Вычислительные методы в динамике жидкостей. Том 2. Методы расчета различных течений - Флетчер К.

Автор: Флетчер К.

Теги: гидромеханика механика жидкостей и газа механика физика гидродинамика

ISBN: 5-03-001882-4

Год: 1991

Похожие

Вычислительные методы в динамике жидкостей. В двух томах. Том 1. Основные положения и общие методы

Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах. Том 2

Вычислительные методы в задачах механики жидкости

Внутренние течения газовых смесей

Текст

Вычислительные методы
в динамике жидкостей

С. A. J. Fletcher
Computational Techniques
for Fluid Dynamics 2
Specific Techniques
for Different Flow Categories
With 183 Figures
Springer • Verlag
Berlin • Heidelberg • New York
London • Paris • Tokyo

К.Флетчер
Вычислительные
методы
в динамике
жидкостей
В двух томах
Том 2
Методы расчета различных течений
Перевод с английского
В. Ф. Каменецкого
под редакцией
Л. И. Турчака
Москва «Мир» 1991

ББК 22.253
Ф71
УДК 532 + 681.3
Флетчер К.
Ф71 Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.:
Т. 2.: Пер. с англ. —М.: Мир, 1991. —552 с, ил.
ISBN 5-03-001882-4
Двухтомник по современной вычислительной гидродинамике, на-
написанный известным австралийским специалистом, знакомым читателям
по переводу его «Численных методов на основе метода Галёркина»
(М: Мир, 1988). Анализ задач проводится с позиций получения чис-
численного решения, выделяются актуальные нерешенные проблемы. Про-
Проводятся программы на Фортране, реализующие излагаемые методы.
Двухтомник может использоваться и для решения сложных практиче-
практических задач, и как учебное пособие по вычислительной гидродинамике.
Для математиков-вычислителей, гидромехаников, физиков, аспи-
аспирантов и студентов вузов.
Ф 1602120000-174 21_91 ББК
041@1)—91
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001882-4 (русск.)© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1988.
ISBN 5-03-001881-8 All rights reserved. Authorized translation
iqrw ч кал 1Я7*а ft /9nr» \ from English language edition published by
ISBN 3-540-18759-6 (англ.) Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York,
Tokyo
© перевод на русский язык, В. Ф. Каменецкий,
1991

От редактора перевода
Предлагаемый читателю второй том двухтомного издания
К. Флетчера посвящен изложению численных методов решения
основных классов задач механики жидкостей и газов. Отметим,
что по своему содержанию второй том может рассматриваться
как самостоятельная книга, поскольку излагаемый материал но-
носит вполне замкнутый характер.
Книгу открывает вводная глава, в которой приводятся основ-
основные уравнения гидроаэродинамики (для несжимаемых и сжи-
сжимаемых течений, в постановках вязкой и невязкой моделей,
а также пограничного слоя). Далее обсуждаются особенности
применения обобщенных криволинейных систем координат и по-
построение (генерация) сеток. Основная часть посвящена изложе-
изложению численных методов вычислительной гидроаэродинамики и
их применению к исследованию различных течений.
Книга К. Флетчера имеет характер практического пособия,
которое может оказаться весьма полезным студентам старших
курсов при выполнении ими самостоятельных исследовательских
работ. Прикладная направленность книги рассчитана и на науч-
научных работников, желающих использовать новые численные ме-
методы для решения практических задач гидроаэродинамики и не
испытывающих особой тяги к углублению теоретических позна-
познаний в области построения разностных схем. Впрочем, для тех,
кто хотел бы более детально ознакомиться с теоретическими
аспектами рассматриваемых численных методов, приведена со-
соответствующая литература.
В целом можно надеяться, что данная книга понравится со-
советскому читателю; она предоставляет возможность ознако-
ознакомиться с основными результатами зарубежных ученых в об-
области вычислительной гидроаэродинамики. Приведенные методы
и некоторые готовые программы могут быть непосредственно
использованы в практических исследованиях.
Л. Я. Турчак

Предисловие
Как отмечалось в т. 1, цель настоящего двухтомного учеб-
учебника состоит в ознакомлении студентов, изучающих прикладную
математику и различные прикладные и научные дисциплины,
с конкретными вычислительными методами, доказавшими свою
эффективность в различных областях вычислительной динамики
жидкости, и в том, чтобы дать представление об их использова-
использовании на практике.
В т. 1 представлены наиболее фундаментальные и общие
методы, применяющиеся при расчете течений жидкостей. В дан-
данном томе описывается ряд методов, применимых к различным
типам течений, встречающимся в инженерных приложениях.
Многие из этих методов применимы и для описания конвектив-
конвективного переноса тепла.
Содержание т. 2 может быть использовано в различных спе-
специальных курсах по вычислительной динамике жидкости. Книга
будет полезна также научным работникам и инженерам, уже
имеющим определенную подготовку. Предполагается, что чита-
читатель знаком с содержанием т. 1.
Том 2 построен следующим образом. В гл. 11 выводятся
и обсуждаются уравнения, описывающие различные типы тече-
течений. Методы расчета различных течений рассматриваются в
гл. 14—18.
В большей части практически интересных задач границы
расчетной области не совпадают с координатными линиями. По-
Поэтому в гл. 12 выводятся уравнения, описывающие движение
жидкости в обобщенных криволинейных координатах с исполь-
использованием произвольных расчетных областей. Связанная с этим
обстоятельством задача построения сеток рассмотрена в гл. 13.
Методы расчета невязких несжимаемых сверхзвуковых и
трансзвуковых течений рассмотрены в гл. 14. В гл. 15 описаны
методы расчета течений в пограничных слоях.
Для многих стационарных течений с выделенным направле-
направлением могут быть разработаны весьма эффективные методы рас-
расчета, основанные на укороченных уравнениях Навье — Стокса.
Эти методы рассмотрены в гл. 16. В гл. 17 и 18 представлены

Предисловие
методы расчета отрывных течений, описываемых соответственно
несжимаемыми и сжимаемыми уравнениями Навье — Стокса.
В подготовке данной книги участвовало много людей, неко-
некоторые из них упомянуты в предисловии к т. 1. Однако ответ-
ответственность за ошибки и опечатки лежит на мне. Любые ком-
комментарии, критические замечания и предложения, направленные
на улучшение данной книги, будут с благодарностью приняты
и учтены.
Сидней, октябрь 1987 К. Флетчер

Глава 11
Динамика жидкости:
основные уравнения
В этой главе будут выведены наиболее общие уравнения,
описывающие движение жидкости. Далее будут выписаны раз-
личные упрощенные формы этих уравнений и обсуждены физи-
физические области их применимости. Эти упрощения часто связаны
с предельными значениями некоторых безразмерных параметров
(п. 11..5). Например, несжимаемые течения можно рассматри-
рассматривать как течения при очень малых числах Маха.
Жидкость определяется как субстанция, которая в состоянии
покоя не оказывает сопротивления внешним воздействиям, на-
направленным на изменение ее формы. Следовательно, в жидкости
в состоянии покоя в отличие от твердых тел сдвиговые силы от-
отсутствуют. Однако эти силы могут появляться в движущейся
жидкости. Вязкость жидкости определяется связью между сдви-
сдвиговой силой на единицу площади (сдвиговым напряжением) и
соответствующим градиентом скорости (§ 11.1). В понятие жид-
жидкости включаются также и газы. Наиболее часто встречающи-
встречающимися в природе и технологических разработках жидкостями яв-
являются вода (как правило, в жидкой фазе) и воздух.
Жидкости (и газы) состоят из молекул, находящихся в со-
состоянии хаотического движения. При крупномасштабных движе-
движениях к скорости каждой молекулы добавляется постоянный или
слабоменяющийся вектор скорости. Если рассматривается объем,
содержащий достаточно много молекул (в одном кубическом
миллиметре воздуха при нормальных температуре A5°С) и дав-
давлении A01 кПа) содержится около 3-Ю16 молекул), движение
отдельных молекул становится неразличимым; существенно
лишь крупномасштабное (макроскопическое) движение. Пред-
Предполагая, что различные характеристики движения жидкости
(давление, скорость и др.) меняются непрерывно со временем
и по пространству (гипотеза сплошности), можно вывести урав-
уравнения, описывающие данные движения без учета индивидуаль-
индивидуального поведения молекул.
Однако для течений малой плотности, возникающих, напри-
например, при прохождении спускаемого космического аппарата че-
через верхние слои отмосферы, гипотеза сплошности не выпол-

§ 11.1. Физические свойства жидкостей
яяется и должна учитываться молекулярная природа потока.
Данное обстоятельство накладывает также условия на выбор
соответствующего вычислительного алгоритма [Bird, 1976].
§ 11.1. Физические свойства жидкостей
Термодинамическое состояние малого объема жидкости, на-
находящегося в равновесии (т. е. не изменяющегося в простран-
пространстве и времени), однозначно определяется заданием двух неза-
независимых термодинамических параметров. Например, для воздуха
достаточно задать давление и температуру. Остальные термоди-
термодинамические характеристики, такие, как плотность или внутрен-
внутренняя энергия, являются функциями первых двух.
Для воздуха при умеренных температуре и давлении термо-
термодинамические параметры связаны уравнением состояния идеаль-
идеального газа
(ИЛ)
где р — давление, р — плотность, Т — температура (абсолютная),
измеряемые соответственно в кПа, кг/м3 и градусах Кельвина К,
R — газовая постоянная. Для воздуха R = 0.278 кДж/кгК. Для
воды связь между различными термодинамическими парамет-
параметрами не может быть выражена в виде простого алгебраического
соотношения, однако эта связь может быть определена по таб-
таблицам (см., например, [van Wylen, Sonntag, 1976]).
Давление определяется как сила, действующая на единицу
площади, и имеет ту же размерность, что и напряжение. Дав-
Давление на некоторой поверхности действует по направлению нор-
нормали к ней и является весьма важной характеристикой, по-
поскольку путем интегрирования давления по поверхности погру-
погруженного в жидкость тела можно определить основные силы и
моменты, действующие на тело. Для неподвижной жидкости
силы, действующие на малый объем и обусловленные локальным
градиентом давления, обычно уравновешены силой тяжести. По-
Поэтому рост гидростатического давления определяется следую-
следующим уравнением:
Ьр = 9ёК (И.2)
где h — разница высот, на которых измеряется давление, g —
ускорение свободного падения. Уравнение A1.2) в определенных
условиях справедливо и для движущейся жидкости. В частно-
частности, для многих геофизических течений изменение давления
в вертикальном направлении приближенно описывается уравне-
уравнением A1.2).
Изменение температуры жидкости может происходить в ре-
результате процесса теплопроводности, если жидкость находится

10
Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
в контакте с некоторым объектом, температура которого отлич-
отлична от температуры жидкости, либо из-за некоторых процессов
внутри самой жидкости, сопровождающихся выделением тепла.
Изменение температуры может быть также связано со сжатием
Таблица 11.1. Свойства воздуха при атмосферном давлении
Темпера-
?lh
100
300
500
900
1000
Плотность
р
[кг/м3]
3.6010
1.1774
0.7048
0.3925
0.1858
Динами-
Динамическая
вязкость
М- X Ю5
[кг/м-с]
0.6924
1.983
2.671
3.899
6.290
Тепло-
провод-
проводность
k
IBt/m.K]
0.00925
0.02624
0.04038
0.06279
0.11700
Термо-
Термодиффузия
а X Ю5
[м2/с]
0.2501
2.216
5.564
14.271
48.110
Число
Прандтля
Рг
0.770
0.708
0.680
0.696
0.704
Отношение
удельных
теплоем-
костей
Y
1.39
1.40
1.39
1.34
1.28
Таблица 11.2
Темпера-
Температура
Т [°С]
0.01
40
100
200
300
Давление
р [кПа]
0.611
7.384
101.35
1553.8
8581.0
. Свойства
Плотность
[кг/Рм3]
1002.28
994.59
960.63
866.76
714.26
воды при
Динами-
Динамическая
вязкость
их ю5
[кг/м-с]
179.2
65.44
28.24
13.87
9.64
давлении насыщенных паров
Теплопро-
Теплопроводность
к [bt/m-KI
0.552
0.628
0.680
0.665
0.540
Термодиф-
Термодиффузия
аХЮ5
[м2/с]
0.01308
0.01512
0.01680
0.01706
0.01324
Число
Прандтля
Рг
13.6
4.34
1.74
0.937
1.019
жидкости в течениях с большими скоростями или в атмосфер-
атмосферных течениях с учетом силы тяжести.
Плотность — это масса единицы объема. Для газов измене-
изменение плотности связано с изменением давления и температуры
в соответствии с уравнением состояния идеального газа A1.1).
Однако для изменения плотности некоторых жидкостей нужны
весьма существенные изменения давления. Поэтому вода (в жид-
жидкой фазе) часто рассматривается как несжимаемая (с постоян-
постоянной плотностью) жидкость. Свойства воздуха и воды для раз-
различных значений давления, температуры и плотности приве-
приведены соответственно в табл. 11.1 и 11.2.
Для жидкости, находящейся в движении, используется ло-
локальная интерпретация принципа термодинамического равнове-

§ 11.1. Физические свойства жидкостей
11
сия. Принимается, что справедливы уравнения, подобные урав-
уравнению A1.1), однако термодинамические параметры являются
функциями координат и времени, т. е. р = р(х, у, z, t)> p =
= р(х, у, 2, t), Т = T(xyy,z,t). Кроме того, необходимо дать од-
однозначное описание движения. В настоящей книге используется
г и/
У
Х-1А
Плоский лоток
Рис. 11.1. Плоский поток, параллельный неподвижной поверхности.
эйлеров подход, в соответствии с которым скорость и термоди-
термодинамические параметры рассматриваются в фиксированных
точках (х, у> z, t) пространственно-временного объема. В проти-
противоположность этому подходу при лагранжевом описании иссле-
исследуются отдельные частицы жидкости, положение и термодина-
термодинамические свойства которых считаются зависимыми переменными.
Связь между подходами Эйлера и Лагранжа обсуждается в ра-
работе фон Швинда [von Schwind, 1980].
Наличие в движущейся жидкости сдвиговых сил приводит
к понятию динамической вязкости. Рассмотрим плоскость, дви-
движущуюся со скоростью U параллельно другой неподвижной пло-
плоскости (рис. 11.1). Жидкость, прилегающая к верхней пластине,
удерживается у ее поверхности (т. е. движется со скоростью U)
силой тЛ, где А — площадь пластины, т — сдвиговое напряже-
напряжение. На элемент жидкости, расположенный между пластинами,
действуют две сдвиговые силы (т-/-1). На верхней поверхности
элемента эта сила направлена вправо, на нижней — влево. Жид-
Жидкость, прилегающая к нижней пластине, удерживается у ее по-
поверхности под действием силы хА. Экспериментально обнару-
обнаружено, что сдвиговое напряжение прямо пропорционально гра-
градиенту скорости ди/ду, т. е.
т = \кди/ду.. A1.3)
Коэффициент пропорциональности \х называется вязкостью (дина-
(динамической). Вязкость измеряется в кг/м-с. Для рассмотренного
примера сдвиговое напряжение т постоянно и, следовательно,

12 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
распределение скорости описывается соотношением
A1.4)
Уравнение A1.3) описывает поведение так называемых ньюто-
ньютоновских жидкостей. Течения воздуха или воды подчиняются за-
закону A1.3). Неньютоновские жидкости, т. е. жидкости, для ко-
которых не выполняется условие A1.3), описаны Тэннером [Tan-
[Tanner, 1985].
Вязкость газов, подобных воздуху, при нормальных темпера-
температуре и давлении с высокой точностью зависит лишь от темпера-
температуры. Для воздуха вязкость увеличивается с температурой по
закону Г0-76 (Т — абсолютная температура). Типичные значения
вязкости приведены в табл. 11.1. Для жидкостей, подобных воде,
вязкость слабо зависит от давления, но сильно изменяется с тем-
температурой. В отличие от газов вязкость жидкостей, как правило,
быстро падает с увеличением температуры. Характерные вели-
величины вязкости приведены в табл. 11.2.
Для течений, сопровождающихся изменениями температуры,
справедлив закон Фурье, согласно которому локальная скорость
переноса тепла прямо пропорциональна локальному градиенту
температуры, т. е.
Qi = -k%rr (П.5)
где & — скорость переноса тепла на единицу площади в направ-
направлении Xiy a k — теплопроводность. Следует отметить аналогию
между соотношениями A1.3) и A1.5). Если значения темпера-
температуры пластин на рис. 11.1 различны, то в соответствии с зако-
законом A1.5) в жидкости будет иметь место перенос тепла, опре-
определяемый соотношением
Qy=-k^. A1.6)
Теплопроводность измеряется в Вт/м-К. Подобно вязкости теп-
теплопроводность газов увеличивается с температурой. Для жидко-
жидкостей, например для воды, теплопроводность слабо увеличивается
в диапазоне температур от 0° до 100 °С при давлении в одну ат-
атмосферу. Типичные величины теплопроводности воздуха и воды
приведены в табл. 11.1 и 11.2.
Вязкость и теплопроводность входят в рассматриваемые
в дальнейшем уравнения импульса и энергии (см. A1.31) и
A1.38)). Удобно ввести в рассмотрение кинематическую вяз-
вязкость v и тепловую диффузию а, определяемые соотношениями
' = — и а = -
р

§ 11.2. Уравнения движения 13
где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Зна-
Значения v и а измеряются в м2/с и определяют диффузию соответ-
соответственно количества движения и тепла. Для газов, подобных воз-
воздуху, v и а увеличиваются с температурой (табл. 11.1). В жид-
жидкостях кинематическая вязкость v быстро падает с увеличением
температуры, а тепловая диффузия а увеличивается незначи-
незначительно (табл. 11.2).
Более подробно свойства жидкостей и связь этих свойств со
свойствами молекул описаны Лайтхиллом [Lighthill, 1963] и
Бэтчелором [Batchelor, 1967].Свойства наиболее распространен-
распространенных жидкостей приведены в работе [Eckert, Drake, 1972].
§ 11.2. Уравнения движения
Для вывода уравнений движения жидкости обычно рассмат-
рассматривается малый контрольный объем и требуется, чтобы для
жидкости, протекающей через этот объем, выполнялись законы
сохранения массы и энергии, а скорость изменения трех компо-
компонент импульса была бы равна соответствующим компонентам
приложенных сил. Это позволяет получить пять уравнений, ко-
которые в комбинации с уравнением состояния позволяют опреде-
определить шесть величин: обычно это значения р, р, Г, и, v, w. В по-
потоках, связанных с процессами горения, а также в некоторых
геофизических течениях фигурирует более одной компоненты
жидкости. Для каждой новой компоненты необходимо дополни-
дополнительное уравнение (сохранение компоненты). Наоборот, для не-
некоторых течений достаточно рассматривать не все из шести пе-
переменных и для описания таких течений требуется меньшее
число уравнений.
11.2Л. Уравнение неразрывности
Согласно закону сохранения вещества, для произвольного не-
неподвижного объема V (рис. 11.2) скорость изменения массы
внутри него равна потоку массы через поверхность 5, ограничи-
ограничивающей объем У, т. е.
$$V.nrfS, A1.7)
где п — единичный вектор нормали (внешней). По теореме Гаус-
Гаусса [Gustafson, 1980] поверхностный интеграл может быть заме-
заменен на объемный. Уравнение A1.7) принимает вид

14
Гл. И. Динамика жидкости: основные уравнения
где V- (pv)==divpv. Поскольку A1.8) справедливо для любого V,
подынтегральное выражение должно быть равно нулю:
|f+V-(pv) = O.
A1.9)
Данное уравнение называется уравнением сохранения массы
или уравнением неразрывно-
CTU в декартовой системе ко-
координат A1.9) имеет вид
Объему
Рис. 11.2. Сохранение массы.
A1.10)
Удобно сгруппировать все члены, содержащие плотность, и за-
записать A1.10) в виде
ИЛИ
Здесь D/Dt называется полной или конвективной производной
по времени, а 2) — дилатацией. Для течений с постоянной плот-
плотностью (так называемых несжимаемых течений) уравнение
A1.12) сводится к виду
*>-v-v~g- + -g- + ? = o AU3)
как для стационарных, так и для нестационарных течений.
11.2.2. Уравнение количества движения: невязкое течение
В соответствии со вторым законом Ньютона скорость изме-
изменения количества движения равна сумме действующих сил. Для
малого элемента жидкости, рассматриваемого как замкнутая
система (т. е. отсутствует поток через границы), второй закон
Ньютона может быть записан в виде
(П.И)
где нижний индекс cs означает замкнутую систему.

§ 11.2. Уравнения движения
15
Для неподвижного объема V, в котором возможно течение
через границы (рис. 11.3), имеется следующая связь с замкну-
замкнутой системой [Streeter, Wylie, 1979]:
4f \
\ pv(v . n)dS. A1.15)
S
Здесь pv — количество движения, vn — проекция скорости на
нормаль к поверхности контрольного объема. По теореме Гаусса
Объем V
Рис. 11.3. Геометрия контрольного объема для уравнений Эйлера.
соотношение A1.15) преобразуется к виду
= \ [^-(pv) + V
A1.16a)
Преобразуя производные в A1.16а) и используя A1.9), можно
получить
:^9J>LdV9 A1.16b)
v
где Dv/Dt = дх/dt + vVv. Величина Dv/Dt есть полная произ-
производная по времени от v (ускорение).
Таким образом, уравнение A1.14) принимает вид
A1.17)
т. е. произведение массы на ускорение равно силе.
Сумма в правой части A1.17) складывается из сил, дей-
действующих на поверхность контрольного объема (поверхностные
силы), и сил, действующих на каждый его элемент (объем-
(объемные или массовые силы). Наиболее распространенной массовой
силой (и только она здесь рассматривается) является

16 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
гравитационная сила тяжести. Природа поверхностных сил за-
зависит от того, учитывается ли вязкость жидкости. Сначала бу-
будет рассмотрена невязкая жидкость. В этом случае поверхност-
поверхностные силы обусловлены лишь давлением, которое действует по
нормали к поверхности. Тогда правая часть A1.17) может быть
записана в виде
? J JndS, A1.18)
где f — объемная сила на единицу массы. По теореме Гаусса
правая часть A1.18) может быть преобразована к интегралу
по объему
? $ A1.19)
Подстановка этого выражения в A1.17) дает
K=0- AL20)
Итак, для произвольного объема V
Другая (консервативная) форма этого уравнения может быть
получена из A1.16):
-|-(pv) + V-(pv-v) = pf-V/>. A1.21b)
Уравнения A1.21) называются уравнениями Эйлера и приме-
применимы, строго говоря, лишь для описания течений невязкой
жидкости. Однако для многих течений влияние вязкости чрез-
чрезвычайно мало и уравнения A1.21) являются весьма точным при-
приближением.
Если массовая сила является силой тяжести, направленной
в отрицательном направлении оси г, то уравнения Эйлера A1.21)
в декартовой системе координат имеют вид
ди . ди . ди 1 др ,,« от
[ди
[dv . , dv . , dv . dv~] dp /ЛЛ Лоч
-dr + ^-dF + ^dT + ^aFj"—Й"' (IL23)
[dw , dw , dw , dwl dp /t Л о>|4
Уравнения A1.21) — A1.24) применимы для описания как сжи-
сжимаемых, так и несжимаемых течений.

§ 11.2. Уравнения движения 17
11.2.3. Уравнение количества движения: вязкое течение
При рассмотрении вязкой жидкости по-прежнему верно урав-
уравнение A1.17). В уравнении A1.18) поверхностные напряжения,
связанные ранее лишь с давлением, должны быть заменены тен-
тензором напряжений а, который может приводить к возникнове-
возникновению напряжений в любом направлении. Среднее от нормальных
напряжений полагается равным давлению с обратным знаком.
Остальной вклад в тензор напряжений связывается с вязкостью
жидкости и образует тензор вязких напряжений т и а =
1 +
Следовательно, для вязких течений вместо уравнений A1.21)
получается уравнение
A1.25)
или в декартовых координатах
Л др 1 дх**
Л — — Л др 1
р Dt —PI* дх "*"
Dt —PI* дх "*" дх ~г ду "*" dz
-*1 D^ ~P'2 dz "Г дх -Г ду Т dz •
Уравнения A1.26) для вязкой жидкости заменяют уравнения
Эйлера A1.22) — A1.24). Однако необходимо задать связь между
различными вязкими напряжениями и скоростями деформации.
Эта связь задается соотношениями
A1.27)
(ди , dw
-дГ + -дГ
(dv . dw \
-dt + WJ'
где 2) определяется уравнением A1.13). После подстановки
A1.27) в A1.26) получаются так называемые уравнения
2 К. Флетчер, т. 2

18 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
Навье — Стокса:
Dv л? dp 2 д (ix?>) , д р.. (ди . д
дх ) J ~г
A1.29)
ди
или в векторном виде
п„ о
A1.31)
где
'dv. dv.
Уравнения A1.28) — A1.31) применимы для описания вязких
сжимаемых течений. Более подробный вывод этих уравнений
можно найти у Бэтчелора [Batchelor, 1967]. В книге Пэнтона
[Panton, 1984] подробно обсуждаются различные члены урав-
уравнений Навье — Стокса.
11.2.4. Уравнение энергии
По первому закону термодинамики скорость изменения сум*
мы внутренней и кинетической энергий системы равна скорости
переноса тепла через ее поверхность минус работа, совершаемая
системой в единицу времени. Для контрольного объема V это
означает, что
^\\\ A1.32)
где Q — скорость переноса тепла через единицу площади, е —
удельная внутренняя энергия. В это выражение не включены
внутренние источники тепла, связанные, например, с химиче-
химическими реакциями. Первый и второй члены правой части A1.32)
представляют работу, совершаемую соответственно объемными
и поверхностными силами.

§ 11.2. Уравнения движения 19
Применяя теорему Гаусса и устремляя объем к нулю, по-
получаем
( ) -Q = 0. A1.33)
Уравнение A1.33) содержит в себе закон изменения механиче-
механической энергии
рЖ D0 ~ pf" v - v ' divcy = °- AL34)
Исключая его, можно получить закон изменения тепловой
энергии
p^ + pV«v = 0-V'Q, A1.35)
или
рж-ж^ф-v-Q. 01.36)
где h = е -\- р/р — удельная энтальпия, Ф(=т-Уу) — диссипа-
тивная функция, возникающая из необратимой работы вязких
сил. Скорость переноса тепла связана с локальным градиентом
температуры уравнением A1.5):
A1.37)
Уравнение A1.36) с учетом A1.37) в декартовой системе коор-
координат принимает вид
A1.38)
где
Заметим, что уравнение энергии будет использовано прежде
всего при описании течений воздуха, который можно считать
идеальным газом с уравнением состояния A1.1). Следовательно,
внутренняя энергия и энтальпия связаны с температурой соот-
соотношениями
е = cv (Т - Г*!), А = ср (Т - rref), A1.40)
где cv и ср — удельные теплоемкости при постоянных объеме и
давлении соответственно.

20 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
В гл. 14—18 будут рассмотрены конечно-разностные формы
различных уравнений, описывающих движение газа (например,
уравнение A1.21)). Однако, поскольку дискретизация прово-
проводится на сетках конечного размера, возможно также и конечно-
разностное представление исходных законов сохранения (напри-
(например, A1.20)). Подобные примеры приведены в § 5.2.
Связь уравнений, описывающих движение жидкости, с соответ-
соответствующими молекулярными процессами подробно обсуждается
Бэтчелором [Batchelor, 1967]. Уравнения в различных системах
координат (без вывода) приведены в работе [Hughes, Gaylord,
1964].
11.2.5. Динамическое подобие
Чтобы наиболее оптимальным образом (с точки зрения про-
проведения минимального количества расчетов или эксперименталь-
экспериментальных наблюдений) получить картину течений у тел подобной кон-
конфигурации, желательно сгруппировать все параметры (такие,
как длина тела, скорость набегающего потока и т. п.) в ряд без-
безразмерных параметров. Два потока динамически подобны, если
безразмерные числа, определяющие течения, равны. Размерные
же параметры, входящие в безразмерные комбинации, могут
при этом быть различны. Наиболее простой путь определения
безразмерных величин состоит в обезразмеривании уравнений
и граничных условий, определяющих течение жидкости.
Например, при исследовании волн, создаваемых кораблем
длиной L, движущимся со скоростью ?/оо, для начала доста-
достаточно рассмотреть уравнение, описывающее г-компоненту им-
импульса в вязком несжимаемом потоке
dw , dw , dw , dw
+u+v+w
4?+?•)-«• <"¦«>
Безразмерные переменные вводятся следующим образом:
t* = UJ/L,
Уравнение A1.41) принимает вид
dw* . * dw* . * dw* . « dw* . dp*
rw+u -5?-+° W + " P- + 1F-

§ 11.2. Уравнения движения 21
В уравнении A1.42) имеются два безразмерных параметра:
Re = — и Fr = r4^r. A1.43)
Первый из них называется числом Рейнольдса, второй — числом
Фруда. Два несжимаемых вязких течения со свободной поверх-
поверхностью динамически подобны, несмотря на различные величины
{/«,, L и v, если числа Re и Fr для этих двух течений равны.
Другие безразмерные параметры (числа Маха и Прандтля,
отношение удельных теплоемкостей) могут быть получены из
обезразмеривания уравнения энергии. Для воздуха, который мо-
может считаться идеальным газом, уравнение энергии A1.38)
можно представить в виде
рСР Dt Dt — ^ ^ дх \* дх ) + ду \* ду ) ^ дг \* дг
A1.44)
Помимо указанных выше вводятся следующие безразмерные пе-
переменные:
г=т/тх. P* =
р*=р/рго. Ф*=
После подстановки их в A1.44) и некоторых преобразований
можно получить
Из уравнения A1.45) следует, что течение вязкого сжимаемого
идеального газа определяется по крайней мере четырьмя без-
безразмерными числами:
Число Рейнольдса, Re = UooL/v,
Число Прандтля, Pr = [i0Ocp/k0O, A1.46)
Число Маха, N[0O = UJaoo = UJ(yRT)l/\
Отношение удельных теплоемкостей, y — cP/cv
Если учесть зависимость вязкости и теплопроводности от тем-
температуры, то появится пятое безразмерное число. Однако четы-
четырех безразмерных параметров A1.46) и числа Фруда A1.43)
достаточно для обеспечения динамического подобия широкого
класса течений жидкости. Три из пяти безразмерных парамет-
параметров, приведенных в выражениях A1.43) и A1.46), а именно Re,

22
Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
Моо и Fr, связаны с движением жидкости. Остальные два, Рг и у>
определяются свойствами жидкости (см. табл. 11.1 и табл. 11.2).
Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции
к силам вязкости. В различных задачах это число может варьи-
варьироваться практически от нуля (когда силы инерции пренебре-
пренебрежимо малы) до 1010 и выше (силы вязкости малы везде, кроме
областей, примыкающих к телу). Некоторые типичные значения
приведены в табл. 11.3.
Таблица 11.3. Типичные значения чисел Рейнольдса
Вид движения
Re
Сперматозоид (L = 0.07 мм), движущийся с максимальной ско-
скоростью
Водяная капля (D = 0.07 мм), падающая в воздухе
Ветер A0 м/с), обдувающий телеграфные провода
Мяч для крикета или бейсбола, летящий со скоростью 35 м/с
Акула (L = 1.5 м), плывущая с максимальной скоростью
Большой реактивный транспортный самолет G47) на крейсер-
крейсерской высоте
Океанский лайнер (Q.E.II, L = 324 м) при скорости U = 15 м/с
Планетарный пограничный слой (L = 1000 км, U = 20 м/с)
6ХЮ
6.4ХИГ1
1ХЮ3
2ХЮ5
8ХЮ6
7ХЮ7
4.5ХЮ9
18ХЮ12
Число Маха равно отношению скорости газа к скорости звука
в нем (М = и/а) и является мерой сжимаемости или изменения
плотности, связанного с движением. При числах Маха <0.14
изменение плотности не превышает 1 %. Для боевых самолетов
типичное число Маха порядка трех, для спускаемых космиче-
космических аппаратов эта величина может быть гораздо больше. По-
Поскольку вода практически несжимаема (в диапазоне температур
и давлений, в которых ее движение представляет интерес), то
задачи, характеризуемые большими числами Маха, обычно свя-
связаны с движением газов, например воздуха.
Для течений со свободной поверхностью важным параметром
является число Фруда. Подобные течения могут возникать в га-
гаванях или морских рукавах в результате действия приливов,
а также при движении кораблей. Число Фруда характеризует
отношение сил инерции к гравитационным силам. Если число
Фруда мало, то под действием силы тяжести поверхность воды
остается плоской и сопротивлением движению, связанным с об-
образованием поверхностных волн, можно пренебречь.
Число Прандтля является мерой отношения диссипации им-
импульса к диссипации тепла, Рг = \icp/k = v/oc. Для воздуха при

§ 11.2. Уравнения движения 2$
нормальных температуре и давлении Рг = 0.72 и слабо падает
с увеличением температуры (табл. 11.1). Для воды Рг = 8.1 при
15 °С и быстро убывает до 1.74 при 100 °С (табл. 11.2). Отноше-
Отношение удельных теплоемкостей у для воздуха порядка 1.4, для
воды у = 1.0.
Поскольку динамическое подобие дает возможность более эф-
эффективно проводить расчеты, его свойства широко использова-
использовались и используются для корректной экстраполяции поведения
экспериментального оборудования в иных рабочих условиях. Бо-
Более подробно динамическое подобие описано Лайтхиллом
[Lighthill, 1963] и Пэнтоном [Panton, 1984].
11.2.6. Полезные упрощения
Уравнения A1.10), A1.31), A1.38), дополненные соответ-
соответствующим уравнением состояния и граничными условиями, опи-
описывают трехмерное нестационарное движение вязкой сжимаемой
жидкости. Однако такая система уравнений чрезвычайно сложна
и требует для решения слишком много времени даже на уни-
уникальных суперкомпьютерах.
При историческом развитии динамики жидкости в рассмот-
рассмотрение был введен ряд классов течений, описываемых значитель-
значительно более простыми, чем указанная выше, но менее точными си-
системами уравнений. Оставшаяся часть данной главы и гл. 14—18
будут посвящены обсуждению этих более простых течений. Во-
Вообще говоря, эти различные классы возникают при пренебреже-
пренебрежении или ограничении некоторых свойств течений. В свою оче-
очередь это часто приводит к тому, что различные безразмерные
параметры (п. 11.2.5) в упрощенных уравнениях либо ограни-
ограничены до некоторой величины, либо совсем отсутствуют.
Для течений, представляющих практический интерес, соот-
соответствующая классификация приведена в табл. 11.4. Классифи-
Классификация проведена по двум параметрам — вязкости и плотности.
Несжимаемые течения, как правило, ассоциируются с течения-
течениями, скорость которых мала по сравнению со скоростью звука
(М<С1). Наоборот, для сжимаемых течений (М>0.1, либо
разница температур в потоке велика) требуется рассмот-
рассмотреть полное уравнение неразрывности A1.10), а не A1.13)
и учитывать уравнение энергии, например, в виде A1.38).
При рассмотрении влияния вязкости возникают три основ-
основных класса течений. В случае течений у хорошо обтекаемых тел
свойства большей части потока и, в частности, распределение
давления по телу довольно точно могут быть получены в пред-
предположении, что вязкость жидкости равна нулю. Для сжимаемых
невязких течений имеет смысл дальнейшее подразделение на

24
Гл. И. Динамика жидкости: основные уравнения
классы (не указанное в табл. 11.4), зависящее от того, больше
или меньше единицы число Маха М. При М > 1 уравнения, опи-
описывающие движение жидкости, становятся гиперболическими
(гл. 2) и в поле течения могут возникать ударные волны.
Для течений у хорошо обтекаемых тел эффекты вязкости су-
существенны лишь в тонких пограничных слоях, расположенных
Таблица 11.4. Классификация течений
Вязкость
Невязкие течения (ц = 0)
Течения в пограничных сло-
слоях (вязкость существенна
вблизи поверхности)
Отрывные течения (вяз-
(вязкость существенна везде)
Плотность
Несжимаемые (плотность
постоянна)
Потенциальные течения
(если завихренность рав-
равна нулю)
Ламинарные течения (очень
малые Re)
Турбулентные течения
(большие Re)
Ламинарные течения (ма-
(малые Re)
Турбулентные течения (уме-
(умеренные и большие Re)
Сжимаемые (плот-
(плотность переменна)
Газовая динамика
(при k = 0)
Перенос тепла
(также суще-
существен)
Перенос тепла
(также суще-
существен)
в непосредственной близости к поверхности тела. Сила трения
(сопротивление поверхностного трения) на теле определяется
.лишь вязкостью в пограничном слое. При ненулевой теплопро-
теплопроводности перенос тепла также определяется лишь течением в
(тепловом) пограничном слое. Для течений с большими числами
Рейнольдса вязкость не способна подавить возмущения, которые
могут возникать внутри пограничного слоя. Следовательно, что-
чтобы получить осредненные по времени параметры течения, необ-
необходимо ввести некоторые эмпирические параметры, учитываю-
учитывающие турбулентность потока (п. 11.4.2 и 11.5.2).
У плохо обтекаемых тел (например, автомобиля) на под-
подветренной стороне возникают области отрывных течений, в ко-
которых существенны эффекты вязкости. Если числа Рейнольдса
не слишком малы, течения в таких зонах являются турбулент-
турбулентными и часто нестационарными. Обычно для описания отрыв-
отрывных течений необходимо решать полную систему уравнений
Навье — Стокса для сжимаемой и несжимаемой жидкостей.

§ 11.3. Несжимаемые невязкие течения 25
На рис. 11.4 изображен аэродинамический профиль (или ло-
лопатка турбины), расположенный под углом атаки по отношению
к набегающему потоку. Вдали от профиля течение ведет себя
как невязкое. Вблизи наветренной стороны образуется тонкий
пограничный слой, течение внутри которого довольно точно опи-
описывается уравнениями пограничного слоя. Поток отрывается
с подветренной стороны, образуя большую область отрывного»
Невязкое течение
Отрывное течение;
Течение в пограничном слое ^ -^^ — - ч
Невязкое течение
Рис. 11.4. Течение у аэродинамического профиля или лопатки турбины.
течения, в которой необходимо решать полную систему уравне-
уравнений Навье — Стокса. Внутри больших отрывных зон, подобных
изображенной на рис. 11.4, течения, как правило, оказываются
нестационарными. Этот пример указывает на возможность ис-
использования различных уравнений в различных областях тече-
течения с последующей сшивкой решений на разделяющих поверх-
поверхностях. Данный подход может быть использован для расчета
трехмерного трансзвукового течения у крыла, описанного в
п. 1.2.2.
Классификация, приведенная в табл. 11.4, также полезна при:
анализе внутренних течений в каналах, турбинах, диффузорах
и т. п. В § 11.3—11.6 указанные классы течений будут рассмот-
рассмотрены более подробно.
§ 11.3. Несжимаемые невязкие течения
Для этого класса течений плотность постоянна, а вязкость
«равна нулю» (табл. 11.4), т. е. влияние вязкости не учитывает-
учитывается. Движение жидкости полностью описывается уравнением не-
неразрывности (в форме A1.13)) и уравнениями Эйлера A1.21).
Для определения единственного решения, описывающего не-
нестационарное течение, необходимо задать начальные условия
и = ио(х, у, г), v = vo(x,y, z), w = wo(x,y,z) и p = pQ(x,yfz).

Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
При рассмотрении обтекания изолированного тела (рис. 11.5)
граничным условием будет равенство нулю нормальной к по-
поверхности тела составляющей скорости. На границах, удаленных
от движущегося тела, требуется поставить два граничных усло-
условия на входной поверхности AD и одно на выходной — ВС. Ти-
0=0
0=0
х,и
Рис. 11.5. Граничные условия для несжимаемого невязкого течения
шичные граничные условия приведены на рис. 11.5. Данная кон-
конфигурация соответствует «невязкой» двумерной трубе.
Для любого класса течений линии, касательные к которым
в данный момент времени в каждой точке совпадают с направ-
направлением вектора скорости v в этой точке, называются линиями
тока. Локальный наклон линии тока определяется уравнениями
dx dy dz_
и v w
(П.47)
Для стационарного течения уравнения A1.21) могут быть про-
проинтегрированы вдоль линии тока, в результате чего получится
следующее уравнение:
V# = v@.5<72 + f + V)=(), (Ц.48)
где я|э — потенциал массовых сил (т. е. массовые силы предпо-
предполагаются потенциальными и f = —Vi|)). Если массовая сила яв-
является силой тяжести, действующей в отрицательном направле-
направлении оси г, то A1.48) принимает вид
Я = 0.5?2 + -?¦ + gz = const
A1.49)
на каждой линии тока. Уравнение A1.49) называется уравне-
уравнением Бернулли, а Н — переменной Бернулли. В уравнении

§ 11.3. Несжимаемые невязкие течения 27
A1.49) 0.5<72 есть кинетическая энергия, т.е. q2 = vv. Уравнение
A1.49) играет весьма важную роль, поскольку оно дает прямую
алгебраическую связь между давлением и скоростью.
Для безвихревых течений (? = rotv = 0), например, если по-
поток вдали от помещенного в него тела однороден, величина Н
имеет одно и то же значение на всех линиях тока и, следова-
следовательно, уравнение A1.49) выполняется для любых двух точек,
независимо от того, лежат они на одной линии тока или нет.
Для безвихревого течения (rot v = 0) полезно ввести в рассмот-
рассмотрение потенциал скорости v = VO или
г1 —? —? <
—
г-
Уравнение неразрывности в этом случае принимает вид урав-
уравнения Лапласа
V2O = 0. A1.51)
Поэтому данный класс течений (невязкие, несжимаемые и без-
безвихревые) называются потенциальными течениями. Уравнение
Лапласа, дополненное равенством нулю нормальной составляю-
составляющей скорости на поверхности помещенного в поток тела и зна-
значениями скорости вдали от тела, полностью определяет распре-
распределение скоростей. После определения скорости давление может
быть определено из уравнений Эйлера A1.21) или более просто-
из нестационарного уравнения Бернулли для безвихревого те-
течения
^ + H=^ + 0W + j + gz = const A1.52)
Уравнение Лапласа A1.51) линейное и имеет ряд простых
точных решений, любая суперпозиция которых является его ре-
решением. Из уравнений A1.50) следует, что скорость также под-
подчиняется правилу суперпозиции. На рис. 11.6 в точке rs изобра-
изображен двумерный источник интенсивности га. Потенциал, удовлет-
удовлетворяющий A1.51), для такого источника имеет вид
Ф = (т/2яIп(г-г5). A1.53)
Радиальная и окружная компоненты скорости равны
vr = [^]l[(x - xsf + (у- y,rf-\ vQ = 0. A1.54)
Путем комбинации источников и стоков (отрицательных ис-
источников) можно получить обтекание замкнутых тел. Так, на-
например, источник и сток, помещенные в однородный поток
(рис. 11.7), создают обтекание овала Ренкина. Скорость в лю-
любой точке Р(х,у) может быть представлена в виде комбинации

28
Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
выражений A1.54) для отдельных источников и скорости набе-
набегающего потока
(«-.)¦
<пэд
В принципе распределение вдоль оси х источников и стоков
соответствующей интенсивности точно воспроизводит картину
Линия тока
Рис. 11.6. Течение от источника.
Источник, т
Линии тока <
Сток, ~ т
Рис. 11.7. Потенциальное течение у овала Ренкина.
обтекания тел хорошо обтекаемой формы. Однако из-за боль-
большей вычислительной эффективности на практике применяется
тесно связанный с данным панельный метод (п. 14.1.1).
Другое точное решение уравнения Лапласа используется при
моделировании течений около тел специальной геометрии, на-

§ 11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое
29
пример аэродинамических профилей. Предел, при котором источ-
источник и сток, изображенные на рис. 11.7, сближаются и в конце
концов сходятся в одной точке так, что [х = 2am = const, дает
решение, называемое диполем интенсивности \х. Диполь, поме-
помещенный в однородный поток, дает решение задачи о невязком
обтекании кругового цилиндра
(рис. 11.8)
где ji = 2nUocC2 — интенсивность
диполя. Компоненты скорости
определяются из A1.50) в виде
и Л х2 — и2
A1.59)
v —2с2ху
Рис. 11.8. Потенциальное тече-
течение у кругового цилиндра.
Очевидно, что, поскольку компоненты скорости выражены в виде
явных функций от координат, распределение давления может
быть найдено в таком же виде из уравнения A1.49).
Вообще говоря, решения, полученные на основе потенциала
скоростей, дают точное поле давления (и скоростей) лишь в те-
течениях около хорошо обтекаемых тел, например около крыльев
самолетов или лопаток турбин, расположенных под небольшим
углом атаки. Однако если предположение о потенциальности те-
течения справедливо, решение весьма эффективно может быть по-
получено панельным методом (§ 14.1). Более подробно потенци-
потенциальные течения описаны в книге Милн-Томсона [Milne-Thomson,
1968].
§ 11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое
Вязкость воздуха и воды чрезвычайно мала (см. табл. 11.1
и 11.2), поэтому значения элементов тензора вязких напряже-
напряжений A1.27), например
г ди . dvi
будут большими только при большом градиенте скорости. Для
течения около тел хорошо обтекаемой формы, расположенных
параллельно набегающему потоку, скорость на твердой поверх-
поверхности из-за действия вязкости обращается в нуль. Следователь-
Следовательно (рис. 11.9), в непосредственной близости от тела велики
градиенты скорости в направлении нормали. В результате силы
вязкости существенны лишь в тонком пограничном слое, форми-
формирующемся вблизи поверхности тела.

30
Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
Для несжимаемых вязких течений вязкость постоянна и мо-
может быть вынесена из-под знака производной в уравнениях
Рис. 11.9. Профиль скорости в пограничном слое.
A1.28) — A1.30). Течение вязкой несжимаемой жидкости опреде-
определяется уравнениями неразрывности и Навье — Стокса A1.81).
11.4.1. Ламинарный пограничный слой
Сравнение по порядку величины различных членов уравнений
A1.81) показывает, что если 6<L (L — длина тела), то дву-
двумерное стационарное течение в ламинарном несжимаемом по-
пограничном слое около плоской поверхности описывается урав-
уравнениями
дх
ди
ду
ди
ду
1 dpe
д2и
A1.60)
A1.61)
A1.62)
где ре — давление на внешней границе пограничного слоя.
Из уравнения A1.62) следует, что давление поперек погра-
пограничного слоя не меняется и остается равным давлению на его
внешней границе. Величина этого давления либо задается из
экспериментальных данных, либо получается из невязкого реше-
решения (решения при ^, = 0 во всей области). Из уравнения Бер-
нулли A1.49) в предположении, что высота внешней границы
пограничного слоя не меняется, следует
due
A1.63)
где ие — продольная составляющая скорости на внешней границе
пограничного слоя. Хотя исходная система уравнений A1.81)

§ 11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое 31
в стационарном случае относится к смешанному эллиптическо-
гиперболическому типу, система A1.60) — A1.62) имеет уже па-
параболически-гиперболический тип с переменной х, играющей
роль времени. Смена типа уравнений происходит при отбрасы-
отбрасывании в A1.81) члена д2и/дх2..Таким образом, система уравне-
уравнений A1.60) — A1.62) должна быть дополнена начальным
и(х0, У) = Щ{У) (Н.64)
и граничными условиями
и (х, 0) = 0, v (х, 0) = 0, и (х, 6) = ие (х). A1.65)
То что система уравнений, описывающая течение в пограничном
слое, относится к смешанному параболическо-гиперболическому
типу, является весьма важным обстоятельством, поскольку это
позволяет построить маршевый (в направлении переменной, иг-
играющей роль времени) алгоритм численного решения (гл. 15).
Решение уравнений пограничного слоя дает распределение
двух компонент скорости и(х,у) и v(x,y)y зная которые можно
определить другие важные параметры течения.
Безразмерное сдвиговое напряжение на поверхности, назы-
называемое коэффициентом поверхностного трения Cf, определяется
выражением
xw 1 ди
C И
о.5р«; о.бри; ду
A1.66)
Сопротивление трения (в безразмерной форме) получается пу-
путем интегрирования по поверхности .коэффициента поверхност-
поверхностного трения.
Другой важной величиной является толщина вытеснения,
определяющая расстояние, на которое должен быть смещен кон-
контур тела для компенсации потери потока массы в пограничном
слое, если комбинированная задача невязкого обтекания и те-
течения в пограничном слое заменяется эквивалентной чисто не-
невязкой задачей (рис. 11.9). Использование толщины вытеснения
для построения модифицированного контура тела позволяет бо-
более точно получить распределение давления (п. 14.1.4). Толщина
вытеснения б* определяется выражением
Уравнения, описывающие течение в пограничном слое, часто мо-
могут быть преобразованы к более простому виду (гл. 15). При
определенном виде распределения внешней скорости ие(х) число
независимых переменных может быть на единицу уменьшено.

32 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
Данное обстоятельство будет проиллюстрировано на примере
течения в пограничном слое у плоской пластины. В этом случае
ие(х)= Uoo. Новая независимая переменная вводится следующим
образом:
[%]-. (П.68,
а вместо параметров и и v получается один искомый пара-
параметр /, где
? 4
ду дх (Uoovxy12
Используя A1.68), A1.69), уравнения A1.60) и A1.61) можно
привести к виду
с граничными условиями
-J-jt = / = O при л = 0,
df Л (Н-71)
-~- = 0 при т| = оо.
Уравнения A1.70), A1.71) могут быть решены численно, причем
очень точно.
Цебеци и Брэдшоу [Cebeci, Bradshaw, 1977] привели соот-
соответствующую программу. Из численного решения можно полу-
получить следующие зависимости для толщины вытеснения и коэф-
коэффициента поверхностного трения:
*L = 1.72Re;05, cf = 0.664Re*-°-5,
где Rex = (/oo^/v.
Дополнительную информацию о течениях в ламинарных по-
пограничных слоях и традиционных методах анализа таких тече-
течений можно найти в работах [Rosenhead, 1963; Schlichting, 1968].
11.4.2. Турбулентный пограничный .слой
Для Re*^2-105 в пограничном слое возникают турбулент-
турбулентные флуктуации, для подавления которых уже оказывается не-
недостаточно сил вязкости. Вследствие этого благодаря более эф-
эффективному турбулентному перемешиванию профиль средних
значений скорости вниз по потоку становится более наполненным
(рис. 11.10).

§ 11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое
33
Толщина турбулентного пограничного слоя, как правило,
больше толщины ламинарного. Для турбулентного пограничного
слоя на пластине
Cf = 0.059Re;0-2.
A1.72)
Хотя течение в турбулентном пограничном слое в каждый
момент времени является нестационарным, для описания его
основных свойств достаточно знать средние величины. Уравне-
Уравнения для средних величин могут быть получены, если мгновенные
1.0
у
(а)
0.5
1.0
0.5
(Ь)
05 Ш
и/ие
Рис. 11.10. Профили скорости в пограничном слое: (а) ламинарном, (Ь) тур-
турбулентном
значения скоростей представить в виде суммы среднего значе-
значения скорости и флуктуационной добавки, т. е.
t + T
1 Г
и = п + и\ где u = y \ u
t
Здесь п — среднее значение, а и' — турбулентная флуктуация-
Очевидно, что п! = 0. Предполагается, что период флуктуации
много меньше Т. Величины и, v и т. д., однако, все еще остаются
функциями времени. Осредняя систему A1.81) по периоду Т
и отбрасывая в предположении пограничного слоя (б <С L)
члены порядка OF/L), можно получить следующую стационар-
стационарную систему уравнений, описывающую течение в двумерном тур-
турбулентном пограничном слое на пластине:
дй | дд —о
дх ^ ду — и'
A1.73)
f-=°- A
Данная система уравнений относится к системам смешанного
параболическо-гиперболического типа, и, следовательно, для нее
3 К. Флетчер, т. 2

34 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
должны быть поставлены те же начальные и граничные условия
A1.64), A1.65), что и для уравнений, описывающих ламинарный
пограничный слой. Система уравнений A1.73) — A1.75) является
более грубым приближением уравнений Навье — Стокса, чем си-
система A1.60) — A1.62), описывающая ламинарные течения, так
как при выводе уравнений ламинарного пограничного слоя были
отброшены члены лишь порядка OF/LJ.
По сравнению с уравнениями ламинарного пограничного
слоя A1.60) — A1.62) в данных уравнениях появляется дополни-
дополнительный член —pu'v', рейнольдсово напряжение. Данный член
может быть выражен через осредненные значения путем введе-
введения дополнительной турбулентной вязкости vr:
pvr|^=-~puV. A1.76)
оу
Для получения решения уравнений A1.73), A1.74) необхо-
необходимо установить связь между дополнительной вязкостью и
осредненными характеристиками течения. Один из путей уста-
установления такой связи состоит в введении длины перемешива-
перемешивания U так что
f|. A1.77)
Длина перемешивания в различных частях пограничного слоя
задается различными выражениями. Для внутренней части, при-
примерно в интервале 0 <С п/пе <С 0.7, имеем
/ = щ [1 — e-v+/A], и = 0.41,
+ / /n* *•* AL78)
У = u%yh, их = @.5с f) ue9
где у измеряется по нормали к стенке. Величина А в уравнении
A1.78) зависит от градиента давления; для турбулентного по-
пограничного слоя на пластине (dpe/dx = 0) A =26.
Во внешней области пограничного слоя, приблизительно в ин-
интервале 0.7 ^ п/пе ^ 1, длина перемешивания пропорциональна
толщине пограничного слоя б. Как правило, 1/6 ~ 0.08. С другой
стороны, во внешней области используется также формула
Клаузера, согласно которой выражение A1.77) заменяется вы-
выражением
0168a6\ A1.79)
Использование алгебраических выражений A1.77) — A1.79) для
описания турбулентной вязкости является дальнейшим упроще-
упрощением уравнений A1.73) —A1.75). Однако для течений в погра-
пограничном слое данная алгебраическая формулировка позволяет

§ 11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое
35
достаточно точно получить осредненные характеристики тече-
течения, например п(х,у).
Обсуждение приведенной выше алгебраической формулиров-
формулировки A1.76) — A1.79) и дополнительная информация о течениях
в пограничных слоях может быть найдена в работе [Cebeci,
Bradshaw, 1977] и приведенных там ссылках.
11.4.3. Отрыв пограничного слоя
При обтекании тел весьма важным является вопрос о том,
возможен ли отрыв пограничного слоя от твердой поверхности.
Толщина
пограничного слоя •
Разделяющая
линия тока
1/оо
Рис. 11.11. Отрыв пограничного слоя от кругового цилиндра.
Отрыв обычно приводит к образованию большой области мед-
медленно изменяющегося и (или) возвратного течения, что делает
неприменимым предположение о малой толщине пограничного
слоя, на котором основан вывод уравнений A1.60) — A1.62) и
A1.73) — A1.75). На рис. 11.11 изображен отрыв пограничного
слоя от двумерного цилиндра. Тангенциальная составляющая
скорости на внешней границе пограничного слоя, по крайней
мере до точки отрыва, приближенно может быть получена из
решения невязкой задачи
[±] A1.80)
Справа от точки В скорость ие уменьшается с увеличением х
и, следовательно (согласно уравнению Бернулли A1.49)),

36 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
давление увеличивается. Этот обратный градиент давления за-
замедляет движение жидкости в пограничном слое. Жидкость в
непосредственной близости к стенке (из-за малой величины им-
импульса) наиболее слабо противостоит обратному градиенту дав-
давления. Следовательно, профиль скорости начинает меняться и в
точке отрыва ди/ду\у=0 = 0 за точкой отрыва величина
ди/ду\у=о становится отрицательной, что означает образование
вблизи стенки возвратного течения. Поскольку сдвиговое на-
напряжение на стенке определяется выражением
ди I
то в точке отрыва сдвиговое напряжение (или поверхностное
трение) равно нулю.
Для распределения скорости, задаваемого выражением
«A1.80) и полученного из невязкой задачи, решение задачи о ла-
ламинарном пограничном слое дает отрыв вблизи точки 6 = 106°.
Однако при вязком (ламинарном) обтекании кругового цилин-
цилиндра большая отрывная зона непосредственно за цилиндром из-
изменяет распределение давления и отрыв происходит при 0^82°.
При рассмотрении профилей скорости, изображенных на
рис. 11.10, можно сделать предположение, что турбулентный по-
пограничный слой до образования отрыва может дольше противо-
противостоять обратному градиенту давления, чем ламинарный. Это на
самом деле имеет место. Для кругового цилиндра с числом Рей-
нольдса Re^ измеренным по диаметру, при Red>5-106 отрыв
происходит при 0 « 120°. При отрыве турбулентного погранич-
пограничного слоя течение часто становится нестационарным и положе-
иие точки отрыва претерпевает низкочастотные колебания [Simp-
[Simpson, 1981]. Однако вышеприведенный критерий обращения в
нуль сдвигового напряжения на стенке в точке отрыва остается
ъесьма полезным при расчете осредненных параметров течения.
Вывод из уравнений Навье—Стокса уравнений пограничного
слоя, образующегося на трехмерной поверхности [Cebeci, Brad-
shaw, 1977], аналогичен выводу двумерных уравнений. При этом
толщина пограничного слоя измеряется в направлении нормали
к поверхности и считается малой по сравнению с характерным
размером, измеряемым в направлении потока. Определение трех-
трехмерного отрыва является более сложной задачей [Tobak, Peake,
1982], поскольку точка отрыва необязательно совпадает с точ-
точкой обращения в нуль сдвиговых напряжений.
Пограничный слой является примером течений в тонких сдви-
сдвиговых слоях. Основные классы течений в тонких сдвиговых
слоях, по крайней мере приближенно, описываются уравнениями,
эквивалентными уравнениям A1.73) и A1.74). Приближения

§ 11.5. Вязкие несжимаемые течения 37
типа тонкого сдвигового слоя могут весьма эффективно приме-
применяться для описания течений в следе, струй, перемешивающихся
слоев и многих внутренних течений. Важность приближения
сдвигового слоя заключается в том, что оно позволяет разрабо-
разработать маршевые в направлении слоя численные схемы расчета
подобных течений. Рассмотрение соответствующих алгоритмов
проводится в гл. 15.
§ 11.5. Вязкие несжимаемые течения
Данный класс течений описывается уравнениями неразрыв-
неразрывности и импульса, которые могут быть представлены в виде
Vv 0 PPf^
Граничные условия, которыми должна быть дополнена система
A1.81), зависят от рассматриваемой задачи. Если граница
области расчета образована твердыми стенками, необходимо
на границе положить все компоненты скорости равными соот-
соответствующим компонентам скорости твердой поверхности, т. е.
невозможно ни проскальзывание жидкости вдоль границы
Таблица 11.5. Число граничных условий на удаленной
границе для несжимаемых течений (четыре переменные)
Система уравнений
Эйлера
Навье — Стокса
Входная граница
со со
Выходная граница
1
3
жидкость — твердая стенка, ни движение по нормали к ней. На
границе жидкость—жидкость должны быть непрерывны ско-
скорость и сдвиговые напряжения. Обычно в качестве граничного
условия используется непрерывность сдвиговых напряжений.
Если граница вычислительной области, лежащей в жидкости,
образована поверхностью жидкость—газ, условие непрерывности
напряжений при больших числах Рейнольдса сводится к непре-
непрерывности давления (если можно пренебречь влиянием сил по-
поверхностного натяжения).
При рассмотрении обтекания тел, погруженных в жидкость,
необходимо также задать условия на границах, удаленных от
тела. На входных и выходных границах жидкости необходимо
задать все зависимые переменные, кроме одной (табл. 11.5).
Однако поскольку вязкие члены в уравнениях движения, как
правило, пренебрежимо малы, вдали от тела течение можно

38 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
рассматривать как локально невязкое и на выходной границе до-
достаточно поставить лишь одно граничное условие. Различные
постановки граничных условий рассматриваются в § 17.1, а с ма-
математической точки зрения в работах [Oliger, Sundstrom, 1978;
Gustafsson, Sundstrom, 1978].
Полная система уравнений A1.81) должна рассматриваться,
если в потоке образуются области отрывных течений. В случае
отсутствия массовых сил система A1.81), как и A1.42), в без-
безразмерном виде в двумерном случае в декартовых координатах
имеет вид
&+&-0, D-82)
+#]• <»-83>
Здесь плотность включена в число Рейнольдса. Обобщение на
случай трех пространственных переменных достаточно оче-
очевидно. Решения схемы A1.83) — A1.84) при малых числах
Рейнольдса (Re ^ 200) описывают ламинарные течения, ко-
которые рассматриваются в п. 11.5.1.
Однако при больших числах Рейнольдса течения становятся
турбулентными. Система A1.82) — A1.84) в трехмерном случае
пригодна для описания и таких течений, однако при реальных
числах Рейнольдса для точного отображения наиболее мелких
масштабов турбулентности потребовались бы неприменимо гу-
густые сетки. Более широкое распространение суперкомпьютеров
(гл. 1) вызвало интерес к моделированию крупных вихрей
[Rogallo, Moin, 1984], при котором модифицированная трехмер-
трехмерная форма уравнений A1.82) — A1.84) непосредственно улав-
улавливает крупномасштабные турбулентные движения (вихри),
а мелкомасштабная (подсеточная) турбулентность моделирует-
моделируется путем введения дополнительных эмпирических членов в урав-
уравнения движения.
Если осредненное крупномасштабное движение является
стационарным или слабо изменяется со временем, то для ин-
инженерных расчетов более предпочтительным (т. е. более эффек-
эффективным с вычислительной точки зрения) является рассмотре-
рассмотрение осредненных по времени уравнений, а не системы A1.82) —
A1.84). Данный подход рассматриватся в п. 11.5.2.
Методы расчета течений, описываемых полной несжимаемой
системой уравнений Навье — Стокса, рассматриваются в § 17.1
и 17.2. Если в потоке имеется доминирующее направление те-

§ 11.5. Вязкие несжимаемые течения 39
чения, возможно некоторое упрощение исходной системы. Дан-
Данный подход рассматривается в § 16.1, а соответствующие вы-
вычислительные алгоритмы — в § 16.2 и п. 16.3.3.
11.5.1. Ламинарные течения
Несжимаемые ламинарные (вязкие) течения описываются
системой уравнений A1.82) — A1.84). Однако в двумерном слу-
случае имеет смысл рассмотреть иное представление, а именно
в терминах завихренности ? и функции тока ф.
Уравнения строятся следующим образом:
у- [A1.83)] —J~- [A1.84)],
что позволяет исключить давление и получить
?+"?+ v~di = T^ldx^ + Wr AL85)
где ? — завихренность:
ду дх
Строго говоря, ? = —?*, где ? = rotv. Введя функцию тока г|з:
лосле подстановки и и v в A1.86) легко получим
Можно отметить, что г|э автоматически удовлетворяет урав-
уравнению A1.82). В формулировке завихренность — функция тока
основными являются уравнения A1.85), A1.87) и A1.88). Ис-
Исключение и и v при помощи A1.87) дает систему уравнений
A1.85), A1.88), которая является параболической по времени
и эллиптической по пространству (§ 2.1). Начальные условия
определяются путем задания ? = ?о(#»1/»О и решения уравне-
уравнения A1.88) для г?> с граничными условиями Дирихле ij)|c = a
на границе области с.
Поскольку система уравнений эллиптическая в простран-
пространстве, для ее решения необходимо задать два граничных усло-
условия. Если на границе заданы компоненты скорости, эти гра-
граничные условия определяют посредством A1.87) производные
*Ф на границе. В уравнения входят лишь производные от г|>,
поэтому значения г|) могут быть фиксированы на границе и два

40 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
граничных условия можно представить в виде
ф|с = а, 4^ =*, A1.89)
ОТЬ q
где п — направление нормали к границе с.
Можно заметить, что граничные условия для ? остались не-
неопределенными. Это справедливо для твердой поверхности, по-
поскольку она является источником завихренности, которая в
дальнейшем за счет процессов конвекции и диффузии перено-
переносится внутрь поля течения [Lighthill, 1963]. При рассмотрении
задач об обтекании тел условие на удаленной границе типа
? = о может быть заменено на д^/дп\с = Ъ, если поток являет-
является локально однородным.
При численном решении (§ 17.3) довольно часто удобно,
особенно на твердой поверхности, иметь эквивалентное гранич-
граничное условие для ?. Ранее это граничное условие часто выво-
выводилось из дискретного представления A1.88) таким образом,
чтобы обеспечить выполнение условия д^/дп\с = Ь. Однако
в работе [Quartapelle, Valz-Gris, 1981] показано, что локаль-
локального эквивалентного граничного условия для Е; не существует.
Должно выполняться интегральное условие на ?:
s, A1.90)
где а и b соответствуют A1.89), а г\ — произвольная функция,
определенная на всей области, такая, что V2r] = 0.
Типичная постановка граничных условий может быть рас-
рассмотрена на примере задачи о стационарном обтекании уступа.
Граница AF на рис. 11.12 является входной границей. За гра-
границей ED образуется область возвратно-циркуляционного тече-
течения. На границе AF определена величина и, что позволяет
определить г|) из уравнений A1.87). На границе АВ скорость и
полагается равной скорости набегающего потока и завихрен-
завихренность полагается равной нулю. Если v = 0 на АВ, то t|) по-
постоянна и равна \|)л-
На границе ВС величина d%/dx2 очень мала и может быть
отброшена в уравнении A1.85). Это изменяет тип системы
(§16.1), и на границе ВС требуется поставить лишь одно
условие. Если положить v = 0 на ВС, то д^/дх = 0, что будет
физически некорректно вблизи точки С. Более правильно на
границе ВС положить dv/dx = 0. Тогда из A1.87) и A1.88)
следует, что d2ty/dy2 = ?.
На поверхности FEDC граничным условием для функции
тока будет условие г|э = 0. Определить граничные условия на
FEDC для завихренности более сложно. При формулировке

§ 11.5. Вязкие несжимаемые течения
41
в исходных переменных эквивалентным уравнением на FEDC
будет и = v = 0. Граничные условия для завихренности на
твердой поверхности обычно получаются из уравнения A1.86)
или A1.88). Так, например, поскольку dv/dx = 0 на FE, гра-
граничное условие для завихренности принимает вид: %Fe =
= ди/дугЕ\ на DE: t,DE = —Ov/Oxde. Как уже отмечалось, данные
А\ \В
Рис. 11.12. Течение у уступа.
граничные условия не являются строго эквивалентными усло-
условиями для скоростей.
В принципе описание в терминах завихренности может быть
использовано и в трехмерном случае. Завихренность тогда
имеет три компоненты, а функция тока заменяется на трех-
трехмерный вектор-потенциал [Fasel, 1978]. Последние применения
такого подхода описаны в работе [Wong, Reizes, 1984]. Форму-
Формулировки в терминах завихренности, пригодные для рассмотре-
рассмотрения трехмерных течений, кратко описаны в § 17.4.
Для определения давления из д( 11.83) /дх + д( 11.84)/ду
можно получить уравнение Пуассона
"+" ду2 ~
дх2 ду2
Г
I
L дх ду
A1.91)
с граничными условиями Неймана для Р, определенными из
A1.83), A1.84).
Для стационарных течений уравнение A1.91) достаточно ре-
решить один раз после того, как будет получено решение для г|).
В нестационарном случае, как, например, в задачах со свобод-
свободной поверхностью, для определения давления уравнение A1.91)
необходимо решать на каждом шаге интегрирования по времени.
Численные схемы, основанные на формулировке завихрен-
завихренность— функция тока, рассматриваются в § 17.3 и 17.4.

42 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
11.5.2. Турбулентные течения
Использование в инженерных разработках трехмерных ана-
аналогов уравнений A1.82) — A1.84) для расчета несжимаемых
турбулентных течений привело бы к непомерно большим за-
затратам. Для практических целей, как правило, достаточно
знать осредненные характеристики движения, которые могут
быть получены путем осреднения уравнений по некоторому
малому интервалу времени Т (подобно тому, как это сделано
в п. 11.4.2). В результате осреднения получается следующая
система уравнений:
— + — = 0 A192>
[дп , _ дп . _ дп 1 . др д Г дп
AL93)
где п, v — средние значения скорости, а и! и v' — турбулентные
флуктуации. В трехмерном случае в уравнениях, аналогичных
A1.93), A1.94), появляются дополнительные рейнольдсовы на-
напряжения —pu'w\ —pv'w' и —pw'w'.
В полученных таким образом осредненных по времени
уравнениях необходимо установить связь между напряжениями
Рейнольдса и осредненными параметрами течения. В п. 11.4.2
это было сделано путем введения дополнительной вязкости vr
(полагая —puV = pvTdii/dy) и определения алгебраической
формулы для vr. Такой подход, однако, эффективен лишь для
течений в пограничных слоях, где скорость выделения турбу-
турбулентной энергии примерно равна скорости ее диссипации.
В более сложных турбулентных течениях, где существен кон-
конвективный перенос турбулентности, этот подход может ока-
оказаться неэффективным.
Другой подход состоит в выводе уравнений (дифферен-
(дифференциальных) переноса некоторых турбулентных величин и моде-
моделировании членов более высокого порядка, которые оказы-
оказываются равными тройным корреляциям. Здесь приводятся так
называемая (k — г) -модель [Launder, Spalding, 1974], типич-
типичная модель турбулентности, основанная на двух уравнениях.

§ 11.5. Вязкие несжимаемые течения 43
В (k — е)-модели выводятся уравнения для турбулентной
кинетической энергии k и скорости диссипации турбулентной
энергии е:
k = 0.5 (й7*? +Vv' + Ww') = 0.5 (иЭД).
Уравнения для k и е имеют вид
д Г \ir dk "] Г ди, ди, 1 ди,
[$J + 4^+ AL95)
De d Г lu, de 1 С .ите Г ди. ди* 1 ди. рСо0е2
" Dt dx, \ a dx. I ' k I dx, dx. I <?д:, fc
A1.96)
Здесь для удобства записи использованы тензорные обозначе-
обозначения в декартовых координатах [Aris, 1962]. Левые части
A1.95) и A1.96) представляют аналогично уравнению A1.12)
конвективный перенос соответственно величин k и е. Три члена
в правой части уравнений описывают диффузию, выделение и
диссипацию соответствующих величин. Данные уравнения вы-
выведены из нестационарных уравнений Навье — Стокса, в кото-
которых сохранены диффузионные члены, но отброшены члены,
соответствующие вязкой диссипации, а также произведена мо-
модификация некоторых других членов.
Локальная (турбулентная) вихревая вязкость \кТ может
быть выражена через локальные значения k и е следующим
образом:
Эта вязкость используется для связи рейнольдсовых напряже-
напряжений, например в уравнениях A1.93) и A1.94), со средними
значениями:
(П.98,
Эмпирические константы в уравнениях A1.95) — A1.97) равны
С„ = 0.09, СЕ1 = 1.45, Се2=1.90, а* =1.0, ае=1.3. A1.99)
Уравнения A1.95) и A1.96) справедливы при \х,т ^> |ы. Очевидно,
что это неверно вблизи твердой поверхности, где турбулентные
флуктуации подавляются стенкой. Поэтому вблизи твердой
поверхности вводятся специальные пристенные функции [Laun-
[Launder, Spalding, 1974; Patel et al., 1985], при определении

44 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
которых обычно предполагают логарифмический закон измере-
измерения тангенциальной составляющей скорости в направлении нор-
нормали, а также то, что выделение турбулентной кинетической
энергии в области действия логарифмического закона равно ее
диссипации. В наиболее простой форме это эквивалентно введе-
введению вблизи стенки длины перемешивания при определении до-
дополнительной вязкости (п. 11.4.2). Использование специальных
пристенных функций позволяет определить граничные условия
для k и е на некотором удалении от твердой поверхности. Дру-
Другой подход состоит в введении дополнительных членов [Patel
et al., 1985] в уравнения A1.95) и A1.96). На стенке тогда
используются граничные условия k = 0 и дг/дп = 0.
Предложенная (k — е) -модель турбулентности пригодна для
расчетов свободных сдвиговых и пограничных слоев и отрывных
течений; однако расчет на основе этой модели незамкнутых
отрывных течений в дальнем следе дает завышенную скорость
выделения турбулентной энергии [Rodi, 1982]. Наиболее сла-
слабым местом (k — е)-модели является предположение об изо-
изотропности вихревой вязкости A1.98). Этого можно избежать
путем введения отдельного уравнения в частных производных
для каждого рейнольдсова напряжения. Однако это увеличивает
существенно вычислительную стоимость.
Весьма эффективной является также промежуточная модель,
в которой считается, что каждое отдельно взятое рейнольдсово
напряжение пропорционально переносу k A1.95). Это сводит
дифференциальные уравнения для рейнольдсовых напряжений
к простым алгебраическим соотношениям. Подробности такой
алгебраической модели напряжений, а также описание иных
моделей турбулентности можно найти в работе Роди [Rodi,
1980].
§ 11.6. Сжимаемые течения
При рассмотрении данного класса течений возникают до-
дополнительные сложности, связанные с изменениями плотности
и температуры. Данные течения можно разделить также на
невязкие, течения в пограничных слоях и отрывные течения
(табл. 11.4). Сжимаемые течения здесь рассматриваются при-
применительно к типичным инженерным задачам, например тече-
течение около лопаток турбины. В сжимаемых течениях изменения
плотности, как правило, связаны либо с высокой скоростью
потока (большие числа Маха), либо с большими разницами
температур. С вычислительной точки зрения наличие в потоке
больших температурных изменений подразумевает включение
в рассмотрение при отыскании решения уравнения энергии.

§ 11.6. Сжимаемые течения 45
11.6.1. Невязкие сжимаемые течения
Невязкие сжимаемые течения (газовая динамика согласна
табл. 11.4) описываются уравнением неразрывности A1.9),.
уравнениями Эйлера A1.21) и уравнением энергии A1.35) ^
правую часть в котором следует положить равной нулю (\х = 0г
k = 0). Граничным условием на твердой поверхности будет
обращение в нуль нормальной к ней компоненты вектора ско-
скорости. Для задачи обтекания тела в табл. 11.6 приведено число
граничных условий, которые необходимо поставить на удален-
удаленной от тела поверхности. Для сверхзвуковых течений гранич-
граничные условия должны быть определены для каждой характе-
характеристики, приходящей в расчетную область. Условия совмест-
совместности (п. 2.5.1) задают форму граничных условий. Конкретный
выбор приведен в § 14.2, где рассматриваются соответствующие
вычислительные алгоритмы. С математической точки зрения
корректная постановка граничных условий рассматривается
в работе [Oliger, Sundstrom, 1978].
Для стационарного течения невязкой (^ = 0), нетеплопро-
нетеплопроводной (k = 0) жидкости уравнение энергии может быть про-
проинтегрировано вдоль линии тока, в результате чего получится
Я = (о.5</2 + е + -JJ- + г|>) = const, A1.100)
где q — модуль вектора скорости, е — удельная внутренняя
энергия, г|э — потенциал массовых сил, т. е. f = —Vif>. Легко
видеть, что уравнение A1.100) эквивалентно уравнению A1.48),
если к нему добавить внутреннюю энергию е.
По теореме Крокко [Liepmann, Roshko, 1957], если стацио-
стационарный поток везде безвихревой (завихренность равна нулю)
и изэнтропичен, величина Я имеет одно и то же значение на
всех линиях тока. Для течений, в которых существует изэнтро-
пическая связь между р и р, возможно иное представление
A1.100), в котором отсутствует внутренняя энергия:
# = 0.5?2+ J -1 dp + ^ = const, A1.101)
Для изэнтропических безвихревых течений целесообразно опре-
определить потенциал скорости Ф A1.50):
В результате этого для стационарных течений в отсутствие
массовых сил из уравнений неразрывности A1.10) и Эйлера

46 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
A1.21) можно получить
и2 . \ д2Ф , / v2 , \ д2Ф
где а=(др/др)°'ъ — скорость звука. Это — скорость, с которой
в сжимаемой среде распространяются акустические волны
(волны сжатия малой амплитуды). Для идеального газа, на-
например воздуха, а =(ур/р)оъ. Для несжимаемой жидкости
а = оо и уравнение A1.103) сводится к уравнению Лапласа
A1.51).
Из уравнения A1.101) можно получить связь между а и q.
В случае идеального газа, для которого влиянием массовых сил
можно пренебречь, A1.101) приводит к равенству
^ + 0.б(у-1)^ = ^ + 0.5(у-1)^, (ИЛ04)
где у — отношение удельных теплоемкостей, а индекс оо отно-
относится к некоторому известному состоянию. Система уравнений
A1.102) — A1.104) описывает рассматриваемый класс течений.
После подстановки A1.102) и A1.104) в A1.103) ее можно
свести к одному дифференциальному уравнению, которое ока-
оказывается, однако, существенно нелинейным.
На твердой поверхности граничное условие непротекания
имеет вид: дф/дп = 0. Для трансзвуковых течений уравнение
A1.103) вдали от обтекаемого тела эллиптическое. Следова-
Следовательно, на удаленных границах для него следует поставить
граничное условие Дирихле.
Если ударные волны в потоке отсутствуют или слабы, что
имеет место, например, в трансзвуковых течениях, физически
точные численные решения на основе уравнений A1.102) —
A1.104) можно получить гораздо более экономно, чем из ре-
решения уравнений неразрывности, Эйлера и невязкого уравнения
энергии в терминах исходных переменных (иу v, w, р, р, Т).
Соответствующие численные методы решения A1.102) — A1.104)
рассматриваются в § 14.3. Уравнения A1.102) — A1.104) при-
применяются главным образом для расчета течений около хорошо
обтекаемых тел, таких, как крылья самолетов или лопатки
турбин под малыми углами атаки, для которых поток является
безотрывным.
Для тонких тел, помещенных в однородный поток, движу-
движущийся со скоростью Uoo в направлении оси х (рис. 11.13),
весьма полезно ввести в рассмотрение малые возмущения и\
vf и wf скорости набегающего потока ?/«>, которые вносит по-

§ 11.6. Сжимаемые течения
47
мещенное в поток тело. Определяя
и = и„ + и'9 v = v', w = w\ A1.105)
где и\ v\ w' <C i/oo, уравнение A1.104) можно привести к виду
=1-(Y-1)M2OO^, A1.106)
где Moo = f/oo/aoo. До тех пор пока Моо < 3, согласно A1.106),
а ж пос. Используя A1.105) и A1.106), вместо уравнения
Uo
I
Рис. 11.13. Невязкое течение у хорошо обтекаемого тела.
A1.103) можно получить следующее приближенное уравнение:
где ф — возмущение потенциала, связанное с
скорости, т. е.
= 1& и
#Ф /1 1
Ш, (П.
возмущениями
(И.108)
За счет учета ограничений в геометрии (t <C с) уравнение
A1.107) получилось гораздо проще уравнения A1.103). Мно-
Многие применяемые на практике аэродинамические профили и ло-
лопатки турбин так или иначе соответствуют этим ограничениям.
Численные методы решения A1.107) приведены в п. 14.3.2.
Для дозвуковых (Моо < 1) и сверхзвуковых (Моо > 1) тече-
течений уравнение A1.107) может быть упрощено и приведено
к виду
0ЛД2 \ д2Ф . д2Ф . д2Ф л /lt 1ЛЛч
-Мсо)Жг + ^г+^г = 0. A1.109)
Уравнение A1.109) линейно и весьма напоминает уравнение
Лапласа A1.51), которое описывает несжимаемый потенциаль-
потенциальный поток. Для Моо < 1 уравнение A1.109) является эллипти-
эллиптическим, для Моо > 1—гиперболическим; следовательно, на его
характеристиках возможно образование разрывов нормальных
производных от компонент скорости.

48 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
Для локально сверхзвукового потока, т. е. М > 1, уравнение
A1.103) также гиперболическое. Характеристики в сверхзвуко-
сверхзвуковом невязком потоке называются линиями Маха. Угол |л между
поверхностью конуса Маха (образованного линиями Маха) и
локальным направлением потока (рис. 11.14) связан с местным
числом Маха соотношением \х = arcsin(l/M), т. е. при увели-
увеличении М конус Маха располагается ближе к локальному на-
направлению потока. Любые возмущения в точке А могут влиять
X
Рис. 1.14. Линии Маха в сверхзвуковом потоке.
лишь на часть области течения, ограниченной вниз по потоку
конусом Маха.
При локальном увеличении М линии Маха, исходящие из
двух последовательных точек, при движении от А будут рас-
расходиться. При локальном уменьшении М в направлении потока
две последовательные линии Маха, казалось бы, могут пере-
пересечься. В действительности этого не происходит, а образуется
ударная волна, что эвристически может трактоваться как слия-
слияние линий Маха. Типичное распределение чисел Маха у крыла
самолета (плоское сечение) приведено на рис. 11.15.
Условия на ударной волне, при которых в направлении нор-
нормали выполняются законы сохранения массы, импульса и энер-
энергии, называются условиями Ренкина — Гюгонио (Liepmann,
Roshko, 1957]. Однако при переходе через ударную волну эн-
энтропия увеличивается. Соотношения Ренкина — Гюгонио можно
представить в виде

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к потоку перед
ударной волной и за ней, a ui и и2 — нормальные к ударной
волне компоненты скорости.

§ 11.6. Сжимаемые течения
49
Можно отметить, что хотя соотношения Ренкина — Гюгонио
связывают два состояния невязкой нетеплопроводной жидкости,
ее локальное поведение внутри ударной волны определяется
Ударная волна
Рис. 11.15. Распределение чисел Маха на крыле.
вязкостью и теплопроводностью (рис. 11.16). Здесь х — местная
координата, направленная по нормали к ударной волне. Однако
при рассмотрении невязкой нетеплопроводной жидкости сильные
Решение для невязкого течения
Толщина ударной волн
(увеличенная)
X
Рис. 11.16. Изменение скорости внутри ударной волны.
градиенты внутри ударной волны обычно можно рассматривать
как разрывы, влияние которых не распространяется за пределы
скачка.
Если скачки не слабые, Mi ;>, 1.1, для правильного описания
течений необходимо решать уравнения неразрывности, Эйлера
и невязкое уравнение энергии (§ 14.2).
4 К. Флетчер, т. 2

50 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
11.6.2. Течения в сжимаемом пограничном слое
При выводе уравнений сжимаемого пограничного слоя ис-
используется тот же подход, что и при выводе уравнений несжи-
несжимаемого пограничного слоя, т. е. его толщина предполагается
малой по сравнению с характерным размером в направлении
потока. При этом, однако, следует включить в рассмотрение
уравнение энергии для определения теплового пограничного
слоя, внутри которого температура подвергается быстрым изме-
изменениям подобно скоростному пограничному слою [Schlichting,
1968].
Для сжимаемого пограничного слоя в уравнение неразрыв-
неразрывности A1.10) можно внести лишь упрощения, связанные со
стационарностью или двумерностью течения. Таким образом,
для стационарного двумерного сжимаемого ламинарного погра-
пограничного слоя уравнение неразрывности принимает вид
-§7(QU) + -§i(pv) = 0. A1.111)
Стационарное уравнение х-компоненты импульса A1.28) при-
приводится к виду
(ди , ди \ dpe • д ( ди \ /n nm
и1Г + °аг)!=~ аГ + ^О^)- A1Л12)
Это уравнение можно сопоставить с A1.61). Здесь плотность
является функцией координат, а вязкость, как правило, зависит
от температуры. Уравнение энергии A1.38) для течений в тон-
тонком стационарном тепловом пограничном слое принимает вид
где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении,
a k — коэффициент теплопроводности. Система уравнений
A1.111) — A1.113) имеет смешанный параболическо-гиперболи-
ческий тип, и, следовательно, для нее необходимо определить
начальные и граничные условия
и(х09 у) = щ(у), T(xQf у) = Т0(у), A1.114)
и(х, 0) = 0, v(x9 0) = 0, T(x, 0) = Tw(x)
или *|J-(*, 0) Q« (^)э A1.115)
и(х, 6) = ив(х), Т(х, 6) = Тв(х),
где у = б определяет границу пограничного слоя. Обычно при
решении системы A1.111) — A1.115) делается преобразование,
устраняющее явное наличие плотности (§ 15.2). Полученная

§ 11.6. Сжимаемые течения
51
система для сжимаемых течений решается так же, как и экви-
эквивалентные ей несжимаемые системы (§ 11.4 и 15.1).
Вывод уравнений для осредненных параметров турбулент-
турбулентного сжимаемого пограничного слоя аналогичен выводу, приве-
приведенному в п. 11.4.2. При этом, однако, возникают дополнитель-
дополнительные произведения, связанные с флуктуациями плотности и
температуры [Schlichting, 1968; Cebeci, Bradshow, 1984]. Алгеб-
Алгебраическая модель вихревой турбулентной вязкости, описанная
в п. 11.4.2, легко обобщается на случай сжимаемого погранич-
пограничного слоя и весьма эффективна при проведении расчетов [Ce-
[Cebeci, Bradshow, 1984].
11.6.3. Сжимаемые вязкие течения
При расчете течений сжимаемой вязкой жидкости с обшир-
обширными отрывными зонами необходимо решать полные уравнения,
Моо>1
Ударная волна
1
Рис. 11.17. Типичное течение.
т. е. уравнения A1.10), A1.26) и A1.33) (рис. 11.17). Как пра-
правило, здесь возможны лишь незначительные упрощения, напри-
например пренебрежение влиянием массовых сил. Для анализа задач
внешнего обтекания, где эффекты сжимаемости связаны в
основном с движением жидкости, соответствующие уравнения
удобно представить в консервативном виде. Уравнение нераз-
неразрывности A1.10) уже записано в консервативном виде. Чтобы
представить в консервативном виде уравнение A1.26), к нему
надо добавить уравнение A1.10), умноженное слева векторно
на v. Уравнение A1.33) приводится к консервативному виду
после сложения его с выражением (е + 72V-v)X(lM0).
В трехмерном случае уравнения могут быть компактно пред-
представлены в виде одного векторного уравнения
aq.ar.ao. дн
dt "^ дх "t" ду ¦*" дг и'
A1.116)

52
Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
где
р
pu
pv
pay
Е
==
"ру
pw
py
.(?
I
puw
pvw
pw2 -
.(?4
pu
pu2 + p — xxx
puv — xxy
puw — xxz
JE + p — xxx) и
* + P xyy
w — xyz
+ P — *yy) v — ^xyU
~tzx
— tzy
-\~ P — Vzz
¦ p-
A1.117)
Уравнения A1.116), A1.117) описывают как ламинарные, так
и турбулентные сжимаемые течения. В случае ламинарных те-
течений значения компонент тензора вязких напряжений ххх и т. д.
определяются соотношениями A1.27). Для турбулентных тече-
течений в эти значения входят также члены, представляющие рей-
нольдсовы напряжения (п. 11.5.2). Компоненты теплового
потока Qxt Qyy Qz определяются соотношениями A1.37), которые
в случае турбулентных течений должны быть дополнены гра-
градиентами турбулентных потоков тепловой энергии. Величина Е
в A1.117) равна полной энергии на единицу объема
Е = р [е + 0.5 (и2
w%
A1.118)
где е — удельная внутренняя энергия. Если внутри течения
имеются ударные волны, консервативная форма уравнений
A1.116) дает более точные решения. Система A1.116), A1.117)
является системой смешанного типа — параболическо-гипербо-
лической для нестационарных течений и эллиптическо-гипербо-
лической для стационарных. Соответствующие граничные усло-
условия рассматриваются в следующем разделе.
Для описания турбулентных сжимаемых течений с крупно-
крупномасштабными отрывными зонами необходимы модели турбу-
турбулентности, подобные (k — е)-модели (п. 11.5.2). Можно разра-

§ 11.6. Сжимаемые течения
ботать сжимаемый вариант этой модели, при этом оказывается,
что влияние дополнительных членов, связанных со сжимае-
сжимаемостью, мало [Marvin, 1983] при числах Маха, меньших 5.
Однако, если изменения плотности связаны с большими измене-
изменениями температуры внутри расчетной области, учет дополни-
дополнительных членов необходим [Rodi, 1980].
Численные методы решения системы уравнений A1.116),
A1.117) рассматриваются в гл. 18. Для течений с выделенным
направлением возможно некоторое упрощение уравнений
A1.116), A1.117). Такой подход рассматривается в п. 16.3.U
16.3.2 и 16.3.7.
11.6.4. Граничные условия для сжимаемых вязких течений
Здесь рассматриваются граничные условия для задачи об-
обтекания тела безграничным потоком жидкости, направленным
Входная граница
/ Выходная граница*
Область расчета
\
7
\
Рис. 11.18. Граничные условия для сжимаемого вязкого течения.
вдали от тела вдоль оси х (рис. 11.18). Должны быть опреде-
определены два типа граничных условий; первые — на поверхности
твердое тело — жидкость Л, вторые — вдали от тела. На твер-
твердой поверхности А должны выполняться условия
v = 0, T = TS
или
dtl

54
Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
т. е. скорость движения жидкости относительно тела равна
нулю и определена либо температура, либо скорость переноса
тепла.
Корректная постановка граничных условий на удаленной
от тела границе более сложна. Граничные условия различны
на границах, через которые жидкость втекает в расчетную об-
область и вытекает из нее. Последние определяются знаком нор-
нормальной компоненты скорости.
Нестационарные уравнения Эйлера являются гиперболиче-
гиперболическими и определение их характеристик не представляет труда.
Таблица 11.6. Число граничных условий на удаленной границе
Система уравнений
Эйлера
Навье — Стокса
Сжимаемая жидкость E переменных)
Входная граница
сверхзвуковой
5
5
дозвуковой
4
5
Выходная граница
сверхзвуковой
0
4
дозвуковой
1
4
Число граничных условий на внешней границе должно быть
равно числу характеристик, приходящих в расчетную область
[Chu, 1978]. Для трехмерных течений с двумя термодинамиче-
термодинамическими параметрами (третий определяется из уравнения состоя-
состояния) на входной границе необходимо определить пять гранич-
граничных условий, если поток сверхзвуковой (табл. 11.6).
В работе [Oliger, Sundstrom, 1978] получены аналогичные
результаты. Кроме того, анализ, проведенный в этой работе,
может быть распространен на уравнения, описывающие вязкие
сжимаемые течения. Требуемое число граничных условий при-
приведено в табл. 11.6. В работе [Gustafsson, Sundstrom, 1978]
рассматривались двумерные сжимаемые уравнения Навье —
Стокса на основе соотношения A1.36) (а не A1.33)), в котором
^5ыла отброшена диссипативная функция Ф. Нестационарные
сжимаемые уравнения Навье — Стокса рассматривались как не
полностью параболическая система и показано, что число гра-
граничных условий, приведенных в табл. 11.6, необходимо и до-
достаточно для постановки хорошо обусловленной задачи. Кроме
того, были определены специфические комбинации граничных
условий, которые дают корректную постановку задачи. Условия
совместности, связанные с характеристиками эквивалентных
уравнений Эйлера, приводят к граничным условиям типа Ди-
Дирихле. После этого накладываются граничные условия Ней-

§ 11.7. Заключение 5S
мана, необходимость которых связана со сжимаемыми уравне-
уравнениями Навье — Стокса.
Для многих течений при больших числах Рейнольдса тече-
течение вдали от тела ведет себя так, будто оно подчиняется урав-
уравнениям Эйлера, а не уравнениям Навье — Стокса. Такое пове-
поведение наталкивает на мысль о соответствующем выборе гра-
граничных условий. И действительно, такой выбор себя часто
оправдывает. Строго говоря, если подобная постановка гранич-
граничных условий приводит к недоопределенности задачи, то можно»
потерять единственность решения. Переопределенность же числа
граничных условий, как правило, приводит к появлению в ре-
решении резких нефизичных пограничных слоев в окрестности
рассматриваемых границ. Граничные условия на удаленных
границах должны определяться таким образом, чтобы они были
«прозрачны» для решения, т. е. удаление границ от тела не
должно приводить к изменению решения. Более подробно гра-
граничные условия для вязких сжимаемых течений рассматри-
рассматриваются в работе [Peyret, Taylor, 1983].
§ 11.7. Заключение
Рассмотрены кратко свойства воздуха и воды. В инженер-
инженерных приложениях динамики жидкости воздух и вода являются
наиболее часто встречающимися жидкостями. Для них харак-
характерна малая вязкость. Воздух легко сжимаем, вода же в жид-
жидкой фазе практически несжимаема.
Основной целью данной главы был вывод уравнений и гра-
граничных условий, описывающих движение жидкости. При вы-
выводе уравнений рассматривался малый объем и налагались
условия выполнения для этого объема законов сохранения мас-
массы и энергии; для импульса требовалось, чтобы скорость его
изменения была равна сумме действующих сил. Обезразмери-
вание основных уравнений приводит к появлению ряда безраз-
безразмерных параметров и введению понятия динамического подо-
подобия. Наиболее важными безразмерными параметрами являются
числа Маха и Рейнольдса.
Для получения упрощенной формы уравнений была введена
классификация течений на основе свойств вязкости и сжимае-
сжимаемости (табл. 11.4). Согласно этой классификации, особо полез-
полезной для инженерных приложений, течения подразделяются
на невязкие, течения в пограничных слоях и отрывные как для
сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости.
В случае сложных областей расчета желательно представить
уравнения в обобщенных криволинейных координатах; эта

56 Гл. И. Динамика жидкости: основные уравнения
•будет сделано в гл. 12. Вычислительные методы, описанные в
гл. 3—10, будут применены в гл. 14—18 к уравнениям и гра-
граничным условиям, выведенным в гл. 11.
§ 11.8. Задачи
Физические свойства жидкостей (§ 11.1)
11.1. Нанесите на график зависимости от температуры v, а и Рг для
воздуха при р = 100 кПа и р = 500 кПа. Прокомментируйте поведение
кривых.
11.2. Нанесите на график зависимости от температуры v, а и Рг для
воды при давлении насыщенных паров. Сравните их с кривыми для воздуха.
11.3. Нанесите на график зависимость \i, представленную в табл. 11.1,
ют температуры Т и сравните полученную кривую с зависимостями
(a) |i = |iaoe(T/3OO)«-w
(b) формулой Сазерленда
1.458 X Ю~6ГК5
**"~~ 110.4+ Т
где Г (К)—абсолютная температура.
Уравнения движения (§ 11.2)
11.4. Покажите, что уравнение неразрывности в цилиндрических коорди-
координатах имеет вид
тде vfJ Vp vz — компоненты скорости в направлениях г, 0 и 2.
11.5. Покажите для несжимаемого ламинарного потока, что стационарные
юсесимметричные уравнения Навье — Стокса (импульса) имеют вид
dv dv I
? + « JL +
я —?- + « —JL + _-/,
г дг * dz p дг
да дя„ 1 др
г + iL
V _jl\
г г2 )
г дг ^ г dz ^ p dz У г
в предположении, что массовые силы отсутствуют и t>Q = 0. Компоненты ско-
скорости vr и vz направлены соответственно в радиальном (г) и осевом (z) на-
направлениях.
11.6. Покажите, что стационарное уравнение энергии для несжимаемой
жидкости с постоянной теплопроводностью в сферических координатах мож-
можно представить в виде
тде
De de va de v^ de
ЦТ ~Vr~d?+T'W+ г sine ~дФ
д2Т
sin2 9

§ 11.8. Задачи 57
11.7. Взяв уравнения A1.116), A1.117), описывающие вязкие сжимаемые
течения, проведите их обезразмеривание, как это было сделано для уравне-
уравнения A1.41), положив
„*__?_ о*__ Р т* —— и* ?i- е* — к*— k
рГ^' ~рГ Tj »J Ul kj
Покажите, что безразмерные уравнения имеют тот же вид, что и размерные,,
за исключением сдвиговых напряжений и скоростей переноса тепла, которые
принимают, например, вид
в •Baa7a**-B/3)g)«) Q* :_ ь. дТ*/дх*
где Re = p^tf^L/^, M^ = U^/yRT^ Pr = И-оо^оо- Прокомментируйте,
удобна ли безразмерная форма уравнений для описания (а) гиперзвуковых
течений, М« > 5; (Ь) течений малой скорости с большими разницами темпе-
температур, обусловленными граничными условиями.
Несжимаемые невязкие течения (§ 11.3)
11.8. Двумерные безвихревые невязкие несжимаемые течения описывают-
описываются уравнениями
ди dv 0 ди dv Q
дх ду ' ду дх
После введения функции тока ф
ду дх
эти уравнения сводятся к уравнению Лапласа V2i|) = 0. Прокомментируйте
преимущества подхода на основе функции тока по сравнению с потенциалом
скоростей A1.51) применительно к (а) граничным условиям, (Ь) обобщению
на трехмерный случай.
11.9. Покажите, что при двумерном потенциальном обтекании цилиндра
коэффициент поверхностного давления, Ср = (р — p«>)/72p^iL равен Ср =
= 1 — 4 sin2 G, где 9 отсчитывается от передней точки торможения. Укажите
диапазон 0, в котором это выражение верно для: (а) ламинарного течения,.
(Ь) турбулентного течения.
Несжимаемые течения в пограничном слое (§ 11.4)
11.10. Для ламинарного пограничного слоя у плоского клина (п. 15.1.2)
скорость на внешней границе пограничного слоя задается выражением
Ue==QX&H2~&\ гДе Р — Угол раствора клина. Покажите, что путем введения-
автомодельной переменной ц = у{ие/[B — P)rv]}1/2 и зависимой переменной
/ = i|V[B— $)uexv]i/2, где г|э — функция тока, уравнения A1.60) и A1.61)
сводятся к одному уравнению
d3f ,fd*f Г fdf
11.11. Покажите, что в результате интегрирования уравнения A1.61>
поперек пограничного слоя можно получить уравнение для интегрального им-
импульса

58 Гл. 11. Динамика жидкости: основные уравнения
6
^ (и/ие) A - и/ие) dy и Я = 670.
о
Как это соотношение изменится для уравнений A1.73)—A1.75), описываю-
описывающих двумерный турбулентный пограничный слой?
Несжимаемые вязкие течения (§ 11.5)
11.12. Покажите, что путем введения переменной Бернулли # = р+
-{-р (и2-\-v2)/2 в стационарном случае уравнения A1.83) и A1.84) сводятся
к виду
дН _ \ dl дН _ 1 61
°5 + ИС +
где завихренность ? = dw/df/ — dvjdx. К какому виду сводятся приведенные
выше уравнения при внешнем обтекании изолированного тела в «невязкой»
зоне вдали от тела? Может ли это быть использовано при разработке эффек-
эффективных вычислительных алгоритмов?
11.13. Выведите уравнение A1.91). Какой вид данное уравнение будет
иметь в трехмерном случае, если правую часть выразить через компоненты
скорости?
Сжимаемые течения (§ 11.6)
11.14. Исходя из уравнений A1.10), A1.21) и A1.101) для невязкого
•сжимаемого потока, выведите двумерные уравнения, эквивалентные A1.103)
и A1.104).
11.15. Применив предположение пограничного слоя F<L) к уравнению
энергии A1.38), получите уравнение энергии в пограничном слое A1.113).
11.16. Для двумерного течения вязкого сжимаемого воздуха преобра-
преобразуйте A1.116), A1.117) к пятикомпонентной (и, v, p, p, T) системе путем
включения уравнения состояния и замены ?, р сдвиговыми напряжениями и
скоростью переноса тепла.

Глава 12
Обобщенные криволинейные
координаты
При расчете течений в сложных областях, в том числе около
тел реальной формы (канал, воздухозаборник, самолет, автомо-
автомобиль и т. д.), приходится рассматривать расчетные границы, не
совпадающие в физическом пространстве с координатными ли-
линиями. Для конечно-разностных методов это приводит к тому»
о-ЖсЯ облает»
Область в обобщенных
координатах
Рис. 12.1. Соответствие между физической областью и областью в обобщен-
обобщенных координатах.
что при постановке граничных условий требуется применять
сложную интерполяцию на линии локальной сетки, из-за чего,,
как правило, происходит локальная потеря точности численного
решения.
Подобные трудности служат поводом для введения отобра-
отображения или преобразования физического пространства (х, у, г)
к пространству (|, т), ?) обобщенных криволинейных координат.
Область в обобщенных кородинатах строится таким об-
образом, чтобы границы в физическом пространстве совпа-
совпадали с координатными линиями в пространстве обобщенных ко-
координат.
Использование обобщенных координат предполагает, что ис-
искривленная в физическом пространстве область преобразуется
в обобщенных координатах в прямоугольную (рис. 12.1). Урав-
Уравнения должны быть записаны с использованием в качестве

60
Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
независимых переменных обобщенных координат, и дискретиза-
дискретизация проводится в пространстве этих координат. Таким образом,
расчет, проводимый в обобщенных координатах, становится
весьма эффективным. Например, при расчете течения в двумер-
двумерном искривленном канале имеет смысл сделать так, чтобы стен-
стенки канала совпадали с линиями постоянного значения г\
(рис. 12.2).
Перемещение вдоль стенки канала, например от Л к В или
от D к С, соответствует в этом случае в расчетной области из-
изменению координаты ?. Для точек, лежащих на некоторой ли-
К=КМАХ
j=JMAX
х
Рис. 12.2. Двумерный искривленный канал.
нии г|, соединяющей соответствующие точки на АВ и CD, зна-
значения I,- постоянны, а ц меняется (от rji на А'В' до т]Кмах на
C'Dr). Для точки (/, k)y лежащей на этой линии т), ? = ?/ и
r\=r\k- В физической области ей соответствует точка с коорди-
координатами X = x(lh Щ) И I/=#(?/, TJ*).
Использование криволинейных координат дает дополнитель-
дополнительные возможности. Прежде всего расчетная сетка в пространстве
обобщенных координат в физическом пространстве может соот-
соответствовать движущейся сетке, что имеет место в нестационар-
нестационарных течениях с подвижными границами.
Отображение физического пространства на пространство об-
обобщенных координат позволяет произвести сгущение координат-
координатных линий в физическом пространстве в областях, где можно
ожидать появления больших градиентов. Если области больших
градиентов изменяются со временем, например при перемещении
ударных волн, физическую сетку можно перестраивать так, что
локальная сетка будет достаточно мелкой для получения реше-
решений требуемой точности.

§ 12.1. Преобразование координат 61
Для стационарных течений возможность перемещения сетки
в процессе проведения итераций весьма полезна. Если положе-
положение областей больших градиентов заранее неизвестно, использо-
использование обобщенных координат позволяет реализовать итерацион-
итерационный процесс с адаптивным построением сетки так, что поле
течения во всех частях расчетной области будет получено с
одинаковой точностью. В результате получится более эффектив-
эффективное расположение узлов сетки.
Использование обобщенных координат приводит к определен-
определенным трудностям. Во-первых, необходимо определить вид урав-
уравнений в обобщенных координатах. Данный аспект будет рас-
рассмотрен в § 12.3. Численное решение типичного уравнения в
частных производных будет рассмотрено в § 12.4.
В уравнениях, записанных в криволинейных координатах, по-
появляются дополнительные члены, определяющие отображение
физической области на пространство обобщенных координат.
Эти дополнительные члены (параметры преобразования) имеют
форму производных, например дх/д^ и обычно для них также
приходится проводить дискретизацию (§ 12.2). Это является до-
лолнительным источником ошибок в решении (п. 12.2.3). Вывод
лараметров преобразования приведен в § 12.1.
§ 12.1. Преобразование координат
В данном параграфе будет установлена связь между физи-
физическими (х, у, z) и расчетными (|, т), ?) координатами. Обобще-
Обобщение на преобразования, зависящие от времени (х, у, z, t-+l, ц,
"?, г), приведено в работах [Sieger, 1978; Thompson et
al., 1985].
12.1.1. Обобщенные координаты
Предполагается, что между физическими и обобщенными ко-
координатами существует взаимно однозначное соответствие, ко-
которое может быть записано в виде
? = ?(*, У, *)> Л = Л(*. У> *)> ? = ?(*, У> z) (I2-1)
и соответственно х = х(%, г), ?) и т. д. Конкретные соотношения
определяются при построении сетки в физической области
(гл. 13).
При заданных функциональных зависимостях | = |(х, у, z)
уравнения могут быть преобразованы к виду, содержащему част-
частные производные по |, г], ?.

62
Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
В качестве примера можно привести первые производные от
компонент скорости и, v и w по х, у и г. Они имеют вид
A2.2)
du
dx
dv
dx
dw
Ix
есь
вна
du
dy
dv
dy
dw
W
du "
dz
dv
dz
dw
~dz~_
фигурирует
- du
dl
dv
dl
dw
матрица
-
du
dr\
dv
di\
dw
^r
du ~
dl
dv
dl
dw
dl _
~ d%
~b~x
dr\
dx
dl
_ dx
dl
dy
dn
dy
dl
dy
dl
dz
dn
dz
dl
dz
Якоби преобразования
dl
dx
dr\
dx
dl
dx
dl
dy
df|
dy
dl
dy
dl ~
dz
dn
dz
dl
dz _
A2.3)
В принципе, если известны аналитические зависимости ? =
= 1(х, у, г), элементы матрицы J могут быть определены непо-
непосредственно. На практике явные аналитические связи не всегда
известны, и более удобно работать с обратной матрицей Якоби,.
определяемой выражением
1-1:
dx
dl
dy
dl
dz
dl
dx
dn
dy
dn
dz
dn
dx
dl
dy
dl
dz
dl
A2.4)
Элементы матрицы J-1 можно выразить через элементы мат-
матрицы J, если заметить, что
- Транспонированная к алгебраическому дополнению J /ю к\
J — т-ргц • \U-O)
Определитель обратного якобиана |J~'| равен
— у^гг), A2.6)
где *? = дл:/д? и т. д. В случае двух переменных (|, г\) выра-
выражение A2.6) упрощается (zt= I, y^ = x^ = 0) и принимает вид

§ 12.1. Преобразование координат 63
Используя A2.5) и A2.6), элементы матрицы J в A2.3) можно
выразить в форме
—ж
r
b- i j—ж, > Cif |j-i| > b- | j—ж | •
где |J~l| задается выражением A2.6).
После построения сетки в физической области (гл. 13) можно
определить дискретную форму элементов, например х^, обратной
матрицы Якоби (§ 12.2). После этого для определения элемен-
элементов, например ?*, матрицы Якоби A2.3) используются уравне-
уравнения A2.7). Это облегчает дискретизацию уравнений в обобщен-
обобщенных координатах, где они имеют более компактную структуру
лри записи их с использованием %х и т. д., а не х% и т. д.
12.1.2. Метрический тензор
и физические свойства преобразования
Для установления связи между обобщенными, ортогональ-
ортогональными и конформными координатами удобно ввести в рассмотре-
рассмотрение метрический тензор gu, который связан с матрицей Якоби J
A2.3). При этом будут использоваться тензорные обозначения
fAris, 1962].
Предполагается, что физическая область рассматривается
в декартовых координатах х'( = х, у, г), ? = 1,3, а расчетная —
в обобщенных координатах ?'( — ?> Л> ?)» *' = 1» 3.
Малое расстояние As между двумя точками физического про-
пространства может быть выражено через приращения координат
з
As2=Z&xkAxk. A2.8)
k=\
Изменения физических координат Axk могут быть связаны с со-
соответствующими изменениями обобщенных координат Д|':
Ах* = ^АБ' A2.9)
(подразумевается суммирование по i). Следовательно, малое
расстояние As связано с обобщенными координатами соотноше-

64
Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
нием
(подразумевается суммирование по i и у), где
dxk dxk
A2.11)
Метрический тензор gij устанавливает связь малых измене-
изменений обобщенных координат Д?' с расстоянием As. Более под-
подробно метрический тензор рассматривается Арисом [Aris, 1962].
х
Рис. 12.3. Физические свойства расчетной сетки.
В двумерном случае длины отрезков, связанные с малыми из-
изменениями | и г] соответственно, равны Asg = g\{2^> и As<n =
==3>222А'П (Рис- 12.3).
В случае двух координат соотношение A2.11) удобно пред-
представить в виде матрицы
A2.12)
где, как и ранее, *|=d;e/di, a |J| —детерминант матрицы Якоби
A2.3).

§ 12.1. Преобразование координат 65
В матричном виде метрический тензор может быть выражен
через обратный якобиан A2.6): g = (J-l)TJ-lu Определяя детер-
детерминант, можно получить
Ig|1/2 = |J-'|. A2.13)
Это легко получить, особенно в двумерном случае, прямой под-
подстановкой.
Метрический тензор gtj и различные параметры преобразо-
преобразования х% и т. д. могут быть связаны с физическими свойствами
расчетной сетки (рис. 12.3). Здесь будет приведен ряд формул
для случая двух координат. Площадь ячейки сетки (рис. 12.3)
определяется соотношением
Площадь = | g |1/2Л?Лл, A2.14)
которое, согласно A2.13), дает физическую интерпретацию об-
обратного якобиана. Физическая ориентация расчетной сетки (ка-
(касательная к координатной линии I) относительно оси х задается
косинусом угла наклона
Отношение сторон сетки AR определяется отношением длины
касательных векторов (при Д? = Arj)
Локальная деформация сетки определяется углом 0 между ко-
координатными линиями I и ц:
cos9 = —?!» . A2.17)
В трехмерном случае связь физических сеточных параметров
с компонентами метрического тензора определена в работе
[Kerlick, Klopfer, 1982].
12.1.3. Ограничения на ортогональные и конформные координаты
Использование обобщенных координат позволяет рассматри-
рассматривать произвольные геометрии. Однако хорошо известно, что точ-
точность решения уменьшается при деформации сетки. Для получе-
получения высокой точности сетка должна быть ортогональной или
почти ортогональной. Для ортогональных систем координат не-
некоторые члены преобразования пропадают и уравнения упро-
упрощаются. Если, кроме того, система координат конформная, про-
происходит дальнейшее упрощение уравнений. Использование
5 К. Флетчер, т. 2

66 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
полностью ортогональных или конформных систем координат
возможно лишь при сравнительно простой форме границ рас-
расчетной области. При этом возникают некоторые ограничения на
положение сеточных узлов.
Для двумерной ортогональной сетки должно выполняться
условие 6=90° (рис. 12.3). Тогда, согласно A2.17),
A2.18)
В трехмерном случае условие ортогональности имеет вид
&1 = 0, 1ф\. A2.19)
Если система координат ортогональная, т. е. метрический
тензор содержит только диагональные члены gu, удобно ввести
обозначения
fii=(gn)U2, i=l, 2, 3 (нет суммирования). A2.20)
Члены hi могут рассматриваться как скалярные множители, по-
поскольку на ортогональных сетках при малых изменениях коор-
координаты V в физической области имеет место соотношение
bs = hib3? (нет суммирования). A2.21)
В двумерном случае из условия ортогональности, согласно
A2.12), следует
AR AR A2.22)
где AR — отношение сторон сетки A2.16).
При AR = 1 условия A2.22) сводятся к условиям Коши —
Римана и сетка получается конформная. Если AR постоянно, но
не равно единице, простое изменение масштаба по ? и ц приве-
приведет к соответствующей конформной системе координат.
Уровень сложности уравнений в различных системах коорди-
координат может быть оценен из рассмотрения уравнения Лапласа.
В двумерном случае в декартовых координатах оно имеет вид
д Т » д Т —~ Л9 9<tt
дх2 ^ ду2 ~U* \1*.М)
В обобщенных координатах (?, г\) уравнение A2.23) можно за-
записать в следующем виде:
~Ь"Т~( 172 7" ~Ь ГТРГ "Г~ I == 0» A2.24)
g{f2
где g*22 и т. д. определяются из A2.12), a gl/2 — из соотношения
A2.25)

§ 12.1. Преобразование координат 67
Другими словами, g— детерминант матрицы g. Такое обозначе-
обозначение, а не |g|, как в A2.4), использовано здесь для компакт-
компактности.
Подстановкой в A2.24) различных членов можно после неко-
некоторых преобразований получить консервативную форму этого
уравнения (п. 12.3.2):
Здесь / — определитель матрицы J (ранее обозначаемый через
|J|), а V2l = \хх + 1уУ и т. д. Можно заметить, что в A2.26)
входят вторая смешанная производная и первые производные,
которых нет при записи в декартовых координатах. Кроме того,
члены V2|, V2r] содержат вторые производные от параметров
преобразования, которые часто бывает трудно определить с тре-
требуемой точностью (п. 12.2.3).
Если система координат ортогональная, то gw = 0 и уравне-
уравнение A2.24) принимает вид
2 дТ\ д (Н1_дТ\_ (\0<Г7\
l Г dl ) + "^Г U2 W — U' {U.Zi)
где ортогональные скалярные множители равны
К=(ёпУ2=D+ у\У12' К=Ы - К + у1У'2-
Соответствующая консервативная форма уравнения A2.27) со-
совпадает с A2.26), за исключением того, что в ней отсутствует
смешанная вторая производная. Для конформной сетки /zi=/i2
и сеточные параметры удовлетворяют условиям Коши — Римана
Хц = -У1> Уп = *1- A2.28)
Поскольку h\=h2, уравнение A2.27) сводится к уравнению
Лапласа
т. е. структура уравнения не сложнее, чем в декартовых коорди-
координатах.
Выбор между конформными, ортогональными или обобщен-
обобщенными координатами обычно определяется природой расчетных
границ. Если геометрия расчетной области достаточно проста
и сетка может быть построена таким образом, что ее точки по-
попадают в область больших градиентов, следует использовать кон-
конформные координаты, поскольку они вводят в уравнения
5*

68 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
наименьшее число дополнительных членов и, следовательно, по-
позволяют разработать более экономный алгоритм расчета. В слу-
случае трех пространственных переменных построение полностью
конформных или ортогональных стенок обычно невозможно. По-
Поэтому уравнения должны быть записаны в обобщенных коорди-
координатах, хотя и возможны некоторые упрощения по отдельным
координатным направлениям или в локальных расчетных под-
подобластях.
§ 12.2. Аппроксимация параметров преобразования
Если возможно аналитическое отображение физической об-
области (х, у) в расчетную (|, т]), что имеет место при простых
конформных преобразованиях, параметры преобразования лг§
и т. д. могут быть определены точно. Обычно отображение опре-
определяется лишь для точек сетки, и параметры преобразования
приходится определять численно. Для простоты в данном пара-
параграфе это будет проиллюстрировано в двумерном случае. Обоб-
Обобщение на трехмерные сетки проводится очевидным образом.
Дискретизация уравнений в обобщенных координатах прово-
проводится в области (?,ti) и отображение обычно производится та-
таким образом, что в области (?, ц) определяется однородная пря-
прямоугольная сетка (рис. 12.2).
Численное определение параметров преобразования может
быть проведено обычными методами дискретизации (гл. 3 и 5).
В п. 12.2.1 используются формулы с центральными разностями.
Аппроксимация на основе метода конечных элементов описана
в п. 12.2.2. Томпсон и др. [Thompson et al., 1985] предложили
аппроксимацию на основе метода конечного объема. Однако для
аппроксимации параметров преобразования и производных в
рассматриваемых уравнениях рекомендуется использовать одну
и ту же дискретизацию.
12.2.1. Формулы с центральными разностями
Аппроксимацию параметров преобразования удобнее всего
провести через переменные х%, х^ и т. д. Для точки Р (рис. 12.4)
можно записать формулы с центральными разностями
_ */+!,»— */-i,fe _ xj,k+\ -*/,fe-i
х « _ _ х ^ _. _
Б
—Б/—I. * Ч/.*+1-Л/.*_1
-y;fc Ум1-У/*1
В общем случае при преобразовании к обобщенным координа-
координатам уравнений второго порядка (п. 12.3.2) необходимо опреде-

§ 12.2. Аппроксимация параметров преобразования
69
лить некоторые вторые производные. Например,
xj—\, к ~ 2л7, к + */ + !, к
*7 + 1, fe + 1 -~ xi-l, k + l "т" xj—I, fe-1 "~ ^/ + 1, fe—1
A2.31)
t fe+i
Здесь подразумевается, что сетка в плоскости (?, г]) равномер-
равномерная, т. е. Д? = |/+1 — 6/ = g/ — g/_i и т. д. Аналогично можно
определить параметры у^ и т. д.
После определения основных параметров преобразования
с помощью A2.30) и A2.31) обратные параметры |* и т. д.
/с+1
а;
Рис. 12.4. Расчетная сетка в физической области.
можно получить из уравнений A2.7). Типичные уравнения дви-
движения жидкости (п. 12.3.3) можно записать более компактно
с помощью членов типа ?*, появляющихся в них явно. Вторые
производные обратных параметров, например ?**, можно выра-
выразить через соотношения A2.31). Конкретный вид этих соотноше-
соотношений представлен выражением A2.81). После аппроксимации па-
параметров х\ и т. д. параметры сетки g//, a, AR и 9 могут быть
получены соответственно из уравнений A2.12), A2.15) — A2.17).
Аппроксимация параметров преобразования производится
по формулам более высокого порядка, чем A2.30) и A2.31).
Как правило, для дискретизации параметров преобразования

70 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
используются те же разностные формулы, что и для аппрокси-
аппроксимации производных в уравнениях. Данный аспект будет рас-
рассмотрен в п. 12.2.3.
Если уравнения решаются на ортогональной сетке, члены,
пропорциональные внедиагональным элементам gu метрического
Рис. 12.5. Дискретная ортогональность.
тензора, могут быть отброшены. В случае двумерной ортого-
ортогональной сетки g{2 = Х1*ц + У\Ух\= 0- Если параметры преоб-
преобразования х± и т. д. аппроксимируются численно, чрезвычайна
важно, чтобы дискретное представление соответствующих чле-
членов gij было равно нулю. Так, например, для двумерной орто-
ортогональной сетки аппроксимация g\2 может быть осуществлена
следующим образом:
Геометрическая интерпретация выражения A2.32) представлена
на рис. 12.5. Чтобы условие ортогональности выполнялось на
дискретном уровне, необходимо чтобы линии А В и CD были
перпендикулярны. Следовательно, если параметры преобразова-
преобразования на ортогональной сетке определяются численно, сетка долж-
должна быть построена так (п. 13.2.4), чтобы выполнялись дискрет-
дискретные условия ортогональности.
12.2.2. Аппроксимация методом конечных элементов
При аппроксимации параметров преобразования методом ко-
конечных элементов также получаются уравнения A2.30) и
A2.31). При изопараметрическом построении (п. 5.5.3) на четы-
четырех прилежащих элементах (Л, В, С и D на рис. 12.4) с били-

§ 12.2. Аппроксимация параметров преобразования
71
нейной интерполяцией и осреднением величины х% и ей подоб-
подобных в точке Р можно получить выражение A2.30). Если изопа-
раметрическое построение использовать на одном квадратичном
элементе Лагранжа с точкой Р в качестве внутреннего узла,
можно получить как A2.30), так и A2.31).
Для лучшего контроля за распределением по пространству
значения якобиана имеет смысл рассмотреть в пространстве
гчА.ч
ч^
¦ к+\
J+1
Рис. 12.6. Неоднородная прямоугольная расчетная сетка.
ЦуЦ) прямоугольную, но неравномерную сетку (рис. 12.6). Ве-
Величины г^ и гп определяют увеличение шага сетки. В этом более
общем случае для первых производных от параметров преобра-
преобразования, подобных #?, по-прежнему верны соотношения A2.30);
выражения A2.31), однако, заменяются следующими:
I
I
Д|2
/—1, k+\
/—1, k-l
V+i, fe-i
A2.33)
—0
12.2.3. Дополнительные ошибки, связанные с использованием
обобщенных координат
Может показаться, что для определения влияния использо-
использования обобщенных координат на ошибку решения достаточно
получить выражение для ошибки аппроксимации и ожидать, что

72 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
факторы, вызывающие увеличение ошибки аппроксимации, ана-
аналогичным образом повлияют на ошибку решения. Однако, как
следует из п. 10.1.5, соответствие не является вполне точным.
В качестве иллюстрации рассмотрим производную дТ/дх.
В обобщенных координатах она может быть представлена в виде
ОТ/д* = 6^ + 4*7* 02-34)
где Тг = дТ1д1 и т. д.
В дальнейшем будем считать, что использование обобщенных
координат состоит лишь в растяжении вдоль оси х и, таким об-
Физическая область Область расчета
Ъ* }н Ъ tj
ДХ—э4«б ГХЬХ-
Рис. 12.7. Одномерное отображение.
разом, ц=у. Уравнение A2.34) приводится к виду
ОТ 7\
ж=^- <1235>
Аппроксимацию A2.35) центральными разностями можно осу-
осуществить следующим образом (рис. 12.7):
дТ Г, Т^-Т,^
Разложение различных членов A2.36) в ряд Тейлора в окрест-
окрестности узла j в расчетной области дает
-г/-.
В предположении что Д? мало, данное выражение может быть
преобразовано к виду
U ^(I^lm)] A2.37)
Очевидно, что A2.37) является аппроксимацией производной,
и на первый взгляд порядок точности по \ равен двум. Однако
дальнейшие алгебраические преобразования A2.37) приводят

§ 12.2. Аппроксимация параметров преобразования 73
к выражению
l^Zl1^ =Tx + ^f [Txxx (x^f + ЗТхххг1] +.... A2.38)
Параметры преобразования х\ и х^ аппроксимируются следую-
следующим образом:
Ах
Подстановка этих выражений в A2.38) дает
A2.39)
Член в A2.38), содержащий jc^, привел к появлению ошибки
первого порядка в выражении, которое на регулярной (гх=1)
сетке в физической области имело бы второй порядок точности.
Для того чтобы точность выражения A2.36) была О (Ах2), не-
необходимо, чтобы Гх=1 + О(Ах). Другими словами, чтобы при
помощи трехточечной центрально-разностной формулы получить
аппроксимацию Тх со вторым порядком, необходимо, чтобы шаг
сетки в физической области увеличивался не слишком быстро.
Очевидно также, что использование неоднородной сетки при-
привело к появлению диффузионного и дисперсионного членов
(§9.2).
Интересно сравнить полученный выше результат (A2.38),
A2.39)) с ошибкой аппроксимации в представлении производ-
производной дТ/дх при точно известном х%. Выражение A2.36) запи-
запишется в виде
ат _ т1+1-тН1
дх ~ 2Д|л^
Разложение правой части в ряд Тейлора приводит вместо
A2.38) к равенству
A2.40)
Таким образом, использование точного выражения для х^ при-
приводит к появлению дополнительного и при том главного члена
в ошибке аппроксимации. Очевидно, что численное определе-

74 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
ние лг6 по тем же разностным формулам, что и 7^, предпочти-
предпочтительней, поскольку при этом в ошибке аппроксимации пропадает
член (Хщ/х^) Тх и ошибка в решении будет меньше.
Кроме того, использование формул более высокого порядка
или точных выражений для х^ и х^ может привести к невыпол-
невыполнению некоторых метрических тождеств [Thompson et al., 1985],
что влечет за собой появление ложных источниковых членов,
если производится дискретизация уравнений, записанных в кон-
консервативном виде (см. ниже). При любом способе аппроксима-
аппроксимации #? и Xq использование быстро растущих сеток приводит
к большим значениям х^ и х^9 что увеличивает ошибку аппрок-
аппроксимации дТ/дх.
Таким образом, в общем случае ошибка аппроксимации
определяется параметрами преобразования и, как в случае од-
однородных сеток, размером шага сетки и производными более
высокого порядка.
Дискретизацию д2Т/дх2 в одномерной расчетной области
(рис. 12.7) можно осуществить следующим образом:
дх>
Разложением в ряд Тейлора в узле / конечно-разностное вы-
выражение в правой части приводится к виду
RHS=^[l~2(rx-lJ]+..., A2.42)
т. е. данная аппроксимация имеет ошибку О (Ах2), если гх =
= 1 + 0(А*). Однако, если это не выполняется, такая аппрок-
аппроксимация Тхх в расчетной области вообще неверна. Это указывает
на то, что точность аппроксимации вторых производных (при ис-
использовании обобщенных координат с увеличением сетки) па-
падает быстрее, чем первых.
Если сетка неортогональна, использование обобщенных коор-
координат в многомерном случае приводит к появлению дополни-
дополнительных членов в ошибке аппроксимации. Обычно эти ошибки
пропорциональны cosG [Thompson et al., 1985], значение кото-
которого определяется выражением A2.17). Однако общепринято,
что допустимы отклонения от ортогональности до 45°.
При расчете течений с ударными волнами или областями
больших градиентов, как правило, желательно представить урав-
уравнения в консервативной форме A2.54) и дискретизацию их про-

§ 12.2. Аппроксимация параметров преобразования 75
водить так, чтобы она сохраняла консервативность. При ис-
использовании обобщенных координат возникают дополнительные
трудности. Это может быть продемонстрировано на примере
дискретизации первой производной Тх. В двумерном случае
/-¦Г, = (Ту^ - (Tyfo = Тгуц - T^t. A2.43)
Первое равенство является представлением Тх в расчетных ко-
координатах в консервативной форме; второе равенство — некон-
неконсервативное представление. При использовании центральных
разностей первое равенство преобразуется к виду (предпола-
(предполагается, что Ag = Arj = 1)
0.5 [(уЛж, * W/1, * (yfo Л+1 + (у,)Л
A2.44)
Если параметры преобразования также определяются централь-
центральными разностями, то A2.44) можно выразить в виде
{ГхТх)и k ~ 0.25 [Гж, k
+ TIt fcel (jf/+It ^, - */,_!,,_!)]. A2.45)
Если Т постоянна, то правая часть A2.45), как это и должно
быть, обращается в нуль.
Однако, если у^ и у\ в A2.44) определяются аналитически,
то нет гарантии, что правая часть A2.43) будет равна нулю при
постоянной Т. Из рассмотрения неконсервативной формы A2.43)
следует, что Г^ = 0 в случае постоянной Т при любом определе-
определении уц и уь
Важность консервативного представления уравнений приво-
приводит к следующему правилу [Thompson et al., 1984]. Параметры
преобразования уц и т. п. должны определяться численно, а не
аналитически, причем по тем же дискретным формулам, что и
производные зависимых переменных.
Другой важный результат, следующий из анализа ошибок
аппроксимации, состоит в том, что параметры роста шага сетки,
например гх на рис. 12.7, должны быть близки к единице. Дан-
Данное обстоятельство особенно существенно, если в уравнения вхо-
входят вторые производные от физических параметров. Строгая ор-
ортогональность сетки уменьшает число членов в преобразованных
уравнениях и, таким образом, делает алгоритмы расчета более
экономными. Однако точность расчетов на сетках, близких к ор-
ортогональным, сравнима с точностью, полученной на строго орто-
ортогональных сетках.

76 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
§ 12.3. Структура типичных уравнений
в обобщенных координатах
Соотношения, выведенные в п. 12.1.1, будут использованы
в данном параграфе для записи типичных уравнений в частных
производных в обобщенных координатах. В п. 12.3.1 и 12.3.2
в общем виде рассмотрены двумерные уравнения в частных про-
производных первого и второго порядков. В п. 12.3.3 полученные
формулы применяются к уравнениям, описывающим движение
жидкости.
12.3.1. Уравнение в частных производных первого порядка
В данном пункте уравнение в частных производных общего
вида будет преобразовано к эквивалентному уравнению в обоб-
обобщенных координатах. Подобную не более сложную структуру
имеют уравнения, описывающие движение невязкой жидкости,
записанные в консервативном виде.
Рассматривается следующее двумерное уравнение:
qt + Fx + Gy = O, A2.46)
где Fx ss dF/dx и т. д.
Предполагается, что сетка в физической области (рис. 12.1)
не изменяется со временем, т. е. обобщенные координаты (?, ц)
являются функциями только (х,у). Таким образом,
Ъ = Ъ(х, у), Л = Л(*, У). A2.47)
Более общий случай, когда сетка изменяется со временем, т. е.
? = ?(•*:, У у О» Л=Т1(*»У|О» рассмотрен в работах [Steger, 1978:
Thompson et al., 1985].
Введение обозначений
д «. д . д д * д . д
дх ~ *х д% ~г л* дг\ ' ду ~ *у д% "*" ЦУ дг\
позволяет записать A2.46) в виде
(^ + 1^ + 1^ + ^1 + ^11 = 0, A2.48)
где
Параметр У, определяемый выражением A2.49), есть якобиан
преобразования координат A2.3).

§ 12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 77
Члены типа ^xFi/J при помощи A2.7) можно записать
в виде
После подстановки этих выражений в A2.48) члены типа (уц)\
сокращаются и в результате получается уравнение
<7; + ^ + G; = 0, A2.51)
где
,.«4-, Г-Щ&-, О--^ + 3?. A2.52)
Очевидно, что после введения новых зависимых переменных
#*, F* и G* структуры уравнений A2.46) и A2.51) совпадают.
Сравнивая A2.46) и A2.51), заметим, что прямое преобразова-
преобразование пространственных производных можно записать в виде
Fx + Gy = J(Fl + G^ A2.53)
где F* и G* определяются уравнениями A2.52).
12.3.2. Уравнение в частных производных второго порядка
В данном пункте уравнение A2.46) будет записано в виде
уравнения второго порядка двумя способами. При первом имеем
qt + Fx + Gy = Rxx + Sxy + Туу. A2.54)
Чтобы получить уравнение, имеющее ту же структуру, что и
уравнения, описывающие движение жидкости, свойства которого
зависят от координат, будет рассмотрено также следующее
уравнение:
+ 09 = (aRx)x + (PS,), + FSx), + (уТу)у, A2.55)
где а, р, б и у могут быть функциями от (х, у).
Для записи уравнения A2.54) в обобщенных координатах
преобразование A2.53) используется в два этапа. На первом
из них A2.54) записывается в виде
y A2.56)
RHS = [Rx + eSy]x + [A - е) 5, + Ty]yt A2.57)
где е — параметр, определяющий распределение смешанной про-
производной Sxy между членами, заключенными в скобки. Исполь-
Используя A2.53), уравнение A2.57) можно записать в виде
A2.58)

78 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
где
P=$L(RX + esy) + -j- [A - в) Sx + Ту],
A2.59)
Г\ __. /D 1_ «С \ I у Г/1 «\ С _| у1 1
ИЛИ
P[%xR + A — е) if/5]jc + [|^б5 + %УТ]У ?,xxR + 1x^5 + \УУТ
/ /
Используя A2.53) вторично, Р преобразуют к виду
rffi + W + ffil , [Zx4xK + r\xtyS + *JS + ty4yTl __
A2.60)
Аналогичные преобразования позволяют преобразовать Q
к виду Q = Л^ + Вц + С. Подставляя данные выражения в
A2.58) и используя A2.53), дифференциальное уравнение
в частных производных второго порядка A2.54) можно записать
в строго консервативной форме
я)+F% + о;*=R\%+s;,+rw A2.6D
где
F~ = r + -
J
S + lyT , A2.62)
для вывода уравнений A2.61) и A2.62) был введен
параметр е, в окончательных выражениях он отсутствует. Строго
консервативная форма A2.61), подобная A2.54), сохранена за
счет введения более сложных зависимых переменных. Члены со
вторыми производными Rxx и т. д. делают вклад в члены с пер-
первыми производными по I и т).
В п. 12.2.3 отмечено, что если члены, подобные х^, связан-
связанные с растяжением сетки, немалы, точность дискретизации и,

§ 12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 79
следовательно, решения может серьезно пострадать. Данный эф-
эффект проявляется через члены типа ?**, входящие в F** и G**.
Члены, подобные ?**, могут быть непосредственно связаны с хц\
примером такой связи служат формулы A2.81) и A2.82).
Для более общего вида уравнений в частных производных
второго порядка A2.55) осуществление двух этапов применения
уравнения A2.53) снова дают A2.61) со следующей заменой
A2.62):
т] (i.),
СГ = (Г + [(аЛ,), R + (РлЛ S + (влЛ 5 + (уцу)у Т] (|) ,
к* = №1* + (Р +б) UyS + уЩЦ (у) • A2-63>
(у) •
Г = [atg* + (Р + б) л,Л,5 + Y4JH (у) •
12.3.3. Уравнения движения жидкости
Уравнения неразрывности и Эйлера являются уравнениями
в частных производных первого порядка. Уравнения для им-
импульса и энергии в случае вязких течений имеют второй по-
порядок.
Уравнение неразрывности A1.10) может быть непосредствен-
непосредственно записано в виде A2.51), если положить # = р, F = pu, G=pv.
В этом случае F* и G* равны
p(y+v). (|2Л4)
Полезно ввести в рассмотрение контравариантные компо-
компоненты скорости Uc и Vе—компоненты вдоль координатных
линий I и л соответственно:
A2.65)
Уравнение неразрывности в обобщенных координатах тогда
имеет вид
что весьма схоже со структурой уравнения в декартовой си-
системе координат.
Для несжимаемой вязкой жидкости уравнение х-компоненты
импульса A1.83) в безразмерной консервативной форме имеет

80 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
вид
Щ + (и2 + р)х + (uv)y = ±(uxx + и9У), A2.67)
что соответствует A2.54), если
q = u, F = u2 + p, G = uv, R + T = u/Ret S = 0.
В результате A2.61) и A2.62) сводятся к виду
ft + Т + О; = i№ + SI, + Гт), A2.68)
где
w] (т) ¦
На ортогональной сетке приведенное выше выражение для 5*
равно нулю, что упрощает применение для его численного реше-
решения приближенно факторизованных схем (§ 8.2).
В п. 12.3.2 отмечено, что появление членов типа %хх в Т7**
и G** в A2.69) может привести к ошибке при существенном рас-
растяжении сетки. Однако ясно, что при больших числах Рей-
нольдса Re в A2.69) это обстоятельство несущественно, по-
поскольку во многих случаях
и т. д. A2.70)
Для двумерных ламинарных сжимаемых течений уравнение
jc-компоненты импульса в консервативной форме A1.26) можно
записать в виде
(pu)t + (pa2 + p)x + (9uv)y = ^ + ^2-, A2.71)
где вязкие напряжения ххх и %ху равны
и у Wv х*у = ^пу + ^х. A2.72)

§ 12.4. Численное применение обобщенных координат 81
Подстановка этих выражений в A2.71) приводит к уравнению
вида
(pu)t + (ри2 + р)х + (puv)y = (-| )х ( )х
+ (\Юх)у + (\шу)у. A2.73)
Это уравнение имеет ту же структуру, что и A2.55), если по-
положить
R = T = u, S = v, A2.74)
Следовательно, преобразование A2.73) к обобщенным коор-
координатам может быть представлено в виде A2.61), где
q' = pu/J,
f = { 9uUc + [4 (цУ * + Ыу)у] и + [- 4 ШУ +
сг={?uvc + [4 (цти), + (цлЛ]" + [- f (
+ (Wy)x] V + ЛхР
ЯГ = [DБ» + Б») |ш + (|) БЛ«] (|).
5* = [2 (yi^ + V1,) !*« + (т) ««Л* + W о] (у) ,
Уравнения динамики жидкости в консервативном виде в об-
обобщенных координатах рассматриваются в работе [Eiseman,
Stone, 1980]. Применение обобщенных координат для решения
задач динамики жидкости иллюстрируется в п. 15.4.2 и § 18.4.
§ 12.4. Численное применение обобщенных координат
При решении практических задач с использованием обоб-
обобщенных координат требуется записать решаемое уравнение в об-
обобщенных координатах (§ 12.3), численно (как правило) опре-
определить параметры, связанные с сеткой (§ 12.2), представить
уравнения в дискретной форме и решить их. Все эти этапы бу-
будут продемонстрированы на уравнении Лапласа, которое будет
решено в обобщенных координатах при помощи конечно-раз-
конечно-разностного представления в области, рассмотренной ранее при ил-
иллюстрации метода конечного объема (п. 5.2.3).
6 К Флетчер, т. 2

82
Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
12.4.1. LAGEN: уравнение Лапласа
в обобщенных координатах
Решение уравнения Лапласа
дЧ _ п
2 ~ и
л^а^-" A2J6>
будет найдено в области, изображенной на рис. 12.8, со следую-
следующими граничными условиями Дирихле:
ф = о на WX,
ф= sin BJrXY на XY, A2.77)
ф = i/rYZ на 7Z,
ф = sin B/rwz на ZW.
Уравнение A2.76) с граничными условиями A2.77) имеет точ-
точное решение
4>=sin8/r, A2.78)
которое будет использовано для оценки точности численного
решения.
/с=КМАХ
х W X
Рис. 12.8. Область решения уравнений A2.76), A2.77).
Уравнения Лапласа A2.76) в обобщенных координатах
можно получить из A2.26). Оно принимает вид
+{(*)¦}*+{(*)¦}„-•• <1279>

§ 12.4. Численное применение обобщенных координат 83
где
J = Ъх\ — 1уЧх, V2g = Ъхх + ?уУ и т. д.
Если различные члены, например а//, в A2.79) определены
в каждой точке сетки, можно легко осуществить дискретизацию
A2.79) с центральными разностями.
Как отмечено в § 12.2, проще начать с численного расчета
параметров х^ и т. д., определенных выражениями A2.30) и
A2.31). Различные члены в A2.79) могут быть выражены че-
через х% и т. д. Члены а//, р//, y/J могут быть получены из
A2.12):
GTT нее — = ч + уч
J Г1 '
(^ + У^ A2.80)
где якобиан обратного преобразования /~1 = х^у^ — хцу^. Обозна-
Обозначения GTT и т. д. введены в соответствии с программой LAGEN
(рис. 12.9).
Все члены правой части уравнений A2.80) могут быть полу-
получены из A2.30). Исходя из двумерного представления уравне-
уравнений A2.7) для производной от ?*, можно получить
A2.81)
Получив аналогичные выражения для %уу и сделав некоторые
преобразования, члены (V2?/7) и (V2r)//) можно представить
в виде
DET 71 = —- = у *nyss ur\ €s/ I у у?s^i у л ьчг i
—rj 1 A2.«2>
| 0ШТ(уЕ*1д*^ч) |
6*

1
2 С
3 С LAGEN APPLIES THE FINITE DIFFERENCE METHOD TO LAPLACES
4 С EQUATION IN GENERALISED COORDINATES ON A MODIFIED POLAR GRID*
5 С THE DISCRETISED EQUATION IS SOLVED BY SOR
6 С
7 DIMENSION XGB3,23),YGB3,23),GVWB1,21),GVTB1,21),GTTB1,21),
8 1DELZIB1,21),DELETB1,21).PHIB1,21),PHIXB1,21)
9 COMMON /GRIDP/XG,YG,PHIX,PHI
10 COMMON /TRAPP/GWW,GVT,GTT,DELZI,DEL*ET
11 С
12 OPENA,FILE»'LAGEN.DAT')
13 OPENF,FILE*'LAGEN.OUT1)
14 READA,1)JMAX,KMAX,NMAX,IEX,IPR
15 READ<1,2)RV,RX,RY,RZ,THEB,THEN,EPS,OM
16 READA,2)BXI,BXXI,CXI,CXXI
17 1 FORMAT(815)
18 2 FORMAT(8E10.3)
19 С
20 VRITEF,3)
21 VRITEFr4)JMAX,KMAX,NMAX,IEX,EPS,OK
22 VRITEF,5)RV,RX,RY,RZ,THEB,THEN
23 3 FORMAT (' LAPLACE EQUATION BY GEN. COORD. FDM\//)
24 4 FORMATC JMAX*\I2,f KMAX=\I2,' NMAX»M5,* IEX«\I2,
25 1' EPS»\E10.3,* OM=\F5.3)
26 5 FORMATC RV=\F5.3,' RX«\F5.3,' RY«\F5.3,f RZ«\F5.3r
27 15X,' THEB=',F5.1,' THE№>',F5.1,//)
28 AKM = KMAX - 2
29 AJM = JMAX - 2
30 С
31 С SET UP GRID
32 С
33 CALL GRIDUMAX,KMAX,THEB,THEN,RW,RX,RY,RZ)
34 С
35 С SET BOUNDARY VALUES OF PHI
36 С
37 DO 8 J » 1,JMAX
38 PHI(J,1) * 0.
39 PHI(J,KMAX) я PHIX(J,KMAX)
40 8 CONTINUE
41 DO 9 К = 1ДМАХ
42 РНК1Д) = РН1ХAД)
43 PHI(JMAX,К) = PHIX(JMAX,K)
44 9 CONTINUE
45 С
46 С SET GRID RELATED PARAMETERS
47 С
48 CALL TRAPA(JMAX,KMAX)
49 С
50 С ITERATE USING SOR
51 С
52 CALL ITER(JMAX,KMAX,NMAX,N,OM,EPS)
53 С
54 С COMPARE SOLUTION WITH EXACT
55 С
56 10 SUM = 0.
57 DO 15 К * 1ДМАХ
58 VRITEF,11)K
59 11 FORMAT(/,' K=\I2)
60 DO 12 J - l.JMAX
61 DIF = PHI(J,K) - PHIX(J,K)
62 SUM - SUM + DIF*DIF
63 12 CONTINUE
64 WRITEF,13)(PHI(J,K),J=1,JMAX)
65 VRITEF,14)(PHIX(J,K),J=1,JMAX)
66 13 FORMATC PHI=\10F7.4)
67 14 FORMATC PHX=\10F7.4)
68 15 CONTINUE
69 RMS = SQRT(SUM/AJM/AKM)
70 VRITEF,16)N,RMS
71 16 FORMAT(/,' CONVERGED AFTER \13,' STEPS, RMS*',E12.5)
72 17 CONTINUE
73 STOP
74 END
Рис. 12.9. Распечатка программы LAGEN.

