Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и механике сплошных сред - Сокольников И.С.

Автор: Сокольников И.С.

Теги: алгебра математика геометрия механика сплошных сред векторный анализ тензорный анализ

Год: 1971

Похожие

Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике

Риманова геометрия и тензорный анализ

Тензорный анализ для физиков

Введение в механику сплошных сред

Текст

Физике-
Математическая
Библиотека
Инженера
И. С. СОКОЛЬНИКОВ
ТЕНЗОРНЫЙ
АНАЛИЗ
ТЕОРИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ
В ГЕОМЕТРИИ И В МЕХАНИКЕ
СПЛОШНЫХ СРЕД
Перевод с английского В. И. КОНТОВТА
Под редакцией В. В. ЛОХИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 197 1

517.3.
С 59
УДК 512.972
Тензорный анализ (с приложениями к геометрии и механике сплош-
сплошных сред). И. Сокольников, перев. с англ. Главная редакция
физико-математической литературы йзд-ва «Наука», Москва, 1971,
376 стр.
В основу книги положен курс лекций, читанных автором студентам стар-
старших курсов и аспирантам ряда североамериканских университетов. Книга мо-
может быть использована как учебное пособие впервые приступающими к изу-
изучению предмета и как справочник научными работниками и инженерами.
Большая часть приложений тензорного анализа, рассматриваемых в книге,
относится к аналитической механике и к механике сплошных сред. Послед-
Последние главы книги представляют собой краткое введение в теорию относитель-
относительности и механику деформируемых сред.
Рис. 53, библ. ссылок 82.
I. S. SOKOLNIKOFF
TENSOR ANALYSIS
THEORY AND APPLICATIONS
TO GEOMETRY
AND MECHANICS OF CONTINUA
2-2-3
65-71

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 1
Предисловие ко второму изданию 9
Предисловие к первому изданию Ю
Глава I. Линейные векторные пространства. Матрицы , . 13
§ 1. Координатные системы 13
§ 2. Геометрическое понятие вектора 16
§ 3. Линейные векторные пространства. Размернсть пространства 18
§ 4. ЛР-мерные пространства 21
§ 5. Линейные векторные пространства п измерений 23
§ 6. Комплексные линейные векторные пространства 27
§ 7. Соглашение о суммировании. Детерминанты 28
§ 8. Лииейиые преобразования и матрицы 32
§ 9. Линейные преобразования в евклидовом трехмерном простран-
пространстве 37
§ 10. Ортогональное преобразование в Е3 40
§ 11. Линейные преобразования в «-мерных евклидовых простран-
пространствах 41
§ 12. Приведение матриц к диагональной форме 43
§ 13. Вещественные симметричные матрицы и квадратичные формы 47
§ 14. Примеры приведения квадратичных форм 53
§ 15. Классификация и свойства вещественных квадратичных форм 57
§ 16. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме
квадратов 58
§ 17. Унитарные преобразования и эрмитова матрица 60
Глава П. Теория тензоров 63
§ 18. Задача и содержание тензорного анализа. Инвариантность . . 63
§ 19. Преобразование координат 64
§ 20. Свойства допустимых преобразований координат 66
§ 21. Преобразования, индуцированные инвариантностью .... 67
§ 22. Ковариантные и контравариантные преобразования .... 69
§ 23. Понятие тензора. Контравариантный и ковариантный тензоры 72
§ 24. Свойства ковариантного и контравариантного законов преобра-
преобразования тензоров 76
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 25. Алгебра тензоров 78
§ 26. Правило частного 81
§ 27. Симметричные и кососимметричные тензоры 84
§ 28. Относительные тензоры 85
§ 29. Метрический тензор 87
§ 30. Фундаментальный тензор и ассоциированные с ним тензоры . 89
§ 31. Символы Кристоффеля 91
§ 32. Преобразование символов Кристоффеля 95
§ 33. Ковариантное дифференцирование тензоров 97
§ 34. Формулы ковариантного дифференцирования 100
§ 35: Теорема Риччи 101
§ 36. Тензор Римаиа — Кристоффеля 102
§ 37. Свойства тензоров Римана — Кристоффеля 105
§ 38. Тензор Риччн. Тождества Бьянки. Тензор Эйнштейна .... 107
§ 39. Пространства Римана и Евклида. Теорема существования . .108
§ 40. е-системы и обобщенные дельты Кронекера 113
§ 41. Применение е-систем к детерминантам. Тензорный характер об-
обобщенных дельт Кронекера 118
Глава III. Геометрия , , 122
§ 42. Неевклидовы геометрии 122
§ 43. Длина дуги 123
§ 44. Криволинейные координаты в Е3 130
§ 45. Взаимные базисные системы. Ковариантные и коитравариант-
ные векторы 135
§ 46. О смысле ковариантиых производных 139
§ 47. Внутреннее дифференцирование 142
§ 48. Параллельные векторные поля 143
§ 49. Геометрия кривых в пространстве !45
§ 50. Формулы Серре — Френе 149
§ 51. Уравнения прямой линии 152
§ 52. Криволинейные координаты на поверхности 153
§ 53. Внутренняя геометрия. Первая фундаментальная квадратичная
форма. Метрический тензор 156
§ 54. Угол между двумя пересекающимися кривыми на поверхности.
Элемент площади поверхности 159
§ 55. Основные понятия вариационного исчисления 162
§ 56. Уравнение Эйлера в простейшем случае 165
§ 57. Уравнения Эйлера для функционала от нескольких аргументов 168
§ 58. Геодезические линии в Rn 17J
§ 59. Геодезические координаты 178
§ 60. Параллельные векторные поля на поверхности 180
§ 61. Изометрические поверхности 182
§ 62. Тензор Римаиа — Кристоффеля и гауссова кривизна . . . .183
§ 63. Геодезическая кривизна поверхностных кривых 186
§ 64. Поверхности в пространстве 188

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 65. Нормаль к поверхности 192
§ 66. Тензорные производные . 194
§ 67. Вторая фундаментальная форма поверхности 197
§ 68. Условия интегрируемости • 199
§ 69. Формулы Вейнгартена и уравнения Гаусса и Кодацци . . .201
§ 70. Средняя и полная кривизна поверхности 203
§ 71. Кривые на поверхности. Теорема Менье 204
§ 72. Главные кривизны поверхности 207
§ 73. Параллельные поверхности 212
§ 74. Теорема Гаусса — Бонне 215
§ 75. n-мерные многообразия 220
Глава IV. Аналитическая механика . . . , 223
§ 76. Основные понятия. Кинематика 223
§ 77. Законы Ньютона. Динамика 225
§ 78. Уравнения движения частицы. Работа. Энергия 227
§ 79. Уравнения движения Лагранжа 230
§ 80. Применения уравнений Лагранжа 232
§ 81. Определение вариации 241
§ 82. Принцип Гамильтона 243
§ 83. Интеграл энергии 245
§ 84. Принцип наименьшего действия 246
§ 85. Системы частиц. Обобщенные координаты 250
§ 86. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах 253
§ 87. Виртуальная работа и обобщенные силы 258
§ 88. Неголономные системы • ¦ • 260
§ 89. Иллюстративные примеры 266
§ 90. Канонические уравнения Гамильтона 273
§ 91. Закон тяготения Ньютона 277
§ 92. Теоремы преобразования интегралов 281
§ 93. Теорема Гаусса. Решение уравнения Пуассона 286
§ 94. Третье тождество Грина. Гармонические функции 290
§ 95. Функции Грина и Неймана 294
§ 96. Функции Грина для полубесконечного пространства и сфери-
сферических областей 297
§ 97. Задача двух тел 300
Глава V. Релятивистская механика 305
§ 98. Инвариантность физических законов 305
§ 99. Частная нлн специальная теория относительности 307
§ 100. Собственные или локальные координаты 311
§ 101. Уравнение энергии Эйнштейна 313
§ 102. Общая теория относительности. Возникновение и перспективы
развития 315
§ 103. Гравитационные уравнения Эйнштейна 317
§ 104. Сферически-симметричное статическое иоле 319

О ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 105. Орбиты планет 323
§ 106. Смещение перигелия 327
§ 107. Заключительные замечания 330
Глава VI. Механика сплошных сред 332
§ 108. Вводные замечания 332
§ 109. Деформирование сплошной среды 333
§ ПО. Геометрическая интерпретация тензоров Ев и Е 336
§ 111. Квадрика деформаций. Главные деформации 338
§ 112. Относительное изменение элементов объема 341
§ 113. Перемещения в сплошных средах 343
§ 114. Уравнения совместности 345
§ 115. Анализ напряженного состояния 347
§ 116. Дифференциальные уравнения равновесия 349
§ 117. Виртуальная работа 351
§ 118. Законы термодинамики 355
§ 119. Упругие среды 357
§ 120. Соотношения напряжение — деформация в изотропных упру-
упругих средах 360
§ 121. Уравнения упругости 362
§ 122. Гидромеханика. Уравнения неразрывности 364
§ 123. Идеальные жидкости. Уравнения Эйлера 366
§ 124. Вязкие жидкости. Уравнения Навье 368
§ 125. Замечания о турбулентных течениях и диссипатывных средах 372
Библиография 374

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В книге И. С. Сокольникова «Тензорный анализ. Теория й
применения в геометрии и в механике сплошных сред» ясно и
подробно изложены основы тензорного анализа, который являет-
является незаменимым математическим аппаратом во многих разделах
геометрии, механики и физики.
Автор с большим педагогическим мастерством знакомит
с основными идеями, понятиями и теоремами тензорного исчис*
ления и дает представление о предмете в целом как об опреде-
определенном математическом методе.
В основу кйиги положен курс лекций, прочитанный автором
для студентов старших курсов и аспирантов Висконсинского,
Браунского и Калифорнийского университетов. Это определило
общий стиль книги. Она может быть использована как учебное
пособие впервые приступающими к изучению предмета и как
справочник научными работниками и инженерами.
Большинство приложений тензорного анализа, рассматри-
рассматриваемых в книге, относится к аналитической механике и к меха-
механике сплошных сред.
Несомненным достоинством книги является простота и до-
доступность изложения, для понимания ее не требуется специаль-
специальной математической подготовки. В то же время она написана
на современном научном уровне. Последние главы книги пред-
представляют собой краткое введение в теорию относительности и
Механику деформируемых сред. Книга И. С. Сокольникова
является хорошей базой для дальнейшего углубленного изуче-
изучения этих теорий, подлинное понимание которых немыслимо без
овладения методами тензорного анализа.
Читателю, желающему подробнее ознакомиться с приложе-
приложениями тензорного анализа, можно рекомендовать обратиться
к другим источникам. Например, к книгам Н. Е. Кочина «Век-
«Векторное исчисление и начала тензорного исчисления», «Наука»
A965) и П. К. Рашевского «Риманова геометрия и тензорный
анализ», «Наука» A967).
В частности, полезно дополнительно ознакомиться с недавно
развитой теорией дифференцирования тензоров различных

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
рангов по параметру (времени) в разных смыслах и их приме-
применением к физике. Эти вопросы имеют особенно существенное
значение при построении физических моделей сплошных сред
с учетом различного рода нелинейных эффектов.
Кроме этого, важное значение в различных приложениях
имеет теория симметрии, в которой симметрия полностью за-
задается с помощью простых систем тензоров. Сюда примыкает
теория симметрии кристаллов и текстур, теория свойств систем
коэффициентов в линейных соотношениях термодинамической
теории Онзагера; из этой теории автоматически выводится прин-
принцип симметрии П. Кюри и т. п. С методами описания симметрии
с помощью тензоров тесно связана теория структуры нелиней-
нелинейных тензорных функций для тензоров любого ранга, зависящих
от нескольких тензорных аргументов различных рангов. С этими
теориями можно ознакомиться в книгах Л. И. Седова «Введение
в механику сплошных сред», Физматгиз A962) и «Механика
сплошной среды», т. I, «Наука» A970).
В. В. Лохин

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке второго издания этой книги я принял во
внимание пожелания, любезно высказанные мне читателями,
знакомыми с ее первым изданием. При этом выяснилось, что
никаких сколько-нибудь значительных изменений ни в первой
(вступительной) главе, посвященной линейным преобразованиям
и матрицам, ни во второй главе, излагающей основы тензор-
тензорной алгебры и тензорного анализа, не потребовалось.
В главе III были расширены отдельные параграфы, осве-
освещающие применения вариационного исчисления в геометрии,
был введен новый иллюстративный материал, а также два но-
новых параграфа: о параллельных поверхностях и о теореме Гаус-
Гаусса — Бонне. Главы II и III настоящего издания содержат ма-
материал, отвечающий требованиям вводного курса по метриче-
метрической дифференциальной геометрии, проходимого при подготов-
подготовке на степень кандидата наук или в аспирантуре.
Подробнее — в сравнении с первым изданием — излагается
аналитическая механика (глава IV). В чистом виде она дает
существенные основы классической аналитической механики и
теории потенциала, что вместе с главой V (Релятивистская ме-
механика) должно было бы составлять — хотя на деле часто и не
составляет — важный раздел в экипировке каждого матема-
математика — студента и научного работника. Сюда вводится ряд ил-
иллюстративных примеров, поясняющих теорию, приводятся све-
сведения о неголономных динамических системах, о канонических
уравнениях Гамильтона, детальнее развивается теория потен-
потенциала.
Заключительная глава, посвященная механике сплошных
сред, полностью переработана. Она построена по единому обоб-
обобщающему плану и, надо надеяться, передает достаточно ясно

10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
существенное в нелинейной теории механики деформируемых
сред. Эта глава подводит единый общий фундамент под сов-
совместную разработку математических теорий упругости, пластич-
пластичности, гидродинамики и газовой динамики.
И. С. Сокольников
Пэсифик Палисад, Калифорния
Январь, 1964 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга сформировалась в итоге многолетнего опыта чте-
чтения мною курса лекций в Висконсинском, Браунском и Кали-
Калифорнийском университетах. Моя аудитория состояла главным
образом из студентов, закончивших общий курс и интересовав-
интересовавшихся приложениями математики, и это обстоятельство отра-
отразилось как на выборе содержания курса, так и на характере
его изложения.
В связи с тем значением, которое приобрела теория линей-
линейных преобразований в развитии тензорного исчисления, первая
глава курса излагает прежде всего именно эту теорию совмест-
совместно с теорией матриц, иллюстрируя применение этих теорий
в геометрии и физике. Хотя значительная часть материала, при-
приводимого в этой главе, освещается обычно в курсах матричной
алгебры, лишь немногим из моих слушателей представился
случай заранее познакомиться с матричными преобразования-
преобразованиями, столь необходимыми для специалиста по прикладной мате-
математике.
Вторая глава посвящена тензорной алгебре и тензорному
анализу. Предлагаемое здесь изложение тензорного анализа не
нуждается в опоре на какую-либо область математики, спе-
специально привлекаемую для его обоснования. В этом отношении
здесь — отступление от обычной практики развивать тензорный
анализ на конкретном материале геометрии или теории относи-
относительности. Хотя в пользу такого пути и можно указать значи-
значительные преимущества, поскольку, с одной стороны, он непосред-
непосредственно наглядно раскрывает мотивы, по которым тензорное

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ II
исчисление следует изучать, с другой стороны, он часто при
этом внушает ошибочное представление о том, что построение
формального аппарата тензорного анализа находится будто бы
в какой-то зависимости от содержания геометрии или теории
относительности.
Остальные разделы этого курса знакомят с применениями
тензорного анализа к геометрии, аналитической механике, реля-
релятивистской механике и механике деформируемых сред. Так, гла-
глава III содержит подбор геометрических задач, представляющих
большое значение в изучении аналитической динамики и в тех
разделах теории упругости и теории пластичности, в которых
исследуются деформации пластинок и оболочек. В этой главе
дается также содержательное введение в метрическую диффе-
дифференциальную геометрию. В главе IV кратко изложены основные
идеи аналитической механики. Введению в релятивистскую ме-
механику посвящена глава V. Изложение темы дано здесь весьма
кратким по тем соображениям, что теория относительности обо-
обогатилась за последнее время рядом превосходных книг, едва
ли нуждающихся в дублировании их содержания. Последняя
глава нашего труда формулирует важнейшие положения нели-
нелинейной механики сплошных сред в наиболее общей тензорной
форме. Классические линеаризованные уравнения теории упру-
упругости и гидромеханики входят сюда как частные случаи общих
формулировок.
Может быть самым лучшим доказательством замечательной
эффективности тензорного аппарата в изучении законов при-
природы сможет послужить тот факт, что в скромные рамки на-
настоящего тома удалось вместить огромный объем материала,
представляющего интерес одновременно и для математиков, и
для физиков, и для инженеров.
Столь широкий охват области прикладной механики неиз-
неизбежно должен был отразить вклад весьма многочисленного кру-
круга ученых. И именно в силу этого здесь было бы тщетно пы-
пытаться отмечать выдвинутые тем или иным из них в отдельности
оригинальные идеи или методы решения частных задач. При
всем том, однако, два автора сыграли особо значительную роль
в моей многолетней практике преподавания геометрии: Т. Леви-
Чивита и Э. Дж. Мак-Коннел, в особенности последний, автор

12 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
книги «Приложения абсолютного дифференциального исчисле-
исчисления». Выражения признательности только что названным и дру-
другим авторам приводятся в надлежащих местах текста. Но са-
самый большой мой долг — перед слушателями, сделавшими ра-
работу над этой книгой радостной и не напрасной.
Особенно приятно отметить одного из моих слушателей —
Уилльяма Сейглинга (William R. Seugling), научного ассистен-
ассистента Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, не щадив-
щадившего времени и трудов для продвижения этой книги в процессе
печатания.
И. С. Сокольников
Лос-Анджелес
Ноябрь 1951 г.

ГЛАВА I
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ
§ 1. Координатные системы
Для того чтобы указать положение в пространстве какой-
либо геометрической фигуры, необходимо предварительно вы-
выбрать систему отсчета. Из числа наиболее простых систем та-
такого рода в математике чаще всего пользуются декартовыми
системами координат. Хотя построение таких координатных си-
систем и знакомо нашему читателю из курсов аналитической гео-
геометрии, мы все же остановимся здесь на их рассмотрении, с тем
чтобы выявить то общее, что составляет основу всех систем ко-
координат в пространстве нашей физической интуиции. Это рас-
рассмотрение проложит путь к некоторым далеко идущим обобще-
обобщениям понятия физического пространства, которые мы сформу-
сформулируем в § 4.
Центральная идея, приведшая Декарта к открытию возмож-
возможности построения координатных систем, заключалась в возмож-
возможности отождествления множества точек, составляющих прямую
линию, с множеством вещественных чисел. Это отождествление
основано на допущении, согласно которому каждому веще-
вещественному числу соответствует одна-единственная точка на пря-
прямой и обратно ').
!) Хотя идея взаимно однозначного соответствия между множеством то-
точек, составляющих линию, и множеством вещественных чисел имеет свои
корни в теории несоизмеримых Евдокса, восходящей к IV столетию до нашей
эры, открытие координатных систем совершилось лишь в первой половине
XVII века. Следует также отметить, что строгий анализ отношения между
множеством точек на линии и множеством вещественных чисел был выпол-
выполнен лишь в самом конце XIX века, главным образом в трудах Р. Дедекинда
и Г. Кантора. Понятие строгости зависит всецело от условностей, диктуемых
господствующим вкусом, которому и дано на определенный хронологиче-
хронологический период утверждать меру требовательности в определении степени мате-
математической строгости. Плодотворные интуитивные концепции преобразуются
обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том,
Какие понятия следует относить в категорию концепций, допускающих опре-
определение, и какие остаются неопределимыми, либо путем введения в матема-
математические теории новых форм логических процессов, по возможности свобод-
свободных от противоречий.

и
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ
[ГЛ i
Построим прямую X и выберем на ней точку О (рис. 1). Эта
точка О, которую мы назовем началом, делит прямую на две
полупрямые — на два луча. Назовем один из них положитель-
положительным лучом, другой — отрицательным. На положительном луче
Q А Р X
Рис. 1.
выберем точку А и назовем длину отрезка ОА единицей длины.
Теперь сопоставим точки на X с множеством вещественных чи-
чисел следующим образом. Если Р — произвольная точка на по-
положительном луче, определим число х, связанное с Р формулой
ОР
где ОР и ОА — длины отрезков ОР и ОА. Число х является
координатой Р. Координата х точки Q на отрицательном луче
определяется отношением
ОА "
Мы принимаем, таким образом, что каждое вещественное число
х соответствует одной и только одной точке на X. Это соответ-
соответствие множества точек на X множеству вещественных чисел
и составляет координат-
координатную систему одномерного
пространства, образуемо-
образуемого точками, лежащими
на X.
Соответствие множе-
множества точек, лежащих на
плоскости, множеству ве-
щественных чисел выпол-
няется, если мы проведем
^_ две прямые линии Хг и
X] Х%, пересекающиеся в од-
J
ной точке О (рис. 2). На
Рис 2. каждой из этих прямых
координатная система
строится, как указано выше, хотя единицы длины на каждой из
них не обязательно должны быть равными. Пара таких прямых
с отмеченными на них точками А а В образует координатные
оси Х\, Х2. С каждой точкой Р, лежащей в плоскости коорди-
координатных осей, мы связываем упорядоченную пару вешественных

§ 1] КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ |5
чисел (хь х2), определяемых нижеследующим образом: прямая,
проведенная через Р параллельно оси Х2, пересекает ось Х\ з
точке Mi с координатой х\, прямая же, проходящая через Р
параллельно оси Хи пересекает Х2 в точке М2 с координатой х2.
Упорядоченная пара чисел (х\, х2) представляет собой коорди-
координаты точки Р в плоскости, а взаимно однозначное соответствие
упорядоченных пар чисел с множеством точек в плоскости Х\Х2
является координатной системой двумерного пространства, со-
состоящего из точек плоскости.
Расширение этого представления на точки трехмерного про-
пространства очевидно. Выберем три, не лежащих в одной пло-
плоскости прямых Х\, Х2, Хз, пересекающихся в одной общей
точке О. На каждой из этих прямых строим координатную
систему и с каждой точкой Р свяжем упорядоченную тройку
чисел (х\, Х2, Хз), определяемых пересечением с осями трех пло-
плоскостей, проведенных через Р параллельно координатным пло-
плоскостям Х]Х2, Х2Х3 и Х}Х3.
Описанные здесь координатные системы называются косо-
косоугольными декартовыми системами. Построение их использует
понятия длины и параллельности обычной евклидовой геомет-
геометрии и существенной их характеристикой является наличие вза-
взаимно однозначного соответствия точек с упорядоченными мно-
множествами чисел. Если координатные оси Х\, Х2, Хз пересекаются
под прямыми углами, координатная система называется орто-
ортогональной декартовой или прямоугольной декартовой. В прак-
практических применениях обычно используются именно прямо-
прямоугольные системы, так как выражение для длины d отрезка
АВ, соединяющего пару точек с координатами Л(аи а% аз) и
B(bh b2, b3), принимает здесь простую форму
- a,J + (b2 - a2f + (b3 ~ a3J. A.1)
Это — знакомая формула Пифагора. Если координатная система
косоугольная, формула для расстояния d получается несколько
более сложной. В § 9 мы узнаем, что от ортогональной системы
координат можно перейти к косоугольной, выполнив линейное
преобразование координат. Из этого обстоятельства и из струк-
структуры формулы A.1) следует заключить, что длина линейного
сегмента, соединяющего точки с заданными координатами
(#ь х2, Хз) и (у\, г/2, Уз) в косоугольной системе равна
A.2)
где через gi^ обозначены константы, зависящие от коэффициен-
коэффициентов в вышеупомянутом линейном преобразовании координат.

16 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
В дальнейшем мы займемся детальным изучением квадратич-
квадратичных форм, входящих под знак радикала в формулу A.2), и
установим их влияние на метрические свойства пространства.
§ 2. Геометрическое понятие вектора
В предыдущем параграфе мы напомнили о процессе построе-
построения координатных систем в обычном трехмерном пространстве,
где для измерения расстояний между двумя точками исполь-
используется теорема Пифагора. Пространства, в которых предста-
представляется возможным построить такую координатную систему,
где длина отрезка пря-
8j " ~Jf*c м°й определяется форму-
формулой Пифагора, называют-
называются евклидовыми про-
пространствами. Для таких
а/ ^/^, пространств понятие пе-
перемещения принимается
в качестве основного.
Так, например, если точ-
точка А перемещается в но-
новое положение В, то это
Рис з. перемещение из Л в В
может быть наглядно
представлено направленным линейным сегментом (прямолиней-
(прямолинейным отрезком) АВ (рис. 3). Если В перемещается в новое по-
положение С, то результирующее перемещение может быть полу-
получено движением точки Л в положение С. Эти операции можно
обозначить символически уравнением
В элементарном изложении векторного анализа направлен-
направленные прямолинейные отрезки называются векторами и обозна-
обозначаются обычно одной буквой жирного шрифта. Предыдущую
формулу можно поэтому представить так:
а + Ь = с, B.1)
где АВ = а, ВС = Ь, АС = с.
Правило сложения векторов, представленное наглядно на
рис. 3, было сформулировано впервые в 1586 г. С. Стевином
в связи с экспериментальным изучением законов, управляю-
управляющих сложением сил. Этот закон известен как закон паралле-
параллелограмма сложения сил. В силу того, что разнообразные вели-
величины, изучаемые физикой, могут быть представлены направлен-
направленными прямолинейными отрезками, закон сложения которых

§ 2] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА |7
передается символически формулой B.1), векторный анализ
приобретает большую ценность в своих применениях. Мы усма-
усматриваем здесь пример геометризации физики, оказавшей на
развитие этой науки не меньшее влияние, чем в свое время
арифметизация геометрии на развитие математического ана-
анализа.
Из представления о векторе как о перемещении, определяе-
определяемом парой точек, мы приходим к выводу, что два вектора сле-
следует признать равными, если изображающие их отрезки имеют
одинаковую длину, а их направления параллельны. Обозначим
длину вектора а символом \а\. Допустим, что понятие длины не
зависит от избранной системы отсчета, так что длина \а\ мо-
может быть вычислена по формуле Пифагора по координатам
начальной и конечной точек вектора а.
Под отрицательным значением вектора а (обозначается —о)
мы понимаем вектор, длина которого равна длине вектора а,
но направление которого противоположно направлению о. Опре-
Определим вектор-нуль (обозначается 0), отвечающий нулевому пе-
перемещению, формулой
а + (—а) = 0.
Из геометрических свойств направленных прямолинейных от-
отрезков выводим, что:
(I) а + Ь = Ь + а.
(II) (а + Ь) + с = а+ (Ь + с).
(III) если а и Ъ — векторы, то существует единственный
вектор х, удовлетворяющий условию
о = Ь + х.
Определим теперь операцию умножения векторов на веществен-
вещественные числа. Если а — вещественное число, символ аа == аа
обозначает вектор, длина которого равна |а||а|, направление
же совпадает с а, если а > 0, и противоположно а, если а < 0.
Если а = 0, то аа = 0.
Из этого определения и из свойств вещественных чисел за-
заключаем, что:
(IV) (оц + <х2) а = <х,а + а2а
(V) а (о + Ъ) = аа + аЪ ~
(VI) а, (а2а) = (ща2) а, 1 • а = о
для любых вещественных чисел ai и а%
Введем теперь определение скалярного произведения двух
векторов, которое позволит нам ввести новое обозначение для
длины вектора.
Определение. Скалярное произведение двух векторов
Ц и Ь, обозначаемое а • Ь, представляет собой вещественное число

18 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
\а\ | & j cos (а, Ъ), где cos(a,b)—косинус угла между направле-
направлениями а и Ь.
Если выразить это на языке геометрии, а-Ъ равно произве-
произведению проекции а на Ь, умноженной на длину Ъ. Таким обра-
образом, длина вектора а выразится положительным значением
квадратного корня из аа. Заметим также, что а и Ь ортого-
ортогональны лишь в том единственном случае, если ab = 0.
Из этого определения и из свойств вещественных чисел мы
без труда выводим следующие теоремы:
(VII) а- а = |а|2>0, если только а=^=0
(VIII) а-Ъ = Ъа
(IX) а{Ь + с) = а-Ь + ас
(X) а (а • 6) = (аа • Ь), где а —вещественное число.
§ 3. Линейные векторные пространства.
Размерность пространства
Сформулируем теперь определение линейной зависимости
совокупности векторов аи а2, ..., а„, которое обнаружит свою
важную связь с понятием размерности пространства.
Линейная зависимость. Совокупность векторов
а.\, а2, ..., а„ называется линейно зависимой, если сущест-
существуют числа ось «2, • • •, сси, не все равные нулю, но такие, что
а.а, + а2а2 + ... + апап = 0.
Если таких чисел не существует, то векторы называются ли-
линейно независимыми.
О а Ь
Рис. 4.
Рассмотрим два вектора а и Ь, направления которых либо
совпадают, либо противоположны (рис. 4). В таком случае су-
существует число k ф 0, для которого
b = ka. C.1)
Если положить k = —а/р, то это уравнение можно будет пред-
представить в виде
аа + р& = 0,
откуда легко заключить, что два коллинеарных (или парал-
параллельных.) вектора должны быть линейно зависимыми, посколь-
поскольку ни а, ни р не равны нулю. В таком случае мы скажем, что
полная совокупность векторов ka при произвольном веществен-

§3]
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
19
ном k и а ф О образует одномерное вещественное линейное век-
векторное пространство. Основанием для такой терминологии яв-
является то, что каждая точка этого пространства может быть
представлена некоторым радиусом-вектором ka.
Если а и Ь — два неколлинеарных вектора, представленных
двумя направленными прямолинейными отрезками, имеющими
общее начало О (рис. 5), то лю-
любой вектор с, лежащий в плоско-
плоскости а и Ь, может быть представ-
представлен выражением
с — ma
пЪ.
C.2)
Формула C.2) следует из о
правила сложения векторов и од-
одновременно из определения ум-
умножения векторов на скаляры.
Уравнение C.2) можно будет при этом переписать в симметрич-
симметричной форме
аа + $Ь + ус = О,
выражающей условие линейной зависимости совокупности трех
векторов, если не все константы в этой формуле обращаются в
нуль. Формула та + nb, где а и & —два линейно независимых
вектора, а т и п — произвольные действительные числа, опреде-
определяет двумерное линейное векторное пространство. Мы видим,
что в двумерном линейном векторном пространстве совокупность
трех векторов всегда линейно зависима.
Если в качестве системы отсчета принять три некомпланар-
некомпланарных вектора а, Ь, с, берущих общее начало в точке О (рис. 6),
то любой вектор d можно будет пред-
представить в форме У А
d = ma + nb + pc, C.3)
откуда следует, что между четырьмя
векторами а, Ъ, с, d всегда существует
нетривиальная зависимость в виде
аа + $Ь + ус + bd = 0.
Формула C.3) при произвольном вы-
выборе вещественных чисел пг, п опреде- Рис. 6.
ляет трехмерное вещественное линей-
линейное векторное пространство. Конечные точки радиусов-векто-
радиусов-векторов d охватывают трехмерное пространство точек, когда пг, п
и р пробегают по всей совокупности значений вещественных
чисел. В трехмерном линейном векторном пространстве любая
совокупность четырех векторов линейно зависима. Восполь-

20 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. [
зуемся связью между числом линейно независимых векторов и
размерностью пространства для того, чтобы определить понятие
размерности для линейного векторного пространства п изме-
измерений.
Векторы а, & и с в C.3) называются базисными или коор-
координатными векторами, а числа пг, п и р — измеряющими чис-
числами или компонентами вектора d. Как только мы выберем
совокупность базисных векторов, любой другой вектор будет
определяться единственным образом тройкой компонентов.
Совокупность трех взаимно ортогональных векторов в трех-
трехмерном пространстве, очевидно, линейно независима, и если мы
выберем в качестве координатных векторов три взаимно орто-
ортогональных вектора аи а2, аз. каждый длиной в единицу, то по-
получающаяся таким путем совокупность базисных векторов на-
называется ортонормальной.
Мы можем представить себе наглядно совокупность орто-
нормальных векторов, направленных по осям соответствующей
прямоугольной декартовой системы координат; в этом случае
каждый вектор х может быть выражен в виде
х = *,<*[ + х2а2 + х3а3,
где (xi, X2, хз) называются физическими компонентами х, ко-
конечные же точки базисных векторов a* (i = 1, 2, 3) получают
координаты
а{: A, 0, 0),
а2: @, 1, 0),
а,: @, 0, 1).
Закончим этот параграф перечнем правил сложения и умно-
умножения векторов, когда последние отнесены к ортонормальной
системе базисных векторов а, (? = 1, 2, 3). Если у нас имеются
два вектора х и у с компонентами {хи х2, х3) и соответственно
(Уи Уь Уз)> т0 вектор х + у определится компонентами (xi +
+ У и *2 + Уь х3 + уз) • Если а — вещественное число, то ком-
компонентами вектора ах будут (ахи ах%, ах3). Из дистрибутивно-
дистрибутивного закона скалярного умножения векторов следует непосред-
непосредственно, что произведение векторов
х = х{ах + х2а2 +
и
равно
* • у = *i#i + х2у2 + хгу3,
поскольку at-uj = 6tj, где 6*;- = 1, если i = /, и 8ц = 0, если
i ф у. Это следует из установленной нами ортонормальной при-
природы базисных векторов at. Только что полученная нами фор-
формула приводит непосредственно к знакомому выражению для

§ 4] М-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 21
длины |дс| вектора х, отнесенного к прямоугольной декартовой
системе отсчета. В самом деле
X ¦ X = х\ + Х% + Х\ = | X I2,
откуда
I у I _ Л/Х2 л. У2 л. Х2 .
| X | — у Л1 ^ Х2 ' 3 '
при этом |*|>0, если только xi, х2, х3 не обращаются в нуль
одновременно.
§ 4. АГ-мерные пространства
В прикладной математике нередко приходится устанавли-
устанавливать соответствия между совокупностью каких-либо объектов и
упорядоченной совокупностью чисел, когда количество таких
независимых объектов больше трех. Например, если речь идет
о состояниях газа, определяемых давлением (р), объемом (v),
температурой (Т) и временем (t), то эти параметры можно
поставить в соответствие с упорядоченной последовательностью
четырех вещественных чисел (дг±, х2, Хз, х^). Представить закон
состояний газа диаграммой в точках трехмерного физического
пространства здесь, очевидно, невозможно. Существенным
в идее координатной системы является, однако, не визуальное
графическое представление, а взаимно однозначное соответ-
соответствие между совокупностями объектов и чисел. Понятие рас-
расстояния между двумя произвольно взятыми точками также ут-
утрачивает здесь смысл и оказывается неприменимым. В самом
деле, понятие расстояния оказывается лишенным геометриче-
геометрического смысла даже и в знакомом нам представлении состояний
газа [давление (р) и объем (v)] точками декартовой плоско-
плоскости pv. Совершенно абсурдно было бы говорить о расстоянии
между двумя состояниями, охарактеризованными упорядочен-
упорядоченными парами чисел (р, v).
Эффективность аналитического подхода к решению проблем
физики столь велика, что мы, естественно, приходим к идее
пространства с более высокими числами измерений и к исполь-
использованию принципа взаимно однозначного соответствия между
множествами чисел и множествами объектов. «Объекты» мо-
могут быть здесь весьма различными. В некоторых случаях это
будут: давления, объемы, температуры; в иных — электрические
заряды и комплексные потенциалы, возбуждаемые движением
таких зарядов, и т. п.
Определим *) N-мерное пространство или многообразие как
некоторое множество объектов, которое может быть поставлено
') Сравните: Veblen О., Invariants of quadratic differential forms,
стр. 13.

22 линейные векторные пространства, матрицы [гл. i
во взаимно однозначное соответствие с множеством всех упо-
упорядоченных совокупностей N (вещественных или комплекс-
комплексных) чисел: хи х2, ..., xN, удовлетворяющих условию
\xt-At\<kt (/=1, 2, ..., N),
где А\, ..., AN — постоянные величины, a k\, k2, ..., kN — ве-
вещественные числа.
Неравенства в этом определении устанавливают диапазон
.изменения чисел х\. Если числа Xi вещественны, /V-мерное про-
пространство также вещественно, и мы сможем тогда записать не-
неравенства в такой форме:
a, ^.xl^a2, bl^.x2^b2, ..., tl^.x
Знак равенства здесь можно в некоторых случаях опустить, и
тогда для диапазона переменных х^ мы будем иметь, например,
О < xh < оо.
Обозначим пространство N измерений символом VN и за-
заменим термином «точки» термин «объекты».
Всякое частное взаимно однозначное соответствие множества
точек с упорядоченными совокупностями чисел (xi, Хг,
..., Xjv) называется координатной системой, а числа
Xi, х2, ..., Xn — координатами точек в этой координатной си-
системе.
Эти определения не дают повода к заключению, что понятие
расстояния между двумя точками приобретает при этом ка-
какой-либо смысл. Лишь введение правил измерения позволяет на-
назвать пространство Vjv метрическим. Пока же мы еще не утвер-
утверждаем, что наши пространства метризованы.
Система уравнений, имеющих вид
xt = xt (уь у2, ..., yN) (t=l, 2 N), D.1)
где функции xt однозначны и в рассматриваемой области дают
N однозначных решений
Ui — Hi \хь хъ •••> xn)>
определяет некоторое преобразование координат.
Освещение вопроса об общем функциональном преобразова-
преобразовании координат D.1) мы откладываем пока до главы П. Здесь
в пределах главы I мы остановимся на детальном изучении
важного случая линейных (или аффинных) преобразований ко-
координат
N
и на значении этих преобразований для линейных векторных
пространств.

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА п ИЗМЕРЕНИИ 23
§ 5. Линейные векторные пространства п измерений
Краткий очерк начал векторного анализа в § 2, основанный
на понятии направленного перемещения, сводится к 10 теоре-
теоремам, выраженным формулами, отмеченными римскими цифрами.
Эти теоремы можно положить в основу обобщенного понятия
вектора в /г-мерном пространстве, поскольку понятие направ-
направленного перемещения и длины теряют обычный смысл, коль
скоро п превышает число 3. В соответствии с этим мы постули-
постулируем, что в n-мерном пространстве существуют точки и что
A. Каждые две точки вещественного п-мерного пространства
определяют геометрический объект, который мы называем век-
вектором. Этот объект мы обозначаем символом а.
Б. Каждые два вектора а и Ь дают сумму а + Ь, следую-
следующую законам I, II, III, сформулированным в § 2.
Третий из этих законов приводит к выводу, что операция
вычитания векторов однозначна и что существует Еектор 0, на-
наделенный тем свойством, что а + 0 = а для каждого вектора а.
B. Для каждого вещественного числа а и вектора а суще-
существует вектор аа = аа, следующий законам IV, V, VI (§ 2).
Мы сохраняем определение линейной зависимости для сово-
совокупности п векторов относительно поля вещественных чисел
он, ..., ссп и принимаем в качестве нашей аксиомы размерности
допущение, согласно которому
Г. В п-мерном пространстве существует п-линейно независи-
независимых векторов, но любая совокупность п + 1 векторов линейно
зависима.
Эта аксиома предполагает, что каждый вектор х может
быть представлен в виде
... +а„а„, E.1)
где аи а2, ..., ап — совокупность п линейно независимых век-
векторов. Мы говорим, что все векторы, определяемые формулой
E.1), где а* •—произвольные вещественные числа, составляют
вещественное линейное векторное пространство п измерений.
Чтобы сообщить смысл понятиям длины и ортогональности
векторов, нам следует ввести постулат
Д. С каждой парой векторов а и Ь мы можем ассоциировать
число а-b, назвав его скалярным произведением векторов, под-
подчиняющимся законам VII, VIII, IX, X (§ 2).
На этом этапе мы не останавливаемся на природе форму-
формулы, использованной для вычисления числа ab. Достаточно за-
заметить, что свойства, воплощенные в законах скалярного умно-
умножения, приводят к определенному правилу вычисления а Ь,
как только мы введем координатную систему для определения
координат точек, определяющих векторы.

24 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
О векторе, удовлетворяющем постулатам А — Д, можно
сказать, что он определен в n-мерном евклидовом простран-
пространстве Еп.
Воспользуемся языком евклидовой геометрии и назовем дли-
длиной вектора а положительное значение квадратного корня из
скалярного произведения вектора а на самого себя. Эта длина
запишется формулой \a\=Ya-a. Если |а|=1, вектор а на-
называется единичным вектором. Два вектора а и & называются
ортогональными, если а-Ъ = 0.
Докажем, что любая совокупность m линейно независимых
векторов в Еп (пг <! п) может быть ортогонализована. Это оз-
означает, что из всякой заданной нам совокупности m линейно
независимых векторов дсь x%, ..., хт мы можем построить со-
совокупность векторов аи а2, .. •, о.т, удовлетворяющих условию
ui-uj — 0, если i ф j. Сверх того, при этом возможно выбрать
векторы a.i так, чтобы они имели единичную длину.
Доказательство. Допустим, что совокупность векторов
{Х{} (i = 1, ..., т) линейно независима. В таком случае урав-
уравнение
т = 0 E.2)
будет удовлетворяться лишь при условии ct = с2 = ... =
= ст = 0. Отсюда следует, что xt ф 0, ибо если бы эта величи-
величина была равна нулю, то числа
удовлетворяли бы уравнению E.2) и тогда эти векторы были
бы линейно зависимыми, что противоречит нашему предполо-
предположению. Обозначим через cti произведение Xi на величину, об-
обратную его длине, т. е.
Так как apCi = 1, то ai — единичный вектор.
Совокупность векторов
fl|, Х2, . • •, Хт
представляет собой, очевидно, линейно независимую совокуп-
совокупность. Рассмотрим теперь вектор
Произведение этого вектора на ai равно нулю, поскольку
*2 ¦ «1 - (*2 • ai) ai -«1 = 0.
Отсюда следует, что вектор а'2 ортогонален по отношению
к вектору а{, а а!2/\а!2\^а2 является единичным вектором.

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА п ИЗМЕРЕНИИ 25
Совокупность векторов
&Ь а2, Х3, ¦ ¦ •> хт
линейно независима, и мы можем определить вектор а'3 форму-
формулой
этот вектор ортогонален как по отношению к аи так и по отно-
отношению к а2. Вектор а3 = а'3/\а'3\— единичный вектор, а сово-
совокупность
а{, а2, а3, ж4 хт
представляет собой линейно независимую совокупность векто-
векторов.
Повторное выполнение этой процедуры дает совокупность,
состоящую из т линейно независимых единичных векторов
«ь а2, ¦••, ат, E.3)
каждый из которых выражается через Xi. Совокупность ортого-
ортогональных единичных векторов E.3) называется оргонормальной
совокупностью.
Если m = п, совокупность ортонормальных векторов аи
<к, .. ¦, о,п называется полной, поскольку каждый вектор х
в Еп может быть представлен в виде
х = «,«, +ща2+ ... + апап. E.4)
По аналогии с трехмерным случаем полная совокупность
ортонормальных векторов может быть принята как совокуп-
совокупность базисных векторов, ориентированных по осям п-мерной
ортогональной декартовой системы отсчета. Конечные точки
этих векторов будут, таким образом, иметь следующие коор-
координаты:
1, 0 О,
О, 1, .... О,
о, о, 1 о,
О, 0, 0, .... 1.
Константы ai,a2, .... а„ в E.4) называются компонентами век-
вектора х. Умножая E.4) скалярно соответственно на аь а2, ...
..., ап и вспоминая, что1) fli-flj = бг-,-, получим
а, • х = а„ а2 ¦ х = а2, ..., а„ • х = а„.
') Символ б,-j — дельта Кронекера — означает
i>ij = 1, если i = /, 6,; = 0, если /

26 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. 1
Это значит, что вектор х можно представить в форме
х = (а1- х)а] + (а2- х)а2 + ... + (аг1-х)ап. E.5)
Если ввести обозначение а, • х = Хи уравнение E.5) примет
вид
... +хпап.
Пользуясь дистрибутивным свойством скалярного умноже-
умножения, получаем
х-х = х\ + х\ + ... +х2п> E.6)
хп
откуда
V
\ Y =» I/ r* 4- y" -4- -4- r2
Это формула Пифагора для пространства Еп.
Если у = у{а{ + у2а2 + ... +упап, то
* ' У = *1#1 + *2#2 + • • ¦ + Хпуп.
Эта формула имеет ту же самую структуру, что и выражение
для скалярного произведения двух векторов в обычном трех-
трехмерном пространстве евклидовой геометрии.
Заметим, что в прямоугольной декартовой системе коорди-
координат вектор х определяется однозначно совокупностью п чисел
{х\, х2, ..., хп). Это свойство принимается некоторыми авто-
авторами как определение вектора в Еп.
Для суммы двух векторов х и у с компонентами
Х\ (Х|, Х2, . . ., Хп),
У- {Уи Уг, ¦••, Уп)
Имеем формулу
х + у: (X|+?/i, х2 + у2, ..., хп + уп),
а дли произведения х на скаляр а
ах: (ахи ах2, ..., ахп).
Формула
* • У = л:^1 + *2#2 + • • • + хпУп
служит для Определения метрических свойств векторов в Ёп.
Переход от ортонормальнои совокупности векторов at к лю-
любой иной совокупности базисных векторов совершается, если
элементы и-кратной совокупности подвергнуты соответствую-
соответствующему линейному преобразованию. По существу подход к идее
векторов путем представления последних n-кратными совокуп-
совокупностями чисел приводит изучение векторов к изучению алге-

§ 6] КОМПЛЕКСНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 27
браических свойств линейных преобразований. В этой книге
мы предпочитаем акцентировать геометрическое существо, ле-
лежащее в основе идеи вектора, а не обезличивать ее в чисто
алгебраическом формализме.
§ 6. Комплексные линейные векторные пространства
Соображения § 5 легко можно распространить на поле ком-
комплексных чисел.
В комплексном n-мерном линейном пространстве вектор х
определяется упорядоченным множеством п комплексных чисел
(xi, x2, ..., хп), элементы х^ которого являются компонентами
х. Определим сумму х + у двух векторов
х: (хи х2, . •., хп),
У- (Уь У2 Уп)
правилом
х + у: (хх + уи х2 + у2, ..., хп+уп),
а произведение ах другим правилом
ах: (ахь ах2, ..., ахп).
Скалярное произведение х у определяют обычно формулой
п
X ¦ У = S Xtft, F.1)
1\
где хг обозначает комплексно», число, сопряженное с ком-
комплексным ЧИСЛОМ Х{.
Заметим, что
п
У ¦ х = Ц tjix{, F.2)
i = \
откуда
х ¦ у = ITx, F.3)
поскольку сопряженное к сумме есть сумма сопряженных, а со-
сопряженное к произведению равно произведению сопряженных.
Формулой F.1) обычно пользуются для вычисления ска-
скалярного произведения, с тем чтобы произведение
п
X ¦ Х= Т
получилось вещественным числом. Оно принимает вид E.6),
если числа х,- вещественны.

28 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
О векторах х, у говорят, что они ортогональны если
х-у = 0. Что касается понятия линейной независимости, то мы
сохраняем здесь определение, приведенное в § 3, полагая, что,
коэффициенты щ принадлежат теперь полю комплексных чисел.
Задачи
1. Определим вектор х как набор п вещественных или комплексных чи-
чисел (х\, хг, ..., хп) и воспользуемся для определения суммы и произведе-
произведения формулами
х + у: (x{ + ylt.... хп + Уп), kx: (kxu ..., kxn),
п
х • у = 2 Vr
Показать, что
(дс + у) ¦ г = х • г + у • г, х • (у + г) = х • у + х • г,
(kx)-y^k(x-y), x-(ky)~k(x-y).
2. Доказать, что если аA), оB>, ..., а(п> — совокупность п линейно неза-
независимых векторов в комплексном гс-мерном векторном пространстве, то един-
единственным вектором х, ортогональным к каждому из векторов e(i), будет ну-
нулевой вектор.
3. Доказать, что совокупность взаимно ортогональных ненулевых векто-
векторов всегда линейно независима.
4. Допустим, что совокупность векторов в<*> в Еп: (a\l\ a^f1, ..., oj|'),
I = 1, 2, ..., п, линейно зависима, и предположим, что г из ннх а'1', аB), ...
..., a(r>, r < п, линейно независимы. Показать, что любой вектор х, ортого-
ортогональный к этой совокупности т линейно независимых векторов, ортогонален
также и к остальным п — г векторам в данной совокупности.
§ 7. Соглашение о суммировании '). Детерминанты
Из изложенного в предыдущих параграфах ясно, что линей-
линейные формы и ассоциируемые с ними матрицы играют суще-
существенную роль в изучении векторов в n-мерных пространствах.
Поскольку эти формы будут часто встречаться и в остающейся
части этой главы, представляется желательным ввести для них
сокращенные компактные обозначения и переписать заново
с их помощью некоторые известные результаты из теории де-
детерминантов.
Теперь мы перейдем к нижеследующему общепринятому
соглашению относительно обозначения суммирования. Если
в некотором выражении определенный индекс повторяется
дважды, то мы будем подразумевать, что это выражение сум-
суммируется по этому индексу для всех допускаемых значений
этого индекса. Так, например, линейная форма 2 ягхг содержит
•) Соглашение о суммировании, называемое «Правилом Эйнштейна», впер-
впервые было применено им в работе «Основы общей теории относительности»
(Annalen der Physik, 49 A916)). (Прим. ред.).

§ 7] СОГЛАШЕНИЕ О СУММИРОВАНИИ. ДЕТЕРМИНАНТЫ 29
индекс i, повторяющийся в ней дважды; мы будем опускать
символ суммирования 2 и писать а,-^-, понимая это выражение
в развернутом виде как сумму ал + а2х2 + а3х3 + a4x4. Конеч-
Конечно, диапазон допускаемых значений индекса, в данном случае
значений от 1 до 4, должен быть указан. Если символ / пробе-
пробегает диапазон значений 1—3, а / пробегает диапазон 1—4, то
выражение
A=1,2,3), (/=1,2,3,4) G.1)
представляет три линейных формы:
G.2)
¦ «33*3 + «34*4-
В выражении G.1) индекс i является свободным обозначаю-
обозначающим индексом. Он обозначает одну из форм G.2), зависящую
от избранного значения i. Индекс же /, поскольку он повто-
повторяется дважды, является индексом суммирования. Индекс сум-
суммирования можно менять произвольно. Так, например, G.1)
можно написать в виде а^хь, если k имеет тот же диапазон
значений, что и /. Индекс суммирования аналогичен переменной
интегрирования в определенном интеграле, также допускающем
произвольные обозначения.
В дальнейшем, если по этому поводу не сделано специаль-
специальной оговорки, мы предполагаем, что индекс суммирования и
свободные индексы пробегают значения от 1 до п. Выражение
a{Xi представляет собой линейную форму
а{хх + а2х2 + ... + апхп.
Хотя в последнем члене этого выражения буква п повто-
повторяется дважды, он не представляет суммы, так как п здесь
имеет фиксированное значение. Для того чтобы избежать не-
неясности или в тех случаях, когда повторение индекса не долж-
должно обозначать суммирования, мы можем заключить индекс
в скобки. Например, только что приведенную линейную форму
мы можем записать несколько иначе:
а1х,+а2х2+ ... +аы)Х(п).
п п
Квадратичная форма 2 2 anxixi запишется сокращенно в ви-
де ацХ{Х}. Выражение ацХ{у} представляет собой билинейную
форму, содержащую пг членов, выражение же а^а^ представ-
представляет собой п2 сумм типа
ainank,

30
линейные векторные пространства, матрицы
[ГЛ. I
поскольку каждый из свободных индексов ink может принять
значения от 1 до п. Мы не будем усложнять выражение введе-
введением индексов в скобки, если из контекста ясно (как в выше-
вышеприведенном выражении), что эти индексы имеют здесь фикси-
фиксированные значения. Если, однако, мы хотим рассмотреть опре-
определенный член в этой сумме, то мы должны записать его
выражением а^а^ь.
Часто представляется более удобным обозначить различные
выражения индексами, помещенными не снизу буквы, а сверху
ее. Мы можем, например, записать последовательнссть членов
х1, х2, ..., хп, где верхние индексы следует понимать не в ка-
качестве показателей степеней, в которые возводится член, а в ка-
качестве свободных индексов. Типовым членом такой последо-
последовательности является хг (i = 1, 2, ..., п). Линейная форма
членов х* с коэффициентами о^ передается выражением aiXK
Билинейная форма с коэффициентами а^ в переменных xt и yt
примет вид а{1х{у{.
Детерминант
«11 «12 • • • fll/i
#21 «22 • • • «2п
... а„
состоящий из элементов a2-j, записывается, как обычно, в ком-
компактном виде \ац\. Если элементы детерминанта обозначены
через а1], где верхний индекс i указывает номер строки, а ниж-
нижний j — номер столбца, занимаемого этим элементом, то детер-
детерминант записывается символом |aj|. Таким образом,
=
а]
п
1
2
Пп
2 *
¦ <
Умножение двух детерминантов \а'\ и \Щ| производится по
известному правилу:
= с
где с'. = а[6*. Если мы имеем дело с детерминантами \ац\ и
\Ьц\, то элемент сц, занимающий место в /-й строке и в у-м
столбце произведения элементов \чц\ и \Ьц\, будет представ-
представлен как сц -• b

§7] СОГЛАШЕНИЕ О СУММИРОВАНИИ. ДЕТЕРМИНАНТЫ 31
Обозначим алгебраическое дополнение элемента и1, в )аЦ
через А\. Если дельту Кронекера представить символом 6{., где
б/ — 1, если i = j,
6/ = 0, если 1ф]\
то для разложения детерминанта jaj| на алгебраические до-
дополнения мы получим следующие формулы:
а)А1 = об*. G.3)
о/Л* = аб?, G.4)
где а = | alt |. В эти формулы входят знакомые простые разло-
разложения \а'.\ Лапласа. Первое из них представляет разложение
по элементам г-й строки; второе — по элементам /-го столбца
детерминанта jajl
Если элементы детерминанта а обозначить через а.ц, то ал-
алгебраическое дополнение для ац будет Ац. Простые разложе-
разложения Лапласа, отвечающие формулам G.3) и G.4), принимают
вид
й(оИ(п/-а и a{(k)Aiik) = a.
Здесь мы можем вывести правило Крамера для решения си-
системы п линейных уравнений
a'xi = b{ (i, /=1, ..., п) G.5)
с п неизвестными х{, где |aj|=^O, следующим образом: умно-
умножим обе стороны уравнений G.5) на Aht и суммируем их по L
Получаем
В силу G.4) это приводится к виду
или
откуда
. о А,
х=~1Г- G-6)
Часто алгебраическое дополнение элемента а\) в \а^\ обоз-
обозначается через Л", и тогда разложения Лапласа G.3) и G.4)
принимают вид

32 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ (ГЛ. t
Чтобы свыкнуться с этими обозначениями, читателю сле-
следует посоветовать вывести правило Крамера для системы ли-
линейных уравнений, сформулированных в виде а^х> = Ь%. Он су-
сумеет при этом доказать также, что при aljb{ — di имеет место
равенство |а)|= \j\b\\.
К теме детерминантов мы вернемся еще в § 41, где иной
способ обозначения позволит нам избегнуть указаний на номе-
номера строк и столбцов детерминанта и записывать их элементами
без ссылок на алгебраические дополнения.
Задачи
1. Выписать нижеследующие выражения в полной развернутой форме:
(a)*ja'. (бN(/*'У. (в) atibik-6lk. (г) атхк. („)M-dX]. (е)б(.
(ж) a< = -|U (з) aink/y«\ (н) ^; = |?|?. 00 а, („к (л) в<уй/».
Символы б', б(/- и б'; — все обозначают дельты Кронекера.
2. Доказать, что G.6) представляет собой решение G.5).
§ 8. Линейные преобразования и матрицы
Совокупность п соотношений, имеющих вид
x'i^ai].x1 (i, /= 1, ..., п), (8.1)
где ciij — постоянные величины, называется линейным однород-
однородным преобразованием множества переменных х% в множество
х\. Будем предполагать, что преобразование (8.1) не особенное,
так что совокупность п линейных уравнений (8.1) может быть
решена для #,¦ в функциях от х\. Это предполагает, что детер-
детерминант \ац\ коэффициентов при Xj отличен от нуля.
Решение (8.1) для значений х дает
*< = 4Ч> (8-2)
где Ац — алгебраическое дополнение элемента ац в |a,-j|==o.
Совокупность уравнений (8.1) может быть интерпретирова-
интерпретирована двумя существенно различными способами.
а) Величины Xi можно рассматривать как компоненты век-
вектора ж: (xi, Хг, ..., хп), числа же х\ — как компоненты друго-
другого вектора х': {х\, х'2, ..., х'п), где как х, так и х' отнесены
к координатной системе с системой базисных векторов а,-: урав-
уравнения (8.1) при этом преобразуют вектор х в другой вектор 'х'.
б) Две совокупности чисел (хи х%, ..., хп) и (л:', х'2, ...,х'п)
могут рассматриваться как компоненты одного-единственного

i 8]
линейные преобразования и матрицы
33
вектора х, если х отнесен к двум различным системам декарто-
декартовых координат, определяемых базисными векторами а,, а2, ...
• •-,ап и а', а'2> ..., а'п; в этом случае уравнения (8.1) дают
преобразование координатных осей.
Прежде чем переходить к специальному обсуждению этих
двух интерпретаций совокупности уравнений (8.1), мы должны
остановиться на операциях с матрицами.
Размещенная в прямоугольной таблице система тп чисел
в т строках и п столбцах называется т X л-матрицей. Заклю-
Заключим матрицы, составленные из элементов ац (или flj), в
квадратные скобки
й21 а22
ат2
a2
или (aj) s=
а{" а™
и обозначим их сокращенно символом А. Мы будем говорить,
что матрица А = (ац) равна матрице В = (&ij), в том и толь-
только в том случае, если ац = Ьц для каждого i и /. Иначе гово-
говоря, если А = В, то элементы в соответствующих строках и
столбцах матриц должны быть одинаковыми.
. Под суммой А + В двух матриц А = {ац) и В = (Ьц) од-
одного типа, т. е. содержащих одинаковое число строк и столб-
столбцов, мы разумеем матрицу
Имея т X «-матрицу А и п X р-матрицу В, мы можем опре-
определить произведение АВ матриц А и б, записываемое форму-
формулой
AB = {aubjk). (8.3)
Таким образом, произведением АВ является т X р-матрица:
мы можем умножить две матрицы лишь в том случае, если
число столбцов в первом множителе равно числу строк во
втором.
Чаще всего мы будем иметь дело с квадратными матри-
матрицами, т. е. матрицами, содержащими равное число строк и
столбцов.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ну-
нулевой матрицей. Она обозначается символом 0.
Отметим две особенности матричного умножения. Из опре-
определения (8.3) следует, что если А и В—две п X «-матрицы,
2 И. С. Сокольников

34
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ
[ГЛ. 1
то АВ не обязательно получается равным ВА. Например, если
-1
О 1
ГО 11 Г-1 °1
ТО
АВ
L-1
между тем как ВА
4°
о
Таким образом, произведение матриц, вообще, не коммутатив-
коммутативно. Если, однако, мы имеем дело с двумя матрицами порядка
п, содержащими нулевые элементы повсюду, за исключением,
может быть, диагонали, в таком случае они коммутативны и
следуют простому закону умножения
0
0
А*
0
... 0 ~
... 0
• ¦¦ К.
0
_0
0
№2
0
... 0
... 0
О
о
о
0
0
• КПп-
Такого рода матрицы называются диагональными. Диагональ-
Диагональные матрицы в дальнейшем будут играть особенно важную
роль.
Диагональная матрица частного типа
1 0 ... О"
О 1 ... О
о о
1
называется единичной матрицей. Заметим, что если А — какая-
либо матрица, то
А1 = 1А = А.
Обратим также внимание на то обстоятельство, что произведе-
произведение двух матриц может обратиться в нуль, хотя при этом ни
один из множителей-матриц и не равен нулю.
Так, например, если
то АВ =
Однако детерминант \АВ\ произведения двух квадратных мат-
матриц равен произведению детерминантов |Л| и |Б| матриц А и

0
.0
1
0
0
0"
0
0.
, а В =
0
0
.1
0
0
0
0
0
0-

линейные преобразования и матрицы
35
В. Это следует непосредственно из того, что закон образования
элемента в t-й строке и в k-м столбце произведения двух де-
детерминантов совпадает с соответствующим правилом для про-
произведения двух матриц. Мы назовем п X п-матрицу, детерми-
детерминант который обращается в нуль, особенной матрицей.
Наконец, определим умножение матрицы А = (ац) на чис-
число k, записывая это произведение как kA, матрицей, каждый
элемент которой умножается на k. Таким образом, kA = (katj).
В качестве упражнения читателю предлагается подтвердить
правильность теорем, вытекающих непосредственно из выше-
вышеприведенных определений:
(I) А + В = В + А.
(II)
(III)
(IV)
Только что введенное обозначение позволяет написать нашу
систему уравнений (8.1) в виде одного векторного уравнения
Ах,
(8.4)
где А = (ац) и где мы рассматриваем х либо как матрицу
в один столбец
либо как квадратную матрицу
'*, 0 0 ... (Р
х2 О О ... О
хп О О ... О
где
Обратное преобразование (8.2) может быть записано в виде
* = Л~'*', (8.5)
\А\
Ml
Am
mi ¦••
Ml "•
Ли
Ml
Ml
Ann
\А\_
(8.6)
a Aij — алгебраические дополнения элементов ац в детерми-
детерминанте \А\.
Матрица А~х называется обратной по отношению к матрице
А и может быть определена для любой неособенной матрицы

36
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
Л. Из определения (8.6) следует, что матрицы Л и Л связа-
связаны формулами
AA~X = 1,
где / — единичная матрица. Так как AA~l = (aihAjh/\A|), то
aikAjk — 6ц\А|. Единичная матрица / соответствует тождест-
тождественному преобразованию х'^х^, это преобразование, будучи
записано в матричной форме (8.4), принимает вид х' = 1х или
Мы называем матрицу
Л' =
X = X.
аи a2i
... а„
полученную путем перестановки строк и столбцов в матрице
а„ fl|2 ... а,„
Oji а22 ... fl2n
Л =
транспозицией А.
Используя определение транспозиции и законы сложения и
умножения матриц, легко показать, что:
(V) (Л + В)' = Л' + В'.
(VI) (kA)' = kA'.
(VII) (АВу = В'А'. (Обратите внимание на порядок.)
Если Л — неособенная, то матричные уравнения
АХ = 1 и XA^I
имеют единственные решения X = Л, что может быть немед-
немедленно установлено умножением их на А~1 с обеих сторон, учи-
учитывая, что
А-1А = АА~1=*1.
Если мы примем А~1А = АА~1 и образуем транспозицию, то
получим
A'(A-l)' = (A-lYA'.
Умножая на (Л')~' слева, получим

§ 9] ЕВКЛИДОВО ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 37
Таким образом,
'1
Легко также показать, что
(АВ)~1 = В~1А~\ (Обратите внимание на порядок.)
Если мы имеем два следующих одно за другим линейных
преобразования
х'{ = atjXj и х'{ = Ьцх\ (/, / = 1, ..., п),
то прямое преобразование от переменных х{ к переменным
х" примет вид
Xt=bi!aikXk С /• *"* ");
это преобразование называется произведением преобразований.
В матричных обозначениях эти преобразования записываются
в виде
х' = Ах и х" = В*',
так что
х" =
Поскольку произведение ВА вообще не равно АВ, мы убеж-
убеждаемся, что последовательность, в которой производятся преоб-
преобразования, не безразлична.
Следует заметить, что матрица А в уравнении х' = Ах мо-
может быть использована как оператор, преобразующий вектор
Кц в другой вектор х'. В силу свойств
A{kx)-kAx
и
А {х + у) = Ах + Ау,
где k — некоторый скаляр, А часто называют линейным вектор-
векторным оператором или линейной векторной функцией. Ее можно
рассматривать как аппарат для получения нового вектора из
заданного вектора. Мы осветим эти операции с большими под-
подробностями, рассмотрев ряд примеров применения матриц в за-
задачах, знакомых нам из аналитической геометрии и элементар-
элементарного векторного анализа.
§ 9. Линейные преобразования в евклидовом
трехмерном пространстве
Отнесем наше евклидово трехмерное пространство (?з)
к системе координат с базисными векторами Ф\ а.B\ а.C\ ли-
линейно независимыми, но не обязательно ортогональными.

38 линейные векторные пространства, матрицы |гл. i
В таком случае произвольный вектор х можно будет пред-
представить в форме
* = *;а</> (/=1,2,3), (9.1)
где X] — соответствующие вещественные числа. Если ввести
вещественное линейное преобразование
x'i = aifxj, \аи\Ф0 (i, /=1,2,3) (9.2)
или
х' = Ах, (9.3)
то мы сможем интерпретировать получающийся вектор х' как
деформированный вектор, полученный деформацией простран-
пространства, характеризуемой оператором А. Вообще длина вектора х'
будет отличаться от длины вектора х, а его ориентация отно-
относительно нашей фиксированной системы отсчета будет отли-
отличаться от ориентации вектора х.
Имеется, очевидно, бесконечное множество координатных
систем, которые мы можем построить в нашем пространстве, и
в каждой такой координатной системе вектор х будет описы-
описываться всегда лишь совокупностью трех чисел. Поставим во-
вопрос: какую форму имеет преобразование, сообщающее про-
пространству ту же самую деформацию, что и та, которая харак-
характеризуется матрицей А, когда вектор х отнесен к новой системе
координат, в которой базисные векторы аA), аB\ а<3) выражают-
выражаются через базисные векторы а№, аР-\ а<3> формулами
аМ = Ьг/а<»? (9.4)
Допустим, что матрица (Ьц) == В невырожденная, компоненты
же х в новой системе обозначим через |i, |2, |з, так что
х = 1М1). (9.5)
Если мы внесем в (9.5) выражения (9.4) для базисных век-
векторов Ф~> в зависимости от a(i>, то получим
x = %tbifi4K (9.6)
Сравнение этого уравнения с (9.1) позволяет установить связь
между компонентами |* и Х{, а именно
xf = bt,lt. (9.7)
Заметим, что матрица В в преобразовании (9.4) базисных
векторов a.W отличается от матрицы В' в преобразовании (9.7)
компонентов вектора х в том отношении, что строки и столбцы
в этих матрицах меняются местами. Иначе говоря, матрица В'
представляет здесь собой транспозицию матрицы В. Запишем
(9.7) в виде
х = В'\. (9.8)

§ 9] ЕВКЛИДОВО ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Решение уравнения (9.8) для § дается выражением
(9.9)
Для упрощения записи обозначим (В')~1 через С, так что (9.9)
преобразуется в (9.10):
S = C«, (9.10)
где
С = E')"'- (9.11)
Формула (9.10) позволяет нам вычислить компоненты век-
вектора х, если отнести его к новой системе базисных векто-
векторов а(г>, определяемых формулами (9.4). Тогда компоненты
|р §?, §з вектора х\ отнесенного к системе координат с базис-
базисными векторами a(i\ будут представлены формулой
5'-С*', (9.12)
и вопрос о выражении (в новой координатной системе) дефор-
деформации пространства, характеризуемой преобразованием (9.3),
приводится к отысканию связи между компонентами |ь |2> 1з
и l[, l'v Ъу Подстановка из (9.3) в (9.12) дает
S' = С Ах,
и, так как в силу (9.10)
мы получаем искомое отношение
V~CAC~% (9.13)
Преобразование, определяемое матрицей
S = САС-\
называется подобным преобразованию, отвечающему матрице А,
поскольку формулы (9.13) и (9.3) характеризуют одну и ту же
деформацию пространства, описываемую в двух различных ко-
координатных системах.
Вспомнив определение (9.11), мы можем записать (9.13)
в виде
? = (В'Г1АВ'Ъ, (9.14)
Из которого с непосредственной очевидностью явствует значение
матриц А и В, характеризующих соответственно деформирова-
деформирование пространства и преобразование базисных векторов. Заметим,

40 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. 1
что детерминанты всех подобных преобразований" равны. Важ-
Важный особый случай преобразования (9.2), соответствующий по-
повороту вектора х в новое положение, обсуждается в следующем
параграфе.
§10. Ортогональное преобразование в Е3
Предположим, что базисные векторы а^\ аР\ а<3) в § 9 яв-
являются ортогональными единичными векторами, так что чис-
числа Xj в (9.1) являются физическими компонентами х. При этом
квадрат длины вектора х дается формулой
1*Р = *Л (*= 1,2,3).
Возникает вопрос, какие ограничения следует наложить на
матрицу А в (9.3), для того чтобы длина х не изменялась пре-
преобразованием (9.2). Такое ограничение требует, чтобы
44 = *.*,.. A0.1)
Подставляя в A0.1) выражение (9.2), находим
(auxj){aikxk) = хгх{ (i, },k=\,2, 3),
или
auaikxlxk = blkxjxk, A0.2)
поскольку
Приравнивая коэффициенты сходных произведений в A0.2),
получаем шесть уравнений
3 ^ Ы23 ^ U33 '
al2al3 + а-й&гз + а32а3з = 0,
а]3ап + а23а21 + 033^31 = 0,
апаа + a2ia22 + а31а32 = 0,
или
Ь1к. A0.3)
Эти уравнения представляют собой выводы из гипотезы, соглас-
согласно которой длина х остается инвариантом. Детерминант матри-
матрицы в A0.3) имеет значение
К/О,* |=1. (Ю.4)
Поскольку значение детерминанта |oi;| остается неизмен-
неизменным при перестановке строк и столбцов, то нз правила умно-
умножения детерминантов (§ 7) находим, что

§ II] rt-МЕРНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 41
Таким образом, A0.4) приводит к тому результату, что квадрат
детерминанта \ац\ в (9.2) принимает значение 1, если длина
вектора остается без изменения при преобразовании. Отсюда
заключаем, что \А\= ±1. Случай, когда \А\= +1, соответствует
преобразованию вращения пространства относительно неподвиж-
неподвижных осей. Условие |Л| =—1 передает преобразование отраже-
отражения (например, х\— — хх, х'2= — х2, х'3= — х3) или отражения
с последующим вращением.
Линейное преобразование
x', = aifxr A0.5)
где aijuik = 6jft, называется ортогональным преобразованием.
Оно называется преобразованием вращения, когда |a*j| = + 1.
Если через А' обозначить транспозицию А в A0.5), то мы смо-
сможем записать условия ортогональности A0.3) в виде
А'А = 1.
Умножая это уравнение справа на Л, получаем
А' = А~\ A0.6)
так что в ортогональном преобразовании обратная матрица
Л равна транспозиции А' матрицы А, когда базисные векто<-
ры ортонормальны. Отсюда следует, что если уравнения A0.5)
записать в форме
х' = Ах,
то
а в силу A0.6)
х = А'х'
или
*, = <*/,*;. A0.7)
§ 11. Линейные преобразования в п-мерных
евклидовых пространствах
Наше исследование линейных преобразований в евклидовом
3-мерном пространстве можно распространить непосредственно
на n-мерные многообразия Еп, отнесенные к координатной си-
системе, обладающей тем свойством, что длина вектора х опре-
определяется из формулы E.6).
Введем п ортонормальных векторов
а<»: A, 0, 0 0),
а<2>:@, 1, 0, .... 0),
«<«>: @, 0, 0, ..., 1)

42 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
и представим любой вектор х: (xit хг, ..., хп) в виде [см.
(9.1)]
ж = Х/а</> (/=1. ...,«). (ИЛ)
Линейное преобразование компонентов, соответствующее
уравнению (9.2), принимает вид
х\ = а..х. {i, j=l, ..., п). A1.2)
В матричных обозначениях его можно записать так:
х' = Ах, A1.3)
где Л = (а(/).
Положим, что |Л| =?0 и разрешим A1.3) относительно х:
где
\А\
Здесь Ац обозначают алгебраические дополнения элементов
a>j в \А\.
Точно так же, как это было сделано в трехмерном случае,
мы можем показать, что произведение преобразований
х' =¦ Ах и х" = Вх' эквивалентно преобразованию х" = ВАх.
Мы вправе и здесь также пользоваться наглядным языком гео-
геометрии, понимая систему уравнений A1.3) как описание дефор-
деформации пространства Еп и понимать преобразование вида
х'~САС~1х A1.4)
как описание того же самого деформирования пространства,
которое описывалось матрицей А в A1.3). Матрицы А и
С АС'1 также называются подобными.
По аналогии с трехмерным случаем вещественное линейное
преобразование, сохраняющее длину любого вещественного век-
вектора х: (хи ... , хп) инвариантной, называется ортогональным.
Из выкладок § 10 явствует, что коэффициенты a.jj в ортого-
ортогональном преобразовании A1.2) удовлетворяют соотношениям
aiiaik = (>!k, A1.5)
а матрица А = (ац) ортогонального преобразования связана
с обратной матрицей формулой А' — А~К Условие A1.5) яв-
является одновременно и необходимым и достаточным для того,
чтобы преобразование было ортогональным. Поскольку транс-
транспонированная матрица ортогонального преобразования равна
обратной матрице, мы заключаем, что а^аы ~ 6jft.

§ 121 ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ 43
Всякая матрица, удовлетворяющая условиям ортогональ-
ортогональности A1.5), называется ортогональной. Квадрат детерминанта
такой матрицы равен единице.
Как и в трехмерном случае, вводим матрицу 5 = (by), оп-
определяющую преобразование базисных векторов а(»> в новую
совокупность базисных векторов a(i) по формуле
a«> = &i/a</> (/,/=1, .... п); A1.6)
тогда С = (В')-».
Если векторы а<'> ортонормальны, а матрица В ортогональна,
то новый комплект векторов a(i) будет, очевидно, ортонормаль-
ным. В тех случаях, когда \Ьц\ = 1, мы будем говорить, что
формула (П.6) представляет вращение базисных векторов в Еп.
Поставим теперь вопрос: можно ли найти такую матрицу С,
для которой матрица САС~1 была бы диагональной:
А, 0 ... О
О Я2 ... О
Л =
о о ... к
п
Это значит, что в соответствующей системе координат дефор-
деформирование пространства, характеризуемого условиями A1.2),
принимает вид
где |J — компоненты х', а |* — компоненты х в новой коорди-
координатной системе.
На языке преобразований в Е3 уравнения A1.7) констати-
констатируют, что для надлежащим образом выбранной координатной
системы линейное деформирование пространства эквивалентно
простым удлинениям или сокращениям координатных осей.
Ясно, что возможность такой редукции зависит от природы
коэффициентов ац в A1.2).
Детальное обсуждение задачи приведения матриц к различ-
различным каноническим формам здесь было бы слишком громозд-
громоздким. В нижеследующих параграфах мы остановимся лишь на
тех случаях, которые чаще всего встречаются в применениях,
отсылая читателя за исчерпывающей трактовкой к специаль-
специальным трудам по высшей алгебре.
§ 12. Приведение матриц к диагональной форме
Вернемся теперь к задаче, поставленной в § 11 и касающей-
касающейся возможности отыскания неособенной матрицы С такой, что
произвольная матрица А может быть приведена к диагональ-
диагональной форме Л посредством преобразования подобия ~' ~ ¦

44
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
С точки зрения линейного преобразования пространства эта за-
задача эквивалентна определению базисной системы а<г'>
(/ = 1, .... п), в которой преобразование
приобретает вид [см. A1.7)]
Записываем С~{ = S и ищем решение матричного уравнения
S~[AS-A, A2.1)
AS=*SA, A2.2)
или
где А = {аи) и
А,, 0 ... О
О Яа ... О
О 0 ... А,„
Матричное уравнение A2.2) эквивалентно системе линейных
уравнений
atjSjh
где
(не суммируется по &) (/, /, k = 1, 2, ..., п),
A2.3)
S2I
S2n
... sM
Если в A2.3) положить i = 1,2, ..., n и фиксировать fe,
то мы получим систему п уравнений, содержащих элементы
(•Sis, S2ft, ...,Snk), входящие в столбец к матрицы S. Элементы
(sik, szk, • • •» Snk) можно рассматривать как компоненты век-
вектора s<ft>, так что определение матрицы S приводится к отыска-
отысканию совокупности п векторов s'ft) (k = 1, ..., п), компоненты
которых удовлетворяют уравнениям A2.3). В соответствии
с этим записываем уравнение A2.3) в таком виде:
(не суммируется по k) A2.4)
и замечаем, что A2.3) эквивалентно уравнению
= Q (no k не суммируется). A2.5)

S 12] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ 45
Если эта система линейных однородных уравнений должна
иметь нетривиальное решение для Sjh, то kh в таком случае
должно быть корнем уравнения
или записанного в развернутой форме
;11 ~ ^ п\2 • • ¦ й\п
п п 0 п
21 22 " * * 2 л
flni art2 ... а„„-,
0. A2.6)
Это алгебраическое относительно X уравнение п-й степени имеет
п корней, которые называются характеристическими значения-
значениями1) матрицы А. Если эти п корней различны, то легко пока-
показать, что система уравнений A2.4) дает совокупность п линей-
линейно независимых векторов sW и что, следовательно, неособенная
матрица S, как это требовалось условием A2.1), существует.
Если корни не различны, определить искомую матрицу S не-
невозможно.
Рассмотрим случай, в котором корни различны, и обозначим
их через .fa, h, ..., Хп- Подставив Xi вместо Kk в A2.5), мы по-
получим систему п однородных уравнений. Она даст нам нетриви-
нетривиальное решение su,s2i, ..., snl. Положив в A2.5) hh = fa, при-
приходим к системе, дающей решение s^, S22, • • •. sn2- Таким путем
получаем второй столбец S. Поступая аналогично, определяем
остальные столбцы, а отсюда и всю матрицу, удовлетворяющую
уравнению A2.2). Для установления возможности преобразова-
преобразования A2.1) мы должны доказать, что вычисленные вышеописан-
вышеописанным путем векторы s<ft) линейно независимы, так что 5 имеет
обратную матрицу S~l. Докажем это, сделав предположение,
что матрица 5 особенная, придя при этом к противоречию.
Если |S| = 0, векторы s<ft), входящие в столбцы S, линейно
зависимы, и отсюда следует, что существует совокупность кон-
констант d, не всех обращающихся в нуль, но позволяющих соста-
составить полином, равный нулю:
с,^') + c2sM + ... + с„в(«) = 0.
В этом выражении некоторые d могут оказаться нулями. Без
утраты общности вывода мы можем допустить, что г первых
коэффициентов с не обращаются в нуль, и на этом основании
вправе утверждать справедливость того, что
c,e<» + c2s<2> + ... + crs^ = 0, г < п, A2.7)
') Они называются также собственными значениями, соответствующие
им векторы s'*) — характеристическими векторами или собственными векто-
векторами.

46 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. 1
где ни один из коэффициентов сг- (или *<»>) не обращается
в нуль. Из A2.4) выводим соотношения
А\
Если A2.7) умножить на А последовательно г— 1 раз и учесть
цепь только что написанных соотношений, то мы придем к си-
системе уравнений
c{s^ + c2s^+ ... +сгв'г> =0,
c,s<1>A1+c2s<2)A2+ ... +crsir% = 0,
Поскольку, как уже установлено, и с и sW не обращаются
в нуль, эта система может быть удовлетворена лишь при
условии
1 1 ... 1
% А А
Но детерминант А представляет собой детерминант Вандер-
монда1), и его значение, как известно, приводится к
-\i)... (яг-я,)х
Он никогда не обращается в нуль при различных X. Таким об-
образом, допущение о том, что матрица S вырожденная, неверно,
поэтому ее можно привести к диагональной форме во всех тех
случаях, когда характеристические значения матрицы А раз-
различны.
Если корни уравнения \А — Я/| = 0 не различны, приведе-
приведение А к диагональной форме преобразованием S^AS может
оказаться невозможным. В этом случае можно прибегнуть
к иным каноническим представлениям, с которыми можно по-
познакомиться в руководствах по высшей алгебре2). В некоторых
1) См. Paige L. J., Swift J. D., Elements of linear algebra, Ginn С
Boston 1961.
2) См. M u r n a g h a n F. D., Applied mathematics, Wiley, New Yorl 1948;
Birkhoff G., MacLane S., A survey of modern algebra, Macmillan, New
York 1941.

