т) в обычном прост-
пространстве, получаем
F.244")
Замечая, что во второй интеграл каждого равенства входит
дивергенция, получаем после применения теоремы Гаусса урав-
уравнения
F.244^)
где интегралы по поверхности берутся по границе области (Т).
Из F.244'") вытекает, что первое соотношение выражает закон
сохранения энергии (следовательно, jcT^k означает плотность
потока энергии), а второе соотношение — закон сохранения им-
импульса (следовательно, Tki означает плотность потока импульса).
В частном случае поля без зарядов с учетом F.204) имеем
*o = 4iTofxvfx*. F-253)
Уравнения Эйлера будут иметь вид F.207). С учетом F.5) их
можно в этом случае переписать следующим образом:
!_ dhv ^ о F
\i0dx к
$ 9. Проблема опред. массы электрона в электродин. Максвелла—Лоренца 253
а равенство F.240) перепишется при этом в виде
^f /
» ь,» дх» - fior*v dxv • {
Соответствующий канонический тензор энергии-импульса, согласно
соотношению F.243), будет иметь вид
/|fvaH) = -^.,J.v + 4-^6,vf,xf,x. F.243')
Это выражение можно симметризовать, прибавив член
который имеет вид F.248). В самом деле.
так как, согласно F.4), где /р. = 0, имеем
Следовательно, прибавляя член F.253) и учитывая F.5'), полу-
получаем
*nv = - f цл g"v^ + -5- 6nv f я^ях- F.254)
Этот тензор тождествен микроскопическому тензору F.14Г),
полученному при помощи выражения плотности лоренцевой силы.
Этот тензор удовлетворяет уравнению
fe=°. F-255>
которое эквивалентно закону сохранения энергии (|х = 4) и им-
импульса (|л=1, 2, 3). Как показано в книге Иваненко и Соко-
Соколова [17], физический смысл несимметричности канонического
тензора связан с поляризацией или с существованием плотности
собственного момента (спина) количества движения поля.
Когда рассматриваемое микроскопическое поле содержит
заряды, то вместо F.254) функция Лагранжа и соответственно
действие имеет вид F.205). В этом случае вместо F.255) имеем
соотношение
dj^ = Uh- F-256)
Это было доказано в § 7.
254 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
В этом случае полная энергия и полный импульс равны сумме
энергии и соответственно импульса поля и частиц, а уравнение
F.256) выражает закон сохранения полной энергии и полного им-
импульса с учетом соотношения F.203).
§ 10. Классическое уравнение движения электрона.
Противодействие собственного поля движению
Рассмотрим электрон, движущийся ускоренно вдоль оси Oz со
скоростью v. Как мы видели, ускоренный электрон испускает
излучение, и в результате этой потери энергии его кинетическая
энергия убывает. В уравнении движения эта потеря энергии выра-
выражается эквивалентной силой торможения. Следовательно, чтобы
удовлетворялся закон сохранения энергии, мы приходим к необ-
необходимости рассматривать противодействие микроскопического поля
электрона движению самого электрона.
Как впервые показал Лоренц [23], в уравнение движения элект-
электрона следует ввести силу противодействия или торможения излу-
излучением в качестве поправочного члена, поскольку, вообще говоря,
она мала по сравнению с другими силами.
1. Когда скорость электрона мала по сравнению со скоростью
света (§=vlc<t 1), выражение силы торможения излучением можно
вывести просто, записав, что в промежуток времени t2—tu доста-
достаточно короткий, чтобы скорость электрона не менялась, работа силы
торможения Кг равна энергии, излученной электроном. Следова-
Следовательно,
Krds= - \ Jdty F.257)
где с учетом F.109)
J = 6^3 • F.258)
Используя тождество
v2 = -77 (vv) —- vv
и сделанное предположение, что v (/t) = а (^2) = 0, при помощи
интегрирования по частям получаем в уравнении F.257)
Следовательно, в первом приближении
Kr-^--4vv F.259)
§ 10. Классич. ур-ние движ. электрона. Противодействие поля движению 25S
или в нерационализованной электростатической системе единиц
Kr = -|4-v. F.259')
ос*
Мы получили классическое выражение силы затухания, вызывае-
вызываемого излучением. Очевидно, в первом приближении она пропорцио-
пропорциональна производной ускорения.
Эти феноменологические рассуждения справедливы, пока сила
торможения F.259) мала по сравнению с остальными силами. В слу-
случае гармонического осциллятора, например электрона, колеблю-
колеблющегося под действием некоторой квазиупругой силы &05 (здесь
I — расстояние электрона от положения покоя), имеем
I = loe-^f F.260)
и
mol + kol = Кг- F.261)
Так как
*о = ю^о, v=--to2v, F.262)
имеем
^г= _-то-^со2и, F.263)
где а — радиус электрона [см. A.76)]. Условие применимости фор-
формулы F.259) можно записать в этом случае следующим образом:
Если ввести длину волны X = a/v0, то оно перепишется так:
X > а ** 1(Г13 см. F.264)
Очевидно, что в случае гармонического осциллятора выражение
F.259) справедливо, так как длина волны излучения велика по
сравнению с радиусом электрона (даже в случае рентгеновских
лучей).
2. Выражение обратного действия микроскопического поля
электрона на электрон можно также получить непосредственно,
вычисляя, как это сделал Лоренц1), силу обратного действия К
микроскопического поля на электрон.
Предположим, что электрический заряд сферического электрона,
движущегося со скоростью v < с, распределен симметрично с плот-
плотностью q. Предположим также, что мы можем выбрать такую систему
отсчета, относительно которой элементарный заряд de', действующий
См. [23], а также [8], § 75 и [17], § 31.
256 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
на другой элементарный заряд de, будет неподвижен. В этом случае
в выражение силы Леренца входит только собственное электрическое
=5 dedepy F.265)
поле ер, т. е.
где поле dep, порожденное элементом заряда de, может быть
вычислено при помощи потенциалов Льенара — Вихерта [см. A.71)
и A.72)], хотя справедливость этих приближенных выражений при
расстояниях порядка радиуса электрона вызывает сомнение;
поэтому мы сохраним только члены, в которые не входит радиус
электрона. Согласно A-81) это поле имеет вид
X»
Так как в выражение поля входит запаздывающее время t'= t—г/с,
то вычисления принципиально невозможны, если неизвестна пред-
история электрона (в случае произвольного движения). Поэтому
мы будем предполагать, что v v, v мало изменяются за отрезок
времени, равный приблизительно ale, за который электромагнитная
волна проходит через электрон. Будем, следовательно, предпола-
предполагать, что, помимо соотношения v < с, выполняются соотношения
v < с2la, v < vela, где а — радиус электрона. В этом случае можно
разложить в ряд по степеням г1с, учитывая тот факт, что v(t) = О,
Следовательно,
^ rv—
При подстановке этих значений в выражение поля сохраним
только члены до порядка (г/сK. Следовательно, член [v(t')/c]2
можно отбросить. Получаем
— + —
g 10. Классическое ур-ние движ. электрона. Противод. поля движению 257
Результат может быть записан в тензорном виде
а - de' Г 2Га(Уз) 1 Га(УУ . Га 1 *« 1
аеР<* — 4л80 L /*с2 ~Т~ 2 г2с3 •" гЗ ~Г 2сз J *
Так как в силу сферической симметрии имеем
Г 0 Г/* Г2б
то
2 ^а 2
3 с2г f 3
Подставляя в выражение F.265), имеем
Следовательно, получаем
где Wo — электростатическая энергия электрона, т. е. его собствен-
собственная энергия.
3. Итак, выражение силы, с которой микроскопическое поле
электрона действует на электрон, состоит из ряда членов, из которых
первый выражает эффект электромагнитной инерции электрона,
а второй — силу торможения Кг, которую мы вывели ранее дру-
другим путем. Видно, что этот второй член не зависит от распределения
заряда в электроне и что эта сила затухания излучения электрона
представляет собой второе приближение выражения силы, с кото-
которой электрон действует на самого себя при посредстве поля.
Следующие члены имеют вид
С учетом выражений A.75) и A.76) силу торможения Кг F.259)
можно записать в виде
Отметим еще раз, что а/с (где а — радиус электрона) — это время,
за которое свет пробегает расстояние, равное радиусу электрона.
Очевидно, при больших значениях ускорения или при значительных
изменениях ускорения нельзя ограничиваться в выражении F.266)
первыми двумя членами. Сравнивая между собой члены разложе-
разложения, обнаруживаем, что в случае гармонического осциллятора
17 6. Новаку
258 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
F.262) отношение двух последовательных членов будет порядка
а/А,, где К — соответствующая длина волны гармонического осцил-
осциллятора. Это разложение справедливо при ограничении F.264); оно
справедливо, следовательно, для нерелятивистских скоростей (v < с)
и взаимодействий с полями не слишком высокой частоты (к > а).
Во всяком случае последующие члены разложения B.266) не
имеют физического смысла, так как мы ничего не можем сказать
о внутренней структуре электрона. Эти члены можно отбросить
только в случае точечного электрона (а—>0). Однако в этом случае
Wo—> оо; это означает, что и т* —-> оо. Но в уравнение движения
входит нет*, а эмпирическая масса т электрона, которая равна
сумме инертной массы т0 и электромагнитной (полевой) массы.
Так как измеряемая на опыте масса электрона т — явно конечная
величина, то следует предположить, что т0 —>— оо. Следовательно,
для точечного электрона справедливо уравнение движения вида1)
^^. F.267)
В случае свободного электрона имеем
mv = -^ ^- v,
или
jfev —v = 0, F.268)
где
fe ^ то = 6яе0тс2 ;
следовательно,
v = и0 ехр [- const.
то
Поскольку То^Ю9 сек, то свободный электрон, согласно F.268),
должен был бы, неограниченно ускоряясь, исчезнуть, как пуля,
в бесконечности. Бессмысленность такого результата указывает
на ограниченную применимость формулы для силы торможения
излучением F.259). Она является следствием противоречивости
классической теории точечного электрона, приводящей к бесконеч-
бесконечным значениям собственной энергии и электромагнитной массы
электрона.
4. Чтобы вывести выражение силы реакции Кг микроскопиче-
микроскопического поля при релятивистских скоростях электрона (v^c),
заметим, что эта сила будет 4-вектором /?\ удовлетворяющим урав-
Решение этого уравнения было исследовано Фрадкиным [24].
§ 10. Классическое ур-ние движ. электрона, Противод. поля движению 259
нению движения электрона, записанному в релятивистской форме
[см. F.164)]:
mouv = fv + ft\ F.269)
где uv есть 4-вектор скорости, uv — duxldx, a /v —сила, с которой
внешнее поле действует на электрон: ее пространственные компо-
компоненты связаны с силой Лоренца соотношениями [см. F.165)]
Согласно F.13) и F.169), имеем
/v/v-0, t/vwv = O; F.270)
следовательно, 4-векторы uv и fv перпендикулярны мировой
линии электрона; а значит, должно выполняться соотношение
ftr)av = 0. F.271)
Отметим, что в нерелятивистском случае (v < с) пространствен-
пространственные компоненты 4-вектора /v° в частной системе отсчета, связан-
связанной с электроном, должны совпадать с F.259). Учитывая это
условие и соотношение F.271), получаем, что 4-вектор может
быть определен в следующем виде:
№=b(uv + yuv), F.272)
где Ь = е2/6ле0с3, а ^ — константа, которую можно определить
при помощи F.271) условием
uvuv + у (uvuv) - 0, у - - -». . F.273)
uvuv
Так как, согласно F.168), имеем
tlylly = С ,
а из второго соотношения F.270) следует, что
uvuv + uvuv = 0, uvuv = — uvuv,
заключаем, что константа у из F.273) может быть записана
следующим образом:
Y= --^-(^v). F.274)
Окончательно
ff> = 6 (X—^U/). F.275)
17*
260 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Это есть релятивистское выражение силы противодействия1).
