Д.А. ГУБАИДУЛЛИН
ДИНАМИКА ДВУХФАЗНЫХ
ПАРОГАЗОКАПЕЛЬНЫХ
СРЕД
Издательство
Казанского математического общества
Казань -1998

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по гранту Президента Российской Федерации для
молодых ученых-докторов наук (код проекта 96-15-96905) и по гранту РФФИ (код
проекта 97-02-16043).
ISBN 5-900975-15-0
УДК 532@75.8)
Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. - Казань:
Издательство Казанского математического общества, 1998
В монографии в сжатой форме с единых позиций механики многофазных
сред изложены основы развитой теории распространения акустических волн в
смесях газа с паром и каплями жидкости. Основное внимание уделяется изучению
влияния фазовых превращений на процессы дисперсии и диссипации возмущений.
Предложены математические модели, выведены наиболее общие дисперсионные
соотношения, проанализированы некоторые частные случаи, рассмотрены
области применимости.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов
специализирующихся по механике, теплофизике и акустике многофазных сред.
Ил. 36. Библиогр. 94 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор А.В.Костерин
доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Саламатин
Gubaidullin D.A. Dynamics of twophase gas-vapor-droplet media. Kazan:
Kazan mathematical society, 1998
The fundamentals of developed theory of propagation of acoustic waves in the
vapor-gas-droplets mixture are presented in this book in concise form from uniform
positions of mechanics of multiphase media. The main attention is given to study the
influence of phase transformations on the dispersion and dissipation of perturbations.
The mathematical models are suggested, the most general dispersion equations are
derived, some frequent cases are analysed, the fields of applicability are considered.
The book may be useful for scientists, for graduate students and for students
specializing in mechanics, termophysics and acoustics of multiphase media.
© 1998 Д. А. Губайдуллин

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Обозначения 10
ГЛАВА 1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО
АКУСТИКЕ АЭРОЗОЛЕЙ 13
1.1. Обзор теоретических исследований 13
Взвеси без массообмена и парокапельные смеси. Акустика
туманов с фазовыми превращениями. Учет полидисперсного
состава взвеси.
1.2. Обзор экспериментальных работ 20
ГЛАВА 2. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ
ПАРОГАЗОКАПЕЛЬНЫХ СМЕСЯХ 22
2. Г Основные уравнения акустики монодисперсных смесей
газа с паром и каплями жидкости 22
Линеаризованные уравнения движения и состояния. Законы
межфазного взаимодействия. Оценки перепадов давлений и
температур.
2.2. Дисперсия и диссипация слабых возмущений в
монодисперсных парогазокапельных системах 36
Дисперсионные соотношения. Равновесная и замороженная
скорости звука. Анализ дисперсионной зависимости для смеси
воздуха с паром и каплями воды. Связи между амплитудами
возмущений параметров фаз. Об условии применимости
линейного анализа в акустике аэрозолей.
2.3. Характерные времена процессов взаимодействия фаз и
их влияние на дисперсию и диссипацию слабых волн.. 61

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.4. Особенности распространения акустических
возмущений в аэрозолях с малым массовым содержанием
капель 72
Дисперсионные зависимости и асимптотики коэффициента
затухания. Анализ зависимостей декрементов затухания и
фазовой скорости от определяющих параметров.
2.5. Импульсные возмущения малой амплитуды в
монодисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости 93
Волновые уравнения для взвесей с фазовыми превращениями.
Динамика импульсных возмущений малой амплитуды.
ГЛАВА 3. ДИНАМИКА СЛАБЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОЛИ-
ДИСПЕРСНЫХ ПАРОГАЗОКАПЕЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ 105
3.1. Основные уравнения акустики полидисперсных паро-
газокапельных систем . Дисперсионное соотношение .. 105
Уравнения движения и состояния. Дисперсионные соотношения.
3.2. Асимптотики комплексного волнового числа. Средние
радиусы 115
Дисперсионное соотношение для аэрозолей с малым массовым
содержанием капель. Асимптотики волнового числа.
3.3. Анализ влияния полидисперсного состава на
акустические свойства парогазокапельных систем 121
Аэрозоли с непрерывным распределением капель. Двухфрак-
ционные взвеси.
3.4. Сравнение теории с экспериментом 135
3.5. Динамика импульсных волн малой амплитуды в
полидисперсных парогазокапельных смесях 140
Список литературы
149

CONTENTS
Preface 7
Symbols *. 10
CHAPTER 1. REVIEW OF CONDITION OF RESEARCHES ON
AEROSOLS ACOUSTICS 13
1.1. Review of theoretical researches 13
Gas-particle suspensions without mass exchange and vapor-
drops mixtures. Acoustics of fogs with phase transformation.
Account a polydispersion compositions of dispersed mixture.
1.2. Review of experimental works 20
CHAPTER 2. ACOUSTIC WAVES IN MONODISPERSED VAPOR
GAS-DROPS MIXTURES 22
2.1. Basic equations of acoustics of monodispersed vapor-
gas-drops mixtures 22
Linearised equation of motion and condition. The laws of
interface interaction. Valuations of differences of pressures
and temperatures.
2.2. Dispersion and dissipation of weak perturbations in
monodispersed vapor- gas-drops systems 36
Dispersion equations. Equilibrum and frozen sound .speed.
Analysis of dispersion dependencies for a mixture of air with
vapor and drops of a water. Connection between perturbations
amplitudes for parameters of phases. About a condition of
applicability of the linear analysis in aerosols acoustics.
2.3. Characteristic times of phase interaction processes
and their effect on dispersion and dissipation of weak
waves 61

6
CONTENTS
2.4. Features of propagation of acoustic perturbations in
aerosols with a low mass contents of drops 72
Dispersion equations and asimptotics of an attenuation factor.
Analysis of dependencies of attenuation decrements and phase
speed upon the determining parameters.
2.5. Low- amplitude pulse perturbations in monodispersed
vapor- gas-drops mixtures 93
Wave equations for aerosols with phase transformations.
Dynamics of low- amplitude pulse perturbations.
CHAPTER 3. DYNAMICS OF WEAK PERTURBATIONS IN
POLYDISPERSED VAPOR-GAS-DROPS MIXTURE. 105
3.1. Basic equations of acoustics of polydispersed vapor-
gas-drops systems 105
Equation of motion and condition. Dispersions equations.
3.2. Asimptotics of complex wave number. Average radii. ..115
Dispersions equations for aerosols with low mass contents of
drops. Asimptotics of wave number. Average radii.
3.3. Analysis of influence polydispersions composition on
acoustic properties of polydispersed vapor-gas-drops
systems 121
Aerosols with continuous drops distribution. Two-fractional
aerosols.
3.4. Comparison of the theory with experiment. ,.,..,.... 135
3.5. Dynamics of low- amplitude pulse waves in a
polydispersed vapor- gas-drops mixtures 140
List of references.
149

ПРЕДИСЛОВИЕ
Значительный интерес исследователей к проблемам и
задачам механики многофазных сред .обусловлен широким
распространением таких систем в природе и их интенсивным
использованием в современной технике. При этом наиболее
распространенными процессами в многофазных средах являются
волновые процессы, носящие нестационарный характер и
составляющие предмет изучения волновой динамики и акустики
многофазных систем. Примерами многофазных или гетерогенных
систем могут v служить различные смеси газа с каплями или
частицами, жидкости с пузырьками газа, насыщенные газом или
жидкостью пористые среды и т.д. Из многообразия гетерогенных
сред могут быть выделены дисперсные смеси имеющие
сравнительно регулярный характер и представляющие смесь двух
фаз, одной из которых являются различные включения (частицы,
капли или пузырьки).
Исследование нестационарных волновых процессов в
дисперсных смесях газа с каплями обычно осложняется
необходимостью учета полидисперсного состава (неодинаковости
размеров включений) взвеси, поскольку реальные газокапельные
системы являются существенно полидисперсными. Знание
характерных параметров (характерных времен межфазного
взаимодействия, длин выравнивания параметров фаз и т.д.)
полидисперсных аэрозолей и закономерностей распространения в
них волн позволяет предсказывать их поведение в различных
практически важных ситуациях, проводить расчеты режимов
работы разных устройств, аппаратов и установок современной
техники. Полученные теоретические представления могут быть
использованы при обработке экспериментальных данных и
развитии более общих теорий, в также при разработке методов
акустической диагностики и зондирования двухфазных смесей,
контроля протекающих в них процессов. Поэтому важное значение
приобретают исследования по изучению влияния различных
эффектов межфазного взаимодействия (межфазного
тепломассообмена, фазовых переходов, различных физико-
химических превращений) на характер распространения
возмущений в двухфазных газокапельных системах.
В данной книги представлена теория распространения
акустических возмущений в моно-и полидисперсных смесях газа с
паром и каплями жидкости с учетом нестационарных и
неравновесных эффектов межфазного взаимодействия. Дан анализ
влияния фазовых превращений, полидисперсного состава смеси и
определяющих параметров на распространение и затухание волн.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучен ряд неожиданных эффектов акустики аэрозолей, в
частности, аномальный эффект немонотонной зависимости
затухания звука от концентрации капель.
Глава 1 посвящена обзору опубликованных теоретических и
экспериментальных работ по акустике аэрозолей. Основное
внимание уделяется обзору исследований, где рассматривается
распространение возмущений в газокапельных смесях при
наличии межфазного массообмена. Указывается, что влияние
фазовых переходов на процессы распространения волн в аэрозолях
до настоящего времени были изучены недостаточно. Отмечается,
что большинство теоретических исследований по волновой
динамике газовзвесей выполнено в рамках монодисперсных
моделей. При этом могут быть выделены несколько подходов в
изучении распространения акустических волн во взвесях:
дифракционный, континуальный, с использованием
релаксационного формализма неравновесной термодинамики и
термодинамическая теория звука. Указывается, что наибольшие
успехи при исследовании акустики газокапельных систем
достигнуты к настоящему времени в рамках континуального
подхода. Отмечается недостаточность экспериментальных данных
по влиянию фазовых превращений на процессы распространения
волн в аэрозолях.
В главе 2 представлены результаты исследования
особенностей распространения слабых возмущений в
монодисперсных двухкомпонентных двухфазных парогазокапель-
ных системах, Рассмотрены и учтены соответствующие
нестационарные и неравновесные эффекты межфазного обмена
массой, импульсом и энергией. Приведена замкнутая система
линеаризованных уравнений движения парогазокапельной смеси
при наличии неравновесного диффузионного массообмена.
Получено общее дисперсионное соотношение, проанализированы
некоторые частные случаи, рассмотрены области применимости.
На примере воздушных туманов изучен характер
зависимостей скоростей и коэффициентов затухания звуковых
волн от частоты колебаний и основных определяющих параметров
смеси. Проанализированы связи между амплитудами возмущений
параметров взвеси при акустическим воздействии.
Исследованы характерные времена процессов межфазного
взаимодействия в системах типа газ-частицы, пар-капли и
парогазокапельные смеси. Рассмотрено влияние этих времен на
особенности дисперсии и абсорбции акустических волн во взвесях.
Изучена динамика импульсных возмущений малой
амплитуды в монодисперсных туманах с учетом нестационарных
эффектов межфазного взаимодействия. Получены и

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
ттпоанализированы эволюционные уравнения типа волновых,
^гмсывающие распространение линейных волн в одно- и
ухкомпонентных взвесях при наличии фазовых превращений.
В главе 3 развита линейная теория распространения плоских
«олн в полидисперсных парогазокапельных системах с учетом
нестационарных и неравновесных эффектов межфазного
взаимодействия. Получена замкнутая система линеаризованных
интегро-дифференциальных уравнений движения полидисперсной
смеси при наличии неравновесного диффузионного массообмена.
Выведено общее дисперсионное соотношение описывающее
распространение возмущений в полидисперсных
парогазокапельных взвесях с любыми функциями распределения капель по
размерам, справедливое в широком диапазоне частот,
удовлетворяющих требованию акустической однородности среды.
Получены и проанализированы высоко- и низкочастотные
асимптотики комплексного волнового числа. Исследована
возможность введения средних радиусов для описания
акустических свойств полидисперсных парогазокапельных систем.
Изучено влияние фазовых превращений, полидислерсного
состава и определяющих параметров взвеси на характер
дисперсии и диссипации волн в полидисперсных смесях воздуха с
паром и каплями воды. С использованием метода быстрого
преобразования Фурье проведены расчеты эволюции импульса
давления различной начальной формы в воздушных туманах с
непрерывным и дискретным распределением капель по размерам.
Выполнено сопоставление развитой теории с экспериментальными
данными других авторов по затуханию звука в воздушном тумане.
Благодарности. Автор признателен своим учителям
академику Р.И.Нигматулину и профессору А.И.Ивандаеву и
выражает им глубокую благодарность за постоянное внимание,
советы и ценные замечания.
Автор благодарит доктора физико-математических .наук
Н-АТумерова за полезные обсуждения.
Автор считает приятным долгом выразить искреннюю
признательность профессору А.В.Костерину и профессору
АЛ.Саламатину за рецензирование рукописи.
Автор признателен член-корреспонденту РАН М.А.Ильгамову
и член-корреспонденту РАН ЮГ.Назмееву за внимание и
поддержку и благодарит сотрудников ИММ КНЦ РАН, кафедры
механики Казанского филиала МЭИ и всех тех кто содействовал
0сУЩествлению данной работы.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Латинский алфавит
Аф - комплексная амплитуда возмущений параметров ф = р, v, p, T,...
а - радиус частиц или капель (м);
Oij - средние радиусы капель в полидисперсной взвеси (м);
Rv - отношение газовых постоянных пара и газообразной фазы;
срр Cj - размерная и безразмерная теплоемкости j - фазы или
компоненты при постоянном давлении, j = 1, V, G (м2/(с2К);
с2,с2 - размерная и безразмерная теплоемкости дисперсной фазы при
постоянном объеме (м2/(с2К);
Cj - скорость звука в j - фазе или компоненте, j =1, V (м/с);
Се, Cf - равновесная и замороженная скорости звука в
парогазокапельной смеси (м/с);
Di - коэффициент бинарной диффузии (м2/с);
D(o>) - комплексная функция, характеризующая дисперсионные и
диссипативные эффекты за счет неравновесного тепломассообмена;
/ - сила, действующая со стороны газа на отдельную частицу (кг/ с2);
Fj - комплексные функции, образующие функцию V(o), ответственную
за описание процессов межфазного трения, j=l, 2, 3;
Gj - комплексные функции, образующие функцию D(co), ответственную
за описание межфазного тепломассообмена, j =1, 2, 3;
д - масса отдельной капли (кг);
i - мнимая единица;
ij - удельная энтальпия ; - фазы или компоненты, j = 1,V,G (м2/с2);
j - интенсивность конденсации на поверхности капли (кг/с);
kj - концентрация ;-ой компоненты в газообразной фазе, j = V, G;
К*, К, Кфф - комплексное волновое число, его действительная и мнимая
(линейный коэффициент затухания) части (м1);
1У I -размерная и безразмерная удельные теплоты парообразования
(м2/с2);
L - длина свободного пробега молекул в газовой фазе (м);
Lei - число Льюиса несущей фазы;

ОБОЗНАЧЕНИЯ 11
т - отношение средних плотностей капель и газа (массовое содержание
дисперсной фазы);
т° - отношение истинных плотностей капель и газа;
N(a) - функция распределения капель по размерам (м~3>;
п - число частиц в единице объема смеси (м);
Ми* - число Нуссельта j -ой фазы, ; = 1, 2;
р - давление (кг/(мс2));
Pj - парциальное давление j - компоненты, j=V, G (кг/(м-с2));
pvz> Pvs ~ парциальное давление пара на поверхности капли и
парциальное давление насыщения пара (кг/(мс2));
Рт\ - число Прандтля газообразной фазы;
да - интенсивность теплообмена j - фазы с поверхностным S - слоем
капли,; - 1, 2 (кгм2/с3);
г - отношение истинных плотностей газа и капли;
Rj - газовая постоянная j - фазы или компоненты, j — 1, V, G;
Sc\ - число Шмидта несущей фазы;
Shi ~ число Шервуда несущей фазы;
t - время (с);
Tj - температура j - фазы, ;'= 1, 2 (К);
Те, Tg - температура поверхности капли и температура
насыщения (К);
1*2 " внутренняя энергия дисперсной фазы (м2/с2);
Vj - скорость j - фазы, ;=1, 2 (м/с);
V(©) - комплексная функция, описывающая дисперсионные и
Диссипативные эффекты за счет относительного скольжения фаз;
х - координата (м);
У - аргумент комплексной функции ф;
Zj - аргумент комплескной функции rjj; , j = 1, 2;
Гречестсий алфавит
<*; - объемное содержание j - фазы, j = 1, 2;

12 ОБОЗНАЧЕНИЯ
Р - коэффициент аккомодации;
у; - показатель адиабаты j-фазы или компоненты, j = 1, V;
5 - функция Дирака;
r\j - комплексные функции, вьфажающие отношение комплексных
времен тепловой релаксации к их квазистационарным значениям, j = 1, 2;
Xj - коэффициент теплопроводности ;- фазы, j = 1, 2 (кг-м/(с3К));
к; - коэффициент температуропроводности ; - фазы, j = 1,2 (м2/с);
ц;- - коэффициент динамической вязкости газообразной фазы (кг/(м-с));
P),Pj ~ средняя и истинная плотности j - фазы, j = 1,2 (кг/м3);
а - декремент затухания на длине волны;
хс - характерное время колебаний, длина которых совпадает с
размером частиц (с);
xv)tv - время релаксаций скоростей фаз (с);
TTj>ITj'Tlj " времена релаксаций температуры в j - фазе; j - 1, 2 (с);
Тр,тр - времена релаксаций парциального давления пара в
несущей фазе (с);
%Xj - характерное время установления квазистационарного
распределения температур в j - фазе, j = 1, 2 (с);
т<ьтц1 " характерное время установления квазистационарного
распределения концентрации пара и скорости в несущей фазе (с);
ТЭ»Т1 " "времена релаксации" парциального давления пара и
температуры на межфазной границе (с);
Ф - комплексная функция, выражающая отношение комплексного
времени диффузионной релаксации к его квазистационарному значению;
П - безразмерная частота колебаний;
со - круговая частота колебаний (С1);
Нижние индексы 1 и 2 отмечают параметры газообразной и взвешенной
фаз; V, G - параметры паровой и газовой компонент несущей фазы; Б и S
относятся к параметрам на поверхности капли и параметрам насыщения
соответственно. Индекс ' вверху отмечает возмущения параметров. Индекс О
соответствует начальному невозмущеному состоянию. Комплексные времена
релаксаций снабжены индексом * .

ГЛАВА 1.
ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ
ПО АКУСТИКЕ АЭРОЗОЛЕЙ
Обсуждается состояние исследований по акустике аэрозолей.
Представлен краткий обзор современных теоретических работ.
Рассмотрены имеющиеся экспериментальные данные.
1.1. Обзор теоретических исследований
Изучению распространения акустических возмущений в одно-
и двухкомпонентных двухфазных средах типа газовзвесь
посвящен ряд теоретических и экпериментальных работ.
Некоторые стороны данной проблемы обсуждаются в обзорах и
монографиях Л. Бергмана A957), М.Е. Дейча, Г.А. Филиппова
A968), М.А. Исаковича A973), Л.Д. Ландау, КМ. Лифшица
A954,1968), Р.И. Нигматулина A978, 1984, 1987, RLNigmatulin,
1990), С. Coy (S.S00, 1967), ЕРичардсона (E. Richardson, 1962).
Взвеси без массообмгна и парокапелькые смеси
Наибольшее число работ посвящено исследованию
особенностей распространения слабых монохроматических
возмущений в газовзесях при отсутствии фазовых превращений.
Первое теоретическое исследование по затуханию звука во взвеси,
обусловленному только трением между фазами и рассеянием волн
на частицах, выполнил Сьюэлл (S.J.T. Sewell, 1910). Лемб (H.Lamb,
1945) учел ряд реальных эффектов движения включений и
получил более общую формулу для коэффициента затухания. При
этом в указанных работах выражения для коэффициентов
затухания определялись из анализа процесса взаимодействия
плоской волны с одиночной с4>ерической частицей. Учет
Дополнительного влияния межфазного теплообмена на затухание
звука в рамках предложенного дифракционного подхода провели
J-CP. Chow A964) и RS. Epstein, R.R. Carhart A953).
S.R Soo A960), S. Temkin, RA. Dobbins A966) для изучения
Распространения малых возмущений в газовзвесях без фазовых
пРевращений применяют по существу континуальный подход. В
Римках этого подхода газовзвесь моделируется совокупностью
взаимодействующих и взаимопроникающих континуумов. При этом

14
ГЛ.1. ОБЗОР ПО АКУСТИКЕ АЭРОЗОЛЕЙ
S.Temkin, R.A. Dobbins A966) изучили частный случай малых
массовых содержаний частиц. Проанализировано влияние
межфазного теплообмена и трения фаз на затухание акустических
волн. Показана аддитивность их вкладов в декремент затухания на
длине волны. Однако, при этом не рассматриваются
нестационарные эффекты межфазного взаимодействия. Попытка
учета этих эффектов при обмене импульсом и теплом между
фазами взвеси предпринята B.C. Поповым A970), где исследования
проводились в ультразвуковом диапазоне частот. Отметим, что
вместе с дифракционным и континуальным подходами была
развита термодинамическая теория звука (Л.Д. Ландау, Е.М.
Лифшиц, 1954, 1986). В рамках этой теории двухфазная смесь
рассматривается как равновесная, что выполняется для колебаний
с периодами значительно большими, чем характерные времена
межфазного взаимодействия.
Более подробный обзор исследований по акустике газовзвесей,
опубликованных до 1966 года, может быть найден в монографиях
Л.Бергмана A957), ССоу (S.Soo, 1967) и КРичардсона (Е.
Richardson,1962).
Одновременно с рассмотренными подходами для исследования
распространения звуковых волн в газовзвесях применяется и
обычный релаксационный формализм термдинамики необратимых
процессов (И.С. Радовский, 1970, 1971а,б). Однако в силу ряда
недостатков (неопределенности выражений для времен релаксаций
и т.д.) этот подход не находит широкого применения. Наиболее
существенные результаты по изучению акустики газокапельных
систем достигнуты за последние годы в рамках модели
взаимодействующих и взаимопроникающих континуумов
(РЛНигматулин, 1978, 1987, R.LNigmatuiin, 1990, Х.А.Рахматулин,
1956).
К числу первых публикаций по изучению затухания и
дисперсии слабых монохроматических возмущений в
однокомпонентных двухфазных смесях пара с каплями при
наличии массообмена между фазами следует отнести исследования
H.Stadtke A968) и А.И. Ивандаева, Р.И. Нигматулина A970). В
работах Н.А. Гумерова и др. A983, 1985), А.И. Ивандаева A978,
1985а,б) распространение слабых волн и парокапельных смесях
исследовано в рамках трехтемпературной схемы (Р.И. Нигмату-
лин, 1978, 1987, RLNigmatulin, 1990). При этом результаты
изучения дисперсии и диссипации монохроматических волн с
учетом нестационарных эффектов межфазного обмена массой,
импульсом и энергией в однокомпонентных паро- и газовзвесях
впервые опубликованы в работе Н.А. Гумерова, А.И. Ивандаева и

1.1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
15
Pjt Нигматулина A983). Установлено сильное влияние
нестационарных процессов межфазного взаимодействия на
значение коэффициента затухания высокочастотных возмущений.
Обзор соответствующих работ по акустике взвесей приведен в
статье Н.А. Гумерова и др. (N.A. Gumerov, A.I. Ivandaev, R.I.
Nigniatulin, 1988). Отметим, что в указанных работах недостаточно
изучены особенности распространения звука в однокомпонентных
аэрозолях с малым массовым содержанием капель. Детальный
анализ влияния тепломассообмена между фазами на скорость и
затухание низкочастотного звука в таких системах отсутствует.
Акустика туманов с фазовыми превращениями
К числу первых теоретических исследований по
распространению слабых волн в двухкомпонентных двухфазных
смесях инертного газа с паром и каплями жидкости при наличии
диффузионного массообмена можно, по-видимому, отнести работы
Коула и Доббинса (J.RCole, R.A.Dobbins, 1970) и Марбла
(RRMarble, 1970). Авторами этих работ изучался случай малых
массовых содержаний конденсированной фазы m « 1. J.E.Cole,
RA.Dobbins A970) установили, что в аэрозолях с фазовыми
превращениями первый максимум декремента затухания ка длине
волны реализуется при значениях безразмерной частоты cotv ~ m
(<о - циклическая частота, iv - стоксово время релаксации
скоростей фаз), т.е. при значениях сот^. « 1. В этом случае
значения декремента затухания в области частот cutv ~ т
значительно превышают соответствующие значения для аэрозоля
без фазовых превращений.
F.RMarble, S.M.Candel A975) исследовали возможность
использования облака мелких капель для ослабления шума при
впрыске жидкости в воздухозаборник турбореактивного двигателя.
Отмечается, что интенсивность такого ослабления
пропорциональна концентрации пара в газообразной 4эазе kv> что
Для случая значительных kv является неверным. Недостатком
Ряда работ является то, что в уравнении состояния для несущей
фазы не учитывалось различие между газовыми постоянными
паровой и газовой компонент. Таким образом, фактически
предполагалось, что газообразная фаза при наличии в дисперсной
системе массообмена является калорически совершенным газом.
чет указанного различия, выполненный Давидсоном

16
ГЛ.1. ОБЗОР ПО АКУСТИКЕ АЭРОЗОЛЕЙ
(G.A.Davidson, 1975a), улучшил согласие теории с
экспериментальными данными.
В работе А.Ш. Азаматова, В.Ш. Шагапова A981) в рамках
трехтемпературной модели исследуется распространение малых
возмущений в двухкомпонентной двухфазной смеси. Рассмотрены
случаи, когда смесь пара и газа является взвешенной фазой
(жидкость с пузырьками) или, наоборот, несущей (газовзвесь).
Приведены результаты расчета дисперсионной зависимости для
газовзвесей с высоким массовым содержанием капель m * 10.
Случай малых т, то есть именно тот случай когда наблюдается
интересные эффекты из-за неоднофазности среды, здесь не
рассматривается.
Отметим, что все упомянутые выше исследования
распространения звука в парогазокапельных системах выполнены
в рамках квазиравновесной схемы фазового превращения, когда
предполагается, что температура поверхности капли при
массообмене равна температуре насыщении при данном
парциальном давлении пара. При учете нестационарных эффектов
межфазного взаимодействия, существенных при высокочастотных
воздействиях на взвесь, следует, вообще говоря, учитывать и
эффекты неравновесности межфазной поверхности при фазовом
переходе. Влияние совокупности нестационарных и неравновесных
эф4юктов межфазного взаимодействия в смесях газа с паром и
каплями жидкости впервые детально исследовано в работах автора
A987а,б; 1990, 1991), а также автора и А.И. Ивандаева A987, 1990,
1991а,б).
Проанализированы индивидуальны вклады неравновесного
межфазного тепломассообмена и трения фаз в дисперсию и
диссипацию волн. Обнаружен эффект немонотонной зависимости
затухания акустических возмущений от массового содержания
капель в парогазокапельной смеси. Указанный эффект детально
проанализирован в статье Р.И. Нигматулина, А.И. Ивандаева и
автора A991), с использованием полученных характерных времен
межфазного взаимодействия (Д.А. Губайдуллин, АИЛвандаев,
1991а). Отметим, что немонотонная зависимость диссипации звука
от концентрации капель исследовалась также в работе В.Ш.
Шагапова A987). Рассмотренные исследования посвящены
изучению распространения слабых монохроматических
возмущений в газокапельных системах. Особенности
распространения импульсных волн малой амплитуды в
парогазокапельных смесях с учетом нестационарных и
неравновесных эффектов межфазного взаимодействия впервые

1.1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
17
исследовано автором совместно с А.И. Ивандаевым A9916).
Краткий обзор по акустике туманов, а также сравнение развитой
автором теории с экспериментальными данными, имеющимися в
литературе, приведены в работе автора и А.И. Ивандаева A990).
В работах А.Л. Стасенко A975), Лаймена и Чена (F.A. Lyman,
DJtChen, 1978) изучаются особенности распространения
акустических волн в газовзвесях с учетом влияния
дополнительных эффектов - начальной неоднородности среды,
излут1ения и других физико-химических процессов. При этом F.A.
Lyman, D.M. Chen A978) для решения задачи используют
численные методы. Показано, что в парогазокапельной смеси с
неоднородным рапределением температуры и плотности в
направлении движения волны затухание уровня звукового
давления может значительно отличаться от затухания в среде
однородной,
В ряде работ исследуется распространение волн в
концентрированных взвесях ( Ю.А. Буевич, СП. Федотов, 1980,
А.Ф. Рыжков, КМ. Толмачев, 1983, W.Hiller и др., 1971).
М. Jaeschke и др. A975) сообщают об интересных эффектах
сильного затухания звуковых волн в газе, содержащем
микрочастицы с размерами 0.01 - 0.1 мкм.
Значительное внимание в последнее время уделяется анализу
поведения в газовзвесях возмущений конечной амплитуды (А.А.
Борисов и др., 1980, 1981; Н.А.Гумеров, 1988; СВ. Тараканов, О.М.
Тодес, 1982; G.A.Davidson, 19756, 1976; G.A. Davidson, D.S. Scott,
1974). При этом исследование распространения возмущений
конечной амплитуды во взвесях сводится к получению и анализу
обобщенного уравнения типа уравнения Бюргерса, решение
которого хорошо изучено.
К. Nikaien и др. A983), M.L. Rasmussen A977), S.C. Rochell, J.
Peddieson A976) исследуют эволюцию ударной волны,
возникающей при мгновенном изменении скорости газа на границе
полупространства. Основное внимание здесь уделяется косвенным
методам численного решения с помощью преобразований Фурье и
Лапласа. При этом используется сильное упрощающее
предположение об отсутствии межфазного теплообмена.
Большое число публикаций посвящено изучению ударно-
***нювых процессов в смесях газ-частицы и насыщенных грунтах.
^тнетим только соответствующий обзор А.И.Ивандаева,
А.Г.Кутушева, Р.И.Нигматулина A981) и сравнительно недавно
^шедшие монографии С.П.Киселева, Г.А.Руева, А.П.Трунева и др.
U992) и А.Г.Егорова, А.В.Костерина, Э.В.Скворцова A990).