§ 12.4. Численное применение обобщенных координат 85
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
С
С
С
С
С
С
SUBROUTINE GRID UMAX,KMAX,THEB,THENrRW,RX,RY,RZ)
SET THE AUGMENTED GRID, INITIAL AND EXACT PHI
DIMENSION XGB3,23),YGB3,23),PHIXB1/21),PHIB1,21)
COMMON /GRIDP/XG,YG,PHIX,PHI
JMAP = JMAX - 1
KMAP = KMAX - 1
AJM = JMAP
AKM = KMAP
DRWX = (RX - RV)/AJM
DRZY = (RY - RZ)/AKM
DTH = (THEN-THEB)/AKM
PI = 3.1415927
KPP = KMAX + 2
ГР = JMAX + 2
se; xg, yg, exact akd initial phi
DO 7 К * 1,KPP
AK = К - 2
ТНК = (ТНЕВ + AK*DTH)*n/180.
CK = COS(THK)
SK = SIN(THK)
DR = DRWX + (DRZY - DRWX)*АК/ЛКМ
RWZ = RW + (RZ - RW)*AK/AKM
DO 6 J = 1,JPP
AJ --- J - 2
R ' RWZ + AJ*DR
XG(JfK) = R*CK
YG(J,K) = R*SK
IF(K .EQ. 1 .OR. К .EQ. KPP)GOTO 6
IF(J .EQ. 1 .OR. J .EQ. JPP)GOTO 6
JM * J-1
KM = К - 1
PHIX(JM.KM) = SK/R
PHI(JM,KM) = PHIX(JM,KM)
6 CONTINUE
7 CONTINUE
RETURN
END
Рис. 12.10. Распечатка подпрограммы GRID.
Все члены, стоящие в правой части A2.82), A2.83), можно
выразить через A2.30), A2.31) и A2.80). После определения
GTT и т. д. через A2.80) — A2.83) в каждом узле сетки уравне-
уравнение A2.79) может быть при помощи трехточечных централь-
центральных разностей приведено к виду
0.5 [(DELZI.*)/+lt h - (DELZI.*),_lf J -
- 0.5 [(DELETE),, k+l - (DELETE)/, *-i] +
+ KGTT.*),_lf * - 2 (GTT.«/t k + (GTT.«/+lf k]
+• 0.26[(GWT.«/+lt Л+1 -(GWT. *),.,,*+!

Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2*
21
2%
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
С
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
SUBROUTINE TRAPA(JMAX,KMAX)
FROM GRID COORDINATES CALCULATES TRANSFORM PARAMETERS
DIMENSION XGB3,23),YGB3,23),PHIXB1,21),PHIB1,21)
DIMENSION GWVB1,21),GVTB1,21),GTTB1,21),DELZIB1,21),
1DELETB1,21)
COMMON /GRIDP/XG,YG,PHIX,PHI
COMMON /TRAPP/GWW,GVT,GTT,DELZI,DELET
' DO 2 К * 1ДНАХ
KP a K+l
KPP « К + 2
DO 1 J » 1,JMAX
JP » J + 1
JPP « J + 2
BASIC TRANSFORM PARAMETERS
XZI «
YZI *
XET =
YET «
XZZ «
YZZ «
XEE *
YEE >
XZE -
YZE >
• 0.5*(XG(JPP,KP) - XG(J,KP))
в 0.5*(YG(JPP,KP) - YG(JrKP))
к 0.5MXG(JP,KPP) - XG(JP,K))
в 0.5MYG(JP,KPP) - YG(JP,K))
« XG(J,KP) - 2.*XG(JP,KP) + XG(JPP,KP)
¦ YG(J,KP) - 2.*YG(JP,KP) + YG(JPP,KP)
в XG(JP,K) - 2.*XG(JP,KP) + XG(JP,KPP)
* YG(JP,K) - 2.*YG(JP,KP) ¦ YG(JP,KPP)
> 0.25*(XG(JPP,KPP)-XG(J,KPP)+XG(J,K)-XG(JPP,K))
• 0.25*(YG(JPP,KPP)-YG(J,KPP)+YG(J,K)-YG(JPP,K)>
AJ - XZI'YET - XET*YZI
MODIFIED METRIC TENSOR COEFFICIENTS, G11,G12,G22
GW(J,K) = (XZI*XZI + YZI*YZI)/AJ
GVT(J,K) * -2.*<XZI*XET + YZI*YET)/AJ
GTT(J,K) « (XET*XET + YET*YET)/AJ
MODIFIED DEL**2ZI AND DEL**2ETA
DUM = GTT(J,K)*(XET*YZZ-YET*XZZ)/AJ
DUM = DUM + GVT(J,K)MXET*YZE-YET*XZE)/AJ
DELZI(J,K) = DUM + GVV(J,K)*(XET*YEE-YET*XEE)/AJ
DUM » GTT(J,KLYZI*XZZ - XZI*YZZ)/AJ
DUM = DUM + GVT(JrK)MYZI*XZE-XZI*YZE)/AJ
DELET(J,K) = DUM + GWW(JД)*(YZI*XEE-XZI*YEE)/AJ
1 CONTINUE
2 CONTINUE
RETURN
END
Рис. 12.11. Распечатка подпрограммы TRAP A.
*_, - 2 (GWW.*),,
/f»+,l = 0. A2.84)
При записи A2.84) предполагалось, что в расчетной области
.Л| = Дт|= 1. Уравнение A2.84) можно решить методом верхней

§ 12.4. Численное применение обобщенных координат
87
1
2
3 С
4 С
5 С
6
7
8
9
10
11
12
13
14 С
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
SUBROUTINE ITER(JMAX,KMAX,NKAX,N,OM,EPS)
ITERATE USING SOR APPLIED TO DISCRETISED EQUATIONS
DIMENSION GWVB1,21),GVTB1,21),GTTB1,21)fDELZIB1,21),
1DELETB1,21),PHIB1,21),PHIXB1,21),XGB3,23),YGB3,23)
COMMON /GRIDP/XGfYG,PHIX,PHI
COMMON /TRAPP/GWW,GWT,GTT,DELZI,DELET
KMAP = KMAX-1
JMAP = JMAX-1
AXM = KMAP-1
AJM = JMAP-1
DO J
SUM
DO
KM
KP
DO
JM
JP
PHD
PHD
PHD
PHD
PHD
N - 1,NMAX
0.
2 К = 2ДМАР
« К - 1
* К + 1
1 J = 2,JMAP
= J - 1
= J ¦ 1
-0.5*(DELZI(JP,K)*PHI(JP,K)-DELZI(JM,K)*PHI(JM,K))
PHD-0.5MDELET(J,KP)*PHI(J,KP)-DELET(J,KM)*PHI(J,KM)>
PHD + GTT(JM,K)*PHI(JM,K) + GTT(JP,K)*PHI(JP,K)
PHD + GVV(J,KM)*PHI(J,KM) + GVW(J,KP)*PHI(J,KP)
PHD + 0.25*(GWT(JP,KP)*PHI(JPfKP)-GWT(JM,KP)*PHI(JMrKPr)
GWT(JM,KM)*PHI(JM,KM) - GWT(JP,KK)*PHI(JP,KM))
0.5*PHD/(GTT(J,K)+GVV(J,K))
PHD - PHI(J.K)
SUM ¦ DIF*DIF
PHI(J,K) + OM*DIF
PHD
DIF
SUM
PHI(J,K)
CONTINUE
CONTINUE
RMS = SQRT(SUM/AJM/AKM)
IF(RMS .LT. EPS)RETURN
CONTINUE
WRITEF,4)NMAX,RMS
FORMAT С CONVERGENCE NOT ACHIEVED IN',15,' STEPS, RMS='
1E12.5)
RETURN
END
Рис. 12.12. Распечатка подпрограммы ITER.
на следующей итерации по-
порелаксации (§ 6.3). Значение ^
лучается из A2.84) в виде
+). * - {-°'5 [d>ELZI.fO/+,. * - (DELZI. Л,-,, J ~
- 0.5 [(DELET.ф\ k+x - (DELET. Л/, *-i] +
+ [(QTT. Л,_1, k + (GTT. Л/+1. k + (GWW. Л
+ 0.25 [(GWT.Л/+..
+ (GWT.f )/-i.*-i -
- (GWT. Л/-1
*+i +
X
*-i +
X {2 (GTT/t к + GWW/, к)
\
(\2.Щ
A2.86>

Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
где X — параметр релаксации. Данный алгоритм реализован
в программе LAGEN. Распечатка программы LAGEN и подпро-
подпрограмм GRID, TRAPA и ITER приведена на рис. 12.9—12.12.
Основные параметры, используемые в программе LAGEN, опи-
описаны в табл. 12.1.
После считывания различных параметров программа LAGEN
вызывает подпрограмму GRID для определения координат то-
точек сетки, которые хранятся в массивах XG, YG. Точки сетки,
Таблица 12.1. Идентификаторы, используемые в программе LAGEN
Идентификатор
JMAX
КМАХ
NMAX
RW
RX
RY
RZ
ТНЕВ
THEN
EPS
ОМ
PHI
PHIX
PHD
XG, YG
RMS
Описание
Число точек в радиальном направлении
Число точек в окружном направлении
Максимальное число итераций
/> (рис. 12.8)
гх (рис. 12.8)
rY (рис. 12.8)
rz (рис. 12.8)
Qwx (рис. 12.8)
0zk (рис. 12.8)
Точность сходимости SOR
Параметр релаксации X в A2.86)
Ф
Точное решение для Ф A2.78)
Ф* в A2.85) (подпрограмма ITER)
Координаты расширенной сетки (подпрограмма GRID)
лежащие внутри расчетной области (рис. 12.8), дополняются ря-
рядами точек (/ = 0, JMAX+1, & = 0, KMAX+1), лежащих за
границей расчетной области. Это позволяет использовать для
определения параметров х% и т. д. на границе области те же
формулы A2.30), A2.31), что и внутри.
Различные параметры сетки GTT и т. д., входящие в A2.85),
определяются в подпрограмме TRAPA, а итерационный процесс
решения A2.85), A2.86) реализуется подпрограммой ITER. Впо-
Впоследствии программа LAGEN формирует выдачу решения.
Типичная выдача для сетки 6X6 приведена на рис. 12.13.
В данном случае сетка ортогональная и члены р// и V2rj//

§ 12.4. Численное применение обобщенных координат
Ш1АСЕ EQUATION BY GEN. COORD. FDM
JKAX* 6 XMAX= 6 NMAX- 100 IEX= 0 EPS= Л00Е-04 OM=1.500
RW» .100 RX=1.000 RY=1.000 RZ= .100 THEB= .0 THEN= 90.0
K= 1
PHI* .0000 .0000 .0000
PHX= ,0000 .0000 .0000
.0000 .0000 .0000
.0000 .0000 .0000
PHI= 3.0902 1.2454 .7453
PHX« 3.0902 1.1036 .6713
.5209 .3931 .3090
.4828 .3768 .3090
PHI= 5.8779 2.3498 1.4048
PHX» 5.8779 2.0992 1.2778
K= 4
PHI» 8.0902 3.1813 1.9002
PHX= 8.0902 2.8893 1.7587
K» 5
PHI» 9.5106 3.6228 2.1688
PHX= 9.5106 3.3966 2.0675
К* б
PHI=10.0000 3.5714 2.1739
PHX«10.0000 3.5714 2.1739
CONVERGED AFTER 15 STEPS,
Рис. 12.13. Типичная
.9834 .7444 .5878
.9184 .7168 .5878
1.3351 1.0166 .8090
1.2641 .9866 .8090
1.5352 1.1804 .9511
1.4860 1.1598 .9511
1.5625 1.2195 1.0000
1.5625 1.2195 1.0000
RMS* .13384tf+00
выдача программы LAGEN.
Таблица 12.2. Зависимость ошибки решения в обоб-
обобщенных координатах от размера сетки (r^=rz = 0.1,
rY = 1.0, Qwx = 0, Qzy = 90, X = 1.5)
Вариант
А
г*—1.0
В
г* = 2.0
Сетка
6X6
пхп
21X21
6X6
пхн
21X21
ll*-e*llrms
0.1338
0.0473
0.0138
0.2541
0.1176
0.0430
Число
итераций
15
19
53
15
21
66
в A2.79) равны нулю. Скорость сходимости на этой сетке
(табл. 12.2) имеет примерно второй порядок, а точность

'90 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
решения сравнима с точностью, полученной по методу конечного
объема (табл. 5.24). В табл. 12.2 отображено также влияние
сгущения сетки на точность решения в обобщенных координа-
координатах (случай В, г* = 2.00). Как и следовало ожидать, точность
и скорость сходимости на неравномерной сетке хуже, чем в слу-
случае А (равномерная сетка).
§ 12.5. Заключение
Применение обобщенных координат позволяет эффективно
использовать конечно-разностные методы в расчетных областях
со сложными границами, в первую очередь за счет того, что
в обобщенных координатах можно добиться совпадения гра-
границ области с координатными линиями и тем самым" избежать
локальной интерполяции при постановке граничных ус-
условий.
В уравнения в обобщенных координатах (§ 12.3) входят до-
дополнительные члены, содержащие информацию о связи между
нерегулярной сеткой в физической области и регулярной в рас-
расчетной. Число дополнительных членов сокращается, если в рас-
расчетной области можно построить ортогональную или конформ-
конформную сетку.
При дискретизации уравнений в обобщенных коорди-
координатах возникают (как правило) дополнительные трудности,
связанные с аппроксимацией параметров преобразования.
Обычно рекомендуется использовать те же разностные фор-
формулы, что и для дискретизации производных от зависимых
переменных.
То что дискретизация проводится обычно на однородной
расчетной сетке, может означать, что достигается более вы-
высокая точность. Это верно в расчетной области, но не всегда
справедливо для физической. Если параметр растяжения
сетки (гх на рис. 12.7) немал, можно ожидать снижения
точности.
Как правило, эта проблема более существенна, если в урав-
уравнениях содержатся производные второго и более высокого по-
порядков. Однако для задач течения жидкости члены, ответствен-
ответственные за снижение точности, связанное со вторыми производными,
•обычно умножаются на I/Re. Следовательно, для течений с боль-
большими числами Рейнольдса эффект этой дополнительной ошибки
невелик.
Применение конечно-разностных схем в обобщенных коор-
координатах (§ 12.4) не сложнее применения метода конечного объ-
объема и сравнимо с ним по точности.

§ 12.6. Задачи 91!
§ 12.6. Задачи
Преобразование координат (§12.1)
12.1. Из прямого перемножения JJ = I выведите в двумерном случае
соотношения, эквивалентные A2.7).
12.2. Покажите прямой подстановкой справедливость уравнения A2.13).
12.3. Используя соотношения A2.15)—A2.17), покажите, что параметры,
преобразования могут быть выражены через a, AR, 9 и / в следующем виде:.
cos а sin а
(AR / sin вI'2 ' ** {AR / sin в)'
Аппроксимация параметров преобразования (§ 12.2)
12.4. Исходя из двумерных аналогов соотношений A2.7), выведите урав-
уравнения
—х
1x9
12.5. Выведите уравнение A2.38).
12.6. Для одномерной сетки, эквивалентной изображенной на рис. 12.7,
с физическим и расчетным коэффициентами роста шага сетки г и гг соот-
ветственно, покажите, что аналогично A2.39) имеет место
, (К*) о+м , D+0 ^-
Выведите затем соотношение между гх и г., обеспечивающее второй поря-
порядок точности. Можно ли использовать это соотношение для выбора г при
0.8 < гх < 1.2, обеспечивающего второй порядок точности?
Структура типичных уравнений в обобщенных координатах (§ 12.3)
12.7. Преобразуйте уравнения их + vy = 0 и иу — vx = 0 к обобщенным
координатам на конформной сетке и покажите, что U^ + V^ = 0, ?/* — V| = 0,
где
12.8. Преобразуйте уравнение переноса завихренности
^ 0

'92 Гл. 12. Обобщенные криволинейные координаты
к обобщенным координатам. Как упростится полученное уравнение в случае:
1) ортогональной сетки, 2) конформной сетки?
12.9. Двумерный несжимаемый турбулентный пограничный слой описы-
лзается уравнениями (п. 11.4.2)
их + vy = О,
тде vr — вихревая вязкость A1.76). Преобразуйте эти уравнения к обобщен-
обобщенным координатам и определите, могут ли в соответствии с предположением
пограничного слоя (п. 11.4.1) быть отброшены дополнительные члены? Пред-
Предположите, что пограничный слой развивается на поверхности постоянного
значения ц.
Численное применение (§ 12.4)
12.10. Получите решение по программе LAGEN для следующих случаев:
1) сетка 6X6, 2) сетка 11X11, 3) сетка 21 Х21 при следующих значениях
параметров: rw = rz = 0.1. rz = 1.0, rY = 3.00, 8в™ = 0, 6zr = 90, X = 1.5.
Сравните точность и скорость сходимости полученных результатов с резуль-
результатами, представленными в табл. 12.2 и полученными по программе FIVOL,
примененной к той же расчетной области.
12.11. Преобразуйте подпрограмму GRID так, чтобы линии сетки изме-
изменялись как ао + п\г + а^г2 в радиальном и как bo + b$ + бгб2 в окружном
направлениях. Подберите параметры а0, aiy а2, &о, bu Ьг так, чтобы располо-
расположить больше линий сетки вблизи WZ и ZY. Определите, может ли это при
том же количестве узлов сетки дать более точное решение, чем приведенное
в табл. 12.2.
12.12. Для расчетной области, изображенной на рис. 12.8, обобщенные
координаты (|, ц) и физические (*, у) могут быть связаны аналитически,
-если заметить, что
r = rw +1 (rx - rw) + Ч (rz ~ rw) + ЕЧ KrY - rz) - (rx - rw)l
x = г cos 9, у = г sin 6.
Эти соотношения позволяют определить параметры преобразования %х и 'г. д.
аналитически. Замените численное определение §* и т. д. в подпрограмме
TRAPA и определите, как это повлияет на точность и скорость сходимости
решения.
12.13. Применение группового метода конечных элементов (§ 10.3) с би-
билинейными интерполяционными функциями на прямоугольных элементах
(п. 5.3.3) приводит вместо A2.84) к следующему уравнению:
~Мп ® Ls (DELZI.0); k - Мг ® Ьц (DELET.0)/f k +
+ мч ® L& <GTT -0)/. к + h ® L
где А!§ = Мл = {1/6, 2/3, 1/6}, I6-LJ[ ~0.5{-l, 0,
-2, 1}.

§ 12.6. Задачи 93
Таким образом, имеем
+ (СТТ.Ф)/+1_ *+,]+!¦ [(GTT.*),.,, к - 2 (GTT.*),, к +
Разработайте алгоритм SOR, основанный на вышеприведенном уравнении, а
не на A2.85), и получите решение на: 1) сетке 6X6, 2) сетке 11 ХП»
3) сетке 21X21 при параметрах, значения которых приведены в табл. 12.2.
Сравните точность и скорость сходимости. Можно ли ожидать изменения
результатов при аналитическом определении #? и т. д.?

Глава 13
Построение сеток
В этой главе рассматривается задача о построении сеток.
Данный вопрос тесно связан с установлением связей между точ-
точками (х, у) произвольной физической области и точками (?, ц)
регулярной расчетной области. Задача построения сетки содер-
содержит следующие два этапа. Сначала на физических границах
определяются величины g и tj. После этого определяются внут-
внутренние точки пересечением координатных линий противополож-
противоположных семейств, проведенных между соответствующими гранич-
граничными точками.
Таким образом, построение сетки можно рассматривать как
следующую краевую задачу: по заданным на границе 6R значе-
значениям % = Ъь(х%у) и т] = г]6(лг,у) определить ? = ?(*,у) и tj =
Рис. 13.1. Построение сетки как граничная задача в физической области.
= ц(х,у) внутри области /?, ограниченной 6R (рис. 13.1). Физи-
Физические координаты (дс,у), как правило декартовы, являются не-
независимыми переменными, а обобщенные координаты (?, ц) —
зависимыми переменными.
На практике построение сетки может быть осуществлено
с меньшими вычислительными затратами, если работать в рас-
расчетной области. В результате определения положения точек на

Гл. 13. Построение сеток
95
границе можно определить х = хь{1, ц) и у — уьA, ц). Построе-
Построение сетки внутри области может быть рассмотрено в виде сле-
следующей краевой задачи: по заданным на dR х = хьA,л) иу =
= Уь{Ъ,Ч) (рис. 13.2) определить х = хA,ч\) ну = у{1,г)) вну-
внутри области /?, ограниченной границей dR.
Поскольку внутренние точки в расчетной области образуют
регулярную сетку и границы совпадают с координатными линия-
линиями, определение хA, ц)у уA, rj) упрощается по сравнению с ре-
решением задачи в физической области. Это особенно важно, если
\
к
Рис. 13.2. Построение сетки как граничная задача в расчетной области.
решение x(g, ti), i/(g, ц) находится в результате решения урав-
уравнения в частных производных (см. п. 13.2.6).
В определенной выше краевой задаче граничные условия яв-
являются условиями Дирихле. Однако часто имеет смысл ввести
в рассмотрение граничные условия Неймана. Например, они
'были бы пригодными, если бы требовалось, чтобы координатные
линии пересекали физическую границу по нормали. Это озна-
означает, что на определенных сегментах границы угол пересечения
(обычно 90°) координатных линий с границей задан и положение
точек пересечения координатных линий с границей определяется
в результате решения краевой задачи. Естественным обобще-
обобщением является использование смешанных граничных условий
там, где необходимо осуществлять контроль как положения то-
точек на границе, так и ортогональности сетки на границе.
При решении граничной задачи для определения положения
внутренних точек сетки используются два широко развитых под-
подхода. Один состоит в решении уравнений в частных производных

96 Гл. 13. Построение сеток
(§ 13.2), второй — в интерполяции внутренних точек по гранич-
граничным (§ 13.3). Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных
методов, будут рассмотрены типичные топологические соответ-
соответствия между физической и расчетной областями (§ 13.1).
При определении соответствия между точками физической
и расчетной областей, т. е. х = хA, г\) и у = (/(?, ri), необходимо,
чтобы это было взаимно однозначное соответствие. Недопустимо,
чтобы одна и та же точка физической плоскости отображалась
в две точки расчетной области и наоборот. Это эквивалентно
требованию, чтобы координатные линии одного семейства не пе-
пересекались, а координатные линии различных семейств пересе-
пересекались лишь один раз.
После установления соответствия х = хAУг\) и у = */(?, ц)
его взаимная однозначность может быть определена из оценки
детерминанта якобиана преобразования |J| из A2.3). Чтобы
отображение было взаимно однозначным, |J| должен быть ко-
конечным и ненулевым. В зависимости от того, каким образом
была построена сетка, для проверки взаимной однозначности
величина |J| в каждой точке может быть определена либо ана-
аналитически, либо численно (§ 12.2). Подобная проверка может
быть легко оформлена в виде компьютерной программы, кото-
которая быстро определит точки, где отображение неоднозначно.
§ 13.1. Физические аспекты
В данном параграфе будут рассмотрены типичные отображе-
отображения границ одно- и многосвязных областей. Конкретный выбор
из массы возможных отображений границ может существенно
повлиять на деформацию сетки внутри области.
13.1.1. Односвязные области
Односвязная область характеризуется тем, что любой за-
замкнутый контур, лежащий внутри нее, может быть стянут в точ-
точку, не лежащую на границе области. При наиболее простом
отображении область, определенная четырьмя кривыми, преоб-
преобразуется в расчетной области к прямоугольному виду. Подобное
отображение изображено на рис. 12.2.
Если физическая область имеет некоторую специальную фор-
форму, то иногда имеет смысл сохранить эту форму и в расчетной
области. На рис. 13.3, например, показано, как криволинейная
физическая область L-образной формы может быть преобразо-
преобразована к прямоугольной L-образной расчетной области. Из рисунка
видны основные преимущества такого преобразования. При при-

§ 13.1. Физические аспекты
97
ближенном сохранении формы области проще избежать сильной
деформации (т. е. неортогональности A2.18)) сетки.
Та же самая область L-образной формы в физической обла-
области может быть преобразована к прямоугольному виду в рас-
расчетной области (рис. 13.4). Теперь, однако, точки А и D излома
СР
Ц A'J
1
D'
в'
х 4
Рис. 13.3. Преобразование L-образной области с сохранением формы.
образующей в физической области лежат на линии постоянного
значения ц (точки А' и D') в расчетной области.
Построение численного алгоритма в области, изображенной
на рис. 13.4, оказывается проще, чем в области, приведенной на
?'
О'
С
г
А'
]
х 4
Рис. 13.4. Преобразование L-образной области в прямоугольник.
рис. 13.3. Однако более сильная деформация сетки в физической
области вблизи точек А и D может привести к большей потере
точности, чем для сетки на рис. 13.3.
Обратная ситуация возникает, если угловые точки расчетной
области лежат на гладких участках границы (рис. 13.5) в физи-
физической области. Очевидно, что в этом случае сетка вблизи точек
Л, В и т. д. в физической области сильно искривлена, и здесь
можно ожидать локальной потери точности решения. Кроме
7 К. Флетчер, т. 2

Гл. 13. Построение сеток
того, при переходе по границе в точке Аг расчетной области про-
происходит переход с координатной линии т] на координатную ли-
линию .?. Это может привести к необходимости введения специаль-
специальной процедуры записи разностных уравнений в этой точке.
А'
'х 4
Рис. 13.5. Фиктивные углы в физической плоскости.
Как правило, чем сложнее форма границы физической обла-
области, тем больше число возможных отображений. Например, одна
6 F G'
s"—
ус
в
X
z:
f ?
A'
B'
С
D'
?'
Рис. 13.6. Выравнивание отдельной выпуклости.
и та же область, изображенная на рис. 13.6—13.8, может быть
отображена различными способами.
Для выпуклости, изображенной на рис. 13.6, введение сгу-
сгущающейся сетки при малых значениях г] позволяет получить луч-
лучшее разрешение вблизи точек В и D. При этом вблизи точек А
и Е также получается мелкая сетка. Однако если контур BCD
помещен в вязкий поток и граница AG является входной грани-
границей, то точки В и D будут точками торможения. Если представ-
представляет интерес определение максимальной скорости или напряже-
напряжений вблизи точки С, то допустимо вблизи точек В и D иметь
сравнительно грубую и деформированную сетку, как на рис. 13.6.

§ 13.1. Физические аспекты
99
На рис. 13.7 точки В и D попадают в одну и ту же точку
расчетной области. Такая сетка по сравнению с сеткой на
рис. 13.6 позволяет при меньшем общем числе точек получить
большее сгущение вблизи границы BCD, Однако сетка на
F G' . F'
с'
6D'
Рис. 13.7. Преобразование выпуклости в плоскость.
?
рис. 13.7 вблизи точки С получается сильно деформированной. Та-
Такая сетка приемлема для моделирования течения, при котором
жидкость втекает через границу GF, а вытекает через АВ и DE.
Если точки G и F расположены в свободном потоке доста-
достаточно далеко от препятствия BCD, то наиболее предпочтитель-
А'
•л
Г/
L
Рис. 13.8. Выравнивание выпуклости с хорошим локальным разрешением.
ным отображением границ является отображение, изображен-
изображенное на рис. 13.8. Это отображение до некоторой степени анало-
аналогично отображению на рис. 13.6, за исключением того, что 'наи-
'наиболее искаженная часть сетки расположена вблизи точек G и /\
Поскольку вблизи точек G и F течение однородно, ошибки, свя-
связанные с локальной деформацией сетки, будут меньше, чем для
конфигурации, изображенной на рис. 13.6.
При отображении физических границ на расчетную область
необходимо учитывать влияние возникающей при этом деформа-
деформации сетки на ожидаемое поведение решения. Следует учесть, что

100
Гл. 13. Построение сеток
локальные деформации сетки меньше влияют на глобальную
точность решения, если деформация происходит в областях одно-
однородности потока; в областях, представляющих существенный ин-
интерес, ее следует избегать.
13.1.2. Многосвязные области
Примером многосвязной области может служить внешнее
течение около одного или более препятствий, например у лопа-
лопаток турбины или аэродинамического профиля. Другим примером
н'
D' С
А' В1
Рис. 13.9. Отображение тела с углами.
является течение около препятствия в канале, например в теп-
теплообменнике. Наиболее предпочтительное отображение границ,
как правило, зависит от формы препятствия.
Для тел с углами может оказаться приемлемым отображение
границы на квадрат или прямоугольник в расчетной плоскости;
при этом многосвязность области сохраняется. Подобная ситуа-
ситуация изображена на рис. 13.9. Сетка в физической плоскости при
этом получается, как правило, сравнительно мало искривленной.
Если тело тонкое, то его можно, как это показано на рис. 13.10,
отобразить на разрез в расчетной области. Основной трудностью
при этом является искривление сетки в физической области
вблизи точки А.
Эффективный путь преодоления этого затруднения состоит
в введении разреза в физической области, что упрощает расчет-
расчетную область (рис. 13.11). В соответствии с картиной координат-
координатных линий в физической области, такой тип сетки называется
О-сеткой. При введении разреза в физической области предпо-
предполагается, что точки, лежащие на AT и CD' в расчетной области,
совпадают. Точки, прилежащие к разрезу, могут понадобиться
при аппроксимации производных вблизи AT и CD'.

§ 13.1. Физические аспекты
101
Необходимо, однако, обеспечить, чтобы при пересечении гра-
границы A'V и обратно CD' сохранялись направления координат
с'
Рис. 13.10. Отображение тонкого тела.
А'
В'
D ¦
А' В' С
Рис. 13.11. Введение разреза при отображении гладкого тела: О-сетка.
1, т|, действующие на A'V. Концептуально имеет смысл расши-
расширить границы А'Г и CD' и ввести в рассмотрение пересекаю-
пересекающиеся области. При программировании это можно сделать пу-
путем введения дополнительных рядов точек за пределами A'V

102
Гл. 13. Построение сеток
и CD'. Значения в этих точках используются при аппроксима-
аппроксимации производных и переопределяются после нахождения новых
значений в соответствующих точках на противоположном краю
расчетной области.
Если обтекаемое тело тонкое и затуплено спереди, но заост-
заострено сзади (например, лопатка турбины или аэродинамический
И' в' F' ?'
t-j. i
А' 6' С D'
Рис. 13.12. Гладкое тело с острой задней кромкой: С-сетка.
профиль), то удобно ввести разрез, позволяющий построить
С-сетку (рис. 13.12).
Замечания по поводу разреза, изображенного на рис. 13.11,
справедливы и для рис. 13.12. Решение должно быть продол-
продолжено при переходе с А'Г на CD' и наоборот. Однако в отличие
от О-сеток переход с AI на CD и с CD на AI происходит в отри-
отрицательном направлении ц в расчетной области.
Кроме того, переход вдоль разреза от С к D происходит
в положительном направлении |, а от А к I — в отрицательном.
-Поэтому при аппроксимации производных вблизи разреза долж-
должна соблюдаться некоторая осторожность. Рекомендуется исполь-
использовать дополнительные ряды точек.

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 103
При рассмотрении многих изолированных тел обычно прихо-
приходится либо вводить в расчетную область несколько прямоуголь-
прямоугольников, подобных приведенному на рис. 13.9, либо производить
множество разрезов, как на рис. 13.12. Некоторые возможные
выборы рассмотрены Томпсоном [Thompson, 1982].
Описанный метод легко обобщается на трехмерный случай,
хотя хранение дополнительной информации, связанной с гранич-
граничными поверхностями и т. д., может оказаться весьма трудоем-
трудоемким. Типичные примеры приведены в работах [Rubbert, Lee,
1982; Thomas, 1982].
В рассмотренных случаях неявно предполагалось, что гене-
генерируемая сетка не зависит от времени. Однако для нестацио-
нестационарных задач или для лучшего разрешения первоначально не-
неизвестных областей больших градиентов, связанных, например,
с внутренними скачками, желательно позволить сетке меняться
со временем или, иначе говоря, подстраиваться под получаемое
решение. Это приводит к дополнительным трудностям, кратко
описанным Томпсоном [Thompson, 1984], а более подробно в ра-
работе [Thompson et al., 1985].
§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений
в частных производных
При преобразовании уравнений динамики жидкости к обоб-
обобщенным координатам было отмечено (п. 12.1.3), что уравнения
имеют более простую структуру, если сетка конформная или
ортогональная.
Для любых классов сеток преобразование от физической об-
области к расчетной может быть получено в результате решения
уравнений в частных производных (см. уравнения A3.2) и
A3.24) для конформных и ортогональных сеток соответственно).
Без каких-либо ограничений на сетку преобразование может
быть получено в результате решения уравнения Пуассона
A3.35).
13.2.1: Конформное отображение: общие положения
Для конформного преобразования связь между физической
(лс, у) и расчетной (|, т|) областями в двумерном случае может
быть представлена в виде
[dxl Г h cos a —h sin а "I Г d\
dy J L h sin a h cos a J L dt\ J
Скалярный множитель h связан с компонентами метрического
тензора соотношением A2.20), т. e.h = g\[2 = g\g.3jiecb а — Угол

104 Гл. 13. Построение сеток
между касательной к координатной линии | и осью х\ значение
направляющего косинуса вычисляется по формуле A2.15). Оче-
Очевидно, что если для некоторого конформного преобразования
значения Л и а известны, величины xi(=hcosa) и т. д. можно
определить непосредственно из A3.1).
Если используется конформное преобразование, расчетная
сетка (|, т]) связана с физической сеткой уравнениями Лапласа
Ъхх + Ъуу = 0, Цхх + Цуу = 0 A3.2>
и условиями Коши — Римана: g* = цу и 1У = —л*. Поскольку
уравнения A3.2) имеют точные решения, можно построить ре-
решения g(x,у) и ц(х,у) путем суперпозиции и перехода к комп-
комплексным переменным [Milne-Thomson, 1968].
Используя комплексные переменные г = х + iy и ? = | + щу
конформное преобразование можно записать в символьной фор-
форме Z = /7(^), или более конкретно
или Z=J#dC, A3.3)
где
Н = heia = h (cos a + / sin а). A3.4)
Таким образом, согласно A3.1), Н содержит параметры преоб-
преобразования xi и др.
Традиционно [Milne-Thomson, 1968] конформные преобра-
преобразования использовались для расчета потенциальных течений
(§ 11.3) около тел сложной формы с использованием известных
решений для обтекания тел простой формы, таких, как окруж-
окружность единичного радиуса (единичная окружность).
Здесь конформные преобразования используются для по-
построения сеток без какого-либо ограничения на тип течения. На
практике линии сетки могут быть выбраны так, чтобы они со-
совпадали с линиями тока эквивалентной задачи потенциального
обтекания. Это обстоятельство часто улучшает устойчивость чис-
численного метода, используемого для расчета более общей задачи.
В качестве законченного метода построения сеток конформ-
конформное отображение можно рассматривать состоящим из двух
этапов:
1) построение одного или последовательности отображений,,
в результате чего получается соответствие между граничными
точками в физической и расчетной областях;
2) построение внутренних точек в физической области, опре-
определяемое соответствием граничных точек, полученных на эта-
пе A).

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 105
Подразумевается, что, согласно общей философии построения
сеток, расчетная область обычно является простым прямоуголь-
ликом, внутренние точки в котором образуют равномерную
сетку.
Будет рассмотрено два подхода. Первый подход (п. 13.2.2)
лрименим к хорошо обтекаемым телам, таким, как аэродинами-
аэродинамические профили или лопатки турбин, которые путем последова-
последовательности отображений могут быть преобразованы в единичный
квадрат. Во втором подходе (п. 13.2.3) используется одношаго-
вое отображение, основанное на преобразовании Шварца — Кри-
стоффеля многоугольника с N сторонами в прямую линию. В на-
настоящее время имеются различные модификации преобразования
Шварца — Кристоффеля, делающие возможным отображение
тел различной формы.
13.2.2. Последовательные конформные отображения
Последовательность преобразований часто строится на
основе преобразований Кармана — Треффтца [Milne-Thomson,
1968]:
Г-а = / Z-A\Uk /135*
где а, Ь в плоскости Z' и Л, В в плоскости Z выбираются в со-
соответствии с рассматриваемой геометрией. Преобразование Кар-
Кармана— Треффтца отображает аэродинамический профиль в
плоскости Z в близкий к круговому профиль в плоскости Z'.
Отображение будет рассмотрено на примере профиля, изобра-
изображенного на рис. 13.13.
Параметры, входящие в A3.5), выбираются следующим об-
образом:
= Z/, ?> = zrt, a=—о = —от—, к = z — т/я. (lo.oj
Положение точки Zt соответствует задней кромке профиля,
a Zn лежит в точке, равноотстоящей от носка профиля и центра
кривизны. Преобразование сингулярно в этих двух точках. Зна-
Значение параметра k связано с задней кромкой, поскольку в соот-
соответствии с A3.6) в него входит угол т. При выборе параметров
согласно A3.6) аэродинамический профиль в плоскости Z ото-
отображается в близкий к круговому профиль в плоскости Z'
(рис. 13.13), центр которого расположен вблизи точки С. Легко
видеть, что угол т разворачивается до 180° в плоскости Z'.

106
Гл. 13 Построение сеток
Преобразование A3.5) удобно представить в виде следующей
последовательности:
A3.7а)
A3.7Ь)
,_,-• A3.7с)
Выражения A3.7а) и A3.7с) включают в себя только линей-
линейные преобразования. Однако в выражении A3.7Ь) имеется не-
Плоскость Z
Начало координат
*в плоскости Z'
Начало координат
в плоскости Z"
Плоскости Z' и Z"
Рис. 13.13. Последовательность отображений аэродинамического профиля.
которое усложнение, поскольку для каждого значения <о суще-
существуют много значений v. Если профиль имеет заостренную зад-
заднюю кромку, т = 0, то для каждого значения ш существуют два
значения v. В более общем случае, когда т не равно нулю, каж-
каждому значению со соответствуют бесконечно много значений v.
Способы правильных с вычислительной точки зрения выбо-
выборов v рассмотрены Ивесом [Ives, 1982]. Грубо говоря, преобра-
преобразование проводится так, что в рассматриваемую точку отобра-
отображается «безопасная» точка, лежащая, например, в бесконечно-
бесконечности вверх по потоку в физической плоскости Z.
Близкий к круговому профиль в плоскости Z' легко преобра-
преобразуется в такой же профиль с центром в начале координат в пло-

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 107
СКОСТИ Z"\
= Z —С. (lo.o)
Точка С лежит примерно в центре тяжести профиля, близкого
к круговому в плоскости Zf. Последнее преобразование вклю-
включено для улучшения сходимости преобразования Теодорсена —
Гаррика [Theodorsen, Garrick, 1933], которое сводит профиль,
близкий к круговому в плоскости Z", к единичной окружности
в плоскости ?.
Чтобы воспользоваться преобразованием Теодорсена — Гар-
Гаррика, необходимо определить положение точек, лежащих в пло-
плоскости Z" на почти круговой поверхности. Вводя полярные коор-
координаты Z" = r@)exp(/6), In г обычно выражают как функцию 6
при помощи кубических сплайнов [Ives, 1976]. Аппроксимация
кубическими сплайнами рассматривается в работах [Ahlberg
et al., 1976; Forsythe et al., 1977].
Преобразование Теодорсена — Гаррика можно записать в
виде
ч • I
,(Л/ + *В/)Е' . A3.9)
. о J
Коэффициенты Л/ и В/ в A3.9) выбираются так, что 2N равно-
равномерно расположенных на единичной окружности точек в плоско-
плоскости ? отображаются в соответствующие точки плоскости Z".
Особо эффективный прием, основанный на быстром преобразо-
преобразовании Фурье [Cooley, Tukey, 1965], описан Ивесом [Ives, 1976].
Область вне единичной окружности в плоскости ? (промежу-
(промежуточная расчетная область) отображается внутрь прямоугольника
A ^ R ^ /?max, 0 ^ р ^ 2я), если положить
Ъ = ге*+, /? = ехрAпг), Р = ^. A3.10)
Таким образом, последовательность преобразований A3.7) —
A3.10) отображает область вне хорошо обтекаемого тела в пло-
плоскости (х,у) на внутренность прямоугольника в плоскости (R, р).
В принципе в плоскости (/?, Р) может быть построена одно-
однородная сетка и после проведения обратных преобразований
можно получить соответствующую сетку в физической области.
Однако, как отмечает Ивес [Ives, 1982], несмотря на то что вы-
вышеописанная последовательность преобразований весьма эффек-
эффективна при установке соответствия между границами физической
и расчетной областей, обратные преобразования таковыми не
являются. Поэтому в общем случае последовательных отобра-
отображений Ивес рекомендует построение внутренних точек сетки осу-
осуществлять путем решения при помощи быстрой программы

108
Гл. 13. Построение сеток
решения эллиптических уравнений [Temperton, 1979] системы
*tt + *im = °. Уц + У^ = 0 A3.11)
с граничными условиями, определенными на стадии A).
Описанная процедура последовательных отображений может
быть обобщена на случай нескольких изолированных тел, на-
например аэродинамических профилей [Ives, 1976].
13.2.3. Одношаговое конформное отображение
В данном разделе будет описано предложенное Дэвисом:
[Davis, 1979] весьма эффективное с вычислительной точки зре-
зрения применение преобразования Шварца — Кристоффеля. Дан-
Данный способ может быть распространен на тела с искривленными
Плоскость Z
Плоскость c
А В С D
Е F G Н 1
Разрез
в
н
Рис. 13.14. Преобразование Шварца — Кристоффеля.
границами. Обычно преобразование Шварца — Кристоффеля по-
позволяет область, ограниченную в физической плоскости Z про-
простым замкнутым многоугольником, отобразить на верхнюю по-
полуплоскость преобразованной плоскости о>. Граница многоуголь-
многоугольника при этом совпадает в данной плоскости с вещественной
осью.
После введения разреза (рис. 13.14) область между много-
многоугольником и бесконечностью в плоскости Z можно рассматри-
рассматривать как ограниченную. Следовательно, преобразование Швар-
Шварца — Кристоффеля можно использовать для построения внешних

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений
109
сеток. В данном разделе, однако, будет описано применение пре-
преобразования Шварца — Кристоффеля для расчета внутренних
течений в плоском канале (рис. 13.15).
°i
Плоскость со
4s1? max *-
Плоскость ?
Рис. 13.15. Преобразование двумерного канала.
Обычно преобразование Шварца — Кристоффеля записывает-
записывается в виде [Milne-Thomson, 1968]
(ш_6/Г^. A3.12)

110 Гл. 13. Построение сеток
Здесь М — комплексная константа, связанная обычно с геомет-
геометрией физической области; ау- — углы поворота при переходе каж-
каждой угловой точки (отсчитываются против часовой стрелки);
Ъ\ — неизвестные положения точек границы на вещественной оси
в преобразованной плоскости; три значения Ъ\ могут быть вы-
выбраны произвольным образом.
Тело в физической области не обязательно должно быть за-
замкнутым. Поэтому, например, область внутри произвольного ка-
канала (рис. 13.15) преобразованием A3.12) может быть отобра-
отображена на верхнюю полуплоскость так, что верхняя точка ZN
входной границы отображается в плоскости со в точку, располо-
расположенную вниз по потоку.
Вообще говоря, в плоскости со можно построить однородную
сетку и использовать обратное преобразование для построения
соответствующей сетки в физической области. Однако при рас-
рассмотрении течения в канале удобно сделать второе преобразова-
преобразование, переводящее верхнюю полуплоскость плоскости со в прямой
канал, параллельный вещественной оси в плоскости ? (рис. 13.15).
Преобразование Шварца — Кристоффеля для отображения
канала в плоскости Z на плоскость со имеет вид
-*'1"- <13ЛЗ>
Здесь ау — угол разворота /-го сегмента в плоскости Z; Ь\ —
полюсы в плоскости со, соответствующие угловым точкам в фи-
физической плоскости. Эти величины неизвестны и определяются
путем повторного интегрирования уравнения A3.13). Величи-
Величина М связана с высотой канала и его ориентацией относительно
оси х и может быть определена в явном виде из уравнения
A3.17). В уравнении A3.13) оставлены лишь углы и полюсы,
действительно имеющиеся в канале.
Отображение плоскости со на плоскость ? определяется со-
соотношением
? = —A/яIп© + /. A3.14)
Если предположить, что канал распространяется далеко вверх
по потоку как прямой канал (что эквивалентно со->оо), то урав-
уравнение A3.13) принимает вид
Ж=4- A3Л5)
Проинтегрировав A3.15) и сделав преобразование A3.14), по-
получим
( A3.16)

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 111
Применяя A3.16) к верхней и нижней поверхностям' канала,
можно получить выражение для М:
Zu-Zx = iHeiQ = — nML A3.17)
Значения Я и 0 определены на рис. 13.15.
В принципе, если положение полюсов Ь,- известно, для по-
построения сетки уравнение A3.3) можно проинтегрировать чис-
численно. При этом, однако, вблизи точек Ъ\ можно ожидать неко-
некоторых затруднений из-за сингулярности уравнения A3.13) при
о) = Ъ\. В качестве пути интегрирования можно выбрать со + /е
в плоскости со, что эквивалентно прохождению внутри канала.
Лучше, однако, использовать смешанную маршевую схему вто-
второго порядка, в которой используется аналитическое интегриро-
интегрирование в каждом полюсе [Davis, 1979]. Эта схема может быть
представлена в виде
?*+,-с
Соответствующее конечно-разностное представление выраже-
выражения A3.14) может быть записано в следующем виде:
— ?*)• A3.19)
Соотношения A3.18) и A3.19) дают прямую связь между
физической плоскостью Z и расчетной плоскостью ?, справед-
справедливую для любого пути интегрирования в расчетной области.
Поскольку положение полюсов 6/ неизвестно, в результате
интегрирования уравнения A3.18) получаются значения Z] —
— Zj-i, где v — номер итерации. Конечные величины Z) й т. д.
в физической плоскости известны. Поэтому новая оценка для
?/+1 определяется выражением
I 7е — 7е I
С/ — w-i + T7v—^—[Ч?/—E/-i/> A6.zi))
а новые значения b)+l получаются из A3.14):
«Г1 —«p[»('-tif+l)L A3-21)
Весь процесс A3.18) — A3.21) повторяется до тех пор, пока для
всех / величины Z) не станут достаточно близкими к Z/. Обычно
для получения точности в пять десятичных знаков достаточно
10—15 итераций. При этом оказывается, что число итераций не
зависит от количества сегментов N. Подробности можно найти
в книге Андерсона и др. [Anderson et al., 1982].

112 Гл. 13. Построение сеток
Повторное интегрирование для определения точных значе-
значений bj проводится вдоль расчетных границ (г)=0 и i]max на
рис. 13.15), что позволяет установить соответствие между гра-
граничными точками в физической и расчетной областях (стадия
A), п. 13.2.1). После этого при известных значениях bj инте-
интегрирование A3.18) вдоль линий постоянного значения ? и ц в
расчетной области позволяет построить сетку в физической об-
области.
Интересным свойством рассмотренного подхода является
то, что потенциальные течения в канале определяются выра-
выражением
Ф + ^ = ?> A3.22)
где ф — потенциал скорости, г|) — функция тока, а модуль скоро-
скорости равен единице. Таким образом, постоянные значения ц и ^
будут линиями тока и линиями постоянного значения потенциала
скорости. Следовательно, соответствующие линии сетки в физи-
физической области будут соответствовать линиям тока и линиям по-
постоянного потенциала при потенциальном течении в рассматри-
рассматриваемом канале. Для вязкого течения в канале линии сетки все
еще будут хорошим приближением линий тока.
В общем виде построение конформных отображений при
помощи преобразования Шварца — Кристоффеля и приближен-
приближенные методы численного интегрирования описаны в работе
[Trefethen, 1980].
Традиционно преобразование Шварца — Кристоффеля при-
применялось для областей, ограниченных отрезками прямых с раз-
разрывным изменением наклона тела на угол а/ в отдельных точ-
точках (рис. 13.14). Вудс [Woods, 1961] обобщил преобразование
Шварца — Кристоффеля на тела с искривленными поверхно-
поверхностями, заменив равенство A3.12) на следующее:
A3.23)
где b — отрезок вещественной оси в плоскости со, a dp — соот-
соответствующее увеличение угла наклона в плоскости Z. Дэвис
[Davis, 1979] осуществил численную реализацию преобразова-
преобразования A3.23) и получил соответствующее отображение области
вне аэродинамического профиля в физической области в прямо-
прямоугольник в расчетной плоскости со.
Хотя конформные отображения не существуют в трехмерном
случае, трехмерные геометрии успешно исследовались при по-
помощи последовательности двумерных преобразований при раз-
различных значениях третьей координаты [Moretti, 1980].

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений
113
13.2.4. Построение ортогональных сеток
Чтобы система координат была ортогональной, компоненты
метрического тензора должны удовлетворять условию: цц = О
при i ф \. Из этого условия следует, это физическая (х, у) и
расчетная (g, r\) области в двумерном случае должны быть свя-
связаны соотношениями
*).-» A3-24)
во внутренних точках, и
hilx = fhr\y, h&y = -h2r]x A3.25)
на границе. Отношение h2/fi\ есть отношение сторон сетки
A2.16), где
AI = (*f + */f)'/2, К={х\ + у*$*. A3.26)
Ортогональные сетки могут быть получены из неортогональ-
неортогональных путем построения ортогональных траекторий. При этом
D
v=vK
в С
v j=JMAX
Ppic. 13.16. Начальная конфигурация для построения ортогональных траек-
траекторий.
можно определить точки на трех сторонах области (например,
ЕА, ABC и CD на рис. 13.16). На четвертой стороне (ED на
рис. 13.16) точки определяются ортогональными траекториями.
Если требуется построить ортогональную сетку с точками,
определенными на всех сторонах области, можно [Thompson,
1984] построить конформную сетку, а затем осуществить одно-
одномерное растяжение вдоль направлений g и ц. Эффективная
функция растяжения определяется выражением A3.44) (см.
ниже). Кроме того, систему A3.24) можно решать итера-
8 К. Флетчер, т. 2

114 Гл. 13. Построение сеток
ционно, задавая h2/h\ = /(?, rj). Такой подход будет описан
в п. 13.2.6.
Если ортогональная сетка требуется лишь вблизи некоторой
границы (например, ABC на рис. 13.16), возможно построение
локальной ортогональной сетки путем введения — помимо усло-
условия ортогональности gi2 = 0 — некоторого метрически связан-
связанного параметра, например /. Это приводит к гиперболической
системе уравнений, в результате решения которой маршевым
методом от рассматриваемой границы может быть построена
сетка. Такой метод описан Стегером и Соренсоном [Steger,
Sorenson, 1980].
В данном разделе более детально будет рассмотрен метод
ортогональных траекторий. Сначала необходимо определить
семейство кривых, изображенных на рис. 13.16. Положение
точек вдоль конкретной кривой (v = Vk) семейства может быть
определено простым преобразованием сдвига. Например,
= A - li') ЕА» Ы) + ц' CD* (v,), A3.27)
м-' = (v> —
Заранее заданные функции EAx(v) и т. д. определяют распре-
распределение точек на ЕА и CD (рис. 13.16) и сгущение линий сетки
вблизи ABC. Если требуется, чтобы линии v = vk были орто-
ортогональны ЕА и CD у то для у! вместо A3.27) можно исполь-
использовать кубические формулы, эквивалентные A3.49) [Eiseman,
1982а]. Распределение точек на ABC (jut == |Л/) задается.
Для определения ортогональной сетки (?, rj) требуется по-
построить траектории, начинающиеся из точек [i = \ij, оканчи-
оканчивающиеся на границе ED и пересекающие все промежуточные
координатные линии (v = v*) под прямым углом. Очевидно,
что при этом определяется положение не только внутренних
точек, но и точек, лежащих на ED.
Построение ортогональной сетки (?, л) завершается тем, что
полагается x\k = vk. При этом линии g = |/ (константа) орто-
ортогональны линиям ц = Цк. Удобнее уравнение, определяющее
траекторию линии g = |/, может быть получено следующим
образом.
При заданных х = х(\ху v) и y = y(\i,v) наклон линии v =
= vk может быть записан в виде
_ ду/дц
dx
A3.28)
Поскольку г] = v, линия, ортогональная линии v = v*, яв-
чяется линией постоянного значения g. Следовательно, наклон

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 115
линии постоянного значения (? = ?/), согласно A3.28), может
выть записан в виде
С другой стороны, учитывая зависимости ? = ?(|ы, v) и ц = v,
можно получить
dy I [ (ду/дц) (d\i/dv)l=lf + dyldv]
~dZ |6-6/ = [(dx/d\i)(d[ifdv)l=li + dx/dvj ' A3.30)
После приравнивания A3.29) и A3.30) получаем обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее траекторию
линии | = |/ в плоскости (\i, v). Оно имеет вид
дх дх ду ду \ /Г/ дху,( ду \2]
Сравнение этого уравнения с A2.12) показывает, что A3.31)
может быть записано в общем виде
=-Ш9 A3.32)
где g*i2 и gw — компоненты метрического тензора, связанного
с отображением физической плоскости (х, у) на неортогональ-
неортогональную плоскость (|ш, v). Очевидно, правую часть A3.31) можно
вычислить, поскольку определена сетка {[i,v) (рис. 13.16).
Начальные значения для A3.31) задаются при |х = ji/ на
ABC. Обычно уравнение A3.31) интегрируется численно. При
пересечении с каждой линией v = vk физические координаты
(jc, у) получаются из уравнений, определяющих сетку (p., v),
т. е. из A3.27).
Уравнение A3.32) является характеристическим уравнением
{§ 2.2) гиперболического уравнения
|i_lii|L = 0. A3.33)
Следовательно, метод ортогональных траекторий по существу
является методом характеристик. Более подробно метод рассмот-
рассмотрен Эйземаном [Eiseman, 1982].
Как правило, применение строго ортогональных сеток огра-
ограничено двумерным случаем, поскольку при этом еще сохра-
сохраняется достаточный контроль положения точек сетки на гра-
границе [Eiseman, 1982]. В трехмерном случае построение пол-
полностью ортогональной сетки невозможно. Однако могут быть
построены сетки, ортогональные некоторым поверхностям, и
трехмерные сетки из множества двумерных ортогональных
8*

116 Гл. 13. Построение сеток
сеток. Распределение точек сетки в направлении третьей пере-
переменной в этом случае может быть не слишком гладким [Thomp-
[Thompson, 1984].
13.2.5. Сетки, близкие к ортогональным
Строго ортогональные сетки позволяют избавиться от опре-
определенных членов в уравнениях движения (п. 12.1.3). Вместе
с тем сетки, близкие к ортогональным, строить значительно
Рис. 13.17. Построение приближенно ортогональной сетки.
проще. Их применение позволяет избавиться от ошибок, свя-
связанных с деформацией сетки.
Ниже описывается метод построения сетки, близкой к ор-
ортогональной. Предполагается, что семейство линий, изобра-
изображенных на рис. 13.16, построено. Как и в п. 13.2.4, процедура
начинается с определения точки \х = jx/ на ABC. Данная про-
процедура является схемой предиктор — корректор, позволяющей
получить точку на линии v = v2, приблизительно ортогональной
линии, на которой лежит точка (jny, vi) (рис. 13.17). Прово-
Проводится нормаль к линии v = vi до пересечения с линией v = v2-
В точке пересечения вычисляется нормаль —dx/dy\V2 я, и точка
пересечения сдвигается до тех пор, пока эта нормаль не прой-
пройдет через начальную точку (ц/, vi). Конечная точка (ji/, v2) на
линии V2, «ортогонально соответствующая» точке (ц/, vi), бе-
берется посредине между двумя точками пересечения. Это экви-
эквивалентно использованию следующего характеристического на-
направления:
Q (?U -Щ V A3.34)
lv,,n dV U,.n) V '

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений \\Т
После определения всех точек на линии v = V2 процесс по-
повторяется для определения точек приближенно ортогональной
сетки на линии v = V3. Процесс продолжается до тех пор, пока
не будет достигнута внешняя граница, т. е. ED на рис. 13.16.
Типичная программа расчета пересечения с линией v = V2
оформлена в виде подпрограммы SURCH (см. рис. 13.29).
Описанный метод построения сетки был предложен в работе
[McNally, 1972].
13.2.6. Решение эллиптических уравнений
в частных производных
В данном разделе будут рассмотрены более общие способы,
построения координат, не обязательно приводящие к ортого-
ортогональным или конформным сеткам. Однако эти способы позво-
позволяют лучше контролировать сгущение сетки во внутренних
точках области.
Как отмечено в начале гл. 13, задача построения внутрен-
внутренних точек сетки может быть поставлена как граничная задача,,
причем постановка в расчетной области (?, ц) предпочтитель-
предпочтительней. Поскольку нужно решать эллиптические уравнения в част-
частных производных, в качестве граничных условий необходимо»
задавать либо положение точек, либо наклон координатных
линий на границе.
Наиболее общим уравнением в частных производных, ис-
используемым для построения сеток, является уравнение Пуас-
Пуассона, записанное в виде системы
*}-Q<S.4). A3.35)
где Р и Q — известные функции, используемые для контроля
сгущения внутренних точек сетки.
Использование эллиптических уравнений в частных произ-
производных для построения внутренних точек сетки имеет ряд пре-
преимуществ. Прежде всего в этом случае сетка изменяется
гладко, даже если граница области имеет излом. Если бы для
построения внутренних точек сетки использовались гиперболи-
гиперболические уравнения в частных производных, все изломы границы
проявлялись бы и во внутренних точках.
Эллиптические уравнения, подобные A3.35), при различных
ограничениях на Р и Q удовлетворяют принципу максимума,
т. е. максимальное и минимальное значения | и ц достигаются
на границе. Томпсон [Thompson, 1982] отмечает, что это обычно?
гарантирует однозначность отображения. Однако при некото-

118 Гл. 13. Построение сеток
рых экстремальных выборах Р и Q возможно локальное само-
самопересечение сетки.
Решение системы A3.35) ищется в расчетной области (|, т]).
В этой области A3.35) преобразуется к виду
-|-)-0- <13'36Ь>
Здесь а = ?22, Р = gi2, V = &\\ и 6 = g, где g — определитель
метрического тензора A2.12).
Для определения граничных условий, замыкающих систему
A3.36), полезно рассмотреть частный пример, приведенный на
рис. 13.18. На контуре АВС{А'В'С) г\ = ч\х и х = хАВС(Ъ), У =
= УавсA) при ?i <; g ^ ?2, где функциональные зависимости
*ляс(?) и #лвс(!) известны и определяют распределение точек
сетки на ABC. Аналогично на контуре DFI(D FT) ц = ц2 и
л: = xDFi(l), У = yDFi при 6i < g < h, где xdf/F) и yDpi(l)
определяют распределение точек на DFL Задача распределе-
распределения точек сетки по границе облегчается использованием одно-
одномерных функций растяжения, описанных в п. 13.3.1.
Следует отметить, что граничные условия не определяются
на AT и CD'у поскольку в физической плоскости соответ-
соответствующие линии являются внутренними (и совпадают).
Уравнение A3.36а), дискретизованное при помощи цент-
центральных разностей, принимает вид
«' (*/-i, к ~~ 2*/, k + */+i k) — 0.5Р' {xj+ii k+\ — ^/-i, k+\"~
/f/f /f+1-*/fik.1) = 0f A3.37)
где
a! = 0.25 [(xft k+l - x/t fe_02 + (У/, A+i - У/, k-iJl
p = 0.25 [(xy+1> k — дс,_1э ft) (x/t k+\ — ^/, *-i) +
+ (yJ+i, k - У/-1, k) (У,. k+i - У и *-i)l. A3-38)
Y^ = 0.25 [(xj+u k - x/elt,J + (yj+u k - y/.lt kJ]f
6' = [(л:/+1 л — *,_!
Уравнение A3.36Ь) приводится к дискретному виду анало-
аналогичным образом. При записи A3.37) и A3.38) предполагалось,
что Д? = Ат] = 1. Такой выбор не влияет на сетку в физиче-
физической области.

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений
119»
Появление разреза (AI/CD) на рис. 13.18 приводит при
программировании к некоторым сложностям в точках, лежащих
н
J
[' J
A'
|
j
G'
-1 ,
в'
F'
-к
-k-i
hi
e'
l
'/C=KMA
cr" "
j-JMAX
Рис. 13.18. Типичное отображение при построении сетки на основе решения
эллиптических уравнений в частных производных.
на AT (/=1) или CD' (/ = JMAX). Например,
AT аппроксимируется следующим образом:
д2х о .
на
Кроме того, решения при / = 1 и J MAX идентичны. Следо-
Следовательно, итерации при /= 1 и JMAX должны производиться
одновременно.
Уравнения A3.37) являются нелинейной алгебраической
системой, для решения которой применимы итерационные ме-
годы, описанные в § 6.3. Томпсон и др. [Thompson et al., 1977b]

120 Гл. 13. Построение сеток
применяли для решения метод последовательной верхней ре-
релаксации и получили, что параметр ускорения X может быть
больше единицы, если (а'J > @.58'РJ и (у'J > @.56'QJ. Это
не удивительно, поскольку оптимальный выбор К и число ите-
итераций, необходимых для достижения сходимости, зависят от
выбора Р и Q.
В работе [Thompson et al., 1977a] рекомендуется следующий
выбор параметров Р и Q:
L
-РF, л) = ~ ? я/signF —Б/)ехр(—с/|Б —Е/1)-
- Zbm sign ft - U exp [-dm [(| - U2 + (Л - ЛтJГ],
m=l
A3.39)
?, Л) = — ^ «/ sign (л — Л/)ехр (—с/1 л — Л/1) —
м
- Е Ьт sign (л - r,Jexp[-dm [(& - U2 + (Л ~
m = l
A3.40)
где коэффициенты а/, 6т, С/ и dm выбираются так, чтобы обес-
лечить требуемое сгущение сетки. Функция sign определяется
следующим образом:
!=1, если х больше нуля,
= 0, если х = 0,
= —1, если х меньше нуля.
Первый член в A3.39) приводит к смещению линий g =
= const к линии l = li, а первый член в A3.40) приводит
к смещению линий r\ = const к линии ц = v\i. Таким образом,
если выбрать т]/= r]i (рис. 13.18), а а/ достаточно большим,
то линии будут сгущаться у поверхности ABC. Вторые члены
в A3.39) и A3.40) приводят к сгущению линий сетки | =
= const и ц = const к точке (gm, т]/л). Для тонких тел вторые
члены могут быть использованы для концентрации точек вблизи
передней и задней кромок, точки В и А (С) на рис. 13.18.
Использование больших значений Р и Q для увеличения
сгущения приводит к снижению скорости сходимости и огра-
ограничивает выбор качальных значений (х, у)у от которых может
быть достигнута сходимость. Следовательно, рекомендуется по-
поручать сначала решение при малом сгущении сетки или когда
?го вообще нет, поскольку в этом случае радиус сходимости
больше. Сходящееся решение используется в качестве исход-

§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений 12 F
ного для Р и Q, соответствующих возрастающему сгущению.
Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет достиг-
достигнуто требуемое сгущение сетки.
В работах Томпсона и др. [Thompson et. al., 1977a, b] при-
приведено много примеров применения описанной выше методики.
В работе [Thompson et. al., 1977b] приведена распечатка про-
программы TOMCAT. Расширение данного метода на случай трех
переменных, а также обобщения системы A3.35) с целью до-
достижения лучшего контроля сгущения приведены в работе
Томпсона [Thompson, 1982]. Более поздние результаты можно
найти в работах [Thompson, 1984; Thompson et. al., 1985].
Методику Томпсона можно модифицировать и получить со-
согласно этой методике по заданным точкам на границе ортого-
ортогональной сетки с некоторым контролем распределения внутрен-
внутренних точек. Это достигается путем введения
^2 #22 * /«. ч
— = -Т7Г = /(?, Л),
где /(?, г\) следует определить. Если положить
систему A3.36) можно записать в виде
A3.42)
Уравнения A3.42) являются уравнениями для построения ор-
ортогональной сетки. Функция /(?, ц) может быть определена на
границе. Внутри области значения /(?, т]), как правило [Ryskin,
Leal, 1983], получаются путем трансфинитной интерполяции
(п. 13.3.4) граничных величин.
На практике сначала строится неортогональная сетка
с определенными на границе хA,ц) и y(i,r\). Для аппрокси-
аппроксимации /(?, т]) на границе используется определение / =
= (g22/gnI/2 и соотношение A2.12). В результате трансфинит-
трансфинитной интерполяции получаются внутренние значения /(?, л)- Для
конечно-разностного представления уравнений A3.42) анало-
аналогично A3.37) проводится несколько итераций. Модифицирован-
Модифицированные значения хA,г\), уA, ц) позволяют определить новые зна-
значения /(?, ц) на границе. После этого весь процесс повторяется
до тех пор, пока сетка не перестает изменяться. Рискин и
Лил представили типичные сетки, для построения которых
потребовалось 50—100 итераций. Контроль распределения

122 Гл. 13. Построение сеток
внутренних точек осуществлялся в основном за счет располо-
расположения точек на границе; трансфинитная интерполяция позво-
позволяет получить некоторое дополнительное сгущение.
§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отобряжениями
Алгебраические отображения для построения внутренних
точек сетки осуществляют интерпроляцию граничных данных.
Явная интерполяция может быть осуществлена в одномерном
(п. 13.3.2 и 13.3.3) и многомерном (п. 13.3.4) случаях. Основное
требование состоит в том, чтобы построенная сетка удовлетво-
удовлетворяла некоторым необходимым условиям: она должна плавно
изменяться, быть близка к ортогональной и локальные отно-
отношения сторон должны быть близки к единице. В задачах ди-
динамики жидкости решения часто быстро изменяются вблизи
некоторых поверхностей. Очень важно построить сетку так,
чтобы она была ортогональной или близкой к ортогональной
вблизи таких поверхностей. Все три метода, описанные в дан-
данном разделе, удовлетворяют этим условиям.
Распределение точек сетки внутри области осуществляется
в основном за счет функций растяжения на границах. Поэтому
в случаях двух границ (п. 13.3.2) и большего числа поверхно-
поверхностей (п. 13.3.3) данными методами при помощи всего лишь
явной одномерной интерполяции могут быть построены плавно
изменяющиеся близкие к ортогональным сетки (см. рис. 13.30).
Распределение точек вдоль границы области эффективно
осуществляется нормализованными одномерными функциями
растяжения, определенными на отрезках границы, обычно на
каждой стороне расчетного прямоугольника в плоскости (|,л)-
Подходящие одномерные функции растяжения приведены в
п. 13.3.1. Граничные функции растяжения применимы для по-
построения внутренних точек сетки как путем решения уравнений
в частных производных (§ 13.2), так и при использовании ал-
алгебраических отображений (настоящий параграф).
13.3.1. Одномерные функции растяжения
Одномерные функции растяжения широко используются для
-распределения точек вдоль отдельных границ с целью точного
разрешения отдельных участков области. При вязком обтека-
обтекании изолированного симметричного тела (рис. 13.16) имеет
'Смысл ввести одномерное растяжение на АЕ и CD, чтобы точки
сетки сгущались вблизи ABC для разрешения больших
градиентов, появления которых можно ожидать в этой
области.

§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 12$
При построении внутренних точек сетки для сравнительно
простых- геометрий возможно совместное использование одно-
одномерных граничных функций растяжения с простым преобразо-
преобразованием сдвига, см., например, A3.27).
Желательно выразить зависимые и независимые перемен-
переменные в функции растяжения в нормализованном виде. Для одно-
одномерной функции растяжения, применяемой к ЕА на рис. 13.16,.
соответствующей нормализованной независимой переменной бу-
будет величина
л' = (л-Лл)/(Ле-Лл), A3.43)
т. е. 0<г)*<1 при Лл^Л^Ля.
Эффективная функция растяжения, предложенная Роберт-
сом [Roberts, 1971] и модифицированная Эйземаном [Eiseman,
1979], имеет вид
(^[Q(iV)]^ A3.44>
где Р и Q — параметры, обеспечивающие контроль распределе-
распределения точек сетки; Р фактически определяет наклон распределе-
распределения E » Prf) вблизи л* = 0- Величина Q, названная Эйзема-
Эйземаном демпфирующим фактором, определяет отклонение от ли-
линейной зависимости s от л*- Малые величины Q вызывают
малое отклонение от линейной зависимости. Впрочем, если Р
близко к единице, отклонение от линейной зависимости мало
и существенно лишь при значениях л*» близких к единице.
После того как величина 5 получена, она используется
для определения распределения хну. Например, если поло-
положить
<13-45>
то можно непосредственно получить x{s) и у(s). Наиболее
простой выбор f(s) = g(s) = sy который, согласно A3.45), дает
* = хА + s (хЕ - хА)9 У=Уа + ь{Уе — У а)- A3.46)
Типичное распределение точек на отрезке ЕА (рис. 13.16), по-
полученное из A3.46) при различных значениях Р и Q, представ-
представлено на рис. 13.19. При Р> 1 можно получить сгущение точек
вблизи точки Е. Такое сгущение лучше контролируется, если
в A3.43) положить л* = (л—Це)/(Ца—Це), а в A3.45) f(s) =
g()
Другая двухпараметрическая функция растяжения предло-
предложена Винокуром [Vinokur, 1983]. Два параметра — это на-
наклоны ds/dyf на каждом конце интервала л* = О и Л* = 10.
Достоинство такого подхода состоит в том, что рассматриваем

124 Гл. 13. Построение сеток
мая граница может быть разбит?, на несколько интервалов, на
каждом интервале можно построить функцию растяжения так,
что на границах интервалов величины s и ds/dxf будут непре-
непрерывны. Однако функция растяжения Винокура не может быть
P-L8.Q =2.00 III I 1 1 J ) I 1 |
? А
ц-О.9,0 =2.00 М I I I М I 1 1 I
? А
=o.i,a =z.oo
\ \ \ 1 1 I \\\
Е А
Рис. 13.19. Распределение точек в соответствии с A3.44).
сведена к одному уравнению, подобному A3.44). Это несколько
усложняет их программную реализацию.
13.3.2. Применение методов в случае двух границ
Применение метода будет продемонстрировано на примере
построения сетки в двумерном искривленном канале (рис. 13.20).
Рис. 13.20. Двумерный искривленный канал.
Предполагается, что функции растяжения s^dOi*) и $вс{ц*)>
контролирующие распределение точек на входной и выходной
границах, уже определены. Нормализованный параметр rj* =
= (Л — *h)/0i2 — л0- Для SAD(r)*) И5вс(л*) могут быть исполь-
использованы формулы, аналогичные A3.44).

§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 125
Для получения значений 5 между поверхностями AD и ВС
рекомендуется использовать простую линейную интерполяцию
s = sAD + V (sBC - sAD)9 A3.47)
где r = «-b)/(l2-6i).
Аналогично распределение точек сетки вдоль границ АВ и CD
определяется одномерными функциями растяжения гавA*) и
Jdc(%*). Если под гав и гос подразумеваются нормализованные
координаты, измеряемые вдоль поверхности, величины хав(гав)
и Уав(гав) непосредственно следуют из них; аналогично для xDc
и Уdc.
Применение метода алгебраического отображения состоит
в проведении интерполяции между двумя границами АВ и DC.
При проведении такой интерполяции полностью определяется
сетка во внутренней области. Простейшая интерполяция может
быть проведена по формулам
* (Б, Ч) = A — s) хАВ (гАВ) + sxDS (rDC),
У (g, л) = A - s) yAB (rAB) + syDC (rDC), <13-48>
тде 5 определяется выражением A3.47). За счет функций растя-
растяжения Sad, 5bc, tab, tdc достигается существенный контроль сгу-
сгущения точек сетки внутри области.
Трудность использования интерполяции A3.48) состоит в
том, что сетка может получиться сильно деформированной
вблизи поверхности, если соответствующие граничные точки
{хав, Уав) и (xDcyDc) лежат на негладкой кривой. При исполь-
использовании вместо A3.48) формул
-* (Б, Ч) = |l! (S) ХАВ (Глв) + ^2 (S) XDC (ГDC) + Тх \lz (s) (jj^ (гАв)) +
A3.49)
У (S, П) = |t| (s) Уав (гЛв) + Иг (s) Udc (гцс) ~ (
где
ti,(s) = 2s3-3s2+l, ti2(s)=-2s3 + 3s2(
Из («) = s» -2s2 + s, nt(s) = !?-s\ A3-50)
получается сетка, локально ортогональная границам АВ и DC
(рис. 13.20).
Параметры 7*1 и Т2 используются для контроля за тем,
насколько далеко внутрь области проводится ортогональность.

126
Гл. 13. Построение сеток
Выбор слишком больший значений Т\ и Г2 может привести к не-
неоднозначности отображения внутренних точек [Smith, 1982].
Типичные сетки, построенные рассмотренным методом, приве-
приведены на рис. 13.21 и 13.22. На рис. 13.21 показано, как функции
о, о
Рис. 13.21. Влияние граничных контрольных функций гАв и rDC.
гав{1) и rDC(l) влияют на распределение точек в направлении g.
Концентрация точек соответствует малому наклону; более гру-
грубая сетка получается в областях больших наклонов гавA) и
о, о
Рис. 13.22. Влияние контрольной функции s(t]*).
|. На рис. 13.22 представлена сетка с более равномерным
распределением точек в направлении ?, но с концентрацией ли-
линий сетки вблизи ц* = 0, что обусловливается законом измене-
изменения s(t]*).
Включение в метод алгебраического отображения с двумя
границами интерполяции между двумя поверхностями с целью*
построения трехмерной сетки описано Смитом [Smith, 1982].

§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 127
13.3.3. Метод многих поверхностей
Дополнительный контроль распределения внутренних точек
сетки может быть получен путем введения между поверхностя-
поверхностями АВ и CD на рис. 13.20 промежуточных поверхностей, на ко-
которых определены зависимости х/(г/) и tjj(г/).
Если соединить соответствующие точки (точки с одинаковыми
значениями г/) соседних поверхностей, то тем самым будет опре-
Рис. 13.23. Промежуточные поверхности Z/ и касательные векторы V*.
делена последовательность направлений. В методе многих по-
поверхностей Эйземана [Eiseman, 1979] интерполируется именно
данная последовательность направлений, что приводит к двум
явным преимуществам.
Во-первых, устанавливая соответствие между точками сетки
граничной поверхности, например АВ, и ближайшей промежу-
промежуточной поверхности, можно добиться локальной ортогонально-
ортогональности сетки на границе.
Во-вторых, распределение сетки в направлении 5 получается
в результате интегрирования интерполяции последовательности
направлений. Это обеспечивает очень гладкое распределение то-
точек в направлении 5. К тому же не требуется, чтобы сетка ин-
интерполировала промежуточные поверхности. Вообще говоря, чи-
число промежуточных поверхностей не ограничивается. На прак-
практике хороший контроль распределения внутренних точек может
быть получен при помощи двух промежуточных поверхностей.
В двумерном случае распределение точек на /-й поверхности
представляется в виде одной векторной функции Zi(r) с компо-
компонентами xi(r) и iji(r). Последовательность поверхностей изобра-
изображена на рис. 13.23. В общем случае рассматривается N— 2
промежуточных поверхностей.
Параметр г определяет положение всех точек поверхности.
Однако различные выборы Z/(r) позволяют для каждого

128 Гл. 13. Построение сеток
конкретного значения г определить относительную ориентацию
точек (xi, tji) на каждой поверхности. Предполагается, что точки
(xi.yt) на различных поверхностях, соответствующие значению
r = rj, соединяются отрезками прямых (рис. 13.23).
Касательные к отрезкам прямых, соединяющих поверхности,
определяют семейство векторных функций V/(r) при /=1, ...
..., N—1. Касательные вектор-функции V,- могут быть связаны
с поверхностными вектор-функциями Zx- соотношениями
Vi(r) = Ai[Zi+l(r)-Zi(r)], /=1, ..., N-1. A3.51)
Параметры Л, будут определены ниже так, чтобы оконча-
окончательные интерполяционные формулы для сетки соответствовали
интервалу 0^5^ 1. Интерполяция полудискретного семейства
касательных вектор-фучкций V/(r) определяет касательную век-
вектор-функцию V(r, s), непрерывную по г и 5. Таким образом,
V(r, s)=t\i(s)Vi(r), A3.52)
i = \
где tyi(s)—интерполяционные функции, которые следует опре-
определить так, чтобы tyi(sk)= 1, если i = k, и ySpi(sk) = Oy если [фк.
Однако из способа построения Vr(r) следует, что
N-\
-Ц- (г, s) = V (г, s) = J] Ч>, (s) V? (r), A3.53)
где Z(r, s)—непрерывная функция, позволяющая по заданным
значениям г и s (и, следовательно, | и rj) построить сетку в фи-
физической области; Z(r, 5) получается в результате интегрирова-
интегрирования A3.53) на интервале 0 ^ 5 ^ 1. На рис. 13.20 этот интервал
соответствует интервалу ти^'П^'Пг. Таким образом, с учетом
A3.51) можно получить
Z (г, s) = 1Х (г) + S AM (s) [Zl+I (г) - Zf (г)], A3.54)
где
\. A3.55)
Параметры Л/ следует выбрать так, чтобы Л/б/A)=1. Тогда
из A3.54) следует Z(r, 5) = ZN(r) при 5 = 1, как и должно быть.
Следовательно, A3.54) можно представить в виде
Z (r, s) = Z, (г) + ? |tig. [ZJ+1 (r) - Z, (г)]. A3.56)

§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 129
Данное выражение в общем виде представляет метод многих
поверхностей.
Интерполяционные функции tyi(s) должны быть непрерывно
дифференцируемы до порядка на единицу меньше, чем требуе-
требуемый порядок гладкости (непрерывности производных) сетки.
Данные функции могут быть представлены, например, выраже-
выражениями
N—1
(s-st). A3.57)
В простейшем случае при N = 2 A3.56) принимает вид
Z (г, s) = Z, (г) + s [Z2 (r) - Z, (г)]. A3.58)
В данном случае нет промежуточных поверхностей и отображе-
отображение A3.58) эквивалентно линейной формуле A3.48) метода двух
границ. Типичная сетка при N = 2 приведена на рис. 13.24(а).
При N = 3 вводится одна промежуточная поверхность и
A3.56) с использованием A3.57) представляется в виде
Z (г, s) = A - sf Ъ, (r) + 2s(l- s) Z2(г) + s2Z3(r). A3.59)
Типичная сетка, построенная при помощи этого отображения,
приведена на рис. 13.24 (Ь). Длины осей эллипса на рис. 13.24
равны 1.00 и 0.25. Стороны внешнего прямоугольника со скруг-
скругленными углами равны 8 в направлении х и 4.8 в направлении у.
Очевидно, что при N = 2 внутренние точки сетки лежат в на-
направлении s(\\) на прямых лучах. При N = 3 промежуточная по-
поверхность (поверхность 2) расположена на расстоянии As = 0.1
от поверхности эллипса (поверхность 1). Точки на поверхности 2
расположены так, что линия, соединяющая точки, соответствую-
соответствующие на поверхностях 1 и 2 одинаковым значениям г, перпенди-
перпендикулярна поверхности эллипса. В результате получается сетка,
локально ортогональная поверхности эллипса.
Использование N поверхностей (считая граничные поверхно-
поверхности) дает N степеней свободы. Две из этих степеней свободы ис-
используются для требуемого в направлении г\ отображения гра-
граничных поверхностей, определенных функциями Z\(r) и 2ы(г).
Остальные степени свободы могут быть использованы для кон-
контроля поведения внутренних точек сетки.
Например, при N = 4 (две внутренние поверхности) можно
построить сетку, ортогональную обеим граничным поверхностям
при г] =т]1 и г\ = г]2. На рис. 13.24 (с) поверхность 3 расположена
на расстоянии As = 0.1 внутрь от внешнего прямоугольника
(поверхность 4). Точки на поверхности 3 выбраны так, чтобы
9 К. Флетчер, т. 2

Рис. 13.24. Типичные сетки, построенные по методу многих поверхностей;
(а) N = 2; (Ь) N = 3; (с) N = 4.

§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 131
генерируемая сетка была локально ортогональна поверхности
прямоугольника. Более подробно случай N = 4 обсуждается
в п. 13.4.1.
Необходимо подчеркнуть, что внутренние поверхности вво-
вводятся лишь для контроля распределения внутренних точек и
формы координатных линий; данные поверхности не совпадают
с построенной сеткой. Введение внутренних поверхностей приво-
приводит к появлению нового уровня контроля, являющегося дополни-
дополнительным по отношению к контролю, получаемому из распреде-
распределения при помощи функций гавA) и rDc(l) точек в направле-
направлении Е- на граничных поверхностях (п. 13.3.1), как на рис. 13.21
и 13.22. Возможность распределения точек в направлении 5, как
это делается при помощи A3.47), также имеется в методе мно-
многих поверхностей.
Эйземан [Eiseman, 1982a, b] расширил метод многих поверх-
поверхностей, сделав более эффективным его применение в трехмерном
случае. В трехмерном случае лучший контроль распределения
внутренних точек может быть достигнут, если интерполяционные
функции if>/ в A3.57) рассматриваются не глобально, а локально.
Эйземан [Eiseman, 1982a] приводит примеры, в которых вдали
от 1] = ^! преобразование внутренних точек может быть сделано
локально декартовым (в физической области), вместе с тем со-
сохраняется свойство локальной ортогональности сетки поверхно-
поверхностям АВ и CD.
В трехмерном случае граничные поверхности, например Z\
и ZN, будут зависеть от двух параметров г и t и необязательно
будут плоскостями. Поверхность Zb например, может совпадать
с поверхностью автомобиля. Это приводит к тому, что система
координат должна по крайней мере принадлежать С2, т. е. дол-
должны существовать непрерывные производные вплоть до второго
порядка. Следовательно, интерполяционные функции \f>/ в A3.57)
должны быть функциями из С1. Примеры использования таких
локальных функций в методе многих поверхностей можно найти
в работе [Eiseman, 1982b].
13.3.4. Трансфинитная интерполяция
Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей про-
проводится интерполяция лишь по одному направлению (s или ц).
При этом предполагается, что по другому направлению (г или
?) имеется непрерывное отображение граничных поверхностей
Т)=<П1 И Г|=Т|2.
При помощи трансфинитной интерполяции [Gordon, Hall,
1973] можно, однако, определить непрерывные отображения
zabE, tii) на Л5, ZdC(|, t]2) на DC и, кроме того, ZAd(Iu r\) на
9*

132 Гл. 13. Построение сеток
AD и Zbc(?2, л) на 5С (рис. 13.20). Внутри области вводится ин-
интерполяция как по |, так и по rj, или, что эквивалентно, по г
и по s.
Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей в ка-
качестве промежуточного шага с целью получения преобразова-
преобразования Z(?, г]) для построения сетки в физической области вво-
вводятся параметрические координаты (г, 5). Предполагается, что
г и s — нормализованные координаты, т. е.
0<г<1 при g!<|<g2, 0<s<l при Л1<Л<Л2- A3.60)
Вводятся следующие интерполяционные функции:
tl(r) = 6in у = 0, 1; *Ms) = eto 6 = 0, 1. A3.61)
Здесь
б/г = 1, если / = г; 6ks = 1, если k = s\
6ir = 0, если / Ф г; 6ks = 0, если k=?s.
Таким образом, Фо=1, ф\ = 0 на AD\ ^0 = 0, фх = 1 на ВС;
<фо=1, -ф1 = 0 на АВ; % = 0, трх = 1 на CD.
Интерполяция в направлении г определяется выражением
Zr(r, 8) = фо(г)гАй(О, 8) + ф{(гIвсA, s)9 A3.62)
где Zad, 2вс — непрерывные отображения между двумя плоско-
плоскостями (g,r)) и (а:, у) на двух границах | = |i и g = g2; Zr(r, 5) —
непрерывное отображение, полученное в результате интерполя-
интерполяции между Zad и Zbc для промежуточных значений г. Анало-
Аналогично
Z,(r, s) = ^0(s)ZAB(r9 0) + %(s)ZCD(ry 1). A3.63)
Zr и Zs — отображения, эквивалентные использованным ранее
в методе двух поверхностей и в простейшем случае (N = 2)
метода многих поверхностей.
Для получения двумерной интерполяции вводится произве-
произведение интерполяций
Zr5(r, s) = Zr-Zs. A3.64)
Произведение интерполяций согласуется с граничными функ-
функциями Zab и др. только в четырех углах @,0), @, 1), A,0) и
A, 1). Подобный тип интерполяции использовался в двумерном
варианте метода конечных элементов (п. 5.3.3).
Чтобы получить функцию отображения, справедливую на
всех границах двумерной области, необходимо ввести в рассмот-
рассмотрение интерполяционные булевы суммы
Z(r, s) = Zr(r9 s) + Zs(r, s)-Zr3(r, s). A3.65)
Данная конструкция является центральной в трансфинитной ин-
интерполяции [Gordon, Hall, 1973].

§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 133
На практике формула A3.65) осуществляется в два этапа.
На первом этапе
Zr(r, s)=Zo*/(r)Z4(/\ s), A3.66)
где b означает соответствующую границу, AD или ВС. На вто-
втором этапе
Z (г, s) = Ъг (г, *)+?¦* (s) [Zb (г, к) - Ъг (г, ft)]. A3.67)
fc = 0
Интерполяционные функции ^/ и tyk могут быть выбраны анало-
аналогично тому, как это было сделано в методах двух или многих
ловерхностей. Выбор
Фо(г)=1~г9 ФЛг) = г9 ifo(s)=l-5f *i(r) = s A3.68)
дает билинейную трансфинитную интерполяцию, которая под-
подвержена тем же недостаткам, что и A3.48). Хотя преобразования
A3.67), A3.68) могут осуществить сгущение точек через гранич-
граничные функции ЪАв и т. д., они не обеспечивают ортогональность
сетки вблизи граничных поверхностей.
Развитие метода трансфинитной интерполяции можно осуще-
осуществить путем, аналогичным развитию методов двух и многих по-
поверхностей. Для лучшего контроля внутренних точек сетки
[Gordon, Thiel, 1982] рассмотрена возможность введения про-
промежуточных поверхностей. Для получения гладко изменяющихся
близких к ортогональным сеток Эриксон [Eriksson, 1982] ввел
параметрические производные, например dnZ/dsn. Он предпочел
вместо формального выполнения условий ортогональности, как
это сделано в A3.49), определить производные до порядка п=3.
Эриксон утверждает, что это позволяет, особенно в трехмерном
случае, получить лучший контроль распределения точек сетки.
Метод трансфинитной интерполяции естественным образом
обобщается на случай трех переменных. К алгоритму A3.66),
A3.67) в этом случае добавляется третий этап
Z(r, s, t) = Z2 (г, s,t)+? щ (t) [Zb (r, 5, i) - Z2 (г, s, i)l A3.69)
i = 0
где Z2{rys,t) эквивалентно Z(/*,s) в A3.67), a (o;(/)—интерполя-
(o;(/)—интерполяционные функции, свойства которых эквивалентны ^/(г) и ^(s).
Рицци и Эриксон [Rizzi, Eriksson, 1981] описывают применение
трехмерной трансфинитной интерполяции при отображении ком-
комбинации крыло — фюзеляж; они получили данные лишь на
граничных поверхностях. Для лучшего контроля внутренних
точек ими было определено отображение Z и направленные от

134 Гл. 13. Построение сеток
поверхности производные дп2/д1п и т. д. на поверхности крыла
при п = 1,3. Вдоль крыла использовалась простая линейная ин-
интерполяция, эквивалентная A3.68). По координате, направленной
вокруг крыла и эквивалентной g на рис. 13.12, не использова-
использовалось никакой интерполяции. Распределение сетки в этом направ-
направлении контролировалось граничными распределениями точек.
Применение трансфинитной интерполяции позволяет использо-
использовать по разным параметрическим направлениям г, s и t интер-
интерполяции различного порядка.
§ 13.4. Численная реализация алгебраического отображения
В этом параграфе часть из рассмотренных выше методов бу-
будет представлена в виде компьютерной программы, предназна-
предназначенной для построения сетки между двумя ограничивающими
кривыми.
Для области, изображенной на рис. 13.25, ограничивающими
поверхностями являются продолженная вниз по потоку поверх-
поверхность тонкого осесимметричного тела ABC и удаленная гра-
граница FED. Между этими двумя границами необходимо построить
Е D
%=КМАХ fc=l~ b j=JMAX
Рис. 13.25. Расчетная область при алгебраическом отображении.
половину С-сетки (рис. 13.12). В силу симметрии полная С-сетка
может быть получена в результате отражения относительна
оси х.
Как отмечалось в начале гл. 13, процесс построения сетки
разделяется на два этапа. Сначала определяется положение то-
точек на всех границах. Для контроля распределения точек на
границах используются одномерные функции растяжения A3.44).
Далее путем применения метода многих поверхностей строят-
строятся внутренние точки сетки. Вводятся две промежуточные по-
поверхности Z2 и Z3, по одной вблизи каждой из граничных по-
поверхностей ABC и FED. Параметрическое (зависящее от г) со-

§ 13.4. Численная реализация алгебраического отображения 135
ответствие между точками поверхностей Z2 и Z3 и точками со-
соседних граничных поверхностей устанавливается так, что линии
сетки пересекают граничные поверхности под прямым углом.
Механизм выбора х(г), у (г) на поверхностях Z2 и Z3 требует
расчета ортогональных проекций. Для этого применяются рас-
рассмотренные в п. 13.2.5 методы, аналогичные методам, исполь-
используемым при построении сеток, близких к ортогональным.
13АЛ. ALGEM: программа построения сеток
около хорошо обтекаемых тел
Изображенная на рис. 13.25 поверхность АВ является аэро-
аэродинамическим профилем семейства NACA-00Y. Здесь t — двух-
двухзначное число, представляющее толщину профиля в процентах.
Так, профиль NACA-0012 является симметричным профилем,
толщина которого составляет 12 % от единичной хорды. Про-
Профили семейства NACA-00Y задаются уравнением
у = t (а{х^ + а2х + а3х2 + а4х3 + а5*4), A3.70)
где
а{ = 1.4779155, а2 = —0.624424, а3= 1.727016,
а4 = 1.384087, а5 = —0.489769,
^ —толщина аэродинамического профиля.
Предполагается, что 0 ^ | ^ 1 на физической поверхно-
поверхности ABC и увеличению / соответствует увеличение g на Д?.
Чтобы связать физические координаты (х, у) поверхно-
поверхности ABC с расчетной координатой g, необходимо ввести меру
поверхности г. На поверхности АВ мера поверхности гА опреде-
определяется уравнением
где dy/dx определяется из A3.70). Численное интегрирование
уравнения A3.71) осуществляется подпрограммой FOIL (см.
рис. 13.28), в результате чего находится набор значений гА в за-
зависимости от Ха, где Ха—локальная координата профиля, 0^
^*л^1. Полная длина поверхности между точками А и С
определяется выражением
ГАС, max = 'AS + *С ~ *В- A3.72)
Однако функция растяжения A3.44) дает нормализованный па-
параметр гпАСь такой, что
0<г*с<1 при 0<|<1. A3.73)

136 Гл. 13. Построение сеток
Следовательно, физическая поверхностная координ&та г ас, d вы-
вычисляется по формуле
где гас рассчитывается в подпрограмме STREGH (см. рис. 13.27),
а гас,max определяется из A3.72). При rAc,D<rAB физические
координаты (*(/),*/(/)) граничного сегмента АВ получаются
в результате интерполяции гА и хА и использования A3.70) для
расчета соответствующих значений у. Это делается в подпро-
подпрограмме FOIL при INT= 1. При гас, d > гАв координаты поверх-
поверхности получаются из линейной интерполяции хв ^ х ^ хс.
Физические координаты поверхности ABC в программе
ALGEM (рис. 13.26) обозначены через XSA,7), YSA,7), по-
поскольку они являются компонентами х и у поверхности Z\ из
п. 13.3.3.
Аналогично в результате интерполяции нормализованной по-
поверхностной координаты rnFD получаются значения поверхност-
поверхностной координаты rFD, d и физические координаты XSD, /)„
YSD,/) граничной поверхности FED. Поверхностная коорди-
координата rFD, d отсчитывается вдоль дуги окружности FE и прямой
линии ED.
Положение точек сетки на AF и CD (рис. 13.25) зависит от
параметров растяжения sAf и sCd. Однако физические значения
координат точек сетки на AF и CD получаются явным образом
в результате работы алгоритма многих поверхностей A3.76).
В рассматриваемой программе в методе многих поверхно-
поверхностей (п. 13.3.3) используются четыре поверхности. Граничные по-
поверхности ABC и FED образуют поверхности Z\ и Z4. Исходные
промежуточные поверхности Z2 и Z3 получаются в результате
линейной интерполяции между Z\ и Z4 по формулам
Z^ = Z1 + 52(Z4-Z1), Z^ = Z1 + 53(Z4-Z1). A3.75)
На данном этапе поверхности Z2 и Z3 правильно располагаются
в физическом пространстве, однако корректное соответствие то-
точек по координате г еще не установлено. Если алгоритм многих
поверхностей A3.76) применить с промежуточными поверхно-
поверхностями Z2 и Z3, определенными A3.75), то г]-линии полученной
сетки будут прямыми, соединяющими точки с одинаковыми зна-
значениями индекса / на ABC и FED (см. рис. 13.24 при N = 2).
Следовательно, зависимость Z2 и Z3 от г должна быть изме-
изменена так, чтобы линии, проведенные через точки на Z2 и соот-
соответствующие точкам (точки с тем же значением г) на Zb были
перпендикулярны Z\, линии, соединяющие Z3 и Z4, должны быть
перпендикулярны Z4. В этом случае алгоритм многих поверхно-

§ 13.4. Численная реализация алгебраического отображения 137
1 С
2 С ' ALGEM APPLIES A MODIFIED MULTID)-SURFACE TECHNIQUE TO
3 С THE GENERATION OF A GRID ABOUT A NACA-00'T* AEROFOIL
4 С AT ZERO INCIDENCE. THE UPPER HALF GRID 1$ GENERATED
5 С
* DIMENSION XE1,51>,YEt,51),XBF),YBF)tXSDr51),YSD,5D
1 DIMENSION RACE1) ,RFDE1) ,SAFE1),SCDE1) ,SHD) ДАE1) ,RAE1)
8 COMMON RA,XA
9 С
10 OPENA/FILE=*ALGEM.DAT1)
11 OPENFfFILE='ALGEM.OUT1)
12 READ(l,<l)JMAX,KMAX,IPR,IRFL,T,S2fS3,AV
13 1 FORMATDl5,4E10-3)
14 READA,2)PAC,QAC,PFD,QFD,PAF,QAF,PCD,QCD
15 2 FORMAT(8E10.3)
16 VRITEF,3)
17 VRITEF,4)JMAX,KMAX,IPR»T»$2,S3,AV
18 3 FORMAT(' MULTISURFACE GRID GENERATION*)
19, 4 FORMATC JMAX KMAX«fr2I3rf IPR«\I2,
20 lf Т«\Е10.3,5Х,' S2,S3«\2E10.3V AV«\F6.3f,//)
21 . WRITEF/5)PAC<QAC,PFD/QFD
22 MRITEF,6)PAF,QAFtPCD,QCD
23 5 FORMATС PAC«f,E10,3r* QAC*',E10.3#f PFD*f#E10.3r• QFD*f,Et0.3)
24 б FORMATC PAF^M10.3f9 QAF«f fE10.3r• PCD*\B10.3ff QCD*\EiO,3)
25 С #
26 С DEFINE CORNER JOINTS OF THE BOUNDARY
27 С
28 DATA XB/2.00,3.00,5.00,5.00,2.25,0.00/
29 DATA YB/0.00,0.00,0.00,2.25,2.25,0.00/
30 PI = 3.14159265
31 С
32 С GENERATE STRETCHING FUNCTIONS
33 С
34 CALL STRECH(JMAX,PAC,QAC,RAC)
35 С
36 CALL STRECH(JMAX,PFD,OFD,RFD)
37 С
38 CALL STRECH(KMAX,PAF,QAF,SAF)
39 С
40 CALL STRECH(KMAX,PCD,QCD,SCD)
41 С
42 WRITEFr7)(RAC(J),J=l,JMAX)
43 WRITEF,8) (RFD(J),J=1,JMAX)
44 WRITEF,9)(SAF(J),J=1,JMAX)
45 VRITEF,10)(SCD(J),J«l#JMAX)
46 7 FORMAT(' RAC='f18F7.4)
47 8 FORMATS RFDx\18F7.4)
48 9 FORMAT С SAF=\18F7.4)
49 10 FORMATC SCD=',18F7.4,/)
50 С
51 С OBTAIN SURFACE COORDINATES OF BODY, AB
52 С
53 CALL FOIL@,T,RAB,XD,YD)
54 С
Рис. 13.26. Распечатка программы ALGEM (начало).

138 Гл. 13. Построение сеток
55 RACMX = RAB + ХВC) - ХВB)
56 RFE = 0.5*PI*(YBE) - YBA)>
57 RFDKX = RFE + XBD) - XBE)
58 IF(IPR .EQ. 0)GOTO 13
59 VRITEF,11)(XA(L),L=1,51)
60 VRITEF,12)(RA(L),L=1,51)
61 11 FORMATC XA=\18F7.4)
62 12 FORMATC RA=\18F7.4)
63 С
64 С GENERATE BOUNDING SURFACES 1 AND 4
65 С
66 13 DO 17 J = 1,JMAX
67 RACD = RAC(J)*RACMX
68 IF(RACD .LT. RAB)GOTO 14
69 XSA,J) = XBB) + (RACD - RAB)*(XBC) - XBB))/(RACMX-RAB)
70 YS<1,J) = 0.
71 GOTO 15
72 С
73 14 CALL FOILAЛ,RACD,XD,YD)
74 С
75 XSA,J) = XD*(XBB)-XBA)) + XBA)
76 YSA,J) = YD*(XBB)-XBA)) + YBA)
77 15 RFDD = RFD(J)*RFDMX
78 IF(RFDD .LT. RFE)GOTO 16
79 XSD,J) = XBE) + (RFDD-RFE)*(XBD)-XBE))/(RFDMX-RFE>
80 YSD,J) = YBE)
81 GOTO 17
82 16 RR = YBE) - YBA)
83 THE = RFDD/RR
84 XSD,J) = XBE) - RR*COS(THE)
85 YSD,J) = RR*SIN(THE)
86 17 CONTINUE
87 С
88 С SURCH GENERATES SURFACES 2 AND 3 SO THAT TBE GRID
89 С ADJACENT TO SURFACES 1 AND 4 IS ORTHOGONAL
90 С
91 CALL SURCH(JMAX,S2,S3,XS,YS)
92 С
93 DO 21 L = 1,4
94 VRITEF,18)L
95 18 FORMATAOH SURFACE ,11)
96 DO 21 J = 1,JMAX,18
97 JA=J
98 JB = JA + 17
99 VRITEF,19) (XS(L,,JC),JC=JA,JB)
100 VRITEF,20)(YS(L,JC),JC=JA,JB)
101 19 FORMATC XS=\18F7.4)
102 20 FORMATC YS=\18F7.4,/)
103 21 CONTINUE
104 С
105 С GENERATE INTERIOR GRID
106 С
Рис. 13.26 (продолжение).

§ 13.4. Численная реализация алгебраического отображения 139
107
108
109
110
111
112 .
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128 С
129 С
130 С
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147 С
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
А1 « 2./C.*А?-1.)
А2» 2./C.*(l.-AV) - 1.)
AJM « JMAX - 1
DZI » l./AJM
DO 24 К * 1,KMAX
DO 23 J * 1,JMAX
AJ « J - 1
ZI » AJ*DZI
S » SAF(K) + ZI*(SCD(K)-SAF(K))
SHU) « U.-S)**2M1.-A1*S)
SHU) » (l.-S)**2*S*(Al+2.)
SHC) « (l.-S)*S*S*(A2+2.)
SHU) * S*S*A.-A241.-S))
X(J,K) » 0.
Y(J,K) « O.~
DO 22 L * 1,4
X(J,K) « X(J,KJ + SH<L)*XS(L,J)
Y(J,K) » Y(J,K) + SH(L)*YS(L,J)
CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
REFLECT GRID ABOUT X-AXIS
IF(IRFL .EQ. O)GOTO 28
JMAP » JMAX - 1
DO 27 К * l.KMAX
DO 25 J * 1,JMAX
JA » 2*JMAX - J
JB ¦ JA - JMAP
X(JA,K) « X(JB,K)
Y(JA,K) « Y(JB,K)
CONTINUE
DO 26 J « 1,JMAP
JA * 2*JMAX - J
X(J,K) * X(JA,K)
Y(J,K) « -Y(JA,K)
CONTINUE
CONTINUE
JMAX « JMAX + JMAP
DO 33 К « 1,KMAX
VRITEF,29)K,SAF(K),SCD(K)
FORMATC K«\I3,5X,' SAF*\E10.3,
DO 32 J « 1,JMAX,18
JA * J
JB » JA + 17
WRITEF,30}(X(JC,K),JC*JA,JB)
WRITEF,31)(Y(JC/K),JC«JArJB)
FORMATC X»\18F7.4)
FORMATC Y«\18F7.4,/)
CONTINUE
CONTINUE
STOP
END
SCD*',E10.3>
Рис. 13.26 (окончание).

140 Гл. 13. Построение сеток
1 SUBROUTINE STRECH(N,P,Q,S)
2 С
3 С COMPUTES ONE-DIMENSIONAL STRETCHING FUNCTION,
4 С S = P*ETA + U.-P)M1.-TANH(Q*A.-ETA))/TANH(Q)),
5 С FOR GIVEN CONTROL PARAMETERS, P AND Q.
6 С
7 DIMENSION SE1)
8 AN = N-l
Э DETA « JL./AN
10 TQI ».1./TANH(Q)
11 С
12 DO-Д I** 1,N
13 -AL' »L-1
14 ETA = AL*DETA
15 . DUM « Q*(l. - ETA)
16 DUM « 1. - TANH(DUM)*TQI
17- $tt) « P*ETA + <1.-P)*DUM
18 1 CONTINUE
19 RETURN
20 • END '
Рис. 13.27. Распечатка программы STRECH.
стей (п. 13.3.3) обеспечивает ортогональность сетки вблизи по-
поверхностей Zi и Z4.
Поскольку Zi(r) известно, достаточно провести через каждую
точку сетки XSA,/), YS A, У) прямую линию, перпендикуляр-
перпендикулярную Zi, до пересечения с Z2. Точками пересечения будут XS B,7),
YSB, J). Данное построение эквивалентно этапу предиктор, изо-
изображенному на рис. 13.17. Поскольку задание узла / определяет
значение г на Zb точки XSB,/), YSB,/) имеют то же значе-
значение г и ортогональны к Z\ в точках XSA,7), YS A, /). Расчет
ортогональных точек сетки на Z2 осуществляется в подпро-
подпрограмме SURCH (рис. 13.29). Точки сетки XSC, У), YSC, /) на
поверхности Z3 строятся так, что они оказываются ортогональ-
ортогональными поверхности Z4 в точках XSD,/), YSD,/). Расчет этих
точек также осуществляется в подпрограмме SURCH.
При заданных координатах на поверхностях от Z\ до Z4 ал-
алгоритм многих поверхностей в случае четырех поверхностей осу-
осуществляется следующим образом [Eiseman, 1979]:
*(Л *)= Е SH(L)XS(L, /), y(J, K)=t SH(L)YS(L, /),
A3.76)
где
= s2(l-a2(l-s)),
a, = 2/Ca. - 1), a2 = 2/B - 3a.). A3.78)

1 SUBROUTINE FOIL(INT,T,RAB,X,Y)
2 С
3 С SURFACE PROFILE IS NACA-00'Г AEROFOIL
4 С IF INT = О, NUMERICALLY INTEGRATE TO OBTAIN SURFACE
5 С COORDINATE
6 С IF INT = 1, INTERPOLATE SURFACE COORDINATES TO OBTAIN
7 С CORRESPONDING (X,Y)
8 С
9 DIMENSION AE),XAE1),RAE1)
10 COMMON RA,XA
11 DATA A/1.4779155,-0.624424,-1.727016,1.384087,-0.489769/
12 PI = 3.14159265
13 IF (INT .EQ. DGOTO 2
14 С
15 С NUMERICALLY INTEGRATE TO OBTAIN RA(L) AS A FUNCTION OF XA(L)
16 С
17 RAM) * 0.
18 XAA) = 0.
19 XAB) = (A(l)/A./T - AB)))**2
20 RAB) = 0.5*PI*XAB)
21 DUM = 3.*AD) + 4.*AE)*XAB)
22 DUM « 2.*AC) + DUM*XAB)
23 DUM = T*@.5/SQRT(XAB)) + AB) + DUM*XAB))
24 FLP = SQRTA. + DUM*DUM)
25 DO1L= 2,50
26* AL = L
27 LP « L + 1
28 XA(LP) = 0.02*AL
29 DX = XA(LP) - XA(L) '
30 FL = FLP.
31 DUM *,-3>AD) + 4,*AE)*XA(LP)
32 DUM * 2.*AC) + DUM*XA(LP)
33 DUM « T*{0.5/^QRT(XA(LP)) + AB) + DUM*XA(LP))
34 FLP « SQRTA. + DUM*DUM)
35 RA(LP) = RA(L) + 0.5*(FL + FLP)*DX
36 1 CONTINUE
37 RAB = RAE1)
38 RETURN
39 С
40 С INTERPOLATE RA(L) TO OBTAIN X CORRESPONDING TO RAB
41 С SUBSEQUENTLY OBTAIN Y FROM ANALYTIC NACA-00'Г PROFILE
42 С
43 2 DO 3 L = 2,51
44 IF(RAB .GT. RA(L))GOTO 3
45 LM = L - 1
46 X = XA(LM) -I- (XA(L)-XA(LM))*(RAB-RACLM))/(RA(L)-RA(LM)>
47 IF(X .LT. 1.0E-06)X*1.0E-06
48 DUM * AD) -I- AE)*X
49 DUM « AC) + DUM*X
50 DUM « AB) + DUM*X
51 Y « T*(AU)*SQRT(X) + DUM*X)
52 RETURN
53 3 CONTINUE
54 VRITEF,4)RAB,RAA),RAE1)
55 4 FORMAT С RAB OUTSIDE RANGE',5X,' RAB=\E10.3,
56 I1 IA(l)-vvE10.3,v RAtSD^'.ElO.S)
57 RETURN
58 END
Рис. 13.28. Распечатка программы FOIL.

142 Гл. 13. Построение сеток
1 SUBROUTINE SURCH(JMAX,S2,S3,XS,YS)
2 С
3 С GENERATES SURFACES 2 AND 3 ТО CREATE ORTHOGONAL
4 С BOUNDARY GRIDS
5 С
6 DIMENSION X$2E1),YS2E1),XS3E1),YS3E1),XSD,51),YSD,51)
7 JMAP * JMAX - 1
8 С
9 С PRELIMINARY GENERATION OF SURFACES 2 AND 3
10 С
11 DO 1 J » 1,JMAX
12 DXS * XSD,J) - XSA,J)
13 DYS * YSD,J) - YSA,J)
14 XSB,J) * XSA,J) + S2*DXS
15 YSB,J) = YSA,J) + S2*DYS
16 XSC,J) * XSA,J) + S3*DXS
17 YSCfJ) « YSA,J) ¦ S3*DYS
18 1 CONTINUE
19 С
20 С PROJECT ORTHOGONALLY FROM SURFACE 1 ONTO SURFACE 2
21 С
22 DO 9 J « 2,JMAP
23 IF(ABS(XSA,J+1)-XSA,J-1)) .GT. 1.0E-06)GOTO 2
24 EMI « 1.0E06*(YS(l,J+l)-YS(l,J-l))
25 GOTO 3
26 2 EMI = (YS(l,J+l)-jrS(l,J-l))/(XS(l,J+l)-XS(l,J-D)
27 3 IF(ABS(XSB,J)-XSB,J-1)) .GT. 1.0E-06)GOTO 4
28 EM2 » 1.0E+06*(YSB,J)-YSB,J-D)
29 GOTO 5
30 4 EM2 = (YSB,J)-YSB,J-1))/(XSB,J)-XSB,J-D)
31 5 X2 = (EMl*(YS(lfJ)-YSB,J)+EM2*XSB,J))+XS(l,J))/(l.+EMl*EM2)
32 Y2 = YSB,J) + EM2*(X2 - XSB,J))
33 STJM = SQRT((X2-XSB,J-1))**2 + (Y2-YSB,J-1))**2)
34 SJJM = SQRT((XSBrJ)-XSB,J-l))**2 + (YSBrJ)-YSBfJ-l))**2)
35 IF(STJM .LT. SJJM)GOTO 8
36 IF(ABS(XSB,J+1)-XSB,J)) .GT. 1.0E-06)GOTO б
37 EM2 « 1.0Е+0б*(У5B^+1)-У5B^))
38 GOTO 7
39 6 EM2 = (YSB,J+1)-YSB,J))/(XSB,J+1)-XSB,J))
40 7 X2 = (ЕМ1МУЗA^)-У5B^)+ЕМ2*Х5B^))+ХЗA^))/(
41 Y2 = YSB,J) + EM2*(X2-XSBfJ))
42 8 XS2(J) = X2
43 YS2(J) = Y2
44 9 CONTINUE
45 С
46 С PROJECT ORTHOGONALLY FROM SURFACE 4 ONTO SURFACE 3
47 С
48 DO 17 J = 2,JMAP
49 IF(ABS(XSD,J+1)-XSD,J-D) .GT. 1.0E-06)GOTO 10
50 EM4 = 1.0E+06*(YSD,J+l)-YSD,J-D)
51 GOTO 11
52 10 EM4 = (YSD,J+1) - YSD,J-l)) /(XSD,J+1) - XSDVJ-D)
53 11 IF(ABS(XSC,J) - XSC,J-D) .GT. 1.0E-06)GOTO 12
54 EM3 = l.OE+O6*(YSC,J)-YSC,J-l))
55 GOTO 13
Рис. 13.29. Распечатка программы SURCH (начало).

§ 13.4. Численная реализация алгебраического отображения
143
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71 С
72 С
73 С
74
75
76
77
78
79
80
81
12 ЕМЗ = (YSC,J)-YSC,J-1))/(XSC,J)-XS<3,J-1))
13 ХЗ = (EM4*(YSD,J)-YSC,J)+EM3*XSC,JP+XSD,J))/A.+EM3*EM4)
Y3 = YSC,J) + ЕМЗМХЗ - XSC,J))
STJM = SQRT((X3-XSC,J-1))**2 + (Y3-YSC,J-l))**2)
SJJM = SQRT((XSC,J)-XSC,J-1))**2 + (YSC,J)-YSC,J-l))**2)
IF(STJM .LT. SJJM)GOTO 16
IF(ABS(XSC,J+1)-XSC,J)) .GT. 1.0E-06)GOTO 14
EM3 = l.OE+O6*(YS{3,J+l)-YSC,J))
GOTO 15
14 EM3 = (YSC,J+1)-YSC,J))/(XSC,J+1)-XSC,J))
15 X3 * (EM4*(YSD,J)-YSC,J)+EM3*XSC,J))+XSD,J))/A.+EM3*EM4)
Y3 = YSCfJ) + EM3MX3 - XSC,J))
16 XS3(J) « X3
YS3(J) = Y3
17 CONTINUE
STORE SURFACE 2 AND 3 LOCATIONS
DO 18 J
XSB,J)
YSB,J)
XSC,J)
YSC,J)
18 CONTINUE
RETURN
END
2,JMAP
XS2(J)
YS2(J)
XS3(J)
YS3(J)
Рис. 13.29 (окончание).
Рис. 13.30. С-сетка, построенная по программе ALGEM.
В формулах A3.77) и A3.78) s — нормализованный пара-
параметр в направлении ц. Для лучшего контроля проводится ли-
линейная интерполяция 5 в направлении ?:
= sap (К) +1 (/) [sCD (Ю - sAP (К)).
A3.79)

144
Гл. 13. Построение сеток
Настоящая схема построения сетки реализована в програм-
программе ALGEM (рис. 13.26) и в подпрограммах FOIL (рис. 13.27),
STRECH (рис. 13.28), SURCH (рис. 13.29). Различные пара-
Таблица
Параметр
JMAX, КМАХ
IREL
Т
S2, S3
AW
РАС, QAC
RAC
RACMX
RACD
ХА, RA
XD. YD
ХВ, YB
XS, YS
X, Y
S
SH
EMI -* EM4
XS2, YS2
XS3, YS3
13
1. Параметры, используемые в программе ALGEN
Описание
Число точек в направлении g и ц
.GT.0, отражает сетку относительно оси х
Толщина профиля
Предварительные интерполяционные параметры для по-
поверхностей Z2, Z3, A3.75)
Параметр однородности внутренних точек сетки aWt
A3.78)
Контрольные параметры растяжения для АС (анало-
(аналогично для FD, AF, CD)
Лс
где, мах в A3.72)
Гас, d
Осевая и поверхностная координаты профиля хА и rAl
A3.71)
Интерполированные координаты профиля, полученные
в подпрограмме FOIL
Граничные угловые точки Л, В, С, D и F (рис. 13.25)
Координаты поверхностей
Рассчитываемые координаты точек сетки
Интерполяционный параметр s A3.77)
Весовая функция A3.76)
Касательные к поверхностям 1 ->• 4 (SURCH)
Координаты поверхности 2 после ортогонализации
(SURCH)
Координаты поверхности 3 после ортогонализации
(SURCH)
метры, используемые в программе, описаны в табл. 13.1. Типич-
Типичная сетка, построенная для профиля NACA-0018, изображена на
рис. 13.30. Видно, что данный метод позволяет проводить сгуще-
сгущение точек и строить сетку, ортогональную границам. Рассматри-
Рассматриваемый пример является только иллюстрацией метода и не все-
всегда удобен при проведении расчетов.

§ 13.5. Заключение 145
Для контроля ортогональности вблизи границ рекомендуется
выбирать 52 = 0.100 и s3 = 0.900. Параметр aw влияет на одно-
однородность внутренней части сетки. Данный параметр обычно вы-
выбирается в диапазоне от 0.5 до 0.6, как правило, при Рас =
= PFD = pAF = pCD = 1.0. В этом случае граничные функции
растяжения линейны и aw может быть подобрано так, чтобы
обеспечить нужное распределение сетки.
§ 13.5. Заключение
В данной главе были рассмотрены различные способы по-
построения сеток. Если геометрия физической области допускает
построение в ней конформной сетки, это должно быть использо-
использовано, поскольку структура уравнений в этом случае проще. Од-
Однако условие конформности сетки иногда приводит к чрезмер-
чрезмерному сгущению или разрежению сетки. В этом случае при по-
помощи одномерных функций растяжения (п. 13.3.1) можно
построить более однородные, но лишь ортогональные, а не кон-
конформные сетки.
В более общих случаях желательно определить влияние гра-
границ (§ 13.1) так, чтобы сильная деформация или разрежение
сеток происходило вдали от областей, представляющих интерес
(преимущественно в областях однородности потока).
Там, где это возможно, необходимо определить положение
граничных точек, поскольку в этом случае легко осуществить
контроль распределения внутренних точек с помощью одномер-
одномерных функций растяжения.
Строгой ортогональности при сохранении соответствующего
контроля за распределением точек достичь трудно, особенно
если параметры преобразования х% и др. определяются чис-
численно. С целью уменьшения ошибок аппроксимации в этом слу-
случае рекомендуется использовать сетки, близкие к ортогональ-
ортогональным, и в первую очередь — вблизи границ.
Основное достоинство построения сеток путем решения эл-
эллиптических уравнений в частных производных, подобных
A3.36), состоит в том, что разрывы границ не переносятся
внутрь области, а гладкость внутренней части сетки весьма же-
желательна для численного определения параметров преобразова-
преобразования х\ и др. с наименьшей ошибкой аппроксимации.
Основное преимущество алгебраических методов построения
сеток заключается в хорошем контроле распределения внутрен-
внутренних точек сетки, особенно при необходимости построения ло-
локально ортогональных к границе сеток, а также в высокой эф-
эффективности их численной реализации. Последнее, по-видимому,
особенно существенно в тех случаях, где с целью получения
Ю К. Флетчер. т 2

146 Гл. 13. Построение сеток
более точного решения сетки необходимо перестраивать по ме-
мере развития течения. Методы построения адаптивных сеток рас-
рассматриваются в книге Томпсона и др. [Thompson et al., 1986].
§ 13.6. Задачи
Построение сеток, основанное на решении уравнений в частных производных
(§ 13.2)
13.1. Примените преобразование Жуковского
к профилю NACA-0012 (координаты определяются уравнением A3.70) и под-
подпрограммой FOIL). Параметр с в A3.80) соответствует приближенному зна-
значению радиуса профиля, близкого к круговому, в плоскости Z', соответствую-
соответствующего в плоскости Z аэродинамическому профилю с единичной хордой. Со-
Согласно A3.6), параметр с связан с радиусом кривизны носка профиля rN
соотношением
0=0.25-/^/8, A3.81)
где rN для A3.70) вычисляется по формуле
J A3-82>
Начало координат для аэродинамического профиля расположено в точке
{1—2с, 0}. Следовательно, координаты задней кромки {2с, 0}, координаты
передней кромки {(—2с -\-0.5rN), 0}.
1. Найдите координаты точек, лежащих на профиле, близком к круго-
круговому; этим точкам, на аэродинамическом профиле соответствуют точки, лежа-
лежащие на одинаковом измеряемом вдоль хорды расстоянии друг от друга. Ис-
Используйте уравнение A3.7).
2. Определите координаты точек, расположенных на близкой к круговой
поверхности с равным по углу шагом, и получите соответствующие точки на
аэродинамическом профиле, используя обратное преобразование A3.80).
3. Для однородной полярной сетки, расположенной вне близкой к круго-
круговой поверхности, получите соответствующую сетку в физической области,
используя обратное преобразование. Наименьший радиус полярной сетки сле-
следует выбрать немного большим, чем наибольший радиус близкой к круговой
поверхности.
13.2. Преобразование Шварца — Кристоффеля
i?jL«±I>? A3.8з>
dl n (?-
переводит ступеньку высотой h в плоскости Z в плоскую поверхность (веще-
(вещественная ось) в плоскости ? [Milne-Thomson, 1968]. Уравнение A3.83) можно-
проинтегрировать аналитически, в результате чего получается обратное пре-
преобразование
t = In (? + VI^17!), Z = (h/n) (t + sh /). A3-84>
Потенциальное течение у ступеньки описывается уравнением
0 + /ф = (/г^/оо/я)?, A3.85)
где Uж — скорость вдали от ступеньки вверх по потоку. Возьмите для опре-
определения сетки в плоскости Z линии постоянного значения потенциала (Ф) и

§ 13.6. Задачи 147
функции тока (г|)). Используйте для получения соответствующих точек сетки
в плоскости (Z) обратное отображение A3.84).
13.3. Для построения ортогональной сетки на основе A3.31) программа
ЛLGEM должна быть модифицирована. Для этого проинтерполируйте
(XS(h /), YSA, J) и (XSD, /), YS{4, /)) с постоянным шагом по s так,
чтобы получить девять промежуточных плоскостей, аналогичных Z2 и Z3,
создаваемых первоначально в подпрограмме SURCH. Девять промежуточных
поверхностей и две граничные поверхности определяют неортогональную сет-
сетку (,u, v) из п. 13.2.4, если \л = (/— 1)/(JMAX — 1) и v = (/С— 1)/
(КМАХ—1).
Начиная от поверхности АВСУ уравнение A3.31) интегрируют численно
для определения [i. + Дм- на линии vk ортогональной сетки. С целью опреде-
определения координат точек, соответствующих (jx; + Ац» v*) на поверхности
XS(vk)y YS(vk), проводится интерполяция. Данный процесс повторяется до
тех пор, пока не будет достигнута поверхность FED.
1. Исследуйте влияние размещения точек на ABC, числа и положения
промежуточных поверхностей (vk) на распределение точек ортогональной
сетки.
2. Разработайте алгоритм, не допускающий пересечения линий сетки в
области вогнутости вблизи точки В.
13.4. Повторите задачу 13.3 для алгоритма построения сеток, близких
к ортогональным, описанного в п. 13.2.5.
13.5. Модифицируйте программу ALGEM для построения внутренних то-
точек сетки на основе решения уравнения Пуассона (п. 13.2.6). Для построения
граничных точек на ABC и FED (рис. 13.25) используйте {XS(\J), YS(\J)}
и {XSD, /), YSDy /)}. Используйте аналогичную конструкцию для определе-
определения граничных точек на AF и CD.
1. Используйте алгорим SOR для решения A3.37) при Р = Q = 0 и
равномерном распределении граничных точек.
2. Исследуйте возможность применения функций растяжения для кон-
контроля распределения внутренних точек.
3. Исследуйте дополнительный контроль при использовании Р и Q, опре-
определенных выражениями A3.39) и A3.40).
Построение сеток алгебраическими отображениями (§ 13.3)
13.6. Модифицируйте программу ALGEM так, чтобы по ней можно было
получать решение в случае двух (N = 2) и трех (N = 3) поверхностей.
В случае N = 3 обеспечьте ортогональность сетки только к поверхности ABC.
Сравните полученную сетку с вариантом N = 4.
13.7. Модифицируйте программу ALGEM для построения сетки между
эллипсоидом и прямоугольником и воссоздайте рис. 13.24.
13.8. Используйте в программе ALGEM уравнения A3.49) и A3.50).
13.9. Получите функцию растяжения Винокура [Vinokur, 1983] и вклю-
включите ее в качестве опции в подпрограмму STRECH. Используйте данную
опцию для сгущения точек вблизи А и В. Другими словами, разбейте ABC
на два сегмента АВ и ВС и постройте мелкую сетку вблизи точек А и В и
непрерывную сетку при переходе через точку В. Возможно, что понадобится
некоторая модификация сетки на FED. Исследуйте влияние на внутренние
точки сетки при N = 2, 3 и 4.
13.10. Введите в программу ALGEM трансфинитную интерполяцию 1) для
определения граничных функций аналогично A3.48) на всех поверхностях;
2) для определения граничных функций на AF и CD (уравнение A3.49) на
ABC и FED); 3) уравнение A3.49) на всех поверхностях.
10*

Глава 14
Невязкие течения
В этой главе основные численные схемы, рассмотренные
в гл. 3—10, будут использованы для построения эффективных
численных алгоритмов расчета невязких течений. К ним отно-
относятся течения, рассмотренные в § 11.3 и п. 11.6.1. Будут рас-
рассмотрены наиболее современные и эффективные методы без
подробного обзора предыдущих разработок, т. е. основное вни-
внимание будет уделено описанию новейших, а не более старых и
менее эффективных методов.
Интересные с точки зрения инженерных приложений невяз-
невязкие течения описываются уравнением неразрывности A1.10),
уравнениями Эйлера A1.22) — A1.24) и невязким уравнением
энергии, т. е. уравнением A1.38), правую часть которого следует
положить равной нулю.
Различные подклассы невязких течений допускают использо-
использование для их численного исследования некоторых специальных
систем уравнений. Некоторые из этих уравнений приведены
в табл. 14.1. Как правило, для систем уравнений, расположен-
расположенных в верхней части таблицы, возможно построение более эф-
эффективных алгоритмов численного решения, чем для остальных
уравнений.
Линеаризованное уравнение потенциала весьма эффективно
решается панельным методом (§ 14.1). Оно применимо для опи-
описания дозвуковых течений; как правило, это уравнение менее
точно описывает сверхзвуковые течения. Полное уравнение по-
потенциала является основным при расчете трансзвуковых тече-
течений (§ 14.3), если в них имеются лишь слабые ударные волны.
Для сверхзвуковых течений возможно построение маршевых
алгоритмов решения стационарных уравнений Эйлера (п. 14.2.4)
по направлению, примерно совпадающему с направлением тече-
течения. Для стационарных течений, в которых присутствуют до- и
сверхзвуковые области и сильные скачки, необходимо интегри-
интегрировать нестационарные уравнения *) до тех пор, пока не будет
получено стационарное решение (п. 14.2.8 и 14.2.9). В двух этих
*> Можно решать и стационарные уравнения Эйлера. — Прим. ред.

§ 14.1. Панельный метод
149
Таблица 14.1. Системы уравнений для описания невязких течений
Система уравнений
Линеаризованное
уравнение потенциала
A1.109)
Полное уравнение по-
потенциала A1.103),
A1.104)
Стационарные урав-
уравнения Эйлера A1.22)
— A1.24) при d/dt=
= 0
Нестационарные
уравнения Эйлера
A1.22)— A1.24)
Дозвуковое
течение
(Моо<0-7)
Применимо для
тонких тел
(«точное», если
Моо=0)
Применимо
Применимы
Трансзвуковое
течение
@.7<Моо<1.2)
Неприменимо
Применимо
при слабых
скачках
Применимы
Сверхзвуковое
течение
(M^l.2)
Применимо для
тонких тел и ела-
бых скачков
Неприменимо в
случае сильных
скачков
Позволяют постро-
построить эффективные
маршевые схемы
(п. 14.2.4)
Применимы
случаях, описываемых уравнениями Эйлера, необходимо также
решать уравнения неразрывности и энергии (если последнее при-
применимо). Если в течении образуются сильные ударные волны,
в алгоритм часто приходится вводить некоторые специальные
процедуры (п. 14.2.6 и 14.2.7).
§ 14.1. Панельный метод
Значительную часть практически интересных течений можно
считать безвихревыми, невязкими и несжимаемыми. Следова-
Следовательно, как показано в § 11.3, уравнения, описывающие такие
течения, могут быть сведены к уравнению Лапласа для потен-
потенциала скоростей
УяФ = 0 A4.1)
с граничными условиями, определяющими значение ФилидФ/дп
на всех границах. Течение у хорошо обтекаемого изолирован-
изолированного тела (рис. 14.1) достаточно точно описывается решением
уравнения A4.1). Для практики наибольший интерес представ-
представляет распределение давления по поверхности тела. Знание дав-
давления позволяет непосредственно рассчитать подъемную силу»

150 Гл. 14. Невязкие течения
действующую на тело, и определить граничные условия для дав-
давления (или, что эквивалентно, для скорости) в уравнениях, опи-
описывающих течение в пограничном слое (§ 11.4 и гл. 15).
Уравнение A4.1) может быть решено конечно-разностными
методами, методом конечных элементов или спектральными ме-
методами. Однако более эффективными оказываются методы, осно-
основанные на суперпозиции простых точных решений уравнения
Рис. 14.1. Течение около хорошо обтекаемого тела.
A4.1), удовлетворяющих граничным условиям. Дополнительным
преимуществом такого подхода является то, что в качестве рас-
расчетной области выступает практически лишь поверхность тела,
а не вся область, лежащая вне поверхности (что имеет место
при использовании конечно-разностных методов). Это позволяет
создать экономичный алгоритм и сравнительно просто рассмат-
рассматривать тела сложной формы.
В авиационной промышленности такие методы называются
панельными методами [Rubbert, Saaris, 1972], хотя, как отме-
отмечается в п. 14.1.3, эти методы можно трактовать как методы гра-
граничных элементов. Панельные методы широко используются в
авиационной [Kraus, 1978] и автомобильной [Paul, LaFond,
1983] промышленности.
Сначала будет описан панельный метод для расчета течений
около хорошо обтекаемых тел при нулевой подъемной силе (на-
(например, как на рис. 14.1).
14.1.1. Панельный метод для невязких несжимаемых течений
Название метода связано с разделением поверхности тела на
ряд соприкасающихся панелей (рис. 14.2). С каждой из панелей
связывается источник, плотность интенсивности которого а,
определяется на промежуточной стадии решения. Отдельный па-
панельный источник (рис. 14.3) тесно связан с изолированным ис-
источником (§ 11.3). Панельный источник плотности а создает на
каждой стороне панели скорость 0.5ог. направленную по нормали

§ 14.1. Панельный метод
15Е
к панели. Связь между панельным источником и изолированным
источником рассматривается в книге [Kuethe, Chow, 1976].
Контрольные точки
.и.
у -я панель
Рис. 14.2. Панельное представление поверхности тела.
Панельные источники, помещенные в однородный поток, дви-
движущийся со скоростью Uoo параллельно оси х (рис. 14.2), со*
здают потенциал Ф(х*, t/k), определяемый выражением
, yk) =
\ln
где
г kI = l(xk - xif + (yk - У;П!\ A4.3)
и а/\ dSf — интенсивность /-го панельного источника. Уравнения
A4.2), A4.3) удовлетворяют A4.1). Плотности интенсивности
TV
-
27ГГ
Изолированный источник Панельный источник
Рис. 14.3. Сравнение изолированного и панельного источников.
источника о, должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось
граничное условие непротекания потока через поверхность тела.

152 Гл. 14. Невязкие течения
Компоненты скорости задаются через УФ A1.50). В частно-
частности, граничное условие обращения в нуль нормальной состав-
составляющей скорости на поверхности тела принимает вид
* N
= -U» sin ak + JL ? */ J -?- (In rki) dSj = 0, A4.4)
/=i k
где a*— наклон поверхности тела в k-и контрольной точке
(обычно в середине k-й панели, рис. 14.2). Таким образом, урав-
уравнение A4.4) после вычисления интегралов представляет собой
линейную связь между плотностями источников а,. В частном
случае при k = j интегралы могут быть вычислены аналитиче-
аналитически, а именно
\^r n. A4.5)
к k
При j Ф- k интегралы могут быть выражены как функции узло-
узловых точек (xk, \jk\ Xj, у/). Конкретные формулы будут опреде-
определены ниже (см. A4.13)).
Уравнения A4.4), записанные в каждой контрольной точке,
образуют систему линейных уравнений
A(r = R, A4.6)
где компоненты матрицы А и вектора R равны соответственно
Aki = 0.56,,. + -^ J -JL (in rki) dsh A4.7)
Rk = U^ sin ak. A4.8)
Здесь a — вектор неизвестных плотностей источников. Для ре-
решения системы линейных уравнений A4.6) можно использовать
лрямые или итерационные методы (гл. 6).
После нахождения распределения плотности источников ком-
компоненты скорости, обусловленные внесением тела в поток, могут
быть получены по формулам
а полное поле скоростей определяется выражением q =(?/«
+ u,v).

§ 14.1. Панельный метод
153
Если компоненты скорости определяются в контрольных точ-
точках на поверхности тела, распределение давления по поверхно-
поверхности тела следует непосредственно из уравнения Бернулли
1
Типичное распределение давления приведено на рис. 14.4. Как
видно, 23 элемента, расположенные на поверхности тела, позво-
позволяют получить очень хорошее совпадение с экспериментальными
-0АО-
Й-ОДО
0.10
0.20
а:
I
L
э
i
о
1
панельный метод
- эксперимент (AMICK)
1 1 1 1 I I I
I I I
1 1 1 1
\
О
1 1 1
0.10 0.Z0 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Х/С.
Рис. 14.4. Распределение давления по поверхности профиля NACA-0012 приз
а = 0° и Моо = 0.40.
данными. Соответствие может быть даже улучшено, если пере-
перераспределить панели так, чтобы их число увеличилось в носовой
части профиля и уменьшилось в центральной. Для лучшего со-
соответствия имеющимся экспериментальным данным настоящий
расчет модифицирован при помощи преобразования Прандтля —
Глауэрта, справедливого до Моо = 0.4. Введение этого преобра-
преобразования в панельный метод описано в п. 14.1.6.
Для многих задач решение (скорость или давление) необхо-
необходимо определить лишь в контрольных точках. В этом случае-
расчет A4.4) во многом повторяет расчет A4.9) и A4.10).