Для сравнения с другими полученными выражениями нужно перейти
к трехмерному представлению, учитывая соотношение F.65):
(иь и2, ^3) = av, м4 = /са. F.276)
Отсюда находим
где
о /1 Q2\-i ' /1 поч-о
а2 = A-Р2) х аа=A-Р2) * —== —vv, — = —
о /1 Q2\-i ' /1 поч-о vv а4 а а2
а2 = A-Р2) х, аа=A-Р2) *. —== —vv, — = —vv,
или
(lit, и2у иъ) = a Г-^- (vv) v + v 1 , ti4 = /— vv. rF.277)
Получаем
«vav =* a2 [ -J (vvJ + i>2 ] . F.278)
Учитывая соотношения F.276) —F.278), можно вычислить выра-
выражение пространственных компонент вектора \%\ заданного соотно-
соотношением F.275). Имеем
uvuv a3 Га2/ \9 . *9 1
V2V Wft = -~y —2~ (wJ + и2 Vk,
а также
(at, a2, ^з) = —^2~" (vv) v + ~^2~ ty v + (vv) v + (vv) v] + av + av =
1 v + -5L. [y2v + (vv) v + 2 (vv) v] + av.
Следовательно,
T(ftn> fV, fD = ^ (wJ v + -? [(vv) v + 2 (vv) v] + av. F.279)
Переходя от собственного времени электрона т к времени t,
получаем
v ava (vv)
" = -~ (vv') v' + a2v".
*) В работе [17] это выражение получено менее непосредственным путем
при помощи теории би-поля, разработанной Соколовым [25, 26].
§ 10. Классическое ур-ние движ. электрона. Противод. поля движению 261
Теперь F.279) с учетом F.142) можно переписать так:
F.280)
В нерелятивистском случае (р —-> 0, a —> 1), пренебрегая чле-
членами, содержащими Р2 = v2/c2> находим, что полученное выражение
сводится к F.259). Отметим, что последнее выражение справедливо
при любых скоростях в случае, когда ускорение не «слишком
велико». Оно является приближенным, так как представляет собой
начало ряда, в котором мы, как и в нерелятивистском случае,
отбросили все последующие члены.
1. Естественная ширина линий спектра излучения. В случае
линейного гармонического осциллятора, как мы видели выше,
испускаемое излучение действует как сила затухания, выражение
которой задается соотношениями F.259) и F.259'). Рассмотрим
более подробно действие этой силы на движение осциллятора,
т. е. на излучение, испускаемое электроном. В пренебрежении
силой торможения осциллятор может колебаться бесконечное время.
Следовательно, действие этой силы проявляется в затухании коле-
колебаний осциллятора. Так, принимая выражение F.259'), получаем
для уравнения движения осциллятора [см. F.261) и F.262I сле-
следующее выражение:
т^-тоСоЦ + ^Ъ F.281)
Поскольку сила затухания мала, в первом приближении можно
заменить ? значением — со*? (движение без затухания). Тогда
вместо F.281) можно записать
1=-<*Ц-4, F.282)
где
V = 4l3=4a«-o- F-283)
Приближенным решением уравнения F.282) будет
Средняя энергия осциллятора за время одного периода равна
W = -1 m0 (|2 + соо2?2) - WQe-y*. F.284)
Следовательно, энергия убывает по экспоненциальному закону,
уменьшаясь в е раз за время 1Ау. Поскольку у < со0, это время
велико по сравнению с периодом колебаний, так как в противном
случае движение осциллятора не могло бы быть квазипериодическим.
262
Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Амплитуда излучения, испускаемого таким осциллятором, про-
пропорциональна | = —со^; следовательно, излучение затухает
так же, как амплитуда колебаний осциллятора, т. е.
E = Eoe-vf/2eicoo*. F.285)
Это означает, что вместо монохроматических волн осциллятор
будет излучать волновой пакет с частотами в окрестности частоты
со0. Отсюда следует, что
jiu))/j0 излучение не будет сосредо-
сосредоточено на частоте соо, а
будет распределено около
этой частоты. Ширина
спектра равна у; согласно
F.283), имеем
F.286)
•-. Ширина спектральной ли-
WW нии не зависит от часто-
частоты и пропорциональна ра-
радиусу электрона —универ-
—универсальной постоянной.
Чтобы найти распределение интенсивности в излученном
волновом пакете, разложим F.285) в ряд Фурье
Е==
где
или
о
ЕИ = 2^ ., Е° .
Поэтому
F.287)
где /0 означает интегральную интенсивность/о— \ /(co)dco. Макси-
Максимум спектральной линии F.287) приходится на со0— частоту неза-
незатухающих колебаний осциллятора. Для со—со0 = \/2 интенсив-
интенсивность равна половине максимальной интенсивности (фиг. 35). Сле-
Следовательно, у—ширина в середине максимума.
$ IU Гамильтонова форма уравнений поля 263
§ 11. Гамильтонова форма уравнений поля
Система уравнений Максвелла — Лоренца может быть записана
в виде уравнения Гамильтона, известного из механики, если
представить поле как суперпозицию плоских волн.
1. Рассмотрим частный случай — электромагнитное поле в
области пространства без зарядов. Такое поле можно описать
с помощью векторного потенциала. Пользуясь системой единиц
Гаусса (рационализованной), можно записать
е= -4"^' h = VxA, F.288)
так как мы можем выбрать скалярный потенциал V = 0 (см.,
например, Тамм, стр. 454). Векторный потенциал удовлетворяет
уравнению
ДА--^-А = 0 F.289)
при условии
VA = 0. F.290)
Так как электромагнитное поле представляет собой систему
с бесконечным числом степеней свободы, то при его описании необ-
необходимо бесконечное число канонических переменных. Чтобы избе-
избежать этой трудности, рассмотрим случай, когда электромагнитное
поле заключено в конечный объем У, который для простоты можно
считать кубом с ребром L. Такое поле может быть представлено
при помощи ряда Фурье как суперпозиция плоских волн. А именно
если А вместе со своими производными удовлетворяет на поверхности
куба некоторым условиям периодичности, которые мы считаем
граничными условиями уравнения F.289), то общее решение этого
уравнения может быть записано в виде
А = 2 Аке*р, F.291)
к
где плоские волны характеризуются волновым вектором к, ком-
компоненты которого являются целыми кратными 2n/L, т. е.
kx = ~nx, ky~ny, к^Ц-п^ F.292)
где пХу пуу пх — целые положительные или отрицательные числа.
Следовательно, наложенные условия периодичности заменяют
непрерывное пространство, характеризующееся значением к, куби-
кубическим решеточным пространством с постоянной решетки 2n/L
и объемом ячейки, равным Bя/1K. Сумма F.291) берется по всем
точкам кубической решетки объема (V), заданным соотношениями
F.292).
264 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Коэффициенты Ак являются функциями времени и удовлетворяют
уравнениям
l 0 F.293)
kAk = 0; F.294)
следовательно, Ak перпендикулярен киА_к = Ак, так как А — ве-
вещественный вектор.
Если предположить, что ребро куба L достаточно большое,
то его объем (F) можно разделить на элементарные объемы, соот-
соответствующие Akx, AklJy Akz. Поскольку соседние значения
kx, ky, kz соответствуют значениям пх, пу, nz, отличающимся
на единицу, то число возможных значений kx, kyt kz в интервале
Akxt Akyt Akz будет таково:
Общее число Дд возможных значений вектора к, компоненты
которого заключены в интервале Akx, Д/^, Дй2, равно
ЫгхЫгуЫгг. F.295)
Число возможных значений волнового вектора к, длина которого k
заключена в интервале k и k + Д&, а направление — в телесном
угле dQ, можно найти, переходя к сферическим координатам и запи-
записывая, что An пропорционально элементу объема, т. е.
F.296)
Если к может иметь всевозможные направления (?2 = 4я), то
An = ^k2Ak. F.297)
Учитывая вещественность вектора А, вместо F.291) запишем
A- 2(ake*r + a?e~*r)> F.29Г>
где а* зависят экспоненциально от времени. Окончательно
А = 2 [aOkei(kr^*f) + aSiEei(-*kr+fl>*0]. F.29Г)
к
где o)/t = ^, а перпендикулярный к к вектор ао* определяет
направление поляризации волны.
§11. Гамильтонова форма уравнений поля 265
Пользуясь представлением F.291'), можно вычислить век-
векторы поля при помощи соотношения F.288); имеем
аЬНкг), F.298)
к
h = / 2 [(к X ak) e^ - (к х ак) e-**]. F.299)
к
При вычислении энергии поля
заметим, что при возведении в квадрат следует учесть, что
произведения членов, в которые входят разные волновые век-
векторы (к Ф к'), обращаются в нуль при интегрировании по объему {Т),~
так как они содержат множители вида
а интегралы типа
О
равны нулю при пх Ф О,
В результате находим
W = U 2 [^2ака^ + (к X ак) (к X aj)].
к
Поскольку kak = 0, то
(к х ак) (к х aj) = ^2ака^.
Можно поэтому записать
2 F.300)
откуда следует, что энергия поля равна сумме энергии плоских
волн. Аналогично полный электромагнитный импульс поля равен
к
Следовательно, при помощи разложения F.29Г) поля по плос-
плоским волнам оно может быть описано при помощи дискретного ряда
переменных ак, а не при помощи потенциала А(х, у, г, t)y предста-
представляющего по существу непрерывное множество переменных. Для
того чтобы это описание стало аналогичным гамильтонову описаник>
'266 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
механической системы, можно ввести «канонические переменные»
путем подстановки
Q = a(a + a) ^
aJ)==Qk,
где а —константа, которую нужно определить.
При помощи этих канонических переменных получаем гамиль-
гамильтониан поля, подставив F.302) в выражение энергии F.300):
Константа а определяется, если заметить, что, согласно кано-
каноническим уравнениям,
С7* i-
по следующей формуле:
Отметим, что если в разложении F.29Г) нормировать коэффи-
коэффициенты, то а будет нормирующим множителем, и в этом случае
она не входит в F.302).