18
ГЛ.1. ОБЗОР ПО АКУСТИКЕ АЭРОЗОЛЕЙ
Ряд работ посвящен рассмотрению времен релаксаций
теплофизических параметров фаз при акустическом воздействии
на газовзвеси. В работах И.С. Радовского A970, 1971а) для анализа
характерных времен процессов взаимодействия фаз используются
методы релаксационной теории и неравновесной термодинамики.
Однако, в последней работе рассматриваются акустические
воздействия на парогазокапельные системы при отсутствии
фазовых превращений, что ограничивает применимость
полученных результатов. Наиболее общие результаты по изучению
характерных времен межфазного воздействия взвесей и их
влияние на диссипацию и дисперсию волн опубликованы автором и
А.И. Ивандаевым A991а).
Учет полидисперсного состава взвеси
Вопросы математического моделирования движения
полидисперсных смесей газа с частицами или каплями
исследовались в ряде работ (Р.И. Нигматулин, 1968, 1987,
R.LNigmatulin, 1990, И.Н. Дорохов и др., 1978).
Большинство из рассмотренных выше исследований по
волновой динамике газовзвесей выполнено в рамках
монодисперсных моделей. К числу первых публикаций по
изучению влияния полидисперсности на распространение звука во
взвесях без массообмена относится работа Темкина и Доббинса
(S.Temkin, R.A. Dobbins, 1966). В этом и ряде других исследований
рассмотрен случай малых массовых содержаний дисперсной фазы,
когда вклад каждой фракции частиц в диссипацию и дисперсию
возмущений пропорционален их массовой доле во взвеси. В этом
случае дисперсионное соотношение получается из
соответствующего соотношения для монодисперсной взвеси с
помощью интегрирования по массам фракций.
R. Ishii, H. Matsuhisa A983) провели учет конечных массовых
содержаний капель полидисперсной газовзвеси при исследовании
распространения слабых возмущений. Здесь, как и в предыдущих
исследованиях, не рассматривается влияние нестационарных
эффектов обмена импульсом и теплом между фазами взвеси. Н.А.
Гумеров и А.И. Ивандаев A988) исследовали распространение
линейных монохроматических волн в полидисперсных газо- и
паровзвесях с учетом нестационарных процессов межфазного
взаимодействия для произвольных массовых содержаний капель.
Однако детально рассмотрен наиболее простой случай отсутствия
межфазного массообмена. Для этого случая изучено влияние

1.1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
19
различных функций распределения капель по размерам на вид
дисперсионных кривых.
Отметим, что некоторые аспекты распространения звука в
полидисперсных туманах при отсутствии фазовых переходов
обсуждаются в работе С.Х. Розенфельда A983). К сожалению,
здесь не приводится каких-либо дисперсионных кривых. Попытка
исследования акустических свойств полидисперсных
парокапельных сред в рамках монодисперсной модели с помощью
введения некоторого эффективного радиуса предпринята И.С.
Радовским A979).
В работах автора ( Д.А. Губайдуллин, 1992), а также автора и
АЛ. Ивандаева (Д.А. Губайдуллин, А.И. Ивандаев, 1992,1993а,
19936) впервые исследованы особенности дисперсии и диссипации
акустических возмущений в полидисперсных парогазокапельных
системах при наличии неравновесного диффузионного массообмена
между фазами. Получено наиболее общее дисперсионное
соотношение для волн в полидисперсных взвесях с фазовыми
переходами с любыми функциями распределения капель по
размерам, справедливое в широком диапазоне частот,
удовлетворяющих требованию акустической однородности среды.
Проанализировано влияние фазовых превращений, функции
распределения капель и основных определяющих параметров на
распространение волн. Результаты исследования особенностей
распространения звука в двухфракционных туманах, а также
изложение линейной теории распространения монохроматических
волн в полидисперсных парогазокапельных смесях в наиболее
полном виде предложены в работах автора и Р.И.Нигматулина
(Р.И.Нигматулик, Д. АТубайдуллин, 1996; D.A.Gubaidul!in,
R-LNigmatulin, 1998). Ряд аспектов приложения развитой
акустической теории к определению поверхностных характеристик
капель в полидисперсных туманах и некоторые обнаруженные
эффекты акустики полидисперсных аэрозолей обсуждаются в
опубликованных докладах автора на международных
конференциях (D.A.Gubaidullin, 1995; 1996 а, Ь; 1997).
Исследование эволюции импульсных возмущений различной
начальной формы в полидисперсных туманах с непрерывным и
Дискретным распределением капель впервые проведено автором и
^Х. Якубовым A992) а также в работе автора (Д.А.Губайдуллин,
АУ95а). Краткий обзор по акустике поли дисперсных аэрозолей
пРедставлен автором в 1995 г. (Д.А.Губайдуллин, 19956).

20
ГЛ.1. ОБЗОР ПО АКУСТИКЕ АЭРОЗОЛЕЙ
1.2. Обзор экспериментальных работ
Первые описанные в литературе эксперименты по изучению
распространения звука в газовзвесях были проведены еще в
начале XIX века. Экспериментальные данные были получены
применительно к естественным воздушным туманам и носили
качественный характер. Одно из таких экспериментальных
исследований по распространения звука в туманах было проведено
в Англии Тиндаллом в 1873 году (Tyndall, 1873). Опыты
проводились в связи с конкурсом объявленным Королевским
научным обществом Великобритании и были связаны с проблемой
использования звуковых сигналов при судоходстве на Темзе в
тумане (в условиях, когда использование световых сигналов не
эффективно).
Позднее ряд исследователей продолжили изучение
распространения звуковых волн в двухфазных смесях газа с
частицами. Значительный всплеск интереса к данной теме
произошел уже в середине XX века и был связан с развитием
ракетной техники. Было обнаружено, что введение частиц легких
металлов (алюминия, бериллия) в твердое топливо ракетных
двигателей приводит не только к возрастанию тяги (из-за
увеличения температуры горения топлива), но и к более
устойчивой работе двигателя по причине подавления частицами
высокочастотных колебаний. Некоторые из этих работ рассмотрены
ниже.
Однако к настоящему времени с экспериментальной точки
зрения распространение слабых возмущений в газовзвесях
исследовано недостаточно. Большинство экспериментальных работ
посвящено изучению распространения звука во взвесях при
отсутствии фазовых превращений ( R.A. Dobbins, S. Temkin, 1964,
S. Temkin, R.A. Dobbins, 1966, J.W. Zink, L.P. Delcasso, 1958). В
связи с этим, данные по влиянию фазовых переходов на
дисперсионные зависимости, представляющие в настоящее время
наибольший интерес, весьма ограничены. В литературе
практически отсутствуют экспериментальные данные по
рассмотрению в газовзвесях импульсных возмущений малой
амплитуды.
Одной из наиболее аккуратных экспериментальных работ по
измерению затухания и дисперсии звуковых колебаний в
газовзвесях без фазовых превращений является работа Темкина
и Доббинса (S. Temkin, R.A. Dobbins, 1966). Опыты проводились с
полидисперсными взвесями капелек олеиновой кислоты в азоте при

1.1. ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РАБОТ
21
кассовых концентрациях капель т ~ 0.01. Эксперименты
подтвердили, что в аэрозолях при отсутствии межфазного
цассообмена максимум декремента затухания звука на длине
волны реализуется при значениях безразмерной частоты a>xv ~ 1.
Первые количественные данные по затуханию звука в
полидисперсном воздушном тумане, образованном путем распыла
воды в воздухе, получены, по-видимому, Кнудсеном и др. (V.O.
Knudsen и др., 1948). Опыты проводились при диаметрах капель от
5 до 50 мкм, частота возмущений составляла 500 гц. Однако,
существенного влияния фазового превращения на распространение
звука в этой работе обнаружено не было. Это связано с тем, что
характерным временем межфазного тепломассообмена при
акустическом воздействии на парогазокапельные системы является
время тто ~ xv /m ( Д.А. Губаййдуллин, А.И. Ивандаев, 1991а). Для
обычных атмосферных туманов с массовым содержанием
конденсированной фазы га ~ 0.001-0.01 это время значительно
больше значения характерных времен в случае отсутствия
фазовых превращений. Поэтому частоты, при которых влияние
межфазного тепломассообмена на затухание и дисперсию звука
максимально (сотт ~ т), могут лежать в диапазоне очень низких
частот, значительно меньших 500 гц. В экспериментах значение
безразмерной частоты сотт было значительно больше единицы (<отш
» 1). При таких частотах возмущений влияние фазовых
превращений на коэффициент затухания о незначительно, и
значение ст мало отличается от соответствующего значения в
случае отсутствия массообмена между фазами.
J.E. Cole, R.A. Dobbins A971) выполнили измерения затухания
звуковых колебаний в смеси воздуха с паром и каплями воды в
области безразмерных частот сотш ~ 1. Для создания воздушного
"тумана с массовым содержанием капель m - 0.01 в экспериментах
использовалась камера Вильсона. Диаметр капель в различных
опытах изменялся от 2 до 10 мкм, частота возмущений составляла
80 гц. В этом случае максимум коэффициента затухания на длине
в°лны реализовывался при безмерных частотах ©тш ~ 1 (mv ~ ш).
При этом наблюдались эффекты сильного влияния фазового
превращения на коэффициент затухания с - максимальное
значение а в 100 раз превышало соответствующее значение а в
СлУчае отсутствия фразового превращения. Измерения скорости
Распространения звука в туманах в экспериментах не проводились.

ГЛАВА 2.
АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ
ПАРОГАЗОКАПЕЛЬНЫХ СМЕСЯХ
Представлены результаты исследования особенностей
распространения слабых возмущений в монодисперсных
двухкомпонентных двухфазных парогазокапельных системах.
Рассмотрены и учтены соответствующие нестационарные и
неравновесные эффекты межфазного обмена массой, импульсом и
энергией. Приведена замкнутая система линеаризованных
уравнений движения парогазокапельной смеси при наличии
неравновесного диффузионного массообмена. Получено общее
дисперсионное соотношение, проанализированы некоторые частные
случаи, рассмотрены области применимости. На примере
воздушных туманов изучен характер зависимостей скоростей и
коэффициентов затухания звуковых волн от частоты колебаний и
основных определяющих параметров смеси.
2.1. Основные уравнения акустики монодисперсных
смесей газа с паром и каплями жидкости
Представлена замкнутая система линеаризованных
уравнений движения парогазокапельной смеси при наличии
неравновесного диффузионного массообмена. Получена
зависимость безразмерного коэффициента межфазного
массообмена от частоты колебаний. Выполнены сравнительные
оценки характерных времен процессов межфазного
взаимодействия, а также перепадов давлений и температур в
волне.
Линеаризованные уравнения движения и состояния
Рассмотрим разреженную монодисперсную смесь инертного
газа с паром и каплями жидкости, когда объемное содержание
конденсированной фазы мало <Х2 < Ю-2. Если давления не очень
велики, то массовое содержание дисперсной фазы может при этом
быть достаточно большим (т ~ 1). Если дисперсные частицы или
капли распределены в несущей фазе достаточно равномерно, то в

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ 23
таких разреженных взвесях эффектами непосредственного
взаимодействия частиц друг с другом можно пренебречь. Эффекты
вязкости и теплопроводности газообразной фазы существенны
лишь в процессах межфазного трения и теплообмена.
Примем обычные допущения механики гетерогенных сред о
сплошности смеси в целом и каждой ее составляющей в
отдельности.
Будем изучать распространение звуковых волн, длины
которых значительно превышают размеры включений и
расстояния между ними, т.е. распространение волн для которых
среда является акустически однородной.
В рамках принятых предположений для изучения явления
используем модель двухскоростного и трехтемпературного
континуума (Р.И.Нигматулин, 1978). Запишем линеаризованные
уравнения плоского одномерного движения при наличии фазовых
превращений. В системе координат, относительно которой
невозмущенная смесь покоится, уравнения сохранения масс и
импульсов фаз имеют следующий вид (Д.А.Губайдуллин, 1986).
ОД Sv{ . dp'v , dv[ .
^ + P10^-W, ^ + Pvo^ = -W> B.1.1)
ot ax at ox at
л
PlC =Ct10Pl0 > P20 =a20p20 > a10 + a20 = 1 , «20 = T ™l0n0 ,
3
Pi = PV + PG > Pi = Pv + PG •
Здесь p , p° , v , p - приведенная и истинная плотности, скорость
и давление, a - объемное содержание, п - число частиц в
единице объема; / - сила, действующая со стороны несущей фазы
та отдельную каплю, Jyz - диффузионный поток пара к
поверхности капли "I" , j<£ - интенсивность конденсации на
п°верхности индивидуальной капли. Здесь и далее индексы 1 и 2
относятся к параметрам газообразной и взвешенной фаз, V и G
обмечают параметры паровой и газовой компонент несущей фазы.
*ДТРихи вверху используются для обозначения возмущения
^Раметров, индекс 0 соответствует начальному невозмущенному
СОстоянию.

24 ГЛ2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Уравнения притока тепла к газовой фазе, каплям и
поверхности отдельной капли могут быть записаны в следующем
виде
&v &Ь ЭД dvi
Pvo ~Ht + pG0 "at =(Xl° dt ~ n°4il ' p20 ~et = ~n°921' }
Здесь через i ,' и, I обозначены удельные энтальпия,
внутренняя энергия и теплота парообразования; gjZ
интенсивность теплообмена j - фазы с поверхностью капли (j =
1,2). Будем предполагать, что теплофизические параметры
газообразной фазы определяются по параметрам пара и газа
Rx = kvRv + kGRG , ср1 = fevcpy + ^CpG , B.1.3)
Xi = kyAy + kGXG , ji^ = /СуЦу + /с^ц^ ,
где Я, ср, X и p. - газовая постоянная, теплоемкость при постоянном
давлении, коэффициенты теплопроводности и динамической
вязкости; через kv и kG обозначены концентрации пара и газа в
несущей фазе смеси
kv=Pv/Pi> kG = pGfpi, /cv + feG-l. B.1.4)
Предполагаем, что компоненты газообразной фазы являются
калорически совершенными газами *\ Тогда уравнения состояния
паровой компоненты и газовой смеси в целом, можно записать в
следующем линеаризованном виде
Pv/lVo = Pv/pVo + rif/T0, fy=cpVT{ (cpV= const), B.1.5)
rt/Pio = Pi7Pio + Ti'/r0 + R{/Kio >
*) Следует подчеркнуть, что при Rv * RG и наличии фазового
превращения смесь пара и газа не является калорически совершенным газом
в силу зависимости R\ от ку в соответствии с B.1.3).

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ 25
где Т - температура. В связи с тем, что в уравнения B.1.1) входят
возмущения приведенных плотностей, соотношения B.1.5) удобно
записать так
Pv = —— (pv + rpO + Pvo;^ '
Pi =-^"[bi (Pi +rpi)+bAR(pV + rfcvopj)]+pIO|i- ,
Yioaio Ao
r = Pio/p20 » ь = Ку/К10, AH=(RV-RG)/R10 , Ь!=1-Ьу0ДК.
Уравнения состояния несжимаемой дисперсной фазы имеют
вид
pj = 0 , и£ = с2Т{ (с2 = const) B.1.6)
Здесь с2 - удельная теплоемкость конденсированной фазы.
Вдоль линии фазового равновесия справедливо
дифференциальное уравнение Клапейрона-Клаузиуеа
dTs(pv) Tj(pv)(l-p£/p$)
Г VJ = —0 L , B.1.7)
где индекс S - относится к параметрам на линии насыщения. В
уравнениях B.1.1)-B.1.5) индексом 0 внизу снабжены параметры
начального невозмущенного состояния. Далее, там где это не
вызывает неясностей, нижний индекс 0 будет опускаться.
Будем исследовать решения системы линейных
уравнений B.1.1) - B.1.7), имеющие вид прогрессивных волн для
возмущений ф' (Л.И.Седов, 1985)
ф' ~ expi(Kmx - cot) = exp(-K„x)expi(Rx - cot) , B.1.8)
К = К + iK» , Ср = со/К , Сд = Ao/dK , a = 2тг К„/К
Здесь г - мнимая единица, К* - комплексное волновое число, К», -
линейный коэффициент затухания. Через Ср и Сд обозначены
фазовая и групповая скорости, а- декремент затухания на длине
ВОДНЫ.

26
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Законы межфазного взаимодействия
При распространении звуковой волны термодинамическое
равновесие между фазами смеси периодически нарушается в
областях сжатия и разрежения. Фазы имеют разные скорости и
температуры, между ними происходит обмен массой, импульсом и
энергией. Ниже обсуждаются законы нестационарного межфазного
взаимодействия.
Анализ показывает, что при а2«1, р2»Р? (г <<с Ц
(разреженная взвесь при умеренных давлениях) основными
силами, действующими на индивидуальную частицу дисперсной
фазы являются силы Стокса /ц и Бассэ fB , определяемые
выражениями *>
t
-00
Для возмущений типа B.1.8) выражение для суммарной силы /,
определяемой относительной скоростью фаз vx - v2 может быть
записано следующим образом
/ = U + /в = c*(vi ~ vi) >
С* л 1-i/ vV2 n a рУ
Здесь С* - зависящий от частоты колебаний комплексный
коэффициент сопротивления, характеризующий межфазный обмен
импульсом в режиме нестационарного ламинарного обтекания
частицы, Тцх - характерное время установления
квазистационарного распределения скорости в газообразной фазе.
Выражение для / удобно переписать в следующем виде
*) Отметим, что учет сил Архимеда и присоединенных масс приводит К
появлению в дисперсионных соотношениях множителей вида A-аг) и A-г),
которые в рассматриваемом случае малых объемных концентраций капель И
умеренных давлений близки к единице.

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ 27
nf _v{- v'2
Р2 Т«
1-г, xV2] *
1 + ^Ki) I
2 р2а 2 р2 / о о\
B.1.9)
где тг
время релаксации скоростей
фаз при
квазистационарном (стоксовом) обтекании частиц газом, т* - его
комплексный аналог. Отличие от стоксова времени iv становится
заметным при частотах t~J < ю « юс (юс = 2$fcu>nC1/a -
характерная частота колебаний, длина волны которых сравнима с
расстоянием между включениями, С - скорость звука).
Использование трехтемпературной схемы для описания
межфазного тепло- и массообмена предполагает замену
непрерывного распределения микротемператур Т" и концентраций
пара ку вне и внутри капли следующим ступенчатым
распределением по координате г
Т'(г) «
Т2 , г < а
г > а
г = а
fcV(r) =
*»У *
CV2 *
г > а
г = а
где Tj_ и fcv - характерная микротемпература и концентрация
пара в газообразной фазе, Tz и kVL - температура и
концентрация в приповерхностном Е - слое капли, Т2 -
температура капель. Введение поверхностной I - фазы с
концентрацией пара ку^ и температурой Т2 необходимо, так как
при фазовом превращении концентрация пара в газообразном
приповерхностном слое и температура этого слоя сильно
отличаются от средних значений этих параметров в несущей фазе.
Тепловые потоки извне дц и изнутри q2z включения к его
Поверхности, а также межфазный диффузионный поток jyi
Сдадим соотношениями

28
ГЛ.2.В0ЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
qjl = InakjNufa - TL) , Nuj = 2a pf Д;. , j = 1,2 ; B.1.10)
A" fcvVvi = 2nap°lDlSh1(kv - fcy^) , 5^ = 2a pf/д
Здесь ЛГг^ и р^ - безразмерный (число Нуссельта) и размерный
коэффициенты теплообмена j - й фазы с границей раздела фаз;
Shx и pf- безразмерный (число Шервуда) и размерный
коэффициенты массообмена несущей фазы с поверхностным I -
слоем капли, D± - коэффициент бинарной диффузии.
При изучении высокочастотных воздействий на газовзвеси с
фазовыми превращениями необходим учет зависимостей тепловых
потоков извне и изнутри капли к ее поверхности qjS (j=l,2) и
интенсивности массообмена j^ от частоты колебаний ю. В рамках
трехтемпературной модели межфазного теплообмена и принятой
схемы фазового превращения этот учет сводится к учету
зависимостей от частоты колебаний соответствующих
безразмерных коэффициентов тепло- и массообмена Nu^ (j=l,2) и
Shx. Необходимые зависимости чисел Нуссельта и Шервуда от
частоты колебаний могут быть получены из решения сферически
симметричной задачи о тепло- и массообмене сферической капли
с окружающей парогазовой смесью в монохроматической звуковой
волне, где реализуются установившиеся колебания
(т;(г)- Т0) , (р, - Ро) , (fcy (г) -куо) ~ exp (-«о t)
Линеаризованные уравнения теплопроводности и диффузии для
внешней (вне капли) и внутренней (внутри капли) областей
следует из общих нелинейных уравнений (Р.КНигматулин, 1978) и
в системе координат, связанной с центром включения, имеют
следующий вид
dt
= к
cfr{(r,t) ^2dT{{r,t)
дг<
дг
1 dp,(t)
PlC]
dt
dt "K2
g2r2'(r,t) 2 dT2'(r,t)
аг2
Зг
B.1.11)

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ
29
dt х
tfttyfat) 2dty(r,t)
дгг
дг
где через к обозначен коэффициент температуропроводности.
Зададим граничные условия
7y(o,t) = T2'(a,t)=TI,
kV(o,t) = kV2 ,
= О
Г-ЮС
эту
дг
дг г-х»
Щ
дг
= 0 ,
г-»0
Зависимости Nuj от частоты колебаний при отсутствии фазового
превращения на поверхности включения, вытекающие из
решения уравнений теплопроводности для внешней и внутренней
областей получены А.И.Ивандаевым A985). Они могут быть
использованы и при наличии фазовых превращений, т.к. в силу
линейности задачи влиянием перекрестных эффектов теплообмена
и диффузии можно пренебречь (см. B.1.11)). При этом число
Прандтля газообразной фазы Ргг ~ 1, поэтому нестационарные
эффекты теплообмена проявляются при тех же частотах
колебаний, что и нестационарные эффекты межфазного силового
взаимодействия. Выражения для Nv,j (j =1,2) имеют вид
(АЛИвандаев, 1985)
JVu*((o) = 2A + z{) =
Мъ)'
Nu*2(®) =
10
Л2Ы '
B.1.12)
1 , ч 5[322-C + *22Ы
iife)-^. л,Ы- l 4{thZ2_22) >
1-г/ \i/2 a л?
's-rf?"») • Ъ"Т/ *>mfa- ;' = 1'2'
ГДе ty - характерное время проникания возмущения температуры
от
поверхности капли в j - фазу. С учетом B.1.12) зависимости

30
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
внешнего qis и внутреннего g2S тепловых потоков от частоты,
запишем так
Pici *ti
* - * ai ( \
TTi ~ г xai Л112и>
о а2 .
Р2С2 ?Т2
* _ 1 а1 / \
ХТ2 - 77 ХА.2 Л2122;
id а2
B.1.13)
Учитывая то, что число Льюиса обычно близко к единице
(Lel = Di/ki * l) следует ожидать, что характерные времена
установления квазистационарных полей температур и
концентраций вокруг капли в несущей фазе т^ и xdlxd = a2/DA
являются величинами одного порядка. Поэтому нестационарность
поля концентраций вокруг капли должна приводить к
аналогичной Nu^co) B.1.12) зависимости коэффициента
массообмена Shx от частоты возмущений. Чтобы найти «Sh^co)
решим уравнение диффузии. Используя переменное
К' = г(ку - ку0) и отыскивая решения вида К' = К'(г) exp (-i®t)
получим следующее комплексное выражение для распределения
по радиусу г амплитуд и фаз колебаний концентрации пара в
парогазосмеси вне дисперсного включения
ky(r) - kVoo = A-expj
г
-A -1)
со
1/2
2DJ
г >а,
B.1.14)
где А - константа, определяемая из граничных условий на
поверхности капли, fcVoo - концентрация пара вдали от капли.
Выделяя в парогазовой смеси вокруг капли ячейку радиуса
R = а/^[а^ и интегрируя распределение B.1.14) по массе газа в
этой ячейке, определим значение амплитуды среднемассовой
концентрации пара
Найдем безразмерный комплексный параметр массообмена Sh[

2а (дЩ
2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ 31
SK =
fry - kvx \ дг J T=a
Используя найденное распределение концентраций и ее
ереднемассовое значение, получим выражение для Sh^oy)
5^» = 2A + у), y = ^^(oTd)V2, 4 = Jf- B-1.15)
Как правило к^Д, поэтому зависимость S\((o) должна
проявляться при тех же частотах, что и зависимость iVu^co)
со >&d * юХ1, cod = т^1, со^ = т?"|.
Комплексность коэффициента массообмена Sh[
свидетельствует о существовании сдвига по фазе между
колебаниями диффузионного потока fa и перепадами
концентраций (kv - fcvx). При этом интенсивность диффузионного
потока определяется абсолютной величиной Sfy = ISh^, а величина
сдвига по фазе характеризуется главным значением аргумента
Vi = argSh]
% 8 URe(Shl)f + \lm(sh[)f J , 4/, = arctgJim(sfcj) / Re(shf)].
При малых и больших частотах колебаний для Shx и vj/1 могут
быть выписаны следующие простые выражения
\1/2 V2/ 0/2
Sh^o) * 2 + V2 (ю id) 7 , v|/x « — (штаI7 , coxd « 1
Sh» * л/2 + ^{coTdI/2, Vl * arctgjl - & / (coTdI/2]
1/ ^1/2
@Td » 1

32
ГЛ2.В0ЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Зависимости Shfa) и vj/^co) проиллюстрированы на рис. 2.1.
Отметим, что при со —> 0 велличина Shx -> 2 .
\01
ю1
2
10°
45е
30е
15°
0
Shi
f
V]
10~2 КГ1
10° 101
10z
CDTd
Рис. 2.1. Вид зависимостей безразмерного коэффициента массообмена Shj и
сдвига фаз \}/i между колебаниями диффузионного потока и перепада
концентрации пара от характерной безразмерной частоты.
С учетом зависимости Sh^eo) B.1.15) соотношение для
диффузионного потока jvz B.1.10) запишем в следующем виде
njvz = 1 Уу-Ууъ
Рг Тр Pi
B.1.16)
Здесь тр - комплексное время релаксации парциального
давления пара, определяемое характерным выражением xd и
частотой со
^g^vpfoK^-M.
B.1.17)
ф(у) =
1
1 + У
у = ^Ю
1/2
, |ф(у)И1

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ 33
Время т* близко к своему квазистационарному действительному
значению тр = (Rv/3Rl)(\-kv)xd при частотах coxd < 10.
Если фазовые превращения на границе раздела фаз
протекают неравновесно, то давление пара на границе ру^
отличаются от давления насыщения Pvsfti) (или, что то же
самое, температура поверхности капли Т% отличается от
температуры насыщения Т$(Руъ)). Интенсивность неравновесной
конденсации на поверхности раздела фаз может быть задана с
помощью формулы Герца-Кнудсена-Ленгмюра
J&lPbLZPk, l&I&i B.L18)
а2Р? Ч Pi P 3Vyv pCf
Здесь тр - характерное время выравнивания парциальных
давлений пара на межфазной границе, зависящее от значения
коэффициента аккомодации Р , у - показатель адиабаты. Из
условия баланса массы на поверхности капли имеем
Jvs=Jx- B-1-19)
Система уравнений B.1.1) - B.1.7), B.1.13), B.1.16) - B.1.19)
замкнута и может быть использована для исследования
распространения акустических возмущений в смесях инертного
газа с паром и каплями жидкости.
Оценки перепадов давлений и температур
Из соотношений BЛ.16), B.1.18), B.1.19) следует уравнение,
связывающее парциальные давления пара ру, ру%, pvs
B.1.20)
Используем B.1.20) для сравнения характерных перепадов
iPv-pyvj > \Pvl~Pvs\> реализующихся при акустическом
воздействии на парогазовзвесь. В соответствии с B.1.17), B.1.18)
имеем

34 ГЛ.2.В0ЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
|tJ,| р V Rv У а) |Ф(у)| '
где L * Д/Q - длина свободного пробега молекул в газообразной
фазе. Для атмосферного тумана с L « 10~ъм, kv«l и
размером капель а * 10~6м при обычно рекомендуемых значениях
коэффициента аккомодации р «10" величина соотношения
Хр/тр| > 1 при любых частотах колебаний. Тогда во всем
диапазоне частот 0 < со « юс перепад характерных давлений
\Pvz ~ Pvs\ всегда больше или равен перепаду \ру - руЪ\. В связи с
этим неравновесность межфазной границы, связанная с отличием
Pvs 0T Pvs> должна быть существенна при любых частотах
колебаний. Отметим, что при значениях коэффциента
аккомодации р * 1, указанная неравновесность будет
проявляться лишь при высоких частотах, когда | ф(у) | « 10~2.
Для сравнения характерных перепадов температур \ТХ -Tzj,
!^2"^2р |Т£ — Т^[ воспользуемся другой записью соотношения
Герца-Кнудсена-Ленгмюра
nhl _TS-TZ
a2Pici Ts
_ (l - rkv) J2n aCvc\
4~ 3(yi-l)VYv £1%
B.1.21)
где xx - "время релаксации" температур на межфазной
поверхности, связанное с временем релаксации давлений Хр
соотношением
(i-rkv) ct
т£=7 7\—ZT-xV B-L22)
(Yi-1) yAv
С учетом B.1.13), B.1.21) уравнение притока тепла к поверхности
капли (см.2.1.2)) можно записать в виде
hZlL = itzb, + Jzzls. Bл 23)

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЕЙ
35
Для отношения абсолютных величин т^д, т*ъ2 обычно справедлива
оценка
■12
ы
5U2
Л2
Л1
<< 1,
AЧг1 < foil, *i < < ^2 ) • B.1.24)
Отношение характерных времен \ и т12 в парогазокапельной
смеси, в отличие от ранее изученного случая однокомпонентной
паровзвеси (Н.А.Гумеров, АЛИвандаев, 1985), зависит не только
от теплофизических параметров фаз, но и от начальной
концентрации пара kv
15
L£2
Pfcy
А2
(г>г\
\^\J
--
а)\ц2\
B.1.25)
Для атмосферного тумана, представляющего собой смесь воздуха
с паром и каплями воды размером а * 10~6ж при нормальных
давлении и температуре, когда А,2 Д2 * 20, 1/с\ * 25,
L * 10"8ж, и концентрации пара fey * 10~2 отношение
тглтХ2 * ЮдР!1^!)- Поэтому, при значении коэффициента
2 /' * I
аккомодации р * 10" отношение т2/|тГ2 » 1 ПРИ любых
частотах колебаний. Таким образом, справедливы следующие
сравнительные оценки, полученные из уравнения B.1.23) с учетом
B.1.24), B.1.25)
\%-Тт
«
1ъ
|Ti-T£|.
Это означает, что для атмосферного тумана (смесь воздуха с
паром и каплями воды) неоднородность температур внутри капель
(отличие Т2 от Ts) обычно мала по сравнению с неоднородностью
температур в газовой фазе (отличием Т} от Т2) и в
противоположность случаю однокомпонентной паровзвеси, может
оьггь малой по сравнению с неравновесностью межфазной
Поверхности (отличием Ts от Ts).

