/
Автор: Рашевский П.К.
Теги: математика алгебра дифференциальная геометрия векторный анализ точные науки тензорный анализ
Год: 1967
Текст
П К. РАШЕВСКИИ
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
MOCK В А 19 67
517.5
P28
УДК 513.813:512.972
Петр Константинович Рашевский
Риманова геометрия и тензорный анализ
М., 1967 г., 664 стр. с илл.
Редактор Д. Ф. Лапко
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор А. Ф. Серкина
Сдаио в набор 26/XI 1966 г. Подписано к печати 3/IV 1967 г. Бумага 60x90Vi«.
Фнз. печ. л. 41.5. Услови. печ. л. 41.5. Уч.-изд. л. 38,94. Тираж 18 000 экз.
Т-04714. Цена книги 2 р. 63 к. Заказ №. 1108.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати прн Совете Министров СССР.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 7
Предисловие ко второму изданию 8
Предисловие к третьему изданию 8
Глава I. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве 9
§ 1. Одновалентные тензоры 9
§ 2. Понятие о двухвалентном тензоре 14
§ 3. Двухвалентный тензор как аффинор 16
§ 4. Многовалентные тензоры. Тензорная алгебра 20
§ 5. Кососимметрические тензоры 26
§ 6. Получение инвариантов с помощью кососимметрических тен-
тензоров 29
§ 7. Симметрический аффинор 34
§ 8. Разложение аффинора на симметрическую и кососимметриче-
скую части 41
§ 9. Тензорные поля 46
§ 10. Дифференцирование тензора поля 48
§ 11. Дифференцирование одновалентного тензора 52
§ 12. Кинематическое истолкование векторного поля и его произ-
производного аффинора 55
§ 13. Малая дефформация твердого тела 60
§ 14. Тензор напряжений 62
§ 15. Зависимость тензора напряжений от тензора деформаций . . 65
§ 16. Поток векторного поля через поверхность 69
§ 17. Поток аффинерного поля через поверхность 72
§ 18. Теорема Остроградского 73
§ 19. Основные уравнения гидродинамики 79
§ 20. Дифференциальные уравнения теории упругости в перемеще-
перемещениях 82
Глава II. Аффинное пространство л измерений 85
§ 21. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства. . . 85
§ 22. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства
(окончание) 90
§ 23. Аффинная координатная система 94
§ 24. Преобразование аффинного репера 97
§ 25. Задача тензорного исчисления 103
§ 26. Понятие о ковариантном тензоре 104
§ 27. Общее понятие о тензоре ПО
§ 28. Сложение тензоров 114
§ 29. Умножение тензоров 116
§ 30. Свертывание тензора 118
§ 31. Операция подстановки индексов 121
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 32. Степень произвола в выборе тензора данного строения . . . 124
§ 33. Об m-мерных плоскостях в n-мерном аффинном пространстве 125
§ 34. Бивектор и задание двумерной плоскости 129
§ 35. Основные свойства m-векторов 133
§ S6. Ориентация в п-мерном аффинном пространстве . 141
§ 37. Измерение объемов 143
§ 38. Тензорные поля 150
Глава III. Евклидово пространство и измерений 154
§ 39. Понятие о евклидовом пространстве 154
§ 40. Тензорная алгебра в евклидовом пространстве 158
§ 41. Плоскости в n-мерном евклидовом пространстве -161
§ 42. Ортонормированный репер 167
§ 43. Собственно евклидовы пространства 173
§ 44. Двумерное псевдоевклидово пространство '. 176
§ 45. Вращение ортонормированного репера в псевдоевклидовой
плоскости 182
§ 46. Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой пло-
плоскости 188
§ 47. Трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1 .... 193
§ 48. я-мерное псевдоевклидово пространство индекса 1 198
§ 49. Ортогональные преобразования 201
§ 50. Псевдоортогональные преобразования 204
§ 51*. Квазиаффинная и аффинная группы преобразований .... 209
§ 52*. Группа квазидвижений и группа движений в евклидовом
пространстве 216
§ 53*. Вложение вещественных евклидовых пространств в комплекс-
комплексное евклидово пространство 220
§ 54. Измерение объемов в вещественном евклидовом простран-
пространстве 223
§ 55*. Понятие о геометрическом объекте 231
§ 56*. Линейные геометрические объекты в аффинном и евклидовом
пространстве 236
§ 57*. Спинорное пространство 241
§58*. Спиноры в четырехмерном комплексном евклидовом прост-
пространстве R* 246
§ 59*. Спиноры в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве
индекса 1 251
§ 60*. Спинорное поле и инвариантная дифференциальная опера-
операция ?)*Р 255
Глава IV. Математические основы специальной теории относитель-
относительности 258
§ 61. Постановка задачи 259
§ 62. Пространство событий 262
§ 63. Формулы Лоренца . 268
§ 64. Исследование формул Лоренца 272
§ 65. Кривые в вещественном евклидовом пространстве 279
§ 66. Кинематика теории относительности в геометрическом истол-
истолковании 283
§ 67. Динамика точки 291
§ 68. Плотность масс, плотность заряда, вектор плотности тока 298
§ 69. Электромагнитное поле 303
§ 70. Уравнения Максвелла 307
ОГЛАВЛЕНИЕ О
§ 71. Тензор энергии-импульса 314
8 72. Закон сохранения энергии и импульса 322
1 73 Дивергенция тензора энергии-импульса электромагнитного
поля 327
§ 74*. Волновое уравнение Дирака для свободного электрона ... 331
Глава V. Криволинейные координаты в аффинном и евклидовом
пространствах • • 335
§ 75. Криволинейные координаты в аффинном пространстве . . . 335
§ 76. Тензоры в криволинейных координатах 340
§ 77. Параллельное перенесение 344
§ 78. Объект связности 348
§ 79. Криволинейные координаты в евклидовом пространстве . . . 352
Глава VI. Многообразия 359
§ 80. Элементарное многообразие 359
§ 81. Тензоры в многообразии 364
§ 82. Касательное аффинное пространство 368
§ 83. Поверхности в многообразии 373
§ 84. Понятие о многообразии 378
Глава VII. Римановы пространства и пространства аффинной
связности 383
§ 85. Риманово пространство 383
§ 86. Евклидово пространство Rn как частный случай риманова 389
§ 87. Неевклидовы пространства 393
§ 88. Измерение объемов в римановом пространстве Vп 404
§ 89. Пространство аффинной связности 407
§ 90. Геодезические линии в Ln 415
§ 91. Геодезические координаты в пространствах аффинной связно-
связности без кручения L° 425
§ 92*. Изображение кривой в [, в виде кривой в Ап 431
§ 93*. Пространства Ln с абсолютным параллелизмом 439
§ 94. Аффинная связность в римановом пространстве 443
Глава VIII. Аппарат абсолютного дифференцирования 448
§ 95. Параллельное перенесение тензоров в Ln 448
§ 96. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная . . . 453
§ 97. Техника абсолютного дифференцирования 461
§ 98. Абсолютное дифференцирование в римановом простран-
пространстве Vn 466
§ 99. Кривые в римановом пространстве Vn 470
§ 100. Кривые в римановом пространстве (окончание) 475
§ 101. Геодезические линии в римановом пространстве 485
§ 102*. Геодезически параллельные гиперповерхности 491
§ 103. Полугеодезические координатные системы 497
§ 104*. Динамика системы в обычном пространстве как динамика
точки в римановом пространстве 504
Глава IX. Тензор кривизны 509
§ 105. Тензор кривизны в Ln 509
§ 106. Геометрический смысл тензора кривизны 515
§ 107. Геометрический смысл тензора кривизны (окончание) .... 520
§ 108. Тензор кривизны в L° . . . 530
§ 109*. Проективно евклидовы пространства 535
Ь ОГЛАВЛЕНИЕ
§ ПО. Тензор кривизны в рнмановом пространстве Vn 541
§ 111. Кривизна риманова пространства в данной точке и данном
двумерном направлении 546
§ 112. Тензор кривизны в случае двумерного риманова простран-
пространства V2 553
§ 113. Римановы координаты 559
§ 114. Кривизна риманова пространства в данной точке и данном
двумерном направлении как кривизна геодезической поверх-
поверхности 568
§ 115. Смешанные тензоры на гиперповерхности Vn_i в Уп 570
§ 116. Теория гиперповерхностей Vn_1 в Vn 577
§ 117. Теория гиперповерхностей Уп_х в Rn 584
§ 118. Пространство постоянной кривизны 591
§ 119. Пространство постоянной кривизны Vn_1 как гиперсфера
в Я., 595
§ 120. Проективно евклидовы пространства в метрическом случае 600
§ 121. Конформное соответствие римановых пространств 602
§ 122. Конформно евклидовы пространства 609
Глава X. Математические основы общей теории относительности 615
§ 123. Пространство событий в общей теории относительности . . . 615
§ 124. Локально галилеевы координаты 618
§ 125. Тензор эиергии-импульса в общей теории относительности . . 621
§ 126. Движение частицы в поле тяготения 625
§ 127. Основная идея общей теории относительности 629
§ 128. Приближенная теория 632
§ 129. Центрально симметрическое поле тяготения 639
§ 130. Центрально симметрическое поле тяготения (окончание) . . . 644
§ 131. Геодезические линии в случае центрально симметрического
поля тяготения 647
§ 132. Вращение планетных орбит 652
§ 133. Искривление световых лучей в поле тяготения 654
§ 134. Красное смещение спектральных линий. Заключение .... 657
Предметный указатель 659
Указатель обозначений 664
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
По своему характеру эта книга гораздо ближе к учебнику, чем
к монографии, предназначенной для специалистов. Это сказывается
прежде всего в выборе материала: автор стремился дать лишь дей-
действительно основное и важнейшее в рассматриваемой области, но зато
в развернутом изложении со всесторонним освещением предмета.
По характеру изложения книга должна быть вполне доступна
студенту III курса университета.
Другой характерной чертой книги являются выходы из области
тензорного анализа и римановой геометрии в механику и физику;
эти выходы автор старался указывать везде, где это было возможно.
Как известно, наиболее замечательные приложения тензорный ана-
анализ и риманова геометрия имеют в области теории относительности;
ей посвящены IV и X главы книги.
Особую роль играет глава 1; она носит как бы пропедевтический
характер и развивает тензорные методы с их приложениями к меха-
механике и физике в простейшем (даже тривиальном) случае обычного
пространства в прямоугольных декартовых координатах. Эта глава
по уровню изложения должна быть доступна инженеру и студенту
втуза, которые пожелали бы познакомиться с элементами тензорного
анализа в минимальном объеме, необходимом для технических при-
приложений.
Для читателя, знакомого с моей прежней книгой «Введение
в риманову геометрию и тензорный анализ», замечу, что по сравне-
сравнению с ней излагаемый материал сильно увеличился. В настоящее
время нельзя пройти мимо псевдоевклидовых и псевдоримановых
пространств (кстати, необходимых для теории относительности)
и пространств аффинной связности. Эти вопросы нашли место
в книге. На ряде примеров даны также основные идеи теории гео-
геометрических объектов, в том числе теория спиноров в четырехмер-
четырехмерном пространстве. Изложение дополнено также рядом частных
вопросов, но зато фундаментального значения (как, например, тео-
теория кривых и гиперповерхностей в римановом пространстве и др.).
Имея в виду значительный объем книги, автор отметил ряд па-
параграфов звездочками, что означает возможность пропустить их
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
без ущерба для понимания дальнейшего. Некоторые указания в этом
направлении сделаны и в тексте. При всем том чисто факультатив-
факультативного материала книга не содержит, и почти все в ней изложенное
в том или ином отношении имеет в рассматриваемой области важное
значение.
В заключение мне хотелось бы выразить благодарность редак-
редактору книги А. Ф. Лапко за его внимательное отношение к тексту
и сделанные им замечания.
Я. К- Рашевский
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание отличается от первого лишь некоторыми неболь-
небольшими добавлениями, а также редакционными изменениями. Суще-
Существенно переработаны лишь §§ 57—59 (основы теории спиноров);
здесь изложение сильно упрощено и в то же время несколько до-
дополнено.
Я. К- Рашевский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание практически не отличается от второго; сделаны
лишь мелкие редакционные изменения.
П. К- Рашевский
ГЛАВА I
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе мы подойдем к понятию тензора в наиболее про-
простом и элементарном случае, а именно, рассматривая обычное про-
пространство и притом в прямоугольных декартовых координатах. Мы
покажем важнейшие применения понятия тензора в гидродинамике
и теории упругости. Таким образом, эта глава по отношению ко всей
книге будет носить вводный характер, но в то же время предста-
представлять собой в известном смысле законченное целое. Читатель, желаю-
желающий получить лишь простейшее понятие о тензорах и их приложе-
приложениях, может ограничиться даже одной этой главой. Напротив,
читателю, математически хорошо развитому и желающему серьезно
изучить книгу, возможно, будет достаточно лишь просмотреть эту
главу, так как дальнейшее изложение на ее результаты не опирается
и использует их лишь в качестве иллюстраций.
§ 1. Одновалентные тензоры
На протяжении главы I мы будем рассматривать (не оговаривая
этого каждый раз отдельно) исключительно прямоугольные декар-
декартовы координаты (в обычном пространстве).
Пусть ех, е2, е3—орты, положенные в основу нашей коорди-
координатной системы (рис. 1). Совокупность ортов еъ е2, е3, отложенных
из начала О, мы будем называть ортогональным репером. Составим
скалярные произведения ортов:
Рассмотрим произвольный вектор х, отложенный для простоты
из начала О. Как известно, координаты вектора х (которые мы
будем обозначать хх, х2, х3) можно определить как коэффициенты
разложения
х = x^i -\- лг3е2 -\- х3е3
10
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. I
Рис. 1.
и, что означает то же самое, как проекции вектора х на оси:
л1 = хе1, *2 = хе3, *3 = хе3. A.2)
Здесь проекции записаны в виде скалярных произведений век-
вектора х на соответствующие орты.
Вектор х выражает какой-либо геометрический или физический
объект, например, параллельный сдвиг твердого тела (заданный
по величине и направлению), силу,
скорость, напряженность электриче-
электрического поля в данной точке и т. п. Этот
объект имеет реальное существование
независимо от того, в какой системе
координат мы его рассматриваем и
рассматриваем ли мы его вообще.
Однако числа хг, лг2, х3 — координа-
координаты вектора х — зависят уже не толь-
только от самого вектора х, но и от ко-
координатной системы, к которой он
отнесен.
Между тем, координатные оси
можно выбирать со значительным про-
произволом: их можно подвергать про-
произвольным параллельным сдвигам и поворотам около начала О.
Таким образом, наш способ задания векторов х координатами
xv x2, х3 отражает между прочим и произвол выбора координатных
осей. Это обстоятельство является вредным: на картину изучаемых
нами векторов (а в дальнейшем и более сложных объектов) накла-
накладывается, вообще говоря, случайный выбор координатных осей.
Вследствие этого изучаемая картина усложняется излишними по-
подробностями. Мы увидим далее, что основная задача тензорного
исчисления — разобраться в создавшемся положении, научиться вы-
выделять то существенное, что относится к самим изучаемым объектам,
и отбрасывать то случайное, что привнесено произвольным выбором
координатных осей.
Для этой цели нужно выяснить прежде всего, как меняются коор-
координаты неизменного вектора х вследствие перехода от одних коор-
координатных осей к другим.
Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь поворот
осей (включая и зеркальное отражение) около неподвижного нача-
начала О. Параллельных сдвигов осей мы, таким образом, не рассматри-
рассматриваем. Это объясняется тем, что в большинстве геометрических и фи-
физических приложений положение начала О или вообще не играет
роли (как, например, для подсчета координат вектора) или, наобо-
наоборот, естественно определяется (большей частью — это та точка,
§ 1]
ОДНОВАЛЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ 11
в бесконечно малой окрестности которой изучается геометрическая
или физическая картина).
В обоих случаях нет надобности рассматривать параллельные
сдвиги осей, и начало О можно считать неподвижным.
Итак пусть мы перешли при неподвижном начале О от старого
ортогонального репера e1; e2, е3 к такому же новому реперу е^,
е' е'. Этот переход можно задать, выразив новые орты в разло-
разложении по старым:
е2=^21е1 "Ь^22е2+ ^23еЗ> / A-3)
Из этих соотношений немедленно следует, что скалярное произ-
произведение е^е2 равно Л12 и вообще
Л,7=е;.е, (i, ;=1, 2, 3). A.4)
Другими словами, Ац совпадает со скалярным произведением
/-го нового орта на у'-й старый орт, т. е. с косинусом угла между
этими ортами.
Выразим теперь старые орты через новые при помощи обратной
матрицы Ац\
A.5)
Аналогично предыдущему получим:
Л:,= е,.е; (i, y=l, 2, 3). A.6)
Сравнивая A.4) с A.6), мы замечаем, что
A'n = Afi, A.7)
т. е. матрицы ||^4,y|J и ||Д/|| — взаимно транспонированные. Но,
кроме того, они и взаимно обратные, так как определяют взаимно
обратные преобразования A.3) и A.5).
Итак, чтобы получить матрицу, обратную |]^4,у||, достаточно
ее транспонировать. Матрицы с этим свойством называются орто-
ортогональными. То, что матрицы ||Л,у||, \\ Ац || взаимно обратные,
можно записать в виде равенства их произведения единичной ма-
матрице:
12 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. 1
или согласно A.7)
Перемножая эти же матрицы в обратном порядке, получим ана-
аналогично:
Каждое из соотношений A.8), A.9), очевидно, равносильно орто-
ортогональности матрицы.
Пользуясь формулами A.8), легко показать, что ортогональ-
ортогональность матрицы ||Л,-у|| не только необходима, но и достаточна для
того, чтобы формулы A.3) давали переход от ортогонального ре-
репера снова к ортогональному реперу.
Ортогональная матрица имеет определитель + 1.
В самом деле, равенства A.8) показывают, что, умножая опре-
определитель ортогональной матрицы на себя (причем строки умножаются
на строки), мы получаем определитель единичной матрицы:
1
Таким образом, квадрат определителя ортогональной матрицы
равен 1, а сам определитель равен ±1.
Положительный знак означает, что новый ортогональный репер
имеет ту же ориентацию, что и старый, а отрицательный — что
ориентация репера меняется на обратную(правый заменяется левым,
и наоборот).
Посмотрим теперь, как будут меняться координаты неизменного
вектора х при повороте осей. Запишем формулы A.2) в старой
координатной системе:
xt = xet (/=1, 2, 3),
и аналогично, в новой координатной системе:
*;=хе,' (i= 1, 2, 3).
Умножая скалярно на х равенства A.3) и пользуясь последними
формулами, получим:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Х2 — ^21Х1 "Г" ™%%Х% Т
Х
§ 1]
ОДНОВАЛЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ 13
Другими словами, при повороте осей координаты каждого данного
вектора подвергаются тому же ортогональному преобразованию A.3),
что и орты. Эти преобразования мы будем записывать кратко:
pixi- П.И)
В пределах главы I индекс, по которому происходит суммирова-
суммирование, всегда пробегает значения 1, 2, 3. Равным образом свободным
буквенным индексам в формулах можно придавать любое из этих
значений. Преобразования, обратные A.10) и A.11), запишутся
аналогичным образом:
¦Pfip, A.12)
у — V^T у — V A x П 13Ъ
p p
Мы воспользовались здесь соотношением A.7).
Будем говорить, что нам дан тензор 1-й валентности, если в каж-
каждой из координатных систем нам заданы три занумерованных числа
хг, л;2, х3 преобразующихся при повороте осей по закону A.11).
Эти числа мы будем называть координатами тензора.
Мы видим, что координаты данного вектора, рассматриваемые
во всевозможных координатных системах, образуют вектор 1-й ва-
лентности. Очевидно и обратное: координаты каждого тензора 1-й
валентности можно рассматривать как координаты некоторого по-
постоянного вектора. Для этого достаточно подобрать вектор так,
чтобы это имело место в одной координатной системе; в силу того
что и для координат вектора, и для координат одновалентного тензо-
тензора действует закон преобразования A.11), это же будет иметь
место и в любой координатной системе.
Однако не нужно думать, что одновалентный тензор может иметь
истолкование только лишь в виде вектора. Пусть, например, нам
задана фиксированная плоскость, не проходящая через начало коор-
координат О. Уравнение этой плоскости можно записать в виде
Когда мы совершаем поворот координатных осей, коэффициенты
уравнения а1г а2, а3 подвергаются, как нетрудно подсчитать пре-
преобразованию по тому же закону A.11) и образуют, следовательно,
одновалентный тензор (как и координаты вектора).
14 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
§ 2. Понятие о двухвалентном тензоре
Понятие о двухвалентном и вообще многовалентном тензоре
естественно возникает при рассмотрении уже простейших геометри-
геометрических образов.
Возьмем, например, (неконическую) центральную поверхность 2-го
порядка с центром в начале О. Ее уравнение можно записать в виде
Как мы условились, каждый индекс суммирования пробегает зна-
значения 1, 2, 3. Матрица коэффициентов ||о(у.|| предполагается сим-
симметричной:
au=aJt. B.2)
Мы будем называть коэффициентами именно числа я/у., хотя после
приведения подобных членов в уравнении B.1) коэффициенты при
произведениях координат будут иметь вид 2а,-- (при гф]).
Совершаем поворот координатных осей. Новые координаты каждо-
каждого вектора (и тем самым каждой точки) выражаются через старые
согласно A.11). Обратное преобразование согласно A.13) запишется
в виде
И аналогично,
qjQ*
а
Вставляя эти выражения в B.1), получим уравнение той же
поверхности в новых координатах:
?л jLi ?i ?л ™pi™q/®ijxPXq — ' •
PI/ i
Очевидно, коэффициенты преобразованного уравнения имеют вид
<4==22W*<7 (P. 9=1, 2,3). B.4)
i j v gj '
Получается, что наша поверхность определяет в каждой коор-
координатной системе (с началом О в центре поверхности) совокупность
девяти чисел а^, занумерованных двумя индексами, каждый из кото-
которых независимо от другого пробегает значения 1, 2, 3. При повороте
координатных осей A.12) эти числа преобразуются по закону B.4),
который, очевидно, повторяет закон A.10) для каждого из двух
индексов, имеющихся у aif.
S 2] понятие о двухвалентном тензоре 15
Мы будем говорить, что нам дан тензор 2-й валентности, если
в каждой из координатных систем нам заданы девять чисел, зану-
занумерованных двумя индексами
I «/у 11 = 1
B.5)
и преобразующихся при повороте координатных осей по закону B.4).
Сами числа а,у- мы будем называть координатами тензора.
Условия B.2) не являются обязательными. В тех случаях, когда
они соблюдаются, тензор 2-й валентности называется симметрическим.
Таким образом, коэффициенты уравнения центральной поверхности
2-го порядка с центром в начале О образуют симметрический тен-
тензор 2-й валентности. Нетрудно показать и обратное: координаты
(ненулевого) симметрического тензора 2-й валентности всегда можно
истолковать как коэффициенты уравнения некоторой фиксированной
поверхности 2-го порядка с центром О.
Впрочем, это истолкование, как мы вскоре увидим, является не
самым важным.
Нетрудно получить примеры и несимметрических тензоров 2-й
валентности. Возьмем два вектора х(хъ х2, х3) и у (Ух, _У2. .У3) и обо-
обозначим через atj всевозможные попарные произведения их координат:
п у- и /о д\
а1)~х1У]' 1*-°)
Определенные таким образом в каждой координатной системе
числа a{j занумерованы двумя индексами и образуют тензор 2-й
валентности. В самом деле, при повороте осей получаем согласно A.11)
ЛР — ?t pixt- \*-l)
И аналогично
Уя~ 2jAq/yj- B.8)
Перемножая эти равенства почленно, получим:
B.9)
2 S РА
а значит,
SS/y, B.10)
16 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
т. е. имеет место закон преобразования B.4). Здесь особенно нагляд-
наглядно выступает то обстоятельство, что этот закон преобразования
получается повторением закона преобразования A.11) для каждого
из двух индексов. В частности, если в формулах B.6) векторы х
и у равны, то тензор atj симметрический.
§ 3. Двухвалентный тензор как аффинор
Важнейшее значение двухвалентного тензора atj состоит в том,
что он всегда определяет некоторый аффинор.
Аффинором 31 называется закон, посредством которого каждому
вектору х в пространстве сопоставляется некоторый вектор у, обо-
обозначаемый нами
У = Их, C.1)
причем должны соблюдаться следующие условия:
' ', C.2)
C.3)
Здесь х, х' — произвольные векторы, а а—произвольное (веще-
(вещественное) число.
Другими словами, аффинор 31 означает задание функциональной
зависимости вектора у от вектора-аргумента х, причем эта зависи-
зависимость должна быть линейной, т. е. при сложении двух значений
аргумента х складываются и соответствующие значения функции у
(согласно C.2)), а при умножении аргумента х на какое-либо число
функция у также умножается на это число (согласно C.3)).
Рассмотрим, в частности, те векторы 3le1; 3le2, 3te3, B которые
перейдут орты еъ е2, е3. Если аффинор tt не задан наперед, то
его всегда можно подобрать (и притом единственным образом) так,
чтобы векторы Ste^ 3le2, 21е3 имели любые наперед заданные значе-
значения. В самом деле, задавшись этими значениями, мы можем вычислить
She для любого вектора х с координатами хг, лг2, х3:
ЗСх = Ж (Х& + лг2е2 + *3е3) = x^ + *33te3. C.4)
Мы воспользовались здесь свойствами C.2), C.3) искомого аф-
аффинора 31. Таким образом, искомый аффинор, если он существует,
определяется формулой C.4). Нетрудно проверить, что эта формула
действительно определяет аффинор, т. е. свойства C.2), C.3) всегда
имеют место.
Можно следующим образом наглядно представить себе действие
аффинора. \
Для каждой точки М пространства строим ее радиус-вектор
~Ш C.5)
R 3] ДВУХВАЛЕНТНЫЙ ТЕНЗОР КАК АФФИНОР 17
и подвергаем его действию аффинора 81. Новый вектор Six, отло-
отложенный также из начала О, укажет своим концом некоторую, вообще
говоря, новую точку М':
Ш C.6)
В результате каждая точка М пространства перейдет в новое
положение М', и тем самым пространство подвергнется некоторой
деформации.
В частности, единичный кубик, построенный на ортах е1; е2, е3,
перейдет в параллелепипед, построенный на векторах Щ.еъ §1е2, 31е3,
если предположить, что эти векторы некомпланарны. Действительно,
точкам кубика будут отвечать координаты х;, для которых 0 ^ лг,-^ 1
(/ = 1, 2, 3), а тогда согласно C.4) преобразованные точки М'
заполняют указанный параллелепипед.
Вообще пространственная решетка, составленная из единичных
(или любых других) одинаковых кубиков, растянется (сожмется)
и перекосится так, что кубики превратятся в параллелепипеды,
однако тоже одинаковые.
В случае некомпланарности векторов Ще^ 3(е2, Ше3 рассматрива-
рассматриваемая деформация пространства называется его центроаффинным пре-
преобразованием. В случае компланарности этих векторов все простран-
пространство отображается в одну плоскость или в одну прямую, или,
наконец, даже в одну точку О (случай, когда 8Ьс = 0). Это—различные
случаи вырождения аффинора 81.
Переходим к координатной записи аффинора 81. Мы знаем, что
аффинор 31 вполне определяется заданием векторов 31е,-, а эти
последние можно задать их разложением по ортам. Запишем это
разложение, обозначая коэффициенты через а :
[ C.7)
=а1зе1-М2зе2 + «ззез. j
или в краткой записи:
Яе^За^е,. C.8)
Вполне определяющие аффинор §1 коэффициенты а мы будем
называть его координатами. Умножая скалярно первое из уравне-
уравнений C.7), например, на е3, получим в силу A.1) е3Шг = asl.
Аналогичным образом и вообще
ард = ерШг C.9)
Будем рассматривать один и тот же аффинор 81, но в разных
координатных системах. Его координаты apq будут иметь при этом
каждый раз другие численные значения. Спрашивается, по какому
18 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. 1
закону эти численные значения будут меняться при повороте коор-
координатных осей?
Запишем формулы C.9) в новой координатной системе:
Но согласно A.10)
а следовательно,
а = У V А„-А„ еДе= V У А А -а-. (р, а =1,2, 3).
pq ^L ?J Pl QJ l J ?t ?t Pl QJ lJ * '
I j i i
Полученный закон преобразования совпадает с B.4), и это
показывает, что координаты аффинора a(j образуют двухвалентный
тензор.
Нетрудно проверить и обратное: координаты всякого двухвалент-
двухвалентного тензора а^ могут быть истолкованы как координаты некоторого
аффинора St. Для этого достаточно построить аффинор St с данными
координатами в какой-либо одной координатной системе. В силу
одинакового закона преобразования B.4) для координат двухвалент-
двухвалентного тензора и координат аффинора равенство между этими коор-
координатами сохранится и при переходе в любую другую координатную
систему.
Дадим, наконец, координатную запись аффинора 31, выразив
координаты вектора y = 3tx через координаты вектора-аргумента х.
Запишем разложения:
Q
У-=2^е (ЗЛ1>
р
и подействуем на (ЗЛО) аффинором 3(.
Получим, пользуясь линейными свойствами аффинора и формула-
формулами C.8):
«IX = ЗЯ 2^хqeq 2uXq®-^q Zl q?i pq p' \d-l*)
q q q V
Так как C.11) и C.12) дают разложение одного и того же
вектора у, то коэффициенты при ортах ер должны быть одинаковы.
Следовательно:
Ур~ 4JapqXq- C.13)
я
Итак, координаты вектора у = 3(х получаются из координат
вектора х линейным преобразованием, матрица которого совпадает
с матрицей а координат аффинора (в то время как в преобразо-
ДВУХВАЛЕНТНЫЙ ТЕНЗОР КАК АФФИНОР
19
§ 31
вании C.7) мы пользовались транспонированной матрицей). Заметим
еще что для вырождения аффинора 51, т. е. для компланарности
векторов C.7), необходимо и достаточно обращение в нуль опре-
определителя | ЛрЧ |. В этом и только в этом случае преобразование C.13)
необратимо.
Отметим частный случай аффинора 31, когда он сводится к умно-
умножению каждого вектора х на одно и то же число К:
у = Ш = Ах.
C.14)
Очевидно, в этом случае
(/»=!, 2, 3).
C.15)
Сравнивая с C.13) убеждаемся, что матрица координат нашего
аффинора в любой координатной системе имеет вид
А 0 011
О X 0
о о А
C.16)
Следовательно, соответствующий двухвалентный тензор C.16)
обладает тем замечательным свойством, что его координаты остаются
постоянными во всех координатных системах.
Центроаффинное преобразование, отвечающее аффинору в нашем
случае, есть преобразование подобия (при А=И=О).
При %— 1 аффинор C.14) называется единичным и дает, очевид-
очевидно, тождественное преобразование. Мы будем обозначать единичный
аффинор через Е, так что Ех = \. Соответствующий ему тензор
110 0
1-0 1 0
0 0 1
C.17)
также называется единичным. Для координат единичного тензора
принято обозначение б,7, причем во всех координатных системах
6,7
О (/:
=;)
C.18)
Пользуясь обозначениями C.18), можно переписать C.16) (при
любом К) в следующем виде:
C.19)
20 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. 1
§ 4. Многовалентные тензоры. Тензорная алгебра
По аналогии с двухвалентным тензором можно ввести. понятие
о тензоре любой валентности.
Мы говорим, что нам дан тензор валентности v, если в каждой
из координатных систем нам заданы 3V чисел сц^. . .ie, занумеро-
занумерованных v индексами ilt /2>---> '»> каждый из которых независимо
от других пробегает значения 1,2, 3 (и которые в записи различа-
различаются друг от друга 1-и, 2-м,. . . ,v-m местом записи при букве а),
причем при повороте координатных осей эти числа преобразуются
по закону:
a'PlPi ...„„ = 2 2 ••• 2 ^/Ал • • • лРЛв'л • • • <v D-*)
Здесь предполагается, что поворот осей задается, как и прежде,
формулами A.10).
Закон преобразования D.1) получается, очевидно, повторением
закона преобразования одновалентного тензора A.11) для каждого
из индексов многовалентного тензора.
Как и раньше, мы будем называть числа а/,/,. ¦ .»¦„ координатами
тензора в данной координатной системе.
Многовалентные тензоры также выражают различные геометри-
геометрические и физические объекты. В связи с этим существенно помнить,
что тензор есть нечто единое и целое, а «распадение» его на
координаты <Z:V'2 • • • <с происходит лишь по отношению к данной
координатной системе. В законе преобразования D.1) это сказыва-
сказывается в том, что каждая координата тензора в новой системе выра-
выражается, вообще говоря, через все его координаты й<у2.. ,iv в старой
системе, т. е. распадение на координаты не имеет инвариантного
смысла.
Над тензорами можно производить ряд инвариантных операций,
т. е. операций, результаты которых не зависят от той координат-
координатной системы, в которой они производятся.
1°. Сложение тензоров одинаковой валентности. Пусть «(,(,...*
и bc1i2..,iv—два тензора одинаковой валентности.
Составим в каждой координатной системе числа с<у2 •..<¦„ путем
сложения соответствующих координат наших тензоров
Citi2.. ¦ ie = а,у2 ¦••»„ + #<у2 • • • <у D.2)
Мы утверждаем, что эти числа тоже являются координатами
некоторого тензора валентности v.
Для этого достаточно показать, что с,-,^. . .if подчиняются закону
преобразования D.1). Но это почти очевидно. В самом деле, для
§4}
МНОГОВАЛЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 21
тензоров aiti2. ..,-,., bili2...iv закон преобразования D.1) имеет
место:
• S ^Р'<« • • • ^WA. • • • <v
Складываем эти равенства почленно и пользуемся формулами
D.2), учитывая, что числа c,t . . .,-,. построены в каждой координат-
координатной системе, в том числе и в той, которая у нас отмечена штрихом.
Получим:
cPi • • • Pv = 2U' ' ¦ 2j "Pih • ¦ • ^PchCU • ¦ ¦ «V
h h
Таким образом, закон преобразования D.1) выполняется и для
<?<•,••¦<„' так чт0 эти числа, построенные в любой координатной
системе, представляют собой координаты одного и того же тензора.
Этот тензор называется суммой двух данных тензоров, а сама
операция D.2) — их сложением.
Сложение тензоров отвечает сложению (в каком-нибудь есте-
естественном смысле) тех геометрических и физических объектов, кото-
которые данными тензорами изображаются. Так, например, сложение
одновалентных тензоров по схеме D.2)
*i = *t+yt D.3)
соответствует сложению тех векторов, координаты которых обра-
образуют данные тензоры:
Равным образом, сложение двухвалентных тензоров
си = аи + Ьи D.4)
отражает сложение соответствующих им аффиноров:
6 = 3( + аЭ. D.5)
Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что для
любого вектора х
ех = §1х + Шх. D.6)
Ясно, что сложение нескольких тензоров одинаковой валент-
валентности выполняется совершенно так же, как и сложение двух.
2е. Умножение тензоров. Эта операция применяется к любым
Двум (или нескольким) тензорам, заданным в определенном порядке.
22 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Лучше всего показать ее на примере; в общем случае дело будет
обстоять совершенно так же.
Пусть требуется умножить трехвалентный тензор a.jk на двух-
двухвалентный тензор blm. Составляем в каждой координатной системе
всевозможные произведения каждой координаты а^-к на каждую
координату blm. Эти произведения, которые, очевидно, будут зави-
зависеть от пяти индексов, мы обозначим:
aUkblm, D.7)
причем условимся писать (при букве с) сначала индексы первого
множителя с сохранением их порядка, затем индексы второго мно-
множителя с сохранением их порядка (если бы множителей было
несколько, мы таким же образом последовательно переписали бы
индексы каждого из них).
Мы утверждаем, что числа Cjjklm, составленные нами согласно
D.7) в каждой координатной системе, суть координаты одного и
того же тензора 5-й валентности. Чтобы это проверить, выпишем
закон преобразования D.1) для перемножаемых тензоров:
l m
Перемножим эти равенства почленно и воспользуемся формулой
D.7), учитывая, что она имеет место в любой координатной системе,
в том числе и в той, которая отмечена у нас штрихом. Получим:
C'p<,rst = 22222ЛИ«АИ,Л»С//М»- D.8)
i f k I m
Нетрудно видеть, что мы получили для чисел с^Ыт закон пре-
преобразования вида D.1) для случая v — 5. Это показывает, что
числа ctjklm в любой координатной системе являются координатами
одного и того же тензора 5-й валентности.
Полученный таким образом тензор называется произведением
двух заданных (в определенном порядке) тензоров, а сама опера-
операция— умножением тензоров.
По этому же образцу рассматривается и произведение любого
числа тензоров любой валентности, заданных в определенном по-
порядке. Валентность тензора, получающегося в произведении, равна,
очевидно, сумме валентностей множителей: по схеме D.7) координаты
произведения снабжаются индексами, снятыми поочередно со всех
множителей.
В частности, в этой же схеме можно рассматривать умножение
тензора на инвариант (т. е. на число, заданное независимо от выбора
g 4] МНОГОВАЛЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 23
координатной системы и не меняющееся при ее преобразо-
преобразовании).
Всякий инвариант а можно рассматривать как тензор 0-й валент-
валентности, т. е. тензор, лишенный индексов и имеющий потому лишь
одну координату а. (В общем случае число координат тензора
равно 3V, где v — его валентность; в случае v = 0 получаем 3° = 1.)
Схема перемножения D.7) дает в этом случае
с1в =«*!»- D-9)
т. е. просто все координаты тензора blm умножаются на инвариант а
и превращаются в координаты нового тензора с1т той же валент-
валентности.
Заметим, что вычитание тензора из тензора той же валентности
мы не считаем самостоятельной операцией, потому что она сводится
к сложению уменьшаемого с вычитаемым, умноженным предвари-
предварительно на инвариант —1.
3°. Свертывание тензоров. Пусть нам дан, какой-нибудь тензор
не менее, чем 2-й валентности, например, трехвалентный, aijk.
Отметим какие-либо два его индекса, например 2-й и 3-й, и сделаем
с ними следующее. В каждой координатной системе отберем те
координаты нашего тензора, для которых отмеченные индексы равны
(это будут координаты вида ашO и составим сумму всех таких
координат при каких-нибудь фиксированных остальных индексах
(в нашем случае при как-нибудь фиксированном первом индексе /).
Эта сумма имеет вид 2 аш и зависит только от фиксированных
индексов (в нашем случае от индекса i). Обозначим ее а{. Итак,
я,. = 2аш. D.10)
Мы утверждаем, что числа ait составленные в каждой координат-
координатной системе согласно D.10), образуют тензор 1-й валентности.
Мы будем говорить, что этот тензор получается из исходного тен-
тензора ацк свертыванием 2-го и 3-го индекса.
Для доказательства выпишем закон преобразования D.1) в при-
применении к исходному тензору
Составим теперь числа а1 в новой (штрихованной) координатной
системе. Обозначая эти числа а , получим согласно D.10)
flp-"-2aP«- D.12)
24 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Заменяя в преобразовании D.11) индексы q и г через s и встав-
вставляя результат (в 4.12), получим:
2222W/ D.13)
s f i k
Выполним прежде всего суммирование по s. При этом соглас-
согласно A.9)
2V** = «/*-{, (;=fe), <4-14)
и D.13) принимает вид
вр = 222ЛАв//*- DЛ5)
* у k
В процессе суммирования по ; и ft можно сохранить лишь члены,
для которых _/=&; остальные члены согласно D.14) обратятся в
нуль. Обозначим общее значение индексов у и ft через /; при этом
6/* = 6н=1, и D.15) принимает вид
%=22V'-« = 2Vc D.16)
/ / i
Мы воспользовались здесь формулой D.10). Этим доказан тен-
тензорный закон преобразования чисел at, так что они действительно
определяют одновалентный тензор.
Совершенно так же производится свертывание двух произвольно
избранных индексов в любом тензоре. Например, свернуть 2-й и
4-й индекс в тензоре api}rst значит составить новый тензор сле-
следующим образом:
V* = 2 «,!«*¦ D.17)
Тензорный характер результата доказывается совершенно так же,
как и выше. Валентность свернутого тензора на две единицы ниже,
чем у исходного.
Повторяя свертывание достаточное число раз, причем валент-
валентность снижается каждый раз на 2, мы в случае тензора четной
валентности приходим в конце концов к тензору нулевой валент-
валентности, т. е. к инварианту. Таким образом свертывание есть важный
источник получения инвариантов рассматриваемых геометрических
и физических объектов.
Так, для аффинора Ш. с координатами atj можно составить
путем свертывания важный инвариант
а = 2«/г, D.18)
который называется следом этого аффинора.
с 41 МНОГОВАЛЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕЬРА 25
Для двухвалентного тензора B.6)
где х- У координаты двух произвольных векторов, свертывание
дает инвариант
а = 2 ап --= 2 х(Ус = Х1У1 "г х-гУг + х3у3 = ху. D.19)
i i
Мы видим, что этот инвариант есть скалярное произведение
векторов х, у, которое по своему геометрическому смыслу действи-
действительно не зависит от выбора координатной системы (а зависит
лишь от самих векторов х, у).
Этот пример проливает свет на механизм операции свертывания.
Она протекает и в общем случае как бы по образцу составления
скалярного произведения из попарных произведений координат
xLyt, и с этим связан ее инвариантный характер.
Очень часто, как и в приведенном примере, свертываемый тензор
предварительно получен перемножением двух или нескольких тен-
тензоров. В таком случае мы будем кратко говорить, что один тензор
свертывается с другим или с другими, подразумевая, что предва-
предварительно составляется произведение этих тензоров. В нашем примере:
тензор л:,- свертывается с тензором у у.
4°. Подстановка индексов. Еще одна травиальная, но имеющая
большое значение операция над тензорами, может быть названа
подстановкой индексов. Она заключается в том, что из тензора,
например а^к, составляется новый тензор Ьцк той же валентности
и даже с теми же координатами, но с иной нумерацией этих коор-
координат. Например, координата, которая раньше была занумерована
индексами i, j, k (индекс i — первый, j—второй, k — третий), теперь
нумеруется теми же индексами, но в другом порядке, например,
j, А, * (индекс /—первый, k—второй, i—третий). Получающийся
в результате новый тензор определяется, очевидно, формулой
biki=aiik- D.20)
То, что bjki представляет собой действительно тензор, т. е.
тоже подчиняется тензорному закону преобразования, проверяется
очевидным образом.
Не следует думать, что операция подстановки индексов ничего
не изменяет, и мы получаем «прежний тензор». В определение
тензора входит нумерация его координат при помощи значений
первого, второго и т. д. его индексов. Поэтому изменение этой
нумерации есть изменение и самого тензора.
Разумеется, аналогичным образом можно производить любую
подстановку индексов над тензором любой валентности.
26 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
§ 5. Кососимметрические тензоры
Свертывание не есть единственный источник получения инва-
инвариантов данного тензора. В этом параграфе мы встретимся с дру-
другим важным способом; но предварительно нам нужно познакомиться
с кососимметрическими тензорами.
Тензор называется кососимметрическим, если при транспозиции
(перестановке) любых двух индексов у любой его координаты она
меняет знак.
Рассмотрим прежде всего двухвалентный кососимметрический
тензор с1у..
Согласно сказанному он характеризуется свойством
В частности, если / = /, мы получаем:
сн = —сн> откуда с|7 = 0. E.2)
Двухвалентный кососимметрический тензор называется кратко
бивектором. Будем считать, что мы находимся в правой коорди-
координатной системе. Тогда, обозначая
Ul = C23> U2— C31> U3 ~ С12 E.3)
и принимая во внимание E.1) и E.2), мы можем составить матрицу
координат нашего бивектора:
-12 ИЗ
'21 С22 С23 —
-31 U32 ''ЗЗ!
О, — и.а, ц2
«в. °- —"ill- E.4)
¦«2. «1
Как мы знаем (§ 3), всякому двухвалентному тензору, в частно-
частность нашему бивектору с,-,, отвечает некоторый аффинор с теми же
координатами. Обозначим этот аффинор через © и выясним его
характер. Для этой цели используем координатную запись аффи-
аффинора C.13), которая в нашем случае дает:
или в подробной записи при р=\, 2, 3
, \
| E.5)
Мы замечаем, что вектор у ^ (?х есть не что иное, как вектор-
векторное произведение и на х, если обозначить через и вектор с коор-
о gi КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ 27
динатами их, иа, и3. Итак,
®х=[их]. E.6)
Из этой записи видно, в частности, что вектор и будет вполне
определенным независимо от выбора координатной системы. В самом
деле, если бы он мог меняться, то менялась бы и зависимость
вектора у от х, что невозможно, так как мы рассматриваем неко-
некоторый вполне определенный аффинор 6.
Таким образом, аффинор 6, отвечающий бивектору с,-у, сводится
к векторному умножению некоторого постоянного вектора и на
вектор-аргумент х.
При этом в правых координатных системах координаты бивектора
Сц и вектора и связаны формулами E.3).
В левых координатных системах, напротив, полагаем
"l = C23- K2=C31, «3=С12- E-7)
Тогда в правых частях E.5) тоже нужно изменить знаки на
обратные; мы получаем запись (по-прежнему правого) векторного
произведения [их] в левой системе и снова переходим к E.6).
Переходим к трехвалентному кососимметрическому тензору, ко-
который носит название тривектора. Обозначим его координаты Сук.
Для любых двух его индексов, например 2-го и 3-го, имеет место
соотношение
cijk — — cikj- E-8)
Если среди его индексов есть хотя бы два одинаковых, напри-
например 2-й и 3-й, то E.8) принимает вид
сш=*—сш, откуда с,7/ = 0. E.9)
Итак, если мы хотим рассматривать отличные от нуля коорди-
координаты тривектора, то должны брать все три индекса различными,
т. е. придать им значения 1, 2, 3. Получим шесть следующих
координат тривектора:
С128 = С231 = С312 = С213 = С321 = С132- E.W)
Знаки равенства поставлены на основании E.8) и аналогичных
соотношений для любой пары индексов. Так, например, чтобы про-
проверить первый знак равенства, достаточно в сш переставить 1-й и
2-индексы, а у полученной координаты переставить 2-й и 3-й ин-
индексы. При двойной транспозиции дважды меняется знак, и полу-
полученная в итоге координата с231 равна с12а.
Нетрудно заметить, что общий смысл E.10) состоит в том,
что при четной подстановке индексов координата тривектора не
меняется, а при нечетной — меняет только знак.
В результате у тривектора имеется лишь одна, как говорят,
существенная координата, например, сш. Остальные координаты
28 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
или равны ей, или отличаются от нее только знаком, или, нако-
наконец, равны нулю.
Пусть х, у, г — три произвольных вектора, хр, уд, zr—их коор-
координаты. Подсчитаем инвариант, полученный путем полного сверты-
свертывания тензоров C(jk, xit yp zk\
1 •= Ъ 2 2 cijkxtyjzk- E.11)
Сумма в правой части формально содержит 27 членов, но боль-
большинство членов равно нулю в силу E.9). Остается лишь шесть
членов, не равных нулю, а именно, те, для которых индексы г, j, k
все различны (и представляют собой, следовательно, некоторую
подстановку из 1, 2, 3). Эти члены имеют коэффициенты C;-k, выра-
выражающиеся через c12s согласно E.10).
Выписывая теперь E.11) в развернутом виде, получим окон-
окончательно:
/=C123(JC
= Cl23 '
Ух
хг
Уч
Уг
с123 (xyz) (в правой системе),
E.12)
—С12з (хУг) (в левой системе).
Мы использовали то обстоятельство, что полученный определи-
определитель выражает смешанное произведение (xyz) в правой координат-
координатной системе и отличается от этого произведения лишь знаком
в левой координатной системе (само смешанное произведение трех
векторов мы берем всегда правое).
Из полученного результата вытекает, в частности, что
с123 = — (в правой системе),
XyZ/ f E.13)
с123 = (в левой системе).
xyz
Мы предполагаем здесь, что xyz=/=O. Так как / и xyz инва-
инвариантны, то с123 сохраняет одно и то же численное значение во
всех правых системах и одно и то же численное значение во всех
левых системах, причем эти два значения отличаются только зна-
знаком. Величина, обладающая таким свойством, называется относи-
относительным инвариантом.
Итак, единственная существенная координата тривектора есть
относительный инвариант. Это позволяет нам использовать тривек-
тривекторы как источник получения инвариантов.
Заметим, что в рассматриваемом нами трехмерном пространстве
невозможен кососимметрический тензор более чем 3-Й валентности.
Говоря точнее, такой тензор всегда имеет лишь нулевые координаты.
6] ПОЛУЧЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕНЗОРОВ 29
В самом деле, совершенно так же, как и в E.9), убеждаемся, что
наличие двух одинаковых индексов обращает координату нашего
тензора в нуль. Между тем, его координаты всегда имеют по мень-
меньшей мере два одинаковых индекса, так как индексов у них четыре
или больше, а принимать они могут лишь значения 1, 2, 3. Следо-
Следовательно, все координаты нашего тензора равны нулю.
§ 6. Получение инвариантов с помощью
«ососимметрических тензоров
Если нам задан трехвалентный тензор apqr (не обязательно косо-
симметрический), то мы можем получить из него кососимметрический
тензор C{jk путем так называемой операции альтернации; а именно,
каждая координата cijk определяется как среднее арифметическое
шести координат тензора а , индексы при которых получены из
i, j, k всевозможными подстановками (в том числе и тождествен-
тождественной), причем в случае четной подстановки координата берется со
своим знаком, а в случае нечетной — с обратным:
Cijk = ^Hk + aJU + akij— ajik — akji — aikj)- F.1)
Нетрудно заметить, что cijk представляют собой тензор, так как
операция альтернирования, которой мы их получили, сводится
к комбинации известных нам тензорных операций подстановки ин-
индексов и сложения (вычитания) тензоров (§ 4). Кроме того, из
соотношений F.1) немедленно следует, что cijk меняет знак при
транспозиции двух индексов, так как в правой части первая тройка
членов превращается во вторую тройку со знаками -\- вместо —,
а вторая тройка превращается в первую со знаками — вместо -j-.
Таким образом, альтернация по трем индексам дает нам тензор,
кососимметрический по этим индексам.
Когда тензор ci}-k получен из тензора а^к по формуле F.1), то
Mbi будем говорить, что он получен из a;j-k альтернацией по индек-
индексам i, у, k; при этом мы будем применять взамен развернутого
выражения F.1) краткое обозначение
Cijk=aum- F-2)
Альтернацию можно производить и над тремя произвольно выб-
выбранными индексами многовалентного тензора, например, над пер-
первыми тремя индексами тензора atj-klm.
Получаем тензор
с»уы«=йГ'7*Нт> F-3)
"фнчем в правой части над индексами i, j, k проделывается в точ-
йвсти то же самое, что и в правой части F.1); индексы /, m пере-
переписываются при этом без изменения. Полученный в результате
30 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. 1
тензор является кососимметрическим по индексам i, j, k (т. е. по
тем, по которым произведена альтернация).
Альтернацию можно производить и по двум индексам, произ-
произвольно выбранным в каком-либо ^по крайней мере, двухвалентном)
тензоре, причем в этом случае она выглядит значительно проще и
означает просто составление полуразности данной координаты и
координаты, полученной из нее транспозицией избранных индексов.
Так, для двухвалентного тензора а,-у- альтернация по его индек-
индексам означает составление тензора
с,7= аШ] =у («,/ — ал)- <6-4)
Для четырехвалентного тензора (ijjkl альтернация, например, по
2-му и 4-му индексам означает составление тензора
cijki = -2(aUH-aiik/)- F-5)
Ясно, что результат альтернации и здесь будет кососимметричен
по соответствующим двум индексам j, I.
Как мы вскоре увидим, альтернация по двум индексам в своем
месте играет большую роль, но для составления инвариантов
(в трехмерном пространстве) является полезной лишь альтернация
по трем индексам. К ней мы и возвращаемся.
Ясно, что, проальтернировав трехвалентный тензор согласно
F.1), мы можем получить его относительный инвариант в виде
одной существенной координаты кососимметрического тензора
С153 =-6-(а123+а231 + а312—Я213—а321—al32)- F.6)
Интересно, что выражение в скобке по способу своего соста-
составления весьма напоминает определитель 3-го порядка. И действи-
действительно, оно и в самом деле обращается в определитель 3-го порядка,
если, в частности, в качестве тензора а^к взять произведение трех
тензоров 1-й валентности:
в.7* = -WV F.7)
Эти тензоры можно всегда считать, как мы знаем, координатами
некоторых определенных векторов х, у, г.
Теперь F.6) принимает вид
C123 ~
1 , 1
Ух Уг Уз
F.8)
Полученный определитель дает смешанное произведение (xyz),
если он вычислен в правой координатной системе, и — (xyz), если
e g| ПОЛУЧЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕНЗОРОВ 31
он вычислен в левой координатной системе. Это соответствует тому,
что с123 есть относительный инвариант.
Однако при помощи кососимметрических тензоров можно состав-
составлять и абсолютные инварианты, а не только относительные.
Пусть шестивалеитный тензор сг1,-2,3/1;г/з будет кососимметрическим
как по индексам первой тройки, так и по индексам второй тройки.
Рассмотрим его единственную существенную координату с123123-
Так как она является относительным инвариантом, если рас-
рассматривать ее в зависимости отдельно от первой или отдельно от
второй тройки индексов, то при переходе от правой координатной
системы к левой (или наоборот) она дважды умножается на —1,
т. е. не меняется. Следовательно, с123123 есть инвариант уже абсо-
абсолютный.
Пусть теперь нам задан произвольный шестивалентный тензор
att,t,j,i,it. Проальтернируем его как по первой, так и по второй
тройке индексов, в каждом случае по схеме F.1). Получим тензор
кососимметрический как по первой, так и по второй тройке индек-
индексов. Следовательно, мы можем составить абсолютный инвариант
С123123 — °[123] [123]- F.10)
Особенно важен частный случай, когда этот шестивалентный
тензор представляет собой произведение трех одинаковых двух-
двухвалентных тензоров:
«<,«./././. = в(./.вУ.в|,/, *)• F. И)
Произведем альтернацию по индексам ух> _/2, _/3. Получим новый
тензор
1
F.12)
То, что в результате получается именно такой определитель,
вытекает из близкого родства процесса альтернации согласно F.1)
и процесса составления определителя, а именно, исходное для аль-
альтернации выражение F.11) представляет собой тот член определи-
определителя, который получается произведением элементов по главной
диагонали, а в процессе альтернации к нему добавляется не что
*) Ради удобства записи мы нарушаем здесь правило D.7) для расста-
расстановки индексов у произведения тензоров; точнее говоря, at ((,., есть
произведение тензоров а( , , а,- ,, at f, в котором произведена' некоторая
подстановка индексов. * *' *
32 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
иное, как остальные члены определителя. Это легко усмотреть,
вспомнив правило составления определителя. Впрочем, легко про-
проверить равенство F.12) и прямой выкладкой, написав результа
альтернации в развернутом виде согласно F.1) и убедившись, что
он совпадает с разложением определителя.
В отличие от F.9) мы произвели здесь альтернацию лишь по
одной тройке индексов. Но этого в данном случае достаточно,
так как полученный нами тензор F.12) будет кососимметричен не
только по индексам jx, _/2, j3, п0 которым мы альтернировали, но
и по индексам iu /2, i3 тоже.
В самом деле, взаимная перестановка индексов, например ;\, /2,
означает перестановку первых двух столбцов определителя F.12),
а взаимная перестановка индексов, например, ilt i2, означает пере-
перестановку первых двух его строк. И в том и в другом случае
определитель умножается на —1, чем и доказывается требуемая
кососимметричность.
Мы можем теперь составить абсолютный инвариант
1
6
а„
13
а
= -i-Det|av|. F.13)
Таким образом, определитель, составленный из координат двух-
двухвалентного тензора, есть инвариант преобразования координатной
системы.
Этот результат, впрочем, можно было бы получить и совер-
совершенно самостоятельно следующим образом. Запишем закон преоб-
преобразования координат двухвалентного тензора
Тогда из правила умножения детерминантов следует, что
Det | a'pq | = Det | Api \ ¦ Det | Aqj \ • Det | ai} | = Det | aif\,
так как Det | Api | и Det | AqJ- | суть детерминанты одной и той же
ортогональной матрицы и, следовательно, равны оба или -)-1
или —1.
Инвариант Det | at-y J имеет важный геометрический смысл, а
именно, он дает то постоянное отношение, в котором изменяются
объемы всех тел при центроаффинном преобразовании
У = Ш,
где аффинор Ш имеет координаты atj-.
Достаточно проверить это утверждение для кубов, так как
объем любого тела можно сколь угодно точно приблизить объемом
входящего тела, составленного из кубов, и выходящего тела, также
§ 6]
ПОЛУЧЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕНЗОРОВ
33
составленного из кубов (имеются в виду тела с кусочно гладкой
границей).
Возьмем какой-нибудь куб, помещенный для простоты одной
вершиной в начале координат О, и направим координатные оси
ОС Aе3)
Рис. 2.
по ребрам куба (рис. 2). Тогда можно будет считать, что куб
построен на векторах /ех, /е2, /е3, где /•—ребро куба. Эти векторы
согласно C.8) перейдут в векторы:
§1 (/ех) = / (fl^ej -f- a2ie2 "Ь аз1ез)>
21 (/е2) = / (ai2ei + а22е2 + аз2е3),
Ш (/е3) = / (я13ег + я23е2
Куб перейдет в построенный на этих векторах параллелепипед,
объем которого V равен, как известно, смешанному произведению
векторов, а значит, равен определителю
Мы считаем при этом, что е1( е2, е3 образуют правую тройку;
объем V берется со знаком + в зависимости от правой или левой
ориентации векторов 8((/ег), §( (/е2), 9( (/е3), на которых он построен.
Если учесть, что объем куба V = I2, то оказывается, что изме-
изменение объема произошло в отношении Det | atj |. Тем самым и для
всякого тела коэффициент объемного расширения (со знаком!)
имеет вид
V — ' а„ 1 - F.14)
Исходя из инварианта Det|a(y|, можно построить и другие
инварианты двухвалентного тензора ai}. Для этой цели вычтем
из пц тензор C.19) с постоянными координатами Я,6,-у, где к —
2 П. К- Рашевский
34
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
[гл. I
произвольное число, и составим детерминант из координат нового
двухвалентного тензора
«u —'
«21
31
*12
'32
13
«23
Мы получаем снова инвариант преобразования координатной
системы.
Если развернуть определитель и собрать члены с одинаковыми
степенями к, то получится, очевидно, кубический многочлен отно-
относительно А,
где
Det |
/• =
| = — I3
h = «11 + «2
33
= 2 <*и,
«11 «12
«21 «22
+
«22 «23
«32 «33
+
«33 «31
«13 «11
F.15)
F.16)
F.17)
F.18)
Так как F.15) представляет собой инвариант при любом значении X,
то коэффициенты Il7 /2, /3 по отдельности также должны являться
инвариантами.
При этом инвариант /х нам уже встречался ранее (см. D.18)),
а инвариант /3 был нами получен в этом параграфе.
Таковы основные инварианты тензора atj. Что же касается
добавка — Л.6^, то он уже сыграл свою роль и в окончательном
результате, как мы видим, не участвует.
§ 7. Симметрический аффинор
Для приложений тензорного исчисления исключительно важную
роль играет понятие симметрического аффинора.
Аффинор Ш называется симметрическим, если для любых двух
векторов х, х' имеет место соотношение
х2Сх' = х'91х. G.1)
Другими словами, скалярное произведение одного вектора на
функцию St от другого вектора не меняется при перестановке этих
векторов между собой.
Необходимым и достаточным признаком симметричности аффи-
аффинора служит симметричность матрицы его координат. В самом деле,
§ 7] СИММЕТРИЧЕСКИЙ АФФИНОР 35
пусть аффинор 91 симметрический. Согласно C.9)
а в силу симметричности аффинора правые части равны и, сле-
следовательно,
«и = а,Р, G.3)
т. е. матрица координат аффинора симметрическая.
Обратно, пусть соблюдаются соотношения G.3). Тогда в силу
формул G.2) получаем:
ер%ед = едШр. G.4)
Тем самым соотношение G.1) проверено для ортов. Но тогда
оно будет справедливым и для любых двух векторов х, х'. Чтобы
убедиться в этом, достаточно помножить равенство G.4) почленно
на xpxq (где хр—-координаты х, а хя—координаты х') и просум-
просуммировать почленно по р и q. Так как
то в результате мы получим соотношение G.1).
Важнейшее свойство симметрического аффинора — наличие у него
трех взаимно ортогональных собственных направлений. Вообще
собственным направлением аффинора 91 (не обязательно симметри-
симметрического) называется направление, все векторы которого х при
действии на них аффинора Ш умножаются на некоторое число А,:
3tx = X,x. G.5)
Для того чтобы направление было собственным, достаточно,
чтобы хоть один его вектор х обладал свойством G.5); тогда
и все векторы этого направления обладают этим свойством, при-
причем X имеет для всех них одно и то же значение. Для проверки
этого достаточно умножить G.5) почленно на произвольное число
а=^=0 и внести а в левой части равенства под знак 91. Тогда
оказывается, что вектор ах, т. е. любой вектор, коллинеарный с х,
также обладает свойством G.5).
Число а может быть и отрицательным: собственное направле-
направление всегда рассматривается с точностью до замены на обратное.
Коэффициент X называется собственным значением аффинора 91
для данного собственного направления.
Запишем условие G.5) в координатах, обозначая через у коор-
координаты %\\
ур=Ххр (р=1, 2, 3).
36 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Пользуясь формулами C.13), получим:
Выписывая каждое из трех равенств отдельно в развернутом виде
и перенося все члены налево, получим:
«13*3 0> )
а.гзХ3 = 0, \
— X)x3 = 0. j
G.7)
Для отыскания собственных направлений и собственных значений
достаточно решить эту систему относительно неизвестных X, х1У х2, х3.
При этом xlt x2, х3 не должны одновременно обращаться в нуль
(иначе вектор не укажет направления!) и ищутся они, как вытекает
и из смысла задачи и из однородного характера уравнений G.6),
с точностью до умножения на общий множитель.
Чтобы система линейных однородных уравнений G.7) относительно
xlt x2, х3 имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы
ее определитель равнялся нулю:
12
^21
*31
22"
Z23
= 0.
G.8)
Таким образом, чтобы удовлетворить системе G.7), необходимо
брать в качестве К корень кубического уравнения G.8) (которое
называется характеристическим уравнением аффинора Щ. Обратно,
если в качестве А взят корень уравнения G.8), то система G.7)
имеет ненулевое решение xt, хг, х3.
Однако это не всегда означает отыскание собственного направ-
направления, так как взятый нами корень X может оказаться комплексным.
До сих пор мы говорили о произвольном аффиноре 3(. Теперь
предположим, что он симметрический, а следовательно,
В этом случае все три корня уравнения G.8) обязательно веще-
вещественные. Действительно, возьмем какой-нибудь корень К уравнения
G.8), подставим его в систему G.7) и найдем ненулевые лс1( х2, х3,
удовлетворяющие G.7), а следовательно, и G.6). При этом мы не
предрешаем вопроса, будут ли значения К, хх, х2, х3 вещественными
или существенно комплексными. Во венком случае мы не ошибемся,
считая их комплексными, так как вещественные числа есть частный
случай комплексных.
§ 7] СИММЕТРИЧЕСКИЙ АФФИНОР 37
Умножим обе части равенства G.6) на х*р, где х*р комплексно
сопряжено с хр, и просуммируем почленно по р=1, 2, 3. Получим:
И^а 4х ^Ij^x х'р. G.10)
р я р
Произведения вида хрхр — вещественные (и даже неотрицатель-
неотрицательные) числа. Поэтому те члены суммы в левой части, для которых
p=q, будут вещественными. Те же члены, для которых р=Фд, мы
будем рассматривать попарно, объединяя, например, члены ср=\,
q = 2 и ср = 2, <?=1. Получим (пользуясь затем G.9));
Выражение в скобках есть сумма двух комплексно сопряженных
чисел, и следовательно, число вещественное. Тем самым левая часть
G.10) есть число вещественное, равно как и коэффициент при к в пра-
правой части (который, кроме того, не равен нулю, так как хр не обра-
обращаются в нуль одновременно). Отсюда и к всегда оказывается числом
вещественным, а следовательно, ему отвечает определяемое из G.7)
собственное направление нашего симметрического аффинора 91, для
которого к, таким образом, является собственным значением.
Теперь мы можем показать существование трех взаимно ортого-
ортогональных собственных направлений. Возьмем какой-нибудь корень кг
уравнения G.8) и отвечающее ему собственное направление, пред-
представленное, например, единичным вектором ех. Таким образом,
Ще'1 = Х,1е'1. G.11)
Рассмотрим плоскость ?2, ортогональную к ex. Мы утверждаем,
что векторы этой плоскости под действием аффинора 31 переходят
в векторы этой же плоскости. В самом деле, пусть х — вектор
плоскости Е2, так что х^е^
e'tx = 0. G.12)
Умножая скалярно обе части равенства G.11) на х, получим:
xSej = Я.1е1х = 0.
Пользуясь свойством G.1), можем переписать это в виде
ei§lx=»0. G.13)
Другими словами, ЭДх ортогонален к ех и, следовательно, тоже
принадлежит плоскости Е2 (точнее, может быть в ней отложен).
Мы можем теперь рассматривать наш симметрический аффинор 91
на плоскости Е„, поскольку он переводит векторы этой плоскости
В векторы этой же плоскости. Вводим на плоскости Е2 прямоуголь-
38 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
ные декартовы координаты и ищем собственные направления и соб-
собственные значения аффинора 81 совершенно так же, как и ранее с тем
лишь упрощением, что вместо трехмерного пространства у нас будет
двумерное, и вместо трех координат хг, х2, х3 будут лишь две хи хг.
Матрица координат аффинора 9( будет иметь теперь вид
«11 «12
а21 °2
а вместо уравнения G.8) мы получим:
1 2 '
Мы снова обнаружим наличие собственного направления, которое
зададим некоторым единичным вектором е2; соответствующее соб-
собственное значение обозначим к2. Так как е2 принадлежит Е2, то е2 _[_ е^
Наконец, построим единичный вектор е;!, ортогональный и к et,
и к е2. Так как из G.12) следует G.13), то ?1е3 тоже будет
ортогонален к е, и аналогично к е2. Другими словами, 21е3 оказы-
оказывается коллинеарным е3, а следовательно, определяет собственное
направление. Соответствующее собственное значение обозначим к3.
Итак, у нас построены три взаимно ортогональных собственных
направления е1; е2, е3 с собственньили значениями klt А2, ^3:
Возникает вопрос, почему мы не построили сразу всех этих
собственных направлений, используя поочередно все три корня урав-
уравнения G.8) (подобно тому как мы построили еи используя корень Хг).
И действительно, это было бы самым простым способом доказатель-
доказательства, но лишь для случая различных корней уравнения G.8). Для
случая же, когда два или даже все три корня равны между собой,
этот способ не годится. Поэтому мы пошли другим путем, пригод-
пригодным во всех случаях.
Мы уже давали (§ 3) истолкование аффинора как центроаффин-
ного преобразования пространства. В случае симметрического аффи-
аффинора это истолкование принимает особенно простой вид, а именно,
так как векторы е^ е2, е3 взаимно ортогональны, то согласно G.14)
симметрический аффинор производит растяжение (сжатие) простран-
пространства по трем взаимно ортогональным направлениям в отношениях
Примем е,- е2> е|, за орты новой координатной системы. Тогда
каждая точка с координатами (х1г лг2, х3) переходит, очевидно,
§ 7) СИММЕТРИЧЕСКИЙ АФФИНОР 39
в точку (ylt у2, у3) по формулам:
У1 = Х1Х1, Уг = К*л, У'з=--Кх'з- G.15)
Если среди Х1} Х2, Ха нет нулей, то получающееся таким обра-
образом специального вида центроаффинное преобразование простран-
пространства называется чистой деформацией. При отрицательном знаке,
например у Хг, в растяжение (сжатие) по оси Хх нужно включить
я ее «перепрокидывание» в обратную сторону (т. е. зеркальное
отражение пространства относительно плоскости Х2Х3).
В случае, когда, например, Хг = 0, преобразование G.15) вырож-
вырождается: все точки пространства переходят в точки плоскости Х2Х3.
Строго формально соотношения G.15) можно получить так.
Сравнивая G.14) с C.7), мы видим, что в новой координатной
системе координаты нашего аффинора имеют вид
12
«31
«32
а2
13 3
J О О
= о К о
'2
О О X
G.16)
Отсюда координатная запись аффинора C.13) принимает вид
Q
т. е. мы снова получим G.15).
Если %г, Я,2, %3 все различны, то аффинор не имеет собствен-
собственных направлений кроме трех найденных. Действительно, из формул
G.15) легко следует, что всякий вектор, не направленный по одной
из осей, под действием аффинора уклоняется в сторону от своего
первоначального направления.
Если %1 — Х^^К3, то всякий вектор в плоскости Х^Х% (т. е. при
лс3 = 0) под действием аффинора, как видно из G.15), умножается
на К (= Хг — К2):
yl=^'kxl, у2 = Хх2ь у3=^0. G.17)
Поэтому двойному собственному значению Я.(=Я,1=А,2) будет отве-
отвечать целая собственная плоскость ХХХ2, любое направление которой
будет собственным. Направления, не принадлежащие ни этой плоскости,
ни оси X3i очевидно, собственными быть не могут.
Если 'kl — 'ki — X3 — 'k, то G.15) принимают вид
у1^Кхи У2 = 'кх2, у3=1х3. G.18)
т. е. для любого вектора х
Six = Хх,
и аффинор 91 вообще сводится к умножению на данное число А.
Любое направление является собственным.
40 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Мы разобрали все возможные случаи расположения собственных
направлений. Нам нужно показать, наконец, что корни уравнения
G.8) (с учетом их кратности) совпадают с нашими собственными
значениями кг, k2l k3.
Прежде всего в осях Х\, Х2, Xs уравнение G.8) принимает вид
(согласно G.16)):
^ — к 0 0
о я,2—х о
О 0 ка — к
откуда, действительно, видно, что в этом случае его корни совпадают
с собственными значениями кг, к2, ks, а так как коэффициенты
уравнения G.8) суть инварианты преобразования координатной си-
системы (см. F.15)), то корни этого уравнения суть тоже инварианты
и, следовательно, вычисленные в любых координатных осях дают
наши собственные значения кг, к2, к3.
Пример. Тензор моментов инерции. Дано твердое тело, вра-
вращающееся около закрепленной точки О. Эту точку мы примем за
начало координат. Будем для простоты записи считать, что тело
состоит из конечного числа п материальных точек, жестко скреплен-
скрепленных между собой. Массы этих точек обозначим /яA), т{2), ... ,тт,
а координаты их (в данный момент) через лг*1', х\2\ .. . , х\п) (/= 1, 2, 3).
Составим матрицу
п п
а{]=— 2 /»(а)*(-а).*:(/а) + б,7 2 w(a)x(a>a. G.1V)j
Нетрудно убедиться, что эта матрица, построенная в любой
координатной системе, дает координаты одного и того же симметри-
симметрического тензора. В самом деле, в первом слагаемом при умножении
тензора Xi на xf (т. е. на себя) получается симметрический двух-
двухвалентный тензор; дальнейшее умножение на инвариант /»(<х) и сложе-
сложение полученных результатов дают тензор той же валентности. Второе
слагаемое представляет собой единичный тензор 8,-у, умноженный на
инвариант; действительно, как т(а\ так и
х(аJ — v-'a' Л-Jt'a' 4-г^а' П ')»\
т. е. квадрат расстояния данной точки от начала О, суть инварианты
преобразования координатной системы.
Полученный симметрический тензор а^ называется тензором
моментов инерции данного твердого тела. Физический смысл этого
тензора следующий. Пусть через точку О проведена некоторая ось
с единичным направляющим вектором 1 (/1( /а, /3). Вычислим инва-
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ АФФИНОРА 41
риант 2Sai/i(/> полученный в результате полного свертывания
тензора a(j с дважды взятым тензором /(:
/
Так как б,7 -ll]] ~/^. ' то 212 в<М = ^ + *2 + /Ц = 1; кроме
того. ^?л;/ /z. = х<а) 1, и мы получаем:
i
у + х<аJ}. G.21)
i i а = 1
Выражение, стоящее в фигурных скобках, дает квадрат расстояния
точки с массой /n<a> до выбранной нами оси, и мы получаем момент
инерции относительно этой оси.
Момент инерции данного твердого тела относительно произволь-
произвольной оси вращения, проходящей через точку О, получается путем
свертывания тензора момента инерции с дважды взятым тензором L
(направляющие косинусы оси). Собственные направления аффинора п
с координатами а^ параллельны так называемым главным осям инерции.
В них тензор моментов инерции принимает вид G.16).
§ 8. Разложение аффинора на симметрическую
и кососимметрическую частя
Рассмотрим произвольный аффинор
у = ?(х. (8.1)
Соответствующая координатная запись имеет вид C.13):
Здесь apq — координаты аффинора, образующие двухвалентный
тензор. В правой части (8.2) происходит тензорная операция умно-
умножения этого тензора на тензор xq с последующим свертыванием но
двум последним индексам. В результате получается снова тензор,
именно, ур.
Мы хотим теперь детальнее представить себе структуру аффи-
аффинора 91, разложив его на симметрическую и кососимметрическую
части. Для этой цели произведем альтернацию над тензором aiJt
т. е. составим новый тензор с,-, согласно F.4):
c a (a ) (83>
42 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. 1
С другой стороны, составим новый тензор Ь1;-, беря в формуле
(8.3) полусумму вместо полуразности:
biJ=aUfl=Y («//+«/,)• (8.4)
Здесь а(ф есть сокращенное обозначение для выражения в правой
части. Операция составления тензора а(/-у, =-^-(а^+Лу,-) называется
симметрированием тензора atj по его индексам i, j (аналогично
тому как операция составления тензора а\щ = -^ (а1у-—а^) назы-
называется альтернацией тензора atj- по его индексам г, у). В обозначе-
обозначениях различие состоит в том, что симметрируемые индексы заклю-
заключаются в круглые скобки, в то время как альтернируемые — в прямые
скобки.
То, что операция (8.4) приводит действительно к тензору, видно
из того, что она сводится (не считая деления на 2) к операции
сложения двух тензоров, причем второй из них образован из первого
также тензорной операцией — подстановкой индексов. Очевидно,
тензор bjj будет симметрическим, а с,у—кососимметрическим:
и = — с
п-
Складывая тензоры (8.3) и (8.4) почленно, мы видим, что перво-
первоначальный тензор atj можно представить в виде
a(J=btJ+c(J. (8.5)
Итак, любой двухвалентный тензор а1;- можно разложить на сумму
симметрического тензора Ь^ и кососимметрического тензора сг.
Такого рода разложение будет единственным. В самом деле,
симметрируя какое-либо разложение вида (8.5) почленно, мы получаем,
что by обязательно выражается формулой (8.4), а альтернируя
его, видим, что с^ выражается формулой (8.3).
Обозначим теперь аффиноры, координатами которых служит Ьг
и ctj, соответственно через 23 и {§,. Тогда (8.5) можно переписать
в виде
9* = 23+ 6 или 91х = аЗх + (?х. (8.6)
Итак, любой аффинор Ш. разлагается на сумму симметрического
аффинора 23, выражающего чистую деформацию пространства (§ 7),
и кососимметрического аффинора © (§ 5), сводящегося к векторному
умножению вектора аргумента х на некоторый постоянный вектор и.
§ 8) РАЗЛОЖЕНИЕ АФФИНОРА 43
Разложение (8.6) играет особенно важную роль в одном частном
случае, а именно, когда рассматривается аффинор, бесконечно мало
отличающийся от единичного.
Будем рассматривать аффинор Е-{-е$1, где Е—единичный аффи-
аффинор (§ 3), 91 — произвольный аффинор, а е — бесконечно малый
множитель. Разумеется, аффинор Е -j- еШ будет переменным и стремится
к единичному аффинору Е как к своему пределу при б—>~ 0.
Переход к пределу для аффинора можно определить, чтобы не
вдаваться в излишние подробности, хотя бы как переход к пределу
для каждой из его координат.
Важное значение аффинора вида Е-\- eSt выяснится несколько позже.
Разложим аффинор 91 на симметрический и кососимметрический
аффиноры согласно (8.6). Тогда
(8.7)
и соответствующее центроаффинное преобразование запишется в виде
(8.8)
где х — произвольный вектор.
Ввиду того что рассматриваемый аффинор бесконечно близок к еди-
единичному, формула (8.8) определяет бесконечно малое центроаффинное
преобразование пространства (если понимать под х, как мы это
ранее и делали, радиус-вектор произвольной точки пространства).
Рассмотрим сначала частный случай, когда в (8.7) отсутствует (?,
так что речь идет об аффиноре f-f-еЗЗ.
Вместе с Е и 33 этот аффинор будет симметрическим и, следова-
следовательно, дает чистую деформацию пространства, т. е. его растяжение
(сжатие) по трем взаимно ортогональным направлениям.
Координаты аффинора E-j-в^В, очевидно, равны Ь{)--\-ъЬ^, т. е.
в подробной матричной записи имеют вид
гЬ12
(8.9)
eb31 гЬ32 1 -f- sb3
Чтобы найти собственные направления и собственные значения
для аффинора f-j-бЗЗ, достаточно найти их для аффинора 25. В са-
самом деле, пусть Яг, Кг, Х3 — собственные значения 25 и пусть х —
вектор, идущий по одному из собственных направлений, например,
первому. Тогда
(8.10)
44 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Следовательно, направление х будет собственным и для ?-fe53
и притом с собственным значением \-{-е.Х1.
Итак, собственные направления аффинора ?-]-е25 совпадают
с собственными направлениями аффинора 23, и соответствующие соб-
собственные значения равны \-\-гХъ 1+е.А,,, \-j-sX3. Таковы будут
коэффициенты бесконечно малого растяжения (сжатия), производи-
производимого аффинором ?¦ -j- еЭЗ по трем взаимно ортогональным собственным
направлениям.
Теперь рассмотрим противоположный частный случай, когда
в (8.7) отсутствует 33, так что речи идет об аффиноре E-j-e(S,,
где 6 кососимметричен.
Согласно E.6) для любого х
где и—некоторый постоянный вектор. Следовательно,
?)х = х + е[их]. (8.11)
Легко заметить, что соответствующее цептроаффинное пре-
преобразование
g)x = x + e[ux] (8.12)
означает поворот около оси, проходящей через О и направленной
по и, на бесконечно малый угол е uj.
В самом деле, рассмотрим вращение пространства как твердого
тела около точки О с постоянным вектором угловой скорости и.
Это значит, что вращение совершается вокруг оси, направленной
по и, причем за единицу времени происходит поворот на угол | и
(против часовой стрелки, если смотреть от конца к началу вектора и).
Как известно из кинематики твердого тела, линейная скорость
движения каждой точки М выражается при этом вектором
v = [их],
где х = ОМ— радиус-вектор точки М.
За бесконечно малый промежуток времени е точка М сместится
на вектор
ev = е [их],
если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка. Следовательно,
радиус-вектор смещенной точки М' будет:
ОМ' = x-fsv = x + e [ux]— (?-fe(?) x.
Итак, переход
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ АФФИНОРА 45
или, что то же,
х—.(E+eG)x, (8.13)
означает поворот пространства за бесконечно малое время б при
векторе угловой скорости и (координаты которого определяются
согласно E.3) или E.7)). Угол этого бесконечно малого поворота
равен, очевидно, е|и|. Этим наше утверждение доказано.
Рассмотрим, наконец, общий случай аффинора (8.7). Подействуем
на произвольный вектор х сначала аффинором ?" -J- еЗЗ
(Е + б23) х = х + еЗЗх,
а на полученный вектор подействуем аффинором ?-|-e(J. Получим:
(Е+ eg) (Е+ е25) х = х + ебх + е$8х + e2g23x.
Последний член мы отбросим, пренебрегая бесконечно малыми 2-го
порядка, и, пользуясь (8.8), получим окончательно:
31)х. (8.14)
Этот результат показывает, что если пренебречь бесконечно малыми
высшего порядка, аффинор E-j-eSI представляет собой результат на-
наложения аффиноров Е-\-е18 и Е+е(&, т. е. бесконечно малой чистой
деформации и бесконечно малого поворота. Изменение формы и раз-
размеров тел происходит при этом за счет чистой деформации; при
повороте, они, конечно, не меняются.
Заметим, что и произвольный аффинор (а не только вида Е-\-еШ)
можно свести к последовательному выполнению чистой деформации
и поворота, и притом совершенно точным образом. Однако доказа-
доказательство в этом случае будет значительно сложнее, а чистая дефор-
деформация и поворот уже не отвечают симметрической и кососимметри-
ческой частям рассматриваемого аффинора.
Для дальнейшего нам будет необходим коэффициент объемного
расширения F.14) в случае бесконечно малого центроаффинного
преобразования
Согласно F.14) в нашем случае мы получим:
l+eau еа1г ea13
21 ~f ^22 CUnn
ea31 ea32 1 -fea3
Здесь при раскрытии определителя мы пренебрегли бесконечно
малыми высшего порядка.
Мы видим, что коэффициент объемного расширения отличается
от 1 на след аффинора 31, умноженный на s.
46 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Г
§ 9. Тензорные поля
Начиная с этого параграфа, мы переходим из области тензорной
алгебры в область тензорного анализа, но по-прежнему в самом про-
простом частном случае: рассматриваем трехмерное евклидово простран-
пространство и притом в прямоугольных декартовых координатах. Следует
предупредить читателя, что узость нашей точки зрения гораздо
более резко будет сказываться после этого перехода. Если о тен-
тензорной алгебре и можно составить себе некоторое представление
по предыдущим параграфам, то тензорный анализ в широком смысле
слова при нашем подходе настолько упрощается, что теряет почти
все свое содержание.
Смысл перехода от тензорной алгебры к тензорному анализу
заключается в том, что вместо отдельных тензоров мы будем рас-
рассматривать тензорные поля, в связи с чем появляется дифференци-
дифференцирование тензоров.
Мы говорим, что нам дано тензорное поле, если в каждой точке
М пространства задан некоторый тензор постоянной валентности,
но в остальном, вообще говоря, меняющийся от точки к точке. Этот
тензор мы будем называть тензором поля. Он задается, следова-
следовательно, как функция точки М, причем его валентность остается
постоянной, например, 3-й:
аи1,1г=аы,и{Щ. (9.1)
Эту формулу нужно понимать в том смысле, что координаты
тензора зависят от выбора точки М (и, разумеется, от выбора коор-
координатной системы, преобразуясь по обычному тензорному закону).
Если мы рассматриваем тензорное поле в определенной коорди-
координатной системе, то точка М характеризуется своими координатами
xlt х2, xs, и формула (9.1) принимает вид
uW, = «<-.'*<•» (-«ъ х2, х3), (9.2)
т. е. координаты тензора заданы как функции координат точки М.
Мы будем предполагать, что функции (9.2) непрерывно диффе-
дифференцируемы столько раз, сколько нам будем нужно.
Тензорное поле может быть задано и не во всем пространстве,
а лишь в некоторой его области Q. Это значит, что тензор поля (9.1)
определен как функция точки М для всевозможных положений точки
М лишь в некоторой области Q (а не во всем пространстве).
Рассмотрим простейшие частные случаи тензорных полей.
Тензорное поле нулевой валентности называется иначе скаляр-
скалярным полем. Так как тензор нулевой валентности есть инвариант,
то скалярное поле означает задание в каждой точке М некоторой
области Q определенного числа а:
а = а(М), (9.3)
§ 9} тензорные поля 47
причем а (М) зависит только от выбора точки М, но не зависит
от выбора координатной системы. Если зависимость (9.3) записы-
записывается в определенной координатной системе, то она принимает вид
а = а{хг, х2, х3). (9.4)
Примеры скалярных полей: температура неравномерно нагретого
тела, имеющая свое значение в каждой его точке; потенциал элект-
электростатического поля как функция точки; плотность неоднородного
тела, в каждой его точке имеющая свое значение; давление в га-
газовой среде, меняющееся, вообще говоря, от точки к точке, и т. п.
Рассмотрим теперь одновалентное тензорное поле
а,- = о, (/И). (9.5)
Мы знаем, что координаты одновалентного тензора а,- всегда
можно истолковать как координаты некоторого инвариантного век-
вектора а, причем
Поэтому задать поле одновалентного тензора (9.5) все равно,
что указать в каждой точке М определенный вектор
^ (9.6)
т. е. все равно, что задать векторное поле.
Примеры векторных полей: вектор электрического или магнитного
поля; вектор скорости движения жидкой или газовой среды, имею-
имеющий в каждой ее точке свое значение; вектор плотности электри-
электрического тока в массивном проводнике и т. п. О двухвалентных и т. д.
тензорных полях мы будем говорить позже.
Настоящий смысл тензорного исчисления заключается, конечно,
в изучении тензорных полей, и для приложений нужны, как пра-
правило, именно тензорные поля, а не отдельные тензоры. Поэтому на
тензорную алгебру, изложенную в §§ 4, 5, где рассматривались
операции над отдельными тензорами, следует смотреть как на необ-
необходимый подготовительный материал, а именно, все операции, уста-
мовленные там для отдельных-тензоров, автоматически переносятся
и на тензорные поля, если подразумевать, что эти операции про-
производятся над тензорами поля в каждой точке М области Q.
Так, например, сложение тензоров двух полей одинаковой ва-
валентности
48 ТЕНЗОРЫ, В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
означает построение нового тензорного поля
cijk (М) = aiJk (М) + blJk (M) (9.7)
путем сложения тензоров а^к и btjk в каждой точке М области Q.
Аналогично и перемножение тензоров двух нолей, например,
aijk(M) и blm (M), означает построение нового тензорного поля
путем перемножения тензоров a{j-k и Ь1т в каждой точке М об-
области Й.
Аналогично операции свертывания и подстановки индексов про-
производятся над тензором поля в каждой точке М области Q.
Но помимо алгебраических операций над тензорами поля можно
производить еще операцию дифференцирования, которая и опреде-
определяет лицо тензорного анализа.
§ 10. Дифференцирование тензора поля
Рассмотрим какое-нибудь тензорное поле, для примера, трехва-
трехвалентное:
aijk = aijk(M) = aijk(Xl> xi, хз)- О0-1)
Нас интересует вопрос (действительно очень важный для при-
приложений): как меняется наш тензор от точки к точке в бесконечно
малой окрестности данной точки М(хг, х2, х3). Для этой цели мы
смещаемся из точки М в произвольную бесконечно близкую точку М.
Говоря более точно, это бесконечно малое смещение состоит
в том, что мы движемся по некоторой параметрически заданной
кривой
*!=---*!(/), л:3=л:2(Г), x3=x3(t), A0.2)
причем при данном значении t мы находимся в Ж, а при бесконечно
близком значении t-\-h.t попадаем в бесконечно близкую точку М'.
Все дифференциалы, которые мы будем выписывать, предполагаются
взятыми по отношению к аргументу /.
Функции х{ (t) мы считаем, конечно, непрерывно дифференци-
дифференцируемыми.
Радиус-вектор ОМ точки М в силу A0.2) выражается формулой
^2-М')ег, A0.3)
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТЕНЗОРА ПОЛЯ 49
а его дифференциал, который дает главную линейную часть век-
вектора смешения ММ и который мы будем обозначать <Ш, имеет вид
rfM = 2^/@ е, « ММ. A0.4)
В силу A0.1) и A0.2) координаты тензора atjk меняются как
сложные функции от /; их дифференциалы при нашем бесконечно
малом смещении ММ' вычисляются по формулам
daiJk = 2*-^dxv A0.5)
Тензор с координатами daijk мы будем называть абсолютным
дифференциалом тензора поля а,-^*).
Абсолютный дифференциал dalk зависит, очевидно, и от точки
Л! и от данного бесконечно малого смещения из М в М'. То, что
это действительно тензор, легко проверить. В самом деле, при пе-
переходе к новой координатной системе
e'P = 2<V/ 00.6)
координаты тензора aijk испытывают преобразование
W V4/,fce,yft; A0.7)
1" / k
дифференцируя почленно, получим:
,AA*dfl//»> O0.8)
так как Api от выбора точки М не зависят и при переходе от N\
к ЛГ ведут себя как постоянные.
Таким образом, для daijk также имеет место тензорный закон
преобразования.
Как видно из формулы A0.5), дли характеристики изменения
тензора а{,к от точки М к любой бесконечно близкой точке М'
нужно знать частные производные '; от координат тензора atJ-k
по координатам точки У (х1, лг3, х3).
Мы будем обозначать для краткости
даИк
ОХ[ J
*) Смысл термина «абсолютный» выяснится позже, когда абсолютный
дифференциал будет рассматриваться в криволинейных координатах (вообще
говоря, в пространстве аффинной связности, в частности, в евклидовом про-
пространстве).
50 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Выясним, по какому закону будет происходить преобразование
этих величин при переходе к новой координатной системе A0.6).
Как мы знаем, при этом переходе старые координаты точки М
выражаются через новые согласно A.13):
** = 2A/*s- A0.10)
Вычислим теперь величины A0.9) в новой координатной системе:
Последнее выражение получено по правилу дифференцирования
функции от функции (можно считать а' г функциями от хх, х2, xs,
причем эти переменные сами являются функциями от х' х х
2. 2 3
в силу A0.10)). Так как согласно A0.10)
и согласно A0.7)
Л Л
дх
i
(А ,-— величины постоянные), то окончательно A0.11) принимает вид
V,«W = 2222 AslApiAqJArkVtalJk. A0.12)
/ i j k
Мы видим, что Viaijk преобразуются как координаты четырех-
четырехвалентного тензора (при трехвалентном исходном тензоре я,-»)-
Наши рассуждения дословно повторяются и при любой валент-
валентности исходного тензора. Таким образом, получаем следующий ре-
результат. Совокупность всех частных производных 1-го порядка
(например, V^,^) от координат тензора поля по координатам х1
той точки, где этот тензор в данный момент рассматривается, об-
образует снова тензор на единицу высшей валентности, а именно,
в качестве добавочного индекса появляется индекс той координаты,
по которой берется производная.
Новый тензор Viaijk можно построить в любой точке М обла-
области Q, так что по существу мы из тензорного поля aijk получили
новое тензорное поле ^ьа^к.
Тензор поля Viaijk называется абсолютной производной тензора
поля aiJk.
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА ПОЛЯ 51
Формулу A0.5) теперь можно переписать в виде
xtftaijb A0.13)
и понимать в том смысле, что тензор daijk есть результат сверты-
свертывания двух тензоров dxL н V^.^.
В качестве простейшего случая рассмотрим дифференцирование
скалярного ноля
а = а{М)==а(х1, х2, xs). A0.14)
Абсолютная производная есть одновалентный тензор
V,-« = ~. A0.15)
Как и всякий одновалентный тензор, V,a может быть истолко-
истолкован как вектор с теми же координатами. Этот вектор называется
градиентом скалярного поля
grada = 2v,-«-e,-. A0.16)
i
Формула A0.13) принимает вид
da = 2 dxl-4la = dM -grada. A0.17)
Последняя запись в виде скалярного произведения легко полу-
получается при помощи формул A0.4) и A0.16).
Итак, дифференциал скаляра а (М) при бесконечно малом сме-
смещении ММ' равен скалярному произведению дифференциала радиуса-
сектора dM на градиент скалярного поля.
Градиент скалярного поля определяется, разумеется, в каждой
точке области Q, в которой скалярное поле задано, и образует
векторное поле.
Приведем примеры.
1°. Силовое поле F (М) (где F (М) — напряженность поля, т. е.
сила, действующая в точке М на единицу заряда (массы)) назы-
называется потенциальным, если F (М) в каждой точке есть градиент не-
некоторого скалярного поля а (М):
F = grade A0.18)
Функция а (М) называется потенциальной функцией данного си-
силового поля и лишь знаком отличается от его потенциала.
Физический смысл формулы A0.17) состоит в том, что прираще-
приращение потенциальной функции при бесконечно малом смещении ММ'
52 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. 1
равно работе, производимой силой поля при этом же смещении над
единицей заряда (массы). Правда, в формуле A0.17) выписаны не
сами названные величины, а их главные линейные части, но если A0.17)
почленно проинтегрировать по какому-либо пути, то наше утвер-
утверждение оправдается, и притом для любого конечного пути (а не
только для бесконечно малого).
2°. Рассматриваем скалярное поле а (Ж), где а (М) выражает
давление в произвольной точке идеальной жидкости, заполняющей
некоторую область Q. Тогда grad а имеет следующий физический
смысл: вектор
F = —gradarfo) A0.19)
выражает равнодействующую сил давления, приложенных к элемен-
элементарному объему da».
3°. Скалярное поле а(М) выражает температуру в различных
точках однородного, но неравномерно нагретого тела. Здесь вектор
F = — kgrada A0.20)
выражает плотность теплового потока, идущего от более теплых,
к более холодным местам тела; k — коэффициент теплопроводности.
Более подробно, роль вектора F состоит в том, что тепловой поток
в каждой точке идет по его направлению, причем через ортогональ-
ортогональный к F элемент площади do за единицу времени проходит коли-
количество тепла, равное |F|rfa.
§11. Дифференцирование одновалентного тензора
Пусть в некоторой области Q нам дано одновалентное тензор-
тензорное поле
= a,(x1, х2, х3), A1.1)
или, что то же самое, векторное поле
а = а(М) = 2>,.(М)е,.. A1.2)
Его дифференцирование, которым мы сейчас займемся, исключи-
исключительно важно для приложений. Формулы A0.5), A0.13) для нашего
случая примут вид
§ 11] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОДНОВАЛЕНТНОГО ТЕНЗОРА 53
Абсолютная производная представляет собой в нашем случае
иоле двухвалентного тензора, координаты которого мы обозначим:
e/« = V,a, = g. (П.4)
Вводя обозначение а-а для координат тензора, мы сознательно
сделали так, чтобы индекс дифференцирования занимал второе место.
Двухвалентному тензору ап всегда отвечает, как мы знаем, аф-
аффинор Щ, с теми же координатами ап. Вместе с тензором аи аффи-
аффинор Ж определится в каждой точке М, так что мы получаем аффи-
норное поле
Ш = Ш(М). A1.5)
Итак, абсолютной производной вектора поля а (М) можно считать
аффинор поля 91 (/И), где координаты аффинора определяются через
координаты вектора по формуле
*«=%• (П-в)
Этот аффинор мы будем называть производным аффинором век-
векторного поля а (М).
Перепишем теперь A1.3) в виде
цёх,, A1.7)
где дифференциалы взяты при произвольном смешении из данной
точки М в бесконечно близкую точку М'. При этом согласно A0.4)
dxt— координаты вектора «!М « МЛ1', а dai— координаты век-
вектора с?а, что легко получить, дифференцируя A1.2) почленно:
В таком случае A1.7) можно переписать в виде
7ъ = Ъ.Ж. A1.8)
В самом деле, A1.7) можно рассматривать согласно C.13) как
координатную запись действия аффинора Ш. на вектор <Ш, причем
получается вектор da.
Итак, абсолютная производная Щ,{М), действуя на вектор
dtA^MM', дает вектор da {M) ж Да (М). Пренебрегая бесконечно
малыми высшего порядка, можно сказать, что 31 (/И), действуя на
54 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
вектор бесконечно малого смещения ММ', дает соответствующее при-
приращение вектора поля ъ(М):
а (Ж') — а (ЛТ) = Да (/И) = 3(z, A1.9)
где г — ММ'.
Аффинор 9Ц/И) можно разложить (§ 8) на симметрическую
и кососимметрическую части:
A1.10)
причем координаты а.ц разложатся соответственно
аи = Ьи+си. A1.11)
Здесь
1 , . , . х 1 fdai , <Ч
да
¦Формула A1.8) принимает вид
с!а = 25<Ш + &<Ш. A1.14)
Действие аффинора (S можно заменить согласно E.6) вектор-
векторным умножением (слева) на определенный вектор и, координаты
которого в правой координатной системе выражаются через коор-
координаты аффинора по формулам E.3). В нашем случае эти формулы
принимают вид (после почленного умножения на 2, что будет для
нас удобно в дальнейшем):
п п да2 дал
3 1- дхх дх2 J
Формулу A1.14) можно теперь переписать следующим образом:
rfa = S3rfM+[udM]. A1.16)
Так как вектор и определяется вместе с аффинором E (/И) в каж-
каждой точке М области Q, то он образует векторное поле
u = u (/И),
порожденное, как мы видим, исходным векторным полем а (М).
§ 12] КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 55
Удвоенный вектор u [M) называется ротором векторного поля
а (М) и обозначается rota. Итак:
el
д
дхх
ai
^2
д
дх2
«2
е3
д
дх
Мы пользовались здесь формулами A1.15)
В правильности последней записи rot а в виде символического
определителя 3-го порядка нетрудно убедиться, развертывая его по
элементам первой строки.
Что касается симметрического аффинора 23 (М), то он не может
быть охарактеризован столь же просто, как 0,(М). Во многих при-
приложениях играет роль не столько он сам, сколько его след ^Ьц,
i
совпадающий, между прочим, со следом аффинора Ш. (М), т. е.
с ^ аи- Действительно,
i
2a//=S<*«+c^ = S*«' так как сп = °-
След аффинора 31 (М) есть инвариант, зависящий вместе с са-
самим аффинором от выбора точки М.
След аффинора 91 (М) называется дивергенцией исходного век-
векторного поля а (М) и обозначается div a:
?e- A1.18)
Дивергенция образует, таким образом, скалярное поле, порож-
порожденное данным векторным полем а (М).
§ 12. Кинематическое истолкование векторного поля
и его производного аффинора
Построения предыдущего параграфа получают наглядный кине-
кинематический смысл, если исходному векторному полю
2> A2.1)
придать следующее истолкование. Пусть область Q, в которой за-
задано векторное поле, заполнена некоторой подвижной деформирую-
деформирующейся средой, например жидкостью, и пусть вектор а (М) выражает
ту скорость, с которой движется частица жидкости, находящаяся
в данный момент в точке М.
56 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Для простоты движение жидкости будем считать стационарным,
т. е. поле скоростей а (М) не зависящим от времени.
Спрашивается, какой кинематический смысл получает производный
аффинор 21 нашего векторного поля.
Для этой цели мы проследим, что делается с бесконечно малой
«каплей» жидкости в процессе ее движения. Вырежем из жидкости
шарик с центром в какой-нибудь точке М и с бесконечно малым
радиусом р. С течением времени жидкость, заключенная в этом
шарике, перемещается с общим потоком жидкости, одновременно
вращаясь и деформируясь. Этот процесс мы и проследим.
Каждая точка, увлекаемая потоком жидкости,— мы ее будем кратко
называть «частицей жидкости» — описывает с течением времени t
•определенную траекторию
xl = xl(t), xi=x2(t), x8 = xs(t). A2.2)
При этом проекции вектора скорости на координатные оси равны,
как известно, ^т' ((« 1, 2, 3). С другой стороны, вектор скорости
совпадает в каждой точке М с вектором поля а (М), и его проек-
проекции равны а((Ж), т. е. at (xlt x2, xs). В результате
|'-а,.(^,л-а,х3) (г = 1,2,3). A2.3)
Таким образом, функции A2.2) должны удовлетворять системе
обыкновенных дифференциальных уравнений A2.3).
Частица жидкости, находящаяся в данный момент в точке М,
спустя бесконечно малый промежуток времени е сместится на век-
вектор гл(Л1), если пренебрегать бесконечно малыми высшего порядка.
В самом деле, скорость движения частицы жидкости в данный
момент выражается вектором а (Ж), и если бы эта скорость остава-
оставалась постоянной, то за время 8 смещение частицы точно выразилось
бы вектором еа(/И).
Но так как скорость движения частицы зависит от ее положе-
положения, то в процессе движения скорость будет, вообще говоря, ме-
меняться. Однако за бесконечно малый промежуток времени она успе-
успевает измениться, начиная от значения a(/W), лишь на бесконечно
малую величину. В результате еа (М) дает смещение с ошибкой
бесконечно малой высшего порядка (грубо говоря, бесконечно малая
ошибка в скорости умножается еще на б).
Будем рассматривать смещения всех частиц жидкости за беско-
бесконечно малый промежуток времени г, пренебрегая бесконечно малыми
высшего порядка относительно е. Тогда эти смещения можно считать
равными еа(Ж), где М — начальное положение частицы жидкости.
12]
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
57
Пусть М' — какая-нибудь точка в шарике бесконечно малого
радиуса р с центром в М. Подвергнем все точки шарика указанному
смещению; в частности, точки М, М' переходят в некоторые точки
L, V (рис. 3).
При этом, как мы знаем,
М?даеа(/М), M'L' да ea (.?').
A2.4)
Нас интересует, что произошло в результате смещения с век-
вектором ММ', ведущим из центра шарика М в его произвольную
точку М'. Очевидно, он перейдет в вектор LL', который можно
представить в следующем виде:
. A2.5)
В дальнейшем мы пренебрегаем бесконечно малыми высшего
порядка не только относительно е, но и относительно р тоже. Это
нужно оговорить особо, так как е и р — неза-
независимые друг от друга бесконечно малые. Тогда
можно принять согласно A1.9)
а (ЛГ) —а (М) = Да (М) да Ш,
где z — краткое обозначение для ММ'. Теперь
A2.5) дает:
LL'
A2.6)
Итак, преобразование вектора ММ' в вектор
LL' происходит (с указанной степенью точности)
посредством аффинора Е-\-г%, где 41 — производ-
производный аффинор векторного поля скоростей, а е —
протекший бесконечно малый промежуток времени. рис 3
Другими словами, бесконечно малые, векторы,
исходящие из центра М первоначальной «капли»
(т. е. нашего шарика радиуса р), переходят в векторы, исходя-
исходящие из центра L смещенной (и деформированной) капли, под-
подвергаясь действию аффинора Е-\-г%. Но действие такого аффи-
аффинора, как мы знаем (§ 8), сводится к чистой деформации, по-
порождаемой аффинором f-J-ei©, и к повороту посредством аффи-
аффинора Е-}-гЦ. При этом $3 и ($, — симметрическая и кососиммет-
рическая части аффинора 21. В нашем случае их координаты
58 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. 1
выражаются согласно A1.12) и A1.13). так как у нас 31 (М) — про-
производный аффинор векторного поля а (М).
В результате бесконечно малая шаровая капля жидкости за
бесконечно малый промежуток времени е подвергается (помимо
параллельного сдвига вместе со своим центром М на вектор
ML»еа {М)), во-первых, бесконечно малой чистой деформации
Е-{-еьЪ, т. е. растяжению (сжатию) по трем взаимно ортогональным
направлениям, превращаясь из шара в эллипсоид, и, во-вторых,
вращению Е-\-е(?. В силу (8.13) это вращение происходит с векто-
вектором угловой скорости и, который согласно A1.17) равен в нашем
1 ,
случае -^ rota.
Вращение любой бесконечно малой капли жидкости в процессе
ее движения происходит с (переменным) вектором угловой скорости,
равным в каждой точке -^ rota, где а — векторное поле скоростей.
Аффинор 23 называется аффинором скоростей деформации, а соот-
соответствующий тензор
\ /10 7\
, dxt) A2J)
— тензором скоростей деформации.
Как отмечалось в § 8, коэффициент объемного расширения при
действии аффинора Е-\-гШ равен (согласно (8.15)):
= 1 +elfl,.(.
Но в нашем случае в силу формулы A1.18)
2 аи = diva,
и следовательно,
j/
-у-= 1 +е diva.
Отсюда видно, что в процессе движения жидкости относительное
объемное расширение G каждой ее бесконечно малой капли за бес-
бесконечно малый промежуток времени б равно ediva (т. е. происхо-
происходит со скоростью div a):
e«ediva==eS*,7 (rj*e 0 = %^) • A2.8)
В этом и заключается кинематический смысл дивергенции вектор-
векторного поля.
Отметим важные частные случаи.
§ 12] КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 59
Векторное поле а (/И) называется соленоидальным, если
diva(/W) = 0. A2.9)
В нашем кинематическом истолковании это означает, что объем-
объемное расширение происходит с нулевой скоростью, т. е. любая про-
пространственная область, заполненная частицами жидкости в начальный
момент, с течением времени смещается и деформируется, не меняя
своего объема (строго говоря, это показано у нас лишь для бес-
бесконечно малых капель жидкости, и переход к конечному объему тре-
требовал бы еще некоторых рассуждений). Таким образом, условие A2.9)
при кинематическом истолковании векторного поля а(М) означает
несжимаемость жидкости.
Векторное поле а (М) называется потенциальным, если а (М)
представляет собой градиент некоторого скал'ярного поля
a(/W) = grada(/W). A2.10)
Согласно A0.16) координаты вектора а (М) выражаются фор-
формулами:
Ci=~ (/==1, 2, 3). A2.11)
Отсюда, в частности, вытекает, что для потенциального поля
rota (вычисляемый по формуле A1.17)) тождественно равен нулю:
rota = 0. A2.12)
Возвращаясь к кинематическому истолкованию^ рассмотрим случай
потенциального поля скоростей а (/И). Тогда обращение в нуль rota
означает, что вращение любой бесконечно малой капли жидкости
происходит с нулевой угловой скоростью, т. е. в каждый бесконечно
малый промежуток времени капля испытывает лишь смещение и чистую
деформацию. Движение жидкости — незавихренное. Условие A2.12),
т. е. незавихренность движения жидкости, является и достаточным
для того, чтобы поле скоростей было потенциальным, по крайней
мере, в любой односвязной области Q. Действительно, из A2.12)
в силу формулы A1.17) вытекает:
^з__^? = 0 ^!_^ —о -^?_^1^п по ^ч\
<Эх2 дхъ ' дх3 dXl ' дх1 дх2~ ' l^-ioj
а при этих условиях в односвязной области всегда можно подобрать
скалярное поле а (М) такое, что ai выражаются согласно A2.11), т. е.
а (М) = grad a (M).
60 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. i
§ 13. Малая деформация твердого тела
Все, что было сделано в § 12 для течения жидкости, применимо
в известном смысле и для малой деформации твердого тела. Анало-
Аналогично предыдущему мы будем представлять себе, что а (М) есть поле
скоростей, но теперь уже частиц твердого тела.
Однако перемещение частиц твердого тела мы будем допускать
лишь в течение некоторого малого промежутка времени е, в резуль-
результате чего получается малое, но конечное смещение каждой точки /VI
на вектор ба(/И). Это малое смещение точек твердого тела мы и
будем рассматривать.
Итак, разница по сравнению с трактовкой течения жидкости
заключается в следующем. Раньше промежуток времени е был бес-
бесконечно малым, т. е. стремящейся к нулю переменной величиной.
Теперь б — малая постоянная величина. Раньше за время е происхо-
происходила лишь бесконечно малая доля неограниченно продолжающегося
процесса течения жидкости. Теперь за малый промежуток времени б
происходит и заканчивается весь процесс смещения частиц твердого
тела. Добавим к этому, что в данном случае нас интересует не сам
процесс смещения, а только его результат, т. е. тот факт, что каж-
каждая точка М сместилась на малый вектор еа(ЛТ).
Если мы говорим все-таки о процессе смещения, то в сущности
лишь условно, чтобы подогнать наши построения под предыдущие
результаты и не повторять снова почти тех же рассуждений. Строго
говоря, нас интересует лишь векторное поле окончательных пере-
перемещений, которое мы будем обозначать:
w(M) = ea(M). A3.1)
Разделение же w (М) на множители г и а(М), как было сказано,
является по существу условным.
Несмотря на то, что б уже не бесконечно малая величина, мы
по-прежнему будем пренебрегать малыми второго порядка относи-
относительно е. При достаточно малых деформациях твердого тела это
приближение является практически допустимым, и на нем основывается
простейшая (линейная) форма теории упругости.
В таком случае результаты § 12 переносятся и на наш случай,
а именно, мысленно вырезанный из твердого тела бесконечно малый
шарик радиуса р с центром в точке М испытывает (помимо параллель-
параллельного сдвига вместе со своим центром на вектор w(/W)), во-первых,
чистую деформацию Е+вШ, во-вторых, поворот Е+ ей. Оба аффи-
аффинора применяются к бесконечно малым векторам, исходящим из центра
шарика.
При этом здесь играют роль лишь те малые добавки еЗЗ, е(?,
коюрые делаются к единичному аффинору Е, а не 33 и E в чистом виде.
§ 13] МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 61
Введем обозначения:
Соответственно обозначим координаты этих аффиноров:
- _ _ dat
aij-eai/-edxi'
- _ _ е /да,- *
cij~&cij- 2 \дх, дх
Мы воспользовались здесь формулами A1.12), A1.13).
Так как еа (М) = w (M), а значит, ea; = wf, то окончательно
получаем:
а„-%, A3.4,
Гак выражаются через вектор поля перемещений w (M) коор-
координаты аффиноров 9t, Й, ё, причем чистая деформация и враще-
вращение бесконечно малого шарика с центром в точке М вызываются
соответственно аффинорами ?+33, ?+й (воздействующими на все-
всевозможные бесконечно малые векторы, отложенные из точки М
внутри этого шарика).
Аффинор 45 называется аффинором деформаций и соответствую-
соответствующий тензор bij— тензором деформаций. Если предположить тело
упругим, то упругие силы, развивающиеся в нем, определяются
в каждой точке тензором деформаций, так как аффинор Е+(&
создает лишь поворот, а следовательно, не меняет взаимного рас-
расположения частиц тела в пределах вырезанного нами бесконечно
малого шарика.
В формулах A3.3), A3.4) малый множитель е включен в рас-
рассматриваемые величины и в явном виде не выписывается. Поэтому
нужно просто помнить, что координаты Wj вектора перемещения w
и их частные производные ~_ мы считаем величинами малыми, так
что их квадратами можно пренебрегать (сравнительно с 1). Очевидно,
то же относится и к координатам тензоров b{j и с,у.
Отметим еще, что относительное объемное расширение будет
равно в нашем случае (согласно A2.В) и принимая во внимание
62 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
соотношение A3.1)):
При этом, умножая почленно A1.18) на г, мы имеем:
§ 14. Тензор напряжений
Пусть упругое тело подверглось некоторой деформации,и в нем
появились упругие напряжения. Это означает следующее.
Рассмотрим какую-нибудь плоскую площадку, мысленно внесен-
внесенную нами внутрь упругого тела и там как-либо установленную.
Проведем нормаль к этой площадке и выберем какое-либо из двух
направлений на нормали за положительное. Площадку мы в этом
случае будем называть ориентированной.
Вблизи данной ориентированной площадки упругое тело будет
рассечено ею на две части: одна из них расположена с положитель-
положительной стороны площадки (т. е. в сторону положительного направления
нормали), другая — с отрицательной стороны.
Наличие в теле напряжений означает, что первая из этих частей
действует на вторую через отделяющую их площадку с известной
силой. Эту силу мы будем называть силой напряжения, действующей
на данную ориентированную площадку. Разумеется, вторая часть
тела также действует на первую (по закону равенства действия
и противодействия), но, чтобы при подсчете силы напряжения не
сбиваться в знаке, мы условимся рассматривать действие именно пер-
первой части на вторую.
Охарактеризовать напряжения, существующие в теле, значит
уметь установить силу напряжения для любой ориентированной пло-
площадки, указанной в теле.
Однако наша постановка вопроса является слишком грубой и
нуждается в уточнении. Дело в том, что сила, действующая на пло-
площадку, большей частью непрерывно по ней распределена, и это рас-
распределение также должно быть указано.
Другими словами, мы должны указать силу, приложенную к каж-
каждому элементу (к каждому бесконечно малому кусочку) нашей пло-
площадки.
Это показывает нам, что нет смысла класть в основу рассмотре-
рассмотрение конечных площадок, а нужно ограничиться площадками беско-
бесконечно малыми. Так мы и поступим.
Выберем произвольно какую-нибудь точку М в рассматриваемом
теле и будем проводить через нее всевозможные ориентированные
бесконечно малые площадки. Каждую из этих площадок мы будем
§ 14] ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 63
характеризовать, во-первых, единичным вектором п, направленным по
ее нормали в положительную сторону, и, во-вторых, ее площадью dS.
При* этом мы представляем себе дело так, что вектор п является
для данной площадки постоянным; следовательно, ортогональная к п
плоскость, проходящая через М, в которой расположена площадка,
тоже постоянная, но сама площадка — переменная и стремится стя-
стянуться в течку М; при этом dS—>-0.
Форма площадки нас интересовать не будет.
Более коротко нашу площадку можно задать одним бесконечно
малым вектором
A4.1)
по которому, очевидно, можно определить и п, и dS (n—как еди-
единичный вектор того же направления, a dS — как модуль).
Обозначим F силу напряжения, действующую на площадку s.
Естественно предположить, что в данной точке М и при данном п
сила F, действующая на площадку, пропорциональна (пренебрегая
бесконечно малыми высшего порядка) ее площади dS.
Тем самым сила F не зависит от формы площадки и вполне опре-
определяется вектором площадки s, причем при умножении s на число
на то же число умножается и F. Итак, F мы должны искать как
функцию от s:
F = 3?(s), A4.2)
учитывая, что для всякого числа а
8? (ев) = сф (s). A4.3)
Последнее показывает, что достаточно знать ?у(п), чтобы опре-
определить и g- (s):
F = g (s) =¦ $ (n AS) = & (n) dS. A4.4)
Кроме того, отсюда видно, g (n) выражает силу напряжения на
данной площадке, отнесенную к единице площади, т. е. напряже-
напряжение Р на данной площадке. Итак,
F = PdS. A4.5)
Характер зависимости ^у (п) выводится в курсах теории упругости
из некоторых механических соображений, которые мы повторять здесь
не будем. Воспользуемся готовым результатом*), а именно, оказы-
оказывается, что в произвольной координатной системе проекции напря-
напряжения Р = g (n) на координатные оси выражаются линейно через
направляющие косинусы положительной нормали п, т. е. в наших
г) См., например, М. М. Филоненко-Бородич, Теория упругости
изд. 3-е, Гостехиздат, М.—Л., 1947, § 3, формулы A.8).
64 ТЕНЗОРЫ В TPF.XMHPHOM ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
обозначениях через координаты /г,, я„, /г3 единичного вектора п:
Мы обозначили /а, /12, ... напряжения Хх, X ... на площад-
площадках, параллельных координатным осям. В данной координатной
системе и в данной точке М это будут постоянные величины.
Запишем A4.6) в наших кратких обозначениях
r A4 7)
i
Умножим эти равенства почленно на dS. Тогда вектор Р со-
согласно A4.5) превратится в F, а вектор п в силу формулы A4.1)
в s, и мы получим:
Таким образом, для всевозможных бесконечно малых ориентиро-
ориентированных площадок, проведенных через данную точку ЛЬ координаты
вектора силы F линейно выражаются через координаты вектора
площадки s, а следовательно, сила F получается из вектора пло-
площадки s действием на него некоторого аффинора ^ с координа-
координатами f.j.
F = <ys. A4 9)
В самом деле, из линейного характера формул A4.8) сейчас же
следует, что для функциональной зависимости F = $ (s) соблюдается
свойство 5* (Si-hs2) = ^ (sx)-f^y (s2), что в сочетании с A4.3) и озна-
означает, что эта зависимость является некоторым аффинором (см. § 3).
Этот аффинор $ называется аффинором напряжений, а соответ-
соответствующий ему тензор /ц — тензором напряжений.
В каждой точке М будет свой тензор напряжений, так что в де-
деформированном упругом теле возникает поле тензора напряжений.
Чтобы уяснить себе смысл координат тензора напряжений в дан-
данной точке М, достаточно, например, положить п = ег.
Тогда
/*!"-= 1, «2 = «3=0.
и формулы A4.6) дают
/\=/ll. ^8-/21. ^8-Al. (H10)
Мы получаем координаты напряжения Р на площадке, ортогональ-
ортогональной к et.
§ 15] ЗАВИСИМОСТЬ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ 65
Таким образом, f^ выражает г-ю координату напряжения Р на
площадке, ортогональной к /-му орту еу. (i, / = 1, 2, 3).
Из механических соображений можно получить, далее, что тензор
напряжений должен быть симметрическим*)
Л/= //«- A4.11)
Тензор напряжений возникает не только в деформированном
упругом теле, но и, например, в жидкости. Если жидкость идеаль-
идеальная, т. е. силы внутреннего трения отсутствуют, то сила напряже-
напряжения F, действующая на площадку, может быть лишь силой нор-
нормального давления на эту площадку, т. е. направлена по нормали п
(в отрицательную сторону). Так как вектор площадки s тоже всегда
направлен по п, то в формуле A4.9) функция F оказывается всегда
коллинеарной с аргументом s, т. е. у аффинора ^ все направления
собственные.
Исследуя собственные направления симметрического аффинора
(§ 7), мы обнаружили, что этот случай возможен лишь тогда, когда
действие аффинора сводится к умножению на некоторое определен-
определенное число. Следовательно,
F = gs = — ps, т. е. 3? =¦—/>?, A4.12)
где число— р означает взятое с обратным знаком давление в данной
точке жидкости. Тензор напряжений имеет в этом случае вид
/„ = —/>. A4.13)
Если же жидкость вязкая, то тензор напряжений не обязан иметь
столь простой вид, так как помимо нормального давления на дан-
данную площадку действуют еще силы, порождаемые трением.
§ 15. Зависимость тензора напряжений от тензора деформаций
Основой теории упругости является установление зависимости
тензора напряжений от тензора деформаций. В самом деле, каждый
элемент деформированного упругого тела испытывает, как мы знаем,
параллельный сдвиг, поворот и чистую деформацию. Только послед-
последняя вызывает появление упругих сил, а следовательно, тензор на-
напряжений должен в каждой точке тела зависеть от тензора дефор-
деформаций, который как раз и выражает чистую деформацию. Если такая
зависимость будет установлена, то становится ясной и основная
схема теории упругости, которая в грубых чертах такова: ускоре-
ускорения, испытываемые частицами упругого тела, зависят от напряже-
напряжений в нем, эти последние зависят от тензора деформаций, а гензор
деформаций выражается уже известным нам образом через переме-
*) См. там же, § 2, формулы A.6).
3 П. К. Рашсвский
66 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
щения частиц тела. Следовательно, ускорения частиц тела выра-
выражаются в зависимости от их перемещений, что и приводит к основ-
основным дифференциальным уравнениям теории упругости.
Итак, речь идет о зависимости тензора напряжений /у (§ 14)
от тензора деформаций btj (§ 13).
В первом приближении (как это большей частью и делается
в теории упругости) эту зависимость можно считать линейной.
Для однородных и изотропных тел она имеет вид
C A5.1)
Здесь К и fx — коэффициенты Ламе, постоянные для данного тела,
а 0 — относительное объемное расширение A3.7):
Разумеется, 0 — инвариант преобразования координатной системы
и по своему геометрическому смыслу, и как след аффинора 33. Обра-
Обратим внимание на инвариантный характер зависимости A5.1): в какой
бы координатной системе ни вычислять /у по этой формуле, они
всегда будут служить координатами одного и того же тензора.
В самом деле, /у получаются сложением координат двух тензо-
тензоров, из которых один — единичный тензор 6,-у, умноженный на инва-
инвариант KQ, а другой — тензор деформаций by, умноженный на инва-
инвариант (и даже константу) 2fx. Операция носит, таким образом, тен-
тензорный характер. Легко заметить, что три взаимно ортогональных
собственных направления являются общими для тензора деформа-
деформаций и для тензора напряжений (главные оси деформаций и напряже-
напряжений). В них картина деформаций и напряжений становится особенно
простой.
На обосновании формулы A5.1) мы останавливаться не будем,
отсылая за этим к курсам теории упругости.
Несколько иной вид принимает зависимость A5.1) в случае жид-
жидкости (вообще говоря, вязкой). Аффинор напряжений $ состоит
здесь из двух слагаемых gU), ?р\ первое из которых представляет
собой реакцию жидкости на изменение ее формы. Его мы сейчас и
рассмотрим. Жидкость не оказывает сопротивления изменению ее
формы, если это изменение уже произошло, однако оказывает сопро-
сопротивление в самом процессе изменения, что и выражается в силах
внутреннего трения.
Поэтому та часть тензора напряжений, которая связана с силами
внутреннего трения, будет зависеть не от аффинора деформаций 8,
а от аффинора скоростей деформации 23 A2.7) с координатами
; . да,
§ 15] ЗАВИСИМОСТЬ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ 67
Здесь, как и в § 12, а(- — координаты вектора поля скоростей
а (Ж).
При этом нужно учитывать даже не весь аффинор скоростей
деформации S3, а только ту его часть 53A), которая отвечает изме-
изменению формы элемента жидкости,, откинув другую часть 33B), отве-
отвечающую лишь изменению объема.
Говоря точнее, мы разлагаем аффинор ИЗ на два слагаемых:
23 = »A) + 5»(г> A5.4)
таким образом, чтобы $8B) имело вид
Ъ™ = ЬЕ A5.5)
и, следовательно, вызывало бы в элементе жидкости происходящее
с известной скоростью преобразование подобия.
Действительно, как мы знаем из § 12, за бесконечно малый про-
промежуток времени е элемент жидкости подвергается деформации при
помощи аффинора f-f-еЭЗ; в том числе за счет 23С2) получается
аффинор
Е + е»'» = A+е*)?, A5.6)
который означает преобразование подобия с изменением линейных
размеров в отношении \-\-eb. Коэффициент b в формуле A5.5)
мы выбираем так, чтобы это преобразование подобия могло принять
на себя все изменение объема элемента жидкости. Тогда оставшееся
слагаемое 5J3A) определяет как бы чистое «изменение формы» элемента
жидкости без изменения объема. За возникновение сил внутреннего
трения мы будем считать ответственным именно это первое слага-
слагаемое Й5Ш. Действительно, второе слагаемое 45B) означает лишь пре-
преобразование подобия, т.е. равномерное объемное расширение (сжа-
(сжатие) элемента жидкости; это изменяет лишь давление р (в более
детальной теории соответствующее слагаемое в р рассматривается
отдельно).
Подсчитаем теперь коэффициент Ь. Преобразование подобия
A5.6) означает изменение объема в отношении
A+6еK«1+36е. A5.7)
Мы откинули здесь бесконечно малые высшего порядка отно-
относительно е.
Поскольку преобразование подобия A5.6) мы подбираем так,
чтобы оно приняло на себя все изменение объема, нам приходится
положить:
36 = diva = 2*». A5.8)
Действительно, как видно из A5.7), при нашем преобразовании
подобия относительное объемное расширение за время е равно Зйе,-
68 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [гл. 1
Оно должно совпадать с имеющим место в действительности отно-
относительным объемным расширением A2.8), откуда и получаем A5.8).
Итак, мы от аффинора скоростей деформации 23 отщепляем
аффинор
23B) = -g- div a • Е, A5.9)
принимающий на себя все изменение объема элемента жидкости,
а оставшийся аффинор
23<i> = aj —4-diva-?, A5.10)
О
означающий лишь изменение формы без изменения объема, считаем
целиком ответственным за возникновение сил внутреннего трения.
В гидродинамике принимается, что в изотропной вязкой жид-
жидкости первая часть ?уш аффинора напряжений ^, вызванная силами
внутреннего трения, пропорциональна аффинору 23A):
gA» = 2н-ЭЗA) = 2fi |s—jdiva-fi. A5.11)
Коэффициент |j, — для данной жидкости величина постоянная —
называется ее коэффициентом вязкости.
Если записать A5.11) в координатной форме, то получим:
A5.12)
где Ьц определяется но формуле A2.7), a bi}- — координаты еди-
единичного аффинора Е. Как легко проверить, пользуясь A5.8), след
аффинора ^A) равен нулю.
Вторая часть ^уB) аффинора напряжений ?у, не связанная с си-
силами внутреннего трения, принимается такой же, как и в идеальной
жидкости, где эти силы полностью отсутствуют. В силу A4.12)
получаем:
^у — —p?Z} \io.io/
гдер=р(Л1) — давление в данной точке жидкости (в данном случае
после исключения сил внутреннего трения).
В координатной записи:
fif]= —рб,7. A5.14)
Складывая почленно A5.11) и A5.13), получим окончательное
выражение тензора напряжений:
g = 2n \Ь— -diva-M— pE. A5.15)
§ 16] поток векторного поля через поверхность 69
Соответственно в координатах:
l7«= 2|i {?,7 — j diva •&,,"¦
/l7«= 2|i {?,7 — j diva •&,,"¦ — р6и =
Так как след аффинора ^уш равен нулю, то след ?у совпадает
со следом $B), т. е. имеет значение Зр. Отсюда давление р в каж-
каждой точке можно вычислить по формуле
P*-lZ/ic A5.17)
В случае несжимаемой жидкости, плотность которой р (М) = const,
давление р (М) связывается с вектором скорости дифференциаль-
дифференциальными уравнениями движения жидкости,— ими мы еще будем зани-
заниматься. В случае сжимаемой жидкости р{М) связано, кроме того,
с плотностью р (М) =Ф const определенными соотношениями, кото-
которыми мы заниматься не будем.
§ 16. Поток векторного поля через поверхность
Возвратимся к общей теории векторного поля а (М). Пусть нам
дана некоторая ограниченная кусочно гладкая поверхность 5. Это
значит, что она склеена из конечного числа ограниченных кусков,
на каждом из которых (включая границу куска) она обладает не-
непрерывно меняющейся касательной плоскостью. Говоря более точно,
мы требуем, чтобы поверхность могла быть склеена из конечного
числа кусков, каждый из которых при подходящем выборе коорди-
координатных осей можно задать уравнением
x3=f(xlt хг), A6.1)
где f(xlt х„) — функция с непрерывными частными производными
1-го порядка, определенная в некоторой области D на плоскости
jCj, x2; при этом D ограничена кусочно гладким (не самопересекаю-
самопересекающимся) контуром. Функция / определена на D, включая и ее гра-
границу. Далее предполагается, что склеивание производится так, что
кусочек поверхности в окрестности каждой точки склеивания допу-
допускает взаимно однозначное и непрерывное отображение на кружок.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие поверхности.
Кроме того, мы будем считать, что поверхность двусторонняя и,
следовательно, ее нормаль (определенная во всяком случае на каж-
каждом отдельном ее куске) может быть снабжена положительным
направлением так, что единичный вектор п, идущий в этом напрнв-
70
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. I
лении, указывает в местах склейки «в одну и ту же сторону» от
поверхности, независимо от того, какому из склеиваемых кусков он
принадлежит. Конечно, предполагается, что в пределах каждого
отдельного куска вектор п меняется от точки к точке непрерывно.
Если поверхность ограничивает некоторое пространственное тело,
то вектор п мы будем направлять по внешней нормали, если же
нет, то предполагаем, что выбор п произведен каким-нибудь одним
из двух возможных способов.
Поверхность S мы будем называть в этом случае ориентирован-
ориентированной и только такие поверхности будем рассматривать.
Если поверхность 5 помещена в той области Q, в которой за-
задано векторное поле а(ЛТ), то для Этой поверхности можно опре-
определить важное понятие потока векторного ноля.
Потоком векторного поля а (М) через данную поверхность S
называется взятый по этой поверхности двойной интеграл от элемента
площади dS, умноженного на нормиль-
ную составляющую вектора поля а.(М):
A6.2)
Так как п — единичный вектор нор-
нормали, то скалярное произведение an выра-
выражает как раз проекцию вектора поля а
на положительное направление нормали
к поверхности. Двойной интеграл по по-
поверхности следует понимать как сумму со-
соответствующих интегралов по гладким
кускам, составляющим поверхность.
Значение введенного нами понятия вы-
выясняется из следующих примеров.
1°. Пусть а (М) — поле скоростей ста-
стационарного движения жидкости (§ 12).
Тогда поток р выражает объем жидкости, протекающей за единицу
времени через поверхность с отрицательной ее стороны на поло-
положительную (если жидкость сжимаемая, то объем каждой «капли»
жидкости мы оцениваем в момент ее протекания через поверхность S).
Разумеется, если течение жидкости происходит в обратном направ-
направлении, то поток засчитывается с отрицательным знаком.
В самом деле, за бесконечно малый промежуток времени е ча-
частицы жидкости, находящиеся на элементе поверхности dS, сместятся
на вектор еа (рис. 4). В результате этого через площадку dS
вытеснится некоторый объем жидкости, заключенный в наклонном
цилиндре с основанием dS и с образующей, которая совпадает
с вектором еа. Этот объем dV мы найдем, умножая площадь осно-
Рис. 4.
§ 16] ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ 71
вания цилиндра dS на его высоту /г, которая равна проекции обра-
образующей еа на перпендикуляр к основанию dS, т. е. на нормаль
к поверхности:
Интегрируя полученный элементарный объем по всей поверхно-
поверхности 5, мы видим, что полный объем жидкости, протекающий через
5 за время е, равен
е ^ an dS,
а за единицу времени он, следовательно, равен потоку р, как видно
из A6.2).
Рассуждение, которое мы сейчас провели, нельзя, разумеется,
считать доказательством, так как оно было проведено чрезвычайно
грубо; мы путали маленький кусочек кривой поверхности dS с ку-
кусочком плоскости, переменный вектор а (М) считали в пределах dS
постоянным, а в заключение суммирование по кусочкам поверхности
подменили двойным интегрированием. Однако это грубое рассуждение
содержит правильную идею, и, уточняя его, можно было бы показать,
что все допущенные нами ошибки исчезают при предельном переходе
к интегралу, так что окончательный результат является правильным.
Чтобы не загромождать изложения, мы ограничимся здесь, как и в
других примерах этого параграфа, лишь такого рода ориентировоч-
ориентировочными рассуждениями.
2°. По-прежнему а (М) — поле скоростей стационарного движения
жидкости, а р (/И) — ее плотность. Тогда поток вектора р (М)а(М)
через поверхность 6'
^ pan dS A6.3)
s
дает массу жидкости, протекающую через 5 за единицу времени.
В самом деле, подсчитывая массу жидкости, протекшую за вре-
время е через элемент поверхности dS, мы должны умножить на плот-
плотность р соответствующий объем dV\
Интегрируя затем по всей поверхности S и относя результат
к единице времени (т.е. деля на е), получаем A6.3).
Возвращаясь к общему определению потока A6.2), отметим,
что его (в целях последующих выкладок) можно переписать так:
S5
s
Здесь скалярное произведение векторов а и п записано как
результат свертывания соответствующих тензоров.
72 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. [
§ 17. Поток аффинорного поля через поверхность
Пусть теперь в области Q, где выбрана поверхность S, вместо
векторного поля а (М) задано аффинорное поле 91 (Af), т.е. вместо
поля одновалентного тензора а{ — поле двухвалентного тензора а^.
Мы определяем поток аффинорного поля Щ. (М) через поверх-
поверхность S как взятый по этой поверхности двойной интеграл от элемента
площади dS, умноженного на результат действия аффинора чЧ на
вектор единичной нормали п:
$ $ fa dS. A7.1)
Поток р аффинора Ж (М) как результат интегрирования вектора
9Хп также будет вектором в отличие от потока р вектора а (УМ),
который представлял собой число.
Что же касается интегрирования вектора 9(п, то, не вдаваясь
в излишние разъяснения, его можно определить просто как интег-
интегрирование каждой из координат этого вектора по отдельности.
Тогда формула A7.1) распадется на три координатные формулы:
Pi = И 2 aiJnJdS С = *. 2> 3). A7.2)
s /
и
Мы выразили здесь координаты вектора ЗГп согласно C.13) при
помощи тензорной операции свертывания.
В этой записи обнаруживается глубокое формальное родство
понятий потока векторного поля и потока аффинорного поля.
В самом деле, формула A7.2) представляет собой как бы повторен-
повторенную в трех вариантах (при i=\, 2, 3) формулу A6.4). Этим род-
родством мы в дальнейшем воспользуемся.
Не нужно забывать, что величины а^-, fij, стоящие под знаком
интеграла A7.2), меняются от точки к точке поверхности, хотя мы
и не выписываем явно их аргументов. Аналогично дело обстоит и в
.случае A6.4).
Теперь укажем важнейшее приложение понятия потока аффинора.
Пусть в какой-либо сплошной среде имеются силы напряжения,
характеризуемые полем аффинора напряжений ^ с координатами f.,.
Составим поток этого аффинора через какую-либо поверхность S,
мысленно построенную нами в рассматриваемой среде. Тогда в силу
ndS. A7.3)
§
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО
73
Но подынтегральное выражение согласно A4.4) представляет
собой силу напряжения, приложенную к элементарной площадке dS
(которая предполагается ориентированной соответственно ориентации
всей поверхности S). Поэтому в результате интегрирования мы по-
получаем равнодействующую р всех сил напряжения, приложенных
к поверхности S. Таков смысл потока аффинора напряжений.
§ 18. Теорема Остроградского
Теорема Остроградского сводит вычисление потока векторного
поля а (М) через замкнутую поверхность S, ограничивающую неко-
некоторое пространственное тело со, к тройному интегралу по этому
телу от дивергенции вектора а:
[ [ an dS = \ М div a da.
A8.1)
Здесь dm обозначает элемент объема, п — единичный вектор
внешней нормали. Для доказательства удобно переписать A8.1)
в координатной форме:
j ^(a1n14ain.i+a3ns)dS=
дхх ' дх2
p)dn. A8.2)
Мы докажем сначала формулу A8.2) в частном случае, когда
ах=а2 = 0. Тогда она нрини-
мает вид
A8.3)
На время можно забыть,
что а3— координата векто-
вектора а, а просто рассматривать
ее как некоторую (непрерыв-
(непрерывно дифференцируемую) функ-
функцию от координат лгх, х2, х&.
Предположим сначала,
что поверхность 5 такова,
что каждая параллель оси
Х3 пробивает ее не более чем в двух точках. Для краткости
будем называть поверхность S в этом случае правильно распо-
расположенной. Проектируя 5 на плоскость ХгХ2, получим на послед-
последней некоторую область D (рис. 5). Проводя параллели оси Xz через
Рис. 5.
74 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
точки M(xlt х2) области D, мы отмечаем на каждой из них точки
Llt L2 пересечения с поверхностью 5.
Пусть Lj расположена «ниже» L2*), т. е. обладает меньшей коор-
координатой х3. Когда точка М описывает область D, Lt описывает
нижнюю часть поверхности S, которую обозначим Slt a L2— верхнюю
часть, которую обозначим S2. При этом и для Lx, и для L2 коор-
координата х3 меняется в зависимости от хъ х2:
x3=fi(xi, x2) (для j); (
SI
Уравнения, которые мы записали, определяют, таким образом,
соответственно поверхности Sx и S2.
Функции flt /2 однозначны по определению и непрерывны, как
можно вывести из наших общих предположений о характере поверх-
поверхности 5 (§ 16).
Вычисляем теперь правую часть A8.3), производя сначала интег-
интегрирование по х3 при данных хъ х2 от fx до /2, а затем интегри-
интегрирование no xlt x2 в пределах области D:
1, x2))}dxxdx2. A8.5)
С другой стороны, рассмотрим левую часть A8.3), разбивая ее
на два интеграла — по Sx и по S2:
$$$ a3nsdS. A8.6)
s, s2
Если функция x3=^f1(x1, x2) обладает непрерывными частными*
производными 1-го порядка, то для соответствующей поверхности
Si элемент площади dS и единичный нормальный вектор п можно
записать, как известно, в виде
V +\дхг) +[dxz
08.8)
*) Или в крайнем случае с ней совпадает (когда М лежит на границе
чгти DV
) Или
области D).
§ 18] ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО 75
Знак + соответствует тому или другому выбору положитель-
положительного направления на нормали.
Отсюда, в частности,
1 A8.9)
1/ i + fVA' + fWi
Так как Sx образует нижнюю границу рассматриваемого объема,
то внешняя нормаль будет направлена «вниз» (т.е. в сторону убы-
убывания х3), и проекция п3 вектора п на ось Х3 будет отрицательной;
в формуле A8.9) мы выбираем знак минус. Перемножая A8.7) и
A8.9), получим:
n3dS = — dxxdx2, A8.10)
и следовательно,
5 5 astiadS = — ^ а3 dxx dx.2 =
= — 55«3(*i, хь fi(xi> x2))dx1dx2. A8.11)
D
В последней записи мы свели интеграл по поверхности Sx к двой-
двойному интегралу по переменным xlt x2, которые пробегают область D,
когда точка пробегает поверхность Sx. При этом пришлось уже
явно указать, что а3 берется для точек поверхности Sx, т. е. аргу-
аргументу х3 придается значение f\(X\, x2).
Совершенно аналогично мы поступаем с интегралом по S2 с той
только разницей, что S2 ограничивает рассматриваемый объем сверху,
вектор п будет направлен «вверх» (в сторону возрастания л:3), и в
формуле A8.9) мы должны будем взять знак плюс. Соответственно
и в формуле A8.10) знак — заменяется на +, и мы получаем:
5 5
s
a3n3dS = 5 5°з(л:1' ха> A(xi> х2))ах1ахг- A8.12)
Две последние формулы позволяют переписать A8.6) в виде
5 5 а3п3 dS = — 5 5 аз (xi, *2- Л (xi, хг)) dxi dxi +
s d
$5з(*1> Х2' /2(^1. x%)) dx\ dx%-
Сравнивая это выражение с A8.5), убеждаемся в справедливости
формулы A8.3), которую нам и требовалось доказать.
76
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. I
При доказательстве мы предположили, что fx (x1: х2) (и анало-
аналогично /2 (хи х2)) имеют непрерывные частные производные. В дей-
действительности это не везде соблюдается, так как поверхность ,S,
вообще говоря, лишь кусочно гладкая и, кроме того, на ней могут
встречаться точки, особенно по линии соединения Sx и S.2, в кото-
которых касательная плоскость параллельна оси Х3.
В таком случае доказательство равенства A8.12) (и аналогично
A8.11)) следует видоизменить: сначала это равенство устанавли-
устанавливается для отдельных гладких кусков S^ поверхности S., и соот-
соответствующих кусков DV) области D, откуда почленным сложением
приходим к равенству A8.12). При доказательстве равенства для
отдельного гладкого куска Si0 мы относим его к параметрам ult u2}
причем текущие координаты хх, х2, х3 являются функциями иг, и2
с непрерывными частными производными 1-го порядка.
Из дифференциальной геометрии известно, что тогда
A8.13)
где
В случае S% мы берем п3 положительным, вернее неотрицатель-
неотрицательным, так как л3 = 0 в точках, где касательная плоскость параллельна
оси Х2. Следовательно,
а значит,
Отсюда
1
3 У EG—F*
nsdS
\ as
д
С/ \Х\ у ^2/
д («!, гг2)
д
«х, и2)
(xi> xi)
(J'i> «г)
duxdu2.
dux duq — И о3
A8
A8
dx1dx2.
14)
15)
Последний знак равенства поставлен на основании формулы
преобразования переменных под знаком двойного интеграла. Этим
*) См., например, П. К. Рашевский, Куре дифференциальной гео-
геометрии, иза- 3-е, Гостехиздат, М.—Л., 1950, формулы C38), C50) и C60),
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО
77
равенство A8.12) доказано для отдельных кусков s{'\ а значит,
и для 52.
Аналогично поступаем с Si и его гладкими кусками S{p с той
лишь разницей, что в формуле A8.14), а значит, и в формуле
A8.15), в правой части до-
добавляется знак минус, и мы
приходим к A8.11).
Итак, формула A8.3) у
нас доказана, правда, пока
только для «правильно рас-
расположенных» поверхностей S.
Но она будет верна и для
произвольной замкнутой по-
поверхности S, ограничиваю-
ограничивающей некоторое пространст-
пространственное тело со. В самом деле,
это тело всегда можно раз-
разбить на куски со,, таким обра-
образом, чтобы ограничивающие
их поверхности 5,- были «пра-
«правильно расположенными» (не вдаваясь в подробности, будем считать
это наглядно очевидным; см, рис. 6). В таком случае мы выписываем
формулу A8.3) по отдельности для каждого куска
Рис. 6.
—-d(y)
A8.16)
и все эти формулы складываем почленно. В правой части сумма
интегралов по телам со,- даст соответствующий интеграл по со, а в
левой части сумма интегралов по поверхностям 5г даст интеграл по
поверхности S. В самом деле, интегралы по дополнительным поверх-
поверхностям, рассекающим тело со, берутся по два раза с противополож-
противоположными знаками и в сумме уничтожаются. Так, например, интеграл по
поверхности 012 войдет, во-первых, в состав интеграла по поверх-
поверхности Slt ограничивающей тело щ, и, во-вторых, в состав интеграла
по поверхности S%, ограничивающей тело оJ. Так как тела щ и ю3
примыкают к 012 с противоположных сторон, то внешние нормали
к 012 будут направлены в том и другом случае в противоположные
стороны, так что вектор п меняет направление на обратное, а его
проекция п3 меняет знак. Но вместе с л3 меняет знак и интеграл
И
asn3 dS,
Итак, формула A8.3) доказана окончательно. Но ввиду полного
равноправия координатных осей она будет верна и с заменой 3-го
индекса на 1-й или 2-й. Складывая все три формулы почленно,
78 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
получаем равенство A8.2), а следовательно, и A8.1). Доказательство
закончено.
Рассмотрим еще поток аффинерного поля 31 через замкнутую
поверхность S. Пользуясь координатной записью A7.2), получим:
Последнее выражение получено на основании формулы A8.2).
Введем понятие дивергенции аффинерного поля, а именно, сопоста-
сопоставим аффинорному полю 31 векторное поле div 31, определив коорди-
координаты вектора divSt формулами:
A8.18)
Мы видим, что координаты вектора div SI образуют одновалентный
тензор, полученный свертыванием тензора VAa,-y п0 1"МУ и 3-му
индексам; следовательно, вектор div SI будет в каждой точке вполне
определенным (не зависит от выбора координатной системы, в кото-
которой вычисляются его координаты; см. § 1).
Теперь A8.17) можно переписать в виде
или, что то же,
$ $ ^T A8.19)
Записав р в развернутом виде согласно A7.1), получим оконча-
окончательно
$$$ JJi A8.20)
Мы получили теорему Остроградского для потока аффинора
через замкнутую поверхность.
§ 19] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ 79
§ 19. Основные уравнения гидродинамики
Теперь мы можем составить основные дифференциальные урав-
уравнения гидродинамики. Они, в сущности, сводятся к записи второго
закона Ньютона для элемента жидкости.
Предположим для общности, что внутри жидкости действуют
(кроме сил напряжения) объемные силы, т. е. нам задано векторное
поле Q {M, t), выражающее в каждой точке и в каждый момент
времени силу, действующую на элемент жидкости и отнесенную
к единице ее массы.
Мы рассматривали до сих пор в случае течения жидкости лишь
стационарные процессы, когда все изучаемые нами величины, напри-
например, вектор поля скоростей а, плотность р, аффинор напряжений
j} и т. д, зависели лишь от точки М, в которой мы их рассматри-
рассматривали; теперь будем считать их, кроме того, и функциями времени:
а (М, t), р (M, t), % (М, t) и т. д.
Полученные ранее выводы этим затронуты не будут, так как
стационарность процесса мы предполагали лишь для простоты и по
существу не использовали.
Сначала составим равнодействующую сил напряжения, действую-
действующих на замкнутую поверхность S, которая выделяет каким-либо
образом часть нашей жидкой среды. Относительно поверхности S
сохраняем прежние предположения; п направляем по внешней
нормали.
Эта равнодействующая согласно A7.3) имеет вид
Пользуясь теоремой Остроградского A8.20), этот результат
можно переписать так:
JJJ A9.1)
где тройной интеграл берется по области, ограниченной поверх-
поверхностью S.
Далее, составим равнодействующую объемных сил
A9.2)
Этот интеграл также берется по области, ограниченной поверх-
поверхностью S, причем G@ — элемент объема, р don— элемент массы,
a Qp dm — объемная сила, действующая на этот элемент массы.
80 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. !
Составим, наконец, равнодействующую сил инерции для жидко-
жидкости, заключенной внутри S. Скорость каждой частицы жидкости
выражается вектором а (Л1, t), ускорение же ее будет выражаться
вектором
да. L9f
где Ш{М, t) — производный аффинор векторного поля а (М, t) (ко-
(который составляется в каждый данный момент времени так же, как
и в § 11).
Действительно, прослеживая движение одной частицы жидкости,
мы видим, что ее координаты х{ являются функциями от t, причем
в каждой точке М и в каждый момент времени t скорость ее дви-
движения выражается вектором а (/И, /)• Это можно записать так:
dM , .. ..
-г- — а (/И, /)
или в проекциях на оси:
^-в, (хг. х.г. хл, /). A9.3)
Чтобы найти проекции ускорения, дифференцируем по t еще
раз. Получаем:
d2Xj дп{ ! da-, &Xy da, dx2 , да^ dx3
dt2 dt г dxi dt дхг dt дхь dt '
Пользуясь формулами A1.6) и A9.3), получаем окончательно:
d2xj _ да,- J \ „ „ - да;
где й/j— координаты производного аффинора §(. Обозначая вектор
ускорения —Tjj- , можно перейти теперь от координатной записи
к векторной:
Умножая ускорение на элемент массы prfco, интегрируя по об-
области, ограниченной S, и беря результат с обратным знаком, мы
получаем равнодействующую сил инерции
Сумма всех сил, действующих на рассматриваемую часть жид-
жидкости, включая силы инерции, должна равняться нулю. Складывая
§ 19] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ 81
выражения A9.1), A9.2), A9.6) и приравнивая результат нулю,
получаем:
Л П Г* I 1 Л~ \
rfffl = 0. A9.7)
Так как этот тройной интеграл равен нулю для любой области,
вырезанной в нашей жидкой среде, то подынтегральное выражение
должно равняться нулю тождественно. Мы получаем:
-^-}-Sla = Q-i—div fy. A9.8)
При этом, пользуясь формулами A8.18) и A5.16), мы можем
вычислить координаты вектора
friivft1. = V df'f
V ° "' ! и V ' *г V aalv
div а с ^ч dp
52 д" д2
Так как 1 j—— = Д есть оператор Лапласа, то первый
дх\ дх\ дх\
член дает (дАа,-; во втором члене операцию -д- можно вынести за
ОХ;
знак суммы, а сумма дает тогда diva; в последних двух слагаемых
от суммы фактически остается по одному члену, именно, тому, где
j = i (остальные обращаются в нуль). Окончательно получим:
В векторной форме это же равенство принимает вид
div?? = nAa +-^graddiva —gradp. A9.10)
Вставляя полученное выражение в A9.8), имеем окончательно:
J H-!a=Q + ii Да+ -^ grid diva—-lgr7d/?. A9.11)
Это уравнение Навье-Стокса в инвариантной форме. Здесь фигу-
фигурируют неизвестные функции а(М, t), p (M, t) и р{М, t). Произ-
Производный аффинор Щ самостоятельного значения не имеет — его
координаты выражаются через координаты а {Л'1,1) по
82 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
формулам A1.6):
а -
Следует отметить еще, что оператор Лапласа А (в применении
к скалярному или векторному полю безразлично) носит инвариант-
инвариантный характер. Действительно,
д2а
А
3—
xi дх,-
да
есть результат свертывания тензора g—,—, полученного двойным
дифференцированием скалярного поля а (xv x2, xs), и, следователь-
следовательно, представляет собой инвариант.
Аналогично
есть результат свертывания тензора VjV/aA = =—#- по индексам i и у
и представляет собой, следовательно, снова тензор. Тем самым
вектор Аа, обладающий, очевидно, координатами Aak, будет инва-
инвариантно определенным вектором.
К уравнению A9.11) нужно присоединить так называемое урав-
уравнение неразрывности
^ 0, A9.12)
выражающее закон сохранения массы.
§ 20. Дифференциальные уравнения теории упругости
в перемещениях
Мы будем рассматривать малые колебания однородного изотроп-
изотропного упругого тела под действием объемных сил, которые (анало-
(аналогично § 19) заданы переменным векторным полем^(М, t). Вектор Q
выражает объемную силу, отнесенную к единице массы, в данной
точке Жив данный момент времени t. Искомым является перемен-
переменное векторное поле w (M, t), выражающее перемещение каждой
точки упругого тела (сравнительно с положением равновесия)
в каждый момент времени. Мы не будем ставить задачу в полном
виде и ограничимся инвариантной записью дифференциальных урав-
уравнений, накладываемых на w (M, t).
Тензор деформаций выражается формулой A3.5):
/два- ,
Ц+) B0Л)
§ 20] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 83
а тензор напряжений — согласно A5.1):
9 = 2*«. B0.2)
Выделим из упругого тела произвольный кусок ю, ограничен-
ограниченный некоторой поверхностью 5. Подсчитаем равнодействующую р
сил напряжения, действующих на <о через его поверхность 5.
Совершенно аналогично A9.1) получаем:
Wg-d<o, B0.3)
где $— аффинор напряжений, координаты которого имеют вид B0.2).