Следовательно, гамильтониан электромагнитного поля в пу-
пустом пространстве имеет вид
_ . F.303)
к
«Канонические уравнения движения»
^^—р^ ^ = Qk F.304)
эквивалентны уравнениям поля, т. е. уравнениям F.293). В са-
самом деле, легко проверить, что они приводят к уравнениям
Qk ~~\~ G)jlQk == 0. F.305)
Отметим, что аналогично вектору ак векторы Qk, Pk перпен-
перпендикулярны вектору к и имеют две независимые компоненты
QkjiPujU = 1,2), соответствующие двум направлениям поляризации
соответствующей плоской волны, так что
?,-, F.306)
§11. Гамильтонова форма уравнений поля 267
и вследствие этого
22 \ F.303')
Гамильтониан электромагнитного поля в пустом пространстве
может быть представлен как сумма гамильтонианов линейных гар-
гармонических осцилляторов Stfkj- Поэтому при помощи разложения
F.291) [соответственно F.29Г)] поле можно считать эквивалент-
эквивалентным системе линейных гармонических осцилляторов.
Представление поля в виде линейных осцилляторов может быть
осуществлено или при помощи переменных ak, ajL или при помощи
Qk, Рк. В последнем случае
—7^(Pk
2kL . F.307)
А = -4г У\ -г (ск(*ь cos кг ~ р* sin кг)- F.308)
к
2. При рассмотрении электромагнитного поля в некоторой
области пространства, в которой имеются заряды, т. е. поля,
определенного уравнениями Максвелла — Лоренца в виде функции
электродинамических потенциалов, его можно представить уравне-
уравнениями F.21) (записанными в рационализованных гауссовых еди-
единицах):
F.309)
Чтобы записать эти уравнения в каноническом виде, предположим,
как и в предыдущем случае, что поле заключено в некотором объеме
L3, и потребуем в качестве граничных условий, чтобы потенциалы А
и V были периодическими на поверхности, ограничивающей рас-
рассматриваемый объем. В этом случае потенциал можно разложить
в ряд Фурье.
В общем случае, когда VA Ф 0, пользуемся свойством, что любое
векторное поле может быть представлено в виде суммы поля с источ-
источниками, т. е. потенциального поля, и поля без источников, т. е. вих-
вихревого поля:
F.310)
268 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
где
O, Az- -V*. F.311)
Очевидно, потенциал At совпадает с потенциалом поперечного
электромагнитного поля в пустом пространстве. Потенциал Aj
представляет собой продольное поле типа электростатического.
Аналогично разложению F.291) можем записать для А*
где Акг удовлетворяют волновому уравнению и граничным усло-
условиям (функция Акг периодична на границах)
Можно показать1), что Акг образует ряд решений волнового урав-
уравнения, которые ортогональны ко всем решениям поперечного поля
Aki; следовательно, Akf и Akj образуют полную систему ортого-
ортогональных решений волновых уравнений с указанным граничным
условием. Можно также разложить в ряд Фурье и потенциал V
и доказать, что это разложение совпадает с разложением i|)
[см. F.311)], так как оно удовлетворяет тому же уравнению и тем же
граничным условиям.
Можно выбрать электродинамические потенциалы таким обра-
образом, чтобы V = 0. В этом случае вместо F.309) имеем
F-309')
Разлагая в ряд векторный потенциал А по функциям
которые мы предполагаем нормированными, можно записать по
аналогии с F.291)
A=2?kiUki, F.312)
ki
где
-Л1/2ак^Ч F.3127
,3 J
jj ^kiak4' dv = c4kk>6u,. F.312")
Здесь k относится к направлению распространения плоской волны,
/определяет направление поляризации (/=1, 2 соответствует
поперечной волне, a i = 3 — продольной волне), вектор акз направ-
направлен по вектору к; следовательно, акзХк==0, Vxuk3 = 0. Так
См., например, [27].
§11. Гамильтонова форма уравнений поля 269
как поле можно разложить на продольное и поперечное, то можно
записать
A = Az + A«=2(^Uz + i7*u?) + S(^Ut + 9?u?). F.313)
i t
где
Vxuz = 0, Vu, = O.
Из уравнений F.309') с учетом соотношений
Auki = — co|uki
ш
V (Vuz) =
следует
± V (qt + tfq
t I
Умножая это соотношение на Uki, интегрируя по всему про-
пространству и учитывая ортогональность функций, получаем урав-
уравнения
F.314)
Если предположить, что в поле имеются точечные заряды, то
интеграл можно заменить суммой
где Vj — скорость /-й частицы, находящейся в точке Р^. Если
учесть выражение гамильтониана поля в пустом пространстве
F.300) и гамильтониана электрона F.198'), то выражение гамиль-
гамильтониана в общем случае будет иметь вид
t I i
F.315)
где первая сумма берется по значениям t > 0 и, так как q-t^q*
и pt = q* = j(otqh эквивалентна F.300), а значит, выражает энер-
энергию поперечного поля; вторая сумма представляет собой энергию
продольного поля. Следовательно, первые две суммы представляют
<:обой энергию электромагнитного поля. В этом можно убедиться,
заметив, что
270 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
С учетом ортогональности функций и> и* [см. F.312")] первый
член дает
2 w* = 2 м* + 2 wf=2 р?р«+2 pf p»,
f г * I
а второй член преобразуется в
t
если учесть
J (V х и,) (V X uft) Л; = J [u, X (V X иЛ)]Л dS + J [u2V X (V X uft)] dtr
и
поскольку поверхностный интеграл, записанный выше, обращается
в нуль из-за периодичности на границе функции и и ее производных.
Записав канонические уравнения, вытекающие из гамильтониана
F.315):
dpt ' H dqt *
Я1-~д^Г> Pl-~ dqi '
можно легко проверить, что эти уравнения записываются следую-
следующим образом:
+ 2
эти уравнения эквивалентны уравнениям F.314).
Важно заметить, что энергия продольной части поля представ-
представляет собой энергию кулоновского взаимодействия (статического)
между рассматриваемыми частицами. Чтобы доказать это, восполь-
воспользуемся первым уравнением из F.309'). А именно, учитывая, что
Vuz = O, можно записать
С другой стороны, имеем
ff 11. Гамильтонова форма уравнений поля 271
где функции fh образуют ортогональную систему
Следовательно, уравнение F.309') принимает вид
к
Умножая на Д и интегрируя, получаем
где ft (Pt) — значение fjj, соответствующее положению Pt t-ir
частицы. Аналогично получаем
¦ с2 ZJ ZJ со?
I г г, г'
В этом выражении при суммировании по i и V сочетание IV
встречается дважды (i Ф i). Следовательно, две частицы дают
член
где J{?«' — функция координат точек Р* и /V. Считая точку
фиксированной, имеем, поскольку Д/=—со2/, уравнение
где S(Pj— Pv) — 0, за исключением случая, когда Рг совпадает
с Р|'. Следовательно, гамильтониан J^ii' как функция положе-
положения точки Ри которую мы считаем переменной, удовлетворяет
уравнению Пуассона с единственной особенностью в точке Рг,
а значит,
Лгг'
где /*п—расстояние между двумя рассматриваемыми частицами.
Поэтому
Следовательно, 3&w тождествен кулоновской энергии точеч-
точечных зарядов, находящихся в поле.
272 Гл. VI. Релятивистская теория электронов
Итак, гамильтониан F.315) можно записать в окончательном
виде, в который уже не входит компонента продольного поля
F.315')
Легко проверить, что канонические уравнения
dxt д&в dn^ д<Ш
dt ^я@ ' dt dxt '
представляют собой уравнение движения электрона
d mv
dt м-ю\Ч2 """ V"T с
ГЛАВА VII
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Введение
В гл. V мы показали, каким образом Лоренц A890 г.), исходя
из микроскопического поля электронов, вывел уравнения макро-
макроскопического поля для медленно движущихся тел в предположении,
что эти тела не являются магнетиками. Хотя выведенные Лоренцем
уравнения и объясняют эффекты первого порядка лучше, чем
уравнения, полученные Герцем, который основывался на гали-
леевых преобразованиях, последовательно оставаясь в рамках
классической теории, все же они не являются удовлетвори-
удовлетворительными, поскольку теория Лоренца не учитывает основных
положений теории относительности и неприменима к магне-
магнетикам.
Эйнштейн в работе, опубликованной в 1905 г. [1], попы-
попытался решить эту проблему, полагая ее основной целью своей спе-
специальной теории относительности, но ему не удалось получить
общий вид электромагнитных уравнений для движущихся сред.
Он ограничился в основном уравнениями микроскопического поля
одного электрона. Впервые эта проблема была решена вполне удо-
удовлетворительно с феноменологической точки зрения Минковским [2]
на основе специальной теории относительности.
Впоследствии Делленбах показал, что эти релятивистские
уравнения макроскопического поля для движущихся тел могут
быть получены усреднением релятивистских уравнений микроскопи-
микроскопического поля, если изменить подходящим образом рассуждения
Лоренца.
Метод, использованный Делленбахом, был подвергнут критиче-
критическому разбору Виглиным, который указал правильный метод
усреднения микроскопических уравнений, записанных в четырех-
четырехмерном виде.
Таким образом, в настоящее время макроскопическая реляти-
релятивистская электродинамика представляет собой хорошо обоснован-
обоснованную теорию, разбор которой позволяет рассмотреть с общих пози-
позиций многие проблемы, изложенные в предыдущих главах.
18 В. Новаку
274 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
§ 1. Ковариантная формулировка уравнений электромагнитного
поля в общем случае произвольной материальной среды.
Уравнения Минковского
Как мы видели в гл. V, § 1, уравнения электромагнитного поля
в случае пустого пространства могут быть записаны в ковариантной
форме [см. E.12) и E.13)] при помощи понятий тензора электро-
электромагнитного поля и 4-вектора плотности тока-заряда:
В данном случае (движущаяся среда) оказывается, что 4-вектор
плотности тока-заряда J^ в собственной инерциальной системе,
связанной с рассматриваемым телом, может иметь отличную от
нуля пространственную компоненту
где i° — плотность тока рассматриваемого тела, находящегося
в относительном покое. Переходя от собственной системы (S0)
к инерциальной системе (S), движущейся по направлению оси
Ог°, имеем
/3 = a(/»-UQ0), Q = a(y~?i;). G.1)
Первое соотношение допускает простую физическую интерпре-
интерпретацию, поскольку в правой части появляется конвекционный ток
Роуленда, вызванный переносом заряда q° со скоростью v. Интер-
Интерпретация второго соотношения несколько сложнее, ибо если
в собственной системе тело нейтрально (q° = 0), to относительно
системы (S) оно оказывается заряженным электричеством с плот-
плотностью q Ф 0. Таким образом, контур, через который проходит
ток плотностью i, помещенный параллельно плоскости х°Оу°у
окажется заряженным в системе (S) электрическими зарядами,
т. е., помимо магнитного момента, будет обладать и электрическим
моментом. Чтобы понять появление этого электрического заряда,
обратимся к одномерной микроскопической модели металла. Пред-
Предположим, что электроны движутся вдоль цепочки положительных
ионов, которые мы предполагаем неподвижными и расположенными
вдоль оси 0z°. Равенство q° = 0 означает, что в некоторый момент
t° вдоль оси 0z° плотности положительных и отрицательных зарядов
равны друг другу.