§ 13] ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ 47
специальных случаях, однако, приведение матрицы А к диагональ-
диагональному виду удается даже и в том случае, когда характеристиче-
характеристическое уравнение \А~К1\ = 0 имеет кратные корни. Мы вернемся
к исследованию этих случаев в нижеследующих параграфах.
§ 13. Вещественные симметричные матрицы
и квадратичные формы
Допустим, что матрица А = (а^-) в линейном преобразо-
преобразовании
x'l = aijxl (/,/=1,2 п) A3.1)
вещественна и симметрична, так что ац = ац (или А' = А)
для всех значений / и /. Покажем, что матрицу А можно при-
привести к диагональному виду преобразованием S~'/1S. Кроме
того, S может быть ортогональной матрицей.
С линейными преобразованиями вещественных симметрич-
симметричных матриц приходится обычно иметь дело в исследовании де-
деформаций, которым подвергаются упругие среды. Кроме того,
вещественные симметричные матрицы играют значительную
роль в изучении вещественных квадратичных форм
Q(xu х2 хп) = atixtx, (г,/=1 п), A3.2)
возникающих во многих задачах динамики и геометрии. Не
"утрачивая ничего в общности, мы можем принять, что коэффи-
коэффициенты в A3.2) симметричны, поскольку A3.2) всегда можно
записать в виде
v
х2,
где коэффициенты, очевидно, симметричны. Имея дело с квад-
квадратичными формами, мы всегда будем предполагать, что они
уже симметризованы.
Из выкладок этого параграфа выяснится, что задачи приве-
приведения систем линейных форм A3.1) к форме
и квадратичной формы A3.2) к форме
Q = X,|? + ^+ •••+М2„ A3.3)
математически тождественны.
Обратим сначала внимание на некоторые свойства квадра-
квадратичных форм A3.2). Подвергнув форму Q в A3.2) линейному
преобразованию
Xi = siklk A3.4)
или

48 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
получим
Q = аи (slktk) (sub) = atjStkSntblt.
Обозначим коэффициенты при |А|г через ckt, и тогда
Q = Ckiikh,
где
A3.5)
Так как ац = ац, а / и / в A3.5) —индексы суммирования, то
обмен местами между k и / не изменяет значения A3.5). Та-
Таким образом, сы = Ciu, и отсюда матрица С — (cij) симметрич-
симметрична. Мы пришли таким путем к результату, что симметрия квад-
квадратичной формы A3.2) не нарушается тем, что мы подвергаем
переменные х-; линейному преобразованию.
Перепишем A3.5) в форме
и заметим, что a^s^ представляет собой элемент матрицы
занимающий в ней место на строке k в столбце I. Таким же
образом
b A3.6)
можно рассматривать как элемент строки k столбца / в матри-
матрице S'B и
C^S'AS. A3.7)
На этом основании мы формулируем теорему.
Теорема. Если переменные я,- в квадратичной форме
Q =p ctijXiXj с матрицей А подвергнуть линейному преобразова-
преобразованию Xi — Sijgj с матрицей S, то получающаяся квадратичная
форма имеет матрицу S'AS.
В качестве следствия из этой теоремы мы отмечаем, что де-
детерминант результирующей квадратичной формы получает зна-
значение H||S|2.
Если преобразование A3.4) ортогонально, то S' = S~\ и мы
вправе представить A3.7) в виде
Отсюда следует, что определение ортогонального преобразова-
преобразования, приводящего форму A3.2) к сумме квадратов A3.3), сво-
сводится к решению матричного уравнения
S~~lAS = A. A3.8)

§ 13] ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ 49
Именно с этой задачей мы встретились в § 12. Там мы пришли
к выводу, что система однородных уравнений
aijsih = slk'kk (без суммирования по k), A3.9)
полученная из
AS = SA
[см. уравнения A2.3)], будет иметь нетривиальное решение для
векторов s<A>: (sih, s2s, ..., snh) в том и только в том случае,
если к в A3.9) удовлетворяют уравнению \ац— 6*Д| =0, или
|Л-Л/| = 0. A3.10)
Если матрица А произвольна, характеристическое уравнение
A3.10) имеет, вообще, комплексные корни; а если эти корни
различны, то изложенные в § 12 методы позволяют вычислить
совокупность п линейно независимых векторов s№\ составляю-
составляющих матрицу S. Мы рассматриваем, однако, случай, когда
матрица S должна быть ортогональной и вещественной. Если
корни характеристического уравнения A3.10) вещественны, то
из уравнения A3.9) сразу же следует, что решения sW: (sik,
Sih, • • •. snh) могут быть приняты вещественными, поскольку ац
вещественна. Докажем теорему.
Теорема. Если матрица А вещественна и симметрична,
¦ то все корни характеристического уравнения \А — %1\ веще-
вещественны.
Систему уравнений A3.9) можно записать в компактной
форме
A№ = s{k)Xk (без суммирования по k). A3.11)
Мы можем рассматривать AsW как вектор с компонентами
+ at2S2k + ¦¦¦ + ainsnk (i = 1, 2, ..., n).
Пусть Хк — корень уравнения A3.10)—вещественный или ком-
комплексный, a s<ft>—вектор, вещественный или комплексный,
удовлетворяющий системе A3.11). Умножив A3.11) скалярно
на s<h), получим
в(*>. Л«<« = |«<*>РА». A3.12)
Левая часть в этом уравнении [вспомним определение F.1)]
) _ aitsikslk (без суммирования по k)
вещественна, если а,-,- = ац. Для того чтобы это доказать, заме-
заметим, что величина, сопряженная с ацЪ^к, равна первоначаль-
первоначальному выражению

50 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ |ГЛ. I
Так как левая часть в A3.12) вещественна, так же как H|s<fe>|2,
то веществен также и Kh. Этим завершается доказательство тео-
теоремы.
Докажем далее, что если Xi и Xj — два различных корня
уравнения A3.10), то векторы *<»> и s<-i\ соответствующие этим
корням, ортогональны. Так как s<*> и *<л удовлетворяют A3.11),
имеем тождества
Л*(') = *(')А, (без суммирования),
Asu) = *("A,/ (без суммирования),
где все участвующие векторы вещественны. Если мы умножим
первый из них скалярно на s^> справа, а второй на s<*> слева и
вычтем, то получим
Ля<«> • я</> - s«>• Л*<» = (Л, -1/) я<« • я">;
тогда левая часть обратится в нуль, поскольку s
= AsfV-sti) в силу симметрии А. Этим устанавливается ортого-
ортогональность *<') и *<Л, если только корни Xi и lj не одинаковы. Так
как уравнение A3.11) однородно, мы вправе умножить его на
подобранную надлежащим образом константу, так чтобы длина
sW приняла значение, равное единице. Мы будем предполагать,
что это условие выполнено.
Вспомним, что совокупность ортогональных векторов дол-
должна быть линейно независимой. На этом основании, если все
корни уравнения \А — XI \ =0 различны, векторы s<ft> будут
ортонормальны и в соответствии с этим матрица S, выполняю-
выполняющая преобразование S~lAS =¦ Л, будет ортогональной.
Остается рассмотреть случай приведения вещественных
квадратичных форм A3.2) к диагональному виду A3.3), когда
уравнение
\А-Х1\ = 0 A3.10)
имеет кратные корни. Доказательство возможности приведения
в этом случае опирается на одно важное свойство подобных
матриц, а именно на то, что характеристические корни всех по-
подобных матриц тождественно равны. Доказать это легко. Заме-
Заменяем А в левом множителе A3.10) какой-либо подобной матри-
матрицей S~MS и получаем полином от X
| S~lAS - XI | = | S (А - XI) S! = | S1 • \А - XI | • | S | = | А - XI |.
Отсюда следует, что характеристические уравнения, ассоцииро-
ассоциированные с S-'AS и А, тождественны, откуда следует, что корни
их равны.
Предположим теперь, что A3.10) имеет кратные корни.
Пусть X = \i представляет собой один из корней этого уравне-
уравнения. Определим решение системы A3.11): sW; (sih s2i, ..., sni),

13]
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ
51
соответствующее к = Ki, при котором s^-sW = 1. Это возможно
независимо от того, является ли Ki кратным корнем или нет.
Мы можем присоединить к вектору s<d совокупность п — 1 ор-
тонормальных векторов, образующих полную систему векторов
в нашем n-мерном пространстве. Этими векторами можно вос-
воспользоваться как базисом нашего пространства вместо началь-
начальной системы ортонормальных базисных векторов а*1), .. ., а<п),
причем мы можем перейти от системы отсчета, определенной
векторами Ф\ к новой системе путем ортогонального преобра-
преобразования. В соответствии с этим матрица квадратичной формы
A3.2), будучи отнесенной к новой системе, примет вид
Л1 = Sf'-<4Si, где Si ортогональна. Кроме того, уравнение
| At - XI | = О
имеет те же характеристические корни, что и
нение [см. A3.11)]
Ats = sk
A3.13)
A3.10). Урав-
A3.14)
для Я = fa имеет решение sW: A,0,0, ..., 0), поскольку мы
выбрали его в качестве единичного вектора, a s('> — один из ба-
базисных векторов новой системы отсчета. Если мы введем это
решение в A3.14), то получим тождество
V
о
^o_ _o_
из которого следует, что матрица Л( имеет следующие эле-
элементы:
aW = Я , аШ = а!1* = ... = аA) = 0. A3.15)
Первоначальная матрица А симметрична, а поскольку орто-
ортогональные преобразования не нарушают симметрии, матрица
А{ также симметрична1). Таким образом, А[ = Аи и мы мо-
можем теперь вместо A3.15) написать
а(\)
"tl
Ml) _ Ml) = д(Н = a(» =
"|2 Ы21 a3I 3
ni in >
так, что
0
a22
') Так как А[ = (Sf'rf
Для ортогональных матриц.
"«2 • • *
¦S[A'(STJ:
ПП -1
ASt, поскольку

S2
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
Квадратичная форма A3.2), будучи отнесенной к нашей новой
системе, получает структуру
Q = \ll2l + a\%il {i,j = 2, 3,...,n).
Нам удалось, выделив один квадрат, привести задачу к ис-
исследованию формы afll^j в (п—1) переменных. Мы можем
применить аналогичное рассуждение к (п—1)Х{п—^-матри-
(п—1)Х{п—^-матрице А2 = (а\Ч) и рассмотреть форму а'/Д^ (г, / = 2, 3, ..., п)
в (п—1)-мерном подпространстве ?n-i пространства Еп, опре-
определенного базисными векторами, отличными от sO. В ?n_i мы
можем вычислить единичный вектор sB), удовлетворяющий
уравнению
A = sk,
соответствующему к — къ и построить новую базисную систему
ортогональным преобразованием, в котором базисным вектором
является s'2). Это приводит к матрице
Я2 О ... О
О
"зз
О
аB)
и к квадратичной форме
Продолжение этого процесса приведет первоначальную квадра-
квадратичную форму A3.2) к виду
Поскольку каждое последовательное приведение совершается
ортогональным преобразованием, произведение ортогональных
преобразований эквивалентно единственному ортогональному
преобразованию S. Получающаяся в результате диагональная
матрица Л
~Л, 0 ... О "
S~lAS = A =
О ко ... О
О О
содержит число одинаковых корней к, равное количеству кор-
корней в \А — kl\ = 0. Так как матрица S~lAS подобна А, то ха-
характеристические корни ки Яг, •¦-. К уравнения |Л —Я/|=0
тождественны с корнями \А — к!\ =0.

§ и] примеры приведения квадратичных форм 5з
Направления, определяемые характеристическими вектора-
векторами s<ft), ассоциируемые с матрицей А, называются славными на-
направлениями матрицы А.
Задачи
Если х: (х\, х2, ..., хп) —единичный вектор, a Q = a.ijXiXj — веществен-
вещественная квадратичная форма с неособенной матрицей Л, то наибольшее и наи-
наименьшее значения Q будут характеристическими значениями Л. Требуется
это доказать. Указание. Искать экстремум Q прн ограничивающем условии
XiXt = 1 и вывести систему уравнений (a{j — дцХ)х{ = 0, где Я—множитель
Лагранжа.
§ 14. Примеры приведения квадратичных форм
Интерпретируем результаты, полученные в § 13, на языке
аналитической геометрии и дадим два примера конкретных ил-
иллюстраций приведения квадратичных форм к каноническому
виду посредством ортогональных преобразований.
Если принять, что число измерений пространства равно
п = 3, и приравнять квадратичную форму ацх{х^ постоянной ве-
величине с, то уравнение A4.1) можно представить
ailXix, = c (/,/=1,2,3) A4.1)
как уравнение поверхности второго порядка Q, отнесенной к си-
системе отсчета с базисными векторами а1. Ортогональное преоб-
преобразование S'MS = Л, приводящее к квадратичной форме
Х^ + ХД + ХД^с, A4.2)
может быть истолковано как преобразование координатных
осей к системе с базисными векторами, направленными по
главным осям поверхности второго порядка.
Рассмотрим какую-либо конкретную форму уравнения
A4.1), например
Q = 2х\ + 2х\ - 15*2 + 8jCjJCj _ l2Xax3 - 12л-, к2 = с,
и, для того чтобы определить коэффициенты Я,- в A4.2) для
данного частного случая, придадим ей симметричный вид
Q = 2*2 + Ахгх2 - Qxtx3 + \х2хх + 2х\ - Qx2x3 - 6jc3jc, -6jc3jc8 - 15л:2,
из которого непосредственно получаем характеристическое ура-
уравнение \А — \1\ = 0 в развернутой форме
|Л-Я/| =
2-Я 4 -6
4 2-Я -6
-6 -6 -15-Я
=0.

54 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. 1
Вычисление детерминанта приводит к кубическому уравнению
A,3+1U2-144A-324 = O
с корнями
Л) = — 2, А2— — 18, Лз= 9.
Таким образом, в новой системе отсчета Q принимает вид
т. е. соответствующая поверхность второго порядка представ-
представляет собой гиперболоид.
Для определения новых базисных векторов «<') имеем си-
систему уравнений A3.9)
aijSjk = sikKk (без суммирования по k)
или
Записывая их в развернутой форме, получаем
A4.3)
Подстановка Xi = —2 дает три уравнения, два из которых то-
тождественны. Линейно независимыми уравнениями остаются
4su + 4s21 - 6s31 = О,
— 6sn — 6s2, — 13s3i = 0.
Решение их дает нам компоненты s<1>:
где с произвольно. Определим постоянную с так, чтобы длина
s(') равнялась единице, т. е.
S2 _|_ S2 + S2 = 1,
тогда c—\JY~2 и нормализованные значения компонентов
равны
Они определяют первый столбец матрицы S.
Подстановка ta = —18 в A4.3) приводит к трем однород-
однородным уравнениям:
4s i2 + 20s22 - 6s32 = 0,
- 6S12 - 6S22 + Явы = 0,

§ 14] ПРИМЕРЫ ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 55
решение которых быстро находится:
= А-е s = —с s =с
Нормализованное решение:
Элементы, входящие в третий столбец матрицы S, опреде-
определяются из системы A4.3) путем подстановки %3 = 9. Таким
образом, приходим к уравнениям
-7s13 + 4s23-6s33 = 0,
4si3 — 7s23 — 6s33 = 0,
- 6s13 - 6s23 - 24s33 = 0,
удовлетворяющимся при значениях
S13 = C> S23 == c> S33 == 2* C'
Нормализуя к единице, получаем для s<3>
_ 2 _ 2 _ l
SI3 — "з"» S23 з"> S33 — з""
Ортогональное преобразование, приводящее к канонической
форме, принимает вид
$ X
1
Т xi + "з *2 ~ Т
2 1
"з *2 ~ Т 3'
Для того чтобы проиллюстрировать приведение в случае,
когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, при-
принимаем
Q == Ъх] + 2х] + Щ + 2хххъ = с.
Здесь характеристическое уравнение матрицы Q имеет вид
3-Я 0 1
0 2-Х 0
1 0 3-
= Я,3 - 8Х2 + 20Л - 16 = 0
и корни Я1 = Я2 = 2, Х3= 4. Поверхность второго порядка кон-
конкретизируется здесь как эллипсоид вращения, описываемый
уравнением
2 F? + ®+ 46$ = л

56
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ
1ГЛ. I
Уравнения для определения новых базисных векторов прини-
принимают вид
Положив Xi = 2, получаем лишь одно уравнение
для определения sW, так что в качестве нормализованного ре-
решения получаем
S S 0
Второй характеристический корень Хг *= 2 дает уравнение
s12 + s32 = 0, A4.4)
а так как sB> должен быть нормальным к sW, то получаем усло-
условие ортогональности
ИЛИ
A4.5)
Уравнения A4.4) и A4.5) устанавливают, что Si2 = 0, s^z = 1,
S32 = 0.
Наконец, для определения третьего базисного вектора мы
располагаем системой уравнений
S13~~ S33 =
получаемой из условия X — 4. Нормализованное решение этой
системы исчерпывается тремя равенствами sl3=l/]/2, *2з==0,
5зз= 1/1^2. Матрица S получает таким образом вид
^ о
1
О I О
откуда уравнения связи между переменными хг и |* выписы-
выписываются непосредственно.

§ 16] КЛАССИФИКАЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 57
§ 15. Классификация и свойства вещественных
квадратичных форм
В этом параграфе мы напомним некоторые свойства веще-
вещественных квадратичных форм
Q = ailxixj (i, / = 1, ..., ft), A5.1)
особенно важные в приложениях.
Мы показали, что вещественная квадратичная форма Q мо-
может быть приведена ортогональным преобразованием
lt = stlx, A5.2)
к канонической форме
<} = \Ц+Ь& + ... +ХпЦ. A5.3)
Задача приведения квадратичной формы A5.1) к виду A5.3)
эквивалентна отысканию ортогональной матрицы S = (s<j), удо-
удовлетворяющей матричному уравнению
S'lAS = A (или SMS = A), A5.4)
где элементы, расположенные по диагонали в матрице Л, яв-
являются корнями уравнения в детерминанте
| Л — Я/ | = 0, A5.5)
причем А — вещественная симметричная матрица.
Поскольку детерминант S не обращается в нуль, из A5.4)
явствует, что ранг матрицы А равен рангу Л. Если характе-
характеристическое уравнение A5.5) имеет п не обращающихся в нуль
корней, то число членов, фактически входящих в уравнение
A5.3), равно ft. Если, однако, уравнение A5.5) имеет г < п не-
исчезающих корней, то приведенная форма A5.3) примет вид
<г = Л1?? + Л2?|+ ... +к,Ц, A5.6)
и мы скажем тогда, что ранг квадратичной формы A5.1) ра-
равен г. Число положительных X, появляющихся в A5.6), назы-
называется индексом Q. Если в нашей форме A5.6) насчитывается
р положительных и г — р отрицательных X, мы можем ввести
вещественное преобразование |, = (l/ ]/Я,Л l't для членов с по-
положительными X и l{ = (l/]/— \) l'i — для членов с отрицатель-
отрицательными X, так что эта форма примет вид
Таким образом, каждая вещественная квадратичная форма
Q может быть приведена вещественным линейным преобразо-
преобразованием l'i = cljxj к канонической форме A5.7). Матрица (ctj),
конечно, не обязательно должна быть при этом ортогональной.

Й8 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. 1
Форма A5.7) предлагает критерий для классификации квад-
квадратичных форм.
Рассмотрим следующие случаи.
1. Индекс р в A5.7) равен п, так что уравнение A5.5) имеет
п положительных корней. В этом случае мы говорим, что форма
A5.1) положительно определенная.
2. Если индекс р = 0, так что все корни уравнения A5.5)
отрицательны и ранг Q равен п, форма A5.1) отрицательно
определенная.
3. Если индекс р равен рангу г, причем г < п, форма назы-
называется положительной. С другой стороны, если индекс — нуль,
а ранг г < я, форма Q отрицательна.
4. Формы, для которых каноническое представление A5.3)
содержит как положительные, так и отрицательные К, назы-
называются неопределенными.
Отметим, что положительные и отрицательные определенные
формы никогда не обращаются в нуль для вещественных нену-
ненулевых значений переменных я,-. Они обращаются в нуль в том,
и единственно лишь в том случае, когда обращаются в нуль все
Х{. В противоположность этому, положительные и отрицатель-
отрицательные формы могут обращаться в нуль для ненулевых значений
аргументов Х{. Для того чтобы в этом убедиться, заметим, что
при г < п
Q = Xtf + X2l22+ ... +Х&
Мы можем обратить форму A5.1) в нуль, выбрав Xj в A5.2)
таким образом, чтобы || = |2 = • • • = 1г = 0. Значения Х), при
которых форма Q не обращается в нуль, конечно, существуют,
так как система г однородных уравнений
sttxf = 0 (/= I, ..., г)
с п неизвестными Xj имеет нетривиальные решения, если г < п.
Из матричного уравнения A5.4) и из того факта, что в по-
положительно определенной форме все X, в А положительны, сле-
следует непосредственно, что детерминант \ац\ положительно опре-
определенной формы непременно положителен. Обратное утвержде-
утверждение, конечно, неверно. В этом легко убедиться, заметив, что
|Л| = |Л|, а положительное значение |Л| допускает как не-
неопределенные, так и определенные формы.
§ 16. Одновременное приведение двух
квадратичных форм к сумме квадратов
Завершим наше изучение квадратичных форм исследованием
возможности одновременного приведения двух вещественных
квадратичных форм к сумме квадратов одним-единственным ли-
линейным преобразованием. Такая задача возникает в различных

§ 16] ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 59
областях физико-математических наук, в частности, например,
в изучении колебаний механических систем относительно состоя-
состояния равновесия.
Рассмотрим две вещественные квадратичные формы
Qi = a<7*i*/ и Q2 = bijxixh A6.1)
каждая ранга п, одна из них, например Qu положительно опре-
определенная. Положим, что нам требуется найти линейное преоб-
преобразование, не обязательно ортогональное, но такое, которое
приводит обе формы к сумме квадратов.
Если Qi — положительно определенная и имеет ранг п, то
существует линейное преобразование хг = Сц^, не обязательно
ортогональное, которое приводит Qi к виду
QI = ?? + gf+ ... +& A6.2)
В результате того же преобразования Q2 примет вид
Далее надлежащим ортогональным преобразованием |,- =
произведенным над переменными ?,-, мы можем привести фор-
форму С?2 к виду
A6.4)
а поскольку ортогональные преобразования оставляют скаляр-
скалярное произведение lili инвариантом, форма Qt остается неиз-
неизменной, и мы получим
Qi = Wh- A6.5)
Поскольку теперь Qi и Q2 оказались преобразованными
к искомым формам, и так как произведение последовательных
линейных преобразований от х{ к r\i есть линейное преобразова-
преобразование Х{ ~ SjjTij, то отсюда следует, что одновременное приведение
выполнимо.
Числа Xi в A6.4) называются характеристическими числами
формы Q2, отнесенной к Qu Переходим теперь к выводу урав-
уравнения для характеристических чисел Ki.
Напомним, что если переменные хг в квадратичной форме
Q = atiXiXj с матрицей А подвергнуть линейному преобразова-
преобразованию xt = SjjTjj с матрицей S, то матрицей результирующей квад-
квадратичной формы будет S'AS. Детерминант этой матрицы имеет
значение |S|2|/4|. Построим теперь квадратичную форму
A6.6)

60 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
где X — произвольный параметр. В результате последователь-
последовательных линейных преобразований переменных xt в щ квадратич-
квадратичные формы Q2 и Qi принимают вид A6.4) и A6.5), а A6.6)
приводится к A6.7)
%
A6.7)
Детерминант Д в A6.7) равен произведению
Ь = {Х1-Х){Х2-Х) ... {Хп-Х), A6.8)
а детерминант Q в A6.6)
Z) = | 6г/ - Ха?/1. A6.9)
Из только что сделанных замечаний, относящихся к значению
детерминанта в преобразовании квадратичной формы, следует,
что детерминанты D и Д могут различаться лишь постоянным
множителем, равным квадрату детерминанта \S\ преобразова-
преобразования начальных переменных х^ в окончательные переменные r\i.
Так как этот детерминант не равен нулю и не содержит пара-
параметра X, то корни полиномов A6.8) и A6.9) должны быть
тождественны. Учтя структуру выражения A6.8), заключаем,
что коэффициенты Xi в A6.4) являются корнями уравнения
bn — Xan bl2 — Xal2 ... bln — Xaln
b2l — Xa2l b22 — Xa22 ... b2n — Xa2n
bnl - Xanl bn2 - Xan2 ... bnn - Xan
¦ 0.
В приложении этих результатов к изучению малых колеба-
колебаний механических систем относительно точки равновесия формы
Q\ и Q2 соответствуют кинетической и потенциальной энергиям
системы. Окончательные координаты г\{ называются нормаль-
нормальными координатами, а характеристические числа Xi связаны
с нормальными модами колебаний (см. § 89).
§ 17. Унитарные преобразования и эрмитова матрица
В ряде вопросов, возникающих в прикладной математике,
приходится расширять понятие ортогональных преобразований
на векторы, определяемые в комплексной области.
Если мы рассмотрим неособенное преобразование
xt = atixi V> !={ ")• О7-1)
в котором коэффициенты a,j — комплексные числа, а совокуп-
совокупность чисел (jf|, . .., хп) представляет собой компоненты век-
вектора х, то при этом естественно возникает вопрос относительно

§ ГС] УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ЭРМИТОВА МАТРИЦА 61
ограничений, которые следует наложить на матрицу (fl,j), если
длина \х\ вектора должна сохранить постоянное значение. На-
Наложение условия инвариантности длины, а именно
Y* Yl = Y Y
i i ^l-^lt
приводит непосредственно к заключению, что [см. A1.5)]
61к> A7.2)
где черта над буквой, как обычно, обозначает сопряженные
комплексные значения. Из A7.2) выводим, что абсолютное зна-
значение квадрата детерминанта \пц\ равно единице.
Матрицы А = (a,j), элементы которых удовлетворяют усло-
условиям A7.2), называются унитарными, а соответствующие пре-
преобразования A7.1)—унитарными преобразованиями. Мы мо-
можем поэтому записать A7.2) формулой
А'А = 1, A7.3)
где А — сопряженная матрица, получаемая путем замены ка-
каждого элемента ац в А элементом ац. Из A7.3) заключаем не-
непосредственно, что А' = А~\
Билинейная форма
H = allxixi (i, /=1, ..., п), A7.4)
где ац = йц называется эрмитовой формой, а соответствую-
соответствующая ей матрица (ац) = А эрмитовой матрицей. Из определе-
определения эрмитовой матрицы следует, что элементы диагонали в ней
вещественны и что _
А' = А или А' = А.
Заметим что эрмитовы формы могут принимать для произволь-
произвольного Xi лишь вещественные значения, ибо
Н = ацхгх1 = ujiXiXj == aijXtXj = Я.
Очевидно, что эрмитовы формы представляют собой обобщение
вещественных квадратичных форм.
Можно поднять вопрос о возможности приведения формы
A7.4) к канонической форме
••• +Klnln A7.5)
с помощью преобразования
xt = uiflt или х = U\,
где U = (Uij) — унитарная матрица. Вычисление, сходное с вы-
выполненным в § 13, приводит к решению матричного уравнения
' Л, A7.6)

62 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. I
гд^ Л — диагональная матрица. Процедура в этом случае во
всех отношениях сходна с описанной для вещественных сим-
симметричных матриц. Умножая A7.6) на U, получаем
AU = UA, A7.7)
т. е. систему линейных однородных уравнений для определения
векторов uW; (uik, u2u, ..., unk), входящих в столбцы U. Необ-
Необходимое и достаточное условие того, чтобы система, предста-
представленная в A7.7), имела решение, сводится к требованию
|Л-А,/| = 0. A7.8)
Возможность построения унитарной матрицы U, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению A7.6), связана с тем, что корни уравнения
A7.8) здесь также вещественны. Тот факт, что характеристиче-
характеристические корни Я,- должны быть непременно вещественны, следует
из замечания, что U~XAU — эрмитова матрица, если только А —
эрмитова, a U — унитарная '). Таким образом, Л в A7.6) яв-
является эрмитовой матрицей и, следовательно, ее диагональные
элементы вещественны.
Задачи
1. Привести матрицу
1 -V
к диагональной форме S преобразованием подобия О'ЛС. Показать, что
0 2
Исследовать значение А как оператора, характеризующего деформацию про-
пространства.
2. Привести к диагональной форме матрицы
-1 1-1
') Действительно, {U~lAU)r = UrA'{U~1)' и {U~*AU)'= U'А' (и~У. Так
как А —эрмитова, то А' ~ А, а так как U — унитарная, то Ur = U~x и
(U~lY = U. В результате находим (U~lAUY = U~1AU.

ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
§ 18. Задача и содержание тензорного анализа.
Инвариантность
Тензорный анализ имеет дело с изучением абстрактных
объектов, называемых тензорами, свойства которых не зависят
от координатных систем, используемых для описания этих объ-
объектов. В частной координатной системе тензор определяют со-
совокупностью функций, называемых его компонентами, точно так
же, как совокупностью компонентов определяют в заданной ко-
координатной системе и вектор. Определяет ли заданная система
функций тензор, зависит от закона преобразования этих функ-
функций при переходе от одной координатной системы к другой.
Положение здесь тождественное с тем, которое мы встретили
еще в главе I. В заданной координатной системе вектор А опре-
определяется однозначно совокупностью компонентов Ai. Если мы
введем новую систему координат, то этот же вектор А будет
определяться совокупностью компонентов В{, причем эти новые
компоненты могут быть однозначным образом вычислены из пер-
первых. Именно закон преобразования компонентов вектора и со-
составляет сущность понятия вектора. Это относится также и к
тензорам.
Поскольку тензорный анализ имеет дело с объектами и
свойствами, не зависящими от выбора координатной системы,
он является идеальным инструментом для изучения законов при-
природы. В самом деле, если логическая дедукция, основанная на
комплексе случайной совокупности наблюденных фактов, и за-
заслуживает наименования закона природы, то это лишь потому,
что она определяется часто общностью подобной дедукции и ее
применимостью в достаточно широком классе систем отсчета.
Это обстоятельство тесно связано с возможностью формули-
формулировки дедукции в тензорном уравнении, так как тензорные урав-
уравнения инвариантны относительно принятого в том или ином слу-
случае типа преобразований координат. Идея инвариантности мате-
математических объектов при преобразовании координат пронизы-
пронизывает всю структуру тензорного анализа до такой степени, что

64 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
весьма важно с самого начала составить ясное представление
об одном частном виде инвариантности, который мы имеем в
виду. Положим, что некоторая точка является инвариантом.
В заданной системе координат точка Р определяется совокуп-
совокупностью координат х\ Если координатная система меняется, точ-
точка Р будет описана новой совокупностью координат у\ но это
преобразование координат ничего не изменит в самой точке.
С другой стороны, пара точек (Pi, P2) определяет вектор Р\Р%.
Этот вектор в частной координатной системе однозначно опре-
определяется совокупностью компонентов А{. Преобразование коор-
координат ничего не изменяет в самом векторе Р\Рч, но определится
он в новой координатной системе Р\Рч иной совокупностью ком-
компонентов В{. Совокупность точек, образующих, например, кри-
кривую или поверхность, является, таким образом, инвариантом.
Эту кривую можно описать в заданной координатной системе
уравнением, которое обычно меняет свою форму с изменением
координат, хотя сама кривая остается неизменной. Скажем по-
поэтому вообще, что математический объект, какова бы ни была
его природа, является инвариантом, если только он остается не-
неизменным при преобразовании координат.
§ 19. Преобразование координат
В главе I мы познакомились достаточно подробно с линей-
линейными преобразованиями координат. Здесь мы будем иметь дело
с вещественными однозначными, обратимыми функциональны-
функциональными преобразованиями вида
Т: yl = yl{x\ х\ ..., х") (i=l,2, ..., п). A9.1)
Любую заданную совокупность п вещественных чисел (л^, х20, ...
..., xfy мы представляем себе как точку Ро в «-мерном метри-
метрическом многообразии с координатной системой X. Систему
уравнений A9.1) мы рассматриваем как преобразование коор-
координатных систем, в котором подстановка в A9.1) п чисел
(У10, У1> • ••' У") взамен координат (х1й, х%, ..., х%) представит ко-
координаты точки Ро в координатной системе У. Так как преоб-
преобразование Т в A9.1) предполагается обратимым и взаимноод-
взаимнооднозначным, то мы можем записать
Т-[:х1(у1, у2 уп) (i=l,2 n), A9.2)
где функции1) хЦу) однозначные. Для того чтобы обеспечить
выполнение только что наложенных нами ограничений на преоб-
преобразование координат, будет достаточно предположить, что
') Мы будем часто пользоваться обозначениями х'(у) и /(*) вместо
х'(У11 • • • i У") и соответственно f(xl, х2, ..., *")•

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
функции у'(х) в A9.1) непрерывны вместе со своими первыми
частными производными в некоторой области R множества Vn
и что якобиан — детерминант / ==
дх1
— не обращается в нуль
ни в одной точке области R. В этом случае гарантируется !)
не только существование однозначного обратимого преобразо-
преобразования A9.2), но и принадлежность функций х*(у) в A9.2)
к классу С1 в некоторой окрестности рассматриваемой точки.
Заметим, что если функции уг(х) в A9.1) принадлежит клас-
классу С1, то по формуле Тейлора
у1 = а< + aft,
где а1. — значение ду1/дх\ вычисленное для некоторой точки Р'
области R. Точка Р' зависит, конечно, от выбора значений
(х1, х2, ..., хп). Поэтому преобразование A9.1), обладающее
указанными свойствами, является локально-линейным. Суще-
Существование не обращающегося в нуль якобиана гарантирует, что
эта система линейных уравнений имеет единственное решение.
Повсюду в дальнейшем в этой книге мы будем предполагать,
что все встречающиеся типы преобразования координат имеют
вид A9.1), в котором функции yl(x) входят по крайней мере
в класс С1 в некоторой области R и что —^т Ф 0 в любой
дх}
точке R. Ради краткости будем называть класс преобразований
координат, характеризуемый описанными свойствами, допусти-
допустимыми преобразованиями.
В качестве допустимого преобразования рассмотрим систе-
систему уравнений, определяющих связь между сферическими по-
полярными координатами Xх и прямоугольными декартовыми ко-
координатами у1:
Г:
у1 = хх sin х2 cos х3,
у2 = Xх sin x2 sin x3,
у3 = хх cos х2.
Если положить хх > 0, 0 < х2 < я и 0 < х3 < 2я, то У ф 0, и об-
обратное преобразование выразится уравнениями
+
р-1.
х2 ~ arctg
') См., например, Sokolnikoff I. S., Advanced calculus, стр. 433—438.
Мы пользуемся символом С" для обозначения класса функций, непрерыв-
непрерывных вместе со своими первыми п частными производньши.
3 И. С. Сокольников

66
ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
[ГЛ. II
Задача
Исследовать преобразования, в которых координаты у* — прямоуголь-
1 ..,
ные декартовы:
(а)
2 Х2+ • хг
?=•*'
( у1 = дс1 cos дс2,
(б) | г/2 = *' sin х\
1
§ 20. Свойства допустимых преобразований координат
Из содержащейся в этом параграфе сводки некоторых важ-
важных свойств допустимых координатных преобразований мы уви-
увидим, что совершенно несущественно, какая именно частная си-
система отсчета избирается для описания инвариантных объектов.
Будет показано, что все допустимые преобразования координат
образуют группу и что вследствие этого каждая координатная
система в семействе может быть получена из какой-либо другой
частной системы путем допустимого преобразования. Этот факт
является важным пунктом в построении теории, которая пре-
претендует на независимость от случайного выбора систем отсчета.
Теорема I. Если преобразование координат Т обратимо,
т. е. существует обратное преобразование 7м, и если J и К
означают соответственно их якобианы, то J-K = 1.
Доказательство просто: подставляем значения xi из A9.2) в
A9.1) и получаем ряд тождеств для у1:
yl = y'WW У) х"(у\ ..., */«)].
Дифференцирование по у, дает
Но
ду1
ду1 дха
дха ду1
(а=1, 2,
п).
дха
дка
ду'
дхк
•
дх1
дук
Поскольку |б'|=1, мы убеждаемся, что 1-К= 1. Попутно из
этого результата следует, что / Ф 0 в R. Рассмотрим теперь два
допустимых преобразования
= zl(y\...,yn) (/¦=!, 2,
л).

§ 21] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ ИНВАРИАНТНОСТЬЮ 67
Преобразование
Т3:г1^г'[уЧх' *») у"(х\ ..., л;")]
называется произведением Т2 и Т\. Записывается оно формулой
Тз — Т2Т\. Если якобиан Т$ обозначить через /3, то
д*1 дуа
дуа дх1
дг1
ду'
ду<
дх'
где /г и /i — соответственно якобианы Т2 и Гь
Сформулируем этот результат как теорему.
Теорема II. Якобиан произведения преобразований равен
произведению якобианов, входящих в произведение преобразо-
преобразований. Эти две теоремы позволяют нам сформулировать и тре-
третью теорему.
Теорема III. Совокупность всех допустимых преобразова-
преобразований координат образует группу.
Справедливость теоремы становится очевидной, если заме-
заметим, что
(а) фундаментальное свойство группы, именно то, что про-
произведение двух допустимых преобразований является преобра-
преобразованием, принадлежащим к той же совокупности допустимых
преобразований, удовлетворяется с полной очевидностью, это
свойство известно как свойство замкнутости группы;
(б) произведение преобразований обладает обратным пре-
преобразованием, так как входящие в произведение преобразова-
преобразования обратимы;
(в) тождественное преобразование (х* = г/»), очевидно, су-
существует;
(г) ассоциативный закон T3(T2Ti) = (Т3Т2)Ти очевидно, вы-
выполняется.
Именно эти свойства входят в определение абстрактной
группы.
Как отмечено в начале настоящего параграфа, тот факт, что
допустимые преобразования образуют группу, оправдывает нас
в выборе в качестве точки отправления любой координатной
системы, если только она принадлежит к числу допустимых,
входящих в группу.
§ 21. Преобразования, индуцированные
инвариантностью
Пусть F(P) — функция точки Р в «-мерном множестве Vn.
Предположим, что F(P)—непрерывная функция в некоторой
области R многообразия Vn и что в Vn введена какая-либо
координатная система X. Значения F(P) зависят от точки Р, но
не от координатной системы, использованной для того, чтобы
3*

68 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
представить Р. Мы называем F(P) скалярной точечной функ-
цией или просто скаляром. В системе отсчета X функция F(P)
может принять форму f(x\ ..., хп), и если мы введем новую
систему отсчета У преобразованием
Т:х^х1(у1,...,у% B1.1)
то функциональная форма F(P) в координатах У примет вид
fix1 (У1, ..., Vя), .... х"(у\ ..., y»)]=ag{y\ .... уп), B1.2)
поскольку значение f(x\ ..., хп) для Р(хх, ..., хп) будет то
же •), что и g(y', ..., у") для P(y', ..., уп).
Мы можем говорить о /(х) как о компоненте скалярной
функции F(P) в координатной системе X, в то время как g(y)
является компонентом той же самой скалярной функции в ко-
координатной системе У. С другой стороны, мы можем рассматри-
рассматривать скалярную функцию F(P) как определенную набором
компонентов f(x), g(y), h(z) и т. д., связанных друг с другом
подстановками вида B1.2). Иными словами, коль скоро предста-
представление скаляра F(P) известно в одной координатной системе,
то форма F(P) в любой другой координатной системе У опре-
определится формулой B1.2). Мы называем это подстановочное
преобразование G°; f\x(y)] = g(y) преобразованием, индуциро-
индуцированным инвариантностью.
Заметим, что если даны три преобразования: Ть Т2 и Г3) где
ТТ1: х = х(у),
Тз1: y = y(z)
с Г3= Г2Г,, так что
Тз1: x = x[y(z)],
и скаляр F(P), компонент которого в системе отсчета X выра-
выражается как f(x), то можно вычислить и преобразованные фор-
формы \{х). В самом деле, компонент g(y), входящий в состав
F(P), определяется законом
между тем как компонент h(z) той же функции F(P) в коор-
координатной системе Z задается как
G2°: h(z)~g[y{z)].
С другой стороны, применяя произведение преобразований
') В частном случае F(P) может представлять температуру какой-либо
области пространства и f(x) —форма, которую функция температуры при-
принимает в системе отсчета X; g(y) —представление F(P) в системе отсчета Y.

§22]
КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
69
7з = Т2Т\, находим
G3:
f{x[y{z)]),
откуда ясно, что G° = GlGu\.
Мы можем представить эти преобразования координат и со-
соответствующее преобразование компонентов F(P) в виде диа-
диаграммы (рис. 7). Если координаты подвергаются группе Т допу-
допустимых преобразований, то компоненты скаляра подвергаются
9(У)
hlzi
Рис. 7.
некоторым преобразованиям G0. Связь между последователь-
последовательными преобразованиями Г и С такова, что произведению двух
преобразований Т{Г\ отвечает произведение двух однозначно со-
соответствующих преобразований G\G\. Когда такое соответствие
достигается между двумя какими-либо группами преобразова-
преобразований Т и G, то такие группы называются гомоморфными. Если же
между группами имеется взаимно однозначное соответствие, го
тогда такие группы называются изоморфными. Изоморфизм
между преобразованиями координат и преобразованиями функ-
функций, индуцируемых преобразованиями координат,— важная ха-
характеристика класса инвариантов, называемых тензорами.
§ 22. Ковариантные и контравариантиые преобразования
В предыдущем параграфе мы рассмотрели преобразование
компонентов скаляра F(P), когда преобразованию подвергают-
подвергаются координаты точки Р. Здесь мы займемся законом преобра-
преобразования объектов, определяемых системами частных производ-
производных скаляра. Комплекты частных производных компонента
Цх1, ..., хп) скаляра F(P) представляют интерес в физике в
связи с понятием градиента потенциальной функции.
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию
f(x\ ..., хп), представляющую скаляр f(P), и преобразование
координат
Т: xl~xl(y\ ..., уп). B2.1)
Если составить комплект из п частных производных
df df df lf , , „.
Эх1' дх* > ••> дх" или [У\, \*г-г)

70 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
то возникнет вопрос: что произойдет с этим комплектом {fxi},
когда координаты xi будут подвергнуты преобразованию
B2.1)? Этот вопрос совершенно не имел бы смысла, если бы
не было в точности указано, что надлежит сделать с комплек-
комплектом B2.2). Эти производные вовсе не «преобразуются» как-
либо автоматически до тех пор, пока не будет указано, какой
закон следует использовать в вычислении «соответствующих
функций» в системе Y. Иными словами, здесь необходимо до-
договориться относительно того, что должен обозначать термин
«соответствующая функция» в данной ситуации.
Мы можем, например, вычислить соответствующие функции
индуцированной инвариантностью G0 (§ 21); т.е. мы можем
ввести в каждую функцию fxi{xl, ..., хп) значения х из
B2.1). Это составит комплект п функций
fifi(У1, • • •, Уп), 82Uf\ ¦•-, Уп), ¦ ¦ ¦, ёп(У\ ¦ • •, У")- B2.3)
С другой стороны, если воспользоваться понятием градиента
f(P), то надо иметь в виду, что комплектом функций, соответ-
соответствующих B2.2), будет не B2.3), а комплект п частных произ-
производных
ду1 ' ду2 ' ' "' дуп '
вычисленных по правилу дифференцирования сложных состав-
составных функций, а именно
Если у нас имеются функция f(x\ ..., хп) и преобразо-
преобразование
Г,: xl{z\ ..., z»),
то комплект функций, соответствующих B2.2) и определяемых
законом G1 [уравнение B2.5)], будет
df ^ df дха
дг1 дха дг1
Мы можем представить себе комплекты функций {df/dx1},
{df/dyi}, {df/dzi} и т. д. как один и тот же математический
объект, взятый в различных системах отсчета. В каждой от-
отдельной точке Р0(хг0, ..., х?) комплект B2.2) определяет «чи-
«чисел, которые можно рассматривать как компоненты градиента
вектора; комплект же B2.4) представляет тот же вектор в ко-
координатной системе У,

§ 22] КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 71
Если у нас имеется комплект п функций Ai(x), ..., Ап(х),
ассоциированных с координатной системой X, и если мы усло-
условимся вычислять соответствующие величины Bi(y), ..., Вп(у)
в системе Y по ковариантному закону G1, а именно по закону
Bi(y) = ^Aa(x), B2.6)
то мы будем говорить, что комплект (Л4(х)} представляет ком-
компоненты ковариантного вектора в координатной системе X.
Комплект {Вг(у)} представляет тот же самый ковариантный
вектор в системе Y. Ковариантный вектор сам по себе есть со-
совокупность комплектов этих компонентов, каждый из которых
связан с другим комплектом ковариантным законом G1.
В качестве иллюстрации закона преобразования векторов,
совершенно отличного от закона G1, рассмотрим комплект
п дифференциалов
dx\ dx2, .... dxn, B2.7)
где хг связаны с переменными yi формулой B2.1). Если у нас
имеются две точки Л (х\ ..., хп) и Р2(х{ + dx\ ..., хп + dxn),
то комплект п чисел B2.7) определит вектор перемещения от
точки Pi к точке Р2.
Этот же самый вектор перемещения, будучи отнесен к ко-
координатной системе Y, будет иметь своими компонентами
dy\ dy2 dy\ B2.8)
где t
Ghdy^^dx* (i, a=l, 2 n).
Заметим, что закон G2 для определения величин B2.8) от-
отличается от закона G!. Если у нас имеется комплект величии
А\(х), А2(х), ..., Ап(х), то закон G2, определяющий соответ-
соответственные величины Bi(y), B2(y), ..., Вп(у), имеет вид
Д«-^4г B2.9)
Закон G2 называется контравариантным законом и комплек-
комплекты величин, преобразуемых нами в соответствии с этим зако-
законом, мы называем компонентами контравариантного вектора.
Законы G°, G1 и G2 играют фундаментальную роль в построе-
построении тензорного анализа.
Задачи
1. Показать, что если преобразование Т: у = <jy*' ортогонально, то раз*
личие между ковариантным и контравариаитным законами исчезает.
2. Доказать теорему: если /(*', х2 л") —однородная функция сте«
д} ,
пени т, то ~^rj х' — /п/.

72 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
3. Даны }(х\ хг, ..., хп) и комплект уравнений преобразования ж' =
— ХЧУ1< У2' ¦¦¦> Уп)< где каждый У*=уЦ1). Показать, что если преобразо-
преобразование, индуцированное инвариантностью {, имеет вид g(y\ у2, ..., уп), то
dfldt = dg/dt. Указание. (df/dxa) (dxa/dt) = df/dt и dxa/dt = (дха/ду>) (dyi/dt).
4. Выписать законы преобразования компонентов ковариантного и контра-
вариантного векторов, если * — преобразование прямоугольных декартовых
координат в сферические полярные (см. § 19).
§ 23. Понятие тензора. Контравариантиый
и ковариантный тензоры
Рассмотрим допустимое преобразование
г- и1 = и1 (х1 х2 хп\ (i = 1 9 п)
и комплект {/j} непрерывных функций в количестве т
f. fvl v-2 хп\ С; = 1 9 m^
определенных в некоторой области R n-мерного пространства,
отнесенного к координатной системе X.
Ассоциируем с заданным преобразованием Т преобразова-
преобразование G, которое преобразует каждую функцию f,-(*', х2, ...,хп)
в функцию
giiy\ У2, ¦¦-, Уп)-
Примерами преобразования G являются преобразования, инду-
индуцированные инвариантностью скаляра, а также контравариант-
ные и ковариантные преобразования, введенные в предыдущих
параграфах. Но какова бы ни была природа преобразования
G, она всегда будет зависеть от Т, и чтобы подчеркнуть этот
факт, мы скажем, что G — функция Т. Мы назовем G индуци-
индуцированным преобразованием комплекта функций /j.
Предположим далее, что G, рассматриваемая как функ-
функция Т, удовлетворяет следующим условиям.
(а) Если Т есть тождественное преобразование, то и G —
также тождественное преобразование. Это значит, что если yi =
*=х\ то
U*1..... *«) = /<(</'> У2> ••- упУ
(б) Если Ти Т2, Т3 — три преобразования типа Т, a Gu G2,
G3 — соответственные индуцированные преобразования G, и
если при этом Ts = Т2Ти то G3 = G2G{. Иначе говоря, ком-
комплекты преобразований Г и G изоморфны. Если данный ком-
комплект функций {ft} удовлетворяет условиям (а) и (б), то ска-
скажем, что комплект {/*} представляет компоненты ft тензора /
в координатной системе X. Сам же тензор f есть не что иное,
как совокупность комплектов функций {fi{x)}, {gi(y)} и т.д.

§ 23] К.ОНТРАВАРИАНТНЫИ И КОВАРИАНТНЫЙ ТЕНЗОРЫ 73
Следует заметить, что термин тензор был применен А. Эйн-
Эйнштейном ') лишь в связи с комплектами величин, преобразуе-
преобразуемых в соответствии с законами контравариантности и кова-
ковариантности. Формулировкой контравариантного и ковариант-
ного законов, равно как и наброском существенных положений
алгебры и анализа контравариантных и ковариантных тензоров,
наука обязана Дж. Риччи2). Значительно более широкое истол-
истолкование и определение тензоров на основе изоморфизма преобра-
преобразований координат и индуцированных преобразований принад-
принадлежит Г. Вайлю и О. Веблену3). Из-за соображений практиче-
практического удобства и благодаря широкой распространенности кова-
риантного и контравариантного законов преобразования в при-
применениях анализа к геометрии и физике термин тензор вошел во
всеобщее применение в том смысле, в каком его наметил А. Эйн-
Эйнштейн. Тем не менее изоморфизм между законами преобразова-
преобразования координат и индуцированными преобразованиями заложен
столь фундаментально в идее тензоров и в инвариантной при-
природе тензорного анализа, что ту степень внимания, которую мы
уделили ему в предшествующем изложении, следует признать
достаточно оправданной.
Обратимся теперь к рассмотрению ковариантных, контрава-
контравариантных и смешанных тензоров. Будет удобно ввести (следуя
Риччи) различные обозначения для каждого отдельного типа
этих тензоров так, чтобы их можно было различать с первого
взгляда. Рассмотрим прежде всего комплект из п функций пе-
переменных (х1, ..., хп)
{A{i; х)} или ЛA; х), А B; х) А(щ х).
Ранее мы помещали идентифицирующий (обозначающий) ин-
индекс i либо снизу буквы, либо сверху ее, но теперь мы усло-
условимся пользоваться верхними индексами для обозначения ком-
комплекта функций, которые преобразуются в соответствии с кон-
травариантным законом, и нижние индексы для комплектов,
преобразующихся ковариантно 4). В тех случаях, когда закон
преобразования не ковариантный и не контравариантный или
когда природа его стоит под сомнением, мы пишем {A(i\ x)},
{B(i; у)} и т. д. Предложим теперь следующие определения.
') Einstein A., Annalen der Physik 49 A916).
2) Ricci G., Atti della reale accademia nazionale dei Lincei 5 A889).
3) Weyl H., Mathematische Zeitschrift 23, 24 (ig25—1926); Veblen O.,
Invariants of quadratic differential forms, Cambridge Tract № 24 A927),
стр. 19—20.
4) Единственным исключением из этого соглашения является применение
верхних индексов для обозначения переменных х\ у{ и т. д. Эти величины не
преобразуются по ковариантному или контравариангиому закону, если пре-
преобразование Т не является аффинным.

74 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Определение 1. Ковариантным тензором ранга 1 назы-
называется полный класс комплектов величин {A(i; х)}, {B(i; у)},
{С(/; г)}, ..., связанных между собой преобразованием вида
В (/; у) = -jy A (a; x) (t, а = 1, 2, ..., п),
где {A(i; x)} — представление тензора в координатной системе
X, a {B(i; у)} — его представление в некоторой координатной
системе Y, связанной с системой X преобразованием Т.
Часто мы говорим обобщенно о заданном комплекте
{A(i; х)} как о тензоре, но в этом выражении и нельзя скры-
скрывать тот факт, что тензор представляет собой совокупность
комплектов величин, обозначаемых символом {A(i; х)}. Послед-
Последний относится к представлению тензора в частной системе от-
отсчета и может быть понят как компонент тензора в координат-
координатной системе X. Тем не менее мы будем применять термин ком-
компонент тензора, имея в виду индивидуальные элементы A (i; x)
в комплекте {A (i; x)}.
Мы обозначаем компоненты ковариантных тензоров ниж-
нижними индексами и часто опускаем переменные х и у, входящие
в качестве аргументов А и В. Таким образом,
В, = —i- Aa (ковариантный закон).
ду1
Определение 2. Контравариантным тензором ранга 1
называется полный класс комплектов величин типа {A(i\ x)},
{B(i; у)}, .,., связанных между собой преобразованием вида
где {A(i;x)} представляет тензор в координатной системе X и
{B(i; у)} — в координатной системе Y.
Мы обозначаем компоненты контравариантных тензоров
верхними индексами. Так, например,
В1 = —У-Аа (контравариантныи закон).
дх
Определения контравариантного и ковариантного тензоров
первого ранга тождественны с определениями контравариант-
контравариантного и ковариантного векторов, данными в § 22.
Мы говорим о скалярах, определенных в § 21, как о тен-
тензорах нулевого ранга.
Мы можем обобщить определения тензоров первого ранга,
включив сюда тензоры любого ранга, следующим образом.

§ 23] КОНТРАВАРИАНТНЫЙ И КОВАРИАНТНЫЙ ТЕНЗОРЫ 75
Определение 3. Комплект пг величин Л^2... tr(x), ас-
ассоциированных с координатной системой X, представляет ком-
компоненты ковариантного тензора ранга г, если соответствующий
комплект пг величин В,- / ... t (у), ассоциированный с коорди-
координатной системой Y, задан выражением
1 2 т ду1 ду* дуг ' 2 т
Сам тензор представляет собой совокупность комплектов ве-
величин {Atli2... ir{x)}.
Определение 4. Комплект пг величин Л'1'2'" г(х) пред-
представляет компоненты контравариантного тензора ранга г в ко-
координатной системе X всякий раз, когда соответствующий ком-
комплект В'1'2 ¦'¦ 'г{у), составленный из пг величин в системе Y,
задан законом
д ' д2 дг
Л г
ш дх 1 дх 2 дх т
В качестве иллюстрации отметим, что компоненты ковариант-
ковариантного тензора второго ранга преобразуются по закону
D , ч дха дх$ . , ч
тогда как компоненты контравариантного тензора заданы вы-
выражением
При этом в каждом комплекте — п2 компонентов. Определим
теперь смешанный тензор.
Определение 5. Совокупность комплектов из пг+3 вели-
величин, обозначаемых в координатной системе X выражениями
А'А2... ls(x)> представляет собой смешанный тензор, ковариант-
ный ранга г и контравариантный ранга s, если соответствую-
соответствующие величины В^\2'"[${у) в координатной системе Y за-
задаются законом
,.../._ d/' дх°2 дхаг ду ' ду'2 ду1'
S
••'--'' V' ^ '"¦ а*1' ' дх*> дх '" ~дТ* л«л""^
Заметим, что этот закон для преобразования компонентов
Л/ смешанного тензора дает

76 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
В качестве простого примера смешанного тензора, с которым
мы уже встречались в нашем изложении, укажем дельту Кро-
./ дха ду' -в ду' ~/ г-,
некера о», именно —-,—2s-oa = —г = <-><- подтверждение того
ду дхр ду
факта, что определения ковариантного и смешанного тензоров
удовлетворяют условиям (а) и (б), указанным в начале этого
параграфа, приводится в § 24.
Для того чтобы отличить тензоры, определенные для неко-
некоторой области пространства, от тензоров, область определения
которых сводится к единственной точке, о первых говорят ино-
иногда как о тензорах, составляющих тензорное поле.
§ 24. Свойства ковариантного
и контравариантного законов преобразования тензоров
Проверим, что индуцированные преобразования, определен-
определенные в предшествующем параграфе, удовлетворяют условиям
изоморфизма, сформулированным в § 21. Тот факт, что преоб-
преобразование, индуцированное инвариантностью скаляра (приводя-
(приводящее к тензорам нулевого ранга), удовлетворяет этим условиям
был отмечен в § 21. Доказательства для контравариантного и
ковариантного тензоров — частные случаи доказательства для
смешанного тензора. Рассмотрим поэтому смешанный тензор,
обозначенный комплектом функций
А\\7 !'(*)•
V2 "• 'г
Закон G для преобразования смешанных тензоров имеет вид
!::::{;(yOvf4f^f
1 т дух ду т дх ' дх
и мы должны показать, что:
(а) если Т = 1, то G=/,
(б) если Т=Т2ТЬ то G = G2G{.
Итак, если T — I, то
ха1 = уа,г Ха* = уа2, ...,
и, следовательно,
ду1 '
Кроме того, Г~' = /, так что

§ 24] КОВАРИЛНТНЫЙ И КОНТРАВАРИАНТНЫЙ ЗАКОНЫ 77
откуда
1 1
a/' p' a/* p°
Подставляя эти значения частных производных в B4.1), получаем
откуда G = /, если Т = /.
Предположим теперь, что преобразованием Т\ переменные
xi преобразуются в у', а преобразование Т2 переводит послед-
последние в z\ Соответствующие индуцированные преобразования G\
и G2 дают
с,: вь;:;;»ы=-^ • • • ^т- ¦ -пг • • • -^К\::: «s w B4-2)
1 г 5(/ ' ду г дх 1 дх s ' r
И
g2= c{.:::!:(г)-Т1-..Л-5г..Л<:::feы- B4.3)
?::
Далее произведением преобразований Г3 = T?J\ переменные xi
переводятся в у\ а у1 — в г1, так что Гз преобразует хг в г1-.
Вводя значения В из B4.2) в B4.3), находим
дг г / \ ду 1 ду
ду ' а^/
Совершая суммирование по а и р, находим
Результирующий закон Ga и представляет собой закон преобра-
преобразования компонентов смешанного тензора, когда переменные xi
преобразуются в zi преобразованием Гз- Таким образом, закон
преобразования G является транзитивным, и этим завершается
наше доказательство.
Результаты для ковариантного и контравариантного тензо-
тензоров получаются как специальные случаи путем отбрасывания
верхних кли нижних индексов.
В этой книге будут рассматриваться лишь следующие типы
тензоров: скаляры, ковариантные, контравариантные, смешан-
смешанные и относительные тензоры, Последним дается определение
в ^ Jo.

78 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Установим теперь одно полезное свойство закона преобразо-
преобразования тензоров, с которым нам часто придется встречаться в
дальнейшем.
Обозначим компоненты смешанного тензора в координатной
системе X через А'у'Ах), а их компоненты в системе Y —
через б'1 "¦ [s {у). Тогда на основании закона преобразования
смешанных тензоров мы сможем записать
1 г ду ' ду т дх ' дх s ' т
С другой стороны, если нам даны компоненты В/1'"' ts(y), то
компоненты ^a'...asW того же тензора в системе отсчета X
определяются формулой
<\ ¦•• ; wf ft f в: ¦¦';
f=r ft frr 77
дх ' дх т ду * ду
B4-5)
Заметим, что мы можем получить B4.5) из B4.4) формально,
обращаясь с частными производными и суммами в B4.4), как
если бы они были дробями и произведениями, входящими в про-
простые алгебраические выражения.
Из структуры формул B4.4) и B4.5) выводим важную тео-
теорему.
Теорема. Если все компоненты тензора обращаются в нуль
в одной координатной системе, то они необходимо обращаются
в нуль и во всех других допустимых координатных системах.
Эта теорема имеет глубокое значение в формулировке физи-
физических законов. Она констатирует, по существу, что если ка-
какой-либо закон выводится из исчезновения компонентов тен-
тензора в одной частной координатной системе, то это значит, что
правила преобразования компонентов тензора гарантируют их
исчезновение во всех допустимых координатных системах. Фи-
Физик мало заинтересован в формулировке закона, который мог
бы иметь силу лишь в какой-либо одной частной системе от-
отсчета. И действительно, понятие инвариантности и универсаль-
универсальности физических законов — краеугольный камень, на котором
строится математическая физика.
§ 25. Алгебра тензоров
В этом параграфе мы устанавливаем несколько правил опе-
оперирования с тензорами, являющихся алгебраическими по свое-
своему характеру.

» 25] АЛГЕБРА ТЕНЗОРОВ 79
Теорема I. Сумма (или разность) двух тензоров, имею-
имеющих одно и то же число ковариантных и одно и то же число
контравариантных индексов, представляет собой тензор того
же типа и ранга, что и заданные тензоры.
Доказательство. Рассмотрим два тензора А(х) и Ж(х)
одного и того же типа и ранга, определенных в одной и той же
точке Р, и соответственные законы преобразования
1 ' ду1 дУ
Тогда
Отсюда следует, что Л + Л — тензор того же типа и ранга, что
и слагаемые, что записывается тождеством
Из законов преобразования тензоров явствует, что если ка-
каждый компонент тензора умножается на константу, то резуль-
результативный комплект функций будет тензором. Этот вывод в со-
сочетании с теоремой I позволяет нам сформулировать
Следствие. Любая линейная комбинация тензоров од-
одного типа и ранга является точно также тензором того же
типа и ранга. _
Теорема II. Уравнение ^"[^(x) = A^\[[ls(x) есть тен-
тензорное уравнение; зто значит, что если это уравнение удовлет-
удовлетворяется в какой-то определенной координатной системе, то оно
удовлетворяется и во всех допустимых системах.
Доказательство. Из теоремы I следует, что разность
двух тензоров есть тензор. Отсюда
Но в § 24 мы доказали, что если все компоненты тензора обра-
обращаются в нуль в одной координатной системе, то они обра-
обращаются в нуль и во всех допустимых координатных системах.
Тензор, все компоненты которого обращаются в нуль, мы будем
называть нулевым тензором.

JJO ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Теорема III. Комплект величин, состоящих из произведе-
произведения каждого элемента комплекта А\х"' '*(*), представляю-
представляющего тензор А, на каждый элемент комплекта Alkl '" lg (х),
представляющего тензор А, определяет тензор s&, называемый
внешним произведением. Этот тензор контравариантен ранга
q + s и ковариантен ранга р + г.
Из определения внешнего произведения компоненты тензора
«я? в системе отсчета X даются формулой
¦*! ... tp kx ... kr i, ... ip kx ...kr
Тот факт, что комплект функций s4-[l '" lks определяет тензор,
следует непосредственно из закона преобразования компо-
нентов А[\\\\[1 и А[\\-;\.
Мы будем обозначать внешнее произведение М- тензоров А
и А последовательной записью их — одного за другим в одном
ряду — и именно таким образом: si = АА. Очевидно, что внеш-
внешнее произведение дистрибутивно в отношении сложения, т. е.
Введем теперь операцию свертки, которая приводит к появле-
появлению тензоров.
Теорема IV. Если в смешанном тензоре, контравариант-
ном ранга s и ковариантном ранга г, мы приравняем ковари-
антный и контравариантный индексы и просуммируем по этому
индексу, то получающийся при этом комплект nr+s~2 сумм бу-
будет смешанным тензором, ковариантным ранга г — 1 и контра-
вариантным ранга s — 1.
Во избежание усложнений в записи проиллюстрируем про-
процедуру, используемую в доказательстве, для чего рассмотрим
смешанный тензор А/ы. Имеем
Bi _ ду1 дх$ дху дх6
дха ду' ду ду
Приравняв индексы i и k и просуммировав, получим комплект
п2 величин
ду[ дх$ дху дх6 Ла _ _д>?_ _д^_
дх$ дх6 .а дх* дх6 -т
w -ГТ "poo i Г «««•
ду' ду1 ду' ду1 &°
Таким образом, придем к ковариантному тензору второго
ранга: В)ц^ Bst.

§ 26] ПРАВИЛО ЧАСТНОГО 81
В рассмотренном случае мы можем получить три различных
ковариантных тензора второго ранга, выполнив операцию
свертки на других ковариантных индексах. Заметим, что когда
в результате свертки одной или большего числа пар индексов,
свободных индексов уже не остается, получающаяся величина
окажется скаляром.
Если операцию свертки представляется возможным приме-
применить к внешнему произведению двух тензоров А я А, результа-
результатом ее будет тензор, именуемый внутренним произведением А
и А. Обозначим внутреннее произведение тензоров символом
А-А. Доказательство того, что А -А является тензором, следует
непосредственно из того, что внешнее произведение двух тензо-
тензоров есть тензор, операция же свертки также дает тензор.
Пример. Рассмотрим тензоры: Ац(х), Ah(x) и Ак(х).
Если мы образуем внешнее произведение АцАк = Аць., то полу-
получим ковариантный тензор третьего ранга, в связи с чем опера-
операция свертки станет невозможной. С другой стороны, внешнее
произведение Ац и Ак дает смешанный тензор АцАк=Асц, и
здесь мы сможем произвести операцию свертки, получив в резуль-
результате ее ковариантный тензор Afa или Аа/. Как уже было отмече-
отмечено, тензор А)а может быть свернут тремя различными способами
в Аш, A%i и А%а- Тензор Лщ, допускает двукратную свертку
несколькими способами. Свертка А) приводит к скаляру.
§ 26. Правило частного
В этом параграфе мы приводим две полезные теоремы, ко-
которые позволят нам установить тензорный характер комплек-
комплектов функций, не загружая себя трудностями непосредственного
определения закона преобразования.
Мы пользуемся . термином внутреннее произведение для
сумм типа А(а, i% ..., ir)Aa или Л (a, h, ..., ir)Aa, не разли-
различая того, представляет собой комплект функций А (гь ..., ir)
тензор или не представляет. Кроме того, тензоры первого ранга
мы называем векторами.
Теорема I (правило частного). Положим, что {A(ii,i2, ....
ir)} — комплект функций переменных х1, а внутреннее произве-
произведение .4(a, k, ..., ir)la с произвольным вектором I —тензор
типа К\.'.'.' ftp W; тогда комплект A(iu...,ir) представляет
собой тензор типа A^k \\\[ч{х).
Для того чтобы избежать выписывания длинных формул
преобразования тензоров с большим числом ковариантных и
контравариантных индексов, установим эту теорему для ком-
комплекта п3 функций A(i, j, k), наделенного всеми особенностями

82 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
более сложных случаев. Положим, что внутреннее произведение
Л(а, /, k)\a произвольного вектора 1а(х) дает тензор типа
А{(х). Докажем, что комплект A(i, j, k) представляет собой
тензор типа А{к. Если предположить, что Л (а, /, k)%a — тензор
типа Ль то его преобразование В (а, /, k)r\a осуществляется по
правилу
В (а, /, k) т)а = —? —g- [A (A,, p, y) I },
где
дуа
Введя это выражение для ?*¦ в правую часть вышеприведенной
формулы и перенеся все ее члены в одну сторону уравнения,
получим
В (a, j k) -z г- —?• Л (А,, В,
L V '' ' дуа дук дх$
Но х\а{у) —произвольный вектор; скобки по этой причине здесь
можно устранить, и тогда
Таков закон преобразования тензора типа A{k.
Можно сформулировать и аналогичную теорему, где вектор
% будет ковариантным вектором. Если, например, A(i, /, k, ce)ga
является тензором типа A)k для произвольного вектора |а, то
АA, /, k, а) = Л/". С другой стороны, если A(i, j, k, а)?а = А^\
то Л (i, /, k, а) = Л*^йа. Эти выражения подсказывают, что пра-
правило частного может быть использовано при установлении тен-
тензорного характера величин. Пусть, например, A (i, j, k, a) |° =
= Л/*. Эту формулу можно представить символически:
Л(/, /, k, a) = -y^-.
Если бы теперь нам потребовалось рассматривать ковариант-
ные величины, входящие в формулу ниже черты деления, в ка-
качестве контравариантных, мы поместили бы их над чертой де-
деления

§ 26] ПРАВИЛО ЧАСТНОГО 83
где |а — символическое представление дроби, обратной 1а. Из
произведения Л'^|а мы видим, что A (i, j, k, а) = А%. Подоб-
Подобным же образом, если A(i, /, k, ос)|а = A^h, то
С другой стороны, если А (а, /, k) |а = А{, то
В правиле частного контравариантные величины, появляю-
появляющиеся под чертой деления, должны рассматриваться как кова-
риантные, будучи помещенными поверх черты.
Теорема II. Пусть {A(iu ..., ir)} — комплект пг функций,
Определенных в координатной системе X, a {B{i\, ..., ir)} соот-
соответственные величины в системе У. Если для каждого комплек-
комплекта векторов с компонентами |я, отнесенными к координатам X,
и Tfo.. отнесенными к координатам У, мы получаем равенство
(т. е. внутреннее произведение как скаляр), то комплект функ-
функций A{i\, ..., ir) представляет контравариантный тензор ранга г
в системе координат X.
Доказательство. Поскольку ^ являются компонента-
компонентами ковариантного вектора
ч - ^4 *
то отсюда следует, что
n fa о \ л г„ г. \ "У дУ
I а(Р|- • • •, Рг)~ А {av • ••> аг) —^* • •' —i
Но т$> v^] произвольны; на этом основании член в квад-
квадратных скобках обращается в нуль, откуда следует, что
Я (Pi, • • •, Ю — —т • • ¦ —~ А (аь • • •» <*г)
дх1 дх т
И
4 (а, аг) = Ла'-аг.
Это следствие правила частного принимается некоторыми
авторами как определение контравариантного тензора ранга г.

84 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Так, например, если полилинейная форма А(а1$ ..., c^la" • • • &
— инвариант, то A (ai, ..., ar) =¦= Л"" ™г, если только |а/ являются
компонентами произвольных векторов. С другой стороны, если
Л (а,, ... a^l",1) ••• ^ — инвариант для произвольного выбора
Г, то
Л(аь ..., ar) = 4v..ar.
Из доказательств теорем I и II очевидно, что можно уста-
установить и много других законов «деления». Например, если вну-
внутреннее произведение Л (г, a)|aj комплекта п2 функций A(i, j)
с произвольным тензором представляет собой ковариантный
тензор второго ранга, то A(i, j) представляет собой смешанный
тензор типа Л'. Читатель сможет доказать это, следуя образ-
образцу, использованному в доказательстве теоремы I. Тензорные
свойства компл&кта А (г, /) можно обнаружить в алгоритме
«деления». Так, например, если Л (г, a)laj = зФц, то A(i, a) =
= st-ij/la.}- Если мы теперь запишем символическую обратную
по отношению к |aj дробь как |а/, то получим A(i, a)»= $ttjllal =
§ 27. Симметричные и кососимметричные тензоры
В тех случаях, когда обмен местами двух ковариантных
(или контравариантных) индексов в компонентах л!1'" {/(х)
П '" 'S
тензора не меняет значения компонентов, говорят, что такой
тензор Л симметричен относительно этих индексов. Например,
ковариантный тензор Ац(х) симметричен, если Ац(х) =Aji(x).
Определение симметрии тензоров не было бы, очевидно, удов-
удовлетворительным, если бы симметрия их компонентов не сохра-
сохранялась при преобразованиях координат. Для того, чтобы убе-
убедиться, что это действительно так, предположим, что /Цг2... t (x) =
= Лг2<1 ... ir(x), Тогда Л(у2... {f- Л,^ ... if = 0. Но разность
двух тензоров есть тензор, и если тензор обращается в нуль
в одной координатной системе, то он обращается в нуль и во
всех допустимых системах. Поэтому
Мы говорим, что тензор косо симметричен (или антисиммет-
антисимметричен) по отношению к некоторым индексам всякий раз, ко-
когда обмен местами между парой ковариантных (или контра-
контравариантных) индексов в компонентах меняет только знак в этих
компонентах. Антисимметрия тензоров точно так же является

- 28]
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
85
инвариантным свойством. Доказательство инвариантности свой-
свойства антисимметрии сходно с предложенным выше для сим-
симметрии. В качестве упражнения читателю рекомендуется по-
построить это доказательство на основе закона преобразования
компонентов А'.1 '" /.
Понятия симметрии и антисимметрии будут расширены
в §40.
§ 28. Относительные тензоры
Вспомним, что функция f(xl, ..., хп) представляет скаляр
в системе отсчета X во всех тех случаях, когда в системе от-
отсчета У, определяемой преобразованием xi~xi(y^, ..., уп),
скаляр задается формулой g(y\ ..., уп) = f[xl{y), ..., хп(у)\
В дальнейшем мы встретимся с функциями f(x), которые пре-
преобразуются по более общему закону, а именно
g(yl yn) =
дх1
дх1
ду>
W
B8.1)
где -^ обозначает якобиан преобразования, a W — постоян-
ду]
ную величину. Заметим, что если функция f(x) преобразуется
в соответствии с законом B8.1), то
w
dyj
w
dy*
dzl
w
= g(y)
dz'
где мы использовали теорему II из § 20. Таким образом, фор-
формула B8.1) определяет класс инвариантных функций, называе-
называемых относительными скалярами веса W.
Относительный скаляр нулевого веса определен в § 21. Ино-
Иногда скаляр нулевого веса называется абсолютным скаляром.
Относительный скаляр единичного веса называется скаляр-
скалярной плотностью. Обоснованием такой терминологии может слу-
служить выражение для полной массы распределения материи
плотности р(лг',х2,х3) в прямоугольных декартовых координа-
координатах х\ Масса, содержащаяся в объеме т, выражается интегра-
интегралом М = j j J р (х1, х2, хг) dxl dx2 йхъ. Если координаты х' изме-
т
няются с помощью уравнений преобразования х* = х*(ух, у2,у3)
{i = 1, 2, 3), то масса М выразится интегралом
м
Шр[
У2'
Очевидно, что плотность распределения, будучи отнесенной
к координатам У, выразится формулой р(#) = РМ|-^4

86
теория Тензоров
[ГЛ. It
Мы можем таким образом обобщить закон преобразования
компонентов смешанного тензора, введя комплекты величин
АЬ'" \s (х), выполняющих преобразования по формуле
ду'1
дх
ду1
ду
). B8.2)
дх1
ду}
Комплекты величин A^l'"ls(x), следующих этому закону пре-
преобразования, называются компонентами относительного тен-
тензора веса W.
Из выкладок § 24 и транзитивного свойства якобианов,
а именно
дх1
дук
дук || дг'
следует, что преобразование B8.2) транзитивно. Кроме того, из
линейного и однородного характера этого преобразования сле-
следует, что если все компоненты относительного тензора обра-
обращаются в нуль в одной координатной системе, то они обра-
обращаются в нуль и в любой другой координатной системе. Не-
Непосредственное следствие из этого свойства заключается в том,
что тензорное уравнение в относительных тензорах, справедли-
справедливое в одной координатной системе, верно и во всех других ко-
координатных системах. В этом случае относительные тензоры
в обеих частях уравнений должны быть одинакового веса.
Читатель может легко убедиться также в том, что:
(а) относительные тензоры одного и того же типа и веса
допускают операцию сложения, причем относительный тензор,
получающийся в результате суммирования, принадлежит к тому
же типу и имеет тот же вес, что и слагаемые;
(б) относительные тензоры могут быть взаимно умножены и
вес результата определяется как сумма весов тензоров, входя-
входящих в произведение;
(в) операция свертки относительного тензора дает относи-
относительный тензор того же веса, что и начальный.
Для того чтобы отличить рассмотренные в предыдущих па-
параграфах смешанные тензоры от относительных тензоров, для
первых часто применяется также термин абсолютный тензор.
В применениях теории тензоров нам в дальнейшем придется
встретиться с некоторыми относительными тензорами.
Задачи
1. Дано соотношение A{i,j,k)B'h
ричный тензор. Доказать, что А ((,/,
что если A(i,j,k) симметричен относительно / и к, то А((',/)k) — тензор,
-. ^ .-,,, С, где В" — произвольный сим-
симметричный тензор. Доказать, что A(i,j,k) +A(i,k,j) —тензор. Затем вывести,

§ 29] МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР 87
2. Дано соотношение A(i,j,k)B'k = С', где Bik— произвольный кососим-
метричный тензор. Доказать, что A(i,j,k) — A(i,k,j)—теизор, и, исходя из
Этого, доказать, что если A (i, j, k) — тензор, кососимметричный относительно
/ и k, то А ((',/, k) — тензор.
3. Показать, что если a(i,j)dx'dx>— инвариант для произвольного век-
вектора dx* и a(i,j) симметричен, то а(»",/) —тензор ац.
4. Показать, что если ац— тензор, то А{'— алгебраическое дополнение
ац в laijl, разделенном на lflf.il Ф О, есть тензор.
5. Показать, что если ф^л:1 хп)—скаляр, то {д2<$/дх*дх>} есть тен-
тензор относительно комплекта линейных преобразований координат.
в. Показать, что если |вг,-— Ai>i,| =0 для А. = Х\ в одном комплекте
переменных, то |gjj — A.6tj| =0 для Л = A,j в новом комплекте переменных.
Иначе говоря, корни полинома \atj— X6,j| — инварианты.
7. Доказать, что тензор с кососимметричными компонентами в одной ко-
координатной системе имеет кососимметричные компоненты во всех координат-
координатных системах.
8. Показать, что каждый тензор может быть выражен суммой двух теи-
зоров — одного симметричного н другого кососимметричного.
9. Показать, что тензорное уравнение а?Яг = akj, где а — инвариант, а
Kj — произвольный вектор, требует, чтобы о^ = б'а.
10. Доказать непосредственно нз закона преобразования компонентов, что
симметрия тензора представляет собой инвариантное свойство.
11. Квадрат элемента дуги ds задан в виде
ds2 = gij dxl dxJ-
Пусть Т — допустимое преобразование координат х1 = х'(у\ ..., уп), тогда
ds2 = hijdyidyK Доказать, что \ga\ — относительный скаляр веса 2. Указание.
дха дх^
hn(y) = gaa(x). Вспомнить правило умножения детерминантов.
ду1 Эу>
12. Сколько независимых компонентов имеется в кососимметрнчном тен-
тензоре второго ранга?
13. Показать, что если а,,- — кососимметричный тензор и А' — контрава-
риантный вектор, то ацА'А1 = 0.
14. Доказать, что если A(i,j,fyA'B'd,—скаляр для произвольных векто-
векторов А', В> и Ck, то А((', j,k) — тензор.
§ 29. Метрический тензор
В § 5 мы ввели понятие га-мерного пространства Еп путем
расширения представлений, знакомых нам из обычной геомет-
геометрии Евклида. Так, например, определяя длину |д;| вектора х,
мы воспользовались обобщенной формулой Пифагора |*| =
= Vx'x1 , где хх — компоненты вектора х, отнесенные к декар-
декартовой прямоугольной системе осей (см. § 5). Если мы теперь
рассмотрим вектор перемещения dx' {i — 1, ..., /г), определяе-
определяемый парой точек Р(х) и Р'{х + dx), где х* — декартовы прямо-
прямоугольные координаты, то формула Пифагора даст для квадрата
расстояния между Р и Р' выражение
d^ = dxidxi (i=l, 2, .... л). B9.1)
Мы назовем ds элементом дуги в Еп.

88 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Изменение координатной системы, определяемое преобразо-
преобразованием
х' = хЧу\..., у"), B0.2)
позволит нам привести формулу B9.1) к виду
поскольку dx' = (дх*/дуа)dya. Мы вправе, таким образом, за-
задать формулу для квадрата элемента дуги в системе отсчета
У как квадратичную форму
ds^g^dy-dy*, B9.4)
где коэффициенты gaa(y) определяются из
*•*<»)-$<?. B9.5,
Эти коэффициенты — функции переменных (у1) и, очевидно,
симметричны относительно индексов аир.
Так как квадрат элемента дуги ds — инвариант, заключаем
(см. задачу 3), что комплект функций ga$(y) является симмет-
симметричным тензором. Этот тензор называется метрическим тензо-
тензором, поскольку, как это мы увидим в главе III, все существен-
существенные метрические свойства евклидова пространства полностью
определятся этим тензором.
Мы пришли к формуле B9.4), исходя из выражения B9.1),
характеризующего евклидово пространство. Преобразование
координат B9.2), очевидно, не изменяет его метрических
свойств, формула же B9.4) легко позволяет нам вычислять
расстояния в евклидовом пространстве, как только мы ввели
в него координатную систему Y. Начав с формы B9.1) и пре-
преобразования B9.2), мы показали, что комплект п функций B9.2)
удовлетворяет системе, состоящей из 1/2п{п+\) частных диф-
дифференциальных уравнений B9.5), в которых §а$(у) — извест-
известные функции переменных у. Однако если функции ga$ выбраны
произвольно, то система l/zn(n + 1) дифференциальных урав-
уравнений в частных производных B9.5) для п неизвестных функ-
функций х>(у) вообще не имеет решения. В случае же, если ga$ та-
таковы, что система B9.5) имеет решение, существование преоб-
преобразования координат, приводящего квадратичную форму B9.4)
к сумме квадратов B9.1), гарантировано. В этом случае метри-
метрический тензор gafi определяет евклидово пространство. Если,
наоборот, функции ?а^(у) таковы, что система B9.5) не имеет
решения, то это значит, что никакого допустимого преобразо-
преобразования координат, приводящего выражение B9.4) для квадрата
элемента дуги к пифагоровой форме, не существует. Совокуп-

§ 301 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР И АССОЦИИРОВАННЫЕ С НИМ ТЕНЗОРЫ 89
ность необходимых и достаточных условий интегрируемости
уравнений B9.5) выводится в § 39.
В остальной части этой главы мы будем предполагать, что
наши тензоры определены в метрических пространствах и что
элемент дуги ds задан квадратичной формой ds2 — gii(x)dxidx\
где gij — функции, принадлежащие классу С1. Мы принимаем
также, что симметричный тензор gjj(x) таков, что \ga\ Ф0
в любой точке рассматриваемой области, но воздерживаемся от
допущения, что наше пространство обязательно евклидово.
Задачи
1. Пусть в ?з введена декартова ортогональная система координат х*
и дано преобразование этой системы
х1 = у1 sin у2 cos у3,
х2 = у1 sin у2 sin у3,
х3 = у] cos у2,
где у* — сферические полярные координаты {у1 — г, у2 = 0, у3 — <р). Найти
значения метрических коэффициентов gij{y).
2. Пусть в Е3 введена, декартова ортогональная система координат х*, и
пусть
х1 = у1 cos г/2,
х2 = г/1 sin у2.
выражают преобразование к цилиндрическим координатам у\ Найти выра-
выражение для ds2 в цилиндрических координатах.
3. В Еъ введена система декартовых ортогональных координат х\ и
пусть х1 = ajf/, | а1] \фО (', / = 1. 2, 3) —линейное преобразование координат.
Определить метрические координаты ga(y). Исследовать случай ортогональ-
ортогонального преобразования.
§ 30. Фундаментальный тензор и ассоциированные
с ним тензоры
Пусть gij(x) представляет собой симметричный тензор, при-
принадлежащий к классу С1, причем g= |g-0| =?0 в каждой из
точек области. Построим с помощью комплекта функций gij(x)
новый комплект функций g{i(x), представляющих контрава-
риантный тензор, обладающий тем свойством, что gilgkt = bi-
Тензоры gij(x) и gij(x) будут играть существенную роль в на-
наших дальнейших исследованиях и по этой причине будут назы-
называться фундаментальными тензорами.
Составим комплект п2 функций

90 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
где G{i — алгебраическое дополнение элемента g^ в детерми-
детерминанте g. Обозначение, введенное в определении C0.1), наво-
наводит на мысль, что g(i, /) образуют контравариантный тензор,
и мы действительно докажем, что они определяют симметрич-
симметричный контравариантный тензор g'K Симметрия комплекта функ-
функций g(i, /') следует непосредственно из того наблюдения, что
детерминант, получаемый путем изъятия г-й строки и /-го столб-
столбца в симметричном детерминанте g,-,-, имеет то же самое значе-
значение, что и детерминант, получаемый путем изъятия /-й строки
и г-го столбца. Докажем теперь, пользуясь правилом частного,
что g(i, j) преобразуются согласно контравариантному закону.
Отметим сначала, что если V — произвольный контравариант-
контравариантный вектор, то
h^gaif C0.2)
— произвольный ковариантный вектор, поскольку \ga\ Ф0.
Если теперь обе части формулы C0.2) умножить на g($, i) =
= G^/g и суммировать по i, то мы получим
?(Р, 01.-=™?а<6в. C0.3)
Но в силу G.4) G&ga. = g-6g, и потому формула C0.3) примет
упрощенный вид
Поскольку h произвольная, заключаем из теоремы I, § 26, что
g(P, i) — контравариантный тензор второго ранга. Поэтому фор-
формула C0.1) принимает вид
*"-V". C0-4)
Соотношение взаимности giigkj = bik следует непосредственно
из того факта, что Giigkj = dikg. В данном случае мы вправе
заключить, что комплект алгебраических дополнений G'> пред-
представляет контравариантный тензор веса 2. Это следует из за-
задачи 11 § 28, где указано, что детерминант \gij\ есть относи-
относительный скаляр веса 2.
Тензор, получаемый процессом внутреннего перемножения
произвольного тензора А^ ... j[ с одним из фундаментальных
тензоров gij или gV, называется тензором, ассоциированным
с заданным тензором.
В качестве иллюстрации такого определения рассмотрим
тензор Ань. и образуем следующие внутренние произведения:
gaiAm = Aajk, gatAtnssAlk, g^Aiik^Ai,.. Все эти тензоры ас-
ассоциированы с тензором Ацк. Действуя на эти тензоры тензором

§ 31] СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ 91
gV, мы можем получить и другие ассоциированные тензоры.
Следует заметить, что операция внутреннего умножения ga
с любым тензором, например А}]*, опускает индекс, по которому
производится суммирование. Например, g^A1^ = А\^, в то вре-
время как g^Afl11 = А\1к$. Процедура поднятия и опускания индек-
индексов, очевидно, обратима. В предыдущих формулах положение, за-
занимавшееся поднятым (или опущенным) индексом, отмечается
точкой. Вообще такие системы, как g'aAja= Alr и giaAaf = A[.,
различны. Они тождественны в тех случаях, когда Ац = Ац.
Все тензоры, ассоциированные с заданным, можно рассмат-
рассматривать как один-единственный тензор, представленный в раз-
различных системах отсчета. Такая интерпретация в особенности
проста для ковариантного вектора Ai и ассоциированного с ним
вектора giaAa = А1 во всех случаях, когда пространство евкли-
евклидово. Мы вернемся к этому вопросу в § 45.
§ 31. Символы Кристоффеля
Введем в этом параграфе некоторые комбинации частных
производных от фундаментального тензора ga(x), которые в
дальнейшем окажутся полезными в развитии тензорного исчи-
исчисления. Построим совокупность функций, обозначаемых сим-
символом
и назовем их 3-индексными символами Кристоффеля первого
рода. Совокупности функций
{у}^а1<7, «], C1.2)
где gha— контравариантный тензор, построенный с помощью
gii по способу, изложенному в предыдущем параграфе, пред-
представляют собой 3-индексные символы Кристоффеля второго
рода.
Существует, очевидно, и различных символов Кристоффеля
каждого рода для каждого независимого gij, а поскольку число
независимых ga равно -кп{п + 1), число N независимых симво-
символов Кристоффеля определится как Я = f«2(rt+1). Переходим
к выводу некоторых свойств и тождеств, относящихся к симво-
символам Кристоффеля, в полезности которых мы убедимся в даль-
дальнейшем.