Далее, равнодействующая объемных сил тоже совершенно анало-
логично A9.2) имеет вид
SSSpdfo, B0.4)
где р — плотность упругого тела.
Заметим, что ввиду малости перемещений w мы позволяем себе
брать все интегралы по той области <о, которую занимает выделен-
выделенный кусок упругого тела в состоянии равновесия (а не по той
переменной области, которую он занимает в процессе колебаний).
По той же причине считаем, что плотность р не меняется в про-
процессе колебаний.
Теперь составим равнодействующую сил инерции:
n^d<o- B0-5)
ш
Действительно, -^^—- выражает в момент времени t уско-
ускорение точки, которая в положении равновесия совпадала с М,
а р dm дает элемент массы. Равнодействующая всех сил, дейст-
действующих на о), должна равняться нулю. Складывая выражения B0.3),
B0.4) и B0.5) и приравнивая нулю, получаем:
Ш(<
Поскольку равен нулю интеграл, взятый в любой момент вре-
времени по любому куску о) нашего упругого тела, то это значит,
что подынтегральная функция в любой момент времени и в любой
точке равна нулю. Поделив на р, получаем:
-ldivg- + Q-^ = 0. B0.6)
84 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОЗОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I
Пользуясь формулами A8.18) и B0.2), вычисляем координаты
/ *' i X/
Так как б7 равно 1, если /=у, и 0, если 1ф], то в первой
из двух сумм остается лишь один член А. -=—; во второй сумме про-
производим замену, используя формулу B0.1). Получим:
{dWg-}. = Я,|5. + (х V ^--f(i V-^-. B0.7)
Согласно B0.2), B0.1)
'а1 = div w B0.8)
Поэтому последний член в B0.7) равен f*x~> так что окончатель-
ох1
но можно написать:
JI B0.9)
Отсюда, возвращаясь к векторной записи, получаем:
div^=(X + fJ-)grad6 + HAw. B0.10)
Вставляя это выражение в B0.6), получаем дифференциальные урав-
уравнения упругих колебаний в перемещениях (Ламе), записанные в ин-
инвариантной форме:
•^(X + fi)gT^de + bAw + Q_U = oi we = dlvw. B0.11)
Таким образом, неизвестной функцией является здесь лишь w (Ж,/).
Функция Q (M, t) и константа р предполагаются заданными.
Кроме дифференциального уравнения на искомую функцию w на-
накладываются обычно граничные и начальные условия, но этим мы
заниматься не будем.
ГЛАВА И
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Я ИЗМЕРЕНИЙ
Исходным пунктом всех геометрических теорий являются свой-
свойства протяженности материальных тел и притом в основном в том
виде, как они были фиксированы в старейшей геометрической тео-
теории— в геометрии обычного трехмерного евклидова пространства.
В частности, и аффинная геометрия имеет тот же источник; а именно,
анализ различных геометрических свойств обычного пространства
показывает, что они не все равноценны по степени своей устойчи-
устойчивости, по степени той прочности, с которой они связаны с геометри-
геометрическими фигурами. Одни, как, например, отношение любым образом
расположенных отрезков, величина угла, свойство фигуры быть
кругом или шаром и т. д., сохраняются лишь при движениях про-
пространства как твердого тела (и преобразованиях подобия); другие,
более устойчивые, как, например, отношение параллельных отрезков,
параллельность двух прямых, свойство фигуры быть прямой линией
пли плоскостью и т. д., сохраняются, кроме того, и при всех
аффинных (линейных при записи в декартовых координатах) преоб-
преобразованиях пространства. Этот, более глубоко лежащий и более
прочно связанный с геометрическими фигурами класс свойств и об-
образует аффинную геометрию, которой мы будем Заниматься в этой
главе.
Однако при построении аффинной геометрии мы не пойдем путем
выделения аффинных свойств из числа евклидовых, напротив, мы
сформулируем самостоятельную систему аксиом, достаточную для
вывода всех аффинных свойств, и притом не только в трехмерном,
но и в многомерном пространстве. Позже — уже в следующей гла-
главе— мы построим на этой базе и евклидово пространство путем
введения добавочных аксиом.
§ 21. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства
Основными понятиями, не подлежащими прямому логическому
определению, будут служить у нас точка и вектор. (Это, ко-
конечно, не означает, что понятия точки и вектора будут лишены
у нас содержания. В нашей теории они будут определены носред-
86 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ ГЛ. II
ством перечисления их свойств в аксиомах. При этом мы считаем,
что теория вещественных (равно как и комплексных) чисел уже
построена.) Тогда нам достаточно принять следующие аксиомы.
1°. Существует по меньшей мере одна точка.
2°. Каждой паре точек А, В, заданных в определенном порядке,
поставлен в соответствие один и только один вектор.
Этот вектор мы будем обозначать АВ, но, если понадобится,
будем пользоваться обозначением и в виде отдельной (жирной)
буквы а, х и т. п.
3°. Для каждой точки А и каждого вектора х существует одна
и только одна точка В такая, что
АВ=х. B1.1)
Знак = между векторами (как и между числами) мы будем по-
понимать в смысле тождества, например, в данном случае = означает,
что АВ и х — это просто один и тот же вектор. В связи с этим нет
надобности обосновывать особыми аксиомами свойства знака = (на-
(например, транзитивность), так как это просто свойства логического
тождества. В дальнейшем мы именно так со знаком = и будем обра-
обращаться.
Следует подчеркнуть, что при наглядном истолковании нашей
аксиоматики вектор выступает не в виде направленного отрезка,
а в виде параллельного сдвига, которому подвергаются все точки
пространства. Поэтому наглядный смысл аксиомы 2° состоит в су-
существовании (единственного) параллельного сдвига, переводящего
данную точку А в данную точку В, а аксиома 3° в сущности озна-
означает, что каждый вектор х реализуется в виде сдвига, а именно,
каждой точке А ставит в соответствие определенную точку В сог-
согласно B1.1).
Конечно, очень полезно иметь в виду эти наглядные истолкования
наших аксиом, но не нужно забывать, что мы дадим аксиоматику,
достаточную для развертывания аффинной геометрии и независимо
от каких-либо наглядных соображений (как и полагается делать
при аксиоматическом построении математической теории).
4°. (Аксиома параллелограмма.) Если
AB=CD, то АС=вЬ.
Очевидно, наглядный смысл аксиомы 4° в основном состоит в том,
что при равенстве и параллелизме одной пары противополож-
противоположных сторон четырехугольника то же имеет место и для другой
пары.
§ 21] ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА ПРОСТРАНСТВА 87
Перечисленные четыре аксиомы образуют в известном смысле
законченную часть нашей аксиоматики: остальные аксиомы относятся
к умножению вектора на число и тем самым носят иной характер.
Поэтому, прежде чем перечислять остальные аксиомы, рассмотрим
следствия аксиом 1°—4°.
Теорема. Векторы АА и ВВ для любых точек А, В равны
между собой:
АА^ВВ. B1.2)
Для доказательства достаточно применить аксиому 4°, положив
С=А, D=B. Тогда, очевидно, справедливо равенство AB = CD
(так как оно сводится к АВ — АВ), а следовательно, по аксиоме 4°
справедливо и AC=BD, т. е. АА — ВВ.
Определение. Вектор АА (как было показано, один и тот
же при любом выборе точки А) носит название вектор-нуль и обо-
обозначается
АА-='о. B1.3)
Откладывая вектор 0 от любой точки М, мы получаем в каче-
качестве результата вектор ММ. Действительно, этот последний вектор
равен 0, а так как откладывание данного вектора происходит един-
единственным образом (аксиома 3°), то других возможностей предста-
представиться не может.
Теорема. Если AB=CD, то B~A^DC.
Доказательство. Применяя аксиому 4° к AB — CD, полу-
получим AC=BD, или, что тоже, BD = AC, откуда снова в силу аксио-
аксиомы 4° следует
Определение. Вектор ВА мы будем называть обратным по
отношению к вектору АВ. Вектор, обратный вектору х, обозна-
обозначаем—х.
Для каждого вектора х существует один и только один обрат-
обратный ему вектор—х. Действительно,, представляя х в различных
видах
х = АВ == CD --= . . . ,
8 8 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. И
мы тем не менее получим лишь один обратный вектор
согласно только что доказанной теореме.
Определение. Пусть нам заданы два каких-нибудь вектора
в определенном порядке, например, х, у. Выберем произвольно
точку А и отложим от нее вектор АВ=х (аксиома 3°), а затем
от точки В—вектор ВС—у (аксиома 3°). Точки А, С определяют
вектор АС (аксиома 2°), который мы будем называть суммой x-j-y
вектора х и вектора у (именно в этом порядке взятых). Итак:
или, что то же,
АВ+ВС=-АС. B1.4)
Теорема. Вектор х-(-у не зависит от выбора точки А (так
что сложение векторов—операция однозначная).
Доказательство. Повторим построение суммы при другом
выборе точки А и, следовательно, с другими точками В и С.
Новые точки будем обозначать штрихованными буквами. Тогда ана-
аналогично B1.4)
причем
Отсюда согласно аксиоме 4° следует, что
Применяя снова аксиому 4° к равенству
А^А^СС,
получаем:
А~Х' = АС,
т. е. результат сложения векторов х, у не зависит от выбора на-
начальной точки А.
Теорема. Сложение векторов—операция коммутативная;
х+у-у-г-х. B1.5)
§21] ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА ПРОСТРАНСТВА 89
Доказательство. Из произвольной точки А откладываем
(аксиома 3°) АВ=х, затем ВС—у, так что
ЛС=х + у, B1.6)
кроме того, из той же точки А откладываем AD = y.
Так как лВ = 5С = у, то (аксиома 4°) ~AB=Tdc, т. е. DC=x.
Можно считать, что из точки А отложен сначала вектор
AD=y, а затем ?)С = х, так что по определению сложения
ЛС=у + х. B1.7)
Сравнивая равенство B1.7) с B1.6), получаем:
Теорема. Сложение векторов — операция ассоциативная:
. B1.8)
Доказательство буквально такое же, как и в элементарной век-
векторной алгебре; повторять его мы не будем.
Ассоциативность сложения при любом числе слагаемых векторов
является простым следствием соотношения B1.8).
Короче говоря, сложение векторов, как оно у нас установлено,
обладает всеми обычными свойствами. В дальнейшем мы будем
обращаться с ним столь же непринужденно, как и в обычной век-
векторной алгебре (не делая каждый раз ссылок на соответствующие
теоремы).
Отметим, в частности, что
х + 0 = х. B1.9)
Действительно, представим вектор х (.аксиома 3°) как АВ, а век-
вектор "О — как ВВ. В силу B1.4) /Ш+55=Л5, и тем самым
Далее, всегда справедливо равенство
х+(—х)=0. B1.10)
Действительно, представим х как АВ; тогда — х по определению
представится как В А; но АВ-\-ВА — АА (согласно B1.4)), а зна-
значит, x-f (— х) = 0.
90 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ ГЛ. II
Определение. Вычесть вектор у из вектора х значит найти
вектор г такой, что
x. B1.11)
Вектор z мы будем называть разностью х — у.
Теорема. Вычитание — всегда выполнимая и притом однознач-
однозначная операция.
Доказательство. Допустим сначала, что разность z най-
найдена. Добавим к обеим частям B1.11) вектор —-у. Получим:
(—у).
В силу ассоциативности сложения можно в левой части сложить
сначала у и —у. Это дает 0 в силу B1.10), после чего согласно
B1.9) в левой части остается просто г. Получаем в результате
z = x + (—у),
т. е. если разность z существует, то она обязательно имеет такой
вид. Остается показать, что х-|-(—у) действительно есть разность.
Это легко проверить, складывая х-(-(—У) суй убеждаясь, что
в результате получается х. Итак,
х-у = х-Н-у). B1.12)
Отметим, в частности, что
х—х = х + (— х) = 0. B1.13)
§ 22. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства
(окончание)
Мы переходим теперь ко второй группе аксиом, связанной с
операцией умножения вектора на число. Под числами мы будем
здесь понимать или вещественные числа — тогда полученное аффин-
аффинное пространство называется вещественным — или комплексные числа—
тогда полученное аффинное пространство называется комплексным,
В изложении мы не будем разделять эти два случая до тех пор,
пока разница между ними не начнет сказываться (а это наступит
еще не скоро).
Если мы изучаем вещественное аффинное пространство, то везде
в дальнейшем изложении (а не только в формулировке аксиом) под
«числами», «численными значениями функций» и т. п. нужно пони-
понимать вещественные числа; если же речь идет о комплексном аффин-
аффинном пространстве, то везде имеются в виду комплексные числа.
Можно употреблять вместо чисел вообще элементы некоторого ал-
§ 22] ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА ПРОСТРАНСТВА 91
гебраического поля — тогда мы получим аффинное пространство над
этим полем. Последнее построение нам, впрочем, не понадобится.
5°. Каждому вектору х и каждому числу а поставлен в соот-
соответствие определенный вектор. Этот вектор мы будем обозначать
их и называть произведением вектора х на число а.
6°. 1х = х. B2.1)
Важнейшее значение этой аксиомы не в том, что умножение на
единицу не меняет вектора, а в том, что различными произведени-
произведениями векторов на числа можно исчерпать все векторы (а не только
их подмножество, как это было бы возможно, если бы аксиому 6°
исключить).
7°. (а+'Р)х = ах + Рх. B2.2)
8°. а(х+у) = ах +ау. B2.3)
Аксиомы 7° и 8° выражают два дистрибутивных закона: один —
для умножения вектора на сумму чисел, другой — для умножения
суммы векторов на число. Из них немедленно следуют аналогичные
правила при любом числе слагаемых.
9°. о(рх) = (ор)х, B2.4)
т. е. последовательное умножение вектора на числа Р и а сводится
к его умножению на их произведение.
Выведем некоторые следствия. Прежде всего при любом х
0х = 0. B2.5)
В самом деле, взяв произвольное число а, составим выражение
= ах. B2.6)
Мы воспользовались здесь аксиомой 7°. То, что a-f-0 = a, ра-
разумеется, нам известно из арифметики чисел и здесь в обосновании
не нуждается. Итак,
ax -j- Ох = ах, т. е. Ох = ах — ах = 0.
согласно B1.13). Тем самым B2.5) доказано.
Далее, отметим, что при любом a
a0 = 0. B2.7)
Действительно, взяв произвольный вектор х, составим выражение
ах + аО = а (х -f- 0) = их.
92 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. 11
Мы воспользовались здесь сначала аксиомой 8°, затем свойством
B1.9). Получаем, что
—> —?
аО = ах— ах = О,
и B2.7) доказано.
Очевидно, что установленные нами аксиомы и их следствия по-
позволяют беспрепятственно производить по обычным правилам вы-
выкладки над векторами с участием операций сложения и умножения
на число. Мы и будем в дальнейшем это делать уже без скрупу-
скрупулезных ссылок на аксиомы. Но еще одну очень важную аксиому,
которой нам не хватает, мы должны сейчас рассмотреть.
Речь идет о том, что наши аксиомы справедливы для точек и
векторов аффинного пространства любого числа измерений
/г = 0, 1, 2, ... и даже п ~ оо. Поэтому, если мы хотим остановиться
на пространстве определенного числа измерений, то нам придется
ввести еще одну соответствующую аксиому. Но предварительно
нужно сформулировать важные понятия линейной зависимости и ли-
линейной независимости векторов.
Определение. Пусть дано некоторое число векторов
\ъ х2, . . . , хт. Эти векторы называются линейно зависимыми, если
можно подобрать числа аъ а.г, ... , ат так, чтобы имело место
соотношение
а1х1 + ааха+...+аяхи = 0, B2.8)
причем среди чисел а17 а2, . . . , аот хоть одно не равно нулю. Если
же таких чисел подобрать нельзя, то векторы хх, х2, ... , х,л на-
называются линейно независимыми.
Смысл линейной зависимости векторов состоит в следующем.
Так как в соотношении B2.8), по крайней мере, один коэффициент
отличен от нуля, то будем считать для определенности ах^=0-
Прибавив к обеим частям равенства B2.8) вектор — а^, получим:
Умножим полученное равенство на почленно:
Обозначая для краткости
а2 о ат _ „
— --р2, ••• , — ^--Р»,
можно записать окончательно
х^-М^ ¦•• + ?«V B2.9)
§ 22] ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА ПРОСТРАНСТВА 93
Таким образом, при линейной зависимости векторов один из них
(но, вообще говоря, не любой!) может быть выражен в виде линей-
линейной комбинации остальных, т. е., говоря коротко, разложен
по ним.
Обратное также верно: разложение вида B2.9) означает, оче-
очевидно, наличие линейной зависимости между хх, х2, ... , хт.
Обращая эту характеристику линейной зависимости, получаем,
что линейная независимость векторов равносильна тому, что ни
один из них не может быть разложен по остальным, так что все
они играют, так сказать, самостоятельную роль.
Теперь мы можем сформулировать аксиому размерности.
10° (Аксиома размерности). Существует п линейно независимых
векторов, но любые п-\- 1 векторов линейно зависимы между собой.
Целым неотрицательным числом п можно задаться произвольно,
так что аксиома размерности существует в бесчисленном количестве
вариантов. Мы будем называть п-мерным аффинным пространством
множество точек и векторов, удовлетворяющих аксиомам 1°—-10°.
Чем больше п, тем большее многообразие векторов, а следовательно,
и точек мы имеем в своем распоряжении.
Важно заметить, что аксиома 1° гарантирует нам существование
лишь одной точки (обозначим ее А), а следовательно (совместно
—>• ->
с 2°), и лишь одного вектора АЛ = 0. То, что у нас имеются и
другие точки и векторы, вытекает исключительно из первой поло-
половины аксиомы размерности и притом в случае п > 0. Если же п = 0,
то из аксиомы размерности следует, напротив, что всякий вектор х
«линейно зависимый», т. е., попросту говоря, совпадает с 0, и
точка А — единственная; нульмерное аффинное пространство содер-
У -У
жит лишь одну точку А и один вектор АА = 0.
В дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, случай
п > 0.
Мы получили довольно простую и легко обозримую аксиоматику
я-мерного аффинного пространства. Это объясняется отчасти эле-
элементарностью самого предмета, отчасти тем, что мы допустили не-
некоторую хитрость, включив в аксиоматику операцию с участием
числа. Если бы мы задались целью построить чисто геометрическую
аксиоматику, то дело не обошлось бы так просто.
Не следует рассматривать нашу аксиоматику как нечто особенно
принципиальное и глубокое. Мы хотели сказать ею лишь то, что
в /z-мерном аффинном пространстве можно обращаться с точками
и векторами в основном так же, как и в обычной векторной алгебре
(в ее аффинной части), с тем лишь отличием, что максимальное
число линейно независимых векторов — не обязательно три, а
любое п.
94 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
И именно, чтобы сказать это, мы перечислили те основные свой-
свойства точек и векторов, из которых очевидным образом можно
вывести все остальные их (аффинные) свойства. Это перечисление
и составило нашу аксиоматику.
§ 23. Аффинная координатная система
Цель этого параграфа — рассмотреть в «-мерном аффинном про-
пространстве наиболее естественные координатные системы, геометри-
геометрически связанные со свойствами пространства. Указания для первой
ориентации в этом направлении дает нам аксиома размерности.
В самом деле, согласно ей в нашем пространстве существует п
линейно независимых векторов. Выберем их каким-нибудь образом
и обозначим е1? е2) . . . , е„. Присоединяя к этим векторам любой
вектор х, мы получим п -\- 1 уже линейно зависимых векторов со-
согласно второй половине аксиомы.
Запишем эту линейную зависимость
ax+aiei+...+anen = 0 B3.1)
(начиная с этого параграфа, мы перестаем писать стрелку над век-
тором-нуль).
Мы утверждаем, что а=^0. Действительно, если бы а = 0, то
у нас осталась бы линейная зависимость между е1? .... еп, что
противоречит выбору этих векторов. Выражая теперь из нашей ли-
линейной зависимости х через остальные векторы, мы получаем его
разложение (совершенно аналогично выводу B2.9) из B2.8)):
п. B3.2)
Через х1, х2, ... , хп обозначены коэффициенты разложения;
л:1 = и т. д. Запись индекса наверху является не случайной;
она, как мы увидим, будет указывать на характер преобразования
этих коэффициентов.
Итак, любой вектор п-мерного аффинного пространства может
быть разложен по п как-либо выбранным линейно независимым век-
векторам.
В случае я=1 любой вектор х может быть записан в виде
х = х'е1, B3.3)
что соответствует положению вещей на прямой линии, где все век-
векторы коллинеарны между собой.
В случае п — 2 любой вектор х разлагается по двум данным
линейно независимым векторам:
х = xlQ,_ + А'ае2, B3.4)
§ 23] АФФИННАЯ КООРДИНАТНАЯ СИСТЕМА 95
что дает картину плоскости, аффинную геометрию которой мы в этом
случае и получаем.
В случае л = 3 любой вектор х можно разложить по трем дан-
данным линейно независимым векторам:
х = х1&1 + дг2е2 + x3es. B3.5)
Геометрия трехмерного аффинного пространства, которую мы
в этом случае получаем, и есть геометрия нашего обычного про-
пространства с сохранением лишь ее аффинных свойств (о чем шла
речь в начале этой главы).
Возвращаемся к /z-мерному случаю. Мы будем называть аффин-
аффинным репером совокупность какой-нибудь точки О (начало репера)
и каких-нибудь п занумерованных линейно независимых векторов
elt e3, ...,еп (которые для наглядности будем представлять себе
отложенными из начала О).
Пусть некоторый аффинный репер нам задан. Тогда любой век-
вектор х разлагается по векторам репера согласно B3.2). Коэффици-
Коэффициенты разложения х1, х2, ... , х" мы будем называть аффинными
координатами вектора х относительно данного репера.
Эти координаты определяются единственным образом. В самом
деле, если бы вектор х допускал два различных разложения
х = xiei -f ... + хпеп = je1e1 + ... + х"еп,
где не все х' были бы равны соответствующим х1, то оказалось бы,
что ег, ... , еп линейно зависимы, так как
(*' — х1) ех + • • • + (хп — хп) е„ = 0;
но это невозможно.
Обратно, вектор х однозначно определяется своими координа-
координатами согласно B3.2), так что соответствие между векторами х и
совокупностями их координат (х1, х%, ... , х") является взаимно
однозначным. В частности, вектор-нуль имеет все координаты, рав-
равные нулю.
Посмотрим, как выглядят операции над векторами с точки зре-
зрения их координатного задания. Пусть даны два вектора:
B3.6)
Складывая эти равенства почленно и преобразуя правую часть
при помощи известных нам правил, получим:
НУ = (^Ч/)е1+...т(^+/)ея. B3.8)
Это означает, что координаты суммы двух (и аналогично не-
нескольких) векторов получаются сложением соответствующих коорди-
координат этих векторов.
96
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[ ГЛ. II
Далее, умножая B3.6) на какое-либо число а, мы получим:
ах_ад;1е | | ахп^ B3 9)
Это означает, что при умножении вектора на число а каждая его
координата умножается на это число.
Объединяя операции сложения и умножения на число, рассмот-
рассмотрим составление линейной комбинации данных векторов. Пусть нам
дано т векторов:
B3.10)
х2 =
Составим их линейную комбинацию х с произвольными коэффи-
коэффициентами <*!, а2, . .., ат:
х = а1х1-га2х2-Ь .. .+атхт. B3.11)
Умножая разложения B3.10) соответственно на at, a2, ..., ат
и складывая почленно, убеждаемся, что координаты нашей линей-
линейной комбинации х:
х1, х2, ..., хп B3.12)
образуют линейную комбинацию строк матрицы
X j X jl • • ¦
B3.13)
с теми же коэффициентами alt а2, ..., агл, а именно:
1 \ 24 + • • • +а„1х'т.
х1 = ахх
хх\
B3.14)
Пусть векторы хь х2, .. ., хт линейно зависимы. Тогда коэф-
коэффициенты ах, а2, ..., ат (не обращающиеся одновременно в нуль)
можно подобрать так, что будет равна нулю линейная комбина-
комбинация х, а вместе с нею и все ее координаты B3.12). Это значит,
что обращается в нуль линейная комбинация строк матрицы B3.13),
а следовательно, между строками этой матрицы имеется линейная
зависимость.
Существование линейной зависимости между строками матрицы
B3.13) не только необходимо, но и достаточно для линейной зави-
зависимости векторов Xl x2, ..., хт, в чем сейчас же убеждаемся,
проводя рассуждение в обратном порядке.
§ 24] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННОГО РЕПЕРА 97
Мы ввели координаты для векторов; но это нетрудно теперь
сделать и для точек. Пусть М—любая точка нашего пространства.
Ей однозначно отвечает вектор ОМ, где О—начало репера. Этот
вектор мы будем называть радиусом-вектором данной точки; он,
как и всякий вектор, обладает определенными координатами х1,
х~, ..., х" относительно нашего аффинного репера:
х^0Л-1 = х1е1 + х2е^+ ...+хпеп. B3.15)
Аффинными координатами точки М относительно данного ре-
репера мы будем называть аффинные координаты х1, ..., хп ее ра-
радиуса-вектора ОМ относительно того же репера.
Очевидно, таким образом, что координаты данной точки М
определяются однозначно. Обратно, при задании координат
х1, . . ., х" радиус-вектор точки М однозначно определяется со-
согласно B3.15), а откладывая его затем от начала О, мы однозначно
определим точку М.
Таким образом, задание аффинного репера влечет построение
аффинной координатной системы и для векторов и для точек.
Если точки А и В имеют соответственно координаты х1 и у1,
то такие же координаты имеют и векторы ОА, ОВ, а так как
~ОВ --= ОА+АВ,
то
где zl — координаты вектора АВ, и окончательно
Аффинные координатные системы наиболее естественно связаны
с геометрическими свойствами рассматриваемого нами я-мерного
аффинного пространства, хотя в нем возможны и другие (криво-
(криволинейные) координатные системы.
На протяжении этой главы мы будем рассматривать только
аффинные координатные системы и под словами «координатная
система)) всегда будем понимать аффинную координатную систему.
§ 24. Преобразование аффинного репера
Естественно возникает вопрос, с какой степенью произвола
можно выбирать аффинный репер и каким образом переходить от
одного репера к другому. Мы займемся вопросом о преобразова-
преобразовании векторов репера е1? ..., еп, так как в связи с переносом его
4 П. К. Рашевский
98 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
начала О никаких вопросов не возникает: начало О можно по же-
желанию передвигать в любое положение. Кроме того, как мы уви-
увидим, в интересующих нас вопросах выбор начала О большей частью
будет безразличен. Дело в том, что мы будем пользоваться коор-
координатами не столько для точек, сколько для векторов, а в этом
случае положение начала О совершенно не играет роли.
Пусть ей, ег-, ..., е„-—это 1-й, 2-й, ..., я-й векторы неко-
некоторого нового аффинного репера, занумерованные для отличия
штрихованными индексами.
Каждый из этих векторов согласно B3.2) может быть разло-
разложен но векторам старого репера ег, е2, ..., еп. Коэффициенты
этих разложений мы будем обозначать буквой А с соответствую-
соответствующими индексами:
1 11\а + ?„ )
е„,= А\лг+ А\.е2+ ... + Ап2,еп, I B4Л)
I
е„/ = Л>х + А*,е2 + .. .+А"п,еп, J
или, объединяя эти формулы в общей записи, можно написать:
е,, = А}Л1 + А?,е2 +...+ А?,еп. B4.2)
В этом равенстве, как и во всех дальнейших, мы будем подра-
подразумевать, что буквенному индексу, встречающемуся по одному разу
в каждом одночленном выражении, можно давать любые значения
1, 2, ..., п, т. е. что фактически имеется в виду не одно, а п
равенств (если такой индекс один).
В нашем случае имеется буквенный индекс г', которому, как
мы подразумеваем, по очереди придаются значения 1', 2', ..., п'.
В результате B4.2) означает в краткой записи то же самое, что
и B4.1).
Нетрудно заметить, что при помощи знака 2 можно записать
B4.2) следующим образом:
е„ =2 4<е,, B4.3)
(=1
Суммирование происходит здесь лишь по нештрихованному индек-
индексу г, вто время как индекс /' сохраняет постоянное значение. Таким
образом, здесь и в аналогичных случаях дальше мы позволяем себе
рассматривать буквенные индексы, обозначенные одной и той же
буквой, но в одном случае штрихованной, а в другом—нештрихо-
ванной (как сейчас у нас / и i'), как принимающие значения один
независимо or другого.
§ 24] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННОГО РЕПЕРА 99
То, что индекс суммирования / встречается дважды, один раз
наверху, а другой раз внизу, является, как мы дальше увидим,
далеко не случайным. Такого типа суммы нам будут встречаться
часто, и для сокращения записи мы условимся в этих случаях
опускать знак ^. Так, B4.3) мы будем записывать просто:
е,< = A',,6i, B4.4)
подразумевается суммирование по / от 1 до п. Общее правило:
пусть дано выражение, записанное в виде буквы, снабженной ин-
индексами; пусть при этом какой-либо буквенный индекс встречается
дважды, один раз вверху и один раз внизу; тогда мы будем счи-
считать, что написанное обозначает сумму этого рода выражений для
значений 1, 2, ..., п, пробегаемых данным индексом. Если таких
(встречающихся один раз вверху и один раз внизу) индексов нес-
несколько, то подразумевается суммирование по каждому из них.
Например, выражение Ф\ы мы будем понимать так:
Ф&=2 2ф«'. B4-5)
так что фактически это выражение будет зависеть лишь от одного
индекса, именно /, который мы будем называть свободным в отли-
отличие от индексов суммирования.
В связи со сказанным обозначения индексов суммирования не
играют, конечно, никакой роли; так, если вместо Ф\ы напи-
написать, например, Ф^г, обозначив индексы суммирования р, q вместо
i, k, то по смыслу равенства B4.5) результат нисколько не изме-
изменится:
Фш = Ф??/.
Этим обстоятельством мы часто будем впоследствии пользоваться
в процессе выкладок.
Все, что было только что сказано относительно сокращенной
записи суммы для выражений, обозначенных просто буквой с ин-
индексами, полностью относится и к произведениям такого рода вы-
выражений. Пример сокращенной записи в этом случае мы имеем уже
в формуле B4.4).
Позже мы узнаем принципиальный смысл суммирования указан-
указанного типа и тогда уточним и употребление нашего сокращенного
обозначения.
Возвращаемся теперь к вопросу преобразования аффинного ре-
репера. Векторы нового репера е,< могут быть выбраны произвольно
с единственным условием линейной независимости. Но линейная не-
независимость векторов е^ равносильна линейной независимости
100
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[гл. и
строк матрицы преобразования B4.1):
!! А\. А\, ...
Ul ЛЬ ...
А».
B4.6)
А\. А'а Апп,
(ср. с B3.13)). Другими словами, соответствующий определитель
должен быть отличным от нуля:
Det | Л ¦, | =?fc 0.
B4.7)
Это и есть единственное условие, наложенное на преобразова-
преобразование векторов репера B4.1). В остальном коэффициенты А\> про-
произвольны. Тем самым матрица B4.6) допускает обратную матрицу,
элементы которой мы будем обозначать А\ (штрихованный индекс
наверху!):
\Al'
B4.8)
Если, обратно, выразить векторы старого репера е,- через век-
векторы нового репера е,', то придется применить преобразование,
обратное преобразованию B4.1), для чего надо воспользоваться
вместо матрицы B4.6) обратной матрицей B4.8). В краткой записи,
аналогичной B4.4), мы получим:
ег = лГе(,. B4.9)
По общему соглашению здесь имеется в виду суммирование по
индексу /', так что в подробной записи получаем:
Здесь i нужно давать поочередно значения 1, 2, ..., п. То,
что матрицы B4.6) и B4.8) взаимно обратные, означает, что их
произведение, в том или другом порядке, дает единичную матрицу.
Элементы единичной матрицы мы будем стандартно обозначать
О (i^=j),
так что связь А) и А\> можно записать так:
A'uAf, = bit',, A',,,A ¦' =-- bi B4.10)
§ 24] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННОГО РЕПЕРА 101
По k, равно как и по k', предполагается суммирование от 1 до л
по общему соглашению.
Эти формулы можно также получить, подставляя в B4.9) выра-
выражение е(< согласно B4.4) (заменив лишь обозначение индекса сум-
суммирования / на какое-нибудь другое, например, у"), получим:
В правой части подразумевается двойное суммирование: по ин-
индексам у и V.
Так как разложение по векторам репера совершается единст-
единственным образом, то коэффициенты при еу- в правой части должны
равняться соответствующим коэффициентам в левой части, т, с.
нулю, если }ф1, и единице, если у = /. В результате
44' = sf,
что дает вторую из формул B4.10). Аналогично получается и пер-
первая из формул B4.10) — подстановкой B4.9) в B4.4).
При переходе к новому реперу каждый вектор х получает но-
новые координаты, которые мы будем обозначать х1', х2', ..., хп> в
отличие от старых х1, х2, ..., х". Разумеется, что при этом сам
вектор х остается прежним, и изменение координат идет лишь за
счет изменения репера.
Спрашивается, как будут выражаться новые координаты произ-
произвольного вектора х через старые, и обратно.
По определению координат вектора мы имеем в старом репере
х = л;1е1+ ... +x"en = x''ei B4.11)
и аналогично в новом репере
х = х1'е,- + . . . +л"'е„/ = jc''e,v. B4.12)
В правых частях мы прибегли к сокращенной записи с опуска-
опусканием знака суммы.
Теперь, чтобы решить нашу задачу, мы должны сравнить оба
разложения, а для этого вставим в B4.11) выражение е,- согласно
B4.9). Тогда B4.11) принимает вид
\ = х1 А?ег . B4.13)
Здесь происходит двойное суммирование: по / и по /'.
Сравнивая разложения B4.12) и B4.13), мы должны приравнять
коэффициенты при е,< ввиду единственности разложения вектора х
по векторам репера. Получим:
х1' == А['х\ B4.14)
где по i происходит суммирование, так что в подробной записи
х1' = А''хх^ + A'zx2 + . . . -t- A'nx", B4.15)
102 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
Совершенно аналогично при помощи обратного преобразования
выразятся старые координаты через новые:
х1 = А\,х1', B4.16)
Весьма важно для дальнейшего сравнить формулы преобразова-
вания векторов репера ех, ..., еп и координат инвариантного векто-
вектора х1, ..., л:". Для определенности рассматриваем в обоих случаях
переход именно от старого репера к новому и сравниваем формулы
B4.4) и B4.14). Мы видим, что матрицы этих преобразований раз-
различны, а именно матрица преобразования B4.14) есть транспониро-
транспонированная обратная матрица преобразования B4.4) (такие преобразо-
преобразования называются контрагредиентными).
Действительно, матрица преобразования B4.14) (как особенно
ясно видно из записи B4.15)) имеет вид
A2 A2 A2
B4.17)
An> A'1' A'1'
т. е. получается транспонированием (поворотом на 180° вокруг глав-
главной диагонали) матрицы B4.8), а эта последняя матрица—взаимно
обратная с матрицей B4.6) преобразования B4.4).
Формулы преобразования векторов репера и координат инвари-
инвариантного вектора при переходе от старого репера к новому
е^==Л^е-, B4.18)
x?=AW B4.19)
являются фундаментальными для тензорного исчисления. Они лежат
в основе всех остальных тензорных законов преобразования.
Таким образом, преобразование векторов репера совершается
при помощи произвольной неособенной матрицы (Det|A't, |=^=0), а пре-
преобразование координат вектора — при помощи транспонированной
обратной матрицы.
Мы занимались до сих пор преобразованиями координат вектора,
а не точки. Если меняются лишь векторы репера, а начало О ос-
остается неподвижным, то координаты каждой точки М меняются
так же, как и координаты ее (неизменного в этом случае) радиуса-
вектора ОМ, т. е. по закону B4.19). Если же, кроме того, и на-
начало О испытывает сдвиг на вектор а, то радиусы-векторы всех
точек М изменяются вследствие этого на вектор — а и тем са-
самым координаты х' всех точек М увеличиваются на А'', где А1' —
координаты вектора — а. В результате окончательная формула для
преобразования координат х* неподвижной точки М имеет вид
х1' =Л-У-г-Л<'. B4.20)
§ 25] ЗАДАЧА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 108
§ 25. Задача тензорного исчисления
Прежде чем приступить к построению тензорного аппарата,—
а к этому мы уже вплотную подошли,— постараемся уяснить себе
в общих чертах его цели.
Исходным пунктом нашего построения л-мерного аффинного про-
пространства послужила аксиоматика векторного исчисления (в его
аффинной части). Векторное исчисление представляет собой важ-
важнейший пример прямого геометрического исчисления: и объекты
его и операции носят непосредственно геометрический характер.
Всякое вычисление, проводимое в векторах, может быть истолко-
истолковано как геометрическое построение.
Вместе с тем большую и часто ведущую роль в геометрии
играет координатный метод. Здесь геометрические образы изу-
изучаются не непосредственно геометрически, а методами алгебры (ана-
(аналитическая геометрия), а затем и анализа (дифференциальная гео-
геометрия). Огромная сила этого метода основана на том, что он при-
применяет к геометрии сильный, хорошо развитый вычислительный
аппарат алгебры и анализа. В результате удается ставить и решать
вопросы, лишь малая часть которых укладывается в сравнительно
узкие рамки прямых геометрических методов.
Однако эти успехи достаются недаром. В основе координатного
метода всегда лежит условность, заключающаяся в приписывании
каждой точке (или вектору и т. п.) координат, например, аффин-
аффинных координат хх, х2, .. . , хп, как сделали мы в этой главе для
точек и векторов л-мерного аффинного пространства. Но сама
точка (или вектор) никоим образом не порождает эти л чисел;
чтобы получить такой результат, нужно, как мы видели, задаться
некоторым репером, т. е. некоторой аффинной координатной систе-
системой, а аффинный репер можно выбирать с большим произволом,
вне связи с изучаемыми геометрическими образами.
Аналогичным образом дело обстоит и во всех случаях примене-
применения координатного метода: на изучаемую геометрическую картину
накладывается случайный выбор координатной системы, и те анали-
аналитические данные, которые мы получаем, отражают не только то,
что нас интересует (геометрическую картину), но и то, что нас
вовсе не интересует (произвольный выбор координатной системы)
и что без надобности усложняет результаты*).
Приведем элементарный пример: в обычном пространстве в прямо-
прямоугольных декартовых координатах вектор, соединяющий точки
Мх(\, —2, 3) и уИ2B, —2, 5), имеет координаты A, 0, 2). В этом
результате то обстоятельство, что вторая координата вектора равна
*) Конечно, иногда возможно вполне естественным образом приспособить
выбор координатной системы к самой геометрической задаче; но, как правило,
это не имеет места.
104 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
нулю, является случайным, зависящим от выбора координатной
системы. Напротив, выражение 12 —j— О2 —f— 23 не случайно дает 5.
И в любой другой прямоугольной системе координат мы получим
тот же результат, хотя координаты вектора будут уже другие.
Первое обстоятельство не имеет геометрического смысла для век-
вектора самого по себе, второе — имеет (получается квадрат длины).
Возникает потребность и в сложных построениях научиться
отделять геометрически существенно важное от случайно привне-
привнесенного выбором координатной системы.
Решением этой задачи и занимается тензорное исчисление.
Общая схема его построения такова.
Строятся прежде всего тензоры, т. е. системы величин, отражаю-
отражающие определенные геометрические (или физические) конструкции
и преобразующиеся по некоторому простому закону при переходе
от одной координатной системы к другой. Далее, между тензорами
вводятся операции и соотношения инвариантного характера, т. е.
сохраняющие свой вид при переходе в любую другую координатную
систему. Таким образом, все соотношения пишутся в форме, год-
годной не только в избранной, но и в любой координатной системе,
а значит, эти соотношения отражают геометрические (или физи-
физические) факты, независимые от выбора определенной координатной
системы; искажающее влияние случайного выбора этой системы
устраняется.
Из дальнейшего будет видно, каким образом целый ряд геомет-
геометрических и физических вопросов поддается именно этой трактовке.
§ 26. Понятие о ковариантном тензоре
Мы рассмотрим сначала одновалентный ковариантный тензор.
Он появляется наиболее естественным образом в связи с линейной
скалярной функцией вектора.
Пусть каждому вектору х поставлено в соответствие число <р
Ф = Ф(х) B6.1)
таким образом, что для любых двух векторов х1, х2
Ф(х1 + х2) = ф(х1)+();(х2) B6.2)
и для любого числа ее
ф(ах) = аф(х). B6.3)
Тогда ф.(х) называется линейной функцией вектора х.
Будем рассматривать <р (х) в какой-нибудь координатной системе,
т. е. будем задавать аргумент х его координатами х1, х2, ... , хп
и выражать ф (х) как функцию этих координат. Так как
§ 26] ПОНЯТИЕ О КОВАРИАНТНОМ ТЕНЗОРЕ 105
то, пользуясь свойствами B6.2), B6.3), легко получаем:
ф(х) = Ф(л-1е1+ • • • + х"еп) = лг»ф (ех) + . . . +х"ц>(еп).
Обозначим для краткости
<р,= ср(е,.). B6.4)
Тогда окончательно
Ф (х) = ф,.дг' , B6.5)
где подразумевается суммирование по индексу /. Итак, линейная
функция вектора ф(х) выражается через его координаты линейной
формой. Запишем зависимость B6.5) в какой-нибудь другой коор-
координатной системе:
ф(х) = ф,-,*''. B6.6)
Функция ф (х) остается прежней, но так как х1— координаты
вектора-аргумента — примут преобразованные значения х1', то
должны преобразоваться и коэффициенты ф,- линейной формы B6.5).
Спрашивается, по какому закону происходит это преобразование.
Применим формулу B6.4) в новой координатной системе:
<р,'=Ф(е<'). B6.7)
Согласно B4.4)
е,, = Ahi + . . . + Л" е„ = А1л{. B6.8)
Пользуясь свойствами B6.2), B6.3), можно переписать B6.7)
в виде
q>,-, = ф (А^ + • • • + АЧ) = АЧ Ы +¦¦¦ + А"ф (е„).
Вспоминая B6.4), получаем окончательно
Ф<,= ДЦ),.. B6.9)
Сравнивая B6.9) с B6.8), мы- замечаем, что закон преобразова-
преобразования коэффициентов ф(- в точности совпадает с законом преобразо-
преобразования векторов репера е;.
Итак, когда нам задана линейная функция вектора ф(х), то
в каждой координатной системе у нас возникает п чисел ф1;
ф2, ... , ф„, преобразующихся по тому же закону, что и векторы
соответствующего репера. Мы пришли к понятию одновалентного
ковариантного тензора.
Мы говорим, что нам дан одновалентный ковариантный тензор,
если в каждой координатной системе нам задано п чисел'й;, зану-
занумерованных при помощи одного индекса (пробегающего значения
1,2, .. . , п) и преобразующихся при переходе от одной коорди-
координатной системы к другой по закону
ai, = AUt. B6.10)
106 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ.II
Эти числа а,< мы будем называть координатами тензора в соответ-
соответствующей координатной системе.
Термин «ковариантный», т. е. сопреобразующийся, выражает то
обстоятельство, что закон преобразования а,- такой же, как и для
векторов репера е,-.
Коэффициенты <р(. линейной функции вектора доставляют нам
важный пример одновалентного ковариантного тензора ah как
показывает закон преобразования B6.9). Обратно, легко убедиться,
что любой одновалентный ковариантный тензор а,- при желании
всегда можно истолковать именно таким образом. В самом деле,
определим ср (х) по формуле <p(x) = a,-Jt' в некоторой исходной коор-
координатной системе. Очевидно, <р (х) будет линейно зависеть от х и,
самое главное, ее коэффициенты ф; будут совпадать с at не только
в исходной координатной системе (что имеет место по определению),
но и в любой другой тоже, так как срг- и а{ подчиняются одному
и тому же закону преобразования (ср. B6.9), B6.10)).
Пример. Гиперплоскостью мы будем называть множество
всех точек, координаты которых в какой-нибудь координатной
системе удовлетворяют линейному уравнению
а^1 + ...+апхп + а = 0. B6.11)
Определение это имеет инвариантный смысл: вследствие линей-
ности закона преобразования для координат х' уравнение B6.11)
остается линейным — конечно, с другими коэффициентами — и в лю-
любой другой координатной систем®.
Коэффициенты уравнения B6.11) заданы с точностью до умно-
умножения на отличное от нуля число. Чтобы уничтожить эту неопре-
неопределенность, приведем свободный член к —1 (предполагая, что ги-
гиперплоскость не проходит через начало О) и запишем уравнение
гиперплоскости в виде
a^+...+в,,*11—1=0,
т. е.
а,.*'=1. B6.12)
Будем рассматривать всевозможные координатные системы с фик-
фиксированным началом О.
При переходе от одной из них к другой радиус-вектор ОМ лю-
любой точки М не меняется, а следовательно, координаты точки
М(хг, ..., х") преобразуются как координаты инвариантного
вектора по закону B4.16):
Подставляя это х' в уравнение B6.12), получим:
а,-А-'*'' = 1.
Я 26] ПОНЯТИЕ О КОВАРИАНТНОМ ТЕНЗОРЕ 107
Мы пришли к уравнению прежней гиперплоскости, но в новых
координатах х1'. Если записать это уравнение аналогично урав-
уравнению B6.12):
a,-,jc'' = l, B6.13)
то коэффициенты at,, очевидно, будут иметь вид
at,=AUr B6.14)
Закон преобразования совпадает с B6.10), и следовательно,
коэффициенты уравнения гиперплоскости
atxl = 1
ведут себя как одновалентный ковариантный тензор при всех пре-
преобразованиях координатных систем с фиксированным началом О.
Рассмотрим теперь двухвалентный ковариантный тензор. К нему
лучше всего подойти, рассматривая скалярную билинейную функ-
функцию двух векторов. А именно, пусть каждой паре векторов х, у,
заданных в определенном порядке, поставлено в соответствие число
<р = Ф(х, у), B6.15)
причем функция ф(х, у) является линейной по каждому из двух
аргументов. Таким образом, ср (х, у) по самому определению не за-
зависит от выбора координатной системы. Выразим теперь <р через
координаты векторов х, у в какой-нибудь координатной системе.
Так как
x = Jc'e;, y=/e;.,
то, пользуясь билинейным характером функции <р, получаем:
Ф (*> У) = ф (*Ч, /еу) = дг'Уф (е„ еу). B6.16)
В этой записи, конечно, подразумевается двойное суммирование
по / и у. Обозначая для краткости
Ф//=ф(е/,е,), B6.17)
получаем окончательно
ф (х,у) = ф//*'/• B6.18)
Таким образом, билинейная функция двух векторов выражается
билинейной формой их координат. Коэффициенты ф(у этой билиней-
билинейной формы зависят от выбора координатной системы и преобра-
преобразуются по закону, который нетрудно установить. А именно, в новой
координатной системе аналогично B6.17)
108 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
а так как
е,-- = Д',е,-, е/. = Д''<еу,
то
ф,-, /,== ф (/4^е(-, Д'-<е-) = Д'»Л|»ф (е^е-) = Д^Дуф,-,. B6.19)
Закон преобразования коэффициентов ф{/-, который мы таким
образом установили, как бы повторяет формулу B6.9) для каждого
из двух индексов.
Формулируем теперь общее определение двухвалентного кова-
риантного тензора, пример которого мы только что получили, в виде
совокупности коэффициентов ф;/..
Мы говорим, что нам дан двухвалентный ковариантный тензор,
если в каждой координатной системе нам заданы п2 чисел а,-,-, ко-
которые занумерованы при помощи двух индексов (пробегающих один
независимо от другого значения 1, 2, ... , п) и преобразуются
при переходе от одной координатной системы к другой по закону
ai4, = Д',Д'-,а,7. B6.20)
Числа a(j мы будем называть координатами нашего тензора
в соответствующей координатной системе, Двухвалентный кова-
ковариантный тензор мы будем называть более коротко дважды кова-
риантным тензором.
Дословным повторением предыдущего рассуждения для одно-
одновалентного случая мы покажем и здесь, что не только коэффи-
коэффициенты ф,у билинейной функции двух векторов образуют всегда
дважды ковариантный тензор, но и обратно, координаты afJ- любого
такого тензора всегда можно истолковать как коэффициенты ф(.у-
некоторой билинейной функции. Для этого достаточно построить
Ф (х, у) в какой-либо исходной координатной системе по формуле
Ф(х,у) = а;/д;/у, B6.21)
и тогда, поскольку, таким образом, ф,у=#,у в одной координатной
системе, это равенство будет соблюдаться и в любой другой (в силу
одинакового характера законов преобразования B6.19) и B6.20)).
Отметим важный частный случай, когда билинейная функция
Ф (х,у) будет симметрической:
Ф(х,у) = ф(у,х). B6.22)
В координатной записи это означает:
Меняя обозначения индексов суммирования в правой части,
получим:
§ 26] ПОНЯТИЕ О КОВАРИЛНТНОМ ТЕНЗОРЕ 109
Так как это равенство должно соблюдаться тождественно отно-
относительно х', у', то из него следует:
Ф,7 = Ф;,-, B6.23)
т. е. матрица коэффициентов ср/у- является симметрической. Тензор
Ф,-у и вообще тензор а(-;-, удовлетворяющий условию
au=aJh B6.24)
называется симметрическим. При этом, если это условие удовле-
удовлетворяется в какой-либо исходной координатной системе, то удовле-
удовлетворяется и в любой другой, как без труда вытекает из закона
преобразования B6.20).
Впрочем это вытекает также и из того, что функция ср (х, у),
построенная в исходной координатной системе согласно B6.21),
будет в нашем случае симметрической, а это ее свойство, как
мы видели, влечет за собой в любой координатной системе соот-
соотношение ф,-у- = сру,-, т. е. а,у= ujj.
Пример. Гиперповерхность 2-го порядка, не проходящая
через начало О, может быть задана уравнением вида
а17*'*/+2а4**+1 = 0, аи=ап. B6.25)
При всевозможных преобразованиях координатных систем
с закрепленным началом О коэффициенты уравнения а; ¦ ведут себя
как симметрический дважды ковариантный тензор, а ак—как одно-
ковариантный тензор. Это легко показать тем же путем, как и
в случае гиперплоскости.
Теперь ясно, как формулировать определение ковариантного
тензора в общем случае.
Мы говорим, что нам дан k-валентный ковариантный тензор,
если в каждой координатной системе нам заданы п.* чисел ailiz i/:,
занумерованных при помощи k индексов и преобразующихся при
переходе от одной координатной системы к другой по закону
%,'%...<ГА\А\ ¦ ¦ •<[««-¦"¦ <26-26>
Индексы при flc,/2...,-,, различаются друг от друга 1-м, 2-м, ...
... , k-м местом записи и пробегают независимо друг от друга
значения 1, 2, . . . , п.
Числа a^i,.. . ik мы будем называть координатами нашего тен-
тензора в соответствующей координатной системе. Мы будем назы-
называть ^-валентный ковариантный тензор также k раз ковариантным
тензором.
110 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ.IT
Совершенно так же, как в случае билинейной скалярной функ-
функции, можно показать, что всякая полилинейная (линейная относи-
относительно всех своих аргументов) скалярная функция ф (хх, х2, ¦ • • , xft)
с векторами-аргументами хх, х2, ... , xk допускает координатную
запись
ф(х1; х2, ..., х/4) = (fij2. .. 1кх\'х';- ... x'kk. B6.27)
Здесь jc'i—координаты вектора-аргумента Xj и т. д. Анало-
Аналогично предыдущему коэффициенты ф/1г-2,.. ik определяются фор-
формулами
Ф'Л...<„ = ф(е1> е2. ••• > е*) B6.28)
и преобразуются по закону B6.26), т. е. образуют k раз кова-
риантный тензор.
Обратно, координаты всякого k раз ковариантного тензора
aiiU---tk МОГУТ быть при желании истолкованы как коэффициенты
Ф'1'г .../* некоторой полилинейной скалярной функции ф (хх, х2, ..., \k)
от k векторных аргументов. Все это проверяется совершенно ана-
аналогично двухвалентному случаю.
Подчеркнем, что, говоря о функции ф (хх, х2, ..., хА), мы,
как и в предыдущих случаях, имеем в виду функцию инвариантную,
т. е. определенную независимо от выбора координатной системы.
§ 27. Общее понятие о тензоре
Прежде чем формулировать общее понятие о тензоре, мы
займемся так называемыми контравариантными тензорами.
Важнейший пример одновалентного контравариантного тензора
доставляют нам координаты х' фиксированного вектора х. Поскольку
вектор х фиксирован, координаты х1, х2, ., . , х" имеют опреде-
определенные численные значения в каждой координатной систете и пре-
преобразуются по закону B4.19):
x''=4V. B7.1)
В общем случае мы будем говорить, что нам дан одновалент-
одновалентный контравариантный тензор, если в каждой, координатной си-
системе нам заданы п чисел а1, а2, . . . , а", занумерованных при
помощи одного индекса и преобразующихся при переходе от одной
координатной системы к другой по закону
а'' = Л/'а'. B7.2)
Числа а' мы будем называть координатами нашего тензора.
§ 27] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ 111
В обозначении контравариантные тензоры отличаются от кова-
риантных записью индексов наверху. Этим соглашением мы факти-
фактически пользовались и ранее (хотя смысл его раскрывается лишь
теперь) и систематически будем пользоваться в дальнейшем. Термин
«контравариантный», т. е. «противопреобразующийся», напоминает
о том, что координаты контравариантного тензора а1, а2, ... , а"
преобразуются не так, как векторы репера ех, е2, . . . , еп, а при
полощи (транспонированной) обратной матрицы (о чем подробно
говорилось в § 24 в применении к координатам вектора X1,
х* *").
Как уже отмечалось, координаты х' любого фиксированного
вектора х образуют одновалентный контравариантный тензор. Но
верно и обратное: координаты любого одновалентного контрава-
контравариантного тензора а' можно истолковать как координаты х1 неко-
некоторого фиксированного вектора х.
В самом деле, построим в какой-нибудь исходной координатной
системе вектор х с координатами х'—а'. Тогда это равенство
продолжает соблюдаться и в любой координатной системе ввиду
одинакового характера законов преобразования B7.1) и B7.2).
Ясно, что определение k раз контравариантного тензора
ai,i2... it Может быть теперь без труда формулировано аналогично
определению k раз ковариантного тензора ailt%... ik единственно
с той разницей, что закон преобразования вместо B6.26) будет
иметь вид
а <i '* • • • 'ft = V'M lf ... A '^a'V2 • • ws> B7.3)
повторяя, таким образом, для каждого из индексов закон B7.1).
Мы, однако, не будем останавливаться на этом более подробно,
так как общее определение тензора, обладающего и ковариантными
и контравариантными индексами в любом числе, покрывает все до
сих пор перечисленные частные случаи.
Начнем с примера, в дальнейшем весьма важного.
Мы будем называть аффинором §1 закон, ставящий в соответ-
соответствие каждому вектору х нашего пространства определенный
вектор у:
У = 31х, B7.4)
причем зависимость у от х носит линейный характер, т. е. соблю-
соблюдаются условия:
Ш (хг + х2) = Шхг + 9Хх2, B7.5)
§( (ах) =---- аШ B7.6)
для любых хх, х2, х, а (а—число).
112 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
Рассмотрим аффинор St в координатной записи, т. е. выразим
координаты У вектора у как функции координат х' вектора х в
какой-нибудь координатной системе. Для этой цели разложим пред-
предварительно векторы 31е,- (т. е. результат действия нашего аффинора
на векторы репера) по векторам репера. Коэффициенты разложения
обозначим ah.
Sfe, = а'е, + . . . + «?е„ = в/е;, B7.7)
Тогда, учитывая, что, как обычно,
и пользуясь свойством линейности аффинора 91, мы можем написать:
у = 9(х = Щл'е,) = х'Же{ = x'afij.
Так как, с другой стороны,
У=/е;.,
то, сравнивая оба разложения, получим:
у> = а'х<. B7.8)
Таким образом, координаты вектора-функции у выражаются ли-
линейно через координаты вектора-аргумента х с коэффициентами а{ .
Эти коэффициенты а', мы будем называть координатами, аффи
нора 3t. Выясним теперь закон их преобразования.
Запишем {27Л) в новой системе координат;
9(e(v = afa,. B7.9)
Пользуясь формулами
а также формулами B7.7), мы можем, с другой стороны, написать:
81е,, = ЗС (/live,) - >t{.Sfe, = А\, в/еу = ^, a/ytf е;-,.
Сравнивая ато разложение с разложением B7.9), мы можем при-
приравнять коэффициенты при одинаковых векторах нового репера.
Получаем:
а!1 = А\,А11а\. B7.10)
Это и есть искомый закон преобразования координат аффинора.
Мы видим, что нижний индекс участвует в преобразовании по
схеме B6.10), т. е. как ковариантный, а верхний индекс — по схеме
§ 27] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ 113
B7.1), т. е. как контравариантный. В связи с этим совокупность
координат аффинора а{, заданную в каждой координатной системе,
мы будем называть тензором один раз ковариантным и один раз
контравариантным. Как мы видим, закон преобразования для коор-
координат аффинора а\ существенно отличается от закона преобразо-
преобразования коэффициентов билинейной функции a;j-, хотя в обоих случаях
мы имеем двухвалентный (т. е. с двумя индексами) тензор.
Заметим, что мало того, что координаты аффинора подчинены
закону преобразования B7.10), но и, обратно, величины а\, подчи-
подчиненные этому закону, всегда представляют собой координаты неко-
некоторого аффинора 31. Чтобы убедиться в этом, достаточно определить?!
формулами B7.8) в какой-нибудь одной исходной координатной
системе. Тогда величины а\ продолжают служить координатами аффи-
аффинора и в любой другой координатной системе, так как преобразуются
по тому же закону B7.10), как и координаты аффинора.
Отметим еще важный частный случай, когда аффинор означает
тождественное преобразование, т. е. когда
а следовательно, y^=xJ.
Сравнивая эти формулы с B7.8), мы замечаем, что в нашем
случае в любой координатной системе .
¦ { 0 (i?=j)
Таким образом, мы получаем пример тензора один раз ковари-
антного и один раз контравариантного, имеющего в любой коорди-
координатной системе одни и те же координаты Ц. Этот тензор мы будем
называть единичным. То, что числа 6^ действительно подчиняются
закону преобразования B7.10), оставаясь в то же время неизменными,
легко проверить и непосредственно. В самом деле, вычисляя правую
часть B7.10), получим:
Мы сначала применили соотношение B7.11) и сохранили в сумме
лишь члены, где i—j (обозначив их общее значение через k), а затем
использовали B4.10).
Дадим, наконец, общее определение тензора.
Мы говорим, что нам дан k-\-1-валентный тензор, k раз кова-
риантный и I раз контравариантный, если в каждой координатной
114 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ.П
системе нам заданы nk+i чисел afy•••/', занумерованных k индек-
индексами внизу и I индексами наверху и преобразующихся при переходе
от одной координатной системы к другой по закону
Индексы внизу отличаются друг от друга 1-м, 2-м, ..., А-.м
местом написания; аналогично отличаются друг от друга и верхние
индексы. Все индексы пробегают значения 1, 2, ..., л независимо
друг от друга. Числа а^---|< мы будем называть координатами тен-
тензора в соответствующей координатной системе.
Смысл закона преобразования B7.12) состоит, очевидно, в том,
что каждый нижний индекс участвует в преобразовании один раз
по схеме ковариантного тензора
av = А\,аь
а каждый верхний — один раз по схеме контравариантного тензора
ai' = А'/а'.
Общее число индексов k-\-l будем называть валентностью тензора.
Числу нижних индексов k и числу верхних индексов / можно
придавать любые значения 0, 1, 2, ..., одному независимо от дру-
другого. Если А = / = 0, то, как мы будем считать, тензор имеет лишь
одну координату а, совсем лишенную индексов, и сводится к инва-
инварианту, т. е. координата а имеет одно и то же численное значение
в любой координатной системе. Кстати, в случае ? — /=() имеем
я*+'=1. Особое внимание следует обратить на то обстоятельство,
что в правой части B7.12) происходит суммирование по всем k-\-l
нештрихованным индексам, и, таким образом, каждая координата
тензора в новой координатной системе зависит от всех его коор-
координат в старой системе. Это означает, что в конечном счете тензор
не сводится просто к совокупности отдельных чисел—его коорди-
координат,— а представляет собой единое целое.
Последнее связано с тем, что каждый тензор, как мы видели на
примерах, отражает какой-либо цельный геометрический или физи-
физический объект и «распадается» на свои координаты лишь условно,
т. е. по отношению к той или иной координатной системе.
§ 28. Сложение тензоров
В ближайших параграфах мы займемся тензорной алгеброй, т. е.
рассмотрим основные инвариантные операции, позволяющие по тен-
тензорам составлять новые тензоры. Этих операций четыре: сложение,
умножение, свертывание тензоров и подстановка индексов у тензора.
§ 28] СЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ 115
Инвариантность тензорных операций нужно понимать в том смысле,
что, примененные к данным тензорам, они дают в результате вполне
определенный тензор, не зависящий от того, в какой координатной
системе происходит выкладка. Тем самым тензорные операции отра-
отражают по существу те операции над геометрическими и физическими
объектами (заданными посредством тензоров), которые имеют гео-
геометрический или физический смысл и совершаются независимо от
выбора координатной системы.
В этом параграфе мы рассмотрим сложение тензоров. Пусть нам
даны два тензора одинакового строения, т. е. с одинаковым числом
верхних индексов и с одинаковым числом нижних индексов. Пусть,
для примера, эти тензоры будут трижды ковариантными и дважды
контравариантными:
upqr > upqr-
В каждой координатной системе каждую координату первого
тензора сложим с соответствующей (т. е. занумерованной теми же
индексами на тех же местах) координатой второго тензора, и резуль-
результат примем за координату нового тензора
Координату нового тензора нумеруем, конечно, теми же индексами
на тех же местах.
Однако нужно еще проверить, что cljqr действительно представ-
представляют собой координаты одного и того же тензора, независимо от
того, в какой координатной системе мы их вычислили. Другими сло-
словами, нужно убедиться, что c'Jqr подчиняются тензорному закону
преобразования:
<$v = аТа'/А^А'Л' с%. B8.2)
Здесь
т. е. c'7'V/ вычисляются в новой (как и вообще в любой) коорди-
координатной системе по схеме B8.1).
Но равенство B8.2) легко вытекает из справедливости тензорного
закона преобразования для a'^qr, bljqr:
1рЧгг B8А)
Ь%г, = АЧ'A1!App,A4q,Arr,b%r. B8.5)
Действительно, складывая эти равенства почленно, вынося общие
множители в правой части за скобки и принимая во внимание B8.1)
и B8.3), мы сейчас же получаем равенство B8.2).
116 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ.11
Очевидно, в нашем рассуждении ничего по существу не изме-
изменится, если мы будем складывать любые тензоры, но обязательно
одинакового строения. В результате получается вполне определенный
тензор того же строения. Ясно также, что если вместо двух тензо-
тензоров складывать несколько тензоров одинакового строения, то все
сказанное остается справедливым.
Поясним еще инвариантный характер операции сложения на при-
примере. Допустим, что складываются два одновалентных контравари-
антных тензора х1, у', в результате чего получается тензор того
же строения г':
г'=*'+/. B8.6)
Инвариантный характер операции сложения означает, что z1 дают
нам координаты вполне определенного тензора, независимо от того,
в какой координатной системе они вычислены.
Истолкуем теперь х', у1 как координаты фиксированных векторов,
х, у, что, как мы знаем, всегда возможно. Поскольку г' — координаты
вполне определенного тензора, то и их можно истолковать как коор-
координаты некоторого фиксированного вектора г. Тогда равенство B8.6)
выражает геометрический факт, независимый от выбора координатной
системы, именно, что вектор г есть сумма векторов х и у. Анало-
Аналогичным образом и в более сложных случаях инвариантность тензорных
операций означает по существу рассмотрение геометрических и фи-
физических фактов вне зависимости от случайностей выбора коорди-
координатной системы.
§ 29. Умножение тензоров
В отличие от сложения перемножать можно любые тензоры (не
требуя, чтобы они были одинакового строения), но при этом обяза-
обязательно указывать порядок множителей, так как результат будет
зависеть не только от самих множителей, но и от их порядка.
Рассмотрим для примера перемножение тензоров a'pq, b{, заданных
в порядке их записи.
В каждой координатной системе каждую координату первого тен-
тензора множим на каждую координату второго тензора и полученные
произведения а?тЬ\ принижаем за координаты нового тензора c^qr,
причем нумеруем эти координаты так: внизу выписываем сначала
нижние индексы первого множителя, а затем нижние индексы второго
множителя, сохраняя в обоих случаях их прежний порядок, и анало-
аналогично поступаем с верхними индексами.
Полученный тензор c'^qr мы будем называть произведением тензо-
тензоров a'pq, b>r.
§ 29] умножение тензоров 117
Если бы множителей было несколько, то мы совершенно таким
же образом перенесли бы поочередно индексы 1-го, 2-го, ... и т. д.
множителей на координату произведения.
Однако мы должны еще, конечно, доказать, что определенные
в каждой координатной системе числа
с&г = ви*? B9.1)
действительно являются координатами тензора. С этой целью выпи-
выпишем закон преобразования для координат множителей:
b'r'=а1; км.
Перемножая эти равенства почленно и принимая во внимание,
что в новой (как и во всякой) координатной системе имеет место
равенство B9.1), так что
получим окончательно
с%,г, = А' 'А1\АРР,А\,А'Г, с%г. B9.2)
Этот результат показывает нам, что в какой бы координатной
системе мы ни вычисляли величины с^9г согласно B9.1), они явля-
являются всегда координатами одного и того же тензора. Таким образом,
операция умножения тензоров действительно определяет некоторый
новый тензор.
Очевидно, все сказанное дословно повторяется и при перемноже-
перемножении любых тензоров в любом числе.
Заметим, что если мы станем перемножать те же тензоры в дру-
другом порядке, то получим другой результат. А именно, хотя коор-
координаты произведения будут, конечно, те же, но они будут иначе
занумерованы индексами. Так, при изменении порядка множителей
в нашем примере получаем:
с &, = *{,<. B9.3)
Сравнивая это выражение с B9.1), убеждаемся, что соответст-
соответствующие (т. е. занумерованные одинаковыми индексами на одинаковых
местах) координаты тензоров c'jqr и cljv не совпадают, хотя сово-
совокупность координат у этих тензоров одна и та же. Так как в понятие
тензора входит и способ нумерации его координат при помощи
индексов, то мы должны признать полученные тензоры различными.
Более подробно см. об этом в § 31.
Отметим простой частный случай, когда из двух перемножаемых
тензоров один — нулевой валентности, т. е. попросту инвариант а.
118 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. П
Тогда дело сводится к умножению всех координат другого множи-
множителя, например Ь'? , на этот инвариант, в результате чего полу-
получается тензор того же строения:
Между прочим, в связи с этим мы не рассматриваем особо опе-
операцию вычитания тензоров (одного строения), поскольку ее всегда
можно представить как сложение уменьшаемого с вычитаемым, умно-
умноженным на —1.
Пример. Перемножением одновалентных тензоров Ь' и Су полу-
получается двухвалентный тензор
a'i^b'cj. B9.4)
Тензор а'., как мы знаем (§ 27), всегда может быть истолкован
как некоторый аффинор 3(:
у = 31х, т. е. у = a',xj.
Как отзывается на аффиноре 91 то обстоятельство, что соот-
соответствующий тензор а', мультипликативный (т. е. получен произве-
произведением одновалентных тензоров)?
Пользуясь тем, что a1. = blCj, перепишем:
у1 = bhjXK
Мы знаем (§ 26), что с,х* можно всегда истолковать как неко-
некоторую линейную скалярную функцию ср (х) вектора х, так что
А так как Ь' всегда можно истолковать как координаты некоторого
фиксированного вектора Ь, то окончательно
у = Ьф(х).
Таким образом, в нашем случае действие аффинора на вектор-аргу-
вектор-аргумент х дает произведение постоянного вектора b на линейную ска-
скалярную функцию ф (х). Аффинор 91 в этом случае называют иногда
диадой.
§ 30. Свертывание тензора
Операции сложения и умножения тензоров естественно переносят
в тензорную область привычные нам арифметические операции.
В противоположность этому операция свертывания носит специфи-
специфически тензорный характер и не имеет прообраза в более элементар-
элементарных разделах математики.
§ 30] СВЕРТЫВАНИЕ ТЕНЗОРА 119
Пусть дан тензор произвольный, но имеющий, по крайней мере,
один индекс внизу и, по крайней мере, один индекс наверху, напри-
например, а№. Выберем какой-нибудь индекс наверху, например, 2-й, и
какой-нибудь индекс внизу, например, 1-й. Отберем те координаты
тензора, для которых два выбранных индекса имеют одинаковые
значения 1, 2, ..,, п, и просуммируем все эти координаты при
фиксированных значениях остальных индексов:
a[lqh+aif +...+<* = <. C0.1)
Мы обозначили сумму af, так как она зависит лишь от осталь-
остальных (фиксированных) индексов. Пользуясь краткой записью сумми-
суммирования, можно C0.1) переписать:
4f = <- C0.2)
Как оказывается, числа alqh, определенные согласно C0.2) в каж-
каждой координатной системе, являются координатами одного и того
же тензора, утерявшего по сравнению с исходным тензором по
одному индексу вверху и внизу.
В самом деле, запишем закон преобразования координат исход-
исходного тензора:
Придадим второму индексу наверху (/') и первому внизу (р1)
одно и то же значение х' и по х' произведем суммирование. По-
Получим:
В правой части происходит суммирование по шести индексам.
Мы выполним сначала суммирование по х'. В силу B4.11)
и мы получаем:
„i'x'h' дг' Ah' Aq S\P. nijh
ax'q' — Л1 ЛЬ Лз'О/ «рз .
Так как 6?=< ., то в сумме следует оставить лишь те члены,
для которых p = j (общее значение /?=/ обозначим через х), при-
причем 6*=1 (здесь по х суммирования не предполагается), так что
множитель 6* можно не писать. Получим окончательно:
а'%к' = А?А%А*.а**ь. C0.3)
Заметим, что во всех случаях, когда в выражение входит множи-
множитель 8?, причем [ю обоим индексам происходит суммирование, этот
120 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ.U
множитель, как мы видели, следует выкинуть, а в оставшемся вы-
выражении индексам р и j придать общее значение (и по нему сумми-
суммировать). Это правило нам пригодится в дальнейших выкладках.
Пользуясь обозначениями C0.2), мы можем переписать последний
результат в виде
<*'= Л|'Л?'Л|а<\ C0.4)
Эта формула показывает, что величины a'q действительно под-
подчиняются тензорному закону преобразования и, следовательно, дают
нам вполне определенный тензор.
Мы будем говорить, что тензор а^1, составленный из тензора
aljq согласно C0.2), получен из него свертыванием по индексам j и р,
или, точнее, по индексам второму сверху и первому снизу.
В то время как сложение дает нам тензор той же валентности,
как и слагаемые, умножение дает тензор, вообще говоря, высшей
валентности, чем множители, свертывание приводит, наоборот, к сни-
снижению валентности на 2 единицы: пропадает один индекс вверху и
один индекс внизу. В связи с этим свертывание является важным
источником получения инвариантов: повторяя его достаточное число
раз, мы можем уничтожить все индексы у тензора, если у того
сначала было одинаковое число индексов внизу и вверху. Полученный
в итоге тензор нулевой валентности представляет собой, как мы
знаем, инвариант.
Например, тензор а'., отвечающий, как всегда можно считать,
некоторому аффинору Ш., порождает посредством свертывания инва-
инвариант
а = а| = а' + а»+...+< C0.5)
который называется следом аффинора Ш..
Особенно часто применяется свертывание к тензорам, полученным
перемножением данных тензоров. Например, запись линейной скаляр-
скалярной функции ср (х) (§ 26)
ф (х) = ф,-*' C0.6)
мы можем теперь истолковать как получение инварианта ф(х) путем
свертывания тензора ф1-лгр (представляющего собой произведение
тензоров ф(- и хр).
Совершенно аналогично этому и запись билинейной скалярной
функции
ф (х, У) = Ф,7*У
нужно понимать как результат двукратного свертывания тензора
yq по индексам /, р и j, q.
В подобных случаях мы для краткости будем говорить, что
«тензор (fij свертывается с тензорами х\ У», вместо того, чтобы
§ 31] ОПЕРАЦИЯ ПОДСТАНОВКИ ИНДЕКСОВ 121
говорить: «тензор ср,-;- перемножается с тензорами хр, /и в полу-
полученном результате производится свертывание по индексам/,/) nj,q».
После введения операции свертывания раскрывается полностью
и смысл нашего сокращенного обозначения суммирования по индексу,
встречающемуся один раз наверху и один раз внизу. Это обозначение
именно потому и имеет право на существование, что оно выражает
важную и часто встречающуюся операцию свертывания. И действи-
действительно, во всех случаях, когда мы его применяли, оно имело именно
этот смысл, хотя операция свертывания и была нам неизвестна.
Исключительно этот смысл оно будет иметь и в дальнейшем.
§ 31. Операция подстановки индексов
Пусть нам дан какой-либо тензор, например, a'Jqr. Мы можем
составить из него новый тензор того же строения b^qr, не меняя его
координат самих по себе, а лишь иначе нумеруя их посредством
индексов. Условимся каждую координату нумеровать теперь так,
чтобы прежний первый индекс снизу стал писаться на втором месте,
второй — на третьем, а третий — на первом. Формулой это можно
выразить так:
*&•=<„• C1.1)
Так как в определение тензора входит и способ нумерации его
координат посредством 1-го, 2-го,... и т. д. индексов внизу, и то
же самое наверху, то b'-Jqr мы должны признать за тензор, отличный
от а
б
%
Мы будем говорить, что тензор b'^qr получен из a^qr подстановкой
его индексов (в данном случае круговой подстановкой трех нижних
индексов при неизменных верхних).
В общем случае можно задаться любой подстановкой нижних
индексов и одновременно любой подстановкой верхних индексов
(причем, как и в нашем примере, имеются в виду подстановки не
численных значений индексов, а мест их написания при координате
тензора). То, что в результате снова получается тензор и притом
того же строения, легко следует из одинакового поведения всех
нижних индексов при тензорном законе преобразования и равным
образом из одинакового поведения всех верхних индексов.
Но, разумеется, подстановки, при которых верхние индексы могли
бы переходить в нижние и наоборот, не рассматриваются, так как
они не являются инвариантными операциями. Ввиду различного пове-
поведения верхних и нижних индексов при преобразовании координатной
системы мы при такой подстановке не получили бы вновь тен-
тензора.
122 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
Операция подстановки индексов производит впечатление фор-
формальной и мало содержательной и действительно является такой,
если ее рассматривать изолированно. Но основное ее значение ска-
сказывается в тех операциях, где она комбинируется со сложением и
вычитанием, особенно в операциях симметрирования и альтернации.
Операция симметрирования производится следующим образом.
Из одноименных (например, нижних) индексов данного тензора про-
произвольно выбирается некоторое их число N, над этими индексами
производятся N1 всевозможных подстановок и берется среднее ариф-
арифметическое всех полученных при этом N1 тензоров. Результат сим-
симметрирования обозначается тем, что участвующие в симметрировании
индексы берутся в круглые скобочки.
В случае N= 1 симметрирование тривиально и не меняет тен-
тензора; подстановка только одна — тождественная.
В случае Л/=2 рассмотрим тензор а1;-, где явно выписаны лишь
индексы, участвующие в симметрировании; остальные индексы, ко-
которых может быть сколько угодно (а может и совсем не быть), лишь
подразумеваются. Подстановок здесь будет лишь две: тождественная
и транспозиция 1-го и 2-го индексов. Результат симметрирования:
аил=±{аи + ал). C1.2)
В случае N—3 рассмотрим тензор aijk с той же оговоркой, что
он может иметь и другие индексы, хотя симметрированию подлежат
лишь явно выписанные. Делая все шесть подстановок и беря сред-
среднее арифметическое, получим:
°«7*>= б" (aijk+ ajkiJr <tkij + ajik+aikj+akji)- C1-3)
Аналогично производим симметрирование и при любом числе сим-
симметрируемых индексов. Для верхних индексов все происходит, ра-
разумеется, точно таким же образом.
Мы называем тензор симметрическим по нескольким данным
(обязательно одноименным) индексам, если он не меняется при тран-
транспозиции любых двух из этих индексов, а следовательно, и при
любой их подстановке. Таков, например, дважды ковариантный тен-
тензор, координаты которого образуют симметрическую матрицу
a4 = afi. C1.4)
В результате симметрирования получается, очевидно, тензор сим-
симметрический по тем индексам, которые участвовали в симметрировании.
Переходим теперь к операции альтернации. Она производится
так. Из одноименных индексов данного тензора произвольно выби-
выбирается некоторое их число N, над этими индексами производятся N1
всевозможных подстановок, результаты четных подстановок берутся
§ 31] ОПЕРАЦИЯ ПОДСТАНОВКИ ИНДЕКСОВ 123
со своим знаком, а у результатов нечетных подстановок знак ме-
меняется на обратный, и берется, наконец, среднее арифметическое
всех полученных при этом N\ тензоров. Результат альтернации обо-
обозначается тем, что участвующие в альтернации индексы берутся
в прямые скобочки.
В случае N= 1 подстановка лишь одна, тождественная, альтер-
альтернирование тривиально и не меняет тензора.
В случае N=2 альтернация имеет вид
ewj=y(°i7—fl/i>- C1-5)
В случае N=3 получаем:
aU№ = -q К-д + ajki + akij—ajik — Чц -~aikj)¦ C! 6)
Кроме индексов, участвующих в альтернации, у рассматриваемых
тензоров могут быть и другие, явно не выписанные индексы.
Мы называем тензор кососимметрическим по нескольким данным
(обязательно одноименным) индексам, если он умножается иа —1
при транспозиции любых двух из этих индексов (и, следовательно,
умножается на — 1 при любой нечетной подстановке и не меняется
при четной подстановке этих индексов). Таков, например, дважды
ковариантный тензор, координаты которого образуют кососимметри-
ческую матрицу
«,/ = -«//, C1.7)
или трижды ковариантный тензор, обладающий свойством
aijk = ajki = akij '--= ~ ajik = — akji = — aikj- C1-8)
В результате альтернации всегда получается, как легко прове-
проверить, тензор кососимметрический по тем индексам, которые участ-
участвовали в альтернации.
Если тензор кососимметричен по данным индексам, то альтерна-
альтернация по этим индексам его не меняет. Действительно, если, напри-
например, atj-k кососимметричен по трем своим индексам, т. е. обладает
свойством C1.8), то в скобках C1.6) все шесть слагаемых равны
между собой, и мы получаем:
a{ijk} = aiJk.
Отметим также, что если из тех индексов, по которым тензор
кососимметричен, хотя бы два имеют одинаковые значения, то соот-
соответствующая координата обращается в нуль.
Действительно, при транспозиции этих двух индексов коорди-
координата должна изменить знак в силу косой симметрии; с другой же
стороны, она не изменится в силу равенства индексов. Следовательно,
она равна нулю.
124 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
§ 32. Степень произвола в выборе тензора данного строения
Мы установили основы тензорной алгебры, оперируя с произ-
произвольными тензорами, однако мы, строго говоря, до сих пор не
знаем, существуют ли тензоры любого строения (т. е. с любым чис-
числом индексов наверху и внизу), и если существуют, то с какой сте-
степенью произвола определяются. Ясно одно, что если координаты
тензора заданы в одной координатной системе, то в силу тензорного
закона преобразования они определятся и в любой координатной
системе. Но всегда ли можно построить тензор, задавшись произ-
произвольно его координатами в какой-либо одной координатной системе?
На этот вопрос мы отвечаем утвердительно и на основе вот каких
соображений.
Зададимся произвольно координатами искомого тензора, напри-
например, прЯ, в какой-нибудь одной координатной системе 5. Если иско-
искомый тензор существует, то его координаты в любой другой коор-
координатной системе S' будут определяться по тензорному закону пре-
преобразования:
a%,q, = A<Al,A%a}m. C2.1)
Однако это еще не значит, что искомый тензор уже построен.
Нужно еще убедиться, что тензорный закон преобразования дейст-
действует не только при переходе от данной к любой координатной
системе, но и при переходе от любой к любой координатной системе.
Для этой цели рассмотрим еще одну произвольную координатную
систему S". Для нее аналогично C2.1) получаем:
а^г = А^АР.Ачга^. C2.2)
Очевидно, по смыслу наших обозначений
ti,=Ai,th е;» = Л};,е/,) ег» = Л1„е„ C2.3)
откуда легко следует (подстановкой из первого равенства во второе
и сравнением с третьим), что
А1г = А%,А\,, C2.4)
т. е. матрица, преобразующая е,- в е,-*, есть произведение матриц,
преобразующих е,- в е,-< и e,v в е,„.
Аналогично для обратных преобразований имеем:
А? = А?А$. C2.5)
Заменяя теперь в формуле C2.2) А?, А%,, А\, их значениями со-
согласно C2.4) и C2.5), приведем ее к виду
а'уг = а[- а; а*. а% а\, а%, а1рг
§ 33] ов /и-мерных плоскостях 125
Пользуясь C2.1), получим окончательно
a^r = A^.A^A%a%.Vi C2.6)
т. е. действительно тензорный закон преобразования имеет место
и при переходе от любой координатной системы к любой другой.
Этим наше доказательство закончено. Основа его заключается
просто в том, что наложению двух линейных преобразований над
векторами репера е,, .. . , еп отвечает наложение соответствующих
(и, очевидно, тоже линейных) преобразований над координатами
тензора
§ 33. Об m-мерных плоскостях в и-мерном
аффинном пространстве
Мы изложили в основных чертах тензорную алгебру и сейчас
должны пополнить наши сведения по геометрии я-мерного аффин-
аффинного пространства. Прежде всего мы рассмотрим в этом пространстве
плоскости различных измерений.
Мы будем называть плоскостью множество точек, обладающее
следующим свойством. Пусть А, В, С—произвольные точки этого
множества. Построим вектор АВ, умножим его на произвольное чи-
число а и отложим от точки С, так что получится вектор
C3.1)
Тогда точка D должна тоже принадлежать нашему множеству.
Всякий вектор АВ, где А а В принадлежат данной плоскости,
мы будем называть вектором этой плоскости. Из определения пло-
плоскости видно, что при умножении на любое число а вектор данной
плоскости (например, АВ) переходит в вектор той же плоскости
(т. е. CD), я при откладывании вектора дайной плоскости из любой
ее точки мы приходим в точку той же плоскости (вытекает из оп-
определения при а=1).
Теперь ясно, что все наши аксиомы 1°—-9° имеют место для
точек и векторов плоскости. Что же касается аксиомы размерности 10°,
то она видоизменится: максимально возможное число m линейно не-
независимых векторов на плоскости будет, вообще говоря, меньше п.
Число m мы будем называть размерностью данной плоскости.
Мы видим, что пг-мерная плоскость в п-мерном аффинном про-
пространстве по свойствам своих точек и векторов представляет собой
m-мерное аффинное пространство.
126 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
Пользуясь этим обстоятельством, на плоскости всегда можно
выбрать аффинный репер, т. е. некоторую точку О* и т линейно
независимых векторов ах, ..., аот.
Тогда радиус-вектор О*М любой точки М на этой плоскости
разлагается по векторам репера
6ш=*1а1+..-+'Я!аи. C3.2)
где tl, ..., tm — коэффициенты разложения, которые пробегают
всевозможные численные значения, когда точка М описывает нашу
плоскость.
Одним словом, мы повторяем построение аффинной координатной
системы для яг-мерного аффинного пространства, каким и является
наша да-мерная плоскость.
При этом {О*, а1( ..., ат} будет репером, а Р, ..., f — со-
соответствующими координатами.
Отсюда вытекает, что всякая /и-мерная плоскость может быть
построена следующим образом.
Берется некоторая точка О* и m линейно независимых векторов
Лу, а2, ..., а/п и строится множество всех точек М, для которых
вектор О*М допускает разложение по alt a2, ..., аот.
Последний вопрос, который нам нужно выяснить, — получим ли
мы этим путем /и-мерную плоскость при любом выборе точки О* и m
линейно независимых векторов.
Легко проверить, что ответ будет утвердительным. В самом деле,
вектор АВ, соединяющий любые две точки А, В из построенного
нами множества, может быть записан в виде
АВ=О*Ь—О*Л
и вместе с векторами О*В и О*А допускает разложение по а1( ...
. . . , аот; то же остается верным и для вектора аАВ; откладывая этот
вектор от произвольной точки С нашего множества, получаем век-
вектор CD = аАВ; так как O^D= CFC+CD, то O*D вместе с О*С и
CD разлагается по а1( ..., ага, а следовательно, точка принадле-
принадлежит построенному множеству. Тем самым это множество представляет
собой плоскость (согласно определению последней) и притом /я-мер-
ную, так как m линейно независимых векторов на ней имеются по
построению, но все остальные от них линейно зависимы.
Векторы ах, .. ., аот мы будем называть направляющими векто-
векторами данной плоскости.
§ 33] ОБ W-МЕРНЫХ ПЛОСКОСТЯХ 127
Соотношения C3.2) легко позволяют записать уравнения /я-мер-
ной плоскости в я-мерном аффинном пространстве. Отнесем послед-
последнее к какому-либо аффинному реперу {О, ex, ..., е„}. Тогда ра-
радиус-вектор любой точки М из да-мерной плоскости может быть
записан в виде
Здесь 00*, ах, ..., аот — постоянные векторы, a t1, ..., tm —
независимые переменные (аффинные координаты на плоскости), так
что C3.3) можно рассматривать как параметрическое уравнение на-
нашей плоскости в векторной форме.
Переходя в равенстве C3.3) от векторов к их координатам от-
относительно аффинного репера {О, е^ ..., ел}, мы получим пара-
параметрические уравнения нашей плоскости в координатной форме:
( Ра1+ ... +tma'm. C3.4)
Здесь х1 — координаты вектора ОМ, а значит, и самой точки М,
а1 — постоянные координаты вектора 00*, а[ — постоянные коорди-
координаты вектора а.г и т. д.
В итоге текущие координаты х1 произвольной точки М нашей
m-мерной плоскости выражаются линейными функциями m независи-
независимых параметров t1, . . ., tm, причем вс-е m столбцов матрицы коэф-
коэффициентов линейно независимы между собой (что равносильно ли-
линейной независимости векторов аь ..., аот; см. § 23).
Очевидно, что и обратно, уравнения вида C3.4) с условием
максимального ранга ( = ш) для матрицы коэффициентов (т. е. с усло-
условием линейной независимости столбцов этой матрицы) всегда опре-
определяют /и-мерную плоскость. Это легко проверить обратным пере-
переходом к векторной записи.
Наконец, уравнения /и-мерной плоскости можно дать в неявной
записи. Для этого достаточно из п уравнений C3.4) исключить m
параметров t1, ..., tm, что всегда выполнимо в силу максимального
ранга m матрицы коэффициентов. Считая, что ранговый минор ма-
матрицы образован, например, первыми m ее строками, мы можем вы-
выразить t1, ..., tm через х1, ..., xm из первых да уравнений (/=1,
2, . . ., т). Подставляя эти выражения в остальные уравнения
(i = m-\-l, ..., п), мы получим:
х" __ № Х1 _1_ _|_ А" г'" -I- Ь"
128 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
Коэффициенты Ь? выражаются, конечно, через коэффициенты alj,
но как именно — нас сейчас не интересует.
Итак, m-мерная плоскость может быть задана п — m независи-
независимыми линейными уравнениями между текущими координатами
х1, ..., х". Независимость полученных уравнений ясна из того, что
в каждом из них выражена координата, отсутствующая в остальных.
То, что, обратно, уравнения вида C3.5) всегда определяют
от-мерную плоскость, становится очевидным, если принять х1, . . ., хт
за независимые параметры t1, ..., tm; тогда мы получаем частный
случай параметрического задания m-мерной плоскости. Размерность
плоскости т может принимать значения 0, 1, 2, ..., п.
В случае т — 0 уравнения C3.4) дают
х1 = а\ C3.6)
и плоскость сводится к точке.
В случае т=\
х'=а'+Ра[, C3.7)
и текущие координаты суть линейные функции одного параметра.
Одномерную плоскость мы будем называть прямой линией, В век-
векторной форме она задается начальной точкой О* и одним направ-
направляющим вектором aj^^O.
В случае т=2 мы получаем двумерную плоскость
х'=а'+Ра[ + Ра1, C3.8)
для которой текущие координаты суть линейные функции двух
независимых параметров. В векторной форме она задается началь-
начальной точкой О* и двумя линейно независимыми направляющими век-
векторами ах, а2.
Аналогично обстоит дело и при остальных значениях т. Особо
следует отметить случай т—п—1, когда плоскость называется
гиперплоскостью. Гиперплоскость может быть охарактеризована тем,
что она задается одним линейным уравнением между текущими коор-
координатами. Действительно, п—m уравнений C3.5) сводятся в этом
случае к одному.
Наконец, наше определение плоскости допускает и случай пг = п.
Но тогда, очевидно, плоскость просто заполняет все пространство.
Для нас будет особенно важен случай, когда все рассматриваемые
плоскости принадлежат одной связке — проходят через фиксирован-
фиксированную точку О (которую мы примем за начало координат). Тогда для
задания да-мерной плоскости достаточно знать ее направляющие
векторы а1; .. ., ада.
§ 34] БИВЕКТОР И ЗАДАНИЕ ДВУМЕРНОЙ ПЛОСКОСТИ 129
Но та же самая плоскость может быть определена и любой дру-
другой системой направляющих векторов аг, ..., ат лишь бы они
тоже принадлежали плоскости и были линейно независимы. Разу-
Разумеется, как здесь, так и далее индекс т' имеет то же численное
значение, что и /я, и лишь в записи снабжен штрихом. Связь между
старыми и новыми направляющими векторами m-мерной плоскости —
это в сущности связь между векторами старого и нового репера
в m-мерном аффинном пространстве. Мы можем записать ее анало-
аналогично § 24:
аи (/'=Г, 2', ...,«') (Det | Л|, | =^ 0), C3.9)
и обратное преобразование:
ъ1 = А\'л1.+ ...+А?'лт. (/=1, 2, .... т). C3.10>
Неудобство здесь заключается в том, что одна и та же пло-
плоскость связки задается весьма разнообразными системами направ-
направляющих векторов. Возникает вопрос, нельзя ли систему направляю-
направляющих векторов заменить чем-то другим, что было бы уже одно-
однозначно или почти однозначно связано с плоскостью данной связки.
Ответом на этот вопрос является понятие простого поливектора.
Им мы займемся в §§ 34, 35.
§ 34. Бивектор и задание двумерной плоскости
Мы будем называть бивектором дважды контравариантный косо-
симметрический тензор
с" = —в". C4.1)
Бивектор мы будем называть простым, если он составлен из
каких-нибудь двух векторов аь а2 с координатами
ai \ai> • • • i ai Ь
at л1 л"\
2 ^ 1^2 , • . . , U п J
по формуле
«" = J (*i'«i - а{<) = 4- ll п\ • C4.3)
Другими словами, простой бивектор получается перемножением
контравариантных тензоров а\, а{ с г/оследующей альтернацией:
eu = e'/e?. C4.4)
Очевидно, порядок перемножаемых тензоров, т. е. порядок за-
задании векторов ах, а2, играет здесь важную роль: если порядок
5 П. К. Рашевский
130
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[гл. и
заменить на обратный, бивектор, как легко заметить из C4.3), ум-
умножается на — 1.
Простой бивектор, составленный из двух заданных в определен-
определенном порядке векторов alt a2 согласно C4.3), мы будем называть
косым произведением векторов ах, а2 и кратко обозначать [а1а2].
Выясним основные свойства косого произведения. Прежде всего
при перестановке множителей оно, как уже отмечалось, меняет знак:
[аа]=_гаа1 C4.5)
Отсюда в случае at = а2 = а получаем:
[аа] —— [аа], т. е. [аа] = 0.
C4.6)
Далее, из Линейной зависимости координат косого произведе-
произведения [аха2] от координат одного из векторов, например а^ очевидно,
следует, что при умножении ах на произвольное число а бивектор
умножается на то же число:
[аа1; а2] = а [а^], C4.7)
а также, что при замене at суммой двух (или нескольких) векторов
бивектор распадается на сумму соответствующих бивекторов:
&[ -f ai, a2] = [at'a2] +
C4.8)
Теперь нетрудно заметить, что для линейной зависимости век-
векторов ах, а2 необходимо и достаточно обращение в нуль их косого
произведения.
В самом деле, если а1 и а2 линейно зависимы, например а2 = аах,
то
[a^] = [ai> aai] = а [а^^ = 0.
Обратно, если
0, то согласно C4.3)
а а<
= 0,
т. е. обращаются в нуль все миноры 2-го порядка матрицы
...а;
... а,
Следовательно, между строками этой матрицы, а тем самым и
между вектррами av a2, имеется линейная зависимость.
§ 34] БИВЕКТОР И ЗАДАНИЕ ДВУМЕРНОЙ ПЛОСКОСТИ 131
Далее, исследуем вопрос, как меняется косое произведение век-
векторов яи а2 при их линейном преобразовании:
2'-—•"»'&! "Г •'а2- >
а,=
а
Составим косое произведение преобразованных векторов а^, а2-:
Раскрывая в правой части скобки, т. е. перемножая сумму на
сумму почленно (согласно C4.8)), отбрасывая равные нулю косые
произведения линейно зависимых векторов и вынося численные мно-
множители за знак косого произведения (согласно C4.7)), получим:
А\. А
л1, л
л2 л
[а1а2]. C4.10)
При последнем преобразовании мы воспользовались свойством
C4.5).
Итак, косое произведение двух векторов в результате линейного
преобразования этих векторов умножается на определитель линей-
ного преобразования.
Допустим теперь, что векторы ах, а2 играют роль направляю-
направляющих векторов некоторой двумерной плоскости и, следовательно,
линейно независимы. Тогда линейное преобразование C4.9) с
определителем, отличным от нуля, означает, очевидно, переход к
любой другой паре направляющих векторов той же плоскости. Так
как косое произведение [а^] приобретает при этом лишь числен-
численный множитель (не равный нулю), то мы получим следующий ре-
результат.
Косое произведение направляющих векторов двумерной плоско-
плоскости, рассматриваемое с точностью до численного множителя (не рав-
равного нулю), зависит только от самой плоскости и не зависит от
выбора направляющих векторов на ней.
Таким образом, каждой двумерной плоскости сопоставляется оп-
определенный с точностью до численного множителя простой бивек-
бивектор [ахаг], который мы будем называть ее направляющим бивекто-
бивектором. Он никогда не равен 0 в силу линейной независимости а1( а2.
Ясно, что, беря всевозможные плоскости, мы будем получать в
качестве направляющих бивекторов всевозможные простые бивекторы.
Будем называть две плоскости одного числа измерений парал-
параллельными, если одна получается из другой сдвигом всех ее точек
на постоянный вектор. Очевидно, при этом векторы одной плоскости
132 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Л
переходят в равные им векторы другой плоскости. Следователь-
Следовательно, и направляющие векторы а^ ..., ат можно брать для парал-
параллельных плоскостей общими. А следовательно, в случае параллельных
двумерных плоскостей общими будут и направляющие бивекторы.
Итак, параллельные двумерные плоскости обладают одним и тем
же (определенным с точностью до численного множителя) направ-
направляющим бивектором.
Обратно, если две двумерные плоскости имеют один и тот же
(определенный с точностью до численного множителя) направляю-
направляющий бивектор, то эти плоскости параллельны. В самом деле, пусть
одна плоскость имеет направляющий бивектор [а^], а другая —
[Ь^з]. С. точностью до численного множителя эти бивекторы долж-
должны совпадать, так что
[b1b2] = a[a1a2],
т. е. согласно C4.3)
1 {b[b{-b\b[) = | (aiai-al
Свернем это равенство почленно с ковариантным тензором с-,
который подобран так, что
b>cf=0, b{Cj= 1. C4.11)
Этого, очевидно, всегда можно добиться ввиду линейной неза-
независимости направляющих векторов bx, Ь2, а следовательно, и строк
матрицы
Ь\ . . . V\
Ь\...Ь\
В результате свертывания получим ! отбрасывая множители-^-
b\-b{Cj — b\-b\Cj= a[ (aij' ({)
Учитывая равенства C4.11) и обозначая инварианты aa{cj,—аа{с,
через Р1, Р2, получаем окончательно:
Ь\ = Р1*! + Р2«|. C4.12)
Мы видим, что тензор Ь\ оказывается линейной комбинацией
тензоров а[, а\, т. е. вектор Ь1 разлагается по векторам а1; а2.
То. же самое, конечно, справедливо и для Ь2.
В результате направляющие векторы bj, b2 второй плоскости
принадлежат и первой плоскости, а следовательно, могут служить
§ 351 основные свойства /«-векторов 133
и ее направляющими векторами. Таким образом, при построении
обеих плоскостей разница может быть лишь в выборе начальной
точки О* (§ 33). Пусть О*, О* — начальные точки наших плоско-
плоскостей. Тогда сдвигом на вектор О*О*2 мы приводим начальную точку
О* в совпадение с OJ, а так как направляющие векторы и без того
общие, то первая плоскость придет в совпадение со второй.
Следовательно, наши плоскости параллельны, и утверждение до-
доказано.
Окончательный вывод: для того чтобы две двумерные плоскости
были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляю-
направляющие бивекторы были одинаковы с точностью до численного мно-
множителя.
Таким образом, направляющий бивектор характеризует целую
совокупность параллельных между собой двумерных плоскостей,
заполняющих все пространство, т.е., как мы будем говорить, ха-
характеризует двумерное направление в пространстве.
Если мы рассматриваем только плоскости некоторой связки (т. е.
плоскости, проходящие через фиксированную точку О), то в на-
нашей формулировке вместо параллелизма плоскостей следует гово-
говорить просто об их совпадении.
§ 35. Основные свойства /га-векторов
Результаты предыдущего параграфа полностью переносятся с
двумерного случая на случай любого числа измерений.
Тензор ali ¦ •¦'m, пг раз контравариантный и кососимметрический
по всем своим индексам, мы будем называть m-вектором {поливекто-
{поливектором).
/и-вектор мы будем называть простым, если он составлен из ка-
каких-нибудь m заданных в определенном порядке векторов аь
а2, .. . , аот по формуле
1
а'>'» .. . 'т = a'^aU . . . а1т\ = —
1 ' т. т\
C5.1)
Другими словами, мы перемножаем в заданном порядке тензоры
а',1, а'2% ..., а'? , образованные координатами наших- векторов,- и ре-
результат альтернируем но всем индексам гх, /2, . . . , im.
Нужно помнить при этом, что нижние индексы здесь не тензор-
тензорные, а номера заданных векторов; альтернация, разумеется, к ним
относиться не может.
Правильность записи в виде определителя проверяется без труда,
если сопоставить определение альтернации по т индексам с прави-
134 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. И
лом составления определителя /я-го порядка в виде суммы /я! членов.
Действительно, и в том и другом случае мы должны в произведении
а^а'^ ... a^* (это произведение элементов по главной диагонали
определителя) проделать всевозможные подстановки из индексов ilt
/2, • • •, im и сложить полученные результаты, беря их со знаком
± в зависимости от четности или нечетности подстановки (в случае
альтернации к этому еще присоединяется деление на /я!).
Простой /я-вектор C5.1) мы будем называть косым произведением
векторов ах, а2, ...,аот и обозначать кратко [а^ ... аот],
да-векторы вообще и простые в частности имеет смысл рассматри-
рассматривать лишь при т—\, 2, 3, .. ., п. Дело в том, что при т > п вся-
всякий m-вектор тождественно равен нулю.
Действительно, среди т индексов каждой его координаты обя-
обязательно должны найтись, по крайней мере, два одинаковых, а сле-
следовательно, каждая его координата равна нулю (см. конец §31).
Полагая т = п, рассмотрим произвольный я-вектор a'V* ••¦'>• (как
увидим, ен всегда будет простым). Всякий я-вектор имеет лишь одну
существенную координату а12 ¦• ¦ п . Действительно, все остальные
его координаты я'Л • • •'"» или равны нулю, если среди индексов ilt
г2, .. ., in имеется хоть два одинаковых, или равны + а12-• •", если
все индексы ix, /2, .. ., in различные и, следовательно, получаются
из 1, 2, ..., п некоторой подстановкой (± в зависимости от чет-
четности или нечетности этой подстановки).
В связи с этим любые два л-вектора a'f-'» и bii--A* отличают-
отличаются друг от друга лишь инвариантным численным множителем:
й'1---'п=Я,а'> •••'"», C5.2)
если положить
1,12.. .1
к = ^ТГп C5-3)
(предполагается, что а12-- •" =^=0).
Действительно, К подобрано так, что C5.2) соблюдается при
ixl2 ... in— 12 ... л. Но тем самым оно соблюдается и всегда, так
как остальные координаты наших л-векторов или такие же, как при
'i'2 ..•'"„= 12 ... л или отличаются лишь знаком, или равны нулю.
Инвариантность же коэффициента X вытекает из того, что а'>---'п
и ?<i•••'» преобразую'тся по одинаковому закону.
Решим теперь еще один важный вопрос, касающийся
л-вектора. Так как все его координаты выражаются через коорди-
координату а12---'1, то закон их преобразования сводится к закону
преобразования этой единственно существенной координаты.
§ 35] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТ-ВЕКТОРОВ 135
Этот последний мы и хотим вывести. Запишем тензорный закон пре-
преобразования для нашего случая
&¦*'¦¦•"¦ = А1[а? ...А?Ул---'\ C5.4)
При суммировании по i\, i2, ...,in мы откинем все слагаемые,
где среди этих индексов встречаются равные, так как в этом слу-
случае все равно «'•'«•¦•'•>= 0. Остаются слагаемые, в которых ilt i2,,..
..., in все различны, т. е. получены некоторой подстановкой из 1,
2, . . ., п. Но в таком случае
aili1...in = ±ai2...nt C5.5)
знак + выбирается в зависимости от четности или нечетности под-
подстановки. Вставляя выражение для a'V4 • • ¦ <п из C5.5) в C5.4) и
вынося а12---" за скобки, получим:
где сумма берется по всевозможным подстановкам 12 ... п -*¦
-*tV2. ¦ • ln и представляет собой, очевидно, определитель Det|.<4j-'|.
Окончательно получаем:
ai'2'...«'=ai2...«Det|/4f |. C5.6)
Единственная существенная координата п-вектора при переходе в
новую координатную систему умножается на определитель Det \Al{\.
В связи с этим а12--'" можно назвать относительным инвариан-
инвариантом веса—1. Вообще же относительным инвариантом веса р (р — це-
целое) называется величина, имеющая определенное численное зна-
значение в каждой координатной системе и при переходе от старой к
новой координатной системе умножающаяся на
{Det\A?\\-r={Det\Ai.\y. C5.7)
Вернемся к общему случаю простого m-вектора (пг = 2, 3,..,,п)*)
и установим его основные свойства. Когда в косом произведении
[а1а2 .. . аот] мы меняем местами два множителя, то в определите-
определителях C5.1), выражающих его координаты, меняются местами две
строки, и косое произведение умножается на —1.
Отсюда совершенно так же, как в предыдущем параграфе, вы-
вытекает, что при наличии двух одинаковых множителей косое про-
произведение обращается в нуль.
*) При /л=1 мы получаем просто вектор.
136 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. U
Далее, из той же записи C5.1) виден линейный характер зави-
зависимости координат косого произведения от координат любого из
множителей (например, множителя ах), т координатами которого
образована первая строка определителя.
Отсюда совершенно так же, как для бивектора, вытекает
[аа^я .. . aj = а [а1а2 . .. aJ C5.8)
и
[a; + al,a2 ...aj = [a,'a2 ... aj + [a;'a2 ... aj. C5.9)
Разумеется, совершенно теми же свойствами обладает любой
множитель косого произведения.
Теперь докажем теорему: для линейной зависимости векто-
векторов ах, а2, ..., ат необходимо и достаточно обращение в нуль их
косого произведения.
Необходимость. Пусть а1( а2, . . ., аот линейно зависимы,
например, ах разлагается по остальным векторам с коэффициента-
коэффициентами а2, ..., ат:
Тогда
1*1*2 • • • ат] = Ка2 + • • • + amaffl, а2 ... aJ =
= а2[а2а2 ... aJ + ... + am[ama2 ... aj = 0.
Равенство нулю вытекает из того, что в каждом из полученных
косых произведений имеется два одинаковых множителя.
Достаточность. Пусть [а^ ... а^] = 0; тогда обращаются
в нуль все определители C5.1), т. е. все миноры т-го порядка
матрицы
a', a* ... а?
C5.10)
образованной координатами наших векторов. Тем самым между стро-
строками матрицы, а следовательно, и между нашими векторами имеется
линейная зависимость.
Из доказанной теоремы следует, между прочим, что простой
л-вектор [аха2 • • ¦ ял] в случае линейной независимости векторов
ах, а2, .. ., ал отличен от нуля. Следовательно, любой другой п-век-
тор, отличаясь от него лишь численным множителем Л, тоже будет
простым (множитель Я можно включить, например, в аг).
Заметим, кстати, что любой л—1-вектор тоже всегда является
простым.
§ 35] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА /И-ВЕКТОРОВ 137
Выясним теперь, как преобразуется косое произведение т век-
векторов аь ..., ат при их произвольном линейном преобразовании
в векторы а^, .. ., аш-:
ai- = А \.&1 + AUt + ¦ ¦ ¦ + А>а = А'М,-,, ]
\ C5.11)
\
J
при помощи квадратной матрицы А\г порядка т. Мы позволяем
себе здесь в виде исключения сокращенную запись суммирования,
несмотря на то, что индексы суммирования ix, . . ., im пробегают
значения 1, 2, ..., и, а не 1, 2, ..., п.
Составим косое произведение:
[а!,а2 ат>] = [л'^а^, Л'Ла,г, ..., Л#а,-J =
Полученное выражение с формальной стороны вполне аналогично
C5.4), отличаясь от него только тем, что число множителей A'fi
здесь т, а не л, и индексы суммирования пробегают значения
1, ..., т (а не 1, ..., п), а также тем, что верхние и нижние
индексы поменялись ролями. Роль а1* • ¦ ¦'» играет сейчас [а,-, . . . а,м],
также кососимметрическое по всем своим индексам. Поэтому анало-
аналогичным образом получим:
[ага2, . .. &т.\ == [а^а ... aj Det | A\. \ . C5.12)
Итак, косое произведение m векторов в результате их линейного
преобразования умножается на определитель матрицы этого преоб-
преобразования.
Докажем теперь следующую важную теорему.
Для того чтобы вектор а (а1,а2, . .. , а") разлагался по линейно
независимым векторам < a2, .-.., am, необходимо и достаточно
соблюдение условия
aVahh-- .'»]=, о, C5.13)
где а1*1' ¦ ¦ •'»—координаты косого произведения [а^ .. . ат].
Разберемся прежде всего в смысле условия C5.13). В процессе
альтернации мы, строго говоря, должны взять среднее арифметиче-
арифметическое (m-j-1)! слагаемых, полученных в результате всевозможных
подстановок да+1 индексов (с изменением знака в случае нечетной
подстановки). Однако фактически у нас будет лишь т-\-\ сущест-
существенно различных слагаемых, так как каждое слагаемое встретится
нам т\ раз. В самом деле, те /и! подстановок индексов в слагаемом,
например, a'a'V» • • •'mt которые затрагивают лишь последние т
138 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ.II
индексов, дадут нам (в силу косой симметрии а'1'2 ••¦'«• и правила
изменения знака в случае нечетной подстановки) одинаковые слага-
слагаемые. В таком случае достаточно взять среднее арифметическое
лишь /и+1 существенно различных слагаемых. В качестве таковых
можно взять слагаемое а1 а'» •••'"•» и те т слагаемых, которые полу-
получаются из него поочерёдной транспозицией индекса i с ilt /2, . . ., im,
конечно, с изменением знака (ввиду нечетности транспозиции). Полу-
Получаем развернутое выражение:
• • '«•— а'г a'V •••'«»— ... — а'я»а'»'!
= г (aaV» Bi— а'а
т -\-1 ч
C5.14)
Для доказательства теоремы нам придется преобразовать усло-
условие C5.13). Координаты косого произведения имеют по определе-
определению вид
aU ...im==a[il... a'?].
Вставляя это выражение в C5.13), получаем:
в['в[''а(,' . ¦. a%]i = 0. C5.15)
Внутреннюю альтернацию (и это общее правило) можно выкинуть,
раз она покрывается внешней альтернацией. Результат от этого не
изменится. В самом деле, пользуясь выражением C5.14), получаем:
и. их . . . ит —
(а'а^ ¦ ¦ ¦ a' — aiialr • • ¦ 4?! - • . . — а'-**?' . . . 4).
Осуществляя теперь оставшиеся альтернации, в каждом случае
по т индексам, мы получим из каждого члена т\ слагаемых (с после-
последующим делением на т\).
Всего мы получим (т-\-\)\ слагаемых, составленных, очевидно,
по правилу альтернации выражения a'a'i . .. al? по всем его верх-
верхним индексам и с последующим делением на т\ (т-\- 1) = (т-\- \)\.
Другими словами,
а ах ... ат —а ах ... ат . (оо. 1о)
Теперь условие C5.13) принимает вид
alia[' ... а%] = 0, т. е. [aax ... aj = 0. C5.17)
Но в таком виде наше условие по выше доказанному равно-
равносильно линейной зависимости векторов a, alt ...,аш, а так как
§ 35] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА m-BEKTOPOB 139
ах, а2, -.., ат линейно независимы, то равносильно линейной зави-
зависимости а от ах, а2, ..., ат. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь какую-либо m-мерную плоскость с направ-
направляющими (и тем самым линейно независимыми) векторами &х, . . ., ат.
Косое произведение этих векторов [ах ... ат], очевидно, не рав-
равное нулю, мы будем называть направляющим т-вектором нашей
плоскости.
При любом выборе направляющих векторов на данной плоскости
ее направляющий m-вектор с точностью до численного множителя
остается прежним. Это непосредственно следует из результата
C5.12), если считать, что формулы C5.11) дают переход от ста-
старых к новым направляющим векторам на данной ти-мерной плоскости
(при этом Det J Л'.| =^= 0).
Обратно, если у двух гп-мерных плоскостей направляющие
m-векторы отличаются лишь численным множителем
[b1...bj = a[a1...aj, C5.18)
то эти плоскости параллельны (т. е. получаются одна из другой
сдвигом всех точек на постоянный вектор).
Действительно, пусть а'» • • • '•» и ?'«¦••'« — координаты направ-
направляющих /и-векторов [аг ... ат] и [Ьх ... bm] первой и второй пло-
плоскости. Нам дано, что
Согласно C5.13), для того чтобы вектор а разлагался по
ах, а2, . . ., аот, т. е. чтобы он принадлежал первой плоскости, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы его координаты удовлетворяли условию
a\iан ... in] ^ q C5.19)
Совершенно аналогично, для того чтобы а принадлежал второй
плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
at'A'i • • • i«] = о. C5.20)
Но оба последних условия равносильны вследствие C5.18). Поэтому
все векторы, принадлежащие второй плоскости, принадлежат и пер-
первой плоскости, и наоборот. В частности, векторы Ьх, . .., bm принад-
принадлежат и первой плоскости и могут служить направляющими векторами
на ней наряду с ах, .. ., ат. Теперь достаточно сделать параллельный
сдвиг, переводящий какую-нибудь одну точку второй плоскости
в какую-нибудь точку первой плоскости, чтобы обе плоскости сов-
совместились. Тем самым наше утверждение доказано.
Резюмируем: для того чтобы две m-мерные плоскости были,
параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие
140 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
т-векторы, рассматриваемые с точностью до численного множителя^
были одинаковы.
Это можно выразить и в такой форме, что направляющий да-век-
тор, заданный с точностью до численного множителя, характери-
характеризует m-мерное направление в пространстве, т. е. совокупность
параллельных между собой /и-мерных плоскостей, заполняющих все
пространство.
Если мы ограничиваемся плоскостями некоторой связки О, то
параллелизм плоскостей будет означать просто их совпадение, кото-
которое и будет равносильно совпадению направляющих /и-векторов.
Наконец, последнее замечание. Вся алгебраическая теория, раз-
развитая здесь для кососимметрических контравариантных тензоров
а'» • ¦ • 'т (т-векторов), повторяется, конечно, дословно и для косо-
кососимметрических ковариантных тензоров а^. ,т (которые мы будем
называть т-ков е кто рам и). Более того, можно установить своеобраз-
своеобразный принцип двойственности, по которому каждому /и-вектору вза-
взаимно однозначно сопоставляется л—m-ковектор, и обратно (при
условии задания некоторого фиксированного л-вектора). Мы не будем
останавливаться здесь на этом подробнее*). Укажем только, что
совершенно аналогично C5.6) можно получить, что единственная
существенная координата а12...л л-ковектора я,уа. _. in преобра-
преобразуется по закону
ai'8'...n' = a12...nDet|^--|. C5.21)
Тем самым, согласно C5.7), а12 „ представляет собой отно-
относительный инвариант веса -j- 1 (определители в C5.6) и C5.21)
представляют собой взаимно обратные величины как определители
взаимно обратных матриц). Отсюда вытекает, что произведение су-
существенных координат л-вектора и л-ковектора а12 ¦¦¦п-а12 . „
представляет собой инвариант.
Если, в частности,
а12-" •"•«12...„= 1, C5.22)
то я-вектор и л-ковектор мы будем называть взаимно сопряженными.
Ясно, что по данному л-вектору всегда можно построить сопряжен-
сопряженный ему л-ковектор, и обратно.
Что касается геометрического истолкования /я-ковекторов, то
на нем мы останавливаться не будем. Укажем лишь, что по упомя-
упомянутому принципу двойственности (кстати, имеющему непосредствен-
непосредственное отношение к принципу двойственности в п—1-мерной проек-
проективной геометрии в связке О) каждое m-мерное направление в иро-
*) См., например, П. К. Рашевский, Геометрическая теория урав-
уравнений с частными производными, М.— Л.. Гостехиздат, 1947, гл. П.
§ 36] ОРИЕНТАЦИЯ В «-МЕРНОМ АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 141
странстве характеризуется п — /я-ковектором, заданным с точностью
до численного множителя. Так, например (при т~п— 1), п—1-мерное
направление характеризуется 1-ковектором а(, а именно, это есть
направление гиперплоскости, уравнение которой
atxl = 0.
§ 36. Ориентация в я-мерном аффинном пространстве
Будем рассматривать в л-мерном вещественном аффинном про-
пространстве*) всевозможные реперы {О', е^, ..., е„/}. Легко заме-
заметить, что они распадаются на два класса аналогично «правым» и
«левым» реперам в обычном трехмерном пространстве. А именно,
выбрав произвольно некоторый начальный репер {О, elt ..., е„},
мы распределим все вообще реперы {О', е^, . . . , е„»} на два класса
по следующему принципу. Запишем разложение векторов произ-
произвольного репера по векторам начального репера
Если Det[/1*. |>0, то мы относим произвольно взятый репер
к первому классу, если же Det|/l|, | < 0, то — ко второму классу.
Начальный репер попадет, очевидно, в первый класс (матрица А\,
будет в этом случае единичной). Покажем теперь, что это распа-
распадение реперов на два класса не зависит от выбора начального
репера (если не считать нумерации этих классов, которая, конечно,
определяется выбором начального репера).
Для этого достаточно показать, что любые два репера одного
класса связаны между собой преобразованием с положительным
определителем, а в случае разных классов — с отрицательным опре-
определителем. Тогда действительно, исходя из любого начального репе-
репера, мы получим разбиение реперов на те же два класса (с точностью
до их нумерации).
Возьмем два произвольных репера (О', е^, ..., е„/) и
(О", в!», ..., е„»). Пусть они связаны с исходным репером и между
собой преобразованиями:
е,/ = А\л17 е,- = A fa., ег„ = Afa. C6.1)
Очевидно, третье преобразование есть результат наложения
первых двух, так что его матрица есть произведение матриц:
Л|„=;ЛрЧ,, C6.2)
*) Результаты главы II, за исключением §§ 36, 37, одинаково применимы
и к вещественным и к комплексным аффинным пространствам.
142 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
а значит,
Det | А\„ | = Det 14' | • Det | А\, |. C6.3)
Если взятые реперы одного класса, т. е. Det|i4|»| и Det[4|-|
одного знака, то отсюда следует
Det|i4?|>0,
если же разных классов и, следовательно, указанные определители
разных знаков, то
Det | А\„ | < 0.
Этим наше утверждение доказано.
Мы условимся говорить, что два репера имеют одинаковую
ориентацию или различные ориентации в зависимости от того, при-
принадлежат ли они к одному классу или к различным классам.
В случае п = 1 (прямая линия) репер (О, ех) имеет одну ориен-
ориентацию, если вектор ех направлен в данную сторону, и другую, если
он направлен в противоположную сторону. Таким образом, выбор
ориентации сводится к выбору определенного направления на
прямой.
В случае двумерного аффинного пространства, т. е. в сущности
в случае обычной плоскости, рассматриваемой в пределах ее аффин-
аффинных свойств, ориентацию можно представлять себе наглядно в виде
определенным образом заданного направления вращения на плос-
плоскости (против или по часовой стрелке).
Тогда реперами (О, еь е2) данной ориентации будут те, для
которых направление вектора е^ вращаясь около О в заданную
сторону, приходит в совпадение с направлением вектора е2 в тече-
течение первого полуоборота.
Нужно пояснить, что в этой формулировке мы не выходим за
пределы аффинных свойств, так как вращаются не целые фигуры,
а лишь направления, исходящие из данной точки.
В случае п -¦= 3 распадение реперов на два класса вполне анало-
аналогично их распадению на «правые» и «левые» в обычном пространстве.
Мы говорим, что л-мерное аффинное пространство ориентировано,
если из двух возможных ориентации избрана одна определенная
(т. е. избран один из двух классов реперов).
Все сказанное относится и к m-мерным плоскостям л-мерного
пространства, так как они по своей геометрии являются также аф-
аффинными пространствами. Соответствующий m-мерный репер, ориен-
ориентация которого будет рассматриваться, образуется какой-нибудь
точкой О* и направляющими векторами ах, ..., ат данной яг-мер-
ной плоскости. При этом не нужно забывать, что ориентация репера
в той же мере зависит от нумерации его векторов, как и от выбора
§ 37] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ 143
самих этих векторов. Составим направляющий /и-вектор [л1 ... ат]
данной m-мерной плоскости. Если мы перейдем в ней к другому
реперу ах/, ..., ят> посредством линейного преобразования с мат-
матрицей т-го порядка \\A'V\\
&i, = A\,ah
то согласно C5.12)
[ага2,. .. ат-] = [аха2 ... aJDet \A\,\.
Если новый репер имеет ту же ориентацию, что и старый, то
определитель, на который множится направляющий /и-вектор, будет,
как мы видим, положительным; в противном случае — отрицательным.
Мы получаем следующий результат.
Все направляющие т-векторы данной m-мерной плоскости, отве-
отвечающие m-мерным реперам одинаковой ориентации, отличаются лишь
положительными численными множителями; при изменении ориента-
ориентации репера на обратную направляющий m-вектор приобретает отри-
отрицательный численный множитель.
Отсюда вытекает, что если направляющий m-вектор задан нам
с точностью до положительного численного множителя, то у нас
определено не только m-мерное направление в пространстве, но и
определенная ориентация на каждой m-мерной плоскости этого
направления (т. е. из двух классов реперов на ней избран один
определенный).
§ 37. Измерение объемов
Пусть в вещественном л-мерном аффинном пространстве дано
некоторое тело D, Отнесем пространство к какой-нибудь аффинной
координатной системе (л:1, ..., х") и составим я-кратный интеграл
VD= ^ёхЫх* ... dxn, C7.1)
распространенный по области D. Мы будем рассматривать лишь
такие области D (например, ограниченные кусочно гладкими гипер-
гиперповерхностями), для которых существование этого интеграла не
вызывает сомнений.
При переходе в другую координатную систему (х1', ..., хп')
получаем в силу B4.20)
C7.2)
144 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
Аналогичный интеграл имеет вид
[гл. ц
'D = \
D
l, ..., г1)
dx1dx2 .. . dx" =
J | Det | All \\dxx ... dxn^\ Det | Л}' 11 • \ dx1 .. . dx" =
D D
C7.3)
Мы воспользовались здесь формулой преобразования переменных
под знаком кратного интеграла, причем якобиан преобразования
совпадает с Det|.Af |, так как из преобразования C7.2) следует, что
дх^ = .,,
дх* 1'
Итак, интегралы VD для всех областей D умножаются при пере-
переходе в новую координатную систему на общий множитель | Det | А\ \ \.
Другими словами, интеграл VD для данного тела D можно рас-
рассматривать как относительный инвариант веса —1 с той только
разницей, что его преобразование сводится к умножению не н
Det | А\' \, а на | Det | Af 11 (ср. C5.6)).
Чтобы отметить это, мы будем называть VD знакопостоянным
относительным инвариантом веса —1; впрочем, прилагательное
«знакопостоянный» мы будем для краткости большей частью опускать.
Относительный инвариант VD мы будем называть объемом тела D.
Таким образом, в аффинной геометрии объем данного тела не
выражается каким-либо определенным числом и меняется вместе
с координатной системой. Тем не менее между объемами сущест-
существуют соотношения, вполне аналогичные обычным и в отличие от
самого объема инвариантные относительно выбора координатной
системы.
1. Равенство объемов двух тел
VDl = VD,
C7.4)
сохраняется при переходе в любую другую координатную систему.
2. Если объем тела D равен сумме объемов тел Dx и D2
VD=VDl+VDt C7.5)
в одной координатной системе, то это верно и в любой другой.
§ 37] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ 145
3. Отношение объемов двух тел D и D'
" = ft C7.6)
есть инвариант преобразования координатной системы.
Все эти утверждения очевидным образом следуют из одинако-
одинакового для всех VD закона преобразования C7.3).
Введенное нами понятие объема, вернее, те инвариантные соот-
соотношения, к которым оно приводит, хорошо согласуются с нашим
обычным представлением об объеме.
Так, при параллельном сдвиге тела D на вектор а в положение
D его объем, как мы и ожидаем, не изменится. Действительно,
VD = \dxl . . . dxn, V3 = J dx1 . . . d~x".
о д
Но при этом х' — x' -f- a', где а1 — постоянные координаты век-
вектора сдвига а. Преобразуя интеграл Vb K переменным х', получим,
очевидно:
Vb = ^ dx1 ... dx" = J dxl ¦ ¦ ¦ dx" = vd- C7-7)
Ъ о
Далее, для тела D, составленного из (неггерекрывающихся) тел
Dt и D2, объем будет равен сумме объемов этих тел:
так как, очевидно:
^dx1 . . . dxn = ^ dx1 . . . dxn+ J dx1 .. . dx". C7.8)
D O, D2
Эти и подобные им свойства объемов показывают, что хотя
объем у нас — относительный инвариант и не выражается опреде-
определенным числом, тем не менее он характеризует пространственную
протяженность тела независимо от его формы и места расположения
подобно численно выраженному объему в обычном пространстве.
Рассмотрим, в частности, п-мерный параллелепипед, построен-
построенный на п линейно независимых векторах а1; а2, ..., а„, исходящих
из данной точки О. Так мы будем называть множество точек М,
для которых радиус-вектор ОМ разлагается по векторам ах, . .., art
с коэффициентами, меняющимися от 0 до 1:
146 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
где
0<^<1, ..., 0<*"<1. C7.9)
В случае п — 1
и получаемый при этом «одномерный параллелепипед» мы будем
называть отрезком одномерного аффинного пространства (прямой
линии).
В случае п — 2 мы получаем «двумерный параллелепипед»
который будем называть параллелограммом в двумерном аффинном
пространстве.
Эти определения, очевидно, вполне согласуются с нашими обыч-
обычными представлениями об отрезке на прямой, полученном отклады-
откладыванием вектора ах от точки О, и о параллелограмме на плоскости,
построенном на векторах л1, а2, отложенных от точки О.
Совершенно аналогично при п = 3 наше определение параллеле-
параллелепипеда вполне согласуется с обычным.
Отнесем пространство к какой-нибудь координатной системе
{О, ех, . . ., е„} и вычислим интеграл VD для нашего л-мерного
параллелепипеда. При этом всегда можно считать, что параллеле-
параллелепипед построен, исходя из начала О (так как VD не меняется при
параллельном сдвиге тела D).
Обозначим координаты векторов aft через а%, так что
a* = eU/. C7.10)
Вычисление интеграла VD мы для краткости проведем обходным
путем. Примем на время &k за векторы е&/ нового репера (с преж-
прежним началом О). Тогда в новой координатной системе коэффициенты
t1, . . ., t" будут служить координатами, причем в пределах нашего
параллелепипеда они меняются от 0 до 1. Поэтому в новой коор-
координатной системе
1 1
\ J 1 ... dtn= 1. C7.11)
Но VD и V'd согласно C7.3) связаны соотношением
V'D=*\Det\Al'\\.VD. C7.12)
В нашем случае матрица ||Л|, ||, как видно из C7.10), совпа-
совпадает с матрицей ||aj,||, а следовательно, матрица ||/lf| — с ее
§ 37] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ 147
обратной матрицей, и мы получаем:
Det I A? I = -—\-г-. .
Теперь соотношение C7.12) дает (если учесть, что Vo = l):
VD=-|DetK||. C7.13)
Итак, относительный инвариант VD в случае п-мерного парал-
параллелепипеда выражается модулем определителя Det\a'k\, составлен-
составленного из координат векторов, на которых построен параллелепипед.
Между прочим, сам этот определитель является относительным
инвариантом веса —1, так как согласно C5.1) он равен л! а12 • ¦ •",
где а12---" — координата л-вектора [аха2 . .. ап].
В частности, если Do — параллелепипед, построенный на векто-
векторах репера eb ..., еи, то аналогично C7.11) Vd0 — 1, так что
Vo:Vb0 = |Detl4ll- C7.14)
Итак, отношение объемов двух п-мерных параллелепипедов,
построенных соответственно на векторах аь ..., а„ и ех, ..., еп,
равно модулю определителя той матрицы, посредством которой век-
векторы &i выражаются через векторы е,-. Этот результат получен
в предположении, что векторы е,- совпадают с векторами репера.
Но, в силу того, что отношение двух объемов есть инвариант, наш
результат остается верным и в любой координатной системе.
Все сказанное до сих пор об объемах в л-мерном аффинном
пространстве полностью переносится и на его /я-мерные плоскости,
поскольку они также представляют собой аффинные пространства.
При этом /я-мерные объемы тел D, расположенных на разных
/я-мерных плоскостях, вообще говоря, нельзя сравнивать друг
с другом. Действительно, речь идет об относительных инвариантах
VD, меняющихся в зависимости от выбора репера {О*, аь ... ., аш},
в одном случае—на одной плоскости, в другом случае — на другой.
Так как выбор реперов на разных m-мерных плоскостях происходит
совершенно независимо, то никаких инвариантных соотношений
между значениями VD на разных плоскостях установить нельзя.
Однако из этого правила имеется исключение. Если речь идет
о параллельных /я-мерных плоскостях, то их можно относить к од-
одному и тому же реперу (если не обращать внимания на положение
начала О*). В самом деле, векторы репера аг, ..., ает, построен-
построенного на одной плоскости, можно отложить и на параллельной ей
плоскости из какой-нибудь ее точки.
148 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. It
Относя параллельные tn-мерные плоскости к одному и тому же
(в указанном смысле) реперу аь ... , ат, мы можем сравнить значения
m-мерных объемов VD не только для тел D на данной плоскости, но
и на различных параллельных ей плоскостях. Отношение двух таких
объемов по-прежнему будет инвариантом, и, вообще, все инвариант-
инвариантные соотношения между объемами повторяются и в этом случае по
прежним причинам.
Рассмотрим частные случаи.
Пусть /я—1; мы рассматриваем связку параллельных прямых;
в качестве областей D на этих прямых берем их отрезки (а, Ь);
«одномерные объемы»
ь
VD=\dtl^b—a (b>a)
представляют собой длины этих отрезков, вычисленные при условном
выборе направляющего вектора ах (общего для всех прямых связки)
за единичный вектор. Однако отношения длин отрезков на парал-
параллельных прямых будут уже инвариантными, равно как и такие факты,
что длина данного отрезка есть сумма длин двух параллельных ему
отрезков (если это имеет место при одном выборе вектора а), и т. д.
Пусть т—2; мы рассматриваем связку параллельных двумерных
плоскостей; двумерные области D берутся на этих плоскостях.
Их «двумерные объемы» VD= j ^ dt1 dt1— это площади, которые
D
получатся, если условно выбрать в качестве единицы измерения пло-
площадь параллелограмма, построенного на направляющих векторах а1,а2
(общих для всех плоскостей связки). Однако отношения площадей
параллельно расположенных плоских фигур будут уже инвариантными,
равно как и такие факты, что площадь данной плоской фигуры есть
сумма площадей параллельных ей плоских фигур, и т. д.
В заключение мы дадим окончательную геометрическую характе-
характеристику простого от-вектора.
Задание простого m-вектора, отличного от нуля, равносильно
заданию некоторой m-мерной плоскости (с точностью до параллель-
параллельного сдвига), с определенной ориентацией и с определенным объемом,
указанными на ней. Это мы будем кратко называть геометрической
характеристикой от-вектора. Переходим к доказательству нашего
утверждения.
Каждый простой /я-вектор, не равный нулю, можно (хотя и не-
неоднозначно) представить в виде косого произведения [aja2 .. . ага].
Если принять ах, а2, . . . , ая за направляющие векторы некоторой
m-мерной плоскости, то эта плоскость определяется с точностью
§ 37] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ 149
до параллельного сдвига, на ней определяется некоторая ориентация
(т. е. ориентация репера alT a2i .. . , лт) и некоторый от-мерный объем,
именно, объем параллелепипеда, построенного на аь а2, ... , ат. Мы
получаем геометрическую характеристику нашего m-вектора. Однако
нужно еще показать, что эта характеристика будет одной и той же
независимо от того, каким косым произведением представлен данный
га-вектор.
Пусть данный m-вектор представлен косым произведением других
векторов аг, а2,, . . . , ат,:
[ar ...aJB,] = [a1...am]=?&0. C7.15)
Мы имеем два равных между собой косых произведения, т. е.
можно сказать, отличающихся друг от друга численным множителем
а=1. Такое положение вещей разбиралось в § 35 (см. C5.18))
и приводило к тому, что а-!», . .. , а.т> и at, . . . , ает служили напра-
направляющими векторами одной и той же m-мерной плоскости, а следо-
следовательно, могли разлагаться одни по другим. Таким образом, и
в нашем случае
Ai,=A\.dLt. C7.16)
Теперь согласно C5.12)
[a1,...am,] = [a1.-.aBl-Det|^|. C7.17)
Сравнивая с C7.15), получаем:
Det И|, |=1. C7.18)
Это показывает, во-первых, что реперы ах, . . . , ат и а:-, . . . , ат-
определяют на m-мерной плоскости одну и ту же ориентацию (так
как Det |Л|-| = 1 > 0) и, во-вторых, что построенные на них парал-
параллелепипеды имеют одинаковый объем. В самом деле, отношение этих
объемов согласно C7.14) равно |Det|/ij>||, т. е. единице.
Итак, геометрическая характеристика данного m-вектора действи-
действительно не зависит от способа его записи в виде косого произведе-
произведения и будет, таким образом, вполне определенной.
Теперь нужно показать, что и обратно, данной геометрической
характеристике отвечает только один простой да-вектор.
Пусть [ах .. . ат] и [ах» ... ат-] — два не равных нулю простых
/я-вектора с данной геометрической характеристикой. Поскольку,
таким образом, как ах, .. . , аи, так и а^, ... , ат' являются направ-
направляющими векторами заданной (с точностью до параллельного сдвига)
m-мерной плоскости, то одни из них разлагаются по другим; мы
снова получаем C7.16), а следовательно, и C7.17). Так как ориен-
ориентация на /и-мерной плоскости нам также задана, то а1( .. . , ая и
150 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
&i', ... , а.щ' должны иметь общую ориентацию, и таким образом
Det|4}.|>0. C7.19)
Далее, объем в /я-мерной плоскости нам также задан, так что
объемы параллелепипедов, построенных на аь .. . ,аи и а^, . . . , ят>,
должны быть одинаковыми, т. е. отношение этих объемов равно
единице:
|Det|>lM|=l. C7.20)
Сравнивая два последних соотношения, получаем:
Ве1|Л|,|=1,
откуда согласно C7.17) следует:
а это мы и хотели показать. Теперь наше утверждение доказано
полностью.
§ 38. Тензорные поля
Мы изучали до сих пор отдельные тензоры. Однако эта точка
зрения по существу является только подготовительной и достаточна
лишь для рассмотрения простейших вопросов. Как правило, геоме-
геометрические и физические задачи приводят нас к рассмотрению тен-
тензорных полей.
Мы говорим, что в п-мерном аффинном пространстве задано поле
тензора щ'"/'^, если для каждой точки М задан определенный тен-
тензор указанного строения
Тензорное поле может быть задано и не во всем пространстве,
а только в некоторой его л-мерной области D (и даже только на
некоторой m-мерной поверхности, в частности на линии). Это значит,
что точка М в C8.1) пробегает не все пространство, а только его
область D (или даже m-мерную поверхность), а для остальных точек
тензор а1^"'1^ не определен. В дальнейшем, если не будет огово-
оговорено противное, подразумевается, что тензорное поле задано в л-мерной
области D (в частности,'во всем пространстве). Кстати, здесь уместно
дать общее определение п-мерной области D: это такое множество
точек, что вместе с каждой точкой х'о к нему принадлежат все точки х',
для которых \х' — хЦ<^8, если только е>0 взято достаточно ма-
малым. Для различных точек л;0 значения е, вообще говоря, различны.
§ 38] ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 151
Нетрудно было бы показать инвариантность этого определения
относительно преобразования аффинной координатной системы х'.
Если пространство отнесено к определенной координатной системе,
то C8.1) можно переписать в виде функциональной зависимости
at::il = at::i'{x\...,xn), (З8.2)
где х1, . . . , хп — координаты точки М. Эта функциональная зависи-
зависимость предполагается достаточное (для будущих выкладок) число
раз непрерывно дифференцируемой.
Геометрическое и физическое значение понятия тензорного поля
заключается в том, что соответствующий геометрический объект обыч-
обычно меняется от точки к точке (как, например, кривизна кривой или
поверхности), а физический, кроме того, зависит и от момента вре-
времени. Так, например, напряженности электрического и магнитного
полей зависят от точки, где они наблюдаются, и от момента времени.
В связи с этим эти напряженности задаются в теории относитель-
относительности тензорным полем в четырехмерном пространстве (выражающем
пространственно-временную протяженность материи).
Над тензорными полями мы производим все операции тензорной
алгебры, установленные нами для отдельных тензоров. Это не требует
особого обоснования, так как мы подразумеваем, что эти операции
производятся над тензорами наших полей в каждой точке М по
отдельности (а в этом случае каждое тензорное поле представлено
отдельным тензором).
Так, например, сложение двух данных тензорных полей aljk(M),
b'jk (M) обозначает построение нового тензорного поля
путем сложения в каждой точке М тех тензоров, которыми в этой
точке представлены наши тензорные поля.
То же самое относится и ко всем другим операциям тензорной
алгебры. Разумеется, тензорные поля, участвующие в операциях,
предполагаются определенными в одной и той же области D, которую
и пробегает точка М.
Но для тензорных полей возможна и еще одна инвариантная опе-
операция— абсолютное дифференцирование, вместе с которой мы пере-
переходим из области тензорной алгебры в область тензорного анализа.
Пусть в области D, где определено тензорное поле а\\ '.'.'.11к, проведе-
проведена кривая, т. е. дано геометрическое место точек M~M(t), или
в координатной записи
Xх = х1 (t), C8.3)
152 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. II
где параметр t пробегает определенный интервал изменения. Функции
х1 (t) предполагаются непрерывно дифференцируемыми, по крайней
мере, один раз. Вдоль нашей кривой координаты тензора а/,1;;;/*
будут являться, как видно из C8.2) и C8.3), сложными функциями
параметра t. Вычисляем дифференциалы этих функций
да'1 ¦ ¦ ¦ /'
dah-h _h^hdxi C8.4)
дх'
В правой части подразумевается суммирование по i, так что
написанное неравенство есть просто формула полного дифференциала.
Мы утверждаем, что da\\\\\\lh образуют тензор того же строения,
что и а\\\\\[1к; этот тензор мы будем называть абсолютным дифферен-
дифференциалом тензора а\\\\\ [1к (при данном бесконечно малом смещении
по данной кривой).
Проверка нашего утверждения производится просто. Выпишем
закон преобразования координат тензора нашего поля при переходе
в новую координатную систему
4''-Ьм)=Аи---АЬ--<'.'^м)- <з8-5)
Конечно, А1'1 и т. д. — величины постоянные, не зависящие от точки М,
бегущей по кривой, а следовательно, и от параметра t. Дифферен-
Дифференцируя по t, получим:
Этим наше утверждение доказано.
Рассмотрим теперь в каждой точке М совокупность частных
производных от функций C8.2) по всем их аргументам, причем
введем для них обозначения
да'1 '¦¦'¦'
V«a«i •••«"* — —~jTi—• @8.7)
Мы утверждаем, что Via'!"'.'* образуют тензор с тем же числом
верхних индексов и на единицу большим числом нижних индексов,
чем у исходного тензора, причем увеличение происходит за счет
индекса дифференцирования i.
Этот тензор мы будем называть абсолютной производной исходного
тензора а{[ \'\ if.. Так как абсолютная производная определена в каждой
точке М, то она в свою очередь образует тензорное поле.
§ 38] ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 153
Проверку нашего утверждения проводим следующим образом.
Положение точки М можно определять как старыми координатами х',
так и новыми координатами х1', а потому члены равенства C8.5)
можно рассматривать и как функции от л;', и как функции от х''.
Дифференцируя C8.5) почленно по координате х'', получим:
Af
A A а А
дх' '. '• дх1 '. '• дх1 дх1
В последнем выражении мы использовали правило дифференциро-
дифференцирования сложной функции (по i происходит суммирование).
Так как по общим формулам
X = /\у • X ,
ТО
^ ,,¦
дх1'
и предыдущий результат можно переписать (пользуясь обозначе-
обозначением C8.7)):
Мы видим, что величины у,-а;|;; \i'k действительно преобразуются
по тензорному закону.
Заметим, что абсолютный дифференциал можно брать и в том
случае, когда поле тензора задано хотя бы только вдоль той
кривой, вдоль которой этот дифференциал вычисляется. Но для вы-
вычисления абсолютной производной нужно, чтобы поле тензора было
задано в л-мерной области, по крайней мере, в некоторой окрест-
окрестности данной точки.
ГЛАВА III
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ
§ 39. Понятие о евклидовом пространстве
Мы уже упоминали о том, что аффинная геометрия может быть
построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических
свойств пространства. Однако мы идем обратным путем: аффинную
геометрию мы построили на основе самостоятельной аксиоматики,
а переход к евклидовой геометрии совершим путем дополнительного
включения метрических свойств. Это проще всего сделать, введя
в /г-мерном аффинном пространстве скалярное произведение векторов,
что повлечет за собой и все другие метрические свойства и будет
означать превращение нашего пространства в евклидово.
Для этой цели зададимся в л-мерном аффинном пространстве
некоторой билинейной скалярной функцией ср (х,у) двух векторных
аргументов х, у (§ 26). Мы потребуем, чтобы эта функция удовле-
удовлетворяла условию симметрии
Ф (х,у) = Ф (У,х) C9.1)
и условию невырожденности, которое заключается в том, что для
каждого вектора \=ФО можно найти такой вектор у, что
Ф(х,у)^=0. C9.2)
В остальном функцию ср (х,у) мы выбираем произвольно, но затем
уже раз навсегда присваиваем ее нашему пространству и в даль-
дальнейшем менять не будем.
Евклидовым пространством п измерений мы будем называть
п-мерное аффинное пространство, в котором задана раз навсег-
навсегда фиксированная билинейная скалярная функция двух векторных
аргументов х, у, удовлетворяющая условиям симметрии и невы-
невырожденности.
Эту функцию векторов х, у мы будем называть их скалярным
произведением и обвзначать просто ху или (х,у) (вместе ф(х,у)).
§ 39] ПОНЯТИЕ О ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 155
Скалярный квадрат вектора х определяется формулой
х2 = хх. C9.3)
Два вектора х, у будут называться ортогональными, если их скаляр-
скалярное произведение равно нулю:
ху = 0. C9.4)
Длиной вектора х мы будем называть j/^x2 и обозначать ее будем | х |:
\х\ = У**. C9.5)
Расстоянием между двумя точками А, В мы будем называть длину
вектора АВ;
АВ=У"х2, где х = АВ. C9.6)
Вообще, как мы увидим, из факта существования скалярного произ-
произведения векторов можно вывести метрические свойства /г-мерного
евклидова пространства, причем в одном частном случае мы получим
в точности обычное пространство.
Скалярное произведение, как и всякая билинейная функция двух
векторов, обладает свойствами
(хг + х2,у) = (хх,у) + (х2,у), (ах,у) == а (х,у),
которыми мы будем широко пользоваться. Конечно, относительно
второго аргумента оно обладает такими же свойствами.
Евклидовы пространства распадаются на два больших класса:
вещественные и комплексные. В самом деле, евклидово пространство
можно строить как на базе вещественного аффинного пространства,
так и комплексного. Соответствующие обозначения: Rn и R%, где
л-размерность.
В первом случае мы сохраняем прежнее соглашение, по которому
в теории вещественного аффинного пространства все рассматриваемые
числа считаются вещественными. В частности, и скалярное произве-
произведение ху двух векторов х, у, как мы будем подразумевать, прини-
принимает лишь вещественные численные значения. Полученное при этом
евклидово пространство также будет называться вещественным. Веще-
Вещественные евклидовы пространства в свою очередь разделяются на
два класса: собственно евклидовы, в которых для любого вектора х=?в:
х2 > 0, C9.7)
и псевдоевклидовы, в которых х2 может принимать как положитель-
положительные, так и отрицательные значения.
Собственно евклидовы пространства по своей геометрии вполне
аналогичны обычному пространству и отличаются от него лишь числом
156 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
измерений: при п='д мы получаем в точности обычную стереометрию,
равно как при л = 2 — обычную планиметрию, а при я= 1 — геометрию
на обычной прямой.
Псевдоевклидовы пространства по характеру своей метрики обла-
обладают весьма своеобразными чертами, не имеющими аналогов в обычной
геометрии. Укажем уже сейчас, что, хотя подкоренное выражение х2
в C9.5) и вещественное, но может принимать в псевдоевклидовом
случае и положительные, и отрицательные, и нулевые значения,
а значит, длина вектора |х| может быть и вещественной, и чисто
мнимой, и нулем. Мы условимся, между прочим, в первом случае
брать |х| положительной, а ао втором случае —с положительным
коэффициентом при /. Тогда умножение вектора х на положительное
число означает умножение |х| на то же число. Таким образом,
отрезки АВ в псевдоевклидовом пространстве будут трех сортов:
вещественной, чисто мнимой и нулевой длины (причем последний
случай, как мы увидим, возможен и без совпадения точек А, В).
Заметим, что наличие мнимых длин (расстояний) в псевдоевклидовом
пространстве будет являться единственным нарушением нашего общего
соглашения о том, что в вещественном пространстве рассматриваются
лишь вещественные численные значения.
Псевдоевклидово пространство играет основную роль в теории от-
относительности, причем разнотипность отрезков вещественной и чисто
мнимой длины отражает разнотипность пространственных и временных
«расстояний».
При данном числе измерений п собственно евклидово пространство
будет по существу единственным, т. е. все другие будут с ним изо-
изоморфны. Напротив, псевдоевклидовых пространств будет целых п,
различных по своим свойствам.
Во втором, комплексном, случае евклидово пространство строится
на базе комплексного аффинного пространства. Рассматриваемые числа
считаются комплексными, причем тогда, конечно, и функция ху при-
принимает комплексные значения; евклидово пространство называется
в этом случае комплексным. Расстояния АВ будут комплексными
числами (определенными с точностью до знака). Комплексное евклидово
пространство при данном числе измерений п будет, как мы увидим,
единственным (с точностью до изоморфизма).
Возвращаемся к общему случаю. Вообще задание билинейной
скалярной функции ф(х,у) равносильно, как мы знаем, заданию
дважды ковариантного тензора <р(-; ее коэффициентов
Ф// = ф(е/,е,), Ф (х,у) =
В частности, в случае скалярного произведения ху тензор коэффи-
коэффициентов мы будем обозначать g(j и называть метрическим тензором
§ 39] ПОНЯТИЕ О ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 157
-нашего евклидова пространства. Тогда соответственно
?-,7=е,е,, C9.8)
C9.9)
Координаты метрического тензора представляют собой, таким образом,
попарные скалярные произведения векторов репера. В частности,
в случае у = х мы получаем скалярный квадрат вектора х, который
выражается квадратичной формой
iJ\ C9.10)
Условие симметрии, наложенное нами на скалярное произведение
ху = ух,
равносильно, как мы знаем, симметричности тензора коэффициентов,
в данном случае
gtj = gji- C9.11)
Условие невырожденности, как оно было нами формулировано, заклю-
заключается в том, что для каждого вектора хфО найдется неортого-
неортогональный ему вектор у, т. е. не существует векторов х =fc 0, ортогональ-
ортогональных ко всем векторам пространства.
Если на минуту допустить, что это условие не соблюдается
(т. е., как мы будем говорить, происходит вырождение метрики),
то существует такой вектор х Ф 0, что
ху = 0 C9.12)
при любом у; или в координатной записи:
gtj*'yJ=0 C9.13)
при любых у1, . . .у". Это значит, что коэффициенты при ^у должны
по отдельности обращаться в нуль:
gij-x' =0. C9.14)
Так как х^О и, значит, все х? одновременно в нуль не обращаются,
то система п однородных линейных уравнений C9.14) с п неизвест-
неизвестными х' имеет ненулевые решения, а значит,
Dst\gly\ = 0. C9.15)
Обратно, если имеет место последнее равенство, то можно найти
ненулевое решение х1, ... , х" системы C9.14), для которого, оче-
очевидно, при любых у1,..., у" имеет место C9.13). В результате
вектор х будет ортогонален ко всем у, и происходит вырождение
метрики.
158 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
Итак, для вырождения метрики необходимо и достаточно обраще-
обращение в нуль Det|^i;j.
Тем самым условие невырожденности равносильно условию
l^O. C9.16)
Мы можем теперь резюмировать: внесение в п-мерное аффинное
пространство операции скалярного умножения векторов равносильно
заданию в нем метрического тензора gtj, удовлетворяющего условиям
симметрии C7.11) и невырожденности C9.16) (а в остальном выбран-
выбранного произвольно).
Заметим, что достаточно потребовать соблюдения условия C9.16)
в одной координатной системе; из нашего рассуждения видно, что
отсюда следует невырожденность скалярного произведения, а тем
самым соблюдение условия C9.16) в любой координатной системе.
Впрочем, это нетрудно проверить и прямой выкладкой. В самом деле,
закон преобразования g(J имеет вид
gi'i' = А\'#у8ц-
Если считать номером строки в матрицах g(j, gi>y первый индекс,
в матрице А\, — нижний индекс, а в матрице Лу—верхний индекс,
то можно сказать, что матрица Ц^гуЦ получена умножением мат-
матриц ||^4|'||, || g{j ||, || А'у || в порядке их записи. Но отсюда следует,
что определители матриц также перемножаются, причем определи-
определители матриц || Л}/1|, ||/fy||, конечно, равны. В результате
Det \grr | = (Det | A\, |)a-Det \glJ\. C9.17)
Другими словами, Det|^(/| есть относительный инвариант веса 2.
Ясно, что обращение его в нуль (или, наоборот, неравенство нулю)
в одной координатной системе влечет тот же самый результат
в любой координатной системе.
§ 40. Тензорная алгебра в евклидовом пространстве
Все, что было сказано о тензорных операциях в аффинном
пространстве, остается, разумеется, верным и для евклидова про-
пространства. При этом появляется, однако, и кое-что новое, а именно,
исчезает принципиальная разница между ковариантными и контравари-
антными индексами и возникает возможность переводить одни в
другие.
Составим прежде всего в каждой координатной системе матрицу
величин g'-t, обратную матрице координат g-j метрического тензора.
В силу условия невырожденности обратная матрица существует,
а в силу условия симметрии будет симметрической вместе с матри-
матрицей gtJ.