Проведем в плоскости (ct, z) мировые линии ионов и электронов
(фиг. 36). Первые будут прямыми, параллельными оси ct° (так как
ионы предполагаются неподвижными), в то время как мировые
линии электронов будут наклонены к ct°, ибо электроны движутся
относительно решетки ионов. Строя чертеж в предположении, что
1. Ковариантная форм, ур-ний электромаг. поля, Ур-ния Минковского 275
при ^° = 0 каждый электрон находится против иона, замечаем, что
в системе (S) расстояние между мгновенными положениями двух
соседних электронов не равно уже расстоянию между двумя сосед-
соседними ионами. Следовательно, можно заключить, что относительно
,*•+* + +
/
/
/
ct
/
/
/
/ / /
/
Фиг. 36.
системы (S) появляются нескомпенсированные положительные
заряды, которые по отношению к системе (S0) соответствуют отри-
отрицательному току в металле.
Рассмотрим уравнения Максвелла:
VxH = i + D
VxE=-B,
С учетом соотношений
уравнения G.2) перепишутся следующим образом:
где
, Q'=— VP
G.2)
G-3)
G.4)
G.2')
G.5)
суть соответственно плотности фиктивного поляризационного тока
и заряда. Определяя 4-вектор плотности поляризационного тока
Т(М)
G.6)
18*
276 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
где
О М3 —М2 jcPt\
з 1/21 /7?\
УИ2 —Mi О jcPz I * '
¦ K^i — jcP2 — /сР3 О /
есть тензор электрической и магнитной поляризаций, можно пере-
переписать уравнения G.2') в ковариантной форме аналогично урав-
уравнениям E.12):
I т(Щ\ /7 Q\
Поскольку соотношения G.4) могут быть записаны в виде
то, помимо тензора электромагнитного поля Fiv, определенного
соотношениями E.10), следует определить второй тензор G^v,
называемый тензором возбуждения электромагнитного поля, соот-
соотношением
^ Р АЛ /7 О\
kv — ТГ —lvllkvi У1**7}
так что
0 #з —Н2 —jcDA
- Я3 0 Ht - jcD2 \
Нг-Нг 0. —/с?», I- GЛ0>
jcDi* jcD2 ]сЭг 0 /
В этом случае с учетом G.6) и G.9) уравнение G.8) перепи-
перепишется в виде
¦^- = А- G-И)
Это уравнение является ковариантной формой записи группы урав-
уравнений G.2) с источниками. Ковариантная форма уравнений без
источников имеет прежний вид [см. E.13)]:
Следовательно, для записи в ковариантной форме уравнений
макроскопического электромагнитного поля в материальных средах
необходимы два тензора.
1. Ковариантная форма записи уравнений, характеризующих
материальную среду. В случае свободного пространства в собствен-
§ 1. Ковариантная форм, ур-ний электромаг. поля. Ур-ния Минковского 277
ной системе отсчета имеем
D° = eoEof В° = ^0Н0, i° = 0. G.13)
Эти уравнения просто записываются в ковариантной форме, так как,
согласно G.9), имеем
Gbv^ — Fbv'
В материальной среде
D° = eE<\ В° = цН°, 1° = уЕ°> G-14)
и, переходя при помощи специального преобразования Лоренца
к системе E), с учетом соотношений E.76) получаем
D,,=eE,,, ( + ) ( + )±
\ \L G.15)
в1)
(
Замечаем, что форма уравнений G.14) не сохраняется.
Как показал Минковский, можно записать уравнения G.14)
в ковариантной форме. С этой целью для упрощения выкладок
используем следующие две леммы, доказательство которых полу-
получается немедленно.
Лемма 1. Если компоненты тензора равны нулю в некоторой
инерциальной системе отсчета, то они будут равны нулю и в любой
другой инерциальной системе отсчета.
Лемма 2. Если компоненты двух тензоров равны (совпадают)
в некоторой инерциальной системе отсчета, то они остаются рав-
равными и в любой другой инерциальной системе отсчета.
Рассмотрим соотношение
D° = eE°. G.16)
С учетом E.10) и G.10) его можно записать в виде
GU
— GU^zFU F=1, 2, 3).
Учитывая, что 4-вектор скорости в системе (S0) имеет вид
и& = @, jc)
и, следовательно, можно записать
получаем, согласно лемме 2,
Это — ковариантная форма соотношения G.16).
278 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
Аналогично для проекции векторов, входящих во второе соот-
соотношение G.14), на ось OXi
Bl^iiHl G.17)
получим
f203 = ^203, или ад = [хО27С G.17')
Дополняя это соотношение нулевыми членами, перепишем его
в виде
ВД + ПК + ПА = ^ (G2V40 + G>1 + ад-
Аналогично проекции на остальные две оси можно записать сле-
следующим образом:
Эти соотношения дополним тождеством
Г 12^3 1^ Г 23^1 ^ Г 31U2, ~~ Г ^12W3 l^ U23W1
Согласно сформулированным леммам, относительно некоторой
системы (S) можно записать соотношение
FpoUx + FgkUp + Fkpua = ii (GpauK + GokUp + GK()ua). G.17")
Это и есть искомая ковариантная форма.
Третье соотношение G.14), если взять проекцию векторов,
входящих в него, на ось O
запишется в виде
Дополняя его нулевыми членами, получаем
J°k = yFokGuoa (й=1, 2, 3). G.18)
Заметим, что для четвертой компоненты /? = jcq° уже нельзя
записать аналогичного соотношения, так как F\Gu% = 0. Но по-
поскольку можно записать
К = - ^ №) < = - ± DЛ) til G.19)
то, дополняя нулевыми членами G.18), получаем вообще соот-
соотношения
^ • G-20)
Согласно сформулированным леммам, это выражение ковариантно.
§ U Ковариантная форм, ур-ний электромаг. поля. Ур-ния Минковского 279
Отметим, что из G.20) следует ковариантное разложение
4-тока на 4-ток проводимости и конвекционный 4-ток
J» = J* + J», G.21)
С V
где
Jv^yF^Uo, «/? = A°, 0),
с с
следовательно,
vL v
Поэтому ковариантное выражение закона Ома имеет вид
^ + -^ (»oJo) и» = yF^Uo. G.20')
1. Отметим, что в соотношение G.16') входят следующие
векторные величины:
F — F и G 22^
G — —G и П 2Я^
компоненты которых суть
и соответственно
GJ = (Do, 0), Gp=faD*, ^-oD*-v>) , G.23')
\ С /
где
VvxH G.24)
представляют эффективное поле.
Отсюда следует, что соотношение G.16') может быть записано
в виде соотношения между векторами эффективного поля
Интерпретация 4-векторов G.22) и G.23) простая: они предста-
представляют собой 4-силу, действующую на единичные заряды, которые
находились бы в полости, вырезанной внутри равномерно движу-
движущейся среды так, чтобы эта полость имела соответственно вид тон-
тонкого цилиндра (для Е*) и плоского диска (для D*), оси которых
параллельны направлению движения.
2. Используя дуальные тензорам F^ и G^v псевдотензоры, опре-
определенные соотношениями
280 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
где exa,nv — единичный тензор четвертого порядка, антисимметрич-
антисимметричный по всем индексам, можно образовать величины
П = т f >а, в; = 1 G>a, G.25)
компоненты которых суть
^° = (В°, 0), F* = faB*, laB^-vV
G 25')
G*° = (Ho, 0), G*=(aH*, iaH*.v) f
где
B* = B-^(vxE), H* = H-(vxD) G.26)
представляют эффективное поле.
Отсюда следует, что соотношение G.17) может быть записано
и в следующей ковариантной форме:
F* = fiG*, или F^v = ^G*v«v, G.27)
которая эквивалентна G.17'); следовательно, соотношение типа
G.17) может быть записано и для магнитного эффективного поля
B* = jxH*. G.28)
3. Отметим, наконец, что тензоры электромагнитного поля
могут быть выражены при помощи 4-векторов G.22), G.23) и G.26):
G.29)
Легко проверить, что соотношение G.28) с учетом G.29)
и G.16') можно записать в виде
G^v = у [F^ + (efx - eofio) (u^Fv - t/vFH)]. G.30)
Это ковариантное выражение содержит оба соотношения G.16)
и G.17).
2. Лоренцева форма уравнений электродинамического поля для
равномерно движущихся сред. Отметим, что, используя эффектив-
эффективные поля Е*, Н*, определенные соотношениями G.24) и G.26),
можно переписать векторные уравнения макроскопического поля
в форме, которой мы обязаны Лоренцу. А именно
§ 1. Ковариантная форм, ур-ний электромаг. поля. Ур-ния Минковского 281
Учитывая условия
VB = 0, VD = q, G.31'}
а также соотношения D.2) и вводя обозначения Лоренца [3}
можно записать
В= -VxE*,
G.32>
D+i-QV = VxH*,
или в интегральной форме
\KdS= -Л E*dl,
:nds=[n*di,
где, если учесть G.1), полный ток будет выражаться следующим
образом:
С = D+ i - qv = D+ ic. G.33)
В левую часть уравнений G.32") входит интеграл по поверх-
поверхности, которая движется со скоростью v, а в правую часть — интег-
интеграл, который берется по контуру этой поверхности.
Уравнения G.32") обобщают уравнения Максвелла, записанные
в интегральной форме, на случай движущихся тел. Отметим, что
первое уравнение G.32") дает точное выражение для явления элек-
электромагнитной индукции в случае движущегося проводника или
движущегося магнита.
Из этих уравнений вытекают граничные условия на поверхности
раздела двух различных сред, в случае когда эти среды движутся.
Они оказываются аналогичны условиям для случая покоящихся
сред, из которых могут быть получены при помощи преобразования
Лоренца. А именно на граничной поверхности движущихся тел
тангенциальные компоненты векторов Е* и Н*, а также и нормаль-
нормальная компонента вектора В непрерывны, а нормальная компонента
вектора D разрывна, если предполагать скорость v непрерывной,
т. е. одинаковой на обеих сторонах рассматриваемой граничной
поверхности. Если вектор v разрывен, т. е. при пересечении гра-
границы имеет место скачок от 0 к v, как, например, в случае униполяр-
униполярной индукции, где фигурирует тангенциальная скорость (v = vt),
то непрерывными будут тангенциальные компоненты не векторов
Е* и Н*, а векторов Е и Н. Это можно показать, повторяя рассу-
рассуждения, проведенные, например, в книге Тамма на стр. 427, если,
учесть G.32) и помнить, что мы рассматриваем квазистационарный
282 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
случай, а именно
B=-Vx(vxB), C=-Vx(vxD) + i
и имеем
- J [V X (v х B)]№dS= - J (v х В) d\.
Из G.32") следует
_ J (VXB)dl= - J Edl— J (vxB)dl,
значит,
т. е. тангенциальная компонента вектора Е непрерывна.
Аналогично
- J (VxD)dl+ J fadS= J Hdl- J (vxD)dl,
откуда следует, в случае когда можно пренебречь интегралом,
относящимся к току i,
т. е. непрерывность тангенциальной компоненты вектора Н.
Итак, уравнения Минковского макроскопического электромаг-
электромагнитного поля для движущихся тел получаются из уравнений Макс-
Максвелла для покоящихся тел при помощи преобразования Лоренца.
Как показал Франк [4], уравнения Герца для движущихся тел
получаются при помощи преобразования Галилея из уравнений
Максвелла для покоящихся тел.