92 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Из определений C1.1) и C2.2) ясно, что символы Кристоф-
Кристоффеля симметричны относительно индексов i и /. Поэтому
[ij, k]-[ji, k] C1.3)
Ш-Ш-
Из определяющей формулы C1.2) видно, что от символа
первого рода [ij, а] мы можем перейти к символу ] •• [. образо-
образовав внутреннее произведение gha[ij, а]. Если теперь умножить
уравнение C1.2) на gh$ и вспомнить, что g^g** = 6р, то мы при-
придем к формуле
*«{!}} = <? №>] = [»/, Р]. C1.5)
Формулы C1.2) и C1.5) легко запоминаются, если заметить,
что операция внутреннего умножения прямоугольных скобок
[ij, а) на gha поднимает индекс и заменяет прямоугольные скобки
фигурными. Умножение же I ,.\ на gka, наоборот, опускает ин-
индекс и заменяет фигурные скобки прямоугольными. Формально
эти операции умножения на gha и gka аналогичны поднятию и
опусканию индексов у тензоров, но в дальнейшем мы увидим,
что символы Кристоффеля вообще не являются тензорами.
Из C1.1) выводим непосредственно выражение для частных
производных фундаментального тензора ga в символах первого
рбда. Они имеют вид
g [^,/Ж/М], C1.6)
что можно записать также и иначе:
если учесть C1.5). Аналогичную формулу для частных произ-
производных контравариантного тензора gij можно получить путем
дифференцирования тождества giagal = 6] по хк:
или
gta dxk g dxk

§ 31] СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ 93
Для решения системы уравнений относительно dgai/dxh ум-
умножаем обе стороны на g^, в результате чего находим
„idд. —— == -
8 8ю dxk
Поскольку gifigia = ti$:, получаем
где мы воспользовались формулой C1.6). Учтя определение
C1.2), приходим к окончательному виду
-gal
дх» б I/ft/ s I aft.
тождественному с формулой
i4'=-^f/ lga/ (t \ CL8)
d*ft * \akj ё \akj V '
Закончим этот параграф выводом формулы для производной
логарифма от детерминанта \gij\\ она будет нам полезна в фор-
формулировке компактного выражения для дивергенции векторного
поля, а также и в некоторых других случаях.
Детерминант g = \gu\ можно разложить по минорам и по-
получить таким путем выражение
g = gnGn +gi2Gi2+ ••• + ginGin {без суммирования
по i или п)
или C1.9)
g=*=glaGia (с суммированием лишь по а при фикси-
фиксированном i),
где G1'^—алгебраическое дополнение элемента gij. Поскольку
выражения g;a являются функциями от х1, ..., хп, выражения
Oia также являются функциями тех же переменных. Из C1.9)
выводим
dg d(8iaG'a) dGia dg.a
~dg~ = —di = ^la~ds dg— (суммируется лишь по о
при фиксированном i).
Поскольку Gia не содержит gih dGia/dgtl = Ot и так как
gtj — независимые переменные в этой формуле,
Отсюда

94 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ, II
но
dg _ dg dgqfr _ р dgap
дх' dgap дх1 дх1
и если мы вспомним, что g°®= Ga®/g, то предыдущая формула
преобразуется в
d d
дх1 ~gg ~д7~'
Подставив сюда вместо dg^/dx' значение из C1.7), получим
.. 1 dg (a )
Мы вправе поэтому утверждать что , — i [ и заклю-
2g дх1 \iaj
чить отсюда, что
-feigVHL}. (экю)
Закончим этот параграф несколькими замечаниями о различ-
различных обозначениях символов Кристоффеля, используемых раз-
различными авторами. Обозначение [//, k] для символа первого
рода принято почти универсально. Символ же < ..> встречается
в нескольких вариантах. Многие авторы предпочитают пользо-
пользоваться обозначением {ij, k). Поль Аппель1) пользуется обозна-
обозначением |л для символа первого рода и <jjj- —для символа
второго рода. Последователи Принстонской школы (США)
пользуются обычно символом Г*/ вместо < .Л, принятого в этой
книге. Хотя обозначение Г?/ обладает некоторыми преимущест-
преимуществами, оно вместе с тем внушает представление, что символ вто-
второго рода является тензором. Это, однако, не всегда бывает
правильно, как мы сможем в этом убедиться из дальнейших
выкладок в § 32.
Задачи
1. Показать, что -^-- Щ- - [jk, i] - [I/, k].
dxk дх1
dxk дх
2. Показать, что если gf, = 0 для I ф /, то < |>=0, если /, ) и k раз-
различны.
') А р р е 11 P., Traute de mecanique rationelle, т. 5.

32] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ 95
3. Показать, что если g{j = Q для i ф и то
l д S* I 1 д
где мы отменяем соглашение о суммировании и предполагаем, что i ф j.
4. Показать, что если | g{/ \Ф0, то
5. Если у1 = a'jX* есть преобразование из системы прямоугольных де«
картовых переменных у1 в систему косоугольных декартовых координат х1,
введенную в Е3> то каковы должны быть метрические коэффициенты g,,
в ds2 = g(j dxl dxh
§ 32. Преобразование символов Кристоффеля
Мы уже заметили, что символы Кристоффеля в общем слу-
случае не представляют тензоров. Выведем в этом параграфе за-
законы преобразования для совокупностей функций [ij, k) и < ..>
при преобразованиях координат yi — yi{xi, ..., хп), относимых
нами отныне к классу С2. Функции ga(x), как уже принято,
принадлежат классу С1, а их преобразования к координатной
системе У обозначаются символами Иц(у), так что
h<> = 17Wg"- C2Л)
Построим символы Кристоффеля v[ij, k], где индекс у указывает
на то, что они отнесены к координатной системе Y, тогда
1 I dhik dhlk dhit\
2 \ ду' ду% ду" I
Дифференцируя C2.1), получаем
dhtj I д2ха дх$ д2х& ?х°Л дха дх^ дху dga^
дук °р V дук ду1 ду1 дук ду! ду1 ) ду1 ду1 dip дху
Поскольку gafi = gfia., мы вправе поменять местами индексы
суммирования а и р во втором члене внутри скобок и получить
таким путем
дНц _ ( д2ха дх& . д2ха дх* \ , дха
ду н \ оу оу ду ду ду ду J ду ду ду дх'
Частные производные dhjk/dy* и dhih/дуК входящие в C2.2), мо-
могут быть получены из этой формулы циклической перестановкой

96 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. U
индексов, а подстановка в C2.2) дает
г.. .. дха дх$ дх" , .., , д2ха дх®
т. е. формулу, указывающую на то, что символ [a§,Y] не яв-
является тензором, если только второй член в правой его части
не обращается в нуль. Второй член обратится тождественно
в нуль, если преобразование координат окажется аффинным,
т. е. если у1 — cjx1, а с' будут постоянными величинами.
Точно так же легко показать, что и символы Кристоффеля
второго рода вообще не являются тензорами. Действительно, из
формулы C1.2) мы замечаем, что
где
Если мы умножим C2.3) (заменив k на \х) слева на hkv- и
справа на равную ему величину из формулы, приведенной стро-
строкой выше, то, упростив результат, получим
=*~a?"dyT~dy~i~8Pi *№' у] + IF ду1 dyi §PPfap"
Таким образом,
(к)
у\ц)
__ду^дх^_дх®_ fp 1 | д2ха дук
ду'
откуда видно, что символы второго рода не являются тензо-
тензорами, за исключением того случая, когда преобразование коор-
координат аффинно.
Система уравнений C2.4) может быть решена относительно
д2ха1ду'ду' следующим способом: умножим C2.4) на dxmjdyh,
суммируем по k = у, в результате чего находим
{у \ дх дхт ду" дха дхг (р | . д ха дхт ду"
ij)~dy" JyT~dlfi~dyT ду1 Дсф] ду1 ду1 ду" дха"'
Поскольку дхт/дхр = б^1, а дхт1дха = д™, то это выражение дает
д2хт (у дхт (т \ дх0 дх?
. / , г ~ 1 . г -, v 1 о ( л i Г~Г ¦ (о2.5)
ду ду' у\.Ч) "У х\Щ> ) ду ду1
Очевидно, что у и х можно поменять местами, и тогда соот-
соотношение C2.5) примет вид
_ т
дх'дх1 Х\Ц

§ .43] КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ 97
Важные формулы C2.5) и C2.6) были выведены впервые совер-
совершенно иным путем Е. Б. Кристоффелем в ыемуаре, посвященном
исследованию квадратичных дифференциальных форм '). Мы
воспользуемся этими формулами в определении операций тен-
тензорного дифференцирования.
§ 33. Ковариантное дифференцирование тензоров
В § 22 мы обратили внимание на то, что комплект частных
производных df/dx1 скалярной функции f(xl, ..., хп) представ-
df df дха „
ляет собой ковариантныи вектор, поскольку —— = ———т-. Но
* д I df
если мы образуем совокупность частных производных - '¦-¦-
ду1 \ ду1
коваркантного вектора df/dyi, то получим
д2/ д I df дха\ d2f дх* дха , df д2ха
ду' ду' ду' \ дха ду1 ) дха дх^ ду1 ду1 дха ду1 ду1 '
выражение, которое в силу присутствия в нем члена
df д2ха
——-——
——-:—?
дх ду1 ду'
( d*f
свидетельствует, что комплект вторых производных
ду1 dy
не преобразуется по закону тензоров. Из этого примера сле-
следует, что комплект частных производных ковариантного вектора
вообще не является тензором. В самом деле, если у нас имеет-
имеется ковариантныи вектор Аа(х), то
дха дх$ дАа ¦ д2ха я
^ у1 Аа>
ду> ду' ду' дх* ^ ду'ду1
так что производные вектора не образуют тензора, если только
преобразование координат хг = х{(у) не будет аффинным. Если
из формулы Кристоффеля C2.5) ввести производную d2xa/dy^dyi
в C3.1), то получим
_ Га \ дх*
ду1 ду1 ду> djfi^yXllJ ду* а xUt) ду1 ду' а<
дха
Учтя соотношение—-Аа = Ву и произведя перегруппировку,
найдем
дха дх$ .„.
') С h r i s t o f f e I E. В., Crelle Journal 70 A869).
4 И. С, Сокольников

98 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
откуда выясняется, что совокупность п2 функций —'— I a Аа
дх1 х I ij)
подчиняется закону преобразования для ковариантного тензора
второго ранга. И это приводит нас к формулировке:
Определение 1. Совокупность п2 функций —'-г — \а\Аа
дх' (ij)
определяет ковариантную х$ производную {относительно gtj) от
ковариантного тензора А{.
Обозначим ковариантную х$ производную от А% символом
Л,, j, тогда
&{;}•¦ (заз)
Следует заметить, что для вычисления ковариантной произ-
производной необходимо иметь совокупность символов Кристоф-
феля; иначе говоря, фундаментальный тензор gu должен быть
задан заранее.
Подобным же образом, отправляясь от ковариантного век-
вектора Аа и дифференцируя отношение В1 {у) = —^Аа{х), мы при-
приходим к формуле
ду1 dx* ду< дха дха дх* ду' '
а воспользовавшись формулой C2.6), находим
,Y/ ~\дх*+Хч$\ ) ду! дх-'
Таким образом, совокупность п2 величин АН, /) =—г + | ' \ Да
дх' [ a/ J
образует смешанный тензор второго ранга. В соответствии с
этим мы вводим
Определение 2. Совокупность пг функций —г- + ( ']/
дх' (aj)
представляет ковариантную х$ производную {относительно gi})
контравариантного тензора А'.
Обозначим ковариантную xi производную контравариантного
тензора А1 символом А*/, тогда
- C3-4)
Определения C3.3) и C3.4) могут быть распространены, оче-
очевидным образом, и на смешанные тензоры. В соответствии с

% 33] КОВЛРНАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ 99
этим мы определяем ковариантную х1 производную (по задан-
заданному тензору gij) смешанного тензора Atl '...ts формулой
t
Проверка того факта, что совокупность функций а\\ '.'.'. tsr i (х)об-
(х)образует тензор типа, указанного индексами, не представляет труд-
трудности.
Если А — тензор нулевого ранга, то мы определяем его ко-
ковариантную производную как его обыкновенную производную.
Так, например, A, ; = дА/дх1. Это определение согласуется с
формулой C3.5). Заметим также, что если gij — константы, то
символы Кристоффеля тождественно исчезают, и потому кова-
риантные производные приводятся к обычным производным. Это
очевидно, если ga являются метрическими коэффициентами ев-
клидового пространства, отнесенного к декартовой системе ко-
координат.
Заметим в заключение, что ковариантные х1 производные от-
относительных тензоров определяются следующим образом: если
f(x) —относительный скаляр веса W, в силу чего
то
/,z^-^r-rf{a]. C3.6)
Эта совокупность функций представляет собой относительный
вектор веса W. Если Ai\'.'.'. isr— относительный тензор веса W,
то его ковариантная х1 производная будет относительным тензо-
тензором веса №, определяющимся из формулы

100
ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
[ГЛ. II
Задачи
I. Доказать, что нижеследующие выражения являются тензорами:
(а) А
дх1
al
2. Доказать, что s .. }•— S ¦• [ — компоненты тензора третьего ранга, где
< .. > н < .. > являются символами Кристоффеля, образованными из сим-
а( Ч ) ЬКЧ )
метричных тензоров а{, (х) и Ь{, (х).
3. Использовать формулу
дх1
дх1
дх*
дх1 дх® дуа
ду1
дх<
и закон
преобразования относительных скаляров веса W для вывода формулы C3.6).
§ 34. Формулы ковариантного дифференцирования
Из структуры формулы C3.5) легко заключить, что правила
ковариантного дифференцирования сумм и произведений тензо-
тензоров тождественны с применяемыми в обычном дифференциро-
дифференцировании. В самом деле, если Ai\...isr(x) и <^ч\-.'. tsr(x)— два тен-
тензора, то формула
М::::(:
/l"-
следует непосредственно из C3.5). Для того чтобы доказать,
что производные внешнего и внутреннего произведений задают-
задаются знакомыми правилами
¦••/„
,1, ¦¦¦ L-,a J
= Ai\... isri stt
v+i
;::••¦ /:_,
¦¦¦lW,t+ Л<! •¦•*,•'
нам нужно лишь ввести в формулу C3.5) произведение
A вместо А. Проиллюстрируем эту процедуру, рассмотрев

§ 35] ТЕОРЕМА РИЧЧИ \Q\
произведение A'^'stt^ = 3l(|{|. Получаем
Мы пришли к искомому результату. Читатель в качестве упра-
упражнения может показать, что
GW"), i = Aia, istia + Alast!l
Ему легко будет также убедиться в том, что операции кова-
риантного дифференцирования и свертки могут быть перестано-
перестановочными.
В заключение этого параграфа обращаем внимание на то,
что в выполнении ковариантного дифференцирования дельты
Кронекера ведут себя как постоянные величины. В самом деле,
из C3.3) находим
Задачи
1. Обратить внимание на то, что операция свертки индексов /4°а эквива-
эквивалентна умножению Afj на 6^. Пользуясь этим, показать, что операция свертки
может быть выполнена на тензоре как до, так и после ковариантного диффе-
дифференцирования.
2. Показать, что операция поднятия нли опускания индексов может быть
выполнена как до, так н после ковариантного дифференцирования.
§ 35. Теорема Риччи
В этом параграфе мы покажем, что фундаментальные тен-
тензоры gij и ?'•' ведут себя в ковариантнрм дифференцировании
так, как если бы они были постоянными величинами. Это их
свойство вытекает из следующей теоремы.
Теорема Риччи. Ковариантная производная каждого из
двух фундаментальных тензоров равна нулю.
Доказательство. Рассмотрим сперва тензор ga и обра-
образуем
Правая часть этого выражения обращается в пуль тождествен-
тождественно в силу C1.7), так что ga,i = О

102 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Подобное же вычисление мы можем провести и для тензора
g», но более поучительным, пожалуй, было бы продифференци-
продифференцировать внутреннее произведение giagai = 6i. Мы получаем при
этом
а поскольку 6j./ = 0 и gaf , = 0, приходим к выводу
Поскольку, однако, |gaj| Ф0, единственным решением системы
однородных уравнений будет g'" = 0.
В качестве непосредственного следствия теоремы Риччи ука-
укажем на то, что фундаментальные тензоры могут быть вынесены
за знак ковариантного дифференцирования, в связи с чем опе-
операции опускания и поднятия индексов приобретают свойство
перестановочности с ковариантным дифференцированием. Ил-
Иллюстрируем это соответствующей формулой:
§ 36. Тензор Римана — Кристоффеля
Напомним, что достаточным условием для равенства сме-
смешанных частных производных , , и , , функции и(х, у)
является принадлежность функции и(х, у) к классу С2. Допу-
Допустим поэтому для дальнейшего, что рассматриваемые нами ком-
компоненты тензора принадлежат к классу С2, хотя такое ограниче-
ограничение, как мы увидим, само по себе недостаточно, чтобы обеспечить
равенство смешанных ковариантных производных. И действи-
действительно, в дальнейшем будет показано, что хотя порядок кова-
ковариантного дифференцирования и не имеет существенного значе-
значения, все же наши тензоры должны быть определены в конкрет-
конкретном частного типа метрическом многообразии X, Для которого
некоторый тензор четвертого ранга, состоящий полностью из gif,
обращается в нуль. Этот тензор, известный как тензор Римана —
Кристоффеля, играет существенную роль в дифференциальной
геометрии, динамике твердого и деформируемого тела, электро-
электродинамике и теории относительности.
Ковариантная производная тензора есть тензор, и потому
ее можно продифференцировать ковариантно повторно и полу-
получить новый тензор. Такой тензор называется второй ковариант-
ной производной данного тензора.

36] ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ 103
Рассмотрим ковариантную х> производную от At no giy.
Если теперь C6.1) продифференцировать ковариантно по хк, то
получится тензор
a\(dAa f (
С другой стороны,
Выполняя указанное в C6.2) и C6.3) дифференцирование, по-
получаем
, _ " "t к_ч > л , а\ дАа f a\ дАа
Hi'lk~ dJdxl дхк
дх>
^ f a
° 1«
Вычитая C6.5) из C6.4), находим
а обмен местами между а и р в первом и третьем членах пра-
правой части последнего равенства дает

104
ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
(ГЛ. I!
Поскольку А( — произвольный ковариантный тензор первого
ранга, а разность двух тензоров Aitih — Aiikj — ковариантный
тензор третьего ранга, то заключаем, согласно правилу част-
частного (§ 26), что выражение в квадратных скобках C6.6) пред-
представляет собой смешанный тензор четвертого ранга, т.е.
дх1
dxk
Далее, если левая часть уравнения C6.6) должна обратиться
в нуль, т. е. если порядок ковариантного дифференцирования не
имеет значения, то
Rt,k = 0,
поскольку Аа — величина произвольная. Вообще же
так что порядок ковариантного дифференцирования нельзя счи-
считать несущественным. Из C6.6) ясно, что необходимым и до-
достаточным условием возможности обращения порядка ковари-
ковариантного дифференцирования является тот факт, что тензор
тождественно обращается в нуль.
Тензор
А ±_ f / 1 г ( 1
дх" dx1 , \ak) \al)
Rm =
C6.7)
называется смешанным тензором Римана — Кристоффеля или
тензором Римана — Кристоффеля второго рода.
Ассоциированный тензор
Rim = giaRm C6.8)
известен как ковариантный тензор Римана — Кристоффеля или
как тензор Римана — Кристоффеля первого рода.
Нетрудно убедиться в том, что определяющая формула
C6.8) для Rijki может быть написана в обычной форме детерми-
детерминантов:
dxk
дх1
МК i) W, П
[ik, «] [И, а]
C6.9)
которая окажется нам полезной в перечне свойств этого тензора
в § 37.
Заметим в заключение, что формула C6.6) представляет
собой частную форму тождества, установленного Риччи и при-
приводимого здесь нами без доказательства, хотя характер доказа-

§ 37] СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ Ю5
тельств.а совершенно ясен из доказательства разобранного ра-
ранее случая. Это тождество имеет вид
В частном случае тензора второго ранга оно принимает вид
Ац, kl — A if, lk = AiaRjkl + AajRikl.
Задачи.
1. Показать, что
2. Показать, что
R -, ' ( д8" |
)
( |
2 \ dx' dxk dxl dxl dx1 dx1 dxl dxk
+ **([/*¦ РПЙ. a]-[«7, pj [/A, a]).
3. Воспользовавшись формулой задачи 2. показать, что
4. Показать, что если ер — скаляр, то g'/<p ^ —также скаляр и равен
5. Опираясь на данные задачи 4, показать, что ёг*Ч,ц — 0 приводится
к соотношению д2<$/дх'дх* = 0, если g.j — метрические коэффициенты прост-
пространства ?з, отнесенного к декартовой системе отсчета. Это указывает на то,
что уравнение Лапласа в обобщенных криволинейных координатах прини-
принимает вид g''(f,a = 0, если считать его тензорным уравнением.
6. Исходя нз задачи 5, показать, что уравнение Лапласа в полярных ко-
координатах принимает вид
,
(ду1J (у1J (ду*)* + (у1 sin г/2J (<Эг/3J + yi ду1 + (г/1J clg^ ду* ~а
§ 37. Свойства тензоров Римана — Кристоффелля
Из определения формулы C6.7) для смешанного тензора
Rjki мы убеждаемся непосредственно в том, что совокупность
функций /?/,« кососимметрична относительно двух последних
ковариантных индексов. Это свойство
Я/а* =-/?,'<* C7.1)

106 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
приводит к следствию
Rl (а) (а) = 0.
Мы определили ковариантный тензор Яцы формулой
и если мы умножим это уравнение на g'P и просуммируем, то
получим
т. е. убедимся, что тензор Римана — Кристоффеля второго рода
возникает в результате поднятия первого ковариантного индек-
индекса в тензора Rijki- Для того чтобы установить свойства совокуп-
совокупности функций, определяющих тензор Римана — Кристоффеля
первого рода, разложим детерминанты в C6.9) и введем в каче-
качестве символов Кристоффеля в первый детерминант определения
C1.1). Несложные выкладки приводят нас к формуле
D _ ' / д28и д*8ц d%k d2gjk \
"*' 2 \ dxJ dkk дх< dxk dxl дх1 дх1 дх1 )
+ gap (\jk, Р] [И, а] - [jl, P] [ik, a]), C7.3)
из которой очевидно, что
(а) Rjiki= ~ Rijki>
(б) Rijik — ~ Riikh
(в) Rkiu^Riiki,
(г) Rijki + Rikii + Ruik = O-
Последнее тождество может быть подтверждено непосред-
непосредственной подстановкой; путем поднятия индексов получаем то-
тождество, аналогичное (г), для смешанного тензора
(д) Rjki + Rui + Rim = 0.
(е) компоненты тензора Римана — Кристоффеля с более чем
двумя одинаковыми символами обращаются необходимо в нуль.
Тождества (а) и (б) констатируют, что тензор RijU кососимме-
тричен по двум первым и двум последним индексам, а тожде-
тождество (в) означает, что тензор Ruki симметричен по группам двух
первых и двух последних индексов. Из этих тождеств следует,
что различные, не обращающиеся в нуль компоненты Rum рас-
распределяются на три типа:
1. Символы с двумя различными индексами, т. е. символы
типа Rijij.

§38]
ТЕНЗОР РИЧЧИ. ТОЖДЕСТВА БЬЯИКИ
107
2. Символы лишь с тремя различными индексами типа Ящк.
3. Символы Rtjki с четырьмя различными индексами. Теперь
легко установить1), что полное число N различных, не об-
обращающихся в нуль компонентов символа Нцы равно /V =
= пЦп2— 1)/12.
В трехмерном пространстве различные, не обращающиеся
в нуль, компоненты /?,•#/ имеют индексы 1212, 1313, 2323, 1213,
2123, 3132; в двух же измерениях из общего числа 24 = 16 ком-
компонентов остается лишь один отличный, не обращающийся в
нуль компонент Rm2- Мы увидим, что этот тензор характеризует
весьма важное свойство поверхностей.
§ 38. Тензор Риччи. Тождества Бьянки.
Тензор Эйнштейна
Определим тензор Ra Риччи формулой Rif = Rtja, допускаю-
допускающей в силу C6.7) и иное представление, через детерминанты
*// =
д
дх1
дха
IP// I Pa/
В § 31 мы показали, что —-\gVg =\a )¦ Отсюда выводим
дхг {/a J
J'/} j. fa HP lfPiALeVT
дх'д/
л- а
дха
Полученный результат убеждает нас в том, что тензор Rtj сим-
симметричен, и поскольку Rij = Rji, число различных компонентов
Rij равно п(п + 1)/2. В четырехмерном многообразии п = 4, так
что, если положить Rij = 0, мы получим десять дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных, которые А. Эйнштейн
принял как уравнения, описывающие поле тяготения в свобод-
свободном пространстве общей теории относительности2). В развитии
этой теории важную роль играет и другой введенный Эйнштей-
Эйнштейном тензор. Простейшим образом этот тензор можно получить
из тождества
R/kl, m + Rjlm, к + Rjmk, I = 0,
C8.1)
найденного Бьянки.
') Имеется п, = п (п— 1)/2 различных, не обращающихся в нуль снмво-
лов типа Rilt], nt- ^-Щп~2)_ ^ ^ и ^ _ п(п - 1) (в - 2)(п- 3) _
типа Rijki.
2) См. далее задачу 2.

108 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Поскольку ковариантная производная фундаментального
тензора ?,,- обращается в нуль, тождество Бьянки можно запи-
записать в виде
Rilkl, m + Rillm, ft + Riimk, I = 0. C8.2)
Если мы умножим уравнение C8.2) на gilgih и используем косо-
симметричные свойства тензора Римана Rum, to получим
В'%к, т - g'kRlm. ft ~ gilRim, I = 0.
Этот результат может быть представлен в виде
R, m 2/?m, ft = 0,
где R — g'tR^, или иначе:
(m-^bmR) к = 0, C8.3)
где Rm = g"'Rim. Тензор
входящий в скобки уравнения C8.3), известен как тензор Эйн-
Эйнштейна.
Задачи
1. Показать, что R^jk = 0.
2. Если Ru = pga, то р = R/n, где R — g{iRa. (Уравнение Rij = pg4j
известно как гравитационное уравнение Эйнштейна для точек пространства,
в которых присутствует материя. Оно соответствует уравнению Пуассона
V2V = p в теории тяготения Ньютона.) Доказать это.
3. Показать, что если п = 2, то Rw/gii — Ягг/ёп = R\2/g\2 => —Riz/g.
4. Если п = 3, тензор Rtju имеет шесть различных компонентов и дает
шесть уравнений для Rjk = gilRtjki. Доказать, что решения этих уравнений
для Rtjbi даны выражением
D
Rllkl" gilRlk + 8lkRtl ~ gikRil ~ SnRn + I" (Sikg,i ~ gng,k),
где R = gr>Rtj.
5. Подтвердить правильность тождества Бьянки C8.2).
§ 39. Пространства Римана и Евклида.
Теорема существования
Отнесем «-мерное пространство Vn к координатной системе
А'. Произведем метризацию Vn, определив элемент дуги ds та-
таким образом, чтобы форма
ds2 = gildxidxl C9.1)
была положительно определенной квадратичной формой в диф-
дифференциалах dxf. При этом предполагается, что функции gij(x)

§ 39] ПРОСТРАНСТВА РИМЛНА И ЕВКЛИДА 109
принадлежат классу С1 в Vn. Метризованное таким образом
пространство называется римановым п-мерным пространст-
пространством Rn.
Рассмотрим теперь несколько подробнее следующий вопрос.
Какое ограничение должно быть наложено на симметричный
тензор gij(x), для того чтобы стало возможным введение коор-
координатной системы Y, определенной через
Т: у' = у1(х\ ..., хп) (/=! п),
если уЦх) принадлежат классу С2, в Rn, где тензор ёц{х) имеет
постоянные компоненты 1гц в /?п?
Это один из основных вопросов дифференциальной геомет-
геометрии, возникающий также в ином аспекте в динамике, теории
упругости, теории относительности и в других разделах при-
прикладной математики.
Заметим сначала, что компоненты gij(x), будучи отнесен-
отнесенными к координатной системе Y, принимают вид
Если величины пц являются постоянными, то символы Кристоф-
феля < .. > тождественно обращаются в нуль. И наоборот, если
у( Ч i
{..{¦тождественно обращаются в нуль, hiiti = дпц/ду1, а по-
yl Ч )
скольку A*j, 1 = 0 в силу теоремы Риччи, получаем dh^jdy1 = 0
в Rn- Отсюда следует, что 1гц постоянны для всего Rn. Это по-
позволяет нам сформулировать теорему.
Теорема I. Необходимым и достаточным условием для
того, чтобы метрические коэффициенты ga(x) приводились к по-
постоянным величинам Ь,ц в некоторой системе отсчета Y, являет-
является тождественное обращение символов Кристоффеля \ . > в
yl Ч >
нуль.
Из этой теоремы мы можем вывести непосредственно си-
систему дифференциальных уравнений, которые должны удовле-
удовлетворяться функциями у*{х\ ..., хп), если при этом существует
некоторая координатная система Y, в которой величины А,-,- яв-
являются постоянными. Закон преобразования C2.6) требует,
чтобы
_ { m | дУ* d/ = d2ym f у \ dym
у{ ар] дх1 дх> дх1 дх' А Ц ) dx '
i
а поскольку i™A = 0, мы приходим к системе уравнений

ПО ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
где символы | У. > формируются из gij(x). Система дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
C9.3) может быть переписана в эквивалентной форме как си-
система дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка
ду
-^7 = «« (/=1, 2, .... п),
Y )
Ы
(Y-1, 2, .... п).
C9.4)
Система эта вообще несовместна, и мы теперь возвращаемся
к определению необходимых и достаточных условий существова-
существования решения системы C9.4).
Для того чтобы записать эти условия в симметричной фор-
форме, рассмотрим систему
(о=1, 2, .... т), (i=i, 2, ..., п),
где Ft — известные функции переменных f и х. Уравнения C9.5)
приводятся к частному виду C9.4), если положить f1 = у,
Р= «],..., fm = ип. Функции/7" определены в n-мерной области
R и для произвольных значений функций р, т. е. для
— оо < ft < оо. Обратимся к области определения функций Т7?.
Эта область R' состоит из области R переменных х1 и совокуп-
совокупности интервалов
-oo<f <оо.
Положим, что функции /•"? принадлежат классу С1 в /?'. Так как
область R' открыта, допустим, что dFijdf' заключены в R'. Огра-
Ограничения, налагаемые на выбор функций F", удовлетворяются,
очевидно, функциями, входящими в правые части уравнений
C9.4).
Поскольку Ft принадлежит классу С1 в /?', /а принадлежит
классу С2, на основании чего
Этой формулой выражено необходимое условие интегрируемо-
интегрируемости системы C9.5). Дифференцируя уравнения C9.5) по х\ по-
получим
лучим
J^L _ ОН _,?!! ^t
дх'дх' дх> + df дх1

§ 39] ПРОСТРАНСТВА РИМАНА И ЕВКЛИДА 11 ]
где последней операцией является подстановка выражения для
производной dft/dxi из C9.5). Если теперь вернуться к C9.6),
то мы получим в качестве необходимого условия интегрируе-
интегрируемости уравнений
dFf dF? о dF? dFf B
C9.7)
Здесь мы убеждаемся, что если система C9.5) имеет решение,
то либо C9.7) будут тождественны для fa и х1, либо между /
и х должны существовать какие-то функциональные связи. Если
C9.7)—тождества, то система уравнений C9.5) называется
вполне интегрируемой. В таком случае представляется возмож-
возможным доказать, что условия интегрируемости уравнений C9.7)
не только необходимы, но также и достаточны для того, чтобы
гарантировать существование решений системы C9.5).
Имеется несколько доказательств существования решений
для таких систем дифференциальных уравнений в частных про-
производных; простейшее, может быть, из них было предложено
Т. Томасом в 1934 г. в работе, носящей заглавие «Система пол-
полных дифференциальных уравнений, определенных в односвяз-
ных областях»1). Более раннее доказательство, предполагаю-
предполагающее аналитичность функций F", представил в 1872 г. Буке2).
Существование таких решений доказано также Ж. Дарбу3) и
Э. Картаном4). Мы не будем входить в обсуждение достаточно-
достаточности условий C9.7), а установим лишь теорему существования.
Теорема существования. Пусть R— открытая п-мер-
ная односвяэная область, отнесенная к системе координат X, а
R'— область, состоящая из R и границ —оо </»'<; оо. Если
функции Fa {x, f) входят в класс С1 в R', имеют ограниченные
производные dFa/df1 в R' и если, далее, условия C9.7) инте-
интегрируемости тождественно удовлетворяются, то система C9.5)
имеет одно и только одно решение
fa(x\..., хп) (а-1, ...,пг),
которое для произвольного набора значений (х\, ..., л:") прини-
принимает произвольно заданные значения Ca = f(xl, ..., л-").
') Thomas T. Y., Systems of total differential equations defined over
simply connected domains, Annales of mathematics, 35, 730—734 A934).
2) В о u q u et J. C, Bull. sci. math, et astronom. 3, 265, A872).
3) D a r b о u x G., Lecons sur les systemes orthogonaux (лекции об орто-
ортогональных системах), 1910, стр 326—335.
4) С а г t a n Е., Geometrie des espaces de Riemann (Геометрия римановых
пространств), 1928, стр. 54—57. Доказательство Томаса весьма близко по за-
замыслу к представленному Э. Картаном.

112 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Применим теперь эти результаты к частному случаю си-
системы C9.4), отождествив ее с C9.5).
Зависимыми переменными в C9.4) являются у, и\, ..., ип, в
уравнениях же C9.5) они обозначены через f\ f2, ..., fm. Поло-
Положим поэтому
? = у, f-щ,..., fn+1 = un;
тогда система C9.4) примет вид
|L = /ri = u< (/=1,2 п)
и
(а = 2, 3, ..., л+1),
(i, Y=l, 2, ..., п).
Подстановка выражений для Ft в условия интегрируемости
C9.7) дает
C9.8)
Первая из этих систем уравнений удовлетворяется тождествен-
тождественно в силу симметрии символов Кристоффеля. Вторая констати-
констатирует, что система уравнений C9.4) получает решение при тож-
тождественном обращении тензора Римана — Кристоффеля R)u в
нуль. Поскольку этот тензор обращается в нуль в том случае,
когда метрические коэффициенты принимают постоянные значе-
значения, мы сможем сформулировать следующий критерий.
Теорема II. Необходимым' и достаточным условием того,
чтобы симметричный тензор g^ при \ga\ ФО приводился при
надлежащем преобразовании координат к тензору \\ц, где Нц —
константы, является условие, чтобы тензор Римана — Кристоф-
Кристоффеля, образованный из ga, был нулевым.
Отметим далее, что если квадратичная форма Q = hi^yi по-
положительно определена, существует неособенное линейное пре-
преобразование, приводящее Q к канонической форме Q= (#iJ+ ...
• •• + (УпJ- Так, если gtj(x) являются коэффициентами в поло-
положительно определенной квадратичной дифференциальной форме
ds2 = gi!dxtdxl, [39.1]
характеризующей метрические свойства Rn, то существует ве-
вещественное функциональное преобразование Т': yi = уг (х)> ПрИ.
водящее его к виду
+ {dyn)\ C9.9)
если только RJu обращается тождественно в нуль в Rn.

§ 40] е СИСТЕМЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ДЕЛЬТЫ КРОНЕКЕРА 113
Напомним, что метрическое многообразие Rn, в котором воз-
возможно приведение формы C9.1) к C9.9), называется евклидо-
евклидовым п-мерным пространством Еп и что Rn может быть названо
евклидовым лишь в том случае, если риманов тензор многообра-
многообразия является нулевым тензором.
Задачи
1. Выполнить подстановки в условиях интегрируемости C9.7), приводя-
приводящие к уравнениям C9.8).
2. Исходя из системы C9.5), показать, что она полностью эквивалентна
системе полных дифференциальных уравнений
3. Сформулировать условия интегрируемости для уравнения
Р (х, у, z)dx + Q (х, у, z)dy + R (х, у, г) dz = 0.
Рассмотреть также систему
дх • ду У> dz *
4. Доказать теорему: если Р dx + Q dy + R dz = 0 интегрируемо, то
ХР dx + XQ dy + XR dz = 0 также интегрируемо для всякого X (х, у, г), входя-
входящего в класс С.
5. Вывести условия интегрируемости для уравнения
Pi(x\ .... xn)dxl = Q (« = 1, ..., п).
§ 40. е-системы и обобщенные дельты Кронекера
Понятие симметрии и кососимметрии4) относительно пар ин-
индексов (см. § 27) можно распространить на множество величин,
являющихся симметричными или кососимметричными, и относи-
относительно числа индексов, превышающих два индекса. Рассмотрим
в этом параграфе совокупности величин А'1'"'к или А*.... ,-ь
зависящих от k индексов — нижних или верхних — хотя вели-
величины .4, могут и не представлять собой тензоров.
Определение 1. Система величин /Г1'"'4 (или Л,- ... ь),
зависящая от k индексов, называется полностью симметричной,
если значение символа А остается неизменным при любых пере-
перестановках индексов.
Определение 2. Система Al\"'lk [или Аг ... Л, завися-
зависящая от k индексов, называется полностью кососимметричной,
если значение символа А остается неизменным при произволь-
произвольной перестановке индексов, причем А меняет знак лишь после
нечетного числа перестановок индексов.
Напомним, что всякая перестановка п различных объектов,
например перестановка п различных целых чисел, может быть
') В литературе используется также термин «антисимметрия*,

114 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
выполнена конечным числом парных обменов этих объектов и
что число обменов, требующихся для выполнения заданной пере-
перестановки в данной совокупности объектов всегда бывает либо
четным, либо нечетным.
Из определения 2 следует непосредственно, что во всякой
кососимметричной системе член, сопровождаемый двумя оди-
одинаковыми индексами, обращается обязательно в нуль. Если, на-
например, у нас имеется кососимметричная система величин Ацк,
где i, /, k принимают значения 1, 2, 3, то Am = О, АJз = —Л21з,
Лз12 = ^12з и т. д. Вообще компоненты Л,;й кососимметричной
системы удовлетворяют соотношениям Аць. = —Aihi = — Аци =
A A
Рассмотрим теперь кососимметричпуюсистемувеличин Л([... in
(или Л'1 "¦'"), в которой индексы и, ..., г„ принимают значе-
значения 1,2, ..., п. Определим е-систему следующим образом:
Определение 3. Если значение величины Aix...in (или
Лг1" 1")равно + 1, когда Uh ¦¦¦ in представляет собой четную
перестановку ряда 1 2 ... п, равно —1, когда iu h, ... in пред-
представляет собой нечетную перестановку ряда 1 2 ... п и равно
нулю во всех иных случаях, то система Л^ ... in (или Л'1'" '»)
называется е-системой (системой е).
Эти системы мы будем в дальнейшей! записывать последова-
последовательностями либо eii... in, либо е'1'"'". В § 41 будет показано,
что е-системы являются относительными тензорами.
В качестве иллюстрации отметим, что компонентами системы
ец являются е\\ = 0, ei2 = 1, 621 = —1, 622 = 0. Если е-система
зависит от трех индексов ijk, то еци = 0 в случае, если два лю-
любых индекса одинаковы, между тем как е^й = еш=1, если
ijk — четная перестановка 123, и еци = — ei23 = —1, если ijk —
нечетная перестановка 123.
Близкое отношение к е-системам имеют обобщенные дельты
Кронекера, к определению которых мы теперь непосредственно
и перейдем.
Определение 4. Символ 6/J .../*» зависящий от k верхних
и k нижних индексов, каждый из которых пробегает последова-
последовательность значений от 1 до п, называется обобщенной дельтой
Кронекера при условиях:
(а) если он полностью кососимметричен в верхних и нижних
индексах;
(б) если все верхние индексы различны, а нижние состав-
составляют тот же комплект чисел, что и верхние, причем названный
символ принимает значения +1 или —1 в зависимости от того,
требуется ли четное или нечетное число перестановок для того,

§ 40] е-СИСТЕМЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ДЕЛЬТЫ КРОНЕКЕРА 115
чтобы расположить верхние индексы в том же порядке, что и
нижние;
(в) во всех остальных случаях значение указанного символа
должно быть равно нулю.
В качестве примера рассмотрим символ Ь{{. Из определения
4 следует, что если i •= j или k = I или если сочетание ij нетож-
нетождественно сочетанию kl, то 6» = 0. Во всех иных случаях 6lJi ра-
равен + 1 или — 1 в зависимости от того, является ли kl четной
или нечетной перестановкой ij. На этом основании
П X11 X22 А12
i «12 .13 «21
1 = Oi2 = 013 = Oil = • • • ,
1 «12 «13 .21
— 1 = Oil = Oji = Oi2 =
В § 41 мы докажем, что обобщенные дельты Кронекера — тен-
тензоры.
Из определения 3 следует, что непосредственное произведе-
произведение е'1'2"" *пе/ / ...jn двух систем el'"in и, ?/,.../„ представляет
собой обобщенную дельту Кронекера. Например, еа^ецк прини-
принимает следующие значения:
(а) нуль, если два или большее число верхних или нижних
индексов одинаковы;
(б) + 1, если разность в числе перестановок а$у и ijk из 123
представляет ссбой четное число;
(в) — 1, если разность в числе перестановок afty и ijk из 123
представляет собой нечетное число.
Легко сформулировать положения (б) и (в) несколько иначе:
(б') ea$yeijk = +1» если для расположения нижних индексов
в том же порядке, что и верхних, требуется четное число пере-
перестановок;
(в') ea^enh — —1> если для расположения нижних индексов
в том же порядке, что и верхних, требуется нечетное число пере-
перестановок.
В силу этого представляется возможным установить равен-
ство eaf%* = 6&Y.
Из определений 3 и 4 поэтому следует, что е-символы допу-
допускают выражение в зависимости от дельт Кронекера:
i.i2 ... /_ .'Л"- г„ J 2 ••• л
е12 " = 6Л2...ЛП и fti,!,...!,,-^...^
так как е = + 1 или — 1, где совокупность различных целых
чисел ti k ... in получается из совокупности 1 2 ... п в резуль-
результате четного или нечетного числа перестановок, причем во всех
иных случаях е — 0. е-системы и обобщенные дельты Кронекера
обнаруживают свою полезность в вычислениях, связанных с
альтернируемыми совокупностями величин.

116 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ [ГЛ. II
Рассмотрим несколько примеров, позволяющих нам вывести
несколько соотношений, связанных с операциями над этими сим-
символами.
Произведем операцию свертки в ба^ по индексам k и y- Ре-
Результат для п = 3 принимает вид
Л ]к _.i;i Л /2 , Л /3 __ Л /
Это выражение обращается в нуль при наличии равенства либо
между i и /, либо между аир. Положив i = 1, / = 2, получаем
б^з = б<!ф, откуда ба| = 0, если ар не является перестановкой 12.
В последнем случае бар = 1, если ар —четная перестановка 12,
a 6af = — 1 для нечетной перестановки. Подобные же результаты
имеют силу для всех значений аир, выбранных из совокуп-
совокупности чисел 1, 2, 3. Таким образом, находим, что дЦ равна:
(а) нулю, если два из нижних или верхних индексов одина-
одинаковы или когда они состоят из одних и тех же чисел;
(б) +1, если ij — четная перестановка ар;
(в) —1, если ц — нечетная перестановка ар.
Если мы произведем свертку бЦ и разделим результат на 2,
то получим систему, зависящую от двух индексов:
Л 1л/ 1 /А!1 . .12 , Л3\
Оа = у Оа/ = ~2 1йа1 + Оа2 + ОазЛ
Положив i=l в ба, получим ба =-j(баг + баз). Это выражение
обращается вообще в нуль, за исключением того случая, когда
а = 1 и 6i = 1. Аналогичные результаты можно получить, поло-
положив i — 2 или i = 3; тогда ба принимает значения:
(а) 0, если 1фа
)Л , • (а, г=1, 2, 3);
(б) 1, если i =а. v ' ' ' "
Путем подсчета числа слагаемых, входящих в суммы, не-
нетрудно убедиться, что вообще
ба = _ t ба/ и 6\j = n(n— 1). .D0.1)
Отсюда можно, таким образом, сделать вывод, что
6v2 ••¦ v _ (n-k)[ 6у2 •¦• «л+1 ••¦ \k
и
В качестве частного случая D0.3) находим формулу
eii'2'"'neili2...in = n\, D0.4)

40]
е-СИСТЕМЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ДЕЛЬТЫ КРОНЕКЕРА
117
а из D0.2) выводим соотношение
Л •••
Рассмотрим теперь ряд пр+чг величин Д,1 ,р (где г и / про-
пробегают ряд значений от 1 до п), симметричных по двум или по
большему числу индексов (верхних или нижних). Мы можем
показать, что
*'Л •" !1Ariri "• ГР — ft
°i t i Л1 I I ~ U>
*1*я • lq 'l'2 "¦ lq
У'
если АУ'Р симметричен по двум или большему числу ниж-
нижних индексов. Точно так же и
/'" р
если Д/'" ,р также симметричен по двум или по большему
' I " ' ' q
числу индексов.
Положим, что А,1'" Р симметричен по /, и /2; тогда
Tp_
—
A
'il2-4-lq hh-'-'q V2 l<7 Vi '" ',/ м'г"-'^
Ho /, и /2 — индексы суммирования, поэтому
f,/2 ... /г, ... rp _ _ /,/2 ... /г, ... тр
и следовательно,
s'i'2 '¦• '<74Г' "'¦ гр — П
°t I i Л1 I I ~ U-
Задачи
1. (а) Показать, что
(б) Показать, что 6fjj =
1, если i, j, k= 1, 2, 3.
2. Раскрыть для я = 3 выражения:
(а) 6^6°; (б) б\уу1; (в) 6\УУ1; (г) в{?*У; (д) в{{
3. Раскрыть для п = 2 выражения:
(a)
; (б)
); (в)
в"
б,1 " ,kA, {
4. Показать, что если совокупность величин А{
в нижних индексах (числом k), тогда
л, ... t
кососимметрична

118
ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
[ГЛ.- II
5. Показать, что если выражение Л^ь полностью симметрично и индексы
пробегают ряд значений от 1 до п, то число различных членов в совокупности
{A uk} должно быть равно
п(п~1)(п-2)
— ^ -
п(п-
Указание. Рассмотреть случаи, в которых все нижние индексы ijk одинаковы,
за исключением двух, и когда все они различны.
6. Показать, что число различных неисчезающих Aijh в задаче 5 равно
п{п~\)(п~2) .
—; 5i , если выражение Лий полностью кососнмметрично.
о!
§ 41. Применение е-систем к детерминантам.
Тензорный характер обобщенных дельт Кронекера
Напомним, что детерминант \аУ| л-го порядка из элементов
а\ вычисляется как сумма произведений, в каждое из которых
входит один, к только один, элемент из каждой строки и из ка-
каждого столбца детерминанта. Знак каждого члена в сумме опре-
определяется способом перестановки индексов. Так, например, если
верхние индексы в произведении а\ а\ ... а1} располагаются в
нормальном порядке 12...л, то произведение получит знак +
если число перестановок, необходимых для того, чтобы распо-
расположить нижние индексы в нормальном порядке, окажется чет-
четным. Знак получится отрицательным, если требуемое число пе-
нечетным. Поскольку ег''" '" = б!'*2 "' '"¦ и
рестановок будет
б!2
12 •
детерминант
К1 =
а\
а»
а»
К
= а
можно будет записать в компактной форме
'l l2
D1.1)
D1.2)
Рассмотрим в качестве примера
ад а'
ai ai
Если этот детерминант разложить по столбцам, то мы получим
а = S ± a\aiaki, где ijk — перестановка 123. Введение знака +.
или — в произведение а'агаз совершается в зависимости от того,

§41] ПРИМЕНЕНИЕ е-СЖЛЕМ К ДЕТЕРМИНАНТАМ 119
четной или нечетной получается перестановка. Приведенный де-
детерминант можно будет поэтому записать в виде [aj| = ^г,ка\<^2а\.
С другой стороны, разложив его по столбцам, мы получим ком-
компактную запись | а1, | = е^ка\а^а\. Рассмотрим теперь сумму
(U,*,a,P,Y=l,2,3).
Прежде всего мы хотим показать, что эта система полностью ко-
сосимметрична относительно а|3у- Поскольку индексы ijk яв-
являются индексами суммирования, мы вправе заменить их про-
произвольно другими и получить таким путем равенства
Так как k и i подвергнуты в вкц перестановке, то е-символ ме-
меняет знак, и мы получаем
Убеждаясь в том, что перестановка а и у приводит к перемене
знака, констатируем, что рассматриваемая нами система косо-
симметрична относительно а и у- Сходные результаты имеют
место, очевидно, и для других индексов. Частным случаем такой
системы является детерминант I aj | = ei/feaja|a3*, а потому из вы-
вышесказанного следует, что
Подобным же образом можно показать, что
eWalrfal = \al.\ ea$\
Из этих выражений следует непосредственно, что перестановка
двух столбцов (или двух строк) детерминанта |а'| изменяет его
знак, и если два его столбца тождественны, то значение его об-
обращается в нуль.
Эти результаты можно немедленно обобщить на детерми-
детерминанты п-го порядка, так что для любой перестановки строк мы
вправе установить
^•••v|a'[ = e*'--*a«a8 ... aj, D1.3)
и для любой перестановки столбцов
Воспользуемся формулой D1.4) в вычислении произведения
двух детерминантов. Поразительная эффективность и компакт-
компактность этого приема демонстрируется в нижеследующем выводе:
Пользуясь выражением \b)\ = ец ... ф\ь[ ... Ъчп, мы можем,
опираясь на формулу D1.4), установить соотношение

120
ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
[ГЛ. II
и получить из него
\а'\ -\Ь1\ =
где
Cj = aabj = аф j + аф i + ... + anbf
Разложение детерминанта по элементам первого столбца
запишется выражением
°/ =ai е(,B...г„а2 ••• а« =а1Ла' D1-5)
в котором А\ = еа{ _, «22a33 • • • апп ~ алгебраическое дополнение
элемента а^.
Выведем теперь формулу для частных производных детерми-
детерминанта, элементы а* которого являются функциями перемен-
переменных х1, х2, ..., хп. Из формулы D1.2) получаем
о = ег. . а\1а* ... а"
'lB ••• 1П ' 2 "
Дифференцирование этого выражения приводит нас с помощью
формулы типа D1.5) к производным:
да
= е.
да,1 i { i да22 ,
—V а* ... а" + а ' —V ... a « + ...
да1"
~dJ
I.
дх1 '
dal2
Формулы D1.3) и D1.4) позволят нам установить, что сим-
символы перестановок е'1 ¦" п и ei[...in являются относительными
тензорами, которым должен быть приписан вес +1 и соответ-
соответственно — 1.
Рассмотрим допустимое преобразование
Т: у1 =
1 х")
и его якобиан / =
_ду_
дх
. Если в формуле D1.3) положить
и вспомнить, что —:
дх' I
дх
ду
, то получим непосред-
ственно
дх
ду
дуп
дх
D1.6)

§ И]
ПРИМЕНЕНИЕ е-СИСТЕМ К ДЕТЕРМИНАНТАМ
т. е. уравнение, выражающее закон преобразования относитель-
относительных коытравариантных тензоров веса + 1. Точно таким же пу-
путем выводим, что
"' дх** дх** дха" .....
a ..а — j-...—j-, D1.7)
1 * п
дх
ду
ду
ду*
j
дуп
откуда находим, что ettit... in— относительный тензор веса —1.
Из формулы D0.5)
е',-'Л+1-'»е/ ., , =(n-r)\6l>-'r
обнаруживаем, что дельта Кронекера 6/]'... trr получается путем
перемножения двух е-символов, одним из которых является
относительный тензор веса + 1, другим — относительный тензор
веса — 1 и их свертки в соответствии с числом индексов. В ре-
результате получается тензор нулевого веса, т. е. обычный тензор.
Таким образом, мы доказали, что обобщенные дельты Кроне-
Кронекера являются абсолютными тензорами.
Из того, что в случае декартовой координатной системы X
'/.../ Mv"i
выражение б/.../ s приводится к —-г-*— = 0, заключаем, что
ковариантные производные обобщенных дельт Кронекера обра-
обращаются тождественно в нуль. Таким образом, дельты Кроне-
Кронекера ведут себя как константы в ковариантном дифференциро-
дифференцировании.
Задачи
1. Доказать, что
2. Доказать, что $/
3. Доказать, что если
то возникают две возможности: либо Ь — —с и аи симметрично, либо b = с
и тогда uij кососимметрично. Указание. Так как i и / могут принимать зна-
значения 1 ... га, то заданному уравнению можно придать вид
а'1 - а".
= a"'k- aik' + a'ki - alik + akil - aw.
удовлетворяет уравнению
Сложив его с первым, получим (Ь + с) (а,-3- + ац) = 0.
4. Показать, что (a) eajeal = 6J.; (б) eljkeirs = 6J6| - 6?6?. Указание. Ле-
Левый член в (б) обращается в нуль, за исключением случая, когда / и k раз-
различны, а /', k — перестановка г, s. Если / = г и k = s, то левый член полу-
получает значение +1, если / = s и k = г, то его значение —1. Определить затем
значение правого члена при том же наборе индексов.
5. Определить значения 6?, б|{, б^б[б*, если индексы располагаются в
порядке от 1 до п.

ГЛАВА III
ГЕОМЕТРИЯ
§ 42. Неевклидовы геометрии
Традиционная евклидова геометрия, основанная на системе
«самоочевидных истин» и созданная в значительной мере Алек-
Александрийской школой математиков (около 300 лет до нашей
эры), господствовала над мыслью и формировала развитие фи-
физики и астрономии на протяжении более двух тысячелетий. Не-
Немного нашлось за это время смельчаков среди математиков, для
которых «самоочевидные истины», содержавшиеся в евклидовых
аксиомах, показались неубедительными: престиж логической
структуры «Начал» Евклида был столь высок, а рука автори-
авторитета столь весомой, что они на века затормозили развитие мате-
математики.
В 1621 г. Г. Сэвиль поднял, наконец, ряд вопросов, направ-
направленных на те два, по его выражению, «позорных пятна» геомет-
геометрии, которые усматривались им в теории пропорций и в теории
параллельных линий. Аксиома Евклида о параллельных (V по-
постулат в книге 1 «Элементов») была призвана утверждать, что
любая пара проведенных на плоскости прямых при достаточ-
достаточном их продолжении, взаимно пересекается, если сумма двух
внутренних углов, образованных линией, пересекающей упомя-
упомянутую пару, оказывалась меньшей, чем два прямых угла. Дей-
Действительно, тот факт, что некоторые предложения Евклида,
относящиеся главным образом к обращению вышеназванного
постулата, оказалось возможным доказать без привлечения V
постулата, внушила надежду на то, что и самый постулат мож-
можно вывести из других аксиом. Однако все попытки доказать
V постулат оказались безуспешными.
В 1826 г. русский математик Н. И. Лобачевский представил
математическому факультету Казанского университета исследо-
исследование, исходившее из допущения, согласно которому через каж-
каждую точку на плоскости можно провести две прямые, парал-
параллельные заданной. При этом обнаружилось, что построенная

§ 43] ДЛИНА ДУГИ 123
Лобачевским геометрия не содержала в себе никаких внутрен-
внутренних противоречий, как и евклидова. Больше того: геометрия
Лобачевского содержала в себе геометрию Евклида как специ-
специальный случай и вскрыла произвольность понятия длины, при-
принятого в геометрии Евклида.
В 1831 г. венгерский математик И. Бойаи опубликовал ре-
результаты своих самостоятельных исследований, по замыслу
мало отличавшихся от результатов Лобачевского, ио проник-
проникших, может быть, более глубоко в метрические свойства про-
пространства. Бойаи отметил, как и Лобачевский, что геометрию
в малом можно приближенно признать евклидовой и что только
физический эксперимент может решить, принять ли евклидову
Или неевклидову геометрию в качестве инструмента физического
измерения. Таким образом, выяснилось, что никаких априорных
критериев для предпочтения одной геометрии другой не суще-
существует. И тем не менее лишь после появления в печати (посмерт-
(посмертно опубликованной в 1867 г.) глубокой диссертации Б. Римана
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии» математический
мир полностью признал ту роль, которую играют в геометрии
метрические понятия.
Риман, по-видимому, не был знаком с работами Лобачев-
Лобачевского и Бойаи, хотя они хорошо были известны К. Гауссу. Позд-
Позднее Э. Бельтрами опубликовал свой классический труд по ин-
интерпретации неевклидовых геометрий A868), где он исследовал
результаты Лобачевского, Бойаи и Римана, и доказал, что мет-
метрические свойства пространства являются только определения-
определениями. Из этих исследований выяснилось, что все три типа геомет-
геометрий возможны для поверхностей постоянной кривизны: геомет-
геометрия Лобачевского — на поверхности постоянной отрицательной
кривизны, римаиова — на поверхности постоянной положитель-
положительной кривизны и евклидова — на поверхности нулевой кривизны.
Эти геометрии называются также соответственно: гиперболиче-
гиперболическая, эллиптическая и параболическая. Рассмотрим их вкратце
в нижеследующем параграфе.
§ 43. Длина дуги
Введем в и-мерное пространство R систему координат X и
рассмотрим одномерное подпространство в R, определенное
уравнениями
С: xl=xl{t) (/=1, ..., п), D3.1)
где t — вещественный параметр, изменяющийся непрерывно в
интервале /i <1 / <112. Одномерное многообразие С называется
отрезком дуги кривой. В этой книге мы будем иметь дело лишь
с такими кривыми, для которых xf(t) и хЦЦ == dxt/dt являются

124 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. II!
непрерывными функциями в интервале ti *С t -^ t%. Предлагаемое
здесь определение дуги кривой является непосредственным
обобщением параметрического представления кривых в элемен-
элементарной аналитической геометрии.
Пусть функция Fix1, ..., хп,х\ ..., хп), рассматриваемая
как функция /, является непрерывной в интервале U sSL / ^ 1%.
Положим1), что Fix, x) > 0, за исключением случая, когда
х{ = 0 и для каждого положительного числа k
F(x\ ..., хп, kx1,..., Hn) = kF{x' хп, х1 хп).
Интеграл
t
s=JF(x,x)dt D3.2)
') Функция F(x,x), удовлетворяющая условию F(x,kx)= kF(x, x) для
каждого k > О, называется положительно однородной степени 1 по х\ Это
условие одновременно и необходимо, и достаточно для того, чтобы гаранти-
гарантировать независимость значения интеграла D3.2) от той или иной частной
зависимости параметра С. Например, если t в D3.1) заменить какой-либо
функцией t = ф(х), a xf[q>(s)] обозначить через ?'(s)> получив *'(/) — ?*(«),
то мы придем к равенству
U s,
F (х, *) Л - | F (*, Г) ds,
i, s,
где |'*(s)= dx'jds, a <i = ф(*1> и t2 = ф(«2). Для того чтобы доказать эту
теорему, положим, что k — произвольное положительное число, ч ' — frf -*и
что fi = й*1, а ^ = *s2. Тогда D3.1) принимает значение
С: *' (fts) = I1 (s)
и
|/J (s) = Х} S'
Если чти значения ввести в D3.2), получим
s = Г F [x (ks), к (ks)] k ds,
«I
приравняв же результат интегралу
я- \ F[t(s),t'(s)]ds,
мы должны будем получить соотношение
р (|t |') = F (.v, fei) = kF (x, x).
И наоборот, если эти формулы окажутся справедливыми для каждого эле-
элемента кривой С и каждого k > 0, то равенство интегралов будет обеспечено
для любого вида параметра t = <p(s). ф'E)>0, s,^.?^s2 при /i=»<p(Si) и

§ 43] ДЛИНА ДУГИ 125
называется длиной С; при этом о пространстве R говорится, что
оно метризовано формулой D3.2).
Тот или иной выбор функций F(x,x) приводит к тому или
иному типу метрической геометрии.
Если мы определим длину дуги кривой по формуле
ЧГЧГШ (а, р-1,...,«), D3.3)
где gaa)xax^1 — положительно определенная квадратичная форма
в переменных Xй, то получающаяся в этих условиях геометрия
будет римановой геометрией, пространство же, метризованное
таким путем, называется римановым п-мерным простран-
пространством Rn.
Вспомним из § 39, что если существует допустимое преобра-
преобразование координат Т :у* = уг(х1, ..., хп), обладающее тем
свойством, что квадрат элемента дуги ids
ds2 = g^dx" dx* . D3.4)
может быть при этом приведен к виду
ds2 = dyl dy\ D3.5)
то говорят, что риманово многообразие Rn приводится к евкли-
евклидову многообразию Еп. Система отсчета У, в которой элемент
дуги С в Еп задается выражением D3.5), называется декарто-
декартовой ортогональной координатной системой. Очевидно, Еп сле-
следует понимать как обобщение так называемой евклидовой пло-
плоскости, определяемой полной совокупностью пар вещественных
значений (yl,yz). Если эти значения (у1, у2) ассоциируются
с точками плоскости, отнесенной к паре прямоугольных декар-
декартовых осей, то квадрат элемента дуги ds примет знакомый вид
ds* = (dy<y+ (dy2)\
Как мы убедимся в дальнейшем, бывает иногда удобно изо-
изображать пары вещественных чисел (у1, у2) точками в декартовой
плоскости даже и в тех случаях, когда метрика многообразия
У' не является евклидовой. Чтобы пояснить это положение, рас-
рассмотрим сферу 5 радиуса а, расположенную в трехмерном
евклидовом многообразии Е3 с центром в начале координат
@,0,0), которое отнесено к системе прямоугольных декартовых
координат ОХ1Х2Х3. Пусть Т будет плоскостью, касательной
к сфере S в точке @,0, —а). Отнесем точки этой плоскости
к прямоугольной декартовой системе осей ОТ1 У2, как это пока-
показано на рис. 8. Если мы проведем из центра 0@,0,0) радиаль-
радиальную прямую ОР, пересекающую сферу 5 в точке Р(х\х2,х3),
и плоскость Т в Q{yl,y2, — а), тогда точки Р нижней половины

126
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. II!
сферы 5 будут находиться во взаимно однозначном соответ-
соответствии с точками (у1, у2) касательной плоскости Т.
Чтобы получить аналитическую форму этого соответствия,
заметим, что если Р(х1, х2, х3) — какая-либо" точка на радиальной
Рис. 8,
прямой ОР, то симметричные уравнения этой прямой дадут нам
отношения
х'-0 х2-о *3-о
или
у1-О г/2-О -о-О
л — лу , x — Ay , л да. D3.6)
Поскольку наша задача требует выявления образов Q для то-
точек Р, расположенных на S, переменные хг удовлетворяют урав-
уравнению 5:
или
(У2J
= а2.
Определяя отсюда К и подставляя значение в D3.6), находим
аух
ау'
V(У'Уг + (у2J + а* '
D3.7)

$ 43] ДЛИНА ДУГИ 127
Эти уравнения решают поставленную задачу, давая аналитиче-
аналитическое взаимно однозначное соответствие точек Q на Т и точек Р
рассматриваемой области 5.
Пусть Pi {х\ хг, Xs) и Рг (х1 + dx\ х* + dx2, х3 + dx3) — две
близко расположенные точки на кривой С, лежащей на сфере 5.
Евклидово расстояние Р\Рг вдоль С дается формулой
(i= 1,2,3), D3.8)
а так как переменные х1 связаны с у1 формулами D3.7),
то D3.8) приводит к решению
, о дх1 дх1 ,
где gaa(y) суть функции у1, вычисленные из D3.7) с помощью
дх1 дх1
определения ggp= ^„ ^ .
Если образ К кривой С на Г дается уравнениями
то длину С можно вычислить из интеграла
+ (dj/2J + -4- (у1 dy* - у* dy1
Непосредственное интегрирование дает
- у2 dy]J
D3.9)
dU
* у (у1J + (у2J + 4т (у'у2 - у2у1J
Г у (УТ +
Мы видим, что полученные формулы выражают двумерное
многообразие, определяемое переменными (у1, у2) в декартовой

128 Геометрия (гл. Ш
плоскости Т, и что геометрия поверхности сферы, расположен-
расположенной в трехмерном евклидовом многообразии, может быть изо-
изображена на двумерном многообразии /?2 с метрикой, определен-
определенной в D3.9). Если радиус S очень большой, то членом, содер-
содержащим 1/а2, как в этом нас убеждает формула D3.9), можно
пренебречь, и тогда геометрия поверхности сферы определится
приближенно евклидовой метрикой
ds2 = (dy1J + (dy2J. D3.10)
Отсюда заключаем, что при больших значениях а метрические
свойства сферы S неотличимы от метрики евклидовой плоскости.
Сумма углов криволинейного треугольника, построенного на S,
будет близка к 180°, в то время как сумма углов соответствую-
соответствующего треугольника на Т равна 180° в соответствии с метрикой
евклидовой геометрии. По причине ограничений точности изме-
измерительных инструментов не исключено, что априорное решение
вопроса о выборе базиса физических измерений — на основе ли
евклидовой метрики D3.10) или более сложной римановой фор-
формулы D3.9)—окажется невозможным.
Главной целью в приведенных здесь рассуждениях является
указание на то, что геометрия сферы, расположенной в евклидо-
евклидовом трехмерном пространстве, определяющем элемент дуги этой
сферы по формуле D3.8), неотличима от геометрии Римана для
двумерного многообразия /?2 с метрикой D3.9), которое хотя и
отнесено к декартовой системе координат У, не может быть
признано евклидовым, поскольку его метрика D3.9) не приво-
приводится к D3.10) ни одним из допустимых преобразований.
Аналогично геометрию Лобачевского можно реализовать на
поверхности «псевдосферы», т.- е. на поверхности постоянной
отрицательной кривизны, образованной вращением трактрисы
относительно своей асимптоты
х = a (cos t + lg tg j),
Поскольку в нашей программе изучение гиперболической гео-
геометрии Лобачевского не предусмотрено, мы вынуждены огра-
ограничиться указаниями лишь на главные идеи, приводящие к ана-
аналитическому выражению для квадрата элемента дуги
- X (У1 dy* - у* dy»
ds2 —
J!_J_ [((,.)*+B,2J]}
с которого собственно и начинается изучение этой геометрии.

13]
длина Дуги
Построим на плоскости окружность К радиуса 1. Простран-
Пространство геометрии Лобачевского состоит из точек, ограниченных
окружностью К (т. е. расположенных внутри нее). Хорды PQ
этой окружности являются в этой геометрии прямыми линиями
(рис. 9). Длина сегмента АВ на PQ —
это число, заданное формулой
/РА РВ\
Щ'ОА-'QB)'
величина же угла ABC определяется
следующим образом. Построим сферу „,
S единичного радиуса, которая каса-
касается К в центре. Проектируем АВ и
ВС на S и определяем евклидов угол,
образуемый дугами В'А' и В'С и пере-
пересечением плоскостей, проходящих че-
через ВС и ВА перпендикулярно к пло-
плоскости К (рис. 10). Евклидова мера
А'В'С по определению — мера угла
ABC в плоскости Лобачевского. Две линии в плоскости Лоба-
Лобачевского принимаются параллельными, если их отображения
Рис. 9.
Рис. 10.
Рис. 11.
(проекции) на сфере не пересекаются. Можно показать, что точ-
точки и линии этой геометрии удовлетворяют всем постулатам ев-
евклидовой геометрии, за исключением постулата параллельных
линий. Параллельно к любой данной прямой PQ через точку М
можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих PQ.
Это — прямые, лежащие в заштрихованной области (рис. 11) и
проходящие через М. Нетрудно показать, что сумма углов
треугольника в этой геометрии меньше 180°. Логическая
5 И. С. Сокольников

130
ГЕОМЕТРИЯ
[Гл. nl
правильность геометрии Лобачевского была подтверждена А. Кэ-
ли, Ф. Клейном и А. Пуанкаре1). Содержание этой главы огра-
ограничивается в основном евклидовой геометрией и теми разделами
римановой геометрии, которые используются в применениях.
§ 44. Криволинейные координаты в Е3
Аппарат тензорного анализа развивался первоначально как
инструмент для изучения различных типов геометрий. Но в силу
характерной для него способности выявлять инвариантные свой-
свойства изучаемых объектов он был признан особенно удобным и
в применениях к другим разде-
разделам прикладной математики. По-
Поскольку динамика, механика
сплошных сред и теория относи-
относительности широко опираются на
геометрические свойства трех-
трехмерного пространства нашего фи-
физического опыта, мы посвящаем
г большую часть этой главы ис-
исследованию свойств кривых и
поверхностей, находящихся в
пространстве Е3.
Отнесем точку Р(у) в евкли-
евклидовом пространстве Е3 к системе
прямоугольных декартовых координат У (рис. 12). Рассмотрим
преобразование общего вида
1 = хЧу\у2,у*) (/=1,2,3),
-X*
Рис. 12.
Т:
в котором х* принадлежат к классу С1, а / =
дх1
ду)
в некото-
рой области R пространства Еъ. Обратное преобразование
rV-irV,*8.*3) С-1,2,3)
будет поэтому однозначным, а преобразования Т и Т^1 установят
взаимно однозначное соответствие между тройками значений (х\
х2,х3) и (г/1, у2, у3). Мы назовем тройки этих чисел (х1, х2, х3) кри-
криволинейными координатами точек Р в R. Эта терминология при-
принимается здесь по следующим соображениям: если мы положим
х1 = const в 7', то
х1 (у1, у2, у3) = const D4.1)
') Более подробное изложение гиперболической геометрии читатель мо-
может найти в специальных работах по этому вопросу, в частности в книга:
Klein F., Nicht-Euklidische Geometrie. (имеется русский перевод: Клейн Ф.,
Неевклидова геометрия, ОНТИ, Москва, 1936.)

,44]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В В,
131
определяет поверхность. Если же этой постоянной позволить
принимать различные значения, мы получим семейство поверх-
поверхностей с одним параметром. И подобным же образом
х2(у\ У2, У3) — const и х3 (у1, у2, у3) = const
определят два семейства поверхностей.
Условие, требующее, чтобы якобиан /^0 в рассматривае-
рассматриваемой области, выражает тот факт, что поверхности
3 = с3 D4.2)
х2 = с2,
пересекаются в одной и только в одной точке.
Поверхности, определяемые уравнениями D4.2), мы назы-
называем координатными поверхностями, а их попарные пересече-
пересечения— координатными линиями; так, например, линией пересе-
пересечения поверхностей хх = С\
и х2 = сч является коорди-
координатная линия а:3 = с3, по-
поскольку именно по этой ли-
линии переменная Xs остается
единственной изменяющейся
переменной. В качестве
примера рассмотрим коор-
координатную систему, опредег
ляемую преобразованием
у1 = х1 sin х2 cos x3,
у2 = xl sin x2 sin x3,
у3 = х1 cos х2.
Поверхности xl = const Рис. 13.
представляют собой сферы,
х2 = const — круговые конусы, х3 = const — плоскости, проходя-
проходящие через ось У3 (рис. 13).
Обратное преобразование в этом случае дается уравнениями
если *1>0, 0<х2<л, 0 ^ Xs < 2л. Это —обычная сферическая
координатная система.
Другим примером может служить преобразование
у1 = х1 cos х2, у2 = х1 sin х2, у3 = х3,
определяющее систему цилиндрических координат (рис. 14).
Пусть точки Р(у1,у2,у3) и Q(yi + dyl, г/2 + dy\ if + dy3) рас-
расположены в непосредственной близости одна от другой в

132
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
области R. Евклидово расстояние между парой таких точек
определяется квадратичной формой
(dsf = (dy'f + (dy2f + (dy3J = dy< dy\
поскольку же dyl = ——^ dxa, мы можем выразить его сжато:
где
ds2 = gn dxl dx1,
(a= 1,2,3).
D4.3)
дуа дуа
dx1 dxJ
Очевидно, символ gtj симметричен. Кроме того, это тен-
тензор, поскольку (dsJ — инвариант, вектор же dxi произволен.
Обозначим через g детерминант \gij\; в области R ему сле-
следует приписать положитель-
положительное значение, поскольку
gijdx{dxj — положительно оп-
определенная форма. Мы мо-
можем поэтому ввести сопря-
сопряженный симметричный тен-
тензор gl\ определенный в
§ 30 формулой gH = GV/g,
где Gli — алгебраическое до-
дополнение элемента gi3 в g.
Рассмотрим теперь кон-
травариантный вектор А{(х)
и образуем инвариант
')ч\ D4.4)
Рис. 14.
Так как в прямоугольной де-
декартовой системе координат
инвариант D4.4) прини-
принимает вид [(Л1J + (Л2J + (Л3J]'/*, то мы убеждаемся, что Л
представляет собой длину вектора А1. Аналогично длина кова-
риантного вектора определяется формулой
Л = (^;ЛИ/I/2. D4.5)
В прямоугольной декартовой системе gij = 6'J и мы получаем
Л = (ЛгЛ,I^.
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным век-
вектором. Из формулы D4.3) мы убеждаемся, что
, dx1 dx>
так что dxi/ds = Я,' является единичным вектором. Если х{ = у{
так, что координатная система является декартовой, то dxl/ds =

§44]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В Е,
133
dx*
= A,1, dx2lds = A,2, dx3/ds = А,3 являются направляющими косину-
косинусами углов вектора перемещения (dxl, dxz, dxs). В соответствии
с этим вектор А,' будет для
нас определять направление
в пространстве относитель-
относительно криволинейной коорди-
координатной системы X (рис.15).
Рассмотрим два напра-
направления, определенных еди-
единичными векторами А,' и ц*
в некоторой точке Р (рис.
16). Поскольку рассматри-
рассматриваемое нами многообразие
евклидово, теорема косину-
косинусов, вытекающая из форму-
формулы Пифагора, дает
Qtf 2 = pQ2 +
+ ~PR2 - 2PQPR cos 0,
а поскольку А,' и ц' — единичные векторы, PQ — PR = 1, то
Q#2 = 2(l-cos0). D4.6)
Компоненты вектора, соединяющего точки R и Q, выразятся
разностью А,1' — ц'. Используя формулу D4.4) для длины век-
вектора, находим
Х2-У2
Рис. 15.
')• D4.7)
Из D4.6) и D4.7) следует,
что инвариант gij№[i' равен
cos0, на основании чего мы
вправе записать
= g-j/AV- D4.8)
Формулу D4.8) мы можем использовать для определения угла 0
между двумя направлениями Л.* и цг\ если положим в основу
точное определение для sin 9. Имея два произвольных вектора
А* и В* и зная определение длины вектора, находим
cos 0 = ¦

134 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Это приводит к формуле АВ cos 0 = g^B', определяющей ин-
инвариант, который совпадает со «скалярным произведением»
А-В элементарного векторного анализа.
Из выражения
ds2 = gtj dx' dx'
для квадрата элемента дуги ds между Pi(xl, х2, х3) и
Pzix1 + dx\ x2 + dx2, x3 + dx3) следует, что длины элементов
дуги, измеренные вдоль координатных линий нашей криволи-
криволинейной системы X, измеряются произведениями
dsM = V^iTi dx1, ds{2) = Yffa dx2, dsl3) = Vlw dx3. D4.9)
Таким образом, длина вектора смещения (dx1, 0, 0) определяется
значением Vsndx1, вектора @, dx2, 0) — значением Ye^
вектор же @, 0, dx3) измеряется длиной Vg33dx3 (рис. 17).
Рис. 17.
Из D4.8) выводим вдобавок, что косинусы углов 012, 023, 0i3
между координатными линиями могут быть вычислены из формул
cos 612=*-т-——. cos023 = лГ^—-» cos0,з== rgu D4.10)
У gi\822 V 822833 V 8и8зз '
ибо если Ц{): (dx1lds(l), 0, 0) и ц[2): @, dx2/dsB), 0)-два единич-
единичных вектора, направленных соответственно по координатным
линиям X1 и X2, то
Поскольку g"n> #22» ,§Гзз никогда не обращаются в нуль [см. D4.9)],
ТО уравнение D4.10) позволяет сформулировать теорему.
Теорема. Необходимое и достаточное условие для того,
чтобы заданная криволинейная координатная система X была

§45]
ЁЗЛИМИЫЕ БАЗИСНЫЕ СИСТЕМЫ
135
ортогональна, заключается в том, чтобы ga = 0 для i Ф j в лю-
любой области R.
Из определения объемного элемента dV в криволинейных
координатах
ду1
дх'
dx1 dx2 dx\
где ±
dyl
— абсолютное значение якобиана / преобразова-
преобразования, связывающего декартовы переменные у1 с криволинейными
х\ мы можем вывести непосредственно
dV = dyl dy2 dy3 = Vg dx1 dx2 dx3,
ибо
D4.11)
/2 =
dyl
dx'
dyl
dx'
_ dya дуа
dx1 dx'
где мы используем определение g,j [см. уравнение D4.3)] и пра-
правило умножения детерминантов. Детерминант g представляет
собой относительный скаляр веса 2 (см. § 28), поскольку Yg —
скалярная плотность.
Из выкладок этого параграфа мы устанавливаем, что ме-
метрические характеристики пространства Е3, отнесенного к кри-
криволинейной координатной системе X, полностью определяются
тензором g,j. На этом основании тензор ga называется метри-
метрическим, а квадратичная форма dsz = gijdxidxi получила наиме-
наименование фундаментальной квадратичной формы.
§ 45. Вза мные базисные системы.
Ковариантные и контравариантные векторы
В настоящем параграфе мы интерпретируем важнейшие вы-
выводы § 44 на языке и в обозначениях элементарного векторного
анализа, введенного в главе I. Положим, что мы определили
декартову систему осей (рис. 18) пучком ортонормальных ба-
базисных векторов Ьи &2, &з- В таком случае радиус-вектор г точки
Р(*> У2, У3) можно будет представить выражением
(/=1,2,3),
D5.1)
так как базисные векторы &г не зависят от положения точки
Р(У\ У2, У3), выводим из /D5.1), что
dr = 6; dtf.
D5.2)
По определению квадрат элемента дуги между точками
(У1, У2, У3) и (у1 + dy\ у2 + dy2, у3 + dy3) дается формулой
ds2 «= dr ¦ dr. D5.3)

136
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
Подстановка из D5.2) в D5.3) дает
ds2 = Ь, ¦ bj dy' dyJ = at, dyl dy1 = dy' dy1,
т. е. знакомое выражение для квадрата элемента дуги в прямо-
прямоугольных декартовых координатах.
Пусть система уравнений преобразования
х' = х'(у\ у2, у5) (/=1,2,3)
определяет криволинейную координатную систему X. Радиус-
вектор г мы можем теперь рассматривать как функцию коор-
координат хк Записываем это
У3\
а
формулами
dr = —г dxl
дх1
D5.4)
ds2 = dr-dr-
где
дг дг , i , i
¦¦ —г —г dx dx' =
дх1 дх'
= gtj dx1 dy1,
дг дг /лг с\
^ Геометрический смысл век-
Рис. 18. тора дг/дх1 прост: он пред-
представляет собой базисный
вектор, направленный касательно к координатной кривой X1.
Положим
j^ = at D5.6)
И перепишем формулы D5.4) и D5.5):
dr = aidxl D5.7)
И
Заметим, что базисные векторы а{ здесь уже не являются
Независимыми от координат (л:1, х2, х3).
Применение ковариантных обозначений для базисных век-
векторов «г и bi может быть оправдано, если сопоставить на основе
формул D5.2) и D5.7), что
Мы видим здесь, что базисные векторы а} преобразуются по

§ 45] ВЗАИМНЫЕ БАЗИСНЫЕ СИСТЕМЫ 137
закону преобразования компонентов ковариантных векторов
поскольку dxi произвольны.
Компоненты базисных векторов uj, будучи отнесенными к ко-
координатной системе X, принимают вид
в,: (а„ 0, 0), а2: @, а2, 0), а3: @, 0, с3),
откуда мы замечаем, что они не обязательно получаются еди-
единичными векторами, поскольку вообще [см. уравнение D5.5)]
g-,, =а, а, ф 1, ^22 = «2 -а2ф 1, g33 = a3-a^ I.
Если криволинейная координатная система X ортогональна, то
gu = ct • С/ = | сг 11 С/1 cos 9(/ = 0, если / Ф /.
Этот вывод констатируется в теореме § 44.
Заметим, что любой вектор А можно записать в виде произ-
произведения А = kdr, где k — соответствующий скаляр. Так как dr=?
= (dr/dx^dx1, то получаем
где А* ^ k dxK Числа А1 — контравариантные компоненты век-
вектора А и векторов Л'аь А2а2, А3а3, образующих ребра паралле-
лепипида, диагональю которого является А. Поскольку а, во-
вообще не являются единичными векторами, мы убеждаемся, что
длины ребер этого параллелепипеда, т. е. физические компо-
компоненты А ->пределяются_формулами_
A1 Vlbi, & У§22, А
на том основании, что gn == ах-ах, g22 = аъ-а-г, ?зз = Лз • «з.
Введем теперь три некомпланарных вектора
Д1 - дг X а, 2 _ Дз X а, я _ а, X аг
где п2 X аз и т. д. обозначает векторное произведение ') а2 и вз.
a [aia2a3] — тройное скалярное произведение: ai-агХЯз-
Из определений D5.8) очевидно^ что а'-а/=6/, что, как,
в этом легко убедиться, [йха2а3]= yg, где g = |^,j|, и что
') Напомним, что atXa2 представляет собой вектор длиной a1aJ[sin(ai, Яг)],
ориентированный таким образом, что О|, аг и di X о, образуют правую си-
систему. Тройное скалярное произведение [aia2a3], с другой стороны, численно
равно объему параллелепипеда, построенного иа векторах at, a2, а3. Если
{а,} — совокупность базисных векторов пространства ?„;, то эзаимный базис
(а*} определяется произведением а; ¦ я' = й|.

138
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
[ala2a3] = \1[аха2аъ], в силу чего [а]а?а3] =
а2 X а3 а3 X а1
а, =
. Кроме того,
1 Ха2
[а'а2а8
[aWa3] '
1ага2а3
D5.9)
что легко можно проверить с помощью формул D5.8). Учиты-
Учитывая это, естественно назвать систему векторов с1, а2, а3 взаим-
взаимной базисной системой.
Заметим, что если векторы alt а2, а3 — единичные векторы, от-
отнесенные к прямоугольной декартовой системе координат, то
взаимная система векторов определяет ту же систему координат.
Пользуясь взаимной базисной системой, мы можем записать
дифференциал вектора г в виде dr = aldxu где dxt — компоненты
dr. Мы получим в результате
ds2 = dr ¦ dr = (a1 dxj) ¦ (a) dxj) = al ¦ a1 dxt dx, = gi} dxt dxh
где ., .
gl' = al-a' = g'1. D5.10)
Нетрудно установить, что коэффициенты g^, определенные фор-
формулой D5.10), совпадают с ранее определенными величинами
gii. Таким путем с помощью формул D5.8) и D5.9) легко по-
показать, что giagia=&i3, а
решение этой системы
уравнений для gia дает
gja = G'a/g, где G'a—ал-
G'a—алгебраическое дополнение
элемента gja в детерми-
детерминанте |g"ij|. Таким обра-
образом, приведенное в § 44
определение gij следует
как теорема из определе-
определения D5.10).
Система базисных век-
векторов, определенных из
D5.8), может быть исполь-
использована для того, чтобы
представить произвольный
вектор А в форме А = а1Аи где At — ковариантные компоненты
Д. Если мы образуем скалярное произведение вектора Аха1 с ба-
базисным вектором Cj и заметим, что последний направлен по ко-
координатной линии Xi, то придем к следующим равенствам:
Aid • а/ = Л/6/ = Aj. Таким образом, Ajj ygn (без суммирования
по У) представляет собой длину ортогональной проекции век-
вектора А на касательную к координатной кривой Xi в точке Р
(рис. 19), вектор же А> Y~g~Jj представляет длину ребра парал-
параллелепипеда, диагональю которого является вектор А.
Рис. 19.