§ 40] ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 159
Мы утверждаем, что величины ^образуют дважды контравариант-
контравариантный тензор, т. е. преобразуются по закону
ВГГ = АЩ^. D0.1)
Проще всего показать это, обратив постановку вопроса: построим
матрицу g'-*, обратную матрице gtj, в одной координатной системе;
затем, переходя к любой другой (штрихованной) координатной системе,
преобразуем g!/ по закону D0.1) и покажем, что полученная при
этом матрица gl'i' будет обратной матрице gv-,'- Тот факт, что g'J
есть матрица, обратная g^-, мы запишем уравнениями
?% = 6Ь, D0.2)
выражающими, что произведение наших матриц дает единичную
матрицу. При переходе в новую координатную систему мы учтем,
что gjk — координаты дважды ковариантного тензора, g'-' мы услови-
условились преобразовывать как координаты дважды контравариантного
тензора, а значит, у нас записано, что результат свертывания двух
этих тензоров по индексу j дает единичный тензор 6'k . Соотноше-
Соотношения D0.2) имеют, таким образом, инвариантный характер, так что
в новой координатной системе получаем снова
а это показывает, что матрица gl'i'', полученная преобразованием
D0.1), действительно оказывается обратной матрице gvy.
Дважды контравариантный тензор g1-1 мы тоже будем называть
метрическим тензором, но, в отличие от gt^ контравариантным.
Теперь покажем, как в евклидовом пространстве каждый контра-
контравариантный индекс можно «переделать» в ковариантный, и обратно.
Начнем с одновалентного контравариантного тензора х1. Путем свер-
свертывания с метрическим тензором его можно «переделать» в ковари-
ковариантный тензор:
' D0.3)
Поскольку метрический тензор евклидова пространства задан раз
навсегда, то эта операция «опускания индекса» у тензора х' опре-
определена однозначно.
Обратно, любой одновалентный ковариантный тензор ху можно
«переделать» в контравариантный путем свертывания с контравариант-
контравариантным метрическим тензором:
х' = giJXj. D0.4)
160 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Эта операция «поднятия индекса» также однозначно определена.
С алгебраической точки зрения опускание индекса представляет
собой линейное преобразование л;' в х: при помощи матрицы g^.,
а поднятие индекса — преобразование х; в х' при помощи мат-
матрицы ?'. Так как матрицы g{j и g'J взаимно обратные, то операции
опускания и поднятия индекса взаимно уничтожают друг друга. Так,
например, сначала «опустив» и затем «подняв» индекс у х1, мы воз-
возвращаемся к прежнему контравариантному тензору х1.
Координаты контравариантного тензора х', как мы знаем, всегда
можно истолковать как координаты некоторого вектора
х = лг'е,.. D0.5)
Спрашивается, какое отношение к вектору х имеет тензор xh полу-
полученный из тензора х' опусканием индекса. На этот вопрос легко
ответить, пользуясь C9.8) и переписав D0.3) в виде
*« = gijXJ = (е,еу) х1 = (е,-, xJ^),
т. е. окончательно
*,¦ = хе(. D0.6)
Итак, опускание индекса у координат х' вектора х приводит нас
к скалярным произведениям этого вектора на векторы репера. Эти
скалярные произведения мы будем называть ковариантными коор-
координатами Xt вектора х.
Очевидно, ковариантные координаты xt однозначно определяются
по вектору х, как и обратно, по ним можно однозначно определить
этот вектор, перейдя предварительно к контравариантным коорди-
координатам х' поднятием индекса.
По той же схеме D0.3) и D0.4) производятся опускание и под-
поднятие индекса (любого по выбору) у многовалентных тензоров. Един-
Единственное, что к этому нужно добавить,— это необходимость изменить
нумерацию индексов у тензора в евклидовом пространстве. В самом
деле, индексы тензора отличались друг от друга: контравариантные —
порядком их записи наверху, а ковариантные—внизу. Но если мы,
например, второй верхний индекс опускаем, то нельзя дать общего
правила, на какое место его следует ставить внизу (второе место
внизу может быть уже занято или внизу может и совсем не быть
индексов).
Чтобы избежать связанной с этим неопределенности в обозначе-
обозначениях, мы часто будем нумеровать места индексов верхних и ниж-
нижних в совокупности, так что каждому номеру отвечает лишь один
индекс, стоящий или наверху или внизу. Если например, 3-й индекс
стоит наверху, то третье место внизу остается «пустым», что отме-
отмечается точкой, и наоборот. Например, а у*' обозначает тензор, у ко-
§ 41] ПЛОСКОСТИ В «-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 161
торого 1-й и 2-й индексы ковариантные, 3-й — контравариантный,
4-й — снова ковариантный. Если 1-й индекс мы захотим «поднять»,,
то для него заготовлено свободное место наверху, и мы получаем:
<?л = g/V D0.7)
Аналогично, если мы захотим опустить верхний индекс, то получим:
«*•}¦« = |г*и.«3- D0-8>
Отметим важный пример: поднятие одного, например 2-го, ин-
индекса у gy дает единичный тензор:
g?.= gJpgiP = ti. I40-9)
для которого мы сохраняем прежнее обозначение.
Если мы теперь поднимаем и нижний индекс, то получим:
так как при суммировании уцелеет лишь один член, для которого
p — j. Итак, поднимая оба индекса у метрического тензора, мы полу-
получаем контравариантный метрический тензор.
Еще один пример: пусть аффинор у=31х задан посредством
тензора a'j (§ 27), или, как мы теперь будем писать, a\j, считая
верхний индекс первым, а нижний — вторым. Тогда y' = a'jXJ. Опу-
Опуская индекс i, получаем:
У; = аи.х\ где aiJ = gtpaPj. D 0.1 С)
Таким образом, аффинор Щ можно задать и дважды ковариантным
тензором а^, причем его координаты образуют матрицу преобразо-
преобразования контравариантных координат вектора-аргумента в ковариант-
ковариантные координаты вектора-функции. В частности, аффинор Ж назы-
называется симметрическим или кососимметрическим в случае симмет-
симметричности и кососимметричности тензора а^. Следует подчеркнуть,
что эти определения могут быть формулированы лишь в евклидовом
пространстве и не имеют никакого смысла в аффинном пространстве,
где опускание индексов невозможно. Это относится и к понятию
ковариантных координат вектора.
§ 41. Плоскости в и-мерном евклидовом пространстве
Мы понимаем под w-мерной плоскостью в /г-мерном евклидовом
пространстве то же самое, что и в и-мерном аффинном пространстве
(на базе которого евклидово пространство построено). Нам известно,
что такая от-мерная плоскость сама является /я-мерным аффинным
6 П. К. Рашевский
162 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
пространством. Но теперь на ней (как и во всем вмещающем про-
пространстве) определено скалярное произведение ху для любых двух
векторов х, у. Казалось бы, можно утверждать, что плоскость
евклидова пространства тоже представляет собой евклидово прост-
пространство меньшего числа измерений. Однако это не всегда верно.
Может случиться, что скалярное произведение на данной от-мерной
плоскости не удовлетворяет условию невырожденности (хотя во вме-
вмещающем пространстве это условие и удовлетворяется). Другими сло-
словами, возможно, что на данной плоскости найдется вектор х^=0,
ортогональный ко всем векторам этой плоскости, но, конечно, не
ко всем векторам пространства. В этом случае метрику на плоскости
мы будем называть вырожденной, а соответствующую плоскость с
такой метрикой будем называть изотропной.
Изотропную плоскость мы за евклидово пространство не признаем
ввиду того, что в определение последнего входит условие невырож-
невырожденности; здесь же оно нарушено.
Очевидно, все остальные свойства скалярного произведения вя-мер-
ном пространстве имеют место и на любой плоскости этого про-
пространства.
Забегая вперед, следует сказать, что изотропные плоскости пред-
представляют собой исключение; как правило, плоскости являются
неизотропными, т. е. несут на себе невырожденную метрику, и, сле-
следовательно, по своей геометрии являются евклидовыми пространствами
соответствующего числа измерений. Кроме того, в случае собственно
евклидова пространства вообще не существует изотропных плоско-
плоскостей; в частности, их нет в обычном пространстве, в связи с чем
нам трудно дается наглядное представление об этих плоскостях.
Чтобы показать, что в собственно евклидовом пространстве все
плоскости неизотропные, рассмотрим какую-нибудь от-мерную пло-
плоскость; на ней, как и во всем пространстве, соблюдается условие
C9.7):
х2>0, если \фО. D1.1)
А в этом случае на плоскости невозможен вектор х^=0, ортогональ-
ортогональный ко всем векторам плоскости, так как такой вектор был бы орто-
ортогонален, в частности, и к себе и мы в противоречие с условием D1.1)
имели бы
х2 = 0 при х=^0. D1.2)
Вектор хфО, для которого х2 = 0 и который, следовательно,
ортогонален к самому себе, называется изотропным. В собственно
евклидовых пространствах такие векторы, как мы только что сей-
сейчас видели, невозможны, зато в псевдоевклидовых и комплексных
евклидовых пространствах они встречаются обязательно.
§ 411 плоскости в «-мерном евклидовом пространстве 163
Пусть от-мерная плоскость задана начальной точкой О* и направ-
направляющими векторами ах, ..., ага. Принимая эти векторы за векторы
аффинного репера в плоскости, составим их скалярные произведения:
<?ар = а«а0 (а> Р^1- 2- •••.«)• D1-3)
В соответствии с C9.8) g' можно принять за координаты метрического
тензора на нашей плоскости, если только соблюдается условие не-
невырожденности C9.16):
Det I -<ф I ^ °- <4' -4>
В этом случае плоскость неизотропная и несет на себе евклидову
геометрию с метрическим тензором D1.3). Если же оказывается
Det |^| = 0, D1.5)
то плоскость будет изотропной и несет на себе вырожденную ме-
метрику.
Пусть теперь у нас имеется прямая линия с направляющим век-
вектором а(а1, ..., а") =^ 0. Рассмотрим совокупность всех векторов
х(л:1, ...,х"), ортогональных к данной прямой, т. е. ортогональ-
ортогональных ко всем ее векторам. Очевидно, для этого достаточно, чтобы
векторы х были ортогональны к а:
ах = 0, D1.6)
т. е.
gi/alxJ = 0.
Обозначая через ау- ковариантные координаты вектора а и поль-
пользуясь D0.3) (в применении к а'), можно записать:
а,х' = 0. D1.7)
Таким образом, координаты х' векторов х должны удовлетворять
линейному уравнению D1.7). Откладывая векторы ч от начала О,
мы видим, что концы их (обладающие теми же координатами х1)
образуют гиперплоскость с уравнением D1.7), проходящую через
начало О. Все векторы этой гиперплоскости, очевидно, ортогональны
ко всем векторам, данной прямой; такую гиперплоскость мы будем
называть ортогональной к данной прямой.
Итак, через точку О (и совершенно так же через любую задан-
заданную точку) всегда можно провести гиперплоскость, ортогональную
к данной прямой, и притом единственным образом. При этом нужно
различать основной случай, когда данная прямая неизотропная, т. е.
а2^=0, и исключительный случай, когда она изотропная, г. е. а2 = 0.
(Мы использовали условия D1.4) и D1.0), записанные для
164 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
«одномерной плоскости», т = 1.) Будем для простоты рассматривать
прямую и ортогональную к ней гиперплоскость, проходящие через об-
общую точку О.
В первом случае прямая линия не лежит в ортогональной
к ней гиперплоскости, что, конечно, представляется нам само собой
разумеющимся. Действительно, вектор а не может лежать в гипер-
гиперплоскости, построенной согласно D1.6), так как иначе он был бы
ортогонален самому себе, а это невозможно в силу а2 ф 0. Таким
образом, вектор а будет линейно независимым от п—1 направ-
направляющих векторов гиперплоскости bx, ...,bn_1, а следовательно,
все эти векторы в совокупности
а, Ьи ..., Ъп_1 D1.8)
можно принять за векторы аффинного репера в пространстве. Далее,
наша гиперплоскость сама будет неизотропной: если допустить про-
противное, то в гиперплоскости найдется вектор хфО, ортогональный
ко всем векторам гиперплоскости, в частности, к направляющим
векторам Ъи ...,Ь„_1. Но, кроме того, вектор х, как лежащий
в нашей гиперплоскости, будет ортогонален и к а, т. е. ко всем век-
векторам репера D1.8), а тем самым и ко всем векторам пространства.
Но это невозможно в силу условия невырожденности.
Итак, если данная прямая неизотропная, то ортогональная ей
гиперплоскость тоже неизотропная и не содержит данной прямой
(даже при наличии у них общей точки). При этом всегда можно
построить репер D1.8), один вектор которого принадлежит прямой,
а остальные п—1 векторов ему ортогональны и принадлежат гипер-
гиперплоскости.
Во втором случае, когда данная прямая изотропная, ее направ-
направляющий вектор а входит в число векторов х, к нему ортогональных
(в силу а2 = 0), и принадлежит тем самым ортогональной гипер-
гиперплоскости. Поэтому, если изотропная прямая и ортогональная к ней
гиперплоскость проведены через общую точку О, то вместе с направ-
направляющим вектором а и сама прямая принадлежит гиперплоскости.
Кроме того, гиперплоскость тоже оказывается изотропной, так как
содержит вектор а, ортогональный ко всем ее векторам.
Итак, если данная прямая изотропная, то ортогональная ей
гиперплоскость тоже изотропная и при наличии общей точки прохо-
проходит через данную прямую.
Эта картина резко противоречит нашим привычным представлениям,
воспитанным на обычной (т. е. трехмерной, собственно евклидовой)
геометрии. Мы получаем здесь первое серьезное предупреждение
о непригодности наших привычных представлений в области псевдо-
псевдоевклидовой (и комплексной евклидовой) геометрии. Правда, это
относится лишь к метрическим свойствам пространства; в области
аффинных свойств разницы нет, так как все типы евклидовых про-
§ 41] ПЛОСКОСТИ В «-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 165
странств строятся на базе одного и того же (вещественного или
комплексного) аффинного пространства.
То, что было сейчас сделано для прямой линии («одномерной
плоскости»), нетрудно повторить и для любой /»-мерной плоскости.
Пусть а1; аа, ..., ат — направляющие векторы этой плоскости.
Рассмотрим совокупность всех векторов х, ортогональных к нашей
плоскости, т. е. ортогональных ко всем ее векторам. Но для этого доста-
достаточно, чтобы векторы х были ортогональны к ее направляющим
векторам, т. е.
ахх = Ог а2х = 0, ..., аих = О,. D1.9)
Запишем эти соотношения аналогично D1.7):
аШ].х} = 0, ai2)/xJ' = 0, ..., aimy.xJ' *= О, D1.10)
где индексы в скобках обозначают номера соответствующих векто-
векторов. Уравнения D1.10) линейно независимы, так как в противном
случае имелась бы линейная зависимость между векторами лг, а2,. .., ам,
ковариантные координаты которых служат коэффициентами уравнений,
а это невозможно, так как направляющие векторы всегда берутся
линейно независимыми. Откладывая векторы х от начала О, мы видим,
что концы их (обладающие теми же координатами х') образуют
п —от-мерную плоскость. В самом деле, т линейно независимых урав-
уравнений D1.10) всегда мржно переписать в виде, разрешенном от-
относительно т переменных, а такая система уравнений определяет
п —от-мерную плоскость (§ 33).
Каждый вектор этой п — от-мерной плоскости ортогонален к каждому
вектору у исходной от-мерной плоскости; такие плоскости мы будем
называть ортогональными между собой.
Итак, через начало О (как и вообще через любую точку) проходит
одна и только одна п — тп-мерная плоскость, ортогональная к дан-
данной m-мерной плоскости. Будем считать для простоты, что обе эти
плоскости имеют общую точку О.
Здесь имеются две возможности. Если тп-мерная плоскость —не-
—неизотропная, то п — m-мерная плоскость — тоже неизотропная; между
собой эти плоскости не пересекаются*), и их направляющие векторы
аь ...,am (для m-мерной плоскости), \ ... ...
Ьх, ••.,ЬП_|Я (для п — m-мерной плоскости) [ \ • >
можно принять в совокупности за векторы пространственного репера.
Если же m-мерная плоскость — изотропная, то п — ш-мерная
плоскость тоже изотропная; эти плоскости, пересекаются между
*) То есть не имеют общих точек кроме О.
166
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[ГЛ. III
собой, их направляющие векторы (в совокупности) линейно зависимы
и, значит, не могут служить векторами пространственного репера.
Для доказательства этих утверждений разберем две возможности:
случай непересечения и случай пересечения наших плоскостей.
В случае непересечения векторы D1.11) линейно независимы.
В самом деле, если предположить линейную зависимость
D1.12)
+ ... + Р"-"Ь„_ш =, О,
то из нее вытекает существование не равного нулю вектора
а1а1+...+аиаи = -р1Ь1-...-р"-иЬ„.;я, D1.13)
общего для обеих плоскостей. Отсюда вытекает существование
и общей прямой, а именно проходящей через общую точку О в на-
направлении этого общего вектора, что противоречит непересечению
наших плоскостей. Следовательно, векторы D1.11) линейно незави-
независимы, и их можно принять за векторы пространственного репера.
Запишем для этого репера условие невырожденности C9.16):
В нашем случае
е,, ..., е_ = (
Л.' 'ОТ
D1.14)
D1.15)
причем векторы а,- и Ьу- ортогональны между собой (как принад-
принадлежащие ортогональным плоскостям). Матрица е,е,- имеет вид
О
0
а следовательно.
Det|e,.e,.|-Det|a/)a?|.Det|bA|,
и условие невырожденности D1.14) принимает вид
D1.16)
D1.17)
D1.18)
Тем самым отличен от нуля и каждый из множителей, а значит
(согласно D1.4)), обе плоскости неизотропные.
В случае пересечения, т. е. в случае существования у наших
плоскостей, по крайней мере, одной общей прямой, ее направляющий
вектор с также будет для них общим. Поэтому с можно разложить
как по лх, ..., am, так и по Ьх, ...,Ьп_т. Приравнивая эти разло-
разложения, получаем линейную зависимость между направляющими векто-
векторами обгих плоскостей в совокупности. Далее, так как вектор с при-
§ 42] ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ РЕПЕР 167
надлежит от-мерной плоскости, то он ортогонален к п — /га-мерной
плоскости, и наоборот, так как он принадлежит п — /»-мерной плоско-
плоскости, то ортогонален к /я-мерной.
Итак, с принадлежит каждой из двух плоскостей и в то же
время к ней ортогонален; отсюда вытекает, что каждая из пло-
плоскостей— изотропная.
В итоге из проведенного исследования случаев непересечения
и пересечения видно, что первый имеет место тогда и только тогда,
когда исходная от-мерная плоскость неизотропная, а второй — когда
она изотропная.
Этим наши утверждения доказаны.
§ 42. Ортонормированный репер
В случае евклидова пространства уже не все аффинные реперы
равносильны по своим геометрическим свойствам, как это было
в аффинном пространстве. Среди них можно выделить теперь геоме-
геометрически наиболее простые, так называемые ортонормированные репе-
реперы, которые в случае обычного пространства соответствуют прямо-
прямоугольным декартовым координатам.
Нам понадобится следующая тривиальная лемма: в евклидовом
пространстве не могут быть изотропными все векторы, т. е. не может
быть, чтобы х2 = 0 при любом х. Действительно, если это допустить,
то, в частности, ( Т ¦ =0, —^ ) =0 при любых х, у. Почленно
\ ^ 1 \ & J
вычитая из первого равенства второе, получим ху = 0 при любых х, у.
Оказывается, таким образом, что любой вектор ортогонален ко всем
векторам, что противоречит условию невырожденности.
Мы начнем со случая п-мерного комплексного евклидова про-
пространства R+. В силу леммы всегда можно найти неизотропный век-
вектор х, так что ха=^=0. Нормируем вектор х, т. е. поделим его на
его длину |/х2. Это будет, вообще говоря, комплексное число,что
нас не смущает, так как мы находимся в комплексном пространстве
и имеем возможность умножать и делить на комплексные числа.
Обозначим полученный вектор через ех:
D2.1)
1 / х2 '
Очевидно,
т. е. скалярный квадрат вектора ех равен единице. Такие векторы
мы будем называть единичными.
168 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Построим теперь гиперплоскость R^_lt ортогональную к единич-
единичному вектору ех и проходящую через фиксированную точку О.
Гиперплоскость R^-i, как ортогональная к неизотропному вектору elt
сама будет неизотропной (§ 41) и несет на себе п—1-мерную (тоже
комплексную) евклидову геометрию. Поэтому на гиперплоскости
Rn-i можно повторить наше построение, выбирая как-либо неизот-
неизотропный вектор у, нормируя его и получая второй единичный век-
вектор е2. Обозначим далее RX-ъ гиперплоскость в /?J_,, ортогональ-
ортогональную к е2 и проходящую через О. Гиперплоскость /?^_2 в /?,?_,,
ортогональная к неизотропному вектору е2, сама будет неизотроп-
неизотропной и несет на себе п—-2-мерную комплексную евклидову геомет-
геометрию. Следовательно, на ней можно еще раз повторить то же самое,
построив единичный вектор е3 и ортогональную к нему и проходя-
проходящую через О гиперплоскость /?^_3 и т. д. Процесс заканчивается
на «одномерной плоскости» RI, на которой мы берем какой-либо
вектор w и, нормируя его, получаем единичный вектор еп. В итоге
получаем последовательность вложенных друг в друга плоскостей
убывающего числа измерений (начиная с самого пространства):
D2.3)
и последовательность единичных векторов:
ei. е2> ¦••- е„_х, е„. D2.4)
При этом, как видно из построения, 1-й вектор е,- принадлежит
R^-i+i и ортогонален к /??_,. Тем самым е,- ортогонален и ко всем
последующим векторам е/+1, ..., е„, так как они принадлежат R^-i,
а так как / можно давать значения 1, 2, . . ., п, то ясно, что все
единичные векторы попарно ортогональны:
кроме того,
Эти формулы можно объединить:
е,еу = 8,7, где 6,7=^ { (. = у) D2.5)
Векторы elt ..., е„ будут линейно независимыми, что следует из
способа их построения. Впрочем, это легко обнаружить и непосред-
непосредственно: если допустить линейную зависимость
aiei + . . . + а"е„ = О,
то, умножая левую часть скалярно на ех, получим (в силу D2.5)):
ctj = 0.
§ 42] ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ РЕПЕР 169
Совершенно аналогично убедимся в исчезновении и всех других
коэффициентов, т. е. предполагаемая линейная зависимость оказа-
оказалась тождеством и, следовательно, не существует.
Мы можем принять теперь п единичных и взаимно ортогональ-
ортогональных векторов ej, . . ., еп за векторы некоторого репера {О, еь . . ., е„}.
Такой репер мы будем назыззть ортонормированным, а соответст-
соответствующую ему координатную систему — орт опор жированной. Векторы
ортонормированного репера мы будем называть ортами.
В ортонормированной координатной системе происходит большое
упрощение основных формул. Координаты метрического тензора
приобретают вид
! !',?«' D2-6)
Другими словами, матрица g{. оказывается единичной; обратная
ей матрица g'J поэтому тоже будет единичной
D2.7)
Исчезает разница между контравариантными и ковариантными коор-
координатами вектора; действительно,
X — cr yJ — x' 14-9 8\
так как в процессе суммирования отличным от нуля окажется лишь
член, где j=i, причем gu—\. На этом основании в ортонормиро-
ортонормированной системе мы будем пользоваться лишь одной записью коор-
координат вектора, именно xt.
Скалярное произведение в координатной записи примет вид
так как в сумме сохранятся лишь члены, где i = j, причем git-=\.
В частности, скалярный квадрат запишется:
Пользуясь D2.8), запишем окончательно:
*У=-х1У1+...+хпУп. D2.9)
х2 = х1+...+х%. D2.10)
Расстояние между точками А и В мы определяли по формуле C9.5).
Если х{— координаты точки А, а х\-— координаты точки В, то
вектор АВ (как разность радиусов-векторов ОВ и ОА) имеет
170 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
координаты х\ — xt, так что
-*„)«, D2.11)
и следовательно,
АВ = Vix'i — *iJ + ...+ (х'п—хпУ. D2.12)
Формулы эти обнаруживают близкое родство с формулами обычной
векторной алгебры:
D2.13)
D2.14)
и даже совпадают с ними в случае л = 3. Однако нужно помнить,
что в обычном пространстве координаты вещественные, а у нас
сейчас —комплексные.
Займемся теперь ортонормированным репером в вещественном
евклидовом пространстве Rn. Здесь мы также начинаем с выбора
неизотропного вектора х(х2=^=0), всегда существующего согласно
лемме. Однако мы не всегда можем пронормировать его согласно
D2.1):
ei=-p%- D2Л6)
Это законно, если х2 > 0, причем, как и прежде, получаем:
е? =- 1. D2.17)
Если же х2 <С 0, то знаменатель окажется чисто мнимым, и полу-
полученное выражение не имеет смысла, так как умножение вектора на
число в вещественном пространстве определено лишь для вещест-
вещественных чисел. Поэтому в этом случае мы проведем нормирование
вектора х иначе:
ei = T7^=r- D2.18)
Теперь под знаком корня стоит положительная величина, делитель
вещественный, и операция деления является законной. Полученный
вектор, как непосредственно проверяется, обладает свойством
ei==—1. D2.19)
Векторы со скалярным квадратом — 1 мы будем называть мнимо-
единичными. Не следует думать, что такие векторы сами являются
в каком-то смысле мнимыми; это вещественные векторы веществен-
§ 42] ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ РЕПЕР 171
иого псевдоевклидова пространства, обладающие тем не менее мни-
мнимой длиной Y~~~ 1 = '•
Построив единичный или мнимоединичный вектор ех, мы прово-
проводим через фиксированную точку О ортогональную к нему гипер-
гиперплоскость /?„_!• Эта гиперплоскость, как ортогональная к неизот-
неизотропному вектору, сама будет неизотропной и несет на себе евкли-
евклидову метрику п—1 измерений. Поэтому на ней снова можно найти
единичный или мнимоединичный вектор е2 и т. д. Очевидно, все
построение, проведенное для комплексного случая, повторяется и
для вещественного с той только разницей, что нормировка каждого
из векторов е1? е2, ..., еп происходит в одном из двух вариантов
D2.16), D2.18). В результате мы получаем ортоноршарованный
репер {О, е1( е2, ..., е„}; так мы будем называть репер, в котором
е,.еу = 0 {1ФЛ, ej=±l, D2.20)
т. е. векторы которого, вообще говоря, частью единичные, частью
мнимоединичные и все ортогональны м-ежду собой. Такие векторы
мы будем называть ортами. Занумеруем их так, чтобы сначала шли
мнимоединичные
ej = ef,= ...=e| = — 1, D2.21)
а затем единичные
е|+2=...=е* = 1. D2.22)
Число мнимоединичных векторов k может принимать значения 0, 1,
2, ..., п. Соответственно метрический тензор g( =е,е,- в ортонор-
мированной координатной системе примет вид
gtj = ° {*?*У): gn = g%t = • • ¦ = Skk = — 1: I D2.23)
Sk + l, k + 1 = • • • = Snn ~ '¦ I
Связь между ковариантными и контравариантными координатами
вектора
Х1 ^ SijxJ
теперь перепишется в виде
*,= —*'A=1, 2, ..., к), Х; = х!A = к+1, ..., л), D2.24)
так что разница между контравариантными и ковариантными коор-
координатами вектора хотя, вообще говоря, и не исчезает, но стано-
становится мало значительной.
172 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Скалярное произведение и скалярный квадрат в координатной
записи теперь примут вид
пуп
Пользуясь зависимостями D2.24), эти формулы можно переписать
совершенно в таком же виде для ковариантных координат:
j>= — x*l -x* + xl' + +*• M 42.26)
Инвариантную квадратичную форму gt-xlx^, выражающую скалярный
квадрат вектора через его координаты, мы будем называть метриче-
метрической квадратичной формой.
Мы видим, что в ортонормированной координатной системе мет-
метрическая квадратичная форма g{jX'xJ приводится к каноническому
виду суммы-разности квадратов переменных. Верно и обратное: из
D2.25) следуют.,, очевидно, условия "D2.23), а отсюда и условия
D2.20), так что метрическая квадратичная форма приводится к ка-
каноническому виду только в ортонормированных координатах.
Покажем теперь, что при любом выборе ортонормированного
репера в данном пространстве число k его мнимоединичных ортов
всегда одно и то же. В самом деле, допустим, что мы построили
два ортонормированных репера (О, elt ..., efe, eA+1, .,., е„) и
(О', е'х, ..., е^, ej+1, ..., е^), причем в первом мнимоединичные
орты — это первые k векторов, а во втором — первые / векторов.
Допустим, например, что / > k, и покажем, что это приводит
нас к противоречию. В самом деле, рассмотрим в совокупности еди-
единичные орты efe+1, ..., еп первого репера и мнимоединичные орты
е^, . .>, е^ второго репера. Так как их число > п,
то между ними обязательно должна иметь место линейная зависи-
зависимость. Ее мы запишем, перенеся в одну часть члены с мнимоединич-
ными, а в другую — с единичными ортами:
aie;+ ... +аге| - P,+ Iefe+1+ .. . +р„е„. D2.27)
Это равенство возводим почленно в скалярный квадрат. Учитывая,
что e'fi'j = O(i^j) и ei2 = . . . = ej2 = —1, а также, что е(-е =
= 0 [i=?j) и е%+1 --= . . . = еп = 1, получим:
-aj-... -a/=PJ+1+-..+PJi.
§ 43] СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 173
Ясно, что это равенство может иметь место только присс1=...
... = at = Pfe+1 = ... = pn = 0 (мы находимся в вещественном евкли-
евклидовом пространстве и в соответствии с общим соглашением все рас-
рассматриваемые численные величины должны быть тоже вещественными).
Но тогда вопреки нашему предположению оказывается, что D2.27)
есть тождество, а не линейная зависимость между рассматриваемыми
векторами. Мы получили искомое противоречие.
Итак, число k мнимоединичных ортов ортонормированного репера
в вещественном евклидовом пространстве, как, следовательно, и
число п — k его единичных ортов, не зависит от выбора этого репера.
Число k, которое представляет собой важную характеристику евкли-
евклидова пространства, мы будем называть индексом евклидова простран-
пространства.
С алгебраической точки зрения наш результат представляет
собой «закон инерции» для вещественной квадратичной формы: при
любом способе приведения ее к каноническому виду число как
отрицательных, так и положительных квадратов остается без изме-
изменения.
§ 43. Собственно евклидовы пространства
Мы определили собственно евклидовы пространства как такие
вещественные евклидовы пространства, в которых дли любого век-
вектора х =? О
х2>0. D3.1)
Построение ортонормированного репера в этом случае можно про-
провести проще, чем в случае псевдоевклидова или комплексного евкли-
евклидова пространства. Дело в том, что в собственно евклидовом про-
пространстве, как мы знаем, все плоскости и все векторы, отличные от
нуля, — неизотропные. Поэтому в процессе построения нет надобно-
надобности в предосторожностях, обеспечивающих неизотропный характер
векторов х, у, .. ., w, и в ссылках на результаты § 41 (именно,
что гиперплоскость, ортогональная к неизотропному вектору, сама
неизотропная).
Далее, среди векторов репера ех, е2, . . ., е„ не может быть
мнимоединичных (в силу D3.1)), так что индекс й = 0, и все век-
векторы е,- — единичные:
е; = ej =...== е» = 1. D3.2)
Формулы D2.6) принимают вид
gu=l. D3.3)
174 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
Связь между ковариантными и контравариантными координатами век-
вектора D2.24) теперь принимает вид (учитывая, что k — 0)
Xt = х\ D3.4)
т. е. те и другие координаты просто совпадают. Равенства D2.26)
принимают вид
Таким образом, в ортонормированной координатной системе в собст-
собственно евклидовом пространстве мы получаем те же по внешнему
виду формулы, что и в комплексном евклидовом пространстве. Не
нужно забывать при этом, конечно, что сейчас у нас координаты
точек и векторов принимают всевозможные вещественные значения,
в то время как тогда они принимали всевозможные комплексные
значения.
В частности, расстояние между двумя точками А, В будет выра-
выражаться (в результате совершенно аналогичного вывода) формулой
D2.12):
AB = V{x'1-x1)*+ ... +{х'п-хпу. D3.6)
Ясно, что у нас расстояние АВ будет всегда вещественным, в то
время как в формуле D2.12) оно, как правило, было комплексным.
Особо рассмотрим случай трехмерного собственно евклидова
пространства, п = 3. Формулы D3.5), D3.6) принимают вид
т? = х\ + х* + х1 [ D3.7)
Эти формулы уже буквально повторяют формулы векторной алгебры
обычного пространства. В связи с этим нетрудно обнаружить совпа-
совпадение трехмерного собственно евклидова пространства с нашим
обычным пространством, точнее, их изоморфизм. Этим мы хотим
сказать следующее. Отобразим построенное нами трехмерное соб-
собственно евклидово пространство на обычное пространство взаимно
однозначно, а именно так, чтобы каждая точка первого простран-
пространства с координатами хъ х2, ха в ортонормированной координатной
системе отобразилась в точку второго пространства с теми же коор-
координатами х17 х2, х3 в прямоугольной декартовой системе. Очевидно,
при этом отображении сохраняются все свойства точек и векторов
§ 43J СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 175
трехмерного собственно евклидова пространства (в том числе и мет-
метрические), так как они в ортонормированной координатной системе
выражаются совершенно так же, как соответствующие свойства
точек и векторов обычного пространства в прямоугольной декарто-
декартовой системе (в частности, одинаково записывается расстояние между
двумя точками). Проверка этого совершенно тривиальна. Единствен-
Единственный вопрос, который мог бы возникнуть,—это не имеется ли
у обычного пространства еще таких свойств, которые отсутствуют
у трехмерного собственно евклидова пространства. Грубо говоря,
этого не может быть потому, что в конечном счете все свойства
обычного пространства определяются измерением расстояний между
точками по формуле
—х
3)\
а эта формула совпадает с аналогичной формулой D3.7) для трех-
трехмерного собственно евклидова пространства.
Однако точная проверка потребовала бы и точного определения
того, что мы понимаем под свойствами обычного пространства.
Поясним, что до сих пор мы пользовались понятием «обычного
пространства», имея в виду то пространство, которое изучается
элементарными средствами в школьном курсе, затем средствами
аналитической и дифференциальной геометрии в высшей школе и
которое каждому знакомо, если и не в смысле строгого обоснова-
обоснования, то во всяком случае по основным свойствам. Между тем сей-
сейчас мы затронули вопрос, который для точного ответа потребовал
бы и точного обоснования геометрии обычного пространства посред-
посредством той или иной ее аксиоматики. Между прочим, одной из таких
аксиоматик может служить и наша аксиоматика трехмерного собст-
собственно евклидова пространства.
Вернемся к /z-мерному случаю. Мы обнаружили, что для собст-
собственно евклидова пространства индекс k равен 0. Конечно, верно и
обратное: евклидово пространство индекса k = 0 будет собственно
евклидовым, В самом деле, k = 0 означает, что все векторы орто-
нормированного репера — единичные и, следовательно, имеют место
формулы D3.2) —D3.5). Но согласно D3.5)
а значит, х2 > 0 для любого вектора хфО (так как в этом случае
среди координат xlt x2, •••, хп хоть одна не равна нулю). Доба-
Добавим, что нетрудно обнаружить изоморфизм, любых двух собственно
евклидовых пространств данного числа измерений п, отображая одно
на другое тем же приемом, каким мы отображали трехмерное собст-
собственно евклидово пространство на обычное пространство.
176 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
§ 44. Двумерное псевдоевклидово пространство
Мы начнем изучение псевдоевклидовых пространств с простей-
простейшего случая двух измерений. Вообще в двумерном евклидовом про-
пространстве (п = 2) индекс k может принимать значения 0, 1, 2.
Случай k = 0 приводит к двумерной собственно евклидовой гео-
геометрии, т. е. к обыкновенной планиметрии.
Случай k = 2 отличается от предыдущего лишь формально.
В самом деле, в этом случае оба вектора ортонормированного ре-
репера мнимоединичные и формулы D2.20) — D2.26) принимают вид
e2! = el = —1, D4.1)
*u = ft» = —I, ?i2 = 0- D4.2)
хг = — х1, х2 = —х2, D4.3)
, \ ,..,,
г D4.4)
I v '
I
Таким образом, скалярные произведения и скалярные квадраты
лишь знаком отличаются от того, что мы получаем для соответст-
соответствующих векторов на обычной плоскости, а следовательно, все рас-
расстояния в нашем случае отличаются от соответствующих расстояний
на обычной плоскости лишь множителем г = |/—1. Поэтому и раз-
разница между обеими геометриями будет лишь формальной, т. е. сво-
сводится к разнице в терминологии. В самом деле, расстояние опреде-
определяется формулой
на обычной плоскости и формулой
в нашем случае. Таким образом, то, что мы называли расстоянием
на обычной плоскости, теперь мы называем расстоянием после умно-
умножения на i. Ясно, что всякое предложение одной геометрии может
быть повторено для другой в результате простой перефразировки.
Такие случаи будут встречаться у нас и в дальнейшем. Мы примем
за общее правило, что если выражения скалярных произведений
в ортонормированном репере различаются для двух п-мерных евкли-
евклидовых геометрий лишь знаком, то эти геометрии мы не будем счи-
считать существенно различными и изучать будем лишь одну из них.
В частности, если в ортонормированном репере скалярный квад-
квадрат вектора имеет вид
х2 = — х\ — х\— ...— xl D4.5)
то такую геометрию мы считаем сводящейся к собственно евклидо-
§ 44] ДВУМЕРНОЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 177
вой. В дальнейшем, говоря о псевдоевклидовом, пространстве, мы
исключаем случай D4.5).
В частности, двумерную псевдоевклидову геометрию при k = 2
мы считаем сводящейся к собственно евклидовой геометрии, имеющей
место при k = 0.
Остается, таким образом, лишь случай &=1, который заслужи-
заслуживает внимательного изучения. Соответствующее двумерное псевдо-
псевдоевклидово пространство мы будем называть кратко псевдоевклидовой
плоскостью.
Будем обозначать — это будет удобно для дальнейшего — мнимо-
единичный орт ортонормированного репера через е0, а единичный—
через ех:
е? = —1, е?=1. D4.6)
Совтветственно координаты вектора х будут обозначаться х°, х1 и
вообще тензорные индексы будут пробегать значения 0, 1 (вместо
1, 2).
По своим аффинным свойствам псевдоевклидова плоскость, как
мы знаем, не отличается от обычной плоскости, однако по своим
метрическим свойствам резко расходится с ней. Поэтому чертежам,
которые мы будем делать, нужно доверять лишь в той мере, в какой
речь идет об аффинных свойствах, но отнюдь не о метрических.
Действительно, чертеж, сделанный на листе бумаги, отражает при-
приблизительно геометрию обычной плоскости, мы же будем изучать
псевдоевклидову плоскость. Поэтому чертеж будет «верен» лишь
в тех пределах, в каких мы рассматриваем аффинные свойства,
общие для обеих плоскостей. С метрическими свойствами дело будет
обстоять иначе. Например, ортогональные векторы или равные от-
отрезки псевдоевклидовой плоскости в условном изображении на чер-
чертеже (т. е. на обычной плоскости), вообще говоря, ортогональными
векторами или равными отрезками выглядеть уже не будут. Не сле-
следует думать, что в этом положении вещей кроется что-то загадоч-
загадочное и своеобразное. По существу дело обстоит здесь совершенно
так же, как и с картой земных полушарий, т. е. с изображением
полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно со-
содержит искажения, поскольку геометрии на сфере и на плоскости
существенно различны; неизбежно получается, что расстояния, равные
в оригинале (т. е. на полусфере), выглядят, вообще говоря, различ-
различными в изображении (т. е. на плоском круге). Совершенно так же
обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псев-
псевдоевклидова плоскость, а ее условным изображением—собственно
евклидова плоскость чертежа.
Следует уточнить, как именно мы будем строить это изображе-
изображение. Орты е0, ех какого-нибудь ортонормированного репера псевдо-
псевдоевклидовой плоскости мы изобразим в виде ортов на обычной
178
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[ГЛ. III
N(y°,y<)
плоскости; начало О изобразим в виде начала О. Далее, каждую
точку М псевдоевклидовой плоскости изобразим точкой обычной
плоскости с теми же координатами. Другими словами, вектор ОМ
в изображении должен разлагаться по ортам е0, ех с теми же
коэффициентами, как и в оригинале (рис. 7).
Заметим еще, что мы отнюдь не предполагаем, что любой орто-
нормированный в оригинале репер будет ортонормированным и в
изображении: это будет
верным лишь для одного
первоначально выбранного
ортонормированного репе-
репера, положенного в основу
изображения.
Мы так подробно оста-
останавливаемся на этом вопро-
вопросе, так как в дальнейшем
мы будем таким же обра-
образом изображать трехмерное
псевдоевклидово простран-
пространство в обычном трехмер-
трехмерном пространстве, причем
все сделанные замечания
остаются в силе.
Рис. 7.
системе с
Итак, рассмотрим псев-
псевдоевклидову плоскость, от-
отнесенную к ортонормиро-
векторами репера: мнимоединич-
ванной координатной
ным е0 и единичным ех.
Пользуясь условиями D4.6), получаем матрицу координат мет-
метрического тензора
— 1 О
5bo Sox
Sxo Ǥii
О 1
D4.7)
Очевидно, обратная матрица, т. е. матрица координат контравариант-
ного метрического тензора, имеет тот же вид:
g00 g01
g10 gu
-1 О
О 1
D4.8)
Далее, зависимость между ковариантными и контравариантными коор-
координатами вектора х,
принимает, очевидно, следующий вид:
V-
Лп
X, —
D4.9)
§ 44] ДВУМЕРНОЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 179
Скалярное произведение ху = gtjXlyJ теперь запишется так:
ху = — х°у° + я1/. D4.10)
В частности,
ж* = — х°- + х1*. D4.11)
Мы предпочтем здесь пользоваться контравариантными координа-
координатами х°, х1 вектора х, так как они имеют аффинный характер (коэф-
(коэффициенты разложения х по е0, е^, и потому их можно без ошибок
подсчитывать «по чертежу», т. е. так же, как и на обычной пло-
плоскости.
Посмотрим теперь, как будут выглядеть «на чертеже» некоторые
•основные конструкции нсевдоевклидовой плоскости.
Для простоты рассматриваемые векторы будем откладывать от
начала О; однако нужно помнить при этом, что по существу О —
любая точка псевдоевклидовой плоскости. Найдем прежде всего изо-
изотропные векторы х. Полагая х2 = 0, получим согласно D4.11)
— х -f-x — и, т. е. х — dtx . D4.12)
Откладывая всевозможные изотропные векторы х от начала О, мы
видим, что их концы располагаются по двум прямым D4.12).
С точки зрения собственно евклидовой геометрии листа бумаги, на
котором сделан чертеж, эти прямые являются биссектрисами коор-
координатных углов. С точки же зрения псевдоевклидовой геометрии
такое их понимание не имеет, конечно, никакого смысла.
Итак, через каждую точку О псевдоевклидовой плоскости прохо-
проходят две изотропные прямые (которые испытывают, очевидно, парал-
параллельный сдвиг при сдвиге точки О в любое новое положение). Не-
Неизотропные векторы х, откладываемые от начала О, попадают в ту
или другую пару вертикальных углов, образованных изотропными
прямыми. При этом под углом понимается область на плоскости,
выделенная двумя полупрямыми, исходящими из общей точки (в дан-
данном случае О), а отнюдь не численная величина угла. В таком по-
понимании угол есть аффинная конструкция, которая в псевдоевклидо-
псевдоевклидовой плоскости выглядит так же, как и на обычной плоскости, так
что здесь мы можем довериться чертежу.
Рассмотрим сначала векторы, лежащие в одной паре вертикаль-
вертикальных углов с ортом ех («первая пара вертикальных углов»). Для
, а следовательно,
D4.13)
Таким образом, в первой паре вертикальных углов расположатся
векторы вещественной длины.
этих векторов,
согласно D4.1
как
1)
видно
X2
из
=
чертежа,
— х°* + х
1*4
12 >
>
0.
180 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
В противоположность этому векторы, лежащие во второй паре
вертикальных углов, характеризуются тем, что для них
I V-1 I s- I v-0 I
\Х | <^ | X | ,
а следовательно,
х2= — лг°2+л;12<0, D4.14)
и эти векторы обладают мнимой длиной.
Окончательно: векторы вещественной длины, отложенные из
начала О, располагаются в первой паре вертикальных углов, векторы
мнимой длины — во второй паре вертикальных углов и, наконец,
изотропные векторы — по сторонам этих углов.
Посмотрим теперь, как выглядят в1 нашем изображении ортого-
ортогональные векторы псевдоевклидовой плоскости. Но так как для ортого-
ортогональности векторов существенно лишь их направление, то мы лучше
рассмотрим взаимно ортогональные прямые линии (проведенные для
простоты через начало О).
Пусть М(х°, х1), N(y°, у1)— произвольные точки соответственно
на первой и второй из этих прямых. Их радиусы-векторы х=0М
и у = ON имеют те же координаты, что и сами точки, а условие орто-
ортогональности этих векторов имеет вид ху = 0, т. е. согласно D4.10)
— x°yajrx1y1 — 0, откуда
у1:у° = х°:х1. D4.15)
Это означает, что в изображении наши прямые имеют взаимно обрат-
обратные угловые коэффициенты и расположены, следовательно, симмет-
симметрично относительно биссектрис координатного угла. Подчеркнем,
что эта характеристика ортогональных прямых, данная с точки зрения
изображения, не имеет ни малейшего смысла с точки зрения ориги-
оригинала, т. е. геометрии псевдоевклидовой плоскости. Там эти прямые
лишь ортогональны, и ничего более.
Из полученного результата ясно, что вопреки обычному поведе-
поведению ортогональных прямых вращение одной из них вызывает встреч-
встречное вращение другой, причем когда одна приходит в совпадение
с изотропной прямой, другая совпадает с ней же. Это и неудиви-
неудивительно, если принять во внимание, что изотропная прямая, как
направленная по изотропному вектору, ортогональна к себе самой.
Теперь, чтобы составить себе представление о метрике псевдо-
псевдоевклидовой плоскости, будем откладывать от начала О отрезки данной
постоянной длины р во всех направлениях, в которых это возможно
сделать. Другими словами, мы описываем окружность данного ра-
радиуса р с центром О. Эту окружность образуют концы наших отрезков.
При этом радиус р может быть как вещественным, так и чисто мни-
§ 44]
ДВУМЕРНОЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
181
мым. Запишем условие того, что вектор х имеет длину р: х2 = р2,
или в координатной записи
— х°
=р2.
D4.16)
Если откладывать переменный вектор х постоянной длины р от
начала О, то его конец опишет нашу окружность радиуса р с цент-
центром в О, причем D4.16) будет, очевидно, уравнением этой окруж-
окружности.
Разберем теперь отдельно три случая. Пусть а обозначает какое-
либо положительное число. Положим сначала р = а (радиус окруж-
окружности вещественный). Уравне-
Уравнение D4.16) дает v xa
~х^ + х^ = а2. D4.17)
Таким образом, изображени- N
ем окружности с центром О и
вещественным радиусом а
служит на плоскости чертежа
равнобочная гипербола D4.17)
с центром О и действительной
осью ОХХ (рис. 8).
Как мы уже отмечали, не
следует смущаться тем, что
радиусы окружности, равные
в оригинале, получились в
изображении различными: это
неизбежное искажение полу-
получается в результате несовпа-
несовпадения геометрических свойств
оригинала и изображения.
Далее, непривычное для нас распадение окружности на две разом-
разомкнутые ветви вытекает из свойств псевдоевклидовой метрики,
непохожих на обычные.
Рассмотрим теперь случай р = at (радиус окружности мнимый).
Тогда уравнение D4.16) дает
Рис. 8.
l2= —а2,
D4.18)
т. е. в этом случае изображением окружности служит равнобочная
гипербола с центром О и действительной осью ОХ0. Итак, в псевдо-
псевдоевклидовой плоскости окружности (при Q =^= 0) принадлежат к числу
гипербол, а не эллипсов, как в собственно евклидовой плоскости.
Наконец, в случае р = 0 мы возвращаемся к уравнению D4.12),
и окружность нулевого радиуса сводится к паре изотропных прямых.
182 евклидово пространство п измерений [гл. ш
§ 45. Вращение ортонормированного репера
в псевдоевклидовой плоскости
Выясним, как будет выглядеть переход от одного ортонормиро-
ортонормированного репера к другому в псевдоевклидовой плоскости.
Сдвиг начала О совершается тривиальным образом, так что мы
займемся лишь преобразованием ортов при неподвижном начале.
Такое преобразование ортонормированного репера мы будем называть
его вращением.
Пусть е0, ех — старые и е0', ех< — новые орты. По общим фор-
формулам
ег = /1°1.е0 + /11.е1. )
Заметим, что здесь А%. Ф 0. Действительно, в противном случае
оказалось бы, что мнимоединичный вектор е0, лишь численным мно-
множителем отличается от единичного вектора ег, что после почленного
возведения в скалярный квадрат приводит к противоречию (все коэф-
коэффициенты А\,— вещественные ввиду вещественного характера псев-
псевдоевклидовой плоскости). По той же причине А\,^0. В силу орто-
ортогональности ортов е0., е,- мы получаем согласно D4.15)
А\.;А\. = А\.:А\.. D5.2)
Обозначая
А%.= а, А\. = Ь, D5.3)
а также обозначая общее значение отношений D5.2) через р, по-
получим:
А\.= а$, Л2. = *р, D5.4)
и преобразование D5.1) примет вид
Запишем теперь, что орт е0. — мнимоединичный:
ej. = — {AD* + (Al,y = — a2 + a2P2 = —1,
откуда
e=rrtr D5-6)
Записывая аналогично, что орт е,- — единичный, получим:
§ 45] ВРАЩЕНИЕ РЕПЕРА В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 183
откуда
*=гтЬг D5J)
Пользуясь последними результатами, можно окончательно переписать
закон преобразования D5.5):
р _ eo+Pei
е'
_
ei 1
/ D5.8)
Ясно, что Р можно давать лишь значения, по модулю меньшие еди-
единицы, иначе коэффициенты преобразования оказались бы мнимыми
или (в случае р=1) вообще не существовали бы. Итак,
— 1<Р<1. D5.9)
Зато в этих пределах р можно давать любые значения, а также
можно в каждой из двух формул D5.8) брать у 1 — р2 с любым
знаком, в одной независимо от другой. То, что при этом формулы
D5.8) всегда переводят ортонормированный репер снова в ортонор-
мированный, ясно и из нашего вывода, и легко устанавливается
простой проверкой.
Мы получаем четыре типа вращений ортонормированного репера
в зависимости от знака, с каким берется у\ — р2 в верхней и ниж-
нижней формулах D5.8). Этот знак в верхней формуле, очевидно, сов-
совпадает со знаком А%., причем, если он положительный, то е0. про-
продолжает быть направленным «вверх» от ОХХ, т. е. к той же ветви
мнимоединичной окружности, что и е0; если же он отрицательный,
то е0/ «перепрокидывается» к другой («нижней») ее ветви.
Аналогично знак у 1 — р2, избранный нами для нижней формулы,
совпадает, очевидно, со знаком А\.. При этом е,» остается направ-
направленным к той же, как и ех («правой»), ветви единичной окружности,
если этот знак положительный, и «перепрокидывается» к другой
(«левой») ее ветви, если этот знак отрицательный.
В результате можно следующим образом охарактеризовать четыре
типа вращений ортонормированного репера:
1°. Собственное вращение. Так мы будем называть вращение
при условии А°о, > О, А\. > 0. Тогда D5.8) дает
, . . D5.10)
v i-js* v i-pa
184
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[ГЛ. Ill
В согласии со сказанным при собственном вращении концы векторов
е,., ео< остаются на прежних ветвях единичной и соответственно
мнимоединичной окружностей (рис. 8; чертеж отвечает случаю р > 0).
Векторы е0», е,- будут в изображении симметричными относительно
«биссектрисы координатного угла» (как и полагается ортогональным
векторам). Неравноправие реперов {О, е0, ег} и {О, е0,, е^} кажущееся
и связано с условностью их изображения
на обычной плоскости (отчего и получается,
что один как бы «настоящий-», а другой
«искаженный»). Мы могли бы условиться,
наоборот, векторы е0,, е^ изображать ортами
обычной плоскости, и тогда е„, ех изобра-
изобразились бы более длинными векторами, обра-
образующими тупой угол (рис. 9).
При непрерывном изменении р в допус-
допустимых для него пределах D5.9) непрерывно
меняется и соответствующее собственное
вращение, причем при р = 0 мы имеем тож-
тождественное преобразование. Отсюда видно,
что собственное вращение репера может быть осуществлено за
счет непрерывного процесса вращения, а именно при непрерывном
изменении р от 0 до требуемого значения. Вычислим еще определи-
определитель преобразования:
Рис. 9.
1
Р
Р
Vl-Р2
= 1.
D5.11)
Собственное вращение не меняет ориентации репера.
2°. Несобственное вращение 1-го рода. Так мы будем называть
вращение репера при условии
А1, > 0, А\. < 0.
Это значит, что конец единичного орта ех «перепрокидывается»
на другую ветвь единичной окружности, конец же орта е0 остается
на прежней ветви мнимоединичной окружности. Формулы D5.8) прини-
принимают вид
е„, = -
D5.12)
При р, непрерывно меняющемся в пределах D5.9), непрерывно
меняется и несобственное вращение 1-го рода, причем, конечно,
§ 45] ВРАЩЕНИЕ РЕПЕРА В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 185
тождественное преобразование из него получить невозможно. При
Р = 0 мы получаем:
ео, = ео, е4, = — е,, D5.13)
т. е. происходит как бы зеркальное отражение репера за счет пере-
прокидывания оси ОХХ при неподвижной оси ОХ0 (зеркальное отра-
отражение относительно оси ОХ0). Нетрудно заметить, сравнивая формулы
D5.12) с D5.10), что всякое несобственное вращение 1-го рода
получается из соответствующего собственного вращения наложением
на него зеркального отражения D5.13). Заметим еще, что в нашем
случае
Det|i4j,| = —1, D5.14)
и следовательно, ориентация репера меняется на обратную.
3°. Несобственное вращение 1-го рода определяется условием
А°о, < 0, А\. > 0.
Оно вполне аналогично несобственному вращению 1-го рода с той
лишь разницей, что теперь конец орта е0 перепрокидывается на
другую ветвь мнимоединичной окружности, а конец орта ех остается
на прежней ветви единичной окружности. Формулы преобразования
будут:
D5 15)
При E = 0 получаем:
ео, = —е0, е,. = е1( D5.16)
т. е. происходит зеркальное отражение репера относительно оси ОКХ.
Принципиальная разница срав«ительно с D5.13) заключается в том,
что зеркальное отражение происходит там относительно прямой
с мнимыми расстояниями вдоль нее, а здесь относительно прямой
с вещественными расстояниями.
Сравнивая формулы D5.15) с D5.10), замечаем, что несобственное
вращение 2-го рода получается из соответствующего собственного
вращения наложением на него зеркального отражения D5.16).
Отметим еще, что в нашем случае
Det|4|v|=—1, D5.17)
так что ориентация репера меняется на обратную.
4°. Несобственное вращение 3-го рода определяется условием
АЬ < О, А\, < 0.
186 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Концы обоих ортов перескакивают на другие ветви соответствующих
окружностей. Формулы преобразования будут:
_^+^ _1^±^.. D5.18)
Очевидно, в этом случае
Det 1 Л|, | = 1,
и ориентация репера сохраняется. При непрерывном изменении Р
в пределах D5.9) несобственные вращения 3-го рода меняются непре-
непрерывно; конечно, тождественное преобразование в их число не входит.
При E = 0 получаем:
ео<=— е„, е,,= —е„ D5.19)
т. е. репер испытывает как бы отражение относительно начала О.
Заметим, что в нашем случае нельзя получить такое преобразование
непрерывным «вращением на 180°», как мы сделали бы на обычной
плоскости; изотропные прямые представляют непреодолимую прег-
преграду для непрерывного вращения орта (который, оставаясь единичным
или мнимоединичным вектором, не может принять изотропное направ-
направление).
Сравнивая формулы D5.18) с D5.10), мы замечаем, что несобст-
несобственное вращение 3-го рода получается из соответствующего собст-
собственного вращения наложением на него отражения D5.19).
Как мы видели, вращения репера в пределах каждого из четырех
типов непрерывно переходят одно в другое за счет непрерывного
изменения р. Зато два вращения разных типов не могут быть непре-
непрерывным образом переведены одно в другое. В самом деле, такие
вращения всегда отличаются друг от друга тем, что при одном из
них конец орта е0 (или ех) остается на прежней ветви окружности,
а при другом перескакивает на другую ветвь. Так как этот переход
нельзя осуществить непрерывным образом, то нельзя осуществить
и непрерывный переход от вращения одного типа к вращению другого
типа. То же самое легко установить и из того, что А°о. и А\. не могут
обращаться в нуль, а следовательно, при непрерывном изменении не
могут менять знака.
Мы рассматривали вращения ортонормированного репера. Но сле-
следом за вращением данного ортонормированного репера всегда можно
заставить вращаться и саму псевдоевклидову плоскость. А именно,
каждую точку плоскости мы будем переводить в новую точку, рас-
расположенную относительно нового репера точно так же, как прежняя
точка была расположена относительно прежнего репера. Другими
словами, координаты х°, лг1 новой точки относительно нового репера
должны совпадать с координатами лг°, Xх прежней точки относительно
§ 45] ВРАЩЕНИЕ РЕПЕРА В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 187
прежнего репера. Такое преобразование псевдоевклидовой плоскости
в себя мы будем называть ее вращением около фиксированной точки О
и относить к одному из четырех типов в соответствии с характером
вращения репера. При этом классификации вращений можно придать
форму, независимую от выбора начального репера: при собственных
вращениях каждая ветвь и единичной и мнимоединичной окружностей
переходит в себя; при несобственных вращениях соответственно
1-го, 2-го и 3-го рода меняются местами: 1) ветви единичной окруж-
окружности, 2) ветви мнимоединичной окружности, 3) ветви обеих окруж-
окружностей.
Сходство вращения псевдоевклидовой плоскости с вращениями
обычной плоскости заключается, конечно, в том, что как при тех,
так и при других остается неподвижной одна точка (точка О), и,
главное, геометрические свойства фигур не испытывают никаких
изменений. В самом деле, поскольку координаты перемещенных точек
относительно повернутого репера остались прежними, а повернутый
репер остался ортонормированным и обладает, следовательно, в точ-
точности прежними геометрическими свойствами, то и свойства фигур
в результате вращения не меняются. Позже мы уточним сказанное
здесь (§ 52).
Комбинируя произвольные вращения около точки О с произволь-
произвольными параллельными сдвигами, мы получаем преобразования ортонор-
мированного репера, а вслед за ним и преобразования плоскости
в себя, которые мы будем называть движениями в псевдоевклидовой
плоскости. Движения, очевидно, тоже сохраняют геометрические
свойства фигур и, как позже мы увидим, исчерпывают все преобра-
преобразования псевдоевклидовой плоскости в себя, обладающие этим свой-
свойством.
На обычной плоскости существуют движения двух сортов: соб-
собственные движения, при которых сохраняется ориентация плоскости
и которые можно осуществить, переводя плоскость из начального
положения в конечное непрерывным образом, и несобственные дви-
движения, которые меняют ориентацию плоскости на обратную и кото-
которые можно получить, комбинируя собственные движения с зеркальным
отражением относительно какой-либо прямой.
На псевдоевклидовой плоскости движения будут уже четырех
типов, в зависимости от того, какого типа будет вращение около
точки О, входящее в его состав (наряду с параллельным сдвигом).
Эти четыре типа движений мы будем называть соответственно
собственными движениями и несобственными движениями 1-го, 2-го
и 3-го рода. Согласно ранее сказанному в пределах каждого типа
возможен непрерывный переход от одного движения к другому.
В частности, собственные движения включают в себя тождественное
преобразование и их можно осуществлять непрерывным переходом
от начального положения плоскости к конечному; несобственные
188 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
же движения 1-го, 2-го и 3-го рода получаются наложением на соб-
собственные движения отражений соответственно относительно прямой
с мнимыми расстояниями, относительно прямой с вещественными рас-
расстояниями и относительно точки.
В связи с этим и ортонормированные реперы распадаются на
четыре класса, в зависимости от того, какого типа движением они
получаются из какого-либо исходного репера: собственным движением
или несобственным движением 1-го, 2-го или 3-го рода. В пределах
одного класса возможен непрерывный переход от одного репера
к другому; между двумя различными классами он невозможен.
В терминах теории групп Ли можно сказать, что группа движений
на псевдоевклидовой плоскости несвязная и состоит из четырех связ-
связных компонент. То, что движения действительно образуют группу,
легко проверяется (мы сейчас не будем этим заниматься, так как
затем все сказанное будет выведено в общем случае л-мерного псев-
псевдоевклидова пространства).
§ 46. Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой
плоскости
В § 37 мы определили объем произвольного тела D в л-мерном
аффинном пространстве посредством интеграла
VD=S\)dx1...dxn
в какой-либо аффинной координатной системе. В частности, «двумер-
«двумерный объем», т. е. площадь в случае двумерного аффинного прост-
пространства, имеет вид
D6.1)
Определенная таким образом площадь (как и объем в общем случае)
представляет собой лишь относительный инвариант, принимающий
различные численные значения в различных координатных системах,
а именно, умножающийся на |Det|/4-, Ц" при переходе от одного
репера к другому:
6i.=A'tfit. D6.2)
Но в случае двумерного евклидова пространства мы, находимся
в лучшем положении, так как у нас среди аффинных координатных
систем выделены ортонормированные координатные системы. ,
§ 46]
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И УГЛОВ
189
Мы условимся называть площадью фигуры D в двумерном евкли-
евклидовом пространстве интеграл VD D6.1), вычисленный в ортонорми-
рованной координатной системе.
Определенная таким образом площадь будет уже инвариантом.
В случае собственно евклидовой, т. е. обычной, плоскости хорошо
известно, что интеграл VD действительно дает площадь в обычном
смысле слова, разумеется, не зависящую от той ортонормированной
координатной системы, в которой она вычисляется.
В случае псевдоевклидовой плоскости матрица преобразования
D6.2) при всех вращениях ортонормированного репера удовлетворяет
(как мы видели в § 45) следующему условию:
Det | А\, | = ± 1, следовательно, | Del | А\, || = 1,
D6.3)
а отсюда следует, что интеграл D6.1) при переходе от одной орто-
ортонормированной координатной системы к другой не меняется (умно-
(умножается на единицу).
Переходим теперь к измерению
углов на псевдоевклидовой плоско-
плоскости. Мы воспользуемся здесь сле-
следующим построением обычной пла- ч
ниметрии. Желая измерить данный х^^
угол, мы строим единичный круг с N
центром в вершине угла и берем
удвоенную площадь сектора, выре-
вырезанного из этого круга сторонами
угла. Очевидно, это и будет как раз /
величина угла, измеренного в есте- /
ственной мере — в радианах. '
Аналогично мы будем поступать
и на псевдоевклидовой плоскости.
Однако здесь мы будем измерять
лишь углы, для которых все полупря-
полупрямые, исходящие из вершины и прохо-
проходящие внутри угла или по его сторонам, будут неизотропными.
Другими словами, если представить себе, что угол описывается
вращением одной его стороны до совпадения ее с другой сторо-
стороной, то мы хотим, чтобы в течение этого процесса вращающаяся
сторона нигде не принимала изотропного направления. Смысл этого
ограничения вскоре станет ясным. Углы, удовлетворяющие нашему
условию, мы будем называть допустимыми.
Опишем теперь единичную и мнимоединичную окружности с цент-
центром в вершине О данного допустимого угла (рис. 10). Тогда (в силу
нашего условия) стороны угла пересекутся с одной и той же ветвью
какой-нибудь из этих окружностей. Образуется сектор АОВ,
Рис. 10.
190 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. 11»
удвоенную площадь которого мы будем называть величиной угла АОВ
(или, кратко, просто углом АОВ).
Из этого определения ясно, что величина угла обладает аддитив-
аддитивным свойством: если допустимый угол разделить полупрямой, исхо-
исходящей из его вершины, на два угла, то его величина будет равняться
сумме величин составляющих его углов.
Таким образом, измерение углов производится по отдельности
внутри каждого из четырех «основных углов», образованных в данной
точке проходящими через нее изотропными прямыми. При этом мы
отказываемся измерять углы, «перекидывающиеся» из одного основ-
основного угла в другой. Причина этого станет ясна, если мы будем
менять угол АОВ (рис. 10), вращая, например, его сторону ОВ про-
против часовой стрелки и стремясь к совпадению с изотропным направ-
направлением 01. Тогда площадь сектора АОВ стремится к бесконечности.
Действительно, площадь в оригинале (на псевдоевклидовой плоскости)
и площадь в изображении (на обычной плоскости) одинаково выра-
выражаются интегралом D6.1) в ортонормированной координатной системе
и, следовательно, совпадают. В изображении же площадь сектора
АО/ как площадь, ограниченная ветвью гиперболы и ее асимптотой,
является бесконечной.
Итак, величина угла АОВ стремится к бесконечности, когда хоть
одна из его сторон стремится к изотропному направлению. Отсюда
ясно, что угол, в котором сторона ОВ достигла изотропного направ-
направления 01, мы измерять не будем (его величину пришлось бы признать
бесконечной) и тем более не будем измерять угол, в котором сто-
сторона ОВ перешла за изотропное направление 01 (величина угла как
бы сверхбесконечная).
Подсчитаем, в частности, угол, на который поворачивается вектор ej.
при собственном вращении D5.10) ортонормированного репера
{О, е0, ех} (рис. 8).
Требуется подсчитать, следовательно, площадь сектора АОВ,
причем это можно сделать, как мы только что отмечали, и в изо-
изображении. Воспользуемся полярными координатами, разумеется, на
плоскости изображения. Тогда
а.
пл. АОВ=\т Г г2 dtp. D6.4)
Здесь г—полярный радиус—выражается через полярный угол ср из
уравнения единичной окружности
— *°г + *12=1.
Так как х1, х° в изображении играют роль прямоугольных декар-
декартовых координат, то
лг1=гсо5ф, xo = rsin(f>, D6.5)
§ 46) ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И УГЛОВ 191
и мы получаем:
r«(-sin*<p+cos»<p)=l, r* = ^. D6.6)
Вставляя это значение в D6.4), имеем:
Здесь а — конечное значение полярного угла ф — совпадает с углом
наклона вектора е,- к вектору ех (в изображении!). Обозначим
через 9 псевдоевклидов угол между ех и et«. Тогда по общему
определению
9 = 2 пл.
Отсюда
Итак, гиперболический тангенс угла между elt et< в псевдоевклидовой
плоскости равен тангенсу угла между этими векторами в плоскости
изображения (при условии, что е1г е0 в изображении тоже являются
ортонормированными, как мы все время это и предполагаем).
При вычислении угла 9 мы молчаливо приписали ему (как и пло-
площади АОВ) знак, совпадающий со знаком полярного угла а. В этом
смысле нужно понимать и формулу D6.8).
Из D6.8) видно еще раз, что когда направление ег стремится
к изотропному, т.е. когда a—> ±-т- и, значит, tga—*±1, то
th9—*±1, а следовательно, 9—> + оо.
Таким образом, заставляя ег вращаться в пределах основного
угла ГО1, мы заставляем псевдоевклидов угол 9 его наклона к ех
меняться от —оо до -f- с».
Поучительно выразить формулы преобразования D5.10)
через угол 9. Так как координаты вектора ег относительно репера
1 ft
{О, ег, е0} равны, как мы видим, > то, пользуясь
обычной геометрией на плоскости изображения, получаем:
192 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
а отсюда
р = thG, D6.10)
и следовательно,
^1= = ^=сЬв, ^L-^-AG.
Y\—$* 2 |Ai _p2 2
Формулы собственного вращения D6.9) примут теперь вид
eo' = chee0 + shee1, 1 D6 11)
ev = sh0e,, + ch0el. )
Эти формулы по внешности напоминают формулы собственного
вращения ортонормированного репера на обычной плоскости
e0.-cosae0-sinaei,
er = sin aeo + cosae1.
Но, конечно, замена тригонометрических функций гиперболическими
(а также изменение знака в одном члене) сильно преобразует всю
картину. В частности, в формулах D6.11) можно менять 0 от —оо
до + оо без периодического повторения результата, как это будет
в обычных формулах D6.12).
Мы можем теперь ввести измерение углов в любом п-мерном
вещественном евклидовом пространстве. Проводим через стороны
угла двумерную плоскость. Она или несет на себе собственно евкли-
евклидову геометрию (как это всегда будет в случае собственно евкли-
евклидова пространства), и тогда угол измеряется как на обычной пло-
плоскости, или является псевдоевклидовой, и тогда угол измеряется
так, как было только что показано, или является изотропной, и
тогда измерение угла не имеет смысла.
В первом случае острый (или прямой) угол между векторами
а, Ь определяется обычной формулой
J=, D6.13)
у a2-b3
во втором же случае формулой
причем здесь предполагается, что а2, b2, ab — одного знака (иначе
угол не имеет смысла). В самом деле, если этот знак положитель-
положительный, то можно принять:
^Ц = е1. T^s = ei#' D6Л5)
У а2 У Ь2
§ 47] ТРЕХМЕРНОЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ИНДЕКСА 1 193
причем е^!- > 0, т. е. е1; е^ лежат в одном основном угле. Тогда,
умножая скалярно на ех второе из уравнений D6.11), получаем:
e^ej = ch8
и, пользуясь D6.15), приходим к формуле D6.14).
Если же знак a2, b2, ab отрицательный, то положим:
D6-16)
причем е„е0/ < 0, т. е. е0, ео< лежат в одном основном угле. Умно-
Умножая скалярно на е0 первое из уравнений D6.11), получаем:
и, пользуясь D6.16), снова приходим к D6.14).
Заметим, что для данных неколлинеарных векторов a, b первый,
второй или третий случай имеет место в зависимости от положи-
положительного, отрицательного или нулевого значения a2b2— (abJ.
§ 47. Трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1
После евклидовых пространств индекса k = 0, т. е. собственно
евклидовых, наибольший интерес представляют евклидовы простран-
пространства индекса &=1 (они, конечно, принадлежат к псевдоевклидовым
пространствам). Псевдоевклидова плоскость, рассмотренная нами
в §§ 45, 46,—это двумерный случай такого пространства. Евкли-
Евклидово пространство индекса 1 представляет интерес с точки зрения
теории дифференциальных уравнений (волновое уравнение с п аргу-
аргументами) и особенно с точки зрения теории относительности. В по-
последнем случае играет роль именно четырехмерное евклидово про-
пространство индекса 1. Однако для наглядности мы рассмотрим сначала
трехмерный случай. Здесь индекс k может принимать значения 0, 1,
2, 3.
При k — О получаем собственно евклидово (обычное) пространство
и при k = 3 фактически снова его же. Действительно, все орты
будут вместо единичных мнимоединичными, и скалярный квадрат
вместо вида
х2 = лг12 + лг224-лгз2
будет иметь вид
х2= —х1г — х*г — х*\
что означает лишь формальную разницу, сводящуюся к изменению
знака у скалярного произведения (ср. начало § 44).
7 П. К. Рашевский
194 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Точно такая же лишь формальная разница будет между случаем
А- 1
и случаем k — 2
х2 = л;0 —х1 — х- .
Поэтому вещественное трехмерное евклидово пространство имеет
смысл рассматривать лишь в случаях k = О (собственно евклидово
пространство) и <г=1 (псевдоевклидово пространство).
К изучению последнего мы и переходим.
Выберем какой-либо ортонормированный репер. Так как индекс
пространства равен единице, то один орт будет мнимоединичным —
его мы обозначим е0, а два других единичными: еь еа. Итак,
ejj=— 1, ef = ef=l, кроме того, е,еу=0 {i^=j). D7.1)
В соответствии с формулой gfj^sfij мы получаем:
D7.2)
Согласно формуле xt = g^x1 получаем связь между ковариантными
и контравариантными координатами вектора в виде
хо=—х°, х1 = х1, х2 = лг2. D7.3)
Скалярное произведение и скалярный квадрат выразятся форму-
формулами:
ху.-= — x°y°+xY + x2f, D7.4)
х2= — лг°2 + ^12 + ^г2- D7.5)
Выясним некоторые основные свойства нашего пространства. Прежде
всего рассмотрим всевозможные изотропные векторы х, причем для
наглядности будем откладывать их от начала О (разумеется, за на-
начало О можно принять любую точку пространства). Тогда концы
векторов х будут иметь те же координаты х', что и сами векторы,
а так как векторы изотропные, то х2 = 0, а следовательно:
+ лг2г=0. D7.6)
Как и в случае псевдоевклидовой плоскости, мы будем пользоваться
изображением нашего пространства в обычном пространстве. А именно,
орты е0, ег, е2 данного репера изобразим обыкновенными ортами,
начало О—некоторой точкой обычного пространства, а все остальные
точки М изобразим такими точками обычного пространства, чтобы
вектор ОМ в изображении разлагался по е0, е1, е2 всегда с теми
же коэффициентами, как и в оригинале.
§ 47] трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1 195
Очевидно, аффинные свойства изображения точно передают
аффинные свойства оригинала (мы имеем здесь аффинный изомор-
изоморфизм), но метрические свойства будут резко различными.
Мы видим, что в изображении концы изотропных векторов рас-
располагаются на конусе 2-го порядка D7.6). Впрочем, и в оригинале
поверхность D7.6) мы вправе называть конусом 2-го порядка ввиду
аффинного характера этого понятия. А именно, конус 2-го порядка
в трехмерном вещественном аффинном пространстве можно опреде-
определить как поверхность, имеющую уравнение вида D7.6) в некоторой
аффинной координатной системе.
Конус 1-го порядка, на котором располагаются концы всевоз-
всевозможных изотропных векторов, отложенных из данной тонки О, мы
будем называть изотропным конусом. В изображении изотропный
конус выглядит как прямой круглый конус с осью ОХ0 и с углом
45° между осью и образующей. Очевидно, при переходе в другую
точку О* изотропный конус переносится параллельным сдвигом на
вектор 00*.
Будем откладывать теперь от начала О всевозможные векторы х
мнимой длины. Для этих векторов х2<0, а значит, координаты их
концов удовлетворяют условию
т.е. \x°\>Vxl2 + x2\ D7.7^
Концы этих векторов расположены, очевидно, внутри изотропного
конуса, так как в изображении их расстояния от оси конуса меньше
расстояний от плоскости 0ХхХ2 (в то время как для точек конуса
эти расстояния равны). Напротив, концы векторов х вещественной
длины (х2>0) удовлетворяют условию
т.е. |лго|</лг1г + лг22, D7.8)
и располагаются вне изотропного конуса. Аналогичная картина
повторяется, конечно, и при откладывании векторов х от любой
точки пространства О*.
Таким образом, ясно, что прямые, исходящие из данной точки,
распадаются на три класса: прямые, расположенные внутри изотроп-
изотропного конуса (длины мнимые), вне изотропного конуса (длины веще-
вещественные) и по самому конусу (длины нулевые). Эта картина
повторяется в псевдоевклидовом пространстве любого числа изме-
измерений (см. рис. 11, стр. 283). В двумерном случае роль изотроп-
изотропного конуса играет пара изотропных прямых.
Рассмотрим теперь двумерные плоскости трехмерного псевдоев-
псевдоевклидова пространства, причем для простоты будем проводить их
тоже через начало О. Здесь возможны три случая.
1°. Плоскость проходит, не считая точки О, целиком вне изо-
изотропного конуса. Тогда все ее векторы х (не считая вектора х = 0)
196 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
обладают положительным скалярным квадратом х2>0, так что пло-
плоскость обладает собственно евклидовой геометрией (т. е. на ней
имеет место обычная планиметрия).
Примером такой плоскости может служить, очевидно, коорди-
координатная плоскость ХХОХ2. Обратно, всякая собственно евклидова
плоскость, проходящая через О, может быть принята за координат-
координатную плоскость ХХОХ2 при подходящем выборе ортов (е1? е2 строим
в плоскости, е0 — ортогонально к ней).
2°. Плоскость касается изотропного конуса по одной образующей.
Заметим прежде всего, что касание плоскости с изотропным конусом
по его образующей равносильно тому, что плоскость проходит
через начало О и ортогональна к этой образующей.
В самом деле, пусть и (а0, и1, и2) — радиус-вектор какой-либо
(отличной от О) точки на образующей. Тогда, как видно из уравне-
уравнения изотропного конуса, уравнение плоскости, касательной к нему,
в этой точке (а следовательно, и вдоль всей образующей) будет:
— x°u° + x1u1 + xiu2 = 0. D7.9)
Это уравнение можно переписать в виде
хи=0, D7.10)
где х — радиус-вектор любой точки нашей плоскости. Таким обра-
образом, D7.9) равносильно тому, что радиус-вектор любой точки пло-
плоскости ортогонален к и, т. е. что плоскость проходит через О и ор-
ортогональна к образующей. Этим наше утверждение доказано.
Теперь ясно, что плоскость, касающаяся изотропного конуса
по образующей, будет изотропной (так как она содержит вектор и,
ортогональный ко всем ее векторам).
Обратно, всякая изотропная плоскость, проходящая через О, будет
касаться изотропного конуса по некоторой образующей. В самом
деле, прямая, ортогональная к изотропной плоскости, сама будет
изотропной (вытекает из теоремы § 41 при п—Ъ, ш = 2) и, следо-
следовательно, если ее провести через начало О, является образующей
изотропного конуса. Таким образом, наша изотропная плоскость
проходит через О и ортогональна к одной из образующих изотроп-
изотропного конуса, а это, как мы только что видели, равносильно касанию
с изотропным конусом вдоль этой образующей.
3°. Плоскость пересекается с изотропным конусом по двум обра-
образующим. Тем самым случай касания с конусом устранен, а значит,
плоскость неизотропная и несет на себе евклидову метрику.
Остается выяснить, чему равен индекс этой метрики: 0, 1 или 2?
Собственно евклидов случай (k = 0) и сводящийся к нему (k = 2)
отпадают, так как в этих случаях на плоскости нет изотропных пря-
прямых, в то время как наша плоскость их содержит (а именно, две
§ 47] ТРЕХМЕРНОЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ИНДЕКСА 1 197
образующие, по которым она пересекается с изотропным конусом,
и, конечно, все параллельные им прямые).
Остается случай fe=l, т.е. наша плоскость псевдоевклидова.
Примером такой плоскости может служить, очевидно, координатная
плоскость Х0ОХг. Обратно, всякая псевдоевклидова плоскость,
проходящая через О, может быть принята за плоскость Х0ОХХ при
подходящем выборе ортов (е0, е±— на плоскости, е2 — ортогонально
к ней).
Заметим, что в случае /z-мерного псевдоевклидова пространства
индекса k = 1 все наши рассуждения (проведенные для случая п — 3)
повторяются дословно; только вместо изотропного конуса нужно
рассматривать изотропный гиперконус
а вместо плоскостей — гиперплоскости.
Рассмотрим теперь картину взаимно ортогональных направлений
в нашем пространстве. Здесь будет более наглядным рассматривать
не взаимно ортогональные прямые, а взаимно ортогональные прямую
и плоскость (проходящие для простоты через начало О). Пусть
прямая задана направляющим вектором и. Тогда радиусы-векторы х
точек плоскости удовлетворяют условию
их = 0,
т. е. плоскость определяется уравнением
— иох0+и1х1 + и2х* = 0. D7.11)
С точки зрения изображения эта плоскость ортогональна к вектору
и'(—и0, и1, и2), который представляет собой зеркальное отражение
вектора и относительно плоскости ХгОХ2. Можно сказать и так,
что, проводя плоскость, ортогональную к данной прямой с точки
зрения изображения, и беря ее зеркальное отражение относительно
плоскости ХгОХ2 (тоже с точки зрения изображения!), получаем
плоскость, ортогональную к данной прямой с точки зрения псевдо-
псевдоевклидовой геометрии. Очевидно, что, когда данная прямая вра-
вращается в направлении к изотропному конусу, ортогональная пло-
плоскость вращается ей навстречу, причем, когда прямая занимает
положение образующей, ортогональная плоскость становится каса-
касательной к конусу вдоль этой образующей.
Рассмотрим еще изображения сфер нашего псевдоевклидова про-
пространства, для простоты, с центром в О. Снова (как и для окруж-
окружностей) рассмотрим случаи вещественного, мнимого и нулевого
радиуса.
Вообще уравнение сферы с центром в О, т. е. уравнение гео-
геометрического места точек с постоянным расстоянием р от О,
198 евклидово пространство п измерений [гл. ш
записывается в виде
х2 = р2, т.е. — лг°2 + х1* + лг2* = р2. D7.12)
Если р — а (радиус вещественный), то получаем:
т. е. в нашем изображении сфера вещественного радиуса выглядит
как однополостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХ0.
Если р = ai (радиус чисто мнимый), то имеем:
— х°* + х1* + х2* == — я2,
и сфера чисто мнимого радиуса выглядит в изображении как дву-
полостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХ0.
В обоих случаях асимптотическим конусом гиперболоидов слу-
служит изотропный конус.
Если же р = 0, то уравнение D7.12) совпадает с D7.6), так что
сфера нулевого радиуса совпадает с изотропным конусом, что ясно,
конечно, и из его определения.
§ 48. га-мерное псевдоевклидово пространство индекса 1
Мы уже упоминали, что в л-мерном случае псевдоевклидово
пространство индекса 1 будет выглядеть в основном сходно с трех-
трехмерным случаем. Действительно, мнимо единичный орт е0 остается
по-прежнему единственным, увеличивается лишь число единичных
ортов: вместо ег, е2 мы будем иметь ех, е2, ..., еп_1. Скалярный
квадрат вектора будет теперь выражаться формулой
x*=—x°2 + xl2+...+xn-1* D8.1)
вместо частного случая этой формулы
х2= —x°2 + xl2 + x2\ D8.2)
Нетрудно повторить все построения и выводы § 47 и для я-мерного
случая. Так, изотропный гиперконус определяется уравнением
— x^ + xlS+ ...+;c"~l2=0, D8.3)
его внутренняя область определяется условием
— *°а + дг1Ч---+*"*<0> D8.4)
а внешняя—условием
-x°2 + xl2 + ...+*"-l2>0. D8.5)
Наименования «внешняя» и ^внутренняя» можно оправдать без
апелляции к наглядности тем, что внутренняя область всегда со-
§ 48] Л-МЕРНОЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ИНДЕКСА 1 199
держит вместе с двумя какими-нибудь точками А, В и соединяющий
их отрезок; внешняя область этим свойством не обладает.
Таким же образом и далее можно воспроизвести почти автомати-
автоматически все построения § 47. Разница будет лишь в том, что в трех-
трехмерном случае мы могли широко использовать наглядное представ-
представление, построив в обычном пространстве изображение нашего псев-
псевдоевклидова пространства. При этом искажались метрические свойства,
но по отношению к аффинным свойствам, в частности, к числу
измерений пространства, изображение было точным. Таким образом,
трудность, если таковая вообще была, заключалась лишь в непри-
непривычном характере метрики. Теперь на эту трудность накладывается
и другая — многомерный характер пространства. Тем не менее мы
не отказываемся и здесь от использования наглядных представлений
по аналогии с трехмерным случаем. Мы будем делать чертежи,
апеллирующие, конечно, к трехмерному наглядному представлению,
но используемые нами по аналогии для многомерного случая.
Для дальнейшего нам будет особенно важен четырехмерный слу-
случай, когда ортонормированный репер имеет орты е0, e1( e2, е3:
е}=—1, e!=e| = ei=l, D8.6)
и скалярный квадрат вектора имеет вид
х* = — х°2 + х1* + х2" + х3'". D8.7)
Трехмерная гиперплоскость /?3, построенная на единичных ортах ех>
е2, е3 и проходящая через начало О, имеет уравнение
*°-0. D8.8)
Положение точки на гиперплоскости /?3 определяется, очевидно,
тремя координатами х1, х2, х3, причем формула скалярного квадрата
D8.3) принимает вид
х* = х12 + хг2 + х3\
Ясно, что R3 несет на себе обычную (трехмерную собственно евкли-
евклидову) геометрию. Этим же свойством будет обладать и любая трех-
трехмерная плоскость, проходящая через вершину изотропного гипер-
гиперконуса и лежащая в остальном вне его (в соответствии с результатами
§ 47, если их повторить для четырехмерного случая).
Изучим теперь преобразование одного ортонормированного репера
в другой. Орты нового репера обозначим:
е„'> ег, е2,, е8.. D8.9)
Начало О будем считать прежним. Плоскость /?3 для нового репера
обозначим R'3.
Вообще преобразование старых ортов в новые в четырехмерном
случае — вещь достаточно громоздкая. Но мы сумеем свести его
к двумерному случаю следующим приемом.
200 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Будем называть тривиальным вращением репера такое его преоб-
преобразование, при котором плоскость Rs остается без изменения и,
следовательно, ортогональный к ней орт е0 или не меняется или
меняется на обратный, а орты е1; е2, е3 испытывают вращение в пло-
плоскости Rs. Это вращение, происходящее, таким образом, в обычном
трехмерном пространстве (геометрию которого несет на себе R3),
изучается в элементарном курсе аналитической геометрии и никаких
затруднений для нас не представляет.
И вот оказывается, что если старый и новый реперы подвергнуть
предварительно тривиальному вращению, то переход от одного
к другому становится очень простым.
Мы предполагаем, что плоскости Rs и R'3 не совпадают; в про-
противном случае переход от старого репера к новому можно было бы
совершить просто при помощи тривиального вращения.
Поскольку трехмерные плоскости R3 и /?3 в четырехмерном про-
пространстве не совпадают и имеют общую точку, то они пересекаются
по двумерной плоскости R2. Это видно из того, что место их пере-
пересечения будет определяться парой независимых однородных линейных
уравнений. Итак, плоскость /?2 принадлежит и R3 и R'3.
Выполним теперь в трехмерной плоскости Rs такое вращение
ортов e2, е2, е3, чтобы орты е2, е3 поместились на двумерную пло-
плоскость R2. После этого в трехмерной плоскости R'3 выполним вра-
вращение ортов ег, е2., е3< таким образом, чтобы е2,, е3, тоже поместились
на /?2 и притом совпали с е2, е3 (уже помещенными на ней).
Возможность всех этих операций не вызывает сомнений, так как они
происходят в обычных трехмерных пространствах R3 и R'a.
Итак, за счет тривиальных вращений старого и нового реперов
можно добиться совпадения ортов:
еа< = е2, е3- = е3. D8.10)
Теперь нужно рассмотреть оставшуюся часть преобразования. Пло-
Плоскости ортов (е2, е3) и (е2/, е3') совпадают, следовательно, совпа-
совпадают и ортогональные к ним псевдоевклидовы плоскости (е0, et)
и (е0-, ег). Преобразование свелось, таким образом, к преобразова-
преобразованию репера е0, ег в псевдоевкяидовой плоскости, а это преобразо-
преобразование было нами хорошо изучено и имеет вид D5.8);
D8Л1)
Мы считали, что начало О у старого и нового реперов общее.
Но если это не так, то начала О, О' можно предварительно совме-
совместить параллельным сдвигом одного из реперов.
§ 49] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 201
В результате всякое преобразование ортоноржированного репера
{О, е0, ех, е2, е3} с точностью до тривиальных вращений и парал-
параллельного сдвига сводится к преобразованию D8.10), D8.11).
§ 49. Ортогональные преобразования
Выясним теперь степень произвола в выборе ортонормированного
репера в евклидовом пространстве. Уже из способа построения
репера ясно, что такой произвол имеется; мы хотим теперь точно
определить, как в общем случае преобразуется один ортонорми-
рованный репер Ш в другой Ш'. Ясно также, что начало О можно
передвигать при этом произвольно, так что мы займемся лишь пре-
преобразованием ортов. Пусть они преобразуются по формуле
ег., = ЛЦ.. D9.1)
Какова должна быть матрица А\. для того, чтобы преобразование
переводило векторы ортонормированного репера снова в векторы
ортонормированного репера?
Мы рассмотрим сначала случаи комплексного евклидова и соб-
собственно евклидова пространств и притом параллельно; будем по-
помнить лишь, что в первом случае все рассматриваемые численные ве-
величины, вообще говоря, комплексные, а во втором—вещественные.
В остальном изложение протекает одинаково.
Вслед за преобразованием репера преобразуются ковариантные
и контравариантные координаты произвольного вектора х соответ-
соответственно по формулам:
xv = A\.xt, D9.2)
х1' = Л|'дг'. D9.3)
Но в силу D2.8) и D3.4) в ортонормированных реперах xi — x', a
следовательно, закон преобразования для них должен быть одина-
одинаковым*), и мы получаем:
А\, = А';. D9.4)
Другими словами, матрица А\, преобразования ортонормированного
репера в ортонормированный репер должна совпадать со своей тран-
транспонированной обратной матрицей А'-. Транспонирование обратной
матрицы сказывается в том, что в D9.4) приравниваются элементы
матриц с одинаковыми, но поменявшимися местами индексами. Мат-
Матрицу со свойством D9.4) мы будем называть ортогональной, при
*) Тем самым для ортонормированных реперов исчезает разница между
ковариантными и контравариантными индексами; в связи с этим в главе I
мы все тензорные индексы писали внизу.
202 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
этом вещественной или комплексной в зависимости от характера ее
элементов.
Обратно, если соблюдается условие D9.4), то, преобразуя орто-
нормированный репер при помощи D9.1), мы снова получаем орто-
нормированный репер. В самом деле, до преобразования мы в орто-
нормированном репере имеем для любого вектора xi = x'. Но в
силу D9.4) это равенство сохраняется и в преобразованном репере,
как видно из D9.2), D9.3):
xt. = х1',
т. е.
g^.X* = Xv.
Так как это равенство верно для любого вектора х, то оно пред-
представляет собой тождество относительно х-7', откуда следует:
Тем самым преобразованный репер оказывается тоже ортонормиро-
ванным.
Итак, для того чтобы матрица А\, отвечала переходу от одного
ортонормированного репера к другому, необходимо и достаточно,
чтобы эта матрица была ортогональной, т. е. чтобы
Произведение взаимно обратных матриц в любом порядке дает еди-
единичную матрицу:
А* А{ = of:, А\Л)' = б|. D9.5)
В нашем случае
A'i = А)., А? = А1, D9.6)
и мы получаем:
J °{ГФЛ Ъl °{i?:J) D97)
т. е. в ортогональной матрице произведение двух строк дает нуль,
если эти строки различны, и единицу, если они совпадают; тем же
самым свойством обладают и столбцы. Обратно, если такое свойство
имеет место хотя бы только для строк или только для столбцов,
то справедливо одно из соотношений D9.7), например, первое. Но
в этом соотношении, как можно убедиться, сравнивая его с пер-
первым соотношением D9.5), роль обратной матрицы А\ играет транс-
транспонированная данная матрица, так что мы возвращаемся к условию
D9.4), и наша матрица будет ортогональной.
§ 49] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 203
Ортогональные матрицы обладают определителем, равным + I,
и в соответствии с этим распадаются на два класса.
Действительно, согласно D9.4) матрицы А\, и А^ должны обла-
обладать одним и тем же определителем; но в то же время эти матрицы,
как матрицы взаимно обратные, должны обладать и обратными
(т. е. дающими в произведении единицу) определителями. Таким
образом, определитель матрицы А\> должен быть обратным самому
себе, т. е. равным + 1.
Преобразование репера 3t—> Ш' при условии
Det\Af, |=1 D9.8)
мы будем называть его собственным движением, в частности, при
неподвижном начале О—собственным вращением около О. Собст-
Собственные движения репера Ы, как можно было бы показать, всегда
допускают непрерывный переход от одного из них к другому за
счет непрерывного изменения репера 9ft' при постоянном 9ft. В част-
частности, любое из них может быть осуществлено непрерывным пере-
переходом от тождественного преобразования (которое, конечно, вхо-
входит в число собственных движений). Геометрически это значит,
что если в результате собственного движения Ш—>¦ JK', то 3ft'
можно получить непрерывным изменением Ы. При этом здесь и в
дальнейшем подразумевается, конечно, что в процессе изменения
репер остается ортонормированным.
Преобразование репера 9ft —>- ffi' при условии
Det | Л|, | = — 1 D9.9)
мы будем называть его несобственным движением. Несобственные
движения легко получить из собственных, накладывая на каждое
из них зеркальное отражение репера относительно одной из его
гиперплоскостей: например, оставляя начало О и все орты е2, . .., еп
без изменения, а орт ех заменяя через—е1. Очевидно, это
элементарное преобразование, наложенное на любое собствен-
собственное движение, приводит к изменению знака Det|^|-|, т. е. к пре-
превращению этого движения в несобственное.
Между любыми двумя несобственными движениями возможен
непрерывный переход, что вытекает из аналогичного свойства соб-
собственных движений. Но, конечно, непрерывный переход от собст-
собственного к несобственному движению невозможен, так как Det|^4';,|
не может непрерывным образом перейти от значения -f-1 к зна-
значению — 1.
Если выбрать какой-нибудь репер 9t0 и отнести к одному классу
все реперы 3ft', получающиеся из него собственными движениями,
а к другому — все реперы 9ft", получающиеся из него несобственными
движениями, то все реперы распадаются на два класса, причем в пределах
204
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ
[ГЛ. III
каждого класса возможен непрерывный переход от одного репера
к другому, а от одного класса к другому непрерывный переход
невозможен. Полученное разбиение на реперы данной и противо-
противоположной ориентации аналогично рассмотренному в вещественном
аффинном пространстве. Разница только в том, что сейчас нас ин-
интересуют не любые аффинные, а лишь ортонормированные реперы;
это приводит и в комплексном случае к той же картине (в то
время как комплексные аффинные реперы на два класса не распа-
распадаются).
§ 50. Псевдоортогональные преобразования
Рассмотрим теперь случай, когда D9.1) дает преобразование
репера 9t —*¦ Ш.' в псевдоевклидовом пространстве индекса k. Мы
будем считать, что k принимает значения 1, 2, ..., л—1. Случай
k = л исключаем, как приводящий по существу к собственно евк-
евклидову пространству (см. начало § 44); в этом случае А\>— тоже
вещественная ортогональная матрица.
Пусть, как обычно, ех, .. ., ek (соответственно ег, ..., eft,) —
мнимоединичные орты; остальные орты — единичные. Пусть индексы
а, р, Yi ••• пробегают у нас значения 1, 2, ..., k, а индексы
%, ц, v, ...—значения k-\-\, ..., п.
Тогда разложение
можно записать в детализированном виде, отличая единичные и
мнимоединичные орты:
E0.1)
В правых частях по а и К происходит, конечно, суммирование. Вся
матрица преобразования состоит, таким образом, из четырех матриц:
k л — k
Аа>
l — k
E0.2)
При помощи этой же матрицы преобразуются, как мы знаем, кова-
риантные координаты xt произвольного вектора х:
*а>Ха+Аа*п, v EQ3)
§ 50] ПСЕВДООРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 205
Но его контравариантные координаты х1 преобразуются при помощи
транспонированной обратной матрицы, а именно:
х1' =А\х1,
или, как мы теперь можем записать:
) E0-4)
Но в любом ортонормированном репере между х1 и xi существует
связь D2.24), которую мы теперь можем записать в виде
у — v-a v. — VX irn c\
Заменяя согласно этим формулам ковариантные координаты через
контравариантные в преобразовании E0.3), получим:
i а х\ \ E0-6)
В правых частях по а и Я по-прежнему подразумевается сумми-
суммирование. Матрица, посредством которой производится преобразо-
преобразование E0.6), отличается от матрицы E0.2) лишь изменением знака
у элементов с разнородными индексами. Но преобразование E0.6) —
это лишь другая запись преобразования E0.4), и матрицы у них
должны совпадать:
.а' _ да .а' .X
Таким образом, матрица E0.2) после изменения знаков элементов
в правой верхней и левой нижней клетках совпадает со своей
транспонированной обратной матрицей.
Такие матрицы мы будем называть псевдоортогональными мат-
матрицами индекса k. Если матрица А\- псевдоортогональная, то, ко-
конечно, обратная матрица А\, тоже псевдоортогональная того же
индекса k. Это видно хотя бы из полной симметрии формул E0.7)
относительно обеих матриц.
Таким образом, переход от ортов старого к ортам нового ре-
репера осуществляется при помощи псевдоортогональной матрицы.
Обратно, всякая псевдоортогональная матрица (индекса k) перево-
переводит любой данный ортонормированный репер (в пространстве ин-
индекса k) снова в ортонормированный репер. Это следует из того,
что при наличии условий E0.7) закон преобразования контравари-
антных координат E0.4) можно переписать в виде E0.6); далее,
сравнивая закон преобразования E0.6) с E0.3) и пользуясь соот-
206 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
ношениями E0.5), которые имеют место в данном ортонормиро-
ортонормированием репере, убеждаемся, что и в преобразованном репере эти
соотношения также справедливы:
ха,= — х*', хк, = х>'. E0.8)
Сравнивая полученные формулы с общей формулой опускания ин-
индекса
убеждаемся, что в полученном репере
g*w = — 1, g\>k> = 1, gi-y = 0 A'ф /),
т. е. что репер ортонормированный.
Псевдоортогональные матрицы (подобно ортогональным) можно
было бы характеризовать условиями, наложенными на попарные
произведения их строк, однако теперь произведение двух строк
нужно понимать как сумму произведений соответствующих элементов
перемножаемых строк, причем первые k произведений берутся с
обратными знаками. Тогда произведение разных строк всегда да-
давало бы нам нуль, а произведение одинаковых или — 1 (для пер-
первых k строк) или -(- 1 (для остальных).
Разумеется, все сказанное справедливо и для столбцов.
Нетрудно обнаружить, что, как и для ортогональных матриц,
Det|/4j,| = ± 1. E0.9)
В самом деле, изменение знаков в правой верхней и левой нижней
клетках матрицы E0.2) не меняет ее определителя, так как сво-
сводится к умножению на — 1 первых k ее строк и первых k ее
столбцов (а определитель умножается при этом на (—1J*=1).
В то же время это изменение знаков означает согласно E0.7)пере-
ход к транспонированной обратной матрице, а значит, и определи-
определитель меняет свое значение на обратное. Таким образом, Det|./4*>|
равен своей обратной величине, а это влечет равенство E0.9).
Однако в случае псевдоортогональных матриц их классифика-
классификация по значению определителя ± 1 оказывается слишком грубой.
Фактически псевдоортогональные матрицы данного порядка п и
данного индекса k распадаются не на два, а на четыре класса
(аналогично простейшему случаю псевдоевклидовой плоскости, когда
л = 2, k=\).
В самом деле, заметим, прежде всего, что в матрице E0.2)
левая верхняя и правая нижняя клетки содержат неособенные мат-
матрицы (порядков k и п — k соответственно):
Det|/& 1=^=0, Det | Л>/ | Ф 0. E0.10)
§ 50] ПСЕВДООРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Чтобы показать это, допустим противное, например,
207
Тогда между строками матрицы Л«> (а' — номер строки) существует
линейная зависимость, которую можно написать в виде
а^'Аа' = 0
(о=1, 2, ..., *);
E0.11)
по а' происходит суммирование. Умножая верхнее равенство E0.1)
на аа' и суммируя по а' = Г, ..., k', получаем (учитывая E0.11)):
а' а'
Так как коэффициенты линейной зависимости аа' не обращаются в
нуль одновременно, то скалярный квадрат левой части равенства
будет отрицательным (так как е?» =—1, е«'вр' = О), а скалярный
квадрат правой части будет положительным, в крайнем случае ну-
нулем (так как e?=l, ехе,д, = 0). Полученное противоречие показы-
показывает справедливость нашего утверждения E0.10). В результате для
определителей E0.10) возможны следующие четыре комбинации
знаков, соответственно чему распадаются на четыре класса и дви-
движения ортонормированного репера Ш (как мы будем кратко называть
переход от одного ортонормированного репера Ш к другому Ж').
E0.12)
Простейшими примерами движений каждого из четырех типов
служат:
1°. Тождественное преобразование.
2°. е
1°
2°
3°
4°
Det 1Л?,
±
Det \A\, |
+ 1 + 1
Тип движения
Собственное движение
Несобственное движение 1-го рода
Несобственное движение 2-го рода
Несобственное движение 3-го рода
3°.
4°..
переходит в —<
остальные орты
и начало Онеменяются.
Так как рассматриваемые определители не могут принимать ну-
нулевых значений, то при неизменном 9t и непрерывном изменении $t'
движение всегда остается в пределах одного из указанных четырех
типов. Можно было бы показать также (этого мы делать не будем),
что в пределах одного типа всегда возможен непрерывный переход
208 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
от одного движения Ш -*¦ Ш' к любому другому lift -*¦ Ш" в смысле
непрерывного перехода репера ?Н' в Ш".
В результате движения каждого типа можно характеризовать
тем, что они могут быть получены непрерывным переходом от про-
простейшего движения этого же типа. В частности, собственные дви-
движения Ш -*¦ 9i' характеризуются тем, что их можно получить не-
непрерывным переходом от тождественного преобразования, т. е. Ш'
получается непрерывным изменением Ш.
Отсюда вытекает также, что последовательное выполнение двух
собственных движений 9t —*- Sft', 91' —>- 91" дает снова собственное
движение Ш. -*¦ Ж". В самом деле, поскольку переход от Ш к Ш' и
от 9t' к 91" происходит в результате непрерывного изменения репе-
репера, то тем же свойством обладает и переход от Ш к 91".
Нетрудно было бы составить таблицу, которая указывала бы,
какой тип движения мы получим в результате наложения движении
двух данных типов. За образец можно принять простейшие движе-
движения каждого из четырех типов; наложение их дает всегда одно из
этих же простейших движений. Если перейти теперь от простей-
простейших движений к произвольным движениям этих же типов, то ввиду
непрерывности такого перехода тип результирующего движения не
изменится; таблица, составленная для простейших движений, будет
пригодна во всех случаях.
Далее, так как при непрерывном изменении движения Det | А\. |
(равный ± 1) не меняется, то для любого движения он будет та-
таким же, как и для простейшего движения этого же класса, т. е.
Det | A\i | = 1 для движений классов 1°, 4°;
Det | А\, | = — 1 » » » 2°, 3°.
Таким образом, наша классификация E0.12) является действитель-
действительно подразделением более грубой классификации E0.9).
Нетрудно уяснить себе наглядный смысл нашей классификации
движений: собственное движение не меняет ориентации не только
всего репера в целом, но и отдельно его частей: еа (совокупность
мнимоединичных ортов) и е*, (совокупность единичных ортов); не-
несобственное движение 1-го рода не меняет ориентации еа, но ме-
меняет ее для е^; несобственное движение 2-го рода ведет себя обрат-
обратным образом; наконец, несобственное движение 3-го рода меняет
ориентацию и для еа, и для еа., но не меняет ее для репера в це-
целом.
При этом мы говорим, что векторы ег/ и еа имеют одинаковую
ориентацию тогда и только тогда, когда
Det|y&|>0, E0.13)
и аналогично для е^ и е?..
§ 51] КВАЗИАФФИННАЯ И АФФИННАЯ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 209
Чтобы это понятие об одинаковой ориентации векторов еа и е«'
(и аналогично ея>, е>.) имело смысл, нужно, конечно, чтобы оно обла-
обладало транзитивностью. Другими словами, нужно, чтобы сохранение
ориентации еа при переходе от первого репера ко второму и от
второго к третьему влекло бы за собой сохранение ориентации е«
и при переходе от первого репера к третьему. Но это можно по-
показать так: ввиду сохранения ориентации еа оба перехода будут при-
принадлежать к типам 1°, 2° таблицы E0.12). Наложение двух таких дви-
движений дает движение снова типа 1° или 2 , что легко усмотреть, беря
для образца простейшие движения типов 1°, 2°. Таким образом, для
результирующего движения условие E0.13) снова соблюдается и еадля
первого и третьего реперов имеют снова одинаковую ориентацию.
Для е\ проводится совершенно аналогичное рассуждение, но для
типов Г, 3°.
Обращает на себя внимание то, что, оказывается, имеет смысл
говорить об одинаковой (или различной) ориентации векторов, на-
например, еа и во/, несмотря на то, что они определяют различные
ft-мерные плоскости. Но дело в том, что эти плоскости в нашем про-
пространстве—максимально-мерные плоскости со знакоотрицательной
метрикой (х2 < 0), а такие плоскости, как можно было бы пока-
показать, нельзя вращать слишком свободно (иначе в них появятся х2 > 0),
в частности, нельзя «перевертывать» и накладывать на себя с обрат-
обратной ориентацией. Поэтому ориентацию, выбранную на одной из них,
можно однозначно перенести, непрерывно вращая эту плоскость,
и на все другие такие плоскости, — подобно тому, как это можно
сделать (применяя грубое сравнение) для всех плоскостей обычного
пространства, наклоненных к данной плоскости под углом не более
чем, например, 20°.
Выберем какой-нибудь репер Ыо и разобьем все реперы простран-
пространства на четыре класса в зависимости от того, получаются ли они
из 9R0 движениями собственными или несобственными 1-го, 2-го и
3-го рода. Тогда согласно выше сказанному в пределах каждого
класса возможен непрерывный переход от одного репера к другому,
но непрерывный переход от одного класса к другому невозможен.
Очевидно, такое разбиение всех реперов 34 на четыре класса от
выбора начального репера Шо не зависит (если нумерацией этих
классов не интересоваться).
§51*. Квазиаффинная и аффинная группы преобразований
В этом и следующем параграфах мы хотим отчетливо выявить
некоторые ведущие идеи, лежащие в основе аффинной, евклидовой
и вообще всех «однородных» геометрий. В самом деле, однородный
в каком-то смысле характер рассмотренных нами до сих пор
пространств, их одинаковое строение в разных местах и в разных
210 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
направлениях, с наглядной точки зрения представляется очевидным.
Этой идее однородности мы придадим точную математическую форму,
в этом параграфе для аффинных, а в следующем — для евклидовых
пространств. Попутно мы уточним и понятие о преобразованиях
репера; с этого мы даже и начнем.
Произвольный репер в л-мерном аффинном пространстве
{О, еъ '.. ., е„} определяется /z2-f/z независимыми параметрами
в комплексном случае — комплексными, в вещественном—веществен-
вещественном—вещественными). Действительно, начало О и каждый из векторов е,- опреде-
определяется я координатами. При этом из условия линейной независимости
векторов репера следует, что определитель, образованный их коор-
координатами, отличен от нуля. В остальном п2-\-п параметров совершенно
произвольны.
Мы рассматривали до сих пор обычно преобразование одного
определенного репера в другой. Сейчас мы станем на более широ-
широкую точку зрения и будем применять данное преобразование сразу
ко всем оо+" аффинным реперам, в результате чего каждый из
них переходит в некоторый другой. А именно, применить данное
преобразование к многообразию *) аффинных реперов это значит
указать для каждого репера {О, еХ) ..., еп} новый репер
{О', &!>, ..., е„/}, имеющий заданное расположение относительно
старого репера. Другими словами, для каждого репера {О, еъ . . ., е„}
векторы ej/, . . ., е„/ и вектор сдвига 00' разлагаются поех, ..., еп
с одними и теми же численными коэффициентами:
ег, = Л|,ег, ОО' = Л'е;, E1.1)
Произвольно взятыми численными коэффициентами А\,, А' (при
условии Det | А\, \ Ф 0) и характеризуется данное преобразование
в многообразии реперов.
Можно также вместо коэффициентов А1 задаваться коэффициен-
коэффициентами А1' (как мы делали в § 24), положив
00' = — Al'et,.
Тогда
А1' = — А?А' и, обратно, А{ = —А\,А1'. E1.2)
Последние соотношения легко получить, пользуясь зависимостью
между е(- и е,/.
Рассматриваемые нами в многообразии реперов преобразования
E1.1) являются, очевидно, взаимно однозначными и образуют группу.
*) Множество всех аффинных реперов мы будем называть многообразием,
намекая на его некоторые геометрические свойства; общая формулировка
понятия многообразия будет дана позже.
§ 51] КВАЗИАФФИННАЯ И АФФИННАЯ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 211
Последнее означает, что совокупность наших преобразований содер-
содержит, во-первых, обратное преобразование для каждого из них и,
во-вторых, результирующее преобразование для любых двух из них
(а следовательно, и тождественное преобразование). Проверка этих
утверждений тривиальна: достаточно убедиться, что при построении
обратного и результирующего преобразований мы получаем преобра-
преобразование того же вида E1.1), причем его коэффициенты А\,, А1
полностью выражаются через коэффициенты исходных преобразова-
преобразований (и следовательно, вместе с ними имеют одни и те же численные
значения для всех реперов).
Преобразования многообразия аффинных реперов в себя E1.1)
мы будем называть квазиаффинными преобразованиями, а группу
этих преобразований — квазиаффинной группой. Квазиаффинная
группа в многообразии реперов является однотранзитивной, т. е. квази*
аффинное преобразование вполне определяется заданием двух произ-
произвольно выбранных реперов {О, ех, ..., еп} и {О', е^, ..., е„<},
если потребовать, чтобы первый из них при этом переходил во второй.
Действительно, коэффициенты А\,, А' вполне определятся из раз-
разложений E1.1), а тем самым определится и соответствующее квази-
квазиаффинное преобразование (путем применения формул E1.1) с теми
же численными значениями А\г, А' к каждому реперу).
Очень важно отчетливо представлять себе, что квазиаффинная
группа действует не в аффинном пространстве, а в многообразии его
реперов. Более того, ее нельзя даже истолковать как группу, дей-
действующую в самом аффинном пространстве. В самом деле, попробуем
истолковать квазиаффинное преобразование как точечное преобразо-
преобразование в аффинном пространстве. Для этого рассмотрим всевозможные
реперы, имеющие общим началом какую-нибудь точку О, и подверг-
подвергнем их одновременно одному и тому же квазиаффинному преобразо-
преобразованию. Векторы сдвига 00', именно потому, что они будут разла-
разлагаться в разных реперах с одними и теми же коэффициентами Л', будут,
вообще говоря, различными, и начала наших реперов «расползутся»
из общей точки О по разным направлениям. Точка О в результате
квазиаффинного преобразования не будет иметь образа.
Квазиаффинное преобразование многообразия реперов можно так-
также рассматривать как преобразование соответствующих аффинных
координатных систем; а именно, каждая координатная система пре-
преобразуется в другую согласно B4.20):
х1'= А1; х* + А*', E1.3)
где А\,А1' имеют фиксированные значения: А'{ — матрица, обратная
А\,\ А1' имеет то же значение, как и в E1.2). Здесь х'—координаты
произвольной точки относительно старого репера, а х1'—координаты
212 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
той же точки относительно преобразованного репера; коэффициенты
преобразования произвольны с единственным ограничением
Оставим теперь квазиаффинные преобразования и займемся во-
вопросом «об однородности» аффинного пространства. Прежде всего
формулируем понятие об изоморфизме двух л-мерных аффинных прост-
пространств.
Мы называем аффинным изоморфизмом двух аффинных про-
пространств такое взаимно однозначное отображение точек одного
пространства в точки другого и векторов одного пространства
в векторы другого, что: 1) если точкам А, В первого простран-
пространства отвечают точки А*, В* второго пространства, то вектору АВ
отвечает вектор А*В*; 2) если вектору х первого пространства
отвечает вектор х* второго пространства, то вектору ах отвечает
вектор ах* (где а — любое число, комплексное в случае комплекс-
комплексного пространства и вещественное в случае вещественного прост-
пространства) .
В частности, когда рассматриваемые пространства совпадают и
речь идет о взаимно однозначном отображении точек и векторов
аффинного пространства в точки и векторы того же пространства
(с соблюдением прежних требований), то изоморфизм мы будем назы-
называть автоморфизмом или аффинным преобразованием аффинного
пространства в себя.
Наше определение изоморфизма подобрано так, что, переходя от
точек и векторов первого пространства к точкам и векторам второго
пространства, мы не нарушаем никаких их аффинных свойств и
соотношений; эти взаимоотношения в точности повторяются и после
перехода. Действительно, если внимательно просмотреть нашу акси-
аксиоматику аффинного пространства, то нетрудно заметить, что в ней
фигурируют по существу лишь два основных взаимоотношения между
точками и векторами: что данный вектор х определяется парой данных
точек А, В (х = АВ) и что данный вектор у есть вектор х, умноженный
на число а(у = ах). В остальном аксиомы говорят о свойствах этих
взаимоотношений, но каких-либо иных взаимоотношений не уста-
устанавливают.
Из определения изоморфизма легко получается, в частности, что
вектор-нуль отображается в вектор-нуль, сумма векторов отобража-
отображается в сумму отображенных векторов и т. д. Линейная зависимость
между векторами, как следует отсюда, переходит в линейную зави-
зависимость с теми же коэффициентами. Поэтому размерность л, т. е.
максимальное возможное число линейно независимых векторов, будет
в изоморфных пространствах обязательно одинаковой.
§ 51] КВАЗИАФФИННАЯ И АФФИННАЯ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 213
Выберем в первом аффинном пространстве какой-либо репер
Що {О, еъ ..., е„}. В силу изоморфизма ему отвечает во вто-
втором пространстве некоторый репер Ш*о {О*, е*, ...,е*}. Каждому
вектору
E1.5)
отвечает вектор
х* = *«е* E1.6)
с теми же координатами х°- в силу сохранения линейных зависимо-
зависимостей при изоморфизме.
В частности, радиус-вектор ОМ каждой точки М переходит
в радиус-вектор О*М* преобразованной точки М*, сохраняя преж-
прежние координаты ха. Тем самым и точка М* имеет в преобразованном
репере прежние координаты.
Итак, всякий данный изоморфизм двух аффинных пространств
можно описать следующим образом. В первом пространстве задаемся
произвольным репером Ш0(О, el7 . .., en) a во втором пространстве
берем соответствующий ему репер Ш1(О*, ej, ..., е*). Каждой
точке М (вектору х) в первом пространстве ставим в соответствие
точку М* (вектор х*) во втором пространстве так, чтобы ко-
координаты М* (вектора х*) относительно второго репера были
такими же, как и координаты М (вектора х) относительно первого
репера.
Обратно, задавшись реперами Ыо, Ш*о произвольно, мы при
помощи указанного построения всегда получаем изоморфизм, что
обнаруживается тривиальной проверкой. Этот изоморфизм переводит
9R0 в 9t* и определяется, очевидно, однозначным образом.
Все сказанное справедливо и для частного случая, когда оба
пространства совпадают, и речь идет об автоморфизме—аффинном
преобразовании пространства в себя.
Оба репера 9R0 и Ш*о берутся тогда в одном и том же аффинном
пространстве, и каждая его точка Ж переводится в некоторую точку М*
с таким расчетом, чтобы М* относительно jft* имела те же коорди-
координаты х', что и точка М относительно Ыв. Пусть х1' суть координаты
точки М* относительно репера $i0, и, следовательно, связаны с х'
формулами E1.3)
xi' = Afxl + A1'. E1.7)
Но так как х* — координаты произвольной точки М относительно
репера 9t0, х1' — координаты преобразованной точки Ж* относительно
того же репера 9t0, то теперь формулы E1.7) дают аффинное
214 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
преобразование пространства в себя, т. е. выражают координаты
преобразованной точки как функции координат произвольно
взятой исходной точки в неизменной координатной системе.
Очевидно, далее, что аффинные преобразования в данном аффин-
аффинном пространстве образуют группу. В самом деле, из определения
автоморфизма немедленно следует, что обратное к автоморфизму
преобразование есть тоже автоморфизм и наложение двух автомор-
автоморфизмов есть снова автоморфизм. Группу аффинных автоморфиз-
автоморфизмов мы будем называть аффинной группой. Наличие этой группы
и есть точное выражение идеи однородности аффинного простран-
пространства.
В отличие от квазиаффинных преобразований аффинные преобра-
преобразования по самому определению суть точечные преобразования прост-
пространства (соответствующие преобразования векторов можно при жела-
желании считать следствием точечных преобразований). Вместе с тем
аффинное преобразование переводит каждый репер пространства снова
в репер, так что мы получаем взаимно однозначное преобразование
многообразия реперов в себя. Группа аффинных преобразований,
рассматриваемых в многообразии реперов, является согласно сказан-
сказанному выше однотранзитивной.
Понятие группы автоморфизмов аффинного пространства введено
нами лишь на заключительном этапе его теории. Однако это не значит,
что речь идет о маловажном понятии; напротив, эта группа играет
огромную принципиальную роль. С ее точки зрения необходимо пере-
переосмыслить некоторые наши прежние понятия. Так, мы рассматривали
до сих пор аффинные реперы как специального вида конструкции,
оказавшиеся нам полезными. Теперь мы можем формулировать идею,
лежащую в основе этого понятия. Пусть нам дана совокупность
фигур Ш, обладающая следующим свойством: любую фигуру di1 этой
совокупности можно перевести в любую фигуру Ы.2 этой же
совокупности одним и только одним автоморфизмом данного простран-
пространства и любой автоморфизм пространства переводит каждую фи-
фигуру Шг нашей совокупности в некоторую фигуру Ш2 этой же сово-
совокупности. Тогда фигуры д\ называются реперами данного простран-
пространства.
Это определение раскрывает настоящий смысл наших аффинных
реперов, но применимо не только к ним. Так же определяются реперы
и в любом однородном пространстве, т. е. в пространстве, геоме-
геометрические свойства которого могут быть определены как инварианты
некоторой транзитивной группы взаимно однозначных преобразо-
преобразований этого пространства в себя (которая и будет группой его автомор-
автоморфизмов).
Заметим, что из нашего определения репера не вытекает его кон-
конкретный вид, например, что аффинный репер будет именно состоять
из точки и п линейно независимых векторов; здесь остается произ-
§ 51] КВАЗИЛФФИННАЯ И АФФИННАЯ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 215
вол, который используется в целях наибольшей простоты и удоб-
удобства.
Интересно сравнить теперь группу аффинных и группу квази-
квазиаффинных преобразований в я2 -\- я-мерном многообразии всевозмож-
всевозможных реперов я-мерного аффинного пространства.
Обе группы однотранзитивны, т. е. для любых двух реперов Ыо,
Ш* как в одной, так и в другой группе найдется точно одно пре-
преобразование, переводящее Ыо в 9t*. Но характер этих преобразований
существенно различный. В случае аффинного преобразования мы изо-
изоморфно отображаем аффинное пространство в себя, точки переходят
в точки, векторы в векторы с сохранением всех их аффинных взаимо-
взаимоотношений; в частности, и реперы переходят в реперы (причем Шо
переходит в Oft*).
В случае квазиаффинного преобразования о преобразовании точек
и векторов нет смысла говорить; каждый же репер 9t переходит
в новое положение Ш* так, что Ы* относительно Ш расположен
точно так же, как Di* относительно Ыо. Мы уточняли это в том смысле,
что векторы репера di* и смещение его начала сравнительно с началом Ш
разлагаются по векторам репера Ы с теми же коэффициентами, как
и в случае реперов 9ft*, Шо.
Но это равносильно тому, что, переводя аффинным преобразова-
преобразованием Шо в Ш, мы заставим перейти и Ш% в Ж*. Таким образом, геометри-
геометрический смысл того утверждения, что репер SftJ относительно 9?0 и 9ft*
относительно Ш расположены одинаково, заключается в возмож-
возможности перевести пару реперов Шо, Ш*о в пару реперов Ш, Ш* не-
некоторым автоморфизмом нашего пространства. Это определение
пригодно не только в аффинном, но и в любом однородном прост-
пространстве.
Мы можем теперь формулировать следующее правило, исчерпы-
исчерпывающее связь между аффинными и квазиаффинными преобразованиями
в многообразии реперов.
Если четыре репера подобраны так, что
ю-я* <5L8)
при одном и том же квазиаффинном преобразовании, то
I I \ E1.9)
при одном и том же аффинном преобразовании (и обратно).
216 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Я ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Эту зависимость между аффинными и квазиаффинными преобра-
преобразованиями в многообразии реперов можно формулировать в виде пе-
перестановочности любого аффинного преобразования с любым квази-
квазиаффинным преобразованием. Действительно, из E1.8), E1.9) видно,
что при выполнении данного аффинного и данного квазиаффинного
преобразований, в том или другом порядке безразлично, репер Ыо
все равно перейдет в репер 3R*. Обратно, из перестановочности
данных преобразований следует наше правило.
Две однотранзитивные взаимно перестановочные группы преоб-
преобразований в многообразии аффинных реперов представляют собой
пример конструкции, играющей важную роль в геометрии и в тео-
теории групп Ли.
А именно, если в каком-либо многообразии дана однотранзитив-
ная группа взаимно однозначных преобразований этого многообразия
в себя, то единственным образом определяется вторая однстранзи-
тивная группа, преобразования которой будут перестановочны со
всеми преобразованиями первой. В самом деле, задавшись как-либо
элементами многообразия Ао, А*о, мы передвигаем эту пару элемен-
элементов всевозможными преобразованиями первой группы в положения
А, А*; в силу однотранзитивности первой группы А пробегает все
многообразие, причем каждому положению А отвечает строго опре-
определенное положение А*. Преобразование А —+ А* будет перестано-
перестановочным со всеми преобразованиями первой группы и, как мы видим,
однозначно определяется выбором Ао —>¦ А\. Совокупность таких
преобразований и образует вторую, тоже однотранзитивную группу.
Обе группы играют взаимно симметрическую роль.
В случае многообразия аффинных реперов все же естественно
считать основной аффинную группу (группу автоморфизмов), а ква-
квазиаффинную группу — построенной дополнительно по принципу пе-
перестановочности с группой автоморфизмов.
§ 52*. Группа квазидвижений и группа движений
в евклидовом пространстве
Мы проведем сейчас в евклидовом пространстве те построения,
которые были выполнены в предыдущем параграфе для аффинного
пространства. При этом под евклидовым пространством можно по-
понимать как комплексное евклидово пространство, так и любое из
вещественных евклидовых пространств; по внешности наши рассуж-
рассуждения зависеть от этого не будут. Вместо аффинных реперов соот-
соответствующую роль будут играть теперь ортонормированные реперы.
Мы подробно рассматривали в свое время переход от одного
ортонормированного репера к другому; согласно E1.1) его можно
§ 52] ГРУППА КВАЗИДВИЖЕНИЙ И ГРУППА ДВИЖЕНИЙ 217
записать в виде
е,. = Л/.е„ СЮ* = Д'е,-, E2.1)
так как ортонормированные реперы —частный случай аффинных.
Только теперь матрица А\,—уже не произвольная неособенная ма-
матрица, а обязательно или комплексная ортогональная, или вещест-
вещественная ортогональная, или вещественная псевдоортогональная — в за-
зависимости от характера рассматриваемого евклидова пространства.
Рассмотрим многообразие всех ортонормированных реперов на-
нашего пространства. Если вспомнить построение ортонормирован-
ного репера, то нетрудно подсчитать, что это многообразие будет
J" -мерным. Действительно, произвольный выбор начала О в
л-мерном пространстве дает л независимых параметров, произвольный
выбор единичного (или мнимоединичного) вектора е1 дает л—1 па-
параметров (один параметр снимается за счет нормировки), далее еа
выбирается уже в п—1-мерной плоскости Rn_t и зависит поэтому
от п—2 параметров и т. д. В итоге число параметров равно:
Разумеется, в случае комплексного пространства эти параметры бу-
будут комплексными*).
Задавшись матрицей А\, и коэффициентами Л', мы будем произ-
производить преобразование E2.1) над каждым ортонормированным ре-
репером нашего евклидова пространства. Мы получаем взаимно одно-
однозначное преобразование многообразия реперов в себя, которое будем
называть квазидвижением в многообразии реперов. Таким образом,
наглядный смысл квазидвижения состоит в том, что каждый репер
переходит в новый репер, расположенный относительно его вполне
определенным образом. Действительно, так как мы задались опре-
определенными численными значениями А\, и А\ то в аффинном смысле
новый репер будет расположен всегда одним и тем же способом от-
относительно старого (§ 51); то так как, кроме того, старый репер
ортонормированный и обладает строго определенными метрическими
свойствами, то постоянство коэффициентов означает, что и в метри-
метрическом смысле расположение нового репера относительно старого
будет всегда одним и тем же.
*) Строго говоря, наш подсчет является лишь грубо ориентировочным:
мы как бы упускаем из виду, что на самом деле многообразие веек ортонор-
ортонормированных реперов не является элементарным (§ 80) и не может быть
обслужено одной системой -^-п(я+1) параметров (одной координатной си-
системой).
218 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Так, на обычной плоскости квазидвижение можно определить,
например, тем, что каждый ортонормированный репер {О, еь е2}
сдвигается на три единицы длины в направлении вектора ех и по-
поворачивается затем около О на 60° в направлении от ех к е2.
Квазидвижение в многообразии реперов сопровождается преоб-
преобразованием соответствующих им координатных систем по формуле
(частный случай E1.3))
E2.2)
Как и квазиаффинные преобразования, квазидвижения суть пре-
преобразования в многообразии реперов и не могут быть истолкованы
как точечные преобразования евклидова пространства.
Переходим теперь к изучению изоморфных соответствий (изо-
(изоморфизмов) между евклидовыми пространствами. Изоморфизмом
между двумя евклидовыми пространствами мы будем называть аф-
аффинный изоморфизм между ними (§ 51) с добавочным требованием
сохранения скалярного произведения, т. е. мы требуем дополнитель-
дополнительно, чтобы для любых двух векторов х, у первого пространства и
соответствующих им векторов х*, у* второго пространства имело
место равенство
ху = х*у*- E2.3)
Так как евклидово пространство мы определили как аффинное про-
пространство с фиксированной в нем билинейной скалярной функцией
двух векторов — скалярным произведением, то ясно, что изоморфизм
переводит образы первого пространства в образы второго простран-
пространства с сохранением их аффинных и метрических свойств.
Изоморфное отображение евклидова пространства на себя мы
будем называть автоморфизмом или движением в евклидовом про-
пространстве. Всякий изоморфизм, в частности, автоморфизм переводит
ортонормированный репер, очевидно, снова в ортонормированный
репер, причем соответствующие точки будут иметь в этих реперах
одинаковые координаты (§ 51).
Обратно, зададимся произвольными ортонормированными репе-
реперами Шо и 8ft* или в разных евклидовых пространствах (но тогда
обязательно одинакового числа измерений п и, в вещественном слу-
случае, одинакового индекса k), или в одном и том же евклидовом
пространстве, и каждую точку М (вектор х) с координатами х'
относительно репера Шо отобразим в точку Ж* (вектор х*) с теми
же координатами х' относительно репера 8ft*- Тривиальная проверка
показывает, что при этом сохраняются аффинные свойства, и мы
имеем, таким образом, аффинный изоморфизм; кроме того, сохра-
сохраняется и скалярное произведение, так как в ортонормированном репе-
репере данного индекса k оно всегда одинаково выражается через коор-
координаты векторов ху = — х1ух—...—хкук-{-х1ук + х-{-...-\-хпу";
§ 52]
ГРУППА КВАЗИДВИЖЕНИЙ И ГРУППА ДВИЖЕНИЙ
219
координаты же векторов х, у остаются в результате нашего пре-
преобразования неизменными, если их оценивать в преобразованном
репере.
В частности, движения в данном евклидовом пространстве, со-
согласно сказанному, однозначно определяются произвольным выбором
ортонормированных реперов sJt0 и Ы*о и требованием, чтобы репер Шо
переходил в репер 9t*. Мы видим, что ортонормированные реперы
в евклидовом пространстве рассматриваются нами не случайно: они
играют такую же роль, как аффинные реперы в аффинном простран-
пространстве. А именно, в обоих случаях каждой паре реперов отвечает один
и только один автоморфизм пространства, переводящий первый ре-
репер во второй; и каждый репер любым автоморфизмом переводится
снова в некоторый репер; это и есть то основное, что заключено
в идее репера (см. § 51).
Совершенно аналогично § 51 мы можем истолковать одинаковое
расположение ортонормированных реперов JK* относительно Ы и 3t?
относительно Ыо как возможность перевести пару реперов Шо, Ы*
в пару реперов di, 9i* некоторым движением евклидова простран-
пространства, т. е. снова получаем схему E1.8) — E1.9). Дословно повто-
повторяются и последующие рассуждения, так что для движений и ква-
квазидвижений в многообразии ортонормированных реперов справедливо
все сказанное относительно аффинных и квазиаффинных преобразо-
преобразований в многообразии аффинных реперов. В частности, идея одно-
однородности евклидова пространства находит себе точное выражение
в существовании группы движений.
Классификация движений ортонормированных реперов, т. е. пе-
переходов Ыо—>¦ Ш*о (§§ 49, 50), полностью переносится и на вызы-
вызываемые этими переходами движения всего евклидова пространства:
1) собственные движения и несобственные движения,
DetJ/4},| = ± 1, E2.4)
в случае комплексных евклидовых или собственно евклидовых
пространств;
2) собственные движения и несобственные движения 1-го, 2-го,
3-го рода:
E2.5)
Г
2°
3°
4°
Det
а' 1
+
Т
Det
-j-
+
в случае псевдоевклидовых пространств.
220 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Я ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Правда, может возникнуть следующее сомнение. Одно и то же
движение в евклидовом пространстве можно задать как парой репе-
реперов Sft0 —»- Э^о, так и парой реперов Ш —>- Ш*, где репер 5Н выбран
произвольно, а Ш* ему соответствует в результате движения. Нужно
показать, что при данном движении переход от 9R0 к 34? и от Ы
к 9t* будет принадлежать всегда к одному и тому же типу, который
тем самым естественно принять и за тип движения.
Если мы непрерывно меняем репер 9ft, причем, конечно, непрерывно
меняется и соответствующий репер Ш*, то тип перехода ffi —*- Ь1*
не может измениться, так как определители E2.4), E2.5), не при-
принимая нулевых значений, не могут менять и знаков. Но непрерывным
изменением репера Ш мы можем получить, как нам известно, любой
репер того же класса. (Мы имеем в виду, что все реперы в ком-
комплексном евклидовом и собственно евклидовом пространстве распа-
распадаются на два класса, а в псевдоевклидовом пространстве — на че-
четыре класса; см. §§ 49, 50.) Таким образом, тип перехода Ш —<¦ 9i*
будет одним и тем же, если реперы Ш берутся из одного класса.
Но это же самое будет верным и при любом выборе репера Ш.
В самом деле, заменим и в репере 9J, и в репере !Н* вектор ех на — ех.
Полученные в результате реперы Ш, 9t*, очевидно, по-прежнему со-
соответствуют друг другу при том же движении: Ы. —*¦ di*, причем тип
перехода останется прежним. Действительно, в силу замены ех —»
—•¦ — еь ег—»- — вд/ в матрицах j| A\, |j, || A& || умножаются на — 1 пер-
первая строка и первый столбец, т. е. соответствующие определители
не изменятся; матрица же ||^v|| вообще не изменится.
Итак, тип перехода Ш—*-&i* останется без изменения, хотя репер
Ш принадлежит к другому классу, чем репер Ш. В случае комплекс-
комплексного евклидова и собственно евклидова пространств вопрос этим
исчерпывается ввиду наличия лишь двух классов реперов. В случае
псевдоевклидова пространства имеется четыре класса реперов, и
нужно провести совершенно аналогичное рассуждение, во-первых,
с заменой е„ на —еп и, во-вторых, с заменой еп на —е„ и ех на —ех
одновременно. В результате мы убеждаемся, что данное движение
в евклидовом пространстве, примененное к любому реперу, дает
переход всегда одного и того же типа. Поэтому тип этого перехода
законно принять за тип самого движения.
§ 53*. Вложение вещественных евклидовых пространств
в комплексное евклидово пространство
Далеко идущая аналогия в свойствах комплексного и веществен-
вещественного пространств, ранее аффинных, а теперь евклидовых, не должна,
однако, вводить нас в заблуждение. Комплексное /z-мерное аффин-
аффинное пространство (мы начнем с него) обладает весьма своеобразной
§ 53] ВЛОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ В КОМПЛЕКСНОЕ 221
геометрией. Начать с того, что по существу это пространство об-
обладает не л, а 2л измерениями. В самом деле, каждая из л комплекс-
комплексных координат хр, определяющих положение точки, как и всякое
комплексное число, может быть записана в виде
а следовательно, положение точки определяется 2л независимыми
вещественными параметрами, и фактически мы имеем 2л-мерное про-
пространство. Может показаться, что комплексное л-мерное аффинное
пространство просто эквивалентно 2л-мерному вещественному аф-
аффинному пространству, но это тоже было бы неверно.
Так, например, /и-мерные плоскости в комплексном аффинном
пространстве будут действительно 2/и-мерными плоскостями в веще-
вещественном 2л-мерном пространстве с координатами а', Р', но, однако,
отнюдь не любыми такими плоскостями. В частности, прямые линии
в комплексном пространстве (да= 1) будут по существу двумерными
плоскостями в вещественном 2л-мерном пространстве, но также не
произвольными, а принадлежащими к некоторому определенному
классу.
Аффинные преобразования в комплексном л-мерном аффинном
пространстве зависят от л2-(-л комплексных параметров, т. е. от
2 (л2 + п) вещественных параметров.
Между тем аффинные преобразования в соответствующем
2л-мерном вещественном аффинном пространстве зависят от
вещественных параметров и образуют более обширную группу.
Все это показывает, что формальное сходство между комплексным
и вещественным аффинными пространствами не затрагивает самую гео-
геометрическую основу этих пространств. Это сказалось, между прочим,
в § 37 при рассмотрении объемов в аффинном пространстве, где мы
сознательно ограничились вещественным случаем. Если бы захотели
рассматривать объемы в комплексном пространстве, то нам не уда-
удалось бы удержаться в рамках формальной аналогии с вещественным
пространством и пришлось бы прямо трактовать л-мерное комплекс-
комплексное пространство как 2л-мерное вещественное.
Все, что было сказано, остается справедливым и при переходе
к евклидовым пространствам. Особенно следует подчеркнуть, что
пара точек в вещественном евклидовом пространстве обладает одним
вещественным инвариантом (расстоянием), в то время как в комплекс-
комплексном евклидовом пространстве таких инвариантов два, так как ком-
комплексное расстояние равносильно двум вещественным инвариантам.
С этим связано и то, что группа движений в л-мерном комплексном
евклидовом пространстве зависит от существенно меньшего числа
222 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
параметров, чем в 2я-мерном вещественном евклидовом пространстве
(в первом случае п (№+ комплексных, а значит, л(л-(-1) вещест-
вещественных параметров, во втором случае " " ¦ — л Bп+ 1) вещест-
вещественных параметров).
Мы хотим теперь показать, что «-мерное вещественное евкли-
евклидово пространство всегда можно «вложить» в я-мерное комплексное
евклидово пространство, т. е. рассматривать как подпространство
последнего.
Покажем это сначала для собственно евклидова пространства.
Выберем какой-либо ортонормированный репер 0i{O, ex, ..., en}
в комплексном евклидовом пространстве и рассмотрим совокупность
всех точек М и векторов х этого пространства, координаты которых
х' имеют вещественные значения. Мы утверждаем, что эта совокуп-
совокупность точек и векторов образует л-мерное собственно евклидово
пространство. В самом деле, прежде всего мы получаем таким обра-
образом я-мерное вещественное аффинное пространство, так как все со-
соответствующие аксиомы будут у нас соблюдаться. Так, например,
вектор АВ, «соединяющий» точки А, В с вещественными коорди-
координатами, сам имеет вещественные координаты; откладывание вектора х
с вещественными координатами от точки А с вещественными коор-
координатами приводит нас в точку В тоже с вещественными коорди-
координатами; умножение вектора х с вещественными координатами на
вещественное число а дает нам вектор ах, снова обладающий этим
свойством, и т. д. Размерность полученного вещественного аффин-
аффинного пространства будет равна я, так как л линейно независимых
векторов ех, е2, . .., е„ существует, а любой вектор х с веществен-
вещественными координатами тем самым разлагается по ним с вещественными
коэффициентами. Но, кроме того, в полученном пространстве имеется
и метрика (заимствованная из вмещающего комплексного евклидова
пространства)
Так как мы ограничиваемся векторами х с вещественными коорди-
координатами х1, х2, ..., х", то это есть метрика собственно евклидова
пространства.
Следует обратить внимание на то, что выделенное таким образом
в /z-мерном комплексном евклидовом пространстве /z-мерное собст-
собственно евклидово пространство не образует в нем плоскости, по
крайней мере, в том смысле, как мы употребляем этот термин. В са-
самом деле, плоскость строится у нас на основе каких-то m < л ли-
линейно независимых направляющих векторов, из которых составля-
составляются всевозможные линейные комбинации с комплексными коэффи-
коэффициентами (поскольку пространство комплексное); полученные векторы
§ 54] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 223
откладываются от фиксированной точки О*. Мы же вместо этого
взяли все л ортов е17 . .., е„, но, составляя их линейные комби-
комбинации, искусственно ограничились лишь вещественными коэффи-
коэффициентами.
Почти столь же просто можно выделить в л-мерном комплексном
евклидовом пространстве и псевдоевклидово пространство, тоже
л-мерное и обладающее любым индексом k = 0, 1, ...,«. Для этого
достаточно взять за основу вместо какого-нибудь ортонормирован-
ного репера 01 {О, ех, ..., е„} репер
&{О, /ех, .... /е„ еА + 1) ..., е„}, E3.1)
т. е. помножить первые k векторов на / (это вполне возможно, так
как мы находимся в комплексном пространстве). Нетрудно заметить,
что тем самым эти векторы из единичных превратятся в мнимоеди-
ничные.
Рассмотрим теперь совокупность точек и векторов, имеющих
вещественные координаты х' относительно репера Ш. Совершенно
так же, как и ранее, убеждаемся, что мы получили вещественное
л-мерное аффинное пространство. Кроме того, это пространство
снабжено метрикой
х2 = — х1"— ... —xk2 + xk+i* + ... + хп\ E3.2)
так как вектор х с вещественными координатами х' относительно
репера bi имеет разложение
х = 1хЪх +...+ ixkek + xk^ek+1+ ... +хпеп, E3.3)
откуда легко получается E3.2) почленным возведением в скалярный
квадрат. Мы действительно выделили псевдоевклидово пространство
индекса k.
В ряде случаев бывает полезным трактовать этим путем веще-
вещественные евклидовы пространства как подпространства комплексного
евклидова пространства того же (в комплексном смысле!) числа из-
измерений л. Конечно, такое выделение вещественных евклидовых
пространств совершается бесчисленным количеством способов — при
любом выборе репера ffi.
§ 54. Измерение объемов в вещественном
евклидовом пространстве
Мы выражали объем какой-либо л-мерной области D в л-мерном
вещественном аффинном пространстве посредством интеграла
VD='\ldx1dx2 ...dx", E4.1)
224 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
вычисленного в какой-либо аффинной координатной системе (§ 37).
Этот интеграл не имеет, конечно, определенного численного значе-
значения и является (знакопостоянным) относительным инвариантом веса — 1,
т. е. он преобразуется по закону
VD=VD\Det\Ai,\\-\ E4.2)
В случае евклидова пространства мы сужаем определение объема,
а именно, объемом области D мы называем интеграл VDt вычислен-
вычисленный в любой ортонормированной координатной системе.
Объем в евклидовом смысле будет уже инвариантом, так как при
переходе от одного ортонормированного репера к другому всегда
а следовательно, E4.2) дает
V'D=VD. E4.3)
Таким образом, теперь объем данной области D имеет вполне опре-
определенное численное значение. При этом следует иметь в виду,
что задание объема в евклидовом смысле влечет его задание и в
аффинном смысле: раз для данной области D известен интеграл VD,
вычисленный в ортонормированных координатах, то он будет
известен и в любых аффинных координатах — достаточно восполь-
зоваться^законом преобразования E4.2),— а это и означает задание
объема в аффинном смысле.
Обратно, если в евклидовом пространстве нам задан объем неко-
некоторой области D в аффинном смысле, т. е. известен интеграл VD,
вычисленный в любых аффинных и, в частности, ортонормирован-
ортонормированных координатах, то, значит, известен объем и в евклидовом
смысле.
В дальнейшем будем заниматься свойствами объемов в евклидо-
евклидовом смысле; будем обозначать эти объемы WD. Объем составной
области Z) = ZI-(-Da, где D± и D2 — неперекрывающиеся составляю-
составляющие области, по элементарному свойству кратного интеграла будет
равен сумме объемов этих областей:
^O=Wa+Wft- E4.4)
Далее, если D и D* — конгруэнтные области, т. е. переводятся одна
в другую движением евклидова пространства, то их объемы одинаковы
№D=WV. E4.5)
В самом деле, будем вычислять интеграл E4.1) для областей D и
?>*, причем в первом случае берем координаты х1, ..., х" относи-
относительно какого-либо ортонормированного репера 9{, а во втором слу-
случае— относительно репера 8R*, полученного из Ш тем движением,
§ 54] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 225
которое переводит D в D*. Координаты х' каждой точки области D*
относительно 8R* будут такими же, как координаты соответствующей
точки области D относительно Ш, так что переменные под знаком
интеграла пробегают в обоих случаях одну и ту же область изме-
изменения, и интегралы будут равны.
В ортонормированной координатной системе объем WD области D
выражается интегралом E4.1). В произвольной же аффинной координат-
координатной системе этот интеграл меняет свое значение, а именно, ведет
себя как знакопостоянный относительный инвариант веса—1, так
что объема (в евклидовом смысле), вообще говоря, не выражает.
Мы хотим все-таки получить выражение объема в произвольных
аффинных координатах; в таком случае удобнее всего домножить
интеграл E4.1) на (тоже знакопостоянный) инвариант веса-f 1, так
чтобы в результате получился бы уже настоящий инвариант, выра-
выражающий евклидов объем WD области D в любой аффинной коорди-
координатной системе.
Простейшим инвариантом веса 2, связанным с метрикой евклидова
пространства, является определитель, составленный из координат
метрического тензора
g^Detl^l. E4.6)
Действительно, согласно C9.17) при переходе из одной аффинной
координатной системы в другую
^^(Detl^lJ^. E4.7)
Очевидно, gag' имеют всегда одинаковые знаки: мы находимся
в вещественном евклидовом пространстве, так что (Det | А\, |J > 0.
Чтобы получить теперь относительный инвариант веса 1, достаточно
взять У g, причем, чтобы не иметь дела с мнимостями, мы предпо-
предпочтем взять ]/|^-|. Беря обе части E4.7) по модулю и извлекая из
Них квадратные корни (со знаком -(-), получаем:
4/.||./I?[- E4.8>
Таким образом, У|?| есть знакопостоянный относительный ин-
инвариант веса + 1, и перемножая E4.2) и E4.8) почленно, получаем;
VW\-VD=-V\g~\-VD, E4.9>
т. е. произведение Klifl'Vo есть инвариант преобразования аффин-
аффинных координат. Этот инвариант совпадает с WD:
\..dxn. E4.10)
о
8 П. К. Рашевский
226 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Чтобы в этом убедиться, достаточно записать E4.10)в ортонорми-
рованной координатной системе; тогда gij=\ , 1(-_ -\ »
1| К|#1 = 1| и мы получаем верное равенство
...dx".
Особо следует заняться измерением объемов я-мерных паралле-
параллелепипедов.
Пусть параллелепипед построен на (линейно независимых) векто-
векторах аь . . ., а„. Интеграл E4.1), распространенный по нашему па-
параллелепипеду, в любой аффинной координатной системе выражается
формулой C7.13):
Vfl=|Det|4||, E4.11)
где а'к — координаты вектора лк. Следовательно, согласно E4.10)
евклидов объем параллелепипеда выражается формулой
4||. E4.12)
В частности, в ортонормированной координатной системе ?= ± 1, и
следовательно,
WD=|Det|4||.
Эта формула при л=3 хорошо известна из элементарной аналити-
аналитической геометрии.
Все сказанное относительно вычисления объемов в /z-мерном ев-
евклидовом пространстве остается справедливым и для его /и-мерных
неизотропных плоскостей, поскольку они также несут на себе ев-
евклидову метрику. В результате объемы плоских m-мерных областей
также получают определенные численные значения. В связи с этим
(в отличие от аффинного пространства) мы можем сравнивать /и-мер-
ные объемы областей, расположенных в каких угодно (а не только
параллельных) от-мерных плоскостях. Однако плоскости эти должны
быть неизотропными; для изотропных же плоскостей мы не имеем
никакого прогресса сравнительно с аффинным случаем.
В § 37 было выяснено, что задание простого отличного от нуля
/n-вектора в вещественном аффинном пространстве равносильно за-
заданию /н-мерной плоскости Rm (с точностью до параллельного сдвига)
с определенной ориентацией и с определенным объемом, указанными
на ней. При этом, если простой от-вектор имел вид [ах...а/я], то
§ 54] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 227
речь шла об объеме /и-мерного параллелепипеда, построенного на
векторах ах, ..., а„ (линейно независимых в силу [л1 . . . ат]ф0).
Применяя этот результат в нашем вещественном евклидовом про-
пространстве, мы вправе понимать объем параллелепипеда в евклидовом
смысле (если плоскость неизотропная), так как задание объема в аф-
аффинном смысле равносильно — при наличии евклидовой метрики — его
заданию в евклидовом смысле.
Мы хотим выяснить теперь, как будет выражаться евклидов объем,
отвечающий нашему простому m-еектору [ах ... ат] ^Ф 0, через его
координаты al^--lm и, конечно, через координаты метрического тен-
тензора gy (в произвольной аффинной координатной системе).
Один из простейших инвариантов, которые можно составить из
указанных тензоров, мы будем называть скалярным квадратом
/и-вектора и определять путем свертывания следующим образом:
/== т! 8н]?ии • ¦ • fe»*'1'" " •'ma/l/*- • -/m- E4.13)
Множитель m\ добавлен для упрощения окончательного результата.
Здесь имеет смысл выделить в качестве леммы следующее предло-
предложение. Пусть происходит свертывание тензоров А,-,... 1Л и а'« • • • '**,
причем тензор а'» •••'¦» кососимметрический. Тогда
bit ... ,„а'- ••'• = *[,,,,.. .,т] а'Л- • Ч E4.14)
т. е. результат свертывания не меняется, если тензор b/t ... ,т под-
подвергнуть предварительно альтернации и сделать, таким образом, тоже
кососимметрическим.
Чтобы проверить равенство E4.14), достаточно обнаружить, что
каждая координата api--Pm входит в правую и левую части с оди-
одинаковыми коэффициентами (после приведения подобных членов). При
этом мы рассматриваем лишь координаты aP^--Pmt при которых все
индексы plt...,pm различны, так как все прочие координаты
равны нулю.
В процессе суммирования в левой части E4.14) каждая коорди-
координата aPf-Pm встретится т\ раз, а именно, когда ilt ...,im совпа-
совпадают с plt ...,pm или получаются из них произвольной подста-
подстановкой; в случае нечетной подстановки aPi---Pm входит с обратным
знаком. В результате коэффициент при ар»- •-л» будет иметь вид
2 ± */,.../., E4.15)
где суммирование идет по перестановкам it ... im индексов рх. . .рт,
а знак i берется в зависимости от четности или нечетности соот-
соответствующей подстановки. Но по определению альтернации (§ 31)
сумма E4.15) после деления на ml дает координату проальтерни-
в*
228 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО It ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
рованного тензора bPl ... Рт:
так что
2±V.. /- =
Далее мы подсчитываем коэффициент при аР< ••¦ р» в правой части
равенства E4.14), который совершенно аналогично E4.15) оказы-
оказывается равным
Суммирование снова идет по перестановкам i1 ... im индексов
Рх ¦ ¦ ¦ рт. При этом в силу косой симметрии тензора Ьцл .. ,mj
bVi ¦¦¦ iml = ±*fPi ¦• PmJ'
где знак ^h зависит от четности или нечетности соответствующей
подстановки. Следовательно, все слагаемые под знаком суммы E4.17)
равны b[pt .. Pbi], так что
Сравнивая равенства E4.16) и E4.18), убеждаемся, что коэффи-
коэффициенты при aPi — Рт в правой и левой частях E4.14) равны, и
следовательно, лемма доказана.
Используя эту лемму для инварианта E4.13), мы можем, не
меняя ничего по существу, произвести предварительно альтернацию
по индексам iti2 ... im в произведении координат метрического
тензора. Выполним сначала эту альтернацию (с умножением на ml):
Shim
Запись результата альтернации в виде определителя, деленного на
ml, получается совершенно аналогично C5.1). Из свойств опреде-
определителя видно, что полученный тензор будет кососимметрическим
•не только по индексам ixi2 . .. im, но и по индексам j\j2 . . . Jm.