154
Гл. 14. Невязкие течения
Поэтому Хесс [Hess, 1975] рекомендует следующую более эф-
эффективную процедуру.
Сначала вычисляются v*/ ={ukj1 vki)> вклады в компоненты
скоростей A4.9) и A4.10) в контрольной точке {xk,yk)y обус-
[хк,ук) = ик,
X
Рис. 14.5. Связанная с панелью система координат.
ловленные источником единичной плотности на /-й панели. Урав-
Уравнения A4.9) и A4.10) тогда принимают вид
и (xk9 yk) = E ukiah v (xk, yk) = X vkiah A4.11)
Компоненты ak\ и vkj могут быть выражены аналитически:
uki =
— ^/ sin a/f оЛ/ = ^y cos ay.
где
~t 1
sin ay, A4.12)
A4.13)
Здесь As/ — длина /-й панели, a (g, т]) — локальная система ко-
координат, расположенная на /-й панели (рис. 14.5). Если точка
{хк,Ук) расположена далеко от точки (х/, #/), можно получить
значительно более простую приближенную формулу [Hess,
1975]. Использование этой приближенной формулы практически
не влияет на общую точность решения.
В выражениях A4.13) qnkl и q^. — компоненты скорости,
создаваемые в контрольной точке (х&, yk) источником единичной
плотности, расположенным на у-й панели. Они направлены соот-

§ 14.1. Панельный метод 155
ветственно по нормали и касательной к /-й панели. Если iu —
единичная нормаль к k-й панели, Ak\ в A4.7) вычисляется сле-
следующим образом:
Аы = nk • vkj. A4.14)
После решения системы A4.6) вычисление A4.9) и A4.10)
в контрольных точках заменяется на A4.11). Таким образом,,
сравнительно трудоемкая операция вычисления \kj проводится
лишь один раз. Другой трудоемкой частью рассматриваемой
процедуры является решение системы A4.6).
Можно заметить, что решение для Ф, определяемое A4.2),.
точно удовлетворяет уравнению A4.1) при N-^oo. Плотности
источников а/ выбираются так, чтобы выполнялось граничное
условие обращения в нуль нормальной составляющей скорости
A4.4) на поверхности тела. Для точек, удаленных от тела, ло-
логарифмические функции в A4.2) обеспечивают возврат решения
к скорости потока 1Л», параллельной оси х, т. е. Ф = UooXk.
Диагональные элементы в системе A4.6) велики, но система
не является строго диагонально преобладающей. Однако, если
число элементов превышает 1000, итерационные методы, рас-
рассмотренные в § 6.3, становятся весьма эффективны и рекомен-
рекомендуются для использования [Hess, 1975]. При малом числе эле-
элементов более эффективными оказываются прямые методы
(§ 6.2). Поскольку матрица А полная, время решения системы
A4.6) будет расти как O(NZ). Поэтому данная часть расчета бу-
будет занимать большую часть времени при больших N.
Однако при заданном времени расчета панельный метод дает
значительно более точное решение, чем конечно-разностные ме-
методы или метод конечных элементов, реализованные на соответ-
соответствующей сетке, окружающей тело. Это означает, что при
одинаковом времени выполнения в панельном методе имеется
гораздо меньше неизвестных (плотности источников), чем не-
неизвестных узловых значений в конечно-разностных методах.
14.1.2. PANEL: численная реализация
В данном разделе панельный метод будет применен для рас-
расчета течения у эллипса. Общая структура программы PANEL
изображена на рис. 14.6, распечатки подпрограмм — на
рис. 14.7—14.11.
Поверхность эллипса задается уравнением
х2 + (у/ЬJ=\ или х = cos 9, z/ = &sin9, A4.15>
где b — длина малой полуоси. В подпрограмме BODY (рис. 14.8)
формула A4.15) для определения координат тела используется
с постоянным шагом по 0.

156
Гл. 14. Невязкие течения
Чтобы иметь возможность производить по программе PANEL
расчет дозвуковых невязких течений, по координате у прово-
проводится преобразование Прандтля — Глауэрта (п. 14.1.6), которое
имеет вид утс = уA — MLI/2. Течение несжимаемой жидко-
жидкости около поверхности (х, уШс) является эквивалентным обтека-
PANEL
Ввод данных
POINT
u,v,p в точках (хр, ур)
BODY
Координаты: х, у
Контрольные точки: хс, Ус
Параметры: dSj, cos ajt sin a.
SURVL
u,v,p в котрольных.
точках (*к,Ук)
MATELM
Элементы А.. (FN. J
KJ Kj
и Rk в A4.6)
>
FACT и SOLVE
Решение A4.6) для
Рис. 14.6. Структура программы PANEL.
яию исходной поверхности потоком с числом Маха М» вдали
от тела.
Элементы матрицы Ак\, входящей в систему A4.6), опреде-
определяются в подпрограмме MATELM (рис. 14.9) по формулам
A4.12) — A4.14). Матрица Akj хранится в массиве FN*/. Прира-
Приращения касательной составляющей скорости, соответствующие ис-
источникам единичной плотности, хранятся в FT^, для дальней-
дальнейшего использования в подпрограмме SURVL (рис. 14.10). Зна-
Значения Rk, соответствующие A4.8), вычисляются в подпрограмме
MATELM при несколько более общем предположении, что на-
.бегающий поток имеет две компоненты скорости (?/ос, К»).
Для решения системы A4.6) используются подпрограммы
FACT (рис. 6.15) и SOLVE (рис. 6.16), в результате чего опре-
определяются плотности источников 0. Скорость и давление вычис-
вычисляются в подпрограмме SURVL (рис. 14.10) по формулам, экви-
эквивалентным A4.11), но с использованием значений FT и FN.
Компоненты скорости и давления в точках (хр,ур), внешних
яо отношению к телу, вычисляются в подпрограмме POINT
<рис. 14.11) по формулам, эквивалентным A4.11) — A4.13). Ко-

§ 14.1. Панельный метод 157
1 С
2 С PANEL CALCULATES VELOCITY AND PRESSURES ABOUT
3 С AN ARBITRARY CLOSED BODY USING THE PANEL METHOD.
4 С
5 DIMENSION XE0)rYE0),XCE0),YCE0),DSE0),FNE0,50)
6 1 ,FTE0,50),RHSEO),SDEEO),CIE0),SIEO),AAEO,5O),Ш1E0)
7 COMMON X,Y,XC,YC,DS,FN,FT,RHS,PI,CPI,CI,SI
8 1 ,UINF,VINFrSDE
9 С
10 OPENA,FILE='PANEL.DAT')
11 OPENF,FILE='PANEL.OUT')
12 READ(l,l)N,IPR,UINFrVINF,FMN,B
13 1 FORMAT{215,4E10.3)
14 С
15 VRITEF,2)N,B
16 VRITEF,3)UINF,VINF,FMN
17 2 FORMAT(IX,'PANEL METHOD WITH \I2,' ELEMENTS,*5X,
18 1 'ELLIPSE MINOR SEMI-AXIS =\F6.3,/)
19 3 FORMATS IX,'ONSET VELOCITY COMPONENTS = \2F6.3,
20 1 2X/FREE STREAM MACH NUMBER = \Yb.3,//)
21 С
22 M=N+1
23 PI = 3.14X59265
24 CPI=2.0/PI
25 С
26 С- CALCULATE COORDINATES OF BODY AND CONTROL POINTS*
21 С
28 CALL BODY(N,M,IPR,FMN,B)
2* С
30 С CONSTRUCT THE MATRIX EQUATION.
31 €
32' CALL MATELM(N,M,IPR)
J3 С
34 С TRANSFER FN INTO AA
35 С
36 DO 5 К в 1,N
37 DO 4 J = 1,N
38 4 AA(K,J) = FN(K,J)
39 5 SDE(K) = RHS(K)
40 С
41 С FACTORISE AA INTO L.U
42 С
43 CALL FACT(N,AA,IKS1)
44 С
45 С SOLVE FOR THE SOURCE DENSITIES, SDE(K)
46 С
47 CALL SOLVE(N,AA,IKS1,SDE)
48 С
49 С CALCULATE VELOCITY AND PRESSURE AT THE BODY SURFACE
50 С
51 CALL SURVL(N,B,FMN)
52 С
53 С CALCULATE FLOW AT GIYEN POINTS,
54 С
55 CALL POINT(N,FMN)
5S 'STOP
57 END
Рис. 14.7. Распечатка программы PANEL.

1 SUBROUTINE BODY(N,M,IPR,FMN,B)
2 С
3 С CALCULATES BODY AND CONTROL POINT COORDINATES
4 С FOR AN ELLIPSE WITH MINOR SEMI-AXIS, В
5 С
6 DIMENSION XE0),YE0),XCE0),YCE0),DSEO),FNEO,5O)
7 1 ,FTEO,5O),RHSEO),SDEEO),CIEO),SIEO)
8 COMMON X,Y,XC,YC,DS,FN,FT,RHS,PI,CPI,CI,SI
9 1 ,UINF,VINF,SDE
10 С
11 С BODY POINTS
12 С
13 FAC « SQRTd.O - FMN'FMN)
14 NHLFF * N/2 + 1
15 NHH=NHLFF+1
16 AN = NULFF - 1
17 DTH = PI/AN
18 С
19 DO 2 I=l,ftHLFF
20 AI = I - 1
21 TH = AI*DTH
22 TH = PI - TH
23 X(I) = COS(TH)
24 Y(I) = B*SIN(TH)
25 С
26 С PRANDTL-GLAUERT TRANSFORMATION
27 С
28 2 Y(I) = Y(I)*FAC
29 С
30 С REFLECT FOR COORDINATES OF LOVER HALF.
31 С
32 DO 3 I=NHH,N
33 X{I)=X(N+2-I)
34 3 Y(I) = - Y(N+2-I)
35 X(M)=XU)
36 Y(M)=YA)
37 С
38 С PLACE CONTROL POINTS AT THE CENTER OF PANELS.
39 С
40 DO 4 1=1,N
41 XC(I)=(X(I)+X(I+l))*0.5
42 4 YC(I)=(Y(I)+Y(I+l))*0.5-
43 С
44 С CALCULATE PANEL SPANS,COS AND SINE OF ANGLES.
45 С
46 DO 5 1=1,N
47 SX»X(I+1)-X(I)
48 SY=Y(I+1)-Y(I)
49 DS(I)=SQRT(SX*SX+SY*SY)
50 CI(I)=(X(I+1)-X(I))/DS(I)
51 5 SI(I)=(Y(I+1)-Y(I))/DS(I)
52 IFUPR .EQ. 0)RETURN
53 С
54 С OUTPUT ELEMENT PARAMETERS
55 С
56 VRITEF,6)
57 6 FORMATBX,'ELEMENT PARAMETERS')
58 DO 7 I = l.N
59 7 VRITEF,8)I,X(I),Y(I),XC(I),YC(I),DS<li,CI(I),SI(I)
60 8 FORMATBX,'I=\ 12' X,Y=\2F8.4,' XC,YC= ' ,2F8.4, ' SPA»
61 1 F8.4.1 CIfSI= \2F8.4)
62 RETURN
63 END
Рис. 14.8. Распечатка программы BODY.

§ 14.1. Панельный метод 159
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
С
С
С
С
С
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SUBROUTINE MATELM(N,M,IPR)
CALCULATES MATRIX ELEMENTS AND RHS.
DIMENSION XE0),YE0),XCE0),YCE0),DSE0),FNE0,50)
fFTE0,50),RHSE0)rSDEE0),CIE0),SIE0)
COMMON X,Y,XC,YC,DS,FN,FT,RHS,PI,CPI,CI,SI
,UINF,VINF,SDE
DO 2 K=1,N
DO 1 J=1,N
IF(K.EQ.J) FN(K,J)=2.*PI
IF(K.EQ.J) FT(K,J)=0.0
IF(K.EQ.J) GO TO 1
DYJ=SI(J)*DS(J)
DXJ=CI(J)*DS(J)
SPH=DS(J)*0.5
XD=XC(K)-XC(J)
YD=YC(K)-YC(J)
RKJ=SQRT(XD*XD+YD*YD)
BKJ=ATAN2(YD,XD)
ALJ=ATAN2(DYJ,DXJ)
GKJ=ALJ-BKJ
ZIK=RKJ*COS(GKJ)
ETK=-RKJ*SIN(GKJ)
R1S*((ZIK+SPH)**2)+ETK*ETK
R2S=((ZIK-SPH)**2)+ETK*ETK
QT=ALOG(R1S/R2S)
DEN=ZIK*ZIK+ETK*ETK-SPH*SPH
GNM=ETK*DS(J)
QN=2.0*ATAN2(GNM,DEN)
UKJ=QT*CI(J)-QN*SI(J)
VKJ=QT*SI(J)+QN*CI(J)
FN(K/J)=-UKJ*SI(K)+VKJ*CI(K)
FT(K,J)=UKJ*CI(K)+VKJ*SI(K)
CONTINUE
RHS(K)=UINF*SI(K)-VINF*CI(K)
CONTINUE
IF(IPR .LE. 1)RETURN
VRITEF,4)
FORMATBX,'MATRIX ELEMENTS = NORMAL VELOCITY COMPONENTS
DO 5 K=1,N
WRITEF,8) K,(FN(K,J),J=1,N)
WRITEF,6)
FORMATBX,'TANGENTIAL VELOCITY COMPONENTS')
DO 7 K=1,N
WRITEF,8)K,(FT(K,J),J=1,N)
FORMATBX,I5,A0F10.5))
WRITEF,9)
FORMATBXr'RIGHT HAND SIDE')
WRITEF,10)(RHS(K),K=1,N)
FORMAT BХД0П0.5)
RETURN
END
Рис. 14.9. Распечатка программы MATELM.

160 Гл. 14. Невязкие течения
1 SUBROUTINE SURVL(N,B,FMN)
2 С
3 С CALCULATES VELOCITIES AND PRESSURE AT THE CONTROL POINTS
4 С QEX IS THE EXACT VELOCITY AT THE SURFACE OF THE ELLIPSE
5 С
6 DIMENSION XEO),YE0),XCEO),YCE0),DS($0),FNE0,5O)
7 l,FTE0,50),RHSE0),SDEEO),CIE0),SIE0*
8 COHNON X,Y,XC,YC,DS,FN,FT,RHS,PI,CPI,CI,SI
9 1,UINF,VINF,SDE
10 С
11 ГАС = SQRTd. - FMN'FMN)
12 GAM = 1.4
13 Cl = 0.5MGAM-l.)*FMN*FHH
14 C2 * 0.5*GAM*FHN*FMN
15 GMP * GAM/(GAM-1.)
16 VRITEF,1)
17 1 FORMATBX,'VELOCITY AND PRESSURE AT THE tONTROL POINTS')
18 DO 4 K=1,N
19 QTS=0.0
20 QNS=0.0
21 DO 2 J»1,H
22 QTS*QTS+FT(K#J)*SDE(J)
23 2 QNS=QNS+FN(K,J)*SDE(J)
24 С
25 QNK « QNS + VINF*CI(K) - UINF*SI(K)
26 QTK * QTS + VINF*SI(K) + UINF*CI(K)
27 UU*UINF-QNS*SI(K)+QTS*CI(K)
28 VV*VINF+QNS*CI(K)+QTS*SI(K)
29 UU = UU/FAC/FAC
30 VY = VV/FAC
31 PP*1.-UU*UU-VY*VV
32 IFiFMN .GT. 0.05)PP * U1.+C1*PP)**GMP~1,)/C2
33 С
34 DUM = B*B*XC(K)
35 JDUM « YC(K)*YC(K) + DUM*DUK
36 QEX * A. + B)*YC(K)/SQRT(DUH)
37 С
38 VRITEF,3)XC(K),YC(K),gNK,$TK,UU,VV,PP,QEX
39 3 FORMATdX/XCYC^'^FS^,1 Q^QTe'.aFe.J,
40 1 • UrV=\2F6.3/ Т**,ПЛ,* 'QBX«f,F6.3)
41 4 CONTINUE
42 RETURN
43 END
Рис. 14.10. Распечатка программы SURVL.
ординаты точек (хр,ур) считываются из файла входных данных,
расположенного на устройстве с логическим номером 1.
Параметры, используемые в подпрограмме PANEL, описаны
в табл. 14.2, а на рис. 14.12 приведена типичная выдача результа-
результатов расчета обтекания эллипса, длина меньшей полуоси которого
6 = 0.5. На рис. 14.12 в каждой контрольной точке приве-
приведены значения нормальной QN и тангенциальной QT относи-
относительно локального наклона тела составляющих скорости. Нор-
Нормальная составляющая QN равна нулю. Можно напомнить, что
это граничное условие A4.4) используется для определения
плотности источников. Значение касательной составляющей QT

§ 14.1. Панельный метод 161
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25*
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
С
С
С
С
С
С
SUBROUTINE POINT(N,FMN)
CALCULATES THE FLOW AT GIVEN POINTS, (XP,YP)
DIMENSION XE0),YE0),XCE0),YCE0),DSE0),FNE0,50)
1,FTEO,5O),RHSEO),SDEEO),CIEO),SIEO)
COMMON X.Y,XC,YC,DS,FN,FT,RHS,PI,CPI,CI,SI
1,UINF,VINF,SDE
FAC = SQRTU. - FMN*FMN)
GAM = 1.4
Cl « 0.5*(GAM-l.)*FMN*FMN
C2 a 0.5*GAM*FMN*FMN
GMP « GAM/(GAM-1.)
1 CONTINUE
READA,2) ХРДР
2 FORMATBF8.5)
YP = YP*FAC
RPS « XP*XP + YP*YP
IF(RPS .LT. 1.0E-04)RETURN
UU=UINF
VV=VINF
DO 3 J=1,N
DYJ=SI(J)*DS(J)
DXJ=CI(J)*DS(J)
SPH-DS(J)*0.5
XD^XP-XC(J)
YD«YP-YC(J)
R=SQRT(XD*XD+YD*YD)
BET=ATAN2(YD,XD)
ALJ=ATAN2(DYJ,DXJ)
GAM=ALJ-BET
ZI=R*COS(GAM)
ET«-R*SIN(GAM)
R1S=((ZI+SPH)**2)+ET*ET
R2S*{(ZI-SPH)**2)+Et*ET
QT=ALOG(R1S/R2S)
DEN=ZI*ZI+ET*ET-SPH*SPH
GN a ET*DS(J)
QN = 2.0*ATAN2(GN,DEN)
UJ*QT*CI(J)-QN*SI(J)
Va=QT*SI(J)+QN*CI(J)
UU=UU+UJ*SDE(J)
VY=VV+VJ*SDE(J)
3 CONTINUE
YP = YP/FAC
UU « UU/FAC/FAC
VV = VV/FAC
PP*1.-UU*UU-VV*VV
IF(FMN .GT. 0.05)PP « <A.4C1*PP)**GMP-1.)/C2
WRITEF,4)XP,YP,UU,W,PP
4 FORMAT(/,2Xr 'FLOW AT \,Ч*> ,2T6.1t* U,V=\2F6.3,f P='f
1 F6.3)
GO TO 1
END
Рис. 14.11. Распечатка программы POINT.
11 К. Флетчер, т. 2

162
Гл. 14. Невязкие течения
Таблица 14.2. Параметры, используемые программой PANEL
Параметр
АА
В
FMN
FN(K, J)
FT (К, J)
1PR
M
N
RHS
SDE
UINF, VINF
X, Y
XC, YC
CI(J), SI(J)
DS(J)
ALJ
BKJ
GKJ
RKJ
QN, QT
QNK, QTK
UKJ, VKJ
UU, VV, PP
QE
Описание
Матрица А в A4.6)
Длина малой полуоси эллипса
Число Маха набегающего потока М^
Нормальная к панели k скорость в точке (Xktyk)t со-
создаваемая элементом о}
Касательная к панели k скорость в точке (ХкУ #*),
создаваемая элементом о*/
>0, печатается X, К, ХС, YC, DS, С/, SI в BODY
= 0, печатается FN, FT, RHS в MATELM
Число конечных точек элементов
Число элементов
Вектор R в A4.6)
Вектор плотностей источников а
Компоненты скорости набегающего потока U^ и Уоо
Координаты конечных точек панелей
Координаты контрольных точек панелей
cos«/, sin а,- на рис. 14.5
Длина панели, ds,
а7, рис. 14.5, MATELM и POINT
р*;, рис. 14.5, MATELM; BET в POINT
ykh рис. 14.5, MATELM; GAM в POINT
rkh рис. 14.5, MATELM; R в POINT
qnkl\ qfki в A4.13), MATELM и POINT
Компоненты скорости, нормальные и касательные к k-n
панели в точке (Xk, у к)
Ukh vkf в A4.12), MATELM; Uf и VJ в POINT
и, v, -p в точке (хк, ук) в SURVL и в точке (лгр, ур)
в POINT
Точное значение касательной составляющей скорости на
поверхности эллипса, qt, ex
сравнивается на поверхности эллипса с QEX (рис. 14.12), точ-
точным значением тангенциальной компоненты,
?*,ех= /2 +.4,ll/2- A4.16)

§ 14.1. Панельный метод 163
PANEL METHOD WITH 20 ELEMENTS, ELLIPSE MINOR SEMI-AXIS = .500
ONSET VELOCITY COMPONENTS = 1.000 .000 FREESTREAM MACH NUMBER = .000
VELOCITY AND PRESSURE AT THE CONTROL POINTS
XC,YO -.976 .077 QN,QT= .000 .4*8 U,V= .135 .427 P= .800 QEX* .453
XC,YO -.880 .224 QN,QT= .000 1.067 U,V= .762 .748 P* -.139 QEX* 1.071
XC,YC* -.698 .349 QN,QT= .000 1.342 U,V= 1.200 .600 P« -.801 QEX* 1.342
XC,YO -.448 .440 QM,QT* .000 1.455 U,V= 1.410 .359 P*-1.117 QEX* 1.454
XC,YC* -.155 .488 QN,QT* .000 1.497 U,V= 1.492 .118 P*-1.240 QEX* 1.495
XC,YC* .155 .488 QN,QT= .000 1.497 U,V= 1.492 -.118 P=-1.240 QEX* 1.495
XC,YC* .448 .440 QN,QT= .000 1.455 U,V= 1.410 -.359 P=-1.117 QEX* 1.454
XC,YC= .698 .349 QN,QT* .000 1.342 U,VS 1.200 -.600 P= -.801 QEX* 1.342
XC,YC= .880 .224 QN,QT= .000 1.067 U,V= .762 -.748 P* -.139 QEX* 1.071
XC,YC* .976 .077 QN,QT* .000 .448 U,V* .135 -.427 P= .800 QEX* .453
XC.YC= .976 -.077 QN,QT= .000 -.448 U,V= .135 .427 P= .800 QEX* -.453
XC,YC* .880 -.224 QN,QT= .000-1.067 U.V* .762 .748 P= -.139 QEX*-1.071
ХСДС* .698 -.349 QN,QT= .000-1.342 U.V* 1.200 .600 P* -.801 QEX*-1.342
XC,YC* .448 -.440 QNrQT* .000-1.455 U,V= 1.410 .359 P=-1.117 QEX*-1.454
XC,YC* .155 -.488 QN,QT= .000-1.497 UrV= 1.492 .118 P=-1.240 QEX—1.49S
XC,YC* -.155 -.488 QN,QT= .000-1.497 U,V= 1.492 -.118 P*-1.240 QEX*-1.495
XCYC* -.448 -.440 QN,QT* .000-1.455 U,V- 1.410 -.359 P*-1.117 QEX*-1.454
XC,YC= -.698 -.349 QN,QT= .000-1.342 UfV= 1.200 -.600 P* -.801 QEX«-1.342
XC,YC* -.880 -.224 QN,QT« .000-1.067 U,V* .762 -.748 P« -.139 QEX—1.071
XC,YC= -.976 -.077 QN,QT« .000 -.448 U,V= .135 -.427 P« .800 QEX* -.453
TLOW AT X,Y- .000 1.000 U,V* 1.257 .000 P« -.579
Рис. 14.12. Типичная выдача программы PANEL.
Путем введения большого числа панелей, в особенности в окрест-
окрестности носка (YC ^ 0) и миделя (YC»0.5), можно добиться
лучшего соответствия. Кроме того, на рис. 14.12 приведены де-
декартовы компоненты скорости и давления в контрольных точках
и в точке @, 1.0), лежащей вне тела.
14.1.3. Связь с методом граничных элементов
Панельный метод, описанный в п. 14.1.1, особенно эффекти-
эффективен при расчете обтекания однородным потоком изолированных
тел. Однако для внутренних течений около препятствия в канале
часто оказывается более удобной ина'я формулировка, основан-
основанная на теореме Грина. При таком подходе решение Ф находится
непосредственно, без введения промежуточного распределения
панельных источников.
Для двумерных задач потенциал в любой точке (х*, yk) об-
области самой общей формы может быть связан со значениями Ф
и дФ/дп на расчетной границе S:
Ф (**, Ун) = iSr Г S On rkl) **-(s)ds-\-$r (In rki) Ф (s) dsl.
(H.17)
ll*

164 Гл. 14. Невязкие течения
Здесь точка (ху, у,) лежит на 5, а значение rk\ определяется вы-
выражением A4.3).
Если значения (xki yk) ограничены расчетной границей S, то
A4.17) превращается в условие совместности O(s) и d(&(s)/dn.
Для рассмотренного ранее примера обтекания изолированного
тела d(D(s)/dn известно и A4.17) превращается в интегральное
уравнение Фредгольма второго рода для Ф($). Обычно предпо-
предполагается, что поведение Ф(я) описывается суммой одномерных
интерполяционных функций (§ 5.3) Л/7(?), т. е.
Ф (s) =ZNi(l)Oh A4.18)
где | — координата элемента, а Ф/ — значения Ф($) в узлах.
В этом состоит метод граничных элементов [Brebbia, 1978].
Подстановка A4.18) в A4.17) и требование точного выполнения
полученного уравнения в узлах позволяет получить линейную
систему уравнений, эквивалентную A4.6), но непосредственно
ДЛЯ Ф/.
Для внутренних задач часто величина Ф определена на од-
одной части области, а дФ/дп — на другой. Вводя A4.18) для не-
неизвестной Ф($) и аналогичное пробное решение для неизвестной
dQ)(s)/dny снова возможно решить задачу непосредственно, по-
поскольку уравнение A4.17) обеспечивает совместность Ф($) и
d<t>(s)/dn. Обтекание кругового цилиндра в канале относится
к данному классу задач, если рассматривать ф как функцию
тока. Решение этой задачи на основе описанного подхода полу-
получено Флетчером [Fletcher, 1984].
Продолжая решение за пределы расчетной границы, метод
функции Грина можно свести к обобщенному методу панельных
«источников». Детали такого рассмотрения можно найти в книге
[Jaswon, Symm, 1977].
14.1.4. Обтекание профиля с подъемной силой
Здесь рассматривается расчет течения около тел, обладаю-
обладающих подъемной силой, таких, как аэродинамические профили,
расположенные под углом атаки. В этом случае для обеспечения
однозначности подъемной силы решение, описанное в п. 14.1.1,
должно быть модифицировано. Подъемная сила связана с цир-
циркуляцией Г по любому замкнутому профилю, содержащему тело,
соотношением
L = p[/oor, A4.19)
где Г = W-dc. Для тела, изображенного на рис. 14.1, пригод-
пригодным контуром для определения Г является поверхность тела.

§ 14.1. Панельный метод
165
Для учета циркуляции дополнительно вводится распределе-
распределение поверхностных дуплетов (или диполей) \x(s). Уравнение
A4.2) принимает вид
Ф (хк9 Уk) = и„хк + JL \ a (s) (In rik) ds - ±\ |i (s) ^щ (In rik) ds.
A4.20)
Распределение диполей ji(s) может быть-связано с вихревой пе-
пеленой [Rubbert, Saaris, 1972]. Линейно изменяющийся панель-
Рис. 14.13. Суперпозиция решений: (а) течение без подъемной силы; (Ь) цир-
циркуляционное течение; (с) комбинированное течение с подъемной силой.
ный диполь эквивалентен вихревой пелене постоянной интенсив-
интенсивности. На практике \i(s) выбирается так, чтобы соответствую-
соответствующая величина Г удовлетворяла условию Кутты.
При практическом применении [Hess, 1975] используется ли-
линейность A4.1) и возможность суперпозиции решений. Для про-
профиля под углом атаки применение обычного метода поверхност-
поверхностных источников (п. 14.1.1) дает решение, изображенное на
рис. 14.13(а). Данное решение не соответствует реально суще-
существующему течению, поскольку из него следует бесконечно

166 Гл. 14. Невязкие течения
большое значение скорости на задней кромке и отсутствие
подъемной силы.
Условие Кутты состоит в том, что скорость должна быть ко-
конечна на задней кромке, и используется для определения из
A4.19) величины Г и, следовательно, подъемной силы. Цирку-
Циркуляция Г создается численно путем введения поверхностного-
распределения линейно изменяющихся диполей. Это приво-
приводит к чисто циркуляционному течению, изображенному на
Чи
Условие Кутты
Рис. 14.14. Эффекты толщины вытеснения и условие Кутты.
рис. 14.13 (Ь). Добавление этого решения к исходному решению»
от поверхностных источников с выбором интенсивности дупле-
дуплетов так, чтобы удовлетворялось условие Кутты, дает физически
правильное решение, показанное на рис. 14.13(с). Условие Кут-
Кутты удовлетворяется требованием равенства касательных со-
составляющих скорости в контрольных точках, прилегающих к
задней кромке (рис. 14.14).
Круговое течение, изображенное на рис. 14.13 (Ь), численно
создается путем приписывания каждой контрольной точке вихря
единичной интенсивности и определения из решения A4.16), ка-
какое распределение источников создает такое же поле течения.
Можно напомнить, что \kj — вектор компонент скорости в k-Pi
контрольной точке, обусловленный действием единичного источ-
источника в /-й контрольной точке. Если v*/ развернуть на 90°, т. е.
(Vkh —Ukj), то в результате получатся компоненты скорости
в k-и контрольной точке, обусловленные действием вихря в /-й
контрольной точке.
Таким образом, суммарная компонента нормальной состав-
составляющей скорости в k-й контрольной точке, обусловленная рас-
распределением вихрей единичной интенсивности, задается выра-
выражением
vn = Z (Vki sin ak + uk} cos a*), A4.21)
а соответствующее распределение интенсивностей источников,
создающее чисто циркуляционное течение, получается из реше-
решения системы
Аос = — ? (vkJ sin ak + ukj cos ak). A4.22)

§ 14.1. Панельный метод 167
Если система A4.6) уже решена прямым методом для однород-
однородного набегающего потока, для получения решения A4.22) до-
достаточно умножить факторизованную форму А на правую часть
A4.22). Это — сравнительно экономная процедура, требующая
O(N2) операций.
Чтобы обеспечить выполнение условия Кутты, из уравнения
2 (ut i cos a, — vlt i sin щ) (а. + та*) + U^ cos а, =
= - Z К. /cos «m - vm. i sin <*«) (а/ + та/) - U~ cos am A4.23)
находится значение т. Умножение на эту величину решения си-
системы A4.22), связанного с чисто циркуляционным течением,
приводит к равенству касательных составляющих скорости в кон-
контрольных точках k = / и k = m, расположенных по часовой
стрелке непосредственно перед задней кромкой и за ней.
Если использовать обозначения, применяемые в программе
PANEL, то уравнение A4.23) принимает вид
- ^оо (Sin a/ + Sin am)]
L (/ ,/)/
Чтобы получить более точное распределение давления, в осо-
особенности для профилей (или лопаток турбины), создающих
подъемную силу, желательно учесть влияние толщины погранич-
пограничного слоя. Это делается следующим образом. По заданному по-
поверхностному распределению давления, полученному из решения
задачи о профиле с подъемной силой (рис. 14.13(с)), находится
решение задачи о течении в пограничном слое (§ 15.1). По фор-
формуле A1.67) определяется толщина вытеснения б* (л:). Эта ве-
величина добавляется к исходной форме (рис. 14.14), и для увели-
увеличенной фигуры находится новое распределение давления. Весь
процесс повторяется, возможно, четыре или пять раз, пока не бу-
будет получена сходимость. Другие способы выполнения условия
Кутты, учитывающие толщину вытеснения, рассмотрены Хессом
{Hess, 1975].
14.1.5. Панельные методы высокого порядка и обобщение
на случай трех пространственных переменных
Точность панельного метода зависит от числа панелей Л/",
представляющих рассматриваемую форму. Для достижения не-
необходимой точности расчета внутренних течений (например, в

168
Гл. 14. Невязкие течения
воздухозаборниках двигателей) или трехмерных течений около
самолетов или автомобилей использование источников постоян-
постоянной на плоской панели плотности приводит к необходимости
введения чрезвычайно большого числа панелей, вследствие чего
сильно увеличивается время счета.
В метод, описанный в п. 14.1.1, может быть введено исполь-
использование как искривленных панелей, так и источников с линейно
О О экспериментальные данные, С. = 2.82
Рис. 14.15. Распределение давления по крылу с разрезами ([Hess, 1975];
печатается с разрешения North-Holland); Ch —хорда крыла с закрытыми
разрезами.
или квадратично и т. д. меняющейся по панели плотностью. Для
введения линейно изменяющейся вдоль панели плотности источ-
источников при расчете двумерных течений необходимо две степени
свободы на каждую панель. Это потребует некоторых дополни-
дополнительных алгебраических действий, однако время, затрачиваемое
на каждую степень свободы при решении A4.6), будет лишь не-
незначительно превышать время, требуемое для решения с пло-
плоскими панелями постояной интенсивности. Следовательно, для
внутренних течений и тел большой кривизны более точное реше-
решение за то же время может быть получено за счет использования
панелей высокого порядка [Hess, 1975].
Обобщение панельного метода на трехмерные течения осуще-
осуществляется непосредственно. В случае тела без подъемной силы

§ 14.1. Панельный метод 169
уравнение A4.2) заменяется уравнением
Ф (xh9 yk9 zk) = Ujch + -L? о, J _L ds. (H.25)
/=i / rki
где /-я панель теперь является площадкой, а не отрезком. Соот-
Соответствующим образом изменяется и уравнение A4.4). Основные
трудности в трехмерном случае связаны с определением геомет-
геометрии панелей и решением системы A4.6) при больших значе-
значениях N. Обычно при N > 1000 решение проводится итерацион-
итерационными методами [Hess, 1975].
На рис. 14.15 представлен типичный пример, характеризую-
характеризующий точность, которую можно достичь панельным методом при
рассмотрении сложных конфигураций. Обзоры метода с описа-
описанием существенных частных деталей можно найти в работах
[Hess, Smith, 1976; Hess, 1975; Kraus, 1978].
14Л.6. Панельный метод для невязких* сжимаемых течений
В данной категории течений целесообразно выделить те те-
течения, для которых справедливо уравнение A1.109), т. е.
A-мУ?. + ? + ?-0. A4.26)
где ф — возмущение потенциала скорости, например Ф=1]ооХ-\-ф.
Дозвуковые и сверхзвуковые течения около тонких тел доста-
достаточно хорошо описываются уравнением A4.26), граничными
условиями для которого являются обращение в нуль нормальной
составляющей скорости на поверхности тела и обращение ф
в нуль при удалении от тела. Для сверхзвуковых течений возни-
возникают дополнительные органичения, заключающиеся в требова-
требовании слабости ударных волн, поскольку уравнение A4.26) выве-
выведено в предположении изэнтропийности потока, а при переходе
через скачок энтропия не сохраняется.
Для дозвуковых течений можно построить эквивалентное не-
несжимаемое течение посредством преобразования Прандтля—
Глауэрта [Liepman, Roshko, 1957]. Независимые переменные эк-
эквивалентного течения равны
*, = *, yt=y*Jl-Ml9 zl=z<s/l-ML, A4.27)
а зависимая переменная Ф, = фA — М^). Для описания та-
такого эквивалентного течения непосредственно применим панель-
панельный метод (п. 14.1.1).
Для сверхзвуковых течений преобразование Прандтля —
Глауэрта не применяется. Вместо этого панельный метод

170 Гл. 14. Невязкие течения
применяется непосредственно к уравнению A4.26), а на поверхно-
поверхности тела используется граничное условие обращения в нуль нор-
нормальной составляющей потока массы. Крауз [Kraus, 1978] приво-
приводит обзор других панельных методов расчета сверхзвуковых тече-
течений. В работе [Carmichael, Ericson, 1981] приведено детальное
описание программы PAN-AIR, во многом сходной с панельным
методом, описанным в п. 14.1.1. Программа PAN-AIR предна-
предназначена для решения уравнения A4.26),следовательно, она при-
пригодна для расчета сверх- и дозвукового обтекания тонких тел.
Поскольку A4.26) является лишь приближением полного
уравнения потенциала для сжимаемых течений, решения, полу-
полученные панельным методом для сжимаемых течений, могут
рассматриваться лишь как первые приближения к более точ-
точным решениям, для нахождения которых используются методы,
описанные в п. 14.3.3.
Тиноко и Чен [Tinoco, Chen, 1986] применяли PAN-AIR для
расчета оптимальной комбинации гондола двигателя — несущая
ферма большого транспортного самолета. Решение, полученное
по программе PAN-AIR, служило также проверкой правиль-
правильности решения уравнения полного потенциала для трансзвуко-
трансзвуковых течений (п. 14.3.3) в случае обтекания тел сложной конфи-
конфигурации.
§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения
Если не ставится ограничений на толщину тел, дозвуковые
невязкие течения могут быть рассчитаны по любой из схем,
разработанных для расчета трансзвуковых течений (§ 14.3).
В сверхзвуковых невязких течениях возникают дополнительные
трудности, связанные с ударными волнами, возможность суще-
существования ударных волн и необходимость их точного отобра-
отображения предъявляют существенные требования к вычислитель-
вычислительным алгоритмам. Ударные волны могут быть подвижными, как
в нестационарных задачах, связанных со взрывными волнами
(вызванными взрывами), или неподвижными относительно тела,
порождающего ударную волну. Подобная искривленная удар-
ударная волна образуется, например, перед спускаемым космиче-
космическим аппаратом.
14.2.1. Предварительные замечания
Сверхзвуковые течения, связанные со снарядами, самоле-
самолетами, воздухозаборниками реактивных двигателей и ракетными
соплами, часто стационарны. Можно напомнить (п. 11.6.1), что
физический характер стационарного невязкого течения является

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 171
«эллиптическим» в дозвуковой области и «гиперболическим»
в сверхзвуковой. Для стационарных сверхзвуковых течений, не
содержащих дозвуковых областей, возможно построение мар-
маршевых в гиперболическом направлении схем расчета. Гипер-
Гиперболическое направление, как правило, совпадает с направле-
направлением течения. Таким образом, маршевое направление играет
ту же роль, что и время в нестационарных задачах. Подобные
маршевые алгоритмы, очевидно, весьма эффективны (п. 14.2.4).
Для решения полностью гиперболических задач широко
применялись явные схемы и, по-видимому, будут применяться
и в дальнейшем в тех задачах, где шаг дискретизации по вре-
времени или времениподобной координате ограничен не условием
устойчивости, а необходимостью получения нужной точности.
Для многих явных схем расчета одномерных нестационарных
сверхзвуковых невязких течений условием устойчивости яв-
является обобщенное условие КФЛ: (|и\-\- a)&t/Ax ^ 1.0, где
а — локальная скорость звука (ср. п. 9.1.2).
Если внутри течения существуют дозвуковые области, как,
например, в задаче обтекания затупленного тела, для получения
стационарного решения необходимо использовать псевдонеста-
псевдонестационарный метод (метод установления (§ 6.4)), т. е. проводить
интегрирование по времени до тех пор, пока решение не переста-
перестанет изменяться. Подобные алгоритмы более дорогостоящи с вы-
вычислительной точки зрения, но лучше справляются с неустойчи-
востями, связанными с границами между до- и сверхзвуковыми
областями течения (т. е. звуковыми линиями и ударными вол-
волнами). Поскольку время играет здесь роль итерационного пара-
параметра, обычно, чтобы избежать связанных с явными схемами
ограничений на шаг по времени, используются неявные схемы.
Построение соответствующих неявных алгоритмов (п. 14.2.8)
часто основано на схемах расщепления или схемах приближен-
приближенной факторизации (§ 8.2 и п. 9.5.1).
Обычно задачи, описываемые всюду гиперболическими урав-
уравнениями, решаются методом характеристик (п. 2.5.1 и [Liep-
mann, Roshko, 1957]). Однако метод характеристик часто не-
неприменим в первую очередь из-за трудностей, связанных с на-
наличием ударных волн. Сетка вблизи ударной волны вырож-
вырождается, поскольку характеристики сливаются на скачке, который
является границей расчетной области. Кроме того, сравнитель-
сравнительные расчеты [Rackich, Kutlet, 1972] показывают, что конечно-
разностные методы расчета являются более быстрыми, чем
традиционные методы характеристик. Однако некоторые ко-
конечно-разностные схемы, например схема Моретти (п. 14.2.5),
используют такие формы представления уравнений, в которых

172 Гл. 14. Невязкие течения
информация о положении характеристик используется весьма
существенно.
Запись уравнений в характеристическом виде весьма по-
полезна при определении числа и структуры граничных условий
[Pulliam, 1981] и, там где это возможно, для экстраполяции
решения изнутри области на границу вдоль характеристики
[Rudy, Strikwerda, 1981; Chakravarthy, 1983]. Запись уравнений
в характеристической форме также весьма полезна [Roe, 1986]
при разработке методов расчета течений с сильными скачками
(п. 14.2.6).
Для сверхзвуковых течений, содержащих ударные волны, из
условий Ренкина — Гюгонио, например A1.110), можно опре-
определить изменение характеристик течения при переходе через
скачок и связать эти изменения с численными схемами, пригод-
пригодными для расчетов в областях, не содержащих ударных волн.
Подобные подходы часто называются схемами с выделением
скачка. Однако в сложных течениях, например конус под углом
атаки, возникают вторичные скачки [Fletcher, 1975], положе-
положение которых заранее неизвестно. Усложнение логики, необхо-
необходимой при численной реализации схем с выделением скачка
в случае сложных течений, делает их применение менее эффек-
эффективным.
При записи уравнений в консервативной форме, например
A1.116), и при использовании дискретных преобразований, со-
сохраняющих массу и т. д., возможно получить решение, удовлет-
удовлетворяющее слабой форме E.6) исходных уравнений. Как пока-
показали Лаке и Вендрофф [Lax, Wendroff, 1960], решения уравне-
уравнений, записанных в слабой форме, автоматически удовлетворяют
условиям Ренкина — Гюгонио на любом скачке, который может
возникнуть в потоке. Ударные волны являются наиболее рас-
распространенным типом таких разрывов. Следовательно, решение
дискретных уравнений автоматически улавливает поведение
ударных волн, как их интенсивность, так и скорость распростра-
распространения в нестационарных течениях. Основная трудность приме-
применения методов сквозного счета состоит в получении резких про-
профилей изменения переменных при переходе через скачок без
введения специальных процедур, неизбежно уменьшающих эко-
экономичность метода в целом.
14.2.2. Схема предиктор — корректор Мак-Кормака
Чрезвычайно эффективным методом расчета невязких сверх-
сверхзвуковых течений, особенно при разработке алгоритмов сквоз-
сквозного счета стационарных течений, является явная схема пре-
предиктор— корректор Мак-Кормака [MacCotmack, 1969]. Эта

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 173
схема может быть проиллюстрирована на невязком уравнении
Бюргерса A0.2), записанном в консервативном виде
f- + lr = O, A4.28)
где F = 0.5u2. На первой стадии (предиктор) вычисляется про-
промежуточное значение и*:
5 A4'29>
На стадии корректор
«Г1 = °-5 К + ")) - ш (Fi ~ ri- •)• <14-30>
В этой схеме на каждой стадии используются односторонние
разностные формулы, но вклады в ошибку аппроксимации со-
сокращаются и в результате получается схема второго порядка
точности по времени и пространству. При перестановке на-
направления разностей F в A4.29) и A4.30) получается эквива-
эквивалентная схема.
Концептуально схема Мак-Кормака сходна с двухшаговой
схемой Лакса — Вендроффа A0.11), A0.12). Фактически для
линейных задач, например (9.2), схема Мак-Кормака сводится
к одношаговой схеме Лакса — Вендроффа.
Чтобы получить устойчивые решения по формулам A4.29)
и A4,30) для частного выбора F = 0.5t/2, шаг по времени дол-
должен быть ограничен условием At ^ Ах/и, т. е. At ограничено
условием КФЛ (п. 9.1.2). Если F(u) в A4.28) имеет более об-
общий вид, ограничение на шаг по времени для схем Мак-Кор-
Мак-Кормака и Лакса — Вендроффа принимает вид
|Л(и)|-^<1, A4.31)
где А = dF/du. Для векторного уравнения, эквивалентного
A4.28), например (Ш-40), матрица А имеет элементы dFj/diii.
Соответствующее условие устойчивости имеет вид
|Я*|-^<1, k=l, 2, ...,п, A4.32)
где Кк — собственные числа матрицы А.
Схемы Мак-Кормака и двухшаговая схема Лакса — Вен-
Вендроффа могут рассматриваться как члены семейства Sp, вве-
введенного в работе [Lerat, Peyret, 1975]. Параметры аир опре-
определяют, где на дискретной сетке (х, t) эффективно определяется
U] (рис. 14.16). Схема Мак-Кормака соответствует а = 0 и
р = 0 или 1. Семейство Sj? описано в работе [Peyret, Taylor,

174
Гл. 14. Невязкие течения
1983]. Все схемы семейства Sp консервативны, что необходимо
для правильного расчета интенсивности и скорости распростра-
распространения скачков методом сквозного счета.
Необходимость записи уравнений в консервативном виде и
использования консервативных разностных представлений мо-
a- +' 3 t"*
I
I
j-i j J+JJ J+i
Рис. 14.16. Эффективное положение точек семейства S2.
жет быть показана на примере невязкого уравнения Бюргерса
A4.28). Для начальных условий
и = а при / = 0и—оо<л;^0; и = Ь при ^ = О и 0 < л; ^ + оо
точное решение имеет вид - , <
и = а при х ^ Upt; u = b при х > Upt,
где Up — скорость распространения, которую следует опреде-
определить. Если L достаточно велико, так что изменение и попадает
внутрь этого отрезка, то из A4.28) следует
-~- \и dx = [0.5u2]iL = 0.5 (а2 - б2).
—L
A4.33)
Но, с другой стороны,
L
и поэтому
-^ \ udx = Up[-u]iL =
[0.5ц2] __ 0.5 (б2 — а2)
[и] ~ Ь-а
= 0.5 (а + 6),
A4.34)
где [ ] означает изменение величины при переходе через
разрыв. Если аппроксимировать A4.28) по схеме Мак-Кормака

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 175
A4.29), A4.30) и исключить промежуточное решение, то
- щ__х (F, - F^T + 0.25^ [(F/+1 - Fif - (F, - F^T = 0.
A4.35)
Если вычислить д/dt \udx по правилу средней точки, то
—l
Сделав подстановку из A4.35) и произведя внутренние сокра-
сокращения, можно получить
L
-§;- \udx = 0.25[-(Fo + 2Л + F2) + (FN_X + 2FN + FN+l)] +
+ О (Ajc) = 0.5 (a2 - 62) + О (Ajc),
т. е. сохраняется A4.33). Результат точен, если Fo = F\= F2 и
Fn-\ = Fn = f^v+i-
14.2.3. SHOCK: программа расчета движущихся ударных волн
В настоящем разделе будет рассмотрено применение схемы
Мак-Кормака и двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа для
расчета распространения ударной волны в нестационарном од-
одномерном потоке. Будет продемонстрировано применение искус-
искусственной вязкости для получения гладкого профиля ударной
волны.
Движение ударной волны в одномерном невязком потоке
описывается уравнениями
A4.36)
-0, A4.37)
Данные уравнения представляют в консервативной форме урав-
уравнения неразрывности, ^-компоненты импульса и энергии; они

176 Гл. 14. Невязкие течения
аналогичны системе A1.117) без членов т и Q. Для идеального
газа, например воздуха, удельная внутренняя энергия может
быть представлена в виде
e = cvT = -W^W, A4.39)
где у — отношение удельных теплоемкостей. Если учесть A4.39),
то очевидно, что уравнения A4.36) — A4.38) содержат три за-
зависимые переменные: иу р и р.
Для задачи о движущейся ударной волне необходимо опре-
определить граничные условия Дирихле для и, р и р перед волной
и за ней. Они имеют вид
и = щ, P = Pi, Р = Р\ при х = хи /1440)
# = #2 = 0, Р = Р2, Р = р2 ПРИ Х = Х2.
При 7=0 ударная волна расположена в точке х = хо. Следо-
Следовательно, соответствующие начальные условия имеют вид
и(х, 0) = ии р(дс, 0) = рь р(х, 0) = р{ при
и(х, 0) = 0, р(#, 0) = р2, р(х, 0) = /72 при л
A4.41)
Точка х = Х[ расположена далеко вверх по течению от скачка,
а точка х = Х2 — далеко вниз.
В качестве параметров обезразмеривания зависимых пере-
переменных удобно выбрать их значения в области, расположенной
вниз по течению от скачка. Поскольку
YP2, A4.42)
уравнения A4.36) — A4.38) могут быть записаны в компактном
безразмерном виде
w+^=°> <14-43>
где
A4.44)
Р=Ь и=—г> Р=-р7' Х=Т>
Штрих означает безразмерную величину.

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 177
Граничные условия A4.40) записываются в безразмерном
виде
/ tli г Pi г Р\ г Х\
•.-¦? »¦-»• ".-я- ¦»- *.-у ([445)
^2 = 0, P2=l, P2=1 ПРИ Х2 = -Г'
Отношение давлений pi/рг является основным параметром этой
задачи и определяет интенсивность скачка и скорость его рас-
распространения. При заданном отношении давлений граничные
значения и\ и р[ получаются из соотношений Ренкина — Гюго-
нио [Liepmann, Roshko, 1957]
Для оценки точности численного решения A4.43) — A4.45) не-
необходимо найти скорость скачка, зная которую, можно опре-
определить его положение. Безразмерная скорость распространения
ударной волны получается из соотношений Ренкина — Гюгонио
Штрихи далее будут опускаться. По истечении времени / точ-
точное решение будет иметь вид
= Ul9 рех(*, 0 = Pi При Х{ < X < Хо + Usst,
A4 4о I
= 0, рех(л:, О = Р2 при x + ut^x^x
В программе SHOCK для решения A4.43) схема Мак-Кор-
мака и двухшаговая схема Лакса — Вендроффа реализуются
следующим образом:
1. Схема Мак-Кормака
-O.5-^-[Fy-F7_,]. A4.50)
2. Схема Лакса—Вендроффа
)-0.5-^-[F?+1-F?], A4.51)
12 К. Флетчер, т. 2

178
Гл. 14. Невязкие течения
Собственные числа матрицы A = dF/dq для A4.43) и A4.44)
равны % = и, и + а, и — а. Следовательно, условие устойчи-
устойчивости для обеих схем имеет вид (|w| + a)At/Ax ^ 1.
Таблица
Параметр
IME
IFCT
IPP
NX
NT
DT
DX
GAM
PRAT
SHST
SHS
SHFN
U, RH, P, T
Q, F
QD
ENL
DL, DLM
TIM
UEX
ETA, ET1, ET2
ENU, EMU, DF
FCT
14
.3. Параметры, используемые программой SHOCK
Описание
= 1 схема Мак-Кормака; =2 схема Лакса — Вендроф-
фа
= 1 используется коррекция потоков (FCT), п. 14.2.7
^1 печатается и', р', р', Т'\ ^2 печатается Q, F
Число пространственных узлов
Число шагов по времени
Шаг по времени А/'
Шаг по пространству Ах'
Отношение удельных теплоемкостей у
Отношение давлений pi/p2
Положение скачка при /' = 0
Скорость скачка uss/a2
1оложение скачка в момент /' = NT.A/'
и', р', р', Г, A4.44)
qn qn+i Fnt F* A4.49)—A4.52)
q*, A4.49)
Искусственная вязкость v, A4.53)
Aq" ДЧ;*+1> A4.54)
Время /'
Точное значение скорости мех при ? = NT.A^
Параметры, используемые в FCT, табл. 14.4
Параметры, необходимые для FCT, табл. 14.4
Подпрограмма, осуществляющая FCT-сглаживание,
рис. 14.24
Описанные выше схемы реализованы в программе SHOCK
(рис. 14.17). Назначение параметров, используемых в про-
программе, поясняется в табл. 14.3. Типичные профили ударной
волны, рассчитанные по программе SHOCK, приведены на
рис. 14.18. Эти решения были получены при 101 пространствен-
пространственном узле и Ах =0.01. Граничные условия A4.45) используются
при х\ = 0 и Х2 = 1.0. Шаг по времени А^ = 0.002, ударная волна

1 С
2 С SHOCK COMPUTES THE PROPAGATION OF A SHOCK USING
3 С MACCORMACK OR LAX-VENOROFF SCHEMES
4 С WITH ARTIFICIAL VISCOSITY OR FCT SMOOTHING
5 С
6 DIMENSION XA01),P{101),RH(lOl),UAO1),TA01),UEXA01)
7 DIMENSION QA01,3),QDA01,3),FA0i,3),DF{101,3),DLC),DLMC)
8 OPEN <l,FILE=»a SHOCK. DAT')
9 OPENF,FILE*'SHOCK.OUT')
10 READ{1,1)IME,IFCT,I?R,NX,NT,DT,GAM,PRAT
11 R2ADA,2)ETA,ET1,E72,ENL,SHST
12 1 FO?HATEI5,3F5.3)
13 2 FORMATOF8.5,2F5.3)
14 С
15 ?I = 3.1415927
16 NXM = NX - 1
17 ANX = NXM
18 DX * l./ANX
19 JSST = SHST/DX
.20 DTR = DT/DX
21 GMM « GAM - 1.
22 GMP - GAM + 1.
23 GMR = GMM/GMP
24 SHS = 0.5*(GMM + GMP*PRAT)/GAM
25 SHS = SQRT(SHS)
26 С
27 IF(IME .EQ. 2)VRITEF,4)
28 IF(IME .EQ. 1)VRITEF,3)
29 IF(IFCT.EQ. 1)WRITEF,5)ETA,ET1,ET2
30 VRITEF,6)NX,NT,DX,DT,ENL
31 WRIT?F,7)CAM,PRAT,SHS,SHST
32 3 FORMAT С ONE-DIMENSIONAL SHOCK PROPAGATION, MACCORMACK SCHEME')
33 4 FORMATC ONE-DIMENSIONAL SHOCK PROPAGATION, LAX-WENDROFF*
34 I.1 SCHEME')
35 5 FORMATC FLUX CORRECTED TRANSPORT, ETA,ET1,ET2=',3F8.5)
36 6 FORMATC NX=\I3,' NT=',I3f' DX=\F5.3,' DT=',F5.3,f ENL*^,P5.3)
37 7 FORMATC GAM=\F5.3,' Pl/P2=',F5.2,' SH/SP=',F5.3,' SHST=f,
38 1F5.3,/}
39 С
40 С SET INITIAL CONDITIONS
41 С
42 DUM = GMR + PRAT
43 RHD - DUM/A. + GMR*PRAT)
A A DIM = SQRT{2.*GAM/GMP/DUM)
45 UD = (PRAT - l.)*DIM/GAM
46 DO 8 J = 1,JSST
47 U(J) = UD
48 RH{J) = RHD
49 P(J) = PRAT
50 T(J) * P(J)/RH(J)
51 8 CONTINUE
52 JHR = JSST + 1
53 DO 9 J = JHR,NX
54 U(J) = 0.
55 RH(J) = 1.
56 P(J) * 1.
57 T(J) = 1.
58 9 CONTINUE
59 TIM = 0.
60 N = 0
61 С
62 С SET INITIAL Q AND F
63 С
Рис. 14.17. Распечатка программы SHOCK (начало).
12*

€4 DO 10 J = 1,NX
65 AJ = J - 1
66 X(J) = AJ*DX
67 Q(J,1) = RH(J)
68 Q(J,2) = RH(J)*U(J)
69 Q(J,3) = P(J)/GAM/GHH + 0.5*RH(J)*U(J)*UU)
70 F(J,1) *.Q(J,2)
71 F(J,2) = P(J)/GAM + U(J)*Q(J,2)
72 F(J,3) = (P(J)/GMH + 0.5*U(J)*Q(J,2))*U(J)
73 10 CONTINUE
74 WRITEF,21)N,TIM
75 VRITEF,22)(X(J),J=1,NX)
76 VRITEF,23)(U(J),J=1,NX)
77 VRITEF,24)(RH(J),J*1,NX)
78 VRITEF,25)(P(J),J=1,NX)
79 WRITEFr26)(T(J),O=1,NX)
80 С
81 С ADVANCE SOLUTION IN TIME
82 С .
IF(IHE .EQ. l)QD(JrK) = Q(J,K) - ©TRMF(J+1,K) - F(J,K))
IF(IME .EQ. 2)QD(J,K) « 0.5*(Q(J,K)+Q(J-HfЮ) - 0.50*DTR*
KF(J+lrK) - F(J,K))
IF(IFCT .EQ. DENU * ETA+O.25*ET1*( (UtJ)+U(J+l))*DTR)**2
IF(IFCT .EQ. l)DF(JrK) « ENU*(Q(J+1,K) - Q(J,K))
.13 CONTINUE
83 DO 30 N = 1,NT
84 AN » N
85 IFdFCT .NE. DGOTO 12
86 ENU « ETA + O.25*ET1M(UA)+UB))*DTR)**2
87 00 11 К - 1,3
88 11 DFd,K) = ENU*(QB,K)-QA,K))
89 12 CONTINUE
90 С
91 С OBTAIN HALF-STEP SOLUTION
92 С
93 DO 18 J = 2,NXM
94 r DO 13 К = 1,3
96
97
98
99
100
101 F(J,1) = QD(J,2)
102 UD = QD(J,2)/QD(J,1)
103 PD ¦ (QD(J,3) - 0.5*UD*QD(J,2))*GAM*GMM
104 F(J,2) e PD/GAM + UD*QD(J,2)
105 F(J,3) « (PD/GMM + 0.5*UD*QD(J,2))*UD
106 С
107 С OBTAIN FULL-STEP SOLUTION
108 С
109 DO 14 К = 1,3
110 Ш1МЕ .EQ. 1)Q(J,K) = 0.5*(Q(J,K)+QD(J,K)) - 0.5*DTR*(F(J,K)
111 1 - F(J-1,KM
112 IF(IME .EQ. 2)Q(J,K) = Q(J,K) - DTR*(F(JfK) - F(J-1,K))
113 14 CONTINUE
114 С
115 С ARTIFICAL VISCOSITY SMOOTHING
116 С
117 IFdFCT .EQ. DGOTO 18
118 IF(J .NE. 2)GOTO 16
119 DUC = ABS(UB) - U(D)
120 IF(DUC .LT. 1.0E-06)DUC = 1.0E-06
121 DO 15 К = 1,3
122 DLM(K) « QB,K) - QA,K)
123 IF(ABS(DLM(K)) ,LT. 1.0E-06)DLM(K) = 1.0E-06*SIGNA.0,DLM(K)>
124 DUC = ABS(DLM(K)) «им#
125 15 DLM(K) = DUC*DLM(K)
126 16 DUC = ABS(U(J+1)-U(J))
127 IF(DUC .LT. 1.0E-06)DUC » 1.0E-06
Рис. 14.17 (продолжение).

128 DO 17 К = 1,3
129 DL(K) = Q(J+1,K) - Q(J,K)
130 IF(ABS(DL(K)) .LT.1.0E-06)DL(K)=1.0E-06*SIGNA.0,Db(K)J
131 DUC = ABS(DUK))
132 DL(K) « DUC*DL(K)
133 Q(J,K) = Q(J,K) + ENL*DTR*(DL(K) - DLM(K))
134 DLM(K) = DL(K)
135 17 CONTINUE
136 18 CONTINUE
137 С "
138 С FCT SMOOTHING
139 С
140 С OBTAIN RH,UfP AND Г
141 С
142 IFdFCT .EQ. DCALL FCT(NXM,ETA,ET2,DTR,Q,DF,U)
144 DO 19 J = 2,NXM
145 RH(J) = Q(J,1)
146 U(J) = Q(J,2)/Q(J,1)
147 P(J) =* (Q(J,3) - O.5*U(J)*Q(J,2))*GAM*GMH
148 T(J) = P(J)/RH(J)
149 F(J,1) « RH(J)*U(J)
150 F(Jr2) = P(J)/GAM + RH(J)*U(J)*U(J)
151 F(J,3) * (P(J)/GMM + 0.5*RH(J)*U(J)*U(J))*U(J)
152 19 CONTINUE
153 С
154 TIM « AN*DT
155 IF(N .EQ. NT)GOTO 20
156 IF(IPR .EQ. 0)GOTO 30
157 20 VRITEF,21)N,TIM
158 21 FORMAT(/,' N=',I3rf TIMs'^lO.S)
159 VRITEF,22)(X(J)#J=1,NX)
160 WRITEF,23)(U(J),J=1,NX)
161 WRITEF,24)(RH(J),J«1,NX)
162 WRITEF,25)(P(J),J*1,NX)
163 WRITEF,26)(T(J),J«1#NX)
164 22 FORMATC X=*\12F6.3)
165 23 FORMATC U=\12F6.3)
166 24 FORMATC RH=\12F6.3)
167 25 FORMATC P=\12F6.3)
168 26 FORMATC T=\12F6.3)
169 IF(IPR .LE. DGOTO 30
170 DO 27 К = 1,3
171 WRITEF,28)(Q(J,K),J=1,NX)
172 WRITEFr29)(F(J,K),J=lrNX)
173 27 CONTINUE
174 28 FORMATC Q=f ,12F6.3)
175 29 FORMATC F=\12F6.3)
176 30 CONTINUE
lTTc ^"^^
178 С EXACT SOLUTION, UEX
179 С
180 SHFN = SHST + SHS*TIM
181 JSST = SHFN/DX + 1.0
182 DO 31 J = 1,JSST
183 IF(J .LE. JSST)UEX(J) = U(l)
184 IF(J .GT. JSST)UEX(J) » U(NX)
185 31 CONTINUE
186 WRITEF,32)(UEX(J),J=1,NX)
187 32 FORMATC UEX=# ,12F6.3)
188 STOP
189 END
Рис. 14.17 (окончание).

182
Гл. 14. Невязкие течения
при t = О расположена в точке х = 0.501. Решения, приведенные
на рис. 14.18, получены после 100 шагов по времени при отноше-
отношении давлений р\/р2 = 2.5 и отношении удельных теплоемкостей
7 = 1.4. При таких условиях скорость распространения скачка
Схема Лакса — Вендроффа дает решение (рис. 14.18) с силь-
сильными осцилляциями перед скачком. По схеме Мак-Кормака по-
U
оФФфффФФф 1 Ф 1 1'ф + + ^
о
о
оо
ф
О Лакс-Вендрофф
+ Лакс-Вендрофф (искусственная вязкость)
— точное решение ?
0.60
0.65
0.70
0,75
Рис. 14.18. Задача о движущемся скачке, pi/p2 = 2.5, у = 1.4.
ручается аналогичное решение (не показано на рисунке) с ос-
осцилляциями несколько меньшей амплитуды. Осцилляции вызы-
вызываются в первую очередь дисперсионными ошибками (§ 9.2).
Как и можно было ожидать, они усиливаются при увеличении
интенсивности скачка р\/р2-
Путем введения искусственной вязкости эти осцилляции мо-
могут быть значительно уменьшены. Желательно, чтобы эта вяз-
вязкость одинаково эффективно работала в случае слабых и силь-
сильных скачков. Для этого вместо A4.43) вводится квадратичное
выражение, тогда
дх
A4.53)
где v — константа, значение которой необходимо определить.
Искусственная вязкость вводится после того, как предваритель-
предварительное решение на временном слое п + 1 найдено.

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 18$
Если решение, полученное по формулам A4.50) или A4.52),
обозначить через q**, то коррекция при помощи искусственной
вязкости проводится следующим образом:
^,l, A4.Б4)
где Aq!+1 = q!+1— q**. Использование искусственной вязкости
приводит к более строгому ограничению на шаг по времени,,
связанному с устойчивостью [Richtmyer, Morton, 1967]. Если
«заморозить» член \qx\ в A4.53), условие устойчивости примет
вид
(l^l + ^^U+v^-v, A4.55)
следовательно, величину v следует выбирать как можно мень-
меньше как для получения точного профиля скачка, так и для
ослабления условия устойчивости.
В программе SHOCK искусственная вязкость применялась
ко второй и третьей компонентам A4.53). Результаты при
v = l приведены на рис. 14.18. Видно, что осцилляции перед
скачком существенно уменьшаются за счет размазывания скач-
скачка на большее число сеточных интервалов. Как и можно было
ожидать в соответствии с A4.53) и A4.54), искусственная вяз-
вязкость слабо влияет на решение вдали от скачка.
Для сильных скачков введение искусственной вязкости дает
меньший эффект. Это показано в п. 14.2.7, где проводится срав-
сравнение с расчетом, полученным по алгоритму FCT (метод кор-
коррекции потоков), который позволяет получить резкий про-
профиль скачка. В программе SHOCK предусмотрено при пара-
параметре IFCT = 1 применение процедуры FCT, описанной
в п. 14.2.7.
14.2.4. Обтекание конуса под углом атаки
Для стационарных невязких всюду сверхзвуковых течений
можно выбрать маршевое направление, для которого уравнения
будут гиперболическими. Для конуса, расположенного под уг-
углом атаки (рис. 14.19), в качестве маршевого направления
удобно выбрать его образующую х. Уравнения, описывающие
эту задачу, имеют вид
_p- + iL+|GL+H = o, A4.56)
дх 1 ду дФ l 9 v '

184
Гл. 14. Невязкие течения
где
Е = г
ри
kp + ри2
puv
puw
F = r
G =
pw
puw
pvw
-kp + pw2 -
H =
pv
puv
kp + pv2
L pvw
0
— {kp + pw2) -j^
dr . dr
Здесь k = (y—1)/2у, а у — отношение удельных теплоемкостей.
Применительно к A4.56) схема Мак-Кормака записывается
Рис. 14.19. Конус под углом атаки.
как следующий двухшаговый алгоритм:
А* Гс,м рм 1 Ал:
— Itj+uk — ti,^— -25:
Е* ся Дд; fun jjn 1 Дл: \пп пп Л иге
/. ft = Е/, ft — -г- IF/+I, ft — F/, ftj — -j— [G/, ft+1 — G/, ftj — H/,
E?.V - 0.5 [(El ft + EJ.») - j± {Г,, ft - F}_,, ft) -
A4.57)
A4.58)
где E/, k = E («Ллс, /Ay, &Д<?). В конечно-разностных уравнениях
A4.57), A4.58), представленных в виде явного маршевого алго-
алгоритма, используется времениподобная роль направления х. Од-
Однако величина шага по маршевой переменной Аде будет огра-

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения
185
ничена следующим выражением [Peyret, Taylor, 1983]:
Snax |
A4.59)
где КА и KB — собственные числа матриц А = д?/дЕ и В =
= дп/дЕ.
Применение маршевых схем требует определения начальных
данных на одной плоскости (п=0). Поскольку коническое те-
течение невязкой жидкости не зависит от координаты х, место
; расчет
— эксперимент (NASA-ARC)
Скачок у передней кромки крыла -
Вид сверху
Висячий скачок ч
Тангенциальный разрыв >
Рис. 14.20. Ударные волны при обтекании спейс-шатла, Мго = 7.4 ([Kutler
et al., 1973]; печатается с разрешения AIAA).
задания начальных данных х=Хо (п = 0) может быть выбрана
произвольным образом. Интегрирование вдоль направления х
проводится до тех пор, пока решение не перестает изменяться;
последнее эквивалентно методу установления (§ 6.4).
Граничные условия необходимо определить на поверхности
тела и в свободном потоке. На поверхности тела необходимо,
чтобы нормальная составляющая скорости vn = 0 и производ-
производные в направлении нормали от остальных переменных тоже были
равны нулю. Удаленная граница должна быть расположена до-
достаточно далеко от тела, так чтобы головной скачок лежал
внутри расчетной области и, таким образом, рассчитывался ме-
методом сквозного счета. Тогда все переменные далеко от скачка
известны по числу Маха свободного потока. Катлер и Ломаке
[Kutler, Lomax, 1971] приводят довольно точные результаты
расчетов с использованием 32 точек в направлении ф и 20 точек
в направлении у.

U86 Гл. 14. Невязкие течения
При применении того же метода для расчета полей течения
около космического челнока [Kutler et al., 1973] были исполь-
использованы для задания начальных данных результаты расчета
эквивалентного конического течения, а также улучшенные гра-
граничные условия, предложенные в работе [Abbet, 1973]. Голов-
Головная ударная волна использовалась в качестве внешней границы
расчетной области. Это потребовало использовать условия Рен-
кина — Гюгонио при переходе через скачок (т. е. выделение
хжачка) для связи параметров на границе расчетной области
с параметрами набегающего потока, что позволяет определить
наклон скачка, а следовательно, и ориентацию ударной волны.
Вторичные скачки, возникающие внутри расчетной области, рас-
рассчитывались методом сквозного счета. Типичная картина скач-
скачков приведена на рис. 14.20. Холт [Holt, 1984] предложил ме-
метод BVLR расчета невязких сверхзвуковых течений, аналогич-
аналогичный описанному маршевому алгоритму.
14.2.5. К-схема Моретти
Простая маршевая схема, описанная в п. 14.2.4, неприме-
неприменима, если в течении возникают дозвуковые области, что имеет
Ударная волн;
-С,
Рис. 14.21. Обтекание осесимметричного затупленного тела при большом чис-
числе Маха.
место при обтекании затупленных тел, или если поток разво-
разворачивается на слишком большой угол (ABC на рис. 14.21). Для
больших областей дозвукового течения решение можно получить
в результате интегрирования по времени нестационарных урав-
уравнений Эйлера до тех пор, пока не будет получено стационар-
стационарное решение. При таком подходе использование схемы Мак-

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения
187
Кормака возможно, но нецелесообразно из-за ограничения КФЛ
на шаг At.
Основная трудность при рассмотрении конфигураций, изо-
изображенных на рис. 14.21, состоит в том, что при использовании
схемы Мак-Кормака локальное маршевое направление может
выйти за пределы локальной области зависимости. Эта труд-
трудность преодолевается в Я-схеме [Moretti, 1979). В этой схеме
используется информация о направлении характеристик для
определения узлов, значения функций в которых используются
для разностного представления пространственных производных.
Рис. 14.22. Характеристики в плоскости (х, t).
Метод построения разностной схемы может быть показан на
одномерном нестационарном невязком течении, которое описы-
описывается уравнениями
r)n rln Fin
A4.60)
dp . dp . ди л
d*
dt
ал:
A4.61)
где и — скорость, р — логарифм давления, а — скорость звука
и у — отношение удельных теплоемкостей. Уравнения A4.60) и
A4.61) являются уравнениями неразрывности и ^-компоненты
импульса, в которых плотность исключена за счет давления.
Характеристики (направления) Я = dx/dt равны
Х{ = и — а, 12 = и + а. A4.62)
Типичные положения Xi и Я2 приведены на рис. 14.22. Пред-
Представлена благоприятная ситуация. Трудности использования об-
общепринятых явных схем, подобных схеме Мак-Кормака, возни-
возникают, если точки В и С лежат по одну сторону от xj. Для пре-
преодоления этого затруднения в схеме Моретти пространственные

188
Гл. 14. Невязкие течения
производные разбиваются на две части, связанные с характе-
характеристиками. Уравнения A4.60) и A4.61) принимают вид
<14-64>
Если в эти уравнения подставить Х\ и Х2 из A4.62) и положить
др/дх\ = др/дх2 и ди/дх\ = ди/дх2) то снова получатся уравне-
уравнения A4.60) и A4.61). Однако если для др/дх; и т. д. использо-
использовать односторонние разностные формулы, в которых рассмат-
рассматриваются лишь точки, лежащие по ту же сторону от xj, что и
Я/, значения др/дх\ и др/дх2 и т. д. в A4.63) и A4.64) будут
различны. При этом конечно-разностное представление
Ь.Ъ(Х\др/дх\ + Х2др/дх2) будет корректным дискретным пред-
представлением идр/дх при любых значениях Х\ и Х2.
Уравнения A4.63), A4.64) интегрируются по схеме предик-
предиктор — корректор, т. е.
где f=(p, и), а значения di/dt получаются из уравнений
A4.63), A4.64), в которых df/dxt аппроксимируются по сле-
следующим правилам:
На шаге предиктор
(—У=
\дх )i
На шаге корректор
-2С
3f,., — f
—
Да:
если Xt < О,
если Xt > 0.
если Xt < 0,
если Xt > 0.
A4.67)
A4.68)
Порядок аппроксимации этой схемы, как и схемы Мак-Кор-
мака, равен двум. Моретти [Moretti, 1979] показал, что неко-
некоторая эквивалентная структура может быть получена в случае
более одной пространственной переменной или для стационар-
лых двух- и трехмерных течений. Моретти предостерегает, что

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 189
предложенная схема непригодна для корректного сквозного рас-
расчета внутренних скачков, но с ее помощью можно проводить
расчеты течений около тел сложной геометрии, подобных изо-
изображенному на рис. 14.21.
В работах [Dadone, Napolitano, 1983, 1985] разработан не-
неявный вариант Я-схемы для решения уравнений Эйлера, опи-
описывающих изэнтропические сжимаемые течения. Хотя этот ме-
метод более эффективен, чем описанная выше явная формули-
формулировка, он допускает при расчете стационарных трансзвуковых
течений наличие лишь слабых скачков.
Очень хороший обзор Jt-схем сделан в работе [Napolitano,
1986]. Преимущества метода состоят в его широкой примени-
применимости и возможности постановки граничных условий, совме-
совместимых с теорией характеристик. Основной недостаток связан
с неконсервативностью, вследствие чего данным методом не-
невозможен правильный сквозной расчет скачков. Однако кажет-
кажется возможным [Dadone, Magi, 1986] введение на скачках кор-
корректирующих членов, позволяющих точно рассчитать интенсив-
интенсивность ударных волн. Таким образом, модифицированная
Л-схема становится эффективной и при расчете стационарных
трансзвуковых течений.
В описанном выше подходе необходимо выбрать соответ-
соответствующую форму уравнений и зависимых переменных так,
•чтобы характеристики A4.62) появлялись явным образом.
Данный подход может быть обобщен на уравнения Эйлера
{14.94), записанные в неконсервативном виде
I ^ ^^O, A4.69)
где А = dF/dq, В = dG/dq. Элементы матриц А и В определены
в A4.99). Собственные числа кл матрицы А определяют харак-
характеристические направления dx/dt, а собственные числа Хв мат-
матрицы В определяют характеристические направления dy/dt.
Матрицы А и В можно представить в виде
А + А
о. 1 1 о. A4.70)
В = SA^S + SAbS = В+ + В",
где Т и S — матрицы левых собственных векторов [Isaacson,
Keller, 1966] матриц А и В; Ал и AJ — диагональные матрицы
положительных и отрицательных собственных чисел А; анало-
аналогично для матриц As и Ав. Следовательно, уравнение A4.69)
может быть записано в виде
& + А+& + А-? + В+|а. + 1Г.|1 = 0, A4.71)

190 Гл. 14. Невязкие течения
где dq/dx аппроксимируется разностями назад в членах, умно-
умноженных на А+, и разностями вперед для членов, умноженных
на А-. Аналогично для Ъ+dq/dy и B~dq/dy. Такая формули-
формулировка является обобщением Я-схемы [Chakravarthy et al., 1980].
Можно отметить, что представление A4.71) не является
консервативным, что не обеспечивает правильного сквозного
расчета скачков. Однако, если вклады в потоки д?+/дх =
= A+dq/dx построить и дискретизировать так, как описано
выше, получится предложенный Стегером и Уормингом [Steger,.
Warming, 1981] метод расщепления вектора потока, пригодный
для сквозного расчета разрывов. Схемы расщепления вектора
потока, однако, являются менее экономными, чем схемы Х-типа.
Схемы расщепления вектора потока и схемы расщепления
разности потоков [Osher, Solomon, 1982] позволяют получать
монотонные профили ударных волн без введения искусственной
вязкости. Однако для получения резких неосциллирующих про-
профилей необходимо введение некоторых иных дополнительных
процедур. При введении этих дополнительных процедур явдые
варианты всех, этих схем становятся не столь экономичными,
как схема Мак-Кормака, но зато можно добиться второго по-
порядка точности [Harten, 1983] при удалении от разрывов. Не-
Некоторые примеры таких схем описаны в следующем разделе.
14.2.6. Расчет сильных скачков
Во всех задачах, связанных с распространением взрывных
волн (т. е. существенно нестационарных), возникают очень
сильные скачки. Для численного моделирования таких задач бо-
более предпочтительными оказываются методы расчета, основан-
основанные на физической природе явлений, такие, как методы Году-
Годунова или Глима [Holt, 1984; Peyret, Taylor, 1983]. Метод Году-
Годунова можно рассматривать как метод конечного объема (§ 5.2),
в котором предполагается, что каждые две соседние точки
сетки (Xj,Xj+\) разделены в точке х,-+\/2 ударной волной или
волной разрежения. Это позволяет использовать известные точ-
точные решения таких модельных задач для оценки потоков, на-
например F, в уравнениях движения. Оригинальная схема Году-
Годунова имеет лишь первый порядок точности, скачки сильно раз-
размазываются. Ван Лир [Van Leer, 1979] предложил вариант
схемы Годунова второго порядка, позволяющий получить кру-
крутые фронты ударных волн.
В работе [Colella, Woodward, 1984] предложено обобщение
схемы типа Годунова более высокого порядка, использующее
кусочную параболическую интерполяцию. В работе [Wood-
[Woodward, Colella, 1984] приведены результаты применения этого

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 191
метода к задаче о взаимодействии двух взрывных ударных
волн. Показано, что при использовании однородных сеток ме-
метод позволяет очень хорошо разрешить весьма тонкие детали
течения. Однако метод примерно в пять раз медленнее метода
Мак-Кормака с искусственной вязкостью. Поэтому большой ин-
интерес представляют более экономичные схемы, аппроксими-
аппроксимирующие лишь некоторые физические характеристики, присущие
схеме Годунова [Roe, 1981; Harten, 1983; Yee et al., 1985].
Здесь будут лишь кратко описаны схемы коррекции пото-
потоков Бориса и Бука [Boris, Book, 1973], пригодные для расчета
сильных скачков, поскольку такие схемы можно рассматривать
как обобщение простых схем предиктор — корректор, подоб-
подобных схеме Мак-Кормака, т. е. будут описаны наиболее эконо-
экономичные варианты метода коррекции потоков.
Численное представление ступенчатых профилей, связанных
с сильными ударными волнами в невязких течениях, весьма за-
затруднительно. Как уже отмечалось в § 9.2, введение разностей
против потока приводит к появлению сильной диффузии, сглажи-
сглаживающей ступенчатый профиль. Схема Лакса — Вендроффа при-
приводит к появлению дисперсионных ошибок, которые проявляют-
проявляются в виде ряби на каждой стороне ступеньки. Расчет плотности
по такой схеме может привести к появлению отрицательных
{физически нереальных) значений.
Борис и Бук разработали метод коррекции потоков как
обобщение схемы предиктор — корректор. На шаге предиктор
вносится сильная диффузия, а на шаге корректор — ей равная
(почти) антидиффузия. Однако антидиффузия ограничена так,
что в решении не возникает новых минимумов и максимумов,
а имеющиеся экстремумы не усиливаются. Данный ограничи-
ограничивающий шаг очень важен, поскольку он сохраняет положитель-
положительность решения там, где это необходимо, и позволяет диффузии,
введенной на шаге предиктор, уничтожить дисперсионную рябь.
Метод коррекции потоков может быть пояснен на примере
применения его к одномерному уравнению неразрывности
(НЛО):
Для простоты скорость и будет считаться постоянной, тогда
A4.72) совпадает с (9.2). На шаге предиктор для вычисления
Ру из A4.72) используется следующий конечно-разностный ал-
алгоритм:
Р; = ру - 0.5С (ру+1 - р^) + (v + 0.5С2) (р»+1 - 2ру + р?_ ,),
A4.73)

192 Гл. 14. Невязкие течения
где С = uAt/Ax, a v — положительный диффузионный коэффи-
коэффициент. Обычно v= 1/8. Если v=0, получается схема Лакса —
Вендроффа (9.16).
В принципе антидиффузия на шаге корректор может быть
введена следующим образом:
рг1=р; - й (p;+i - 2Р;+р*.,), A4.74)
где возможен очевидный выбор jj, = v. Однако, для того чтобы
обеспечить консервативность схемы и в случае переменной ско-
скорости, полезно ввести в рассмотрение антидиффузионный поток
массы
ii (р;+1 - pj), /у_1/2=|х (р; - р;_,). (н.75)
Если границы ячеек определены в точках Х/-1/2 = 0.5(#/_i + */)
и Xj+i/2 =0.5(x/ + Xj+i), то //-1/2 является антидиффузионным
потоком массы через границу x/-i/2; аналогично для f/+i/2.
Сущность схемы коррекции потоков состоит в замене //+i/2
в A4.75) на
//+i/2 = sign (Др/+1/2)Х
Xmax{0, min [Лр/_i/2 sign (Ар/+1/2), \х\Ар!+ц21
ДР/+3/2 sign (Др/+1/2)]}, A4.76)
где Др.+1/2 = р*+1 —р*, a
Эквивалентная формула используется и для замены f/-i/2 в
A4.75). Уравнение A4.76) является количественным выраже-
выражением невозможности образования на стадии введения антидиф-
антидиффузии новых максимумов или минимумов, как это требовалось
выше. На конечной стадии выражение A4.74) заменяется на
P/+1 = P/-//+i/2 + //-i/2- A4.77)
Схема A4.73), A4.75) — A4.77) устойчива при выполнении усло-
условия
С = ы(Д;/Д*)<0.5. A4.78)
Это ограничение на At более сильное, чем в схемах Мак-Кор-
мака и Лакса — Вендроффа. Для уравнений, описывающих од-
одномерные невязкие несжимаемые течения A4.36) — A4.38),в ра-
работе [Woodward, Colella, 1984] рекомендуется использовать не-
несколько более сильное условие: (|w| + a) At/Ах < 0.4, где а —
локальная скорость звука.
Влияние выбора (i = v показано на рис. 14.23. Значение
ц = v = 0.125 близко к оптимальному, поскольку при этом
обеспечивается минимум диффузионной и дисперсионной оши-
ошибок. Следует отметить полное отсутствие осцилляции.

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения
193
Борис и Бук [Boris, Book, 1976] рекомендуют выбирать v
в A4.73) и [х в A4.74) так, чтобы дисперсионные ошибки, воз-
возникающие при дискретизации уравнений, были минимальны.
Эти значения могут быть получены из рассмотрения ошибок ап-
аппроксимации, как это сделано в § 9.2. Конкретные выражения
-I 1
A.E.= 0.175 :
i 1 i i i Г
0.0625
A.E.=0.088 j
40 50 60 70 80 90 100 A0 50 60 70 80 90 ЮО
Номер ячейки Номер ячейки
2-
p
г
l
0
Г /UV-0.125
•
i 1 11 11 111 1
•
•
I
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1
• —
&.E.= 0.05Z :
40 50
60 70 80
Номер ячейки
90 100' АО 50
i i 1 i i p i
JIM
V-
0.5
i |
/
LE.=an
1 1 1 I 1 t 1
i mji ]
60 70 80
Номер ячейки
90 100
Рис. 14.23. Сравнение схем коррекции потока при ступенчатом распределении
плотности; \i = v = DIFF.COEF.,A.E.= абсолютная ошибка, PHEONICAL
SHASTA = схема Лакса — Вендроффа для A4.72) ([Book et aL, 1975]; пе-
печатается с разрешения Academic Press).
зависят от схемы, к которой применяется процедура коррекции
потоков. Борис и Бук [Boris, Book, 1976] проанализировали
схемы с разностями против потока Лакса — Вендроффа и «че-
«чехарда» и рассмотрели варианты явного и неявного введения
антидиффузионных членов. Для схемы A4.73) — A4.77) реко-
рекомендуются следующие значения:
1 Г2 \ Г2
13 К. Флетчер, т. 2

194 Гл. 14. Невязкие течения
Метод коррекции потоков применим и в случае многих перемен-
переменных. Обобщение метода можно найти в работах [Zalesak, 1979,
1978; Book, 1981]. Залесак предлагает иную интерпретацию ме-
метода коррекции потоков (FCT). Первый шаг, заменяющий
A4.73), осуществляется по схеме низкого порядка, гарантирую-
гарантирующей отсутствие осцилляции. Антидиффузионные потоки, заме-
заменяющие A4.75), вычисляются как разность между дискретным
представлением потока высокого порядка и тем же представ-
представлением низкого порядка, которое использовалось при замене
A4.73). Ограничение антидиффузионных потоков, эквивалент-
эквивалентное A4.76), в этом случае обеспечивает решение с аппрокси-
аппроксимацией потоков высокого порядка, за исключением точек, где
это привело бы к ложным осцилляциям.
Хотя метод коррекции потоков эффективен при построении
неосциллирующих скачков, трудно дать его строгое теоретиче-
теоретическое обоснование. При разработке схем сквозного счета должны
выполняться следующие условия [Harten et al., 1983]. Числен-
Численные схемы для решения скалярных уравнений сохранения, по-
подобных A4.28), должны сохранять монотонность и сходиться
к физически корректному решению. Например, численные схе-
схемы не должны приводить к появлению ударных волн разрежения
(см. рис. 14.28). Схемы, отбирающие физически корректные ре-
решения, допускающие разрывы лишь в виде ударных волн или
контактных разрывов, называются схемами, удовлетворяю-
удовлетворяющими энтропийному условию.
Концепция сохранения монотонности решения тесно связана
с идеей невозможности появления ложных максимумов или ми-
минимумов, т. е. осцилляции, развивающихся со временем. Таким
образом, если начальные данные и? являются монотонной функ-
функцией jc/, решение и" в последующие моменты должно оставаться
монотонной функцией xj.
Однако не существует монотонных схем с порядком аппрок-
аппроксимации по пространству выше первого !). Следовательно, такие
схемы обладают большой диффузией, профили ударных волн
сильно размазываются и точные решения могут быть получены
лишь на недостижимо мелких сетках. Таким образом, при ис-
использовании схем, сходимость которых строго доказана, на ко-
конечных сетках можно получить лишь неточные решения.
Повышение точности без потери строгого теоретического
обоснования может быть достигнуто путем замены условия со-
сохранения монотонности условием уменьшения полной вариации
TVD [Harten, 1983] (сокращенно от английского Total Varia-
1) Это относится к линейным разностным схемам. Порядок нелинейных
монотонных схем может быть выше первого.— Прим. ред.

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 195;
tion Diminishing). Полная вариация численного решения опре-
определяется следующим образом:
() Е K+i^l
Следовательно, численная схема будет схемой TVD, если
Схемы TVD не приводят к образованию нефизических осцилля-
осцилляции, и с помощью этих схем в областях гладкого изменения ре-
решения может быть получен второй порядок точности. Чтобы
эти схемы удовлетворяли энтропийному условию, требуется
введение дополнительных ограничений. Обычный путь получе-
получения более высокого порядка точности состоит в введении «ан-
«антидиффузионных потоков», обеспечивающих выполнение усло-
условия TVD.
Очевидно, здесь существует некоторая аналогия с методом
коррекции потоков. Эта аналогия может быть показана при
рассмотрении схемы Лакса — Вендроффа, т. е. схемы A4.73)
при v = 0. Эта схема может быть представлена в виде
Р/ + ' = Р/ - С (р? - Р/-0 - (/7+1/2 - /?-,/2), * A4.82)
где /у+1/2 = 0.5СA —С)(р/+1 —ру) и аналогично для //-i/2.
Уравнение A4.82) можно рассматривать как замещающее
уравнения A4.73) и A4.74). Таким образом, разность против
потока первого порядка заменяет A4.73). Если бы не было
члена (//+1/2 — //-1/2I схема A4.82) сохраняла бы монотонность
(и, следовательно, была бы TVD). Член (//+i/2 — //-1/2), состоя-
состоящий из антидиффузионных потоков, эквивалентен A4.74) и
A4.75) при соответствующем выборе \i. Однако полная схема
Лакса — Вендроффа не является схемой TVD; она дает осцил-
осциллирующее решение на сильных скачках. В рассматриваемой ин-
интерпретации это означает, что антидиффузионные потоки, при-
присущие схеме Лакса — Вендроффа, слишком велики и приводят
к появлению осцилляции. Если их каким-либо образом ограни-
ограничить, то в результате получится модифицированная схема кор-
коррекции потоков. Эффективный способ ограничения антидиффу-
антидиффузионных потоков состоит в введении выражения
f/+i/2 = *(r/)[0.6C(l _C)](p/+1-P/) A4.83)
и аналогичного выражения для //-i/2 вместо //+i/2 и //-i/г
в A4.82). Функция ^(г/) называется ограничителем. Параметр
13*

196 Гл. 14. Невязкие течения
Г/ равен отношению прилежащих градиентов, т. е.
*-&;¦ <"•">
Функция Ф(Г]) выбирается так, чтобы схема A4.82) с учетом
A4.83) была схемой TVD. В работе [Sweby, 1984] предло-
предложены следующие ограничения для Ф(г):
0< <? (r)< min Bг, 2) при г > 0; ф(г) = О при г<0. A4.85)
Этим ограничениям удовлетворяют схемы TVD первого и вто-
второго порядков. Чтобы обеспечить второй порядок точности по
пространственной переменной, за исключением точек экстре-
экстремума (г <0), необходимо, чтобы фA) = 1. В работе [Roe, 1986]
предложен следующий выбор ограничителя:
! = minB, г) при г> 1,
= minBr, 1) при 0<г<1, A4.86)
= 0 при г<0.
В работе [Sweby, 1984] показано, что методы ограничения по-
потока, предложенные в работах [Van Leer, 1984; Roe, Baines,
1982; Chakravarthy, OsheT, 1983], могут быть представлены
в виде A4.82), A4.83). Различные алгоритмы соответствуют
различным выборам Ф(г).
Очевидно, что в противоположность двухшаговым алгорит-
алгоритмам FCT схема A4.82), A4.83) является одношаговой. Кроме
того, выбор свободных параметров алгоритма FCT сведен к вы-
выбору ограничителя Ф(г). Простая структура ф(г) и одношаговая
структура алгоритмов ограничения потока обеспечивает эконо-
экономичность их использования. То что алгоритмы являются одно-
шаговыми, позволяет разработать эффективные неявные схемы
TVD [Yee et al., 1985], удобные для расчета стационарных те-
течений (§ 18.5), как невязких, так и вязких, в которых возни-
возникают ударные волны.
Для расчета нестационарных течений более предпочтитель-
предпочтительными являются явные схемы TVD, поскольку линеаризация, не-
необходимая для эффективного применения неявных схем TVD
(становится возможным применение алгоритма Томаса
(п. 6.2.2)), приводит к неконсервативности неустановившихся
решений.
Как уже отмечалось выше, в случае возможности появления
разрывов в решении желательно, чтобы дискретное представ-
представление исходных уравнений было консервативным. Для A4.28)
допустима дискретизация конечного объема
«г1=«/ - 4r(F/+ - f"-)- A4-87)

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 197
Эта схема консервативна в дискретном смысле, однако жела-
желательно, чтобы она была эквивалентна интегральной или слабой
форме E.6) законов сохранения. В этом случае будут правильно
описываться скачки функций при переходе через любой разрыв.
Уравнение A4.87) можно рассматривать как дискретное пред-
представление законов сохранения, если положить
u?= \ un(x)dxy
т. е. значение в узле сетки и}- считается равным среднему на
интервале jc/_i/2 ^ х ^ */+i/2 значению. В соответствии с такой
интерпретацией величина F/+1/2 называется численным потоком
и рассматривается как функция узловых величин, т. е. F/+1/2 =
= F(u,-k+u ..•> Uf+k)* Простейшим примером такого представ-
представления является A4.83), поскольку (At/Ax) f/ = Ср, и т. д.
Схема ограничения потока A4.82), A4.83) может быть пред-
представлена в виде A4.87) следующим образом:
Р/ =Р/ — -д7и/+1/2 —Г/-1/2Л A4.88)
где
= 0.5 (/, + //+1) - 0.5ог (//Ч1 - fj) +
-f/) A4.89)
и а = sign C/+1/2. Данная схема пригодна при положительных
и отрицательных значениях и. Более точное решение, однако, по-
получается, если A4.84) заменить выражением
"o/"g- <14-90>
"~р
т. е. отношение градиентов вычисляется по значениям, лежа-
лежащим против потока. Два первых члена в A4.89) составляют
разность против потока в A4.82). Последний член связан с ог-
ограничением потока A4.83). Для уравнения A4.72) с постоян-
постоянным значением и /= ри в A4.88).
Описанные выше схемы TVD могут быть обобщены на нели-
нелинейные системы уравнений, подобные уравнениям Эйлера
A4.43). Уравнения Эйлера для этого приводятся к характери-
характеристическому виду. Схемы TVD, например A4.88), применяются
отдельно к каждой характеристической составляющей. Решение
Уравнений Эйлера получается в результате суммирования вкла-
вкладов от характеристических компонент. При этом, однако, нет
теоретически обоснованного доказательства, что схема будет

198 Гл. 14. Невязкие течения
схемой TVD (как в случае скалярного уравнения); на практике
профили скачков получаются без осцилляции.
Система A4.43) может быть представлена через характери-
характеристические составляющие:
т=\
где ат={0.5/у, (у—\)/у, 0.5/у), собственные числа Хт =
= {и — а, и, и + а} и соответствующие собственные векторы
Г ,р > 1 Г р 1 Г <р^ Л
ет= р(ы-а) , ры , р(« + а) , (Н.92)
ip(H-ua) } L0.5p«2J Lp(H + ua)]
В каждую компоненту решения q вносят вклад характери-
характеристические составляющие, т. е. q = l]^1amem. Скалярная схема
TVD, эквивалентная A4.88), применяется к каждой характери-
характеристической компоненте A4.91). В результате получается
где Fm = Ятет.
Направление против потока в уравнениях, аналогичных
A4.89), зависит от a = sign(A,m). Следовательно, при расчете
различных характеристических составляющих используются
значения в различных точках сетки и для различных характе-
характеристических составляющих можно ввести различные ограничи-
ограничители ф(г).
Характеристическое разложение позволяет получить крутые
профили скачков и правильную скорость их распространения.
Характеристическое разложение использовалось в работах
[Roe, 1981, 1986; Yee et а!., 1985]. Тот же тип разложения ис-
использовался в методе характеристик Галёркина с конечными
элементами [Motion, Sweby, 1987]. Применение такого разло-
разложения по отдельности к каждой компоненте потока позволяет
корректно описать задачи с двумя и большим числом простран-
пространственных переменных. Так, в работе [Yee, 1986] схема TVD
ограничения потоков применялась для расчета дифракции удар-
ударной волны на наклонном профиле. Флетчер и Мортон [Fletcher,
Morton, 1986] применяли метод характеристик Галёркина с ко-
конечными элементами для расчета нестационарной задачи о на-
наклонном отражении скачка, связанного со сверхзвуковым тече-
течением около клина.

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 199
Более подробное описание схем TVD высокого порядка точ-
точности можно найти в работе [Chakravarthy, 1986], а также
в приведенных в ней ссылках, в частности в работе [Chakra-
[Chakravarthy, Osher, 1985].
14.2.7. FCT: алгоритм расчета движущейся ударной волны
В данном разделе алгоритм FCT, аналогичный описанному
в п. 14.2.6, будет применен к задаче о распространении удар-
ударной волны, рассмотренной в п. 14.2.3. На практике алгоритм
FCT можно рассматривать как шаг, который надо добавить
к схемам Мак-Кормака и Лакса — Вендроффа, рассмотренным
в п. 14.2.3. Настоящее описание будет соответствовать звуковой
схеме FCT Лакса — Вендроффа, предложенной в работе [Book
et al., 1975].
Решение, полученное по формулам A4.50) или A4.52), обо-
обозначается через q**. Звуковой алгоритм FCT состоит из следую-
следующих шести шагов:
A) Вычисление диффузионных потоков
s.d ( п п\
1/+1/2 = V/+1/2 V4/+1 — q/J.
B) Вычисление антидиффузионных потоков
fad / ** **\
/+1/2 = И7+1/2 1Я/+1 "" Q/ )•
C) Диффузия решения
D) Расчет первых разностей я***
E) Ограничение антидиффузионных потоков
S = sign f/+1/2,
f^di/2 = 5max[0, min{5Aq;-i/2, |^1/2|,
F) Антидиффузионное решение
ft+l *** ecad , tcad
Я/ =Я/ —Г/ + 1/2 + 1/-1/2.
На шагах A) и B) коэффициенты диффузии v и антидиффузии
М зависят от координаты. Это следует из уравнения A4.79), со-
согласно которому
= Ло + Л1 (иж/2"хгJ> И'/+1/2 = Ло + Ч2(и/+1/2-д|-) ,
A4.93)

200 Гл. 14. Невязкие течения
1 SUBROUTINE FCT(NXM,ETA,ET2,DTR,Q,DF,U)
2 С
3 С APPLIES FLUX-CORRECTED TRANSPORT ALGORITHM TO Q(J,K)
4 С
5 DIMENSION QA01,3),DQA01,3),UA01),DFA01,3),ADFA01,3)
6 С
7 С COMPUTE ANTIDIFFUSIVE FLUXES
8 С
9 EMU « ETA + 0.25*ET2M(UU)+UB))*DTR)*'*2
10 DO 1 К * 1,3
11 1 ADFA,K) * EMU*(QB,K)-QA,K))
12 DO 3 J = 2,NXM
13 EMU « ETA + 0.25*ET2*((U(J)+U(J+l))*DTR)**2
14 DO 2 К а 1,3
15 ADF(J,K) = EMU*(Q(J+1,K)-Q(J,K))
16 С
17 С DIFFUSE THE SOLUTION
18 С
19 Q(J,K) » Q(J,K) + DF(J,K) - DF(J-1,K)
20 2 DQ(J-1,K) = Q(J,K) - Q(J-1,K)
21 3 CONTINUE
22 DO 4 К * 1,3
23 4 DQ(NXMfK) = Q(NXM+1,K) - Q(NXM,K)
24 С
25 С LIMIT ANTIDIFFUSIVE FLUXES
26 С
27 DO б J * 2,NXM
28 DO 5 К = 1,3
29 S = SIGNA.O,ADF(J,K))
30 ADF(J,K) = ABS(ADF(J,K))
31 DUM * S*DQ(J-1,K)
32 ADF(J,K) = AMIN1(ADF(J,K),DUH)
33 DUM « S*DQ(J+1,K)
34 ADF(J,K) = AMIN1(ADF(J/K),DUM)
35 ADF(J,K) = AMAX1(ADF(J,K),0.)
36 ADF(J,K) = S*ADF(J,K)
37 С
38 С ANTIDIFFUSE THE SOLUTION
39 С
40 Q(J,K) = Q(J,K) - ADF(J,K) + ADF(J-1,K)
41 5 CONTINUE
42 б CONTINUE
43 RETURN
44 END
Рис. 14.24. Распечатка подпрограммы FCT.
где И/+1/2 = 0.5(m/ + h/+i) и, как правило, т]0=1/6, y|i == 1/3,
г|2 = —1/6. Очевидно, что шаги A) — F) являются прямым об-
обобщением описанного в п. 14.2.6 скалярного алгоритма с по-
постоянными коэффициентами.
Диффузионные потоки на временном слое п определяются
в программе SHOCK (рис. 14.17, строки 98 и 99). Все осталь-
остальные шаги проводятся после вычисления q** и оформлены в виде
подпрограммы FCT (рис. 14.24). Различные параметры, исполь-
используемые в подпрограмме FCT, описаны в табл. 14.4.

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения
201
Типичные результаты расчета распространения сильного
скачка приведены на рис. 14.25. Использовались 100 узлов по
пространству и Ах =0.01. Интенсивность скачка р1/р2 = 5.0 и
Таблица 14.4. Параметры, используемые подпрограммой FCT (и программой
SHOCK)
ADF
DF
EMU
ENU
ETA,
DQ
Q
Параметр
ET1, ET2
Описание
Антидиффузионный поток fad и fcad
Диффузионный поток fd
Антидиффузионный коэффициент \i,+i/2
Диффузионный коэффициент v/+i/2
г]о, Ци т]2 A4.93)
Aq***
q** q*** qn+i
и
+
-
метод коррекции потока
Лаке - Вендрофф (искусственная
вязкость)
точное решение
О
<
+
+
0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 " ' 0.80
X
Рис. 14.25. Распространение сильной волны, Pi/pi = 5.0, у = 1.4.
7 = 1.4. При этих параметрах скорость распространения скачка
u'ss = 2A04. В начале расчета скачок располагается в точке
*' = 0.501; после 100 шагов по времени с шагом At =0.001 —
в точке xf = 0.711. Это изображено на рис. 14.25.
Очевидно, что алгоритм FCT позволяет получить крутой
профиль скачка с незначительными осцилляциями. Для срав-
сравнения на рис. 14.25 приведено также решение, полученное по
схеме Лакса — Вендроффа с искусственной вязкостью v=1.0

202 Г л 14. Невязкие течения
в A4.54). Эти решения были получены после 200 шагов по вре-
времени, равных 0.0005, что обусловлено условием устойчивости.
Хотя искусственная вязкость эффективно подавляет ложные
осцилляции, очевидно, что скачок размазывается на большее
число узлов. Это можно преодолеть путем перехода к более
мелкой сетке, однако время счета при этом может стать не-
неприемлемо большим. Если используется локально мелкая сет-
сетка, как правило адаптивная, чтобы избежать жесткого условия
на А/, вся схема должна быть неявной.
Сравнение схем с искусственной вязкостью, схемы FCT и
схемы Годунова высокого порядка для одно- и двумерных ста-
стационарных и нестационарных течений с сильными ударными
волнами и контактными разрывами проведено в работе [Wood-
[Woodward, Colella, 1984]. Контактный разрыв — это поверхность, при
переходе через которую значение плотности претерпевает раз-
разрыв, а скорость и давление непрерывны. При развитии течения
в ударной трубе граница между первоначально сжатым газом
и газом низкого давления в дальнейшем становится контакт-
контактным разрывом.
В работе [Woodward, Colella, 1984] обнаружено, что схема
Годунова высокого порядка точности дает более точное реше-
решение, чем алгоритм FCT, однако схема Годунова более слсж-
на для программирования и требует большего объема вы-
вычислений. Как и можно было ожидать, алгоритмы FCT оказа-
оказались более точными, чем схемы с искусственной вязкостью.
В работе [Woodward, Colella, 1984] не исследовались появив-
появившиеся позднее схемы ограничения потока (см., например,.
[Yee, 1986]), которые можно рассматривать как развитие под-
подхода FCT. Можно ожидать, что решения, полученные по этим
схемам, будут гораздо экономичнее, чем полученные по схемам
Годунова, и, возможно, практически столь же точными.
Различные методы, от методов с искусственной вязкостью до
использующих полную формулировку Годунова, требуют для
реализации существенно различного времени. Для нестационар-
нестационарных течений, где важно правильно рассчитать и скорость, и ин-
интенсивность скачка, оправдано применение более сложных ал-
алгоритмов. Для стационарных течений с ударными волнами
точное решение может быть получено и при помощи менее
сложных алгоритмов.
14.2.8. Неявные схемы для уравнений Эйлера
В предыдущих разделах были рассмотрены явные схемы ре-
решения уравнений Эйлера, описывающих течения с сильными
скачками или всюду сверхзвуковые течения, для которых в ста-

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 203
ционарном случае можно построить маршевый по одной из ко-
координат алгоритм расчета. В данном разделе рассматриваются
неявные схемы решения уравнений Эйлера в случае трансзву-
трансзвуковых течений.
Для стационарных трансзвуковых течений доказано [Rizzi,
Viviand, 1981], что при определенных условиях, когда можно
ожидать появления ударных волн, методы, основанные на пол-
полностью консервативном потенциальном подходе, описанные
в п. 14.3.3, могут дать неправильное положение скачков. Более
того, возможно несколько решений при одних и тех же гранич-
граничных условиях. Следовательно, там, где знание правильного
положения и интенсивности скачков существенно, например при
расчете обтекания профиля с ненулевой подъемной силой, более
надежными являются методы, основанные на решении уравне-
уравнений Эйлера.
Для стационарных трансзвуковых течений решение уравне-
уравнений Эйлера, как правило, получается методом установления
(§ 6.4). Основная задача заключается в построении быстро схо-
сходящегося процесса. В работе [Viviand, 1981] приведен обзор
задач и возможных методов решения.
Явные схемы конечного объема, основанные на методе Мак-
Кормака, описаны в работах [Rizzi, Eriksson, 1982; Lerat, Si-
Sides, 1982]. Однако явные схемы, как правило, требуют боль-
большого числа итераций (шагов по времени) для достижения ста-
стационарного состояния из-за ограничения КФЛ на величину
шага по времени.
Неявные схемы, основанные на расщеплении или прибли-
приближенной факторизации (гл. 8), позволяют использовать гораздо
большие шаги по времени, и, следовательно, стационарного со-
состояния можно достичь за гораздо меньшее число итераций.
Можно провести сравнение для течения около профиля NACA-
0012, расположенного под углом атаки а = 1.25° при УМоо =
= 0.80. С использованием явной схемы [Rizzi, 1981] получена
сходимость после 4900 итераций на сетке 141 Х21. При помощи
приближенно факторизованной (неявной) схемы [Pulliam, 1985]
на сетке 161 X 33 получено решение, весьма близкое к реше-
решению Рицци, примерно за 250 итераций. Однако, если явные
алгоритмы использованы в сочетании с многосеточным подхо-
подходом (п. 14.2.9), они становятся более конкурентноспособными.
Ниже будет описан типичный неявный алгоритм интегриро-
интегрирования по времени уравнений Эйлера. В случае двух простран-
пространственных переменных уравнения Эйлера в консервативной
форме могут быть представлены в виде
|± + ^ + ^ = 0, A4.94)

204
Гл. 14. Невязкие течения
где
Pi
m
n
р«
рыу
pv
ipuv
P
A4.95)
m — p«, n = pv и для идеального газа
p = (Y_l)[?-0.5p(«2 + y2)]. A4.96)
Для данных уравнений потоки могут быть представлены в виде
F = Aq, G = Bq, A4.97)
где А и В — матрицы Якоби, т. е.
dFi _ _ dOt
Аи =
dq
,
A4.98)
Матрицы А и
А =
-
0.5 (Y-3)
-«[-Y^/P
D
0.5 (y-1)
_ о [—Y^/P
В равны
0
w2+0.5(Y-l)y2
—• wy
+(Y-l)(^24-u2)
0
—uv
M2—0.5 C—y) ^2
+.(y—1) (u2+v2)
1
C-Y) и
V
] y?/P-0.5(y-1)
0
V
-(Y"l) «
] —(Y—l) му Y?/p
—
CM2+t,2) __(
1
и
C—y) с
—0.5 (y—1) (
0
(Y-1)*
Y-l)ay
о ¦
(Y-1)
0
yu _
A4.99)
0 ""
0
(Y-1)
yV _
Для построения неявной схемы уравнение A4.94) представ-
представляется в следующем дискретном виде:
n+l + LyGn+l)y A4.100)
где Aqw+1 =qw+1 — q«, а у и р — параметры схемы. Ранее L* и 1^
были определены как центрально-разностные операторы, на-
например
В данном случае эти операторы остаются неопределенными, по-
поскольку может оказаться, что в сверхзвуковой области течения

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 205
более предпочтительной будет другая дискретизация по про-
пространственным переменным.
Предполагается, что решение q известно на п-м временном
слое и решение на (д+1)-м слое необходимо определить из
уравнения A4.100). В основном будут использованы методы,
описанные в § 8.2, п. 9.5.1 и 10.4.2, т. е. для определения до-
добавки к решению Aqn+l будет получена линейная система урав-
уравнений; Fw+1 и Gn+1—нелинейные функции q^+l. Эти члены мо-
могут быть линеаризованы путем разложения в ряд Тейлора в
окрестности п-го момента времени, т. е.
l (), A4.101)
A4.102)
где Ап и Вп — матрицы Якоби A4.99), вычисленные на времен-
временном уровне п. Подстановка в A4.100) приводит к соотношению
-103)
Здесь ...LyBn}]Aqn+l означает Ly(BnAqn+l).
Если необходимо получить лишь стационарное течение, то
можно положить v = 0> P = 1.0 и применить для решения рас-
расширенный метод Ньютона (п. 6.4.1). Единственное отличие от
обычного метода Ньютона состоит в наличии дополнительных
диагональных членов, связанных с единичной диагональной мат-
матрицей I. При At-*-oo используется обычный метод Ньютона.
Однако, если у, р и Д? выбраны, проводить численное реше-
решение A4.103) в том виде, как оно записано, чрезвычайно неэко-
неэкономно. Из-за разложения A4.101) порядок аппроксимации урав-
уравнения A4.103) в лучшем случае лишь О (At2). При некоторых
выборах у и р, например при «ньютоновском» 7 = 0, р = 1.0,
порядок аппроксимации A4.103) лишь О (At).
С точностью до О (At2) порядок аппроксимации не изменит-
изменится, если к левой части уравнения A4.103) прибавить член
В результате получится
LLJB]bC« =
M qn- A4Л04)

206 Гл. 14. Невязкие течения
Уравнение A4.104) является приближенно факторизованной
формой уравнения A4.103), решение которого осуществляется
по следующему двухшаговому алгоритму. На первом шаге
и на втором шаге :
[l + -^ LyB] Aq"+1 = Aq*. A4.106)
Уравнение A4.105), записанное на каждой х-линии сетки, об-
образует DХ 4)-блочно-трехдиагональную систему уравнений.
Блочно-трехдиагональные системы весьма эффективно решаются
обобщенным алгоритмом Томаса (п. 6.2.5). Тот же алгоритм
применим и к уравнениям A4.106), которые при записи на каж-
каждой у-линии сетки также образуют DХ 4)-блочно-трехдиаго-
нальную систему.
Факторизацию матриц А и В можно провести следующим
образом:
А = ТлЛлТл1, В = ТвАБТв\ A4.107)
где диагональные матрицы Ал и Ав образованы собственными
числами А и В, т. е.
diag Ад га {и, и, и + а, и — а}у diag Ав = {vy v, v + a, v — а}.
A4.108)
Здесь а — локальная скорость звука. В работе [Pulliam, Chaus-
see, 1981] показано, что при помощи факторизованных пред-
представлений A4.107) можно одну DХ 4)-блочно-трехдиагональ-
ную систему расщепить на четыре скалярные трехдиагональные
системы, которые могут решаться последовательно. Это приво-
приводит к сокращению времени счета примерно на 30%- Однако
данная процедура вносит ошибку О (At) в нестационарные ре-
решения.
Уравнения A4.105) и A4.106) применимы как к стационар-
стационарным, так и к нестационарным задачам. Для нестационарных за-
задач при v = 0> Р = 0.5 получается схема Кранка — Николсона
с порядком точности О (А/2). Если A4.105), A4.106) исполь-
используются в методе установления для решения стационарных за-
задач, весьма эффективными являются следующие варианты вы-
выбора параметров:
A) y = 0, р = 1.0, расширенный метод Ньютона, О (М);
B) у = 0.5, р = 1.0, трехслойная полностью неявная схема,
О (At2).

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 207
Может показаться, что расширенный метод Ньютона с большим
значением At будет оптимальным при проведении расчетов ме-
методом установления. Однако введение членов порядка О(А/2)
при приближенной факторизации приводит к потере ожидаемой
от метода Ньютона квадратичной скорости сходимости.
Из исследования (линейного) алгоритма A4.105), A4.106)
методом Неймана следует его безусловная устойчивость. Однако
может возникнуть нелинейная неустойчивость, особенно в связи
с сильными скачками. Если пространственные операторы Lx и Ly
в A4.105), A4.106) являются центрально-разностными операто-
операторами, то обычно добавляется искусственная вязкость. Эта вяз-
вязкость должна быть добавлена и к правой, и к левой частям урав-
уравнения A4.105). Искусственная вязкость может быть второго
(как в п. 14.2.3) или четвертого (п. 18.5.1) порядка малости.
Операторы Lx и Ly могут быть также операторами с разно-
разностями против потока в сверхзвуковой области. Следовательно,
использование соотношений
A4.109)
предполагает, что локальная скорость направлена в положи- *
тельных направлениях х и у. Если такое представление рассмат-
рассматривать как дискретизацию второго порядка, то это приводит
к появлению диссипативных членов (§ 9.1). Пример использова-
использования такой дискретизации для решения задачи об одномерной
ударной трубе приведен в работе [Steger, Warming, 1981,рис. 1].
Ударные волны и контактные разрывы получились сильно раз-
размытыми. Можно построить схему второго порядка с разностями
против потока, которая может быть использована в двухшаго-
вом алгоритме A4.105), A4.106) в сверхзвуковых областях.
В работе [Pulliam, 1985] приводится описание таких алгорит-
алгоритмов, основанных на схемах Уорминга и Бима [Warming, Beam,
1976]. Эти схемы позволяют получить резкие профили скачков
без осцилляции, расположенных вверх по потоку от разрыва
(как в схемах Мак-Кормака и Лакса — Вендроффа, п. 14.2.3).
Однако комбинация таких схем о центральными разностями в
дозвуковых областях требует введения функций переключения
(п. 14.3.3) и специальных процедур на разделяющих поверхно-
поверхностях (т. е. на звуковых линиях и ударных волнах).
Постановка граничных условий и их численная реализация
при решении уравнений Эйлера является важной частью всего
алгоритма. На твердых поверхностях для выполнения закона со-
сохранения массы нормальная составляющая скорости должна
быть равна нулю. Давление обычно получается из уравнения

208
Гл. 14. Невязкие течения
для нормальной составляющей импульса, а плотность — из усло-
условия постоянства полной энтальпии Я = (?1 + р)/р.
Границы, через которые возможно течение жидкости, назы-
называются входными и выходными границами (рис. 11.18). Для
внутренних течений классификация не представляет труда. Для
течений около изолированных тел удаленные границы могут из-
изменяться, превращаясь в процессе эволюции течения из вход-
входных в выходные и наоборот.
Теория характеристик позволяет определить число и вид гра-
граничных условий. Физически информация переносится вдоль ха-
Входная граница
U
Выходная граница
U
и-а
(Ь)
и-а
и-а
Рис. 14.26. Число граничных условий согласно теории характеристик.
рактеристик. Следовательно, граничные условия должны быть
определены на характеристиках, приходящих в расчетную об-
область.
Собственные числа одномерных нестационарных уравнений
Эйлера равны Х={и, и-\-а, и — а)т. Одномерные до- и сверх-
сверхзвуковые входные и выходные границы изображены на
рис. 14.26.
На дозвуковой входной границе требуется определить гра-
граничные условия для двух переменных, а третья переменная
должна рассчитываться по значениям на границе и внутри об-
области. На дозвуковой выходной границе две характеристики вы-
выходят из расчетной области и одна приходит в расчетную об-
область. Следовательно, на дозвуковой выходной границе должно
быть поставлено одно граничное условие.

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 209
На сверхзвуковой входной границе все характеристики вхо-
входят в расчетную область, поэтому граничные условия требуются
для всех переменных. Наоборот, на сверхзвуковой выходной гра-
границе все характеристики выходят из расчетной области, так что
граничные условия не требуются.
Описанный выше подход может быть распространен на мно-
многомерный случай, если скорость и рассматривается как нор-
нормальная к границе компонента скорости. Это легко сделать в
обобщенных криволинейных координатах (гл. 12), поскольку
направление нормали к границе обычно совпадает с обобщенной
координатой. Пример применения такого подхода можно найти
в работе [Steger et al., 1980].
Для дозвуковых течений существует выбор того, какие за-
зависимые переменные или их комбинации должны быть опреде-
определены на удаленной границе. Обычно граничные условия на до-
дозвуковой входной границе определяют направление потока, эн-
энтропию и полную энтальпию. Значения плотности при помощи
характеристического условия совместности определяются через
решение внутри области. На дозвуковой выходной границе бу-
будет правильно определить давление, значения pu, pv и Е экстра-
экстраполировать по значениям внутри области, а р определить из
A4.96).
Граничные условия должны быть поставлены неявно, так
чтобы на весь алгоритм не действовало ограничение КФЛ на
шаг по времени. Соответствующие постановки можно найти в
работах [Yee, 1981; Pulliam, 1981; Chakravarthy, 1983; Rai,
Chaussee, 1984].
Правильная численная реализация граничных условий на
удаленной поверхности существенна для достижения стационар-
стационарного решения за минимальное число шагов по времени. Реше-
Решение в любой промежуточной точке (по времени) может быть
разделено на стационарную и нестационарную части. Алгоритм
численного решения, например A4.105), A4.106), можно рас-
рассматривать как алгоритм, целью которого является обращение
в нуль нестационарной части решения за минимальное число
шагов по времени. Нестационарная часть решения состоит из
волн, распространяющихся по расчетной области. Граничные
условия на удаленной поверхности желательно поставить так,
чтобы они позволяли нестационарной части решения проходить
через границы без отражений.
Эффективный прием, предложенный в работе [Bayliss, Tur-
kel, 1982] для внешнего течения, заключается в линеаризации
уравнений Эйлера относительно однородного потока, т. е. u=U«>,
v = 0, р = рос и р = роо. После этого вводится граничное условие,
которому удовлетворяет решение линеаризованных уравнений.
14 К Флетчер, т. 2

210 Гл. 14. Невязкие течения
Для дозвуковой выходной границы в случае потока, парал-
параллельного оси х, в работе [Bayliss, Turkel, 1982] рекомендуется
использовать следующее граничное условие:
1 dp PooaL х ди у dv 1
(a^-t/^I/2 ~dt ~~ a^-Ulb d~dt Po° d ~дГ 4d (P ~~ Po°' ~ '
A4.110)
где d2 = (\—Му^ + J2- Применение условия A4.110) требует
знания роо, Uoo и aoo. В той же работе авторы указывают, что
эти величины можно взять из решения на предыдущем шаге по
времени. Очевидно, в стационарном случае условие A4.110)
сводится к р = рооу где роо — определенное на внешней границе
давление.
Другое граничное условие на выходной границе, предложен-
предложенное в работе [Rudy, Strikwerda, 1981], имеет вид
4f-P^-f + a(p-pJ = 0, A4.111)
где обычно для наибольшей скорости сходимости а = 0.3. В ра-
работе [Bayliss, Turkel, 1982] обнаружено, что для большей части
задач применение A4.110) предпочтительней A4.111).
На удаленной границе, являющейся твердой стенкой, напри-
например на стенке аэродинамической трубы, необходимо определить
одно граничное условие. Если стенка параллельна оси х, в той
же работе рекомендуется использовать следующее граничное
условие:
4f-P~a~-g- = 0. A4.112)
Для ускорения сходимости уравнения во внутренней части об-
области могут быть модифицированы. Уравнения A4.94) удобно
представить в виде
"-lt+w+w=°> A4Л13>
где N — матрица, ускоряющая сходимость. В работе [Viviand,
1981] приводится обзор методов установления для расчета
трансзвуковых течений, попадающих в класс A4.113).
В работе [Turkel, 1985] определена матрица N так, что если
провести факторизацию системы A4.113) аналогично A4.107),
то собственные числа, эквивалентные A4.108), не будут зави-
зависеть от скорости звука а.
Если N — диагональная матрица, то A4.113) сводится к вы-
выбору различных шагов по времени для каждой точки сетки.
В работе [Pulliam, 1985] приводится следующая формула, ком-

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 211
ленсирующая изменение сетки по пространству:
Atl~ = 7TW^'' A4Л14)
где/ — якобиан A2.3).
С другой стороны, A/ioc выбирается из условия постоянства
эффективного числа Куранта, т. е.
где w = {и2 + v2I/2, a k имеет обычно порядок ОA0).
Для стационарных течений с более сильными скачками пред-
предпочтительней для нахождения стационарных решений в методах
установления с приближенной факторизацией, аналогичных
A4.105), A4.106), использовать неявные схемы TVD (п. 14.2.6).
Подобные алгоритмы описаны в работах [Yang et al., 1986;
Chakravarthy, 1986].
Неявные схемы решения уравнений Эйлера с небольшими
модификациями применимы и для решения уравнений Навье —
Стокса. Многие из методов, описанных в гл. 18, применимы и
к уравнениям Эйлера.
14.2.9. Многосеточные методы решения уравнений Эйлера
При определении стационарных решений уравнений Эйлера
для ускорения сходимости можно использовать многосеточные
методы (п. 6.3.5). Здесь будет описан алгоритм [Ni, 1982], в ко-
котором нестационарные уравнения Эйлера интегрируются по
времени до стационарного состояния по явной схеме. При мно-
многосеточном подходе сильное ограничение на шаг по времени,
связанное с использованием явной схемы, не столь существенно,
поскольку интегрирование на грубой сетке позволяет быстро
пройти промежуточные стадии решения.
В алгоритме используются одношаговые разности по времени
Лакса — Вендроффа A0.10) второго порядка точности и дискре-
дискретизация по методу конечного объема (§ 5.2). Работа алгоритма
будет продемонстрирована на однородной декартовой сетке
(рис. 14.27). Обобщение на случай неоднородной сетки произво-
производится очевидным образом [Ni, 1982; Hall, 1984]. Отправной точ-
точкой являются двумерные нестационарные уравнения Эйлера
q, = -(F,+ Gy), A4.116)
где q, F и G определяются уравнениями A1.117), в которых
следует опустить члены с т и Q.
Применение метода конечного объема (п. 5.2.1) к контроль-
контрольному объему (/+1/2, &+ 1/2) и дискретизация по времени
14*

212 Гл. 14. Невязкие течения
первого порядка позволяют построить следующий алгоритм для
расчета изменения q в центре контрольного объема (рис. 14.27):
ОС ^ Г/С I С \ /С? I С \1
.O-T-r[(F/+i,fc + Г/ + 1, jfe+i) — (Г/, k + Г/. fe + l)J —
/Л Л
:)]. A4.117)
Выражения, эквивалентные A4.117), могут быть записаны для
четырех контрольных объемов, окружающих точку сетки (/, k).
Рис. 14.27. Соответствие между контрольным объемом и точками сетки.
При приближении к стационарному состоянию правая и ле-
левая части A4.117) стремятся к нулю. Поэтому величина
Aq/+i/2,ft+1/2 пропорциональна стационарной разности, связанной
с контрольным объемом (/+1/2, &+1/2). Это соответствие
будет использовано ниже при построении многосеточного алго-
алгоритма.
Величина коррекции в узле 6q/, к может быть получена как
среднее величин Aq четырех окружающих контрольных объемов.
Желательно, однако, ввести дискретизацию по времени также
второго порядка. Это можно сделать при помощи одношаговой
схемы Лакса — Вендроффа A0.10). Дискретизация по времени
системы A4.116) в точке (},к) принимает вид
бЧ/, k = - At (Fx + Oy)h k + 0.5 Af {[A (Fx + Qy)]x +
+ Gy)]y)lth, A4.118)

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 213-
где А и В —матрицы Якоби dF/dq и dG/dq; F* = dF/dx и т. д.
Первый член в правой части может быть получен в результате
осреднения по окружающим контрольным объемам. Согласно
A4.117),
—A/ (F* + Gy)iy k = 0.25 (Aq/-i/2, *-i/2 + Aq/-i/2. л+1/2 +
+ Aq/+i/2. л+1/2 + Aq/+i/2. л-1/2). A4.119)
Используя A4.116), можно получить
A (Fx +Gy) = - Aq,, B (F, + Qy) = - Bq,.
Отсюда, если ввести q* = Aq/A^, получим
At[\(Fx+.Gy)]x « -(AAq)x « -(AF)X,
« -(AG),, U
где AF и AG означают изменения F и G за один шаг по вре-
времени, соответствующие изменению Aq.
Члены (AF)*, (AG)t/ в точке (j,k) определяются по методу
конечного объема на контрольном объеме, ограниченном (/—1/2г
k- 1/2), (/+1/2, k- 1/2), (у+1/2, А+1/2) и (/-1/2, ? +
+ 1/2), как показано на рис. 14.27. В результате получается
выражение
— 0.5(AF/-i/2. *+i/2 + AF/-1/2. *-i/2>] -^ A4.121)
и аналогично для (AG)t/.
Подстановка A4.119) — A4.121) в A4.118) позволяет по-
построить следующий алгоритм расчета изменения q/, *:
+ ^АР + ^Ао1
Ад: ' by J/-1/2, л-1/2
Гач + ^Laf + ^-
/-1/2, Л + 1/2
A4.122)
Очевидно, A4.122) можно трактовать как определение измене-
изменения q/, k путем осреднения изменений в прилежащих контроль-
контрольных объемах. В работе [Ni, 1982] рассматриваются отдельные
вклады в A4.122) как формулы распределения, поскольку пу-
путем перемещения контрольного объема можно получить его
влияние на четыре окружающие его точки.

214 Гл. 14. Невязкие течения
Основной алгоритм состоит из уравнения A4.117), опреде-
определяющего изменение в контрольном объеме, и уравнения A4.122),
определяющего изменение в точке сетки. Алгоритм имеет вто-
второй порядок точности по времени и пространству. Для устой-
устойчивости должно выполняться следующее ограничение на шаг
по времени:
ЧЬ } A4Л23>
Можно заметить, что зависимые переменные определяются
в вершинах контрольного объема, а не в его центре, как это де-
делается в § 5.2 и п. 17.2.3. Возможна также дискретизация
A4.116) по методу конечного объема с определением зависимых
переменных в центрах контрольных объемов [Jameson et al.,
1981].
Однако расположение вершин контрольного объема в узлах
сетки имеет свое преимущество [Morton, Paisley, 1986]. Во-пер-
Во-первых, при использовании неоднородных сеток точность, как пра-
правило, выше при расположении вершин в узлах сетки. Располо-
Расположение узлов сетки в центре объема часто приводит к появлению
осцилляции в решении (п. 17.2.3). Если не используются разне-
разнесенные сетки, обычно для подавления осцилляции приходится
вводить дополнительные диссипативные члены [Jameson et al.,
1981]. Расположение точек в вершинах гораздо менее чувстви-
чувствительно к появлению осцилляции, хотя при наличии скачков
также рекомендуется введение дополнительных диссипативных
членов [Ni, 1982].
Возможно, что наибольшее преимущество связано с гранич-
граничными условиями, которые могут быть поставлены непосред-
непосредственно при расположении узлов сетки в вершинах, поскольку
в этом случае точки сетки совпадают с границей. При располо-
расположении узлов сетки в центре контрольного объема узлы с грани-
границей не совпадают (п. 17.1.3).
Для ускорения сходимости к стационарному состоянию жела-
желательно на достаточно мелких сетках, обеспечивающих необходи-
необходимую точность, использовать большие, чем допускаемые условием
A4.123), шаги по времени. Многосеточный подход позво-
позволяет осуществить это путем применения A4.122) на последова-
последовательности более грубых сеток с увеличенным в соответствии
с условием A4.123) значением А^тах. При этом ненужные не-
неустановившиеся возмущения быстро проходят через расчетную
область и выходят за ее пределы через удаленные границы.
Внутри области остается сходящееся стационарное решение.
В отличие от многосеточного алгоритма, описанного в п. 6.3.5,
для нахождения стационарных решений уравнений Эйлера ис-

§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 215
пользуются более простые многосеточные алгоритмы. Ниже бу-
будет кратко описан метод Ни [Ni, 1982].
На промежуточной сетке изменение Aqm в контрольном объ-
объеме рассчитывается не по формуле A4.117), а получается пу-
путем сужения добавки 6qm+1 в узле следующей более мелкой
сетки, т. е.
w ;Zw+1 A4.124)
где /m+i — оператор сужения (п. 6.3.5).
Последовательность более грубых сеток строится путем ис-
исключения линий сеток таким образом, чтобы центры контроль-
контрольных объемов на более грубых сетках совпадали с узлами более
мелкой сетки. Из A4.117) и A4.122) можно заметить, что суже-
сужение добавок A4.124) эквивалентно сужению разностей F.85).
По полученным из A4.124) значениям Aqm поправки, соот-
соответствующие узлам сетки 6qm, получаются из A4.122). Поправки
затем либо интерполируются на самую мелкую сетку М9 в ре-
результате чего получается поправка на самой мелкой сетке
6qM = /^6qm, A4.125)
либо используются для определения поправок контрольного объ-
объема следующей более грубой сетки, т. е. вновь используется
A4.124) при т = т—\.
Подцикл многосеточного алгоритма начинается на самой мел-
мелкой сетке My последовательно сужается при помощи A4.124) на
более грубые сетки и интегрируется по времени при помощи
A4.122), пока не будет достигнута самая грубая га-я сетка.
После этого решение на га-й сетке интерполируется по A4.125)
обратно на самую мелкую сетку. Каждый подцикл в отличие
от V-цикла, изображенного на рис. 6.21, представляет собой
зуб пилы. Полный многосеточный цикл состоит из решения
A4.117) и A4.122) на самой мелкой (М) сетке с последующими
циклами типа зуб пилы, пока не будет достигнута наиболее гру-
грубая (т = 1) сетка.
Ни [Ni, 1982] использовал последовательность из четырех
(М = 4) сеток. Самая мелкая сетка состояла из 65 X 17 узлов.
Для расчета трансзвукового обтекания препятствия в канале по-
потребовалось 900 шагов по времени, чтобы достичь стационар-
стационарного состояния, т. е. A4.117) и A4.122) использовались только
на самой мелкой сетке. При использовании описанного выше
многосеточного алгоритма требуется 130 многосеточных циклов
с сокращением времени счета примерно в 4 раза. Тот же алго-
алгоритм был использован для расчета течений около осесиммет-
ричной гондолы и каскада лопаток ротора турбины.