36 ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
2.2. Дисперсия и диссипация слабых возмущений в
монодисперсных парогазокапельных системах
Получены дисперсионные соотношения, описывающие процесс
распространения слабых монохроматических волн в двухкомпо-
нентных газокапельных смесях при частотах, удовлетворяющих
требованию акустической однородности среды. Указан диапазон
частот, в котором эффекты неравновесности межфазной
поверхности при массробмене существенны. Выписаны выражения
для равновесной и замороженной скоростей звука.
Проанализированы зависимости скоростей и коэффициентов затухания волн
в смесях воздуха с паром и каплями воды. Получены и
проанализированы соотношения между амплитудами
возмущений теплофизических параметров фаз при акустическом
воздействии на взвесь, а также условие применимости линейного
анализа в акустике аэрозолей.
Дисперсионные соотношения
Используем следующие безразмерные параметры,
характеризующие состав смеси и физические свойства фаз
га = —, га = —, г = —, с, = л -
р/ р?' рГ тА (ri-i)' 2 тЛ
<=Jf> b = ^> h = (l-r) + (l-/cv^
Я,
Из условия существования у системы линейных уравнений
B.1.1) - B.1.7), B.1.9), B.1.13), B.1.16) - B.1.19) нетривиального
решения вида B.1.8) можно получить следующую дисперсионную
зависимость волнового числа от частоты возмущений
(C1K,/ffiJ=V(ffl)-D(©), B.2.1)
, . F, - F9 _, , Я, + (у, - 1)(Я, + тЯ4)
V(©) = l + m-^ *--, Г>(ю) = 1 + т ——^—Р-1 r-4i-
v F3 + mF2 Я3 + т(Я2 + Я5)

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 37
Здесь V(co), D(g>) - комплексные функции, описывающие
дисперсионные и диссипативные эффекты из-за межфазного
обмена импульсом и межфазного тепломассообмена соответственно.
При отсутствии частиц, когда m = О имеем V(co) = D(co) = 1, т.е.
дисперсии и абсорбции в газе без частиц нет. Функции V(co) и D(oo)
зависят от частоты и теплофизических параметров фаз через
выписанные ниже функции Fj и 0*=1-3) и TIi (г=1-5)
Fx=l-r9 F2=r[l-r(«DT;)], F3=1-(*»t;), B.2.2.)
-(l- r)(fu)T2i )bm°c2 -
(l-r)bcj
1-r
U-rfcv
(m»t;2)
Я2 =|l-(io)Tj2jlfcv -m°—MtOTpl + fcv^Tj;)!,
П3 = -т°|(гют'п) + ((от*п)(сат*12)]ку +
i- Imot* J + fcv(ifi)Tx) 1 - m° — (маты - (uot^J
Ух1
П5 = ^f^[0 ~ Tkv) - hfcv]{c2[l - (fatj2)] 4
i[l-(torn)]J.
+mc9
При записи B.2.1), B.2.2) использованы обсуждавшиеся
Ранее (см. п. 2.1) комплексные времена релаксации г*, х^ь
xXi> Tj2> т£2, Хр и время релаксации xz. Полученная
дисперсионная зависимость B.2.1), B.2.2) обобщает известные

38
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
ранее результаты. При предельном переходе kv -> 1 B.2.1),
B.2.2) согласуется с зависимостью Н.АТумерова, А.И.Ивандаева
A985), соответствующей случаю однокомпонентной смеси пара с
каплями. Дисперсионное соотношение для смеси газа с частицами
при отсутствии фазовых превращений (Н.А.Гумеров,
А.И.,Ивандаев, 1985) может быть получено из B.2.1), B.2.2) при
предельном переходе kv -> 0.
Оценим относительные вклады в функцию D(co) отдельных
членов, связанных с релаксационными процессами межфазного
тепломассообмена. Для этого комплексные функции Пъ Я2, и Щ
перепишем в следующем виде
-A - г)Ът с2
[l-r (l-rkv)b
41
П2 =kv
г„
l-lzCDT^l
1+-
* \
V kV*2j
41
Я3 = -т°1шт*и\ку
1р i
1 + -
кухъ)
41
"(toin)
* Л
4
1 + -
1+-
fcvr
s;
42
1 +
*I2
4l

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 39
В этой записи используются обсуждавшиеся ранее (см. п. 2.1)
отношения характерных времен релаксаций т^ , т^2 > *z ДРУГ к
„ругу. Проанализируем вклад отдельных членов в
комплексные функции П1 , Я2 , П3 . В силу B.1.24) при любых
частотах колебаний имеем \х^2 /tli <<*> следовательно, членами,
содержащими это отношение в Hj и Я3 обычно можно пренебречь.
Неравновесность фазового превращения начинает сказываться
тогда, когда входящие в Я2 и П$ отношение tWit^ , растущее с
увеличением частоты со , становится сравнимо с единицей
(Ts/ITI2| ~ *)* ^ соответствии с оценками B.1.24), B.1.25) влияние
неравновесности фазового перехода проявляется при частотах
121 15 и2АкуЛф
' iJ ■ B-2-3)
Для оценки характерных частот колебаний, удовлетворяющих
условию B.2.3) для |т|2| можно использовать асимптотические
формулы (АЛ.Ивандаев, 1985). В случае малых частот
(юта.2 <Щ^ когда [лг!"!» условие B.2.3) принимает вид W < 1 . При
больших частотах колебаний ((от^ ^ Ю 1 имеет место асимптотика
кг!"*^®1/^) и из B.2.3) следует (агсХ2) >10-W. В одноком-
понентных смесях пара с каплями (ку - 1) неравновесность
межфазной поверхности в процессах испарения и конденсации
проявляется только при достаточно высоких частотах
(Р.И.Нигматулин, 1984)
ч
vl/
^f * 1
(L
** Двухкомпонентных системах с концентрацией пара (fcv <<:1)
Указанная неравновесность будет сказываться при существенно
б°лее низких частотах.
Отметим, что при формальном предельном переходе Р —> оо,
(ТР> Xj -> О) из B.2.1), B.2.2) может быть получено более простое
Дисперсионное соотношение, применимое в соответствии с B.2.3)

40
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
для описания распространения возмущений с частотами, при
которых W-|rj2| > 1, то есть межфазный массообмен происходит
квазиравновесно.
Для последующего анализа и числовых расчетов D(co) удобно
записать следующим образом
G9 =
G3 — rnGi
Gx = bkv(hWo - IW2) ,
lkv
B.2.4)
[(l - rkv) - hkv] bmc2 + Yi -, ^—г(l - hc^ W2 - m°c2WA ,
A - rkv)
Go = 771
iky
A - rkv)bWo - bkvIW2 + Yl ^ WXW2
A - TKy) J
-m°W3W4 ,
W,
"i = l-(icoxy1) , W2 = l-l гозт^2) >
W^^rwcjWi+qWj , W4=Mo(x*+tp)
Здесь, в отличии от B.2.1), B.2.2), введено время Тр, связанное с
временем г£ соотношением B.1.22).
Если давления не очень высоки (г«1), то вид комплексной
функции V(co) и членов G2(<£>) и G3(co) в комплексной функции
D(co) упрощается
V(©) = 1 + -
m
1-(мот*)'
G2 = (l - hkv)bmc2 + yjkv(l - hc^W^ - m°c2W4,
G3 = т]шг - bfe^IWg + yJ2fcvWiW2] - m°WzW±.

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 41
Ддя частных случаев однокомпонентной смеси пара с
каплями {ку - 1) или инертного газа с твердыми частицами (ку =
0) вид функции V(cd) сохраняется. В случае kv = 1 члены Gj (j=l-
3) функции D(co) имеют следующий более простой вид
G2 = W3-IW2 , G2 = y^I -cx)w2 -m°c2(uDTp),
G3 =m[w3 -ZW2 +yir2W1W2]-m0(icDTp)W3,
где W;- (j=l-3) определяются с помощью B.2.4). Для случая ку = 0
вид функции D(od) еще более упрощается (Н.АТумеров,
АЛИвандаев,1985) (для случая газа с частицами функции D(<o)
далее везде будем обозначать 0(со))
D(co) = 0(со) = 1 + т * , B.2.5)
1 + т—-(гсот^)
Тт =•
2
qr'
(* * \ * ^2 *
т11 + т12 I ~ ТТ2 +т ТГ1 >
о 2^ 1 1 1 Р2а2с2 А л \
xT = P2c2ai- + —}тг«-|^ (,2>>,1)
Здесь тт - характерное время релаксации температур между
фазами при отсутствии фазового превращения на поверхности
капли, х*т - его комплексный аналог. В соответствии с оценками
B.2.24) в отсутствии массообмена нестационарность "внутреннего"
теплообмена несущественна при любых частотах со и
тт**тП1Ы.
Перепишем функцию D (со) B.2.4), соответствующую общему
случаю парогазокапельной смеси, выделив отдельно члены с
Концентрацией пара ку

42
ГЛ.2ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Да>) = 1 + —1^ '— Y11-, B.2.6)
y^kyW^+WsWb
G = WiWr8+r(y1-l) p-Ci+bJq] W2 ,
0
m
При малых значениях kv (I2 kv« 1) функцию D (со) B.2.6) можно
разложить в ряд по l2kv. Первым членом этого разложения будет
комплексная функция 6(ш) B.2.5), описывающая дисперсионные и
диссипативные э4>фекты из-за межфазного теплообмена в
газовзвеси без фазовых превращений
D(co) * е(о>) + 0(zfcy) B.2.7)
В соответствии с B.2.7) вклад массообмена при малых значениях
l2kv пропорционален i2kv. Таким образом, на первый взгляд
кажется, что при малых концентрациях пара определяющее
влияние на дисперсию и затухание звука в парогазокапельных
системах оказывает межфазный теплообмен. Однако, на самом
деле это не всегда так. Более детальный анализ показывает, что
при малых массовых содержаниях капель (т « 1) влияние
эффектов фазового превращения может превышать влияние
теплообмена.
Равновесная и замороженная скорости звука
Выражения для равновесной Се и замороженной Cf
скоростей звука в парогазокапельной смеси могут быть
соответственно получены из дисперсионного соотношения B.2.1),
B.2.2) при предельных переходах © -» О иеэ-^оо и имеют
следующий вид
С. =С,
A + т)ух
-|1/2
Cf * Ci (a2 « 1) B.2.8)

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 43
ye={kv + (l-rfcv)[l-(r + h)fcv](c1 +mc2)b/(yir2)}/
fcv + (l- rfcv) — + mc21 b-1 b +
o^Mrv+
M)fcy
Ш ■
где /е " аналог равновесного показателя адиабаты для
двухкомпонентной газокапельной среды с фазовыми
превращениями. В случае умеренных давлений (г « 1) вид
показателя уе упрощается
Уе=-
kv +(l-hfcv)(c! +пгс2)ЬДу112)
fev +
Ух.
VYi
+ гас2
у
b-(b + fc)Tfcv + ^L
Yi
■и
В частном случае однокомпонентной смеси пара с
каплями при kv = 1 выражение для уе имеет вид, совпадающий с
известным выражением (Н.А.Гумеров, А.И.Ивандаев, 1985)
ye={l + (l-r)[(l-r)(ci+mc2)-2l]/(y1l2)yl.
В случае газа с частицами без фазовых превращений (ку = С)
выражение для уе принимает известный вид (Р.И.Нигматулин,
1978}
Уе =(ci +тс2)/\-± + тс
Yi
Если га=0 и fcy = 0 (дисперсная фаза и паровая компонента
газообразной фазы отсутствует) имеем уе =yi и Ce=Ci.
При отсутствии дисперсной фазы (т=0) показатель уе = уе1
определяет скорость звука в газовой смеси Се1 , которая
называется равновесной скоростью звука со стороны двухфазной

44
ГЛ2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
области. Эта скорость звука реализуется, когда температура
газовой смеси Тх в акустической волне в каждый момент времени
совпадает с температурой насыщения Ts при данном парциальном
давлении пара в газовой смеси (Tj= Ts(py))
,V2
Cel =
[VelPll
1p? J '
Yei= {fev +(l-rkv)[l>(r + h)fev]c1b/yir2}/
fcv +(l-rfcv|(l-rfcv)bc1/y1 -
b +
O-'fcv).
Zfcy +
Yi
■и
Для умеренных давлений, когда г « 1 выражение для уе1
упрощается
Уе1 =:
fcv +(l-hkv)Bc1/(y1I2')
fcv + [(сг + hkv) b/yi - (b + /г)Гку] / (у J2)
В случае пара fcy = 1 , тогда выражение для уе1 принимает
вид
Yel =
' 2A-г) A-гJ Г
Ti? Ti(Yi-l)f2j '
Для газа kv = 0 , и yel =yj , Се1=Сх.
Характерные зависимости равновесной скорости звука Се от
массового содержания конденсированной фазы m для смеси
воздуха с паром и каплями воды при давлении рх =0.1 МПа
показаны на рис. 2.2. Различные кривые соответствуют разным
концентрациям пара в смеси или соответственно разным
температурам насыщения Ts{py) . Видно, что более сильное
изменение Се происходит в интервале массовых содержаний m от
0 до 1. Зависимость отношения равновесной скорости звука Се к
равновесной скорости звука со стороны двухфазной области Се1 от

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 45
Се*м/с
400
300
200
100
0
\ !
L!
^
^О*
/ '
•—
^^* —-
ceiceX
0.8
0.6
[0.4
0.2
8 т
Рис. 2.2. Зависимость равновесной скорости звука в парогазокапельной
.смеси от массового содержания капель при разных концентрациях пара в
несущей фазе kv= 0 B73К); 0.2 C42К); 0.6 C64К); 1.0 C73К). Давление в
несущей фазе рю= 0.1 МПа.
С€, М/С
400
300
200
100
<>-
/
о i
0.5
1
2
гТ"
_i
0.2 0.4 0.6 0.8 kv
273 404 425 437 446 452 Т,К
Рис. 2.3. Зависимость равновесной скорости звука в парогазокапельной
сМеси от концентрации пара в несущей фазе, или соответственно,
температуры при разных массовых содержаниях капель. Давление в несущей
Фазе р10= 0.1 МПа.

46
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
массового содержания капель га для всех концентраций пара с
хорошей точностью может быть аппроксимирована единой кривой,
показанной на рис. 2.2 штриховой линией. При этом Се /Сг1 -
A+т)-1/2.
Проиллюстрируем вид зависимостей равновесной скорости
звука Се в парогазокапельной смеси от концентрации пара ку и
массового содержания капель га во всем диапазоне изменения ку
от ~ 0 до 1. Для смеси воздуха с паром и каплями воды
зависимости Се от концентрации пара ку или, что то же самое, от
соответствующей температуры насыщения Т$(ку) показаны на
рис.2.3. Цифровые указатели у кривых соответствуют различным
га. Давление газообразной фазы Pi =1.0 МПа.
Анализ дисперсионной зависимости для смеси
воздуха с паром и каплями воды
Дисперсионные кривые, рассчитанные с помощью B.2.1),
B.2.2) для смеси воздуха с паром и каплями воды радиуса
а=2 • 10~б м. при давлении газообразной фазы рх = 0.1 МПа
проиллюстирированы на рис, 2.4-2.13. Кривые рис. 2.4-2.6
соответствуют значениям концентрации пара в несущей фазе
kv = 0.8 10~2 (Т0 = Ts(kv )= 280K). Цифры у кривых показывают
значения массового содержания капель в смеси га.
На рис. 2.4 проиллюстирировано влияние массового
содержания капель на вид зависимостей декремента затухания на
длине волны ст от безразмерной частоты колебаний ©v
Штриховые и сплошные линии соотвествуют случаям
квазиравновесного (J3 = оо , ц = 0) и неравновесного (Р = 0.04)
массообмена. Видно, что при данной концентрации пара
неравновсеность фазового превращения сказывается при
частотах mv < 1 *\ Влияние неравновесности массообмена
зависит от массового содержания капель га. Для га = 0.006 ее
учет приводит к заметному сдвигу экстремума кривой 0"(cotv) в
область низких частот. Для га=0.2 вклад неравновесных эффектов
является менее заметным. При малых массовых содержаниях
дисперсной фазы величина максимального значения коэффициента
*} В соответствии с оценкой B.2.3) эффекты неравновесностй
массообмена должны сказываться при любых частотах колебаний, однако на
графиках рис. 2.4 их влияние заметно лишь при частотах cotv <> 1. Это
связано с тем, что при более высоких частотах относительный вклад
массообмена в диссипацию мал по сравнению с вкладом межфазного трения.

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 47
1(Г3 10 10 10° 101 соху
Рис 2.4. Зависимость декремента затухания на длине волны от
безразмерной частоты колебаний при разных массовых содержаниях капель.
а слабо зависит от т. Так, изменение т от 0.006 до 0.075, т.е. на
порядок, фактически не приводит к изменению коэффициента о\
Характерной особенностью одно- и двухкомпонентных
газокапельных смесей с фазовыми превращениями является то, что
зависимость декремента затухания о от частоты cotv может иметь
два ярко выраженных максимума (рис. 2.4). Один из них
обусловлен диссипацией из-за межфазного трения и реализуется
при частотах сотг, - 1, другой наблюдается при cotv - m и связан с
эффектами диссипации из-за неравновесного межфазного
тепломассообмена. Рассмотрим индивидуальный вклад межфазных
трения и тепломассообмена в дисперсию и диссипацию. Вклад
трения (штрих - пунктирные линии) и тепломассообмена
(пунктирные линии) в обозначенные сплошными линиями
суммарные коэффициент затухания а, фазовую скорость Ср и
линейный коэффициент затухания К** проиллюстрированы на
Рис. 2.5, 2.6.
Видно, что при малых массовых содержаниях капель
^-О.ООб вид зависимости o(cdtv) в основном определяется
Межфазным тепломассообменом (при ют^ < 10 пунктирная ли-
ния совпадает со сплошной, рис. 2.5). С увеличением m влияние
"Прения на дисперсию и диссипацию возмущений возрастает

48
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Рис 2.5. Вклад межфазного тепломассообмена и трения фаз в
зависимость декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты
колебаний.
Ср1сх
0.95
0.9
0.85
,
''-' /
*'ii-^y
0.075 I
у,
у /\
{А
i
К**,м~
10 10ч 10° ах,,
Рис 2.6. Вклад межфазного тепломассообмена и трения фаз в
зависимость фазовой скорости и линейного коэффициента затухания от
безразмерной частоты колебаний.

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 49
(рис.2.5, 2.6). Тем не менее, всегда существует область не очень
больших значений т, размер которой зависит от kv и
теплофизических свойств фаз, где затухание низкочастотных
сигналов (otv<1), в основном, определяется межфазным
тепломассообменом.
Анализ процессов межфазного взаимодействия в
парогазокапельных средах с малым массовым содержанием частиц
<т«1 показывает, что кроме характерного времени xv B.1.9)
существует еще одно характерное время межфазного
тепломассообмена (см. п. 2.3)
*т
2 m
yil2kv Рг!+A- fcyfeSc, + ^^
Зг т„
J\l2kv +(l-fcv)bc!
B.2.9)
О < т « 1
Вклад тепломассообмена в дисперсию и диссипацию возмущений
начинает проявляться при частотах сотт ~ 10 , вклад межфазного
трения при частотах сот^ ~ Ю-1. Обычно Ргь Scx ~ 1, тогда при т^ =
О в соответствии с B.2.9) имеем тш ~ iv /m, т.е. тт » xv . При
частотах сотт * 1 парогазокапельная смесь равновесна по
скоростям (vi ~ v2)> но неравновесна как по характерным
температурам (Ti ф Т2 ф TV), так и по концентрациям пара в
парогазовой смеси (fey ф kyz). Основное влияние на дисперсию и
диссипацию возмущений при этих частотах оказывает межфазный
тепломассообмен. С увеличением частоты относительный вклад
тепломассообмена уменьшается. При сот^ > 1 основной вклад вносит
межфазное трение.
Влияние неравновесности фазового превращения на
зависимость a(@iv) при различных концентрациях пара в несущей фазе
kv и разных массовых содержаниях капель т проиллюстрировано
на рис. 2.7. Кривые I, II соответствуют разным концентрациям
пара: I - fcv=0.1 (Т0 = 327К) , II - ку=1Л (Т0=373К). Штриховыми и
сплошными линиями показаны случаи равновесного (Р=оо) и
неравновесного (Р=0.04) фазовых превращений. Для
концентрации пара ку=0Л (Т0 = 327К) приведены кривые,
соответствующие случаю замороженного массообмена (пунктирные
линии). Видно, что влияние неравновесности массообмена

50
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
0.3
0.2
0.1
/Г
V
\ А
! v
i
II
и
i
/Vv S
V/
ж
f%
\\
\\
ч^^-
0.01
0.1
ю~3 ю~2 ю ю° (от.у
Рис 2.7. Зависимость декремента затухания на длине волны от
безразмерной частоты колебаний при разных массовых содержаниях капель
и раличных концентрациях пара: I - ку= 0.1 C27К); II - ку = 1.0 C73К).
К„,м-]
0.2
0.1
0.1 //
/ / '
1—1
; 1.0
У o.oi j
'/ 1
10"J Ю~2 ю (ог0
Рис 2.8. Зависимость линейного коэффициента затухания от
безразмерной частоты колебаний при разных массовых содержаниях капель

22. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 51
(отличие Tv от Ts) на зависимость g(g>tv) с ростом ку уменьшается.
В случае однокомпонентной среды ку = 1, (кривые II) влияние
неравновесных эффектов массообмена на зависимость о^сот^)
является более слабым. Отметим, что для m * 0.01 при двух
различных значениях концентрации пара ку—1 и ky=0.S 10
максимальное значение коэффициента а примерно одно и то же:
ffmax *0.2 (Рис- 2.4). Это связано с тем, что при т=0.01 зависимость
о(ку) имеет экстремум атах« 0.3, соответствующий fey * 0.1
(Т0*327К) (см. п. 2.4).
Характерные зависимости линейного коэффициента
затухания К** от безразмерной частоты mv при концентрации
пара ку = 0.1 приведены на рис.2.8. Сплошные линии - р=0.04,
пунктирные - C=0. Видно, что при сот^ ~ 10 - 10 возмущения в
смеси с га=10~2 затухают значительно сильнее, чем в смесях с
существенно более высокими массовыми содержаниями
дисперсной фазы (га ~ 0.1 - 1.0). Более тщательный анализ
показывает, что при наличии фазовых превращений коэффициент
затухания низкочастотных (сот^ « 1) возмущений немонотонно
зависит от содержания капель m (см.п.2.4). Так зависимость К** (га)
при частотах (utv ~ 10~3 - 10~2 имеет максимум при т=10
(т=0, К„ = Q; т = 1, К.„ ~ 0 - 0.005). При mv - 10~2
интенсивность затухания во взвесях с фазовыми превращениями
может на несколько порядков превышать затухание в газе с
твердыми частицами, где эти превращения отсутствуют (рис. 2.8).
На рис. 2.9, 2.10 проиллюстрирован характерный вид
зависимостей коэффициентов К** и а от массового содержания
капель га при различных частотах в случаях наличия (сплошные
линии) и отсутствия (пунктирные линии) фазовых превращений.
Видно, что зависимости К** (т) и а (т) при частоте mv =0.01 в
газовзвесях с массообменом имеют максимум при ш=0.01. При
этом для га«1 интенсивность затухания во взвеси с фазовыми
превращениями значительно превышает затухание в газе с
твердыми частицами, где эти превращения отсутствуют. С
увеличением частоты до wv =0.1 максимум зависимостей К** (га)
и о (т) реализуется при более высоких массовых содержаниях
капель (га=0.1). При этом отношение коэффициентов затухания в
случаях наличия и отсутствия межфазного массообмена в области
Максимума уменьшается. При дальнейшем увеличении частоты
сплошные линии постепенно выполаживаются. Затухание
высокочастотных возмущений сэт^» 1 в газовзвесях как с

52
ГЛ.2.В0ЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
0.02
0.01
0
К~,мч
0.6
0.4
0.2
ж
б
1 / 1
] у l /
10~3 I0 10ч 10° т
Рис 2.9. Зависимость линейного коэффициента затухания от массового
содержания капель при разных значениях безразмерной частоты колебаний:
а - 0Т„ = 0.01 (ю = 181 с}); б - ©т„ = 0.1 (о = 1810 с).
0.3
0.2
0.1
! a
|У
X Ч/
Л
/ А
л
V
А
10~3 10 10~1 10° т
Рис 2.10. Зависимость декремента затухания на длине волны &
массового содержания капель при разных значениях безразмерной часто?*1
колебаний: а - mv = 0.01 (© = 181 с); б - mv = 0.1 (ю = 1810 с).

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 53
фазовыми превращениями, так и без фазовых превращений
пропорционально массовому содержанию конденсированной фазы
щ. При этом, среди диссипативных доминируют эффекты
межфазного трения (см. рис. 2.6).
На рис. 2.11, 2.12 показан характерный вид зависимостей
фазовой Ср и групповой Сд скоростей распространения слабых
возмущений, а также их линейного коэффициента затухания К**
от частоты колебаний сот^ . Разные серии кривых на каждом
рисунке относятся к различным массовым содержаниям
дисперсной фазы т. Различные кривые каждой серии
соответствуют разным концентрациям пара kv и различным
значениям коэффициента аккомодации J5. Сплошные кривые
построены при обычно принимаемом для воды значении р=0.04,
пунктирные линии (C=0) - замороженный массообмен (тр=°°),
штриховые (K=оо) - квазиравновесный массообмен при Tz—T^py).
Сплошные кривые практически совпадают со штриховыми
до частот сот-у < 1 . Использование предположения о
квазиравновесности массообмена (Р=оо) при частотах сот1?>1 занижает
фазовую и групповую скорости распространения малых
возмущений и завышает их линейный коэффициент затухания.
При этом ошибка в коэффициенте затухания высокочастотных
возмущений, связанная с неучетом реальной неравновесности
межфазной поверхности при массообмене, возрастает с ростом
концентрации пара ку или, что тоже самое, с ростом начальной
температуры ( более детальный анализ см. в п. 2.4).
Замороженность массообмена при частотах cdtv>1 приводит к
увеличению скоростей и уменьшению коэффициента затухания К**
Влияние замороженности массообмена на распространение
возмущений с частотами cotv < 1 сильно зависит от массового
содержания конденсированной фазы га. При высоких значениях
m (га ~ 1) дисперсия и затухание слабых возмущений в
рассмотренных смесях как при наличии, так и при отсутствии
массообмена практически одинаковы. При малых массовых
содержаниях капель (т«1) законы дисперсии и абсорбции
акустических возмущений в одно- и двухкомпонентных аэрозолях
с фазовыми превращениями могут сильно отличаться от
соответствующих законов для аэрозолей без массообмена.
Соответствующие зависимости фазовой и групповой скоростей, а
также их линейного коэффициента затухания могут иметь
несколько точек перегиба. Это обстоятельство обусловлено
наличием двух основных диссипативных механизмов - неравно-

54 ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
1<Г2 КГ1 10° 101 оту ю 10 10° Ю1 mv
Рис 2.11. Зависимость фазовой и групповой скоростей от безразмерной
частоты колебаний при разных массовых содержаниях капель и раличных
концентрациях пара: I - kv = 0.1 C27К); II - kv = 1.0 C73К). Разные кривые
каждой серии соответствуют различным значениям коэффициента
аккомодоции C.
10 КГ1 10° ю1 от,,
Рис 2.12. Зависимость линейного коэффициента затухания от
безразмерной частоты колебаний при разных массовых содержаниях капель
и раличных концентрациях пара. Обозначения те же, что и на рис. 2.11.

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 55
ресного межфазного тепломассообмена и неравновесного
цеясфазного обмена импульсом - и их существенно разным
giCjiaflOM в дисперсию и затухание волн при различных частотах
(более подробный анализ см. п. 2.4). При этом в двухкомпонентной
газовзвеси (кривая I) дисперсия и затухание слабых возмущений
может быть выше, чем в однокомпонентной (кривая II). Более
детальный анализ показывает, что в парогазокапельных системах,
дисперсия и абсорбция за счет межфазного тепломассообмена
немонотонно зависит от концентрации пара (см. п. 2.4, рис. 2.17).
Так для смеси воздуха с паром и каплями воды при умеренных
давлениях соответствующая зависимость имеет максимум в
области концентрации пара ку. При предельных концентрациях
пара ку = 0 и fcy = 1, вклад межфазного тепломассообмена в
дисперсию и абсорбцию является минимальным.
Связи между амплитудами возмущений параметров фаз
При распространении монохроматического акустического
возмущения в двухфазной среде происходят периодические
колебания давления и других параметров фаз. При этом
амплитуды колебаний всех параметров связаны с амплитудой
возмущения давления. Интересно проанализировать эти связи.
Для анализа в систему уравнений B.1.1)-B.1.7) подставим
решения вида B.1.8) ij/ =V|/*expt(K*x-(ot), где \у* - амплитуда
возмущений V}/. В результате получим систему алгебраических
уравнений относительно vy*. Выразим амплитуды скоростей V/
0=1.2) и температур фаз Т* (j=1.2) через амплитуду возмущения
Давления в несущей фазе Р^ Используем следующие
безразмерные параметры
V/-V//C,, Т*=Т;/Т0, Р1=Р1/рю 0=1,2)
Из уравнений сохранения импульсов фаз B.1.1) следуют соотноше-
аия, связывающие амплитуды скоростей газа и капель V* (j=l,2)
с амплитудой изменения давления в газообразной фазе Р2
_„ CiK,(©)_ _, C1K.(©)V°(©)-

56
ГЛ2ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
V°(©) = (l-td>T;) \ V(©)«l + mV°(©) .
Здесь К*(со) - комплексное волновое число, определяемое
дисперсионной зависимостью B.2.1). Отметим, что амплитуды
скоростей фаз комплексны, что свидетельствует о наличии сдвига
по фазе между колебаниями скоростей и изменением давления.
При этом V* зависят через К*(ю) от всех теплофизических
параметров газовзвееи. Из уравнений B.1.2)-B.1.7) могут быть
получены выражения для амплитуд возмущений температур фаз
Tj*(j=l92) . Для парогазокапельной смеси при наличии
квазиравновесного массообмена эти соотношения имеют вид
[ Щ&г ~ тг4) y^Wi J z3 - wdz4
*1 = kV > z2 = kVT*Tl + L!Tpm ,
%2 = ку-(й [fcvTTlTT2 XT2 "*" ^^T1!^] ?
z4 = kv(x*Tl + tj2) + U + ra^/q) L2t^ ,
W!=l- шт^ , W2 - гсот^2 j
bi=l/(Yif) , L2=c1/(y1 Г2) , i^ = t* .
m y
Для случаев однокомпонентной смеси пара с каплями (kv = 1)
при наличии фазовых превращений и газа с твердыми частицами
при отсутствии массообмена (kv = 0) вид соотношений B.2.10) не
меняется. Зависимости B.2.11) для случая kv = 1 определяются
соотношениями
т = cjl-toin р т = Lj_ p 12)
у^^ 2 W2 x
Выражения для амплитуд возмущений температур фаз B.2.11) для
газа с частицами (ку = 0) могут быть записаны в следующем
простом виде

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 57
— W — — Pi
ТУ = - / - ,- ч Pi f ?2= - / - ч • B.2.13)
y1c1(mc2/c1 + W) yiCi(mc2/cl + W)
В соответствии с B.2.11)-B.2.13) амплитуды возмущений
температур фаз Т* 0'=1.2) комплексны. Это свидетельствует о
существовании сдвига по фазе между колебаниями температур фаз и
колебанием давления в несущей фазе. При этом максимальные
отклонения от начальной температуры определяются абсолютными
величинами Т*= \Т*\ , а величины сдвигов фаз характеризуются
главными значениями аргументов Х^ = argT*
Tj = |[jteТ}*]2 + [irnT/]2J , Xj = arctg[lrnT*/ReT*} .
В общем случае получить явные выражения для Tj и Xj
атруднительно. В связи с этим, далее ограничимся частотами
ют^ < 1 , когда комплексные времена релаксаций температур т *Tj
(j = 1,2) близки к своим квазистационарным действительным
значениям iTj . Кроме этого, проанализируем более простые
частные случаи однокомпонентных газовзвесей.
Для них могут быть выписаны явные зависимости Tj и Xj
от частоты возмущений, размера частиц и теплофизических
свойств фаз.
Для пара с каплями {kv=l) при наличии квазиравновесного
массообмена из соотношений B.2.12) имеем")
YiCi
(cjiy +(ютТ1)''
1 + (cottj
Pi.
B.2.14)
*) При рассматриваемых частотах колебаний неравновесность фазового
"Ревращения на величины Tj и Xj не влияет.