Кратким обозначением полученного тензора будет служить
glt'2 ... 'm. lilt • Im-
§ 54] ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229
Теперь E4.13) можно переписать в виде
'=&,...««; Л .. /«<*'• •'' '- а'1 ¦¦ 1т- E4.20)
Чтобы установить геометрический смысл этого инварианта, мы рас-
рассмотрим аффинный репер, в котором первые т векторов е1( . .., еи
принадлежат /и-мерной плоскости Rm нашего /я-вектора [лг ... ат].
В этом репере векторы а1; ..., ат полностью разлагаются по
е1( ..., ея, а потому их координаты с индексами
i — m+\, т+2, ..., п
равны нулю. Согласно C5.1) равны нулю будут и все координаты
простого /в-вектора а'»'» ¦ • •'«, среди индексов которых встречается
хоть один, больший чем т.
В результате в процессе свертывания E4.20) можно считать, что
все индексы пробегают значения лишь 1, 2, .:., т. Теперь нужно
учесть, что а'» • • •'»— кососимметрический тензор, а потому при на-
наличии двух одинаковых индексов его координаты обращаются в нуль.
В сумме следует сохранить поэтому лишь те слагаемые, где все
индексы ix ... im (и аналогично д ... jm) различны между собой,
т. е. получены из 1, 2, ..., т некоторыми подстановками.
В частности, в сумму E4.20) войдет слагаемое
gu...m; i2...maX2---ma12--m, E4.21)
для которого гх/2 ... im = 12 ... т и д/з . .. jm = 12 ... т, а все
остальные слагаемые будут получаться из этого всевозможными под-
подстановками индексов i1 ... im и индексов д ... jm. Всего, таким
образом, в сумме будет (/и!J слагаемых. Но в силу кососимметрич-
кососимметричности тензоров а'' ¦¦¦'*> и git. .. ,m; h . .. /в> относительно ix ... im
произведение этих тензоров не меняется при любой подстановке
индексов г\ ... 1т (так как или оба множителя не меняются или
оба меняют знак). То же справедливо и для индексов jx ... jm.
Поэтому в сумме E4.20) все слагаемые равны между собой и сов-
совпадают с E4.21), а так как их число равно (mlJ, то окончательно
о»« • • • mf. E4.22)
Согласно C5.1)
да!аи. ..m = DetK| (/, А=1, 2, ...,от). E4.23)
В правой части мы получаем определитель, составленный из коор-
координат векторов av, ..., am относительно репера {О, еь ..., ет}
в нашей /и-мерной плоскости Rm.
230 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО It ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
Далее, согласно E4.19)
gl2 . . . т; и . . . т '¦
ell #12 • • • Sim
=> g, E4.24)
Sell ётЪ • • ¦ ёщт I
где g, таким образом,— определитель метрического тензора пло-
плоскости Rm.
Теперь E4.22) принимает вид
/=?.(Det|ai|J. E4.25)
Теперь мы можем установить геометрический смысл инварианта I,
который определен для какого-либо простого m-вектора [ах . .. ая]
с координатами alii'---'m при помощи формул E4.13), или, что
то же, E4.20).
Если /^=0, то, как видно из E4.25), g=^0 и, следовательно,
плоскость Rm данного простого m-вектора неизотропная и
\I\=Wh, E4.26)
где Wd—евклидов объем m-мерного параллелепипеда, построенного
на векторах а1т ..., ая.
В самом деле, применяя к /и-мерному параллелепипеду на пло-
плоскости Rm формулу E4.12), получаем:
4|| (/, /г=1, 2, ..., m). E4.27)
Сравнивая эту формулу с E4.25), мы приходим к E4.26).
Если 1=0, то из E4.25) следует, что ^=0, а следовательно,
плоскость Rm данного простого m-вектора изотропная (Det | a'k | =? 0,
так как а1, ..., ая линейно независимы).
Окончательно, объем /и-мерного параллелепипеда, построенного
на векторах аь .. ., ая (в неизотропной Rm), выражается через
соответствующий /и-вектор [ах ... ая] следующим образом:
т. е.
Wn = 1/ I pv t • ; i а*1'' ' imaii • • •'»» ! =
= j/и! | ^.л • • • gimimalt ¦ ¦ ¦ imau ¦•¦'"• |• E4.28)
Добавим сюда еще одну формулу для объема от-мерного параллеле-
параллелепипеда. А именно, если за векторы е1( ..., еет принять, в част-
частности, просто al7 ..., ая, то
§ 55] ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОБЪЕКТЕ 231
и E4.25) принимает вид
/=i=Det|?,7| (i, /=-1, 2 »).
Но, как мы знаем,
В И = е-е/.
в нашем случае, следовательно,
gij^Aflj (i, /=1, 2, .... т),
и мы получаем:
/ = Det | а,-а/1 (/,/=1,2,...,»). E4.29)
Отсюда
WD = /|Det|a,a,||, E4.30)
т. е. объем /»-мерного параллелепипеда, построенного на векторах
а1, ..., ая, равен корню квадратному из модуля определителя, со-
составленного из попарных скалярных произведений векторов alt ...
..., ага. Эта формула при т = 2, 3 известна из обычной векторной
алгебры.
§ 55*. Понятие о геометрическом объекте
Мы занимались до сих пор «-мерными пространствами двух видов:
аффинным и евклидовым. В аффинном пространстве мы ввели аффин-
аффинные реперы Ш {О, еь ..., еп}, в многообразии которых установили
две однотранзитивные группы взаимно однозначных преобразований:
аффинных и квазиаффинных преобразований. При аффинном преоб-
преобразовании реперы просто увлекаются данным автоморфизмом аффин-
аффинного пространства; при квазиаффинном преобразовании каждый ре-
репер N переходит в новый репер di', расположенный относительно
него вполне определенным образом, одинаковым при любом выборе
исходного репера.
Последнее означает, что векторы репера 31' и сдвиг его начала
разлагаются по векторам репера 31 с фиксированными численными
значениями коэффициентов А\>, Л':
е,-, = Л|,е(-, оЬ* = А'е;. E5.1)
С понятием квазиаффинного преобразования в многообразии репе-
реперов тесно связано понятие тензора, хотя до сих пор это и не было
показано у нас явно. Действительно, координаты тензора, например,
V'jk имеют определенные численные значения при определенном вы-
232 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
боре репера §R, т. е. являются, можно сказать, функциями репера sJt:
Vk=VJ*Cl). E5.2)
Однако выбор этих функций далеко не является произвольным: когда
мы подвергаем реперы Ш данному квазиаффинному преобразованию
E5.1), координаты тензора подвергаются тоже вполне определен-
определенному преобразованию:
Vl>i.b. = A\Aii.A\.Vlih. E5.3)
Мы можем рассматривать при этом не один какой-либо тензор Vjj,,
а всевозможные тензоры данного строения; тогда численные значе-
значения VJj,, отвечающие данному тензору, могут быть какими угодно.
В результате вслед за каждым квазиаффинным преобразованием
E5.1) в многообразии реперов мы получаем линейное преобразование
E5.3) над переменными V]^ или, если угодно, линейное преобразова-
преобразование в па-мерном пространстве переменных V'^*).
При этом, как мы проверяли в свое время (§ 32), наложению
двух преобразований E5.1) отвечает наложение соответствующих
преобразований E5.3).
Пусть каждому элементу некоторой группы G однозначно сопо-
сопоставлено взаимно однозначное преобразование данного множества Ш
в себя, причем перемножению элементов группы отвечает наложение
соответствующих преобразований в том же порядке (а тогда единице
группы отвечает тождественное преобразование и обратному эле-
элементу— обратное преобразование). В этом случае мы говорим, что
нам дано представление группы G в виде группы преобразований
множества Ш в себя. (При этом мы, вообще говоря, не требуем,
чтобы соответствие между элементами О и преобразованиями в Ш
было взаимно однозначным.)
В нашем случае мы имеем линейное представление квазиаффин-
квазиаффинной группы, именно, представление в виде группы линейных преоб-
преобразований E5.3) в пъ-мерном пространстве переменных V)^, это
пространство играет роль множества 3I.
*) Заметим, что, говоря о тензоре данного строения, можно учитывать
и линейные зависимости (обязательно инвариантные), наложенные, воз-
возможно, на его координаты. Так, например, можно рассматривать вместо
всевозможных тензоров y'.ft 1ишь кососимметрические по нижним индексам,
т. е. удовлетворяющие линейным зависимостям Vl.h = — V'ky Тогда, беря
л2(ге—1)
всевозможные такие тензоры, мы располагаем не п3, а —Цг ' независи-
независимыми координатами и получаем линейное представление фактически в
пг{п—1)
<—Ц= '-мерном пространстве.
§ 55] ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОБЪЕКТЕ 233
Нетрудно заметить, что задание этого линейного представления
квазиаффинной группы и есть самое существенное в понятии тензора.
В самом деле, если линейное представление E5.3) задано, то каж-
каждый отдельный тензор данного типа (в нашем примере один раз
контравариантный и два раза ковариантный) можно получить сле-
следующим образом: какому-нибудь реперу di сопоставляем произвольно
выбранную точку (V)k) B пространстве представления, а затем лю-
любому другому реперу Ш' сопоставляем точку (V*<ft.)> пользуясь за-
законом преобразования E5.3). Более подробно: берем квазиаффинное
преобразование в многообразии реперов, переводящее 9ft в Ш';
ему отвечает определенное линейное преобразование E5.3) в прост-
пространстве представления; это преобразование переводит точку (Vjb)
в некоторую точку A^-), которую мы и ставим в соответствие
реперу Ш':
По существу мы повторили лишь в иных терминах построение
тензора по наперед заданным его координатам в какой-нибудь одной
координатной системе (§ 32). Но теперь перед нами открывается
путь к естественному обобщению понятия тензора. В самом деле,
почему линейное представление квазиаффинной группы должно иметь
вид обязательно тензорного закона преобразования, как, напри-
например, E5.3)? Можно предположить, что существуют и другие ли-
линейные представления квазиаффинной группы, которые можно поло-
положить в основу определения величин, аналогичных тензорам, но
с иным законом преобразования.
Пусть в N-мерном пространстве некоторых переменных
Фи фа, .... Ф^
нам задано линейное представление квазиаффинной группы. Это
значит, что каждому квазиаффинному преобразованию E5.1)
однозначно сопоставлено линейное преобразование переменных
<р, (р=1, 2, .... N):
Фр. = 2 5?<р„ + В,, Det \В$\ф0, E5.4)
так, что результирующему преобразованию двух квазиаффинных
преобразований всегда сопоставлено результирующее преобразование
соответствующих линейных преобразований.
Коэффициенты В?,, Вр. являются, конечно, функциями от коэф-
коэффициентов А\>, Л' квазиаффинного преобразования. Эти функции
мы будем предполагать непрерывными. Заметим, между прочим (это
можно было бы доказать), что тогда эти функции (по крайней
мере в вещественном случае) являются обязательно непрерывно
234 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. [If
дифференцируемыми и даже аналитическими*). Нам, впрочем, это
не понадобится.
Сопоставим теперь какому-нибудь реперу Ж произвольную
точку (fp в пространстве переменных ур. Любому другому реперу ОТ
сопоставим точку фр,, полученную из (рр тем линейным преобразо-
преобразованием E5.4), которое отвечает квазиаффинному преобразованию
9t—>-9t' (т. е. переводящему Ы. в 9?').
В таком случае каждому реперу ffi' будет сопоставлена точка
причем при переходе от любого репера ffi' к любому реперу Ш"
будет действовать закон преобразования E5.4):
N
Фр»= 2 Bfyp, + Bp,,, E5-5)
V'-l
где коэффициенты В?',,, Вр„ отвечают квазиаффинному преобразова-
преобразованию $('—>• Ы".
Чтобы проверить равенство E5.5), рассмотрим его правую часть.
Она представляет собой результат последовательного выполнения
над ф линейных преобразований E5.4) и E5.5), отвечающих ква-
квазиаффинным преобразованиям di —>- Oi' и iR' —*- 3i". Результирующее
линейное преобразование над ц>р отвечает, следовательно, резуль-
результирующему квазиаффинному преобразованию
Ы — di"
и, следовательно, согласно нашему построению дает
Этим E5.5) доказано.
Мы будем говорить, что нам дан линейный геометрический объект
в п-мерном аффинном пространстве, если каждому реперу Ы сопо-
сопоставлены N занумерованных чисел (рх, ф2, . .., фд,, которые при
переходе от репера 9i к реперу 9i' подвергаются линейному преоб-
преобразованию E5.4), отвечающему в данном линейном представлении
квазиаффинному преобразованию Ш—>-9i'. Числа фх, ..., фд, мы
будем называть координатами линейного геометрического объекта
относительно данного репера.
Таким образом, для определения линейного геометрического
объекта в аффинном пространстве нужно задаться прежде всего
соответствующим законом преобразования E5.4), т. е. некоторым
линейным представлением квазиаффинной группы. Мы будем гово-
говорить, что это линейное представление определяет тип линейного
*) В комплексном случае этому заключению может помешать комплекс-
комплексная сопряженность, входящая в выражение функциональной зависимости.
§ 55] ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОБЪЕКТЕ 235
геометрического объекта. Затем любой линейный геометрический
объект данного типа можно получить, задавшись произвольно его
координатами ц>р для одного какого-нибудь репера ffi.
Очевидно, тензоры являются частным случаем линейных геомет-
геометрических объектов.
Можно рассматривать и нелинейные геометрические объекты,
т. е. такие, для которых закон преобразования координат фр яв-
является нелинейным и выражает некоторое нелинейное представление
квазиаффинной группы в пространстве переменных фх, ..., (fN.
В остальном понятие геометрического объекта в общем (нелиней-
(нелинейном) случае строится аналогичным образом. Мы будем во всем
дальнейшем заниматься лишь линейными геометрическими объек-
объектами, которые при современном состоянии теории геометрических
объектов играют преобладающую роль.
В предыдущем изложении мы кое-где пользовались термином
«геометрический объект» в наглядном смысле — в смысле какого-то
геометрического образа или конструкции. Теперь мы будем упо-
трзблять этот термин лишь в указанном точном смысле. Однако
не нужно считать, что мы существенно изменили содержание понятия
«геометрический объект»; мы его лишь уточнили. Действительно,
основные геометрические образы и конструкции будут характери-
характеризоваться геометрическими объектами в том смысле, как мы теперь
этот термин понимаем. Возьмем, например, такой основной геомет-
геометрический образ, как точка. Когда мы переходим от репера ffi, к ре-
реперу ffi' квазиаффинным преобразованием E5.1), координаты х1
каждой фиксированной точки М подвергаются, как мы знаем, пре-
преобразованию
Xе = А\ х? + А1', E5.6)
где Af—матрица, обратная А\,, а А1' = — А\'А' (см. E1.2)).
Можно считать, что формула преобразования координат E5.6)
есть частный случай E5.4) (линейного представления квазиаффин-
квазиаффинной группы), а координаты точки х' являются примером линейного
геометрического объекта ф^,.
Роль коэффициентов В?,, Вр, играют /If, А1', которые действи-
действительно, как только что было у нас отмечено, являются функциями
А\,, А1. Таким образом, точка находит себе выражение в виде ли-
линейного геометрического объекта, координаты которого совпадают
с ее координатами, а закон преобразования имеет вид формулы
преобразования координат E5.6).
Аналогичным образом коэффициенты уравнения данной гипер-
гиперплоскости (или гиперповерхности 2-го порядка) образуют линейный
геометрический объект, который, так сказать, является представи-
представителем соответствующего геометрического образа.
236 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III
§ 56*. Лилейные геометрические объекты в аффинном
и евклидовом пространстве
Теперь естественно поставить вопрос о том, какого же вида
линейные геометрические объекты возможны в аффинном простран-
пространстве. Прежде всего мы сузим постановку вопроса, а именно, огра-
ограничимся лишь теми объектами ф„(Й), которые реагируют только
на изменение векторов е,- репера Ш, но не реагируют на сдвиг его
начала. Другими словами, мы предположим, что коэффициенты
преобразования E5.4) зависят только от А\., но не зависят от А1,
так что квазиаффинное преобразование, сводящееся к параллель-
параллельному сдвигу репера, порождает тождественное линейное преобразо-
преобразование E5.4) и координаты объекта не меняются.
Наибольшую роль играют аффинные геометрические объекты
именно этого упрощенного вида (заметим, однако, что точки уже
не входят в их число).
В частности, они появляются при переходе из аффинного про-
пространства в более простое центроаффинное пространство. Так назы-
называется аффинное пространство с раз навсегда фиксированной в нем
точкой О—центром пространства. Группа автоморфизмов центро-
аффинного пространства состоит, очевидно, из аффинных преобра-
преобразований, сохраняющих точку О неподвижной (центроаффинные
преобразования). В качестве реперов центроаффинного пространства
можно принять всевозможные аффинные реперы с общим началом
в центре О. Действительно, каждый репер с началом в О пере-
переводится центроаффинным преобразованием снова в репер с нача-
началом О и каждой паре таких реперов отвечает одно и только одно
центроаффинное преобразование, переводящее первый репер во
второй.
Квазицентроаффинное преобразование сводится к линейному пре-
преобразованию векторов каждого репера
ег=АЦ E6.1)
при постоянном начале О. Линейный геометрический объект в цен-
троаффинном пространстве определяется совершенно так же, как
и в аффинном, с той только разницей, что теперь коэффициенты
В?., Вр. в законе преобразования E5.4) должны зависеть от коэф-
коэффициентов квазицентроаффинного преобразования, т. е. только от
А], (ввиду отсутствия А1 в формуле квазицентроаффинного преоб-
преобразования E5.1)). В результате мы приходим снова к линейным
геометрическим объектам упрощенного вида, где в закон преобра-
преобразования E5.4) входят только А\,. Такие линейные геометрические
объекты мы будем называть центроаффинными.
§ 56] ЛИНЕЙНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ 237
Итак, центроаффинные линейные геометрические объекты появ-
появляются в двух случаях: или мы имеем дело в аффинном простран-
пространстве с таким объектом, координаты которого не меняются при
параллельном сдвиге репера (например, координаты вектора), или
мы имеем дело с объектом в центр о аффинном пространстве, где
выделена точка О, играющая особую роль, так что естественно
ограничиться реперами с началом в этой точке.
Последний случай встречается при дифференциально-геометри-
дифференциально-геометрическом исследовании сложной конструкции в бесконечно малой ок-
окрестности любой ее точки; тогда эту точку естественно принимать
за центр пространства.
Итак, в дальнейшем мы ограничимся центроаффинными линей-
линейными геометрическими объектами (для краткости мы будем назы-
называть их просто центроаффинными объектами), причем будем предпо-
предполагать, кроме того, что закон преобразования E5.4) является ли-
линейным однородным:
N
ЧУ = S ВР'<Рр< E6.2)
где В$, суть функции А\„
Здесь на основании теории линейных представлений групп Ли
можно утверждать следующее (приводим без доказательства).
Пока мы рассматриваем унимодулярные преобразования E6.1),
т. е. пока Det | Л}/1 = 1, соответствующий закон преобразования
E6.2) является в вещественном случае по существу тензорным;
точнее, величины фь . .., фдг за счет линейного преобразования
с постоянными коэффициентами могут быть сведены к совокупности
координат одного или нескольких тензоров.
Аналогично обстоит дело в комплексном случае; только здесь
кроме тензоров приходится рассматривать и псевдотензоры: так мы
будем называть объекты, сходные с тензорами и отличающиеся от
них лишь тем, что в законе преобразования (например, E5.3))
множители А все или частично заменяются комплексно сопряжен-
сопряженными им величинами.
Если же брать всевозможные линейные преобразования E6.1)
(Det | А\, | =7^= 0), то здесь, кроме тензоров, могут встретиться и дру-
другие центроаффинные объекты, прежде всего относительные тензоры.
Так мы будем называть величины, например, Vljk, для которых тен-
тензорный закон преобразования осложнен умножением на некоторую
степень модуля определителя
Цк. = А!А\.А\.У\ь | Det | А$ \ \ *. E6.3)
Показатель s мы будем называть весом относительного тензора.
В вещественном случае 5 может принимать любые вещественные
238 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
значения, в комплексном — любые комплексные; мы считаем при
этом, что
где значение логарифма берется вещественное. Конечно, при s = О
относительный тензор превращается в обыкновенный тензор.
Закон преобразования относительного тензора E6.3) можно еще
усложнить: в вещественном случае—домножением на —1, когда
Det | Ар | является отрицательным, с сохранением прежней формулы,
когда Det | Ар | положителен; в комплексном случае — умножением
на ета', где т—любое целое число, а е°" определяется из разло-
разложения
Det | Ар | = eai • | Det | Ap | |, E6.4)
т. е. является тем комплексным числом модуля 1, на которое нужно
умножить модуль Det | Ар | , чтобы получить сам Det | Ар \.
Формула E6.3) заменяется соответственно формулами:
Vi:.k, = sign Det | Л?, | • A? Aj.Ahh, V)h | Det | Ар 11' =
= ± АЧА$А%l/jft • | Det | Ар 113 (Det \Ap | =g 0) E6.5)
в вещественном случае и
у*' — emaiA^'A iAii Vlu • I Det I Ap, 11s E6 6)
в комплексном случае.
Мы будем говорить, что вещественный относительный тензор
с законом преобразования E6.3) имеет вес s и показатель 0, а с зако-
законом преобразования E6.5)—вес s и показатель 1, а комплексный
относительный тензор с законом преобразования E6.6) имеет вес s
и показатель т.
При т=0 получаем как частный случай E6.3). Формулу E6.5)
также можно считать частным случаем E6.6) при т=\, с той
только разницей, что в E6.5) мы ограничиваемся вещественными
величинами, так что еа' = + 1.
Далее, в комплексном случае возможны «псевдотензоры», в том
числе и относительные, с законом преобразования E6.6), в котором
коэффициенты А все или частично заменены комплексно сопряжен-
сопряженными им величинами. Возможны центроаффинные линейные объекты
и более сложного типа, не играющие, впрочем, в геометрии замет-
заметной роли. На них мы останавливаться не будем. Существенно, что
все возможные усложнения в законе преобразования (не считая пере-
перехода к псевдотензорам) связаны здесь с наличием Det | Ар | Ф 1 и
исчезают в случае Det|/lj}-|=l.
§ 56] ЛИНЕЙНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ 239
Существенно иная картина наблюдается в евклидовом простран-
пространстве, к которому мы сейчас и переходим. В евклидовом простран-
пространстве понятие линейного геометрического объекта вводится совер-
совершенно аналогично тому, как мы делали это в аффинном простран-
пространстве. При этом вместо квазиаффинной группы в многообразии
аффинных реперов мы исходим из группы квазидвижений в много-
многообразии ортонормированных реперов и задаемся каким-либо ее линей-
линейным представлением в пространстве переменных фх, ..., <pN. А именно,
каждому квазидвижению в многообразии ортонормированных реперов)
мы сопоставляем линейное преобразование переменных
$р р E6.7)
p=i
с таким расчетом, что наложению квазидвижений отвечает наложе-
наложение соответствующих линейных преобразований E6.7). Коэффи-
Коэффициенты В%,, Вр, должны по-прежнему непрерывно зависеть от коэф-
коэффициентов А\,, А' квазидвижения
ег., = Л|,е,-, 00' - Л'е,-, E6.8)
где теперь, конечно, матрица А\, либо ортогональная комплексная,
либо ортогональная вещественная, либо псевдоортогональная, в зави-
зависимости от того, в каком евклидовом пространстве мы находимся:
в комплексном евклидовом, собственно евклидовом или псевдоевкли-
псевдоевклидовом.
Задание линейного геометрического объекта в евклидовом про-
пространстве означает сопоставление каждому ортонормированному
реперу Ы чисел фх {Щ, ..., фд,(Э{), которые при переходе к дру-
другому ортонормированному реперу Ш' подвергаются линейному пре-
преобразованию E6.7), отвечающему квазидвижению Ш—> ?){'.
Аналогично аффинному случаю и по тем же причинам мы огра-
ограничимся частным случаем линейного геометрического объекта, когда
закон преобразования E6.7) не зависит от А', т. е. координаты
объекта не меняются при параллельном сдвиге репера. Такого част-
частного вида объекты могут быть истолкованы как объекты в цен-
троевклидовом пространстве, т. е. евклидовом пространстве с фик-
фиксированной точкой О—центром пространства. В самом деле, в цент-
роевклидовом пространстве группа движений сводится к группе
вращений около центра О, а в качестве реперов достаточно брать
ортонормированные реперы с началом в центре О. Соответственно,
вместо группы квазидвижений в многообразии ортонормированных
реперов мы можем ограничиться ее подгруппой — группой квази-
квазивращений. Квазивращениями мы будем называть квазидвиження, при
которых начало каждого репера остается неподвижным (А' — 0),
240 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
так что E6.8) принимает вид
е,. = Д{.е„ 00' = 0. E6.9)
Линейные геометрические объекты в центроевклидовом простран-
пространстве мы будем кратко называть центроевклидовыми. Их мы опре-
определяем, исходя из закона преобразования E6.7), где, однако, E6.7)
есть линейное представление группы квазивращений E6.9), а не
всей группы квазидвижений. Это значит, что коэффициенты в E6.7)
зависят только от А\,, но не от А', так что центроевклидовы объ-
объекты совпадают с этим частным случаем линейных геометрических
объектов в евклидовом пространстве.
Кроме того, мы будем-предполагать ВР' = 0. В результате цен-
троевклидов объект задается следующим образом: каждому ортонор-
мированному реперу Ы сопоставлены /V чисел (p^Si), ..., Фд?(!К),
причем мы ограничиваемся реперами 9? с фиксированным началом О;
эти числа при переходе от одного репера ffi к другому Oi' испы-
испытывают линейное преобразование
N
Фр-=2^ф E6. Ш)
p=i
отвечающее квазивращению N —»• №' в некотором линейном представ-
представлении группы квазивращений.
В качестве центроевклидовых объектов могут служить прежде
всего тензоры, а в комплексном случае — и псевдотензоры, рассмат-
рассматриваемые в ортонормированных реперах. Что же касается относи-
относительных тензоров, то мы не сможем их сконструировать ввиду того,
что при ортогональном (псевдоортогональном) преобразовании
Det|i4). | = ±1 и какую-либо степень модуля этого определителя
бесполезно употреблять в качестве дополнительного множителя
в тензорном законе преобразования. Единственное, что можно здесь
сделать — это условиться о появлении дополнительного множителя
sign Det | А*. | , причем в псевдоевклидовом случае можно брать и
другие множители: sign Det | А% | или sign Det | A%, \ (обозначе-
(обозначения § 50).
Зато чрезвычайно важно, что центроевклидовы объекты не исчер-
исчерпываются тензорами. Существует более широкий класс центроевкли-
центроевклидовых объектов — так называемые спиноры и спинтензоры, играю-
играющие существенную роль в современной физике. Правда, при этом
приходится несколько расширить понятие о центроевклидовом объекте,
допуская его «двузначность» (см. ниже).
В последующих параграфах мы дадим изложение основ теории
спиноров в четырехмерном евклидовом пространстве. Мы ограни-
ограничимся случаем п = 4 по двум причинам. Во-первых, именно этот
§ 57] спинорное пространство 241
случай играет роль в физике; во-вторых, он допускает элементар-
элементарное изложение, в то время как для общего случая потребовалось
бы развивать довольно обширную теорию*). Для сокращения изло-
изложения мы будем вынуждены отказаться от наводящих соображений
и прямо показать, как строятся спиноры и спинтензоры.
§ 57*. Спинорное пространство
Мы построим теорию спиноров сначала в комплексном четы-
четырехмерном евклидовом пространстве R^. Пусть {О, е1, е2, е3, е4}
обозначает ортонормированный репер Ы в Rt, а Xх, лг2, х3, х*—
координаты вектора относительно этого репера.
Ортонормированные координатные системы в Rf характеризу-
характеризуются тем, что скалярный квадрат вектора х имеет вид
К пространству /?* мы вернемся в § 58, а на протяжении этого
параграфа мы будем вести подготовительные построения в четырех-
четырехмерном комплексном аффинном пространстве А*, рассматриваемом
параллельно с Rt. Прежде всего в пространстве Al мы зададим
раз навсегда начало О и пару двумерных плоскостей Л2, Л2, про-
проходящих через О и не имеющих общих направлений.
Аффинный репер в А\ мы условимся выбирать всегда так,
чтобы начало его лежало в О, первые два вектора еъ e2 принад-
принадлежали плоскости А2, а последние два, которые мы будем обозна-
обозначать е~, е^, — плоскости Л2,
Таким образом, из одного репера Ы {ех, е2, е~, е-} любой дру-
другой будет получаться преобразованием
e2, = a^ej + сфе2, e-, = aAer -f aJe;, j
так как ej», ег остаются в плоскости Л2, а е~„ е-—в плоскости Л2.
Мы условимся (до конца главы), что греческие индексы будут
пробегать у нас значения 1, 2. Тогда E7.1) можно записать кратко:
ev = <x\/e/., e-s, = a$e5. E7.2)
*) Она изложена в статье автора «Теория спиноров», УМН, X, вып. 2
F4) A955).
242
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[ГЛ. III
Однако мы наложим еще ограничение на выбор допустимых реперов:
все они должны получаться друг из друга при помощи унимоду-
лярных преобразований как над е1( е2, так и над е;, ej. Унимоду-
лярными мы называем линейные преобразования с определителем 1,
так что в нашем случае:
Det \
а},
а!.
о;,
а'.
= 1,
Det
a i ax
i' i'
ai a'
= 1. E7.3)
Так как унимодулярные линейные преобразования образуют группу,
то достаточно потребовать, чтобы все рассматриваемые реперы
получались унимодулярными преобразованиями в смысле E7.3) из
одного начального; тогда унимодулярность автоматически имеет
место и при переходе от любого репера к любому.
Итак, в Al мы рассматриваем совокупность аффинных реперов,
которая замкнута относительно всевозможных преобразований E7.1),
удовлетворяющих условию E7.3), причем любые два репера сово-
совокупности получаются друг из друга преобразованием этого вида.
Если не считать условий E7.3), то в остальном a*,», а\ —произ-
А
вольные комплексные числа. Между собой матрицы aj> , aj-j, ||
ничем не связаны.
Реперы этой совокупности мы будем называть спинреперами.
Мы условимся относить векторы if пространства Af исключительно
к тому или иному спинреперу. Координаты ф относительно спин-
репера мы будем обозначать •ф1, i)J, if;1, -ф2, так что ¦ф = 'ф1е1-1-
+ г|Jе2-Н i|)'e--f-^^j. Так как согласно E7.2) е1г е.2 преобразу-
преобразуются между собой и е-, е^—между собой, то, очевидно, ij?1, ijj2 и
i|>' ,i|>2 преобразуются тоже по отдельности при помощи транспониро-
транспонированных обратных матриц:
A.'
E7.4)
где
а|,а|'=б|.
E7.5)
Если учесть, что а^ — унимодулярная матрица, то легко подсчитать,
воспользовавшись уравнениями E7.5), ее обратную матрицу:
a
сф — а13.
E7.6)
§ 57] спинорное пространство 243
Разумеется, а*. —тоже унимодулярная матрица. Аналогичные соот-
соотношения имеют место и в случае индексов с крышками. Преобразо-
Преобразования вида E7.4) с произвольными унимодулярными матрицами
а^', а? образуют группу, которую мы будем называть спинорной
группой.
Так как спинреперы есть частный случай аффинных реперов, то
относительно спинреперов можно рассматривать тензоры совершенно
так же, как относительно аффинных реперов вообще. Мы уже рас-
рассмотрели один раз контравариантный спинтензор (фх , ij)*"), образо-
образованный координатами вектора if. Этот тензор будем называть спи-
спинором (с контравариантными координатами). Аналогичным образом
можно строить и любые многовалентные тензоры, которые мы будем
называть спинтензорами. При этом каждый индекс пробегает значе-
значения 1, 2, \, 2. В отличие от обычной тензорной алгебры разница
между контра- и ковариантными индексами будет здесь мало сущест-
существенной: из контравариантного спинтензора (т|Л, ^Ъ всегда можно
получить ковариантный, положив
*i. *«, ^?. 'Ч'$='Ч'2. —V. V, ~Ц1. E7.7)
Действительно, элементарный подсчет показывает, что когда (г|/ , ib*)
преобразуются по закону E7.4), полученные из них таким образом
(tyv ijjjj.) преобразуются по закону E7.2):
4>v = aj>ty, 4*>*Ba?'1>?- E7.8)
В самом деле, если в E7.4) выразить tyK , ty% через г^, гр- со-
согласно E7.7), то, учитывая E7.6), приходим к соотношениям E7.8).
Ковариантный спинтензор -фя. ty% мы также будем кратко называть
спинором (с ковариантными координатами).
Аналогично E7.7) можно «переделывать» любой индекс спин-
спинтензора из контравариантного в ковариантный, и наоборот. Этой
переделке можно придать инвариантную форму следующим образом.
Дважды контравариантный спинтензор имеет, вообще говоря, коор-
координаты вида
Рассмотрим спинтензор этого вида с такими свойствами:
еЧ^ — е»*, еХД = _еДХ1 е»?вЕХц «о. E7.9)
Другими словами, этот спинтензор кососимметричен по всем индек-
всем индексам, причем координаты со смешанными индексами все равны нулю.
244 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. [II
Ввиду того, что индексы 1, 2 участвуют в спинтензорном преобра-
преобразовании отдельно и индексы 1, 2 тоже отдельно (согласно E7.4)),
то условия E7.9) носят инвариантный характер. Кроме того, значе-
значение координаты е12 является инвариантом. Действительно, мы знаем,
что в двумерном случае единственная существенная координата е12
кососимметрического тензора е^м является относительным инвариан-
инвариантом и при преобразовании умножается на Det|.4x | (см. C5.6) при
п=2). Но в нашем случае матрица А%, = а? унимодулярная, так
что е12 будет просто инвариантом. То же справедливо, конечно, и
для 8' 2 •
Выберем спинтензор E7.9) так, чтобы eI2 = 8f?=l. Итак, все
координаты нашего спинтензора равны нулю кроме
812=— ег1=1, 8Г? = — е5'= 1, E7.10)
и это имеет место относительно любого спинрепера.
Совершенно аналогично строим дважды ковариантный спинтензор
со всеми теми же свойствами:
«!>=• —»31=1. 8гг=— е?т-1, E7.11)
причем остальные координаты равны нулю.
Теперь соотношение E7.7) можно записать .при помощи сверты-
свертывания с тензором г^ц следующим образом:
Непосредственно проверкой убеждаемся, что и в первой, и во вто-
второй строчках повторяются формулы E7.7). Инвариантный характер
этих формул виден из инвариантности тензорной операции сверты-
свертывания. Правда, при этом, например, в первой формуле индекс сум-
суммирования ц должен был бы пробегать значения не только 1, 2,
но и 1, 2, но фактически это является лишним, так как е ^ р, все
равно дают нуль. Это же замечание относится и к остальным фор-
формулам.
При помощи E7.12) можно «поднимать» и «опускать» любой
индекс у спинтензора наподобие того, как мы это делали в евкли-
евклидовом пространстве.
Рассмотрим теперь другой частный случай дважды контравариант-
ного спинтензора, когда
ск» = сЪ»=О1 са. 5 = с 2*. _ E7.13)
Из закона преобразования верхних индексов E7.4), в силу которого
значения 1, 2 участвуют в преобразовании по отдельности от 1, 2,
§ 57]
СПИНОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
245
видно, что условие с'-<* = 0 носит инвариантный характер; то же
относится к условию cJt*t = 0. Оставшееся условие означает, что
наш тензор симметричен. Матрица его координат имеет вид
0
LI ? 12
С 11 С I2
caf c гг
0
В дальнейшем спинтензор этого вида мы будем называть кратко
«спинтензор с*-11». Ясно, что здесь речь идет не о единственном
спинтензоре, как в случае 8*4*, eKlL, а о целом их классе. В силу
симметрии тензора достаточно рассматривать одну из выписанных
здесь матриц 2-го порядка, например, верхнюю; другая получается
из нее транспонированием. Закон преобразования будет иметь вид
с*'Д'= а&'а&с*-*. E7 14)
и
Здесь по общему соглашению индекс суммирования Я пробегает
значения 1, 2 и аналогично jj, — значения 1, 2; для каждого индекса
мы повторяем здесь закон преобразования E7.4). Правда, по общей
схеме тензорного преобразования индекс Я должен бы был пробе-
пробежать все четыре значения, т. е. еще Т, 2; но соответствующие
дополнительные члены все равно обращаются в нуль, так как
в E7.4) следует считать а^=0 (if1', if2' разлагаются только по
if1, if2 без участия if1, if2). Аналогичное замечание относится,
конечно, и к индексу ц.
Формулу E7.14) можно истолковать так, что матрица сх'& по-
получается последовательным перемножением матриц а?', сЧИ, аи',
считая номером строки у первой матрицы верхний индекс, у вто-
второй— первый индекс, у третьей — нижний индекс. При перемноже-
перемножении матриц их определители тоже перемножаются. Учитывая унимо-
дулярность матриц а;
#', получаем:
E7.15)
Следовательно, наш спинтензор обладает инвариантом
F7.16)
246 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
§ 58*. Спиноры в четырехмерном комплексном
евклидовом пространстве R*
С каждым спинтензором вида сх** мы свяжем определенные ли-
линейные комбинации его координат:
1 л ". 1 *¦• л.
vl 1 /Г12 i /.21\ V2 * //*12 г211
л — о \ ~Г с h л —о~; Vе ^ j
Обратно, координаты cxtl без труда выражаются через эти линейные
комбинации:
с" в*|| * + ** * + *|
так что аг1, ;е2, аг3, аг4 можно, если угодно, рассматривать как
видоизмененную форму координат спинтензора схр>.
Очевидно, инвариант / E7.16) принимает при этом вид
/=—(лг1^*2***3***4')- E8.3)
Когда в результате преобразования спинрепера с111 преобра-
преобразуются как координаты спинтензора, их линейные комбинации х'
испытывают линейное преобразование, сохраняющее сумму их квад-
квадратов, т. е. (комплексное) ортогональное преобразование.
Если мы истолкуем х' как ортонормированные координаты в не-
некотором RI, то оказывается, что каждое преобразование спинрепера
в А$ влечет за собой вполне определенное преобразование орто-
нормированных координат в /?+. Очевидно, что при этом наложению
спинорных преобразований E7.4) отвечает наложение соответству-
соответствующих ортогональных преобразований и тождественному спинорному
преобразованию отвечает тождественное ортогональное преобразо-
преобразование в /?+. Кроме того, очевидно, что матрица ортогонального
преобразования непрерывно зависит от матрицы преобразования E7.4).
Другими словами, спинорная группа в А1 получает представление
в группе ортогональных преобразований в Rf. Обозначим это
представление ц>.
Спинорная группа E7.4) будет связной, так как непрерывным
изменением а? (и аналогично а|), начиная от единичной матрицы
111 0[|
§ 58] спиноры в 4-мерном комплексном пространстве /^ 247
и соблюдая условие унимодулярности, можно перейти к любой
наперед заданной унимодулярной матрице (например, если а|'=?^0,
то можно непрерывно менять aj', a[', af от начальных значений (*)
до конечных, избегая для а\' значения 0 и определяя каждый момент
значение af из условия унимодулярности).
Поэтому и в представлении <р мы получим лишь те ортогональ-
ортогональные преобразования, которые можно достичь непрерывным переходом
по ортогональной группе, начиная с тождественного преобразования;
такими будут лишь собственно ортогональные преобразования (т. е.
преобразования с определителем +!)•
Заранее не ясно, дает ли представление ф все такие преобразо-
преобразования; однако это так, что мы докажем немного позже.
Очень важно, что в представлении <р спинорная группа, как
говорят, дважды накрывает собственно ортогональную группу. Дей-
Действительно, если все коэффициенты спинорного преобразования
E7.4) умножить на — 1 (условие унимодулярности при этом не
нарушается!), то, очевидно, закон" преобразования для cAtl не меня-
меняется, а значит, и матрица ортогонального преобразования для xi
остается прежней.
Итак, два спинорных преобразования E7.4), отличающихся
лишь множителем — 1, будут представлены одной и той же орто-
ортогональной матрицей.
Заметим, что еще какого-нибудь третьего спинорного преобра-
преобразования, дающего ту же ортогональную матрицу, не существует.
Действительно, данная ортогональная матрица вполне определяет
преобразование над х', а потому и над соответствующими с1*.
Следовательно, в преобразовании E7.14)
с^ = а? а|'с^ E8.4)
вполне определены все коэффициенты <Хх<х~'. Учитывая это, попро-
попробуем все же изменить матрицы а^ > а^'; тогда умножение какого-
нибудь из элементов ос», (в предположении, что он не равен 0) на
какое-нибудь число &=?=0 повлечет за собой умножение на k'1
всех элементов матрицы <х~|', а следовательно, умножение ее опре-
определителя на &~2. Но так как матрица должна остаться унимодуляр-
унимодулярной, то й~2=1, &=+1. Следовательно, у нас есть лишь один
способ изменить матрицу a'i; умножить ее на —1; конечно, а%
при этом тоже приходится умножить на —1, чтобы сохранить
коэффициенты в E8.4). Мы возвращаемся к уже рассмотренному
случаю.
248 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. (И
Расширим теперь спинорную группу E7.4) так, чтобы в пред-
представлении ф она порождала не только собственные, но и несоб-
несобственные ортогональные преобразования в /?J.
А именно, кроме спинреперов 0f, описанных в начале § 57, мы
будем допускать и такие Ш {е,, е2, е?, е^}, которые отличаются
от прежних переименованием е1)е2 в е;, e-j, и наоборот, так что
у них е,, е2 будут лежать в А2, а е;, е^—в Аг. Другими словами,
к преобразованиям E7.1) мы присоединяем преобразование
е,' = е?, е2, = е^, ег, = е?, е? = е2, E8.5)
а также преобразования, полученные наложением этого преобразо-
преобразования на преобразования E7.1):
е,. = а;-е7+af.es, ер, =аре,+а~,е2; )
2 \ E8.6)
е2, = aj-e? + а'-е^, ер = аре, + аре,. J
Мы изменили здесь обозначения коэффициентов по сравнению с
E7.1), но обе матрицы 2-го порядка остались по существу преж-
прежними, т. е. произвольными унимодулярными матрицами. То же самое
в краткой записи:
ел=с#-е?, ы = а?,ех. E8.7)
Координаты спинора преобразуются при этом с помощью транс-
транспонированных обратных матриц:
Y' = a-i/, г|зд' = a?V- E8.8)
Под спинорной группой мы будем теперь понимать группу,
состоящую как из преобразований E7.4), так и из E8.8).
Эта расширенная спинорная группа будет, очевидно, несвязной,
так как переход от старых преобразований к новым связан с пере-
перескакиванием векторов е1т е2 со своей плоскости А2 на плоскость
Аг (аналогично и для е?, e-j) и непрерывным путем осуществлен
быть не может.
Покажем теперь, что спинорная группа в представлении ф по-
покрывает (дважды) всю ортогональную группу в R* («старые» спи-
норные преобразования порождают собственные ортогональные
матрицы, а «новые» —несобственные).
Так как любые ортогональные преобразования в R' (и вообще
в /?+) можно осуществить наложением некоторого числа зеркальных
отражений, то достаточно доказать, что в представлении ц> появля-
появляется любое зеркальное отражение. Рассмотрим преобразование
§ 58] спиноры в 4-мерном комплексном пространстве R^ 249
тензора E7.13), отвечающее снинорному преобразованию E8.8):
**' *'х/ J'A'^ E8.9)
В частности, если взять преобразование E8.5), то обе матрицы
a{J', a~ будут единичными, и мы получим:
Здесь штрих поставлен при с, так как штрихование индексов в этом
частном случае неудобно.
Итак, спинорному преобразованию E8.5) отвечает транспониро-
транспонирование тензора с1** в клетке 2-го порядка E8.2), а это равносильно
зеркальному отражению х2—>-—х2 при неизменных х1, Xs, л;4.
Теперь ясно, что новые спинорные преобразования (полученные
наложением преобразования E8.5) на старые спинорные преобразо-
преобразования) дают в представлении <р несобственные ортогональные
преобразования (полученные наложением зеркального отражения
х2—> —х2 на какие-то собственные ортогональные преобразования).
Требуется доказать, что этим путем получатся, в частности, все
зеркальные отражения в Rf.
Для этой цели возьмем произвольную комплексную унимодуляр-
ную матрицу 2-го порядка М; дальше она остается фиксированной.
Рассмотрим специальное спинорное преобразование вида E8.8),
положив
||?'|| [V^iM. E8.10)
Тогда преобразование E8.9) над произвольным спинтензором
сх^ можно переписать в матричной форме:
|СИ*<| т = щ сх&||-(ЛГ1)г, E8.11)
где Т обозначает транспонирование матрицы. Очевидно,
в последнем равенстве использовано E8.11).
Отсюда видно, что матрица Ж-Цс^Ц при преобразовании E8.11)
переходит в транспонированную матрицу; в частности, она не ме-
меняется, если была симметричной, и умножается на —1 в случае косо-
кососимметричности.
Комплексные матрицы 2-го порядка Ж-|сХй| при фиксированной
М и всевозможных ||cA|if образуют четырехмерное комплексное
250 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ш
линейное пространство, причем симметрические из них образуют
трехмерное подпространство, а кососимметрические—прямую (одно-
(одномерное подпространство). Тем самым и среди тензоров с^ найдется
трехмерное подпространство тензоров, инвариантных при E8. 11), и
одномерное подпространство тензоров, умножающихся на —1. Это
означает, что ортогональное преобразование над х', которое по-
порождается спинорным преобразованием E8.10), оставляет в /?+
неподвижной некоторую трехмерную плоскость R?, «перепрокидывая»
некоторую прямую R*. Итак, спинорное преобразование вида E8.10)
порождает в R* зеркальное отражение относительно некоторой
(тем самым неизотропной) плоскости R%.
Остается показать, что этим путем можно получить всевозможные
зеркальные отражения в /?+. Зададимся произвольно неизотропным
вектором х ? R+ или, что то же, невырожденной матрицей сх*
(ср. E8.3)). Подходящим выбором унимодулярной матрицы М всегда
можно добиться, чтобы Ж||сх^|| оказалось кососимметрической ма-
матрицей; тем самым тензор с , а вместе с ним и вектор х умножаются
на —1 при спинорном преобразовании E8.11), и порождаемое им
отражение в R^ идет в направлении наперед заданного вектора х.
Вместе со всевозможными отражениями расширенная спинорная
группа порождает в /?+ все вращения, собственные и несобственные,
т. е. все ортогональные матрицы, и наше утверждение доказано.
При этом группа ортогональных матриц покрывается дважды:
каждой ортогональной матрице отвечают ровно два спинорных пре-
преобразования, отличающихся друг от друга множителем —1. (Это
можно показать так же, как и в случае спинорных преобразований
E7.4).)
Но каждое спинорное преобразование (вида E7.4) или E8.8))
влечет за собой соответствующее преобразование каждого спин-
тензора. В итоге ортогональному преобразованию ортонормиро-
ванного репера в R^ отвечает некоторое преобразование каждого
спинтензора и спинтензоры можно рассматривать как центроевкли-
довы объекты в R+; для одного ортонормированного репера коор-
координаты спинтензора, в частности спинора г|)\ г|)\ можно выбрать
произвольно; любой другой ортонормированный репер получается
из данного определенным ортогональным преобразованием, соот-
соответственно которому и пересчитываются координаты спинтензора.
Так как наложению спинорных преобразований отвечает наложение
соответствующих ортогональных преобразований, то указанное пра-
правило преобразования координат спинтензора действует и при пере-
перехоле от любого ортонормированного репера к любому другому.
Здесь необходимо сделать важное уточнение: так как ортого-
ортогональное преобразование определяет соответствующее спинорное пре-
§ 59] СПИНОРЫ В 4-МЕРНОМ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 251
образование с точностью до множителя —1, то правило преобразо-
преобразования координат спинтензора будет вполне определенным лишь для
спинтензоров четной валентности. Действительно, в этом случае
в тензорный закон преобразования элементы матрицы спинорного
преобразования входят множителями четное число раз. В случае же
спинтензоров нечетной валентности, в частности спинора, тензорный
закон преобразования будет определен с точностью до множителя
— 1, а потому и спинтензоры нечетной валентности, в частности
спиноры, в качестве центроевклидовых объектов имеет смысл зада-
задавать лишь с точностью до множителя —1 (т. е. с точностью до
одновременного умножения всех координат спинтензора на —1).
Таким образом, спинтензоры нечетной валентности оказываются
двузначными центроевклидовыми объектами. Это новые объекты,
конечно, не сводящиеся просто к тензорам. Зато спинтензоры чет-
четной валентности задаются однозначно и по существу не дают ничего
нового по сравнению с тензорами: всякий спинтензор четной валент-
валентности после подходящего линейного преобразования его координат
с постоянными коэффициентами превращается в некоторый тензор
в Rf, и этим путем можно получить любой тензор в R+. Это
последнее утверждение доказать нетрудно. Сначала вспомним, что
один раз контравариантный тензор х' можно согласно E8.1) свести
к спинтензору cxii=c^x, clli — с™ = 0. Характерно, что одновалент-
одновалентный тензор эквивалентен двухвалентному спинтензору, так что
спинор т|зх, tyn нужно расценивать как нечто вроде «полувалентного»
тензора.
Аналогичным образом любой /я-валентный тензор l"i'>-¦¦'» в R\
можно свести к 2от-валентному спинтензору с*-»**»-*-»*** ^гш-т с сим-
симметрией индексов внутри каждой пары (при этом предполагается,
что однотипность индексов в какой-либо паре влечет обращение
координаты в нуль). Для этого достаточно каждый из индексов
/х, . . . переделать в пару спинорных индексов X,p.,, ... по схеме
E8.1), E8.2).
§ 59*. Спиноры в четырехмерном псевдоевклидовом
пространстве индекса 1
Построив спиноры и спинтензоры в комплексном четырехмерном
евклидовом пространстве Rf, мы уже почти автоматически получаем
их и для вещественных четырехмерных евклидовых пространств.
При этом мы ограничимся пространством /?([> индекса 1, имеющим
особое значение для физики; но и в остальных случаях можно
поступать аналогично.
Зададимся каким-либо определенным /?(J\ выделенным в R+t
(см. § 53). Для этого достаточно взять ортонормированный
252 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. Ill
репер в Щ
{О, е„ е„ е„ е4} E9.1)
и переделать его в репер
{О, е„ е„ е„ е3}, E9.2)
где
е, = /е4, E9.3)
а в остальном все осталось без изменения. Тогда пространство R{?
мы определим как множество точек, координаты которых л;0, х\ хгу хъ
относительно репера E9.2) являются вещественными, а следователь-
следовательно, относительно репера E9.1) имеют вид
xl = xl, х* = х2, х3 = х\ x" = ix0. E9.4)
Так как
то репер E9.2) служит ортонормированным репером в R1?.
Из всевозможных (комплексных) ортогональных преобразований
репера E9.1) мы в этом параграфе будем рассматривать лишь те,
которые переводят /?(J' в себя, т. е. оставляют вещественными
х\ хг, х3 и чисто мнимой xk. Такие ортогональные преобразования
в R\ образуют группу, которую мы будем обозначать б. Они,
очевидно, означают всевозможные псевдоортогональные преобразо-
преобразования репера E9.2) в /?(?>.
Ограничивая ортогональную группу в R\ до группы О, мы соот-
соответственно сузим группу спинорных преобразований E7.4), E8.8)
так, чтобы в представлении ф получались все ортогональные пре-
преобразования только лишь из группы О. Мы покажем, что для этого
в случае E7.4) нужно наложить добавочно или условие комплексной
сопряженности двух унимодулярных матриц, которые до сих пор
были совершенно произвольными:
<' = «')*. E9.5)
или условие их комплексной антисопряженности:
<- = -(<)*• E9.6)
Одна из двух матриц остается при этом произвольной комплексной
унимодулярной матрицей. Звездочкой мы обозначаем переход к ком-
комплексно сопряженной величине.
Аналогичные условия накладываются и в случае E8.8): или
а~ =(<')*, E9.7)
§ 59] спиноры в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве 253
или
с? = - (<')*• E9.8)
Мы должны показать, что спинорные преобразования вида E9.5),
E9.6), E9.7), E9.8) порождают в R{u всевозможные вращения
соответственно собственные и несобственные 3-го, 1-го, 2-го рода.
Переходим к доказательству. Если вектор х принадлежит R
,0)
4 ,
то соответствующий спинтензор (Л<* будет эрмитовым (т. е. его
матрица комплексно сопряжена транспонированной матрице).
Это сразу видно из E8.2), если учесть, что х1, х2, х3 — веще-
вещественные, a xi — чисто мнимая координата. Как видно из E8.1),
верно и обратное, так что для того, чтобы вектор х принадлежал
R\ \ необходимо и достаточно, чтобы соответствующий спинтензор
с**1 был эрмитовым:
(с*-»)* = с*1. E9.9)
Какое бы из спинорных преобразований E9.5) — E9.8) ни при-
применить к эрмитову спинтензору с^, он остается эрмитовым, так
как его индексы преобразуются при помощи комплексно сопряжен-
сопряженных матриц (в случаях E9.6), E9.8) — с добавочным умножением
на —1, что не нарушает эрмитовости). Действительно, в случаях
E9.5) или E9.6)
(ср. E7.14)); отсюда
(ск'п>)* = (а\')* (ар*(сй)* = а\а%с& = с**.
Это показывает, что эрмитовость спинтензора E9.9) сохраняется
и после преобразования. Аналогично обстоит дело и в случаях
E9.7), E9.8).
Но раз спинтензор <:*••* остается эрмитовым после преобразова-
преобразований E9.5) — E9.8), то соответствующий ему вектор х остается
в пространстве R^P после вращений, порожденных этими преобра-
преобразованиями.
Итак, спинорным преобразованиям вида E9.5) — E9.8) отвечают
в R~l вращения, переводящие R^ в себя, т. е. ортогональ-
ортогональные преобразования группы О.
Остается показать, что этим путем мы получим всю группу О.
Покажем прежде всего, что спинорные преобразования вида E9.7)
и E9.8) порождают, в частности, все зеркальные отражения в /?У' .
Пусть х — произвольный единичный или мнимоединичный вектор из
/?4 ¦ емУ отвечает согласно E8.2) спинтензор ckv-. Как следует
254
из E8.3),
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
Det I
+ 1, если х — мнимоединичный,
— 1, если х — единичный.
Подберем матрицу 2-го порядка М так, чтобы
М-\\ сЛ|г || = . в первом случае,
МЛ
0
J
0
— i
1
0
i
0
[гл. ш
E9.10)
E9.11)
во втором случае.
i
Переходя от матриц к их определителям, замечаем, что матри-
матрица Ж в обоих случаях унимодулярна. Спинорное преобразование,
построенное согласно E8,10), порождает в Ri, как мы знаем,
зеркальное отражение в направлении вектора х. Это отражение,
в частности, переводит R^ в себя, так как вектор х принадлежит
Остается показать, что в нашем случае спинорное преобразова-
преобразование с матрицами E8.10) удовлетворяет или условию E9.8) (в пер-
первом случае), или условию E9.7) (во втором случае), т. е. что
М i=—М* в первом случае, \
М~г — М* во втором случае. /
E9.12)
Любая матрица 2-го порядка С, как легко проверить, удовлет-
удовлетворяет равенству
Ст •
О 1
— 1 О
- Det С-
О 1
— 1 О
С
-1
E9.13)
Положим С=||с^|| и, пользуясь E9.10), а также эрмитовостыо С,
получим в первом случае:
С*-
О 1
— 1 О
О 1
— 1 О
С.
Это означает, что —М*'1 = М, так как согласно E9.11) (в первом
случае):
0 ! >с-1 м*->~-с*.
1 О
О 1
— 1 О
Итак, выполняется первое из условий E9.12).
Во втором случае получаем из E9.13):
С*-
О 1
— 1 О
О 1
— 1 О
И.
§ 60] спинорное поле 255
что означает М*'1 — ^, так как согласно E9.11) (во втором случае)
M=i
0 1
— 1 0
~1=— /С*-
0 1
— 1 0
Мы видим, что выполняется второе из условий E9.12).
Итак, спинорное преобразование E8.10) с матрицей М, постро-
построенной согласно E9.11), порождает в R\ зеркальное отражение
в направлении любого наперед заданного неизотропного вектора х,
причем выполняется условие E9.12), т. е. наше спинорное преобра-
преобразование будет вида E9.8), когда отражение 2-го рода, и E9.7), ко-
когда— 1-го рода.
Так как спинорные преобразования вида E9.5) — E9.8) очевид-
очевидным образом составляют группу преобразований и наложением зер-
зеркальных отражений в R4 (как ранее в Rt) можно получить любое
вращение, то спинорные преобразования вида E9.5) — E9.8) поро-
порождают в R{ * всевозможные вращения (т. е. всю группу О).
В /?4 можно рассматривать спинтензоры подобно тому, как это
делалось в Rf; при этом мы ограничиваемся вращениями ортонор-
мированного репера в R{1\ т. е. группой О и соответственно спи-
норными преобразованиями только вида E9.5) — E9.8)*).
§ 60*. Спинорное поле и инвариантная дифференциальная
операция DK*
Пусть в /?4 задано спинорное поле. Это значит, что спинор я|эх,
г|)я задан в каждой точке пространства (или некоторой его области),
так что
I - — I ~ ( ° * '2 3^ A—l' 2/ I F°-1)
Мы предпочли здесь опустить индексы у координат спинора, хотя
принципиального значения это и не имеет.
Каждому вектору х' в R\ отвечает согласно E8.2) определен-
определенный спинтензор с^. Переписывая E8.2), мы предпочтем воспользо-
ваться ковариантными координатами х{, а они в к4 имеют вид
Хп = X , X-i = X . Хп = X , X а = X .
*) Подробное рассмотрение этих вопросов (хотя и под иным углом
зрения) можно найти в книгах: М. А. На им ар к, Линейные представ-
представления группы Лоренца, М., Физматгиз, 1958; И. М. Г е л ь ф а и д,
Р А М и н л ос, 3. Я Шапиро, Представления группы вращений и груп-
группы Лоренца, М., Физматгиз, 1958.
256
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
[ГЛ. 111
Мы получаем:
с" с12
/•21 ..22
I
F0.2)
так как xi = ix° = — гд;0. Все эти соотношения носят инвариантный
характер и, записанные в одном ортонормированном репере, будут
справедливы и в любом другом.
Рассмотрим теперь совокупность операторов частного дифферен-
дифференцирования по координатам точки:
_?L _Ё_ A. JL (КОЧ)
дх»' д*1' дх2' дх3' \vv.o)
которые можно применять к различным функциям точки в нашем
пространстве, в частности, к тензорным и спинорным полям в нем.
При переходе к другому реперу меняются координаты точек, ме-
меняются и операторы F0.3), причем они ведут себя как ковариант-
ные координаты вектора. Действительно, по формуле дифференци-
дифференцирования сложной функции
д &ЧД F0.4)
дх1' дх" дх1
дх1
Формулу F0.4), как и последующие операторные формулы, нужно
понимать в том смысле, что мы получим верное равенство, подей-
подействовав операторами в левой и в правой частях на произвольную
(дифференцируемую, конечно) функцию точки f(x°, х1, х2, х3).
Формула F0.4) означает, что совокупность операторов F0.3) можно
рассматривать как одноковариантный тензор с операторными коор-
координатами. Формальные выкладки, для которых играет роль лишь
закон преобразования, остаются справедливыми и для таких тензо-
тензоров. Но для перелицовки одноковариантного тензора дт,- в спинтен-
зор с^ как раз играет роль лишь закон преобразования xt. Поэтому
тензор с операторными координатами можно аналогичным образом
перелицевать по формуле F0.2) в спинтензор, конечно, тоже с опе-
операторными координатами. Обозначая координаты этого спинтензора
получаем
Z)"
дх3 ' дх»
дх1
дх*
±
дх1
±
дх*
dxa ^ дх»
F0.5)
При этом мы будем считать (как и для спинтензора с^), что
?)*.ц __ ?JX(i _, о Важность этого операторного спинтензора заключается
в том, что он позволяет получать инвариантные дифференциальные
зависимости между спинорными полями.
§ 60] спинорное поле 257
Свертывая произвольный спинтензор c*-v-=ctiK c произвольным
спинором г|зх, -фх, мы всегда получаем новый спинор tjj\ ^:
F0.6)
Соотношения эти носят строго инвариантный характер, так как с
точки зрения спинрепера мы имеем здесь тензорную операцию сверты-
свертывания. Заметим, что в каждой формуле индекс суммирования в прин-
принципе пробегает все четыре значения: 1, 2, 1, 2, но фактически
в первой формуле берутся значения 1, 2, а во второй — 1, 2, так
как у нас предполагается с^ = cKtl — 0. В частности, если свер-
свернуть спинтензор с операторными координатами F0.5) со спинором
поля F0.1), то в результате получается опять некоторый спинор:
F0.7)
Здесь под умножением D^ на 1|)? и т. п. нужно понимать воздей-
воздействие оператора D%^ на функцию ty?(x°, х1, х2, х3). Спинор if>\
i|^ будет, очевидно, также функцией точки и дает новое спинор-
спинорное поле. Инвариантность соотношений F0.7) вытекает из их тен-
тензорной структуры, с формальной стороны совершенно такой же,
как и у F0.6), хотя по существу смысл формул F0.7), конечно,
иной.
^ Развернем формулы F0.7), причем вторую из них берем в виде
ix ^ пользуясь равенством D™ = Z>^. Получим:
F0.8)
Таким образом, при помощи дифференциальной операции F0.8) из
спинорного поля 1|зъ ^ i|)? инвариантным образом возникает новое
спинорное поле ijpx, tyx.
9 П. К. Рашевский
ГЛАВА IV
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Теория относительности возникла в результате длительного нако-
накопления опытного материала, приведшего к глубокому преобразо-
преобразованию наших физических представлений о формах материи и движе-
движения. После целого ряда попыток приспособить прежние понятия
о пространстве, времени и других физических величинах к вновь
открытым опытным фактам обнаружилось, что для этой цели тре-
требуется перестроить все эти понятия коренным образом. Эта
задача была выполнена в основном А. Эйнштейном в 1905 г. (спе-
(специальная теория относительности) и в 1915 г. (общая теория отно-
относительности). Впрочем, задача была выполнена лишь в том смысле,
что было дано стройное формально-математическое описание нового
положения вещей. Задача глубокого, подлинно физического обосно-
обоснования этой математической схемы все еще стоит перед физикой.
Мы имеем здесь в виду, что теория относительности является
в основном макроскопической теорией и в этом отношении (в отли-
отличие от квантовой механики) продолжает традицию классической
физики. Между тем трудно сомневаться в том, что макроскопические
понятия, в том числе и наши пространственно-временные представ-
представления, на самом деле уходят своими корнями в микромир. Когда-
нибудь они должны быть раскрыты как некоторый статистический
итог, вытекающий из закономерностей этого мира—далеко еще
не разгаданных — при суммарном наблюдении огромного числа мик-
микроявлений.
По характеру этой книги основы теории относительности будут
даны именно с их математической стороны в готовой, законченной
форме. В частности, поучительная история накопления опытного
материала, подталкивавшего шаг за шагом к созданию теории отно-
относительности, почти полностью выпадает из рамок нашего изложения.
Мы говорим об этом для того, чтобы у читателя не создалось впечат-
впечатления, что теория относительности была кем-то выдумана «из голо-
головы» сразу в том виде, как она будет изложена. В действительности
§ 61] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 259
это математическое оформление теории появилось лишь как итог
долгих экспериментальных и теоретических поисков.
Из двух частей, составляющих теорию относительности (спе-
(специальная и общая теория относительности), мы будем заниматься в
этой главе только первой. Математический аппарат специальной
теории относительности сводится к теории тензорных полей в четы-
четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Между тем
общая теория относительности требует более квалифицированного
математического аппарата, который будет подготовлен нами лишь
в последующих главах.
Значение двух частей теории относительности в современной
физике не соответствует их названиям. Специальная теория относи-
относительности пронизывает собой в сущности всю современную физику,
во всяком случае, когда речь идет о больших скоростях движения
тел (при малых скоростях она дает практически те же результаты,
что и классическая механика). Выводы специальной теории относи-
относительности, означающие огромный переворот в наших представлениях
о пространстве—времени, а в связи с этим и о других физических
величинах, всесторонне подтверждаются опытом.
В противоположность этому общая теория относительности,
представляя собой с математической точки зрения широкое обобще-
обобщение специальной теории, создана для объяснения лишь одного физи-
физического явления — явления всемирного тяготения. Опытные данные,
подтверждающие ее выводы (в тех случаях, когда она заметно откло-
отклоняется от теории Ньютона), сравнительно немногочисленны и тре-
требуют весьма тонких измерений, часто лежащих на пределе доступной
в настоящее время точности. В связи с этим будет разумным
рассматривать общую теорию относительности в ее современном мате-
математическом оформлении скорее как эскиз теории, чем как установ-
установленную истину. Вместе с тем трудно подвергать сомнению ее основ-
основные идеи: зависимость между геометрическими свойствами простран-
пространства-времени и распределением и движением масс и вытекающее
отсюда объяснение явлений тяготения. Но вполне возможно, что
математическое оформление этих идей еще не окончательное.
От подлинного содержания общей теории относительности сле-
следует отличать связанный с нею большой поток исследований, не
имеющих серьезного физического обоснования и представляющих
собой лишь математические спекуляции на ее темы.
§ 61. Постановка задачи
В дальнейшем у нас будет играть важную роль понятие системы
отсчета. Систему отсчета можно наивно представлять себе в виде
подвижной ««латформы» (т. е. некоторой системы неизменно
скрепленных между собой твердых тел), на которой установлены
260 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
движущиеся вместе с ней измерительные приборы — часы, эталоны
длины и т. д., позволяющие производить измерения различных вели-
величин, как мы будем говорить, относительно данной системы
отсчета.
В частности, можно «установить» прямоугольные координатные
оси X, Y, Z, твердо связанные с данной системой отсчета, и от-
отмечать координаты точек, в которых совершаются те или иные
события. Мвжно также при помощи часов, движущихся вместе
с системой отсчета, отмечать моменты совершения этих событий,
отсчитывая время t от некоторого произвольно выбранного на-
начального момента. При этом подразумевается, что все системы от-
отсчета снабжены совершенно одинаковыми часами и эталонами
длины.
В дальнейшем мы всегда будем считать, что с системой отсчета
неизменно скреплены каким-либо образом выбранные координатные
оси X, Y, Z и указан начальный момент для отсчета времени. Таким
образом, под системой отсчета мы будем понимать, окончательно,
подвижную «платформу» вместе с установленными на ней прямо-
прямоугольными координатными осями X, Y, Z и выбранным начальным
моментом для отсчета времени t.
Если на прежней «платформе» мы установим по-другому коор-
координатные оси или изменим начальный момент для отсчета времени,
то мы будем считать, что перешли к другой системе отсчета, хотя
такое преобразование системы отсчета и будет тривиальным (так
мы и будем его в дальнейшем называть).
С классической точки зрения среди систем отсчета существует
лишь одна система (если не считать ее тривиальных преобразова-
преобразований), неподвижная в каком-то абсолютном смысле, относительно
которой и формулируются законы физики.
Правда, для классической механики с самого начала ее возник-
возникновения было известно, что формулировка ее законов нисколько
не меняется, если покоящуюся систему заменить системой, движу-
движущейся относительно нее равномерно и прямолинейно, — такие системы
мы будем называть инерциальными. В этом заключается принцип
относительности Галилея.
В самом деле, пусть система 5—покоящаяся, a Sr — движущая-
движущаяся инерциальная система. Предположим для простоты, что коорди-
координатные оси X, Y, Z, связанные с S, и X', У", Z', связанные с S',
в начальный момент совпадают, причем ось X идет по направлению
движения системы S'. Если (постоянную) скорость движения инер-
циальной системы S' обозначить через v, то спустя время t коор-
координатные оси X', Y', Z' сдвинутся относительно неподвижных
координатных осей X, Y, Z на расстояние vt в направлении оси X.
Поэтому, если в момент / произойдет какое-либо событие в точке
с координатами х, у, z относительно системы S, то относительно
§ 61J ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 261
системы S' эта точка будет иметь координаты:
x' = x—vt, у'=у, z' = z. F1.1)
К этому нужно добавить, что с точки зрения классической механики
время имеет абсолютный характер, т. е. промежуток времени между
двумя событиями имеет всегда одну и ту же величину независимо
от того, в какой системе отсчета он измеряется. Поэтому момент
совершения данного события будет одинаковым с точки зрения
обеих систем отсчета, и к формулам F1.1) можно присоединить
еще одну:
t' = t. F1.2)
Если мы прослеживаем движение материальной точки, так что
х, у, z являются функциями t (и аналогично в системе х', у', z' —
функциями от t'), то из формул F1.1), F1-2) сейчас же вытекает, что
dV_d^c dV_cP{/ rfV _&Ч
dt'2 ~ dt2' dt'2 — dt2 ' dt'2 ~~ dt2'
т. е. проекции ускорения на оси будут одинаковыми для обеих
систем отсчета. Теперь нужно учесть, что в классической динамике
рассматривается система материальных точек, ускорения которых
пропорциональны действующим на них силам, а силы зависят
от взаимного расположения этих точек в каждый данный момент.
Но это расположение тоже, очевидно, выглядит одинаково с точки
зрения обеих систем, так как разности координат любых двух
точек х%— хг, у2—уъ гг—zx будут при данном t равны х'г — х\,
у\—у[, г'г—z\ (как немедленно следует из уравнений F1.1)). Теперь
ясно, что уравнения движения запишутся одинаково относительно
обеих систем отсчета 5 и S'.
Итак, наблюдая механические явления, мы не в состоянии уста-
установить, наблюдаем ли мы их с точки зрения покоящейся или с точки
зрения равномерно и прямолинейно движущейся системы. Однако
к началу XX века, т. е. к моменту возникновения теории относи-
относительности, теоретическая физика состояла не только из механики.
Наряду с ней стояла другая, столь же важная теория, созданная
в XIX веке, — электродинамика. И вот основные законы электроди-
электродинамики не удовлетворяли принципу относительности (если руковод-
руководствоваться «галилеевыми» преобразованиями F1.1), F1.2)). Наи-
Наиболее выпукло это сказывалось в том известном результате, что
скорость света (т. е. скорость распространения электромагнитных
волн) в пустоте является постоянной величиной с. С классической
точки зрения было ясно, что этот результат может относиться лишь
к покоящейся системе отсчета, так как относительно системы отсчета,
движущейся со скоростью v, скорость света будет с—v, если свет
«догоняет» систему, и с-ft», если он движется ей навстречу. Поэтому,
262 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
естественно, считали, что можно обнаружить абсолютную скорость
движения данной системы отсчета, наблюдая те отклонения от
законов электродинамики, в частности, от закона постоянства ско-
скорости света, которые должны обнаружиться в этой системе, если
только она не находится в абсолютном покое.
Ряд опытов, поставленных с этой целью (где в качестве движу-
движущейся системы отсчета служила Земля в ее движении по орбите),
дал отрицательный результат. Оказалось, что движение системы
отсчета не нарушает законов электродинамики вопреки тому, что
бесспорно следовало из классической теории. Разрешение возник-
возникшего таким образом глубокого противоречия было дано специаль-
специальной теорией относительности, согласно которой не только законы
механики, но и электродинамики тоже, выглядят совершенно оди-
одинаково в любой инерциальной системе; в частности, скорость света
(в пустоте) постоянна и равна с в любой инерциальной системе.
Но если дело обстоит таким образом, то теряет смысл отличать
среди инерциальных систем те, которые находятся «в абсолютном
покое», от тех, которые «движутся». Раз за понятием абсолютно
покоящейся системы отсчета не стоит никакой физической реаль-
реальности, которая отличала бы ее от остальных инерциальных систем,
то это значит, что мы имеем дело с неудачной абстракцией, не
оправдавшейся дальнейшим развитием науки. В дальнейшем, рассмат-
рассматривая инерциальные системы, мы будем считать их все равноправ-
равноправными и обладающими движением лишь одна относительно другой
(а не абсолютным).
Итак, вместо одной привилегированной системы отсчета возни-
возникает привилегированный класс инерциальных систем, в которых
законы физики формулируются одинаково и которые движутся одна
относительно другой равномерно и прямолинейно. Этими свойствами
класс инерциальных систем и будет описываться в специальной
теории относительности (после того, как наша исходная «поко-
«покоящаяся» система потеряла смысл).
§ 62. Пространство событий
Мы уже указывали на противоречие между опытом, который
показал равноправие всех инерциальных систем, и классической
теорией, согласно которой законы электродинамики верны лишь
в «покоящейся» системе, а в остальных нарушаются. С точки зре-
зрения теории относительности это противоречие имеет своим источ-
источником в первую очередь неправильность формул F1.1), F1-2),
пересчитывающих пространственно-временные координаты события
х, у, z, t, вычисленные относительно одной инерцнальной системы S,
на х'', у', z', t', вычисленные относительно другой инерциальной
системы S' (мы вывели эти формулы, предполагая систему 5 покоя-
§ 62] ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ 263
щейся, но в них ничего не изменится, если считать S любой инер-
циальной системой, a S'—движущейся относительно нее со ско-
скоростью v в направлении оси X, причем в начальный момент S к S'
совпадают). Согласно теории относительности эти формулы должны
быть заменены новыми, которые обеспечат инвариантность уже всех
физических законов; и в области механики, и в области электро-
электродинамики. Само собой ясно, что признание формул F1.1), F1.2)
неправильными означает отрицание наших прежних представлений
о пространстве и времени, на основании которых эти формулы
легко получаются, а замена их новыми означает коренную перестройку
этих представлений. В дальнейшем мы все это увидим на конкрет-
конкретных примерах.
Чтобы подойти к установлению новых формул с достаточно ши-
широкой точки зрения, мы должны будем рассмотреть четырехмерное
пространство событий, которое на протяжении всей этой главы
будет играть у нас основную роль и в котором будут разверты-
развертываться все наши построения.
Под событиями мы условимся понимать элементарные события,
т. е. происходящие в столь малой области пространства и в столь
короткий промежуток времени, что, идеализируя положение вещей,
их можно считать происходящими в одной точке и мгновенно. Само
содержание события нас интересовать не будет, так что в сущности
событие в нашем понимании сводится к заданию определенного
места (точки) в пространстве в определенный момент времени. Таким
образом, наше понятие события примерно в том же смысле пред-
представляет собой идеализацию реального физического процесса малой
протяженности в пространстве и времени, в каком геометрическое
понятие точки — идеализацию реального физического тела малой
протяженности в пространстве.
Перед нами стоит задача установления новых формул преобра-
преобразования, смысл которой можно формулировать так. Одно и то же
событие может рассматриваться относительно различных инерциальных
систем; рассмотрим какие-нибудь две из них, 5 и S'. Пусть отно-
относительно 5 событие произошло в точке с координатами х, у, z
в момент времени t, а относительно S' в точке с координатами х',
у', г' и в момент времени ?. Спрашивается, какова зависимость
между координатами события в системе 5 и системе S' (координа-
(координатами события мы будем называть числа х, у, z, t).
Прежде всего мы предполагаем, что эта зависимость будет
линейной, т. е. V, х', у', z' выражаются линейными (вообще говоря,
неоднородными) функциями от t, x, у, z.
Действительно, классическая зависимость F1.1), F1.2) является
линейной как в том простейшем случае взаимного расположения
осей X, Y, Z и X',Y', Z', для которого она у нас выписана, так,
конечно, и в самом общем случае. Естественно попытаться решить
264 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
поставленную нами задачу, видоизменяя коэффициенты этой зави-
зависимости, но не отказываясь от ее линейного характера.
Более же глубокая причина заключается в том, что лишь при
линейном характере зависимости мы обеспечиваем соблюдение закона
инерции в любой инерциальной системе (предполагая, что он соблю-
соблюдается в одной из них).
Далее, нам нужно обеспечить, чтобы скорость распространения
света была с точки зрения любой инерциальной системы одна и та
же и равнялась константе с. Точнее говоря, нам нужно потребовать,
чтобы всякий сигнал, распространяющийся в каком-либо направле-
направлении со скоростью с относительно одной инерциальной системы,
распространялся бы с этой же скоростью с и относительно любой
другой инерциальной системы.
В таком случае, принимая, что свет распространяется в любом
направлении со скоростью с относительно хотя бы одной инерциаль-
инерциальной системы, мы получим этот же результат и для любой другой
инерциальной системы.
Будем рассуждать следующим образом.
Пусть первое событие М состоит в том, что из некоторой точки
в некоторый момент времени подается сигнал, а второе событие
М—в том, что этот сигнал принимается в какой-то другой точке
в другой момент времени. Координаты событий М и М относительно
системы 5 обозначим (t, х, у, z) и (t, x, у, z), а относительно
системы S' — теми же буквами, но со штрихами. Тогда тот факт,
что сигнал распространялся со скоростью с, относительно системы S
можно записать в виде
т. е. путь, пройденный световым лучом, равен протекшему времени,
умноженному на с. Возводя почленно в квадрат и перенося все
члены налево, получим:
_(C7_C*J + (i_*J+^_j,J+B_2J = 0. F2Л)
Тот же самый факт, записанный с точки зрения системы S', приво-
приводит к аналогичному соотношению:
x'J + (y'—y'J+(z'—z')* = 0. F2.2)
Мы требуем, чтобы из того, что сигнал распространяется со ско-
скоростью с относительно одной инерциальной системы, следовала бы
такая же скорость его распространения и относительно любой дру-
другой инерциальной системы. Другими словами, из соотношения F2.1)
должно следовать F2.2), и обратно.
Однако мы потребуем еще большего, а именно, чтобы для
любых двух событий М, М выражения, стоящие в левых частях
§ 62] ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ 265
равенств F2.1), F2.2), всегда были бы равны между собой:
— (с/— ctJ-\-{x— х)* + (у — yJ+(~z—zJ =
=_(с?_сг'J+(^'-лг'J+(У->'J+(г'-г')г. F2.3)
Ясно, что если это требование соблюдается, то из F2.1), т. е. из
обращения в нуль левой части F2.3), вытекает F2.2), т. е. обра-
обращение в нуль правой части F2.3) (равно как и обратно). Однако
мы требуем соблюдения F2.3) и в тех случаях, когда его правая
и левая части в нуль не обращаются, что, конечно, означает допол-
дополнительное предположение. Мы как будто произвольно усилили наши
требования, но дело в том, что иначе мы пришли бы к физически
нелепым выводам, которые все равно вынудили бы нас сделать до-
дополнительные предположения.
Итак, окончательно: линейная зависимость f, х', у', z' от t, x,
у, z при переходе от одной инерциальной системы к другой должна
быть такова, чтобы для любых двух событий соблюдалось равенство
F2.3).
Теперь нетрудно установить связь с предшествующей математи-
математической теорией, именно с геометрией четырехмерного псевдоевкли-
псевдоевклидова пространства индекса 1 (§ 48). В ортонормированной коорди-
координатной системе х°, х1, х2, х3 скалярный квадрат вектора выража-
выражается в этом пространстве формулой
х2 = — х°г + х1* -f х2* + х3%
в частности, скалярный квадрат вектора ММ, «соединяющего» две
какие-нибудь точки М(х'), М(х'), имеет вид
ЛШ2= — (х° — х0J + (х1—х1J + (х* — х2J + (Xs —Xs)*. F2.4)
Выберем какую-нибудь инерциальную систему S, и пусть t, x,
у, z будут координаты событий с точки зрения 5.
Выберем в нашем псевдоевклидовом пространстве какую-нибудь
ортонормированную координатную систему х°, х1, х2, Xs.
Условимся изображать каждое событие M(t, x, у, z) точкой
М(х°, х1, х2, х3) в псевдоевклидовом пространстве таким образом,
чтобы
x° = ct, x1 = x, *2=_у, x3 = z. F2.5)
В результате пространство событий взаимно однозначно отобразится
на наше псевдоевклидово пространство.
Допустим теперь, что события мы отнесли к другой инерциаль-
инерциальной системе S'. Теперь каждое событие М имеет координаты
266 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
(f, х'¦> У' 1 z')- Но мы уже поставили в соответствие каждому
событию М точку М псевдоевклидова пространства. Припишем этой
точке следующие координаты (не предрешая вопроса о их харак-
характере с точки зрения псевдоевклидова пространства):
x°' = ct', х*' = х', x2'=/, xs'=z'. F2.6)
Мы утверждаем, что координаты, х'' будут тоже ортонормирован-
ными, В самом деле, так как V, х\ у', z' линейно зависят от t,
х, у, z, то координаты хг линейно зависят от координат хг. А так
как эти последние — ортонормированные аффинные координаты,
то х1' тоже будут аффинными координатами. Но, кроме того, для
любых двух событии выполняется соотношение F2.3). Это соотно-
соотношение можно переписать для соответствующих точек псевдоевкли-
псевдоевклидова пространства следующим образом (пользуясь F2.5), F2.6)):
= — (ха'~х°'J + (~х1'~xl'J-\-(x*' — х*'J + (х*' — х3'J. F2.7)
Так как левая часть выражает скалярный квадрат ММ согласно
F2.4) (координаты х' ортонормированные!), то наше равенство можно
переписать в виде
— (>' —x°'J-f (^' — xl')*-\-{x*' — *2'J + (*3' — х3'J- F2.8)
Итак, х1' являются аффинными координатами, в которых скалярный
квадрат вектора ММ2 выражается формулой F2.8), т. е. приводится
к сумме-разности квадратов его координат х1'—х1'. Но мы знаем,
что скалярный квадрат вектора имеет такое выражение в ортонор-
мированной и только в ортонормированной координатной системе
псевдоевклидова пространства (§ 42). Следовательно, х1' представ-
представляют собой тоже ортонормированную координатную систему.
Окончательный результат: пространство событий можно так
взаимно однозначно отобразить на четырехмерное псевдоевклидово
пространство индекса 1, что координаты событий t, x, _y, z, вычис-
вычисленные с точки зрения любой инерциальной системы S, будут играть
роль ортонормированных координат в псевдоевклидовом пространстве
(причем t нужно еще умножить на с):
x° = ct, x1 = x, X2=y, xa = z. F2.9)
Тем самым выбор инерциальной системы 5 в пространстве собы-
событий равносилен выбору ортонормированной координатной системы
в псевдоевклидовом пространстве, а переход от одной инерциальной
§ 62]
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ
267
системы 5 к другой S' равносилен переходу от одной ортонорми-
рованной координатной системы к другой. Но мы знаем, что этот
последний переход совершается при помощи формул
х1' =А\'х* + А1', F2.10)
где А\' — псевдоортогональная матрица 4-го порядка, индекса 1.
Напомним, что это означает, что матрица А\ связана со своей
обратной матрицей А],, как следует из соотношений E0.7), сле-
следующим образом:
АХ
If At At
if At At
A\,
Al.
-Al,
A\,
A\,
Al,
A\.
A\,
A\.
F2.11)
Другими словами, данная матрица Af и обратная ей А\, совпадают
после транспонирования одной из них и умножения первой строки
и первого столбца у одной из них на —1. При этом, как мы
вскоре увидим, нам придется ограничиться случаем А% > 0 (следо-
(следовательно, и Ау > 0).
Так как х' согласно F2.9) могут служить и координатами со-
событий, то F2.10) дает нам общий вид перехода от одной инер-
циальной системы к другой. Этим и решается основная задача,
поставленная в этом параграфе.
В дальнейшем мы всегда будем представлять себе, что простран-
пространство событий отображено указанным образом на псевдоевклидово
пространство и восприняло его геометрию, причем инерциальные
системы отсчета приняли вид ортонормированных координатных
систем.
Заметим, что если два события М, М являются одновременными
относительно какой-либо системы отсчета S, то в соответствующей
ортонормированной системе х° = х° формула F2.4) принимает вид
ММг = (х1- дг1J + (х2 — х2J + (Xs —х3J,
и расстояние ММ в пространстве событий совпадает с точки зрения
системы 5 с обычным расстоянием между точками, где события
произошли.
Если же относительно системы 5 два события М и М про-
произошли в одной точке,
х1 = х1,
= Xй,
ДГ3 = X3,
268 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
то формула F2.4) дает
откуда видно, что расстояние ММ в пространстве событий будет
мнимым и равно i (х°— x°) — ic(t—t), т. е. равно промежутку вре-
времени, протекшему между этими событиями, умноженному на ic.
Таким образом, псевдоевклидова метрика в пространстве событий
носит универсальный характер и объединяет в себе измерение как
пространственных, так и ^временных расстояний. В первом случае
расстояния в этой метрике получаются вещественными, во втором —
мнимыми.
§ 63. Формулы Лоренца
Разберемся теперь детально в полученном результате, именно
в новых формулах перехода F2.10) от одной инерциальной системы
к другой. С геометрической точки зрения речь идет о переходе от
одной ортонормированной координатной системы к другой в прост-
пространстве событий, т. е. в четырехмерном псевдоевклидовом простран-
пространстве индекса 1. Этот переход изучался нами специально в § 48. Там
было выяснено, что, проделав предварительно тривиальные вращения
над ортонормированными реперами 9i и ЗГ и параллельный сдвиг
одного из них, можно свести преобразование к простому виду D8.10),
D8.11):
е'=Г7Т=Г •- •'- «и1*
причем О неподвижно.
Соответствующее преобразование ортонормированных коорди-
координат х1 будет иметь вид
х"'= *°7-^=. **'= ~P?-t^, x2' = x\ х*' = х> F3.2)
(см. переход от преобразования E0.1) к E0.6)). Посмотрим, что
означает этот результат с точки зрения пространства событий.
Прежде всего параллельный сдвиг репера, например 91, означает,
что над ортонормированными координатами х°, х1, дг2, д:3 произве-
произведено преобразование, заключающееся в добавлении к ним некоторых
констант. Но так как координаты х' имеют теперь в соответствую-
соответствующей инерциальной системе 5 физический смысл F2.9), то это озна-
означает, что некоторые константы добавились к t, x, ^, z, т. е. изменен
начальный момент отсчета времени и координатные оси X, Y, Z
параллельно сдвинуты и укреплены на прежней «платформе» в новом
положении. Такое изменение системы отсчета мы относили к числу
тривиальных.
§ 63] ФОРМУЛЫ ЛОРЕНЦА 269
Далее, тривиальное вращение репера 91 (и аналогично Ш') заклю-
заключается в том, что вектор е0 не меняется, а еь е2, е3 испытывают
вращение в своей плоскости, т. е. в трехмерном собственно евклидо-
евклидовом пространстве. Отсюда вытекает, что х° не меняется, а х1, Xй, х3
подвергаются обычному ортогональному преобразованию. Но, учиты-
учитывая F2.9), мы видим, что это означает некоторый определенный
поворот координатных осей X, Y, Z при прежнем отсчете времени t.
Так как коэффициенты ортогонального преобразования константы
от времени не зависят, то повернутые оси X, Y, Z твердо располо-
расположены относительно прежних осей X, Y, Z и укреплены на той же
«платформе». Такое преобразование системы отсчета мы тоже назвали
тривиальным.
Итак, за счет тривиального преобразования инерциальных систем
отсчета S и S', т. е. сохраняя прежнее движение «платформ» и лишь
иначе скрепляя с ними координатные оси X, Y, Z и X', У' Z', а
также, возможно, изменяя начальный момент отсчета времени, можно
добиться, чтобы переход от S к S' принял вид F3.2).
Чтобы выпуклее представить этот результат, перепишем формулы
F3.2), пользуясь F2.9), в следующем виде:
Г = =i—, Х'= "P/fijL, v' = y, z' = z. F3.3)
Здесь имеется четыре варианта выбора знаков в знаменателях.
Однако мы из них оставим лишь один, именно, когда оба знака
положительные. В первой формуле мы делаем это на основе физи-
физических соображений: если бы знак знаменателя был отрицательным,
то возрастание t вызывало бы убывание f (считая для простоты
х, у, z постоянными). Другими словами, наблюдая с точки зрения
системы S' существование точки Q (х, у, z), скрепленной с систе-
системой S, мы увидели бы все события происходящими в обратной
последовательности. Этот физически абсурдный результат заставляет
нас отказаться от знака минус в первой формуле F3.3) и, что то же
самое, в первой формуле F3.2) и по совершенно аналогичным при-
причинам считать и в общей формуле F2.10) коэффициент А°о' положи-
положительным: А°о' > 0. Заметим, что с точки зрения пространства событий
это означает, что переход от одной инерциальной системы к другой
не есть любой переход от одного ортонормированного репера к дру-
другому. Этот переход представляет собой либо собственное движение,
либо несобственное движение 1-го рода (но не 2-го и не 3-го).
Соответственно этому инерциальным системам будут отвечать в прост-
пространстве событий ортонормированные реперы не всех четырех, а лишь
двух классов.
Что же касается случая знака минус в знаменателе второй
формулы F3.3), то его устранение не связано с какими-либо
270 основы специальной теории относительности [гл. не-
непринципиальными соображениями и достигается просто изменением
положительного направления оси X на обратное, вследствие
чего х' меняет знак. Итак, окончательно формулы F3.3) мы будем
писать в виде
у'=у, z'=z. F3.4)
Таковы формулы перехода от одной инерциальной системы 5
к другой S' после упрощений, внесенных предварительным тривиаль-
тривиальным преобразованием этих систем отсчета. Конечно, нетрудно дога-
догадаться, каков настоящий смысл этих тривиальных преобразований:
мы так повернули и сдвинули координатные оси, скрепленные с каж-
каждой из платформ, и так изменили начальный момент отсчета времени
на одной из них, чтобы оси Y, Z системы 5 в начальный момент
<=0 совпадали с осями У", Z' системы S' в начальный момент ^'=0,
а последующее движение S' относительно 5 (равно как и 5 отно-
относительно S') происходило вдоль общей оси X. Однако, если бы мы
попытались привести формулы преобразования к упрощенному виду
F3.4), исходя непосредственно из этих соображений, то могли бы
легко запутаться в новых, еще неизвестных нам, пространственно-
временных соотношениях.
Формулы F3.4) представляют собой аналог формул F1.1) и F1.2)
и призваны их заменить при переходе от классической точки зрения
к релятивистской. Уже беглое сравнение этих формул показывает
глубокую разницу между ними, которая при дальнейшем исследо-
исследовании станет еще более разительной.
Прежде всего нужно выяснить смысл параметра Р, входящего
в формулы F3.4). По аналогии с F1.1), F1.2) следует ожидать,
что он должен быть связан со скоростью движения v одной инер-
инерциальной системы относительно другой, и это действительно оправ-
оправдывается.
Рассмотрим точку Р, закрепленную в системе S'. Ее коорди-
координаты х', у', z' остаются, следовательно, постоянными; время же f
будем считать переменным, так что мы рассматриваем одну и ту
же (с точки зрения системы S') точку Р в разные моменты
времени ?.
Как будет восприниматься поведение точки Р с точки зрения
системы S?
Дифференцируя почленно последние три из четырех уравнений
F3.4) и учитывая, что в нашем случае dx' = dy' ~dz' = 0, получаем:
§ 63] формулы лоренца 271
откуда
ff=P*. ah0- аИ- <63-5>
Эти формулы показывают, что всякая точка Р, закрепленная в систе-
системе S', движется относительно системы S с постоянной скоростью $с
в направлении оси X. Последний результат позволяет нам говорить,
что и вообще инерциальная система S' движется относительно 5
поступательно с постоянной скоростью 0с (в направлении оси X),
имея в виду, что так движется всякая точка, скрепленная с системой S'.
Обозначим скорость движения S' относительно 5 через v, так что
г»=рС, Р==-. F3.6)
С
Так как параметр Р меняется в пределах
— КР<1,
то скорость v может принимать значения в пределах
— c<v<c.
Таким образом, относительная скорость инерциальных систем никогда
не достигает скорости света. А так как мы считаем, что в принципе
со всяким твердым телом можно связать систему отсчета, то в теории
относительности принимается, что вообще никакие два тела не могут
иметь относительной скорости, превышающей или хотя бы достига-
достигающей скорости света. Далее мы увидим, что все основные формулы
приводятся к абсурду, если предположить противное: дело в том,
что в них вслед за формулами F3.4) почти во всех основных фор-
формулах будет фигурировать радикал
который становится мнимым, если предположить v > с. Принимается
также, что никакое возмущение не может распространяться со ско-
скоростью, превосходящей с, хотя скорость с и может им достигаться,
как это происходит для электромагнитного возмущения.
Теперь формулы F3.4) можно переписать в виде
F3.7)
Эти формулы пзрехода от одной инерциальной системы S к другой S'
носят название формул Лоренца.
272 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Если, обратно, выразить отсюда t, х, у, z через t', х', у', z',
то это обратное преобразование, как показывает элементарный под-
подсчет, будет иметь вид
F3.8)
т. е. отличается от прямого лишь заменой v на —v. Это означает,
что если система S' движется относительно 5 со скоростью v, то 5
движется относительно S' со скоростью —v. Это, правда, представ-
представляется само собой ясным, но так как нас ждут в дальнейшем выводы,
опрокидывающие многие привычные представления, то этот результат
следует отметить.
§ 64. Исследование формул Лоренца
При первом взгляде на формулы F3.7) поражает их, казалось бы,
полное несходство с формулами F1.1), F1.2) классической теории.
А между тем мы знаем, что классические формулы практически
безусловно верны, по крайней мере, с большой степенью точности.
Поэтому возникает вопрос, как согласовать формулы Лоренца с клас-
классическими. Ответ очень прост. На практике мы обычно имеем дело
со скоростями, весьма малыми сравнительно со скоростью света,
т. е. отношение — очень мало, и его квадратом практически можно
пренебречь по сравнению с 1. Поэтому можно считать
!— ^«1- F4.1)
Кроме того, в первой формуле F3.7) можно пренебречь величиной
~ х сравнительно с временем t, так как — х есть произведение
весьма малого промежутка временем — *) на весьма малую дробь — .
В результате формулы F3.7) принимают вид
*) Точнее, малым предполагается — > гДе &х=х — х0, а л-„ — некоторая
константа; она может быть большой, но дает лишь тривиальное преобразо-
преобразование: t'^t-Щ.
§ 641 ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛ ЛОРЕНЦА 273
т. е. мы возвращаемся к классическим формулам F1.1), F1.2). Таким
образом, при скоростях, малых сравнительно со скоростью света,
теория относительности дает практически те же результаты, что и
классическая механика. Это будет повторяться в дальнейшем посто-
постоянно, и, естественно, так оно и должно быть — иначе теория отно-
относительности стояла бы в явном противоречии с нашим повседневным
опытом. Но при больших скоростях, в повседневной практике недо-
недостижимых, появляется разногласие между обеими теориями, и опыт
решает этот спор в пользу теории относительности.
Разберем теперь некоторые частные следствия формул Лоренца,
которые покажут нам характерные черты новых пространственно-
временных соотношений.
1°. Сокращение продольных размеров движущихся тел. Пусть
на оси X' в инерциальной системе S' покоится стержень длиной /.
Обозначим абсциссы концов этого стержня через х\, х\. Тогда
*;—*;=/. F4.2)
Абсциссы х\, х\ остаются постоянными, но У мы считаем переменным,
т. е. рассматриваем существование стержня во времени.
Относительно системы 5 этот стержень вместе с системой S'
движется со скоростью -и в направлении оси X, вдоль которой он
расположен. Заметим, что вообще оси X и X' все время совпадают
в том смысле, что всякое событие, происходящее на оси X с точки
зрения S, происходит с точки зрения S' на оси X'. Это сейчас же
следует из того, что обращение в нуль _у, z влечет обращение
в нуль и у', z'.
Попробуем измерить длину нашего стержня относительно системы 5.
Ввиду того что он движется, нужно зафиксировать положение его
концов в какой-либо определенный (один и тот же!) момент времени t,
а затем найти расстояние между отмеченными точками. Пусть абсциссы
этих точек будут хх, х2. Тогда согласно второй формуле F3.7)
абсциссы концов стержня в системе S' выразятся следующим образом:
v' -
Л,—
Вычитая почленно из второй формулы первую и учитывая, что i
имеет в обоих случаях одно и то же значение, получаем:
274 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Обозначая длину отрезка с тцчки зрения системы 5 через /':
и пользуясь F4.2), получаем:
. е. r = ;/l-^. F4.3)
Таким образом, стержень, имеющий длину I в той инерциальной
системе, где он покоился, имеет длину I у 1 ^ в той инерци-
инерциальной системе, относительно которой он движется со скоростью v
в продольном направлении.
Все сказанное относительно стержня применимо, конечно, и к лю-
любым твердым телам. Таким образом, когда относительно данной
инерциальной системы 5 твердое тело приводится в поступательное
движение с постоянной скоростью v, его размеры в направлении
движения сокращаются с точки зрения системы 5 в отношении
1/ 1 — ^" • В т0 же время с точки зрения системы S', связанной
с самим движущимся телом, в нем не происходит ни малейших из-
изменений. Итак, оказывается, что размеры тела не есть нечто при-
принадлежащее только ему самому; они носят относительный ха-
характер, т. е. зависят и от той системы отсчета, к которой тело
отнесено.
В дальнейшем мы обнаружим относительный характер еще ряда
величин, считавшихся ранее абсолютными. Это обстоятельство нередко
давало повод к идеалистическому толкованию: на нем пытались обос-
обосновать субъективный характер физических величин, именно, зависи-
зависимость их от положения наблюдателя на той или иной системе отсчета.
В действительности же речь идет о материальных взаимоотношениях
двух физических тел: одно, например, наш стержень, другое, прак-
практически обычно более массивное и соподчиняющее себе первое,— наша
инерциальная система отсчета S. Длина стержня «с точки зрения
системы S»— это объективно существующий факт, результат мате-
материального взаимодействия этих двух физических тел.
Заметим кстати, что подлинная цель теории относительности
не в установлении этой относительности физических величин, а
(в известном смысле наоборот) в установлении абсолютного
характера физических законов, одинаковых в любой инерциальной
системе.
Сокращение размеров движущегося тела происходит лишь в про-
продольном направлении (т. е. в направлении движения); поперечные же
§ 64] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛ ЛОРЕНЦА 275
его размеры не меняются. Это видно из формул у' = у, z' = z, пока-
показывающих, что поперечные размеры тел одинаковы с точки зрения
обеих инерциальных систем.
2°. Относительный характер одновременности. Пусть на оси X
в инерциальной системе 5 происходят два события в точках хи х2
в один и тот же момент времени t1 = t2=t. Отметим моменты совер-
совершения этих событий /',, t'z в системе S'. Согласно первой формуле
F3.7) получаем:
, v v
f __ у f ,.,. у
,, с2 ' ,, Т с* Х%
Мы замечаем, что t\=j=t\, а именно:
1 —*а)
F4.4)
v
—^ (xt — х2)
Таким образом, два события, одновременных относительно S,
оказываются разновременными относительно S' и притом с тем боль-
большим расхождением во времени, чем далее отстоят друг от друга
с точки зрения системы 5 места, где они произошли (расстояние
учитывается лишь в направлении оси X, т. е. в направлении отно-
относительного движения систем 5 и S'; поперечное смещение в сторону
осей К, Z не играет роли). Так, например, если с точки зрения си-
системы S электрические лампочки, расположенные цепью вдоль оси X,
вспыхнули одновременно, то с точки зрения системы S' они вспыхи-
вспыхивали последовательно, начиная с того края, который расположен по
направлению движения S' относительно 5.
Этот результат разрушает наше привычное представление об
абсолютном характере времени: одновременность двух событий не
есть нечто, свойственное лишь самим этим событиям; она зависит
еще от той системы отсчета, относительно которой устанавливается.
Более того, возможно, что события, происшедшие относительно
системы 5 в одной последовательности, наблюдаются в системе S'
в обратной последовательности. Это легко показать, если, вместо
того чтобы брать t2 = tt, взять t2 > tv Тогда, считая х2 > хъ
v > 0, мы получим, если t2—tx достаточно мало, что
*; < с
На первый взгляд это кажется явным абсурдом: если в системе S
причина, как и полагается, предшествовала следствию, то не значит
ли это, что в системе S следствие будет предшествовать причине?
276 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. [V
Этот парадокс разъясняется следующим образом. Прежде всего
исключительно важно, что относительный характер одновременности
имеет место лишь для событий, происходящих в разных местах прост-
пространства. В самом деле, если наши события в системе 5 произошли
не только одновременно, но и в одной и той же точке (х2 = х1), то
из F4.4) следует, что t't = t't, т. е. одновременность будет наблю-
наблюдаться и с точки зрения системы S'.
Но раз события произошли в разных местах пространства, то
чтобы одно служило причиной, а другое следствием, нужно, чтобы
некоторое возмущение, вызванное первым, пришло к месту совер-
совершения второго не позже, чем в момент его совершения. Но у
нас все возмущения распространяются со скоростью, не превышаю-
превышающей с.
И вот оказывается следующее: когда два события таковы, что их
последовательность относительно разных инерциальных систем может
быть различной, возмущение, вызванное первым событием, никогда
не может своевременно поспеть к месту совершения второго события
(т. е. если и приходит, то уже после его совершения). Поэтому из
таких двух событий одно не может служить причиной другого. Или,
что то же самое: если одно событие способно служить причиной
другого, т. е. возмущение, вызванное первым событием и распро-
распространяющееся со скоростью света, способно своевременно достичь
места совершения второго события, то последовательность таких двух
событий одинакова относительно всех инерциальных систем.
Справедливость наших утверждений будет показана в следующем
параграфе, и этим парадокс устраняется.
Заметим, что, переходя от формул F3.3) к F3.4), мы опирались
на то, что знак минус в знаменателе первой формулы приводит
к обратному течению времени в системе S', причем речь шла о собы-
событиях, происходящих в одной и той же точке Q(x,y,z) в системе S;
но в этом случае события способны служить одно причиной друго-
другого, и их обратная последовательность действительно представляет
абсурд.
3°. Отставание движущихся часов. Пусть в системе S' неподвижно
укреплены часы, отсчитывающие время f. Их пространственные коор-
координаты х', у', z' являются, следовательно, постоянными. Будем
наблюдать показания этих часов с точки зрения системы 5. Отмечаем
с точки зрения системы 5 тот момент tlt когда часы показывают
время t\\ согласно первой формуле F3.8)
<1 — ¦
Совершенно аналогично показание часов 1г наблюдается с точки
§ 64] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛ ЛОРЕНЦА 277
зрения 5 в момент t%:
Вычитая почленно, получаем:
''2 =й=, т. е. /;-/;= V Ь-^(/2-у. F4.5)
Итак, с точки зрения системы 5 прошел промежуток времени t2 — гг\
если же судить по показаниям движущихся часов (точно таких же,
какими измеряется время в системе S), то этот промежуток времени
равен t\ —1[, т. е. короче в отношении l/ 1 ^. Таким образом,
движущиеся часы начинают отставать, ход их замедляется в отношении
1/ 1 ~, хотя с точки зрения той инерциальной системы S', ко-
которая движется вместе с часами, в часах не произошло абсолютно
никаких изменений.
В этом примере, как и в большинстве других, отклонения от обыч-
ного положения вещей зависят от значения радикала 1/ 1 j-.
Когда скорость v мала сравнительно со скоростью света с (как это
и бывает в повседневной практике), радикал ничтожно мало отли-
отличается от единицы, и эти отклонения незаметны. Напротив, при-
скоростях, близких к скорости света, когда значение радикала приб-
приближается к нулю, создается картина, резко отличная от наших
обычных представлений.
4°. Формула сложения скоростей. Мы уже говорили о том, что
относительные скорости инерциальных систем и вообще физических
тел не достигают скорости света. На первый взгляд здесь заключено
противоречие: допустим, что система S' движется относительно ^
со скоростью 0,9с и система S" относительно S' движется в том же
направлении тоже со скоростью 0,9с. Казалось бы, что тогда Sr
относительно .S должна двигаться со скоростью 1,8с.
Но дело заключается в том, что обычная формула сложения
скоростей неверна с точки зрения теории относительности и должна
быть заменена новой. В самом деле, пусть некоторая материальная
точка движется относительно системы S', причем составляющие ее
скорости по осям X', У', Z' равны v'x, v'y, v'z:
dx' _ , dy^_„¦ №_ __ ' (Р.Л a\
dt' ~Vx> dt' «" df ~v*' lb4<0'
278 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Пусть система S' движется относительно 5 по-прежнему со ско-
скоростью v в направлении общей оси X. Тогда, дифференцируя фор-
формулы F3.8), получаем:
dt' + ^dx'
откуда скорость движения точки уже относительно системы S имеет
следующие составляющие по осям X, Y, Z:
.dx'
dx V + W
v_dx^
+ c*dt'
dy ,/. v2
dt~ V c*
dt' ^l/if!2 dt>
v_dx^' dt V с2 v_ dx"
Пользуясь обозначениями F4.6) и аналогичными обозначениями для
системы S, запишем окончательно:
4
W
(б4.7)
Итак, результирующая скорость vx в направлении оси X, получен-
полученная наложением двух скоростей — скорости v системы S' относи-
относительно S и скорости v'x точки относительно S',— равна не просто
сумме v-\-v'x, как в классической механике, а сумме с последующим
делением на
то'
Когда v и v'x малы сравнительно с с, эта величина практически
равна единице, и мы возвращаемся к классической формуле. Зато
если хоть одна из слагаемых скоростей близка к скорости света,
то влияние знаменателя велико, и результирующая скорость растет
непропорционально мало, в частности, ни в коем случае не может
превзойти скорости света с. Это особенно заметно, если взять пре-
предельный случай v=c. Тогда
c+v'x
т. е. когда одна из слагаемых скоростей равна с, то добавление
к ней любой другой скорости ее не меняет. Это, впрочем, есть
§ 65] КРИВЫЕ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 279
лишь перефразировка нашего исходного положения — постоянства
скорости света относительно всех инерциальных систем.
До сих пор мы говорили о сложении одинаково направленных
(по оси X) скоростей v и v'x. Если же наша точка обладает отно-
относительно S' еще «поперечной» скоростью, например, vy, то отно-
относительно 5 эта скорость оказывается уже иной, именно, приобре-
тает множитель — (конечно, весьма близкий к единице при
небольших V, v'x).
Мы начали с рассмотрения пространства событий, введения в нем
псевдоевклидовой метрики и сопоставления инерциальных систем
ортонормированным координатным системам в этом пространстве.
Но получив отсюда формулы Лоренца, дающие связь между различ-
различными инерциальными системами, мы выводили следствия непосредст-
непосредственно из них, как бы забыв о псевдоевклидовой геометрии. Между
тем и отдельные наши конкретные результаты имеют поучительное
истолкование в псевдоевклидовой геометрии пространства событий;
но для этого нам будут нужны некоторые свойства кривых в псев-
псевдоевклидовом пространстве.
§ 65. Кривые в вещественном евклидовом пространстве
В л-мерном аффинном пространстве естественно определить кри-
кривую как совокупность точек М (х1), зависящих от одного параметра i:
X ~Х (Г), rj^.t^.rjj. (DO. 1)
Под х1 мы понимаем координаты в какой-либо аффинной координат-
координатной системе. Зависимость х' (t) предполагается достаточное числа
раз дифференцируемой. В частности, если эта зависимость линейная,
то мы получаем прямую линию, о которой ранее уже говорилось.
Мы ограничиваемся вещественным пространством и все рассматри-
рассматриваемые величины считаем вещественными.
Радиус-вектор ОМ точки M(t), очевидно, тоже будет функ-
функцией от t:
OM=x(t) = x' (t)e-. F5.2)
Продифференцируем радиус-вектор по t, определяя производную
обычным образом:
17= Пт Чг1' F5-3)
280 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
При этом переход к пределу для вектора, например, xo = limx, мы
определяем как переход к пределу для каждой его координаты,
д:| = Нтдг'. Очевидно, смысл этого определения одинаков в любой
аффинной координатной системе: если x'0 = litnxl в одной системе,
то х% = Mm х1' в любой другой системе в силу одинакового линейного
закона преобразования и для х', и для х'о при переходе к xv и хг„.
В частности, непрерывность функций х'(t) равносильна непрерыв-
непрерывности векторной функции х (t), т. е. соотношению limx(/) = x(^0)
при t—>~t0 (в нашем случае при каждом t0, t1^.t0^.t2).
Таким образом, координаты вектора -^ по определению получа-
Дх
ются предельным переходом от координат вектора — , а эти по-
Axl dx' ,. dx
следние равны -т-т и дают в пределе —гг ¦ Итак, -г существует
dx
и имеет координаты -п-:
dx1
:
dx dx'
Предполагая, что вектор -тт отличен от нуля, мы будем называть
его касательным, вектором к нашей кривой в данной точке M(t).
Такой вектор определяется с точностью до численного множителя,
так как вдоль прежней кривой можно выбрать новый параметр t,
и тогда
dx dx dt
Прямую линию, проходящую через точку М (t) и направленную
по вектору -л, мы будем называть касательной к нашей кривой
в точке M(t).
Дифференциал радиуса-вектора определяется как произведение
его производной на приращение параметра:
d\ = Yt^t = jf«idt = dxiei. F5.5)
Так как t — аргумент, то можно писать dt вместо Д?. Диффе-
Дифференциал dx направлен по касательной и показывает смещение но
ней из точки M(t), пропорциональное приращению Д^ параметра t.
Сравним дифференциал dx с приращением Дх = х(< + Д<) — х(^).
Очевидно, Дх дает вектор смещения из точки M(t) в другую точку
Mkt) на кривой. Так как
Дх=Дл;'@е(., F5.6)
§ 65] КРИВЫЕ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 281
то, сравнивая с F5.5), мы видим, что соответствующие координаты
векторов Дх и dx (т. е. Длг' (t) и dx') отличаются друг от друга
при бесконечно малом Д^ на бесконечно малые высшего порядка.
Поэтому, окончательно, смысл дифференциала dx заключается в том,
что он выражает вектор смещения по касательной из точки касания
M(t), растущий пропорционально At и притом так, что уклонение
от истинного смещения по кривой в точку M(t-\~At) будет беско-
бесконечно малым высшего порядка относительно At. Одновременно здесь
содержится разъяснение геометрического смысла касательной: из
всех прямых, проходящих через M(t), только по касательной можно
смещаться так, что уклонение от кривой будет бесконечно малым
высшего порядка сравнительно с самим смещением.
Все сказанное до сих пор относится к кривым в аффинном про-
пространстве и, разумеется, остается верным и в евклидовом простран-
пространстве. Но в этом случае добавляются и новые свойства. Прежде
всего вдоль кривой вещественного евклидова пространства можно
вычислять длину дуги. Длину дуги кривой между точками
Мх ((]) и М% (t2) проще всего определить как интеграл
™>
"ft dt <65-7)
по аналогии с длиной дуги в обычном евклидовом пространстве
черточки означают, что вектор берется по длине. Нетрудно заме-
заметить, что выписанный интеграл не зависит от выбора параметра t
вдоль кривой. Действительно, при переходе к новому параметру т,
так что т = т(/) и t — t (т)— непрерывно дифференцируемые возрас-
возрастающие функции, получаем:
Л
В случае псевдоевклидова пространства касательный вектор -^ может
иметь или вещественную, или мнимую, или нулевую длину. Это
будет зависеть от того, будет ли скалярный квадрат вектора -г- ,
или, что то же, вектора dx, положительным, отрицательным или
нулем:
а!х2>0, dx2<0, dx2==O. F5.8)
Соответственно этому и наша кривая будет в любом своем куске
иметь вещественную, мнимую или нулевую длину (изотропная кри-
кривая). Конечно, можно провести кривую и так, что на одном ее
282 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
участке будет одно положение, а на другом другое, но таких кривых
мы рассматривать не будем.
Из формулы F5.7) видно, что если отсчитывать дугу s = M0M
от некоторой начальной точки M0(t0) до переменной точки M{t)
на кривой s = MQM, то ее дифференциал будет выражаться фор-
формулой
\f\t, F5.9)
т. е. совпадает с подынтегральным выражением. Или, что то же,
ds2 = d%2. F5.10)
Если кривая имеет вещественную длину, то s можно принять
за параметр t вдоль кривой, и тогда формула F5.9) дает
ds, откуда
__ 1
Таким образом, производная радиуса-вектора по дуге s дает еди-
единичный касательный вектор
t = g, t«=l. F5.11)
Если кривая имеет мнимую длину, то s является чисто мнимой
величиной
s--= о/ F5.12)
и за параметр t вдоль кривой мы примем вещественный коэффициент
о при мнимой единице. Тогда ds = ida, и формула F5.9) дает
ida =
da, откуда
F5.13)
Таким образом, производная радиуса-вектора по а дает мнимоеди-
ничный касательный вектор
Разумеется, сам вектор т — вещественный, и вообще в псевдоевкли-
псевдоевклидовом пространстве мы по-прежнему не рассматриваем каких-либо
мнимостей кроме (в некоторых случаях) длин.
Пусть теперь кривая — изотропная, т. е. на любом участке имеет
нулевую длину, что равносильно изотропности ее касательного век-
вектора -^ в любой ее точке
!^| = 0, т. е.
§ 66]
КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
283
В этом случае выбор дуги в качестве параметра, конечно, невоз-
невозможен .
Нас будут особо интересовать псевдоевклидовы пространства
индекса 1, так как пространство событый принадлежит к их числу.
Для каждой точки такого пространства можно построить, как мы
знаем, изотропный гиперконус с вершиной в этой точке, причем
векторы вещественной длины, отложенные из данной точки, пойдут
вне гиперконуса, векторы мнимой длины — внутри его, а изотропные
векторы — по его образующим (рис. 11). Соответственно этому кривая
вещественной длины в каждой своей точке направлена вовне изо-
изотропного конуса в этой точке, кривая
мнимой длины — внутрь его, а изотроп- / Кривая_
ная кривая касается его образующей
(но, вообще говоря, не совпадает с
ней).
§ 66. Кинематика теории относитель-
ности в геометрическом истолковании
веще-
вещественной
длины
Изотропный
конус
Рис. 11.
Рассмотрим процесс движения ка-
какой-либо материальной точки. Для
этого нужно указать положения,
которые занимает точка в отдельные
моменты времени, т. е. совокупность
событий, зависящую от одного пара-
параметра (например, от времени t изме-
измеряемого относительно какой-либо системы S). Но такая совокуп-
совокупность событий образует в четырехмерном пространстве событий
некоторую линию. В самом деле, зададим процесс движения точки
относительно какой-либо инерциальной системы 5. Для этого нужно
переменные координаты этой точки х, у, z выразить как функции
времени:
*=Л@, У =/,(*), *=/.(')• F6.1)
Но ct, х, у, z можно рассматривать как ортонормированные коорди-
координаты х°, х1, х2, х3 в пространстве событий, так что наши уравнения
примут вид
с ) ' —Ji \ с 1 ' ~~^3 I с
F6.2)
Мы получаем, следовательно, совокупность событий М(х°, х1, х2, х3),
зависящих от одного параметра xQ, т. е. линию в пространстве со-
событий. Итак, процесс движения материальной точки изображается
линией в пространстве событий. Если, в частности, движение точки
284 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. [\?
равномерное и прямолинейное, то функции F6.1) линейные, а следо-
следовательно, и х1, х2, х3 линейно зависят от лг°, и линия будет прямой.
Кривая, отображающая в пространстве событий процесс движения
материальной точки, называется ее четырехмерной траекторией.
Впрочем, вернее было бы говорить об изображении не «процесса
движения», а «истории существования» данной материальной точки.
Дело в том, что движение мы рассматриваем всегда относительно
той или иной системы отсчета 5, между тем четырехмерная траекто-
траектория является построением абсолютным, не зависящим от выбора
системы отсчета 5 и в таком выборе вообще не нуждающимся.
Действительно, грубо говоря, четырехмерная траектория есть сово-
совокупность событий, из которых состоит история существования данной
материальной точки, следовательно, определяется вне связи с выбо-
выбором S и представляет собой однозначным образом определенную
кривую в пространстве событий. В связи с этим и касательный к ней
мнимоединичный вектор — тоже вполне определенный вектор, инва-
инвариантный относительно выбора системы отсчета. Однако не всякая
кривая в пространстве событий может служить четырехмерной тра-
траекторией материальной точки: для этого необходимо и достаточно,
чтобы кривая была мнимой длины.
В самом деле, материальная точка может двигаться лишь со ско-
скоростью, меньшей с. Запишем это с точки зрения инерциальной си-
системы S, в которой закон движения точки имеет вид F6.1).
Так как проекции скорости на оси X, Y, Z суть —, -У- -г-
то получаем:
(dyy (dzy
+UJ +\di) <c> F6-3)
откуда
—c2dt2 + dx2 + df + dz2 < 0, F6.4)
или, переходя в соответствующие ортонормированные координаты
в пространстве событий:
—(dx0J + {dx1J + (dx2J + (dx3J < 0. F6.5)
Но согласно F5.5) для нашей четырехмерной траектории
. dx — dxl&; = dx°&0 + dx1^ + dx2Q2 + dx3&3,
откуда
dx2 = — (dx0J + (dx1J + (dx2J + (dx3J < 0, F6.6)
а это согласно F5.8) означает, что четырехмерная траектория есть
кривая мнимой длины в пространстве событий.- Мы будем относить
§ 66] КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 285
с
ее к вещественному параметру <? = — (§ 65), условившись отсчиты-
отсчитывать а в сторону возрастания х°. Пишем ее уравнения в виде
х° = х°(о), х1 = л;1 (<*)> х2--=х2(о), х3 = х3(а). F6.7)
При этом
ds = | dx I = V—dx0' -f dx* + dx* + dx3' =
= i Vdx°2—dx*—dx22 - dx3\
так что
da = Vdx°z—dx1'—dx*2—dxs\ F6.8)
Касательный вектор
T~ do
будет, как мы знаем, мнимоединичным. Его координаты имеют при
этом вид
'^ dx'
F6.9)
Ясно, что и, обратно, всякая кривая мнимой длины в простран-
пространстве событий может служить четырехмерной траекторией некоторой
материальной точки, так как обеспечивает скорость движения,
меньшую с.
Будем представлять себе, как это делается в геометрической
оптике, что свет в пустоте распространяется прямолинейными лучами
наподобие частиц, движущихся прямолинейно и равномерно со ско-
скоростью с. Тогда можно говорить о четырехмерных траекториях рас-
распространения света; эти траектории будут, очевидно, прямыми
линиями и притом изотропными, так как в формулах F6.3) — F6.6)
придется везде изменить знак < на =.
Пусть событие М состоит в том, что световой сигнал исходит
в данный момент из данной точки; тогда картина его распростра-
распространения по всевозможным направлениям изображается в пространстве
событий всевозможными образующими изотропного гиперконуса,
исходящими из точки М {точнее, «верхними» полуобразующими,
так как «нижние» полуобразующие отвечают времени, предшествую-
предшествующему подаче сигнала).
Четырехмерные же траектории материальных точек будут пред-
представлять собой кривые, в каждой своей точке направленные внутрь
соответствующего изотропного гиперконуса, что означает скорость
движения, меньшую с.
286 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Параметр о (деленный на с) имеет физический смысл так назы-
называемого собственного времени материальной частицы (под которой
можно понимать в известном контексте и достаточно крупное тело,
например космический корабль или даже планету).
Действительно, на бесконечно малом отрезке четырехмерной траек-
траектории вычислим dx° = cdt в системе отсчета S, в этот момент дви-
движущейся «вместе с частицей» или, что то же самое, в системе
отсчета 5, относительно которой частица в этот момент покоится:
dx1 = dx2 = dx3 = 0.
Получаем согласно F6.8):
da = tf л:0 = с dt.
Естественно принять, что внутренние процессы, происходящие
в неравномерно движущейся «частице», согласуются с течением
времени t — — о; в самом деле, на каждом бесконечно малом участке
четырехмерной траектории — имеет смысл протекшего времени dt
С
в системе S, движущейся в этот момент «вместе с частицей».
Если две различные частицы имеют четырехмерные траектории
с общей начальной точкой Мх и общей конечной точкой Мг, то
собственное время —о, протекшее от «начальной встречи» частиц
С
до их «конечной встречи», имеет, вообще говоря, свое значение
для каждой из частиц, так как их четырехмерные траектории, сое-
соединяющие точки М1У Ж2, могут быть весьма различными (рис. 11).
При этом, как нетрудно показать, наибольшего значения протекшее
время достигает в случае прямолинейной траектории (см. A03.15)).
Если одна из «частиц»—Земля, а другая — космический корабль,
улетающий с Земли с очень большой скоростью, а затем на нее
возвращающийся, то из сказанного следует, что космонавты по
возвращении на Землю постареют меньше, чем люди^ оставшиеся на
Земле. Дело в том, что четырехмерную траекторию Земли прибли-
приближенно можно считать прямой линией взамен «винтовой линии», сильно
вытянутой в направлении оси л;0, как это на самом деле имеет
место (в системе отсчета 5, связанной с Солнцем).
Мы хотим теперь кинематические результаты, полученные в § 64,
геометрически истолковать в пространстве событий. По-прежнему
рассматриваем инерциальные системы 5 и S', связанные формулами
Лоренца F3.7), F3.8). Но для простоты и наглядности мы будем
рассматривать лишь события, происходящие на оси X в системе S и,
значит, на оси X' в системе S'.
Другими словами, мы считаем y = z = 0, а значит (согласно фор-
формулам Лоренца), и у' —г' — 0. Так как ct, х, у, z в пространстве
§ 66]
КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
287
событий представляют собой ортонормированные координаты лг°, лг1,
лг2, лг3, то это означает, что все рассматриваемые события распола-
располагаются в двумерной плос-
кости
лг
2 = лг3 =
лг3 = 0 (или,
что тоже, лг2' = лг3' = 0).
Это будет координатная
плоскость, построенная на
ортах е0, ег или равным
образом на ортах ео<, е,,,
и притом псевдоевклидова,
так как ej =—1, е? = 1.
Эту псевдоевклидову плос-
плоскость мы и будем рассмат-
рассматривать, выделив ее из про-
пространства событий (рис. 12).
Инерциальные системы х/
S к S' представлены в этой
плоскости ортонормирован-
ными реперами (е0, ех) и
(е0/, е,/) и соответственно
координатными системами
(лг°, л;1) и (л;0', л;1'). В силу х2 =.
из формул Лоренца
Q'
Рис. 12.
= 0 мы сохраняем лишь две
— vt + x
F6.10)
и обратные формулы
vt' + x'
/¦-Г '/>-$'
F6.11)
Рассмотрим прежде всего вопрос об одновременности событий.
Относительно системы 5 одновременными будут события с одина-
одинаковыми значениями t:
t — const, т. е. х° = const.
F6.12)
Но уравнение х° = const определяет на нашей плоскости прямую,
параллельную оси X1, так что одновременные относительно системы S
события располагаются на одной прямой, например PQ, параллель-
параллельной оси X1. В частности, события, происшедшие в начальный мо-
момент ^ = 0, т. е. х° — 0, изображаются точками самой оси Л'1.
Как известно (конец § 62), псевдоевклидовы расстоянии между
288 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
событиями, одновременными относительно какой-либо системы S, выра-
выражают просто расстояния между точками, где эти события произошли
(тоже относительно 5). На рис. 12 псевдоевклидово расстояние
между событиями Р, Q можно измерить, взяв отношение отрезка PQ
к единице длины, отложенной в том же направлении (орт ех). Это
отношение выражает расстояние между точками, где произошли со-
события Р, Q, с точки зрения системы 5.
Совершенно аналогично события, одновременные относительно S',
характеризуются условием
t'= const, т. е. л;0'= const F6.13)
и изображаются точками какой-либо прямой, например, PQ', парал-
параллельной оси X1'. В частности, события, происшедшие в начальный
момент f = 0, изображаются точками самой оси X1'. Ясно, что
события, одновременные относительно системы S, будут разновре-
разновременными относительно системы S'. Далее, изображенное на рисунке
событие М расположено над осью X1 и под осью X1', т. е. произошло
с точки зрения системы S после начального момента t=0, а сточки
зрения системы S'—до начального момента /=0; событие
же М', наоборот, произошло с точки зрения системы S до началь-
начального момента t — О, а с точки зрения системы S'—после начально-
начального момента t' = Q. Выходит, что относительно системы 5 событие
М' произошло раньше, а М—позже; относительно же системы S' — на-
наоборот.
Процесс движения какой-нибудь точки, закрепленной в системе S'
(на оси X'), характеризуется тем, что х' = const, a f меняется.
Другими словами, мы получаем совокупность событий, характеризуе-
характеризуемую уравнением
лг1' = const (лг0' — переменное)
и изображаемую, следовательно, прямой, параллельной ОХ0'.
Прямые линии, параллельные ОХ0'. представляют собой четырех-
четырехмерные траектории точек, закрепленных на оси X' в системе S'.
Аналогично прямые линии, параллельные ОХ°, дают четырехмер-
четырехмерные траектории точек, закрепленных на оси X в системе S:
х= const, т. е. лг1 = const.
Если мы хотим изобразить процесс движения целого стержня, по-
покоящегося, например, в системе S' на оси X', то нужно взять совокуп-
совокупность четырехмерных траекторий всех его точек (стержень мы представ-
представляем себе в виде отрезка). Пусть в начальный момент t' = 0 стер-
стержень изображается отрезком OL оси X1' (ось ОХ1' в пространстве
событий, как мы знаем, изображает ось X' в системе S', точнее,
происходящие на этой оси события в начальный момент ? = 0).
§ 66] КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 289
Тогда в другие моменты времени V стержень будет изображаться
отрезком OL, параллельно сдвинутым в направлении оси X0' (см.
штриховку на рисунке). Не надо забывать, что стержень покоится
в системе S', и его различные изображения показывают лишь тече-
течение времени, а не перемену места: у каждой точки стержня х1' = const,
а меняется лишь х0'.
В результате на рис. 12 история существования стержня изо-
изобразится целой заштрихованной полосой. Ее можно получить также,
строя четырехмерные траектории каждой точки стержня, т. е. про-
проводя параллели оси X0' через все точки отрезка OL.
Рассмотрим эту полосу с точки зрения координатной системы
Х°ОХ1. Здесь она уже не вытянута вдоль оси Х°, а является на-
наклонной. Это говорит о том, что происходит не только течение вре-
времени, но и перемена места. И действительно, относительно системы 5
стержень движется вместе с системой S'. Желая рассмотреть этот
движущийся стержень в какой-нибудь момент времени t с точки
зрения системы S, например, в начальный момент, мы должны поло-
положить:
г" = 0, т. е. лг° = О,
и рассмотреть соответствующие точки полосы. В результате мы
получаем отрезок ОК на оси X1, который изображает наш стержень
в начальный момент / = 0 с точки зрения системы 5. В другие мо-
моменты времени t стержень будет изображаться параллельными ОК
срезами полосы.
Обращает на себя внимание, что когда относительно системы S
мы фиксируем движущийся стержень в определенный момент времени t
(например, в виде отрезка ОК при 4 — 0), то относительно системы S'
мы фиксируем разные точки этого стержня в разные моменты вре-
времени (значения х0> будут для различных точек различными).
Соотношение F4.3)
можно было бы элементарным путем вывести из нашего рисунка.
При этом, очевидно, / будет равно отношению отрезка OL к единице
длины на оси ОХ1' (орте,-), а /' — отношению ОК. к единице длины
на ОХ1 (орт et). На глаз видно, что /' < /.
Возвращаемся в полное пространство событий и займемся вопро-
вопросом, в каких случаях события М, М могут влиять одно на другое,
в частности, одно может служить причиной другого. Мы уже упо-
упоминали, что это возможно тогда, когда сигнал, распространяющийся
со скоростью света, успевает дойти от места одного до места дру-
другого события за время, протекшее между этими событиями. Будем
Ю П. К. Рашевский
290
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
рассматривать наши события в какой-либо инерциальной системе S.
Записываем наше условие:
F6.14)
т. е. время, нужное свету, чтобы пройти соответствующее расстоя-
расстояние, не превышает времени, протекшего между событиями. Отсюда
следует:
т. е.
(так как ct, x, у, z—не что иное, как ортонормированные коорди-
координаты х°, х1, хг, х3). Пользуясь F2.4), получаем,
Mk. наконец,
ММ2 < 0.
F6.16)
Таким образом, для того чтобы из двух событий М,
М одно могло влиять на другое, необходимо и доста-
достаточно, чтобы длина вектора ММ \равная У ММг)
была мнимой или нулевой. Это условие носит, как
видим, инвариантный характер (рис. 13).
Мы не уточняли до сих пор, какое именно из
двух событий влияет на другое. Допустим, что М
влияет на М и, следовательно, предшествует ему во
времени, так что х° < л;0.
Рассмотрим те же события М, М относительно
Рис. 13. другой инерциальной системы S'. В § 63 мы выяс-
выяснили, что при переходе от 5 к S' в первой фор-
формуле F3.3), а следовательно, и F3.2) приходится сохранить
в знаменателе лишь знак -f • Но тогда согласно F3.2)
ft' г / С ?? 1 Т\
х =,/т-^-о5- F6.17)
Переписывая эту же формулу для события М и вычитая из
нее F6.17), получим:
¦ д-0' _'
F6.18)
Так как
/1-Р1
и, как вытекает из F6.16), [-*1 — х1 \ <| х° — х° |,
§ 67] ДИНАМИКА ТОЧКИ 291
то вычитаемое в числителе F6.18) по модулю меньше уменьшаемого,
а значит, числитель имеет тот же знак, как и уменьшаемое дг° — х°,
т. е. положителен. Таким образом, и левая часть F6.18) положи-
положительна и лг0' > х0'.
Итак, если вектор ММ имеет мнимую или нулевую длину и если
событие М следует за М с тонки зрения инерциальной системы
5(лг°>л;0), то М следует за М и с точки зрения любой другой
инерциальной системы S' (х0' > л;0').
Следовательно, как раз в тех случаях, когда событие М может
влиять на М, временная последовательность этих событий является
абсолютной, и М следует за Ж с точки зрения любой инерциаль-
инерциальной системы S. Это показывает, что парадокс с обращением после-
последовательности причины и следствия в действительности места не
имеет. Когда же М, М не могут влиять друг на друга, т. е. когда
вектор ММ вещественной длины, тогда, как нетрудно показать,
всегда возможно обращение последовательности событий М, М
за счет перехода к другой инерциальной системе. Но это не приво-
приводит к парадоксам ввиду отсутствия какого-либо влияния одного
события на другое.
§ 67. Динамика точки
Мы будем рассматривать движение материальной точки в какой-
нибудь одной инерциальной системе 5, предполагая в соответствии
с основной установкой теории относительности, что все сказанное
справедливо и в любой другой инерциальной системе.
Еще до появления теории относительности был установлен экспе-
экспериментальный факт зависимости массы тел от их скорости. А именно,
если масса тела в состоянии покоя равна /я0, то при движении со
скоростью и она будет равна:
При и —>¦ с масса m стремится к бесконечности, что с новой точки
зрения подтверждает невозможность разогнать до скорости света
тело, обладающее массой покоя.
Мы будем рассматривать материальную точку с массой покоя т0
и переменной массой т. Вектор скорости обозначим и, вектор силы,
действующей на точку, обозначим F.
10»
292 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Второй закон Ньютона записывается теперь следующим образом:
F-|(mu), F7.2)
т. е. сила F равна производной от импульса ти по времени t. Это
выражение не сводится к произведению массы т на ускорение
~гг, так как масса т переменная и при дифференцировании дает
дополнительный член.
В теории относительности и во всей современной физике играет
исключительно важную роль закон взаимосвязи, массы и энергии.
Он состоит в том, что наличие у данного тела энергии Е означает
наличие у него массы -j , и наоборот, наличие массы m означает
наличие энергии тс2:
Е=тс*. F7.3)
Этот закон подтверждается физическим опытом, особенно ядерными
реакциями, при которых излучение энергии связано с соответствую-
соответствующим уменьшением массы ядра или его остатков.
Естественно, что формально «вывести» этот закон в полной
общности нельзя. Однако полезно проделать следующую выкладку,
которая в значительной мере способна убедить в справедливости
этого закона.
Пусть наша материальная точка движется для простоты по пря-
прямой линии, например, по оси X, под действием силы F, тоже направ-
направленной по оси X. Подсчитаем работу, произведенную силой на ка-
каком-нибудь участке пути от точки /\ до Р2;
Р2
Л= Г Fdx. F7.4)
р.
Формула F7.2) для движения вдоль оси X принимает вид
^ где « = g. F7.5)
Преобразуем интеграл F7.4), пользуясь F7.5):
Рг Рг Рг
С d С dx С
А = \ jt{mu)dx=\ d{mu)j-t=\ d(mu)u.
Р, P^ Pi
Мы нарочно вместо пределов в определенном интеграле указываем
лишь начало Рг и конец Рг данного пути. Это избавляет нас от
необходимости каждый раз отдавать отчет в том, что служит аргу-
аргументом под знаком интеграла.
§ 67]
ДИНАМИКА ТОЧКИ
293
Последний из полученных интегралов берем по частям и полу-
получаем:
р. Рг
А = ти2
— \ ma da.
Заменяя под знаком интеграла т согласно F7.1), продолжаем вы-
выкладку:
Pi Р,
Заменяя, наконец, т0 через ту 1—^, получаем окончательно
А =
где да1( от2 — значения массы в начале и конце пути. Так как ра-
работа А, совершенная силой F над нашей материальной точкой,
пошла на увеличение ее энергии (именно, кинетической энергии), то
где Ег, Е2—значения энергии Е нашей материальной точки в начале
и конце пути. Сравнивая две последние формулы, получаем:
E2—E1 = (m2—rn1)c2,
т. е. приращение энергии нашей материальной тонки равно прира-
приращению ее массы, умноженному на с2.
Такая взаимосвязь между энергией и массой может показаться
случайной, относящейся лишь к кинетической энергии. Однако на
основе этого частного случая можно привести некоторые соображе-
соображения в пользу универсального характера закона. В самом деле, энер-
энергия, приобретенная нашей точкой, должна быть в силу закона со-
сохранения энергии откуда-то заимствована. Но и масса, приобретенная
нашей точкой, тоже должна быть откуда-то заимствована в силу
закона сохранения массы. Естественно предположить, что и энергия
и масса были заимствованы у одного и того же тела К, именно
того тела, которое действовало на нашу точку с силой F, чем и
было вызвано приращение и массы и энергии точки («тело К» здесь
нужно понимать в широком смысле; оно может включать в себя и
силовое поле, под действием которого находится наша точка). Но
в таком случае получается, что потеря телом К некоторого
294 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
количества энергии, независимо от вида этой энергии, сопровож-
сопровождается потерей и соответствующего количества массы.
Разумеется, это лишь наводящие соображения, говорящие в пользу
закона Е—тсг. Подлинным его доказательством является прямая и
косвенная проверка на опыте; последняя состоит в подтверждении
опытом теории относительности, одним из краеугольных камней
которой является этот закон.
Запишем формулу кинетической энергии точки с массой покоя
т0 и скоростью движения и. В состоянии покоя точка обладает
массой т0 и, следовательно, энергией да0с2; двигаясь со скоростью и,
она обладает массой т =—,т° и, следовательно, энергией
/¦-?
Приращение энергии и составляет кинетическую энергию
/Я'
точки:
F7.6)
Эта формула как будто совсем не похожа на обычную, но когда
и мало сравнительно с с, то, пренебрегая величинами порядка
и \*
и выше, получаем:
с
откуда
и мы возвращаемся к обычной формуле. Разумеется, все подсчеты
производятся в какой-либо инерциальной системе S.
Кроме энергии тс2 большое значение имеет импульс движущейся
точки mii, где и — вектор скорости. Запишем проекции импульса на
координатные оси X, Y, Z в системе S:
тих, тиу, muz;
здесь
% % ? F7.7)
Выразим еще скорость по абсолютной величине:
§ 67] динамика точки 295
Теперь переходим к истолкованию всех этих величин в четырех-
четырехмерном пространстве событий. Процесс движения материальной точки
задается четырехмерной траекторией мнимой длины, которую со-
согласно F6.7) мы будем относить к параметру а в какой-нибудь
ортонормированной координатной системе х1:
х' = х'(а). F7.9)
Координаты мнимоединичного касательного вектора т равны со-
согласно F6.9):
т' = ^-\ где da = Vdx^—dx^ — dx*' — dx3'. F7.10)
Пусть наша ортонормированная координатная система в простран-
пространстве событий изображает некоторую инерциальную систему S,
так что
x° — ct, хг = х, х2=у, х3 =z.
Тогда относительно инерциальной системы 5 отдзльные координаты
касательного вектора т имеют следующий смысл.
Так как
da = /с2 dt2 — dxz — dy2—dz2 =
то
т°= da
dx° 1 t _ dxl _
F7.11)
j_ тз _ tl_ "
da
с
Мы воспользовались здесь формулами F7.7), F7.8).
Мнимоединичный касательный к четырехмерной траектории век-
вектор т никак не отражает индивидуальности рассматриваемой мате-
материальной точки. Эта индивидуальность в данной связи характери-
характеризуется массой покоя т0, или, что то же самое, энергией покоя тосг:
Ео = тос*. F7.12)
Мы построим в каждой точке четырехмерной траектории каса~
тельный к ней вектор Еох, умножив мнимоединичный касательный
296
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
вектор х на энергию покоя. Этот вектор мы будем называть (четы-
(четырехмерным) вектором энергии-импульса нашей материальной точки
(рис. 14). Смысл этого названия сейчас выяснится.
Вектор энергии-импульса имеет постоянную длину Е01, так как
—у
вектор т имеет длину /. Таким образом, вектор энергии импульса,
\ вслед за четырехмерной траекторией, которой он
j?^ касается, является инвариантным геометрическим
/ ° построением в пространстве событий, совершенно
не зависящим от выбора инерциальной системы S
(энергия покоя Ео зависит лишь от выбора самой
материальной точки).
Но, конечно, ничто не мешает нам рассматри-
рассматривать вектор энергии-импульса и в инерциальной
системе S, точнее, в соответствующей ортонорми-
ортонормированной координатной системе х1.
Координаты вектора энергии-импульса полу-
получатся умножением координат т F7.11) на ?0 =
2
Т —
Рис. 14.
и т. д.
Пользуясь F7.1), получим окончательно:
?от° = тс2,
?0т2 = тиус,
17 1 Л
Б0т3 = отмгс. )
F7.13)
Таким образом, нулевая координата вектора энергии-импульса
выражает энергию материальной точки, а три другие—умноженные
на с — составляющие ее импульса по осям X, Y, Z. Название вектора
энергии-импульса этим оправдано: его координаты, вычисленные
в ортонормированной координатной системе х1, определяют энергию
и три составляющие импульса материальной точки относительно
соответствующей инерциальной системы S.
Подобно тому, как пространственная и временная протяженность
мира изображается в четырехмерном пространстве событий единой
псевдоевклидовой метрикой, так энергия и импульс материальной
точки изображаются единым четырехмерным вектором. «Распадение»
его на энергию и три составляющие импульса происходит лишь по
отношению к той или иной инерциальной системе S.
Существование инвариантного вектора энергии-импульса с коор-
координатами F7.13) представляет интерес не только с точки зрения
§ 67] динамика точки 297
четырехмерного геометрического истолкования механики. Напротив,
важнейшее значение этого факта в другом: до сих пор мы предпо-
предполагали, что динамика точки строится одинаково в каждой инерциальной
системе S, но не знали, как связаны между собой соответствующие
величины для разных систем S, S'; теперь же, зная энергию и им-
импульс материальной точки в одной инерциальной системе S, мы
можем вычислять эти величины и в любой другой инерциальной си-
системе S'.
В самом деле, поскольку энергия и три составляющие импульса
(умноженные на с) образуют в пространстве событий координаты
инвариантного вектора Eot, то они и преобразуются соответствующим
образом. А именно, переход от одного ортонормированного репера Ш
(отвечающего S) к другому, ffi', (отвечающему S') выражается фор-
формулами
е,, = Л|,е,., Тю1' = —Л''е,, F7.14)
и влечет за собой, как мы знаем, преобразование координат точки
(т. е. события)
F7.15)
и преобразование координат вектора
jc'' = ;4jV. F7.16)
При этом матрица Л{' (как и обратная ей матрица А\.) должна быть
в нашем случае псевдоортогональной 4-го порядка, индекса 1 с доба-
добавочным условием А% > 0 (см. F2.11)). Таким образом, чтобы получить
закон преобразования координат х°, х1, х2, х3 инвариантного век-
вектора, достаточно отбросить свободные члены в формулах F7.15),
выражающих преобразование координат события лг°, х1, х2, лг3 =
= ct,x, у, z при переходе от инерциальной системы S к инерциаль-
инерциальной системе S'. Таков будет, в частности, и закон преобразования
координат вектора энергии-импульса Еох'.
Простейший пример преобразования F7.15) дают формулы Лоренца
F3.7), которые можно переписать в виде
х*'=х2, х*' = х*. F7.17)
Здесь свободных членов нет, так что эти же формулы дают и закон
преобразования F7.16) координат вектора. В частности, подставляя
298 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
сюда Еох1 вместо х1, мы получаем закон преобразования энергии и
трех составляющих импульса материальной точки (умноженных на с)
при переходе от S к S'.
Возвращаясь к общему преобразованию F7.16), заметим, что
каждая новая координата вектора зависит, вообще говоря, от всех
старых, так что энергия в новой системе S' зависит не только от
энергии, но и от импульса в системе S; равным образом, и импульс
в системе S' зависит не только от импульса, но и от энергии в
системе 5. В этом и заключается реальный физический смысл объе-
объединения энергии и импульса материальной точки в один четырех-
четырехмерный вектор.
§ 68. Плотность масс, плотность заряда,
вектор плотности тока
Чтобы не загромождать последующее изложение деталями,
мы произведем в этом параграфе некоторые нужные нам под-
подсчеты.
Когда мы имеем не отдельную частицу, а поток большого числа
частиц, то в идеализированном виде представляем себе его как поток
непрерывно распределенных в пространстве масс. Обозначим плотность
этих масс относительно какой-нибудь инерц'иальной системы S через \i.
Конечно, плотность \i будет различной в разных точках и в разные
моменты времени:
ц = М*°. х\ х\ х3), (х°, х\ х\ x* = ct, х, у, г). F8.1)
Далее, в каждой точке и в каждый момент времени поток масс имеет
определенный вектор скорости
и = и(лг°, л;1, х2, х3). F8.2)
Мы должны ожидать, что плотность \i относительно различных инер-
циальных систем 5 будет различной, хотя бы мы измеряли ее в том
же месте и в тот же момент времени. При этом есть одна инерциаль-
ная система, которая будет играть в этом измерении особую роль:
это система So, движущаяся вместе с потоком, т. е. такая, с точки
зрения которой массы покоятся. Разумеется, подобрать систему SQ
так, чтобы относительно системы So покоились вообще все рас-
рассматриваемые массы, невозможно, если только мы не берем в качестве
потока очень частный случай равномерного и прямолинейного движения
твердого тела. Но для данной точки и данного момента времени
всегда можно подобрать систему So, заставив ее двигаться относи-
относительно системы 5 со скоростью U, которую имеет поток в этой точке
и в этот момент времени. Тогда элемент массы dm, заключенный в
элементе объема da» и движущийся вместе с потоком со скоростью и,
§ 68] ПЛОТНОСТЬ МАСС, ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА 299
будет в этот момент покоиться относительно системы So (для крат-
краткости мы позволим себе говорить об «элементах» массы и объема
без детальных уточнений; по существу речь идет о массе и объеме,
заключенных в бесконечно малой окрестности данной точки и рас-
рассматриваемых с точностью до бесконечно малых высшего порядка;
в частности, тогда массу и объем можно считать пропорциональными
между собой).
Относительно системы So наш элемент объема имеет уже другую
величину, которую мы обозначим dcoo. Действительно, поскольку
с точки зрения системы So элемент объема покоится, а с точки зрения
системы S движется со скоростью и, его продольные размеры с точки
зрения системы 5 сократятся в отношении 1/ 1 —^- , поперечные
же размеры не изменяются. В результате объем сократится в отношении
1 j", и мы получаем:
da= у 1 — -^tfcoo. F8.3)
Пусть с точки зрения системы So наш элемент массы имеет значение
dmQ. Поскольку в системе So он покоится, а относительно системы S
имеет скорость и, получаем согласно F7.1)
dm =—^==. F8.4)
Обозначим через \i0 плотность масс в данной точке и в данный момент
времени с точки зрения системы So (плотность покоя). Конечно, ц0
зависит от выбранной точки и от выбранного момента времени
1*в = ц0(*\ х\ х\ х3), F8.5)
но в отличие от fx является инвариантом — не зависит от выбора
инерциальной системы .S. По смыслу понятия плотности
dm0 dm
Вставляя в последнюю формулу выражения F8.3) и F8.4), получаем
ц= ^-. F8.6)
Такова важная формула, связывающая плотности масс в системе So,
где они покоятся, и в системе S, относительно которой они движутся
со скоростью и.
300 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Посмотрим теперь, как выглядит картина потока масс с точки
зрения пространства событий.
Каждая частица массы, вернее, каждая точка, движущаяся вместе
с потоком, обладает четырехмерной траекторией в пространстве
событий. Если представлять себе в идеализированном виде, что
поток масс заполняет все наше пространство, то четырехмерные
траектории его частиц заполняют все пространство событий, причем
через каждую точку пространства событий проходит одна и только
одна траектория.
Действительно, в любой точке и в любой момент времени мы
находим частицу массы, движущейся с нашим потоком; вполне опре-
определенный процесс ее дальнейшего (и предшествующего) движения
изображается вполне определенной четырехмерной траекторией в
пространстве событий. Но «любая точка и любой момент времени»
означают выбор произвольной точки в пространстве событий, через
которую и пройдет эта (единственным образом определенная) траек-
траектория.
Построим мнимоединичный касательный вектор т к каждой четырех-
четырехмерной траектории потока в каждой ее точке. В результате вектор т
будет построен в каждой точке М пространства событий, и мы полу-
получаем векторное поле в пространстве событий
ТТ т' = т'(лг°, лг\ х2, х3). F8.7)
Очевидно, по этому векторному полю можно, обратно, восстановить
совокупность четырехмерных траекторий потока масс. Связь между
координатами т' вектора т в пространстве событий и координатами
их, иу, uz вектора и F8.2) в обычном пространстве дается форму-
формулами F7.11).
Обращает на себя внимание, что в полученной нами картине
не нашла себе отражения такая важная характеристика потока, как
плотность его масс. Но к этому мы вернемся позже, когда будем
заниматься тензором энергии-импульса.
Переходим теперь к другому, хотя и сходному вопросу: рассмотрим
поток частиц, несущих электрические заряды; масса частиц интере-
интересовать нас не будет. Идеализируя эту картину, можно рассматривать
движение непрерывно распределенного в пространстве электрического
заряда. Плотность этого заряда, рассматриваемая с точки зрения
какой-либо инерциальной системы S, является функцией места и
времени:
р = р(лг°, х1, хг, х3). F8.8)
§ 68] ПЛОТНОСТЬ МАСС, ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА 301
Аналогично F8.2) обозначим
u = u(jc°, х1, х2, xs) F8.9)
вектор скорости потока электричества с точки зрения системы S.
Теперь аналогично предыдущему подберем для данной точки и данного
момента времени систему So, движущуюся вместе с потоком электри-
электричества. Плотность электрического заряда в этой точке и в этот
момент времени, измеренную в системе So, обозначим р0 (плотность
покоя). Конечно, плотность покоя также есть функция места и времени:
po = pe(*°, x\ х\ Xs) F8.10)
и аналогично \i0 представляет собой инвариант (не зависит от выбора
инерциальной системы S). По-прежнему для элемента объема имеет
место соотношение F8.3) между его величиной da> с точки зрения 5
и его величиной da0 с точки зрения So. Обозначим через de элемент
заряда, заключенный в этом элементе объема. Элемент заряда будет
одинаковым и с точки зрения S и с точки зрения 5",,, так как теория
относительности сохраняет классическую точку зрения на заряд как
на инвариант, значение которого не зависит от выбора инерциальной
системы.
Плотность электрического заряда с точек зрения систем 5 и So
имеет соответственно значения
de de
откуда при помощи F8.3) следует:
Р- Л г. F8.11)
Так меняется плотность электрического заряда при переходе от сис-
системы So, относительно которой он покоится, к системе S, относи-
относительно которой он движется со скоростью U.
Переходя к геометрическому истолкованию в четырехмерном прост-
пространстве событий, воспроизводим прежнюю картину четырехмерных
траекторий, но теперь уже для частиц заряда, вернее, для точек,
движущихся вместе с потоком электричества. По-прежнему через
каждую точку пространства событий проходит одна и только одна
четырехмерная траектория, и ее мнимоединичный касательный вектор х
образует поле F8.7) в этом пространстве. Связь с вектором скорос-
скорости и F8.9) по-прежнему дается формулами F7.11). Но теперь мы
пойдем дальше. Умножим вектор т на плотность покоя р0 и обозначим
302 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
полученный вектор через s:
s = po(jc°, х1, лг2, *3)~t(jc°, х1, х\ х3). F8.12)
Подчеркнем, что векторное поле s в пространстве событий является
инвариантным, т. е. не зависит от выбора инерциальной системы S,
так как инвариантны оба множителя, при помощи которых оно
получено.