§ 46] О СМЫСЛЕ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Й9
Так как
A = aiAi = aiAi,
то мы вправе установить равенство
at
и следовательно,
Мы видим, что вектор, полученный опусканием индекса в А1, яв-
является ковариантным вектором Аг. Два ряда величин А* и Л,-,
очевидно, представляют один и тот же вектор А, отнесенный
к двум различным базисным системам. Как уже ранее было от-
отмечено, различие между ковариантным и контравариантным
компонентами А исчезает в тех случаях, когда базисные векто-
векторы пг ортонормальны.
Подобным же образом, если рассмотреть коэффициенты Ащ
в полилинейной форме Ацъ.п*ашк и потребовать, чтобы
Ацка*азак = А^кага^ак, то совокупность величин {А**} предста-
представит тот же самый тензор А, отнесенный к базису {аг}. Все ас-
ассоциированные тензоры (см. § 30) представят этот же тензор А
в соответствующих базисных системах.
§ 46. О смысле ковариантиых производных
Пусть А — вектор, берущий начало в точке Р(у\ у2, у3) про-
пространства Е3, отнесен к прямоугольной декартовой системе ко-
координат К. Если в каждой отдельной точке области R в окрест-
окрестности F мы сможем индивидуализировать каждый отдельный
вектор А, то такую полную совокупность векторов в R мы на-
называем векторным полем. Мы предполагаем, что компоненты А
являются непрерывно дифференцируемыми функциями от у1
в R, а если мы введем криволинейную систему координат X
путем преобразования
Т: xl = x({y\ у\ у\
то соответствующие компоненты А1(х) станут непрерывно диф-
дифференцируемыми функциями точки (xi, хг, х3), определяемой
радиусом-вектором г(х1, х2, х3). В обозначениях § 45 базисными
векторами в координатной системе X являются at = дг/дх, так
что вектор А записывается произведением
A = Alat. D6.1)
Вычислим приращение АА длины вектора А с переменой
положения точки Р(х1, х2, х3):
Рг (*' + Ад;1, х2 + Ах2, х3 + Ад;3).

140 ГЕОМЕТРИЯ (ГЛ. Ill
Из D6.1) находим
АЛ = (А1 + ДЛг) (а,- + Да,) - Alat = АА'щ + А' Да, + (ДЛ') (Aat).
Как и в обычном дифференциальном исчислении, мы обозна-
обозначаем главную часть приращения через dA\
dA = at dA' + A1 dat. D6.2)
Эта формула показывает, что приращение в А возникает из
двух источников:
(а) приращений в компонентах А\ вызванных изменениями
значений (х1, х2, х3);
(б) приращений в базисных векторах аи являющихся ре-
результатом изменения положения точки (х1, х2, х3).
Частная производная А по х{ определяется как предел отно-
отношения
.. АА дА
lim —г*=-—Г'
д*/-»о д* дх'
а из выражения для приращения ДД следует, что
дА дА1 да. .
— ^ — а^-^А1. D6.3)
дх' дх1 дх'
Покажем теперь, что вектор, определенный формулой D6.3),
тождествен ковариантной производной вектора А\ Установим
сначала тождество
да, ( а 1
7 ЧК Dа4)
Вспомним, что gij — aj-aj. Отсюда
dgii да. да,
дх" дхк ' дхк '
Произведя в этой формуле перестановку индексов, получим
дх*
да1
77
1777 Uk+ dx* a/>
Приняв, что Т входит в класс функций С2, находим!)
dat daf
77 = дх' '
Построим
дг да, д ( дг\ д 1 дт \ да,
Ибо а,=—г и —i--—г —Г)=—г(—ГГ—Г-
' дх{ дх1 дх1 \ дх' I дх1 \ дх1) дх'

§ 46] О СМЫСЛЕ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 141
и получим
3a k = [//, k]. D6.5)
дх1
Из D6.5) следует, что
дх> 1Ч> '" *
Таким образом,
да.
j-aa = [if, k] ak aa~ [ij, k],
дх
откуда следует, что
dat
дх1
и подтверждается тождество D6.4).
Вводя этот результат в D6.3), получаем
дА дА1
дх1 дх
Выражение заключенное здесь в скобки, и представляет собой
не что иное, как ковариантную производную Aas. Таким образом,
-^у = Л°/-аа- D6.6)
Из D6.6) следует, что ковариантная производная А" у вектора
Аа является вектором, компоненты которого в точности совпа-
совпадают с компонентами dA/dxi, отнесенными к базисной систе-
системе о,-.
Мы можем, следовательно, показать, что если А представить
в виде
А = Аааа, D6.7)
то
~- = Aatjaa. D6.8)
дх'
Из а1 • а;. = 6j получаем
да1 , , да.
дхк
Следовательно, в силу D6.4)
да1 да
дхк ' дх

142 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Поскольку а1 ¦ оа = б„, полученный результат эквивалентен ниже-
нижеследующему:
да1
Отсюда
да' ' ' ' -' D6.9)
Дифференцирование D6.7) по xh и подстановка из D6.9) приво-
приводят непосредственно к D6.8).
Заметим, что если символы Кристоффеля обращаются в R
тождественно в нуль, то координатная система, ассоциирован-
ассоциированная с этими символами, должна быть декартовой (см. § 39, тео-
теорема I) и в этом случае базисные векотры а, не зависят от ко-
дА <ЭЛ'
ординат. Тогда формула D6.3) дает, что —г- = —гт и, сле-
следя' дх1
дА1
довательно, А'¦ = —г.
•' дх'
§ 47. Внутреннее дифференцирование
Положим, что в некоторой области пространства Е3 опреде-
определены векторное поле А(х) и кривая
С: **=¦*'(/),
Векторы А (х), определенные на одномерном многообразии С,
зависят от параметра t, и если А(х) — дифференцируемый век-
вектор, а *'(/) принадлежит классу С1, то
йА _ дА dx1
dt ~ дх1 dt
Пользуясь формулой D6.6), записываем
dA &a dx1 \dAa
Вектор бЛа/б/, определяемый формулой
'т <°-'.2,S), ,47,,
называется абсолютной или внутренней производной от Аа по
параметру t.
Следуя Мак-Коннелу4), мы будем свободно пользоваться
внутренним дифференцированием в исследовании геометрии
кривых и поверхностей.
') См. McConnell A. J., Applications of the absolute differential calcu-
calculus, 1931, стр. 156—162 (имеется русский перевод).

§48] ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 143
Если векторное поле Аа определено не только на С, но и
в окрестности С, то можно утверждать, что
6Аа __ «a dx"
и следовательно, обычные правила дифференцирования сумм,
произведений и т. д. остаются в силе также и для внутреннего
дифференцирования. Если А — скаляр, то, очевидно, ЬАа1Ы =
= dA/dt.
Отсюда следует непосредственно и обобщение операции вну-
внутреннего дифференцирования на тензоры, ранг которых больше
единицы, а именно
At, ^L^i a } л1.
flat л /.о I лл
"ЗГ" =¦ ~5Г М ар J л'*йГ ~ I/p JЛа'г dt ~ир/Л/а dt ¦
Заметим, что, поскольку Sgij/St = 0, фундаментальные тензоры
ga и gl* могут быть вынесены за знак внутреннего дифференци-
дифференцирования.
Задачи
1. Доказать, что -jL (gijAlA') = 28{/А* ^-.
2. Показать,
3. Показать,
4. Показать,
5. Показать,
что
что
что
что
а к
если
д
-Ahi~-
hiAlBi) =
At = 8ijA
(guAlB>)
dAi
dxJ
й
¦Sil
.', TO
A
dAf
dxl '
lA' n' i * v bB*
ы'в VguA ы
AiJt = giaAak.
kBl + AiBi,k-
6. Доказать, что если А — числовое значение А1, то A, j = A,, jAl/A.
7. Показать, что если у1 — прямоугольные декартовы координаты, то в ?3
, о , д2у* ду1 ¦( у } д2у1 дху „
[ар, v] =—¦——й~—"^ и \ J = —„и г- Эти формулы часто ока-
дхадх$ дху lap/ дхадх$ ду'
зываются более удобными для вычисления символов Кристоффеля, чем опре-
определяющие формулы, приведенные в C1.1) и C1.2).
§ 48. Параллельные векторные поля
Рассмотрим кривую (рис. 20)
C:x' = x*{t), ti^t^t2 (t = 1,2,3).
расположенную в некоторой области пространства Е3, и вектор
А, берущий свое начало в точке Р кривой С. Положим, что
функции #г@ принадлежат классу С1. Если мы построим в ка-
каждой точке С вектор, равный А по длине и ему параллельный.

144
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
О
-У
то получим то, что называется параллельным полем векторов
на кривой С. Выясним необходимые и достаточные условия для
того, чтобы векторное поле было параллельным.
Если А —- параллельное поле на С, то векторы А не изме-
изменяются вдоль кривой ни по длине, ни по направлению, и мы вы-
выразим это равенством dA/dt = 0. Из него следует, если учесть
D7.1), что компоненты А1 вектора А удовлетворяют системе
дифференциальных урав-
уравнений ЬА{1Ы = 0, или в
развернутом виде
dA1 / I
dt +\сф,
Х2 D8.1)
И обратно, можно по-
показать, что каждое значе-
г ьие системы D8.1) поро-
порождает параллельное век-
векторное поле на С. Дей-
Действительно, из теории
дифференциальных урав-
уравнений известно, что эта
система трех уравнений
первого порядка имеет
единственное решение, если значения компонентов А' указаны
в точке С. Но ранее нами было показано, что векторное поле,
полученное построением семейства векторов фиксированных
длин, параллельно заданному вектору, удовлетворяет этой си-
системе уравнений. Отсюда следует, что любое решение уравне-
уравнения D8.1), удовлетворяющее начальным условиям, образует
параллельное векторное поле вдоль С.
Пусть АЩ) и В»(^)—два каких-либо решения системы
D8.1). Мы убеждаемся в том, что длины векторов А1 и В* дей-
действительно не изменяются при перемещении по кривой. Кроме
того, угол 0 между векторами А1 и Вг остается постоянным, в то
время как параметр t изменяется. Чтобы это доказать, заметим,
что (§ 44) А"В— АВ cos0 = gijA'Bi, и если gaA'-Bi остается ьо-
d ' i
стоянным вдоль С, то -л {gnAlB ) = 0. Но gijA^Bi — инвари-
инвариант, а поскольку ga ведут себя как константы в процессе кова-
риантного дифференцирования, мы вправе заключить, что
Рис. 20.
Ы
= gtl
Поскольку, в соответствии с принятой нами гипотезой, поля А1
и В' удовлетворяют уравнениям D8.1), бЛ'/б/= 0 и 8B{/8t = 0,

§ 49] ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ 145
заключаем, что gijAlB^ постоянно вдоль кривой С. Это следует
непосредственно из того, что если А' = В\ то величина giiAiAi =
= А2, постоянна на С, а это приводит к выводу, что и 0 также
константа.
Понятие параллельного векторного поля вдоль кривой мо-
можно распространить и на определение параллельных векторных
полей на трехмерных евклидовых многообразиях. Рассмотрим
для этого некоторую точку Р(х) и вектор А, берущий начало
в Р. Если мы построим в каждой точке многообразия вектор,
равный А по длине и параллельный ему по направлению, то
в пространстве трех измерений возникает параллельное вектор-
векторное поле. Если провести линию С через Р, то векторы А1 поля,
лежащего на С, образуют параллельное поле на С и, таким об-
образом, будут удовлетворять уравнениям D8.1). Но так как век-
векторы А1 определены в каждой точке (х1) многообразия, то, опи-
опираясь на выражение
dAl __ дА' dxk
dt дхк dt '
мы можем привести уравнения D8.1) к виду
Это равенство должно оставаться верным для всех кривых, про-
проходящих через Р, иными словами, для всех значений производ-
производной dxkldt. Таким образом, параллельное векторное поле в Eq
удовлетворяет системе уравнений
дА1
дхк
= 0, или
Обратное следует, как и ранее, из существования и единствен-
единственности решений таких систем дифференциальных уравнений.
Условие для параллельного перемещения ковариантного век-
вектора Ai имеет вид
= О, „л„
Это следует из равенства Л. k = glaAak> справедливого во всех
случаях, когда Л< = gijAK
§ 49. Геометрия кривых в пространстве
эивая С задана нам в прост]
пениями
С: *' = *'(/), tx<.t^ [i =1,2,3),
Пусть кривая С задана нам в пространстве Е3 параметриче^
скими уравнениями

146
ГЕОМЕТРИЯ
1ГЛ. Ill
Квадрат длины ее элемента равен
ds2 = gll dx1 dx1,
длина дуги s кривой С определяется интегралом
Г-./ dx1 dxi ,,
Переписав D9.1) в виде
dx1 dxi
ds ds
и положив dx'/'ds = X\ преобразуем D9.3) в
D9.1)
D9.2)
D9.3)
D9.4)
Вектор X с компонентами X1 является, таким образом, единич-
единичным вектором. Кроме того, X касателен к С, поскольку его ком-
компоненты X.' (если кривая С
отнесена к прямоугольной
декартовой координатной
системе Y) выразится про-
производными Я* = dyilds — эти
последние как раз и пере-
передают направление косину-
косинусов касательного вектора к
кривой С. На протяжении
всего нашего изложения мы
будем принимать, что кри-
кривая С принадлежит клас-
классу С2 и, следовательно, во
всех точках имеет непрерыв-
непрерывно вращающуюся касатель-
касательную.
Рассмотрим пару еди-
единичных векторов X и ц (с
компонентами X* и соответственно ц,*) в каждой точке Р кри-
кривой С (рис. 21). Положим, что X касается С в Р. Косинус угла
0 между X и ц дается формулой
р(х)
Рис. 21.
cos 0
D9.5)
причем, если X и ц взаимно перпендикулярны, то условие D9.5)
требует, чтобы
glixy = 0. D9.6)
Любой вектор (д> удовлетворяющий уравнению D9.6), назы-
называется нормальным к С в точке Р,

§ 49] ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Б ПРОСТРАНСТВЕ 147
Если мы возьмем от квадратичного выражения D9.4) внут-
внутреннюю производную по параметру дуги s и вспомним, что ga
ведут себя в ковариантном дифференцировании подобно посто-
постоянным величинам, то получим
?ff. / —г—Л ~f- P*j / —5—Я =0.
Поскольку gij симметричен, полученный только что результат
может быть записан в виде ?</Я'-т— = 0. Мы видим, что век-
вектор -т— либо обращается в нуль, либо нормален к С; в этом
последнем случае мы обозначим единичный вектор, параллель-
„ 6Я'
ныи -тг—, через цз и запишем
где % > 0 выбрана таким образом, чтобы ц.' был единичным век-
вектором.
Вектор иЛ определенный формулой D9.7), называется глав-
главным нормальным вектором к кривой С в точке Р, а % — кривиз-
кривизной С в названной точке.
Плоскость, определяемая касательным вектором к и главным
нормальным вектором ц, называется соприкасающейся плос-
плоскостью по отношению к кривой С в точке Р.
Так как ц является единичным вектором
gf/nV=l, D9.8)
и мы вправе поступить с этой квадратичной формулой так же,
как мы поступили с выражением gijifV = 1, т. е. вывести из них
ортогональность векторов -т— и ц.', т. е. g{!ix -f— = 0.
Дифференцируя внутренним образом соотношение ортого-
ортогональности D9.6), получаем далее
или
B
где мы воспользовались уравнением D9.7) и квадратичным со-
соотношением D9.8). В результате, таким образом,

148 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
поскольку же gijttV — 1, мы вправе преобразовать D9.9) к виду
-: О,
откуда обнаруживаем, что вектор -^--{-хЪ' ортогонален к %к
Отсюда следует, что если мы определим единичный вектор v
с компонентами v^ формулой
то вектор v окажется ортогональным одновременно и к %, и к
Условимся выбрать знак для т таким образом, чтобы
V = l, D9.11)
т. е. так, чтобы триада единичных векторов "к, ц, v образовывала
в каждой точке Р кривой С правую систему осей1).
Из того, что etjk — относительный тензор веса —1 (§ 41), а
ду1 2
g= —г заключаем, что eiik^ у g eilk — абсолютный тен-
дх1 '
зор, а потому левая часть равенства D9.11) представляет собой
инвариант. Алгоритм деления указывает, что vft в D9.11) опре-
определяется формулой
vk = eil%iii, D9.12)
где Я, и Ц{ — ассоциативные векторы gia№ и gia\ia, a
e'Jk^wetlk
— абсолютный тензор. Законность этого выражения следует из
замечания, что D9.12) удовлетворяет условиям ортогональности
gijttvi — 0, gij^vi = 0, и уравнения D9.11), определяющего ори-
ориентацию единичного орта v по отношению к к и ц. Число т, вхо-
входящее в уравнение D9.10), называется кручением кривой С
в точке Р, вектор же v представляет собой бинормаль.
Чтобы привести эти определения в соответствие с общепри-
общепринятыми определениями главной нормали и кривизны, принятыми
в элементарном векторном анализе, вспомним формулу D6.6):
') Из формул D1.2) и из определения тройного скалярного произведе-
произведения (§ 45) следует формула
Я1 Ц1 V1
Я2 u2 v2 '
хз V3

$ 50] ФОРМУЛЫ СЕРРЕ-ФРЕНЕ j49
дА/дх1 = Aatiaa и заметим, что если векторное поле А опреде-
определено на кривой С, то
дА дх1 .a dxl
¦ = Л,,- —- аа.
^
дх1 ds ' ds
Воспользовавшись определением внутренней производной
5s
ла дх'
= АЧ1~7—, упрощаем это выражение:
? « D9
Пусть г—радиус-вектор точки Р на С; тогда касательный
вектор к определится выражением
dr
и D9.13) дает для вектора кривизны
?j___dX_ _ 6Я°
ds2 ~~ ds ~ 6s °c
D9.14)
где с—вектор, перпендикулярный1) к %.
С каждой точкой Р кривой С мы можем ассоциировать кон-
константу к, для которой с/к = ц является единичным вектором.
Равенства D9.14) перепишутся при этом в таком виде:
1 dX 1 ЬХа
где на последнем этапе мы учли формулу D9.7).
§ 50. Формулы Серре — Френе
В этом параграфе выводится группа трех замечательных
формул, известных в основном как формулы Френе и описываю-
описывающих в сжатом виде все существенные геометрические свойства
пространственных кривых. Две из этих формул были уже выве-
выведены в § 49. Приведем их здесь:
^ , E0.1)
E0.2)
') Поскольку X, • X, = 1, Я,. rfX,/ds = 0

ISO ГЕОМЕТРИЯ 1ГЛ. Ill
Первая из них дает скорость вращения касательного вектора к
при движении точки по кривой, вторая — то же самое для глав-
главной нормали jw. Третья формула
¦3T--V, E0.3)
к выводу которой мы сейчас переходим, дает скорость вращения
бинормали при перемещении точки Р по кривой. Если мы при-
применим операцию внутреннего дифференцирования к уравнению
D9.12):
то получим
гак как ковариантные производные от Bijk равны нулю1). Опу-
Опуская индексы в E0.1) и E0.2), получаем -~ = K\it и -— =-
= TV( — kXi, вводя эти значения в E0.4), находим
^- = в"
поскольку EijhXiXj = e^'ft(iip,j = 0, так как e^ft кососимметричны,
а цл = e^ftA,fVj. Таким образом, установлена справедливость
третьей формулы Френе.
Формулы E0.1) — E0.3), будучи представленными в развер-
развернутом виде в символах Кристоффеля, принимают вид
Если система уравнений E0.5) и не устанавливает положе-
положения кривой С в пространстве, то она все же определяет эту кри-
кривую однозначно при условии задания непрерывных функций
x(s) и t(s) на кривой С.
Мы закончим этот параграф примером, иллюстрирующим
применение формул Френе. Рассмотрим кривую, определенную в
цилиндрических координатах уравнениями
Поскольку е'-'* в декартовой системе являются константами, то
0, причем это уравнение тензорное.

§ 50] ФОРМУЛЫ СЕРРЕ—ФРЕНЕ 151
Эта кривая — окружность радиуса а. Квадрат элемента дуги
в цилиндрических координатах определяется уравнением
ds2 = (dx1J + (х1J {dx2f + {dx3J,
так что ?п = 1. feH*1J, ?зз=1, ёц = 0, если i Ф\, и легко
установить, что не обращающиеся в нуль символы Кристоф-
феля сводятся к следующим:
122] Х ' \ 12] 121 J х1 -
Компоненты вектора X, касательного к окружности С, имеют вид
к' = dxi/ds, так что к1 = 0, к2 = dQ/ds, к3 = 0. Так как к — еди-
единичный вектор, то gijh'V = 1 во всех точках С, для чего тре-
требуется, чтобы
(х1J -т- =а2 -г- = 1.
v ' \ ds) \ds !
Следовательно, (dQ/dsJ = I/a2 и первая формула в E0.5) дает
dxk=o.
ds
Так как ц — единичный вектор, gun*^ = 1, то отсюда следует,
что х = \/а, а [л1 = —1, ц2 = 0, \х3 = 0. Полностью аналогичное
вычисление обнаруживает, что т = 0, v1 = 0, v2 = 0, v3 = 1.
Задачи
1. Найти кривизну и кручение в точке круговой винтовой линии С, урав-
уравнения которой в цилиндрических координатах имеют вид
С: х1 = а, х2 = 9, х3 = kQ.
Показать, что касательный вектор Л в каждой точке С образует постоянный
угол с направлением оси X3. Исследовать также кривую С, представленную
уравнениями в прямоугольных декартовых координатах у1 = a cos 0, уг =
= a sin 9, у3 = kQ.
2. Показать, что
dx
..
6s2 ~ ds v v~ r " ' r ds
6v* . . ,¦ ;. dX 1
3. Учтя решение задачи 1, показать, что отношение кривизны х к круче-
кручению т остается постоянной величиной. Показать на основании формул Френе,

152
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
что если т/к = const, то в декартовых координатах v* = cX1 -f &', где с и Ь* —
константы. Этот результат приводит к заключению, что Х'Ь> — константа и
что кривая, следовательно, образует постоянный угол с линиями направле-
направлений Ь'. Иными словами, кривая оказывается цилиндрической винтовой ли-
линией. Эту теорему доказал Ж. Бертран.
4. Если кривая С описана уравнением
С: У1 - У1 {s),
где у'—ортогональные декартовы координаты, a s — параметр дуги, пока-
показать, что
хк' =
(У1)' (У2)' (У3)'
(</')" {у2)" (уг)"
[У1)'" (У2)'" (У3)'"
5. Переписать уравнения задачи 2 в декартовых координатах </' и пока-
показать, что при г = 0ик = const на кривой С уравнения этой кривой С при-
принимают вид
у1 = A1 cos xs + В1 sin xs + С,
где А'А' = В'В* = Цх2, А'В' =0. Таким образом, кривая С является окруж-
окружностью.
6. Пусть кривая С представляет собой цилиндрическую винтовую линию,
описываемую уравнениями
У] = ф (о),
С: у2 = ф (а),
у% = ka, k = const,
где о" — параметр дуги директрисы кривой С в плоскости У'У2, так что
(rfJ= (rf(/'J+ (dy2J- Учтя, что (dsJ= (I +k2)(doJ, показать, что
ф
ф"
ф"'
ф'ф"
гр
¦"
V
х*
-гр'д
0
0
1
A + fc2K
Установить, что т/х =
§ 51. Уравнения прямой линии
Пусть дано векторное поле А\ определенное на кривой С
в Es при параметрическом задании С:
С: xl = xl{s), s^s^sz (г = 1, 2, 3),
где s — параметр. Если векторное поле Ai параллельно, то из
выкладок § 48 следует, что bA^bs = 0, или
dAl ,fi ),« dx* _Л E1 ^

§ 52] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ 153
Воспользуемся уравнением E1.1) для того, чтобы получить
уравнения прямой линии в общих криволинейных координатах.
Характеристическое свойство прямых линий заключается в том,
что вектор к, касательный к прямой линии, направлен по пря-
прямой линии так, что вся совокупность касательных векторов X
образует параллельное векторное поле. Поле касательных век-
векторов № = dx{/ds должно, таким образом, удовлетворять урав-
уравнению E1.1). Поэтому
6V_ d2xl ,( i \ dx°_ rfxp _ „
6s ds2 "*" ( сф / ds ds U-
Искомое уравнение принимает вид
d-x
ds2 ' |ap J ds ds "• \"L-">
В декартовых координатах символы Кристоффеля обращаются
в нуль, и мы приходим к знакомой форме дифференциальных
уравнений прямых линий. От геометрической интерпретации
кривизны х, как меры скорости вращения касательной к кривой,
мы пришли к выводу, указывающему, что кривизна прямой ли-
линии равна нулю. Это определение совпадает с первой из формул
Френе E0.1).
§ 52. Криволинейные координаты на поверхности
В остающейся части этой главы мы займемся изучением
свойств поверхностей, расположенных в трехмерном евклидовом
пространстве. Мы покажем, что некоторые из этих свойств мо-
могут быть исследованы независимо от пространства, заключаю-
заключающего в себе эту изучаемую поверхность, и что эти свойства свя-
связаны со структурой дифференциальной квадратичной формы
для элемента дуги кривой, проведенной на поверхности. Все та-
такого рода свойства поверхностей называются внутренними свой-
свойствами, а геометрия, основанная на изучении дифференциаль-
дифференциальной квадратичной формы, называется внутренней геометрией
поверхности.
Мы находим удобным относить пространство с расположен-
расположенной в нем поверхностью к системе ортогональных декартовых
осей Y и рассматривать геометрическое место точек, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению
F{y\ У2, У3) = 0, E2.1)
как аналитическое определение поверхности 5. Мы предпола-
предполагаем, что только две из переменных у1 в E2.1) являются неза-
независимыми и что указание, например, у1 и у2 в какой-либо обла-
области плоскости YlY2 определяет однозначно вещественное число

154 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
у3, так что левая часть уравнения E2.1) обращается в нуль.
Если предположить, что F(yl, у2, у3), рассматриваемая как
функция трех независимых переменных, принадлежит классу О
в некоторой области R в окрестности точки P0(yl0, y\, yl), при-
причем dF/dy3 \р^ Ф О и F (у\, у\, #д) = 0,то основная теорема о неяв-
неявных функциях гарантирует существование единственного реше-
решения у3 = f(y\ у2) такого, что yl = f(y10, у§-
Определение поверхности единственным уравнением E2.1)
несколько более кропотливо в сравнении с методом Гаусса,
предложившим определять поверхность как геометрическое ме-
место точек, удовлетворяющих трем уравнениям типа
у' = у1(и\ и\ E2.2)
где и\ ^ и1 ^ и\ и и2 ^ и2 ^ м|, а у1 — вещественные функции
класса О в области определения независимых параметров «',
и2. Для того чтобы совместить эти два различных определения
от функций yi(ul, и2) следует потребовать, чтобы матрица-яко-
матрица-якобиан
ду' ду2 дуг -
ди1 ди[ ди1
ду' ду2 ду3
ди2 ди* диг _
E2.3)
была второго ранга, так чтобы не все составленные из этой мат-
матрицы детерминанты второго порядка обращались тождественно
в нуль в области определения параметров и\ Это требование
гарантирует возможность решения двух уравнений в E2.2) для
и1 и и2, выраженных в парах переменных ух. Подстановка же
этих решений в остающееся третье уравнение приводит к урав-
уравнению типа У3:=У3(У\ У2)- Следует заметить, что если два ка-
каких-либо детерминанта, образованных из матрицы E2.3), обра-
обращаются в нуль, то при этом обращается в нуль также и третий,
если только поверхность 5 не является плоскостью, параллель-
параллельной одной из координатных плоскостей.
Так как и1 и и2 — независимые переменные, то геометриче-
геометрическое место, определяемое уравнениями E2.2) —двумерно, при-
причем эти уравнения дают координаты у1 точки на поверхности,
в то время как и1 и и2 принимают конкретные частные значения.
С такой точки зрения поверхность приходится рассматривать
как двумерное многообразие 5, помещенное в трехмерное об-
обволакивающее пространство Е3. Мы, таким образом, можем ис-
исследовать поверхности, не относя их к окружающему простран-
пространству, и рассматривать параметры и1 и и2 как координаты точек
на поверхности. Знакомым примером такой практики является

§52]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ
155
применение широты и долготы как координат пунктов, распо-
расположенных на поверхности земного шара.
Если мы придадим координате и1 в E2.2) определенное фик-
фиксированное значение и1 = с (рис. 22), то получим геометриче-
геометрическое место точек, образующих одномерное многообразие
у'(с,и2)
(.= 1,2,3),
которое является кривой, лежащей на поверхности 5, опреде-
определенной уравнениями E2.2). Мы будем называть эту кривую
и2-кривой. Аналогично, положив и2 = const в E2.2), мы опреде-
определяем «^кривую, вдоль которой изменяется лишь и1. Придавая
и1 и и2 последовательность фиксированных значений, получаем
сетку кривых на поверхности, назы-
называемых координатными кривыми.
Пересечение пары координатных
кривых при фиксированных значе-
значениях «' = ы', и2 = ц2 определяет
точку Ро- Переменные и1, и2, опре-
определяющие точку Р на 5, называют-
называются криволинейными или гауссовы-
гауссовыми координатами на поверхности.
Параметрическое представление
поверхности уравнениями E2.2) не
является, очевидно, единственно
возможным: существует бесконеч-
бесконечно много криволинейных координатных систем, которыми мож-
можно пользоваться для определения точек на заданной поверх-
поверхности 5. Так, например, если ввести преобразование
Рис. 22.
и1-и1 (б1, п2),
и2 = и2(п\ п2),
E2.4)
где иа(и\ п2) принадлежат классу С1 и не обращают якобиан
/ = ,:_,' _2: в нуль в какой-либо области переменных п\ то
О \U , U J
значения E2.4) можно ввести в E2.2) и получить иную систему
параметрических уравнений
0'«№, б2) (« = 1, 2, 3),
E2.5)
определяющих ту же поверхность 5. Уравнения E2.4) можно
рассматривать как уравнения преобразования координат на по-
поверхности точно так же, как мы рассматривали уравнения хг =
— хг(х1, х2, хг ) (i = 1,2,3,) как определяющие преобразование
координат в Е$.

156 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
§ 53. Внутренняя геометрия.
Первая фундаментальная квадратичная форма.
Метрический тензор
В предыдущем параграфе мы отметили, что свойства
поверхностей, которые могут быть описаны без обращения
к пространству, в котором помещается эта поверхность, назы-
называются внутренними свойствами. Изучение внутренних свойств
поставлено там в зависимость от определенной квадратичной
дифференциальной формы, описывающей метрические свой-
свойства поверхности. Перейдем к выводу этой квадратичной
формы.
Примем прежде всего некоторые соглашения о значениях
индексов, которыми мы будем пользоваться в настоящем и в
последующих параграфах этой главы. Нам предстоит иметь
дело с двумя различными совокупностями переменных: 1) с теми,
которые имеют отношение к пространству Е3, в которое поме-
помещена изучаемая нами поверхность (таких переменных имеется
три) и 2) с двумя криволинейными координатами и' и и2, отно-
относящимися к двумерному многообразию 5. Для того чтобы не
путать эти совокупности переменных, мы будем пользоваться
латинскими индексами для переменных, относящихся к про-
пространству, и греческими — для переменных, относящихся к по-
поверхности. Латинские индексы будут поэтому принимать зна-
значения 1, 2, 3, греческие 1, 2. Преобразование Т координат про-
пространства из одной системы X в другую систему Ж мы будем
записывать выражением
Т: хг = х1{х\ х2, х\
преобразование же гауссовых координат поверхности, описан-
описанных уравнениями E2.4), выразится формулой
иа = иа{п1, й2).
Повторение греческого индекса в каком-либо члене обозначает
суммирование от 1 до 2. Повторение латинского индекса обо-
обозначает суммирование в интервале 1—3. Если не оговорено об-
обратное, мы будем предполагать, что в дальнейшем изложении
этой главы все участвующие в наших выкладках функции вхо-
входят в класс С2 в области их определения
Рассмотрим поверхность S, определенную уравнением
y'=t/(u\u2), E3.1)
где у' — ортогональные декартовы координаты пространства Е3,
в котором расположена поверхность S, и на этой поверхности
кривую С, заданную уравнениями
и«« ««(*), ^<*<*2, E3.2)

§ 53] ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ 157
где иа — гауссовы координаты поверхности 5. Рассматриваемая
из окружающего пространства кривая, определенная уравне-
уравнением E3.2), представляет собой кривую в трехмерном евклидо-
евклидовом пространстве, а элемент ее дуги дан формулой
ds2 = dyidyi. E3.3)
Из E3.1) выводим
dyl = —— dua, E3.4)
где, как это ясно из E3.2),
dua ..
Подставляя E3.4) в E3.3), получаем
ds2 = ^4" -% № dtfi = аод dua
ди диР р
где
л — ду ду г^о к\
Выражение для ds2, а именно
ds2 = a4duaduP, E3.6)
представляет собой квадрат линейного элемента кривой С, ле-
лежащей на поверхности S, и правая часть формулы E3.6) назы-
называется первой фундаментальной квадратичной формой поверх-
поверхности. Длина дуги кривой, определяемой из E3.2), выражается
формулой
/aafiua0 dt,
где йа'== du^fdt. Поскольку в нетривиальном случае ds2 > 0, то,
положив сначала и2 — const, а затем и1 = const, мы найдем не-
непосредственно из E3.6), что ds2l) = au{du1J и ds22) = a22(duiJ.Ha
этом основании заключаем, что аи и я22— положительные функ-
функции от м1 и и2.
Рассмотрим преобразование координат поверхности
иа = иа{п\п2) E3.7)
с не обращающимся в нуль якобином /— -„
дыР
следует, что
диа
Из E3.7)
ди
и*

158 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. HI
а E3.6) дает
Если положить
я „ ди<1
то мы увидим, что совокупность величин аар представляет со-
собой симметричный ковариантный тензор второго ранга относи-
относительно допустимых преобразований E3.7) координат поверхно-
поверхности. То обстоятельство, что аар являются компонентами тензора,
явствует также из E3.6), так как ds2 — инвариант, а величины
аар симметричны. Тензор аа$ называется ковариантным метри-
метрическим тензором поверхности.
Поскольку форма E3.6) является положительно определен-
определенной, то детерминант
аи а12
а =
и мы можем определить обратный тензор аа& (см. § 30) форму-
формулой а'рару = б™. В результате получаем
11 ^22 10 91 ~"™ ^12 99 ^11
ап = -г-, а12 = а21 = —-&¦, a22 = -4L.
Контравариантный тензор ааР называется контравариантным
метрическим тензором.
Мы можем повторить почти дословно содержание § 44, отно-
относящееся к метрическим свойствам нашего двумерного простран-
пространства S. Так, например, направление линейного элемента на по-
поверхности может быть указано либо направляющими косину-
косинусами dy{/ds (i = 1,2,3), либо направляющими параметрами
Ла = -^7-. E3.8)
Так, например,
dy{ _ ду' dua
ds диа ds
и dualds определяются однозначно, если указаны направляющие
косинусы dyijds, и наоборот

§ 5J] УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ КРИВЫМИ |5Э
Мы определяем длину вектора поверхности А™, т. е. вектора,
определенного через Л1 (и1, и2) иА2(и\и2) формулой1)
Из E3.6) следует, что
А = Va4AaA*.
ds ds
так что параметры направлений Ха являются компонентами еди-
единичного вектора.
Ковариантный вектор
l^aajila E3.9)
называется иногда моментом направления. Из E3.9) ясно, что
и что
Я Ка = aapA- A, .
§ 54. Угол между двумя пересекающимися кривыми
на поверхности. Элемент площади поверхности
Уравнения кривой С, лежащей на поверхности S, могут быть
написаны в таком виде:
С: ua = ua(t),
И так как при этом предполагается, что ua(t) принадлежит
классу С2, то кривая С должна иметь непрерывно вращающуюся
касательную. Пусть С( и С2 — две такие кривые, пересекающие-
пересекающиеся в точке Р кривой 5 (рис. 23). Воспользуемся уравнениями
кривой 5, отнесенными к прямоугольным декартовым осям Y,
имеющими вид
У1 = У1(и\и*), E4.1)
и обозначим косинусы направлений касательных линий к Ct и
Сг в Р соответственно через ?г и г\\ Косинус угла 8 между Ci и
С2, вычисляемый геометрически в объемлющем пространстве Е3,
равен
cos 6 = |V. E4.2)
') Компоненты Д' вектора Аа, рассматриваемые с точки зрения системы
отсчета объемлющего пространства Е3, задаются выражениями А1 = —— ла,
диа
и отсюда ясно, что

160
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
С другой стороны.
ri _ ду1 dxua dtyl
дип rfs, ~ dSl
Ц =
us-.
где индексы 1 и 2 относятся к элементам кривых С] и соот-
соответственно С2. Пользуясь определением E3.8), мы сможем
Рис. 23.
записать единичные векторы по направлениям касательных к
и Сг выражениями
,а dxua а d2ua
E4.3)
yt _ ду1 , а i _ ду1 р
диа ' диг
Вводя в E4.2) выражения из E4.3), получаем
cose = ^i-g-r/,
а поскольку
_ ду' ду'
предыдущее выражение можно записать более компактно:
cos 9 = aapAV- E4.4)
Если кривые С1 и С2 ортогональны, то
aapA,V = 0. E4.5)
В частности, если поверхностные векторы ка и ц расположены
по координатным кривым (к1 = l/V"n > A,2 = 0, (xl = 0, \х2= 1/ 1/а22)>

,84}
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ КРИВЫМИ
161
то из E4.5) следует, что координатные кривые образуют орто-
ортогональную сетку в том и лишь в том случае, если а[2 = О в каж^
дой точке поверхности.
Мы можем дать наглядное истолкование этих результатов
по способу, приведенному в § 45. Так, например, если г обозна*
чает радиус-вектор какой-либо точки Р на поверхности 5,
a bi — единичные векторы, направленные по ортогональным
Рис. 24.
координатным осям Y, то уравнения E3.1) поверхности S могут
быть записаны в векторной форме (рис. 24) как
и1, и1) — Ьгг/'(ы', и1).
Из такого представления S следует, что
ds2 =
где
диа «Э«р
дг dt
dua difl = aaR dua du?>,
p
а„
диа
E4.6)
Положив дг1диа = аа, где at и а2, — очевидно, касательные век-
векторы к координатным кривым, мы увидим, что
В обозначениях E4.3) пространственные компоненты векторов а\
и <*2 записываются через |* и соответственно через r\i.
Мы можем определить элемент площади do поверхности S
формулой
da = | с, X <*21 dux du2,
Q И. С. Сокольников

162 ГЕОМЕТРИЙ (ГЛ. Ill
из которой легко заметить, что ее правую часть можно преобра-
преобразовать в
da = Уапа22- a\dul du2 = }/Tdu1 du2. E4.7)
Эта формула имеет в точности ту же самую структуру, что и
выражение D4.11) для элемента объема.
Из § 40 следует, что кососимметричные е-системы в двумер-
двумерном многообразии могут быть определены формулами
*u = Зй = е11 = е22 = 0, е12 = - е2Х = еа = - е21 = 1,
и так как эти системы являются относительными тензорами
(см. § 41), то выражения
должны быть признаны абсолютными тензорами. Пользуясь е-
символами, мы можем представить синус угла 0 между двумя
единичными векторами Яа, |д,а выражением
еарАац.р = sin 0,
количественно равным площади параллелограмма, построенного
на единичных векторах Ха и |д,а. Полученный результат можно
сформулировать следующим образом: необходимым и достаточ-
достаточным условием ортогональности двух поверхностных единичных
векторов № и |га является |еар?1а(гр| = 1.
Задачи
1. Показать, что косинус угла 9 между координатными кривыми и1 и «г
на S равен cos9 = a12/y апа22 •
2. Найти элемент площади иа поверхности сферы радиуса г, если урав-
уравнения поверхности заданы выражениями
yi = г sin «' cos и2, у2 = г sin u1 sin и2, у1 = г cos u1,
где у* — ортогональные декартовы координаты. (Обратить внимание на то,
что в данном случае an = г2, а12 = 0, а22 = г2 sin2 u1.)
§ 55. Основные понятия вариационного исчисления
Наиболее общеизвестной задачей внутренней геометрии по-
поверхностей является определение кривых наименьшей длины,
соединяющих две заданные точки поверхности. Это задача гео-
геодезических линий. Она столь глубоко связана с формулировкой
фундаментальных принципов оптики, динамики и механики де*
формируемых сред, что ее желательно было бы рассмотреть
в более широком плане, чем если бы ее значение исчерпывалось
лишь геометрией поверхностей, вложенных в Еъ. С этой целью

§ 55] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 163
мы привлекаем сюда некоторые понятия вариационного исчис-
исчисления. Поскольку нам придется заняться изучением экстремаль-
экстремальных свойств интегралов, напомним важнейшие сведения, отно-
относящиеся к максимумам и минимумам функций от нескольких
независимых переменных.
Пусть f(xl, х2, ..., хп) — непрерывная функция п независи-
независимых переменных х\ определенных в ограниченной замкнутой
области R. Наша цель — найти такую точку Р(х) области R,
в которой / достигает экстремального значения в сравнении со
значениями f в ближайшей окрестности точки Р(х). Нет сомне-
сомнения в том, что такое максимальное или минимальное значение
функции f существует, поскольку известно, что любая функция,
непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает своих
максимального и минимального значений либо внутри, либо на
границе области1).
Кроме того, если
/(*', .... Л
— дифференцируемая функция, то во внутренних точках обла-
области, где функция достигает своих экстремальных значений
df/dx{ = 0 (i = 1, 2, ..., п). Обращение в нуль производных от
f(xl, х2, ..., хп), очевидно, не является достаточным условием
для экстремума. Назовем точки области R, в которых bfjdx1 об-
обращается одновременно в нуль, стационарными точками функ-
функции f(xl, ..., хп). Определение стационарных точек функций рас-
рассматривается в курсе математического анализа, и мы полагаем,
что наш читатель с этим вопросом близко знаком.
Вариационное исчисление точно так же имеет дело с опреде-
определением экстремальных или стационарных значений некоторых
выражений, но здесь имеется существенное различие, заключаю-
заключающееся в том, что в вариационном исчислении мы имеем дело
с экстремумами функционалов, а не функций от конечного чи-
числа переменных. Под функционалом мы понимаем функцию, за-
зависящую от изменений одной или нескольких функций, играю-
играющих роль аргументов, т. е. независимых переменных. В качестве
примера функционала рассмотрим формулу
Л]
= J
dx,
которой определяется длина плоской кривой у==у(х), соеди-
соединяющей точки с абсциссами х0 и хи Здесь значение s зависит от
поведения аргумента у(х) функционала, причем класс функций
у(х), от которых зависит функционал s, остается в известной
') Это теорема Вейерштрасса.
6*

164 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
мере произвольным. Так, например, можно представить себе за-
задачу определения экстремумов s и в том случае, когда у(х) —
произвольная непрерывная функция с кусочно-непрерывной пер-
первой производной.
При изучении экстремальных значений непрерывных функ-
функций f(x\ ..., ха) от конечного числа независимых переменных
хг мы должны указать область R, в которой определена функция
f, в то время как при изучении экстремальных значений функци-
функционалов мы обязаны указать класс допускаемых функциональ-
функциональных аргументов. Например, мы можем потребовать, чтобы
аргументы функционала обладали теми или иными свойствами
непрерывности, или вели себя тем или иным предписанным об-
образом в конечных точках интервала и т. п. Мы будем иметь
дело с относительными экстремумами функционалов, т. е. экс-
экстремумами относительно некоторой «окрестности» аргументов
функционала, для которой функционал принимает экстремаль-
экстремальное значение, точно так же, как если бы мы имели дело с от-
относительными максимумами и минимумами функций. Для того
чтобы ввести точность в понятие окрестности функции, мы фор-
формулируем
Определение. Функция gix1, x2, ..., хп) принадлежит h-
окрестности функции f (х1 хп), если выполняются условия:
If — ё\ < h, h>0, для всех значений независимых переменных
х1, х2, ..., хп внутри R.
С помощью этого определения мы сможем сформулировать
основную задачу вариационногс исчисления следующим обра-
образом: найти в классе допускаемых функциональных аргументов
такие функции f, которые для рассматриваемого функционала
дают значения, экстремальные по сравнению с функциями, при-
принадлежащими некоторой h-окрестности функции f.
Здесь уместно обратить внимание на трудности, присущие
этой задаче. Мы уже заметили, что в теории максимумов и ми-
минимумов непрерывных функций нескольких независимых пере-
переменных существование экстремальных значений гарантируется
теоремой Вейерштрасса. В задаче же вариационного исчисления
может случиться, что, будучи сформулированной, пусть даже и
без всяких внутренних противоречий, она окажется неразреши-
неразрешимой в силу ограничений, налагаемых на класс допускаемых ар-
аргументов функционала. Положим, например, нам требуется со-
соединить две заданные на оси X точки кратчайшей кривой непре-
непрерывной кривизны так, чтобы кривая была ортогональна к оси X
в конечных точках. Эта задача неразрешима, так как длина
каждой допускаемой кривой всегда больше, чем длина прямо-
прямолинейного отрезка, соединяющего заданные точки. Мы всегда
можем найти кривую допускаемого типа, длина которой отли-
отличается от длины прямой линии сколь угодно мало, так что все-

§ 5GJ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ 165
гда существует низшая граница функционала, но эта низшая
граница — не тот минимум, который должен быть достигнут кри-
кривой, принадлежащей к классу рассматриваемых. Из приведен-
приведенного примера явствует, что любая вариационная задача ставит
нас перед вопросом о возможности существования решения
этой задачи.
Чтобы вывести дифференциальные уравнения, из которых
мы могли бы извлечь систему необходимых условий для экстре-
экстремума функционала, нам потребуется следующая
Фундаментальная лемма вариационного ис-
исчисления. Если интеграл J g (t) M (t) dt, где M(t)— непрерыв-
t,
пая функция t в интервале ti^t^tz, обращается в нуль при лю-
любом выборе функции l(t) класса Сп в интервале /i</^ t2, ко-
которая удовлетворяет условию 1A1) = ?(/2)= 0, то в таком слу-
случае M(t) тождественно обращается в нуль в интервале t\^t^t2.
Докажем лемму, допустив, что M(t) Ф 0, и придя к проти-
противоречию. Допустим, что M(t) ФО в некоторой точке V интервала
t\<.t<Ch и что М(Г)>0. Так как M(t) непрерывна, существует
число б > 0 такое, что М (/) > 0 в интервале (/' — б, С + б). Опре-
Определим функцию ?(/) следующим образом:
%(t) =0 в интервале А 411 -^ ti, где xi = f — б,
|(^) = 0 в интервале тг ^ ^ h, где т2 =? V + б,
1A) = (t — xiJn+2(t — т2J"+2 в интервале xi<t<x2.
Функция l(t) принадлежит, конечно, классу Сп в (t\,U) и l(t\)
= |(/2) = 0. Для этой функции, однако,
поскольку подынтегральное выражение всегда положительно
в Ti < t < гг. Таким образом, мы приходим к противоречию, и
потому наше допущение того, что M(t) Ф0, должно быть от-
отвергнуто.
§ 56. Уравнение Эйлера в простейшем случае
Простейшая задача вариационного исчисления заключается
в определении экстремальных значений функционала
j(x)=JF(t,x,x)dt,

f66 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ш
где F(t, x, x)—заданная вещественная функция вещественных
аргументов t, х и х = dx/dt. Положим, что эта функция
F(t,x,x) принадлежит классу С2 в некоторой области R пло-
плоскости (х, t) для всех значений я1). Что касается класса допу-
допускаемых функций (x,t), то мы полагаем, что значения x(ti) и
x{U) заданы заранее и что x(t) также принадлежит классу С2
в интервале t\ ^ t ^ fa.
Наша задача найти функцию
называемую экстремалью для интеграла E6.1), такую, чтобы
J(x) для x = f(t) приняла экстремальное значение в сравнении
с теми, которые даются функции / допускаемыми функциями в
достаточно малой /г-окрестности функции х = /(/). Иными сло-
словами, допускаемые функции x(t) таковы, что \x(t) — f(t)\<h
для ti-^.t*Ct2- Выведем теперь необходимое условие экстре-
экстремума /. Рассмотрим функцию l(t) класса С2, удовлетворяющую
условию g(/i) = i(t2) = 0, и образуем ряд функций
x{t) = x @ + e\{t) = x + fix,
где е — произвольный численный параметр, близкий к нулю.
Функции x(t) принимают, очевидно, те же значения в конечных
точках интервала (tu h), что и x(t). Назовем x(t) варьируе-
варьируемыми функциями, а величину гЁ,{() = бх—вариацией функции
x = f(t). Для достаточно малых значений е все варьируемые
функции x{t) войдут в /г-окрестность экстремали x = f(t). Сле-
Следовательно, интеграл E6.1)
рассматриваемый как функция е, примет экстремальное значе-
значение при е = 0. Необходимым для этого условием должно быть
Ф'@) =0.
В силу ограничений, наложенных на рассматриваемые функ-
функции, интеграл
O(eHj F(t,x + el,
t,
может быть дифференцирован под знаком интеграла, и мы по-
получим в таком случае в качестве необходимого условия экстре-
экстремума уравнение
и
ф' @) = J (pxl + Fi) dt = 0, E6.2)
____________ и
г) Предписанные ^граничения более строги, чем это необходимо, но мы
имеем здесь в еиду некоторые геометрические задачи, для которых непре-
непрерывность вторых производных!— желательное сройстэо.

§ 56] УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ 167
которое должно удовлетворяться для каждого |G) в соответ-
соответствии с условиями, заложенными в определении t(t). Интегри-
Интегрируя E6.2) по частям, получаем
и
J
Fx\(/)dt + Ftl(t) II* -jl(t)^dt = O, E6.3)
а поскольку l(ti) = |(*2) = 0, предыдущее уравнение упро-
упрощается в
t = 0. E6.4)
Так как b,(t) удовлетворяет ограничениям, наложенным на %(t)
леммой § 55, мы вправе вывести из E6.4) необходимое условие
для экстремума E6.1), требующее, чтобы x(t) удовлетворяло
дифференциальному уравнению
Представляя его в развернутом виде, получаем
^ ^ Fx^, E6.6)
где индексы обозначают производные от F(t, x, х), причем t, x
и х рассматриваются как независимые переменные. Для того
чтобы определить x(t), мы должны решить это обыкновенное
дифференциальное уравнение, подчинив его краевым условиям:
x(t{) = Х\ и x(t2) = x2. Уравнения E6.5) и E6.6) были выведены
впервые Эйлером и называются уравнениями Эйлера.
Выражение [см. уравнение E6.2)]
родственное дифференциалу функции Ф(е), будучи вычислен-
вычисленным для е = 0, называется первой вариацией интеграла J, и
обозначается символом б/. Таким образом,
б/ = еФ' @).
Используя левую часть уравнения E6.3) и определение 5/, мы
можем написать
и
и
;;;;+J [F* - wF*Nx dt>

]&S ГЕОМЕТРИЯ |ГЛ/П1
где 8x^=e?,(t). Поскольку правая часть уравнения E6.7) об-
обращается в нуль, как только x(t) принимает экстремальное зна-
значение, мы приходим к следующей теореме.
Теорема. Необходимым условием экстремума для функ-
функционала J(x) является обращение в нуль его первой вариации.
§ 57. Уравнения Эйлера для функционала
от нескольких аргументов
Рассмотрим теперь случай функционала /, зависящего от не-
нескольких функциональных аргументов x'(i = ], 2, ..., п), где1)
(t, x\x\ ..., х",х\х\ ..., xn)dt. E7.1)
Следуя условиям § 56, мы полагаем, что F — вещественная
функция класса С2 в Bга + I)-мерном пространстве веществен-
вещественных переменных I, х1, ..., xns х1, .... хп.
Допустим, что существует совокупность функций
*' = /'(*), h^t^t2 (t=l, 2, .... п), E7.2)
значения которых в конечных точках интервала известны и та-
таковы, что E7.1) принимает экстремальное значение в сравнении
со значениями, сообщаемыми функционалу / классом допускае-
допускаемых функций, принадлежащих /г-окрестности E7.2). Вводим п
произвольных функций Е; = Е'(О. t1^-t*Ct2, класса С2, обра-
шающихся в нуль для / = t\ и t — tiy и строим семейство допу-
допускаемых функций
t = х* (t) + е|* (t), E7.3)
где параметр е подобран таким образом, чтобы различные ва-
варианты E7.3) расположились в /z-окрестности кривой E7.2).
Как и в § 56, образуем функцию
и
Ф (е) = { F (t, х1 + el1 хп + ef, xl + е|\ ..., kn + e|n) dt, E7.4)
<i
имеющую, согласно гипотезе, экстремум при е = 0; поэтому
дФ
дг
е-0
= 0. E7.5)
') Для того чтобы гарантировать независимость интеграла E7.1) от осо-
особых форм параметризации, мы постулируем, что F(t,. x, х) положительно од-
однородна первой степени относительно х1 (см. § 43).

5:57. ФУНКЦИОНАЛ ОТ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ 169
Отсюда следует, что
и
б/ = е j \{Fx$ + /•'.,!•) + ... + (Fxnt + F,nin)]dt = 0, E7.6)
и интегрирование по частям дает
Поскольку h.' произвольны и обращаются в нуль в конечных
точках интервала, заключаем из фундаментальной леммы, что
Fx'-jfFi^0 (/=1. 2, .... я), E7.7)
или
Эта система п обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка называется уравнениями Эйлера для вариацион-
вариационной задачи, связанной с функционалом E7.1). Для того чтобы
получить группу функций E7.2), мы должны определить реше-
решение системы E7.7), удовлетворяющее краевым условиям
*i = /'('i)' ^/'('s) (i=\, 2, ..., п). E7.8)
Исследуемая в этом параграфе задача представляется со-
совершенно аналогичной более простой задаче, рассмотренной
в § 56, но между ними существует и различие, заключающееся
в том, что обращение в нуль первой вариации функционала
в E7.1) является необходимым условием не только для экстре-
экстремума, но также и для совместного максимума и минимума, так
называемого минимакса. Интеграл J(x], ..., хп) может достиг-
достигнуть максимума, когда варьируется функция лг'(/), и минимума
в процессе вариации функции xz(t). «Точка седла» в гипербо-
гиперболическом параболоиде, встречающаяся в элементарной теории
максимумов и минимумов, может служить простой иллюстра
цией к такому положению. Мы будем называть решения урав-
уравнений Эйлера E7.7), удовлетворяющие конечным условиям
E7.8), экстремалями функционала I. Этим термином мы будем
пользоваться независимо от характера стационарного значения,
принимаемого функционалом /, является ли оно максимумом,
минимумом или ни тем, ни другим.
В нашем выводе уравнений Эйлера E7.7) мы приняли, что
переменные х' независимы. Если независимость х' ограничи-
ограничивается изложенной на них совокупностью k < n функциональных

170 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
соотношений типа
<P](t,x\ х\ .... *») = 0 (/=1, 2 k),
то группу соответствующих уравнений Эйлера можно будет вы-
вывести из рассмотрения свободного экстремума для некоторого
нового функционала, введенного Лагранжем.
Для того чтобы осветить существенные различия в задачах
независимого и условною экстремумов, рассмотрим функционал
x , x , x ) at, (о/.У)
t,
в котором переменные связаны соотношением
Ф (/, х\ х2) = 0. E7.10)
Предполагаем, что экстремаль
xi _ xi (f\ t, <11 <11« (f = 1 91
удовлетворяет краевому условию типа E7.8). Если ограничи-
ограничивающее условие E7.10) сформулировано в виде
у(х, у, 2) = 0, E7.11)
т. е. путем подстановок х = /, у = xl, z — хг, то уравнение E7.11)
может быть интерпретировано как уравнение поверхности, от-
отнесенной к системе декартовых координат xyz. Экстремаль
должна лежать на поверхности, и мы полагаем, что E7.11) мо-
может быть решено близ экстремали и дать дифференцируемую
функцию
z = f{x,y). E7.12)
Подстановка E7.12) в E7.9) приводит к интегралу вида
y,y')dx, E7.13)
в котором переменные х и у независимы, в силу чего мы можем
получить уравнение Эйлера путем минимизации (,57.13) на со-
совокупности допускаемых путей, удовлетворяющих условиям
y(xi) = Уи У(хг) = yz. Это задача свободного экстремума, уже
рассмотренная нами в § 56.
Однако такое приведение задачи ограниченного экстремума
к задаче свободного экстремума функционала E7.13) представ-
представляет обычно затруднения, так как полное решение E7.12) урав-
уравнения E7.11) может оказаться громоздким. В этих условиях
мы располагаем возможностью последовать процедуре, сходной
•с приемом «множителя» Лагранжа, т. е. получения относитель*

1 57J ФУНКЦИОНАЛ ОТ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ К7Г
пых экстремальных значений для функций нескольких перемегг-
яных, связанных соотношениями типа E7.11).
Предположим, что d(p/dz=?O; теоретически при этом воз-
возможно разрешить E7.11), и тогда функционалу E7.9) можно
'будет придать иной вид:
Хг
/ = / Р{х,у, у', /, U + fySTi dx, E7.14)
X,
так как z' = fx + fvy'.
Подынтегральное выражение в E7.14) представляет собой
функцию а:, у и у\ которую мы обозначим
Г (*. У, У') ^ F (х, у, у', f, h + fyy'). E7.15)
Таким образом, уравнение Эйлера для интеграла E7.14) при-
принимает вид
i^._jL4^ = o. E7.16)
ду dx ду v
Обратившись к E7.15), мы видим, что
dtf ~' у
Поэтому E7.16) дает
Fy + Fzfy + /v (fxy + fyyy') -^f-fy^f-Fz' (fxy + fyyy') = 0,
т. e.
'¦ dx
откуда
"-. E7.17)
?
¦поскольку fy, как это предположено, должна быть определена
iHa экстремали.
С другой стороны, дифференцирование E7.11) дает
<fy + 4>Jy = 0.
так что

172 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Выражения для fv, представленные формулами E7.18) и
E7.17) по экстремали, являются одной к той же функцией х;
отсюда
d?y> F dFz'
E7Л9)
где Х(х) обозначает одинаковое для этих дзух дробей значе-
значение *).
Из E7.19) следует, что необходимые условия для экстре-
экстремума интеграла E7.9) формулируются таким образом:
dF. I E7-2°)
-~--[Fz + X(x)cfz]=Q. |
Если вернуться к первоначальному обозначению, положив
х = t, у = х1, z = х2, то мы получим пару уравнений
f -M0-^T = 0 ('"=1,2), E7.21)
дх'
сохраняющих структуру уравнений E7.7) Эйлера для вариа-
вариационной задачи, связанной со свободным экстремумом инте-
интеграла
\[F{t, x,x)-X(t)q>(x)]dt.
t,
Сходные соображения применимы и к задаче минимизации
интеграла E7.1), в котором п переменных х'1 связаны группой
k < n соотношений
Ф/(*, х\ ...,jc») = O (j=\,...,k). E7.22)
Если матрица dcpj/dx1' имеет ранг k, то система дифферен-
дифференциальных уравнений для экстремали примет вид
dG i
-jf—Gj-O, E7.23)
где
i{x) (/=1, ..., k).
Заметим в заключение, что в ограничительные связи E7.22)
не входят производные xi. Такие связи называются голоном-
ными, в отличие от связей вида
ср;(/, х,*) = 0, E7.24)
') Заметим, что если оба делителя ф, = 0 и фг = 0, го уравнение E7.11)
уже не определяет поверхности.

§58] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ДЛИНЫ В ft, 173
называемых неголономными. Неголономные связи возникают
в изучении дпссипативных динамических систем, и мы встре-
встретимся с ними в главе IV. Из вышеизложенного ясно, что урав-
уравнения E7.23), имеющие неголономные связи, должны содер-
содержать в себе ие только множители ki(t), но также и производные
Задачи
1. Исследовать вариационные задачи в E6.1) с применением уравне-
уравнения E6.6) Эйлера. Заметить, что если F(t, х, х) не содержит х явно, то E6.5)
сразу же приводит к первому интегралу в виде Fj, = const. Показать, что в
тех случаях, когда F(t, x, x) не содержит t в явном виде, первый интег-
интеграл E6.6) примет вид F — xF% = const. Указание. Положить F = Т(х,х)\ вы-
вычислить —гт {F ~ xF^ и воспользоваться уравнением E6.6).
2. Учесть указание к задаче 1 и показать, что уравнение Эйлера E6.5)
может быть представлено в пиде
» 3. Уравнение Эйлера E7.16) становится тождеством в тех случаях, когда
&"(х, У, у') — М(х, у) + N(x, у)у' при Му = Nv. При этом E7.13) принимает
вид
J/ = Г М dx + N dy,
причем интеграл становится независимым от пути. Таким образом, любая кри-
кривая, достигая заданной конечной точки, становится экстремалью для E7.13).
§ 58. Геодезические линии в Rn
Теперь мы в состоянии обсудить задачу нахождения кривых
минимальной длины, соединяющих пару заданных на поверхно-
поверхности точек.. Проведем все выкладки для случая п-мерных мно-
многообразий Римана, поскольку полученные результаты будут ин-
интересны не только для геометрии поверхностей, ио также и для
изучения динамических траекторий в главе IV.
Пусть метрические свойства n-мерного многообразия Rn
определяются квадратичной формой
ds"- = gu dxl dx> (/,/=!,..., я), E8.1)
где ga = gj{-—известные функции переменных х1. Предположим,-
что форма E8.1) положительно определенная, а функции ga
входят в класс С2. Длина кривой С, представленной в Rn урав-
уравнениями
С :*'~*'@,

174 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. lit
определяется функционалом
xa^dt (а, р=1, .... л). E8.2)
Экстремали функционала E8.2) мы будем называть геоде-
геодезическими линиями в Rn. Функция F в § 57 в таком случае при-
принимает вид
и для того чтобы сформулировать уравнение Эйлера E7.7), нам
надлежит вычислить Fj и Fkt. Такое вычисление не представ-
представляет затруднений. Из E8.3) выводим
Подстановка этих выражений в уравнения Эйлера дает
8а)Х 1 ^ =0. E8.4)
Так как ds/dt— Vga.?>xtlx^, уравнение E8.4) можно упростить:
= 0
. ds/dt
и, выполнив указанное дифференцирование, получить
Так как второй член в этом уравнении допускает запись в виде
суммы двух членов, мы пользуемся этим приемом:
ds/dt
Вспомнив, что [ар, /] = -1-^-+-^ -^j-J, приходим
к дальнейшему упрощению полученных уравнений:
= Sat *" ^щ~ • E8.5)

§ 58] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ДЛИНЫ В Й„ 175
Они и являются искомыми уравнениями геодезических ли-
линий. Если мы примем в качестве параметра / длину кривой s,
т. е. положим
ds
щ V Sap-* л — •>
система E8.5) примет еще более простой вид:
a + [a.$,j]xax^0. E8.6)
Точки над буквами в этом уравнении обозначают дифференци-
дифференцирование по параметру s.
Если мы умножим уравнение E8.6) на тензор g'i и просум-
просуммируем произведения, то придем к простой форме уравнений
геодезических линий в Rn
Р-° Г (r!'2'-'-;tt)> E8-7)
(а, 0=-1, .... л).
Форма этих уравнений, как замечаем, тождественна с уравне-
уравнениями E1.2), определяющими прямую линию в Е3. Поскольку
E8.7) — обыкновенное дифференциальное уравнение второго по-
порядка, оно имеет единственное решение, если значения x;(s) и
первые производные dx^/ds произвольно выбраны в заданной
точке x'(so).
Если рассматривать заданную поверхность S как двумерное
риманово многообразие R2 с наложенной на него гауссовой ко-
координатной системой иа, то E8.7) примет вид
г-?-° (".B.V-1. 2). E8.8)
Через каждую точку S проходит при этом одна-единственная
геодезическая линия произвольно заданного направления ^.а =
= dua/ds. Нетрудно доказать, что если существует единственное
решение ua(s), проходящее через две заданные точки S, то
кривая ua(s) окажется линией наименьшей длины, соединяю-
соединяющей эти две точки1).
Если многообразие Rn — евклидово, то в нем возможна ко-
координатная система, для которой символы Кристоффеля обра-
обращаются в нуль. Уравнение E8.7) при этом принимает вид
d2x'/ds2 = 0. Общим решением этого уравнения будет х' =
= A*s + В\ Таким образом, геодезическими линиями в Еп яв-
являются прямые линии.
В качестве другого примера рассмотрим задачу определе-
определения геодезических линий на произвольном цилиндре, располо-
расположенном в Е3. Координатную ось У3 направим параллельно
') См. например, Eisenhart L. P., Differentia) geometry, 1940, стр. 175.

176
ГЕОМЕТРИЯ
ГГЛ. Ш
образующим цилиндра, и пусть проекция цилиндра на пло-
плоскость К1 К2 задана уравнениями
с I #' = фМ,
где а — длина дуги кривой С (рис. 25). Так как
элемент дуги ds геодезической линии задается формой
так что аи = а22=1, ai2 = «21 = 0. Таким образом, уравнения
E8.8) приводятся к
= 0 для у = 1
ds2
= 0 для Y = 2.
Отсюда получаем
a = As + B, y3
Если А ф 0, то эти урав-
уравнения примут вид
Рис. 25.
где С] и С2 — произволь-
произвольные постоянные.
Уравнения геодезических линий составят, таким образом, си-
систему
1 () 2 Ц() ъ С
описывающую пространственную кривую, в данном случае вин-
винтовую линию, шаг которой определяется константой Си Кон-
Константа Сг определяет начало для параметра дуги о.
Аналогичным путем можно было бы показать, что геодези-
геодезические линии на поверхности сферы являются дугами больших
кругов (см. задачу 1). Но для того чтобы проиллюстрировать
применение уравнений E7.23), рассмотрим функционал
/= J YiW
(г = 1, 2, 3),
E8.9)

§ 581 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ДЛИНЫ В /<„ 177
представляющий длину дуги кривой С в декартовых координа-
координатах. Если С лежит на сфере радиуса а, то уравнение связи
E7.10) принимает вид
ф == х'х' - а2 = 0, E8.10)
где центр сферы совпадает с началом координат. Введенная
в § 57 функция G = F + l(f преобразуется в
G = УШ ~ Ь W (*'*' - «2)> E8-10
а уравнения E7.23) получают вид
±^ >^0 (/=1,2,3), E8.12)
где ds = Vx7!1 dt.
Исключая l(t) из первых двух уравнений группы E8.12),
находим
или
Откуда
2х1
где С, — постоянная интегрирования.
Подобным же образом исключение K(t) из последних двух
уравнений группы E8.12) дает после интегрирования
, dx[ , dx3 „ /со , ..
где С2 —постоянная.
Из E8.13) и E8.14) находим
Г xidxl-x1 dx3 _с х2 dx1 - х1 dx'
или
Cld(^r) = C2d(^-), E8.15)
а интегрирование уравнения E8.15) дает
-C2x2 + C,x3 = 0. E8.16)
т. е. уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
Уравнение E8.16) вместе с уравнением связи E8.10) показы-
показывают, что решением системы E8.12) является дуга большого
круга.

178 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Задачи
1. Сфера радиуса а определена в прямоугольной декартовой системе ко-
координат У уравнениями
у1 = a cos м1 cos и2, у2 = a cos м1 sin и2, уъ = a sin и1.
В этом случае ds2 = a2 (du1J + a2 (cos u1J (du2J и
¦!
a (
и1 (u2Jdu\
где й2 = du2lduK Показать, что геодезическими линиями будут здесь дуги
больших кругов.
2. Найти геодезические линии на поверхности
у1 = u1 cos и2, у2 = и1 sin и2, У3 = 0,
расположенной в Ез. Координаты у1 — прямоугольные декартовы.
3. Показать, что, приняв Q = оа^ йайг, где йа = dualds, геодезические
линии E8.8) в /?2 можно будет представить уравнениями
d I dQ\ dQ _Q
ds \ ди1 I диу
Решения этих уравнений для и* должны дать — I > uair, как это можно
увидеть нз E8.8). Этим подсказывается использование различных способов
Г Y 1
вычисления символов < } в любой частной координатной системе. Приме-
(аР )
нить этот метод в вычислении символов Кристоффеля для координатной си-
системы в задаче 1 путем определения коэффициентов йай? в решениях для
вторых производных от иУ по s,
§ 59. Геодезические координаты
Мы установили (см. § 39), что если риманово пространство
/?„ является вместе с тем и евклидовым, то в таком простран-
пространстве существует координатная система, для которой компоненты
gij метрического тензора остаются постоянными по всему про-
пространству. Отсюда следует, что в такой координатной системе
dgij/dxh = 0. Обращение в нуль этих частных производных экви-
эквивалентно обращению в нуль всех символов Кристоффеля, по-
' ( dgik dgifc dg{,- \
скольку1) [ij, k] = — (—j-\ j д~*~Г пространство Rn
не евклидово, то символы Кристоффеля не обращаются в нуль
во всех точках Rn. Но при этом остается возможным найти та-
такую координатную систему, и даже бесконечно много таких
систем, в которых они обращаются в нуль в любой заданной
') См. тэкже теорему I § 39.

S 59] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 179
точке Р пространства Rn. Такие координаты называются геоде-
геодезическими, или локально-декартовыми, для данной конкретной
точки.
Рассмотрим некоторую поверхность с сеткой координат иа
и точку Р(и*0, «о) на S. Если Vх — координаты какой-либо иной
сетки иа S, то
ua = ua{v\ v2) (a= 1, 2). E9.1)
Вторая производная от формулы C2.5) дает соотношение
д2иа , Г а | ди& ди1 _ ( v | диа
Но если существует такое преобразование координат E9.1), что
символы Кристоффеля | 7 | обращаются в нуль в точке Р, то
для этой конкретной точки
' ГТ-тт-0. E9.3)
4
dvK
Укажем теперь решение этого уравнения, дающего преобразо-
преобразование E9.1) в координатной системе va, в которой символы
Кристоффеля обращаются в нуль в точке Р. Это—полином
второй степени
иа = и« + va - i- { °ц }р o*oi\ E9.4)
где и" —значение «я в Р, а { . [ —значения символов Кри-
стоффеля в Р. Для того чтобы установить, что E9.4) удовле-
удовлетворяет E9.3), вычислим
dvldvii
E9.6)
Из E9.4) обнаруживаем, что точка Р в новых координатах
определяется уравнением va = 0, в силу чего в точке Р уравне-
уравнение E9.5) дает
ди1
,а
= бц. Вводя значения из этого уравнения
да» .
и из E9.6) в E9.3), находим, что оно удовлетворяется в точ-
точке Р. Заключаем на этом основании, что новые переменные
действительно являются геодезическими координатами в Р.

180 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ш
Заканчивая этот параграф, отметим, что Ферми расширил
полученный здесь результат, доказав, что в любом римановом
многообразии /?„ возможна такая координатная система, что ее
координаты являются геодезическими во всех точках произ-
произвольно заданной аналитической кривой1).
§ 60. Параллельные векторные поля иа поверхности
Понятие параллельных векторых полей вдоль кривой, раз-
размещающейся и пространстве Е3 (§ 48), было обобщено Леви-
Чивита на кривые в п-мерных римановых многообразиях. По-
Полезность этого понятия мы проиллюстрируем на одном при-
примере. Рассмотрим для этого поверхность S, расположенную в Е3,
и кривую С на S. Представим эту кривую уравнениями
С: ua = ua{t), *,<f<*2,
и предположим, что метрические свойства S выражаются тен-
тензором аар. Если Аа — векторное поле на поверхности, опреде-
определенное вдоль С, то мы можем вычислить для этой поверхности
внутреннюю производную
Это выражение тождественно по виду с левой частью уравне-
уравнения D8.1), описывающего параллельное векторное поле вдоль
пространственной кривой. Вводим поэтому дифференциальное
уравнение
определяющее векторное поле, в котором компоненты вектора
указаны в произвольной точке С как определение параллельного
векторного поля вдоль кривой С на поверхности S. Если пара-
параметр t выбран как длина дуги s, то уравнение F0.2) прини-
принимает вид
и если Аа понимается как единичный касательный вектор к С,
так что
') Детальный вывод уравнений преобразования для этого случая, куда
входит и E9.4) в качестве частного случая, был выполнен Леви-Чивита в
работе «О геодезическом расстоянии». Mathematische Annalen 97 A926—1927),
291—320 («Sur l'ecart geodesique»).

J601 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
при аарЯ°Яр = 1, то F0.3) дает
В этом уравнении мы узнаем уравнение геодезической линии
на S и на этом основании сформулируется
Теорема. Вектор, полученный параллельным переносом
вдоль геодезической линии касательного к ней вектора, остается
касательным к этой линии.
Из единственности решения F0.4) следует, что свойство ка-
сательности параллельного векторного поля к поверхностной
кривой является одновременно и необходимым и достаточным
условием для геодезической линии.
В евклидовой плоскости геодезические линии суть прямые
линии, и параллельное векторное поле, образованное касатель-
касательными к прямым линиям, направлено вдоль тех же прямых ли-
линий. На поверхности сферы геодезическая линия является
дугой большого круга, соединяющей две заданные точки на
сфере, и соответствующее векторное поле представляет собой
поле касательных к геодезическим линиям. Из последнего при-
примера ясно, что параллельность к поверхностной кривой отли-
отличается от параллельности к пространственной кривой, располо-
расположенной в Е3, так как векторы, полученные параллельным пере-
переносом вдоль поверхностной кривой С, необязательно должны
быть параллельными в евклидовом смысле. Однако нетрудно
доказать, что длины векторов, образующих параллельное по
отношению к С поле, остаются постоянными. В самом деле, до-
дословное повторение доказательства, изложенного в § 48, при-
приводит к заключению, что угол между двумя векторами, распро-
распространяющимися параллельно, остается неизменным, а отсюда
следует, как это было и в § 48, что векторы, образующие па-
параллельное поле, имеют постоянную длину. Этот вывод позво-
позволяет сделать заключение, что векторное поле, полученное па-
параллельным переносом поверхностного вектора вдоль геодези-
геодезической линии, образует равные углы с геодезическими линиями.
Следует заметить, что понятие параллельности в римановых
многообразиях определяется по отношению к заданной кривой.
Поверхностный вектор Аа, определенный для точки Р поверх-
поверхности S при параллельном распространении вдоль заданной
кривой С к точке Q, не обязательно должен совпадать с векто-
вектором, параллельно распространяющимся вдоль иного пути, со-
соединяющего Р и Q. Кроме того, если замкнутая кривая С
ограничивает односвязную область S, а параллельное векторное
поле переносится из некоторой точки Р на С, то вектор, полу-
получающийся в результате пересечения замкнутого контура, не
обязательно должен совпадать с начальным вектором. Угол

182 ГЕОМЕТРИЯ (ГЛ. Ill
между начальным и конечным положением вектора измеряет
другую внутреннюю характеристику S, известную как гауссова
кривизна S. Эта характеристика вводится несколько иным спо-
способом *) В § 62.
§ 61. Изометрические поверхности
Свойства поверхностей, которыми мы занимались до сих
пор, были связаны всецело с изучением первой фундаменталь-
фундаментальной квадратичной формы
ds2 = aa^duadu^. F1.1)
Эти свойства составляют содержание раздела геометрии, име-
именуемого внутренней геометрией поверхностей. И они не имеют
никакого отношения к тем различным характеристикам поверх-
поверхностей, которые может различить наблюдатель, находящийся в
окружающем пространстве и связанный с системой отсчета это-
этого пространства. Две поверхности, например цилиндр и конус,,
представляются совершенно различными, если их рассматри-
рассматривать из окружающего пространства, и тем не менее их вну-
внутренние геометрии совершенно неразличимы, так как метриче-
метрические свойства цилиндра и конуса могут быть описаны тожде-
тождественными выражениями для квадрата элемента дуги. Если на
каждой из этих двух поверхностей существует такая коорди-
координатная система, что линейные элементы этих поверхностей ха-
характеризуются одними и теми же метрическими коэффициентами
аар, то такие поверхности называются изометрическими. По-
Поверхности цилиндра и конуса, очевидно, изометричны с евкли-
евклидовой плоскостью, так как эти поверхности могут быть развер-
развернуты на плоскости без изменения длины элементов дуги и,
следовательно, без изменения углов площади.
В следующем параграфе мы введем имеющий большое зна-
значение скаляр-инвариант, именуемый гауссовой кривизной, кото-
который позволит нам определять условия, при которых та или иная
данная нам поверхность может быть развернута на плоскости,
т. е. оказаться изометричной с евклидовой плоскостью.
Как на пример изометричной неразвертывающейся поверх-
поверхности укажем на катеноид:
S,:
г/1 = у1 cos v2,
у2 = v1 sin v2,
стр. 200.
') Сравните: Eisenhart L. P., Introduction to differential geometry,
200.

i 62]
ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ И ГАУССОВА КРИВИЗНА
183
т. е. на поверхность, получаемую вращением цепной линии у2 =
= ch (у3/а) относительно оси Y3. Покажем, что поверхность St
изометрична с поверхностью геликоида, определяемого уравне-
уравнениями
( у1 = и1 cos и2,
S2:
= ul sin и2,
Первая фундаментальная форма ds2 = dyldyl для Si, как легко
видеть, содержится в выражении
,1 \2
ds2 = ач dv* dv* = (J°'_ , (dv1J + (v1J(dv2J,
F1.2)
так что
an
(о1J
(DIJ_a2 > 2 — «» 2 — V1^ / —" riv^;
Для поверхности S2 находим
ds2 = aap due duP = (rfw1J + [«2 + («lJ] (^«2J.
F1.3)
так что
«и - 1.
Если теперь положить в F1.2)
(v1J - а2 = (и1J, v2 = «2,
то получим
(и1J.
ds2 =
+ КJ + a2]
Так как это выражение тождественно с F1.3), то поверхности
5) и S2 изометричны. Из выкладок нижеследующего параграфа
выясняется, что эти поверхности неразвертывающиеся.
§ 62. Тензор Римана — Кристоффеля и гауссова кривизна
Формулы § 37, описывающие свойства тензоров Римана —
Кристоффеля в п-мерных многообразиях в значительной степени
упрощаются, если п = 2. Так, например, если дана фундамен-
фундаментальная форма
ds2 = aapduaduP F2.1)
поверхности S, мы сможем сформировать для этой поверхности
символы Кристоффеля и соответствующий тензор Римана
диу ди
[PM
Py/ IPS)
И, я] И, я]
F2.2)

184 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Напомним, что этот тензор кососимметричен по двум первым
и двум последним индексам, так что для поверхности S
Aactflv = °aftvY ~ ' ^1212 = A2I21 = ~ ^2112 = ~ ^1221- F2.3)
Поэтому каждый, не обращающийся в нуль компонент рима-
нова тензора равен либо /?Ш2, либо отрицательному значению
этого компонента.
Определим величину К формулой
/С = -^, F2.4)
где а= \оац\, и назовем ее гауссовой кривизной или полной
кривизной поверхности S. Так как в это определение входят
лишь метрические коэффициенты aag, то свойства, описываемые
коэффициентом К, являются внутренними свойствами поверх-
поверхности S.
Если мы введем двумерные е-тензоры
еар =
e«3
¦ар — Vй сал " с — — ,
где еар — альтернирующие е-системы (см. § 40), и учтем соот-
соотношения F2.3), то сможем записать уравнение F2.4) следую-
следующим образом:
так как ea|5ea|5 = 2, то мы можем решить F2.5) и определить
из него
Эти уравнения показывают, что гауссова кривизна — инвариант.
Теперь, поскольку поверхность S изометрична с евклидовой
плоскостью, можно утверждать, что на S существует координат-
координатная система, для которой имеют место равенства alt = а2г = 1,
а\г = 0. Очевидно, что в этом случае в этой частной координат-
координатной системе i?aPv6 = 0. а так как /?apYe — тензор, он должен об-
обратиться в нуль в любой координатной системе.
И наоборот, если тензор Римана обращается в нуль во всех
точках поверхности, то теорема II в § 39 гарантирует, что на
поверхности возможны координатные системы, для которых
fill = Й22 = 1, Й12 = 0.
На этом основании формулируется
Теорема. Необходимым и достаточным условием для того,
чтобы поверхность S была изометрична с евклидовой плоско-
плоскостью, является тождественное обращение в нуль риманова тен-
тензора или гауссовой кривизны S.

§ 621 ТЕНЗОР РНМАНА-КРИСТОФФЁЛЯ И ГАУССОВА КРИВИЗНА (gg
Рассмотрим теперь инвариант
R-a^R^, F2.7)
где
AHv = "uva = п Hkuva F.2.о)
представляет собой тензор Риччи1), введенный в § 38.
Если F2.8) умножить на а^у и просуммировать, то получим
И 022 -Л2 all _12 ~" a12
iX —¦ « LI "~~ • LI ~~ .
Q (X (X
F2.9)
а вспомнив F2.3), убеждаемся, что F2.9) эквивалентно
/\ — — ^*М212 \^* ^* — и и ). (OZ. 1UJ
Поскольку
получаем
Я = _ 2-fe . F2.11)
Сопоставляя F2.11) и F2.4), мы видим, что
R = - 2К.
Инвариант R иногда называют эйнштейновой кривизной S.
В дальнейшем (см. § 72) мы приведем более содержатель-
содержательную интерпретацию гауссовой кривизны, где поверхность 5 рас-
рассматривается из объемлющего ее пространства.
Задачи
1. Использовать формулы F2.2) и F2.4) и показать, что если система
координат прямоугольная, то
., 1 Г д I 1 даю \ . д I 1
2 Уа [ ди1 \ Ya ди1 ) ди2 \ Уа ди2
2. Вычислить полную кривизну многообразия, квадратичная форма кото-
которой имеет вид
ds2 = a2 sin2 и1 (du2J + a2 (du1J.
3. Определить, является ли поверхность геликоида, заданная уравнениями
(/' = н1 cos и2, у2 = и] sin и2, у3 = аи2,
развертывающейся.
4. Показать, что для поверхности вращения, определенной уравнениями
i/'^u'cosu2, i/2 = ulsinu2) у3 =/(«'),
к ГУ
А~ «'[l+(fJ]2'
Где / принадлежит классу С2.
') Напомним, что /?" -= а^с

186 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
5. Показать, что поверхность, определенная уравнениями
где d и /2 — дифференцируемые функции, развертывающаяся.
6. Показать, что формула гауссовой кривизны К может быть представ-
представлена в ином виде:
1__ { _i_ Г Qi2_ да,, 1 да22 1
F"a 1 аи1 La,,/о" Л/2 V7 du1 J
_ _ _?_ _ _
а ди1 Va диг auVa ди>
§ 63. Геодезическая кривизна поверхностных
кривых
Закончим наше изучение внутренней геометрии поверхностей
выводом формулы, описывающей поведение вектора, касатель-
касательного к поверхностной кривой. Эта формула аналогична формуле
Френе E0.1).
Пусть С — кривая, лежащая на поверхности и определенная
параметрически уравнениями
ua = ua(s), F3.1)
где s — параметр. В соответствии с этим в каждой точке кривой
выполняется условие
Величины dul/ds, du2/ds определяют, очевидно, вектор Ла,
касательный к С, а из F3.2) находим, что
А° = ^ F3.3)
представляет собой единичный вектор. Если мы произведем опе-
операцию внутреннего дифференцирования квадратичной формы
аарЯаА,Р = 1 по s, то получим производную aa^ia(8X^/8s) = 0, из
которой следует, что поверхностный вектор 8ka/8s направлен
под прямым углом к Ха. Следуя рассуждениям § 49, введем еди-
единичный поверхностный вектор Г|а, нормальный к №:
?Vla. F3.4)
ГДе Kg—надлежащий скаляр. Для того чтобы определить одно-
однозначно направление т)а, выберем ца способом, аналогичным вы-
выбору триады векторов в § 49 (уравнение D9.11)), а именно
еарЯаг|р = 1. Этот выбор ориентации I и t] однозначно опреде-
определяет знак Kg и означает, что синус угла между К и т) равен +1.