58
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
ЮТ
Т1
М-1I
1 + @)ТТ2)
2lV2
Ci/f+ ((OTT1JJ
, Х2 = argTJ = arctg(-mT2)
Отметим, что в B.2.14) массовое содержание капель га входит
только в характерное время tTi- При частотах ютТ1 « cx/l
(vycv«mcl/l) выражения для Ту и Xj упрощаются и принимают
следующий вид
Xt = arctg [oxti (Cj/J-1)] , X2= arctg(-mT2).
B.2.15)
Видно, что рост теплоты парообразования Z приводит к
уменьшению действительных значений амплитуд возмущения
температур в несущей фазе Тх изнутри капель Tv Отметим, что
в соответствии с B.2.14) при частотах ш -> 0 сдвиг фаз между
колебаниями температур фаз и изменением давления в
газообразной фазе уменьшается и стремится к нулю.
В случае газа с частицами без фазовых превращений
(kv = 0) для Tj и Xj из B.2.13) могут быть получены следующие
соотношения
Г,=-
( 1 + ((отгJ
Ул[м2+(соттJ
1/2
Pi.
B.2.16)
Xi = arctg
mc?mn
Ci[M + ((ott)]

2.2. ДИСПЕРСИЯ И ДИССИПАЦИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 59
т2 =
Pi
W2
у1с1[м2+(©ттJ]
М = 1+ mc2/ci
, Х2 = arctg
(ОТп
М
При частотах сотт « 1 выражения для Т; и Ху записываются в
виде
Pi
3 улм'
Хх = arctg
m^coi^
слМ
J = 1,2 ,
Х2 = arctg
B.2.17)
Отметим, что в соответствии с B.2.16), B.2.17) для аэрозолей
с малым массовым содержанием взвешенной фазы т«1 или,
более точно для аэрозолей с М ~ 1, амплитуды температур фаз
Tj (j =1,2) и аргумент Х2 не зависит от т. При этом величина
сдвига по фазе между колебаниями температуры и давления в
несущей фазе, характеризуемая главным значением аргумента
Xj, прямо пропорциональна массовому содержанию частиц.
Об условии применимости линейного анализа
в акустике аэрозолей
Следует иметь в виду, что при малых частотах возмущений
с уменьшением массового содержания капель m для взвесей с
фазовыми превращениями линейное решение может стать
неадекватным. Чтобы оно было применимо, необходимо выполнение
условия Am/m « 1 или Aa/a « 1, что дает более жесткое
ограничение на амплитуду давления, чем ^Рх/р0 « 1. Получим
это соотношение. Для этого запишем уравнение притока тепла к
иежфазной поверхности B.1.2) в виде
njiv =—
ys
*о L
PlOcpl
дТ{
dt
- a
ю
др[_
dt
Ргос2
dt
. 2 ■» So'
= 4яа0р20п0 —

60
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Подставляяя решение вида B.1.8) и используя формулу
B.2.11) при малых частотах колебаний (coixi « 1 B.2.15)) после
обезразмеривания получим связь между возмущением давления и
возмущением радиуса капли в волне при массообмене
а.
а
Згау^ [
сх +тс2
I
Pi
Рю
Легко видеть, что для выполнения требования а /а « 1
или Am/m « 1 необходимо следующее ограничение на
амплитуду возмущения давления*)
л
«
Зтух1
Рю 1-(с1+тс2)/Г
B.2.18)
Поскольку интерес представляют возмущения с "ощутимой"
амплитудой pi/Рю > Ю , то с учетом I > 10 для обычных
двухфазных сред из B.2.18) следует, что при наличии фазовых
превращений линейный анализ эффективен для аэрозолей с
массовыми содержаниями капель m > 10" .
*) Соотношение B.2.18) согласуется с формулой В.ШШагапова A987)»
полученной при малых га«1 и неучете внутреннего теплообмена (q2z — 0)-

2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФАЗ 61
2.3. Характерные времена процессов взаимодействия
фаз и их влияние на дисперсию и диссипацию
слабых волн
Изучены характерные времена процессов межфазного
взаимодействия в системах типа газ-частицы, однокомпонентные
смеси пара с каплями и двухкомпонентные парогазокапельные
смеси. Рассмотрено влияние этих времен и их отличия друг от
друга на особенности дисперсии и абсорбции акустических волн в
реальных двухкомпонентных двухфазных смесях газа с паром и
каплями.
При исследовании дисперсии и абсорбции акустических
возмущений в парогазокапельных системах важное значение имеет
знание характерных времен т процессов межфазного обмена
массой, импульсом и теплом. Соответствующие характерные
времена являются функциями физических свойств
рассматриваемой многофазной системы. Степень их влияния на
распространение звуковых волн зависит от значений
частотноструктурных параметров сот (со - циклическая частота
возмущений). Для физического процесса межфазного обмена с
характерным временем т сильная дисперсия и максимум
де*сремента затухания на длине волны наблюдается при сот ~ 1.
Исследование времен релаксаций теплофизических
параметров фаз при акустическом воздействии на взвесь
выполнено И.С.Радовским A971). При этом для анализа
характерных времен межфазного взаимодействия использованы
методы релаксационной теории и неравновесной термодинамики.
Однако здесь рассмотрены акустические воздействия на
парогазокапельные системы при отсутствии фазовых
превращений, что ограничивает применимость полученных
результатов. Кроме этого полученные времена фактически
характеризуют тепловое и силовое взаимодействие одиночной
частицы с газом и не являются характеристиками межфазного
взаимодействия между дисперсной и несущей фазами газовзвеси в
Целом. В настоящем разделе получены и проанализированы
характерные времена межфазного обмена импульсом и
Иежфазного тепломассообмена в парогазокапельных смесях с
кассовым содержанием капель т .
Рассмотрим некий объем парогазокапельной смеси,
Сходящейся при t < 0 в начальном термодинамически
равновесном состоянии (vx = v2 = 0, ^ = 72=7^= Те, р = ре).Предположим,

62
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
что при t = О в результате внешнего акустического воздействия
параметры газообразной фазы во всех точках объема внезапно
изменились на одну и ту же величину, а параметры капель
остались прежними, соответствующими исходному равновесному
состоянию. В образовавшейся неравновесной парогазокапельной
смеси будут происходить релаксационные процессы межфазного
обмена массой, импульсом и энергией, в результате которых
параметры смеси при t -» оо будут стремиться (релаксировать)
к своим новым равновесным значениям
(Vl = v2 = t>w , 7\ = Т2 = Т£ = Т», р = pj.
Известно (Д.Кларк, М.Макчесни, 1967), что любой
релаксационный процесс описывается уравнением типа
—^ = --[ф(*)-фН]
dt
решение которого имеет вид
V @ - V («>) = V (t) = (v|/ @) - чг (оо)) exp (- 111) , B.3.1)
где V|/ (t) - зависящая от времени переменная, принимающая при
t -> оо равновесное значение vj/ (со) ; i|/ - ее возмущение
относительно равновесного состояния vj/ (оо) , т - время релаксации,
характеризующее процесс экспоненциального приближения
параметра vj/ к его равновесному значению \\f (оо).
Далее используем следующие безразмерные параметры,
характеризующие состав смеси и физические свойства фаз
Pi ' YiKi q2 R, v v/ Rx
Здесь с - коэффициент теплоемкости, у - показатель адиабаты, К
газовая постоянная, С - скорость звука , ку=ру/рг
концентрация пара в газовой фазе.
Предположим, что существует некоторое неизвестное нам
время релаксации т , характеризующее процесс выравнивания
параметров фаз двухфазной парогазокапельной смеси в целом.
Изучим решения системы линеаризованных уравнений B.1.1) *
B.1.7) имеющие вид B.3.1) для возмущений параметров

2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФАЗ 63
(Ф'} = (P'l , PV , Р'2 , *l, &2> P' " • • >}
Рассмотрим случай квазиравновесного фазового превращения
на границе раздела фаз (Те = Ts).
Подставляя соответствующие решения B.3.1) в систему B.1.1)-
B.1.7) получим систему линейных однородных алгебраических
уравнений относительно неизвестных т , коэ4эфициенты при
которых зависят от термодинамических параметров смеси и
времени т . Для существования нетривиального решения этой
системы определитель из коэффициентов для неизвестных должен
быть равен нулю. Уменьшая порядок определителя, после
проведения алгебраических преобразований получим следующее
алгебраическое уравнение для определения времени релаксации т
т - -^- [Ах2 - Вт + с) = 0, B.3.2)
1 + т) < J
А = Ъ(сх +ylmc2) + fev|Y J2 ~(Ь + Ь)ух1 + Ыг],
В = (cl + Yimc2)ip + Ъсхт*Т + fcyfrJ2 + rric2bh{yl - O^ti +
+[(ti02 ~~ (b + hbJ + bhfT2i >
__*» , 72 * *
С = CjTrTp + /CvYjl ТТ1*Т2 ,
l-it
V2
-1-1
i+1fM
1/2
2pV
9 Hi
v =
Plfl
Hi
* * ^2 * 0 2
xT = тТ2 + m—тТ1,тт = P2c2a
1 1
- + -
\3Xi 15X2J
гДе tv , тт - времена релаксаций скоростей и температур между
°Диночной частицей и газом при отсутствии фазовых превращений
*а поверхности частицы, т*, х*т - их комплексные аналоги, \i, X -
1СоэФфициенты динамической вязкости и теплопроводности.

64
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Здесь и далее используются эффективные, зависящие от
частоты, комплексные аналоги обычных времен релаксаций т* ,Ту,
тр>тп>тТ2> введенные ранее в п. 2.1. Эти времена характеризуют
динамику и тепломассообмен пробной дисперсной частицы
разреженной взвеси с окружающим ее газом в высокочастотном поле.
Решения уравнения B.3.2) являются характеристиками
межфазного взаимодействия между дисперсной и несущей фазами
в целом. Один из корней уравнения B.3.2) очевиден
1 + m
Этот корень является характерным временем межфазного обмена
импульсом в газовзвеси с массовым содержанием частиц (капель)
т.. Таким образом характерное время т^ вовлечения частиц
дисперсной фазы в движение несущей фазы с увеличением m
уменьшается. Два других корня уравнения B.3.2) представляют
собой корни соответствующего квадратного уравнения
В± у1в2 - 4АС
т,- = ы » *=2>3 С2-3-3)
где х*2 и Тз - характерные времена межфазного тепло- и
массообмена. Записать эти корни в явном, свободном от радикалов
виде в общем случае не удается.
В некоторых частных случаях из решения B.3.3) могут быть
получены явные приближенные выражения для времени т*
(г=2,3). Для парогазокапельной смеси с малыми концентрациями
пара kv в газообразной фазе, удовлетворяющими условию
fcyT2<< 1» Для характерных времен межфазного тепло- и
массообмена можно использовать следующие формулы
cVm 1 + m 1 + mc2 cvl Vl
Здесь cVi и cVm - соответственно теплоемкости газообразной фазы
смеси и двухфазной системы в целом ( при постоянном объеме)

2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФАЗ 65
cVi - kvcv+ kG cG , cVm .
Pi + P2
Для смеси газа с твердыми частицами (fcy=0), когда фазовые
превращения отсутствуют, характерным временем теплообмена
между фазами является время х*Тт B.3.4). В этом случае %*2 =х*Тт
является точным решением уравнения B.3.2). Если массовое
содержание взвешенной фазы мало (т«1), то характерные
времена обмена импульсом между фазами т^ и межфазного
теплообмена х*Тт близки к временам релаксации скоростей x*v и
температур х^ для одиночной частицы B.3.2)
(т«1) .
Для аэрозольных смесей газа с паром и каплями жидкости
(т«1) , когда содержание пара велики (l-fcv«l), для
характерных времен межсоюзного теплообмена т* (г=2,3) B.3.3) справедливы
следующие приближенные формулы
т2 « тТ2, т3 * ~—:—г^ — D.6.0)
В соответствии с B.3.5) время х% зависит от теплоты
преобразования I и концентрации пара , а также от других
теплофизических параметров газообразной фазы. Кроме этого
значение т£ сильно зависит от массового содержания капель m
(через времена т^ и т*р). Время х*2 при высоких концентрациях
пара и наличии фазового превращения является функцией
параметров индивидуальной капли и связано с внутренней
неоднородностью температуры ( с отличием Т2 от TV)*). Указанная
Неоднородность может сказаться только при очень высоких
частотах, когда сотГ2 ~ 1 •
*] Отметим, что в рамках более простой двухтемпературной схемы
^Плообмена время Тт2=0.

66
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
В случае пара с каплями (ку—1), если массовое содержание
конденсированной фазы мало (т«1) корнями уравнения B.3.2)
являются следующие характерные времена тепломассообмена
* _ * * _ yJ2 *
х2 ~~ ХТ2> т3 " Z Z То ТТ1 >
(YlI-l) +C!
совпадающие с выражениями для т* (г = 2,3) B.3.5) при ку = 1.
При частотах ют^ < 1 комплексные времена т* (г=1-3) близки
к своим квазистационарным действительным значениям. Запишем
выражение B.3.5) в следующем виде
12 *т2 *тТ2 , B.3.6)
yll2kv¥rl + (l-k)bclScl 1
(yj-l) kv+cx J
Здесь Pri , S^ - числа Прандтля и Шмидта газообразной фазы.
Обычно Ртъ Sc^l, f »c1-l, тогда справедлива оценка т3~тг/т т.е.
при m«l t3»V Отметим, что сильная зависимость времени Тз
от массового содержания капель m (тз~тг/т) имеет определенный
физический смысл и связана с процессами выравнивания
параметров (температуры и концентрации пара) в области (ячейке)
вокруг капли. Чем больше числовая концентрация капель п0, тем
меньше характерный размер ячейки К~п0~1/Г3 и тем соответственно
меньше время т3 выравнивания температур и концентрации пара
в области вокруг капли. При частотах сот3 ~ 1 (cotv « 1) парогазока-
пельная смесь равновесна по скоростям (vx - v2X но неравновесна
как по характерным температурам (Т^ * Ti), так и по
концентрациям пара в парогазовой смеси (ку * кут). Таким образом
влияние межфазного тепломассобмена на дисперсию и диссипацию
возмущений начинает сказываться при более низких частотах, чем
межфазное трение. В связи с этим следует подчеркнуть, что
встречающиеся в литературе утверждения о том, что при частотах
mT~G)Tv«l аэрозоль с фазовыми превращениями находится в
Т-> * T-j « —
«lis.
2 m

2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФАЗ 67
•термодинамически равновесном состоянии, вообще говоря,
являются неверными.
Рис. 2.13. Зависимости характерных времен Хз (сплошные линии), х2
(штрихпунктирные линии), и Ттт (пунктирная линия) от массового
содержания капель при различных концентрациях пара в несущей фазе:
1- fcv= 0.0035 (Т0 = 273К), 2 - 0.1 C26К), 3 -1.0 C73К).
На рис. 2.13 проиллюстрированы зависимости характерных
времен т{ (i=2-3) B.3.3) и времени хТт B.3.4) от массового
содержания капель для смеси воздуха с паром и каплями воды
при различных концентрациях пара. Анализ показываот, что
характерное время Тз (сплошные линии) во всем диапазоне
изменения концентраций пара kv @<kv<l) и массового содержания
капель 0<т<10 хорошо описывается приближенным соотношением
B.3.6). При уменьшении kv от единицы до нуля значение времени
12 (штрихпунктирные линии) увеличивается от значения времени
*Т2 (штрихпунктирная линия 3) до соответствующего значения тТт
(пунктирная кривая). Отметим, что времена тТт , хТ2 слабо зависят
от концентрации пара, поэтому зависимость тТт (яг) на рис. 2.13
показана для одного значения kv=0.1. Для обычных систем, когда
*Л ^ 1 И Х2 »1 время Тт2 <К *Тт •
Исследование процессов происходящих при распространении
звуковых волн в двухфазных системах включает также анализ
Дисперсионных зависимостей волнового числа К* от частоты со.
Соответствующие дисперсионные соотношения К*(со) для паро-
^зокапельной смеси учитывающие нестационарные и

68
ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
неравновесные эффекты межфазного взаимодействия получены в
п. 2.2 Ч
В частном случае парогазокапельной системы с малыми
массовыми содержаниями капель (т«1) и достаточно малыми
концентрациями пара (fev 12<<1) зависимость К,(со) может быть
записана в виде (см, п. 2.4)
(С{ К* /©J=l+V((o)-b0(coL-D(cu) , К* =К+г К„, B.3.7)
где V(to), 6(g>)- комплексные функции, описывающие
дисперсионные и диссипативные эффекты из-за межфазного обмена
импульсом и межфазного теплообмена, D(co) - комплексная
функция, связанная с эффектами фазового превращения.
1(Г3 1<Г2 !0"] ю° mv
Рис. 2.14. Вклады межфазного тепломассообмена, теплообмена и трения
фаз в зависимость декремента затухания на длине волны от безразмернй
частоты колебаний при концентрации пара ку = 0.0035 (Т0 = 27ЗК)
Дисперсионные кривые, расчитанные с помощью соотношений
B.2.1)-B.2.2) для смеси воздуха с паром и каплями воды радиуса
а=2 • Ю-6 м при давлении газообразной фазы р2= 0.1 МПа
проиллюстрированы на рис. 2.14-2.16. На рис. 2.14. показаны вклады
межфазного трения (штрихпунктирная линия), теплообмена
(пунктирная линия) и тепломассообмена (штриховая линия) в
обозначенный сплошной линией суммарный декремент затухания
на длине волны а=2гсК»*/К. Кривые соответствуют массовому
содержанию капель т=0.05 и концентрации пара fcv=0.0035
*) Отметим, что уравнение B.3.2) может быть получено из дисперсионного
соотношения для К«(со) при Тр = 0 с помощью подстановки ico = 1/х , К* = 0.

2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФАЗ 69
(Т0^373К). В рассматриваемом случае малых m и (m, kvl2«l) с
достаточной степенью точности можно считать, что
ларогазокапельная смесь имеет следующие три независимых
^характерных времени xv, тт, тр. Однако зависимость c(coxv) имеет
только два максимума. Один из них обусловлен диссипацией из-за
^еяефазного трения и теплообмена и реализируется при частотах
•V*' ДРУГОЙ наблюдается при (отр~1 (шт^-т) и связан с
аффектами фазового превращения. При этом из суммарного
вклада тепло- и массообмена можно выделить в соответствии с
B.3.7) вклад теплообмена с характерным временем хт (пунктирная
линия). Этот вклад максимален при частотах ютт~1. Определяющие
влияние на затухание низкочатотных (tov<l) возмущений
оказывает межфазный тепломассообмен, при этом затухание из-за
неравновесного диффузионного массообмена доминирует над
затуханием из-за межфазного теплообмена при частотах сотг?<10.
а
0.2
0.1
0
1<Г3 10~2 10 10° @То
Рис. 2.15. Вклады межфазного тепломассообмена и трения фаз в
зависимость декремента затухания на длине волны от безразмернй частоты
колебаний при концентрации пара ку - 0.9 (Т0 = 370К).
Индивидуальный вклад межфазного трения (штрихпунктир-
НЗД линия), и тепломассообмена (штриховая линия) в суммарнный
Декремент затухания а (сплошная линия) для смеси с высокой
концентрацией пара в газообразной фазе (fcv=0.9)
Проиллюстрирован на рис. 2.15. Цифры у кривых показывают
значение массового содержания капель т. В этом случае
п^рогазокапельная система характеризуется следующими тремя
1 0.01
!/
у
0. II
%
чО
Tr^-s^LT 1

70 ГЛ.2.ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
неизвестными т: xv, тТ1, тТ2- При очень малых массовых
содержаниях капель т=0.01 вид зависимости а(со) в основной
определяется межфазными тепломассообменом (при coxv<lQ-i
штриховая линия совпадает со сплошной). С увеличением щ
влияние межфазного трения на декремент а возрастает. При
значении т=0.11 зависимость коэффициента о от безразмерной
частоты cotv имеет два максимума. Один из них обусловлен в
основном диссипацией только из-за межфазного трения (в отличие
от случая смеси с малыми концентрациями пара ку , см. рис. 2.14)
и реализуется при частоте ют„~1 , другой наблюдается при частоте
сот;п~1 и связан с эффектами диссипации из-за межфазного
тепломассообмена. Влияние внутреннего теплообмена с
характерным временем ттг в рассматриваемом диапазоне частот
из-за его малости не проявляется.
Ср'Сг
0.95
0.9
0.85
10~2 10 10° 101 mv
Рис. 2.16. Вклады межфазного тепломассообмена и трения фаз в
зависимости фазовой скорости и линейного коэффициента затухания от
безразмернй частоты колебаний (значения параметров те же что и на
рис.2.15)
На рис. 2.16 показан вклад трения и тепломассообмена в фазовую
скорость Ср и линейный коэффициент затухания К** при значений
fcv=0.9. Видно, что влияние межфазного тепломассообмена на
дисперсию и затухание низкочастотных возмущений (сотг?<<1)
может даже превышать влияние межфазного трения. Дисперсия й
диссипация возмущений с частотами coi^-l B основном
определяется многоскоростными эффектами из-за относительного
движения фаз. При частотах сотТ2~1 (cov~10) вклад межфазного
/
!--*"
!.-/
?*' ■
7^
о.и у
/у
t
7\
^^ф\
у
Л**,М
0 J
0.05

2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ВРЕМЕНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФАЗ 71
тепломассообмена в линейный коэффициент затухания К**
увеличивается, так как в этой области частот наряду с влиянием
нестационарных эффектов тепломассообмена возрастает и влияние
диссипативных эффектов из-за неоднородности температур внутри
яапель. При более высоких частотах ©т^» 1 (шти»10) затухание
возмущений описывается главным членом высокочастотной
асимптотики К« B.4.10). В этом случае доминирующими
диссипативными эффектами являются эффекты межфазного
трения ( см. обсуждение в п. 2.4 ).
Из рис.2.11, 2.16 видно, что при частотах сот^<1 зависимость
Cp(g)tv) ПРИ наличии массообмена сильно отличается от
аналогичной зависимости при его отсутствии. Детальный анализ
зависимости первой производной фазовой скорости C'v=dCp/dmv
от частоты g>tv показывает, что зависимость C'p(g>tv), как и
зависимость o~(cdtv) (рис. 2.14), при т«1 имеет два максимума. Они
реализуются при характерных частотах cotv~ ]/V3 и сот3~
(©т^-тД/З)*).
Проведенный анализ показывает, что зависимость фазовой
скорости Ср от частоты (Oxv для двухфазной смеси газа с паром и
каплями воды при т«1 имеет три точки перегиба. При этом
области максимальной дисперсии фазовой скорости звука
соответствуют указанным выше характерным частотам.
Существование двух областей максимальной дисперсии Ср, также
как и наличие двух ярко выраженных максимумов у зависимости
o(©Tv) для рассмотренных парогазокапельных систем обусловлено
наличием двух основных диссипативных механизмов - межфазного
тепломассообмена и межфазного обмена импульсом
обеспечивающие основной вклад в дисперсию и затухание волн
при существенно различных частотах.
*> В случае газовзвеси без фазовых превращений обычно tv~Tt и
Зависимость Cp(®Tv), имеет один максимум, соответствующий ©т^-ютт ~
to*, п. 2.4).

72
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
2.4. Особенности распространения акустических
возмущений в аэрозолях с малым массовым
содержанием капель
Представлены и проанализированы дисперсионные
зависимости, описывающие распространение слабых возмущений в
аэрозолях с малым массовым содержанием конденсированной
фазы. Исследованы, асимптотики линейного коэффициента
затухания при малых и больших частотах. Изучены зависимости
фазовой скорости и декрементов затухания от массового
содержания капель и частоты возмущений.
Дисперсионные зависимости и асимптотики
коэффициента затухания
При малых массовых содержаниях конденсированной
фазы (т «1) из общей дисперсионной зависимости B.2.1), B.2.2)
может быть получено более простое соотношение, описывающее
дисперсионные и диссипативные свойства парогазокапельных сред
типа аэрозольный туман. Для этого в B.2.1), B.2.2) следует
пренебречь членами более высокого чем m порядка малости. Тогда
будем иметь следующее соотношение
(CxKj(oJ =l + D0(G>) + mV°(a)), B.4.1)
Cr3 - Ul
Здесь D (a>) зависит от частоты и теплофизических
параметров фаз через выписанные ниже функции Gj (j = 1-3) и W,
(г = 1-4) (при этом функции Gj имеют более простой вид Я°
сравнению с B.2.2))
Gx = bkv(KWz - IW2), B.4.2)
G2 = Jiikyfl - hcx)W + mc2[(l - hkv)b - W4],

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
73
G3 = yil2kvWiW2 - blkvW2 + (b - W±)WZ,
Wj = 1-20I^, W2=1-wotj2, W3 =с^2+mc2Wl5
Следует подчеркнуть, что в соответствии с B.4.1) вклады
межфазного трения и тепломассообмена в дисперсию и
диссипацию акустических возмущений в аэрозолях аддитивны.
Дисперсионные зависимости, описывающие процесс
распространения слабых возмущений в однокомпонентных
аэрозолях (смеси пара с каплями или смеси газа с твердыми
частицами), могут быть получены из B.4.1), B.4.2) при предельных
переходах ку -» 1 или ку -> 0. При этом вид функции V°(co) не
меняется, тогда как функция D°(©) упрощается. Для смеси пара с
каплями (kv = 1) функция D°(g>) может быть записана следующим
образом
лО
PW2^mc2[YiW1-(Yl-l)W4]
Du(co) = *L ч ^ '—^-, B.4.3)
^ = Yi(Yi -lX^-ё,J, W^mz^.
Для частот
/ \i/2 P^-i \ I \(а\
Когда можно использовать квазиравновесную схему массообмена
(см. обсуждение B.2.3)) имеем трт =0 и выражение для D°(co)
сильно упрощается
D°(<o) = (у, - l)[l - ^-J[l - га,т*Г1]-1 + ^-[l - шт^]_1.B.4.4)

74
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Для случая газа с частицами без фазовых превращений (kv =Q)
выражение для D°(a>) принимает вид
D°(©) = 9°(со) = (Yl - 1)^-[1 - тхт]'\ B.4.5)
* _ * гас2 *
Ту - ТТ2 + ~~Z TT1»
согласующийся с формулой Н.А. Гумерова, А.И. Ивандаева A985).
Здесь функция 0°((о) прямо пропорциональна массовому
содержанию капель га (следует подчеркнуть, что в аэрозолях с
массообменом D°(co) является значительно более сложной
функцией га).
Рассмотрим случай парогазокапельной системы с межфазным
массообменом при малых массовых содержаниях капель га « 1 и
малых концентрациях пара Iky « 1. Интересно отметить, что при
записи дисперсионного соотношения для такой системы можно, в
соответствии с B.2.7), отдельно выделить эффекты межфазного
теплообмена, описываемые функцией 9°(со). Соответствующая
дисперсионная зависимость может быть получена из B.4.1), B.4.2)
и имеет вид
(qK* / ©J = 1 + D^(@) + в°(©) + raV°(co)> B.4.6)
Dm<*) = ^-> P = kv(yl-l)(l-hc1Xl-bc1),
о
W = l-i*m*T, W5 =1-гсо(т^1 +ipm).
Исследуем зависимость линейного коэффициента затухания
К** от определяющих параметров парогазокапельного аэрозоля и
частоты колебаний при малых частотах сот^« га.
Соответствующая низкочастотная асимптотика может быть записана в
виде

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
75
К**Н - 7£Г |m + g ^l(Yl " Ц wiAi + ^у(л2 + ^A3J / Л4 ko2Tv,
Ai = (c2BiJ,
B.4.7)
A2 =
1 - Lei - (h - Lei)fcy -
cPm
Аз =1Yli! fcv +
тТ1
(l - fcy)Le1 н
If2 - Wic2)Ylc2b,
TPm
cT1
Ьс.ЛВ2,
Л4 = [yiZ2/cv + C1BJ ,
Bx = A - hfcy)b, B2 = Yi(f - hcxjf - bcx),
Ji = 1 + (l - fevX^V " rg) /Rl> b = Rv / i?j,
(mv « ra).
Соотношение B.4.7) получено при пренебрежении членами с
временами т^, связанными с неоднородностью температур внутри
капель вследствии их малости. Первое слагаемое в фигурных
скобках (га) определяет вклад межфазного трения. Соотношения,
содержащие комплексы А, 0=1-4) характеризуют межфазный
тепломассообмен. При этом из-за малости массового содержания
капель (т«1) при концентрациях пара kv > га слагаемое с Л3
является доминирующим из-за множителя 1/га. Таким образом,
затухание низкочастотных возмущений (mv «га) в двухком-
понентных аэрозолях с фазовыми превращениями в широком
Диапазоне изменения концентрации пара га< kv <1 в основном,
определяется межфазным тепломассообменом.
Если газовые постоянные пара и газа близки Rv ~ RG и число
Льюиса Lex ~ 1, то вид членов Aj (j=l-4) в асимптотике B.4.7)
Упрощается. Имеем

76
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Ai-[A-Mc2]2. Л2=у1с2(с12-Г2)[^
Г /
Лз=У1р-с2) + \у{2ку +\1-ку +
Л4 = Yi^2ky + (l - fcy)ci
cpm
CT1/
ci
Исследуем влияние неравновесности фазового превращения
на затухание низкочастотных возмущений в аэрозолях. Для этого
рассмотрим член асимптотики с Л3, который из-за множителя 1/т
при т«1 и kv > m является, как указывалось ранее, основным.
Перепишем его в следующем виде
A3 =(yiO р-сг) +fcv
t 1-fcy _
1+ -о С1 +
Tpm
Yll2fcy
\xTlJ
Видно, что неравновесность фазового превращения будет
сказываться в том случае, если
с1
'тртЛ
У {iky
чТ71/
В соответствии с B.1.13), B.1.18), B.4.2) имеем
сРго
B7с CyYjK, Kj
Отношение времен Цт/Хт\ близко к единице при значениях
произведения коэффициента аккомодации на радиус капель &а ~
Ki/Ci. В случае пара с каплями {kv = 1) обычно сг /Г2 « 1>
поэтому слагаемым, связанным с неравновесностью фазового
перехода в Лз можно пренебречь. С уменьшением концентрации
пара (m < kv <1) вклад члена, связанного с неравновесностью
массообмена, возрастает.

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
77
Проанализируем вклад теплоты парообразования I
зсйМПтотикУ К** B.4.7). Для этого рассмотрим отношение
Аз
л4
= \2
-И)
/
1 +
1-fcy
У if2 fey
диализ этого отношения показывает, что при сх / I < 1 увеличение
оплоты парообразования Г приводит к росту вклада членов B.4.7),
ответственных за межфазный тепломассообмен и, следовательно, к
усилению затухания низкочастотных возмущений.
Низкочастотные асимтотики К**(ю) для смесей пара с каплями
или газа с частицами могут быть получены из соотношения B.4.7)
при предельных переходах kv -> 1 или kv -» 0. Они также
непосредственно следуют из соответствующих дисперсионных
зависимостей B.4.3)-B.4.5). Для смеси пара с каплями (fey = 1)
асимптотика низких частот для К**(со) имеет вид
#1 + — Но
га
K..W-^{"-- + |fn(ri-i)[
"*«»
B.4.8)
Н,=
Я, =
1рт
ТГ1
- /
1 +
ЧГ
1$т
\хТ1
ИJ
Асимптотика К.» при малых частотах для смеси газа с
твердыми частицами, когда массообмен отсутствует (kv = 0),
вписывается так
К., -
m
2С7
1 +
\(n-{fJprU
B.4.9)
**ИДно, что в отличие от случаев аэрозоля с фазовыми
Превращениями B.4.7), B.4.8), коэффициент затухания К** прямо
пропорционален массовому содержанию капель. Отметим, что для

78
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
обычно встречающихся в природе и технике аэрозолей, число
Прандтля газообразной фазы Ртх *1ис2 >сь таким образом, вклад
межфазного теплообмена (второе слагаемое в B.4.9)) в затухание
низкочастотных возмущений может превышать вклад межфазного
трения (первое слагаемое в B.4.9)).
Высокочастотная асимптотика линейного коэффициенту
затухания, в общем случае смеси газа с паром и каплями
жидкости при наличии неравновесного межфазного массообмена
может быть получена из дисперсионной зависимости B.4.1), B.4.2)
Коэффициенты X1 и К2 при первом (главном) и втором членах
асимптотики определяются формулами
К2 = 1 + |(Yi - l^rf1^ + kvS2] I Ss> B.4.11)
Sy = CiffcobLei + трта / тТ1),
, В = A-^11-Щ),
S3=S1+Jll2kv^-.
Выражение B.4.10). B.4.11) для К»*(о>) выполняется с высокой
точностью при частотах mxv > 1. Первые слагаемые в
коэффициентах К1 и К2 связаны с межфазным трением, остальные
- с межфазным тепло-и массообменом. При этом, вторые слагаемые
в *^2 и *^з связаны с неоднородностью температур внутри капель.
Обычно A,i /5А,2, однако, из-за сомножителя I2 » 1, эти члены
могут вносить существенный вклад в коэффициент К2. При
частотах д/яот^ » 1 линейный коэффициент затухания K**(&)i B
основном определяется главным членом асимптотики B.4.10) с
Yi
hbcf +
uA-o
■в

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
79
1воэффициентом К1 B.4.11), таким образом, влиянием
неоднородности температур внутри капель на диссипацию волн
соответствующих частот, можно пренебречь.
Проанализируем влияние межфазного трения на затухание
высокочастотных возмущений. С учетом Ргх ~ 1 и Si/S$ < 1,
ку$2/3з < 1 вклад членов ответственных за межфазное трение в
асимптотике К**(со) B.4.10), B.4.11) является доминирующим. Таким
образом, при распространении высокочастотных возмущений в
газовзвесях с фазовыми превращениями, определяющими
диссипативными эффектами, являются эффекты межфазного
трения. При этом в соответствии с B.4.10). B.4.11) линейный
коэффициент затухания прямо пропорционален массовому
содержанию взвешенной фазы т.
Если газовые постоянные пара и газа близки Ry ~ RG и
число Льюиса Lex ~ 1, то члены Si и 52 асимптотики B.4.10),
B.4.11) упрощаются
ТТ1
-2 , ^1_/Т ^ \2 I
1
1 5Х, V i;
В случае, когда нестационарные эффекты межфазного трения
и тепломассообмена (см. п. 2.1) не учитываются, при со -> оо
величина коэффициента затухания стремится к константе,
значение которой зависит от теплофизических свойств среды
K»*(o)-^mK2/2C1Tv=const При учете нестационарных эффектов
величина К**(со)-»оо при оэ->оо как корень квадратный из со (см.
B.4.10)).
В рамках квазиравновесной схемы массообмена при любых
частотах колебаний температура поверхности капли TV всегда
остается равной температуре насыщения Ts(py), соответствующей
Данному парциальному давлению пара. Для этого случая
высокочастотная асимптотика коэффициента затухания в
йарогазокапельных смесях может быть получена из
Дисперсионного соотношения B.4.1), B.4.2) при Tpm=0 и имеет
аналогичный B.4.10) вид
**ри этом выражение для коэффициента K1S главного члена
Асимптотики B.4.12) отличается от соответствующего выражения
ЯЗД коэффициента К1 B.4.11) в соотношении B.4.10)

80
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
K1S = | + (у, - l)Prfw[fc0E, + kvE2]l E3, B.4.13)
Ej = bcxLe\/2, E2 = Yif/ibcj2 + Jb\
E3=kGE1+kvl2JiJ, J = [y7-J •
Выражение для коэффициента Kls асимптотики B.4.12) следует из
B.4.11) при 1^=0.
Проанализируем соотношение B.4.12), B.4.13) для &*♦(©),
полагая для простоты, что Rv ~ i?G, Lex ~ 1. Для этого выражение
для коэффициента K1S перепишем в виде
&*=ЮЦУ1 - l)Prf1/2 V V U/V 4^ i, B.4.14)
(l-fevjcj +куГу^
выделяя член с К1 (см. B.4.11)). В соответствии с оценками п. 2.1
для смеси воздуха с паром и каплями воды, обычно имеем IJ «1,
поэтому KIS> К1. Анализ выражения B.414) показывает, что с
ростом концентрации пара разность Kls - К1 увеличивается.
Таким образом, использование предположения о
квазиравновесности фазового превращения в газокапельных
системах завышает линейный коэффициент затухания
высокочастотных возмущений. При этом ошибка в коэффициенте
затухания, связанная с неучетом реальной неравновесности
межфазной поверхности при массообмене, возрастает с ростом
концентрации пара в газообразной фазе или, что то же самое, с
ростом начальной температуры при данном давлении. Отметим,
что увеличение теплоты парообразования при квазиравновесной
схеме массообмена на больших частотах в соответствии с B.4.12),
B.4.13) приводит к уменьшению коэффициента затухания.
При предельном переходе kv ->1 из соотношений B-4.10)-
B.4.13) могут быть получены высокочастотные асимптотики К**(©)
для смеси пара с каплями в случаях неравновесного И
квазиравновесного (*рт=0) массообмена. При этом ВИД
коэффициента К1 сохраняется, а выражения для К15 и К
записываются так

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ m
81
К15 =| + (у1-1)РгГ1/2£2/£3-
E2=\c!+JA-c1J^, E3=J2J,
K^l + ^Yi-OPrf^-f^]/^,
с _ё ^L 5 -v
с2 +
^1 /т - \2
1 Ыл
чг-*.г
Высокочастотная асимптотика коэффициента затухания
возмущений в газе с твердыми частицами может быть получена из
зависимости B.4.10), B.4.11) или соотношения B.4.12), B.4.13) при
предельном переходе fey ->0 и имеет вид
К.» - 1_5Цк\/йй7 + К2], B.4.15)
К1 - | + (Tl - l)Prf1/2, К2 - 1 + |(Т1 - \)?г{\
Легко видеть, что в силу Pr^l вклад межфазного трения (первые
слагаемые в коэффициентах К1 и К2) всегда превышает вклад
межфазного теплообмена (вторые слагаемые в К1 и К2). Главный
член высокочастотной асимптотики линейного коэффициента
затухания К**(со) для аэрозолей без фазовых превращений B.4.15)
И для аэрозолей с массообменом при учете его неравновесности
B.4.10), B.4.11) совпадает. Это естественно, так как при высоких
частотах колебаний фазовые превращения попросту не успевает
Происходить. Отметим, что уменьшение размера частиц
(Уменьшение времени tv) в случаях как наличия, так и отсутствия
**ассообмена, приводит к увеличению затухания высокочастотных
возмущений.