§ 2. Переход от микроскопических уравнений к макроскопическим
в релятивистском случае
Поскольку микроскопические уравнения релятивистской теории
электрона ковариантны относительно группы Лоренца и в случае
покоящихся тел приводят к уравнениям Максвелла (в результате
усреднения), естестзенно ожидать, что в случае движущихся тел
они обязательно приведут к уравнениям Минковского. Как мы
видели (см. гл. V, § 1), осуществляя этот переход, Лоренц пришел
к макроскопическим уравнениям, отличным от уравнений Минков-
Минковского, справедливых только для нерелятивистских скоростей (v < с)
и ненамагничиваемых тел.
Применение метода Лоренца в четырехмерном случае для реля-
релятивистских скоростей было осуществлено Делленбахом [5]. Задача
состоит в вычислении средних от величин, входящих в ковариант-
§ 2. Переход от микроскопических ур-ний к макроскопич. в релятие. случае 283
ные уравнения микроскопического поля (см. гл. VI, § 1), по четырех-
четырехмерным объемам, которые значительно больше объема атомов,
но в то же время достаточно малы, чтобы их можно было рассмат-
рассматривать как бесконечно малые с макроскопической точки зрения.
Как показал Виглин [61, который проанализировал с критической
точки зрения четырехмерное обобщение метода Лоренца, сделанное
Делленбахом, одним из недостатков этого обобщения является то,
что при определении тензора возбуждения G^ (макроскопического),
которое сводится к определению макроскопического тензора момента
M^v, не соблюдается строго определенное условие единственности,
ибо метод определения средней плотности заряда и плотности тока
Лоренцем имеет частный характер. Устраняя отмеченные недостатки,
Виглин указывает строгий метод вычисления средних в четырех-
четырехмерном случае. Для этого рассматриваются четырехмерные элемен-
элементарные микроскопические объемы со, центры которых определены
координатами xv(r, л:4 = jet) и внутри которых каждая точка задана
координатами ?v(§, ?4 = jet) относительно центра, так что d?v —
бесконечно малый элемент, а
dco = dti dl2 d?3 dg4
и макроскопические четырехмерные элементарные объемы rfQ,
точки в которых определены координатами XV(R = г + |,
Х4 = *4+Е4=/с9)> так что dxv ъ ?v — элемент бесконечно малой
длины и dQ = (dx) = со.
Как и в трехмерном случае (см. гл. I, § 7), тензор поля определен
как среднее микроскопического тензорного поля f^. Микроскопи-
Микроскопический 4-вектор плотности тока может быть также представлен
в виде суммы двух слагаемых: конвекционного тока, порожденного
свободными электронами (/мищюЬ, и тока, порожденного связан-
связанными электронами 0'мСикроК- Макроскопический 4-вектор плот-
плотности тока /v, по определению, есть средняя
.СВОб "\ 1-7 г\ а\
1 ) , G.34)
а среднее значение 4-плотности тока связанных зарядов
.связ \ dMvli
] ) =-=—- , G.35)
;микроуг ох v
где тензор плотности момента системы зарядов определяется
из соотношения
^у 2 G-36)
г
вычислением средней во времени. Пространственная часть Мм
представляет собой антисимметричный тензор второго порядка,
284 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
который дуален некоторому аксиальному вектору
G.37)
следовательно, он выражает намагниченность, а временная часть
^^e G.38)
представляет электрическую поляризацию.
Тензор ЛЦг имеет вид G.7):
Jvp.
v \.
1
2
3
4
1
0
-M3
M2
-JcPi
2
M3
0
3
—м2
0
4
jcPi
jcP2
jcP3
0
Доказательство соотношения G.35) проводится с учетом, что
i
где е% — значение i-го элементарного заряда; точно так же
е"
со i со г 0'
Беря 4-мерное среднее1), можно записать
/свяа— ^_
где co = /c0V. Это последнее тензорное выражение можно разло-
жить на симметричную составляющую, которая равна нулю,
и антисимметричную составляющую, в которую входит выраже-
выражение G.36).
Определив тензор индукции макроскопического поля следую-
следующим образом:
G^j^v-A^v, G.39)
что эквивалентно записи [Н = (l/fi0) В —М, D = e0E + P]T замечаем,,
что, беря среднее от микроскопических уравнений F.4), F.5)у
получаем макроскопические уравнения G.11), G.12).
!) Доказательство этого свойства, основанное на теореме Делленбахаг
см. в работе [6].
§ 3. Интерпретация уравнений Минковского 285
§ 3. Интерпретация уравнений Минковского
Из полученных уравнений вытекают следующие важные выводы:
деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное
поля имеет, согласно формулам E.76), относительный характер,
зависящий от выбранной системы отсчета. С этой точки зрения
эффективное значение векторов электрического поля G.24) выра-
выражает истинное значение этой величины в рассматриваемой системе
координат. Видно также, что с физической точки зрения аналогом
напряженности электрического поля Е является магнитная индук-
индукция В, а не напряженность магнитного поля Н [см. G.26)].
Аналогично и деление тока на ток проводимости и конвекционный
ток имеет относительный характер. Даже если по отношению
к системе отсчета E'), связанной с движущимся телом, мы имеем
только ток проводимости, так как плотность зарядов равна нулю,
то по отношению к системе (S), помимо тока проводимости, будем
иметь и конвекционный ток, так как плотность зарядов отлична
от нуля, согласно E.73) и E.73').
Точно так же существует специальная связь между векторами Р
и М. Так, если относительно собственной системы отсчета тело ока-
оказывается электрически поляризованным и не намагничено, то отно-
относительно другой системы E), согласно формулам
L G.40)
И,, - Mf,, М± = а (Mo- v X P°)j_,
оно будет и намагничено. Если М° = 0, то
М±= -a(vxPi), G.41)
где при р < 1 будем полагать a = 1. Следовательно, равномерно дви-
движущееся электрически поляризованное тело имеет магнитный
момент, т. е. намагничено. Конвекционный ток в поляризованном
диэлектрике эквивалентен циркуляции зарядов по поверхности.
Аналогично если Р° = 0, то
P1 = a^xMi; G.42)
следовательно, равномерно движущееся намагниченное тело стано-
становится электрически поляризованным.
Феноменологическая теория Минковского дает возможность
объяснить с единой точки зрения все экспериментальные наблюде-
наблюдения, проведенные над электромагнитными явлениями в движущихся
телах (см. гл. IV, § 3). Так, объяснение опыта Роуленда следует
из формул преобразования 4-вектора тока и из вышеприведенного
замечания о том, что конвекционный ток порождает магнитное поле
286 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
такое же, как и ток проводимости, и отличие между ними лишь
относительное.
Для объяснения эффектов первого порядка, т. е. тех, для кото-
которых Р < 1, отбросим члены с Р2 и положим а = 1.
В дальнейшем будет удобно пользоваться соотношением G.27O
в котором
Ввиду наличия множителя е|л—ео|Яо в выражении Fp [см. G.22)]
сохраним лишь члены, в которые входит множителем скорость с:
Fp ъ Fpbjc.
Следовательно,
Gik ъ — [Ftk + (е^ — еоцо) (viFu — vkFu) jc]
или
В ^ \хН - (ер - 80fx0) (vxE), G.43)
D ^ еЕ + (eft - eofxo) (v X H). G.44)
При помощи соотношения G.43) можно дать удовлетворительное
объяснение опыту Рентгена — Эйхенвальда (см. гл. IV, § 3). В усло-
условиях опыта, если электрическое поле перпендикулярно скорости v
поступательного движения в диэлектрической среде (fx = fxo)>
будем иметь
E_l = E, Е|| = 0,
а Н = 0; таким образом, магнитное поле в диэлектрике будет
равно
В = цо(ео — e)(vx E).
Плотность тока на поверхности будет, следовательно, такова:
km = — п X М = — -f п х В == (е — е0) п X (v х Е),
т. е.
кте = (в-е0ИЕ|. G.45)
а это и есть выражение плотности тока Рентгена.
Для объяснения обратного явления, изученного Вильсоном
(см. гл. IV, § 3), будем пользоваться соотношением G.44), принимая
во внимание, что в данном опыте электрическое поле равно нулю,
а магнитное поле перпендикулярно скорости поступательного дви-
движения. Следовательно, в диэлектрике (\i = [х0) будем иметь
D = цо (е - е0) (vxH) = (e- e0) (v X В).
Плотность зарядов, появившихся в результате поляризации, будет
а = n (D2 — DO = — nD = — (е — е0) 01 В |, G.46)
§ 3. Интерпретация уравнений Минковского 287
ИЛИ
| Н |.
Как мы видели, опыт Эйхенвальда показывает, что при движе-
движении поляризованного диэлектрика возникает магнитное поле,
обусловленное намагниченностью М, полученной диэлектриком
вследствие вращения, ибо в состоянии покоя М° = 0, что немед-
немедленно получается из соотношений G.41). Обратное явление, т. е. воз-
возникновение электрической поляризации при вращении, наблюдается
в случае так называемой униполярной индукции, которая широко
используется в технике. Этот эффект также следует из формул G.40).
Заметим, однако, что релятивистский эффект не проявляется
в чистом виде в случае вращения магнита, а проявляется только
в случае равномерного поступательного движения перпендику-
перпендикулярно магнитному полю (ср. Тамм, стр. 546).
Явление униполярной индукции, которое на первый взгляд
кажется парадоксальным, может быть легко объяснено при помощи
формул G.40), поскольку в поступательно движущемся магните
возникает электрический момент. Что касается электромагнитной
индукции, то экспериментально установлено, что на концах про-
проводника, движущегося в поперечном магнитном поле, появляется
разность потенциалов. Когда источник магнитного поля внешний,
объяснение получается очень просто. Явление кажется парадок-
парадоксальным, когда магнитное поле создается постоянной намагничен-
намагниченностью М движущегося стержня, ибо такой стержень эквивалентен
с точки зрения магнитного действия системе молекулярных токов.
Индукцию, называемую униполярной, нужно рассматривать как
релятивистский эффект в том смысле, что электрическое поле, воз-
возникающее в движущемся стержне, вызвано поляризацией Р, задан-
заданной соотношением G.42). Принимая во внимание соотношения
G.32"), т. е. уравнение
|= - J BndS,
где Е* —эффективное поле, a g* — электродвижущая сила, в слу-
случае униполярной индукции замечаем, что
Поскольку поле В уже не однородно, то электрическое поле не
будет безвихревым.
Практически униполярная индукция реализуется путем равно-
равномерного вращения намагниченного стержня. Вообще рассмотрение
такого случая вращающейся системы выходит за рамки специальной
теории относительности. Тем не менее в случае равномерного вра-
вращения остаются справедливыми вышеприведенные формулы, если
'288 Гл. VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика
учесть, что речь идет об эффекте первого порядка и что для электро-
электромагнитных явлений поверхность Земли представляет собой лорен-
цеву систему отсчета, а в этом приближении она инерциальна.