$63]
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТНЫХ КРИВЫХ
187
Вектор т)а — единичный пространственный вектор, образующий
с кривой С прямой угол, скаляр же xg называется геодезической
кривизной С.
Напомним, что уравнение геодезической линии на S [см.
уравнение F0.4)] может быть записано в виде 8ka/8s = 0. Со-
Сопоставление его с F3.4) приводит к заключению, что если гео-
геодезическая кривизна xg = 0, то кривая С — геодезическая линия,
и наоборот. Отсюда следует
Теорема. Необходимое и достаточное условие для того,
чтобы кривая на поверхности S была геодезической, сводится
к тому, чтобы геодезическая кривизна ее была равна нулю.
Рис. 26.
В качестве иллюстрации вычислим геодезическую кривизну
малого круга
С: ы' = const = ы
на поверхности сферы (рис. 26):
S: у1 = a cos u1 cos и2,
у2 = a cos м1 sin и2,
у3 = asinu1.
Если дуга длиной s кривой С измерена с плоскости и2 = 0, мы
получим u2 = sj(acosuQ и уравнения С можно будет предста-
представить в виде
F3.5)
U1 = и\, и2 =
a cos «

188 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. HI
Отсюда находим, что компоненты единичного касательного век-
вектора Ха = dualds по кривой С имеют вид
я» = о, к2 = —!—г, F3.6)
a cos uQ
так что
Так как метрическими коэффициентами 5 являются ац = а2,
Ci2 = 0, «22 = a2 cos 2и1, то, обратившись к задаче 3 § 31, нахо-
находим, что I „2 г = sin«1 cos u1, J2(==^- ^ соответствии с этим
формулы F3.4) дают
^- = ^=^tg< -gl = 5Vf = O. F3.7)
Так как кривая С — не геодезическая линия, Kg ф 0, мы заклю-
заключаем, что тJ = 0. Но ца— единичный вектор, так что аа$ч\°-у\$ = 1,
и мы находим, что т]1 = 1/а. Уравнения F3.7) дают поэтому:
у,g = (^Sua)la- В § 71 мы установим соотношение между геодези-
геодезической кривизной Kg и обычной кривизной к кривой С.
§ 64. Поверхности в пространстве
За исключением лишь немногих редких случаев обращения
к координатной системе окружающего пространства, наше ис-
исследование геометрии поверхностей проводилось с точки зрения
двумерного существа, вселенная которого определялась пара-
параметрами поверхности и1 и и2. Изучение свойств поверхностей до
сих пор основывалось исключительно на анализе первой квадра-
квадратичной дифференциальной формы. В изложении теории изомет-
изометрических поверхностей (§ 61) мы отметили, что пара изометри-
изометрических поверхностей, например конуса и цилиндра, неразличи-
неразличимых в системе их внутренней геометрии, представляется двумя
совершенно различными поверхностями для наблюдателя,
исследующего их в системе отсчета, расположенной в простран-
пространстве, которое содержит эти поверхности внутри себя. Прием,
который позволяет индивидуализировать форму поверхности
такой, какой она предстает в системе зтого объемлющего про-
пространства, сводится к проведению нормали к поверхности. По-
Поведение же этой нормали при перемещении ее основания по
поверхности зависит от формы этой поверхности. Гауссу удалось
описать определенные свойства этих поверхностей по виду ква-

§ &1] ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 18Э
дратичной формы, в свою очередь существенным образом свя-
связанной с поведением нормали. Но прежде, чем вводить эту
новую квадратичную форму, вернемся на миг к отправному
пункту, с которого мы начали изучение поверхностей в §§ 52
и 53.
Поверхность S, расположенная в Е3, была определена тремя
параметрическими уравнениями
у< = у'(и\и2) (t=l, 2, 3), F4.1)
где у* — прямоугольные декартовы координаты системы отсчета,
расположенной в пространстве, окружающем 5. Элемент дуги
ds кривой, лежащей на S, определяется формулой
ds2 = aafiduadut, F4.2)
где
_ ду! ду1
Выбор декартовых переменных у' в пространстве, объемлю-
объемлющем поверхность, очевидно, не существен, и мы могли бы с рав-
равным правом отнести точки Ез к криволинейной координатной
системе X, связанной с Y преобразованием Х' = х1(у1, у2, у3).
При этом линейный элемент Ез, будучи отнесенным к системе
отсчета А', принимает вид
ds2 = gudxidxl, F4.3)
ди дц „ /п а < \
где gii — —3--—^-, а система уравнении F4.1) для поверхно-
дх1 дх'
сти 5 может быть записана в виде
5: х* = х1{и1, и2). F4.4)
Из такого представления S следует, что
dx^^rdu", F4.5)
и тогда выражение для элемента дуги F4.3) на поверхности
принимает вид
ds2 = gll dxl dx> = gll |? |? du* duK
Сопоставление этой формулы с уравнением F4.2) приводит
к заключению, что
аар = g,i ^rjj (г, /== 1, 2, 3), (а, р = 1, 2). F4.6)
Заметим, что ранее приведенные формулы зависят одновре-
одновременно и от латинских и от греческих индексов, вспомним также
нри этом, что латинские индексы пробегают ряд значений от 1
до 3 и относятся к окружающему пространству, между тем как

190
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
греческие индексы принимают значения 1 и 2 и ассоциируются
с поверхностью S, заключенной в пространстве Е3. Далее dx'
и ga являются тензорами в отношении к преобразованиям, на-
налагаемым на пространственные переменные х\ в то время как
такие величины, как dua и aafJ, являются тензорами в преобра-
преобразовании гауссовых координат иа поверхности. Уравнение F4.6)
представляет своеобразие в том отношении, что оно содержит
частные производные дх*/диа, зависящие как от латинских, так
и от греческих индексов. Поскольку как aap, так и gu в F4.6)
j являются тензорами, эта фор-
Я ^*^ мула указывает, что дх'/диа
можно рассматривать либо
как контравариантный про-
пространственный вектор, либо
как ковариантный поверхност-
поверхностный вектор. Исследуем эту
группу величин внимательнее.
Допустим, что на поверх-
поверхности S совершается малое пе-
перемещение, отмечаемое по-
поверхностным вектором dua.
Такое же перемещение, как
г I это ясно из F4.5), описывает-
описывается пространственным вектором
с компонентами
= ^^. F4.5)
Рис. 27.
Левая часть этого выражения
не зависит от греческих ин-
индексов и поэтому остается инвариантной относительно измене-
изменения поверхностных координат иа. Поскольку dua — произволь-
произвольный поверхностный вектор, заключаем, что
дх'/диа F4.7)
является ковариантным поверхностным вектором. С другой сто-
стороны, если мы преобразуем пространственные координаты, то
dua, будучи поверхностным вектором, останется инвариантным
относительно этого преобразования, так что F4.7) должен быть
контравариаитным пространственным вектором. На этом осно-
основании F4.7) получает новое обозначение
дх'
< F48)
где индексы надлежащим образом описывают тензорный харак-
характер рассмотренной группы величин.

$ 64) Поверхности в пространстве 191
Простое геометрическое значение группы величин F4.8)
можно уяснить из рис. 27. Пусть г—радиус-вектор произволь-
произвольной точки Р на 5. Точка Р определена парой гауссовых коорди-
координат (ы1, и2) или тремя пространственными координатами
(л:1, х2, х3). Поэтому вектор г можно рассматривать как функ-
функцию пространственных переменных х1, удовлетворяющих урав-
уравнениям F4.4). Таким образом,
дг _ дг дх1
диа ~~ дх' диа '
Но дг/дх{ суть базисные векторы 6< в точке Р, ассоциированные
с криволинейной системой X, в то время как дг/диа являются
базисными векторами аа в Р, отнесенными к гауссовой си-
системе U.
Отсюда-уравнения F4.9) дают
аа = Ь{~. F4.10)
Из чертежа ясно, что а, = -j~- bt и а2 = -^ Ьи так что дх'/диа э
==*? (<х= 1, 2) являются контравариантными компонентами по-
поверхностных базисных векторов аа, отнесенных к базисным си-
системам Ьг. Таким образом, группы величин
*i: Um1"' 'дит' ~диг) И Х2: \ди^' 1W' !№)
преобразуются контравариантно относительно преобразования
пространственных координат.
Мы можем также показать, что три поверхностных вектора
дх1 дх1\ 2. (дх2 дх2\ 3. (дх3 дх3
ди1 ' ди2)' а' \ ди1 ' ди2)' а' \ди! ' ди2
преобразуются по ковариантному закону относительно преобра-
преобразования гауссовых поверхностных координат иа. Действительно,
рассмотрим преобразование иа = иа(п\ п2); уравнения F4.4)
поверхности S переходят при этом в х{ = хг(пх, п2) и
дх1 дх1 дп® /„,. ,,ч
Но дх'/д&е^Ц, и F4.1) дает для 1= 1,2,3 х'а = (Ц
т. е. ковариантный закон.
Пусть ds — элемент дуги, соединяющей пару точек Р(и1, и2)
и P(ul + dul, и2 + du2) на S. Направление линейного элемента
ds задано параметрами направления duajds = A,a. То же на-
направление может быть указано и наблюдателем, находящимся

19$
Геометрия
[гл! hi
в системе отсчета пространства, посредством трех параметров
dx'/ds = Ъ\ причем из F4.5) следует, что 11 = х1аКа. Эта фор-
формула говорит нам, что любой поверхностный вектор Аа (т. е.
вектор, лежащий в касательной плоскости к S) может рассмат-
рассматриваться как пространственный вектор с компонентами А\
определенными формулой
А1 = хаАа. F4.12)
Этот вектор Ai мы назовем касательным вектором к поверх-
поверхности S.
§ 65. Нормаль к поверхности
Пусть А и В— пара поверхностных векторов, берущих свое
начало в некоторой точке Р поверхности 5 (рис. 28). На осно-
основании только что выведенной формулы F4.12) их можно пред-
представить также пространствен-
пространственными векторами
Д1 _ J- Да П( J Da /ЙС 1 \
Вспоминая, что векторное про-
произведение А X В представляет
собой вектор, нормальный к
касательной плоскости, опре-
определенной векторами А и В,
можно записать следующее вы-
выражение для единичного век*
тора п, перпендикулярного к
касательной плоскости н так
ориентированного, что А, В и
п образуют правую систему:
АХВ АХВ
Рис. 28. '
где 0 — угол между А и В.
Мы назовем вектор п единичным вектором, нормальным к по~
верхности S в точке Р. Ясно, что п — функция координат (ы1, и2)
и" что с перемещением . точки Р(и\ и2) в новое положение
P(ul + dul, и2 + du2) вектор п получает приращение
F5.3)
диа
одновременно при этом радиус-вектор г испытывает приращение
диа

§ 65] НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 193
Образуем скалярное произведение
--duduV. F5.4)
Если при этом определить
дп dr , дп dr
Una — "Т
2 \ диа ди? ди® диа I'
то скалярное произведение F4.5) выразится в более сжатой
форме:
dn ¦ dr= — baadua dift, F5.5)
причем левая его часть по свойству скалярных произведений
векторов остается, очевидно, инвариантом, правая же часть
в силу симметрии относительно аир определит коэффициенты
при duadu$ как ковариантный тензор второго ранга. Квадратич-
Квадратичная форма
$ = 6ар dua duP, F5.6)
как будет показано в дальнейшем, играет существенную роль
в исследовании поверхностей в координатах окружающего про-
пространства точно так же, как первая фундаментальная квадра-
квадратичная форма
si-^dr ¦ dr или $Ф = аар dua du®,
выполняя эту роль в исследовании внутренних свойств поверх-
поверхности. Дифференциальная форма F5.6) была введена Гауссом
и получила наименование второй фундаментальной квадратич-
квадратичной формы поверхности.
Так как примененное выше обозначение для единичной нор-
нормали, несмотря на графическую наглядность, все же более гро-
громоздко в сравнении с тензорным обозначением, мы переведем
теперь эту первоначальную определяющую формулу F5.2) на
язык компонентов х'а базисных векторов аа. Обозначим контра-
вариантные компоненты п через п> и заметим, что ковариантные
компоненты п2' при этом выразятся1) формулами
>) Заметим, что векторное произведение А X В зависит от длин векторов
А и В и от угла между ними. Если мы выберем прямоугольную декартову
систему осей Y так, чтобы векторы А и В лежали в плоскости V[Y2 и А был
бы направлен вдоль оси У1, тогда декартовы компоненты А* вектора А будут
иметь вид Л1 = А, Л2 = О, А3 = 0, компоненты же В: ?' = В cos 8, S2 = В sin 8,
В3 = 0. Так как в системе Y имеет место равенство е,-д = eijk, то
Ci=eUkA}Bk = eil2AB sin 9.
Отсюда Ci =0, С2 = 0, С3 = АВ sin 8. Таким образом, Сг определяют вектор
С = А X В, нормальный к плоскости, определяемой через А и В, и равный
7 И. С. Сокольников

194 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 1И
и (см. § 54)
АВ sin 0 = еарЛаВе. F5.8)
Производя подстановки в F5.7) из F5.1) и F5.8), получаем
( ?э) АаВ& = О,
а поскольку это соотношение сохраняет силу для всех поверх-
поверхностных векторов, заключаем, что
nA#=«*/fc44 F5-9)
Умножая F5.9) повсюду на ев& и замечая, что еа&еар = 2, на-
находим искомый результат
Из структуры этой формулы ясно, что tii — пространственный
вектор, не зависящий от поверхностных координат. Это обстоя-
обстоятельство очевидно также и из чисто геометрических сообра-
соображений.
§ 66. Тензорные производные
В § 67 мы выведем вторую фундаментальную квадратичную
форму F5.6) аналитически, операцией тензорного дифференци-
дифференцирования тензорных полей, являющихся функциями как поверх-
поверхностных, так и пространственных координат. Плодотворная идея
тензорного дифференцирования была введена А. Дж. Мак-Кон-
нелом, и мы будем близко следовать найденному изящному ме-
методу исследования поверхностей в этом и в нескольких даль-
дальнейших параграфах этой главы1).
Рассмотрим кривую С, лежащую на данной поверхности S,
и вектор А\ определенный вдоль С. Если t— параметр С, мы
можем вычислить внутреннюю производную бЛ'/б/ вектора А\
а именно
В формуле F6.1) символы Кристоффеля < .. > относятся к про-
пространственным координатам хг и составлены из метрических
коэффициентов ga. Это указывается левым индексом-пристав-
произведению ЛВ |sin9|. Если Аа и Вр—поверхностные компоненты А и В,
в таком случае ЛВ sin 0 = еарЛаВр. Этот результат следует непосредственно
из формулы для синуса угла между двумя векторами, приведенной в § 54.
') См. McConnell A. J., Applications of the absolute differential cal-
calculus, 1931, главы XIV—XVI (имеется русский перевод, см. Библиографию).

§ 66] ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 195
кой g к символу. С другой стороны, если мы рассматриваем
поверхностный вектор Аа, определенный вдоль той же самой
кривой С, мы сможем образовать внутреннюю производную по
переменным поверхности, а именно
6t dt +0I
В этом выражении символы Кристоффеля | g [ сформированы
из метрических коэффициентов ааР, соединенных с координатами
иа гауссовой поверхности. Геометрическая интерпретация этих
формул не вызывает затруднений, если поля Л1' и Аа таковы,
что бЛ*/6* = 0 и 8Aa/dt — 0. В первом уравнении векторы Л»
образуют параллельное поле относительно кривой С, рассматри-
рассматриваемой как пространственная кривая, между тем как уравнение
8Aa/6t = (У определяет параллельное поле относительно кри-
кривой С, рассматриваемой как поверхностная кривая. Соответ-
Соответствующие формулы для внутренних производных ковариантных
векторов Аг и Аа имеют вид
6At dAt f k \ . dxJ
= -T\\Ar
dt dt
Рассмотрим теперь тензорное поле Т'а, представляющее со-
собой контравариантный вектор преобразования пространствен-
пространственных координат xi и ковариантный вектор преобразования по-
поверхностных координат иа. Примером такого рода поля может
служить тензор х{а = дх1/диа, введенный в § 64. Если т1а опре-
определен для поверхностной кривой С и параметром С является t,
то Та будет функцией t. Введем параллельное векторное поле
А{ вдоль С, рассматриваемой как пространственная кривая, и
параллельное векторное поле Ва вдоль С, рассматриваемой как
поверхностная кривая, и образуем инвариант
Производная от Ф(/) по параметру t дается выражением
T
являющимся, очевидно, инвариантом как относительно про-
пространственных, так и поверхностных координат. Но поскольку
поля Ai(t) и B*(t) параллельны,
.dx1 dBa _ fa
Лк~ЪТ И dt - aXfr

196 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
в силу чего F6.5) преобразуется в
IF
dTl
Так как это выражение —инвариант для произвольного выбора
параллельных полей А{ и Ва, правило частного гарантирует, что
выражение в квадратных скобках в формуле F6.6) представ-
представляет собой тензор того же типа, что и Т1а. Мы назовем этот
тензор, следуя Мак-Коннеллу, внутренней тензорной производ-
производной от Та по параметру t, обозначив
6Та dPa (П _, dxk F
Если поле Та определено по всей поверхности 5, мы можем
доказать, что, поскольку
дТ1
dt
является тензорным полем, а duyjdt — произвольный поверхност-
поверхностный вектор (для произвольной кривой С), то выражение в квад-
квадратных скобках является тензором типа Тау. Обозначаем его
поэтому через
Т'а. У ^ ^Г + { ' 1 Т'аХ$ - \ б } П
F6.8)
и назовем Та, у тензорной производной от Т1а по и1.
Распространение этого определения на более сложные тен-
тензоры зависит, очевидно, от структуры формулы F6.8). Так, на-
например, тензорная производная от Тга$ по и1 примет вид
- \Ть$ ~ \ Та&. F6.9)
Т л.
ди* g[jk) alavJ a I
Если поверхностные координаты некоторой точки Р на S
геодезические, а пространственные — прямоугольные декартовы,
то мы видим, что в этой точке тензорные производные сводятся
к обычным производным. Это позволяет нам заключить, что
операции тензорного дифференцирования произведений и сумм
подчиняются обычным правилам и что тензорные производные
°т gn, яар„ eijft. ea0 и связанные с ними тензоры обращаются
в нуль. В соответствии с этим они ведут себя в тензорном диф-
дифференцировании как постоянные величины.

§ 67] ВТОРАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ 197
§ 67. Вторая фундаментальная форма поверхности
Аппарат, построенный в предшествующем параграфе, позво-
позволит нам теперь получить легко и в самой общей форме важную
группу формул, выводом которых мы обязаны Гауссу. С их по-
помощью мы построим также и вторую фундаментальную квад-
квадратичную форму поверхности, с которой мы уже встретились
в §65!).
Начнем с вычисления тензорной производной тензора К,
представляющего компоненты поверхностного базисного век-
вектора аа. Имеем
i?SF.{i.}M.{iJ» <67Л>
и отсюда выводим
<p = *U F7.2)
Поскольку тензорная производная от aag обращается в нуль,
получаем после дифференцирования соотношение
аа^ёцХаХ1' I64-6]
Циклическая перестановка а, р, у приводит нас к двум фор-
формулам
44W 0 F
Если теперь сложить F7.4) с F7.5) и вычесть из суммы
F7.3), приняв во внимание соотношение симметрии F7.2), то
мы получим
Это — соотношение ортогональности, констатирующее, что х'а в
является пространственным вектором, нормальным к поверхно-
поверхности и потому направленным по единичной нормали п1. Следо-
Следовательно, здесь должна существовать группа функций Ьа$, об-
обладающих свойством
Функции Ьа$— компоненты симметричного поверхностного тен-
тензора, а дифференциальная квадратичная форма
?s=bafidu«difi F7.8)
— искомая вторая фундаментальная форма,
') Ср. McConnell A. J., Applications of the absolute differential calcu-
calculus, 1931, стр. 200.

198 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Для того чтобы доказать эквивалентность определений тен-
тензора 6яр и данного в § 65, а именно
, I ! дп дг . дп дг
ар 2 [диа ди? diP диа)'
заметим, что векторы п и аа = дг/диа ортогональны, в силу чего
дг п дг п
п ;г=0 и п"'—я=0.
диа диР
Дифференцируя эти два скалярных произведения по Ф и соот-
соответственно по иа, а затем складывая, получим
J_ / дп дг . дп дг \ _ д2г
2 \ диа ди? ди® диа J диа ди® '
Отсюда
р диа ди&
С другой стороны,
и следовательно,
диади* 1диЬ + ди* а~
_ дх1а дЪ { ; / д2х1 П 1
1 ди? дх1 а э {\диадиЬ g\jk) a'
где в заключительной операции мы используем формулу D6.4)
для производной базисного вектора &<.
Если мы внесем в правую часть последнего равенства вы-
выражение из уравнения F7.1), то получим
диа
Умножая уравнение F7.10) скалярно на п и замечая, что век-
векторы btx{6 = a6 и п ортогональны, находим с помощью фор-
формулы F7.7)
Этим заканчивается доказательство эквивалентности двух опре-
определений второй фундаментальной квадратичной формы.
Уравнения F7.7) известны как формулы Гаусса. Важное зна-
значение формы F7.8) в дифференциальной геометрии заключается

§ 68] УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 199
в том факте, что тензоры аа$ и Ьа&, удовлетворяющие уравне-
уравнениям Гаусса и Кодацци (которые выводятся в § 69), определяют
поверхность с точностью до движения как твердого тела в про-
пространстве.
Задачи
1. Показать, что 6аР = g?/4, ^ = у е?\,кх'а1 ^х!ух\.
2. Показать, что в обозначениях § 65
а _ ' / дп дг f дп дг
«3 ~ ~ 2 ( диа ' ди* + И ' !^
где п — единичная нормаль, а г —радиус-вектор точки на поверхности.
3. Если уравнение поверхности 5, отнесенное к системе прямоугольных
^декартовых осей, представлено в форме уъ = / (у1, у2), то мы можем сфор-
сформулировать параметрические уравнения S в форме #' = «', у2 = и2, у3 = /(«', и2).
Если частные производные от f (у1, у2) обозначаются через
коэффициенты аар в ds2 — aap dua du® принимают вид
a\\ = \+p2, an = pq, a22 = 1+ q2,
в то время как коэффициенты 6ap второй фундаментальной формы опреде-
определяются выражениями
Показать это и вычислить aap и 6ар для поверхности сферы
4. Если уравнения 5 имеют вид
5: у1 (и1, и2),
где у1 — прямоугольные Декартовы координаты, а г — радиус-вектор точки у1,
у2, у3 на S, то при использовании нижних индексов для обозначения частных
производных выполняются равенства: aap=r a-r g, Ьцр=Гг a р-г ,Хг Л1У~~а.
Показать это. Применить эти формулы в вычислении aap и 6ар для по-
поверхности вращения у1 = и1 cos и2, у? = «' sin и2, г/3 = /(«').
§ 68. Условия интегрируемости
Для того чтобы глубже понять значение тензора 6ag, рас-
рассмотрим подробнее формулы Гаусса
<p = V> F8Л)
где
<&{ }С} [67-"

200 ГЕОМЕТРИЙ [ГЛ. Ш
И
причем х!а — дх'/диа.
Если эти выражения ввести в уравнение F8.1), то мы полу-
получим систему дифференциальных уравнений второго порядка в ча-
частных производных, в которых зависимые переменные xi являют-
являются функциями поверхностных координат иа. Коэффициентами
в этих дифференциальных уравнениях являются функции метри-
метрических коэффициентов ga многообразия, в котором поверхность
S, определенная уравнениями
х' = х'(и\ и2) A= 1,2,3), F8.2)
находится внутри пространства — они являются, таким образом,
функциями от аа$ = gi^dxijdu0-) (dxi/dub) и ba$.
Если нам даны уравнения F8.2), мы можем вычислить аар и
Ьар (см. задачу 1 § 67), ввести надлежащие выражения в F8.1),
и тогда уравнения F8.1) будут, конечно, удовлетворяться тожде-
тождественно. С другой стороны, если функции аа$ и Ьа$ заданы зара-
заранее, уравнения F8.1) станут уравнениями условий, и тогда во-
вообще уравнения F8.2) поверхности S не будут иметь никаких
решений. Для того чтобы тензоры аа$ и 6аВ были связаны с ка-
какой-либо поверхностью, необходимо, чтобы х1 удовлетворяли ус-
условиям интегрируемости
F8.3)
диУ dtp <Э«е диУ '
если только функции х1а принадлежат классу С2. Из обсуждения
в § 36 обращения порядка ковариантного дифференцирования
следует, что условие F8.3) эквивалентно1) [см. C6.6)] соотноше-
соотношению
где /??аВ — риманов тензор второго рода, образованный из коэф-
коэффициентов аа$ первой фундаментальной квадратичной формы.
Уравнения F8.4) содержат в себе третьи частные производные
координат х\ и мы должны будем в дальнейшем принять, что
функции, входящие в F8.2), входят в класс С3.
') Мы не входим в детали вычисления, поскольку они несущественны
в ходе доказательства. См., например, McConnell A. J., Applications of the
absolute differential calculus, 1931, стр. 203.

§ 69] ФОРМУЛЫ ВЕЙНГАРТЕНА 201
Мы увидим, что условия интегрируемости F8.4) налагают не-
некоторые ограничения на возможные выборы функций 6ац и аа&.
Эти ограничительные условия известны как уравнения Гаусса и
Кодацци. Они выводятся в следующем параграфе.
§ 69. Формулы Вейнгартена и уравнения Гаусса
и Кодацци >)
Для того чтобы вывести уравнения Гаусса и Кодацци, мы
должны прибегнуть к использованию полученных Вейнгартеном
выражений для производных единичного нормального вектора п'1
к поверхности 5. Начнем с соотношения g^rV-n^ = 1 и образуем
его тензорную производную2). Имеем
или
gl7«(Va = O. F9.1)
Уравнение F9.1) показывает, что вектор п!а, рассматривае-
рассматриваемый как пространственный вектор, образует прямой угол с еди-
единичной нормалью п{ и потому лежит в касательной плоскости
к поверхности. Поэтому его можно представить линейной фор-
формой базисных векторов х1а
«fe = cg4 F9.2)
Так как п{ нормален к поверхности, то мы имеем соотношение
ортогональности g{jXlan' = О, тензорная производная которого
определяется из
^.^ ^^ = 0, F9.3)
но из F8.1)
<„ = *«**'• <69-4)
так что подстановка в F9.3) из F9.4) и F9.2) дает
а поскольку aap = g^x^xj^, получаем
') Приводимый здесь вывод следует схеме Мак-Коннелла (М с С о п-
n e 11 A. J., Applications of (he absolute differential calculus, 1931, стр. 201—205.)
2) Напомним, что nl a ~ —— + J* \ n)x%

202 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Решая это уравнение относительно сУ,, находим
уравнение F9.2) преобразуется при этом в
Таковы формулы Вейнгартена, которыми мы воспользуемся
в выводе уравнений Кодацци.
Уравнения, которые мы хотим вывести из условий инте-
интегрируемости F8.4), имеют вид
Образуем тензорную производную уравнения F9.4) и исполь-
используем F9.5) для того, чтобы получить
< PY = Ь
а», у" + Ь<ф\ V = 6аР, / ~ Ь
Подставляя из F9.7) в левую часть уравнения F9.6), находим
4, pv - <, YP = (*«*. Y - 6«Y. р) П1 ~ а"к FaP&6Y ~ 6aY66&) 4"
Отсюда
З. Y
Для того чтобы получить уравнения Кодацци, умножаем
F9.8) на пг и, поскольку х1ап{ = 0, приходим к искомому ре-
результату
Ьч, v - bay, р = 0- F9.9)
Вывод уравнений Гаусса осуществляется путем умноже-
умножения F9.8) на g{lxip:
F9.10)
Так как а, р принимают значения 1, 2, а &аР = 6ра, мы видим,
что получаются два независимых уравнения Кодацци и лишь
одно независимое уравнение Гаусса1). Независимые уравнения
Кодацци имеют вид
1) Ьаа, р - Ьч, а = 0 (а=^р) (не суммируется по а) F9.11)
либо, если ковариантные производные выписаны полностью,
с помощью
дЬ„а F 1 F ]
') Напомним, что

i 70| СРЕДНЯЯ И ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ 203
2) получаем
(а ф Р) (не суммируется по а). Уравнения Гаусса
Ъ\\Ьчц — Ь\2 = /?1212 F9.13)
в свою очередь связывают коэффициенты Ьа$ и аар в двух фун-
фундаментальных квадратичных формах.
Изложенное доказательство свидетельствует, что если аар и
bad являются фундаментальными тензорами поверхности 5:
хг = х*{и\ и2), то уравнения F9.11) и F9.13) удовлетворяются.
И наоборот, можно показать, что если две группы функций аар
и Ьа$, удовлетворяющих уравнениям F9.11) и F9.13), заданы
-заранее и если aa^duadu^— положительная определенная форма,
то поверхность 5 определяется (локально) с точностью до дви-
движения как твердого тела в пространстве. Доказательство ') этого
зависит от существования решения системы дифференциальных
уравнений типа, рассмотренного в § 39. Заметим, что если
Ьа$ = 0, то в силу F5.5) поверхность 5 преобразуется в пло-
плоскость.
§ 70. Средняя и полная кривизна поверхности
Если вспомнить определение F2.4) полной кривизны К:
K = *f-. а = аиа22-а\2, [62.4]
то уравнение F9.13) можно преобразовать к развернутому виду
Щ2^i = _. G0.1)
Таким образом, гауссова кривизна оказывается равной частному
дискриминантов второй и первой фундаментальных квадратич-
квадратичных форм.
Введем здесь другой важный инвариант Н, называемый сред-
средней кривизной поверхности. Он дается формулой
Н^\а°*Ьаъ, G0.2)
и мы увидим в § 72, что инварианты К и Н связаны замечатель-
замечательным образом с обыкновенной кривизной некоторых кривых,
имеющей отношение к нормальным сечениям поверхности.
') Более детальное исследование см. Е i s e n h a r t L. P., Introduction to
differential geometry, стр. 218—221, где рассматривается случай декартовых
переменных х%.

204
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
§ 71. Кривые на поверхности. Теорема Менье
Пусть уравнения гладкой кривой С, лежащей на поверхности
5: х* = х'(и', и\ G1.1)
С: ua = ua{s), G1.2)
заданы в виде
где 5 — параметр дуги. Если значения переменной ua(s) введены
в G1.1), то мы получим пространственные координаты xi кривой
С в виде
X — л. \Ь). у/ 1.0}
В этих уравнениях кривая С рассматривается как пространст-
пространственная. Свойства С можно будет теперь изучать с помощью фор-
формул Френе — Серре E0.1)—
E0.3) путем анализа ско-
скоростей изменения единично-
единичного касательного вектора к,
единичной главной норма-
нормали ц к единичной бинор-
бинормали V.
С другой стороны, если
мы будем рассматривать С
как поверхностную кривую,
определяемую уравнением
G1.2), то компоненты Ка
Рис. 29. единичного касательного
вектора к могут быть отне-
отнесены к пространственным компонентам к* того же вектора по
формулам
^.л j .а
G1-4)
дх1 dua
где
dxl
ds
и Л =
dua
~df
Вспомним также уравнение F3.4)
G1.5)
G1.6)
в котором г]а — единичная нормаль к С в касательной плоскости
и Kg — геодезическая кривизна С (рис. 29). Если мы продиффе-
продифференцируем внутренне G1.4) по s:
I
- Ха-
« 6s

§ 71] КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ. ТЕОРЕМА МЕНЬЕ 205
то, учтя формулу E0.1) Френе и уравнение G1.6), получим
Хц/ = х'а, рЛР + XgXaif,
Пространственные компоненты г\1 вектора ц примут вид ц' = х1аца,
и если привлечь формулу Гаусса х1а ^ = Ьа^п', то предыдущее
уравнение примет вид
г Л<У \ G1.7)
где п1 — единичная нормаль к поверхности 5.
Формула G1.7) констатирует, что главная нормаль jw, к С
лежит в плоскости векторов л и х\. Так как п, ц и % ортонорми-
рованы, а п X ц = К, то
V = i(l G1-8)
а поскольку к перпендикулярен к плоскости п и ц, то ц X « =
= >,sin 6, т. е.
-V = ^ sin 9, G1.9)
где 9 — угол между ц и п.
Умножая G1.9) на х, находим
е^хцЛN = vXi sin 9,
откуда после подстановки из G1.7) формула дает
{rf1 V) nfe = Xt sin 9.
Ho etfknjnk = 0, а е.цкц'пк = — Я.г в силу G1.8), откуда заклю-
заключаем, что
>^=-xsin9. G1.10)
С другой стороны, если образовать скалярное произведение
двух членов'уравнения G1.7) с щ и заметить, что «;fi'=cos6,
то получим
= 6ae^aA,p. G1.11)
Инвариант в Ьа$Ка№ в G1.11) принимает одно и то же значе-
значение для всех кривых на 5 с постоянным касательным вектором X
в Л В частности, он приобретает это значение для кривой, обра-
образующейся в пересечении нормальной плоскости, содержащей п
и "к. Но для каждого сечения нормальной плоскости угол 6 равен
либо нулю, либо я радианам, так что для нормального плоского
сечения xcos9 равно либо х, либо —х; так как входящий в пра-
правую часть уравнения G1.11) член является инвариантом, то зна-
значение произведения х cos 9 для любой кривой С, касательной к^,

206
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
равно кривизне х(П) нормального сечения в направлении к. Эта
кривизна Х(„) называется нормальной кривизной поверхности S
в направлении к. Мы можем поэтому переписать G1.11) в виде
„ и iaiP G1 1ОЛ
itl) — ttR Л* J \l I • 14}
где x(n) = xcos0. Соответственно уравнению G1.7) можно при-
придать вид
Это уравнение констатирует, что Х(П> и xg являются компонен-
компонентами вектора кривизны хц,г' в направлениях векторов пг и г\\
Результат, воплощенный в формуле G1.12), может быть ре-
резюмирован следующей теоремой.
Теорема Менье. Радиус кривизны R = 1/х произвольной
кривой в любой заданной точке на поверхности равен произве-
произведению радиуса кривизны /?(П)=
= 1/х(„) соответствующего нор-
нормального сечения в этой точке
на косинус угла между нор-
нормалью к поверхности и глав-
главной нормалью к кривой.
В символах мы выражаем
это так:
R = ± RM cos 9.
Если 5 — сфера, то каждое
ее нормальное сечение являет-
является большим кругом сферы, и
если С — какая-либо прове-
проведенная на сфере окружность,
то полученный только что результат становится очевидным из
элементарных геометрических соображений (рис. 30).
Если вспомнить, что ds2 = aa$duadu& и dua/ds = \a, то мы
убедимся, что формулу G1.12) можно привести к виду
Рис. 30.
6ap dua duP
аар dua dip
G1.13)
Заметим, что если поверхность является плоскостью, то нор-
нормальная кривизна ее x(n> = 0 во всех точках плоскости, если же
она сфера, то Х(П) = 1/R, где R — радиус сферы. Учитывая это,
заключаем из G1.13), что для плоскости 6аи = 0 и для сферы
ba$duadu$ = {\IR)aa$duadub, так что aap = Rba$ во всех точках
сферы.

§ 72] ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ 207
Задачи
1. Доказать, что геодезическая кривизна Kg и кривизна и некоторой по-
поверхностной кривой С связаны формулой xg = и sin 0, где 0 — угол между
нормалью к поверхности и главной нормалью к С.
2. Исследовать поверхность прямого кругового конуса
S: у1 = u1 cos и2, у2 = и1 sin и2, у3 = и1,
и кривой С: и1 = а, «2 = и2 на 5.
Написать уравнения кривой С по типу «' = а,_«2 = s/a, где s — параметр
дуги, и показать с помощью G1.6), что Y,g — V~212а. Проверить этот ре-
результат формулой G1.10).
3. Показать, что параллели и1 = const на достаточно гладкой поверх-
поверхности вращения
у1 =«' cos «2, у2 = и' sin и2, у3 = /(«')>
являются кривыми постоянной геодезической кривизны.
4. Кривая С иа поверхности 5 называется асимптотической линией, если
6ар ХаХ$ = 0 вдоль С. Показать, что главная нормаль И к асимптотической
линии является касательной к S, а бинормаль v является нормалью к S,
5. Показать, что нормальные кривизны в направлениях координатных
кривых выражаются формулами Ьп/ап и Ьгг\агг.
6. Доказать теорему: если некоторая кривая — геодезическая на поверх-
поверхности, то оиа либо прямая линия, либо ее главная нормаль ортогональна
к поверхности в каждой точке и обратно.
§ 72. Главные кривизны поверхности
В этом параграфе мы займемся определением направлений
Ка = dua/ds на поверхностях, нормальная кривизна которых щП),
заданная формулой
принимает экстремальное значение.
Поскольку вектор Ка единичный, величину >с(Г1) в G1.12) сле-
следует максимизировать лишь под ограничительным условием
аарЛР=1. G2.1)
Следуя обычной процедуре определения ограниченных максиму-
максимумов и минимумов, выводим необходимое условие для экстремума
6ai/ + Aaa/ = 0, G2.2)
где Л — множитель Лагранжа. Если уравнение G2.2) умножить
на Ка и учесть соотношения G1.12) и G2.1), то непосредственно
получим: Л = —Х(п). Таким образом, уравнение G2.2), опреде-
определяющее направления экстремальных значений для щп), могут
быть представлены условием
)Ap = 0 (a=l, 2). G2.3)

208 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
Система однородных уравнений G2.3) будет обладать нетри-
нетривиальными решениями для ЯР единственно лишь в том случае,
если значения Х(П) окажутся корнями детерминантного уравнения
I6ap-Oflapl = 0. G2.4)
Квадратное уравнение G2.4), будучи выписано в развернутой
форме, примет вид
tf-a-e&^ + iL-O, G2.5)
где Ь = |&аВ| и а = |ааР|.
Так как гауссова кривизна К задана выражением
*-|, [70.1]
а средняя кривизна Н равна
убеждаемся, что уравнение G2.5) принимает вид
ft2 - 2tfft + К = 0. G2.6)
Корни Ф = X(i) и ¦& = ХB) уравнения G2.6) называются главными
кривизнами поверхности, а направления Я,") и Я™2), отвечающие
этим экстремальным значениям Х(П), являются главными направ-
направлениями на поверхностях. Мы предоставляем читателю показать,
что эти направления вещественны.
Из G2.6) ясно, что главные кривизны Х(}) и xp> связаны со
средней и гауссовой кривизнами формулами
G2.7)
Из уравнения G2.3) следует, что главные направления опреде-
определяются из формул
) Ч °
Если первое из этих уравнений умножить на Яр), второе на Я">
и вычесть результаты, то мы получим
(>сB)->сA))аарЯ«)ЯР2) = 0. G2.8)
Если K(i)?rXB), то уравнение G2.8) приведет нас к выводу
A.B, <= 0, G2.9)

§ 72] ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ 209
гласящему, что главные направления ортогональны. Если экстре-
экстремальные значения х(П) равны в данной точке, то любое направле-
направление является главным.
Мы можем теперь подытожить полученные результаты.
Теорема. В каждой точке поверхности существуют два
взаимно ортогональных направления, для которых нормальная
кривизна достигает своих экстремальных значений.
Кривая на поверхности, обладающая тем свойством, что ли-
линия, касательная к ней в любой точке, ориентирована по глав-
главному направлению, называется линией кривизны. Дифференци-
Дифференциальное уравнение, для которого линии кривизны на 5 являются
интегральными кривыми, следует непосредственно из уравнений
G2.3). Если мы исключим из этих уравнений х(п) и положим
iP = du^/ds, то найдем
ИЛИ
{bnal2 - bl2an) {du1J + {bna22 — b22aii) dul du2 +
+ (bi2a22 - al2b22) (du2J = 0. G2.10)
В каждой точке S, где либо ba$duadu® ф 0, либо b^dw-dufr не
пропорционально aa$duadu&, уравнение G2.10) определяет два
ортогональных направления
U = <Pa(«\ и2) (а=1,2), G2.11)
которые совпадают с направлениями главных кривизн1). Каж-
Каждое уравнение в G2.11) определяет семейство кривых на 5,
сплошь покрывающих поверхность. Эти два семейства кривых
ортогональны, и если их принять в качестве параметрической
сетки на S, то первая фундаментальная форма примет вид
При этом уравнение G2.10) в координатной системе па преобра-
преобразуется в
- б12ап (du1J + (бпа2, - 522аи) du1 du2 + bl2d22 (du2J = 0,
а его решениями будут
и1 = const, и2 = const.
Если положить du1 ф 0, a du2 = 0, мы увидим, что bi2 = 0, так
как ацфО. Таким образом, необходимое условие для того,
') Мы исключаем те точки на S, в которых х(п) = 0 или x(i) = хB). См.
заключительные замечания в § 71,

210 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
чтобы сетка линий кривизны получилась ортогональной, гласит:
й12 = 612 =0. Наоборот, если а{2 — bi2 = 0, то G2.10) получает
решения: и1 = const, и2 = const, так что координатные линии
становятся линиями кривизны. Отсюда следует
Теорема. Необходимым и достаточным условием для того,
чтобы координатная сетка на, поверхности S {отличающейся от
плоскости и от сферы) была сеткой линий кривизны, является
выполнение требования, чтобы an = 612 = 0 во всех точках S.
Заметим, что для любой ортогональной сетки как на плоско-
плоскости, так и на сфере ai2 — bi2 = 0. Формула G1.9) для нормаль-
нормальной кривизны Х(п), если принятая координатная система является
сеткой линий кривизны, принимает вид
Если положить dul = 0, du2=?0 и <af«2= 0, ёи^ФО, то получим
к, = ——, х2 = ——
1 0ц 2 а22
для кривизны координатных линий щ = const и «2 = const. Ли-
Линии кривизны на 5 нельзя смешивать с нормальными сечениями
S. Нормальные сечения С„ являются по необходимости плоскими
кривыми, между тем как линии кривизны обычно бывают не
плоскими.
Заканчиваем этот параграф несколькими определениями.
Поверхность, во всех точках которой гауссова кривизна К по-
положительна, называется поверхностью положительной кривизны.
В этом случае (см. уравнение G0.1)) 6ц&22 — &?2>0, и так как
Щщ = &ар^р, мы видим, что главные радиусы R{n) = 1/щП) ко
всем нормальным сечениям поверхности с положительной кри-
кривизной имеют один и тот же знак. Если К < 0 в заданной точке,
главные радиусы имеют разные знаки. Тогда уравнение
Ьа^ = 0 G2.12)
определяет два направления, для которых радиусы кривизны
бесконечны. Поверхность, во всех точках которой К < 0, назы-
называется поверхностью отрицательной кривизны. Если К — 0 в не-
некоторой точке, направления, указанные в G2.12), совпадают и
для этого направления R бесконечно велик.
Из геометрических соображений ясно, что эллипсоиды, двупо-
двуполые гиперболоиды и эллиптические параболоиды являются
поверхностями положительной кривизны. Однополостные гипер-
гиперболоиды и гиперболические параболоиды — поверхности отри-
отрицательной кривизны.
Точка на 5 называется эллиптической, если главные кривизны
в ней ХA), ХB> одного знака. Отсюда следует, что х(П) в эллиптиче-

§72] ГЛАЗНЫЕ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ 211
ской точке не изменяет знака при любой перемене направления
нормального сечения. Точка называется гиперболической, если
X(i) и ХB> имеют противоположные знаки. В гиперболической точ-
точке имеются два направления, для которых х(п> = 0. Параболиче-
Параболическая точка характеризуется тем, что одно из значений X(i> или
ХB) обращается в нуль. В частном случае X(i> = хр), все значения
Х(п) равны и такие точки называются сферическими. В окрестно-
окрестности сферической точки поверхность выглядит сферой, и мы мо-
можем доказать, что если все точки 5 сферические, то поверхность
S является сферой. В некоторых руководствах сферические точки
называются также омбилическими.
Задачи
1. Дан эллипсоид вращения, поверхность которого определяется уравне-
уравнениями
у' = a cos «' sin и2,
у2 = a sin «' sin и2,
у3 — с cos и2, а2 > с*.
Показать, что
аи = a2 sin2 иг, а^ — О, а22 = a2 cos2 «г + с2 sin2 и2,
ас sin2 и2 , п . ас
" Va2 cos2 и2 + с2 sin2 и2 ' °'2 "' °" Va2 cos2 u2 + c2 sin2 u2
А — J*/i \^/о\
г
0ГB) (а2 cos2 и2 + с2 sin2 и2J '
Исследовать линии кривизны на этой поверхности.
2. Найти главные кривизны поверхности, определенной уравнениями
3. Показать, что геликоид
у1 = «' cos и2, у2 = «' sin иг, у3 = аи2
— поверхность отрицательной кривизны.
4. Показать, что если во всех точках поверхности 611622 — &?2 пропорцио-
пропорционально аца12 — а212, то 6ар = *аар, й = const. Пояснить этот результат гео-
геометрическим примером.
5. Доказать, что если каждая точка поверхности S параболическая, то
поверхность S развертывающаяся.
6. Дана поверхность вращения S, у1 = г cos <р, у2 = г sin <р, у3 — f(r), при-
причем }(г) класса С2. Доказать, что линиями кривизны на S являются мери-
меридианы г = const и параллели ф = const.
7. Обратиться к задаче 6 и показать, что поверхность вращения S, для
которой f'f" > 0 — эллипсоид, а для которой f'f" < 0 — гиперболоид; и если
{" = 0, то S — конус.
8. Пусть векторное уравнение кривой С, лежащей на гладкой поверх-
поверхности S, имеет вид r = r(s). Если я(s) — единичная нормаль к S в заданной
точке С, a v — параметр, измеряющий расстояние вдоль я, векторное уравне-
уравнение R(s, v) = r(s) + vn(s) определяет линейчатую поверхность 5'. Доказать,

2i2 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. It I
что S' — развертывающаяся, если С —линия кривизны, и наоборот. Схема
решения: обозначить коэффициенты во второй фундаментальной форме S'
через dap. Вычислить dap по формуле
где v' = s, с2 = и, а iV— единичная нормаль к S'. Показать, что d22 = 0.
Условие развертываемое™ dxi di2 — dl2 ~ 0 предполагает при этом, что dl2 = 0.
Но вдоль С N = dr/ds X n; отсюда
, dn dr
ds ds
Если dn/ds = 0 вдоль С, то S' — цилиндр, т. е. развертывающаяся поверхность.
Если dn/ds и dr/ds коллинеарны, то dn = k dr, что приводит к системе урав-
уравнений (bag—kaa^)du^—0 типа G2.3). Проследить этапы доказательства об-
обратного утверждения.
9. Пусть С — гладкая кривая, определяемая уравнением r = r(s). Каса-
Касательная поверхность S к С определяется уравнением R(s,v)= r(s)+ v(dr/ds),
где v — параметр, измеренный по касательной dr/ds. Доказать, что 5 — раз-
развертывающаяся поверхность. Кривая С называется краем регрессии (воз-
(возврата) для S.
10. Доказать теорему Дюпена. Координатные поверхности каждой три-
трижды ортогональной криволинейной координатной системы в Е3 пересекаются
по линиям кривизны координатных поверхностей. Указание. Рассмотреть по-
поверхность х3 = const и принять хх = и\ х2 = и2, как поверхностные коорди-
координаты при ней. Показать, что вдоль по координатным линиям «i = const,
«2 = const, 612 = 0, если u[2 = 0. См. задачу 4 § 67.
§ 73. Параллельные поверхности
Пусть 5 — гладкая поверхность, определяемая уравнениями
y> = yl(u\u*) (/=1,2,3), G3.1)
где координаты у{ ортогональные декартовы. Поверхность S,
описываемая уравнениями
у1 (и1, и2) = у1 {и\ и2) + hnl (и1, и2), G3.2)
где п{ — единичная нормаль к S, и h — расстояние, измеряемое
по нормали и, называется параллельной поверхностью к S.
Параллельные поверхности фигурируют преимущественно
в теории упругих пластинок и оболочек, в первую очередь в уста-
установлении отношений, связывающих гауссову кривизну К и сред-
среднюю кривизну Н поверхности 5 с соответствующими инвариан-
инвариантами для поверхности S.
Приступим к выводу этих соотношений, вспомнив прежде
всего что базисные векторы аа вдоль кривых иа = const связаны
с базисными векторами bit вдоль осей у* следующим образом:
«.-»*,-!?. [64.10]

§ 73] ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 213
Для упрощения записи введем обозначения (см. § 64)
ihF^V*' ~д^= У'а>
продифференцировав G3.2), получим
yia = yia + hnia, G3.3)
так что
ylji. = ylan. + hn{ п.. G3.4)
Но yiani = 0, так как аа ортогонален к и, a rcfara2 = 0, так как
nltii=\. Таким образом, G3.4) приводится к
y'jil = 0. G3.5)
С другой стороны, единичная нормаль щ к 5 ортогональна к ба-
базисным векторам у*а на S, так что
9'ап, = 0. G3.6)
Из G3.5) и G3.6) заключаем, что векторы щ и fii коллинеар-
ны, и поскольку они единичные векторы (орты), rii = щ. Метри-
Метрические коэффициенты aap поверхности 5 задаются') уравнением
«ар = Щ>
которое по исследовании G3.3) дает
«ар = (Уа + Ы\а) (#Р + Ы, р) = У\Л\ + Ы\Л + A«Vi + Щ<хП\$-
Подстановка в это выражение из формулы Вайнгартена F9.5)
приводит к
«ар = «аР ~
поскольку у1Л = аар.
Последний член в правой части формулы G3.7) может быть
выражен в з'ависимости от гауссовой кривизны К и от средней
кривизны Н нижеследующим способом.
Воспользовавшись уравнением F9.5), получаем
V <73-8)
поскольку у1уу1 = а С другой стороны, уравнения Гаусса F9.10)
требуют, чтобы
где
') См. F4.6). Следует также помнить, что gtt = S,j, так как координаты
у' прямоугольные декартовы.

214 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
в силу F2.5), так что
Умножим оба члена этого соотношения на аа6, суммируем по б
и заметим, что (см. § 62)
Находим
— Ка = aaSba b * — 2Я& G3.9)
поскольку
Я = {а«\5. [70.2]
Подстановка в первый член правой части уравнения G3.9)
из G3.8) дает
п1ап1^ = - /Саар + 2НЬа&, G3.10)
и потому мы можем теперь придать выражению G3.3) новый вид
«ар = «ар 0 - &К) - 2Л6ар A - ЛЯ). G3.11)
Важная формула G3.11) позволяет нам вычислять коэффи-
коэффициенты аар в заданной точке Р{иь и2) на 5 по значениям ааа,
Ьап, К и Я в соответствующей точке Р(ии и2) на 5.
Для того чтобы вычислить коэффициенты 5ар во второй фун-
фундаментальной форме S, вспомним, что
в силу F7.7). С другой стороны, из G3.3)
так что
Так как координаты у' прямоугольные декартовы, т = т,п*п*
= 1, то мы заключаем, что
Дифференцируя это соотношение ортогональности, находим, что
п'а&п{ ~ ~ rt'araip> и т0ГДа G3.12) можно будет представить в виде
Учитывая G3.10), получаем окончательно
. G3.13)

§74] ТЕОРЕМА ГАУССА-БОННЕ 215
С формулами G3.11) и G3.13) мы можем встретиться в мо-
монографии Т. Томаса1). Они весьма близко связаны с формулами
книги Л. П. Эйзенхарта2).
С определением коэффициентов аа$ и 5ар представляется
возможным вычислить гауссову и среднюю кривизны: К и Н из
формул G0.1) и G0.2). Результат несколько трудоемкой вычис-
вычислительной процедуры, с которой можно ознакомиться в упомя-
упомянутой монографии Т. Томаса, имеет вид
у_ К )
А l+h2K- ЫН ' I
Первая из этих изящных формул приводит к выводу, что в том
случае, когда 5 —развертывающаяся поверхность, параллельные
ей поверхности S также развертывающиеся.
Задачи
1. Показать, что если S — поверхность вращения, то параллельная поверх-
поверхность S — также поверхность вращения. Указание. Учесть соотношения:
г/1 = u1 cos а2, у2 = и> sin и2, и3 - /(и1). __
2. Показать, что главные радиусы Л(а) нормальной_кривизны S связаны
с главными радиусами Л (а) параллельной поверхности S соотношением
§ 74. Теорема Гаусса — Бонне
Описание поверхностей системами дифференциальных урав-
уравнений носит локальный характер, поскольку соотношения между
производными передают лишь те свойства поверхностей, которые
распространяются на ближайшую окрестность той или иной их
точки. Для того чтобы получить результаты, сохраняющие значи-
значимость для всей поверхности в целом, надлежит произвести инте-
интегрирование. Но по причине сложности структур дифференциаль-
дифференциальных уравнений теории поверхностей, возможности получения та-
таких результатов, распространяющихся на поверхность в целом,
весьма ограничены, а полученные решения для геометрии «в це-
целом» относятся преимущественно лишь к узко специальному
классу выпуклых поверхностей. Достигнут здесь лишь один важ-
важный классический результат, связывающий интеграл гауссовой
кривизны по площади произвольной гладкой поверхности с ли-
линейным интегралом геодезической кривизны, вычисленным по
') Thomas Т. Y., Concepts from tensor analysis and differential geo-
geometry. Academic Press 1961, стр. 110—111.
2) Eisenhart L. P., Differential geometry, Princeton Press, 1940, стр. 272.

216
ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ill
кривой, ограничивающей площадь. Гаусс оценил этот результат
как самую изящную теорему геометрии поверхностей «в целом».
Пусть D — область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой
кривой С, проведенной на гладкой поверхности 5, показанной на
рис. 31. Предположим, что D гомеоморфна круглому диску1).
Мы видели в § 63, что единичный
вектор Ха, касательный к поверх-
поверхностной кривой С, связан с единич-
единичным вектором г)а, нормальным к Яа,
соотношением
_бЯ_а
6s
¦ = х„
[63.4]
Рис. 31.
где v.g — геодезическая кривизна С.
При этом, если С — геодезическая
линия, то %g = 0 во всех точках С
и обратно.
Так как вектор т)а ортогонален к Ха, то из заключительного
абзаца § 54 следует, что еа(зЛсДр = 1 или
Но из F3.4)
откуда
G4.1)
Интегрирование этого выражения по кривой С дает
8ав^ Ло ®S,
G4.2)
и если линейный интеграл в правой части уравнения G4.2) пре-
преобразовать в поверхностный интеграл формулы Грина, то мы
найдем, что1)
|хгс?5 = — J ^ К do + 2л-^(л-щ), G4.3)
') Две области называются гомеоморфными, если они могут быть вза-
взаимно отображены путем непрерывного взаимно однозначного соответствия.
2) Детали несложных вычислений можно найти в следующих книгах:
В. А. Погорел о в, Дифференциальная геометрия, Физматгиз, Москва 1959;
Eisenhart L. P., Differential geometry, Princeton 1940, стр. 191; S t r u-
ik D. J., Lectures on classical differential geometry, Addison-Wesley 1950,
стр. 154.

,74]
ТЕОРЕМА ГАУССА-ЁОННЁ
217
где а* — внутренние углы контура С, показанного на рис. 31,
а da = У a dul du2 — элемент площади D поверхности. Если кри-
кривая С — гладкая, сумма 2(я-~аг)=0.
i
Формула G4.3) резюмирует содержание теоремы Гаусса —
Бонне. Вместо того чтобы выводить эту теорему с помощью фор-
формулы Грина, мы даем геометрическую интерпретацию формулы
Рис. 32.
G4.3), подсказывающую иной вариант определения гауссовой
кривизны.
Рассмотрим прежде всего сферу 5 радиуса R и сферический
треугольник Р^Р2Рз на 5 (рис. 32), образованный дугами Л-Рг»
Р2Р3, P3P1 трех больших кругов. Обозначим внутренние углы
треугольника в вершинах /\- через ос* и наложим на сферу неко-
некоторую координатную сетку (и1, и2). Пусть й\ — базисный вектор
вдоль координатной линии ии берущий начало в точке Pi, a
A(Pi)—произвольный поверхностный вектор, берущий начало
в Р[. Обозначим угол между ах и А(Р\) через ф. Пусть 0 — угол,
образуемый лучом А(РХ) с геодезической дугой Р\Р2. Если век-
вектор Л(Р\) переносится параллельно вдоль контура геодези-
геодезического треугольника Р\Р%РЪ, то он займет положение А'(Р{),

218 ГЕОМЕТРИЯ {ГЛ. Ill
показанное на рис. 32. Наша непосредственная цель — опреде-
определить угол ф' между О! и A'(Pi).
При параллельном переносе A(Pj) вдоль PtPn угол Э
остается постоянным (см. § 60) и вектор А займет положение
А(Р2) относительно геодезической jtyrn Р2Рз, и тогда
Р = я - (а2 + 6).
В ходе параллельного переноса вектора А(Р2) вдоль Р%Р$ вектор
А продолжает сохранять угол |3 с Р2РЪ и достигнув точки Р3,
он примет положение А (Р3). Пусть у — угол между А(Р3) и
дугой Р\Рг, тогда
у = а3 — Р = а3 - [л — (eta + 8)] = а, + а3 + 8 - л.
Продолжая переноситься вдоль PsPi, вектор А сохраняет
постоянным угол у, образуемый им с Р\Р3, до тех пор, пока, до-
достигнув точки Р[, он не займет положения А'(Р{). Тогда угол q/,
образуемый вектор А'(Р\) с аь выразится алгебраической сум-
суммой
а3 + ф — л,
откуда определится и угол ф'— ф, образуемый векторами А(Р')
иА(Р):
q/ — ф = а, + а2 + а3 — я. G4.4)
Приращение ф' — ф, представляющее собой разность между сум-
суммой внутренних углов сферического треугольника PiPzPs и сум-
суммой внутренних углов плоского прямолинейного треугольника,
называется сферическим избытком сферического треугольника
PiPzPs- Если вместо внутренних углов а мы введем внешние
углы 8г = я — <Xj, формула G4.4) примет вид
п
ф' — ф = 2я — 2 9*-
Если вектор А переносится по контуру геодезического
п-стороннего многоугольника, то совершенно сходные вычисле-
вычисления приведут нас к значению сферического избытка для много-
многоугольника 1)
п
ф' - Ф = S a* - (л - 2) л,
i-l
ИЛИ
п
ф' — Ф = 2я — 2 8j,
') Заметим, что сумма внутренних углов прямолинейного многоугольника
с я сторонами равна (п — 2)я радианам.

§ 74] ТЕОРЕМА ГАУССА-ВОННЕ 219
если мы воспользуемся внешними углами 8* = я — ос*. Но из
сферической тригонометрии известно, что сферический избыток
геодезического многоугольника равен o/R2, где а — площадь мно-
многоугольника, a R — радиус сферы.
Таким образом,
а поскольку гауссова кривизна К для сферы равна 1/^2, мы
вправе утверждать, что
К,^Ж. G4.6)
Эта формула допускает обобщение, приводящее к формуле
-G4.3) Гаусса — Бонне для случая, когда С на рис. 31 представ-
представляет собой геодезический полигон. А именно, если область D
разбить малыми геодезическими полигонами на подобласти
площадью dai, то обычные приемы интегрального исчисления,
примененные к G4.5), дают нам
J J
К da = 2я - ]? в,. G4.6)
2 = 1
Эта формула совпадает с G4.3), поскольку xg = 0, где С — гео-
геодезический многоугольник.
Формула G4.6), впервые полученная Гауссом, была обобще-
обобщена Бонне1) к виду G4.3), который, как мы уже заметили, выво-
выводится непосредственно из G4.2) с использованием формулы
Грина.
Левая часть формулы G4.6) Г I /Сс?сг называется интеграль-
D
ной кривизной D. При этом обнаруживается, что интегральная
кривизна представляет собой топологический инвариант. Две по-
поверхности называются топологически эквивалентными, если они
допускают взаимное отображение путем непрерывного взаимно
однозначного преобразования. Исходя из формулы G4.3), можно
показать, чт*о интегральная кривизна К do, равна 4я, для
D
всех регулярных поверхностей топологически эквивалентна сфе-
сфере, а Г J Kdo = 0 для всех регулярных поверхностей топологи-
D
чески эквивалентна тору2).
¦) Bonnet О., Journal ecole polytechnique 19 A948), стр. 1—148.
2) См. S t r u i k D. J., Lectures on classical differential geometry Addison-
Wesley, 1950, стр. 153—159.

220 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
§ 75. и-мерные многообразия
Целью настоящего параграфа является введение нескольких
понятий из геометрии «-мерных метрических многообразий, пред-
представляющих интерес в приложениях к динамике и к теории отно-
относительности. Многие из этих понятий представляют собой непо-
непосредственные обобщения идей, введенных в этой главе в связи
с изучением поверхностей, расположенных в трехмерных евкли-
евклидовых многообразиях.
Будем предполагать, что элемент расстояния между двумя
близко расположенными точками в «-мерном многообразии
дается квадратичной формой
ds2 = gu dxl dxj (i, j = 1, ..., n), I gtl I Ф 0. G5.1)
Обобщим определение евклидова пространства, данное в § 29,
называя пространство евклидовым, если в нем существует преоб-
преобразование координат х\ приводящее элемент ds2 к квадратичной
форме с постоянными коэффициентами. Так как каждая вещест-
вещественная квадратичная форма с постоянными коэффициентами мо-
может быть приведена вещественным линейным преобразованием
к форме
ds2 = li(dx1J (lt=±l), G5.2)
то форма G5.2) может быть использована для определения евк-
евклидова «-мерного многообразия.
Если, в частности, форма G5.2) определенная, мы скажем,
что многообразие чисто евклидово, а если она неопределенная,
то многообразие назовем псевдоевклидовым.
О линейном многообразии, определяемом системой « уравне-
уравнений
С: х1 = х' (t), t{ < t < t2,
с надлежащими свойствами дифференцируемое™, утверждается,
что оно определяет кривую С в n-мерном многообразии.
Если форма G5.1) положительно определенная, мы скажем,
что положительное число
и
s = [ Vgu (dx'/dt) (dxj/dt) dt
есть длина кривой С. Существуют определения метрических мно-
многообразий, не основывающиеся на выражении элемента дуги
в форме G5.1), но они не входят здесь в круг наших интересов
(см. §43).
Вектор X1 — dxl/ds определяет направление кривой, и ясно,
что gnW''= 1, так что вектор ^' — единичный вектор. Длина
любого вектора А' дается формулой
А = Vg^A1,

§ 75] n-МЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 221
Понятие угловой метрики в /г-мерном многообразии — это
прямое непосредственное обобщение определения угла в трех-
трехмерном случае.
Если Я1' и ,ц* — два единичных вектора, то мы определяем
косинус угла между ними формулой
cos e = &/А.У. G5.3)
Из этого определения не следует, что угол 0 обязательно ве-
веществен. Но мы докажем, что это всегда так, если форма
gijdxidxi положительно определенная. Доказательство опирается
непосредственно на неравенство Коши — Шварца
1J'), G5.4)
где форма gvpxi > 0.
Установим сначала неравенство G5.4). Пусть форма Q(x) =
= gijX'xJ положительно определенная. Если мы заменим в ней
х1 на xi + куг, где Я— произвольный скаляр, то получим
Q (х + Ху) =з gu {х1 + Ху1) {х> + Ху1) =
= guxlx> + 2gi!xlyiX + gaylyJtf = Q(x) + 2Q(x, y)X + Q(y)X\
Это — квадратичное выражение относительно X с вещественны-
вещественными коэффициентами. В силу гипотезы Q (х + Ху) ^ 0, где знак
равенства сохраняется в том и только в том случае, когда
х{ -f- Xyi = 0. Следовательно, уравнение относительно X
Q(x) = 0
не имеет различных вещественных корней. Но необходимым и
достаточным условием этого должно быть соотношение
[Q(x,u)Y-Q(y)Q(x)<0,T. e.
Это и есть неравенство G5.4).
Если теперь в формуле G5.4) мы положим х1 = ,V и у' = \х\
то получим
(
а так как Я* и ц* — единичные векторы, мы имеем (gijX^iJ^. 1,
т. е. угол Э в формуле G5.3) вещественный.
Определим элемент объема в Rn формулой
йх^У^йхЫх2 ... dxn,
а объем — соответствующим /г-кратным интегралом.
Обобщение понятий кривизны и кручения на кривые, нахо-
находящиеся в п-мерных римановых многообразиях, не представляет

222 ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. Ill
затруднений1), но процедура быстро осложняется с переходом
к кручению гиперповерхностей.
Система п уравнений
x* = xl(u\ и2, ..., ит) (г=1, 2, ..., п), т<д, G5.5)
определяет допустимо параметризованное m-мерное многообра-
многообразие или гиперповерхность в окрестности переменных «а, если:
(а) хг в G5.5) относятся к классу С2 и (б) якобиан-матрица
(дх1/диа) (а = 1, 2, ..., т) обладает рангом т в каждой точке
окрестности.
В §§ 64—73 мы изучили двумерные римановы многообразия
(поверхности), расположенные в Е3. Естественно возникает во-
вопрос: при каких обстоятельствах m-мерное многообразие Rm
с римановой метрикой
ds2^aa&duadu^ (а, р= 1, 2, ..., т) G5.6)
может быть помещено в «-мерное евклидово многообразие с
ds2 = dxl dxll G5.7)
Уравнения G5.5) с G5.6) требуют, чтобы
fl<* = f^l? ('"I. 2,..., п). G5.8)
Система -^т(т-\-\) дифференциальных уравнений G5.8)
в частных производных относительно п переменных х{ может
быть решена только при выполнении условия «^ут(т+1);
иначе говоря, если т = 2, то «> 3, если т = 3, то п >6, и т. д.
Эта оценка, однако, еще не доказывает, что m-мерное многооб-
многообразие может быть вложено в Еп всякий раз, когда
п~^-^т{т-\-\). С другой стороны, однако, представляется
возможным доказать, что окрестность пространства Rn может
быть вложена в Еп, если я^у m(m + 1). Но что касается во-
вопроса о полном вложении всего пространства Rm в Еп, то почти
никаких общих результатов не известно. Существует несколько
теорем частного характера о вложении двумерных многообра-
многообразий с частными топологическими характеристиками. Почти все
они распространяются лишь на выпуклые двумерные многооб-
многообразия 2). Задачи вложения стоят ныне на переднем фронте
научно-исследовательской работы в геометрии.
') См., например, G е г г е t s е п J. С. Н., Lectures on tensor calculus and
differential geometry, гл. 6.
2) Cm. Nirenberg L., The Weyl and Minkowski problem, Comm. on
Pure and Appl. Math. 6, 1948; А. В. Погорел о в, Некоторые вопросы гео-
геометрии в целом в римановом пространстве, Гостехиздат, Москва 1957.

ГЛАВА IV
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ 76. Основные понятия. Кинематика
Аналитическая механика представляет собой математическое
описание движения материальных тел, подвергающихся воздей-
воздействию сил. Ее изложение строится по обычной схеме. Мате-
Материальное тело предполагается состоящим из большого числа
мелких частиц материи, соединенных между собой теми или
иными способами. В первую очередь внимание исследователя
направляется на такую отдельную частицу, причем предпола-
предполагается сначала, что она свободна от каких-либо связей, а затем
ее поведение анализируется в условиях воздействия на нее
внешних сил. Получаемый в результате такого анализа комплекс
знаний составляет механику частицы. Для того чтобы перейти
от механики единственной частицы к механике совокупностей
частиц, составляющих материальное тело, мы вводим принцип
суперпозиции сил и принимаем специальные допущения от-
относительно природы связывающих сил в зависимости от того,
является ли рассматриваемое нами тело твердым, упругим,
пластичным, жидким или иным.
Изучение механики сплошных сред мы начнем с анализа
движения одной-единственной частицы. Мы предполагаем при
этом, что такая частица представляет собой идеализированный
объект, характеризуемый положением в пространстве и инер-
инерцией, но не обладающей протяженностью в пространстве. Ме-
Мерой инерции является масса, и потому такую частицу называют
материальной точкой. Другим основным понятием механики яв-
является понятие времени, возникающее из предпосылки причинной
связи между физическими событиями. Гипотеза причинной связи
явлений подразумевает возможность расположения событий в оп-
определенном порядке, причем время ^входящее в описание физиче-
физического пространства, предстает в качестве независимого параметра,
диапазон изменений которого — континуум вещественных чисел.
Мы предполагаем, что физические события происходят
в трехмерном пространстве, обладающем евклидовой метрикой,
а положение частиц в указанный момент времени t относим

224 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
к некоторой криволинейной координатной системе отсчета X.
Как и при изучении геометрии в главе III, обозначим коорди-
координаты частицы относительно системы прямоугольных декартовых
осей символами у\ Из сказанного ясно, что положение частицы
является понятием относительным, зависящим от выбора си-
системы отсчета. Система координат, общепринятая в астрономии,
определяется системой так называемых неподвижных звезд. Она
называется первичной инерциальной системой. Любая иная си-
система осей, движущихся относительно первичной инерциальной
системы с постоянной скоростью, называется вторичной инер-
инерциальной системой. В решении многочисленных задач механики
движение Земли относительно первичной инерциальной системы
столь незначительно, что законы Ньютона (§ 77), выведенные
в том предположении, что они имеют силу лишь в инерциаль-
ных координатных системах, в действительности, однако, допу-
р екают применение без всяких поправок и
2 в изучении движения частиц, отнесенных
к системе осей, связанной неподвижно
с Землей.
Если частица меняет свое положение
в принятой системе отсчета, то говорят, что
она испытывает перемещение. Так, напри-
например, предположим, что наша частица на-
находится в точке Р\ в момент времени t. Ее
положение в этот момент времени задается
вектором Г\\ в последующий момент вре-
времени t + At частица займет положение Р2,
Рис зз определяемое радиусом-вектором г2. Обо-
Обозначим перемещение частицы за интервал
времени At вектором Р\Р2 = Аг (рис. 33) и положим, что части-
частица проходит в дальнейшем непрерывный путь, представляемый
геометрической суммой векторов элементарных перемещений dr.
Определим среднюю скорость частицы на перемещении Аг
формулой Т'ср = Art At и допустим, что это отношение стремится
к единственному пределу при At—>0. Тогда мгновенная скорость
г> выразится формулой dr/dt = г = v. Скорость v является, ко-
конечно, вектором.
Случай, в котором dr/dt оказывается постоянной величиной,
представляет в механике сравнительно меньший интерес, и во-
вообще мы будем иметь дело с движениями, обладающими уско-
ускорением. С этой целью мы определяем среднее ускорение ча-
частицы в интервале времени At формулой аср = AvjAt и мгно-
мгновенное ускорение формулой
,. At» dv d2r
1^

§ 7?1 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА ДИНАМИКА 225
В дальнейшем, если это не оговорено особо, слова скорость и
ускорение мы будем понимать как мгновенные значения этих
величин.
Скорость и ускорение относятся в механике к кинематиче-
кинематическим понятиям, в отличие от понятий, связанных с идеей силы.
Рассмотрим эти понятия в нижеследующем параграфе.
§ 77. Законы Ньютона. Динамика
В 1687 г. Исаак Ньютон опубликовал три аксиомы или за-
закона, из которых первый был основан на выводах из серии
замечательных опытов, проведенных Галилеем A564—1642)
с твердыми телами, движущимися по наклонным плоскостям,
другие же два представляли собой глубокое истолкование смыс-
смысла полученных в этих экспериментах результатов. Эти законы
явились отправным пунктом всего дальнейшего развития ди-
динамики, и мы приводим их здесь в почти дословном переводе
с латинского текста Ньютона, каким он вышел в издании 1726 г.
под заглавием «Математические начала натуральной филосо-
философии» («Philosophia naturalis principia mathematica»). Совре-
Современной формулировкой их в аналитической механике мы обя-
обязаны главным образом Ж. Л. Лагранжу A736—1813), выдаю-
выдающееся произведение которого «Аналитическая механика» было
написано в 1788 г., и У. Р. Гамильтону A805—1865), знамени-
знаменитый принцип которого резюмирует в одной формуле все содер-
содержание механики.
Законы Ньютона1)
I. Всякое тело продолжает оставаться в состоянии покоя или
равномерного движения по пряуной линии, пока оно не будет
вынуждено приложенными силами изменить это состояние.
II. Изменение движения пропорционально приложенной дви-
движущей силе и совершается в направлении прямой линии, по ко-
которой приложена эта сила.
') Приведенная здесь формулировка законов Ньютона — перевод с ан-
английского текста книги И. С. Сокольникова. Существующее на русском языке
издание трактата И. Ньютона «Математические начала натуральной филосо-
философии» представляет собой перевод с латинского издания 1871 г., выполненный
академиком А. Н. Крыловым. См. Собрание трудов, т. VII, Изд-во АН СССР,
1936. В этом переводе текст законов формулируется следующим образом:
«I. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или
равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оио не пону-
понуждается приложенными силами изменить это состояние.
II. Изменение количества движения пропорционально приложенной дви-
движущей силе и происходит по направлению той прямой, на которой эта сила
действует.
III. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие,
иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и на-
направлены в противоположные стороны». {Прим. пер.)
8 И. С. Сокольников

226 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (ГЛ. IV
III. Всякое действие встречает всегда равное и противопо-
противоположно направленное противодействие; или: взаимодействия двух
тел всегда равны и противоположно направлены по одной и той
же прямой линии.
Первый закон опирается на динамическое понятие силы и
на кинематическую идею равномерного прямолинейного движе-
движения. Он приписывает антропоморфные свойства материальной
частице, поддающейся влечению продолжать свое движение по
прямой линии, но каким-то способом отклоняемой от своих наме-
намерений толчками или притяжением. Ньютон, несомненно, чувство-
чувствовал, что понятие силы воспринимается интуитивно и не требует
дальнейших объяснений. Ныне мы видим, что первый закон в
действительности является следствием второго.
Второй закон движения также вводит кинематическое поня-
понятие движения и динамическую идею силы. Для того чтобы по-
понять его смысл, следует заметить, что Ньютон применяет термин
движение (motion) в смысле количества движения, т. е. произ-
произведения массы на скорость. Таким образом, «изменение движе-
движения» означает темп изменения количества движения на единицу
времени, поэтому в векторном обозначении второй закон можно
представить формулой
Р = ^ G7.1)
при условии, что мы выберем наши единицы измерения таким
образом, чтобы коэффициент пропорциональности сохранялся
постоянным и равным единице. Если считать массу неизменной,
то уравнение G7.1) принимает обычный вид:
F = та. . G7.2)
Из уравнений G7.1) видно, что если F = 0, то и d(mv)/dt = О,
т. е. mv = const; и, следовательно, вектор v — постоянный век*
Тор. На этом основании заключаем, что первый закон Ньютона
является следствием второго закона.
Понятие массы можно, очевидно, определить вторым зако-
законом как функцию силы и ускорения. Предлагались многочислен-
многочисленные попытки определить массу и силу независимо одну от
Другой. Самым известным из таких определений мы обязаны
Эрнсту Маху1), сформулировавшему определение массы на
основе третьего закона движения. По нашему мнению, однако,
тонкий анализ Маха в его определении массы обнаруживает
Некоторые логические трудности, Не поддающиеся разрешению
!) М а с h E., the science of mechanics. Интересное изложение этого опре-
определения приводится в книге: Lindsay R. В., Margenau H., Foundations
of physics.

§ 78] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ. РАБОТА. ЭНЕРГИЯ 227
средствами одного лишь третьего закона. По этим соображе-
соображениям наилучшим, по-видимому, выходом из положения было
бы оставить один из краеугольных камней здания механики —
массы или силы — без определения и включить его в состав
науки механики на тех же правах, на которых математика
принимает «богом созданные» целые числа.
Третий закон движения констатирует, что ускорения возни-
возникают всегда попарно. Пользуясь термином силы, мы вправе
утверждать, что если сила действует на данное тело, то это
тело оказывает равное противоположно направленное воздей-
воздействие силы на какое-либо иное тело. Ньютон называл два
аспекта силы действием и противодействием (реакцией)—тер-
(реакцией)—терминами, вошедшими и в обычные формулировки закона.
Масса, входящая в формулировку законов Ньютона, назы-
называется иногда инертной массой (или просто инерцией) для того,
чтобы отличить ее от гравитационной массы М, входящей в за-
закон тяготения Ньютона. Этот закон утверждает, что сила при-
притяжения между частицами пропорциональна произведению их
масс, обратно пропорциональна квадрату расстояния г между
ними и направлена по прямой линии, соединяющей частицы.
В обычных обозначениях закон формулируется таким образом:
^, G7.3)
где А —универсальная константа, а г—вектор, направленный
от массы Mi к массе М%-
Если принять, как это обычно делается, что гравитационная
и инертная массы равны, закон G7.3) дает практический спо-
способ сравнения масс с помощью'коромысловых весов.
Для того чтобы развить науку механики для системы, со-
состоящей более чем из двух частиц, к ньютоновым законам необ-
необходимо присоединить принцип суперпозиции сил и ввести даль-
дальнейшие гипотезы, относящиеся к природе связей.
§ 78. Уравнения движения частицы.
Работа. Энергия
Пусть положение движущейся частицы Р определяется век-
вектором г. Если криволинейные координаты конечной точки век-
вектора г обозначить через х1A), то движение частицы по прохо-
проходимому ею пути С можно представить уравнением
С: xl = xl{t), G8.I)
в котором кривая С называется траекторией частицы.

228 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. [V
Скорость точки Р представляет собой вектор v = drjdt, ком-
компонентами которого являются
Ускорение а = dvjdt = d2r/dt2 имеет компоненты (см. §§ 46
и 47)
Л
где bv'lbt — внутренняя производная, а-! .^ [—символы Кристоф-
феля, вычисляемые из метрического тензора gij, связанного
с системой отсчета X.
Если масса точки Р равна т, то второй закон движения
Ньютона дает уравнение F = md^r/dt2 или
В прямоугольных декартовых координатах уравнение G8.4)
принимает обычный вид Fl = md2yijdt2.
Введем теперь понятие энергии, которое позволит нам об-
облечь теорию в более изящную формулировку. Понятие энергии
употреблялось еще Галилеем, заметившим, что «выигрыш
в энергии есть проигрыш в скорости», однако впервые четко
понятие энергии как количества, равного произведению массы
на квадрат скорости частицы (vis viva — «живая сила») было
введено в механику Гюйгенсом в XVII столетии. Полное же ис-
использование этой идеи и обнаружение ее связи с понятием ра-
работы заставило себя долго ждать и реализовалось лишь
в XIX веке.
Определим элемент работы, произведенной силой F на пе-
перемещении dr, инвариантом dW = F-dr, и так как компонен-
компонентами F и dr являются соответственно F* и dx\ то это скалярное
произведение равно
dW^guF'dx'^Fjdx1, G8.5)
где Fj = gijF* — ковариантные компоненты вектора F. Мы будем
предполагать вообще, что функции Fi{x), определяющие век-
векторное поле F, принадлежат классу С1. Работа, произведенная
на перемещении частицы по траектории С, соединяющей пару
точек Pi и Рг, выражается криволинейным интегралом
Pi
W= J Fidx1. G8.6)

§ 78] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ. РАБОТА ЭНЕРГИЯ 229
Воспользовавшись вторым законом движения Ньютона G8.4),
преобразуем G8.6) к виду
р2 и
W = / т?ч Ж dx' = / т2н "Ж v'dL
p, t,
Ho
а поскольку guv'v1 — инвариант,
в/
и отсюда
Подстановка этого результата в подынтегральное выраже-
выражение G8.7) дает
W = | f
где
G8.8)
Мы приходим к результату, что работа, произведенная си-
силой F на перемещении частицы от точки Pi до точки Р2, равна
разности значений величины T = —mv2 в конце и в начале пе-
ремешения. Мы определим величину T = -^mv2, составляющую
в точности половину «живой силы» (vis viva) Гюйгенса, как
кинетическую энергию частицы.
Формула G8.8) может быть интерпретирована как
Теорема. Работа, произведенная на перемещении частицы
по ее траектории, равна изменению кинетической энергии ча-
частицы.
Может случиться, что силовое поле F, таково, что интеграл
G8.6) не зависит от пути. В этом сл\чае подынтегральная ве-
величина F,ofx' является точным дифференциалом
dW = F{ dx{ G8.9)
функции работы W, Отрицательное значение функции работы W
называется силовым потенциалом или потенциальной энергией,

230 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Мы обозначим потенциальную энергию символом V и заключим
из G8.9), что
Ft--%- G8.10)
Силовые поля, для которых существуют потенциальные функ-
функции, называются консервативными. Имеется простой критерий
установления консервативности силового поля.
Теорема. Необходимым и достаточным условием для того»
чтобы силовое поле Fi, определенное в односвязной области,
было консервативным, является равенство F^ j = F^ i.
Доказательство этой теоремы следует непосредственно из
замечания, что необходимое и достаточное условие для того,
чтобы выражение Fidx1 было точным дифференциалом однознач-
однозначной функции V, сводится к равенству
dFt dF,
поскольку эти производные предполагаются непрерывными
функциями1). Но
dF
поскольку же \ .. > симметричен относительно I и /, заключаем,
что условие G8.11) полностью эквивалентно устанавливаемому
вышеприведенной теоремой.
В заключение отметим, что параллельное силовое поле § 48
необходимо консервативно, так как условием для того, чтобы
векторное поле F, было параллельным, является равенство
§ 79. Уравнения движения Лаграижа
Иную в сравнении с ньютоновым законом G8.4), выражен-
выраженным в терминах кинетической энергии частицы, формулировку
получил этот же закон у Лагранжа, исходившего из принципа,
с которым мы познакомимся в § 84. В настоящем параграфе
мы выведем эти уравнения непосредственным вычислением, опи-
опираясь на второй закон движения Ньютона.
Кинетическую энергию Т = ута2 можно представить таким
выражением
%4', G9.1)
') Если рбласть многосвязна, условия G8.11) еще продолжают гаранти-
гарантировать существование потенциала V, связанного с Ft формулой G8.11), но
в этом случае функция V вообще многозначна,

§ IS] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛАГРАНЖА 231
так как ,¦?¦• = v*. Если продифференцировать G9.1) по х\ то мы
получим dT/d:i' = tngijxK Производная этого выражения по t
получает вид
Вычтя из нее производную G9.1) по х\ а именно
дх1 2 дх1 '
находим
dtW) aJ~m[8i'X +J\dx* + dxJ дхЧХХ Г
- m {gux1 + [jk, i] xjxk} = mgii [xl + { l}k } x'x").
Но в силу G8.3) выражение в скобках в правой части пред-
представляет собой ускорение а1, а поскольку tngna1 — max — Ft, мы
вправе написать
А/ЮД G9.2)
dt \ dxl I dxl ''
Уравнения G9.2) передают содержание второго закона Ньютона
в форме, предложенной Лагранжем.
Для консервативной системы Fi = —dV/dx' и уравнения
G9.2) преобразуются в
d I дТ \ дТ dV
ИЛИ
Вспомним, что потенциальная энергия V является функцией
одних лишь координат х1; если поэтому ввести функцию Ла-
Лагранжа
L^T-V,
то уравнению G9.4) можно будет придать вид
jL/J^_W о. G9.5)
dt \ дх1 / дх1 v '
В применении уравнений Лагранжа к частным задачам чаще
приходится иметь дело с физическими компонентами F1 вектора
силы F, чем с тензорными компонентами F1. Вспомним, что
физические компоненты F являются коэффициентами в выра-
выражении

232 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
где е, — единичные векторы, совпадающие по направлениям
с базисными векторами аг (см. § 48). Так как F = F'ah
a di-a.) = gij, то физические компоненты F1 связаны с тензор-
тензорными компонентами F1 формулой Fl=VguPl (без суммирова-
суммирования индексов).
Задачи
1. Показать, что ковариантные компоненты вектора ускорения в сфери-
сферической координатной системе ds2 = (dx1J + (xldx2J + (х1J sin2 x2(dx3)s опре.
деляются следующими выражениями:
а^х1-х' (х2J - х1 (х3 sin х2J,
°2=~dj[(х1J *2J ~(*1J sin *2 cos х* (*3J>
Вывести эти выражения из формулы G8.3), а также из уравнения Лаграижа
т I ds\2 mg,, .
G9.2). Указание. F. = mait ^-^-(^j-J ^-^-х1х'.
2. Использовать уравнения Лагранжа в доказательстве того, что если
частица не подвергается действию сил, то ее траектория выражается уравне-
уравнением yi = аЧ + Ь\ где ai и Ь* — постоянные величины, а У' — прямоуголь-
прямоугольные декартовы координаты.
3. Найти с помощью уравнений Лагранжа траекторию частицы, движу-
движущейся в однородном гравитационном поле. Указание. Т — — ту1у1 и V = mgys,
где у3 — нормаль к плоскости Земли.
4. Вывести из уравнений Ньютона уравнение энергии Т + V — ft, где ft —
постоянная величина. Указание. Показать, что dT/dt = map! = —dVjdt.
5. Доказать, что если частица движется таким образом, что ее скорость
постоянна по величине, то ее вектор ускорения либо ортогонален к вектору
скорости, либо равен нулю. Указание. Вычислить внутренние производные от
О2 g^'
6. Мы показали в § 79, что ; -, является ковариантным векто-
dt дх1 дх1
ром Ft в тех случаях, когда Т(х,х)—инвариант, определяемый формулой
G9.1). Доказать в более общем плане, что если W(x,x) инвариант, то как
1п7,яч d dW dW - v г,
dW/dx', так и : :—ковариантные векторы. Указание. Пусть
dt- дх1 дх1
х' = x{(q\q2,q3) —допускаемое преобразование координат. Вычислить х1, по-
показать, что dx'/dq'= dxi/dqi и заметить, что инвариантность W(x,x), тре-
требует, чтобы W(x, x)= W[x(q),i(q)] ш, W(q,q).
§ 80. Применения уравнений Лаграижа
В качестве иллюстрации к использованию уравнений Ла-
Лагранжа в вычислении траекторий рассмотрим несколько приме-
примеров, включающих важные случаи движения частиц по гладким
кривым и поверхностям.