216 Гл. 14. Невязкие течения
В работе [Johnson, 1983] описано обобщение алгоритма Ни
на двухшаговую явную схему типа Лакса — Вендроффа
(п. 14.2.2); в работах [Davis et al., 1984; Chima, Johnson, 1985]
применен метод типа Ни для решения сжимаемых уравнений
Навье — Стокса.
Использована также дискретизация по методу контрольного
объема уравнений Эйлера с расположением узлов сетки в цен-
центрах контрольных объемов [Jameson, 1983]. Вместо описанной
выше схемы Лакса — Вендроффа использовалась четырехшаго-
вая схема Рунге — Кутты (§ 7.4). Многосеточный алгоритм
Джеймсона аналогичен алгоритму Ни, за исключением того что
использовался лишь один цикл типа зуба пилы при переходе на
•самую грубую сетку и интерполяция на самую мелкую сетку
проводилась через все промежуточные сетки.
В работе [Mulder, 1985] скомбинирована неявная схема мар-
маршевого интегрирования по времени с многосеточным методом
и методом расщепления потоков [Steger, Warming, 1981]. Чтобы
получить более крутые фронты скачков, использовался метод
ограничения потоков. Применялась также многосеточная схема
FAS (п. 6.3.5) с релаксацией Гаусса — Зейделя к стационарным
уравнениям Эйлера при помощи дискретизации методом конеч-
конечного объема второго порядка с расположением центров кон-
контрольных объемов в узлах сетки [Hemker, 1986]. Быструю схо-
сходимость многосеточного метода можно использовать в схемах
TVD первого порядка (п. 14.2.6) до момента, когда сходимость
будет почти достигнута. Ограничения потоков второго порядка
можно вводить лишь для окончательного определения стацио-
стационарного решения.
§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения
Выделение трансзвуковых невязких течений в отдельную ка-
категорию связано с тем, что такие течения можно рассматривать
специальным образом на основе уравнений потенциала, если об-
образующиеся в них скачки малы. Трансзвуковые невязкие тече-
течения характеризуются наличием зон до- и сверхзвукового тече-
течения (рис. 11.15). Основное внимание будет уделено методам
решения стационарного уравнения потенциала. Дополнения, не-
необходимые для решения нестационарного уравнения, будут при-
приведены в краткой форме.
1 14.3.1. Общие замечания
Если течение безвихревое, можно ввести потенциал скорости
A1.102). Уравнения Эйлера тогда можно свести к одному урав-
уравнению в частных производных и вспомогательному алгебраиче-

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения 217
скому уравнению. Для двумерного стационарного течения урав-
уравнение для потенциала скорости имеет вид
(а2 _ И2} Фхх _ 2uv<Dxy + (а2 - v2) Фуу = 0, A4.126)
скорость звука а определяется выражением A1.104). Если
A4.126) записать в естественных координатах E, /г), т. е. 5 па-
параллельно локальному направлению потока, а п перпендику-
перпендикулярно ему, то уравнение примет вид
A-M2)O>SS+ (!>„„ = 0, A4.127)
где локальное число Маха М = q/a и q2 = и2 + v2. Очевидно,,
уравнение A4.127) превращается из эллиптического в гипербо-
гиперболическое уравнение в частных производных, если число М ста-
становится локально больше единицы, т. е. течение становится ло-
локально сверхзвуковым. Как следует из рис. 11.15, сверхзвуковая
область в направлении течения обычно заканчивается ударной,
волной.
Поскольку вывод A4.126) основан на предположении о том,,
что течение безвихревое, то по теореме Крокко [Liepmann,
Roshko, 1957] течение при обтекании тела однородным потоком
должно быть изэнтропическим. Однако, хотя условия Ренки-
на — Гюгонио A1.110) гарантируют сохранение массы, импульса
и энергии при переходе через скачок, энтропия увеличивается
пропорционально третьей степени от интенсивности скачка
[~(Mi—M2K]. Если число Маха для нормальной компоненты
скорости перед скачком (Mi) меньше 1.1, изменение состояния
течения при переходе через скачок можно считать приблизи-
приблизительно изэнтропическим и течение можно описывать уравнением
потенциала.
Уравнение A4.126) обычно рассматривается в эквивалент-
эквивалентной безразмерной консервативной форме (т. е. уравнение нераз-
неразрывности)
где Ф' = Ф/([/осХ), L — характерная длина. Безразмерная плот-
плотность получается из A1.104):
A4.129>
где у — отношение удельных теплоемкостей, а Моо — число Маха
набегающего потока.
Если для A4.128) используется консервативная дискретиза-
дискретизация, то решение будет соответствовать слабой форме A4.128)
(например, E.6)). Следовательно, «ударные волны» будут

218 Гл. 14. Невязкие течения
улавливаться решением. Однако в разрывных решениях будут
сохраняться энтропия, энергия и масса, но не импульс. Поэтому
условия Ренкина — Гюгонио будут выполняться лишь прибли-
приближенно. В работе [Jameson, 1978] отмечается, что скачок им-
импульса на рассчитываемом разрыве является мерой волнового
сопротивления.
Численное решение уравнений A4.128) и A4.129) можно-по-
можно-получить весьма эффективным образом. Соответствующие про-
программы широко используются в авиационной промышленности
Скачок сжатия ^ , Скачок разрежения
Звуковая
.^ линия
Рис. 14.28. Скачки сжатия и разрежения.
для расчетов самолетов, работающих в трансзвуковом режи-
режиме, когда можно ожидать появления лишь слабых скачков. Для
течений с более сильными скачками или течений с большими
вихревыми зонами, например в следе за профилем или лопаткой
турбины под углом атаки, необходимо, как правило, методами
установления (п. 14.2.8, 14.2.9) решать полные уравнения Эй-
Эйлера A1.22) — A1.24). Эти методы обычно значительно медлен-
медленнее методов, предназначенных для решения уравнений A4.128)
и A4.129). Экономичность последних особенно заметна при рас-
расчете трехмерных или нестационарных течений.
Поскольку уравнение A4.126) описывает изэнтропическое не-
невязкое течение, его решением могут быть как ударные волны
сжатия, так и ударные волны разрежения (рис. 14.28). В чис-
численных схемах должны быть предусмотрены специальные про-
процедуры, делающие невозможным появление (физически не-
невозможных) скачков разрежения. Это может быть сделано пу-
путем использования разностей против потока или введением
искусственной вязкости в сверхзвуковых областях. Оба эти ме-
метода создают диссипативный механизм, который делает невоз-
невозможным образование ударных волн разрежения.
14.3,2. Трансзвуковое уравнение малых возмущений
В случае обтекания тонких тел возможно дальнейшее упро-
упрощение уравнения A4.126), в результате чего можно получить
уравнение A1.107) для возмущения потенциала ф. Если про-

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения 219
филь тела задается уравнением y = if{x)y где т предполагается
малой величиной, уравнение A1.107) можно представить в виде
[Cole, 1975]
[КФ - 0.5(у +1){Ы2] + |р- = 0, A4.130)
где /С = A — М^)/т2/3, фх = дф/дх. В уравнении A4.130) величи-
величины у и ф приведены соответственно к масштабам т1/3 и т~2/3.
Уравнение A4.130) называется трансзвуковым уравнением ма-
малых возмущений. Совместное с A4.130) условие на ударной
волне имеет вид
^] = 09 A4.131)
где [ ] означает скачок величины, a dy/dx — наклон ударной
волны. Можно также заменить граничное условие дф/дп = О
на поверхности тела условием на оси х:
Уравнения A4.130) — A4.132) правильно описывают трансзву-
трансзвуковые течения около тонких тел, за исключением области, рас-
расположенной непосредственно перед передней затупленной кром-
кромкой, поскольку в этой области возмущений скорости и имеют
тот же порядок, что и скорость набегающего потока ?Лх>. Для
сверхзвуковых скоростей, например Моо > 1.3, возможно даль-
дальнейшее упрощение A4.130), поскольку при этом 0.5 (y +
+ 1) {фх}2 <С Кфх. Уравнение A4.130) сводится к линейному
уравнению A1.109), для решения которого можно использовать
панельный метод (например, PAN-AIR), описанный в п. 14.1.6.
Консервативную форму A4.130), необходимую для правиль-
правильного расчета скачка, можно компактно представить в виде
f- + f = 0, A4.133)
где F = Кфх — 0.5(y + 1) {Ф*}\ G = дф/ду.
Центрально-разностные операторы, определенные через зна-
значения в полуцелых точках сетки, имеют вид
Р _ [^/+1/2,^"""^/-1/2^1 п _ [g
ruk— д^ > V/,*— д?
A4.134)
Если значение G, определенное вновь при помощи центрально-
разностных операторов, подставить в A4.134), то

-220
Гл. 14. Невязкие течения
Аналогичное выражение можно записать для Р/, k- При помощи
A4.134) алгоритм, удобный для дискретизации A4.133) при
описании трансзвуковых течений, можно представить в виде
= 0,
A4.135)
где
= 0 в дозвуковых точках, т. е. К> {у+ 1)ФХ>
= 1 в сверхзвуковых точках, т. е. К<(у+ 1)фх-
Из A4.135) следует, что в сверхзвуковых областях член dF/dx
в A4.133) аппроксимируется по трехточечной направленной про-
против потока схеме (рис. 14.29), а в дозвуковой — центральной
(а)
Н
(Ь)
-k-t
¦ Л-1
i-z M
Рис. 14.29. Точки, используемые в A4.135). (а) Дозвуковая точка (/, k)\
(b) сверхзвуковая точка (/, k).
разностью. Отличие формул в сверхзвуковой области правильно
отражает гиперболическую природу уравнений в этой области,
заключающейся в отсутствии влияния вверх по потоку. На зву-
звуковой линии или на ударной волне (см. рис. 11.15), расположен-
расположенными между точками (/—l,k) и (/,&)> уравнение A4.135) при-
принимает вид
На звуковой линии: Q/, ^ = 0,
На ударной волне: Р/,* + Pj-\,k + Q/,* =
A4.136)
'Эти специальные представления необходимы для правильного
описания ударных волн и для построения эффективного алго-
алгоритма решения уравнений. Преобразуя выражения A4.135) че-
через потенциал скорости, получаем систему уравнений, которая
может быть решена методом итераций. Специальные процедуры
описаны в п. 14.3.5. Изложение данного метода следует в основ-
основном работе [Murman, 1973].
Разложением в ряд Тейлора Pj-\, k в окрестности узла (/, k)
можно показать, что этот оператор аппроксимирует dF/dx в дан-
данной точке, но приводит к появлению искусственной вязкости,

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения 221
пропорциональной Ал:. Поэтому переключение на разности про-
против потока в сверхзвуковой области можно заменить явным вве-
введением искусственной вязкости в этих областях. Такой подход
в сочетании с методом конечного объема использован в работе
JCaughey, 1982].
14,3.3. Полное уравнение для потенциала
Для стационарных трансзвуковых невязких течений более
точные решения получены при использовании для их описания
полного уравнения для потенциала A1.103). В двумерном слу-
случае это уравнение в безразмерной консервативной форме имеет
вид
(^) ^H' A4лз7)
где ф' — возмущение потенциала, а плотность р' определяется
уравнением A4.129). В дальнейшем штрих будет опущен. На по-
поверхности тела должно выполняться условие дф/дп = 0, озна-
означающее обращение в нуль нормальной к поверхности тела ком-
компоненты скорости. При удалении от тела возмущение потенциала
стремится к нулю.
Уравнение A4.137) приводится к следующему дискретному
виду:
5/.* + Г/,* = 0, A4.138)
где
{рдф/дх)!+1,2, k = 0.5 (р/ + P/+i) (^/+i — ?/)/Д* и т. д.; Tit k —
искусственная вязкость, необходимая в сверхзвуковой области.
Если направление течения в сверхзвуковой области примерно
совпадает с направлением оси х, достаточно ввести искусствен-
искусственную вязкость только в направлении х. Тогда
t^P/"l/2'fcl, A4.140)
где
= — (Ц/, к A*) [Lxx (<?/, к

222 Гл. 14. Невязкие течения
Как и раньше, \х — функция переключения, однако в рассмат-
рассматриваемом случае
|i = min[o,p(l --?)].
Таким образом, значение ц изменяется гладко и отлично от нуля
только в сверхзвуковой области.
Параметр е определяется выражением г = 1 — К Дх, которое
обеспечивает второй порядок точности уравнения A4.138). До-
Дополнительные диссипативные члены Г/, * аппроксимируют дР/дху
где
Р = - |*[( 1 - в) Ьхфхх + е Ьх*фххх],
т. е. Т пропорционально д2и/дх2.
Если направление течения сильно отклоняется от оси лг, при
его описании с помощью уравнения для полного потенциала
появляется определенная трудность. В этом случае возможна
существование сверхзвуковых точек, в которых u2<.a2<Zu2-\-v2-
Это приводит к тому, что искусственная вязкость становится
отрицательной.
Это затруднение преодолевается путем введения дополни-
дополнительных диссипативных членов, подобных Tfik в A4.138), свя-
связанных с локальным направлением потока. Наиболее просто это
можно проиллюстрировать на примере уравнения A4.126), ко-
которое в естественных координатах приобретает вид A4.127), где
В сверхзвуковых точках центральные разности используются
для аппроксимации фпп, однако для аппроксимации фхх,фхУ^фуу,~
входящих в ф8Б, используются следующие разности против по-
потока:
Г XX = Дл.2
ф _[»/.fc-»/--i.*
тху—
Использованные точки указаны на рис. 14.30. Соответствующая
схема для решения A4.137) более сложная, ее описание можно,
найти в работе [Jameson, 1978].
Искусственная вязкость может быть также введена путем:
модификации р в A4.139). В работе [Hoist, Ballhaus, 1979] по-

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения
223
\
\
\
]— /г-н 1
Н-Фпп
- к
к-2
j-z j-i j
Рис. 14.30. Точки, используемые в A4.142).
казано, что A4.140) эквивалентно замене членов типа Рж/2, &
в A4.139) членами
Р/ + 1/2. к = A — V/, k) Р/ + 1/2. к + V/, ЛР/-1/2* к, A4.143)
где v = max{0, [1 — a2/q2]}, q2 =u2 + v2. Модификация плотно-
плотности, подобная A4.143), часто позволяет построить более про-
простой алгоритм для решения разностных уравнений.
14.3.4. Трансзвуковые невязкие течения: обобщенные координаты
Расчеты течений около тел, подобных аэродинамическим про-
профилям или лопаткам турбины, приводят к необходимости введе-
введения связанных с телом систем координат (см. гл. 12), в кото-
которых в расчетной области (рис. 14.31) поверхность тела совпа-
совпадает с поверхностью постоянного значения преобразованной
переменной, например ц = rjo. Методы построения соответствую-
соответствующих точек сетки л:(|, т)) и у(|, ц) рассматривались в гл. 13.
В плоскости (?, л) уравнения A4.137) и A4.129) принимают
вид
^(Р'?/С) + ^(Р'П=О, A4.144)
=4{1 +о.Б(у-
- (U^ + V^)]}11^ , A4.145)
где Uc и Vе — (контравариантные) компоненты скорости в на-
направлениях I и т|, связанные с потенциалом скорости соотноше-
соотношениями
jiq - дФ , * дФ -.тс * дФ , * дФ ... \ ло\

224
Гл. 14. Невязкие течения
и, согласно A2.12), Аг=Ц + Ц9 Л2 = л| + тф Л3 = 1хц уу
J — якобиан (детерминант) преобразования, определяемый вы-
выражением A2.3). Метрические коэффициенты, подобные ?*, опре-
определяются отображением (гл. 13).
JL
[Г
в'
с'
D'
Рис. 14.31. Обобщенные координаты, (а) Физическая область; (Ь) область
расчета.
Уравнение A4.144)! в дискретном виде записывается анало-
аналогично A4.139), т. е.
n
A6 + АЛ ~U-
A4.147)
Здесь р* и р* — аппроксимации р* против потока. Так, p*+lJ2tk
определяется в случае положительной скорости Vе выражением
A4.143), в котором следует заменить р на р*. При отрицатель-
отрицательном значении Vе используется аналогичная аппроксимация
против потока, в которую входит р)+3/2, &• Выражения, эквива-
эквивалентные A4.143) в направлении т](&), используются для аппрок-
аппроксимации р. Направленная против потока аппроксимация плот-

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения 225
ности позволяет избежать введения дополнительных диссипа-
тивных членов, подобных Г/, k в (И. 138).
Значения плотности получаются из A4.145), для чего тре-
требуется определить /, Uc, дф/dl и т. д. в полуцелых точках сетки
типа (/+ 1/2, k). Например,
'^/+1/2, k ^lly + l^.^ XT Г
1+тл ^^ , (,4.148)
где
^/ + 1/2,6+1 =0.5 (<f>j,k + \ + ^/ + 1, Aj-fl).
Таким образом, значения ф хранятся в узлах сетки. Метриче-
Метрические коэффициенты Аи А2, А3 и J аппроксимируются по стан-
стандартным формулам второго порядка (п. 12.2.1) и хранятся в
полуцелых точках сетки. Для сохранения общей точности важ-
важно, чтобы метрические коэффициенты аппроксимировались без
осреднения [Flores, 1983].
14.3.5. Решение алгебраических уравнений
Для решения алгебраических уравнений, возникающих при
дискретизации уравнений типа A4.130) и A4.137), можно ис-
использовать модификацию метода SOR (§ 6.3), получившую
название метода последовательной линейной верхней ре-
релаксации SLOR. Методом SLOR (см., например, F.64), F.65))
на (п+1)-й итерации решается неявная система, определяю-
определяющая поправки к решению, Д^/Д1 =ф1+к —фп\л> на каждой коор-
координатной линии у (линии постоянного значения /). Для этого
используется метод решения систем с трехдиагональными мат-
матрицами (см. п. 6.2.3) 1).
В дозвуковой области для определения A^/,V> помимо зна-
значений потенциала ф на /-й линии сетки, нужно знать величины
^/-1, л и Ф1+1к, В сверхзвуковой области, помимо значений по-
потенциала ф на /-й линии, нужно знать величины Ф1-2, k и ф"-}, k-
Такая схема хорошо работает при решении трансзвукового
уравнения малых возмущений [Murman, 1973]; в случае реше-
решения уравнения для полного потенциала она должна быть не-
несколько модифицирована.
Полезно представить схему релаксации в общем виде, т. е.
в виде, аналогичном F.51),
+1 A4.149)
J) Метод прогонки. — Прим. ред.
15 К. Флетчер, т. 2

226 Гл. 14. Невязкие течения
где Ф — вектор значений ф}-, k в точках сетки, R — остаток,
полученный при подстановке ф в разностные уравнения, со —
масштабный множитель, а N — линейный разностный легко фак-
торизуемый (обращаемый) оператор. Если Ыфп является доста-
достаточно близкой аппроксимацией R, то скорость сходимости к ре-
решению будет высокой.
Эквивалентной зависящей от времени интерпретацией яв-
является соотношение
р-#+й(^)^=0' <14Л5°)
где L — оператор стационарного дифференциального уравнения,
которое следует решить. Сравнение A4.149) и A4.150) позво-
позволяет установить соответствие
R^Ltf, Д0 = Л/^, N = -?. A4.151)
Следовательно, N следует выбирать так, чтобы соотношение
A4.150) представляло сходящийся и зависящий от времени про-
процесс.
Основываясь на этом подходе, типичную схему релаксации
для решения уравнения A4.126), дискретизированного централь-
центральными разностями в дозвуковой области и с помощью формул
A4.142) в сверхзвуковой, можно представить в виде
Л k - Д^_,, J + т2 [Д^Л к+1 - 2 Д^, k + Д^Л *_,].+
+ т3Д*Л * = *,,*, A4.152)
где %х = 1/Дл:2, \х2 = 1/Ду2, т3 = B/со — 1) (*{ + т2); . © — пара-
параметр релаксации. В работе [Jameson, 1978] показано, что
•фактически по данной схеме решается уравнение
A - mtss + Фпп = 2аф* + W>ni + уфь A4.153)
( mtss + Фпп ф* + Wni + уфь ()
где а, р и у зависят от ti, т2 и тз. Уравнение A4.152) эффек-
эффективно при расчете дозвуковых областей. В сверхзвуковых обла-
областях, чтобы сделать матрицу N в A4.152) с диагональным пре-
преобладанием, аппроксимацию фхх, фху и фуу необходимо провести
так, чтобы член A—M2)^Ss в A4.153) имел вид
}. A4.154)
Аналогичный подход введения зависимости от времени,
эквивалентный A4.150), эффективен и при рассмотрении за-
закона сохранения A4.137). Методы релаксации очень быстро
сходятся в начале решения, но, как отмечено в п. 6.3.5, скорость
сходимости сильно уменьшается при приближении к стационар-
стационарному состоянию.

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения 227
Другой подход реализуется в схеме приближенной факто-
факторизации [Ballhaus et al., 1978]. По этой схеме N в A4.149) рас-
расщепляется на два легко обращаемых множителя. В применении:
К A4.150) это эквивалентно использованию схемы приближен-
приближенной факторизации (8.23), (8.24). Факторизации подвергается
система A4.149), в которой /?/, k является остатком уравнения*
A4.147) после подстановки в него A4.148). В результате полу-
получается
{а - Ц (р*Л,) LJ) {а - Ц (р*Л2) Ц} A#,+i = а©/?/, Л. A4.155)
где
Уравнение A4.155) решается в два этапа:
1-й этап: {a — Lz (p*A\) LJ~} кф], k = a®Rj, k, A4.156)
2-й этап: {а — Щр*А2) Ц) Ьфик = А^>*. A4.157)
На 1-м этапе уравнение A4.156) представляет трехдиагораль-
ную систему уравнений, которую можно решить по очереди
вдоль каждой линии сетки в направлении | при помощи F.29) —
F.31). На 2-м этапе уравнение A4.157) дает трехдиагональ-
ную систему, которую можно решить вдоль каждой линии сетки
в направлении ц последовательно.
Уравнения A4.156) и A4.157) образуют алгоритм AF1
[Ballhaus et al., 1978], который аналогичен по форме алго-
.ритму ADI и схемам приближенной факторизации для завися-
зависящих от времени задач, описанных в § 8.2. Однако более эффек-
эффективное решение уравнения A4.155) осуществляется как сле-
следующий двухэтапный алгоритм (AF2):
1-й этап: {a-LUp*A2)}b<t>*i,k = a(x>Rj,k, A4.158)
2-й этап: {аЦ - Ц (рМ,)} Д#,+* = **/.*• (Н.159)
На первом этапе получается двухдиагональная система, которая
при решении проходится в отрицательном направлении ц] на
втором этапе — трехдиагональные системы в направлении g>
которые решаются постепенно в положительном направлении у]л
В работе [Hoist, 1985] обсуждается вопрос практической pea-'
лизации алгоритмов AF1 и AF2.
Параметры а и со выбираются так, чтобы ускорить скорость
сходимости; из условия устойчивости следует, что со должно
15*

228 Гл. 14. Невязкие течения
лежать в диапазоне 0 < со ^ 2 и обычно выбирается как можно
большим (со = 1.8 -г-1.9). Параметр а можно интерпретировать
как 1/Д?. Следовательно, в принципе стационарное состояние
будет достигнуто за наименьшее число итераций, если а вы-
выбрать как можно меньшим. Однако при малых а быстро устра-
устраняются отклонения низкой частоты, но не высокой. Поэтому
лучше использовать последовательность величин а, например
a/n = aiam-1, где а{ = Ьу и а = (Щу)ш-{),
где N — число шагов в последовательности, обычно #=11.
Описание различных схем приближенной факторизации и ана-
анализ оптимального выбора а и со можно найти в работе [Cathe-
rali, 1982].
Описанные схемы можно сделать еще более эффективными,
если применить их в процедуре многосеточных итераций
(п. 6.3.5).
Уравнение A4.147) после подстановки A4.148) может быть
записано в виде
= 0, A4.160)
где индекс М означает, как и в п. 6.3.5, самую мелкую сетку,
на которой ищется решение. Для любого промежуточного ре-
решения на более грубой сетке Aw+1#m+1 = Rm+1, т. е. существует
ненулевой остаток. В работе [Jameson, 1979] использован мо-
модифицированный алгоритм FAS (п. 6.3.5), в котором от более
мелкой сетки к более грубой ограничиваются лишь остатки.
Уравнение F.90) заменяется следующим:
Ф =A ф —Im+\R , A4.161)
где фт — существующее на т-\\ сетке решение. Как и в алго-
алгоритме FAS, фт>а получается путем релаксации и последующего
ограничения на самую грубую сетку; точное решение, релакса-
релаксация и продолжение назад на га-ю сетку осуществляются, как
показано на рис. 6.21 (Ь). Новое решение на (т+1)-сетке за-
задается соотношением
фт.а_фту A4.162)
Операторы сужения и продолжения / в A4.161), A4.162) опи-
описаны в п. 6.3.5.
Джеймсон использовал модифицированный вариант прибли-
приближенно факторизованной схемы A4.156), A4.157) в алгоритме
релаксации, заменив RJtk в A4.156) правой частью уравнения
A4.161). В схеме Джеймсона параметр а в A4.156), A4.157)
заменяется на S:
S = оо + ai^i" + ct2^, A4.163)

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения
229
где Li и Ln — операторы с разностями против потока, опре-
определенные после формулы A4.155). Такая модификация сде-
сделана для более эффективного расчета сверхзвуковой подоб-
подобласти.
Полный V-цикл (рис. 6.21 (Ь)) включает в себя одну релак-
релаксацию по формулам A4.156), A4.157) и A4.163) и сужение
Верхняя поверхность
¦ Нижняя поверхность 4
"¦--
Рис. 14.32. Распределение давления по поверхности профиля NACA-0012 при
а = 2°, Моо = 0.75, сетка 192X32.
остатков на следующую более грубую сетку до тех пор, пока
не будет достигнута самая грубая сетка, на которой опреде-
определяется точное решение. После этого продолжение A4.162) и
один шаг релаксации проводятся на каждой сетке, пока не будет
достигнута вторая по мелкости сетка. Решение на самой мелкой
сетке получается после этого из A4.162), V-цикл повторяется
до тех пор, пока не будет выполняться уравнение A4.160).

230 Гл. 14. Невязкие течения
Один V-цикл данного алгоритма можно сравнить с полным
циклом по значениям а в обычном алгоритме приближенной
факторизации, т. е. A4.158) и A4.159).
Джеймсон [Jameson, 1979] отмечает, что для многосеточ-
многосеточного расчета с шестью сетками требуется примерно в четыре
раза меньше операций на цикл, чем при использовании обычной
приближенной факторизации. Чтобы получить сходимость ре-
решения (с инженерной точностью) задачи об обтекании профиля
под углом атаки с висячим скачком (рис. 14.32), требуется при-
примерно 10 полных циклов. Это соответствует примерно 80—100
итерациям в обычном методе приближенной факторизации
[Hoist, 1985]. Таким образом, многосеточный подход увеличи-
увеличивает эффективность алгоритма примерно в четыре раза.
14.3.6. Использование потенциала в неизэнтропических течениях
В работе [Klopfet, Nixon, 1984] предложен интересный под-
подход к описанию неизэнтропических течений на основе теории
потенциала, позволяющий значительно увеличить точность
уравнения A4.137) в случае появления сильных скачков. Их
расчет существенно улучшает расчет плотности в A4.129), до-
допуская изменение энтропии при переходе через скачок. Урав-
Уравнение A4.129) заменяется уравнением
о—— , A4.164)
где q2 = (u2 + ^2)/f/^. Величина К есть функция от энтропии,
определяемая выражением
к = 2vMlt n ~ (Y - О / (Y - 1) Mlt + 2 \ ^ A4.165)
(Y + D V (Y + l)Mfifl /
где Mi, Л — локальное число Маха, вычисленное по нормальной
составляющей скорости перед скачком. Клопфер и Никсон от-
отмечают, что для течений около аэродинамического профиля до-
достаточно положить Mi, л = и/а. Для точек перед скачком
К=1. За скачком величина К постоянна вдоль каждой линии
тока и может быть приближенно прослежена.
Введение такой модификации в метод полного потенциала
[Hoist, 1979] позволяет более точно определить положение
скачка и, следовательно, распределение давления (рис. 14.33).
Очевидно, получается решение, более близкое к решению на
основе уравнений Эйлера [Pulliam, 1985].

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения
231
Модификация A4.164), A4.165) незначительно увеличивает
время счета, и неизэнтропическая формулировка Клопфера —
Никсона является весьма эффективным обобщением основан-
-1.0
1.0 х/с
0.2
0.4
0.6
полный потенциал _ д
[Hoist, 1979], CL = О О, CD = 0 067 \ '
полный потенциал для сильных \^1
скачков (Клопфер — Никсон)
CL=0.0, Co=0 05
Рис. 14.33. Сравнение положения ударной волны ([Klopfer, Nixon, 1984];
печатается с разрешения AIAA).
ных на потенциале скорости методов расчета течений со скач-
скачками умеренной интенсивности. Неизэнтропические модифика-
модификации рассмотрены также в работе [Hafez, 1985].
14.3.7. Уравнение полного потенциала: дальнейшие замечания
Обзор методов расчета трансзвуковых течений на основе ме-
метода потенциала приведен в работе [Habashi, 1985]. Для ре-
решения успешно использовались конечно-разностные методы,
методы конечных элементов и конечного объема [Rizzi, Viviand,
1981]. При выделении скачка, в результате чего разрыв в ре-
решении на скачке отделяется от области гладкого изменения,
также весьма эффективными являются спектральные методы
[Hussaini, Zang, 1987].
Если присутствуют лишь слабые скачки и течение практи-
практически безвихревое, для получения точного решения трансзвуко-

232 Гл. 14. Невязкие течения
вого уравнения полного потенциала могут быть использованы
весьма эффективные алгоритмы. Именно поэтому данные ме-
методы применялись для расчета обтекания довольно сложных
трехмерных геометрий [Caughey, 1982].
Для трансзвуковых невязких течений сравнение показывает
[Flores et al., 1985], что в случае слабых скачков сравнимые по
точности методы, основанные на полном уравнении потенциала
(например, [Hoist, 1979], примерно на порядок быстрее не-
неявных методов для решения уравнений Эйлера (например,
Pulliam, 1985]). Однако по мере увеличения интенсивности
скачков методы, основанные на уравнениях Эйлера, становятся
предпочтительнее, поскольку изэнтропические методы полного
потенциала уже, как правило, не дают правильного положения
и интенсивности скачка.
Неприятным свойством консервативного представления
уравнения полного потенциала является то, что в определен-
определенных условиях можно получить несколько решений при одних
и тех же граничных условиях [Salas et al., 1983]. Для профиля
NACA-0012 при малом угле атаки и М«> = 0.83 возможно до
трех решений, приводящих к различным значениям подъемной
силы с углом атаки, что физически некорректно. Предпола-
Предполагается [Hafez, 1985], что учет вязких эффектов может устра-
устранить данную неоднозначность. Неоднозначность не появляется
при неконсервативном представлении, однако при этом пред-
представлении не сохраняется поток массы через ударную волну,
в результате чего теряется точность расчета коэффициентов со-
сопротивления.
Для стационарных трансзвуковых течений, особенно дву-
двумерных, трудности, связанные с неоднозначностью решения и
потерей точности при наличии скачков умеренной интенсив-
интенсивности, привели к значительному сдвигу в сторону расчетов на
основе уравнений Эйлера. Однако при рассмотрении нестацио-
нестационарных задач, например флаттера, более существенную роль
начинает играть экономичность методов потенциала, хотя при
этом и приходится преодолевать проблему неоднозначности.
При рассмотрении нестационарных двумерных потенциаль-
потенциальных течений уравнения A4.128) и A4.129) заменяются соот-
соответственно уравнениями

§ 14.4. Заключение 233
В работе [Goorjian, 1985] описаны эффективные неявные ме-
методы приближенной факторизации для решения таких урав-
уравнений.
§ 14.4. Заключение
Из построения различных численных методов для рассмат-
рассматриваемого класса течений следует, что уравнения, описываю-
описывающие некоторые классы течений, приводятся к сравнительно
простому виду и для их решения возможно построение весьма
эффективных численных алгоритмов. Так, например, расчет (не-
(несжимаемых) потенциальных течений может быть осуществлен
панельным методом (§ 14.1).
Основная трудность при рассмотрении сверхзвуковых не-
невязких течений связана с расчетом ударных волн. Поскольку
положение скачка неизвестно, методы сквозного счета, осно-
основанные на консервативных разностных схемах, более предпоч-
предпочтительны, чем методы с выделением скачка. При расчете очень
сильных ударных волн необходимо введение специальных про-
процедур (п. 14.2.6 и 14.2.7). При расчете сверхзвуковых невязких
течений с сильными скачками необходимо использовать полную
систему уравнений Эйлера.
Напротив, для многих трансзвуковых течений характерно
наличие лишь слабых скачков и для их расчета достаточно ис-
использовать полное уравнение потенциала в форме A4.137) и
A4.129). При переходе от дозвуковой области течения к сверх-
сверхзвуковой меняется тип уравнений. Для учета этого обстоятель-
обстоятельства в вычислительный алгоритм необходимо ввести определен-
определенные поправки, учитывающие смену характера уравнений и обес-
обеспечивающие достаточную диссипацию в сверхзвуковой зоне.
Сравнительная экономичность метода потенциала делает осо-
особенно эффективным его применение для расчета нестационар-
нестационарных трехмерных течений в областях сложной формы.
При расчете стационарных трансзвуковых течений методом
потенциала для ускорения сходимости возможно применение
весьма эффективных, например многосеточных, методов; по-
подобные методы эффективны также при решении уравнений
Эйлера. Разработка методов ускорения расчетов, основанных
на нестационарных уравнениях Эйлера, остается весьма важ-
важной областью исследований. Большая достоверность расчетов,
основанных на уравнениях Эйлера, делает их более предпочти-
предпочтительными при рассмотрении двумерных невязких трансзвуко-
трансзвуковых течений.
Наиболее распространенными для расчета как сверхзвуко-
сверхзвуковых, так и трансзвуковых течений являются конечно-разностные

234 Гл. 14. Невязкие течения
методы и методы конечного объема. Однако с определенным
успехом для расчета внешних и внутренних трансзвуковых те-
течений применялся и метод конечных элементов (например,
[Deconinck, Hirsch, 1985; Есег, Akay, 1985; Jameson, Baker,
1986]). Для течений с сильными скачками на основе метода
характеристик с конечными элементами [Morton, Sweby, 1987;
Fletcher, Morton, 1986; Hughes, Mallet, 1985] возможно по-
построение алгоритмов TVD. Спектральные методы [Hussaini,
Zang, 1987] эффективны при выделении скачка.
§ 14.5. Задачи
Панельный метод (§ 14.1)
14.1. (а) Рассчитайте по программе PANEL (рис. 14.7) распределение
давления у кругового цилиндра при М«, = 0, используя 4, 8, 16 и 32 панели.
Сравните полученные результаты с точным распределением давления.
(b) Повторите п. (а) для эллипса с отношениями длин полуосей, равны-
равными 0.5 и 0.2.
(c) Как объяснить повышение точности при увеличении числа панелей и
уменьшении отношения длин полуосей?
14.2. Используйте программу PANEL для расчета течения у профиля
NACA-0012, расположенного под нулевым углом атаки. Координаты профиля
NACA-0012 определяются уравнением A3.70).
(a) Получите решение с 8, 16 и 32 панелями при М«> = 0.4, сравните
полученное решение с решением, представленным на рис. 14.4.
(b) Для 16 панелей при М<х> = 0.4 получите решение с большим числом
панелей в области носка и хвоста и меньшим в средней части профиля.
Определите, какое распределение при заданном числе панелей является наи-
наилучшим для достижения наиболее высокой точности. Как это «оптимальное»
распределение связано с градиентами решения?
(c) Повторите пункт (Ь) для профилей NACA-0006 и NACA-0018 и опре-
определите, влияет ли большая кривизна носка более тонких профилей на «опти-
«оптимальное» распределение элементов. Используйте решение с 32 панелями в
качестве «точного» решения.
14.3. Замените прямой метод (подпрограммы FACT и SOLVE) на итера-
итерационный SOR (§ 6.3) и получите решения с 8, 16 и 32 панелями, представ-
представляющими окружность. Считайте, что итерации SOR сошлись, если среднеква-
среднеквадратичное отклонение разностей алгебраического уравнения станет меньше
1 X Ю~5. Выведите из полученных результатов соотношение NITER = kNpt
где NITER — число итераций, необходимых для сходимости, а N — число
панелей.
14.4. Определите приблизительно число операций (только умножений и
делений) в программе PANEL и в используемых этой программой подпро-
подпрограммах как функцию числа панелей N.
(a) Сравните это число операций с тем же числом таких операций, но
при использовании процедуры SOR вместо прямого решения (подпрограммы
FACT и SOLVE) системы A4.6) для определения о>
(b) Сравните число операций для N панелей с соответствующим числом
операций в программе LAGEN (п. 12.4.1), используемой для расчета течения
около цилиндра. Предположите, что в расчетной области программы LAGEN
имеется NXN внешних по отношению к половине цилиндра точек.

§ 14.5. Задачи 236
14.5. Используя метод, описанный в п. 14.1.4, модифицируйте программу
PANEL так, чтобы по ней можно было рассчитывать обтекание профилей с
подъемной силой. В качестве теста модифицированной программы получите
решение для профиля NACA-0012 при Моо = 0 и при углах атаки а = 0,
2 и 4°.
Введите для определения коэффициента подъемной силы в программу
PANEL интегрирование распределения давления. Сравните полученные дан-
данные с теоретическим значением Cl = 2яа. Определите примерное число и
распределение панелей, необходимые для получения достаточно точного ре-
решения.
Сверхзвуковые невязкие течения (§ 14.2)
14.6. Решите по программе SHOCK по схеме Мак-Кормака задачу
о движущейся ударной волне с отношением давлений 2.5. Сравните получен-
полученные результаты при NX = 101 с расчетами по схеме Лакса — Вендроффа
(рис. 14.18).
14.7. Согласно одной из схем с искусственной вязкостью [Lapidus, 1967],
уравнение A4.54) заменяется уравнением
яг=«г+
Используйте данную форму искусственной вязкости для расчета распростра-
распространения умеренного (pdp2 = 2.5) и сильного (pi/рг = 10) скачков. Сравните
решения с решениями, приведенными на рис. 14.18 и 14.25 в случаях:
A) Уравнение A4.168) используется при расчете всех компонентов век-
вектора q.
B) Уравнение A4.168) используется при расчете второй и третьей ком-
компонент вектора q.
14.8. Модифицируйте программу SHOCK для расчета течений в ударной
трубе до момента, пока не произойдет отражение от ее концов.
В начальный момент времени в трубе содержится газ высокого давления,
отделенный диафрагмой от газа низкого давления. В момент t = 0 диафраг-
диафрагма разрывается и образуется ударная волна, быстро распространяющаяся в
область низкого давления.
За ударной волной образуется контактный разрыв, начальное положение
которого совпадает с положением диафрагмы. При переходе через контакт-
контактный разрыв давление и скорость непрерывны, а плотность претерпевает
разрыв.
За контактным разрывом образуется распространяющаяся в область вы-
высокого давления волна разрежения. Плотность, давление и скорость внутри
волны разрежения изменяются непрерывно от значений покоящегося газа вы-
высокого давления. Передний фронт волны разрежения движется в область
высокого давления. Физические процессы, происходящие в ударной трубе,
описаны Липманом и Рошко [Liepmann, Roshko, 1957]. Данная задача
использовалась в работе [Sod, 1978] для сравнения различных численных
схем.
Течение в ударной трубе, которое с хорошей точностью можно считать
одномерным, описывается безразмерными уравнениями A4.43), A4.44). Полу-
Получите решение при следующих начальных условиях:
ы' = 0, pf = 8.0, р' = -^-=10 при л: < 0.305,
1 l l P2 v A4.169)

236
Гл. 14. Невязкие течения
где pdpz — отношение давлений (PRAT в программе SHOCK). Из уравне-
уравнений A4.169) также следуют граничные условия при х = 0 и 1.0. Решите
задачу при NX =101, NT = 170 и DT = 0.100 по схеме Лакса — Вендроффа
с искусственной вязкостью. Общий характер решения можно сравнить с чис-
численным решением Сода [Sod, 1978]. Точное решение этой задачи можно
найти у Липмана и Рошко [Liepmann, Roshko, 1957]. Наибольшую сложность
представляют расчет контактного разрыва и ударной волны.
14.9. Получите решение задачи о распространении умеренной (pi/p2==2.5>
рис. 14.18) и сильной (pilpz = 10, рис. 14.25) ударных волн по схеме FCT
при следующих значениях диффузионных и антидиффузионных параметров в
A4.93):
A) т]о = 0.125, Л1=°. 42 = 0,
B) т]о = 0.500, Л1=0, 112 = 0,
C) Ло = 1/3, Л1 = 1/3, Пг = -1/6,
D) Ло=1/6, 4! = 1/3, л2 = -1/3.
Сравните профили ударных волн, полученные в различных вариантах.
14.10. Примените схему FCT к решению задачи 14.8 об ударной трубе.
Сравните полученные решения с решением, найденным по схеме Лакса —
Вендроффа с искусственной вязкостью (задача 14.8). Особое внимание уде-
уделите профилям ударной волны и контактного разрыва.
Трансзвуковые невязкие течения (§ 14.3)
14.11. Течение у тонкого крыла, задаваемого уравнением у = т(х2—IJ,
—1 ^ х ^ 1, в области, изображенной на рис. 14.34, описывается трансзву-
трансзвуковым уравнением малых возмущений A4.130). Граничные условия приве-
приведены на рис. 14.34. Получите численное решение при т = 0.1, М«, = 0.8 и 0.9
=0
Рис. 14.34. Модельная задача для уравнения потенциала.
на сетке 41 (NX)X 21 (NY). Для конечно-разностной дискретизации используй-
используйте формулу A4.135). Для расчета используйте итерационный алгоритм SOR.
14.12. Решите задачу, представленную на рис. 14.34, используя дискрет-
дискретное представление уравнения полного потенциала A4.129), A4.138), A4.139).

§ 14.5. Задачи 237
Для введения диссипативного механизма в сверхзвуковой области исполь-
используйте A4.143). Граничное условие ФУ = fx на АВ можно трактовать как вдув
газа с заданным профилем скорости.
Для решения дискретных уравнений используйте метод приближенной
факторизации, подобный A4.156), A4.157), но с использованием метода
установления A4.137). Получите решение на сетке 41 (NX)X 21 (NY) при
т = 0.1 и Моо = 0.8 и 0.9. Сравните полученные решения с решениями за-
задачи 14.11.
14.13. При помощи центральных разностей проведите дискретизацию
уравнения Лапласа д2Ф/дх2 + д2ф\ду2 = 0 в прямоугольной области 0 ^ х ^
^ 1э 0 ^ у ^ 1 с граничными условиями Ф@, у) = соб@.5ш/), 0A, у) —
= exp(ji/2)cos@.5n*/), ф(х, 0)== ехр@.5л*)> Ф(х, 1) = 0.
Получите решение дискретных уравнений
A) по схеме приближенной факторизации A4.156), A4.157),
B) по схеме приближенной факторизации в сочетании с многосеточным
подходом A4.156), A4.157), A4.162)
и сравните эффективность методов, принимая во внимание число итераций,,
необходимое для получения сходящегося решения и примерное число опера-
операций. Точное решение этой задачи Фех = exp@.5jrx)cos@.5jtf/).
14.14. Примените приближенную факторизацию в сочетании с многосеточ-
многосеточным подходом на сетке 65X33 к задаче 14.11. Сравните приблизительна
эффективность метода с методом, использующим просто приближенную фак-
факторизацию на самой мелкой сетке.

Глава 15
Течения в пограничном слое
Течения в пограничном слое традиционно выделяют в от-
отдельную категорию течений (см. табл. 11.4 и § 11.4). Примени-
Применительно к численным расчетам течение в пограничном слое
удобно определить как поток, для которого диффузия, связан-
связанная- с вязкостью, существенна лишь в направлении, нормаль-
нормальном к поверхности, на которой возникает пограничный слой
Рис. 15.1. Течение в пограничном слое.
{рис. 15.1). Уравнение для нормальной составляющей импуль-
импульса может быть заменено условием постоянства давления в этом
направлении. Если распределение давления известно, то урав-
уравнения, описывающие такое течение, перестают быть эллипти-
эллиптическими, что позволяет разработать весьма эффективные одно-
проходовые маршевые алгоритмы (в направлении х на
рис. 15.1) для их решения.
В пограничных слоях имеют место большие градиенты ско-
скорости в направлении, нормальном к поверхности. Поэтому же-
желательно использовать преобразования координат, для которых
эти градиенты стали бы меньше в новой системе координат.
Наиболее эффективные преобразования описаны в § 15.2 и 15.3.
Кроме того, для получения хорошего разрешения вблизи стенки
используются сетки, шаг которых геометрически возрастает
в направлении нормали к поверхности (п. 15.1.2).
Уравнения, описывающие движение в трехмерном погра-
пограничном слое, являются гиперболическими в плоскостях, нор-
нормальных к поверхности, на которой развивается пограничный
слой. Это усложняет области зависимости и влияния в этих пло-

§ 15.1. Простые течения в пограничном слое 239
скостях (п. 2.2.1). Область влияния в явных маршевых алго-
алгоритмах определяет возможную величину шага (§ 15.4).
Для расчета турбулентных пограничных слоев используются
те же численные методы, что и для ламинарных. Однако увели-
чение градиента нормальной составляющей скорости вблизи
поверхности может привести к необходимости введения более
сильного сгущения сетки в направлении нормали. Эта проблема
может быть решена применением метода Дородницына (§ 15.3) ^
в котором компонента скорости и, направленная по потоку, рас-
рассматривается как независимая переменная. Другой путь избе-
избежать сильного сгущения сетки вблизи стенки состоит в введе-
введении пристенных функций, которые позволяют локально полу-
получить аналитический профиль скорости вблизи стенки. Пристен-
Пристенные функции рассматриваются в п. 18.1.1.
Пренебрежение диффузией в направлении потока и отбра-
отбрасывание уравнения нормальной составляющей импульса мо-
может быть также использовано при расчетах струй, течений
в следе и трубах. Подобные течения с тонкими сдвиговыми
слоями могут быть весьма эффективно рассчитаны при помощи
методов, применяемых для расчетов течений в пограничном
слое.
§ 15.1. Простые течения в пограничном слое
Уравнения, описывающие ламинарный несжимаемый дву-
двумерный пограничный слой, могут быть представлены в виде
ди у ди due I д2и /1^ 9\
дх """ ду е dx ду2 ' '
где известное распределение скорости ие(х) на внешней гра-
границе пограничного слоя (рис. 15.1) получается из уравнения
Бернулли A1.49). Поскольку система уравнений A5.1), A5.2)
относится к смешанному параболическо-гиперболическому типу
с переменной х, играющей роль времени, необходимо задать
начальные условия
u(xq, у) = ио(у) A5.3)
и граничные условия
и(х, 0) = 0, и(х, 0) = 0, и(х, б) = ие{х). A5.4)
Уравнение импульса A5.2) можно сопоставить с уравнением
одномерной диффузии, рассмотренным в гл. 7, и с одномерным
уравнением переноса из § 9.4. Основные отличия заключаются
в нелинейности конвективных членов и в связи с уравнением

240 Гл. 15. Течения в пограничном слое
неразрывности через нормальную компоненту скорости v. По-
Поскольку Uedtie/dx известно, то этот член действует как источник
и мало влияет на выбор численного метода.
Все схемы, описанные в § 7.2 или 9.4, в принципе пригодны
для численного решения уравнения A5.2). Явные схемы (§ 7.1)
исключаются, поскольку их применение привело бы к неприем-
неприемлемому ограничению на размер шага Ах по маршевой пере-
переменной, следующему из условия устойчивости.
Схема Кранка — Николсона (п. 7.2.2) и полностью неявная
трехслойная схема (п. 7.2.3) являются безусловно устойчивыми
схемами второго порядка точности (по At и Ах) для уравнения
диффузии. Чтобы получить второй порядок точности по Але при
решении A5.2), необходимо аппроксимировать нелинейные
члены иди/дх и vdu/dy со вторым порядком точности. Для
схемы Кранка—Николсона это приводит к необходимости вве-
введения итераций для расчета всех точек, расположенных вниз
по потоку. Для полностью неявной трехслойной схемы (п. 15.1.1)
удается избежать итераций путем использования значений и
и v в точках, расположенных вверх по потоку (см. A5.6)).
15.1.1. Неявная схема
Для разработки численного алгоритма конечно-разностные
выражения, аппроксимирующие различные члены в A5.1) и
A5.2), на равномерной сетке вводятся следующим образом:
flu (un+X — tjn+l\
*}t\) , 0
ду2 — At,2 ~*~ U
Назначение индексов в этих выражениях иллюстрируется на
рис. 15.1. Верхние и нижние индексы введены таким образом,
чтобы подчеркнуть роль координаты х, подобную времени t.
Для получения линейной относительно ип+1 системы уравне-
уравнений недифференцируемые компоненты скорости и и v, входя-
входящие в левую часть A5.2), экстраполируются следующим об-
образом:
иу-и =2иу — и"-1 + О (Ах2), V}+i=2v>} — vn~x + О (Ах2). A5.6)
Подставив эти выражения в A5.2) и сделав необходимые
преобразования, можно получить трехдиагональную систему

§ 15.1. Простые течения в пограничном слое 241
уравнений, связывающую значения функций на слое п + 1 по-
поперек пограничного слоя:
где
/ / / At/2 '
/ 2Ai/
rf. = Bt/« - и»-') Ba« - 0.5^-') + Ax [
Уравнение A5.7) неприменимо при /=1 (f/ = 0) или /==
= JMAX(y = ymax); ujmax = ue при / = J MAX — 1, следова-
следовательно, dj в A5.7) следует заменить на rfy. — cfu%+l, а затем
положить Cj равным нулю; п\ = 0 при / = 2. Наиболее эффек-
эффективно система A5.7) может быть решена при помощи алго-
алгоритма Томаса (п. 6.2.2).
После нахождения ип+{ значения vn+x могут быть получены
из уравнения A5.1), которое представляется в следующем ди-
дискретном виде:
0.5^ [A.5иу+ - 2ип.
(^J 2и]_х + 0.5ир|)], A5.8)
где и^+1=0. Схема A5.7), A5.8) имеет второй порядок точ-
точности по Дл: и Ау, является безусловно устойчивой (по Ней-
Нейману), работоспособной и эффективной. Однако она должна
быть либо дополнена однослойным алгоритмом для начала
маршевого расчета вниз по потоку, т. е. при п=1, либо должны
быть заданы два слоя (п—1 и п) начальных данных A5.3).
Если для решения уравнения A5.2) использовать схему
Кранка — Николсона, значения ип~1 не понадобятся. В этом
случае уменьшается требуемый объем памяти и начальные дан-
данные должны быть заданы лишь на одном слое. При этом вме-
вместо экстраполяции A5.6) используются соотношения unf+{ =
= ^ + О(Аа:) и vn} + x = vf + О (Ах). Для получения второго по-
порядка точности по Ах требуется проведение итераций для всех
точек, расположенных вниз по потоку. Полученные в резуль-
результате решения уравнений A5.7) и A5.8) текущие итерации uk+l
и а(й+1) используются вместо A5.6), после чего снова решаются
уравнения A5.7), A5.8). На первом шаге итераций uk = un и
16 К Флетчер, т. 2

242
Гл. 15. Течения в пограничном слое
vk _ vn^ Итерация продолжается до тех пор, пока с некоторой
допустимой точностью не будут выполняться равенства и^ =
= M*ms. После этого значения ип+\ vn+x полагаются равными
uk+\ vk+\t
На практике более эффективным, несмотря на формальное
уменьшение скорости сходимости, оказывается не проведение
таких итераций, а уменьшение шага Ах до величины, обеспечи-
обеспечивающей необходимую точность.
Основной трудностью при использовании однородных по х
и у сеток является необходимость введения специальных про-
процедур для учета роста толщины пограничного слоя. Кроме
того, для правильного описания распределения скорости вблизи
стенки должны использоваться весьма мелкие в направлении
у сетки, что становится особенно существенным при рассмот-
рассмотрении турбулентных пограничных слоев.
15.1.2. LAMBL: ламинарный пограничный слой
Неявная схема, описанная в п. 15.1.1, использовалась при
расчете пограничного слоя, возникающего при плоском обте-
обтекании двумерного клина однородным потоком (рис. 15.2).
Рис. 15.2. Течение около клина.
Эта задача относится к классу течений в пограничных слоях
Фолкнера — Скан, обладающих автомодельным профилем ско-
скорости (см. [Schlichting, 1968]). В данном случае компоненты
скорости являются функцией одной переменной
ив{х)
1/2
A5.9)

§ 15.1. Простые течения в пограничном слое 243
и система уравнений A5.1), A5.2) может быть сведена к од-
одному уравнению вида
o. «мо,
где f(\]) связана с функцией тока я|) соотношением
1/2 A5.11)
Для обтекания клина скорость ие(х) на внешней границе по-
пограничного слоя задается формулой
ие = с*Р/B-Р>. A5.12)
Точное численное решение для f(r\) при различных углах
раствора клина р приведено Розенхедом [Rosenhead, 1964].
Здесь эти табличные данные будут использованы для задания
начальных значений и и v и сравнения полученных результа-
результатов дальше вниз по потоку с «точным» решением.
Удобно ввести следующее обезразмеривание уравнений
<15.1), A5.2):
*' = -*.. г/'^Re1'2, *' = -?, ^=^Re1/2, A5.13)
где число Рейнольдса Re=f/rL/v, a L и Ur — характерные
длина и скорость. Для данной задачи Ur соответствует значе-
значению ие A5.12) прил: = 1.
Преимущество соотношений A5.13) состоит в том, что без-
безразмерная координата у и нормальная составляющая скорости
оказываются нормированными множителем Re1/2 таким образом,
что они становятся величинами одного порядка с х' и и' соот-
соответственно. Уравнения A5.1), A5.2) с помощью A5,13) могут
быть записаны в виде (штрихи опущены)
17 + 17 = 0' A5л4)
^ а«_ d** |« A515)
дх ' ду е dx ' ду2 х '
Начальные и граничные условия задаются выражениями A5.3)
и A5.4), которые надо рассматривать как уравнения для без-
безразмерных величин. Однако граничное условие и = ие(х) при-
применяется при у = утах, где r/max > б (б — толщина погранич-
пограничного слоя).
Для обтекания клина безразмерная скорость на внешней
границе пограничного слоя равна
ив = х№~*К A5.16)
16*

244 Гл. 15. Течения в пограничном слое
Для использования переменной в направлении у сетки различ-
различные производные по у в A5.15) дискретизируются по аналогии
с A0.30) и A0.32):
би .K+l-«yi})ryi-(«yt{-«y+')/ry
ду- A+гу)А„ +UW),
<?и 2 К±{-(' + '/',) "Г*+ «#!/',] * * '
где отношение двух соседних шагов сетки равно ry = (tjj+\—
— Hi)/{Hi— i)i-\)- Дискретное представление ди/дх имеет вид
A5.5).
После подстановки A5.6) и A5.17) в A5.15) получается
трехдиагональная система уравнений
a,uf}t\ + ty*7+l + cfi%\ = rf/t A5.18)
где
dj =
На стенке щ = 0 и при t/= (/max и Юмлх = Ие. Уравнения
A5.18), записанные в JMAX = 2 внутренних узлах, обра-
образуют трехдиагональную систему уравнений, в результате ре-
решения которой с помощью алгоритма Томаса (п. 6.2.2) могут
быть найдены значения ип.+х.
Для нахождения p?+1 уравнение неразрывности A5.14) ин-
интегрируется поперек пограничного слоя с использованием A5.8).
Распределение скорости в пограничном слое находится после-
последовательным решением уравнений A5.18) и A5.8) для всех
хп+х, расположенных вниз по потоку.
Описанная выше схема реализована в программе LAMBL
(рис. 15.3). Поскольку ди/дх представляется трехслойной фор-
формулой A5.5), в качестве начальных условий необходимо на
двух слоях задать и и v. В программе LAMBL начальные про-
профили ио(у) и vo{y) задаются решением Фолкнера — Скан
-Р)/*I/2[/ + (Р- 1)Л/Я]. A5.19)

1
2 С
3 С LAMBL USES AN IMPLICIT MARCHING ALGORITHM TO COMPUTE
4 С THE SOLUTION TO A FALKNER-SKAN LAMINAR BOUNDARY LAYER (BETA * 0.5)
5 С
6 DIMENSION UPF5),UD1),UMD1),VD1),VMD1),YD1),RHSF5)
7 1,BE,65),UBXD1),UBB4),VBB4),YZB4)
8 DATA UB/0.0000,0.0903,0.1756,0.2559,0.3311,0.4015,0.4669,0.5275,
9 10.5833,0.6344,0.6811,0.7614,0.8258,0.8761,0.9142,0.9422,0.9623,
10 20.9853,0.9972,0.9995,1.0000,1.0000,1.0000,1.0000/
11 DATA VB/0.,0.,-0.0003,-0.0011,-0.0027,-0.0052,-0.0089,-0.0142,
12 1-0.0211,-0.0298,-0.0406,-0.0688,-0.1065,-0.1541,-0.2114,-0.2778,
13 2-0.3521,-0.5198,-0.8008,-1.0965,-1.3954,-1.6954,-2.0954,-2.4954/
14 DATA YZ/0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.2,1.4,1.6r
15 11.8,2.0,2.2,2.6,3.2,3.8,4.4,5.0,5.8,6.6/
16 OPENA,FILE='LAMBL.DAT')
17 OPEN<6,FILE='LAMBL.OUT1)
18 READA,1)JMAX,NMAX,DYM,RY,XST,BETA,RE,DX
19 1 FORMATB15,4F5.2,2E1O.3)
20 С
21 WRITEF,2)BETA
22 2 FORMATC FALKNER-SKAN SOLUTION, BETA=\F5.2)
23 WRITEF,3)JMAX,DYM,RY
24 3 FORMATC JMAX= ',13,' DYM= \F5.2,1 RY= \F5.2)
25 WRITEF,4)NMAX,DX,XST,RE
26 4 FORMATC NMAX= ',13,' DX= \E10.3,1 XST= \F5.2,# RE>'(E10.3
27 1,//)
28 Yd) = 0.
29 DY = DYM/RY
30 DO 5 J = 2,JMAX
31 DY = DY*RY
32 Y(J) = Y(J-l) + DY
33 5 CONTINUE
34 JMAP ¦ JMAX - 1
35 AJP = JMAP
36 RYP = RY + 1.
37 BETP = BETA/B. - BETA)
38 SQRE * SQRT(RE)
39 С
40 С SET INITIAL VELOCITY PROFILES
41 С
42 UEST = XST**BETP
43 FALKS = SQRT(B.-BETA)*XST/UEST)
44 CALL LAG(YZ,UB,Y,UM,XST,FALKS,JMAX)
45 CALL LAG(YZ,VB,Y,VM,XST,FALKS,JMAX)
46 X « XST + DX
47 UE = X**BETP
48 FALK = SQRT(B.-BETA)*X/UE)
49 CALL LAG(YZ,UBfY,U,X,FALK,JMAX)
50 CALL LAG(YZ,VB,Y,V,X,FALK,JMAX)
51 С
52 DO 6 J = 2,JMAX
53 UM(J) = UM(J)*UEST
54 U(J) = U(J)*UE
55 VM(J) = VM(J)/FALKS
56 6 V(J) = V(J)/FALK
57 UPU) = 0.
58 U(l) = 0.
59 UMA) = 0.
60 V(l) = 0.
61 VMU) = 0.
62 DO 10 N = 1,NMAX
63 X = X + DX
64 UE = X**BETP
65 UEX = BETP*UE/X
Рис. 15.3. Распечатка программы LAMBL (начало).

<66 DO 7 J = 2,JMAP
67 DY = Y(J) - Y(J-l)
68 JM = J - 1
69 P = B.*V(J) - VM(J))*DX/RYP/DY
70 Q = 2.*DX/(RYP*DY*DY)
71 BB,JM) = -P*RY - Q
72 BC,JM) = 1.5*B.*U(J) - UM(J)) + Q*RYP/RY + PMRY-l./RY)
73 BD,JM) = P/RY - Q/RY
74 RHS(JM) = UE*UEX*DX + B.0*U(J) - 0.5*UM(J))*B.0*U(J)-UM(J)
75 7 CONTINUE
76 RHS(JM) = RHS(JM) - BD,JM)*UE
77 BD,JM) = 0.
78 B{2,1) = 0.
79 С
80 С SOLVE BANDED SYSTEM OF EQUATIONS
81 С
82 CALL BANFAC(B,JM,1)
83 С
84 CALL BANSOL(RHS,UP,B,JM,1)
85 С
86 UP(JMAP) = UE
87 С
88 С OBTAIN V BY INTEGRATING CONTINUITY
89 С
90 DUH = 0.
91 SUM = 0.5*(YB) - Yd))
92 DO 8 J = 2fJMAX
93 DUMH == DUM
94 VM(J) = V(J)
95 DY = Y(J) - Y(J-l)
96 DUM = 1.5*UP(J-1) - 2.*U(J) + 0.5*UM(J)
97 V(J) = V(J-l) - 0.5*(DY/DX)MDUM + DUMH)
98 UM(J) = U(J)
99 U(J) = UP(J-l)
100 IF(J .EQ. JMAX)GOTO 8
101 SUM » SUM + 0.5*(l. - U(J)/UE)*(Y(J+1)-Y{J-D)
102 8 CONTINUE
103 DISP = SUM/SQRE
104 UYZ = (RYP*UB) - UC)/RYP)/RY/(Y{2)-Y(l))
105 CF = 2.*UYZ/SQRE/UE/UE
106 FDD = 0.9278
107 DUM = 0.25*X*UE*RE*{2.-BETA)
108 EXCF = FDD/SQRT(DUM)
109 VRITEF,9)N,X,EXCF,CF,DISP,UE
110 9 FORMAT С N=f,I3,' X=',F4.2,' EXCF=',F9.6,' CF=*,F9.6,2Xr
111 1* DISP=f,F9.6,' UE=',F6.3)
112 10 CONTINUE
113 С
114 С COMPARE SOLUTION WITH EXACT
115 С
116 FALK = SQRT(B.-BETA)*X/UE)
117 CALL LAG(YZ,UB,Y,UBX,X,FALK,JMAX)
118 С
119 SUM = 0.
120 DO 11 J = 2,JMAX
121 UBX(J) = UBX(J)*UE
122 11 SUM = SUM + (U(J)-UBX(J))**2
123 RMS a SQRT(SUM/AJP)
124 WRITEF,12)RMS
125 12 FORMAT С RMS= \E10.3)
126 13 CONTINUE
127 STOP
128 END
Рис. 15.3 (окончание).

§ 15.1. Простые течения в пограничном слое 247
1
2 SUBROUTINE LAG(YZ,QB,Y,Q,X,FALK,JMAX)
3 С
4 С APPLIES LAGRANGE INTERPOLATION TO THE INITIAL FALKNER-SKAN
5 С PROFILE TO OBTAIN THE F.S. PROFILE (U,Y) AT DIFFERENT X
6 С
7 DIMENSION YZB4),YBB4),QBB4),YD1),QD1)
8 DO 1 I = 1,24
9 1 YB(I) = YZ(I)*FALK
10 Q(l) = 0.
11 DO 6 I = 2,JMAX
12 DO 5 J = 1,23
13 IF(J .EQ. 23)GOTO 2
14 IF(Y(I) .GT. YB(J))GOTO 5
15 2 JS = J
16 IF(JS .LT. 2)JS = 2
17 Q(I) » 0.
18 DO 4 К « 1,3
19 CL = 1.
20 KK = JS - 2 sf- К
21 DO 3 L - 1,3
22 LL = JS - 2 + L
23 IF(LL .EQ. KK)GOTO 3
24 CL « CLMY(I) - YB(LL))/(YB(KK) - YB(LL))
25 3 CONTINUE
26 4 Q(I) » Q(I) + CL*QB(KK)
27 GOTO б
28 5 CONTINUE
29 б CONTINUE
30 RETURN
31 END
Рис. 15.4. Распечатка программы LAG.
Строго говоря, Vo(y) должно быть определено из дискретной
формы A5.14) и A5.15) после подстановки и = ио(у) и исклю-
исключения ди/дх [Krauze, 1967]. Однако влияние этой более общей
процедуры на решение настоящей задачи несущественно.
Программа LAMBL написана для произвольной величины
р. Конкретные данные, задаваемые в строках 8—15, соответ-
соответствуют р = 0.5. Переменные UB и VB соответствуют f(r\) и
О.бт]^ — /, a YZ эквивалентно г). Для определения и0, и v°, не-
необходимо проинтерполировать UB и VB. Это делается при по-
помощи интерполяции Лагранжа в подпрограмме LAG (рис. 15.4).
Параметры, используемые программой LAMBL, приведены
в табл. 15.1. Типичная выдача программы приведена на рис. 15.5.
Помимо и (у) и v(y) на каждом шаге интегрирования вниз по
потоку программа LAMBL вычисляет также коэффициент по-
поверхностного трения Cf и толщину вытеснения б*. Коэффициент
поверхностного трения вычисляется по формуле
A5.20)

248
Гл. 15. Течения в пограничном слое
Таблица 15.1.
Параметр
JMAX
NMAX
DX
DY
DYM
XST
X, Y
RE
BETA
UE, UEX
им, vm
и, v
UP
UB, VB
YZ
LAG
В
DUM, DEM
RHS
DISP
CF
EXCF
UBX
RMS
Параметры, используемые в программе LAMBL
Описание
Число точек в направлении у
Число точек в направлении х
А*
&У = yj — yi-i
Ay вблизи стенки, уг — */i
Хо
х, у
Число Рейнольдса Re
Р
Ue, dUe/dX
un~l, vtl~i
un, vn
ип+*
Решение Фолкнера — Скан для и, v при х = 1
Т] ПрИ X = 1 И Ue = 1
Интерполирует компоненты скорости Фолкнера — Скан
на точки сетки (yf)
Трехдиагональная матрица с компонентами a/, bh с,-
A5.18); факторизуется в подпрограмме BANFAC
A q, A5.18)
dh A5.18)
Толщина вытеснения 6*
Коэффициент поверхностного трения cf
Точное значение коэффициента поверхностного трения
Cfex
Точное значение скорости м, иьх
\\и-иЬх\\
Это величина сравнивается с «точным» значением (Фолкнер —
Скан)
*ех = МО) (тз-ЗруI'2 (ReхиеГ112. A5.21)
При р = 0.5
cfex= 1.5151 (Re xue)
-1/2
A5.22)
В конце прохода по маршевой переменной программа LAMBL
рассчитывает точное значение и компоненты скорости иьх пу-

§ 15.1. Простые течения в пограничном слое
249
FALKNER-SKAN
JMAXs
NKAX*
H« 1
H= 2
Ns 3
N= 4
N= 5
N= 6
H= 7
н= е
№ 9
N= 10
N= 11
H* 12
N= 13
K= 14
N« 15
N= 16
H« 17
N* 18
N* 19
RMS»
SOLUTION
21 DYK=
19 D!
X=1.20
X-1.30
X=1.40
X«1.50
X=1.60
X=1.70
X=1.80
X=1.90
X=2.00
X=2.10
)>2.20
X=2.30
X=2.40
a=2.50
Хв2.60
X*2.70
X=2.8O
X'2.90
X*3.00
EXCF=
EXCF*
EXCF=
EXCF=
EXCF=
EXCF*
EXCF=
EXCF»
EXCF=
EXCF=
EXCF=
EXCF=
EXCF=
EXCF=
EXCF«
EXCF=
EXCF=
EXCF«
EXCF*
.674E-03
.40 RY=
LOOE+00
.004243
.004022
.003828
.003656
.003502
.003364
.003238
.003123
.003018
.002922
.002832
.002750
.002673
.002601
.002534
.002471
.002412
.002355
.002303
BETA=
1.00
XST=
CF=
CF=
CF-
CF=
CF=
CF~
QT=
CF=
CF=
CF=
CF=
CF«
CF-
CF=
CF*
CF=
CF=
CF=
CF=
.50
1.00 RE=
.004242
.004024
.003832
.003660
.003506
.003367
.003241
.003126
.003021
.002924
.002835
.002752
.002675
.002603
.002536
.002473
.002414
.002358
.002305
.100E+06
DISP=
DTSP=
DISP»
DISP*
DISP=
DISP*
DISP=
DISP=
DISP=
DISP»
DISP=
DtSP=
DISP-
DISP=
DISP*
DISP«
DISP=
DISP=
DISP«
.003343
.003430
.003512
.003591
.003668
.003742
•003813
.003881
.003947
.004011
.004072
.004132
.004191
.004248
.004303
.004357
.004409
.004461
.004511
UE= 1.063
UE= 1.091
UE= 1.119
UE* 1.14S
UE= 1.17a
UE» 1.19Э
UE= 1.216
UE» 1.239
UE= 1.26a
UE= 1.281
UE= 1.301
UE= 1.32a
UE« 1.339
UE= 1.357
UE= 1.375
UE* 1.392
UE» 1.409
UE= 1.426
UE» 1.442
Рис. 15.5. Типичная выдача программы LAMBL.
тем интерполяции UB и среднеквадратичное отклонение ме-
между и и пьх. Как видно из рис. 15.5, полученные численные
результаты весьма близки к решению Фолкнера — Скан.
15.1.3. Схема ячеек Келлера
Другой метод дискретизации уравнений пограничного слоя
A5.1), A5.2) предложен в схеме ячеек Келлера. Основное от-
отличие этого метода состоит в
том, что в нем фигурируют
лишь первые производные.
Уравнение A5.2) заменяется
уравнением
X J-1/2.
и
где
A5.23)
: = \х~. A5.24)
л+1/2
л+1
Рис. 15.6. Сетка в схеме ячеек Кел-
Келлера.
Таким образом, возникает ис-
куственно введенная дополни-
дополнительная переменная — сдвиговое напряжение т. Дискретизация:
проводится внутри «ячейки», как показано на рис. 15.6.

250 Гл. 15. Течения в пограничном слое
Поскольку в уравнения входят лишь первые производные,
центральные разности и двухточечные средние могут быть со-
составлены с использованием лишь четырех величин, определен-
определенных в угловых точках «ячейки». Например, если w является од-
одной из искрмых функций и, v, х (рис. 15.6), то
Производные представляются следующим образом:
J/-1/2 ~ (yj — yf-i) '
ду J/-1/2 ' L ду J/-1/2
aw ^0
dxh-42 ш
Преимущество такой дискретизации состоит в том, что она мо-
может быть без потери точности использована на неоднородных
прямоугольных сетках.
После подстановки A5.25), A5.26) в A5.1), A5.23) и A5.24)
можно получить
rdul +Г|!1 =0, A5.27)
Idx J/-1/2 Idy J/-1/2 ' v ;
A5.28)
A5.29)
Разложением в ряд Тейлора в окрестности узла (/—1/2, п +
+ 1/2) можно показать, что уравнения A5.27) — A5.29) имеют
порядок аппроксимации О (Дх2, At/2).
Записав A5.27) — A5.29) в точках /=1, ..., /, можно по-
получить систему из 3/ нелинейных связанных уравнений для оп-
определения 3/+ 3 неизвестных и^+1, у/ + 1 и т/ + 1- Однако вели-
величины и%+1 и v%+1 на стенке, а также w^+1=^+1 на внешней
границе пограничного слоя известны. Для решения такой си-
системы применим метод Ньютона (п. 6.1.1), который для коррек-
коррекции Aw**1 позволяет получить следующую систему линейных
уравнений:
^+1 * A5.30)

§ 15.2. Сложные течения в пограничных слоях 251
где Aw*+1 =wfe+1 — wk, Wj = (uh Vj, т/)г, k — номер итерации.
Таким образом, в начале итераций w° = w", а после их окон-
окончания w^+1 = w^+1. Обычно на каждом шаге вниз по потоку
достаточно трех — четырех итераций для определения значений
w?+1. Можно отметить, что при дискретизации A5.25), A5.26)
матрица Якоби обычно получается трехдиагональной и система
A5.30) может быть эффективно решена при помощи алгоритма,,
описанного в п. 6.2.5.
Схема ячеек Келлера описана в работе [Keller, 1978] и бо-
более подробно в книге [Cebeci, Bradshaw, 1977].
§ 15.2. Сложные течения в пограничных слоях
В пограничных слоях с обратными градиентами давления
(давление увеличивается в направлении потока) толщина по-
пограничного слоя быстро увеличивается. Для любого типа по-
пограничных течений компонента скорости и, направленная по
потоку, сильно изменяется в направлении, перпендикулярном
пограничному слою.
По этой причине желательно преобразовать уравнения к но-
новым зависимым и независимым переменным, менее чувстви-
чувствительным к приведенным выше эффектам. Если сетка в преоб-
преобразованной области близка к однородной, ошибки, связанные
с дискретизацией (см. § 3.1), будут значительно меньше. Об-
Общие проблемы, связанные с использованием переменных сеток
и возникающими при этом ошибками, рассмотрены в работе
[Noye, 19831.
15.2А. Замена переменных
Как правило, в результате преобразования уравнений по-
пограничного слоя возможно получить определенные преимуще-
преимущества. В результате преобразования Манглера (см. [Schlichting,
1968]) осесимметричный пограничный слой сводится к эквива-
эквивалентному двумерному. Преобразование Хоуарта — Стюартсона
[Schlichting, 1968] позволяет заменить сжимаемый погранич-
пограничный слой эквивалентным несжимаемым. Преобразование Бла-
зиуса компенсирует увеличение толщины пограничного слоя
и значительно упрощает уравнения в том случае, если задача
имеет автомодельное решение.
Преобразование Леви — Лиза [Blottner, 1975a], рассматри-
рассматриваемое в п. 15.2.2, сочетает основные свойства преобразований
Хоуарта, Манглера и Блазиуса. В преобразовании Дородни-
Дородницына (§ 15.3) скорость и используется в качестве независимой

252 Гл. 15. Течения в пограничном слое
переменной. Это позволяет представить уравнения в интеграль-
интегральной форме и делает возможным применение метода Галёркина
<с конечными элементами и спектральных методов. В преобра-
преобразовании Дородницына безразмерный градиент нормальной со-
составляющей скорости рассматривается как зависимая перемен-
переменная. Это позволяет с большой точностью получить сдвиговое
напряжение на стенке, а следовательно, и коэффициент поверх-
поверхностного трения A1.66).
15.2.2. Преобразование Леей — Лиза
Отправной точкой преобразования Леви — Лиза являются
уравнения, описывающие стационарный ламинарный сжимае-
сжимаемый двумерный (п. 11.6.2) или осесимметричной пограничный
слой:
уравнение неразрывности
уравнение импульса в направлении оси х
ди . ди dpe , д ( ди
уравнение энергии
A5-32)
дТ дТ\ dpe д Г/ \лсо \ дТ 1 / ди \2
Для двумерных течений / = 0, для осесимметричных / = 1,
а гъ — радиус тела; х в A5.31) — A5.33) измеряется вдоль тела
от носка или точки торможения, а у — по нормали к поверх-
поверхности; ре в A5.32), A5.33)—известное давление на внешней
поверхности пограничного слоя. Для сжимаемых течений урав-
уравнения A5.31) — A5.33) должны быть дополнены уравнением со-
состояния, например A1.1), и зависимостью вязкости от темпе-
температуры [х(Т).
Для уравнений A5.31) — A5.33) можно поставить началь-
начальные условия
( ) () Г(*о, у) = Т0(у) A5.34)
и граничные условия
м(х, 0) = v(x, 0) = 0 (отсутствие потока массы через стенку),
Т (х, 0) = Tw (х) или Ц- (х, 0) = -Qw (х), A5.35)
и(х, Ъ) = ив(*1 Т(х, Ъ) = Тв(х).

§ 15.2. Сложные течения в пограничных слоях 253
В преобразовании Леви — Лиза вводятся две независимые пе-
переменные
A5.36)
где К — константа, зависящая от рассматриваемого течения.
Новые зависимые переменные вводятся следующим образом:
Р__и_ Й__А Т_
Г — ие ' ° ~ he — Te '
у
(JC \ 1/9 р
If) ) РаУ' •
и уравнения A5.31) — A5.33) принимают вид
+ е^-е)—зН'жЬ0' A5-39>
где
А « . - . -е , г, (}5 41)
Граничные условия A5.35) записываются в виде
F = V = 0 и 6 = 9^ при т) = 0,
и т/ 1 -HI' A542)
f = y=\ ПрИ Т1 = Т)в.
Начальные условия можно получить, если положить | = 0 в
A5.35) — A5.40). Если члены, содержащие производные по g,'
положить равными нулю, то автоматически получаются урав-
уравнения, описывающие автомодельные течения (например, тече-
течения Фолкнера — Скан, п. 15.1.2) [Blottne'r, 1975a].
Преобразование Леви — Лиза обладает следующими замеча-
замечательными свойствами:
A) влияние сжимаемости становится несущественным; р
явно не входит в уравнения;
B) осесимметричные течения можно рассматривать как
эквивалентные двумерные;
C) использование координаты ц компенсирует увеличение
толщины пограничного слоя.

254
Гл. 15. Течения в пограничном слое
15.2.3. Связанная схема Дэвиса
В данном разделе будет описана связанная схема Дэвиса
(DCS) решения системы A5.38) — A5.40) для несжимаемого
пограничного слоя. В этом случае /=1, 9=1 и необходимо
рассмотреть лишь уравнения A5.38), A5.39). Применение
схемы DCS рекомендуется Блотнером [Blottner, 1975b] после
проведенного им сравнения по точности и эффективности ряда
Jl _
Г---1
F~ 0jV-
Рис. 15.7. Сетка в пограничном слое в пространстве (?, rj).
схем Кранка — Николсона. Термин «связанная» объясняется
одновременным неявным рассмотрением уравнений неразрыв-
неразрывности и х-компоненты импульса в противоположность последо-
последовательному решению уравнений A5.7), A5.8).
Если A5.39) записать в виде
^ |^l) + ^, A5.43)
то, используя разностную схему Кранка — Николсона в узле
(п + 1/2,/), можно построить маршевый алгоритм (здесь RHS
означает «правая часть уравнения»). Другими словами, A5.43)
заменяется выражением
0.5 &
= 0.5 (RHS*
A5.44)
Производные по ц в A5.43) аппроксимируются трехточечными
центральными разностями (рис. 15.7). Нелинейные неявные
члены в A5.43) и A5.44) линеаризуются разложением Нью-
Ньютона— Рафсона, т. е.
A545)

§ 15.2. Сложные течения в пограничных слоях 255
где итерации по k проводятся на каждом шаге по я в направ-
направлении потока. После достижения сходимости по k получается
решение на слое я+1. Подставив A5.45) в A5.44), можно
получить линейную относительно Fk+l и Vk+l систему уравнений
F +ciFi+i + gjVj =alt j = 2, 3, ...,/— 1,
A5.46)
где
^ =-0.5A+0.5V/
c) = -0.5 (l - 0.5Дл^/), gki = 0.25AT! (F/ft+I
d) = -an,FU ~ clFi+i - [1 + О.бДт!2^?] Fnt
0.5АГ,2 [p" + p*+1] + 0.5АЛ2
Уравнение неразрывности A5.38) в разностной форме имеет
вид
2Л1
[(уууу±|) + (ууУУ-,)]
"*" 2ДТ1 "*"
+ /^И) + О/ + FU)\ = 0. A5.47)
Уравнение A5.47) можно разрешить относительно V/+1:
Vk, + l = Vki±\ - Sj (Fi±\ + ^/fe+1) + th / = 2, 3, ..., /, A5.48)
где s, = 2Ат, @.25 + |n+I/2/Al),
/, = -2АГ, (o.25 - i^i) [^ + Ff_,] - (K? - V,fe-,).
Уравнения A5.46), A5.48) решаются одновременно модифици-
модифицированным трехдиагональным алгоритмом (п. 6.2.2). Первый
проход осуществляется от внешней границы пограничного слоя
к стенке. На границе слоя Ej= Gj =0, ej = 1.0. При умень-

256
Гл. 15. Течения в пограничном слое
шающихся значениях / =(/—1), (/ — 2), ...
Т = bj + CiEj+x + Sj (c/G/+1 + gt)9
A5-49)
ej == [di - (cfGI
+l
На стенке Л = V\ = 0, а для увеличивающихся значений / =
= 2,3, ..., /
,_х + Ft) = i,-,
A5.50)
На практике решение систем A5.46) и A5.48) повторяется
до тех пор, пока величины Fkt + X и У/ + 1 не станут равными
10*
10
10
-1
Одна итерация
19 итераций
о DCS-B
( одна итерация)
1Q~4 «Г1 1
Д4
Рис. 15.8. Сходимость схемы DCS ([Blottner, 1975b]; печатается с разреше-
разрешения North-Holland).

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя 257
F), V) соответственно. В начале итераций F) = Ft} и т. д.,
а после достижения сходимости Fn+l = Fk+l и т. д. Основное
преимущество схемы DCS состоит в жесткой связи между урав-
уравнениями неразрывности и импульса. Благодаря этому сходи-
сходимость второго порядка по g достигается уже при одной итера-
итерации по к. Если аналогичная схема реализуется без связи урав-
уравнений неразрывности и импульса (CNS на рис. 15.8), то для
сходимости второго порядка требуется 19 итераций. Получен-
Полученные результаты, представленные на рис. 15.8, соответствуют
линейно убывающей скорости ue/U<x>={l—x/L). Член
(dF/dr\)wan пропорционален коэффициенту поверхностного тре-
трения Cf.
Блотнер [Blottner, 1975b] указывает, что для рассматривае-
рассматриваемых на равномерных сетках типичных задач, связанных с ла-
ламинарными течениями, схема DCS более эффективна, чем иные
схемы Кранка — Николсона, включая и схему ячеек Келлера.
§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя
Для расчета с необходимой точностью некоторых ламинар-
ламинарных течений и практически всех турбулентных требуется вво-
вводить вблизи стенки неоднородную сетку. Однако использования
неоднородной сетки можно избежать, если принять и (в двумер-
двумерном случае) в качестве независимой переменной. В этом со-
состоит основная идея методов Крокко [Blottner, 1975a] и До-
Дородницына 1).
В методе Дородницына уравнения сводятся к интегральному
виду. Это позволяет использовать методы разностей с весами
(гл. 5). В этом параграфе будут рассмотрены два метода. Ме-
Метод Галёркина с конечными элементами (п. 15.3.1) и спектраль-
спектральный метод Галёркина (п. 15.3.3).
Метод Дородницына будет использован здесь для описания
турбулентного пограничного слоя, описываемого системой урав-
уравнений A1.73) — A1.75). Если для описания сдвиговых напря-
напряжений Рейнольдса используется вихревая алгебраическая вяз-
вязкость vr, уравнения (в безразмерной форме) могут быть запи-
записаны в виде
с начальными и граничными условиями A5.3), A5.4).
1} См.: Дородницын А. А. Об одном методе решения уравнений лами-
ламинарного пограничного слоя. — Журнал прикл механ. и техн. физ., 1960, № 3,
с 111—118. — Прим. ред.
17 К. Флетчер, т. 2

268 Гл. 15. Течения в пограничном слое
В методе Дородницына вводятся следующие переменные:
— хуг\—е иеу,
ue • ^ ue * * ' we d%
Уравнения A5.51), A5.52) могут быть переписаны в виде
¦^Г + "^Г=0» A5.54)
где ue^ = due/d^. Граничные условия имеют вид
u' = w = 0 при т] = 0 и и' = 1 при tj = oo.
Взвешенная сумма A5.51) и A5.52) образуется следующим
образом:
h (и') X A5.54) + (-^р-) X A5.55) = О,
где fk(u')—весовая (пробная) функция, которую требуется
определить. В результате получается (штрих опущен)
Интегрирование проводится от т] = 0 до т) = оо, a f^ ограни-
ограничена так, что fk(°°) = O. Заменяя переменную интегрирования
ц на и, можно получить следующее уравнение:
где
т=т-т*' A5-58)
Уравнение A5.57) называется уравнением Дородницына
турбулентного пограничного слоя. В этом уравнении Г и в
являются зависимыми переменными, ахи и — независимыми.

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя
259
Основное преимущество описания Дородницына заключается
в том, что при введении однородной по направлению и сетки
большая часть точек автоматически размещается вблизи стен-
стенки, где решение изменяется наиболее быстро (рис. 15.9). Это
особенно важно при рассмотрении турбулентных пограничных
0.2 ОЛ 0.6 0.8 1.0
(а) «/"е-
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 15.9. Распределение скорости в ламинарном (а) и турбулентном (Ь)
пограничных слоях.
слоев. Однородная по и сетка автоматически улавливает рост
пограничного слоя вниз по потоку. Дополнительное преимуще-
преимущество состоит в том, что в A5.57) отсутствует нормальная со-
составляющая скорости, т. е. необходимо решать лишь одно урав-
уравнение. Значение v при необходимости может быть определено
позже. Поскольку на стенке величина Т прямо пропорциональна
сдвиговому напряжению (на стенке), метод Дородницына по-
позволяет с большой точностью определить сдвиговое напряже-
напряжение A1.66).
17*

260 Гл. 15. Течения в пограничном слое
15.3.1. Метод конечных элементов в подходе Дородницына
В данном разделе метод описания пограничного слоя До-
Дородницына будет использован в сочетании с методом конечных
элементов (§ 5.3). Для в и (l+vr/v)r в A5.57) вводятся сле-
следующие приближенные (пробные) решения:
м
&=ZNi(u)/(l-u)e,(l), A5.59)
A + Vr/v) T = Z A - и) N, (н) {1 + vT/v}, х, (I). A5.60)
Множитель A — и) в A5.59) и A5.60) обеспечивает правиль-
правильное поведение в и Г на внешней границе пограничного слоя.
Члены N,(u) — одномерные интерполяционные функции, обычно
линейные или квадратичные (§ 5.3).
Из A5.60) следует, что приближенное решение введено для
группы членов. Это частный пример группового метода конеч-
конечных элементов [Fletcher, 1983], описанного в § 10.3. В рас-
рассматриваемом случае vr — сложная функция и и г] (см. уравне-
уравнения A1.77) — A1.79)). Так как vT включено в группу, значения
\т требуется определять лишь в узловых точках. Это обстоя-
обстоятельство приводит к значительному увеличению экономичности
применения метода Дородницына в сочетании с методом ко-
конечных элементов.
Весовая функция fk(u) в A5.57) имеет вид
fk(u) = (l-u)Nk(u). A5.61)
Это обеспечивает выполнение условия fk(u) = O при и=1, в
результате чего v явно не присутствует в уравнении A5.57).
Подстановка A5.59) — A5.61) в A5.57) приводит к модифи-
модифицированному методу Галёркина [Fletcher, 1984]. В результате
определения различных интегралов получается следующая си-
система обыкновенных дифференциальных уравнений:
+тОл- A5-62)
/
Коэффициенты CCkj и т. д. определяются лишь один раз из
уравнений
1 1
CCkl = \ N,Nkudu, EFkl = \N}((l-u)^-Nk)(l+u)du.
A5.63)

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя 261
Хотя 9/ и т/ в A5.62) присутствуют раздельно, в узловых точ-
точках 9/= 1/т/.
Поскольку матрица СС трехдиагональная для линейных
элементов и пятидиагональная для квадратичных, эффективная
неявная схема может быть построена следующим образом:
м
? CCki Д9?+1 = М [р RHS^1 + A - Р) RHS"], A5.64)
где
м м
/ =9"+1 — 9/ и для устойчивости р ^ 0.6 (определено эм-
эмпирически).
Член RHS"+1 разлагается в окрестности RHS" в ряд Тей-
Тейлора, что эквивалентно разложению Ньютона — Рафсона
A5.45), если усечение производится с ошибкой О(Д?2). Таким
образом, A5.65) преобразуется к следующей системе уравне-
уравнений для определения A9/ + I:
м
Z+l = Pkt A5.66)
где
Т/и \n+l 1
CCCkl = CCkl - р At [(-?) EFkl - «Г xAAklG,\ ,
j
M
Уравнение A5.66) эффективно решается методом Томаса
(п. 6.2.2). Для сохранения максимальной экономичности итера-
итерации на каждом слое \п не проводятся. Для ламинарных тече-
течений (vr = 0) скорость сходимости A5.66) О (Да2, A*) [Fletcher,
Fleet, 1984a]. Однако основная практическая ценность метода
заключается в том, что достаточно точные решения получаются
«а сравнительно грубых сетках.

0.004
0.003
Cf
0.002
0.001
О О Коулз, ХёрсГ
STAN 5
DOROD-FEM
DOROD-SPEC
1.0 Z.0 3.0 4.0 5.0
x\L
Рис. 15.10. Сравнение поверхностного трения при нулевом градиенте дав-
давления.
0-010 -
L
R
L
0.005
о о
——_
-
Коулз, Хёрст
STAN 5
DOROD- FEM
DOROD-SPEC ,
/
1 1
1 1 -^
t.O 2.0 3.0 4.0 5.0
X/L
Рис. 15.11. Сравнение толщины вытеснения и потери импульса при нулевом
градиенте давления.

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя
263
Типичные результаты расчетов коэффициента поверхност-
поверхностного трения и изменения толщины пограничного слоя в направ-
направлении потока при нулевом градиенте давления приведены на
рис. 15.10 и 15.11.
На рисунках приведены также результаты, полученные по
методу Дородницына в сочетании со спектральным методом
(DOROD-SPEC) (п. 15.3.3) и по типичной программе метода
конечного объема STAN5, основанной на алгоритме GENMIX
[Patankar, Spalding, 1970]. Очевидно, что точность всех трех
методов примерно одинакова. В алгоритмах STAN5 и GENMIX
Таблица 15.2. Сравнение алгоритмов DOROD-FEM и STAN 5
Число точек поперек по-
пограничного слоя
Число шагов, Ax/L
Ax/L
Относительное время
выполнения
Нулевой градиент давления
DOROD-FEM
И
205
0.0001—0.071
1
STAN5
33-39
401
0.0004-0.031
8.99
Обратный градиент давления
DOROD-FEM
11
294
0.0001—0.049
1.55
STAN5
47—48
660
0.0002—0.0039
17.70
используется преобразование Мизеса [Schlichting, 1968] урав-
уравнений, в которых функция тока г|> используется в ка-
качестве независимой переменной вместо нормальной коорди-
координаты у.
Однако из табл. 15.2 видно, что DOROD-FEM примерно на
порядок экономичнее STAN5. Преимущество получается час-
частично за счет возможности использовать в три — четыре раза
меньшего количества точек поперек пограничного слоя и час-
частично за счет уменьшения требуемого числа шагов в направле-
направлении потока.
Описанный выше метод Дородницына в сочетании с мето-
методом конечных элементов применялся для расчета ламинарных
[Fletcher, Fleet, 1984a] и турбулентных [Fletcher, Fleet, 1984b]
несжимаемых пограничных слоев. Данный метод применялся
также для расчета турбулентного сжимаемого пограничного
слоя [Fleet, Fletcher, 1983], течений в пограничных слоях
с поверхностным переносом массы [Fletcher, Fleet, 1987]
и внутренних пограничных слоев с вихрями [Fletcher,
1985].

264
Гл. 15. Течения в пограничном слое
15.3.2. DOROD: течение в турбулентном пограничном слое
В данном разделе описана программа DOROD, в которой,
реализуется метод Дородницына в сочетании с методом конеч-
конечных элементов (п. 15.3.1). Блок-схема программы DOROD
приведена на рис. 15.12, а распечатка — на рис. 15.13. Па-
Параметры, используемые в программе DOROD, описаны в
табл. 15.3.
Ввод
контрольных
параметров
Ввод начальных
условий 7"(?0 , и) и
граничных условий
Проверка и
изменение
BANFAC.'BANSOL
решение A5 66)
для определения
Расчет Cf, толщины
вытеснения и толщи
ны потери импульса
TURVS расчет
турбулентной
вязкости
<=
"lURVS рас4ет
турбулентной
вязкости
vT/v и Ъ (vT/v)/b 0)
ABCD расчет
СССк. и Рк
в A5 66)
9 ' ътах'
Нет^
FEPAR
расчет СС.АА, EF
A5 63)
II
Расчет l0 и
u"y/u^ в точке
Рис. 15.12. Блок-схема программы DOROD.
Для начала необходимо определить профиль т(л-0, w/), соот-
соответствующий u\. Он получается из расчета ди/дц A5.58) на
равных интервалах по у (и, следовательно, по ц) и интерпо-
интерполяции т на равные интервалы по щ.
До начала интегрирования вниз по потоку в подпрограмме
TURVS (рис. 15.14) определяется распределение турбулентной
вязкости vT(y)/v. Параметры, используемые в подпрограмме
TURVS, описаны в табл. 15.4. Турбулентная вязкость рассчиты-
рассчитывается в подпрограмме TURVS на основе двухуровневой ал-
алгебраической модели, описанной в п. 11.4.2. Таким образом,,
вблизи стенки вводится длина смешения, а во внешней области
пограничного слоя используется формула Клаузера A1.79).
Для определения G/ (в подпрограмме ABCD) в подпрограмме
TURVS рассчитывается также d(vr/v) /dQ.
Коэффициенты СС, EF и АА, определяемые выражениями
A5.63), вычисляются в подпрограмме FEPAR (рис. 15.15) по

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя 265
1 С DOROD USES THE FINITE ELEMENT METHOD TO SOLVE
2CV THE DORODNITSYN BOUNDARY LAYER FORMULATION
3 С
4 DIMENSION ABCE,65),DF5),TAUD1),DTHETAF5)
5 DIMENSION TAUDD1),TRVD1),DTRVD1)
6 DIMENSION CCD1,5),AAD1,5),EFD1,5)
7 DIMENSION XUEB4),UEEB4),UEXB4),TITLE(8)
8 COMMON CC,AA,EF,ABC,D,TAU,TRY,DTRV
9 С
10 OPENA,FILE='DOROD.DAT1)
11 OPENF,FILE*1DOROD.OUT')
12 OPENB,FILE=*DOROD.STA1)
13 READA,1)NMAX,IMAX,BETA,АКР,APZ,PCON,ATR,REL
14 1 FORMATB15,4F5.2r2E10.3)
15 READA,2)DX,DXMI,DXMA,DXCH,XO,XMAX,RATCH
16 2 FORMATGE10.3)
17 WRITEF,3)NMAX,1MAX
18 3 FORMAT(' NMAXrIMAX = \2I5)
19 VRITEF,4)REL,XO,XMAX,DXCH,RATCH
20 4 FORMATC RE = \E10.3,' XO =f,F6.3
21 I,1 XMAX=',F6.3,' DXCH=\E10.3,f RATCH=' ,El0.3)
22 VRITEF,5)DX,DXMI,DXMA,BETA
23 5 FORMATC DX=\E10.3,' DXMI=' ,E10.3,' DXMA=* ,E10.3, ' BETA»1 ,E10.3)
24 WRITEF,6)АКР,APZ,ATR,PCON
25 6 FORMATC АКР»1,ЕЮ.3,1 APZ=» ,E10.3, • ATR=f ,E10.3, • PCON=* ,E10.3,/)
26 IMAP = IMAX - 1
27 KCT = 1
28 IREF = 1
29 RSQ = SQRT(REL)
30 REQ = SQRT(RSQ)
31 С
32 С READ IN STARTING VELOCITY PROFILE AND EXTERNAL VELOCITY PROFILE
33 С
34 READB,7)TITLE
35 READB,8)CFST,REL,DELTA,THKMOM,NPG
36 READB,9)TAUD
37 READB,10)(XUE(N),N=1,NPG)
38 READB,10)(UEE(N),N=1,NPG)
39 READB,10)(UEX(N),N=1,NPG)
40 7 FORMAT(8A4)
41 8 FORMATDE10.3,15)
42 9 FORMATA0F8.5)
43 10 FORMATA3F6.3)
44 UE = UEE(l)
45 DUEDXU = UEXA)/UEEA)
46 IDEL * 1
47 IF(IMAX .EQ. 6)IDEL = 8
48 IF(IMAX .EQ. 11)IDEL=4
49 IFUMAX .EQ. 21)IDEL = 2
50 DO 11 I ¦ 1,IMAX
51 IA = 1 + (I-1)*IDEL
52 11 TAU(I) = TAUD(IA)
53 WRITEF,12)
54 12 FORMATC INITIAL TAU PROFILE1)
55 VRITEF,13)(TAU(I),I=1,IMAX)
56 13 FORMATC TAU=\8E12.5)
57 WRITEF,14)TITLE
58 14 FORMATC \8A4)
59 WRITEF,15)IMAP
60 15 FORMATC ',12,' LINEAR FINITE ELEMENTS, TURBULENCE MODEL:1.
61 I1 MIXING LENGTH + VAN DRIEST DAMPING1)
Рис. 15.13. Распечатка программы DOROD (начало).

266 Гл. 15. Течения в пограничном слое
62 С
63 С SET INITIAL TRV
64 С
65 CALL TURVS(REL,DELTA, IMAX,UE,DUEDXU,TAU,TRV,DTRV,АКР,
66 lAPZrATR,PCON)
67 С
68 DO 16 I = 1ДМАХ
69 DTRV(I) = 0.
70 16 CONTINUE
71 С
72 С COMPUTE CC,AA AND EF
73 С
74 CALL FEPAR(IMAX)
75 С
76 DO 18 I = 1,IMAX
77 DO 17 J = 1,5
78 17 ABC(J.I) = 0.
79 18 CONTINUE
80 С
81 С BEGINNING OF DOWNSTREAM LOOP
82 С
83 XCH = XO
84 X = XO
85 AIM = IMAP
86 DU = l./AIM
87 KH = 2
•88 DO 27 N = 1,NMAX
89 KST = KH
90 С
91 С COMPUTE PRESSURE GRADIENT PARAMETERS
92 С
93 DO 19 KA = KST,NPG
94 К = KA
95 IFU .GT. XUE(K))GOTO 19
96 KH = K-l
97 IF(K+1 .GT. NPG)K = NPG-1
98 DUM = XUE(K+1) - XUE(K)
99 XI = (XUE(K-1)-XUE(K))/DUM
100 X4 = (X - XUE(K))/DUM
101 X5 = (X + DX - XUE(K))/DUM
102 DUM = UEE(K-1)-UEE(K)-XI*XI*(UEE(KU)-UEE(K))
103 Al = DUM/XI/U.-XI)
104 A2 = UEE(K+1)-UEE(K)-A1
105 UE = UEE(K) + A1*X4 + A2*X4*X4
106 UEP = UEE(K) + A1*X5 + A2*X5*X5
107 DUM = UEX(K-1)-UEX(K)-XI*XIMUEX(K+1)-UEX(K>)
108 Al = DUM/XI/U.-XI)
109 A2 = UEX(K+1)-UEX(K)-A1
110 DUEDXU = (UEX(K)+A1*X4+A2*X4*X4)/UE
111 DUEDXP = (UEX(K) + A1*X5 + A2*X5*X5)/UE
112 GOTO 20
113 19 CONTINUE
114 С
115 С CALCULATE TRIDIAGONAL TERMS
116 С
117 20 CALL ABCDUMAX.DX, DUEDXU, DUEDXP,UE,UEP,BETA)
118 С
119 CALL BANFAC(ABC.IMAX.l)
120 CALL BANSOL(D,DTHETA,ABC,IMAX,1)
121 С
Рис. 15.13 (продолжение).

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя 267
122 С
123 С ' RAT IS THE TYPICAL FRACTIONAL CHANGE IN THETA
124 С
125 RAT = ABS(TAU(IREF)*DTHETA(IREF))
126 IF(O.5*DX .LT. DXMDGOTO 21
127 IF(RAT .GT. RATCH)DX = O.5*DX
128 UEP = 0.5MUE+UEP)
129 DUEDXP = O.5MDUEDXU+DUEDXP)
130 IF(RAT .GT. RATCH)GOTO 20
131 21 X = X + DX
132 IFA.5*DX .GT. DXMA)GOTO 22
133 IF(RAT .LT. 0.1*RATCH)DX = 1.5*DX
134 22 CONTINUE
135 С
136 С EVALUATE NEW TAU ARRAY
137 С
133 DO 23 I=1,IMAX
139 23 TAU(n = l./(l./TAU(I)+DTHETA(D)
140 CF = 2.*TAUA)/SQRT(REL)
141 IF(TAUU) .LT. OJGOTO 25
142 С
143 С CALCULATE DISPLACEMENT AND MOMENTUM THICKNESS
144 С
145 DELTA = 0.
146 THKMOM=0.
147 IH = IMAX/2
148 DO 24 IA = 1,IH
149 I = 2*IA - 1
150 AI = I - 1
151 UI - DU*AI
152 DELTA - DELTA + 2./TAU(I) + 4./TAUU+1)
153 THKMOM = THKMOM + 2.*UI/TAU(I) + 4.*(UI+DU)/TAU(I+1)
154 24 CONTINUE
155 DELTA = (DELTA+l./TAU(IMAX)-l./TAU(l))*DU/3.
156 THKMOM = (THKMOM+l./TAUUMAX))*DU/3.
157 SHPRTR = DELTA/THKMOM
158 DELTA = DELTA/UE/SQRT(REL)
159 THKMOM = THKMOM/UE/SQRT(REL)
160 RTH = REL*UEP*THKMOM
161 С
162 С CALCULATE EDDY VISCOSITY
163 С
164 CALL TURVS(REL,DELTA,IMAX,UEP,DUEDXP,TAU,TRV,DTRV,АКР,
165 1APZ,ATR,PCON)
166 С
167 IF(X .LT. XCH)GOTO 27
168 XCH = XCH + DXCH
169 25 WRITEF,26)N,DX,X,TAUA),CF,DELTA,THKMOM,SHPRTR,RTH,TRVD)
170 26 FORMATC N=',13,' DX=\F5.3,f X=\F4.2,f TAU(l)=',F5.3,
171 1' CF=\F7.5,' D-TH=',F6.4, ' M-TH=* ,F6.4. ' SH=\F5.3,
172 2* RTH=',E10.3,' TRVD) = \F5.3)
173 С
174 С TEST FOR SEPARATION AND X .GT. XMAX
175 С
176 IF(TAUU) .LT. OJGOTO 28
177 ШХ+0.001 .GE. XMAX)GOTO 28
178 27 CONTINUE
179 28 CONTINUE
180 STOP
181 END
Рис. 15.13 (окончание).

268
Гл. 15. Течения в пограничном слое
Таблица
Параметр
ШАХ
NMAX
U, DU
X, DX
DXMI, DXMA
DXCH
ХО, ХМАХ
XUE
UEE, UEX
UE, UEP
DUEDXU
DUEDXP
TAU
DTHETA
RAT
RATCH
ABC
D
BETA
REL
CF
DELTA
THKMOM
SHPRTR
RTH
15.3. Параметры, используемые в программе DOROD
Описание
Число шагов А|
Число точек сетки поперек пограничного слоя
и, Аи
6. А6
A?mim, Agmax
Приращение Д? при печати решения
Ь0> femax
Точки g, в которых заданы ие и и
ие и ие\ на границе пограничного слоя (задаются)
i(dUe/dl)/Ue)n
{(due/dl)/ue}n+l
X
А9
Де*+1/9*
У
ССС в A5.66)
Р в A5.66)
р, контролирует степень неявности, A5.64)
Rd, относительное число Рейнольдса
Cf, коэффициент поверхностного трения
б*, толщина вытеснения
6mom, толщина потери импульса
Н = 6*/6morn> фактор формы
uebmomReLi число Рейнольдса по толщине потери им-
импульса
следующим (внутренним) формулам:
РР Q к L —j_ Q Кц
EF,,, =-2/3, EF,,,+l =-0.5-
, A5.67)
A5.68)
1 — Ди

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя
269
ААи /_1 = —A —uj
1 —И/.
Апг
A5.69)
ЛЛ
/>/+1
= — A—И/)-
*1+\
Уравнения A5.67) — A5.69) получены в результате аппрокси-
аппроксимации A5.63) одномерными линейными элементами при раз-
разбиении на Аи. На стенке и внешней границе пограничного слоя
Таблица
Параметр
TRV
DTRV
TRVO
ATR
AKR
APZ
АР
PCON
YP, UP
UT
EL
DLTH
15.4. Параметры, используемые в программе TURVS
Описание
vT/v
(vr/v)outer, определяется моделью Клаузера
Постоянная Клаузера, п. 11.4.2
к, постоянная Кармана
Ло", основной демпфирующий параметр ван Дриста,
п. 11.4.2
А+, демпфирующий параметр ван Дриста, связанный с
давлением
Параметр контроля давления
у+, и+, п. 18.1.1
иХу скорость трения
/, длина перемешивания
dl/dQ
имеется лишь один элемент и щ = 0 и 1 соответственно. Соот-
Соответствующие формулы используются в подпрограмме FEbAR
(рис. 15.15).
В начале каждого шага вниз по потоку величины и%, и%+\
uei/ue и ue?l/ue + l интерполируются по вводимым значениям
ue(Q и due/d^. В подпрограмме ABCD (рис. 15.16) определяют-
определяются коэффициенты трехдиагональной системы A5.66), а в под-
подпрограммах BANFAC и BANSOL (п. 6.2.3) осуществляется ее
решение. В результате определяются значения А8Л+1.

^70 Гл. 15. Течения в пограничном слое
X
2
3
4
5
•б
1
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
С
С
С
С
С
с
с
SUBROUTINE TURVS(REL,DELTA,IMAX,UE,DUEDX,TAU,TRV,DTRV,АКР ,
1APZ,ATR,PCON)
CALCULATE EDDY VISCOSITY, TRV AND DTRV
DIMENSION TRVU1) ,YPDi) ,TAUD1) ,DTRVD1) ,UP{4i>
TRVO IS THE EDDY VISCOSITY IN THE OUTER REGION(CLAUSER FORMULATION)
RSQ = SQRT(REL)
REQ = SQRT(RSQ)
TRVO = ATR*UE*REL*DELTA
IMAP = IMAX - 1
AIM = IMAP
DU = l./AIM
YP(l) = 0.
UPA) = 0.
UT = SQRT(TAUA))/REQ
PP « -DUEDX/UE/REL/UT/UT/UT
EN = 1. + PCON*PP
AP = APZ/EN
RUT = UT*RSQ
UPB) = DU/UT
*YPB) = UPB)
TRV(l) = 0.
DO 2 К = 2,IMAP
АК = К - 1
U = AK*DU
IF(K .EQ. 2)GO TO 1
UP(K) = U/UT
UX = l./(l. - U + 2.*DU)
UY = l./U. - U + DU)
UZ = l./(l. - U)
DEM = DU*(UX/TAU(K-2) + 4.*UY/TAU(K-l) + UZ/TAU(K))/3.
YP(K) = YP(K-2) + DEM*RUT
1 DUM = 1. - EXP(-YP(K)/AP)
EL = AKP*YP(K)*DUM
TRV(K) = EL*EL*TAU(K)*A.-U)/TAUA)
IF(TRV(K) .GT. TRVO)GOTO 3
DTRV(K) = -A.-U)*EL*EL*TAU(K)*TAU(K)/TAU{1)
2 CONTINUE
3 DO 4 L = K,IMAX
DTRV(L) = 0.
TRV(L) = TRVO
4 CONTINUE
RETURN
END
Рис. 15.14. Распечатка программы TURVS.
Прежде чем получить новое решение б"*1 = 6" + Д0Я+1, рас-
рассматривается необходимость изменения шага маршевой пере-
переменной А| в зависимости от значения АЭ^+1/Э^>. Если A0^+1/6^>
> Y» шаг Д? уменьшается вдвое при условии, что полученный
шаг будет больше минимального значения А§. Если Д| умень-
уменьшается наполовину, ипе и т. д. пересчитывайте и рассчиты-
рассчитывается новое решение Д0Я+1. Обычное значение у порядка 0.02.

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя
271
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
с
SUBROUTINE FEPAR(IHAX)
COMPUTES VALUES OF CC,AA, AND EF ACROSS BOUNDARY LAI
DIMENSION CCD1,5),AAD1,5),?FD1,5),ABCE,6S),DF5)
1,TAUD1),TRVD1),DTRVD1)
COMMON CC,AA,EF,ABC,D,TAU , TRY,DTRV
SI = 1./6.
TI = 1./3.
TTI « 2.*TI
IMAP = IMAX - 1
AIM = IMAP
DU = l./AIM
DUS = DU*DU
AT WALL
CCA,1) -
CCA,2) -
CCA,3> *
AA(lrl) *
AAA,2) ¦-
AAA,3) -
EFU.l) *
EFU,2) «
EFA,3) -
: 0.
• DU/12.
¦• DU/12.
« 0.
'- l./DUS + TI
• -AAA,2) + l./DU
: 0.
* -0.5/DU - TI
-- -0.5/DU - SI*A.-DU)
AT OUTER EDGE OF B.L.
CC(IMAX,1) •
CC(IMAX,2) -
CC(IMAX,3)'*
AA(IMAX,1) =
AA(IMAX,2) =
AAUMAX,3) :
EF(IMAX,1) =
EF(IMAX,2) =
EF(IMAXr3) =
-- SI*A. - 0.5*DU)
= TIML - 0.25*DU)
= 0.
s -TI
5 TI
= 0.
= TI*A. - 0.5*DU)
¦ -TI
-- o.
AT INTERIOR NODES
DO 1 J = 2,IMAP
•AJ = J-1
U a AJ*DU
CC(J,1) = SI*(U - 0.5*DU)
CC(Jf2) = TTI*U
CC(J,3) = SI*(U + 0.5*DU)
DUM = A. - U)/DU
DUS = DUM*DUM
AA(J,1) « -'DUS - DUM - TI
AA(J,2) « 2.*DUS + TTI
AA(Jf3) = - DUS + DUM - TI
DUM = 0.5M1. - U*U)/DU
DUS = 0.5*U - SI
EF(Jrl) « DUM + DUS - SI*DU
EF(J,2) = - TTI
EF(J,3) » - DUM + DUS + SI*DU
1 CONTINUE
RETURN
END
Рис. 15.15. Распечатка программы FEPAR.

272 Гл. 15. Течения в пограничном слое
1
2
3
4
5
6
7
.д
о
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
С
С
С
С
SUBROUTINE ABCD(IMAX,DX,DUEDXU,DUEDXP,UE,UEP,BETA)
COMPUTES ABC,D ACROSS BOUNDARY LAYER A5,3.16)
DIMENSION CCD1,5),AAD1,5),EFD1,5),ABCE,65)
1,DF5),TAUD1),TRVD1),DTRVD1)
COMMON CC,AA,EF,ABC,D,TAU,TRY,DTRV
DO 2 К = 1,IMAX
JST * 1
JFN « 3
IF(K .EQ. DJST * 2
IF(K .EQ. IMAX)JFN = 2
DIM = 0.
DO 1 J = JSTrJFN
JP « J ¦ 1
KD - К - 2 + J
DOM = DUEDXP*EF(K,J)
DEM = AA(K,J)*A. + TRV(KD))
DAM = TAU(KD)MDEM*TAU(KD)- AA(K,J)*DTRV(KD))*UEP
ABC(JPrK) « CC(K,J) + BETA*DX*(DAM-DOM)
DOM = DUEDXU*EF(K,J)*A.-BETA) + DOM*BETA
DIM = DIM + D0M/TAU(KD) + DEM*TAU(KD)*(UE*(l.-B€TA)+UEP*BETA)
1 CONTINUE
D(K) = DIM*DX
2 CONTINUE
RETURN
END
Рис. 15.16. Распечатка программы ABCD.
Если Д9ш+1А& < O.ly, шаг Д? увеличивается на 50 % ДО тех пор,
пока не будет достигнуто максимальное значение шага. Измене-
Изменение шага позволяет вести расчет величины 0 с малым шагом
в области ее быстрого изменения и с большим шагом там, где
б изменяется слабее.
В программе DOROD коэффициент поверхностного трения
Cf определяется непосредственно через значение т по формуле
cf = 2r(l)/Rei/2, A5.70)
где число Рейнольдса Re/, = UooL/v. Толщины вытеснения б*
и потери импульса 6mom получаются в результате численного
интегрирования методом Симпсона с использованием выра-
выражений
/х)аи- A5-72)
Программу DOROD можно использовать и для расчета по-
пограничных слоев с обратным градиентом давления. Экспери-

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя
273
500 11 0.60 0.4125.0021.00 0.168Е-01 1.601Е+06
0.001Е-00 0.001Е-00 О.ЮОЕ-00 0.200Е-00 О.938Е-ОО 3.810Е+00 0.020Е-00
BRADSHAW FLOW С: ADVERSE P.G.
.265Е-02 Л60Е+07 .733Е-02 .
1.71531 1.75605 1.79910
.39436 1.26574 1.10231
.23790 .18126 .09885
.03254 .03581 .04051
1.67653
1.53116 1
.31169
.02949
.44260
.938 1.063 1.188 1.313 1.438 1
2.563 2.688 2.938 3.188 3.313 3
1.011 .989 . .968 .949 .925
0.800 0.790 0.774 0.760 0.750 0
-.119 -.196 -.181 -.167 -.156--
-0.076-0.072-0.067-0.064-0.061-0
532Е-02 22
1.82957 1.85014 1.83343 1.80281 1.72612 1.63548
.95764 .81205 .67268 .55842 .45748 .38151
.07391 .05997 .04830 .03961 .03327 .02981
.04739 .05840 .07624 .10474 .15709 .28916
563 1.688 1.813 1.938 2.063 2.188 2.313 2.438
438 3.563 3.688 3.813
904 .890 .872 .859 .847 .835 .822 .813
742 0.736 0.729 0.726
141 -.126 -.113 -.105 -.098 -.093 -.086 -.081
O59-O.O57-O.O56-O.O55
Рис. 15.17. Начальные данные для программы DOROD.
1МАХ,1КАХ « 500 11
RE ¦ .160Е+07 ХО - .938 ХМАХ= 3.810 DXCH» .200Е+00 RATCH» .200E-01
1)Х» Л00Е-02 DXMI» .100Е-02 DXMA* .100E+00 BETA» .600E+00
АКР* -410Е+00 APZ* .250E+02 ATR* Л68Е-01 PCON= .210E+02
INITIAL TAU PROFILE
TAU* .16765E+01 .18296E+01 .17261E+01 .12657E+01
TAU* .3581OE-O1 .76240E-01 .44260E+00
BRADSHAW FLOW C: ADVERSE P.G.
10 LINEAR FINITE ELEMENTS, TURBULENCE MODEL: MIXING
N= 1 DX= .001 X« .94 TAU(l)=1.666 CF« .00263 D-TH=
H= 61 DX= .011 X=1.14 TAUA)=1.435 CF= .00227 D-TH«
N= 79 DX= .011 X«1.34 TAUU)=1.314 CF= .00208 D-TH=
N= 97 DX= .011 X=1.55 TAUA)=1.229 CF= .00194 D-TH=
N=114 DX= .011 X=1.74 TAUA)=1.179 CF= .00186 D-TH= ,
N=123 DX= .026 X=1.94 TAUA)=1.138 CF= .00180 D-TH=
N=131 DX= .026 X=2.15 TAU(l)=1.107 CF» .00175 D-TH* ,
11=139 DX= .026 X=2.35 TAU(l)=1.082 CF« .00171 D-TH= ,
N=147 DX* .026 X=2.56 TAUA)=1.O62 CF= .00168 D-TH= .
Л=155 DX= .026 X=2.76 TAU(l)=1.043 CF= .00165 D-TH= ,
N=162 DX= .026 X=2.94 TAU(l)=1.026 CF= .00162 D-TH= ,
N=170 DX= .026 X=3.15 TAU{1)=1.OO5 CF= .00159 D-TH= .
N=178 DX= .026 X=3.35 TAUA)= .985 CF= .00156 D-TH= ,
W=186 DX= .026 X=3.56 TAUA)= .967 CF= .00153 D-TH= .
N=194 DX= .026 X=3.76 TAUA)= .948 CF» .00150 D-TH= .
K*201 DX= .026 X=3.94 TAUA)= .930 CF= .00147 D-TH= .
.67268E+00 .31169E+00 .73910E-01 .33270E-01
LENGTH
.0073 M-
.0090 M-
.0106 M-
.0123 M-
.0139 M-
.0154 K-
,0170 M-
.0187 M-
.0204 M-
.0220 M-
,0235 M-
0251 M-
,0270 M-
0288 H-
0307 H-
0320 M-
+ VAN DRIEST
TH= .0053 SH=
TH= .0064 SH=
.0074 SH=
.0086 SH=
.0096 SH=
.0106 SH=
.0117 SH=
.0128 SH=
.0139 SH=
.0151 SH=
.0160 SH*
.0172 SH=
.0184 SH=
.0196 SH=
.0208 SH=
.0217 SH=
DAMPING
=1.380 RTH*
1.409 RTH=
=1.427 RTH»
1.441 RTH=
=1.448 RTH=
1.453 RTH=
1.456 RTH=
1.459 RTH=
1.460 RTH=
1.462 RTH=
1.463 RTH=
1.466 RTH=
1.469 RTH=
1.471 RTH=
1.475 RTH=
1.478 RTH=
.860E+04
.996E+O4
.112E+05
.124E+05
.135E+05
.146E+05
Л57Е+05
.168E+05
.179E+05
Л90Е+05
Л99Е+05
.21OE+O5
.220E+05
.231E+05
.242E+05
.252E+05
TRVD) =
TRVD)<
TRVD)"
TRVD)'
TRVD)'
TRVD)=
TRVD) =
TRVD)=
TRVD)=
TRVD) =
TRVD)=
TRVD)=
TRVD)'
• .919
=1.354
1.631
1.896
=2.072
=2.241
=2.388
=2.515
=2.628
=2.743
=2.857
=3.018
= 3.172
=3.331
3.523
=3.708
Рис. 15.18. Типичная выдача программы DOROD.
ментальные данные [Bradshaw, 1967] для таких течений при-
приведены в трудах Стэнфордской конференции по турбулентным
течениям 1968 г. [Coles, Hirst, 1968]. Эти результаты исполь-
использовались для определения входных данных (рис. 15.17) в про-
программе DOROD. Типичная выдача для этого случая приведена
на рис. 15.18; видно, что шаг (Ах = Д?) увеличивается по мере
продвижения вдоль *. Это согласуется с уменьшением скорости
изменения решения. Очевидно также, что алгоритм не допу-
допускает неприемлемо большого увеличения шага Д?.
Изменение коэффициента поверхностного трения и толщины
пограничного слоя при продвижении вниз по потоку приведены
18 К Флетчер. т. 2

274
Гл. 15. Течения в пограничном слое
0.003'-
0.002
Of
0.001 -
X
о
о
^*^^Э?^&^^-
1 1
X
о
— —-
Брэдшоу
Коулз, Хёрст
СТАЩ С
о 1 AIM О
DOROD-PEM
DOROD-SPEC
А
1.0
2.0
x/L
3.0
Рис. 15.19. Сравнение поверхностного трения при обратном градиенте дав-
давления.
о.озо^
1Г
L
Lo.ozo
0.010
О о Коулз, Хёрст
STAN 5
DOROD-FEM
DOROD-SPEC
1.0
2.0
3.0
x/L
Рис. 15.20. Сравнение толщины вытеснения и потери импульса при обратном
градиенте давления.
на рис. 15.19 и 15.20. Видно, что DOROD-FEM (рассматривае-
хмый метод) позволяет получить решение, сравнимое по точно-
точности с решениями, полученными по программе DOROD-SPEC

§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя 275
(п. 15.3.3) и методом конечного объема STAN5 (Reynolds,
1976]. Результаты расчетов по программе DOROD других те-
течений с обратным градиентом давления, описанных в трудах
Стэнфордской конференции 1968 г., приведены в работе
[Fletcher, Fleet, 1984b].
15.3.3. Спектральный метод в подходе Дородницына
Уравнение Дородницына турбулентного пограничного слоя
A5.57) при определенном выборе весовых функций fk и функ-
функции в, аппроксимирующей решение, можно интерпретировать
как спектральный метод Галёркина.
В применении к A5.57) спектральный метод может быть
записан в виде
Построение спектрального метода зависит от способа введения
ортонормированных функций gi{u), заменяющих весовые и ап-
аппроксимирующие функции fk и в.
Ортонормированные функции gi(u) могут быть получены
из весовых функций fk(u) в следующем виде:
gt(u)=t ekifk(u). A5.74)
k =1
Коэффициенты ekj получаются в результате процесса ортонор-
ортонормирования Грама — Шмидта [Isaacson, Keller, 1966]. Функции
g, удовлетворяют следующему свойству:
\gi(u)g,(u)w(u)duf=l' еСЛИ i = 1\ A5.75)
0J 1=0 если i Ф]
если
Функция w(u) в A5.75) зависит от класса рассматриваемых
задач. Конкретное выражение, соответствующее A5.73), будет
приведено ниже. Коэффициенты ekj и, следовательно, ортонор-
мированные функции gj необходимо определять лишь один раз.
В A5.73) вводится следующее приближенное решение в:
A5.76)
18*
[N-\ л
bo + Z Ьм(и)\.
/-1 J

276 Гл. 15. Течения в пограничном слое
Здесь для обеспечения правильного поведения 0 на внешней
границе пограничного слоя выделен коэффициент Ьо. Подста-
Подстановка A5.76) в A5.73) с заменой fk на gk приводит к соотно-
соотношению
1 n—i
^\bo+Y,^u)8k(u)T=jfdu = Ck, 6=1, .... tf, A5.77)
о /-1
где
u. A5.78)
Из сопоставления A5.75) и A5.77) следует, что для исполь-
использования ортогональности gj(u) следует положить
w(u) = u/(l—u). A5.79)
Уравнение A5.77) тогда принимает вид
У db^,dbk_ = c k = l N__{ A580)
где
i
Vk=\gk(u)w(u)du. A5.81)
о
При k = N
4h. = CN/VN A5.82)
и уравнение A5.80) можно представить в виде
,g =Ck — CN-y^-, k=l, ..., N—1. A5.83)
Уравнения A5.82) и A5.83) представляют явную систему урав-
уравнений для определения коэффициентов в A5.76). Для решения
данной системы в работе [Gear, 1971] предложена весьма эф-
эффективная схема предиктор — корректор переменного порядка
с изменяющейся величиной шага.
Типичные решения, полученные по методу Дородницына
в спектральной интерпретации (DOROD-SPEC), приведены
на рис. 15.10, 15.11, 15.19 и 15.20. Данные решения получены

§ 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое 277
при N = 6 в A5.76), шаг маршевой переменной изменялся
в пределах 0.000015 ^ Ag ^ (^Ал:)^ 0.14. Из результатов
видно, что данный метод позволяет получить высокую точность
при сравнительно малом числе неизвестных в аппроксимирую-
аппроксимирующей функции A5.76).
Метод использовался для расчета несжимаемых [Fletcher,.
Holt, 1975] и сжимаемых [Fletcher, Holt, 1976] ламинарных
пограничных слоев и для расчета несжимаемых турбулентных
пограничных слоев [Yeung, Yang, 1981; Fletcher, Fleet, 1984b].
§ 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое
При расчете трехмерных пограничных слоев возникают две
основные трудности. Во-первых, хотя уравнения, описываю-
описывающие течения, преимущественно параболические, наличие двух
(поверхность) координатных направлений, по которым разви-
развивается пограничный слой, вводит в задачу «гиперболичность».
Во-вторых, поскольку трехмерные пограничные слои образуют-
образуются, как правило, на искривленных поверхностях, необходимо
введение системы координат, связанной с поверхностью.
В данном параграфе будут рассмотрены стационарные трех-
трехмерные пограничные слои. Обобщение представленных методов
на нестационарные трехмерные пограничные слои можно найти
в работе [Dwyer, 1981], а также в приведенных в этой работе
ссылках на литературу. Стационарное несжимаемое ламинарное
течение в трехмерном пограничном слое описывается уравне-
уравнениями
•? + -5-+-?~1#+*#- 05.85,
A5-86>
где х и z — декартовы координаты, локально параллельные
трехмерной поверхности, а у— нормальная координата. На
поверхности тела при у = 0 необходимо поставить граничные
условия прилипания: и = v = w = 0. Известное давление или
соответствующие ему скорости, определенные из уравнения
Бернулли A1.49), обеспечивают граничные условия на внешней
границе пограничного слоя.
Начальные условия могут понадобиться либо в одной точке,
как при обтекании тонкого наклоненного тела вращения, либо
на линии торможения, что имеет место при обтекании крыла
конечного размера. В принципе необходимо распределение всех

278
Гл. 15. Течения в пограничном слое
трех компонент скорости. Как правило, они получаются из ре-
решения укороченных уравнений, пригодных для определения на-
начального положения [Blottner, 1975a].
15.4.1. Квазихарактеристическое поведение
Из уравнений A5.84)—A5.86) следует, что вдоль направ-
направлений х и z существует лишь конвективный перенос; вдоль на-
направления у— конвекция и диффузия. Формально (т. е. со-
согласно процедуре, описанной в гл. 2) уравнения A5.84) — A5.86)
Область
зависимости
Поверхность
гела
Рис. 15.21. Области влияния и зависимости.
являются неэллиптическими. Кроме того, возможно ввести ква-
квазихарактеристики, связанные с конвективным оператором (в
пренебрежении нормальной компонентой v скорости течения)
д
dz
A5.87)
Квазихарактеристическое направление определяется проек-
проекцией линии тока на плоскость, касательную к поверхности тела,
т. е. dz/dx = w/u. Но w/u изменяется поперек пограничного
слоя. Поскольку при заданных (лс, z) возмущения в направле-
направлений у распространяются по всей области, необходимо опреде-
определить области зависимости и влияния (рис. 15.21). Возмущения
в некоторой точке Р внутри пограничного слоя будут воздей-
воздействовать на всю область, расположенную вниз по потоку и
ограниченную плоскостями, проходящими через нормаль к телу,
проведенную через точку Р\ причем одна плоскость проходит
через предельную линию тока на твердой поверхности, а другая

§ 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое
279*
через проекцию линии тока, расположенную на внешней гра-
границе пограничного слоя.
Гиперболичность задачи в плоскости (х, z) существенно
ограничивает область, в которой по заданным начальным дан-
данным может быть найдено решение. Если начальные данные
ио(у) и Wo (у) определены на поверхности Si, перпендикуляр-
перпендикулярной стенке (рис. 15.22), решение вниз по потоку может быть
Рис. 15.22. Начальные и граничные данные.
получено лишь в области, ограниченной квазихарактеристика-
ми S2 и S3 (и твердой стенкой и внешней границей пограничного
слоя). Квазихарактеристические направления S2 и S3 опреде-
определяются либо направлением предельных линий тока на стенке,
либо направлением линий тока на внешней границе слоя. По-
Попытки определить решение слева от S2 или справа от S3 (если
смотреть против потока) нарушают принцип влияния Рэтца
[Krause, 1973], поскольку локальное решение в этих областях
определяется данными, лежащими вне плоскости S\. Как от-
отмечено в п. 2.2.3, если определить дополнительные граничные
условия, например на поверхностях S4 или Ss, решение можно
получить в любой области вниз по потоку, ограниченной на-
начальными и граничными условиями.
С вычислительной точки зрения гиперболичность особенно
существенна при построении явных маршевых алгоритмов в на-
направлении 2. Как и для двумерных пограничных слоев, для
дискретизации в направлении у существуют практически уни-
универсальные неявные схемы.
Чтобы численное решение было устойчиво, должно выпол-
выполняться условие Куранта — Фридрихса — Леви (КФЛ) (п. 9.1.2),

'280
Гл. 15. Течения в пограничном слое
согласно которому расчетная область зависимости в плоскости
(х, г) должна включать в себя физическую область зависимо-
зависимости, определяемую уравнениями в частных производных. Это
существенно ограничивает относительные размеры шагов Ах
и Az [Krause, 1973].
При сравнении различных схем будет предполагаться, что
х примерно совпадает с направлением невязкого течения, а г на-
направлено поперек потока, например в направлении размаха
(а)
Рис. 15.23. Точки сетки, задействованные в схеме; (а) схема Кранка — Ни-
колсона, (Ь) схема загзаг Краузе.
крыла. При рассмотрении х в качестве первоначального мар-
маршевого направления скорость и предполагается положительной,
a w может быть как положительной, так и отрицательной ве-
величиной.
Прямое обобщение схемы Кранка — Николсона на случай
трех пространственных переменных состоит в центральной дис-
дискретизации в точке (ft—1/2, п+1/2) в плоскости х, z
(рис. 15.23) и в построении двух трехдиагональных систем раз-
разностных уравнений для и и w из уравнений х- и г-компонент
импульса вдоль линий сетки (ft, n+1), т. е. в направлении у.
Из условия КФЛ следует, что скорость w должна быть поло-
положительна и Ах ограничено условием \w Ах/и Az\ ^ 1. Узлы
сетки для трехмерной схемы Кранка — Николсона показаны на
рис. 15.23.
Проход по z осуществляется в направлении увеличения ft.
Если w везде меньше нуля, проход по z осуществляется в на-
направлении уменьшающихся значений k. Таким образом, при-

§ 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое 281'
менение трехмерной схемы Кранка — Николсона ограничено
областями, где w не изменяет знака.
Это ограничение можно преодолеть, если использовать схе-
схему зигзаг Краузе [Krause, 1973]. В этой схеме центральная
дискретизация осуществляется в точке (&, п-\-1/2). Однако-
производные по z аппроксимируются на шаблоне зигзаг
(рис. 15.23), например
dz 2Az ' Vi
При прохождении по г в направлении увеличения k в A5.88)
неизвестен лишь член wn.+^. Следовательно, он включается
в трехдиагональную систему, формируемую на узлах j вдоль
линий сетки (k, n+\). Если w больше нуля, ограничений на
Ах нет. Если w становится отрицательной, то для устойчивости
Ах должно удовлетворять условию \w Ax/uAz\ ^ 1.
Схемы Кранка — Николсона и зигзаг Краузе можно считать
полунеявными, поскольку они явные в направлении, перпенди-
перпендикулярном потоку. Ограничения КФЛ на Ах можно избежать,,
если использовать полностью неявную схему (п. 15.4.3), т. е..
неявную по у и г.
15.4.2. Обобщенные координаты
Из-за быстрого изменения скорости вблизи твердой поверх-
поверхности и для учета эффектов сжимаемости удобно ввести преоб-
преобразование координат. В работе [Blottner, 1975a] рассмотрены
преобразования типа Леви — Лиза, а в работе [Dwyer, 1981]
рассмотрено модифицированное преобразование Блазиуса,
применимое и для нестационарных течений в пограничных
слоях.
Однако, прежде чем вводить эти специальные преобразова-
преобразования, необходимо записать уравнения в связанной с телом си-
системе координат. Здесь на поверхности тела (рис. 15.24) будут
введены обобщенные неортогональные координаты (гл. 12),так
что I будет направлено примерно по потоку, % — поперек тече-
течения, а г| — по нормали к поверхности.
Уравнения A5.84) — A5.86) могут быть записаны в консер-
консервативном векторном виде
^Е I dF I dG П ПК QOY
-*7 + -^7 + 1)Г==0> A5.89>

282
Гл. 15. Течения в пограничном слое
Рис. 15.24. Обобщенные координаты, связанные с поверхностью.
где
Е =
UW
1 I 117) Т I П
— I ух и v* —
L VW — %' J
W
UW
w> + ^
Р _
= — =v
r tyx du
%УХ = ~= V17'
В координатах (g, r], ?) уравнение A5.89) принимает вид
Се, . Сг
A5.90)
где
Е=/
-1
Р _
G=/
-l
Ре
Р
: Р -
A5.91)
В выражениях для Ё и т. д. контравариантные компоненты
¦скорости Uc, Vе и Wc направлены соответственно в сторону
увеличения |, г\ и ^ и связаны с физическими компонентами
и, v и до соотношениями
A5.92)

§ 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое 283
Параметры преобразования, подобные х$, могут быть опреде-
определены непосредственно через координаты сетки (п. 12.2.1). Чле-
Члены типа \х определяются из соотношений
Ъх = »пС, lz 1Уг?Ъ Ч„ 1/Уп, п - QQ,
A5.9о)
Рассматриваемые обобщенные координаты аналогичны рассмот-
рассмотренным в гл. 12, за исключением того что линии т] предпола-
предполагаются перпендикулярными поверхности {х, z). Это упрощает
вид уравнений A5.91) —A5.93).
15.4.3. Неявная маршевая схема расщепления
Эффективный маршевый алгоритм может быть построен,
если записать уравнение A5.90) в виде
A + y) [{ЁГ1 - {еП - Y [{ёГ - {ё}"-1] =
= Д? [р RHS"+1 + A - Р) RHS*], A5.94)
где
Это существенно трехслойная схема, рассмотренная в п. 8.2.3
и 9.5.1. При у = 0, р = 0.5 получается схема Кранка — Ни-
колсона; при у = 0.5, р=1—схема 3LFI (трехслойная чисто
неявная схема). Для задач, в которых требуется лишь один
проход в направлении ?, что соответствует рассматриваемой си-
ситуации, необходимость хранения дополнительных данных в зна-
значительной степени компенсируется большей работоспособностью
схемы 3LFI. Для эффективного применения алгоритма A5.94)
направление | должно примерно совпадать с направлением
потока.
Для применения любой схемы на неявном слое п + 1 необ-
необходимо построить линейную систему уравнений. Здесь это де-
делается путем отбрасывания ряда членов в разложении в ряд
Тейлора к окрестности слоя п. Таким образом,
где
1х 0
dq
u+lzw 0 lzu
lxw 0 lxu + 2
.1

•284
Гл. 15. Течения в пограничном слое
где
dq
0
д
y\yw V
0
0
0 — \
где
0
0
0
В результате подстановки этих выражений в A5.94) получается
следующая линейная относительно Aqn+1 система уравнений:
A5.95)
= — Ag {-||- Ч- -||-}"
Если для аппроксимации производных д/дц и д/dt, использовать
центральные разности, данная схема может быть факторизована
с точностью O(Ag2). Решение получается в два этапа. На пер-
бом этапе
A5-96)
я на втором
[А + Al
L4B] Aqn+i = A Aq*. A5.97)
На первом этапе A5.96) представляет собой трехдиагональную
систему уравнений, связанную с каждой линией сетки ?. Для
решения можно использовать алгоритм Томаса (п. 6.2.2). На
втором этапе неявно входят лишь члены, связанные с направ-
направлением г\. Поскольку производные д/дц в В аппроксимируются
трехточечными центральными разностями для L^B', система
A5.97) является трехдиагональной и может быть легко решена.
В работе [Dwyer, 1981] предложено более устойчивое конеч-
конечно-разностное представление дУс/дц. В работе [Schiff, Steger,
1980] приведены результаты расчетов по схемам, подобным

§ 15.5. Заключение 285
A5.96), A5.97). Аналогичная схема рассматривается в п. 16.3.1.
Практические расчеты трехмерных пограничных слоев сопро-
сопровождаются большим числом ad hoc (предварительных) про-
процедур, зависящих от рассматриваемой задачи. Конкретная реа-
реализация этих процедур при расчете пограничных слоев у стре-
стреловидных крыльев описана в работе [McLean, Randall, 1979].
§ 15.5. Заключение
Уравнения, описывающие течения в пограничных слоях, яв-
являются уравнениями преимущественно параболического типа.
Поэтому для расчета развития течения вниз по потоку возможно
построение неявных маршевых алгоритмов. Маршевые алгорит-
алгоритмы могут иметь первый или второй порядок точности в направ-
направлении маршевой переменной и по крайней мере второй в перпен-
перпендикулярном пограничному слою направлении. Методы, позво-
позволяющие получить более высокий (как правило, четвертый)
лорядок точности поперек пограничного слоя, описаны в работе
[Peyret, Taylor, 1983]. Применение итераций на каждом слое
вниз по потоку оказывается менее эффективным, чем примене-
применение безытерационных методов с меньшим шагом по маршевой
переменной.
В пограничных слоях имеют место большие градиенты ско-
скорости в направлении, перпендикулярном маршевому. Поэтому
имеет смысл использовать неоднородные сетки с геометрически
возрастающим от наименьшего значения у стенки шагом
(п. 15.1.2). Кроме того, в программах используются преобразо-
преобразования зависимых и независимых переменных, позволяющие
уменьшить градиенты рассматриваемых функций и добиться тем
самым в преобразованной области более точного дискретного
представления. Подобные замены переменных (§ 15.2) полезны
также при расчетах сжимаемых и осесимметричных течений.
В преобразовании Дородницына (§ 15.3) зависимая пере-
переменная и превращается в независимую. Это позволяет полу-
получить решение с хорошей точностью при сравнительно небольшом
числе расчетных точек поперек слоя.
Если направление времениподобной маршевой переменной
в трехмерном пограничном слое примерно совпадает с направ-
направлением течения, то для расчетов могут эффективно использо-
использоваться схемы расщепления (§ 8.2). Совпадения направлений
легко добиться путем использования обобщенных координат
(п. 15.4.2).
На практике результаты расчетов течений в пограничных
слоях используются для определения толщины вытеснения, ко-
которая применяется для коррекции распределения давления,

286 Гл. 15. Течения в пограничном слое
рассчитываемого по невязким алгоритмам (п. 14.1.4), и как
компонента в алгоритмах вязко-невязкого взаимодействия
(п. 16.3.4). Подобные методы позволяют даже получить не-
небольшие отрывные зоны [Carter, 1981].
Большая часть описанных в данной главе методов основана
на конечно-разностной дискретизации. Исключение составляет
метод Дородницына, который легко позволяет использовать ко-
конечно-элементную и спектральную интерполяции. Однако суще-
существует программа STAN5, упомянутая в § 15.3, основанная на
дискретизации по методу конечного объема [Patankar, Spalding,
1970]. Кроме того, метод конечных элементов применялся для
расчета дву- и трехмерных пограничных слоев в исходных пе-
переменных [Baker, 1983].
§ 15.6. Задачи
Простые течения в пограничном слое (§ 15.1)
15.1. Двухслойный неявный алгоритм для решения A5.2) может быть
записан в виде
/+I + A -*) V/] =
+ A - Я) [иеиех]п + v [XLyyuf+i + A - Я) Lyyti]], A5.98)
где
u)=*%unt + l + A - Л) и1}, ^ =
V/ 2ДР •
Покажите, что на каждом шаге итерации k уравнения A5.98) могут быть
представлены в виде трехдиагональной системы
atftl + brf*1 + crf+l^d;, A5.99)
где
dt - u)u1 - 0.5 A - Я) v) (i*L) («»+, - «»_,) + /ixX [ueuex
+ Д* A - Я) [ueuexf + A - Я) v (-
На каждой итерации значение Уу + 1 получается из A5.8). В начале итерации
и1* = ы*; в конце w^+1 = и^+1.
15.2. Модифицируйте программу LAMBL (рис. 15.3), включив в нее
вышеприведенную схему, совпадающую со схемой Кранка — Николсона при

§ 15.6. Задачи 287
X = 0.5 и неявной схемой при X = 1.0. Получите решения, аналогичные изо-
изображенному на рис. 15.5, но при
(a) JMAX = 41 1) DX = 0.10, NMAX = 20,
2) D* = 0.20, NMAX = 10,
3) ШГ = 0.40, NMAX = 5,
(b) DX = 0.2, NMAX=100 1) JMAX = 21,
2) JMAX = 11,
3) JMAX = 6.
Из результатов (а) определите примерную зависимость скорости сходимости
от Ах Из результатов (Ь) определите примерную зависимость скорости схо-
сходимости от Ау.
15.3. Модифицируйте программу LAMBL для расчета течения в погра-
пограничном слое у пластины. Это соответствует р = 0. Следующая замена дан-
данных в строках 8—15 соответствует автомодельному (Блазиус) решению, ко-
которое используется в качестве начальных данных и «точного» решения:
DATA UB /0.0000, 0,0931, 0.1876, 0.2806, 0.3720, 0.4606, 0.5453, 0.6244, 0.6967,
О.76Д1, 0.8167, 0.8633, 0.9011, 0.9306, 0.9529, 0.9691, 0.9880, 0.9959, 0.9988, 0.9997,
0.9999, 1.0000/
DATA YB /0.0000, 0.0094, 0.0375, 0.0840, 0.1479, 0.2276, 0.3206, 0.4234, 0.5318,
0.6410, 0.7466, 0.8443, 0.9310, 1.0047, 1.0648, 1.1116, 1.1716, 1.2001, 1.2115,
1.2153, 1.2165, 1.2167/
DATA YZ /0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.4, 2.6, 2.8, 3.0, 3.4,
3.8, 4.2, 4.6, 5.0, 5.4/
Коэффициент поверхностного трения можно сравнить с «точным» значением
?fex = 0.664 (Re x)-w.
15.4. Модифицируйте программу LAMBL, вводя в нее механизм измене-
изменения шага направленной по потоку переменной Ах в соответствии с измене-
изменением решения, как это сделано в программе DOROD. При JMAX = 21 срав-
сравните необходимое число шагов вниз по потоку для определения решения со
сравнимой точностью, с тем же числом в алгоритме с фиксированным
шагом при 1 ^ х ^ 3 и Ах = 0.10, 0.20.
15.5. В программе LAMBL ymax выбирается достаточно большим, заве-
заведомо большим толщины пограничного слоя в точке лгтах. Разработайте и
реализуйте процедуру, адаптивно увеличивающую утах в соответствии с уве-
увеличением толщины пограничного слоя. Один из путей — потребовать, чтобы
выполнялось условие утах > &б+, где k — эмпирическая константа.
15.6. Определите главные члены в ошибке аппроксимации ди/ду и д2и/ду2
по формулам A5.17). Для д2и/ду2 определите ограничение на гу, уменьшаю-
уменьшающее ошибку аппроксимации до второго порядка. Какое ограничение на гу
позволяет получить второй порядок по формуле
ду ~ A +гу)Ау
Рассмотрите возможность разложения в ряд Тейлора в точке, отличной от yj.
Каким образом можно повлиять на ошибку аппроксимации конвективных
членов и может ли быть получен более высокий порядок аппроксимации
всего уравнения на неоднородной сетке?