§ 4. Тензор энергии-импульса в релятивистской
феноменологической электродинамике
Чтобы дополнить уравнения макроскопического поля G.3),
Минковский определил тензор энергии-импульса Т^ так, чтобы
в случае покоящихся сред он совпал с тензором, введенным
в теории Максвелла, т. е. так, чтобы он давал правильные выраже-
выражения для максвеллова тензора натяжений Г^, вектора Умова —
Пойнтинга V, плотности электромагнитного импульса g и плотности
энергии w. С другой стороны, в случае пустого пространства 4-тензор
энергии-импульса должен совпадать с аналогичным тензором микро-
микроскопического поля. Легко проверить, что 4-тензор энергии-импульса
выражается следующим образом:
?Vv = — F»\Gv%, + -j b».vF яАк. G.47)
Так как вместо соотношения F.1) имеем соотношения G.9), связы-
связывающие эти два тензора, то в отличие от микроскопического тензора
энергии-импульса свободного пространства тензор Т^ оказывается
несимметричным у а именно
—*- Y
с
w
что приводит к правильному выражению для плотности электро-
электромагнитного импульса
Как и в случае микроскопического поля, 4-мерная пондеромоторная
сила равна 4-мерной дивергенции тензора энергии-импульса, что
выражает закон сохранения импульса и энергии [см. F.244')],
т. е. теорему Умова — Пойнтинга.
Как показал Минковский, плотность силы Лоренца будет запи-
записываться в следующем виде:
\
x]k ) •
'dx]k
Заметим, что выражение, стоящее в скобках, обращается в нуль
в случае однородных и изотропных сред, а также в случае пустого
пространства. Тензор Т^ определен только с точностью до дивер-
§ 4. Тензор энергии-импульса в релятив. феномен, электродинамике 289
генции по v, т. е. к нему можно добавить член типа (а)х^о,
где Xnvo — произвольный тензор, антисимметричный по индексам \а.
Этот факт тесно связан с тем, что плотность энергии поля определена
с точностью до аддитивной постоянной.
Несимметричность тензора энергии-импульса Минковского G.47)
вызвала продолжительные дискуссии. Считали, что этот факт создает
реальные затруднения в теории Минковского. С другой стороны,
Абрагам [7, 8] построил симметричное выражение этого тензора,
которое в случае изотропных сред в собственной системе отсчета
совпадает с тензором Минковского. Основной аргумент в пользу
симметричного выражения тензора энергии-импульса макроскопи-
макроскопического поля состоял в том, что он должен получаться усреднением
по некоторой пространственно-временной области соответствующего
выражения для случая микроскопического поля. Однако тензор
энергии-импульса микроскопического поля симметричен. Против
этого аргумента следует возразить, как это сделал Мёллер [9],
что электрон вместе со своим микроскопическим электромагнитным
полем образует замкнутую систему, макроскопическое же электро-
электромагнитное поле в материальных средах образует замкнутую систему,
только если принимать во внимание присутствие соответствующего
тела, т. е. к тензору энергии-импульса поля добавить механический
тензор энергии-импульса тела.
19 В. Новаку
ГЛАВА VIU
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Классическая теория электронов Лоренца открыла новую главу
теоретической физики, которую мы сегодня называем физикой
элементарных частиц. Так как мы представляем себе вещество состоя-
состоящим из различных элементарных частиц, знание их свойств и харак-
характера их взаимодействия имеет первостепенное значение. В настоя-
настоящее время уже ясно, что такая теория не может быть построена в рам-
рамках классической электродинамики. К элементарным частицам,
кроме электронов, относят еще около 30 частиц с сильно различаю-
различающимися массами, либо однократно заряженных положительно или
отрицательно, либо нейтральных. Для того чтобы объяснить их
свойства, пришлось ввести различные поля: мезонное, нейтринное
и т. д., не сводящиеся к электромагнитному полю. С другой сто-
стороны, открытие ряда свойств квантового характера и тот факт, что
даже в случае электрона квантовые эффекты играют роль во взаимо-
взаимодействиях, имеющих место на расстояниях больше классического
электронного радиуса, заставили отказаться от слишком узких
рамок классической физики. Теория элементарных частиц основана
прежде всего на квантовой теории поля.
Не намереваясь вдаваться в подробности, мы считаем все-таки
интересным рассмотреть трудности, встречающиеся при объясне-
объяснении классических свойств электрона в рамках классической электро-
электродинамики, и в связи с этим попытки раздвинуть основы классиче-
классической электродинамики с целью устранения этих трудностей.
1. Как мы уже видели, теория Максвелла — Лоренца не может
объяснить существование электронов. При анализе этой теории
Эйнштейн подчеркнул противоречивость сочетания понятий непре-
непрерывного поля и материальной точки и пришел к выводу, что теорию
Лоренца нельзя считать полной. Эйнштейн, между прочим, всегда
считал, что частица не может быть посторонним элементом, который
присоединяется к полю извне, а должна принадлежать самой струк-
структуре поля, образуя локальную аномалию поля, характеризуемую
очень большими значениями поля.
В теории Лоренца фактически мы различаем, с одной стороны,
электромагнитное поле, описанное уравнениями Максвелла, а с дру-
Гл. VIII. Заключение 291
гой стороны, электрон, рассматриваемый как элементарная частица,
несущая либо точечный, либо протяженный заряд. Взаимодействие
поля и частицы определяется силой Лоренца, а движение описы-
описывается классическими или релятивистскими уравнениями движения.
Серьезнейшие трудности появились при выборе модели элект-
электрона. Например, в случае протяженного электрона мы должны
выбрать модель Лоренца, согласно которой электрон является
маленьким шариком, несущим на своей поверхности отрицательный
электрический заряд. В связи с этой моделью возникают вопросы
устойчивости и реакции излучения. Из-за кулоновского отталки-
отталкивания зарядов устойчивость сферического электрона не может быть
обеспечена в рамках электродинамики, если не постулировать суще-
существование давления неэлектродинамического происхождения (давле-
(давление Пуанкаре). Иными словами, нужно соответствующим образом
дополнить тензор энергии-импульса, чтобы привести законы сохра-
сохранения энергии и импульса в соответствие с существованием зарядов
на шаре. При вычислении действия поля электрона на сам электрон
получаем, кроме силы торможения Лоренца, еще ряд членов, содер-
содержащих высшие производные скорости, которые зависят от радиуса
электрона и от принятого распределения заряда. Поскольку эти
члены совершенно неопределенны, то их присутствие в уравнениях
движения ведет к тому, что движение такого электрона также оказы-
оказывается совершенно неопределенным. Как показал Лоренц, чтобы
избежать этих трудностей, нужно отказаться от модели протяжен-
протяженной частицы и принять модель точечной частицы.
Однако теория точечного электрона также не лишена трудно-
трудностей. Одна из главных трудностей связана с бесконечной собствен-
собственной энергией. Опять хотя в уравнение движения входит на сей раз
только сила торможения Лоренца, но, так как она пропорциональна
производной ускорения по времени, уравнение движения является
дифференциальным уравнением третьего порядка. Чтобы его про-
проинтегрировать, помимо начальных значений координат точки и ско
рости нужно знать начальное ускорение. В частном случае неболь-
небольших скоростей и колебательного движения электрона эту труд-
трудность можно обойти, записав реакцию излучения в виде силы затуха-
затухания. В общем же случае уравнение движения приводит к возмож-
возможности самоускорения электрона, даже когда последний свободен,
в силу самодействия собственного поля.
Для устранения этих трудностей намечалось несколько воз-
возможных путей.
2. Одна из возможностей заключается в попытке обойти труд-
трудности путем такого обобщения уравнений микроскопического поля
электрона, чтобы привести их к нелинейному виду. Так как в случае
точечного электрона общая энергия поля, связанного е зарядом,
становится бесконечной, то для получения конечного результата
19*
292 Гл. VIII. Заключение
Лоренц предложил осуществить «обрезание» путем введения класси-
классического радиуса электрона. Но вышеупомянутую трудность можно
устранить и не прибегая к такому формальному приему, а именно
путем построения единой теории, оправдывающей существование
радиуса электрона. Первая попытка принадлежит Ми [1], сформу-
сформулировавшему программу создания теории электромагнитного поля,
в которой свойства элементарной частицы должны вытекать из
свойств поля, подчиняющегося нелинейным уравнениям, которые
получаются с помощью вариационного принципа из релятивистско-
инвариантной функции Лагранжа. В этой теории масса электрона
считается чисто электромагнитного происхождения, а электрон
рассматривается как сгусток поля, т. е. сингулярная область элект-
электромагнитного поля. Исследования Ми указали на необходимость
отказаться от линейных уравнений поля, если мы хотим выявить
структуру электрона через посредство поля. Метод Ми был усо-
усовершенствован Борном и Инфельдом [2]. Нелинейная электродина-
электродинамика, полученная таким путем, ведет к конечной полной энергии
точечного электрона. Точечный заряд представляется как сингуляр-
сингулярность поля, а отклонения от линейности ограничиваются областью
порядка радиуса электрона. Вследствие открытия новых раз-
различных элементарных частиц, заряженных или нейтральных, инте-
интерес к единой электромагнитной теории сильно уменьшился, ибо
стало очевидно, что массу и энергию электрона нельзя считать чисто
электромагнитного происхождения. С другой стороны, в этой нели-
нелинейной классической теории электромагнитное поле с особенностью
оказывается квазистационарным; этот явный недостаток удалось
устранить только путем создания квантовой единой теории основ-
основного спинорного поля, как в нелинейной теории Гейзенберга [3],
открывающей новые перспективы развития нелинейной теории
полей.
3. Работы Дирака [4]1) привели к выводу, что можно получить
конечную энергию и протяженность электрона, не меняя максвелло-
вых уравнений поля, т. е. оставаясь в рамках классической линейной
электродинамики. Метод Дирака заключается во введении способа
релятивистски-инвариантного «вычитания» бесконечных величин,
входящих в теорию точечного электрона Лоренца. В отличие от
метода Лоренца, где поле излучения вычисляется с помощью
запаздывающего потенциала, Дирак использует как запаздывающий,
так и опережающий потенциалы, полагая, что поле излучения
получается из вычитания полей, вычисленных на основе запазды-
запаздывающего и опережающего потенциалов. Впоследствии Элизер[61
обобщил этот метод, положив
?и?л __- b (fean fonep\
' IAV ^' JLtV ' JIV ''
См, также работу Уилера и Фейнмана [5].
Гл. VIII. Заключение 293
где k — произвольная постоянная, равная в случае, рассмотренном
Дираком, 1/2. Определенное таким путем поле излучения удовлетво-
удовлетворяет однородному волновому уравнению и остается конечным вдоль
мировой линии; в отличие от поля теории Лоренца оно не смеши-
смешивается с кулоновым полем. Уравнение движения электрона полу-
получается из законов сохранения энергии-импульса. Оно имеет форму
уравнения Лоренца для случая протяженного электрона. Конеч-
Конечность массы электрона объясняется существованием отрицательной
энергии в конечной области вокруг особой точки поля; эта энергия
компенсирует положительную кулонову энергию. Конечные раз-
размеры электрона объясняются по-новому, а именно допускается,
что внутри электрона свойства пространства-времени не справед-
справедливы, так как поле излучения распространяется со сверхсветовой
скоростью.
Уравнение движения электрона является дифференциальным
уравнением третьего порядка. Элизер [6] изучил это уравнение
и показал, что при произвольном ускорении движение может быть
определено, если учесть, что не все возможные математические
решения соответствуют физически возможным движениям. Физи-
Физически возможные движения характеризуются тем, что в конце доста-
достаточно длительного интервала времени устанавливается равновесие
между испусканием и поглощением поля излучения.