§ 80] ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 233
1. Свободно движущаяся частица. Если частица не подвер-
подвергается действию сил, правая часть уравнения G9.2) обращается
в нуль, и мы получаем
A(^_)_iZL = 0. (80.1)
х11 дх1
Если в избранной системе отсчета координаты х1 прямоуголь-
прямоугольные декартовы, то Т = (пг/2)угу\ и тогда уравнение (80.1) даст
mij1 = 0. Интегрирование этого уравнения дает у1 = аЧ + Ь{,
т. е. уравнение прямой, линии.
2. Постоянное гравитационное поле. На этот раз мы опять
принимаем декартову координатную систему, в которой ось у3
нормальна к плоскости Земли. Потенциал постоянного грави-
гравитационного поля V = mgy3, если за положительное направление
оси г/3 принять направление вверх. В этом случае уравнения
G9.2) дают
У1 = 0, у2 = 0, у3 = - g,
так что траектория определяется уравнениями
ya = aat + ba (a=l, 2),
y3
Эта траектория, очевидно, — парабола с осью, направленной
параллельно оси у3.
3. Движение частицы по кривой. Пусть частица вынуждена
двигаться по кривой С, уравнения которой имеют вид
*' = *<» (/=1,2,3), (80.2)
где s — параметр дуги. Предположим, что С обладает непре-
непрерывно вращающейся касательной такой, что *»(.?) принадлежит
классу С2.
Компоненты vl вектора v скорости частицы выражаются
производными
где V = dxilds — компоненты единичного вектора, касательного
к С, a v — dsjdt — величина v.
Компоненты а* вектора ускорения а определяются, путем
вычисления внутренней производной (80.3) по t:
где 6v/8t — dv/dt, поскольку v — скаляр. Но
6Я' 6Я' ds 61'
у
(80<5)

234
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ. IV
¦здесь мы привлекли формулу Френе
-т— = XU1, К > О,
OS ~ ' '
[50.1]
определяющую кривизну и и главный нормальный вектор ц.
Производя подстановку из (80.5) в (80.4), получаем
a1 ~~Kl + kv2\i1, (80.6)
т. е. формулу, констатирующую, что вектор ускорения а лежит
в оскулирующей плоскости кривой. Кроме того, компонент в
касательном направлении равен темпу изменения скорости v,
в то время как компонент в
направлении главной нор-
нормали равен v2jR, где R =
= 1/и — радиус кривизны С.
Сила F = та, действую-
действующая на частицу массы т, ко-
которая движется по кривой
С, определяется формулой
Fl = т-?-%1 + mx&V- (80.7)
Следует заметить, что F* —
результирующая всех внеш-
внешних сил, действующих на
частицу, и потому F вклю-
включает реакцию R кривой на
частицу. Поскольку F ле-
лежит в соприкасающейся
плоскости кривой, компомент всех внешних сил, нормальных
к этой плоскости, равен нулю. Это условие позволяет нам вы-
вычислить реакцию R в общем случае. В механике кривая С на-
называется гладкой, если реакция R нормальна ') к С, т. е. если
Д% = 0. Если R = 0, кривая С называется натуральной (есте-
(естественной) траекторией частицы.
В качестве иллюстрации рассмотрим шарик массы т, сколь-
скользящий под действием силы тяжести по гладкой кривой С, лежа-
лежащей в вертикальной плоскости YlY2 (рис. 34).
Сила F, действующая на т, равна
F = mg + R,
Рис. 34.
') Это равносильно утверждению, что сила трения равна нулю. Термин
«гладкий», употребляемый в механике, имеет иной смысл, чем в геометрии,
где «гладкая кривая» обозначает кривую с непрерывно вращающейся каса-
касательной.

§ 80] ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА 235
где R— давление, производимое кривой на частицу, a mg—
сила тяжести. Так как кривая — гладкая, то R нормальна к С.
Если а —угол между направлением R и положительным напра-
направлением оси У2, то компоненты F в направлениях касательной X
и главной нормали \i равны
Р(Х) = - тёsin°. F([l)= - mgcosa + R.
Опираясь на (80.7), заключаем:
т —?- = — mg sin a, mxv2 — — mg cos а 4- R. (80.8)
Ho cos а = dyl/ds, sin а = dy2/ds и dv/dt = (dv/ds) (dsfdt). Поэтому
первое из уравнений (80.8) дает
mv=mgf
ds s ds '
Откуда
у mv2 = — mgy2 + const. (80.9)
Так как в этом случае компонент реакции R в направлении дви-
движения равен нулю, мы могли бы записать уравнение (80.9) не-
непосредственно из уравнения энергии Т + V = const.
Уравнение (80.9) определяет скорость v вдоль С в функции
от у2. Второе уравнение в (80.8) позволит тогда определить R
как функцию кривизны х. Если кривая негладкая, направление
реакции R уже не будет нормальным к С, а угол а будет зави-
зависеть от коэффициента трения.
Как конкретный пример рассмотрим частицу массы т, дви-
движущуюся под воздействием силы тяжести по гладкой циклоиде:
yl = a(9 -sin 9),
9 /1 , пч -я<9<я, (а)
у2 = а{\ + cos9), v '
как это показано на рис. 35. В таком случае первое из уравне-
уравнений (80.7) даст
где
9 8
s = J VWF+WP = а\ ]/2A-cos 9) сШ
о о
в

236
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ. IV
Так как cos2 у = у A + cos 9), то, учтя второе из уравнений (а),
выведем
(s-4aJ
У2-
8а
Соответственно (б) даст уравнение
общее решение которого имеет вид
s = с, cos (Vg/4a t + с2) + 4а.
(в)
Постоянные интегрирования с4 и с2 определятся из начального
положения и начальной скорости т на циклоиде.
Из (в) ясно, что период движения не зависит от амплитуды
Ci, а равен 2я/У g/4a. Этот факт был открыт X. Гюйгенсом около
Я
Рис. 35.
300 лет тому назад. Гюйгенс предложил применение циклои-
циклоидального маятника в устройстве изохронных часов. Вычисления,
основанные на применении второго уравнения (80.8), показы-
показывают, что R = 2mgcosa.
Задачи
1. Вывести дифференциальные уравнения для простого маятника дли-
длиной / и показать, что для малых колебаний период равен 2nlYg/l.
2. Вывести уравнения движения для частицы, движущейся под воздей-
воздействием силы тяжести по гладкой винтовой линии:
у1 = a cos 9, у2= a sin Э, у3 = kQ.
Обратить внимание на то, что поскольку винтовая линия гладкая, реакция R
нормальна к винтовой линии, и потому компонент результирующей силы F
в направлении касательной равен компоненту гравитационной силы mg в том
же направлении. Последний компонент может быть вычислен из гравитацион-

§8.0] ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРЛПЖА 237
ного потенциала V = mgy3. Далее, в силу уравнения (80.9) уравнение энер-
энергии дает в этом случае -~- т (и2 — i>q) = mg (у — r/g).
3. Показать, что если частица массы т движется по гладкой параболе, ось
которой вертикальна, а вершина обращена вниз, то реакция R =
= т(и2 — у'2), где v' — та скорость частицы т, для которой парабола яв-
является натуральной траекторией, a v—скорость вынужденного движения.
4. Движение частицы по поверхности. Пусть уравнения регу-
регулярной поверхности 5 заданы в параметрической форме
5: *' = *'("', «2) A = 1,2,3), (80.10)
и пусть частица массы m вынуждена двигаться по 5 под дей-
действием силы F. Сила F — результирующая всех внешних сил,
действующих на частицу, и потому включающая также реакцию
R поверхности на частицу. Если поверхность гладкая, R нор-
нормальна к 5 и представляет собой давление, вынуждающее ча-
частицу оставаться на 5.
Пространственные компоненты v* вектора скорости v ча-
частицы связаны с поверхностными компонентами va формулой1)
< dx' дх1 dua , .„ , , -.
°"-1?1Г = *'и (а=1'2)'
или
v' = xlayat (80.11)
где va — йа.
Ускорение al = bv4bt; отсюда уравнение (80.11) дает
или
a = xtaaa + xlawtvav», (80.12)
где aa^6va/6t.
Если воспользоваться формулой Гаусса
уравнение (80.12) примет вид
п1—х1ааА-Ь vav^nl СЯП 141
и лаи Tfapu v п , ^ou.loj
Таким образом,
а так как нормальная кривизна x(n) = ba(ikaX®, то мы получим
а' = л;^аа + f?x(n)n'.
') См. уравнение F4.5). Читателю следует остерегаться смешивать ба-
базисные векторы а , использованные в главе III, с компонентами ускорения
аа, использованными в этом параграфе.

238 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Поскольку F' = та', находим
F1 = тх1аа + mvH, л1. (80 14)
Первый член в правой части уравнения (80.14)—компонент
F в касательной плоскости к 5, второй же член — компонент
F по нормали п. Его развернутое выражение принимает вид
Fini = тх'^а0- + mv\n)ninl = 0 + mv\n), (80.15)
поскольку поверхностные векторы х1а ортогональны к п{ и
nini=\. Компоненты же F в плоскости, касательной к S, при-
принимают вид
О" yi Р = /77С у! Х^ П^ -J- Wf)-V (T vl tl^ = tfiП П®" -i~ 0
°'/ Y °i/ у о (n)°i/ v —'""уа '
поскольку fff/-v^a = avo в силу F4.6), a gi!xytii = 0, так как
поверхностные векторы лг^ образуют прямой угол с му. Если
это соотношение переписать сокращенно:
луг j — may
и положить Fy = xyF,, то мы получим пару ньютоновых урав-
уравнений
Fy = may, (80.16)
связывающих поверхностный вектор силы Fy с поверхностным
вектором ускорения ау.
Уравнения (80.16) можно преобразовать к эквивалентному
лагранжевому виду, заметив, что кинетическая энергия Т = у mv2,
T = -^a4vavt= — aa йай .
Как и в § 79, получим
А
dt
где Fa определяется из (80.16). Если силовое поле консерва-
консервативно Fa= — dV/dua, где У —потенциал.
Мы можем вывести уравнение, аналогичное уравнению (80.6),
для ускорения по траектории частицы, движущейся по 5. Ско-
Скорость va частицы на траектории равна va = vXa; отсюда
a 6va dv .о . бЯа dv ,a , 2 бЯа
6/ dt ot dt os
Если вспомнить, что
^Г = ^а. [71.6]

. 801
ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАИЖА
239
где if — единичная нормаль к траектории в касательной пло-
плоскости, a Kg — геодезическая кривизна, то мы можем написать
a dv .a
а =-1Гх
и заключить отсюда
2 а dv .а
v V» = у ЧГ1
2 а
° VI •
Из полученного результата следует [см. уравнение (80.7)],
что
P = JLLk
где Т = mv2/2. Если
вектор Fa обращается
тождественно в нуль,
то dT/ds = 0, а xg = 0
на траектории.
Первое из этих урав-
уравнений констатирует,
что v = const и если
ифО, то траектория
будет геодезической
линией в силу теоре-
теоремы § 63.
В качестве иллю-
иллюстрации применения
уравнений (80.17) рас- у
смотрим частицу мас-
массы ш, вынужденную
двигаться под воздействием силы тяжести по гладкому парабо-
параболоиду вращения (рис. 36)
|/3 = 17[(</1J + (</2J], а = const. (80.18)
Рис. 36.
Если ввести цилиндрические координаты (г, 9, z), положив
у' = г cosG, #2 = rsin
то уравнение (80.18) преобразуется в
г/3 = 2,
5* гтт*
4а '
(80.19)
выражение же для кинетической энергии Т = -^щу'у' прини?
мает вид

240 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Потенциальная энергия гравитационного поля равна V = mgy'J,
принимающая, если учесть (80.19), форму V7 = mgr2/4a. Так
как поверхность гладкая, реакция R направлена нормально
к S, и мы вправе воспользоваться уравнениями (80.17) с учетом
формулы Fa = —dV/dua.
Введем параметрические координаты для поверхности, по-
положив «' = г, и2 = 8. Подставив их в (80.17) и в выражения
для Т и Fa = —dV/dua, получим два уравнения
. (80.20)
Второе из уравнений (80.20) дает после, интегрирования
уравнение момента
г2ё = /г, h = const. (80.21)
Исключение 8 из первого уравнения (80.20) с использованием
(80.21) дает
— уравнение, имеющее единственное решение, если заданы
начальное положение г = г0 и начальная скорость г — vQ ча-
частицы.
Если наша частица вынуждена двигаться по горизонтальной
окружности г = const, (80.22) требует, чтобы /г2 = ;;г'1/2а, тог-
тогда уравнение (80.21) свидетельствует, что О2 = gi2a, так что
угловая скорость 9 остается независимой от радиуса окруж-
окружности. Если траектория частицы совпадает с линией меридиана
0 = const, то из (80.20) мы получаем уравнение
Интегрирование уравнения (80.22) и вычисление реакции /?,
необходимой для того, чтобы принудить частицу двигаться по
параболоиду, сопряжены с довольно трудоемкими операциями.
Для того чтобы вычислить величину реакции, мы должны вос-
воспользоваться уравнением (80.15), в котором F = mg + R.
Если мы заменим поверхность параболоида в разобранном
примере поверхностью сферы, то встретимся с задачей сфери-
сферического маятника. Решение уравнений движения для сфериче-

§81] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВАРИАЦИИ 241
ского маятника может быть осуществлено с помощью эллип-
эллиптических функций. Если поверхность цилиндрическая г — а,
интегрирование уравнений движения упрощается1).
Задача
Пусть частицы массы т принуждена двигайся по поверхности сферы
радиуса а. Связать прямоугольные декартовы координаты у' с поверхност-
поверхностными координатами иа формулами
г/1 = a sin и1 ros и2, )
у2 = asm и1 sin и2,
у3 — a cos и1.
Показать, что уравнения (80.17) дают
й1 — (п.2J sin и1 cos и1 = '
та*
и2 sin2 ц1 + 2й12й sin и' cos ц1
таг
Решить эти уравнения для случая, когда Fa = 0, и показать, что траектория
представляет собой дугу большого круга, а скорость v — const. Указание.
Первый интеграл второго уравнения — <i2sin2 и1 = const. Использовать этот
результат в первом уравнении и заметить, что v2 = а2 [(п1J + (й2J sin2 и').
§ 81. Определение вариации
В настоящем параграфе мы напомним определение опера-
операции варьирования о, введенной ранее в § 56 и отметим неко-
некоторые ее свойства. Введенные здесь обозначения позволят нам
дать сжатую формулировку принципа Гамильтона и принципа
наименьшего действия Лагранжа. Любой из этих принципов
с большим успехом, чем законы Ньютона, сможет служить от-
отправным пунктом в построении аналитической динамики.
Пусть Fix*, х2, ..., хп) —функция п независимых перемен-
переменных х' класса С2 в области R «-мерного многообразия. Зай-
Займемся изучением поведения функции F в некоторой окрестности
кривой С, определенной параметрическими уравнениями
где мы принимаем, что x>(t) принадлежат классу С2.
Рассмотрим /i-окрестность кривой С, определенную неравен-
неравенствами
х( - h <х1 < х1 + h (i=l, ..., п),
') Интересующимся читателям мы можем порекомендовать обратиться
к «Аналитической механике» Унттекера (W h i I I a k е г Е. Т., Analytical me-
mechanics, Cambridge Press 1917, стр. 99—109, где задача о движении частицы
па поверхности исследуется иным способом.

242 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ГГЛ. IV
где h — малое положительное число, ад?' — координаты точки
на С. Введем класс функций
С: *<(*, е) = *<(/) +es'@ (/=1, .... л),
где — 1<е<1, a g'(f) — однозначные функции класса С2
в tl^.t^.t2, подчиняющиеся условиям
и \ll(t)\<h везде в ^<<2
Множество п функций хг(г,г) составляет варьируемую тра-
траекторию, и потому определенная таким способом совокупность
кривых С может быть отнесена к /i-окрестности С. В двумер-
двумерном пространстве все кривые С расположены в полосе шири-
шириной 1h около кривой С и совпадают с С в конечных точках ин-
интервала (ti, tz)-
Вариация б*' была определена в § 56 формулой
= |'@«. (81.1)
08
е=0
а вариация 6F функции Fix1, ..., хп) имеет ви'д
где
dF\
е=0
дг /о дг
Таким образом,
dF = ^jbxl. (81.2)
Рассмотрим функцию х' (t) = dx{/dt. Составим уравнение
и заключим из определения (81.1)
Отсюда
Это значит, что вариация производной есть производная вариации.
Очевидно, если мы имеем функцию ^(л;1, ..., хп, хх, ..., хп, t)
от 2п+\ переменных х{, x'^dx^dt и t класса С2, мы можем
написать
6f = Д. fije'+ -—&**. (81.4)
да1 дх1 1

§ 82) ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА 243
Простое вычисление, аналогичное использованному в выводе
формулы (81.3), приводит к заключению
х dF d ас
Теперь можно показать с помощью (81.4), что
б (F + Ф) = 6F + 6Ф,
где F и Ф — некоторые функции, удовлетворяющие наложен-
наложенным условиям, а знак вариации б распространяется на ту же
совокупность траекторий С'.
В § 57 мы исследовали функционал
и
J= J F(t, xl Xя, х1 xn)dt,
t,
где функциональные аргументы x{(t), tiKt^Ct2, принадлежа-
принадлежали к /i-окрестности экстремали /. Мы изучили поведение инте-
интеграла / на траекториях x'(f, е) = х1 + е|'(/). Пользуясь урав-
уравнением (81.4) настоящего параграфа и обращаясь к формуле
E7.6) убеждаемся, что последнюю можно преобразовать в
и
так, что для пары фиксированных пределов /[ и t2
и и
Ы= J 6Fdt = & J Fdt.
и и
Полученное уравнение показывает, что вариация интеграла
с фиксированными пределами равна интегралу вариации подын-
подынтегрального выражения.
Введенную в настоящем параграфе систему обозначений
мы используем в формулировке принципа Гамильтона.
§ 82. Принцип Гамильтона
Рассмотрим частицу массы пг, движущуюся в трехмерном
евклидовом многообразии, отнесенном к криволинейной системе
координат X. Частица находится в состоянии движения под
воздействием силы F, и наша задача заключается в определе-
определении ее траектории
- X — X (t) {I = 1, I, O),
где t обозначает время.

244 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (ГЛ. IV
Кинетическая энергия частицы (имеющая физический смысл
лишь на траектории С) задается формулой Т = -^ mgux'x'. Если
мы определим семейство траекторий
С: х1 (е, t) = х1 (/) + Ьх1 (t),
где 6xl(t) = е?*(?) и ?!'(/i) =|'(/г) =0 принадлежат /г-окрест-
ности С, то мы можем говорить о вариации Т, а именно
6T = —jdx'-{ тбх', (82.1)
причем мы сможем сформулировать
Принцип Гамильтона. Если частица находится в точ-
точке Р\, в момент времени ti и в точке Р% в момент 1%, то движе-
движение частицы происходит таким образом, что
и
j FГ + Ft Ьх1) dt = 0, (82.2)
и
где Xх = xl(t) — координаты частицы на траектории, а х1 +
+ бл;* — координаты на варьируемой траектории с началом
в Pi в момент ti и концом в Р2 в момент t2.
Теперь мы покажем, что этот принцип эквивалентен урав-
уравнениям движения G9.2) Лагранжа и, следовательно, законам
Ньютона. Доказательство не представляет затруднений. Под-
Подстановка (82.1) в (82.2) приводит к
и
(ог.б)
Интегрируя первый член под знаком интеграла (82.3) по частям
и и
[ дТ ..{ ,, дТ ih Г d I дТ \ . i ,,
—г бл; dt = —т Ьх — — —г Ъх dt
J дх1 дх1 ti J dt {дх1 I
и замечая, что Ьх1 (/2) = bxl (t{) = 0 в силу обращения в нуль |'(/2)
и |' (tt), уравнение (82.3) преобразуем в
Так как этот интеграл обращается в нуль для произвольного
6л:1, рассуждения, использованные в § 57, показывают, что
A^iW, (/=1,2,3). (82.5)
dt дх1 дх

§ 83] ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 245
И, обратно, если уравнения Лагранжа (82.5) справедливы, то
справедливы также уравнения (82.4) и (82.2).
В вышеприведенной формулировке принципа Гамильтона не
дается никаких указаний о природе силового поля Ft. Если,
ь частности, это поле консервативно, то существует потен-
потенциальная функция V(x\ х2, х3), отвечающая условию dV/dx* —
= — Fi. В этом случае уравнение (82.2) принимает вид
6Т г Ьх \dt = О,
дх1 I
а поскольку 6F= (дУ/дхг)8х\ то мы получим
J b{T-V)dt = 0. (82.6)
и
Но в § 79 мы определили функцию Лагранжа L = Т— V та-
таким образом, что уравнение (82.6) допускает представление
в виде 6L dt = 0, а поскольку пределы интегрирования фик-
фиксированы, мы получаем сжатую формулировку принципа Га-
Гамильтона для консервативного поля в виде
и
(82.7)
Содержание уравнения (82.7) мы можем сформулировать сле-
следующим образом. В консервативном силовом поле частица дви-
жется таким образом, что интеграл I L dt, вычисленный на
t\
траектории х1 = xl(t), ti^t^Ctt, имеет стационарное значе-
значение в сравнении с его значениями для всех окрестных траекто-
траекторий, берущих свое начало в точке Pi в момент t = t\ и завер-
завершающихся в точке Рг в момент t = /2.
Уравнения движения вида G9.5), а именно
d ldL\ dL
{
dt { дх1 ) дх1
выводятся также непосредственно и из формулировки (82.7).
§ 83. Интеграл энергии
В этом параграфе доказывается важная общая
Теорема. Сумма кинетической и потенциальной энергий
частицы, движущейся в консервативном силовом поле, по-
постоянна.

246 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Установим сначала тождество, из которого следует доказа-
доказательство этой теоремы.
Так как кинетическая энергия Г = у mg^x'x'— инвариант,
то
dT ЪТ б Km , .;./."] m I Ьх1 ./ , .; 6Л
так что
4^ = та^г, (83.1)
где и1' — скорость и а; — ускорение частицы.
Для консервативного силового поля mai = F* = —dV/dx1,
и потому (83.1) мы можем представить в виде
dT_ dV dx'
dt = ~ дх1 dt
или
dt ~ dt • {&й-г'
Интегрирование уравнения (83.2) приводит к результату
T + V = h,
где h — постоянная интегрирования.
§ 84. Принцип наименьшего действия
История науки изобилует попытками уложить законы при-
природы в структуру теологии. Некоторые из этих попыток, исхо-
исходившие из представлений о минимальных значениях, например
учение Герона A00 лет до н. э.) о кратчайшем пути или прин-
принцип минимального времени распространения Ферма A601—
1665) произвели на математиков глубокое эстетическое впе-
впечатление.
Самой знаменитой из таких попыток в области механики
была доктрина наименьшего действия, высказанная французским
ученым Мопертюи (P. M. L. Maupertuis) около 1740 г. П. Мо-
пертюи утверждал, что все виды проявления активности при-
природы совершаются с наивозможно меньшей затратой «действия»,
которое он определял как произведение из массы, скорости и
расстояния. Для того чтобы согласовать свой принцип с извест-
известными результатами механики, Мопертюи был вынужден изме-
изменять определения величин, входивших в произведение массы,
скорости, расстояния (mvs) так, чтобы это соответствовало каж-
каждой отдельной из рассмотренных им задач. Так, например, в ана-

§ 841 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 247
лизе неупругого соударения двух частиц с массами /т и т2,
движущихся со скоростями vx и v2, он уменьшал произведение
mvs, где s было расстоянием на единицу времени. В результате
«действие» получалось пропорциональным кинетической энергии.
Мопертюи получил известное правильное выражение для окон-
окончательного значения общей скорости v = (m\Vi + m2V2)l{m\ + m2).
С другой стороны, в задаче преломления света, при переходе из
одной оптической среды в другую, он пользовался фактической
величиной расстояния s и получал постоянное (но неправиль-
неправильное) значение для отношения синусов углов падающего и пре-
преломленного лучей. Доктрина Мопертюи, верившего в то, что он
представил научное доказательство существования бога, возбу-
возбудила воображение Даниила Бернулли и Л. Эйлера, выступив-
выступивших в защиту ее1). В 1744 г. Эйлер показал, что интеграл
\tnvds имеет стационарное значение на траектории частицы,
движущейся в центральном силовом поле. В 1760 г. Лагранж
расширил результат, полученный Эйлером, доказав, что инте-
Рг
грал А— \mvds имеет стационарное значение на траекториях
р,
частиц, движущихся в консервативном силовом поле, если только
связи не являются функциями времени. Эти соображения
привели его к формулировке принципа наименьшего действия.
Но она оставляла желать еще очень многого с точки зрения
требований ясности, и Гамильтон пытаясь понять формулиров-
формулировку Лагранжа, вывел более широкий и отличающийся от ла-
гранжева принцип A827), разъясненный в § 82. Логически чет-
четкое доказательство принципа Лагранжа было дано в работе
Якоби.
Рассмотрим интеграл Лагранжа
Р2
A=jtnvds, (84.1)
р,
вычисленный на пути
С: *'=•*'(/), *i<*<*2,
где С — траектория частицы массы т, движущейся в кон-
консервативном силовом поле. Положим, что ни кинетическая
энергия Т, ни потенциальная энергия V не являются функциями
') Эти любопытные факты служат хорошей иллюстрацией нравов и миро-
миросозерцания того времени. (Прим. ред.)

248 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
времени. В криволинейных
мает вид
р.
р,
а поскольку
находим
d/
dt
'Г
координатах
dxs =
in
о s
t [РЛ
Г
ЦР,)
111Г ИГ'
интеграл
dx1 dxj
1 dt dt
(84.1) прини-
dt,
HP г)
A= J 2Tdt. (84.2)
HPi)
Этот интеграл приобретает физический смысл, лишь будучи
определенным на траектории С, но значение его вычисляется
на любом пути, соединяющем точки Pt и Р2- Рассмотрим ка-
какую-либо частную совокупность допустимых траекторий С,
вдоль которых функция Т + V для каждого значения парамет-
параметра t принимает одно и то же постоянное значение h. Опреде-
Определенный таким образом функционал А называется интегралом
действия, и в отношении его мы сможем сформулировать
Принцип наименьшего действия1). Из всех кри-
кривых С', проходящих через Pi и Pi в окрестности траектории
С, при любых значениях t, Т + V = h, единственной, для кото-
которой интеграл действия А принимает стационарное значение, яв-
является траектория частицы.
Будучи сформулирован как вариационное уравнение, этот
принцип принимает вид
б | 2Tdt = 0 (84.3)
HP,)
с вспомогательным условием
T + V-h = 0 на С. (84.4)
Здесь важно понять, что ввиду вспомогательного условия (84.4)
мы не можем определить экстремали интеграла действия, под-
подставляя в уравнение Эйлера E7.7) вместо F функцию 2Т. По-
Поскольку Т — функция скорости v, a V — функция только по-
положения, отрезки времени ^(Рг) — t(Pi), необходимые для пе-
перемещения по траектории С, будут вообще различными. Та-
Таким образом, верхний предел /(Р2) в интеграле (84.4) не фик-
') Строго говоря, этот принцип следовало бы назвать принципом стацио-
стационарного действии.

§ 84] ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 249
сируется. В настоящем случае мы встречаемся с задачей ва-
вариационного исчисления с переменными конечными точками и
с одним вспомогательным условием (84.4). Процедура, исполь-
используемая в решении этой задачи, опирается на метод множителей
Лагранжа для задач с неголономными связями, на которых мы
вкратце останавливались (см. § 57).
Построим функцию F = 2Т + Яср, где ср = Т + V — /г и най-
найдем решение системы четырех уравнений
i^jL(^) o (ii, 2, 3), I
дх1 dt\dx'j
Исследование этой системы показывает, что1) X(t) =—1,
а отсюда следует, что траектория С определяется решением
системы
dt
11L\IL=_W_ (/=12>3). (84.5)
\ die1) дх1 дх1 У ' У '
Полученные уравнения и представляют собой уравнения дви-
движения Лагранжа.
Иной и несколько более поучительный способ подхода
к этой задаче заключается в приведении ее к рассмотрению ва-
вариационной задачи с фиксированными конечными точками пу-
путем замены переменных. Так как кинетическая энергия
j. _ m dxl dx' _ m I ds \2
. (84.6)
Отсюда следует, что интеграл действия (84.2) может быть за-
записан следующим способом 2):
А = | V2m(h-V) ds, (84.7)
поскольку по всем допустимым путям Т = h — V. Подынте-
Подынтегральное выражение в (84.7), очевидно, не зависит от t. Вве-
Введем теперь для наших траекторий С параметры так, чтобы
С: х1 = х1 (и),
2,
') См. § 88 и В о 1 z a, Vorlesungen iiber Variationsrechnung, стр. 586.
2) Форма (84.7) интеграла действия была использована в работе Якоби.
См. исследование этого интеграла и его обобщений у Каратеодори: С а г а-
t h ё о d о г у С, Variationsrechnung, стр. 255, 290.

#50 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
где Р{: х1 («,) и Р2: х1 (и2), вспомнив, что ds = Y ёцх'1х' du, где
х'1 = dxl/du.
Это позволит нам представить интеграл действия (84.7) в
таком виде:
иг -
А = J V 2т {h - V) gux^x'' du, (84.8)
и так как пределы интегрирования в (84.8) фиксированы, мы
видим, что определение траектории равносильно нахождению
геодезических линий в трехмерном римановом многообразии,
элемент дуги которого выражается формулой
dS2 = 2m{h- V)gudx1 dx1. (84.9)
Если мы сформулируем уравнения Эйлера
F i _ А- р ,i = 0,
где F = V 2m(h — V)giix'lx' , и примем уравнение (84.6) в виде
¦ш/ mgux/lx'J
dt= У 2 (А-У) dU>
мы придем к искомым уравнениям (84.5).
Из формул (84.8) и (84.9) мы убеждаемся, что действие
равно численно длине кривой в римановом многообразии с ме-
метрическими коэффициентами
И что траектории в Е3 соответствуют геодезическим линиям в
римановом пространстве, метризованном по формуле dS2 =
— hijdx'dxi. Эта геометризация динамики оказала далеко иду-
идущие воздействия на развитие релятивистской динамики.
§ 85. Системы частиц. Обобщенные координаты
Мы уже обратили внимание (в § 77) на то, что переход от
механики одной-единственной частицы к механике материаль-
материальных тел может быть осуществлен путем введения некоторых ги-
гипотез, относящихся к природе стесняющих сил — связей, воз-
воздействующих на частицы, составляющие материальное тело.
В некоторых динамических задачах изменение формы тела бы-
бывает столь незначительным, что вполне оправданной можно
принять гипотезу, согласно которой частицы остаются постоян-
постоянно на фиксированных расстояниях одна от другой. Такое до-

§ 85] СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 251
пущение приводит к динамике твердых тел. Если материальное
тело испытывает деформации, которыми недопустимо пренебре-
пренебрегать, мы можем постулировать с различной степенью прибли-
приближения к реальности природу связывающих принуждающих сил
и прийти таким образом к динамике упругих тел, идеальных
жидкостей, вязкоупругих сил и т. п. Допущения, касающиеся
природы этих сил, позволяют нам характеризовать положения
большого числа материальных точек при помощи сравнительно
небольшого числа параметров. Так, например, тонкий жесткий
стержень длиной /, движущийся в пространстве, требует лишь
пяти параметров для определения своего положения. Такими
параметрами могут служить, например, пространственные ко-
координаты центра массы и два направления одного из его кон-
концов относительно центра массы. Выбор описываемых парамет-
параметров не является однозначным, и они не обязательно должны
быть линейными размерами. Бусинка, скользящая по искрив-
искривленной проволоке, требует всего лишь единственного параметра
для описания своего местоположения, например расстояния от
некоторой фиксированной точки проволоки; положение части-
частицы, движущейся по поверхности, указывается однозначно па-
парой гауссовых координат. Какова бы ни была природа пара-
параметров, во всех случаях они называются обобщенными коорди-
координатами. Очевидно, что если описание динамической системы
должно быть полным, обобщенные координаты должны быть
функционально связаны с пространственными координатами
частиц, образующих систему.
Пусть N частиц образуют систему, a xl(a) (i = 1,2,3),
(а = 1, 2, ..., N)—координаты положений этих частиц, от-
отнесенных к некоторой условной системе отсчета в Е3. Система
N свободных частиц описывается 3JV параметрами. Если ча-
частицы каким-либо образом стеснены связями, то между их ко-
координатами х{(а) должны существовать определенные соотно-
соотношения; предположим, что имеется г таких независимых соотно-
соотношений
' \XW xw xw хB)' хB)' хB)' '¦¦' XW Х(Ю' x(n))~® (85.1)
(« = 1, 2, .... г).
Если эти г уравнений связей (83.1) могут быть решены для
некоторых г координат в функциях от 3JV — г остальных коор-
координат, то последние можно будет рассматривать как независи-
независимые обобщенные координаты q\ Удобнее, однако, принять, что
каждая из SN координат выразится в зависимости от
SN — г з= п независимых переменных q\ и написать 3JV урав-
уравнений

252 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
где мы ввели как параметр время /, которое может войти в за-
задачу явным образом, если мы имеем дело с подвижными свя-
связями1). Если t не входит явным образом в уравнения (85.2),
то рассматриваемая динамическая система называется нату-
натуральной системой.
Предположим, что функции х'а) = х[а) (q, t) принадлежат
классу С2 в области определения переменных <?' и t и якобиан-
матрица имеет ранг п [см. уравнения G5.5)].
Скорости частиц определяются путем дифференцирования
уравнений (85.2) по времени. Таким путем получаем
• I _. дх{а) ¦! . дх(а) ,й„1
x^~^Tq+~W (85-3)
Производные q' обобщенных координат ql по времени мы бу-
будем называть обобщенными скоростями.
Иногда, по соображениям симметрии, бывает желательно
ввести некоторое количество добавочных координат ql и опи-
описать систему с помощью k > п координат q1, . . ., qk. В этих
условиях возникнут некоторые соотношения вида
f*(q\ .... qk, 0 = 0, (85.4)
причем величины q\ а следовательно, и ql перестают быть не-
независимыми. Возникнут соотношения между q типа
#«¦+?-0. (85.5)
где р — дифференцируемые функции.
Из того, что уравнения (85.5) были получены путем диффе-
дифференцирования уравнений (85.4), следует, что они поддаются
интегрированию и могут быть выведены из уравнений (85.4) и
использованы для исключения избыточных координат. В неко-
некоторых задачах, однако, возникают функциональные соотноше-
соотношения неинтегрируемого типа 2)
F'(q\ q\ ..., qk; </' q\ t) = Q (/= 1, 2, ..., m), (85.6)
') Например, бусинка, скользящая по проволоке, которая сама движется
с указанной скоростью.
2) Биллиардный шар, катящийся и вращающийся по шероховатой поверх-
поверхности стола, — пример описываемой ситуации. Для того чтобы установить
положение шара, необходимо указать пять обобщенных координат: две пз
них могут определять положение его центра, а три остальных — определять
углы, описывающие ориентацию шара относительно его центра. Так как по-
поверхность стола шероховата, шар не может скользить, так что оба компо-
компонента скорости точки контакта должны обратиться в нуль. Это дает два усло-
условия связей типа (85.6) с компонентами скорости. Они не поддаются интегри-
интегрированию, так как при любом положении центра ориентация шара может из-
измениться без нарушения связен.

§ Щ УРАВНЕНИЯ ЛЛГРЛНЖА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 253
т. е. такие, что из них представится невозможным вывести диф-
дифференцируемые уравнения с решениями типа (85.4). Поведение
системы в подобных условиях не поддается описанию с по-
помощью меньшего чем k количества координат, так что все k
координат получаются независимыми. Если в рассматриваемой
нами задаче мы наталкиваемся на неинтегрируемые соотноше-
соотношения (85.6), то мы говорим в таких случаях, что заданная си-
система имеет k — т степеней свободы, где m — число незави-
независимых неинтегрируемых соотношений (85.6) и k — число неза-
независимых координат. Динамические системы, содержащие неин-
неинтегрируемые соотношения (85.6), называются негалоно>мными,
в отличие от голономных систем, в которых число степеней сво-
свободы равно числу независимых обобщенных координат.
Иными словами, голономная система характеризуется тем, что
в ней отсутствуют неинтегрируемые соотношения, заключаю-
заключающие в себе обобщенные скорости.
В следующем параграфе мы выведем уравнение Лагранжа
для голономной системы, а в § 88 рассмотрим вкратце один
важный клас неголономных систем, часто встречающихся
в приложениях.
§ 86. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах
Ради конкретности изложения определения в § 85 вводи-
вводились для систем, состоявших из конечного, но может быть
большого числа частиц. Эти определения легко распространить
и в применениях к сплошным (непрерывным) материальным
телам, точки которых отмечаются координатами хг, отнесен-
отнесенными к некоторой системе отсчета X.
Частицы сплошного материального тела подвергаются воз-
воздействию различного рода связей и мы будем считать в даль-
дальнейшем в этой главе, что рассматриваемые нами тела будут
жесткими, так что материальные точки их будут оставаться на
неизменных расстояниях одна от другой. Если точки тела опре-
определяются однозначно конечным числом обобщенных координат
qi, мы запишем это выражением
xr = xr(ql qn, t) (r=l, 2, 3)
и примем, как в § 85, что функции x'(q,t) принадлежат клас-
классу С2. Скорость хг произвольной точки тела определяется
уравнением
где q1 — обобщенные скорости.

254 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Пусть рассматриваемая нами система натуральна, голо-
номна и обладает п степенями свободы так, что соотношения
xr=*xr(ql, ..., qn) (86.1)
заключают в себе п независимых параметров ql. Скорости хг
в этом случае заданы выражениями [см. (80.11)]
где q{ — координаты, подвергающиеся любому допустимому
преобразованию
qk = qk{q\ ••-, Г) (*=Ь •••>«) (86.3)
и соответствии с контравариантным законом.
Кинетическая энергия системы определяется выражением
Т = Т2 ты8гМ*) (г, s=\,2, 3), (86.4)
а
где т — масса частицы, находящейся в точке хг, а суммирова-
суммирование (или интегрирование) распространяется на всю область,
заполненную материальным телом. Обозначения grs в (86.4) —¦
компоненты метрического тензора, связанные с координатной
системой X, введенной в ?з-
Если мы введем в (86.4) значения х{ из (86.2), то полу-
получим 4)
где
дхТ dxs
, s=l,2, 3), (i, /=1, .... п).
Поскольку
il (86.5)
представляет собой инвариант, а величины atj симметричны,
заключаем, что ац — компоненты ковариантного тензора вто-
второго ранга относительно класса допускаемых преобразований
(86.3) обобщенных координат. Отметим, что поскольку кинети-
кинетическая энергия Т представляет собой положительную форму
в скоростях q\ |atj|>0, и мы можем построить обратный тен-
тензор aij.
') Для упрощения записи мы опускаем нижние индексы а 9 членах,
предваряемых символом 2*

§ 86] Уравнения лагранжА в обобщённых координатах 255
Если мы проведем вычисление, во всех деталях тождествен-
тождественное с выполненным в § 79 и с использованием выражения ки-
кинетической энергии в виде (86.5), то получим формулу
где символы Кристоффеля < .А строятся из тензора аы. Обо-
Обозначим выражение, появляющееся в скобках правой части урав-
уравнения (86.6), через
и преобразуем уравнение (86.6) к виду
dt \ д(
Выражение в левой части уравнения (86.7) также можно вы-
вычислить на основе формулы (86.4) и установления зависимости
переменных х{ от параметров q\ Непосредственное, но несколько
громоздкое вычисление использующее формулу dxr/dqi = dxr/dql
дхг д2хг ., dxf d dxr
и соотношения —г = —:—та', а также —г= г-, выводи-
dql dq1 dq1 dq1 dt dq'
мые из уравнения (86.2), приводит к результату
d I дТ \ дТ _ у дхг , _ .
где Qj = gnu1 — ускорение точки Р (х).
С другой стороны, второй закон Ньютона дает
mar = Fr, (86.9)
где Fr — компоненты силы F, действующей на частицу, нахо-
находящуюся в точке Р (х). Из (86.9) следует, что
V a/ Vr дхг
7, mar
dqi ~ Li 'r dqi •
уравнения (86.8) могут быть поэтому записаны в виде
г*т. (86.10)
dq1
dt \ dq q
Сравнив (86.7) с (86.10), заключаем, что
где вектор Q, называется обобщенной силой.

256 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (ГЛ. IV
Уравнения
) (8611)
[Т7Г )ГТЧ1 F)
dt \ dq1 I dq1
известны как уравнения Лагранжа в обобщенных координатах.
Они дают систему п обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка в координатах ql. Решения этих уравнений
С :?' = ?'(О
представляют динамическую траекторию системы.
Если существует функция V(q\ ..., qn), обладающая свой-
свойством
dq1 W"
то такая система называется консервативной и уравнения
(86.11) принимают для нее вид
d /aM ^ 0 (86.12)
dt \ dq1 I dq1
где L = T — V представляет собой кинетический потенциал.
Так как L(q,q)—функция как обобщенных координат, так
и скоростей, то
_dJL___dL_ ..,- dL .,-
rf/ ~ d<f ^ dq> q '
Введя сюда выражение из уравнений (86.12) Лагранжа полу-
получаем
dL dL ..i d I dL\ .i d I dL .A /oc , o\
— = -—- q -\ -I—r)q — — I—гЧ1- (86.13)
dt dq1 Ч dt \dql ) dt \dq' I '
Но так как L = T — V и потенциальная энергия V не является
функцией q', то
dq1 Ч dq1 Ч
поскольку Т =-^ atiqlq1. Таким образом, уравнение (86.13)
можно представить в виде
d(L-2T) __ _ d(T + V) ,
dt dt
из которого ясно, что Т + V = h (константа). Таким образом,
вдоль динамической траектории сумма кине-
кинетической и потенциальной энергий остается по-
постоянной.

§ 86] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 257
Из приведенных выкладок следует, что исследование нату-
натуральных голономных систем с п степенями свободы может
быть приведено к исследованию движения единственной части-
частицы в /г-мерном пространстве.
Задачу определения динамической траектории системы мы
можем сформулировать на языке вариационного исчисления.
В самом деле, содержание принципа Гамильтона и принципа
наименьшего действия, освещенные в §§ 82, 84, могут быть по-
повторены слово в слово, если термин «точка» толковать как
совокупность п параметров q\ . .., qn, характеризующих кон-
конфигурацию нашей динамической системы в определенном
«-мерном пространстве.
В этих обозначениях принцип Гамильтона принимает вид
и
J (dT + Qibq^dt^O (86.14)
и
и если силовое поле Qt консервативно, то он выражается и
в еще более сокращенном виде
и
6 J L dt = 0.
и
Эти вариационные уравнения подтверждают, что уравнения
Лагранжа (86.11) и (86.12) удовлетворяются.
Из формулировки принципа наименьшего действия в обоб-
обобщенных координатах [см. (84.3) и (84.4)] непосредственно сле-
следует, что динамические траектории в консервативном поле яв-
являются геодезическими линиями в /г-мерном римановом много-
многообразии, в котором элемент дуги dS дается выражением
dS2 = 2 (h - V) at, dql dq'.
Тот факт, что динамическую траекторию можно рассматривать
как геодезическую линию, открывает возможность геометриза-
геометризации динамики.
Задача
Показать, что динамические уравнения в сферических координатах с эле-
элементом дуги
rfs2 = {drJ + r2 (rf9J + r2 sin2 9 (rfq>J
принимают вид
m{f- re2 - гф2 sin2 9) = - Щг ,
9 И, С. Сокольников

2S8
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ. IV
в цилиндрических же координатах, где элемент душ равен
ds2 = (drJ + r2 (dQJ + (dz)\
они имеют вид
dv
дг ш
§ 87. Виртуальная работа и обобщенные силы
В предыдущих параграфах ничего не было сказано о харак-
характере сил FT, действующих в точке (хг) жесткого тела. В изуче-
изучении механики сплошных сред принято
классифицировать действующие силы по
трем категориям '):
(а) внутренние силы, обусловленные
физическими свойствами материальной
среды;
(б) силы реакции, вызванные связями;
(в) внешние приложенные силы.
Мы можем наглядно представить себе
материальное тело составленным из боль-
большого числа частиц, взаимодействующих
между собой по достаточно сложным зако-
законам. Пока внутренние силы относятся к ти-
типу действия — противодействия, нет нужды
учитывать их в динамических уравнениях,
поскольку их результирующая в любой
точке тела Р обращается в нуль. Таким образом, силы FT, вхо-
входящие в формулы § 86, сводятся к реакциям связей, и извне
приложенным силам.
Для того чтобы уяснить смысл сказанного мы должны пред-
представить себе твердое тело закрепленным неподвижно в какой-
либо точке О гладким штифтом и подвергнутым действию при-
приложенной силы Fr (рис. 37). Штифт в точке О связывает
движение тела, сводя его к вращению относительно точки О.
Реакция Rr, действующая в точке О, не производит работы, если
тело смещается, не нарушая связей в точке О. Мы будем обозна-
обозначать все реакции, не производящие работы на произвольном пе-
перемещении, не нарушающем связей, неработающими силами.
Всякое перемещение точки тела совместное с наложенными свя-
Рис. 37.
') Силы реакции, вызванные связями, также являются внешними силами.

§ 87] ВИРТУАЛЬНАЯ РАБОТА И ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ 259
зями называется виртуальным (возможным) перемещением1), и
мы обозначим такое виртуальное перемещение в точке хт че-
через 6хг.
Работа, произведенная внешними силами Fr на виртуальном
перемещении 8хг, выражается формулой
W6=%Fr6xr, (87.1)
где суммирование распространяется на все частицы тела; эта
сумма будет полной работой, если реактивные силы будут не-
неработающего типа. Определим W6 как виртуальную работу на
виртуальном перемещении bxr, если реакции не работающие.
В противном случае в состав W& будут включены также и реак-
реактивные работающие силы.
Необходимо тщательно помнить, что виртуальное перемеще-
перемещение 8хг не обязательно является действительным перемещением
dxr, совершаемым точкой Р(хг) под воздействием указанных сил.
Оно — лишь некоторое возможное перемещение, допустимое для
тела без нарушения связей.
Если данная голономная система с п степенями свободы опи-
описана в обобщенных координатах q\ тогда xr = xr(q\ ..., qn) и
виртуальные перемещения Ьхг связаны линейно с обобщенными
виртуальными перемещениями 8q', именно
^ (87.2)
6x=^-bqt
В формуле (87.2) перемещения 6<7* произвольны, но необходимо
совместны с наложенными на систему связями, поскольку коор-
координаты q' независимы 2).
Если мы въедем в (87.1) выражение из (87.2), то получим
(87.3)
где на последнем этапе используется определение обобщенной
силы Qi. Из этой формулы следует, что действующие на систему
обобщенные силы Qi можно определить, вычисляя работу W6,
произведенную перемещением системы посредством виртуаль-
виртуального перемещения 8q:> Ф О (/ — фиксированное) при б?7г = О,
i=/=i. Тогда Qi = W6f8q3. Мы обратимся к этому методу вычис-
вычисления обобщенных сил в иллюстративных примерах § 89.
') Виртуальные перемещения, нарушающие связи, также используются в
динамике, в частности в тех случаях, когда приходится иметь дело с вычис-
вычислением реактивных сил.
2) Обращаем внимание на различие между виртуальными перемещениями
б<7' и действительными перемещениями dq\ имеющими место на динамической
траектории q* = q'(t).
9*

260 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ГЛ. IV
§ 88. Неголономные системы
Вывод уравнений Лагранжа в § 86 основывается на той
предпосылке, что динамическая система голономна и что ее
конфигурация описывается п независимыми обобщенными коор-
координатами ql. Если q* не независимы, вывод соответствующих
динамических уравнений из принципа Гамильтона (86.14) за-
зависит от общих соображений, представленных в § 57.
В тех случаях, когда приходится иметь дело с неголоном-
ными динамическими системами, принято исходить из пред-
предпосылки, что обобщенные скорости q* входят в уравнения свя-
связей линейно. В соответствии с этим предположим, что п обоб-
обобщенных координат qi удовлетворяют т<п условиям типа
cki(q\ .... <7")<7' = О F=1 т), (/=1 п), (88.1)
где коэффициенты cftt- являются непрерывно дифференцируе-
дифференцируемыми функциями переменных ql.
Систему т уравнений (88.1) можно представить кратко:
а так как q^t = 6ql, то мы получим т соотношений
скМ = 0, (88.2)
в которых вариации 6ql вообще не независимы.
Для того чтобы вывести динамические уравнения из вариа-
вариационного уравнения Гамильтона
(88.3)
t,
где 8q* связаны т соотношениями (88.2), мы вводим (см. § 57)
т неизвестных функций Xh(ql, ..., qn), а затем образуем с по-
помощью (88.2) сумму
lhckibq{ = 0 (fe=l, ..., m, i=l, ..., п). (88.4)
Поскольку 6Т = (dTldq^Sq* + (dT/dq^Sq1, уравнение (88.3)
дает
и
h )t = 0- (88>5)
Но 8q{ = ddqi/dt, и интегрирование по частям первого члена в
подынтегральном выражении (88.5) дает (см. 82.3)
<e-°" (88'6)

§ 68) НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 261
если мы вспомним, что 6<7*(^i) =6<7l(^) = 0 по каждой из тра-
траекторий.
Перепишем теперь (88.6), введя в подынтегральное выраже-
выражение член W-Chibq1 = 0:
(88.7)
В формуле (88.7) координаты q* связаны т отношениями
(88.4), и если мы условимся рассматривать первые п — т коор-
координат q1' как независимые переменные и положим, что т функ-
функций Xh(ql, ..., qn) могут быть выбраны таким образом, что
^Т-4тТ + ^+^' = 0 для t = n-m + l,...,n, (88.8)
dq1 dt dq1
и тогда (88.7) приводится к
¦fr-^- + Ql + Xcki)bqidt = O (i=l, 2 n-m).
dq' dt dql I
(88.9)
Так как первые п — m переменных qi в подынтегральном выра-
выражении (88.9) независимы, вариации 8q' для i = I, 2, ..., п — m
могут быть выбраны произвольно, откуда мы заключаем, что
ТТ-4тТ + <2*+Я^ = ° (i=l,2,..., n-m). (88.10)
dq' dt dq'
Две системы уравнений (88.8) и (88.10) содержат п обобщен-
обобщенных координат ql и m множителей Лагранжа Я*^1, ..., qn).
Присоединяя к этим уравнениям m уравнений (88.1), получаем
п + m уравнений для определения систем значений q и к.
Условия, при которых могут быть определены %h таким об-
образом, чтобы удовлетворялись уравнения (88.8), подробнее
установлены в § 57; они связаны с рангом матрицы-якобиана
для (88.1).
Обратим внимание на то, что если уравнения (88.8) и
(88.10) соединены в одну систему
-j7^T~-jT = Qi + ^cki (/=1, 2, .... „), (88.11)
dt dq1 dq'
то правая часть уравнения (88.11) будет отличаться от правой
части уравнения (86.11) членом R,¦ = №cki. Этот член выражает
обобщенные реактивные силы, порожденные связями, если Q;—
обобщенные силы, действующие на систему в отсутствие связен.

262 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
В отдельных случаях Q, могут быть выведены из потен-
потенциала V(ql, ..., qn).
В качестве иллюстрации применения уравнений (88.11) рас-
рассмотрим однородный круговой цилиндр, скатывающийся под
воздействием силы тяжести вниз по шероховатой наклонной
плоскости.
Пусть цилиндр радиуса а и массы т скатывается без сколь-
скольжения вниз по плоскости, образующей постоянный угол ср с го-
горизонтальной плоскостью. Положение цилиндра определяется
углом ската 8 и расстоянием х, которое приходится центром
массы цилиндра до горизонтальной плоскости. В качестве на-
наших обобщенных координат примем ql = в, q2 = х и заметим,
что кинетическая энергия Т системы представляет собой сумму
кинетической энергии перемещения центра массы и кинетиче-
кинетической энергии вращения относительно центра массы, т. е.
T = jtnx2 + ±mk2Q2, (88.12)
где k — радиус инерции цилиндра.
Так как поверхность наклонной плоскости шероховата, то
в ней возникает сила трения F; при этом мы полагаем, что эта
сила в точности достаточна для предупреждения скольжения.
В этих условиях * и 8 оказываются связанными соотношением
adQ = dx, (88.13)
в котором й — радиус цилиндра.
Связь (88.13) действительно голономна, так как ее можно
интегрировать и получить х = ав, сведя, таким образом, задачу
к рассмотрению одной независимой переменной, например х.
Но для того чтобы проиллюстрировать теорию, изложенную в
настоящем параграфе, преобразуем (88.13) к виду c^q* — О
[см. (88.1)]:
а^-^ = 0, (88.14)
так что с,, = а, с,2 = — 1.
Уравнения (88.11) дадут в таком случае
\
-,„,,-, г (оо. 15)
дх dt дх ' ^ )
Работа W, произведенная теперь одной лишь гравитационной
силой, когда центр массы перемещается на расстояние х, равна
W = xmg sin ф. Отсюда V = — xmg sin ср, а

§ 88] НЕГОЛОНОМНЫЁ СИСТЕМЫ 263
Введя эти выражения в (88.15) и учтя значение Г в (88.12),
получим пару уравнений
/n8=-p-, mx:=mgsm<f — К (88.16)
в сопоставлении с (88.11), показывающую, что обобщенные ре-
реакции R равны
Для того чтобы вычислить X, заметим, что й8 = х, так что
0 = х'/а. Используем это отношение для того, чтобы исключить
х и ё в (88.16). В результате получаем
А ~ 1 + a2/k2 '
и отсюда уравнения (88.16) дадут
х тва sin ф .. . k2mg sin ф /Г1О ,_ч
» «* = «?sm<p » 2 • (88.17)
Член й2т^в1пф/(й2 + k1) во втором уравнении (88.17) пред-
представляет собой силу трения F, оказывающую сопротивление
компоненту mg sin ср гравитационной силы на плоскости. Если
цилиндр — массивное тело, k2 = a2/2 и F = -5- mg sin ср. Величина
силы трения F=y.N, где ц — коэффициент трения, а N — дав-
давление цилиндра на плоскость. Так как N = mgcosqp, заключаем,
что ц — FIN = -g- tg Э. Другой пример применения уравнений
(88.11) мы можем привести в решении задачи брахистрохроны
в сопротивляющейся среде1).
Допустим, что нам требуется определить элемент дуги не-
непрерывно дифференцируемой кривой
С: У = у{х), у{х{) = уи у{х2) = у2, (88.18)
обладающей тем свойством, что продолжительность спуска бу-
бусинки единичной массы, движущейся по этой кривой под воз-
действием силы тяжести, получается наивозможно более крат-
краткой. Положим, что движению противодействует сила R(v) на
единицу массы, где R(v)—непрерывно дифференцируемая
функция скорости v.
Совместим положительное направление оси у с направле-
направлением действия силы тяжести. Так как работа, произведенная
силой тяжести на перемещении частицы, за вычетом работы,
') См. Bliss G. A., The problem of Lagrange in the calculus of varia-
variations, Amer. Journ. of Math., 52, 1930; Pars L. A., Calculus of variations
1962, стр. 241—243.

264 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
произведенной силой противодействия R(v), равна прираще-
приращению кинетической энергии, то мы получаем уравнение
Если принять х за независимую переменную, то это соотноше-
соотношение даст и условие связей
Ф(У, v, yf, о') = оо' -gy' + R(v) V\+{y'Y = 0, (88.19)
где верхними штрихами обозначены производные по х.
Определение минимального значения интеграла при усло-
условии (88.19) осуществляется нижеследующей операцией:
(88.20)
Обозначим подынтегральное выражение в последнем равенстве
через F— )f\ +(y'J/v и построим функцию
G = F + Tup = V{ \WY + Цх)[W -gy' + R(о) V\ + (г/02]¦
Если определить
Я =-^ + Л,/? (о), (88.21)
то функцию G можно будет представить выражением
-gy'). (88.22)
Уравнения кривой G выводятся из уравнений Эйлера
^ ^Go = 0, (88.23)
dx " dx ° '
а поскольку G не содержит у, заключаем на основании первого
из уравнений (88.23), что Gy, = а или
У , 2 - kg = a, (88.24)
где а — постоянная величина.
Второе из уравнений (88.23) дает
¦3J-(Ло) - /1+(г/'JЯ0-Лв' = О
или
?U$m-H9. (88.25)

§ 88] НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 265
Мы получим, таким образом, систему трех уравнений (88.19),
(88.24), (88.25) для определения у(х), v(x) и к(х). Положив
ds = У1 + (г/'J dx, выразим эти уравнения в сжатом виде
(88.26)
dl
Исключая dy и ds из (88.26), получаем уравнение
Я (Яо dv + R dk) = (gk + a)g dk,
а поскольку R = H% в силу (88.21), мы сможем придать ему
вид
H{Hodv + Hxdk) = \
или
Интегрирование этого уравнения дает
+ b\ (88.27)
где Ъг — постоянная интегрирования.
Из (88.21) следует, что (88.27)—квадратное относительно
к уравнение, так что к можно рассматривать как известную
функцию v и постоянных интегрирования а и Ь. Этим подска-
подсказывается, что уравнение кривой С надлежит искать в парамет-
параметрической форме
С: x = x(v), y = y{v). (88.28)
Поскольку dy/dv = (dy/ds) (ds/dv), находим с помощью двух
уравнений (88.26), что
do ~
где правая часть является известной функцией v. Выполняя
квадратуру, получаем
y = h(v, а, Ь) + с, (88.30)
где с —постоянная. Уравнение (88.30)—одно из искомых
уравнений (88.28). Для того чтобы получить к = x(v), заме-
чаем, что dx/dv = (dx/ds) (ds/dv) и так как dx/ds= |/1 — (dy/dsJ,
a dy/ds и ds/dv определяются из первых двух уравнении (88.26),
находим, что dx/ds — также известная функция v. Читатель
убедится, что
dx _ bv
~ ~J +RH '

266 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
так что
x = f2(v, а, Ь) + й, (88.31)
где d—постоянная. Постоянные интегрирования в (88.30) и
(88.31) должны быть определены для начальных условий. Для
того чтобы придать задаче физический смысл, нам следует на*
ложить некоторые ограничения на относительные величины
R{v) и гравитационную силу g, как, например, R<g для всех
надлежащих значений и.
Задачи
1. Полый цилиндрический барабан массы т скатывается под воздей-
воздействием силы тяжести вниз по шероховатой наклонной плоскости, образующей
угол ф с горизонталью. Какой величины должен быть коэффициент трения ц,
чтобы предупредить скольжение? I Ответ. Ц^-»-tg ф.)
2. Бусинка массой m скользит по гладкому стержню, вращающемуся в
вертикальной плоскости относительно одного конца с постоянной угловой
скоростью со. Показать, что уравнение движения имеет вид г — со2/' = g sin wt,
и решить его.
3. Бусинка скользит по гладкой проволоке круглого сечения радиуса а,
вращающейся с постоянной угловой скоростью относительно вертикального
диаметра проволоки. Показать, что ё — со2 sin 0 cos 0 = (g/a) sin 9, где 0 —
угол, образованный радиусом к частице с диаметром.
§ 89. Иллюстративные примеры
Приведем теперь три примера, иллюстрирующих примене-
применение обобщенных координат.
Рассмотрим прежде всего задачу о простом маятнике, со-
состоящем из груза массы m и поддерживающей его легкой не-
нерастяжимой нити длины /. Положим, что маятник приведен
в состояние колебаний в некоторой плоскости, которую мы обо-
обозначим плоскостью YiYz (рис. 38). Для того чтобы составить
уравнения Лагранжа
нам необходимо выражение для кинетической энергии
Т = \ту1у1, (89.2)
но.
г/1 = /sin 9 = /sin у,
г/2 = / A — cos 6) = ^1 — cos T , (89.3)

г 88]
ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ
267
где в качестве обобщенной координаты мы принимаем длину
дуги q = /0. Так как у2 = q sin (q/l) и у1 = q cos (q/l), уравнение
(89.2) переходит в Т = -^т (qf.
Работа W6, произведенная на
виртуальном перемещении 8q, вы-
выразится через
W6 = — mgsir.8 bq = — mgs'm-jbq,
а отсюда получим и обобщенную
силу Q = —mgsin(q/l). Таким обра-
образом, уравнение (89.1) дает
q + g sin ~-~ 0- (89.4)
и так как для малых перемещений
sin 0 — 0, то для малых колебаний
имеем
1 = 0,
где k2 = g/l. Решение этого уравнения: q = acos(kt + а). Ре-
Решение уравнения (89.4) может быть выражено в эллиптических
интегралах первого рода.
Обратимся теперь к более _о
интересной задаче двойного
маятника. Исследуем рас-
расположение частиц, представ-
представленное на рис. 39, где,
как мы предполагаем, мас-
массы nil и Шг поддерживаются
нерастяжимыми легкими
подвесами длиной U и со-
соответственно /2. Предпола-
Предполагается, что маятник совер-
совершает колебания в одной
плоскости, в качестве же
обобщенных координат мы
принимаем величину 0 и ср— '
углы отклонений подвесов Рис. 39.
h и /2 от вертикали.
Уравнения, связывающие координаты (у\, у\} и (у\, yty
масс nil и т2 с обобщенными координатами q1 = 0, q2 = <p при-
принимают следующий вид:
•=/, sin
=/, cos
у\ = /, sin ql +12 sin q2, y\ = lx cos qx + /2 cos q'K

268 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Так как
Т = ^тху\{,\Л-~тгу% (/=1,2),
то незатруднительное вычисление дает
Т = ~ {/л, (hq1J + m2 [(l{q1J + 2l,l2q42 cos (q2 - ql) + (l2q2J]}.
Работа, произведенная на малом виртуальном перемещении bq2,
если 6ql = 0, равна
Wf] = — m2gl2 sin q26q2,
так что
Q2 = — m2l2g sinq2.
Точно так же работа, выполненная на перемещении 6ql, когда
6q2 = 0, равна
W[b' = — {щ + пг2) gli sin ql bq1.
Таким образом,
Qi = — (m, + m2) glx sin ql.
Воспользовавшись уравнениями (89.1), находим для опре-
определения динамической траектории пару совместных обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений
-гг {{щ +/и2)(/|J^! + m2lxl2q2cos (q2 ~ q1)} —
„ » . Ai a2 sin (qz _ q\j = _ (mj + m2) g/j sin ф^
1 cos (<72 — q1) + m2 (/2J ^2} +
+ m2lxl2qxq2 sin (<72 — q1) = — m2g2/ sin,
Вместо того чтобы определять обобщенные силы Qi и Q2 не-
непосредственно, мы могли бы воспользоваться потенциальной
энергией V в ее развернутом выражении:
V = rn.\gl\ A — cos ql) + rn2g{l\ + /2 — /(cos ^' — ?2 cos ^2),
если мы примем V = 0, когда ql = q2 = 0.
Что касается деталей решения системы дифференциальных
уравнений (89.5), то по этому вопросу мы отсылаем читателей
к стандартным курсам по аналитической динамике.
Заключительным нашим примером к изучаемой теме будет
задача о малых колебаниях консервативной динамической си-
системы относительно положения устойчивого равновесия.
Положим, что такая система — физическая и голономная
имеет п степеней свободы. Выберем обобщенные координаты ql
таким образом, чтобы положение равновесия системы опреде-

§ 89] ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ 269
лялось условием qi' = 0 (i = 1, ..., п). Поскольку равновесие
устойчивое, потенциальная энергия V(q\ .. ., qn) принимает ми-
минимальное значение при ^'=0 и, следовательно, dVjdql\o = Q.
Если мы положим, что уровень потенциала падает до нуля при
qi = 0, то разложение потенциала V(qu ..., qn) в ряд Тейлора
близ q> — 0 принимает вид V =-^bijqlql+ 0 {ф), где O(q3)
обозначает остаточный член после членов q' во второй степени.
Поскольку мы интересуемся малыми колебаниями относительно
точки ql = 0, позволительно допустить, что потенциальная энер-
энергия может быть представлена с достаточной точностью квад-
квадратичной формой
T lbu = bit)- (89-6)
Кинетическая энергия Т системы равна
(ап = аи). (89.7)
Положим, что в окрестности точки q* — 0 коэффициенты а^ за-
заметно не изменяются, так что их можно рассматривать как по-
постоянные величины.
Уравнения Лагранжа (86.12) дадут в таком случае систему
п совместных обыкновенных дифференциальных уравнений вто-
второго порядка с постоянными коэффициентами
Вместо того чтобы интегрировать эту парную систему непо-
непосредственно, мы можем упростить задачу введением новой со-
совокупности независимых переменных qri, так называемых нор-
нормальных координат, связанных линейно с координатами q< та-
таким образом, что квадратичные формы (89.6) и (89.7) приво-
приводятся совместно ') к сумме квадратов. Мы получаем при этом
(8 8)
Все коэффициенты при q' в (89.8) не отрицательны, так как
квадратичная форма (89.6) должна быть обязательно положи-
положительной, если потенциальная энергия V принимает минималь-
минимальное значение для qi = 0.
Уравнения Лагранжа принимают теперь вид
= 0 (без суммирования по i),
Эта алгебраическая задача была рассмотрена детально в § 16.

270 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
а их решениями будут, очевидно,
q'1 = с, (cos К^ + с2) (t = l, ..., п).
Таким образом, колебание системы в нормальных коорди-
координатах получится простым гармоническим с собственными коле-
колебаниями, определенными характеристическими значениями Хи
которые удовлетворяют уравнению частоты
\Ьи-Х2аи\ = 0. (89.9)
Если корни А,,- различны, нормальные координаты qn опре-
определяются существенно однозначно. Для кратных корней выбор
нормальных координат неоднозначен. Это следует из анализа,
приведенного в § 16.
Проблема малых колебаний представляет большой техниче-
технический интерес — ей посвящена обширная литература, в которой
исследование осциллирующих систем проводится как для слу-
случаев конечного, так и бесконечного числа степеней свободы1).
В качестве конкретной иллюстрации к нашему общему ана-
анализу колебаний динамических систем относительно положения
устойчивого равновесия рассмотрим двойной маятник (рис, 39),
для которого U = к = / и Ш\ = гп2= т. Выражения для Т и V,
приведенные на стр. 268, в данном случае примут вид:
Т = | Рш [2 (<?Y + 2<7><f cos (<72 - ql) + (<fJ],
V = mgl [A - cos ql) + B - cos qx - cos q2)}.
Если Т и V развернуть в ряд по степеням qx и д{ и сохра-
сохранить в этих переменных лишь члены во вторых степенях, то
мы получим
r = ^i[2(^J + 2^2 + (^2J],J
\ (89.10)
Для того же, чтобы привести (89.10) к виду (89.8), вводим
нормальные координаты х = q'1, у = q'2 линейным преобразо-
преобразованием (см. § 16)
ql = alx + a2y, q2 = b1x + b2y. (89.11)
Коэффициенты й; и 6; в (89.11) нулсно выбрать так, чтобы Т и
V в (89.10) приводились к виду
Т-Ш + f), V = xW + X\y\ (89.12)
!) См. интересные случаи в книге: Frazer, Duncan, Collar,
Elementary matrices and some applications to dynamics and differential
tions, Cambridge University Press, 1938.

§ 89J ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ 271
Подстановка из (89.11) в (89.10) дает две квадратичные фор-
формы, в которых перекрестные произведения приводятся к нулю.
Таким образом,
Решая эти уравнения, находим
h. = 1/2 h. = _ 1/2
fli ' а2
Далее, сравнение коэффициентов при х2 и у2 показывает, что
2
Таким образом, искомое преобразование (89.11) принимает вид
^ =
21 Ут
причем выражение потенциала V преобразуется в
(89.13)
В соответствии с этим уравнения Лагранжа в нормальных ко-
координатах выразятся следующим образом:
Решив их, получим
х = с, cos (Х^ + с,), г/ = с3 cos (X2t + c4), (89.14)
где
Независимые колебания в (89.14) имеют периоды Tt = A
и Г2 = 2я/Яг. Колебания большего периода — это колебания х—
называются колебаниями низкого тона. Колебания высокого
тона — это колебания у. Если положить у = 0 в (89.13) и рас-
рассмотреть колебания низкого тона, то увидим, что
Поведение маятника в этом случае иллюстрируется рис. 40, а.
Положив х = 0, мы получаем движение быстрого типа колеба-
колебаний, для которого q2 = —V^1\- Он представлен на рис. 40,6.
Углы представлены на этих схемах преувеличенными. Общее

272
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ. IV
движение, описанное уравнениями (89.13), представляет собой
сочетание движений двух характеристических типов колебаний.
Можно, конечно, получить нормальные частоты Xi, X2 непо-
непосредственно из уравнений частот (87.9).
-YW,
б)
Рис. 40.
Если подставить Т и V из (89.10) в уравнения Лагранжа
(86.12), то придем к паре уравнений
(89.15)
в которых переменные Я\ и Ч\ спарены. Положим, что реше-
решения уравнений (89.15) имеют вид
q1 = aleiM, q2 = a2eiU, (89.16)
определим X так, чтобы уравнения (89.15) были удовлетворены.
Путем подстановки (89.16) в (89.15) получаем два однородных
уравнения
а, B f - 2А2) + а2(-Ъ2) = 0, а, (- А2) + а2 (| - А2) = 0>
имеющих для ач и а2 нетривиальные решения при единственном
условии, если
8 __ OJ2
= 0.

§ 90] КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 273
Развертывая этот детерминант, найдем, что
A2=fB±V/2),
и получаем два значения Х{ = (g/l){2 — j/2), kl={g/l) B+ ]/2), от-
отвечающих найденным ранее медленным и быстрым типам коле-
колебаний низкого и высокого тона. Таким образом, решение (89.16)
может быть записано
ql = cie»M +c2elhit,
ф~—У2 с,ем'< + /2 с2е1К\
как в (89.13).
Задачи
1. Найти собственные колебания для двойного маятника (рис. 37), при-
приняв U = 1г, но mi фт2.
2. Частица массы т колеблется относительно низшей точки гладкой по-
поверхности г — -у (ахг + 2hxy + by2), где координаты декартовы прямоуголь-
прямоугольные, а ось z направлена вертикально вверх. Предполагаем, что вертикальный
компонент скорости мал, так что Т = — m (х2 + у2). Потенциал V = mgz =
= (mg/2) (ax2 + 2hxy + by2). Вывести уравнения движения, определить их
решения в форме х = а^еш, у = aielKt и заключить, что если потенциальная
энергия V минимальна при х = 0, у — 0, тогда а > 0, b > 0, ab — h2 > 0.
3. Пусть частица в задаче, приведенной в конце § 80, находится под
воздействием силы тяжести, так что F1 «= mga sin и1, F2 = 0. (Заметить, что
работа 6W, произведенная на малом перемещении б;/3, равна б№==—mgby%=
= mga sin и! 6и!.) Показать, что движение, когда частица проходит через
наивысшую и иаииизшую точки сферы, совершается по дуге большого круга.
Полное исследование этой задачи сопряжено со значительными сложностями.
См. Ар pell P., Mecanique rationnelle 1, гл. 13, в особенности § 277. См.
также исследование сферического маятника в книге Synge J. L, Grif-
Griffith В. A., Principles of mechanics.
4. Пусть частица предыдущей задачи совершает малые колебания отно-
относительно нижнего полюса сферы. Определить проекцию этого движения иа
плоскость, касательную к сфере в полюсе, и исследовать характер движения.
Указание. Положить и1 »• л — {г/а) и вывести уравнения
гй + 2гй = 0.
§ 90. Канонические уравнения Гамильтона
Рассмотрим консервативную голономную динамическую си-
систему с п степенями свободы и интеграл
и
J=JL(q,q)dt, (90.1)

2Г4 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
где L = Т — V — кинетический потенциал. Мы видели в § 86,
что система уравнений Эйлера, связанная с вариационной за-
задачей нахождения экстремума /, состоит из совокупности п
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка,
которые мы запишем выражением
dL i
-jf--Lqt = O (/=1,2 я), (90.2)
где нижние индексы обозначают частные производные от
L (q, q). В ряде случаев бывает удобно представить систему п
уравнений Лагранжа (90.2) в виде эквивалентной системы из
2п уравнений первого порядка, известных как уравнения Га-
Гамильтона.
Функция L(q, q) = T{q,q) — V(q) зависит от п обобщенных
координат q' и п обобщенных скоростей q\ Вместо переменных
7' мы можем ввести п новых переменных pi, определенных соот-
соотношениями
p{ = Lqi(q,q) (г = 1, 2, ...,«), (90.3)
где мы предполагаем, что система (90.3) разрешима для qi в
функции от pi и qu Так, например, обстоит дело в случае, ко-
dL.
гда якобиан
^0. Построим теперь функцию Н(р, q)
независимых переменных q и р
H{p,q)^qipi~L{q,q), (90.4)
выразив qi = qi(q, p) в правой части уравнения (90.4) в функ-
функции от ql и pi с помощью (90.3). Дифференцируя (90.4) по qi,
получаем
а поскольку Pi = L-. в силу (90.3) находим
Hqi = -Lqi. (90.5)
Аналогично вычисляем
">,-*+$; р.-4%;
и, пользуясь опять (90.3), получаем
ЯР; = q1. (90.6)
Но уравнения Лагранжа (90.2) устанавливают, что
dL.i
_ / ,
<?
/
dt <?

§ 90] КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 275
а если учесть определение (90.3) и формулу (90.5), то мы по-
получим п уравнений первого порядка
dt — nqi yi — i, •.., Щ, \\ы.()
которые вместе с п уравнениями (90.6)
dqi _ и /
dt
1 п), [90.6]
составят систему из 2п канонических уравнений Гамильтона
первого порядка.
Функция Н(р, q), известная как гамильтонова функция,
имеет важный физический смысл. Так как L = T—V, а V —
функция одного лишь ql, то можно переписать (90.4) в виде
Но
Г дТ
так что
• I дТ .1.1 nrr,
о —г = auqlq' = 2Т,
а отсюда (90.8) приводится к виду
H = T + V.
Таким образом, Н — полная энергия системы.
Переменные
pl = ~ = ailql (90.9)
называются обобщенными количествами движения, и мы заме-
замечаем, что квадрат величины вектора pi равен
р2 = allptPl = аца1капЯкя1 = aktqkql = 2Г. (90.10)
Для того чтобы дать простой пример использования урав-
уравнения Гамильтона, рассмотрим частицу с массой пг, движу-
движущуюся под воздействием центрального силового поля с потен-
потенциалом V(r), где г — расстояние частицы от центра притяже-
притяжения. Если в качестве обобщенных координат воспользоваться
полярными координатами г = ql, 0 = q2, то
где

276 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Но Н = Т + V = -j al!piPj + V в силу (90.10), которое дает после
подстановки значений а1'
В итоге приходим к соотношениям
дг mr3 + У {Г>' dQ u> dPi m ' др% mr* '
Уравнения (90.6), (90.7) Гамильтона в этой задаче получают
вид
dr p. dQ р„ dp, pi dpo
dt - m • dt~mr*' dt ~ mr3 ~ V (r>' dt ~U' Vyu-U>
Последнее из этих уравнений в сочетании со вторым дает
т. е. уравнение, выражающее второй закон Кеплера движения
планет. Нетрудно показать, воспользовавшись остающимися
уравнениями в (90.11), что если V' = —mjr, то орбита будет
коническим сечением (см. § 97).
Задачи
1. Пусть частица массы m вынуждена двигаться по гладкой поверхности.
Показать, что система уравнений Гамильтона имеет внд
dt дра> dt диа
^L («-, 2)
да '
где ра = таарй& иЯ= A/2т) аа& рар$ + V.
2. Показать, что вдоль динамической траектории dH/dt »¦ 0, так что
Я = const представляет собой интеграл уравнений Гамильтона.
3. Показать, что dL/dql + dH/dq1 - 0.
4. Написать канонические уравнения Гамильтона для задачи 1 § 89.
5. Если Г=-^-т(<7J и V=k (q)\ k>0, то Н=р2/2т+та2 (<?J/2, где
(Л2~к/гп. Показать это и вывести, что q = УЩтш2 • sin (at + a).
6. Вывести уравнения Гамильтона из вариационного принципа 6 J L dt = 0.
Указание. Представить I в виде L = p{ {dq'/dt) — Н (р, q), рассмотреть ва-
вариации р и q как независимые и показать, что

§ 91J ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА 277
§ 91. Закон тяготения Ньютона
Общая формулировка динамических уравнений, сделанная
в предыдущих параграфах, не накладывает каких-либо специ-
специальных ограничений на функциональную форму силовых полей.
В различных применениях динамики, включая астрономию и
атомную физику, мы имеем дело с динамическими системами,
подвергающимися действию центральных силовых полей, и в
частности таких полей, интенсивность которых обратно пропор-
пропорциональна квадрату расстояния частицы от центра притяже-
притяжения. Теория притяжения по закону обратной пропорционально-
пропорциональности квадрату расстояния имеет свое начало в исследованиях
Ньютона, относившихся к движению планет по «эксцентриче-
«эксцентрическим коническим сечениям», как он называл их сам1). Мы
сформулируем этот закон следующим образом.
Две материальные частицы притягиваются одна к другой
с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и об-
обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. На-
Направление действия силы совпадает с линией, соединяющей ча-
частицы.
На языке векторных уравнений этот закон формулируется,
следовательно, таким образом:
где тх и /Яг — массы частиц, а г12 — вектор Р\Ръ. Коэффициент
пропорциональности у, зависящий от выбора единиц, в системе
CGS определяется значением 6,664 • 10"8 физической размерно-
размерности M'KL3T~2. В нашей работе путем надлежащего подбора еди-
единиц измерения мы припишем этому коэффициенту значение
Y = 1. И тогда получим
i2. (91.1)
Заметим прежде всего, что закон тяготения (91.1) распро-
распространяется на две частицы, а поскольку в динамике приходится
иметь дело обычно с непрерывными распределениями материи,
то этот закон представляется необходимым обобщить. С этой
целью материальные тела можно подразделить на малые части,
каждую такую часть заменить эквивалентной материальной
частицей, приложить соответствующие силы к отдельным — дис-
дискретным частицам и перейти к пределу по мере неограниченного
') N е w 1 о n, Principia, книга 1, § III, Предложения 1—17.

278
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1ГЛ. IV
возрастания числа дроблений материального тела на ча-
частицы. Эта процедура для двух тел ti и х% приводит к фор-
формуле
F= ^P-rl2dxldx2, (91.2)
где dri и d%2 — объемные элементы тел ti и тг, pi и р2—их функ-
функции плотностей, a ri2 — радиус-вектор элемента dxz, отнесенного
к началу dx\. Будем предполагать, что pi и р2 кусочно-непре-
кусочно-непрерывны.
Поскольку два взаимодействующих тела вызывают не толь-
только результирующие силы, но также и результирующие момен-
моменты, то представляется необходимым удостовериться в том, что
обобщенный закон тяготения (91.2) приводится к начальному
исходному и не сопровождается какими-либо не обращающи-
обращающимися в нуль парами, когда тела Tt и тг в процессе предельного
перехода обращаются в точку.
Для того чтобы показать, что это действительно так, вве-
введем прямоугольную декартову систему отсчета У и обозначим
Рис. 41.
координаты точек тел xi и xz через (г/{) и соответственно уу2
(рис. 41). Заменяем распределенную массу piAr2 сосредоточен
ной массой mt в точке Р, (г/}, у\, yf), а массу р2Дтг массой т
В согласии с законом (91.1) получаем для компонентов си
лы Д/7', обусловленной этими массами,
/S.F1 =

§ ЯП ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА 279
и для компонентов моментов1) Д?* относительно начала О
yk-yk
^Lt = ету{ &Fk = eilky{Plp2 Дт, Дт2 -^-^,
Векторное сложение этих двух сил дает результирующую силу
zAdXidX2t (9U)
и результирующий момент
№;к!/{~fi- dxx dx2. (91.4)
- J
Докажем теперь, что если в процессе предельного перехода
тела ti и t2 стягиваются в точку Pi и соответственно Р2 (или
даже стягивается до нуля лишь одно тело ti), to результирую-
результирующий момент Li стремится к нулю, а уравнение (91.3) преобра-
преобразуется к частной форме закона тяготения для двух частиц
(91.1).
Совместим начало О нашей координатной системы с точ-
точкой Pi и заставим тело Ti в процессе предельного перехода
сжаться до точки О, а тело т2 до точки Р2{у\, у\, yQ. По-
Поскольку pi и р2 в уравнениях (91.3) и (91.4) — неотрицательные
функции, то здесь применима первая теорема о средних значе-
значениях для интегралов, и мы получаем
I
i = \e
ilk
г г
где в скобках заключены значения величин, определенных в от-
отдельных точках в ti и Гг. По мере приближения размеров ti
к нулю, у^—уО, а потому и L,—»0, причем первый из вышепри-
вышеприведенных интегралов приводится к
Fl = Щг т{щ.
Мы получили в точности закон тяготения (91.1) для двух ча-
частиц, размещенных в точках @,0,0) и (yl2, y\, yf).
') Напомним, что момент силы F, приложенной в точке определенной
радиусом г, равен L = rXF илн, в компонентах, L; = Фк

280 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (ГЛ. IV
Из вышеизложенного следует, что взаимодействие мате-
материального тела с точечной массой не сопровождается появле-
появлением какого-либо результирующего момента L. Кроме того, не-
непосредственные вычисления указывают, что это верно также
и для того случая, когда точечная масса заменена сферой т,
плотность которой р — непрерывная функция одного лишь ра-
радиуса. Результирующая сила F, с которой тело действует на
сферу, оказывается такой же, как и та, которая проявляется
телом, действующим на точечную массу т = j p d%, находя-
т
щуюся в центре сферы1).
Рассмотрим теперь тело т с кусочно-непрерывной плотностью
р, и пусть Р(у1, у2, У3)—фиксированная точка, находящаяся
либо внутри, либо вне т. Гравитационный потенциал V(P)
в точке Р, обусловленный телом т, определяется интегралом
(91.5)
где г = ]/(у! — g1J + (у2 — g2J + (г/3 — |3J — расстояние между
Р(УХ> У2> Уъ) и переменной точкой (j-1, |2, ?3), связанное с объем-
объемным элементом dx(\) тела т. Интеграл (91.5), как мы теперь
увидим, определяет дифференцируемую функцию V(y\ у2, г/3)
для всех положений точки Р.
Если Р — вне тела т, интеграл (91.5) собственный, и мы мо-
можем вычислить сколь угодно много производных V путем диф-
дифференцирования (91.5) под знаком интеграла по параметрам у\
В частности,
17--^ (9L6)
где F{ — компоненты силы тяготения
Г р(е)г
г3
dx, (91.7)
обнаруживаемой телом т и действующей на частицу единичной
массы, находящейся в точке Р(у).
Если Р{у) находится внутри т, то интеграл (91.5) несоб-
несобственный, поскольку г = 0 в том случае, если переменная точка
(S1) ?2> Е3) совпадает с (у1, у2, у3)- Тем не менее такой интеграл
может быть все же дифференцирован под знаком интеграла,
если производный интеграл равномерно сходится. В нашем слу-
') См., например, Sokolnikoff I. S., Redheffer R. M., Mathema-
Mathematics of physics and modern engineering, McGraw-Hill, Book C°, 1958, стр. 4Ю—
411.