82
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Анализ зависимостей декрементов затухания и фазовой
скорости от определяющих параметров
В соответствии с дисперсионной зависимостью B.4.1), B.4.2)
декремент затухания на длине волны а, линейный коэффициент
затухания К** (на единице длины) и фазовая скорость волны С
определяются следующими выражениями
с = п\
р
/(со), К„ =
со
2СХ \C1J
J(o),
^Сь
1 + Re{D0(co) + mV°(co)}
, /(со) = /m{D0(o>) + mV°(ffl)},
где V°(co), D°(g>) - комплексные функции B.4.1). В общем случае
получить явные выражения для ст, К** и Ср затруднительно. В
связи с этим, далее ограничимся частотами ©т^<1, когда влиянием
нестационарных эффектов взаимодействия фаз аэрозоля на
дисперсию и затухание возмущений в нем можно пренебречь.
Рассмотрим сначала более простые частные случаи одно-
компонентных аэрозолей. Для каждого из этих случаев могут быть
выписаны явные зависимости фазовой скорости и декрементов
затухания от частоты возмущения, размера частиц и
теплофизических свойств фаз. Для смеси газа с твердыми
частицами (случай kv =0) имеет
(С,
1
1 + ReG((o)
* l-ReG(co),
B.4.16)
ReG(®) = ml
1 + (cotv)'
■ + (yi-iM
ci It (cott)
Таким образом Cp / Cx * 1 - ReG((o) / 2, т.е. Cp / Cx * 1 - 0(m),
тогда выражения для а и К** принимают известный вид (S.Temkin-»
R.A.Dobbins, 1966)

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
83
СО
a = 7rIG(co), K„ = ^г1с(®)>
B.4.17)
JG(co) = т\
сот,
1 + (@1,,)
(Ух-1)
СОТп
с\ 1 + (юттJ
В случае пара с каплями (fey =1), когда массообмен происходит
квазиравновесно (трт=0) и функция D°(co) определяется
отношением B.4.4), для скорости Ср и коэффициентов а, К** могут быть
выписаны следующие выражения
<т = я
с J
• /V(«>),K„ =
со
2С~,
fr \
VC
IV((i>),
ГО
1/
Lc
1-/
1 + Лву(ео)'
2у(ш)=11
<отТ1 сп0 сотГ2
г ii Г + ■»■»
1 + (сотГ1) 1 + (сот„) 1 + (сотТ2)'
-, B.4.18)
Rev(o) = I, — -у +12 —; гт + *з
Ji=(Yi-l)(l-j-). '2=™. I3=my§-..
Обычно с2 / i2 « 1, поэтому /3 и соответственно последнее
слагаемое в Reyico) мало. Таким образом, влиянием неоднородности
температур внутри капель на дисперсию возмущений в
однокомпонентных аэрозолях с фазовыми превращениями при
Рассматриваемых частотах колебаний можно пренебречь. С учетом
этого обстоятельства выражение для фазовой скорости может быть
записано в виде

84
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
(C'V*IA[l-mIb\, ^*Ш
\сх
'1
2 5
B.4.19)
h =
1 + (mnf
1 + ^1 +(сотТ1) 1 + (сот„)
/R =
При частотах сотг »m, (сэттч»1) для определения Ср может быть
использовано следующее простое выражение
Ci
* 1-
m
ai + Ю2
При указанных частотах дисперсия фазовой скорости, в
основном, определяется межфазным трением.
Используем формулы B.4.19) для получения из B.4.18) явных
зависимостей коэффициентов затухания а и К** от частоты и
определяющих параметров среды. Будем учитывать, что, как
правило, tT2<<tv, тТ1; I3 « I\, I2, поэтому последним слагаемым в
Iv{со) в силу его малости в дальнейшем будем пренебрегать. Имеем
сот-
-*[l-m/5]/i- u , 4Z
я 1 + 11+(сотТ1) 1+ («*„)
2 + isi4 , / \2
B.4.20)
К,
1-™15
СОТ
Т1
.♦'•7-rV
l + Ii+^Tr,) 1 + (cotv)
Затухание возмущений в аэрозольных взвесях без фазовые
превращений прямо пропорционально массовому содержание
частиц (см. B.4.17)). В соответствии с B.4.20) затухание акустичес*
ких волн в однокомпонентных аэрозолях с массообменом являете*
более сложной функцией массового содержания взвешенной
фазы. Соответствующие зависимости коэффициентов затухания <*
и К** от m можно проанализировать, если переписать B.4.20) с
учетом связи между временами тТ1, т„: t^i = ЗРг1т1?/2т ~xr/rn. Пр"

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
85
этом членами с 15 можно пренебречь, кроме того учтем, что /4 ~1,
тогда получим
0 т nL ^Ь + _2^_), B.4.21)
К - 1 [ hMptvf | тфтрJ |
"^20^ |т2+(ЮТсJ l + ((oTj,Jj'
Первые слагаемые в соотношениях B.4.21) ответственны за
межфазный тепломассообмен, вторые слагаемые связаны с
межфазным трением. Если частоты невелики mv~m«l, то
анализируя зависимости а(га), К**(т) можно пренебречь
диссипацией из-за межфазного трения вследствие ее малости (обычно
сг 11 « 1, тогда 1г > га). Тогда легко видеть, что для
фиксированной частоты возмущения mv из указанного диапазона,
функции <т(т), К**(га) имеют максимум при значении га-сот^, т.е.
немонотонно зависят от массового содержания капель га При этом
немонотонность зависимостей ст(га), К**( га) связана с наличием
соответствующих членов выражения B.4.21) ответственных за
тепломассообмен.
Используем формулы B.4.21) для исследования зависимостей
коэффициентов а(га) и !£♦*( га) от безразмерной частоты г\=ть.
Легко видеть, что зависимость декремента затухания на длине
волны а от частоты для однокомпонентного аэрозоля с
массообменом имеет два максимум, реализующихся при частотах
штТ1=лА + *1 и mv =1(т]*гаит1=1). В случае газа с твердыми
частицами характерные времена межфазного трения и
межфазного теплоообмена как правило близки zv ~ тт, поэтому
зависимость с(ц) имеет лишь один максимум при частоте т| - 1
(см.B.4.17)).
В соответствии с соотношением B.4.21) линейный
коэффициент затухания К**(ц) для смеси пара с каплями при
частотах т^ < га «1 в основном определяется межфазным
тепломассообменом и обратно пропорционален массовому
содержанию взвешенной фазы га. С увеличением частоты до
Ц »га вклад трения фаз в затухание возмущений увеличивается
и коэффициент затухания пропорционален га. В указанных ин-

86
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
тервалах частот для К**(л) можно использовать следуют^
приближенные выражения
*-<■*• гЫ^"}"'' '■-<"-"И) •-
« т,
К„Ы *
т
2CiTe
*i+-
1+Л
ц » т.
Если массовое содержание капель достаточно мало и существует
интервал частот га«п«1, то для этих частот г|2«11, и для
расчета коэффициента К** может быть использована простая
формула
В этом диапазоне частот увеличение теплоты парообразования I,
как и уменьшение радиуса частиц (уменьшение времени тР)
приводит к возрастанию линейного коэффициента затухания К**.
Проанализируем зависимости первой производной фазовой
скорости C'p=dK**/dr\ и первой производной линейного
коэффициента затухания Ki»=dK*»/dr| от частоты колебаний rpov
Для случая газа с частицами B.4.16), B.4.17) обычно zv ~ тт и эти
зависимости имеют один максимум, соответствующий т]*1/\3«
Этой частоте соответствует максимальный угол наклона
касательной к функциям Ср(ц) и К**(г\). Для пара с каплями в
соответствии с B.4.19)-B.4.21) зависимости Ср(г|) и также, как и
зависимость с(г\)у могут иметь два максимума. Для С'р(х\) и Ki*(fl)
они реализуются при частотах ©тГ1*1/л/з и o)Tv «1/ (т] «m/v3 *
г} »1/д/3). Таким образом зависимости фазовой скорости й
линейного коэффициента затухания возмущений от частоты могу*
иметь три точки перегиба.В соответствии с этим области
максимальной дисперсии фазовой скорости звука Ср находятся р
окрестностях указанных выше характерных частот. СуществоваН#е
двух областей максимальной дисперсии Ср, также как и нали^е
двух максимумов у зависимостей а(ц) и К[ш(т\) в аэрозолях с

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
87
цассообменом связано с наличием двух диссипативных
механизмов, а именно механизмов межфазного трения и
лежфазного тепломассообмена, каждый из которых
характеризуется своим временем релаксации (см п. 2.3).
В общем случае двухкомпонентного аэрозоля при наличии
неравновесного массообмена (тр^О ) явные выражения для ст, К** и
С при рассматриваемых частотах o)tv ^ 1 имеют громоздкий вид.
Однако при малых и высоких значениях концентрации пара ку эти
зависимости упрощаются. В соответствии с дисперсионным
соотношением B.4.6) при малых значениях fey, удовлетворяющих
условию kvl2 « 1, с учетом xT2«iT«xpm для коэффициентов
затухания а, К** и фазовой скорости Ср можно использовать
следующие выражения
.. {^)\П К.. - £(£)». (£)' - J^j. («.22»
1 + [<»(Трт +TpTO)j
Red((o) = ReG(<a) + Ild
1 + [Цтрго+Трт)]
hd = ку(У1 ~lfyi(l -hci\l -Щ),
где /G(co), ReG(o)) - функции, описывающие диссипативные и
Дисперсионные эффекты в аэрозоле без массообмена,
°пределяемые соотношениями B.4.16), B.4.17). Последнее слагаемое
* выражениях для Iq(®\ ReG((o) с коэффициентом Ild связано с
Наличием фазового превращения. Учитывая, что при малых kv
Коэффициент lid мал (hd ~ ^v^2 « 1) выражения для а, К** и Ср
Иогут быть записаны в более простом виде

88
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
а * 7cId(co), К„ * ^- Jd(co), ^*1-- Red(co). B.4.23)
В соответствии с B.4.22), B.4.23) для парогазокапельных аэрозолей
с малым массовым содержанием капель (га « 1) при достаточно
малых концентрациях пара kvl « 1 вклады межфазных трения
теплообмена в дисперсию и диссипацию акустических возмущений
аддитивны. Отметим, что в соответствии с B.4.22), B.4.23) влияние
массообмена на коэффициент а максимально при частотах
ФРт + Чт) * 1, или, с учетом трт =3Scxxv /2m, Scx * 1, трт< трт
при частотах ©xv - m.
В случае аэрозоля с высокими значениями концентрации пара
fcv, такими, что 1- ку « 1 для коэффициентов затухания а, К« и
фазовой скорости Ср могут быть получены следующие
приближенные соотношения:
с * л
Rem(co) = llm
1
(отте +1 mv
1 + (^m)
1
+ /;
1 + (<OT„>
1
2 '
1 + Кеж(<в)*
B.4.24)
l + (tt)Tm) 1 + (сотс)
fcv(Yi " l)yi(* " hciX^ " bci)
hm =^ : — > h = m>
kil ky + A - kyhpci
xm - характерное время неравновесного межфазного
тепломассообмена в парогазокапельной смеси при IV * Ts, определяемое
выражением

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
89
2 га
ypkvPrx ^(l-ky^Sc, +Bq /Зг)(тр /т0)'
B.4.25)
Обычно Рт*!, «S^ - 1, тогда при тр = 0 в соответствии с B.4.25)
имеем тт - xv/m т.е. xv »тт. В случае пара с каплями (fey == 1)
хт = ти + ^iTpm / jJ2> hm~ h и соотношение B.4.24) согласуется
с соотношением B.4.18). Аналогично тому, как это делалось для
пара с каплями (см.B.4.19), B.4.20), запишем выражение для Ср в
виде
р
с1
4тп
i-™i
Ът
B.4.26)
14т
1 + (б>ттаJ
1 + *lm + (ЮТт)
*5т ~
*4т
l + Ce»^)'
2 *
Тогда соотношения для а и К** B.4.24) можно переписать так:
^*[l-m/5m]7
ТС
€01«. ЮТ„,
_Я1__ , Г Т WV?J
lm / \2 314m , ч2
кЛ4 «
cojl,
4т
2Cj
1-^J,
1т
1 + Ij +((ОТте) 1+ (©!„)
B.4.27)
В соответствии с B.4.27) зависимость декремента затухания на
Длине волны а от частоты колебаний имеет два максимума при
Штт ~ V1 + *т С®1!? ~ т) и ®Tv = 1- Отметим, что значение частоты
•; при которой реализуется первый экстремум а, связанный с
^Фкфазным тепломассообменом, зависит от теплофизических
^раметров смеси га, fey, l> P через и 11т. В связи с этим, при
•^лых значениях коэффициента аккомодации (Р«1) учет

90
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
неравновесности массообмена (тр *■ 0) может приводить к сдвигу
первого экстремума функции о(со) в область низких частот
поскольку время тт при этом увеличивается (см. рис. 2.4). ДЛя
оценки величины максимума зависимости а(со), обусловленного
процессами неравновесного межфазного тепломассообмена, может
быть использовано следующее приближенное выражение *)
^kvy1(y1-lXl-hc1){l-bc1)
°max ~ 0 -о , ч _ 1*.*.4о)
У!? fey + A - kyhfic!
Отсюда следует, что при достаточно малых массовых содержаниях
дисперсной фазы т, когда у функции c(coxv) фактически
реализуется только один экстремум, а именно экстремум,
обусловленный межфазным тепломассообменом, величина
максимального значения коэффициента а не зависит от m и
коэффициента аккомодации C. В соответствии с B.4.28) рост
теплоты парообразования I при фиксированных свойствах
аэрозоля приводит к увеличению значения атах- Анализ
показывает, что соотношение B.4.28) с достаточной точностью
справедливо во всем диапазоне концентраций пара 0 < куй 1,
поэтому с его помощью можно исследовать зависимость атах(&у)
во всей области значений аргумента. Отметим, что изменение
значения kv связано с изменением температуры газообразной
фазы (Тх =Ts(fcv)), поэтому, в силу зависимости теплофизических
параметров от температуры (I(Ti), cx(Ti) и т.д.), непосредственный
анализ функции amax(fey), или, что то же самое, функции 1\ш(ку)
затруднен.
Зависимость атах (/су),рассчитанная с помощью B.4.28) для
смеси воздуха с паром и каплями воды при начальных давлениях
в газообразной фазе рх = 0.1; 1.0 МПа показана на рис. 2.17.
Пунктирные кривые приведены для иллюстрации влияния
неравенства газовых постоянных паровой и газовой компонент, оН#
соответствуют случаю Rv= Rq. Неучет различия между Ry и Rg
приводит к завышению декремента затухания а, так как при
Ry=#G параметр h * l+(l-fcv)(Kv - RG)/R\ принимает свое
минимальное значение, равное единице. Соответствующая ошибя*
в определении отах велика в области умеренных концентрации
*> Погрешность оценки составляет - 3 - 5%

2.4. ВОЗМУЩЕНИЯ В АЭРОЗОЛЯХ С МАЛЫМ т
91
papa, и она тем больше, чем сильнее различаются Rv и ^g- Из Рис-
2.17 видно, что при указанных давлениях функция сттах (fcv),
достигает максимума практически при одном и том же значении
концентрации пара kv « 0.1. Таким образом, при давлениях рг =
0.1-1.0 МПа диссипация возмущений в воздушном тумане из-за
диффузионного массообмена между фазами смеси максимальна
Яри ку « 0.1.
max
0.3
0.2
ил
0
]
ч
^
7-7
и... -
^1
>У * 1
4 V
\ v VI
\* 1
V
10~3 10 10Ч ©!«
Рис. 2.17. Рачетные зависиомсти
^max(^v) Для смеси воздуха с
паром и каплями воды при
начальных давлениях в несущей фазе:
1- 0.1 МПа, 2- 1,0 МПа.
Пунктирные кривые соответствуют
случаю, когда Ry = Rq.
Исследуем зависимости декрементов затухания а и К** B.4.27)
от массового содержания капель т. Отметим, что коэффициент J4m
слабо зависит от га, поэтому при анализе B.4.27) в первом
приближении можно положить 14т =1 и принебречь членами с /5ш.
Тогда, подставляя тт - xv/rn имеем
a*7i<J
тсот,
\т
тот,
0 + *1т)™2+(ючJ *+ (<*>*,)
2 '
B.4.29)
К„*
rn(mvf m(mv)
llm
2ClXv ["m2+(mvf l + (wvy

92
ГЛ.2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
В соответствии с B.4.29) при частотах сот^, «1 вторые члены в
фигурных скобках малы по сравнению с первыми. В этом случае
эффекты межфазного трения несущественны, и коэффициенты о
и К« немонотонно зависят от га. Максимум для каждой из
функции с(т) и К**(т) и здесь, как и в случае смеси пара с
каплями (см. B.4.21)) реализуется при значении га ~ mv. При
фиксированном давлении газообразной фазы немонотонность
зависимостей а(га) и К**(т) наиболее заметно проявляется при
концентрации пара kv «0.1, т.к. в окрестности этого значения fcv
функция Jlm (ky) достигает максимума (см. обсуждения рис. 2.17).
Из соотношения B.4.29) при частотах coxv - m и mv » m
можно получить приближенные формулы для расчета К**.
К** *-^r\ — + mWxv, ™v «яг. BА30)
2Cj V m
к..*
2Cit*
2 Л
(<отр)
1 + (опг)
o)tt, » m.
В интервале частот га«сотР «1, если таковой существует,
коэффициент К»* близок к следующему значению
К..*
1
20^
Jlm +(<*Я0J
га « ют,, « 1.
B.4.31)
Легко видеть, что при (сот^) « 11т зависимость К**(ку) B.4.30),
B.4.31) ведет себя подобно функции отах(ку), B.4.28) (рис.2.17).
Анализ зависимостей первых производных dK**/d(o, dCp/dco
от частоты со показывает, что как и в случае пара с каплями (см.
обсуждение B.4.19)-B.4.21)), в соответствии с B.4.26), B.4.27)
имеется две характерные частоты колебаний сотт~
1/V3
(coxv~ra/V3) и cqtv~1/V3b окрестностях которых указанные
зависимости достигают максимума. Таким образом, функции
К,*(со), Ср(со) могут иметь три точки перегиба, обусловленные
диссипативными процессами межфазного тепломассообмена и
трения между фазами парогазокапельной смеси.

2.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 93
2.5. Импульсные возмущения малой амплитуды
в монодисперсных смесях газа с паром
и каплями жидкости
Исследовано распространение импульсных волн малой
амплитуды в парогазокапельных системах с учетом
нестационарных эффектов межфазного обмена массой, импульсом
и энергией. Получены и проанализированы эволюционные
уравнения типа волновых, описывающие распространение
линейных возмущений в одно- и двухкомпонентных взвесях при
наличии фазовых превращений. С использованием метода
быстрого преобразования Фурье выполнены расчеты эволюции
одиночного импульсного возмущения в парогазокапельной смеси.
Волновые уравнения для взвесей с
фазовыми превращениями
Исследование распространения слабых возмущений
произвольного профиля в тех или иных средах с помощью
аналитических методов часто проводят на основе единого волнового
уравнения. В связи с этим было бы полезно получить такое
уравнение для парогазокапельной смеси, описываемой системой
уравнений B.1.1)-B.1.7). В общем случае соответствующие
выкладки достаточно громоздки, поэтому ограничимся анализом
йекоторых частных случаев.
Наиболее простым является случай газа с твердыми
частицами без фазовых превращений (?<v=0), ранее рассмотренный
Ф.Е.Марблом A971). В этом случае волновое уравнение для
возмущения давления запишется так
Я [ гJ fJ I
+ Х (miTT +™2Ч)-^-Р'-С12(тт +тзОт7рГ
ot [ dt дх J
dt2 дх2

94
ГЛ. 2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Р20 С2 с2
га = —^—, raj = 1 + га, га2 = 1 + га —, газ = 1 + га —.
PlQ cvl cpl
Здесь Се - равновесная скорость звука в двухфазной смеск
определяется выражением
се = сх
(l + mjyj
1/2
ср1 + гас2
У е = > B.5.2)
cvl + гас2 *'
где уе - аналог равновесного показателя адиабаты газовзвеси.
Используем для записи уравнения B.5.1) времена xvm, тт
(см. п. 2.3), характеризующие межфазное трение и межфазный
теплообмен двухфазной смеси в целом. Тогда уравнение B.5.1)
может быть записано в следующем удобном для анализа виде
Wt™ ТТ 4С/)Р' + ■£ {v*m4Cfv)p' + *ттЦСгг)р'} + B-5.3)
dt2 v " dt
д2 „? 52
+1<С.)р'-0, Цс,)ш—-с*^, j = f,e,fv,fT.
Здесь Cfv, CfT - замороженные соответственно по скоростям и
температурам фаз скорости в газовзвеси определяемые
выражениями
С"'С\Т,) ■ с,т"Жт^- С/"с''
Легко видеть, что если термодинамическое равновесие меЖДУ
фазами смеси устанавливается мгновенно (xv ~ Тт ~ 0), то возму*
щения давления распространяются по среде с равновесной
скоростью звука Се. При Tj -> оо межфазное взаимодействие
замораживается, акустические волны распространяются
замороженной скоростью звука Cf = Сх.
Отметим, что при отсутствии межфазного трения (tv
уравнение B.5.1) упрощается и согласуется с соответствуют***
уравнение А.А.Борисова и др. A980). В случае отсутствия частК"

2.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 95
щ^О, Ti = 0 имеем обычное волновое уравнение для газа, когда
^сперсии и диссипации волн нет.
Рассмотрим взвеси с фазовыми превращениями. Ограничимся
устным случаем малых содержаний капель (т«1), когда
-^яние эффектов межфазного массообмена на распространение
ррлн наиболее существенно. Для смеси пара с каплями (kv = 1)
Яри условии квазиравновесности фазовых превращений (T^=TS)
зролюционное уравнение для волн давления имеет следующий
+у1ЦСе)р' = 0, L
Га \
Ка
д2 е;-
--^-Cj5
A:V
dt2 ек
дх2
h = VriTT2, в2 = A + m) хТ1тТ2 4 A 4 /i) tvtT2 4 A 4 I2) Vri,
9з = V^i 4 tvxT2 + тТ1тТ2, 64 = \[/2xv 4 \|/3тТ1 4 v|/4iT2,
65 = Tv + *ti + ХГ2> Vi = 1 + m + /j + J2,
y2 = 1+ /j 4 72, \j/3 = 1 + m + J2, \|/4 = 1 4 m 4 7b
о
/1=(Y1-1)A-^J, ,,-1=1»
CJ =
Y1R1
I =
c?
Здесь Се - равновесная скорость звука в смеси пара с каплями с
Показателем
ye=[l + (ci + wc2-2Z)/(yiI2)]_1.
*> Неравновесность межфазного массообмена будет сказываться на
Распространении волн лишь при достаточно высоких частотах составляющих
когда (см. п. 2.1)
(l/P)/(A.2A1)(Cf/l)(L/a)(<»x,.2)IG> 1, L = ki/Cj.

96
ГЛ. 2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Если один из релаксационных процессов межфазногъ
взаимодействия с характерным временем т\ (г = v, Tl, T2)
отсутствует, тогда 0! = 0 и порядок уравнения B.5.4) понижается. Так
при исследовании распространения волн, гармонические
составляющие которых имеют частоты штт'2<<1 влиянием
неоднородности температур внутри капель (отличием Т2 от 7\л
можно пренебречь, и в уравнении B.5.4) принять тТ2 -О , т.е. 0Х « q
В этом случае уравнение B.5.4) может быть записано в виде
аналогичном уравнению B.5.3)
д2 д
4mbm—£L(Cf)P'+ -{TumL(C/p)p' + TIwL(C/T)p'} + B.5.5)
тТ1
+ L(Ce)p'=0, xlri
l+'i
где т1т = т3- время, характеризующее межфазный
тепломассообмен в аэрозоли в целом (см. п. 2.3), а скорости звука Cfv и Се
определяются показателем уе для смеси пара с каплями.
Таким образом, распространение линейных длинноволновых
возмущений в обычных однокомпонентных двухфазных взвесях
при наличии и отсутствии фазовых превращений описывается
эволюционными уравнениями единого вида. При этом в
соответствии с этими уравнениями эволюция таких волн
определяется шестью параметрами - двумя характерными
временами межфазного взаимодействия и четырьмя характерными
скоростями звука.
Рассмотрим общий случай парогазокапельной смеси с
неравновесными (TV ф Ts) фазовыми превращениями при малых
концентрациях пара в газовой фазе fcvI2«l, Отметим, что в
соответствии с проведенным в п.2.1 анализом учет неравновесности
межфазной поверхности при массообмене в двухкомпонентноМ
аэрозоле с малыми ку и m необходим. Эволюционное уравнение
для волн давления в этом случае запишется следующим образом
А1^ЦС/)р'+А2^ь[^] р>+А^ь{^) р'+ф1ЦСв)р'=0, B-Ьв
дГ 8t2 \A2J dt VA4y
где коэффициенты Aj (j =1-5) и щ имеют вид

2.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 97
^3 =VT + (Tt> + тг)(*р +*p), ^4 =Ф2^г> + "h^T + ™1 Ш4(тр +Тр),
;^5 =tt> +тт + ТР +ТР> ф! = rrii m4 + Р = 1 + m + mCyj -1)с2/сь
Ф2 = т4 + Р, т4 = 1 + га + т(у! -1)с2/сь
P = MYi-Dp-^i)p-bc1).
Здесь Се - равновесная скорость звука B.5.2) в парогазокапельной
смеси при малых концентрациях пара ку с показателем
Ye =Yi[l + (Yi+l)(mc2 /c1 + fcri2+(b+h))c1Ifcj] .
Для газа с частицами (ку = 0) при отсутствии фазовых переходов
члены с временами тр, тр отсутствуют и уравнение B.5.6)
согласуется с уравнением B.5.1) при малых массовых содержаниях
цапель т2 < 1.
Отметим, что для записи уравнений B.5.1), B.5.4), B.5.6) может
быть использовано более краткое единое выражение
*-J dtn l dt" дхг
где коэффициенты щ легко выписываются в соответствии с
Коэффициентами полученных выше уравнений.
Уравнения B.5.5), B.5.6) описывают распространение линейных
Волн во взвесях как в положительном, так и в отрицательном
Направлениях координаты х. Аналитическое решение этих
'Уравнений связано с большими трудностями. В связи с этим
**спользуем метод медленно меняющегося профиля (О.В.Руденко,
СЛСолуян, 1975), значительно упрощающий решение задачи и
*Ц>именимый для диссипативных систем тогда, когда декремент
^тухания на длине волны а=2яК**/К (К, К** - действительная и
||нимая части комплексного волнового числа К*) является малым
fe«l) для всех гармонических составляющих возмущения.

98
ГЛ. 2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
Для газовзвесей при отсутствии фазовых превращений
максимум значения коэффициента с достигается при частота*
оотг>~(от:г~1. При этом величина максимального значения о ~тк/2 и
при малых массовых содержаниях частиц (т«1) коэффициент о
мал во всем диапазоне рассматриваемых частот сот^ < 1.
В случае взвесей с фазовыми переходами коэффициент с
может иметь два максимума, реализующихся при частотах сот^- щ
и оатт~1. При этом величина первого максимума с может быть
значительной и при содержаниях капель га«1. В этом случае для
малости а необходимо принять дополнительные ограничения на
частоты гармонических составляющих, а именно: coxv <m*>
В рамках принятых предположений будем изучать
распространение возмущений, бегущих вправо. Перейдем в
сопровождающую систему координат и введем новые переменные
r\ = t- x/Cei § = И*-
В результате преобразования каждое из уравнений B.5.1), B.5.4)
перейдет в уравнение типа теплопроводности
^~AW' ]~G'V A5'7)
с известным общим решением (Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, 1984).
Здесь (j = G, V) коэффициенты, характеризующие поглощение
акустических волн.
Для смеси газа с частицами без фазовых превращений
выражение для коэффициента AG имеет следующий вид
^^rk+CYi-Of^r} (<^<l). B-5-8)
В случае пара с каплями при наличии межфазного массообмена
коэффициент Ау запишется так
* ) Отметим, что при рассмотренных ограничениях на частоты, и в сиЛУ
малости массового содержания капель т, дисперсией скорости звука моясво
пренебречь и положить Се = Cj.