Вектор s мы будем называть четырехмерным вектором плотности
тока. Смысл этого названия выяснится, если рассмотреть координаты
вектора в ортонормированием репере ffi, изображающем какую-нибудь
систему S.
Пользуясь F7.11), получаем:
,0 _ о т0 _ Ро «1 — п т-1 Роц* и т л
4 — Рот г „ ) s — Рот г „ и т- д->
¦Л / . U -ж / . U"
У l-w СУ 1~^
а пользуясь F8.11), получаем окончательно:
so=P) s» = pfe, «2 = pJ, ** = Р"^- F8.13)
Таким образом, нулевая координата вектора s выражает плот-
плотность заряда, а три остальные (после умножения на с) — значения
плотности тока в направлениях координатных осей X, Y, Z—все это
относительно данной инерциальной системы S.
Плотностью тока, например, в направлении оси X мы называем
количество электричества, протекающее за бесконечно малый проме-
промежуток времени е через бесконечно малую площадку dS, ортогональ-
ортогональную к оси X, отнесенное к единице площади и к единице времени
и взятое в пределе. Плотность тока мы считаем положительной, если
ток течет в положительную сторону оси X. Легко подсчитать, что
поскольку плотность электричества р, а движется оно в направлении
оси X со скоростью их, то плотность тока в направлении оси X
равна риж и аналогично для других осей. Очевидно, рих зависит от
момента времени и от места, где выбрана площадка dS, т. е. от лг0,
х\ х2, Xs.
Итак, плотность заряда и три значения плотности тока в направ-
направлениях осей X, Y, Z (деленные на с) оказались координатами одного
инвариантного четырехмерного вектора.
Реальный физический смысл этого утверждения заключается в
том, что мы можем указать закон преобразования этих четырех ве-
величин при переходе от одной инерциальной системы к другой. Здесь
можно повторить все сказанное в конце § 67 относительно коорди-
координат вектора энергии-импульса.
§ 69] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 303
§ 69. Электромагнитное поле
В этом параграфе мы покажем, как электромагнитное поле находит
изображение в пространстве событий в виде определенного
тензорного поля. Начнем с того, что будем наблюдать электромаг-
электромагнитное поле (в пустоте) относительно какой-нибудь инерциальной си-
системы S. Пусть Е (Ех, Еу, Ez) будет напряженность электрического и
П(НХ, Н Нг) — напряженность магнитного поля. Для простоты будем
считать эти векторы постоянными в рассматриваемой малой
области пространства и за малый промежуток времени.
Если у нас имеется частица, несущая заряд е и движущаяся со
скоростью и, то в электромагнитном поле на нее действует сила по
закону Лоренца:
F = eE+y[uH]. F9.1)
Согласно общей установке теории относительности мы предполагаем,
что этот закон действует в любой инерциальной системе.
Пусть наша частица имеет (переменную) массу т. Тогда, пользуясь
вторым законом Ньютона в форме F7.2), можно записать:
F9.2)
Проектируя это равенство почленно на координатные оси, получим:
и две аналогичные формулы, получаемые из этой круговой подста-
подстановкой х, у, г.
Умножая почленно на cdt и учитывая, что их—'77г uy~~Tt>
dz
uz — -п, получим:
d (muxc) = е {Excdt+dy Hz—dz Hy} F9.3)
и две аналогичные формулы.
Переходим теперь в пространство событий, где нашей инер-
инерциальной системе 5 отвечает ортонормированная координатная система
х№, х1, х2, ха — ct, х, у, г. При этом движение частицы изобража-
изображается четырехмерной траекторией с мнимоединичным касательным
вектором т, при помощи которого мы составляли вектор энергии-
304 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
импульса Еох, где Ео— энергия покоя. Согласно F7.13)
тихс = ЕрТ1 и т. д.,
так что F9.3) и две аналогичные формулы можно переписать так:
y F9.4)
d (?0т3) = e {Ezdx° + Hydx^-Hxdx% j
К этим формулам следует прибавить еще одну, выражающую диф-
дифференциал энергии частицы,— пока мы выразили лишь дифференциалы
трех проекций ее импульса (умноженные на с). Но дифференциал
энергии тс2 равен элементу работы, совершенной над частицей си-
силами поля:
d(mc2)--=e{Exdx + Eydy+Ezdz}. F9.5)
Обращает на себя внимание, что в правой части записана работа,
произведенная лишь силами электрического поля; это потому, что
магнитное поле, как видно из F9.1), дает силу, ортогональную к на-
направлению движения частицы (к вектору скорости и), и потому
работы не производит.
Пользуясь формулами F7.12), запишем окончательно:
d (Еох°) = е {Exdx + Eydy + Ezdz\. F9.6)
Теперь объединим формулы F9.4), F9.6), поставив на первое
место F9.6). Мы видим, что эти формулы выражают линейную зави-
зависимость координат вектора d (Еох) от координат dx' вектора dx,
где х — текущий радиус-вектор четырехмерной траектории частицы
в пространстве событий. Оба дифференциала dx, d (Eox) берутся при
бесконечно малом смещении по четырехмерной траектории.
Формулы F9.6), F9.4) становятся более прозрачными, если перейти
к ковариантным координатам вектора d(Еох).
Согласно D2.24) для любого вектора х в ортонормированной
координатной системе в пространстве событий мы имеем:
*0 = — *°, х^хх (Х=1,2, 3), F9.7)
так как в этом случае е20 = — 1, е|=1. Применяя эти формулы
§ 69]
ЭЛККТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
305
к Еох, мы перепишем F9.6), F9.4) в виде
d (Еохо) = е { — Exdx* - Eydx* — Ezdx3 },
+Hxdx*},
Мы замечаем, что матрица линейного преобразования dx1 в d{Е^х^
является кососимметрическои и, если отбросить множитель е и обо-
обозначить ее элементы через FtJ, имеет следующий вид:
' 00 '
Flo F
'20 '
'so F
01 02
11 ^12
21 ^22
p
31 ' 32
'03
^13
^23
'33
0 —
Ex
Ey -
Ez
-н.
Я„ —1
-ну
0
F9.9)
Очевидно, Ру=—Fji- Пользуясь индексными обозначениями, фор-
формулы F9.8) можно переписать в виде
d (ЕвХ() = eFtj dx1. F9.10)
Разберемся в смысле полученного результата. При бесконечно малом
смещении по четырехмерной траектории заряженной частицы (рис. 15)
мы рассмотрим дифференциал dx радиуса-
вектора х (его контравариантные коорди-
координаты dx') и дифференциал d (Eox) вектора
энергии-импульса Еох (его ковариантные
координаты d (Еох()).
—>¦
Причиной того, что d{Eox) вообще су-
существует (т. е. не равен нулю), является
электромагнитное поле, действующее на
заряженную частицу; если бы частица
не подвергалась действию сил, то мы
имели бы
fo^4(?0fp?oT+(l(ff)
dx
дж)
т. е. вектор энергии-импульса Еох оста-
оставался бы постоянным, и четырехмерная
-* Рис. 15.
траектория, как легко следует из т = const,
была бы прямолинейной. При этом в
одном и том же электромагнитном поле мы можем заставить
заряженную частицу двигаться по разным направлениям с раз-
306 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
ными скоростями, т. е. можем варьировать четырехмерную траекторию.
Тогда вектор dx будет принимать различные значения, a d {Е^х)
будет меняться в зависимости от dx. Так как координаты вектора
—>
d {EqT) при этом линейно зависят от координат вектора dx, то
—>
d (Еох) получается из dx действием некоторого аффинора (§ 3),
который, отбрасывая множитель е, мы обозначим $. Итак,
F9.11)
Формулы F9.10) выражают зависимость ковариантных координат
вектора-функции от контравариантных координат вектора-аргумента,
так что коэффициенты Ftj аффинора $ образуют согласно D0.10)
дважды ковариантный (и при этом кососимметрический) тензор. Тен-
Тензор Fjj называется тензором электромагнитного поля. Таким образом,
составляющие электрического и магнитного полей, рассматриваемые
относительно какой-либо инерциальной системы S, образуют по
схеме F9.9) координаты дважды ковариантного кососимметрического
тензора F^, вычисленные в соответствующей ортонормированной
системе координат в пространстве событий.
Реальный физический смысл этого результата заключается в том,
что он дает возможность пересчитывать электромагнитное поле, задан-
заданное в одной инерциальной системе 5, на любую другую инерциаль-
ную систему 5'. Для этого составляющие электромагнитного поля,
записанные по схеме F9.9), нужно подвергнуть преобразованию по
тензорному закону
Здесь А)—псевдоортогональная матрица (см. F2.11)), выражающая
переход от ортонормированной системы, отвечающей S, к системе,
отвечающей 5':
е,' = А\л{.
Если нам задан переход от S к S' формулами
(где дг°, х1, х2, х3 = ct, х, у, z), то обратную матрицу А\, мы сей-
сейчас же получаем согласно F2.11). В простейшем случае, когда пере-
переход задается формулами Лоренца F7.17), эта матрица имеет
§ 70]
вид
Al
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Ло А\ Л2
ЛГ ЛГ ЛГ
Ли Al лг из
2' ^*2' ^^2' **2У
Л° J1 л*
о
о
о
о
о о
0 о
1 о
о 1
307
F9.13)
Применяя ее в формуле F9.12), получаем, например:
F м Аг A1 F
'* 20 ~Т~ 2' 0'^ 21 —
:. F9.14)
В процессе суммирования по i, j мы не выписывали членов, равных
нулю. Аналогично можно вычислить любую составляющую электро-
электромагнитного поля относительно системы 5'.
Мы рассматривали электромагнитное поле для простоты в малом
участке пространства и в течение малого промежутка времени, т. е.
в малой области четырехмерного пространства событий, и считали
его в этой области постоянным. В действительности же напряжен-
напряженности электрического и магнитного полей зависят от места и времени,
так что тензор Fц должен быть задан в каждой точке пространства
событий, и мы получаем тензорное поле
р Flr° х* *-2 гг\ 16Q 15\
Этим тензорным полем мы и будем в дальнейшем заниматься.
§ 70. Уравнения Максвелла
Еще до появления теории относительности краеугольным камнем
электродинамики служили уравнения Максвелла. Пусть Е (t, x, у, г),
Н (t, х, у, г) будут соответственно электрическое и магнитное вектор-
векторные поля, рассматриваемые относительно «покоящейся» системы от-
отсчета 5. Тогда первая группа уравнений Максвелла связывает эти
поля друг с другом
divH = 0, rotE = -|^, G0.1)
308 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
а вторая группа связывает их, кроме того, с распределением и дви-
движением электричества в пространстве:
i-|5_|_^pU. G0.2)
Здесь
Р = Р V, х, у, г)
есть плотность электрического заряда, а
VL = u(t, х, у, z)
— вектор скорости его движения в данной точке и в данный момент
времени. Уравнения Максвелла записаны у нас для пустоты.
Как уже указывалось, законы электродинамики, т. е. в основном
уравнения Максвелла, с классической точки зрения неинвариантны
относительно перехода от одной инерциальной системы к другой и
должны нарушаться в «движущейся» системе 5'. Опыт же показал
противное, и теория относительности возникла как разрешение этого
противоречия. Сейчас мы покажем, что, действительно, с точки зре-
зрения теории относительности имеет место инвариантность уравнений
Максвелла, т. е. если эти уравнения справедливы в одной инерциаль-
ной системе S, то они справедливы и в любой другой системе 5".
Для этой цели мы должны истолковать уравнения Максвелла
с точки зрения четырехмерного пространства событий как ограниче-
ограничения, наложенные на выбор тензорных полей Fy (электромагнитное
поле) и s' (поле вектора четырехмерной плотности тока). Займемся
сначала первой группой уравнений Максвелла G0.1). Дадим эти урав-
уравнения в развернутой координатной записи (проектируя второе из них
на координатные оси X, Y, Z):
дНх дНу dHz_
дх ¦+" ду ¦*" дг
<ЭЕгд?у 1 дНх
__?=
ду дг ~ с dt '
и еще две формулы, получающиеся из последней круговой подста-
подстановкой х, у, z. Пользуясь теперь таблицей F9.9), а также обозна-
обозначениями х°, х1, хг, x3 = ct, х, у, z, получаем:
дх2 дх<> ~ дх° 1'ил>
и еще две формулы, получающиеся из последней круговой подста-
подстановкой 1, 2, 3.
§ 70] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 309
Пользуясь косой симметрией /7i/ = — Fjh можно записать G0.4)
в более симметричном виде, перенося все члены в левые
части:
д-^зо ¦ aF02 . dF23 _^ «
дх2 "г" а*3 "" дхй ~ '
-^ = 0 [ G0.5)
дх° ' ! v '
dF20 dF01 dF12 _ _
Мы замечаем, что четыре формулы G0.5), G0.3), к которым свелась
первая группа уравнений Максвелла, имеют однотипное строение и
допускают общую запись с буквенными индексами:
dFu dFik dFhi
—т + —^ + —" = 0. G0.6)
дхк Т ах' ^ дх' V '
Заметим, что левая часть этого уравнения кососимметрична по всем
трем своим индексам: если переставить между собой, например,
индексы k, i, то последний член меняет знак, первый член превра-
превращается во второй и наоборот, в обоих случаях с изменением знака
(все это в силу косой симметрии тензора Ft]). При этом фор-
формулы G0.5), G0.3) исчерпывают все случаи, когда i, j, k представ-
представляют собой тройку различных индексов из числа индексов 0, 1,2, 3.
В самом деле, задавшись индексами, например, 1, 2, 3 и написав
соответствующее уравнение G0.3), сделаем в нем над индексами 1, 2, 3
какую-нибудь подстановку, в силу косой симметрии левая часть или
не меняется или меняет лишь знак, и смысл уравнения не изменится.
Если же среди индексов i, j, k имеются хотя бы два одинаковых,
то в силу косой симметрии левой части G0.6) она тождественно
обращается в нуль, и G0.6) вместо уравнения дает тождество.
Таким образом, уравнения G0.5), G0.3) равносильны уравне-
уравнениям G0.6), рассматриваемым при всех комбинациях индексов.
Первая группа уравнений Максвелла в четырехмерном простран-
пространстве событий записывается в виде дифференциальных уравнений G0.6),
наложенных на тензорное поле Fy.
Теперь тензорный характер, а вместе с ним и инвариантность
этих уравнений становятся очевидными. Действительно, в § 38 мы
выяснили, что в результате частного дифференцирования тензора
поля по координатам точки получается поле нового тензора с доба-
добавочным ковариантным индексом. В нашем случае частные производ-
dFu
ные —¦- образуют трижды ковариантный тензор
дх*
dFu
Р _ lJ_
310 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
вследствие чего образуют тензор и величины
л<у* = Fijk + Fjki + Fkij-
Действительно, тензор Aijk получается сложением трех трижды кова-
риантных тензоров (отличающихся друг от друга лишь круговыми
подстановками индексов). Теперь уравнения G0.6) принимают вид
Но по характеру тензорного закона преобразования обращение тен-
тензора A.tjk (т. е. всех его координат) в нуль в одной координатной
системе влечет то же самое и в любой другой координатной системе.
Поэтому уравнения G0.6), установленные в одной координатной
системе, будут справедливы и в любой другой. При этом можно
брать не обязательно ортонормированные, но и любые аффин-
аффинные координатные системы. Однако для нас важны именно ортонорми-
ортонормированные системы, так как инвариантность при их преобразовании
означает инвариантность при переходе от одной инерциальной систе-
системы 5 к любой другой S'.
Теперь займемся второй группой уравнений Максвелла G0.2).
Перепишем их в развернутой форме:
дЕх . дЕу дЕ
ду дг с dt ~т~ с * *
и еще два уравнения, получающихся из последнего круговой подста-
подстановкой х, у, z.
Пользуясь таблицей F9.9) и формулами F8.13), получаем;
^Lo+j3F|o + j3F|, = 4 о G0.7)
дх1 ' дх2 ' дх3 ' х '
|!!|?_^а = ^ + 4д51 G0.8)
дх3 дх3 дх° ' х '
и еще два уравнения, получающихся в результате круговой под-
подстановки 1, 2, 3. Перенося все производные в левую часть и поль-
пользуясь косой симметрией Fy, можно написать вместо G0.8)
и еще два уравнения, получающихся из этого круговой подстанов-
подстановкой 1, 2, 3.
Итак, вторая группа уравнений Максвелла свелась к G0.7) и G0.9).
Однако тензорный характер наших уравнений в этой записи еще
неясен. Чтобы его обнаружить, нужно перейти к контравариантной
§ 70] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 311
записи тензора F^, подняв оба его индекса при помощи контра-
контравариантного метрического тензора glJ (§ 40):
pq. G0.10)
Здесь по р и q происходит суммирование. Очевидно, косая симметрия
сохранится и после поднятия индексов.
В самом деле, переставив индексы i, j в формуле G0.10), мы
можем также поменять и обозначения индексов суммирования р, q,
что не играет никакой роли для результата. Получим:
F" =
Сравнивая с G0.10), получаем:
так как Fqp =—Fpq. В пространстве событий для ортонормирован-
ного репера все координаты метрического тензора gjj=efif равны
нулю кроме
?оо = — h &x=l (*.= 1,2,3). G0.11)
Координаты контравариантного метрического тензора g'* образуют
матрицу, обратную матрице g^, следовательно, в данном случае
просто с ней совпадающую:
iroo = -l, «"=1 (Ь=1,2, 3); ^ = 0(/^Д G0.12)
Поэтому при суммировании по р, q в G0.10) следует сохранить
лишь слагаемые, где p = i, q = j, и мы получаем:
/7'y = gJV//=>,7 (без суммирования). G0.13)
Это значит, согласно G0.12), что если оба индекса i, j равны
нулю или оба отличны от нуля, то g"g^=\ и FiJ = Fy; если же
один из них нуль, а другой отличен от нуля, то g"^ = —1 и
FiJ=-- — Fir Итак,
/""•-foo, Р* = Рх^ F°l = ~Fox (Я...Ц-1, 2, 3). G0.14)
Перепишем теперь уравнение G0.7), заменяя /\0 через—FoX, а затем
через F°^:
S^f G0.15)
В уравнении G0.9) заменяем — Flo через F10; Fl2, F13 заменяются
просто через F12, F13. Получаем, присоединяя еще два уравнения,
312 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. [V
получающихся круговой подстановкой 1, 2, 3:
~дх°~ + ~Ш "^ Их* =4jtsl.
G0.16)
Итак, вторая группа уравнений Максвелла сводится к G0.15), G0.16).
Эти четыре уравнения можно объединить в тензорной записи:
^ = Ans\ G0.17)
дх>
В левой части происходит суммирование по j. Легко проверить, что,
действительно, при г = 0, 1, 2, 3 мы получаем соответственно фор-
формулы G0.15) и G0.16). Для этого достаточно написать в каждом
случае суммирование по j в развернутом виде, учитывая, что в каж-
каждой сумме выпадает один член, равный нулю (именно, при j=i,
когда Fu = 0).
Так как частные производные дважды контравариантного тен-
gpi/
зора —г- образуют тензор дважды контравариантный и один раз
дхи
ковариантный, то суммирование по j можно рассматривать как свер-
dFJ „
тывание тензора —- по второму верхнему и нижнему индексам, по
Эх*
в результате свертывания тензора получается снова тензор, в нашем
случае с одним верхним индексом L Таким образом G0.17) означает
равенство двух контравариантных тензоров 1-й валентности. Но такое
равенство, справедливое в одной координатной системе, будет спра-
справедливо и в любой другой ввиду одинакового закона преобразования
левой и правой частей. Тем самым, и вторая пара уравнений Макс-
Максвелла имеет место в любой инерциальной системе 5, если она имеет
место в одной из них.
Таким образом, мы показали, как теория относительности вы-
выполняет свою основную задачу — обеспечить инвариантность уравне-
уравнений Максвелла G0.6), G0.17), т. е. инвариантность законов электро-
электродинамики, установленную ранее на опыте.
Из G0.17) и из кососимметричности FiJ легко следует, что
дх1
ия
Физический смысл этого соотношения — закон сохранения заряда;
т. е. четырехмерная дивергенция векторного поля s' равна нулю
§ 70] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 313
приращение заряда в какой-либо трехмерной области со, выделенной
в какой-нибудь инерциальной системе S, всегда равно заряду, втек-
втекшему за то же время через границу П области со (вывод совершенно
такой же, как и в случае G2.8)).
Отметим без доказательства, что из уравнений G0.6) сле-
следует существование один раз ковариантного тензорного поля
/,.(*«, х\ х\ х3),
такого, что
Тензор /,- можно геометрически представить в виде вектора f с кова-
риантными координатами /(-, так что поле тензора /,- истолкуется
как векторное поле f. Вектор f называется четырехмерным потен-
потенциалом электромагнитного поля; напряженность электромагнитного
роля Fij получается из него, как мы видим, операцией, сходной
с построением ротора данного векторного поля в обычном простран-
пространстве. Но теперь дело происходит в четырехмерном пространстве, и
мы получаем в результате не вектор, а бивектор (кососимметрический
тензор) F;j. Впрочем и в обычном пространстве при построении ротора
мы получаем по существу сначала бивектор (кососимметрический
аффинор, см. § 5), который уже затем условно переделываем в
вектор, для чего существенно используется трехмерный характер
пространства.
Обратно, из формул G0.18) немедленно вытекают уравнения G0.6),
в чем легко убедиться прямой проверкой.
Заметим еще, что четырехмерный потенциал /,- данного электро-
электромагнитного поля определяется неоднозначно: из вида формул G0.18)
легко вытекает, что к f( можно добавлять любой градиентный тензор
dq>
где ф — произвольное скалярное поле. Действительно, формулы
G0.18) при этом не нарушаются.
Произвол в выборе четырехмерного потенциала существенно умень-
уменьшается, если на него наложить, как обычно делают, инвариантное
добавочное условие
^¦ = 0. G0.19)
Здесь по / происходит суммирование, так что нулю приравнивается
df'
инвариант, полученный полным свертыванием тензора —,. Под /'мы
дх1
понимаем тензор, полученный поднятием индекса у тензора /,-, или,
что то же, контравариантные координаты вектора f.
314 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
§ 71. Тензор энергии-импульса
Допустим, что нас интересует общая картина распределения
и движения энергии и импульса в пространстве и времени. Как мы
далее увидим, для ее описания мы должны построить в четырех-
четырехмерном пространстве событий соответствующим образом подобранный
дважды контравариантный симметрический тензор Т*^—тензор энер-
энергии-импульса.
Этот тензор задается в каждой точке пространства событий,
так что получается тензорное поле
G1.1)
Конечно, этим еще ничего не сказано о том, как тензор энергии-
импульса строится и как он связан с распределением и движением
энергии и импульса. Но мы начнем с рассмотрения частного слу-
случая тензора энергии-импульса, общее же его определение дадим
потом.
1°. Тензор энергии-импульса потока масс. Рассмотрим поток масс
так, как мы это делали в § 68, и сохраняя все прежние обозначения.
В каждой точке М пространства событий мы имеем мнимоединичный
касательный вектор т F8.7) к четырехмерной траектории потока и
плотность покоя ц0 F8.5):
т = т(уИ), fio = fi0(Af). G1.2)
Координаты т вектора т образуют один раз контравариантный тензор.
Перемножая этот тензор с самим собой и с инвариантом c2}i0, мы
получим симметрический дважды контравариантный тензор, который
обозначим
Т>у=|лосН? G1.3)
и будем называть тензором энергии-импульса потока масс. Что мы
хотим сказать этим названием, станет ясным, если рассмотреть коор-
координаты тензора T'J в какой-либо ортонормированной системе х°, х1,
х'1, Xs и раскрыть их физический смысл с точки зрения соответст-
соответствующей инерциальной системы S. Подразумевается, что V1 берутся
в определенной точке пространства событий, и соответственно их
физический смысл истолковывается в определенный момент времени
и в определенной точке обычного пространства (с точки зрения
системы S).
Для этой цели нам будут нужны формулы F7.11), дающие связь
между координатами т' и скоростью движения масс и (их, цу, иг)
§ 71] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 315
относительно системы 5:
J
/чг
G1.4)
If . Is —— .
Кроме того, мы используем формулу F8.6):
дающую связь между плотностью покоя \i0 и плотностью ц с точки
зрения S.
Вычисляем 70:
Г00 = (i0c2T°T° = J^- = (ic8. G1.6)
1 г*
Так как fi, есть плотность масс, то \ic2 выражает, следовательно,
плотность энергии в нашем потоке. Здесь и в дальнейшем все физи-
физические величины измеряются относительно системы 5.
Вычисляем теперь Г01 = Т10:
Г01 = ЦосЧОт1 = (i0c2 "* = (лилс.
)
Аналогичные выражения получаем и для Г02, Г03. В результате
Г01 = (лал.с, 7"м = цв„с, Г°з = (.шгс. G1.7)
Физический смысл этого результата двоякий. Во-первых, раз плот-
плотность масс A, а скорость их движения и(их, и иг), то плотность
импульса будет равна }iu. Этим мы хотим сказать, что, умножая
ци на элемент объема da, мы получаем (пренебрегая бесконечно
малыми высшего порядка) импульс, заключенный в da». Действительно,
\idat дает, по определению плотности, массу, заключенную в dm,
а следовательно, \id(ou дает соответствующий импульс (пренебрегая
в обоих случаях бесконечно малыми высшего порядка). Аналогично
плотности проекций импульса на оси X, Y, Z будут равны:
цих, циу, \iuz. G1.8)
Этим мы хотим сказать, что, умножая, например, цих на da», мы
получаем проекцию импульса, заключенного в dm, на ось X. Дейст-
Действительно, \utxd(o есть проекция вектора \ida\x на ось X.
316 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Таким образом, координаты Т°Х(Х=\, 2, 3) совпадают с умно-
умноженными на с плотностями проекций импульса на оси X, Y, Z.
Во-вторых, координатам Г°* можно дать такое истолкование
Пусть в данной точке помещена бесконечно малая площадка dS,
направленная ортогонально к оси X. Назовем плотностью потока
энергии в направлении оси X (в данной точке и в данный момент
времени) количество энергии, протекшее через dS за бесконечно
малый промежуток времени е, отнесенное к единице площади и к
единице времени а взятое в пределе. Этой плотности приписывается
знак плюс, если энергия течет в положительную сторону оси,
и минус — в противном случае. Так как плотность энергии fxc2,
а движется она в направлении оси X со скоростью их, то плотность
ее потока в этом направлении будет равна \ic2ux, как легко показать
элементарным подсчетом. Аналогичным образом определяется и вычи-
вычисляется плотность потока и любой другой физической величины,
распределенной в пространстве и переносимой вместе с нашим пото-
потоком масс.
Итак, значения плотности потока энергии в направлениях коор-
координатных осей равны:
|icX, №\, ЦсЧ. G1-9)
и следовательно, они совпадают с
сТ°\ сТ02, с7'03. G1.10)
В этом состоит второе истолкование координат Т°Х(Х=\, 2, 3).
Для дальнейшего важно отметить следующий результат. Вы-
Вычисленный в данный момент t поток векторного поля [гс2и через
какую-нибудь (двустороннюю) поверхность П равен скорости q°
протекания энергии через эту поверхность в этот же момент t:
G1.11)
При этом q° мы называем скоростью протекания энергии через П
в данный момент t, если за бесконечно малый промежуток времени е,
начиная от данного момента t, количество энергии, протекшей через
U в сторону +п, равно sq° (пренебрегая бесконечно малыми высшего
порядка). Грубый вывод этого результата получается совершенно
так же, как и в случае A6.3) с заменой лишь плотности жидкости
р плотностью энергии \ic2. Правда, в случае A6.3) движение было
стационарным, чего в данном случае не предполагается. Но для
вывода это не играет роли, так как в нем рассматривается лишь
бесконечно малый промежуток времени е. Скорость протекания энергии
через П q° будет в нашем случае, вообще говоря, зависеть от вре-
времени; в стационарном случае она будет постояннрй.
§ 71] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 317
В дальнейшем мы будем говорить о скорости протекания через
поверхность П и пользоваться формулой G1.11) и для других
физических величин совершенно аналогично тому, как сейчас мы
делали это для энергии (предполагая, что эти величины тоже с из-
известной плотностью распределены в пространстве и перемещаются
вместе с нашим потоком масс).
Переходим теперь к истолкованию координат T%v- (к, fi = l, 2, 3).
Рассмотрим для примера Г12. Пользуясь G1.3), G1.4), G1.5),
получаем:
G1.12)
Другие координаты Г^ имеют аналогичный вид. Рассмотрим те из
них, для которых \=1:
Г» = ц«Л, ТЪ = \ыхиг Г» = циЛ. G1.13)
Мы замечаем, что величины G1.13) получаются из ]ШХ, т. е. из
плотности проекции импульса на ось X, последовательным умноже-
умножением на их, и , иг> т. е. совершенно аналогично тому, как величины
G1.9) получаются из \ic2, т. е. из плотности энергии. Но величины
G1.9) выражают плотность потока энергии в направлениях X, Y, Z;
значит, G1.13) играют такую же роль для проекции импульса на
ось X. Итак, для проекции импульса на ось X плотность потока
в направлении осей X, Y, Z будет Г11, Т12, Г13. Для плотности
потока проекций импульса на оси Y, Z такую же роль играют вто-
вторая и третья строки матрицы 74**. Конечно, все это легко получить
и непосредственно, не ссылаясь на G1.9).
Рассмотрим теперь скорость протекания проекции импульса на
ось X через какую-либо поверхность П. Совершенно аналогично
G1.11) получаем, что эта скорость — обозначим ее ql — равняется
вычисленному в данный момент потоку векторного поля цижи через
поверхность П:
?i = ^ liux un dS. G1.14)
п
Скорости протекания через ГТ проекций импульса на ось К и на
ось Z выражаются аналогичными формулами:
G1.15)
318
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. IV
Формулы G1.11), G1.14), G1.15), которые вскоре нам понадобятся,
мы объединим в общей записи. А именно, обозначая проекции п
на оси X, Y, Z
пх, nv, пг = п1, лг, п3
и развертывая скалярное произведение
можно переписать эти формулы в следующем виде:
qo = J J lie2 (ихП1 + иуп2 + uzn3) dS = с J J G»^ + Т°*п2 + Т™„я) dS.
п п
G1.16)
ql = JJ цих (и^ + uvti% + игп3) dS
ц
S J (T11«i
L
= И
п
п
= J J (Т31пг + 732л2
dS.
G1.17)
Мы воспользовались здесь формулами G1.7), G1.13) и им анало-
аналогичными.
Формулы G1.17) можно объединить:
(v=l, 2, 3).
п *=i
G1.18)
Выясним теперь нашу общую установку в отношении тензора
энергии-импульса. Мы рассмотрели тензор энергии-импульса, отве-
отвечающий потоку масс. Однако в дальнейшем мы будем считать, что
и всякому физическому процессу, протекающему в сплошной среде,
отвечает в пространстве событий определенный тензор энергии-им-
пульса VJ [M), который имеет аналогичный физический смысл.
§ 7i] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 319
А именно, если вычислить координаты Т' в какой-либо ортонорми-
рованной координатной системе, то относительно соответствующей
инерциальной системы 5 они будут представлять собой:
70 — плотность энергии;
?°Х(А,= 1, 2, 3) — умноженную на с плотность проекции импульса
на Х-ю ось или деленную на с плотность потока энергии в направ-
направлении А,-й оси;
7^я (%, v=l, 2, 3) — плотность потока проекции импульса на v-ю
ось в направлении А,-й оси (или наоборот).
В этих формулировках оси X, Y, Z в системе 5 именуются 1-й,
2-й, 3-й осями. Из этого физического истолкования вытекает,
в частности, что формулы G1.16), G1.17) остаются верными и для
любого физического процесса.
Допущение о существовании тензора энергии-импульса у всяко-
всякого физического процесса очень важно. Конечно, суть его не в
том, что определенные физические величины обозначены в виде эле-
элементов симметрической матрицы, а в том, что они предполагаются
координатами дважды контравариантного тензора и, следователь-
следовательно, имеют вполне определенный закон преобразования при переходе
от одной инерциальной системы S к другой S':
Здесь Af имеет тот же смысл, как и в F7.15). Таким образом,
существо нашего допущения в том, что для любого физического
процесса оно устанавливает закон преобразования плотности энергии,
плотности импульса и плотности потока импульса при переходе
от 5 к S'. Какие имеются основания перенести тензорный характер
этих величин, установленный для потока масс, на общий
случай?
Математического вывода здесь, разумеется, дать нельзя, но фи-
физические основания достаточно веские. Энергия и импульс способны
переходить из одной формы в другую, например, из механической
в электромагнитную, количественно не меняясь. Поэтому после такого
перехода плотность энергии и плотность импульса должны преобра-
преобразовываться от S к S' по прежнему закону. Правда, в действитель-
действительности закон преобразования охватывает, кроме того, и плотности
потока импульса. Все же естественно принять, что и этот услож-
усложненный закон преобразования не должен нарушаться, когда энергия
и импульс переходят из одной формы в другую.
Рассмотрим теперь другой важный частный случай тензора
энергии-импульса.
2°. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Пусть
электромагнитное поле задано тензорным полем Ft, в пространстве
событий. Составим из тензора F,-у и метрического тензора gt, новый
320 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
тензор по следующей формуле:
По р и q происходит свертывание. Очевидно, тензор V1 будет сим-
симметрическим и дважды контравариантным. Этот тензор и прини-
принимается за тензор энергии-импульса электромагнитного поля.
На первый взгляд кажется, что такой выбор тензора энергии-
импульса является совершенно произвольным и ничем не обосно-
обоснованным. Однако вскоре мы убедимся, что это не так; выбор именно
этого выражения почти полностью продиктован законами сохранения
энергии и импульса. Мы только не сможем излагать здесь все
наводящие соображения и пойдем путем простой проверки.
Как было сказано, мы приписываем координатам тензора энер-
энергии-импульса определенный физический смысл. Это значит, что,
выбрав для электромагнитного поля определенный тензор энергии-
импульса, мы приписали тем самым электромагнитному полю опре-
определенное распределение и перемещение энергии и импульса. А это,
разумеется, нужно сделать в соответствии с действительностью
и прежде всего так, чтобы соблюдался закон сохранения энергии
и импульса. При этом нужно учитывать, что энергия и импульс
электромагнитного поля могут не только перемещаться, но и пере-
переходить в другую (механическую) форму. Мы увидим позже (§ 73),
что выражение G1.19) подобрано действительно так, что оно удо-
удовлетворяет поставленным условиям.
Чтобы увидеть конкретный смысл формул G1.19), запишем их
в развернутом виде в ортонормированнои координатной системе.
При этом мы будем пользоваться таблицей F9.9) и соотношениями
G0.14).
Вычислим сначала инвариант Fp9Fpq, т. е. сумму произведений
соответствующих элементов матриц Fpq и F . Эти элементы согласно
G0.14) или равны или отличаются лишь знаком; последнее имеет
место в случае FoX(K=\, 2, 3). Заменяя соответственно Fpq через
и учитывая косую симметрию матрицы F , получаем:
= 2(№-Щ. G1.20)
Далее, учитывая, что
получим
lP!q F">FJ0 2 FnF\ G1.21)
Я1
§ 71] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 321
В частности,
oroq S (FQXJ = E2X + EI+E*Z=--E*, G1.22)
Я,— i
Вычисляем теперь 7*00 из G1.19), пользуясь G1.20) и G1.22),
а также учитывая, что g00 =—1:
Т»» = ^(Н2-Е2)+^Е2 = ^(Е2 + Н2). G1.24)
Такой вид имеет, следовательно, плотность энергии электромагнит-
электромагнитного поля. Далее, находим Г01, Г02, 73, пользуясь G1.19) и G1.23)
и учитывая, что g'J'— 0 (i^J), в частности, j*01 = 0:
G1.25)
Таким образом, проекции вектора -j- [EH] на координатные оси X,
Y, Z совпадают с Т01, Т02, Т03. Согласно физическому смыслу этих
величин вектор j— [^^1 Дает плотность импульса электромагнитного
поля, а вектор ~- [ЕН] — плотность потока энергии электромагнит-
электромагнитного поля. Проекции последнего вектора на оси X, Y, Z дают
плотности потока энергии в направлениях этих осей.
Аналогичным образом можно было бы вычислить и плотности
потока импульса.
3°. Рассмотрим еще пример, хотя и далеко не столь общего
значения, как первые два. Пусть в инерциальной системе 5 покоится
тело, находящееся в напряженном состоянии, возникшем, например,
в результате упругой деформации. Ввиду того, что тело покоится,
плотность импульса равна нулю:
Тох = о (Х=1, 2, 3).
Матрица Т1 состоит по существу из элемента Т00 (плотности энергии)
и из матрицы третьего порядка 7уЯ-(v, Х=1, 2, 3).
Оказывается, что в нашем примере эта часть тензора энергии-
импульса лишь знаком отличается от трехмерного тензора напряже-
напряжений /vX (§ 14). В самом деле, в произвольной точке рассматриваемого
тела установим бесконечно малую площадку dS, ортогональную
*' П. к. Рашевский
322 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. [V
к оси X. Тогда на единицу площади этой площадки согласно A4.10)
действует сила
Р(/и. Ля, Лз). G1-26)
а на всю площадку — сила РdS(f11dS, f12dS, f13dS). Точнее, эта
сила действует через площадку на часть тела, расположенную за
площадкой (т. е. в сторону — X). За время е этой части тела будет
сообщен тем самым импульс
Se, f12dSe, f13dSe),
который, таким образом, протек через площадку в сторону — X.
Чтобы установить плотность потока импульса в направлении —X,
достаточно отнести протекший импульс к единице площади и к еди-
единице времени, т. е. поделить на dS и е. Получаем снова G1.26).
Таким образом, напряжения /и, /12, /13 равны плотностям потока
трех проекций импульса в направлении — X, а следовательно, лишь
знаком отличаются от 71, Т12, 713, которые выражают то же самое,
но в направлении -\-Х. Это же справедливо и для других коорди-
координатных осей, так что окончательно
Г*=—/* К Х=1, 2, 3). G1.27)
Конечно, мы предполагали в этом рассуждении, что, кроме напря-
напряжений в теле, нет других причин для появления потока импульса.
Если перейти в другую инерциальную систему S', то тензор
энергии-импульса пересчитывается по закону G1.20). Как отсюда
можно заключить, на плотность энергии и импульса, наблюдаемых
в системе S', имеет влияние не только плотность энергии, наблю-
наблюдавшаяся в системе «9 (плотность импульса была равна нулю), но
и напряжения, наблюдавшиеся в системе S. Если в системе S
покоятся два тела с одинаковой плотностью энергии (и нулевой
плотностью импульса), но одно находящееся в напряженном состоянии,
а другое нет, то в системе S' они будут обладать различными
(вообще говоря) плотностями энергии и импульса.
Таким образом, объединение плотностей энергии, импульса и по-
потока импульса в один четырехмерный тензор не является лишь фор-
формальностью; совокупность этих величин образует единую физиче-
физическую сущность, и это проявляется в том, что одни из них способны
«переходить» в другие, когда мы меняем инерциальную систему.
§ 72. Закон сохранения энергии и импульса
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос, каким образом обеспе-
обеспечиваются законы сохранения энергии и импульса, когда распреде-
распределение и перемещение энергии и импульса задается тензором Т'*.
Будем вести рассмотрение относительно какой-либо инерциальной
§ 72] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 323
системы S, пользуясь соответствующими ей ортонормированными
координатами х' в пространстве событий. Выделим покоящуюся
относительно системы S трехмерную область со, ограниченную
поверхностью П. Будем наблюдать втекание и вытекание энергии
через поверхность П, причем говорить будем только о вытекании
(втекание оцениваем как отрицательное вытекание). Согласно G1.16)
скорость этого вытекания будет равна:
$ i±S. G2.1)
п *.=i
Преобразуем это выражение по теореме Остроградского A8.2):
За бесконечно малый промежуток времени е количество вытекшей
через П энергии будет равно:
Здесь и в дальнейшем бесконечно малыми высшего порядка мы пре-
пренебрегаем. С другой стороны, увеличение количества энергии в об-
области <й за время е можно подсчитать следующим образом. Общее
количество энергии в пределах области со выражается в каждый
момент времени t интегралом
^>°d(i>, G2.4)
так как Т00 есть плотность энергии. При этом не нужно забывать,
что тензор энергии импульса Т' образует поле в пространстве
событий, так что, в частности, V0 есть функция от дг', т. е. от
х, у, г и времени t. Но по х, у, г в G2.4) произведено интегри-
интегрирование, так что интеграл есть функция только от времени t. Уве-
Увеличение количества энергии за время е можно подсчитать как диффе-
дифференциал этой функции:
Таким образом, за время е внутри области <й появилось допол-
дополнительное количество энергии G2.5), и еще некоторое количество
энергии G2.3) вытекло за преаелы области. Складывая эти два
11
324 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
выражения, мы получаем то количество энергии, которое возникло за
время е внутри области со:
1 дТ09 ОТ00
Учитывая, что 7й~~ я о ¦ так как ct = x°, получаем оконча-
с dt
тельно:
G2-7)
где под знаком интеграла происходит суммирование поу'=0, 1,2, 3.
Спрашивается, каким образом возникла энергия G2.7)?
Если рассматриваемый нами тензор энергии-импульса является
частичным, т. е. связан с одним лишь видом явлений (например,
электромагнитным полем), то такое возникновение энергии данного
вида возможно за счет исчезновения энергии другого вида (напри-
(например, механической) и означает лишь переход, одного вида энергии
в другой. Если же Т' есть полный тензор энергии-импульса, т. е.
исчерпывает всю картину распределения и перемещения энергии-им-
энергии-импульса, то посторонние источники энергии отсутствуют и количество
возникшей энергии G2.7) должно всегда равняться нулю (закон
сохранения энергии).
Итак, в случае полного тензора энергии-импульса
при любом выборе области со и в любой момент времени. Это
возможно только в случае тождественного обращения в нуль под-
подынтегрального выражения
Ъ=о- G2'8)
Так записывается закон сохранения энергии с точки зрения данной
инерциальной системы S.
То, что сделано сейчас для энергии, мы дословно повторим для
импульса. Согласно G1.18) скорость вытекания v-й проекции
импульса через поверхность П, ограничивающую область со, выра-
выражается формулой
§ 72] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 325
Последнее выражение получено по теореме Остроградского. Следо-
Следовательно, скорость вытекания самого импульса равна:
V= 1 V= I
За бесконечно малое время е через П вытечет импульс
3 3 3
v=i v=i щ K=i
С другой стороны, импульс, заключенный в со в данный момент
времени t, равен:
так как v-я проекция плотности импульса (v = 1, 2, 3) равна — Tv0,
3
а значит, сама плотность импульса имеет вид — X, e4TV0. Увели-
V= I
чение импульса в области со за время е можно подсчитать анало-
аналогично G2.5). Получаем:
G2'<ч
Объединяя G2.9) и G2.10), т. е. импульс, вытекший через И, и
импульс, дополнительно обнаруженный в со, получаем общее коли-
количество импульса, возникшего в области со за время е:
Здесь по у=0, 1, 2, 3 происходит суммирование. Как и в случае
энергии, возникший в области со импульс G2.11) может быть отличен
от нуля, только если T'J — частичный тензор энергии-импульса и речь
идет об импульсе частного вида. Если же T'J—полный тензор
энергии-импульса, то импульс, возникший 8 области со, должен
326 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
равняться нулю (закон сохранения импульса). Мы получаем, следова-
следовательно:
"-* (о
Отсюда коэффициенты при е„ по отдельности равны нулю:
НИИ С-1,2,3).
А так как это равенство верно для любой области со и любого
момента времени t, то подынтегральное выражение тождественно
равно нулю:
|1У=0 (v = l, 2, 3). G2.12)
Так выглядит закон сохранения импульса с точки зрения инерциальной
системы S. Объединяя его с законом сохранения энергии G2.8),
пишем:
^ = 0 (/ = 0, 1, 2, 3). G2.13)
В этой форме закон сохранения энергии-импульса имеет вид инва-
инвариантного тензорного соотношения в пространстве событий.
В самом деле, совокупность частных производных —- для любого
дх*
дважды контравариантного тензорного поля TlJ образует, как мы
знаем (§ 38), поле тензора, дважды контравариантного и один раз
dT'J
dTJ
ковариантного. Тогда г, где по J происходит свертывание, дает
dxJ
снова тензор (один раз контравариантный), который мы обозначим Т':
g ,72.14,
Этот тензор естественно назвать дивергенцией тензора TlJ в четырех-
четырехмерном пространстве событий. Теперь G2.13) принимает вид
V = Q. G2.15)
Таким образом, закон сохранения энергии-импульса записывается
в вида обращения в нуль дивергенции полного тензора энергии-им-
энергии-импульса. Ясно, что если координаты тензора Т' равны нулю в одной
координатной системе, то то же имеет место и в любой другой.
Поэтому и закон сохранения энергии-импульса имеет инвариантный
характер и, будучи установлен в одной инерциальной системе S,
§ 73] ДИВЕРГЕНЦИЯ ТЕНЗОРА ЭНЁРГИИ-ЙМПУЛЬСА 32?
соблюдается и в любой другой S'. Закон сохранения энергии-им-
энергии-импульса G2.13), как мы видим, накладывает существенное ограничение
на допустимый выбор полного тензора энергии-импульса. Разумеется,
если тензор энергии-импульса является частичным, то его диверген-
дивергенция Т' не обязана обращаться в нуль.
§ 73. Дивергенция тензора энергии-импульса
электромагнитного поля
Пусть теперь Т'-' является частичным тензором энергии-импульса,
а именно, отвечает электромагнитному полю согласно G1.19):
1 16л РЧ^Ая gPi- ('йЛ>
Тогда в области ю за время ? возникают (за счет перехода из других
форм) некоторые количества энергии и импульса электромагнитного
поля, которые выражаются согласно G2.7) и G2.11). Пользуясь
дивергенцией тензора энергии-импульса G2.14), эти выражения энер-
энергии и импульса можно переписать в виде
ее J J J Т° dw, e |] ev J И Tv da
Подсчитаем теперь дивергенцию тензора G3.1). Заметим предвари-
предварительно, что при дифференцировании выражения FP4Fpq можно диф-
дифференцировать лишь второй множитель и затем результат удваивать.
В самом деле, дифференцирование первого множителя дает тот же
результат, что и дифференцирование второго
Чтобы убедиться в этом, выражаем FP4 как результат поднятия
индексов у Ftj:
и вставляем в обе части проверяемого равенства G3.3). Получим
(учитывая, что g^ и g'J—константы):
а это — тождество, в чем легко убедиться, переставляя в одной из
частей равенства обозначения индексов суммирования р, I и q, j.
328 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Теперь вычисляем дивергенцию:
= _iL.,P,
Полученное выражение можно значительно упростить. В первом члене
мы заменяем множитель —Ц-, пользуясь уравнениями Максвелла G0.6):
dxJ
dFpl^^dIll-dllp, G3.5)
aYj дх? дхЧ v '
С/Л
Получаем:
Оба слагаемых здесь равны, в чем легко убедиться, заменяя в первом
из них обозначения индексов суммирования р на q, и наоборот.
Тогда первое слагаемое примет вид
g'7 p4PdFp]
8я дхЧ
и совпадет со вторым (так как перестановка индексов у Fpq, Fjp
дважды меняет знак выражения). Поэтому в G3.6) мы сохраняем
лишь удвоенное второе слагаемое и, подставляя в G3.4), получаем:
G3.7)
Первые два члена в правой части взаимно уничтожаются. Действи-
Действительно, в первом члене происходит поднятие первого индекса у F, ,
так что его можно переписать в виде
4л дхЯ -
Во втором члене происходит опускание второго индекса у Fip% так
что этот член принимает вид
4л дх1
Заменяя здесь обозначения индексов суммирования q, j на р, qt
убеждаемся, что это выражение отличается от предыдущего лишь
знаком (так как F4P — — Fp4).
§ 73] ДИВЕРГЕНЦИЯ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 329
Итак, G3.7) принимает вид
Г-^'Р~^- G3-8)
Воспользуемся уравнениями Максвелла G0.17):
4ns' (а следовательно,
dxJ \ dxJ
Теперь G3.8) дает окончательно
Ti = — F'ps4gpq. G3.9)
Выясним физический смысл тензора Т1 с точки зрения какой-либо
инерциальной системы S, рассматривая координаты Т' в соответст-
соответствующей ортонормированной координатной системе х' (заметим, что
все тензоры и тензорные соотношения, которые у нас встречаются,
можно рассматривать в любой аффинной координатной системе, но
физическое истолкование они получают лишь в ортонормированных
системах). Тогда ^00 = —1, ^"хх = 1 (Я,= 1, 2, 3), остальные gpq = О,
так что G3.9) приобретает вид
1 == г S — г S — г S — Г S * \( о» 1U)
Пользуясь таблицей F9.9) и соотношениями G0.14), получаем:
При этом Я' = 0 и Fjl ——FJ. Кроме того, согласно F8.13)
Т- S3=PUT- G3.12)
Теперь окончательно подсчитываем Т' при /=0, 1, 2, 3:
v+?A) = -f uE-
G3.13)
и далее круговой подстановкой х, у, г. Отсюда вытекает, что
G3.14)
Здесь р есть плотность заряда, а и — скорость его движения.
330 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
Подсчитаем теперь первое из выражений G3.2):
ее J J $T°tfco = — J J JeuEprfco. G3.15)
(О (О
Так как р dw— заряд, заключенный в элемент объема da>, то Ер da —
сила электрического поля, действующая на этот заряд; ей — вектор
бесконечно малого смещения за время е; следовательно, стоящее
под знаком интеграла скалярное произведение дает работу, совер-
совершаемую электромагнитным полем над элементом заряда за время ?
(магнитное поле работы не производит). Сам же интеграл в правой
части означает работу, произведенную электромагнитным полем в пре-
пределах области со за время е над частицами, несущими электрические
заряды. Эта работа идет на приращение механической энергии частиц.
Но так как правая часть G3.15) содержит интеграл с обратным
знаком, то она выражает убыль механической энергии частиц.
Окончательно, равенство G3.15) означает, что возникновение
энергии в электромагнитном поле (левая часть) происходит за счет
убыли такого же количества механической энергии заряженных
частиц (правая часть).
Таким образом, во взаимоотношениях электромагнитного поля
и движущихся в нем заряженных частиц соблюдается закон сохра-
сохранения энергии.
Теперь подсчитаем второе выражение G3.2), пользуясь соотно-
соотношением G3.14):
з
Z JJj( 0 G316)
В круглых скобках стоит сила, действующая в электромагнитном
поле на единицу заряда, движущегося со скоростью и; после умно-
умножения на элемент заряда р rfco получаем действующую на него
силу, а после умножения на е — импульс, который сообщается
электромагнитным полем элементу заряда за время е. Сам же инте-
интеграл в правой части означает, следовательно, механический импульс,
сообщенный электромагнитным полем в пределах области со за время е
частицам, несущим электрические заряды. Так как правая часть G3.16)
содержит интеграл с обратным знаком, то она выражает убыль меха-
механического импульса частиц.
Окончательно смысл равенства G3.16) состоит в том, что возник-
возникновение импульса электромагнитного поля (левая часть) происходит
за счет убыли такого же количества механического импульса заря-
заряженных частиц. Таким образом, в балансе электромагнитного и меха-
механического импульса соблюдается закон сохранения импульса.
Напомним, что мы говорили до сих пор об энергии, импульсе
и потоке энергии и импульса в электромагнитном поле, предполагая,
§ 74] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОНА 331
что его тензор энергии-импульса имеет вид G3.1). Лишь теперь это
предположение оправдано в том смысле, что оно правильно описывает
переход энергии и импульса из электромагнитной формы в механи-
механическую и обратно: закон сохранения энергии-импульса при этом
соблюдается.
§ 74*. Волновое уравнение Дирака
для свободного электрона
В этом параграфе мы рассмотрим один вопрос релятивистской
(т. е. согласованной с теорией относительности) квантовой механики.
Изменение состояния электрона с течением времени описывается в ней
спинорным полем в пространстве событий
th = iM*°, х1> х\ *3). ^=^Я(*°> *\ х\ **)¦ G4.1)
Здесь, как обычно,
х°, х1, х2, xa=^ct, х, у, z G4.2)
в некоторой инерциальной системе отсчета. Так как пространство
событий представляет собой псевдоевклидово пространство fZ{l\ то
все, сказанное относительно спинорных полей в § 60, применимо
и в нашем случае.
Закон изменения состояния электрона с течением времени выра-
выражается системой дифференциальных уравнений, наложенных на функ-
функции G4.1) и имеющих одинаковый (инвариантный) вид в любой
инерциальной системе отсчета. Эти уравнения согласно Дираку
будут следующими:
«*f = *?*<*1 G4.3)
Здесь т0 — масса покоя электрона, с — скорость света, «- = ^—,
где h — постоянная Планка. Величины гр\ г]з^, стоящие в левых
частях уравнений, это контравариантные координаты того же самого
спинора tyi, т|э?, который входит в правые части. Операторы
?)Х у. _. ?) ия, имеют тот же смысл, что и в § 60.
Инвариантный характер уравнений G4.3) виден из того, что их
правые части согласно F0.7) представляют собой также контра-
контравариантные координаты некоторого спинора и преобразуются, следова-
следовательно, одинаково с левыми частями. Напишем теперь уравнения
G4.3) в развернутом виде при Я,= 1, 2, Я=1, 2, причем правые
части развернем согласно F0.8), а в левых частях контравари-
контравариантные координаты нашего спинора выразим через ковариантные
332 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
согласно E7.7). Получим:
а I ; 1)
h)
[ГЛ. IV
>~ дгЬ„ ЭгЬ-
-i_;_JjL 11
с1 дх* дх3
дх*.
5
Тх?
т
G4.4)
дх*
Это и есть волновые уравнения Дирака для свободного электрона.
Мы здесь не имеем возможности вдаваться в физический смысл этих
уравнений и хотели лишь показать их инвариантный характер на
основе предыдущей теории спиноров. Заметим только, что из урав-
уравнений Дирака можно без труда выразить частные производные по
времени -^ , -^, ~щ-, ~^f- через сами функции 1|зх, г|J, i|>~, i|>;,
и их частные производные по пространственным координатам х, у, z =
= хг, х2, х3 (не нужно забывать, что--^- = —-^ и т. д. J. Получим:
ду
_
дг
G4.5)
Это означает, что по начальному состоянию электрона при данном
значении t мы можем, интегрируя систему уравнений Дирака, опре-
определить его состояние при любом значении t *). Со спинорным полем
электрона связано векторное поле плотности тока. Не вдаваясь
в разъяснение его физического смысла, покажем, как оно возникает
) Уравнения Дирака в этой форме см., например, В. А. Фок, Начала
квантовой механики, КУБУЧ, 1932, стр. 182, формула A9); при этом нужно
иметь в виду, что наши i]1
в обозначениях В. А. Фока.
г|з2> \р~,
у
совпадают с \|3j, iji2, —<i|K, —j\
§ 74] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОНА 333
из нашего спинорного поля г|Л, я|>^. С каждым спинором if>\ ф*-
можно связать сопряженный спинор tyx, xjj^, составленный следую-
следующим образом:
фх = (г|А)*, ^=(я|)х)*. G4.6)
Здесь звездочка по-прежнему означает комплексную сопряженность.
Покажем, что построение сопряженного спинора этим путем имеет
инвариантный смысл в нашем псевдоевклидовом пространстве R{[\ если
ограничиться вращениями лишь собственными и несобственными
1-го рода. Последние связаны с зеркальными отражениями репера
в пространственном смысле, без изменения ориентации на оси времени
хй =ct. Поэтому наше ограничение с физической точки зрения яв-
является вполне естественным, так как системы отсчета с обращенным
течением времени в природе не существуют. Рассмотрим сначала
случай, когда репер Ш в R™ испытывает собственное вращение.
Тогда ifI,т|э2 преобразуются в i]I', i|J' при помощи некоторой унимоду-
лярной матрицы, а значит, (ifI) *, (ifJ) * преобразуются при помощи
комплексно сопряженной матрицы, т. е. так же, как вторая пара
координат спинора if)*, г|з2 (см. E9.5)). Таким образом, -фх, гр 2,
совпадающие с (г]I)*, (т|э2)* согласно G4.6), преобразуются так,
как подобает координатам спинора. Аналогичным образом показываем
это и для ij?1, ijj2.
Пусть теперь репер испытывает несобственное вращение 1-го рода;
приходим к тому же результату, используя вместо E9.5) формулы
E9.7).
Составим из данного спинора t|)x, ifi*- и ему сопряженного
i|)\ i|}*- спинтензор сх*1 = см-)' по формуле
1 ^^ ? ^t>\ G4.7)
Другими словами, мы перемножили наши спиноры как одновалентные
спинтензоры, в результате чего по общему правилу перемножения
тензоров получился двухвалентный спинтензор. Перемножение мы
выполнили при одном и при другом порядке множителей и результаты
сложили. Наконец, мы откинули (положили равными нулю) коорди-
координаты сХ1\ с^-й и сохранили лишь ск&, с»*х. Здесь мы воспользова-
воспользовались уже специфическими свойствами спинтензоров, в силу которых
координаты этих двух типов преобразуются по отдельности и обра-
образуют как бы два подтензора в составе каждого двухвалентного
спинтензора. Наш спинтензор допускает истолкование в виде вектора
в /?';' согласно E8.1). Учитывая, что х* = 1х°, и заменяя сх?
334 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV
согласно G4.7), a af>\ tyk согласно G4.6), получаем:
C2i) = — -|-{—
{i
1
Обозначая А1 = — 2л;1 и переходя в правых частях к ковариантным
координатам спинора, согласно E7.7) получаем:
G4.8)
Этот вектор и есть вектор плотности тока, инвариантно связанный
со всяким спинорным полем G4.1). При этом мы устранили несоб-
несобственные вращения репера 2-го и 3-го родов; если бы их рассмот-
рассмотреть, то оказалось бы, что при них вектор плотности тока не остается
инвариантным, а умножается на — 1 *).
*) Заметим что наши А' совпадают с Л,-(/=0, 1, 2, 3) в «Началах
квантовой механики» В. А. Фока, стр. 189, если учесть указанную выше
связь обозначений.
ГЛ АВ А V
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В АФФИННОМ
И ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВАХ
До сих пор мы рассматривали /z-мерные аффинные и евклидовы
пространства лишь в аффинных координатах, т. е. таких, которые
наиболее естественно связаны с геометрическими свойствами этих
пространств.
В этой главе продолжаем заниматься теми же пространствами,
но уже с более широкой точки зрения—относя их к произвольным
криволинейным координатам. Это играет роль и для геометрии самих
этих пространств .(например, для изучения криволинейных образов
в них), однако главное назначение этой главы — служить переход-
переходным этапом к пространствам аффинной связности (обобщение аф-
аффинного пространства) и к римановым пространствам (обобщение
евклидова пространства).
Начиная с этой главы и до конца книги, мы будем заниматься
исключительно вещественными пространствами, и все встречающиеся
в дальнейшем переменные величины и отдельные числа считаем ве-
вещественными, если не оговорено противное.
§ 75. Криволинейные координаты
в аффинном пространстве
Имея аффинный репер (О, ех, ...,еп) в л-мерном аффинном
пространстве, мы относили каждой точке М координаты х', разла-
разлагая ее радиус-вектор ОМ по векторам репера
OM = x'e,.. G5.1)
От одной аффинной координатной системы к другой мы перехо-
переходили линейным преобразованием
лс" = Л{'х'-{ А", G5.2)
где коэффициенты выбираются произвольно с единственным условием
336 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
При этом новые векторы репера разлагались по старым векторам
ег = ДЦ, G5.3)
где А\, и А'1 — взаимно обратные матрицы, а координаты инвариант-
инвариантного вектора х испытывали преобразование
х1' --= А^х1. G5.4)
Мы введем криволинейные координаты, обобщая преобразование
координат G5.2), а именно, заменяя в правой части линейные функ-
функции координат х' их «произвольными» функциями, конечно, с извест-
известными ограничениями.
Но сначала дадим некоторые определения. Арифметическим про-
пространством п измерений называется множество всевозможных
последовательностей вида (х1, хг, ...,х"), где х1, х%, ...,х" —
произвольные вещественные числа; отдельные последовательности
{х1, хг, .. ., хп) называются точками арифметического пространства, а
числа х1, х2, ...,х" — координатами точек.
Областью (открытым множеством) в арифметическом пространстве
называется такое множество его точек, что вместе с каждой
своей точкой х-—(х1, ...,х") оно содержит и любую точку у —
— {у1, •• •./")> Для которой
|/_*<|<8 (/ = 1, 2 п),
где б — некоторое положительное число (выбор которого зависит от
точки х).
Иными словами, область характеризуется тем, что вместе с каж-
каждой своей точкой она обязательно содержит и охватывающий эту
точку многомерный куб, если только этот куб имеет достаточно ма-
малые размеры. Разумеется, вместо куба можно брать (многомерный)
шар и т. п.
Пусть х1, ...,хп — независимые переменные, и пусть системы
значений, которые они способны принимать, образуют область в
арифметическом пространстве; тогда эту область мы будем называть
областью изменения переменных х1, ...,хп.
Множество Q точек /г-мерного аффинного пространства мы на-
назовем областью, если последовательность (х1, ...,х") аффинных
координат точки yW?Q описывает область в арифметическом про-
пространстве.
Нетрудно показать, что смысл этого определения не меняется
при переходе к другой аффинной системе координат, хотя область
в арифметическом пространстве становится, конечно, иной.
Мы будем обычно предполагать, что рассматриваемые области
являются связными, т. е. что любые две точки области:
§ 75] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 337
а = (л1,. • • ,ап), Ь — (Ь1,.. . ,Ьп) —могут быть соединены непрерывным пу-
путем, проходящим по области: х' =/'(() @^.t ^. 1); /'@) = с',/'A) =¦
= Ь', где f'(t) — непрерывные функции.
Пусть в некоторой п-мерной связной области Q аффинного про-
пространства заданы п непрерывно дифференцируемых однозначных функ-
функций аффинных координат fk (х1, . . ., хп) (k = 1, ...,«). Введем новые
переменные х1', х2', ..., хп> посредством уравнений
л — J i \X j . . . ^ X ), ^ / 0.0)
пусть они пробегают область изменения Q'. Мы наложим, далее,
на функции /,- требование, чтобы преобразование G5.5) было обра-
обратимым, точнее, чтобы из уравнений G5.5) можно было бы, обратно,
однозначно выразить х' как непрерывно дифференцируемые функции
от xl'\
xi = gi(x1', ..., хп>) G5.6)
во всей области Q' изменения переменных х1'.
В этом случае переменные х1' мы будем называть криволинейными
координатами в области Q аффинного пространства. Коротко говоря,
переменные х1' с областью изменения Q' называются криволиней-
криволинейными координатами в области Q, если они связаны с аффинными
координатами в области Q обратимым и в обе стороны однозначным
и непрерывно дифференцируемым преобразованием.
Тем самым, в частности, системы значений х1', . . ., хп' из об-
области Q' взаимно однозначно отвечают точкам области Q, что и
оправдывает название координат для переменных х1'. Область Q мо-
может, в частности, совпадать и со всем пространством, но это для
нас мало существенно и вот почему. Дальнейшие исследования бу-
будут носить большей частью дифференциально геометрический ха-
характер, т. е. относиться к бесконечно малой окрестности точки, а
для этого достаточно иметь координатную систему х1' в некоторой
области Q, содержащей эту точку.
Мы предположили, что функции /,-, gt непрерывно дифференци-
дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные частные производные до некоторо-
некоторого порядка N включительно. При этом в §§ 75, 76 достаточно ог-
ограничиться N=\, а начиная с § 77 и до конца главы, мы будем
предполагать N=2. Позже понадобится N= 3 и больше. Мы не
будем в каждом случае оговаривать это особо, а просто факт за-
записи производных данного порядка будет означать предположение
о существовании и непрерывности этих производных. Значение N=<x>
также допустимо (когда рассматриваемые функции имеют непрерыв-
непрерывные производные любого порядка).
Важно отметить, что якобианы обоих преобразований—прямого
и обратного — отличны от нуля:
дх''
Det
Det
дх<
G5.7)
338
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
[гл. v
причем соответствующие матрицы взаимно обратные. Это легко по-
получить, рассматривая х' как сложную функцию от л1, ..., хп: х'
зависит от х1', ..., хп' согласно G5.6), а эти переменные зависят
от х1, ..., хп в силу G5.5). Тогда частная производная от х' по
одному из аргументов х1, ..., хп вычисляется по известному правилу:
дх' _ дх' дхк>
Но, с другой стороны, производная от одного аргумента по друго-
другому равна нулю, если аргументы различные, и равна единице, если
они совпадают: —.= б].
Итак,
дх' дхк'
дх"' дх'
т. е. произведение матриц
дх1
дхк>
и
дхк>
дх'
G5.8)
—г дает единичную матрицу.
Таким образом, эти матрицы взаимно обратные и тем самым не-
неособенные.
Заметим, что если бы мы откинули условие обратимости G5.6),
а потребовали бы вместо него необращение в нуль якобиана
Det
дх''
дх'
G5.9)
то мы не достигли бы нашей цели. Если даже условие G5.9) соблю-
соблюдается во всей области Q, то это гарантирует однозначную обрати-
обратимость лишь в некоторой окрестности каждой точки области, но не
во всей области Q в целом. Так, например, пусть область Q (в трех-
трехмерном случае) имеет вид распухшей буквы С, причем отображение
на область Q' состоит в том, что Q сдавливается в вертикальном
направлении, так что просвет справа исчезает, и отросток, спускаю-
спускающийся сверху, входит в отросток, поднимающийся снизу. Такое
отображение Q на Q' уже не будет взаимно однозначным, хотя при
этом всегда можно обеспечить условие G5.9) и взаимную однознач-
однозначность в малом.
Переход от одной криволинейной системы координат х'' к дру-
другой х1" в той же области Q удовлетворяет тем же условиям, что
и переход от аффинных координат х' к криволинейным х1'.
В самом деле, согласно нашим требованиям х'" суть непрерывно
дифференцируемые функции от х', а х' — от х'1, так что х'" оказы-
оказываются непрерывно дифференцируемыми функциями от х1', и обрат-
обратно; О,', область изменения х1', и Q", область изменения х'", будут
находиться во взаимно однозначном соответствии.
§ 75] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 339
Ясно также, что если от кризолинейных координат х1' (с обла-
областью изменения Q') перейти к новым переменным х1" (с областью
изменения Q") при помощи обратимого и в обе стороны непрерывно
дифференцируемого преобразования, то х'" будут тоже служить
криволинейными координатами в той же области Q. Действительно,
переменные х1" посредством координат х1' будут связаны с аф-
аффинными координатами х' обратимым и в обе стороны непрерывно
дифференцируемым преобразованием, а именно в этом случае
мы и называем х'" криволинейными координатами в данной обла-
области. Во всех этих формулировках имеется в виду непрерывная диф-
ференцируемость того же порядка, что и в определении криволиней-
криволинейных координат.
В случае обычного евклидова пространства простейшими при-
примерами криволинейных координат могут служить цилиндрические
и полярные координаты. Заметим, что, желая обеспечить взаимно
однозначный характер их соответствия с точками, мы должны
рассматривать их не во всем пространстве, а в области Q, полученной
удалением из пространства одной полуплоскости, краем которой
служит ось Z (при обычном расположении чертежа), причем ось Z
удаляется тоже.
Выражая в формуле G5.1) х' через х1', мы получаем зависимость
радиуса-вектора точки М от ее криволинейных координат:
6M=gl(x^, ..., xn')ei+...+gn(xi' *»')е„. G5.10)
Обозначая кратко ОМ через х, мы будем писать:
х = х(л;1', ..., хп'). G5.11)
В силу непрерывной дифференцируемости функций g. эта век-
векторная функция будет такое же число раз непрерывно диффе-
дифференцируемой согласно § 65. Правда, там мы дифференцировали
вектор по единственному аргументу и один раз, но для частных
производных и притом любого порядка все рассуждения повто-
повторяются дословно. Отметим еще — это для нас будет важно,—
дк дх „
что частные производные —-,, ..., —; будут в каждой точке
дх1 дх"
линейно независимыми векторами. Действительно, дифференци-
дифференцируя G5.10) по х'', получаем:
дх1'
Матрица коэффициентов —7
линейно независимы.
неособенная, следовательно,
дх
дх1'
340 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
§ 76. Тензоры в криволинейных координатах
Мы будем рассматривать область Q аффинного пространства,
отнесенную к криволинейным координатам х' (сейчас мы обозна-
обозначаем их без штрихов). Радиус-вектор х произвольной точки М
области Q, отсчитываемый от фиксированной точки О, будет
выражаться согласно G5.11) функцией
x = x(x\ .... х"), G6.1)
достаточное число раз непрерывно дифференцируемой (для этого
параграфа довольно одного раза). В дальнейшем мы предполагаем,
что все рассматриваемые точки принадлежат области Q.
Для ориентации в строении данной координатной системы
весьма полезны координатные линии. Так мы будем называть
кривые, вдоль которых меняется лишь одна из координат х1,
а остальные остаются постоянными. Рассмотрим, например, коор-
координатную линию jc1. Это значит, что х2, ..., хп закреплены
на постоянных значениях, так что радиус-вектор х G6.1) остается
функцией одного лишь х1; мы получаем кривую, отнесенную
к параметру л:1.
Через каждую точку М пройдет одна и только одна коорди-
координатная линия х1, именно, если х2, ..., х" закрепить на значе-
значениях, которые они имеют в точке М. Частная производная -у-у
дает касательный вектор к координатной линии х1 (§ 65). Все
сказанное справедливо и для любых координатных линий, так
что через каждую точку М проходят п координатных линий
с касательными векторами —г . Эти векторы мы будем обозначать
дх1
кратко
х,. = -^г. G6.2)
1 дх1
Они, как мы знаем, всегда линейно независимы, и потому в каж-
каждой точке М могут быть приняты за векторы аффинного репера
{ЛТ, хх, ..., \п}. Таким образом, задание криволинейных коорди-
координат в области Q влечет появление в каждой ее точке М вполне
определенного аффинного репера {М, хь . . ., хп}. Этот аффинный
репер мы будем называть локальным репером в точке М.
Когда в качестве частного случая криволинейных координат
мы берем аффинные координаты, функция G6.1) принимает преж-
прежний вид G5.1):
х = л;'е,-, так что х|-=—у = е,-, G6.3)
и локальный репер в каждой точке М имеет те же векторы, что
§ 76] ТЕНЗОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 341
и основной репер, на котором построена данная аффинная коорди-
координатная система.
Для рассмотрения локальных реперов имеются глубокие осно-
основания. Именно вспомним те простые свойства, которыми обладали
аффинные координаты точек: приращения этих координат при пере-
переходе из точки М(х') в точку L(y') выражали координаты вектора
смещения ML:
Ж = о1~ОМ= (у' — х1) е,-,
поскольку
OM=x'eh
(говоря о координатах вектора, мы всегда будем иметь в виду его
аффинные координаты; криволинейные координаты для векторов не
имеют смысла). В этом, можно сказать, и состояла сущность аффин-
аффинных координат точек.
Для криволинейных координат х' эти простые свойства теря-
теряются. Однако мы находим их снова, если рассматривать криво-
криволинейные координаты в бесконечно малой окрестности данной
точки М.
Смещаясь из точки М(х') в бесконечно близкую точкуL (х' + Ах'),
мы находим вектор смещения ML, как приращение радиуса вектора
х точки М:
Ж = OL — ОМ = х (дг' + Ддг') — х (*').
Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, заменяем прира-
приращение полным дифференциалом и получаем:
Ж да \хАх1 + • • • + хиАх". G6.4)
Это значит, что вектор смещения ML в локальном репере {М, хх, . . . ,хп}
имеет координаты, равные приблизительно приращениям Да:'.
Итак, для бесконечно малых смещений из точки М приращения
криволинейных координат Ах1 снова выражают координаты вектора
смещения ML, если эти последние вычислять в локальном репере
в точке М, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка.
Таким образом, при помощи локального репера криволинейным
координатам возвращаются свойства аффинных координат, правда,
теперь уже лишь в бесконечно малой окрестности данной точки.
Можно сказать также, что приращения Ах' криволинейных
координат в бесконечно малой окрестности точки М совпадают
342 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
с точностью 1-го порядка с аффинными координатами относительно
локального репера, построенного в точке М.
Естественно, что, занимаясь геометрией аффинного пространства
в криволинейных координатах, мы постоянно будем сталкиваться
с локальными реперами.
Выясним теперь, что происходит с локальными реперами, когда
криволинейные координаты подвергаются преобразованию
*<' =лг<-'(*\ ..., хп), G6.5)
которое предполагается однозначно обратимым и непрерывно диф-
дифференцируемым в обе стороны (§ 75). Выражая, обратно,
х'=х'(х1', .... *"'), G6.6)
мы можем считать в уравнении G6.1) радиус-вектор х сложной
функцией от х1'. Частная производная по х1' выразится тогда по
известной формуле:
дх дх дх1
В правой части по /, конечно, происходит суммирование. Заметим,
что мы будем без стеснения прилагать обычные формулы диффе-
дифференцирования к выражениям, содержащим векторы, так как спра-
справедливость этих формул устанавливается тривиальным образом:
достаточно свести дифференцирование векторов к дифференцирова-
дифференцированию их координат (§ 65).
Окончательно получаем:
дх'
Xr==dZX/- G67)
Итак, преобразование криволинейных координат влечет за собой
преобразование локального репера в каждой точке М, причем век-
векторы нового локального репера разлагаются по векторам старого
дх1
с коэффициентами —- ; Det
дх1
=5*= 0. Сравнивая с нашей прежней
записью преобразования аффинного репера
мы видим, что G6.7) представляет собой ее частный случай, когда
4'=|?. G6.8)
а роль векторов е,-, е,- играют х(, х<-.
§ 76] ТЕНЗОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 343
Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле, например,
V)k(M) (§ 38). Точка М может при этом пробегать всю область Q
или только некоторую поверхность в ней, или даже линию в зави-
зависимости от того, где тензорное поле задано.
Координаты тензора V)k можно вычислять относительно любого
аффинного репера. Однако в дальнейшем мы всегда будем считать,
что аффинное пространство {по крайней мере в пределах области Q)
отнесено к каким-либо криволинейным координатам х1. Тогда в каж-
каждой точке М возникает локальный репер, и координаты тензора
V)u (M) мы будем брать относительно именно этого репера. Эти
координаты мы будем кратко называть координатами тензора V)k (M)
в данной системе криволинейных координат х1.
Когда в дальнейшем мы будем говорить о тензорном поле
V)k{M) = V)k{x\ .... *"), G6.9)
то всегда будем подразумевать сказанное выше.
Если тензорное поле задано не во всей области Q, а лишь на
некоторой поверхности (линии), то в уравнениях G6.9) V)k нужно
задавать, конечно, как функции параметров этой поверхности (линии).
Тензорное поле может выродиться и в задание тензора V)k в одной
только точке М.
Вслед за преобразованием криволинейных координат происходит
преобразование локального репера в каждой точке М, а значит,
и преобразование координат тензора V)k{M) по обычному тензор-
тензорному закону:
Vfv (М) = Ai;AtlAk-Vllk (M). G6.10)
При этом, как мы видели, матрица А\> совпадает с матрицей -Дт
дх1
г дх1'
а следовательно, обратная матрица At—с матрицей —г:
дх'
4-%. G6.11)
Следовательно, закон преобразования G6.10) принимает вид
Vln. (М) «=^1 (М) ~ (М) ~ (М) Vlik (Ж). G6.12)
Таким образом, переход от одних криволинейных координат к дру-
другим, влечет за собой преобразование координат тензорного поля
344 криволинейные координаты [гл. v
V)k(M) по закону G6.12). При этом частные производные х1' под:1
и обратно берутся в той же точке М, как и координаты тензора,
что и отмечено в записи.
Все тензорные операции алгебраического характера автоматиче-
автоматически переносятся и на тензорные поля, как это было показано в § 38.
Правда, там мы относили все тензорное поле к одному реперу
{О, еь ..., еп}, теперь же у нас в каждой точке имеется свой
локальный репер {/И, xlt ..., хп}. Но это не меняет наших рас-
рассуждений, так как алгебраические операции над тензорами совер-
совершаются по отдельности в каждой точке М.
Зато с абсолютным дифференцированием тензорных полей в кри-
криволинейных координатах дело будет обстоять совсем не так просто.
В этой главе мы не будем им заниматься, так как в главе VII мы
получим соответствующие результаты в более общем виде.
Отметим, в частности, что любой вектор |, заданный в точке М,
мы будем всегда относить к локальному реперу в точке М и под
его координатами %1 понимать координаты относительно локаль-
локального репера. Таким образом, ?! определяются из разложения
1 = 1'хл G6.13)
Координаты инвариантного вектора образуют, как мы знаем, контра-
контравариантный тензор относительно любого аффинного репера, в част-
частности, и относительно локального репера, так что закон преобра-
преобразования |' будет иметь вид
'
Обратно, если нам задан в точке М один раз контравариантный
тензор с координатами |', то разложение G6.13) определяет инва-
инвариантный вектор |, как тоже известно из общей теории (§ 24).
Задание векторного поля \ {М) равносильно вследствие этого зада-
заданию тензорного поля ?' (М).
§ 77. Параллельное перенесение
Одним из важнейших свойств аффинного пространства является
возможность откладывать данный вектор из любой точки. Возникает
вопрос, как это реализовать, когда рассматриваемая область Q
отнесена к криволинейным координатам х'. Вектор |0 мы будем
предполагать заданным его координатами |0 в некоторой точке Мо;
отложить его мы хотим из другой точки Mt. Разумеется, если отло-
отложить в М1 вектор с теми же координатами ?„', то это не достигнет
цели, так как локальные реперы в /Ио и М1 различны. Нам нужно
§ 77] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ 345
установить, как следует изменить \1, чтобы в локальном репере
в точке М1 они определяли прежний вектор |0.
Однако решение этой задачи не приводит к чему-либо интерес-
интересному, если переносить вектор |0 из Мо в Мх одним скачком.
Интерес представляет непрерывное перенесение вектора |0 по
какой-либо кривой МОМХ, причем мы рассматриваем ход непрерыв-
непрерывного изменения его координат ?' на каждом бесконечно малом
участке пути. Именно это упрощение задачи и приводит к содер-
содержательным результатам.
Пусть путь М0М1 задан параметрическими уравнениями
xi = xt(t) (/ = 1, 2, ..., п), *o<*<'i. G7.1)
где х1 (^ — непрерывно дифференцируемые функции. Заметим, что
МйМх есть кривая в смысле § 65: если х' (t) подставить в G6.1),
то радиус-вектор х оказывается функцией от t. В каждой точке
M(t) этого пути мы откладываем постоянный вектор |0, коорди-
координаты которого |', однако, меьяются от точки к точке ввиду изме-
изменения от точки к точке локального репера. Таким образом, коор-
координаты %' зависят от t:
?'==?'('). G7-2)
и мы хотим выяснить, по какому закону будут меняться эти функ-
функции хотя бы на бесконечно малом участке пути.
Так как функции xl(t)—-непрерывно дифференцируемые, мы
сейчас же получаем, что вдоль пути векторы локального репера
Xi(xl, ..., х"), а значит, и ?' являются непрерывно дифферен-
дифференцируемыми функциями t (предполагая N=2; смысл N см. § 75).
Относя вектор %0 к локальному реперу в точке M(t), пишем:
1о = 1'(*)\(х\ ..., х"). G7.3)
Здесь имеется в виду, что аргументы х1, . .., х" сами зависят
от t согласно параметрическим уравнениям пути. Дифференцируя
по t почленно и учитывая, что %0 = const, получим:
0 = dlixi + lidxl. G7.4)
Чтобы разобраться в этом результате, нам нужно векторы dxt раз-
разложить по векторам локального репера.
По формуле полного дифференциала
^(л:1 Xя) = x,jdxJ, G7.5)
346 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [гл. V
где
_дЧ (х\ ..., хп)
и ~ dx'dxJ
Векторы х,-у, вполне определенные для каждой точки области О,
(а не только вдоль рассматриваемого пути), можно разложить по
векторам локального репера х,- в этой точке:
Y p*.v /77 fi^
Через Г,у мы обозначили коэффициенты разложения; по k происхо-
происходит, конечно, суммирование. Очевидное равенство
х<7 = x/t
влечет за собой
Г* = Г*« G7.7)
ввиду однозначности разложения по векторам репера. Конечно, Тс/
зависят от точки, где производится разложение G7.6), так что
Tkij{M) = T^(x1, ...,xn). G7.8)
Величины Гц, определенные таким образом в данной системе
криволинейных координат х' для каждой точки М области Q, мы
будем называть коэффициентами связности.
Смысл этого названия вскоре выяснится. Коэффициенты связ-
связности впоследствии (в обобщенном виде) будут играть у нас исклю-
исключительно важную роль.
Возвращаемся к нашей задаче. Вставляя разложение G7.6)
в G7.5), получаем:
после чего равенство G7.4) принимает вид
В первом члене правой части мы изменили лишь обозначение индекса
суммирования на k. Ввиду линейной независимости векторов xk
обращение в нуль их линейной комбинации означает обращение
в нуль и всех ее коэффициентов; следовательно,
или, что то же,
dg*=—Г,/?'<**'. G7.9)
(Ввиду симметрии Г*;- по нижним индексам безразлично, свертыва-
§ 77] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ 347
ется ли ?' с первым, a dx1—со вторым его индексом или наоборот).
Это и есть формула параллельного перенесения вектора в беско-
бесконечно малом. Она решает следующую задачу: если в данной точке
М(х') вектор имеет координаты ?*, то какие координаты будет
иметь тот же вектор в бесконечно близкой точке М' {х' + dx'O
Конечно, эту задачу мы решаем не точно, а пренебрегая беско-
бесконечно малыми высшего порядка. Вернее, мы выражаем не прираще-
приращения, а дифференциалы координат | при переходе из М в М'.
Как мы видим, d\k линейно зависят и от данных координат \J
и от дифференциалов dx1 координат точки. Коэффициентами служат
Г»*! мы видим, что при их помощи связываются векторы в М и векто-
векторы в М', откуда и происходит название «коэффициенты связности».
Мы как будто забыли о том пути М0Мг, по которому двига-
двигались, или, точнее, ограничились его произвольным бесконечно малым
кусочком.
Если же мы захотели бы применить полученную формулу G7.9)
к перенесению вектора по конечному пути M0Mlt то нам пришлось
бы интегрировать соответствующую систему дифференциальных
уравнений. Здесь мы на этом не останавливаемся, так как позже
будем заниматься этим вопросом в обобщенном виде.
В частном случае, когда координаты х1 аффинные,
и из G7.6) следует:
Г,7 = 0. G7.10)
Обратно, если в какой-нибудь системе криволинейных координат
Тц{хг, ..., хп) тождественно обращаются в нуль, то из G7.6)
следует:
х;/ = 0, х,= const.
Обозначая х, = е,-, получим наконец
Такое выражение для радиуса-вектора (где х0 = const) показывает,
что х1 — аффинные координаты (с началом в точке х0).
Итак, для того чтобы криволинейные координаты в рассматри-
рассматриваемой области Q оказались, как частный случай, просто аффин-
аффинными, необходимо и достаточно, чтобы в этих координатах тож-
тождественно обращались в нуль Г*/.
348 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
§ 78. Объект связности
Мы ввели коэффициенты связности Г,* в некоторой системе кри-
криволинейных координат х1 в каждой точке М области Q.
Допустим, что мы перешли в другую систему криволинейных
координат х'1 и там вычислили Г,*; по какому закону будут пре-
преобразовываться Г,у в Г,//<?
Как оказывается, этот закон не будет тензорным, хотя индекс-
индексные обозначения коэффициентов связности как будто наталкивают
на эту мысль. Исходя из разложения G7.6), определяющего Г*,-,
нетрудно этот закон найти. В старых и соответственно в новых
координатах мы имеем:
Kij—Tiflifr, Xj'j> = Ti'/'X-k'- G8.1)
Мы хотим, пользуясь первым разложением, подсчитать коэффициенты
второго разложения, что и даст искомый закон.
Дифференцирование х{х*, ..., х") как сложной функции от х1'
приводит нас к G6.7):
ж, =~^, G8.2)
Еще раз дифференцируем, теперь по дг'', снова рассматривая
хДдг1, ..., х") как сложную функцию от х>'. Так как
<Эх,- «Эх,- дх1 __ dxJ
то мы получаем, дифференцируя G8.2) по х'',
„ /-ТО о\
' х'7- G8.3)
дх дх' дх дх' '
В первом члене правой части меняем обозначение индекса суммиро-
суммирования / на k и, пользуясь первым разложением G8.1), переписываем:
дх1
+
Пользуясь, далее, формулой G8.2), записанной с переменой ролей
старых и новых координат:
4==ibXk" G8-5)
получаем окончательно:
дх' дх-> г и \ дхк'
' дх ox1 J дх"
§ 78] объект связности 349
Сравнивая со вторым разложением G8.1), мы видим, что
+ Г G86)
Ti'i' ~ дх'' дхI'JJ + dPZxT'U Г«' G8l6)
Это и есть искомый закон преобразования коэффициентов связ-
связности. Этот закон совпал бы с тензорным, если в правой части
оставить лишь последний член. Но наличие дополнительного члена,
содержащего, между прочим, вторые производные старых координат
по новым, принципиально меняет дело.
Если в данной точке М для каждой системы криволинейных
координат х1 нам указана система чисел Г'/,-, преобразующихся по
закону G8.6) при переходе от одной системы к другой системе
криволинейных координат, то мы говорим, что в точке М задан
объект связности. При этом подразумевается, что частные произ-
производные в G8.6) вычислены в точке М. Обычно объект связности
рассматривается не в одной точке М, а в каждой точке области Q:
Г?/=Г?/(Л1)-Г?/(^> ..., *"), G8.7)
так что мы имеем поле объекта связности Г//(/И). Для краткости
мы в дальнейшем под «объектом связности» будем понимать именно
поле объекта связности.
Мы видим, что коэффициенты связности Г,,(Л1) в нашем аффин-
аффинном пространстве образуют определенный объект связности, кото-
который мы назовем объектом связности нашего аффинного простран-
пространства. Но произвольно взятый объект связности, вообще говоря,
не является объектом связности нашего пространства. Более того,
он не является объектом связности и вообще какого-либо аффин-
аффинного пространства. Точный смысл этого замечания выяснится позже.
Объект связности есть частный случай дифференциально-геоме-
дифференциально-геометрического объекта класса 2. Мы говорим, что в точке М дан диф-
дифференциально-геометрический объект класса 2, если в каждой системе
криволинейных координат х1 нам дано s чисел <px, <р2, ..., ф4)
причем при переходе от координат х' к новым координатам х1'
новые значения qv, <p2», .-., <ps< выражаются как определенные
(непрерывно дифференцируемые) функции старых значений <рх, <р2, .. .
. . ., ф, и частных производных новых координат х'' по старым х'
до 1-го порядка включительно; эти производные предполагаются
вычисленными в точке М*). В закон преобразования могут входить,
*) Обычно предполагают, кроме того, что это преобразование обладает
групповым характером, т. е. последовательное его выполнение для перехо-
переходов от х' к х1' и от х1' к х' дает это же преобразование для перехода от
х' к х' . Однако групповой характер можно вывести из нашего определения
(хотя и без изменения объекта по существу, но, может быть, с изменением
формальной записи закона его преобразования).
350 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
конечно, производные и старых координат по новым, но мы об этом
не упоминаем, так как их всегда можно выразить при желании
через производные новых координат по старым.
Совершенно аналогично определяется дифференциально-геометри-
дифференциально-геометрический объект любого класса v; в частности, тензоры являются
примером дифференциально-геометрических объектов класса 1, так
как в закон их преобразования входят лишь первые частные произ-
производные новых координат по старым.
Важнейшее значение объекта связности аффинного пространства
состоит в том, что он определяет всю геометрию аффинного про-
пространства, точнее, той его области Q, в которой объект связности
задается.
Это можно формулировать в виде следующей теоремы.
Пусть нам известно, что переменные х1, ..., х", пробегающие
данную связную область изменения Q*, служат криволинейными
координатами в какой-то (неизвестной) области Q аффинного про-
пространства, причем коэффициенты связности в этих криволинейных
координатах нам заданы функциями
Tl,k = rl,k№ Xя). G8.8)
Тогда мы можем восстановить всю геометрию области Q.
Подчеркнем, что в условии теоремы нам не дано как именно
и в какой области Q введены криволинейные координаты х', а из-
известно лишь, что как-то это сделано. Таким образом, заранее мы
не знаем, как именно сопоставлены наши координаты точкам аффин-
аффинного пространства, и должны это обнаружить на основе знания
коэффициентов связности.
Чтобы доказать теорему, достаточно суметь перейти в области
Q от криволинейных координат х{ к каким-нибудь аффинным коор-
координатам, которые мы обозначим х''.
Действительно, в аффинной координатной системе мы без труда
можем определить все соотношения между точками и векторами и
осуществить все конструкции, которые перечислены в аксиоматике
аффинного пространства. Тем самым и вся геометрия аффинного
пространства будет восстановлена (в нашем случае в пределах
области Q).
Для того чтобы х1' служили аффинными координатами в об-
области Q, необходимо и достаточно, чтобы Г/'й» = О (конец § 77).
Поэтому мы будем искать такие формулы преобразования
чтобы этого добиться в преобразованных координатах х1'.
§ 78] ОБЪЕКТ СВЯЗНОСТИ 351
Используем закон преобразования G8.6), написав его для
обратного перехода от х1' к х':
гя и-л- dxk dx'' gxj- dxk rft' /7Й Q.
I a = : : r 1 /';' . ( / 0.У I
Лг'ЛгУ Avk' Av> AyJ Avk' '
Очевидно, требование IY/' = 0 влечет за собой
k *#i_d± 781
' dx'dxJ dxk' v
Обратно, отсюда следует ГУ/' = О. Правда, непосредственно при
подстановке G8.10) в G8.9) получаем обращение в нуль Г,-,',
подвергнутых преобразованию по тензорному закону, но это влечет
обращение в нуль и самих IV/'.
Перепишем теперь G8.10) в более удобном виде. Умножая по-
dxi' ,
членно на —— и суммируя по д, получим:
дх"
dxi' d4k' дх* dxi' d*xk Ri> d4i ,_о ...
1 dxk dx'dxJ dxkl dxk dx'dxJ dx'dxJ
Итак,
Jg^r&t*1, ¦..,*")%. G8.12)
dx'dx1 dx"
Таким образом, для того чтобы преобразование криволинейных
координат х1
х1' =х''(х\ ..., хп)
давало бы нам аффинные координаты х1', необходимо и достаточно,
чтобы функции х" (х1, ..., х") удовлетворяли системе дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка G8.12).
А так как функции Г/Длг1, ..., х") нам заданы, то мы можем
фактически написать уравнения G8.12) и среди систем криволиней-
криволинейных координат х'1 выделить те, которые этим уравнениям удовлетво-
удовлетворяют. Это будут аффинные координатные системы; по любой из
них мы можем восстановить и всю геометрию области Q. Теорема
доказана. Заметим, что существование решений у системы диф-
дифференциальных уравнений G8.12) в нашем случае сомнений не вы-
вызывает, так как в области Я наверняка существуют аффинные ко-
координаты х' ; вопрос состоял лишь в том, как х1' выразить через х\
Доказанная теорема наводит на следующий вопрос, исключи-
исключительно важный для дальнейшего.
Пусть в области изменения переменных Xх, ..., х", которую мы
обозначим Q*, заданы какие-то функции T)k(xl х"), и притом
352 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
во всей области Q* Г)* = Г^/; всегда ли можно истолковать пере-
переменные х1, ..., х" как криволинейные координаты в некоторой
области Q аффинного пространства так, чтобы наперед заданные
функции Г/ь!*1, ..., х") выражали коэффициенты связности в
области Q?
Ответ на этот вопрос будет, как мы позже увидим, отрицатель-
отрицательным, даже если вместо всей области Я* брать сколь угодно малые
ее куски. Требуемое истолкование возможно лишь в весьма частном
случае, когда Г/& удовлетворяют определенной системе дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных. Заметим, что этот от-
отрицательный результат не противоречит доказанной теореме: дей-
действительно, возможность истолковать функции Г/^(лг1, ..., х") как
коэффициенты связности в криволинейных координатах х' входила
в условие теоремы.
Теперь возникает следующий вопрос: мы знаем, что в некоторых
частных случаях функции Г)к(х1, ..., х"), заданные в области из-
изменения переменных х', определяют в этой области аффинную гео-
геометрию (именно, если истолкование Y)k как коэффициентов связ-
связности в криволинейных координатах х' удается). Нельзя ли считать,
что и в общем случае функции Y)k (х1, . . ., х") все-таки определяют
в рассматриваемой области некоторую геометрию, которая, естест-
естественно, является обобщением аффинной! Ответом на этот вопрос
служит понятие о пространстве аффинной связности, которым мы
будем заниматься в главе VII (§ 89).
§ 79. Криволинейные координаты
в евклидовом пространстве
Так как евклидово пространство получается из аффинного лишь
дополнительным введением метрики (в форме скалярного произведе-
произведения векторов; § 39), то все сказанное о криволинейных координа-
координатах в §§ 75 — 78 остается верным, и повторять этого мы не будем.
В частности, за объект связности евклидова пространства мы прини-
принимаем объект связности Г// аффинного пространства, на базе кото-
которого оно построено. Но наличие метрики означает появление до-
дополнительных вопросов, которые мы также хотим рассмотреть
в криволинейных координатах. Как мы знаем, задание метрики сво-
сводится к заданию метрического тензора g(j, который можно относить
к любому аффинному реперу. При этом имеет место формула
/Г,7 = е,еу. G9.1)
В соответствии с общим соглашением (§ 76) мы, рассматривая тен-
тензор g(j в криволинейных координатах х', относим его в каждой
§ 79] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 353
точке М к соответствующему локальному реперу { М, хх, ..., хп}.
Его координаты будут при этом выражаться скалярными произведе-
произведениями
glf№ = xl(M)iJ{M) G9.2)
согласно G9.1).
В этой трактовке метрический тензор нужно рассматривать уже
как тензорное поле; его координаты будут являться функциями
точки
giJ(x\ .... х"), G9.3)
хотя по существу в каждой точке задается все-таки один и тот
же тензор. При переходе к новым криволинейным координатам g^
преобразуются по закону
дх1 дх/
gi'f = т—; — Si,-
дх'' dxi' '
Мы вскоре увидим, что задание в криволинейных координатах х'
метрического тензора g^ix1, ..., х") играет для евклидова про-
пространства такую же роль, как задание объекта связности Г,у- (дг1,. . . ,х")
для аффинного пространства, т. е. полностью определяет его гео-
геометрию. Но пока мы просто выведем некоторые свойства евклидова
пространства на основе задания метрического тензора gtj в криво-
криволинейных координатах. При этом ясно само собой, что для
локального репера в произвольной точке М и соответствующего
метрического тензора gtj (M) можно повторить все сказанное
⧧ 39-41.
Рассмотрим прежде всего параметрически заданную кривую
(см. 77.1)):
' . G9.4)
Радиус-вектор любой точки выражается функцией ее криволиней-
криволинейных координат
х = х(дг1, ..., Xя),
причем вдоль кривой сами х1, ..., х" зависят от t. Отсюда каса-
dx
тельный вектор -т- в произвольной точке М нашей кривой имеет
вид
d\дх dx'dx' . _ .
X G95)
dx1
а значит, обладает в локальном репере координатами -т- . Эти
координаты образуют, следовательно, один раз контравариантный
'^ П. К. Рашевский
354 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
тензор, что легко проверяется и непосредственно: при переходе
к новым криволинейным координатам xv получаем:
dx'1 _ дх'' dx'
dt ~~ дх' dt
по правилу дифференцирования сложной функции. Но это выражает
в то же время тензорный закон преобразования для -г- .
Аналогично, рассматривая вместо производной дифференциал
радиуса-вектора при бесконечно малом смещении по нашей кривой,
получаем по формуле полного дифференциала:
dx = Xj-dx1'. G9.6)
Мы видим, что координатами dx служат dx1. Следовательно, dx'
образуют один раз контравариантный тензор, и это легко прове-
проверяется непосредственно:
dx1 — —т dx1.
дх1
Все дифференциалы берутся при бесконечно малом смещении. Здесь
и в дальнейшем мы будем понимать под этим, что они берутся
как дифференциалы функций от параметра t при его бесконечно
малом приращении dt.
Скалярный квадрат вектора -г- можно вычислить по общей
формуле C9.9), пользуясь ею в локальном репере:
,dt
Отсюда
dl
Мы знаем, что длина кривой определяется формулой F5.7):
м2 t2
'WPt dt
и, следовательно,
G99)
Не нужно забывать, что в подынтегральном выражении gtJ- — функ-
функции от л:1, ..., х" согласно G9.3), ах1, ..., х" — функции от t
согласно G9.4), так что подынтегральное выражение зависит в ко-
конечном счете от t.
§ 79] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 355
Итак, если в криволинейных координатах дг' в области Q нам
задан метрический тензор gij(x1, ..., дг"), то длину любой кривой
G9.4) можно вычислить по формуле G9.9).
Вместо того чтобы задавать длину дуги интегралом, можно
выразить ее дифференциал, совпадающий, конечно, с подынтеграль-
подынтегральным выражением:
или, что то же,
1, ..., xn)dx{dxJ. G9.10)
Квадрат дифференциала дуги при любом бесконечно малом сме-
смещении по любой кривой выражается дифференциальной квадратичной
формой G9.10) от криволинейных координат (вообще дифференци-
дифференциальной квадратичной формой от переменных дг1, ..., х" называется
квадратичная форма от их дифференциалов dx1, ..., dx" с коэф-
коэффициентами— функциями от дг1, ..., дг").
Эту квадратичную форму мы будем называть метрической. Она
инвариантна относительно преобразования криволинейных коорди-
координат дг'; это видно как по ее геометрическому смыслу, так и по
алгебраической структуре: она представляет результат двойно-
двойного свертывания метрического тензора gly- с контравариантным тензо-
тензором dx'*
Покажем теперь — и это важный факт, — что объект связности
Т%(М) евклидова пространства можно вычислить, зная метричес-
метрический тензор gy (M) в какой-нибудь криволинейной системе координат.
Согласно G7.6) коэффициенты связности подсчитываются из
разложения
W G9.11)
Теперь, имея в пространстве евклидову метрику, мы можем по-но-
по-новому подойти к этому подсчету. Умножая G9.11) на хг скалярно,
получим:
? G9.12)
так как
*А = &*- G9.13)
Мы видим, что правая часть G9.12) получается из Г*/ опуска-
опусканием верхнего индекса (правда, опускание индексов мы рассматри-
рассматривали лишь для тензоров, в то время как 1\/— не тензор; однако
формальная сторона дела от этого не меняется). Соответственно
12»
356 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
этому обозначим:
Г<.,у = г,4Г?/. G9.14)
Обратно, Г,-/ получаются из Гм поднятием первого нижнего
индекса:
Г*=^'Г,„7- G9.15)
Ясно, что для вычисления Г,;- достаточно вычислить Гг ,-.-• Соглас-
Согласно G9.12)
Гму = х,х/у. G9.16)
При этом, очевидно,
Эти величины и есть те неизвестные, которые требуется выразить
посредством метрического тензора gif. Для этой цели дифференци-
дифференцируем равенство G9.13) по хт почленно. Получим:
т. е.
Г, 4- Г , =-^-г G9 \7\
1 k,lm г L l,km — дхт ' \li).il)
Мы имеем здесь (при фиксированных k, I, m) одно уравнение
с двумя неизвестными. Однако, если переписать это уравнение,
сделав над k, I, m круговую подстановку, сначала один раз, а по-
потом еще раз, то уравнений будет уже три, а неизвестное добавится
лишь одно. Получаем:
Г -4-Г = —
Г 4-Г _д§тк
1-.Ы-1-А*.-/ дх, ¦
Учитывая симметрию Гг,,-У по индексам /, j, мы замечаем, что
в левых частях у нас имеется фактически лишь три неизвестные
величины, попарные суммы которых заданы:
Гт Р @8kl
I I —— I > .
kitm I (»mk дх *
Г 4-Г = _?™_*
1 m.kl т l k,lm g i •
§ 79] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 357
Такую систему можно решить элементарным приемом, складывая
почленно первые два уравнения и вычитая третье. Получим:
— *»тй fly'" ' э ь л /
ох дхк дх1
и окончательно
Вставляя этот результат в G9.15), мы приходим к решению нашей
задачи:
'^'^ ^^Л G9.19)
Полученные выражения для Т1Утк и Г?/ называются Христоффе-
лями (символами Христоффеля) соответственно 1-го и 1-го рода.
Если, в частности, х—аффинные координаты, то
x=xleh х,. = е,- = const, gkl = Kkxl~ekel = const,
все частные производные ^-^- обращаются в нуль. Этим еще раз
подтверждается, что в аффинных координатах 1\/ = 0.
Докажем теперь теорему, показывающую фундаментальную роль
метрического тензора gtj для евклидовой геометрии.
Пусть нам известно, что переменные х1, ..., х", пробегающие
данную связную область изменения Q*, служат криволинейными
координатами в какой-то (неизвестной) области Q евклидова про-
пространства, причем координаты метрического тензора в этой системе
криволинейных координат нам заданы:
Тогда мы можем восстановить всю геометрию области Q.
В самом деле, пользуясь G9.19), мы находим коэффициенты
связности Г*/ тоже как функции х1, ..., хп и, исходя отсюда,
совершаем переход в какую-нибудь аффинную координатную систе-
систему х1' так же, как в § 78. В этой координатной системе находим
координаты метрического тензора по формуле преобразования
дх' dxJ
Так как xv—аффинные координаты, то gt'j> = const, т. е. от вы-
выбора точки не зависят. В результате мы нашли в области Q аффинную
координатную систему х1' (что позволяет восстановить всю аффин-
аффинную геометрию области Q) и метрический тензор gi-j- в ней, что
358 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. V
позволяет выразить скалярное произведение любых двух векторов,
а тем самым полностью восстановить евклидову метрику области Q.
Теорема доказана.
Снова возникает вопрос: пусть в области изменения переменных
х' каким-либо образом заданы функции g^-^x1, ..., х"), gjj — gji,
Det\gjj\=?Q. Всегда ли можно истолковать х' как криволинейные
координаты в некоторой области Q евклидова пространства так,
чтобы gjj(xl, ..., х") выражали координаты метрического тензора
в этой области в криволинейных координатах хЧ
Ответ снова будет отрицательным: такое истолкование возможно
лишь в очень частном случае, именно, когда функции gjj(x1,. .., х")
удовлетворяют определенной системе дифференциальных уравнений
в частных производных 2-го порядка (которой мы будем заниматься
позже). Лишь тогда задание gyix1, ..., хп) позволяет установить
евклидову геометрию в области изменения х'. Но здесь естественно
спросить: нельзя ли и в общем случае задания функций g-j (х1,.. . ,х")
связать с ними определенную геометрию в области изменения пе-
переменных х' наподобие этой евклидовой геометрии?
Ответом на этот вопрос служит понятие римановой геометрии,
которой мы будем заниматься в главе VII.
ГЛАВА VI
МНОГООБРАЗИЯ
Мы собираемся перейти к основным для этой книги понятиям
пространства аффинной связности и риманова пространства. В рам-
рамках этих понятий мы будем затем оставаться до конца книги. Как
уже указывалось в § 79, мы приходим к ним путем обобщения
соответственно понятий об аффинном и евклидовом пространствах.
В грубых чертах указывался и путь этого обобщения: мы рассма-
рассматриваем некоторую область изменения переменных х1, . .. , х" и
геометризируем ее в первом случае путем введения функций
Г^Д-Я1, • • • , х"), которые используются аналогично коэффициентам
связности аффинного пространства, во втором случае путем введения
функций gijix1, ... , х"), которые должны служить чем-то вроде
координат метрического тензора g{j евклидова пространства.
Однако геометризацию области изменения переменных дг1, ... , х"
нужно начинать с более раннего этапа, именно, с превращения
ее в многообразие, еще независимо от задания функций Г,* или gi}.
В настоящей главе мы этим и займемся.
§ 80. Элементарное многообразие
Начнем с наводящих соображений. Связную область в аффинном
пространстве мы можем относить к различным системам криволиней-
криволинейных координат, любые две из которых связаны между собой пре-
преобразованием взаимно однозначным и в обе стороны N раз непре-
непрерывно дифференцируемым:
*''=/, (я1, ...,*") и, обратно, xt=gt{x*, ..., *"')• (80.1)
При этом х1 пробегают область изменения Q, х1'—область измене-
изменения Q' (определение области см. § 75). При соблюдении всех этих
условий преобразование (80.1) переменных х' в переменные х''
мы будем называть кратко преобразованием класса N.
То, что мы имеем область именно в аффинном пространстве,
сказывается в том, что среди координатных систем выделены особые,
360 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
аффинные координатные системы с точностью уже до линейных
преобразований. Перейдя в какую-нибудь из аффинных координат-
координатных систем, мы очевидным образом можем установить все аффин-
аффинные свойства области Я. Представим себе теперь, что мы отказались
от выделения среди координатных систем некоторых особенных
(аффинных), а считаем все эти системы равноправными. Тогда мы
теряем аффинные свойства рассматриваемой области, она перестает
быть куском аффинного пространства и становится некоторым мно-
множеством, элементы которого мы называем точками в сущности лишь
по инерции. Однако это множество, как мы сейчас увидим, все же
сохраняет некоторые геометрические свойства, правда, очень бедные.
Этим самым мы и приходим к понятию многообразия в простейшем
частном случае (элементарное многообразие).
Мы можем теперь дать следующее определение. Элементарным
многообразием (п измерений и класса N) мы будем называть любое
множество Ш, для которого задано взаимно однозначное отобра-
отображение на связную область изменения п переменных х1, . . . , х",
но задано лишь с точностью до произвольного преобразования этих
переменных в новые переменные по схеме (80.1) (включая условие
непрерывной дифференцируемости порядка N).
Обозначая область изменения переменных х1, ... , х" через Q,
а элементы множества через М, можно записать отображение в виде
х") ?п. (80.2)
Область Q предполагается связной. Самым важным в определении
многообразия является то, что отображение (80.2) задается с точ-
точностью до всевозможных преобразований класса N над перемен-
переменными х1, . .. , х", т. е. с точностью до перехода к любому дру-
другому отображению
(80.3)
при единственном условии, что х1', ... , хп' получаются из
дг1, .. . , х" (и обратно) непрерывно дифференцируемым преобразо-
преобразованием класса N (80.1). Другими словами, задается не одно отобра-
отображение (80.2), а бесчисленное множество таких отображений, причем
любые два из них, например, (80.2), (80.3), связаны преобразова-
преобразованием класса N (80.1), и, обратно, любое преобразование класса N
(80.1), примененное к одному из заданных отображений, снова
приводит к одному из заданных отображений.
Поскольку отображение (80.2) задано, таким образом, с огром-
огромной степенью неопределенности, то можно подумать, что оно ничего
не может и дать для геометрии многообразия. Но это не совсем
так. Будем называть элементы многообразия М точками, заданные
нам отображения (80.2) координатными системами в многообразии
931 и, наконец, значения х1, .. . , х", отвечающие точке М в ото-
§ 80] ЭЛЕМЕНТАРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ 361
бражении (80.2),— ее координатами в соответствующей координат-
координатной системе. Геометрические свойства многообразия нам приходится
извлекать только из отображений (80.2), так как элементам мно-
множества Ш. самим по себе никаких свойств не приписывается. Если
бы при этом отображении (80.2) были бы заданы с точностью до
произвольных взаимно однозначных преобразований области О
в область Q', то отсюда было бы нельзя ничего извлечь. Но потому,
что эти отображения заданы с точностью до непрерывно дифферен-
дифференцируемых преобразований класса N, многообразие приобретает
некоторые, хотя и скудные, геометрические свойства. Прежде всего
в многообразии можно определить понятие предельной точки. Мы
будем говорить, что переменная точка М стремится (например, по
счетной последовательности положений) к предельной точке Мо,
если координаты точки М стремятся к соответствующим коорди-
координатам точки Мо хотя бы в одной координатной системе х' (т. е.
хотя бы при одном из заданных отображений (80.2)). Но так как
переход к другой координатной системе х1' совершается при помощи
функций, во всяком случае непрерывных (даже при Л/=0),
то наше определение имеет смысл, независимый от выбора коорди-
координатной системы. Аналогично обстоит дело и с понятием области
(открытого множества) Ы с Ш, которое определяется посредством
координатной системы так же, как и область в арифметическом
пространстве в § 75. Далее, пользуясь снова какой-нибудь коорди-
координатной системой в многообразии, нетрудно определить в нем кри-
кривые, их касание между собой того или иного порядка, поверхности
и еще ряд геометрических конструкций; мы не останавливаемся на
всем этом более подробно, так как дальше будем заниматься этим
систематически. Оказывается, что такого рода определения форму-
формулируются так, что их смысл не зависит от той координатной си-
системы, которой мы в данный момент пользуемся, и тем самым наши
конструкции определены действительно для самого многообразия.
Резюмируя, можно сказать, что элементарное многообразие
(класса N) воплощает в себе те свойства области изменения пере-
переменных лг1, ... , х", которые инвариантны при любом взаимно
однозначном и непрерывно дифференцируемом преобразовании
(класса N) этих переменных в новые переменные х1', ... , хп'*).
Чем больше N, тем меньшее количество преобразований мы до-
допускаем, тем большим количеством свойств обладает многообразие.
Все, что имеет место для многообразия данного класса, и подавно
имеет место для многообразия высшего класса. Многообразие
наиболее бедное свойствами мы получаем при N—Q, т. е. когда
*) Абсолютно недопустимо и лишено смысла «подсовывать» многообра-
многообразию то, что ему по определению не принадлежит, например, строить век-
вектор, соединяющий две данные точки, и т п., только потому, что так
делается в аффинном (или евклидовом) пространстве.
362 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
от взаимно однозначных преобразований х' в х1' требуется лишь
непрерывность. В этом случае мы имеем многообразие в топологи-
топологическом смысле. В этой и следующих главах достаточно потребовать,
чтобы многообразие было, по крайней мере, 2-го класса; в главе VIII
класс придется повысить до N=3, а в некоторых ее параграфах
и еще больше. Допускается и значение N=oo.
Все, что до сих пор было сказано, относилось к многообразиям
простейшего вида, которые мы назвали элементарными. Не давая
пока точных определений (см. § 84), мы постараемся составить
хотя бы грубо наглядное представление о многообразии вообще.
Начнем с двумерного случая N=2. Моделями различных дву-
двумерных многообразий могут служить поверхности в обычном евкли-
евклидовом пространстве, например, эллиптический параболоид, сфера,
тор, полусфера и т. д. Если рассматриваемая поверхность имеет
край, то он в поверхность не включается. Например, полусфера
берется без ограничивающей ее окружности большого круга.
Когда мы рассматриваем поверхность, как модель многообразия,
мы, конечно, игнорируем ее обычные геометрические свойства и
вообще интересуемся этой поверхностью лишь с точностью до ее
непрерывно дифференцируемого преобразования определенного
класса N; действительно такое преобразование переносит коорди-
координатные системы (класса N) с одной поверхности на другую. Таким
образом, целая плоскость, внутренность круга, полусфера, эллип-
эллиптический параболоид, гиперболический параболоид и т. п. как
многообразия между собой эквивалентны. Действительно, все эти
поверхности допускают взаимно однозначное непрерывно дифферен-
дифференцируемое отображение друг на друга. В частности, они отобража-
отображаются на целую плоскость X0Y, т. е. на область изменения пере-
переменных х, у, —сю < х, г/<-|-оо. Тем самым перечисленные
многообразия являются элементарными двумерными многообразия-
многообразиями; существуют и не эквивалентные им (например, кольцо между
двумя концентрическими окружностями на плоскости представ-
представляет собой существенно иное, хотя тоже элементарное много-
многообразие).
Но многообразие, моделью которого служит сфера, будет уже
неэлементарное многообразие, так как сфера не допускает взаимно
однозначного и непрерывного отображения ни на какой кусок пло-
плоскости, т. е. ни на какую область изменения двух переменных х, у.
Это равносильно тому, что сферу в целом нельзя отнести к какой-
либо координатной системе х1, х2 при обычных предположениях
взаимной однозначности и непрерывности соответствия.
Однако сферу можно склеить из двух полусфер, которые пред-
представляют собой элементарные многообразия и допускают каждая
координатную систему лг', лг2. При этом, чтобы не выпала окруж-
окружность большого круга, по которой полусферы должны склеиваться,
§ 80] ЭЛЕМЕНТАРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ 363
но которая им не принадлежит, мы одну из полусфер возьмем
несколько продолженной за ее границу посредством пояска, настав-
наставленного по ее краю, причем этот поясок будет наклеиваться на
соответствующую часть второй полусферы. Аналогичным образом
и многообразие, представленное тором (и, конечно, тоже неэлемен-
неэлементарное), можно склеить, например, из заходящих один на другой
четырех кусков в виде искривленных и деформированных прямо-
прямоугольников, которые по отдельности представляют собой, конечно,
элементарные многообразия.
Из этих наглядных примеров можно почерпнуть общую идею:
произвольное двумерное многообразие можно определить как
результат последовательного склеивания заходящих одно на дру-
другое элементарных двумерных многообразий. Двумерное многообра-
многообразие, полученное в результате такого склеивания, ведет себя в ма-
малом, в окрестности каждой точки, совершенно так же, как и
элементарное многообразие. Это видно хотя бы из того, что доста-
достаточно малая окрестность точки принадлежит одному из составляющих
элементарных многообразий. Но в целом неэлементарное много-
многообразие своими топологическими свойствами существенно отличается
от элементарного.
Совершенно аналогичная идея лежит в основе понятия л-мерного
многообразия. Оно составляется по существу путем склеивания
(т. е. частичного отождествления) заходящих одно в другое эле-
элементарных я-мерных многообразий. Для неэлементарного многообра-
многообразия в целом нельзя ввести координатную систему х1, ... , х"
с обычными требованиями взаимной однозначности и непрерывности
соответствия; но это можно делать по отдельности для тех эле-
элементарных кусков, из которых оно составлено.
Конечно, грубые описания, которые нами даны, не содержат
точного определения многообразия. Однако мы не очень постра-
пострадаем, если ограничимся ими, по следующей причине.
Мы будем в дальнейшем заниматься дифференциальной геомет-
геометрией многообразия, а для этого достаточно каждый раз иметь
в своем распоряжении лишь некоторую окрестность рассматривае-
рассматриваемой точки. В пределах же такой окрестности многообразие всегда
можно считать элементарным. Поэтому дальнейшие построения
мы обычно будем вести так, как если бы многообразие было эле-
элементарным, в частности, пользоваться координатными системами
х1, ... , х", где х1, ... , х" пробегают некоторую область изме-
изменения Q. При этом нужно помнить, однако, что мы имеем в виду
координаты, введенные в отдельных составляющих элементарных
многообразиях. В тех частях, где эти многообразия накладываются
одно на другое, соответствующие координаты связаны зависимостью
(80.1) класса N. Точное определение (неэлементарного) многообразия
мы дадим позже (§ 84).
364 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
§ 81. Тензоры в многообразии
Переходя к геометрии многообразия, необходимо хорошо понять,
что по сравнению с аффинным (и, тем более, евклидовым) простран-
пространством мы очень много потеряли. В нашем распоряжении нет больше
векторов, которые можно было строго определенным образом пере-
переносить из точки в точку, что придавало пространству строго оформ-
оформленный, жесткий характер. Теперь у нас нечто аморфное и пластич-
пластичное, так как вся геометрия многообразия должна быть извлечена
лишь из задания в нем множества координатных систем (80.2):
М*-+{х\ ... , х") ?й,
связанных между собой произвольными взаимно однозначными и N
раз непрерывно дифференцируемыми преобразованиями.
Тем не менее, понятие тензора в данной точке многообразия
без труда копируется с соответствующего понятия для аффинного
пространства в криволинейных координатах.
Мы говорим, что в данной точке М задан тензор, например,
один раз контравариантный и два раза ковариантный, если в каж-
каждой системе координат х1, . . . , х" нам задана система чисел
V)k {Щ, преобразующихся при переходе к другим координатам
х1', ... , х11' по закону
Vf,k, (М) =д4~{ (М) ^ (М) % (M)V)k (M), (81.1)
дх1 дх> дх*
еде частные производные вычислены в точке М (именно в этом
и проявляется то обстоятельство, что тензор задан в точке М).
Большей частью нам придется рассматривать не отдельный
тензор, а тензорное поле, когда тензор данного строения, напри-
например, V)k, задан в каждой точке М многообразия (или, по край-
крайней мере, в каждой точке некоторой поверхности или линии в нем).
Тогда координаты тензора в каждой системе координат х1, ... , х"
являются определенными функциями точки
V\k = V)k (M) = V)k (x\ .... хп), (81.2)
причем здесь и везде далее эти функции мы считаем N—'\ раз
непрерывно дифференцируемыми. При переходе в новую координат-
координатную систему действует закон преобразования (81.1). Мы знаем,
что х''(х\ ... , лг"), равно как и х'(х1', ... , хп'), суть N раз
непрерывно дифференцируемые функции; отсюда следует, что условие
N—1-кратной непрерывной дифференцируемое™ для V)k сохра-
сохраняется и при переходе к V)>k' (так как оно имеет место для мно-
дх1' дх'
жителей , —7, появляющихся при преобразовании (81.1)).
дх' дх1
§ 81]
ТЕНЗОРЫ В МНОГООБРАЗИИ
365
Мы видим, что задание тензорного поля в многообразии с фор-
формальной стороны вполне совпадает с заданием - тензорного поля
в криволинейных координатах аффинного пространства (§ 76).
И в том и в другом случае в данной системе координат лг1, ..., х"
координаты тензора задаются как функции точки, и в том и в
другом случае они преобразуются по закону (81.1) (который
представляет собой повторение закона G6.12)).
Разница лишь в том, что в аффинном пространстве мы могли
трактовать V)k(.M) как координаты тензора, вычисленные относи-
относительно локального аффинного репера в точке М. В многообразии
это невозможно, так как в нем не существует векторов, а тем
самым и аффинных реперов, в том числе и локальных. Поэтому,
давая наши определения тензора в точке и тензорного поля для
многообразия, мы были вынуждены скопировать именно формальную
сторону дела. Если угодно, роль локальных реперов в точке М
играют у нас сами координатные системы х1, . . . , х", рассматри-
рассматриваемые в бесконечно малой окрестности точки М. В следующем
параграфе мы геометризируем понятие о координатной системе
лг1, .. . , х", рассматриваемой в бесконечно малом вблизи М, в виде
локального репера в касательном пространстве.
Для того чтобы задать тензор данного строения в определен-
определенной точке М, достаточно произвольно задаться его координатами V1^
в одной какой-либо координатной системе х'. Тогда в любой
другой координатной системе х1' координаты тензора V)>k' опреде-
определятся по закону (81.1), причем этот же закон преобразования
уже автоматически будет действовать и при переходе от любой
координатной системы х'' к любой координатной системе х'".
Последнее выводится совершенно так же, как и в § 32; разница
лишь в обозначениях, а именно, роль взаимно обратных матриц
МГ[|
ния А\
место
и
,, =
и
IMH1
л i я 1'
у нас:
играют
А1" = /
дх'
дх'"
у нас
M'Ai,
дх' дх''
"dx^dV'
дх'
1
дх'
дх1'
используемые
дх'" _ дх'"
дх' '
дх''
. При
при
дх''
дх' ¦
этом соотноше-
выводе, имеют
(81.3)
Действительно, это не что иное, как формулы дифференцирования
сложных функций х' от х'" (и наоборот) при промежуточных
аргументах х''. Если нам нужно задать тензор не в одной лишь
точке, а целое тензорное поле, то в соответствии со сказанным
можно задаться произвольными N— \ раз непрерывно дифферен-
дифференцируемыми функциями
V\k{M)=V'ik{x\ ..., хп)
(81.4)
366 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
в данной координатной системе х1. Тем самым в каждой точке М
будет определен тензор поля, координаты которого в любой дру-
другой координатной системе х1' определяются теми же формулами
(81.1). Аналогичным образом можно поступать и в тех случаях,
когда тензорное поле задается в многообразии лишь на некоторой
поверхности или линии.
Все операции тензорной алгебры со всеми их свойствами, уста-
установленные нами в главе II, переносятся дословно и на тензоры,
заданные в одной и той же точке нашего многообразия. Действи-
Действительно, расхождение с главой II будет здесь лишь в обозначениях:
роль А\>, А', в тензорном законе преобразования будут играть
дх' . ... дх
М) и
дх<' v" "' " дх1
Зато тензоры, заданные в разных точках многообразия, отде-
отделены друг от друга, так сказать, пропастью: их нельзя даже
сравнивать между собой, не говоря уже о том, чтобы произво-
производить над ними совместно какие-либо операции.
В самом деле, желая сравнить два тензора, заданных в разных
точках Мх и М2, мы должны были бы каким-то образом в окрест-
окрестности Мх и в окрестности М2 согласовать координатные системы,
в которых вычисляются координаты этих тензоров. Но для такого
согласования в многообразии нельзя указать никакого приема.
Ввиду широкого произвола в допустимых преобразованиях коорди-
координат х1, ... , х" из задания координатной системы в окрестности Мг
нельзя извлечь никаких указаний на построение координатной
системы в окрестности Мг.
Эту же мысль можно выразить и так: допустим, что два тен-
тензора в точках Мх и Мг имеют одинаковые координаты в данной
координатной системе х':
Vjk (МЛ = V)k (М2).
Тем не менее эти тензоры не могут считаться равными, так как
при переходе к новым координатам х1' указанное равенство, вообще
говоря, нарушится. Это произойдет потому, что в законе преоб-
преобразования (81.1) в первом случае будут фигурировать -^у (Мг), а
дх1'
во втором случае —-(М„), вообще говоря, не равные между собой.
дх'
Операции тензорной алгебры переносятся также и на тензор-
тензорные поля в многообразии, а именно, операции над полями опреде-
определяются как операции над тензорами этих полей, производимые
в каждой точке М по отдельности. Так, сложение тензорных полей
(одинакового строения), например, Vj/(M) и U'k (М), определяется
§ 81] ТЕНЗОРЫ В МНОГООБРАЗИИ 367
как составление нового тензорного поля
умножение тензорных полей, например, V'P(M), U'qk (M), опреде-
определяется как составление нового тензорного поля
свертывание тензорного поля, например, W'Jg (M), по второму
верхнему и первому нижнему индексам означает построение нового
тензорного поля
Hf (М) = W$
наконец, подстановка индексов означает переход от тензорного
поля, например, Wjlj (M), к тензорному полю того же строения
Z'Jg{M), например, следующим образом:
Именно потому, что операции над тензорными полями сводятся
таким образом к операциям над тензорами, взятыми каждый раз
в одной и той же точке М, эти операции сохраняют все свои
обычные свойства. Для краткости мы в дальшейшем часто будем
говорить просто «тензор», имея в виду тензорное поле.
В противоположность алгебраическим операциям операция абсо-
абсолютного дифференцирования тензорного поля в многообразии не
существует. В процессе дифференцирования нужно прежде всего
брать приращение тензора при переходе из данной точки в бес-
бесконечно близкую, т. е. вычитать тензор в одной точке из тензора
в другой точке, а это в многообразии не имеет никакого смысла.
Если же попробовать обойти это формальным дифференцированием
координат тензора поля, например, Vlj(xl, ..., х"), по коорди-
dV'
натам точки, то полученные величины -~-р не образуют тензора.
В самом деле, продифференцируем закон преобразования (81.1) по-
dV>',
членно по хр и получим тем самым величины — в новых коор-
координатах; тогда в правых частях придется дифференцировать, кроме
дх''
множителя Ущ, множители —г и т. д., что приводит к допол-
дх'
нительным членам, портящим тензорный закон преобразования
для '-. Более того, ~ зависят не только от но и от
дхР дх" дхР
самих Vkj.
368 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
§ 82. Касательное аффинное пространство
Опираясь на то, что в каждой точке М многообразия 9ЛЛ можно
построить тензоры с обычными свойствами, мы постараемся гео-
метризировать понятие многообразия, насколько это возможно.
Особое значение в этом смысле будут иметь один раз контрава-
риантные тензоры ?'. В аффинном пространстве такой тензор
определил бы нам вектор; но в многообразии у нас пока векторов
нет, да в настоящем смысле слова никогда и не будет. Но мы все
же постараемся связать с каждым тензором ?' в данной точке М
нашего многообразия вектор \ в некотором условном смысле.
А именно, возьмем экземпляр л-мерного аффинного, пространства
Ап с отмеченной в нем точкой О. Отобразим каждый тензор ?'
в данной точке М в некоторый вектор \ пространства Ап так,
чтобы умножению тензора ?' на число и сложению двух тензоров
|' и ц! отвечали такие же операции над соответствующими век-
векторами:
если т]' = а?', то т) = а|, (82.1)
если Ъ' = 1'+ц', то ?=| + 1|. (82.2)
Кроме того, мы требуем, чтобы в этом отображении получались
все векторы % пространства Аа, а не происходило бы, например,
отображение всех тензоров ?' в вектор-нуль.
Искомое отображение нетрудно построить следующим образом.
Выберем среди тензоров ?' в точке М п линейно независимы.
S(i)) 6B)> • • • > S(/t).
т. е. удовлетворяющих условию
Det | ?и) | Ф 0.
Тогда любой тензор !•' можно разложить по этим с некоторыми
коэффициентами
1' = "ш1м+ • • • +а<В)&) (^= 1, 2, .... п), (82.3)
где коэффициенты аA), . .. , а>щ без труда определяются из вы-
выписанной системы п уравнений с п неизвестными.
Теперь в Ап выберем произвольно п линейно независимых
векторов
S(l)> S<2>> • • • i S(n)
и каждому тензору %1 (82.3) сопоставим вектор |, в Ап опреде-
определяемый формулой
6 = а'^ш-Н. ••+«"!„)• (82-4)
§ 82] КАСАТЕЛЬНОЕ АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО 369
Ясно, что отображение будет взаимно однозначным с соблюдением
условий (82.1), (82.2). Следует подчеркнуть, что наше отображение
относится именно к тензорам независимо от того, в какой коорди-
координатной системе х' они рассматриваются, и носит, таким образом,
инвариантный характер.
Мы условимся, кроме того, отображать данную точку М много-
многообразия Ш.п в точку О пространства Ап\ можно даже для нагляд-
наглядности представлять себе их отождествленными, так что простран-
пространство Ап «пришпилено» к многообразию Шп в данной его точке М.
Итак, для каждой точки М многообразия Шп мы строим
аффинное пространство Ап, имеющее с многообразием одну общую
точку М, причем тензоры Ъ,1 в точке М с сохранением линейных
зависимостей между ними изображаются векторами \ в Ап. Такое
пространство Ап называется касательным аффинным пространством,
а его векторы \ — касательными векторами в данной точе М много-
многообразия Шп. Впрочем мы будем кратко называть векторы § просто
векторами в данной точке М, подразумевая, что они принадлежат
касательному пространству в этой точке. На первый взгляд кажется,
что касательное пространство привязано к многообразию внешне
и искусственно и с геометрической стороны ничем не может его
оживить. В действительности, однако, связь здесь более глубокая.
Рассмотрим кривую, проходящую через данную точку М много-
многообразия Шп. Под кривой в многообразии мы будем понимать мно-
множество точек, заданных параметрическими уравнениями
лг' = лг'(О, (82.5)
причем будем предполагать, что -тт- не обращаются в нуль одно-
одновременно; функции х1 (t) N раз непрерывно дифференцируемы.
Пусть при данном значении / мы находимся в точке М, а при
t-\-dt попадаем в бесконечно близкую точку /И'. Дифференциалы
координат dx' = dx' (t) образуют в точке М один раз контрава-
риантный тензор. Действительно, при переходе в многообразии к
новым координатам
х1' =xi'(x1, .... лг") (82.6)
мы для того же бесконечно малого смещения по нашей кривой
получаем по формуле полного дифференциала
dx''(t) = j?-(M)dx'(t), (82.7)
а это означает тензорный закон преобразования для dx1. Но в таком
случае в касательном аффинном пространстве тензору V — dx' (!)
должен отвечать (бесконечно малый) вектор, который мы обозна-
обозначим d\.
370 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
Итак, бесконечно малому смещению из точки М по кривой в
многообразии Шп отвечает бесконечно малый вектор dx в касатель-
касательном пространстве Ап в точке М. Этот вектор играет примерно ту
же роль, что и дифференциал dx радиуса-вектора х в аффинном
пространстве (§ 65). Но разница в том, что кривая теперь лежит
в многообразии, радиуса-вектора х (как и вообще векторов) в
многообразии не существует, и аналог вектора dx удается построить
лишь в касательном в данной точке аффинном пространстве Ап.
Как и в § 65, вектор dx определяет отвечающее ему беско-
бесконечно малое смещение лишь с точностью 1-го порядка, так как
задание dx равносильно заданию dx'(t), для самого же смещения
нужно было бы знать Ах' (t).
Тем не менее полученная геометрическая картина имеет большое
значение. Представим себе, что из точки М по всевозможным
направлениям берутся бесконечно малые смещения в многообразии.
Все эти смещения находят себе изображение в виде вполне опре-
определенных бесконечно малых смещений (векторов dx) из той же
точки М в касательном пространстве, правда, если пренебречь
бесконечно малыми высшего порядка. Тем самым касательное про-
пространство не только «пришпилено» к многообразию в точке М, но
и как бы «сливается с ним» в бесконечно малой окрестности точки
/И, однако лишь с точностью 1-го порядка. Теперь ясна аналогия
между касательным пространством и касательной плоскостью, на-
например, к обыкновенной поверхности. Смещаясь из данной точки М
на поверхности в бесконечно близкую точку М по какой-либо
кривой, мы можем, пренебрегая бесконечно малыми высшего поряд-
порядка, выразить это смещение бесконечно малым вектором в касательной
плоскости. Таким же свойством обладает касательное пространство
по отношению к многообразию (однако при этом не обязательно
мыслить их вложенными в некоторое объемлющее простран-
пространство).
В дальнейшем мы будем говорить кратко «вектор ?' в точке М»,
имея в виду соответствующий вектор Ъ, в касательном пространстве
Ап в точке М. В частности, под «вектором dx1» мы будем понимать
вектор dx. Следует подчеркнуть, что касательные пространства Ап,
взятые в разных точках многообразия 2Н„, не имеют между собой
ничего общего. У нас нет никаких данных для того, чтобы вектор,
взятый в точке М1 каким-либо мотивированным образом, отложить
в точке М2. Мы увидим далее, что устранение этого пробела будет
означать превращение многообразия в пространство аффинной связ-
связности.
Вернемся к кривой (82.5). Рассмотрим вместо дифференциалов
dx1 производные -jr в данной точке М. Они, очевидно, тоже
образуют тензор. Действительно, считая, что в (82.6) х' зависят
§ 82] КАСАТЕЛЬНОЕ АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО 371
от t согласно (82.5), и дифференцируя по t, получаем:
dx' дх1' dx' ,R0 о.
~dt=Tx4Tt* (828)
dx1 „ п
т. е. -тт подчиняются тензорному закону преобразования. Сле-
Е,- dx'
довательно, тензору §' = — должен в касательном пространстве
отвечать определенный вектор \, который мы будем называть каса-
касательным вектором к нашей кривой в точке М (или просто «век-
«вектором -уг»)- Конечно, касательный вектор определяется неодно-
неоднозначно; при непрерывно дифференцируемом и обратимом преобразо-
преобразовании параметра
dt
этот вектор умножается на — :
dx dt dx *
Таким образом, он будет определен в данной точке для данной
кривой с точностью до численного множителя -т-. Другими словами,
все касательные векторы в данной точке М данной кривой колли-
неарны, а потому они указывают в касательном пространстве вполне
определенную проходящую через точку М прямую; ее мы будем
называть касательной к нашей кривой. Итак, касательная к кривой,
заданной в многообразии, лежит не в многообразии, а в касатель-
касательном пространстве в соответствующей точке М.
Отметим, наконец, что утраченный нами в многообразии локаль-
локальный аффинный репер возрождается снова в касательном пространстве.
А именно, задавшись в многообразии координатной системой х',
рассмотрим в какой-нибудь точке М тензоры §(j), ^J2), - - • ,^(«>, име-
имеющие в данной координатной системе х' следующие координаты:
?* ?2 Рп — 1 О О
5A). 5A). • • • I 5A) — l> "i • ¦ • I и.
Ъм, lw, .-.,&> = О, 1, .... О, У (82.9)
llh Цпъ ...,&) = О, 0, .... 1.
В краткой записи
5(/) = О/.
Отвечающие этим тензорам векторы в касательном пространстве Ап
обозначим соответственно ех, е2, ..., е„ и будем называть репер
372 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. Vl
{УИ, еь е2, ..., еп} в Ап локальным репером в данной точке М
и в данной координатной системе х'. Значение локального репера
основано на следующем факте: если тензору ?' в точке М отвечает
в касательном пространстве вектор ^, то его координаты относи-
относительно локального репера совпадают с ?'. При этом предполагается,
что координаты тензора ?' берутся в той же координатной системе
лг', в которой построен локальный репер. В самом деле, как видно
из таблицы (82.9), всякий тензор l? может быть разложен по тен-
тензорам |'A), ..., |(„, с коэффициентами I1, ..., |". Соответственно
этому при переходе к векторам касательного пространства получаем:
%=1^1+...+Геп, (82.10)
откуда и вытекает, что координаты вектора \ относительно локаль-
локального репера равны g1, ..., ?".
Из определения локального репера видно, что он зависит от
той координатной системы х', к которой отнесено многообразие.
Можно даже уточнить это: вектор ek есть касательный вектор к
координатной линии хк, отнесенной к параметру t = xk. Действи-
Действительно, вычисляем касательный вектор при k=\
dt ~дх>~~ °u
а значит, этот касательный вектор совпадает с ех.
При переходе к новой координатной системе х1' векторы локаль-
локального репера в каждой точке М преобразуются по закону
дх'
е„ =gr(Af)e/ (82.11)
(т. е. так же, как и в криволинейных координатах в аффинном
пространстве). В самом деле, поскольку координаты ?' любого
вектора \ относительно локального репера совпадают с координа-
координатами соответствующего тензора |', то они преобразуются по закону
Яг'
(W)E\ (82-12)
а следовательно, векторы репера е,- должны преобразоваться при
помощи транспонированной обратной матрицы, т. е. согласно
(82.11). Конечно, эту формулу нетрудно проверить и непосредствен-
непосредственно, если учесть, что е,- имеют координаты б,- в новом локальном
репере. Тем самым в старом локальном репере они имеют коорди-
?/ = —г- bi> = —т
дх дх1
(82.11).
наты ?/» = —г- bi> = —тг а именно это и выражает разложение
дх д1
§ 83]
ПОВЕРХНОСТИ В МНОГООБРАЗИИ
373
Из формул (82.11), (82.12) следует общий результат, оконча-
окончательно выясняющий роль локальных реперов в точке М. Координаты
тензора, например V\k, заданного в точке М многообразия Шп,
ведут себя в то же время как координаты тензора в касательном
пространстве, взятые относительно локального репера. Действи-
Действительно, преобразование координат х' влечет за собой преобразование
локального репера (82.11). Рассмотрим тензор, например V/*, в
касательном пространстве, отнесенный к локальному реперу; закон
преобразования его координат будет:
vfa^-ffW^(М) % (М) V!ik,
дх1 дх' дх
так как (82.11) дает образец преобразования для ковариантных
индексов, а (82.12)—два контравариантных. Но этот же вид имеет
закон преобразования (81.1) для координат тензора в данной точке
М многообразия Шп. Поэтому безразлично, сказать ли, что V)^
суть координаты тензора в многообразии Шп в данной его точке М
относительно координатной системы х' или в касательном аффинном
пространстве Ап в точке М относительно соответствующего локаль-
локального репера. Закон преобразования в обоих случаях будет один и
тот же.
§ 83. Поверхности в многообразии
Под элементарной m-мерной поверхностью SSlm в и-мерном эле-
элементарном многообразии Шп мы будем понимать множество точек,
заданных параметрическими уравнениями
xi = x'(u1, ..., um) (/=1, 2, ..., я),
(83.1)
где и1, ..., ит — независимые переменные (параметры), пробегающие
некоторую связную от-мерную область изменения iia. При этом мы
будем предполагать функции лг'(а1> •••. u<") непрерывно дифферен-
дифференцируемыми N раз (N—класс многообразия) и удовлетворяющими
условию регулярности поверхности:
ранг матрицы
диг
ди1
)ит дит ' ' 'ди'"
равен т,
(83.2)
374
МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. VI
т. е. строки этой матрицы линейно независимы. Элементарная
выкладка показывает, что это условие инвариантно относительно
любого преобразования координат х1 в Шп.
Число измерений т нашей поверхности может принимать значе-
значения 1, 2, ..., п—1. При и=1 мы возвращаемся к кривой (82.5),
причем условие (83.2) в этом случае означает, что состоящая из
одной строки матрица
| дх* дх* дх" Ц
~дТ dt •¦¦~дГ\\ (Ь6-6)
имеет ранг 1, т. е. выписанные производные не обращаются в нуль
одновременно (это мы предполагали и для кривой (82.5)). В случае
m =/z—1 поверхность
(83.2) принимает вид
ранг матрицы
называется гиперповерхностью; условие
дх*
ди*
дх* дх^
дх1
дх2
дх"
равен л—1. (83.4)
Смысл условия (83.2) состоит в том, чтобы предотвратить появле-
появление особых точек на поверхности и, особенно, ее вырождение в
образ меньшего числа измерений. Так, если функции, стоящие в
правых частях (83.1), являются константами, то, конечно, условия
дифференцируемости соблюдаются прекрасно; но поверхность вы-
вырождается в точку. Условие (83.2) делает, однако, невозможным
как этот, так и другие не столь грубые случаи вырождения
(например, когда при т = 5 поверхность оказывается фактически
двумерной и т. п.).
Более точно, условие (83.2) означает следующее. Допустим для
простоты, что в данной точке ранговый минор образован первыми
т столбцами:
дх* дхт
ди* - ' * дп*
<№_ дх™
дит'''дит
Тогда функциональная зависимость первых т текущих координат
х1 от и1, ..., ит
х1 = х1(и1, ..., ит), .... хт = хт(и\ ..., ит)
обладает якобианом, отличным от нуля, и поэтому ее в окрест-
окрестности данной точки можно обратить:
§ 83] ПОВЕРХНОСТИ В МНОГООБРАЗИИ 375
Вставляя эти (тоже N раз непрерывно дифференцируемые) функции
вместо и1, . . ., ит в остальные уравнения (81.1) (i = m-f I, m-\-2,.. .
..., п), мы получим уравнения поверхности в виде
x —/m+I\X .
(83.5)
ш+2 _ f I „1
Итак, в окрестности каждой данной точки уравнения поверхности
(с точностью до нумерации координат х') можно записать в виде
(83.5). Здесь роль независимых параметров и1, ..., ит играют
координаты лг1, ..., хт, а потому все т параметров являются
здесь существенными в том смысле, что любое их изменение влечет
за собой смещение точки поверхности. Вырождение «-мерной по-
поверхности в образ низшего числа измерений, т. е. возможность
задать ее при помощи меньшего числа параметров, здесь, очевид-
очевидно, отпадает; особые точки также становятся невозможными.
Элементарную поверхность всегда можно рассматривать как т-
мерное элементарное многообразие. Действительно, не меняя по-
поверхности, можно подвергать параметры и* на ней взаимно одно-
однозначному и в обе стороны iV раз непрерывно дифференцируемому
преобразованию
В»'=/а(«\ ...,«"), В* =Л (II1', •••,«"'). (83.6)
Здесь и1,..., ит пробегают область изменения Qa, а и1', ... ,ит'
— некоторую область изменения Qu. Ясно, что после такого пре-
преобразования параметров уравнения поверхности можно снова запи-
записать в виде
х'=х' (и1', .... ит'),
где новые функции х'(и1', ..., и') удовлетворяют прежним ус-
условиям, в том числе и (83.2), как можно показать после простой
выкладки. Рассматривая параметры иа как координаты на поверх-
поверхности, заданные с точностью до указанного преобразования, мы
вправе считать нашу поверхность fft-мерным элементарным много-
многообразием Шт согласно определению последнего (§ 80). В связи с
этим все построения, сделанные нами для многообразия 9Jln в коор-
координатах лг1, ..., х", повторяются и для нашей поверхности в
координатах и1, ..., ит. Все сказанное относится к элементарной
поверхности. В общем же случае /и-мерную поверхность в я-мерном
многообразии 9Лга можно определить как множество точек в Шп,
взаимно однозначно и непрерывно в обе стороны отображенное
на некоторое многообразие Шт, и притом так, что отдельные
376 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
элементарные многообразия ШЫ), из которых Шт «склеено», отоб-
отображаются в элементарные поверхности (83.1). Тем самым любую
поверхность в некоторой окрестности любой ее точки можно счи-
считать элементарной поверхностью. Так как нас дальше будут ин-
интересовать только локальные свойства, то фактически мы можем
ограничиться лишь элементарными поверхностями. Так мы и будем
поступать.
На поверхности можно рассматривать тензоры как в отдельных
точках М, так и тензорные поля. При этом координаты тензора,
например V$y, подчинены закону преобразования
V&' (Щ = !?' (Ж) g-, (Ж) |? (М) Vty. (83.7)
Кривую на поверхности мы будем задавать уравнениями
а1 =«* ('), .... а- = и-@, (83.8)
где функции u"(t) /V раз непрерывно дифференцируемые, и —гг не
обращаются в нуль одновременно. Вставляя функции (83.8) в (83.1),
мы получаем функциональную зависимость х1 от t, что действи-
действительно определяет кривую в нашем многообразии. Правда, еще
dx'
нужно проверить условие (83.3). Найдем касательный вектор -гг
к этой кривой, дифференцируя х' как сложные функции:
dxidxidu' q
Здесь имеется в виду суммирование по а=1, 2, ..., т. Вообше
мы условимся считать, что греческие индексы относятся к пара-
параметрам на поверхности и пробегают значения 1, 2, ...,/» в то
время как латинские пробегают значения 1, 2, . .., п и относятся
к многообразию Шп. Заметим, что согласно (83.9) строка, состав-
составленная из производных
~dt ' W ' *" '' ~dT '
представляет собой линейную комбинацию строк матрицы (83.2) с
коэффициентами -^-. Эти коэффициенты, как было оговорено, не
все равны нулю, а следовательно, в силу линейной независимости
строк матрицы (83.2) элементы строки (83.3) не могут обращаться
в нуль одновременно. Условие (83.3) проверено.
Важный геометрический смысл (83.9) состоит в том, что это
dua лл,
соотношение «переводит» тензор -уг на поверхности шт в тензор
§ 83] ПОВЕРХНОСТИ В МНОГООБРАЗИЙ 377
-Tj- в многообразии Шп. Связь между этими двумя тензорами яв-
является, очевидно, инвариантной и заключается в том, что они по-
получены дифференцированием текущих координат соответственно и"
и х1 по одному и тому же параметру вдоль одной и той же кри-
кривой в одной и той же точке. Тем самым каждый тензор ~ через
dx'
посредство тензора -тт изображается некоторым вектором в ЯЛ
(т. е. в касательном пространстве Ап).
Будем проводить теперь по поверхности через данную ее точку
М всевозможные кривые (83.8). Для всех этих кривых строим в
dua
точке М касательные векторы (83.9). Тогда под видом — мы бу-
будем получать всевозможные тензоры Ъ,а в ЯЛга (в данной его точке
М). Им соответствуют векторы |' = -тг в Шп согласно (83.9):
5' = ^-U". (83.10)
Они представляют собой, следовательно, всевозможные линейные
комбинации m векторов
линейно независимых в силу (83.2).
В результате векторы |', отвечающие всевозможным тензорам
^" в данной точке многообразия 5Шт, заполняют в касательном
пространстве Ап m-мерную плоскость Ат, проходящую через М
(предполагается, что векторы 5' откладываются от М).
Плоскость Ат можно рассматривать как касательное простран-
пространство к многообразию Шт в точке М, так как векторы ?' плоско-
плоскости Ат служат изображением всевозможных тензоров |л в данной
точке М многообразия Шт. (с сохранением линейных зависимостей
между ними).
л-, „ ft dx'
L другой стороны, векторы § = -тт суть всевозможные касатель-
касательные векторы к поверхности Шт в данной точке М, т. е. касатель-
касательные к всевозможным кривым на Шт в этой точке. Поэтому порож-
порожденную ими плоскость Ащ можно рассматривать как касательную
плоскость к поверхности Шт.
Первая точка зрения на Ат является, так сказать, внутренней,
вторая — внешней. (Пользуясь рис. 16, нужно помнить, что изобра-
изображенные на нем векторы и плоскость Ат на самом деле не принад-
принадлежат многообразию Шп, в котором расположена поверхность Шт,
378 МНОГООБРАЗИЯ (ГЛ. VI
и, строго говоря, должны были бы изображаться отдельно в каса-
касательном пространстве Ап.)
Векторы (83.11), на которых строится Ат, являются касатель-
касательными векторами к координатным линиям и1, ..., ит (под коорди-
координатной линией и" мы понимаем кри-
кривую на поверхности, вдоль которой
меняется лишь данный параметр и"
при постоянных значениях остальных
параметров). В самом деле, если в
(83.8) положить, в частности,
U1 = t, к2 = const, ..., и = const,
т. е. рассмотреть координатную ли-
линию и1, то (83.9) дает
Рис. 16. ^L — d—
dt ди* '
дх' „ ,
что и показывает, что =-.; есть вектор, касательный к линии и1.
С точки зрения многообразия Шт векторы (83.11) образуют ло-
локальный репер, что легко обнаружить подсчетом их координат в
Шт\ например, координаты первого из них будут |а = б", и т. д.
§ 84. Понятие о многообразии
В этом параграфе мы дадим точное определение понятия мно-
многообразия, пользуясь уже установленным нами понятием элементар-
элементарного многообразия.
Мы будем называть п-мерным многообразием класса N множе-
множество ЗЛ, в котором задана конечная или счетная система подмно-
подмножеств 5Dl(«), удовлетворяющая следующим условиям (элементы мно-
множества ЯН будем называть точками).
1°. Каждое подмножество 2Л(а) есть элементарное л-мерное мно-
многообразие класса N.
2°. Каждая точка М множества 5Di входит, по крайней мере, в
ОДНО ЗЛ(а).
3°. Если два подмножества 2Н(а), 9Jttp> пересекаются по некото-
некоторому непустому множеству Щ, то оно образует (вообще говоря,
несвязную) область как в 3Ji(a), так и в Шфу, при этом, когда
точка М пробегает Ш, ее координаты у' в Шф) являются N раз
непрерывно дифференцируемыми однозначными функциями от ее
координат х' в Ш^а), равно как и обратно.
4°. Если Мг и Жг—две различные точки Ш, причем Мх ?9Dt((Xl),
^№) (допускается, в частности, и совпадение а1 = а2), то в
§ 84] ПОНЯТИЕ О МНОГООБРАЗИИ 379
9Л(а,) найдется область 9?гЭМг и в &ft((X2) — область Щ2^ М2, не
пересекающиеся между собой.
5°. Любые два подмножества ЭД!(а) и 3R(p) можно связать ко-
конечной цепочкой последовательно пересекающихся между собой
подмножеств 9Jt(Y); точнее, существует конечная последовательность
331(Vi) (i=l, 2, ..., s), причем Ш^) и 3Jl(Vi+l) всегда между со-
собой пересекаются и, кроме того, Ш(а) пересекается с 3Jt(Vl), a
ЗЙ(Р)-с Щу.).-
Смысл этих условий следующий. Условия 1° и 2° означают,
что Ш «склеено» из конечного или счетного запаса элементарных
многообразий 9Л(<х), частью, возможно, не имеющих общих точек,
частью налегающих друг на друга или даже заключающих одно
другое. Впрочем в последнем случае 2Л(р), входящее в Ш1((Х), яв-
является по существу лишним и может быть изъято без ущерба
для дела.