288 Гл. 15. Течения в пограничном слое
15.7. Примените схему ячеек Келлера, описанную в п. 15.1.3, к задаче
пограничного слоя около клина (п. 15.1.2).
Сложные течения в пограничном слое (§ 15.2)
15.8. Для обтекания пластины дискретизация Кранка — Николсона урав-
уравнений A5.14), A5.15) дает
(о? rf,) (v rfП
0.5 V i . ' lJ + 0.5 AJ——izlL + 0.5
Ay l A ^
. + 0.5 AJ——izlL + 0.5 ±-!—.г
Ay l Ay ^ Ax
(u}u)
0.54 ; L_Lf = o, A5.100)
0.5 (a» + a*+1) ("^J""/) + 0.25,-
Ay ' Ay2
+ 0.5 ^!~l ~ дУ 2 UJ±LL, A5.101)
Нелинейные члены в точке xn+i линеаризуются относительно хп, т. е.
0.5f^ + tt?+1V
Ах 1 Ах
Покажите, что после подстановки этих выражений в уравнения A5.100) и
A5.101) последние могут быть приведены к виду A5.46), A5.48), позволяю-
позволяющему получить связанные решения.
15.9. Используйте A5.49), A5.50) в уравнениях, полученных в ззда-
че 15.8 с добавлением uedue/dx из A5.15). Получите решение для обтекания
клина (Р = 0.5) и сравните его с решением, полученным по программе
LAMBL.
Метод Дородницына описания пограничного слоя (§ 15 3)
15.10. Получите по программе DOROD решение, соответствующее
рис. 15.18, но при RATCH = 0.01, DMAX=0.01 в трех случаях: A) /ШАХ = 6,
B) ./VMAX=11 и C) Л^МАХ=21. Сравните полученные значения cf и б* с
экспериментальными данными [Coles, Hirst, 1968] (вариант 3300).
15.11. Получите по программе DOROD решение, соответствующее
рис. 15.18, в трех случаях: A) RATCH = 0.01, B) RATCH = 0.02,
C) RATCH = 0.05. Выберите DXCH достаточно малой величиной, чтобы мож-
можно было наблюдать механизм изменения шага (Ал:). Определите влияние па-
параметра RATCH на точность и экономичность численного решения.
15.12. Модифицируйте программу DOROD так, чтобы по ней можно было
получить распределение скорости поперек пограничного слоя. Наиболее

§ 15.6. Задачи 289
удобно это делается через члены у+ и и+ (п. 18.1.1), где
у+= иху Re, w+ = u/ui,
U% ~ L Re1/2 J ' * ~~ Re1/2 J A - и') т (и') '
15.13. Рассмотрите в общих чертах изменения, которые необходимо сде-
сделать для введения в программу DOROD одномерных квадратичных эле-
элементов (п. 5.3.2). Точное определение A5.63) возможно, но весьма громоздко.
Легко осуществить численное определение на основе квадратур Гаусса
[Zienkiewicz, 1977]. Опыт расчетов [Fletcher, Fleet, 1984a, b] показывает,
что применение квадратичных элементов более эффективно, чем применение
линейных при рассмотрении ламинарных пограничных слоев, и менее эффек-
эффективно при рассмотрении турбулентных.
15.14. Начальные данные для расчета турбулентного течения у пластины
приведены на рис 15.25. Эти значения соответствуют данным Вигхардта и
Тилльмана, приведенным в работе [Coles, Hirst, 1968]. Примените программу
DOROD для этого случая и сравните полученные значения коэффициента
трения Cf и толщины вытеснения 6* с данными Коулза и Хёрста (вариант
1400).
300 11 0.60 0.4125.0021.00 0.168Е-01 2.167Е+06
0.001Е-00 0.001Е-00 ОЛООЕ-00 0.200Е-00 0.187Е-00 5.000Е+00 0.020Е-00
WIEGHARDT AND TILLNANN: Z.P.G.
.424Е-02 .217Е+07 .726Е-03 .498Е-ОЗ 12
3.12439 3.19838 3.27596 3.35807 3.44456 3.51442 3.57650 3.60822 3.60776 3.57723
3.48747 3.39341 3.25916 3.13512 2.93587 2.76024 2.53211 2.32607 2.09397 1.87966
1.66462 1.40086 1.19528 1.02369 .87114 .66700 .54118 .45518 .40517 .38367
.36750 .36443 .36441 .36767 .38060 .43723 .51183 .61285 .90873 1.55564
2.02850
.187 .387 .637 .937 1.237 1.687 2.287 2.887 3.487 4.087 4.687 4.987
1.000 1.000 1.006 1.003 1.006 1.003 1.006 1.006 1.006 1.006 1.009 1.006
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Рис. 15.25. Начальные данные для расчета по программе DOROD течения
в турбулентном слое у пластины.
Течения в трехмерных пограничных слоях (§ 15.4)
15.15. Используя A5.85) и A5.86), получите выражения для коэффици-
коэффициентов a/, bjy Cj и dj в уравнении
ajF]-l k + bfj+k + ciFltl k = di> r*e F e u или *. A5.102)
которое представляет трехдиагональные системы уравнений, связанные с ли-
линией сетки (ky п) на рис. 15.23. Получите коэффициенты а/, ..., d;: A) для
схемы Кранка — Николсона, B) для схемы зигзаг Краузе.
15.16. Примените схему зигзаг Краузе для расчета ламинарного погра-
пограничного слоя на пластине, на которой расположен круговой цилиндр радиу-
радиуса а с центром в точке х = х0 и z = 0. Распределение невязкой скорости
у цилиндра достаточно точно определяется по теории потенциала (§ 11.3)
19 К. Флетчер, т. 2

290 Гл. 15. Течения в пограничном слое
в виде
где г2 = (х — х0J + z2.
Обратного градиента давления, связанного с цилиндром, достаточно для
отрыва пограничного слоя перед цилиндром. Взяв начальные данные доста-
достаточно далеко вверх по потоку (в точке z=2max), соответствующие обтеканию
плоской пластины, получите маршевым методом решение до точки z = 0,
близкой к точке отрыва. Это решение можно сравнить с решением [Cebeci,
1975], полученным для этой задачи по схеме ячеек Келлера.

Глава 16
Течения, описываемые укороченными
уравнениями Навье — Стокса
В этой главе будут рассмотрены уравнения, занимающие
промежуточное положение между полными уравнениями
Навье — Стокса и уравнениями пограничного слоя. Такие урав-
уравнения называются укороченными уравнениями Навье — Стокса
(RNS— от английского Reduced Navier — Stokes).
Для течений с вязкими слоями большой толщины или с боль-
шой кривизной линий тока приближение пограничного слоя дает
неточные решения в первую очередь из-за того, что в этом при-
приближении не учитывается изменение давления в поперечном на-
направлении. Однако с точки зрения вычислений уравнения по-
пограничного слоя обладают весьма привлекательным свойством.
Будучи неэллиптическими в направлении течения, эти уравне-
уравнения позволяют построить для их решения однопроходовый мар-
маршевый (и, следовательно, экономичный) алгоритм. RNS-уравне-
ния строятся так, что они сохраняют экономичность уравнений
пограничного слоя и в то же время позволяют адекватно моде-
моделировать процессы, описываемые полными уравнениями Навье —
Стокса, численное решение которых требует больших усилий.
В предыдущих рассуждениях подразумевалось, что класс
RNS-уравнений определен менее строго, чем полные уравнения
Навье — Стокса (гл. 17 и 18) или уравнения пограничного слоя
(гл. 15). Не удивительно поэтому, что в литературе встречаются
иные, отличные от описываемых ниже, промежуточные уравне-
уравнения, сохраняющие некоторые свойства RNS-уравнений.
Так, в работе [Lomax, Meta, 1984] вводятся составные урав-
уравнения, включающие в себя невязкое и вязкое приближения пол-
полных уравнений Навье — Стокса. Составные уравнения включают
в себя приближения тонкого слоя, гладкого слоя и конические
уравнения Навье — Стокса, связанные с определенными физиче-
физическими свойствами течений. Это позволяет использовать их в
определенных случаях. В работе [Davis, Rubin, 1980] приво-
приводятся уравнения Навье—Стокса вязкого течения, во многом со-
совпадающие с составными.
Рубин [Rubin, 1981] предложил «параболизованные» урав-
уравнения Навье — Стокса. В названии подчеркивается вычисли-
19*

292 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
тельное преимущество данных уравнений, возможность построе-
построения маршевого алгоритма решения для параболических уравне-
уравнений. Тот же подход развивается в работах [Rudman, Rubin,
1968; Lin, Rubin, 1973; Lubard, Helliwell, 1974; Lin, Rubin,
1981]. Позднее [Rubin, 1985] эти уравнения были названы уко-
укороченными уравнениями Навье — Стокса; именно они и будут
рассмотрены в данной главе.
Приведенное выше название чаще всего вводится в связи
с внешними течениями. Внутренние течения, описываемые
промежуточными уравнениями, называются «параболическими»
[Patankar, Spalding, 1972], «частично параболическими» [Рга-
tap, Spalding, 1976], «полуэллиптическими» [Ghia et al., 1981]
и «частично эллиптическими» [Rhie, 1985] течениями. Однако,
как и для внешних течений, используются названия параболизо-
ванные [Anderson, 1980] и укороченные [Kjeskovsky, Shamroth,
1978] уравнения Навье — Стокса. В этой главе название укоро-
укороченные уравнения Навье — Стокса будет использоваться для
промежуточных уравнений, описывающих и внутренние, и внеш-
внешние течения. Хотя конкретный вид уравнений в этих двух слу-
случаях будет различным.
Отличительные свойства RNS-уравнений и описываемых ими
течений будут рассмотрены в § 16.1. Дополнительные предполо-
предположения и формулы для внутренних течений, например в диффу-
диффузорах и каналах, будут приведены в § 16.2. Для внешнего тече-
течения около тела (или тел) решение невязких уравнений (гл. 14)
дает очень хорошее приближение решения на удаленной гра-
границе. Для вязкой области вблизи тела полезно при рассмотре-
рассмотрении RNS-уравнений различать сверхзвуковое и дозвуковое тече-
течения (§ 16.3).
Для полноты картины методов расчета внешних течений бу-
будут рассмотрены некоторые традиционные методы расщепления
течений на невязкое течение и течение в пограничном слое. При
этом будут рассмотрены более сложные случаи, такие, как об-
образование малых отрывных зон и взаимодействие скачка с по-
пограничным слоем. Наиболее развитые методы, основанные на
модели невязкого течения и течения в пограничном слое, отно-
относятся скорее к RNS-типу, а не к чисто погранслойным течениям.
§ 16.1. Введение
В гл. 1 отмечалось, что быстрое развитие вычислительной
гидродинамики было вызвано ее широким внедрением в про-
процессы проектирования. При проектировании оборудования, свя-
связанного с движением жидкости (обычно воздуха или воды), ча-
часто необходимо выбрать единственный режим, при котором дан-

§ 16.1. Введение 293
ное оборудование (например, турбина, диффузор или самолет
в целом) будет работать наиболее эффективно. При этом сни-
снижение эффективности работы оборудования при выборе близ-
близких «нерасчетных» режимов не должно быть слишком велико.
Основная роль вычислительной гидродинамики в процессе
проектирования состоит в детальном определении стационарных
свойств течения в расчетном режиме путем решения соответ-
соответствующей системы уравнений с необходимыми граничными усло-
условиями. Во многих практически важных задачах имеют место
течения с доминирующим направлением. Это означает, что при
определенном выборе декартовой системы координат выполняет-
выполняется условие «>и,ш, если положительное направление оси х
является доминирующим. Анализ уравнений (п. 16.1.1) показы-
показывает, что вязкие диффузионные члены вдоль основного направ-
направления значительно меньше вязких диффузионных членов
в поперечном направлении и, следовательно, могут быть от-
отброшены.
Данное свойство является ключевым для уравнений погра-
пограничного слоя (гл. 15). Если можно пренебречь изменением дав-
давления поперек пограничного слоя, что справедливо при малой
кривизне линий тока, то для решения задач можно воспользо-
воспользоваться весьма эффективными маршевыми в направлении тече-
течения методами.
Не удивительно поэтому, что проектирование оборудования
часто основано на двух этапах: расчет невязкого течения плюс
коррекция на основе теории пограничного слоя. На первом
этапе течение предполагается невязким и нетеплопроводным.
В результате решения обычно получается распределение давле-
давления по поверхности тела (см. гл. 14). На втором этапе в резуль-
результате учета вязких и тепловых эффектов в пограничном слое
(гл. 15) производится коррекция полей скорости и температуры
вблизи поверхности тела. Решение уравнений пограничного слоя
позволяет определить сдвиговые напряжения и тепловые потоки
на поверхности тела и с учетом распределения давления опре-
определить сопротивление тела. В случае необходимости распреде-
распределение давления может быть подправлено в результате учета
толщины вытеснения (п. 14.1.4).
Основной целью проектирования оборудования, связанного
с движением жидкости, является повышение его эффективности.
При этом необходимо добиться выполнения тех же целей на
оборудовании меньшего размера, а значит, более дешёвом. Дан-
Данная тенденция вскрывает некоторые недостатки, присущие тра-
традиционным методам проектирования, основанным на коррек-
коррекции невязкого решения на основе приближения пограничного
слоя. Сказанное можно пояснить на примере проектирования

294 Гл.
[. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
самолета, максимальная эгфективность которого тесно связана
с отношением подъемной силы к силе сопротивления отдельного
крыла [Kuchemann, 1978].
Характерные зависимости подъемной силы и силы сопротив-
сопротивления крыла от угла атаки приведены на рис. 16.1. Максимум
отношения подъемной силы к силе сопротивления приходится
на большой угол атаки и не слишком удален от точки потери
скорости. При оптимальном угле атаки толщина вязкого слоя
20
2A
Угол атаки, град Угол атаки, град
Рис. 16.1. Зависимость подъемной силы и силы сопротивления от угла атаки.
на подветренной стороне крыла велика, особенно за ударной
волной, которая может возникнуть. Вблизи задней кромки в на-
направлении, поперечном набегающему потоку, образуется значи-
значительный градиент давления [Nakayama, 1984]. Данный градиент
связан со слиянием подветренного и наветренного потоков. На
некоторых нерасчетных режимах крыло будет работать еще
ближе к точке потери скорости. При этом произойдет дальней-
дальнейшее увеличение толщины вязкого слоя на подветренной стороне.
Приближение пограничного слоя в таких условиях неприменима
[Horstman, 1984].
Обращение к решению полных уравнений Навье — Стокса
возможно, но неэкономично, поскольку решения придется нахо-
находить в широком диапазоне параметров проектирования: угол
атаки, геометрия крыла, число Рейнольдса, число Маха и т. д.
Желательно иметь уравнения, с помощью которых можно было
бы моделрровать физические явления (почти) так же точно, как
на основе уравнений Навье — Стокса. При этом необходимо,
чтобы решение этих уравнений было (почти) столь же эконо-
экономичным, как и решение уравнений пограничного слоя. Данные
уравнения в дальнейшем будут называться укороченными урав-
уравнениями Навье — Стокса (RNS-уравнениями).

§ 16.1. Введение 295
Свобода определения предполагает возможность интерпрета-
интерпретации различных систем уравнений как RNS-уравнений. Однако
всем RNS-системам присущи три следующих свойства:
1. Существует доминирующее направление течения, пример-
примерно совпадающее с одной из координатных линий.
2. Вязкой диффузией и теплопроводностью в маршевом на-
направлении можно пренебречь по сравнению с вязкой диффузией
и теплопроводностью в направлении, поперечном маршевому.
3. RNS-уравнения сводятся к уравнениям Эйлера, если пре-
пренебречь вязкой диффузией и теплопроводностью в поперечном
направлении.
Вывод основных RNS-уравнений основан на сравнении поряд-
порядков величин (п. 16.1.1), аналогичном использованному при вы-
выводе уравнений пограничного слоя (§ 11.4). Однако в прибли-
приближенном виде сохраняется уравнение поперечной компоненты им-
импульса, поскольку физика явлений такова, что можно ожидать
появления заметных градиентов давления в этом направлении.
Для внешних течений важно сохранение всех членов системы
уравнений Эйлера. Лишь в этом случае RNS-уравнения приме-
применимы во всей расчетной области. На практике при расчете не-
невязких областей можно применять и другие методы, но исполь-
использование глобально применимых уравнений облегчает проведение
сшивки решений в вязкой и невязкой областях.
Требование сравнимости по экономичности с уравнениями
пограничного слоя предполагает возможность построения в вяз-
вязкой области алгоритма решения, маршевого в направлении те-
течения. В свою очередь это означает, что в направлении марше-
маршевой переменной уравнения должны быть неэллиптическими.
Следовательно, на выходной границе не надо определять гра-
граничных условий.
Для внутренних течений и сверхзвуковых внешних течений
точное решение обычно получается при помощи одного прохода
по маршевой переменной. При использовании RNS-уравнений
для расчета внешних дозвуковых течений требуется повторение
проходов (итераций) по маршевой переменной, особенно если
образуются небольшие области возвратного течения (отрывные
зоны). Для дозвуковых внешних течений система уравнений
имеет эллиптический характер и необходимо задание граничных
условий на выходной границе. Однако RNS-подход остается эко-
экономичным, поскольку, если отрывные зоны малы, достаточно
лишь нескольких итераций (проходов по маршевой переменной).
В данной главе укороченные уравнения Навье — Стокса бу-
Дут рассмотрены лишь для решения стационарных задач, где
э уравнения имеют больше всего применений. Однако можно

296
Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
рассмотреть и определенный класс нестационарных течений, для
которых существует доминирующее направление течения. Чис-
Численный расчет таких течений наиболее эффективно может быть
осуществлен на основе RNS-уравнений.
Исторически сложилось так, что вопрос о том, можно ли
для данной RNS-системы получить устойчивое решение за один
проход по маршевой переменной, решается эмпирически. Про-
Проводится некоторая аппроксимация и изучается численное реше-
решение. Если получается физически реальное решение, система
RNS-уравнений считается устойчивой. В работе [Briley, McDo-
McDonald, 1984] более систематично исследован вопрос о том, яв-
является ли RNS-система уравнений эллиптической по маршевой
переменной. Как отмечено в гл. 2, такой подход требует построе-
построения расширенной системы уравнений в частных производных
первого порядка, которая может иметь сингулярную характери-
характеристическую форму. Это обстоятельство делает рассмотрение не-
неубедительным.
В данной главе предпочитается другой более прямой подход,
основанный на анализе Фурье (п. 2.1.5), примененном к системе
уравнений. В п. 16.1.2 он будет использован для того, чтобы
априори определить, можно ли для данной RNS-системы полу-
получить устойчивое решение за один проход по маршевой перемен-
переменной. Как и анализ на основе характеристик (гл. 2), метод Фурье
устанавливает формальный тип уравнений. Однако анализ
Фурье имеет значительное преимущество, заключающееся в том„
что он точно указывает, какой член ответствен за эллиптическое
поведение. Может оказаться, что потребуются дополнительные
предположения, часто связанные с давлением, обеспечивающие
неэллиптическое поведение (например, п. 16.2.2). Практическое
применение RNS-подхода рассматривается в п. 16.1.4 на
примере задачи о распределении температуры на входе в
канал.
16.1.1. Анализ порядков величин
В данном разделе RNS-уравнения будут выведены из урав-
уравнений Навье — Стокса для двумерных стационарных сжимаемых
и несжимаемых ламинарных течений. Для описания турбулент-
турбулентных течений RNS-уравнения необходимо модифицировать. Од-
Однако метод вывода RNS-уравнений для осредненных параметров
турбулентного течения по существу остается тем же, т. е. осно-
основан на сравнении порядков величин.
Вывод укороченных уравнений Навье — Стокса в основном
совпадает с выводом уравнений пограничного слоя [Cebeci,
Bradshaw, 1977]. Эффекты вязкости здесь также считаются су-

§ 16.1. Введение 297
щественными лишь в слое, толщина которого б (рис. 16.2) мала
по сравнению с характерным размером в направлении потока L.
Для ламинарных пограничных слоев величина 6/L порядка
O(Re~1/2). Для типичных чисел Рейнольдса Re = 106; это озна-
означает, что 6/L ж 0.001. Одна из причин необходимости вывода
RNS-уравнений связана с рассмотрением вязких слоев, толщина
Невязкое
течение
(Ь)
Рис. 16.2. Типичная толщина вязкого слоя (а) во внешнем течении и (Ь) во
внутреннем течении.
которых больше толщины пограничных слоев. Так, для значе-
значений 6/L в диапозоне от 0.1 до 0.01, по-видимому, следует ис-
использовать RHS-уравнения. В свою очередь это означает, что
в полных уравнениях Навье — Стокса можно опустить члены по-
порядка О(F/LJ), но необходимо оставить члены порядка OF/L).
Вывод уравнений- пограничного слоя основан на пренебрежении
членами порядка OF/L).
Для стационарного ламинарного несжимаемого двумерного
течения уравнения Навье — Стокса A1.81) запишутся в безраз-
безразмерной форме
&$
где число Рейнольдса Re = pUooL/\i. Безразмерная форма урав-
уравнений A6.1) — A6.3) получена аналогично A1.42).
Для определения относительной величины различных членов
в уравнениях A6.1) — A6.3) предполагается, что для и и v д/дх
порядка 0A), д/ду порядка O(L/6) и д2/ду2 порядка O((L/6J).
Поскольку и — величина порядка 0A), a v порядка OF/L),
уравнение A6.1) упростить нельзя. Все члены в левой части
Уравнения A6.2) порядка 0A). В правой части уравнения A6.2)
д2и/дх2 порядка 0A), а д2и/ду2 порядка O((L/6J); поэтому
членом д2и/дх2 можно пренебречь.

298 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
В классической теории пограничного слоя величина I/Re по-
порядка O(F/LJ). В приближении RNS-уравнений предполагает-
предполагается, однако, что 1/Re <C O(F/LJ); а именно что I/Re порядка
O(F/LK), и поэтому (\/Re)d2u/dy2 порядка О(F/1)). Все
члены в левой части уравнения A6.3) порядка OF/L). В пра-
правой части A6.3) порядок члена (l/Re)d2v/dx2 равен O(F/LL),
а порядок члена (l/Re)d2v/dy2 равен O(F/LJ). Поэтому про-
производной d2vjdx2 можно пренебречь. Таким образом, RNS-урав-
нения имеют вид
_|L + JpL = o, A6.4)
дх ' ду ' v '
ди . ди . др 1 д2и /1/г с\
дх ' d*/ d* Re d*/2 v '
dv . dv . dp 1 C2y
В классической теории пограничного слоя уравнение A6.6)
упрощается до др/ду = 0. Однако в случае более толстых вяз-
вязких слоев, для описания которых требуются RNS-уравнения, не-
необходимо сохранить все члены в уравнении A6.6). При значи-
значительной кривизне линий тока в A6.6) следует также включить
дополнительный центробежный член. При использовании обоб-
обобщенных криволинейных координат (гл. 12), что обычно делается
в случае областей расчета сложной формы, этот член возникает
естественным образом.
Согласно проведенному анализу,порядок члена (l/Re)d2v/dy2
равен O(F/LJ), и, как рекомендует Рубин [Rubin, 1984], им
можно пренебречь. В данной исходной форме RNS-уравнений
этот член сохранен, поскольку он не приводит к эллиптическому
взаимодействию (п. 16.1.3). Связанная с ним дополнительная
диссипация может быть полезна для численных расчетов.
Уравнения A6.4) — A6.6), если пренебречь вязкостью, сво-
сводятся к уравнениям Эйлера, которыми описывается практически
невозмущенное течение вдали от тела.
Граничные условия для несжимаемых RNS-уравнений зави-
зависят от типа системы A6.4) — A6.6); данный вопрос будет рас-
рассмотрен в п. 16.1.3.
Двумерные стационарные сжимаемые ламинарные уравнения
Навье — Стокса в безразмерной форме имеют вид
-§-(9u) + ^(9v) = 0, A6.7)
ди ди др 1 [дххх дхХу1
^ + P^ + L+ —J' A6-8)

§ 16 1. Введение 299
dv ди dp 1 Г дХуХ дх
A6.11)
Обезразмеривание, использованное при выводе уравнений
A6.7) — A6.11), аналогично приведенному в п. 11.2.5, за исклю-
исключением лишь того, что здесь pnd = (pd — Pa^/p^Ulo. В уравне-
уравнениях A6.8) и A6.9) Тхх и т. д. — вязкие напряжения; они свя-
связаны с градиентами скоростей соотношениями A1.27), форма
которых в безразмерном виде сохраняется. В уравнении A6.10)
вязкая диссипация Ф определяется соотношением A1.39). Оцен-
Оценка порядков величин различных членов в системе A6.7) —
A6.11) проводится аналогично тому, как это было сделано для
уравнений A6.1) — A6.3).
Порядок компонент скорости и и v и производных от u, v
и р такой же, как и для несжимаемого течения. Порядок Г,
дТ/дх, р и др/дх равен 0A). Если определена температура
стенки Tw, то дТ/ду и др/ду порядка O(L/6). Однако, если
стенка адиабатическая, т. е. дТ/ду \ у=о = 0, и течение дозвуко-
дозвуковое или трансзвуковое, более правильно считать, что средние
значения дТ/ду и др/ду поперек слоя порядка 0A) или даже
O(8/L). Следовательно, при выводе укороченных сжимаемых
уравнений Навье — Стокса необходимо рассмотреть два случая:
A) Определена температура \дТ_ др_ п
стенки или течение сверхзвуковое ] ду ' ду П0РяДка и
B) Адиабатическая стенка и \jyr_ _др_ п (]\
течение до- или трансзвуковое J"d#~' ~ду~ П0Рядка и w-
Случай A) соответствует большим изменениям температуры
в расчетной области, связанным с большой разницей темпера-
температур стенки и набегающего потока или с существенным сжатием,
обусловленным большими скоростями (большие числа Маха).
Случай B) соответствует меньшим температурным изменениям
в области расчета, обусловленным лишь сжимаемостью. При
уменьшении числа Маха в случае отсутствия внешних источни-
источников тепла производные от р и Т стремятся к; нулю.
В случае A) все члены в уравнении A6.7) порядка 0A)
и их необходимо сохранить. В уравнении A6.8) все члены в ле-
левой части порядка 0A). В правой части A6.8) член ххк порядка

300 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
0A). Безразмерная вязкость ведет себя примерно как безраз-
безразмерная температура. Порядок компоненты тензора сдвиговых
напряжений тху = [х (ди/ду + dv/дх) равен O(L/6) и обуслов-
обусловлен членом ди/ду. Следовательно, членом dv/дх, порядок кото-
которого OF/L), можно пренебречь. Таким образом, в правой части
уравнения A6.8) остается лишь член A/Яе)д([хди/ду)/ду.
В левой части уравнения A6.9) все члены порядка OF/L).
В правой части %ух « \лди/ду. Отдельные части других членов
можно сгруппировать, записав их в виде соответствующих про-
производных от скорости. При умножении на (I/Re) порядок мно-
многих членов в правой части уравнения A6.9) оказывается равным
O(F/L)*).
В левой части уравнения A6.10) все члены порядка 0A).
Исключение составляет лишь член vdp/ду, порядок которого ра-
равен O(F/LJ). Однако и его следует сохранить, поскольку в не-
невязкой области он может стать порядка 0A). В правой части
уравнения A6.10) членом d(kdT/dx)/dx/PrRe можно прене-
пренебречь. В вязкой диссипации единственным членом порядка
O(F/L)) оказывается [\(ди/дуJ/Яе. Таким образом, согласно
сказанному, укороченные уравнения Навье — Стокса имеют вид
(pu) + (py) = 0, A6.12)
ди . ди , dp 1 д ( ди \ ,ЛС1 1ОЧ
dv . dv . dp \r4dfdv\.u д2и 1 /ю *л\
В данных уравнениях сохранены все «невязкие» члены из урав-
уравнений A6.7) — A6.11). Уравнения справедливы при больших из-
изменениях температуры в расчетной области.
Во втором случае (адиабатическая стенка в дозвуковом или
трансзвуковом потоке) основное отличие заключается в правой
части уравнения A6.14). Можно заметить, что vdp/dy в A6.7)
мало, если др/ду порядка 0A). Следовательно, если в %уу под-
подставить 2D из A6.7), то A6.14) заменится следующим уравне-
уравнением:
dv . dv . dp 1 Г д ( dv \ \i ( du \ ( dp
A6.16)

§ 16.1. Введение 301
Во втором случае члены vdT/ду и vdp/dy в A6.10) малы. Од-
Однако их следует сохранить, чтобы в невязкой области получить
уравнения Эйлера.
Если пренебречь изменением плотности и зависимостью вяз-
вязкости от температуры, вид уравнения A6.13) для х-компоненты
импульса в случае сжимаемого течения совпадает с уравнением
A6.5) для несжимаемого течения. Члены в правой части урав-
уравнений A6.14) и A6.16) порядка O(F/LJ), если предполагается,
что 1/Re порядка O(F/LK). Следовательно, как и для уравне-
уравнения A6.6), правая часть уравнений A6.14) и A6.16) может
быть отброшена. Однако с точностью до O(F/LJ) уравнения
A6.14) и A6.16) можно привести к виду, эквивалентному
A6.6), т. е.
dv . dv . dp / 1 \ d2v 71/ч t«v
+ Py + ^feJ A6Л7)
За исключением члена, связанного с вязкой диссипацией в урав-
уравнении A6.15), все диссипативные члены в уравнениях A6.13),
A6.15) и A6.17) имеют одну и ту же форму. Из рассмотренных
выше примеров ясно, что RNS-уравнения отличаются от пол-
полных уравнений Навье — Стокса только диссипативными
членами.
16.1.2. Анализ Фурье качественного поведения решений
Чтобы решение укороченных уравнений Навье — Стокса
можно было получить за один проход в направлении х, необхо-
необходимо, чтобы система уравнений, например A6.4) — A6.6), была
неэллиптической по отношению к1 направлению х. Это может
быть определено методами, описанными в п. 2.1.4, для чего не-
необходимо построить систему уравнений первого порядка, экви-
эквивалентную системе A6.4) — A6.6).
Однако больше информации о качественном поведении ре-
решения можно получить, если разложить зависимые переменные
в комплексный ряд Фурье. Такой подход можно проиллюстри-
проиллюстрировать на упрощенном уравнении энергии
дТ . дТ & д2Т д2Т А ,ла 1ОЧ
u + v6e 0> A6Л8)
где и и v — постоянные порядка 0A), но могут быть и положи-
положительными, и отрицательными. Параметры б и е — положитель-
положительные константы, б, е<С 1. Уравнение A6.18)—стационарное дву-
двумерное уравнение переноса (§ 9.5). Из сравнения его с B.1) и
B.2) следует, что уравнение A6.18) эллиптическое. Типичные
граничные условия для этого уравнения приведены на рис. 16.3.

302 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
Предполагается, что решение уравнения A6.18) можно пред-
представить комплексным рядом Фурье, т. е.
оо оо
k-—оо /-=—оо
Однако, поскольку уравнение A6.18) линейное, для определения
качественного поведения решения достаточно рассмотреть лишь
дГ/дхКу)=0
х=0 ~ дТ/ву(х,0)=0 х=о°
Рис. 16.3. Типичные граничные условия для уравнения A6.18).
одну компоненту разложения A6.19):
v Т = -^ ехр [I (ах) х] ехр [/ (ау) у],
A6.20)
где Т можно рассматривать как преобразование Фурье Т. Под-
Подстановка этого выражения в A6.18) позволяет получить сле-
следующий полином относительно ох и оу:
.iuox + *al + ivo=0. A6.21)
бет*
Уравнение A6.21) иногда называется символом A6.18). Урав-
Уравнение A6.21) будет использовано для определения зависимо-
зависимости ах от произвольного вещественного оу. Подстановка этой
зависимости в A6.20) определит соответствующее поведение ре-
решения. Будет ли конкретная мода A6.20) фигурировать в ре-
решении, зависит от граничных условий. В результате решения
уравнения A6.21) можно получить
m
Поскольку б <1С 1, это выражение можно упростить:

§ 16.1. Введение 303
Таким образом,
А& или _/("+^i) + 0fl. A6.22)
При заданном вещественном значении ау первый корень со-
соответствует решению Г, которое, как следует из A6.20), со-
согласно члену —Gyv/u9 осциллирует в направлении х и, согласно
tea2/и, экспоненциально убывает по х, если и больше нуля. Если
и меньше нуля, имеет место экспоненциальный рост решения.
Второй корень соответствует осциллирующему экспоненциально
возрастающему при положительном и решению. Таким образом,
из рассмотрения двух корней следует, что Т осциллирует по х
и экспоненциально увеличивается при любом знаке и. Однако,
поскольку уравнение A6.18) эллиптическое, соответствующее
граничное условие при х = оо, изображенное на рис. 16.3, не
допускает появления в решении экспоненциально нарастающей
моды.
Приближение, приводящее к укороченным уравнениям
Навье — Стокса (п. 16.1.1), эквивалентно отбрасыванию члена
8д2Т/дх2 в уравнении A6.18). В результате получится парабо-
параболическое по х уравнение (§ 2.3), для которого не требуется гра-
граничного условия при л: = оо. После подстановки A6.20) в уко-
укороченное уравнение вместо A6.21) получится уравнение
2
iuax + eal+ivay = 0 или ох== №-•??-, A6.23)
что совпадает с первым корнем в A6.22). Соответствующее ре-
решение для Г, согласно A6.20), будет осциллирующим и зату-
затухающим по х, если только и и г одного знака. Если это не вы-
выполняется, имеет место осциллирующее нарастающее решение,
что исключает возможность использования для его определения
одного маршевого прохода в направлении х. Параметр г экви-
эквивалентен коэффициентам вязкости или теплопроводности, кото-
которые всегда положительны. Таким образом, для устойчивости ре-
решения необходимо, чтобы и везде было больше нуля. Поскольку
при 6 = 0 уравнение A6.18) параболическое, положительное
значение и соответствует переносу информации в положительном
подобном времени направлении.
Из приведенного выше примера видно, что анализ Фурье
позволяет точно определить, какого типа решение можно ожи-
ожидать и какие члены ответственны за данный тип решения.
В частности, применительно к укороченным уравнениям Навье —
Стокса этот анализ позволяет определить возможность появле-
появления экспоненциально нарастающего решения, при котором

304 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
невозможно получить устойчивое решение за один маршевый
проход вниз по потоку.
Существует очевидная параллель данного метода с примене-
применением анализа Фурье для определения характера решения дис-
дискретных уравнений (п. 9.2.1). Можно ожидать, что решение дис-
дискретных уравнений будет сходиться к решению задачи, описы-
описываемой уравнениями в частных производных, если в результате
анализа Фурье исходных уравнений получится поведение реше-
решения, сравнимое с поведением, определенным на основе анализа
Фурье разностных уравнений. Однако при исследовании мето-
методом Фурье систем дискретных уравнений, т. е. при исследовании
устойчивости по Нейману (§ 4.3), остается не ясным, связана ли
появляющаяся неустойчивость со свойствами дискретной систе-
системы или же физическая неустойчивость присуща исходной си-
системе уравнений и связанным с ней граничным условиям.
Рассматриваемое применение метода Фурье позволяет опре-
определить возможность неустойчивого нарастания решения, прису-
присущего системе уравнений в частных производных. В принципе
физические граничные условия могут быть введены в представ-
представление Фурье. В результате решение, эквивалентное A6.19), бу-
будет приближением Фурье действительного решения. В этом со-
состоит суть подхода, используемого для аналитического исследо-
исследования различных течений (см., например, [Stuart, 1963] или
[Drazin, Reid, 1981]). Однако столь исчерпывающий метод не
нужен для определения необходимой формы укороченных урав-
уравнений Навье — Стокса.
Настоящий анализ Фурье можно сравнить с традиционным
характеристическим анализом уравнений в частных производ-
производных (гл. 2). При традиционном методе характеристик сохра-
сохраняются лишь высшие производные и уравнения приводятся к ха-
характеристической форме, т. е. получается характеристический
полином, например B.36). Можно заметить, что, если в прове-
проведенном анализе Фурье оставить лишь высшие производные, по-
полином по Ох, оу, например A6.21), совпадет с характеристиче-
характеристической формой (см. также п. 2.1.5). Таким образом, характери-
характеристическая форма уравнения A6.18) может быть получена из
A6.21) и имеет вид
2 2
Это уравнение имеет мнимые корни, поэтому A6.18) классифи-
классифицируется как эллиптическое уравнение в частных производных.
Однако для рассматриваемых задач метод Фурье определе-
определения возможности появления точек экспоненциального нараста-
нарастания решений уравнения предпочтительнее характеристического
анализа по следующим причинам:

§ 16.1. Введение 305
1. Учитываются все члены уравнений, а не только высшие
производные.
2. Можно непосредственно определить вклад различных чле-
членов системы уравнений в возможно появляющееся экспоненци-
экспоненциально растущее решение.
3. Метод более работоспособен в том смысле, что возможен
анализ и вырожденных систем (п. 2.1.4).
4. Решение задачи на собственные значения, например
A6.21), имеет больший физический смысл, чем решение харак-
характеристического полинома, например B.36).
16.1.3. Качественное поведение решений
укороченных уравнений Навье — Стокса
Исследование различных приближенных уравнений Навье —
Стокса может быть проведено, как это сделано для уравнения
A6.18), после их локальной линеаризации. То есть, значения и
и v в конвективной части уравнений A6.5) и A6.6) предпола-
предполагаются замороженными. Таким образом, настоящий анализ не
учитывает явлений, связанных с нелинейными взаимодействия-
взаимодействиями. Так как уравнения A6.5) и A6.6) аналогичны уравнению
A6.8) при 6 = 0, можно ожидать, что решение укороченных
уравнений Навье — Стокса подобно решению уравнения A6.18)
при 6 = 0 будет нарастать (затухать) вдоль линий тока. Имеет
ли это место на самом деле, будет показано ниже.
При применении анализа Фурье KRNS-уравнениям (п. 16.1.1),
подобно тому, как это было сделано в п. 16.1.2, необходимо рас-
рассмотреть не одно скалярное уравнение, например A6.8), а си-
систему уравнений. Обобщение анализа Фурье на системы урав-
уравнений будет сначала продемонстрировано на уравнениях
Навье — Стокса A6.1) — A6.3), описывающих несжимаемое ста-
стационарное двумерное течение. Вместо A6.20) предполагается,
что
и ~ й exp (iaxx) exp (шуу),
v~v exp (iaxx) exp (шуу)> A6.24)
p~pexp(iaxx)exp(ieyy),
где знак ~ означает, что подразумевается такая форма реше-
решения. После подстановки A6.24) в замороженные уравнения
A6.1) — A6.3) можно получить
[iax iay °1Гй1
/Л + (о* + o*)/Re 0 ia JL =0, A6.25)
0 /A + (a*+cr$)/Re foJL/J
где Л s= иох + voy.
20 К. Флетчер. т 2

306 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
Чтобы однородная система уравнений типа A6.25) имела
решение, необходимо, чтобы det [ ] = 0. Для A6.25) это позво-
позволяет получить полином относительно ох:
К + °1) I1 (иа* + v°y) + -h К + °1)]=°- A626>
Вид второго множителя совпадает с A6.21). Его корни равны
°УФ> - * [и Re + аЦ(и Re)] + oyv/u.
Экспоненциальный рост связан с первым корнем, если и меньше
нуля, и со вторым, если и положительно. У первого множителя
корни Ох = drioy. Мнимый корень со знаком минус после под-
подстановки в A6.24) приводит к экспоненциальному росту по х.
Система уравнений A6.1) — A6.3) эллиптическая. Это можно
установить путем введения дополнительных переменных для вто-
вторых производных и построением на основе этого эквивалентной
системы уравнений в частных производных первого порядка.
Для анализа этой системы пригоден метод, описанный в п. 2.1.4,
приводящий к характеристическому полиному B.39).
Настоящий анализ Фурье дает идентичный полином, если
в уравнении A6.26) отбросить член более низкого порядка
i(uox + voy). Это согласуется с классификацией уравнений в
частных производных, основанной на наиболее высоких произ-
производных по каждой независимой переменной.
Из A6.26) следует существование мнимых корней и при от-
отбрасывании члена i(uox-\- VGy). Это подтверждает, что система
A6.1) — A6.3) эллиптическая. Следовательно, граничные усло-
условия должны быть определены на всех границах, § 2.4. Гранич-
Граничные условия ограничивают связанный с корнями уравнения
A6.26) экспоненциальный рост решения системы A6.1) — A6.3).
Если описанный выше анализ, начиная с представления
A6.24) и т. д., применить к укороченным уравнениям Навье —
Стокса A6.4) — A6.6), вместо A6.26) получится следующий
полином:
К + °1) V (и(ух + ™у) + (I/Re) с$] = 0. A6.27)
Пренебрежение диффузией в направлении потока, т. е. членами
д2и/дх2 и d2v/dx2, приводит к изменению второго множителя
в уравнении A6.26). Подобное же изменение имеется в модель-
модельной задаче, приводящей к уравнению A6.21). А именно, корень
второго множителя в уравнении A6.27) равен

§ 16.1. Введение 307
До тех пор пока и положительно, не возникает экспоненциально
нарастающих по х мод. Таким образом, укороченная форма
уравнений Навье — Стокса эффективно подавляет экспонен-
экспоненциально нарастающие моды в операторах конвекции и диф-
диффузии.
Однако укороченная форма уравнений Навье — Стокса ни-
никак не влияет на первый множитель в уравнении A6.26), кото-
который полностью сохраняется в A6.27). Первый множитель в
A6.27) имеет мнимый корень со знаком минус, который дает
экспоненциальный рост в направлении х. Отбрасывание члена
более низкого порядка i(uGx + voy) в уравнении A6.27) не
влияет на мнимые корни первого множителя. Это означает, что
укороченные уравнения Навье — Стокса являются уравнениями
смешанного эллиптшеско-параболического типа. Эллиптическое
поведение связано с первым сомножителем в A6.27), а парабо-
параболическое— со вторым.
Любая эллиптичность делает невозможным построение «вре-
мениподобного» маршевого алгоритма, что собственно и вызы-
вызывает интерес к укороченной форме уравнений Навье — Стокса.
Если проследить, какие члены в уравнениях A6.4) — A6.6) входят
в первый множитель A6.27), становится ясно, что эллиптическое
поведение обусловлено взаимодействием членов с давлением в
уравнениях импульса с такими же членами в уравнении нераз-
неразрывности. Если бы в уравнениях каким-либо образом удалось
подавить влияние членов др/дх и др/ду, эллиптического поведе-
поведения можно было бы избежать.
Анализ Фурье укороченных уравнений Навье — Стокса для
сжимаемых течений A6.12) — A6.15) приводит к более слож-
сложному, чем A6.27), полиному, который нельзя интерпретировать
столь же точно. Можно рассмотреть промежуточную категорию
течений, справедливую для трансзвуковых значений чисел Маха,
описываемую уравнениями A6.12), A6.13), A6.17), и прене-
пренебречь, как в п. 18.1.2, диссипативным членом в уравнении
A6.15). Уравнение A6.15) тогда можно заменить уравнением
A1.104), которое может быть записано в безразмерной
форме
1+YMp={l+0.5(Y-l)M2oo[l-K + t>2)]}. A6.29)
Это уравнение используется для выражения р через р, и и v
и исключения его из уравнений A6.13) и A6.17). Данное прибли-
приближение согласуется с фактом малого изменения температуры
в расчетной области при трансзвуковых числах Маха и адиаба-
адиабатических стенках.
20*

Через р, и и v уравнения могут быть записаны в форме
dp , до . ди . dv Л
a2 dp ,(ри\ ди , ди (V-1) dv 1 д2и
"V5T" ~) ~ЬТ ~т~PV ~di у pVW Re 5j/2
308 Гл. 16 Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
е
(l6-30)
A6.31)
a2 dp (y — 1) d» . do ¦ / P» \ До 1 d2v „
T W y pu~d~i'tpu~dT~t\~)~dF~ Re W~
A6.32)
В этих уравнениях пренебрегается зависимостью вязкости |д от
температуры, а безразмерная скорость звука определяется вы-
выражением
Если недифференцируемые члены, подобные a2, pu, pv и т. д.,
в уравнениях A6.30) — A6.32) заморозить, а для р, и и v ввести
разложение в комплексный ряд Фурье, подобное A6.24), можно
получить следующий полином относительно ох:
т 0
A6.34)
где
A = uox+voy. A6.35)
Для внешних течений вдали от изолированного тела укоро-
укороченные уравнения Навье — Стокса совпадают с уравнениями
Эйлера, описывающими невязкие течения. В этой ситуации в
уравнении A6.34) следует положить Re = оо. Уравнение при
этом сводится к виду
Первый множитель имет корень ох/оу = —v/u, а корни второго
множителя равны
ах uv
(Ут)
-fl2 к+<^)]=°- A6-36>
57 7?3^ ±JTji. A6.37)
где локальное число Маха М= (и2 + v2)l/2/a. Из A6.37) сле-
следует, что если течение локально дозвуковое, т. е. М < 1, обра-
образуются корни со знаком минус при мнимой части. Это приво-
приводит к экспоненциальному росту решения в маршевом (х) на-
направлении, что согласуется с тем, что невязкие уравнения эл-
эллиптические при М< 1 и гиперболические при М > 1.

§ 16.1. Введение 309»
В более общем вязком случае следует использовать непо-
непосредственно уравнение A6.34). Поведение первого множителя
эквивалентно поведению второго сомножителя в A6.27). То
есть, он не дает экспоненциально нарастающих мод при поло-
положительной скорости и. Второй множитель — квадратичный по-
Ох и позволяет получить следующие значения корней:
ах uv iyuoy
"о7= ~~ и2 — v2 ~*~ 2pRe(a2 — a2) ±
При больших значениях Re значение [ ]1/2 определяется чле-
членом (М2— 1), который приводит к сильному экспоненциальному
росту при дозвуковом течении.
Для течений с и < а второй член в правой части A6.38)
приводит к слабому эллиптическому поведению, как и любой
член в [ ]1/2 при любой скорости. Таким образом, вязкие члены
приводят к слабому экспоненциальному росту в направлении х,
скорость которого уменьшается с увеличением Re. Данный ре-
результат, однако, может быть иным для эквивалентной турбу-
турбулентной формы RNS-уравнений.
Легко видеть, что и в невязком, и вязком случаях дозвуко-
дозвуковой поток приводит к сильному экспоненциальному росту в на-
направлении х. Однако если можно было бы подавить член др/дх
в уравнении A6.13), в невязком случае не образовывалась бы
экспоненциально нарастающая по х мода при положительных
значениях скорости и.
Для сжимаемых течений без ограничения на локальное чис-
число Маха укороченные уравнения Навье — Стокса имеют вид.
A6.12) — A6.15). Давление может быть выражено через темпе-
температуру и плотность из уравнения состояния
l+YM2ooP = p7\ A6.39)
Для р, и, v и Т вводится комплексное разложение Фурье, по-
подобное A6.24). При подстановке его в основные уравнения вме-
вместо A6.34) получается следующий полином:
Р (^f1) К М
При выводе уравнения A6.40) отдельные члены, содержащие
I/Re2, были отброшены; зависимость вязкости \i от темпера-
температуры также не учитывалась. Последний член в правой части

310 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
содержит производную ди/ду, связанную с диссипативным чле-
членом в уравнении A6.15).
Можно видеть, что при больших значениях Re поведение ре-
решения определяется произведением первых трех множителей в
уравнении A6.40). Первые два множителя приводят к такому
же поведению, что и второй множитель в A6.27), и не дают экс-
экспоненциального роста по х при положительной скорости и. Тре-
Третий множитель, однако, такой же, как второй сомножитель в
уравнении A6.36), и приводит к тем же результатам, т. е. для
Таблица 16.1. Доминирующее поведение решения укороченных уравнений
Навье — Стокса
Несжимаемые течения,
М~0
Дозвуковые течения,
0<М<1
Сверхзвуковые течения,
М>1
Эллиптическое поведение,
обусловленное взаимо-
взаимодействием давления с
уравнением неразрыв-
неразрывности
Сильное эллиптическое
поведение, обусловлен-
обусловленное давлением
Слабое эллиптическое
поведение, связанное с
взаимодействием дав-
давления с вязкими чле-
членами
Гиперболическое поведе-
поведение, обусловленное не-
невязкими членами
Слабое эллиптическое
поведение, связанное с
взаимодействием дав-
давления с вязкими чле-
членами
дозвуковых течений образуются экспоненциально нарастающие
в направлении х моды. Включение в рассмотрение других чле-
членов уравнения A6.40) не приводит к существенному изменению
этих выводов.
Как и для трансзвуковых течений, описываемых уравнения-
уравнениями A6.30) — A6.32), если членом др/дх в уравнении A6.13) мо-
можно пренебречь, цель получить устойчивое решение за один
маршевый проход будет достигнута. Очевидно, что произвольное
отбрасывание члена др/дх приведет к нефизическим решениям
полученной системы уравнений.
Результаты анализа различных категорий укороченных ура-
уравнений Навье — Стокса суммированы в табл. 16.1. Основной вы-
вывод заключается в следующем: пренебрежение диссипацией в
направлении потока эффективно подавляет экспоненциальное
нарастание решений в направлении течения, связанное с вза-
взаимодействием процессов конвекции и диффузии. Однако при
этом не удается преодолеть существенно эллиптическое поведе-
поведение решения, связанное с давлением для дозвуковых течений.
Если существует дополнительный механизм для «нейтрали-
«нейтрализации» члена др/дх в уравнении х-компоненты импульса, реше-
решение за один маршевый проход в направлении течения может

§ 16.1. Введение 311
быть получено при любых числах Маха. Многие из приемов,
описанных в § 16.2 и 16.3, в той или иной степени осущест-
осуществляют контроль влияния члена др/дх.
16.1 A. THRED: задача ввода тепла
В п. 9.5.2 рассматривалась задач о втекании «холодной»
жидкости в «горячий» двумерный канал. Для определения ста-
стационарного распределения температуры при заданном распре-
распределении скорости использовался метод установления. Та же за-
задача здесь будет использована для иллюстрации механизма по-
постановки и решения эквивалентной «укороченной» формули-
формулировки.
При использовании обезразмеривания (9.91) данная задача
описывается низкоскоростным двумерным уравнением энергии
J-{uT) + -±(vT)-ax^T-a!l^ = 0, A6.41)
где ах = 10/(Pr Re2), ay = 1.6/Рг. Граничные условия для урав-
уравнения A6.41) имеют вид (рис. 9.12)
Г @, у) = 0 при * = 0, -§7 = 0 прил; = л:тах, A6.42)
Т(х, ±1)=1 при у = ±1.
За исключением области, расположенной в непосредственной
близости ко входу в канал, х = 0, продольная температурная
диффузия значительно меньше поперечной; следовательно, член
ахд2Т/дх2 в уравнении A6.41) может быть отброшен. В резуль-
результате «укороченное» уравнение принимает вид
Поскольку уравнение A6.43) параболическое по х, никаких гра-
граничных условий при х = хтах ставить нельзя. Остальные гра-
граничные условия определяются соотношениями A6.42).
Данная задача должна быть решена в области 0 ^ х ^ 2.00,
—1.0 ^ у ^ 1.0 маршем в положительном направлении х, начи-
начиная от известного решения при х = 0. Таким образом, х играет
роль времени, а распределение температуры Г@, у) определяет
«начальные» условия.
В у-направлении используется групповой метод конечных
элементов (§ 10.3) с линейной интерполяцией. Для производ-
производных по х в уравнении A6.43) используется дискретизация Кран-
ка — Николсона. Полученные алгебраические уравнения могут

312 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
быть записаны в виде
-0.5^[(оГ)Н(*ЛГЧ. A6.44)
где п, j — индексы сетки в направлениях х и у соответственно.
Операторы Ly и Lyy — трехточечные центрально-разностные
операторы:
г г
Afy — массовый оператор, определяемый в конечно-разностной и
конечно-элементной формулировках выражениями
My = l-jTt у, -g-> для конечно-элементного представления,
A6.46)
Л^ = {0, 1, 0}г для конечно-разностного представления.
Представляется, что поле скоростей (и, v) известно. Следо-
Следовательно, после соответствующей линеаризации относительно
Т/ для ДГ/+1 (= Г/4 — Г/) можно получить следующую линей-
линейную систему уравнений:
[Муи1+1 + 0.5 Дл: (Lyvr1 - ayLyy)}
yLyy)
= bxayLyyTi - bxLy (v^T]) - Myfnt Аи*}*1. A6.47)
Для сравнения с полуаналитическим решением Брауна [Brown,
I960] предполагается следующее распределение скорости:
^=1.5A —г/2), i> = 0. A6.48)
При таком выборе распределения скорости, которое не зависит
от осевого (х) положения, уравнение A6.47) упрощается:
{Мущ + 0.5 Д* (Lgv, - ayLyy)] ДГ?+1 =
= Ал: [ayLyfl - Ly (о,ГУ)]. A6.49)
Уравнение A6.49) решается по программе THRED
(рис. 16.4). Основные параметры этой программы описаны в
табл. 16.2. Чтобы избежать разрыва в значении Г@, ±1), имею-
имеющемся в условиях A6.42), в программе THRED используются
следующие «начальные» данные при х = 0:
Г@, у) = у32. A6.50)

§ 16.1. Введение
1 С THRED SOLVES THE REDUCED FORM OF THE THERMAL ENTRY PROBLEM
2 С BY C.N. MARCHING
3 С
4 DIMENSION TD1),DTF5),UD1),VD1),RF5),BE,65),EMC)
5 1,ALFAO),DYFLAO)
6 DATA ALF/1.6815953,5.6698573.9.6682425,13.6676614,17.6673736,
7 121.6672053,25.6670965,29.6670210,33.6669661,37.6664327/
8 DATA DYFL/-0.9904370,1.1791073,-1.2862487,1.3620196,-1,4213257.
9 11.4704012,-1.5124603,1.5493860,-1.5823802,1.6122503/
10 OPENA,FILE=•THRED.DATf)
11 OPENF,FILE*'THRED.OUT')
12 READA,1)NY,NXMAX,ME,DX,DXP,XMAX,PR
13 1 FORMATC15,4E10.3)
14 С
15 IF(ME .EQ. 1)VRITEF,2)
16 IF(ME .EQ. 2)VRITEF,3)
17 2 FORMATС REDUCED THERMAL ENTRY PROBLEM BY C.N.-FEM',/)
18 3 FORMATС REDUCED THERMAL ENTRY PROBLEM BY C.N.-FDM»,/)
19 VRITEF,4)NY.NXMAX,DX,XMAX,PR
20 4 FORMATC NY=\I3,' NXMAX*\I5,f DX«\E10.3,' XMAX«\F6.3, • PR»1,
21 1F6.3,/)
22 С
23 NYP * NY - 1
24 NYH = NY/2 + 1
25 NYPP « NY - 2
26 ANY * NYP
27 DY « 2./ANY
28 ALY « 1.6/PR
29 CA = 0.5*DX/DY
30 CCA = ALY*DX/DY/DY •
31 IF(ME .EQ. l)EM(l) * 1./6.
32 IF(ME .EQ. 2)EMA) * 0.
33 EMB) = 1. - 2.*EM<1)
34 EHC) = EMA)
35 С
36 С SET U,Y AMD T INITIAL DATA
37 С
38 DO 5 К * 1,NY
39 KM « К - 1
40 AK ¦ KM
41 Y * -1. + AK*DY
42 U(K) * 1.5M1. - Y*Y)
43 V(K) * 0.
44 5 T(K) « Y**32
45 С
46 С SET UP TRIDIAGONAL COEFFICIENTS AND FACTORISE В
47 С
48 DO6 K= 2,NYP
49 KM = К - 1
50 KP * К + 1
51 ВA,КМ)
52 ВB,КМ)
53 В(ЗДМ)
0.
EMA)*U(KM) - 0.5*CA*V(KM) - 0.5*ССА
EMB)*U(K) + CCA
54 ВDДМ)
55 ВE,КМ)
56 6 CONTINUE
57 ВB,1) = 0.
58 ВDДМ) = 0.
59 С
•ЕМ(З)ЧНКР) + 0.5*CA*V(KP) - 0.5*ССА
0.
Рис. 16.4. Распечатка программы THRED (начало).

314 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
60 CALL BANFAC(B,NYPP,1)
61 С
62 X = 0.
63 XPR = 0.
64 NCT = 0
65 SUMT = 0.
66 7 NCT = NCT + 1
67 С
68 С GENERATE R.H.S.
69 С
70 DO 8 К = 2,NYP
71 КМ * К - 1
72 КР = К + 1
73 8 R(KM) = ССАЧТ(КМ)-2.*Т(К)+Т(КР)> - СА*(У(КР)*Т(КР)-У(КМ)*Т(ЮО)
74 С
75 CALL BANSOL(R,DT,B,NYPP,1)
76 С
77 DO 9 К = 2,NYP
78 9 Т(К) = Т(К) + DT(K-l)
79 X » X + DX
80 С
81 С EXACT C/L4 SOLUTION
82 С
83 CALL TEXCL(X,TEX,PR,ALF,DYFL)
84 С
85 DMP = T(NYH) - ТЕХ
86 IF(NCT .GT. 2)SUMT = SUMT + DMP*DMP
87 IF(X .LT. XPR)GOTO 11
88 VRITEF,10)X,(T(K),K=1,NYH),TEX
89 10 FORMAT(' X=*\F4.2,' T=\6F6*3/ TEX*\F6,3)
90 XPR f XPR + DXP - 0.0001
91 11IF{X iGE. XMAX)GOTO 12
92 IF(NCT .GE. NXMAX)GOTO 12
93 GOTO 7
94 12 ANCT « NCT - 2 '
95 RMS - SQRT(SUMT/ANCT)
96 WRITEF,13)NCT,RMS'
Э7 13 FORMATC NCT=\I5,' RMS=frE10,3)
94 14 STOP
99 END
Рис. 16.4 (окончание).
Полученное решение вдоль центральной линии (у = 0) сравни-
сравнивается с полуаналитическим решением Брауна [Brown, 1960].
Браун получил разделение переменных в уравнениях A6.43) и
A6.48), основанное на экспоненциально затухающем в направ-
направлении х решении и разложении по собственным числам/собст-
числам/собственным функциям по у. Первые десять членов решения Брауна
на центральной линии вычисляются в подпрограмме TEXCL
(рис. 16.5). В результате работы этой подпрограммы опреде-
определяется точное решение ТЕХ.
Типичное решение при Длс = 0.05 и Ау = 0.2, полученное по
программе THRED, приведено на рис. 16.6. Рассчитанное рас-
распределение температуры симметрично относительно у = 0, по-
поэтому значения температуры приведены лишь в области —1 ^

§ 16.1. Введение
315
^ У ^ 0. Крайний правый столбец температур Т соответствует
значениям на центральной линии (у = 0), и значения в нем мо-
можно сравнить с полуаналитическими значениями ТЕХ. На срав-
сравнительно грубой сетке в решении, приведенном на рис. 16.6, за-
заметны осцилляции вблизи точки х « 0, у » —1.0. Эти осцилля-
осцилляции связаны с быстрым изменением Т в граничных условиях
Таблица
Параметр
ME
NY
NXMAX
DX, DY
DXP
XMAX
PR
ALY
EM
T, U, V
В
R
RMS
TEXCL
ALF, DYFL
16.2. Параметры, используемые в программе THRED
Описание
= 1, линейный метод конечных элементов
= 2, трехточечный конечно-разностный метод
Число точек в направлении у
Максимальное число точек в направлении х
Ах, Ау
Увеличение Ах при выводе температуры на печать
Протяженность области расчета вниз по потоку
Число Прандтля Рг
ау = 1 6/Рг
My
Температура, компоненты скорости в направлении х> \$
Трехдиагональная матрица; левая часть A6.49)
Правая часть A6.49)
ЦГс/1 —ТЕХИ™.
Рассчитывает ТЕХ по заданным х и Рг
Массивы, необходимые для подпрограммы TEXL
вблизи точек @, ±1). Амплитуда осцилляции уменьшается с
увеличением х. На более мелких по х или у сетках осцилляции
не возникают.
Можно заметить, что в решениях, например AF-FEM, полу-
полученных по программе THERM (рис. 9.13), на сетке 11 X И
(Ах = 0.20, Ау = 0.20) нет существенных осцилляции вблизи
точек @, ±1). Однако программа THERM основана на реше-
решении уравнения (9.90), в которое входит член д2Т/дх2. Этот член
обладает сглаживающим свойством и противодействует появ-
появлению осцилляции вблизи точек @, ±1).
Решение на центральной линии (RED-FEM), полученное по
программе THRED, сравнивается в табл. 16.3 с решением, по-
полученным по программе THERM, и с полуаналитическим

316 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
1
2
3 С
4 С
5 С
6 С
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
SUBROUTINE TEXCL(X,TEX,PR,ALF,DYFL)
FOR GIVEN X AND PR COMPUTE EXACT CENTRE-LINE
TEMPERATURE DISTRIBUTION
DIMENSION ALFUO).DYFL(IO)
ZD * -3.2*X/PR/3.0
ТВ * 0.
DO 1 I * 1,10
DUM * ZD*ALF(I)*ALF(I)
IF(DUM .LT. -20.)GOTO 1
DUM - EXP(DUM)
CF * -2./ALF(I)/DYFL(I)
ТВ * ТВ + CF*DUM
CONTINUE
TEX * 1. - ТВ
RETURN
END
Рис. 16.5. Распечатка подпрограммы TEXCL.
REDUCED THERMAL ENTRY PROBLEM BY C.N.-FEM
HY« 11 NXNAX* 50 DX* .500E-01 XMAX* 2.000 PR* .700
X» .05
X» .20
X* .40
X* .60
X* .80
Х*1.00
Х*1.20
Х*1.40
Х*1.60
Х*1.80
Х*2.00
NCT*
т*
т*
т*
т*
т*
т*
т*
т*
т*
т*
т*
41
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
RMS*
1.076
.701
.868
.937
.969
.984
.992
.995
.997
.999
.Э99
1
1
1
1
1
.477
.767
.917
.972
.992
.999
.001
.001
.001
.001
.000
.350Е-02
.188
.614
.827
.924
.966
.985
.993
.997
.998
.999
1.000
.074
.520
.801
.918
.967
.987
.995
.998
.999
1.000
1.000
.046
.495
.793
.913
.963
.984
.993
.997
.999
.999
1.000
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ*
ТЕХ* 1
.058
.493
.786
.909
.962
.984
.993
.997
.999
.999
.000
Рис. 16.6. Типичная выдача программы THRED.
Таблица 16.3. Решение на центральной линии для задачи ввода тепла,
Ау =0.20
<Полу)-
точное
AF-FEM,
Ах = 0.20
RED-FEM,
Ах = 0.05
RED-FEM,
Ах = 0.010
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.200
0.493
0.462
0.495
0.497
0.400
0.786
0.794
0,793
0.789
0.600
0.910
0.910
0.913
0.912
0.800
0.962
0.963
0.963
0.963
1.000
0.984
0.984
0.984
0.984
X
1.200
0.993
0.994
0.993
0.993
1.400
0.997
0.997
0.997
0.997
1.600
0.999
0.999
0.999
0.999
1.800
1.000
0.999
1.000
1.000
2.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Средне-
квадра-
квадратичное
откло-
отклонение
_
0.003
0.0035
0.0019

§ 16.2. Внутренние течения 317
решением Брауна [Brown, 1960]. В среднеквадратичной ошибке,
рассчитанной для решения RED-FEM, опущен вклад от точек
х = 0. Величина Лх должна быть согласована с процедурой, при-
принятой для программы THERM (п. 9.5.2). При достаточно мелкой
в направлении х сетке решение RED-FEM может стать более
точным, чем решение, полученное методом конечных элементов
с приближенной факторизацией (AF-FEM). Однако более суще-
существенна экономичность решения RED-FEM, связанная с тем, что
решение получается за один проход в направлении течения. Ре-
Решение RED-FEM при Ах =0.05 примерно на порядок экономич-
экономичнее решения AF-FEM при Ал: = 0.20, причем достигается та же
точность решения.
§ 16.2. Внутренние течения
Многие внутренние течения, например течения в трубах, ка-
каналах, воздухозаборниках двигателей, достаточно точно описы-
описываются укороченными уравнениями Навье — Стокса. Однако,
как следует из табл. 16.1, исходные RNS-уравнения, как пра-
правило, являются эллиптическими.
Для стационарных внутренних течений полный поток массы
через любое поперечное сечение постоянен. Это свойство может
быть использовано для построения неэллиптических RNS-систем
уравнений. Примеры приведены в п. 16.2.1 и 16.2.2. Для тече-
течений в сильно искривленных каналах в п. 16.2.3 будет описан дру-
другой подход, основанный на расщеплении поперечного поля ско-
скоростей. Расщепление скорости позволяет получить корректное
вязкое решение за один маршевый проход в направлении тече-
течения.
Течение в прямых трубах и каналах в зависимости от рас-
расстояния от входа (рис. 16.7) может быть разделено на четыре
типа [Rubin et al., 1977]. Число Рейнольдса для течений в ка-
каналах вычисляется по гидравлическому диаметру Dh и средней
скорости Urn- Разделение на четыре типа осуществляется сле-
следующим образом:
A. Течение непосредственно на входе, хА порядка
O(DA/Re).
B. Течение во входной области, хв порядка O(Dh).
C. Существенно вязкое течение, хс порядка
O(DhRe).
D. Сформировавшееся течение, xD » Dh Re.
Непосредственно на входе в канал в течении имеют место
очень большие градиенты скоростей вблизи стенок, поскольку в

318
Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
этой области из-за вязкости скорость набегающего потока
уменьшается до нуля. Для правильного описания этой области
необходимо решать полные уравнения Навье — Стокса на ло-
локально весьма мелкой сетке. В области В на стенках канала
формируется пограничный слой. Поле течения может быть здесь
определено на основе совместного анализа невязкого течения
(гл. 14) и течения в пограничном слое (гл. 15). Такой подход
Набегающий
поток
^ Dh=bab/(a+b)
Re=pUmDh/fx.
Рис. 16.7. Классификация течений для прямых каналов.
описан в работе [Rubin et al., 1977]. Однако течение в области
В может быть рассчитано и на основе RNS-уравнений.
Достаточно далеко вниз по потоку, область С (рис. 16.7),
«пограничные слои» сливаются и течение во всем поперечном се-
сечении должно рассматриваться как вязкое. То есть, влиянием
вязких членов в уравнениях уже нигде нельзя пренебречь. Для
определения решения в этой области пригодны RNS-уравнения.
Еще дальше вниз по потоку (область D) течение перестает
зависеть от направленной по потоку координаты х. При марше-
маршевом алгоритме решения укороченных уравнений Навье — Стокса
направленная по потоку координата х играет роль времени. Сле-
Следовательно, решение этих уравнений в области D соответствует
установившемуся решению в методе установления (§ 6.4).
Для многих внутренних течений канал (или иной проход) за-
заканчивается в области В или С. Течения в диффузорах, рассма-
рассматриваемые в п. 16.2.1, попадают под эту категорию. Для сформи-
сформировавшегося течения (область D) появление препятствия внутри
канала или на стенке приводит к образованию новой области С
вниз по потоку от препятствия. Далее образуется новая об-
область D.
При течении в канале с искривленной центральной линией
образуются вторичные течения и область С сохраняется. Типич-
Типичная поперечная картина линий тока (т. е. построенная по вто-

§ 16.2. Внутренние течения
319
ричным компонентам скоростей v и w) приведена на рис. 16.8.
Ось канала отклоняется вправо относительно направления на-
набегающего потока. Методы расчета течений в каналах малой
кривизны, рассматриваемые в п. 16.2.2, основаны на том, что
уравнения можно сделать неэллиптическими по отношению к
направлению вниз по потоку. Для расчета течений в каналах
большой кривизны применимы методы, описанные в п. 16.2.3.
Плоскость
поперечного I
Рис. 16.8. Типичная картина поперечного течения в искривленном канале.
Как показано в п. 16.1.3, эллиптичность укороченных урав-
уравнений Навье — Стокса для дозвуковых течений обусловлена
действием давления. Чтобы получить неэллиптические RNS-ypa-
внения, необходимы дополнительные ограничения или прибли-
приближения. Ниже это будет продемонстрировано на ламинарном
несжимаемом течении в трубе (т. е. в канале кругового сече-
сечения). Соответствующие RNS-уравнения, эквивалентные A6.4) —
A6.6), но записанные в полярной системе координат, имеют вид
ди . dv . v __
дх """ дг "t" г ~~
dtl
ди
ди
A6.51)
A6.52)
Для внутренних течений с малыми поперечными скоростями
поперечное изменение давления мало и его градиентом в на-
направлении маршевой переменной х в соответствующем урав-
уравнении импульса можно пренебречь. Таким образом, для

320 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
осесимметричного течения давление можно расщепить:
p = pcJl(x) + pc(x, г), A6.54)
где pc/i — давление вдоль центральной линии, а рс — поправка,
учитывающая радиальное изменение. Подстановка этого выра-
выражения в уравнения A6.52) и A6.53) показывает, что дрс/дх по-
порядка O(F/LJ), в то время как основные члены A6.52) по-
порядка 0A). Здесь б — толщина вязкого слоя (=0.5D вниз по
потоку от точки слияния вязких слоев, рис. 16.2), D — локаль-
локальный диаметр трубы, L — характерная длина вдоль оси трубы.
Следовательно, членом дрс/дх можно пренебречь и уравнение
A6.52) принимает вид
ди . ди . dprll 1 Гд2и . 1/дм\1 ,tn г-ч
(lo.oo)
В уравнении для радиальной составляющей импульса A6.53)
остается лишь член дрс/дг, поскольку дрс/1/дг = 0. Таким об-
образом, получаются три уравнения для четырех зависимых пе-
переменных. Однако можно получить дополнительное условие, ес-
если заметить, что для стационарного течения полный поток мас-
массы m постоянен. Поток массы определяется выражением
R
m = 2jtpj ur dr. A6.56)
о
Таким образом, дт/дх = 0, т. е.
-g.*«0. A6.57)
$
О
Последнее выражение проще использовать в уравнениях A6.51),
A6.53) и A6.55). Можно заметить, что уравнение A6.57) по-
получается также в результате интегрирования уравнения A6.51)
по поперечному сечению трубы.
Значения ип. + х и p^/V из уравнений A6.55) и A6.57) можно
получить следующим образом. Уравнение A6.55) в разностном
виде по х записывается в виде
un/iun+l/Ax = J(un+V2, vn+l'\ г) — Дри+уДх, A6.58)
где
/ — l (^L j_ 1 ди \ — ^L
J — Re KdF^T дг ) V дг •
= ц*+1 — ип9 ип+\п = о.5 (ип + ип+1), A6.59)
=1.51>я —0.50я-1.

§ 16.2. Внутренние течения 321
Индексы пи/ определяют точки сетки в направлении х и г со-
соответственно. При аппроксимации производных по г в уравне-
уравнении A6.59) трехточечными центральными разностями в резуль-
результате линеаризации A6.58) в окрестности точки хп, как это сде-
сделано в п. 10.1.3, можно получить
, A6.60)
где 1а — разностное представление /. Уравнение A6.60) трех-
диагональное и может быть легко факторизовано на верхнюю U
и нижнюю L треугольные формы (например, при помощи алго-
алгоритма BANFAC, п. 6.2.3). Уравнение A6.60) можно тогда запи-
записать в виде
Аи\+Х = A* ХГх\Гх]й - \ГХЬХ ApJ/J1. A6.61)
Из дискретного (например, по формуле трапеций) представле-
представления уравнения A6.57) можно получить явное выражение для
c = Ax J rV-lL~lJd dr /J'rir'L-1 dr. A6.62)
d Id
Таким образом, уравнения A6.60) и A6.62) образуют модифи-
модифицированную трехдиагональную систему, из которой для каждой
точки хп+\ расположенной вниз по потоку, можно определить
значения ^+1 и p"fil.
Расщепление давления по формуле A6.54) и введение огра-
ограничения на поток массы A6.57) позволяют получить четыре
уравнения для четырех неизвестных. Из описанного в п. 16.1.2
анализа Фурье этой системы следует, что решение и состоит из
двух компонент: одной осциллирующей и одной экспоненциаль-
экспоненциально убывающей по х. Следовательно, поскольку система неэллип-
неэллиптическая, устойчивое решение может быть получено маршевым
методом по х. Основной момент, позволивший получить неэллип-
неэллиптическую систему, состоит в отбрасывании члена дрс/дх в урав-
уравнении лс-компоненты импульса, в результате чего было получено
уравнение A6.55).
Если это приближение допустимо, решение для внутренних
течений, описываемых укороченными уравнениями Навье —
Стокса, может быть получено за один проход. Такой подход
справедлив для закрученных течений, рассматриваемых в
и. 16.2.1, и для течений в прямом канале (п. 16.2.2). Однако для
течений в сильно искривленном канале поперечные градиенты
давления существенны и для построения неэллиптической си-
системы требуются другие методы. Этот вопрос будет рассмотрев
в п. 16.2.3.
21 К. Флетчер, т. 2

322 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
16.2.1. Закрученное внутреннее течение
Данная задача связана с экспериментальным фактом [Senoo
et al., 1978], заключающимся в том, что если потоку, втекаю-
втекающему в конический диффузор, придать небольшое вращение
Доо(г), то для углов раствора конуса, при которых имеет место
отрыв незавихренного потока (« 15°), отрыв завихренного по-
потока не происходит. В результате при тех же затратах энергии,
необходимых на возмещение вязких потерь, можно получить
большее восстановление давления в диффузоре.
Данная задача описывается несжимаемыми турбулентными
уравнениями Навье — Стокса [Armfield, Fletcher, 1986]. В уко-
укороченной форме они имеют вид
!7 + !г + 7 = 0' <16-63)
ди ди дрсA _ 1 /д2и I ди'
A6.64)
A6.65)
1 (d2w , 1 dw w\ д (v'w') o {v'w')
При выводе уравнений импульса A6.64) — A6.66) отброшены
члены второго по 8/L порядка, соответствующие диффузии в на-
направлении потока. В уравнениях A6.64) и A6.66) отброшены
также некоторые достаточно малые турбулентные члены. При
выводе уравнения A6.65) для радиальной составляющей им-
импульса отброшены конвективные и диссипативные члены второго
порядка. Можно заметить, что в уравнениях A6.64) и A6.65)
введено расщепление давления A6.54).
Турбулентные члены в уравнениях A6.64) и A6.66) можно
связать с осредненными характеристиками течения при помощи
соотношения
и'х>' = —vx-^г, v'w' = чФ ^— -^г + — J . A6.67)
Здесь V* и Уф — турбулентные вязкости, которые также можно
связать с осредненными параметрами течения. Конкретные алге-
алгебраические соотношения приведены в работе [Armfield, Flet-
Fletcher, 1986].

§ 16.2. Внутренние течения 323
Уравнения A6.63) —A6.67) и A6.57) образуют систему из
пяти уравнений для определения пяти неизвестных и, v, до, рсц и
рс, зависящих от л: и г. При проведении расчетов в диффузоре
использовалась сферическая система координат [Armfield, Flet-
Fletcher, 1986].
Анализ Фурье, описанный в п. 16.1.2 и 16.1.3, показывает, что
система уравнений A6.63)—A6.67), A6.57) является неэллипти-
неэллиптической по отношению к направлению х. Таким образом, «на-
«начальные» условия следует определить лишь в одной плоскости
хо, расположенной вверх по потоку, т. е. следует задать и(хо>
r)=uo(r), w(xQi r)=wo(r). На стенке диффузора (r = rw):
и(х, rw) =v(xy rw) =w(xf rw) = 0. Вдоль центральной линии
(r = 0): ди/дг = v = w = 0.
Расщепление давления A6.54) позволяет получить из урав-
уравнений A6.63) — A6.67) две практически независимые системы.
После представления в разностном виде из уравнений A6.63),
A6.64) и ограничения на поток массы A6.57) можно определить
uf+\ pffi и a*+1. По заданным значениям ип. + х и vn. + x из урав-
уравнений A6.65) и A6.66) можно определить wn+l и рс« "+1.
Расчетная область и сетка приведены на рис. 16.9. Дискрети-
Дискретизация уравнений A6.63) — A6.67) осуществляется в два этапа.
Сначала производные по г в уравнениях A6.64) и A6.66) заме-
заменяются выражениями
%г = 1Л + О (Лг*) = */+'1?~' + О (Лг2),
or rj+l—rj_l
A6.68)
+ О(Аг2),
где ф и v означают переменные, а / соответствует положению
точки сетки в радиальном направлении. Дискретизацию A6.68)
можно использовать и на неоднородной сетке. В рассматривае-
рассматриваемой задаче необходима сгущающаяся у стенки канала в направ-
направлении г сетка, поскольку в этой области можно ожидать появ-
появления больших радиальных градиентов.
Для решения уравнений A6.63) и A6.65) в радиальном на-
направлении строится маршевый алгоритм. Соответствующие дис-
дискретные представления радиальных производных задаются фор-
формулами A6.74) и A6.79).
21*

324 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье —Стокса
Цилиндрическая часть
(цилиндрические координаты х, г, ф)
Диффузор
(сферические
координаты Xs, 0,0)
л-1 л л+1
дх"
Ось, г = г у
Л-1 П Л+1
J-j-I
3
J
м
> Цилиндрическая часть —^
Диффузор
- (Xs измеряется от начала -
сферических координат)
Рис. 16.9. Область расчета ч сетка для внутреннего закрученного течения.
Разностное представление производных по л: в урав-
уравнениях A6.64) и A6.66) осуществляется таким образом,
чтобы можно было построить эффективный маршевый алго-
алгоритм их решения. Уравнение A6.64) записывается в разност-
разностном виде
„п+\
A6.69)

§ 16.2. Внутренние течения 325
где
A + о.5г^) v1} — 0.5rxv»-1,
A6.70)
В уравнении A6.69) Др^1 = pffi — pncll, a v^+1^2 экстраполи-
экстраполируется по значениям в точках, расположенных вверх по потоку,
так же как и t^+I/2. Отношение нарастания шагов сетки гх оп-
определяется формулой
гх = (хп+1 — хп)/(хп — хп~1) = кхп+1/Ахп.
При экстраполяции vn+lf2 и v?+1/2 по значениям в точках,
расположенных вверх по потоку, и неявном представлении ип+1/2
из уравнений A6.69) можно получить скалярную систему урав-
уравнений относительно А^+1. Для этого /Ди*+1), как в уравнении
(8.19), разлагается в ряд Тейлора
Уравнение A6.69) в этом случае принимает вид
Г/)_дря+1. A6.72)
Уравнение A6.72) образует трехдиагональную систему урав-
уравнений, которая при известном Д/?^1 может быть решена обыч-
обычным образом, например, как в п. 6.2.2. Уравнение A6.72) ис-
используется для определения Др^1. Здесь, как и для уравнений
A6.60) — A6.62), используется ограничение на поток массы. Из-
Изменение давления вдоль центральной линии тока, таким обра-
образом, определяется выражением
/ JJir'L-'dr, A6.73)
где U и L — верхний и нижний треугольные множители левой
части системы A6.72). Для совместности с A6.68) интегралы в
уравнении A6.73) вычисляются по формуле трапеций
/ МАХ—1
\Fdr= ?
d /-1

326 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
По полученным из уравнений A6.72) и A6.73) значениям
мп+1Ира+1 радиальные компоненты скорости vn+Определяются из
уравнения неразрывности A6.63), которое в дискретной форме
имеет вид
___ п+\/2\
Лг/+1
где ^+//1 = 0.5 (i^+I/2 + vf+{12). Таким образом, можно получить
явное выражение для vn^\:
A6.75)
где и^+1/2 = 0 и vf+} =2v1+l!2 — v1+r При помощи уравнения
A6.75) можно получить значения vn+l за один одномерный мар-
маршевый проход в радиальном направлении.
Уравнение окружной составляющей импульса A6.66) исполь-
используется для нахождения wn+l следующим образом. Дискретиза-
Дискретизация A6.66) позволяет получить уравнение
^' "Г' vl + 42' 0) + О(Л*2, А'2)- A6.76)
В Gd входят дискретные представления всех радиальных про-
производных, т. е.
+ 2 -± LrWl - 2 (-?-); - v,L,wt - (—)j • A6.77)
Разложение wn, + { в окрестности wnr как в случае A6.72), по-
позволяет получить следующую трехдиагональную систему для
определения Awn+l:
— 0.5 А*
= AxGd {wnr W}+V\ vn. + v\ r.) + О (Да:2, Дг2), A6.78)
решение которой может быть осуществлено при помощи подпро-
подпрограмм BANFAC или BANSOL из п. 6.2.3.

§ 16.2. Внутренние течения
327
Наконец, радиальная поправка к давлению рс получается из
уравнения A6.65), которое записывается в разностной форме
A6.79)
где a;/+i/2 = О.5(оу/ + wj+\). Поправка к давлению (рс)п+{ опре-
определяется из уравнения A6.79) в результате прохода от цент-
центральной линии к стенке канала.
В результате работы всего алгоритма последовательно без
итераций в радиальном направлении получается решение в
1.00 г
О - результаты Со
0.50
0.00
0.Z5
0.50
0.75
Рис. 16.10. Профили осевой скорости для закрученного течения в диффузоре.
каждой точке вниз по потоку. Решение в направлении х полу-
получается за один маршевый проход. В силу этого метод весьма
экономичен. Неоднородная сетка используется в радиальном
и маршевом направлениях. Ошибка аппроксимации всей схемы
О(А2А2)
)
Для расчета течения в коническом диффузоре (рис. 16.9)
используется решение описанной выше задачи в трубе, распо-
расположенной перед диффузором. В самом диффузоре используется
сферическая полярная система координат. Эквивалентная фор-
форма описанного выше алгоритма в этой системе координат при-
приведена в работе [Armfield, Fletcher, 1986].
Типичные распределения осевой составляющей скорости
приведены на рис. 16.10. Данные профили соответствуют тече-
течению в семиградусном коническом диффузоре с числом

328 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье —Стокса
Рейнольдса 3.82 X Ю5, рассчитанным по диаметру входного от-
отверстия. Средняя закрученность потока на входе wav/uav = 0.3
соответствует экспериментальным данным Со [So, 1964]. Чис-
Численные результаты получены при 50 точках в радиальном на-
направлении и 150 — в направлении х. Минимальный шаг в ра-
радиальном направлении у стенки равен 0.00Ш, где D — диаметр
входного канала. Размер шага по радиусу увеличивается на
10 % при движении к центральной линии.
В качестве исходных данных для расчетов использовались
экспериментальные данные в сечении x/D = 0.6 внутри диффу-
диффузора. Сравнение с экспериментальными данными проводится
о.зог
о результаты Со
0.00
0.25
0.50
6.3
0Л5
Рис. 16.11. Профили окружной скорости в коническом диффузоре.
при x/D = 6.3. Для моделирования турбулентности использова-
использовались, как отмечалось выше, алгебраическая модель турбулент-
турбулентной вязкости и (k — е)-модель (п. 11.5.2). Обе модели дают
хорошее совпадение с экспериментальными данными.
Соответствующее распределение окружной скорости приве-
приведено на рис. 16.11. Как и для осевой составляющей скорости,
хорошее совпадение с экспериментальными данными Со полу-
получается при использовании обеих моделей турбулентности.
В целом укороченные уравнения Навье — Стокса A6.63) —
A6.66) позволяют весьма точно и весьма экономичным обра-
образом получить решение о внутреннем течении закрученного по-
потока. Однако следует заметить, что слишком сильная закрутка
потока на входе приводит к образованию возвратного течения
у оси диффузора.
При сильной закрутке при наличии или отсутствии возврат-
возвратного течения у оси RNS-уравнения дают достаточно точное ре-
решение задачи, но лишь при многократных проходах в направ-
направлении течения. При этом в уравнении A6.64) сохраняется член
др/дх и дискретизация этой производной осуществляется разно-
разностями вперед (как в п. 16.3.3). Это приводит к необходимости
хранить все поле давления от одного маршевого прохода до

§ 16.2. Внутренние течения
329
другого. Кроме того, оказалось, что для сильно закрученных
потоков, близких к образованию возвратного течения, давление
необходимо определять из уравнения Пуассона, как это будет
сделано в п. 17.1.2, а скорость v — из уравнения радиальной
составляющей импульса. Если течение в осевом направлении
становится локально возвратным, необходимо использовать
разности против потока для осевых конвективных членов и хра-
хранить в памяти значения скоростей в области возвратного тече-
течения. Задача о закрученном течении в диффузоре рассматрива-
рассматривалась также в работе [Hah, 1983] методом, аналогичным рас-
рассматриваемому в п. 17.2.3.
16,2.2. Течение в прямом канале прямоугольного сечения
В отличие от задачи о внутреннем течении закрученного по-
потока в данной задаче в поперечном направлении имеются две
Плоскость поперечного
(вторичного) течения
-0.5//
-0.5 W
Рис. 16.12. Трехмерный канал и определение точек сетки.
независимые переменные (г/, г). При выводе укороченных урав-
уравнений Навье — Стокса предполагается, что вторичные (попе-
(поперечные) компоненты скорости v и w малы по сравнению с первич-
первичной (в направлении течения) компонентой и. В этом случае
кривизна канала должна быть невелика. На рис. 16.13 и 16.14
представлены результаты расчета течения в прямом канале, по-
полученные при помощи способа, изложенного в данном разделе.
Предлагаемый метод пригоден для расчета несжимаемых ла-
ламинарных течений; возможно обобщение на сжимаемые и тур-
турбулентные течения.
Геометрия течения и связанные с ней параметры сетки при-
приведены на рис. 16.12. Предполагается, что имеется предвари-

330 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
тельное невязкое решение, из которого известно «невязкое» рас-
распределение давления pinv(xyy,z). Укороченная форма безраз-
безразмерных уравнений Навье — Стокса в случае трех переменных
имеет вид
ди . dv . dw Л ,1А Qnv
дх ' ду ' dz ' х '
ди _ 1 ( д2и , д2и Ч ди ди (dpinv . др°
U дх ~ Re V ^2 "•" ^2 / V dy W dz
7&T~r дх
A6.81)
dpinv . dp0
p0 \
у ) *
дх ~ Re V ^2 "•" ^2 / V dy W dz \ ду ^ ду
A6.82)
dw dw (dpinv
Число Re определено на рис. 16.7.
В уравнениях импульса A6.81) — A6.83) содержится «вяз-
«вязкая» поправка к давлению pv, равная разности между давле-
давлением в вязком и невязком pinv течениях. «Невязкое» давление
считается известным. Аналогично задаче о внутреннем течении
закрученного потока (п. 16.2.1) поправка pv расщепляется на
две части:
Pv (x, у, z) = plfl (х) + р*.с (х, у, z). A6.84)
В результате подстановки этого расщепления в уравнения
A6.81) —A6.83) можно получить, что dpv>c/dx в A6.81) по-
порядка O(F/LJ), и этим членом можно пренебречь по сравне-
сравнению с остальными, порядок которых равен 0A). Кроме того,
для однородного невязкого течения в прямом канале значение
pinv постоянно и его градиент равен нулю. Следовательно, в
дальнейших выкладках члены с pinv в уравнениях A6.81) —
A6.83) пропадут, а для pvc/l и р°*с будут использоваться обо-
обозначения Рс/1 И рс.
После введения расщепления давления система уравнений
становится неэллиптической по х> и ее решение может быть
получено в результате одного маршевого прохода. Поскольку
осевая координата х играет роль времени, в исходной плоскости
х0 необходимо определить граничные условия. Таким образом,
и = Uo(y,z), p = po(f/, z)\ начальные значения поперечных ско-
скоростей 0О> Wo выбираются в соответствии с и<ь Ро и алгоритмом
расчета. Граничными условиями являются условия прилипания
на стенках канала; например, и = v = w =0 при у = +0.5Я.

§ 16.2. Внутренние течения 331
На выходной границе области расчета не требуется и не допу-
допускается постановка каких-либо граничных условий.
Три уравнения импульса могут быть записаны в виде
u1X = AQ + Sp> <16-85)
где
в-{и, о, w)T,
дх • ду • дг
Поперечные производные в AQ аппроксимируются трехточеч-
трехточечными центральными разностями
и аналогично для LZQ и LZZQ. Эти формулы справедливы при
однородной в поперечном направлении сетке. Если использует-
используется неоднородная сетка, аппроксимация определяется форму-
формулами A6.68).
Дискретное представление уравнений A6.85), пригодное для
маршевого решения вдоль канала (в направлении х)> может
быть записано в виде
? AzdQn+il2 + Sap, A6.86)
где
Уравнение A6.86) может быть линеаризовано аналогично
A6.71). В результате получится
[ип - 0.5 A* (Ayd + АЪ)} А9Л+1 = Д* (Lyd + L2d) Г + te Snp. A6.87)
Эта система линейная, однако структура левой части A6.87)
не позволяет построить эффективного алгоритма решения. Вме-
Вместе с тем, если к левой части A6.87) добавить член
+0.25 Дх2AydAdbSn+xl возможна факторизация, подобная (8.22).

332 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
В результате можно построить следующий двухшаговый алго-
алгоритм:
(ип - 0.5 AxAyd) Л6* = Дл; (А& + Ad) Qn + Ах Snpy A6.88)
(un - 0.5 ДхЛ^) Дв"*1 = Д9*. A6.89)
Уравнения A6.88) и A6.89) имеют ту же трехдиагональную
структуру, что и уравнения (9.88) и (9.89), и могут быть ре-
решены теми же методами, т. е. при помощи подпрограмм
BANFAC и BANSOL (п. 6.2.3).
Порядок аппроксимации уравнений A6.88), A6.89) равен
О (Ах, Ду2, Аг2). Значения ип+\ vn+l и wn+l получаются весьма
экономичным образом. Первая компонента ип+х получается из
Аип+Х совместно с поправкой давления на центральной линии
Ар"//1 следующим образом. Ограничение на безразмерный поток
массы, аналогичное A6.57), можно записать в виде
dydz=Oy A6.90)
d d
где Аип+? получается из решения уравнений A6.88) и A6.89).
Однако для произвольного р^+1 и, следовательно, произвольного
Sp(l) уравнение A6.90) не будет выполняться. Если Sp(l) за-
записать в виде
A6.91)
Sp@ = Ах +
и представить Д/пп+1 как /(р"//1)' то можно построить итера-
итерационный алгоритм, в результате работы которого получится
такое значениер^1'» что условие A6.90) будет выполнено. На-
Например, дискретный аналог метода Ньютона позволяет по-
получить
п+\,т __ рп+1,0
Pa Pen tfay-^-fbffl-'yW* > A6-92>
Этот процесс обычно сходится за две-три итерации по т
[Briley, 1974]. Для каждой итерации необходимо из уравнений
A6.88) и A6.89) определить новые значения Аип+1>т.
После того как будет достигнута сходимость решения урав-
уравнений A6.92), A6.88) и A6.89), будут определены значения
Реп* и и1л- Значения поперечных компонент скорости v и wy
найденные из A6.88) и A6.89), можно рассматривать лишь
как предварительные, поскольку не выполнено еще уравнение
неразрывности A6.80). Поэтому производится расщепление по-

§ 16.2. Внутренние течения 333
перечных компонент:
vn+l = vp + vct wn+l =wp + wc A6 93>
где предварительные значения vp и wp получаются из решения
уравнений A6.88) и A6.89). Поправки vc и wc рассчитываются
так, чтобы выполнялось уравнение неразрывности A6.80).
Как и в п. 17.2.2, поправки предполагаются безвихревыми
и можно ввести потенциал ф так, что
О у и Z
Если соотношения A6.93) и A6.94) подставить в уравнение
A6.80), то для ф получится уравнение Пуассона
v ? дх ду dz J> U
которое записывается в дискретной форме
(Lyy + Lzz)фп+> = - (*gL + Lyv" + Lzw") = fd. A6.96)
Поскольку правая часть известна из решения уравнений A6.88)
и A6.89), уравнение A6.96) может быть решено методами, опи-
описанными в § 6.2 или 6.3. Могут быть легко построены быстро
сходящиеся при соответствующем выборе фп итерационные про-
процедуры SOR или ADI (§ 6.3).
Если сетка однородная, можно использовать прямой метод
решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6). Если поперечное се-
сечение канала вниз по потоку остается постоянным, левую часть
A6.96) необходимо факторизовать лишь один раз при условии,
что имеется достаточный объем памяти. Решение уравнения
A6.96) в различных точках вниз по потоку требует матричного
умножения с различными правыми частями, что может быть
осуществлено весьма экономным образом.
При решении уравнения A6.96) на стенках канала исполь-
используются однородные условия Неймана, т. е. дф/дп = 0. Однако
в общем случае дф/ds ф 0 на стенках канала. Следовательно,
хотя wc = 0 на стенке z = const и vc = 0 на стенке у = const,
граничные условия прилипания не полностью выполняются.
В работе [Briley, 1974] рекомендуется решать уравнения
A6.88) и A6.89) с условиями прилипания для vp и wp. Конт-
Контроль ошибок при выполнении условия прилипания для vn+\
wn+l посредством разложения A6.93) позволяет, если это необ-
необходимо, уменьшать шаг Ах. Иначе говоря, можно обратить в
нуль vc и wc при решении уравнения A6.96), или, как в п. 17.1.6,

334 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
можно так подобрать граничное условие для vp и wpt что зна-
значения vc* n и wc>n обратятся в нуль.
При решении уравнения A6.95) должна выполняться инте-
интегральная теорема Грина [Gustafson, 1980], т. е.
^ds = 0, A6.97)
где с — контур, ограничивающий площадку Л, 5 измеряется
вдоль с, а п — внешняя нормаль к с. Таким образом, А — пло-
площадь поперечного сечения канала, с совпадает со стенками ка-
канала. Дискретное представление A6.96) не удовлетворяет точ-
точно условию A6.97). Следовательно, f в A6.96) следует заме-
заменить выражением
A6.98)
Ы
Невыполнение условия A6.97) обычно приводит к медленной
расходимости итераций [Brilley, 1974].
Поперечная поправка давления рс в A6.84) находится пу-
путем решения уравнения Пуассона, полученного из уравнений
A6.82) и A6.83). В разностной форме оно имеет вид
(Lyy + LZ7) (pc)n+l = LyFl + LzFzd = fd, A6.99)
где
(«•+¦ w") +, A6Л00)
F* = -un (w ^w > + Adwn+\
Значения vn+l и wn+l в A6.100) находятся из A6.93), а опера-
оператор Л, определен после формулы A6.85). Следовательно, источ-
источник fd в уравнении A6.99) может быть выражен явно. Расчет-
Расчетной границей при решении A6.99) является ряд точек, лежа-
лежащих за стенкой. На этой границе для рс ставятся граничные
условия Неймана
2j?r = Fyd или % = Fzdy A6.101)
где Fyd и Fd определяются выражениями A6.100).
Для выполнения теоремы Грина значение fa в A6.99) за-
заменяется выражением
П$?] A6Л02)

§ 16.2. Внутренние течения
335
Для численного решения уравнения A6.99), как и для решения
уравнения A6.96), можно использовать прямые и итерацион-
итерационные методы.
Весь алгоритм расчета можно представить следующим об-
образом. Решение уравнений A6.80) — A6.83) получается за один
0.5
0.4 -
0.3 -
0.1 -
0 0 0 ,,, 1.0 2.0
-
(а)
i
(x/D)
i
<
0.0038
i i
1—г —г
1 В
0.0158
lit!
th—п—г—
- расчет
о экспериментальные
данные Спэрроу —
v и др.
0.06861
i I i
1 i
I I I I I I
— расчет
о экспериментальны»
данные Спэрроу -
и др.
Рис. 16.13. Распределение осевой скорости в канале с удлинением W/H—2.0
([Briley, 1974]; печатается с разрешения Academic Press).
проход вниз по потоку. В каждой плоскости хп+х значения
ип+\ vn+], wn+l, pncf[x и pc>n+l определяются следующим об-
образом:
1) решение уравнений A6.88), A6.89) и A6.92) позволяет
определить un+l9 pffi, vp и wp;
2) решение уравнений A6.96), A6.94) и A6.93) позволяет
определить vn+l и до"*1;
3) решение уравнения A6.99) позволяет определить рСЛ+1.

336 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
Общая погрешность всего алгоритма О (Ах, Д*/2, Дг2). Не-
Несмотря на то что некоторые шаги алгоритма требуют проведе-
проведения итераций, он в целом является весьма эффективным. По
сравнению с задачей о закрученном течении (п. 16.2.1) наличие
Масштаб скоростей *ВУХ ПОПереЧНЫХ КООрДИНаТ
О 2.0 приводит к более сложному
(v/Um)Re или (tt;/(/m)Re способу определения v, w и по-
поправки давления рс при по-
помощи уравнения Пуассона.
В задаче о закрученном по-
потоке радиальная скорость и
поперечная поправка давле-
давления получались за один мар-'
шевый проход в радиальном
направлении.
В работе [Briley, 1974] по-
получено решение для ламинар-
ламинарного течения в канале с от-
отношением сторон 1:1 и 2:1.
Типичные результаты для ка-
канала с отношением сторон
2: 1 представлены на рис.
16.13 и 16.14. Число Рейноль-
дса Re, вычисленное по сред-
средней скорости на оси Um и гид-
гидравлическому диаметру (рис.
16.7), равно 1333. Решения
получены на сетке 21X21 в
поперечной плоскости. Для
-0.5
-0.5
z/W
0.5
Рис. 16.14. Профили вторичных ско-
скоростей в канале с удлинением 2: 1
([Briley, 1974]; печатается с разре-
разрешения Academic Press).
прохода вниз по потоку обыч-
обычно требовалось 75 шагов. Как
видно из рис. 16.13, рассчи-
рассчитанные значения осевой со-
составляющей скорости в раз-
различных поперечных сечениях
хорошо согласуются с экспе-
экспериментальными данными из работы [Sparrow et. al., 1967].
Можно заметить (рис. 16.14), что вторичные компоненты ско-
скорости довольно малы. Большие значения поперечных скоростей
получаются при неодинаковом нагреве стенок канала и учете
плавучести в уравнении вертикальной поперечной составляю-
составляющей импульса. Этот случай также рассмотрен в работе [Briley,
1974].
Описанный выше алгоритм в несколько измененном виде
использовался для расчета ламинарного течения в прямом по-

§ 16.2. Внутренние течения 337
лярном канале [Ghia et al., 1977] и в искривленном прямоуголь-
прямоугольном канале [Ghia, Sokhey, 1977]. Обобщение на искривленный
полярный канал описано в работе [Ghia et al., 1979].
Задача о расчете течения в канале за один маршевый про-
проход рассматривалась в работах [Patankar, Spalding, 1972;
Rubin et al., 1977; Kreskovsky, Shamroth, 1978; Anderson, 1980;
Cooke, Dwoyer, 1983] и ряде других. В работе [Ghia et al.,
1981] показано, что если внутреннее устройство канала приво-
приводит к отрыву потока, то укороченные уравнения Навье — Сток-
са дают правильное решение. Однако при этом один маршевый
проход заменяется повторяющимися маршевыми итерациями,
в которых сохраняется и используется на следующей итерации
все поле давления. Такой итерационный подход к решению
RNS-уравнений весьма близок к методу, описываемому в
п. 16.3.3.
16.2.3. Течение в искривленном канале прямоугольного сечения
Для расчета течения в прямоугольном канале со слабо
искривленной осью применим метод, описанный в п. 16.2.2. При
малой кривизне поперечные составляющие скорости v и w малы
по сравнению с продольной составляющей и. Это соответствует
малым изменениям поправки давления pv>c в формуле A6.84),
особенно в направлении течения, что позволяет пренебречь
членом dpv>c/dx в уравнении составляющей импульса, направ-
направленной по потоку.
При большой кривизне оси канала поперечные составляю-
составляющие скорости v и w могут стать одного порядка с компонентой
и, направленной по потоку. Вследствие этого возникают суще-
существенные поперечные изменения давления. Расщепление давле-
давления, введенное в п. 16.2.2, в этом случае не приводит систему
уравнений к неэллиптическому типу и не может обеспечить воз-
возможность определения решения за один маршевый проход.
Другой способ получения неэллиптических уравнений, при-
пригодный для течений большой кривизны, предложен в работе
[Briley, McDonald, 1984]. В этом методе для заданной геомет-
геометрии канала в качестве первого приближения используется не-
невязкое решение Ul, V\ Wl и р\ которое далее модифицируется
путем решения RNS-уравнений, что позволяет учесть вязкие
эффекты.
Поперечные компоненты скорости расщепляются следующим
образом:
v = Vi + vtf> + v*9 w = Wl + тФ + wb A6.103)
или в векторной форме
v = V*' + V0 + v^, A6.104)
22 К Флетчер, т. 2

338 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
где каждый член v состоит из двух компонент (v,w). Потен-
Потенциальная поправка скорости v<? = {i>0, хюф) создается градиен-
градиентом продольной составляющей скорости ди/дх. Ее введение,,
как и в A6.95), необходимо для выполнения уравнения нераз-
неразрывности A6.80). Вихревая поправка v^ = {Оф, w^} создается
направленной по потоку компонентой завихренности Qx, кото-
которая в декартовых координатах равна
х ду ' ду dz dz x '
Если невязкое решение потенциальное, то dWl/dy — dV'/dz = 0.
Неэллиптические уравнения могут быть получены в связи
с тем, что потенциальная поправка скорости \ф мала по сравне-
сравнению с невязкой V и вихревой v^. Это, как будет показано ниже>
следует из сравнения порядков различных членов в уравнениях.
Ниже описывается подход для расчета несжимаемых вязких
течений в ортогональных координатах; обобщение на сжимае-
сжимаемые вязкие течения в ортогональных координатах описано в
работе [Briley, McDonald, 1984]. Ортогональные координаты
обозначаются через (g, rj, g); и, v, w — локальные составляю-
составляющие скорости вдоль этих координат. Метрические параметры
Ль /*2, Лз определяются соотношениями A2.20), т.е.
и вычисляются, как описано в § 12.2, один раз после построе-
построения сетки. Эквивалентная декартова система координат полу-
получается, если положить х% = уп = z^ = 1, а все остальные па-
параметры приняты равными нулю. При этом /*i=/i2 = /*3=l-
Поперечное поле скоростей v^ и v^ связано с потенциалом <f>
и поперечной функцией тока г|э соотношениями
*¦—ЯГ7ЙГ' *¦—ЖГаГ n
_
и*~ hxhz дЪ ' w*~ h]h2 дх\ '
Для сравнения порядков величин различных членов предпола-
предполагается, что направленная по потоку координата g совпадает
с линиями тока невязкого течения, поэтому V1 = W1 = 0. Под-
Подстановка выражений A6.107) в уравнении A6.103) дает
п— 1 дф м l d{hiySp) «. * дф 1
При сравнении порядков величин, как и в п. 16.1.1, предпола-
предполагается, что вязкие эффекты ограничены слоем безразмерной
толщины б, малой по сравнению с безразмерным продольным

§ 16.2. Внутренние течения
339
размером порядка 0A). Для обезразмеривания используется
характерная длина L в осевом направлении. На входе в ка-
етал (рис. 16.7) б — толщина пограничного слоя; в областях
У////////////////////////////
'////Л///////////////////////
()
Рис. 16.15. Детали поперечной геометрии.
вязкого и сформировавшегося течений величина б равна поло-
половине гидравлического диаметра Dh.
Метрические параметры Ai, Л2, A3 в уравнениях A6.108) по-
порядка 0A). Вблизи стенки, соответствующей постоянному зна-
значению ц (рис. 16.15),
и,Т8>9-щ, -^г~ОA), о — О(б), -^-~ О (у). A6.109)
Вблизи стенки, соответствующей постоянному значению ?,
-0A), ш~ОF), -L^oO). A6.110)
Из сопоставления оценок A6.109), A6.110) с выражениями
A6.107) следует, что ф имеет порядок О (б2), а г|) — порядок
О F). Тогда в соответствии с оценкой A6.109)
Vj» V$~O F), ХЮф~О (б2), Wq ~ О A).
В соответствии с A6.110)
Поскольку сильные градиенты возникают у стенок, на которых
$ или ц постоянны, то
v0~OF), и, v^-0A). A6.111)
22*

340 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
Следовательно, поперечная потенциальная поправка скорости
уф мала по сравнению с компонентой скорости и, направленной
по потоку. В то же время поперечная вихревая скорость v^j,
того же порядка, что и скорость в направлении потока.
Уравнения, эквивалентные A6.80) — A6.83), могут быть за-
записаны в следующем виде:
V.u = 0, A6.112)
М = (и.?)и + Ур--^-Р = 0, A6.113)
где и = (и, v, w), М — вектор трех уравнений импульса, F —
сила, обусловленная вязкими напряжениями.
После подстановки соотношений A6.104) и A6.107) в
A6.112) получается уравнение Пуассона для ф. В декартовых
координатах оно имеет вид
д2Ф , дЧ (ди , dVl , dWl \ /ft t .
Как и можно было ожидать из A6.107), вихревое поле скоро-
скорости v^ не появляется в уравнении A6.114). Уравнение A6.114)
эквивалентно уравнению A6.95), и для его решения пригоден
тот же метод (описан после формулы A6.95)).
Предположение A6.111) о малости скалярного потенциала
позволяет упростить уравнение A6.113). Конвективный опе-
оператор
« Т7 urdvd.wd /1С и^
u'v==-a7 5|+17 ЛГ + Х1Г A6Л15)
остается без изменений. Однако вектор и, на который он дей-
действует, заменяется на вектор иа, определяемый в виде
IIе « fa, V + V+, W' + Wj, A6.116)
т. е. в соответствии с оценкой A6.111) можно отбросить попе-
поперечные потенциальные составляющие скорости.
Выражение для вязкой силы F можно записать в виде
F = V2u = -VXQ, A6.117)
где завихренность Й = V-X и. Анализ порядков величин позво-
позволяет отбросить д2и/дх2 из F\ и производные по х в поперечных
составляющих вектора VXS*. Таким образом, выражения для
F2 и F3 приводятся к виду
*^. A6-118)

§ 16.2. Внутренние течения 34 Г
где направленная по потоку компонента завихренности Qi
равна
(^^)- A6Л19>
В декартовых координатах это выражение сводится к формуле
A6.105).
Если уравнения A6.116), A6.118) и A6.119) подставить
в A6.113) и провести анализ Фурье уравнений A6.113) и
A6.114) (см. п. 16.1.2), то получится полином
(9 | 2 \ 2
^x + vay + wag-i^^)=0. A6.120)
При положительном значении и ни один из множителей не
дает мнимого корня со знаком минус. Следовательно, маршевое
решение в направлении х будет устойчивым.
На практике уравнения для поперечных составляющих им-
импульса (М2 = 0 и Мз = 0) не решаются непосредственно. Вме-
Вместо этого рассматриваются их следующие комбинации (в де-
декартовых координатах):
дМ2 дМг п дМ2 , дМ3 п /ia Ю1\>
~г W ' -дГ+-дГ = {)' AЬ.Ш)
Первое уравнение сводится к уравнению переноса для Qi:
=0- A6Л22>
Второе из уравнений A6.121) сводится к уравнению Пуассона
i?$-+%r=-w{nm*v*>—&<"'***> A6Л23>
для поперечной поправки давления
Р' = Р-Рсп- A6.124)
Численное решение уравнения A6.123) осуществляется так же,,
как и уравнения A6.99). Давление на центральной линии опре-
определяется из ограничения на поток массы A6.90) по формуле
A6.92). В описываемом методе не делается никаких дополни-
дополнительных предположений для определения давления по формуле
расщепления A6.124).
После подстановки вихревых компонент скорости, опреде-
определенных выражениями A6.107), в уравнение A6.119) для г|>
получается уравнение Пуассона (в декартовых координатах)
^L. A6Л25>
ду v F

342 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
Чтобы обеспечить выполнение условия прилипания v =
= w = 0y следует, используя разложение A6.103), связать урав-
уравнения A6.122) и A6.125) путем задания определенного значе-
значения Q\ на стенке. Решения уравнений A6.114) с условием
дф/дп = 0 на стенке и A6.125) с условием i|) = 0 обеспечивают
обращение в нуль нормальной составляющей скорости. На
стенке при постоянном значении z (? на рис. 16.15) касательная
скорость равна
v=vl+w+^-=0- A6Л26)
Завихренность на той же стенке
При конечно-разностной аппроксимации (подобно используе-
используемой в п. 16.2.2) выражение A6.126) преобразуется к виду
^- = 0, A6.128)
где точка (у, k—1) лежит за пределами расчетной области.
Уравнение A6.127) записывается в следующем разностном
виде:
i±ti = o. A6.129)
Для аппроксимации dVl/dz\w в A6.129) можно использовать
одностороннюю трехточечную конечно-разностную формулу
(гл. 3). На стенке ф/, * = 0. Уравнение A6.128) используется
.для определения значения -ф/, ^—i в A6.129), т. е.
) Дг •
Az2
A6.130)
Равенство A6.130) обеспечивает выполнение условия непроте-
непротекания для компоненты v на стенке с постоянным значением г.
Можно получить эквивалентное выражение, обеспечивающее
выполнение условия w = 0 на стенке с постоянным значением
у. Аналогичные выражения могут быть получены в ортогональ-
ортогональных координатах. Значения ф берутся в известных точках хп.
Различные уравнения приводятся к дискретному виду так
JKe, как в п. 16.2.2. Поскольку приближение малости потенциала
A6.111) позволяет получить неэллиптическую систему, реше-
решение, как и в п. 16.2.2, может быть вычислено за один маршевый
.проход в направлении течения. В каждой точке, расположенной

§ 16.2. Внутренние течения 34S
вниз по потоку, решение определяется следующим образом.
Сначала уравнения A6.122) и A6.125) решаются как связанная
система. При этом вместо A6.88) и A6.89) получается
BХ2)-блочно-трехдиагональная система уравнений. Для ре-
решения используется алгоритм, описанный в п. 6.2.5. Если урав-
уравнения A6.122) и A6.125) решать последовательно как скаляр-
скалярные уравнения, граничное условие A6.130) привело бы к очень
сильному ограничению на размер шага по оси. При дискрети-
дискретизации A6.122) значения конвективных множителей и, v и w
берутся со слоя хп.
Уравнение Пуассона для поправки давления рг решается
так же, как и уравнение A6.99). Значения членов в правой
части берутся со слоя хп, за исключением Оф и w^y которые
определяются через x|)rt+1 из A6.107). Уравнение A6.113) для
компоненты М\ и ограничение на поток массы A6.90) решаются
итерационно, как в п. 16.2.2, в результате чего определяются
значения ип+г и pffi. В комбинации с решением для поправки-
к давлению р' полное давление определяется из A6.124). На-
Наконец, из решения уравнения неразрывности определяется фп+]^
значение v?+1—по формулам A6.107).
В работе [Briley, McDonald, 1984] приведены соответствую-
соответствующие уравнения, описывающие сжимаемые вязкие течения в ор-
ортогональных системах координат. В этой же работе обсуж-
обсуждается предшествующая маршевому решению вниз по потоку
специальная итерационная процедура измельчения шага, поз-
позволяющая получить согласующиеся со схемой начальные усло-
условия. Это устраняет развитие нефизических осцилляции вниз по
потоку.
Типичные результаты расчета течения в канале квадрат-
квадратного сечения, ось которого разворачивается на 90° вправо, при-
приведены на рис. 16.16. Радиус поворота R/Dh = 2.3. Изображено
шесть сечений, значение 90° соответствует концу поворота.
Внутренняя сторона изгиба находится справа. Число Рейнольдса:
Re = 790 (рис. 16.7), толщина пограничного слоя в начале по-
поворота 8/Dh = 0.4.
Решение симметрично относительно оси г, поэтому ячейку
вращающейся жидкости следует отразить относительно прямой
линии у = 0. При прохождении поворота эта ячейка смещается
к внутренней стенке. Максимум поперечной скорости равен 0.73
и достигается при угле 60°. Сильное вторичное поперечное те-
течение связано с существенным поперечным градиентом давле-
давления dp/dz. Подобные течения не могут быть рассчитаны на
основе расщепления давления, описанного в п. 16.2.2. Для рас-
расчета таких течений пригодны методы, которые будут описаны.

[. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениямп Навье—Стокса
344 Гл
в п. 17.2.3. Однако в этих методах необходимы повторные мар-
маршевые проходы, что делает их менее экономичными, чем рас-
рассмотренный однопроходовый метод.
Можно отметить, что в работе [Briley, McDonald, 1979]
разработана более ранняя версия настоящего алгоритма, пред-
предназначенная для расчета течения в искривленном канале, по-
подобном каналу у лопаток турбины. В указанном алгоритме для
Re = 730
м
Ж
ш
Внешняя стен
ТГЛи
к
\ ^ -*Г * ' ' ' ' {
15°
30°
V - -
\ш
1
\\\ 11
60°
75е
90е
Рис. 16.16. Изолинии поперечного давления (вверху) и векторы поперечной
скорости (внизу) для течения в канале с углом поворота 90°.
давления использовалось приближение, аналогичное описанному
в п. 16.2.2. В других отношениях более ранний алгоритм соот-
соответствует описанному в настоящем разделе. В работах [Kjes-
kovsky et al., 1984; Povinelly, Anderson, 1984] данный алгоритм
использован для исследования течения в выхлопном канале
турбины. Результаты расчетов очень хорошо согласуются с экс-
экспериментальными данными.
Физические свойства течений, в основном ламинарных, в ис-
искривленных трубах рассматривались в работе [Berger et al.,
1983]. Ламинарное течение в прямоугольном канале, развора-
разворачивающемся на 90°, методом, аналогичном описанному в
п. 17.2.3, рассчитывалось в работе [Humphrey et al., 1977]. Наи-
Наиболее существенное отличие их алгоритма от алгоритма работы
[Briley, McDonald, 1984] заключается в необходимости прове-
проведения повторных (итерационных) маршевых расчетов в направ-

§ 16.3. Внешние течения 345
лении потока. Расчет турбулентного течения тем же методом
в аналогичном прямоугольном канале, разворачивающемся на
90°, можно найти в работе [Humphrey et al., 1981]. Результаты
расчета ламинарного течения в трубе, разворачивающейся на
180°, можно найти в работе [Humphrey et al., 1985]. Исполь-
Использовался алгоритм, аналогичный описанному в п. 17.2.3, за ис-
исключением лишь того, что для аппроксимации конвективных
членов использовались разности против потока более высокого-
порядка [Leonard, 1979]. Эта аппроксимация описана в
п. 17.1.5.
Внутренние течения с большой кривизной линий тока рас-
рассчитывались также в работе [Pratap, Spalding, 1976], в которой
используются повторяющиеся маршевые проходы в направле-
направлении течения. В этом методе, как и в методе, описываемом в
п. 17.2.3, значения давления в каждой поперечной плоскости
получаются сильно завышенными. Однако после каждого мар-
Шевого прохода вниз по течению делается глобальная одномер-
одномерная (в направлении линий тока) коррекция поля давления.
Обобщение на случай сжимаемого течения сделано в работе
[Moore, Moore, 1979]. Более позднее обобщение для расчета
сжимаемых турбулентных течений в каналах и диффузорах,,
основанное на использовании обобщенных криволинейных ко-
координат и неразнесенных сеток, описано в работе [Rhie, 1985].
В общем случае модификация RNS-уравнений (§ 16.1) на
основе расщепления давления A6.52) или поперечных компо-
компонент скорости (п. 16.2.3) позволяет получить довольно точное
решение для внутренних течений в результате одного марше-
маршевого прохода, если только величина скорости и, направленной
вдоль оси, остается положительной. Если возникают возврат-
возвратные течения в направлении оси, необходимо проведение повтор-
повторных маршевых проходов. Однако, по-видимому [Ghia et а1.„
1981], такая процедура будет все же существенно экономнее»
чем решение полных уравнений Навье — Стокса (гл. 17 и 18)„
если области возвратного течения невелики.
§ 16.3. Внешние течения
Для изолированного тела течение вдали от него хорошо*
аппроксимируется уравнениями Эйлера A1.21). Вывод RNS-
уравнений (§ 16.1) обеспечивает их совпадение с уравнениями
Эйлера, если вязкие члены пренебрежимо малы. Следователь-
Следовательно, в принципе для расчета внешних течений можно эффективно
использовать RNS-уравнения.
Как видно из табл. 16.1, RNS-приближение непосредственно
применимо для расчета сверхзвуковых внешних течений. После

346 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
введения соответствующего дополнительного приближения для
учета дозвукового поверхностного слоя (п. 16.3.1) решение
RNS-уравнений может быть получено в результате одного мар-
маршевого прохода вниз по потоку.
Для дозвуковых (п. 16.3.2) и несжимаемых (п. 16.3.3) тече-
течений RNS-уравнения в дальней зоне являются эллиптически-
эллиптическими. Это приводит к необходимости проведения повторных
маршевых проходов, даже при отсутствии возвратных течений.
Однако решение в чисто невязкой области можно получить бо-
более эффективно методами расчета невязких течений (гл. 14).
Это приводит к введению разделения области расчета на ближ-
ближнюю и дальнюю зоны. RNS-уравнения решаются только в ближ-
ближней зоне. Решение в дальней (невязкой) зоне используется как
граничное условие. Аналогичный подход применяется в более
традиционном методе вязко-невязкого взаимодействия (п. 16.3.4),
за исключением лишь того, что в этом случае области вязкого
и невязкого течений перекрываются.
16.3.1. Сверхзвуковые течения
Из анализа, проведенного в п. 16.1.3, следует, что устойчи-
устойчивое решение за один проход по пространственной переменной
может быть получено, если поток локально сверхзвуковой. Сла-
'бое взаимодействие давления с вязкими членами, отмеченное
в табл. 16.1, обычно преодолевается путем выбора шага мар-
маршевой переменной, который не оказывается слишком малым
(п. 16.3.2). Для чисто невязкого течения маршевый алгоритм
•описан в п. 14.2.4.
В случае вязкого течения у неподвижной поверхности
(рис. 16.17) из-за обращения в нуль скорости на поверхности
вблизи стенки всегда должна образовываться область локально
дозвукового течения. Чтобы избежать экспоненциального роста
решения при проведении маршевого счета в направлении, па-
параллельном поверхности, в дозвуковом подслое необходимо
ввести дополнительное предположение. Как правило, это до-
дополнительное предположение связано с градиентом давления
др/дх в маршевом направлении, который имеется в уравнении
х-компоненты импульса.
Один из методов модификации уравнений в дозвуковом под-
подслое, позволяющий получить устойчивое маршевое решение,
заключается в пренебрежении изменением давления поперек
подслоя (др/дужО на рис. 16.17) [Lin, Rubin, 1973]. Для те-
течений, параллельных или почти параллельных поверхности, до-
дозвуковой подслой является частью поверхностного пограничного
«слоя. Для течений у тонких тел пограничный слой тонкий и

§ 16.3. Внешние течения 347
условие др/дп « 0 справедливо для всего пограничного слоя
(§ 11.4). Таким образом, условие др/дужО внутри дозвуко-
дозвукового подслоя (рис. 16.17) согласуется с теорией пограничного
слоя. На практике условие др/ду = О используется для опре-
определения давления в дозвуковом подслое путем экстраполяции
Неэллиптические
RNS- уравнения»
psup
Поток
Г~ТТ
Vsl Psl Op/d1
x!ii ///////////////////////
п I /Nn/?Vii~П кл^л V. Эллиптические
Psl Op/d1/«U M<1 ^
S-уравнения
////////////////////////////////////////
Рис. 16.17. Геометрия подслоя.
значений из прилежащего сверхзвукового слоя, т. е. Psi = Л^р
(рис. 16.17).
Описанное выше приближение подслоя будет продемонстри-
продемонстрировано на двумерном стационарном вязком (ламинарном)
сверхзвуковом течении у твердой поверхности. Безразмерные
уравнения, эквивалентные A1.6), могут быть записаны в виде
где компоненты вектора зависимых переменных q равны
q = {p, ри, pv9 E}T. A6.132)
Здесь Е — полная энергия на единицу объема A1.118). Компо-
Компоненты F и G определяются выражениями
pu2 + p9 puv, ( + рУи},
puv, pv* + p, (E + p)v)T. A6ЛЗЗ)
Компоненты R и S связаны с вязкими напряжениями (п. 11.6.3).
Для удобства рассмотрения искривленных поверхностей вво-
вводятся обобщенные криволинейные координаты (гл. 12). По-
Поскольку в настоящем примере рассматриваются течения у тон-
тонких тел, предполагается, что ? = ?(*) и ц = г\(хуу). Физиче-
Физическая ориентация g и г\ показана на рис. 16.18.

348 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
Уравнения A6.11) принимают вид
dF i dG dR dS
д% "^ дт\ dl ¦+" dx\ '
A6.134)
,где q = q/7, а якобиан / = ?*%. Простой вид якобиана связан
с предположением 1 = 1(х), вследствие чего в уравнении A2.49)
1 0
Векторы F и G определяются выражениями
г— — г
Ucf
A6-135)
Здесь введены контрвариантные компоненты скорости
Uc = lxuy VG = x\ji + x\yv. A6.136)
Введение обобщенных координат позволяет получить лучшее
/по сравнению с декартовыми координатами совпадение коорди-
Рис. 16.18. Обобщенные координаты g = ?(*), Ц = ц(*> У)-
натных линий (линий постоянного значения ц) с направлением
течения. Следовательно, основное предположение при выводе
укороченных уравнений Навье — Стокса о малости диссипации
в направлении потока по сравнению с поперечной диссипацией
эквивалентно отбрасыванию члена dR/d? в уравнении A6.134)
и производных по I в S. Данное приближение совпадает с при-
приближением тонкого слоя (п. 18.1.3 и 18.4.1).
Компоненты вектора S равны
О
S = Jj
A6.137)
(a\ k/(y -
r\yv) [хуг^

§ 16.3. Внешние течения 349
где Ur] = ди/дц и т. д. Данная структура S связана отчасти с
отбрасыванием производных по ?, отчасти с упрощенным видом
обобщенных координат (рис. 16.18) и выбранным способом обез-
размеривания. Скорости обезразмерены по а<х> (скорость звука
в набегающем потоке), плотность — по р<х>, полная энергия Е —
— по 9ооа1о* Таким образом, число Рейнольдса Re = p<x>acxX/fioo,
где L — характерная длина.
После введения основного предположения укороченных ура-
уравнений Навье — Стокса уравнение A6.134) удобнее записать
в виде
|^ = X"""XL- A6.138)
Чтобы учесть описанное выше приближение подслоя, следует за-
заменить F в A6.135) в подслое выражением
Fsi = -y-Fsl = ^*-{ptf, 9u2 + psh puv, u(E + psi)}T, A6.139)
где psi — давление в подслое. Если и > а{\ + es), значение ps\
выражается через полную энергию на единицу объема по фор-
формуле
psl = (у — 1) [Е — 0.5р (и2 + о2)]. A6.140)
Малый параметр е5 вводится для того, чтобы избежать случай
и — а. Если и < а{\ -\- 8s), то принимается ps\ = pSup, т. е. дав-
давление экстраполируется вдоль линии постоянного значения g из
прилежащей сверхзвуковой области.
Чтобы получить решение за один маршевый проход в на-
направлении течения g, на поверхности | = |о необходимо опреде-
определить начальные значения зависимых переменных. На поверх-
поверхности тела и = v = 0 давление получается из условия др/дг\ =
= 0, значения Т или дТ/дц задаются. Следовательно, р можно
определить из уравнения состояния. На удаленной границе
Ц = Лтах значения зависимых переменных равны параметрам
набегающего потока.
Поскольку координата !• играет роль времени, для дискрети-
дискретизации A6.138) удобно использовать полностью неявную трех-
трехслойную схему, описанную в п. 7.2.3. Тогда уравнение A6.138)
заменится соотношением
др*+1 _j^ = (-2|L)RHs*+1, A6.141)
где
Lor г>
2ДТ1

350 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
Из выражения A6.137) видно, что LnS имеет форму Ь
Дискретизацию этого выражения можно провести по формуле
^n(^ti+) = {*/+i/2 (*/+i — */) — #/-i/2 (¦/ — */-1)}/Длв. A6.142)
где ф!+1/2 = 0.5(ф] -f#/+i) и т. д. Индексы п и / в формулах
A6.141)) и A6.142) определяют точки сетки в направлении I и
т| соответственно.
Для построения эффективного маршевого алгоритма реше-
решения системы A6.141) удобно перейти к вектору зависимых пе-
переменных q и провести линеаризацию относительно известного»
на поверхности 1п решения. Разложение в ряд Тейлора дает
F"+1 « F" + A*Aqrt+1, Qn+l ~ G* + BnAqft+1,
где
A—2?, B^-S, M—iJL A6.143)
dq dq dq
Знак ~ над символами означает, что компоненты q опреде-
определяются на п-м слое, в то время как метрические коэффициен-
коэффициенты— на (п + 1)-м.
При линеаризации Fs\ в подслое следует заметить, что
F.i = К (Ч' Pel) при w < а A + в,). Тогда
sI =
+ F?, A6.144)
где F^A^fO, 1, 0, u}T(lx/J)n+\ a Ap^,+1 заменяется на Ар",
после экстраполяции из области вверх по потоку. Если
u>a(l+es), то Asi = A и Fp = 0.
После подстановки A6.143) и A6.144) в A6.141) получается
следующая линейная система уравнений относительно Aq*+1:
RHSn + -^L - AASiq* - AF? + ?)qn. A6.145)
Дополнительные члены AAsi и AFp возникают из-за необходи-
необходимости проведения линеаризации на слоях лип+1. Это обеспе-
обеспечивает консервативность, которая необходима для правильного

§ 16.3. Внешние течения 351
сквозного счета скачков (см. гл. 14 и [Schiff, Steger, 1980]). Для
подавления высокочастотных осцилляции добавлен диссипатив-
ный член четвертого порядка 2)qn (п. 18.5.1), который имеет
вид
ZH? = *АЙ (Г1Т (VAJ ('ЯЛ A6.146)
где для устойчивости еб < 1/8 и
(УДJ iff = qU - Щ_х + 6?? - 4^+1 + (f}+2. A6.147)
Область вне подслоя также описывается системой уравнений
A6.145), в которой только следует заменить Asi на Art и поло-
положить Fp = 0.
При использовании центральных разностей для аппроксима-
аппроксимации Ьц система A6.145) есть DХ4)-блочно-трехдиагональная
при 2 ^ / ^ JMAX — 1 на каждом слое п + 1 вниз по потоку.
При определении правой части A6.145) используются лишь уже
известные значения, расположенные по ? на п-м и (п—1)-м
слоях. Граничные условия на твердой поверхности (/= 1) и на
удаленной (/ = JMAX) позволяют получить соответствующие
значения Aq*+1 и АЯ/^ах- Для решения A6.145) применим ме-
метод решения блочно-трехдиагональных систем, описанный в
п. 6.2.5.
Шифф и Стегер [Schiff, Steger, 1980] использовали описан-
описанный выше алгоритм для расчета двумерных ламинарных и тур-
турбулентных течений у параболического профиля. Полученное ре-
решение хорошо согласуется с решением, определенным методом
установления [Steger, 1978], которое также использовалось для
определения начальных данных при х/с = 0Л (с — длина хорды
профиля).
Однако, если шаг маршевой переменной (Д| г= Ах) сделать
слишком маленьким (Ах/с ^ 0.005), маршевый алгоритм рас-
расходится. Данное свойство связано со слабой эллиптичностью,
обусловленной вязкими членами в A6.38). Расходимость можно
устранить, если применить повторяющиеся (итерационные) про-
проходы в маршевом направлении, при этом для psi следует исполь-
использовать некоторую взвешенную комбинацию значений с предыду-
предыдущих итераций, т. е. необходимо построить сходящиеся глобаль-
глобальные итерации. Шифф и Стегер получили, что достаточно точное
решение получается в результате трех-четырех итераций. Не-
Необходимо подчеркнуть, что для достаточно больших чисел Рей-
нольдса корректное решение получается в результате одного
прохода на достаточно грубой сетке, не приводящей к расходи-
расходимости решения.

352 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
Основываясь на том же алгоритме, Шифф и Стегер [Schiif,
Steger, 1980] получили решение трехмерной задачи. На рис. 16.19
и 16.20 представлены распределения давления и профили ско-
скорости на сферически затупленном цилиндре, расположенном под
углом 5° к набегающему потоку. Маршевое решение получено
на интервале 3.07 ^ x/Rn ^ 40.0, где Rn— радиус затупления.
На подветренной и наветренной сторонах для давления и про-
продольной скорости имеется хорошее совпадение с расчетами ме-
методом установления [Pulliam, Steger, 1980] и эксперименталь-
экспериментальными данными [Hsieh, 1976]. Шифф и Стегер отмечают, что в
методе установления в диапазоне 9.0 ^ x/Rm ^ 14.0 исполь-
используется слишком грубая сетка, в результате чего теряется точ-
точность решения.
Другой способ расчета дозвукового слоя у поверхности за-
заключается в домножении градиента давления в уравнении им-
импульса в направлении маршевой переменной на некоторый па-
параметр со, в результате чего устраняется экспоненциальное на-
нарастание решения при одном маршевом проходе. Возможный
выбор со определяется уравнением A6.153). Если и > а, гради-
градиент давления учитывается обычным образом. Такой подход ис-
использовался для расчета сверхзвуковых вязких течений у
крыльев дельтообразной формы в работах [Vigneron et al., 1978;
Tannehill et al., 1982] и для расчета сверхзвуковых вязких те-
течений у конусов под углом атаки в работе [Rackich et al., 1982].
Метод Виньерона будет здесь продемонстрирован примени-
применительно к укороченным уравнениям Навье — Стокса, описываю-
описывающим сверхзвуковое вязкое течение, т. е. к уравнениям A6.12),
A6.13), A6.15) и A6.17), в которых лишърпа = ра/роои1, и по-
поэтому скорость звука определяется выражением а2 = ур/р, а не
A6.33). Уравнения могут быть записаны в виде
_±(.^+.^)+^ + ^_о, (|6.148)
A6|50)
где со7 = 1—(у—1)(o/y. Для проведения анализа Фурье (см.
(п. 16.1.2)) производные от плотности и температуры заменены

§ 16.3. Внешние течения
353
Подветренная сторона
маршевый метод
метод' установления
Эксперимент
Рис. 16.19. Распределение давления по поверхности цилиндра со сферическим
затуплением, расположенного под углом атаки; Мто = 1.40, Re{RN) = 2X Ю5
(турбулентное течение) ([Schiff, Steger, 19801; печатается с разрешения
AIAA).
О Q мвршевыи метод
_ метод установления
!аветренная
плоскость
Рис. 16.20. Профили скорости в вязком слое на цилиндре со сферическим за-
затуплением, расположенном под углом атаки; Мто = 1.40, Re*=1.40X106
(турбулентное течение, x/RN =6.Щ. ([Schiff, Steger, 1980]; печатается с
разрешения AIAA).
23 К. Флетчер, т. 2

354 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
производными от давления р и скорости звука а. Зависимости
|х(Г) и k (Г) не учитываются.
Анализ Фурье используется для выбора ограничения на ш,
обеспечивающего корректность решения системы A6.148) —
A6.151) или эквивалентной ей, записанной через и, vy р, р и Г,
за один маршевый проход. Недифференцируемые члены в
A6.148) — A6.151) замораживаются, а для и, v, p и а, как и в
A6.24), вводится разложение в ряд Фурье вида и ~
~ й exp (iexx) exp (ioyy).
Уравнение для собственных чисел ах имеет несколько более
простой вид, если v = 0. Таким образом, предполагается, что
поток локально направлен по оси х. Данное ограничение поз-
позволяет получить простое аналитическое выражение для вели-
величины о)Сг, отделяющей экспоненциально нарастающие (т. е. не-
неустойчивые) решения (при со > сосг) от устойчивых (при со <
)
В приближенной форме уравнение для собственных значе-
значений ах может быть записано в виде
8f^?- (°l {[У - (Y " 1) со] и2 - соа2} - сРо\) -
ial
A6.152)
Вдали от поверхности тела течение ведет себя как невязкое, и
вторым членом в уравнении A6.152) можно пренебречь (т. е.
устремить Re к оо). Для получения устойчивого решения за один
маршевый проход необходимо, чтобы не было корней со знаком
минус при мнимой части. Из A6.152) можно получить следую-
следующее критическое значение ю:
Другими словами, если (о < о)сг, то получается устойчивое ре-
решение. При Мд: > 1 член др/дх можно сохранить полностью
(о = 1). Экспоненциального роста по х не происходит.
Если вязкие эффекты учитываются, то, как следует из
A6.38), можно ожидать появления слабой неустойчивости. Од:
нако приближенное условие на основные неустойчивости можно
получить из уравнения A6.152), если записать его в приближен-
приближенном виде
(^-'^рг)[^-ЛЯ-0, A6.154)
где С = [0.5 + 0.75 (у — (у—l)co)]a2 — coa2 и равно среднему
от двух коэффициентов при о2х в уравнении A6.152). Из A6.154)

§ 16.3. Внешние течения 355
следует, что не будет корней со знаком минус при мнимой ча-
части, если и и С больше нуля. Таким образом, для того чтобы
выполнялось условие С > О,
A
Можно заметить, что соСг, © > сосг, /. Следовательно, ограничение
на о, полученное с учетом вязких членов, не столь жесткое, как
в случае невязких течений. Однако приближение, при котором
получено A6.155), не исключает возможность слабого эллипти-
эллиптического влияния, обусловленного влиянием вязких членов при
о < Юсг, v. В работе [Vigneron et al., 1978] также получено вы-
выражение A6.153), но из характеристического анализа.
Если для описания дозвукового подслоя не вводится ника-
никакой специальной процедуры, устойчивое решение за один мар-
маршевый проход по потоку может быть получено при Ах> (Ах)т1П-
Этот факт был обнаружен эмпирически в работах [Lin, Rubin,
1973; Lubard, Helliwell, 1974] при расчете сверхзвукового тече-
течения у наклонного конуса. В работе [Lubard, Helliwell, 1974] из
анализа устойчивости показано, что (Ajt)min ~ A*/Si- Таким об-
образом, для достаточно тонких подслоев Ays\ правильное реше-
решение может быть получено без введения дополнительных при-
приближений. В работе [Helliwell et al., 1981] приведен соответст-
соответствующий алгоритм в обобщенных координатах.
Экономичность, присущая однопроходовым RNS-методам,
позволяет рассматривать сложные геометрии, требующие
подробных сеток. Так, в работе [Kaul, Chaussee, 1985] в приб-
приближении подслоя рассчитано турбулентное гиперзвуковое тече-
течение у опытного самолета Х-24С на сетке 61 X 30 в каждой
плоскости вниз по потоку. Хорошее совпадение с эксперимен-
экспериментальными данными отмечается в работе [Neumann et al., 1978].
Обсуждение дополнительных вопросов, связанных с маршевым
решением RNS-уравнений для сверхзвуковых течений, можно
найти в работе [Chaussee, 1984].
16.3.2. Дозвуковые течения
Метод Виньерона учета части градиента давления в марше-
маршевом направлении используется для устойчивого расчета дозву-
дозвукового слоя, возникающего в сверхзвуковом вязком течении у
твердой поверхности (п. 16.3.1). Такой же подход может быть
использован и при рассмотрении полностью дозвуковых те-
течений.
Однако при использовании RNS-уравнений для описания
внешних дозвуковых течений возникают существенные отличия.
23*

356 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
Течение вдали от тела, помещенного в однородный поток, ведет
себя, как невязкое. В дозвуковом невязком течении эллиптиче-
эллиптический характер уравнений отражает физическую роль давления,
обеспечивающего распространение возмущений вверх по потоку.
Следовательно, даже если применить метод Виньерона, ко:
торый стабилизирует каждый маршевый проход вниз по по-
потоку, для получения правильного решения необходимо прово-
проводить повторные (итерационные) маршевые проходы по прост-
пространственной переменной. При этом решение, полученное за один
проход, довольно точно. Следовательно, если повторяющиеся
маршевые итерации устойчивы, для получения решения доста-
достаточно нескольких итераций.
Для дозвуковых течений без внешнего подвода тепла темпе-
температурные изменения сравнительно невелики, и достаточно точ-
точное решение можно получить, если уравнение энергии заменить
условием сохранения полной энтальпии A1.104). Для двумер-
двумерного дозвукового вязкого течения RNS-уравнения с учетом при-
приближения Виньерона имеют вид
A6.157)
ai ap__ CslziH pu*L + *l jxLdv= i M A615g
Y- dy Y dy l y dx ' y dy Re ду2 у f
Здесь давление приведено к безразмерному виду с помощью
значения pad = pd/pooUl.
В выписанных уравнениях условие постоянства полной эн-
энтальпии в сочетании с уравнением энергии использовано для
исключения давления из уравнений импульса. Уравнения
A6.156) —A6.158) при (о=1 совпадают с A6.30) —A6.32). Как
и в п. 16.3.1, для определения ограничения на со, при котором
возможно устойчивое маршевое решение в направлении потока,
будет использован анализ Фурье.
Для р, и и v в уравнениях A6.156) — A6.158) вводится комп-
комплексное представление Фурье (см. п. 16.1.2). Это позволяет по-
получить уравнение для собственных значений ох:

§ 16.3. Внешние течения 357
Второй множитель связан с оператором конвективной диффу-
диффузии, как и в уравнении A6.34), и позволяет получить устойчи-
устойчивое маршевое решение за один проход, если и больше нуля. Ве-
Весовой параметр Виньерона со появляется в первом множителе
A6.159). Основное внимание будет уделено невязкому случаю
(Re->~oo) при и=0. Первый множитель дает корни
Чтобы избежать появления корня ох со знаком минус при мни-
мнимой части, необходимо, чтобы выполнялось условие
<о< ——г. A6.161)
Как и следовало ожидать, это условие совпадает с условием
A6.153), поскольку в невязком случае уравнение A6.151) экви-
эквивалентно условию постоянства полной энтальпии. Использова-
Использование других зависимых переменных не влияет на результат ана-
анализа Фурье.
Если М* ^ 1, условие A6.161) не приводит ни к каким огра-
ограничениям. Однако, если М* < 1, из A6.161) следует, что член
A—ы)др/дх может быть исключен из уравнения импульса в
направлении потока. Таким образом, для дозвукового обтекания
изолированного тела использование условия A6.161) в большей
части расчетной области является большим приближением, чем
в дозвуковом поверхностном слое в сверхзвуковом течении..
Анализ Фурье (п. 16.1.3) очевидным образом связан с ана-
анализом устойчивости Неймана дискретных уравнений (§ 4.3).
В связи с этим возникает интересный вопрос: имеется ли усло-
условие устойчивости, аналогичное A6.161), на размер шага по мар-
маршевой переменной для разностного представления уравнений
A6.156) —A6.158).
Для точки течения, в которой у=0, полностью неявное дис-
дискретное представление невязкой формы уравнений A6.156) —
A6.158) может быть записано в виде
0, „6,62,
(п2\п
где
,-{1, 0, -1}т/2\у,

358 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
индексы ли/ соответствуют направлениям х и у. Для проведе-
проведения анализа Фурье системы A6.162) — A6.164) уравнения ли-
линеаризуются, для чего замораживаются множители при раз-
разностных выражениях производных, для которых вводится
комплексное представление Фурье по направлению у. Таким
образом,
Р/ ~ Р е > (lb.lDD)
где, как и в п. 9.2.1, Q = mnAy. После введения аналогичных
представлений для и и v получается следующее матричное пред-
представление:
Aqn+1 = Bqtt, A6.166)
где
h б, pV и
[и р porn г и р 0-1
ш2/у ри! 0 , В= coa2/Y pu' 0 •
аа2/у —ар'и, ри\ L 0 0 pwj
Все элементы матриц А и В определяются в точках хп, yj, a a =
= i(Ax/Ay)sin2Q.
Для устойчивости системы A6.166) необходимо, чтобы соб-
собственные числа удовлетворяли условию
1,
где
- со'а2/Р
(Y — 1)
I 2
О О
¦— 1 \ (йСГ6
I у )
сэа
A6.167)
A6.168)
Сй'= 1 — (O(Y— 0/Y. P = O2
= (l/(Ocr— I/©),
т. е. совпадает с A6.161). После введения величины т=1 — Я
для собственных чисел матрицы А-1В получается уравнение
- 2а2т + a2) = 0.
A6.169)
Далее, подставляя выражение для р и введя обозначение е2 =
= —a2 = (Ajtsin20/A«/J, это уравнение можно привести к виду
[ 1 + (y - 1) М|] («> - ©or) т2 = е2 (т - IJ. A6.170)

§ 16.3. Внешние течения 359
Два случая со < о)сг и со > сосг представляют интерес, поскольку
они соответствуют неэллиптическому и эллиптическому поведе-
поведениям невязкой системы A6.156) — A6.158) при v=0 относи-
относительно маршевого направления х.
При со < (Осг из A6.170) следует, что
^all2(l—k) = iek, A6.171)
где а= [1 + (Y — О Щ] (^cr ~~ G))* Следовательно,
(a + е2) v '
Поскольку X — комплексная величина, условие A6.167) удобно
рассматривать в виде АЛ ^1.0, из которого следует
- <16Л73>
Поскольку a — положительная величина, а е — вещественная,
из условия A6.173) не следует никакого ограничения на е и,
следовательно, — на Ах. Таким образом, в неэллиптическом слу-
случае о < сосг нет ограничений на Ах. Если бы вместо разност-
разностного представления A6.162) — A6.164) использовались явные
аппроксимации пространственных производных, можно было бы
ожидать появления условия устойчивости вида А* < (Ах)тах
(§ 9.1). Однако данное условие связано с численной схемой, а
не с характером уравнений.
При со > сосг из A6.170) следует
— Я) = вК A6.174)
где a [1 + (у — 1) М2] (ю — ®сг)- Следовательно,
я=т(^ы- <16Л75>
Из условия А, < 1.0 следует, что е > а1/2. Из условия К > —1.0
следует, что е > 2а1/2 или (Ax/Ay)s\n 9 cos 8 > а1/2. На конеч-
конечной сетке 6min = At/я/утах « sin 9, а cos 9 « 1. Таким образом,
А* > а1/2#тах/я, ИЛИ
Л* > {[1 + (Y - 1) М|] (со - cocr)}1/2 ^ , A6.176)
Утах — поперечный размер расчетной области. Из условия
A6.176) следует, что если уравнения эллиптические, то суще-
существует ограничение на шаг вида Ах > (Д*)пчп, где (Ax)min про-
пропорционально степени эллиптичности. Если величина (Ах)тт
слишком велика, точное решение за один маршевый проход по
пространственной переменной получить нельзя.