2.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 99
^V = "^HmT*> + h + J2TT2}
(coxr < m) B.5.9)
,,.,,,,,,-iI,,^
Будем учитывать, что, как правило хТ2« xv, тТ1; 12«тп, 1г поэтому
последним слагаемым в B.5.9), связанным с неоднородностью
.температур внутри капель, можно пренебречь в силу его малости.
Отметим, что выражения B.5.8), B.5.9) для коэффициентов Aj
(/==G,V) согласуются, вследствии принятых ограничений на
частоты, с соответствующими низкочастотными асимптотиками для
коэффициента затухания монохроматических волн К**(ш). Это
обстоятельство при известном виде зависимости К**(®) позволяет
записать уравнение типа B.5.7) и для общего случая
деухкомпонентной двухфазной смеси газа, пара и капель
жидкости. Выражение для соответствующего коэффициента
следующее из асимптотики малых частот для К**(со) (см. п. 2.4)
имеет вид
Ат=~Ж~ \Ш + I Pri^Yl ~ 4mAl + М*2 + m Лз) '
/Л4 B.5.10)
{(oxv < m),
где коэффициенты Лу (j = 1-4) определяются выражениями
Ai' =(c2B!J, Л2 =
1-Le, + (h-Le,)fcv --^- If2 -bhcfjy^b, B.5.11)
тТ1
Л* =|yil2fcv+ 0"fev)^i+;
iT1
ЬсЛв2, Л4 =fy1Z2fcv+c1B1] ,
Вх = 1+A-МЬ, В2 =7!(Г - Ксг)$ - Ъсх),

100
ГЛ. 2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
h = 1 + A - fey) L, b =—-, Le^—-.
R10 RH) Dx
Отметим, что соотношение для Ат B.5.10), B.5.11) согласуется с
выражениями для Aq B.5.8) и Av B.5.9) при предельных значениях
kv = 0 и kv = 1, тр = 0 соответственно. Первое слагаемое щ в
фигурных скобках выражения B.5.10) определяет вклад
межфазного трения. Соотношения, содержащие комплексы А-
(j =1-4) характеризуют межфазный тепломассообмен. При этом из*
за малости массового содержания капель (т«1) при
концентрациях пара ку > m слагаемое с Л3 является
доминирующим из-за множителя 1/т. Таким образом, затухание
рассматриваемых длинноволновых возмущений с частотами
гармоник ФТу < m в аэрозолях с массообменом в широком
диапазоне изменения концентрации пара m < kv < 1, в основном,
определяется межфазным тепломассообменом. Следует также
подчеркнуть, что если для смесей газа с твердыми частицами
коэффициент Aq B.5.8) прямо пропорционален массовому
содержанию частиц т, то для взвесей с фазовыми превращениями
зависимости Ay (m) B.5.9) и Ат (т) B.5.10), B.5.11) являются более
сложными функциями т.
В силу принятых предположений затухание возмущения на
расстояниях порядка длины волны мало. Однако на больших
расстояниях вклад диссипативных эффектов накапливается и
становится заметным. В соответствии с общим решением
уравнения B.5.7) (Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, 1984) поведение
уединенного импульса на больших расстояниях описывается
универсальным асимптотическим выражением
ехр(-п2/4А,х) -
p'(x,n) = _i_T=i-Z pj®d$f ; - G, V, m, B.5.12)
где Ро начальное возмущение в точке х — 0. Решение B.5.12)
соответствует импульсу гауссовой формы. Вследствие
преимущественного поглощения высокочастотных составляющих
спектра ширина кривой B.5.12) растет пропорционально JAjX , при
этом амплитуда волны уменьшается - 1/jAjX.

2.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 101
Динамика импульсных возмущений малой амплитуды
Рассмотрим более общий случай значительного затухания
слабых импульсных возмущений в парогазокапельных системах. В
соответствии с представлениями Фурье-анализа произвольной
Пространственно-временной импульс может быть представлен в
виде следующего интеграла
00
р{х, t) = jp{wy^{oy)x'mtW B.5.13)
-00
где спектральная функция Р(со) находится по заданному
начальному сигналу
00
Р(со)=— Гр@^>>'с*со. B.5.14)
2% 1
-00
Соотношение B.5.13) определяет обратное преобразование Фурье
функции Р(со), соотношение B.5.14) - прямое преобразование
Фурье функции р@, t).
В силу громоздкости дисперсионных зависимостей К*(ю)
определить аналитически функцию р по формуле B.5.13) с учетом
B.5.14) затруднительно. В связи с этим р целесообразно находить
численно. Используем для этого методы дискретного
преобразования Фурье (ДПФ), представив импульс р в виде
конечной суммы гармонических волн
L-1
p(x,t) = ^zm exp[K,((om)ar - icomt]. B.5.15)
При х=0 имеем
L-1
p@,t) = £zw exp(-«owt). B.5.16)
В соответствии с B.5.15) для определения р(х,£) необходимо найти
коэффициенты zm, при этом должно выполняться
е°отношение B.5.16). Для нахождения коэффициентов zm и
<йЧРеделения p(x,t) с помощью ЭВМ используем алгоритмы

102 ГЛ. 2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
быстрого преобразования Фурье (БПФ) (В.А.Гапонов, 1976
А.И.Тихонов и др., 1983), позволяющие существенно сократить
необходимое число арифметрических операций.
Л
\\[г
I 1
I'1
<> i
г v
1 11
А II
"А
к v >
м
J 1!
II о
М1
111
1/ \
Л
У
ш = 0.01
U
\
от = 0.1
Г. 4 п 8
А. Л .
/я = 1.0
4 8
Л Л
0 0.1 0.2 0.3 0.4 М0,с
Рис. 2.18. Эволюция импульсного возмущения в смеси воздуха с паром
и каплями воды с концентрацией пара ку = 0.1 (Т0 = 327К) при различных
массовых содержаниях капель. Пунктирной линией показан случаи
отсутствия масообмена.
Разложив начальный импульс в дискретный ряд Фурье, и
сложив его гармонические составляющие в новом положении,
можно получить преобразованный импульс, сформировавшийся
под воздействием дисперсии и диссипации. Некоторые результаты
расчета процесса распространения и затухания слабых
испульсных возмущений давления в смеси воздуха с паром *
каплями воды радиуса а= 2 -10~6 м. при давлении несущей фазы Pi
=0.1 МПа проиллюстрированы на рис.2.18, 2.19. Концентрация пар*
в газообразной фазе составляла kv= 0.1 (Т0= 327К) коэффициент

2.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 103
аккомодации Р=0.04. Начальное возмущение (штриховые линии),
создаваемое на границе двухфазной смеси задавалось в виде
р@, t) = exp H(t - U)/N)H
Длительность импульса составляла ~ 5 • 10~3 с. при этом частоты
основных его гармоник лежали в интервале частот сотг?«1 т.е.
рассматриваемый импульс являлся достаточно длинным.
Расчеты проводились с помощью дисперсионного отношения
B.2.1), B.2.2) при использовании подпрограммы БПФ (А.И.Тихонов
и др., 1983). Число гармоник подбиралось из условия движения
импульса без искажения в случае, когда дисперсия и диссипация
волн отсутствует (К«=со/С1). Контроль точности расчетов
осуществляется путем пересчета с удвоенным числом гармоник.
Картина эволюции слабого импульса давления в
парогазокапельных смесях с разным массовым содержанием
конденсированной фазы проиллюстрирована на рис. 2.18
сплошными линиями (пунктирные линии иллюстрируют эволюцию
импульса при замороженном массообмене р = 0). Расчетные
профили - осциллограммы соответствуют расстояниям 4 и 8 м от
места инициирования импульса.
Распространение импульсных возмущений малой амплитуды,
представляемых в виде суперпозиции монохроматических
гармоник, происходит в соответствии с законами распространения
слабых монохроматических волн. В связи с этим и полученными
выше результатами для монохроматических волн затухание
длинноволновых импульсов в газовзвесях с фазовыми
превращениями немонотонно зависит от массового содержания
взвешенной фазы га. Так при значении т=0.1 затухание не только
больше, чем при т=0.01, но и больше чем при га=1.0. Межфазный
массообмен может сильно влиять на затухание возмущений. При
№=0.1 вклад массообмена в затухание импульса значителен
(сравни сплошные и пунктирные кривые рис. 2.18). Что касается
величины скорости распространения импульса, то при
рассматриваемых теплофизических параметрах среды она
практически не зависит от наличия или отсутствия массообмена.
Если же массовые содержания капель достаточно велики (га~1), то
Наличие или отсутствие массообмена слабо влияет как на скорости
распространения, так и на коэффициенты затухания слабых
Импульсов (пунктирные линии фактически совпадают со
сплошными). Затухание слабых импульсных возмущений в

104
ГЛ. 2. ВОЛНЫ В МОНОДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
газовзвесях без фазовых превращений пропорционально массовому
содержанию частиц тис увеличением га всегда растет.
&р/Ар0
т = 0.01
0.1 0.2 0.3 0.4 Ы0,с
Рис. 2.19. Эволюция импульсного возмущения в воздушном тумане.
Значения теплофизических параметров те же, что и на рис. 2.18. Штрих-
пунктирной линией показан случай отсутствия межфазного тепломасообмена.
Влияние межфазного трения на процесс эволюции
импульсного возмущения малой амплитуды в воздушном тумане
при различных массовых содержаниях капель проиллюстрировано
на рис.2.19 (штрихпунктирные линии). Видно, что основное влияние
на затухание длинноволновых импульсных возмущений в
аэрозолях с фазовыми превращениями оказывает межфазный
тепломассообмен. При увеличении массового содержания
конденсированной фазы до значений т ~ 1 влияние межфазного
трения на затухание импульсов возрастает, тем не менее влияние
межфазного тепломассообмена на распространение волн остается
существенным.

ГЛАВА 3.
ДИНАМИКА СЛАБЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
Развита линейная теория распространения плоских волн в
полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости с
учетом нестационарных и неравновесных эффектов межфазного
взаимодействия. Предложена математическая модель, выведено
наиболее общее дисперсионное соотношение, проанализированы
некоторые частные случаи, рассмотрены области применимости.
Получены и проанализированы высоко- и низкочастотные
асимптотики комплексного волнового числа. Изучено влияние
фазовых превращений, полидисперсного состава и определяющих
параметров взвеси на характер дисперсии и диссипации волн в
полидисперсных смесях воздуха с паром и каплями воды.
Выполнено сопоставление развитой теории с экспериментальными
данными других авторов по затуханию звука в воздушном тумане.
3.1. Основные уравнения акустики полидисперсных
парогазокапельных систем. Дисперсионное
соотношение
Получена замкнутая система линеаризованных интегро-
дифференциальных уравнений движения полидисперсной
парогазокапельной системы при наличии неравновесного
диффузионного массообмена. Выведено общее дисперсное
соотношение, описывающее распространение возмущений в
полидисперсных парогазокапельных взвесях с любыми функциями
распределения капель по размерам, справедливое в широком
Диапазоне частот, удовлетворяющих требованию акустической
однородностью среды.
Уравнения движения и состояния
Рассмотрим плоское одномерное движение полидисперсной
Парогазокапельной смеси в акустическом поле. Дисперсный или
Фракционный состав смеси характеризуется функцией
распределения Ща), которая является функцией радиуса капель
<Ц с минимальным amin и максимальным атах радиусами

106 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
Ьп = N(a) da,
N(a) = 0 для: о < amin и a > amax
Здесь 5п - число капель в диапазоне радиусов капель а, и а +
da в единице обьема смеси. Из-за фазовых превращений
(испарения или конденсации) радиус капель фракции модет
изменяться со скоростью
a = d(a, t).
Общее число капель п, в единице обьема и обьемное
содержание дисперсной фазы а2 и несущей (газовой) фазы
o^ определяются интегралами
атах атах
п = IN (a) da, a2(t) = -я la3 (a) N{a) da, ax + a2 = 1.
Средние параметры полидисперсной фазы, в частности,
скорость v2, интенсивность межфазного массообмена j, межфазная
сила /, тепловой поток q между поверхностью капли и г-ой фазы
(г = 1, 2) для одной капли в одномерном приближении задаются в
каждой точке {х, t) и зависят от радиуса капель а данной
фракции
v2 = v2(x, t, a), j = j(x, t, a), / = f(x, t, a), qi = q{(x, t, a),..
Основными характеристиками смеси являются следующие
параметры
Pi = Pi<*b Р2 = P2a2
Р2 ь = Р1
•max
j g(a)N(a)da, g(a) = % no? p2,
m = £2., fc,-=— 0' = V, G), fev + fcG=l.
Pi Pi
Здесь p°, pi - истинная и средняя плотности газовой фазы (*
= 1) и частиц (г = 2) соответственно; д - масса одной капли; м *

3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ 107
кассовое содержание капель; fe; - начальная массовая
концентрация паровой (j = V) и газовой (j = G) компоненты
газовой фазы. Линеаризованные уравнения для плоских
одномерных малых возмущений, отмеченных штрихом
1|/ = V|/0 + Ц/\ 1|/ « Щ
(^s Pb Р2> »Ь *>2, Pb V, *G> иЪ • • • )
в пространственно однородной (первоначально невозмущенной)
ягонодисперсной смеси следуют из общих уравнений движения
двухфазной смеси (Р.И.Нигматулин, 1987) и записываются в виде
(см. гл. 2)
др[
dt
ox at ox at ox
Ьо\ др[ _ dv'2 _
РигзГ + ^ F' ""IT"''
diy di'G др[ ди'2
Pvo-т- + Pgo-t- = aio-rr " пЯъ Р2о^ П(?2>
ей dt at dt
= J,
Здесь px - давление газовой фазы (газа и пара) , I - удельная
теплота парообразования, индекс 0 соответствует начальному
(невозмущенному) состоянию. Координатная система связана с
невозмущенной равовесной смесью
^10 = ^20 = 0> ТЮ = Т20> PVO = Р$(Т())>
где Тг- температура г-ой фазы, ру0 - начальное парциальное
давление пара в газовой фазе; Ps(Tq) - давление насыщения пара
соответствующее начальной температуре Т0 .
Система линейных дифференциальных уравнений движения
полидисперсной парогазокапельной смеси может быть получена
Интегрированием линеаризованных уравнений сохранения массы,
импульса и энергии для отдельной фракции по радиусу капель а
w атт Д° атах .
Для примера получим уравнение сохранения массы фазы
частиц предполагая, что движение фракции капель с радиусом

108 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
капель от а до а + Ьа описывается как движение монодисперсц й
среды с характерным радиусом а . Тогда <5р2 ~ g(o)N(a)ba - средц^
плотность этой фракции капель, <5р2о = д(а)^0(аNа - сРедняя
плотность этой фракции в начальном состоянии и 6р'7
возмущение средней плотности: <5р2 =<$P20 + ^Рг- Тогда:
lmax "max
J 8 р2(х, t, a) da = рз, J 8 р20(а:, t, ajda= p^ ,
■•miii amin
ama\
|8 p'2(x> t, ajda=p2.
Линеаризованное уравнение сохранения массы для фракции
с невозмущенной средней плотностью <5р2о записывается
аналогично третьему уравнению в системе для монодисперсной
смеси
— [8р2 (х , t, a)) + 8р2от-[*>2(* > Ь а)] = JNQ6a.
dt дх
После интегрирования этого уравнения по радиусу капель a
от amin до о^ получим
атач г- а
+
dt
| j а^Ь£) Ar0(a)g0(a) Ida = jj(x, t, ajJV0(aJda . C.1.1)
Система линейных дифференциальных уравнений движения
полидисперсной парогазокапельной смеси получается аналогично.
Окончательно уравнения сохранения массы и импульса ДЛ*
несущей фазы и дисперсных капель имеют следующий вид
ашах
dt дх at J дх

3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ 109
атах
(J= JN0jda, i=l,V) C.1.2)
amin
amax
amin
Pi = Pv + Pg> Pi = Pv + Pg ,
где J суммарная интенсивность межфазного массообмена в
единице обьема, которая определяется диффузионным потоком
пара к поверхности капли и интенсивностью конденсации или
испарения на поверхности отдельной капли; / - межфазная сила
действующая на индивидуальную каплю со стороны несущей
фазы. Здесь штрихом отмечены возмущения параметров.
Ниже приведены соотношения для энтальпии пара, газа и
для внутренней энергии жидкости
W ~ cpVT + W *G = cpGT + *СЮ у и2 - С2Т + и20>
где сру и cpG - теплоемкость при постоянном давлении для пара и
газа, с2 - теплоемкость несжимаемой дисперсной фазы. Тогда
уравнения для внутренней энергии для газовой фазы, капель и их
межфазной поверхности заишутся так
атах
PioCpi-^" ~q[=- \N^ida, 9ac2~ = - fe C.1.3)
amin
9l + 92 = - #0» (Pi = Pv + Pg> cpl = MpV + kGcPcl
Линеаризованные уравнения состояния пара и газовой смеси
* целом могут быть записаны в следующем виде
V'v=-^-9'v +PvoJ-, Pi =-^-(pi +AH(pV -fevpi)) + p10^(
Yvaio To Yioaio To
AR=(RV-RG)/ R10, (Rm= kvRv + кМ. C.1.4)

ПО ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
Здесь Rk, Cfc, иу^ - газовая постоянная, скорость звука и
показатель адибаты k-ой компоненты (к = 1, G, V).
Интенсивность межфазного взаимодействия зависит
частоты колебаний ю (см. п. 2.1)
от
0о ;—> J - 9о ; Во » C.1.5)
*, PlO tfcl Рю Тр
Ч\ = Во
cpi м
Т/-К
m
тТ1
"> 92 = 0ОС2"
Т,'-К
ТТ2
(r = PlO /P2o)«
Pvs- Tz ——
i0
Здесь Pv,s(a> #, t) - парциальное давление насыщения пара,
связанное с температурой поверхности капли Ts(a, x, t)
уравнением Клапейрона-Клаузиуса, т^ (vj/ = v, kl, p, Tl, T2) -
комплексные времена характеризующие динамику и
тепломассообмен одиночной капли с окружающим газом в
высокочастотном акустическом поле
т« = т,
1 +
izi
V2
Kj"
зя10 1 + у
тр =
_ 1 У2тт YiCvg , _ 1 а10 Td , _ J_ :
3~ ^2" ' Хт1 " ^Г^ГГТ.» т^ - ,т>-2"
^ Ту рС}
3z,
(з + *22)г^2]
За20 Пу 3 " z\(thz2-z2)
2 р?а
9 Hi
TJLll "
-г /
р,а
Й1
\ 1/
а
Td"A
1-й
Ъ-I
1К,=
P;°ci
2/ = j(m^"' 2; = ^ (шт J " ' °* = *> 2);
где hi, Xi, и Dj - коэффициенты динамической вязкости,
теплопроводности и бинарной диффузии газовой фазы, у
коэффициент акомодации, А,2 - теплопроводность жидких капель.
Система уравнений C.1.1)-C.1.5) замкнута и может бьггь
использована для исследования распространения акустически*
возмущений в полидисперсных смесях газа с паром и каплями
жидкости.

3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ 111
Дисперсионное соотношение
Далее будем исследовать решения системы линейных
уранений C.1.1)-C.1.5) имеющие вид прогресивных волн для
возмущений
\|/ = Ay exp i(K*x - ®t) = Ay e~K**x- exp[i(Kx - cot)], (г2 = - 1)
K* = K + iK„, Cp = g>/K, Cg = dco/dK, a = 2тсК^/К, C.1.6)
где Ay - комплексная амплитуда возмущения параметра vj/, К* -
комплексное волновое число, К** - линейный коэффициент
затухания. Через Ср, Сд и а обозначены фазовая и групповая
скорости и декремент затухания на длине волны.
Подставив решения вида C.1.6) в систему уравнений C.1.1)-
C.1.5), получим
- tcoApfc + ipfcoK^i +IEg,/V^Ap^\ = 0 (fc = h n
- го>Ар2 + гр20К, <A„2> - WV?;V*\ = Q>
PlO \ Xfci /
- topw^i + iKHpi + Рго/^ЛМ = О,
- гсор10ср1АТ1 + г(оа10Ар1 + rp20cpl (~IL7—^) = 0, C.1.7)
\ xsi /
- гшА.2 -^"/^ = 0, - шАТ2 + hizAb = 0?
тг> TT2
АТ1 - Атх АГ2 - Ays ri0 ^pvs - ^ру5" _ n
rcPi ; + c2 ; + u>
т£1 тТ2 Рю *&
ApV - -$- ApV - ^AT1 = 0,

112 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
Apl — [A -kvAR)Apl + ARApV}-^- AT1 = О,
_ ^оРуо
( ; - , А
pVS
10
Здесь через (h) обозначен следующий линейный оператор
осреднения (Н.А.Гумеров, А.И.Ивандаев, 1988)
<h> =
= \N0g0hda.
Р20 J
Поскольку параметры газовой фазы не зависят от радиуса а
имеет место следующее тождество
<Awi> 5 Awl.
Для того чтобы в уравнениях C.1.7) вынести неизвестные
амплитуды ApYL, Apvs> &ТЪ А;2> из-под знака оператора
осреднения < . >, выразим их через амплитуды параметров
газовой Аух, (\]/1 = vl, Tl, pV), которые от а не зависят и
известные характерные времена т*
А;2
^Pvs
1-гют*
hPvo
*pVI
T{3^pV "^fcl^pV^
C.1.8)
iTI
Ата= Z
Tfci+Tp
AT1+uoT£,e2
-V.1
l-«oxii
PlO
-1
»«1
VPocpJ
1
LpV
rcpl 1
— 2-0I^2
ег =
ио(ты+тэ)

3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ 113
Подставляя выражения C.1.8) в систему C.1.7) получим
однородную систему линейных алгебраических уравнений
относительно амплитуд Ау (\\? = pi, p2, vl, pi, Tl, T2, . . . ).
Для существования ненулевого решения этой системы
определитель из коэффициентов при неизвестных должен быть
равен нулю. Уменьшая порядок определителя, после проведения
алгебраических преобразований получим следующее
дисперсионное соотношение для волнового числа К*
(CiK*/©J =V(©)D(w). C.1.9)
Здесь V(co), £>(оо) - комплексные функции, описывающие
эффекты дисперсии и диссипации звука во взвеси из-за процессов
межфазного трения и межфазного тепломассообмена
соответственно. Если частицы отсутствуют m = 0 тогда V(co) = D(o>) = 1 т.е.
дисперсии и диссипации в газе без частиц нет.Функции V(co) и D(co)
зависят от частоты, теплофизических параметров фаз и
спектрального состава смеси через выписанные ниже функции.
V(co) = 1 + тУ°(ю), V°(g>) = Цг, C.1.10)
1 - гсот^
1чЯ2-^уу1(Ьс1Я3-2Ш1)^М1Л
D(a>) = 1 + тНл - 1) -А————'—? ,
1 + тг(Я2 - ВН3 - М7Л)
Л = ЬН2г + H2H3i Щ = (к,) J = 1, 2, 3:
hx = Ze2, h2 = Z(ex - Le2), h3 = Ze2(l - мот^ех),
В = A - Rvkv)Rv, L = У1(У1 - 1)M2,
M2 = mrRyCiiyi - 1 + Rvky), M2 = mrB,
_ Rv * Jo_ - __Sl__J_ ^ _ c2
Я,о С2о ГЛ Yi-1 у Л
Необходимо отметить, что дисперсионная зависимость C.1.9)-
C.1.10) получена для случая малых обьемных содержаний капель

114 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
(ot2 « 1) и умеренных давлений г = р^/рго <к *• Однако при
этом массовое содержание капель может быть достаточно больцд^
(т & 1). Учет членов с ^ и г приводит к появлению в
дисперсионном соотношении множителей вида A - аз) и A - г).
В частных случаях однокомпонентных смесей пара с каплями
(ку = 1) и газа с частицами при отсутствии фазовых превращений
(ку = 0, Тр = оо) вид функции V(co) сохраняется, а зависимость D(co)
упрощается. Так, для парокапельной смеси, когда ку = 1, тр = 0 и
коэффициенты Rv = 1, В - М^ - О функция D(o) имеет
следующий вид
Я2- У^Яз-ЗШ^-тгс^Л
D(w) = 1 + mrfyi - 1)-
1 + тгН2
При замене времени Тр на время ts с помощью B.1.22)
зависимость для парокапельной смеси согласуется с
соответствующей зависимостью Н. А.Гу мерова, А.И.Ивандаева
A988). Для полидисперсной смеси газа с твердыми частицами при
отсутствии фазовых превращений (ку = 0, Тр = оо) функция D(co)
имеет следующий вид (Н.А.Гумеров, А.И.Ивандаев ,1988)
D(co) = 0((о) = 1 + (Yl - 1) m 1 Gt^I . GT((o) =-^{Лт>,
l + mGT(co) cpl
I, _ * * _ ^2 / * I * ^2 *
дт _ ^? т 1" ц'гТ^ J * *Е1,
1-iCOT^ rcpl rcpi
* _ а20 * * _ ГСР1 *
т£1 ТГ1> т12 ТГ2>
а10 С2
Дисперсионное соотношение для монодисперсной
парогазокапельной смеси (см. п. 2.2) получается из C.1.9), C.1.Ю)
при подстановке Nq(cl) - пф(а - а0) где через 8 обозначена 5 -
функция Дирака, тогда
(hj) =fy(a0,(G) 0'= 1,2,3).

3.2. АСИМПТОТИКИ ВОЛНОВОГО ЧИСЛА
115
3.2. Асимптотики комплексного волнового числа.
Средние радиусы
Получены и проанализированы асимптотики комплексного
волнового числа при малых и высоких частотах возмущений.
Изучен вопрос о введении средних радиусов для описания
акустических свойств полидисперсных смесей газа с паром и
каплями жидкости.
Дисперсионное соотношение для аэрозолей с малым т
Рассмотрим частный случай малых массовых содержаний
капель (т2 « 1), когда влияние эффектов межфазного
массообмена на распространение акустических волн наиболее
существенно (см. п. 2.4). Пренебрегая в C.1.9)-C.1.10) членами более
высокого чем m порядка малости получим более простое
соотношение, описывающее дисперсионные и диссипатизные
свойства парогазокапельных сред типа аэрозольный туман
£l*i = 1 + ™[V°(co) + rD°(co)], C.2.1)
СО 2
i4K2-R7fcvYi(fiyCiH3-2fH1)
D°(@) = (Yi - 1) у1 г -,
n l + mr(H2-BH:i)
где функции V° и Hj (j=l-3) имеют тот же вид, что и в C.1.10).
Следует подчеркнуть, что в соответствии с C.2.1) вклады трения
фаз и межфазного тепломассообмена в дисперсию и диссипацию
возмущений в аэрозолях аддитивны. Однако в отличии от газа с
твердыми частицами (S.Temkin. R.A.Dobbins. 1966), вклад
межфазного тепломассообмена, определяемый функцией D°(g>)
не пропорцинален массам фракций частиц различного размера.
Следовательно соотношение C.2.1) не может быть получено
простым интегрированием соответствующей зависимости для
монодисперсной взвеси по массам фракций, как в случае
газовзвеси без фазовых превращений. В связи с этим отметим, что
аналогичная дисперсионная зависимость для парокапельного

116 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
аэрозоля (Н.А.Гумеров, А.И.Ивандаев, 1988), полученная при
формальном переходе к случаю малых т из общей зависимости не
описывает ряд эффектов влияния межфазного массообмена, в
частности, немонотонный характер затухания звука в аэрозолях
(см. п. 2.4), предельные переходы при 0->Оир-»оои т.д.
Соответствующая зависимость для смеси пара с каплями может
быть получена из соотношения C.2.1) при значении ку = 1.
Асимптотики волнового числа
В силу сложной зависимости К* (со) C.2.1) получить явные
выражения для скоростей распространения Ср , Сд и
коэффициентов затухания К**, а не удается. Поэтому
проанализируем высоко- и низкочастотные асимптотики
комплексного волнового числа К = К* + iK** следующие из
дисперсионного соотношения C.2.1) при ®xv »1 и штг «1. При
этом будем пренебрегать неравновесностью межфазной
поверхности при массообмене (Тц= 0) и предположим, что Ry - RG,
и Kj - Di- Далее используем следующие безразмерные
параметры, характеризующие теплофизические и акустические
свойства аэрозоля
А,
где а» - некий средний радиус, который будет определен ниже.
В рамках квазиравновесной схемы массообмена при любых
частотах колебаний температура поверхности капли Т£ всегда
остается равной температуре насыщения Ts(py), соответсвующей
данному парицальному давлению пара ру. Для этого случая
высокочастотная асимптотика безразмерного волнового числа К*
имеет следующий вид
K./Q ~ 1 + ^{(l+i)^K£(aX2n)-i/2 +tK<?>(aJ,1Q)} (Q » 1). C.2.2)
2 P°2 a.2 )

3.2. АСИМПТОТИКИ ВОЛНОВОГО ЧИСЛА
117
Коэффициенты К^ и К^2) при первом (главном) и втором членах
асимтотики определяются формулами
3 , / -.\T4_-K kGcl-^kvEl
Kff-J + fr.-iK^
Е,
К™ = 1 + |(у, -OPrf^fcoC, + fevS,]/S2 ,
№i = Yi[ci2 + G(/ - с,JJ, E2 = feGc, + fevYiGJ2,
G =
Я-^г'
X2c2
1/2
, Si = П
C.2.3)
cl+^-c^j, 52 = fcGq + Yli» kv £-).
Здесь аг; - средние радиусы, определяемые формулой
~ч
Г/И1
Г/
1
(*') = j2Vo(ayda,
L ' 'J <*min
amin *4; ^max-
г * j,
C.2.4)
Первое слагаемое в коэффициетах к£ и К^2) связано с
межфазным трением, остальные - с межфазным
тепломассообменом. При этом, вторые слагаемые в Е^ Si (i = 1,2) связаны с
неоднородностью температур внутри капель. Анализ показывает,
что при Х\ < )w2, I »1, r«l эти члены могут вносить существенный
вклад в коэффициент К^ и К^2).
В соответствии с C.2.2), C,2.3) учет влияния спектрального
состава на распространение высокочастотных возмущений в
полидисперсных парогазокапельных смесях с любым видом
функции распределения N0(a) сводится, как и для газовзвесей без
массообмена, только к учету интегральных характеристик aZ2 и
а31 При частотах д/гсдт^, » 1 коэффициент затухания К** в
основном, определяется главным членом асимптотики с

118 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИ ДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
коэффициентом к£\ тогда если принять а*= aZ2 соотношение
C.2.2), C.2.3) совпадает с соответствующей асимптотикой ддя
монодисперсной взвеси.
Отметим, что при учете реальной неравновесности
межфазного массообмена главный член высокочастотной
асимптотики для аэрозолей должен совпадать с главным членом
соответствующей асимптотики для взвесей при отсутствии
массообмена (Н.А.Гумеров, А.И.Ивандаев, 1988), поскольку при
высоких частотах колебаний ю-»оо фазовые превращения попросту
не успевают происходить. Такое соотношение может быть получено
из асимптотики C.2.2), C.2.3) при kv =0 , тогда K»1}=IC£G)
Проанализируем выражение для коэффициента К^ C.2.3)
переписав его в виде
т пг^ / ч -Л'YiMi[ci(l + G)-2iGl
(l-fcyjCi + fcyi^jG
где K^G) - коэффициент при первом (главном) члене асимптотики
при отсутствии фазовых переходов (Н.АХумеров, А.И.Ивандаев,
1988). Оценки показывают, что для смеси воздуха с паром и
каплями воды обычно IG «1, тогда К^Р > K^1G), при этом с ростом
концентрации пара kv разность К^ - K^G) увеличивается, что
ведет к завышению коэффициента затухания К**. Это связано с
неучетом реальной неравновесности парообразования и
конденсции. Отметим, что схема равновесного фазового
превращения для определения коэффициента затухания К,* может
быть использована когда (Р.И.Нигматулин, 1990, Д.А.Губайдуллин,
АЛИвандаев, 1987)
r^\ rL
I)
-^(^^«J >ьт = ^,
Va3,2/ cl

3.2. АСИМПТОТИКИ ВОЛНОВОГО ЧИСЛА
119
где Lm - длина среднего пробега молекул в газе (Lm ~ Ю-8 м).
Таким образом для высокочастотных возмущений, когда последнее
условие не выполняется, использование схемы равновесного
фазового перехода приводит к завышению коэффициента
затухания. При этом эта ошибка возрастает с ростом концентрации
пара в газовой фазе или, что то же самое с ростом начальной
температуры при данном давлении.
Низкочастотная асимтотика К* описывающая зависимость
коэффицинта затухания К** от параметров смеси и частоты при
малых безразмерных частотах (g>t°v « m) имеет вид
KJQ ~ (Сс) + - jmFa523 + — 0а32л 1 (т* « 1, П « т),
'=l + fPr1(Tl-l)[(l.^)
C.2.5.)
Q_ 32Pr1(Yl-lX^e1Jy1
JiPky +(l-kv)e]
с -£
е с,
где Се - безразмерная равновесная скорость звука в парогазо-
капельной смеси (см. п. 2.2), которая при малых массовых
содержаниях капель (т2 « 1) записывается так
1 л 1
— = 1 + -
9
"е
m
l + O-fcvXYi-O-
Yifcv(yi-^X?:-CiJl
Yif2fcv+0-fcv)ci I
В соотношении C.2.5) в коэффициенте F первое слагаемое
определяет влияние межфазного трения, второе слагаемое связано
с температурной релаксацией "инертного" газа не участвующего в
межфазном массообмене. Слагаемое с коэффициентом 0 в
формуле C.2.5) определяет вклад в диссипацию волн эффектов
фазового превращения.
При малых значениях массового содержания капель т « 1
и концентрации пара ку > т слагаемое 0 является доминирующим

120 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
из-за множителя 1/т. Поэтому распространение низкочастотных
возмущений в полидисперстных туманах с малым га в основном
определяется эффектами межфазного массообмена. Следует
подчеркнуть, что при малых частотах возмущений с уменьшением
массового содержания капель га линейное решение становится
неприменимым при нарушении Am/m « 1. Для обычных туманов
при наличии фазовых превращений линейный анализ
эффективен при m > 10~3 (см. п. 2.2).
В соответствии с асимптотикой C.2.5) учет влияния
полидисперсности для любой функции iV0 при длинноволновых
возмущениях сводится только к учету двух интегральных
характеристик спектрального состава взвеси а31 и а53 При этом
средний радиус а5>3 связан с эффектами межфазного трения и при
kv ф 1 с эффектами межфазного теплообмена, а радиус а3 \ - в
основном, с влиянием фазовых превращений. В силу неравенства
Гельдера имеем а3д < а53 (для монодисперсных взвесей в
асимптотике C.2.5) полагаем Щл = а53 =1).
Таким образом, затухание низкочастотных (Q « т « 1)
возмущений в полидисперсных парогазокапельных смесях может
быть приближенно описано в рамках модели с двумя
эффективными средними радиусами капель. При отсутствии
массообмена (kv = 0) или в случае, когда эффекты фазового
превращения доминируют, акустические свойства полидисперсных
туманов описываются монодисперсной моделью при выборе в
качестве характерного радиуса а5>3 или азл соответственно.