Условие 3° требует, чтобы (непустое) пересечение 91 элемен-
элементарных многообразий ЗЛ(а) и 2R(p) было областью (открытым мно-
множеством) и в $Ш(а) и в ЗЛ(р). Это значит, что если точка M?$R{a)
склеена с какой-то точкой Z.?$Dl(p), то и некоторая окрестность
точки М в 9К(а) тоже подклеивается к 9Л(р),> т. е. не может быть
так, чтобы ЭД!(а) и 3I(р) до какого-то места были подклеены друг
к другу, а дальше отходили бы одно от другого. Другими слова-
словами, склеенное из ЗЛ(«) многообразие SR не должно «ветвиться»
вследствие неаккуратной, неполной подклейки многообразий ЭД!(а)
друг к другу.
Далее, условие 3° требует, чтобы в склеенных местах много-
многообразий SR(«), 9ft(p) их дифференцируемая структура была одина-
одинаковой, т. е. координаты в одном и в другом многообразии были
связаны N раз непрерывно дифференцируемыми преобразованиями.
Действительно, если бы этого не было, то мы не знали бы, какую
дифференцируемую структуру приписать многообразию Ж. в об-
области Щ: заимствованную из 9П(а) или из 2Л(р)? При наличии же
нашего условия это становится безразличным. Координатной си-
системой в ЗЛ мы будем называть любую координатную систему в
любом ЗП((Х).
Если нас интересуют лишь чисто локальные свойства много-
многообразия ЗЛ, т. е. его поведение в некоторой окрестности произ-
произвольной точки М, то для этого перечисленных требований 1° — 3°,
в сущности, достаточно. Однако если ограничиться этим, то мы
допустим существование многообразий, весьма неприятных в неко-
некоторых отношениях. Прежде всего, несмотря на условие 3°, все
еще возможно «ветвление» многообразия 201. Рассмотрим простой
пример: пусть п=\ и 931 склеивается из двух одномерных элемен-
элементарных многообразий Ша), 9И(а), представляющих собой интер-
интервалы (—1, 1) на осях х1, х2 соответственно: ЭД!Ш{—1 < х1 < 1},
380 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
Ш!,21{ —1 < х2 < 1}. Образуем Ш, склеивая 9JiA) и 9ЛB) следую-
следующим образом: точки л:1 при — 1 < хг < 0 отождествляются с точ-
точками х2 при —1 < лг2 < 0 по принципу равенства координат
лг1=дг2; точки х1 при 0^лг1<1 и точки х2 при 0^#2<1 не
склеиваются ни с чем. ,
В результате 3R будет состоять из интервала —1 < х < 0
(это будет область пересечения 9i) и примыкающего к нему раз-
раздвоенного полуинтервала 0 ^ х < 1, т. е. Ш( будет ветвиться.
Между тем условие 3°, как легко проверить, полностью соблю-
соблюдается: ветвление этого типа оно неспособно устранить, хотя и
устраняет ветвление более грубого характера, например, если бы
мы составили Ш из полуинтервала —1 <лг^О и из примыкаю-
примыкающего к нему раздвоенного интервала 0 < х < 1 (действительно, в
этом случае sJc {—1 <лг^О} не будет областью).
Чтобы устранить не только такие, но и более тонкие случаи
ветвления Ш, подобные приведенному выше примеру, мы вводим
условие 4° (аксиому Каусдорфа). Теперь и первый наш пример
становится невозможным, так как условие 4° в нем нарушено для
точек х1 = 0 и лг2 = 0 (в Ш — это различные точки). Действительно,
какими бы интервалами ни окружать эти точки в 9)i(ll и 9ЛB) соот-
соответственно, эти интервалы всегда будут иметь общие точки в
склеенной части—1 < х < 0.
Наконец, мы не хотим, чтобы многообразие Ш состояло из от-
отдельных, ничем не связанных между собой кусков. Условие 5°
(условие связности многообразия) устраняет эту возможность и пре-
превращает многообразие в единое целое, не распадающееся на не
пересекающиеся между собой многообразия.
Отметим, что в многообразии Ш, естественно, определяется
понятие области (открытого множества): это множество точек, со-
содержащее вместе с каждой своей точкой Мо(х'о) и все точки М(х'),
для которых разности х' — х'о по модулю меньше некоторого 6 > О
F зависит от Мо); под х' понимается какая-либо координатная
система в каком-нибудь элементарном многообразии Ш(а) содержа-
содержащем Мо. Нетрудно показать, что смысл определения не зависит
от того или иного выбора этой координатной системы.
Определенный таким образом класс открытых множеств удовле-
удовлетворяет аксиомам топологического пространства, специальным слу-
случаем которого и является многообразие.
Далее, мы говорим, что переменная точка М стремится к точке
Мо (стремится или по последовательности положений Mk (&=1,
2, ...) или как функция M(t) непрерывно растущего (убываю-
(убывающего) параметра t —* t9), если точка М с некоторого момента нахо-
находится в области действия координатной системы, включающей точ-
точку /И0)и координаты х' точки М стремятся к координатам х'й точки Мо
§ 84] ПОНЯТИЕ О МНОГООБРАЗИИ 381
(если сказанное имеет место для одной координатной системы,
включающей 7И0, то и для любой другой — тоже).
В силу условия 4° наша переменная точка М не может стре-
стремиться одновременно к двум различным точкам Жо, Ма.
Мы называем кривой «параметризованное» множество точек
M(t), где t-^^t ^.t2, если при достаточно малых изменениях лю-
любого данного значения t точка М(t) остается в пределах одной
координатной системы, причем ее текущие координаты xl(t)
—./V раз непрерывно дифференцируемые функции.
Далее мы говорим, что в ЯД задано тензорное поле, например
V)k' если в 3R в каждой точке Ж и в каждой координатной си-
системе х' (действующей в области, содержащей точку М) задана
система чисел V)u (M)r которые N—1 раз непрерывно дифферен-
дифференцируемым образом зависят от координат х1, ..., х" точки М и
преобразуются (при преобразовании координатной системы) со-
согласно (81.1).
Аналогично определяется тензорное поле, заданное лишь в не-
некоторой области ЭДсгЗЛ или на поверхности SDimсШ1.
Наше определение многообразия дает нам все нужное, но стра-
страдает тем недостатком, что дает и кое-что лишнее; а именно, в на-
нашем определении способ склеивания многообразия из элементарных
многообразий рассматривается наряду с его окончательным резуль-
результатом—готовым многообразием. Между тем нас интересует лишь
последнее, и мы не будем считать два экземпляра одного и того же
многообразия различными, если они по-разному разбиты на элемен-
элементарные многообразия. Например, сферу можно составить, как уже
указывалось, склеиванием двух (слегка продолженных за края) по-
полусфер, а можно составить и склеиванием внутренностей несколь-
нескольких сферических треугольников, заходящих один на другой. Тем
не менее сфера в обоих случаях представляет одно и то же мно-
многообразие. Поэтому наше определение нужно несколько дополнить.
С этой целью дадим определение диффеоморфизма двух много-
многообразий.
Два многообразия Ш и Ш' одного числа измерений п и одного
класса N называются диффеоморфными, если между ними можно
установить взаимно однозначное соответствие, обладающее следующим
свойством: пусть М?Ш и М' ?$Ш'—любые две отвечающие друг
другу точки и пусть М принадлежит некоторому элементарному
многообразию Ш^а) сгЗЛ с координатной системой х', а М'—эле-
М'—элементарному многообразию Ш^^сШ' с координатной системой х'';
тогда соответствие между точками многообразий Ш и Ш' можно
записать в виде
x'' = ft(x\ ..., Xя), *' = Ы*1#. •••> *"'),
382 МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. VI
по крайней мере, в пределах некоторой области изменения х', за-
заключающей точку М, и соответствующей ей области изменения х1',
заключающей точку М!, причем функции /,-, g{ N раз непрерывно
дифференцируемые.
Под областью изменения х' здесь подразумевается не обязатель-
обязательно область изменения, которую пробегают х', когда М пробегает
Э.I(я), а. вообще говоря, некоторая ее подобласть; аналогично и
для х1'.
Коротко говоря, диффеоморфизм многообразий ЯК и 9К' есть
взаимно однозначное соответствие, N раз непрерывно дифференциру-
дифференцируемое в обе стороны в тех пределах, в каких его удается записать в
виде функциональной зависимости между координатами х1 в многообра-
многообразии Ш и х1' в многообразии 5Ш', причем это должно удаваться, по
крайней мере, вблизи любой пары соответствующих точек М и М'.
Теперь к нашему определению многообразия следует добавить
только, что всякое многообразие будет интересовать нас лишь с
точностью до замены диффеоморфным многообразием. Этим мы отвле-
отвлекаемся от ненужных по сути дела подробностей, именно от способа
составления данного многообразия из элементарных кусков.
ГЛАВА VII
РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА
АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
§ 85. Риманово пространство
Многообразие является той основой, на которой строится рима-
риманово пространство — важнейшее понятие этой книги. Пути для этого
мы уже наметили в конце § 79. Чтобы превратить многообразие
в риманово пространство, нужно внести в него метрику. Это мы
осуществляем заданием в многообразии метрического тензора, ана-
аналогичного метрическому тензору евклидова пространства в криво-
криволинейных координатах. Дадим точное определение.
Римановым пространством V'„ мы будем называть многообразие
9Jtn, в котором задано поле тензора
j gi/(xl, ..., *»), (85.1)
два раза ковариантного, симметрического и невырожденного:
Det^l^O, gij^g/i- (85.2)
В остальном тензор gty(M) выбирается произвольно; это значит,
что на одно и то же многообразие Шп можно по-разному накладывать
риманову метрику. Тензор g(j{M) мы будем называть метрическим;
его мы кладем в основу построения римановой геометрии по анало-
аналогии с евклидовой геометрией, вполне определяемой своим метриче-
метрическим тензором (§ 79). В этой главе многообразие 4ЖП имеет класс
N^2 и, соответственно, функции (85.1) непрерывно дифференци-
дифференцируемы N— 1 раз.
Мы начнем с рассмотрения касательного аффинного пространства
Ап к нашему многообразию в какой-нибудь точке М. Векторы |
этого пространства служат геометрическим изображением тензоров
|' в данной точке М. Располагая тензорным полем gy (M), мы
превратим каждое касательное пространство из аффинного Ап в
евклидово Rn, вводя в нем скалярное произведение любых двух
384 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
векторов |, г\ по формуле
1ч = #/мп1У. (80.3)
В сущности говоря, к этому и сводится геометрическое осмыслива-
осмысливание тензора gtJ (M); все остальное будет уже отсюда вытекать.
Можно было бы даже сказать, что риманово пространство Vn — это
многообразие ЗЛ„, в котором в каждое касательное пространство Ап
внесена евклидова метрика; нужно было бы лишь обеспечить доста-
достаточно гладкое ее изменение от точки к точке (что у нас обеспечи-
обеспечивается непрерывной дифференцируемостью функций gyix1, ..., х")).
В силу полного свертывания в правой части (85.3) скалярное
произведение |т] представляет собой инвариант. Очевидно, \л\ ли-
линейно зависит от | и от tj, обладает симметрией
в силу симметрии тензора gtj и дает невырожденную евклидову
метрику в силу условия (85.1). Все это показывается дословно так
же, как в § 39.
Мы будем называть риманово пространство собственно римано-
вым или псевдоримановым в зависимости от того, будут ли его
касательные пространства собственно евклидовыми или псевдоевкли-
псевдоевклидовыми (мы рассматриваем только вещественные пространства).
Все, сказанное для евклидовых пространств, будет, конечно, само
собой справедливо для касательных пространств Rn в каждой точке
М риманова пространства Vп. В частности, длина вектора | выра-
выражается формулой
\\\ = VV = Vgi№. (85.4)
При этом собственно риманово пространство характеризуется тем,
что квадратичная форма gl;?,%J будет положительно определенной.
Пусть в какой-нибудь точке М риманова пространства задан
тензор, например, V!ys. Его можно рассматривать одновременно и как
тензор в касательном пространстве Rn относительно локального
репера. При этом gjj(M) служит в Rn метрическим тензором. Соста-
Составим контравариантный метрический тензор gl/(M), координаты кото-
которого образуют матрицу, обратную \\g;j(M) ||. Как мы знаем, в евкли-
евклидовом пространстве Rn разница между верхними и нижними индек-
индексами является несущественной в том смысле, что верхние индексы
можно переводить в нижние и, наоборот, при помощи метрического
тензора. Так, например, индекс г у нашего тензора можно «под-
«поднять», т. е. составить тензор
V!.i=grpV%. (85.5)
§ 85] риманово пространство 385
Обратно, у полученного тензора индекс г можно «опуститьо,
причем мы возвращаемся к прежнему тензору:
v',s^grpV!.Ps- (85-5')
Эти взаимно обратные операции «поднятия» и «опускания» дан-
данного индекса можно рассматривать и для тензорных полей
Vys(M), Vir/S{M), подразумевая, что формулы (85.5), (85.5') имеют
место в каждой точке рассматриваемой области.
Рассмотрим теперь в римановом пространстве кривую
xi=xi(t), a</<6. (85.6)
Бесконечно малому смещению по этой кривой отвечает бесконечно
малый вектор dx1 (t) в касательном пространстве (§ 82). Но теперь
мы можем измерить длину этого вектора, чего раньше (в многооб-
многообразии) нельзя было сделать. Получим:
\d%\ = gj
По аналогии с евклидовым пространством мы принимаем длину
вектора dx за дифференциал дуги ds вдоль нашей кривой, так что
ds2 = dx2 = gtJ (x1, ..., хп) dx'dx1. (85.7)
Здесь jc1, ..., х" — координаты той точки М, из которой произ-
производится бесконечно малое смещение по кривой. Таким образом,
квадрат дифференциала дуги выражается дифференциальной квад-
квадратичной формой от координат х'. При преобразовании коорди-
координат х' эта квадратичная форма инвариантна, так как представляет
собой скалярный квадрат вектора dx', или, что то же, результат
полного свертывания тензора g(j с дважды взятым тензором dx'.
Квадратичную форму g^dx'dx' мы будем называть метрической.
В определении риманова пространства можно заменить задание
тензорного поля g(j(x1, ..., х") заданием метрической квадратич-
квадратичной формы (или, как говорят еще, линейного элемента риманова
пространства). Тогда определение будет звучать так:
Римановым пространством Vn называется многообразие 3IП,
в котором задана инвариантная дифференциальная квадратичная
форма
gu(x\ .... xn)dx'dx', (85.8)
где g/j N— 1 раз непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют
условию
Detl^l^O (gu = gji)- (85.9)
13 П. К. Рашевский
386 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [гл. VII
Из инвариантности квадратичной формы будет следовать, что g(j
образуют тензорное поле, так что мы возвращаемся к прежнему
определению. В самом деле, запишем инвариантность формы (85.8)
при переходе к новым координатам х1':
gt'i'dx1' dxi' = g.y dxl dx}.
Подставляя в правую часть
dx' = ^-
дх''
^-
dxi'
получаем тождественное равенство двух квадратичных форм относи-
относительно переменных dx1', ..., dx"':
, ,, , ,, дх' дх1 , „ , ,-,
gi'i'dx1 dx> =gif dx1 dx' .
dx'' dxi'
Отсюда, учитывая, что g-./. = g/.., gri, = grr, получим:
_ дх' дх'
8l4'~dxi-dxi'giJ'
т. е. тензорный закон преобразования для g.j. Мы вернулись к пер-
первому определению.
За длину кривой (85.6) мы принимаем интеграл от дифферен-
дифференциала дуги
ь
L (85.10)
В последнем выражении мы выносим dt из-под знака радикала и
везде явно выписываем окончательный аргумент t, чтобы строение
подынтегральной функции было видно полностью. Инвариантный
характер интеграла относительно преобразования координат х' ясен
из инвариантности квадратичной формы под знаком радикала (пол-
(полное свертывание); инвариантность относительно преобразования па-
параметра t вдоль кривой проверяется очевидным образом.
Собственно риманово пространство характеризуется тем, что
в нем метрическая квадратичная форма будет положительно опре-
определенной, a ds — всегда вещественным. Напротив, в псевдоримано-
§ 85] риманово пространство 387
вом пространстве ds может быть вещественным, чисто мнимым и
нулем. При этом радикал в (85.10) мы условимся брать положитель-
положительным или с положительным коэффициентом при г. Кривые у нас
будут, следовательно, трех сортов: вещественной длины, мнимой
длины и изотропные.
Рассмотрим теперь в римановом пространстве Vn поверхность Шт
х' = х'(и\ ..., ит),
сохраняя все обозначения и предположения § 83.
Вычислим дифференциал дуги при произвольном бесконечно
малом смещении при произвольной кривой на 9Jtm. Пользуясь снова
формулой (85.7) и учитывая, что теперь
dx'^ — du* (85.11)
/и аналогично dx^=-—dtfi\ , получаем:
dst = gt, — — du'dtfi.
Обозначим:
Очевидно, О„о представляет собой скалярные произведения векторов
—, —, касательных к координатным линиям и', и?,
ди* ди?
Учитывая, что G^ зависят от точки на Ш1т, т. е. от а1, ..., ит,
записываем окончательно:
ds2==Ga?(ai) ш_г um)du'duV. (85.13)
Итак, на поверхности Ш1т возникает дифференциальная квадра-
квадратичная форма от переменных и1, ..., ит, выражающая квадрат
дифференциала дуги и, следовательно, инвариантная (линейный эле-
элемент поверхности Шт). Используя второе определение риманова
пространства, мы вправе утверждать, что поверхность Шт представ-
представляет собой от-мерное риманово пространство V'т с метрическим тен-
тензором О„р, если только соблюдается условие
Det | Оа? | ф 0. (85.14)
Что касается условия G^=G^, то оно очевидным образом следует
из формулы (85.12) и условия g.j = gj..
Условие (85.14) не обязано соблюдаться само собой, хотя,
грубо говоря, большей частью оно соблюдается. Здесь положение
13*
388 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
такое же, как с плоскостями в евклидовом пространстве: большей
частью они бывают неизотропными и несут на себе евклидову мет-
метрику, но могут быть и изотропными — с вырожденной метрикой.
Если условие (85.14) соблюдается, то поверхность мы будем
называть неизотропной; она несет на себе риманову метрику, и
в дальнейшем мы обозначаем ее Vm, т. е. как m-мерное риманово
пространство. Обозначение V'm мы будем употреблять только в слу-
случае неизотропной поверхности.
Если же условие (85.14) не соблюдается,
Det|Ga3| = 0, (85.15)
то поверхность мы называем изотропной и сохраняем для нее обо-
обозначение Шт. Квадратичная форма (85.13) имеет на ней неполный
ранг, и метрика вырождается. Как правило, изотропными поверхно-
поверхностями мы интересоваться не будем. В случае собственно риманова
пространства все поверхности неизотропные, так как условие (85.14)
вытекает из положительной определенности формы ds2 = G^du"difi.
Правда, непосредственно нам дана положительная определенность
лишь для формы ds2 = gi/dxl dxJ. Но если принять, что не все du"
равны нулю, то из условия (83.2) следует, что соответствующие
дх'
dх' = -5-5 du" тоже не могут быть все равны нулю, а следовательно,
Оар du* du$ ( == gi} dxl dxJ) > 0.
Рассмотрим теперь касательную плоскость Am к поверхности Шт.
Эта плоскость лежит в касательном пространстве Ап, которое сейчас
у нас является евклидовым, причем ее векторы ?' в силу (83.11)
имеют вид
?''=Ur> (85.16)
где ?"—всевозможные тензоры в 9.1im в данной точке М.
Скалярное произведение любых двух векторов |, ц плоскости
Ат мы получаем, вставляя в (85.3) выражения для ?,', ту7 согласно
(85.16):
дх^ i дх о
В результате
Пусть соблюдается условие (85.14). Плоскость Ат будет неизотроп-
неизотропной и несет евклидову метрику. Для многообразия <Шт и тем самым
§ 86] ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ РИМАНОВА 389
для риманова пространства Vт плоскость Ат служит касательным
пространством, так как все тензоры ?а находят себе изображение
в виде ее векторов согласно (85.16). Формула (85.17) для Vm по-
повторяет формулу (85.3) для Vn. Метрическим тензором служлт
теперь Оаз-
Мы будем называть нормальной плоскостью к поверхности Vm
в данной точке М п — /«-мерную плоскость Вп_т в касательном к Vп
евклидовом пространстве Ап, ортогональную к касательной плоскости
Ат и проходящую через М. В случае гиперповерхности Vn_1 нор-
нормальная плоскость Вг будет одномерной, т. е. представляет собой
просто прямую (нормаль).
В трехмерном римановом пространстве Vs (в частности, в обыч-
обычном евклидовом пространстве) можно рассматривать одномерные по-
поверхности Vu т. е. кривые и двумерные поверхности V2. В согла-
согласии с элементарной дифференциальной геометрией в случае Vx
нормальная плоскость имеет л — т= 2 измерения, а в случае V2 она
представляет собой просто нормаль к поверхности (п—т—\).
§ 86. Евклидово пространство /?„
как частный случай риманова
Мы видели в § 79, что евклидово пространство (вообще говоря,
рассматриваемое в пределах некоторой области Q) обладает, как и
риманово, полем метрического тензора gij(M), причем этот тензор
определяет всю его геометрию. Следовательно, мы можем рассмат-
рассматривать евклидово пространство как частный случай риманова. В чем
же выражается особенность этого частного случая?
В евклидовом пространстве всегда можно перейти в такую спе-
специальную координатную систему, именно, в любую аффинную,
в которой координаты метрического тензора становятся константами:
gif (M) — const.
Между тем в произвольном римановом пространстве этого, вообще
говоря, сделать нельзя. Как бы мы ни подбирали новую координат-
координатную систему х'', нам не удастся добиться, чтобы в ней координаты
метрического тензора
дх' dxJ
дх'' dxi' '
оказались бы константами. Таким образом, в римановом простран-
пространстве не существует, вообще говоря, специальных «прямолинейных»
координатных систем наподобие аффинных. Поэтому мы здесь гово-
говорим просто о координатных системах без прилагательного «криво-
«криволинейные»: они все по необходимости являются криволинейными
в силу «кривого» характера самой метрики,
390 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VI!
Возникает вопрос, как узнать фактически, возможен ли в дан-
данном римановом пространстве Vn переход к таким координатам х'
с некоторой областью изменения Q, в которых
Sij {M) = const,
т. е. можно ли отождествить Vn с некоторой областью Q в евклидо-
евклидовом пространстве, заданном в аффинных координатах. Но на этот
вопрос мы сможем ответить лишь в главе VIII.
Если в римановом пространстве Vn в целом мы, возможно, не
в состоянии подобрать таких координат х1, чтобы в них gij(M)
были константами, но можем сделать это по отдельности в неко-
некоторой окрестности каждой его точки, то пространство Vn назы-
называется локально евклидовым. Так, например, если отождествить
в квадрате точки каждой стороны с соответствующими точками
противоположной стороны, то квадрат «склеится» в двумерное мно-
многообразие, устроенное наподобие тора. При этом все четыре вер-
вершины склеятся в одну точку, в которой сойдутся все четыре угла
квадрата. Если сохранить в этом многообразии прежнюю метрику, то
мы получаем пример локально евклидова пространства двух измерений
(разумеется, это пространство приходится рассматривать абстрактно,
не пытаясь реализовать его в виде тора в обычном пространстве:
в последнем случае метрика не может быть локально евклидовой). Здесь
мы имеем дело с неэлементарным многообразием; но и элементарное
многообразие может нести на себе локально евклидову метрику, не
будучи областью евклидова пространства. Так, последовательно под-
подклеивая друг к другу листы бумаги, нетрудно сделать так, что по-
последний лист будет заходить на первый (причем мы их оставим не-
склеенными). Мы получим локально евклидово двумерное многообразие,
не являющееся в то же время областью евклидовой плоскости.
В евклидовом пространстве нет надобности в каждой точке М
строить касательное пространство, как мы делали в римановом
пространстве общего вида. Действительно, каждый контравариант-
ный тензор ?' в евклидовом пространстве, заданный в криволиней-
криволинейных координатах в какой-нибудь точке М, изображается вполне
определенным вектором
1 1%
в этом же пространстве (см. G6.13)). Поэтому евклидово простран-
пространство служит, как мы будем считать, само к себе касательным в лю-
любой точке Ж Отдельных от него касательных пространств рассмат-
рассматривать не будем.
Мы выяснили, что поверхность Vm в римановом пространстве Vn
сама является римановым пространством.
В частности, в качестве вмещающего пространства Vn можно
рзять евклидово пространство Rn.
§ 86] КВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ РИМАНОВА 391
Простейший пример такого рода доставляет теория поверхностей
в обычном евклидовом пространстве R3. На поверхности, отнесенной
к параметрам и, v, появляется первая основная квадратичная форма,
выражающая квадрат дифференциала дуги
ds2 = Е (u,v) du2 + 2F (u,v) dudv+G(u,v) dv2. (86.1)
Тем самым поверхность можно считать двумерным римановым про-
пространством с метрической квадратичной формой (86.1) и соответст-
соответственно с метрическим тензором
gll = E, ^12=^21=^, ?22 = G. (86.2)
Риманова геометрия, порождаемая на поверхности метрической ква-
квадратичной формой (86.1), носит название внутренней геометрии по-
поверхности; она инвариантна при изгибании поверхности.
Аналогичным образом и в многомерных евклидовых (в том числе
и псевдоевклидовых) пространствах Rn мы можем рассматривать
любые поверхности Vm, получая на них каждый раз определенную
риманову геометрию (при условии (85.14)).
По сравнению с изучением поверхностей Vm в произвольном
римановом пространстве Vn мы получаем здесь ряд преимуществ.
Прежде всего будем считать, что уравнения поверхности Vm
х' = х' (и\ ..., О (86.3)
записаны в аффинных координатах х'. Тогда можно перейти к па-
параметрическому уравнению поверхности в векторной форме, выразив
радиус-вектор х произвольной точки поверхности как функцию
параметров:
\ = xi(u1, ..., um) e,-, или, коротко, х = х(ц1, ..., а). (86.4)
Касательный вектор к произвольной кривой
u" = u'(t) («=1, 2, ..., т) (86.5)
на нашей поверхности мы находим, дифференцируя радиус-вектор
х по t:
dx дх. du"
Проводя через данную точку М всевозможные кривые по поверх-
поверхности, мы получаем в качестве -?г всевозможные тензоры ?* на Vm,
а в качестве -п— всевозможные векторы |, касательные к Vт
392 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
в данной точке. Итак,
1 = ргЛ*. (86.6)
В результате касательные векторы -^, откладываемые от точки М,
заполняют m-мерную плоскость Ат, построенную на векторах
дх дх /йе 7s
касательных к координатным линиям. Линейная независимость этих
векторов видна из условия (83.2). В отличие от риманова прост-
пространства все рассматриваемые векторы и плоскость Ат (касательная
плоскость) принадлежат тому же евклидову пространству, в кото-
котором расположена поверхность (а не специально построенному в каж-
каждой точке М касательному пространству Ап). Этому же евклидову
пространству принадлежит и нормальная плоскость Вп_т, ортого-
ортогональная к касательной плоскости Ат. В частности, для гиперсферы
*^п-1 с Центром в начале О радиус-вектор х удовлетворяет соотно-
соотношению
х2 = const.
Дифференцируя х2 вдоль любой кривой на гиперсфере, получим:
г. dx - dx ,
2x^ = 0, т. е. ^±х.
Таким образом, все касательные к гиперсфере Sa_i векторы в дан-
данной точке (а значит, и касательная гиперплоскость Ап_1) ортого-
ортогональны к радиусу-вектору данной точки.
Наконец, линейный элемент на поверхности V'т можно найти,
применяя формулу F5.10):
ds2 = dx2
к произвольной кривой на поверхности V'т. Так как
ddu
то
ds2 = dx2 = — — du" du$. (86.8)
ди* ди? v
Сравнивая с (85.13), получаем:
<V-sr-S- <86-9>
Мы получили выражение координат метрического тензора в римано-
вом пространстве Vm (предполагаем, что Det j Ga^ j Ф 0). Возникает
§ 87] неевклидовы пространства 393
вопрос, любое ли наперед заданное риманово пространство Vm
можно реализовать таким образом на некоторой поверхности в Rn.
Можно было бы доказать (хотя и совсем не простым образом), что
ответ будет утвердительным, если вмещающее евклидово простран-
пространство Rn взять достаточно большего числа измерений, а именно:
д = т(т+1)# (8610)
Разумеется, иногда Vт можно реализовать и в евклидовом прост-
пространстве меньшего числа измерений, но чтобы провести реализацию
во всех случаях, нужно Ъзять указанное значение п. При этом наше
утверждение носит локальный характер, т. е. мы можем гарантиро-
гарантировать реализацию Vт в виде поверхности в Rn, беря V'т не в целом,
а лишь в некоторой окрестности любой его точки. Кроме того, функ-
функции gij(x1, ..., хп) предполагаются аналитическими, и уравнения
поверхности получаются тоже аналитическими. Если же Vm псевдо-
риманово пространство, то Rn должно быть псевдоевклидовым и
притом подходящего индекса.
Интересно отметить, что в случае да = 2 формула (86.10) дает
я = 3, т. е. любое двумерное риманово пространство локально реа-
реализуется на некоторой поверхности в трехмерном евклидовом про-
пространстве.
В 1956 г. Нэш показал, что собственно риманово Vm в целом
может быть реализовано в собственно евклидовом Rn при доста-
достаточно большом п.
§ 87. Неевклидовы пространства
Мы хотим сейчас рассмотреть важный частный случай поверх-
поверхности Vт в Rn, именно, когда эта поверхность является гиперсфе-
гиперсферой Sn_l. Гиперсферой Sn_x мы называем множество всевозможных
точек в Rn, находящихся на постоянном расстоянии (вещественном,
чисто мнимом или нулевом) от фиксированной точки. Римановы
геометрии, возникающие на гиперсферах 5п-1 в Rn, обладают ря-
рядом замечательных свойств; эти геометрии мы будем называть не-
неевклидовыми, а гиперсферы Sn_x, рассматриваемые как римановы
пространства, — неевклидовыми пространствами. Чтобы оценить важ-
важность неевклидовых геометрий, достаточно принять во внимание,
что геометрия Лобачевского принадлежит к их числу (хотя и была
получена самим Лобачевским совершенно иным путем). Заметим,
что приходится говорить о неевклидовых пространствах во множе-
множественном числе, потому что даже при данном числе измерений п
евклидовы пространства Rn могут обладать различными индексами
k = 0, 1, 2, ..., п, в связи с чем гиперсферы Sn_l будут представ-
394 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
лять собой существенно различные римановы пространства. Вещест-
Вещественное или чисто мнимое значение радиуса гиперсферы тоже играет
рол-ь. Нулевого же значения мы не допускаем, так как Sn_t в этом
случае будет изотропной поверхностью, именно изотропным гипер-
гиперконусом, или даже просто сводится к точке (для собственно евкли-
евклидовых пространств при k = 0 или п).
Пусть в евклидовом пространстве Rn индекса k, отнесенном к
ортонормированному реперу, рассматривается гиперсфера Sn_1 ве-
вещественного радиуса р с центром в начале О. Ее уравнение будет:
— х1* — . .. —xk2 + xk+l2+... + хп' = р2, (87.1)
если считать, что скалярный квадрат вектора х имеет вид
х2 = — х1*— ... —х"г + хк+*г +...+ хп\ (87.2)
Заметим, что то же уравнение (87.1) можно переписать в виде
х*г+ . .. +xk2 — xk+l2— . .. — хпг= — р2 (87.3)
и истолковать как уравнение гиперсферы Sn_1 мнимого радиуса pi
в евклидовом пространстве Rn индекса п — k, в котором
х2 = х1* + \- xk* — xk+i'1— ... — х"\ (87.4)
Так как при этом изменился знак метрической квадратичной формы
в Rn, то то же самое произойдет и на Sn_lt вследствие чего рима-
нова метрика на Sn_l испытает тривиальное преобразование: все
длины умножатся на i.
Итак, гиперсфера радиуса р в Rn данного индекса k несет на
себе такую же риманову метрику, как и гиперсфера радиуса pi
в Rn дополнительного индекса п — k, если не считать умножения
всех длин на i.
Вычислим теперь фактически метрическую квадратичную форму
на гиперсфере Sn_1 вещественного радиуса р > 0. При этом случай
k=n исключаем, так как тогда гиперсфера вещественною радиуса
р невозможна (как видно из уравнения (87.1)). Это позволяет нам
считать, что в метрической квадратичной форме (87.2) х" входит
всегда с плюсом.
Мы должны прежде всего ввести какую-либо координатную си-
систему на Sn_v Один из удобнейших способов для этого дает сте-
стереографическая проекция гиперсферы Sn_1 на гиперплоскость Rn_1;
особенностью стереографической проекции является то, что центр
проектирования Р выбирается на самой Sn_lt а плоскость проек-
проекций /?„_! проходит ортогонально к радиусу ОР (т. е. параллельно
касательной гиперплоскости к Sn_l в точке Р). Разумеется, Ra_1
не проходит через Р.
§ 87]
НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
395
Всем этим условиям можно удовлетворить, взяв в качестве центра
проектирования точку Я@, 0, . . ., 0, р), а в качестве плоскости
проекций /?„_х — координатную плоскость д;п = 0.
Допустим, что, проектируя точку М(хх, . . ., х") гиперсферы из
Р на /?n_i, мы попадаем в некоторую точку L (и1, . ...и", 0)
плоскости /?„_!, где
1 б
через uL, ..
значены х1
в точке L.
обо-
обох
¦И-1
очке L.
На рис. 17 изобра-
изображен случай п = 3, при-
причем уравнение S имеет
вид
, р
имеет
Рис. 17.
точка Р имеет коорди-
координаты @, 0, р), а а1,
а2 совпадают с коор-
координатами л:1, х2 точки
L на координатной
плоскости /?2.
В случае обычного пространства л = 3, k = 0, и мы получаем
обычную стереографическую проекцию.
Примем а1, . . ., а" за параметры на Sn_1 и выразим х1, .. ., х"
через них; это даст нам параметрические уравнения гиперсферы Sn_1.
Точку М мы будем брать на Sn_1 где угодно, однако при условии
хпфр. (87.5)
В самом деле, при хп—р мы берем точку М на пересечении Sn_i
с гиперплоскостью R'n_l (-^n = p), параллельной /?n-1 и проходящей
через Р. Тогда проектирующий луч РМ тоже параллелен /?„_х и
проекции L не существует. Заметим, что плоскость R' имеет на-
направляющими векторами орты е^ ¦•.,еп_1, тем самым ортогональна
к радиусу-вектору ОР, идущему по оси X", и, следовательно, служит
касательной гиперплоскостью к гиперсфере Зп_г в точке Р.
Пересечение Rn_l и «Sn-i определяется уравнением гиперпло-
гиперплоскости лг"=р и уравнением гиперсферы (87.1); это последнее можно
переписать, пользуясь хп=р, в виде
_ (Л;1J_ . . . _(хк)г + (Хх+ if + . .. + (*"-i)! = о. (87.6)
Отсюда видно, что в гиперплоскости R'n мы получаем изотропный
конус с вершиной в Р. В самом деле, х1, . . ., хп~х при лг" = р
396 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
играют роль ортонормированных координат на Rn с началом в Р,
причем левая часть уравнения служит метрической квадратичной
формой. В случае собственно евклидовой геометрии на плоскости
/?„_1 (и тем самым и на R'n_1) изотропный конус вырождается в
точку Р, которая, таким образом, лишь одна не имеет проекции
на Rn_t (как это и имеет место в обычной стереографической про-
проекции). На рис. 17 изотропный конус в R'z представлен парой прямо-
прямолинейных образующих поверхности S2, проходящих через Р. Так
как за точку Р можно принять любую точку гиперсферы Sn_t (если
пустить через эту точку ось X"), то отметим полученный нами по-
попутно общий результат: гиперсфера Sn_1 пересекается со своей
касательной плоскостью R'n_x no ее изотропному конусу с вершиной
в точке касания.
Теперь переходим к выкладке, предполагая, что в точке М
х" =?= р. Так как точки Р, М, L расположены на одной прямой, то
векторы РМ и PL должны быть коллинеарны. Записывая пропор-
пропорциональность координат этих векторов, получаем:
п5 —р
где <х=1, 2, ..., п—1. Отсюда
(87.7)
Вставляя в уравнение гиперсферы (87.1), имеем:
^1_^2[_ц12_..._а'г'! + ц* + 1г + ... +иа-1'] + Ха' = р*.
Перенеся хп в правую часть, получаем выражение
р—'-р' (•-?)(> +?)•
Так как х"^р и, значит, 1 =7^0, то, сокращая на 1 , по-
получим:
(87.8)
Обозначим через и радиус-вектор OL точки L; он вместе с L имеет
координаты и1, ...,а"~!,0 и, как видно из (87.2), его скалярный
квадрат можно записать в виде
и2=—а1'—. ..— и*' + и* + 1"+ ... +ип~1\ (87.9)
§ 87] НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 397
Вставляя в (87.8) и2 вместо прямой скобки и разрешая это урав-
уравнение относительно х", приходим к выражению
Вставляя это значение хп в (87.7), придадим последнему следую-
следующий вид:
^* (a=l,2, ...,л-1). (87.11)
Мы получили параметрические уравнения (87.10), (87.11) гиперсферы
Sn_! с параметрами а1, . ...и". В то же время это есть выра-
выражение координат х' точки М на гиперсфере <Sn-1 через коорди-
координаты и" ее стереографической проекции L на гиперплоскости /?„_!•
В случае собственно евклидовой геометрии на /?„_! имеем и2^0,
и знаменатели в наших уравнениях всегда положительны, парамет-
параметрам и" можно давать любые значения, так что их область изменения
состоит из всей гиперплоскости /?n_i, причем на Sn_1 мы получаем,
как уже указывалось, тоже все точки за исключением центра про-
проекций Р.
Хуже обстоит дело в случае псевдоевклидовой геометрии на
/?п_1; тогда выбор значений а" нужно ограничить условием
и2 + р2 ф 0,
где и2 имеет значение (87.9). Поэтому область изменения состоит
из гиперплоскости Ra-1 с выкинутой из нее поверхностью (сферой"
радиуса pi) u2-|-p2 = 0. Точки этой области изменения (которая
будет несвязной) взаимно однозначно отвечают точкам гиперсферы
Sn_1 с выкинутым из нее изотропным конусом с вершиной в Р.
Точки этого конуса в нашем параметрическом представлении полу-
получаться не будут. Это связано с тем, что Sn_1 не является элемен-
элементарным многообразием и одной координатной системой не может быть
обслужена. Но двух уже будет достаточно (то же построение с
центром проекций Q @,. . . ,0,—р) дает вторую координатную систему).
Запишем наше параметрическое представление в векторной
форме, обозначая через х радиус-вектор точки М, а через и —
по-прежнему радиус-вектор точки L. Греческие индексы пробегают
значения 1,2, ..., п—1. Тогда
Так как
то окончательно
иЧ-Р2
и + рA-1^)е»- (8712)
398 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VH
Вычислим теперь квадрат дифференциала дуги ds2 для произволь-
произвольной кривой на «Sn_1; пользуясь формулой
ds2 = rfx2 (87.13)
(см. F5.10)). Для этого вычислим сначала
.„ 2р» „ 2p»-2urfu „ , 2p2.2urfu
^x = UT+prfu-(u2+p2J Ц + Р(ц2 + р2J е„.
Возводим в скалярный квадрат, выписывая сначала квадраты сла-
слагаемых, а потом их удвоенные произведения, и помня при этом,
что е„ J_/?„_!, так что еии=0, endu = 0, и из трех удвоенных
произведений два пропадут; кроме того, е* = 1. Получим:
,,,« _ лх2 _ 4P4 wH2 , 16Р4 (u da)* . 16p«(udii)» 16p«(udu)«
од — ax -(u2 + p2J«u -f {ц2+р2L и i- (ца + рЯ)* (ия + ряK •
Три последних члена взаимно уничтожаются, и мы имеем оконча-
окончательно:
2_ 4p«du» _4p«[-da»'-...-d«' '']
«5 -(u2+pSJ [1г*2 +
Это— метрическая квадратичная форма (линейный элемент) на
гиперсфере Sn_1, записанная в параметрах и1, ..., а". Метри-
Метрический тензор Ga9(ul, . ...и") имеет, очевидно, в этих пара-
параметрах следующие координаты:
G =:р V \ (87.15)
Таким образом, мы получили метрику неевклидова пространства
как частный случай римановой метрики.
Следует обратить внимание на свойственный стереографической
проекции конформный характер отображения Sn_x на /?n-1. Дейст-
Действительно, пользуясь (87.13), получаем для линейного элемента на
гиперплоскости
ds2 = duK
Вставляя в (87.14), приходим к соотношению
<**'=/ \,*\Js2' (87.16)
которое показывает, что метрические квадратичные формы на Sn_1
и /?n_i для соответствующих бесконечно малых смещений отличаются
§ 87] НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 399
множителем, зависящим лишь от точки. Другими словами, координаты
метрических тензоров в соответствующих точках М и L пропор-
пропорциональны между собой. В этом случае взаимно однозначное соот-
соответствие между двумя римановыми пространствами называется кон-
конформным. Грубо говоря, это означает, что в бесконечно малой
окрестности каждой данной точки на Sn_x линейные размеры фигур
меняются при отображении на Rn_1 пропорционально, так что в
пределах этой окрестности отображение сводится как бы к преобра-
преобразованию подобия (разумеется, если пренебречь бесконечно малыми
высшего порядка).
Вернемся к формуле (87.14). Пользуясь ею, не нужно забывать,
что мы рассматривали р только вещественные. Но чтобы учесть
случай чисто мнимых р, достаточно в рассмотренной задаче умно-
умножить метрическую квадратичную форму в Rn на — 1, вследствие
чего, во-первых, умножится на — 1 и метрическая квадратичная
форма на Sn_1 и, во-вторых, Sn_1 станет гиперсферой мнимого
радиуса pi. При этом индекс k евклидова пространства Rn заме-
заменится на п—k.
Таким образом, мы имеем 2л вариантов п—1-мерной неевкли-
неевклидовой геометрии: во-первых, гиперсферы Sn_1 вещественного радиу-
радиуса р в Rn индекса k = 0, 1, ...,п—1; метрика задается согласно
(87.14); во-вторых, гиперсферы Sn_t мнимого радиуса р/ в Rn
индекса п — /г = л, п — 1, . . ., 1; метрика задается согласно (87.14)
с обратным знаком.
Среди различных неевклидовых пространств особенно важны
пространства с собственно римановой метрикой, т. е. с положительно
определенной метрической квадратичной формой. При данном п
такие пространства мы получим лишь в двух случаях: когда в (87.14)
все квадраты положительны, т. е. & = 0, или наоборот, когда они
все отрицательны, k = n—1; в последнем случае нужно еще умно-
умножить метрическую квадратичную форму в /?n_j (а значит, и на
Sn_i) на -1.
Первый случай, & = 0. Пространство Rn собственно евклидово.
Уравнение гиперсферы Sn_1 имеет вид
л;1г-(-...+л;п2 = р2. (87.17)
Область изменения и"—вся плоскость /?n_i; параметрическое пред-
представление (87.12) дает всю гиперсферу <Sn_i за исключением центра
проекций Р. При этом к точке Р на Sn_x мы неограниченно при-
приближаемся при и1 +•••+ и"~1 —» оо. Метрическая квадратичная
форма на ?„_! принимает вид
as— 4 -: -j- „_,М2 • (8/.18)
400 римановы пространства [гл. vii
Полученное неевклидово пространство называется сферическим про-
пространством Римана в данном случае п—1 измерений (не смешивать
с римановым пространством). Сферическая геометрия двух измерений,
/z = 3, n—-1 = 2, есть, очевидно, внутренняя геометрия обыкновен-
обыкновенной сферы. Следует отметить родственное сферическому эллипти-
эллиптическое пространство Римана. Оно получается из сферического путем
отождествления диаметрально противоположных точек сферы Sn_1.
Таким образом, эллиптическое пространство есть как бы «сложенное
вдвое» сферическое пространство. Хотя такая конструкция пред-
представляется искусственной, но фактически оказывается, что эллип-
эллиптическое пространство обладает более простыми свойствами, чем
сферическое, т. е. последнее целесообразно рассматривать именно
«сложенным вдвое». Конечно, в пределах не слишком больших
кусков эллиптическое пространство обладает той же геометрией,
как и сферическое. Эллиптическое пространство можно получить,
ограничившись в нашем параметрическом представлении лишь теми
значениями а", которые удовлетворяют условиям
ul2 + u2'+ ...+u"-l2<p2, (87.19)
причем в полученном п—1-мерном шаре в плоскости Rn_± нужно
отождествить диаметрально противоположные точки его гранич-
граничной сферы Sn_2:
ui2 + a2'-}- ...+а«-1г = р2. (87.20)
Тем самым п—1-мерный шар превращается в замкнутое п—1-мер-
п—1-мерное многообразие; в это многообразие вносится риманова метрика
согласно (87.18), и полученное риманово пространство как раз
и будет эллиптическим п—1-мерным пространством.
В самом деле, ограничение (87.19) означает, что мы рассматри-
рассматриваем лишь нижнюю половину гиперсферы Sn_x, срезанную плос-
плоскостью /?„_! (коэффициент при еп в (87.12) ^ 0); далее на срезе,
который как раз совпадает с <Sn_2, мы отождествляем диаметрально
противоположные точки, а это и означает построение эллиптического
пространства, причем, вместо того чтобы отождествлять точки верх-
верхней половины ?„_1 с диаметрально противоположными точками
нижней половины, мы просто их (точки верхней половины) выкинули
и провели указанное отождествление лишь по срезу.
Второй случай, k = n—1. Напишем уравнение гиперсферы ра-
радиуса р
— х1'—...—хп-1' + хп' = рг (87.21)
и параметрическое представление (87.12) (учитывая (87.9)):
(87.22)
§ 87] НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 401
Меняем знак метрической квадратичной формы в R , после чего
она принимает вид
*2 = xl2+ ...+x"-l! — xn\ (87.23)
Вследствие этого меняется знак и у метрической квадратичной
формы на 5П_1, так что (87.14) запишется теперь
1*1'+...-
P2
При этом, хотя гиперсферу Sn_x мы оставляем прежней, но в ре-
результате изменения метрики в Rn ее радиус становится мнимым,
р/ вместо р.
Итак, мы имеем дело с гиперсферой мнимого радиуса pi в
псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Такая гиперсфера с аф-
аффинной точки зрения представляет собой двухполостный гипербо-
гиперболоид. При этом в параметрическом представлении (87.22) мы получаем
нижнюю полость, когда коэффициент при еп отрицателен:
1
гг<0,
р2 — и1 — ...— и""»
что равносильно неравенству
а^+ ...-[-и"-1' <ра. (87.25)
Таким образом, на нижнюю полость 5п-1 отображается внутрен-
внутренность шара радиуса р в плоскости Rn_1; аналогично на верхнюю
полость Sn_t (за исключением точки Р) отображается внешняя по
отношению к этому шару часть плоскости Rn_i'-
ul2+•••+Kn"l8> P2 (87.26)
(точки на граничной сфере и1*-\- . . . -fa" = р2 образов на Sn_x
не имеют). Достаточно рассмотреть нижнюю полость Sn_1, так как
верхняя полость в силу симметрии несет на себе точно такую же
риманову геометрию, хотя формула (87.22) и дает для разных
полостей разные параметрические представления (в том смысле,
что параметры и1, ..., ип~1 пробегают разные области изменения).
Но это уже связано с избранным нами способом параметризации.
Итак, нижняя полость гиперсферы Sn_l, рассматриваемая как
риманово пространство, задается метрической квадратичной формой
(87.24) в области изменения параметров (87.25). В отличие от
402 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
сферического и эллиптического пространств полученное пространство
представляет собой элементарное многообразие.
Каждая полость гиперсферы мнимого радиуса pi в псевдоевкли-
псевдоевклидовом пространстве индекса 1 несет на себе собственно риманову
геометрию, совпадающую с геометрией Лобачевского соответствующего
числа измерений.
Эту формулировку можно при желании рассматривать как опре-
определение геометрии Лобачевского; если же исходить из другого,
например, аксиоматического построения геометрии Лобачевского, то
это предложение можно доказать как теорему.
Мы получили пространство Лобачевского во взаимно однозначном
отображении на внутренность шара в евклидовом пространстве /?„_!,'
это отображение называется интерпретацией Пуанкаре.
Возвращаясь к общему случаю неевклидова пространства Sn_lt
отметим, что оно обладает свободной подвижностью так же, как и
евклидово пространство. Этим мы хотим сказать, что в Sn_1 точку
с ортонормированным локальным репером в ней всегда можно пере-
перевести движением Sn_t (т. е. его изометрическим отображением на
себя) в любую другую точку с любым ортонормированным локаль-
локальным репером в ней. Покажем это.
При нашем понимании неевклидовой геометрии как римановой
геометрии на гиперсфере Sn_1 в Rn движения в Sn_1 также наглядно
изображаются вращениями в "Rn около начала О. Ясно, что при
этом гиперсфера Sn_1 переходит в себя с сохранением всех ее
геометрических свойств, в том числе и римановой геометрии на ней.
При этом путем вращения Rn около О можно заставить ортонор-
мированный репер {О, ех, . . ., еп} перейти в любой другой орто-
нормированный репер {О, ех, ..., еп}. С точки зрения Sn_1 это
означает, что вектор реп, идущий из О в точку Я*), превращается
в вектор реп, идущий в другую точку Р той же гиперсферы Sn_lt
причем Р можно выбирать произвольно (так как при желании е(
всегда можно направить по ОР). Далее, векторы ех, ..., еп_,
ортогональны к ре„ = ОР и потому принадлежат касательной гипер-
гиперплоскости Rn-i к 5п-1 в точке Р, образуя ортонормированный
локальный репер для Sn_1. При задании точки Я определяется орт еп,
направленный по ОР, но орты elt ..., en_x в ортогональной к еп
плоскости Rn_x остаются произвольными и образуют произвольный
ортонормированный локальный репер в точке Р. Поэтому возмож-
возможность перевести векторы е1, . .., еп вращением Rn около О в соот-
соответствующие векторы любого другого ортонормированного репера
означает с точки зрения гиперсферы 5п_х, что не только точка Р
*) Для определенности рассматриваем Sn_j вещественного радиуса р.
§ 87] НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 403
переходит в любую другую точку Р, но и ортонормированный ло-
локальный репер в Р переходит в любой ортонормированный локаль-
локальный репер в Р.
В связи с этим ясно, что произвол в выборе движений в неев-
неевклидовом пространстве (т.е.число независимых параметров,определяю-
параметров,определяющих движение) должен быть таким же, как и в евклидовом пространстве.
Это можно проверить и прямым подсчетом. В евклидовом я-мерном
пространстве Rn движение зависит от П Т параметров; следо-
следовательно, в /?„_! — от -—2~^— параметров. Заметим, что под «числом
параметров», строго говоря, нужно понимать здесь размерность
группы движений, как некоторого (неэлементарного) многообразия.
Движения в Sn_x порождаются вращениями Rn около О и, сле-
(п—1) п
довательно, тоже зависят от ^—^— параметров.
Свободная подвижность неевклидовых пространств показывает,
что они обладают столь же высокой степенью однородности, как
и евклидовы пространства. С этим связано и богатство их геометриче-
геометрических свойств, развертывающихся в последовательности, напоминаю-
напоминающей евклидову геометрию, но совершенно своеобразных. Как и
евклидово пространство, они допускают исследование элементарно
геометрическими средствами, особенно эллиптическая геометрия и
геометрия Лобачевского. Последняя этим путем и была впервые
получена Лобачевским.
Исследование элементарно геометрическими средствами тесно
связано со свободной подвижностью пространства. Действительно,
важнейшей основой элементарной геометрии является возможность
переносить данную фигуру из одного места пространства в другое
и поворачивать ее без изменения геометрических свойств. Но это
означает по существу свободную подвижность пространства. Отсюда
вытекает понятие о конгруэнтных (равных) фигурах, как переводи-
переводимых одна в другую посредством движения; на основе свободной
подвижности фигур доказываются важнейшие теоремы, например,
о равенстве треугольников; даже процесс измерения отрезка другим
отрезком, принятым за эталон длины, требует свободной подвиж-
подвижности этого эталона. Конечно, в элементарной геометрии в ее школь-
школьном изложении свойство свободной подвижности принимается просто
как очевидное, но при аксиоматическом построении оно должно
быть точно охарактеризовано соответствующими аксиомами (или
прямо, или косвенно через понятие конгруэнтности).
Другие римановы пространства свободной подвижностью уже
не обладают; более того, произвольно взятое риманово пространство,
вообще говоря, совершенно неоднородно и никаких движений не
допускает.
404 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
§ 88. Измерение объемов в римановом пространстве Vn
Мы хотим ввести измерение объемов в римановом пространстве.
Изложим сначала некоторые наводящие соображения. Рассмотрим
бесконечно малый координатный параллелепипед, стягивающийся в
данную точку М(х'). Вообще под координатным параллелепипедом
мы понимаем область, состоящую из точек М {х'), для которых
a'=ss ¦*'"<*' (/=1, 2, ..., п). (88.1)
В данном случае координатный параллелепипед определяется не-
неравенствами
х1< х* <: х' + dx' (i=\, 2, ..., п), (88.2)
где dx' ->¦ 0.
«Ребра» этого параллелепипеда состоят из бесконечно малых
отрезков координатных линий. Так, на координатной линии х1 со-
соответствующий отрезок заключен между данной точкой М (х1, .. ., х")
и точкой M-l (x1 -f dx1, х2, ..., хп). В касательном евклидовом
пространстве бесконечно малому смещению ЛШХ отвечает бесконечно
малый вектор с координатами
I1 = dx1, |2= ..• = g" = 0 (88.3)
(координаты берутся относительно локального репера). Аналогично
обстоит дело и с бесконечно малыми смещениями по другим коор-
координатным линиям.
Подменим координатный параллелепипед соответствующим па-
параллелепипедом в касательном евклидовом пространстве, построен-
построенном на бесконечно малых векторах вида (88.3). Согласно E4.11)
объем параллелепипеда в евклидовом пространстве выражается
формулой
где g = Det \gy |, a'k—координаты fe-ro вектора из числа векторов,
на которых построен параллелепипед. В нашем случае
|
)
i r_.v так что Vzt\a.k\ = dxx ... dxn,
(XX \l — ft)
и мы получаем:
dW = VJgldx1 .. . dx". (88.4)
Оценим грубо объем какой-либо области D риманова простран-
пространства как составленный из объемов элементарных координатных па-
параллелепипедов, на которые мы область D разбиваем, причем мы
§ 88]
ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ V
405
их подменяем параллелепипедами в касательных евклидовых про-
пространствах. Суммирование таких объемов в пределе сводится к ин-
интегрированию элемента объема dW (88.4) по области D, и мы по-
получаем:
dx\
(88.5)
Мы не станем уточнять приведенное выше грубое рассуждение, а
предпочтем принять формулу (88.5) за определение объема в рама-
новом пространстве. Чтобы это определение было законным, нужно
показать его инвариантность при преобразовании координат х'.
Для этой цели вычислим
wD =
dx"',
(88.6)
где g' = Det | gi,,-, \, и покажем что WD — WD.
По тензорному закону преобразования
дх' дх'
g &
дх'
откуда аналогично C9.17) получаем:
дх1
Det
так что
Det
дх''
дх1
дх1'
V\g\-
(88.7)
Вставляя последний результат в (88.6) и пользуясь формулой за-
замены переменных под знаком кратного интеграла, получим:
дх1
дх1'
dxv
... dxn' = j V\g\
dxl...dxn ^
что и требовалось доказать.
Очевидно, по свойствам кратного интеграла объем обладает
аддитивным характером, т. е. объем составной области равен сумме
объемов составляющих областей. Далее, в частном случае евкли-
евклидова пространства (88.5) дает объем в евклидовом пространстве.
Действительно, если х1, ..., хп — ортонормированные координаты
в евклидовом пространстве, то |^| = 1, и мы получаем:
Wr
а это согласуется с определением объема в евклидовом простран-
пространстве E4.1).
406
РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. VII
Пусть в римановом пространстве Vп дана поверхность Vт, также
несущая на себе риманову геометрию (§ 85). На этой поверхности
мы можем, следовательно, измерять объемы /я-мерных областей по
формуле (88.5):
WD=\V~\O\du\..dum,
где
G=Det|OaP
дх' дх1
— 1-jr
(88.8)
(88.9)
В частности, в случае двумерной поверхности V2 мы получаем:
0= G1XG^ — G\2,
так что «двумерные объемы», т. е. площади на поверхности, вы-
выражаются формулой
Wr
Если речь идет о поверхности в обычном евклидовом пространстве
Rs, то Gllt G12, G22—коэффициенты первой квадратичной формы
на поверхности. При этом О11О22 — G2l2 > 0, так что знак модуля
под радикалом можно устранить.
Как видно из (88.9), Оал представляют собой попарные ска-
дх1'
лярные произведения т векторов ——, касательных к координат-
координатным линиям иа на поверхности Vт. Поэтому подынтегральная функ-
функция У\ G\, т. е. У | Det | Оар 11 , представляет собой объем /я-мер-
ного параллелепипеда, построенного на векторах (а=1, 2, ...
диг
..., т) в касательном евклидовом пространстве. Но этот же объем
выражается формулой E4.28), так что
(88.10)
Здесь a'i---'m — координаты простого m-вектора, построенного на
векторах —— , т. е.
i,h.. лт =
т\
дх'1
дх1*
ди1 '
дх1'
дх1т
¦" ди1
дх'т
дит ди
ди"
(88.11)
§ 89] пространство афинной связности* Vn
а gii- -im, It- --im выражаются согласно E4.19):
407
(88.12)
В то время как формула (88.8) дает нам объем области D на по-
поверхности Vm с «внутренней» точки зрения, можно записать тот
же результат с «внешней» точки зрения, заменив J^IGl согласно
(88.10). Получим:
WD=\V\gil...in;il...!mai--J
-'«I
K . .dum. (88.13)
В частности, получаем выражение площади какой-либо области D
на двумерной поверхности V2 в виде
gllh glj,
дх'1
ди1
ди2
дх''
ди1
дх1'
ди2
дх'<
ди1
дх''
ди2
дх''
ди1
дх1'
ди2
du1 du*.
(88.14)
Подкоренное выражение предполагается взятым по модулю (после
суммирования по всем индексам).
§ 89. Пространство аффинной связности
Мы на время оставим в стороне римановы пространства и зай-
займемся другим вариантом геометрии, которую можно получить на
базе данного я-мерного многообразия Шп. Именно, если вместо
поля метрического тензора gi;- (M) внести в Шп поле объекта связ-
связности Vjk (М), то вместо римановой геометрии мы получим в Шп
геометрию аффинной связности, превратив 3)tn в пространство
аффинной связности Ln.
Подобно тому как образцом для построения риманова простран-
пространства Vn служило у нас евклидово пространство Rn в криволиней-
криволинейных координатах, так теперь такую же роль будет играть аффин-
аффинное пространство Ап тоже в криволинейных координатах.
Определение объекта связности, которое было дано в § 78 для
аффинного пространства, легко переносится на многообразие 9ЛП.
Если в данной точке М в Шп для каждой координатной системы
х1, область действия которой включаег точку М, задана система
408 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VI!
чисел Г,/, преобразующихся при переходе от одной к другой коор-
координатной системе по закону
„ft- d2xk дхк' дх< дх' дхк' ft ,„„.,
Tl'l'=^7^irS^ + ^rlZ^FTth (89Л)
то мы говорим, что в точке М задан объект связности. Все част-
частные производные в (89.1) предполагаются вычисленными в точке Ж.
Пространством аффинной связности Ln мы назовем многообра-
многообразие 3Jtn, в котором задано поле объекта связности
r*/(Af)=r*/(*1, .... *"), (89.2)
т. е. объект связности задан в каждой точке М, причем функции
(89.2) N—2 раза непрерывно дифференцируемы*). При этом в от-
отличие от объекта связности аффинного пространства, вообще го-
говоря,
Покажем прежде всего, что для задания объекта связности
(как мы будем кратко называть поле объекта связности) в элемен-
элементарном Ша достаточно произвольно задаться функциями (89.2) в
одной какой-нибудь координатной системе х'. Тогда в любой дру-
другой координатной системе х1' координаты Г,-// объекта связности
определятся по закону преобразования (89.1). Однако при этом
объект связности еще нельзя считать построенным: нужно проверить,
что закон преобразования (89.1) действует не только при переходе
от л; к х1', где х'—начальная координатная система,
но и при переходе от х1' к х<", где х1', х'"—любые координат-
координатные системы. Координаты объекта связности в системе хг выража-
выражаются аналогично (89.1):
а*** , дх1 dxJ dxk" k /яо_.
Нам требуется проверить, следовательно, что, подвергая
Г,'/' преобразованию по тому же закону при переходе от х1' к х'",
мы получим Г,-»;». Другими словами, требуется проверить, что вы-
выражение
Р*"' дхк" дх1' дхГ dxk" rk'
~6ЛГ d^+I7'bV Я*Гр'' (89-4)
*) Здесь iV — класс многообразия *S)n\ при преобразовании (89.1) со-
сохраняется (N — 2)-дифференцируемость Г*у. (но не выше!). Правая часть
(89.2) имеет смысл, разумеется, лишь в области действия каждой данной
координатной системы х'.
§ 89] пространство аффинной связности 409
дает нам Г,-«¦/•• Для этого вставим сюда Г/у из (89.1) и рассмотрим
сначала член, содержащий Г*-. Этот член в (89.1) имеет такой
вид, как если бы Тц подвергались тензорному закону преобра-
преобразования при переходе от х' к х1'; при подстановке в (89.4) этот
член еще раз подвергается тензорному закону преобразования при
переходе от х1' к х1"; в результате Г*/ испытают преобразование
по тензорному закону при переходе от х' к х1" (см. § 81, (81.3)),
и мы получим:
_ р^ /QQ К\
¦ 'I v/ 7Г~ '-if' \ О У. О /
Теперь рассмотрим свободные от Г* члены в (89.4) (после под-
подстановки из (89.1)). Получаем (обозначая в первом члене индекс
суммирования j' вместо k'):
dx . dx dx' dx* d2x" dx*
Так
а в
TO,
как во
первом
вынося
dx"" (
dx" \
dxl"dx'" dxi'
втором
члене
dx""
—г за
dx"
dx'"dxr
члене
скобки
dxk
dx'' '
dx'" dx'" dx"' dx1'
dxk" dx"' __ dx""
дхк' дх" ~ dxk '
dx"" _ dxk" dx"
dx'' dxk dx'
, получаем:
dx'' dx1' d*xk \
dx1" dx1" dx1' dx1' )
dx''
dx"
dxk
dxk
" d4k
dxrdxi"
(89.6)
To, что круглая скобка равна —тг,—— , легко получить диффе-
dxl дх1
ренцируя хк как сложную функцию от х1", . .., хп" при проме-
промежуточных аргументах х1'. В результате (89.4) состоит из членов
(89.5) и (89.6), т. е. совпадает с правой частью (89.3) и дает,
действительно, IV/». Проверка окончена.
Закон преобразования (89.1) можно записать в несколько ином
виде, удобном для некоторых выкладок. Умножаем (89.1) почленно
на —tj- и суммируем по к'. Так как
дх"
дхк> дхк~~ "'
то получаем:
г*' **' _ ^2д:* д' _(- ^х' ^х' V". А'
1>Г дх"' ~ дх1'дх'' к дх'' д~х^ " *'
410 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
а после суммирования по k получаем окончательно:
г*,', ^L _ dV , дх' dxf ri RQ .
Заметим, что эта формула вполне эквивалентна закону преобразо-
преобразования (89.1), так как он из нее обратно следует. Достаточно
дх1'
умножить (89.7) почленно на -^7 (с суммированием по /) и учесть,
что в левой части —— —- = б'' чтобы вернуться к (89.1).
дха дх1 *
Будет полезным записать формулу (89.7), поменяв ролями коор-
координаты х' и х''. Получим:
(89-8)
Мы уже отмечали, что, вообще говоря,
г
Обозначим:
(89.9)
Величины S*. образуют тензор, что легко показать следующим
образом. Перепишем (89.1), переставив между собой индексы i',j'
и поменяв местами обозначения индексов суммирования г, j.
Получим:
Вычитая это равенство почленно из (89.1) и пользуясь обозначением
(89.9) как в старых, так и в новых координатах, получаем:
ck> дх1 дх' dxk> ck
'''V = T~F ТУТ! ^'1'
дх' дх' дх"
Свободные члены при вычитании уничтожились, и мы получили
тензорный закон преобразования для 5*.. Тензор 5?, (М) называется
тензором кручения данного пространства аффинной связности. Его
геометрический смысл выяснится позже. Если тензор кручения S*
равен нулю, т. е. если
rk — ГА
1 И 1 И'
то мы говорим, что нам дано пространство аффинной связности
без кручения; обозначаем его /Л Обращение в нуль тензора S.k.
(как и всякого тензора) есть факт, инвариантный относительно
§ 89] ПРОСТРАНСТВО АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 411
преобразования координат х1, а потому, если Г?.= Г* в одной
координатной системе, то то же имеет место и в любой другой.
Переходим теперь к геометрическому истолкованию объекта
связности, а вместе с тем к установлению основной конструкции
геометрии аффинной связности — параллельного перенесения векто-
векторов. Мы воспользуемся при этом аналогией с § 77, где параллель-
параллельное перенесение вектора в криволинейных координатах в аффинном
пространстве задавалось при помощи объекта связности формулой
G7.9):
d?*=-Г* ?></*'.
Аналогичным образом мы определим параллельное перенесение в
пространстве аффинной связности Ln.
Пусть вдоль некоторой кривой
xl-=xl(t), а</<?,
где х' (t) непрерывно дифференцируемое, дано векторное поле
?' = ?'(')¦ (89.П)
Мы будем говорить, что вектор |' (t) параллельно переносится
вдоль кривой, если при каждом бесконечно малом смещении по
кривой координаты вектора ?' (t) меняются по закону
</?*=—r*?W. (89.12)
Речь идет, конечно, не о приращениях, а о дифференциалах коор-
координат \(t). Аналогично dx'—дифференциалы функции _х'(t);
Г*.—координаты объекта связности. Напомним еще, что |' — это
по буквальному смыслу один раз контравариантный тензор; мы
говорим о векторе ?', имея в виду истолкование ?' в виде вектора
в касательном аффинном пространстве Ап (§ 82).
Если вдуматься в смысл нашего определения параллельного
перенесения, то оно перестает казаться столь произвольным, как
кажется с первого взгляда. В самом деле, мы хотим установить
какой-то определенный закон, по которому вектор |' из данной
точки х' переносится в бесконечно близкую точку xl-\-dxl (рас-
(рассуждение ведем с точностью до бесконечно малых высшего по-
порядка). Спрашивается, каковы будут при этом приращения d|'
координат нашего вектора. Простейшее предположение на этот
счет, которое можно сделать, заключается в том, что dl,' линейно
зависят и от начальных координат вектора ?' и от координат век-
вектора бесконечно малого смещения dx1. Но по существу это пред-
предположение и записано в виде формулы (89.12), причем через Г*,
обозначены коэффициенты соответствующих билинейных функ-
функций. Конечно, выбор коэффициентов Г/' (х1, • •. , хп) остается
/ дхк> \укл dxk> ej. d*xk> . i^b . дх"
¦ = 1 Я —пг I с, Ч—=г-п~ at =
412 римановы пространства [гл. vii
произвольным, и это означает, что на данное многообразие 3J(.n
можно по-разному наложить аффинную связность.
Таким рассуждением мы оправдываем наше определение с его
содержательной стороны. Но оно нуждается в оправдании и с фор-
формальной стороны. А именно, необходимо показать его инвариантный
характер: если вектор I,' (t) параллельно переносится вдоль данной
кривой с точки зрения одной координатной системы х', то это же
верно и с точки зрения любой другой координатной системы х''.
Другими словами, если условие (89.12) соблюдается в координа-
координатах х', то оно будет соблюдаться и в координатах х''.
Чтобы проверить это, мы вычислим #"?*' (/) при бесконечно
малом смешении по нашей кривой. Согласно тензорному закону
преобразования
Поэтому
dxk
Обозначая в первом члене индекс суммирования k через j и за-
заменяя dg* согласно (89.12), получаем:
-Ti^l'dxf. (89.13)
Пользуясь формулой (89.8) (заменив в ней /' на k'), мы получаем
для круглой скобки выражение
дх'' дх1' „k'
д*Г дх' ''''¦
Учитывая, наконец, что
дх1 j ;> дх'' с./ с./>
дх' дх'
приводим (89.13) к виду
dlk' = — Г*';., V dx1'. (89.14)
Таким образом, предполагая, что для векторного поля вдоль
данной кривой соблюдается (89.12), мы получили, что соблюдается
и (89.14), т. е. наше определение параллельного перенесения ин-
инвариантно относительно преобразования координат х1. Важнейшим
местом нашей выкладки является использование закона преобразо-
преобразования для Г*, в форме (89.8). Можно сказать, что закон преобра-
преобразования ГЛ подобран именно так, чтобы параллельное перенесение
§ 89] пространство аффинной связности 413
вектора, определенное согласно (89.12), было инвариантным
относительно преобразования координат х'. И действительно, если
потребовать эту инвариантность (для перенесения любого вектора
вдоль любой кривой), то наш закон преобразования для Г\*. полу-
получается как следствие. В этом можно убедиться следующим обра-
образом. В силу инвариантности данного параллельного перенесения
формулы (89.12), (89.14) должны вытекать одна из другой. По-
прежнему преобразуем (89.12) к виду (89.13), а в (89.14) подставляем
, ,-, дх1' , i с.,-, дх1 ..,
их1 = -dx, V = -У ¦
дх1 dxJ ~
Так как полученные формулы должны вытекать одна из другой, то
их правые части тождественно равны; приравнивая коэффициенты
при dx', |y, возвращаемся к формуле (89.8), т. е. к прежнему
закону преобразования для Г*
Заметим, что в случае аффинного пространства мы не нуждались
в доказательстве инвариантности параллельного перенесения; там
оно имело непосредственный геометрический смысл и, в отличие
от того, что мы делаем сейчас, не определялось, а лишь записы-
записывалось формулой (89.12).
Мы определили параллельное перенесение вектора вдоль кри-
кривой, однако не знаем еще, когда можно такое перенесение осущест-
осуществлять и будет ли оно совершаться однозначно. Обращаясь к фор-
формулам (89.12), мы перепишем их, поделив на dt:
^f =-Г?/(*Ч'), ••• - *?К*)
Так как ГА в данном пространстве и в данной координатной
системе нам известны как функции от х', а х1 вдоль данной кривой
известны как функции or t, то в уравнениях (89.15) все функции
от t можно считать известными кроме |fe@> которые мы будем
считать искомыми. Для этих п функций мы имеем нормальную си-
систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений; про-
производная каждой неизвестной функции ?fe (/) линейно выражена через
сами неизвестные функции ?/е, причем коэффициентами служат
известные функции от t (при наших предположениях во всяком
случае непрерывные).
Из теории дифференциальных уравнений известно, что такая
система имеет решение с,к (t) при любых начальных условиях вида
l" = lka (ft=l, 2, .... п) при t = t0, (89.16)
причем это решение определяется единственным образом и суще-
существует на всем интервале изменения t.
416 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
тождественно равнялся единице. Для этого достаточно положить:
{t)dt, так что dx=a(i)dt, (90.2)
после чего (90.1) принимает вид:
~ = I1. (90.3)
dxi
Параметр т на геодезической, для которого -г- есть параллельно
переносимый касательный вектор, мы будем называть каноническим
параметром. Как мы показали, переход к каноническому параметру
всегда возможен. При этом канонический параметр выбирается с
точностью до произвольного линейного преобразования с постоян-
постоянными коэффициентами
1* = Ах-уВ, АфЪ. (90.4)
Действительно, если % — канонический параметр, то и т* тоже,
так как
л * jj dx1 I dx' I \ A
dx* = Adi, -j-* = —г -j— Иг = const
1 dx* A dx \A J
dxi , dx1
и вектор j-jr будет вместе с j- параллельно переносимым касатель-
касательным вектором.
С другой стороны, формула (90.4) исчерпывает все возможные
способы выбора канонического параметра. В самом деле, если т и
т*—два канонических параметра, то векторы -?- , -^ оба парал-
параллельно переносятся вдоль кривой, а следовательно, в равенстве
dx1 __ dx' dT*
dx ~~d~x* dx
dx*
коэффициент -г- должен быть постоянным (линейные зависимости
между параллельно переносимыми векторами сохраняются). Отсюда
следует, что зависимость т* от т обязательно будет линейной.
Мы дали определение геодезических линий, но не знаем еще,
существуют ли они, с каким произволом их можно выбирать и как
фактически их строить. На эти вопросы дают ответ дифференциаль-
дифференциальные уравнения геодезических линий.
Будем искать параметрические уравнения геодезических линий
с каноническим параметром т:
xt = xi("c). (90.5)
о dx'
Запишем требование, чтобы вектор -j— параллельно переносился
вдоль искомой кривой; это будет означать одновременно, что кри-
кривая геодезическая и что параметр х на ней канонический.
§ 90] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В Ln 415
Далее, если в начальной точке ?^ = ?д + 'По> то в процессе
параллельного перенесения этих трех векторов сохраняется
зависимость
С'(О = ?'(') + т)'(О. (89.20)
В самом деле, складывая почленно (89.18) и (89.19), убеждаемся,
что вектор |'+т|' тоже удовлетворяет формуле параллельного пере-
перенесения и, следовательно, переносится параллельно вместе с ?'* и
ц'. Поскольку вектор ?! тоже переносится параллельно, то равен-
равенство между t,' и |'-f- л', имеющее место в начальной точке, сохра-
сохраняется все время, и мы приходим к (89.20).
Так как все линейные зависимости между векторами сводятся
к рассмотренным простейшим (89.17) и (89.20), то все они сохра-
сохраняются при параллельном перенесении.
§ 90. Геодезические линии в Ln
Геодезические линии в пространстве аффинной связности играют
приблизительно такую же роль, как прямые линии в аффинном
пространстве. Именно, они обладают тем же основным свойством —¦
постоянством направления. Для прямых линий это свойство выра-
выражается в том, что вектор, направленный по данной прямой линии
в какой-нибудь ее точке, будет направлен по ней и в любой другой
ее точке. Аналогично этому мы формулируем определение геодези-
геодезической линии.
Кривая в пространстве аффинной связности называется геодези-
геодезической, если всякий вектор ^(=5^=0), касательный к этой кривой в
какой-нибудь ее точке Мо, остается к ней касательным при парал-
параллельном перенесении вдоль нее.
Пусть геодезическая задана уравнениями
где х1 (t) — по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемые
функции, и пусть параллельно переносимый касательный вектор
вдоль геодезической будет §' (t). В силу коллинеарности касатель-
касательных векторов в каждой точке кривой можно написать:
1Г = «?'. (90Л)
где a=<x(t) зависит от точки на кривой и нигде не обращается
dx'
в нуль, так как иначе —ц- обращались бы в нуль одновремен-
одновременно, что мы исключаем. При желании всегда можно перейти к
такому параметру т вдоль геодезической, чтобы коэффициент а
416 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
тождественно равнялся единице. Для этого достаточно положить:
так что dT = a{t)dt, (90.2)
после чего (90.1) принимает вид:
~ = ll. (90.3)
Параметр т. на геодезической, для которого -=— есть параллельно
переносимый касательный вектор, мы будем называть каноническим
параметром. Как мы показали, переход к каноническому параметру
всегда возможен. При этом канонический параметр выбирается с
точностью до произвольного линейного преобразования с постоян-
постоянными коэффициентами
%* = Аг-\-В, АфЪ. (90.4)
Действительно, если т — канонический параметр, то и т* тоже,
так как
dx' I dx1 ( 1
, „ . , dx I dx ( 1 Л
dx* = Adi, -т-i = —г -j— -г = const
' dx* A dx \A }
dx1 , dx1
и вектор -г-* будет вместе с j- параллельно переносимым касатель-
касательным вектором.
С другой стороны, формула (90.4) исчерпывает все возможные
способы выбора канонического параметра. В самом деле, если т и
* dx1 dxc ,
т*—два канонических параметра, то векторы -т- , -t-j оба парал-
параллельно переносятся вдоль кривой, а следовательно, в равенстве
dx1 _ dx' dx*
dx dx* dx
dx*
коэффициент -г— должен быть постоянным (линейные зависимости
между параллельно переносимыми векторами сохраняются). Отсюда
следует, что зависимость т* от т обязательно будет линейной.
Мы дали определение геодезических линий, но не знаем еще,
существуют ли они, с каким произволом их можно выбирать и как
фактически их строить. На эти вопросы дают ответ дифференциаль-
дифференциальные уравнения геодезических линий.
Будем искать параметрические уравнения геодезических линий
с каноническим параметром т:
х1 = х* (т). (90.5)
dx1
Запишем требование, чтобы вектор -j— параллельно переносился
вдоль искомой кривой; это будет означать одновременно, что кри-
кривая геодезическая и что параметр х на ней канонический.
§ 90] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В Ln 417
Применяя формулу параллельного перенесения (89.12) к вектору
dx'
-у-, получаем:
и, деля на dx, приходим к дифференциальным уравнениям геоде-
геодезических
^__г*-^^ (906)
di* ~ l" di их ' lyu-0'
отнесенных к каноническому параметру.
Как было уже сказано, хк (т) мы рассматриваем как неизвест-
неизвестные функции. Вторая производная каждой неизвестной функции хк (т)
выражена здесь через сами неизвестные функции (входящие как
аргументы под знак Tij(x1, ... , хп)) и через их первые произ-
производные. Мы имеем здесь, таким образом, частный случай канони-
канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Как
известно, решение такой системы единственным образом определя-
определяется заданием начальных значений неизвестных функций и всех их
производных порядка более низкого, чем порядок старших произ-
производных, выраженных в дифференциальных уравнениях. При этом
необходимо сделать определенные предположения относительно глад-
гладкости функций, входящих в правые части уравнений; в нашем случае
эти предположения вполне покрываются непрерывной дифференцируе-
мостью функций Г|/ (лс1, ... , х"). В соответствии со сказанным
мы можем произвольно задаться начальными значениями неизвестных
функций х и их первых производных —т- ПРИ каком-либо началь-
начальном значении параметра:
где Ь1 одновременно в нуль не обращаются. Тогда по общей теореме
существования мы можем утверждать, что в некоторой окрестности
значения т = т0 существуют и единственным образом определяются
функции х1 (х), удовлетворяющие системе дифференциальных уравне-
уравнений (90.6) и начальным условиям (90.7).
Полученное решение, таким образом, зависит от начальных усло-
условий и в развернутом виде записывается:
*' = *'(т; а\ ... , а"; Ь\ ... , Ь"), (90.8)
причем, как доказывается в теории дифференциальных уравнений,
эти функции по всем своим аргументам будут непрерывно дифферен-
14 П. К. Рашевский
418 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
цируемыми такое же число раз, как и функции Г (х1, ... , х"),
а по аргументу т — даже на 2 единицы выше. В переводе на геомет-
геометрический язык наш результат означает, что всегда можно провести
геодезическую линию и притом только одну через наперед заданную
точку А (а1) и с наперед заданным касательным вектором Ь' в этой
точке. Заметим, что существенно при этом задание не самого каса-
касательного вектора Ь1, а лишь касательной прямой, по которой он
направлен. В самом деле, если Ы заменить любым коллинеарным
вектором, например, —5Ь1, то геодезическая от этого не изменится:
достаточно на прежней геодезической взять вместо канонического
параметра т другой канонический параметр т* = =-т. Тогда в
прежней начальной точке
их1 dxl _ ,-
ь й0
Точно так же полученная геодезическая не зависит от начального
значения тг0 параметра т, так как, не меняя самой кривой, можно
принять на ней за канонический параметр т-f-C, где С—любая кон-
константа. Тогда начальное значение хо-\-С может быть сделано каким
угодно.
Мы видим, что произвол в выборе геодезических в пространстве
аффинной связности такой же, как и произвол в выборе прямых
в аффинном пространстве: через каждую точку по каждому направ-
направлению проходит одна и только одна геодезическая.
В случае аффинного пространства Ап прямые линии являются
геодезическими, как сразу видно из определения геодезических.
Теперь мы можем утверждать и обратное: всякая геодезическая в Ап
является прямой линией. Действительно, через данную точку по дан-
данному направлению проходит лишь одна геодезическая, которая
должна, таким образом, совпадать с прямой линией, проведенной
через ту же точку по тому же направлению.
Возвращаемся к произвольному Ln.
Общая теорема существования гарантирует нам существование
функций х' (т) лишь в некоторой окрестности данного значения т = т0,
т. е. существование лишь некоторого кусочка геодезической около
данной точки А (а'). После небольшого дополнительного рассужде-
рассуждения мы сможем утверждать больше. А именно, обозначим через
х1 > т0 такое значение т, что: 1) при т, меняющемся между т0 и
"Ч (т0 =^т < т^), функции х1 (т), удовлетворяющие (90.6), (90.7),
существуют, но 2) при т, меняющемся от т0 до т1 + б, они уже не
существуют, сколь бы малым ни брать б > 0. При этом мы допу-
допускаем случай т1 = оо; тогда, конечно, последнее требование 2) из-
излишне и даже не имеет смысла. Другими словами, tx — верхняя
грань всех тех значений канонического параметра т, которые можно
§ 90] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В ?„ 419
достичь, продолжая нашу геодезическую столько, сколько это воз-
возможно.
Итак, меняя х в сторону возрастания, начиная от т0, мы неогра-
неограниченно приближаемся к Тц но не превосходим этого значения.
Как сейчас будет показано, мы даже не достигаем значения тх;
более того, при т—>-х1 (имеется в виду непрерывное изменение т)
точка М (х) на геодезической не может стремиться к какому-либо
предельному положению Mv В самом деле, допустим противное:
М(х) -* Mv (90.9)
Окружим Мх очень малой окрестностью U, так что заключенные
в ней маленькие кусочки геодезических будут иметь, грубо говоря,
почти линейные уравнения х' ж а'х-\-Ь' и будут вести себя почти
как кусочки прямых (если координаты л:' представить себе на ми-
минуту как аффинные координаты в аффинном пространстве). Ясно, что
те геодезические отрезочки в U, которые не проходят через точку Mlt
не могут к ней и неограниченно приближаться (это нетрудно было бы
показать и с полной строгостью). Наша геодезическая в силу (90.9)
войдет в окрестность U и будет в ней оставаться, начиная с неко-
некоторого значения т. Следовательно, она должна в этой части совпасть
с одним из геодезических отрезочков, заключенных в окрестности U,
а именно с одним из отрезочков, проходящих через Ми — иначе
(90.9) не могло бы иметь места. Но тем самым наша геодезическая
не только дойдет до точки Ми но и пройдет через нее, а значит,
параметр т не только достигнет значения tj, но и превзойдет его,
а это невозможно.
Наше предложение доказано. Смысл его в том, что, продолжая
геодезическую, мы не можем вдруг остановиться, упереться в неко-
некоторую точку; если даже возрастание канонического параметра огра-
ограничено значением тх < оо, геодезическая в пределах нашего простран-
пространства продолжается неограниченно. Этому не противоречит такое,
например, положение вещей: пусть наше пространство представляет
собой ограниченную область Q аффинного пространства Ап. Тогда
при продолжении геодезических линий (т. е. прямых) мы часто бу-
будем останавливаться, упираясь в границу области Q. Однако гра-
граница области Q не принадлежит рассматриваемому многообразию,
и с точки зрения самой области Q геодезическая продолжается
неограниченно (см. определение области; § 75).
Мы все время говорим о продолжении геодезических линий; при
этом важно, что продолжать геодезическую можно лишь одним спо-
способом. В самом деле, допустим, что геодезическая линия при ее
продолжении с некоторого момента раздваивается; пусть при этом
т*—-верхняя грань значений т^т0, при которых обе геодезические
еще совпадают. Тогда они будут совпадать и при значении x = x*t
14*
420 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. VII
так как в обоих случаях
М(т)-^М(т*) при т-*т* (то<т<т*),
где точки М (т)— общие для обеих геодезических; действительно,
в силу условия 4° (§ 84) М (т) при т—>• т* не может стремиться
одновременно к двум различным предельным точкам M1(t*), ЛТ2 (т*).
Исходя теперь из точки М(х*), можно продолжить общий отрезок
т0 ^ т ^ т* двух геодезических линий и на значения тг > т* (вблизи
т*), и притом единственным образом по уже использованной теореме
существования и единственности. Мы вступаем в противоречие с
определением т*, и этим доказывается наше утверждение.
Пространство аффинной связности Ln называется полным, если
на любой его геодезической канонический параметр т можно менять
от —оо до + оо. Таково, например, аффинное пространство Ап.
Рассмотрим еще некоторые свойства геодезических. Если в про-
пространствах аффинной связности нас интересуют лишь их геодезиче-
геодезические, то мы можем ограничиться пространствами без кручения.
А именно объект связности Г,7- определяет в данном многообразии
те же геодезические, что и объект связности без кручения Г*/, по-
полученный его симметрированием:
Убедимся прежде всего, что Г;/, таким образом полученные, дей-
действительно образуют объект связности. Для этого достаточно
почленно сложить и разделить на 2 формулы преобразования (89.1)
и (89.10). Заменяя как в старых, так и в новых координатах полу-
полусумму Fij и Г/* через Г,у, получаем для ft/ закон преобразования
вида (89.1), а это означает, чтоГ?/—тоже объект связности. Оче-
Очевидно, эта связность без кручения, так как Г,-/ симметричен по ниж-
нижним индексам.
Теперь покажем, что геодезические для обеих связностей будут
общие. Пишем дифференциальные уравнения геодезических для
связности Г*/:
d4k _ ы dx*_ <W _i_ г* &jL ^L L r* ^L dxi
~Jc*~~ Vi' dx dx~ 2l '¦' dx dx 2l '7 dx di •
Меняя обозначения индексов суммирования во втором члене правой
части (/ на j и наоборот), убеждаемся, что он равен первому члену,
в результате в правой части остается удвоенный первый член, и мы
d2xk k dx' dxJ
получаем: —r-^=—Г;/-г--з—, а это есть дифференциальные урав-
нения геодезических связности 1,/.
§ 90] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В Ln 421
Таким образом, геодезические для обеих связностей действи-
действительно общие.
Будем рассматривать теперь геодезические для связностей без
кручения. Поставим следующую задачу. Пусть в многообразии за-
заданы две связности без кручения Г*/, G*-; в каком случае они име-
имеют общие геодезические?
Допустим, что нам дано, что геодезические у обеих связностей
общие. Рассмотрим для какой-либо геодезической касательный век-
вектор I1, параллельно переносимый в первой связности, и касательный
вектор т)', параллельно переносимый во второй связности. Так как
оба вектора касательные, то
т)*=<х|*, (90.10)
где коэффициент а, вообще говоря, переменный; а^=0. Запишем
формулы параллельного перенесения:
(90.11)
dx\k= — Gttjtfdx1. (90.12)
Вставляя в последнюю формулу r\k из (90.10), получим:
Деля почленно на а и вставляя сюда аГ|* из (90.11), получим:
^ ?*- ТЧЦ1 dxl = -О?Д' их1. (90.13)
Параллельно переносимый касательный вектор |' согласно (90.3)
можно записать: |'=-т-, где т — канонический параметр по отно-
отношению к первой связности. Тогда (90.13) после почленного деле-
деления на dx принимает вид
^^ = D-0*)^. (90.14)
Так как геодезические линии можно проводить через любую точку
по любому направлению, то это равенство должно быть верно в лю-
любой точке и для любого вектора |'. При этом —^— имеет, конеч-
конечно, каждый раз свое численное значение, которое зависит от вы-
выбора точки и вектора |!.
Обозначим для краткости
Г?/— О?,=*Т?,. (90.15)
Отметим, что составленная таким образом разность двух объектов
связности дает всегда тензор, один раз контравариантный и дважды
422 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
ковариантный. Это легко проверить, выписав закон преобразования
(89.1) для Гц и параллельно для G*- и вычитая почленно из пер-
первого равенства второе. Тогда члены со вторыми производными вза-
взаимно уничтожаются, и для разностей Тц мы получаем тензорный
закон преобразования. Это верно, разумеется, для любых связно-
стей Г,*, Оц в том числе и с кручением. В нашем случае связно-
связности без кручения; отсюда следует 7,* = 7д. Теперь (90.14) можно
переписать:
7ЪЙ' = ^6*. (90.16)
Из этого соотношения мы должны сделать выводы относительно
строения тензора Тц.
Для этой цели исключим неизвестный нам множитель —=—
ах
следующим образом: умножаем (90.16) почленно на |' и альтерни-
альтернируем по индексам k и /. Получим:
?[<7#?'V=0. (90.17)
Пользуясь единичным тензором Ьт, можно записать тождество
Вставляя это выражение в (90.17), получим:
6Erfl ?"?'?'-0. (9о.18)
Так как это равенство должно иметь место тождественно относи-
относительно I1, ... , ?", то после приведения подобных членов все коэф-
коэффициенты кубичной формы в левой части должны обратиться в нуль.
Член с произведением \г\ч\г будет встречаться при суммировании
по m, i, j шесть раз (если р, q, r все различны), именно, когда
m, i, j принимают значения р, q, r в их всевозможных перестанов-
перестановках. Соответствующий суммарный коэффициент при |/^?|г, который
мы должны приравнять нулю, легко вычисляется из (90.18):
2 ( б'' 1% + Ь1Хр + $7%) = 0. (90.19)
Ввиду симметрии Тц по нижним индексам среди шести коэффициен-
коэффициентов будут три пары одинаковых. Аналогичным подсчетом соотноше-
соотношение (90.19) получается и при наличии среди р, q, r одинаковых
индексов.
Запишем альтернацию в (90.19) в развернутом виде:
ь'Хг + ъ'дт?р + ь'ткр1 - ькрт1дг- ькчт1гр- b"r?pq = о.
§ 90] геодезические линии в Ln 423
Произведем теперь свертывание по индексам I, г. Учитывая свой-
свойства тензора б}, в частности, что
получим:
Тдр+Тдр-\-ПТрд—ЬрТд1 ЬдТ1р—Трд= 0,
откуда
Tp^^ri^pT'gi+^Tpi). (90.20)
Обозначим через р{ одноковариантный тензор, полученный
к' 2
свертыванием тензора 7^- и последующим умножением на . . :
Теперь (90.20) можно записать окончательно:
7"
т. е.
Tti = p{fi)>. (90.23)
Мы выяснили строение тензора Ткц. Формулируем теперь теорему,
которая является ответом на поставленный нами вопрос.
Для того чтобы два объекта связности без кручения обладали
общими геодезическими, необходимо и достаточно, чтобы они
отличались на тензор вида
~<7=.Р<Аг
Правда, нами доказана лишь необходимость этого признака. Но
достаточность его проверяется легко. Пусть нам дано, что
О?,= Г?У- \iptb)+pfi1), (90.24)
где pi—некоторое тензорное поле. Пусть дана какая-нибудь
линия, геодезическая в связности Г,/, с каноническим пара-
параметром тис параллельно переносимым касательным вектором |'.
Покажем, что, подобрав некоторый (переменный) множитель а,
мы можем добиться, чтобы вектор т)' = а|' оказался параллельно
переносимым уже в связности G,,-. Тем самым будет показано,
что наша геодезическая будет геодезической и в связности Окц-
Записывая, что \к переносится параллельно в связности Г,/, полу-
получим снова (90.11). Требуем, далее, чтобы т|*=а|* переносился
параллельно в связности Gkf. записываем (90.12) и после прежних
424 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
преобразований получаем (90.14). Пользуясь (90.24), вставляем
сюда -к-(Р(Ь^-\-pjbi) вместо Г,;—G?/ и получаем:
dx * ~ Р& б >
т. е. наше требование принимает вид
d In a ?,-
dx ^'*'
Так как вдоль нашей кривой />,-!' есть вполне определенная функ-
функция параметра т, то отсюда после интегрирования найдем In a
с точностью до постоянного слагаемого, а само а—-с точностью
до постоянного множителя. Тем самым найден и вектор т)' = а|',
и всякая геодезическая в связности Г,/ оказывается геодезической
и в связности dj. Теорема доказана.
Заметим, что если бы мы потребовали для двух связностей
без кручения совпадения не только геодезических, но и канонических
параметров на них, то и сами связности совпали бы. Действительно
вдоль общей геодезической и для общего канонического параметра т
удовлетворяются дифференциальные уравнения
d2xk „л dx^ dx^ d2xk k dx^ dx^
dx2 ~ '' dx dx ' dx2 ~ "' dx dx '
откуда
„ft dx' dxJ_ _ _fe dx^ dxS
l4~d4~dx~~Uiidx4:i '
а так как геодезические линии проходят через любую точку по
любому направлению, то здесь мы имеем тождество относительно х'
и -т^'. Из него следует (учитывая симметрию Г*/ и Gf;- по нижним
индексам):
Г*=О?/. (90.25)
Наше утверждение доказано.
Добавление к какому-либо объекту связности любого тензора
вида (90.23) называется геодезическим преобразованием аффинной
связности; геодезические при этом не меняются.
Пространство аффинной связности L°n с объектом связности
Г%( = T'kj) называется проективно евклидовым, если в некоторой
окрестности каждой его точки можно перейти в такую координат-
координатную систему х', в которой геодезические линии задаются линей-
линейными параметрическими уравнениями
{a1, bl = const). (90.26)
§ 91] ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ L°n 425
Это значит, что они ведут себя как геодезические аффинного (или
евклидова) пространства в аффинных координатах, т. е. как прямые
линии.
Тем самым геодезические линии, определяемые нашим объектом
связности T'jk, определяются и объектом связности G)k аффинного
пространства, а следовательно, согласно (90.24)
G?/=r?/-p(/6j), (90.27)
где Р[ — некоторое тензорное поле (все это в пределах рассмат-
рассматриваемой окрестности).
Чтобы Ln с объектом связности Ykij было проективно евклидо-
евклидовым, необходимо и достаточно существование в пределах некоторой
окрестности любой его точки такого тензорного поля pt, что Г,-/—8(*р/)
можно было бы отождествить с объектом связности G,/ в некото-
некоторой области аффинного пространства.
Необходимость этого признака только что была показана:
достаточность же обнаруживается переходом к аффинным коорди-
координатам в аффинном пространстве, после чего уравнения геодезических
(общих для обеих связностей) можно записать, очевидно, в виде
(90.26).
§ 91. Геодезические координаты в пространствах
аффинной связности без кручения L°n
Среди пространств аффинной связности имеют наибольшее зна-
значение и обладают наилучшими геометрическими свойствами про-
пространства без кручения, для которых
Г*/ = Г*,. (91.1)
Их мы сейчас и будем рассматривать. Важность их основывается
прежде всего на том, что к их числу принадлежит аффинное про-
пространство. Действительно, мы видели (§§ 77, 78), что объект
связности аффинного пространства симметричен по нижним индексам.
Кроме того, аффинное пространство (или, более общо, область Q
в аффинном пространстве) можно рассматривать как частный случай
пространства аффинной связности, так как вся аффинная геометрия
области Q вполне определяется заданием в ней объекта связности
(§ 78). Таким образом, область в аффинном пространстве есть
частный случай пространства аффинной связности без кручения.
Возникает вопрос, как узнать, не является ли данное простран-
пространство аффинной связности просто некоторой областью аффинного
426 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
пространства (которая, в частности, может заполнять и все про-
пространство). Прежде всего при этом имеет смысл рассматривать лишь
пространства без кручения — для пространств с кручением вопрос
сразу решается отрицательно. Затем вопрос сводится к такому:
можно ли перейти в такую координатную систему х", действующую
во всем пространстве, в которой все коэффициенты связности FVyv
тождественно обращаются в нуль.
В самом деле, мы знаем, что коэффициенты связности аффин-
аффинного пространства равны нулю в аффинных координатах и только
в них. Поэтому если в пространстве аффинной связности Ln, отне-
отнесенном к координатной системе х' с областью изменения коорди-
координат Й', оказывается
1%-' = 0, (91.2)
то мы вправе отождествить это пространство с куском аффинного
пространства, заданным в аффинных координатах х1' в пределах
той же области изменения Q'. Действительно, коэффициенты связ-
связности Yi'ji в обоих случаях одинаковы (равны нулю), а следователь-
следовательно, одинакова и геометрия, определяемая объектом связности.
В некоторых случаях нельзя, может быть, добиться обращения
в нуль Г,»/' во всем пространстве одновременно, но можно это
сделать в некоторой окрестности каждой его точки. Тогда простран-
пространство аффинной связности мы называем локально аффинным (анало-
(аналогично локально евклидову; § 86). В некоторой окрестности любой
своей точки локально аффинное пространство представляет собой
«кусок аффинного пространства» и лишь в целом отличается от
него.
Возвращаемся к общей теории. Вообще говоря, пространство
аффинной связности, даже с нулевым кручением, аффинным про-
пространством не является, и ни в какой координатной системе х'',
хотя бы в пределах малой окрестности данной точки М, Г*'/- не
удается обратить в нуль тождественно.
Однако в случае нулевого кручения без труда можно обратить
Г*'// в нуль в самой данной точке М. В самом деле, переходя от
координат xk к координатам xk>, зададимся значениями -?— в дан-
dxk
ной точке М произвольно (разумеется, матрица должна быть неосо-
d2xk'
бенной), а значения —:—г в той же точке подберем так чтобы
дх'дх; '
обратились в нуль. Для этого, как видно, из (89.1)
достаточно потребовать:
^ + ^Ц^Г*у = 0. (91.3)
дх* дх1 dxJ дх" х
§ 91] ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ L°n 427
Все величины предполагаются вычисленными в данной точке М.
Можно взять вместо (91.3) равносильное соотношение
используя закон преобразования (89.1) в форме (89.8)
Таким образом, переходя от координат х' к координатам х1',
мы можем добиться обращения FV/» в нуль в наперед заданной точ-
точке М. Для этого достаточно подобрать функции х' (х1, ..., х")
так, чтобы их вторые частные производные в точке М выражались
через их первые частные производные и Г*;- в той же точке М со-
согласно (91.4), а это можно сделать бесчисленным количеством
способов. Зададимся, например, неособенной числовой матрицей a'i
и введем новые координаты х1 посредством формул
лс'' = аГ (*'—х'м) +\aiYkii{M){xi-xiM){xi—x'M). (91.5)
Здесь х'м, Г//(Ж) — определенные числа, так что х1' выражаются
через х1 квадратичными многочленами. Дифференцируя (91.5) по х',
а потом по х' почленно и полагая х' = х'м, получаем:
-J- (М) = ai, —J-— (М) = ак Гц /И),
дх1 дх'дх'
так что (91.4) соблюдается, а значит, Г(</' = 0. Полученная коорди-
координатная система х1' пригодна, по крайней мере, в некоторой окрест-
окрестности данной точки М.
В качестве матрицы at можно взять и просто единичную матрицу.
Точкой М можно задаваться произвольно. Однако каждый раз пе-
переход к координатам х' приходится делать по-своему, и каждый
раз мы получаем, что 1%'=0 лишь для одной точки М. Если бы
захотели указанным приемом добиться тождественного обращения
Г*»/» в нуль, то нам нужно было бы обеспечить равенство (91.4)
в каждой точке М, т. е. проинтегрировать соответствующую си-
систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных
функций х1' (х1, ..., х"). Однако эта система, вообще говоря,
несовместна. К этому вопросу мы вернемся в главе IX.
Напомним, что мы рассматриваем пространство без кручения.
Это очень существенно, так как в случае Г,/=^Г;-, вторые частные
производные нельзя было бы вычислять по формуле (91.4)
Если в данных координатах х' в данной точке М имеет место
Г,-,' (М) = 0, то координаты х1' называются геодезическими в точке Ж.
428 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
Значение геодезических координат состоит в том, что они вблизи
точки М подражают аффинным координатам, насколько это возмож-
возможно в нашем пространстве. Действительно, формула параллельного
перенесения (89.18) в точке М и в соответствующих геодезических
координатах х1' дает
«*!*'= о.
Это означает, что координаты параллельно переносимого вектора ?
хоть и не являются постоянными, как в аффинных координатах, но
все же являются стационарными в точке М. Точнее, это значит, что
при бесконечно малом смещении из точки М по любому пути ко-
координаты параллельно переносимого вектора |*' получают прираще-
приращения Д?*' бесконечно малые высшего порядка (ввиду а%к> = 0).
В остальных точках пространства координаты х1', геодезические
в точке М, никакими преимуществами не обладают.
Заметим, что линейное преобразование геодезических координат
х1" = А!',х''+ А'"
оставляет их геодезическими в данной точке. Действительно, так
дгх'' ('
как в этом случае :—г»- = 0, то закон преобразования FW при-
dxJ"dx*
нимает тензорный характер Г/»*" = А'гА}'»Аь»Г)'ч1', и из Г}'»*» (Ж) =0
следует Г/"ь~(М) = 0.
Итак, если пространство без кручения, то для каждой точки М
можно построить координаты х1', геодезические в этой точке.
Этот результат можно значительно усилить: преобразованием
координат х' можно добиться обращения Г,-/ в нуль не только в
любой наперед заданной точке, но и вдоль любой наперед заданной
кривой С. Кривая С предполагается несамопересекающейся; координа-
координаты х' задаются в некоторой окрестности этой кривой*).
Предварительным преобразованием координат всегда можно добить-
добиться, чтобы наша кривая оказалась некоторым отрезком координатной
линии х1, т. е. чтобы хг, . . ., хп вдоль нее оставались постоянными.
Для простоты всегда можно принять, ничего не теряя в общности,
что вдоль кривой
лг2= ... =jc" = O, 0<^<l. (91.6)
Предположим, что нам удалось перейти к искомым новым координа-
координатам х1', так что вдоль нашей кривой Г*/» = 0. Тем самым в каждой
точке нашей кривой должно соблюдаться соотношение (91.4).
*) Конец этого параграфа можно опустить без ущерба для понимания
дальнейшего.
§ 911 пространства аффинной связности без кручения ?." 429
дх1'
Вдоль нашей кривой значения —- будут функциями от х1, что
мы обозначим так:
f^=«,'V). (91.7)
Тогда (91.4) дает
|g-==r*/(^V), (91.8)
где Tii вдоль нашей кривой тоже являются функциями х1. Отсюда
легко вытекает, что функции а1/ (х1) не могут быть произвольными:
дифференцируя (91.7) по х1 почленно и сравнивая с (91.8) при
у=1, получим для а[' (х1) нормальную систему обыкновенных ли-
линейных дифференциальных уравнений
(91.9)
Все полученные до сих пор соотношения лишь необходимы, так
как мы рассуждали, предполагая задачу решенной. Теперь откинем
это предположение и перейдем к фактическому отысканию новых
координат х''. Для этой цели интегрируем систему (91.9), произволь-
произвольно задавшись начальными значениями а,- @) функций а,- (х1) при
условии неособенности матрицы а/ @). Как известно, решение
а1/ (х1) в этом случае существует (причем матрица а'/ (х1) остается
неособенной).
Далее, напишем соотношение (91.7) при i—\
(91.10)
Интегрируя его при произвольных начальных значениях х1' = х1' @),
находим х1' как функции от х1 вдоль нашей кривой:
=f {хг). (91.11)
Теперь мы введем новые координаты х1' в окрестности нашей
кривой по формулам
*"=/' W+aUx^x' + ^YkWaUx1)*'**- (91.12)
Здесь а, Р пробегают значения 2, 3 ..., п.
По существу мы получаем здесь новые координаты х1' в виде
разложения в ряд Тейлора по степеням старых координат х%, х3,...
..., х" при каждом значении Xх, 0 ^ х1 ^ 1. Для простоты
430 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
обрываем ряд на членах второй степени. Выражения для вторых
частных производных заимствованы из (91.8).
Остается проверить, что вдоль кривой (91.6) удовлетворяются
уравнения (91.4), а для этого достаточно проверить (91.7) и (91.8).
Дифференцируя (91.12) по ;ст(у = 2, 3, ..., п), имеем:
^r=ai;(xl)+rUxlL(x1)x\ (91.13)
В последнем члене мы дифференцировали по х только х$, а потом
удвоили результат, так как дифференцирование х* дает то же самое.
Так как речь идет о кривой (91.6), то х"=0, и
дх1' (',..,,
так что (91.7) имеет место при i =2, 3, ..., п. Чтобы проверить
(91.7) при i=l, дифференцируем (91.12) по х1 и, полагая затем
л;а = 0, приходим вдоль нашей кривой к выражению
дх1' df'Ux1) /-. ,.
где последнее равенство следует из (91.11). Итак, (91.7) проверено
полностью.
Продифференцируем (91.13) по х" F = 2, 3, ..., п) почленно:
и значит, (91.8) соблюдается при /, /=2, 3, ..., п. Далее, диф-
дифференцируя (91.13) по х1 и полагая х*—0, имеем:
dalv (x1)
Заменяя правую часть согласно (91.9), убеждаемся, что (91.8) со-
соблюдается вдоль нашей кривой при 1 = 1, у =2, 3, ..., п.
Наконец, дифференцируя (91.12) два раза по х1 и полагая
х*=0, получим:
дх*дх1 * dx^dxi ~ dx1
В этой выкладке мы использовали (91.10) и (91.9). Итак, соотноше-
соотношение (91.8) проверено полностью. В результате вдоль нашей кривой
соблюдается и (91.4), и тем самым Г*',/ =0. Координаты х1' со
свойством Г,//» = 0 вдоль данной кривой мы будем называть геоде-
геодезическими вдоль этой кривой.
§ 92] ИЗОБРАЖЕНИЕ КРИВОЙ В Ln В ВИДЕ КРИВОЙ В Ап 431
Координаты х'', геодезические вдоль данной кривой, обладают
вблизи нее свойствами как бы аффинных координат; при бесконечно
малом смещении из любой точки М нашей кривой дифференциалы
координат параллельно переносимого вектора ?*' равны нулю, так
что Д|'' суть бесконечно малые высшего порядка. Таким образом,
при параллельном перенесении вектора в бесконечной близости нашей
кривой его координаты остаются «почти постоянными». Это справед-
справедливо при любом бесконечно малом смещении не только по нашей
кривой, но и «вбок» от нее.
Если же, в частности, смещение происходит вдоль самой кривой,
то все время
dV = О
и координаты параллельно переносимого вектора просто остаются
постоянными:
%'' — const.
Конечно, наш способ введения координат х1', геодезических вдоль
данной кривой, отнюдь не является единственным; мы его выбрали
лишь как наиболее простой. Результат не изменился бы, например,
если бы мы в (91.12) добавили еще какие угодно многочлены с
членами степени >2 относительно х2, ..., х" и с коэффициентами,
зависящими от х1.
Наше предположение, что кривая не самопересекается, суще-
существенно: иначе она содержала бы замкнутый контур, при обнесении
по которому вектор ?*', вообще говоря, должен был бы измениться,
а потому и нельзя было бы подобрать таких координат х1', чтобы
вдоль кривой координаты вектора ?*' оставались постоянными.
Но и сейчас не исключено, что х1' будут принимать одинаковые
значения в разных точках кривой С; в этом случае х1' играют роль
координат лишь локально — в некоторой окрестности каждой точки
кривой С.
§ 92*. Изображение кривой в Ln в виде кривой в Ап
Рассмотрим в пространстве аффинной связности Ln произволь-
произвольную несамопересекающуюся кривую С
(92.1)
вдоль которой мы параллельно переносим всевозможные векторы
I1 = I1 (t), (92.2)
432 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
так что
«/?*=—Г^'аГ*1. (92.3)
Одновременно с пространством Ln будем рассматривать аффинное
пространство Ап.
Мы ставим себе следующую задачу: данную кривую С и всевоз-
всевозможные векторы |' в каждой ее точке М изобразить кривой С* и
векторами \ в пространстве Ап таким образом, что:
1°. Все аффинные свойства {линейные зависимости) векторов |'
в данной точке М сохраняются в изображении.
2°. Вектор бесконечно малого смещения dxl вдоль кривой С
изображается вектором соответствующего бесконечно малого смещения
dx вдоль кривой С* {где х — скользящий радиус-вектор кривой С*).
3°. Параллельно переносимый вдоль С вектор |' {() изображается
вектором \, параллельно переносимым в Ап, т. е. постоянным.
Таким образом, мы хотим получить в аффинном пространстве
Ап как бы модель кривой С с параллельно переносимыми вдоль нее
векторами |' (t) и притом такую, чтобы она правильно передавала
все существенные свойства оригинала (однако для С* мы уже не
требуем несамопересечения). Очевидно, что в этой модели касатель-
касательные аффинные пространства в разных точках М кривой С все отож-
отождествятся с пространством Ап.
Чтобы облегчить себе задачу, выберем из бесконечного множества
параллельно переносимых векторов |'(<) п линейно независимых
векторов
E(i)@, 5(.)О, ¦.., &)(')• (92.4)
Тогда в силу сохранения линейных зависимостей при параллельном
перенесении любой параллельно переносимый вектор |' {t) разлагает-
разлагается по векторам (92.4) с постоянными коэффициентами:
?'¦(') = ^('о @+ ... + V&, (/). (92.5)
Изобразим векторы (92.4) в согласии с 3° постоянными векторами
elt eB, ..., е„ (92.6)
в пространстве Ап. Эти векторы выбираются произвольно при усло-
условии их линейной независимости. Теперь любой вектор ?г, заданный
в точке M(t), будет изображаться в согласии с 1°
| = Л1е1+^е2+...4-Геп1 (92.7)
где к — коэффициенты разложения |' по векторам |(i)(/), ..., ?сп)(О-
Очевидно, что при таком изображении все линейные зависимости
между векторами |' в данной точке M{t) переходят и на векторы %.
Если вектор |' параллельно переносится вдоль кривой, то его изо-
§ 92] ИЗОБРАЖЕНИЕ КРИВОЙ В Ln В ВИДЕ КРИВОЙ В Ап 433
бражение — вектор §— остается постоянным, так как согласно (92.5)
коэффициенты не меняются. Применим изображение (92.7), в част-
частности, к вектору бесконечно малого смещения dx' в данной точке
M(t). Разлагая ~ по &>(*), .... &> (*):
^Р- = ц! (t) li» (t)+...+ ц» (О &, (О
и используя полученные коэффициенты |х' (^) в (92.7), мы получим
изображение вектора —п- , которое согласно 2 совпадает с — :
~ = lil(t)^+...+lin(t)en. (92.8)
Интегрируя почленно, найдем радиус-вектор х как функцию от t:
х = х(*). (92.9)
Это и будет параметрическое уравнение искомое кривой С* в Ап-
Из построения видно, что все поставленные требования соблюдены,
и наша задача решена. Заметим, что самопересечение С* у нас не
исключается.
Искомое изображение получилось как будто со значительным
произволом: произвольно выбраны линейно независимые векторы ео
и функция х (t) получилась с точностью до добавления произволь-
произвольного постоянного вектора.
Но это неудивительно: заранее можно было предвидеть, что
нашу модель можно подвергать любому аффинному преобразованию
в Ап, так как оно не нарушает ни одного из ее свойств 1°, 2°, 3°.
Но с точностью до аффинного преобразования наша модель будет
единственной: если у двух моделей векторы ех, ..., еп будут раз-
различными, то их можно отождествить аффинным преобразованием
одной из моделей; если, далее, х (t) будут отличаться на постоянный
вектор, то их можно отождествить параллельным сдвигом одной из
моделей. В результате наши модели совпадут.
Таким образом, решение нашей задачи с точки зрения аффинной
геометрии в Ап будет единственным, т. е. все решения будут в аф-
аффинном смысле эквивалентными.
Заметим, что для случая связности без кручения мы фактически
решили эту задачу уже в § 91, установив координатную систему
х1', геодезическую вдоль данной кривой С. В координатах х1' вдоль
кривой С мы имеем:
Г,*'/, = 0. (92.10)
Введем в том же многообразии новую связность G;;-, такую, что в
тех же координатах х1'
GfT = O, (92.11)
434 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
т. е. обращение G,<7v в нуль происходит не только вдоль С, но и во
всей области изменения х1'. Многообразие с такой связностью можно
рассматривать как аффинное пространство в аффинных координатах
(вообще говоря, в пределах некоторой области).
Таким образом, кривую С можно одновременно рассматривать
как кривую С* в аффинном пространстве со связностью G*)- в
аффинных координатах х1', Возможно, С* самопересекается (см.
конец § 91), но это мы допускаем. В силу (92.10), (92.11) оба
объекта связности совпадают вдоль С, и параллельное перенесение
вдоль С происходит в обоих случаях одинаково. Это можно истол-
истолковать (при желании) как отображение кривой С в аффинное про-
пространство вместе со всеми векторами, построенными в ее точках,
причем параллельное перенесение векторов вдоль С реализуется
в виде их параллельного перенесения в аффинном пространстве,
а это и есть решение задачи этого параграфа. Однако результат
§ 91 более сильный, так как там реализуется параллельное пере-
перенесение не только вдоль С, но и «вбок» от кривой С (в бесконечно
малом). Зато этот результат относится только к пространствам без
кручения, в то время как более слабый результат этого параграфа
справедлив для всех пространств аффинной связности.
Докажем еще следующую простую теорему.
Для того чтобы кривая С была геодезической, необходимо и до-
достаточно, чтобы ее изображение С* было прямой линией (или ее
отрезком).
В самом деле, то, что кривая С геодезическая, равносильно
dx'
существованию на ней такого параметра т., что вектор |'=— парал-
параллельно переносится вдоль С. Но последнее равносильно тому, что
соответствующий ему в изображении вектор | = -т будет парал-
параллельно переносимым вдоль С*, т. е. постоянным:
-r- = f = const, или х = |т-{-х0. (92.12)
Полученное параметрическое уравнение линии С* означает, что
это — прямая, и требуемое доказано.
Произведем в связи с этим некоторые подсчеты.
Пусть отрезок геодезической PQ изображается в виде прямо-
прямолинейного отрезка P*Q* и пусть в точке Р (и соответственно Р*)
канонический параметр имеет значение нуль, а в точке Q (и соот-
соответственно Q*) — значение т. Обозначим далее Ъ,р касательный век-
dx'
тор -т- в точке Р:
§ 92] ИЗОБРАЖЕНИЕ КРИВОЙ В Ln В ВИДЕ КРИВОЙ В Ап 435
а через §—соответствующий ему вектор в изображении. Вектор
в точке Р
dx1
мы будем называть вектором геодезического смещения PQ. Этот
вектор зависит лишь от самого геодезического отрезка PQ и не
зависит от выбора канонического параметра вдоль него. Действи-
Действительно, если, например, мы умножим канонический параметр т на 5,
то вектор геодезического смещения одновременно умножится и раз-
разделится на 5.
В изображении этому вектору отвечает вектор \х. Как видно
из (92.12),
Х(з. = |т + х0, где хо = хр., так что
Итак, вектору геодезического смещения PQ в оригинале отвечает
вектор P*Q* в изображении. Беря теперь т бесконечно малым (так
что Q—>¦ Р, Q*—*¦ Р*), вычислим приращения координат при пере-
переходе из Р в Q:
xko-xkP = lkPT-± rt,tlp&i*+ ... (92.14)
Мы воспользовались здесь разложением в ряд Маклорена по степе-
п }dxk\
ням х с точностью 2-го порядка, причем 1-т-) мы заменили со-
/ d2xk \
гласно (92.13), a (-jr) —из дифференциальных уравнений геоде-
геодезических. Величины Г,;- взяты в точке Р.
Соответствующее смещение />*Q* в изображении задается, как
мы видели, вектором
Я*С?*=1т. (92.15)
Эти результаты нам вскоре понадобятся.
У нас не было до сих пор геометрического истолкования для
кручения данной аффинной связности. Сейчас мы можем его дать.
Будем рассматривать изображение какой-нибудь кривой С в виде
кривой С* в аффинном пространстве. Пусть начало и конец кривой С
совпадают между собой; тогда в изображении они, вообще говоря,
разойдутся и кривая С* уже не будет замкнутой.
Наоборот, когда кривая С* окажется замкнутой, то С, вообще
говоря, будет разомкнутой. Оказывается, что это нарушение замк-
замкнутости при переходе от оригинала к изображению и наоборот
определяется в случае бесконечно малых контуров в основном
436
РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. VII
тензором кручения «S,-; в соответствующей точке («в основном»—это
значит, что речь идет о главной части того бесконечно малого
зазора, который появляется в ранее замкнутом бесконечно малом
контуре).
Точный смысл этого утверждения мы сейчас раскроем.
Пусть кривая С* образует параллелограмм P*Q*R*S*T* (рис. 18),
причем начальная ее точка Р* совпадает с конечной точкой Г*.
Рис 18.
Тогда кривая С представляет собой ломаную PQRST, состоящую
из отрезков геодезических. Концы ломаной Я и 7, в общем случае,
уже не совпадают.
Правда, мы до сих пор не рассматривали изображений кусочно
гладких кривых, но они осуществляются без труда: прежнее по-
построение повторяется дословно, и вся разница будет в том, что
функции (Л* (t) в угловых точках терпят разрыв непрерывности.
Обозначим через |, К] постоянные векторы, направленные по R*S*,
R*Q*, причем будем считать:
/?*?* = |т,
(92.16)
(92.17)
где т—> 0 (при неподвижной точке R*). Мы будем рассматривать,
таким образом, бесконечно малый параллелограмм, стягивающийся
в точку R*. Аналогично в оригинале ломаная PQRST стягивается
в точку R. Оценим теперь с точностью 2-го порядка относительно
т зазор ТР, образовавшийся при переходе от параллелограмма в изо-
изображении к ломаной в оригинале. Для этого мы подсчитаем раз-
разности координат Хр — Хт'-
-4)-D-4)}-{(^г-4)-D-4)}. (92.18)
§ 92] ИЗОБРАЖЕНИЕ КРИВОЙ В 1В В ВИДЕ КРИВОЙ В Ап 437
Обозначим gR, Цк векторы в точке R, касательные соответственно
к RS и RQ и имеющие своим изображением векторы § и г\.
Так как (92.16) вполне аналогично (92.15), то, применяя (92.14),
пишем:
х%-х% = \%х-\ Г?/&?/*т2+ ... (92.19)
Здесь и в дальнейшем Г,-/ вычисляются в точке R. Совершенно
аналогично
44 1*^+ ... (92.20)
Теперь для аналогичного подсчета хр—х\ мы снова можем приме-
применить (92.14), учитывая, что
Q*P* ( = R*S*) = 1т
вполне аналогично (92.15). Только теперь исходной точкой будет
служить уже не Р, a Q. Соответственно этому в (92.14) в качестве
\1р нужно взять вектор ?q, касательный к QP в точке Q и имеющий
своим изображением по-прежнему %. Такой вектор \q легко получить
параллельным перенесением ?/? из точки R в точку Q по пути RQ,
так как при этом изображение |^ тоже переносится параллельно,
т. е. остается вектором |. С точностью 1-го порядка можно записать
формулу параллельного перенесени-я
в виде
?<г -?« = -г?, l'R {xlQ-xlR) +...,
подменив дифференциалы приращениями. Заменяя с той же точ-
точностью x1q — x'r из (92.20), имеем окончательно:
?&5.. (92.21)
(92.22)
Применяя теперь (92.14) для подсчета хР — xQ, получаем:
Здесь, собственно, Г,* следовало бы брать в точке Q. Однако мы
будем брать их по-прежнему в точке R, учитывая, что в Гг/- при
этом будет допущена ошибка бесконечно малая 1-го порядка, а после
умножения на т2 — уже 3-го порядка (которым мы пренебрегаем).
Вставляем теперь в правую часть равенства (92.22) |q из (92.21),
438 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
причем в первом члене происходит умножение на т, и точность 1-го
порядка превращается в точность 2-го порядка, а во втором ввиду
умножения на т2 достаточно вставить вместо ?q лишь его главную
часть |^. В результате имеем:
%% ^f{5 | ?&& .. (92.23)
Вычитая почленно (92.19) из (92.23), получим первую фигурную
скобку в (92.18):
{{хкР-х%)-{х%-х%)}= -r^nW . •.
Вычисление второй фигурной скобки должно проходить совершенно
симметричным образом лишь с пере
В результате приходим к выражению
(xkT-xks)-(xko-xkR) = - Г
симметричным образом лишь с переменой ролей векторов |д, ч\ц
В
Вычитая почленно это равенство из предыдущего, мы согласно
{92.18) найдем искомый зазор:
хР-хкт = Г?,Г«т^т»-Г?/&'
Меняя в последнем члене обозначения индексов суммирования / на
j и наоборот и пользуясь определением тензора кручения
r,k j~k j~k
О|/= 1 ij I it,
получаем окончательно:
x\ - xkT = Sk, Vh Л^« + • • • (92.24)
Таким образом, мы можем резюмировать:
Приращения координат х', которыми характеризуется зазор ТР,
с точностью 1-го порядка получаются в результате свертывания
в точке R тензора кручения St,- с векторами %,'rx, v\r%, выражающими
геодезические смещения RS, RQ (и дающими в изображении векторы
R*S*, R*Q*).
Итак, «зазор» в своей главной части выражается посредством
тензора кручения в той точке R, к которой стягивается наш «ра-
«разомкнутый параллелограмм». В этом и состоит геометрическое истол-
истолкование тензора кручения. Если связность будет без кручения, то
«зазор» оказывается бесконечно малым уже не 2-го, а 3-го порядка
относительно т.
Подчеркнем, что эта роль нулевого кручения сказывается лишь
в бесконечно малом. В случае конечных размеров и при нулевом
кручении обнаруживаются те же явления «размыкания» замкнутых
контуров. Наконец, следует отметить, что мы брали в качестве
§ 93} пространства Ln с абсолютным параллелизмом 439
замкнутого контура параллелограмм лишь для упрощения выкладок.
Аналогичные результаты можно получить для любого бесконечно
малого контура, стягивающегося в данную точку и расположенного
в данной двумерной плоскости пространства Ап. Можно было бы исхо-
исходить также — обратно тому, что мы делали,— из контуров, замк-
замкнутых в Ln и размыкающихся в Ап. Оценка зазора получилась бы
по существу такой же.
§ 93*. Пространства Ln с абсолютным параллелизмом
В этом параграфе мы решим такую задачу: найти всевозможные
пространства аффинной связности Ln с абсолютным параллелизмом
векторов. Так мы будем называть пространства, в которых результат
параллельного перенесения произвольного вектора ?' из точки Р
в точку Q при любом выборе этих точек не зависит от пути пере-
перенесения PQ. Это значит, что по какому бы пути ни совершать
переход из Р в Q, мы придем в Q с одним и тем же вектором.
Следовательно, мы получаем возможность вектор, заданный в какой-
нибудь точке Р, как бы откладывать из любой точки пространства.
В результате возникает целое векторное поле. Очевидно, любой
вектор этого поля можно принять за исходный и считать, что все
другие векторы поля получены его параллельным перенесением.
Такое векторное поле мы будем называть однородным.
Один пример Ln с абсолютным параллелизмом нам известен —
это аффинное пространство Ап. Требуется выяснить, существуют
ли и другие Ln с абсолютным параллелизмом и какие именно.
Допустим, что нам дано Ln с абсолютным параллелизмом. Выберем
в какой-либо начальной точке Мо п линейно независимых векторов
и путем их параллельного перенесения в любую точку М нашего
пространства получаем п однородных векторных полей
Ей) {М), . ¦ ¦ , ZU {M). (93.1)
В силу абсолютного характера параллелизма эти векторы будут
в каждой точке М вполне определенными; при этом их линейная
независимость при параллельном перенесении сохранится. Параллель-
Параллельное перенесение любого вектора |' из одной точки М в другую М'
совершается теперь, очевидно, так: разложим вектор |' по векторам
| (р) (М) в данной точке М; так как при параллельном перенесении
линейные зависимости сохраняются, то параллельно перенесенный
вектор ?' разлагается в точке М' по векторам |(Р) (ЛГ) с теми же
самыми коэффициентами. Этим перенесение определится.
440 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
Теперь ясно, что, обратно, задавая, в каком-либо многообразии
9Л„ п произвольно выбранных полей линейно независимых векторов *)
[.. Л\п)(М), (93.2)
мы можем превратить Шп в Ln с абсолютным параллелизмом. Дей-
Действительно, мы можем тогда определить в Шп абсолютное перене-
перенесение любого вектора |' так, как это было только что описано.
Может, однако, возникнуть сомнение, подходит ли это перенесение
пол. наше общее определение, т. е. под формулу параллельного
перенесения с определенным объектом связности Гц. Покажем, что
действительно всегда можно подобрать такой объект связности Гц,
для которого наши наперед заданные векторы ?[р) (Ж) будут парал-
параллельно переносимыми векторами при любом бесконечно малом смеще-
смещении из любой точки. Тем самым и все их линейные комбинации
с постоянными коэффициентами будут тоже параллельно переноси-
переносимыми векторами, и построенную нами связность с абсолютным
параллелизмом можно будет считать порожденной объектом Гц.
Запишем, что каждый из |{Р) при любом бесконечно малом смещении
из любой точки М должен удовлетворять формуле параллельного
перенесения
«*&> = -Г?, &></*',
где Гц- — искомый объект связности. Так как ?<Р) есть функция от
х1, .. . , хп (которая предполагается непрерывно дифференцируемой),
то левую часть можно развернуть как полный дифференциал, и мы
получаем:
Так как это есть тождество относительно dxl, то имеем оконча-
окончательно:
-Гц1{р). (93.3)
дх1
Фиксируя на время k, i и давая р значения 1, 2, ..., п, мы полу-
получаем здесь п линейных уравнений с п неизвестными Г^, Г^2, . .., Г\п.
Определитель этой системы отличен от нуля в силу линейной неза-
независимости векторов (93.2), и следовательно, Г^- находятся однозначно.
То, что при этом Г*у удовлетворяют обычному закону преоб-
преобразования, видно из единственности определяемого ими перене-
*) Это всегда можно сделать в элементарном многообразии, но далеко
не всегда в многообразии общего вида; многообразия, где это можно сде-
сделать, называются параллелизуемыми.
§ 93] ПРОСТРАНСТВА Ln С АБСОЛЮТНЫМ ПАРАЛЛЕЛИЗМОМ 441
сения, а также может быть проверено формальной выкладкой, исходя
из (93.3).
Таким образом, мы получили довольно обширный класс связно-
стей с абсолютным параллелизмом. Однако все они будут обладать
кручением за исключением лишь случая (локально) аффинного
пространства Ап.
В самом деле, покажем, что в случае Ln с абсолютным парал-
параллелизмом и без кручения можно, по крайней мере, в некоторой
окрестности любой точки М, перейти к аффинным координатам х1',
т. е. добиться rf/y-snO; тем самым наше Ln будет (локально) аф-
аффинным пространством.
Для этого будем искать функциональную зависимость между
х' и хс> из системы дифференциальных уравнений
1м(х\ .... Xя) (k, m=\, 2, ..., п). (93.4)
Здесь xk ищутся, таким образом, как функции от хт', причем
частная производная каждой неизвестной функции по каждому аргу-
аргументу выражена через сами неизвестные функции.
Геометрический смысл уравнений (93.4) состоит в следующем:
мы ищем новые координаты хт' так, чтобы векторы -^-^,, касатель-
касательные к координатным линиям хт\ совпадали с наперед заданными
векторами |5„,ь т. е. обладали абсолютным параллелизмом. Легко
видеть, что это требование соответствует свойствам аффинных
координат. Следует отметить также инвариантный характер уравне-
уравнений (93.4) относительно преобразования координат х\ так как
в левой и правой частях стоят одинаково преобразующиеся контра-
вариантные тензоры (при фиксированном т). Составим условия
интегрируемости этой системы. Дифференцируем (93.4) по х1' и
частные производные, получающиеся в правой части, заменяем со-
согласно (93.4):
Условия интегрируемости получаются, как известно, если мы запи-
запишем, что правая часть этого равенства должна быть (вслед за левой)
симметрична относительно т, I:
.5)
Если бы у нас было пространство с кручением, то условия инте-
интегрируемости не удовлетворялись бы тождественно, мы получили бы
зависимость между х1, ..., хп, т. е. противоречие. Система (93.4)
442 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
оказалась бы несовместной. Но в нашем случае дело обстоит иначе.
В самом деле, умножая (93.3) на ![,,) и свертывая по i, получим:
(Р) ?« __ р* ?« »/
-j^f- ё(<7) l i/SG) Z{p)-
Из условия Г*у = Г*? вытекает, что перестановка индексов р, q
в правой части равносильна перестановке обозначений индексов
суммирования /, j и, следовательно, результата не меняет. Значит,
и левая часть симметрична относительно р, q и условия интегрируе-
интегрируемости (93.5) выполняются тождественно (при любых х1, ..., х").
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что в этом
случае система (93.4) имеет решение и притом единственное при
любых начальных условиях вида
** = **(*= 1, 2, . ...я)при *»' = *!»'(«'=1', 2', ...,«'), (93.6)
по крайней мере, в некоторой окрестности точки jcJ1'*). В этой
окрестности можно считать зависимость xk (xv, ..., х"') обратимой,
так как в силу линейной независимости векторов |*т> из уравнений
(93.4) следует неравенство нулю якобиана:
(93-7)
Таким образом, х'п' можно принять за новые координаты в не-
некоторой окрестности произвольной точки М{х\, ..., х%). Новые
координаты х' подобраны, следовательно, специальным образом,
в то время как старые xk были произвольными. В частности, можно
взять xk совпадающими с хт'\ тогда (93.3), (93.4) дают
d2l?)— _г*' %>' dxk' -*k'
Qxi' ~~ i ''/' S(p>. Qxm' — S(m)-
Из второго равенства получаем:
?*' Л*'
S(m) = От>
и, вставляя в первое, приходим к искомому результату
0=-i%,, т. е. Г^р, = 0.
Следовательно, хт' действительно служат аффинными координатами
в некоторой окрестности данной точки М, и наше пространство
является (локально) аффинным.
*) См., например, П. К- Рашевский, Геометрическая теория урав-
уравнений с частными производными, М. — Л., Гостехиздат, 1947. § 26.
§ 94] АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 443
§ 94. Аффинная связность в римановом пространстве
До сих пор мы рассматривали отдельно риманову геометрию
порождаемую метрическим тензором g(j (M), и геометрию аффинной
связности, порождаемую объектом связности Г?,(М). Наиболее
содержательная геометрическая картина получается при объединении
той и другой геометрии, причем это можно сделать вполне естест-
естественным путем. А именно, в римановом пространстве всегда можно-
построить и притом единственным образом связность Vfy(M), обла-
обладающую следующими двумя свойствами.
1°. Кручение равно нулю
Г?/ = Г*. (94. IV
2е. Всякий раз, когда вдоль какого-либо пути одновременно
переносятся параллельно два вектора {;, у\, их скалярное произведе-
произведение не меняется.
Из условия 2° следует, в частности, что скалярные квадраты
параллельно переносимых векторов также остаются постоянными.
Таким образом, мы хотим подобрать связность Г^;- так, чтобы все-
всевозможные векторы ?, ц, ..., заданные в какой-нибудь точке Му
вели себя в процессе параллельного перенесения как одно твердое
тело: не только аффинные, но и все их метрические свойства должны
оставаться неизменными, в частности, не должны меняться их длины
и углы между ними (все это вытекает из постоянства скалярных
произведений t,t\). Это требование должно приблизить нас к поло-
положению вещей в евклидовом пространстве, где параллельное пере-
перенесение векторов, очевидно, сохраняет все их метрические свойства.
Условие 1° имеет аналогичное назначение: аффинная связность
в евклидовом (или, что то же самое, в аффинном) пространстве
имеет кручение нуль. Вводя связность в римановом пространстве,
мы стараемся сохранить и это свойство.
Переходим к доказательству нашего утверждения. Будем искать
связность Г*у, удовлетворяющую условиям 1е, 2е. Скалярное произ-
произведение векторов |, т| записывается согласно (85.3) в виде
Требование постоянства §т) при параллельном перенесении вдоль-
какого-либо пути можно записать в виде равенства нулю диффе-
дифференциала
d(b\) = d(gulW) = 0, (94.2>
или
&У + Sijl'^i =-- 0. (94.3>
444 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
Так как векторы \, х\ переносятся параллельно, то
dlk = — Tptl1 dxP, dx\k = —
где Г*/ — коэффициенты искомой связности, a dxp — дифферен-
дифференциалы координат точки при бесконечно малом смещении по пути.
Кроме того,
Вставляем все это в (94.3), изменив предварительно в этом ра-
равенстве обозначения индексов суммирования: во втором члене
i на k, в третьем члене j на k. Получим:
(gekJPglkP,) |Y*c'= 0.
Так как |', г)у, dxp мы можем выбирать совершенно произ-
произвольно, т. е. любые векторы можем переносить по любому пути,
то равенство должно представлять собой тождество относитель-
относительно |', гO, dxp. Отсюда вытекает обращение в нуль всех коэффи-
коэффициентов при этих величинах:
-gikrkpi = 0. (94.4)
Из этих уравнений и из условия 1° и подлежат определению
искомые Г?/. Очевидно, от соотношений (94.4) можно обратной
выкладкой вернуться к (94.2), так что эти соотношения не только
необходимы, но и достаточны для соблюдения условия 2°.
Обозначим аналогично G9.14):
Г,„7 = &*Г?Л (94.5)
Ясно, что обратным поднятием индекса через величины Тltij
можно выразить Г,;:
Ykii = gklYuij. (94.6)
При этом в силу условия 1° как Г?/, так и Yltij симметричны по
индексам /, J.
Теперь уравнения (94.4) перепишутся в виде
Но эти уравнения по форме вполне совпадают с G9.17) и ре-
решаются таким же образом. Получаем (аналогично G9.18)):
dSim dgmk\ tad. c\
j (94l8)
§ 94] АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 445
и согласно (94.6)
Формулы (94.9) дают решение поставленной задачи, как мы
видим, единственное. Мы нашли связность без кручения, сохра-
сохраняющую скалярное произведение любых двух параллельно перено-
переносимых векторов; оказалось, что она будет только одна.
Ранее полученную формулу G9.19) по внешности совершенно
такую же, как формула (94.9), нужно рассматривать как частный
случай последней. Действительно, формула G9.19), решает для
евклидова пространства по существу ту же самую задачу, которую
мы решили сейчас для более общего случая риманова пространства.
Может показаться, что нужно проверить, образуют ли Г*/ ,
найденные в различных координатных системах х\ один и тот же
объект связности, т. е. удовлетворяют ли они закону преобразо-
преобразования (89.1). Однако это можно утверждать и без проверки.
Действительно, в силу инвариантного характера требований 1°, 2°
безразлично, в каких координатах х' искать нашу связность; она
будет получаться всегда одной и той же. Но это и означает,
что Тц, вычисленные в любых координатах, образуют один и тот
же объект связности. Конечно, это можно проверить и непосред-
непосредственной выкладкой, исходя из (94.9) и пользуясь законом преоб-
преобразования метрического тензора glr
Полученную связность в римановом пространстве мы будем
называть римановой связностью. В дальнейшем будем всегда
считать, что риманово пространство снабжено этой связностью.
В заключение покажем геометрический смысл нашего парал-
параллельного перенесения в том случае, когда риманово пространство
Vm реализовано в виде поверхности в евклидовом пространстве Rn;
х = х(и\ ... , um) (94.10)
(см. § 86 (86.4)). Разложим вторые частные производные х^=—-—
на составляющие по касательной плоскости Ат (т. е. по ее на-
направляющим векторам xC[ = ^-5j и по нормальной плоскости Вп_т:
(94-П)
где fag—некоторые коэффициенты разложения, очевидно, сим-
симметричные по нижним индексам, а у,^—вектор в Вп_т1 так что
446 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. VII
Покажем, что Гар совпадают с коэффициентами связности
Г«р в римановом пространстве Vт. Умножая для этого (94.11)
на х, скалярно и учитывая (94.12), получаем:
хх Г
Так как согласно (86.9)
х.Хр=Оа3, (94.13)
то
xrx.p=OT,f?p = fT..3, (94.14)
где ГТ1„Э обозначает результат опускания индекса.
Дифференцируя (94.13) по и1, получаем:
у Y I y Y —
ла7АР "Г *«*^т — ди1 i
т. е.
Г3,т, + Га,т3 = -^ . (94.15)
Эти уравнения в применении к V'т совпадают с уравнениями (94.7),
а следовательно, Г.^ совпадают с ГТ1„^. Отсюда, поднимая пер-
первый индекс, убеждаемся и в совпадении Гар с Гар. Окончательно
разложение (94.11) принимает вид
3 з- <94-16)
Здесь принципиально важно, что коэффициенты Г^р вполне опре-
определяются из римановой метрики G^ на поверхности Vm вне
зависимости от способа ее вложения в Rn.
Пусть теперь на поверхности V'm задана кривая
а вдоль этой кривой мы строим поле вектора %(t), касательного
к Vm. Тем самым согласно (86.6) имеет место разложение
6@=^Е"@ = х.Г@, (94.17)
где \Л (t) — координаты вектора % в многообразии Vm. Рассмотрим
дифференциал вектора § при бесконечно малом смещении по
кривой:
d\ = dx?* + ха<*Г = x.?rf«P|" 4- x.dg".
В последнем члене заменяем обозначение индекса суммирования
на б, а х„ф выражаем согласно (94.16). Получим:
* + df) Ч + УХ} du*l\ (94.18)
} 94] АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 447
Мы хотим, чтобы вектор § (/) при переходе от точки t к точ-
<е t-\-dt по нашей кривой изменялся возможно наименьшим обра-
юм. Мы не можем требовать, чтобы он совсем не менялся, так как
•сасательная плоскость Ат к Vm, в которой он расположен, вообще
говоря, поворачивается при переходе от точки к точке. Если \
в точке t задан, то при переходе в точку t-\-dt мы можем распо-
распоряжаться лишь значениями d|°. При этом мы можем уничтожить
в разложении (94.18) первый член, направленный по касательной
плоскости Ат в точке /, если положим:
Гар^Г + <*Г = 0, т. е. dg* = —ГЦ'АЛ (94.19)
Мы заменили здесь Гсф через Гра по свойству римановой связ-
связности. Что же касается второго члена, направленного по нормаль-
нормальной плоскости Вп_т, то мы не в состоянии его как-либо варьиро-
варьировать, так как он rf|s не содержит. Поэтому наилучшего возможного
результата в смысле малости d\ мы добиваемся, уничтожая его
касательную составляющую, т. е. перенося вектор \ из точки t
в точку t-\-dt согласно (94.19). Но это есть параллельное пере-
перенесение согласно римановой Связности на Vт.
Таким образом, параллельное перенесение вектора \ в рима-
новом пространстве Vm при вложении Vm в Rn в качестве поверх-
поверхности получает следующее геометрическое истолкование: с точки
зрения объемлющего пространства Rn вектор § переносится так,
чтобы касательная составляющая d\ все время была равна нулю,
т. е. чтобы d\ был нормален к Vm, db,J_Am. Как мы только что
видели, для вектора \, касательного к поверхности Vm, этот
способ перенесения есть наилучшее приближение к идеальному
случаю, когда переносимый вектор просто не меняется. Тем самым
введенное нами параллельное перенесение в римановом пространстве
получает дополнительное геометрическое обоснование.
Как побочный результат получается следующая теорема. При
любом способе вложения данного Vm в Rn перенесение касатель-
касательного вектора \ по полученной поверхности с соблюдением условия
??!_]_Лт всегда имеет один и тот же смысл, так как совпадает
с параллельным перенесением согласно римановой связности на Vm.
ГЛАВА VIII
АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
В пространстве аффинной связности Ln, в частности, в рима-
новом пространстве Vn, естественным путем возникает аппарат
абсолютного дифференцирования. Смысл его заключается в сле-
следующем. Желая исследовать какое-нибудь тензорное поле, напри-
например, U'Jlm(M), в бесконечно малой окрестности данной точки М,
мы рассматриваем, как обычно, полные дифференциалы dUl^lm
функций Uik'[m(x1, ..., х"). Однако эти дифференциалы уже не
образуют тензора и преобразуются по более сложному закону
с участием самих U^lm. Это мешает выявлению инвариантных ре-
результатов и не позволяет пользоваться аппаратом тензорной
алгебры. Делу можно помочь тем, что, прежде чем вычислять
дифференциалы dUHlm, мы параллельно переносим тензор поля
Uym(M') из бесконечно близкой точки М' в данную точку М и
уже после этого вычитаем из него тензор Ul^lm в данной точке.
Главная линейная часть полученной разности и будет абсолютным
дифференциалом DU'k'lm тензора Uj>'lm. Это будет снова тензор того
же строения, как и 0{{т. Что касается параллельного перенесения
тензоров, то оно легко определяется на основе параллельного
перенесения векторов, как будет показано в ближайшем параграфе.
Тензорная алгебра, дополненная аппаратом абсолютного диф-
дифференцирования, образует тензорный анализ.
§ 95. Параллельное перенесение тензоров в Ln
Пусть пространство аффинной связности Ln отнесено к коорди-
координатной системе х', и пусть в некоторой точке М задан тензор,
например, U\]m. Мы знаем, что координаты этого тензора относи-
относительно координатной системы х1 можно рассматривать в то же
время и как его координаты относительно локального репера
{М, ех, ... , е„ } в касательном пространстве Ап в точке М (§ 82).
§ 95] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ ТЕНЗОРОВ В Ln 449
Зададимся в Ап аффинным репером {М, \lt..., \п }, где |г,... ? |
суть п произвольных линейно независимых векторов. Если коор-
координаты вектора \k обозначить ?'ъ то, очевидно,
ife = ?*e,-, (95.1)
так как координаты вектора \к в координатной системе х' суть
в то же время его координаты относительно соответствующего
локального репера (§ 82).
Вообще при переходе от одного аффинного репера к другому
тензор U\'m преобразуется по закону
и№.=А?А1;А\.А%,ич1, (95.2)
причем
ег=4и4-. (95.3)
Мы хотим в записи закона преобразования ограничиться лишь
матрицей А\, и не прибегать к обратной матрице А1(. Для этого
умножаем соотношение (95.2) почленно на AP,Af, и производим
суммирование по г', /"'. В правой части получим:
так что
и окончательно, меняя для симметрии обозначения индексов сум-
суммирования V, у на р', q', получим:
A$.Al.Uffl. = A\.AZ.Ufc. (95.4)
В результате закон преобразования (95.2) записан с участием лишь
одной матрицы А\,, зато в виде, не разрешенном ни относительно
старых, ни относительно новых координат тензора. Ясно, что,
обратно, соотношения (95.4) влекут за собой (95.2); чтобы убе-
убедиться в этом, достаточно умножить (95.4) почленно на AlpA>q и
произвести в левой части свертывание по р, q.
Для примера мы взяли тензор, два раза ковариантный и два
раза контравариантный; но запись (95.4) применяется очевидным
образом и для тензора произвольного строения; в левой части
пишется по одному множителю вида A\i для каждого верхнего,
а в правой — для каждого нижнего индекса.
Возвращаясь к нашей задаче, обозначим через Щ§ координаты
тензора Щт относительно репера {М, |г, ..., |п}. Когда мы
переходим к этому реперу от локального репера {М, ех, ... , е„}
15 П. К. Рашевский
450 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
согласно (95.1), роль матрицы А\. играет матрица \lk. Поэтому
закон преобразования (95.4) принимает вид
tf t/ TJPq — tltmriij /qc c\
bpbqurs — fcrSs ulw (УО.О)
Так связаны координаты тензора U\]m в координатной системе х'
с его координатами 0™ относительно произвольного репера
{ М, %lt .. . , \п } в касательном пространстве Ап.
Допустим теперь, что векторы этого репера параллельно пере-
переносятся, в то время как точка М описывает некоторый путь в Ln.
Мы будем говорить, что тензор Щт параллельно переносится
вдоль данного пути, если он задается в каждой точке этого пути
и притом так, что его координаты U'/m относительно параллельно
переносимого репера сохраняют постоянные значения:
§= const. (95.6)
Это определение параллельного перенесения тензора не зависит
от выбора параллельно переносимого репера {М, |1? ..., §„}.
В самом деле, пусть { М, %v, ... , %„,} — другой репер, параллель-
параллельно переносимый вдоль того же пути в Ln. Разлагая векторы \t,
по векторам \{,
мы замечаем, что А\ остаются постоянными, так как в процессе
параллельного перенесения линейные зависимости между векторами
сохраняются (§ 89). Поэтому, записывая закон преобразования
(95.2), убеждаемся, что ?/?$' остаются постоянными вместе с U?g
и А\,, т. е. наш тензор имеет постоянные (хотя и различные)
координаты относительно любого параллельно переносимого вдоль
данного пути репера.
Таким образом, определенное нами параллельное перенесение
тензора совершается вдоль данного пути строго единственным
образом. В частности, если в данной точке тензор был равен нулю,
то в результате параллельного перенесения он, очевидно, остается
равным нулю.
Теперь выясним, как записать закон параллельного перенесения
тензора, заданного своими координатами U\lm относительно коорди-
координатной системы Xх. Для этой цели дифференцируем почленно
соотношение (95.5) вдоль рассматриваемого пути, учитывая по-
постоянство Щ$. Получим:
di&fwiin+и dimin+in? du%. (95.7)
§ 95] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ ТЕНЗОРОВ В ?„ 451
Так как все векторы репера переносятся параллельно, то
dVP = -ntVpdx*. (95.8)
Прежде чем вставлять это выражение для d?,!p в предыдущую
формулу, можно сделать предположение, сильно упрощающее
выкладку. Предположим, что параллельно переносимый репер
{М, {jj, ... , \п} выбран так, что в той точке пути, в которой
в данный момент производится дифференцирование, он совпадает
с локальным репером {М, elt ... , е„ }. Мы знаем, что на парал-
параллельном перенесении тензора это не отразится. Тогда в данной
точке в силу совпадения реперов мы имеем и\[=и\.[; кроме того,
как видно из (95.1), ?* = б?, и (95.8) принимает вид
й?р = — ПРая*. (95.9)
Аналогичные упрощения за счет Ц = 6? произойдут и в (95.7),
так что (учитывая О1Х=и1г[) получим:
dVp U?i + rf|/ U'l = dim -Ь dlfUlL + dVt
Заменяем здесь d\p и т. д. согласно (95.9). Это дает нам
- ПР dxkU?> - Y'kq dxkU% = - Г?, dxkU% - Т%\ dxkUlr'n + dU%.
Выражая отсюда dUps, вынося dxk за скобку и обозначая все
индексы суммирования (кроме k) через р, получим окончательно:
dUii = {- YipU?i - Y>kpU'P + Y"krU% + Y%U% } dx\ (95.10)
Мы получили дифференциалы координат параллельно переносимого
вдоль данного пути тензора Щ[, выраженные через сами коорди-
координаты этого тензора и, конечно, через дифференциалы координат
точки и объект связности. Координаты тензора берутся теперь
относительно лишь координатной системы х1 (т. е. локального
репера); параллельно переносимый репер сыграл свою роль и больше
ни в чем не участвует.
Запутанность полученной формулы лишь кажущаяся; в действи-
действительности она составлена строго закономерно и по простой схеме.
А именно, каждому верхнему индексу тензора (например, /) в правой
части формулы отвечает определенный член (в данном случае пер-
первый), составленный следующим образом: данный индекс переходит
на объект связности, причем на освободившееся место ставится
индекс суммирования (в данном случае р), который свертывается
со вторым индексом внизу у объекта связности. Остальные индексы
у тензора переписываются без изменения. Первый индекс у объекта
связности (в нашем случае к) всегда свертывается с дифферен-
15»
452 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
циалами координат точки. Все выражение берется с обратным
знаком. В нашем примере тензор имеет два верхних индекса,
и в правой части формулы мы получаем два отвечающих им по этому
правилу члена. Но весь проделанный нами вывод дословно повто-
повторяется и для тензора с любым числом индексов наверху, причем
в правой части формулы появляются составленные по указанному
правилу члены по одному для каждого индекса.
Для каждого нижнего индекса (например, г) в правой части
формулы также имеется соответствующий член (в данном случае
третий), составленный по несколько иному правилу. Данный индекс
переходит на объект связности на второе место внизу; на освобо-
освободившееся место ставится индекс суммирования (в нашем случае р),
который свертывается с верхним индексом объекта связности.
Остальные индексы у тензора переписываются без изменения. Пер-
Первый индекс у объекта связности по-прежнему свертывается с диф-
дифференциалами координат точки. Все выражение берется со своим
знаком. В нашем случае мы имеем в правой части два члена такого
типа соответственно двум нижним индексам. Но весь вывод по-
повторяется и при любом числе нижних индексов. Поэтому на (95.10)
нужно смотреть как на схему записи дифференциалов координат
любого параллельно переносимого тензора.