360 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
Зависимость (A*)min от утах аналогична найденной в работе
[Lubard, Helliwell, 1974] для дозвукового подслоя в сверхзвуко-
сверхзвуковом течении. Однако, как правило, утах в A6.176) значительно
больше ys\ на рис. 16.17. В работе [Rubin, Lin, 1980] получено
ограничение вида Ах > kym^x для несжимаемых течений. Рубин
[Rubin, 1981] полагает, что (Ах) mm требуется для преодоления
влияния вверх по потоку, присущего основным уравнениям.
Из приведенного анализа, а также из работы Рубина [Rubin,
1984] и цитированных в ней работ следует, что при решении
эллиптических уравнений маршевым методом за один проход
появляется условие устойчивости вида Ал; > (Ajc) min, где (Ах) mm
пропорционально степени эллиптичности. Доказательство дан-
данного утверждения в общем случае, однако, не проведено.
Как отмечалось выше, чтобы получить точное решение за-
задачи о внешнем дозвуковом обтекании, необходимо осущест-
осуществить повторяющиеся (итерационные) маршевые проходы в на-
направлении течения. Приближение Виньерона в такую итера-
итерационную схему можно включить следующим образом. Уравнение
A6.157) заменяется уравнением
Р"Ж + Р^ + <д1?-Жа^=-A-а)Ьг} . A6.177)
где о) выбирается в соответствии с условием A6.153). Член в
правой части A6.177) вычисляется как нижнерелаксационная
комбинация предыдущих итераций или берется с внешней гра-
границы вязкой области.
Решение чисто невязкой задачи, как правило, может быть
получено более экономным образом (§ 14.1 и 14.3), чем решение
эквивалентной вязкой задачи. Следовательно, более эффектив-
эффективно проводить решение дозвуковых RNS-уравнений от твердой
поверхности до точки, где вклад вязких членов в RNS-уравне-
ния пренебрежимо мал. Вне этой области течение считается чи-
чисто невязким и для решения можно использовать панельный
метод (§ 14.1) или метод полного потенциала (п. 14.3.3). На
каждой итерации невязкая задача решается во всей невязкой
области, а для RNS-уравнений осуществляется один маршевый
проход.
Если вязкая (RNS) область сравнительно тонкая в попереч-
поперечном направлении, для аппроксимации правой части A6.177) мо-
можно использовать значение (др/дхI с внутренней границы не-
невязкой области. Такая итерационная схема будет описана ниже.
Другой способ, при котором используются локальные значения
др/дх с предыдущих итераций, будет описан в п. 16.3.3.
Решение дозвуковых RNS-уравнений более удобно прово-
проводить, если ввести в них давление р. Система A6.156) — A6.158)

§ 16.3. Внешние течения
361
в этом случае заменяется эквивалентными уравнениями
д(ри) . д(ру) _0
дх ' ду '
-А(рЫ2 + (йр) + ^-(рМ,)_^-|^ = A_ю)(|?-)\
A6.178)
A6.179)
A6.180)
A6.181)
где все сгруппированные члены в A6.179) и A6.180) обезраз-
мерены на р? (?/?J. Тогда р^ = р1/р?ТО2 = l/vM^ 0ТКУ"
да следует несколько отличающееся от A6.29) уравнение
A6.181).
Для рассматриваемой задачи вводятся следующие обозначе-
обозначения. На сетке, изображенной на рис. 16.21, строится маршевый
-к+1
-к-\
J-l J А«
Рис. 16.21. Сетка для двумерных дозвуковых RNS-уравнений.
(по х) алгоритм, в результате чего получается решение на слое
jc/+i. Полный маршевый проход составляет (п + 1)-ю итерацию.
На каждом слое Jt/+i решение в поперечном направлении (и, vf
Р» рЬ'+1, k получается последовательно. Обозначения, приведен-
приведенные на рис. 16.21, не совпадают с обозначениями, использован-
использованными в п. 16.2.3 и 16.3.1, где индекс п обозначал положение вниз
по потоку.
Уравнение A6.179) используется для определения иЧХ\-
В разностной форме оно имеет вид
/, fe} {(РЦР)/ + 1/2, fe+1 — (РцР)/ + 1/2, fe-l} ,
1, к -
Лд:
{"
/+1/2, fe—1
ц/+1/2, k
+ u
- о) {ph k - P§_u k}/Ax - A
Re Ay2
со) 0.
- pi-
A6.182)

362 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
В уравнении A6.182) все члены, для которых не указаны ин-
индексы, берутся со слоя xj+\. Верхний индекс i означает невязкое
значение; так, значение pbn определяется из предыдущего не-
невязкого итерационного приближения на внешней границе вяз-
вязкой области. Величина релаксационного параметра Виньерона
определяется из условия A6.181).
Члены в A6.182), вычисляемые на слое */+i/2, линеаризуют-
линеаризуются относительно лс/, например, по формуле
где Auf+u k = uj+i, k — Ujy k. Линеаризация проводится для того,
чтобы получить из A6.182) линейную систему уравнений отно-
относительно Аи/+1, *. Поэтому при построении линейной формы пре-
небрегается зависимостью puv от р и v. В результате A6.182)
можно свести к трехдиагональной системе уравнений
Ak№\Zl k__{ + ВкЫ}Х1 к + Ск^Х1 k+i = °к> A6.183)
где
Л,= -0.25^(р^Л-1-0.5- *х
На поверхности тела a/+i, i = 0, поэтому Дм/+ь i = 0. На внеш-
внешней границе вязкой области (k = K) Аы^*/ ^ = Ам|*+п,, т. е. Aa^+j1 K
получается из невязкого решения. Для решения системы
A6.183) можно воспользоваться алгоритмом Томаса (п. 6.2.2),
в результате чего получаются значения ип+\ k поперек вязкого
слоя при х = */+!.
На второй стадии перехода к */+i в результате одномерного
прохода от поверхности тела к вязкой границе вычисляются зна-
значения о**,1 k. Для этого, как это сделано в работе [Dash, Sinha,
1985], уравнения A6.178), A6.180) и A6.181) комбинируются
в одно уравнение вида

§ 16.3. Внешние течения 363
где Е = р A - М*), F =
|] + (Y-i)pMjvi,+
2 J •
J??_ (М J-
"*" a2 \dx ) *" Re a2
M —— M ——
Уравнение A6.184) с точностью до О(Д*2, Ay2) заменяется раз-
разностным, откуда получается
) A6.185)
При вычислении Е"?}/2,к-и2, FljZln.k-m и G/+i/2.*-i/2 значения
у, р, р и a аппроксимируются по значениям в точках, располо-
расположенных вверх по потоку. Величина ип^\к уже известна из ре-
решения системы A6.183). Значение Vj+\tK на внешней границе
вязкой области является граничным условием для расчета в
невязкой области.
Давление pn}X\tk-\ получается из интегрирования A6.180) от
внешней вязко-невязкой границы к стенке следующим образом:
*7+l, k-l — Pf+\, k^ Pf, k Pj, k-l *
i" 2Py + 1/2> k-ll2\mUi + lf2t fe—1/2 C^/4-l, /г—1/2 Vf, ^-1/2) "д^" "Г
+1. A6.186)
Наконец, плотность следует из уравнения A6.181).
После завершения (п+ 1)-го марша находится новое невяз-
невязкое решение. Для решения обычно используется метод потен-
потенциала скорости (§ 14.1 и 14.3). Внешнее невязкое течение опре-
определяется значением нормальной составляющей скорости vnj+x K
на внешней границе вязкого слоя. Из невязкого решения нахо-
находится значение ип+\ к на внешней границе вязкого слоя, необ-
необходимое для отыскания следующего решения внутри вязкого
слоя. Взаимодействие между вязкой и невязкой областями долж-
должно осуществляться вне вязкой области. Точное положение

364 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
границы несущественно. Поскольку невязкое решение получает-
получается более экономично, чем решение RNS-уравнений, границу взаи-
взаимодействия желательно располагать как можно ближе к телу.
В работе [Chen, Bradshaw, 1984] использован алгоритм по-
подобного типа, но в связанных с телом декартовых координатах
для расчета (турбулентного) трансзвукового течения у двумер-
двумерного аэродинамического профиля, расположенного под неболь-
небольшим углом атаки. В работе [Dash, Sinha, 1985] использован по-
похожий алгоритм для расчета турбулентных дозвуковых слоев
смешения. В упомянутых применениях, однако, использовалось
значение со = 0. Таким образом, продольный градиент давления
в уравнении продольной составляющей импульса определялся
полностью из невязкого решения. В обоих случаях точное сходя-
сходящееся решение получилось в результате сравнительно неболь-
небольшого числа (^10) маршевых проходов вниз по течению.
16.3.3. Несжимаемые течения
Для внешних сверхзвуковых течений (п. 16.3.1) решение
RNS-уравнений может быть получено в результате одного мар-
маршевого прохода, если вблизи твердой стенки используется при-
приближение подслоя. Во внешних дозвуковых течениях (п. 16.3.2)
имеет место влияние вверх по потоку через внешнюю область
невязкого течения, что может быть учтено путем проведения
повторных маршевых итераций. Из ограничения Виньерона на
продольный градиент давления в уравнении направленной по
потоку компоненты импульса A6.161) можно сделать вывод, что
при уменьшении числа Маха набегающего потока М<х> для до-
достижения сходимости понадобится большее число итераций.
В сущности, по мере того как уменьшается сжимаемость,
связанная с движением (т. е. уменьшается Моо), должно возрас-
возрастать влияние вверх по потоку. Следовательно, в алгоритме рас-
расчета несжимаемых течений различные части расчетной области
должны быть связаны сильнее. Эта связь через взаимодействие
с внешней невязкой (эллиптической) областью и путем исполь-
использования направленных вперед конечных разностей для аппрок-
аппроксимации др/дх в уравнении направленной по потоку компоненты
импульса приводит к влиянию вверх по потоку. Если происходит
отрыв вязкого слоя, возвратное течение через конвективные чле-
члены также приводит к влиянию вверх по потоку.
Если в расчетной области имеется большая отрывная зона,
RNS-приближение с одним или несколькими маршевыми прохо-
проходами становится неприменимым. RNS-уравнения, например
A6.4) — A6.6), могут все еще оставаться хорошим приближе-
приближением, но подход, основанный на повторяющихся маршах в на-

§ 16.3. Внешние течения 365
правлении потока, становится, как правило, не более эконом-
экономным, чем метод установления (§ 6.4). В последнем случае силь-
сильная глобальная связь проявляется через необходимость решения
уравнения Пуассона для определения давления (§ 17.1 и 17.2).
В данном разделе будет рассмотрен метод Рубина и Редди
[Rubin, Reddy, 1983]. В этом методе для давления появляется
разностное уравнение Пуассона, но оно оказывается непосред-
непосредственно связанным с компонентами скорости, что позволяет ис-
использовать преимущества RNS-подхода с повторяющимися мар-
маршами по потоку. Алгоритм эффективно работает, даже если в
течении возникают небольшие области возвратного течения.
В методе Рубина и Редди RNS-уравнения рассматриваются во
всей области расчета. Однако расщепление области на внутрен-
внутреннюю вязкую (RNS)-область и внешнюю невязкую, как в
п. 16.3.2, не представляет труда.
Несжимаемые RNS-уравнения, описывающие двумерное ла-
ламинарное течение в конформных координатах (п. 12.1.3), имеют
вид
^(hu) + ^(hv)=Oy A6.187)
<16Л88>
& 4[ %-*%+h%-0. A6.189)
Согласно Рубину и Редди, в уравнении A6.189) не оставлено
вязких членов. RNS-уравнения, описывающие турбулентные те-
течения, будут иметь аналогичный вид, если напряжения Рей-
йольдса выражаются через турбулентную вязкость (п. 11.4.2).
Уравнения A6.187) — A6.189) являются уравнениями неразрыв-
неразрывности и |- и rj-компонент импульса соответственно. Компоненты
скорости вдоль направлений | и х\ обозначены через и и v. Орто-
Ортогональная метрика определяется уравнением A2.20). Для кон-
конформных координат
A6Л 90)
Система координат (?, г\) строится так (гл. 13), что одна из
координатных линий ?, т. е. rjo, совпадает с поверхностью тела,
а другие координатные линии | примерно совпадают с локаль-
локальным направлением течения. Координатные линии г\ ортогональ-
ортогональны линиям ? и, следовательно, ортогональны поверхности тела
и примерно локальному направлению течения. Использование
системы координат (|, ц) позволяет приблизить маршевое

366 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
направление к локальному направлению течения, что увеличи-
увеличивает точность RNS-приближения.
Рубин и Редди [Rubin, Reddy, 1983] отмечают, что для не-
несжимаемых течений пренебрежение поперечными вязкими чле-
членами в уравнении т]-компоненты импульса соответствует прене-
пренебрежению вязкими членами в направлении потока в уравнении
g-компоненты импульса. Однако включение или отбрасывание
поперечных вязких членов в уравнении ^-компоненты импуль-
импульса не влияет на характер всей системы уравнений (п. 16.1.2).
Поскольку система A6.187) — A6.189) решается маршевым
методом в положительном направлении |, все производные по g
от и и v в областях безотрывного течения аппроксимируются
разностями назад. Для аппроксимации члена др/д% используется
модифицированная аппроксимация разностями вперед, позво-
позволяющими учесть влияние вверх по потоку, связанное с эллипти-
эллиптическим поведением давления. В этом случае необходимо хранить
все поле давления р, поскольку оно используется для следую-
следующего (итерационного) маршевого прохода вниз по течению.
В противоположность этому поле скоростей запоминать не надо,
по крайней мере в области безотрывного течения. При каждом
маршевом проходе оно рассчитывается заново.
В областях отрыва для аппроксимации конвективных членов
используются разности против потока. Поскольку все |-марши
осуществляются лишь в положительном направлении ?, поле
скоростей с предыдущей итерации необходимо запоминать лишь
в области возвратного течения.
Для простоты разностное представление уравнений A6.187) —
A6.189) будет проведено для неконсервативной формы в декар-
декартовой системе координат. Направление оси х— маршевое'на-
маршевое'направление. В результате получается
Liul A-i/2 + LJvnit k = О, A6.191)
ul kL~xul k + vl kLyul k + Pl+l'lx Pl'k = — Lyyul k, A6.192)
«/. k-mLJvl fc_I/2 + vl k-mLyvl k + Lip", k = 0, A6.193)
где Ly и Lyy — трехточечные центрально-разностные операторы
(табл. 9.3), a Lx и Ly —направленные операторы, т. е.
Х7«л,,("'-'^'-'-»>, L;Of,t«('''^'-»-'). A6.194)
Все члены вычисляются на /г-й итерации, за исключением члена
Р/+/. k> для котоРОГо используются значения с предыдущей ите-
итерации. Как видно из рис. 16.22, дискретные представления урав-

§ 16.3. Внешние течения 367
нений неразрывности и у-компоненты импульса центрированы
соответственно в точках с и у, индексы которых совпадают и
равны (},k—1/2), в то время как уравнение х-компоненты им-
импульса центрировано в точке х с индексами (/,&). Порядок ап-
аппроксимации схемы равен О(АхуАу2). Рубин и Редди [Rubin,
-Да?
к *и,р (&v mu,p
и: mj-1
Рис. 16.22. Сетка для уравнений A6.191) — A6.193).
Reddy, 1983] предложили похожую схему второго порядка точ-
точности по х и у.
Данный алгоритм использовался для расчета несжимаемого
ламинарного и турбулентного течений около конечной плоской
пластины и изолированного симметричного аэродинамического
профиля. Граничные условия (рис. 16.23) u = v = 0 при г\ = г\о
(поверхность тела); у = 0, ди/дц=0 на линии симметрии (ц =
= т]о). На внешней границе (г\=цтах) р = РООу u = Ucc и не
требуется граничных условий для v. На входной границе
(Е = Ы u — Uo(y), dv/dl = 0, где U0(у) — заданное распределе-
распределение скорости. Для конечной плоской пластины это распределе-
распределение совпадает с профилем скорости в пограничном слое, для ко-
которого (Jo = Uoo в невязкой области. На выходной границе (I =
= Emax) определяется давление или ставится условие др/д% = 0.
В каждой точке вниз по потоку уравнения A6.191) —A6.193)
рассматриваются как нелинейная система уравнений для
q* ?, k=l, Ny> где q = {u, v, p}T. Эта нелинейная система ли-
линеаризуется и решается итерационно методом Ньютона — Раф-
сона (п. 6.1.1). Якобиан получается блочно-трехдиагональным,
и каждая стадия итераций Ньютона — Рафсона может быть
эффективно проведена методами, описанными в п. 6.2.5. После

368
Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
сходимости итераций Ньютона — Рафсона на /-м слое вниз по
потоку процесс повторяется на (/+ 1)-м слое.
Каждый марш вниз по потоку составляет одну итерацию
в процессе релаксации (п. 6.3.1). Рубин и Редди [Rubin, Reddy,
1983] провели анализ по Нейману (§ 4.3) линеаризованной (т. е.
P=Foo, U-Uoo
и="о(!/)
du/d4=0
Расчетная область
др/д^О
a=y=0
i;=0,9ti/d^=0
Ытах
Рис. 16.23. Граничные условия для симметричного аэродинамического про-
профиля.
с замороженными коэффициентами при производных) системы
A6.191) — A6.193). Максимальное собственное число имеет вид
A6.195)
У max
У max
где С\ — константа порядка единицы. Область расчета лежит
в пределах О^х^лгтах, O^t/^t/max. Поскольку А, < 1, про-
процесс релаксации устойчив, но становится очень медленным, ко-
когда X близко к единице. Это имеет место при больших значе-
значениях f/max ИЛИ МЭЛЫХ Ах И Хтах.
Особый интерес представляет член (пАх/утах). Для дозвуко-
дозвуковых вязких течений было показано A6.176), что устойчивое ре-
решение за один маршевый проход может быть получено, если
(лкх/утах) > а1/2. При (о = 1 в случае несжимаемого течения
а=1. Таким образом, хотя, благодаря использованию повто-
повторяющихся маршевых проходов, удалось избежать ограничений,
следующих из условия устойчивости A6.176), попытки проведе-
проведения расчетов при пАх/утах <С 1 делают алгоритм крайне неэко-
неэкономным, так как релаксационный процесс в этом случае схо-
сходится очень медленно. В соответствии с условием A6.176) можно
ожидать, что для более сжимаемых течений скорость сходимо-
сходимости повторных маршей может быть увеличена в результате

§ 16.3. Внешние течения 369
применения метода Виньерона. Данное утверждение подтверж-
подтверждается в работе [Rubin, 1985].
Для улучшения сходимости процесса релаксации Рубин и
Редди применили многосеточные итерации (п. 6.3.5). Для адек-
адекватного представления в тонком вязком слое вблизи стенки тре-
требуются сильно сжатые в направлении ц сетки. Это уменьшает
эффективность многосеточного подхода, в первую очередь из-за
трудностей, связанных с интерполяцией. Поэтому Рубин и Редди
использовали многосеточный алгоритм в направлении ?.
Разностные уравнения A6.191) — A6.193) могут быть запи-
записаны в виде
Lh(±h = Fhy A6.196)
где Qh(={u, v, р}т)— решение на сетке типичного размера
Л(=Д?). Предполагается, что значение Д? вниз по потоку по-
постоянно или меняется слабо. Правая часть Fh содержит все
члены с предыдущего (п—1)-го маршевого прохода, т. е. Fh
содержит рп~1 и ип~{, vn~x в отрывной зоне. Как и в F.84), /г-й
маршевый проход вниз по потоку можно интерпретировать как
сглаживание или релаксационный процесс. После того как по-
получено сходящееся решение A6.196), рп = рп~1 и т. д., Рубин
и Редди для решения A6.196) применили многосеточный алго-
алгоритм FAS (п. 6.3.5).
В работе [Rubin, Reddy, 1983] использовались сетки четы-
четырех уровней. На каждой сетке осуществлялось два или три ре-
релаксационных прохода, которые сопровождались переходами по
сеткам в обоих направлениях. После того как достигалась наи-
наиболее мелкая сетка, для окончательной сходимости использова-
использовались лишь две наиболее мелкие сетки. Для безотрывных течений
применение многосеточного метода позволяет на два порядка
уменьшить число требуемых итераций и время счета, даже при
малом значении (яДх/г/тах). Однако в работе [Rubin, Reddy,
1983] отмечается, что если в течении возникает зона отрыва или
сильно меняется значение Д|, многосеточный алгоритм стано-
становится не столь эффективным.
Типичная конформная сетка для расчета течения у профиля,
расположенного под нулевым углом атаки, приведена на
рис. 16.24. Для лучшего отображения характера сетки увеличен
масштаб по у. Было рассчитано ламинарное течение при Re =
= 10000. Линии тока вблизи задней кромки изображены на
рис. 16.25. Видно образование небольшой отрывной зоны. С ис-
использованием двухуровневой алгебраической модели турбулент-
турбулентной вязкости (п. 11.4.2) было рассчитано также турбулентное
течение (Re = 5X105). В работе [Rubin, Reddy, 1983]
24 К. Флетчер, т. 2

370 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
8.S
е.е
-I .
-е.5
ее е 5 i.е
Горизонтальное расстояние X
.5
2.0
Рис. 16.24. Конформная сетка для течения у профиля NACA-0012 под нуле-
нулевым углом атаки ([Rubin, Reddy, 1983]; печатается с разрешения Pergamon
Press).
Рис. 16.25. Линии тока у задней кромки профиля NACA-0012; Re = 10 000
([Rubin, Reddy, 1983]; печатается с разрешения Pergamon Press).

§ 16.3. Внешние течения 371
лриведены распределения давления и поверхностного трения.
Имеется хорошее совпадение с экспериментальными данными.
В общем случае использование RNS-уравнений для описания
внешних несжимаемых течений требует для получения точного
решения проведения большего числа итераций (маршевых про-
проходов), чем при расчете дозвуковых или сверхзвуковых внешних
течений. Однако для несжимаемых течений с выделенным на-
направлением RNS-подход все еще значительно экономичнее, чем
решение полных уравнений Навье — Стокса методом установле-
установления (см., например, п. 17.2.1).
16.3.4. Вязко-невязкое взаимодействие
В предыдущих разделах данной главы рассматривались за-
задачи, для которых уравнения пограничного слоя не позволяют
получить даже локально правильного решения. Это может быть
связано с тем, что толщина вязкого слоя становится больше
толщины, допустимой теорией пограничного слоя [Schlichting,
1968], или кривизна линий тока может привести к значительным
градиентам давления поперек вязкого слоя.
Однако для тонких тел, таких, как аэродинамические про-
профили или лопатки турбин, расположенные под малыми углами
атаки, вследствие чего мала разность давлений на подветренной
и наветренной сторонах, уравнения пограничного слоя с распре-
распределением давления, полученным из решения невязкой задачи,
позволяют получить достаточно точное распределение локаль-
локальных скоростей. В свою очередь это решение может быть исполь-
использовано для расчета толщины вытеснения A1.67), т. е. величины,
на которую должен быть смещен контур тела с целью более точ-
точного пересчета невязкой задачи. Эта небольшая коррекция не-
невязкого распределения давления обычно вдали от задней кромки
и при отсутствии возвратных течений, связанных с отрывом по-
потока, позволяет получить хорошее совпадение с распределением
давления, наблюдаемым в эксперименте.
Исторически делались попытки обобщить подход на основе
толщины вытеснения на расчет течения в следе и улучшить точ-
точность комбинированного вязко-невязкого решения в окрестности
задней кромки и в случае образования небольших отрывных зон
[Cebeci et al., 1984].
Даже если вязко-невязкое взаимодействие рассчитывается
общепринятым образом, влияние невязкого решения учитывает-
учитывается более эффективно, если использовать распределение толщины
вытеснения для определения эквивалентной нормальной состав-
составляющей скорости на поверхности тела [Lock, 1983]:
vt(xy 0)=-{L(uen A6.197)
24*

372 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
где ие — скорость на внешней границе пограничного слоя. Это
условие непосредственно следует из несжимаемого уравнения
неразрывности и определения толщины вытеснения б* A1.67).
В следе уравнение A6.197) используется как эффективный па-
панельный источник (п. 14.1.1), расположенный на центральной
линии следа. Преимущество использования A6.197) при пере-
пересчете невязкого решения состоит в том, что расчетная сетка не
меняется, а A6.197) участвует как локальное граничное усло-
условие для уравнений, описывающих невязкую область. Непосред-
Непосредственное использование толщины вытеснения изменяет сетку в
невязкой области на каждой итерации.
Описанная выше процедура вязко-невязкого взаимодействия
может повторяться, в результате чего получится итерационный
процесс, уточняющий на каждой итерации распределение дав-
давления на границе пограничного слоя и толщину вытеснения. Та-
Такой алгоритм называется методом прямой итерации (п. 14.1.4).
Метод прямой итерации основан на концепции, что невязкое
решение управляет решением в пограничном слое путем опреде-
определения граничного условия, ие(х) или ре(х)> на внешней границе
пограничного слоя, а влияние решения в пограничном слое че-
через толщину вытеснения на невязкое решение невелико.
Вблизи точки отрыва характер взаимодействия коренным об-
образом изменяется. Попытки решения уравнений пограничного
слоя перед точкой отрыва и за ней не удаются, если задается
ре(х). По мере приближения к точке отрыва рассчитываемая
в пограничном слое нормальная составляющая скорости v обна-
обнаруживает сингулярное поведение [Goldstein, 1948], что не про-
происходит в действительности.
Эта трудность преодолевается при использовании так назы-
называемого обратного метода. То есть, определяется толщина вы-
вытеснения 8*(х) или коэффициент поверхностного трения Cf(x)y
а ре(х) получается вместе с решением уравнений пограничного
слоя. Если задано 6*(*), определение толщины вытеснения по-
позволяет найти ие(х) и, следовательно, ре(х) как часть процесса
решения из соотношения
)te = a*-'(*). A6.198)
При практической реализации обратный метод требует ите-
итерационного решения уравнений пограничного слоя на каждом
слое вниз по потоку х]+\ до тех пор, пока не будет получено
значение м*./+ь удовлетворяющее A6.198) при заданной тол-
толщине вытеснения S*'s. Для проведения итераций может быть
использован дискретный метод Ньютона (п. 6.1.1). Вводится

§ 16.3. Внешние течения 373
вспомогательная функция fт = 6*'т — 6*'s. Итерации проводятся
путем расчета и™+^х из уравнения
(ат — и0 }
ит+\ ит УЧ/ + 1 ue,j+lj an /ic i qq\
где и% у+1 = и™,. Итерации сходятся при т <С 10 и очень эко-
экономичны. Обратный метод расчета решения в пограничном слое
при разумном выборе 6*«s(x) позволяет проводить интегриро-
интегрирование уравнений через точку отрыва и в области возвратного
течения [Catherall, Mangeler, 1966; Klineberg, Steger, 1974].
Обратный метод расчета пограничного слоя во внешней об-
области комбинируется с невязким расчетом при определенном
значении ие(х). В результате получается обратный итерацион-
итерационный метод для определенного вязко-невязкого взаимодействия.
Сравнение обратного метода и метода прямой итерации можно
провести следующим образом.
Удобно представить связь между внешним невязким распре-
распределением скорости ие(х) и толщиной вытеснения 6*(х) в сле-
следующей символической форме:
Для невязкого течения: ие = Р[6*].
Для вязкого (в пограничном слое) течения: ие = В[Ь*].
A6.200>
Таким образом, метод прямой итерации можно представить как
tf+l) = p[6*w]9 6*<n+l) = B-1 Wr\ A6.201)
где п — номер итерации в расчете вязко-невязкого взаимодей-
взаимодействия. Обратный итерационный метод можно представить в виде
бМ*+1) = р-1 [„(^ и^ = В[Ь*{п+х)]. A6.202>
Прямой и обратный методы могут быть скомбинированы в по-
полуобратный метод [Le Balleur, 1978; Carter, 1981]
ttP = p[64«)], и* = В[6*<">], 6*<*+'> = /?[*/?, wf, 6*<»>], A6.203)
где R — некоторый релаксационный алгоритм. Реализация ука-
указанного полуобратного метода для трансзвуковых течений опи-
описана в п. 16.3.6. Основные идеи прямого, обратного и полуоб-
полуобратного методов изображены на рис. 16.26.
Другой реализацией полуобратного метода является метод
квазиодновременной итерации [Veldman, 1981], в котором пер-
первое уравнение A6.200) заменяется уравнением
A6.204);

374 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
где / — закон взаимодействия, являющийся приближением пол-
полного взаимодействия невязкого течения с вязким. Закон взаимо-
взаимодействия строится таким образом, что точно учитывается ло-
локальное, но не глобальное вязкое влияние. Следовательно, ква-
квазиодновременный метод символически можно записать в виде
A6.205)
Таким образом, после сходимости итерационного процесса вы-
выполняются уравнения A6.200). Роль /[б*] заключается в том,
Прямое действие
невязкой области
Прямое действие
вязкой области
Обратное действие
невязкой области
S-*
Обратное действие
вязкой области
<а) Прямой метод
(Ь) Обратный метод
Прямое действие
невязкой области
Релаксация
Обратное действие
вязкой области
Прямое Действие
невязкой области
Вязкая область
и закон
взаимодействия
(с) Полуобратный метод
(d) Квазиодновременный метод
Рис. 16.26. Различные методы расчета вязко-невязких взаимодействий.
что наиболее важная часть невязкого взаимодействия учиты-
учитывается при построении вязкого решения (рис. 16.26).
При сравнении четырех методов, приведенных на рис. 16.26,
можно отметить, что слабость прямого метода заключается в
том, что функция В-1 в A6.201) почти сингулярна, если имеет
место сильное взаимодействие, т. е. вблизи задней кромки. Хотя
ъ обратном методе удается этого избежать (функция Р~х ведет

§ 16.3. Внешние течения 37S
себя хорошо), скорость сходимости получается очень малой, так
как для устойчивости итераций в области слабого взаимодей-
взаимодействия требуется очень малый нижнерелаксационный фактор.
Вельдман [Veldman, 1984] обнаружил, что при больших числах
Re нижнерелаксационный фактор пропорционален Re~1/2.
В полуобратном и квазиодновременном итерационном мето-
методах в результате упрощения одного из взаимодействий дости-
достигается более сильная связь и, как следствие, получается лучшая
сходимость. В полуобратном методе решение в вязкой области
представляется интегральным методом [Cebeci, Bradshaw, 1977],.
и решение в вязкой области может быть рассмотрено как обоб-
обобщенное граничное условие для решения в невязкой области.
В квазиодновременном методе невязкое решение представляется
в упрощенном виде и может рассматриваться как обобщенное
граничное условие для решения в пограничном слое. Детальное-
сравнение четырех методов, особенно вопросы устойчивости ите-
итераций, см. в работах ([Wigton, Holt, 1981; Veldman, 1984].
16.3.5. Квазиодновременный итерационный метод
В этом разделе будет дано более подробное описание приме»
нения квазиодновременного итерационного метода расчета не-
несжимаемых течений. Упрощенное невязкое решение получается-
из теории тонкого крыла [Thwaites, 1960]. На внешней границе
вязкой области невязкое решение и^](х) без итераций получает-
получается из выражения
J Щ^ dl, A6.206>
о
где у в — поверхность тела. Вязкая поправка [Carter, Wornom,
1975] 6ие(х) к и<,0)(*)имеет вид
Ш?Ш^ Св.207>
так что ие(х) = и<?)(х) + 6ие{х). Пределы интегрирования х\ и х2
в A6.207) ограничены областью, где взаимодействие существен-
существенно. Это обеспечивает локальность взаимодействия.
Если интеграл A6.207) вычислить приближенно методом
прямоугольников, уравнение, соответствующее A6.204), примет
вид
ие =uM+Zaki6* + Rk, A6.208>
К Я j =[

376 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
где
—^;/к*-л1-0.26],
Здесь / и k соответствуют точкам сетки в направлении те-
течения.
В квазиодновременном методе при каждом маршевом реше-
решении уравнений пограничного слоя значения ие и б* связаны урав-
уравнением A6.208) и определяются одновременно с решением в по-
пограничном слое. Во время /г-го маршевого прохода уравнение
A6.208) реализуется как процесс Гаусса — Зейделя (§ 6.3)
A6.209)
В работе [Veldman, 1981] отмечается, что, поскольку akk > 0,
расчет в пограничном слое может осуществляться и в области
отрыва. Конкретный выбор а^, связанный с численным расче-
расчетом интеграла Гильберта в A6.207), позволяет получить сходя-
сходящееся решение за сравнительно небольшое (п ~ 10) число мар-
маршевых проходов.
Весь итерационный процесс можно описать следующим об-
образом:
Шаг А. п = 0. Обычное невязкое решение, полученное па-
панельным методом (п. 14.1.1), для профиля ув(х) дает исходное
невязкое распределение скоростей и{^(х) на верхней границе
вязкой области. Маршевое решение вниз по потоку в погранич-
пограничном слое проводится до области сильного взаимодействия. Тол-
Толщина вытеснения экстраполируется на область сильного взаимо-
взаимодействия, в результате чего получается нулевое приближе-
приближение 6*<0).
Шаг В. п = 1, ... . Маршевое решение уравнений погранич-
пограничного слоя осуществляется одновременно с решением уравнений
A6.209) и A6.198).
Шаг С. После каждого маршевого прохода проверяется сле-
следующее условие сходимости:
max | бТ+1) - 6\{п) | < 10~4. A6.210)
Если условие A6.210) не выполняется, значение б* подвергается
дальнейшей релаксации, как правило, при со =1.5. Итерации
продолжаются с шага В.

§ 16.3. Внешние течения
377
Дли многих течений исходное решение и^(х) достаточно»
близко к сходящемуся невязкому решению и^(х) и невязкое
решение можно не пересчитывать. Однако, если и^ существенно
отличается от и(е0), необходимо построить эквивалентное тела
Ув + б*(л) и пересчитать и^{х) через невязкое решение во всей
невязкой области. Глобальный итерационный процесс в этом
случае возобновляется с шага А.
Распределение давления в отрывной зоне, образующейся при
обтекании лотка Картера — Ворнома (рис. 16.27), полученное
У
0.02
х=о
11И1111111TTTT
Течение Блазиуса
Точка отрыва
Смещенное тело
ДгГ74.
ТТЛ 111 И1111
Точка присоединения
Область взаимодействия
Рис. 16.27. Плоскость с выемкой для расчета отрывных областей. Масштаб
по у увеличен ([Veldman, 1981]; печатается с разрешения AIAA).
квазиодновременным методом, приведено на рис. 16.28. Очевид-
Очевидно, что учет вязко-невязкого взаимодействия чрезвычайно ва-
важен для определения точного решения на основе приближения
пограничного слоя.
Решение, изображенное на рис. 16.28, получено на сетке
121X81, покрывающей вязкую область, и потребовало проведе-
проведения 10—20 итераций для выполнения условия A6.210) при
о = 1.5.
Вельдман [Veldman, 1981] показал, что описанный выше ал-
алгоритм находится в соответствии с трехпалубной теорией [Ste-
wartson, 1974], пригодной для анализа сингулярных точек, та-
таких, как точки отрыва и задняя кромка, при стремлении числа
Рейнольдса к бесконечности. Наиболее существенно, что из трех-
трехпалубной теории следует, что вязко-невязкое взаимодействие в
несжимаемом течении меняется с прямого на обратное при про-
прохождении сингулярной точки в направлении основного течения.
Хотя Вельдман применял квазиодновременный итерационный
метод для расчета лишь ламинарных течений, можно ожидать,
что тот же алгоритм применим для расчета турбулентных

378 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
течений и взаимодействия ударной волны с пограничным
слоем.
Обобщение на дозвуковые или трансзвуковые течения оче-
очевидно, если только образующиеся ударные волны слабы и тече-
течение в невязкой области может быть определено из решения
трансзвукового потенциального уравнения (п. 14.3.3). Если удар-
ударные волны достаточно сильны и для описания невязкой области
от- _
i? 0.02-
^0.04
0.06
0.08
— —— без взаимодействия
— Re=8*104
- — Re=36^10^
- I
Точка отрыва *""
1
\
\
\
\
\
\ 1
V /
\ /
ЧУ
/
/
h
1
1
1
1 —
1
Точка присоединения
1
1
Рис. 16.28. Распределение давления в лотке Картера — Ворнома ([Veldman,
1981]; печатается с разрешения AIAA).
необходимо использовать уравнения Эйлера, взаимодействие че-
через толщину вытеснения должно осуществляться так, как это
юписано в п. 16.3.7.
16.3.6. Полуобратный итерационный метод
Этот метод, основанный на системе уравнений A6.203), схе-
схематично изображен на рис. 16.26. В работе [Le Balleur, 1981]
используется дефектное описание в вязкой области. Дефектные
уравнения получаются в результате вычитания укороченных
уравнений Навье — Стокса из уравнений Эйлера. Это возможно,
поскольку невязкая область покрывает вязкую. Дефектные урав-
етения, описывающие двумерное сжимаемое течение, могут быть

§ 16.3. Внешние течения 379
представлены в виде
¦?¦ [(ри){ - (р«Л + jf UP")' h - (pvY h) = 0, A6.211>
4r [(P«2)' ~ (Р«2Л + 4r {(puvI h - {puvf h] + K [(puvI - (puv)") =
ил uy
= -ж(р1-р°)-1$-> A6-212>
-^ [(ротI - (ротЛ + -^- [(рУ2)? Л - (pv2)v h] - К [(ри2)' - (РЛ =
= — A"fe"(P? — Р0)- A6.213)
Система координат ортогональна телу, h = h{ = 1 + ^Су, Л2 =
= Й3 = 1, /С (х)—кривизна поверхности тела (# = 0); т в
A6.212)—сдвиговое напряжение, ламинарное или турбулентное.
Граничные условия в дальней зоне для вязкой области за-
заключаются в совпадении с невязким решением, т. е.
lirn [/< - П = 0, /в{и, vy р, />}. A6.214)
В ближней зоне граничные условия для вязкой области имеют
вид
1) на поверхности тела: uv = vv = 0,
2) на центральной линии следа: [uv] = [vv] = 0, '
где [ ] означает скачок величины, заключенной в скобках.
Граничные условия в ближней зоне для невязкой области
записываются в форме
оо
1) на поверхности тела: (PvY — -fa\ {(РиУ ~ (Pu)v}dy,
о
2) на центральной линии следа:
A6.216)
оо оо
[(Р "У) = -щ- \ 1(Р«)' - (риЛ dy, [р1] = - 5 ¦$? {р1 - р') dy.
— оо —оо
Если величина д(р1 — pv)/dx в A6.212) определена, система
A6.211) — A6.215) может быть решена за один маршевый про-
проход вниз по течению. Таким образом, данный подход эквивален-
эквивалентен методу A6.178) — A6.181), основанному на укороченных
уравнениях Навье — Стокса.
Однако Ле Баллер [Le Balleur, 1981], руководствуясь, воз-
возможно, дополнительной экономичностью, связанной с интеграль-

380
Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
ными методами пограничного слоя [Cebeci, Bradshaw, 1977],
предпочел проинтегрировать уравнения A6.211) и A6.212) по у,
а для замыкания системы использовал эмпирические соотноше-
соотношения. В результате получился очень экономичный маршевый ал-
алгоритм для расчета вязкой области. Однако использование эм-
эмпирических соотношений предполагает, что внешние условия
(угол атаки, геометрия тела и т. д.) должны подходить под
класс течений, для которых эти соотношения имеют место. На-
Напротив, прямое решение уравнений A6.211) — A6.216) ограни-
ограничено лишь предположениями, сделанными при выводе укорочен-
укороченных уравнений Навье — Стокса, т. е. на пренебрежении осевой
вязкой диффузией в уравнении A6.212) и всеми вязкими чле-
членами в A6.213).
В работе [Le Balleur et al., 1980] дефектное описание и ин-
интегральный вязкий метод использовались для установления сле-
следующей связи между вязкой и невязкой областями:
^ + Лз, A6.217)
где © и {v/(u2-\- v2)}y==0, значения А\, А2, Л3 и б* определяются
текущими вязким и невязким решениями. Уравнение A6.217)
является эквивалентным выражением A6.200). При прямом про-
проходе, который пригоден для описания слабых взаимодействий,
из уравнения A6.217) получается скорость инжекции v'1 на по-
поверхности тела, необходимая для расчета поправок к невяз-
невязкому течению. При отрыве А\ обращается в нуль, что приводит
.к необходимости применять либо обратный (эквивалентный
A6.202)), либо полуобратный (эквивалентный A6.203)) метод
.(рис. 16.29).
При прямом проходе (рис. 16.29) из предварительного зна-
значения угла поворота потока в*, полученного из A6.217), в ре-
результате нижней релаксации получается значение 6"+1. Перед
точкой отрыва и за ней используется полуобратный метод. Цен-
Центральное место в этом методе занимает связь
«•-«¦-'[(*)'-(?)']• <16-218»
тде (dp/dx)v и (dp/dxI— градиенты давления в текущих (об-
(обратных) вязком и невязком решениях. В работе [Le Balleur,
1981] для определения функциональной связи A6.218) в явном
виде использовался анализ Фурье системы уравнений, из кото-
которых получено соотношение A6.217). В комбинации с релакса-
релаксацией вя+1 = вЛ + о» F* — &п) весь полуобратный алгоритм мо-
может быть записан как
Ч

§ 16.3. Внешние течения
381
где p = (l— MsI/2, b = A<fi'/A{, 0<(o<2, M5— поверхностное
(невязкое) число Маха. Для локально сверхзвукового течения
в работе [Le Balleur, 1981] предложена другая форма уравне-
уравнения A6.219). Можно заметить, что хотя А\ в A6.217) в точке
отрыва обращается в нуль, в уравнении A6.219) не возникает
особенностей.
В работе [Le Balleur, 1981] дано подробное изложение опи-
описанного выше алгоритма, представлены результаты расчета те-
течения у трансзвукового профиля под углом атаки с турбулент-
турбулентным отрывом. Отмечается очень хорошее совпадение с экспери-
экспериментальными данными. По существу тот же подход может быть
Прямое действие
невязкого течения
Предварительное
значение@*
Обратное действие
пограничного слоя
Полуобратный метод
Нижняя релаксация
Рис. 16.29. Полуобратный метод.
использован для взаимодействия ударной волны с пограничным
слоем [Le Balleur, 1984].
16.3.7. Вязко-невязкое взаимодействие
с использованием уравнений Эйлера
Для течений, в которых можно ожидать появления сильных
скачков, предпочтительнее в невязкой области решать уравне-
уравнения Эйлера. В этом случае связь между перекрывающимися не-
невязкой и вязкой областями должна быть рассмотрена более де-
детально. В работе [Johnston, Sockol, 1979] разработан метод,
основанный на дефектном описании взаимодействия, аналогич-
аналогичном A6.211) — A6.213). В этом методе стационарные двумерные
уравнения Эйлера представляются в форме
^Г = 0. A6.220)
дх
Компоненты векторов Р и G' приведены в A4.95).

382 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
Стационарные двумерные уравнения Навье — Стокса, описы-
описывающие течение в непосредственной близости от стенки, записы-
записываются в виде
^+ж=0- A6221>
Компоненты векторов F* и Gv в A6.221) приведены в п. 11.6.3.
В результате интегрирования уравнений A6.220) и A6.221) по-
Рис. 16.30. Составная конструкция F.
перек вязкого слоя б и комбинации результатов получается сле-
следующее условие:
б
=0 =
A6.222)
Предполагается, что в вязком слое решение уравнений Навье —
Стокса Fv аппроксимируется выражением FC = F* + F* — f?=<>
(рис. 16.30), где Fb— решение, полученное на основе уравнений
пограничного слоя или укороченных уравнений Навье — Стокса.
В результате подстановки Fc и Fv в уравнение A6.222) полу-
получается
б
Gj-o = О?=о + -1L J (Fj-o - Fb) dy. A6.223)
о
На практике уравнение A6.223) используется как гранич-
граничное условие для Gr'(l), G'B) и Gf'D) при у = 0; G'C) при
у = 6 — давление на поверхности, которое определяется обычно
из уравнения нормальной составляющей импульса. Можно за-
заметить, что G'(l) при у = 0 совпадает с инжектируемым (по
нормали) импульсом и соответствующая компонента A6.223) эк-
эквивалентна A6.197). Дополнительные граничные условия
G'B)^=0 и т. д. необходимы, поскольку в невязкой области ре-
решаются уравнения Эйлера, а не трансзвуковое уравнение потен-
потенциала. В работе [Le Balleur, 1984] отмечается, что дополнитель-

§ 16.4. Заключение 383
ные граничные условия, необходимые для уравнений Эйлера, по-
позволяют более эффективно связать невязкую и вязкую области.
Связь Джонстона и Сокола [Johnston, Sockol, 1979] исполь-
используется также в работе [Whitfield, Thomas, 1984].
В заключение можно отметить, что методы учета взаимодей-
взаимодействия, описанные в п. 16.3.4—16.3.7, основаны на классической
идее [Lighthill, 1958] о том, что вязкая область может влиять
на невязкую в результате эффекта вытеснения. Однако обобще-
обобщение этой идеи на описание течения у задней кромки, отрыва и
взаимодействия ударной волны с пограничным слоем приводит
к методам [Le Balleur, 1984], весьма сходным с описанным в
этой же главе методом укороченных уравнений Навье — Стокса.
§ 16.4. Заключение
Использование укороченных уравнений Навье — Стокса для
расчета стационарных течений с преобладающим направлением
целесообразно, если решение может быть получено за один мар-
маршевый проход в направлении потока или, в худшем случае, за
несколько маршевых итераций.
Основные упрощения делаются на основе анализа порядков
величин различных членов в уравнениях, описывающих течение.
Из этого анализа следует, что члены, представляющие продоль-
продольную (вниз по потоку) вязкую диффузию или теплопроводность,
могут быть опущены, поскольку они на порядок меньше членов,
связанных с поперечной диффузией или теплопроводностью.
В этом упрощении предполагается, что направление течения со-
совпадает, по крайней мере приблизительно, с одним из коорди-
координатных направлений. Для улучшения совпадения направлений
может понадобиться введение обобщенных координат (гл. 12).
Анализ Фурье линеаризованных уравнений, описывающих
движение (п. 16.1.2), позволяет определить тип уравнений и
установить, возможно ли получить решение за один маршевый
проход. За исключением невязкого сверхзвукового течения, ис-
исходные RNS-уравнения, т. е. уравнения, в которых отброшена
продольная диффузия, все еще являются эллиптическими. Эл-
Эллиптическое поведение определяется в первую очередь давле-
давлением. Поэтому дополнительные приближения, цель которых
сделать RNS-уравнения неэллиптическими, часто связаны с гра-
градиентом давления в уравнении продольной компоненты им-
импульса.
Для внутренних течений, в которых поперечная составляю-
составляющая скорости существенно меньше продольной, целесообразно
расщепить давление на давление на центральной линии рсц и
поперечную поправку рс. Из сравнения порядков величин

384 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
следует, что член дрс/дх может быть опущен в уравнении про-
продельной х-компоненты импульса. Таким образом, в уравнении
продольной составляющей импульса остается только давление
рс/и а в уравнениях поперечных составляющих импульса фигу-
фигурирует только рс. Именно это разделение давления в продоль-
продольном и поперечных уравнениях импульса позволяет получить
неэллиптическую систему уравнений. Такое расщепление давле-
давления эффективно при расчете осесимметричных слабо закручен-
закрученных течений (п. 16.2.1) и течений в каналах (п. 16.2.2), если
кривизна оси канала или трубы не слишком велика.
Для каналов с существенно искривленной осью поперечные
градиенты давления становятся настолько велики, что расщеп-
расщепление давления, использованное в п. 16.2.1 и 16.2.2, перестает
быть справедливым. Расщепление поперечных компонент скоро-
скорости на вихревую составляющую, связанную с завихренностью
в направлении потока, и безвихревую (или потенциальную), свя-
связанную с законом сохранения массы, позволяет получить неэл-
неэллиптическую систему уравнений даже при полном учете давле-
давления. Однако следует подчеркнуть, что вязкое решение в методе
расщепления скоростей (п. 16.2.4) строится как коррекция
к предварительному невязкому решению. Для дозвуковых тече-
течений это предварительное невязкое решение является эллипти-
эллиптическим.
Для внешних сверхзвуковых вязких течений точное решение
может быть получено за один маршевый проход, если размер
шага в продольном направлении не слишком мал и дозвуковая
область вблизи твердой поверхности сделана «неэллиптической».
Экстраполяция давления поперек дозвукового подслоя из сверх-
сверхзвуковой области позволяет получить требуемую «неэллиптич-
«неэллиптичность» (п. 16.3.1). Другой путь связан с введением взвешивания
Виньерона для члена др/дх в уравнении продольной х-состав-
ляющей импульса в точках сетки, лежащих в дозвуковом под-
подслое.
Для внешних дозвуковых вязких течений внешний (т. е.
вдали от изолированного тела) поток является эллиптическим.
Это приводит к необходимости введения итерационных повто-
повторяющихся маршевых проходов в направлении течения для ре-
решения RNS-уравнений. Если уравнения лишь слабо эллиптичны,
то, как отмечено в условии A6.176), для устойчивости отдель-
отдельных маршевых проходов (п. 16.3.2) параметр эллиптичности дол-
должен удовлетворять условию пАх/утах > а1/2. Для получения
сходимости за несколько маршевых проходов в случае несжи-
несжимаемых течений (а = 1) член тсАх/утах не должен быть много
меньше единицы (п. 16.3.3). Весьма эффективным оказывается

§ 16.5. Задачи 385
применение многосеточных методов (п. 16.3.5) для ускорения
итераций.
Рассмотрение большей части методов в этой главе было сде-
сделано применительно к ламинарным течениям. Однако, если тур-
турбулентность моделируется путем введения дополнительной тур-
турбулентной вязкости, все методы без нарушения неэллиптичности
RNS-описаний могут быть обобщены на турбулентные тече-
течения. Хотя качественный анализ (п. 16.1.2) указывает на непри-
неприменимость RNS-уравнений для расчета возвратных течений, име-
имеются эмпирические доказательства (п. 16.3.3) того, что
RNS-уравнения адекватно описывают такие течения, если вы-
выбрать для их решения подходящий итерационный алгоритм. Од-
Однако, если область отрыва занимает существенную часть обла-
области расчета, может оказаться, что RNS-подход с повторяющи-
повторяющимися маршевыми итерациями не будет иметь преимуществ
перед обычными методами (§ 6.4) решения полных уравнений
Навье — Стокса.
Поскольку для решения уравнений, описывающих невязкие
внешние течения, имеются более экономичные (чем методы ре-
решения RNS-уравнений) методы, обычно имеет смысл разделить
всю область на RNS-область вблизи тела и внешнюю невяз-
невязкую. В RNS-подходах, описанных в п. 16.3.2, эти области не пе-
пересекаются. Однако в традиционном разделении на невязкое
течение и течение в пограничном слое эти области пересекаются.
Для расчета сильных вязко-невязких взаимодействий (п. 16.3.4),
правильного учета небольших областей возвратного течения и
быстрого изменения в продольном направлении вблизи острой
задней кромки профиля поверхностного трения и давления тра-
традиционный подход может быть модифицирован. В результате
получаются методы (п. 16.3.5—16.3.7), больше напоминающие
RNS-подход, описанный в п. 16.3.2.
Все описанные в данной главе методы численно были реали-
реализованы на основе конечно-разностной дискретизации. Другие
методы дискретизации, например метод конечных элементов
[Baker, 1983],также используются при решении RNS-уравнений,
но обычно для дискретизации переменной, играющей роль вре-
времени, используется конечно-разностное представление.
§ 16.5. Задачи
Введение в RNS-уравнения (§ 16.1)
16.1. Осредненные по времени уравнения, описывающие несжимаемые
турбулентные течения, имеют вид A1.92) — A1.94). Для вывода укороченных
уравнений, эквивалентных уравнениям A6.4)—A6.6), проведите анализ по-
порядков величин в стационарных осредненных по времени уравнениях, описы-
описывающих турбулентное течение у входа в двумерный канал, параллельный
оси х. Предположите, что напряжения Рейнольдса порядка OF/L).
25 К Флетчер, т 2

386 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье—Стокса
16.2. В ортогональной системе координат несжимаемые уравнения
Навье — Стокса имеют вид
d d
' IJtoU) —г* ' ( h i V) ^=s О,
JLllL + JL^lL i -.-.^ л* , l dP
и dv , v dv
1ц dx ' h2 dy~"LXVZ^ —VZ1 -1" ~ "a-~ ~ "~ '^°'
где
" = ~dx
r
К 21
/г
l
1*2
- —
ax
l
Re
)'
*
Предполагая, что hiy h2, Kiz и /Сг1 порядка 0A) и и > и, проведите анализ
сравнения порядков величин и выведите следующую укороченную форму
уравнений:
м ^tt t у <^Ц , ^ , 1 (^р 1 д ( h{ ди
и dv . v dv
16.3. Опишите и обсудите зависимость Т от х, задаваемую уравнением
A6.20), в случаях
1) м, v « 1, 8, б малы;
2) и « 1, v мало, е, б малы;
3) и мало, v ж 1, 8, б малы;
4) и мало, у « 1, 8 мало, б велико;
5) и мало, v « 1, е « 1, б = 0.
16.4. В несжимаемом ламинарном течении около пластины, параллельной
потоку, др/дх « 0 вдали от передней кромки. Проведите анализ Фурье
уравнений
1) A6.1) —A6.3) с др/дх, отброшенной в A6.2);
2) A6.4)-A6.6) с др/дх, отброшенной в A6.5).
Обсудите характер поведения решения в связи с эллиптичностью или неэл-
неэллиптичностью уравнений.
16.5. Иногда для устойчивости расчетов в правую часть A6.30) добав-
добавляется член ед2р/ду2. Здесь е — положительная малая эмпирически подби-
подбираемая константа. Примените анализ Фурье к модифицированной таким об-
образом системе A6.30)—A6.32). Определите, будет ли поведение решения
в этом случае отличаться от поведения, определяемого выражениями A6.37)
и A6.48).
16.6. Получите решение по программе THRED при ME ==2 в случаях
1) А* = 0.20, Д# = 0.20;
2) Ад: = 0.05, ку = 0.20;
3) А* = 0.05, А*/= 0.10;
4) А* = 0.01, Аг/ = 0.20.

§ 16.5. Задачи 387
Сравните точность полученных решений у центральной линии с точностью,
полученной по программе RED-FEM и ADIFEM (табл. 16.3). Сравните вы-
вычислительную эффективность (§ 4.5) путем приблизительного подсчета числа
операторов и (или) прямого измерения времени CPU.
Внутренние течения (§ 6.2)
16.7. Введите расщепление давления A6.54) и покажите, что дрс/дх
в уравнении A6.52) порядка O(F/LJ). Предварительно имеет смысл рас-
рассмотреть порядок дрс/ду в уравнении A6.53).
16.8. После введения расщепления давления A6.54) и отбрасывания
дрс/дх в A6.52) используйте анализ Фурье (п. 16.1.2) для доказательства
того, что устойчивое решение системы A6.51)—A6.53) может быть получено
за один маршевый проход вниз по потоку.
16.9. Покажите, что уравнение A6.60) может быть получено из дискрет-
дискретного представления уравнения A6.55).
16.10. Примените анализ Фурье (п. 16.1.2) к системе уравнений A6.80)—
A6.83) при постоянном значении pinv и покажите, что в направлении х мож-
можно ожидать экспоненциальный рост решения. Введите вязкое расщепление
давления A6.84), опустите член дрс/дх в A6.81) и покажите, что для этой
системы устойчивое решение может быть получено за один маршевый проход
вниз по течению.
16.11. Покажите, что замена fa в A6.96) на fcd из A6.98) удовлетворяет
условию A6.97).
16.12. Используйте анализ Фурье (п. 16.1.2) для вывода уравнения
A6.120) из системы A6.113), A6.114), A6.116), A6.118) и A6.119). Полу-
Получите эквивалентный A6.120) полином, если A6.116) не вводится в A6.113).
Как это повлияет на устойчивость решения за один маршевый про-
проход?
16.13. Чтобы убедиться, что w = 0 на стенке с постоянным значением */,
получите выражение для Qi, /, *, эквивалентное A6.130).
Внешние течения (§ 16.3)
16.14. Рассмотрите приближение подслоя в декартовых координатах при
условии постоянства полной энтальпии A6.181). Уравнения имеют вид
ирх + УРг/ + Р«* + pvy = 0,
ди , ди . др 1 д2и
р + рУ^ + 1Г = ()
Р" 17 + py"^""""Re"lp"==° ПЛЮС уравнение A
Примените анализ Фурье для вывода характеристического полинома
где А = UGX + vOy. Покажите, что при положительном и первый множитель
не приводит к экспоненциально нарастающему решению. Покажите, что если
пренебречь последним членом во втором множителе, то можно получить
устойчивое в направлении х решение.
25*

388 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье — Стокса
16.15. Для дозвукового невязкого течения весовой метод Виньерона, при-
примененный к др/ду, позволяет вместо системы A6.156) — A6.158) получить
до , до , ди . dv
дх ду г дх ^ ду
а2
Y
а1
Y
dp
ду
др
dx
1 9й
dv
дх
ри
У
du
dv
PJ ду
du
)J ду
со (Y
Y
(Y
1)
—
Y
(<
и
дм
dv
dx
¦ + 9
n
di
d:
Используйте анализ Фурье для вывода следующего характеристического по-
полинома:
— (иах + vGy) {о2х (и2 - а2) + Gx(jyiiv [(Y + 1) - (Y - 1) ю] +
Покажите, что если v « 0, то никакой выбор со не позволит избежать экспо-
экспоненциального роста решения по х при и < а.
16.16. Укороченные несжимаемые уравнения Навье — Стокса могут быть
решены методом, подобным итерации по времени, если записать их в виде
du . dv 0
дх ' ду '
ди ди др д2р 1 д2и
дх дх дх дх dt Re ду2 '
dv . dv dp 1 d2v 0
dx dx dy Re d#2 '
где член ad2p/dxdt введен для устойчивости подобных по времени итераций
давления. Примените анализ Фурье и покажите, что итерации, подобные
итерациям по времени, будут устойчивы, если а больше нуля.
16.17. Покажите, что уравнение A6.184) может быть получено из уравне-
уравнений A6.178), A6.180) и A6.181).
16.18. Проведите разложение в ряд Тейлора уравнений A6.191) в окрест-
окрестности узла (/, k— 1/2), A6.192)—в окрестности узла (/, k) и A6.193) —
в окрестности узла (/, к—1/2). Покажите, что порядок аппроксимации всех
трех уравнений О (Ах, Ау2).
16.19. Выведите уравнение A6.197) из несжимаемого уравнения нераз-
неразрывности и определения толщины вытеснения A1.67). Какое уравнение будет
эквивалентно данному в случае сжимаемых течений?
16.20. Выведите уравнение A6.223) из уравнений A6.220) и A6.221) и
получите явные выражения для G\l 0, / = 1, 2, 4.

Глава 17
Несжимаемые вязкие течения
В этой главе не будет делаться никаких предположений об
относительной величине компонент скорости. Следовательно,
укороченные уравнения Навье — Стокса (гл. 16) становятся
неприменимы и необходимо рассматривать полные уравнения
Навье — Стокса; при этом предполагается, что течение несжи-
несжимаемое.
Численные методы, рассматриваемые в настоящей главе,
будут применяться к задачам, в которых нет выделенного на-
направления течения, например задача о вентиляции помещений.
Кроме того, во многих случаях будут возникать области воз-
возвратного течения. Если эти области велики или их появление
связано с нестационарностью течения (например, течение за
уступом), маршевые методы (итерационные), рассмотренные
в гл. 16, неприменимы для решения подобных задач.
Предположение о несжимаемости течения приводит к до-
дополнительным вычислительным трудностям. В уравнение нераз-
неразрывности A1.13) входят лишь компоненты скорости. Поэтому
в данном случае нет прямой связи с давлением, которая в слу-
случае сжимаемых течений осуществляется через плотность. Для
расчета несжимаемых течений возможны два общих подхода.
В первом из них используются исходные переменные и, v, p
в двумерном случае, а для решения уравнения неразрывности
вводятся специальные процедуры. При обобщении этого под-
подхода на случай трехмерных течений не возникает дополнитель-
дополнительных трудностей. Соответствующие методы расчета нестацио-
нестационарных течений, основанные на исходных переменных, описаны
в § 17.1. Методы в исходных переменных, предназначенные для
расчета стационарных течений, описаны в § 17.2.
В двумерном случае явного использования уравнения не-
неразрывности можно избежать, если ввести в рассмотрение
функцию тока. Кроме того, введение уравнения переноса для
завихренности позволяет получить описание течения в перемен-
переменных завихренность — функция тока. Такой подход описан в
§ 17.3. Обобщение этого подхода на трехмерный случай не
столь очевидно, поскольку в случае трех пространственных пе-
переменных функция тока не существует. Для описания течения

390 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
в этом случае используются завихренность и векторный потен-
потенциал (п. 17.4.1).
Большинство практически интересных течений являются тур-
турбулентными, если только число Рейнольдса не слишком мало.
Для учета турбулентных эффектов при расчете несжимае-
несжимаемых течений обычно используется либо алгебраическая мо-
модель турбулентной вязкости (п. 11.4.2), либо (k — е) -модель
(п. 11.5.2). С вычислительной точки зрения использование ал-
алгебраической модели требует лишь незначительного изменения
алгоритмов, предназначенных для расчета ламинарных течений.
Структура дифференциальных уравнений для k и е A1.95) и
A1.96) аналогична структуре уравнений импульса, и дискрети-
дискретизация этих уравнений обычно проводится одинаково. Таким
образом, алгоритмы расчета ламинарных вязких течений столь
же эффективны (с небольшими изменениями) и для расчета
турбулентных течений. Поэтому в настоящей главе явное вни-
внимание расчетам турбулентных течений уделяться не будет.
§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения
Уравнения, описывающие двумерные нестационарные не-
несжимаемые ламинарные течения, имеют вид
Уравнения A7.1) — A7.3) записаны в безразмерном виде; плот-
плотность включена в число Рейнольдса Re. При помощи уравне-
уравнения A7.1) левые части A7.2) и A7.3), как в уравнении
A1.116), записаны в консервативном виде.
Для нестационарных течений требуется определить началь-
начальные условия и = ио(х, у) и v = vo(x, у), удовлетворяющие
уравнению A7.1). Граничные условия на твердой поверхности
заключаются в отсутствии относительного движения жидкости
и твердого тела, что определяет компоненты скорости. Гранич-
Граничных условий для давления на твердой поверхности задавать не
надо. Если компоненты скорости определены на всей границе
области расчета, как, например, в задаче о движущейся поло-
полости, необходимо обеспечить выполнение глобального условия
-nds = 0, A7.4)

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 391
где с — граница области расчета. Уравнение A7.4) является
глобальным выражением A7.1), что может быть получено из
сравнения уравнений A1.7) и A1.10) при постоянном значении
плотности р.
Если область расчета содержит открытые границы, как в за-
задаче о течении вблизи уступа (п. 17.3.3), число граничных усло-
условий на открытых границах может быть получено из табл. 11.5.
На входной границе необходимо поставить два граничных ус-
условия; обычно задаются одна компонента скорости и давление.
На выходной границе можно положить равными нулю произ-
производные от скорости, граничное условие для давления ставить не
надо. Поскольку в уравнения входят лишь производные от
давления, его величина может быть определена в одной точке,
относительно которой будет осуществляться отсчет давления.
Следует подчеркнуть, что описанная выше постановка гра-
граничных условий проведена так, что уравнения и граничные
условия образуют корректно поставленную задачу, имеющую
регулярное решение. Однако для получения регулярного чис-
численного решения дискретных уравнений может понадобиться
введение дополнительных граничных условий.
Описанные в этом параграфе методы основаны главным об-
образом на конечно-разностной дискретизации и решении уравне-
уравнения Пуассона для давления (п. 17.1.2). Чтобы получить доста-
достаточно точное решение без чрезмерного измельчения сетки, может
понадобиться более точное дискретное представление кон-
конвективных членов (п. 17.1.5). Многие из описанных в данном
разделе способов решения, использующие конечно-разностную
дискретизацию, могут применяться и при ином способе дискре-
дискретизации, например в случае спектральных методов (п. 17.1.6).
17.1.1. Разнесенная сетка
Численное решение системы A7.1) — A7.3) часто проводится
на разнесенной сетке. Это означает, что различные зависимые
переменные определяются в разных точках сетки. В работе
[Peyret, Taylor, 1983] проведено сравнение различных разне-
разнесенных сеток применительно к определению давления. В работе
[Haltiner, Williams, 1980] рассмотрена возможность представ-
представления различных мод Фурье (см. п. 9.2.1) на разнесенных сет-
сетках различной конфигурации для уравнений мелкой воды, ана-
аналогичных уравнениям Эйлера (гл. 14). Лучшая конфигурация
разнесенной сетки представлена на рис. 17.1.
Видно, что давление определяется в центре ячейки, а ком-
компоненты скорости — на границах. Такая процедура делает сетку
удобной для проведения дискретизации по методу конечных

392
Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
объемов (§ 5.2); эта связь будет использована в п. 17.2.3. В ре-
результате дискретизации уравнения A7.1) на разнесенной сетке,
изображенной на рис. 17.1, получается выражение
ц/+1/2, k ~~ "/-1/2, fe
Ax
.
j\ k+l/'z
j, k—1/2
Ay
= 0,
A7.5)
которое можно представить в виде
и2. к &У + У Л* И
* — И/-1/2. fe Аг/ — У/, fe-i/2 Ал: = 0. A7.6)
Уравнение A7.6) является дискретным представлением урав-
уравнения A7.4), т. е. соотношения A7.5) и A7.6) сохраняют массу
Рис. 17.1. Разнесенная сетка.
на минимальном сеточном размере. Кроме того, из разложения
A7.5) в ряд Тейлора в окрестности центра ячейки следует, что
порядок аппроксимации A7.5) равен О (Ах2, Ау2) несмотря на
использование лишь четырех точек.
Дискретизация уравнений A7.2) проводится с помощью ко-
конечно-разностных выражений, центрированных относительно
точки сетки (/ + 1/2, k). Это позволяет представить др/дх
в виде выражения (p/+i, * — pi, *)/Ах, которое в точке (/+1/2, k)
имеет второй порядок точности. Аналогично A7.3) дискретизи-
руется центральными разностями относительно точки (/, Л+1/2)
и др/ду представляется в виде (р/, л+i—р/, /е)/Ау.
Использование разнесенной сетки дает возможность связать
значения и, v и р в соседних точках. Это также позволяет
избежать появления осцилляции в решении, в частности для р,
которые могут возникнуть, если центральные разности исполь-
используются для аппроксимации всех производных на неразнесенной
сетке. Осциллирующее решение появляется из-за двух несвя-
несвязанных на различных точках сетки решений для давления, ко-
которое возможно, если центральные разности используются на
неразнесенной сетке. Осцилляции, как правило, возрастают при
увеличении числа Рейнольдса, поскольку диссипативные члены

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 393
посредством которых осуществляется связь значений и и v в
соседних точках, в этом случае малы. Из уравнений A7.1) —
A7.3) следует, что членов, приводящих к диссипации р, не
имеется.
Дополнительное преимущество использования разнесенной
сетки состоит в том, что уравнение Пуассона A7.13) для дав-
давления автоматически удовлетворяет дискретному представлению
интегрального граничного условия A7.4). В этом случае не
требуется, как в уравнении A6.98), проводить дополнительную
коррекцию правой части уравнения Пуассона.
Применение разнесенных сеток имеет также некоторые не-
недостатки. Компьютерные программы в этом случае труднее ин-
интерпретировать. При программировании необходимо связать пол-
полный набор независимых переменных с индексами массивов,
в которых они хранятся. При использовании разнесенных сеток
элементам массивов, в которых хранятся и, v и р с номером
(/,&), могут соответствовать значения wy+i/2, *, a/, fe+1/2 и р/, k
(рис. 17.1). В случае разнесенной сетки обычно труднее осуще-
осуществить постановку граничных условий, поскольку по крайней
мере одна из зависимых переменных и или v не будет опреде-
определена на границе. Если используются обобщенные координаты
(гл. 12) и сетка непрямоугольная, применение разнесенных се-
сеток усложняется еще больше.
Разнесенная сетка, приведенная на рис. 17.1, используется
в методе MAC (п. 17.1.2). При дискретизации уравнений
A7.1) — A7.3) используются следующие конечно-разностные вы-
выражения:
д (uv) ~| [(МУ)/ + 1/2, fe+1/2 — (tt0)/+l/2 fe—1/2]
ОУ J/ + 1/2, к Л# \ \ v n njj\
X2 J/-H/2, fe ~~ 7iX* ""
dy* J/ + i/2.ft~ Д1/2
fill д(р/+|';"р/'*>+
В приведенных выражениях присутствуют не определенные на
рис. 17.1 члены типа w/+i, *. Их аппроксимация осуществляется
следующим образом:
= 0.5 (М/ + 1/2, fe + M/ + 3/2, fe).

394 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Аналогично (mi;)/+i/2, *+i/2 аппроксимируется выражением
2, к + И/+ 1/2, Л+0/2] [(У/ +
/7.7.2. Метод MAC
Одним из наиболее ранних и получивших широкое распро-
распространение методов решения уравнений A7.1) — A7.3) является
предложенный в работе [Harlow, Welch, 1965] метод маркеров
и ячеек (MAC). В этом методе используется разнесенная сетка
(п. 17.1.1) и на каждом шаге по времени решается уравнение
Пуассона для определения давления. Хотя в первом варианте
метода MAC имеются определенные слабые стороны, использо-
использование разнесенной сетки и уравнения Пуассона сохранилось и
в более поздних методах, основанных на методе MAC.
Первоначально метод предназначался для решения неста-
нестационарных задач со свободными границами. Для определения
положения свободной поверхности как функции времени в те-
течение вводятся маркеры (частицы без массы). Маркеры пере-
переносятся полем скоростей, но не играют никакой роли при опре-
определении скорости или давления. Здесь в дальнейшем они рас-
рассматриваться не будут. Возможность качественно правильного
моделирования методом MAC сложных течений со свободной
поверхностью иллюстрируется на рис. 17.2, где представлены
результаты расчета падения капли в неподвижную жидкость.
В методе MAC используются дискретные формулы A7.7)
и для решения уравнения A7.2) может быть получен следую-
следующий явный алгоритм:
a/+i/2. к = O+1/2, k — д7 Л + 1, к — Р]\ к J >
где
, Г и/
L
/ + 3/2, к — 2ц/+1/2, к + Ц/-1/2, к
Re A*2
, {Ц/ + 1/2, k—\ — 2ц/+1/2, k + Uj+\j2, fe+l} \Ц/+1, к
Re Ay2 Дл:
2, fe-1/2} T
J
Аналогично в дискретном виде представляется уравнение A7.3):
О G lPP] A710>
где

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения
395
t=e
t=5
t=15
t=25
t=38
rt=35
H
........-*»^s
Рис. 17.2. Задача о падающей капле ([Harlow, Shannon, 1967]; печатается с
разрешения American Association for the Advancement of Science).
—" 2p/t fe+1/2 "^ P/, fe—1/2}
ReAr/2
, fe+1/2 ^" (uv)j-\j
fe + 1
A7.11)

396 Гл. 17 Несжимаемые вязкие течения
В уравнениях A7.8) и A7.10) давление р входит неявно; од-
однако рп+х определяется до решения A7.8) и A7.10) следующим
образом. Уравнение неразрывности A7.1) записывается в раз-
разностном виде
Л.гс + 1 пп + \ \ (пп+\ -,/z + l \
j^n+l _ \uf+H2, k~ Uj-\I2, к) . \Vj,k + \/2 — vi,k-\l2) _q A7 12)
где D,\k — дилатация в ячейке (/,&)•
Подстановка uf+l/2 k и т. д. из уравнений A7.8) и A7.10)
позволяет представить A7.12) в виде разностного уравнения
Пуассона для давления, т. е.
А*2
t k "" F1-U2, k}
_ 1 Г |^/+1/2
~ At L
Если для выражения различных членов в правой части A7.13)
использовать формулы A7.9) и A7.11), результат может быть
представлен в виде
RHSA7.18) =4*— [L^l k + 2Lxy (uv)h k + Lyyvl k -
- (I/Re) {Lxx + Lyy}Diikr, A7.14)
где
i k = {u)_u k - 24
. Л-1/2
Величину D/, л/А/ в A7.14) можно интерпретировать как дискре-
дискретизацию— dD/dt\fjk при Z)"V = 0. Таким образом, сходящееся
решение для давления, полученное из A7.13), приводит к выпол-
выполнению дискретного уравнения неразрывности в момент времени
/i+l.
Уравнение A7.13) решается на каждом шаге по времени
либо итерационными методами (§ 6.3), либо прямыми методами
решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6). После того как pn+l
получено из решения A7.13), подстановка этого значения в
уравнения A7.8) и A7.10) позволяет определить ЩХчыь и
Поскольку выражения A7.8) и A7.10) являются явными
формулами для определения ип+] и vn+l> имеется ограничение

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 397
на максимальный шаг по времени, связанное с устойчивостью
решения [Feyret, Taylor, 1983]:
0.25(| и | + | v |J A/ Re < 1 и A//(Re A*2) < 0.25. A7.15)
Здесь предполагается, что Ах = Ау.
Для решения уравнения A7.13) необходимо поставить гра-
граничные условия для р (условия Дирихле) или для производных
от р (условия Неймана) на всех границах. Для течения за
уступом (рис. 17.14) на AF и АВ следует задать граничные
условия Дирихле, а на границах FE, ED и DC — условия Ней-
Неймана. Обычно для постановки граничных условий Неймана ис-
используется дискретное представление уравнений импульса. Для
границ, подобных FEy где первоначальное направление потока
параллельно поверхности, приближение пограничного слоя
др/дп = 0 может быть использовано в качестве соответствую-
соответствующего условия для р, если велико число Рейнольдса Re.
Для внутренних течений граничные условия Неймана для
давления часто задаются на всех границах. В этом случае не-
необходимо выполнение глобального граничного условия (как в
п. 16.2.2), т. е.
где интеграл по с вычисляется вдоль границы расчетной обла-
области. Левая часть уравнения A7.16) в дискретном виде вычис-
вычисляется через правую часть A7.13).
Если дискретное представление уравнения A7.16) в соче-
сочетании с методом MAC записывается для внутренней ячейки
(например, ячейки /, k на рис. 17.1), уравнение выполняется
точно, если др/дп в правой части A7.16) вычисляется через
уравнение импульса. Если A7.16) применяется ко всей расчет-
расчетной области, необходимо глобальное выполнение закона сохра-
сохранения массы, т. е. выполнение условия A7.14), а производная
др/дп на границе должна определяться из уравнений им-
импульса или, там где это возможно, следует полагать др/дп = 0.
Способ определения др/дп на границе из уравнений импульса
должен быть совместим с внутренней дискретизацией.
Невыполнение условия A7.16) приводит к очень медленной
сходимости решения уравнения A7.13) или может привести
к его расходимости. Даже при выполнении A7.16) введение
граничных условий Неймана для давления приводит к замед-
замедлению сходимости итераций, если на всех границах заданы
граничные условия типа Дирихле.

398
Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
17.1.3. Постановка граничных условий
Сетка строится таким образом, что граница проходит через
точки, в которых определяется скорость, а не давление. Напри-
Например, на рис. 17.3 изображена часть расчетной области, для ко-
которой граница ВС — твердая стенка, а АВ— входная граница.
А
•Ро,г
•Ро,1
«3/Zto
Рис. 17.3. Типичное положение границы при использовании разнесенной сетки.
Очевидно, что vh у2 = v2,1/2 = ... = 0, поскольку ВС —
твердая стенка. Для вычисления выражения A7.9) в узле
C/2,1) необходимо значение из/2, о. Оно может быть получено
через значение на стенке:
W3/2, 1/2 = 0 = 0.5 (#3/2, 1 + ^3/2, о) ИЛИ Из/2, 0 = — #3/2, 1.
На границе АВ значения и и v задаются. Компонента и исполь-
используется непосредственно, а величина v\/2, k — для определения
v0, k. Так, при вычислении A7.11) в узле A,3/2) значение и0, з/2
определяется по формуле
?>0, 3/2 = 2^1/2, 3/2 — Щ, 3/2.
Если АВ — выходная граница, на которой и больше нуля, обыч-
обычно используются следующие граничные условия:
ди
дх
АВ
= 0 ^~
и' дх
АВ
= 0.
A7.17)

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 399
При вычислении A7.9) на АВ в узле A/2,2) из A7.17) сле-
следует, что мз/2,2 = и-1/2,2. Аналогично при вычислении A7.11)
в узле @,3/2) из A7.17) следует, что 01,3/2 = 00,3/2.
При решении уравнения Пуассона для давления A7.13) тре-
требуются его значения за пределами области расчета. При записи
A7.13) относительно узла B,1) требуются значения р2, о и
02,-1/2- Значение рг, о получается из уравнения A7.3), записан-
записанного на стенке, т. е. др/ду = (d2v/dy2)/Re, поскольку v на
стенке не зависит от времени. В дискретной форме это выраже-
выражение имеет вид
Р2, \—Р2,0 1 У2, 3/2 — 2v
'2, 1/2 "Г и2, —1/2
Ay Re Ay2
Для выполнения уравнения A7.1) на стенке должно иметь
место равенство: dv/dy = 0. Тогда
2v2, 3/2
U2, -1/2 У2, 3/2» Р2, 0 Рг. 1 Re А*/ '
В работах [Harlow, Welch, 1965; Viecelli, 1971] рассмотрена
постановка граничных условий на свободной поверхности.
17.1.4. Развитие метода MAC
В методе MAC при определении давления обеспечивается
выполнение уравнения неразрывности. В упрощенном методе
маркеров и ячеек (SMAC), разработанном в работе [Amsden,
Harlow, 1970], для более непосредственного выполнения урав-
уравнения неразрывности вводится второе уравнение Пуассона от-
относительно вспомогательного потенциала скорости. Аналогич-
Аналогичный подход рассматривается в п. 17.2.2.
В первоначальном методе MAC при постановке на границе
области условия Неймана для р необходимо определить дав-
давление за пределами области расчета, используя уравнения
A7.2) или A7.3). В работе [Eastern, 1972] показано, что вместо
этого можно использовать однородные граничные условия Ней-
Неймана, что является более экономным и легче реализуется.
В используемых обозначениях однородные граничные усло-
условия Неймана для р будут определены в узле A,2) вблизи гра-
границы АВ на рис. 17.3. Дискретизированное центральными раз-
разностями относительно узла A,2) уравнение Пуассона может
быть представлено в виде
-Р1.2
, Р1,1-2Р1,2 + Р1,зТ> + 1 _ (Р1.2-Р0.2)П+1 ,
"*" Ay2 J Ах2 "+"
Д*2 "*" Ay
Сп Т7п Гп ГП
3/2,2 — ^1/2,2 , , 5/2— ^l. 3/2
А^ h А~У

400 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Граничное условие Неймана для давления с центром в узле
A/2,2) может быть получено из A7.8) в виде
Ах М \ • )
Если использовать уравнение A7.19) для исключения (pi,2—
— Ро, 2) из A7.18), получится выражение, не зависящее от
^7/2,2 и> следовательно, не зависящее от значений и и v вне
области, появляющихся в уравнении A7.9). Поскольку решение
не зависит от Р"/2,2, в уравнении A7.18) может быть сделана
подстановка ff/2>2 = ^/f/2 и, согласно A7.9), po,2 = Pi,2- Таким
образом, вводится однородное граничное условие Неймана для
давления. Член uffel2 известен из граничных условий. Описан-
Описанный метод в основном совпадает с методом, описанным в книге
[Peyret, Taylor, 1983], где отмечены также важные аналогии
между методом MAC и методом проекции A7.22) — A7.24).
Для многих зависящих от времени задач ограничение на
шаг по времени A7.15), связанное с использованием явных
формул A7.8) и A7.10), является слишком обременительным.
Обобщение метода MAC, позволяющее проводить интегрирова-
интегрирование по времени уравнений A7.2) и A7.3) с использованием не-
неявной приближенной факторизации членов, содержащих ско-
скорость, сделано в работе [Deville, 1974] для очень малых чисел
Рейнольдса и в работе [Ghia et al., 1979] для течений с боль-
большими числами Рейнольдса. Общее описание можно найти в
книге [Peyret, Taylor, 1983].
Дискретные уравнения для определения поля скоростей
A7.8), A7.10) могут быть записаны в символическом вектор-
векторном виде
un+l=Fn-Wdpn+l> A7.20)
где F = (F, G)T, Wd — разностный оператор градиента.
Уравнение Пуассона для давления A7.13) может быть за-
записано в форме
Уравнения A7.20) и A7.21) являются краткой формой записи
метода MAC.
Существуют иные методы, подобные методу MAC. С мето-
методом MAC тесно связан метод проекции, предложенный в рабо-
работах [Chorin, 1968; Temam, 1969]. В принятых обозначениях
в методе проекции уравнение A7.20) разделяется на два этапа:
u* = F", A7.22)
и"*1 = u* — AtVdpn + l. A7.23)

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 401
Подстановка A7.23) в уравнение A7.12), записанное в виде
SJdun+l = 0, приводит к соотношению
1=-5rVu*. A7.24)
В результате этого u"+l удовлетворяет как уравнению A7.1),
так и уравнениям A7.2) и A7.3). В методе проекции из урав-
уравнения A7.22) определяется и*, из A7.24) определяется pn+l
и из A7.23) определяется u"+l. Изначально метод проекции был
разработан на неразнесенной сетке. Однако в работе [Peyret,
Taylor, 1983] рекомендуется использовать его на разнесенной
(MAC) сетке (рис. 17.1). Из уравнений A7.22) и A7.24) видно,
что метод проекции совпадает с методом MAC во внутренних
точках. Однако граничные условия реализуются несколько по-
иному. В работе [Peyret, Taylor, 1983] показано, что в методе
проекции решение не зависит от значений и* на границе. Это
по существу эквивалентно исключению Fi/o, 2 из уравнения
A7.18) после подстановки в него A7.19).
Года [Goda, 1979] использовал метод проекции для расчета
вязкого течения в двумерной и трехмерной движущихся поло-
полостях. Чтобы избежать явного ограничения на шаг по времени
A7.15), уравнение A7.22) заменено уравнениями
)]" = u', A7.25)
A/ (wLz - -^ /.
Уравнения A7.25) являются приближенной факторизацией, ана-
аналогичной рассмотренной в § 8.2 и 9.5 и позволяющей получить
последовательность трехдиагональных систем уравнений, если
Lx, Lxk и т. д. — трехточечные конечно-разностные операторы.
Года отмечает, что для устойчивости решения необходимо ис-
использовать ограничение типа КФЛ на шаг по времени: At ^
^ A*/|l/max|.
Другой вариант реализации метода MAC A7.20) и A7.21)
предложен Хиртом и Куком [Hirt, Cook, 1972]. В принятых
обозначениях предварительные значения скорости определяют-
определяются из уравнений A7.2) и A7.3) в виде
u* = F* - AtS/dpn. A7.26)
26 К. Флетчер, т 2

402 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Поправка к давлению 8р = рп+1 — рп определяется из урав-
уравнения
v$e/>=-srv<*u*- <17-27>
Эта поправка обеспечивает выполнение уравнения неразрыв-
неразрывности при подстановке в него un+1, т. е.
u«+i=u*-^--Vd6p. A7.28)
Наконец, новое значение давления равно
pn+i=pn + 6pt A7.29)
Постановка граничных условий осуществляется, как в ме-
методе MAC (п. 17.1.3). Хирт и Кук использовали такой подход
для исследования вязких несжимаемых (ламинарных) течений
у трехмерных структур.
В работах [Sakamoto, Matuo, 1980; Kato, Murakami, 1986)
использовался метод Хирта и Кука для исследования нестацио-
нестационарных турбулентных трехмерных течений, возникающих в за-
задачах вентиляции помещений. Применялась (k—е) -модель
турбулентности (п. 11.5.2). Сравнение экспериментальных и
расчетных данных для этой задачи приведено на рис. 17.4.
Данные результаты получены на сетке 20(х)Х 24(у)X I5(z).
Это самая грубая сетка, на которой удалось удовлетворительно
получить основное циркуляционное и вторичное течения. Тече-
Течение вызывается нагнетанием воздуха через крышу. Вдуваемая
струя ударяется об пол и вызывает циркуляционное в плоскости
симметрии течение у стен (рис. 17.4 (а) и (d)). Хорошо моде-
моделируется картина вытекания воздуха у пола и крыши
(рис. 17.4(с), (е)); хорошо видны возвратные течения, вызван-
вызванные нагнетаемой струей.
В приведенном выше описании семейства методов MAC
предполагалось, что границы расчетной области совпадали
с декартовыми координатными плоскостями. Для расчетных
границ произвольной формы можно ввести связанные с грани-
границами криволинейные координаты (гл. 12), преобразовать урав-
уравнения к криволинейным координатам и применить метод MAC
в регулярной расчетной области.
В работе [Patel, Btiggs, 1983] применен метод MAC в пер-
первоначальном явном варианте для расчета в криволинейных ко-
координатах задачи о естественной конвекции в нестационарном
двумерном ламинарном течении. Использовалась разнесенная
сетка, на которой контравариантные компоненты скорости
A2.65) определялись на границах ячеек, а давление — в их

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения
403
дентрах. Поскольку в эквивалентном A7.13) уравнении появ-
появляются производные от давления р| и рл, для вычисления этих
производных по значениям в соседних точках использовались
две перекрывающиеся сетки. Это приводит, однако, к тому, что
¦О1—
¦ ¦ ¦
^ ¦ *
* ¦ f
v 4 y
Иллюстрирующая плоскость
Горизонтальная проекция типа 1
He)
Эксперимент
(а) (?/ + ИО-плоскость
Моделирование
(a) (U+ W) -плоскость
Эксперимент
(Ь) F/+И4 -плоскость
I*
v
^
• ¦tt
• ttt
• ttt
Моделирование
(b) (U+W) -плоскость
(d) (V+ W) ,-плоскость
J
Эксперимент
(q) [U+ V ) -плоскость
Моделирование
(с) (U+V) -плоскость
(e) (U+ V) I-плоскость
Рис. 17.4. Моделирование вентиляции комнаты ([Kato, Murakami, 1986]; пе-
печатается с разрешения Japan Soc. of Сотр. Fluid Dynamics).
система уравнений Пуассона, эквивалентная A7.13), в два раза
больше, чем в случае применения метода в декартовых коорди-
координатах.
17.1.5. Разности высокого порядка против потока
В первоначальном методе MAC используются центральные
конечно-разностные формулы A7.7). Для течений, в которых
основную роль играет конвекция, использование центральных
26*

404 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
разностей приводит к появлению в решении сильных нефизи-
нефизических осцилляции (п. 9.3.1). Делались попытки стабилизиро-
стабилизировать решение путем дискретизации конвективных членов двух-
двухточечными разностями против потока (п. 9.3.1) или суммами
с весами центрально-разностных выражений и разностей против
потока. Однако, как правило, при этом получается неточное ре-
решение, особенно если локальное направление вектора скорости
совпадает с направлением сетки и велики локальные градиенты
скорости. Более точное решение получается, если для аппрок-
аппроксимации конвективных членов использовать разности высокого
порядка точности против потока, подобные четырехточечным
формулам, рассмотренным в п. 9.3.2 и 9.4.3.
Дэвис и Мур [Davis, Moore, 1982] использовали исходные
переменные для решения нестационарных уравнений Навье —
Стокса методом, аналогичным методу MAC. Применялась разне-
разнесенная сетка; уравнение Пуассона для давления решалось на
каждом временном шаге прямым методом (п. 6.2.6) [Swartz-
trauber, 1974].
Отличительной чертой метода Дэвиса и Мура является ис-
использование многомерных разностей третьего порядка точности
против потока для аппроксимации конвективных членов. По-
Помимо высокой точности эти разности третьего порядка против
потока позволяют избавиться от ограничений, связанных с се-
сеточным числом Рейнольдса и возникающих при использовании
центральных разностей (п. 9.3.1). Использовался явный мар-
маршевый алгоритм по времени для решения уравнений импульса.
Эмпирическим путем найдено, что при больших числах
Рейнольдса решение устойчиво при выполнении условия
КФЛ. т. е.
<l.O и <1.0.
Ах ^ Ау
Многомерные разностные формулы третьего порядка точности
против потока являются обобщением одномерной квадратич-
квадратичной интерполяции против потока Леонарда [Leonard, 1989].
Одномерная схема третьего порядка с разностями против по-
потока может быть продемонстрирована на уравнении переноса
(9.56), записанном в консервативном виде
где и известно и изменяется внутри области. Консервативное
разностное представление уравнения A7.30) может быть запи-

§ 17.1 Исходные переменные: нестационарные течения 405
сано в форме
тп+1 тп
A7.31)
Поле скоростей и определяется на однородной разнесенной
сетке (как в схеме MAC, рис. 17.1). Однако Tj+l/2 и Г/_1/2 свя-
связаны с полем Т соотношениями
71/-1)-|G1/-2-2Г/_1 + Г/), A7.32)
Гж/2 = 0.5 (Т; + Г/+1) - | (Г/-1 - 2Т, + Г/+1). A7.33)
Такая дискретизация д(иТ)/дх эквивалентна четырехточечной
схеме против потока (9.71), (9.72); путем выбора параметра q
можно увеличивать точность или изменять диссипативные и
дисперсионные характеристики (п. 9.4.3).
Значение q= 0.375 соответствует схеме QUICK [Leonard,
1979], эффективной при расчете стационарных и квазистацио-
квазистационарных течений. Схема QUICK широко использовалась в алго-
алгоритмах типа SIMPLE (п. 17.2.3). Однако для нестационарных
задач желательно выбирать q так, чтобы уменьшить не только
пространственные, но и временные ошибки (как в п. 9.4.3).
Одномерная схема QUICKEST, предложенная Леонардом
[Leonard, 1979], напоминает модифицированную схему Лакса —
Вендроффа (табл. 9.3), если и в A7.30) постоянно (С =
= uAt/Ax), т. е.
^ + °-5с2) (Г/-* -
-С (-Цг^ - а$.) [G7-1 - 277 + 77+0 - (TU -
A7.34)
Дополнительный член в правой части уравнения A7.34) обес-
обеспечивает аппроксимацию порядка О (At2, Ax2). В пределе при
а->0 конвективные члены аппроксимируются с точностью
О (Ax3), а производные по времени — с точностью О (At3).
Дэвис и Мур обобщили схему A7.34) на случай двух про-
пространственных переменных и переменной скорости. Для реше-
решения двумерного уравнения переноса
да а^ + Ж-ц^ + ^^о A7.35)
dt ' дх ' ду V дх2 ' ду2 ) v 7

406 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
ими предложен следующий явный алгоритм:
Tj*k =Tn\,k — Cf+i/2 [^0.5(Г/, k + 7*/+i, k) — 0.5С/+1/2(Г/-н, k — TJt
y-,/2 [o.5 (Г,-,, ft + Г/, ft) - 0.5C/-I/2 G7. ft - Г,-,,
/-2, fe - 2Г,.,.ft + Г,.ft)]" -
Ck+i/2 0.5(TJ
—-Г/,
ft-i/2 [o.5 G1/, *_, + 77, ft) - 0.5Cft_,/2G1/, k - 77, ft_0 -
+ Y* (T,, *_, - 2ГЛ ft + 77, *+i). A7.36)
где числа Куранта определяются выражениями
— Ax
А/
При выводе уравнения A7.36) в целях упрощения алгорит-
алгоритма были опущены некоторые смешанные пространственные
производные порядка О (At2). Формально это приводит к по-
понижению порядка аппроксимации A7.36) до О (At). Именно
поэтому, чтобы уменьшить ошибку, связанную с отбрасыванием
членов порядка О (At2), Дэвис и Мур [Davis, Moore, 1982] ис-
использовали малые шаги по времени.
Для расчета неустановившегося ламинарного течения за пря-
прямоугольным препятствием (рис. 17.5) Дэвис и Мур использо-
использовали на однородной сетке эквивалентный A7.36) алгоритм.
Применялась явная маршевая дискретизация по времени урав-

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения
407
нении импульса A7.2) и A7.3). В работе 1982 г. для решения
уравнения Пуассона для определения давления Дэвис и Мур
использовали метод SOR (п. 6.3.1).
Позднее [Davis et al., 1984] для решения уравнения A7.13)
на каждом шаге по времени применялся прямой метод реше-
Рис. 17.5. Сетка для течения у препятствия, 51 X 62.
ния, основанный на методе Шварцтраубера [Swartztrauber,
1974]. Это значительно повысило вычислительную эффектив-
эффективность алгоритма и позволило значительно точнее, чем при ис-
использовании экономически разумного числа итераций SORr
обеспечить выполнение на каждом шаге по времени уравнения*
неразрывности. Типичное решение, соответствующее промежу-
промежуточной стадии формирования дорожки вихрей, представлено на
рис. 17.6.
В работе [Takemoto et al., 1985] использовался алгоритм
Дэвиса и Мура [Davis, Moore, 1982] для детального исследо-
исследования структуры течения в движущейся полости при числе
Рейнольдса Re=104. Позднее [Takemoto et al., 1986] в алго-
алгоритме были произведены существенные изменения. Во-первых,,
уравнения были записаны в обобщенных криволинейных коор-
координатах (гл. 12). Во-вторых, интегрирование уравнений им-
импульса проводилось методом дробных шагов, в котором кон-
конвективные члены аппроксимировались явным, а вязкие — неяв-
неявным образом. Вместо разнесенной сетки использовалась сетка,
на которой давление и компоненты скорости определены в од-
одних и тех же узлах. Модифицированный алгоритм использовался
для расчета нестационарного течения у синусоидальной выпук-
выпуклости в канале при Re= 104.

408
Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Интересно отметить, что, хотя течение и нестационарное, ис-
использовался алгоритм QUICK (фактически A7.32) и A7.33)
при 4=0.375), а не QUICKEST, эквивалентный A7.34). Пред-
Предполагается, что относительная простота и экономичность алго-
алгоритма QUICK оказывается предпочтительней. В работе [Таке-
moto, Nakamura, 1986] применен тот же алгоритм для реше-
решения задачи о трехмерной движущейся полости. Ранее на основе
Рис. 17.6. Картина вихрей при Re = 1000; направление набегающего потока
составляет 15° с горизонтальной плоскостью ([Davis, Moor, 1982]; печатается
с разрешения Cambridge University Press).
модифицированной разностной аппроксимации QUICK, вклю-
включенной в алгоритм типа SIMPLE (п. 17.2.3), эта задача рас-
рассматривалась в работе [Freitas et al., 19851.
17.1.6. Спектральные методы
Спектральный метод (§ 5.6) определяет значения неизве-
неизвестных величин более точно, чем любой из локальных методов
(например, конечно-разностные методы или метод конечных
элементов [Fletcher, 1984]). Для задач с достаточно гладким
решением и мягкими (например, периодическими) граничными
условиями спектральный метод очень эффективен с вычисли-
вычислительной точки зрения (§ 4.5). Однако для течений с более слож-
сложными граничными условиями высокая точность определения
узловых неизвестных может быть и не достигнута. Более того,
могут возникать некоторые трудности при определении устой-
устойчивого решения [Gottlieb, Orszag, 1977].
Важная роль граничных условий при построении спектраль-
спектральных методов привела к более широкому использованию псевдо-
псевдоспектральных подходов, основанных на полиномах Чебышёва

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 409*
(п. 5.6.3). Поскольку в современных псевдоспектральных мето-
методах решение в узловых точках определяется непосредственным
образом, выполнение граничных условий может быть также осу-
осуществлено более явно.
Псевдоспектральный матричный подход Чебышёва (CPSM)
кратко описан в п. 5.6.3. В основе метода лежит предположе-
предположение о том, что поведение функции во всей области достаточно'
точно описывается рядом Чебышёва. Это позволяет получить
явные дискретные формулы для производных высокого порядка,
например E.162) и E.165). Здесь на основе работы [Ku et al.,
1987а, b] будет описано применение метода CPSM для расчета
нестационарных несжимаемых вязких течений.
Рассматриваются безразмерные уравнения A7.1) — A7.3).
Одномерное приближенное решение Чебышёва, подобное E.150),
используется для определения следующего дискретного пред-
представления пространственных производных:
ди "I V Я*0> Г ди
д2и1
где компоненты GX{1) и т. д. соответствуют GA) и т. д. в E.161).
Для производных от v и р можно определить эквивалентные
A7.37) выражения.
Производные по времени аппроксимируются конечно-разно-
конечно-разностными выражениями, и для определения решения в новый мо-
момент времени используется метод проекции A7.22) — A7.24).
Первая компонента F* в A7.22) имеет вид
пп п , wr 1 ( д2и . д2и\ ди2 duv ln /itoq\
f j = «. -f ДМ-— —- 4" Т7 з з— » A7.38)
1 7 ' L Re V дх2 ' ду2 ) дх ду J/ ' v J
где для пространственных производных используются выраже-
выражения типа A7.37). Аналогичная CPSM дискретизация исполь-
используется для эквивалентных членов в уравнении A7.37) при опре-
определении F".
После определения и* из A7.22) значение pn+l находится
из уравнения A7.24). Граничные условия при этом используют-
используются следующим образом. При помощи представления A7.37)
уравнение A7.24) может быть записано в следующей дискрет-

410 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
ной форме:
Z/.Z WPLk ZWi: .p/f m + ,
г=2 / = 1 5=2 m-1
A7.39)
где
?8№.
s=2
?
/ yvi I -?fu*Nu k — 2 G^i ipi I +
m =1
m=l
Разделение суммирования в A7.39) проведено с целью обособ-
обособления некоторых граничных величин. При помощи CPSM пред-
представления A7.23) правая часть RHSfi может быть заменена
выражением
Все значения скоростей на границах в уравнении A7.40) опре-
определены граничными условиями. Уравнения A7.39), A7.40)
применимы во всех внутренних узлах. Следовательно, значе-
значения м* и v* на границах не нужны. Однако в A7.39) присут-
присутствует граничное значение р, поэтому требуется граничное усло-
условие для р. Оно получается из уравнений A7.23) и A7.1). Для
j = 1 и^+1 можно получить

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 41 f
и для k = 1 и N у + 1
В эти выражения входят значения и* и и* на границе. Однако
CPSM-упрощение, приводящее к уравнению A7.40), позволяет
заменить их соответствующими значениями и"-*1 и vn+l. Таким
образом, получается следующая CPSM-форма уравнений
A7.41) и A7.42):
A) при /=1 и Nx+l
N
Nx Nx + l .Ny+\
Gl-r LjGr>lpl>k==~AF\ Lj
r = 2 / = 1 ^5 1
r-2
G/, i u\t k + Gj,nx+\Unx+\, k I, A7.43)
B) при k = 1 и Ny + 1
y
N
5-2 m-1 ^ r = l s =2
y
i I.
/17 /ly|\
A7.44)
Комбинируя уравнения A7.39) во внутренних узлах и A7.43)
или A7.44) в граничных, можно получить полную линейную
систему уравнений для определения рп+1. Поскольку система
линейная, ее факторизацию можно провести лишь один раз
(например, при помощи подпрограммы FACT (п. 6.2.1)) на пер-
первом шаге по времени. Последующие шаги по времени потре-
потребуют лишь подстановки различных правых частей для опреде-
определения рп+]. Подпрограмма SOLVE (п. 6.2.1) осуществляет об-
обратную подстановку за О(п2) операций. После определения
рп+\ значения ип+\ vn+x на каждом шаге по времени вычис-
вычисляются из дискретного представления уравнения A7.23), кото-
которое осуществляется по формулам, аналогичным A7.37).
Поскольку в методе CPSM решение уравнения A7.22) про-
производится по явной схеме, имеется ограничение на шаг по вре-
времени
. A7.45)
Очевидно, что увеличение числа точек сетки приводит к рез-
резкому уменьшению шага по времени. В работе [Ku et al., 1987b]

412 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
описано решение задачи о движущейся полости при числе Рей-
нольдса порядка 103 и Nx = Ny = 31. Для получения стацио-
стационарного решения понадобилось от 15 000 до 30 000 шагов по вре-
времени.
Наряду с уравнениями A7.43) и A7.44) для формулировки
граничных условий для давления в работе [Ku et al., 1987a] ис-
использовался также более распространенный способ определения
градиента давления на границе из уравнений импульса A7.2) и
A7.3). Для термически движущейся полости два способа зада-
задания граничных условий дают аналогичные решения при числах
Рэлея порядка 103. Однако при числе Рэлея порядка 106 ис-
использование формул A7.43) и A7.44), которые позволяют бо-
более точно обеспечить выполнение уравнения неразрывности, поз-
позволяет получить и более точное решение.
В работе [Ku et al., 1987b] описанный метод был обобщен
для расчета трехмерной задачи о движущейся полости при чис-
числах Рейнольдса до 1000 на сетке 31X31X16 (рассматрива-
(рассматривалась симметричная относительно плоскости z = 0.5 задача).
С вычислительной точки зрения основная модификация заклю-
заключалась в введении разложения по собственным функциям, что
позволило свести решение трехмерного уравнения Пуассона к
последовательности одномерных задач. Это резко уменьшает
объем памяти, который понадобился бы при прямой фактори-
факторизации трехмерного уравнения Пуассона.
Из расчетов, представленных в работе [Ku et al., 1987b]
(рис. 17.7), следует, что течение в трехмерной движущейся по-
полости существенно отличается от течения в двумерной полости.
Различие меньше при меньших числах Рейнольдса. В рассмо-
рассмотренной задаче движущаяся крышка полости располагалась в
плоскости у = 1 и занимала по пространству интервал 0 ^ х ^
< 1, 0 ^ г^ 1.
В работе [Ku et al., 1987a] рассмотрено также применение
CPSM в обычном методе MAC (п. 17.1.2) на неразнесенной
сетке. Глобальная неявная связь производных от давления в
дискретизации CPSM препятствует появлению двух внутренне
однозначных, но не связанных из-за использования централь-
центральных разностей на неразнесенной сетке (п. 17.1.1) решений для
давления. В работе [Ku et al., 1987a] отмечается, что если гра-
граничные градиенты давления исключаются за счет du/dt и dv/dt
из уравнений импульса, то получающийся маршевый по вре-
времени алгоритм устойчив. Этого оказывается достаточно для по-
подавления неустойчивости явного псевдоспектрального метода, в
котором градиенты давления определяются из стационарных
уравнений импульса [Moin, Kim, 1980].

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения
413
Основной недостаток подхода CPSM при расчете стацио-
стационарных или слабо меняющихся течений заключается в сильном
ограничении на шаг по времени A7.45). Если бы использова-
1.0
0.8
а.
0.4
0.2
0
i 1
(a)
—
/a
/a
/ A
/ A
f A
- \
1 1 X
1
A
1
—
-
—
двумерный профиль
трехмерный профиль
I 1 1
-0.6 -0.4 -0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
и
06
04
-0.2
-0 4
-0.6
(Ь)
— двумерный профиль
а трехмерный профиль
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Рис. 17.7. Сравнение двумерного и трехмерного распределений скорости при
Re = 1000. (а) Профили скорости на вертикальной центральной линии, х =
= 0 5, z = 0.5; (Ь) профили скорости на горизонтальной центральной линии,
у — 0.5, z = 0.5 ([Ku et al., 1987b]; печатается с разрешения Academic
Press).
лась неявная аппроксимация уравнения A7.22), то из-за нели-
нелинейности A7.22) при решении понадобилось бы производить
факторизацию плотной матрицы на каждом шаге по времени.
Для реальных двумерных и трехмерных задач это сделало бы
алгоритм крайне неэффективным.

414 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
В работе [Gottlieb et al., 1984] проведен обзор методов, а
которых используется интегрирование по времени для расчета
вязких несжимаемых течений, и предложено расщепить реше-
решение уравнений, подобных A7.22), на два этапа. На первом эта-
этапе рассматриваются лишь конвективные члены, которые аппро-
аппроксимируются явным образом. Второй этап включает в себя учет
вязких членов, для которых возможна неявная аппроксимация.
Поскольку такая система линейная, в CPSM-методе понадобит-
понадобится лишь одна факторизация на первом шаге по времени. Такое
расщепление в псевдоспектральном методе использовалось в ра-
работе [Moin, Kim, 1980] и в смешанном спектрально- псевдоспек-
псевдоспектральном методе в работе [Orszag, Kells, 1980]. В последней
работе для конвективных членов использовалась частично неяв-
неявная аппроксимация, полученная в результате их приближенной
линеаризации на каждом временном шаге. Однако в работах
[Moin, Kim, 1980; Orszag, Kells, 1980] полиномы Чебышёва
применялись лишь по одному направлению; периодические гра-
граничные условия позволили использовать ряды Фурье в двух дру-
других направлениях. Кроме того, в обеих работах применялся ме-
метод FFT, а не матричные операции, как в работах [Ku et al.,
1987а,b].
Спектральные методы используются для исследования основ-
основных неустойчивостей, приводящих к переходу от ламинарного
течения к турбулентному. В работе [Orszag, Kells, 1980] пока-
показано, что для плоских течений Пуазейля и Куэтта переход про-
происходит при числах Рейнольдса порядка 1000. В работе [Ors-
[Orszag, Patera, 1983] показано, что для перехода в сдвиговых те-
течениях необходимы трехмерные возмущения. При изучении
переходов в сдвиговых течениях высокое временное разрешение
важнее пространственного. Однако при прямом моделировании
турбулентности [Orszag, Patera, 1981; Brachet et al., 1983] вы-
высокое пространственное и временное разрешения одинаково
важны.
Наиболее широко спектральные методы применялись для
решения задач, в которых границы расчетной области совпада-
совпадали с линиями постоянного значения независимых переменных.
Для расчета течений в областях более сложной формы можна
преобразовать уравнения к связанным с границей обобщенным
криволинейным координатам (гл. 12) и использовать какой-
либо спектральный метод уже в однородной в обобщенных ко-
координатах области. Однако для сохранения высокой точности
спектральных методов параметры преобразования ?* и т. д. дол-
должны также вычисляться спектральными методами [Orszag,
1980]. Для конечно-разностных методов высокого порядка

§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 415
точности для параметров преобразования достаточно исполь-
использовать формулы второго порядка (§ 12.2).
Использование полиномов Чебышёва для определения точек
коллокации E.152) приводит к мелкой вблизи границ и сравни-
сравнительно грубой во внутренней части области сетке. Это особенно
удобно при рассмотрении вязких течений, поскольку появляется
возможность хорошего разрешения тонких пограничных слоев,
возникающих вблизи стенок при больших числах Рейнольдса.
Для задач с большими градиентами внутри области (например,
вязкие сжимаемые течения или задачи с движущимися фрон-
фронтами) распределение точек, обусловленное полиномами Чебы-
Чебышёва, может оказаться менее эффективным.
Один из эффективных путей преодоления этой трудности, од-
одновременно позволяющий рассматривать спектральными мето-
методами сложные геометрии, состоит в разделении всей области на
несколько ОA0) подобластей. В каждой подобласти использует-
используется спектральный метод. Для течения за уступом [Patera, 1984]
вся область (рис. 17.4) разделялась на семь подобластей. Для
довольно точного решения в каждой подобласти достаточно ис-
использовать от шести до семи полиномов Чебышёва по каждому
направлению.
Использование отдельных спектральных разложений в каж-
каждой подобласти приводит к новой задаче обеспечения непрерыв-
непрерывности решения при переходе из одной подобласти в другую. Для
несжимаемых уравнений Навье — Стокса A7.1) — A7.3) при пе-
переходе через границы подобластей должны быть непрерывны
давление, компоненты скорости и первые производные от ком-
компонент скорости в направлении нормали к границе. Данные ус-
условия непосредственно используются в работе [Ku, Hatziavrami-
dis, 1987] при рассмотрении течения у входа в трубу в перемен-
переменных скорость — завихренность.
В работе [Patera, 1984] удалось избежать явного наложения
условия непрерывности производных скорости. Патера применил
спектральный элементный метод, в котором используется ла-
гранжева интерполяция узловых неизвестных, основанная на
чебышёвских полиномах и точках коллокации. Модифицирован-
Модифицированный метод проекции, эквивалентный A7.22) — A7.24), использо-
использовался для перехода с временного слоя п на п-\- 1. Промежу-
Промежуточное поле скоростей получается из явной аппроксимации кон-
конвективных членов в уравнении импульса. Эти промежуточные
значения скорости используются в качестве источника в уравне-
уравнении Пуассона, эквивалентном A7.24). Полученные значения
давления используются в уравнении, эквивалентному A7.23),
для дальнейшего уточнения значений скорости. Таким образом,
остается учесть влияние вязких членов на распределение

416 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
скоростей. Это осуществляется при помощи соответствующей
вариационной формулировки и схемы Кранка — Николсона (не-
(неявной). Использование вариационного подхода позволяет из-
избежать применения специальных процедур, обеспечивающих
непрерывность производных от скорости на внутренних грани-
границах. Другой способ получения непрерывных производных ско-
скоростей обеспечивается методом глобального баланса потока
[Macaraeg, Streett, 1986].
Для простых геометрий, подобных обращенной назад сту-
ступеньке, спектральная формулировка в каждой подобласти мо-
может быть осуществлена в физических координатах. Однако в
случае областей более сложной формы или если необходимо
точно разрешить сильные внутренние градиенты, необходимо ис-
использовать подобласти неправильной формы. В работе [Korczak,
Patera, 1986] приводится подобная модификация, основанная
на однопараметрическом конструировании (п. 5.3.3). В ра-
работе [Macaraeg, Streett, 1986] при помощи перехода к обобщен-
обобщенным криволинейным кооординатам в каждой подобласти полу-
получен такой же окончательный результат.
В заключение можно отметить, что спектральные методы все
еще менее развиты, чем конечно-разностные. Основное их пре-
преимущество состоит в том, что высокая пространственная точ-
точность может быть получена при сравнительно небольшом числе
членов в приближенном решении или, что эквивалентно, при не-
небольшом числе точек коллокации [Hussaini, Zang, 1987]. При
рассмотрении зависящих от времени вязких течений, в которых
для достижения необходимой точности требуются малые шаги
по времени, спектральные методы уже конкурентоспособны с
конечно-разностными методами, особенно в регулярных обла-
областях.
В случае нерегулярных областей и если зависимость от вре-
времени не является ограничивающим фактором для точности, в
спектральных методах обычно используется интегрирование по
времени или проводятся итерации до тех пор, пока не получит-
получится стационарное решение. В этом случае они оказываются зна-
значительно менее экономичным, чем локальные методы, такие,
как конечно-разностные или метод конечных элементов. В на-
настоящее время вычислительная эффективность спектральных ме-
методов расчета несжимаемых вязких течений в целом не столь
высока, как конечно-разностных методов или метода конечных
элементов в случае сложных геометрий расчетной области. Од-
Однако возможно, что эта ситуация изменится с появлением ком-
компьютеров с параллельными процессорами [Ortega, Voigt, 1985;
Korczak, Patera, 1986; Macaraeg, Streett, 1986].

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 417
§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения
Любой из методов, описанных в § 17.1, применим для рас-
расчета стационарных течений путем интегрирования по времени до
тех пор, пока решение не перестанет меняться. Кроме того, если
нестационарное решение не представляет интереса, возможно
применение методов установления (§ 6.4), которые могут повы-
повысить эффективность таких алгоритмов определения стационар-
стационарных решений. Метод установления используется в методе ис-
искусственной сжимаемости (п. 17.2.1) и при практическом при-
применении вспомогательной потенциальной функции (п. 17.2.2).
Хотя метод SIMPLE (п. 17.2.3) первоначально предназначался
для непосредственного решения стационарных уравнений
Навье — Стокса, оказалось, что его реализация более эффек-
эффективна в псевдонестационарной форме. Методы конечных элемен-
элементов (п. 17.2.4) применимы для расчета стационарных и неста-
нестационарных течений. Однако для расчета стационарных течений
эти методы обычно применяются непосредственно к стационар-
стационарным уравнениям Навье — Стокса.
17.2.1. Искусственная сжимаемость
В этом методе решение стационарных уравнений Навье —
Стокса ищется на основе метода установления (§ 6.4) приме-
применительно к нестационарным уравнениям импульса A7.2) и
A7.3), а уравнение неразрывности A7.1) заменяется уравне-
уравнением
В пределе при /->оо уравнение A7.46) совпадает с A7.1). Фи-
Физический смысл имеет стационарное решение уравнений A7.46),
A7.2) и A7.3), а нестационарные решения физического смысла
не имеют. Уравнение A7.46) напоминает сжимаемое уравнение
неразрывности A1.10). С этим связано название метода, вве-
введенное Чорином [Chorin, 1967].
Параметр а можно интерпретировать как скорость звука и
положить р = а2р. Однако на практике р в явном виде не по-
появляется и а и At играют роль релаксационных параметров. Ог-
Ограничения на А/ обычно определяются устойчивостью вычисли-
вычислительного алгоритма. Однако, согласно уравнениям A7.52) —
A7.54), имеются ограничения и на а.
Поскольку в методе установления осуществляется интегри-
интегрирование по времени уравнений A7.46), A7.2) и A7.3), гранич-
граничные условия для этой задачи такие же, как в § 17.1.
27 К. Флетчер, т. 2

418 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
В оригинальной формулировке Чорин [Chorin, 1967] исполь-
использовал схему «чехарда» (п. 9.1.3) для производных по времени
и разности Дюфорта — Франкела (п. 7.1.2) по пространству.
Компоненты скорости и давления определялись в одних и тех
же точках. В работе [Peyret, Taylor, 1983] рекомендуется ис-
использовать разнесенные сетки (п. 17.1.1). Кроме того, также по-
показано, что если использовать явные разности, как в п. 17.1.2,
псевдонестационарный метод искусственной сжимаемости мо-
можно рассматривать как итерационную процедуру решения раз-
разностного уравнения Пуассона для давления A7.13) при t = oo.
Ниже будет описан неявный псевдонестационарный алгоритм
решения уравнений A7.46), A7.2) и A7.3), основанный на про-
процедуре приближенной факторизации (п. 8.2.2).
Уравнения A7.46), A7.2) и A7.3) могут быть записаны в
векторном виде
W +17 + Ж-Ж°^ = 0, A7.47)
где
[р! Г а2и 1 Г a2v 1 ГО О (Л
uV F = L2 + P , G^ uv , D^ 0 1 0 .
vJ L uv J Lv2 + pJ Lo 0 lJ
Как в A4.98), вводятся якобианы A ss dF/dq, В == dG/dq.
В данном случае
ГО а2 01 ГО 0 а2!
А=\ 1 2^/ 0 , В= 0 v и . A7.48)
LO v u\ L1 0 2v\
Однако в отличие от A4.97) имеются следующие связи:
F = Aq — uDq и G = Bq — v Dq.
При дискретизации уравнения A7.47) значения р, и и v опре-
определяются в одних и тех же точках сетки. Для аппроксимации
производных по времени используется формула трапеций (схе-
(схема Кранка — Николсона)
= O, A7.49)
где Aqrt+I = qn+l — qn и Lxy Lxx и т. д. — трехточечные центрально-
разностные операторы. Например, L qn = (qt}_l k — 2q^ k +
+)/^2

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 419
Как и в п. 8.2.2, из A7.49) получается линейная относительно
Aq^1 система уравнений. Члены Fn+l, G"+1 и qn+1 разлагаются
в ряд Тейлора в окрестности временного слоя п. В результате
получается
Ftt+1~F" + AttAq«+1, Qn+l ~ Gtt + В* Aqtt+1, qn+l « qn + Aq*+1.
Следовательно, A7.49) можно записать в виде
{I + 0.5 A/ [LxAn + ЬуЪп - -? (Lxx + Lyy)]} Aq^ = RHS, A7.50)
где
RHS = M [(D/Re) (Lxx + Lyy) qn - LJP - LyG].
Левая часть подвергается приближенной факторизации (см.
п. 8.2.2) и решается в два этапа с добавлением искусственной
диссипации:
[I + 0.5 М (ьхАп - -1L Lxx) + zt Ax*Lxx] Aq* =
= RHS - ге [(V.A,J + (VAJ] Ч*> A7-51>
[i + 0.5 A* (LyBn - ± Lyy) + 8, by*LvU] Aq^1 = Aq*,
где
(YAJ Я" = Ч/-2, * - H-u k + 4 * - 4Чж. * + Ч?+2, ik-
Очевидно, что каждый шаг алгоритма приводит к блочно-трех-
диагональным системам уравнений, для решения которых име-
имеются эффективные численные методы (п. 6.2.5). Поскольку тра-
трапецеидальная разностная формула по времени нейтрально ус-
устойчива, в правую часть A7.51а) введен явный сглаживающий
член четвертого порядка, подавляющий нелинейную неустойчи-
неустойчивость. Неявный сглаживающий член второго порядка, введен-
введенный в левую часть A7.51), уравновешивает явное сглаживание
во время нестационарного периода, препятствует снижению ско-
скорости сходимости к стационарному состоянию. Параметры ге
и е/ выбираются так, чтобы искусственная диссипация была пре-
пренебрежимо мала по сравнению с физической, которая в данном
случае определяется величиной 1/Re. Использование искусствен-
искусственной диссипации обсуждается ниже в § 18.5.
Для сложных геометрий имеет смысл использовать обобщен-
обобщенные координаты (гл. 12). Соответствующий алгоритм, анало-
аналогичный описываемому в § 18.4, использовался в работе [Steger,
Kutler, 1977] для исследования вихревых следов и в работе
[Kwak et al., 1986a] для расчета течений в трубопроводах дви-
двигателей.
27*

420 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Можно заметить, что искусственная скорость звука а при-
присутствует в выражениях для А и В. Собственные числа А и В
равны
ХА = и, и, и±(а2 + и2)т, KB = v, vy v±(a2 + v2)m. A7.52)
Нестационарное решение можно разложить на отдельные моды
вида ехр(—W) и т. д. Таким образом, при больших значениях
а2 различные моды будут затухать с существенно различными
скоростями. В этом случае система уравнений A7.47) назы-
называется жесткой (§ 7.4). Если бы для маршевого по времени ре-
решения системы A7.47) использовался явный алгоритм, жест-
жесткость, связанная с большими значениями а2, проявилась бы в
виде сильного ограничения на At> связанного с устойчивостью.
Этого удается избежать при помощи неявного алгоритма
A7.51). Однако в работе [Steger, Kutler, 1977] для сохранения
первого порядка точности по времени уравнения A7.51) реко-
рекомендуется использовать условие
а2< 1/Д/. A7.53)
Если а2 сделать слишком малой величиной, не будет достаточно
точно выполняться уравнение неразрывности A7.1), что приве-
приведет к неустойчивости нестационарного решения. В работе
[Kwak et al., 1986a] предложена следующая нижняя граница
для а2. Для ламинарных течений
для турбулентных течений
где Re^ — число Рейнольдса, рассчитанное по турбулентной вяз-
вязкости, а хь и xL — характерные расстояния, которые волны дав-
давления и завихренности проходят за заданный отрезок времени.
Для течений в каналах Xl — общая длина канала, а 2х6 — рас-
расстояние между стенками канала. Например, для течения около
кругового цилиндра при Re = 40 и kt = O.l в работе [Kwak
et al., 1986a] рекомендуется выбирать а2 в диапазоне 0.1 <
< а2 < 10. Из расчетов следует, что скорость сходимости не
сильно зависит от а2, если эта величина выбирается в указан-
указанном диапазоне.
В работе [Kwak et al., 1986b] использовался указанный ал-
алгоритм для расчета вихревой пелены, образующейся при обте-
обтекании столба кругового сечения, стоящего на плоскости, несжи-

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения
421
маемой жидкостью. Картина течения при числе Рейнольдса
(рассчитанном по диаметру цилиндра), равном 1000, приведена
на рис. 17.8. Траектории частиц, изображенные на рис. 17.8,
получены на сетке, содержащей примерно 100 000 узлов. Для
Рис. 17.8. Траектории частиц при обтекании цилиндра на плоскости, Re =
= 1000 ([Kwak et al., 1986b]; печатается с разрешения NASA).
достижения стационарного решения понадобилось около 800 ите-
итераций. Траектории частиц указывают на наличие сильной пер-
первичной вихревой структуры и на образование вторичных вих-
вихрей, которые переносятся по нормали к пластине (в сторону
увеличивающихся значений г), прежде чем они сносятся основ-
основным потоком (в направлении увеличения у).
17.2.2. Вспомогательная потенциальная функция
Данный метод описывается здесь в контексте метода уста-
установления (§ 6.4) к расчету стационарных решений. Удобно за-
записать систему A7.1) — A7.3) в векторном виде. Дискретизация
по времени позволяет записать уравнения импульса в виде
(tttl+\ ttn\ , 1 ч
~ +V • (u"u"+I) + Vp" + V6p«+1 - (-^-) V2u«+1 =0,
A7.56)
А
где рп+1=рп

422 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Для определения решения уравнение A7.56) разбивается на
две части. Предварительная оценка значений un+l получается в
результате определения и* из уравнения
и* + Дг • V A1*11*) - (-^) VV = пп - A/V/Л A7.57>
На второй стадии
= u* _ At V6p«+i. A7.58)
Из условия удовлетворения un+1 уравнению неразрывности сле-
следует
V . пп+{ = 0 = V • и* — A/ V26pn+l
или
V2 6рп+1 = A/Д/) V • и*. A7.59>
Очевидно, что A7.59)—уравнение Пуассона для поправки к
давлению. Это уравнение эквивалентно уравнению A7.24) в ме-
методе проекций, отличие заключается лишь в величине и*.
Однако существует иной способ определения urt+1, удовлетво-
удовлетворяющего уравнению неразрывности. К скорости и* можно до-
добавить безвихревую добавку ис, обеспечивающую выполнение
закона неразрывности, т. е.
V . nn+l = V • и* + V • ис = 0. A7.60>
Поскольку скорость ис безвихревая, можно ввести потенциал
так, что \хс = S/ф. Уравнение A7.60) принимает вид
V2</> = -vu*. A7.61)
Уравнение A7.61) есть уравнение Пуассона для фу эквива-
эквивалентное A7.59). Если используются эквивалентные граничные
условия, то
1 ф/ A7.62)
Таким образом, если в результате решения уравнения A7.61)
определены значения фу то рп+х непосредственно находится иа
уравнения A7.62). Граничные условия для A7.61) обычно опре-
определяют значения дф/дп, подчиняющиеся глобальному ограниче-
ограничению, эквивалентному A7.4),
$-uedi4. A7.63)
На практике дф/дп полагается равным нулю на твердой поверх-
поверхности, но на открытых границах эти значения выбираются так,,
чтобы удовлетворялось условие A7.63). Решение для ф не обя-
обязательно будет удовлетворять условию дф/ds = 0 на границе.
Поэтому рекомендуется при решении A7.57) использовать для

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 423
и* на твердой поверхности граничное условие
«:--[?]¦• <17-64»
Условие A7.64) с точностью до О (At) обеспечивает выполнение
равенства и?+1=0, где s — направление касательной к гра-
границе. Таким образом, на (/г+1)-м временном слое обеспечи-
обеспечивается выполнение условия прилипания.
Для нестационарных задач уравнение A7.61) необходимо
решать на каждом шаге по времени. Однако для стационарных
несжимаемых течений более эффективно заменить A7.61) ура-
уравнением
^--V24> + V-u* = 0, A7.65)
которое решается маршевым по времени методом совместно с
уравнением A7.57). Обычно для решения A7.65) использует-
используется больший шаг по времени или же оно решается после того,
как сделано три или четыре шага по времени для уравнения
A7.57). Для малых времен уравнение A7.61) будет выполнять-
выполняться лишь приближенно. Поэтому в давление необходимо ввести
нижнерелаксационную поправку, т. е. заменить A7.62) на
Pn+l = Pn-^if^ A7.66)
Выделение в поле скоростей безвихревой составляющей,
т. е. составляющей, которая может быть получена из потенциа-
потенциала скорости, как в A7.61), лежит в основе метода проекций Чо-
рина [Chorin, 1967] (см. п. 17.1.4). Впервые вспомогательная
потенциальная функция явно была использована в методе
SMAC [Amsden, Harlow, 1970]. Позднее такой подход приме-
применялся в работах [Dodge, 1977; Cazalbonu et al., 1983; Kim, Moin,
1985], где использовалась конечно-разностная аппроксимация,
и в работе [Ku et al., 1986b] в сочетании с псевдоспектральным
методом. В работах [Briley, 1974; Ghia, Sokhey, 1977; Yashchin
et al., 1984; Briley, McDonald, 1984] вспомогательный потенциал
использовался для определения поля поперечных скоростей при
моделировании течений в каналах (п. 16.2.2). В работе [Khos-
la, Rubin, 1983] применялась концептуально сходная идея рас-
расщепления скорости для расчета течений в вязких слоях боль-
большой толщины.
17.2.3. Метод SIMPLE
В данном семействе алгоритмов используется дискретизация
уравнений по методу конечных объемов (§ 5.2) на разнесен-
разнесенных сетках (п. 17.1.1). Этот метод был предложен в работе

424
Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
[Patankar, Spalding, 1972] и детально описан в работе [Patan-
kar, 1980]. Аббревиатура SIMPLE происходит от Semi-Implicit
Method for Pressure-Linked Equations и описывает итерацион-
итерацион(а) Уравнение неразрывности
%k-l
"К* PJ,k
(о) Уравнение импульса по оси х (с) Уравнение импульса по оси у
Рис. 17.9. Контрольные объемы, используемые в методе SIMPLE.
ную процедуру решения дискретных уравнений. Итерационная
процедура здесь рассматривается как метод установления для
решения нестационарных уравнений A7.1) — A7.3) в дискрет-
дискретном виде с целью определения стационарного решения. Будет
показана важная связь с методом вспомогательной потенциаль-
потенциальной функции (п. П.2.2).
На разнесенной сетке для различных уравнений используются
различные контрольные объемы (рис. 17.9). Кроме того, сдви-
сдвинуты сеточные индексы, связанные с определенными зависи-
зависимыми переменными (рис. 17.9). В результате физическое поло-
положение значения p/+i/2, k совпадает с положением и-и и, а р/, *+1/2
совпадает с vj, к. Приведенная ниже дискретизация соответст-

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 425
вует однородной сетке. Более общий случай неоднородной сетки
можно найти в § 5.2 или работе [Patankar, 1980].
Для контрольного объема, изображенного на рис. 17.9(а),
применение метода конечных объемов (§ 5.2) к уравнению не-
неразрывности A7.1) позволяет получить дискретное уравнение
(„»? _ и«-н куьу + @«+i _ „*+._,) д* = о. A7.67)
Применяя метод контрольного объема к уравнению х-компо-
ненты импульса A7.2) с контрольным объемом, показанным на
рис. 17.9 (Ь), можно получить дискретное уравнение
-) (
«Г*1 - и1») + №«/». *" яА./2, *
w: W /Л>/2) (Ш k ул) =°. <17-68>
где
Таким образом,
"/+l.fe-M/,fe
t,+O/+Ii ft) («/f k^
Следовательно, A7.68) можно переписать в виде
A7.69)
где Y* апьипь1 означает все конвективные и диффузионные вкла-
вклады из соседних узлов. Коэффициенты auuk и а\ь зависят от
размеров сетки и значений и и v на п-м временном слое. Член
и = —.Дя Д#и/, k/&t. Можно заметить, что некоторые члены в
f(D и G<1) вычисляются на п-м временном слое, в результате
чего система A7.69) линейна относительно un+l.
При помощи контрольного объема, изображенного на
рис. 17.9(с), дискретная форма уравнения у-компоненты импуль-
импульса A7.3) может быть записана в виде
\ At J \ U k /, k) * V /+I/2, к 1 /—1/2, k) ^У '
_L (Q{2) _ /JB)
где
_, G() = y

426 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Подстановка Я2) и GB) в A7.70) позволяет записать его в виде
(¦тг- + а10 VW + Z <M>+1 + bv + *x CP7.-V+I - p?.V) = °>
A7.71)
где различные коэффициенты имеют ту же интерпретацию, что
и в уравнении A7.69).
На любой промежуточной стадии итерационная процедура
SIMPLE осуществляет перевод решения с л-го временного слоя
на (я+1)-й. Значения скорости определяются в два этапа.
Сперва решаются уравнения импульса A7.69) и A7.71), в ре-
результате чего определяется аппроксимация и* величины ил+1,
которая не удовлетворяет уравнению неразрывности. Исполь-
Используя приближенное решение для скорости и*, определяют поправ-
поправку к давлению tip. При помощи этой поправки определяются но-
новые значения давления pn+l = рп + бр и поправка скорости \хс.
С учетом этой поправки ип+1 = и* + ис, где un+1 удовлетворяет
уравнению неразрывности в дискретной форме A7.67).
Для определения и* уравнения A7.69) и A7.71) аппроксими-
аппроксимируются следующим образом:
+ а1 О «I. * + Е <ьКь = ~Ьи - Ay (P?+1. k+Pl к), A7.72)
а10У/.
Патанкар [Patankar, 1980] рекомендует записывать урав-
уравнения A7.72) и A7.73) в виде скалярных трехдиагональных си-
систем вдоль каждой jc-линии сетки (k постоянно) и использовать
для решения алгоритм Томаса (п. 6.2.2). Далее A7.72) и A7.73)
записываются как скалярные трехдиагональные системы вдоль
линий у (/ постоянно) и вновь решаются по алгоритму Томаса.
Такая процедура похожа, но не идентична методу ADI, рассмо-
рассмотренному в п. 8.2.1.
Для определения поправки ис уравнение A7.72) вычитается
из A7.69). В результате получается
+ а1 *) "Ь - -1 апьКь - *у («р/+1. * - Ч »)¦ A7-74)
Вычитание A7.73) из A7.71) позволяет получить аналогичное
уравнение для vc. Однако, чтобы сделать связь между ис и 8р
как можно более явной, в алгоритме SIMPLE используется сле-
следующая аппроксимация A7.74):

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 427
где
duk = E Ау/{A + Е) а" к), Е = Ata« Л/Дх Л*/. A7.76)
Можно получить аналогичные выражения, связывающие о? Л
и (бру Л — 6р. Л+1). Подстановка и**1 = и* fe + и? Л в A7.67) и
использование выражений A7.75) и т. д. позволяет построить
следующий явный алгоритм для определения 6/?д &:
а1кЬрик = ^аРпЬЬРпЬ + Ь\ A7.77)
где Ьр = - (и]9 к — и)_1# к) ку — (i>Jt л — v*u k_x) Ax. Уравнение
A7.77) есть замаскированная дискретная форма уравнения
Пуассона, которое в символическом виде можно записать как
Ъ*Р = -&**•**> <17-78)
что эквивалентно A7.59). Можно отметить, что A7.75) экви-
эквивалентно уравнению
^ A7.79)
Из сравнения уравнений A7.79) и A7.62) следует, что бр —
эффективный потенциал скорости, а поправка \хс безвихревая.
Полностью алгоритм SIMPLE можно представить следующим
образом:
1) и* находится из A7.72) и A7.73),
2) бр находится из A7.77),
3) ис определяется из A7.75) и эквивалентной формы для vc>
4) рп+{ определяется из соотношения рп+х = рп + а?бр,
где яр — релаксационный параметр.
В алгоритме SIMPLE два релаксационных параметра: ар и
E( = At). Решение стационарного уравнения для импульса соот-
соответствует значению Е = оо. В этом случае для устойчивости схо-
сходимости рекомендуется значение ар = 0.075. Эмпирически обна-
обнаружено, что более высокая скорость сходимости получается при
Е= 1 и ар = 0.8 [Patankar, 1980].
В работе [Raithby, Schneider, 1979] проведено систематиче-
систематическое исследование алгоритмов типа SIMPLE и сделан вывод, что
наиболее эффективному алгоритму соответствуют значения
?«4и
ар=1/(\+Е) A7.80)
В работе [Van Doormaall, Raithby, 1984] выражение A7.80)
названо согласованным SIMPLE-алгоритмом или сокращенно
SIMPLEC. Однако здесь дана и другая интерпретация алго-

428 Гл 17. Несжимаемые вязкие течения
ритма SIMPLEC. Остается неясным вопрос, увеличивает ли чис-
число итераций необходимое для сходимости приближение, имею-
имеющееся при переходе от A7.74) к A7.75). Несомненно, что такое
приближение повышает экономичность каждой отдельной ите-
итерации.
Более точное приближение уравнения A7.74) получается в
результате вычитания ? anbuCj k 0T °беих частей уравнения и от-
отбрасывания члена XI апь (ипь — u<j k) B пРав°й части. Вместо
A7.75) тогда получится уравнение
где
d'u k = Е Д*/[A +E)alk-EZ аипЪ\.
Если поправка ис медленно меняется по пространству, от-
отбрасывание члена 2 а%ь (испЪ — и* k) приводит к небольшой
ошибке. Вместе с тем A7.81), будучи явным выражением, со-
сохраняет экономичность алгоритма. При выводе уравнения Пуас-
Пуассона для 8р в этом случае используется уравнение A7.81), а не
A7.75); точно так же и при расчете ис. k. Однако, если в алго-
алгоритме SIMPLE используется уравнение A7.81) при определении
pn+i на четвертом шаге алгоритма, нет необходимости вводить
релаксационный параметр ар, т. е. ар= 1. Аналогичная модифи-
модификация алгоритма SIMPLE рассмотрена в работе [Connell, Stow,
1986].
Применение алгоритма SIMPLE в оригинальной формули-
формулировке к широкому кругу задач позволило сделать вывод о том,
что введение 8р эффективно подстраивает поле скоростей, но не
позволяет получить быструю сходимость для давления. Для ис-
исправления этого недостатка Патанкар [Patankar, 1980] предло-
предложил алгоритм SIMPLER, который осуществляется следующим
образом:
1. Поле скоростей и определяется из решения уравнений
A7.72) и A7.73), в которых члены с давлением исключены из
правой части.
2. Уравнение A7.77) становится уравнением Пуассона для
определения рп+\ а не бр после замены и* на и в членах Ь.
3. Значение рп+] (найденное на шаге 2) подставляется вме-
вместо рп в A7.72) и A7.73). Полученные уравнения решаются ме-
методом SIMPLE, в результате чего получаются значения и*.
4. Уравнение A7.77) решается для определения 8р. В резуль-
результате определяется un+1=u* + uc. Уточнение значения р"+1, по-
полученного на шаге 2, не производится.