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОЛИДИСПЕРСНОГО СОСТАВА
121
3.3. Анализ влияния полидисперсного
состава на акустические свойства
парогазокапельных систем
На примере полидисперсных воздушных туманов изучен
характер расчетных зависимостей скоростей и коэффициентов
затухания акустических возмущений от частоты колебаний.
Исследовано влияние межфазного массообмена и определяющих
параметров смеси на вид дисперсионных кривых в
полидисперсных аэрозолях с непрерывным и дискретным
распределениями капель по размерам.
Численные результаты по затуханию звука в полидисперсных
взвесях, рассчитанные в широком диапазоне частот Q, когда
низко- и высокочастотные асимптотики коэффициента затухания
К** непременимы для описания диссипации волн,
проиллюстрированы на рис. 3.1.-3.10. Расчеты проведены с помощью
дисперсионного соотношения C.1.9), C.1.10) для смеси воздуха с
паром и каплями воды при давлении газовой фазы р10 = 0.1 МРа,
температуре Т0 = 327К (kv = 0.1) и различных массовых
содержаниях капель га.
Дисперсионные кривые показаны в виде зависимостей
коэффициентов затухания а, К** и фазовой скорости Ср от
безразмерной частоты Q31 (Q3,i = ют°, Для а* = азд)- В качестве
параметра обезразмеривания используется радиус а%ъ который в
соответствии с асимптотикой К* C.2.5) является характерным
средним радиусом полидисперсной парогазокапельной смеси при
низкочастотных акустических воздействиях. Этот радиус, как и
обычно близкий к нему по значению радиус а3 2 , также является
характерным при распространении высокочастотных возмущений в
полидисперсных взвесях без массообмена. При этом согласно
Неравенству Гельдера значение а31 является минимальным среди
значений других рассмотренных характерных средних размеров
Полидисперсной взвеси а3д < а32 < а5>3. Поэтому использование в
Качестве параметра обезразмеривания <ь другого радиуса,
Например а5 з » приведет к сдвигу дисперсионных кривых вдоль оси
абсцисс х\ = lgQ в сторону роста ц, поскольку

122 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
lgQ5,3 = lg*\i + 2 lg(o5f3 / о3д), (а5,з / азд * U
Аэрозоли с непрерывным распределением капель
Далее для иллюстрации распространения звука в
полидисперсном воздушном тумане с непрерывным
распределением капель выбрано равномерное распределение
капель по массам, когда N(a) = А0-а~3 , amin = 10~6 м , а^х = 10~5 м,
а3д * 3 10 м , а5K « 6 -10~6 м . Значение константы А° в функции
N(a) может быть определено по значениям объемного содержания
капель в смеси а2о> или массовой концентрации т. Однако,
согласно (ЗЛ.10), C.2.4) значение А° не влияет на вид
дисперсионных кривых и величины средних радиусов а^
Для характерных средних радиусов аЪ1 и а5K при этом имеют
место соотношения
a3,i = aminVx\ a5.3 = amin7K(X2+X + 1)» <X = ~)-
amin
Рис. 3.1. Зависимость декремента
затухания ка длине волны от
безразмерной частоты колебаний при
малых массовых содержаниях капель.
Сплошные, штриховые и пунктирная
кривые соответствуют случаям
неравновесного (C=0.04), замороженного
(Р=0) и равновесного (Э=оо) массообме-
на в полидисперсном тумане. Штрих-
пунктирные линии соответствуют
монодисперсной смеси с неравновесным
массообменом
На рис. 3.1-3.3 показаны зависимости декремента затухания на
длине волны а, линейного коэффициента затухания К** и фазовой
скорости Ср от частоты Q3,i ПРИ разных массовых содержаниях
капель га . Сплошные и штриховые кривые соответстуют случаям
-з -2 -1 о ign3>1

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОЛИДИСПЕРСНОГО СОСТАВА
123
неравновесного (Р = 0.04) и замороженного (р = 0) массообмена
между каплями и газом в полидисперсном тумане.
Штрихпунктирные линии используются для иллюстрации
дисперсионных кривых соответствующих монодисперсной
парогазокапельной смеси с радиусом капель а0 = а53 = 3-10~6 м при
наличии неравновесного фазового превращения- Цифрами у
кривых показаны значения массового содержания взвешенной
фазы т.
Анализ показывает, что при очень малых m < 0.01 вид
зависимости для полидисперсного тумана в основном определяется
эффектами массообмена и практически совпадает с
соответствующей зависимостью для монодисперсной смеси (рис. 3.1). С
увеличением массового содержания капель вклад трения в
диссипацию возмущений возрастает и при m > 0.01 сплошные
и штрихпунктирные кривые различаются. Это различие наиболее
существенно при средних частотах Q31 ~ 1» когда влияние
полидисперсного состава взвеси на распространение звука
максимально и не может быть описано в рамках монодисперсных
моделей с использованием эффективных размеров (рис. 3.1 - 3.3).
Поэтому в этой области частот ни один из средних радиусов C.2.4)
не может быть использован в качестве характерного размера.
Отметим, что при достаточно высоких массовых содержаниях
капель га - 1 значение декремента затухания с для
монодисперсного аэрозоля может как значительно превышать, так и
быть значительно меньше значения о для полидисперсной взвеси
при разных частотах Q31. Влияние эффектов межфазного
массообмена на распространение волн в полидисперсных туманах,
как и для монодисперсных взвесей наиболее ярко выражено в
аэрозолях с малым m ( сплошные и штриховые кривые, рис. 3.1-
3.3). С ростом m роль многоскоростных эффектов возрастает и
различие между указанными кривыми уменьшается.
Существенное влияние фазовых превращений на
распространение низкочастотных возмущений в полидисперсных
аэрозолях с малым га приводит, как и в акустике монодисперсных
взвесей, к аномальному эффекту немонотонной зависимости
Диссипации звука от массового содержания капель га. Этот эффект
является неожиданным, так как в соответствии с общепринятой
точкой зрения интенсивность затухания возмущений в таких
системах пропорциональна массовому содержанию дисперсной
фазы, которая является источником и основной причиной
Диссипации (Р.КНигматулин, АЛИвандаев, Д.А.Губайдуллин,1991,

124 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИ ДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
1 ten3,i
Рис. 3.2. Зависимость декремента
затухания на длине волны от
безразмерной частоты колебаний при
разных массовых содержаниях капель.
К„,м
П 
0.2
0.1
0
/
j \
11
///0.1
П
• /
/
/
/
(A
0.01 J
/ \
\ o.i
\y
--S..
7.''
1
P
_.y
'' •/
//
ч
I
0.9
0.8
0.7
0.6 U^^r-f-
-2 -1
* fen3,i -2-1 0 I feQ3,l
Рис. 3.3. Зависимость линейного коэффициента затухания и безразмерной
фазовой скорости от безразмерной частоты колебаний при разных
массовых содержаниях капель.

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОЛИДИСПЕРСНОГО СОСТАВА
125
0.6
0.4
0.2
/
У
4
0.01
л
1
4J
z^*~*~^\
'♦♦,м
0.6
04
0.2
0
0.1
^У у\
у
//
—•
7
/
/
/ /'
f /j
/ |
У 1
-3
-2 -1 0 lgw
-3
-1 0 ig/n
Рис. 3.4. Зависимости декремента затухания на длине волны и линейного
коэффициента затухания от массового содержания капель при разных
частотах. Числами у кривых показаны значения безразмерной частоты
см. также гл, 2). На рис. 3.4 проиллюстрирована зависимость
декремента затухания а и К** от массового содержания капель при
фиксированных безразмерных частотах: I - fi31= 0.01 (со=100 с-1),
II - Пзд= 0-1 (©=1000 с). Видно, что зависимость с(га) является
немонотонной и имеет локальный максимум при значении га ~ П3д-
Однако для монодисперсного тумана максимум а при частоте fi31~
0.1 является более ярко выраженным (штрихпунктирная кривая).
Отметим, что при га « 1 интенсивность затухания во взвеси с
фазовыми превращениями значительно превышает затухание в
газе с частицами, где эти превращения отсутствуют (штриховые
кривые). С увеличением га влияние эффектов межфазного
Массообмена на затухание возмущений рассмотренных частот
падает (сплошные и штриховые кривые при га » 1 практически
совпадают). При этом затухание возмущений в полидисперсных
г&зовзвесях с высоким массовым содержанием капель га - 10
Может значительно (в 3 раза) превышать диссипацию волн в
Монодисперсных системах (сплошная и штрихпунктирная кривая
«).
Таким образом, анализ показывает, что основные эффекты
влияния массообмена, обнаруженные в акустике монодисперсных

126 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
аэрозолей (немонотонная зависимость диссипации звука от m и fc
и т.д.) имеют место и для пол и дисперсных систем. Однако у^ет
полидисперсного состава смеси приводит к ряду различий не
только количественного, но и качественного характера. Так
известно, что в монодисперсных аэрозолях зависимость декремента
затухания су от частоты Q может иметь два ярко выраженных
максимума, обусловленных различным вкладом межфазного
трения и тепломассообмена. Оказывается, что в полидисперсных
взвесях для обычно используемых непрерывных функций
распределения N(a) такая картина не наблюдается (рис. 3.1 - 3.2).
Действительно, в соответствии с дисперсионной зависимостью
(Д.А.Губайдуллин, А.И.Ивандаев, 1990, см. п. 2.4) при малых
массовых содержаниях капель m «1 для декремента затухания а
можно получить следющее соотношение для монодисперсной смеси
а^И'Ус,-^ C.3.1)
Здесь Х{(а) -характерные времена межфазного взаимодействия во
взвеси (ДА.Губайдуллин, А.И.Ивандаев, 1991, см. п. 2.3), G,-
коэффициенты, зависящие от теплофизических свойств фаз. Так,
для парокапельного аэрозоля с учетом того, что Ср~ Си ii ~ т„, т2 ~
ТТ2> тз ~ тп ~ Ti>/m> соотношение C.3.1) имеет вид (Р.И.Нигматулин,
А.И.Ивандаев, Д.А.Губайдуллин, 1991, см. п. 2.4.)
1 + (фтв) v lJ m2+(o)t.t,)
Согласно выражению C.3.2) зависимость декремента
затухания g от безразмерной частоты Q = сот^ ДЛЯ
монодисперсной смеси имеет два максимума. Один из них связан с
эффектами диссипации из-за наличия фазовых превращений и
реализуется при частоте П(*) ~ m (сотТ1 - 1 ), другой наблюдается
при QB) ~ 1, и обусловлен диссипацией из-за межфазного трения.
При этом в силу малости m « 1 для характерных частот QW (i ~
1, 2) имеет место неравенство QC1) « QB).
В соответствии с асимптотикой C.2.5) при низкочастотных
возмущениях для приближенного описания акустических свойств
полидисперсных аэрозолей могут быть использованы формулы

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОЛИДИСПЕРСНОЮ СОСТАВА
127
акустики монодисперсных взвесей. При этом согласно C.2.5)
релаксация скорости капель определяется средним радиусом а5 3, a
эффекты межфазного массообмена характеризуются меньшим
средним радиусом а3lt поэтому характерные времена Т]_
межфазного взаимодействия представляются в виде
соответствующих функций: tv = tv (а5,з)- Тогда в соответствии с C.3.2)
первый максимум коэффициента а, обусловленный процессами
фазовых превращений в полидисперсном аэрозоле будет
наблюдаться при частоте Q^} =Q(l)(au)~m « 1 (рис. 3.1). Вклад
межфазного трения согласно C.3.2) максимален при частоте Пз1~
(аз,1 ^а5.зJ «1 (^B)(а5.з)~*)- В силу близости значений частот £}П)
и QB) отдельные максимумы, связанные с межфазным трением и
межфазным массообменом не выделяются и зависимость o~(Q) в
рассмотренном полидисперсном случае имеет только один
максимум (рис. 3.1, 3.5).
Рис. 3.5. Вклад межфазного
тепломассообмена и трения фаз в
декремент затухания на длине волны.
Штриховая линия соответствует
«случаю неучета межфазнсго трения.
Штрихпунктирная линия
иллюстрирует случай отсутствия
тепломассообмена
0.32
0.16
Г?
!
1
1
1
\ 1
III
V
\
\?
ч
д
1 .'""*^
т=0.07
5 |
-2-1 0 1 lgQ3,l
Однако, если распределение капель по размерам носит
дискретный характер и размеры частиц каждой фракции
Значительно отличаются между собой, следует ожидать у
зависимости а(О) нескольких (по числу фракций) максимумов,
реализующихся при значениях характерных частот аЩа^) = 1 (г-
число фракций).

128 ГЛ. 3, ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
Двухфракционные взвеси
В качестве примера рассмотрим распространение звука
двухфракционной парогазокапельной смеси, когда Функция
распределения N(a) имеет вид
N (а)— п2-5(а-а2) + п3-8(а-а3).
Характерными параметрами такого распределения являются
следующие параметры: vj/ = аъ/аъ (р = тг/тг = {п2а\)/(пъа\\ где
пь rrti -число частиц и массовое содержание г-ой фракции. Цри
известных значениях суммарного массового содержания капель
т= т2 + Шз и введенных ранее средних радиусов a3i, abz для
определения функции N(a) могут быть использованы следующие
соотношения
а3.1 jl + фЦ/2 [ф + М>2
v|/ у 1 + ф \f 1 + ф
3a2(i) /л т{т <ып m
2 4тсаг3 Л; 1 + т<г 2 ! + ф л 1 + ф'
(t = 2, 3)
Дисперсионные кривые, рассчитанные для случая
двухфракционного воздушного тумана при значении параметра
Ф =1 (т2 = т3) и различных значениях у и т показаны на рис.
3.6- 3.10.
На рис. 3.6 проиллюстрирована зависимость декремента
затухания а от частоты QS1 при следующих значениях параметров
смеси: у =10, a2=2'10 м, а3=2-10-5 м, а3д=3-10-6 м, а5?3=1.4-10-5 м и
разных массовых содержаниях капель га. В отсутствии
массообмена, когда доминирует трение фаз? акустические
эффекты, связанные с двухфракционностью взвеси могут быть
приближенно определены как сумма эффектов, обусловленных
акустическими свойствами каждой из фракций. Поэтому
зависимость а (Озд) в двухфракционной смеси без фазовых
превращений имеет два ярко выраженных максимума»
реализующихся при характерных частотах Пзд~ (азд/азJ (Яа(аз) ~
1) и Пзд ~(азд/а2J №2(аг) ~ 1) (штриховые линии). При этом »
C.3.3)
г =
Pio
Р20

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОЛИДИСПЕРСНОГО СОСТАВА
129
силуа2«а3 имеем &з:\« 0%". При учете фазовых
Превращений имеет место сильная зависимость характерного
времени межфазного массообмена хш от массового содержания
капель т (хт -тг/т). Это связано с процессами выравнивания
температуры и концентрации пара в области (ячейке) вокруг
капли. Чем больше числовая концентрация капель п0, тем меньше
характерный размер ячейки R ~tIq1/3 и тем соответственно
меньше время т т выравнивания параметров (Ti и kv) в области
вокруг капли. В связи с этим при учете межфазного массообмена в
смеси первый максимум коэффициента а обусловлен процессами
фазовых превращений и наблюдается при характерной частоте
&3,i~ m к< * (®xm(a3ti) ~ 1) определяемой средним радиусом а3д и
массовым содержанием капель га .
Рис. 3.6. Зависимость декремента
затухания на длине волны от
безразмерной частоты колебаний при
разных массовых содержаниях капель.
Сплошные и штриховые кривые
соответствуют случаям неравновесного
C=0.04) и замороженного (Р=0)
массообмена в двухфракционном тумане.
Штрихпунктирные линии
соответствуют монодисперсной (а0 = 310 м)
смеси с неравновесным массообменом.
Числами у кривых показано массовое
содержание капель в смеси т.
-3 -2
-1
!8Лз,1
Действительно, в соответствии с дисперсионной зависимостью
C.2.1) при малых массовых содержаниях капель m « 1 декремент
затухания на длине волны а определяется следующим
выражением
(г ^
С = 7Г
|_Lj Цу«(в)+г2У>(в)},
*Де V°(co), D°(cd) -комплексные функции, описывающие
ДИссипативные эффекты из-за межфазного трения и межфазного
тепломассообмена. Для двухфракционного парокапельного
Аэрозоля с малым т при ф = 1 и vj/ « 1 когда радиус а31 « л/2а2

130 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
C.3.3) с учетом Ср~ Сх и тт ~тТ11 *%Jm для оценки коэффициента
а можно испольовать соотношение
cr ~ я
mvj/ 2Q3,i +_wQ3,i ,/.. 1/1 С^2 Q3,i
^♦И-Я'
4\|/+nfJ 4 + Пзл ^ '' ™2+пзд
C.3.4)
Согласно формуле C.3.4) вклад межфазного трения в
коэффициенте а максимален при частотах Q3,i ~ 2i}T2 и Q3,i ~ 2 , а
вклад межфазного тепломассообмена максимален при частоте
Q31 ~ ^ •
Таким образом, в двухфракционных туманах с малым т«\
при наличии двух характерных частот межфазного массообмена
&Ху\~ mV~2 (^(аз) ~ тз) и ^з.?~ т (ЗДаг) ~ т2) реализуется лишь
один максимум декремента затухания а из-за влияния фазовых
превращений при Q3,i ~ ^з.Т-
Отметим, что при частотах Q3,i ~ 1 значение декремента о
для взвеси без массообмена превышает соответстующее значение а
в случае тумана. Это обусловлено тем, что при фазовых
превращениях, когда Tv ~ Ts реализуемые перепады температур
I Tv - Tj I в волне могут быть меньше, чем перепады \Т2- Тг | при
тепломассообмене частицы с "инертным" газом. В связи с этим
вклад в диссипацию волн температурной релаксации при фазовых
превращениях в туманах может быть меньше вклада межфазного
теплообмена во взвеси без массообмена.
Зависимость декремента затухания а от частоты Q3 д при
различных значениях параметра i|/ = 10, 20 (<р = 1 показана на
рис.3.7. Видно, что во взвеси без массообмена при vj/ = 20 (а2 =2-10
м, а3 = 4-1 О**5 м) первый максимум сг, как и следовало ожидать,
сдвигается в область низких частот по сравнению со случаем \|/=Ю
(штриховые линии). При учете фазовых превращений сдвига
первого максимума коэффициента а с изменением параметра v|/ не
происходит. Поскольку согласно C.3.3) при ср = 1 и ц/ »1 имеем
азд * л/2а2, т.е. характерная частота первого максимума ОзТ~ ^
не зависит от значений параметра iy или радиуса Дз-
Формирование второго максимума у кривой a(Q3>i) происходит при
характерной частоте £2зТ~ 2, определяемой вкладом, в основном,
межфазного трения мелких частиц а2.

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОЛИДИСПЕРСНОЮ СОСТАВА 131
Рис. 3.7. Зависимость декремента
затухания на длине волны от
безразмерной частоты колебаний при
различных значениях параметра vj/.
а
0.3
0?
0.1
0
Г"
V=20 .
A /
loJIi
[ji
Hi
in
/ i
i 10
7^
/ 4-
w = 0.1
\N 1
\ 4
\ "К 1
У/
/
\ 1
\
^4\
N\ 1
-3
-2
^Озл
Таким образом, диссипация слабых волн в полидисперсных
туманах с фазовыми превращениями определяется следующими
основными параметрами смеси: массовым содержанием капель т,
концентрацией пара kv, функцией распределения пара по
размерам N(a), размерами включений и т.д. При зтом среди
различных используемых в литературе средних размеров частиц
аэрозоля необходимо выделить ряд характерных. Так, влияние
межфазного массообмена на затухание низкочастотного звука в
туманах определяется средним радиусом а2д * JalQ / а10
характеризующего величину удельного радиуса всего аэрозоля
азл/[D/3)ла3д] ( известно, что скорость испарения капель аэрозоля
определяется средним арифметическим радиусом а10 (Н.А.Фукс,
1955)). Влияние межфазного трения на диссипацию возмущений
низких частот в газовзвесях характеризуется радиусом abZ ,
который определяет удельное среднее значение параметра
G = g-s|
таз
GNda/p20
где s-площадь поверхности капли радиуса а, д - ее масса.

132 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИ ДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
При высокочастотных колебаниях диссипация волн в туманах
определяется радиусом а3>2 = Дз,о / а2,о > определяющего удельную
межфазную поверхность аэрозоля 4яа|2/[D/3Oсаз>2]-
-3 -2 -1 0 fcn3ti -2-1 О I fea3>i
Рис, 3.8. Зависимости безразмерной фазовой скорости от безразмерной
частоты колебаний при разных массовых содержаниях капель и различных
значениях параметра \\i с учетом (C=0.04, сплошные линии) и без учета C=0,
штриховые линии) межфазного массообмена. Штрихпунктирные линии
соответствуют монодисперсной (а0 = 310 м) смеси с неравновесным массо-
обменом. Числами у кривых показана массовое содержание капель в смеси га.
На рис.3.8 проиллюстрированы зависимости фазовой скорости
Ср от безразмерной частоты Q3>1, при разных массовых
содержаниях капель m и различных значениях параметра у.
При очень малых значениях т=0.01 дисперсия звука
определяется, в основном, эффектами межфазного массообмена,
характеризующегося средним радиусом а3д. Поэтому вид
зависимости в двухфракционном аэрозоле с фазовыми
превращениями при т=0.01 значительно отличается от кривой
СрФзд) во взвеси без массообмена (штриховая линия) и
практически совпадает с видом ^р(^зд) в соответствующем
монодисперсном случае (штрихпунктирные линии). С увеличением
массового содержания капель до т=0Л влияние двух-
фракционности состава смеси возрастает и указанные кривые

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОЛИДИСПЕРСИОГО СОСТАВА
133
существенно различаются. Таким образом, дисперсия звука в
цол и дисперсном аэрозоле с массообменом при т=0.1 не может
быть описана ни в рамках замороженной схемы (р = 0), ни в
рамках монодисперсной модели с каким-либо средним радиусом. В
полидисперсных газовзвесях со значительными массовыми
содержаниями капель т~1 влияние эффектов фазового
превращения на дисперсию звука мало и кривые Cp(Q31) в случае
отсутствия и наличия массообмена сближаются.
Отметим, что при низких частотах возмущений величина
фазовой скорости Ср стремится к соответствующему значению
равновесной скорости Се(т). Значения равновесной скорости звука
Ce{rri2) парогазокапельной смеси со стороны фазы мелких частиц
показаны горизонтальной штриховой линией.
К*. ,м
о.з
0.2
0.1
о
-2 -1 0 1 ЬПзл
Рис. 3.9. Зависимость линейного коэффициента затухания от безразмерной
частоты колебаний при разных массовых содержаниях капель в смеси.
Обозначения и параметры те же что и на рис. 3.8.
Характерный вид зависимости коэффициента затухания К*
от безразмерной частоты Q3>1 при \|/ = 20 и разных значениях
массового содержания капель m показан на рис. 3.9. Видно, что
затухание низкочастотных возмущений (Q3,i ^ Ю) в поли-
Дисперсных аэрозолях с малым т= 0.01-0.1 определяется
процессами фазового превращения и практически совпадает с
затуханием волн в монодисперсной смеси с характерным радиусом

134 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
капель а = а3д. При этом затухание колебаний низких частот
может быть значительно выше диссипации возмущений в
газовзвесях без массообмена (штриховые линии).
Затухание высокочастотных возмущений определяется, в
основном, эффектами межфазного трения, поэтому сплошные и
штриховые линии сближаются. Значения коэффициента затухания
К» колебаний высоких частот в двухфракционной взвеси при этом
может быть значительно меньше, чем в соответствующем
монодисперсном случае.
а
0.6
0.4
0.2
0
-3 -2 -1 0 \°т
Рис. 3^0. Зависимости декремента затухания на длине впны от массового
содержания капсель в двухфракционном воздушном тумане при разных
частотах. Числами у кривых показаны значения безразмерной частоты.
На рис. 3.10 проказана зависимость декремента затухания на
длине волны с от массового содержания капель m в
двухфракционной взвеси му = 10 при различных значениях
безразмерной частоты П3д = 0.01 (со = 100 с); 0.1 (о = 1000 с).
Штриховой линией проиллюстрирован случай взвеси с
замороженным массообменом (Р=0) при a2=2-10-6 м и а3=2Ю-5 м.
Видно, что зависимость а(га) для двухфракционного парогазо-
капельного аэрозоля, как и для парогазовзвеси с непрерывным
распределением капель, является немонотонной функцией т. При
значениях массового содержания капель т=0.01 и 0.1 реализуются
локальные максимумы затухания, обусловленные неравновесными
процессами межфазного массообмена.

3.4. СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
135
3.4. Сравнение теории с экспериментом
Рассмотрены имеющиеся экспериментальные данные по
распространению звуковых возмущений в аэрозолях. Выполнено
сопоставление развитой теории с данными экспериментов других
авторов по затуханию звука в воздушном тумане.
Анализ опубликованных экспериментальных данных
показывает, что в связи с трудностями создания двухфазных
систем с каплями или частицами строго одного размера
большинство из имеющихся экспериментальных работ посвящено
изучению распространения звука в полидисперсных взвесях. В
основном исследовано распространение монохроматических волн в
двухфазных смесях газа с частицами без фазовых превращений.
Надежные данные по распространению импульсных возмущений в
литературе вообще отсутствуют.
С точки зрения апробации развиваемой теории наибольший
интерес представляют экспериментальные данные по
распространению слабых волн в полидисперсных аэрозольных
туманах при наличии фазовых превращений. Едва ли не
единственной работой на эту тему, в которой измерялось
затухание звуковых возмущений в воздушном тумане является
работа J.Cole, RDobbins A971). В ней для создания аэрозольного
тумана с пространственно-однородной структурой использовалась
камера Вильсона, Измерение размеров и концентрации капель
проводилось оптическими методами. Опыты проводились при
массовом содержании капель тумана т ~10~2, частота колебаний
составляла 80 гц, диаметр капель варьировался в диапазоне от
2-10-6м до 10м.
Целью экспериментов являлось исследование затухания
гармонических возмущений в области безразмерных частот
cotti ~ 1 С®1» ~ т)> гДе влияние тепломассообмена на диссипацию
максимально. Изменение безразмерной частоты ©iri в
диапазоне ~ 0.5-16 достигалось за счет варьирования размеров капель.
Эксперименты показали, что затухание низкочастотного
возмущения в аэрозоле с фазовыми превращениями может на
порядки превышать затухание в газе с твердыми частицами. При
этом максимум декремента затухания на длине волны в аэрозоле с
массообменом, в отличие от случая газовзвеси без фазовых
превращений, наблюдается при о>тТ1 ~ 1 (сохг - т« 1).