Эта схема станет более отчетливой, если выделить два основных
случая: когда параллельно переносимый тензор один раз контра-
вариантный (U1) и когда он один раз ковариантный (Ur). В первом
случае в правой части формулы (95.10) мы помещаем лишь один
член, отвечающий индексу /:
dU^ — TbpU'dx*. (95.11)
Мы, как и следовало ожидать, вернулись к формуле параллельного
перенесения вектора U'.
Во втором случае в правой части формулы (95.10) нужно
поместить лишь один член, отвечающий нижнему индексу г:
dUr = YlrUpdxk. (95.12)
Такова формула параллельного перенесения один раз ковариант-
ного тензора (ковектора). Если теперь вернуться к общей схеме
(95.10), то можно сказать, что для каждого верхнего индекса
параллельно переносимого тензора в правой часта формулы со-
составляется член согласно (95.11), а для каждого нижнего
индекса — согласно (95.12), в обоих случаях так, как если бы
данный индекс был единственным; при этом нужно лишь припи-
приписывать каждый раз остальные индексы без каких-либо изменений
по сравнению с левой частью.
§ 96] АБСОЛЮТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 453
Таким образом, в общем случае формула (95.10) будет иметь вид
f ¦ -'и
/#,\7.'г} d**. (95.13)
В частности, когда тензор лишен индексов, т. е. представляет собой
просто инвариант U, в правой части не будет ни одного члена, и
формула принимает вид
dU=0,
т. е.
U = const.
Параллельное перенесение инварианта, как и следовало ожидать,
сохраняет его численное значение.
§ 96. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная
Пусть точка М в пространстве аффинной связности Ln пробе-
пробегает некоторый путь
*' = **(*), (96.1)
причем в каждой точке этого пути задан тензор определенного
строения, например UlJs:
U\L = U&i.t). (96.2)
Другими словами, нам задано тензорное поле, по крайней мере,
вдоль данного пути. Как обычно, функциональные зависимости пред-
предполагаются непрерывно дифференцируемыми.
Переходя из данной точки пути t в его бесконечно близкую
точку t-\-dt, мы находим в ней тензор поля с координатами
U'l(t + dt)&Ulri(t) + dUlrl5(t). (96.3)
Здесь мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка отно-
относительно dtt заменив приращения функций Uj.l(t) их дифференциа-
дифференциалами. С той же степенью точности мы будем вести выкладку и
далее. Однако, желая оценить, насколько изменился тензор поля
Ulri{i) при переходе из точки t в точку t-\-dt, мы не должны ориен-
ориентироваться на дифференциалы его координат dUlJs{t). В самом деле,
U',1 и U'/s-\~ dUcr's—это тензоры, заданные в разных точках, именно
454 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. V111
в точках t и t-\-dt, а значит, отнесенные к разным локальным
реперам. При преобразовании координатной системы х' эти локаль-
локальные реперы испытывают преобразование вида (82.11):
дх1
ее
дх1
где матрицы —7 вычислены в разных точках и, следовательно,
дх1
являются различными. Поэтому не имеет смысла сравнивать между
собой тензоры U'l(t) и ?/^(f + dtf), отнесенные к различным и раз-
различно преобразующимся реперам. Другое дело, если мы предвари-
предварительно перенесем параллельно тензор Uj.{(t-\-dt) в ту же точку t,
в которой задан тензор Ulr[ (t). Тогда оба тензора будут заданы
в общей точке t, а значит, отнесены к общему локальному реперу.
Вычитание из первого тензора второго будет иметь инвариантный
смысл и даст нам снова тензор в точке t. Главную линейную часть
этого тензора мы и назовем абсолютным дифференциалом DUlri{t)
тензора U}!s(t). Проделаем соответствующие выкладки.
Обозначим через 0% тензор UlJs(t-\-dt), параллельно перенесен-
перенесенный из точки t-\-dt в точку t. Это значит, что, обратно, Ulr[ (t -f- dt)
получается параллельным перенесением Ulr{ из точки t в точку
t-^-dt. Пользуясь формулой (95.10), можно записать:
% dx\ (96.4)
Мы поставили знак приближенного равенства, так как формула
(95.10) дает нам лишь дифференциалы, а не приращения координат
параллельно переносимого тензора, так что в равенстве допускается
ошибка на бесконечно малые высшего порядка.
Как видно из (96.4), 01,{ отличается от U%(t-\-dt), а следова-
следовательно, и от (J'ri(t), на бесконечно малую величину. Поэтому с при-
принятой степенью точности можно заменить в фигурной скобке
U% через UH(t). Действительно, фигурные скобки множатся еще
на dx , так что ошибка получается бесконечно малой высшего по-
порядка. По той же причине можно заменить UlJs(t-\-dt) через
tt). Выражая теперь 0% из (96.4), получаем
(t) + П„и{5 (t) - T"krUjls (t) - ВД? (t)} dx\ (96.5)
§ 96] АБСОЛЮТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 455
Мы называем абсолютным (ковариантным) дифференциалом
DU'r{(t) главную линейную часть разности U).[—iiHr's {t) между тен-
тензором Uj.'s (t-f dt), параллельно перенесенным из точки i-{-dt в точку t,
и тензором Ulr's(t).
Очевидно, DU% совпадает с тем выражением, которое в правой
части (96.5) добавляется к U'l(t). Действительно, из (96.5) видно,
что это выражение лишь на бесконечно малую высшего порядка
отличается от разности ОЦ — Ща(?) (т. е. составляет главную часть
этой разности) и в то же время линейно зависит от dt (вместе
с dU'is(t) и dxk{t)). Итак,
Щ! V) + Цри% (t) - T{rU% (t)-Y"ksUpP (Щ dx\ (96.6)
Совершенно аналогично мы приходим к формуле абсолютного диф-
дифференциала и в случае самого общего тензора:
1>и%\\\\'г\ = dU%\; V.% + {T'ipUfy;;:!?, +
— i кггигф. ..rc — • • • —1 krilIJrlrs. . .p I OX . {УО.1}
Здесь UYlri.'.'.'"„ — тензорное поле, заданное, по крайней мере, вдоль
рассматриваемого пути. При выводе нужно воспользоваться ко-
конечно, вместо формулы параллельного пересечения (95.10) общей
формулой (95.13).
Таким образом, абсолютный дифференциал тензора (тоже тен-
тензор) имеет координаты, которые вычисляются следующим образом:
берутся дифференциалы координат данного тензора и к ним при-
приписываются дополнительные члены с участием объекта связности,
по одному для каждого индекса тензора. Закон составления этих
членов ясен из формулы (96.7).
Впрочем, он был описан и словесно в предыдущем параграфе
в связи с формулой параллельного перенесения тензора. Это опи-
описание вполне применимо и теперь, лишь с изменением знаков всех
членов на обратные.
В частном случае, когда тензор U лишен индексов и является
просто инвариантом, так что вдоль пути задано скалярное поле
U(t), дополнительные члены в (96.7) отсутствуют, и абсолютный
дифференциал совпадает с обыкновенным:
= dU{t). (96.8)
Для тензора, один раз контравариантного, формула (96.7) принимает
456 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
ВИД
DU1 (t) = dU'(t) + YipW (t) dx*. (96.9)
Аналогичным образом для тензора, один раз ковариантного:
Можно сказать, что в общем случае формулы (96.7) для каждого
верхнего индекса составляется дополнительный член по образцу
(96.9) и для каждого нижнего —по образцу (96.10), причем каждый
раз все остальные индексы тензора переписываются без изменений.
Параллельное перенесение векторов, а следовательно, и тензо-
тензоров, имеющее место в пространстве аффинной связности Ln, обла-
обладает инвариантностью относительно выбора координатной системы.
Поэтому наше построение абсолютного дифференциала ?>?#{;;;,",
проведенное с помощью параллельного перенесения тензоров, также
обладает инвариантностью, т. е. приводит всегда к одному и тому
же тензору, независимо от той координатной системы х', в которой
проводились выкладки.
Но для желающих можно проверить этот факт и прямым под-
подсчетом, исходя непосредственно из формулы (96.7).
Мы хотим показать, что величины DU'r\\\\lruv, составленные по фор-
формуле (96.7), преобразуются по тензорному закону при переходе от
координатной системы х1 к х' .
Для этой цели запишем закон преобразования тензора ?/Jj;;;J.":
yV, ...<„ = дх^_ дх^_ dx^dxj_d/^ дх^_ yi'/i • ¦ • 4 (96 1 П
г'г''' 'г* , i /'„ * ' ' _. /' г, г2 ' г„ г1гг- ¦ -rv'
дх • дх дх и дх дх дх
Мы пишем закон преобразования для перехода от штрихованных
координат к нештрихованным, что ничего не меняет по существу,
а для выкладки будет удобнее.
Составим теперь DUlrx[f^.'.'% п0 формуле (96.7), причем вычис-
вычисляем дифференциал dU'r\'r22\\\^v, используя выражение (96.11).
Все полученные при этом члены разобьем на три группы. Во-пер-
Во-первых, запишем член, полученный при дифференцировании множителя
**ldi/\- ••'«. (96.12)
§ 96] АБСОЛЮТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 457
Во-вторых, для каждого верхнего индекса, например, /,, мы выде-
выделяем член, полученный дифференцированием соответствующего мно-
дх'1
жителя в (96.11), в данном случае —-г, причем этот член объеди-
объединяем с дополнительным членом в (96.7), отвечающим этому же
индексу. Получим для г\:
a .~ }—-•¦• иr> /+ 1 kpUri...rvax (уь.1б)
дх* ' дх 2 дх' '¦"" "
и аналогично для каждого верхнего индекса. В-третьих, поступая
совершенно так же и с нижними индексами, получаем, например,
для гх, выражение
дх* v дх1 / дх'
и аналогично для каждого нижнего индекса. Очевидно, выражение
(96.12), сложенное с выражениями (96.13) для всех верхних индек-
индексов и с выражениями (96.14) для всех нижних индексов, дает нам
DUlr\'.'.\%- Теперь мы должны заняться преобразованием выражений
(96.13) и (96.14), пользуясь законом преобразования Tk,-. В этом и
будет заключаться принципиальная часть нашей выкладки.
дх'1
Перепишем (96.13), заменяя в первом члене d—г через
д2х1' ь' k дхк ь'
—77 dx , а во втором члене dx через —- dx . Кроме того,
заменяем ?/?'.'.'.'"„ по формуле (96.11), причем индекс суммирования
i[ в первом множителе обозначаем р'. Получим:
дх \ р'. . . |,.
дх2 дх
(+riV
" \дхГ' дхк> дхР' дхк'
Пользуясь теперь законом преобразования Г*- в виде (89.7), мы
заменяем скобку выражением Г'1^, ——, и окончательно (96.13)
дх х
принимает вид
*lL*lL ... dSl Tl\k,U/" '/ dxk>. (96.15)
дх'* дх'* дхГ" ¦ '" °
458 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
Аналогичным образом преобразуем выражение (96.14), заменяя
d через — dx, обозначая индекс суммирования г через//
дх'1 дхГ1дхк
и выражая U'p1';;/" согласно (96.11). Получим:
2L дад/2 d/
. ..,
а/ ''' а*'« а/1
Множители перед скобкой те же, что и в (96.11), с пропуском лишь
г-¦ Пользуясь законом преобразования Г*/ в форме (89.8), мы
дх'
можем
окончательно:
- г>Р' ^*' д/1
заменить скобку через —II.,'—г ¦, после чего получаем
v kri дхк дх^
^г?' и'у'Ых*'. (96.16)
а/' ' "¦¦ в
Здесь dx появился в результате объединения множителей dx и
-^—г с последующим суммированием по k. Множители перед Г?' •
дхк " rt
теперь те же, что и в (96.11), так как имевшийся пробел запол-
заполнен множителем —— . По самому ходу нашей выкладки выражение
(96.12), выражения (96.15) для каждого верхнего индекса и выра-
выражения (96.16) для каждого нижнего индекса дают те слагаемые, на
которые распался DUlr\\\\'ги0. С другой стороны, вынося за скобки
общие во всех этих выражениях множители —— . .. • , мы полу-
дх1 дх
чаем в скобках DU*'" ", составленный в точности по формуле
1 • • • rv
(96.7) (только все индексы штрихованные). В результате
DlfrW :\*г* = дК-...— Dl/i "'У (96.17)
дх* д/" '"• "
Это значит, что тензорный закон преобразования (96.11) в точно-
точности переносится и на абсолютный дифференциал рассматриваемого
тензора. Абсолютный дифференциал тензора представляет собой,
таким образом, тензор того же строения.
§ 96] АБСОЛЮТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 459
Мы рассматривали до сих пор тензорное поле, заданное вдоль
некоторого пути, и абсолютный дифференциал DUlr\\\'rue брали вдоль
этого пути. Если тензорное поле задано во всем пространстве или,
по крайней мере, в некоторой я-мерной его области, то абсолютный
дифференциал тензора можно брать вдоль любого пути в этой обла-
области. При этом, так как координаты тензора в данной координатной
системе будут функциями точки
то
^к (96-19)
и основная формула (96.7) принимает вид
lr\\; \'ri = vkul\;; \lr* dx\ (96.20)
где через V^'A.'.'-'ri обозначены коэффициенты при dxk в правой
части (96.7) после подстановки туда dU'r\\\\lruv из (96.19):
h- ¦ -'н
рг2. . .rv— • • • — 1 krt^>r.jz. . p-
Эти коэффициенты образуют тензор, имеющий один дополнитель-
дополнительный ковариантный индекс сравнительно с тензором Ulr\\'. \% (индекс
дифференцирования k). В самом деле, вставим в (96.17) разложение
абсолютного дифференциала (96.20)) как в старой, так и в новой
координатной системе. Получим:
Вставим в правую часть —- dxk вместо dxk' и сравним коэффи-
коэффициенты при dxk в левой и правой частях. Так как dxk сейчас у нас
произвольны, то равенство должно удовлетворяться тождественно
относительно dxk, и эти коэффициенты должны быть равны. По-
Получаем:
460 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
Легко заметить, что для VkUr\\".'.'" имеет место тензорный закон
преобразования при контравариантных индексах ilt ..., iu и кова-
риантных индексах k, rlt ..., rv. Тензор lkUlr\]\ \lruc называется абсо-
абсолютной (ила ковариантной) производной тензора ?/г!! !!/¦"• Впрочем,
мы иногда будем называть абсолютными производными и отдельные
координаты тензора ^kUlr\".'.',". Очевидно, абсолютные производные
тензора Ulr\\\-'rut играют по отношению к его абсолютному диффе-
дифференциалу ту же роль, как обыкновенные частные производные по
отношению к обыкновенному полному дифференциалу.
Рассмотрим частные случаи. Если нам дано скалярное поле
U(x\ ..., х") (тензор лишен индексов), то в (96.21) дополнитель-
дополнительные члены отсутствуют, и мы получаем абсолютную производную
V/ = g. (96.23)
Конечно, легко проверить и непосредственно, что —т образуют один
дх"
раз ковариантный тензор. Такой тензор мы будем называть градиен-
градиентом скалярного поля U.
Далее, пусть дано поле один раз контравариантного тензора U1.
Тогда
уА[/* = д~ + T{pUp, (96.24)
абсолютная производная представляет собой тензор, один раз ко-
ковариантный и один раз контравариантный.
Наконец, пусть дано поле одноковариантного тензора Ur. Тогда
VkUr = ^—rpkrUp. (96.25)
Мы получаем два раза ковариантный тензор. Если тензор UT — гра-
диент, иг = чги= -тт-у , то получаем:
ykyrU= d^U r— Г%, — • (96.26)
Если пространство аффинной связности Ln является просто аффин-
аффинным пространством Ап (в частности, евклидовым пространством Rn),
то в аффинной координатной системе все Г*/ = 0, дополнительные
члены в формулах (96.7), (96.21) пропадают, и мы имеем:
::'"„ = <*?/?;;:?;, (96.27)
\± = ~U'i\\:\r\. (96.28)
§ 97] ТЕХНИКА АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 461
Другими словами, абсолютный дифференциал тензора совпадает
с обыкновенным дифференциалом, а абсолютные производные —
с обыкновенными частными производными. В частности, пусть нам
задано вдоль кривой x' = x'(t) поле тензора |' (t), а следовательно,
и векторное поле %(t) = %,' (t) e;. Тогда абсолютный дифференциал
DI' отвечает вектору
Щ' (t) е, - d\l (t) e. = d (?' (t) e,.) = d%(t).
Таким образом, абсолютное дифференцирование тензора ?' означает
дифференцирование соответствующего вектора \ в прямом, геометри-
геометрическом смысле этого слова:
dl(t) = l'(t)dt, где l'(t)= lira Щ^.
Результат был выведен в аффинных координатах в Ап {или в Rn),
но в силу тензорного характера абсолютного дифференциала Щ,'
он дает координаты того же вектора d| и в любой криволинейной
системе координат (в локальном репере, § 76).
Не нужно забывать, что упрощенные формулы (96.27), (96.28)
верны лишь в аффинных координатах. Если рассматривать аффин-
аффинное пространство Ап в криволинейных координатах, то приходится
пользоваться общими формулами (96.7), (96.21), так как Tktj отличны
от нуля.
§ 97. Техника абсолютного дифференцирования
Чтобы свободно обращаться с операцией абсолютного дифферен-
дифференцирования, мы должны установить правила, по которым она комби-
комбинируется с операциями тензорной алгебры. Другими словами, мы
должны дать правила, по которым мы сможем находить абсолютные
дифференциалы от суммы тензоров, от произведения тензоров и от
свернутого тензора. Говоря о тензорах, мы имеем в виду тензор-
тензорные поля, заданные, по крайней мере, вдоль того пути, по кото-
которому берется абсолютный дифференциал.
Пусть тензор W1^'. "J." представляет собой сумму двух или не-
нескольких тензоров того же строения
w?:: ">, = ?#:::';;+ <•:::?. (97.1)
Тогда
D W*:: ;? = DU'rW/.r* + DV'r\\ ¦ ¦',•. (97.2)
Действительно, выпишем формулу (96.7) для тензора ?//j.';;^J и
462 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VU1
совершенно такую же формулу для тензора V'r\\\\ruv:
ri.. .rv = aUrii. .rc-h\l fep^r.r,. ..rt. + < • . —1 krj-lprt.. .rv — • • • /"•* ,
rx. , .rv = aVrt...rc-r I1 kr>V rlrt..,rt -Г • • ¦ — >- kr,Vpr2. ..rt. — • • • (ux •
Складываем эти формулы почленно, объединяя соответствующие
члены их правых частей и заменяя везде сумму тензоров U и V
через W согласно (97.1). Кроме того, учитываем, что
В результате в правой части мы получаем для W в точности
такое же выражение, какие были выписаны для U и V, т. е.
О^1,;;;^. Итак,
яг#:::% + d vi\;: ;^=d »?;;; ;^,
а это нам и требовалось доказать. Мы приходим к правилу диф-
дифференцирования суммы тензоров:
?>(?//::::^+-^;;:;^) = /)?/;:.:;^+о^:::^. (97.3)
Пусть теперь тензор W^;'.;'ruJs\\\\^ представляет собой произве-
произведение двух тензоров:
Wr1...rt!i1...Sy — Url...rtVs1.--Sf (97.4)
Тогда
Dl^;;;;%;;;^ = Dt4;;;;^Vi;::;i;+^;:;;^?)Vi;:;:^. (97.5)
Другими словами, абсолютный дифференциал произведения тен-
тензоров получается по обычному правилу: абсолютный дифференциал
первого множителя, умноженный на второй множитель, плюс пер-
первый множитель, умноженный на абсолютный дифференциал второго.
При этом существен именно такой порядок перемножения. В фор-
формуле он обеспечен расстановкой индексов (в каком же порядке пере-
перемножать координаты тензоров, например, DU'r\\' и V'^'\\, конечно,
безразлично).
Переходим к выводу формулы (97.5). Запишем развернутое выра-
выражение абсолютного дифференциала в ее левой части. В него войдет
прежде всего обыкновенный дифференциал
.¦.'- = </«/,;¦.-.-.^vi1,: :i: +^;::.^И;::±, (97.6)
§ 97] ТЕХНИКА АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 463
а затем дополнительные члены, по одному для каждого индекса.
Объединим первый член правой части (97.6) с теми дополнительными
членами, которые отвечают индексам ix ... /я, гх ... rv, т. е. индексам,
«снятым» с первого множителя. Эти дополнительные члены будут
составлены по схеме (96.7). Получим:
Члены в скобке составлены по очереди для индексов ix, . .. , /„,
rlt . . . , rv, так что индексы j\, .. . , jx, su ... , sy во всех случаях
переписываются без изменения. Заменяя W произведением U на V
согласно (97.4) и вынося за скобку общий для всех членов множи-
множитель V's\\'/Jsx, получим:
Но в фигурной скобке стоит, очевидно, Ои'г\\\\1гив, так что мы по-
получаем первый член правой части в (97.5).
Совершенно аналогично, объединяя второй член правой части
(97.6) с теми дополнительными членами, которые отвечают индексам
Л> •••>/*> si' • ¦ • > sb> мы получим второй член правой части (97.5).
Этим формула (97.5) доказана.
Абсолютный дифференциал произведения любого числа тензоров
вычисляется следующим образом: множители этого произведения
поочередно заменяются своими абсолютными дифференциалами с со-
сохранением прежнего места в произведении, и полученные результаты
складываются. Это легко доказать, переходя от N к N-\-1 (где
N—число множителей в произведении) путем применения формулы
(97.5).
Теперь переходим к абсолютному дифференцированию свернутого
тензора. Рассмотрим тензор Ulr\\\''ruc, полученный свертыванием тен-
тензора ?/^)'*,'.'.'Л", например, по первому верхнему и первому нижнему
индексам:
А- ¦ -'и //«'а- • -'и
г,. ..ге ~l~'sr2...rl
Запись абсолютного дифференциала от свернутого тензора DUlr\\\\'r*
является, в сущности, двусмысленной: неясно, произведено ли
здесь сначала свертывание, а от результата взят абсолютный
дифференциал, или сначала взят абсолютный дифференциал
DU'rsW'.'.'Z,, а затем произведено свертывание по индексам ix, rt.
Мы покажем, однако, что оба истолкования приводят к одному
и тому же выражению, т. е. операция свертывания перестановочна
с операцией абсолютного дифференцирования, В этом и будет за-
заключаться наш результат.
464 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VHF
Начнем с вычисления DU^r\\\\'*v, истолкованного во втором смысле.
Тогда мы должны положить в формуле (96.7) i1 = r1^=s и по s
произвести суммирование. Покажем, что при этом в правой части
взаимно уничтожатся дополнительные члены, отвечающие индексам
I, и rv В самом деле, эти члены суть
V1 *pW,r2. . .г, — 1 кгх*->ргг. . .гс) иХ ,
а после того как мы положим i1 = r1 = s, они примут вид
/pS fjptt.. .iu pp r,Si2...tn\ , к
\l kpVsr,. . .rv L ksupr2. . .rv> UX ,
т. е. взаимно уничтожаются, так как в скобке уменьшаемое равно
вычитаемому (разница только в обозначениях индексов суммирования:
р вместо s, и наоборот).
В результате формула (96.7) принимает вид
ии$гг. ,.r0— ausr2...ril-\- \l kpUs^.-.r,, -f- • • • +1 kpUstL.-r,.
— 1 kr2usp. . .rv — • • • — 1 krvusr2. . .p
В левой части мы произвели свертывание в абсолютном дифференциале
DU'r\'r'2,\\'?r. Присмотревшись же к правой части, мы замечаем, что
она представляет собой абсолютный дифференциал от свернутого
тензора ?/"^"J.", составленный по общей схеме (96.7). При этом
индекс s, конечно, в счет не идет — по нему произведено суммиро-
суммирование— и индексами здесь служат лишь /а> . .. , iu; г2, . . . , rv. Им как
раз и отвечают сохранившиеся дополнительные члены. Итак, полу-
полученное равенство можно переписать в виде
о?/#: ;:? = ?>(?/#: ::#, 07.7)
где в левой части свертывание производится после дифференцирова-
дифференцирования, а в правой — до дифференцирования, что отмечено скобкой.
Итак, оба истолкования записи О]'г\'.'.'.1?с имеют по существу один
и тот же смысл. А это мы и хотели установить.
В технике абсолютного дифференцирования этот результат на-
находит наибольшие применения в случае свертывания между собой
двух или нескольких тензоров. Пусть, например, требуется найти
?)(аг?'гг/), где аг, ?р, x\q — некоторые тензорные поля. Абсолютный
дифференциал берется здесь от выражения а^-Д'гу7, которое нужно
понимать, как произведение наших тензоров а^г,4, свернутое затем
по индексам i и р, j и q. Но свертывание можно выполнить и после
§ 97] ТЕХНИКА АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 465
абсолютного дифференцирования. В результате мы должны продиф-
продифференцировать а(/?рт1?, как произведение тензоров, а затем выпол-
выполнить свертывание. Получаем:
D (а,ДV) = (Da,j) ?'т/+ atJ (Щ1) ц' + a^Etf. (97.8)
Таким образом, правило дифференцирования произведения тензоров
формально сохраняется и при наличии свертывания.
Заметим, что в левой части равенства, мы имеем (в нашем при-
примере) абсолютный дифференциал от инварианта, так что с равным
правом можем писать d(aij^lv\').
Полученные нами в этом параграфе правила абсолютного диффе-
дифференцирования (97.3), (97.5), (97.7) автоматически переносятся и на
абсолютные производные простой заменой знака D на знак уй.
Действительно, заменяя в любой из этих формул символы абсо-
абсолютного дифференциала D через dxk\]k согласно (96.20) и принимая
во внимание, что дифференциалы dxk совершенно произвольны, мы
имеем право приравнять коэффициенты при dxk в правой и левой
частях формулы, а это и означает замену символа D символом yfe.
В заключение нужно вернуться к связи между параллельным
перенесением и абсолютным дифференцированием. Мы начали с парал-
параллельного перенесения и на его основе установили абсолютное диф-
дифференцирование. Этот путь геометрически наиболее поучителен.
Однако возможен обратный, хотя и весьма формальный, но зато
короткий способ изложения, а именно, задавшись объектом связности
Tjk, можно определить абсолютный дифференциал непосредственно
формулой (96.7), показать его тензорный характер (так, как это
было у нас сделано), установить технику абсолютного дифферен-
дифференцирования, а затем определить параллельное перенесение тензора
Url'/.'.r™ вдоль произвольного пути условием
?)?/?; ;->в=0. (97.9)
Или подробно: будем говорить, что тензор Ul\'\\lruv, заданный
в каждой точке некоторого пути, параллельно переносится вдоль
него, если абсолютный дифференциал этого тензора при любом беско-
бесконечно малом смещении вдоль пути равен нулю.
Легко видеть, что это определение равносильно прежнему. Дей-
Действительно, приравнивая нулю абсолютный дифференциал DUlr[[\['r^,
записанный согласно (96.7), мы возвращаемся к формуле параллель-
параллельного перенесения (95.13). Этого, конечно, и нужно было ожидать, так
как абсолютный дифференциал есть главная линейная часть прира-
приращения тензора по сравнению со случаем его параллельного перене-
перенесения на данном бесконечно малом участке пути. Поэтому обращение
466 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
абсолютного дифференциала в нуль естественно означает параллель-
параллельное перенесение тензора. В частности, приравнивая нулю D^':
мы получаем формулу параллельного перенесения вектора: dh,' =
p
Формальная характеристика параллельного перенесения (97.9)
удобна для разного рода выкладок. Так, например, легко можно
получить теорему: при одновременном параллельном перенесении
нескольких тензоров по данному пути параллельно переносятся и
тензоры, полученные из них операциями тензорной алгебры.
В самом деле, пусть, например,
W%k = UliV4, (97.10)
причем тензоры U, V параллельно переносятся вдоль данного пути.
Это означает, что
DUp = 0, DV* = 0.
Отсюда следует:
*) = DUp ¦ VIЧ- Up -DVks = 0,
т. е. произведение тензоров UlJV^ тоже переносится параллельно.
Аналогичным образом легко показать, что параллельно переносятся
и суммы параллельно переносимых тензоров и тензоры, полученные
их свертыванием.
Конечно, эти теоремы нетрудно получить и непосредственно из
определения параллельного перенесения тензора (§ 95).
§ 98. Абсолютное дифференцирование
в римановом пространстве Vn
Все сказанное в §§ 96, 97 справедливо, конечно и для связности
Г*- в римановом пространстве. Но при этом абсолютное дифферен-
дифференцирование приобретает и некоторые новые свойства. Прежде всего
вычислим абсолютную производную от метрического тензора grs no
общей схеме (96.21):
— dxi< l krgps
Пользуясь (94.4), мы замечаем, что
(98.1)
Таким образом, абсолютная производная метрического тензора
тождественно равна нулю. Тем самым тождественно равен нулю и
§ 98] АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В Vn 467
абсолютный дифференциал метрического тензора:
Dgrs=0. (98.2)
Рассмотрим теперь поле единичного тензора Щ, считая, что в каж-
каждой точке Жив любой координатной системе х' его координаты
определены соотношениями
Мы знаем, что, действительно, тензорный закон преобразования не
меняет этих численных значений. Вычислим абсолютную производную
этого тензора:
Частная производная от константы б| дает нуль, а остальные члени
в результате суммирования по р приводятся к виду
Итак,
0, и тем самым ОЦ = 0. (98.4)
Этот результат верен, разумеется, не только в римановом простран-
пространстве Va, но и в любом пространстве аффинной связности Ln.
Теперь покажем, что и для контравариантного метрического тен-
тензора g1-* абсолютный дифференциал тождественно равен нулю:
DgiJ=0, или, что то же, у^=0. (98.5)
Для доказательства запишем основное соотношение, выражающее,
что матрицы g;, и g'J взаимно обратные и при перемножении дают
единичную матрицу:
Берем почленно абсолютные дифференциалы (от левой части —
как от произведения тензоров, выполняя свертывание по р после
дифференцирования):
В силу (98.2) и (98.4) получаем:
468 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
т. е. тензор Dg'p равен нулю после опускания индекса р; следова-
следовательно, он и сам равен нулю, и (98.5) доказано.
Пусть теперь в римановом пространстве заданы два тензорных
поля, например, V'.Vj и V'.r.'s, причем первое получается из второго
опусканием индекса г, а следовательно, второе из первого — его
поднятием (см. (85.5), (85.6)):
V'.Ys = grpVip;s, V*;t = gVV[-ps. (98.7)
Берем почленно абсолютные дифференциалы, причем правые части
диффенцируются как произведения (с выполнением свертывания
после дифференцирования):
Так как
то мы получаем:
p s. (98.8)
Формулы (98.8) показывают, что операции опускания и поднятия
индексов перестановочны с операцией абсолютного дифференци-
дифференцирования.
Проверим еще при помощи абсолютного дифференцирования
известный нам факт, что при одновременном параллельном перенесении
векторов ^', г/ по данному пути их скалярное произведение gijQrf
не меняется. Очевидно,
D ^фЧ) = {Dg{J) SV + g,j (Щ1) i\/+gi?Dr)J= О,
так как Dg{j всегда равен нулю, а ?>?', D\! равны нулю в силу
параллельного перенесения этих векторов. Абсолютный дифферен-
дифференциал от инварианта совпадает с обыкновенным, так что получаем:
= °. т- е- <Г,т?У= const
что мы и хотели показать. Мы видим, что геометрический смысл
соотношения ?)^,-,-=0—это неизменность скалярного произведения
параллельно переносимых векторов.
Заметим, что в римановом пространстве нетрудно ввести основные
понятия векторного анализа по аналогии с обычным пространством.
Так, каждому скалярному полю
ф = ф(*\ . .. ,ХП)
§ 98] АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В Vn 469
отвечает поле вектора-градиента
который можно задать и контравариантными координатами, подняв,
индекс i:
Каждому векторному полю
отвечает дивергенция — инвариантное скалярное поле v<?'- Дивер-
Дивергенция от градиента скалярного поля ф называется оператором
Лапласа от ф:
Д<Р = V/ (?"'7Фу) = g^V.-V/P-
Все эти понятия, очевидно, принимают обычный вид, если рас-
рассматривать обычное пространство в прямоугольных координатах.
Сложнее обстоит дело с ротором векторного поля ?', который
в /i-мерном случае приходится определить как бивектор:
где |,-—ковариантные координаты вектора ?'. Инвариантное истол-
истолкование этого бивектора как вектора ¦& возможно лишь в трехмерном
случае. Оно производится по формулам
причем мы ограничиваемся координатными системами некоторой дан-
данной ориентации.
Следует отметить еще, что в частном случае, когда риманово
пространство является евклидовым, абсолютный дифференциал в кри-
криволинейных координатах выглядит по внешнему виду не проще, чем
в общем случае риманова пространства. Его более простой характер
выступает явно лишь при переходе к аффинным координатам. Тогда
коэффициенты связности обращаются в нуль, дополнительные члены
пропадают и абсолютное дифференцирование дает тот же результат,
как и обыкновенное. Для любого тензора, например Zpti, мы в этом
случае имеем:
A
470 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
В главе I, рассматривая обычное евклидово пространство в прямо-
прямоугольных координатах, мы вводили абсолютное дифференцирование
именно этим путем. Все полученные там тензорные соотношения
с участием абсолютных дифференциалов или производных имеют
место и в любых криволинейных координатах, если, разумеется, вы-
выполнять абсолютное дифференцирование так, как в этом случае
полагается (с участием Г*у). Впрочем, при переходе к криволинейным
координатам нужно произвести еще расстановку индексов у тензоров —
часть их поместить наверх, — в то время как в главе I мы все индексы
писали внизу, пользуясь тем, что в ортонормированном репере
в собственно евклидовом пространстве ко- и контравариантные ин-
индексы ведут себя одинаково.
§ 99. Кривые в римановом пространстве Vn
В этом параграфе мы ограничимся такими свойствами кривых
в римановом пространстве Vn, для которых существенно лишь парал-
параллельное перенесение векторов, а метрика не играет роли. Поэтому
все сказанное будет справедливо и для кривых в пространстве
аффинной связности Ln (только касательное пространство Ап не будет
в этом случае евклидовым пространством Rn).
Рассмотрим параметрически заданную кривую
*'=*'(/), а<*<р, (99.1)
где х' предполагаются п раз непрерывно дифференцируемыми функ-
dx' (t)
циями параметра, причем производные —-тт-1 ни в одной точке не
обращаются в нуль одновременно. В каждой точке кривой составляем
касательный вектор |':
б'(') = ^г- (99.2)
Так как вдоль нашей кривой Z,'(t) образуют тензорное поле, то
в любой ее точке можно вычислить абсолютный дифференциал
Dl!=dl! + riPlpdxk (99.3)
при бесконечно малом смещении из точки t в точку t-\-dt. Разде-
Разделив (99.3) на dt почленно, получаем:
dt •
§ 99] КРИВЫЕ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Vn 471
DV
Один раз контравариантный тензор, в частности, -тг, всегда имеет
истолкование в касательном евклидовом пространстве Rn в виде
вектора. Вектор °. мы будем называть производной вектора g'
по параметру t. От этого векторного поля можно в свою очередь
'DP'
вычислить производную —\-,—-, которую мы будем обозначать
-р-, и т. д. Выпишем последовательность векторов
в какой-нибудь точке M(t) на кривой.
Вообще говоря, эти п векторов будут в каждой точке линейно
независимыми. Рассмотрим этот случай, который мы будем называть
основным (кривая основного типа). Плоскость в касательном про-
пространстве Rn, проходящая через точку М и построенная на первых
р векторах (99.5), называется р-й соприкасающейся плоскостью Rp.
В частности, первая соприкасающаяся плоскость R1 совпадает про-
просто с касательной. Соприкасающиеся плоскости имеет смысл рас-
рассматривать, кончая Rn-i'-
x. (99.6)
Действительно, Rn совпадает уже со всем касательным пространством.
На данной кривой параметр t можно выбирать по-разному, в
зависимости от чего будут меняться векторы последовательности
(99.5). Однако плоскости Rp последовательности (99.6) от этого
меняться не будут, так что понятие соприкасающейся плоскости R
носит инвариантный характер. В самом деле, можно утверждать,
Dfl' (т)
что при переходе к новому параметру х каждый вектор —'^ -
разлагается по первым р-\-\ векторам последовательности (99.5).
Начнем с р = 0:
откуда
I' (т) = Е'' V) % • (99.7)
Заметим, что при наших предположениях относительно кривой и.
472 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. V1U
выбора параметра на ней т будет п раз непрерывно дифференциру-
дифференцируемой функцией от t, равно как и обратно.
Берем почленно абсолютный дифференциал:
Так как j величина скалярная, то ?)-J- = d-r-. Делим почленно
«т. от ах
на йт:
Таким образом, |' (т) разлагается по |' (г1) согласно (99.7); —М^
разлагается по ?'@> —-т^- согласно (99.8); продолжая дифферен-
дифференцировать почленно, мы докажем наше утверждение для любого р:
где о.рр, о.р,р-1, ••• , ®р,о — некоторые скалярные коэффициенты,
строением которых мы не интересуемся. Чтобы сделать рассуждение
совершенно строгим и в то же время не затруднять себя фактиче-
фактическим дифференцированием до произвольного порядка р, достаточно
доказывать формулу (99.9) от р к р-\-\. Тогда, беря от (99.9)
абсолютный дифференциал D почленно и деля результат на rft,
DP+lM , п
легко убеждаемся, что —. р+^ разлагается по первым p-f-2 век-
векторам (99.5). Это значит, что формула (99.9) верна для номера
р-\-\, если она верна для номера р, а так как для р = 0 (а также
р— 1) она уже проверена, то в результате она установлена при лю-
любом р. Разумеется, совершенно аналогичная формула имеет место
и при обратном переходе от параметра т к параметру t.
Итак, векторы
Б'Ю, Ц® ,*%jP (99.10)
разлагаются по векторам
№ 5^, ...,^, (99.И)
равно как и обратно. Следовательно, плоскость Rp+1 будет в обоих
случаях одна и та же, что мы и хотели показать.
В частности, при р = п—1 отсюда следует, что векторы (99.5),
подсчитанные для нового параметра т, остаются линейно независи-
§ 99] КРИВЫЕ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Vn 473
мыми, так что наше определение кривой основного типа инвариантно
относительно выбора параметра t.
Рассмотрим теперь различные случаи уплощенной кривой *); так
мы будем называть кривую, в каждой точке которой векторы (99.5)
линейно зависимы. Нарушение линейной независимости в отдельных
точках мы рассматривать не будем. Пусть при этом первые m
среди них
5 \Ч> fa > •••
Ц (9912)
DmV (t)
еще линейно независимы, а следующий за ними вектор —Zm уже
линейно зависит от предыдущих (в каждой точке кривой). Диффе-
Дифференцируя эту линейную зависимость, мы легко убеждаемся, что нет
Dmll{t) , ,
только —' ч , но и последующие производные линейно зависят
от (99.12), т. е. лежат в соприкасающейся плоскости Rm. Поэтому
соприкасающиеся, плоскости имеет смысл рассматривать лишь от Rx
до Rm: RtczR2c: . . . aRm. Число m может принимать различные зна-
значения от 1 до п—1. Чем меньше /я, тем сильнее «уплощение» кри-
кривой. При w—1 «уплощение» наибольшее, и кривая, как мы вскоре
увидим, является геодезической. При пг = п «уплощение» исчезает,
так как тогда векторы (99.5) линейно независимы, и мы возвраща-
возвращаемся к основному случаю.
Покажем, что максимально-мерная соприкасающаяся плоскость Rm
параллельно переносится вдоль кривой, т. е. что ее векторы при
параллельном перенесении вдоль кривой продолжают оставаться
в этой плоскости (разумеется, в каждой точке кривой — своя пло*
скость Rm). Абсолютные дифференциалы векторов (99.12) имеют вид
DP D2tl DnV
и$> а* ^ dt ? /it
dt ' dt* ' '' * ' dtm
и, следовательно, линейно зависят от самих этих векторов. Обозна-
Обозначая для краткости векторы (99.12) через \1и У, ... , t,!mt мы мо-
можем записать:
Щ = (аЦ{ + а*Д +...+ а%{т) dt (p = 1, 2, ...,»), (99.13)
где af, — коэффициенты соответствующих разложений; a.qp = a4p(t).
Составим косое произведение:
&'•'•• •¦'-=Е1/1Й ... l№ (99.14)
*) Конец этого параграфа можно опустить без ущерба для понимания
дальнейшего.
474 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIU
и вычислим его абсолютный дифференциал
S'm)
Sm
В первом слагаемом правой части заменяем DZ,[' его разложением
согласно (99.13) (при/>=1). Учитывая, что при наличии одинаковых
множителей косое произведение векторов обращается в нуль, мы
можем сохранить в разложении D%[ лишь член с \\, т. е. a\i,{ dt.
В результате первое слагаемое принимает вид aJii'la' ... Ь'т] ¦ По-
Поступая аналогичным образом с остальными слагаемыми в правой
части (99.15), мы приводим это равенство к виду
/)|'>'. ¦ ••'•»= (а\ -f а\ + ... + a^) dt |'»'«- ¦im = adt ?<Л- • •'», (99.16)
где мы обозначили для краткости
a = ai + ai+---+a^. (99.17)
Соотношение (99.16) означает, что m-мерная плоскость Rm, по-
построенная на векторах %[, ... , ?т, параллельно переносится вдоль
нашей кривой.
В самом деле, /и-вектор I'1''-- '»» всегда можно пронормировать
так, что его абсолютный дифференциал будет равен нулю. Для этого
умножим (99.16) почленно на скалярную функцию
Так как D(p (t)~dq> (t) = — е J a(t)dt, то получаем:
ф(*H?<-•¦'«= — ?>ф(Об'»---'«,
откуда
О(ф@Е''---'"'@) = 0, (99.18)
так что m-вектор ф (t) g'i- • •'m(^) параллельно переносится вдоль на-
нашей кривой.
Пусть теперь if — вектор, также параллельно переносимый вдоль
нашей кривой. Тогда альтернированное произведение
Т]«.- -'IB' = ф-gt'i- ¦ -'mT)'l (99.19)
будет также параллельно переносимым /и +1-вектором. Отсюда сле-
следует, что если tj'i¦¦¦'mi равно нулю в одной точке кривой, то это
же имеет место и в любой ее точке. Но обращение т|'»- •¦'»•/ в нуль
означает согласно C5.13) линейную зависимость вектора ту" от век-
§ 100] кривые в римановом пространстве (окончание) 475
торов |'i, ..., ??,, т. е. принадлежность г\1 нашей плоскости Rm.
Таким образом, если параллельно переносимый вдоль кривой век-
вектор if принадлежит Rm в одной точке кривой, то это же имеет
место и в любой ее точке. Это свойство мы и имеем в виду, когда го-
говорим, что плоскость Rm параллельно переносится вдоль кривой.
Наше утверждение доказано.
В частности, когда от=1, параллельно переносится касатель-
касательная Rt, т. е. всякий вектор т]', касательный в данной точке кривой,
остается касательным и в процессе параллельного перенесения вдоль-
кривой. Но это есть определение геодезической линии, которая,
таким образом, является наиболее «уплощенной» из всех кривых в Vn.
В случае, когда в качестве Vn берется евклидово пространство
Rn, уплощенная кривая просто лежит в своей соприкасающейся
плоскости Rmi общей для всех точек кривой.
§ 100. Кривые в римановом пространстве (окончание)
В этом параграфе мы ограничимся кривой основного типа, при-
причем будем предполагать, кроме того, что в каждой ее точке М все
соприкасающиеся плоскости
ЯхсЛ.с . . .cRpc:Rp+1c:... <=.Rn.x A00.1)
являются неизотропными плоскостями в касательном евклидовом
пространстве Rn. В случае собственно риманова пространства это
условие соблюдается автоматически.
При этих предположениях с каждой точкой кривой можно есте-
естественным образом связать ортонормированный репер, А именно,
выбираем единичные или мнимоединичные векторы
v', vi, ... , v'_j, vlp, ... , vU A00.2)
следующим образом:
Vn направлен по касательной Rx и совпадает, следовательно.
dx'
с пронормированным касательным вектором -т—;
vj построен в двумерной плоскости R% ортогонально к Rx:
построен в Rp+i ортогонально к Rp;
vn-i ортогонален к •/?„_!•
В каждом случае идет речь о построении в евклидовом простран-
пространстве Rp+1 направления, ортогонального к его гиперплоскости R
что выполняется единственным образом. Вследствие неизотропно-
476 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
сти Rp это направление будет также неизотропным и гиперплоско-
гиперплоскости Rp не принадлежит (§ 41). Вектор vj,, идущий в этом направ-
направлении, может быть, следовательно, пронормирован, т. е. умножением
на подходящее число сведен к единичному или мнимоединичному
вектору. После этого он будет вполне определен с точностью до
умножения на — 1.
Поскольку Vp ортогонален к R то он ортогонален ко всем
предшествующим векторам v?, ... , vp_t, а значит, векторы A00.2)
вообще попарно ортогональны, а так как, кроме того, они пронор-
пронормированы (единичные или мнимоединичные), то мы получаем вполне
определенный (с точностью возможных замен \1р на — \1р) ортонор-
мированный репер, связанный с каждой точкой нашей кривой. Его
мы будем называть сопровождающим репером нашей кривой. Оче-
Очевидно, векторы v'o, vi, . . . , vjp при любом /> = 0, 1, 2, ... , п—1
определяют соприкасающуюся плоскость Rp+i- Прямые, проходящие
в касательном пространстве Rn через данную точку кривой в направ-
направлениях ортов vi, v^, ..., v?_b мы будем называть 1-й, 2-й, ... , п— 1-й
нормалями к нашей кривой.
Орт vj направлен по касательной.
Так как касательная Rt неизотропная, то скалярный квадрат
dxi
касательного вектора -гт не равен нулю:
Вычислим длину дуги нашей кривой от некоторой начальной точки t0
до переменной точки t по формуле (85.10):
Пусть сначала подкоренное выражение остается все время положи-
положительным. Тогда кривая имеет вещественную длину, и при t > t0 мы
получаем положительные значения s, при t < t0 — отрицательные.
Так как производная -тт все время положительная, то зависимость
s=s(t) допускает обращение, и s можно-принять за новый пара-
параметр вдоль кривой. Так мы и поступим.
Положительное направление отсчета дуги s такое же, как и
первоначального параметра t, т. е. выбирается по существу произ-
вольно. Касательный вектор -^— будет единичным, так как его ска-
скалярный квадрат имеет вид
dx' dxJ
§ 100] кривые в римановом пространстве (окончание) 477
dx'
Следовательно, можно принять -т- за вектор v'o:
vfr=?. A00.5)
Обратно, если для некоторого параметра s вдоль кривой вектор —г-
оказывается единичным, то имеет место A00.4) и, следовательно,
dsl = gijdxl dx', так что параметр s оказывается длиной дуги.
Пусть теперь подкоренное выражение остается- все время отри-
отрицательным, так что радикал чисто мнимый, и мы имеем кривую
чисто мнимой длины. Мы запишем:
s — oi
и за новый параметр вдоль кривой будем принимать вещественный
коэффициент о. За вектор v? мы примем вектор —г-, причем он бу-
будет уже мнимоединичным. В самом деле, его скалярный квадрат
имеет вид
dx1 dx' dx' dxt . . , , .
g,-, -3— -3— = — g,- i -3— -3— = — 1, так как ds2 = — do3.
SlJ da da ?'J ds ds '
Итак,
v? = ^r- П00.6)
0 da '
Обратно, если для некоторого параметра о вдоль кривой вектор -т-
dx' dx'
оказывается мнимоединичным, то gij-g--j-==1—1 > откуда do2 = —ds2,
так что длина дуги кривой оказывается чисто мнимой и имеет
вид s = oi.
Мы хотим теперь установить для ортов vj, сопровождающего
репера формулы Френе. Другими словами, мы хотим выяснить, как
DvW D\lp\
разлагаются производные этих ортов —~ I или -p-J по самим этим
ортам. Для определенности будем говорить о параметре 5, имея
в виду, что все сказанное будет справедливо и в случае параметра а.
Dvi
Заметим прежде всего, что -т-? всегда принадлежит плоскости Rp+%,
т. е. вполне разлагается по ортам vj, х[, .. . , Vp+1. В самом деле,
хР принадлежит плоскости Rp+1, т. е. разлагается по векторам (99.11):
S, \ ), dt , • • • , dtp
Ясно, что при дифференцировании этого разложения порядок вхо-
входящих в него производных повышается не более чем на единицу,
478 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
так что Dvlp будет разлагаться по векторам
Urn Dl'{t) DP^l'(t)
=> v>> dt. '•••• —
определяющим плоскость Rp+i. Итак, —^ принадлежит плоскости
Rp+2 и разлагается по vj, v?, ... , vlp+1, а следовательно, ортого-
ортогонален к \
lp+i, ..., v^:
Используем теперь ортогональность векторов vj,, v^:
^yv?4 = О-
Беря почленно абсолютный дифференциал и учитывая, что Dgl, = Ot
получаем:
Деля почленно на ds и пользуясь A00.7), получаем окончательно:
Нам будет удобнее поменять в этой формуле обозначения р и q:
^717 vHl0 при р> ?+1 A00.8)
(т. е. при<7</> — 1). Сопоставляя формулы A00.7) и A00.8), можно
сказать, что вектор ~~ ортогонален ко всем ортам \гд кроме, мо-
может быть, ортов
Однако оказывается, что вектор ~- ортогонален и к орту vlp.
В самом деле, скалярный квадрат вектора v? равен ± 1:
§ 100] кривые в римановом пространстве (окончание) 479
Дифференцируя это соотношение, получим:
т. е.
2g7yv?Dv? = O, A00.9)
а это означает ортогональность D\p к vjS>.
В итоге разложение вектора -~ по ортам vla, v(, ... , v?_i мо-
может содержать лишь v^_x и \р+1. Запишем:
lT=*r.,-i v'p-i + Hp.p+ri+i, A00.10)
где через хр_ /,_1< хр< р+1 обозначены соответствующие коэффици-
коэффициенты. Разумеется, в случае /> = 0 в правой части имеется лишь
второй член (vLj не существует), а в случае р = п—1—лишь пер-
первый член (vj, не существует).
Покажем, наконец, что существенно различных коэффициентов
у.р> q в действительности вдвое меньше, чем кажется с первого
взгляда. Умножая A00.10) скалярно на орт \1р-и мы получаем:
(ioo.li)
где е j равно скалярному квадрату орта \p-lt т. е. 1, если этот
орт единичный, и — 1, если он мнимоединичный. Аналогичным обра-
образом, умножая A00.10) на \'р+1 скалярно, получаем:
г. I
^T^1 = VP+iVv A00.12)
С другой стороны, записав ортогональность ортов v^,, vip+1
?7,4v'p+1=0 (p= 0, 1, 2, .... л —2)
и дифференцируя это соотношение, получаем:
Заменяя в A00.11) р нар+' и используя, кроме того, A00.12),
мы видим, что наше равенство можно переписать в виде
M + K/>+i./.ej» = 0- A00.13)
480 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. МП
Это значит, что х^ р+1 мхр+1> р равны, если орты\'р , vj,+1 разноименные
(один единичный, другой мнимоединичный), и отличаются лишь зна-
знаком, если эти орты одноименные (оба единичные или оба мнимо-
единичные). Обозначим:
x,,p+i = *,+i> тогДа *j,+ i,j,= ±xi,+i, A00.14)
где знак плюс отвечает случаю разноименных, а минус — случаю
одноименных ортов vj,, \'р+1.
Формулы A00.10) принимают теперь окончательный вид
^ i + >Wvm> A00.15)
где знак плюс отвечает случаю разноименных, а минус —случаю
одноименных ортов Vp_l5 vj,.
В собственно римановом пространстве, где все орты одноимен-
одноименные (единичные), в первом члене правой части всегда стоит знак
минус-.
Выпишем формулы A00.15) подробнее — при р — 0, 1, ...,п—1:
Dvf,
ds
~5Г =
~1Г =
ds
Dv'n-г
ds
±
±
±
±
t
X v' +X V'
У? V . 1 yt *ijt
«л-lVU-
A00.16)
Это и есть формулы Френе для кривой в римановом пространстве.
Коэффициенты хх, х2, ..., х„_х называются первой, второй, ...
..., п—1-й кривизной кривой в данной точке- При наших
предположениях они отличны от нуля. Действительно, если
бы, например, х3 равнялось нулю, то v&, -~ , -^ , -^ разла-
разлагались бы по Vo, v[, vl2 и были бы, следовательно, линейно зависимы,
а это противоречит предположению, что кривая основного типа.
Кривизны хх, ..., хп-1 всегда можно сделать положительными за
счет окончательного выбора сопровождающего репера. В самом деле,
будем считать, что кривая задана вместе с положительным направ-
направлением отсчета дуги s (или о). Будем определять тогда орт v? со-
согласно A00.5) или A00.6); остальные же орты остаются определен-
§ 100] кривые в римановом пространстве (окончание) 481
ными с точностью до умножения на —1. Теперь, если в первой
формуле Френе их > 0, то оставляем орт v{ без изменения; если
же хх < 0, то меняем направление v[ на обратное; тогда кривизна
кг становится положительной. Далее, если во второй формуле
Френе и2 > 0, то оставляем орт v? без изменения; если же и2 < О,
то меняем направление v^ на обратное, и кривизна и2 становится
положительной, и т. д. В результате мы окончательно выбираем
сопровождающий репер и в то же время добиваемся того, что все
кривизны кр станут положительными.
Заметим, что если изменить направление отсчета дуги на об-
обратное, то, как легко убедиться из A00.5) и формул Френе, орты
v{, v|, vlb, ... остаются прежними, a vl0, vl2, vlt, ... меняют на-
направление на обратное. При этом подразумевается, что по установ-
установленному соглашению кривизны х_ остаются положительными (и тем
самым не меняются). В качестве важного частного случая нашей
теории рассмотрим кривые в евклидовом пространстве Rn. Простран-
Пространство Rn является само к себе касательным в любой своей точке
(§ 86), и векторы сопровождающего репера vlp принадлежат самому
/?л. Мы будем обозначать их vp. Абсолютные дифференциалы в
формулах Френе означают дифференцирование векторов х„ в геомет-
геометрическом смысле (§ 96), так что формулы Френе примут вид
dv0 ^
A00.17)
dvn_
ds
ds -^ "-1 n~2'
В частности, в трехмерном евклидовом пространстве
-^-° = x,v1, -^ = ±XiV0-(-x2v2, -r? = ±^2vi- A00.18)
CIS US CIS
В обычном пространстве, т. е. в собственно евклидовом Rs, в по-
последних двух формулах, как мы знаем, нужно выбрать из знаков ±
знак —. Мы получаем формулы Френе в их обычной записи, где
vo> vii V2 — орты, направленные соответственно по касательной,
главной нормали и бинормали к кривой, а х1? х2 — соответственно
кривизна и кручение. Обращает на себя внимание то обстоятельство,
что в нашей теории к1, х2 всегда положительны, в то время как
обычно принято приписывать кручению х2 знак ± в зависимости
от «правой» или «левой» закрученности кривой. Это связано с тем,
16 П. К. Рашевский
482 аппарат абсолютного дифференцирования [гл. vhi
что в нашей теории сопровождающий репер будет правым для
«право-закрученной» кривой и левым для «лево-закрученной»; обыч-
обычно же сопровождающий репер выбирается во всех случаях правым;
это и вызывает появление отрицательного кручения щ в случае
«лево-закрученной» кривой.
Имеет место следующая теорема: пусть произвольным образом
заданы непрерывные, положительные функции некоторого аргумента $
K1(s), x,(s), ..., »«„_!(*), so<s<sx. A00.19)
Кроме того, в каком-нибудь Rn задан ортонормированный репер
{Мо, е0, ех е„-хЬ где е0, еь ..., еп_г—единичные и мни-
моединичные векторы, чередующиеся произвольным образом. Тогда
в этом Rn всегда существует кривая, и притом единственная, вдоль
которой кривизны хх, и2, ..., и„_! выражаются наперед заданными
функциями через длину дуги s (в случае е*=\) или через параметр
с
0 = — (в случае еЦ = — 1) и сопровождающий репер которой npus = s0
совпадает с наперед заданным репером.
Докажем теорему сначала в случае ej—l. Будем рассматривать
A00.17) как систему линейных дифференциальных уравнений с ар-
аргументом s с неизвестными функциями v0 (s), .. ., vn_x (s).
Коэффициентами хх, ..., ип_х служат при этом наперед задан-
заданные функции A00.19). Знак ± в каждом из уравнений
выбирается следующим образом: плюс, если орты ер, ър_х разно-
разноименные, и минус, если они одноименные. Кроме того, на неизвест-
неизвестные функции vo(s), ..., vp_1(s) мы накладываем начальные условия
v0 (s0) = е0, vx (s0) = elt .. ., vn-1 (s0) = &n_v A00.20)
Тогда, как известно из теории дифференциальных уравнений,
система допускает решение, существующее на всем интервале измене-
изменения 5 (от s0 до sx) и при этом единственное. Нас не должно смущать,
что неизвестные функции vp (s) являются векторами: каждую из
них можно заменить п скалярными функциями, именно, коор-
координатами вектора v^ (s), и соответственно каждое векторное урав-
уравнение системы A00.17) заменить п скалярными уравнениями. Теорему
существования и единственности решения мы применяем тогда к
системе я2 линейных дифференциальных уравнений с л4 неизвест-
неизвестными функциями, теперь уже скалярными.
Построив таким образом вектор-функции vp(s),Mbi должны показать,
что они образуют ортонормированный репер при любом значении s
(а не только при s = s0, когда они совпадают с ортами ер).
§ 100] кривые в римановом пространстве (окончание) 483
Покажем это прежде всего для случая собственно евклидова
пространства Rn. Тогда в уравнениях A00.17) вместо ± везде
стоит —. Пусть а — произвольный постоянный вектор в Rn. Обо-
Обозначим через a,-(s) скалярные произведения.
a,(s) = av,(s). A00.21)
Умножая почленно уравнения A00.17) на а скалярно, получим:
da,
da2
*~l= — и. ,а„
A00.22)
ds ~~ лп-1"л-2-
Очевидно, а0, at ,..., an_i можно рассматривать как ковариант-
ные координаты вектора а относительно переменного репера
{v0 (s), vx (s), ..., vn-1(s)}. Будет ли этот репер ортонормирован-
ным, пока не предрешается. Заметим, что векторы vp(s) во всяком
случае линейно независимы: косое произведение [VqVj^. . .vn_x] ос-
остается постоянным (что легко получить из уравнений A00.17), вы-
вычисляя j-fVoVi-. •vn_1] = 0), а, обращаясь к начальным условиям
A00.20), получаем [v^.. •vn_l] = [eoe1.. -^„_t]^=0.
Составим сумму квадратов координат ap(s) и покажем, что она
остается постоянной в процессе изменения хр (s). Для этой цели
вычислим ее производную:
Равенство нулю немедленно вытекает из A00.22). Итак, сумма
квадратов координат ар остается постоянной, а так как при s = s0
наш переменный репер совпадает с ортонормированным репером
A00.20), то эта сумма квадратов выражает скалярный квадрат век-
вектора а:
В результате скалярный квадрат произвольного вектора а выражается
в нашем переменном репере суммой квадратов ковариантных коор-
координат вектора а, а это означает, что переменный репер является орто-
ортонормированным, что мы и хотели доказать,
16*
484 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
В случае псевдоевклидова пространства Rn доказательство про-
проводится совершенно аналогичным образом. Конечно, вместо суммы
квадратов координат ар нужно брать
где вр равно ±1 в зависимости от того, является ли ер единичным
или мнимоединичным вектором. Вместо уравнений A00.22) мы будем
иметь уравнения вида
dap_
В остальном ход рассуждения не меняется.
Установив, что вектор-функции vp(s) образуют ортонормиро-
ванный репер, мы строим искомую кривую, выражая ее скользящий
радиус-вектор как функцию от s:
o(s)rfs, A00.23)
где х0 обозначает радиус-вектор точки Мо. Тогда при s = s0 мы
попадаем в точку Мо. Кроме того, из A00.23) следует:
x'(*) = vo(e). A00.24)
Но вектор vo(s) единичный, так как при s = s0 он совпадает с еди-
единичным вектором е0. Таким образом, производная радиуса-вектора
по параметру s будет единичным вектором, откуда следует, что s
играет роль дуги вдоль построенной кривой (заранее мы этого не
знаем). Установив, что v0 (s) — единичный касательный вектор, и
пользуясь соотношениями A00.17), которым удовлетворяют функции
vp(s), мы без труда убеждаемся, что векторы vp(s) образуют для
построенной кривой сопровождающий репер, а наперед заданные
функции Kp(s) играют роль кривизн. Этим теорема доказана.
Правда, в теореме еще утверждается единственность искомой кривой,
но это легко получить из следующих соображений. Для ортов v^, (s)
сопровождающего репера искомой кривой необходимо имеют место
уравнения A00.17), т. е. формулы Френе, так что, учитывая еще
начальные условия, функции vp(s) можно получить только тем
способом, как это было сделано. При этом для касательного орта
v0 (s) необходимо имеет место соотношение A00.24), интегрируя кото-
которое мы приходим к A00.23). Таким образом, полученная нами кривая
единственно возможная.
Мы провели доказательство в случае е?=1. В случае е?=—1
оно производится дословно так же, только обозначение параметрам
нужно везде заменить на о. Формула A00.24) получится у нас
§ 101] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 485
в виде
x» = vo(a), A00.25)
причем v0 (a) будет (вместе со своим начальным значением е0) мни-
моединичным ортом. Это говорит о том, что кривая имеет чисто
мнимую длину дуги s, причем s — ai.
Из доказанной теоремы вытекает следующее. Когда для искомой
кривой в Rn наперед заданы «натуральные уравнения», т. е. зави-
зависимость кривизн кх, ..., у,„_х от дуги s при s^^Ls^-S^ (или, аналогич-
аналогично от параметра а), и, кроме того, указано, какие из векторов со-
сопровождающего репера v0, vx, ..., vn-1 должны быть единичными
и какие—мнимоединичными1), то кривая определяется с точностью
до движений в Rn. Действительно, в этом случае произвол сво-
сводится лишь к выбору начального ортонормированного репера
{А40, е0, ..., еп_х}, причем заранее известно, какие из его векторов
должны быть единичными и какие — мнимоединичными, тогда началь-
начальный репер, а вместе с ним и кривая определяются с точностью до дви-
движения в Rn.
§ 101. Геодезические линии в римановом пространстве
Мы рассматривали в § 90 геодезические линии в пространстве
аффинной связности Ln, в частности, в пространстве Z." (без круче-
кручения). Все, сказанное там, справедливо и для геодезических в ри-
римановом пространстве Vn, так как риманова связность есть частный
случай аффинной связности без кручения. Но в связи с наличием
метрики у геодезических линий появляются новые свойства, кото-
которые мы и хотим сейчас рассмотреть.
Отметим прежде всего, что для неизотропной геодезической дли-
длина дуги s (или о) служит каноническим параметром (§ 90), так что
все остальные канонические параметры т будут отличаться от s
лишь постоянным множителем. В самом деле, касательный единич-
dx'
ный вектор -т- , взятый в какой-нибудь точке геодезической и затем
параллельно переносимый вдоль нее, остается касательным (по оп-
определению геодезической) и сохраняет длину 1 (по свойствам ри-
dxl
мановой связности), т. е. остается вектором -т-, а это значит, что
дуга s служит каноническим параметром. Поэтому для геодезиче-
геодезических, отнесенных к параметру s, имеют место дифференциальные
уравнения (90.6):
ds2 " ds ds
') Число последних, конечно, должно совпадать с индексом k прострац-
ства /?,( = /?<,*»).
486 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
Совершенно аналогично обстоит дело в случае геодезической мни-
dx'
мой длины s = ai, когда за параметр мы принимаем а. Тогда -т-
dx'
аналогично -г- будет параллельно переносимым вдоль геодезической
касательным вектором (только не единичным, а мнимоединичным),
параметр о будет каноническим, и снова имеют место дифференци-
дифференциальные уравнения A01.1) с заменой параметра s на о.
В собственно римановых Vn все геодезические—неизотропные
(и вещественной длины) и их всегда можно относить к дуге s как
к параметру. Но в случае псевдоримановых Vn обязательно суще-
существуют и изотропные геодезические.
Имеет место следующая теорема:
Геодезическая линия, проведенная через данную точку Мо в изо-
изотропном, направлении, будет изотропной на всем своем протяжении.
В самом деле, касательный вектор ?' к геодезической в точке Жо
будет изотропным, т. е. имеет нулевую длину, будучи сам отличен
от нуля. При параллельном перенесении вдоль геодезической этот
вектор остается к ней касательным и в то же время сохраняет ну-
нулевую длину по общим свойствам римановой связности. Таким об-
образом, наша геодезическая и в любой своей точке будет идти в
изотропном направлении.
На изотропных и геодезических нельзя принять за параметр
длину дуги s (или а) ввиду ее тождественного обращения в
нуль. Но, разумеется, можно рассматривать канонический пара-
параметр т (§90).
Рассмотрим теперь задачу: вычислить вариацию длины, дуги ка-
какой-либо неизотропной кривой в Vn. Вопрос ставится так. Данная
кривая
xi=x1(i) (*!<*<*,) A01.2)
варьируется, т. е. включается в некоторое семейство кривых
ж1 = *'(', а) (*х <*</,), (Ю1.3)
зависящих от параметра а. Таким образом, при некотором опре-
определенном значении а уравнения A01.3) совпадают с A01.2). Мы
будем считать, что при tt ^ i ^ t2 и в том интервале изменения,
который пробегает а, функции x'{t, а) дважды непрерывно диф-
дифференцируемы. Вычислим длину кривой семейства согласно (85.10):
S .' " '"Tt dt
§ 101] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 487
Так как х' зависят не только от t, но и от а, то под знаком
корня следовало бы писать частные производные по t с круглыми д.
Но мы условимся обозначать частные дифференциалы по t симво-
символом d, а частные дифференциалы по а — символом 6.
Полученная длина s кривой семейства зависит, конечно, от вы-
выбора этой кривой, т. е. от параметра а. С формальной стороны
это сказывается в том, что а входит как параметр в подынтеграль-
подынтегральное выражение через х1 (t, а), от которых зависят gi.lx1, .... х"),
dx'\t, a) J
и через —^—'- .
Вычислим теперь вариацию длины кривой s, т. е. ее дифферен-
дифференциал 6s по аргументу а:
J б т/Т^^7 _ (-V* dt) dt. A01.4)
V* dt
У &i'-di~di
Предположение о неизотропности кривой, длину дуги которой мы
варьируем, как мы видим, весьма существенно: иначе знаменатель
ds
подынтегрального выражения, равный 2-тт, обращался бы в нуль.
dx' dxJ
Обыкновенный дифференциал 6 от инварианта gijjr^r можно за-
заменить соответствующим абсолютным дифференциалом D (тоже при
бесконечно малом смещении по линии а при постоянном t):
( dx1 dx'\ =./ dx'dxA hdx'dx/, dx'hdx''
Мы воспользовались здесь равенствами Dgtj=0 и gij = gyi'> послед-
последнее позволило объединить два полученных члена.
Запишем в развернутом виде D-тт '•
%.dx^ Е dxS , p. dxp fi k d с. i , г,! с s dxP Dbxt
D ж=6 it + г*" жЬх = жЬх + г">Ьх чг=-иг •
В процессе преобразования мы изменили порядок частных диффе-
дифференцирований d и 6, а также переставили нижние индексы у Г(р;
488 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VII
это законно, так как риманова связность без кручения. Через D
мы обозначаем абсолютный дифференциал, отвечающий бесконечно
малому смещению dt по кривой семейства (при постоянном а).
Теперь A01.5) принимает вид
ds
а знаменатель — через 2-тт. В результате имеем:
dt '
Возвращаясь к A01.4), заменяем числитель полученным выражением,
ds
dt
A01.6)
Распространяя действие символа D на все подынтегральное выра-
выражение и вычитая возникающие вследствие этого лишние члены,
получаем:
Под знаком первого интеграла стоит абсолютный дифференциал
D от инварианта. Его можно заменить, следовательно, обыкновен-
обыкновенным дифференциалом d; производя интегрирование, получим:
Значки 1, 2 указывают, что соответствующее выражение вычис-
вычисляется при t = tx и при t = t2, т. е. в начальной и конечной точ-
точках кривой. В формуле A01.8) длина дуги s может быть как
вещественной, так и чисто мнимой: s = ai. Для определенности мы
будем заниматься лишь первым случаем, имея в виду, что второй
можно трактовать совершенно аналогично. Нужно только поделить
обе части равенства на /, после чего в левой части 6s заменится
на 6а, а в правой части ds (в знаменателях) заменится на — da.
Тем самым мнимые величины будут исключены, и вместо s мы будем
рассматривать о.
Когда мы от данной кривой семейства с определенным значе-
значением параметра а переходим к бесконечно близкой кривой а + ба,
причем каждая точка кривой а переходит в точку кривой a-j-ба
с прежним значением t, то векторы соответствующих бесконечно
малых смещений суть 8л;' (t, a).
§ 101] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 489
Поэтому проинтегрированные члены представляют собой проек-
проекции вектора бесконечно малого смещения &х^ на единичный каса-
касательный вектор —J- в начале и конце кривой (собственно говоря,
в прямых скобках стоят скалярные произведения, но скалярное
произведение какого-либо вектора на единичный вектор равно его
проекции на направление этого единичного вектора). Нетрудно
уяснить себе из наглядных соображений, что такого рода проекция
в конце кривой дает, действительно, удлинение кривой, вызванное
смещением ее конца; то же самое имеет место и в начале кривой,
только проекцию нужно взять с обратным знаком.
Если концы варьируемой кривой закреплены, т. е.
xl{tlt a) = const, x'(t2, а) = const, A01.9)
при переменном а, то 8х' на концах кривой обращаются в нуль.
Проинтегрированные члены исчезают, и A01.8) принимает вид
A01.10)
Предположим, что рассматриваемая кривая A01.2) стационар-
стационарной длины. Под этим мы будем понимать, что, варьируя эту кривую
любым образом, однако при условии неподвижности ее концов, мы
всегда будем получать 6s = 0. Тогда A01.10) дает
bxJ
при любом выборе у- как непрерывно дифференцируемых функций
от t. По основной лемме вариационного исчисления отсюда следует
обращение в нуль тех функций от t, которые служат коэффициен-
коэффициентами при bxJ под знаком интеграла:
Поскольку, таким образом, тензор D—т— равен нулю после опуска-
CIS
ния индекса, то, поднимая индекс обратно, мы получаем:
dx'
Это равенство означает, что касательный вектор -т— параллельно
490 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
переносится вдоль нашей кривой. Отсюда следует (§ 90), что наша
кривая является геодезической, а длина дуги s служит вдоль нее
каноническим параметром.
Обратно, пусть кривая A01.2)—неизотропная геодезическая.
dx'
Тогда —г- есть параллельно переносимый вдоль геодезической каса-
касательный вектор, так что
D^ = 0 A01.11)
и A01.10) дает нам при любых
6s = 0.
Таким образом, вариация длины геодезической линии с закреп-
закрепленными концами всегда равна нулю. В итоге мы получаем теорему:
для того чтобы неизотропная линия в римановом пространстве обла-
обладала стационарной длиной, необходимо и достаточно, чтобы она
была геодезической (в частности, в евклидовом пространстве Rn —
чтобы она была прямой).
Следовательно, неизотропные геодезические получили у нас но-
новую характеристику, как неизотропные линии стационарной длины.
В случае собственно риманова Vn все линии неизотропные, так что
стационарность длины может служить определением геодезической
линии.
Отметим, что для (неизотропной) геодезической формула A01.8)
принимает простой вид
H-h^Hi' A0U2)
если принять во внимание A01.11).
Итак, вариация длины геодезической вполне определяется век-
векторами бесконечно малых смещений ее концов. При этом не нужно
думать, что -при вариации геодезической мы требуем, чтобы она
переходила снова в геодезическую: семейство, в которое она вклю-
включается, остается произвольным.
В заключение будет интересно рассмотреть формулу A01.10)
уже не специально для геодезической линии, а для кривой общего
вида (основного типа, §§ 99, 100). Тогда
dx1
ds
и по первой формуле Френе
ds
Dv'o
§ 102] ГЕОДЕЗИЧЕСКИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ 491
так что
r^ dxl , ,
Теперь A01.10) принимает вид
A01.13)
Ввиду появления ds под знаком интеграла нам пришлось указать
пределы изменения тоже для s. Итак, вариация длины дуги кривой
с закрепленными концами получается следующим образом: проекция
вектора бесконечно малого смещения Ьх^ на первую нормаль v[
умножается на первую кривизну кг и на ds, интегрируется по всей
кривой, и результат берется с обратным знаком (если v{ — единичный
вектор; если же он мнимоединичный, то формулировка несколько
меняется).
§ 102*. Геодезически параллельные гиперповерхности
Для изучения геодезических линий в римановом пространстве Va
и самого Vn в ряде случаев приносят пользу специальные, связан-
связанные с геодезическими линиями геометрические конструкции. В част-
частности, они позволяют строить координатные системы в Vn с наи-
наиболее простыми свойствами. Конечно, вообще говоря, в Vn нельзя
построить такие простые координатные системы, какими являются,
например, ортонормированные координатные системы в Rn, но час-
частично все же можно приблизиться к их свойствам.
Выберем в V произвольную неизотропную гиперповерхность
и"
),
A02.1)
где параметры и"(а=1, 2, ..., п—1) пробегают некоторую связ-
связную область изменения Qa, а функции х' (и") (по крайней мере
дважды непрерывно дифференцируемые в Qu и на ее границе) удов-
удовлетворяют условию (83.4)
равен п—1. A02.2)
ранг
матрицы
дхг
ди1
дх1
дх1
ди1
дхг
дхп
ди1
дхп
В каждой точке Af^Vrn_1 имеется вполне определенная неизотроп-
неизотропная нормаль (в касательном пространстве Rn; см. § 85), единичный
492
АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
[ГЛ. VIII
(или мнимоединичный) вектор которой мы обозначим тI (рис. 19).
Правда, такой вектор можно построить с точностью до умножения
на —1, так что в одной точке гиперповерхности Vn^i мы выберем
его направление произвольно, а во всех
/// остальных — по принципу непрерывности.
1/у/ / /~^\ Через каждую точку М гиперповерх-
ч / / / // / >С ности Vn_1 проведем геодезическую ли-
линию в направлении нормали, т. е. век-
вектора г|'. Эту геодезическую мы будем
называть нормальной к Vn_v Отнесем
ее к параметру s, если она вещест-
вещественной длины, и к параметру а, если
она мнимой длины (изотропной эта ге-
геодезическая быть не может, так как ка-
касательный к ней вектор г\' неизотропный).
Точку М принимаем за начальную точку
отсчета s = 0 (или о = 0). Положи-
Положительное направление отсчета параметра выбираем в сторону ту", т. е.
dx' I dx' \
так, чтобы в точке М касательный вектор —г- ( или -g—I совпадал
с т|' (а не с —ту1). Для определенности рассматриваем в дальнейшем
случай вещественной длины.
Если мы зададимся определенными значениями параметров и" из
области Ц, и определенным значением s, не слишком большим по
модулю, то этим определится некоторая точка L в нашем римановом
пространстве, а именно, параметры и* определяют точку М на Vn_lt
а значение s — определенную точку L на нормальной геодезической,
проведенной через М, так что
Рис. 19.
В частности, при s = 0 мы попадаем в точку М на Fn_!. При пере-
переменном 5 и постоянных и" мы, очевидно, движемся по нормальной
к Vn_x геодезической. Поскольку точка L однозначно определяется
значениями и", s, ее координаты х* являются однозначными функ-
функциями этих переменных:
\ s),
A02.3)
где и" пробегают область изменения Qtt, a s — некоторый интервал
изменения, включающий нуль. При этом от параметров и" непрерывно
дифференцируемым образом зависят начальные условия, определя-
определяющие геодезическую: координаты ее начальной точки М на Уп-1
и координаты ее начального касательного вектора т)' в точке М.
Из теории дифференциальных уравнений следует, что в этом случае
решение дифференциальных уравнений геодезической A01.1) тоже
§ 102] ГЕОДЕЗИЧЕСКИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ 493
непрерывно дифференцируемым образом зависит как от аргумента s,
так и от параметров и*.
Наша конструкция обладает одним важным свойством. Отметим
на каждой нормальной к Vn_x геодезической точку L так, чтобы
длина дуги
была во всех случаях одной и той же. Геометрическое место точек
L образует, вообще говоря, поверхность, которую мы будем назы-
называть геодезически параллельной к Vn_x поверхностью.
Параметрические уравнения этой поверхности мы, очевидно,
получим, закрепив в уравнениях A02.3) переменное s на каком-
либо постоянном значении s — a. Это и будет значить, что каждая
точка М гиперповерхности Vn_1 сдвинута по нормальной геодези-
геодезической на постоянное расстояние а (разумеется, а может иметь
любой знак).
Полученное геометрическое место
х'=х'(и1, ..., и", а) A02.4)
будет, вообще говоря, гиперповерхностью, для которой однако
возможны особенности и даже случаи вырождения ее в поверхность
низшего числа измерений (даже в точку). Действительно, мы не мо-
можем гарантировать, что при любом значении а у нас будет соблю-
соблюдаться условие A02.2); возможно, следовательно, что не все пара-
параметры и" будут существенными, т. е. х' смогут быть выражены
через меньшее число параметров, так что поверхность A02.4) будет
иметь фактически число измерений г, меньшее п—1 (мы будем пред-
предполагать при этом выполнение условия (83.2), где m = r). Однако
при достаточно малых а условие A02.2) соблюдается по сообра-
соображениям непрерывности (действительно, при а = 0, т. е. на Vn_x,
оно имеет место), и мы получаем гиперповерхность.
Мы утверждаем, что геодезические, нормальные к Vn_lt будут
нормальными и к любой геодезически параллельной к Vn_1 поверх-
поверхности V* (как при г — п—1, так и при г<_п—1,).
Для доказательства рассмотрим отрезок ML нормальной к Vn_1
геодезической, конец которого М скользит по Vn_x, а конец
L — по геодезически параллельной ей поверхности Vr. Длина s от-
отрезка ML остается постоянной по построению, s=a. Вычислим
теперь вариацию длины отрезка ML при его бесконечно малом сме-
смещении, причем мы можем пользоваться формулой A01.12), по-
поскольку ML — отрезок геодезической:
494 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
Очевидно, 6s=0, так как s остается постоянной. Далее,
Г dxl о Л dx.1
\?i] ~d~ \ выражает скалярное произведение вектора -г-,
касательного к ML в начальной точке М, на вектор Ъх* беско-
dx'
нечно малого смещения точки М по Va_x. Так как —г- ¦— у\'
вектор, нормальный к Vn_1, а Ьх*—вектор, касательный к Vn_lt
то это скалярное произведение равно нулю.
Теперь равенство A02.5) принимает вид
(io2-6)
dx1'
т. е. равно нулю скалярное произведение вектора -т- , каса-
касательного к ML в точке L, на вектор bxJ бесконечно малого сме-
смещения точки L по поверхности Vr. Так как, варьируя отрезок ML
мы можем произвольно двигать его конец L по поверхности Vr,
то бл:^—произвольный касательный к этой поверхности вектор в
dx'
точке L. Отсюда следует, что вектор -г- , касательный к геодези-
геодезической ML в точке L, направлен по нормали к поверхности V*-
Этим наше утверждение доказано.
Чтобы не загромождать доказательства, мы не вводили явно
параметра а, по которому берется вариация, и не строили явно
семейства кривых, включающих отрезок ML, ил"и, вернее, выполни-
выполнили это построение в виде наглядной картины «движения» отрезка.
Ясно, что наше доказательство без всяких затруднений можно
повторить в формально безупречных терминах.
Полученный результат лишает исходную гиперповерхность Vn_x
ее особой роли. В самом деле, рассмотрим геодезически параллель-
параллельную ей гиперповерхность Vn-X (r — n—1). Нормальные к V*n-l
геодезические будут те же самые, что и для Vn_v При этом, так
как они неизотропные, ортогональная к ним гиперповерхность Vn^1
будет тоже неизотропной.
В результате геодезический параллелизм (неизотропных) гипер-
гиперповерхностей Vn_x, Vn-\ означает, что между ними сохраняется
постоянное расстояние по общим нормальным геодезическим. Отсюда
ясно, что всякая поверхность, геодезически параллельная Vn_x,
будет геодезически параллельна и Vn_lt и обратно. Поэтому Vn_1
и Vn-i порождают одно и то же семейство геодезически параллель-
параллельных поверхностей, так что за исходную поверхность можно принять
Vn-i вместо Vn_x. Более детальное рассмотрение показало бы, что
§ 102] ГЕОДЕЗИЧЕСКИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ 495
за исходную поверхность можно принять неизотропную поверхность
V*, геодезически параллельную Vn_lt и в том случае, когда ее
число измерений г <С.п—1.
Дело в том, что хотя положение точки на V* зависит лишь от
г параметров, но нормальная плоскость к V* будет зато не одно-
одномерной, а п—r-мерной, так что в каждой точке нормальное направ-
направление зависит от п—г—1 параметра. В результате, проводя геоде-
геодезическую линию через каждую точку М* ? V* по каждому нормаль-
нормальному направлению (по крайней мере, внутри некоторого конуса в
нормальной плоскости), мы снова получаем семейство геодезических
от п—1 параметров; откладывая на них отрезки одинаковой
длины s=a, мы получаем геодезически параллельные гиперпо-
гиперповерхности, те же самые, что и порожденные гиперповерхностью
Уп-1-
Итак, мы пришли к следующему результату:
Всякая неизотропная гиперповерхность Уп-\ включается а при-
притом единственным образом в однопараметрическое семейство гео-
геодезически параллельных гиперповерхностей. Эти гиперповерхности
(тоже неизотропные) обладают общими нормальными геодезически-
геодезическими и взятые попарно высекают на этих геодезических отрезки по-
постоянной длины. При отдельных значениях параметра гиперповерх-
гиперповерхность семейства может вырождаться в поверхность меньшего чис-
числа измерений (более трудные случаи появления особенностей мы
исключаем).
В частности, в обычном пространстве всякая поверхность вклю-
включается в однопараметрическое семейство «параллельных» ей поверх-
поверхностей, обладающих общими с ней нормалями и попарно отстоя-
отстоящих друг от друга на постоянном расстоянии, если измерять это
расстояние по общим нормалям.
В качестве примера рассмотрим в обычном пространстве семей-
семейство круглых цилиндров с общей осью. Эти поверхности («гиперпо-
(«гиперповерхности» с точки зрения обычного пространства) образуют се-
семейство от одного параметра и обладают общими нормальными
геодезическими.
Действительно, всевозможные перпендикуляры, восстановленные
к оси во всевозможных ее точках, служат общими нормалями ко
всем цилиндрам семейства. Отрезки общих нормалей между двумя
цилиндрами остаются по длине постоянными. Строя поверхности,
геодезически параллельные данному цилиндру семейства, мы всегда
будем получать другие цилиндры семейства, с одним лишь исклю-
исключением: если по внутренним нормалям к цилиндру откладывать
постоянный отрезок, равный радиусу его основания, то геодезиче-
геодезически параллельная поверхность вырождается в линию — в ось ци-
цилиндра. Аналогичные явления возможны, конечно, и в многомерном
случае (поверхность V*).
496 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
Мы уже указывали коротко, как восстановить семейство геоде-
геодезически параллельных гиперповерхностей не только по любой его
гиперповерхности V^_x, но и в случае ее вырождения в поверхность
V* меньшего числа измерений. Совершенно таким же образом мож-
можно и заново построить семейство геодезически параллельных ги-
гиперповерхностей, задавшись некоторой неизотропной поверхностью
Vr, которая должна будет войти в это семейство в качестве вы-
вырожденной гиперповерхности. Мы рассмотрим эту задачу в важном
частном случае, когда заданная поверхность будет нулевого изме-
измерения и представляет собой просто точку Vo.
В этом случае любое направление, исходящее из точки Vo, бу-
будет нормальным по отношению к «поверхности» Vo. Поэтому гео-
геодезические мы будем проводить через Vo по всевозможным направ-
направлениям за исключением, однако, изотропных направлений. При этом
нужно рассматривать отдельно геодезические вещественной и мни-
мнимой длины. Откладываем от Vo по геодезическим вещественной
длины отрезки постоянной длины s=a; концы этих отрезков обра-
образуют гиперповерхность, которую мы будем называть геодезической
гиперсферой радиуса а с центром в Vo.
Аналогичным образом, откладывая от Vo по геодезическим мни-
мнимой длины отрезки постоянной длины s — ai, мы получаем гипер-
гиперповерхность, которую будем называть геодезической гиперсферой
радиуса ai с центром Vo. В случае собственного риманова про-
пространства существуют геодезические гиперсферы лишь веществен-
вещественного радиуса, которые полностью охватывают точку Vo, так что
в них упираются геодезические, исходящие из Vo по всем напра-
направлениям. В случае псевдориманова пространства геодезические ги-
гиперсферы вещественного и мнимого радиусов строятся в основных
чертах сходно с гиперсферами Sn_1 в соответствующем псевдо-
псевдоевклидовом пространстве Rn. Для определенности мы ограничим-
ограничимся в дальнейшем геодезическими гиперсферами вещественного
радиуса.
Мы утверждаем, что геодезические вещественной длины, исхо-
исходящие из точки Vo, служат нормальными геодезическими для гео-
геодезических гиперсфер V?-i вещественного радиуса с центром Vo.
Нам требуется доказать, таким образом, что геодезическая, сое-
соединяющая центр Vo гиперсферы V^x с произвольной ее точкой L,
направлена по нормали к Vn-г в точке L. Для этого мы повторяем
прежние рассуждения, а именно, вычисляем вариацию длины гео-
геодезического отрезка ML, где точка М закреплена в центре гипер-
гиперсферы Vo, a L скользит по гиперсфере V^_l. На прежних основа-
основаниях пользуемся формулой A02.5), причем
6s = 0,
§ 103] ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 497
так как s = ML остается постоянным, а
так как [6л/]л1 = 0 в силу неподвижности точки М. Снова прихо-
приходим к A02.6), что и означает ортогональность геодезической ML
к гиперсфере в точке L.
Таким образом, геодезические гиперсферы вещественного радиуса
с данным центром Vo образуют однопараметрическое семейство
геодезически параллельных гиперповерхностей с общими нормаль-
нормальными геодезическими, сходящимися в общем центре Vo. При этом
центр Vo можно рассматривать как гиперповерхность семейства,
выродившуюся в точку.
Совершенно аналогичный результат справедлив, разумеется, и для
семейства концентрических геодезических гиперсфер мнимого радиуса.
§ 103. Полугеодезические координатные системы
Зависимость A02.3), установленная нами в § 102, наталкивает
на мысль принять переменные и1, ..., и", s за новые коорди-
координаты хотя бы в той области нашего пространства, которую запол-
заполняют нормальные к Vn_x геодезические. Однако для этого необ-
необходимы еще некоторые оговорки. Дело в том, что эти геодезиче-
геодезические, исходящие из разных точек Vn_1, могут пересекаться между
собой, так что различным параметрам и", s может отвечать одна
и та же точка L. Чтобы обеспечить взаимную однозначность соот-
соответствия между параметрами и", s и точками рассматриваемой об-
области, ее, возможно, придется ограничить не слишком обширной
окрестностью гиперповерхности Vn_1. В общем случае можно ут-
утверждать лишь, что в некоторой окрестности любой точки гипер-
гиперповерхности V 1 переменные ы", s способны служить координата-
Qxi Qxi
ми в Vn. В самом деле, вычислим частные производные ^-g, -^—
функций A02.3) в точке М на Vn_x (т. е. при s = 0). В силу
дх' дх* дх1
общих предположений A02.2) векторы ^, ^-j, ..., в-1 — на-
направляющие векторы касательной гиперплоскости—линейно неза-
независимы между собой. Кроме того, направленный по нормали и,
следовательно, ортогональный к ним единичный вектор т]' = —
также от них линейно не зависит. Следовательно, определитель,
образованный координатами векторов ^, ..., *_t, ~( будет
498 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
отличен от нуля:
[ГЛ. VIII
дх*
ди1 ди1 ' ''
дх1 дх*
ди>
дхп
д{х\ к*, ...,хп)
д(^ ип~\ s)
A03.1)
ds ds '' ' ds
Это показывает, что зависимость A02.3) обратима, по крайней
мере, в некоторой окрестности рассматриваемой точки М, так что
и1, ..., a", s можно выразить однозначными непрерывно диф-
дифференцируемыми функциями старых координат х1. В результате
переменные и1, ..., в", s, по крайней мере, в этой окрестности
можно принять за новые координаты.
В дальнейшем мы перейдет к координатам и1, ..., a", s;
будем обозначать их просто х1, ..., х"~1, х". Очевидно, эти
координаты обладают следующими свойствами: координатные линии
хп суть геодезические, вдоль которых х" служит длиной дуги (или,
в случае мнимого s, параметром о), причем эти геодезические ор-
ортогонально секут координатные гиперповерхности х" = const. Дейст-
Действительно, гиперповерхности s = const геодезически параллельны
между собой, а координатные линии хп служат нормальными к
ним геодезическими.
Координатную систему х1 с указанными свойствами мы будем
называть полугеодезической. Полугеодезическую систему координат
мы получим, в частности, следующим образом. Выберем какую-ни-
какую-нибудь точку Vo и рассмотрим выходящие из нее геодезические ве-
вещественной длины. Эти геодезические ортогонально пересекают
геодезические гиперсферы вещественного радиуса с центром в Vo.
Рассмотрим на одной из этих гиперсфер какую-нибудь область,
отнесенную к параметрам и1, ..., в", и к этим же параметрам
будем относить геодезические, соединяющие центр гиперсферы Vo
с точками рассматриваемой области. При этом мы берем геодези-
геодезическую каждый раз лишь по одну сторону точки Vo, т. е. рассмат-
рассматриваем геодезические лучи, исходящие из точки Vo. Положение
произвольной точки L на геодезическом луче мы будем характери-
характеризовать длиной дуги s — V0L. Очевидно, что тогда переменные и1, ...
..., в", s образуют полугеодезическую систему координат в об-
области, заполненной рассматриваемыми геодезическими лучами, т. е.
во внутренности некоторого «геодезического гиперконуха» (точка
Vo исключается). Впрочем, нужно еще оговорить, что все построе-
построение происходит в достаточной близости точки Vo, чтобы исходя-
исходящие из Vo геодезические лучи не могли иметь общих точек кроме
Vo. Разумеется, аналогичное построение можно произвести и с гео-
геодезическими мнимой длины.
§ 103] ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 499
Выясним строение метрического тензора g^ в произвольной по-
полугеодезической координатной системе.
Пусть dx1 и Ьх1—векторы бесконечно малых смещений из ка-
какой-либо точки L соответственно по координатной линии х" и по
гиперповерхности хп = const. Тогда
0. A03.2)
В силу ортогональности координатных линий хп и гиперповерхно-
гиперповерхностей х"= const скалярное произведение векторов dx', Ьх' должно
давать нуль:
Так как dxn=^0, Ьх1, Ьхг, ..., 6хп~г произвольны, то получаем:
Очевидно, это условие, обратно, достаточно для ортогональности
координатных линий х" гиперповерхностям х2=const.
Далее, записывая общее выражение линейного элемента
dsi^gifdxidxJ A03.4)
н применяя его для бесконечно малого смещения вдоль координат-
координатной линии х", получаем:
а так как вдоль линии х", в случае вещественной длины, ds = dxn,
то окончательно
gnn=\. A03.5)
Итак, в полугеодезической координатной системе координаты
метрического тензора подчинены условиям A03.3), A03.5), так
что линейный элемент принимает вид
^xn2 (a, 0 = 1, 2, ..., п—\). A03.6)
В случае, когда координатные линии хп — геодезические мнимой
длины и хп играет роль параметра а вдоль них, мы приходим к
тем же результатам с той лишь разницей, что условие A03.5)
имеет вид gnn——1 и соответственно в A03.6) вместо dxn* стоит
—dxn'.
Обратно, указанное строение линейного элемента, т. г. соблю-
соблюдение условий A03.3), A03.5), достаточно для того, чтобы данная
координатная система х' была полугеодезической.
В самом деле, условие A03.3) означает, что координатные ли-
линии хп ортогональны к координатным гиперповерхностям х" — const,
500 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
а из условия A03.5) следует, что вдоль линий х"
[ГЛ. VIII
т. е. йхп совпадает с дифференциалом дуги, и х" служит длиной
дуги. Остается показать, что линии х"—геодезические. Для этого
выпишем дифференциальные уравнения геодезических A01.1):
ds2
„fe dx' dx1
~~ ~ li~ds~ds
A03.7)
Подсчитаем коэффициенты связности вида Г?„. Пользуясь соотно-
соотношением (94.8), пишем:
Г — 1 fdSm | dg,n
1 I, nn~ 2 { дх" ""*" дхп
дх'
так как gln, gnn суть константы @ или 1). Далее, согласно (94.6)
Yin = gklYUnn = 0. A03.8)
Теперь нетрудно проверить, что линии х" будут геодезическими,
т. е. для этих линий удовлетворяются дифференциальные урав-
уравнения A03.7). Действительно, вдоль линий х" мы имеем s = xn
и следовательно,
так что -т-5- = 0. Правая же часть уравнения A03.7) в силу A03.9)
принимает вид Г*„, а значит, тоже равна нулю. Уравнения A03.7)
удовлетворяются, и наше предложение
доказано. Аналогично обстоит дело и
в том случае, когда линии х" мнимой
длины и условие A03.5) имеет вид
1
&пп== •
Мы установили (§ 101), что неизотроп-
неизотропные геодезические — линии стационарной
длины. Естественно поставить вопрос,
не будут ли они линиями экстремаль-
экстремальной длины наподобие прямых в обычном
пространстве, которые дают кратчай-
кратчайшее расстояние между двумя точками.
Рассмотрим сначала собственно риманово пространство, отне-
отнесенное к полу геодезической координатной системе, так что линей-
линейный элемент имеет вид A03.6).
Так как линейный элемент ds2 в нашем случае положительно
определенный, то, в частности, он будет положительно определен-
определенным и на гиперповерхности хп = const. При этом их" = 0, и мы
Рис. 20.
§ 103] ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 501
получаем:
ds2 = g^dx*dxV> 0 (а, р=1, 2, ... , л—1), A03.10)
если только dx' не обращаются в нуль одновременно.
Покажем, что всякий отрезок АВ геодезической линии х"
короче любой другой кривой АВ, соединяющей его концы (и лежа-
лежащей в той области, где определена наша полу геодезическая коор-
координатная система; рис. 20).
Длина отрезка АВ геодезической хп равна, очевидно, хпв — хпА ,
где хпА < х% — значения координаты х" в точках А и В.
Проведем теперь произвольную другую гладкую кривую АВ ,
соединяющую те же точки А, Б. Вычислим ее длину
АВ
Интеграл берется по кривой АВ, причем предполагается, что она
отнесена к какому-то параметру t, который нет надобности явно
выписывать. В силу A03.10)
q ^\dxn\, A03.11)
причем хотя бы на отдельных участках имеет место знак >
(иначе dx"^0, и кривая АВ совпадает с отрезком АВ геодези-
АВ геодези" В
ческой
В
результате
s>
Последнее неравенство написано в силу известного свойства опре-
определенных интегралов. Так как
J dxn = xnB—xnA>0,
АВ
то окончательно получаем:
s>xnB — xA, A03.12)
что мы и хотели показать.
Таким образом, отрезок геодезической АВ действительно дает
кратчайшее расстояние между точками А, В по сравнению с кри-
кривыми АВ, лежащими в некоторой окружающей его области, если
только его можно включить в координатную линию х" полугеодези-
полугеодезической координатной системы. А между тем это не всегда можно
502 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
сделать. Действительно, пусть геодезический отрезок АВ нам задан.
Чтобы построить полугеодезическую координатную систему, в ко-
которой данный отрезок принадлежал бы координатной линии х",
естественно поступить так. Проводим какую-нибудь гиперповерх-
гиперповерхность Vn_t через точку А ортогонально к геодезической АВ. Разу-
Разумеется, условие ортогональности определяет лишь касательную
гиперплоскость к Vn_1 в точке А; в остальном Vn_x прово-
проводится произвольно. Примем гиперповерхность Vn_1 за исход-
исходную для построения полугеодезической координатной системы
х1, ..., х"~г,х" — и1, . ...и", s; нормальная к Vn_1 геодезическая
АВ включится в число координатных линий хп. Однако, как мы
знаем, переменные и1, .. . , в", s наверняка дают полугеодезическую
координатную систему лишь в некоторой окрестности точки А;
при дальнейшем продолжении нормальных к Vn_t геодезических
они, возможно, начинают пересекаться и тем самым становятся
неспособными служить координатными линиями х". Поэтому мы не
можем утверждать, что обязательно весь отрезок АВ включается
в координатную линию х" нашей полугеодезической системы; это
можно утверждать лишь для некоторого отрезка АВ', составляю-
составляющего часть отрезка АВ. Тем самым, не всякий вообще отрезок
геодезической дает кратчайшее расстояние между своими концами
хотя бы в некоторой окружающей его области; но всякий отрезок
геодезической, отложенный от произвольно взятой ее точки А и не
слишком большой по длине, этим свойством обладает. Для более
точной оценки тех пределов, в которых можно менять длину этого
отрезка, необходимо было бы прибегнуть к более тонким методам
вариационного исчисления.
Простым примером может служить двумерная собственно рима-
нова геометрия на обычной сфере. Геодезическими являются окруж-
окружности больших кругов, причем дуга АВ, меньшая полуокружности,
дает кратчайшее расстояние между точками А, В на сфере; дуга
же АВ, ббльшая полуокружности, не дает кратчайшего расстояния
даже в сколь угодно узкой окружающей ее области на сфере.
Положение вещей сильно меняется в случае псевдориманова
пространства. Будем для определенности рассматривать геодези-
геодезические вещественной длины и сравнивать их с линиями тоже только
вещественной длины. Прежде всего в псевдоримановом простран-
пространстве будет неверным соотношение A03.10), а следовательно, падает
и весь вывод, приводящий к A03.12). Так как теперь g^dx"dx$
может быть, вообще говоря, и отрицательным и положительным,
то длина s кривой АВ может быть и больше и меньше длины
геодезического отрезка АВ. Геодезические линии даже в малых
кусках теряют свои экстремальные свойства и остаются лишь
линиями стационарной длины. Исключением является случай, когда
линейный элемент на гиперповерхностях хп~ const будет отрица-
§ ЮЗ] ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 503
тельно определенным:
<0. A03.13)
Рассмотрим этот случай подробнее.
Так как геодезические линии х11 по нашему предположению
имеют вещественную длину и вдоль них ds2 > 0, то речь идет,
очевидно, о псевдоримановом пространстве индекса п—1. В этом
случае, сравнивая отрезок АВ геодезической линии х" с гладкой
кривой АВ тоже вещественной длины, получаем вместо A03.11)
9 xnl < | dxn |. A03.14)
При движении по АВ от точки А к точке В все время
dxn > 0.
Действительно, так как х% > х\, то dx" не может все время
оставаться отрицательным; если допустить для dx" отрицатель-
отрицательные значения, то, переходя от них к положительным значениям,
dx" принимал бы значение нуль в силу гладкости кривой АВ.
В этих точках мы имели бы согласно A03.6)
dsi = ge9dxadx* <0
вопреки предположению о вещественной длине кривой АВ*).
Итак, dxn > 0, и A03.13) можно переписать в виде
dx" dx$ + dxn% < d x".
Интегрируя это неравенство по кривой АВ и учитывая, что, по
крайней мере, на некоторых участках неравенство является строгим,
мы получаем:
s<xnB— x\. A03.15)
Следовательно, в псевдоримановом пространстве индекса п — 1
отрезок АВ геодезической вещественной длины дает длиннейшее
расстояние между точками А, В, предполагая, что этот отрезок
можно включить в координатную линию х" полугеодезической коор-
координатной системы и что для сравнения берутся гладкие кривые
АВ вещественной длины из области, где определена эта коорди-
координатная система.
Как и раньше, включение АВ в координатную линию х" можно
гарантировать лишь для не слишком больших АВ.
*) Строго говоря, эти рассуждения следовало бы вести не с dxn, а с про-
изводной -JT-, где t — параметр, монотонно растущий вдоль кривой АВ,
dx'
причем — одновременно в нуль не обращаются.
504 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VUI
В случае псевдоевклидова пространства Rn индекса л—1 эта
оговорка отпадает: всякую прямую вещественной длины можно
принять за ось х" ортонормированной координатной системы х1,
хг, ... , л:", х", в которой скалярный квадрат вектора имеет вид
х2 =— л;1'—... — xn-i* + xn\
Поэтому любой прямолинейный отрезок АВ вещественной длины
будет служить длиннейшим расстоянием между точками А а В,
если для сравнения брать гладкие кривые АВ тоже вещественной
длины.
Совершенно аналогичным образом в Rn индекса 1 прямолиней-
прямолинейный отрезок АВ мнимой длины будет служить длиннейшим рас-
расстоянием между точками А и В по сравнению со всевозможными
гладкими кривыми АВ тоже мнимой длины.
§ 104*. Динамика системы в обычном пространстве
как динамика точки в римановом пространстве
В этом параграфе мы рассмотрим сначала динамику точки
в собственно римановом пространстве Vn, а затем покажем, как
истолковать в этом смысле обычную динамику системы.
Мы будем рассматривать в Vn подвижную точку М, обладаю-
обладающую массой единица и находящуюся под действием силового поля
/*=/*(*\ .... Xя; t). A04.1)
Здесь /*—вектор, заданный в каждой точке и в каждый момент
времени t и выражающий силу, действующую на М, если М
попадает в эту точку в этот момент времени.
Все понятия механики в римановом пространстве мы будем
трактовать по аналогии с механикой в обычном пространстве.
Пусть закон движения точки М задается уравнениями
где t — время. Естественно принять вектор
-,- dxl
Dx1
за вектор скорости, а вектор -т- за вектор ускорения точки М.
Тогда дифференциальные уравнения движения точки М будут:
ТГ=/*> A04-2)
или в развернутом виде
?? + гЪ(х\ .... *")^зг=/*(*1. ....*"; t). (Ю4.3)
§ 104] ДИНАМИКА СИСТЕМЫ В Rn КАК ДИНАМИКА ТОЧКИ В Vn 505
Если /ft = 0, т. е. движение совершается по инерции, мы полу-
получаем дифференциальные уравнения геодезических линий, которые
и служат в этом случае траекториями движения; при этом время t
играет роль канонического параметра. Для дальнейшего будет
полезно перейти к другой форме этих дифференциальных уравне-
уравнений, а именно, опуская индекс k (как обычно, при помощи метри-
метрического тензора gtj) в уравнении A04.2), получаем:
dt
ij i jов
рости и силы. В развернутом вид
где xi = gijxi, fi = gijfJ—ковариантные координаты векторов ско-
скоВ е
¦ dxk ,
х
Заменяя здесь -тт- через хк и хр через gplx!, получаем:
|?-Г«,*^* = /„ (Ю4.4)
где, как обычно,
Вспоминая выражение для Гг, ftI-
Г _ ! (dStk | дён dSki\
1'•*'-2 [dxi^dx" dxi)>
свертывая его с xlxk, получаем ^4х1хк, так как второй и тре-
2 дх1
тий члены взаимно уничтожаются. Теперь A04.4) можно пере-
переписать в виде
—'- Щ х' xK=f,. A04.5)
dt 1 дх1 Ji V
За кинетическую энергию Т точки М естественно принять про-
произведение массы (которая равна единице) на половину квадрата
скорости; при этом квадрат скорости можно подсчитать как ска-
скалярный квадрат вектора х1. Получаем:
T=^glk{x\ ..., x")xlx". (Ю4.6)
Рассматривая Т как функцию 2л переменных, именно, х', х1 ,
вычислим частные производные:
дТ _ 1 dglk ¦ i -k дТ ¦»_ •
В последнем случае дифференцируем по д; сначала множитель х1,
506 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
затем хк, причем оба раза получается одно и то же выражение.
В результате A04.5) принимает вид
±(a_T_\ni_ (]047)
dt \ дх'/ дх1 ~ 7'-
Рассмотрим теперь механическую систему в обычном пространстве
со склерономными и голономными связями. Это значит, что связи, во-
первых, не зависят от времени и, во-вторых, носят конечный (не
дифференциальный) характер. В таком случае кинетическая энергия
системы Т, записанная в обобщенных координатах q' (i= 1, 2, ... , п),
имеет вид положительно определенной квадратичной формы относи-
относительно q' с коэффициентами, зависящими от q':
T=\alk{q\ .... q")ql q". A04.8)
Запишем дифференциальные уравнения движения системы (уравне-
(уравнения Лагранжа 1-го рода):
UT)fT = Qi ('=1, 2, ...,л). (Ю4.9)
dt \ dq'J dq'
Здесь Qiiq1, ... , qn\ t) — обобщенные силы соответственно по
координатам q'.
Рассмотрим я-мерное многообразие положений механической
системы, отнесенное к координатам q'. Превратим это многообразие в
собственно риманово пространство Vn, вводя в нем линейный элемент
ds2 = au(q\ . .. , qn) dq'dq> A04.10)
с коэффициентами, заимствованными из выражения кинетической
энергии. Из механического смысла этой квадратичной формы,
именно, ds2=2Tdt2, вытекает ее инвариантный характер (относи-
(относительно преобразования обобщенных координат ql). Метрический
тензор имеет вид gtj=uij- Движение системы можно теперь истол-
истолковать как движение точки М единичной массы в римановом про-
пространстве Vп. Уравнения движения системы A04.9) мы истолкуем
тогда как уравнения движения точки A04.7), причем обобщенные
силы Q( будут играть роль ковариантных координат /,- той силы,
которая действует на точку М.
Допустим теперь, что на нашу систему наложены кроме голо-
номных и неголономные связи вида
(ft) W
bxdq*+...+bndqn = Q (k = 1, 2, .. . , р), A04.11)
(к)
где bt — функции от q1, ... , qn. Эти р уравнений предполагаются
линейно независимыми.
§ 104] ДИНАМИКА СИСТЕМЫ В Rn КАК ДИНАМИКА ТОЧКИ В Vn 507
С точки зрения риманова пространства Vn уравнения A04.11)
означают следующее. В каждой точке ql задается проходящая
через нее п—р^мерная плоскость касательного пространства, век-
векторы которой |' удовлетворяют уравнениям
(ft) .
ЬA'=0 D=1, 2, ...,/>), A04.12)
A) (/>)
где bt, ... , b( — ковариантные тензоры.
Как видно из A04.11), допустимыми являются лишь те дви-
движения точки М, при которых вектор скорости д'= Л- в каждой
точке траектории принадлежит плоскости A04.12). Эту плоскость
мы будем называть допустимой, а ее векторы |' — допустимыми.
Однако лишь кинематическая формулировка не исчерпывает
значения неголономных связей (как, впрочем, и голономных). Точ-
Точный механический смысл связей A04.11) заключается в появлении
при каждом движении точки М силы реакции, ортогональной
к допустимой плоскости и подобранной так, чтобы обеспечить
допустимый характер движения.
Обозначим ковариантные координаты силы реакции через ф(-.
Для того чтобы она была ортогональна ко всем векторам |' допу-
допустимой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы тензор w, пред-
(*)
ставлял собой линейную комбинацию тензоров bt:
A) (/>>
yt = b1bl+... +y>(-. A04.13)
(ft)
Здесь bt — известные нам функции точки, a Xlt . .. , Хр—неизвест-
Хр—неизвестные функции времени t, подлежащие определению особо для каж-
каждого движения точки М.
Теперь движение точки М мы ищем следующим образом. Неиз-
Неизвестными функциями от t являются q1, . .. , qn\ Ц, . .. , % Диф-
Дифференциальные уравнения движения A04.9) ввиду появления силы
реакции примут вид
причем сюда нужно присоединить вследствие A04.11) еще уравнения
(ft).,
brf=0 (ft=l, 2, ... , p). A04.15)
Всего мы имеем п-\-р дифференциальных уравнений для опреде-
определения п-\-р неизвестных функций от t. При этом Яь ... , Я вхо-
входят конечным образом и могут быть исключены из наших урав-
уравнений путем свертывания A04.14) поочередно с л— р линейно
508 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. VIII
независимыми допустимыми векторами
S(i)> 6BI • • •, ъ(п-р)-
Окончательно мы получим п—р дифференциальных уравнений 2-го
порядка и р уравнений 1-го порядка A04.15) относительно не-
неизвестных функций ql {t). Эта система будет иметь одно и только
одно решение, если как-либо задаться в начальный момент t=t0
точкой (q'H и вектором скорости (—¦) , лежащим в допустимой
V at /о
плоскости.
Механику системы можно связать с римановой геометрией и
существенно иным образом — через принцип наименьшего действия.
Будем рассматривать на этот раз систему не только склеро-
склерономную и голономную, но и консервативную, т. е. обладающую
потенциалом сил U(q1, ..., q"), так что
Полная энергия Е—Т—U при действительном движении такой
системы остается постоянной. Мы будем рассматривать движения
системы лишь с фиксированным значением энергии Е:
Е— const.
Введем в я-мерном многообразии положений системы риманову мет-
метрику иначе, чем раньше, а именно, положим:
ds2=2(U+E)aijdpidqJ, A04.16)
где a^iq1, ..., q") имеют прежний смысл. Траектория всякого
движения системы изображается кривой в этом римановом простран-
пространстве. Пусть движение началось с положения А и кончилось поло-
положением В. Тогда соответствующая кривая начинается в точке А и
кончается точкой В. Длина этой кривой имеет вид
ds= ] У2 (U + E) Vaudql dqi .
AB A~B
Согласно принципу наименьшего действия в форме Якоби траек-
траектория действительного движения системы между положениями А
и В дает стационарное значение этого интеграла, т. е. геодезиче-
геодезическую линию в римановом пространстве. Итак, траектории действи-
действительных движений системы с фиксированным значением энергии
изображаются геодезическими линиями в римановом пространстве
с метрикой A04.16).
ГЛАВА IX
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
До сих пор мы занимались римановым пространством Vn и про-
пространством аффинной связности Ln, в сущности, лишь в той мере,
в какой первое из них напоминало евклидово пространство Rn, a
второе — аффинное пространство Ап. Мы по мере возможности пе-
переносили свойства этих простых пространств в более общие и
сложные пространства Vn и Ln.
Теперь нам предстоит рассмотреть теорию кривизны пространств
Vn и Ln, причем под кривизной мы здесь понимаем, грубо говоря,
уклонение геометрии этих пространств от геометрии их прообразов,
Rn и Ап (правда, в случае Ln с кручением уклонение от геометрии
в Ап выражается также и кручением). Это уклонение мы будем
оценивать в бесконечно малой окрестности произвольной точки М,
где оно, как мы увидим, будет выражаться в главной своей части
определенным четырехвалентным тензором, заданным в точке М,—
тензором кривизны [тензором Римана — Христоффеля). Поэтому во
всем дальнейшем тензор кривизны будет играть у нас основную
роль.
§ 105. Тензор кривизны в Ln
Мы начнем с построения тензора кривизны в Ln, затем рас-
рассмотрим его в частном случае L° (Ln без кручения) и затем в еще
более частном случае Vn. При переходе от Ln к L"n и от Z." к Vn
тензор кривизны обогащается каждый раз новыми важными свой-
свойствами, которые требуют особого рассмотрения.
К тензору кривизны в Ln мы придем сначала в результате не-
некоторых формальных выкладок, а геометрический его смысл покажем
позже.
Пусть в Ln дано одноковариантное тензорное поле
и{ = и{(х\ ..., хп). A05.1)
Вычислим абсолютный дифференциал ?>и,- тензора и{ при беско-
бесконечно малом смещении из данной точки М в каком-либо направ-
направлении; от этого дифференциала, который снова представляет собой
510 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
одноковариантный тензор в точке М, вычислим абсолютный диф-
дифференциал D при бесконечно малом смещении из точки М в каком-
нибудь другом направлении (знак ~~ отмечает, что направление сме-
смещения теперь другое). Получим тензор DDut. С другой стороны,
вычислим тензор DDut, отличающийся от предыдущего лишь по-
порядком абсолютных дифференцирований. Как оказывается, эти тен-
тензоры будут, вообще говоря, различны; мы хотим уяснить себе,
какова будет их разность.
Прежде всего нужно уточнить постановку вопроса, так как,
строго говоря, неясно, что значит взять дифференциал D от диф-
дифференциала Dut. Мы это уточним следующим образом.
Рассмотрим в Ln двумерную поверхность 5Ш2:
*'=**(а, Р), A05.2)
отнесенную к параметрам а, р. Впрочем, здесь не возбраняется и
вырождение поверхности 5Ш2 в линию или даже точку. Мы имеем
в виду, следовательно, просто совокупность точек, определяемых
уравнениями A05.2), без каких-либо условий (кроме того, что
функции V(a, P) дважды непрерывно дифференцируемы).
Всегда можно выбрать поверхность 5Ш2 так, чтобы она прохо-
проходила через данную точку М, а ее координатные линии аир шли
по наперед заданным направлениям в точке М.
Пусть D, D—символы абсолютных дифференциалов, вычислен-
вычисленных в произвольной точке 9Л2 при бесконечно малых смещениях
по координатным линиям соответственно а, р и пусть d, d— сим-
символы обыкновенных частных дифференциалов по а и р. Тогда
(Ш5-3)
Заметим, что, оставаясь на поверхности 3R2, мы можем считать
функциями от а, р не только текущие координаты х' (а, Р), но
и зависящие от них координаты тензора и,-. Формулы A05.3) мож-
можно переписать, явно выражая участвующие в них частные диф-
дифференциалы:
Теперь ясно, что мы вправе рассматривать Dui% Dti; как функции
от a, P, т. е. как тензорные поля на поверхности Шг, а значит,
можем по обычным формулам вычислять от них абсолютные диф-
дифференциалы при бесконечно малых смещениях по 5Ш2. При этом
§ 105] тензор кривизны в Ln 511
мы рассматриваем da и йф как постоянные множители (точнее,
как величины, не зависящие от а и Р). Вычислим теперь факти-
фактически DDu.[. Для краткости записи мы будем пользоваться фор-
формулами A05.3), не упуская, однако, из виду их точный смысл
A05.4). Вставляя во вторую формулу A05.3) Dut вместо и,-, по-
получим:
DDu~d (?>«,-) —Г& Dup dxk.
Теперь вместо Dui вставим его выражение из первой формулы
A05.3):
DDu~d (dUi-Y"kiup dxk) -Т"ы {dup- Y%uq dx') ~dxk =
= d dUi—dVlt-u, dxk—Ypkl dup dxk—Ypkiu~d dxk—
— YPkldupdxk + YPkiriPiiqdxldxk. A05.5)
При вычислении DDii; мы получим тот же результат с той лишь
разницей, что символы d и d в окончательном выражении поме-
поменяются местами. При этом первый и четвертый члены не изменятся,
так как результат частных дифференцирований d и d не зависит
от их порядка. Кроме того, третий и пятый члены поменяются
лишь местами, и сумма их останется прежней. Следовательно, при
вычитании DDut из DDui перечисленные члены уничтожаются, и
мы должны выписать лишь второй и шестой члены выражения
A05.5), затем переставить в них символы d и d и результат вы-
вычесть. Получим (изменяя во втором члене обозначение индекса
суммирования р на д):
i-DDui = —5rji«, dx" + rS/Прв, dx1 dxk +
+ dYllugdx"-Y>>kiYlugdxl dxh. A05.6)
Учитывая, что Г& — функция от х1, ..., х", можно записать:
Вставляя эти выражения в A05.6) и поменяв местами обозначения
индексов суммирования k и / во втором и третьем членах правой
части, получаем:
~dx'
512 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
Введем обозначение
#/*л?=§+вд,-^-1да. (Ю5.8)
Тогда A05.6) примет вид
DDUi—DDiii = Rik, ;"и? dx1 dxk. A05.9)
Формулы A05.8), A05.9) являются окончательными, и мы долж-
должны в них разобраться. Левую часть A05.9) можно назвать альтер-
альтернированным вторым абсолютным дифференциалом тензора и( для
бесконечно малых смещений dx1, dxl. Действительно, при рассмат-
рассматриваемом нами бесконечно малом смещении da по координатной
линии а (или dfi по координатной линии Р) дифференциалы коор-
координат точки равны dx'(или соответственно dx'). Мы видим из
A05.9), что этот альтернированный второй абсолютный дифферен-
дифференциал тензора и1 линейно зависит от и,-, dx' и dx'. Коэффициенты
этой трилинейной функции обозначены нами Rlkj4. и, как видно
из A05.8), зависят лишь от точки, в которой вычисляется альтер-
альтернированный дифференциал (так как Г*;-= Г*7- (х1, . •*"))• Эти
коэффициенты образуют четырехвалентный тензор, трижды кова-
риантный и один раз контравариантныи в соответствии с расста-
расстановкой его индексов.
В самом деле, левая часть A05.9) представляет собой одно-
ковариантный тензор по основному свойству абсолютного диффе-
дифференцирования. Следовательно, правая часть по отношению к ин-
индексу i также преобразуется по ковариантному закону:
Ri'k'. р i'uq~dx1' dxk> = ¦%¦ Rii, i чи dx1 dx".
dx1 ' ч
Так как
то, делая в правой части соответствующую замену, получаем:
г-. a' j it j ы д*' о а дх9 дх1 - ,, dxk , ..
RUkf.tl uq. dx1' dxk> = —jr Rikf —- uq, —y dx1' —^ dxk'.
dx' dx4 dx1 dxR
Мы можем рассматривать любое тензорное поле at и произволь-
произвольные бесконечно малые смещения dx', dx1 из данной точки М. По-
Полученная формула остается верной и, значит, представляет собой
тождество относительно щ»л dx1', dxk'. Сравнивая коэффициенты
§ 105] тензор кривизны в Ln 513
при этих величинах в левой и правой частях, мы получаем:
п. . .я' дх1 дхк дх1 дхч' р.. ,q nnt. < „.
дх' дхк дх1 дх"
Это показывает нам, что Rik.f. действительно образуют тензор
трижды ковариантный и один раз контравариантный.
Тензор Rikj4, составленный из объекта связности Г*;- согласно
A05.8), называется тензором, кривизны (или тензором. Римана —
Христоффеля) пространства аффинной связности Ln. Очевидно, тен-
тензор кривизны определен вместе с Г*,-^1, ..., х") в каждой точке
пространства Ln и образует в нем тензорное поле:
Тензор кривизны кососамметричен по первым двум индексам:
Rik;l=-Rkif (iO5.il)
Это легко усмотреть из формулы A05.8), которую можно перепи-
переписать в виде
Rik.f.=Al,u—Alkit A05.12)
где мы для краткости обозначили
Легко заметить, что в аффинном (или хотя бы локально аффин-
аффинном) пространстве Ап тензор кривизны тождественно равен нулю.
Действительно, в этом случае можно перейти в аффинную коор-
координатную систему (хотя бы в окрестности каждой точки), в кото-
которой, как мы знаем, Г^-sO, а следовательно, Rkijq ^0.
Естественно поставить теперь вопрос об альтернированном вто-
втором абсолютном дифференциале одноконт равариантного тензорного
поля V1 (х1, ..., хп). Другими словами, мы хотим вычислить
DDv' — DDv', где символы D и D имеют прежний смысл. Конечно,
эту выкладку можно провести прямым путем подобно предыдущей
выкладке для одноковариантного поля ц(-. Но для краткости мы
предпочтем искусственный прием с использованием уже получен-
полученной формулы A05.9), а именно, составим инвариант v'u{ путем
свертывания данного тензора v' (х1, ..., х") с произвольным тен-
тензором иДлг1, . . ., хп).
По известному нам правилу (ср. (97.8)) вычислим абсолютный
дифференциал D от этого инварианта:
D (v'ui) = ZV • к,- + v' ¦ ?>«,..
17 П. К. Рашевский
514 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
От полученного результата вычислим абсолютный дифференциал D:
DD(х/и,.) = DDi/¦ и, + Dv''• Dut-+Ъъ'•Da,. + v'-DDii;. A05.13)
В этой формуле мы поменяем местами символы D и D. Левая
часть при этом не изменится, так как абсолютные дифференциалы
D и D, взятые от инварианта, совпадают с обыкновенными диф-
дифференциалами d и d, т. е. с перестановочными между собой част-
частными дифференциалами по параметрам а и р. В правой части по-
поменяются местами второй и третий члены, так что сумма их не
изменится. Вычитая почленно из A05.13) формулу, полученную из
A05.13) взаимной перестановкой D и D, мы приходим, следова-
следовательно, к такому результату:
0 = (DDv'—DDv1) и. + vl
Обозначая в первом члене индекс суммирования q вместо / и делая
во втором члене замену согласно A05.9), получим:
{DDv4—DDv4) uq + v'Rik, ,\ ~dxl dxk = 0.
Учитывая, что uq — произвольное тензорное поле, мы должны рас-
рассматривать полученное равенство как тождество относительно и .
Поэтому коэффициенты при ид должны быть по отдельности равны
нулю. Отсюда получаем:
DDvq—DDvq = — Rik, i-V dxl dx". A05.14)
Мы получили, таким образом, формулу, аналогичную A05.9), но
для поля одноконтравариантного тензора.
Вычислим, наконец, альтернированный второй абсолютный
дифференциал для произвольного тензорного поля, например,
Z"u{x\ ...,xn).
Для этой цели мы прибегнем к сходному приему, а именно,
свернем каждый ковариантный индекс данного тензора с произволь-
произвольным одноковариантным тензором, а каждый контравариантный ин-
индекс— с произвольным одноковариантным тензором. В нашем при-
примере мы получаем этим путем инвариант
' A05.15)
где и , v', w* — произвольные тензорные поля. Вычислим затем
DDI—DDL Дифференцируя дважды правую часть A05.15), мы
можем не выписывать все получающиеся при этом члены: доста-
достаточно сохранить лишь те, в которых оба дифференцирования па-
падают на один и тот же множитель. В самом деле, те члены, в
которых D действует на один множитель, a D на другой, будут
одинаковы как в DD/, так и в DDI и при вычитании уничтожатся
§ 106] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ 515
(как второй и третий члены в A05.13)). В результате получаем:
DDI—DDI= {DDZPj—DDZIj) upt/wJ + Zpa- (DDup—DDup) v'w1 +
+ ZPjUp (DDv' — DDv1) wJ -f ZR/Upt/ (DDw1— DDwj).
Левая часть равна нулю, так как по отношению к инварианту /
D и D превращаются в обыкновенные частные дифференциалы по а
и р. В правой части заменяем круглые скобки (кроме первой) со-
согласно A05.9) и A05.14). Получаем:
0 = (DDZptl—DDZ1j) Up-dw1 +
+ ZP, {Ribfu^w'—RH, 'iupvmw'—Rrk, Jupv'w} dxl dx\
Так как up, v', wJ—произвольные тензорные поля, то мы имеем
здесь тождество относительно ир, vl, wJ, а поэтому коэффициенты
при произведениях upvlw* должны быть после приведения подоб-
подобных членов равны нулю. Соберем коэффициенты при произведении
и^"и>1, считая индексы г, s, t как-нибудь фиксированными. Тогда
в первом члене нужно положить р, i, j=r, s, t, во втором члене
q, i, j=rt s, t, в третьем p, m,j=r s, t и в четвертом р, г, т =
= r, s, t. Перенося все члены кроме первого в другую часть ра-
равенства, получим:
DDZrst—DDZrst =
= {— RikZZPt + R'ik,''Zrlt + RihJzZi) dxl dxk. A05.16)
Итак, проальтернированный второй абсолютный дифференциал
от произвольного тензора представляет собой сумму членов, состав-
составленных поочередно для каждого из его индексов, причем для каж-
каждого верхнего индекса соответствующий член составляется по схеме
A05.14), а для каждого нижнего — по схеме A05.9). При составле-
составлении члена, отвечающего данному индексу, остальные индексы пере-
переписываются без изменения. В нашем случае первый член составлен
для верхнего индекса г, второй—для нижнего индекса s, третий —
для нижнего индекса t.
Хотя мы имели дело с тензором частного вида, но совершенно
аналогичный вывод можно повторить и для любогр тензора, так что
формулированное выше правило справедливо в общем случае.
§ 106. Геометрический смысл тензора кривизны
Мы хотим показать, что тензор кривизны в каждой данной точке
пространства Ln позволяет определить, насколько уклонится от сва-
его первоначального значения вектор, произвольно выбранный в
этой точке и параллельно обнесенный по какому-нибудь бесконечно
17*
516 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
малому замкнутому контуру (мы учитываем, конечно, лишь главную
часть этого уклонения).
Покажем прежде всего, что, для того чтобы пространство Ln
обладало абсолютным параллелизмом, необходимо и, в случае одно-
связного Ln, достаточно тождественное обращение в нуль тензора
кривизны.
Необходимость. Пусть дано, что Ln обладает абсолютным парал-
параллелизмом (§ 93). Тогда произвольный вектор %'(Мо), заданный в ка-
какой-нибудь точке /Ио, в результате его параллельного перенесения
в каждую точку М пространства Ln порождает однородное вектор-
векторное поле ?' (М). Вектор этого поля |' (М) при параллельном пере-
перенесении по любому пути в любую точку М' переходит в вектор
того же поля g'(Af'). Отсюда следует, что при любом бесконечно
малом смещении из точки М вектор поля ?' (М) имеет абсолютный
дифференциал, равный нулю:
?>|' = 0. A06.1)
Знак тождества подчеркивает, что равенство имеет место в любой
точке М и для любого бесконечно малого смещения. Придадим сим-
символам D и D тот же смысл, как и в § 105. Тегда согласно A06.1)
имеют место равенства
D|'==0, ?>!'¦= 0.
Действуя на первое из них посредством D, на второе — посредством
D и вычитая из первого второе почленно, получим:
?)?>!' —?>?)!'= 0.
Согласно A05.14) отсюда следует:
Rk),ltpdxkdxl=0.
Так как однородное векторное поле можно получить, задавшись
произвольным вектором \р(Мо) в произвольной точке /Ио, то мы
имеем здесь тождество относительно %р. Кроме того, это тождество
и относительно dxk и dxl, которые можно брать совершенно про-
произвольными. Следовательно,
в каждой точке пространства Ln. Необходимость нашего признака
деказана.
Прежде чем переходить к доказательству достаточности, выведем
одну формулу, представляющую и самостоятельный интерес.
§ 106] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ 517
Рассмотрим в произвольном Ln какую-нибудь кривую
xi = xi(t) (t1^t^ti), A06.2)
соединяющую точки Р{х'Р) и Q(x'q). Эту кривую мы будем варьиро-
варьировать, т. е. включим ее в семейство кривых
х' = х'((, а) (^<^</а), A06.3)
где параметр а меняется, например, от 0 до 1. Пусть при этом
т. е. при а = 0 мы получаем исходную кривую. Предположим, кроме
того, что концы кривой Р и Q закреплены, так что при любом а
x'(tlt а) = х'Р, xl(tis a) = x'Q. A06.4)
Зададимся в начальной точке Р каким-либо вектором |р и будем его
параллельно переносить вдоль каждой кривой семейства. Тогда
в каждой точке t каждой кривой а определится вектор, который
мы обозначим I?(t, а). Так как вдоль каждой кривой семейства этот
вектор переносится параллельно, та
DZfit, а) = 0, A06.5)
где D—символ абсолютного дифференциала при бесконечно малом
смещении t—>-t-\-dt при постоянном а (заметим, что из теории диф-
дифференциальных уравнений следует, что |' (/, а) будут достаточное
число раз непрерывно дифференцируемыми функциями t, а, поскольку,
как мы предполагаем, это верно для функций xl (J, а)).
Пусть, далее, D—символ абсолютного дифференциала при бес-
бесконечно малом смещении а—>-a-\-da при постоянном t. Перепишем,
для векторного поля %'(t, а) формулу A05.14):
DDV-Dhl1 = — Rki,P%pdxk dxl,
где d — символ частного дифференциала по аргументу t, a d—по
аргументу а. Так как ?)?' = 0, то получаем окончательно:
Dbii^Ru;;ip~dxkdxi. (Ю6.6)
Эту формулу мы и хотели получить. Теперь применим ее к про-
пространству Ln, в котором тензор кривизны тождественно равен нулю.
Мы получаем:
518 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
т. е. вектор Z)|' (t, а) параллельно переносится вдоль каждой кри-
кривой семейства.
В подробной записи D\l имеет вид
?>?< = С+ ГЦ^лЛ A06.7)
Ввиду закрепленности концов Р и Q их координаты хр и x'q оста-
остаются постоянными, так что
dxlP — dx'Q = 0.
Поэтому в точках Р и Q формула A06.7) дает
Ь^р = dtp, D|'Q = dl'Q, A06.8)
где |р — постоянный вектор, заданный в точке Р, a |q = ?' {t2, а)—
результат его параллельного перенесения по кривой а в точку Q.
Ввиду постоянства ?р мы имеем d\'p = 0, а следовательно, и D\lp =0.
Далее, так как вектор Dh,' (t, а) параллельно переносится вдоль каж-
каждой кривой семейства, причем в начальной точке Р кривой D|'=0,
то тем самым и в каждой точке кривой
В частности, в конечной точке Q
DVo = 0,
а значит, в силу A06.8)
Так как d—символ частного дифференциала по аргументу а, то это
показывает, что с изменением а вектор |q остается постоянным, г. е.
что результат параллельного перенесения вектора |р из точки Р в
точку Q не зависит от той кривой семейства, по которой это пере-
перенесение совершалось.
Если ограничиться односвязными пространствами Ln, то для лю-
любых двух путей, ведущих из точки Р в точку Q, возможен непре-
непрерывный переход от одного к другому, т. е. включение их в одно
семейство вида A06.3). При этом можно обеспечить и непрерывную
дифференцируемость функций x'(t, а) того же порядка, какая пред-
предполагается для функций х' (t), дающих параметрическое представ-
представление того и другого пути, а значит вектор |q, полученный пере-
перенесением вектора \Р из точки Р в точку Q по любому из данных
§ 106] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ 519
двух путей, будет одним и тем же. Этим доказана и достаточность
нашего признака.
Аффинное пространство Ап, обладая абсолютным параллелизмом,
имеет тензор кривизны, тождественно равный нулю; кроме того,
его тензор кручения тоже равен нулю. Равенство нулю кривизны
и кручения, очевидно, справедливо и для локально аффинного про-
пространства.
Обратно, если, пространство Ln без кручения, т. е.
и, кроне того, без кривизны, т. е.
Я«,р. = 0,
то это пространство Судет (по крайней мере, локально) аффинным.
В самом деле, из Rk'i,p. = 0 следует по вышедоказанному, что
Ln обладает абсолютным параллелизмом, по крайней мере, в каждом
односвязном куске.
Но в § 93 было показано, что Ln с абсолютным параллелизмом
и без кручения является (локально) аффинным пространством. Таким
образом, каждый односвязный кусок нашего Ln, а вследствие этого
и само Ln, оказывается локально аффинным пространством.
Итак, для того чтобы, пространство аффинной связности было
(локально) аффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно обла-
обладало нулевой кривизной и нулевым кручением.
Возвращаемся к общему случаю Ln. Так как обращение в нуль
тензора кривизны равносильно наличию абсолютного параллелизма
в данном пространстве (в его односвязных кусках), то естественно
ожидать, что отличный от нуля тензор кривизны в каком-то смысле
характеризует уклонение от абсолютного параллелизма. Мы будем
оценивать это уклонение следующим образом. Исходя из произволь-
произвольной точки М, проделаем параллельное обнесение вектора по зам-
замкнутому пути с возвращением в прежнюю точку М. В случае абсо-
абсолютного параллелизма мы возвращаемся в точку М с прежним
значением вектора. (Действительно, перенесение от пути в этом
случае не зависит, так что результат обнесения по замкнутому кон-
контуру будет таким же, как и тогда, когда весь этот контур стянут
в одну точку М и когда, следовательно, переносимый вектор про-
просто остается на месте.)
Уклонение же параллельно обнесенного вектора от прежнего
значения будет связано, таким образом, с нарушением абсолютного
параллелизма. Это уклонение мы и будем рассматривать и покажем,
что для бесконечно малого контура оно (в своей главной части)
характеризуется тензором кривизны в точке М.
520 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. 1Х
§ 107. Геометрический смысл тензора кривизны (окончание)
Мы будем рассматривать различные кусочно гладкие кривые,
выходящие из какой-нибудь точки М(х'м) пространства Ln. Эти кри-
кривые мы относим к параметру s, значение которого для каждой
точки Q на кривой определяется по формуле
[ +
MQ
Здесь интеграл берется по отрезку кривой от точки М до точки Q.
В точке М параметр s, очевидно, равен нулю, а по мере удаления
точки Q от М он принимает возрастающие положительные значения.
(Координатная система х' в окрестности точки М временно фикси-
фиксирована.) Мы будем рассматривать кривые, для которых s меняется в
пределах
0<s<S, A07.2)
где значение 5 фиксировано. Такие кривые располагаются (при
достаточно малом S) в некоторой окрестности точки М, именно
определяемой условием
(*> — **,)¦ + ... +(xa — x"M)*<SK A07.3)
Только эту область мы и будем рассматривать. Параметрические
уравнения рассматриваемых кривых мы будем писать в виде
*' = *'(*),
причем под Q будем понимать в дальнейшем подвижную точку
с координатами х' (s). Согласно A07.1)
ds = VdxlZ+ ... + dxn\ A07.4)
Отметим, что отсюда следует:
A07.5)
Параметр s не обладает, конечно, инвариантностью относительно
преобразования координат х'. Однако было бы нетрудно показать,
что для точки Q, стремящейся в точку М, значение параметра s
будет бесконечно малым всегда одного и того же порядка незави-
независимо от выбора координатной системы х'. Для дальнейшего будет
иметь значение лишь это свойство параметра s.
Зададимся в точке М каким-либо вектором |'д( и будем его
параллельно переносить по какой-нибудь из рассматриваемых кри-
кривых. Координаты |' параллельно переносимого вектора будут зави-
§ 107] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ (ОКОНЧАНИЕ)
сеть от точки его приложения, т. е. от параметра s:
521
!'' = !'»• A07.6)
Мы хотим изучить поведение этих функций при s бесконечно ма-
малом с точностью 2-го порядка относительно s. Полученный резуль-
результат мы применим затем к частному случаю замкнутого пути.
Функции |' (s) удовлетворяют закону параллельного перенесения
что то
A07.7)
а также начальным условиям
1'@) = Ъм. (Ю7.8)
Вдоль всех рассматриваемых кривых сумма квадратов координат |',
п
о= 2 5' (sJ> остается ограниченной одной и той же константой Cv
1—1
Это почти очевидно; для интересующихся приводим детальный вы-
вывод. В самом деле,
da ,
ds
Так как функции Г
ограничены
1=1
Ч. (х1
¦„И
;'(s)
ds
х")
, х") в рассматриваемой области A07.3)
0, A07.9)
то, учитывая A07.5), получаем:
л*.
П
так что
Мы использовали здесь, что
ds
A07.10)
так что
Из A07.10) следует, что
d In а
2пгС0, т. е.
522
тензор кривизны
[гл. ix
где Ом — начальное значение а в точке М при 5 = 0. Учитывая
A07.2), получаем окончательно:
где
Константа Сх не зависит от выбора кривой. Из полученного
неравенства следует и подавно
(i=l,2, ....я)
A07.11)
вдоль всех рассматриваемых кривых. Это мы и хотели получить.
Интегрируем A07.7) почленно:
\ ~г- ds = ¦— \ FiiE -r-ds.
J ds J *'b ds
Левую часть можно записать в конечном виде
A07.12)
В силу A07.5), A07.9), A07.11) подынтегральная функция в правой
части ограничена, так что
|Д?'КС25, A07.13)
где С2 — одинаковая для всех кривых константа.
Подсчитаем Д?' из A07.12) сначала с точностью 1-го порядка
относительно s. Для этого мы заменим Т1Ы его начальным значе-
значением (Т'ы)м, а V — его начальным значением \м. При этом мы
допускаем в подынтегральном выражении ошибку, по модулю
меньшую Cs, где С—некоторая константа, одинаковая для всех
кривых. В самом деле, в множителе Г^ мы делаем ошибку
A07.14)
Последнее выражение написано на основании теоремы о конечном
приращении в применении к функции Т1И (х1, ..., хт); точка
М' — промежуточная между начальной точкой М и рассматривае-
рассматриваемой точкой Q на кривой (вообще говоря, М' на кривой не ле-
лежит). Под Ахт мы понимаем соответствующие приращения аргу-
аргументов:
§ 107] геометрический смысл тензора кривизны (окончание) 523
Учитывая A07.5), получаем отсюда
\?>.хт\ <s.
Далее функции -. J ограничены в рассматриваемой области
<107.3):
дх
где С3 — некоторая константа. В результате A07.14) дает
|ДГ^|<С85. A07.15)
Таким образом, заменяя константами (Г^)д( и ?м первые два мно-
множителя в подынтегральном выражении A07.12), мы делаем в них
ошибки, допускающие оценки A07.13) и A07.15). Если принять
во внимание еще A07.5), то легко получаем, что ошибка во всей
подынтегральной функции также допускает по модулю оценку вида
Cs, где константа С от выбора кривой не зависит. После указанной
замены формулы A07.12) дают приближенно;
%'ds = - (ГиЫмАх*. A07.16)
Ошибка здесь возникает из ошибки в подынтегральной функции,
по модулю меньшей Cs, в результате умножения подынтегральной
функции на ds и интегрирования в пределах от 0 до s. Сле-
Следовательно, в полученном выражении для Д?' мы будем иметь
ошибку, по модулю меньшую -~ Cs2. В связи с этим мы гово-
говорим, что формула A07.16) верна с точностью 1-го порядка отно-
относительно s.
Мы хотим сделать второй и последний шаг нашей выкладки: под-
подсчитать Д?' с точностью 2-го порядка, т. е. так, чтобы ошибка
была уже бесконечно малой 3-го порядка при 5—>-0.
Для этого мы снова вставим под знак интегралов A07.12)
приближенные значения множителей Г^, ?', однако не столь грубые,
как ранее, когда мы просто брали их начальные значения; теперь,
учитывая, что |f(s) = %м + Д1'> и пользуясь формулой A07.16),
мы полагаем:
?'(*)«& — (Г1тр)м1Рм&хт, A07.17)
bxm. A07.18)
524 тензор кривизны [гл. ix
В первом из этих равенств допущена ошибка, меньшая по модулю
irCs2. Аналогичным образом во втором равенстве откинуты члены
ряда Тейлора, начиная со второй степени относительно Ах1. Учи-
Учитывая, что | Ахт | < 5, легко получаем, что отброшенные члены по
модулю ^ C4s2, где константа С4 с выбором кривой не связана.
Очевидно, в подынтегральном выражении мы получим ошибку того
же порядка, а именно, не превосходящую по модулю C5s2, где Сь —
некоторая константа, не зависящая от выбора кривой.
Кроме того, перемножая A07.17) и A07.18), мы можем отки-
откинуть члены 2-й степени относительно Ах, так как возникающая
при этом ошибка также допускает оценку вида Cs2 и может быть
включена в ранее допущенную ошибку.
Теперь A07.12) принимает вид
В среднем члене фигурной скобки обозначения индексов сумми-
суммирования put переставляем между собой, а интеграл от первого
члена вычисляем фактически. Получаем:
A07.19)
Так как в подынтегральной функции была допущена ошибка,
по модулю меньшая Cbs2, то после умножения на ds и интегрирования
от 0 до s мы получаем ошибку, по модулю меньшую-гг Сbs&. В связи
с этим мы говорим, что формула A07.19) верна с точностью 2-го
порядка относительно s.
Эта формула представляла собой нашу первую цель. Теперь
нужно применить ее к случаю, когда рассматриваемая кривая при
некотором значении s = sx возвращается в точку М и образует
замкнутый контур (остальная часть этой кривой интересовать нас
не будет). Тогда при s = sl A07.19) принимает вид
d-?ds, A07.20)
так как при возвращении в прежнюю точку Ж приращение Дд;*=0.
При этом ошибка по модулю меньше -g-C5sJ. Специализируем не-
§ 107] геометрический смысл тензора кривизны (окончание) 525
сколько наше построение, а именно, предположим, что рассматриваемый
контур расположен на двумерной поверхности 2Л2
' = х'(и\ а2),
A07.21)
произвольным образом проведенной через точку М при обычных
наших предположениях; в частности, матрица
дх1
ди1
дх1
ди2
дхп
ди1
дхп
имеет ранг 2. Будем считать для определенности
ди1 ди1
дх1 дх2
A07.22)
Контур предполагаем несамопересекающимся.
В таком случае параметрические уравнения контура на поверх-
поверхности можно писать в виде
так что вдоль контура
dxk
ds
dxk da1
ди1 ds
dxk du*
ди2 ds '
A07.23)
Вставляя это выражение под знак интеграла в A07.20) и запи-
записывая этот интеграл как криволинейный интеграл по контуру,
получим:
т (дхк , , , дхк
ы 1 1
дх"'
A07.24)
Параметры и1, и2 мы занумеруем таким образом, чтобы направление
вращения от координатной линии и1 к координатной линии и2 (если
брать положительные направления на этих линиях) совпадало бы
с направлением обхода. Строго говоря, это значит, что нумерация
и1, и2 выбирается так, чтобы интеграл &) uldu2 при обходе контура
в данном направлении имел положительное значение. Этого всегда
526
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[ГЛ. IX
можно достичь, так как т игйи1 = — ШиЧа2. По формуле Грина,
которая в этом случае имеет вид:
преобразуем в правой части A07.24) интеграл по контуру к двой-
двойному интегралу по области D, охваченной этим контуром. При этом
подынтегральная функция будет иметь вид
«а^\ _ дхт dxk dxk дхт
ди1]
ди2 ~ди1\ х ди2] ди2
ди1 ди2 ди* ди*
Теперь A07.24) принимает вид:
A07.25)
Заставим теперь sx стремиться к нулю, так что контур стягивается
в точку М, скользя по неизменной поверхности ЗЛ2. Выясним, как
будет вести себя при этом лплощадь»
a = Г Г du1 du2,
D
A07.26)
охваченная на поверхности 9Л2 стягивающимся контуром. Мы берем
слово «площадь» в кавычки, так как введенная этим путем она
не имеет инвариантного характера и зависит от выбора парамет-
параметров в1,, в2 на поверхности. Почти очевидно, что а—»0 как бес-
бесконечно малая второго или высшего порядка относительно sx. Для
интересующихся приводим детальный вывод. В силу A07.22) в не-
некоторой окрестности точки М на поверхности Ш2 можно принять
за параметры х1, х2 вместо и1, и2. Преобразуя двойной интеграл
к новым переменным, получаем:
dx1 dx2.
д (х1,
Так как непрерывная функция
д(и1, и2-)
д (х1,
остается ограниченной в
некоторой окрестности точки М, т. е. ^ С, то
A07.27)
§ 107] геометрический смысл тензора кривизны (окончание) 527
Поскольку при обходе всего контура параметр 5 получает прираще-
приращение slt а | dx11 ^ ds, j dx2 J s^ ds, то х1 и хг в любой точке контура
имеют приращения (сравнительно с Хм, Хм) тоже не превосходя-
превосходящие sx. Тем самым и внутренность контура в плоскости переменных
л;1, х2 по
«квадрата»
л;1, х2 подчинена тем же условиям, т. е. располагается внутри
хм
Хм — Sj <X2 u
а так как \ \ dx1 dx2, распространенный по внутренности этого «квад-
«квадрата», равен 4s\, то \ \ dx1dx2 < 4s\ и A07.27) окончательно пере-
Ч
пишется в виде
о < 4Cs\.
Итак, «площадь» а области D стремится к нулю вместе с st как
бесконечно малая 2-го или высшего порядка относительно st. Мы
будем предполагать, кроме того, что о будет бесконечно малой
точно 2-го порядка (не выше) относительно sl. Более детальное
исследование показало бы нам, что, как правило, это предположение
оправдывается. Исключение представляют лишь искусственные слу-
случаи, когда, например, при стягивании контура в точку М он одно-
одновременно неограниченно сплющивается, так что размеры области D
«в ширину» являются бесконечно малыми высшего порядка срав-
сравнительно с ее размерами «в длину». Тогда «площадь» а будет
бесконечно малой не 2-го, а более высокого порядка относи-
относительно 5Х.
Возвращаемся к формуле A07.25). Допущенная в ней ошибка,
как мы знаем, по модулю меньше-^Cbs\ и, следовательно, пред-
представляет собой бесконечно малую высшего порядка сравнительно
с «площадью» а (ради этого мы и должны были предположить, что
а точно 2-го порядка малости относительно SjJ. В дальнейшем мы
так же будем учитывать в A07.25) лишь члены одного порядка
малости сравнительно сои пренебрегать малыми высшего порядка.
В связи с этим мы можем заменить подынтегральную функцию
-5-у -з-j — Л~1 "л~г~ ее начальньш значением в точке М. Действительно,
ввиду непрерывности этой функции ее значения внутри данного
контура уклоняются в ту или другую сторону от значения в точке М
меньше чем на некоторое положительное число е, где е—*-0, когда
528 тензор кривизны [гл. ix
контур стягивается в точку. Поэтому ошибка в интеграле будет по
модулю меньше чем
Эта ошибка будет, таким образом, бесконечно малой высшего
порядка сравнительно с а, и ею мы пренебрегаем.
Итак, заменив подынтегральную функцию ее значением в точке М
и вынося эту постоянную за знак интеграла получим:
1
дх
Все выражения, стоящие за знаком интеграла, вычислены в точке М.
В дальнейшем мы будем это подразумевать, не выписывая значки М
явно. Итак:
(§)'2*-*а, A07.28)
где
х ~'2
Простой бивектор хтк представляет собой косое произведение векторов
i дх' t дх'
а a
Эти векторы заданы в касательном пространстве Ап в точке М
и определяют касательную к 3Jt2 плоскость А2 (играя роль век-
векторов (83.11) для поверхности Ш2). Поэтому их косое произведе-
произведение хтк характеризует двумерное направление касательной пло-
плоскости Л3 и, обратно, определяется этим двумерным направлением
с точностью до численного множителя (направляющий бивектор дву-
двумерной плоскости; § 34). Кроме того, бивектор хтк определяет
в плоскости А2 ориентацию репера, образованного векторами
a'(Di aB>- Ориентацию в двумерной плоскости (§ 36) можно наглядно
представлять себе как направление вращения по кратчайшему пути
от первого ко второму вектору репера в данном случае от а\^
к а'B). Поскольку векторы a^j, a\2) направлены по координатным
линиям и1, и2 в положительных направлениях, то в силу нашего
соглашения это будет направление обхода контура.
§ 107] геометрический смысл тензора кривизны (окончание) 529
Таким образом, бивектор xmk характеризует и двумерное направ-
направление касательной плоскости А2 в Ап, и направление обхода контура.
В скобке в A07.28) стоит как бы «кусок тензора кривизны».
Однако на самом деле в полученном результате тензор кривизны
присутствует полностью, что легко обнаружить, если учесть косо-
симметрический характер бивектора xmh. А именно, перепишем наше
равенство, поменяв между собой обозначения индексов суммирова-
суммирования m и k:
§Г&) ll2xkma.
Сложим полученные равенства и разделим их почленно на 2. Кроме
того, во втором из них заменяем xkm на — xmk. Мы приходим к сле-
следующему результату:
AS'
(
\ dxk
l p dkl vt Vp)ilmk
Сравнивая с A05.8), мы замечаем, что в скобке стоит тензор кри-
кривизны R'mk, i'.- Окончательно получаем:
Д?' да R;nk, \%1хтка. A07.30)
Итак, вектор ?', параллельно обнесенный по бесконечно малому
контуру, лежащему на какой-либо двумерной поверхности и стяги-
стягивающемуся в точку М, уклоняется от своего первоначального зна-
значения |? на вектор Д|'. Этот вектор в своей главной части билинейно
зависит от первоначального вектора |' и от простого бивектора xmk,
характеризующего двумерное направление поверхности в точке М,
а также направление обхода контура и убывает пропорционально
«площади» а, охваченной контуром на поверхности. Коэффициентами
этой билинейной зависимости (от |г и х ) служат координаты тен-
тензора кривизны в точке М. Главная часть вектора Д|' берется в том
смысле, что мы пренебрегаем слагаемыми, бесконечно малыми высшего
порядка сравнительно с а, и сохраняем лишь члены, пропорциональ-
пропорциональные ст. В связи с этим приближенное равенство A07.30) всегда можно
записать и в форме точного равенства
AS'=Kmft.!?*"*gl<* + e'a, A07.31)
где е' стремится к нулю вместе с ст.