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения
429
Очевидно, что в методе SIMPLER приходится дважды решать
уравнение Пуассона и уравнение импульса на каждой итерации.
Хотя число операций на каждой итерации больше, чем в методе
SIMPLE, для сходимости достаточно нескольких итераций. Та-
Таким образом, алгоритм SIMPLER оказывается примерно на 50 %
более эффективным. Можно отметить, что шаги I и 2 в SIMPLER
соответствуют методу проекций A7.22) и A7.24).
В работе [Van Doormaall, Raithby, 1984] проведено сравне-
сравнение применения методов SIMPLE, SIMPLEC и SIMPLER к рас-
400
300
о
I 200
о
m юо
о
SIMPLE,ap=0.8 ,yp=0.25
SIMPLEC, ур=0.25
-и и
150
100
50
0
.SIMPLE
х
\\
\
1
,сгр=0.8,ур=
^у SIMPLER
^SIMPLE
I i
0.2
—*> i
> i
,yP=o.z
У
Cyp=0.2
1
0.5 1 2 5 10 20 0.5 1 2 5 10 20
В Е
(а) (Ь)
Рис. 17.10. Сравнение методов SIMPLE, SIMPLEC, SIMPLER ([Doormaal,
Raithby, 1984]; печатается с разрешения Hemisphere Publishing Co.).
чету циркуляционного течения и течения за уступом. При реше-
решении уравнение A7.77) повторялось v раз до тех пор, пока не
выполнялось условие ||rp||v ^ YpIWI0, гДе IMI—среднеквадра-
IMI—среднеквадратичный остаток уравнения A7.77), т. е.
Оптимальное значение ур лежит в диапазоне от 0.05 до 0.25.
Сравнение вычислительных затрат (время CPU в секундах), не-
необходимое для достижения сходимости, приведено на рис. 17.10.
Очевидно, что методы и SIMPLEC, и SIMPLER эффективнее
SIMPLE. Несколько предпочтительней метод SIMPLEC. Однако
оптимальный выбор Е и в меньшей степени ур зависит от задачи.
Алгоритмы типа SIMPLE на различных сетках применялись
также в обобщенных координатах (связанных с телом) (гл. 12).
В работе [Raithby et al., 1986] использовался алгоритм
SIMPLEC в ортогональных обобщенных координатах. Оказа-

430 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
лось, что постановка задачи и дискретизация на уровне напря-
напряжений, как в A1.26), позволяют построить более эффективный
алгоритм. Соотношения, соответствующие ламинарным или тур-
турбулентным напряжениям, вводились в соответствующие дискрет-
дискретные представления. Однако, если на этом этапе вводить разно-
разности против потока первого порядка, общая точность решения
часто уменьшается. В разностные формулы более высокого по-
порядка входит большее число точек сетки, и алгоритм становится
менее эффективным.
В работе [Shyy et al., 1985] метод SIMPLE использовался
на разнесенной сетке в неортогональных обобщенных коорди-
координатах. Проведено сравнение использования разностной схемы
QUICK (п. 17.1.5) и трехточечной схемы второго порядка с раз-
разностями против потока (q = 1.5 в (9.53)) для аппроксимации
конвективных членов. В качестве тестовой рассматривалась за-
задача о двумерном турбулентном течении в почкообразном ка-
канале на сетках 31 X 26 и 56 X 36. Хотя данная задача и не имеет
точного решения, можно сделать вывод о том, что схема второго
порядка с разностями против потока в целом более предпочти-
предпочтительна. Эта схема оказалась более работоспособной и не приво-
приводила к очевидной потере точности решения. Схема QUICK
(# = 0.375 в (9.53)) расходилась на сильно деформированных
сетках, а там, где она сходилась, требовалось большее число
итераций.
Неработоспособность схемы QUICK отмечалась также в ра-
работах [Pollard, Siu, 1982; Patel, Markatos, 1986], где алгоритм
SIMPLE использовался на декартовой сетке. Из соотношения
(9.53) видно, что уменьшение q соответствует приближению
к трехточечной центрально-разностной формуле (<7 = 0). По-
Поэтому меньшая по сравнению с трехточечной с разностями про-
против потока схемой (q = \.Ъ) работоспособность схемы QUICK
(q = 0.375) неудивительна.
Филлипс и Шмидт [Phillips, Schmidt, 1985] использовали
алгоритм SIMPLE в сочетании со схемой QUICK для аппрокси-
аппроксимации конвективных членов на разнесенной сетке. Для ускоре-
ускорения сходимости к стационарному состоянию использовался мно-
многосеточный подход (п. 6.3.5). Филлипс и Шмидт рассматривали
задачу о движущейся полости при Re = 400 и задачу о есте-
естественной конвекции в вертикальной полости [de Vahl Davis,
Jones, 1983] при Re=106. Использовалась многосеточная про-
процедура с различным измельчением сетки в различных подобла-
подобластях. Обычно наиболее мелкие сетки (h = 1/32) вводились
вблизи стенок, а менее мелкие (h =1/16) — во внутренних об-
областях. Самая грубая сетка (/i=l/4) в многосеточной про-
процедуре использовалась во всей области.

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 431
17.2.4. Применение методов конечных элементов
Во многих рассмотренных выше методах решение уравнения
неразрывности A7.1) определяется через уравнение Пуассона
для давления или потенциала скорости. В противоположность
этому в традиционном методе конечных элементов рассматри-
рассматривается непосредственно уравнение A7.1). Этот метод будет рас-
рассмотрен в первую очередь. Далее будет описан метод штрафных
конечных элементов. В этом методе для определения скорости
решается комбинация уравнений неразрывности и импульса, а
давление явно не появляется.
Метод Галёркина с конечными элементами (§ 5.3—5.5) при-
применяется к стационарным двумерным несжимаемым уравнениям
Навье — Стокса, т. е. к уравнениям A7.1) — A7.3), в которых
отброшены члены, содержащие время.
Сначала, как и в E.58), проводится интерполяция полей ско-
скоростей и давления:
« = Е "if" A. Л), v = Е vtf (|, т,), Р = Е PiVi (S, r\). A7.82)
Предполагается, что интерполяция проводится на квадратичных
элементах, A,ц) — связанные с элементом локальные коорди-
координаты. Соответствующие порядки интерполяции для различных
зависимых переменных будут указаны ниже.
Подстановка A7.82) в основные уравнения приводит к не-
ненулевым остаткам. Введение интеграла Галёркина с весами
E.5) и E.10) дает следующие соотношения:
И [?<¦«¦>+<|-<»2+/»]«.<***+

432 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
В A7.84) и A7.85) было проведено интегрирование по частям
вязких членов с весами; для простоты изложения предполагает-
предполагается, что расчетная область прямоугольная и Xl ^ х ^ xRi yB ^
^У^Ут. Подстановка A7.82) в A7.83) — A7.85) приводит к си-
системе уравнений, которая может быть записана в виде
Aq = Rc, A7.86а)
S(q)q + Bp = Rm, A7.86b)
где q — вектор, содержащий все неизвестные узловые значения
обеих компонент скорости, a Rm и Rc — известные из граничных
условий Дирихле векторы.
Уравнение A7.86) является глобальной нелинейной системой.
Решение обычно получается итерационно методом Ньютона
(§ 6.1). На каждой итерации приходится решать разреженную
линейную систему уравнений. Обычно это делается методом ис-
исключения Гаусса для разреженных систем (§ 6.2), в основе ко-
которого лежит фронтальный метод [Hood, 1976].
Основная проблема такого применения метода конечных эле-
элементов связана с выбором аппроксимирующих и весовых функ-
функций фи, фх/ и фр в A7.82) — A7.85). Можно было бы ожидать, что
для и, v и р в A7.82) достаточно интерполяции одинакового по-
порядка. Однако это может привести к сингулярности, связанной
с применением дискретного уравнения неразрывности A7.83)
в слишком большом числе узлов. Это было обнаружено эмпири-
эмпирически Худом и Тейлором [Hood, Taylor, 1974]. Даже если урав-
уравнение A7.86) с математической точки зрения ведет себя хорошо,
в получающемся решении в поле давления имеются сильные ос-
осцилляции; поле скоростей обычно получается гладким.
Можно напомнить, что такая же ситуация возникает при цен-
центрально-разностной аппроксимации производных от давления в
уравнениях импульса, если компоненты скорости и давления
определяются в одних и тех же точках сетки (п. 17.1.1). Это по-
послужило основной причиной введения разнесенных сеток.
Тейлор и Худ преодолели проблему осцилляции давления
путем введения смешанной интерполяции, биквадратичной для
компонент скорости и и v и билинейной для давления р. Это
позволило получить гладкое решение и широко использовалось
в дальнейшем. Однако такой подход малоэффективен в том смы-
смысле, что глобальная точность второго порядка определяется би-
билинейной интерполяцией давления, в то время как экономич-
экономичность метода определяется биквадратичной интерполяцией ком-
компонент скорости. Это приводит к сравнительно плотным матри-
матрицам S, А и В в A7.86), с чем связано большое число итераций
в последующем итерационном алгоритме [Fletcher, 1984].

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 433
Вычислительная эффективность повышается, если использо-
использовать линейную интерполяцию компонент скорости и постоянное
значение давления на каждом элементе. Однако такая комбина-
комбинация для определенных областей расчета и граничных условий
может привести к осцилляциям в поле давления. Проблема ос-
осцилляции давления, возникающих при различных комбинациях
интерполяций, в общем виде рассматривалась в работе [Sani et
al., 1981].
Осцилляции могут быть значительно уменьшены или совсем
устранены путем специального подбора дополнительных вычис-
вычислительных граничных условий, связанных с используемой интер-
интерполяцией. Необходимо всегда для давления использовать интер-
интерполяцию более низкого порядка, чем для скоростей. Если при
этом все еще остаются осцилляции давления, для получения по-
полезной информации решение можно сгладить или отфильтро-
отфильтровать. В работе [Sani et al., 1981] теоретически обосновано и чис-
численно подтверждено, что поведение скорости всегда хорошее,
даже если давление осциллирует.
Необходимость использования интерполяции более низкого
порядка для давления, чем для скорости, следует непосредствен-
непосредственно из подстановки A7.82) в A7.83). В работе [Schneider et al.,
1978] показано, что если в методе вспомогательного потенциала
(п. 17.2.2) используется дискретизация методом Галёркина с ко-
конечными элементами, то для интерполяции скорости и давления
можно применять формулы одного порядка. Такой же результат
получается при использовании группового метода конечных эле-
элементов [Fletcher, 1982; Srinivas, Fletcher, 1984] для расчета
сжимаемых вязких течений при малых дозвуковых числах Маха.
По сравнению с алгоритмами типа SIMPLE на разнесенных
сетках квадратичная интерполяция для скорости и линейная для
давления позволяют получить очень точное решение для ско-
скорости, если только пограничные слои, образующиеся при боль-
больших числах Рейнольдса, разрешены соответствующим образом
[Castro et al., 1982]. Если этого не сделано, в решении появ-
появляются осцилляции, связанные с сеточным числом Рейнольдса
(п. 9.3.1). В появлении осцилляции есть и положительный мо-
момент, поскольку они указывают на то, что физически важные
свойства течения не учитываются соответствующим образом.
На практике в методе конечных элементов используется
сравнительно небольшое число элементов (или узловых точек),
покрывающих расчетную область. Возникновение осцилляции
при умеренных и больших числах Рейнольдса в решениях, по-
полученных общепринятым методом конечных элементов, при-
привлекло интерес к методу Петрова — Галёркина [Fletcher, 1984],
позволяющего учитывать направление потока при рассмотрении
28 К. Флетчер, т. 2

434 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
конвективных членов (§ 9.3). В работе [Brooks, Hughes, 1982]
такой подход использовался вдоль каждой локальной линии
тока, в результате чего удалось избежать численной поперечной
диффузии (п. 9.5.3).
Весьма эффективный путь построения точных неосциллирую-
щих при больших числах Рейнольдса конечно-элементных мето-
методов основан на том, что осцилляционные ошибки связываются
с членами разложения высокого порядка в ряд Тейлора по вре-
времени соответствующего метода установления. Такой подход яв-
является развитием идей, изложенных в § 9.2—9.4. Данный метод
впервые был предложен Бейкером [Baker, 1983]. В дальнейшем
этот метод развивался под названием слабая тейлоровская трак-
товка (TWS) метода Галёркина с конечными элементами [Ba-
[Baker et al., 1987].
Применив метод штрафных функций [Temam, 1968], можно
исключить явное наличие давления в уравнениях импульса.
В этом методе уравнение неразрывности A7.1) заменяется урав-
уравнением
•* + (&+?Ь0' <17-87>
где е — малый параметр, обычно 10~9 ^ 8 ^ 10~4. Данный под-
подход имеет некоторую аналогию с методом искусственной сжи-
сжимаемости (п. 17.2.1), но не требует применения метода установ-
установления. Уравнение A7.87) в точной или дискретной форме ис-
используется для исключения давления из уравнений импульса.
В дальнейшем уравнение A7.87) вновь используется для опреде-
определения давления. Метод штрафных функций широко применяется
в сочетании с методом конечных элементов.
Для эквивалентной задачи Стокса, т. е. для уравнений
Навье — Стокса без конвективных членов, показано [Baker,
1983], что метод штрафных функций может быть получен из за-
задачи минимизации функционала, в котором одновременно вы-
выполняются уравнения неразрывности и импульса. Обобщение на
уравнения Навье — Стокса следует из замены вариационной
формулировки формулировкой Галёркина (взвешенных остат-
остатков) (§5.1).
Использование штрафных функций в методе конечных эле-
элементов производится двумя способами. В первом уравнение
A7.87) подставляется в стационарную форму уравнений A7.2)
и A7.3). Далее к полученным уравнениям применяется метод
Галёркина с конечными элементами. Такой подход использо-
использовался в работе [Hughes et al., 1979], где для скоростей приме-
применялась линейная интерполяция на четырехугольных элементах.
Однако при численном определении интегралов в уравнениях,
эквивалентных A7.84) и A7.85), используются квадратуры

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения
435
Гаусса [Zienkiewicz, 1977]. При определении штрафных членов,
заменяющих давление, необходимо использовать квадратуры
сокращенного или более низкого порядка. Все остальные члены
вычисляются по квадратурам достаточно высокого порядка.
В работе [Sani et al, 1981] показано, что использование сокра-
WING FUEL TANK TUNNEL (MESH. VEL... TEMP., STREAM.)
(a)
VELOCITY
VECTOR PLOT
SCALE FACTOR
.3000E+02
MAX. VECTOR
PLOTTED
.4684E+00
AT NOOE 906
SCREEN LIMITS
XMIN -.499Е-Ю0
ХМАХ .501Е+00
YMIN -^00E+0a
YMAX .497E+00
FIDAP
9 Dec 86
10: 07: 47
Рис. 17.11. Естественная конвекция в крыловом трубопроводе горючего,
(а) Конечно-элементная сетка; (Ь) контуры температуры; (с) векторы ско-
скорости; (d) линии тока ([Engelman, 1982]; публикуется с разрешения Fluid
Dynamic International).
щенных квадратур эквивалентно более низкому порядку интер-
интерполяции давления.
Во втором способе — согласованном методе штрафных функ-
функций [Engelman et al., 1982]—уравнение A7.87) приводится
к дискретному виду в соответствии с обычным методом Галёр-
кина, но для давления и штрафной функции используются ин-
интерполяции более низкого порядка. После этого при помощи дис-
дискретного представления A7.87) исключается дискретное поле
давления в уравнениях A7.84) и A7.85). Для четырехугольных
элементов с линейной интерполяцией скорости и постоянным
давлением обе формулировки идентичны на дискретном уровне.
28*

436 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Применение штрафных функций приводит к сглаживанию
поля давления [Sani et al., 1981], хотя может понадобиться и
дополнительное сглаживание [Hughes et al., 1989]. Метод
штрафных функций обычно значительно экономичнее смешан-
смешанной интерполяции (u,v,p). При квадратичной интерполяции
скорости на элементах с искривленными (для удобства описания
нерегулярных областей) границами согласованный метод штраф-
штрафных функций более точен [Engelman et al., 1982], чем метод
сокращенного интегрирования, и лучше обоснован теоретически.
Метод конечных элементов пригоден для разработки универ-
универсальных программ расчета связанных задач: течение жидкости
и перенос тепла в областях сложной геометрической формы.
Примером такой универсальной программы является программа
FIDAP (Fluid Dynamic Analysis Program) [Engelman, 1982].
Пример задачи, успешно моделируемой программой FIDAP,
приведен на рис. 17.11.
В трубопроводе, проходящем через бак для горючего в кры-
крыле, имеются три электрических провода разной температуры. По
программе FIDAP рассчитана естественная конвекция воздуха
в промежутках между проводами. На рис. 17.11 приведены ко-
конечно-элементная сетка, изолинии температуры, векторы скоро-
скорости и линии тока; число Рэлея равно 800 000. Можно видеть теп-
тепловые пики, поднимающиеся от горячей проволоки и отклоняю-
отклоняющиеся к холодной. В сетке 2654 узла и 624 девятиточечных
четырехугольных элементов.
§ 17.3. Переменные завихренность — функция тока
Вместо того чтобы решать уравнения в исходных перемен-
переменных, можно, по крайней мере в двумерном случае, избежать
явного наличия давления в уравнениях, если ввести в качестве
зависимых переменных завихренность и функцию тока (п. 11.5.1).
В двумерном течении в векторе завихренности
? = rotq A7.88)
имеется лишь одна компонента, которая обычно определяется
как
с=?-¦?¦• A7-89)
Уравнение переноса завихренности A1.85) с учетом уравне-
уравнения неразрывности A7.1) может быть записано в виде
dt ' дх ' ду Re

§ 17.3. Переменные завихренность—функция тока 43Т
где число Рейнольдса Re = UooL/v. В двумерном случае функ-
функция тока определяется уравнениями
Подстановка этих выражений в уравнение A7.89) позволяет
получить уравнение Пуассона для функции тока
&??. (.7.92,
Уравнения A7.90) — A7.92) описывают несжимаемое вязкое
ламинарное течение в переменных завихренность — функция
тока. Прямой подстановкой выражений A7.91) в уравнение
A7.90) можно исключить явное наличие переменных и и v. Од-
Однако при такой формулировке полученное решение может ока-
оказаться менее точным. Преимуществом является то, что нет необ-
необходимости выделять дополнительную память для хранения и
и v. Начальные и граничные условия для уравнений A7.90) —
A7.92) рассматривались в п. 11.5.1.
Система A7.90) — A7.92) пригодна для описания как стацио-
стационарных, так и нестационарных вязких ламинарных течений. Од-
Однако явно от времени зависит лишь уравнение переноса завих-
завихренности A7.90). Следовательно, для нестационарных задач иа
уравнения A7.90) следует, что функция тока должна опреде-
определяться в соответствии с зависящей от времени завихренностью-
на каждом шаге по времени.
Для нестационарных задач уравнение A7.90) параболическое
по времени, если известны и и v. Поэтому для его решения мо-
может быть разработан эффективный маршевый алгоритм по вре-
времени на основе метода ADI или приближенной факторизации
(§ 8.2). На каждом шаге по времени для определения г|) ре-
решается дискретное представление уравнения A7.92). Уравнение
A7.92) строго эллиптическое при известной функции ?. Для его
решения возможно использовать итерационные (§ 6.3) или пря-
прямые (§ 6.2) методы. Уравнение A7.92) — уравнение Пуассона
и, если сетка однородная, для его решения имеются весьма эф-
эффективные прямые методы (п. 6.2.6).
Для стационарных течений уравнения A7.91), A7.92) и ста-
стационарная форма A7.90) образуют систему эллиптических урав-
уравнений в частных производных. Поскольку уравнение A7.90) не-
нелинейное, для его решения необходимо использовать итерацион-
итерационный алгоритм. На каждой итерации уравнения A7.90) и A7.92)
используются последовательно или как связанная система для
определения ? и г|). В работе [Gupta, Manohar, 1979] применялся
последовательный алгоритм.

438 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Чтобы использовать граничные условия Дирихле для стацио-
стационарной формы A7.90), необходимо применить метод нижней ре-
релаксации при определении значений завихренности на границе.
Это связано с тем, что физически согласованные граничные усло-
условия можно ввести для -ф и д^/дп, но не для ?. Если для ? запи-
записано численное граничное условие, удовлетворяющее интеграль-
интегральному граничному условию A1.90), нижней релаксации не тре-
требуется [Quartapelle, Valz-Gris, 1981], даже если используется
последовательный алгоритм.
Однако, если стационарная форма A7.90) и A7.92) решает-
решается как связанная система, достаточно двух граничных условий
для я|) и д^/дп. В работе [Campion-Renson, Crochet, 1978] ис-
использовался такой подход в методе конечных элементов для ис-
исследования течения в движущейся полости. Граничных условий
для ? не требуется.
Другим способом определения стационарного решения яв-
является псевдонестационарный метод (§ 6.4). Для его применения
{17.92) заменяется уравнением
Когда стационарное состояние достигнуто, уравнение A7.93)
обращается в A7.92). Шаг по времени Ат, появляющийся после
дискретизации A7.93), является дополнительным параметром
контроля псевдонестационарных итераций. При применении ме-
метода установления возможно как последовательное, так и со-
совместное решение уравнений A7.90) и A7.93). Типичные при-
примеры приведены в следующем разделе.
17.3.1. Применение конечно-разностных методов
В данном разделе рассматриваются наиболее типичные по-
последовательные и связанные алгоритмы решения задачи о ста-
стационарном течении в движущейся полости (рис. 17.12). Крышка
полости движется вправо с постоянной скоростью и = \. Гра-
Граничные условия прилипания для компонент скорости и и v экви-
эквивалентны, согласно A7.91), приведенным на рисунке граничным
условиям для я|) и dty/dn.
Далее будет описан алгоритм решения уравнений A7.90) и
A7.93), основанный на методе установления [Mallinson, de Vahl
Davis, 1973]. В этом методе для аппроксимации производных на
однородной сетке используются центральные трехточечные раз-
разностные формулы. В обозначениях гл. 8
Ш- = Lx (uQh k + О (Ах2), JJi = Lyylu k + О (А*/2) и т. д.,

§ 17.3. Переменные завихренность — функция тока
439*
где
_
h —
A7.94>
В работе [Mallinson, de Vahl Davis, 1973] использовалось полу
дискретное представление уравнения A7.90):
A7-95)
где
k =
}i k9
е — релаксационный параметр, который может изменяться по
пространству. Для всех точек сетки можно записать векторное
уравнение
¦^ = е[Ах + Ау]?. A7.96)
Элементы матриц А* и Ау определяются уравнениями A7.94).
Уравнение A7.96) и эквивалентное полудискретное векторное
?Р ф=О,дф/ду=1
Вv/////////////////////////
Рис. 17.12. Двумерная движущаяся полость.
уравнение, полученное из A7.93), интегрируются по времени ме-
методом Самарского и Андреева [Samarskii, Andreev, 1963]
A7.97)
[/ - 0.5е ЫАХ] АГ = е М [А* + А?] Г,
[/ - 0.58 МАУ] АГ+1 = АГ, Г+1 = Ъп + ДС+
Очевидно, что A7.97) эквивалентно (8.23) и (8.24) при р = 0.S
и и и v в А* и А^, определяемых на временном слое п. По суще-
существу это приближенная факторизация с аппроксимацией Кран-
ка — Николсона по времени. Из рассмотрения модифицирован-

440 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
ного метода Ньютона (§ 6.4 и п. 10.4.3) следует, что при р = 1
скорость сходимости к стационарному состоянию будет выше.
В работе [Mallinson, de Vahl Davis, 1973] применялась схема
Самарского и Андреева последовательно к A7.93) и A7.90).
Они обнаружили, что максимальная скорость сходимости соот-
соответствует Д* « 0.8Дл;2 « 0.8Д*/2 и Дт « 50еД^. В работе [de Vahl
Davis, Mallinson, 1976] данный алгоритм использовался для
сравнения трехточечных центральных разностей с двухточечны-
двухточечными разностями против потока в A7.90) для больших чисел Рей-
нольдса. Очевидно, что схемы против потока высокого порядка
(п. 9.3.2 и 17.1.5) могут быть включены в данный метод с неко-
некоторой модификацией неявного алгоритма.
В задаче о движущейся полости при решении уравнения
A7.93) используются граничные условия Дирихле для -ф. При
решении A7.90) определяются граничные условия для ?. Способ
определения этих условий будет описан в п. 17.3.2.
В работе [Rubin, Khosla, 1981] решались уравнения A7.90)
и A7.92) как связанная система при помощи модифицирован-
модифицированного чисто неявного алгоритма (п. 6.3.3). Чтобы получить си-
систему с диагональным преобладанием связанных уравнений при
больших Re, для дискретизации д(и?)/дх использовалось сле-
следующее выражение:
+ 0.5 Ад: A - 2цх) Lxx («?)? k, A7.98)
где
_
/э k —
Mx = 0, если и,-, k>0, и (Шх = 1, если и/, k < 0. Эта схема, пред-
предложенная в работе [Khosla, Rubin, 1974], является схемой с раз-
разностями против потока на неявном слое (п+ 1). Однако в ста-
стационарных условиях она превращается в трехточечную цен-
центрально-разностную схему.
Используя A7.98) и эквивалентное выражение для divQ/dy,
но в предположении, что и, v > 0, уравнения A7.90) и A7.92)
можно представить в дискретном виде
1 + Ly Щ« - -I- {Lxx + Lyy) tf =
= % - 0.5 AxLxx {uQl k - 0.5AyLyy (»?)? k, A7.99)

§ 17.3. Переменные завихренность—функция тока
441
Уравнения A7.99) и A7.100) образуют систему уравнений
с B X 2)-матрицей с диагональным преобладанием. Уравнения
связаны через значения ? и г|э на слое (л+ 1) в точках (/— 1, k)y
О'»*)» (/+!>&), (j,k—1) и (/,А+1). Компоненты скорости в
A7.99) берутся с явного (п) временного слоя. Уравнения A7.99)
Вихрь п,
. 0.0 « 0.2
0.2
,0.0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
Рис. 17.13. Картина линий тока в движущейся полости при.Re =10 000
([Ghia et al., 1982]; печатается с разрешения Academic Press).
и A7.100), записанные во всех точках, образуют систему урав-
уравнений с разреженной BX2) блочной матрицей. Такая система
может быть легко решена по чисто неявной схеме (п. 6.3.3). Де-
Детали можно найти в работе [Rubin, Khosla, 1981]. Из-за силь-
сильной связи ^ и ф на неявном временном слое для устойчивости
не требуется введения нижней релаксации после определения
граничных условий для завихренности.
В работе [Ghia et al., 1982] метод Рубина и Хослы исполь-
использовался в сочетании с многосеточным методом (п. 6.3.5) для ре-
решения задачи о движущейся полости (рис. 17.12) для чисел!

442 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Рейнольдса до 10 000 на однородной сетке 257 X 257. Харак-
Характерный результат приведен на рис. 17.13. Для течения характер-
характерно образование основного вихря, заполняющего большую часть
полости, и ряда угловых вихрей, вращающихся в противополож-
противоположном направлении. Гиа с соавторами отмечают, что многосеточ-
многосеточный подход позволил получить алгоритм примерно в четыре
раза более эффективный по сравнению с обычным способом
реализации чисто неявной процедуры на самой мелкой сетке.
17.3.2. Постановка граничных условий
В данном разделе будет рассмотрена постановка граничных
условий в переменных ?, г|). Основное внимание будет уделено
построению граничных условий для завихренности на твердой
стенке. Однако важной задачей является и правильная поста-
постановка граничных условий на входной и выходной поверхностях.
Эти граничные условия будут рассмотрены на примере задачи
об обтекании уступа.
Как показано на рис. 17.12, граничные условия прилипания
на стенке эквивалентны условиям
¦ = 0, ¦§? = *. A7.101)
Первое граничное условие используется при решении уравне-
уравнения Пуассона для функции тока A7.92), второе — при построе-
построении граничного условия для завихренности. Это будет продемон-
продемонстрировано для крышки (AD на рис. 17.12). Разложение в ряд
Тейлора функции тока относительно точки (/, k) на AD дает
к+.... (,7.102,
Из дискретного представления уравнения A7.92) и первого урав-
уравнения A7.101) следует
-°- КН..-*-
«Следовательно, разложение A7.102) можно представить в виде
5/, * = -Цр <¦/. *-¦ + А№/) + О (Ду). A7.104)
Эта формула первого порядка впервые была предложена
в работе [Thorn, 1933] и широко использовалась впоследствии.
Аналогичные выражения могут быть легко получены для других
поверхностей.
Поскольку во внутренних точках используется дискретизация
второго порядка точности, желательно граничные условия опре-

§ 17.3. Переменные завихренность — функция тока 44$
делить также со вторым порядком точности (§ 7.3). Это может
быть сделано следующим образом.
Уравнение A7.103) со вторым порядком точности можно за-
записать в виде
С. * - ^"'"У^1 + О (АЛ. A7. Ю5>
Кроме того, [d^/dy]ftk с третьим порядком точности может
быть представлено как
' L ду J/, & 6Аг/ \ \ у j
A7.106)
Узловое значение -ф/, k+i лежит за пределами расчетной области
и может быть исключено из A7.105) и A7.106). В результате
получим
0.5 3g,
(8) ^ О (Л2) A7.107>
В книге Роуча [Roache, 1972] данная формула приписывается
Дженсену [Jensen, 1959] и используется в работах [Pearson,
1965; Ghiaet al., 1982].
Гупта и Манохар [Gupta, Manohar, 1979] провели сравни-
сравнительные тестовые расчеты и показали, что уравнение A7.107)
позволяет получить более точное, чем A7.104), решение. Однако
использование A7.107) приводит к увеличению числа итераций
в последовательном алгоритме. Кроме того, при больших значе-
значениях Re может получиться расходимость решения даже в случае-
нижней релаксации значения завихренности на границе. Исполь-
Использование A7.107) в связанном алгоритме не приводит к дополни-
дополнительным затруднениям.
В методе установления имеется другое граничное условие для
С/Л* = С/, л - Р {[d#N - gf}ft k. A7.108),
Это позволяет использовать граничное условие A7.101) (второе
уравнение) непосредственно. Для сходимости необходим соот-
соответствующий выбор релаксационного параметра р [Israeli, 1972].
Однако в работе [Peyret, Taylor, 1983] указывается тесная
связь такой постановки с граничным условием для завихренно-
завихренности, определяемым уравнением A7.104).
В методе установления значение завихренности на границе
на (п+ 1)-м шаге равно

444
Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
где ?* k получается из A7.104), а у — релаксационный коэффи-
коэффициент. Исключая Z]ik из A7.109) при помощи A7.104), можно
получить
Если [dty/дп] /, /е в A7.108) заменить на (-фу. к — г|);, k-{)/Ayy в ре-
результате получится
S/Д1 = ?/, Л + -А- ('ФI, k~\ + A^")- A7.111)
При P = 2y/A# уравнения A7.110) и A7.111) эквивалентны
с точностью до О(ку).
Постановку граничных условий на открытых границах удобно
рассмотреть на примере задачи об обтекании уступа (рис. 17.14).
У////////////7//////7///////
Рис. 17.14. Течение за уступом.
Как отмечалось в § 11.5 и п. 11.6.4, открытые границы подразде-
подразделяются на входные и выходные. Требуемое число физических
граничных условий приведено в табл. 11.5.
Для задачи об обтекании уступа (рис. 17.14) AF — входная
граница, ВС — выходная. Граница АВ может быть как входной,
так и выходной в зависимости от локального знака скорости vAb.
Для границы АВ существенно, что она удалена от уступа и ло-
локальное направление течения на ней параллельно АВ. Такая
граница называется удаленной. Ниже на ней будут определены
граничные условия, не зависящие от того, является ли эта гра-
граница входной или выходной.
На входной границе для вязкого несжимаемого течения пра-
правильным является определение всех зависимых переменных,
кроме одной (табл. 11.5). Для течения около уступа можно за-
задать и (у), р(у), a v (у) определить из решения во внутренней

§ 17.3. Переменные завихренность — функция тока 445
области. В переменных завихренность — функция тока на вход-
входной границе задается г|); задание ? не рекомендуется. Роуч [Ro-
ache, 1972] использовал условие d2v/dx2 = 0. На AF (рис. 17.14)
значение ? получается из A7.89) в следующем виде:
если для дискретизации используются трехточечные центрально-
разностные формулы. Однако из условия
следует
iLl = [ill = -
dx \itk Ldx J2, k Ал;2
Таким образом, gi, k в A7.112) определяется через значения и
на границе и г|э внутри области. Похожая конструкция использо-
использовалась в работе [Fletcher, Srinivas, 1983]. Отличие заключается
в том, что [dv/dx = —d2ty/dx2] /, k определялось через решение
внутри области при помощи односторонних разностей без при-
привлечения условия д2и/дх2 = 0.
На выходной границе (ВС на рис. 17.14) Роуч [Roache, 1972]
и Бейкер [Baker, 1983] рекомендуют использовать условия
iL —о ^-
дх ~~и' дх2
Второе граничное условие, согласно A7.92), означает, что
дЦ-)/ду2 = g. Однако важно, чтобы это граничное условие было
совместно с условиями на DC и АВ. Роуч [Roache, 1983] также
предлагает использовать в уравнении A7.90) на ВС для аппрок-
аппроксимации д(и1)/дх разности против потока и считать, что
[д%/дх2]шАх, к = [d2i/dx2]jMAx-\,k. В этом случае не требуется
граничных условий для ?вс Флетчер и Сринивас [Fletcher, Sri-
Srinivas, 1983] получили очень похожий результат путем отбрасы-
отбрасывания члена д%/дх2 в уравнении A7.90) на ВС; возможность
такого отбрасывания следует из сравнения порядков величин.
Однако при таком упрощении уравнение A7.90) становится па-
параболическим по направлению х и для Е; не требуется граничных
условий. В другой вычислительно эквивалентной интерпретации
можно положить д%/дх2 = 0 на ВС.
Условие и = 1 на удаленной границе приводит к граничному
условию Неймана для if>. Для хорошо обтекаемых тел, если счи-
считать течение всюду невязким, можно рассчитать приближенное

446 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
решение на удаленной границе, например, панельным методом
(§ 14.1). Это часто позволяет определить более точное граничное
условие u=Uoo(x) и приблизить границу АВ к телу. Однако
такая процедура рекомендуется лишь для определения гранич-
граничных условий Неймана. Граничные условия Дирихле могут при-
приводить к появлению нефизических пограничных слоев вблизи АВ.
Для отрывных течений, связанных с обтеканием уступа, гра-
границу АВ лучше расположить подальше, так что на ней и=\
и I = 0. В другой постановке, получившей название аэродина-
аэродинамической «трубы» без трения, полагается, что и = 1 и v = 0 на
АВ. Фактически это приводит к граничному условию Дирихле
-флв = \|)Л. Граничное условие Дирихле для завихренности полу-
получается через значения \f> внутри области аналогично условию
A7.104). Из этих двух граничных условий следует, что ди/ду =
= dv/dx = 0. Если граница АВ удалена от уступа достаточно
далеко, глобальное решение сравнительно нечувствительно к кон-
конкретному способу постановки граничных условий на АВ. Однако
плохая постановка граничных условий может привести к образо-
образованию пограничного слоя или локальных осцилляции вблизи АВ.
17.3.3. Применение группового метода конечных элементов
В этом разделе групповой метод конечных элементов (§ 10.3)
будет применен для расчета несжимаемого ламинарного течения
около уступа (рис. 17.14). Для определения стационарного те-
течения метод установления будет применен к уравнениям A7.90),.
A7.91) и A7.93). Далее будет рассмотрено аналогичное те-
течение около расположенной по направлению потока полости
(рис. 17.17). Обнаружено, что если в полости имеется впрыски-
впрыскивание или отсос жидкости, возможно возникновение нестацио-
нестационарных режимов.
Метод Галёркина с конечными элементами с билинейной
интерполяцией на четырехугольных элементах (§ 5.3) приме-
применяется к уравнению A7.90). Приближенные решения, подобные
F.68), вводятся для t и групп иС, и и?, как в A0.54). В резуль-
результате получается полудискретная форма
Мх ® Myt + My®
- ТБ"(My ® Lxx + MX® Lyy)I = 0, A7.114)
где Мх и Му — направленные массовые операторы, a Lx> Lyy
и т. д. — направленные разностные операторы (т. 1, приложе-
приложение А.2). На прямоугольной, но неоднородной сетке (рис. 17.15)

§ 17.3. Переменные завихренность — функция тока
447
эти операторы имеют вид
Mx ~ \ 6 ' 3 ' 6
{-1,0, 1}
L
МУ ~~ \ 6 ' 3 ' 6 J '
_ {1,0,-l}r
Lv YK~y •
A7.115)
Ал:2
А у2
В случае однородной разностной сетки (rx = ry=l) фор-
формулы A7.115) совпадают с приведенными в табл. 9.1.
1
J-1
К+1
Л»
J
J-1
к
J-I
К-1
J
К+1
J
К-1
J+1
JC+1
J+1
к
J+1
К
Рис. 17.15. Неоднородная прямоугольная сетка.
Уравнение A7.114) представляет собой систему обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Для интегриро-
интегрирования по времени из A7.114) выводится следующий трехслой-
трехслойный алгоритм:
^+1^ 1+(l -P)RHSn. A7.116)
Выбор у и р зависит от рассматриваемой задачи. Для завися-
зависящей от времени задачи удобным выбором является 7 = 0 и
{$ = 0.5, что соответствует схеме Кранка — Николсона. Если при
помощи метода установления ищется стационарное решение,

448 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
лучше положить у = 0.5 и р = 1.0, поскольку при этом увеличи-
увеличивается скорость сходимости [Fletcher, Srinivas, 1983]. Данный
алгоритм применим и для решения двумерного уравнения пе-
переноса (9.87).
В уравнении A7.116) использованы обозначения
ДБ = Б — Б > ДБ=?--Б »
}?-- A7.117)
— Му *? * ^g
Для построения эффективного алгоритма и для того, чтобы из-
избежать сильного ограничения на шаг по времени, связанного
с устойчивостью, из A7.116) необходимо получить линейную
относительно Д?"+1 систему уравнений. Для этого надо линеа-
линеаризовать RHS"+1. Наиболее просто это сделать при помощи
разложения в ряд Тейлора относительно временного слоя п, т. е.
-' <17Л18>
и отбрасывания членов после приведенных здесь. Если dt./dt
заменить на Д?п+1/Д^ и подставить A7.118) в A7.116), то по-
получим
?(RHS)] АС1 =
= &t RHS"' р + Мх ® Му Д?я. A7.119)
В RHS"' p все члены определяются на временном слое /г, за ис-
исключением и и v, которые вычисляются на временном слое
*л + рД*. Такая аппроксимация желательна при рассмотрении
нестационарных задач. Для стационарных задач, где точность
нестационарного решения несущественна, с вычислительной
точки зрения более удобно определить и и v также на времен-
временном слое п. Определение и и v в RHS"» P позволяет получить
скалярную, а не (ЗХ 3)-блочно-трехдиагональную систему
уравнений A7.120) и A7.121). При вычислении и и v в момент
времени tn-\-$At сохраняется второй порядок точности по вре-
времени.
Система уравнений A7.119) является линейной неявной си-
системой относительно Д?л+1. Прямые методы решения A7.119)
с вычислительной точки зрения весьма дорогостоящи. Однако
здесь применимы двухшаговые схемы расщепления, разрабо-
разработанные для решения уравнения диффузии (8.45), (8.47) и урав-

§ 17.3. Переменные завихренность—функция тока 449
нения переноса (9.88), (9.89). На первом шаге уравнение
A7.120)
представляет набор независимых трехдиагональных систем ал-
алгебраических уравнений вдоль каждой линии сетки в направле-
направлении х (постоянные значения k на рис. 17.15). Решение A7.120)
эффективно осуществляется алгоритмами, описанными в
п. 6.2.2 и 6.2.3. На втором шаге уравнение
Mn+x =А? A7.121)
решается алгоритмом Томаса (п. 6.2.2) на каждой линии сетки
в направлении у (постоянные значения / на рис. 17.15). В урав-
уравнениях A7.120) и A7.121) и и v — функции координат и на них
действуют соответственно операторы Lx и Ly. В уравнениях
(9.88) и (9.89) это не имеет места.
Дискретизация уравнения A7.93) методом Галёркина с ко-
конечными элементами осуществляется так же, как описано выше.
Вместо A7.114) получается следующая полудискретная форма:
Mx®My^ = {My®Lxx + Mx®Lyy}^-Mx®M?. A7.122)
Применение такого же расщепления, как и к уравнению пере-
переноса завихренности, позволяет получить двухшаговый алгоритм
- At -j-JL. Lxx) Mf = ~npY (My ® Lxx + MX® Lyy) ^ -
) A7.123)
A7.124)
В уравнениях A7.123) и A7.124) At — фиктивный шаг по
времени, позволяющий получить итерационное решение г|?т+1
на каждом физическом шаге по времени At. Для нестационар-
нестационарных задач итерации должны продолжаться до тех пор, пока не
будет выполнено уравнение A7.92). Для стационарных задач
итерации A7.123), A7.124) достаточно проводить три-четыре
раза на каждом физическом шаге по времени At. Сходимость
к решению уравнения A7.92) достигается при приближении ре-
решения A7.93) к стационарному состоянию.
На каждом шаге по времени At для решения уравне-
уравнений A7.123) и A7.124) можно непосредственно применять
29 К. Флетчер, т. 2

450 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
алгоритм Томаса (п. 6.2.2) вдоль линии сетки в направлениях
у и k соответственно.
Уравнения A7.91) устанавливают связь между полем скоро-
скорости и функцией тока. Применение одномерного метода Галёр-
кина к уравнениям A7.91) позволяет получить следующую за-
зависимость решения для скорости от решения для функции тока:
MyU = Ly% Mxv = — Lxty. A7.125)
Эти уравнения трехдиагональные вдоль направлений линий сет-
сетки k и / соответственно. Следовательно, после того как найдено
решение для функции тока, эти уравнения могут быть легко ре-
решены, в результате чего определяется поле скоростей (и, v).
Постановка граничных условий требует введения дополни-
дополнительных процедур. На твердой поверхности для определения
граничных значений ? используется псевдонестационарная фор-
форма A7.92):
*-(?¦+#-«)• <'™6>
Применение метода Галёркина с конечными элементами и при-
приближенной факторизации позволяет получить двухшаговый ал-
алгоритм, аналогичный A7.120) и A7.121). На первом шаге
(Y + ар А/) Мх Д?* = а А/ (Му <8> Lxx + МХ® Lyy) V +
+ aM[Myf(v) + Mxg(u)l A7.127)
на втором шаге
Af,A?n+1=A?'. A7.128)
Дополнительные члены f(v) и g(u) возникают при применении
теоремы Грина к д2^/дх2 и d2ty/dy2 для узла Галёркина, распо-
расположенного на границе (п. 8.4.2). Для поверхности FE на
рис. 17.14 f(v) = O и g(u) = Ufe/^У- Если расчетная граница со-
совпадает с поверхностью уступа, то uFe = 0. Однако, чтобы из-
избежать трудностей, связанных с сингулярностью завихренности
в точке ?, Флетчер и Сринивас ввели поверхностный слой. В ре-
результате Ufe не равно нулю.
При применении метода Галёркина с конечными элементами
вблизи границы используются два четырехугольных элемента,
а не четыре, как во внутренней области. Следовательно, вид
массового и разностного операторов по нормали к границе от-
отличен от операторов A7.115), используемых внутри. Однако
массовый и разностный операторы по касательной к границе
имеют тот же вид, как и внутри. Например, на поверхности FE
(рис. 17.14)

§ 17.3. Переменные завихренность—функция тока 451
Уравнения A7.127) и A7.128) трехдиагональные и совмест-
совместно с уравнениями A7.120) и A7.121) образуют трехдиагональ-
ную систему, решение которой позволяет определить новое зна-
значение завихренности ?л+1. Для устойчивости параметр релакса-
релаксации а должен быть ограничен условием: а ^0.1. Для других
зависимых переменных и, v и ty на твердой поверхности ста-
ставятся условия Дирихле.
На входной границе (AF на рис. 17.14) значения и соответ-
соответствуют профилю скорости в пограничном слое вблизи F. От
верхней границы пограничного слоя до точки А значение и= 1,
что соответствует скорости набегающего потока. Функция тока
на AF при этом определяется из уравнения A7.91а). Уравнения
A7.127) и A7.128) при f(v) = vAF/&x и g(u) = 0 используются
для определения завихренности на AF. Операторы Му и Lyy
в A7.127) и A7.128) имеют такой же вид, как в уравнениях
A7.115). Операторы Мх и Lxx имеют вид
М
X "
{О,-g". т}' ?*,= дрг{0, -1, 1}. A7.130)
Для решения уравнений A7.125) требуется определить гранич-
граничные условия Дирихле для v на AF. Это условие при помощи
уравнения A7.91Ь) определяется через значения яр внутри об-
области
A7.131)
где точки с / = 1 совпадают с границей AF.
На выходной границе (ВС на рис. 17.14) функция тока рас-
рассчитывается из уравнений A7.123) и A7.124) с добавлением
—AxMyVBc/кх. Вид операторов Му и Lyy в A7.123), A7.124)
приведен в A7.115). Операторы Мх и Lxx определяются выра-
выражениями
После того как значения \|) на ВС определены, vbc определяется
через значения г|) внутри области при помощи выражения, ана-
аналогичного A7.131). На границе ВС ставится граничное усло-
условие: д%/дх2=0\ следовательно, Lxxl = 0 на ВС в A7.120).
Кроме того, операторы Мх и Lx имеют вид
L* = -|?bl, 1> 0}. A7.133)
Соответствующие операторы в направлении у приведены
в A7.115).
29*

452 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
На удаленной границе (АВ на рис. 17.14) и=\ и ?=0.
Функция тока получается из уравнений A7.123), A7.124) с до-
добавлением члена АхМупАв/ку к правой части A7.123). Опера-
Операторы Му и Lyy имеют вид
Г 1уу = Т^{^ ~1' 1)Т' A7Л34)
Как показано на рис. 17.14, расчетная граница смещается на
тонкий слой от твердой поверхности. При помощи анализа по-
порядков величин [Fletcher, Srinivas, 1983] значения и, v и г|) на
границе слоя выражаются через завихренность ? на границе
слоя. Введение поверхностного слоя позволяет изолировать уг-
угловые точки (D и Е на рис. 17.14) от расчетной области. Это
важно, поскольку завихренность ведет себя сингулярным об-
образом на острой кромке. Для локального определения и, v и г|з
вблизи острой кромки используется аналитическое решение для
завихренности [Lugt, Schwiderski, 1965]. Детали приведены
в работе [Fletcher, Srinivas, 1983].
Вся процедура определения решения на новом временном
слое состоит из следующих шагов. В результате решения урав-
уравнений A7.120) и A7.121) находится Ej'H-1. После этого для оп-
определения tyn+l три-четыре раза решаются уравнения A7.123),
A7.124). Значения мп+1 и vn+l определяются из A7.125). Про-
Процедура повторяется до тех пор, пока решение не перестает из-
изменяться. В результате получается стационарное решение.
Описанный метод использовался для расчета ламинарного
течения за двумерным уступом, изображенным на рис. 17.14.
Характерные результаты, касающиеся длины отрывной зоны за
уступом, приведены на рис. 17.16. Очевидно, имеется хорошее
совпадение с экспериментальными данными [Sinha et al., 1981;
Goldstein et al., 1970]. Поток отрывается от острой кромки
(Е на рис. 17.14), и за поверхностью ED образуется отрывная
зона с медленно вращающейся жидкостью. Граница отрывной
зоны образуется разветвляющейся линией тока, которая сходит
с кромки Е и присоединяется к поверхности DC на расстоянии,
зависящем в основном от числа Рейнольдса, рассчитанного по
высоте ступеньки (рис. 17.16). Расстояние от обратной поверх-
поверхности уступа до точки присоединения хг слабо зависит от тол-
толщины пограничного слоя набегающего потока вблизи точки F
на рис. 17.14. В этом причина различия двух наборов экспери-
экспериментальных данных.
Наиболее мелкая сетка используется вблизи точки Е на
рис. 17.14. Размер шагов возрастает в положительном и отри-
отрицательном направлениях х до тех пор, пока шаг Ад; не станет
равным Дхтах; после этого гх = 1. В направлении у Ау = Аут'т

§ 17.3. Переменные завихренность — функция тока
453
от DC до F'C (граница набегающего пограничного слоя). Ме-
Между F'C' и АВ Ау нарастает с геометрическим отношением гу.
Для более мелких сеток гх ^ 1.04, ry ^ 1.07. Для более грубых
сеток гХу гу ^ 1Л5. В зависимости от числа Рейнольдса сходи-
сходимость к стационарному решению требуется от 500 до 1000 шагов
- о
20ДЩ- С случай В
А случай С
15.00
11.00
ало
4130-
случа
й А
случай D
сетка 111 Х67
сетк. 5 9X59
[Sinhaetal. 1981J
[Goldstein eta!., 1970)
^О
i 1 i
0,00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00
Reh
Рис. 17.16. Положение точки присоединения при обтекании уступа.
по времени. Состояние считается стационарным, если остаток,
т. е. RHS в A7.117), становится меньше 10~5.
В результате применения массовых операторов в уравне-
уравнениях, подобных A7.114), точность метода конечных элементов
выше точности эквивалентных конечно-разностных методов.
Эквивалентные конечно-разностные методы могут быть полу-
получены в результате сборки массовых операторов. Например, Мх
в A7.115) заменяется оператором
о)
Таким образом, путем сквозного деления на 0.25(l+r*) (l+ry)
можно избежать явного появления массовых операторов в ко-
конечно-разностной форме уравнений, подобных A7.93).
Влияние сборки массовых операторов на точность, устойчи-
устойчивость и вычислительную эффективность алгоритма исследова-
исследовалось в работе [Fletcher, Srinivas, 1984]. На грубой сетке

454
Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
B9X18) для получения устойчивого решения массовые опера-
операторы необходимо сохранять вблизи расчетных границ. Сборка
во внутренних точках не влияет на устойчивость и не приводит
к значительному снижению точности. В двумерном случае мас-
массовая сборка во внутренней области дает небольшой A8%)
выигрыш в экономичности. Если соответствующая формули-
формулировка в переменных скорость — завихренность (п. 17.4.2) ис-
используется в трехмерном случае, из оценки числа операторов
F'
н
7////////,
h1.
i
¦ — —. K=KSTEP-1
I
\D
Рис. 17.17. Область расчета при обтекании полости, обращенной вниз па
потоку.
следует, что внутренняя массовая сборка позволяет получить
экономию порядка 40 %.
Рассмотренный метод может быть использован для расчета
течения около обращенной по потоку полости (рис. 17.17). По-
Полость образуется путем добавления кромки EG к уступу. На-
Наличие полости сдвигает первичную область вращающейся жид-
жидкости вниз по потоку, а внутри полости могут возникнуть вто-
вторичные циркуляционные зоны. Для изменения картины
циркуляционного течения по нормали к DE вводится вдув и
отсос жидкости.
Уравнения и граничные условия для этой задачи имеют тот
же вид, что и в случае обтекания уступа. Функция тока г|з по-
полагается равной нулю на FGE. Распределение функции тока
ypDE получается в результате интегрирования известной ско-
скорости вдува и отсоса жидкости uDE. На отрезке DC значение
функции тока постоянно, фрс = $d.

§ 17.3. Переменные завихренность—функция тока
455
Завихренность в точке G (рис. 17.17) неоднозначна. Для пре-
преодоления этой трудности вводится поверхностный слой, ло-
локальное аналитическое решение внутри которого сшивается
с численным решением вне слоя. Подробности этой процедуры
описаны в работе [Fletcher, Barbuto, 1986a].
Введение поверхностного слоя (е = 0.05Aymin) приводит к
образованию вниз по потоку от точки G (рис. 17.17) весьма
K=KSTEP+1
k= KSTEP
К=KSTEP-1
fc=KSTEP-Z
г
1.
2?
t
i,
*—Лх—^
M
Рис. 17.18. Сетка вниз по потоку от кромки.
неоднородной в направлении у сетки. При дискретизации ме-
методом конечных элементов в узлах Галёркина k = KSTEP
(рис. 17.18) линии сетки 6 = KSTEP—1 во внимание не при-
принимаются. Поэтому в дискретные уравнения входят лишь узлы
со значениями 6= KSTEP — 2, KSTEP и KSTEP + 1. Для уз-
узлов Галёркина с k = KSTEP — 1 не учитывается линия сетки
k = KSTEP и в дискретные уравнения входят лишь узлы k =
= KSTEP — 2, KSTEP— 1 и KSTEP + 1. Такая процедура по-
позволяет связать локальные решения и получить локально глад-
гладкое решение.
Типичная картина течения в глубокой полости, EG/ED =
— 1.18, изображена на рис. 17.19. На поверхности DE осуще-
осуществляется вдув и отсос жидкости по направлению часовой
стрелки. Распределение скорости uDE линейное, максимальное
значение |uDe/Uоо\ = 0.6. Вдув и отсос равны по величине и
направлены в разные стороны. Вдув и отсос приводят к появ-
появлению области вращающейся по часовой стрелке жидкости, от-
отделенной от основной зоны небольшой областью вращающейся
против часовой стрелки жидкости. Картина течения устойчива
и стационарна.

456 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Если глубину полости уменьшить до EG/ED = 0.56, образу-
образуется структура с тремя ячейками вращающейся жидкости и кар-
Рис. 17.19. Картина течения при обтекании глубокой полости, обращенной
вниз по потоку, Reh = 217, со вдувом и отсосом по часовой стрелке.
Рис. 17.20. Картина течения при обтекании неглубокой полости, обращенной
вниз по потоку, Re/j = 217, со вдувом и отсосом по часовой стрелке.
тина течения перестает быть стационарной [Fletcher, Batbuto,
1986b]. Характерная последовательность картин течения за
один период приведена на рис. 17.20. Фактически малая глу-
глубина полости не позволяет сформироваться второй стационар-

§ 17.3. Переменные завихренность—функция тока 457
ной ячейке. Поскольку течение нестационарно, в описанный
выше алгоритм необходимо ввести некоторые изменения, кото-
которые описаны в книге [Peyret, Taylor, 1983]. Для рассмотренного
алгоритма необходимо ввести итерации на каждом шаге по
времени, чтобы выполнялись стационарные формы уравнений
A7.93) и A7.126).
17.3.4. Расчет давления
При использовании в качестве зависимых переменных за-
завихренности и функции тока давление в уравнениях явным об-
образом не фигурирует. Однако, после того как поле скоростей
найдено, давление может быть легко рассчитано. Ниже будут
рассмотрены методы расчета давления в стационарных тече-
течениях; обобщение на нестационарный случай не представляет
труда.
Наиболее просто давление можно определить из уравнений
импульса A7.2) и A7.3), если рассматривать их как обыкно-
обыкновенные дифференциальные уравнения относительно р. Такой
метод достаточно эффективен вблизи областей, где давление
известно, например вблизи области невозмущенного течения,
и если пространственные градиенты давления невелики. Од-
Однако ошибки в поле скоростей накапливаются и продолжитель-
продолжительное интегрирование может привести к существенной ошибке.
Кроме того, если значение давления в некоторой точке полу-
получено интегрированием вдоль разных путей, чтобы избежать
неоднозначности, приходится вводить некоторую процедуру ос-
осреднения или сглаживания. В качестве модификации алгоритма
SIMPLE (п. 17.2.3) такой метод описан в работе [Raithby,
Schneider, 1979]. Для определения давления на поверхности
Флетчер и Сринивас [Fletcher, Srinivas, 1983] использовали
параллельно интегрирование уравнений импульса и экстрапо-
экстраполяцию по нормали.
Для определения давления внутри расчетной области лучше
получить уравнение Пуассона из уравнений импульса. В дву-
двумерном случае оно имеет вид
Ъ + д?=2(диди_ъди\ A7.135)
дх2 ' ду2 \дх ду дх ду ) v '
Правая часть уравнения A7.135) известна из решения для за-
завихренности и функции тока. Уравнение A7.135) можно исполь-
использовать в случае стационарного и нестационарного течений.
Граничными условиями для A7.135) обычно являются
условие Дирихле в области невозмущенного течения и условие
Неймана на твердой поверхности. Условие Неймана получается

458 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
из уравнения нормальной составляющей импульса, которое
может быть приведено к следующей безразмерной форме:
4НтНЬ <17Л36>
где 5 измеряется вдоль тела. При больших числах Рейнольдса
для течений, параллельных плоской поверхности, уравнение
A7.136) сводится к приближению пограничного слоя др/дп =
= 0. Решение уравнения A7.135) должно также удовлетворять
глобальному интегральному ограничению A7.16). Из этого сле-
следует
Для внутренних течений, где условия Неймана ставятся на
всех границах, важно обеспечить выполнение A7.137).
Поскольку уравнение A7.135) есть уравнение Пуассона, лю-
любой из методов решения строго эллиптических задач пригоден
для решения дискретного аналога уравнения A7.135). Если ди-
дискретизация проводится на однородной сетке, можно исполь-
использовать прямые методы решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6).
Для решения на однородных и неоднородных сетках пригодны
итерационные методы, описанные в § 6.3.
Для внешних течений, подобных течению за уступом, имеет
смысл вместо давления использовать переменную Бернулли Н
A1.49). В безразмерном виде
H = cp + u2+v2, A7.138)
где коэффициент давления ср = (р — jO/O.SpC/L Из уравнений
импульса вместо A7.135) можно получить уравнение Пуассона
для Я:
—= 2(-2^--?^ A7 139)
ду2 Z\ ду dx )- \ii.icv)
Уравнение A7.139) применимо для описания стационарных и
нестационарных течений. Граничные условия Неймана и Ди-
Дирихле для Н получаются из уравнений импульса. В областях,
где течение локально невязкое, значение Н постоянно. Следо-
Следовательно, для течений около изолированных тел решение ди-
дискретного аналога уравнения A7.139) можно проводить с уда-
удаленной границей, расположенной гораздо ближе к телу, чем
при решении уравнения A7.135). Уравнение A7.139) исполь-
использовалось для определения глобального распределения давле-
давления в задаче об обтекании направленной по потоку полости
[Fletcher, Barbuto, 1986a, b].

§ 17.4. Завихренность при описании трехмерных течений 459
Для двумерных стационарных течений уравнения A7.135)
или A7.139) достаточно решить лишь один раз, после того как
найдено поле скоростей. Если при рассмотрении нестационар-
нестационарного течения требуется знать давление, уравнения A7.135)
или A7.139) необходимо решать на каждом шаге по времени.
В этом случае чаще используются исходные переменные, а не
завихренность — функция тока.
§ 17.4. Завихренность при описании трехмерных течений
В двумерном случае описание течений в переменных завих-
завихренность— функция тока часто оказывается эффективней опи-
описания в исходных переменных. В первую очередь это связано
с тем, что использование функции тока позволяет избежать
явного решения уравнения неразрывности G.1). В случае трех
пространственных переменных описание течений через завих-
завихренность приводит к большему (обычно шесть) числу зависи-
зависимых переменных, чем описание в исходных переменных (обыч-
(обычно четыре). В связи с этим описание трехмерных течений на
основе завихренности используется нечасто.
В данном параграфе рассматриваются два подхода. В обоих
подходах используется трехмерное уравнение переноса завих-
завихренности и давление явно не присутствует. Способы описания
отличаются выбором дополнительных уравнений, позволяющих
получить поле скоростей.
17.4.1. Описание через завихренность и векторный потенциал
При обобщении на трехмерный случай описания течений
в переменных завихренность — функция тока (§ 17.3) тре-
требуется заменить функцию тока трехкомпонентным векторным
потенциалом, а также необходимо рассматривать все три ком-
компоненты скорости.
Трехмерное уравнение переноса завихренности, заменяющее
A7.90), имеет вид
-§- +V • (иС) - F • V)u ~ -^V% = 0. A7.140)
Структура уравнения A7.140) аналогична A7.90), за исклю-
исключением того, что здесь появляется новый член (g-V)u, который
можно трактовать как растяжение завихренности. В декарто-
декартовых координатах х-компонента уравнения A7.140) равна
/9\| /541 /с\ ди -. ди -. ди

460 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Три компоненты завихренности связаны с компонентами ско-
скорости соотношением ? =rot u. Однако, чтобы получить поле
скоростей из поля завихренности, необходимо ввести векторный
потенциал г|), такой, что
u = rot ф, A7.142)
т. е.
ду dz ' dz дх ' дх ду
Очевидно, что векторный потенциал tf является трехмерным
обобщением скалярной функции тока в двумерном случае
Трехмерным эквивалентом уравнения A7.92) является
уравнение
Vt = -C. A7.143)
Таким образом, трехмерное вязкое несжимаемое течение опи-
описывается уравнениями A7.140), A7.142) и A7.143). Поскольку
в каждом уравнении имеются три компоненты, расчет трехмер-
трехмерных течений через завихренность и векторный потенциал менее
экономичен, чем расчет в исходных переменных (§ 17.1 и 17.2).
Однако, поскольку уравнения A7.140) являются уравнениями
переноса, а A7.143) — уравнением Пуассона, для их решения
можно использовать те же численные методы, что и в двумер-
двумерном случае.
Для внутренних течений, как и в задаче о движущейся по-
полости, в работе [Aziz, Heliums, 1967] приведены граничные
условия для векторного потенциала:
1) на поверхности х = const: -^- = ^ = ^« = 0,
2) на поверхности у = const: —^- = *фх = -фг = 0, A7.144)
3) на поверхности z = const: У* = tyx = "ф^ = 0
и для завихренности:
1) на поверхности х = const: ?х = 0, ?у = ^г, fez=:*^"»
2) на поверхности у = const: ?* —"^JT» ьг/ = и> ?2 = —^-,
A7.145)
3) на поверхности z = const: ?x^=—-т-, S^ = "^"» ?z = 0.

§ 17.4 Завихренность при описании трехмерных течений 461
Описание через завихренность и векторный потенциал исполь-
использовалось в работах [Aziz, Heliums, 1967; Mallinson, de Vahl
Davis, 1977] для решения задачи о естественной конвекции
в ящике.
Для задач с входными и выходными границами граничные
условия A7.144), A7.145) должны быть изменены. Это воз-
возможно [Hirasaki, Heliums, 1968], но результат получается
весьма громоздким. Вместо этого предлагается [Hirasaki, Hel-
Heliums, 1970] заменить A7.142) уравнением
u = rot ф + V<?, A7.146)
где ф — вспомогательный потенциал (ср. с п. 17.2.2), введен-
введенный для более простого описания граничных условий на вход-
входной и выходной границах. Из уравнения неразрывности сле-
следует, что
V2</> = 0. A7.147)
Остальные уравнения движения остаются без изменений. Гра-
Граничными условиями для уравнения A7.147) являются условия
Неймана
¦& — »•«. 07.148)
Таким образом, задаваемое распределение скорости на вход-
входной/выходной границе вводится через уравнение A7.148). На
твердой поверхности уравнение A7.148) приводится к дф/дп=
= 0. Кроме того, граничные условия A7.144), A7.145) стано-
становятся применимы без дальнейшей модификации. В работе
[Aregbesola, Burley, 1977] использовалось описание в терми-
терминах завихренность — векторный потенциал — вспомогательный
потенциал для исследования трехмерных течений в каналах.
В работе [Wong, Reizes, 1984] показано, что после введения
вспомогательного потенциала для дискретного представления
уравнений закон неразрывности не выполняется автоматически.
Поэтому они предложили заменить A7.146) выражением
v = rott|) + w0, A7.149)
где wo(x,y)—определенное для прямого канала, параллельного
оси 2, распределение скорости на входе. При таком описании
условия A7.144) применимы на твердых поверхностях и на
входной границе (г = const). На выходной границе (z = const)
рекомендуется [Wong, Reizes, 1984] вместо A7.144) исполь-
использовать граничные условия
-¦&-. ?--(¦?¦+?)¦ <"¦'»>

462 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Граничные условия для завихренности определяются выраже-
выражениями A7.145). Численная реализация этих граничных усло-
условий осуществляется так же, как и в двумерном случае
(п. 17.3.2).
17.4.2. Описание через завихренность и скорость
При таком описании [Fasel, 1978; Dennis et al., 1979] сохра-
сохраняется уравнение переноса завихренности A7.140). Однако из
определения завихренности g = rotu и уравнения неразрыв-
неразрывности можно вывести следующие уравнения Пуассона для ком-
компонент скорости:
A7.151)
В рассматриваемой формулировке уравнениями, описываю-
описывающими движение, являются уравнения A7.140) и A7.151). На
твердой поверхности граничными условиями являются условия
прилипания u = v = w=0 и условия A7.145) для завихрен-
завихренности. На входных границах можно определить поле скоростей;
на выходной границе для компонент скорости ставятся гранич-
граничные условия Неймана A7.17). При дополнительных упроще-
упрощениях в уравнениях переноса завихренности (как в гл. 16) мож-
можно избежать необходимости постановки граничных условий на
границе, расположенной вниз по потоку.
В работе [Dennis et al., 1979] использовались модифициро-
модифицированные экспоненциальные разности [Dennis, 1985] для конвек-
конвективных членов в уравнении переноса завихренности. Обычные
трехточечные разности использовались для вторых производ-
производных в уравнениях A7.140) и для всех членов в A7.151). Ста-
Стационарное дискретное представление A7.140) и дискретная
форма A7.151) образуют глобальную систему уравнений с диа-
диагональным преобладанием, для решения которой использовался
метод последовательной верхней релаксации. Были рассчитаны
течения в движущейся полости при числах Рейнольдса до 400
на сетке 25 X 25 X 25.
Возможно рассмотреть двумерную версию описания в пере-
переменных завихренность — скорость, а именно уравнение пере-
переноса завихренности A7.90), определение завихренности A7.89)
и уравнение неразрывности A7.1). В работе [Gatcki et al.,
1982] использовалось такое описание для исследования задачи
о движущейся полости и для исследования более сложных не-
нестационарных вязких течений [Gatcki, Grosch, 1985]. Скомби-

§ 17.4. Завихренность при описании трехмерных течений 463
нирована дискретная форма уравнений A7.1) и A7.89) в гло-
глобальное блочное матричное уравнение. Полученное уравнение
не является уравнением с диагональным преобладанием, и в ра-
работе [Gatcki et al., 1982] отмечается, что итерационный алго-
алгоритм решения блочного матричного уравнения не слишком эф-
эффективен.
При решении дискретного аналога A7.90) для производных
д^/дх и dt,/dy вводятся вспомогательные переменные. Это по-
позволяет построить разностную схему, аналогичную схеме ячеек
Келлера (п. 15.1.3). Дискретное уравнение для завихренности
решается модифицированным методом ADI. Весь алгоритм яв-
является последовательным, т. е. уравнение переноса завихрен-
завихренности решается отдельно от комбинации уравнений определе-
определения завихренности и неразрывности.
В работе [Fasel, 1976] для исследования переходных явле-
явлений в двумерном пограничном слое решено уравнение A7.90)
совместно с уравнениями A7.151) при ?* = ?*/ = 0. В работе
[Orlandi, 1987] использовалась похожая схема, в которую вхо-
входило также разностное представление уравнения неразрыв-
неразрывности. В этой работе построена блочная схема типа ADI, в ко-
которой все уравнения связаны на каждом полушаге по времени.
На первом полушаге связываются уравнения A7.90), A7.151Ь) и
"Ж^ + "^^" = 0-. A7.152)
На втором полушаге по времени связываются уравнения A7.90),
A7.151а) и
д2и , d2v п /17 iplq\
—^ г * 9 = 0» A7.loo)
дхду ' ду2 у '
Уравнения A7.152) и A7.153) получаются в результате диффе-
дифференцирования уравнения неразрывности A7.1). Можно также
отметить, что производные от уравнения неразрывности исполь-
используются и при выводе уравнений A7.151).
Может оказаться, что использование продифференцирован-
продифференцированных уравнений неразрывности dD/дх = dD/dy = 0, где D — ди-
латация A1.13), не гарантирует выполнение закона неразрыв-
неразрывности, если D не полагается равным нулю по крайней мере
в одной точке. Орланди делает это путем явного введения усло-
условия A7.1) на границе. Он отмечает, что это гарантирует точ-
точное сохранение массы в дискретных уравнениях.
Орланди указывает также, что на практике это приводит
к более эффективной схеме, поскольку для нахождения поля
скоростей, удовлетворяющего уравнению неразрывности, тре-
требуется меньшее число итераций. Он использовал такую схему
для расчета течения в движущейся полости и за уступом.

464 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
Можно заключить, что описание, основанное на завихрен-
завихренности, в трехмерном случае менее эффективно описания в ис-
исходных переменных, если только движение вихря, в особенности
нестационарное, не представляет особого интереса. Кроме того,
можно отметить, что практически все моделирования турбу-
турбулентности проводились в исходных переменных.
§ 17.5. Заключение
Исторически описание в переменных завихренность — функ-
функция тока было весьма популярно при расчете двумерных не-
несжимаемых вязких течений. Хотя такое описание является эко-
экономичным, постановка эффективных граничных условий для за-
завихренности на твердой поверхности является его слабым
местом. Кроме того, экономичность описания на основе завих-
завихренности не распространяется на трехмерный случай.
Поэтому расчеты несжимаемых вязких течений чаще прово-
проводятся в исходных переменных. Основные трудности связаны
с уравнением неразрывности. Неявным образом это осуще-
осуществляется в методе MAC (п. 17.1.2), алгоритме SIMPLE
(п. 17.2.3) и штрафном методе конечных элементов (п. 17.2.4).
Более явно выполнение уравнения неразрывности осуществ-
осуществляется в методе искусственной сжимаемости (п. 17.2.1), вспо-
вспомогательного потенциала (п. 17.2.2) и в традиционном методе
конечных элементов (п. 17.2.4).
Давление обычно определяется из решения уравнения Пуас-
Пуассона. Это уравнение может появляться в непрерывной форме,
как при формулировке через завихренность и функцию тока
(§ 17.3), или в дискретной форме, как в методе MAC (п. 17.1.2)
и методе проекций (п. 17.1.4). Оно может появляться и в за-
замаскированной форме, как в методе вспомогательного потен-
потенциала (п. 17.2.2) и алгоритме SIMPLE (п. 17.2.3).
Если для конвективных членов и градиентов давления ис-
используются трехточечные центральные разности, имеет смысл
использовать разнесенные сетки (п. 17.1.1), в первую очередь
чтобы избежать осцилляции в давлении. Однако использова-
использование разнесенных сеток в обобщенных координатах весьма об-
обременительно.
Чтобы получить точное решение без сильного сгущения
сетки для течений с большими градиентами скорости, часто
имеет смысл использовать разностные формулы высокого по-
порядка точности для аппроксимации конвективных членов
(п. 17.1.5). Однако вся схема при этом может стать менее ра-
работоспособной, особенно если такую аппроксимацию использо-
использовать в явном маршевом алгоритме.

§ 17.6. Задачи 465
Для различных способов расчета несжимаемых вязких те-
течений могут быть использованы различные способы дискрети-
дискретизации. Так в спектральном методе (п. 17.1.6) применяется ме-
метод проекций. В групповом методе конечных элементов
(п. 17.3.3) используется метод установления, очень похожий на
используемый в конечно-разностных методах (п. 17.3.1). В ме-
методе конечного объема (п. 17.2.3) применяется алгоритм
SIMPLE, очень похожий на метод вспомогательной потенци-
потенциальной функции (п. П.2.2).
В данной книге не приводится описание метода вихрей, ко-
который в простейшей форме моделирует несжимаемые вязкие
течения при помощи точечных вихрей, удовлетворяющих урав-
уравнению Лапласа A1.51). Такие методы описаны в работах Лео-
Леонарда [Leonard, 1980, 1985] и использовались для качествен-
качественного описания сложных нестационарных отрывных течений (на-
(например, [Oshima et al., 1986]).
§ 17.6. Задачи
Исходные переменные: нестационарные течения (§ 17.1)
17.1. Проинтегрируйте уравнение A7.1) на квадрате 0 ^ * ^ 1, 0 ^ t/ ^
^ 1 и покажите, что выполняется условие A7.4). Разделите область на
четыре ячейки Ах = ку = 0.5 и покажите, что выполняются и дискретные
аналоги, если и и v определяются на сторонах ячеек (рис. 17.1) и для
аппроксимации производных, как в A7.5), используются двухточечные раз-
разности.
17.2. Покажите, что дискретное уравнение Пуассона для давления
A7.13), A7.14) может быть получено из уравнения A7.12).
17.3. Проведите на основе уравнений A7.18) и A7.19) анализ, из кото-
которого следует, что метод MAC позволяет определить однородные граничные
условия на границе.
17.4. Положив и равной константе, покажите, что схема дискретизации
A7.31) —A7.33) эквивалентна (9.71), (9.72).
17.5. Покажите, что уравнения A7.41) и A7.42) следуют из A7.39),
A7.40) и поэтому в алгоритме CPSM не требуются значения и* и v на
границе.
Исходные переменные: стационарные течения (§ 17.2)
17.6. Покажите, что якобианы А и В определяются выражениями A7.48).
Покажите прямой подстановкой, что F = Aq — uDq и G = Bq — aDq.
17.7. Сравните функции потенциала давления в п. 17.2.2 с коррекцией
давления в методе Хирта и Кука A7.26) — A7.29) и с коррекцией давления
в алгоритме SIMPLE (п. 17.2.3).
17.8. Выведите конкретные выражения для a"k и аипЬ в A7.69) и a? k
и аРпЬ в A7.77). Покажите, что A7.77) является разностным уравнением
Пуассона относительно Ьр.
30 К Флетчер, т. 2

466 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения
17.9. Как изменится вид уравнения A7.69), если для дискретного пред-
представления конвективных членов в A7.2) использовать трехточечную схему
против потока второго порядка точности (q = 1.5 в (9.53))?
Переменные завихренность — функция тока (§ 17.3)
17.10. Покажите, что дискретизация d(ut)/dxy приведенная в A7.98),.
обращается в трехточечную центрально-разностную схему, если (ut,)n+l =
= (и^)п, т.е. в стационарном состоянии.
17.11. Выведите граничные условия первого и второго порядков точности
A7.104) и A7.107) для завихренности на твердой поверхности.
17.12. Получите выражения для массового и разностного операторов
A7.115) на неоднородной сетке, применив метод Галёркина с конечными эле-
элементами в одном измерении с линейной интерполяцией (§ 5.4 и т. 1, прило-
приложение А.2).
17.13. Путем введения трехслойной дискретизации по времени A7.114)
получите схему A7.116). Покажите, что в результате линеаризации уравнения
A7.116) можно получить схему A7.119) и что A7.120) и A7.121) с точ-
точностью до О (А/2) совпадают с A7.119).
17.14. Получите уравнения A7.125), применив одномерный метод Галёр-
Галёркина к уравнению A7.91). Проведите разложение в ряд Тейлора, чтобы
показать, что порядок аппроксимации A7.125) на однородной сетке равен
четырем. Какова точность на неоднородной сетке?
17.15. Используйте результаты п. 8.4.2 и покажите, что g(u)= Ufe/^У
при определении A7.127) на поверхности FE.
17.16. Выведите уравнение Пуассона A7.139) для функции Бернулли.
Завихренность при описании трехмерных течений (§ 17.4)
17.17. Для определения поправки компоненты завихренности A?"+I раз-
разработайте скалярный трехшаговый алгоритм приближенной факторизации,
основанный на трехточечной центрально-разностной дискретизации уравнения
<17141)
17.18. Выведите уравнение Пуассона A7.151) для компонент скорости.

Глава 18
Сжимаемые вязкие течения
В данной главе будут рассмотрены численные методы рас-
расчета сжимаемых течений, описываемых полной системой уравне-
уравнений Навье — Стокса, т. е. нестационарных течений или течений
с большими отрывными зонами. Стационарные сжимаемые вяз-
вязкие течения с выделенным направлением потока и небольшими
отрывными зонами могут быть рассчитаны методами, описан-
описанными в гл. 16. В частности, этими методами могут быть рас-
рассчитаны внешние течения около тел в сверхзвуковом потоке.
Численные методы, рассматриваемые в настоящей главе,
применимы для расчета трансзвуковых течений около самоле-
самолетов и в турбомашинах, а также течений с малой скоростью
в каналах при существенном теплообмене. С точки зрения про-
проектирования конструкций больший интерес обычно представ-
представляют стационарные сжимаемые вязкие течения. Однако боль-
большая часть алгоритмов построена на основе интегрирования не-
нестационарных уравнений по времени. Для стационарных задач
такие методы совпадают с методами установления (§ 6.4).
Большая часть сжимаемых вязких течений турбулентные.
Из-за сложности уравнений используются сравнительно про-
простые модели турбулентности. Наибольшее распространение по-
получили модели вихревой турбулентной вязкости (п. 18.1.1), ал-
алгебраические и связанные с (k—е) -моделью (п. 11.5.2). До-
Дозвуковые или слабо трансзвуковые течения с большими
областями невязкого течения достаточно точно могут быть рас-
рассчитаны при помощи алгебраического (п. 18.1.2), а не диффе-
дифференциального уравнения энергии.
С вычислительной точки зрения для решения нестационар-
нестационарных задач удобно использовать явные схемы, если только шаг
по времени не слишком ограничен условием устойчивости. Хо-
Хорошо известная схема Мак-Кормака описана в п. 18.2.1. Для
явных схем число Куранта в условии устойчивости КФЛ
обычно равно единице (п. 9.1.2). Схемы Рунге—Кутты
(п. 18.2.2), хотя и явные, позволяют получить устойчивые реше-
решения и при большем значении числа Куранта.
30*

468 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
При использовании методов установления всегда желательно
иметь возможность использовать еще большие шаги по вре-
времени. Это привело к разработке неявных схем (§ 18.3). Неяв-
Неявная схема Мак-Кормака (п. 18.3.1) является прямым обобще-
обобщением явной схемы. Во всех остальных неявных схемах, рассмат-
рассматриваемых в § 18.3, используется приближенная факторизация
в том виде, в каком она рассмотрена в § 8.2.
Для практически интересных задач форма области расчета,
как правило, нерегулярна. Для расчетов в таких областях
удобно использовать обобщенные координаты (§ 18.4). При-
Приближенная факторизация многомерных неявных алгоритмов
упрощается, если физическая диссипация сохраняется лишь в
направлении нормали к твердой поверхности (п. 18.1.3 и
18.4.1).
Если сжимаемость течения связана с движением (число
Маха велико), то во многих случаях оказывается большим и
число Рейнольдса и течение турбулентное. Многие из имею-
имеющихся вычислительных алгоритмов близки к нейтрально
устойчивым. Поэтому в них необходимо аккуратно ввести до-
дополнительную численную диссипацию (п. 18.5.1). Это позволяет
подавить реально возникающую нелинейную неустойчивость,
возникающую в тех частях расчетной области, где мала физи-
физическая диссипация.
Если течение локально сверхзвуковое, в нем вероятно появ-
появление ударных волн. Если эти волны слабы, точное решение
может быть получено без модификации всего алгоритма, за ис-
исключением введения дополнительной численной диссипации.
Однако если интенсивность ударных волн велика, применимы
те же методы (п. 18.5.2), что и при расчете уравнений Эйлера
(п. 14.2.6).
§ 18.1. Физические упрощения
Нестационарные трехмерные сжимаемые вязкие течения
описываются уравнениями A1.116), A1.117). Требуемое число
и тип граничных условий для этих уравнений рассмотрены
в п. 11.6.4.
Большая часть практически интересных течений, для опи-
описания которых необходимо использовать полные уравнения
Навье — Стокса, являются турбулентными. Хотя концептуально
возможно прямое моделирование и моделирование крупных
вихрей благодаря возможностям современных компьютеров,
основное внимание уделяется различным способам моделиро-
моделирования турбулентности обычно на уровне турбулентной вязкости
(п. 18.1.1). Моделирование турбулентности позволяет рассмат-
рассматривать очень сложные системы уравнений и проводить расчеты

§ 18.1. Физические упрощения 469*
течений в сложных областях без чрезмерного увеличения вре-
времени счета.
Если рассматриваемое течение является дозвуковым или
трансзвуковым и отсутствует внешний подвод тепла, уравнение
энергии может быть упрощено на основе предположения о со-
сохранении полной энтальпии. Это предположение (п. 18.1.2)
позволяет заменить дифференциальное уравнение энергии ал-
алгебраическим уравнением.
Для сжимаемых течений с большими числами Рейнольдса,.
если отсутствуют большие отрывные зоны, эффекты вязкости
и турбулентности существенны лишь вблизи твердых стенок.
Следовательно, можно сохранить лишь диссипативные члены,
связанные с направлением нормали к поверхности. Эта идея
составляет основу приближения тонкого слоя, рассматривае-
рассматриваемого в п. 18.1.3. Применение этого приближения позволяет упро-
упростить программирование, особенно в неявных схемам (§ 18.3),
и делает расчеты более экономичными (п. 18.4.1).
Исторически важным упрощением является разделение всей
области расчета на зоны так, что в каждой зоне можно исполь-
использовать более простую и соответственно более быстро решаемую
систему уравнений. Традиционно вблизи поверхности, пример-
примерно параллельной основному потоку, используются уравнения
пограничного слоя (гл. 15), а в удаленных областях — уравне-
уравнения Эйлера или потенциальные уравнения. Современные раз-
развития этой идеи были рассмотрены в п. 16.3.4—16.3.7.
В трансзвуковых течениях около трехмерных крыльев слож-
сложное взаимодействие скачка с пограничным слоем приводит
К образованию локальных отрывных течений. Вблизи поверх-
поверхности следует использовать полные уравнения Навье — Стокса,
вдали — уравнения Эйлера. Пример течения, для которого при-
пригоден такой метод расчета, приведен на рис. 1.5. Сшивка ре-
решений в двух зонах рассмотрена в работе [Hoist et al., 1986].
В этой главе такое физическое упрощение рассматриваться не
будет.
Прямое применение осреднения Рейнольдса (как это сде-
сделано в п. 11.4.2) к сжимаемым турбулентным течениям приво-
приводит к появлению третьих моментов, например pW, в которые
входят не только флуктуации скорости, но и флуктуации плот-
плотности и температуры. Осредненные по Рейнольдсу уравнения
Навье — Стокса можно, однако, упростить, если ввести взве-
взвешенные по массе скорости и тепловую переменную [Favrer
1965] _ _
й = ри/р, f = p77p. A8.1>
Для проведения взвешенного по массе осреднения Рейнольдса
необходимо расщепить зависимые переменные на осредненнук>

470 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
и флуктуационную части:
Взвешенное по массе осреднение применяется ко всем перемен-
переменным, за исключением плотности и давления, которые расщеп-
расщепляются обычным образом:
Детальное описание взвешенного по массе осреднения приве-
приведено в книге [Cebeci, Smith, 1974]. Если пренебречь некото-
некоторыми малыми флуктуационными членами, в результате взве-
взвешенного по массе осреднения Рейнольдса уравнений Навье—
Стокса можно получить уравнения, вид которых на уровне
сдвиговых напряжений и тепловых потоков совпадает с лами-
ламинарным представлением A1.116) [Rubesin, Rose, 1973]. Напря-
Напряжения в A1.117) в декартовых тензорных обозначениях заме-
заменяются выражением
В уравнении энергии поток тепла принимает вид
Qi = -k-^ + cp9r^. A8.3)
Для замыкания системы уравнений средние от флуктуационных
величин в уравнениях A8.2), A8.3) должны быть выражены
через осредненные параметры течения.
Обзор работ по моделированию турбулентных сжимаемых
течений сделан Марвином [Marvin, 1983] и Брэдшоу [Brad-
shaw, 1977]. Для течений с числом Маха, меньшим пяти, можно
непосредственно использовать модели турбулентности, разра-
разработанные для несжимаемых течений, в которых следует допу-
допустить изменение средних значений плотности по пространству
и времени.
В настоящее время моделирование турбулентных сжимае-
сжимаемых течений в основном осуществляется на основе введения
турбулентной вязкости, т. е. напряжения Рейнольдса в A8.2)
и A8.3) связываются со средними параметрами течения соот-
соотношениями
duf дй, 2 дйь \ 2 .
? * ?) V*" <184>
A8.5)

§ 18.1. Физические упрощения
47 К
где kte в уравнении A8.4) — турбулентная кинетическая энер-
энергия (k в A1-95)). В уравнениях импульса член, содержащий
ktey комбинируется с давлением. Турбулентная теплопровод-
теплопроводность кт связана с турбулентной вязкостью соотношением
kT = ср\1т/Ргт, где Ртт — турбулентное число Прандтля. Для воз-
воздуха Ргг = 0.9.
Введение турбулентной вязкости и теплопроводности позво-
позволяет использовать ту же форму уравнений, что и для описания
ламинарных течений, заменив лишь [i и k на (ц, + |яг) и (fc+Ar)..
В рамках турбулентной вязкости применимы обе алгебраиче-
алгебраические модели (п. 11.4.2) и модель, описываемая двумя уравне-
уравнениями (п. 11.5.2).
В работах [HaMinh et al., 1986; Vandromme, HaMinh, 1986J
использовано полное замыкание рейнольдсовых напряжений в
сжимаемых уравнениях Навье — Стокса, т. е. в систему урав-
уравнений включалось полное уравнение переноса напряжений Рей-
нольдса. В настоящей книге такой способ замыкания не рас-
рассматривается.
Уравнение, описывающее двумерное сжимаемое турбулент-
турбулентное течение в предположении, что напряжения Рейнольдса мо-
могут быть связаны со средними параметрами течения уравнения-
уравнениями A8.4) и A8.5), имеют вид (если отбросить значки — и ~,.
означающие средние значения)
дд . dF , dG _n
dt "¦" dx -*" dy '
где
р 1
ри
IE -
pu
puv — хху
L(? + p — xxx)u — xxyv + Qx J
A8.7).
pv
puv — xxy
(E + p — xyy) v — xxyu + Qy -
Для идеального газа
p=(Y-l)[?-0.5p(«2 + y2)].

472 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
Напряжения в уравнениях импульса определяются соотноше-
соотношениями
^._|(^ + Цг)д>_|р^., A8.9)
ди . dv
и потоки тепла — соотношениями
С11")^- A8.10)
В A8.9) 2) — дилатация, т. е. 3) = ди/дх + dv/ду.
Для нестационарных задач в уравнении A8.6) необходимо
б качестве начальных данных определить вектор зависимых пе-
переменных q. Граничные условия нужно определить и для ста-
стационарных, и для нестационарных течений. Граничные условия
для уравнения A8.6) рассматривались в п. 11.6.4. На твердой
поверхности ставятся граничные условия прилипания и необ-
необходимо определить температуру или поток тепла. Таким обра-
образом, на неподвижной поверхности
u = v = 0, T = Ts или k-j^-= — Qn. A8.11)
Открытые границы, т. е. границы, через которые протекает жид-
жидкость, полезно подразделять на входные и выходные. Для внеш-
внешних течений около тел в однородном потоке вязкие и турбулент-
турбулентные члены обычно пренебрежимо малы на удаленных (открытых)
границах. Следовательно, уравнения, описывающие течения,
сводятся к уравнениям Эйлера, а число и вид граничных
условий могут быть определены на основе теории характери-
характеристик (п. 14.2.8).
Для внутренних течений или внешних течений с открытыми
границами, расположенными вблизи твердой поверхности, (тур-
(турбулентными) вязкими эффектами и эффектами теплопроводно-
теплопроводности пренебречь нельзя. Теоретически обоснованные граничные
условия в этом случае еще не установлены. Некоторые вопросы
обсуждаются в работах [Rudy, Strikwerda, 1981; Bayliss, Tur-
kel, 1982]. Число граничных условий, необходимое для уравне-
уравнений Навье — Стокса, приведено в табл. 11.6.
На входной границе необходимо определить все зависимые
переменные; на выходной должны быть определены все зависи-
зависимые переменные, кроме одной. Обычно на выходной границе
используются нулевые условия Неймана (df/dx = 0, где х — на-

§ 18.1. Физические упрощения 473
правление вытекания жидкости). На выходной границе также
часто можно привести уравнения к более простой форме с со-
соответствующим уменьшением числа граничных условий (гл. 16).
18.1.1. Модели турбулентной вязкости
В большинстве расчетов турбулентных уравнений Навье —
Стокса [Marvin, 1983] используется алгебраическая модель для
определения турбулентной вязкости |д,г в уравнениях A8.9) и
A8.10). Достаточно точные значения осредненных параметров
отрывных сжимаемых течений могут быть получены на основе
обобщения формул A1.77) — A1.79) для турбулентной вязкости
в несжимаемом пограничном слое.
Турбулентная вязкость для пограничного слоя A1.77) обоб-
обобщается следующим образом:
¦*-"•[($•)'+(?)Т- <1812>
где / — длина перемешивания, определяемая уравнением A1.78).
Описание через длину перемешивания используется вблизи
твердой поверхности. Во внешней части пограничного слоя и
в следе вязкость описывается формулой Клаузера
|1Г = 0.0168ривд7, A8.13)
где ие — скорость в направлении потока на внешней границе
вязкой области. Толщина вытеснения определяется выражением
<18Л4>
Здесь б — внешняя граница вязкой области, yos— внутренняя
граница. Для пограничного слоя yDs совпадает с твердой по-
поверхностью; для течения в следе yDS — разделяющая линия
тока между областями циркуляционного (рис. 17.19) и внешнего
течений. Ограничивающий множитель / определяется выраже-
выражением
Этот член приводит к снижению влияния турбулентности на
среднее значение jxr-
Хотя в приведенных выражениях предполагается равновесие
между турбулентными производством и диссипацией энергии
путем введения релаксационной процедуры
йг = а(^г)цр + A~а)^, A8.16)

474
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
можно эмпирически учесть влияние областей, расположенных
вверх по потоку. В формуле A8.16) значение \ilT определяется
уравнениями A8.12) или A8.13), а (мт)ир — турбулентная вяз-
вязкость в точке пересечения линии, проведенной вверх по потоку
в направлении вектора скоро-
скорости в точке (/, k) с ближай-
-/с+1 шей линией сетки (рис. 18.1).
Параметр релаксации а обыч-
обычно полагается равным
0.3.
-К Другая алгебраическая
модель турбулентной вязкости
предложена Болдуином и Ло-
максом [Baldwin, Lomax,
_К_1 1978]. Вблизи твердой поверх-
поверхности A8.12) заменяется вы-
выражением
I, A8.17)
Н
j
Рис. 18.1. Влияние течения вверх по завихпенность Т —
потоку на турбулентную вязкость. А _ зсшилрсншлль l,—
= ои/ду — ov/dx. Вдали от
твердой поверхности вместо A8.13) используется формула
A8.18)
^тах)' 08.19)
где
?о=1.6#тахГ. A8.20)
В уравнении A8.19) Fmax = max(|?|//x); длина перемешива-
перемешивания / и постоянная Кармана к определяются выражениями
A1.78). Параметр утах равен значению у, при котором имеет
место Fmax. Величина qdn равна разности между максимальным
и минимальным по модулю значениями скорости. Ограничиваю-
Ограничивающий множитель Клебанова /* определяется выражением
= [!+5.5
Утах
A8.21)
Модель Болдуина—Ломакса описывает течения в областях от-
отрыва [Deiwert, 1984] лучше, чем формула Клаузера. В обеих
моделях турбулентное число Прандтля предполагается постоян-
постоянным; для воздуха Ргг = 0.9.
(k — е)-модуль турбулентности (п. 11.5.2) и другие модели,
использующие два уравнения в сочетании с сжимаемыми урав-
уравнениями Навье—Стокса, использовались в работах [Coakley,

§ 18.1. Физические упрощения 47S
1983; Horstman, 1986] и ряде других. Марвин [Marvin, 1983]
отмечает, что связанные со сжимаемостью дополнительные чле-
члены в (k — е) -модели несущественны при числах Маха, меньших
пяти, и, следовательно, могут быть отброшены.
В турбулентных течениях вблизи твердой поверхности имеют
место очень большие градиенты скорости и температуры в на-
направлении нормали. Для турбулентного пограничного слоя у по-
поверхности FE на рис. 17.14 удобно ввести локальное обезраз-
меривание
у+ = -^. "+="' A8*22)
где у измеряется в направлении нормали, их = (xw/pI/2 и сдви-
сдвиговое напряжение на стенке xw = \idu/dy\w.
Для правильного разрешения профиля скорости необходимо
ближайшую к стенке точку сетки поместить на расстоянии
у+ < 5, т. е. в ламинарном подслое. В сжимаемых течениях
для правильного разрешения температурного профиля в направ-
направлении нормали может понадобиться расположить ближайшую
к поверхности точку сетки на расстоянии у+ < 2.
Для того чтобы избежать столь мелких сеток вблизи стенок,
часто вводятся тонкие слои, внутри которых, пренебрегая гра-
градиентами скорости и температуры вдоль стенки, строят алгеб-
алгебраические пристенные функции. Если др/дх и т. д. рассматри-
рассматривать как заданные внешние параметры, в полученное таким об-
образом «течение Куэтта» входят лишь нормальные производные,,
которые могут быть проинтегрированы, в результате чего опре-
определяется решение на внешней границе тонкого слоя. Тонкий
слой может быть использован как граница расчетной области,,
а пристенные функции определяют граничные условия. Толщина
слоя выбирается так, чтобы расчетная граница попадала в ин-
интервал 30 < у+ < 200.
Можно использовать и обычную сетку, т. е. заканчивающую-
заканчивающуюся на стенке, в которой ближайшая к стенке точка попадает
в интервал 30 < у+ < 200. В этой точке решение определяется
пристенными функциями. Для поверхности FE на рис. 17.14
пристенная функция совпадает с классическим «законом стен-
стенки», т. е.
и+ = 5.0 + к\пу+, A8.23)
где обычно постоянная Кармана х = 0.41. Для приведения и4
к физическим координатам необходимо знать %w и, следователь-
следовательно, du/dy\w. Это значение определяется через решение во внут-
внутренней части области при помощи односторонних разностей.
Пристенные функции для течения не в пограничном слое,
т. е. вблизи DE на рис. 17.14, могут быть также получены из

476 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
модели Куэтта. В работе Патанкара и Сполдинга [Patankar,
Spalding, 1970] приведено полное описание такого подхода. По
существу тот же подход использован для определения гранич-
граничных условий в (k — е) -модели турбулентности [Patankar, Spal-
Spalding, 1974].
18.1.2. Течения с постоянной полной энтальпией
Для трансзвуковых вязких течений без внешних тепловых
-источников изменения температуры в расчетной области малы.
Следовательно, для стационарных течений уравнения A8.6)
можно упростить, заменив уравнение энергии алгебраическим
соотношением. Это можно сделать следующим образом.
Суммарная энтальпия Н = (Е + р)/р- Поэтому стационар-
стационарное уравнение энергии A8.6), A8.7) может быть записано
в виде
-j^ (риН) + -jj- (pvH) = -j^ (uxxx + vxxy — Qx) +
Используя A8.9), A8.10) и соотношение для идеального газа
H = cpT + ±(u2 + v2), . A8.25)
уравнение A8.24) можно преобразовать к виду
где
'%}- A827)

§ 18.1. Физические упрощения 477
Для течений около тел и в однородном потоке при больших чис-
числах Рейнольдса вязкие и турбулентные эффекты существенны
лишь в тонком слое вблизи тела и в следе.
Из анализа порядков величин различных членов в уравне-
уравнении A8.27) следует, что только член
)]?} <1828)
сравним по величине с членами, входящими в уравнения им-
импульса и неразрывности, и с левой частью уравнения A8.26).
Для чисто ламинарных течений предположение Рг = 1.0 приво-
приводит к обращению в нуль выражения A8.28). Для турбулентных
течений [хт 3> \л и предположение Ргг=1.0 обращает A8.28)
в нуль. Можно отметить, что для воздуха Рг = 0.7 и Ргг = 0.90,
так что малый вклад все же остается. В областях отрыва член
A8.28) является доминирующим и приведенные выше замеча-
замечания применимы и в этом случае. В невязкой области, т. е. вдали
от твердых поверхностей, можно пренебречь всеми членами
в правой части уравнения A8.27).
Следовательно, для стационарных сверхзвуковых течений
A8.26) можно заменить уравнением
-(?+¦?)?]+
Очевидно, что уравнение A8.29) выполняется при Н = const
или, согласно A8.25), при
срТ + 0.5 (и2+ v2) = const,
что можно представить в виде
^1 JL + 05 (и2 + v2) = JLzii -?
+ 0.5 (и2 + v2) = JLzii -?«l + 0.5C/2 . A8.30)
Y P vi/ Y Poo °°
Уравнение A8.30) является алгебраическим уравнением, связы-
связывающим значения р, р, и и v. Данная связь заменяет уравнение
энергии в системе A8.6), A8.7). Такой способ описания рас-
рассматривался в работе [Briley, McDonald, 1977] и использовался
Флетчером и Сринивасом [Fletcher, Srinivas, 1985].
18.1.3. Приближение тонкого слоя
Как отмечено в п. 18.1.2, при больших числах Рейнольдса
вязкие и турбулентные эффекты существенны лишь вблизи
твердой поверхности и в следе. Если в течении нет больших

478
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
отрывных зон, на основе сравнения порядков величин в направ-
направлении, примерно совпадающем с направлением течения, можно
пренебречь многими диссипативными членами, т. е. составляю-
составляющими т и <$ в формулах A8.9) и A8.10). Для трехмерных тече-
течений из-за ограничений, связанных с объемом памяти компьюте-
' «^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
(а)х
Рис. 18.2. Измельчение сетки у твердой поверхности, (а) Декартовы коорди-
координаты; (Ь) обобщенные координаты.
ров, обычно невозможно построить достаточно мелкую во всех:
направлениях сетку, на которой бы правильно аппроксимирова-
аппроксимировались все члены трехмерных уравнений, аналогичных уравнениям
A8.9) и A8.10).
Эти два свойства (одно — физическое и второе — расчетное)
сочетаются в приближении тонкого слоя [Baldwin, Lomax,
1978]. Мелкая сетка используется лишь в направлении нормали
к твердой поверхности (рис. 18.2). На грубой сетке в направле-
направлении, параллельном стенке (направлении х), невозможно пра-
правильно представить производные по ху входящие в т и Q в
A8.7). Однако на основе сравнения порядков величин эти члены
могут быть отброшены. В приближении тонкого слоя уравнения
A8.6) и A8.10) принимают вид
где
dt "г" дх
ду
ду
F = {ри, ри2 + р, 9uvy (Е + р) и)т,
GI = {9vf 9uv, Pu2 + p, (E + p)v}T,
Gv = - {0, т?у, т?у,
A8.31)
A8.32)

§ 18.2. Явные схемы 479
В уравнениях A8.32)
ди т 4 , . ч dv
Qv=-{k + cP^)?L.
Можно заметить, что при подстановке различных членов Gu
в A8.31) получаются лишь производные по t/, а смешанные про-
производные исключаются. Это облегчает построение неявных схем
(п. 18.4.1). Приближение тонкого слоя обычно используется в
обобщенных координатах (гл. 12 и п. 18.4.1). Обобщенные ко-
координаты для большинства геометрий выбираются таким обра-
образом, чтобы физическая диссипация была существенна лишь в
одном направлении. Однако для течения вблизи точки пересе-
пересечения двух стенок следует сохранить диссипативные члены в на-
направлении нормали к обеим стенкам. В приближении тонкого
слоя при этом отбрасываются некоторые смешанные производ-
производные с порядком величины, равным оставленным членам. На
практике это мало влияет на общую точность решения [Hung,
Kordulla, 1984].
Приближение тонкого слоя для стационарного течения можно
х рассматривать как укороченную форму уравнений Навье—
Стокса (гл. 16). По существу то же самое приближение исполь-
используется при построении пространственного маршевого алгоритма
для расчета вязкого сверхзвукового течения (п. 16.3.1). Однако
в приближении тонкого слоя не требуется, чтобы и было больше
нуля. Вместо этого в приближении тонкого слоя для определе-
определения стационарного решения используется метод установления
(§ 16.4). Поэтому данным методом могут быть рассчитаны те-
течения с небольшими отрывными зонами в направлении потока.
Приближение тонкого слоя широко используется в расчетах
[Chaussee, 1984] и позволяет получать результаты, хорошо со-
совпадающие с экспериментальными данными.
§ 18.2. Явные схемы
В п. 18.2.1 будет рассмотрено применение явной схемы Мак-
Кормака для решения сжимаемых уравнений Навье—Стокса.
Хотя данная схема и экономична при расчете существенно не-
нестационарных течений, ограничение КФЛ с числом Куранта,
равным единице, делает ее менее удобной при расчете стацио-
стационарных течений. Схемы Рунге—Кутты, позволяющие использо-
использовать большие шаги по времени, описаны в п. 18.2.2.

480 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
18.2.1. Явная схема Мак-Кормака
Наиболее широко используемой явной схемой для решения
сжимаемых уравнений Навье—Стокса является схема Мак-Кор-
Мак-Кормака [MacCormack, 1969]. Для одномерного невязкого течения
эта схема описана в п. 14.2.2, а для многомерного невязкого
течения с пространственной переменной, играющей роль време-
времени,— в п. 14.2.4. Применение схемы Мак-Кормака для решения
уравнений со вторыми пространственными производными будет
продемонстрировано здесь на примере двумерных уравнений
Бюргерса A0.57) и A0.58). При обобщении на сжимаемые
уравнения Навье — Стокса A8.6) — A8.10) возникает дополни-
дополнительная трудность, связанная со смешанными вторыми произ-
производными, которая будет рассмотрена позже.
Двумерные уравнения Бюргерса записываются, как и в
A0.52), в виде
4f|L!5s=o, A833)
dt ' дх ' ду
где
( и\ / и2 — v du/dx \ / uv — v du/dy \
4 \v )' \uv — v dv/dx / V и2 — v dv/dy ) *
/0.5u(u2 + v2)/v\
S= ЛК 2 ; ', . A8.34)
\0.5v (u2-\- v2)/v/
Применительно к системе A8.33) схема Мак-Кормака на одно-
однородной сетке имеет вид
Шаг предиктор
k = %k - -KTlFi+uk - F/,*J - a7LG/.*+. ~ G/,iJ
A8.35)
Шаг корректор
Можно заметить, что каждая пространственная группа F
или G на шагах предиктор и корректор аппроксимируется одно-
односторонними конечно-разностными операторами. Вся схема имеет
второй порядок точности по времени и пространству, если для
аппроксимации производных, фигурирующих в F и G (см.
A8.34)), используются разности, обратные используемым
для F и G в уравнениях A8.35) и A8.36). Например, на шаге

§ 18.2. Явные схемы 48!
предиктор
V(tt7+1,
(tt7
in n \ A8.37)
vf,t-vrkt .
Для сжимаемых уравнений Навье—Стокса A8.6) можно непо-
непосредственно применять схему предиктор—корректор A8.35),
A8.36), положив S = 0. Однако в выражениях A8.7) — A8.10) т
определяющих значения F и G, фигурируют производные по раз-
разным направлениям. Например,
(il iL) A8.38)
Дискретизация ди/ду проводится так же, как в A8.37). Для
dv/dx используются центральные разности. Таким образом, на
шаге корректор
* Ал;
Применение разностей вперед на шаге предиктор и разностей
назад на шаге корректор можно поменять местами. Порядок
использования разностей может быть различен для разных про-
пространственных направлений. Однако для сохранения второго
порядка точности необходимо сохранять симметрию разностных
формул на шагах предиктор и корректор.
Вопросы устойчивости схемы Мак-Кормака для решения
уравнений A8.33) и A8.6) рассматривались в работе [Peyret,
Taylor, 1983]; точных результатов не получено. Поскольку схема
явная, можно ожидать, что невязкая часть уравнений должна
приводить к ограничению типа КФЛ, аналогичному (9.11), а
вязкая часть — к ограничению диффузионного типа (п. 7.1.1).
Для скалярного эквивалента уравнения A8.33) в работе
[Peyret, Taylor, 1983] рекомендуется при Ах = Ау использовать
следующее необходимое условие устойчивости:
для ламинарных сжимаемых уравнений Навье—Стокса A8.6)
рекомендуется при Ах = Ау использовать следующее условие
31 К. Флетчер, т. 2

482 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
устойчивости:
Дя2
B|i/Re р) [2Y/Pr + B/3H5] + [ | и \ + \ v \ + B)°'5а] А*' A8#41)
где а — скорость звука.
Из вида условий устойчивости A8.40) и A8.41) следует, что
в трехмерном случае ограничение на шаг по времени более
жесткое, чем в двумерном и одномерном случаях.
Чтобы избежать этого ограничения, Мак-Кормак [МасСог-
mack, 1971] в описанную выше схему ввел расщепление по вре-
времени. Расщепление по времени, аналогично описанной в § 8.5
процедуре, приводит к последовательности одномерных про-
пространственных операторов. Для уравнения A8.6) одномерные
операторы могут быть представлены в виде
Здесь уравнение A8.42) эквивалентно уравнениям
% к = Я/, k - ~КГ lF/+i. k - F/. kY
«С*=°-5 К и + чл») - °-5 тг К * - f; -.,»]:
Аналогичные выражения для A8.43) могут быть получены
из уравнений A8.35) и A8.36). Весь алгоритм определения ре-
решения на новом временном слое вместо A8.35), A8.36) при-
принимает вид
Симметричная картина повторяющихся пространственных опе-
операторов от At/2 необходима, чтобы получить алгоритм второго
порядка по времени.
Устойчивость алгоритма A8.44) определяется устойчивостью
отдельных операторов. Таким образом, аналогичное A8.41)
ограничение на Рх при произвольных Ах и Ау имеет вид
х ^ (ц/Re р) [2Y/Pr + B/3H'5 (Ax/by)] + [ | и \ + а] Ах '
Очевидно, что возможно применять большие шаги по времени.
Дополнительное преимущество состоит в том, что для различ-
различных координатных направлений могут быть использованы различ-
различные шаги по времени. Для обтекания тонких тел, параллельных
оси х, необходимы малые в направлении у шаги сетки для раз-
разрешения больших пространственных градиентов скорости и тем-

§ 18.2. Явные схемы 483
пературы, связанных с поверхностным пограничным слоем. При-
Применение схемы расщепления по времени A8.44) позволяет избе-
избежать влияния на Atx ограничения на шаг Aty.
Схема расщепления по времени эффективна, хотя и требует
введения вспомогательных процедур вблизи границ [Peyret,
Taylor, 1983]. Схема Мак-Кормака в сочетании с методом уста-
установления (п. 6.2.4) малоэффективна для определения стацио-
стационарного решения, если только не применяется многосеточный
подход (п. 6.3.5) [Chima, Johnson, 1985].
18.2.2. Схема Рунге — Кутты
В явной схеме Мак-Кормака, описанной в п. 18.2.1, второй
порядок точности по пространству достигается весьма эконом-
экономным образом. Однако ограничение на шаг по времени A8.45)
существенно снижает общую эффективность алгоритма при на-
нахождении стационарного решения методом установления для
течений с большими числами Рейнольдса.
Из условия A8.45) следует, что при больших числах Рей-
Рейнольдса условие устойчивости схемы расщепления Мак-Кор-
Мак-Кормака эквивалентно тому, что число Куранта С = (\u\-{-a)Atx/kt
не превышает единицу. Конечно, влияние больших чисел Рей-
Рейнольдса непосредственно сказывается и в ограничении на шаг
по пространственной переменной для правильного разрешения
тонкого пограничного слоя.
В результате применения метода прямых (§ 7.4) из исходной
системы уравнений можно получить систему обыкновенных диф-
дифференциальных по времени уравнений. Для ее решения удобно
использовать маршевые по времени схемы Рунге—Кутты, по-
поскольку для этих схем можно использовать большие, чем в схе-
схеме Мак-Кормака, значения числа Куранта. Например, для не-
нестационарных течений можно использовать схему Рунге—Кутты
четвертого порядка G.53). Эта схема при достаточно малых
диссипативных членах устойчива, если С ^ 2 У2.
Для нахождения стационарных решений методом установле-
установления имеет смысл использовать рациональную схему Рунге—
Кутты (РРК) [Wambecq, 1978] первого или второго порядковг
поскольку она позволяет использовать еще большие числа Ку-
Куранта. Рациональная схема Рунге—Кутты будет продемонстри-
продемонстрирована на уравнении общего вида
dq/dt = W(q). A8.46)
Это уравнение можно рассматривать как одну из компонент си-
системы A8.6) после проведения пространственной дискретиза-
дискретизации. Схема РРК использовалась в работе [Satofuka et al.,
31*

484
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
1986]. Для дискретизации первых и вторых пространственных
производных в уравнениях A8.6) — A8.10) рекомендуется ис-
использовать обычные трехточечные центральные разности.
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1*6
NACA 65A2I0
М =0.76
данное решение,
р2/рл = 1 229
Д V эксперимент без отсоса на конце стенки
О эксперимент с отсосом на конце стенки
0.0
Хорда
1.0
Рис. 18.3. Сравнение с экспериментальным распределением давления в кас-
каскаде 65A2I0 ([Satofuka, 1986]; печатается с разрешения AIAA).
Двухшаговая схема РРК применительно к уравнению A8.46)
может быть построена следующим образом. Промежуточные
поправки определяются выражениями
Aq{ = AtW (qn), Aq2 = AtW (qn + с Aql)f
A8.47)
и решение на новом временном слое — по формуле
В уравнении A8.47) (е, f) означает скалярное произведение, т.е.
(е, *) = Т

§ 18.3. Неявные схемы 485
где i пробегает все точки сетки. Скалярные произведения, вы-
вычисленные один раз на каждом временном шаге, определяют
весовые множители, с которыми берутся поправки А^1 и Д<7а
в каждой точке сетки. Поэтому метод явный и экономичный.
Схема РРК A8.47) имеет первый порядок точности по времени,
если be Ф—0.5. При be =—0.5 порядок точности равен двум.
Схема А (а) устойчива (рис. 7.10), если
В работе [Satofuka et al., 1986] получено устойчивое решение
с числом Куранта до четырех при решении полных уравнений
Навье—Стокса с моделью турбулентности Болдуина—Ломакса
(п. 18.1.1). Рассматривалась задача о трансзвуковом обтекании
лопатки компрессора при Моо = 0.76 и числе Рейнольдса ЗХЮ5.
Как видно из рис. 18.3, в случае отсоса на стенке имеется хоро-
хорошее совпадение с экспериментальными данными. Решение полу-
получено в обобщенных координатах на сетке 129X33 (гл. 12).
Для решения уравнений Эйлера, где не требуется использо-
использовать столь мелкие сетки вблизи стенки, как в случае уравнений
Навье—Стокса, схемы Рунге—Кутты эффективно комбинирова-
комбинировались с многосеточным подходом [Jameson, 1983].
§ 18.3. Неявные схемы
Для определения лишь стационарного решения более пред-
предпочтительными являются неявные схемы, несмотря на успешное
использование явных схем в сочетании с методом Рунге—Кутты
интегрирования по времени и многосеточным подходом. Это
связано с тем, что в неявных схемах нет ограничений на шаг
по времени, следующих из линейного анализа устойчивости
(§ 4.3). На практике ограничение на шаг по времени существует,
но оно значительно более слабое, чем в явных схемах. Это огра-
ограничение в неявных схемах может быть связано с нелинейными
эффектами, с требованием к точности при рассмотрении неста-
нестационарных задач или с медленной сходимостью при использо-
использовании метода установления для нахождения стационарного ре-
решения.
В данном параграфе будут описаны четыре неявных алго-
алгоритма. Сначала будет рассмотрена двухдиагональная схема
Мак-Кормака, являющаяся прямым обобщением соответствую-
соответствующей явной схемы (п. 18.2.1). Затем будет рассмотрено примене-
применение неявной схемы Бима—Уорминга [Beam, Warming, 1978]
(п. 18.3.2) для решения сжимаемых уравнений Навье—Стокса.

486 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
Данный алгоритм аналогичен схеме приближенной факториза-
факторизации, описанной в § 8.2, 8.3, 9.5 и п. 10.4.2 и 14.2.8.
В п. 18.3.3 будет рассмотрено обобщение приближенной фак-
факторизации группового метода конечных элементов (п. 17.3.3)
на сжимаемые течения. Развитие алгоритма приближенной фак-
факторизации путем введения расщепления LU описано в п. 18.3.4.
18.3.1. Неявная схема Мак-Кормака
Данный метод будет продемонстрирован на примере обобще-
обобщения явной схемы Мак-Кормака (п. 18.2.1) для решения одно-
одномерного уравнения переноса (9.56). Для удобства одномерное
уравнение переноса записывается в виде
Явная схема Мак-Кормака A8.35), A8.36) применительно
к уравнению A8.49) может быть записана в следующем виде.
Шаг предиктор
Шаг корректор
f«+i= 0.5 (<7* + <7/*.е + Л<7?+1'*)>
где Lx и Lt — односторонние разностные операторы:
a Lxx — центрально-разностный оператор второго порядка:
_?/-!-2?/+ 9/-И
LXx4j — Д^2 •
Для устойчивости шаг по времени в схеме A8.50), A8.51) дол-
должен выбираться так, чтобы выполнялось условие
а+^--4г<°- <18-52)
Данное условие является одномерным аналогом условия A8.40).
Мак-Кормак [MacCormack, 1982] предложил неявный алго-
алгоритм, эквивалентный A8.50), A8.51). Этот алгоритм может
быть представлен следующим образом.

§ 18.3. Неявные схемы 487
Шаг предиктор
+^W'=^r+(^W- A8.53)
<7;-< = <7? + д<Г/.<.
Шаг корректор
9»+i = 0.5
При расчете по формулам A8.53) и A8.54) поправки Aq*>e
и Дд"+1'е получаются по формулам A8.50) и A8.51). При этом
в расчете по формуле A8.51) q*:e заменяется на q***, рассчи-
рассчитанное по формуле A8.53).
ная линейная устойчивость (§ 4.3). Для этого необходимо, чтобы
выполнялось условие
Параметр X выбирается так, чтобы обеспечивалась безуслов-
Я>тах[(а + ^-^), о]. A8.55)
Из сравнения с условием A8.52) следует, что если At такое, что
явный алгоритм будет неустойчивым, то можно выбрать поло-
положительное значение X, при котором схема A8.50) — A8.54) бу-
будет устойчивой. Если At таково, что чисто явный алгоритм устой-
устойчив, т. е. выполнено условие A8.52), значение К полагается рав-
равным нулю и не требуется проведения неявной стадии алгоритма
A8.53), A8.54).
Условие A8.55) проверяется в каждой точке. Поэтому для
многих задач дополнительные неявные шаги не требуются в ча-
частях расчетной области. Это обстоятельство делает весь алго-
алгоритм более экономичным.
Если \iAt/Ax2 ограничено при стремлении At и Да: к нулю,
неявная схема Мак-Кормака, как и явная A8.50), A8.51), имеет
второй порядок точности по времени и пространству. Сохране-
Сохранение второго порядка точности по времени [MacCormack, 1982]
обеспечивается третьим порядком точности по времени допол-
дополнительных поправок в A8.53) и A8.54).
Двухдиагональность алгоритма A8.53), A8.54) означает, что
«неявные» поправки Aq**( и Aqn+l>1 могут быть определены яв-
явным образом. На шаге предиктор A8.53) представляется в виде
^i — 1

488 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
При этом предполагается, что из граничного условия Дирихле
на правой границе j = NX можно определить qux. Вычисления
по формуле A8.56) проводятся в сторону уменьшающихся зна-
значений / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница.
Полный неявный алгоритм численного решения уравнения
A8.49) состоит из следующих шагов. Сначала проводятся вы-
вычисления по формулам A8.50), затем — по формулам A8.53),
После этого следует шаг корректор, состоящий из вычислений
по формуле A8.51) и затем — по A8.54).
При обобщении метода на сжимаемые уравнения Навье—
Стокса A8.6) неявный алгоритм следует представить в виде
ж А+wB)]Aq^'=Aq/^' '• A8-57)
где якобианы A = dF/dq и B = dG/dq и Aq?+,1** = — М[д?/дх+
+ dG/dy]!yk. Пространственные производные в левой части
A8.57) действуют на произведения AAq и BAq. Из сопоставле-
сопоставления с A4.103) следует, что у = 0, р=1, и в A8.57) требуется
ввести еще пространственную дискретизацию.
Полный алгоритм, эквивалентный A8.50) — A8.54), может
быть представлен в виде
Шаг предиктор
(I - ML+xKm) (I - ML+yam) ЛЧ'Д< = Aq;; I A8.58)
Шаг корректор
(I - ML' Am) (I - ML~bm) Aq»+''' = Aq^1' \ A8.59)
Односторонние разностные операторы, применяемые к F и G,
совпадают с описанными в § 18.2. Для смешанных производных
используются центральные разности.
Модифицированные матрицы Якоби hm и Вт связаны с дей-
действительными матрицами Якоби для невязкого течения, но их
собственные числа всегда положительны. Матрицы Якоби не-
невязкого течения могут быть модифицированы, как в A4.107),
т. е.
А = Тл ЧлТл, В = Тв'АвТя, A8.60)

§ 18.3. Неявные схемы 489
где Лл и Лв—диагональные матрицы, составленные из собствен-
собственных чисел матриц А и В, т. е.
diag Ал = {и, и + а, и, и — а}, diag Ав = {у, vy v + a, v — а}.
A8.61)
Матрицы ТА и Тв приведены в работе [MacCormack, 1982].
Модифицированные матрицы Якоби имеют вид
Am = Ta[DaTa, Вт = TllDBTB. A8.62)
Здесь DA и DB — диагональные матрицы, диагональные элемен-
элементы которых имеют вид
i о],
. о],
A8.63)
A8.64)
где v = тахDц/3, -умУРг). Значения ц и Рг в зависимости от
рассматриваемого случая можно считать ламинарными или тур-
турбулентными. Правые части уравнений A8.63) и A8.64) могут
быть лишь неотрицательными. Данные уравнения являются об-
обобщением условия A8.55) для двумерных систем уравнений.
То есть, если соответствующие диагональные элементы D* / и
Df,i больше нуля, в A8.58) и A8.59) включаются неявные
шаги. Если D?t i и (или) Dft i равны нулю, явная схема будет
устойчива и в неявных шагах нет необходимости.
Неявные шаги осуществляются в два этапа. На шаге предик-
предиктор сначала в результате решения уравнения
? а*] ач;; [ = дч;;; + ?
k
определяется промежуточная неявная поправка Aqjf?. Начиная
с линии сетки k = NY и правой границы j = NX> уравнение
A8.65) используют для расчетов при уменьшающихся значе-
значениях / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Да-
Далее процесс повторяется в сторону уменьшающихся kf пока не
будет достигнута нижняя граница.
Из сопоставления уравнений A8.65) и A8.58) следует, что
(I - дя,;вт) ьч)*;к*=ач;; I A8.66)
Следовательно, AqJ*^ определяется уравнением
+ ? в-] дч;;-/=ач;: ;+-^ ъ™к+1 ач;;-д, (= w>.

490 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
Уравнение A8.67) используется начиная с линии сетки j = NX
и верхней границы k = NY в сторону уменьшающихся значе-
значений k. Далее процесс повторяется при уменьшающихся значе-
значениях / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница.
Матрицы Ат и Вт в уравнениях A8.65), A8.66) имеют блочную
структуру. Поэтому на каждом шаге требуется решать систему
уравнений размерности 4X4. Однако этого можно избежать,
если использовать формулы A8.62). Уравнение A8.67) можно
представить в виде
(I + ¦? (I8)"' DBTB) Aq-<• = W. A8.68)
Здесь W означает правую часть уравнения A8.67). Умножая
обе части уравнения A8.68) на 1В и выполняя несложные пре-
преобразования, получаем
TBW = Y, A8.69)
Aq«.fc* = (T*)-i у. A8.70)
Следует отметить, что матрица (Тв)~1 может быть определена
аналитически. Мак-Кормак [MacCormack, 1982] отметил, что
при программной реализации вычислений по формулам A8.68) —
A8.70), заменяющим A8.67), требуется около 28 фортранов-
ских операторов. Аналогичный алгоритм может быть построен
для решения A8.65).
Описанный алгоритм при применении его к сжимаемым урав-
уравнениям Навье—Стокса имеет, как и в случае модельного урав-
уравнения A8.49), второй порядок точности по пространственной
переменной. Мак-Кормак [MacCormack, 1982] использовал опи-
описанный метод для расчета отрывного течения, обусловленного
взаимодействием скачка с пограничным слоем.
При образовании модифицированных матриц Якоби Ат и Вт
вязкие члены учитываются лишь приближенно. Поэтому метод
работает лучше при определении стационарных, чем нестацио-
нестационарных решений. При расчете трансзвуковых течений около
агродинамических профилей под углом атаки [Kordulla, Mac-
MacCormack, 1982] обнаружено, что если использовать большие
шаги по времени, необходимо в явную и неявную части A8.58)
и A8.59) включать численную диссипацию.
Из сравнения известных значений времени счета следует, что
неявный алгоритм A8.58), A8.59) требует для расчета одной
точки примерно столько же времени, сколько и блочно-трехдиа-
гональный алгоритм, который будет рассмотрен в п. 18.3.2. Од-
Однако преимуществом схемы Мак-Кормака является то, что для

§ 18.3. Неявные схемы
491
многих точек сетки явный алгоритм, лежащий в основе схемы,
является устойчивым. Поэтому для многих задач общая эффек-
эффективность неявного алгоритма Мак-Кормака оказывается более
высокой.
Ханг и Кордулла [Hung, Kordulla, 1984] использовали неяв-
неявную схему Мак-Кормака для решения уравнений тонкого слоя
7
Ударная волка -
О экспериментальные данные
—— результаты расчета
4 с?
Рис. 18.4. Давление на плоскости вдоль линии симметрии ([Hung, Kordulla,
1984]; печатается с разрешения AIAA).
A8.31). Они применили пространственную дискретизацию по
методу конечных объемов и одномерное расщепление, эквива-
эквивалентное описанному в п. 18.2.1. Рассчитывалось сверхзвуковое
течение около затупленного вертикального стабилизатора, рас-
расположенного на пластине при М<х> = 2.95. Число Рейнольдса,
рассчитанное по скорости набегающего потока и диаметру ста-
стабилизатора, равно 0.8 X Ю6. Для учета турбулентных эффектов
использовалась алгебраическая модель турбулентной вязкости
Болдуина—Ломакса A8.17) — A8.21). Уравнения решались в
обобщенных координатах на неравномерной С-сетке с 40, 32 и

492 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
32 точками в окружном, радиальном и вертикальном направле-
направлениях соответственно.
Рассчитанное распределение давления (рис. 18.4) очень хо-
хорошо совпадает с экспериментальными данными [Dolling, Bog-
donoff, 1982]. Первое увеличение давления связано с вихрем,
ось которого расположена в точке x/D « —0.75. Второе увели-
увеличение давления связано с прохождением искривленной ударной
волны и торможением в точке торможения x/D = 0.
Неявная схема Мак-Кормака [MacCormack, 1982] весьма
эффективна, если на границе определены условия Дирихле, но
двухдиагональный метод решения непригоден при других типах
граничных условий. Поэтому Мак-Кормак [MacCormack, 1985]
предложил заменить двухдиагональный метод итерационным
методом прямых Гаусса—Зейделя (§ 6.3) или методом Ньютона
(§ 6.1). При этом, чтобы сделать систему A8.57) с диагональ-
диагональным преобладанием, используется расщепление потока [Steger,
Warming, 1981].
18.3.2. Схема Бима — Уорминга
Данная схема предшествовала схеме приближенной факто-
факторизации A4.104), A4.105), использованной в п. 14.2.8 для ре-
решения уравнений Эйлера. Схемы Бима—Уорминга [Beam, War-
Warming, 1978] и Брили—МакДональда [Briley, McDonald, 1977]
являются схемами приближенной факторизации и тесно связа-
связаны со схемами, описанными в § 8.2 и п. 10.4.2.
Для применения схемы Бима—Уорминга к сжимаемым урав-
уравнениям Навье—Стокса уравнения A8.6) записываются в виде
A8.71)
В RHS входят все пространственные производные, т. е.
RHS = - -?¦ - f = -? [F1 - F; (q, q.) - F* (q, q,)] -
- -w tGI" °'(q> q*) - G"(q' Ol A872)
В A8.72) невязкие потоки F1 и G7 совпадают с F и G, опреде-
определяемыми уравнениями A4.95). Другие слагаемые F?, F2, G?
и G? связаны с вязкими членами в A8.7). Эти члены полу-
получаются в результате подстановки выражений A8.9) и A8.10)
в A8.7) и группировки их таким образом, что F^ и q? содер-
содержат производные по х, a F2° и G" - по у.

§ 18.3. Неявные схемы 493
В результате применения трехслойной схемы (п. 8.2.3)
к уравнению A8.71) можно получить
, A8.73)
где
Aqri+1 = qn+l—qn и Aq/t = qw — q".
Параметры аир выбираются так, чтобы обеспечить требуе-
требуемую точность и устойчивость; а эквивалентно у в (8.26);
RHSrt+1 — нелинейная функция q, q* и qy. В результате линеа-
линеаризации, аналогичной A4.101), A4.102), относительно п-го вре-
временного слоя имеем
RHS"+1 = RHSnH
,qy+ ... A8.74)
или
^ 1 - AG?' "+1 - S Aq^1) . A8.75)
В A8.75) А и В — невязкие якобианы A4.99) и
р L р L о Q
V~ dq • ^ — dqx • ^"~ ^q • ° ^ '
Уравнение A8.75) можно упростить, если использовать равен-
равенство
R ДЧ?+1 = (R ДЧ»+1)^ - R^ Aq»+>,
и аналогично для SAq?+1. Члены AF2'rt+1 и AG?'rt+1 приводят
к появлению смешанных производных при подстановке A8.75)
в A8.73). Этими членами легче оперировать, если заметить, что
AF20'n+l = AF2"' n + О (А/2), ДО?'n+l - ДО?'п + О (А*2). A8.76)
Таким образом, с точностью до второго порядка неявные по-
поправки F% и G? могут быть заменены соответствующими из-
известными поправками с предыдущего временного шага. В работе
[Beam, Warming, 1978] отмечается, что применение A8.76)
к модельному уравнению A8.49) не нарушает безусловной ли-
линейной устойчивости рассматриваемого алгоритма.

494 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
Подстановка A8.75) и A8.76) в уравнение A8.73) позво-
позволяет получить линейную относительно Aq"+1 систему уравнений
+ ТАч +Лр2
A8.77)
Аналитические выражения для —Р + R*, —Q + S*,, R и S полу-
получены Бимом и Уормингом. Значение {$' в A8.77) при решении
нестационарных задач полагается равным C, поскольку при C=
= а + 0.5 схема имеет второй порядок точности по времени.
Однако при решении методом установления (§ 6.4) стационар-
стационарных задач для сокращения числа операций целесообразно ис-
использовать схему первого порядка по времени и положить
Р'= 0. Точность схемы A8.77) по пространству зависит от ис-
используемой дискретизации; Бим и Уорминг рекомендуют исполь-
использовать центральные разности второго порядка.
Уравнение A8.77) линейное, но глобально связанное. С точ-
точностью до второго порядка по времени левая часть A8.77) мо-
может быть приближенно факторизована аналогично тому, как
это сделано при замене уравнения A4.103) уравнением A4.104).
Приближенная факторизация приводит к двухшаговому алго-
алгоритму, аналогичному A4.105) и A4.106):
- Р + **)" - ^~R"] } ДЧ* = ЛЧ", A8.78)
ЧЯ+1 = ДЧ*- A8-79>
В уравнениях A8.78) и A8.79) LxxRn)}Aq* означает Lxx(RnAq*)
и т. д., Aqm — вектор, полученный в результате вычисления пра-
правой части уравнения A8.77). Если Lx, Lxx, Ly и Lyy — трехто-
трехточечные центрально-разностные операторы, как в (9.85), система
A8.78) является DХ 4)-блочно-трехдиагональной вдоль каж-
каждой линии сетки в направлении х, а A8.79) есть DХ4)-блоч-
но-трехдиагональная система вдоль каждой линии сетки в на-
направлении у. В п. 6.2.5 описан алгоритм решения таких систем.
В работе [Beam, Warming, 1978] отмечается, что если пре-
пренебречь зависимостью \х и k от q, то —Р + Rx=0 и —Q+Szy=O.
Уравнения A8.78) и A8.79) при этом упрощаются. Данное
свойство можно использовать в методе установления, поскольку

§ 18.3. Неявные схемы 495
стационарное решение не зависит от левых частей уравнений
A8.78), A8.79).
При больших числах Рейнольдса или при наличии слабых
скачков рекомендуется добавить численную диссипацию более
высокого (обычно четвертого) порядка (п. 18.5.1). Алгоритм
Бима—Уорминга применим для решения чисто гиперболических
уравнений [Beam, Warming, 1976], к которым относятся урав-
уравнения Эйлера (п. 14.2.8). Однако оказывается, что в трехмер-
трехмерном гиперболическом случае алгоритм лишь условно устойчив
[Jameson, Turkel, 1981].
Аналогичный безытерационный алгоритм приближенной
факторизации для сжимаемых уравнений Навье—Стокса пред-
предложен Брили и Мак-Дональдом [Briley, McDonald, 1977]. Для
вязких течений с большими числами Рейнольдса применение
неявных алгоритмов эквивалентно методу установления, по-
поскольку можно использовать числа Куранта много больше еди-
единицы. В двумерном случае числа Куранта равны (|w| + a) At/Ах
и (|v\ + a)At/Ay. Часто оказывается, что стационарное реше-
решение получается за меньшее число шагов по времени, если At
берется порядка ОA0). Слишком большие значения приводят
к тому, что ошибки, связанные с приближенной факторизацией,
нарушают сходимость. Слишком малые шаги по времени не
нарушают сходимости, но делают ее неоправданно медленной.
18.3.3. Групповой метод конечных элементов
Для трансзвуковых условий \х и k примерно постоянны и
уравнение энергии может быть заменено алгебраическим урав-
уравнением A8.30). В результате удобнее заменить уравнения
A8.6) — A8.8) системой из трех уравнений
где F1 и G7 — невязкие составляющие F и G в A8.7). При соот-
соответствующем обезразмеривании различные векторы в уравне-
уравнении A8.80) имеют вид
q = {р, ри, pv}T, F' = {pu, pu2 + р, 9uv}T,
G' = {9vy9uv,9v2 + Pyt R = {^, ^f, Не*}*, A8.81)
b —10, —, —j , T — |8p, \ieu, -3— I .
В записанных выражениях эффективная вязкость \ie =
= I/Re + fbir- Такая форма уравнений пригодна для ламинар-

496 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
ных (\хт = О) и турбулентных течений. Однако члены типа
ид2[хт/ду2 + (ди/ду) (д[1Т/ду) в уравнениях х- и у-компонент им-
импульса опущены. Эти члены существенны лишь в непосред-
непосредственной близости к твердой поверхности, где решение обычно
определяется через пристенные функции A8.23). Параметр 8
в R и Т — диссипативный член, введенный для устойчивости
дискретных уравнений в случае течений с большими числами Re.
В уравнениях A8.80), A8.81) четыре зависимые переменные
и, vy p и р. Для замыкания системы используется уравнение
A8.30), которое в безразмерной форме имеет вид
l)№oo[l-(u? + v*)]}, A8.82)
где Моо — число Маха набегающего потока, у — отношение
удельных теплоемкостей.
Групповой метод конечных элементов (§ 10.3) применяется
к системе A8.80) путем введения приближенных или пробных
решений для групп в A8.81). Например, при билинейной ин-
интерполяции на прямоугольных элементах (§ 5.3)
L ФтЬ,у)К' <18-83>
m=\
где фт — билинейные интерполирующие функции E.59), а ?!т —
узловые значения F7. Применение метода Галёркина с конеч-
конечными элементами к уравнениям A8.80), A8.81) позволяет по-
получить следующую полудискретную форму:
= My®LxxR + Lx®LyS + Mx®LyyT. A8.84)
Пространственные массовые и разностные операторы опреде-
определяются формулами A7.115).
Для интегрирования A8.84) по времени можно использо-
использовать неявный трехслойный алгоритм, аналогичный A7.120),
A7.121). В результате получается двухшаговый алгоритм
At 0-^г *{))] ч
^ fyn, A8.85)
=Aq\ A8.86)
Поскольку q, F и т. д. — векторы с тремя компонентами, урав-
уравнения A8.85), A8.86) образуют C X 3)-блочно-трехдиаго-
нальные системы соответственно вдоль х- и у-линий сетки. Для

§ 18.3. Неявные схемы 497
решения таких систем можно использовать алгоритм, описан-
описанный в п. 6.2.5. Параметры а и C такие же, как в A8.73), и ана-
аналогичны у и р в A7.116). Матрицы Якоби А = dF'/dq и В =
= dG7/Cq являются матрицами размера 3X3 и эквивалентны
матрицам А и В, определяемым формулами A4.99).
Присоединенная правая часть (RHS)a в A8.85) опреде-
определяется выражением
(RHS)e = Му ® LXXR + LX® LyS + Mx® LyyT - My® LXFJ -
- Mx® LyG1 + Lx® Ly(dS/dq) Aqn. A8.87)
Последний член в (RHS)a необходим для явного выражения
правой части. Таким же образом использовался член AF?
в A8.76). Обычно это не приводит к существенному уменьше-
уменьшению максимального шага по времени, при котором может
быть получено устойчивое решение.
При a = 0.5 и р=1.0 решения, получаемые по формулам
A8.85) и A8.86), имеют второй порядок по времени и про-
пространству. На однородной сетке наличие массовых операторов
имеет сглаживающий эффект и позволяет получить простран-
пространственную дискретизацию четвертого порядка невязких членов
dF'/dx и дО!/ду.
Описанный алгоритм использовался для расчета дозвуко-
дозвукового (Моо = 0.4) обтекания уступа (рис. 17.14). Рассматрива-
Рассматривались ламинарные и турбулентные течения. Для турбулентных
течений вблизи твердой поверхности применялась алгебраиче-
алгебраическая модель турбулентной вязкости A8.12), основанная на
длине перемешивания. Вне пограничного слоя и в следе исполь-
использовалась модифицированная модель Клаузера с релаксацией
вверх по потоку A8.13) — A8.16). В отрывной зоне за усту-
уступом вместо A8.13) принималось следующее выражение для
турбулентной вязкости [Deiwert, 1976];
,хг = 0.0168рив6* (-М Dr. A8.88)
\ydsJ
Здесь у измеряется от стенки (CD на рис. 17.14), Dr — фактор
затухания ван Дриста, Dr = 1—ехр(—#+/26), у+ определяется
по формуле A8.22).
В данной задаче распределение давления по уступу различ-
различное в случае ламинарного и турбулентного течений. Типичные
результаты расчетов приведены на рис. 18.5. Коэффициент
давления
С„ = (Р- Pcc)/@.5pt/2M), REH = U^H/v,
где Н — высота уступа. Результаты, приведенные на рис. 18.5,
получены на сетке 34 X 42. По направлению у сетка была
32 К. Флетчер, т. 2

498
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
0.35
-0.15
¦ ReH = 23 000, турбулентное течение
О ReH = 53.0, ламинарное течение
I i I I I I I I
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 1Z.00 14.00
Рис. 18.5. Распределение давления за ступенькой, Ма> = 0.40.
Турбулентное течение, Re H =23 000
2.0*
0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00
х/Н
Рис. 18.6. Распределение максимальных сдвиговых напряжений за ступенькой,
Мое = 0.40.