4. Другая попытка устранить трудности, возникающие в клас-
классической теории электрона, заключается в так называемой теории
«вычитательного поля», развитой Боппом [7] и Подольским [8]
на основе идеи, сформулированной Штюкельбергом и обобщенной
затем де Бройлем [9]. Укажем также на один вариант этой теории,
известный под названием теории би-поля [10]. Гипотеза вычита-
вычитательного поля состоит в предположении, что любая точечная
частица с таким же зарядом, как и электрон, взаимодействует,
кроме электромагнитного поля, еще с одним или несколькими полями
мезонного типа. Тензор поля f^v определяется следующим образом:
где gp,v и m,xv — соответственно тензоры максвелловского и мезон-
мезонного полей; эти поля имеют общий точечный источник, а поле f^v
лишено особенностей. Таким образом, для собственной энергии
электрона получается конечное значение. Хотя частица предпола-
предполагается точечной, получается, что ее заряд распределен в простран-
пространстве; поэтому можно ввести понятие «радиуса» частицы. Присут-
Присутствие мезонного поля обеспечивает устойчивость частицы, так как
условие Лауэ выполнено.
Как показал Бопп, если требовать, чтобы только поле, а не осо-
особенность было носителем энергии и импульса, то можно написать
уравнение движения электрона при условии равновесия лоренцевых
294 Гл. VIII. Заключение
сил внутреннего и внешнего полей. Это исчезновение лоренцевых
сил в особых точках получается, если записать выражение силы
излучения по методу, указанному Дираком.
Эта теория знаменательна тем, что она, хотя и линейна, все же
приводит к конечной массе электрона путем введения компенси-
компенсирующего ноля и в то же время описывает «протяженную» частицу.
Как отмечает Соколов [И], она позволяет получить самым прямым
путем уравнение движения точечного электрона. Несмотря на это,
в силу произвольного характера теории ее надо считать лишь вре-
временной теорией, указывающей возможный путь, но приводящей
к ряду затруднений в квантовой области.
5. Другой метод устранения бесконечностей дает так называе-
называемая теория нелокальных полей, в которой частица или область
взаимодействия поля и частицы считаются неточечными, т. е. раз-
размытыми. Не предполагая дать систематическое изложение этой
теории, укажем на то, что была развита релятивистски-инвариант-
релятивистски-инвариантная теория протяженных особенностей [12]. В этой теории плот-
плотность тока-заряда считается распределенной в пространстве-времени
и не связанной жестко с движением центра электрона вдоль своей
мировой линии. Как показал Бопп [13], этого можно добиться, если
в выражении плотности 4-мерного тока и потенциала в дираковском
варианте классической теории точечного электрона заменить функ-
функцию 6[(л:д—^цJ] произвольным формфактором /Ч^ц—|цJ], выбран-
выбранным так, чтобы значения его существенно отличались от нуля только
внутри области порядка классического радиуса электрона:
| (а:^—ЕдJ1 < г\. По этому пути можно развивать теорию поля, очень
близкую к теории Лоренца, с тем преимуществом, что собственная
энергия электрона конечна и что обеспечивается его устойчивость.
При этом можно устранить вышеупомянутые трудности (присущие
дираковскому варианту классической теории электрона), связан-
связанные с его массой и уравнением движения. А именно уравнение дви-
движения пишется при условии, что особенность, представляющая
электрон, не участвует в обмене энергии; другими словами, поток
энергии или импульса через сферу вокруг особенности равен нулю,
т. е. средняя сила Лоренца внутри этой сферы равна нулю. Но вопрос
нахождения решений уравнения движения еще не полностью выяснен.
Дальнейшие исследования Мак-Мануса [14] и Блоха [15] пока-
показали, что формфактор должен быть подчинен более точным ограни-
ограничениям. Если формфактор все же остается произвольным, то это
связано с тем, что он описывает структуру элементарной частицы.
Этот произвол в определении формфактора связан также с несовер-
несовершенным характером классической теории электрона.
Другой путь развития нелокальной теории заключается в том,
что поле считается локальным, а нелокальность вводится во взаимо-
взаимодействие частицы с полем. Этот вариант теории изучался Блохин-
Гл. VIII. Заключение 295
цевым [16], Мак-Манусом [14] и Пайерлсом [17]. Несмотря на
интерес, который представляла эта теория, ее развитие вызвало еще
не устраненные значительные трудности (см. Блохинцев [18]).
6. В заключение можно утверждать, что проблема массы электрона
гораздо сложнее, чем казалась вначале, так как она связана с его
внутренней структурой. Во всяком случае стало ясно, что только
небольшая часть массы электрона, так называемая полевая масса,
может иметь электромагнитное происхождение. Существующие
теории структуры частиц, как классические, так и квантовые, имеют
пока еще незавершенный характер. Исследования приводят
к открытию все новых и новых свойств электрона, а также других
элементарных частиц. Таким образом подтверждается гениальное,
являющееся образцом методологического предвидения положение
о «неисчерпаемости электрона», высказанное В. И. Лениным еще
в 1908 г. в работе «Материализм и эмпириокритицизм» [19].
ЛИТЕРАТУРА
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Abraham M., Becker R., Theorie der Electrizitat, Leipzig, 1933„
Bd. II. (См. перевод: Б е к к е р, Электронная теория, М., 1936.)
Born M., Optik, Berlin, 1933. (См. перевод: М. Б о р н, Оптика, Харьков —
Киев, 1937.)
Born M., Atomic Physics, London, 1935.
Вавилов С. И., Микроструктура света, М., 1950.
Вонсовский С. В., Современное учение о магнетизме, М., 1953.
Иваненко Д. Д., Соколов А. А., Классическая теория поля„
М., 1951.
Н е i t I e r W., The Quantum Theory of Radiation, Oxford, 1949. (См. пере-
перевод: В. Гайтлер, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.)
Ландау Л., Л и ф ш и ц Е., Теория поля, М., 1962.
L a u e M., Die Relativitatstheorie, Braunschweig, 1952.
Livens G. H., The Theory of Electricity, Cambridge, 1918.
Lorentz H. A., The Theory of Electrons, Leipzig, 1916. (См. перевод:
Г. А. Л о р е н т ц, Теория электронов, М., 1953.)
Мандельштам Л. И., Полное собрание трудов, т. 1—3, 5, Изд-во*
АН СССР, 1947—1950.
Р a u I i W., Die Relativitatstheorie, Berlin, 1921. (См. перевод: В. Паули,
Теория относительности, М., 1947.)
R iemann — Weber, Differentialgleichungen der Physik, Braunschweig,.
1925.
Тихоноь А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической
физики, М., 1953.
Rosenfeld L., Theory of Electrons, Amsterdam, 1951.
Sommerfeld A., Vorlesungen iiber Theoretische Physik, Wiesbaden,
1948, Bd. Ill, IV. (См. перевод: т. Ill, Электродинамика, ИЛ, 1958;
т. IV, Оптика, ИЛ, 1953.)
Т а м м И. Е., Основы теории электричества, М., 1956.
Т h i r i n g H., Handbuch der Physik, Bd. XIII, Berlin, 1927.
Tolman R. C, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Oxford, 1934.
Weiss P., Foex G., Le magnetisme, Paris, 1926.
W e i s s P., в монографии «Encyklopedie der Mathematischen Wissenschaften»,
Bd. 5, Leipzig, 1905.
Френкель Я. И., Электродинамика, т. I, M., 1934.
Литература 297
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
К главе I
1. Шпольский Э. В., Атомная физика, М., 1951.
2. L о г е п iz Н. А., в монографии «Enzyklopedie der Matchematischen
Wissenschaften», Leipzig, 1904.
3. L о r e n t z H. A., The Theory of Electrons, Leipzig, 1916. (См. перевод:
Г. А. Л о р е н т ц, Теория электронов, М., 1953.)
4. Abraham M., Ann. d. Phys., 10, 105 A903).
5. Т h о m s о n J. J., Phil. Mag., 11, 227 A881).
6. Л е н и н В. И., Материализм и эмпириокритицизм, Полное собрание
сочинений, изд. 5, т. 18, Госполитиздат, М., 1961.
7. R о s e n f e I d L., Theory of Electrons, Amsterdam, 1951.
К главе II
1. Ландау Л., Л и ф ш и ц Е., Статистическая физика, М., 1951.
2. Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, ИЛ»
1955.
3. Френкель Я. И., Введение в теорию металлов, 2-е изд., М., 1958.
4. Волькенштейн Ф. Ф., Электропроводность полупроводников,
М., 1947.
5. Deby e P., Polar molecules, New York, 1929. (См. перевод: П. Д е б а й,
Полярные молекулы, М., 1931.)
6. Сканави Г. И., Физика диэлектриков, М., 1949.
7. van VleckJ., Theory of electric and magnetic susceptibilities, Oxford,
1932.
8. В о н с о в с к и й С. В., Современное учение о магнетизме, М., 1953.
9. В о н с о в с к и й С. В., Шур И. С, Ферромагнетизм, М., 1948.
К главе III
1. Сканави Г. И., Физика диэлектриков, М., 1949.
2. Аркадьев В. К., Магнитная спектроскопия, М., 1924.
3. А л ь п е р т Я. Л., Г и н з б у р г В. Л., Ф е й н б е р г Е. Л., Рас-
Распространение радиоволн, М., 1953.
4. Born M., Optic, Berlin, 1933. (См. перевод: М. Б о р н, Оптика,
Харьков — Киев, 1937.)
5. Esmarch W., Ann. d. Phys., 42, 1257 A913).
6. О s e e n С W., Ann. d. Phys., 48, 1 A915).
7. Bothe M., Ann. d. Phys., 64, 693 A921).
К главе IV
1. Мандельштам Л. И., Полное собрание трудов, т. 5, Изд-во
АН СССР, М , 1950, стр. 90.
2. L a u e M., Die Relativitatstheorie, Braunschweig, 1952.
3. Hertz H., Wied. Annalen, 41, 369 A890).
4. H e r t z H., Ges. Werke, 2, 256 A894).
6. Lorentz H. A., Versuch einer Theorie der electrischen und magnetischen
Erscheinungen in bewegten Korper, Leiden, 1895.
-6. Lorentz H. A., La theorie electromagnetique de Maxwell et son appli-
application aux corps mouvants, Leiden, 1892.
7. Э й x e н в а л ь д A. A., Ann. d. Phys., 11,421 A903); см. также Эй х е н-
в а л ь д А. А.,,0 магнитном действии тел, движущихся в электромаг-
электромагнитном поле, М., 1904.
8. Б е р н ш т е й н И. Л., ДАН СССР, 75, № 5 A950).
К главе V
1. Lorentz H. A., Electromagnetic phenomena in a system moving with
any velocity smaller then that of light, Amsterdam, 1904.
2. E i n s t e i n A., Ann. d. Phys., 17, 891 A905).
3. P a u 1 i W., Die Relativitatstheorie, Berlin, 1921. (См. перевод: В. Паули,
Теория относительности, М., 1947).
4. Энгельс Ф., Диалектика природы, Маркс — Энгельс, Собрание сочи-
сочинений, изд. 2, т. 20, Госполитиздат, М., 1959, стр. 564.