136 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
На рис. 3.11 приведено сопоставление теории с
экспериментальными данными по декременту затухания на длине
волны а «а/тс в смеси воздуха с паром и каплями воды. Здесь
же проиллюстрирована развитая авторами монодисперсная теория
(J.Cole, R.Dobbins, 1970). Три группы экспериментальных точек
соответствуют трем экспериментам, проведенным при различных
диаметрах и массовых содержаниях капель, а также различной
температуре ( разной концентрации пара в газообразной фазе)
1 - Т0 = 281К, А = 4.36-10-бм, п = 1.7М05см, kv= 0.012
2 - Т0= 276К, d = 1.84-10-6м, п = 1.5210бсм, kv = 0.008
3 - Т0 = 271К, d = 4.96-10-6 м, n = 7.74-104 см, kv = 0.006
здесь d, n - диаметр и концентрация капель в единице объема.
Разброс опытных данных составляет ~ 10-15%.
а/л
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1СГ1 10° Ю1
Рис. 3.11. Сопоставление теории с данными эксперимента по декременту
затухания на длине волны в смеси воздуха с паром и каплями воды.
Экспериментальные точки получены при различных температурах.
Сплошные-пунктирные линии - теоретические зависимости, рассчитанные в
предположении квазиравновесного массообмена. Штриховая линия
теоретическая кривая, не учитывающая различия между газовыми
постоянными пара и газа.
Расчетные зависимости o(cotTi) построены с помощью
дисперсионного соотношения для случая монодисперсной смеси в
' \

3.4. СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
137
Предположении о квазиравновесном характере массообмена.
Отметим, что для монодисперсной смеси газа с паром и каплями
жидкости при замороженном фазовом превращении (Р = 0) или их
квазиравновесном протекании (р =оо) зависимость а(©тг) является
автомодельной и годится для произвольных размеров частиц из
области допустимых (©тс «1). В указанных предельных по р
случаях коэффициент о зависит от размера капель а только
через безразмерные комбинации
©Тц1, ©Тхь <*>ТЯ2, ©Id (Тщ, Txi, TX2, Ч ~ а2) Т'е- а(®> Т) = СГ(°)» й2У
Кроме того, в аэрозолях с малым m ~ 10~2 при
квазиравновесном протекании фазового перехода и частотах ©т^ «1
декремент а зависит от массового содержания капель только
через безразмерное время ©тт (тт~ Tti ~ Ч /т)> Т0 есть
<?(©, т) * с((оа2/гп\ (m, ©xv «1).
Таким образом, можно считать, что зависимость a(©tri)
приближенно является универсальной для взвесей с различными
размерами и массовыми содержаниями капель из области
допустимых. Это обстоятельство следует учитывать при анализе
обсуждаемых экспериментальных данных.
Имевшее место небольшое изменение температуры в опытах
от 271 до 281К при постоянном начальном давлении рх= 0.1 МПа
фактически не влияло на значения коэффициентов дио^фузии,
теплопроводности, теплоемкости и теплоты парообразования.
Однако следует заметить, что концентрация пара в газовой смеси
ку при таком изменении температуры менялась существенно.
Анализ показывает, что при малых значениях ку декремент
затухания с прямо пропорционален ку. Следовательно, наиболее
важным параметром, влияющим на положение кривых в условиях
данных экспериментов, является концентрация пара в несущей
фазе ку. Точное определение значения ку в экспериментах связано
с большими трудностями, поэтому при определении ку авторы
экспериментов полагали, что начальное состояние является
состоянием термодинамического равновесия, то есть kv - kv$ (T0).
Интересно исследовать , как учет отличия газовых постоянных
паровой и газовой компоненты несущей фазы, а также учет
неравновесности межфазного массообмена влияет на согласие

138 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
теории с экспериментом. Некоторые результаты этого
исследования проиллюстрированы на рис. 3.11. Здесь штриховой
линией показана теоретическая кривая, полученная J.Cole
RDobbins A970) в предположении Rv =KG. Видно, что она не
очень хорошо описывает экспериментальные данные. При учете
Rv *Rq согласие теории с экспериментом улучшается.
Теоретические кривые, соответствующие трем группам
экспериментальных точек, рассчитанные в предположении Р = оо (ip = 0)
показаны на рис. 3.11 частично сплошными, частично пунктирными
(сплошными - в зоне соответствующих экспериментальных точек).
Проведенные ранее исследования показали, что учет
неравновесности фазового превращения в аэрозольных системах с
малыми массовыми содержаниями капель m и малыми значениями
концентрации пара ку при достаточно малых значениях
коэффициента аккомодации Р может приводить к заметному
сдвигу кривой а(со) в область низких частот (ДА.Губайдуллин,
А.И.Ивандаев, 1987, см. п. 2.2, 2.4 ). Этот сдвиг больше, если
значение C меньше. В связи с этим имеется принципиальная
возможность определения коэффициента аккомодации р из
условия наилучшего согласия теории с экспериментальными
данными по затуханию звука в аэрозолях. К сожалению,
определить таким образом значения Р достаточно точно .
затруднительно из-за сильного разброса имеющихся
экспериментальных данных.
На рис. 3.12 экспериментальные данные сопоставляются с
результатами расчетов по общей полидисперсной неравновесной
теории . Показаны теоретические кривые, соответствующие р = 0.4.
В качестве характерного интервала изменения капель
использовался диапазон от 10~6 м до 10~5 м. (Ща)=а~3), а
характерного радиуса - а3д. В соответствии с результатами п. 3.3, в
условиях экспериментов, когда гаи Q = <oxv малы (m, Q « 1),
эффекты полидисперсности слабо влияют на диссипацию
возмущений и вид кривых a(Q) для случаев полидисперсной и
монодисперсной смеси практически совпадают. Сравнение рис. 3.11
и 3.12 позволяет сделать вывод о том, что учет неравновесности
фазового превращения при данных параметрах смеси также
достаточно слабо влияет на величину максимального значения
коэффициента затухания. Тем не менее, согласие кривых 1,3 с
соответствующими группами экспериментальных точек несколько
улучшается за счет сдвига неравновесных теоретических кривых в

3.4. СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ 139
область более низких частот. Отметим, что кривые,
соответствующие значению C = 1 несколько отличаются от кривых Р =
0.4, но практически совпадают с кривыми, рассчитанными по
квазиравновесной схеме (р = °°, тр = 0). Использование наиболее
часто рекомендуемого для воды значения р = 0.04 несколько
ухудшает согласие теории с экспериментом по сравнению с р = 0.4
для кривых 2, 3, но улучшает согласие для кривой 1. В целом
экспериментальные точки располагаются внутри области,
ограниченной кривыми, рассчитанными при предельном значении
Р = оо и р = 0.04.
Рис. 3.12. Сопоставление теории с данными эксперимента по декременту
затухания на длине волны в смеси воздуха с паром и каплями воды.
Обозначения и параметры те же, что и на рис. 3.11. Теоретические
зависимости рассчитаны с учетом неравновесного фазового превращения при
значении коэффициента аккомодации Р = 0.4

140 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
3.5. Динамика импульсных волн малой амплитуды в
полидисперсных парогазокапельных смесях
Изучено влияние фазовых превращений, полидисперсного
состава и определяющих параметров взвеси на процесс
распространения слабых импульсных возмущений. С помощью метода
быстрого преобразования Фурье проведены расчеты эволюции
импульсных волн малой амплитуды в полидисперсных
парогазокапельных системах с непрерывным и дискретным
распределениями капель по размерам.
Исследуем особенности распространения импульсных
возмущений малой амплитуды в полидисперсной
двухкомпонентной взвеси при наличии фазовых превращений.
Рассмотрим полидисперсную смесь воздуха с паром и каплями
воды при давлении р10= 0.1 МПа и концентрации пара ку = 0.1
(Т0=327К). Значение коэффициента аккомодации Р = 0.04. В
качестве примера, иллюстрирующего распространение волн в
аэрозолях с непрерывным спектром размеров частиц, изучим
эволюцию импульсов в смеси с равномерным распределением масс
фракций по размерам капель (N(a) = const -а-3). При этом примем
следующие значения минимального и максимального радиусов
капель amin=10~6 м, атах =10~5 м., тогда значение среднего радиуса
а3д = 3-10'6 м. Для проведения расчетов используем методику,
изложенную в п. 2.5 (см. также Д.А.Губайдуллин , А.И.Ивандаев,
1991).
Рассмотрим эволюцию импульса давления, начальная форма
которого описывается функцией вида
p@ft)=exp\-(t-t.) /N J]
Длительность импульсов составляла ~ 0.01 сек и ~ 0.05 сек.
Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения
C.1.9), C.1.10) при использовании подпрограмм быстрого
преобразования Фурье (В.АТапонов, 1976).
На рис. 3.13 представлена эволюция слабого импульса
давления в полидисперсной парогазокапельной смеси при
различных массовых содержаниях капель (сплошные линии).
Штриховые линии - монодисперсная взвесь с радиусом капель а*-
а3д = 3 10 м. Числовые указатели у кривых здесь и далее

3.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ
141
соответствуют расстоянию в метрах от места инициирования
импульса.
« = 0.1
/я = 10
20 40 60 80 100 120 /,
Рис. 3.13. Эволюция импульсного возмущения в полидмсперсной
парогазокапельной смеси при различных массовых содержаниях капель в
случае равномерного распределения масс фракций по размерам (сплошные
линии). Штриховые линии соответствуют монодисперсной взвеси. Числовые
указатели у кривых показывают расстояние в метрах.
При малых массовых содержаниях капель m = 0.1, когда
существенно влияние межфазного массообмена на распространение
волн, влияние полидисперсности на эволюцию импульсов
незначительно ( сплошные и штриховые линии мало отличаются ).
Поэтому распространение импульсов рассмотренной длительности
может быть приближенно описано в рамках монодисперсного
аэрозоля с характерным радиусом а3д. С увеличением массового
содержания взвешенной фазы влияние полидисперсности на

142 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
распространение импульсных волн возрастает. При высоких
массовых содержаниях капель т ~ 10 наблюдается значительно
более сильное затухание импульса давления и изменение его
формы в пол и дисперсной взвеси по сравнению с монодисперсным
случаем. Отметим, что в силу быстрого затухания высокочастотных
гармоник импульсные возмущения распространяются со
скоростью близкой к равновесной скорости звука Се в
парогазокапельной смеси одинаковой для моно- и
полидисперсных систем.
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 *,с
Рис. 3.14. Распространение импульсного возмущения в полидисперсной
парогазокапельной смеси при различных массовых содержаниях капель в
случае равномерного распределения масс фракций по размерам. Сплошные
(штриховые) линии соответствуют расчету с учетом (без учета) массообмена.
Числовые указатели у кривых показывают расстояние в метрах.

3.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛ И ДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 143
Влияние межфазного массообмена на распространение
импульса давления в полидисперсной парогазокапельной смеси с
разными массовыми содержаниями капель показано на рис. 3.14.
Штриховыми кривыми проиллюстрирован случай замороженного
массообмена, когда коэффициент аккомодации р = 0. При очень
малых массовых содержаниях капель (m ~ 0.01) наблюдается
сильное затухание импульсного возмущения по сравнению со
случаем отсутствия межфазного массообмена, когда импульс
практически не затухает. При этом из-за сильного влияния
т = 0.01
Рис. 3.15. Эволюция импульсного возмущения в полидисперсной
парогазокапельной смеси при различных массовых содержаниях капель в
случае равномерного распределения масс фракций по размерам. Сплошные
(штриховые) линии соответствуют расчету с учетом (без учета)
тепломассообмена. Числовые указатели у кривых показывают расстояние в метрах.

144 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛ И ДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
фазовых превращений, как и в случае монодисперсной смеси (см
п. 2.5), затухание длинноволновых импульсов в полидисперсных
взвесях немонотонно зависит от массового содержания капель щ.
Так при m = 0.01 затухание импульса больше , чем при тп =
0.1, а также значительнее, чем во взвеси с существенно большим
массовым содержанием капель m = 1. С увеличением массового
содержания взвешенной фазы влияние межфазного массообмена
на распространение импульсов уменьшается. При массовом
содержании капель т = 1 картина эволюции импульсного
возмущения в полидисперсной парогазокапельной смеси при учете
и отсутствии фазовых превращений практически одинакова.
На рис. 3.15 проиллюстрировано влияние межфазного трения
на эволюцию импульсных возмущений малой амплитуды в
полидисперсном воздушном тумане с различными массовыми
содержаниями капель. Здесь штриховыми линиями показан случай
отсутствия межфазного тепломассообмена. При малых массовых
содержаниях капель (т = 0.01; 0.1) вклад межфазного трения в
диссипацию волн незначителен. Основное влияние на затухание
импульсов в этом случае оказывает межфазный тепломассообмен.
При высоких массовых содержаниях капель (т=1) затухание
импульсных возмущений определяется, в основном,
многоскоростными эффектами межфазного взаимодействия. Однако
неучет межфазного тепломассообмена при высоких значениях m
приводит к завышению скорости распространения импульса
давления.
Изучим распространение импульсного возмущения
прямоугольной формы в полидисперсном воздушном тумане с
равномерным распределением масс фракций по размерам капель.
Параметры гетерогенной смеси указаны выше. Начальное
возмущение, создаваемое на границе взвеси при х - 0 задавалось
в виде
_, ч Г 1, 0<t<t*
v ; [ 05 t>U
где t.- продолжительность импульса. Отметим, что число гармоник
L (см. п. 2.5), подбираемое из условия движения импульса без
изменения первоначальной формы при отсутствии дисперсии и
диссипации волн в этом случае существенно возрастает.
На рис. 3.16 показано влияние фазовых превращений на
процесс распространения прямоугольного импульса давления в

3.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 145
полидисперсном воздушном тумане. Штриховыми линиями
проиллюстрирована эволюция импульса при отсутствии
межфазного массообмена.
0.2 1лс
Рис. 3.16. Распространение слабого импульсного возмущения в полидио
персной парогазокапельной смеси при различных массовых содержаниях
капель в случае равномерного распределения масс фракций по размерам.
Сплошные (штриховые) линии соответствуют расчету с учетом (без учета)
массообмена. Числовые указатели у кривых показывают расстояние в метрах.
Существенное влияние фазовых превращений на затухание
волн в аэрозолях с очень малым массовым содержанием капель
m приводит к более сильному изменению первоначальной формы
импульса рассмотренной длительности для т = 0.01 по сравнению
с m = 0.1. Сильное искажение формы волны при т = 0.01 связано
со значительным затуханием основных низкочастотных гармоник,
составляющих длинноволновой импульс, немонотонной
зависимостью их диссипации от массового содержания капель.
Распространение и затухание переднего фронта импульсного
возмущения определяется закономерностями распространения
высокочастотных гармоник, составляющих импульс. В связи с

146 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
этим передний фронт волны распространяется с замороженной
скоростью звука Cf близкой к скорости звука в воздухе при
отсутствии капель. Диссипация высокочастотных гармоник с
увеличением массового содержания капель возрастает, что
приводит к более значительному затуханию переднего фронта
возмущения при т = 0.1, чем при m = 0.01.
Таким образом процесс трансформации прямоугольного
импульсного возмущения при эволюции в полидисперсных
туманах определяется различным характером зависимости
диссипации гармонических составляющих разных частот от
массового содержания капель (немонотонным характером затухания
для низкочастотных возмущений и монотонным - для
высокочастотных составляющих).
На рис. 3.17 представлены расчеты распространения
импульсного возмущения малой амплитуды в полидисперсной
парогазокапельной смеси как с равномерным распределением
масс фракций по размерам капель (сплошные линии), так и в
случае дискретного двухфракционного распределения капель
(штриховые линии). Дискретный спектр при этом имеет вид
N(a)= п2 *5(а-а2>)+ п3-8(а-а3), а2 < а3
и характеризуется двумя основными параметрами
Ч> = <*з /а2 > Ф = шг /™з = п2 а1/(пза1),
Щ +тз =т'
Здесь а{, щ, т„ - радиусы, число частиц в единице объема и
относительные массовые содержания мелкой (г=2) и крупной (г=3)
фракции. При известном значении среднего радиуса а3д = 3-10 м
для рассмотренного выше случая непрерывного распределения
капель по размерам параметры для двухфракционного
распределения выбирались в соответствии с формулами C.3.3) и
принимались следующими : ф = 1 (т2= тз), vj/ = 10 (а2 = 210 м,
а3 = 2-10 м). Штрихпунктирными линиями на рис. 3.17 показана
эволюция импульсного возмущения в монодисперсном воздушном
тумане с радиусом а$= а*= 3 10 м.
.Для расстояния х = 10 м значения х/Ср х/Се2 и х/Се
отмечены соответственно вертикальной сплошной, штриховой и
штрихпунктирной линиями. Здесь Се2 = Се(т2) - равновесная

3.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛ И ДИСПЕРСНЫХ СМЕСЯХ 147
скорость звука в двухфракционном воздушном тумане со стороны
фазы мелких частиц.
Для удобства интерпретации этих графиков справа
приведены зависимости фазовой скорости Ср и линейного декремента
затухания К= K„C10tv* от частоты возмущений Q3,i-
х
Рис. 3.17. Распространение слабого импульса давления в полидисперсной
парогазокапельной смеси при различных массовых содержаниях капель в
случае равномерного распределения масс фракций по размерам (сплошные
линии). Штриховые (штрихпунктирные) линии соответствуют двухф-
ракционной (монодисперсной) взвеси. Справа представлены кривые дисперсии
и диссипации.
Распространение и затухание импульсных возмущений в
полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости может
сильно зависеть от вида функции распределения капель по
размерам. Так затухание импульса в полидисперсных взвесях с
непрерывным распределением капель выше, чем в
соответствующем случае монодисперсного тумана,, однако может быть
значительно меньше, чем в двухфракционной смеси (рис. 3.17). В
связи с этим для рассмотренных функций распределения
максимальный эффект влияния капель на затухание импульсов в

148 ГЛ. 3. ВОЗМУЩЕНИЯ В ПОЛ И ДИСПЕРСНЫХ ТУМАНАХ
полидисперсных парогазокапельных системах достигается при
использовании двухфракционного распределения капель. При этом
импульс, имевший первоначально прямоугольную форму, при
распространении под воздействием дисперсии и диссипации
принимает колоколообразную форму или вид гауссовой кривой
что соответствует анализу, приведенному в п. 2.5.
Анализ показывает, что при рассмотренных высоких массовых
содержаниях капель (т = 1, 10) высокочастотные составляющие
импульса быстро затухают, поэтому передний фронт волны
распространяется в воздушном тумане, как с непрерывным
распределением капель, так и в монодисперсном случае со
скоростью, близкой к равновесной скорости звука Се . Для
двухфракционного тумана скорость распространения переднего
фронта импульсного возмущения близка к равновесной скорости
звука Се2 в смеси со стороны фазы мелких частиц, т.е. импульс
расмотренной длительности является достаточно длинноволновым
для фазы мелких частиц. Поэтому "расплывание" импульса и его
затухание в данном случае обусловлено, в основном, дисперсией и
диссипацией гармонических составляющих под влиянием крупной
фракции капель.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Азаматов А. Ш., Шагапов В. Ш. Распространение малых возмущений в парогазо-
капельной среде // Акуст. журн. 1981. Т. 27. N 2. С. 161-169.
Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке и технике. М. : Изд-во иностр.
лит. 1957.725 с.
Борисов А. А., Вахгельт А. Ф., Накоряков В. Б. Распространение
длинноволновых возмущений конечной амплитуды в газовзвесях//Журнал прикл мех.
и техн. <рт 1980. N 5. С. 33-38.
Борисов А. А., Вахгельт А. Ф., Накоряков В. Е. Распространение возмущений
конечной амплитуды в газовзвесях // Акуст. журн. 1981. Т. 27. N6. С. 930-932.
Буевич Ю.А., Федотов СП. О слабонелинейных возмущениях в
концентрированных газовзвесях // Журнал прикл. мех.и техн. <риз. 1980. N3. С. 90-95.
Талонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к
моделированию случайных процессов. Препринт. Новосибирск. 1976. 19 с.
Губайдуллин Д.А. О влиянии тепломассообмена на распространение звуковых
волн в парогазокапельных системах // Вестник. МГУ. Серия 1. Математика.
Механика 1987а. N 3. С. 95-98.
Губайдуллин Д.А. Акустические возмущения в парогазокапельных смесях с малым
массовым содержанием капель// Современные проблемы теплофизики
Новосибирск. 19876. С. 238-245.
Губайдуллин Д.А. Особенности распространения акустических волн в
парогазокапельных смесях IIАкустика неоднородных сред. Новосибирск. Вып.
100.1991. С. 95-99.
Губайдуллин Д.А. Диссипация и дисперсия звука в полидисперсных туманах//
Акустика неоднородных сред Вып. 105. Новосибирск. 1992. С. 135-141.
Губайдуллин Д.А. Влияние фазовых переходов на динамику импульсных волн в
полидисперсных туманах// Акустика неоднородных сред. Вып. 110. Новосибирск.
1995. С. 135-141.
Губайдуллин Д.А. Акустика аэрозолей// Обзоры исследований по механике
сплошной среды. К 50-летиюКНЦРАН Казань. 1995. С. 146-160.
Губайдуллин Д.А.,Ивандаев А.И.Скорость и затухание звука в парогазокапельных
системах. Роль тепломассообменных процессов!IЖурнал прикл мех и
техн <рнз.\П1. N 3. С. 115-123.
Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние фазовых превращений на
распространение звука в туманах. Сопоставление теории с экспериментом// Журнал прикл.
мех. и техн. ?из 1990. N 6. С. 27-34.
Губайдуллин Д.А.,Ивандаев А.И. Характерные времена процессов взаимодействия
фаз и их влияние на Дисперсию и абсорбцию акустических волн в
парогазокапельных системах // Тепло<риз. высок, температур 1991а. т. 29. N1.C. 121- 127.
Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Динамика импульсных волн малой амплитуды в
парогазокапельных системах // Журнал прикл. мех. и техн. <риз. 19916. N 2.
С. 106-113.

150
СПИСОК ЛИТЕРАТУРА
Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Распространение акустических возмущений
в полидисперсных туманах // Теллснриз. высок, температур 1992. N 5. С
935-941.
Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. О влиянии массообмена в акустике
полидисперсных туманов// Сибирский физико-технический журналЛ 993а. N3. С. 16-21.
Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние полидисперсности на
распространение звука в смесях газа с паром и каплями жидкости // Журнал прикл. мех. и
техн. ?из.1993б. N 4. С. 75-83.
Губайдуллин Д.А., Якубов С.Х. Распространение линейных импульсных
возмущений в полидисперсных парогазокапельных смесях // Акустика неоднородных
сред. Вып. 105. Новосибирск. 1992. С. 129-134.
Гумеров Н.А. Длинные волны конечной амплитуды в полидисперсных
газовзвесях // Журнал прикл. мех. и техн. риз.\990. N 4. С. 157-161.
Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Особенности распространения высокочастотных
акустических возмущений в паро- и газовзвесях // Журнал прикл. мех. и техн.
$»jk7.1985.N6.C73-81.
Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных
газовзвесях// Журнал прикл. мех. и техн. <риз. 1988. N 5. С. 115-124.
Гумеров Н.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Дисперсия и диссипация
акустических волн в газовзвесях // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272. N 3. С. 560-563.
Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М,: Энергия. 1968.
423с.
Дорохов И.Н., Кафаров В.В., Кольцова Э.М. Уравнения термогидромеханики
двухфазной полидисперсной среды с фазовыми переходами при непрерывном
распределении частиц по размерам // Журнал прикл. мех. и техн<риз. 1978.
N I.C. 103-110.
Егоров А.Г., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в
насыщенных пористых средах. Казань, изд-во Казанского университета. 1990.
102 с.
Киселев СП., Руев Г.А., ТруневАЛ., Фомин В.М., Шавалиев М.Ш. Ударно-
волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. Новосибирск.
Наука. 1992. 261 с.
Ивандаев а.И. Распространение малых возмущений в двухфазных смесях пара
с каплями ИАкуст. журнал 1978. Т. 24. N 1. С. 72-78.
Ивандаев А.И. Коэффициенты межфазного теплообмена в двухфазных
дисперсных средах при воздействии акустических полей // Вестник МГУ. Сер.1.
Математика. Механика 1985а. N 1. С. 63-67.
Ивандаев А.И. Законы взаимодействия фаз в акустике газовзвесей // Акуст.
журнал. 19856. Т. 31. N4. С. 486-491.
Ивандаев А.И., Кутушев А.Г. Нигматулин Р.И. Газовая динамика многофазных
сред . Ударные и детонационные волны в газовзвесях // Итоги науки. Механика
жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1981. Т. 16. С. 209-287.
Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Особенности распространения слабых
возмущений в двухфазных средах с фазовыми переходами // Журнал прикл.
мех. и техн. <риз. 1970. N 5. С. 73-77
Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука. 1973. 496с.
Кларк Д., Макчесни М. Динамика реальных газов. М.: Мир. 1967. 566 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошной среды. М.: Гостехиздат. 1954.
795с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРА
151
Ландау Л*Д», Ляфшиц Е.М* Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика. М.:
Наука. 1986. 736с.
Нигматулин Р.И. Некоторые вопросы гидромеханики двухфазных
полидисперсных сред // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1968. N 3. С. 63-67.
Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука. 1978. 336с.
Нигматулин Р.И. Динамика гетерогенных систем. Препринт. Новосибирск. 1984.
60 с.
Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука. 1987. 464с.
Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин Д.А. Эффект немонотонной
зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей//
Докл. АНСССР. 1991. Т. 316, N 3. С. 601-605.
Нигматулин Р.И., Губайдуллин Д.А. Влияние фазовых превращений в акустике
полидисперсных туманов // Докл. РАН 1996. т. 347. N 3. С. 330-333.
Попов B.C. О распространении звука в газовзвесях IIИнж,- риз. журнал. 1970.
Т. 19. N 2. С. 297-304.
Радовский И.С. Скорость звука в двухфазных парожидкостных системах //
Журнал прикл. мех. и техн. <риз. 1970. N 5. С. 78-82.
Радовский И.С. Скорость звука и времена релаксаций в газожидкостных двухком-
понентных системах // Теплофизика нцерных реакторов М.гАтомиздат. 1971а.
Вып. 3. С. 85-93.
Радовский И.С. К вопросу о расчете скорости звука в парожидкостной среде //
Гелло^из. высок, температур 19716. Т. 9. N2. С. 310-315.
Радовский И.С. О расчете скорости и декремента затухания звука в
полидисперсных парожидкостных средах // Тепло<риз. высок, температур 1979. Т. 17. N 2.
С. 306-309.
Рахматулин Х.М. Основы газодинамики взаимопроникающих движений
сжимаемых сред // Прикл. мат. и мех 1956. Т. 20. N 2. С. 184-196.
Розенфельд С.Х. Дисперсия и поглощение звука в атмосферном тумане // Акуст.
журнал 1983. Т. 29. N 2. С. 251-256.
Рыжков А.Ф., Толмачев Б.М. О распространении малых возмущений в
концентрированных дисперсных системах // Инж.-физ. журнал 1983. Т. 44.
N 5. С. 748- 755.
Руденко О.В., Солуян СИ. Теоретические основы нелинейной акустики. М.:
Наука. 1975. 287 с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1985. 536 с.
Стасенко А.Л. К дисперсии звука в смеси газа с теплоизлучающими
микроскопическими частицами // Акуст. журнал 1973. Т. 19. N 6. С. 891-896.
Тараканов СВ., Тодес О.М. Приближение Бюргерса для плоских
длинноволновых возмущений в газовзвесях// Журнал прикл. мехл техн.<рж 1982. N 1.С. 99-106.
Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризующие
алгоритмы и априорные информации. М.: Наука. 1983. 198 с.
Фукс Н.А. Механика аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР. 1955. 352 с.
Шагапов В.Ш. О распространении малых возмущений в парогазокапельной среде
// Тепло<риз. высок, температур 1987. Т. 25. N6. С. 1148-1154.
Ярославский Л.П., Мерзляков Н.С Методы цифровой голографии. М.: Наука.
1977.191 с.
Chow J.C Attennuation of acoustic waves in dilute emulsion and suspensions // J.
Acoust. SocAm 1964. V. 36. No 12. P. 2395-2401.
Cole J.E., Dobbins R.A. Propagation of sound through atmospheric fog // / Atm. Sci.
1970. V. 27. No 3. P. 426-434.

152
СПИСОК ЛИТЕРАТУРА
Cole J.E., Dobbins R.A. Measurements of attenuation and dispersion of sound by a
warm air fog// / Atm. Sci 1971. V. 28. No 2. P. 202-209.
Davidson G. A. Sound propagation in fogs // J. Atm. Sci. 1975a. V. 32. No 11. P. 2201 -
2205.
Davidson G.A. Burgers' equation approach to finite amplitude acoustics in aerosol
media // / Sound and Vibration 19756. V. 38. No 4. P. 475-495.
Davidson G.A., Scott D.S. Finite-amplitude acoustics of aerosols // J.Acoust. Soc, Am.
1974. V. 53. No 12. P. 1717-1729.
Dobbins R.A., Temkin S. Measurements of particulate acoustic attenuation // AIAA
Jou/nal.1964. V.2.No. 5. P. 1106-1 111.
Epstein P.S., Carhart R.R. The absorption of sound in suspension and emulsion, water
fog in air// / Acoust.Sbc.Am.l955. V. 25. No. 4. P. 535-565.
Gubaidullin D.A. Dynamics of weak waves in polydisperced fogs // Proceeding of the
2nd International Conference on Multiphase flow '95-Kyota. Kyoto. Japan. 1995.
P. 355-357.
Gubaidullin D.A. Acoustic method for determination of surface characteristics in poly-
dispersed aerosols// Proceeding of the European Confer on Applied Surface & Interface
Analysi&.MonXxsw*. Switzerland. Wiley & Sons Ltd, N.Y. 1996a. P. 381-384.
Gubaidullin D.A. An influence of heat and mass transfer in aerosols acoustics//
Proceeding of the 2nd European Thermal-Sciences and 14th UIT National Heat Transfer
Conference Rome. Italy. 1996b. P. 363-367.
Gubaidullin D.A. Acoustic method for determination of accomodation coefficient in
fogs// Proceeding of the International Symposium on the physics of heat transfer in
boiling and condensation Moscow. Russia. 1997. P. 115-119.
Gubaidullin D.A., Nigmatulin R.I. On theory of acoustic waves in polydispersed gas-
vapor-droplets suspensions // Int. J. Multiphase Flow. 1998. V. 58. P. 230-242. •
Gumerov N.A., Ivandaev A.I., Nigmatulin R.I. Sound waves in monodisperse gas-particle
or vapour-droplet mixtures // / Fluid Mech 1988. V.193. P. 53-74.
HfflerW., Jaeschke M., Meier G. The influence of air humidity on pressure and
density fluctuations in transonic jets// / Sound and Vibration. 1971. V. 17.
N3.P. 423-428.
IshiiR., MatsuhisaH. Steady reflection, absorption and transmission of small
disturbances by a screen of dusty gas // / FluidMechA9S3. V. 130. P. 259-277.
Jaeschke M., Hiller W.» Meier G. Acoustic damping in a gas mixture with suspended
submicroscopic droplets // /, Sound and Vibration 1975. V. 43. N 3. P. 467-481.
Knudsen V.O., Wilson J.V., Andersen N.S. The attenuation of sound in fog and smoke //
J.Acoust. SocAm.m*. V. 20. N 7. P. 849-857.
Lamb H. Hydrodynamics.: Dover Publ., 1945. 738 p.
Lyman F.A., Chen D.M. Acoustic attenuation in a nonuniform gas containing droplets
// AIAA Journal 1975. V. 13. N 5. P. 634-639.
Marble F.E. Dynamics of dusty gases// In: Annual review of fluid mechanics, Palo Alto,
Calif. 1970. V.2. P. 337-346. - Рус. пер.: Марбл Ф. Динамика запыленных газов//
Веб. переводов иностранных статей: Механика. 1971. N 6. С. 48-89.
Marble F.E., Candel S.M. Acoustic attenuation in fans and ducts by vaporization of
liquid droplets // AIAA Journal 1975. V. 13. N. 5. P. 634-639.
Marble F.E., Wooten D.C. Sound attenuation in a condensing vapor // Physics
ofHu/ds 1970. V. 13. N. 11. P. 2657-2664.
Nigmatulin R.I. Dynamics of Multiphase media, vol. 1. Hemisphere. N.Y. 1990. 505 p.
Nikaien K., Peddieson J., Au B.C. One-dimensional acoustic wave propagation in a
particulate suspension // Lett. Appl. Eng.. ScL 1983. V.21. N.7. P. 851-862.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРА
153
Rasmussen M.L. On wave propagation in particulate suspensions // J.AppL Mec/r.
1977. V.44. N.2. P. 354-355.
Richardson E.G. Ulrasonic physics. Amsterdam-New-York. Elsevier Publ. 1962. 313 p.
Rocheile S.G., PeddiesonJ. One-dimensional wave propagation in particulate
suspensions // Proc. 13th soc. eng. set. mcatmgres. adv. eng. sci. 1976. V. 13. NASA
CP 2001. P. 947-954.
Sewell S.J.T. On the extinction of sound in a viscous atmosphere by obtacles of
cylindrical form // РЫ. Trans. R. Soc. London. 1910. A210. P. 239-270.
Soo S.L. Effect of transport processes on attenuation and dispersion in aerosols //
J.Acoust. Soc. Am. 1960. V. 32. N 8. P. 943-946.
Soo S.L. Fluid dynamics of multiphase systems. Toronto-London. 1967. 536 p. -
Рус. пер.: Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир. 1971. 536с.
Stadtke H. Speed of sound and shock waves in two-phase flows // Electr. from
MHD Proc.Symp Warsaw. V. 3. Vienna. 1968. P. 1313-1339.
Temkin S., Dobbins R.A. Attenuation and dispersion of sound by paniculate-
relaxation processes// J.Acoust.Soc.Am 1966. V. 40. N 2. P. 317-324.
Temkin S., Dobbins R.A. Measurement of attenuation and dispersion of sound by an
aerosol // J. Acoust Soc. Am. 1966. V. 40. N 5. P. 1016-1024.
Zink J.W., Delcasso L.P. Attenuation and dispersion of sound particles suspended in
air// J. Acoust. Soc. Am 1958. V.30. N 8. P. 765-771.

Дамир Анварович Губайдуллин
ДИНАМИКА ДВУХФАЗНЫХ
ПАР0ГА301САПЕЛЬНЫХ СРЕД
Издательство Казанского математического общества
Казань, ул. Университетская, 17-319.
Отпечатано на ризографе участка оперативной полиграфии
ООО "Голубая Лагуна". Москва, Олимпийский проспект, 32.
Заказ 15. Тираж 250.