§ 92] ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 281
чае равномерная сходимость интеграла (91.7) следует из из-
известной проверки на сходимость несобственных интегралов1).
Кроме того, из равномерной сходимости (91.7) следует, что
F(P) непрерывны во всем пространстве.
Хотя V(Р) принадлежит классу С°°, во всех тех случаях,
когда Р находится вне т, на непрерывность р должны быть на-
наложены более строгие ограничения, для того чтобы обеспечить
существование вторых производных от V(P) в точках вну-
внутри т. Известно, что если р принадлежит классу С, то вторые
производные потенциала V(P) существуют во всех внутренних
точках тела т. Тщательный анализ функции F(P) показывает2),
кроме того, что V(P) удовлетворяет уравнению Пуассона
(91.8)
во всех точках внутри т и уравнению Лапласа
V2V = 0 (91.9)
в точках вне т.
Уравнения (91.8) и (91.9) приводят к выводу, что вторые
производные от V(Р) вообще испытывают разрывы всякий раз,
когда Р пересекает поверхность 2 тела т. В § 93 мы устано-
установим справедливость уравнений (91.8) и (91.9) с привлечением
гауссовой теоремы потока. Доказательство, основанное на тео-
теореме потока Гаусса, имеет преимущества физической убедитель-
убедительности, которой обычно бывает лишен аналитический процесс,
основанный на вышеупомянутом изучении.
При всем том оно налагает весьма строгие ограничения на
характер областей и поверхностей, ограничивающих эти области.
Теорема Гаусса — это теорема в целом и ею нет нужды поль-
пользоваться в выводе результатов местного значения (91.8) и
(91.9), относящихся к свойствам потенциалов в окрестности за-
заданной точки.
§ 92. Теоремы преобразования интегралов
Для того чтобы обеспечить себя аналитическим инструмен-
инструментарием в нашем дальнейшем исследовании, переведем на язык
тензорного исчисления хорошо известные теоремы интеграль-
интегральных преобразований Гаусса, Грина и Стокса.
') Так как для всех значений (?') в окрестности (у*) | rnp(|)/r21 < А,
если 2 < п < 3, где А—константа, не зависящая от (§'). К вопросу об этой
оценке см. Sokolnikoff I. S., Advanced calculus, Me Graw Hill, 1939,
стр. 367—372 или: Kellogg О. D., Foundations of potential theory. Springer-
Verlag, 1929, стр. 146—156.
2) Cm. Kellogg O. D., op. cit., гл. 6, стр 146—156.

282 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Пусть F — векторная функция класса С в открытой обла-
области т, охватываемой регулярной1) поверхностью 2 и непрерыв-
непрерывной в замкнутой области 2 + т. Обозначим через п внешнюю
единичную нормаль к 2 и сформулируем теорему дивергенции
в виде
JdivFdt= JF-nda. (92.1)
% 2
Интеграл с индексом т вычисляется по объему т, интеграл же
в правой части формулы (92.1) измеряет поток вектора F через
поверхность 2.
Вспомним из элементарного векторного анализа, что в пря-
прямоугольных декартовых координатах дивергенция вектора F
выражается формулой
+ + 02 2)
ду1 ^ ду2 ^ ду3 ' (*Z-Z>
Если компоненты F, отнесенные к произвольной криволинейной
координатной системе А', обозначены через F\ то ковариантная
производная компонента F» примет вид
и мы видим, что инвариант Flt i в декартовых координатах при-
приводится к правой части формулы (92.2), т. е. представляет ди-
дивергенцию векторного поля F. Кроме того,
Fn = g^n1 = F'n,,
и потому уравнению (92.1) можно будет придать вид
JV,dT= J Flnida. (92.3)
t 2
Из этой теоремы легко можно вывести две другие теоремы
(обычно приписываемые Грину).
Положим, что и(х\х2,х3) и v(xl,x2,x3) — две скалярные
функции класса С2 в т и класса С1 в замкнутой области 2 + т.
Обозначим градиенты и и v через к,- и соответственно через vit
так что получим
ди до
Us — г И V, = г.
1 дх1 дх1
Если положить
Ft = uvh
') Мы опускаем довольно сложное исследование свойств поверхностей,
к которым применима теорема дивергенции. С подробным рассмотрением
этого вопроса можно ознакомиться у Келлога: Kellogg О. D., Foundations
of potential theory, стр. 97—121.

§ П2] ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 283
и образовать дивергенцию от F\ то мы получим
Введем это выражение в (92.3) и получим искомую формулу
J g1' {uvt, i + vtu,) dx = | uvrf do. (92.4)
i
Инвариант g^u,-,;-, возникающий в левой части уравнения
(92.4), будучи выраженным в декартовых координатах, из-
известен как лапласиан функции v, d2v/dyi ду1, и если обозначить
оператор-лапласиан символом V2, то мы сможем написать
Точно так же мы можем записать и внутреннее произведение
gt}vtujt
' = Vu ¦ Vo,
где мы пользуемся обычным оператором V для обозначения
градиента.
Теперь формулу (92.4) можно представить в знакомом виде
J u$2v dx= J un-Vvda- J Vu-Vv dt, (92.5)
где
Переменив местами и и v в уравнении (92.5) и вычтя получен-
полученную формулу из уравнения (92.5), приходим к симметричной
форме теоремы Грина
^[^^) (92.6)
Теоремы, содержащиеся в уравнения (92.3) —(92.6), яв-
являются, может быть, именно теми, которые чаще всего исполь-
используются в математической физике.
Лапласиан v:
V2t> = g'4, /, (92.7)
будучи выписан в развернутой форме в символах Кристоффеля,
отнесенных к криволинейным координатам х* пространства Е3,
принимает вид
b (92-8>

284 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
а дивергенция вектора Т7* —
[ГЛ. IV
Формулы (92.8) и (92.9) могут быть представлены в различных
формах, часто более удобных для вычислений. Уравнение C1.10)
дает
и, следовательно, мы сможем представить дивергенцию F\t
в (92.9) в виде
или
У g дх1
Вводя в эту формулу F1 - gl> (dv/dx1), получим
дх
(92Л0)
(92.11)
Обратимся теперь к рассмотрению теоремы Стокса, позво-
позволяющей выразить некоторые поверхностные интегралы через
криволинейные интегралы.
Пусть часть регулярной поверхности 2 ограничена замкну-
замкнутой регулярной кривой С, a F — некоторая векторная функция
класса С, определенная на 2 и па С. Теорема Стокса конста-
констатирует, что
jn- rotFdo= j F- Ids, (92.12)
s с
где % — единичный вектор, касательный к С, a rotF — вектор,
компоненты которого в ортогональных декартовых координатах
определяются детерминантом
rotF =
61 62 ?3
д д д
ду1 ду2 ду3
/71 F2 /73
(92.13)
где в; — единичные базисные векторы в декартовой координат-
координатной системе. Детерминант (92.13) может быть представлен как
символическое векторное произведение V X F.

§ 1 ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 285
Рассмотрим ковариантную производную У7,-,, вектора Fi и
образуем контравариантный вектор
Gl=-EmF,,k. (92.14)
Легко удостовериться, что в декартовых координатах уравне-
уравнение (92.14) приводится к (92 13), и мы устанавливаем, что
вектор G есть rot F.
Поскольку п • rot F «= n,G' = —eiihFjt r/i,- и компоненты еди-
единичного касательного вектора % являются произвольными dx^/dt,
поскольку мы можем представить уравнение (92.12) как
- J e"*F,, кщ da= JF^ds. (92.15)
2 С
Интеграл Г Ftdxl называется циркуляцией F по контуру С.
с
Задачи
1. Доказать, что
Г о(.ге' da = f V2o dx,
2 т
где ог = dv/dx1 неразрывна на 2 и принадлежит классу С2 в т.
2. Показать, что:
(а) В плоских полярных координатах с квадратичной формой
где Fr и Fq — физические компоненты вектора F, т. е.
где ri и 8, — единичные векторы.
(б) В цилиндрических координатах с квадратичной формой
т дг г дВ дг •
dv\
где F=Frri Ч-^еО, + Fzzu а г„ 8,, zt - единичные векторы, так что FT,
и Fz — физические компоненты Р.

286
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ. IV
(в) В сферических координатах с квадратичной формой
ds2 = (drJ + г2 (rf8J + г2 sin2 8 (ЛрJ,
div F-
d(r>Fr)
д г
1
г sin
г2
д
8
1
sin8
(sin 8Fe)
<эе
a (sin e
<Э8
1
г sin
J
8
г2
(Эф
1
sin2
8
,Э2р
<Эф2'
где физические компоненты вектора F—Fr, Fg, Fy, так 4toF = rif г
r\> 0i и <Pi—единичные векторы.
3. Показать, что в ортогональной криволинейнэй системе X
roiF--
дх1
дх2
дх3
где at — единичные базисные векторы, a F= Fla. + F2a2 + F3a3.
4. Показать, что контравариантные компоненты вектора rot F имеют
вид
dF2 d
Vg \ дх2 дхЧ' Vg \ дх3 дхЧ' Vg\dxl дхЧ'
5. Установить, что при соответствующих ограничениях неразрывности
вихрь градиента вектора обращается тождественно в нуль.
6. В ортогональных криволинейных координатах
Если положить ds2 =
&зз = e
(a)
+ el(dx2J+ el(dx3J, так что gu = e2l, g,2 = e\,
[ij, k]=Q, I .. > = 0, i, j, k различны,
де. де. i i ]
, i] = - [U, j) = e , [ii, i] = e 11 \ =
W. П
i a J
д log e.
dx>
I j) e. det [ i ] <3Ioge.
¦! >= r, { } = :— (оез суммирования);
I ii J (<?;J дх' { ii j d*'
e,e2e3 L <Э*1 I e, <3jc> j + дх2 \ e2 дх') + дх3 \
§ 93. Теорема Гаусса. Решение уравнения Пуассона
Согласно закону тяготения Ньютона частица Р массы т
воздействует на частицу Pi единичной массы, находящейся на
расстоянии г от Р с силой величины F = т/г2. Представим себе
замкнутую регулярную поверхность 2, стянутую вокруг точ-

03]
ТЕОРЕМА ГАУССА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
28?
ки Р, и пусть 6 обозначает угол, образуемый единичной внеш-
внешней нормалью п к 2 и осью конуса с вершиной в Р. Этот конус
Рис. 42.
стягивает элемент поверхности da (рис. 42). Поток гравита-
гравитационного поля, производимый т, определяется интегралом
I
т cos 9 г2 d(x>
Т2 cosTT'
где da = r2da/cos 8, a rfco —телесный угол, стягиваемый da-
Получаем, таким образом,
f F -nda= f
(93.1)
Если в объеме, охватываемом поверхностью 2, имеется п
дискретных частиц с массами mh то
и полный поток определится как
(93.2)
Результат, полученный в формуле (93.2), легко может быть
распространен на сплошные распределения материи, если эти

288 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
распределения нигде не пересекаются с поверхностью 2. Про-
Процедура вычисления обычная. Вклад к интегралу потока от эле-
элемента массы рс/т, содержащегося внутри т, равен
а вклад от масс, содержащихся целиком внутри 2, опреде-
определится как
где Г обозначает объемный интеграл, охватывающий все тела,
т
находящиеся внутри 2. Поскольку, как предположено, все мас-
массы размещаются внутри 2, то г не может обратиться в нуль.
Подынтегральное выражение в (93.3) представляет собой одно-
одночлен, и на этом основании допустимо обратить порядок интег-
интегрирования и получить
т. (93.4)
Но интеграл 2— = 4л, поскольку он представляет поток
2
единой массы, содержащейся в 2. Отсюда
J F ¦ п da = 4л ( р dx = 4лт, (93.5)
2 Т
где т обозначает полную массу, содержащуюся внутри 2. Те-
Теперь мы можем сформулировать теорему.
Теорема Гаусса. Интеграл нормального компонента
гравитационного потока, вычисленный по регулярной поверх-
поверхности 2, содержащей весомые массы полностью внутри себя,
равен 4ят, где m — полная масса, заключенная в 2.
Эту теорему можно распространить и на такие условия, где
2 пересекает распределенные массы достаточно равномерной
плотности р. Пусть регулярная замкнутая поверхность 2 пере-
пересекает распределенные массы непрерывно дифференцируемой
плотности р. Строим две поверхности 2' и 2", параллельные 2
(см. § 73), так, чтобы 2' оказалась внутри 2, а 2" охватывала
бы 2 извне (рис. 43). Поток тяготеющих масс непрерывно из-
изменяется при пересечении 2' и 2", когда эти поверхности, оста-
оставаясь параллельными, приближаются к 2.

. 93]
ТЕОРЕМА ГАУССА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
289
Так как 2" не пересекает 2, то теорему потока Гаусса
можно применить в вычислении полного потока масс, поступаю-
поступающих через 2" из внутренней области 2. Таким образом,
| (F • n)i da = 4пт,
2"
(93.6)
где т — полная масса, содержащаяся внутри 2, нижний же
индекс / относится к потоку масс, поступающих из внутренней
области 2. С другой сторо-
стороны, поток-нетто, поступаю-
поступающий через 2' от масс, рас-
расположенных вне 2, равен
J (F • яH da = О, (93.7)
так как конический поток,
исходящий из любой точки,
лежащей вне 2, пересекает
2' дважды.
Если мы теперь будем
приближать 2' и 2" к 2, то
правые части уравнений
(93.6) и (93.7) останутся
неизменными, левая же
часть в (93.6) представит
полный поток через 2 масс, поступающих из области, лежащей
внутри 2, между тем как левая часть (93.7) определит поток
через 2 всех масс, поступающих из внешней по отношению
к 2 области. Таким образом, полный суммарный поток распре-
распределения масс внутри 2 определится интегралом
Рис. 43.
\ (F ¦ п) da = 4лт = J 4яр dx.
(93.8)
Если далее положить, что F — непрерывно дифференци-
дифференцируема, то к поверхностному интегралу (93.8) будет законно
применить теорему о дивергенции и получить таким образом
J (div F - 4яр) dx = 0.
(93.9)
Это соотношение справедливо для произвольной области т, а так
как подынтегральное выражение в (93.8) неразрывно, мы за-
заключаем, что
divF = 4itp по всей области т. (93.Юу
Ю И. С. Сокольников

290
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ. IV
Но вместе с тем формула (91.6) констатирует, что F = —VV,
и на этом основании формулу (93.10) следует признать экви-
эквивалентной
V2V=~4jrp. (93.11)
Таким образом, во всех внутренних точках тела т гравитацион-
гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Отметим
в заключение, что формула
дает решение уравнения (93.11) во всех точках в т.
§ 94. Третье тождество Грина. Гармонические функции
Симметричная формула Грина
[92.6]
применима к любой паре функций и, о класса С2 в открытой
области т и класса С в замкнутой области 2 + т. Положим
и = 1/г, и v = V, где г —
расстояние между точка-
точками Р{х\ х\ х3) и P,(g',
I2, Is), а V — гравитаци-
гравитационный потенциал распре-
распределения масс непрерывно
дифференцируемой плот-
плотности р так, что V при-
принадлежит классу С2 в т.
Так как 1/г имеет раз-
разрыв непрерывности в
(**) = (?')> то мы выде-
выделим Р(х) из т, заключив
эту точку в сферу а ра-
Рис. 44. диуса б с центром а в Р.
Функции и = 1/г и v = V
будут тогда удовлетворять условиям теоремы (92.6) в области
т — е, ограниченной 2 и а (рис. 44). Но в области т — е имеет
место равенство V2h = S/2(\/r) =0 и формула (92.6) даст
т-е
(94.1)

§ 941 ТРЕТЬЕ ТОЖДЕСТВО ГРИНА. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 291
где п — единичная внешняя нормаль к поверхности 2 + о. По-
Поскольку, однако, на о нормаль п направлена к Р, имеет место
уравнение
V
г дп дп
П ' dV V\ 2 . Г / дУ
= - б J (—) da - 4nV, (94.2)
где F —среднее значение V по сфере о, а со—телесный угол.
Если положить 6-* 0, то правая часть уравнения (94.2)
даст — 4nV(P), и мы получим из уравнения (94.1)
Важная формула (94.3), известная как третье тождество Грина,
констатирует, что любая функция V класса С1 в 2 + т и клас-
класса С2 в t может быть представлена как сумма трех входящих
в (94.3) интегралов. Если V(P) регулярна в бесконечности, т. е.
если для достаточно больших значений т потенциал V таков, что
. т
. — и
¦ г
дУ
дг
где m — постоянная, не зависящая от г, то, распространяя опе-
операцию интегрирования в (94.3) на все пространство, получим
если только этот объемный интеграл сходится. Поверхностные
интегралы в (94.3), если их распространить на все простран-
пространство, обращаются в нуль в силу условий регулярности (94.4).
Во всех точках, не занятых материей (т. е. где р = 0), гра-
гравитационный потенциал V удовлетворяет уравнению Лапласа
SW = 0. (94.6)
Функция, удовлетворяющая уравнению (94.6) в заданной об-
области, называется гармонической в этой области. Если V —
гармоническая в области т, то формула (94.3) приводится
к виду
k!±%k! %?, (94.7,
10*

292 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (ГЛ. IV
так, что значения V полностью определяются в т, если значе-
значения К и ее нормальной производной dV/dn известны на 2. Од-
Однако эти поверхностные значения не могут быть установлены
независимо одно от другого, и мы увидим, что установление
значений одного лишь V на 2 полностью определяет V{P) во
всех точках т. С другой стороны, определение dV/dn на 2 опре-
определяет V(P) в т с точностью до произвольной постоянной при
условии, чтобы
" ^о = 0. (94.8)
Условие (94.8) следует непосредственно из формулы (92.6),
если положить и = 1, v = V. Это необходимое условие удовлет-
удовлетворяется всякой гармонической функцией.
Если 2 в (94.7) — поверхность сферы радиуса R с центром
в Р, то [дA/г)]/дп = [дA/г)]!дг = — 1/г2 и (94.7) дает
если мы учтем условие (94.8). Формула (94.9) раскрывает важ-
важное свойство гармонических функций. Значение гармонической
функции V в центре сферы равно среднему значению V на по-
поверхности сферы. Это свойство позволяет нам доказать следую-
следующую основную теорему о гармонических функциях.
Теорема. Функция V, гармоническая в замкнутой регу-
регулярной области 2 + т, принимает свои максимальные и мини-
минимальные значения на границе 2 тела т, за единственным исклю-
исключением, когда V — постоянная величина для всего т.
Для доказательства этой теоремы допустим, что V прини-
принимает свое максимальное (или минимальное) значение Vo в ка-
какой-либо внутренней точке Р, принадлежащей т. Построим
сферу S в т с центром в Р, радиуса R. Тогда
в силу (94.9). Но правая часть этого выражения представляет
собой среднее значение V потенциала V по S, причем среднее
значение F может равняться максимуму Vo лишь в том случае,
когда V = Vo на S. Далее, поскольку радиус R произволен, мы
должны заключить, что V = Vo в каждой внутренней точке S.
Для того чтобы показать, что V сохраняет одно и то же по-
постоянное значение Vo в каждой точке Q тела т, соединим точ-
точки Р и Q кривой С конечной длины и покроем ее последова-

§ 94] ТРЕТЬЕ ТОЖДЕСТВО ГРИНА. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 293
тельностью сфер, частично накладываемых одна на другую
с центрами на С. Внутри каждой из сфер этой последователь-
последовательности V сохраняет одно и то же постоянное значение Vo, и по-
потому V(Q)= Vo. Таким образом, если функция V не остается
постоянной по всей области т, она принимает экстремальные
значения на границе 2.
Определение гармонической функции V в т по заданным
значениям V на границе 2 тела т. составляет содержание за-
задачи Дирихле. Если т — конечная область, мы имеем дело
с внутренней задачей, если же т — бесконечная область, огра-
ограниченная замкнутой поверхностью 2, перед нами — внешняя
задача Дирихле.
Легко показать, что внутренняя задача Дирихле для регу-
регулярной поверхности 2 + т не может иметь более одного реше-
решения, ибо если бы мы допустили существование двух функций V'i
и Уг, гармонических в т и принимающих те же значения на
границе 2, то V г= Vi — V2 оказалась бы также гармониче-
гармонической и принимающей нулевые значения на 2. Но это привело
бы к тому, что V = 0 по всей области т, поскольку в про-
противном случае V должна была бы принять положительный мак-
максимум или отрицательный минимум внутри области. Тем же
путем можно доказать и единственность решения внешней за-
задачи Дирихле, допустив, что V регулярна в бесконечности.
Определение гармонической функции V в т, удовлетворяю-
удовлетворяющей на границе 2 области t условию
= O, (94.10)
составляет задачу Неймана.
Так как V = const представляет собой гармоническую функ-
функцию, удовлетворяющую условию dV/dn = 0 на 2, заключаем,
что решение задачи Неймана, если оно существует, опреде-
определяется с точностью до произвольной постоянной. Можно дока-
доказать — хотя доказательство это ни в коем случае нелегкое, —
что задачи Дирихле и Неймана разрешимы для конечных регу-
регулярных областей, если заданные граничные значения непре-
непрерывны ').
Задача
Показать, что формула (94.7) справедлива в бесконечной области т вне
замкнутой поверхности 2, если V регулярна в бесконечности. Указание. При-
Применить формулу (94.7) к конечной области, ограниченной 2 и сферой 5 ра-
радиуса R столь большого, что S включает 2.
См. К е 11 о g g О. D., стр. 311, см. сноску на стр. 282,

294
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1ГЛ. IV
§ 95. Функции Грина и Неймана
Мы только что показали, что решение внутренней задачи
Дирихле для уравнения Лапласа
V2u = 0 в т,
т на X,
если оно существует, то по необходимости является единствен-
единственным. Точно так же и решение внутренней задачи Неймана
в т, )
1
(95.2)
при условии j g (Р) da = 0 определяется с точностью до произ-
произвольной постоянной, если g(P) непрерывна. Для того чтобы
решение задачи Неймана полу-
получилось единственным, присоеди-
присоединим к (95.2) нормализующее ус-
условие
J v da = 0. (95.3)
s
Если уравнения Лапласа в
(95.1) и (95.2) были заменены
нами уравнениями Пуассона, то
мы имеем дело с задачами Ди-
Дирихле и Неймана для уравнений
Пуассона.
Формула (94.7) неприменима
непосредственно к решению за-
задач (95.1) и (95.2), поскольку
она требует знания значений
функции и ее нормальной производной на 2. Покажем сейчас,
как этой трудности можно избежать введением специальных
функций, зависящих лишь от формы области, а не от предпи-
предписанных граничных значений f(P) и g(P). Начнем с задачи Ди-
Дирихле.
Пусть Р(х) и Р'(|)—фиксированная точка и соответственно
переменная точка в т (рис. 45). Строим функцию G(P,P') со
следующими свойствами:
(a) G{P,P') = j +
Рис. 45.
где г = РР' и w {P') — гармоническая в т.
(б) G (Р, Р') = 0 на 2.

§ 98J ФУНКЦИИ ГРИНА И НЕЙМАНА 295
Условие (б) требует, чтобы
w(P')=-y на S
так, чтобы да(Р') и, следовательно, G(P,P') определялись одно-
однозначно свойствами (а) и (б). Назовем G(P, P') функцией Грина
для области т.
Покажем теперь, как функция Грина может быть использо-
использована в построении явной интегральной формулы, решающей за-
задачу Дирихле для уравнения Пуассона
V2l/ = - 4лр в т,
Эта интегральная формула включает как частный случай н ре-
решение задачи (95.1).
Симметричная формула Грина
J
[92.6]
не допускает применения к u = G{P,P'), v = V, поскольку
G(P, Р')->оо при Р'-*-Р. Если, однако, исключить точку Р,
включив ее в сферу о радиуса б, как это показано на рис. 44,
то формула (92.6) будет иметь силу для области т — е, огра-
ограниченной поверхностями 2 и о. Мы вправе теперь написать
%е S а
(95.5)
Но в т —е, G S5 1/r + w — функция гармоническая, так что
V2G = 0 и G = 0 на 2. Точно так же V2V = - 4лр в силу (95.4).
Поэтому (95.5) приводит к
-4я
В выражении (95.6) мы учли, что поскольку п — внешняя нор-
нормаль, то dV/dn — —dV/dr и dG/дп = —dG/dr на о.
Так как dV/dr и w непрерывны, в т, a da = r2rf(o, где rfw —
элемент телесного угла, очевидно, что второй интеграл

296 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 11 Л. IV
в правой части (95.6) стремится к нулю вместе с б —* 0. Подоб-
Подобным же образом
V ~- da = О, при 6->0,
a
между тем как
J VdO/r) r2d(u=_4nV(P) ПрИ б_>о.
a
Соответственно, положив 6—>0 в (95.6), получим
дО
дп
что и является искомым решением задачи (95.4). Если поло-
положить р = 0, находим решение соответствующей задачи для урав-
уравнения Лапласа
4nV(P) = j 4nGpdx-j V~da, (95.7)
Для того чтобы использовать эту формулу, надлежит сначала
получить функцию Грина G для области т, иначе говоря, ре-
решить частную задачу Дирихле
V2w = 0 вт,
w = — — на 2.
Сходные соображения применимы и к задаче Неймана
(95.2). Вводим функцию Неймана
N(P, Р') = } + ш(Р'),
где w (P') — гармоническая в т и удовлетворяет на границе 2
области т условию1)
^ =_JL(!) + const.
Вычисления, полностью аналогичные проведенным ранее для
задачи Дирихле, дают для граничной задачи (95.2) формулу
') Для того чтобы получить единственное да, можно произвести нормали-
нормализацию его, потребовав, чтобы w da=* 0.

ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО
297
В физическом аспекте функция G(P, Pf) может быть интерпре-
интерпретирована как электростатический потенциал внутри заземлен-
заземленной проводящей поверхности 2, произведенный единичным за-
зарядом в точке Р. Потенциал, возбужденный одним лишь еди-
единичным зарядом, составляет 1/г. Потенциал же, созданный
индуцированными зарядами поверхности 2, составляет w(P').
Так как 2 заземлена, G(P, Р') — 1/r + w(P') = 0 на 2. Функция
Неймана может быть интерпретирована как установившийся
тепловой поток из источника интенсивности 4л, помещенного
в Р, если тепловой поток поступает через поверхность 2 с равно-
равномерной скоростью.
§ 96. Функции Грина для полубесконечиого пространства
и сферических областей
Физическое истолкование функции Грина, предложенное
в § 95, позволяет нам строить функции Грина для полупро-
полупространства 2^0 и для областей, находящихся внутри и вне
сферы.
Если положительный единичный заряд помещен в точке
P(x,y,z) (рис. 46), а отрицательный единичный заряд в точке
Рис. 46.
зеркального отражения первой Q(x7y,—z), то электростатиче-
электростатический потенциал G, возбужденный этими зарядами в Р'(?,,т\, ?),
равен
О (96П
где
г = РР> = Yd - xf + (т, - yf + (? - zf

298 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
г' = QP' = ]/A - xf + (л - уу + (? + zf.
Очевидно, G — О на плоскости z — 0, а так как w(P') — —1/г'
представляет собой гармоническую функцию для г > 0, то урав-
уравнение (96.1) дает искомую функцию Грина для области z>0.
На плоскости 2 — 0
30 dG_
дп ~ ~dl
1?г1 дг'
'2
по выполнении простых вычислений и подстановки в формулу
(95.8) получаем решение задачи Дирихле (95.1) для области
г > 0 в виде интеграла Пуассона
ОО ОО
f f f(t,n)dtdr\ (g62)
— oo —oo
Частные значения f(|, т\) потенциала V на z = 0, должны быть,
очевидно, такими, чтобы (96.2) имело смысл.
Рис. 47.
Подобная же процедура позволит нам построить функцию
Грина для сферической области х2 + у2 + z2 ^C R2 и получить
решение задачи Дирихле для сферы.
Представим себе точку Р(х, у, г) внутри сферы S радиуса R
(рис. 47) и построим отображение Q точки Р относительно S
так, чтобы OP-OQ — R2. Пусть Р" — переменная (подвижная)
точка на S. Подобные треугольники ОР"Р и OP"Q приводят
к соотношению
ГЯf Или
Р"Р ~ ОР или г ~ р '

§ 96] ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО 299
где р = ОР. Таким образом,
г Р г
Если для какой-либо внутренней точки Р' мы определили
G{P,P') = y—j-p-, (96.3)
то (96.3) дает искомую функцию Грина, так как w =
= —(Rip) (I/O — функция гармоническая внутри S и
G(P,P') = 0 на S.
Простое вычисление производной dG/dn из (96.3) дает
dG R2-p2 с
Ж---^?г на S'
формула же (95.8) дает решение задачи Дирихле (95.1) для
сферы в виде интеграла Пуассона
«^fdo. (96.4)
Этот интеграл записывается обычно в сферических координа-
координатах (р, 0, ф) как
п 2л
где
cos -у = cos 8 cos 8' + sin 8 sin 8' cos (q/ — <p),
причем 8 —широта, а ф —долгота Р.
Функция Грина для области х2 + у2 + z2> R выводится из
(96.3) путем перестановки ролей Р и Q.
Задачи
1. Показать с использованием (96.4), что для каждого положения точ-
точки Р внутри сферы
Указание. Направить ось г вдоль ОР так, чтобы П = У?2 — 2Rp cos ф + р2.
Для фиксированного положения Р фиксируется также и р. Выразить da =¦
= R2 sin в dQ d(f в сферических координатах и вычислить интеграл.

300
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ. IV
2. Показать, что решение внешней задачи (95.1) для сферы 5 дается
интегралом
где р ОР>#. _
3. Вывести (96.5) из (96.4). Указание. Пусть у —угол между ОР и ОР',
если Р' расположена на S.
§ 97. Задача двух тел
Задача двух тел формулируется следующим образом. Дана
система двух частиц, взаимодействующих в соответствии с за-
законом всемирного тяготения. Какова траектория системы} Эта
задача была решена Ньютоном в «Началах» книга 1, § III.
Она лежит в основе всех исследований в астрономии.
Поскольку использование общих криволинейных координат
в частных задачах особого преимущества не представляет, от-
отнесем нашу систему к прямоугольным декартовым осям. Обо-
Обозначим координаты материальных точек 1Щ, т^ для любого за-
заданного момента времени t через {х\, х'\, xf) и (л:^, х\, xf)
(рис. 48). Введем также другую декартову систему отсчета Y,
О
%',ufu3J
т,
Рис. 48.
движущуюся вместе с массой т4 таким образом, что fti4 нахо-
находится всегда в начале О системы отсчета Y, а оси К» всегда
остаются параллельными осями Х\ Координаты материальной
точки т2, отнесенные к осям У, обозначаются через у\ Полу-
Получаем при этом соотношения
(«=1.2,3).
(97.1)

§97] ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 301
Примем для материальной точки т2 координаты у* как
тройку из наших обобщенных координат, а для остальных трех
обобщенных координат примем координаты центра масс си-
системы
"'" \п1 + т2 С" 1.2,3). (97.2)
Очевидно, что и1 располагаются по линии, соединяющей точки
(*j) и (х12), а наш подбор обобщенных координат следует в таком
порядке:
ql=y\ Я2 = У\ Ф = У\ <f-u\ <75 = «2, <76=«3.
Если решить уравнения (97.1) и (97.2) относительно х\ и х\,
то мы получим
х = и' ^— у1,
1 т.\-\-т2
х* = и'+ "?' у*.
(97.3)
¦2 " ¦ mi + m2
Эти уравнения позволят нам теперь определить координаты х{
положения точек в их зависимостях от обобщенных коорди-
координат q\
Такой специальный выбор обобщенных координат предпри-
предпринят нами с той целью, чтобы получить простое выражение для
потенциальной энергии V нашей системы частиц. В самом деле,
поскольку величина силы притяжения F дана произведением
масс, отнесенных к расстоянию г между частицами F =
= mitn2/r2, то потенциальная энергия V определится формулой
V =
Из соотношений же (97.1) следует, что координаты и1 не вхо-
входят в V, так что V определяется как функция одних лишь
координат yi, у2, у3.
Вспомним уравнения Лагранжа
|86Л1)
и вычислим
Т = — m ilkl 4- — m xlxl = —(m +m\ ulul + —
l 2 mlxixx -f 2 mx.x2 2 (mi T rn2) и и t- 2
Так как dV/dq^O для i — A, 5, 6, то простые выкладки при-
приводят уравнения [86.11] к
ду1
(/=1,2,3).
(97.4)

302 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. IV
Дифференциальные уравнения (97.4) характеризуют движение
нашей системы. Заметим сначала, что движение массы т2 от-
относительно mt происходит так, как если бы масса /п4 была не-
неподвижной, а тг притягивалась к ней с силой, потенциал ко-
которой равен [(nil + tri2)/m1]V. Это следует непосредственно из
первых трех уравнений (97.4), если мы перепишем их в не-
несколько преобразованном виде
Таким образом, наша задача приводится к изучению движения,
производимого действием центральных сил. Вторая серия из
г трех уравнений группы
(97.4) констатирует, что
центр массы движется по
прямой линии с постоянной
скоростью.
Интегрирование уравне-
уравнений (97.4) мы выполним в
предположении, что т\
*~Y1 (масса Солнца) значитель-
значительно больше массы т2 (масса
Рис.49. Земли). Если т.\ С§> т.2, то
центр массы и> будет ле-
лежать весьма близко к массе mi, и потому координаты и' почти
совпадут с координатами массы т,. Таким образом, х\ = и{ и
из второй серии уравнений (97.4) мы заключим, что nit Дви-
Движется в пространстве с постоянной скоростью. В связи с этим
нам достаточно ограничиться исследованием лишь движения
массы т2 относительно массы Ш\.
Если nii1"^ m2, то
mi + т2 ^ .
т, ~ '
и уравнение (97.5) преобразуется в приближенное
Положим, что наши координатные оси ориентированы та-
таким образом, что движение массы т2 относительно ту проис-
происходит первоначально в плоскости уху2, В дальнейшем в связи
с тем, что силовое поле центральное, движение будет оставать-
оставаться в той же плоскости, так как никаких компонентов силы,
образующих прямые углы с плоскостью, не существует. Пусть г
и 6 (рис. 49) — полярные координаты массы т2, где
yi = r cos 9, у2 = г sin 9;

§ 97] ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 303
тогда кинетическая энергия массы щ выразится так:
Т = j тг [(г/,J + Ш2} = ^т2 (г2 + г2?).
Подставив это выражение для Т и V = — tnlm2/r в уравне-
уравнения (86.11) Лагранжа и учтя подстановки ql = r и <72 = 9, полу-
получим ')
или
г-л9 + —= 0, (97б)
г2ё = /г,
где h — постоянная интегрирования.
Уравнения (97.6) представляют собой систему обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих траекто-
траекторию. Второе из них утверждает постоянство секториальных
скоростей, т. е. один из законов Кеплера2). Отношением
г28 = h мы можем воспользоваться в определении продолжи-
продолжительности времени, необходимого для того, чтобы описать
орбиту.
Если h ф 0 и, следовательно, траектория не является пря-
прямой линией, то мы можем исключить параметр времени t, заме-
заметив, что г2 dQ = h dt, т. е.
t = 4- г2
Так как dfldt = (df/dQ)(dQldt), то получаем соотношение
d/dt = (h/r2) (d/dQ) и, использовав это в первом уравнении
(97.6), находим
или, умножив на г2,
') Мы полагаем, что сила направлена от т2 к т.\.
2) См. также один из иллюстративных примеров в конце § 90.

304
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
[ГЛ IV
Если мы далее произведем подстановку зависимой переменной
г в (97.7), положив и = 1/л, то получим простое линейное урав-
уравнение второго порядка
решение которого имеет вид
1
и = ~г [ 1 — е cos (8 — а)],
или
f —~- •
1 — е cos F — а)
(97.8)
где / == h2jmi, а и е — постоянные интегрирования.
Мы видим, таким образом, что орбита представляет собой
коническое сечение (рис. 50), эксцентриситет которого равен е,
Рис. 50.
а положение апсид определяется углом а. Постоянная а изве-
известна как константа перигелия. Мы не будем затруднять себя
определением этих констант1), зависящих от начального поло-
положения и скорости массы т2, поскольку главным предметом
нашего исследования в этом параграфе было получение фор-
формулы (97.8) в целях сопоставления с соответствующим урав-
уравнением орбиты в релятивистской динамике.
') См. Appell P. Mecanique rationnelle, т. 1, гл. II и Synge J L
Griffith B. A., Principles of mechanics, 1959, стр. 160—169.

ГЛАВА V
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 98. Инвариантность физических законов
Формулировка основных законов классической механики
в предыдущей главе основана на гипотезе, предполагающей,
что физические явления происходят в трехмерном евклидовом
пространстве. При этом допускается также, что эти явления
могут быть упорядочены в одномерном континууме временной
переменной t. Эта последняя рассматривается как не завися-
зависящая не только от пространственных переменных х\ но также
и от возможного движения пространственных координатных си-
систем. Масса т тела также предполагается не зависящей от
движения координатных систем и, в частности, она инвариант-
инвариантна относительно группы галилеевых преобразований координат.
Галилеевым преобразованием мы называем преобразование па-
параллельного переноса одной координатной системы относитель-
относительно другой с постоянной скоростью. Таким образом, если Y —
данная нам декартова система отсчета, то галилеево преобра-
преобразование этой системы выразится формулой
у = у1 + и4 (/=1,2,3), (98.1)
где ы* — постоянный вектор, представляющий _скорость начала
системы Y относительно декартовой системы Y. В_ уравнениях
(98.1) предполагается, что начала систем Y и F совпадают
в момент времени / = 0.
Из линейного характера (98.1) очевидно, что ускорения
d2yydt2 и cPpldt2 частицы, отнесенные к координатным систе-
системам У и соответственно У, принимают одно и то же значение.
Из этого следует, что сила F, действующая на частицу, прини-
принимает одно и то же значение F = та во всех системах отсчета,
смещающихся одна относительно другой с постоянной ско-
скоростью. Иными словами, второй закон движения Ньютона фор-
формально инвариантен относительно группы галилеевых преобра-
преобразований (98.1).

306 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
Хотя значения ускорений а* остаются одними и теми же
во всех инерциальных системах1), значения скоростей полу-
получаются различными, следуя формуле
vl = vl + и1. (98.2)
Поэтому формулировка какого бы то ни было закона, завися-
зависящего от скорости, измеряемой относительно первичной инер-
циальной системы, не остается инвариантной, будучи выражена
в другой системе. В связи с этим основные законы электроди-
электродинамики и, в частности, оптики, перестают быть инвариантными
относительно группы галилеевых преобразований (98.1), так
как эти законы зависят от скорости распространения света.
По этой причине первичная инерциальная система заняла осо-
особое положение в теории оптики. Для того чтобы объяснить на-
наблюдаемый факт независимости скорости света от скорости его
источника и включить оптику в структуру аналитической меха-
механики, физики ввели эфир в качестве гипотетического носите-
носителя световых волн. Этот носитель был наделен физическими
свойствами, призванными обеспечить постоянство скорости рас-
распространения света во всех инерциальных системах, хотя эти
свойства противоречили выводам теории упругости и гидроди-
гидродинамики. Например, было введено предположение, что эфир
представляет собой жидкость, проникающую повсюду без тре-
трения, сохраняющую покой относительно первичной инерциальной
системы и производящую в движущихся сквозь нее физиче-
физических объектах изменения формы под воздействием упругих
напряжений, возникающих при движении материального тела
в покоящейся жидкости. При этом возникала необходимость
учитывать, что линейные размеры измерительных приборов ис-
испытывали сокращения, зависевшие от скорости и\ причем эти
сокращения должны были быть в точности такой величины,
чтобы скорость света получалась независимой от скорости ис-
источника.
Соответствующая формула, выражающая зависимость ли-
линейных размеров тела от его скорости относительно первичной
инерциальной системы, была выведена Лоренцем, и значи-
значительная часть теории относительности была построена им
в 1904 г. на основе гипотезы покоящегося эфира. Математиче-
Математический анализ Лоренца, как оказалось, хорошо смог передать
результаты физических наблюдений в области электродинамики
и внес простое объяснение в загадочное поведение электриче-
электрического поля движущегося сферического заряда, хотя физика
вообще оставалась в трудном положении. Все эксперименталь-
экспериментальные попытки обнаружить существование эфира не привели ни
') См. § 76.

§ 99] ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 307
к каким результатам, и в 1905 г. Альберт Эйнштейн завершил
объяснение так называемого сокращения Лоренца — Фитцдже-
Фитцджеральда на основе теории, призвавшей к глубокому пересмотру
господствовавших представлений о пространстве и времени.
§ 99. Частная или специальная теория относительности
В 1905 г. А. Эйнштейн предложил два постулата, один из
которых относился к формальной инвариантности физических
законов, а другой подытожил результаты некоторых замеча-
замечательных экспериментов по определению скорости света1). Эти
постулаты можно сформулировать следующим образом.
1. Физические законы и принципы имеют одинаковый вид
во всех галилеевых системах, т. е. в системах отсчета, движу-
движущихся одна относительно другой с постоянной скоростью.
2. Скорость света в свободном пространстве сохраняет одно
и то же постоянное значение во всех инерциальных системах.
В некотором смысле в этих утверждениях нет ничего пора-
поражающего, поскольку заключенные в них идеи находились в со-
состоянии брожения и обсуждения на исходе XIX столетия и
нашли совершенно четкое выражение в работах А. Пуанкаре,
Лоренца, Фохта и др. Но дедукции из вышеприведенных посту-
постулатов, к которым пришел А. Эйнштейн, помогли пересмотреть
и перестроить наши представления о пространстве, времени и
материи действительно замечательным путем. Если рассматри-
рассматривать их в свете фундаментальных законов динамики частицы,
то первый постулат, как мы уже отметили в § 98, не обнаружи-
обнаруживает ничего нового. Зато законы оптики оказались неинва-
неинвариантными относительно группы преобразований (98.1), и эти
преобразования пришлось видоизменить таким образом, чтобы
достигнуть инвариантности фундаментальных законов оптики
так же, как и механики. Один способ осуществления этой за-
задачи — отказаться от гипотезы, согласно которой отсчеты вре-
времени t тождественны для наблюдателей, связанных с двумя
различными галилеевыми системами отсчета. С математической
точки зрения это значит, что временную переменную t мы
должны поставить в те же условия, в которых находятся про-
пространственные переменные у\
Положим теперь, что в нашем_ распоряжении имеются две де-
декартовы системы отсчета К и У и наблюдатель в системе от-
отсчета Y отмечает наступление какого-либо события в точке (у1)
и в момент времени t четырьмя переменными (у1, у2, у3, t). Че-
Четырехмерное многообразие 54 переменных (у1, уг, г/3, /) состоит
из пространства ?3 и интервала —оо < t < -f oo.To же событие
1) Einstein A., Annaltn der Physik, 18 A905), 891.

308 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
регистрируется наблюдателем в системе отсчета У точкой
(у~1> У2' У3' *) в ^4, где г —отсчет времени, основанный на по-
показании часов в координатной системе У. Поскольку перемен-
переменные (г/1, у2, у3, t) и (г/1, у2, У'3, I) еще не соотнесены между со-
собой, и мы только ищем такие преобразования координат, ко-
которые сохранили бы законы динамики частицы, пусть в таком
случае слово «событие» будет означать для нас смещение ча-
частицы, движущейся в системе отсчета У под воздействием
силы, равной нулю. Траектория такой частицы в координатах У
будет прямой линией, и мы положим, что движение системы У
относительно системы Y таково, что траектория в ней прини-
принимается как прямая линия.
Эта гипотеза предполагает инвариантность первого закона
Ньютона и требует, чтобы переменные (у1, у2, у3, t) и (у1, у2,
у2, t) были связаны между собой линейно, т. е.
(/,/=1,2,3),
4/4
t = а/г/ + a\t.
Из этих уравнений следует, что начало системы У переме-
перемещается относительно системы У с постоянной скоростью. Для
того чтобы в этом убедиться, заметим, что координаты нача-
начала О системы У определяются^ как @, 0, 0), и потому траекто-
траектория начала О относительно У определяется из (99.1) уравне-
уравнениями
Отсюда
dyljdt = a\ja\ = const.
Аналогичным путем можно показать, что координатные пло-
плоскости перемещаются также с постоянной скоростью так, что
системы отсчета К и У следует считать галилеевыми.
Положим теперь, что сферический импульс (колебание
света) отправлен из точки Р{у\ у2, у3) системы У в момент
времени t, Согласно второму постулату Эйнштейна свет рас-
распространяется с постоянной скоростью с по всем направлениям;
поэтому фотон, отправившийся из точки (у1), через dt секунд до-
достигнет точки (у* + dy{), т. е.
dyl dyl: = с2 df': (99.2)
С точки зрения наблюдателя, связанного с системой У, свето-
световой импульс возникает в точке (у1, у2, у3), и уравнение, кото-
которое он получит для фронта сферической волны dt секундами

S 99] ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 309
позднее, будет иметь вид
dy dyl = c2dl2. (99.3)
Если мы теперь произведем подстановку из (99.1) в (99.3)
и сравним результат с (99.2), то обнаружим, что частная си-
система уравнений
у1 = k (у1 - vt),
(99.4)
где &E=l/}/l— р2, р=у/с, оставляет квадратичную форму
da2 = с2 dt2 - dy'dy' (99.5)
инвариантной. Эти уравнения отвечают условиям, в которых
система У перемещается относительно Y со скоростью v вдоль
оси 1) у1.
Уравнения (99.4) известны как уравнения преобразования
Лоренца — Эйнштейна2). Мы не будем входить в дальнейшие
сложные исследования этих уравнений и в получаемые из них
выводы, поскольку большая часть выходящих ныне руководств
по теоретической физике и в особенности по теории относи-
относительности уделяет этим вопросам большое место, и нам здесь
нет необходимости дублировать эту тему. Остановимся лишь
на одном примере, имеющем непосредственное отношение к «со-
«сокращению» Лоренца — Фитцджеральда, о котором было упо-
упомянуто в § 58.
Рассмотрим стержень, движущийся вместе с системой У.
Конечные точки стержня имеют координаты (г/', 0, 0), (//{, 0, 0)
так, что его длина, будучи измерена наблюдателем в У-системе,
получится равной 1 = ^ — ^'. Так как y\=k{y\ — vt) и у\ =
= k(y\-vt), то
Оценка длины L стержня наблюдателем, находящимся в си-
системе Y, будет соответственно меньшей, чем L в отношении
]/1—Р2/!- Поэтому наблюдатель в системе Y придет
') Заметим, что для светового импульса da = 0.
2) Эти уравнения выводились многократно различными способами. См.,
например, Rice J., Relativity, стр. 89; Tolman R., Theory of relativity of
motion; Einstein A., Annalen der Physik 18 A905); Frank, Ignatovs-
ky, Rot he, Archiv fur Mathematik und Physik 17, 18; Synge J. L., Relati-
Relativity. The special theory, 1956, стр. 69.

ЗЮ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
к заключению, что движущиеся объекты испытывают сжатие
в длине. Величина этого сжатия — та самая, которая была вы-
выведена Лоренцом и Фитцджеральдом в связи с их изучением
электрического поля движущегося сферического заряда. В то
время как Лоренц и Фитцджеральд представляли себе обна-
обнаруженное ими сжатие как «реальное сжатие», произведенное
перемещением объектов сквозь покоящийся эфир, в предыду-
предыдущем вычислении это сжатие обнаруживается как свойство про-
пространственно-временного многообразия, подвергнутого преобра-
преобразованию (99.4), где пространственные переменные у{ таковы,
что элемент дуги ds задается формулой ds2 = dyldyl.
Если бы вместо декартовых переменных у1 мы избрали кри-
криволинейные х\ отнесенные к декартовым if формулами
тогда форму (99.5) следовало бы прочитать как
Заметим, что детерминант из коэффициентов этой формы при-
принимает значение —c2g.
Только что приведенные формулы могут быть преобразованы
к симметричному виду, если положить i = xk\ тогда
da2 = ач dxa dx?> (a, p = 1, 2, 3, 4), (99.6)
где
ац = -Set ('./== 1, 2, 3),
«й = 0> «44 = с2 и а = |аар|= -c2g.
Если мы теперь введем класс допустимых функциональных
преобразований Т в четырехмерное многообразие X
Т: ха = ха (х\ х2, х\ *4) @=1,2,3, 4) (99.7)
и потребуем, чтобы форма (99.6) была инвариантной для клас-
класса преобразований (99.7), мы сможем провести вычисления
в тензорах, как это мы делали в главе II.
Задачи
1. Показать с помощью уравнений (99.4), что события, являющиеся одно-
одновременными с точки зрения наблюдателя в системе Y, вообще не одновре-
одновременны в системе Y.
2. Исследовать замедление хода движущихся часов.
3. Продифференцировать уравнения (99.4) и установить отношения ме-
между компонентами скорости W* движущейся точки, измеренными наблюдате-
наблюдателем в У-системе, с соответствующими величинами w', измеренными в си-
системе Y.
_ di wx + v dya wa
Ответ- -ЗГ- 1Г-(а = 23)

§ 100] СОБСТВЕННЫЕ ИЛИ ЛОКАЛЬНЫЙ КООРДИНАТЫ 311
4. С помощью формул, приведенных в задаче 3, показать, что если w и
v — обе меньше с, то w/c < 1. Так, например, если v «> 0,9c, w = 0,9с, то w =
= 0,994с вместо 1,8с, как это получается в обычном законе сложения скоро-
скоростей.
5. Выражение arcth wjc иногда называется быстротой. Показать, что обыч-
обычный закон сложения скоростей выполняется также и для быстрот. Так, на-
например,
arcth —- = arcth arcth —.
с с с
§ 100. Собственные или локальные координаты
Рассмотрим точку Р, пространственные координаты которой
в некоторой системе отсчета X обозначены через (х1, х2, х3).
Пусть скорость точки Р, отнесенная к этой системе в _момент
времени t, равна v. Введем галилееву систему отсчета X, дви-
движущуюся совместно с точкой Р так, что каждое мгновение t
точка Р находится в покое относительно системы X. Назовем
такую систему X локальной или собственной координатной си-
системой.
Выбор локальной координатной системы, очевидно, не одно-
однозначен, поскольку только что высказанное определение требует
лишь того, чтобы скорость собственной системы не отличалась
от скорости частицы. Это условие приводит к тому, что отсчеты
времени (измеренные часами, принадлежащими каждой из
двух различных местных координатных систем) получаются
одинаковыми. По _этой причине преобразование от одной соб-
собственной системы X к другой X' принимает вид
х'1 = х'1{х\ х\ х3)
Интервал da определяется формулой
da2 = aap dxa dx$ =- с1 df- - g{/ dxl dx> A00.1)
так, что'
где v — величина скорости v точки Р относительно жюрдинат-
ной системы X. Если местная координатная система X вводится
в Р, то относительно X v = 0, и уравнение A00.2) дает
4f = c (ЮО.З)
в собственной системе. Определим вектор скорости Минковского
иа формулой
иа-~ (а-1,2,3,4) (Ю0.4)

312 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
и заметим, что его компоненты1) в собственной системе X
имеют вид @, 0, 0, 1/с).
Поскольку а=|аар|=—c2gФ0, мы вправе построить
взаимный тензор аа$, символы Крнстоффеля
и определить операции ковариантного и внутреннего дифферен-
дифференцирования, как это мы делали в главах II и III. Это позволит
нам определить вектор ускорения Минковского fa формулой
Если наша собственная система отсчета X декартова, для ко-
которой da2 — с2 dt2 — dyidyi, то компоненты [а ускорения Мин-
Минковского, отнесенного к этой системе, примут вид
А
' ~ da2 dt \ da I da с dt \ da I c2 dt2 '
так что
fl — ' d2Sl /,¦ _ i о q\
' ~~cr~dir "~~ ' ' >'
f4 = 0, поскольку z/4 = h
Покажем теперь, как можно будет представить второй закон
Ньютона в инвариантной форме относительно всех галилеевых
систем отсчета. Рассмотрим формулу, подсказываемую вторым
законом Ньютона
Fa^-~{mou-) (a= 1,2, 3,4),
где иа = dxa/da представляет скорость Минковского, а /п0 —
константа, значение которой обнаружится из нижеследующих
выкладок:
Ы (mj" } da Vc^^ Ы lm° da
dxa\
dt I
TZT& бЛ^с2-»2 dt 1 c2V\-№ Ы
') Так как
„ dxa dxa _ dxa 1_
rfcr (c*dt*-gijdxl dx')*'1 dt Vc*-v2
~У~с*^>2' а F
e собственной системе.

§ idi уравнение энергии Эйнштейна 313
где мы пользуемся соотношением A00.2) и вводим |3 = у/с.
Если определить
то предшествующее уравнение примет вид
г)' A00-6)
и, поскольку • в собственной координатной системе У ($ = 0 и
m = m0,
^ A00.7)
Эта формула имеет вид второго закона Ньютона классической
механики. Инвариант тй представляет массу частицы Р, отне-
отнесенную к собственной системе отсчета. Он называется покоя-
покоящейся (или собственной) массой частицы. Так как уравнение
A00.7)—тензорное уравнение, то уравнение сил можно при-
признать действительным во всех галилеевых системах отсчета
Fa = /и/.
Перепишем A00.6) в сокращенной форме:
gr« = ±( -™L), A00.8)
где va = dxa/dt и #~а == с2 V1 — 02 Fa, и примем его как урав-
уравнение движения частиц в специальной теории относительности.
§ 101. Уравнение энергии Эйнштейна
Завершим наш краткий обзор элементарных основ специаль-
специальной теории относительности установлением важной связи ме-
между массой и энергией.
Ради упрощения записи положим, что координаты х\ ис-
используемые в настоящем параграфе, прямоугольные декарто-
декартовы, вспомнив вместе с тем, что работа, произведенная силон
Fi (i = 1, 2, 3) на перемещении йх\ равна изменению кинети-
кинетической энергии. В самом деле, классическая теория дает
t Р Р
f dxl d2xl ,, Г d4l- . , Г

314 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
Если мы примем в качестве определения кинетической энергии
в специальной теории относительности выражение
р
Г= J &-tdxl A01.1)
р,
и введем в него под знак интеграла обозначение %Г\ из урав-
уравнения A00.8), то получим1)
р р
•= (V dxt^ Г d I mov1
Рь Po
[ \ d i 1 \ i dx' dvl 1 d*f 1
= m0 — ¦./- v r ¦ ,
J [dt \Kl-P2/ Л rf< /Г^р л J
'0
№ = — = v'vt nl = dxt
отсюда vl (dxl/dt) = ^c2 и EC = (у'/с2) (dvL/dt). Подставляя эти
выражения в интеграл, находим
t
Т = т0 Г Г— / ' ) 62с2 + с2рр , ' 1
'о
Таким образом,
Т = —п- + const.
Aр*)А
Если мы хотим получить Т — 0 при р = у/с = 0, то постоянная
интегрирования получается равной —пгос2 так, что
Таким образом,
т^Щ + i- A01.2)
') Так как система отсчета декартова, внутренняя производная приво-
приводится к обычной производной.

§ 102] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 315
Мы убеждаемся в том, что масса т зависит от кинетической
энергии. Если допустить, что этот результат сохраняет силу для
диссипативных систем, то убыль массы т должна быть припи-
приписана потерям энергии через радиацию1).
. Из вышеизложенного мы приходим к выводу, что принци-
принципы сохранения энергии и сохранения массы, которые в клас-
классической теории казались совершенно различными, не имею-
имеющими между собой ничего общего, ныне объединяются в один
общий закон специальной теории относительности. Из урав-
уравнения A01.2) мы убеждаемся также, что если частица прини-
принимает некоторое количество энергии ДГ, то ее инерциальная
масса т увеличивается на АГ/с2. Таким образом, инерциаль-
ную массу т можно рассматривать как меру энергии частицы,
а закон сохранения массы надлежит признать имеющим силу
в том, и лишь в том случае, когда частица не приобретает и не
теряет своей энергии. Эйнштейн ассоциировал с каждой мас-
массой т определенное количество энергии Е = тс2. На этом ос-
основании уравнение A01.2) может быть записано в форме
Е = т0с2 + Т,
где /п0с2 предстает как внутренняя энергия, а Г —как кинети-
кинетическая энергия.
§ 102. Общая теория относительности. Возникновение
и перспективы развития
В нашем изложении механики четырехмерного многообра-
многообразия специальной теории относительности мы сохраняли разли-
различение между пространственными координатами xl (i = 1, 2, 3)
частицы и временной переменной t = jc4. Метрика пространства
принималась евклидовой. Но новыми существенными пунктами
в теории являются отказ от концепции универсального времени
и утверждение, что масса частицы изменяется определенным
образом вместе со скоростью при условии, что ньютонов закон
движения должен сохранять инвариантность относительно груп-
группы преобразований Лоренца — Эйнштейна.
Различение между пространственными и временными пере-
переменными оказалось возможным устранить путем введения од-
однозначного обратимого преобразования в четырехмерном мно-
многообразии S4
Xй = Xй (х\ х2, х3, х4) (а = 1, 2, 3, 4),
') В томе 41 A935) журнала Bulletin of the American Mathematical
Society Эйнштейн дал элементарный вывод этого соотношения между массой
и энергией, обосновав свои выкладки на принципах сохранения энергии и
количества движения. Окончательную формулировку см. S у п g e J. L Rela-
Relativity. The special theory, 1956, гл.. VI,

316 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
где координаты ха совершенно аналогичны обобщенным коор-
координатам аналитической механики. Положим, что наше про-
пространство Si метризовано таким образом, что квадратичная
форма
da2 = ач dxa dxt A02.1)
приводит к
d2 = c2dt2-dyldyl, A02.2)
где пространственные координаты х' прямоугольные декартовы.
Так как коэффициенты в форме A02.2) постоянны, то отсюда
следует, что тензор кривизны Римана Ra,^6 многообразия S4
обращается в нуль, в связи с чем геодезические линии Si, опи-
описываемые уравнением
^гтЛ-ia 1-4г--^г- = 0, A02.3)
do \ py J do do
превращаются в прямые.
Заметим, обратившись к уравнениям A00.5), что уравнения
A02.3) характеризуют движение частицы, не имеющей ускоре-
ускорения fa. Это обстоятельство подсказывает возможность истолко-
истолкования траекторий частиц, подвергающихся воздействию не об-
обращающихся в нуль сил, как геодезических линий в некотором
многообразии переменных х, для которых тензор кривизны не
обращается в нуль1). Физически это соответствует введению
обладающих ускорением систем отсчета, движущихся таким об-
образом, что воздействующие на частицы силы обращаются
в нуль (исчезают). С этого момента концепция силы в дина-
динамике становится лишней, ибо динамические траектории стано-
становится возможным рассматривать как геодезические линии, оп-
определяемые метрическими характеристиками пространства.
В дальнейших параграфах этой главы мы рассмотрим зада-
задачу двух тел с точки зрения общей теории относительности. Этот
раздел общей теории относительности сформировался в начале
двадцатых годов XX века, и его математическая элегантность
и успех в объяснении смещения перигелия Меркурия внушили
надежду на то, что время, когда вся математическая физика бу-
будет включена в рамки общей теории относительности, не слиш-
слишком далеко. Однако исследования последующих двух десяти-
десятилетий обнаружили, что общая теория относительности едва ли
сможет оказаться полезной в области микроскопической физики,
поскольку ей пришлось потерпеть неудачу в попытке построения
') Сходная ситуация возникала и в классической механике (§ 84), где
мы вводили риманово многообразие с элементом дуги dS, имеющим вид
dS = V2m (h - V) gl
в котором траектории суть геодезические линии,

§103] ГРАВИТАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 317
объединенной теории механики — электродинамики. Весьма ве-
вероятно, что в будущем полезность теории сможет проявиться
в новых космологических исследованиях. Эти замечания ни-
нисколько не умаляют того глубокого воздействия, которое ока-
оказала статья Эйнштейна1), заложившая основы общей теории
относительности, на пересмотр понятий пространства, времени
и материи.
§ 103. Гравитационные уравнения Эйнштейна
Следуя принятому в литературе по общей теории относи-
относительности способу, обозначим метрические коэффициенты че-
четырехмерного многообразия теории относительности через
gii(xl, х2, х3, я4) и запишем фундаментальную квадратичную
форму как
ds^gvdx'dx1 (/,/=1,2,3,4). A03.1)
В особом случае специальной теории форма A03.1) может
быть приведена надлежащим преобразованием к канонической
форме
-dytdyi. A03.2)
Примем гипотезу, согласно которой коэффициенты ga, кото-
которые мы назовем потенциальными функциями2), могут быть
подобраны таким образом, чтобы траектории частиц удовлет-
удовлетворяли уравнениям геодезических линий
dx> dxk п
0
Тензор кривизны Римана /?/«, ассоциированный с многооб-
многообразием специальной теории относительности, обращается
в нуль, и прямолинейные геодезические линии многообразия
соответствуют траекториям частиц в отсутствие гравитацион-
гравитационного поля. Если, следовательно, многообразие, характеризуемое
квадратичной формой A03.1), сопряжено с непрямолинейными
траекториями, то тензор кривизны Римана не должен обра-
обращаться в нуль. Вместе с Эйнштейном мы принимаем, что поле
большой гравитационной массы (Солнце) таково, что потен-
потенциальные функции gn удовлетворяют в вакууме уравнениям
•) Е i n s t e i n A., Annalen der Physik 49 A916), 769.
2) Эта терминология может быть оправдана формой коэффициентов а
уравнении (84.9) для аналогичной задачи ньютоновой механики.

318 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
где G/ — тензор Эйнштейна, определенный в § 38. Если мы
произведем над ним операцию свертки (контракции), то полу-
получим уравнение R — ~^4R = 0, откуда R = 0. Соответственно
/?,/«/??/e = 0, A03.4)
где Rij — тензор Риччи. Эти уравнения описывают плоское
многообразие специальной теории относительности и в то же
время допускают случай, в котором компоненты тензора кри-
кривизны не обращаются в нуль.
Уравнения A03.4) аналогичны уравнению Лапласа
gUVi, j = 0 теории потенциала Ньютона, справедливому во всех
точках пространства вне тяготеющей массы1).
Вспомним2), что тензор Rij Риччи, появляющийся в левой
части уравнения A03.4), принимает в развернутой форме ни-
нижеследующий вид:
/? - д'log УТЛ д (а] ,(• a] f р 1 (Р) 3 log УТ
Kil дх' dxi дха I Г I 11
д (а] ,(• a] f р 1 (Р)
ха I // Г I W11 /а J I //1
где мы вводим обозначение \g\, поскольку детерминант типа
A03.1) может оказаться отрицательным.
Из вышеизложенного очевидно, что система десяти нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений (см. § 38)
/?,/ = 0
для десяти неизвестных функций ga чрезвычайно сложна3).
Общее решение этой системы неизвестно, и приходится искать
частные решения по необходимости путем проб, руковод-
руководствуясь средствами ньютоновой механики в подборе подхо-
подходящих форм коэффициентов gij. После того как мы подберем
') Это уравнение выводится цепью рассуждений, опирающихся на урав-
уравнения движения типа G'J — 0, где G'1 = —ри'н\ а и' = dx'/dt. Превосходное
освещение этого вопроса приводится в книге: R a i n i с h G. Y., Mathematics
of relativity, 1950. См. также задачу 2 в § 38.
2) Эти уравнения не являются независимыми, и можно показать, что су-
существуют четыре связывающих их соотношения. См., например, Е d d i n g-
t о n A. S., The mathematical theory of relativity, 2-е изд., 1924, стр. 115. Это
обстоятельство не оказывает, однако, влияния на приводимые в дальнейшем
выкладки.
3) Интересно отметить, что в качестве аргумента в пользу принятия этой
системы уравнений для гравитационного закона часто указывается, что закон
A03.4) представляет собой простое соотношение с входящим в него тензором
кривизны Rljkl и потому будто бы наилучшим образом отвечает задаче опи-
описания реального мира. Скептик, пожалуй, признал бы, что Творец не особенно
тщательно позаботился о том, чтобы законы математической физики оказа-
оказались достаточно простыми.

§ 104] СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ СТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 319
комплект коэффциентов g,-,-, удовлетворяющих уравнениям
A03.4), мы сможем построить уравнения геодезических линий
A03.3), и если решение этих уравнений согласуется с точ-
точностью до малых величин первого порядка с соответствующи-
соответствующими выводами ньютоновой теории, то все будет в порядке.
Мы проиллюстрируем эту процедуру в § 104, где и получим
решение Шварцшильда ') для гравитационных уравнений
A03.4).
Прежде чем перейти к этой теме, отметим, что уравнения
A03.3) могут быть представлены в краткой четкой форме
x!l, х' = 0, A03.5)
где х1 = dx'/ds. Если вектор dxlIds = X1 рассматривать как ка-
касательный вектор, то уравнения A03.5) или Я,';-, К1 = 0 окажут-
окажутся как раз уравнениями параллельного переноса касательного
вектора К' вдоль геодезической линии. Наша задача оказалась,
таким образом, приведенной к решению .системы, имеющей
столь обманчиво простой вид:
которой мы займемся в §§ 104—105.
§ 104. Сферически-симметричное статическое поле
Переходим к выводу решения уравнений Эйнштейна
Яц = 0 A04.1)
для гравитационного поля, вызванного сферически-симметрич-
сферически-симметричной массой частицы, соответствующего гравитационному полю
Солнца, помещенного в начале нашей системы отсчета. При
получении этого решения мы будем руководствоваться свойст-
свойствами ньютонова гравитационного поля и формой соответствую-
соответствующего решения в классической механике.
Исследование задачи двух тел в § 97 подсказывает нам при-
принять в качестве системы отсчета систему координат, которая
на большом расстоянии от притягивающей массы превращает-
превращается в обычную сферическую координатную систему. Кроме того,
поскольку поле сферически-симметрично и поскольку метрика
') Schwarzschild K-, Berlin Sitzungsberichte, 1916, стр. 189. См.
также некоторые важные специальные решения: Birkhoff G. D., Relativity
and modern physics, стр. 219—227. Имеется также решение Г. Вайля — Т. Ле-
ви-Чивита (Weyl H., Levi-Civita Т.), отвечающее вращательной симметрии.
См. Bergmann P. G., Introduction to the theory of relativity, 1942,
стр. 206—210. Исчерпывающее исследование сферически-симметричных полей
см. в трактате: Synge J. L., Relativity. The general theory, I960, гл. VII.

320 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
многообразия определяется полем, постольку метрический тен-
тензор gij должен быть сферически-симметричным. Выберем по
этим соображениям координаты таким образом, чтобы на боль-
большом расстоянии от центра притяжения имели место равенства:
х1 = г, л:2 = 9, х3 = ср, x4 = t,
где г, 6, ф — обычные сферические координаты.
Траектории частиц, находящихся достаточно далеко от при-
притягивающей материи, должны быть прямыми линиями, так что
R'i«i = 0- Запишем выражение для пространственно-временного
интервала в его предельной форме
ds2 = (dtf - {drf - г2 (dQf - г2 sin2 6 (dyf, A04.2)
где мы приняли новую единицу для скорости света с таким
образом, что она равна единице. Это побуждает нас принять,
что в присутствии сферически-симметричного стационарного гра-
гравитационного поля
ds2 = /, (г) (dtf - f2 (г) (drf - г2 (dQf - г2 sin2 6 (ЖрJ, A04.3)
где fi и /г — неизвестные функции г, каждая из которых при-
приводится к единице, когда с неограниченно возрастает.
Члены, образуемые перекрестными произведениями dr dQ,
d(pd& и т. п., опускаются в форме A04.3), поскольку ds2 долж-
должны быть независимы от знаков dQ ш dq> в силу их сферической
симметрии. Равным образом мы отбрасываем результаты пе-
перемножений членов, в которые входят dt, поскольку мы прини-
принимаем, что поле статическое и обратимое во времени и потому
должно быть независимым от знака dt. Наш способ определения
функций /t и /г будет заключаться во введении выражений для
метрических коэффициентов gtj из A04.3) в гравитационных
уравнениях A04.1) и использования уравнения A04.2) в качестве
граничного условия в бесконечности.
В процессе вычисления fi и f2 удобно положить
/, = е\ f2 = e\
где % и (х — функции г. Поскольку воздействия гравитационного
поля падают по мере того, как г ~* оо, функции "к и \а должны
стремиться к нулю при неограниченном возрастании г.
Форму A04.3) мы можем переписать в новом обозначении
ds2 = - е% {drf - г2 (dQf - г2 sin2 6 (dyf + e» {dtf A04.4)
так, что метрические коэффициенты gtj примут значения:
ffu =• - *\ #22 = - '2> ?зз = - г2 sin2 6, g44 = e»,
ёи = 0, 1ф /•

104]
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ СТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
321
Детерминант g квадратичной формы A04.4). определится про-
произведением
8 = 8и8явзз8« = ~ е%+^ sin2 0.
а контравариантныи тензор gt! будет представлен матрицей
-е-*- 0 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
г2 sin2 в
0
0
0
е
Для того чтобы вывести уравнения A04.1), построим сим-
символы Кристоффеля < А и, поскольку qu = O при 1ф\, находим
) (без суммирования по к).
ц
дх
т
дх'
дхк
Легко удостовериться, что общее число различных не обра-
обращающихся в нуль символов Кристоффеля сводится к ниже-
нижеследующим девяти:
±»' i2 i-1 / 3
2 Л> |12j r1 1 I3J
sin9cos9,
-rsin4e-\ {323}=-si
где знаками ' обозначены производные по г.
Мы можем теперь ввести эти символы в формулу
дх1 дх'
дха
W
и получить после громоздких, но простых вычислений ниже-
нижеследующую систему дифференциальных уравнений:
= е-1 [ 1 + у г ($! - Я/) ] - 1 = 0,
A04.6)
A04.7)
A04.8)
= O, если
II. С. Соколыщцок

322 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
Уравнение A04.7) э этой системе представляет собой лишь по-
повторение уравнения A04.6). Таким образом, нам остается рас-
рассмотреть лишь три уравнения относительно % и \i.
Из уравнений A04.5) и A04.8) выводим
так что Я, = — \i + const. Но поскольку при неограниченном
возрастании г—* оо, А, и ц стремятся к нулю, находим
Уравнение A04.6) преобразуется, таким образом, в
е"A+гн/)= 1. A04.9)
Положим, что е» = у, тогда уравнение A04.9) примет вид
у + гу'~ 1. Интегрируя это линейное уравнение первого порядка,
получаем
Y=l--^- = <?>\ A04.10)
где 2т — постоянная интегрирования. Положим, что масса т
в § 105 представляет массу Солнца.
Нетрудно установить, что только что полученное решение
удовлетворяет уравнениям нашей системы. Вводя егк = ev- = у
в уравнение A04.4), получаем искомую квадратичную форму
ds2 = - у (drf - г2 (dQJ - г2 sin2 9 (tfcpJ + Y {dtf, A04.11)
где у = \ — 2m/r. Если постоянная интегрирования 2m обра-
обращается в нуль, у = 1 и получающееся многообразие оказывает-
оказывается плоским многообразием специальной теории относительно-
относительности. При т Ф 0 это многообразие получается криволинейным.
Читатель может почувствовать себя неудовлетворенным ре-
решением гравитационных уравнений Эйнштейна, предложенным
Шварцшильдом, поскольку оно было достигнуто на основе ряда
произвольных случайных догадок с «оглядкой» на результаты
классической теории. Ему естественно заподозрить, что иной
подход может привести и к иному решению, Подозрения
такого рода оказались, однако, неосновательными. Это было ус-
установлено Дж. Д. Биркгофом1), доказавшим, что сферически-
симметричные стационарные решения гравитационных уравне-
уравнений Rtj = 0, обусловливающих плоскую метрику в бесконечно-
бесконечности, т. е. характеризуемую уравнением A04.2), эквивалентны
') В i r Mi о f f G- D., Relativity and moderrj physics, стр. 253.

§ 105] ОРБИТЫ ПЛАНЕТ 323
решению Шварцшильда. Таким образом, полученное нами выше
решение представляет интерес, будучи единственным стацио-
стационарным решением наших уравнений, удовлетворяющих устано-
установленным граничным условиям в бесконечности.
§ 105. Орбиты планет
Теперь мы в состоянии выяснить траекторию частицы, дви-
движущейся в сферически-симметричном стационарном поле, опре-
определяемом квадратичной формой A04.11). Траектория частицы
представляет собой геодезическую линию, так что нам тре-
требуется решить систему уравнений1)
rfV Г i ) dxa dx^ _ n
s2 Чар | ds ds ~U'
ds2
где Xх =
Воспользовавшись таблицей значений символов Кристоф-
феля, приведенной в § 104, находим, что, например, для i — 2
получается уравнение
2 \dx^ dx^ , f 2 1 dx^dxl , ( 2 ) dx3 dx3 n
dx^_ dx^_ , f 2 1 dx^_dxl
ds ds +BИ ds ds
ds2 +tl2J ds ds +BИ ds ds ^133/ ds ds
ИЛИ
ds2 ' r ds ds
Подобным же образом строим уравнения для t = 1, 3, 4. Ре-
Результаты получают следующий вид:
A05.2)
ds2 r ds ds ъ ds ds ' v '
dH . I dv dt dr n ,,„. ,,
-ГТ H t^-^—t~ = 0. A05.4)
rfs2 ' у dr ds ds v '
Последнее из этих уравнений можно преобразовать к более
краткому выражению
ds2 у ds ds
или
JL(Y4M = O. A05.5)
ds \x ds ч '
') Элегантная трактовка планетных орбит на основе использования урав-
уравнений Лагранжа дана Сайнджем: Synge J. L., Relativity. The general theory,
I960, стр. 289—298.

324 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
Докажем, что аналитическое решение уравнения A05.1),
удовлетворяющее начальному условию dQ/ds = 0, если Э = я/2,
принимает ьид 0(s) = я/2. Поскольку dQ/ds = (dQ/dt) (dtjds), а
di/ds ф 0, то это равносильно установлению того факта, что
траектория частицы лежит в плоскости 0 = я/2 при условии,
если начальный компонент dQ/dt скорости в направлении воз-
возрастающих 0 обращается в нуль. На этом основании положим,
что решение 0(s) может быть представлено рядом
Поскольку dQ/ds — 0, когда 0 = я/2, уравнение A05.1) для 0 = я/2
дает {d2Q/ds\ = 0.
Для того чтобы получить (d3Q/ds3H дифференцируем урав-
уравнение A05.1) и вводим в результат значения 9 = л/2, dQ/ds = 0
и d2Q/ds2 = 0. Находим d3Q/ds3 = 0. Таким путем мы показали,
что 9(s) = (8)e = Jt/2.
Соответствующий результат в ньютоновом случае очевиден,
поскольку в предположении центрального силового поля ника-
никаких компонентов силы, образующих прямые углы с плоскостью
движения, быть не может. В этом случае, если движение од-
однажды возникло в плоскости 0 = я/2, оно будет продолжать
совершаться в той же плоскости. Если мы внесем решение
0 = я/2 уравнения A05.1) в уравнение A05.3), то получим
а интегрируя уравнения A05.5) и A05.7), найдем
r^%r = h, A05.8)
ds
3h f- A05-9)
где а и h—произвольные постоянные.
Произведя подстановки в уравнение A05.2) из A05.8) и
A05.9) и учтя ранее найденное решение 9 = я/2, получим
Выражение для (dr/dsJ, проявляющееся в уравнении A05.10),
может быть получено из формулы A04.11) путем использова-
использования уравнений A05.8), A05.9), а также равенства 0 = я/2.
Получаем

§ 1051 ОРБИТЫ ПЛАНЕТ 325
а после введения этого выражения в A05.10) находим
d?r , т h2 I. Зт\
+ l1]
Tl] A05.11)
поскольку y = 1 — 2т/г. Но
dr^__d^d^ d2r _ d2r I dtp \2 , d2tp dr _ rfV h2 2/г2 / dr
ds ~~ d<f ds ' ds2 ~ rfcp2 \~d~s) ~*~ ds2 dtp ~ ~d(f T5" "r^" ^"^"
где мы пользуемся уравнением A05.8).
Таким образом, уравнение A05.11) принимает вид
/г2 dh 2/г2
r* dtp2 r!
Если ввести новую зависимую переменную и = 1/г, то
dtp и2 dtp ' dtp2 и3 \ dtp J и2 dtp2 '
и уравнение A05.12) приводится к
44 + " = -г? + Зтм2. A05.13)
Уравнение A05.13) вместе с уравнением A05.8), которое мы
представим здесь как
-^ = -р-, A05.14)
будут достаточными для того, чтобы определить траекторию.
Интересно сопоставить здесь полученный результат с соот-
соответствующими уравнениями классической теории, приведен-
приведенными в § 97
d"u , _ km.\
IV ~ А2
d^__h_ I
dt ~ r2 ' J
A05.15)
где мы пользуемся обозначением ср для переменного угла 0,
введенного в настоящем параграфе, а также вводим гравита-
гравитационную константу k = 6,7 X 10~8 и величину mt = 1,98 X Ю33 г,
представляющую собой массу Солнца. В связи с нашим выбо-
выбором единиц для скорости света заметим, что в значительном
отдалении от тяготеющей массы
ds2 = (dtf-dyldi/,
так что

326 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
Для планет величина скорости v весьма мала в сравнении
со скоростью света, для которой мы приняли значение 1, так что
с высокой степенью приближения ds = dt. Таким образом, как
в классической, так и в релятивистской системах уравнений h
может быть интерпретирована как секториальная скорость. По-
Постоянная интегрирования т соответствует km.\, так что реляти-
релятивистское уравнение A05.13) отличается от соответстиующего
классического уравнения только появлением члена 3/ли2.
Отношение величины Зти2 к tn/h2 равно 3h2u2 или, если ис-
использовать уравнение A05.14), 3(rd<p/dsJ. Для обычных скоро-
скоростей планет это отношение мало. Например, средний радиус
земной орбиты г равен 1,5 X 1013си, угловая скорость dqjdt —
~ 2• 10 рад/сек, и если принять в качестве первого приближе-
приближения dt/ds = 1/с, то найдем, что значение выражения 3r2(dy/dsJ
должно быть порядка величины 10~8.
Отсюда следует, что в обычном движении планет «попра-
«поправочный член» в релятивистском уравнении A05.13) пренебре-
пренебрежимо мал, поскольку это относится к форме орбиты, но влия-
влияние этого члена на перигелий, как это будет выяснено в § 106,
значительно.
В следующем параграфе будет показано, что перигелий
совершает поворот на угол 6/п2л//г2 рад за время каждого пол-
полного оборота планеты по орбите. Но это значение, как обнару-
обнаружилось, оказывается слишком малым для всех планет Солнеч-
Солнечной системы, за исключением Меркурия, для которого он исчис-
исчисляется приблизительно в 42" за столетие. Это смещение периге-
перигелия Меркурия не нашло удовлетворительного объяснения на
основе теории Ньютона, но мы увидим, что вычисления, основан-
основанные на релятивистском уравнении A05.13), дали результаты, не-
необычайно хорошо согласовавшиеся со значениями, полученными
из наблюдений.
Закончим этот параграф замечанием, что если бы предше-
предшествующие вычисления были выполнены на основе квадратичной
формы
ds2 - с2у (dtf - Щ?- - г2 [(dQf + sin2 9 (dcpJ],
то мы пришли бы к уравнению1)
knt\ ,
где mi = 1,98 X Ю33^ (масса Солнца), k *= 6,7 X 10~8г~* см31сек2,
с = 3 X Ю10 см/сек.
') В этом уравнении секториальная скорость h представляет собой сек-
ториальную скорость классической теории.

5 106) СМЕШЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЙ 327
Для движения Меркурия член knii/h2 имеет порядок вели-
величины 10~12, между тем как 3km.iU2/c2—порядок 10~2!. Эти ре-
результаты оправдывают попытку решить уравнение A05.13) мето-
методом последовательных приближений (мы проведем его в ниже-
нижеследующем параграфе).
§ 106. Смещение перигелия
Сопоставление аналитических результатов этого параграфа
с астрономическими данными наблюдения — наилучшее воз-
возможное свидетельство, подтверждающее общую теорию отно-
относительности. В § 107 мы коснемся вопроса об искривлении луча
света Солнцем и смещении линий Фраунхофера к красному
концу спектра, но количественное согласование для этих явле-
явлений между наблюдениями и теоретическими предсказаниями
пока еще остается под некоторым сомнением.
Релятивистское уравнение для орбиты планеты
выведенное в § 105, допускает интегрирование в замкнутой
форме с помощью эллиптических функций, но получаемое та-
таким путем решение неудобно для сравнения с соответствующим
результатом, полученным в § 97 на основе теории Ньютона.
Мы заметили в § 105, что величина члена Zhzuz, появляю-
появляющегося в правой части уравнения A06.1), мала в сравнении
с единицей, и это побуждает нас к попытке получить решение
этого уравнения методом возмущений. Следуя ему мы прене-
пренебрегаем членом 3/пи2 и получаем для нашего первого прибли-
приближения «1 уравнение Ньютона
решением которого является
?<D)], (I06.2)
где е — эксцентриситет орбиты, а ш — долгота перигелия. Вве-
Введение уравнения A06.2) в правую часть уравнения A06.1) дает
§^ ^ ^. A06.3)
Так как орбиты планет близки по своей форме к окружно-
окружности (для Меркурия е2 = 0,04), то влияние пертурбационного
члена, содержащего е2, будет пренебрежимо малым. Точно так же
и член 3m3lh4 не окажет заметного влияния на форму орбиты,

§28 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 1ГЛ. V
но второй член, содержащий соз(ф— со), может оказать явно
выраженный суммарный эффект на смещение перигелия. В связи
с этим упростим уравнение A06.3):
d2u , т ,
d<f2 ' " A2 ' Л4
Решение этого линейного уравнения составляется, очевидно, из
решения м( и решения уравнения
1^ + " = ~7F~е cos ^ф ~ ю)-
Результат простых вычислений дает второе приближение и2
в виде
и2 =-тИ 1 + е cos (ф ~ со) +-^-ефз1п(ф —соI. A06.4)
Для наших целей достаточно будет оборвать ряд шагов
в схеме последовательных приближений на указанной в фор-
формуле стадии, рассматривая м2 как величину, представляющую
решение уравнения A06.1) с достаточно высокой степенью точ-
точности. Если мы положим
6со==-^Ф A06.5)
и заметим, что
cos (ф — со) + бсо sin (ф — со) = ]/l + (бсоJ cos (ф — со — а),
где a = arctg6co « бсо, то мы сможем записать A06.4) как
^ — о — 6<в)], A06.6)
пренебрегая членами порядка (бсоJ, малыми в сопоставлении
с единицей. Из уравнений A06.5) и A06.6) выясняется, что
когда планета совершает один оборот по орбите, то перигелий
опережает это движение на угол
г = ~-2л рад. A06.7)
Уравнение A06.6) описывает замкнутую орбиту, лишь при-
приблизительно эллиптическую по форме, по той причине, что бсо —
функция ф. Поскольку и = 1/г, имеем
h2/nt
+ e cos (<р — ш — 6ю) '
так что «прямолинейная полусторона» (semilatus rectum)—/
- Щт.