5. Comstock G. С, Phys. Rev., 30, 267 A910).
6. de Sitter W., Phys. Zs., 14, 429, 1267 A913).
7. A n d e r s о n W. C, Journ. Opt. Soc. America, 31, 187 A941).
8. В irge R. Т., Nature, 771 A934).
9. Мандельштам Л. И., Полное собрание трудов, т. 5, Изд-во
АН СССР, 1950.
10. V о i g t W., Gottinger Nachrichten, 41 A887).
11. Draganu M., Bui. stiint. Acad. R. P. R., 11, 561 A950).
12. Minkowski H., Gottinger Nachrichten, 53 A908); Ges. Werke,
Leipzig, 352, 11.
13. Файнберг Е. Л., в сборнике «Мезон», М., 1947.
14. R о s s В., Hall, Phys. Rev., 54, 223 A941).
15. N e r e s о n N., Rossi В., Phys. Rev., 64, 199 A943).
16. Sommerfeld A., Vorlesungen tiber Theoretische Physik, Bd. Ill»
228, Wiesbaden, 1948. (См. перевод: Зоммерфельд А., Электро-
Электродинамика, ИЛ, 1958.)
17. Энгельс Ф., Анти-Дюринг, Маркс — Энгельс, Собрание сочинений,
изд. 2, т. 20, Госполитиздат, М., 1959, стр. 51.
18. I v e s H. E., S til well G. R., Journ. Opt. Soc. Amer., 28, 215
A938).
19. О t t i n g G., Phys. Zs., 40, 681 A939).
К главе VI
1. S о m m e r f e 1 d A., Ann. d. Fhys., 32, 749; 33, 649 A910).
2. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II, М., 1950
298 Литература
3. Н е г g 1 о t z G., Gottinger Nachrichten, 549 A904).
4. L i enar d A., L'eclairage electrique, 16, 5 A898).
5. W i e с h e r t E., Arch. Neerland, 5, 549 A900).
6. В е с к e r R., Theorie der Elektriziiat, Bd. II, Leipzig, 1932. (См. пере-
вод: Р. Б е к к е р, Электронная теория, М., 1936 )
7. X i t e i с a S., Studii ?i cercttari de fizica, I, № 1, 51 A950).
8. Ландау Л., Л и ф ш и ц Е , Теория поля, М., 1962.
9. В а в и л о в С. И., ДАН СССР, 2, 457 A934).
10. Ч е р е н к о в П. А., ДАН СССР, 2, 451 A934).
11. Черенков П. А., Труды Физического института им. Лебедева
АН СССР, 2, № 2 A944).
12. В а в и л о в С. И., Микроструктура света, М., 1950.
13. Sommerfeld A., Gottinger Nachrichten, 363 A904); 201 A905).
14. Т а м м И. Е., Франк И. М., ДАН СССР, 14, 107 A937).
15. Тамм И. Е., Journ. of Phys. USSR, 1, 439 A939).
J6. Ф р а н к И. М., Успехи физич. наук, 30, 149 A946).
17. Иваненко Д., Соколов А., Классическая теория поля, М.,
1951.
18. «Проблемы современной физики», сборник статей, вып. 7, ИЛ, 1953.
19. То 1 ma n R. С, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Oxford,
1934.
20. E i n s t e i n A., Nature, 106 A921).
21. Einstein A., I n f e 1 d L., Evolution of Physics, 1948. (См. перевод:
А. Эйнштейн, Л. Инфельд, Эволюция физики, М., 1956.)
22. S с h w a r z s с h П d K., Gottinger Nachrichten, 125 A903).
23. L о r e n t z H. A., Theo у of Electrons, Leipzig, 1916. (См. перевод:
Г. А. Л о р е н т ц, Теория электронов, М., 1953.)
24. Ф р а д к и н Е. С, ЖЭТФ, 30, 211 A950).
25. С о к о л о в А. А., Вестник МГУ, вып. 2, 33 A947).
26. С о к о л о в А. А., ЖЭТФ, 18, 280 A948).
27. Н е i t 1 е г W., The Quantum Theory of Radiation, Oxford, 1949. (См.
перевод: В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.)
К главе VII
I.Einstein A., Ann. d. Phys., 17 A905).
2.. М i n k о w s k i H., Gottinger Nachrichten, 53 A908).
3. L о r e n t z H. А., в монографии «Enzyklopedie der Mathematischen
Wissenschaften», Leipzig, Bd. V, 275, 1905.
4. Frank Ph., Ann. d. Phys., 27, 897 A908).
5. Dallenbach, Ann. d. Phys., 58, 523 A919).
6. В и г л и н А. С, ЖЭТФ, 21, 795 A951).
7. Abraham M., Ann. d. Phys., 44, 537 A914).
8. Abraham M., Rend. Pal., 28 A909).
9. M 6 1 1 e r C, The Theory of Relativity, Oxford, 1955.
Литература 299
К главе VIII
1. Mi e G., Ann. of Phys., 37, 511; 39, 1; 40, 7 A912).
2. В о г п М., Ргос. Roy. Soc, A143, 410; А144, 425 A934); Ann. de l'Inst.
H. Poincare, VII A937).
3. Hei sen berg W., Durr H., Mitter H., S с h 1 i e d e r S«,
Yamazaki K., Zs. Naturforsch., 14a, H. 5/6 A959). (См. перевод
в сборнике: «Нелинейная квантовая теория поля», ИЛ, 1959.)
4. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A167, 148 A938).
5. Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157
A945).
6. E 1 i e s e г С J., Rev. Mod. Phys., 19, 147 A947).
7. В о р р F., Ann. of Phys., 38, 345 A940).
8. P о d о 1 s ky В., Phys. Rev., 62, 68 A941); Rev. Mod. Phys., 20, 20 A948).
9. d e В г о g 1 i e L., Compt. Rend., 229, 401 A949); 232, 1269, 1271 A951);
234, 20 A951).
10. Иваненко Д., Соколов А., Классическая теория поля, М., 1951.
П.Соколов А. А., Вестник МГУ, вып. 2, 33 A947); ЖЭТФ, 18, 280
A948).
12. Rzewuski I., Field Theory, Warszawa, 1958.
13. В о р р F., Ann. of Phys., 42, 573 A943).
14. M с M a n u s H., Proc. Roy. Soc, A195, 323 A948).
15. В 1 oc h С, Konig. Danske Vidensk. Selskab. Math. Phys. Medd., 22,
No. 8 A952).
61. Блохинцев Д., Вестник МГУ, вып. 3, 77 A946); вып. 1, 83 A948).
17. Р е i е г 1 s R., Proc Roy. Soc, A214, 143 A952).
18. Б л о х и н ц е в Д. И., Успехи физич. наук, 61, 137 A957).
19. Ленин В. И., Материализм и эмпириокритицизм, Полное собрание
сочинений, изд. 5, т. 18, Госполитиздат, М., 1961.
300 Литература
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства ,,,...„ 5
Предисловие к русскому изданию 7
АТОМИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Глава I. Основы классической электронной теории 11
Введение 11
§ 1. Экспериментальное доказательство атомистического
строения электричества 12
§ 2. Определение удельного заряда электронов 15
§ 3. Основные гипотезы теории Лоренца 22
§ 4. Электромагнитное поле электрона, движущегося мед-
медленно и равномерно 32
§ 5. Поле электрона, движущегося ускоренно 43
§ 6. Динамика электронов, совершающих квазистационар-
квазистационарное движение 49
§ 7. Атомистические основы теории Максвелла в случае ста-
стационарных полей 52
Глава П. Теория электрических и магнитных явлений ... 60
Введение 60
§ 1. Электронная теория проводимости металлов . . .60
§ 2. Теория электрической поляризации 66
§ 3. Теория намагничивания 77
Глава III. Теория дисперсии. Молекулярная оптика 88
Введение 88
§ 1. Теория дисперсии в диэлектрических средах 88
§ 2. Аномальная дисперсия . 96
§ 3. Дисперсия в металлах 100
§ 4. Распространение электромагнитных волн в ионосфере 102
§ 5. Классическая теория когерентного рассеяния .... 104
§ 6. Молекулярная теория распространения света .... 109
§ 7. Явление Фарадея, магнитное вращение плоскости поля-
поляризации 116
302 Оглавление
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава IV. Электромагнитные явления в медленно движущихся телах 123
Введение . . . . » 123»
§ 1. Уравнения Максвелла — Герца 124
§ 2. Уравнения Максвелла — Лоренца в случае движущихся
тел 127
§ 3. Электромагнитные явления в телах, движущихся отно-
относительно Земли 130
§ 4. Влияние движения Земли на электромагнитные явления 137
§ 5. Экспериментальное исследование эффектов второго по-
порядка 142
Глава V. Релятивистская электродинамика . 146-
Введение . . * . 146
§ 1. Пространственно-временная симметрия электромагнит-
электромагнитного поля 14&
§ 2. Постулаты специальной теории относительности . . . 156
§ 3. Преобразование Лоренца 160
§ 4. Преобразование векторных полей 184
§ 5. Релятивистское истолкование эффекта Допплера и абер-
аберрации света ¦ „ 18S
Глава VI. Релятивистская теория электронов . . 188-
Введение . . .... 188
§ 1. Ковариантность уравнений Максвелла — Лоренца.
4-вектор плотности силы 18&
§ 2. Поле электрона, движущегося равномерно 192
§ 3. Интегрирование дифференциального уравнения 4-по-
тенциала 193-
§ 4. Поле ускоренного точечного электрона . . 200
§ 5. Излучение системы точечных зарядов . . 206
§ 6. Эффект Черенкова ... 2\\
§ 7. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса
микроскопического поля 221
§ 8. Релятивистская динамика материальной точки. 4-вектор
импульса-энергии 225
§ 9. Проблема определения массы электрона в электродина-
электродинамике Максвелла - Лоренца 244
§ 10. Классическое уравнение движения электрона. Противо-
Противодействие собственного поля движению 254
§ 11. Гамильтонова форма уравнений поля . . . . 263
Оглавление 303
Глава VII. Феноменологическая релятивистская электродинамика 273
Введение 273
§ 1. Ковариантная формулировка уравнений электромагнит-
электромагнитного поля в общем случае произвольной материальной
среды. Уравнения Минковского 274
§ 2. Переход от микроскопических уравнений к макроско-
макроскопическим в релятивистском случае „ . . . 282
§ 3. Интерпретация уравнений Минковского 285
§ 4. Тензор энергии-импульса в релятивистской феномено-
феноменологической электродинамике 288
Глава VIII. Заключение 290
Литература . . 296
Я. НОВАКУ
ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ
Редактор А. К. Бурцев
Художник К. П. Сиротов
Художественный редактор Е. И. Подмарькова
Технический редактор А. В. Грушин
Корректор Т. С. Бухтина
Сдано в производство 3/VII 1963 г.
Подписано к печати 10/Х 19G3 г.
Бумага 60x90, 9,5 бум. л.
19 9 печ. л.
Уч.-изд. л. 15,2. Изд. № 2/09
Цена 1 р. 26 к. Зак. 887
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер , 2
Московская типо! рафия № 5
Мосгорсовнархоза.
Москва, Трехпрудный пер,, 9