§ 18.3. Неявные схемы 499
однородной; в направлении х использовалась сетка, увеличиваю-
увеличивающаяся (г* =1.2) вверх и вниз по потоку от стенки уступа.
Соответствующие распределения максимальных сдвиговых
напряжений для турбулентного течения приведены на рис. 18.6.
Распределение сдвиговых напряжений качественно хорошо со-
согласуется с экспериментальными данными [Eaton, 1981]. Более
подробно детали метода и результаты применения описаны
в работе [Stinivas, Fletcher, 1984].
18.3.4. Приближенная LU-факторизация
При построении неявных схем, основанных на приближен-
приближенной факторизации (§ 8.2), для решения сжимаемых уравнений
Навье — Стокса получаются связанные с каждой линией сетки
D X 4) -блочно-трехдиагональные системы уравнений, напри-
например A8.78) или A8.79). Если используется алгебраическое
уравнение для энергии, размер блоков сокращается до 3X3
(см. уравнения A8.85) и A8.86)). Однако, как отмечено в
п. 6.2.5, число операций в блочном алгоритме Томаса порядка
ОEЛШ3/3), где М — порядок блока. Очевидно, что желательно
избежать бло*шо-трехдиагональных систем.
Это достигается в результате построения неявных простран-
пространственных операторов на основе односторонних разностных фор-
формул. В этом случае возможна приближенная LU-факториза-
ция. Можно поступить и иначе, а именно каждое из прибли-
приближенно факторизованных уравнений типа A8.78), A8.79) может
быть подвергнуто дальнейшей факторизации, в результате ко-
которой получается приближенная LU-форма. Однако эта даль-
дальнейшая факторизация должна проводиться как можно точнее.
Иначе обычно происходит потеря точности по времени, в
результате чего в методе установления возрастает число итера-
итераций, необходимых для получения стационарного решения.
Применение алгоритма приближенной факторизации
(п. 8.2.2) к одномерному скалярному уравнению переноса
с диффузией
5 + 0
позволяет построить следующий неявный алгоритм:
[1 + Р A/ (LXA - lxLxx)] A^+1 = A/ RHS* = М (- Lf\ + nL
A8.90)
где Lx, Lxx — трехточечные центрально-разностные операторы
и A = dF'/dq. В левой части A8.90) оператор второй
32*

500 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
производной может быть заменен выражением
5
где L5 и Lx — односторонние двухточечные разностные опе-
операторы, приведенные после формулы A8.51). С точностью до
О (А/) оператор ?ХЛД^+1 может быть заменен оператором
Ч * «Г)* G Г) A8-92)
где
Л+ = 0.5 (А +1 Л |), А~ = 0.5 (А -1 Л |). A8.93)
Очевидно, что в зависимости от знака А либо Л+, либо Л~ бу-
будет равно нулю. Подстановка в A8.90) позволяет получить си-
систему уравнений
; (л; + ?) - l; (| л; | + ?)]} а<- =д^ rhs".
A8.94)
С точностью до О (At2) A8.94) можно заменить системой
A8.95)
которая является LU-разложением, поскольку первый множи-
множитель является нижнетреугольным, а второй — верхнетреуголь-
верхнетреугольным. Уравнение A8.95) решается в два этапа:
A8.96)
A8.97)
Уравнение A8.96) решается последовательно от левой границы
в сторону уменьшающихся значений /. Уравнение A8.97) ре-
решается от правой границы в сторону увеличивающихся значе-
значений /. Можно заметить, что приближения, введенные для опре-
определения неявных членов, не влияют на стационарное решение,
RHS" = 0. Таким образом, LU-факторизация является рабо-
работоспособным и экономичным алгоритмом расчета стационар-
стационарных решений.
Для сжимаемых уравнений Навье — Стокса LU-факториза-
LU-факторизация может быть проведена следующим образом. Уравнение

§ 18.3. Неявные схемы 501
A8.6) записывается в виде
Для упрощения изложения предполагается, что \хт = 0 и кт = 0.
Приближенно факторизованное дискретное представление урав-
уравнения A8.98) может быть записано в виде
[I + Р MLX {А - Р} ] [I + р MLy {В - Q} ] Aq*+I = M RHS", A8.99)
где
RHS* = LX(FV - F7) + Ly(Gv - G7), A8.100)
ж dF1 e dG1 n dFv Q=.dG°
dq ' dq ' dq ' dq
Уравнение A8.99) аналогично алгоритму Бима — Уорминга
A8.78), A8.79), за исключением лишь того, что в A8.99) а =
= 0 и по-другому аппроксимируются вязкие члены, приводя-
приводящие к смешанным производным. Это упрощает алгоритм и мо-
может быть использовано при определении стационарного реше-
решения методом установления, поскольку такое упрощение не
влияет на стационарное решение.
Уравнение A8.100) можно также рассматривать как экви-
эквивалентное уравнение A8.90). Для проведения приближенной
LU-факторизации уравнения A8.99) необходимо, используя
разложение A8.60), выделить собственные числа матриц А и
В. Из A8.61) следует, что значения собственных чисел могут
быть или больше или меньше нуля. Следовательно, матрицы
собственных чисел Ад и Ав можно разделить на положитель-
положительную и отрицательную части:
Ал = Лл-|-Ал, Ля = Лв+Ав, A8.101)
где, как и в A8.93) для скалярного случая, Ад = 0.5 {АА + | Ал |}
и Ал=0.5{Ал-|Ал|}.
В результате разложения A8.101) выражения Lx\ и LyB
в уравнении A8.100) можно заменить, как и в скалярном слу-
случае, суммой односторонних разностных операторов, связанных
с положительными или отрицательными собственными числами.
Например,
и аналогично для ЬУЪ. Поскольку F = Aq, можно провести и
расщепление потока [Steger, Warming, 1981], в результате
чего поток представляется в виде F = F+ + F~. Данный вопрос
кратко обсуждался в п. 14.2.5 в связи с расчетом сверхзвуко-

502 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
вых течений со скачками. В рассматриваемом алгоритме, сле-
следуя работе [Obayashi, Kuwahara, 1986], расщепление сводит-
сводится лишь для проведения приближенной LU-факторизации не-
неявных членов.
Благодаря приближенно неявному рассмотрению вязких
членов можно провести также расщепление LXP и LyQ:
LXP = LXXP = UZ - Lx)p/Ax, A8.102)
и аналогично для LyQ. Следовательно, в уравнении A8.100)
Lx {А - Р} -> Lx (ТлА^Тдl + P/Ajc) - L% (f д | \ГА | + Р/Д*).
A8.103)
В аналогичном виде представляется ЬУ{Ъ — Q}. Однако в ра-
работе [Obayashi, Kuwahara, 1986] Р/Ах заменяется выражением
TAklTAl, где k выбирается из условия устойчивости, т. е.
k = v/(Re рДл;), v = maxB|x, Y^/Pr). A8.104)
Такое приближение Р напоминает скалярную форму A8.95).
При этом приближении, а также используя приближенную
факторизацию, можно провести дальнейшую факторизацию
уравнения A8.99), в результате чего получим LU-форму
X
X [I - РЛ^В"] Aq*+1 = At RHSn, A8.105)
где
1 (|^| ) A8.106)
Каждый множитель в A8.105) двухдиагональный и может быть
разрешен относительно Aq за один проход в положительном
или отрицательном направлениях х или у. Таким образом, весь
алгоритм решения системы A8.105) может быть представлен
в виде
[I + РД/L* А+] Aq* = At RHS^, [i - PA^A"] Aq** = Aq*,
A8.107)
[I + РД/1^В+] Aq*** = Aq**, [i - pA/L+B"] ДЧ"+1 = Aq***.
В качестве примера при решении второй системы осуществ-
осуществляется проход справа налево в направлении х. В каждой точке

§ 18.4. Обобщенные координаты 503
сетки для определения Aq**^ решается следующая система
уравнений размерности 4X4:
Поскольку матрица А может быть представлена в факторизо-
ванном виде A8.106), для определения Aqt% можно использо-
использовать алгоритм A8.68) — A8.70). Решение системы A8.108) про-
проводится для всех линий сетки в направлении у. Другие системы
уравнений из A8.107) решаются аналогично системе A8.108).
В работе [Obayashi, Kuwahara, 1986] применялся описанный
выше алгоритм для расчета взаимодействия скачка с ламинар-
ламинарным пограничным слоем. В работе [Fujii, Obayashi, 1986] дан-
данный метод применялся для расчета трансзвукового турбулент-
турбулентного течения около аэродинамического профиля при помощи
дискретизации в обобщенных координатах (гл. 12 и § 18.4).
§ 18.4. Обобщенные координаты
Для расчета течений около гладких тел произвольной фор-
формы удобно ввести связанные с телом обобщенные координаты
(гл. 12). Вид уравнений A8.6), описывающих сжимаемые тече-
течения, в обобщенных координатах ненамного сложнее, чем в де-
декартовых. Для течений с большими числами Рейнольдса и не-
небольшими отрывными зонами целесообразно использовать
обобщенные координаты в сочетании с приближением тонкого
слоя (п. 18.1.3). Преимуществом приближения тонкого слоя яв-
является то, что при его использовании максимально сохраняется
неявное представление вязких членов, особенно в алгоритмах
приближенной факторизации (п. 18.4.1).
Использование обобщенных координат оставляет открытым
вопрос о способе дискретизации в расчетной области. В п. 18.4.2
будет описан групповой метод конечных элементов, в котором
явно введены массовые операторы. В п. 18.4.2 будет описан
способ построения приближенно факторизованного алгоритма,
сохраняющего структуру массовых операторов.
18АЛ. Приближение тонкого слоя Стегера
Используя описанные в гл. 12 методы, систему уравнений
для двумерных сжимаемых вязких течений в обобщенных ко-
координатах можно представить в виде

504
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
где
Р
ри
pv
Е
&=Г1
pUc
9VC
A8.110)
?л
0
+
^у^уу
S=Re/
При выводе уравнения A8.109) предполагается, что g = g(jt, у),
г] = г] (х, у). Вид дополнительных членов в уравнениях A8.110)
в более общем случае | = |(х, У» г> 0>» Л = *](*> У> 2»0 Для трех-
трехмерных течений можно найти в работе [Chaussee, 1984]. Для
простоты в данном разделе рассматривается ламинарная фор-
форма уравнений A8.6) — A8.10), jir = O, Prr = 0. Кроме того, де-
декартовы компоненты скорости и и v отнесены к Яоо, скорости
звука в набегающем потоке, плотность — к р*» и полная энер-
энергия — к р^а^. Поэтому число Рейнольдса Re = poofl
гДе
— характерная длина.
Якобиан / в A8.110) определяется выражением
A8.111)
Различные метрические коэффициенты \х и т. д., как и в § 12.2,
определяются численно один раз после построения сетки. Кон-
травариантные компоненты скорости Vе и Vе связаны с декар-
декартовыми составляющими и и v соотношениями
A8.112)

§ 18.4. Обобщенные координаты 50S
Потоки г и G7 выражаются через соответствующие де-
декартовы векторы F7 и G7 A4.95) формулами
F = — F + —G, G = —F +-J-G. A8.113)
Члены Ra и S4 в уравнении энергии равны
n . i Ь да2
л аа» A8ли>
Различные сдвиговые напряжения определяются формулами
A8.9) при [1т = 0 и kte = 0.
Благодаря тому что вязкие члены выражаются через сдви-
сдвиговые напряжения, нет необходимости прямого вычисления вто-
вторых производных 1хх и т. д. в параметрах преобразования. Сле-
Следует напомнить (п. 12.2.3), что при введении обобщенных ко-
координат вторые производные аппроксимируются менее точно,
чем первые. При дискретизации вязкие члены ххх и т. д. опреде-
определяются в точках сетки. После этого делаются второе преобра-
преобразование и необходима дискретизация для определения вязких
напряжений через поле скоростей.
Для течений с большими числами Рейнольдса вязкие эф-
эффекты существенны лишь вблизи твердой поверхности и в об-
области следа. Поэтому если в рассматриваемом течении нет
больших отрывов в направлении течения, имеет смысл исполь-
использовать приближение тонкого слоя (п. 18.1.3).
Используя соответствующую сетку (например, С-сетку около
изолированного аэродинамического профиля), можно обеспе-
обеспечить достаточную мелкость сетки в одном направлении, напри-
например г], для разрешения существенных вязких членов как вблизи
твердой поверхности, так и в следе. Как показано на рис. 18.2,
грубая сетка используется в направлении, параллельном телу
(направление ?). На такой грубой сетке вязкие члены, связан-
связанные с производными по |, не могут быть представлены доста-
достаточно точно. Следовательно, все производные по g, связанные
с членами R и S в уравнении A8.109), следует опустить. Оче-
Очевидно, что приближение тонкого слоя вводится в расчетной
области, а не в физической.
В приближении тонкого слоя A8.109) заменяется уравне-
уравнением
dq , OF1 , dG1 dS <iqiik\

506
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
После подстановки выражений, определяющих ххх и т. д., пере-
перехода к координатам (|, ч\) и отбрасывания производных по
\ вектор S принимает вид
О
^Re-'r1
~ 1) Рг] (а\
A8.116)
Для численного решения уравнения A8.115) используется ме-
метод приближенной факторизации Бима—Уорминга, в резуль-
результате чего получается
= -A/
A8.117)
Операторы L^ и L^ являются центрально-разностными опе-
операторами второго порядка. Их вид задается выражениями
A8.145) при г^=1. Якобианы A = dF7/dq и B = dG7/dq полу-
получаются с использованием соотношений A8.113) из якобианов
декартовых векторов потока А = dF'/dq и В = dG7/dq. Таким
образом,
А = -^ А + Ц- в, в = ^ А + ^ В. A8.118)
Декартовы якобианы А и В выражаются соотношениями
A4.99) через зависимые переменные. Якобиан M=dS/dq воз-
возникает при линеаризации Sn+l относительно Sn, т. е. так же,
как и в уравнении A8.74). Якобиан М состоит из следующих
элементов:
' О
т2[
О 0 0
-~7<Эт| а2др~1/дц 0
а2др~1/дц а3др~1/дг\ 0
m42 m43
A8.119)

§ 18.4. Обобщенные координаты 507
где
Щ\ = —Щ ^ (и/р) — а2 -^ (v/p),
тъ\ = —<h — {и/р) - а3 -^ (о/р),
т4, = -а* ^ [- (Я/Р2) + (и2 + jfc
о д , . , д , 2/ , A8.120)
~ 2а2 -gjp (ис/р) — а3 -^ (у2/р),
т42 = —а4 -^jj- (м/р) — Щи т& = — а4 -^ (о/р) — т31,
Y^ / 9 . 94 A8.121)
«4 = ТГ(Л| + Т12)-
Уравнения A8.121) получены в предположении ламинарности
течения; эквивалентное представление с турбулентной вяз-
вязкостью следует непосредственно из уравнений A8.9) и A8.10).
При выводе выражения для М зависимость \л и k от решения q
не учитывалась. Учет этих зависимостей значительно увеличи-
увеличивает число операций при решении системы A8.117) относи-
относительно Aqrt+1 без существенного увеличения точности при рас-
рассмотрении нестационарных задач. Для стационарных задач во-
вообще не получается выигрыша в точности.
В уравнение A8.117) включены явные диссипативные члены
четвертого порядка (V|A$J и неявные члены второго порядка
^ц, Lm. Явная диссипация введена для подавления высокоча-
высокочастотных колебаний, возникновение которых на мелких сетках
при больших числах Рейнольдса связано с нелинейными чле-
членами (эффект побочного воздействия (aliasing))l) (п. 18.5.1).
При малых числах Рейнольдса для контроля нелинейной не-
неустойчивости достаточно физической диссипации. Алгебраиче-
Алгебраическая форма оператора (V^J приведена после формулы A7.51).
!) Термин «эффект побочного воздействия (aliasing) (см. т. 1, с. 431)
вводится автором для характеристики процессов накопления ошибок при мо-
моделировании течений волнового типа. Такие процессы реализуются, когда
волны, не улавливаемые дискретной моделью, так как их длина меньше раз-
размера ячейки, все же оказывают паразитное влияние на основное решение
через посредство нелинейных конвективных членов определяющего уравне-
уравнения.— Прим. ред.

508 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
Если включить лишь явную диссипацию, схема будет устой-
устойчива лишь при выполнении условия е,? > 1/16. Данное ограни-
ограничение может быть полностью устранено путем введения неяв-
неявной диссипации четвертого порядка в левую часть уравнения
A8.117). Однако это приведет к пятидиагональной системе
уравнений, решение которой требует значительно больших за-
затрат, чем решение трехдиагональной системы, возникающей
при использовании трехточечных операторов. Поскольку добав-
добавление численных диссипативных членов должно быть как мож-
можно меньше, в левую часть A8.117) удобно добавить неявные
диссипативные члены второго порядка с е/=2е? и е? = А?. На
поверхности тела &/ и &Е полагаются равными нулю. Вблизи
границ явный оператор четвертого порядка заменяется операто-
оператором Лапласа второго порядка.
Уравнение A8.117), как и в алгоритме Бима — Уорминга
A8.78), A8.79), решается в два этапа:
Ц А - ejr'LuJ) Аф. k = AqJ, ь A8.122)
(I + $МЦ В - №tLnrl М/ - ejrlLmj) Aqf,V = AqJ, k, A8.123)
где
ДЙ, k = -А/ [Ц?! + L.G7 - LnS]n - гЕГ{ [(V^f + (VtA/I /q"-
A8.124)
Уравнения A8.122), A8.123) являются D X 4)-блочно-трех-
диагональными системами, связанными с линиями сетки соот-
соответственно в направлениях ^ и т|. Выбор р=0.5 и 1.0 позво-
позволяет получить схему второго и первого порядков по времени.
Если для определения стационарного решения использовать
метод установления (§ 6.4), более работоспособным и эффек-
эффективным является выбор р = 1.0.
Применение алгоритма A8.122), A8.123) в обобщенных ко-
координатах незначительно менее эффективно применения алго-
алгоритма Бима — Уорминга A8.78), A8.79) в декартовых коорди-
координатах. В первую очередь это связано с тем, что приближение
тонкого слоя и неучет зависимости ju и k от q при образовании
М существенно упрощает учет вязких членов.
В более ранних применениях этого алгоритма [Steget, 1978;
Pulliam, Steger, 1980] использовалась явная постановка гра-
граничных условий, т. е. qn+l полагалось равным qn на границах.
Это приводило к появлению ошибки первого порядка по вре-
времени, что несущественно при определении стационарного реше-
решения. Однако для нестационарных задач или если этот алгоритм
используется как маршевый по пространственной переменной

§ 18.4. Обобщенные координаты 509
(п. 16.3.1), для сохранения второго порядка точности по вре-
времени постановку граничных условий желательно проводить не-
неявным образом.
На поверхности тела условие прилипания позволяет опреде-
определить два граничных условия
u = v = qu A8.125)
Заданная температура стенки или ее адиабатичность позволяют
определить третье условие
r = rwaii или дТ/дп = 0, A8.126)
где п — направление нормали к поверхности тела. Для сетки,
локально ортогональной поверхности, что рекомендуется ис-
использовать в гл. 13, направление нормали п совпадает с на-
направлением обобщенной координаты х\ (рис. 18.7).
Для течений с большими числами Рейнольдса из прибли-
приближения тонкого слоя следует, что
•й~?=°. <18127>
если только кривизна поверхности не слишком велика. Комби-
Комбинируя уравнения A8.125), A8.127) и A8.8), можно получить,,
что на поверхности
H=4f=°- <18128>
Если для аппроксимации этих выражений использовать одно-
односторонние конечно-разностные выражения первого порядка, то
?/>2^?/Л =0 или ?м=?/. 2, A8Л29>
где точка (/, 1) лежит на поверхности.
Для адиабатической стенки из условия дТ/дц = 0, уравне-
уравнения состояния идеального газа р = р/?Г и условия A8.127)
можно получить, что
др/дт| = 0. A8.130)
Данное условие реализуется в виде
Рм=Р/.2- A8.131)
Если определена температура стенки, из уравнения состояния
идеального газа следует
Phi=TT~- <18-132>

510
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
Приведенные граничные условия должны быть скомбиниро-
скомбинированы с алгоритмом приближенной факторизации A8.122) —
08.124). Первая стадия — решение уравнения A8.122)—без
2.0
Р/Рсо
1.0
0.2
7
V
V
т
s
1^=1.2, а =19°, Re = 222.500
V численное решение, ламинарное т
• эксперимент
0=0° (подветренная сторона)
•V
t
R
S — точка отрыва
R — точка присоединении
PlPco
1.0
аг
-V
v
(наветренная сторона)
•7 •* • V
12 3 4 5 6 7
X/R
Рис. 18.7. Распределение давления на цилиндре со сферическим затуплением
при Моо = 1.2 и а = 19° ([Pulliam, Steger, 1980]; печатается с разрешения
AIAA).
каких-либо трудностей может быть реализована при k = 1 (т. е.
вдоль поверхности тела), если только в уравнении A8.124) ис-
использовать односторонние разностные формулы для аппрокси-
аппроксимации производных по г]. На второй стадии блочное уравнение,

§ 18.4. Обобщенные координаты
511
образующееся на стенке, может быть представлено в виде
-' = D*, A8.133>
где
В =
С =
-JJJ2 О О
О 1 О
О О 1
ООО
10 0 0"
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0
0
0
= {0, 0, 0, 0}г. A8.134)
Вид В, С и D* соответствует адиабатической стенке. Если опре-
определена температура стенки, D* остается без изменений, а В
и С могут быть записаны в форме
В =
10 0 -1//?7W
0 10 0
0 0 1 О
_0 О О —JJJ2
с =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
A8.135)
Уравнение A8.133) совместно с уравнениями во внутренних
точках сетки образуют трехдиагональные системы вдоль каж-
каждой линии т] сетки (различные значения /).
В удаленной зоне поток по существу невязкий и граничные
условия могут быть определены в соответствии с теорией ха-
характеристик (п. 14.2.8). В алгоритме приближенной фактори-
факторизации эти условия могут быть также реализованы неявным об-
образом [Rai, Chaussee, 1984].
Трехмерный вариант описанного алгоритма использовался
для расчета течения около цилиндра с полусферическим затуп-
затуплением, расположенного под углом атаки 19°, для Моо=1.2 и
числа Рейнольдса Re = 222 500, рассчитанного по диаметру
цилиндра. Распределение давления по цилиндру см. на рис. 18.7.
Данные результаты получены на экспоненциально сгущаю-
сгущающейся сетке с 48 узлами в направлении оси цилиндра, с 20 узла-
узлами в радиальном направлении и с 12 узлами в окружном. Пред-
Предполагается симметрия относительно вертикальной плоскости,
проходящей через ось полусферического цилиндра. На сфери-
сферической сетке использовалось 30 точек в осевом и радиальном
направлениях и от 12 до 18 в окружном. Это довольно гру-

-512 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
бая сетка, и для частичной компенсации решение, приведенное
на рис. 18.7, получено при помощи пятиточечных разностей чет-
четвертого порядка для конвективных членов в правой части
уравнения A8.124). При р = 1 алгоритм остается безусловно
устойчивым, при р = 0.5 алгоритм безусловно неустойчив.
Численное решение [Pulliam, Steger, 1980] хорошо согла-
согласуется с экспериментальными данными [Hsieh, 1976], за исклю-
исключением лишь того, что в расчетах отрыв (точка 5 на рис. 18.7)
на подветренной стороне вдоль оси симметрии возникает не-
несколько раньше. Точка R соответствует рассчитанной точке при-
присоединения потока. Сложная поперечная отрывная картина
течения (здесь не показана) также хорошо рассчитывается опи-
описанным алгоритмом. Данный пример демонстрирует работоспо-
работоспособность метода и эффективность приближения тонкого слоя
даже при наличии отрыва в направлении потока.
18.4.2. Приближенная факторизация метода конечных элементов
Трансзвуковые вязкие течения достаточно точно описывают-
описываются уравнениями A8.80) — A8.82). В обобщенных координатах
A8.80) принимает вид
где
Q == I ~т~' —Т~' —7~( ' \lo.ioi)
[pUc I
lxp + puUe + D?«/3 + 6W) ицв + A^/3) vpA, A8.138)
gvj0 + pof/c + (lxx + 4lyy/Z) v\ie + (%xy/S) ице J
, Г pVc 1
¦G = -f ты» + P«VC + Dл^/3 + %y) uiie + (цху/3) v»e , A8.139)
Ц)
A8.140)
_ Jx + 4?2/3) Уце + y^ (м/3) це _
S = -]- 2D1xT)JC/3 + iJ/^)«^ + (l*% + i!/^)(W3)^ . A8.141)
L 2 (gxtix + 4LV3) vVe + Й«Л* + Пу1х) (Ф) Ve J

§ 18.4. Обобщенные координаты
51L
т=т
(и/3)
A8.142)
Можно отметить, что уравнение A8.80) соответствует A2.54),
а A8.36) соответствует A2.61).
Как и для уравнения A8.80) в декартовых координатах, ди-
дискретизацию уравнения A8.136) можно провести безотноси-
безотносительно к конкретному виду F и т. д. Таким образом, используя,
как и в A8.83), групповую формулировку с билинейной интер-
интерполяцией на прямоугольных элементах, можно получить
=X Nm(x, y)Fm.
l
m=l
A8.143)
Применяя метод Галёркина с конечными элементами (гл. 5)
к уравнению A8.136), после подстановки выражений, подобных
A8.143), получим
% ® Mndq/dt
- L6 ® LnS -
= 0. A8.144)
Структура данного уравнения эквивалентна структуре уравне-
уравнения A8.84). Направленные массовые и разностные операторы
имеют вид
1 i ~ L 6 ' з • 6 J * тъ ~ L 6 • з • б J ¦
и
(-1,0, 1)
2Д|
A. 0, -1)Г
2ДТ1
A8.145)
тг)- ']/д"г-
Операторы A8.145) соответствуют неоднородной в простран-
пространстве (?, л) сетке (рис. 18.8). Это сделано для того, чтобы умень-
уменьшить экстремальные значения %х и т. д. по сравнению с их зна-
значениями в случае однородной прямоугольной сетки (/^=/^ = 1)
в пространстве (?,г]). Двухшаговый блочно-трехдиагональный
33 К. Флетчер, т. 2

514
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
алгоритм, эквивалентный A8.85), A8.86), имеет вид
A8-146)
где р и у— параметры, контролирующие маршевый по времени
алгоритм A8.26). При р=1.0 и у = 0.5 получается полностью
к+\
к-\
Рис. 18.8. Сетка в пространстве (?, Y]).
неявный трехслойный алгоритм второго порядка точности по
времени. Присоединенная правая часть (RHS)W включает
в себя дополнительный член, связанный с явным представле-
представлением смешанных производных, т. е.
^f^q", A8.148)
, G.
F -
г г 6 , A8.149)
Уравнения A8.146), A8.147) образуют (ЗХ 3)-блочно-трехдиа-
гональные системы уравнений, связанные соответственно с ?-
и т]-линиями сетки. Для их эффективного решения применим
алгоритм, описанный в п. 6.2.5.
Приведенный выше алгоритм более детально описан в работе
[Srinivas, Fletcher, 1985] и в более широком контексте — в ра-
работе [Fletcher, Srinivas, 1985].

§ 18.4. Обобщенные координаты
515
Для течения около несимметричной задней кромки (рис. 18.9)
применение обобщенных координат позволяет построить рас-
расчетную область, в которой задняя кромка конечной толщины
превращается в плоскую пластину нулевой толщины, т. е. в рас-
расчетной области точка D совпадает с точкой В.
Решение по описанному выше алгоритму было получено
[Srinivas, Fletcher, 1986] при Moo = 0.4 и Re = 26 X Ю6. Тур-
Турбулентные эффекты учитывались при помощи алгебраической
Е F
А 6
Рис. 18.9. Асимметричная задняя кромка; течение слева направо.
модели турбулентной вязкости A8.12) — A8.16). Алгоритм ис-
использовался как метод установления для определения стацио-
стационарного решения. Для распределения скоростей вблизи и за зад-
задней кромкой сходимость считалась достигнутой, если средне-
среднеквадратичное значение (RHS)fl в A8.148) становилось меньше
10~3. На сетке 41 (х, |) на 82 (у, г\) для этого понадобилось
около 1000 шагов по времени.
На твердой поверхности DSCB обе компоненты скорости
полагались равными нулю. Вблизи твердой поверхности для
определения изменения нормальной и тангенциальной компонент
скорости использовались пристенные функции (п. 18.1.1). На
входной поверхности (АВ и ED на рис. 18.9) вдали от тела
и =1.0 и v = 0. Вблизи тела использовался степенной профиль
с показателем 1/7 в соответствии с локальными числами Рей-
нольдса. Давление на входной поверхности определялось через
решение во внутренней области при помощи дискретного пред-
представления характеристического соотношения
A8.150)
дх
дх
На свободных границах AG и EF: и =1.0, v = 0. Давление
определялось через решение внутри области из дискретного
зз*

516
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
A8.151)
A8.152)
представления характеристического соотношения
ду ду
На выходной границе (FG на рис. 18.9)
— — О — — О
дх — и' дх — и'
-^-pa-^ + 0.3(p-pJ = 0.
Уравнение A8.152) является граничным условием без отраже-
отражений, что способствует ускорению сходимости к стационарному
состоянию (п. 14.2.8).
В результатах, представленных на рис. 18.10, х измеряется
от задней кромки (точка С на рис. 18.9). Численные результаты,
D О данный расчет
Ж эксперимент (Cleary et al , 1980|
расчет (Cleary et al , 19801
6.4
Рис. 18.10. Распределение скорости за задней кромкой,
полученные на сетке 41 (х) на 82(#), хорошо согласуются с экс-
экспериментальными данными
зультаты [Cleary et al., 1980
Cleary et al., 1980]. Численные ре-
получены конечно-разностным ме-
методом при помощи модели турбулентности, основанной на двух

§ 18.5. Численная диссипация 517
уравнениях, на сетке 60(х) на 100(у). Однако более позднее
конечно-разностное решение [Horstman, 1983] на сетке 79 на 82
с модифицированной моделью турбулентности лучше совпадает
с экспериментальными данными.
§ 18.5. Численная диссипация
В § 9.2 ошибка аппроксимации, возникающая при замене
континуальных уравнений разностными, рассматривалась как
источник численной диссипации и дисперсии. Было показано,
что и то, и другое нежелательны. Особенно вредна численная
диссипация, если она становится по величине сравнимой или
даже больше физической диссипации.
Однако в § 9.2 также отмечено, что диссипация, численная
или физическая, приводит к быстрому затуханию коротких волн
и гораздо слабее влияет на длинные волны. Данное свойство
позволяет использовать численную диссипацию при расчетах те-
течений с большими числами Рейнольдса или с ударными вол-
волнами.
При исследовании поведения течения часто полезно провести
разложение Фурье для физических переменных, например компо-
компонент скорости или давления, приписав им амплитуды, связан-
связанные с различными волновыми числами. Разложение Фурье мо-
может быть проведено в зависимости от конкретного случая по
времени или пространству. Волновое число можно интерпретиро-
интерпретировать как величину, обратную масштабу времени или длины.
Мгновенное распределение скорости при переходе через ска-
скачок, полученное, например, из решения уравнений Эйлера, при-
приведено на рис. 18.11 (а). Фурье-представление и(х) можно запи-
записать в виде
и(х)= Z атехрAтх), A8.153)
m = ~N
где т — волновое число (§ 9.2), ат — амплитуда га-й компо-
компоненты. Результат соответствующего спектрального анализа, т. е.
зависимость амплитуды от волнового числа, приведен на
рис. 18.11(Ь). Очевидно, что большие амплитуды соответствуют
малым волновым числам, т. е. большим масштабам длины. Ма-
Малые, но конечные амплитуды связаны с большими волновыми
числами, т. е. малыми масштабами длины. Легко видеть, что
в представлении разрывного распределения скорости, образо-
образованного ударной волной, имеются все масштабы.
Решения, полученные на конечной сетке, могут представлять
лишь конечное число членов дискретного ряда Фурье A8.153).
На сетке с NX равномерно распределенными точками в реше-

518
Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
нии, представляемом рядом A8.153), можно получить лишь чле-
члены с волновыми числами до N = (NX—1)/2. Очевидно, удар-
ударная волна «содержит» волновые числа, большие N, с конечной
амплитудой.
Можно напомнить (п. 10.1.1), что увеличение крутизны про-
профилей и образование разрывов или «скачков» при отсутствии
диссипации связано с нелинейными конвективными членами.
и(х)
la
m
u(x)=ramexp(imx)
т
Рис. 18.11. Спектральный анализ разрывной функции, (а) Профиль скорости;
(Ь) спектральное представление.
Однако, если рассмотреть представление решения и в виде ряда
Фурье, конвективный член иди/дх образует произведение
ди
т I
из которого следует появление волновых чисел т — / и т + /.
Таким образом, дискретное нестационарное решение, содержа-
содержащее волновые числа до т== N на каждом шаге по времени, об-
образует большие волновые числа. Амплитуды волновых чисел
больше N добавляются к волновым числам меньше N. Вновь
построенное решение показывает, что в решении появляется
ошибка, связанная с побочным эффектом (aliasing). Если этот
процесс не контролируется, то может возникнуть нелинейная
неустойчивость.
Схематически данный процесс изображен на рис. 18.12. Вол-
Волновые числа больше N (совпадающего с предельным волновым
числом т = я/Ах) называются подсеточными волновыми чис-
числами. Численная диссипация умышленно введена так, чтобы
вызвать быстрое затухание амплитуды волновых чисел, близ-
близких и по смыслу больших предельного волнового числа. Это
препятствует их добавлению к амплитудам, соответствующим
меньшим волновым числам. Следует отметить, что для больших
чисел Рейнольдса турбулентная вязкость обычно приводит

§ 18.5. Численная диссипация
519
к затуханию волн лишь со значительно большими волновыми
числами.
Для течений со скачками численная диссипация вводится ло-
локально, т. е. на скачке. Это может быть сделано явно, как в
п. 14.2.7. Однако схемы ограничения потока, описанные в
п. 14.2.6 и 18.5.2, можно интерпретировать как обычные (цен-
(центральные) разностные схемы с добавкой численной диссипации.
Численная
диссипация
Турбулентная
вязкость
I
W=7r/Z\x m
Рис. 18.12. Численная диссипация под сеточных амплитуд.
Для течений с большими числами Рейнольдса вдали от скачков
уровень численной диссипации, необходимой для контроля по-
побочного эффекта, намного меньше, чем для скачков, в основном
потому, что в этом случае амплитуды, эквивалентные изобра-
изображенным на рис. 18.11, много меньше. В областях, где суще-
существенна физическая диссипация, т. е. в сдвиговых слоях, числен-
численная диссипация должна быть достаточно мала, так чтобы она
не нарушала баланса между другими членами уравнений, т. е.
численная диссипация не должна влиять на решение.
18.5.1. Течения с большими числами Рейнольдса
Для течений с большими числами Рейнольдса около непо-
неподвижных тел вязкие и турбулентные эффекты влияют на ре-
решение лишь вблизи тела. Турбулентность, в частности через
модели турбулентной вязкости (п. 18.1.1), обеспечивает прямой
физический механизм диссипации в уравнениях импульса. Ла-
Ламинарные вязкие эффекты пренебрежимо малы по сравнению
с турбулентными. Для разрешения больших градиентов скоро-
скорости требуются мелкие сетки, и величина физической диссипации
оказывается достаточной для контроля нелинейной неустойчи-
неустойчивости, представленной на рис. 18.12.

520 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
Однако вдали от тела турбулентная вязкость, а, следова-
следовательно, и физическая диссипация, пренебрежимо малы. В этой
области решение определяется балансом между конвективными
членами и градиентом давления. Для контроля нелинейной не-
неустойчивости необходимо добавить численную диссипацию.
Можно напомнить (п. 17.1.1), что при использовании сим-
симметричных разностей для градиентов давления и одних и тех же
точек сетки для представления всех зависимых переменных в
получаемом решении для давления появляются осцилляции.
Поскольку в сжимаемых уравнениях Навье—Стокса нет члена,
обеспечивающего прямую диссипацию давления, появления ос-
осцилляции в давлении можно ожидать и вдали от тела, если фи-
физическая диссипация, действующая через поле скоростей, ока-
окажется недостаточной.
Мак-Кормак и Болдуин [MacCormack, Baldwin, 1975] пыта-
пытались осуществить контроль колебаний давления путем добав-
добавления в правую часть уравнения A8.6) диссипативного члена
вида
?A^|0|§) A8.154)
Этот член приводит к появлению ошибки четвертого порядка.
Он обеспечивает сглаживание значений q, причем это сглажива-
сглаживание пропорционально | д2р/дх2 |. Если осцилляции р увеличи-
увеличиваются, увеличивается и сглаживание q. Поскольку р через
уравнение A8.8) связано с q, поле давления также будет сгла-
сглаживаться. При использовании явной схемы Мак-Кормака
(п. 18.2.1) из условия устойчивости следует, что 0 ^ ее ^ 0.5.
Мак-Кормак и Болдуин добавили член A8.154) в оператор Рх
в схеме расщепления A8.44) при исследовании взаимодействия
ударной волны с пограничным слоем.
В более общем случае к правой части уравнения A8.6) до-
добавляется член
- e*(W 0 + (АУL 0)- A8.155)
На однородной сетке ~1лен (AxLd4q/dx4 имеет вид
4& ~ ч>-2' * — 4(l/-i. * + 6A/.* — 44/+i. * + Ч/+2. к A8.156)
и аналогично для (AyLd4q/dyA. В обобщенных координатах
численная диссипация такого типа включалась в схему прибли-
приближенной факторизации Стегера A8.122) — A8.124). К правой
части уравнения A8.117) добавлялся член
l/q. A8.157)

§ 18.5. Численная диссипация 521
Можно напомнить (п. 9.1.2), что производные четвертого по-
порядка в правой части уравнения A8.6) приводят к положитель-
положительной диссипации, если коэффициент при них меньше нуля.
Диссипация четвертого порядка A8.155) использовалась
также в схеме искусственной сжимаемости A7.51) для иссле-
исследования несжимаемых течений, в маршевой по пространству
схеме A6.145) — для расчета сверхзвуковых вязких течений и
для нахождения стационарных решений уравнений Эйлера
(п. 14.2.8).
18.5.2. Ударные волны
Если в расчетной области имеются ударные волны, числен-
численной диссипации, описанной в п. 18.5.1, недостаточно для предо-
предотвращения дисперсионных осцилляции вблизи скачка — обла-
областях преимущественно невязкого течения. Вблизи твердой по-
поверхности физические диссипативные механизмы уменьшают
большие градиенты, связанные со скачком, и, если только ска-
скачок не слишком сильный, введения дополнительной численной
диссипации не требуется.
Явное введение численной диссипации (искусственной вязко-
вязкости) для сглаживания профилей скачков описано в п. 14.2.3.
Это может привести к существенному размазыванию скачка
(рис. 14.18). Алгоритмы FCT и схемы TVD (п. 14.2.6) можно
рассматривать как схемы, вводящие искусственную вязкость до
тех пор, пока профиль скачка не станет монотонным, а затем
выборочно убирающие численную диссипацию для получения
более резкого профиля скачка. В данном разделе типичная
схема TVD будет рассмотрена как трехточечная центрально-
разностная схема (второго порядка) с добавлением численной
диссипации. Такое рассмотрение позволяет построить более эф-
эффективные неявные алгоритмы расчета стационарных сжимае-
сжимаемых турбулентных течений со скачками.
Нелинейный скалярный закон сохранения можно записать
в форме
^ + ^?1 = 0, A8.158)
и u(p) = df(p)/dp.
TVD-схема A4.88), A4.89) может быть представлена в виде
где
//+1/2 = 0.5 (f, + f,+l) - 0.5 [ф (г) С]/+1/2Д//+1/2 -
-0.5а[1 -^(r)]/+1/2Af/+1/2, A8.Ш0)

522 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
С/4-1/2 = Н/+1/2Д//Д#, or — signC/+i/2 и ф (г) — ограничитель. Воз-
Возможны различные выборы ф(г); один из них определяется фор-
формулой A4.86).
Если A8.160) и эквивалентное выражение для f/_i/2 под-
подставить в уравнение A8.159), то окажется, что члены вида
0.5 (ff + f/+i) образуют трехточечную центрально-разностную
аппроксимацию производной df/dx. Остальные члены A8.160)
при подстановке в A8.159) образуют численную диссипацию.
Уравнение A8.159) является явным алгоритмом, пригодным
для расчета нестационарных задач. Для решения задач, опи-
описываемых стационарными уравнениями Эйлера или Навье—
Стокса, желательно использовать неявные алгоритмы, а для
численного представления потоков целесообразно применять
формулы, не зависящие от шага по времени. В этом случае ста-
стационарное решение не будет зависеть от шага по времени.
Это осуществлено в работе [Yee, 1987], в которой соотно-
соотношение A8.159) заменено уравнением
AJC I/-I/27 = Р/ — U — Р/ Лх
A8.161)
где р играет ту же роль, что и в уравнении A8.73). Формула
A8.160) заменяется следующим выражением:
f/+1„ = 0.Б (f7 Ч- f/+i) — 0.5| И/+1/21II — # @],+1,2 АР/+1/2- A8.162)
Оказалось, что для того чтобы схема A8.161) была схемой TVD
(т. е. удовлетворяла условию A4.81)), должно выполняться
условие типа КФЛ
A8Л63)
При расчете стационарных задач рекомендуется в схеме A8.161)
г.спользовать значение Р = 1. При таком выборе р условие
A8.163) выполняется при любом Д*.
Чтобы иметь возможность использовать: метод решения си-
систем уравнений с трехдиагональной матрицей (п. 6.2.3), необ-
необходимо с целью получения линейной относительно Дрп+1 си-
системы линеаризовать A8.161) относительно временного слоя п.
В результате линеаризации получается трехдиагональная си-
система уравнений
В)АР1+-\ + S/AP/+1 + В/ДР/Я = —Ц-(П+Ч2 - fz-i/2), A8.164)

где
§ 18.5. Численная диссипация 523
), B)= 1+О.бр^- (?>_, /2
A8.165)
Из-за конкретного вида коэффициентов в), В), BJсхема A8.164)
является пятиточечной, хотя и трехдиагональной относительно
Ар. Для решения методом установления чисто стационарных
задач более экономно [Yee, 1987] опустить ограничитель в вы-
выражении для Е в A8.165). Таким образом, ?/+i/2 = |w>+i/2|-
Однако ограничитель сохраняется в правой части уравнения
A8.164), в результате чего схема имеет второй порядок точно-
точности по пространству.
Обобщение схемы TVD на системы уравнений, подобные
уравнениям Эйлера, осуществляется путем замены уравнений
для отдельных компонент системой характеристических соотно-
соотношений (см. формулы A4.91), A4.92) (п. 14.2.6)). Описанный
выше алгоритм применяется к каждой характеристической пе-
переменной. После суммирования вкладов отдельных компонент
вместо A8.164) получается блочно-трехдиагональная система.
Все сказанное выше можно проиллюстрировать на примере
суммарной системы уравнений Эйлера A4.43)
! + ?• = <>• 08.166)
Характеристические переменные получаются в результате за-
замены A8.166) уравнением
«L + A-fS—0. A8.167)
где A = dF/dq. Элементы матрицы Якоби А для эквивалентной
двумерной задачи определяются формулой A4.99). Матрица А
разлагается на множители так же, как A8.60):
А = ТД1ААТЛ. A8.168)
Диагональная матрица Ал составлена из собственных чисел мат-
матрицы А, т. е. diagA^ = {и, и-\- а, и — а}.
Эквивалентный A8.164), A8.165) неявный алгоритм для ре-
решения уравнения A8.166) имеет вид
B}Aq?±i + BjAqT1 + BjAqft! = -^(F?+I/2 - F?_1/2), A8.169)

524 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
где
В/ = 0.5P-SF (-А/-, ~ Е1~Ч*)П> в/ = ! + 0.5р ? (Е/_1/2 + Е/+1/2Г,
A8.170)
В? = 0.5р -^ <A/+i — Г
Fy+i/2 = 0.5 (F/ + F/+i - ТА. i+mVi+w). A8.171)
Член Ф/+1/2 эквивалентен второму члену в правой части
уравнения A8.162) и состоит из вкладов 4>j+\/2 отдельных
(/-х) характеристик
# + 1/2 = | Л* /+i/2 | [1 - ф1 (r)]/+i/2 TI//+1/2 (q/+i - q/). A8.172)
В формулах A8.170) Е определяется выражением
Е/±1/2 = [ТлаТлЧ/*1/2, A8.173)
где
{|^|(l -ф1(г)},±и2. A8.174)
Уравнение A8.169) блочно-трехдиагональное, и для его реше-
решения применим алгоритм, описанный в п. 6.2.5. Если выражение
A8.171) подставить в A8.169), то пространственную дискрети-
дискретизацию можно трактовать как центрально-разностную для по-
потока F плюс дополнительная численная диссипация, составлен-
составленная из отдельных характеристических переменных.
Путем введения приближенной факторизации (см. п. 18.3.2)
данный алгоритм практически без изменений может быть обра-
обращен на многомерный случай. В работе [Yee, 1987] обсуждается
возможность диагонализации левой части уравнения A8.169),
в результате чего стационарное решение может быть получено
более экономным образом.
Для течений в нерегулярной расчетной области описанный
алгоритм может быть реализован в обобщенных координатах
JYee, Harten, 1985]. В результате получается алгоритм, анало-
аналогичный описанному в п. 18.4.1, в котором диссипативные добав-
добавки к конвективным членам строятся по схеме TVD. По описан-
описанному алгоритму Ии (Yee) на сетке 163 X 49 рассчитал стацио-
стационарное невязкое течение у профиля NACA-0012, расположенного
под углом атаки 7°, при М<х> = 1.2. Было проведено сравне-
сравнение с расчетом по алгоритму ARC2D [Pulliam, Steger, 1985],
по существу совпадающему с алгоритмом, описанным в п. 18.4.1.
Как и следовало ожидать, описанный алгоритм дает лучшее
решение в окрестности головного скачка и возникающего на
верхней поверхности профиля хвостового скачка. Отличие ре-
результатов, полученных двумя методами, становится больше при

§ 18.5. Численная диссипация 525
увеличении числа Маха набегающего потока до Моо=1.8. От-
Отличие возникает непосредственно вблизи скачков и обусловлено
локальным увеличением их интенсивности.
Вдали от скачков оба метода дают практически совпадаю-
совпадающие решения; в частности, распределение давления по поверх-
поверхности оказывается одинаковым. Следует заметить, что опреде-
определение численной диссипации в соответствии со схемой TVD,
даже если оно проводится лишь в правой части уравнения
A8.169), значительно увеличивает время счета.
Для нестационарных течений более точные результаты по-
.лучаются по явной схеме, т. е. при р = 0 в уравнениях
A8.169) —A8.174). В работе [Yee, 1986] рассмотрена дифрак-
дифракция плоского скачка на профиле NACA0018, расположенного
под углом атаки 30°. Скорость скачка Ms=1.5, решение полу-
получено на С-сетке размером 299X79. На рис. 18.13 приведено
сравнение с экспериментальными интерферограммами плотно-
плотности из работы [Mandella, Bershader, 1987]. Очевидно хорошее
совпадение с экспериментальными данными.
Можно отметить, что интерпретация схем TVD как алгорит-
алгоритмов введения дополнительной численной диссипации в централь-
центрально-разностную аппроксимацию невязких потоков позволяет
легко модифицировать существующие алгоритмы [Yee, 1987].
Для осуществления этой модификации необходимо рассмотреть
локальные градиенты, и если эти градиенты оказываются боль-
большими, т. е. вблизи скачков, вводить TVD-диссипацию.
Дискретизация TVD невязких членов легко комбинируется
¦с центрально-разностной аппроксимацией вязких и турбулент-
турбулентных членов в уравнениях Навье—Стокса. В результате полу-
получаются алгоритмы, аналогичные A8.169), с блочно-трехдиаго-
нальными матрицами. Решение многомерных сжимаемых урав-
уравнений Навье—Стокса методом установления с аппроксимацией
TVD может быть получено при помощи приближенной фактори-
факторизации [Yee, 1987], блочной бидиагонализации [Lombard et al.,
1986] или по схеме релаксации [Chakravarthy, 1987].
Кроме того, алгоритмы TVD могут быть построены на осно-
основе расщепления вектора потока, подобного рассмотренному в
п. 14.2.5. В работе [Walters et al., 1986] описан алгоритм, в ко-
котором методом установления решаются сжимаемые уравнения
Навье—Стокса. В алгоритме используется расщепление век-
вектора потока [van Leer, 1982] в сочетании с приближенной фак-
факторизацией или релаксацией. Схему расщепления потока также
можно интерпретировать [MacCormack, 1984] как модификацию
численной диссипации в центрально-разностной аппроксимации
невязких потоков.

Интерферограммы Мскртптнын скачок
Симметричная схема TVD 2-го порядка
Рис 18.13. Профили плотности при прохождении ударной ВОЛны профиля
NACA-0018 при угле атаки 30° [Yee, 1986J.

§ 18.6. Заключение 527
§ 18.6. Заключение
Численное решение полных сжимаемых уравнений Навье—
Стокса в достаточно сложных расчетных областях встречается
довольно редко. В работе [Peyret, Viviand, 1975] приведен ана-
анализ алгоритмов, разработанных до 1975 года. Большая часть
алгоритмов явные. За последующие четыре года [MacCormack,
Lomax, 1979] ситуация изменилась: появилось много эффектив-
эффективных неявных алгоритмов (п. 18.3.2 и 18.4.1). Это в сочетании
с развитием методов использования обобщенных координат
(п. 18.4.1) позволило получить решения в областях довольно
сложной формы, например было рассчитано течение около дву-
двумерного профиля [Steger, 1978].
Десятью годами позднее работы [Peyret, Viviand, 1975] в ра-
работе [Shang, 1985] отмечалось, что в первую очередь в результате
развития компьютеров (гл. 1) появилась возможность рассчитать
течение около любого отдельного элемента самолета. Можно
ожидать, что расчеты сжимаемых турбулентных течений около
полного самолета [Anon, 1986] вскоре станут достаточно эко-
экономными и их можно будет брать за основу при проектировании.
Кажется вероятным, что такие крупномасштабные расчеты
будут базироваться в основном на методах, описанных в этой
главе, в частности в п. *8.4.1. Схемы TVD и, возможно, адап-
адаптивные сетки [Thompson, 1984] позволят получить скачки с до-
достаточно резкими границами.
Для стационарных течений основные улучшения могут быть
лолучены в результате ускорения сходимости к стационарному
состоянию. Несмотря на успешное применение многосеточных
методов, не ясно, будут ли они эффективны для решения урав-
уравнений Эйлера, поскольку в этом случае, в частности при исполь-
использовании зонной стратегии [Hoist et al., 1986], имеется более
широкий диапазон сеточных масштабов. Итерационные или
•сглаживающие схемы, подобные методу Ньютона (§ 6.1), мо-
могут оказаться более эффективными при определении стацио-
стационарного решения, чем схемы приближенной факторизации. Од-
Однако эффективность подобных методов зависит от используемой
дискретизации, которая должна приводить к усилению диаго-
диагонального преобладания.
Другой важной областью дальнейших исследований является
улучшение моделей турбулентности. В настоящее время основ-
основные разработки в этой области связаны с несжимаемыми тече-
течениями. Алгебраические модели турбулентной вязкости (п. 18.1.1)
позволяют получить достаточно точные для целей проектиро-
проектирования распределения осредненных характеристик течения, та-
таких, как давление на поверхности, если течение безотрывно. Но

528 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
для течений с большими отрывными зонами и (или) нестацио-
нестационарных течений при решении сжимаемых уравнений Навье—
Стокса требуются более сложные модели турбулентности, осно-
основанные на прямом определении напряжений Рейнольдса. При
этом структура дополнительных уравнений, описывающих тур-
турбулентность, оказывается аналогичной структуре уравнений
Навье—Стокса. Поэтому учет этих эффектов не должен приво-
приводить к существенному изменению численных алгоритмов.
Более сильное влияние на оптимальный выбор алгоритма,
по-видимому, будет оказывать развитие архитектур вычисли-
вычислительных машин. В настоящее время все более распространен-
распространенными становятся компьютеры с параллельными, возможно по
одному на каждую точку сетки, процессорами [Ortega, Voigt,
1985]. Применение таких компьютеров делает экономически вы-
выгодным использование простых явных алгоритмов (§ 18.2).
В этой главе была описана дискретизация, основанная на
конечно-разностных методах и методе конечных элементов. Од-
Однако методы конечных объемов являются также весьма эффек-
эффективными и применяются широко [Deiwert, 1984]. Менее широко,
в первую очередь из-за трудностей, связанных с ударными вол-
волнами, используются спектральные методы [Hussaini, Zang,
1987].
§ 18.7. Задачи
Физические упрощения (§ 18.1)
18.1. Покажите, что уравнение неразрывности для двумерного турбулент-
турбулентного течения может быть записано в виде
(а) при использовании обычного осреднения по Рейнольдсу
(Ь) при использовании взвешенного по массе осреднения по Рейнольдсу
18.2. Примените модель Куэтта к двумерному турбулентному'несжимае-
турбулентному'несжимаемому уравнению ^-компоненты импульса и покажите, что вблизи твердой
стенки
т-тш = |?-*/' A8.177)
где локальное сдвиговое напряжение т= (v + vT)du/dy, а значение др/дх
считается постоянным поперек слоя. Введите длину перемешивания в выра-
выражение vr = (щJ | ди[ду\ и в предположении vT > v покажите, что

§ 18.7. Задачи 529
Покажите, что уравнение A8.23) может быть получено из A8.178), если
др/дх = 0. Предложите дискретизацию уравнения A8.178), из которой мож-
можно определить значение скорости и в ближайшей к стенке точке сетки.
18.3. Получите уравнения A8.26) и A8.27) из стационарного уравнения
энергии A8.24). Проведите, как в п. 16.1.1, анализ порядков величин и пока-
покажите, что в результате упрощения уравнения A8.26) можно получить A8.29).
18.4. Исключите все производные по х> связанные с вязкими членами в
уравнениях A8.6)—A8.10), и покажите, что при этом получится приближе-
приближение тонкого слоя, описываемое уравнениями A8.31), A8.32).
Явные схемы (§ 18.2)
18.5. Проведите разложение в ряд Тейлора значений F и G в явной
схеме Мак-Кормака A8.35), A8.36) и покажите, что основные члены в ошиб-
ошибке аппроксимации имеют порядок O(At2y A*2).
18.6. Постройте явную схему Мак-Кормака для уравнения A8.49) и по-
покажите, что из анализа устойчивости по Нейману (§ 4.3) получается следую-
следующее ограничение на шаг по времени \t:
А,^ А*2
18.7. Применив схему расщепления по времени Мак-Кормака к уравне-
уравнению A8.6), получите уравнение A8.43) в соответствующей форме предик-
предиктор — корректор.
18.8. Рассмотрите применение схемы Вамбека (Wambecq) A8.47) к урав-
уравнению диффузии
$-,&-1 A8.™,
Покажите, что если Ь = —0.5 и с = 1, то
Аи1 = M\iLxxun, Аи2 = M\iLxxu*y Дм3 = M\iLxx A.5м" — 0.5м*),
где м* = ип + Аи1, Lxx — центрально-разностное представление д2и/дх2. Пред-
Предположите, что скалярное произведение таково, что (е, f) = neifi, т. е. все
элементы е и f одинаковы. Покажите, что схема Вамбека в этом случае
имеет вид
Aun+l=At , ?/K4*"Ln- <18Л8°)
i-xx A.5м — 0:5м )
Примените полную схему Вамбека и схему A8.180) к уравнению A8.179) и
определите эмпирически, есть ли какое-либо ограничение на А^ для устойчи-
устойчивости решения.
Неявные схемы (§ 18.3)
18.9. Покажите, что дополнительные (неявные) члены в A8.53) и A8.54)
можно трактовать как введение возмущений третьего порядка (по времени)
в схему A8.50), A8.51).
18.10. Покажите, что если X определяется условием A8.55), схема A8.53),
< 18.54) безусловно устойчива.
18.11. Получите из уравнений A8.58) алгоритм, описываемый уравнения-
уравнениями A8.65), A8.67), A8.69) и A8.70).
34 К Флетчер, т. 2

530 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения
18.12. Примените метод Бима — Уорминга к двумерному уравнению пере-
переноса (9.81) и покажите, что уравнениями, эквивалентными A8.78) и A8.79),.
будут уравнения (9.88) и (9.89) при М% = м? = {0, 1, 0}.
18.13. Получите из уравнения A8.84) алгоритм приближенной факториза-
факторизации A8.85) — A8.87).
18.14. Разложите в ряд Тейлора левую и правую части уравнения A8.92)
и определите дополнительные диссипативные члены, введенные в правую
часть. Далее прокомментируйте применимость полного алгоритма A8.96),
A8.97) для решения нестационарных задач.
Обобщенные координаты (§ 18.4)
18.15. Покажите, что элементы S в A8.116) получаются в результате
отбрасывания производных по ? (в соответствии с приближением тонкого
слоя) в выражении для S A8.110).
18.16. Получите коэффициенты М, задаваемые формулами A8.119) —
A8.121).
18.17. Используя результаты § 12.3, покажите, что уравнения A8.136) —
A8.142) могут быть получены из A8.80) —A8.82).
Численная диссипация (§ 18.5)
18.18. Добавьте диссипативный член четвертого порядка гЕАх4д4Т/дх4
в левую часть одномерного уравнения переноса (9.56). Примените двуслой-
двуслойную неявную схему общего вида
где в RHS входят все центрально-разностные представления пространствен-
пространственных производных: трехточечные — для дТ/дх и д2Т/дх2 и пятиточечное
A8.156)—для д*Т/дх\
Применив метод Неймана, получите условие устойчивости для At как
функцию Ее и р при очень малых значениях а/и,
18.19. Подставьте выражение A8.160) в уравнение A8.159) и покажите,
что результат может быть представлен в виде центрально-разностной аппро-
аппроксимации плюс дополнительные диссипативные члены. Покажите, что то же
самое имеет место при подстановке A8.162) в A8.161).

Литература
Глава 11
Aris R. A962). Vectors, Tennsors and the Basic Equations of Fluid Dyna-
Dynamics. — Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall.
Batchelor G. K. A967). An Introduction to Fluid Dynamics. — Cambridge:
Cambridge University Press. [Имеется перевод: Бэтчелор Дж. Введение
в динамику жидкости.—М.: Мир, 1973.]
Bird G. A976). Molecular Gas Dynamics. — Oxford: Oxford University Press.
Cebeci Т., Bradshaw P. A977). Momentum Transfer in Boundary Layers.—
Washington, D. C: Hemisphere-McGraw-Hill.
Cebeci Т., Bradshaw P. A984). Physical and Computational Aspects of Convec-
tive Heat Transfer. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer.
Chu С. К. A978). —Adv. Appl. Mech., 18, p. 285—331.
Eckert E. R. G., Drake R. M. A972). Analysis of Heat and Mass Transfer.—
New York: McGraw-Hill.
Fasel H. A978). VKI Lecture Series 78-4, p. 1—90. —Von Karman Institute
Gustafson К. Е. A980). Partial Differential Equations and Hilbert Spase
Methods. — New York: Wiley.
Gustafsson В., Sundstrom A. A978). — SIAM J. Appl. Math., 35, p. 343—357.
Hughes W. F., Gaylord E. W. A964). Basic Equations of Engineering Sci-
Science. — New York: McGraw-Hill.
Launder B. E., Spalding D. B. A974). — Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 3,
p. 269—289.
Liepmann H. W., Roshko A. A957). Elements of Gasdynamics. — New York:
Wiley. [Имеется перевод: Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой дина-
динамики.—М.: ИЛ, I960.]
Lighthill M. J. A963). — In: Laminar Boundary Layers, ed. by L. Rosenhead.—
Oxford: Oxford University Press, p. 1—45.
Marvin J. G. A983). —AIAA J., 21, p. 941—955.
Milne-Thomson L. M. A968). Theoretical Hydrodynamics, 5th ed. — London:
Macmillan. [Имеется перевод: Милн-Томсон Л. М. — Теоретическая гидро-
гидродинамика.— М.: Мир, 1964.]
Oliger J., Sundstrom A. A978). —SIAM J. Appl. Math., 3, p. 419—446.
Panton R. L. A984). Incompressible Flow. — New York: Wiley.
Patel V C, Rodi W., Scheuerer G. A985). —AIAA J., 23, p. 1308—1319.
Peyret R., Taylor T. D. A983). Computational Methods for Fluid Flow. — In:
Springer Ser. Comput. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer.
Quartapelle L., Valz-Gris F. A981). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 1,
p. 129—144.
Rodi W. A980). Turbulence Models and Their Application in Hydraulics.—
Delft: I. A. H. R.
Rodi W. A982). —AIAA J., 20, p. 872—879.
Rogallo R. S., Moin P. A984). —Ann. Rev. Fluid Mech., 16, p. 99—137.
Rosenhead L. A963). Laminar Boundary Layers. — Oxford: Oxford University
Press.
Schlichting H. A968). Boundary Layer Theory, 6th ed —New York: McGraw-
Hill. [Имеется перевод: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.:
Наука, 1974.]
Simpson R. L. A981). —J. Fluids Eng., 103, p. 520—533.
Streeter V. L., Wylie E. B. A979). Fluid Mechanics, 7th ed. — New York:
McGraw-Hill.
Tanner R. I. A985). Engineering Rheology.— Oxford: Oxford University Press.
Tobak M., Peake D. A982). —Ann. Rev. Fluid Mech., 14, p. 61—85.
34*

532 Литература
van Wylen G. J., Sonntag R. A976). Fundamentals of Classical Thermodyna-
Thermodynamics. — New York: Wiley.
von Schwind J. J. A980). Geophysical Fluid Dynamics for Oceanographers.—
Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall.
Wong A., Reizes J. A984). —J. Comput. Phys. 55, p. 98—114.
Глава 12
Aris R. A962). Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Dynamics.—
Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall.
Eiseman P. R., Stone A. P. A980). —SIAM Rev., 22, p. 12—27.
Kerlick D. G., Kjopfer G. H. A982). Assessing the quality of curvilinear coor-
coordinate meshes by decomposing the Jacobian matrix. — In: Numerical Grid
Generation, ed. by J. F. Thompson. — Amsterdam: North-Holland, p. 787—
807.
Steger J. L. A978). —AIAA J., 16, p. 679—686.
Thompson J. F. A984). —AIAA J., 22, p. 1505—1523.
Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Martin C. W. A985). Numerical Grid Genera-
Generation, Foundations and Applications. — Amsterdam: North-Holland.
Глава 13
Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. A967). Theory of Splines and Their
Applications. — New York: Academic. [Имеется перевод: Алберг Дж., Ниль-
сон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения — М.: Мир, 1972.]
Anderson О. L., Davis R. Т., Hankins G. В., Edwards D. Е. A982). —In:
Numerical Grid Generation, ed. by Thompson. — Amsterdam: North-Holland*
p. 507—524.
Cooley J. W., Tuckey J. W. A965).— Math. Comput., 19, p. 297—301.
Davis R. T. A979). Numerical methods for coordinate generation based on
Schwarz — Cristoffel transformations. — AIAA Paper No. 79-1463.
Eiseman P. R. A979). —J. Comput. Phys., 33, p. 118—150.
Eiseman P. R. A982a). — In: Numerical Grid Generation, ed. by Thompson.—
Amsterdam: North-Holland, p. 193—234.
Eiseman P. R. A982b). —J. Comput. Phys., 47, p. 331—351.
Eiseman P. R. A982c). —J. Comput. Phys., 47, p. 352—374.
Eriksson L. E. A982). —AIAA J., 20, p. 1318—1319.
Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler С A977). Computer Methods for Ma-
Mathematical Computations. — Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall. [Имеется
перевод: Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы мате-
математических вычислений. — М.: Мир, 1980.]
Gordon W. J., Hall С. А. A973). —Int. J. Numer. Methods Eng., 7, p. 461—-
477.
Gordon W. J., Thiel L. С A982). —In: Numerical Grid Generation, ed. by
Thompson.— Amsterdam: North-Holland, p. 171—192.
Ives D. С A976). —AIAA J., 14, p. 1006—1011. [Имеется перевод: Ива —
Ракетная техн. и космон., 1976, т. 14, № 8, с. 18—24.]
Ives D. С. A982). — In: Numerical Grid Generation, ed. by J. F. Thompson.—
Amsterdam: North-Holland, p. 107—136.
McNally W. D. A972). Fortran Program for Generation a Two-Dimensional
Orthogonal Mesh Between Two Arbitrary Boundaries. — NASA TN-D6766.
Milne-Thomson L. M. A968). Theoretical Hydrodynamics. — London: Mac-
millan. [Имеется перевод: Милн-Томсон Л. М. — Теоретическая гидродина-
гидродинамика.—М.: Мир, 1964.]
Moretti G. A980). Grid Generation Using Classical Techniques. — NASA CP
2166, p. 1—35.
Rizzi A., Eriksson L. E. A981). Transfinite Mesh Generation and Damped

Литература 533
Euler Equation Algorithm for Transonic Flow around Wing-Body Configu-
Configurations.—AIAA Paper 81-0999.
Roberts G. O. A971). Lecture Notes in Physics, Vol. 8. — Berlin, Heidelberg:
Springer, p. 171—176.
Rubbert P. E., Lee K. D. A982). —In: Numerical Grid Generation, ed. by
Thompson.— Amsterdam: North-Holland, p. 235—252.
Ryskin G., Leal L. G. A983). —J. Comput. Phys., 50, p. 71—100.
Smith R. E. A982). — In: Numerical Grid Generation, ed. by J. F. Thompson.—
Amsterdam: North-Holland, p. 137—170.
Steger J. L, Sorenson R. L. A980). Use of Hyperbolic Partial Differential
Equations to Generate Body-Fitted Coordinates. — NASA CP 2166, p. 463—
478.
Temperton C. A979). —J. Comput. Phys., 31, p. 1—20.
Theodorsen Т., Garrick I. E. A933). General Potential Theory of Arbitrary
Wing Sections. — NACA TR 452.
Thomas P. D. A982). —In: Numerical Grid Generation, ed. by J. F. Thomp-
Thompson. — Amsterdam: North-Holland, p. 667—686.
Thompson J. F. A982). — In: Numerical Grid Generation, ed. by J. F. Thomp-
Thompson.— Amsterdam: North-Holland, p. 1—31.
Thompson J. F. A984). —AIAA J., 22, p. 1505—1523.
Thompson J. F., Thames F. C, Mastin С W. A977a). —J. Comput. Phys., 24,
p. 274—302.
Thompson J. F., Thames F. C, Mastin C. W. A977b). Boundary-Fitted Curvili-
Curvilinear Coordinate Systems for Solution of Partial Differential Equations on
Fields Containing any Number of Arbitrary Two-Dimensional Bodies. —
NASA CR-2729.
Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin С W. A985). Numerical Grid Gene-
Generation, Foundations and Applications. — Amsterdam: North-Holland.
Trefethen L. N. A980). — SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1, p. 82—102.
Vinokur M. A983). —J. Comput. Phys., 50, p. 215—234.
Woods L. C. A961). The Theory of Subsonic Plane Flow. — Cambridge: Cam-
Cambridge University Press.
Глава 14
Abbett M. J. A973). Proc. 1st AIAA Computational Fluid Dynamics Conf.—
New York: AIAA, p. 153—172.
Ballhaus W. F., Jameson A., Albert J. A978). —AIAA J., 16, p. 573—579.
[Имеется перевод: Бальхауз В. Ф., Джеймсон А., Альберт Дж. — Ракетная
техн. и космон., 1978, т. 16, № 6, с. 39—47.]
Bayliss A., Turkel Е. A982). —J. Comput. Phys., 48, p. 182—199.
Book D. L, Boris J. P., Hain K. A975). —J. Comput. Phys., 18, p. 248—283.
Book D. L. (ed.) A981). Finite-Difference Techniques for Vectorized Fluid
Dynamics Calculations. — Springer Ser. Comput. Phys. — Berlin, Heidelberg:
Springer.
Boris J. P., Book D. L. A973). —J. Comput. Phys., 11, p. 38—69.
Boris J. P., Book D. L. A976).— Methods Comput. Phys., 16, p. 85—129.
Brebbia С. А. A978). The Boundary Element Method for Engineers. — London:
Pentech Press.
Carmichael R. L., Erikson L. L. A981). PAN AIR —A Higher Order Panel
Method for Predicting Subsonic or Supersonic Linear Potential Flows about
Arbitrary Configurations. — AIAA Paper 81-1255.
Catherall D. A982). —AIAA J., 20, p. 1057—1063.
Caughey D. A. A982). —Ann. Rev. Fluid Mech., 14, p. 261—283.
Chakravarthy S. R. A983). —AIAA J., 21, p. 699—706.
Chakravarthy S. R. A986). Algorithmic Trends in Computational Fluid Dyna-
Dynamics.— In: Proc. Int. Symp. Сотр. Fluid Dynamics, ed. K. Oshima, Vol. 1.—

534 Литература
Tokyo: Japan Soc. of Сотр. Fluid Dynamics, p. 163—173.
Chakravarthy S. R., Anderson D. A., Salas M. D. A980). The Split-Coefficient
Matrix Method for Hyperbolic Systems of Gas Dynamic Equations. — AIAA
Paper 80-0268.
Chakravarthy S. R., Osher S. A983). High Resolution Applications of the
Osher Upwind Scheme for the Euler Equations. — AIAA Paper 83-1943.
Chakravarthy S. R., Osher S. A985). — Lect. Appl. Math., 22, p. 57—86.
Chima R. V., Johnson G. M. A985). —AIAA J., 23, p. 23—32.
Cole J. D. A975). —SIAM J. Appl. Math., 29, p. 763—787.
Colella P., Woodward P. R. A984). —J. Comput. Phys., 54, p. 174—201.
Dadone A., Magi V. A986). —AIAA J., 24, p. 1277—1284.
Dadone A., Napolitano M. A983). —AIAA J., 21, p. 1391 — 1399.
Dadone A., Napolitano M. A985).— Comput. Fluids, 13, p. 383—395.
Davis R. L., Ni R. H., Bowley W. W. A984). —AIAA J., 22, p. 1573—1581.
Deconinck H., Hirsch С. Н. A985). In: Advances in Computational Transonics,
ed. by W. G. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 733—775.
Ecer A., Akay H. U. A985). In: Advances in Computational Transonics,
ed. by W. G. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 777—810.
Fletcher C. A. J. A975). —AIAA J 13, p. 1073—1078.
Fletcher С A. J. A984). Computational Galerkin Methods. — Berlin, Heidelberg:
Springer. [Имеется перевод: Флетчер К. — М.: Мир, 1988.]
Fletcher С. A. J., Morton К. W. A986). Oblique Shock Reflection by the Cha-
Characteristic Galerkin Method. — In: Proc. Ninth Australasian Fluid Mechanics
Conference, ed. by P. S. Jackson. — Auckland: University of Auckland,
p. 411—415.
Flores J., Hoist T. L., Kwak D., Batiste D. M. A983). A new Consistent Spa-
Spatial Differencing Scheme for the Transonic Full Potential Equation. — AIAA
Paper 83-0373.
Flores J., Birton J., Hoist Т., Pulliam T. A985). 9th Int. Conf. Numer. Methods
Fluid Dynamics, ed. by Soubbaramayer, J. P. Boujot, Lecture Notes in Phy-
Physics, Vol. 218.— Berlin, Heidelberg: Springer, p. 213—218.
Goorjian P. A985). — In: Advances in Computational Transonics, ed. by
W. G. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 215—255.
Habashi W. G. (ed.) A985). — In: Advances in Computational Transonics.—
Swansea: Pineridge Press, p. 23—58.
Hafez M. M. A985). — In: Advances in Computational Transonics, ed. by
W. G. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 23—58.
Hall M. G. A984). —R. A. E. Tech. Rep. 84013.
Harten A. A983). —J. Comput. Phys., 49, p. 357—393.
Harten A., Lax P. D., van Leer B. A983). —SIAM Rev., 25, p. 35—61.
Hemker P. W. A986). —In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dyna-
Dynamics, ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes in Physics, Vol. 264. —
Berlin, Heidelberg: Springer, p. 308—313.
Hess J. L. A975). Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 5, p. 145—196.
Hess J. L, Smith A. M. O. A976). — Prog. Aeronaut. Sci., 8, p. 1 — 138
Hoist T. A979). —AIAA J., 17, p. 1038—1045. [Имеется перевод:
Холст Т.Л. —Ракетная техн. и космон., 1979, т. 17, № 10, с. 19—28.]
Hoist Т. A985).—In: Advances in Computational Transonics, ed. by W. G. Ha-
Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 59—82.
Hoist Т., Ballhaus W. F. A979). —AIAA J., 17, p. 145—152. [Имеется пере-
перевод: Холст Т. Л., Бальхауз В. Ф. — Ракетная техн. и космон., 1979, т. 17,
№ 2, с. 23—33.]
Holt М. A984). Numerical Methods in Fluid Dynamics, 2nd ed., Springer Ser.
Comput. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer.
Hughes T. J. R., Mallet M. A985). — Finite Elements in Fluids, 6, p. 339—353.

Литература 535
Hussaini M. Y., Zang T. A. A987). —Ann. Rev. Fluid Mech., 19, p. 339—367.
Isaacson E., Keller H. B. A966). Analysis of Numerical Methods. — New York:
Wiley.
Jameson A. A978). Transonic Flow Calculations. — In: Computational Fluid
Dynamics, ed. by H. J. Wirz, J. J. Solderen. — Washington, D. C: Hemi-
Hemisphere, p. 1—87.
Jameson A. A979). Acceleration of Transonic Potential Flow Calculations on
Arbitrary Meshes by the Multiple Grid Method. —AIAA Paper 79-1458.
Jameson A. A983).— Appl. Math. Comput., 13, p. 327—356.
Jameson A., Baker T. A986). —In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid
Dynamics, ed by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes in Physics»
Vol. 264. — Berlin, Heidelberg: Springer, p. 334—344.
Jameson A., Schmidt W., Turkel E. A981). Numerical Solution of the Euler
Equations by Finite Volume Methods using Runge — Kutta Time Stepping
Schemes. — AIAA Paper 81-1259.
Jaswon M. A., Symm G. T. A977). Integral Equation Methods in Potential
Theory and Elastostatics. — London: Academic.
Johnson G. M. A983). —Appl. Math. Comput., 13, p. 357—380.
Klopfer G. H., Nixon D. A984). —AIAA J., 22, p. 770—776.
Kraus W. A978). Panel Methods in Aerodynamics. — In: Numerical Methods
in Fluid Dynamics, ed. by H. J. Wirz, J. J. Smolderen. — Washington, D. C:
Hemisphere, p. 237—297.
Kuethe A. M., Chow C. Y. A976). Foundations of Aerodynamics. — New York:
Wiley.
Kutler P., Lomax H. A971). —J. Spacecr & Rockets, 8, p. 1175—1182.
Kutler P., Warming R. F., Lomax H. A973). —AIAA J., 11, p. 196—204. [Име-
[Имеется перевод: Кутлер, Уорминг, Ломаке. — Ракетная техн. и космон.., 1973,
т. И, № 2, с. 86—96.]
Lapidus А. A967). —J. Comput. Phys., 2, p. 154—177.
Lax P., Wendroff B. A960). — Commun. Pure and Appl. Math., 13, p. 217—
237.
Lerat A., Peyret R. A975). —Rech. Aerosp., 1975—2, p. 61—79.
Lerat A., Sides J. A982). Proc. Conf. Numerical Methods in Aeronautical Fluid
Dynamics, ed. by P. L. Roe. — London: Academic, p. 245—288.
Liepmann H. W., Roshko A. A957). Elements of Gasdynamics. — New York:
Wiley. [Имеется перевод: Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой дина-
динамики.—М.: ИЛ, 1960].
MacCormack R. W. A969). The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact
Cratering. — AIAA Paper 69-354.
Moretti G. A979). —Comput. Fluids, 7, p. 191—205.
Morton K. W., Sweby P. K. A987). —J. Comput. Phys., 73, p. 203—230.
Morton K. W., Paisley M. F. A986). —In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in
Fluid Dynamics, ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes in Phy-
Physics, Vol. 264. — Berlin, Heidelberg: Springer, p. 488—493.
Mulder W. A. A985). —J. Comput. Phys., 60, p. 235—252.
Murman E. M. A973). Proc. 1st AIAA Сотр. Fluid Dyn. Conf. —New York:
AIAA, p. 27—40.
Napolitano M. A986). —In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dyna-
Dynamics, ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu. Lecture Notes in Physics, Vol. 264. —
Berlin, Heidelberg: Springer, p. 47—56.
Ni R. H. A982). —AIAA J., 20, p. 1565—1571.
Osher S., Solomon F. A982).— Math. Сотр., 38, p. 339—374.
Paul J. C, LaFond J. G. A983). Analysis and Design of Automobile Forebo-
dies using Potential Flow Theory and a Boundary Layer Separation Crite-
Criterion. — SAE Paper 830999.

536 Литература
Peyret R., Taylor Т. D. A983). Computational Methods for Fluid Flow.—
Springer Ser. Comput. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer.
Pulliam Т. Н. A981). —NASA Conf. Publ. 2201, p. 165—181.
Pulliam T. H., Chaussee D. A981). —J. Comput. Phys., 39, p. 347—363.
Pulliam Т. Н. A985). Implicit Finite Difference Methods for the Euler Equa-
Equations. — In: Recent Advances in Numerical Methods for Fluids, vol. 4. —
Swansea: Pineridge Press.
Pulliam Т. Н. A985). — In: Advances in Computational Transonics, ed. by
W. G. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 503—542.
Rackich J. V., Kutler P. A972). Comparison of Characteristics and Shock
Capturing Methods with Application to the Space Shuttle Vehicle. — AIAA
Paper 72-191.
Rai M. M., Chaussee D. S. A984). —AIAA J., 22, p. 1094—1100.
Richtmyer R. D., Morton K. W. A967). Difference Methods for Initial-Value
Problems. — New York: Interscience. [Имеется перевод: Рихтмайер Р. Д.,
Мортон К. — Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир,
1972.]
Rizzi A. A981). —In: Notes on Numerical Fluid Mechanics, Vol. 3, ed. by
A. Rizzi, H. Viviand. — Braunschweig: Vieweg.
Rizzi A., Eriksson L. E. A982). —AIAA J., 20, p. 1321—1328.
Rizzi A., Viviand H. (eds.) A981). Numericil Methods for the Computation of
Inviscid Transonic Flows with Shok Waves. — Notes on Numerical Fluid
Mechanics, Vol. 3. — Braunschweig: Vieweg.
Roe P. L. A981). —J. Comput. Phys., 43, p. 357—372.
Roe P. L. A986). —Ann. Rev. Fluid Mech., 18, p. 337—365.
foi
Roe P. L., Baines M. J. A982). Algorithms for Advection and Shock Pro-
Problems. — In: Proc. Fourth GAMM Conf. Numer. Meth. Fluid Mechanics, ed.
by H. Viviand. — Braunschweig: Vieweg.
Rubbert P. E., Sarris G. R. A972). Review and Evaluition of a Three-Dimen-
sional Lifting Potential Flow Analysis Method for Arbitrary Configura-
Configurations.—AIAA Paper 72-188.
Rudy D. H., Strikwerda J. С A981). — Comput. Fluids, 9, p. 327—338.
Salas M., Jameson A., Melnik R. A983). A Comparative study of the
Nonuniqueness Problem of the Potential Equation. — AIAA Paper
83-1888.
Sod G. A. A978). —J. Comput. Phys., 27, p. 1—31.
Steger J. L., Pulliam Т. Н., Chima R. V. A980). An Implicit Finite Difference
Code for Inviscid and Viscous Cascade Flow. — AIAA Paper 80-1427.
Steger J. L, Warming R. F. A981). —J. Comput. Phys., 40, p. 263—293.
Sweby P. K. A984). —SIAM J. Numer. Anal., 21, p. 995—1011.
Tinoco E. N., Chen A. W. A986). — Prog. Astronaut. Aeronaut, 102, p. 219—
255.
Turkel E. A985). — In: Njnth International Conference on Numerical Methods
in Fluid Dynamics, ed. by Soubbaramayer, J. P. Boujot, Lecture Notes in
Physics, Vol. 218.— Berlin, Heidelberg. Springer, p. 571—575
Van Leer B. A974). —J. Comput. Phys., 14, p. 361—370
Van Leer B. A979). —J. Comput. Phys., 32, p. 101—136.
Viviand H. A981). —In: 7th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dynamics,
ed. by W. C. Reynolds, R. W. MacCormack, Lecture Notes in Physics,
Vol. 141, p 44—54. — Berlin, Heidelberg: Springer, p. 44—54.
Warming R. F., Beam R. M. A976). —AIAA J., 14, p. 1241—1249. [Имеется
перевод: Уорминг, Бим. — Ракетная техн. и космон., 1976, т. 15, № 9,
с. 106—116.]
Woodward P., Colella Р. A984). —J. Comput. Phys., 54, p. 115—173.
Yang J. Y., Lombard С. К., Bardina J. A986). Implicit Upwind TVD Schemes

Литература 537
for the Euler Equations with Bidiagonal Approximate Factorisation. — In:
Proc. Int. Symp. Сотр. Fluid Dynamics, ed. by K. Oshima, Vol. 1. — Tokyo:
Japan Soc. of Сотр. Fluid Dynamics, p. 174—183.
Yee H. A981). Numerical Approximation of Boundary Conditions with Applica-
Application to Inviscid Equations of Gas Dynamics. — NASA TN 81265
Yee H A986). —In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dynamics,
ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes in Physics, Vol. 264. —Berlin,
Heidelberg: Springer, p. 677—683.
Yee H., Warming R. F., Harten A. A985). —J. Comput. Phys, 57, p. 327—
360.
Zalesak S. T. A979). —J. Comput. Phys. 31, p. 335—362.
Zalesak S. T. A987). Advances in Computer Methods for Partial Differential
Equations, VI, eds. R. Vichnevetsky and R. S. Stepleman. — Rutgers Univer-
University: IMACS.
Глава 15
Baker A. J. A983). Finite Element Computational Fluid Mechanics. — New
York: McGraw-Hill.
Blottner F. G. A975a). Computational Techniques for Boundary Layers.—
AGARD LS-73, Nato, Brussels, p. 3.1—3.51.
Blottner F. G. A975b). —Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 6, p. 1—30.
Bradshaw P. A967). National Physical Laboratory, Aero Report 1219.
Carter J. E. A981). Viscous-Inviscid Interaction Analysis of Transonic Turbu-
Turbulent Separated Flow. — AIAA Paper 81-1241.
Cebeci T. A975). —AIAA J., 13, p. 1056—1064
Cebeci Т., Bradshaw P. A977). Momentum Transfer in Boundary Layers —New
York: McGraw-Hill.
Coles P., Hirst E. (eds.) A968). Computation of Turbulent Boundary Layers,
Vol. 2. — Stanford: Stanford University.
Dwyer H. A981). —Ann. Rev. Fluid Mech., 13, p. 217—229
Fleet R. W., Fletcher C. A. J. A983). Application of the Dorodnitsyn Boundary
Layer Formulation to Turbulent Compressible Flow. — In: Eighth Australa-
Australasian Fluid Mechanics Conference, ed. by R. A. Antonia. — Newcastle: New-
Newcastle University, p. 1C1—1C4.
Fletcher С A. J. A983). — Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 37, p. 225—
243.
Fletcher С A. J. A984). Computational Galerkin Methods. — Berlin, Heidel-
Heidelberg: Springer. [Имеется перевод: Флетчер К. — М.: Мир, 1988.]
Fletcher С. A. J. A985). Int. J. Numer. Methods. Fluids, 5, p. 443—462.
Fletcher С A. J., Fleet R. W. A984a). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 4,
p. 399—419.
Fletcher С A. J., Fleet R. W. A984b).— Comput. Fluids, 12, p. 31—45.
Fletcher C. A. J., Fleet R. W. A987). —J. Appl. Mech., 54, p. 197—202.
Fletcher С A. J., Holt M. A975). —J. Comput. Phys., 18, p. 154—164.
Fletcher С A. J., Holt M. A976). —J. Fluid Mech., 74, p. 561—591.
Gear С W. A971). — Commun. ACM, 14, p. 185—190.
Isaacson E., Keller H. B. A966). An Analysis of Numerical Methods. — New
York: Wiley.
Keller H. A978). —Ann. Rev. Fluid Mech., 10, p. 417—433.
Krause E. A967). —AIAA J., 7, p. 1231—1237. [Имеется перевод: Краузе. —
Ракетная техн. и космон., 1967, т. 5, № 7, с. 20—28.1
Krause E. A973). Numerical Treatment of Boundary Layer Problems —
AGARD LS-64, Brussels, Nato, p. 4.1—4.21.
McLean J. D., Randall J. L. A979). Computer Program to Calculate Three-Di-
Three-Dimensional Boundary Layer Flows over Wings with Wall Mass Transfer. —
NASA CR-3123.

538 Литература
Noye J. A983). Finite Difference Techniques for Partial Differential Equa-
Equations.— In: Computational Techniques for Differential Equations, ed. by
J. Noye. — Amsterdam: North-Holland.
Patankar S. V., Spalding D. B. A970). Heat and Mass Transfer in Boundary
Layers, 2nd ed. — London: Intertext.
Peyret R., Taylor T. D. A983). Computational Methods for Fluid Flow.—
Springer Ser. Comput. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer.
Reynolds W. С A976). —Ann. Rev. Fluid Mech., 8, p. 183—208.
Rosenhead L. A964). Laminar Boundary Layers. — Oxford: Oxford University
Press.
Schiff L., Steger J. L. A980). —AIAA J., 18, p. 1421—1430.
Schlichting H. A968). Boundary Layer Theory, 6th ed. — New York: McGraw-
Hill. [Имеется перевод: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Нау-
Наука, 1974.]
Yeung W. S., Yang R. J. A981). —J. Appl. Mech., 48, p. 701—706.
Zienkiewicz О. С A977). The Finite Element Methods, 3rd ed. — London:
McGraw-Hill.
Глава 16
Anderson O. L. A980). — Comput. Fluids, 8, p. 391—441.
Armfield S. W., Fletcher C. A. J. A986). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 6,
p. 541—556.
Baker A. J. A983). Finite Element Computational Fluid Mechanics. — New
York: McGrawe-Hill.
Berger S. A., Talbot L, Yao L. S. A983). —Ann. Rev. Fluid Mech., 15,
p. 461—512.
Briley W. R. A974). —J. Comput. Phys., 14, p. 8—28.
Briley W. R., McDonald H. A979). Analysis and Computation of Viscous
Subsonic Primary and Secondary Flows. — AIAA Paper 79-1453.
Briley W. R., McDonald H. A984). —J. Fluid Mech., 144, p. 47—77.
Brown G. M. (I960). —AIChE J., 6, p. 179—183.
Carter J. E. A981). Viscous Inviscid Interaction Analysis of Transonic Turbu-
Turbulent Separated Flow. — AIAA Paper 81-1241.
Carter J. E., Wornom S. A975). Solutions for Incompressible Separated Boun-
Boundary Layers Including Viscous Inviscid Interaction. — NASA SP-347.
Catherall D., Mangier K. W. A966). —J. Fluid Mech., 26, p. 163—182.
Cebeci Т., Bradshaw P. A977). Momentum Transfer in Boundary Layers.—
New York: McGraw-Hill.
Cebeci Т., Stewartson K., Whitelaw J. H. A984). —In: Numerical and Physical
Aspects of Aerodynamic Flows II, ed. by T. Cebeci. — New York, Berlin,
Heidelberg: Springer.
Chaussee D. S. A984). — In: Computational Methods in Viscous Flow, ed. by
W. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 301—347.
Chen Z. В., Bradshaw P. A984). —AIAA J., 22, p. 201—205. [Имеется пере-
перевод: Чен 3. Б., Брэдшоу Л. A984).— Аэрокосм, техн., 1984, т. 2, № 9.
с. 61—67.]
Сооке С. Н., Dwoyer D. М. A983). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 3,
p. 493—506.
Dash S. M., Sinha N. A985). —AIAA J., 23, p. 153—155.
Davis R. Т., Rubin S. G. A980). — Comput. Fluids, 8, p. 101—132.
Drazin P. G., Reid W. H. A981). Hydrodynamic Stability. — Cambridge: Cam-
Cambridge University Press.
Ghia U., Ghia K. N.. Studerus C. J. A977).— Comput. Fluids, 5, p. 205.
Ghia K. N., Sokhey J. S. A977). —J. Fluids Eng. 99, p. 640—648.
Ghia U., Ghia K. N., Goyal R. K. A979). Three-Dimensional Viscous Incom-
Incompressible Flow in Curved Polar Ducts.— AIAA Paper 79-1536.

Литература 539
Ghia U., Ghia К. N., Rubin S. G., Khosla P. K. A981). —Comput. Fluids, 9,
p. 123—142.
Goldstein S. A948). — Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1, p. 48—69.
Gustafson К. Е. A980). Partial Differential Equations and Hilbert Space Me-
Methods. — New York: Wiley
Hah С A983). —AIAA J.,*21, p. 1127—1133.
Helliwell W. S., Dickson R. P., Lubard S. С A981). —AIAA J., 19, p. 191—
196. [Имеется перевод: Хелливел В. С, Диксон Р. П., Лубард С. К. — Ра-
Ракетная техн. и космон., 1981, т. 19, № 3, с. 81—89.]
Horstman С. С. A984). — In: Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic
Flows II, ed. by T. Cebeci. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer,
p. 113—124.
Hsieh T. A976). An Investigation of Separated Flow About a Hemisphere-Cy-
Hemisphere-Cylinder at 0 to 19 deg Incidence in the Mach Number Range, 0.6 to 1.5.—
AEDC-TR-76-112.
Humphrey J. A. C, Taylor A. M. K-, Whitelaw J. H. A977). —J. Fluid Mech.,
83, p. 509—527.
Humphrey J. A. C, Whitelaw J. H., Yee G. A981). —J. Fluid Mech., 103,
p. 443—463.
Humphrey J. A. C, Iacovides H., Launder В. Е. A985). —J. Fluid Mech., 154,
p. 357—375.
Johnston W., Sockol P. A979). —AIAA J., 17, p. 661—663. [Имеется перевод:
Джонстон В., Сокол П. — Ракетная техн. и космон., 1979, т. 17, № 6,
с. 133—135.]
Kaul U. К., Chaussee D. S. A985). — Comput. Fluids, 13, p. 421—441.
Klineberg J. M., Steger J. L. A974). On Laminar Boundary Layer Separa-
Separation. — AIAA Paper 74-94.
Kreskovsky J. P., Shamroth S. J. A978). — Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,
13, p. 307—334.
Kreskovsky J. P., Briley W. R., McDonald H. A984). —AIAA J., 22, p. 374.
Kuchetnann D. A978). The Aerodynamic Design of Aircraft. — Oxford* Per-
gamon.
Le Balleur J. C. A978). — Rech. Aerosp., 183, p. 65—76.
Le Balleur J. C. A981). — Rech. Aerosp., 1981-3, p. 21—45.
Le Balleur J. C. A984). — In: Computational Methods in Viscous Flows, ed. by
W. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 419—450.
Le Balleur J. C, Peyret R., Viviand H. A980). — Comput. Fluids, 8, p. 1—30.
Leonard B. P. A979). — Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 19, p. 59—98.
Lighthill M. J. A958). —J. Fluid Mech., 4, p. 383—392.
Lin T. C, Rubin S. G. A973). — Comput. Fluids, 1, p. 37—57.
Lin A., Rubin S. G. A981). —AIAA J., 20, p. 1500—1507.
Lock R. С A981). A Review of Methods for Predicting Viscous Effects on
Aerofoils of Transonic Speeds. — AGARD-CP-291, Lecture 2
Lomax H., Mehta U. B. A984). —In: Computational Methods in Viscous
Flows, ed. by W. Habashi. — Swancea: Pineridge Press, p. 1—50.
Lubard S. C, Helliwell W. S. A974). —AIAA J., 12, p. 965—974. [Имеется
перевод: Лубард, Хелливел. A974). — Ракетн. техн. и космон., 1974, т. 12,
№ 7, с. 105—116.]
Moore J., Moore J. G. A979). —J. Fluids Eng., 101, p. 415—421.
Nakayama A. A984). Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows II,
ed. by T. Cebeci. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer, p. 233—253.
Neumann R. D., Patterson J. L., Sliski N. J. A978). Aerodynamic Heating to
the Hypersonic Research Aircraft, X-24C. — AIAA Paper 78-37.
Patankar S. V., Spalding D. B. A972). —Int. J. Heat Mass Transfer, 15,
p. 1787-1806.

540 Литература
Povinelli L. A., Anderson B. H. A984). —AIAA J., 22, p. 518—525.
Pratap V. S., Spalding D. B. A976). —Int. J. Heat Mass Transfer, 19,
p. 1183—1187.
Pulliam Т. Н., Steger J. L. A980). —AIAA J., 18, p. 159—167. [Имеется пере-
перевод: Пуллиам Т. X., Стегер Дж. Л. — Ракетная техн. и космон., 1980, т. 18,
№ 4, с. 39—50.]
Rackich J. V., Davis R. Т., Barnett M. A982). —In: 8th Conf. Numer. Methods
in Fluid Dynamics, ed. by E. Krause, Lecture Notes in Physics, Vol. 170.—
Berlin, Heidelberg: Springer, p. 420—426.
Rhie С. М. A985). — Comput. Fluids, 13, p. 443—460.
Rubin S. G. A981). Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows I,
ed. by T. Cebeci. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer, p. 171—186.
Rubin S. G. A984). — In: Computational Methods in Viscous Flow, ed. by
W. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 53—100.
Rubin S. G. A985). —In: 9th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dynamics,
ed. by Soubbaramayer, J. P. Boujot, Lecture Notes in Physics, vol. 218.—
Berlin, Heidelberg: Springer, p. 62—71.
Rubin S. G., Khosla P. K., Saari S. A977). — Comput. Fluids, 5, p. 151 — 173.
Rubin S. G., Lin A. A980). —Isr. J. Technol., 18, p. 21—31.
Rubin S. G., Reddy D. R. A983). — Comput. Fluids, 11, p. 218—306.
Rudman S., Rubin S. G. A968). —AIAA J., 6, p. 1883—1890.
Schiff L. В., Steger J. L. A980). —AIAA J., 18, p. 1421—1430. [Имеется пе-
перевод: Шифф Л. Б., Стегер Дж. Л. — Ракетная техн. и космон., 1980, т. 18,
№ 12, с. 16—29.]
Schlichting H. A968). Boundary Layer Theory, 6th ed. — New York: McGraw-
Hill. [Имеется перевод: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Нау-
Наука, 1974.]
Senoo Y., Kawaguchi N.. Nagata Т. A978). — Bull. JSME, 21, p. 112—119.
So K. L. A964). Vortex Decay in Conical Diffuser. — Report No. 75, M. I. T.
Gas Turbines Lab.
Sparrow E. M., Hixon С W., Shavit G. A967). —J. Basic Eng., 89, p. 116—
121.
Steger J. L. A978). —AIAA J., 16, p. 679—686. [Имеется перевод: Сте-
Стегер Дж. Л. — Ракетная техн. и космон., 1978, т. 16, № 7, с. 51—60.]
Stewartson К. A974). —Adv. Appl. Mech., 14, p. 145—239.
Stuart J. J. A963). — In: Laminar Boundary Layers, ed. by L. Rosenhead.—
Oxford: Oxford University Press.
Tannehill J. C, Venkatapathy E., Rakich J. V. A982). —AIAA J., 20, p. 203—
210.
Thwaites B. (ed.) A960). Incompressible Aerodynamics. — Oxford: Oxford
University Press.
Veldman A. E. P. A981). —AIAA J., 19, p. 79—85. [Имеется перевод: Вельд-
ман А. Э. П.— Ракетная техн. и космон., 1981, т. 19, № 1, с. 71—80.]
Veldman А. Е. Р. A984). — In: Computational Methods in Viscous Flows,
ed. by W. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 343—364.
Vigneron Y. C, Rackich J. V., Tannehill J. С A978). Calculation of Supersonic
Viscous Flow over Delta Wings with Sharp Subsonic Loading Edges. —
NASA Tech. Memo 78500.
Whitfield D. L., Thomas J. L. A984). —In: Computational Methods in Viscous
Flows, ed. by W. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 451—474.
Wigton L. В., Holt M. A981). Viscous-Inviscid Interaction in Transonic
Flow.— AIAA Paper 81-1003.
Глава 17
Amsden A. A., Harlow F. H. A970). —J. Comput. Phys., 6, p. 322—325
Aregbesola Y. A. S., Burley D. M. A977). —J. Comput. Phys., 24, p. 398.

Литература 54 Ь
Aziz К., Heliums J. D. A967). — Phys. Fluids, 10, p. 314—324.
Baker A. J. A983). Finite Element Computational Fluid Mechanics. — New
York: McGraw-Hill.
Baker A. J., Kim J. W., Freels J. D., Orzechowski J. A. A987). —Int. Numer.
Methods Fluids, 7, p. 1235—1260.
Brachet M. E., Meiron D. I., Orszag S. A., Nickel B. G., Morf R. H., Frish U.
A983). —J. Fluid Mech., 130, p. 411—452.
Briley W. R. A974). —J. Comput. Phys., 14, p. 8—28.
Briley W. R., McDonald H. A984). —J. Fluid Mech., 144, p. 47—77.
Brooks A. N., Hughes T. J. R. A982).— Сотр. Methods Appl. Mech. Eng.,
30, p. 199—259.
Campion-Renson A., Crochet M. J., A978). —Int. J. Numer. Methods Eng., 12,.
p. 1809—1818.
Castro I. P., Cliffe K. A., Norgett M. J. A982). —Int. J. Numer. Methods.
Fluids, 2, p. 61—88.
Cazalbou J. В., Braza M., HaMinh H. A983). —In: Proc. 3rd Int. Conf.
Numer. Methods Laminar and Turbulent Flow, Seattle. — Swansea: Pineridge*
Press, p. 786—797.
Chorin A. J. A967). —J. Comput. Phys., 2, p. 12—26.
Chorin A. J. A968). —Math. Comput., 22, p. 745—762.
Connell S. D., Stow P. A986). —Comput. Fluids, 14, p. 1—10.
Davis R. W., Moore E. F. A982). —J. Fluid Mech., 116, p. 475—506.
Davis R. W., Moore E. F., Purtell L. P. A984). —Phys. Fluids, 27, p. 46—57.
Dennis S. С R. A985). —In: 9th Conf. Numer. Methods in Fluid Dynamics,.
ed by Soubbaramayer, J. P. Boujot, Lecture Notes in Physics, Vol. 218.—
Berlin, Heidelberg: Springer, p. 23—36.
Dennis S. С R., Ingham D. В., Cook R. N. A979). —J. Comput. Phys., 33,
p. 325—339.
de Vahl Davis G., Mallinson G. D. A976).— Comput. Fluids, 4, p. 29—43.
de Vahl Davis G., Jones I. A983). —Int. J. Numer. Metods Fluids, 3, p. 227—
248.
Deville M. O. A974). —J. Comput. Phys., 15, p. 362—374.
Dodge P. R. A977). — AIAA J., 15, p. 961—965. [Имеется перевод: Додж.—
Ракетная техн. и космон., 1977, т. 15, № 7, с. 82—87.]
Easton С. R. A972). —J. Comput. Phys., 9, p. 375—379.
Engelman M. S. A982). —Adv. Eng. Software, 4, p. 163—175; см. также:
FIDAP Theoretical and User's Manuals. — Evanston, Illinois: Fluid Dynamics.
International.
Engelman M. S., Sani R. L., Gresho P. M., Bercovier M. A982). —Int. J.
Numer. Methods, 2, p. 25—42.
Fasel P. A976). —J. Fluid Mech., 78, p. 353—383.
Fasel H. A978). —Von Karman Institute Lecture Series, 78-4, p. 1—90.
Fletcher С A. J. A982).— Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 30, p. 307—
322.
Fletcher С A. J. A984). Computational Galerkin Methods. — Berlin, Heidel-
Heidelberg: Springer. [Имеется перевод: Флетчер К. — M.: Мир, 1988.]
Fletcher С. A. J., Srinivas К. A983).— Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,
41, p. 299—322.
Fletcher С A. J., Srinivas K. A984). — Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,
46, p. 313—327.
Fletcher С A. J., Barbuto J. A986a). —Appl. Math. Model, 10, p. 176—184.
Fletcher С A. J., Barbuto J. A986b). — Backward-Facing Cavity Flow witte
Suction and Blowing.— In: Proc. Int. Сотр. Fluid Dynamics, ed. by K. Oshi-
ma, Vol. 1. — Tokyo: Japan Soc. of Сотр. Fluid Dynamics, p. 245—251.
Freitas С J., Street R. L, Findikakis A. N., Koseff J. R. A985). —Int. J.
Numer. Methods Fluids, 5, p. 561—575.

542 Литература
Gatski Т. В., Grosch С. Е., Rose М. Е. A982). —J. Comput. Phys., 48,
p. 1—22
•Gatski Т. В., Grosch С. Е. A985). —In: 9th Conf. Numer. Methods in Fluid
Dynamics, ed. by Soubbaramayer, J. P. Boujot, Lecture Notes in Physics,
Vol. 218, pp. 235—239. — Berlin, Heidelberg: Springer.
Ghia K. N., Sokhey J. S. A977). —J. Fluids Eng., 99, p. 640—648.
Ghia K. N., Hankey W. L, Hodge J. K. A979). —AIAA J., 17, p. 298—301.
[Имеется перевод: Гхиа К. Н., Хэнки В. Л. мл., Ходж Дж. К. — Ракетная
техн. и космон., 1979, т. 17, № 3, с. 89—92.]
•Ghia U., Ghia К. N.. Shin С. Т. A982). —J. Comput. Phys., 48, p. 387—411.
Goda К. A979). —J. Comput. Phys., 30, p. 76—95.
Goldstein R. J., Eriksen V. L., Olson R. M., Eckert E. R. G. A970). —J. Basic.
Eng., 92, p. 732—741.
Gottlieb D., Orszag S. A. A977). Numerical Analysis of Spectral Methods.—
Philadelphia: SIAM.
Gottlieb D., Hussaini M. V., Orszag S. A. A984). —In: Spectral Methods for
Partial Differential Equations ed. by R. G. Voigt, D. Gottlieb, M. Y. Hus-
Hussaini. — Philadelphia: SIAM, p. 1—54.
Gresho P. M., Lee R. A981).— Comput. Fluids, 9, p. 223—253.
Gupta M. M., Manohar R. P. A979). —J. Comput. Phys., 31, p. 265—288.
Haltiner G. J., Williams R. T. A980). Numerical Prediction and Dynamic Me-
Meteorology, 2nd ed. — New York: Wiley.
Harlow F. H., Welch J. E. A965). — Phys. Fluids, 8, p. 2182—2189.
Harlow F. H., Shannon J. P. A967). — Science, 157, p. 547—550.
Hirasaki G. J., Heliums J. D. A968).— Quart. Appl. Math., 26, p. 331.
Hirasaki G. J., Heliums J. D. A970). — Quart. Appl. Math., 28, p. 293.
Hirt C. W., Cook J. L. A972). —J. Comput. Phys., 10, p. 324—340.
Hirt C. W., Nichols B. D., Romero N. С A975). — SOLA-A Numerical Solu-
Solution Algorithm for Transient Fluid Flows. — Los Alamos Scientific Lab.
Rep. LA-5852.
Hood P. A976). —Int. J. Numer. Methods Eng., 10, p. 379—399.
Hood P., Taylor С A974). Navier-Stokes Equations Using Mixed Interpola-
Interpolation. — In: Finite Element Methods in Flow Problems. — Huntsville: Univer-
University of Alabama Press, p. 121—132.
Hughes T. J. R., Liu W. K., Brooks A. A979). —J. Comput. Phys. 30, p. 1—75.
Hussaini M. Y., Zang T. A. A987). —Ann. Rev. Fluid Mech., 19, p. 339—367.
Israeli M. A972). — Stud. Appl. Math., 51, p. 67—71.
Jensen V. G. A959). — Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 249, p. 346—366.
Kato S., Murakami S. A986). Three-Dimensional Numerical Simulation of
Turbulent Air Flow in a Ventilated Room, by means of Two-Equation Mo-
Model.—In: Proc. Int. Stmp. Сотр. Fluids Dynamics, ed. by K. Oshima,
Vol. 2.— Tokyo: Japan Soc. of Сотр. Fluid Dynamics, p. 217—228.
Khosla P. K., Rubin S. G. A974). — Comput. Fluids, 2, p. 207—209.
Khosla P. K., Rubin S. G. A983). —AIAA J., 21, p. 1546—1551.
Kim J., Moin P. A985). —J. Comput. Phys., 59, p. 308—323.
Korczak K. Z., Patera A. T. A986). —J. Comput. Phys., 62, p. 361—382.
Ku H. C, Hatziavramidis D. A985). — Comput. Fluids, 13, p. 99—113
Ku H. C, Taylor T. D., Hirsh R. S. A987a).— Comput. Fluids, 15, p. 195—214.
Ku H. C, Hirsh R. S., Taylor T. D. A987b). —J. Comput. Phys., 70, p. 439—
462.
Kwak D., Chang J. L. C, Shanks S. P., Chakravarthy S. R. A986a). —AIAA
J., 24, p. 390—396.
Kwak D., Rogers S. E., Kaul U. K., Chang J. С L. A986b). A Numerical
Study of Incompressible Juncture Flows. — NASA Tech. Memo 88319.
Leonard A. A980). —J. Comput. Phys., 37, p. 289—335.
Leonard A. A985). —Ann. Rev. Fluid Mech., 17, p. 17—24.

Литература 54&
Leonard В. Р. A979). — Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 19, p. 59—98.
Lugt H. J., Schwiderski E. W. A965). —Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 285,
p. 382—399.
Macaraeg M., Streett С L. A986).— Appl. Numer. Methods, 2, p. 95—108.
Mallinson G. D., de Vahl Davis G. A973). —J. Comput. Phys., 12, p. 435—461.
Mallinson G. D., de Vahl Davis G. A977). —J. Fluid Mech., 83, p. 1—31.
Moin P., Kim J. A980). —J. Comput. Phys., 35, p. 381—392.
Orlandi P. A987). —Comput. Fluids, 15, p. 137—149.
Orszag S. A. A980). —J. Comput. Phys., 37, p. 70—92.
Orszag S. A., Kells L. С A980). —J. Fluid Mech., 96, p. 159—205.
Orszag S. A., Patera A. T. A981). —Phys. Rev. Lett, 47, p. 832—835.
Orszag S. A., Patera A. T. A983). —J. Fluid Mech., 128, p. 347—385.
Ortega J. M., Voigt R. G. A985). —SIAM Rev. 27, p. 149—240.
Oshima K., Oshima Y., Izutsu N.. Ishii Y., Noguchi T. A986). —In: 10th Int.
Conf. Numer. Methods in Fluid Dynamics, ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu,,
Lecture Notes in Physics, Vol. 264. — Berlin, Heidelberg: Springer, p. 511.
Patankar S. V. A980). Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. — Washing-
Washington, D. C: Hemisphere.
Patankar S. V., Spalding D. B. A972). —Int. J. Heat Mass Transfer, 15,,
p. 1787—1806.
Patel N. R., Briggs D. G. A983). — Numer. Heat Transfer, 6, p. 383—394.
Patel M. K., Markatos N. C. A986). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 6,
p. 129—154.
Patera A. T. A984). —J. Comput. Phys., 54, p. 468—488.
Pearson С. Е. A965). —J. Fluid Mech., 21, p. 611—622.
Peyret R., Taylor T. D. A983). Computational Methods for Fluid Flow.—
Springer Ser. Comput. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer.
Phillips E., Schmidt F. W. A985). — Numer. Heat Transfer, 8, p. 573—594.
Pollard A., Siu A. L. A982). —Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 35,,
p. 293—313.
Quartapelle L, Valz-Gris F. A981). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 1,.
p. 129—144.
Raithby G. D., Schneider G. E. A979).— Numer. Heat Transfer, 2, p. 417—440.
Raithby G. D., Galpin P. F., Van Doormal J. P. A986).— Numer. Heat Trans-
Transfer, 9, p. 125—142.
Roache P. J. A972). Computational Fluid Dynamics. — Albuquerque, N. M.:
Hermosa. [Имеется перевод: Роуч П. Дж. Вычислительная гидродинами-
гидродинамика.—М.: Мир, 1980.]
Rubin S. G., Khosla Р. К. A981).— Comput. Fluids, 9, p. 163—180.
Sakamoto Y., Matuo Y. A980). —Appl. Math. Model., 4, p. 67—72.
Самарский А. А., Андреев В. Б.—Ж- вычисл. матем. и матем. физ., 1963».
т. 3, № 6, с. 1006—1013.
Sani R. L., Gresho P. M., Lee R. L, Griffiths D. F. A981). —Int. J. Numer.
Methods Fluids, 1, p. 17—43, 171—204.
Schneider G. E., Raithby G. D., Yovanovich M. M. A978). — Numer. Heat
Transfer, 1, p. 433—451.
Shyy W., Tong S. S., Correa S. M. A985). — Numer. Heat Transfer, 8,,
p. 99—113.
Sinha S. N., Gupta A. K., Oberai M. M. A981). —AIAA J., 19, p. 1527—1530.
[Имеется перевод: Синха С. Т., Гупта А. К., Оберай М. М. — Ракетная
техн. и космон., 1981, т. 19, № 12, с. 33—37.]
Srinivas К., Fletcher С. A. J. A984). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 4,
p. 421—439.
Steger J. L., Kutler P. A977). —AIAA J., 15, p. 581—590. [Имеется перевод:
Стегер, Кутлер. — Ракетная техн. и космон., 1977, т. 15, № 4, с. 161—
173.]

.544 Литература
Swartztrauber P. N. A974). —SI AM J. Numer. Anal., 11, p. 1136—1150.
Takemoto Y., Yamabe H., Abe Y., Minami I. A985). — Trans. Japan Soc. Irrig.
Drain. Recalm. Eng., 118, p. 23—31.
Takemoto Y., Nakamura Y., Yamabe H., Abe Y., Minami I. A986). — Trans.
Japan Soc. Irrig. Drain. Recalm. Eng., 121, p. 57—65.
Takemoto Y., Nakamura Y. A986). A Three-Dimensional Incompressible Flow
Solver. — In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dynamics, ed. by
F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes in Physics, Vol. 264. — Berlin, Hei-
Heidelberg: Springer, p. 594—599.
Temam R. A968). — Bull. Soc. Math., Fr., 96, p. 115—152.
Temam R. A969).— Arch. Ration. Mech. Anal., 32, p. 377—385.
Thorn A. A933). —Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 141, p. 651—666.
Van Doormaal J. R., Raithby G. D. A984). — Numer. Heat Transfer, 7,
p. 147—163.
Viecelli J. A. A971). —J. Comput. Phys., 8, p. 119—143.
Wong A. K., Reizes J. A. A984). —J. Comput. Phys., 55, p. 98—114.
Yashchin D., Israeli M., Wolfshtein M. A984). —In: Proc. of Computational
Techniques and Applications Conference, CTAC-83, ed. by B. J. Noye,
С A. J. Fletcher. — Amsterdam: North-Holland, p. 533—552.
Zienkiewicz О. С A977). The Finite Element Method in Engeneering Science,
2nd ed. — New York: McGraw-Hill. [Имеется перевод изд. 1971 г.: Зенке-
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.]
Глава 18
Anon. A986). —Aerospace America, 24, p. A2L2.
Baldwin В. S., Lomax H. A978). Thin Layer Approximation and Algebraic
Model for Separated Turbulent Flows. — AIAA Paper 87-257.
Bayliss A., Turkel E. A982). —J. Comput. Phys., 48, p. 182—199.
Beam R. M., Warming R. F. A976). —J. Comput. Phys. 22, p. 87.
Beam R. M., Warming R. F. A978). —AIAA J., 16, p. 393—402. [Имеется
перевод: Бим Р. П., Уорминг Р. Ф. — Ракетная техн. и космон., 1978 т. 16,
№ 4, с. 145—156.]
Bradshaw Р. A977). —Ann. Rev. Fluid Mech., 9, p. 33—54.
Briley W. R., McDonald H. A977). —J. Comput. Phys., 24, p. 372—397.
-Cebeci Т., Smith A. M. O. A974). Analysis of Turbulent Boundary Layers.—
New York: Academic.
'Chakravarthy S. R. A987). Some Recent Advances in CFD Algorithms.—
Unpublished presentation at Int. Symp. Computational Fluid Dynamics,
ed. by G. de Vahl Davis, С A. J. Fletcher. — Amsterdam: North-Holland.
Chaussee D. S. A984). — In: Computational Methods in Viscous Flows, ed. by
W. G. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 255—279.
Chima R. V., Johnson G. M. A985). —AIAA J., 23, p. 23—32.
Cleary J. W. Viswanath P. R., Horstman С. С, Seegmiller H. L. A980). Asym-
Asymmetric Trailing-Edge Flows at High Reynolds Number. — AIAA Paper
80-1396.
Coakley T. J. A983[. Turbulence Modelling Methods for Compresible Na-
vier —Stokes Equitions. — AIAA Paper 83-1693.
Deiwert G. S. A976). —AIAA J., 14, p. 735—740. [Имеется перевод: Дейу-
эрт. — Ракетная техн. и космон., 1976, т. 13, № 6, с. 40—47.]
Deiwert G. S. A984). — In: Computational Methods in Viscous Flows, ed. by
W. G. Habashi.— Swansea: Pineridge Press, p. 281—308.
tolling D. S., Bogdonoff S. M. A982). —AIAA J., 20, p. 1674—1680.
-Eaton J. K. A981). Summary of Computations for Case 0421: Backward-
facing Step Flow.— In: AFOSR-HTTM Stanford Conference on Complex
Turbulent Flows, ed. by S. J. Kline, B. Cantwell, G. M. Lilley. — Stanford:
Stanford University.

Литература 545
Favre A. A965). —J. Мёс, 4, p. 361—390.
Fletcher С. A. J., Srinivas K. A985). Finite Elements in Fluids, Vol. 4. — New
York: Wiley, p. 115—133.
Fujii K., Obayashi S. A986). The Development of Efficient Navier — Stokes-
Codes for Transonic Flow Field Simmulations. — Preprint for Int. Symp.
Сотр. Fluid Dynamics, ed. by K. Oshima. — Tokyo: Japan Soc. of Сотр.
Fluid Dynamics, p. 398—409.
HaMinh H., Rubesin M. W., Vandromme D., Viegas J. R. A986). On the Use
of Second-order Closure Modelling for the Prediction of Turbulent Boundary
Layer/Shock Wave Interactions. — In: Proc. Int. Symp. Сотр. Fluid Dyna-
Dynamics, ed. by K. Oshima, Vol. 1. — Tokyo: Japan Soc. of Сотр. Fluid Dyna-
Dynamics, p. 192—204.
Hoist T. L, Thomas S. D., Kaynak U., Grundy K. L., Flores J., Chader-
jian N. M. A986). Computational Aspects of Zonal Algorithms for Solving
the Compressible Navier—Stokes Equations in Three Dimensions. — In: Proc.
Int. Symp. Сотр. Fluid Dynamics, ed. by K. Oshima, Vol. 1. — Tokyo: Japan.
Soc. of Сотр. Fluid Dynamics, p. 113—122.
Horstman С. С. A983). Numerical Simulation of Turbulent Trailing-Edge
Flows. — In: Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows II,.
ed. by T. Cebeci. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer.
Horstman С. С A986). — AIAA J., 24, p. 1433—1440.
Hsieh T. A976). An Investigation of Separated Flow About a Hemisphere-
Cylinder at 0—90 deg. Incidence in the Mach Number Range from 0.6 to*
1.5. — AEDC-TR-76-112.
Hung С. М., Kordulla W. A984). —AIAA J., 22, p. 1564—1572.
Hussaini M. Y., Zang T. A. A987) —Ann. Rev. Fluid Mech., 19, p. 339—
367.
Jameson A. A983). — Appl. Math. Comput., 13, p. 327—356.
Jameson A., Turkel E. A981). — Math. Comput., 37, p. 385—397.
Kordulla W., MacCormack R. W. A982). —In: 8th Int. Conf. Numer. Methods
in Fluid Dynamics, ed. by E. Krause, Lecture Notes in Physics, Vol. 170.—
Berlin, Heidelberg: Springer, p. 286—295.
Launder B. E., Spalding D. B. A974). — Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,
3, p. 269—289.
Lombard С. К., Bardina J., Venkatapathy E., Yang J. Y., Luh R. С. С, Na-
garaj N., Raiszadeh F. A986). —In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in
Fluid Dynamics, ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes in Physics,
Vol. 264.— Berlin, Heidelberg: Springer, p. 435—441.
MacCormack R. W. A969). Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cra-
tering. — AIAA Paper 69-354.
MacCormack R. W. A971). —In: Lecture Notes in Physucs, Vol. 8. — Berlin,
Heidelberg: Springer, p. 151 — 163.
MacCormack R. W. A982). —AIAA J., 20, p. 1275—1281.
MacCormack R. W. A984). — In: Computational Methods in Viscous Flows,
ed. by W. G. Habashi. — Swansea: Pineridge Press, p. 225—254.
MacCormack R. W. A985). Current Status of Numerical Solutions of the Na-
Navier — Stokes Equations. — AIAA Paper 85-0032.
MacCormack R. W., Baldwin B. S. A975). A Numerical Method for Solving
the Navier — Stokes Equations with Application to Shock-Boundary Layer In-
Interactions.— AIAA Paper 75-1.
MacCormack R. W., Lomax H. A979). —Ann. Rev. Fluid Mech., 11, p. 289—
316.
Mandella M., Bershader D. A987). Quantitative Study of the Compressible
Vortices: Generation, Structure and Interaction with Airfoils. — AIAA Paper
87-0328.
Marvin J. G. A983). —AIAA J., 21, p. 941—955.
35 К. Флетчер, т. 2

-546 Литература
Obayashi S., Kuwahara К. A986). —J. Comput. Phys., 63, p. 157—167.
Ortega J. M., Voigt R. G. A985). —SIAM Rev., 27, p. 147—240.
Patankar S. V., Spalding D. B. A970). Heat and Mass Transfer in Boundary
Layers, 2nd ed. — London: Intertext Books.
Peyret R., Taylor T. D. A983). Computational Methods for Fluid Flow.—
Springer Ser. Comput. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer.
Peyret R., Viviand H. A975). Computation of Viscous Compressible Flow
Based on Navier — Stokes Equations. — AGARDograph 212.
Pulliam T. H., Steger J. L. A980). —AIAA J., 18, p. 159—167. [Имеется пе-
перевод: Пуллиам Т. X., Стегер Дж. Л. — Ракетная техн. и космон., 1980,
т. 18, № 4, с. 39—50, 1980.]
Pulliam Т. Н., Steger J. L., A985) Recent Improvements in Efficiency, Accu-
Accuracy and Convergence for Implicit Approximate Factorization Algorithms. —
AIAA Paper 85-0360.
Ш M. M., Chaussee D. S. A984). —AIAA J., 22, p. 1094—1100.
Rubesin M. W., Rose W. C. A973). The Turbulent Mean-Flow, Reynolds-Stress
and Heat Flux Equations in Mass-Averaged Dependent Variables. — NASA
TM-X-62248.
Rudy D. H., Strikwerda J. С A981). — Comput. Fluids, 9, p. 327—338.
Satofuka N., Morinishi K., Tamaki Т., Shimizu A. A986). Computation of Two-
dimensional Transonic Cascade Flow Using a New Navier — Stokes Solver.—
AIAA Paper 86-1381.
Shang J. S. A985). —J. Aircr., 22, p. 353—370.
Srinivas K., Fletcher С A. J. A984). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 4,
p. 421—439.
Srinivas K., Fletcher C. A. J. A985). —Int. J. Numer. Methods Fluids, 5,
p. 463—481.
Srinivas K., Fletcher С A. J. A986). —Z. Angew. Math. Phys., 37, p. 53—
63.
Steger J. L. A978). —AIAA J., 16, p. 679—686. [Имеется перевод: Сте-
Стегер Дж. Л. — Ракетная техн. и космон., 1978, т. 16, № 7, с. 51—60,
1978.]
Steger J. L., Warming R. F. A981). —J. Comput. Phys., 40, p. 263—293.
Thompson J. F. A984). —AIAA J., 22, p. 1505—1523.
Vandromme D., HaMinh H. A986). —J. Comput. Phys., 65, p. 386—409.
van Leer B. A982). —In: 8th Conf. Numer. Methods Fluid Dynamics, ed. by
Krause, Lecture Notes in Physics, Vol. 170. — Berlin, Heidelberg: Springer,
p. 507—512.
Walters R. W., Thomas J. L, van Leer B. A986). —In: 10th Int. Conf. Numer.
Methods in Fluid Dynamics, ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes
in Physucs, Vol. 264.— Berlin, Heidelberg: Springer, p. 628—635.
Wambecq A. A978). —Computing, 20, p. 333—342.
Yee H. С A986). —In: 10th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dynamics,
ed. by F. G. Zhuang, Y. L. Zhu, Lecture Notes in Physics, Vol. 264. — Berlin,
Heidelberg: Springer, p. 677—683.
Yee H. С A987). —J. Comput. Phys., 68, p. 151—179.
Yee H. C, Harten A. A985). Implicit TVD Schemes for Hyperbolic Conserva-
Conservation Laws in Curvilinear Coordinates. — AIAA Paper 85-1513.

Предметный указатель
Анализ Фурье RNS-уравнений (Fou-
(Fourier analysis of RNS equations)
305—311
Бернулли переменная (Bernoulli va-
variable) 26
— уравнение (~ equation) 26
Вязких напряжений тензор (viscous
stress tensor) 17
Вязкость динамическая (dynamic vis-
viscosity) 11
— кинематическая (kinematic ~) 12
— турбулентная (вихревая) (eddy
~) 34, 473—476
Граничные условия для уравнений
пограничного слоя (boundary layer
boundary conditions) 31, 50
на удаленной границе (farfield
~ -) 37, 54
Давление гидростатическое (hydro-
(hydrostatic pressure) 9
Дилатация (dilatation) 14
Длина перемешивания (mixing length)
34
Жидкость ньютоновская (fluid New-
Newtonian) 12
Завихренность (vorticity) 39
Искусственная сжимаемость (artifi-
(artificial compressibility) 417—420
— скорость звука (~ sound speed)
417
Источник панельный (sourse panel)
150, 151
Конус Маха (Mach cone) 48
Координаты конформные (conformal
coordinates) 65—68
— ортогонгльные (orthogonal ~)
65-68
Коэффициент поверхностного трения
(skin friction coefficient) 31
Линии Маха (Mach lines) 48
Метод коррекции потоков (flux-cor-
(flux-corrected technique) 191—193, 199—
202
— сквозного счета (shock-capturing;
~) 172
Напряжение рейнольдсово (Reynolds,
stress) 34, 42
Ограничитель (limiter) 195
О-сетка (O-grid) 101
Побочное воздействие (aliasing) 507
Подобие динамическое (dynamic si-
similarity) 20—23
Преобразования координат матрица
Якоби (Jacobian matrix of coordi-
coordinate transformation) 62
— — параметры (parameters of ~
~) 61—63
Приближенная факторизация (appro-
(approximate factorization) 205, 206, 499—
503, 512—514
Производная конвективная (deriva-
(derivative following the motion) 14
Разности против потока высокого
порядка (higher-order upwinding;
differencing) 403~408
С-сетка (C-grid) 102
Сетка разнесенная (staggered grid)
391_394
Система уравнений жесткая (stiff sy-
system of equations) 420
Слабая тейлоровская трактовка (Tay-
(Taylor weak statement) 434
Соотношения Ренкина — Гюгонио
(Rankine — Hugoniot relations) 48

3548
Предметный указатель
Схема зигзаг Краузе (Krause zig-
zigzag scheme) 281
— с выделением скачка (shock-fit-
(shock-fitting ~) 172
Схемы TVD (TVD schemes) 194—199,
521—525
Тензор метрический (metric tensor)
64, 65
Теплопроводность (thermal conducti-
conductivity) 12
Течение невязкое у кругового цилин-
цилиндра (flow, inviscid around two-di-
two-dimensional circular cylinder) 29
— потенциальное (potential ~) 27
Течений классификация (flow classi-
classification) 24
Укороченные уравнения Навье —
Стокса (redused Navier — Stokes
equations) 291—296
Уравнение Дородницына турбулент-
турбулентного пограничного слоя (Dorodnit-
syn turbulent boundary layer equa-
equation) 258
— Лапласа (Laplace's ~) 27
— малых возмущений трансзвуковое
(transonic small disturbance ~) 219
— неразрывности (condinuity ~)
12, 13
— состояния идеального газа (ideal
gas ~) 9
Уравнения в обобщенных координа-
координатах (equations in generalised coor-
coordinates) 76—81
— Навье — Стокса (Navier — Stokes
~) 17, 18
— пограничного слоя (boundary layer
~) 30
— Эйлера (Euler's ~) 16
Условие КФЛ обобщенное (generali-
(generalised KFL condition) 171
Функция тока (stream function) 39
Фурье закон (Fourier law) 12
Численный поток (numerical flux) 197
Число Маха (Mach number) 21
— Прандтля (Prandtl ~) 21
— Рейнольдса (Reynolds ~) 21
— Фруда (Froude ~) 21

Оглавление
От редактора перевода 5
Предисловие 6
Глава 11. Динамика жидкости: основные уравнения 8
§ 11.1 Физические свойства жидкостей 9
§ 11.2. Уравнения движения 13
11.2.1. Уравнение неразрывности 13
11.2.2. Уравнение количества движения: невязкое течение . . 14
11.2.3. Уравнение количества движения: вязкое течение ... 17
11.2.4. Уравнение энергии . 18
11.2.5. Динамическое подобие 20
11.2.6. Полезные упрощения 23
§ 11.3. Несжимаемые невязкие течения 25
§ 11.4. Несжимаемые течения в пограничном слое 29
11.4.1. Ламинарный пограничный слой 30
11.4.2. Турбулентный пограничный слой 32
11.4.3. Отрыв пограничного слоя 35
*§ 11.5. Вязкие несжимаемые течения 37
11.5.1. Ламинарные течения 39
11.5.2. Турбулентные течения 42
§ 11.6. Сжимаемые течения 44
11.6.1. Невязкие сжимаемые течения 45
11.6.2. Течения в сжимаемом пограничном слое 50
11.6.3. Сжимаемые вязкие течения 51
11.6.4. Граничные условия для сжимаемых вязких течений . . 53
§ 11.7. Заключение 55
§ 11.8. Задачи 56
Глава 12. Обобщенные криволинейные координаты 59
§ 12.1. Преобразование координат 61
12.1.1. Обобщенные координаты 61
12.1.2. Метрический тензор и физические свойства преобразова-
преобразования 63
12.1.3. Ограничения на ортогональные и конформные коорди-
координаты 65
§ 12.2. Аппроксимация параметров преобразования 68
12.2.1. Формулы с центральными разностями 68
12.2.2. Аппроксимация методом конечных элементов .... 70
12.2.3. Дополнительные ошибки, связанные с использованием
обобщенных координат 71
§ 12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах 76
12.3.1. Уравнение в частных производных первого порядка . . 76
12.3.2. Уравнение в частных производных второго порядка . . 77
12.3.3. Уравнение движения жидкости 79
§ 12.4. Численное применение обобщенных координат 81
12.4.1. LAGEN: уравнение Лапласа в обобщенных координатах 82
§ 12.5. Заключение 90
§ 12.6. Задачи 91
Глава 13. Построение сеток 94
§ 13.1. Физические аспекты 96
13.1.1. Односвязные области 96
13.1.2. Многосвязные области 100
§ 13.2. Построение сеток на основе решения уравнений в частных про-
производных 103
13.2.1. Конформное отображение: общие положения 103

550 Оглавление
13.2.2. Последовательные конформные отображения .... 105
13.2.3. Одношаговое конформное отображение 108
13.2.4. Построение ортогональных сеток П&
13.2.5. Сетки, близкие к ортогональным 116
13.2.6. Решение эллиптических уравнений в частных производ-
производных 117
§ 13.3. Построение сеток алгебраическими отображениями 122
13.3.1. Одномерные функции растяжения 122
13.3.2. Применение методов в случае двух границ 124
13.3.3. Метод многих поверхностей 127
13.3.4. Трансфинитная интерполяция 131
§ 13.4. Численная реализация алгебраического отображения . . . .134
13.4.1. ALGEM: программа построения сеток около хорошо об-
обтекаемых тел . 135
§ 13.5. Заключение 145
§ 13.6. Задачи 146
Глава 14. Невязкие течения . . . . 148
§ 14.1. Панельный метод 149
14.1.1. Панельный метод для невязких несжимаемых течений 150
14.1.2. PANEL: численная реализация 155
14.1.3. Связь с методом граничных элементов 163-
14.1.4. Обтекание профиля с подъемной силой 164
14.1.5. Панельные методы высокого порядка и обобщение на
случай трех пространственных переменных 167
14.1.6. Панельный метод для невязких сжимаемых течений . .169
§ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 170
14.2.1. Предварительные замечания 170
14.2.2. Схема предиктор — корректор Мак-Кормака 172
14.2.3. SHOCK: программа расчета движущихся ударных волн 175
14.2.4. Обтекание конуса под углом атаки 18$
14.2.5. Я-схема Моретти 186
14.2.0. Расчет сильных скачков 190
14.2.7. FCT: алгоритм расчета движущейся ударной волны . .199
14.2.8. Неявные схемы для уравнений Эйлера 202
14.2.9. Многосеточные методы решения уравнений Эйлера . .211
§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения 216
14.3.1. Общие замечания 216
14.3.2. Трансзвуковое уравнение малых возмущений 218
14.3.3. Полное уравнение для потенциала 221
14.3.4. Трансзвуковые невязкие течения: обобщенные коорди-
координаты 223
14.3.5. Решение алгебраических уравнений 225
14.3.6. Использование потенциала в неизэнтропических тече-
течениях 230
14.3.7. Уравнение полного потенциала: дальнейшие замечания 231
§ 14.4. Заключение . 233
§ 14.5. Задачи 234
Глава 15. Течения в пограничном слое ... 238
§ 15.1. Простые течения в пограничном слое 239
15.1.1. Неявная схема 240
15.1.2. LAMBL: ламинарный пограничный слой 242
15.1.3. Схема ячеек Келлера 249
§ 15.2. Сложные течения в пограничных слоях 251
15.2.1. Замена переменных 252
15.2.2. Преобразование Леви —Лиза . 252

Оглавление 551
15.2.3. Связанная схема Дэвиса 254
§ 15.3. Метод Дородницына описания пограничного слоя 257
15.3.1. Метод конечных элементов в подходе Дородницына . . 260
15.3.2. DOROD: течение в турбулентном пограничном слое . . 264
15.3.3. Спектральный метод в подходе Дородницына .... 275
§ 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое 277
15.4.1. Квазихарактеристическое поведение 278
15.4.2. Обобщенные координаты 281
15.4.3. Неявная маршевая схема расщепления 283
§ 15.5. Заключение . 285
§ 15.6. Задачи 286
Глава 16. Течения, описываемые укороченными уравнениями Навье —
Стокса . 291
§ 16.1. Введение 292
16.1.1. Анализ порядков величин 296
16.1.2. Анализ Фурье качественного поведения решений . . .301
16.1.3. Качественное поведение решений укороченных уравне-
уравнений Навье — Стокса 305
16.1.4. THRED: задача ввода тепла 311
§ 16.2. Внутренние течения 317
16.2.1. Закрученное внутреннее течение 322
16.2.2. Течение в прямом канале прямоугольного сечения . . 329
16.2.3. Течение в искривленном канале прямоугольного сечения 337
§ 16.3. Внешние течения 345
16.3.1. Сверхзвуковые течения 346
16.3.2. Дозвуковые течения 355
16.3.3. Несжимаемые течения 364
16.3.4. Вязко-невязкое взаимодействие 371
16.3.5. Квазиодновременный итерационный метод 375
16.3.6. Полуобратный итерационный метод 378
16.3.7. Вязко-невязкое взаимодействие с использованием урав-
уравнений Эйлера 381
§ 16.4. Заключение 383
§ 16.5. Задачи 385
Глава 17. Несжимаемые вязкие течения 389
§ 17.1. Исходные переменные: нестационарные течения 390
17.1.1. Разнесенная сетка 391
17.1.2. Метод MAC 394
17.1.3. Постановка граничных условий 398
17.1.4. Развитие метода MAC 399
17.1.5. Разности высокого порядка против потока ..... 403
17.1.6. Спектральные методы 408
§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 417
17.2.1. Искусственная сжимаемость 417
17.2.2. Вспомогательная потенциальная функция 421
17.2.3. Метод SIMPLE 423
17.2.4. Применение методов конечных элементов 431
§ 17.3. Переменные завихренность — функция тока 436
17.3.1. Применение конечно-разностных методов 438
17.3.2. Постановка граничных условий 442
17.3.3. Применение группового метода конечных элементов . . 446
17.3.4. Расчет давления 457
§ 17.4. Завихренность при описании трехмерных течений 459
17.4.1. Описание через завихренность и векторный потенциал 459
17.4.2. Описание через завихренность и скорость 462

552 Оглавление
§ 17.5. Заключение 464
§ 17.6. Задачи 465
Глава 18. Сжимаемые вязкие течения 467
§ 18.1. Физические упрощения 468
18.1.1. Модели турбулентной вязкости 473
18.1.2. Течения с постоянной полной энтальпией 476
18.1.3. Приближение тонкого слоя 477
§ 18.2. Явные схемы 479
18.2.1. Явная схема Мак-Кормака 480
18.2.2. Схемы Рунге — Кутты 483
§ 18.3. Неявные схемы 485
18.3.1. Неявная схема Мак-Кормака 486
18.3.2. Схема Бима — Уорминга 492
18.3.3. Групповой метод конечных элементов 495
18.3.4. Приближенная LU-факторизация 499
§ 18.4. Обобщенные координаты 503
18.4.1. Приближение тонкого слоя Стегера 503
18.4.2. Приближенная факторизация метода конечных элемен-
элементов 512
§ 18.5. Численная диссипация 517
18.5.1. Течения с большими числами Рейнольдса 519
18.5.2. Ударные волны 521
§ 18.6. Заключение 527
§ 18.7. Задачи 528
Литература 531
Предметный указатель 547
Учебное издание
Клайв Флетчер
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
В ДИНАМИКЕ ЖИДКОСТЕЙ
В 2-х томах. Том 2
Заведующий редакцией академик В. И. Арнольд.
Зам. зав. редакцией А. С. Попов. Ст. научный ред. П. Я. Корсоюцкая.
Мл. научный ред. Н. С. Полякова. Художник О. С. Василькова.
Художественный ред. В. И. Шаповалов. Технический ред. М. А. Страшнова.
Корректор Т. М. Подгорная.
ИБ № 7465
Сдано в набор 17.09.90. Подписано к печати 15.04.91. Формат 60x90'/ie. Бумага газетная.
Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 17,25 бум. л. Усл. печ. л. 34.50. Усл. кр.-
отт. 34,50. Уч.-изд. л. 32.85. Изд. № 1/7168. Тираж 5000 экз. Зак. 662. Цена 8 р. 50 к.
Издательство «Мир» В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по печати.
129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соко-
Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайлов-
Измайловский проспект, 29.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 8 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государствен-
Государственного комитета СССР по печати. 190000, г. Ленинград, Прачечный переулок, 6.