'06] СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ 329
Вспомнив из геометрии конических сечений, что / =
= аA — е2), где а — большая ось конического сечения, находим
Вводя только что полученное выражение в уравнение A06.7),
определяем1)
бяот2 6я/п
е= am A-е2) ~ а(! - ег) '
В этом выражении m — масса Солнца.
Для Меркурия величина е получается равной 4,90 X 10~7 рад.
Этот угол весьма мал, но в нашем распоряжении имеются
данные наблюдений о положении Меркурия за последнее сто-
столетие, а поскольку период обращения этой планеты исчисляется
в 88 дней, она совершает 415 оборотов в столетие. Суммарное
смещение перигелия за 100 лет должно поэтому исчисляться
в 415е = 2,04 X 10~4 рад = 42". Для других планет соответ-
соответствующее смещение слишком мало для точного эксперимен-
экспериментального определения. Например, для Венеры оно достигает
всего лишь 9", для Земли 4", для Марса 1".
Действительная траектория Меркурия, описываемая им во-
вокруг Солнца, конечно, не эллипс — по причине возмущающих
воздействий других планет. Мы по существу не можем гово-
говорить здесь строго о задаче двух тел. Однако возмущения, произ-
производимые другими планетами, могут быть учтены, и отклонения
от эллиптической траектории допускают вычисление. Такого рода
вычисления были произведены с высокой тщательностью, и в
результате их было установлено, что смещение перигелия Мер-
Меркурия должно выразиться величиной около 42" за сто лет. Нью-
Ньютонова теория неспособна предсказать это значение, а замеча-
замечательно близкое совпадение между релятивистским расчетом и
наиболее тщательно измеренным значением едва ли можно при-
признать случайным2).
Следует обратить особое внимание на то, что вычисления,
основанные на специальной теории относительности, обнаружи-
обнаруживают также эффект прецессии, если принять, что частица дви-
движется в силовом поле с потенциалом V = km[r. Однако прецес-
прецессия, определенная на основе таких вычислений, приводит к ре-
результатам, не столь близким к эмпирически определенному
значению, какие дала общая теория.
') Иной путь вывода значения е см. Sy n ge J. L., Relativity. The general
theory, 1960, стр. 294—296 (имеется русский перевод, см. библиографию) и
R a i n i с h G. Y., Mathematics of relativity. 1950, стр. 162.
2) Клименс (Clemence G. M.) дает 42",56 ± 0,94 в Reviews of Modern
Physics, 19 A947), 361. См. также Me Vittie G. C, General relativity and
cosmology, 1956. Эти авторы приводят проницательные комментарии относи-
относительно трудности выполнения решающих астрономических наблюдений.
'/,11
И. С. Сокольников

330 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. V
§ 107. Заключительные замечания
Закончим эту часть книги небольшим упоминанием об от-
отклонении лучей света Солнцем и о сдвиге к красному концу
спектра спектральных линий света, порождаемого в плотных
звездах1).
Так как свет материален по своей природе, он должен под-
подвергаться воздействию гравитационного поля Солнца, и откло-
отклонение от прямолинейного пути светового луча, порожденного
отдаленной звездой, когда этот путь слегка касается поверхно-
поверхности Солнца, может быть легко вычислено.
Отклонение лучей света, проходящих близ большой массы,
можно наблюдать при солнечных затмениях, когда неподвиж-
неподвижные звезды в кажущейся близости к Солнцу приобретают ви-
видимость, но из-за невозможности оценить величины эксперимен-
экспериментальных ошибок, обусловленных трудностью получения четких
фотографических снимков, принято считать, что эти результаты
не подтверждают, но и не опровергают общую теорию. Можно
отметить, что вычисления, основанные на ньютоновой теории
тяготения, способны учесть лишь около половины наблюденных
значений.
Из области других экспериментальных доказательств, при-
приводимых в пользу общей теории, указывается наблюдаемое
смещение спектральных линий света, излучаемого звездами,
к красному концу спектра. Элементарные соображения указы-
указывают, что частоты вибраций света, излучаемого отдаленной
звездой, меньше соответствующей частоты, наблюдаемой на по-
поверхности Земли2). Если эта частота ассоциируется со светом,
излучаемым Солнцем, линии солнечного спектра должны были
бы слегка смещаться в сторону длинных волн спектра в про-
противоположность соответствующим линиям спектров Земли.
Ожидаемый сдвиг для света, излучаемого Солнцем, оказался
весьма малым, но для спутников Сириуса он определен при-
приблизительной величиной, большей почти в 30 раз, чем для
Солнца, и наблюдающейся с удовлетворительной точностью.
В 1925 г. Эдамс измерил «красный сдвиг» для спутника Си-
Сириуса 3) и нашел его равным ДА, = 0,27 для линии с длиной
волны А, 4000 А. Такое измерение позволяет оценить диаметр
') См. Synge J. L, Relativity. The general theory, 1960, стр. 298—308,
а также §§ 36, 37 книги R a i n i с h G. Y., Mathematics of relativity, 1950. См.
также Bergmann P. G., Introduction to the theory of relativity, 1942,
гл. XIV; Eddington A. S., Mathematical theory of relativity, 1924, стр. 90—
93. Критический обзор значимости прогнозов теории Эйнштейна приводится
у Мак-Витти: Мс V i 11 i e G. C, General relativity and cosmology, 1956.
2) См. ссылки на литературу в предшествующей сноске.
3) Сдвиг соответствующей линии в спектре Солнца определен вычисле-
вычислением в ДЛ = 0,008.

§ 107] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 331
звезды. Результаты, конечно, не являются строгим доказатель-
доказательством, но вообще рассматриваются как подтверждение теории.
Закон тяготения Ra= 0 был обобщен Эйнштейном к виду /?,j =
= Igtj, где Л — малая «универсальная константа». Решения
обобщенного уравнения привели к различным космологическим
теориям и к построению различных теоретических моделей рас-
расширяющейся вселенной. Мы отсылаем читателя за более под-
подробными сведениями к специальным трактатам по этому во-
вопросу *).
') Е d d i n g t о n A., Mathematical theory of relativity, 1924; Tol-
m a n R. C, Relativity, Thermodynamics and cosmology, 1934; Bergmann P.,
Introduction to the theory of relativity, 1942; R a i n i с h G. Y., Mathematics of
relativity, 1950; Ландау Л., Лифшиц Е., Классическая теория полей, Гос-
тьхиздат, 1951; Теория поля, «Наука», 1967; Synge J. L, Relativity. The
special theory, 1956; The general theory, I960.

ГЛАВА VI
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 108. Вводные замечания
Эта часть книги посвящена общей формулировке основных
концепций механики сплошных сред и выводу фундаменталь-
фундаментальных уравнений, описывающих поведение этих сред. Приводи-
Приводимый здесь материал образует введение в нелинейную механику
жидкостей и упругих твердых тел. Линеаризованные уравнения
классической теории предстают как специальные частные слу-
случаи нелинейных уравнений, и во всей главе делается акцент
на унифицированную формулировку уравнений механики
сплошных сред в наиболее общей форме тензоров.
Систематическое построение тензорного исчисления с точки
зрения его применения в механике сплошных сред содержится
в заключительном издании пятого тома П. Аппеля') и в книге
Мак-Коннела2). В обоих этих трудах широкое внимание уде-
уделено линеаризованным системам. Образцовыми в области не-
нелинейной теории упругости являются работы Леона Бриллю-
эна3) и Ф. Д- Марнэгана4). Сущность внесенного Бриллюэном
вклада в нашу науку представлена также в его книге «Тензоры
в механике и в теории упругости», впервые вышедшей в изда-
издательстве Массой в 1938 г. (Франция) и перепечатанной фирмой
Довер в 1946 г. (СШАM).
Более новыми вкладами в нелинейную теорию упругости
являются книги В. В. Новожилова6), А. Грина и В. Церна7)
') А р р е 11 P., Traite de mecanique rationnelle, vol. V, 1926.
2) M с С о n n e 11 A. J., Applications of the absolute differential calculus
1931.
3) В r i 11 о u i n L., Les lois de l'elasticite sous forme tensorielle valable
pour des coordonnees quelconques, Annales de physique, 3 A925), 251—298.
4) Murnaghan F. D., Finite deformations of an elastic solid, American
Journal of mathematics, 59 A937), 235—260. Краткое изложение центральных
идей Марнэгана содержится в гл. 14 и 15 книги Майкла: Michal A. D.,
Matrix and tensor calculus, 1947.
s) Brillouin L, Les tenseurs en mecanique et en elasticite, Paris, 1938,
Dover Press 1946.
6) Новожилов В. В., Основы нелинейной теории упругости, Гостехиз-
дат, Москва 1947.
7) Green A. E., Zerna W., Theoretical elasticity, Oxford 1954.

§ 109] ДЕФОРМИРОВАНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 333
и А. Синьорини1). Исчерпывающий критический обзор основ
теории упругости и гидромеханики содержится в двух обшир-
обширных мемуарах Трусделла2), I том— 1952, II том — 1953.
Развитие основ механики сплошных сред, прежде всего
в рамках линейных теорий (включая применения к механике
жидкостей, теориям упругости и пластичности), содержится
в книге В. Прагера3). Обобщенное совместное изложение гео-
геометрически и динамически нелинейной механики сплошной
среды мы найдем в превосходной монографии Л. И. Седова4).
Монография Седова в значительной части основана на тес-
тесном объединении классической механики и макроскопической
термодинамики. Такое соединение позволяет строить обобщен-
обобщенные модели газов, жидкостей, упругих к термоупругих твердых
тел и некоторых типов пластических сред с единой точки
зрения.
§ 109. Деформирование сплошной среды
Рассмотрим континуум различимых материальных точек,
заполняющих в указанное время t = U некоторую область про-
пространства то. В дальнейшем мы будем называть U начальным
временем, а То — начальной областью. С течением времени
точки Р области То подвергаются перемещениям и в определен-
определенное время t заполнят область т. В ходе перемещения начальная
область то обычно деформируется, и мы полагаем, что дефор-
деформирование то в х полностью определяется, если нам известно
движение каждой точки Р. Для того чтобы описать движение
точек Р, вводим координатную систему X, движущуюся вместе
со средой таким образом, что координаты (а.1, х2, х3) любой
точки Р, находящейся первоначально в То, не изменяются с t.
В дополнение к системе X введем неподвижную фиксирован-
фиксированную систему отсчета Y, относительно которой задаются коор-
координаты точки Р(х\ х2, х3):
y' = y'(x\x\x\t). A09.1)
Функциональная форма отношений A09.1) явно зависит от
природы деформирования то в т. Допустим, что функции у((х, i)
в A09.1) однозначны, кусочно-гладки и обладают для каждого
значения времени t однозначной кусочно-гладкой обратной
функцией
х1 = х1 (у1, у2, У3, t). A09.2)
') Signorini A., Questioni di elasticita non linearezzata, Roma 1960.
2) T r u e s d e 11 C, Memoirs of elasticity and fluid mechanics, Journal
of rational mechanics and analysis, vol. I A952), vol. II A953).
3) Prager W., Introduction to mechanics of a continue, Boston 1961.
') Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, Москва, «Наука»
1962.

334
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. VI
Фиксированную координатную систему Y без потери в общно-
общности можно принять прямоугольной декартовой.
Материальная точка Р в т0 определится относительно этой
прямоугольной декартовой системы отсчета Y радиусом-векто-
радиусом-вектором (рис. 51)
[ciy^x\x\x\t0), A09.3)
где Ci — ортонормальные базисные векторы системы отсчета Y.
Рис. 51.
Положение некоторой точки Р в области т определяется век-
вектором
Г = с1У1(х\ х2, х\ t). A09.4)
Базисные векторы
даются производными
в движущейся системе отсчета X
ду' (х, /)
A09.5)
причем эти векторы зависят, очевидно, не только от координат
х1 точки Р, но также и от t. Если Р(х1, х2, Xs) находится в т0, мы
обозначаем базисные векторы bj через a.j, так что
а jL°^CiAlt±JA. (I096)
ОХ ОХ
Таким образом, в исследовании деформирования сплошной
среды мы можем говорить о трех системах отсчета: неподвиж-

§ 109] ДЕФОРМИРОВАНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 335
ной системе отсчета Y, определяемой базисом с,-, подвижной
системе отсчета X с базисом bt и неподвижной системе от-
отсчета X с базисом а;. Обращаем внимание на то, что обозначе-
обозначения (х\ х2, х3) рассматриваемой материальной точки Р
в обеих криволинейных координатных системах X имеют одина-
одинаковые значения, но во избежание недоразумений мы будем
обозначать точку Р(х\ х2, х3), если она находится в начальной
области то, через Ро.
Пусть Р'о — точка, находящаяся в окрестности точки
Р0(х\ х2, х3). Вектор P0P'u = drQ может быть представлен
в виде
drQ = atdxl, A09.7)
а квадрат элемента дуги ds0 в то равен
{dsof = dr0 ¦ dr0 = at- a} dxL dxJ,
или
(dsoJ = hijdxidxi, A09.8)
где hij — ufuj — метрические коэффициенты в to. Аналогично
квадрат элемента дуги ds, определяемый соответствующим
вектором РР' = dr = bidxi в т выразится произведением
ds2 = brbldxidx},
или
ds2 = giidxidxJ, A09.9)
где gij — bi-bj — метрические коэффициенты в т. Обычно дли-
длины и ориентации векторов dr0 и dr различны, и мы будем го-
говорить, что среда, занимающая область т, находится в состоя-
состоянии деформации-напряжения, если dsoi=ds. В качестве меры
деформирования мы можем принять разность
A09.
и если положить
A09.11)
то мы вправе представить эту разность как
(dsJ - (ds0J = 2etj dxl dx>. A09.12)
Поскольку A09.12)—инвариант, а ец< = ъц, заключаем, что си-
система функций Sij(x,t) представляет тензор Ео относительно не-
некоторого класса допускаемых преобразований координат X с ба-
базисом аи покрывающих область т.о. Та же система функций
e»j(*>0 определяет и тензор Е, относительно группы преобразо-
преобразований координат, определяемых базисом bt конечного состоя-
состояния т. В обозначениях заключительного абзаца в § 45 тензор Ео
записывается полилинейной формой ?о = ец(Ча>, тензор же Е

336 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
определяется через Е = гцЬ'Ь1. Таким образом, операции кова-
риантного дифференцирования и подъема—опускания индексов
в компонентах Ео используют метрический тензор ft,j, соответст-
соответствующие же операции на Е применяют тензор ?,> В обозначениях
сказанное принимает вид
л% = е? и 8%н = *1-
Однако две системы функций е?, вычисленных указанным путем,
остаются различными, и для того чтобы указать происхождение
системы е*к, полученной с применением тензора ha, мы напишем
В следующем параграфе будет показано, что ни тот, ни дру-
другой из тензоров Ео или Е не сможет служить характеристикой
деформированного состояния для окрестности точки Ро. Тензоры
Ео и Е называются иногда лагранжевым и соответственно эйле-
эйлеровым тензорами деформации-напряжения в соответствии с дву-
двумя точками зрения гидродинамики, связанными с выбором коор-
координат начального или конечного состояний как независимых пе-
переменных в формулировке уравнений гидродинамики.
§110. Геометрическая интерпретация тензоров ?0 и ?
В предыдущем параграфе мы определили систему функций
Ец формулой
(dJ
где
2е,/= &,-*„. A10.1)
Так как gu — bt • bt и ht! = at • ah то мы вправе переписать
эту формулу на основе этих обозначений
2гц = brbl-araj = \bi\-\bj\cosQtl-\a[\-\al\ cos 9J/f A10.2)
где %ц — угол между базисными векторами Ьь и Ь^ а Щ;. — угол
между at и Д/. Если через е обозначить изменение длины на
единицу длины вектора dro = PoP'o (на рис. 51) так, что
\dr\-\dro\ _ ds - ds0
е~ \dro\ ~~ dsa '
то мы получим
|dr| = (l + e)|dro|. A10.3)
Назовем е удлинением вектора dr0, и тогда из A10.3) увидим,
что удлинения е, в направлениях базисных векторов а,- задаются
формулами
\bt\ = {l+ei)\at\. A10.4)

§ HOI ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕНЗОРОВ Но И Ё 33?
Но | bt | = YgH и \а,\= V~hu, так что
Vgtt — A +ег) у7гн (без суммирования по г), A10.5)
поэтому формулу A10.2) можно переписать с учетом A10.4)
и A10.5) в виде
^ = (l+e()(l+e/)cos9i/-coseo/. A10.6)
Поскольку 8?/ = 8j; = 0 для i = j уравнение A10.6) дает
2е»
ИЛИ
: = /
— 1 (без суммирования). A10.7)
В тех случаях, когда координаты начального состояния прямо-
прямоугольные декартовы, Нц = 1, и мы видим из A10.7), что для
2ец/Нц <§; 1, вг « 8гг- Соответственно функции 8ц, 822, езз связаны
с удлинениями элементов дуги, направленных вдоль базисных
векторов Й1, а2, аз-
Значение 8jj для t"?=/ следует из A10.6), если заметить, что
когда а, и йу — прямоугольные единичные векторы, Э°/ = я/2.
Если положить Вц = я/2 — <хц, так что atj представляет измене-
изменение в первоначально прямом угле между парой элементов дуги,
направленных вдоль а, и а,-, то формула A10.6) дает
2еи = {\ +ei){\ +ey)sinar/,
или
2<Ч =, A10.8)
К1+ 2»
где мы учли A10.7). Если 2вгг <$; 1 и угол ац мал, получаем
приближенное равенство au « 2e,j. Таким образом, функции et-j
для »'?=/ указывают нам меру уменьшения первоначально пря-
прямого угла между элементами дуги, параллельными векторам at
и а,. Компоненты ец для 1Ф / называются скалывающими (сдви-
(сдвиговыми) компонентами тензора деформации Ео, компоненты же
8;j для i = j — нормальными компонентами тензора Ео.
Совершенно аналогичные интерпретации могут быть представ-
представлены для функций ей, если их рассматривать как компоненты
тензора Е = вцЬ'Ь1. Действительно, если мы теперь определим
относительное удлинение е как изменение в длине, приходящееся
на единицу длины в ее конечном состоянии \dr\ элемента дуги,
то получим
ds — dso
е 25 '

338 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД (ГЛ. VI
и тогда вычисления, сходные с теми, которые привели нас к фор-
формулам A10.7) и A10.8), дают теперь
^-. A10.9)
r &u
или
(без суммирования), A10.10)
где р(/ = 8?у - л/2.
Мы заключаем, как и раньше, что компоненты га в A10.9)
ассоциируются с удлинениями элементов дуги, первоначально
параллельных базисным векторам &,, в то время как компоненты
e,-j, для 1ф] измеряют соответствующие сдвиговые деформации.
§ 111. Квадрика деформаций. Главные деформации
Определяющая формула A09.12) для компонентов eij тензора
деформации Е = гцЬ1Ъ' может быть упрощена:
(dsY - (dstf _ dx1 dx' ... n
Ws? eii~dT~dT' UH-i;
где dxl/ds — X' — единичный вектор, определяющий направление
вектора dr в конечном состоянии. Попробуем определить те на-
направления I1, для которых A11.1) принимает экстремальные зна^
чения. Положим в этих целях, что
V A11.2)
и найдем максимальное значение квадратичной формы Q(k),
подчиненной ограничивающему условию
требующему, чтобы X1 был единичным вектором.
Знакомая уже нам процедура определения экстремальных
значений A11.2) методом множителей Лагранжа приводит к си-
системе уравнений
dQ <?Ф _Q
или
(e*/-eg,/)^ = 0, A11.3)
где е —множитель Лагранжа.
Эта система имеет нетривиальные решения для К\ если и
только если
I е„ (х) - egtj (x) | = 0

НЦ
КВАДРИКА ДЕФОРМАЦИЙ. ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
339
в каждой точке Р(х) области т. Для того чтобы привести эту
систему A11.3) к форме A3.10), рассмотренной в § 13, умножим
A11.3) на gih, суммируем по i и получаем
(е? - еб/Н'= 0,
где
A11.4)
A11.5)
Система A11.4) имеет три нетривиальных решения: Я(ц>
Я.B), Я(з) (»=1, 2, 3), отвечающих корням ег- кубического уравне-
уравнения
2-#2е + #з = 0. A11.6)
Коэффициенты ft,- в этом кубическом уравнении являются инва-
инвариантами
I = 8| + 82 + 6;),
AП.7)
В §§ 13—15 было показано, что корни г% должны быть необ-
необходимо вещественными, а связанные с ними направления Я(ц,
АB>. Я,'з) ортогональными.
Квадратичная форма A11.2), в которой мы рассматриваем X*
как текущие подвижные координаты, приводится к канонической
форме
Q (У) = е, (у1J + е_> (у2J + е3 (г/3J, A11.8)
если при этом главные направления А^ц, Я<2), Я,(з>» приняты как
базисные векторы надлежащей прямоугольной декартовой си-
системы отсчета г в т.
Мы можем истолковать эти результаты геометрически, введя
сюда поверхность деформации
ги (х) Я'ЛУ - const, A11.9)
которая в каждой своей точке Р{х) представляет поверхность
деформаций, где X1—бегущие координаты. Главные направления
Л(/) совпадают с осями поверхности A11.9) и из A11.8) сле-
следует, что тензор деформации ец, будучи отнесенным к системе
отсчета У, имеет вид
0
.0
0
е2
0
0 "
0
8з-

340
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. VI
Из геометрического смысла компонентов гц, 1Ф / (см. уравнение
110.10), следует, что главными направлениями являются те орто-
ортогональные направления в недеформированном состоянии, кото-
которые остаются ортогональными после деформирования.
Деформации ei, 82, ез называются главными деформациями.
Инварианты ¦бч, дг, ®з, определенные формулами A11.7),
играют важную роль в построении моделей сплошных сред. Если
мы развернем детерминант в A11.6) и приравняем коэффициен-
коэффициенты при одинаковых степенях е, то получим в результате
+
«3
«i
ej
»!
5| +
el
«S
«J
«3
«2
+
ез
»3
«i
1
+
pT P1
1 Аг/ a в
]
~ЗГ 6aBve<e/e*'
A11.10)
Мы увидим в следующем параграфе, каким образом эти инва-
инварианты войдут в выражение соотношения объемных элементов
dxn и dx начального и деформированного состояний.
Равным образом мы могли бы рассмотреть квадратичную
форму
где Xl0 = dx'jds0 указывает направление вектора dr0 для началь-
начального состояния, а e<j рассматриваются как компоненты тензора
деформации Ео = гцп1ак
Для определения главных направлений мы имеем теперь си-
систему уравнений типа A11.4), где
е* = А%, A11.12)
а значения е — корни характеристического уравнения
е* — eft* | = 0, A11.13)
в котором e^f даны формулой A11.12). Квадратичную форму
A11.11) можно, таким образом, привести к каноническому виду
где главные направления
приняты как базис со-
сощ о (
ответствующей ортогональной системы отсчета Ко в то.

§ 112] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОБЪЕМА 341
Из формул A10.7) следует, что удлинения е\ по главным на-
направлениям выражаются формулами
ds' - dsl0
dsl0
A11.14)
удлинения же еи вычисленные на единицу длины в конечном со-
состоянии [см. уравнение A10.9)], получаются равными
A11.15)
Из A11.14) и A11.15) заключаем, что
8 е
И Б, = ~. A11.16)
е°
8
' 1-2е? ?
Формулы A11.16) позволяют нам вычислить инварианты ^ку-
^кубического уравнения A11.3) в зависимости от инвариантов ft*,
приведенных в A11.7), а инварианты #j кубического уравнения
A11.6)—в зависимости от ¦OQ.
Задача
Показать, что
§ 112. Относительное изменение элементов объема
Исследуем теперь изменения в объемных элементах dxQ и й%
в начальном и деформированном состояниях и учтем их связь
с инвариантами flv, введенными в § 111.
Из определения объемного элемента в § 44 следует, что
^т.0= V^1 dx1 dx2dx3 и dx= Ygdx1dx2dx3,rji,eh = \hij\Hg = \gu\ —
детерминанты квадратичных форм ds\ = hljdxi dxf и ds2 —
= giidxtdx1. Отсюда

342 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
Группу функций hij можно рассматривать как комплект компо-
компонентов тензора Н — hijtfb*, определенного в пространстве пере-
переменных х' в конечном состоянии, так что
ik i k
0 fllf == fij
и
gikhj = hij.
Заключаем, что
так что
Вследствие этого отношение (П2.1) принимает вид
dx0 l/i ,t i ,.,« л.
Но из определения A10.1) мы знаем, что
ha (x) = gtl (x) - 2ег/ (дс),
выражение, которое с поднятием индексов принимает упрощен-
упрощенную форму
А} = 6/ - 2б/.
Формулу A12.2) мы сможем, следовательно, представить таким
образом:
^^УЩ^Щ. (И2.3)
Если развернуть находящийся здесь под знаком радикала детер-
детерминант, то мы найдем
| ft} - 2е} | = 1 - 2*, + 4#2 - 8д3, A12.4)
где #; — инварианты типа A11.10).
В линейной теории деформации произведениями деформаций
е| можно пренебречь, так что приближенное выражение для со-
соотношения A12.3) получает упрощенный вид
Таким образом, приближенно
dx — dxa
dx
U12.5)
Эта формула выражает объемное изменение на единицу объема,
по этой причине Oi называется удельным расширением. Чаще
всего с этой величиной приходится встречаться в линейной тео-
теории упругости и в гидродинамике.

§ 113] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ 313
Формулу A12.3) можно выразить в зависимости от одних
лишь #:
dx ' ' A126)
& V\b) + 2е°| l
если инварианты Фг выразить в функциях от #? как в задаче
§ 111. Если деформации малы, то из A12.6) следует, что
^^~< A12.7)
а так как для малых деформаций е° « е(-, #? «* Oi, то обе фор-
формулы— A12.5) и A12.7) —дают для удельного расширения одно
и то же значение.
Задача
Вывести формулы A12.3) и A12.6) непосредственно из A11.14) и A11.15).
§ 113. Перемещения в сплошных средах
Определим вектор перемещения | точки Р (рис.51) разностью
радиусов-векторов
5 = г-г0 A13.1)
и обозначим компоненты %, отнесенные к базису а,, через и',
а отнесенные к базису bt, через и>'; тогда
\^ulau i-w%. A13.2)
На основании A13.1) получаем
>Г2. - h -а
откуда
A13.3)
Вычислив gn = bi-bf с помощью A13.3) и вычтя hij = alaf
из результата, находим
в силу A10.1).
Уравнения A13.4) можно рассматривать как группу диффе-
дифференциальных уравнений для компонентов § при указанных функ-
функциях ъц. Эта группа уравнений принимает очень простой вид,
если вектор перемещения | выражен через ковариантные компо-
компоненты Uj или Wj, таким образом:
l^Uja1, l = w,bJ, A13.5)
причем ai и Ы— взаимные базисные векторы, введенные в §45.

344 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ VI
Дифференцируя A13.5) по х\ получаем (см. § 45)
где
ди. [k\
«Л* = —-~ -и* (П3.7)
дх' h\ jl I
является ковариантной производной от Uj по метрическому тен-
тензору hij начального состояния, а
A13.8)
— ковариантная производная от w} по метрическому тензору ga
конечного состояния. Левые нижние индексы в символах Кри-
стоффеля в A13.7) и A13.8) указывают, что эти символы в
A13.7) построены из тензора hih символы же в A13.8) —из gtj.
Если мы введем первую из формул A13.6) в A13.4), то полу-
получим
2ец = {щ{1а1 ¦ ukuak) + (ar akuk[i + ai -akuk[l) =
= uniukllal ¦ a" + b\uk], + fij«fcl, == u*tuk[ , + uiU + unt,
поскольку a1 ¦ ak = hlk.
Таким образом,
2«*/ = "i i / + "л e + «*¦**«* i /- A13-9)
С другой стороны,'если вектор § представлен в виде | = Wjb1,
то, учтя A13.3), мы придем к выражениям
*„-.,..,-(»,-?).(»,-?).
Подстановка в них из второй формулы A13.6) даст
2ги = wti i + wu t - w^.wK f. A13.10)
Формулы A13.9) позволяют нам вычислить компоненты дефор-
деформации-напряжения Ejj из компонентов и, вектора |, отнесенного
к базису at начального состояния. С другой стороны, в формулы
A13.10) входят компоненты |, отнесенные к базису Ьг конечного
состояния. В свою очередь, если указаны функции e,-j, то диффе-
дифференциальные уравнения A13.9) и A13.10) позволят определить
компоненты вектора перемещения ?.

§ 114] УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ 345
В тех случаях, когда система отсчета X прямоугольная де-
декартова, мы полагаем у* — х1 и получаем на основании A13.9) и
A13.10)
ди, ди, дик дик
2е</ = -ГТ + ТТ + ТТТТ' A13Л1)
ду'о ду'о ду'о ду'о
dw. dw, dw. dw.
2e,/ = —T+—T Г^4> A13.12)
" dyJ ду1 ду1 dy>
где знаками y!0 обозначены декартовы координаты в начальном
состоянии.
В специальных задачах производные компонентов перемеще-
перемещения бывают достаточно малыми, для того чтобы оправдать пре-
пренебрежение их произведениями в сопоставлении с членами пер-
первого порядка в этих производных. В этих условиях уравнения
A13.11) и A13.12) становятся линейными и теория деформации,
основанная на изучении получающихся линейных дифференци-
дифференциальных уравнений, называется линейной теорией. В линейной
теории обычно предполагается, что вектор перемещения | доста-
достаточно мал, для того чтобы оправдать отождествление координат
у!й и у1 начального и конечного состояний. Получающаяся в ре-
результате теория называется инфинитезимальной теорией дефор-
деформации. В инфинитезимальной теории формулы A13.11) и A13.12)
превращаются в единственную
2ell='Ui,i + u,.l, A13.13)
где ец — инфинитезимальные компоненты тензора деформации
гц. В классической теории упругости тензор деформации Zij при-
принимается в форме A13.13). Инвариант деформации д = ец +
+ егг + ?зз> как это следует из A13.13), получается при этом
равным дивергенции вектора перемещения и, и отсюда — расши-
расширению ftj = (dx — dx^jdx = и' r
§ 114. Уравнения совместности
Уравнения A13.10) или, в декартовой форме, A13.12) можно
рассматривать как систему шести дифференциальных уравнений
в частных производных для определения трех компонентов пере-
перемещения по заданным значениям тензора деформации. Очевидно,
что если решение этой системы должно существовать, то компо-
компонентами тензора деформации не могут оказаться произвольные
величины. Для того чтобы обеспечить интегрируемость системы,
необходимо наложить некоторые ограничения на выбор функций
ец. Такие условия вместе с доказательством их необходимости1)
') Доказательство необходимости и достаточности условий Сен-Венана
приводится в книге автора: S о к о ] n i к о f f I. S., Mathematical theory of
elasticity, 1946, стр. 24—25.
[2 И. С. Сокольников

346 MEXMIIIKA СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
для линеаризованного случая, выраженного уравнением A13.13),
были выведены Б. Сен-Венаном в 1860 г. Покажем здесь, каким
образом эти условия интегрируемости или совместности могут
быть выведены в общем случае.
Напомним, что пространство, в котором имеют место дефор-
деформации, является евклидовым, и потому риманов тензор, ассоции-
ассоциируемый с метрикой евклидова пространства, определяемого квад-
квадратичной формой dsl = h{jdx' dx', обращается в нуль (см. § 39).
На этом основании
где риманов тензор R%k построен из метрических коэффициентов
hij. Если вспомнить, что (см. A10.1))
hu = ёи ~ 2е</
позволяют вычислить символы Кристоффеля, необходимые
в A14.1) в функциях от ga и 8ij, и использовать то обстоятель-
обстоятельство, что риманов тензор Яцы, основанный на ga, также обра-
обращается в нуль, получаем условие
ei/fti + ha?> (e/S3e,,a - e,,se,fta) = 0, A14.2)
где
= ell, Ik + eik, П ~ 8i/. kt — ekt, ib
где//°Р—алгебраическое дополнение1) коэффициента Лар в \hi$\.
Если мы линеаризуем A14.2), опустив члены, содержащие
произведения eijfc, то придем к уравнениям совместности Сен-Ве-
нана
ец. и + eki, a ~ eik, ц - еп, ik = 0, A14.3)
знакомым нам в линейной теории деформации2).
Из того обстоятельства, что в трехмерном пространстве ри-
риманов тензор имеет шесть независимых, не обращающихся в нуль
компонентов, следует, что в A14.2) и A14.3) содержится шесть
независимых уравнений.
') Заметим, что контравариантный тензор hij является ассоциированным
тензором hij относительно метрического тензора Цц. См. § 30.
2) В этой связи отсылаем к статье S e i g I i п g W. R., American mathe-
mathematical monthly, т. 57, 1950, стр. 679—681. См. также Murnaghan, F. D.,
Finite deformation of an elastic solid, 1951 и Седов Л. И., Введение в меха-
механику сплошной среды, 1962, стр. 128—130.

§ 1161
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
347
§ 115. Анализ напряженного состояния
В исследовании напряженного состояния деформированного
тела естественно принять в качестве независимых переменных
переменные х1 конечного состояния. Докажем, что напряженное
состояние в точке Р(х) тела, находящегося в равновесии под
приложенными поверхност-
поверхностными и объемными силами,
характеризуется симметрич-
симметричным тензором — тензором
напряжений.
Пусть тело т отнесено к
криволинейной координат-
координатной системе X, и мы рас-
рассматриваем элемент площа-
площади поверхности в некоторой
точке Р' тела. Образуем ма-
малый тетраэдральный объем-
объемный элемент dx координат-
координатными поверхностями в близ-
близкой точке Р и поверхност-
поверхностным элементом da (рис. 52).
Если v — единичная нормаль р 5Й
к da, то элементы площади
da, лежащие на координатных поверхностях, определяются фор-
формулами
dat = Vida, A15.1)
где vt- — ковариантные компоненты v.
Обозначим вектор напряжения (силу, отнесенную к единице
v
площади), действующий на da, через Т, где верхний индекс v от-
отмечает зависимость вектора напряжений от ориентации элемента
da. Векторы напряжения, действующего на элементы поверхно-
i
сти dau обозначаются через Т, а их положительными направле-
направлениями мы будем считать внешние нормали к объемному элемен-
элементу. Мы можем написать
Т=-т%, A15.2)
где bj — базисные векторы, направленные вдоль координатных
линий, а т^ — контравариантные компоненты Т.
Если теперь F = F!bt обозначает силу на единицу объема,
действующую на массу, содержащуюся в dx, то первое условие
равновесия требует, чтобы
= 0. A15.3)
12*

348 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. V!
Если учесть определения A15.1) и A15.2) и заметить, что йт =
= lda, где / — надлежащий коэффициент, зависящий от линей-
линейного размера объемного элемента, то условия равновесия A15.3)
примут вид
Flbl da + T'b da t'7v dob,
Flbil da + T'bj da - t'7v; dob, = 0,
где T'b,^T.
Если точку Р' мы будем теперь сближать с точкой Р таким
образом, чтобы направление v оставалось постоянным, то /-*-0,
и первый член в вышеприведенном соотношении будет обращать-
обращаться в нуль всякий раз, когда объемная сила F ограничена. Это
V
приводит к тому результату, что компоненты Т1 напряжения Т,
действующего на поверхность элемента с направлением v, выра-
выразятся формулой
Г' = т%. A15.4)
Так как Т1 — вектор, a v*— произвольный ковариантный вектор,
то можно заключить, что т" —контравариантные компоненты
тензора — именно тензора напряжения. Формула A15.4) позво-
позволяет нам вычислить вектор напряжения, действующий на поверх-
поверхности элемента определенного направления, если нам известен
комплект девяти функций тЧ В § 116 мы увидим, что введение
остающегося условия равновесия приводит к заключению, что
тензор напряжения симметричен.
Формулу A15.4) можно, очевидно, представить в виде
1 A15.5)
V
Компонент N вектора Т в направлении нормали v запишется как
V
T-v = Tjvi; введя же A15.3), получим
jV = tuvV. A15.6)
В отношении квадратичной формы A15.6) мы можем поднять
вопрос об определении направлений v\ приводящих форму N
к экстремальным значениям. Как и в § 111, это влечет за собой
исследование характеристического уравнения
|т]-т6^| = -т3 + 01т2-02т + в3 = О) A15.7)
где
©1 = Т, + Т2 + Т3,
®2 = Т2Т3 + r3rl + Т1Т2>
©3 = Т^Тз,
а п — корни кубического уравнения A15.7). Ортогональные на-
направления v4, отвечающие главным напряжениям п, опреде-
определяются из системы линейных уравнений [см. уравнение A11.4)]
/ = 0 A15.8)

S 116] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 349
и называются главными направлениями напряжения. Если мы
выберем прямоугольную декартову систему отсчета Y, оси кото-
которой совпадают с главными направлениями в Р, то квадратичная
поверхность
Ti/vV = const A15.9)
примет вид
гЛухJ + ъ(У2J + гз(У3Г = соп*1 A15.10)
Квадратичная поверхность A15.9) была введена Коши и назы-
называется квадрикой напряжений.
Из уравнений A15.10) очевидно, что компоненты щ для I ф j
обращаются в нуль, если соответствующая система отсчета вы-
выбрана в Р. Компоненты тн, Т22, т3з называются нормальными ком-
компонентами напряжения, остальные же — компонентами сдвига.
По аналогии с формулами A10.10) мы можем здесь выписать
выражения для инвариантов напряжения в,. Они принимают
следующий вид:
^ 1. (ii5.ii)
§ 116. Дифференциальные уравнения равновесия
Пусть тело т находится в состоянии равновесия под воздей-
воздействием заданных объемных и поверхностных сил. Так как каж-
каждая часть тела пребывает в равновесии, результирующая всех
сил и результирующий момент этих сил, воздействующих на
каждую подобласть V тела т, должны обратиться в нуль. Усло-
Условие, выражающее исчезновение результирующей силы в любом
направлении, задается уравнением
| F'li dx + J T% da = 0, A16.1)
V S
где Xi — единичный вектор в произвольном постоянном направ-
направлении.
Мы полагаем, что компонентами объемной силы F'(x) явля-
являются непрерывные функции и что компоненты V вектора напря-
напряжений входят в класс С1.
Подстановка в Т1 из A15.4) и применение теоремы диверген-
дивергенции (92.3) к интегралу поверхности в A16.1) дает уравнение
V
Так как Я,- — параллельное векторное поле, ki,j = 0, то предыду-
предыдущее уравнение можно преобразовать в
+ t^/dT-O. A16.2)

350 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
Поскольку подынтегральная функция в A16.2) непрерывна, а на-
направление Кг произвольно, заключаем, что в любой точке Ртела т
т."/+ /=•' = (). A16.3)
Воспользуемся теперь условием,требующим, чтобы результи-
результирующий момент тела и поверхностные силы обращались в нуль.
Если г = llb{ — радиус-вектор точки Р'{х), относительно некото-
некоторой точки Р, то компонент момента (FXr)dx в направлении
единичного вектора % будет равен F X г- Xdx. Компонент момента
V V
поверхностных сил Т равен Т х r-Ыо. Вспомнив (§ 49) выраже-
выражение тройного скалярного произведения
А X В С = еакА1В'Ск,
мы сможем написать
j bukFH'k" dx + J г1!кТ'1!кк da = 0.
V S
Подстановка в интеграл по поверхности из A15.4) и применение
теоремы дивергенции дает
поскольку
Если мы выполним предписанное здесь ковариактное диф-
дифференцирование и используем уравнения A16.3), то получим
f mi.; .k , _ n.
поскольку же1) l!,m = b'm,, а объем К — произволен, то
A16.4)
Заметив, что г^к = — E,-ik, мы сможем выразить это равенство
в следующем виде:
|е//)к(т/'-т'/)А* = 0. A16.5)
Поскольку zi!k = V~g eljk, a Yl[ ф 0, получим после разложе-
разложения A16.5)
(т23 - т32) X1 + (т31 - т13) I2 + (т12 - т21) Я3 = 0.
Так как направление X произвольно, то заключаем, что
тг/ = т'\ A16.6)
') Так как Ь/ =-~ = 11 jbl в силу D6.6), то /'/ = б{.

I 117] ВИРТУАЛЬНАЯ РАПОТА 351
Таким образом, мы пришли к выводу, что тензор напряжений
симметричен.
Полученные результаты подытоживает
Теорема. Если тело находится в равновесии под воздейст-
воздействием заданных объемных и поверхностных сил, то компоненты
тензора напряжений т'-> в каждой точке тела удовлетворяют си-
системе дифференциальных уравнений в частных производных
т"/ + /="' = О,
где %Ч = т-". На поверхности 2 тела, подвергающейся действию
векторов напряжения Т\ имеет место равенство
причем vj — внешняя единичная нормаль к S.
Опираясь теперь на принцип Даламбера, мы сможем непо-
непосредственно же сформулировать уравнения движения. Нам сле-
следует лишь добавить к объемной силе F' инерциальную силу —
ра', где р — плотность, а а1—ускорение. Искомое уравнение дви-
движения, принимает вид
хиj + /=¦'- pa', A16.7)
где F!' — объемная сила, приходящаяся на единицу объема. Если
Fi представляет силу, отнесенную к единице массы, то уравнения
движения принимают вид
х') = р{а'-Р1). A16.8)
Так как уравнения в §§ 115, 116 приводятся в тензорной фор-
форме, они имеют силу во всех допустимых системах отсчета. В ча-
частности, в системе отсчета X начального состояния то ковариант-
ные производные в A16.8) берутся по метрическим коэффициен-
коэффициентам hij, a а' и F'— компоненты векторов ускорения и силы —
относительно базиса начального состояния.
§ 117. Виртуальная работа
Пусть сплошная среда поддерживается в состоянии равнове-
равновесия объемными силами F' и поверхностными силами Т1' Если
Р9Р = %(х, t) — вектор перемещения точки Р (на рис. 51), то мы
можем рассматривать точку Р' в окрестности Р и обозначить
вектор PqP' (не показанный на рис. 51) через \l(x,t). Тогда
где вариация
6? = ?'-?, A17.1)

352 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
или виртуальное перемещение точки Р является произвольным
вектором РР' в окрестности Р. Будем рассматривать вариацию
векторов лишь в конечном состоянии т и скажем, что вариации
векторов и тензоров, ассоциированных с точками Ро начального
состояния То равны нулю.
Положим, что | принадлежит классу С2, и определим вариа-
вариацию д%)дх1 формулой
д\\ дУ д% = д(У-1) ^ д(Ы) , . .
дх1 дх1 дх1 дх1 '
так что вариация производной д%/дх* получается равной произ-
производной вариации (см. § 81). Поскольку | = г— г0 и
JL-lL.-JE?.±-h -а
дх' ~ д/ дхт ~ ' '
то мы получим, использовав дистрибутивное свойство символа б,
ибо 6а,-= 0, так как точки в начальном состоянии не подвер-
подвергаются варьированию. Таким образом,
Метрические коэффициенты конечного состояния даны соот-
соотношениями gn = bi ¦ Ь/, и мы находим, как в § 81,
= Ь(ЬГ bj) = bi ¦ 6bi + b, ¦ bbt
так, что
bgt, = bt 1Ш + bi M (B силу A17.3)). A17.4)
Тензор деформации е{/ определяется из
2eu = gii-hij, [109.11]
и отсюда
26e,7 = g,7, (П7.5)
поскольку бAгц) = b{at- a/) = 0.
Произведя подстановку A17.4) в A17.5), находим
ох «. д F1) , , д F1) Л17«\
Но 6j = F?)j6', где (б|)/ — ковариантные компоненты вектора 6§,
а поскольку

§ 117] ВИРТУАЛЬНАЯ РАБОТА 353
то из D6.8) заключаем, что A17.6) можно записать в таком
виде:
2 6е,/ = (б5),-./ + (б5)/,,. A17.7)
Если образовать внутреннее произведение вектора F?)
с двумя членами уравнения равновесия
т,",= -рЯ, A17.8)
где Я —объемная сила, отнесенная к единице массы [см.
A16.3)], и проинтегрировать его по объему т, то получим
J xljj F5), dx = - { РЯ F?), dx. A17.9)
X Т
Но х11 F?)г = [тг/ F?)г]|;. — xi! F§),. 7, поэтому A17.9) можно будет
записать в виде
J [г" F5),], / dx - J т" F5),, /Лт = - J РЯ F?), <*т,
либо
J т"' F5), Vida-j xi} F5),, / rfx = - J РЯ F5), Л.
где мы преобразовали интеграл по объему т в интеграл по по-
поверхности S, охватывающей т.
Поскольку xihi = Ti в силу A15.4), а
на основании A17.7), то в конечном результате находим
J х11 Ьеи dx= j P F5), rfff + j рЯ F5), dx. A17.10)
По определению интеграл по поверхности в A17.10) представ-
представляет виртуальную работу, выполняемую внешними поверхност-
поверхностными силами V в виртуальном перемещении F1)i. Интеграл же
по объему в правой части уравнения A17.10), с другой стороны,
представляет виртуальную работу, выполненную объемными си-
силами/7'. Если обозначить работу, произведенную как объемными,
так и поверхностными силами, суммой
= J P{b%)ida+ J РЯF|)^т, A17.11)
то выражение A17.10) перепишется в кратком виде
dx. A17.12)

354 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
Если в только что приведенном вычислении вместо уравнений
равновесия A17.8) исследовать динамические уравнения
т'/, = р(а'-Я), [116.8]
то мы получили бы в левой части уравнения A17.10) добавоч-
добавочный член
ЬК = J ра1 (8|), dx. A17.13)
X
Этот член получает простую механическую интерпретацию, как
только виртуальные перемещения F|); превращаются в действи-
действительные актуальные перемещения {d%)i, возникающие в теле,
движение которого управляется уравнениями A16.8). В этом
случае мы записываем A17.13) в виде
dK = \ pa' (dlU dx. A17.14)
•t
Но скорость точки Р в т равна
и мы вправе поэтому переписать A17.14) в виде
dK = Г pa'Vi dx dt.
X
В прямоугольных декартовых координатах
' ~-LJ-( t \— ' d^2
и этот интеграл принимает вид
dK= lU(vf(pdx).
х
Подынтегральное выражение в нем представляет приращение
кинетической энергии элемента массы dm = p dt, приобретаемое
им за интервал времени (t, t + dt). Таким образом, dK предста-
представит приращение кинетической энергии К = ури2йт. Соотвег-
т
ственно для движения тела т, подчиняющегося уравнениям
A16.8), получаем важный результат
A17.15)

§ 118] ЗАКОНЫ ТЕРМОДППЛММКН 355
где
dA = J x!l de,t dx и dW = J Tl{d\)ido + J pF'(d?)< Л. A17.16)
В статическом случае d/( = 0, а ЙЛ =
Результаты, полученные в этом параграфе, в сочетании с не-
некоторыми термодинамическими соображениями, образуют осно-
основу для построения теоретических моделей упругих тел, вязких
жидкостей и других физических объектов.
§ 118. Законы термодинамики
Построение математических моделей различных типов
сплошных сред базируется на концепции энергии, являющейся
основным понятием механики и термодинамики. Мы заим-
заимствуем из механики понятия потенциальной и кинетической
энергий, а из термодинамики несколько менее четко определен-
определенные понятия химической энергии, тепловой энергии, электри-
электрической энергии и т. д. Мы будем предполагать, что функции,
определяющие различные виды энергий, зависят от некоторого
числа параметров, некоторые из которых являются перемен-
переменными (координаты положения, температура, плотности, тензо-
тензоры деформации и т. п.), другие же — физическими или уни-
универсальными константами. Полная совокупность постоянных
параметров с, и переменных параметров q1, избранных для
того, чтобы описать заданную функцию, не обязательно должна
быть единственной. Но какие бы частные системы параметров
мы ни подбирали, мы всегда будем полагать, что <7'(t = l, ...
..., п) взаимно независимы.
В некоторых особых ситуациях qi могут быть определены,
как функции скаляра t (обычно время) так, что их можно рас-
рассматривать как определяющие кривую
С- <?' = </(').
характеризующую определенный процесс.
В предыдущем параграфе мы ввели понятие работы или
механической энергии путем рассмотрения линейных форм типа
6W = Qt(q\..., qn; с,,..., cm)bql. A18.1)
Криволинейный интеграл j Qidq1 представляет, таким об-
с
разом, работу, произведенную на пути С обобщенными сит
лами Qi. Обычно такие интегралы зависят от nyin С, ассоции-
ассоциируемого с заданным процессом.
Положим, что частица массы dm — pdx, где р — плотность,
a dx — элемент объема, способна приобретать энергии, кроме

356 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ VI
механической, еще и иные, отличающиеся от механической, и
мы в состоянии представить эти приращения энергии таким
выражением:
bE = Fi(ql 9»; с„ ..., cm)bql. A18.2)
Если 8Е включает все энергии, без учета механической, то
полная сумма энергии, которой располагает частица, опреде-
определяется интегралом
\ A18.3)
На основании принципа сохранения полной энергии заключаем,
что интеграл A18.3) должен обратиться в куль для произ-
произвольного замкнутого пути С, в связи с чем подынтегральное
выражение (Fi + Qi)dq{ должно быть точным дифференциалом
некоторой функции Uiq1, . . ., qn; cu ..., ст), определенной
с точностью до константы интегрирования. Мы назовем U пол-
полной энергией на единицу массы и определим внутреннюю энер-
энергию U на единицу массы формулой
U = U-±d*, A18.4)
где v — скорость элемента массы dm. Величина /(==-?-а2
представляет кинетическую энергию на единицу массы, так что
полная энергия
и-и+к.
Мы сможем, таким образом, сформулировать основной за-
закон сохранения полной энергии в такой форме:
б/С + bU = bW + ЬЕ, A18.5)
где левая часть равенства A18.5) представляет собой сумму
приращений кинетической энергии К и внутренней энергии U,
приобретаемой единичной массой.
Если б? состоит лишь из тепловой энергии 6Q, то мы при-
пришли к формулировке первого закона термодинамики
б/С + bU = bW + 6Q. A18.6)
Тепловая энергия 6Q, как разъясняется в трудах по термоди-
термодинамике, может быть определена по измерениям температуры Т.
Эксперименты свидетельствуют, что тепло неизменно переходит
из тел с более высокой температурой в тела с менее высокой
температурой, причем этот переход тепла от одного тела к дру-
другому полностью определяется температурой Т и, конечно, не-
некоторыми физическими параметрами, зависящими от свойств

§ 119] УПРУГИЕ СРЕДЫ 357
состава тел. Эксперименты, далее, подтверждают, что невоз-
невозможно построить машину, которая преобразовывала бы тепло-
тепловую энергию в механическую из тела с меньшей температурой.
Это является следствием второго закона термодина-
термодинамики, гласящего, что для каждого обратимого термодинами-
термодинамического процесса существует функция S, называемая энтропией,
подчиняющаяся условию
dSdm = ^-, A18.7)
где Т—абсолютная температура, a 6Q — приращение тепла,
приобретаемое элементом массы dm.
В тех случаях, когда среда находится в состоянии механиче-
механического равновесия, кинетическая энергия К исчезает и закон
A18.6) принимает форму
dU = 6W + 6Q. A18.8)
Мы воспользуемся законами A18.7) и A18.8) в § 119 при по-
построении механической модели упругого тела.
§ 119. Упругие среды
Некоторые тела обладают способностью восстанавливать
свои первоначальные размеры и формы после того, как при-
приложенные силы, произведшие деформацию, устранены и пере-
перестали действовать. Среды, из которых состоят подобные тела,
называются упругими. Строя модель упругого тела, мы будем
предполагать, что все процессы, имеющие место в таком теле,
обратимы, не утверждая, однако, что рассматриваемое тело
обязательно находится в состоянии теплового равновесия. Та-
Таким образом, наша термоупругая модель будет учитывать
влияния температур на деформации.
Отправной точкой наших выкладок будет служить первый
закон термодинамики в формулировке [см. A18.8)]
6U = bQ + bW, A19.1)
где
&W = j хи 6ец dx A19.2)
X
определяется интегралом A17.12).
Представим также соотношение A18.7) в виде
6Q = J T 6S dm
ИЛИ
JT. A19.3)

358 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД |ГЛ VI
Если и обозначает внутреннюю энергию U на единицу массы
тела, то
bU = J budm = J pbudr, A19.4)
т X
где через 6U обозначено приращение внутренней энергии, при-
приобретенной областью т.
Введение в A19.1) значений из A19.2), A19.3) и A19.4)
дает
j pbudx = J pT6Sdx + j xiJ6eitdx. A19.5)
XX T
Положим, что подынтегральные выражения в A19.5) представ-
представляют собой непрерывные функции, а поскольку равенство
A19.5) сохраняет силу в произвольной подобласти т, мы за-
заключаем, что
bu^TbS + jj'tet, A19.6)
во всех точках т.
Формула A19.6) подсказывает нам рассматривать и как
функцию независимой переменной S и девяти независимых па-
параметров ец. Поскольку компоненты ец тензора напряжений
?о = ецп'п1 зависят обычно от выбора координатной системы X,
функция и может также содержать явно метрический тензор
hi, и координаты х'. И, само собой разумеется, и должно зави-
зависеть от подбора параметров {с}, связанных с физическими свой-
свойствами среды. Таким путем мы приходим к тому, чтобы рас-
рассматривать и в виде функции
u = u(hu, ви, S, {с}, х*), A19.7)
где аргументы и предполагаются независимыми. Соотношение
A19.6) позволит нам утверждать, что
J?fL-.±T'/ и Л0--Т
de(., p ал
Первое из этих отношений
хи р A19.8)
связывает компоненты xij тензора напряжений с компонентами
f.ij тензора деформации. Мы получаем, таким образом, систему
соотношений напряжение — деформация, в которой плотность
внутренней энергии и служит потенциальной функцией.
Можно построить и иную потенциальную функцию ср, если
определить ее как свободную энергию соотношением
<p = H-rS. A19.9)

§ I[9] УПРУГИЕ СРЕДЫ 359
Из A19.9) находим приращение 6ф функции ф:
бф = 8U — T6S — S6T
и введение сюда значения для бы из A19.6) дает
6ф = -1т'76е;/-5 6Г. A19.10)
Появление бе,-; и ЬТ в правой части выражения A19.10) по-
побуждает нас рассматривать Т и ец как независимые перемен-
переменные, а свободную энергию ф как функцию следующих перемен-
переменных [см. A19.7)]:
4> = (hu, г„, Т,{с}, Л A19.11)
Из A19.10) заключаем затем, что
дф }_ ц _бф_ _ _ „
де{/ р Т ' дТ ~ °>
так что соотношение деформация — напряжение принимает
теперь вид
т"-т^. A19.12)
Таким образом, либо и, либо <р (если они существуют), могут
быть использованы в выводе отношений между напряжениями
и деформациями. Если процесс адиабатический, S — константа,
и потому 6Q = 0 в силу A19.3). В таком случае удобнее ис-
использовать и как потенциал напряжений. В изотермическом
случае Т—константа и ф представляется более пригодным.
Мы говорим, что упругая среда однородна, если координаты
X' не входят явно в A19.7) или A19.11). Среда изотропна, если
все параметры в системе {с} — скаляры, так что значения {с}
независимы от выбора системы отсчета X. Если среда одновре-
одновременно и однородна и изотропна, то параметры {с} имеют по-
постоянные значения во всей среде.
Если в исследовании однородной упругой среды мы считаем,
что <p(e*j, Т)—аналитическая функция e,-j и AT = Т—То, где
Го — температура начального состояния, то мы сможем разло-
разложить функцию ф по степеням вц и Д7\ Если начальное состояние
отвечает условию е;;- = 0 и Гц = 0, разложение начнется с членов
второго порядка и ряд примет вид
Ф = с"*'е?Уе,„ + *"е(/ ЛГ + к (ЛГJ + ..
Для малых деформаций членами порядка, превышающего вто-
второй, допустимо пренебречь, и с помощью A19.12) получить ли-
линейное соотношение напряжений — деформаций, учитывающее
влияние температуры на тензор напряжений х1К Выражение
последнего приобретает при этом вид
ъИ = рЛсф1ек1 + 1г1>(Т-Т0)]. A19.13)

360 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
Мы заменили здесь р на ро, т. е. на плотность начального со-
состояния, и ввели обозначение еы для линеаризованных компо-
компонентов вы- Тензор с^ы характеризует упругие свойства среды,
a k^ связаны с коэффициентами термического расширения. Для
данной среды тензоры с^ы и № должны быть определены из
экспериментов. В случае, если Т = То, соотношение A19.13)
приводится к знакомому обобщенному линейному закону упру-
упругости Гука1). В следующем параграфе мы выведем один част-
частный случай соотношений напряжения — деформации для боль-
больших деформаций в однородной изотропной упругой среде и полу-
получим из него знакомый закон линейной теории упругости Гука.
§ 120. Соотношения напряжение — деформация
в изотропных упругих средах
В тех случаях, когда ориентация координатных осей не
имеет существенного значения, аргументы потенциала ф
в A19.11) являются скалярами или тензорами, зависящими
лишь от метрического тензора кц. В этих условиях скалярные
инварианты тензоров кц и гц можно рассматривать как функ-
функции инвариантов $ч, определенных в § 111, и представить в виде
Ф = ф(йь й2, й3, Т, {с}, х1).
Если среда одновременно однородна и изотропна, ф принимает
вид
ф = ф(#ь 02, й3, Т, {С}), A20.1)
где все параметры в {с} —константы. Формулу
т^ = р^2- [119.12]
и
можно будет представить при этом в виде2)
т} = р (б{ - 2el) -^-, A20.2)
причем значение ф определяется из A20.1), т? = ?а/т'а, a e^ == gt.ae?.
>) См. Sokolnikoff I. S., Mathematical theory of elasticity, 1956,
стр. 58—67, где показано, что число независимых упругих коэффициентов
в самом общем случае анизотропии равно 21.
2) Заметим, что
= — х
Поскольку
Вычисляем dz^jd^ij из eag = gaYB^, используем полученный результат и за-

§ 120] ИЗОТРОПНЫЕ УПРУГИЕ СРЕДЫ 361
Если мбг теперь предположим, что ср в A20.1) с Т = const
можно будет разложить в степенной ряд по fy и рассмотреть
случай отсутствия начальных напряжений, т. е. условия т^=0
при е^ = 0, то такой ряд примет у нас следующий вид:
2«2 + с3«* + с4О,О2 + с5«з+ ... A20.3)
Если в этом выражении мы сохраним лишь члены третьего
порядка относительно е'., то обнаружим из A20.2), что выра-
выражение для напряжений т1. в зависимости от деформаций &'.
будет содержать пять упругих коэффициентов ct. Из принципа
сохранения массы следует, что
а формулы (Ш.З) и A12.4) приводят к результату
р - ро VI - 20, -Ь4О2 - 8«з « Ро (i - 0i —g-O? +
если пренебречь членами третьего порядка относительно в1,.
Подстановка из этой формулы и A20.3) в A20.2) дает ниже-
нижеследующее выражение для отношения между напряжением и
деформацией^-в котором мы ограничиваемся в деформациях
членами порялка не выше второго
т{ = [2с А + (Зс3 - 2с,) О? + с4в2] SJ + К + (с4 - с2)«,] ajgeg -
- icfitf + \ c5a}g;ege« - 2с2б^е^. A20.4)
Оно заключает в себе пять упругих констант. Если, однако, мы
удержим в A20.4) лишь члены первого порядка относительно
ej, то придем к линейному закону
¦vij = Bc1+c2)^fiil-c2etr A20.5)
Мы отождествляем этот результат с обобщенным законом
Гука для изотропных сред
0, = е{, A20.6)
ключаем, что
Поставив этот результат в (а), получаем формулу A20.2).

362 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ VI
где Я и ц — константы Ламе, связанные с модулем Юнга t и
коэффициентом Пуассона а отношениями
j - Еа и = Е
Л A+0) A-20) ' ** 2A + 0) *
Мы видим, что
Если мы заменим С\ и с2 в A20.4) этими значениями и положим
с3 = /, ci = m, Съ = п, мы сможем переписать это в виде
+ [2ц - (ш + 2Л + 2ц) О,] в} - 4|«?в« + пЩ, A20.7)
где ф| определяется формулой
Ф1 =
У ~ 2d3
Новые упругие константы I, m а п, появляющиеся в A20.7),
подлежат определению экспериментальным путем точно так же,
как и константы Ламе Яиц1).
Превосходное исследование модели термоупругой изотроп-
изотропной среды содержится на стр. 234—124 книги Л. И. Седова
«Введение в механику сплошной среды», 1962.
§ 121. Уравнения упругости
Если соотношения напряжения — деформации A20.6) пере-
переписать в виде
A21.1)
где Q = gilel.z==eii, и использовать уравнения равновесия A16.3)
в виде
Л/,»+Л-0, A21.2)
') Допущения различной степени достоверности относительно возможных
соотношений между новыми константами (/, т, п) н старыми (X, \i), предла-
предлагались различными авторами. Ф. Д. Мариэгаи достиг хорошего согласия
с экспериментальными результатами (на твердых телах, подвергнутых высо-
высокому гидростатическому давлению), положив I = т = п = 0 в формулах A20).
Обсуждение этого вопроса имеется в статье Ф. Д. Марнэгаиа «Сжимаемость
твердых тел под высокими давлениями» (Murnaghan F. D., The compres-
compressibility of solids under extreme pressures, Th. v. Karman Anniversary volume,
1941, стр. 112—136. См. также Риз П. М., Доклады АН СССР 20 A938) и
Риз П. М. и 3 в о л ы н с к и й Н. В., Журнал прикладной математики и ме-
механики АН СССР 2 A939).

5 1211 УРАВНЕНИЯ УПРУГОСТИ 363
то мы сможем выразить линеаризованные дифференциальные
уравнения равновесия в векторах смещения, вспомнив, что
[см. A13.13)]
ец = у(«<, /+«;,<)• A21.3)
Вычисление производится в нижеследующем порядке. Подста-
Подстановка из A21.1) в A21.2) дает
или
^—^• + 2\ig'keu,h + Ft'=0. A21.4)
Но на основании A21.3)
Я!кещ к = -~ gik К, ik + Щ, I») = \ ё1кЩ, ik + ^-^f,
так как gikutjik = u*ki и ukk = b. Таким образом, A21.4) преоб-
преобразуется в
(Ъ + \л)—r + \i,gIkui,jii + Fi = 0. A21.5)
Если вспомнить обозначение (92.7)
то получим
(Л + ц)-g + nV2^+ />, = <>. A21.6)
Это — знаменитые уравнения Навье в классической теории упру-
упругости.
Уравнения движения:
(a, + H)-g- + nV2«, + f, = pa,, A21.7)
следуют непосредственно из A21.6) по принципу Даламбера.
Дифференциальные уравнения A21.6) и A21.7) для вектора
перемещения «* дают, как это можно показать, единственные
решения при задании надлежащих граничных и начальных
условий. Интересующихся читателей мы отсылаем к трактатам
по математической теории упругости, в которых подобного рода
задачи граничных значений обсуждаются детально1).
') См., например, SokolnikoH I. S., Mathematical theory of elasticity,
Нью-Йорк, 1956, а также Love A. E. H., A treatise on the mathematical
theory of elasticity, Кембридж, 1927.

364 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
§ 122. Гидромеханика. Уравнения неразрывности
Вернемся теперь к формулировке уравнений, описывающих
течение жидкостей и газов. С точки зрения механики жидкости
представляют собой сплошные распределения материи, не спо-
способной выдерживать скалывающих напряжений в состоянии
покоя. Из этого определения следует, что вектор напряжений
Г» на элементе поверхности da жидкости, находящейся в покое,
нормален к этому элементу. В математических символах мы
выражаем это формулой
Т'= - р\\
где V' — единичная нормаль к элементу поверхности,
a p(xl, xz, х3, t)—инвариант, называемый гидростатическим
давлением. Вообще давление р является функцией времени t,
равно, как и координат хк
Так как вектор Т* может быть выражен в компонентах тен-
тензора напряжений т^' и v4 - gfhj мы видим, что
Г = t'7v,- = - pg%,.
Отсюда
Из A22.1) следует, что гидростатическое давление р связано
с инвариантом напряжения 0 = #ут« [см. A15.11)] формулой
P=-jgii^'- A22.2)
Когда, однако, жидкость приводится в состояние движения,
то в дополнение к нормальным напряжениям, в результате
взаимодействия движу-
щихся частиц, возникают
новые косые напряжения.
Например, если жидкость,
находящаяся в покое, по-
помещается между двумя
большими параллельны-
ми пластинами и одна из
Plic- 53. этих пластин приводится
в состояние движения
в направлении, параллельном другой пластине (рис. 53), то
частицы жидкости, сцепляющиеся с поверхностью движущейся
пластины, передают свое количество движения частицам, за-
заполняющим внутреннее пространство между пластинами. Та-
Таким путем жидкость между двумя пластинами приводится
в состояние движения, и эксперименты показывают, что тормо-
тормозящая сила на единицу площади пластины, производимая пла-

§ 122] ГИДРОМЕХАНИКА. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ 365
стиной на жидкость, пропорциональна ее скорости и обратно-
пропорциональна расстоянию между пластинами. Константа
пропорциональности в этом соотношении является мерой вяз-
вязкости жидкости.
Мы будем называть жидкость вязкой, если тензор напряже-
напряжений для жидкости, находящейся в состоянии движения, имеет
вид
Tt'=-pgtl + ttl, A22.3)
где не обращающийся в нуль тензор ^3' является тензором вяз-
вязких напряжений. Жидкость называется идеальной, если W == 0.
Принцип сохранения массы в механике требует, чтобы
dm = р0 dxQ = p dx,
где р_о(л:, ^ — плотность материи в элементе объема dx0 =
= Yn dx1 dx2 dx3 в начальном _состоянии, и p(x,t)—плотность
в элементарном объеме dx = Yg dx1 dx2 dx3 в момент времени t.
В таком случае
1Г = -^7 A22-4)
— соотношение, которое можно представить также в виде
p(s, t)-p(x, t0) ^ dx-dx0 A22 5)
Числитель в левой части уравнения A22.5) Ap?=p(x, t) —
—р(х, to) представляет изменение плотности в малом интер-
интервале времени At = t —10, правая же часть
^^~»? A12.7)
— соответствующее малое изменение удельного объема. Так
как OJ ~ div? = «г, (см. § 113), то мы можем преобразовать
уравнение A22.5) в
Др 1 и1,
--дГ7=^Г' A22>6)
поскольку же и1 ~ v{At, где через v' обозначены компоненты
скорости d%/dt, то из A22.6) заключаем, что — (\lp)(dpldt) = vii.
Приходим, таким образом, к уравнению неразрывности
jl^+vU = °- О22-7)
Напомним, что р(я, t)—функция координат х{ в системе от-
отсчета X, где х* не зависят от t. Если Y — фиксированная

366 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД (ГЛ. VI
система отсчета (см. § 109), в которой координаты yi частицы
заданы уравнениями
уг = у1(х\ х\ х\ t),
тогда цепное правило дифференцирования даст для р(г/, t)
dt \dtjy,dyl
Уравнение A22.7) примет при этом вид
dt l ду1
или
A22.8)
В этой формуле ковариантное дифференцирование произво-
производится по метрическому тензору в системе Y и v{ = dy^dt. Фор-
Формула A22.8) приводится к частному случаю A22.7), если си-
система Y движется вместе с частицей.
§ 123. Идеальные жидкости. Уравнения Эйлера
В этом параграфе мы выводим систему уравнений, описы-
описывающих поведение идеальных жидкостей. Вспомним из § 122,
что в идеальной жидкости тензор напряжения принимает про-
простой вид
it!=-pg", A23.1)
где скаляр р определяет давление.
Вводя A23.1) в общие динамические уравнения
получаем три эйлеровых уравнения
p(fl'-F')=-«V/ A23.2)
или в векторной форме
p(a-F)= - grad/?.
Уравнения A23.2) заключают в себе пять неизвестных: плот-
плотность р(х, t), давление р{х, t) и три компонента скорости
?>*(*, 0. поскольку ai. = 6vi/6t. Система трех уравнений A23.2)
для определения пяти неизвестных является, таким образом,
неполной, и для того чтобы система стала полной, нам необ-

I 123) ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 367
ходимо ввести в нее два дополнительных независимых уравне-
уравнения. Одно такое уравнение — это уравнение неразрывности
выведенное в § 122. И последнее уравнение, известное как
уравнение состояния, дается термодинамическими уравнениями
A18.7) и A18.8), приводимыми нами здесь для обратимых
процессов в жидкости в такой форме:
^ A23.4)
. A23.5)
Работ
т'7 den
dW = —~~dm, A23.6)
производимая внутренними напряжениями т'3' на элементе
массы dm = pd%, может быть представлена [см. A19.2)] выра-
выражением
dM = ~ pg"Je'} dt dm, A23.7)
если учесть уравнения A23.1).
Положим, что компоненты е*,- тензора деформации в жидко-
жидкости столь малы, что их допустимо представить с достаточно
высокой точностью линеаризованными формулами A13.9) или
A13.10), совпадающими в инфинитезимальнои теории. На этом
основании получаем
2etl = wt, j + w{, i
и
« deu d ,
2 ^ + w^
где вц — линеаризованные компоненты e,j. Так как компоненты
скоростей Vi = dWj/dt, заключаем из только что написанного
уравнения, что
•^Г =4 (»*,/ +ом). A23.8)
Подстановка значения dea/dt из A23.8) в A23.7) приводит за-
затем к
dW = --р- v^dtdm,
а поскольку vl. = — (l/p)(dp/dt) в силу A23.3), находим

368 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
Внося этот результат в A23.5), определяем количество тепло-
теплоты dQ, приобретаемое элементом массы dm:
m. A23.9)
С другой стороны, формула A23.4) констатирует, что
dQ=TdSdtn. A23.10)
Если изменение количества теплоты на единицу массы обозна-
обозначить через dq так, что dq = dQ/dm, а изменение внутренней
энергии U на единицу массы — через du, то формулы A23.9)
и A23.10) примут вид
dq=du + pd (-), )
\Р/ I A23.11)
dq=TdS. )
В ряде проблем абсолютная температура Т, плотность внутрен-
внутренней энергии и и энтропия S зависят, по-видимому, лишь от
давления р и плотности р, так что1)
Т = Т(р,р), S = S(p,P), U = U(p,p). A23.12)
В таком случае из A23.11) следует, что Г, 5 и У не являются
независимыми величинами, поскольку уравнения A23.11) тре-
требуют, чтобы
Т dS = du + pd (-). A23.13)
Если Т, S и и в A23.12) определены (либо экспериментально,
либо теоретически), то дифференциальное уравнение A23.13),
если оно интегрируемо, определяет р как некоторую функцию р:
р = /(р). A23.14)
Уравнение A23.14) является искомым уравнением состояния,
необходимым для замыкания системы четырех уравнений
A23.2), A23.4) и определения таким путем пяти функций vl,
и2, и3, р и р.
§ 124. Вязкие жидкости. Уравнения Навье
Если вязкая жидкость находится в состоянии движения, то
компоненты хц тензора напряжений принимают вид
тг/=- pgi! + t1', A24.1)
') Эти функции могут зависеть (и обычно фактически зависят) от физи-
физических или химических констант, характеризующих свойства той или иной
жидкости.

§ 124] ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ 369
где величины №, как это отмечено в § 122, связаны с вязкими
напряжениями. Как и в § 123, ограничимся исследованием малых
перемещений и запишем формулу A23.8) в виде
*i/ = yK/ + Om), A24.2)
где ёц = dea/dt — компоненты тензора скорости деформиро-
деформирования.
Построение моделей вязких жидкостей и формулировка пол-
полных систем уравнений требуют теперь введения дополнитель-
дополнительных допущений, относящихся к природе вязких напряжений.
Последние должны, очевидно, зависеть от скорости деформи-
деформирования eij, и в приближении первого порядка естественно
предположить, что
р = с1шёи. A24.3)
Коэффициенты с^ы являются коэффициентами вязкости, зави-
зависящими от свойств той или иной исследуемой жидкости. Ли-
Линейный закон A24.3) совершенно аналогичен обобщенному за-
закону Гука A19.14).
Если жидкость одновременно и однородна и изотропна,
число независимых коэффициентов вязкости сокращается до
двух, и отношение A24.3) принимает вид [см. A21.1)]
/'/ = Xvkkg4 + 2\кеЧ, A24.4)
где А и ц— константы, a vkk — дивергенция поля скоростей.
В соответствии с этим полный тензор напряжений, включаю-
включающий влияние вязкости и гидростатического давления, может
быть записан формулой
*t/ = ~ Pen + *bgtl + 2\tfth A24.5)
где tt = i>', = ,
Вспомним теперь уравнения движения A16.8) и запишем
их в ковариантной форме
_/?_ л(„ с \ С Ю/1 R\
§ xlhk 9\ai — ' i)> (,1^4.0)
а затем произведем подстановку в A24.6) значения хц, заим-
заимствованного из A24.5). Результатом1) этого будут уравнения
') Заметим, что
1
Так что at = —^j- +

370 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
течения жидкости Навье
(k + v)#ti + \ig'kVi, ik ~P,t = P{at - Ft) A24.7/
или в векторной форме
(А, + ц) Sb + |xV2» - Vp = р (а - F).
В систему трех уравнений Навье A24.7) входит пять неизвест-
неизвестных: v*(x, t) (i = 1, 2, 3), р{х, t) и р{х, t). Для того чтобы
система получилась полной, присоединяем (как в случае иде-
идеальных жидкостей) уравнение состояния и уравнение нераз-
неразрывности. Соответственно для несжимаемых жидкостей урав-
уравнение A24.7) дает
|ig'4/*-P.« = P<a*-^)- A24.8
Далее, если жидкость идеальна, ц = 0 и уравнения A24.8)
приводятся к уравнениям Эйлера A23.2).
Стоке упростил уравнения A24.7) путем введения гипоте-
гипотезы, согласно которой среднее давление р в вязкой жидкости
выражается той же самой формулой A22.2), что и в случае
жидкостей, находящихся в покое. Это допущение приводит
к заключению, что постоянные К и ц не зависимы. В самом
деле, из A24.1) устанавливаем
Ui = tii + pgu,
откуда
g%l = g%i + Pg"gti = - 3p + 3p = 0,
если применить формулу A22.2). Но так как ti3 определяется
через A24.4), то, умножив эти уравнения на g'J, получим
W'gtft + \i2g"etl = 0
или
(ЗА, + 2ц) & = 0.
Таким образом,
ЗА, + 2ц = 0. A24.9)
В силу этого соотношения уравнения A24.7) оказываются
зависящими лишь от одного коэффициента вязкости ц, а под-
подстановка A24.9) в A24.7) дает систему гидродинамических
уравнений Навье — Стокса
иг'Ч/* + --^---^ = (я<-Л)- A24.10)
s ll/* 3 дх' дх1
Если жидкость идеальна, получаем, положив ц, = 0 и
dv.

§ 124, ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ УРАВНЕНИЯ НЛВЬЕ 371
гидродинамические уравнения Эйлера
dv- I dp
dt ' р дх1
<124Л1>
для идеальных сжимаемых жидкостей.
Если движение медленно, членом VijV* можно пренебречь,
и тогда а1 = dv'/dt.
Задачи
1. Показать, что уравнение, характеризующее несжимаемую жидкость,
может быть выражено следующим образом:
2. Показать, что уравнениям Навье — Стокса можно придать вид
(Ik I dxJ [ij ) dv" [ jk ) dxl
dt "8 [ dxj dxk ' \lk j дх^ ' \lj J dv" \ jk
-vJ\ - + \ \v' } + ~-g'J r r + { \v')
\dx} [lif / 3 dx1 \dxk \lk) /
где v = (x/p — кинематическая вязкость.
3. Показать, что уравнение неразрывности допускает формулировку
Указание. Использовать выражение для о ^ в задаче I.
4. Показать, что уравнение неразрывности в цилиндрических координатах
формулируется следующим образом:
dp a (pt/)_ о1
т ; г М и,
а/ а*' *'
а в сферических полярных координатах [gu = \, gM = (x1J, g3i = (*'J sin2 д:2.]
Таким образом,

372 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. VI
5. Ротация поля скоростей v равна удвоенной угловой скорости ротации.
Вектор и такой, что rot v = 2в>, называется вектором вихря. Показать, что
ш', = 0. Указание, ш' = — — е''*о, ъ.
»* 2 *¦
6. Если вектор вихря со' = 0, движение называется безвихревым. Пока-
Показать, что если движение безвихревое, то вектор скорости v является градиен-
градиентом потенциала скоростей ф.
7. Выписать приближенные уравнения медленного движения вязкой
жидкости.
§ 125. Замечания о турбулентных течениях
и диссипативных средах
Закончим наш краткий обзор основ механики сплошных
сред несколькими замечаниями, относящимися к турбулентным
течениям жидкостей и к построению моделей для сред, в которых
процессы необратимы.
Течения жидкостей, в которых компоненты vi скорости ис-
испытывают сложные пульсирующие изменения, называются тур-
турбулентными. Имея дело с турбулентными течениями жидкостей
и газов, естественно представлять компоненты скорости в фор-
форме v* = v1 + у'\ где vl — среднее значение vi за определенный
период времени, а и'« — пульсационный компонент vi. Подобные
же разложения на средние и пульсационные компоненты могут
быть выполнены для давления р и для плотности р, так что
р = р + р' и р = р + р'. Развитие теории турбулентного течения
решающим образом зависит от характера усредняющих процес-
процессов, используемых в вычислении vi, p и р и от формулировки
отношений между этими средними величинами.
Если, например, предположить, что пульсационные компо-
компоненты и', р' и р' подчиняются уравнениям Навье — Стокса для
несжимаемой жидкости, то некоторый процесс усреднения, при-
примененный к уравнению Навье, приводит к системе уравнений,
полученных Рейнольдсом'). Эти уравнения содержат не только
vl, но также и средние значения пульсационных компонентов
скорости. В связи с присутствием этих последних система урав-
уравнений Рейнольдса получается неполной, и для того чтобы ее
сделать полной, необходимо ввести новые гипотезы, основан-
основанные на экспериментальных результатах.
Представляется маловероятным, чтобы в рамках классиче-
классической механики и термодинамики можно было построить модель,
одинаково пригодную для описания как турбулентных течений
сжимаемых вязких жидкостей, так и течений вязко-упругих и
') См., например, Schlichting H., Boundary layer theory, New York
(имеется русский перевод: Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, «Нау-
«Наука», 1969) и Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, Физмат-
гиз, 1962, стр. 213—217.

§ 125] О ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЯХ 373
пластических твердых тел. Разработка таких моделей должна,
по-видимому, основываться на статистической механике, в кото-
которой механические характеристики рассматриваются как вероят-
вероятностные, а их значения представляются как математические ожи-
ожидания.
Исследование моделей пластических и вязкоупругих мате-
материалов, основанное на принципах термодинамики необратимых
процессов, содержится в монографии Л. И. Седова, цитирован-
цитированной в примечании на стр. 732, а также в книге Cemal Erin-
gen A., Nonlinear theory of continuous media, New York, 1962.

БИБЛИОГРАФИЯ
Appell P., Traite de mechanique rationelle, vol. 5, Paris 1926.
Eisenhart L. P., Riemannian geometry, Princeton 1926.
Levi-Civita Т., The absolute differential calculus, London 1927.
Eddington A. S., The mathematical theory of relativity, Cambridge 1931
(имеется русский перевод: Эддингтон А. С, Теория относительности,
Гостехтеоретиздат, Москва 1934).
Мс С о n n е 1 1 A. J., Applications of the absolute differential calculus, London
1931 (имеется русский перевод: Мак-Коннел А. Дж., Введение в тен-
тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике, Физмат-
гиз, Москва 1963).
Veblen О., Invariants of quadratic differential forms, Cambridge 1933
(имеется русский перевод: Веб лен О., Инварианты дифференциальных
квадратичных форм, Гостехиздат, Москва 1948).
Thomas T. Y., Differential invariants of generalized spaces, Cambridge 1934.
Lindsay R. В., Margenau H., Foundations of physics, New York 1936.
Brillouin L., Les tenseurs en mecanique et en elasticite, Paris 1938.
Weatherburn С. Е.. Riemannian geometry and the tensor calculus, Cam-
Cambridge 1938.
Eisenhart L. P., An introduction to differential geometry, Princeton 1940.
Bergman P. G., An introduction to the theory of relativity, New York 1942
(имеется русский перевод: Бергман П. Г., Введение в теорию отно-
относительности. С предисловием А. Эйнштейна, ИЛ, Москва 1947).
Michal A. D., Matrix and tensor calculus, New York 1947.
S у n g e J. L., S с h i 1 d A., Tensor calculus, Toronto 1949.
Rainich G. Y., Mathematics of relativity, New York 1950.
Struik D. J., Lectures on classical differential geometry, Cambridge Mass
1950.
Murnaghan F. D., Finite deformation of an elastic solid, New York 1951.
Green A. E., Zerna W., Theoretical elasticity, Oxford 1954.
Sokolnikoff I. S., Mathematical theory of elasticity, New York 1956.
S у n ge J. L., Relativity. The special theory, Amsterdam 1956.
Synge J. L., Relativity. The general theory, Amsterdam 1960 (имеется рус-
русский перевод: С и н г Дж., Общая теория относительности, ИЛ, Москва
1963).
Prager W., Introduction to mechanics of continna, Boston 1961 (имеется
русский перевод: Прагер Б., Введение в механику сплошных сред, ИЛ,
Москва 1963).
Е г i п g e n А. С, Nonlinear theory of continuous media, New York 1962.
Gerretsen J. С. Н., Lectures on tensor calculus and differential geometry,
Groningen 1962.
Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, Физматгиз, Москва
1962.

И. С. Сокольников
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Теория и применения в геометрии
и в механике сплошных сред
(Серия: «Физико-математическая библиотека
инженера»)
М.. 1971 г., 376 стр. с нлл.
Речактор А. Г. Мордвинцев
Техн. редактор Л. А. Пыжова
Корректор Т. С. Вайсберг
Сдано в набор 28/V1I 1971 г. Подписано к пе-
печати 6/ХИ 1971 г. Бумага 60Х90'/,в. Физ. печ.
л. 23,5. Условн. печ. л. 23,5. Уч.-нзд. л. 21,49.
Тираж 16 000 экз. Цена книги 1 р. 79 к.
Заказ № 1200.
Издательство «Наука» главная редакция
физико-математической литературы
П7071, Москва, B-7I. Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфнрома
Комитета по печати при Совете
Министров СССР.
Измайловский проспект, 2У.