В случае пространства Ln с абсолютным параллелизмом парал-
параллельно обнесенный вектор не испытывает отклонения, и Д|' = 0. Это
530 тензор кривизны [гл. ix
соответствует обращению в нуль тензора кривизны в правой части
равенства. Чем больше отличаются координаты тензора кривизны от
нулевых значений, тем резче отклоняется параллельно обнесенный
вектор |' + Д?' от первоначального вектора ?' при прочих равных
условиях. В этом смысле тензор кривизны характеризует в геометрии
данного Ln степень нарушения абсолютного параллелизма.
Необходимо заметить еще, что разделение множителей хтк и а
в полученной формуле является условным и зависит от выбора коор-
координат и1, и2 на поверхности. При переходе к другим координатам
и1', ы2' на той же поверхности бивектор приобретает некоторый
численный множитель, причем «площадь» на этот множитель делится
(если пренебречь изменениями, бесконечно малыми высшего порядка
относительно а). Инвариантным образованием является по существу
лишь бесконечно малый простой бивектор axmk. Впоследствии в слу-
случае риманова пространства Vn мы сможем употребить в качестве
множителя а настоящую площадь, охватываемую контуром, а в ка-
качестве хтк единичный простой бивектор. Тогда разделение множи-
множителей хтк и а приобретает инвариантный смысл.
§ 108. Тензор кривизны в bl
В этом параграфе и далее до конца книги мы будем рассматри-
рассматривать исключительно пространства аффинной связности без кручения L°n,
т. е. будем считать
Г?/ = Г&. A08.1)
Разумеется, все сделанное выше в пространстве Ln остается верным,
в частности, и е L°n. Но тензор кривизны приобретает в этом случае
и новые свойства, которыми мы и займемся. Напомним прежде всего
результат, полученный в конце § 106, который можно формули-
формулировать так:
Для того чтобы пространство L°n было (локально) аффинным,
необходимо и достаточно тождественное обращение в нуль его тензора
кривизны,
Rki, p' = 0.
Действительно, в Z.° тензор кручения Skj равен нулю, и если, кроме
того, Rki, p.' = 0, то согласно § 106 мы имеем (локально) аффинное
пространство. Обратно, аффинное (или хотя бы локально аффинное)
пространство представляет собой частный случай L°n, причем его
тензор кривизны тождественно равен нулю.
§ 108] тензор кривизны в Ln 531
Далее выведем некоторые формальные свойства тензора кривизны
в L%, отсутствующие в общем случае.
1°. Тождество Риччи. Перепишем формулу A05.12):
Rik.i".=Altt—A1,kh (Ю8.2)
где
Но теперь в силу A08.1) Aqu ki симметрично по индексам k, i
Подвергнем Rii, \Ч циклированию по нижним индексам, т. е. произ-
произведем над этими индексами круговую подстановку, потом еще раз
круговую подстановку, и полученные тензоры сложим с/?jji, ;¦?. Мы
утверждаем, что в итоге получится нуль:
Rii. i? + Rii, V. + Rii, k4 = 0. A08.5)
В самом деле, в результате круговых подстановок индексов равен-
равенство A08.2) принимает вид:
Складывая A08.2) с двумя последними равенствами почленно и при-
принимая во внимание A08.4), мы замечаем, что в правой части каждое
вычитаемое взаимно уничтожится с уменьшаемым из следующего по
порядку равенства (порядок считаем круговым, так что за последним
равенством следует A08.2)). Этим и доказывается соотношение
A08.5) — тождество Риччи.
2°. Тождество Бианки—Падова. Для абсолютных производных
тензора кривизны sjmRii,}? имеет место следующее тождество:
V-Яы.;? + VkRin.'t? + ViRmk, i? = 0. A08.6)
Другими словами, циклирование по индексу дифференцирования m
и первым двум индексам тензора кривизны k, l всегда дает нуль.
Для упрощения доказательства перейдем к координатам х', геоде-
геодезическим в рассматриваемой точке, т. е. к таким, что в рассматри-
рассматриваемой точке
rf, = O. A08.7)
В случае L% это всегда можно сделать (§ 91). Тогда в рассмат-
рассматриваемой точке абсолютные производные от любого тензора совпадают
532 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
с обыкновенными частными производными, так как дополнительные
члены, содержащие Г^-, обращаются в нуль. В частности,
^ %, и, A08.8)
где последнее выражение получено с помощью A08.2). При этом,
как легко получить, дифференцируя A08.3) почленно,
J A" -
дх'дх*'
Мы отбросили здесь результат дифференцирования членов с произ-
произведениями Г, так как он равен нулю. В самом деле, после диффе-
дифференцирования в каждом члене остается непродифференцированный
множитель Г, который обращает произведение в нуль. Теперь A08.8)
можно переписать в виде
ЧЯКЫ1 ~
Циклируя по индексам т, k, l, легко убеждаемся в справедливости
соотношения A08.6) — тождества Бианки — Падова. Правда, оно
выведено нами в специальной координатной системе — геодезической
в рассматриваемой точке. Но в силу своего тензорного характера
оно будет справедливо и в любой координатной системе (если тензор
равен нулю в одной координатной системе, то из тензорного закона
преобразования следует его равенство нулю и в любой координатной
системе).
3°. Альтернированная вторая абсолютная производная. Вернемся
к формуле A05.9), в которой впервые появился у нас тензор
кривизны:
DDui — DDui = Rrk, f.updxl dxk. A08.9)
Мы хотим детальнее расшифровать эту формулу, выразив абсолютные
дифференциалы через абсолютные производные. При этом мы сохра-
сохраняем предположения § 105, а именно, D и D остаются символами
абсолютных дифференциалов, a d и d — символами частных диффе-
дифференциалов по параметрам а и J3 на произвольной поверхности Ш2
х' = х'(а, Р).
В частности,
dx' = ^da, dx'^^dfi. A08.10)
§ 108] тензор кривизны в L"n 533
„ дх' дх1 „ м
Очевидно, у-, -щ- представляют собой одноконтравариантные тен-
тензорные поля, заданные на нашей поверхности. Как видно из A08.10),
можно считать dx', dx' тоже тензорными полями, причем множители
da, rfp рассматриваются как независимые переменные, имеющие
одинаковые значения во всех точках поля. От полей dx1, dx' можно
вычислить абсолютные дифференциалы:
Ddx' = d dx1 + Tlkp dxp dxk,
Ddx' = d dx1 + T'pk dxk dxp.
Вследствие отсутствия кручения и перестановочности символов d
и d получаем отсюда
Ddxi = D~dxi. A08.11)
Далее, как мы знаем, абсолютный дифференциал тензора произволь-
произвольного поля (заданного в некоторой /z-мерной области пространства)
можно разложить по абсолютным производным. Например
Du,. = dxP ypu,., Ьи~ dxpsjpu i.
Эти формулы, очевидно, остаются справедливыми и при подстановке
вместо и,- любого другого тензорного поля, заданного в некоторой
л-мерной области пространства. Поэтому можно записать символически:
q g A08.12)
Теперь вычислим bDu(:
DDui = D (dx"VpUi) = DdxP-sipUt + dx"b (ypu.).
Аналогично получаем:
DDu, = DdxP ¦ ури( + dxpD (V/,a,).
Отсюда, учитывая A08.11), получаем:
DDUi—DDiti = dxPD (ypUi)—dx"D (у,н,).
Раскрываем в правой части символы D и Ь согласно A08.12), причем
индексы суммирования р, q заменяем в первом члене на k, l, а во
втором — на I, k. Получаем:
DDui—DDui = dxkdxl (угУ*и,— S/kViui)- A08.13)
Ввиду произвола в выборе функций х' (а, р) значения dxk, dxk
в любой наперед заданной точке можно брать произвольно. Сравни-
534 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
вая A08.13) с A08.9) и учитывая, что правые части равны тожде-
тождественно (при любых dxk, dxl), мы приходим к выводу
?up- A08.14)
Мы получили формулу для альтернированной второй абсолютной
производной тензорного поля иг. Если нам дано тензорное поле
произвольного строения, например, Zfj, то поступаем совершенно
таким же образом. Прежде всего формула A08.13) остается верной
при замене и,- любым тензорным полем, так как ее вывод повто-
повторяется дословно (одноковариантный характер тензора никакой роли
не играет).
Таким образом,
DDZrst — DDZrst = dxkdxl (Vjv»^ — V*VizW-
Сравнивая с A05.16), мы снова убеждаемся в тождественном (отно-
(относительно dxk, dxl) равенстве правых частей, а следовательно, можем
приравнять соответствующие коэффициенты:
ViV*^, —V*Vr3* = — RVk, P-Z§t + Rik, sPZ'pt + Rik, ?.Z{P. A08.15)
Индексы суммирования во всех членах правой части обозначены
через р. В частности, для одноконтравариантного тензорного поля
V<V,y-VftVy = -tf«,pV. A08.16)
Формулы A08.14), A08.16) являются основными. Действительно,
в общей формуле A08.15) правая часть содержит столько членов,
сколько индексов у данного тензора, причем для каждого нижнего
индекса соответствующий член составляется по схеме A08.14), а для
каждого верхнего — по схеме A08.16). Остальные индексы перепи-
переписываются каждый раз без изменений.
Полученные формулы показывают, что вторые ковариантные
производные зависят, вообще говоря, от порядка дифференциро-
дифференцирования, так что символы yft, уг нельзя переставлять между собой,
не компенсируя эту перестановку внесением добавочных членов
согласно A08.15). В технике тензорных выкладок это обстоятельство
играет большую роль. Только в случае обращения тензора кривизны
в нуль, т. е. в случае аффинного (или, по крайней мере, локально
аффинного) пространства, правая часть A08.15) равна нулю, и символы
Vs> Vi перестановочны между собой. Это, впрочем, видно уже из
того, что в этом случае можно перейти (хотя бы локально) к аффин-
аффинным координатам, в которых Г^ = 0 и символ уй означает просто
частное дифференцирование по хк.
§ 109] ПРОЕКТИВНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 535
Для вывода формулы A08.15) существенно отсутствие кручения
в нашем пространстве, т. е. симметрия Г*;- по нижним индексам:
На основе этого было получено равенство A08.11), использованное
в нашем выводе. В случае Ln с кручением наши формулы значи-
значительно усложнились бы.
§ 109*. Проективно евклидовы пространства
В конце § 90 мы получили необходимый и достаточный признак
того, что пространство L"n с объектом связности Ff;- является проек-
проективно евклидовым. Этот признак заключается в существовании такого
тензора Р{ в окрестности каждой точки /И, что после преобразования
объекта связности Гц по формуле
Gtf = Tb + Pfif + Pft A09.1)
эта окрестность становится окрестностью аффинного пространства Ап.
Для удобства выкладок мы обозначили прежнее pt через —2Р{:
Pi^ — Ц- A09.2)
Этот признак неэффективен, так как неясно, каким путем установить
существование (или несуществование) такого тензора Р(. Пользуясь
тензором кривизны, мы сможем решить этот вопрос, так как наша
задача принимает следующий вид. Требуется выяснить, существует ли
для данной связности Г*;- в некоторой окрестности каждой точки М
такой тензор Pt, что связность A09.1) обладает нулевым тензором
кривизны. В самом деле, обращение в нуль тензора кривизны для
связности Gif равносильно тому, что эта связность определяет обык-
обыкновенную аффинную геометрию, по крайней мере, в окрестности
точки М.
Прежде всего проведем следующую выкладку.
Подсчитаем тензор кривизны для связности
fli^rij + Ц, A09.3>
где Г*;- — данная связность, а Тц — данное тензорное поле (напомним,
что теперь у нас всегда Г*/=Г^).
Тензор кривизны Rik/i? для связности Г*/ можно вычислить
по формуле
(Ю9.4)
536 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
где символ [/, k] означает требование произвести альтернацию по
индексам k, l, однако без деления на 2.
Вставляя сюда Г« = Г«-{-7# и раскрывая скобки, мы получим
члены трех родов.
1°. Члены, содержащие только Г*у и их производные; они обра-
образуют, очевидно, тензор кривизны R\k, \ч для связности Тк/.
2°. Члены, содержащие только Ткц и их производные:
||7U7& [/,*]. A09.5)
3°. Смешанные члены:
ri.^ + 7-йПЛ/, к].
Нетрудно заметить, что эти члены можно записать и так:
Г^-Г^ТД-ПЛМ/, *]¦ (Ю9.6)
Действительно, первый член не изменился, второй член дает после
альтернации по k, l то же самое, что и раньше, а третий член при
альтернации пропадает. Запись A09.6) подобрана так, чтобы, объ-
объединяя ее с A09.5), мы получили:
где абсолютная производная берется по связности Гц.
Теперь A09.4) принимает окончательный вид
Rlk. t. = Rikf. + ЧкП + П, П - V* Л - Tfs Tit. A09.7)
Эта формула показывает, как преобразуется тензор кривизны, когда
к объекту связности Г*/ добавляется произвольный тензор Ткц.
Применим этот результат к случаю A09.1), когда
Очевидно,
(согласно (98.4) уйб< = 0). Кроме того,
Мы воспользовались здесь очевидными соотношениями
6f6f = б^, Я,6| = Р, и т. п.
§ 109] ПРОЕКТИВНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 537
Вставляя полученные выражения в A09.7), мы приходим к тензору
кривизны для связности G'lf.
Rik. t = Rik. f. + 6?( v*/} - PkPt) - bUVtPi - PiPt) + VtfkPi - V A).
Введем обозначение
PkP,. A09.8)
Тогда предыдущее равенство принимает вид
Rik. t = Rik, t + btPki — elPu + b?(Ры-Pik). (Ю9.9)
Переходим к выводу необходимых признаков проективно евклидо-
евклидовой связности. Пусть связность Г*;- проективно евклидова, т. е. можно
подобрать такой тензор Pt, что связность &ц = Ff;- + Pt bf -f- Р/б* имеет
кривизну нуль:
Rik, I = RH. 1. + ViPki - blPu + Ь%РЫ - P,k) = О-
В таком случае
Rik. I = Ь%Ри - Ь\РЫ + б? [Plk-Pu), A09.10)
причем
Pkt=VkPl-PkPl. A09.11)
Это значит прежде всего, что тензор кривизны для связности Г*/
должен иметь специальную алгебраическую структуру A09.10). Воз-
Возникает вопрос, как установить для данного тензора кривизны
Rik,'?., имеет ли он такую структуру и, если имеет, как найти по
нему тензор Plk.
Эта задача решается следующим образом.
Из тензора кривизны можно составить дважды ковариантный тен-
тензор Rki путем свертывания верхнего индекса с первым нижним:
Я*, = К;*.л- A09.12)
Полученный таким образом тензор Rki мы будем называть тензором
Риччи. Если тензор кривизны имеет строение A09.10), то после
свертывания по индексам q, l получаем:
. A09.13)
Из этого соотношения нетрудно выразить обратно Pki через Rki, Rik.
Для этого перепишем A09.13), поменяв местами индексы k, i:
Два полученных уравнения решаем относительно двух «неизвестных»
Рik> Pki> умножая первое уравнение на п и складывая со вторым
почленно. Это дает нам
538 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
откуда
nRtRxik ¦ (Ю9.14)
Таким образом, если тензор кривизны имеет строение A09. 10), то
тензор Pki необходимо выражается через тензор Риччи вполне опре-
определенным образом. Поэтому тензор кривизны имеет строение A09. 10)
в том и только в том случае, когда, подставляя РИ из A09. 14) в
A09. 10), мы приходим к тождеству, т. е. когда имеет место равенство
ik-Rla)- (Ю9.15)
Заметим, что при л = 2 тензор /?^, f всегда имеет строение A09. 10),
так что условие A09. 15) всегда представляет собой тождество.
Действительно, отличные от нуля координаты тензора R\'kt f
мы получаем лишь в случае /, А= 1, 2 (или I, k = 2, 1, но этот слу-
случай дает разницу лишь в знаке координаты). В результате мы имеем
только четыре существенно различные координаты, например, такие:
"lS, l.l "la, l.j "l2, 2.) Kl2, 2.'
Для них равенство A09.10) примет вид
р- • -1 — р 2Р
г^12, 1. — '12 Л/21>
г>- • -2 п
^12. 1. — ГЦ|
^12, 2. = ^22'
•^12, а. = —^21 + 2P12.
Очевидно, полученные уравнения всегда совместны относительно
Pjj, а следовательно, тензор кривизны всегда можно представить в
виде A09. 10).
Возвращаемся к случаю произвольного /г>1. Согласно A09.11)
V,P; = P^ + n;. A09.16)
Возьмем почленно абсолютную производную V?, причем в правой
части ViPk, \[Pi заменяем снова из A09. 16). Получим:
= PLPkP,- + PlkPt + PkPtPt
Альтернируя по /, k (без деления на 2), получаем согласно A08.14)
Rik. i".Pg=(Plk-Pki)Pi+PkPu
§ 109) ПРОЕКТИВНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 539
Вставляя, наконец, в левую часть выражения для /?;^ f. из A09.10)
и выполняя суммирование по q, получаем окончательно:
0 = V>«-V*/V A09.17)
Итак, для того чтобы связность Гц была проективно евклидовой,
необходимо, чтобы тензор кривизны имел строение A09. 10), где
тензор Ри удовлетворяет условию A09,17).
Докажем, что эти условия являются и достаточными. Пусть нам
дано, что для некоторой связности Г,-/ имеют место равенства
A09. 10) и A09. 17). Будем искать тензор Pt из системы диффе-
дифференциальных уравнений с неизвестными функциями Р^х1, ..., х").
Если подробно выписать абсолютную производную, то эти уравне-
уравнения примут вид
^^Г&Р, + Pkpi + П/, A09. 19)
т. е. каждая частная производная 1-го порядка от каждой неиз-
неизвестной функции Р( выражена через самые неизвестные функции
(а также через известные функции TPki,Pki). Условия интегрируе-
интегрируемости такой системы составляются, как известно, следующим образом:
дифференцируем A09. 19) почленно по х', заменяем возникающие в
дР,
правой части производные , используя снова A09. 19), а затем
дх1
альтернируем по индексам k, l. В левой части получается нуль, а в
правой части некоторое выражение, содержащее неизвестные функ-
функции Pi в конечном виде. Если полученное соотношение удовлетво-
удовлетворяется тождественно (при любых Р1 и любых л:'), то мы говорим,
что условия интегрируемости удовлетворяются тождественно.
В нашем случае мы эту же по существу выкладку предпочтем
провести в абсолютных производных, а именно, возьмем общее
уравнение системы в виде A09. 18), подействуем на него посред-
посредством Vj, заменим в правой части производные VtPi, снова исполь-
используя A09. 18), и, наконец, проальтернируем по k, l. Но все это мы
уже выполнили, исходя из уравнения A09. 16), причем пришли в
результате к условиям интегрируемости A09. 17). Но сейчас нам
дано, что равенство A09. 17) имеет место. Следовательно, условия
интегрируемости для системы A09. 18) выполняются тождественно.
Отсюда мы заключаем (см. сноску к § 93, стр. 442), что система
A09. 18) имеет решение при любых начальных значениях неизвест-
неизвестных функций
540 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. 1Х
заданных для какой-нибудь точки х' = х!0. Это решение существует
по крайней мере, в некоторой окрестности точки х10. Построим те-
теперь связность
и вычислим для нее тензор кривизны Rikj4. Он выражается, как мы
знаем, формулой A09.9), причем тензор Pki в этой формуле имеет
вид
т. е., как видно из A09.18), совпадает с рассматриваемым нами
тензором Pki. Учитывая, что, кроме того, имеет место A09.10), мы
убеждаемся, что /?/&,/'=0, а это означает, что связность Г?* про-
ективно евклидова.
Итак, необходимый и достаточный признак проективно евклидо-
евклидовой связности состоит в том, что тензор кривизны для нее имеет
вид
биРн-РиЪ A09.20)
причем тензор Phi удовлетворяет условию
= 0. A09.21)
Заметим, что при этом тензор Pki необходимо выражается через
тензор кривизны формулой A09.14):
(Ю9.22)
Мы уже отмечали, что при « = 2 условие A09.20) выполняется для
любого тензора кривизны, так что необходимым и достаточным
признаком остается лишь условие A09.21). Наоборот, при л>2
достаточно ограничиться условием A09.20), так как условие A09.21)
является его следствием.
Чтобы показать это, используем тождество Бианки — Падова:
V«^ii/ + Vi'?*m.i! + v*^m/.i* = 0. A09.23)
Три слагаемых получаются последовательно одно из другого кру-
круговой подстановкой индексов от, /, k. Подставляя сюда вместо тен-
тензора кривизны его выражение A09.20), мы получаем ( если еще ум-
1 \
ножить левую часть на g-j:
6?*УЛ + 6?УкЛ=0. A09.24)
В этом нетрудно убедиться, если фактически выполнить указанные
здесь альтернации по индексам m, k, l. Свернем левую часть
§ 110] ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Vn 541
A09.24) по индексам q, i. Получим:
Первый член дает ^[щРщ, второй лу[тРщ (так как б' = я), так что
в результате
VlmPl k) = 0.
Теперь A09.24) принимает упрощенный вид
Возьмем индексы k, т, I различными. Это возможно, так как л>2.
Положим q — k. Тогда 6^=1, Sm=6?=0> и в результате альтер-
альтернации получаем (опуская коэффициент g-j:
Мы действительно вывели условие A09.21) из условия A09.20).
В произвольном ?д можно составить тензор
, A09.25)
который называется тензором проективной кривизны. Его обраще-
обращение в нуль, равносильное условию A09.20), необходимо и доста-
достаточно, следовательно, для того, чтобы L?n (при л>2) было проек-
тивно евклидовым.
Отметим, что при геодезическом преобразовании связности в
любом Ll
с любым тензорным полем Р( тензор проективной кривизны остает-
остается инвариантным.
§ 110. Тензор кривизны в римановом пространстве Vn
Начиная с этого параграфа и до конца книги, мы будем рас-
рассматривать только римановы пространства (исключение составляет
лишь часть § 113). Как мы знаем, каждое риманово пространство
снабжено определенной связностью без кручения (риманова связ-
связность). Под Г,* = Г/(Мы будем понимать коэффициенты этой связ-
связности. Все сказанное выше о тензоре кривизны в пространствах
аффинной связности Ln и, в частности, в пространствах ?° (§ 108)
применимо, таким образом, и к римановои связности. Соответствую-
Соответствующий тензор кривизны Ri'kf мы будем называть тензором кривизны
риманвва пространства. При этом тензор кривизны риманова
542 тензор кривизны [гл. ix
пространства обладает рядом важных свойств, которые не имеют места
в L% (и тем более в ?„ общего вида).
Чтобы обнаружить эти свойства, мы рассмотрим ковариантный
тензор кривизны, опустив верхний индекс при помощи метрического
тензора:
Rik.i!=Riit.iqgqr (ПОЛ)
Этот тензор отличается высокой симметрией своего строения. Что-
Чтобы раскрыть ее, мы вычислим его координаты. Вставляя вместо
Rih.f. выражение A05.8), получаем:
)/[*.а (по.2)
где символ [k, l] означает требование произвести альтернацию по ин-
индексам k, l без деления на 2.
Выражение в скобках, если фиксировать индексы /, i и обозна-
обозначить Г^ = Г?, формально имеет вид абсолютной производной 4kYq;
наружный множитель g j вызывает опускание верхнего индекса д,
которое можно выполнить и под знаком абсолютного дифференци-
дифференцирования (см. (98.8)), так что получится
Г7 Г I ГР.Г
После возвращения на место индексов I, i получаем:
где, согласно (94.5), (94.8),
(-j. A10.3)
Конечно, фактически Г? не является тензором, однако проведенная
выкладка законна, так как в каждой данной координатной системе
можно рассмотреть и тензор с координатами Г9 в этой системе.
Вставляя A10.3) в предыдущую формулу и выполняя альтерна-
альтернацию, получаем окончательно:
1 / d*gl/ d\?!i d*gk/ d*gki \
"• '' ~ 2 V дх*дхе dxkdxJ dxldxl + dxldx>)
pqrPkiTt?). (П0.4)
Обратим внимание на закон составления первой скобки. Дифферен-
Дифференцируем координату метрического тензора gtj, взятую с индексами,
крайними у Rlki jj по xk, х', где А, г —средние индексы Rlkt Jy..
§ ПО] ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Vn 543
Получаем:
дхкдх? '
альтернируем по первой паре индексов у Rlk<ij, т. е. по /, k; по-
полученный результат альтернируем по второй паре индексов у Rlk^ .jy
т. е. по i, j, и получаем первую скобку в A10.4). Можно было бы
альтернировать сначала по второй паре индексов, а потом по первой;
результат от этого не меняется.
Вторая скобка в A10.4) получается после альтернирования
по индексам первой пары /, k или по индексам второй пары i, j
выражения
в котором на один множитель Г перешли индексы, крайние у Rlk< ..,
я на другой — средние.
Отсюда ясно, что первая и вторая пары индексов у Rlki if игра-
играют совершенно симметричную роль, так что
Rik,i,= Rt;.tk- О10-5)
Ковариантный тензор кривизны не меняется при перестановке
между собой первой и второй пар индексов (при сохранении порядка
индексов внутри каждой пары).
Разумеется, это правило легко проверить и непосредственным
подсчетом, пользуясь формулой A10.4).
Далее, отсюда следует, что тензор кривизны кососимметричен по
индексам второй пары так же, как и по индексам первой пары.
В самом деле, еще при первом своем появлении в произвольном Ln
тензор кривизны обладал косой симметрией по индексам первой пары
Rik, i. — — R'ki, i.-
При опускании индекса q это свойство, очевидно, сохраняется:
Rik,ij=-Rki,ij- (П0.6)
Переставляя теперь между собой индексы k и / в равенстве A10.5),
мы замечаем, что левая часть равенства меняет знак, а следовательно,
меняет знак и правая часть. Но для правой части равенства пере-
перестановка происходит во второй паре индексов, так что мы получаем;
*//.,*= — /?/,.«• A10.7)
Итак, ковариантный тензор кривизны кососимметричен как по ин-
индексам первой пары, так и по индексам второй пары.
544 тензор кривизны [гл. ix
В произвольном 1° и, в частности, в Vn тензор кривизны удо-
удовлетворяет тождеству Риччи (§ 108)
Опустив индекс q, мы получаем тождество Риччи для ковариант-
ного тензора кривизны
Здесь циклирование происходит по первым трем индексам. Однако
тождество остается верным, если производить циклирование по лю-
любым трем индексам ковариантного тензора кривизны.
В самом деле, какие бы три индекса в Rlk, ц ни выбрать, всегда
можно добиться, пользуясь A10.5)—A10.7) и производя соот-
соответствующую подстановку индексов, чтобы избранные индексы за-
заняли три первых места и при этом численное значение координаты
Rlk, ij не изменилось. Применяя затем тождество Риччи с циклиро-
ванием по первым трем индексам, мы убеждаемся, что тождество
будет верным и для первоначального (произвольного) положения
этих индексов.
Ряд тождественных (имеющих место в любом Vn) линейных
зависимостей, связывающих между собой координаты тензора кри-
кривизны, естественно, наводит на мысль подсчитать, сколько сущест~
венных координат имеет тензор кривизны.
Тензор кривизны /?,,, kl как тензор четвертой валентности имеет,
собственно говоря, п* координат, так как каждый из четырех ин-
индексов может принимать п значений.
Мы ставим вопрос: сколько координат тензора R можно задавать
произвольно *), с тем чтобы остальные координаты тождественно
выражались через них.
Подсчитаем число этих существенных координат.
1. Рассмотрим те координаты, в которых только два различных
индекса, например, 1 и 2. Независимая координата только одна,
так как /?12,12, /?12, 21, R21,12, /?21, 21 либо равны, либо отлича-
отличаются знаками. Остальные же координаты равны нулю.
Таких пар индексов будет С% и каждая пара дает одну суще-
существенную координату (С™ — число сочетаний из п по /и).
Следовательно, существенных координат, имеющих только два
различных индекса, будет Q-1.
2. Пусть координата имеет три различных индекса, например,
1, 2, 3. Существенные координаты суть /?12, 13, R21, 23> R3l, 32,
остальные либо нули, либо равны этим, либо отличаются только
знаками, что нетрудно проверить. Так как выбрать три индекса
*) Рассматривая, разумеется, тензор R для произвольной римановой
метрики данного числа измерений п.
§ 1 10] ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Vn 545
из п можно С% способами, то число существенных координат с тремя
различными индексами будет:
3. Пусть все четыре индекса различны, например, 1, 2, 3, 4.
Возьмем компоненты: /?12, 34, /?23i 141 ^зъ 24- На основании алгебраи-
алгебраических свойств тензора /?/у., kl все остальные координаты с индек-
индексами 1, 2, 3, 4 можно выразить через эти. Но и эти координат
не все существенны, ибо их сумма равна нулю на основании тож-
тождества Риччи. Среди этих трех координат независимых, следова-
следовательно, только две.
Число существенных координат с четырьмя различными индек-
индексами будет:
С%-2.
Всего существенных координат
I п (я-1) (я-2) (п-3)
+ 1-2-3-4
Итак:
A10.9)
Отметим, что отношение числа существенных координат N к. их.
общему числу л4 при неограниченном возрастании п стремится к г*:
"»?='. (Н0.10)
До сих пор мы выяснили только то, что все п* координат тензора-
R могут быть тождественно выражены через /V иа них. Собственно,
нужно еще показать, что эти N координат уже все существенны,
т. е. что между ними нет никаких тождественных зависимостей.
Другими словами, пусть заданы эти N координат совершенно про-
произвольно, а остальные выражены через них. Тогда всегда можно
построить риманову метрику так, что в данной точке этот наперед
заданный тензор R будет служить тензором кривизны. На доказа-
доказательстве этого останавливаться не будем.
Применим формулу A10.9) для частных случаев:
1) л = 2, Л/=1; 2) л = 3, Л/=6.
Заметим, что для трехмерного пространства тензор кривизны-
имеет столько же существенных координат, сколько и основной
метрический тензор gtj.
Рассмотрим, наконец, тензор Риччи
Rki^Rgk/i". A10.11)
18 П. К. Рашевский
546 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. [X
в случае риманова пространства. Как видно из A10.1), поднимая
последний индекс у R[k,j/, мы получим Rik.i9:
Подставляя это значение в A10.11), получим:
Кы = В.я%ы.1г О1012)
Легко заметить, что тензор Риччи в римановом пространстве будет
симметричным:
Rki = Rik. A10.13)
В самом деле, по свойствам ковариантного тензора кривизны
(мы сделали перестановку индексов внутри каждой пары и, кроме
того, перестановку пар между собой). Теперь A10.12) можно пере-
переписать в виде
В римановом пространстве с тензором кривизны связан еще скаляр-
скалярный инвариант — скалярная кривизна /?, которая получается в ре-
результате свертывания тензора Риччи с метрическим тензором
R = gURU- A10.14)
§ 111. Кривизна риманова пространства в данной точке
и данном двумерном направлении
Мы вернемся к построению § 107, выполненному в произвольном
Ln. Полученный результат, а именно формула A07.30), верен, в
частности, и в римановом пространстве:
Д?'« ffmi. i!|V*O. (Ш.1)
Однако теперь эта формула может быть уточнена: в то время как
«площадь» а в Ln не имела инвариантного смысла и вводилась
условно, в Vn можно будет понимать под о настоящую площадь,
охваченную рассматриваемым контуром на поверхности Ш2. Одно-
Одновременно уточнится и выбор направляющего бивектора xmk: он
станет единичным бивектором.
Чтобы избежать оговорок о неизотропном характере поверхности
9Я2, мы предположим, тачала, что Vn — собственно риманово про-
пространство. Тогда поверхность Ш2 — всегда неизотропная и несет
на себе тоже собственно риманову геометрию.
В § 107 мы согласовали нумерацию координат и1, и2 на 3012 с
направлением обхода контура. Специализируем эти координаты еще
§ 111] КРИВИЗНА РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА В ДАННОЙ ТОЧКЕ 547
и в том отношении, чтобы площади на Ш2 выражались интегралами
т. е. по внешности так же, как на обычной плоскости в прямоуголь-
прямоугольных координатах. Это нетрудно сделать. В самом деле, площади
на SDt2 можно вычислять по формуле (88.9):
а =
причем
0= Det |
| = ОЫО22 -
0.
где Оар — метрический тензор на поверхности Ш2. Чтобы эта фор-
формула приняла вид A11.2) достаточно добиться тождественного
обращения |/G в единицу, что можно сделать за счет преобразо-
преобразования координат и1, и2 на поверхности. Обозначим через и1, и2 искомые
координаты на поверхности. Тогда согласно (88.7)
ди1
ди1
Vbl
ди» ди*
Пусть и1, и2 связаны с и1, Ф уравнениями
И ' \у \М у ft ~~~ *" t
где ф(и\ и2) — пока неопределенная функция. Тогда
д<р
'дпг
О
5ф
~дИ*
1
A11.3)
Теперь выберем функцию ф (и1, и2)
Ф (и1, иа)= ^/^(и1, и2) dw1.
В таком случае -^y-=^G и, следовательно, из A11.3) получаем:
В дальнейшем переходим к координатам и1, и2, причем обозна-
обозначаем их просто ы1, и2. Итак, теперь
У"п = \ (П1.4]
18»
548 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
и площади выражаются формулой A11.2). Далее, в координатах
и1, и2 бивектор
м' ди* ди* ди*
будет единичным. Это значит, что отвечающая ему площадь, а имен-
именах' дх'
но, площадь параллелограмма, построенного на векторах -^—j- , -^~2,
будет равна единице (напомним, что касательное пространство в дан-
данной точке М, в котором расположены эти векторы, будет теперь
евклидовым пространством Rn). В самом деле, согласно (85.12) Ga3
дх' дх'
представляют собой скалярные произведения векторов -r-j- , ^ (сей-
(сейчас у нас а, Р=1, 2), а следовательно, площадь нашего парал-
параллелограмма выразится формулой
Эта формула относится в сущности к обычной геометрии (и даже
•планиметрии) и легко может быть получена из обычной векторной
алгебры. Кроме того, она получается как частный случай при /и = 2
из E4.30). Сравнивая с A11.4), убеждаемся, что W=\.
Вернемся к формуле A11.1). Так как величина а в ней опреде-
определялась по формуле A11.2), а бивектор хтк — по формуле A11.5),
то теперь о выражает площадь, охваченную контуром на поверхнос-
поверхности 5№2, а бивектор xmk, определяющий двумерное касательное
направление к 9Л2 и направление обхода контура, является еди-
единичным.
Заметим, что двумерным направлением, определенным выбором
ориентации и величиной площади (в данном случае равной единице),
простой бивектор xmk вполне определяется (см. § 37, геометрическая
характеристика простого поливектора). Поэтому в окончательном
итоге мы можем забыть о специальном выборе координат и1, и2 на
Ш2 и рассматривать уклонение Д|' параллельно обнесенного вектора
просто в зависимости от первоначального вектора ?', от единичного
бивектора xmk, отвечающего двумерному касательному к Ш2 направ-
направлению и ориентированного по направлению обхода контура, и от
охваченной контуром площади о на поверхности. При этом вектор
Д|' (в своей главной части) меняется пропорционально площади о.
В римановом пространстве мы всегда будем понимать формулу A11.1)
в этом смысле.
Опираясь на формулу A11.1), можно ввести понятие кривизны
риманова пространства в данной точке и данном двумерном на-
направлении.
§ 111] КРИВИЗНА РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА В ДАННОЙ ТОЧКЕ
549
Рассмотрим прежнее построение с той лишь разницей, что исход-
исходный вектор |' возьмем единичным и лежащим в касательной плоскос-
плоскости к поверхности 3Jf2 в точке М (рис. 21).
В результате обхода мы вернемся в точку М с вектором |'+Д?',
который, вообще говоря, уже не будет лежать в касательной пло-
плоскости.
Спроектируем || + А?' на касательную плоскость; пусть проек-
проекция будет I'-fAjl'; это — вектор, лежащий в касательной плоскости
и отличающийся от вектора |'-f-A?' на перпендикулярную к каса-
касательной плоскости составляющую
А2|\ Итак:
V + Д|' = ?'" + А^'' + А2Е''. A11.6)
Обозначим через ф угол поворота от
Ъ,' к ?' + Дх|'. Углу мы припишем
знак плюс, если поворот идет в том
же направлении (принятом за положи-
положительное), что и обход по контуру, и
знак минус, — если в обратном направ-
направлении.
Построим единичный вектор т]', Рис. 21.
лежащий в касательной плоскости и
повернутый на прямой угол в положительном направлении по от-
отношению к вектору |' (рис. 21). "Построим на единичных векторах
?', if бивектор, который по общему правилу будет иметь вид
х' =¦
Бивектор этот характеризует нам единицу площади (так как ?', if
единичные и взаимно перпендикулярные), лежащую в касательной
плоскости, и направление, вращения от |' к т]', т. е. совпадающее
с направлением обхода контура. Другими словами, х1' совпадает
с бивектором х'\ фигурирующим в формуле A11.1):
A11.7)
Приступим к .вычислению угла ф. Выкладку ведем, пренебрегая
в Д?' и А1|'.бесконечно малыми высшего порядка относительно о.
Покажем прежде всего, что AxI'.lE'- Из A11.6) мы получаем:
Д^Д^'-г-А^'". AП.8)
Очевидно, Дг?(, будучи ортогонален к касательной плоскости, орто-
ортогонален по самому определению и к любому лежащему в ней век-
вектору, в частности, к |'. Остается показать, что Д|' тоже ортогона-
ортогонален к &'.
550 тензор кривизны [гл. ix
Составим скалярное произведение Д|' и ?', пользуясь форму-
формулой A11.1):
S//S ~ g(y5 K-mk, l. X go — t\mk, ijx S b О = U.
Действительно, координаты Rmkt tj антисимметричны по индексам /
и у и, следовательно, при свертывании с \% , симметричными по
тем же индексам, дают нуль. Чтобы убедиться в этом, поменяем
обозначение индексов суммирования / и у. С одной стороны, сумма
от этого не меняется, с другой стороны, она изменит знак, так как
\1\' не изменится, a Rmkt гу изменит знак. Это возможно лишь
в случае равенства нулю.
Итак, Д2|' H_A|'J_i'i значит, Д1|' тоже перпендикулярен к ?'.
Но так как Дх?' лежит в касательной плоскости, то он будет кол-
линеарен с единичным вектором ц', именно, равен т)' tg ф, как легко
видеть из прямоугольного треугольника с катетом — вектором ?' и
гипотенузой — вектором I'-I-Д^'. Отсюда скалярное произведение
единичного вектора т)' на коллинеарный с ним Л^' будет равно tgcp
(учитывая и знак):
Равенство не нарушится, если мы заменим здесь Дх?' через Д?',
т. е. добавим к Д^' вектор A25'i ортогональный к касательной
плоскости и дающий потому нуль в скалярном произведении с т|'.
Итак,
Мы видим, что tg ф вместе с Д|' является бесконечно малым по-
порядка а; пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, можно
заменить tg ф через ф, а вместо Д?' подставить его выражение из
A11.1). Получаем:
Ф » gitfRmk. i\ Vxmko
или, суммируя по /:
Ф^Я»*. iy*"Wo. AИ.9)
Перепишем то же самое, изменив обозначения индексов сумми-
суммирования: / на у и у на /:
Ф ~ Kmk, jlx 5 М ° — —Kmk, ljx ЬЧ°-
Складывая с A11.9) и деля на 2, получим:
rn~ f? Утк SV—gV ^
и, принимая во внимание A11.7), пишем окончательно:
4>^Rmk,ijXmkxiJa. (ШЛО)
§ 111] КРИВИЗНА РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА В ДАННОЙ ТОЧКЕ 551
Можно заменить здесь приближенное равенство точным, явно записав
ошибку, которая аналогично A07.31) будет вида еа:
Ф-Я»*, !/*"**"* + **. A11.11)
где е —»¦ 0 при стягивании контура в точку М. Отсюда следует
а значит
Уясним смысл этой формулы.
Со стороны алгебраической в правой части мы имеем инвариант
как результат свертывания двух тождественных бивекторов xmk, xlJ,
одного с первой парой индексов тензора кривизны, другого — со второй
парой. При этом геометрически хтя зависит лишь от направления
двумерной касательной плоскости к поверхности $Ш2 и направления
обхода в ней, a Rmk<lj — лишь от точки М.
Этими данными вполне определяется, как показывает левая часть
A11.12), значение угла поворота ф, приходящееся на единицу охва-
охваченной обходом 'площади, взятое в пределе для бесконечно малого
обхода.
При этом «угол поворота» ф есть угол между исходным векто-
вектором ?', взятым в касательной плоскости, и проекцией |'-{-Д],?'
обнесенного вектора |'-|-А|' на эту плоскость. Величина
K~\im-^=Rmk<iJxmkxV A11.13)
называется кривизной риманова пространства V'„ в данной точке М
и в данном двумерном направлении (характеризуемом единичным
бивектором xmk).
Очевидно, что направление самого обхода роли не играет, так
как при изменении его на обратное меняется знак у всех координат
xmk и кривизна, как видно из A11.13), остается прежней.
Бивектор xmk был у нас единичным, т. е. он определял единич-
единичную площадь. Можно задать плоскость и направление обхода,
пользуясь для этого и не единичным бивектором |';, построенным
на двух произвольных векторах этой плоскости.
Мы хотим выразить через |!у кривизну К пространства Vn в со-
соответствующем двумерном направлении.
Для этой цели превратим |'у в единичный бивектор путем норми-
нормирования, т. е. деления его на определяемую им площадь «У.
Очевидно, что плоскость и ориентация бивектора от этого не
552
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[ГЛ. IX
изменятся, площадь же станет единичной, т. е. |'у превратится
В X'
1].
Подставляя это выражение в A11.13), получим:
¦tmk -tlj
rr г, 5 5
А — i\ mk, If c2 •
Но S2 — квадрат площади, определяемой бивектором
согласно E4.28) (при т = 2)
—равен
gill, gtlh
It,'.
и, следовательно:
тг
R,
y\h
gi-.h Shi г
'l'2
A11.14)
Так обобщается A11.12) на случай, когда двумерное направление
(и направление обхо'да) задано произ-
произвольным бивектором.
Определитель, стоящий в знаме-
знаменателе, есть четырежды ковариантный
тензор с теми же алгебраическими
свойствами, что и тензор кривизны.
Применим формулу A11.14) к одно-
одному частному случаю. Вычислим кривиз-
кривизну в данной точке М по направлению
координатной поверхности л:1, лга
(рис. 22).
Векторы а\ и а{, касательные
Рис. 22.
соответственно к координатным линиям
-1 -i « Wo -\ а » ИЛИ
лг1, х2, имеют координаты а[ = ^ ^
а[(\, 0, 0, ... , 0),
^@, 1, 0 0).
Плоскость, построенная на этих векторах, и будет касательной
к координатной поверхности д;1, х2. Составим соответствующий
бивектор ?'у = -п {й[а'2 — a{al). Его координаты могут отличаться
от нуля только при / и у, принимающих значения 1, 2. Так как
!11 = ?22=0, то отличным от нуля остаются только
§ 112] ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ ДВУМЕРНОГО РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА 553
Формула A11.14) для нашего случая примет вид
К =
811 gl2
ёгх 822
При суммированиях в правой части мы оставили только отличные
от нуля члены. Коэффициенты 4 появились потому, что возможны
четыре комбинации индексов B^=1, г2 = 2 или наоборот комбини-
комбинируются с y'i=l, у2 = 2 или наоборот), дающие одинаковые члены.
Остальные комбинации дают нуль. Окончательно:
„ .. ф ^12,12 /11, , п\
К=нт — = ¦—— . A11.15)
а
Результаты этого параграфа можно повторить во всем существен-
существенном и для псевдориманова пространства, но только ограничиваясь
неизотропными ЗЛ2, т. е. неизотропными двумерными направлениями
в данной точке М. Не вдаваясь в особенности геометрического
истолкования кривизны К в этом случае, мы будем просто
считать, что К определяется формулой A11.14).
§ 112. Тензор кривизны в случае двумерного риманова
пространства V%
Разберем частный случай риманова пространства, именно я = 2.
Внутренняя геометрия поверхности в трехмерном евклидовом
пространстве, определяемая первой квадратичной формой Гаусса!
ds2 = E dи3 + 2 F dи dv + О dv1,
представляет образец такой геометрии. В наших обозначениях
и, v=x\ х2, Е, F, Q = gll, g12, g2%.
Риманов тензор кривизны в этом случае будет иметь только
одну существенную координату jR12.la, так как среди отличных от
нуля координат все или равны этой, или отличаются от нее лишь
знаком.
Выясним, как преобразуется /?1а,Х2 при переходе к новой
координатной системе. По общему закону преобразования для
Rij,ki получаем:
_ дх' dxJ dxk дх' D
ди1 ди2 ди1 ди*
При суммировании в правой части отличны от нуля только та
члены, где /=1, у = 2 или наоборот, иначе RljM = Q. Запишем
суммирование по / и у в развернутом виде, причем вместо Rtl,ki
554
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[ГЛ, IX
пишем — Ri2,ki', получим:
d _ / дх1 дх* дх*
дх1
/?1
дхк дх1
\ дх1 дх2 дх1 дх2 / дх1 дх2
Поступая аналогично с другой парой индексов k и /, найдем окон-
окончательно:
дх1 дх*
дх1' дх1'
дх1 дх2
A12.1)
дх2' дх2'
Итак, при преобразовании координат координата /?12,i2 умножается
на квадрат якобиева определителя преобразования. Другими сло-
словами, Ri2,i2 является относитель-
относительным инвариантом веса 2.
Теперь посмотрим, как обстоит
дело с кривизной в нашем случае.
Так как само пространство всего
двух измерений, то всякая поверх-
ность
в нем совпадает с ним
самим (по крайней мере в некоторой
окрестности каждой своей точки),
Рис. 23. и в каждой точке будет лишь
единственная двумерная плоскость,
заполняющая все «касательное пространство» в этой точке. Отсюда:
кривизна пространства будет зависеть только от выбора точки.
Применим формулу A11.15) к поверхности х1, х2, которая
совпадает в нашем случае с самим пространством V2.
Обозначая кривизну в данной точке через К, получим:
л = ¦
2,12
A12.2)
С алгебраической точки зрения определенное таким образом К
представляет собой инвариант преобразования координат в качестве
частного двух относительных инвариантов, каждый веса 2.
Займемся геометрическим смыслом кривизны К. Мы замечаем,
что построения предыдущего параграфа (мы по-прежнему ограничи-
ограничиваемся собственно римановым случаем) теперь упрощаются. Излишне,
во-первых, задавать поверхность, так как она обязательно совпадает
с пространством. Излишне оговаривать, что вектор ?' берется
в касательной плоскости к поверхности, так как касательная
плоскость совпадает со всем евклидовым пространством R2, «каса-
«касательным» в данной точке, и, следовательно, автоматически заключает
любой вектор ?' в этой точке. По этой же причине обнесенный
вектор ?'4-Д|' лежит в касательной плоскости, и проектировать
§ 112] ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ ДВУМЕРНОГО РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА 655
его на нее также излишне. Угол ф получается непосредственно как
угол поворота любого вектора, параллельно обнесенного вокруг
некоторой области нашего двумерного пространства (рис. 23)*). Если
о — площадь этой охваченной обходом области, то согласно A11.15)
AT=lim-^-, A12.3)
где К—кривизна в той точке, куда в пределе стягивается область,
охваченная обходом.
Если наша двумерная риманова геометрия получена, в частности,
как внутренняя геометрия поверхности в классическом смысле, то
кривизна К (как будет показано в § 117)
совпадает с полной или гауссовой
кривизной поверхности. Это значит,
что кривизна К может быть опреде-
определена и внешним путем.
А именно, если взять внутреннюю
геометрию на поверхности, которой
придана вполне определенная форма
во вмещающем евклидовом прост-
пространстве, то гауссова кривизна К в Рис. 24.
каждой точке поверхности равна про-
произведению главных кривизн кхЫг (т. е. кривизн тех двух нормальных
сечений, для которых кривизна достигает экстремума). Если поверх-
поверхность изгибать, т. е. деформировать, оставляя на ней неизменной
внутреннюю геометрию, то гауссова кривизна К. не меняется, хотя
по отдельности главные кривизны /гг и k2, конечно, меняются.
Рассмотрим параллельное перенесение вектора в V2 no конечному
замкнутому контуру. До сих пор мы рассматривали в сущности
лишь бесконечно малый контур, для которого согласно A12.3)
ф = /Со + ео, A12.4)
где е—>-О вместе со—>¦ 0. Теперь, оставаясь по-прежнему в рима-
новом пространстве двух измерений, рассмотрим конечный замкнутый
контур обхода, являющийся границей некоторой односвязной **)
области D. Для большой простоты и наглядности продолжаем ограни-
ограничиваться случаем собственно риманова пространства.
1) Прежде всего для угла поворота ср безразлично, какой вектор
взят в начальной точке М, |' или любой другой г\' (рис. 24).
*) Напомним, что углу ф мы приписываем знак плюс, если поворот
вектора происходит в том же направлении, что и обход, и минус — если
в обратном.
**) Это значит, что область D может быть обслужена одной коорди-
координатной системой хх, хг и ограничена одним кусочно-гладким и несамопе-
ресекающимся контуром.
556
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[ГЛ. IX
В самом деле, при параллельном перенесении углы между векторами
|' и тг" не меняются, т. е.
Рис. 25.
пришел с координатами Е
в Л с координатами Ы и
где \[ и T|J — наши векторы после обхода. Далее векторы |', Ц,
г)', г)[ в точке М лежат в евклидовом пространстве, «касательном»
в этой точке, т. е. в одной двумерной плоскости, так как у нас
пространство двух измерений. Отсюда
ясно, что раз угол между %' и tj' не
изменился, то оба вектора поверну-
повернулись на один и тот же угол.
2) Угол поворота ф не зависит
от выбора начальной точки обхода
на данном контуре. Это прямо сле-
следует из свойств параллельного пере-
перенесения.
Параллельно переносим вектор ?',
начиная обход контура из точки А
(рис. 25). Пусть в точку В вектор
далее после полного обхода вернулся
наконец, при дальнейшем перенесении
вновь пришел в В с координатами |?. Легко видеть, что угол
ф равен углу ф', так как |{ и |з суть соответственно ?' и \{
параллельно перенесенные из Л в
В, а угол при параллельном пере-
перенесении сохраняет свое значение.
С другой стороны, ф есть угол
поворота при обходе с начальной
точкой А и начальным вектором ?',
а <р' — угол поворота с начальной
точкой В и вектором \{, Так как
ф = ф', то требуемое доказано: ф
зависит только от контура обхода.
3) Предположим, что область D, охваченная обходом, разбита
на две составляющие области / и // (рис. 26). Тогда угол пово-
поворота ф при обнесении вектора вокруг области равен сумме углов
поворота фх и ф2 при обнесении составляющих областей, при
условии, что обходы совершаются в одном направлении. Действи-
Действительно, исходя из точки А и обнося какой-нибудь вектор вокруг
области / (обход АМВА), мы приходим в А с вектором, поверну-
повернутым на угол фх: после дальнейшего обхода ABNA около области //
мы возвращаемся в А с новым поворотом вектора на угол ф2.
В итоге вектор повернулся на фх + ф2- Но сделанный нами обход
AMBABNA заключает отрезок АВ, пройденный сначала в направ-
Рис. 26.
§ 112] ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ ДВУМЕРНОГО РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА 557
лении ВА и сейчас же в обратном направлении АВ, в результате
чего мы возвращаемся в точку В с прежним значением переносимого
вектора. Поэтому, не меняя окончательного результата обхода, из
нашего обхода можно выкинуть отрезки ВА и АВ. Получается
обход AMBNA, т. е. обход около составной области, а угол пово-
поворота вектора остается прежним, т. е. фх + ф2. Таким образом, до-
доказано, что угол поворота обнесенного вектора есть аддитив-
аддитивная функция областей с данной ориентацией. Свойство это до-
доказано для двух составляющих областей, но оно, как это легко
следует отсюда, будет верно и для любого числа составляющих
областей.
Исходя из этих свойств, легко вывести и интегральную формулу
угла поворота ф при обходе по контуру, охватывающему конечную
область D.
Разобьем нашу область на бесконечно возрастающее число бес-
бесконечно малых частей, хотя бы, например, бесконечно сгущающейся
сеткой координатных линий. Пусть До — площадь какой-нибудь
элементарной области, Дф — угол поворота вектора при ее обходе.
Мы предполагаем, что разбиение это произведено так, что, выписывая
формулу A12.4) для элементарных областей
До,
мы будем иметь равномерное стремление к нулю бесконечно малого
коэффициента е для всех этих областей в совокупности. Как можно
показать, в случае, например, разбиения бесконечно сгущающейся
координатной сеткой, эта равномерность стремления е к нулю будет
следовать автоматически из непрерывности и дифференцируемости
нужное число раз всех рассматриваемых нами в данной области
функций.
Согласно доказанному полный угол поворота ф равен сумме
углов Дф, полученных при обходе составляющих областей: ф = ^] Дф,
где 2j распространена на все элементарные области разбиения, или
Итак, ф уклоняется от ^КАо на ^]еДа; оценим последнее выра-
выражение по модулю. Очевидно, что
| 2 е Да |< | вга | 2 Дет, A12.5)
где ет — наибольшее из всех е по модулю. Сделанное предположение
о равномерности стремления к нулю всех е в совокупности равно-
равносильно стремлению к нулю максимального из них е/п. Так как ~?Ао
дает, очевидно, площадь о всей области D, т. е. величину постоян-
постоянную, то вместе с ет, как видно из A12.5), стремится к нулю и
558
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[ГЛ. IX
уклонение ф от ^К\о. Переходим к пределу. В пределе ^КДа
становится равным ф, обращаясь в то же время в двойной интег-
интеграл, взятый по области D. Итак, окончательно:
do.
A12.6)
Эта формула выражает угол поворота ср при обходе односвязной
области О в зависимости от ее площади и распределения значе-
значений К на ней.
Случай К= const. Применим основную формулу A12.6) к част-
частному случаю, когда кривизна К нашего двумерного пространства
К>0
Рис. 27.
остается постоянной для всех его точек. (В случае классической
дифференциальной геометрии мы рассматриваем, следовательно,
внутреннюю геометрию поверхности постоянной кривизны.)
Формула A12.6) принимает вид
ф = К $ \da = Ко,
A12.7)
¦иначе говоря, угол поворота ф пропорционален площади обхода,
причем коэффициентом пропорциональности служит кривизна К,.
Различаем следующие три случая.
1. К = 0. Угол поворота ф = 0, что и понятно, так как геомет-
геометрия является евклидовой.
2. /С>0. Следовательно, и ф>0, т. е. обнесенный вектор ока-
оказывается повернутым в направлении обхода (рис. 27).
3. /С"<0; ф<0, поворот совершается в обратном направлении
(рис. 28).
Отметим, что если, в частности, проделать обход по геодези-
геодезическому треугольнику ABC (т. е. такому, стороны которого суть
отрезки геодезических), то угол ф будет равен сумме внутренних
§ 113] РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ 559
углов минус л. Таким образом, для геодезического треугольника
Здесь К—постоянная кривизна пространства и а — площадь тре-
треугольника (рис. 29). При выводе формулы мы берем исходный
вектор |' касательным к геодезической
АВ, а затем, перенося его из вершины в
вершину, используем постоянство угла, В+С(
образуемого геодезической с вектором,
параллельно переносимым вдоль нее.
Последнее вытекает из того, что вектор, V t
касательный к геодезической, тоже явля- '
ется вектором, параллельно переносимым
вдоль нее.
§ 113. Римановы координаты*)
В § 103 мы рассмотрели полугео-
полугеодезические координатные системы в Vn.
К ним близко примыкают по своим
свойствам так называемые римановы ко-
координатные системы. Их можно было бы Рис 29.
рассмотреть в том же месте, но мы пред-
предпочтем это сделать теперь в связи с некоторыми применениями к
тензору кривизны.
Римановы координаты можно строить не только в римановом
пространстве Vn, но и в любом пространстве аффинной связности.
Так мы и поступим, причем ограничимся пространством аффинной
связности без кручения L%.
Пусть ?{> отнесено к произвольной координатной системе х'
в окрестности произвольной точки Мо (х'о). Далее, проведем через
Мо по всем направлениям геодезические линии. Каждая из них за-
задается начальным касательным вектором |', произвольно выбранным
в точке Мо.
В этом случае параметрические уравнения геодезической
х' = х'(т), A13.1)
где т — канонический параметр, вполне определяются (§ 90) из ее
дифференциальных уравнений
d^x" !-,ь dx' dx*
(it2 ' '} dx dx
*) Оставшаяся часть этой главы не обязательна для понимания главы X.
560 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
и начальных условий
Для простоты мы полагаем т = 0 в точке Мо. Тогда произвол в
выборе канонического параметра т на данной геодезической сво-
сводится лишь к его умножению на произвольное число АфО
<см. (90.4)):
х*=Ах. A13.4)
Каждой точке М на произвольной геодезической, проведенной через
Л10, мы сопоставим п чисел
у'=1'%, A13.5)
еде т — значение канонического параметра в точке М. Эти числа
мы и будем называть римановыми координатами точки М. Оче-
Очевидно, в точке Мо
у'=0.
Наглядно, у будут координаты того вектора М0М' в каса-
касательном пространстве Ап в точке Мо, в который превратится
отрезок геодезической М0М, если эту геодезическую изобразить в
Ап в виде прямой, сохраняя прежний канонический параметр т
(и прежний начальный касательный вектор |').
Отметим прежде всего, что у' не зависят от выбора канони-
канонического параметра т на данной геодезической. В самом деле, при
переходе к новому параметру т*=Лт мы получаем:
а следовательно,
т. е. у1 не меняются. Однако мы не можем утверждать, что
каждой точке М отвечают вполне определенные у', так как, быть
может, в ту же точку М можно прийти из Мо по другой геодези-
геодезической.
Но можно доказать, что у' действительно способны служить
координатами в ?°, по крайней мере, в некоторой окрестности
точки Мо.
Пусть нам даны численные значения у' (не равные нулю одно-
временно). Положим |' = —, где а — произвольная константа, не
равная нулю, построим по начальным условиям A13.3) соответствую-
соответствующую геодезическую, проходящую через Мо, а на ней точку М,
§ ИЗ] РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ 561
отвечающую т = а. Это будет, как видно из A13.5), точка с напе-
наперед заданными римановыми координатами у'.
Чтобы точка М действительно нашлась на геодезической, при-
придется, возможно, ограничить выбор значений у' некоторой окрест-
окрестностью нуля.
Найденная точка М будет вполне определенной, несмотря на
произвол в выборе константы а: если, например, константу а
умножить на 2, то ?' разделится, а х умножится на 2. Это озна-
означает лишь, что на прежней геодезической произведено преобразо-
преобразование канонического параметра
т* = 2т,
причем точка М остается без изменения.
Координаты х' точки М будут тем самым вполне определен-
определенными функциями от (/':
xl=x'(y1 у"). (П3.6)
Так как х' согласно (90.8) — непрерывно дифференцируемые
функции параметра т и начальных значений ?', то ( полагая ?'= —,
T=a = const I убеждаемся, что функции A13.6) также непрерывно
дифференцируемые. Остается показать, что
д (х1 хп)
д (у\ ... , уп)
?-0, A13.7)
по крайней мере, в точке Мо. Это гарантирует однозначную раз-
разрешимость уравнений A13.6) относительно у1, ... , у":
у!=у1 (х\ ... , хп), A13.8)
по крайней мере, в некоторой окрестности точки Мо, а следова-
следовательно, возможность принять у' за новые координаты в пределах
этой окрестности. Геометрически это означает, что в пределах этой
окрестности в каждую точку М можно провести одну и только
одну геодезическую из точки Мо (по координатам х' однозначно
определяются у', а значит, и геодезическая, идущая из Мо в М).
Чтобы доказать A13.7), вычислим производные -т- вдоль про-
произвольной геодезической, проходящей через Мо. Так как х' за-
зависят от у1, ... , у" согласно A13.6), а у' зависят от т согласно
A13.5), то мы получаем:
dx ~~ ду> dx
562 тензор кривизны [гл. ix
Применим это равенство в точке Мо. Пользуясь A13.3), получаем:
Так как %' выбираются произвольно, то это равенство показывает,
/дх'\
что ( — есть единичная матрица
Kdy'J
а тем самым
6 I ду' 0
Это мы и хотели показать.
Построенные нами римановы координаты у' зависят, конечно,
от выбора начала Мо и от выбора исходных координат х'. Но зави-
зависимость от этих последних не очень существенна: как бы ни пре-_
образовывать координаты х1, соответствующие римановы координаты у'
подвергаются линейному преобразованию
A13.10)
т. е. точно так же, как координаты контравариантного вектора
в точке Мо. Это вытекает из того, что |' и в самом деле есть
контравариантный вектор в точке Мо а у1 получаются из ?' умноже-
умножением на значение т (которое есть инвариант преобразования коор-
координат х').
Согласно A13.5) параметрические уравнения геодезических, про-
проходящих через начало Мо, в римановых координатах у1 становятся
линейными по отношению к каноническому параметру т:
yl = llx, A13.11)
где коэффициенты |'—постоянные для данной геодезической.
Очевидно, это свойство и достаточно для того, чтобы коорди-
координаты у1 были римановыми. Действительно, если оно имеет место, то
вдоль данной геодезической
^? = ? = const. A13.12)
В частности, это справедливо и для точки Мо, так что
dyl
Мы видим, что |' в A13.11), так же как и в A13.5), представ-
представляют собой координаты начального касательного вектора. Тем самым
§113] РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ 563
из A13.11) следует, что у'— римановы координаты (точнее, что
римановы координаты, построенные, исходя из координат у', совпа-
совпадают с ними самими).
Очевидно, римановы координаты в L\ строятся весьма сходно
с аффинными координатами в аффинном пространстве Лп, причем
роль радиусов-векторов, идущих во все стороны из начала Л10,
играют геодезические отрезки. Однако в Ап в аффинных координа-
координатах все прямые определяются линейными параметрическими уравне-
уравнениями (если параметр канонический), aeije римановых координатах
этим свойством обладают, вообще говоря, лишь геодезические, про-
проходящие через начало Мо.
В частном случае, когда L°n представляет собой Ап, римановы
координаты, как легко проверить, просто совпадают с аффинными.
Выясним теперь, какими особенностями будут обладать коэффи-
коэффициенты связности Г*/ в римановых координатах у'. Рассмотрим геоде-
геодезическую A13.11) и запишем, что текущие координаты удовлетво-
удовлетворяют дифференциальному уравнению геодезических
Так как -р = |\ ;Иг = 0. т0 мы получаем:
Г?Д'?'=О. A13.14)
Умножая почленно на т2, получаем окончательно:
1>У=0. A13.15)
Итак, в римановых координатах у1 фунщии Г*/ (у1, .. ., у")
удовлетворяют п соотношениям A13.15). Соотношения A13.15)
являются и достаточными для того, чтобы координаты у' были рима-
новыми. Действительно, пусть эти соотношения имеют место. Рас-
Рассмотрим кривые, определяемые параметрическими уравнениями
У = ?'т, (пз.16)
где х—некоторый параметр, а |' — произвольные постоянные (не
равные нулю одновременно). Мы утверждаем, что эти кривые будут
геодезическими. В самом деле, подставляя </' = ?'т. в дифференциаль-
дифференциальные уравнения геодезических, получаем:
Перепишем это равенство, пользуясь A13.16) (и исключив точку ЛТ0>
так что т ¦ф 0):
564 тензор кривизны [гл. ix
Мы получили тождество, так как соотношения A13.15) у нас соблю-
соблюдаются. Итак, кривые у' = ?'т — геодезические, отнесенные к канони-
каноническому параметру т. Так как |' — произвольные константы, то это
будут геодезические, проходящие через начало Мо во всевозможных
направлениях. Но мы уже знаем, что когда уравнения таких геоде-
геодезических имеют вид ?/'=|'т, то у1— римановы координаты. Тем самым
наше утверждение доказано.
Римановы координаты всегда являются в то же время геодези-
геодезическими координатами относительно своего начала Мо. Для доказа-
доказательства достаточно рассмотреть соотношение A13.14) в точке Мо:
Так как геодезические у1 = \1% проходят через Мо по любому направ-
направлению, то |' можно брать в этом случае произвольно, и мы полу-
получаем тождество относительно |'. Учитывая, что в L%
rk г*
И — l ih
мы должны аннулировать коэффициенты, т. е. положить:
Это и значит, что координаты у1 — геодезические в точке Мо.
Обратное, конечно, неверно: римановы координаты гораздо более
специализированы и выбираются с гораздо меньшим произволом, чем
геодезические координаты.
Все сказанное выше будет справедливо, в частности, для рима-
нова пространства Vn. Но при этом можно сделать ряд добавлений.
Для геодезических вещественной длины, проходящих через на-
начало Мо, в качестве канонического параметра т можно брать длину
дуги 5, отсчитываемую от Мо. Тогда формулы A13.5), определяю-
определяющие римановы координаты у', примут вид
yl = lls, A13.17)
где
s-L A13Л8)
— единичный касательный вектор к геодезической в начале Мо. Для
геодезических мнимой длины, проходящих через Мо, можно поло-
положить:
и наши формулы примут вид
г/= 14 (пз.19)
§ 113] РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ 565
где
|'= Г^.1 A13.20)
— мнимоединичный касательный вектор к геодезической в точке Мо~
Лишь для изотропных геодезических канонический параметр т
остается по-прежнему неспециализированным.
Для простоты ограничимся собственным римановым пространством,
когда все геодезические вещественной длины; формулы A13.17)
можно считать уравнениями исходящих из Мо геодезических в рима-
римановых координатах.
Так как |' в A13.17) — единичный вектор в точке Мо, то
1=^'V- A13.21)
Здесь gij — метрический тензор в точке Мо. Заметим кстати, что коор-
координаты всех тензоров в точке Мо не меняются при переходе от
первоначальных координат х' к соответствующим римановым коорди-
координатам у'. Это легко следует из A13.9).
Умножая A13.21) на s2, получаем:
s2 = g!iyiyi- A13.22)
Таким образом, квадрат геодезического расстояния s = М0М
выражается квадратичной формой от римановых координат у1 точки М
с коэффициентами gfj.
Полагая здесь s= const, мы получаем уравнение геодезической
гиперсферы в римановых координатах. В самом деле, геодезическая
гиперсфера с центром в ЛТ0 строится следующим образом: по всем
геодезическим, исходящим из Мо, мы откладываем отрезки М0М
постоянной длины s > 0 и рассматриваем геометрическое место их
концов М. При этом геодезические, исходящие из Мо, ортогонально
пробивают гиперсферу (§ 102). Используем этот результат, чтобы
охарактеризовать метрический тензор gtj в римановых координатах.
Пусть Ьу1 обозначают дифференциалы координат у' при произволь-
произвольном бесконечно малом смещении из данной точки М по гиперсфере,
a dyl — по геодезической М0М. В силу ортогональности геодезиче-
геодезической к гиперсфере векторы 6у' и dy' всегда ортогональны, так что-
где gfj вычислены в точке М. Так как согласно A13.17) dy' = ?'dsy
то отсюда следует:
0. A13.23)
566 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
С другой стороны, дифференцируя почленно A13.22) при бесконечно
малом смещении по гиперсфере (s = const), мы получаем:
¦откуда после деления на 2s следует:
ft°/!'V=0. A13.24)
Так как byJ связаны лишь этой линейной зависимостью, вытекающей
из уравнения гиперсферы, то линейная зависимость A13.23) должна
быть ее следствием. Это означает пропорциональность коэффициентов
gtfi' = bgffc', A13.25)
где X — коэффициент пропорциональности. Нетрудно обнаружить,
что Л=1. Для этого достаточно свернуть полученное равенство с \/
почленно. Получим:
Так как вдоль геодезической A13.17) касательный вектор
dJ*L-V
ds s
является в каждой точке М единичным, то
&/&'=!• (И 3.26)
Учитывая, кроме того, A13.21), получаем, что А,= 1. Теперь A13.25)
принимает вид
&? = &#, (П3.27)
т. е. вдоль геодезической A13.17) остаются постоянными не только ?',
но и tj = giftl.
Умножая почленно на s, получаем окончательно:
*?/• A13.28)
Итак, функции gj/iy1, •¦¦,уп), вычисленные в римановых коор-
координатах, тождественно удовлетворяют п соотношениям A13.28) (где
gij = gr@, ...,0)). Покажем, что эти соотношения являются и
достаточными для того, чтобы координаты у' были римановыми.
В самом деле, пусть в некоторой координатной системе соотно-
соотношения A13.28) имеют место. Покажем, что в этом случае имеют
место и соотношения A13.15), откуда и будет следовать, что коор-
координаты у' римановы.
§ 113] РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ 567
Дифференцируя A13.28) по у* почленно, получим!
Qyk У ~ &kj Ski'
Свернем полученное равенство поочередно с j'n yk. Получим соот-
соответственно:
4,,..,. >
ду
При этом мы отбросили в правой и левой частях члены, равные
в силу A13.28). Последнее равенство перепишем два раза с другими
обозначениями индексов:
Складывая полученные равенства почленно и вычитая из них первое
из A13.29), мы приходим (в силу (94.8)) к соотношению
Поднимая индекс k при помощи метрического тензора, мы возвра-
возвращаемся к A13.15). Требуемое доказано.
Мы упоминали о связи римановых координат с полугеодезиче-
полугеодезическими. Эту связь легко обнаружить, если ввести новые переменные
„1 1/2
предполагая, что мы ограничиваемся областью, где у" > 0. Очевидно,
вдоль геодезических, исходящих из начала /Ио, значения и1, ..., и"*1
остаются постоянными, и обратно, эти геодезические вполне опре-
определяются значениями и1, ..., и". Присоединим к параметрам
и1, ...,ип~х еще путь 5 = УИ0М>0, пройденный по геодезической
из Мо в произвольную точку М (в области у" > 0). Тогда и1, .. ., ип~1,
s в совокупности определяют положение точки М и являются част-
частным случаем полугеодезических координат (§ 103).
Разумеется, все сделанное в этом параграфе может быть повто-
повторено (с соответствующими оговорками и уточнениями) и для псевдо-
риманова пространства.
568
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[ГЛ. IX
§ 114. Кривизна риманова пространства в данной точке
и данном двумерном направлении как кривизна
геодезической поверхности
Мы дадим еще одно геометрическое истолкование кривизны много-
многомерного пространства Vn. Для простоты ограничимся собственно
римановым случаем.
Берем какую-нибудь точку Мо и двумерную плоскость Л2, через
«ее проходящую, т. е. множество векторов, линейно зависящих от
двух, неколлинеарных векторов,
заданных в точке Мо. По напра-
направлению каждого такого вектора
проведем через Мо геодезичес-
геодезическую. Геометрическое место этих
геодезических дает двумерную
поверхность Ш2, которая назы-
называется геодезической поверх-
поверхностью с центром Мо (рис. 30).
Очевидно, что Ш2 имеет Л2 каса-
касательной плоскостью в точке Мо.
Вычислим в точке Мо кривизну 2)ц как двумерного риманова
¦пространства. Мы утверждаем, что эта кривизна совпадает с кривиз-
кривизной пространства Vn в той же точке в направлении плоскости Л2.
Воспользуемся римановыми координатами х' с началом в точке Мо
(§ 113). В них, как известно, уравнения геодезических имеют вид
где ?'—единичный касательный вектор в точке Мо. Так как рима-
римановы координаты в точке Мо будут и геодезическими, то имеем:
и значит (согласно (94.5) и (94.7)):
(dJr) =о-
A14.1)
Возьмем теперь в качестве А2 плоскость векторов с координатами
(I1, |2, 0, ...,0), где I1, ?2 произвольны. Все эти векторы линейно
зависят от двух из них, например, от A, 0, 0, . . ., 0) и @, 1, 0, .. ., 0).
Такой выбор А2 не нарушает общности выводов. В самом деле,
линейным преобразованием с постоянными коэффициентами х1' = а\'х*
мы переводим римановы координаты снова в римановы.В то же время
этим преобразованием всегда можно добиться, что любые два вектора
§ 114] КРИВИЗНА Vn КАК КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ 569
получат координаты A, 0, 0, . .., 0) и @, 1, 0, ..., 0), и следова-
следовательно, построенная на них плоскость А2 превратится в плоскость-
векторов с координатами (I1, |2, О, .. ., 0).
Строим теперь геодезическую поверхность, касающуюся в точ-
точке Мо плоскости Л2. С этой целью проводим геодезическую по
направлению каждого вектора |' плоскости Аг. Но тогда все ?' = 0
кроме I1 и |2. Следовательно, согласно уравнениям геодезических
x' = ?,ls, вдоль них все xl = 0 кроме х1, х2, т. е. наши геодезиче-
геодезические все лежат на координатной поверхности х1, х2, с которой и сов-
совпадает построенная нами геодезическая поверхность 5К2 (по крайней-
мере в окрестности точки Мо).
Переходим к вычислению внутренней кривизны поверхности х1, х2.
Мы будем рассматривать ее как двумерное риманово пространство,
отнесенное к координатам х1, х2 (игнорируя остальные координаты,
все время равные на ней нулю). Мы утверждаем теперь, что х1, хг
будут служить римановыми координатами с точки зрения внутренней
геометрии этой поверхности. Действительно, поверхность образована
геодезическими, уравнения которых были
при ?э = |4= ...=?" = 0. Это — геодезические, т. е. линии
стационарной длины во вмещающем пространстве Vn, а следова-
следовательно, они и подавно обладают этим свойством на поверхно-
поверхности Ш2. Итак, геодезические на поверхности 5Ш2, выходящие иа
начала Мо, имеют уравнения:
где I1, |2 — постоянные вдоль каждой из них, а это и означает,,
что координаты х1, х2 — римановы для поверхности Ш2 (§ ИЗ).
Возьмем теперь линейный элемент вмещающего пространства Vn
при бесконечно малом смещении по поверхности х1, х2. Так как при
этом dx* = dxi= . . . =dxn = 0, то от квадратичной формы g^-dx^x^
в пространстве остается лишь
ds2 = glldxl2 + 2g12dxldx2+gi2dx2\ A14.2)
Эта квадратичная форма и определяет, таким образом, внутреннюю
геометрию на поверхности х1, х2. Кривизна этой геометрии со-
согласно A12.2) равна
#12, 13
где ^12,12 — координата тензора кривизны, составленного для квад-
квадратичной формы A14.2).
570 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
Нам нужно доказать совпадение в точке Мо этой кривизны
поверхности с кривизной вмещающего пространства Vn в направ-
направлении этой же поверхности. Так как последняя кривизна равна
п
12'12 согласно A11.15), то остается доказать равенство
—?12
^12, 12 = ^12, 12-
Координаты х1, ..., х" для всего пространства и х1, х2 для
поверхности суть римановы координаты, значит, коэффициенты связ-
связности Г*/ в обеих геометриях обращаются в нуль в начале коор-
координат Мо. Следовательно, формула A10.4) для Rtk, ц упрощается,
так как отпадают члены с Г*,-. Выписав эту формулу для /?1212,
получаем:
\
*J
V'42,i2>o 2 \dx1dxi дх1дх^ дх* дх*~ дх1 дх* ) '
Но если выписать эту же формулу для R12t 12, то результат будет
буквально тот же, так как gllt glit gi2 на поверхности те же са-
самые, что и в пространстве, если вычислять их в точках поверхности;
частные производные от них берутся по тем же переменным х1, х2.
Итак,
\^12, 12/0 ™ '"¦12, 12'0>
а вместе с тем кривизна геодезической двумерной поверхности
в ее центре Мо дает кривизну пространства в этой точке в каса-
касательном к поверхности направлении.
§115. Смешанные тензоры на гиперповерхности Vn-\ в Vn
8 римановом пространстве Vn можно развить теорию гиперпо-
гиперповерхностей Vn_1, весьма схожую с теорией поверхностей в обычном
пространстве. Это объясняется тем, что поверхность в обычном
пространстве есть частный случай гиперповерхности. Напротив, тео-
теория поверхностей Vm любого числа измерений m имеет значительно
более сложный вид; ее мы не будем касаться.
Говоря о гиперповерхности Vn_lt мы подразумеваем, что она
неизотропная и, следовательно, также несет на себе риманову гео-
геометрию (§ 85) (в собственно римановом случае эта оговорка является
излишней). Пусть У„_г задана уравнениями
*' = *'(«\ •••.""~1), (П5.1)
причем согласно нашим прежним предположениям (см. § 83) матрица
II Зх д v дх
з-i имеет ранг п—1. Линейно независимые векторы ^—. ,. . . ,,_,
ди" ^ ди1 ' ' ди" •>
§ 115] СМЕШАННЫЕ ТЕНЗОРЫ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ Vn_t В Vn 571
определяют в каждой точке М гиперповерхности Vn_1 касательную
гиперплоскость Ап_1 (лежащую в касательном пространстве Аа
в точке М). Прямая Вг, ортогональная к А„_г в Ап и проходящая
через М, называется нормалью. Нормаль не принадлежит Ап_1, так
как иначе Ап_1 была бы изотропной гиперплоскостью вопреки нашим*
предположениям.
Метрический тензор на гиперповерхности Vn_1 имеет вид (85.12):
дх' дк'
8 (Но.2)
(греческие индексы здесь и в дальнейшем пробегают значения
1, 2, ..., п—1). Тензору Gao отвечает инвариантная квадратичная
форма Gaoduadtfi, которую мы будем называть первой основной
квадратичной формой на гиперповерхности Vn_1 и которая согласно
(85.13) выражает ds2:
Как и в обычной теории поверхностей, нам дальше придется-
наряду с первой рассматривать вторую основную квадратичную форму.
Подготовим теперь аппарат смешанных тензоров, которым будем
пользоваться в дальнейшем. Рассмотрим систему величин
е' —?*_ Л'=1' 2> '••' п
а~ди* \«=1. 2 п~
в произвольной точке М гиперповерхности Vn_v Эти величины
занумерованы двумя индексами. Из них латинский индекс относится
к вмещающему пространству Vn и реагирует на преобразование коор-
координат х' в нем как контравариантный индекс:
ОХ ОХ ОХ с. .•* (JX с.
дп^~"д~7ди~а' т' ёа~а7*а'
Греческий индекс относится к гиперповерхности Vn_-y и реагирует
на преобразование координат и" на ней как ковариантный индекс:
dx[_djS_dxi v =Л^_е,
ди"' ~~ ди*' ди" Т> е# *«'~ ди*'Ьа-
Индекс а не реагирует на преобразование координат х' в Vn, равно'
как индекс / не реагирует на преобразование координат ц" на
572 тензор кривизны [гл. ix
Систему величин ?а мы будем называть смешанным тензором
одноконтравариантным в Vn и одноковариантным в Vn_{.
Совершенно аналогичным образом в точках Уп_г могут быть
определены смешанные тензоры любого строения, например, Z$k. Мы
будем подразумевать при такой записи, что индексы /, у, k ведут
себя как тензорные индексы при преобразовании координат х' в Vп
(и не реагируют на преобразование координат и"), а индексы а, р
ведут себя как тензорные индексы при преобразовании координат ц*
на Vn_1 (и не реагируют на преобразование х' в Vn). «Чистые»
тензоры, например, Z)k или Zp, мы будем рассматривать как част-
частный случай смешанных; первый из них ведет себя как инвариант
при преобразованиях иа, а второй — при преобразованиях х'.
Таким образом, смешанный тензор имеет частью индексы, отно-
относящиеся к риманову пространству Vn (латинские индексы, реагиру-
реагирующие на преобразование координат х'), частью индексы, относя-
относящиеся к риманову пространству Vn_1 (греческие индексы, реагирую-
реагирующие на преобразование координат и"). Операции тензорной алгебры—•
сложение, умножение, свертывание тензоров — очевидным образом
переносятся и на смешанные тензоры. Все рассуждения повторяются
дословно, и нужно лишь учитывать, что индексы будут относиться
частью к одному пространству, частью к другому.
Пусть теперь нам дано поле смешанного тензора на Vn_lt на-
например,
Zf = Z${u\ ...,a"-i). A15.4)
В таком случае при бесконечно малом смещении по У„_г мы опре-
определяем абсолютный дифференциал этого тензора по формуле
?f ladxk + тъяг?Aи*—г^г'?Aи*. (ii5.5)
Для наглядности мы выписали абсолютный дифференциал тензора
частного вида, но формулу A15.5) нужно понимать в смысле общего
правила: абсолютный дифференциал любого смешанного тензора по-
получается путем добавления к обыкновенному дифференциалу допол-
дополнительных членов, составленных по одному для каждого индекса
данного тензора по ранее известным нам правилам. Однако при этом
члены, отвечающие греческим индексам, составляются при помощи
Г%у (а не Гц), где Гру — коэффициенты связности, вычисленные в ри-
мановом пространстве Vn_1 {исходя из метрического тензоре. 0^).
Соответственно свертывание в этих членах происходит с йи* (а не
с dxk). Очевидно, в случае «чистого» тензора, например, Z\j или
Zy' > мы получаем абсолютный дифференциал в прежнем смысле'.
§ 115] СМЕШАННЫЕ ТЕНЗОРЫ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ Vn_t В Vn 573
в первом случае вычисленный в римановом пространстве Vn, а во
втором случае — в римановом пространстве Vn_x. В общем же слу-
случае, когда смешанный тензор снабжен и латинскими (относящимися
к Vn) и греческими (относящимися к Vn_l) индексами, определенное
нами абсолютное дифференцирование происходит как бы частью
в Vn (по латинским индексам), частью в Vn_1 (по греческим ин-
индексам).
Нужно, конечно, убедиться, что определенный таким образом
абсолютный дифференциал представляет собой тензор. Рассмотрим
для этой цели сначала преобразование координат х'. Первые два
члена в правой части A15.5) представляют собой абсолютный диф-
дифференциал тензора Zpa в Vn, если индексы а, Р произвольно фик-
фиксировать, а тензорным индексом считать лишь /. Оставшиеся члены
каждый по отдельности тоже ведут себя при этих условиях как
тензоры с контравариантным индексом /.
Таким образом, DZpa представляет собой (при фиксированных
а, Р) одноконтравариантный тензор в Vп.
Теперь рассмотрим преобразование координат и" на Vn_v Тогда,
объединяя dZjf с последними двумя членами, мы получаем абсолют-
абсолютный дифференциал тензора Zjj™ в римановом пространстве Vn_x
(если считать индекс i произвольно фиксированным). Следовательно,
при нашем преобразовании индексы a, P в полученной сумме ведут
себя как тензорные индексы. Так же они ведут себя и в пропущен-
пропущенном нами втором члене. Следовательно, DZ'^ при произвольно фик-
фиксированном / представляет собой тензор с точки зрения простран-
пространства Vn_i-
Этим мы проверили, что DZ'$ —тензор того же строения, что
и Zp .
В точности то же рассуждение применимо и для смешанного
тензора Z\\ любого строения: при преобразовании х' мы объеди-
объединяем dZ'\\ с дополнительными членами, отвечающими латинским ин-
индексам, а при преобразовании ua—с дополнительными членами,
отвечающими греческим индексам. В обоих случаях обнаруживается,
что DZ\\\ преобразуется по тензорному закону.
Установленные нами правила абсолютного дифференцирования
суммы, произведения, свертки тензоров без труда переносятся и на
смешанные тензоры повторением прежних рассуждений.
От абсолютного дифференциала нетрудно перейти к абсолютным
производным смешанного тензора по ык. Дифференцируя A15.4) и
A15.1), получаем:
574 тензор кривизны [гл.
Теперь A15.5) принимает вид
DZe* = C + tvXluP
Коэффициенты при duK мы будем называть абсолютными произ-
производными смешанного тензора по ик; в нашем примере
Мы сопровождаем символ абсолютной производной vx звездочкой,
потому что она берется по координатам их в V,,..! (а не по xk в Vn).
Формулу A15.6), выписанную для частного случая, нужно понимать
dZ-
в смысле общего правила: обыкновенная частная производная -—^
дополняется членами, по одному для каждого индекса тензора Z'.'.'.\
для греческих индексов эти члены составляются так же, как при
абсолютном дифференцировании в Уп_г, а для латинских — как при
абсолютном дифференцировании в Vn, причем в последнем случае
индекс дифференцирования k свертывается с |к.
Из тензорного характера Z)Zga легко следует, что абсолютная
производная VxZpa тоже представляет собой тензор, причем по срав-
сравнению с исходным тензором она обладает лишним ковариантным
греческим индексом. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать:
и применить при преобразовании координат и" то же рассуждение,
что и при выводе (96.22). При преобразовании же координат х'
тензорный характер DZp™ позволяет нам записать:
DZ& =—7DZe, т. е. du4xZ& = dii* —r V к^р ,
дх1 дх'
а так как dux совершенно произвольны, то отсюда вытекает:
* 7/'а дх"
Vk-^P == —7
дх1
т. е. при преобразовании х' Vx^p™ тоже ведет себя как тензор (по
отношению к латинским индексам). Разумеется, все сказанное без
труда переносится на тензор Z'" любого строения.
Займемся теперь альтернированным вторым абсолютным диф-
дифференциалом (§ 105). На гиперповерхности Va^1 зададимся (по
§ 1 15] СМЕШАННЫЕ ТЕНЗОРЫ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ' Vn_± В Vn 575
образцу A05.2)) произвольной двумерной поверхностью
?2
причем, как и в § 105, бесконечно малым смещениям по координат-
координатной линии а отвечают символы дифференциалов d и D, а по коор-
координатной линии р—символы d и D.
Пусть на Vn_x заданы «чистые» тензорные поля Vi и W4.
Индексы у них латинские, т. е. реагируют на преобразование
координат х1 в Vn. Применяя фэрмулы A05.9) и A05.14), можно
записать:
DDUi—DDUl = Rik,iqUqdxl dxk, A15.8)
DDW — DDW = — Rik ¦^W'dx1 dxk. A15.9)
Пусть, далее, на Vn_1 заданы «чистые» тензорные поля pQ, q®.
Индексы у них греческие, т. е. реагируют на преобразование коор-
координат ик на Vn_1. Так как в этом случае абсолютные дифферен-
дифференциалы DuD имеют смысл абсолютных дифференциалов в рима-
новом пространстве Vn_l, то мы можем снова применить формулы
A05.9), A05.14) уже в Vn_x:
DDp9 — DDp9 = ?л й, q.Po dux du", (i \ 5 10)
DDq0 — Dbq<* — — Ri «, Qaqf duK duK . A15.11)
Здесь через Riit.'o. обозначен тензор кривизны пространства Vn_x.
Если теперь на Vn_x задать поле произвольного смешанного
тензора, например, Z) , то для него мы получаем:
DDZf — DDZf = — Rik, p.Zia dxldxk +
+ Rik, fzf dx' dxk — Rix, 'n.z'f1 dulduK. A15.12)
Эту формулу нужно понимать в смысле общего правила: альтерни-
альтернированный второй абсолютный дифференциал смешанного тензора
выражается суммой членов, составленных по одному для каждого
из его индексов: для латинских — по схеме A15.8) или A15.9)
(в зависимости от ко- или контравариантного характера индекса),
для греческих — по схеме A15.10) или A15.11). Остальные индексы
переписываются каждый раз без изменения.
Вывод этой формулы совершается по образцу § 105, а именно,
заданный смешанный тензор, например, Zf", превращаем (аналогично
A05.15)) в инвариант / путем свертывания с произвольными одно-
одновалентными тензорными полями:
576 тензор кривизны [гл. ix
Здесь vt, ра, 9Р—произвольные тензорные поля на Vn_1. Повто-
Повторяя дальнейший вывод § 105 и пользуясь формулами A15.8) —
A15.11), приходим к A15.12).
Наконец, нам нужно получить еще формулы для альтерниро-
альтернированной второй абсолютной производной смешанного тензора. Здесь
мы будем поступать по образцу § 108 — вывод формулы A08.14)
(разумеется, Гу и Г^р как коэффициенты связности в римановых
пространствах удовлетворяют условию A08.1) — симметрии по ниж-
нижним индексам).
Прежде всего записываем A15.7) для произвольного смешанного
тензора Z...
Действуем почленно посредством D:
'i = Ъ du* vKz;;; + <*н*5и* vx Vk-z;::. о i 5. i з)
5*
Во втором члене ?>Vx ¦?... заменено на основании той же формулы
A15.7). Так как
DduH =d du* + Г*„ dun duk,
Ddu* =dduK -f Г^я7/йя duk,
то совершенно аналогично A08.11) получаем:
Ddu*=DduH. A15.14)
Теперь в A15.13) меняем местами символы D и D (и соответст-
соответственно d и d) и результат почленно вычитаем. Учитывая A15.14),
получаем:
= duKduK(V^^Z;;. — V*Vx^J- (H5.15)
Последнее выражение получено за счет перестановки обозначений
к и % в вычитаемом.
Применим полученный результат к тензору Z/a, Подставим в
A15.12)
ди
Приравнивая затем правые части A15.15) и A15.12) и учитывая, что
равенство имеет место при любых dux, duK, получим:
№Zf-VKV^-a =
= -Rih,p'.ZiriU* + Rik.fz'fliU- h». nazf. (П5.16)
§ И6] ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Va_t В Vn ЬП
т. е. соответствующие коэффициенты при du", duK тоже должны
быть равны. Полученную формулу нужно понимать как правило
составления альтернированной второй абсолютной производной от
произвольного смешанного тензора. А именно, каждому латинскому
индексу тензора в правой части отвечает член, составленный по
схеме A08.14) в случае нижнего и по схеме A08.16) в случае
верхнего индекса, причем индексы дифференцирования подверга-
подвергаются еще свертыванию с |к|&,:
Каждому греческому индексу отвечает член, составленный тоже по
схеме A08.14) или A08.16), но уже в применении к риманову про-
пространству Vn_1.
Это отражается в записи заменой латинских индексов гречески-
греческими, а также тем, что тензор кривизны, взятый в Vn_u отмечается
звездочкой:
• . . • * „ f
A1O.IO)
Мы выписали формулы для одновалентных тензоров. Правило
A15.16) означает, что для каждого индекса смешанного тензора
нужно составить в правой части член по одной из схем A15.17),
A15.18), причем остальные индексы тензора переписываются каж-
каждый раз без изменения.
Все сделанное нами в этом параграфе для гиперповерхностей
Vn-i ^ез изменений переносится на поверхности Vm любого числа
измерений. Мы ограничились гиперповерхностями, так как наме-
намерены заниматься именно их дифференциальной геометрией.
§ 116. Теория гиперповерхностей Vn_t в Vn
Сохраняя предположения и обозначения § 115, применим разви-
развитый там аппарат смешанных тензоров к дифференциальной геомет-
геометрии гиперповерхностей Vn_v
В каждой точке М гиперповерхности Vn_x построим репер,
состоящий из п векторов:
1[, -.., &-1, v*. A16.1)
где |i, ..., ?n-i.— линейно независимые касательные векторы
A15.3), а вектор v' — единичный (или мнимоединичный) нормальный
вектор. Этот вектор линейно независим от векторов |?, ..., ^,_ь
19 П. К. Рашевекий
578
тензор кривизны
[гл.
так как в противном случае нормаль v' лежала бы в касательной
гиперплоскости Ап_и что исключено (см. начало §115). Таким
образом, векторы A16.1) действительно образуют репер, который
мы будем называть сопровождающим репером гиперповерхности.
Сопровождающий репер зависит, конечно, от выбора координат иа
на Vn_v
Для изучения гиперповерхности Vn_1 важно проследить, как
меняется сопровождающий репер от точки к точке. Мы сделаем
это при бесконечно малом смещении данной точки М по Vn_1}
т. е. будем дифференцировать величины ?„, v' и притом в следую-
следующей инвариантной форме. Вычислим прежде всего абсолютную про-
производную от смешанного тензора |„ (по схеме A15.6)):
^
Так как —?- =—„ * я-, a
диУ диг диР
сам, то, очевидно,
— Гра ?п-
Гва симметричны по нижним индек-
При фиксированных a, P VplJ, представляет собой одноконтравари-
антный тензор, т. е. вектор в Vn. Мы утверждаем, что этот век-
вектор ортогонален ко всем векторам |„, т. е. направлен по нормали
к Vn-1. В самом деле, согласно A15.2)
Вычисляя почленно абсолютный дифференциал, получим:
+ la (DU) gtl + la llDgt/.
Так как DGag совпадает с абсолютным дифференциалом в Vn_x,
а Dgq — с абсолютным дифференциалом в Vn, то оба они равны
нулю (как абсолютные дифференциалы от метрических тензоров).
Заменяя Dl'a через Vxla^wK и учитывая, что duK
получаем:
произвольны,
Присоединим сюда еще два соотношения, полученных из этого
круговой подстановкой индексов:
§ 116] ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Vn_1 В Vn 579
Учитывая A16.2), мы замечаем, что здесь приравниваются нулю
три попарные суммы трех величин, а следовательно, каждая из этих
величин равна нулю:
Итак, вектор Va ?p ортогонален ко всем векторам |? и направлен по
нормали к Vn_t. Мы можем записать, таким образом,
VaSp = *opV. A16.4)
Коэффициенты Ьа$ образуют дважды ковариантный тензор на Vn_v
так как при преобразовании координат и" индексы a, P в левой
части равенства ведут себя как ковариантные тензорные индексы.
Кроме того, в силу A16.2)
Тензор Ьа$ мы будем называть вторым основным тензором ги-
гиперповерхности Vn-l (считая первым метрический тензор Ga$), a
отвечающую ему инвариантную квадратичную форму ba$ du" du$ —
второй основной квадратичной формой на Vn_1.
Итак, мы выразили при помощи тензора #ар абсолютные про-
* *
изводные Va ?p"> выразим теперь Vxv'- Для этой цели запишем ор-
ортогональность v' к любому касательному вектору ?,'а
Беря почленно абсолютную производную V« и учитывая, что
= O (так как Dg[f— Vxgjj-du* —0), получим:
Заменяя Vx?a согласно A16.4) и учитывая, что вектор v' единич-
единичный или мнимоединичный, т. е.
ftyvV=±l, A16.6)
получаем:
(во всех дальнейших выкладках верхний знак будет соответство-
соответствовать единичному, а нижний — мнимоединичному вектору v'). Диф-
Дифференцируя аналогичным образом A16.6), получаем:
19*
580 тензор кривизны [гл. ix
а так как оба члена левой части равны между собой, то оконча-
окончательно:
vV=0. A16.8)
Это показывает, что вектор V*v' (где и фиксировано) ортогона-
ортогонален к вектору v', расположен в касательной гиперплоскости и мо-
может быть разложен по векторам Ъ\ Vn-\-
V*v' = c°&. A16.9)
Здесь с* — некоторые коэффициенты, которые нетрудно подсчитать.
Вставляя это разложение в A16.7) и пользуясь A16.3), получаем:
или, что то же,
где by получается из Ька поднятием индекса а при помощи метри-
метрического тензора йа& на Vn_1. Теперь A16.9) принимает оконча-
окончательный вид
a. A16.10)
Присоединим сюда и формулы A16.4):
A16.11)
Формулы A16.10), A16.11) называются деривационными фор-
формулами теории гиперповерхностей; они выражают абсолютные про-
производные от тензоров ?а, v1 через сами эти тензоры, или, говоря
геометрически, характеризуют в бесконечно малом изменение век-
векторов сопровождающего репера, отнесенное к самому этому реперу.
Мы можем вывести теперь весьма важные соотношения, свя-
связывающие первую и вторую квадратичные формы на гиперповерх-
гиперповерхности, т. е. тензоры Gai и Ьа$. А именно, рассматривая дерива-
деривационные формулы как систему дифференциальных уравнений отно-
относительно неизвестных функций Щ {и1, ..., и"), \'(иг, ..., и"'1),
мы составим для нее условия интегрируемости. При этом осталь-
остальные функции от и1, ..., и"~\ входящие в эти уравнения, мы бу-
будем рассматривать как известные.
Мы видим, что уравнения A16.10), A16.11) позволяют вы-
выразить каждую частную производную 1-го порядка от каждой
неизвестной функции v', |e через сами эти функции. Действи-
§ 116] ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Vn_1 В Vn 581
тельно, абсолютные производные VxV1, Vxip имеют в своем со-
dv' д^к
ставе частные производные , —— (а также дополнительные
ди* ди*
члены, содержащие v', gg), так что из A16.10), A16.11) можно
выразить все производные
ди*
ди*
Многоточиями обозначены правые части полученных дифференци-
дифференциальных уравнений, содержащие неизвестные функции v', ?g лишь
s конечном виде. Мы знаем, что для составления условий интегри-
интегрируемости этой системы нужно продифференцировать почленно ее
уравнения по мх, заменить появившиеся в правых частях частные
производные от неизвестных функций согласно A16.12) и проаль-
тернировать по и, X. Левые части обращаются в нуль, и мы
получаем конечные зависимости, наложенные на неизвестные функ-
функции. Это и будут условия интегрируемости. Мы предпочтем, однако,
провести эту выкладку инвариантным путем и вместо частных
производных иметь дело с абсолютными производными. Возьмем от
*
A16.11) почленно абсолютную производную Чх:
Заменим в правой части yxv' согласно A16.10), т. е. из уравнений
самой системы:
Теперь меняем местами индексы к, и и полученное равенство
почленно вычитаем из данного. В левой части мы теперь уже не
получим нуля; альтернированная вторая абсолютная производная
смешанного тензора выражается по схеме A15.16). Мы приходим
к конечным зависимостям, наложенным на неизвестные функции
= (VA|3— VApJv1 4= (by.$. — b^bl)ila. A16.13)
Это и будут условия интегрируемости в части, касающейся урав-
19* п. К. Рашевский
582 тензор кривизны [гл. ix
нений A16.11). Заметим, что использование абсолютных производных
вместо частных изменило выкладки лишь по форме. По существу
мы получили бы то же самое, исходя и из уравнений A16.12), но
только значительно более сложным путем. Действительно, в обоих
случаях смысл выкладки остается прежним: исключить из продиф-
продифференцированных уравнений системы вторые частные производные,
заменить первые частные производные из уравнений самой системы
и этим путем получить конечные зависимости между неизвестными
функциями IJ,, v'.
Теперь составим условия интегрируемости уравнений A16.10).
*
Возьмем почленно абсолютную производную Vx:
Заменяя Vx?a согласно A16.11), т. е. из уравнений самой системы,
получим:
Альтернируем по индексам X, к и левую часть заменяем согласно
A15.16):
- Rik. Ply%ll = + (V2- Vxft")ia. (П6. и)
Последний член при альтернации исчез, так как тензор
симметричен по индексам и и Л.
Условия интегрируемости A16.13), A16.14) можно записать в
более четкой форме. Фиксируя в A16.13) индексы к, к, |5 и остав-
оставляя переменным лишь индекс /, можно считать, что члены левой и
правой части — векторы в Vn. Умножая обе части равенства скалярно
на каждый из векторов сопровождающего репера A16.1), получим
п равенств, очевидно, равносильных прежним. Умножая скалярно
на li (a= I, 2, . .., л—1), т. е. свертывая с gv/|?, получим (поль-
(пользуясь A16.3), A16.5), A16.6) и замечая, что у тензора кривизны
R индекс / опускается при помощи gtj, а у R индекс а — при
помощи Gaa):
или окончательно:
a = Rlk. P&l%lil ± \Ру#Ьт -ft^xa), A16.15)
§ 116] ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Vп_г В Vn 583
Умножая A16.13) скалярно на У, т. е. свертывая с gu^J, получим:
&t&b1^ ± (vAe—vAp). (П6.16)
Теперь поступим так же с уравнениями A16.14). Свертывая с
р> приходим к соотношению
— Rik. P/^xVP^ = 4= (VAa~ Vx*fc(j).
Это соотношение отличается от A16.16) лишь тем, что обе его
части умножены на —1 (чтобы убедиться в этом, достаточно в
левой части переставить обозначения индексов суммирования р, у;
тогда Rik, jp= —Rik, p/, в остальном же левые части будут оди-
одинаковы).
Далее, свертывая A16.14) почленно с gtjy'', приходим к тож-
тождеству, так как в обеих частях получаются нули (в самом деле,
Rik, PjVpvJ—0 в силу косой симметрии Rik. pj но индексам р, j).
Итак, условия интегрируемости системы A16.10), A16.11) исчер-
исчерпываются уравнениями A16.15), A16.16). Из них A16.15) назы-
называются у равнениями Гаусса, а A16.16)—Петерсона—Кодацци. Смысл
уравнений Гаусса заключается в том, что они обнаруживают струк-
туру тензора кривизны R на гиперповерхности Vn_1, а именно,
этот тензор состоит из двух слагаемых: одно представляет собой
как бы «проекцию» на Vn_1 тензора кривизны R во вмещающем
пространстве Vn; в этой части кривизна римановой метрики на
Vn_l вынуждена просто тем обстоятельством, что Vn_x вмещено
в обладающее кривизной пространство Vn. Другое слагаемое выра-
выражается через второй основной тензор гиперповерхности &«?) и в
этой части кривизна римановой метрики связана с искривленностью
самой гиперповерхности Vn_x в Vn.
Что касается уравнений Петерсона — Кодацци, то они показы-
показывают, как связано уклонение тензора V?A«p от симметрии по всем
индексам (по индексам и, |3 он симметричен) с кривизной вмеща-
вмещающего пространства.
Формально мы получили уравнения Гаусса и Петерсона — Ко-
Кодацци как условия интегрируемости системы A16.10), A16.11).
Однако с геометрической точки зрения рассмотрение такой системы
с неизвестными функциями ^(и1, ..., и"), v! (их, ..., и") не
имеет смысла. В самом деле, для этого нужно считать известными
функциями от и1, ..., и" не только Gap и йар, но и входящие
в состав абсолютных производных V*v\ Vulp коэффициенты связ-
связности Ткц вмещающего пространства Vn. Но чтобы знать вдоль гипер-
гиперповерхности Vn_t коэффициенты Г*у как функции от и1, ..., и"",1
19**
584 тензор кривизны [гл. ix
нужно знать, как именно Vn_\ вложено в Vn, а тогда и |р, v1
приходится считать известными функциями, и задача теряет смысл.
Поэтому с геометрической точки зрения выделение в уравнениях
A16.10), A16.11) |g, v1 как неизвестных функций носит условный
характер и никакой геометрической задачи не выражает.
Однако в важном частном случае, когда вмещающее простран-
пространство Vп является евклидовым, дело обстоит иначе. К этому случаю
мы сейчас и переходим.
§ 117. Теория гиперповерхностей Va^1 в /?„
Если вмещающее пространство Vn является евклидовым про-
пространством Rn, то его тензор кривизны тождественно равен нулю:
Rki.Pl = 0. A17.1)
Уравнения Гаусса A16.15) и Петерсона — Кодацци A16.16) прини-
принимают простой вид
= ± {ЬццЬт — ftKpftte), A17.2)
V>A(j. (П7.3)
Таким образом, тензор кривизны на гиперповерхности Vn_1 полностью
выражается через второй основной тензор гиперповерхности, а тен-
зор Vx*n|3 будет симметричен по всем индексам. Замечательно, что
в рассматриваемом случае условия интегрируемости не содержат
неизвестных функций §«, v'.
В частности, при л=3 мы имеем дело с двумерной поверхностью
У2 в R3; из числа уравнений A17.2) будет лишь одно существенное
Я», »=»±(*iA.—*?•). (.4)
а остальные или будут его следствиями, или обращаются в тож-
тождества (греческие индексы могут принимать значения лишь 1, 2).
Если R3 — собственно евклидово (т. е. обычное) пространство, то
v' всегда единичный (а не мнимоединичный) вектор, и в A17.4)
следует брать знак -f-. Пользуясь формулой A12.2) в применении
к двумерной римановой геометрии на Vz, мы получаем:
§ 117] ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Vn-t В Rn 585
Таким образом, кривизна К двумерного риманова пространства
V2 совпадает с отношением дискриминантов второй и первой квад-
квадратичных форм на V2. Как показывается в курсах дифференциаль-
ной геометрии, это означает, что кривизна К совпадает с полной
(или гауссовой) кривизной поверхности К2 и может быть определена
внешним образом как произведение главных кривизн поверхности
V2 в данной точке.
Возвращаемся к общему случаю Vn_LczRn. Уравнения A17.2),
A17.3) выражают зависимость, необходимо имеющую место между
тензорами Gap, ba$ на Vn_1. При этом не нужно забывать, что
*
R\k, pa есть тензор кривизны для римановой метрики Gap и, следо-
следовательно, выражается через координаты Gap и их частные производ-
производные 1-го и 2-го порядков. В результате A17.2) представляют собой
относительно Gap дифференциальные уравнения 2-го порядка, при-
причем Ьа$ входят в них в конечном виде. Равным образом A17.3)
представляют собой относительно Gap, ba$ дифференциальные урав-
уравнения 1-го порядка, причем Gap входят через коэффициенты
связности Fag в абсолютных производных.
Как оказывается, уравнения A17.2), A17.3) не только необхо-
необходимы, но и достаточны для того, чтобы тензоры Gap,^a3 способны
были служить первым и вторым основными тензорами некоторой
гиперповерхности Vn_1. Говоря точнее, имеет место следующая
теорема.
Пусть в некотором п—1-мерном римановом пространстве Vn_lt
представляющем собой односвязное элементарное многообразие и
отнесенном к координатам и1, ..., а", задан помимо метрического
тензора Gap тензор ba$ = b$a, удовлетворяющий соотношениям
* *
A17.2), A17.3) (где /?ъ«, pa—тензор кривизны, а Vx — символ
абсолютного дифференцирования в Vn_1). Тогда Vn_1 можно реали-
реализовать в виде гиперповерхности в некотором евклидовом простран-
стве Rn, так что Gap будет служить на этой гиперповерхности
первым, а Ьа$—вторым основным тензором. Эта гиперповерхность
определяется с точностью до движений в Rn. Характер самого /?№
определяется тем, что в его ортонормированном репере по сравне-
сравнению с ортонормированным репером в Vn_1 будет на единицу больше
единичных векторов, если в A17.2) имеет место знак -f, и мнимо-
единичных векторов, если имеет место знак —.
Переходя к доказательству, предположим сначала, что искомая
гиперповерхность существует. Отнесем евклидово пространство Rx
к аффинным координатам х'. В таком случае во всех точках
Г?у=О. (.117.6)
586 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
Перепишем уравнения A16.10), A16.11):
Г; 1 (И7.7)
Вследствие Г*,- = 0 в составе абсолютных производных выпадают
члены, отвечающие индексу /:
* v' = i^ у t'_^!з_Га II A17.8)
Будем рассматривать в уравнениях A17.7) v', |p как неизвестные
функции от а1, ..., и". Тогда, записывая абсолютные производ-
производные в развернутом виде A17.8), мы убеждаемся, что все остальные
функции, входящие в уравнения, т. е. Ьх$, Ь%., Г?р, нам известны,
так как выражаются через заданные нам по условию теоремы тензо-
тензоры Оар, Ьа$.
Условия интегрируемости системы A17.7) мы первоначально
пэлучили в виде A16.15), (И6.16), но учитывая, что сейчас у нас rf; = O,
а следовательно, и /?w>p/-=0, мы получаем упрощенные условия
интегрируемости A17.2), A17.3). По условию теоремы нам дано,
что они удовлетворяются, и притом, очевидно, тождественно отно-
относительно неизвестных функций v', |g (поскольку эти функции во-
вовсе в них не входят).
В результате система A17,7) является вполне интегрируемой,
т. е. допускает решение с произвольно заданными начальными зна-
значениями неизвестных функций
Й=(Й)о. V=(v% при и« = иа0< A17.9)
где Мо — произвольно выбранная точка области изменения перемен-
переменных и". В силу общей теории можно утверждать существование
решения лишь в некоторой окрестности начальных значений аргу-
аргументов ио. Но учитывая, что система A17.7) является сверх всего
прочего линейной (относительно неизвестных функций и их произ-
производных), можно показать, что решение, определяемое начальными
значениями A17.9), существует во всей области изменения перемен-
переменных и1, ..., и". При этом играет важную роль односвязность
пространства Уп-1 (а следовательно, и области изменения и1,..., и"'1),
оговоренная в условии теоремы. Действительно, в противном случае
решение могло бы оказаться многозначным, т. е. зависеть в неко-
некоторых случаях от пути перехода из начальной точки н" в произ-
произвольную точку и". В случае односвязности Vn_x два любых таких
§ 117] ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Vп_1 В /?„ 587
пути можно непрерывным образом перевести один в другой, а при
этом для вполне интегрируемой системы значения искомых функций
в конечной точке пути не меняются.
Начальные значения A17.9) необходимо подчинить — в силу
A16.3), A16.5), A16.6) —соотношениям
8ц Ы)о (Ъа)о = °- ^М«И0 = +1, A17.10)
где g;j—постоянные координаты метрического тензора во вмещаю-
вмещающем евклидовом пространстве Rn (в аффинных координатах х').
Для простоты возьмем в качестве аффинного репера в Rn со-
сопровождающий репер ?5 i • • •. Vn-u v' в начальной точке Мо (и")
искомой гиперповерхности Vn-l. Это означает, что координаты век-
векторов (|{ H> ¦••> (У-1)о. (v')o бУДУт равны единице или нулю в за-
зависимости от того, совпадает или нет номер координаты с номером
вектора:
Тогда соотношения A17.10) принимают вид
8ап = 0, ?„„=±1,
т. е. мы получаем в нашем репере определенные значения координат
метрического тензора g(J во вмещающем евклидовом пространстве Rn.
Начальные условия A17.9) можно теперь переписать:
?a=6a, V*=6? при Ua = U%. A17.12)
Так как, кроме того, начало координат помещено в точке M0(uq),
то текущие координаты х1 (и1, ..., и") удовлетворяют начальным
условиям
дг'' = О при ма = ко. A17.13)
Мы рассуждали до сих пор предположительно, считая, что иско-
искомая гиперповерхность существует. Мы убедились, что для такой
гиперповерхности функции v' (и1, ..., и"~1), ?р (и1, ..., и") не-
необходимо удовлетворяют вполне интегрируемой системе A17.7).
Кроме того, за счет выбора аффинного репера во вмещающем про-
пространстве Rn всегда можно добиться, чтобы имели место начальные
условия A17.12), A17.13); при этом метрический тензор в ^при-
^принимает вид A17.11).
Теперь мы отбрасываем предположение о существовании искомой
гиперповерхности Vn_t и фактически ее строим. Прежде всего за-
зададимся евклидовым пространством Rn и в нем таким аффинным
репером, чтобы координаты метрического тензора имели вид A17.11).
588 тензор кривизны [гл. ix
Для этого достаточно выбрать в аффинном пространстве Ап произ-
произвольный аффинный репер, а затем превратить Ап в евклидово про-
пространство Rn, вводя метрический тензор с координатами A17.11)
относительно этого репера. В этом пространстве мы и будем строить
гиперповерхность Vn_1.
Ищем |р, v' как функции от и1, ..., и"'1, удовлетворяющие
системе A17.7) и начальным условиям A17.12). Ввиду полной ин-
интегрируемости системы эти функции существуют и определяются
единственным образом. Кроме того, в силу линейности системы и
односвязности Уи_! они будут однозначно определены во всей об-
области изменения и1, ..., и". Итак, в Rn построены векторы
Е'. ¦¦•in-i. v' как функции от и1, ..., и".
Ищем теперь параметрические уравнения гиперповерхности
лг' = лг' (а1, ..., и").
В случае существования искомой гиперповерхности функции
х' (и1, . . ., к") необходимо должны удовлетворять дифференциаль-
дифференциальным уравнениям
йй=&а(и\ ..., в»"*) A17.14)
по самому определению величин ?„. Чтобы система A17.14) была
совместной, необходимо и достаточно соблюдение условий интегри-
интегрируемости, которые в данном случае имеют тривиальный вид:
^к = ^Ё A17.15)
Очевидно, эти условия соблюдаются: функции |р удовлетворяют
уравнениям A17.7), а так как ba$ = b$a, то
Записывая абсолютные производные в развернутом виде A17.8) и
*
принимая во внимание симметрию Г«р по нижним индексам, легко
убеждаемся в справедливости соотношений A17.15).
Следовательно, функции х' (и1, ..., и"'1), удовлетворяющие
A17.14), существуют (и тоже, как легко показать, во всей области
изменения и1, ..., и"'1). При этом они определяются с точностью
до аддитивных констант, которые, однако, мы найдем из начальных
условий A17.13). Остается проверить, что уравнения
х'=х'(и\ ..., и") A17.16)
действительно определяют искомую гиперповерхность. Покажем
прежде всего, что функции |„ (а1, ..., и"), v' (и1, ..., и"'1)
§ 117] ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ Vn_t В Rn 589
удовлетворяют соотношениям
giJ = &&<?* ±М. A17.17)
Действительно, в начальной точке ы" эти соотношения имеют место,
так как (после подстановки |a=Sa. v' = 6?) они принимают вид
g^=(G^H, gln = 0, gnn=±\, (к, ц=1, 2, ..., п— 1),
а эти равенства имеют место как следствие A17.11).
Теперь достаточно показать, что правые части A17.17) пред-
представляют собой константы: так как равенства A17.17) имеют место
в начальной точке к" и их левые части тоже константы, то равен-
равенства будут верны в этом случае в любой точке.
Вычислим абсолютную производную от правой части A17.17):
±v V) = v^« • #а# + &^<У*± V*v' ¦ v'iv'vxv7 =
Мы воспользовались здесь уравнениями A17.7), которым удовлет-
удовлетворяют фунКЦИИ 5a, V(.
Так как правая часть A17.17) представляет собой дважды кон-
травариантный тензор в Rn (индексы г, J), вычисленный в аффин-
них координатах х', то ее абсолютные производные уи совпадают
с частными производными ^—- (индексам г,/'отвечают дополнитель-
дополнительные члены с Г*/, которые в данном случае исчезают вследствие
Г^- = 0). В результате все ее частные производные оказываются
равными нулю и мы имеем константу. Это мы и хотели показать.
Итак, соотношения A17.17) имеют место. Мы хотим теперь при-
привести их к виду A17.11).
Для этого заметим, что при переходе от одного аффинного
репера к другому
контравариантные координаты метрического тензора g'-' связаны
соотношениями
gU^AW/'g"!1. A17.18)
Истолкуем соотношения A17.17) как частный случай A17.18), по-
положив
590 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
Тогда соотношения A17.18) совпадут с соотношениями A17.17).
Так как Det\g'J\=^0, то из A17.18) вытекает (от противного), что
и Det | Ay \ф0, т. е. векторы
и р v'
5ii • • • > Sn-u v
линейно независимы. Это для нас важно, так как линейная незави-
с.( дх'
симость векторов ga = T-cr входит в определение гиперповерхности.
Только теперь мы можем утверждать, что уравнения A17.16) опре-
определяют некоторую гиперповерхность (хотя еще неизвестно, будет
ли она искомой).
Как мы знаем, тензорное преобразование A17.18) контравариант-
ных координат g'J метрического тензора сопровождается соответ-
соответствующим преобразованием его ковариантных координат gtj (т. е.
элементов обратной матрицы):
grr = ArAfrgl/. A17.20)
Из A17.19) легко следует, что
?Vn' = 0, gV,V = ±1.
Теперь A17.20) принимают вид (если /', у" придавать значения
сначала а', Р', затем а', п' и я', я'):
Oap = &Sfo/. 0 = ?iv'ft/, ±l=vV^. A17.21)
Первое из этих равенств показывает, что наперед заданный тензор
<jap действительно служит метрическим тензором на построенной
нами гиперповерхности, второе — что вектор vJ ортогонален ко всем
?а и направлен, следовательно, по нормали к этой гиперповерх-
гиперповерхности; наконец, последнее равенство показывает, что вектор \J
единичный или мнимоединичный.
Так как функции |„, v' удовлетворяют уравнениям A17.7), то
из второго из этих уравнений заключаем, что наперед заданный
тензор Ьа$ действительно служит вторым основным тензором на
построенной нами гиперповерхности. Теорема доказана; остается
лишь показать, что все гиперповерхности, удовлетворяющие усло-
условиям теоремы, определяются в Rn с точностью до движения.
Аффинный репер, к которому мы отнесли вмещающее простран-
пространство /?„, был выбран при условии, чтобы в нем координаты метри-
метрического тензора g(y имели значения A17.11). Другими словами,
нам были наперед заданы попарные скалярные произведения (и ска-
скалярные квадраты) векторов репера. Очевидно, такой репер опре-
определяется с точностью до движения в Rn. Так как аналитическая
сторона выкладок, из которых были определены функции х' (и1,.. ., ип),
ни в чем не меняется, будем ли мы относить Rn к одному или к
§ 118] ПРОСТРАНСТВО ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 591
другому такому реперу, то уравнения A17.16) будут в обоих слу-
случаях иметь один и тот же вид. Это значит, что то же движение,
которое переводит первый репер во второй, переводит гиперповерх-
гиперповерхность Vn_1, построенную, исходя из первого репера, в некоторую
гиперповерхность V'n_lt построенную, исходя из второго репера.
Этим наше утверждение доказано.
§ 118. Пространство постоянной кривизны
Мы переходим к изучению отдельных частных случаев римановых
пространств. Из них наиболее замечательными являются простран-
пространства постоянной кривизны. Достаточно сказать, что к числу про-
пространств постоянной кривизны принадлежат, кроме евклидова про-
пространства, пространство Лобачевского, а также эллиптическое (и
сферическое) пространство. Основной особенностью пространств
постоянной кривизны является их однородность, столь же полная,
как и у евклидова пространства. Эта однородность выражается
в существовании группы движений от такого же числа параметров,
как и в евклидовом пространстве (т. е. ^ в я-мерном случае j .
Из однородной структуры этих пространств проистекает и богатство
их геометрических свойств.
Мы будем говорить, что данное риманово пространство Vn*)
есть пространство постоянной кривизны, если в каждой точке кри-
кривизны его по возможным двумерным направлениям одинаковы. (Мы
не требуем, чтобы в различных точках кривизны были одинаковы.)
Итак, основной идеей пространства постоянной кривизны является
его однородность по всем направлениям в каждой точке.
Выясним, какой вид имеет тензор кривизны Ru-, kl в пространст-
пространстве постоянной кривизны. Перепишем формулу A11.14):
. к М1Я1.
Здесь греческие индексы пробегают у нас значения 1, 2, ..., п
(как и латинские). В нашем случае кривизна К постоянна для всех
двумерных направлений в данной точке и, следовательно, не зави-
зависит от выбора бивектора |"Р, который характеризует направление.
Освободимся от знаменателя и перенесем все члены в левую
часть; тогда, введя обозначение
Ra». уб = Я«3. yb — K{gay gfS6 — ga6 g&y), A18.2)
мы можем переписать A18.1) в виде
«^т3 = о. (Н8.3)
*) Мы берем п > 2, исключая из рассмотрения 2-мерные пространства.
592 тензор кривизны [гл. ix
Как и A18.1), равенство A18.3) имеет место для любого двумер-
двумерного направления. Мы хотим показать, что отсюда следует:
#^}.va = O. A18.4)
Здесь мы должны преодолеть некоторую трудность, заключающуюся
в следующем: если бы g*P был произвольным бивектором, то из
тождества A18.3) немедленно следовало бы обращение в нуль ко-
коэффициентов /?ар, v6- ^° У нас ?*^ характеризует двумерное на-
направление и потому обязательно простой бивектор, т. е. имеет
строение:
?'Р = ^(Й?2-5?Й), 018.5)
где |" и g™—два произвольных вектора, определяющих то дву-
двумерное направление (плоскость), о котором идет речь. После под-
подстановки A18.5) в A18.3) последнее равенство, имеющее место
для любого двумерного направления, должно обратиться в тож-
тождество относительно координат ?", |". Сделав частичную подста-
подстановку, получим:
1 о' , /е« еР tP pa \ t(f< _ л
2" 'vxfi, V* l?i ?2 — Si Ъ2 ) 5 — и>
или после раскрытия скобок
\ ' ? § V 4 6 5? Й Ет3 = о.
Во втором члене поменяем обозначения индексов суммирования а и
заменяя далее, /?ра, v* чеРез—Ra$, v«*)> получим:
" « Si ?2 S + у #сф. у* Si Ss 6 = °>
2"
ИЛИ
°ар, Y* Si S2S = 0-
Поступая аналогично с ?тг>, получим:
/?«p.ve6?E5su2 = o. (и 8.6)
Здесь многочлен четвертой степени относительно ?™, |j тождественно
обращается в нуль, а следовательно, все его коэффициенты после
приведения подобных членов должны равняться нулю. Фиксируя на
время индексы /, у, k, /, отберем члены, содержащие gi, |'2, g*, g', .
Члены такого вида, как видно из A18.6), получаются лишь при
*) Как легко проверить непосредственно из A18.2), ^ар, ув обладает
всеми алгебраическими свойствами тензора кривизны.
§ 118] ПРОСТРАНСТВО ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 593
следующих значениях индексов а, р, у, б соответственно
1) I, J, к, I; 3) i, I, k, j;
2) k, j, i, I; 4) k, I, i, j.
(Впрочем, эти комбинации индексов будут различны лишь при
[фк и }Ф1. Если i = k (или j=l), остается лишь две такие ком-
комбинации, если же i = k и j=l, то только одна.) После приведения
этих подобных между собой членов коэффициент при ?i|jii?j»
равный сумме коэффициентов, должен обратиться в нуль:
Rij.ki + Rki,u + Ru,ki + R'ki,n = O. (H8.7)
На основании тождества Ri/, ы = Rki, ij первый член тождествен с
четвертым, а второй с третьим, и A18.7) переходит в
R'u. ы + Rki. и = О- (И8.8)
В случае j=l мы непосредственно вместо A18.7) получаем A18.8),
но так как в этом случае оба члена в A18.8) равны, то сразу
Riltki — 0. Аналогично и при i = /t.
Перепишем A18.8), поменяв местами индексы г и / и умножая
почленно на —1. Получим:
— R'u. ы — R'ki. // = 0, т. е. R'u,ki + Rik,n = O.
Наконец, выпишем тождество
и сложим последние три равенства почленно. В силу тождества
Риччи A10.8) вторые члены дают в сумме нуль, и мы получаем:
SR't,. ы = 0.
Итак, во всех случаях
R'tl. « = 0.
Отсюда согласно A18.2) получаем следующее строение тензора
R.jt kl для пространства постоянной кривизны:
RiJ. kl = K{gikg;-gilgjk)- (П8.9)
В каждой точке координаты /?/y-lftt зависят только от координат
метрического тензора gtj и от кривизны К, постоянной для всех
направлений в данной точке. Легко проверить подстановкой A18.9)
в A18.1), что A18.1) обратно является следствием A18.9).
Теорема Шура. В пространстве Vn (n > 2) постоянной кри-
кривизны (т. е. при кривизне, одинаковой по всем направлениям в
каждой данной точке) кривизна сохраняет постоянное значение и
от точки к точке.
594 тензор кривизны [гл. ix
Другими словами, нужно показать, что в выведенной нами фор-
нами формуле A18.9) кривизна К остается постоянной для всех точек, хотя
непосредственно этого из наших предположений не видно и пока
мы должны считать К некоторой функцией координат точки:
К=К(х\ .... х").
Дифференцируя A18.9) почленно, получаем:
Vra#,7, Ы = (gikgji—gngjk) Km- A18.10)
Здесь Кт=^т=ЧтК; частные, производные от инварианта совпа-
совпадают, как мы знаем, с абсолютными; что же касается g{j, то они
ведут себя при абсолютном дифференцировании как постоянные, т. е.
Мы хотим показать, что частные производные Кт все равны
нулю, откуда /f = const.
Используем тождество Бианки — Падова. Циклируем A18.10) по
индексам т, i, j, т. е. делаем над т, i, j два раза круговую под-
подстановку:
m. Ы
и результаты сложим почленно с A18.10). Согласно тождеству
Бианки — Падова сумма левых частей равна нулю. Итак, получаем:
0 = Km {gikZjl — Silgjk) + Kt ig/kgml — g/lgmk) + К, (gmkgц — gmlgik).
Помножим на glm и просуммируем по / и т. Тогда, так как
gtPgi =6' i 0(/*=У
и, следовательно,
g""gim = *' = «. Sngmkgml = gifi'h = gik,
мы получаем:
gikK/—g/kKi + nglkK, - g/kK, + glkKj - nglhK, = 0.
Приведя подобные члены, найдем:
{gjkK,-g!kK/)(n-2)^Q. A18.11)
Так как случай л=2 нами исключен из рассмотрения, тол — 2=^=0,
§ 119] пространство Vn_1 как гиперсфера в Rn 595
и следовательно:
8j^i-gikf(y=O. (И8.12)
Умножив A18.12) на glk и просуммировав по j и к, получим:
Kt(n—\) = 0,
а следовательно, так как л > 2 и л— 1=^=0,
откуда
/f= const.
Итак, если число измерений пространства больше двух, то доста-
достаточно потребовать постоянства кривизны по всем направлениям в
каждой данной точке, чтобы утверждать, что кривизна одна и та
же и во всех точках пространства.
Теперь рассмотрим оставленный в стороне случай л =2. Для
всякого двумерного пространства двумерное направление в каждой
точке только одно и кривизна единственная, так что прежнее тре-
требование не может служить определением пространства постоянной
кривизны: оно удовлетворяется автоматически. В связи с этим в
каждой точке всегда имеет место равенство A18.9):
°t/, ki — K (SikSji SuSjkit
как это видно уже из A12.2). Действительно, для справедливости
A18.9) достаточно, чтобы оно имело место для единственной су-
существенной компоненты /?12) 12. Зато теперь A18.9) уже не имеет
своим следствием К= const, так как A18.11) удовлетворяется
тождественно в силу л = 2.
В случае п = 1 пространство постоянной кривизны мы определим
непосредственно требованием К= const для всех его точек.
§ 119. Пространство постоянной кривизны Vn_1
как гиперсфера в /?„
Мы хотим показать, что метрику риманова пространства посто-
постоянной кривизны (отличной от нуля) всегда можно реализовать, по
крайней мере, локально, на гиперсфере в евклидовом пространстве
на единицу большего числа измерений. Чтобы согласовать обозна-
обозначения с § 117, обозначим число измерений пространства постоянной
кривизны через л—1, его метрический тензор через ОаВ, тензор
кривизны через /?яи, ра и операцию абсолютного дифференцирова-
#
ния V«. Греческие индексы будут пробегать значения 1,2, ..., л—1,
596 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
латинские 1, 2, ..., п. Согласно A18.9)
причем, как мы знаем,
К— const.
Мы будем предполагать при этом КфО. Действительно, в слу-
случае /С=0 пространство постоянной кривизны не нуждается в иссле-
исследовании: оно является просто евклидовым пространством или, по
крайней мере, локально евклидовым в силу обращения в нуль тен-
тензора кривизны.
Мы хотим доказать следующую теорему.
Если пространство постоянной кривизны Vn_1 представляет собой
односвязное элементарное многообразие (отнесенное к координатам
и1, ..., и" в некоторой области их изменения), то его можно
реализовать (с сохранением метрики) в виде некоторой области на
гиперсфере Sn_i в евклидовом пространстве Rn. He исключено при
этом, что эта область будет многолистной, т. е. что Vn_l много-
многократно покроет ту или иную часть гиперсферы.
Если же пространство постоянной кривизны топологически устроено
как угодно, то указанное в теореме свойство можно гарантировать
лишь локально, т. е. для некоторой окрестности любой точки М
(достаточно взять эту окрестность в виде односвязного элементар-
элементарного многообразия).
Переходя к доказательству, рассмотрим отдельно случай /С> 0.
Построим тензор
A19.2)
Тогда A19.1) можно переписать в виде
R\*.fa = bwbKa-b>Jby$. A19.3)
Кроме того, так как V*Ga3 = 0, Ук= const, то
V,A3 = 0. A19.4)
Мы видим, что тензоры Gap, ba$, заданные в Vn_it удовлетворяют
условиям A17.2), A17.3) (причем в A17.2) берется верхний знак).
По основной теореме § 117 отсюда следует, что Уп_г можно реа-
реализовать в виде гиперповерхности в Rn, на которой Оар и Ьа$ будут
служить первым и вторым основными тензорами. При этом нормаль-
нормальный вектор v' будет единичным (а не мнимоединичным), так как
в A17.2) берется верхний знак ( + ), а следовательно, gi/v'v*' = -j- 1.
§ 119] ПРОСТРАНСТВО Vn_j КАК ГИПЕРСФЕРА В /?„ 597
Остается показать, что построенная гиперповерхность будет ги-
гиперсферой. Предполагая, что Rn отнесено к аффинным координатам х1,
перепишем первое из уравнений A17.7) (причем, как и в A17.2),
берем верхний знак):
V*V = -#&,.
Но в силу A19.2)
bl = О°Ч*Х0 = V~KQ*>G*Q =
и следовательно,
Так как v*v' = j^ (см. A17.8)) и |к = ^, то окончательно
Это означает, что х' лишь на константы отличаются от у=; сдви-
сдвигая начало координат, можно добиться, чтобы
' ^V. A19.5)
Так как v' — единичный вектор, то радиус-вектор х' имеет постоян-
постоянную длину -у=., а следовательно, построенная нами гиперповерхность
образует кусок гиперсферы Sn_t радиуса -у=. с центром в начале
координат.
Теперь рассмотрим случай К < 0. Построим тензор
A19.6)
и перепишем A19.1) в виде
). A19.7)
По-прежнему
Vx*aB = 0, A19.8)
и следовательно, тензоры Оар, Ьа$ удовлетворяют условиям A17.2),
A17.3), причем в A17.2) берется нижний знак. Последнее означает,
что нормальный вектор v' к гиперповерхности, в виде которой
реализуется Va_lt будет мнимоединичным, g,-yV'v/'= — 1. Далее,
598 тензор кривизны [гл. ix
записываем первое из уравнений A17.7) (беря теперь нижний знак):
и совершенно аналогичной выкладкой получаем:
Так как v'—мнимоединичный вектор, то радиус-вектор х' имеет по-
постоянную длину . Мы получаем кусок гиперсферы Sn_1 чисто
мнимого радиуса .
Если обозначить радиус гиперсферы через р в первом и через р/
во втором случае, то мы получим соответственно
К=^г- *= —р- A19.10)
Несмотря на то, что для пространств постоянной кривизны мы до-
доказали важную теорему о реализации их на гиперсферах, мы, строго
говоря, до сих пор не знаем, существуют ли такие пространства
(за исключением евклидова случая /f=0). Действительно, при до-
доказательстве теоремы существование этих пространств мы предпо-
предполагали.
Чтобы показать, что они существуют, достаточно обнаружить,
что риманова метрика на всякой гиперсфере ненулевого радиуса
Sn_1cRn обладает постоянной кривизной. Отнесем вмещающее про-
пространство Rn к аффинным координатам х' с началом в центре ги-
гиперсферы Sn_t. Тогда радиус-вектор х', проведенный в какую-либо
точку гиперсферы Sn_J, направлен по нормали к ней (§ 86), а зна-
значит, отличается от нормального вектора v' (единичного или мнимо-
единичного) лишь численным множителем
*' = pv'. A19.11)
Если при этом v1 — единичный вектор, то Sn_1 имеет радиус р, а
если мнимоединичный, то pi. Выпишем первую формулу A17.7),
принимая во внимание A17.8) (эти формулы имеют место для лю-
любой гиперповерхности Vn_ic:Rn):
dv' -r .art
Так как v' = j, * Ъ'0=~р, то
I дх' __ , о дх1
§ 119] пространство Vn_1 как гиперсфера в Rn 599
В силу линейной независимости векторов j-, отсюда следует, что
коэффициенты при них в правой и левой частях равенства совпа-
совпадают, т. е.
Опуская индекс а при помощи метрического тензора GXa, получаем:
Вставляя полученное выражение для Ьух в формулы Гаусса A17.2),
имеем:
R}.*, ра = ± ^з (G^Gko — ОирО^а).
Таким образом, на Sn_1 имеют место соотношения A19.1), где
плюс в случае радиуса р и минус в случае радиуса pi. Это по-
показывает, что риманова метрика на Sn_1 имеет постоянную кри-
кривизну.
Итак, образцом римановых пространств Vn_1 постоянной кри-
кривизны можно считать неевклидовы пространства, метрика которых
полностью совпадает с метрикой гиперсфер Sn_1c:Rn. Но и любые
пространства постоянной кривизны, по крайней мере, локально, об-
обладают такой же метрикой, как было показано в этом параграфе.
Отсюда на любые пространства постоянной кривизны переносится
(по крайней мере, в локальном смысле) свойство свободной подвиж-
подвижности, установленное в § 87 для неевклидовых пространств; а именно,
некоторую окрестность произвольной точки М данного пространства
всегда можно отобразить с сохранением метрики на окрестность
другой произвольной точки М' и притом так, чтобы ортонормиро-
ванный репер, заданный в М, перешел в произвольно выбранный
ортонормированный репер в /И'.
Точно так же в произвольном пространстве постоянной кривизны
имеет место (по крайней мере, локально) то выражение для метри-
метрической квадратичной формы dsi= G^du* du?, которое было подсчитано
в § 87 для гиперсферы Sn_t. Разумеется, нужно брать ту гипер-
гиперсферу, на которую данное пространство способно изометрически
налагаться.
В частности, отсюда следует, что пространства постоянной кри-
кривизны (по крайней мере, локально) конформно евклидовы.
600 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
§ 120. Проективно евклидовы пространства
в метрическом случае
В § 109 были установлены необходимые и достаточные признаки
для того, чтобы пространство аффинной связности без кручения L%
было проективно евклидовым. Эти признаки заключались в том, что
тензор кривизны должен иметь строение A09.10):
Rik, f. =8^,-6?Рк1 + ЬЧ(Р1к-Ры), A20.1)
где тензор Pki удовлетворяет условиям A09.17):
VA,-=V^,, A20.2)
Из A20.1) следует, что Pki необходимо имеет вид A09.14):
р _ nR
ик1~
Выпишем эти признаки в случае риманова пространства Vn(n^2).
Как мы знаем [A10.13)], тензор Риччи будет в этом случае сим-
симметричным:
Rki=Rik. A20.4)
Заметим, что класс пространств L% с симметрическим тензором
Риччи значительно шире класса римановых пространств Vn. Это будут
так называемые пространства эквиаффинной связности. Они, вообще
говоря, не обладают метрикой, но тем не менее в их касательных
пространствах Ап можно ввести измерение объемов так, что объем
я-мерного параллелепипеда, построенного на п векторах, сохраняется
при параллельном перенесении этих векторов по любому пути. Это
свойство можно принять за определение пространств эквиаффинной
связности; тогда условие Rki — Rik будет служить их необходимым
и достаточным признаком. Доказательства мы не приводим.
В силу симметрии тензора Риччи A20.3) принимает упрощенный
вид
Pk, = -j[±iRkt- 020.5)
Очевидно,
Перепишем A20.1), опустив индекс q путем свертывания с gnl (и
приняв во внимание /Э4/ = Я/А):
§ 120] ПРОЕКТИВНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 601
Свертывая A20.6) с gkl, мы получаем (переставив у Rlkt ц индексы
внутри каждой пары):
, у, = 6j/>J,-V> где Р=
или окончательно
Заменяя здесь Rt/ согласно A20.5) через — (п—1) Р^, мы получаем:
nPli = glJP, или Pt, = Kg,j, A20.7)
где К=^Р.
Вставляя эти значения Ptj в A20.6), получаем:
), A20.8)
а это в случае я> 2 означает, что наше пространство — постоянной
кривизны (§ 118). В случае же п = 2 мы используем условие A20.2),
которое в силу A20.7) принимает вид
Мы пришли к соотношению A18.12), из которого следует, как мы
видели, К= const. Мы снова получаем пространство постоянной
кривизны.
Итак, проективно евклидово риманово пространство необходимо
является пространством постоянной кривизны.
Верно и обратное: всякое пространство постоянной кривизны будет
проективно евклидовым. В самом деле, поскольку тензор кривизны
имеет строение A20.8), где К= const, то, положив
мы убеждаемся, что условия A20.2), A20.6) (а тем самым и A20.1))
имеют место, а это обеспечивает проективно евклидов характер
пространства постоянной кривизны.
Впрочем, тот же результат можно получить наглядным геометри-
геометрическим путем. Пространство Vn_t постоянной кривизны (по крайней
мере, локально) реализуется на гиперсфере Sn_t с: Rn. Геодезические
линии будут совпадать при этом с сечениями гиперсферы Sa_1 дву-
двумерными плоскостями Л2, проходящими через ее центр. (Очевидно,
в случае неизотропной Л2 такое сечение представляет собой окруж-
окружность на собственно евклидовой или псевдоевклидовой плоскости Л2.)
В самом деле, построим в какой-нибудь точке сечения касательный
к нему вектор | и будем параллельно переносить его вдоль этого
20 П. К- Рашевский
602
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[ГЛ. IX
сечения с точки зрения римановой метрики на 5 _г. Мы хотим по-
показать, что | остается касательным вектором (рис. 31). Покажем
прежде всего, что % остается в плоскости сечения. Согласно § 94
при параллельном перенесении \ его дифференциал d\ во вмещающем
пространстве Rn направлен ортогонально к гиперплоскости, касатель-
касательной к
'n-l>
т. е. коллине-
Рис. 31.
арно радиусу-вектору каж-
каждой данной точки. Так как
радиусы-векторы всех точек
сечения лежат в его плос-
плоскости А%, то d\ также ле-
лежит все время в плоскости
Л2, а следовательно, \
остается в этой плоскости (в
начальный момент \ как
вектор, касательный к плос-
плоскому сечению, лежит, конеч-
конечно, в его плоскости А2).
Оставаясь в плоскости Л2 и в то же время принадлежа Sn_1
{т. е. касаясь этой гиперповерхности), вектор % остается касатель-
касательным к сечению Sn_x плоскостью А2. Этим показано, что такие се-
сечения являются геодезическими линиями на Sn_1. (Заметим, что
нашим наглядным геометрическим соображениям нетрудно придать и
строгую аналитическую форму.)
Так как сечение Sn_1 плоскостью Аг можно провести через лю-
любую точку на Sn-1 и в любом направлении на ней, то эти сечения
исчерпывают все геодезические лин-ии на Sn_1.
Проектируем теперь гиперсферу Sn_t из ее центра О на произ-
произвольную гиперплоскость Ап_1 в Rn (не проходящую через О). Тогда
геодезические на Sn_1 проектируются проходящими через них пло-
плоскостями А2 в прямые линии на Ап_1. Тем самым метрика на Sn_l
будет првективно евклидовой.
§ 121. Конформное соответствие римановых пространств
Сначал-а рассмотрим вопрос более общего характера. Пусть не-
независимо друг от друга даны два каких-либо римановых простран-
пространства, оба с одним и тем же числом измерений п. В каждом из этих
пространств имеется своя система координат и своя метрика:
=-- g^ dx*
в первом и
во втором.
ds
2 =
§ 121] КОНФОРМНОЕ СООТВЕТСТВИЕ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 603
Предположим для простоты, что соответствующие многообразия
Dix1, ..., х"). и Dix1, ..., 1с") — элементарные. Пусть, далее,
между точками области D и области D установлено взаимно одно"
значное непрерывно дифференцируемое соответствие. Тогда в сущ-
сущности излишне строить самостоятельную систему координат в каждом
пространстве, а именно, имея систему координат х' в области D,
можно «перенести» ее в область D следующим очевидным образом.
Каждой точке М в области D приписываем те же координаты х',
какие уже имеет в области D соответствующая ей точка Л4.
Итак, теперь для соответствующих точек М и М у нас xl = xl.
Тем не менее метрика обоих пространств остается, вообще говоря,
различной, так что и для соответствующих точек g^=/= g^*).
С точки зрения аналитической можно сказать, что имеется одно-
элементарное многообразие Dix1, х2, ..., х"), причем в нем заданы
две квадратичные формы, определяющие две различные римановы
метрики:
До сих пор речь шла вообще о взаимно однозначном соответствии
двух различных римановых пространств. Теперь мы займемся част-
частным случаем этого соответствия — конформным отображением.
Мы скажем, что многообразия D и D конформно отображены
друг на друга, если квадратичная форма ds2 отличается от ds2 мно-
множителем а, зависящим лишь от выбора точки М(х1, хг, ..., х")
и не зависящим, следовательно, от направления бесконечно малого,
смещения dx1, dx2, ..., dx":
d^=ads2, A21.2)
где а — a (x1, . . ., x").
Условие A21.2) можно записать иначе, вставив выражение для
ds2 и ds2 из A21.1). Так как A21.2) должно удовлетворяться тож-
тождественно, в частности, относительно dx1, ..., dx", то координаты
тензоров ?ар и ?•,,, оказываются пропорциональными в каждой точка
с коэффициентом пропорциональности а:
г.р=вЛр- A21.3)=
*) В частном случае может оказаться g^ = ga^. Тогда соответствие на-
называется изометрическим, метрика в В и D оказывается одной и той же.
20*
604
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
[гл. IX
Геометрически условие A21.2) означает следующее: дифференциалы
всех дуг, выходящих из данной точки М области D, при переходе
в соответствующую точку М области D изменяются в одном и
том же отношении независимо
от их направления. Отношение
это, очевидно, равное У а, бу-
определен-
Рис. 32.
дет иметь свое
ное значение в каждой точке
(рис. 32).
Действительно, поскольку
точки М и М—соответствую-
М—соответствующие значения их координат
х1 — общие, а поскольку бес-
бесконечно малые смещения / и /' — соответствующие, они определяются
одними и теми же dx1. Условие A21.2) при данных х' и dx' выражает,
следовательно, что отношение дифференциалов дуг /' и / равно |/а.
Как следствие получаем отсюда сохранение углов при нашем отобра-
отображении. Ограничимся случаем собственно риманова пространства.
Пусть направления / и 2 в точке М задаются соответственно диф-
дифференциалами координат dx1, Ьх1. Теми же дифференциалами за-
задаются и соответствующие направления /' и 2' в точке М. По извест-
известной формуле
cos(l, 2) =
|dx||6x|
Вычисляя аналогичным образом cos(l', 2') в области D, мы видим,
что cos(l', 2')= cos(l, 2), так как dx' и 8х' остаются без измене-
изменения, а все g^ меняются в одном и том же отношении.
Итак, наше соответствие является в бесконечно малом соответ-
соответствием подобия, если пренебречь бесконечно малыми второго порядка.
В этом и заключается геометрический смысл конформного отобра-
отображения.
Введем обозначение: а = е2С; это можно сделать, предполагая
а > 0 (в противном случае мы изменили бы знак у ds2, что озна-
означает лишь тривиальное преобразование метрики). Удобство этого
обозначения обнаружится в дальнейшем.
Итак, если в одном и том же многообразии (в общем случае
не обязательно элементарном) заданы две римановых метрики, свя-
связанные зависимостью
A21.4)
§ 121] КОНФОРМНОЕ СООТВЕТСТВИЕ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 605
где о = о(х1, ..., л:") — непрерывно дифференцируемая функция
точки, то этим самым даны два римановых пространства, приведен-
приведенных в конформное соответствие друг с другом.
Выделим предварительно лемму, относящуюся к тензорному ана-
анализу, которая будет для нас важна в дальнейшем.
Лемма. Предположим, что нам дано риманово пространство Vn,
в котором тензор кривизны имеет особое строение, а именно:
tk, A21.5)
где g,j—метрический, а 5,у—некоторый другой симметрический
тензор •'). Составим в нашем пространстве дифференциальное урав-
уравнение относительно неизвестной функции а = о{х1, ..., х11):
gg4o& S A21.6)
где ok = 4ko — —т. Мы утверждаем, что условия интегрируемости
этой системы дифференциальных уравнений будут:
V,S,k-VjSlk = 0. A21.7)
Доказательство. Введем сокращенное обозначение AjCf для
инвариантного выражения
Д,о = Ло? = а,о' = ?/оР (aa = g^a9), A21.8)
которое называется первым дифференциальным параметром скаляра о.
Запишем дифференциальное уравнение A21.6) в виде, разрешенном
относительно второй ковариантной производной скаляра:
Можно писать здесь VjOk и в развернутом виде:
рассматривая A21.9) как систему п2 дифференциальных уравнений
(у, fe=l, 2, ..., п) в частных производных 2-го порядка относи-
относительно неизвестной а. Как известно, для получения условий интег-
интегрируемости мы дифференцируем A21.9) почленно по х' и альтерни-
альтернируем по I и у. При этом производные 3-го порядка от а уничто-
уничтожаются, производные 2-го порядка можно заменить из самой
*) Правая часть получается из своего первого члена путем альтерниро-
альтернирования по индексам i и / и вторичного альтернирования результата по
индексам k и /.
606 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
системы A21.9), и условия интегрируемости, получаемые в результате,
могут содержать лишь а и ok. Все эти операции мы проделаем
в ковариантных производных, что, конечно, нисколько не меняет
их сущности. Итак, A21.9) мы подвергаем ковариантному диффе-
дифференцированию V;. Во втором члене справа gjk, g^ ведут себя как
постоянные, дифференцирование же аГ1 и затем о, дает одинаковый
результат (разница лишь в обозначениях индексов суммирования),
так что оба полученных члена объединяем в один. Получаем:
V, V/J* = {vpj) ak + OjVph — gjkg*l (vp.) o? + V,-5yt. A21.10)
Теперь произведем альтернацию по индексам / и j (без деления
на 2). Выясним, что получается в правой части. Так как
симметрично относительно индексов i и у, то при альтернации пер-
первый член правой части выпадает. В остальных членах заменяем вто-
вторые производные от а из A21.9) и (пользуясь обозначением A21.8))
получаем:
«-T ВгЛх* + •*,¦«) + 4,S/k [ij] *).
Раскроем здесь скобки. Сумма членов второго, четвертого и пятого
образует симметричное относительно i и j выражение
которое, равно как и первый член, исчезает при альтернировании.
Остаются члены
"jSik — g/kSiJf+itSjkW A21.11)
Левая часть A21.10) согласно A08.14) принимает после альтерна-
альтернации следующий вид:
V;V/ak - VyA flk = Ri}. k^ = RtJ, ktg^ = RlJt kao\
Используем теперь особое строение тензора кривизны в нашем
пространстве, подставляя сюда его выражение из A21.5):
(glkSJt—gjkSia — glJSJk + g/ttSik) о" = ajStt — gj^a' [ij]. A21.12)
Приравниваем теперь, чтобы получить искомые условия интегри-
*) Как всегда, символ [//'] после многочлена означает требование про-
альтернировать все его члены по индексам i и ;' (без деления на 2).
§ 121] КОНФОРМНОЕ СООТВЕТСТВИЕ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 607
руемости, левую и правую части равенства A21.10) после альтер-
альтернации, т. е. A21.11) и A21.12). Одинаковые члены сокращаются,
и остается:
или более подробно
Лемма доказана.
Установим теперь связь между тензорами кривизны двух рима-
новых пространств, находящихся в конформном соответствии.
Согласно A21.4) в соответствующих точках мы имеем:
Отсюда легко получить и g'J, т. е. элементы матрицы, обратной g^:
g<J = e-2ogi/_ A21.13)
Действительно, поскольку все элементы матрицы gif умножились
на е2°, то, очевидно, элементы обратной матрицы разделятся на
то же выражение.
Выясним теперь, как при переходе от метрики gif к метрике gt,
изменяются коэффициенты параллельного перенесения. Имеем:
_ 1 (dIik,dJii dS/k\_
ИЛИ
Г,-. ,к = е"Т,, jk + е*° {oj
Для нас более важна аналогичная формула для Г*/ с поднятым ин-
индексом. Вычислим:
или
Г ^ = Г > + b'k° ¦ + 6'ofc — o'^/fc- A21.14)
Формула A21.14) дает преобразование коэффициентов параллель-
параллельного перенесения при конформном преобразовании метрики. Вычис-
Вычислим теперь тензор кривизны /?//,, ;•? для преобразованной метрики gt,.
Перепишем A21.14) в виде
Г|* = Г )k + Т\к, где r<ft = б^.а/ + 6J-ofe — gjk&.
608 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
Тензор кривизны Rik,iq- будет выражаться в таком случае со-
согласно A09.7):
~Rik.H~Rik.il = Vk11t + Tlsru[lk]. A21.15)
Мы знаем, что в случае Tijk = б^а ¦ -f- tyok мы получаем фор-
формулу A09.9) (в которой нужно заменить, конечно, Рг на а,-).
Но сейчас у нас T)k содержит дополнительный член — olgjk. Этот
член порождает в VkT^ дополнительное слагаемое — ^ka4gti и в
T%sT\i дополнительные слагаемые:
-o«gks (8?о, + 6|<7г) + o"gksasgu =
Второй и пятый члены взаимно уничтожаются, третий пропадет при
альтернации. Переписываем A21.15), пользуясь формулой A09.9)
и присоединяя в правой части дополнительные слагаемые:
Rik.il = Rik.il
+ Vioqgki-Аго&и,, + ^o&fcu -o*algki + o^kgli. A21.16)
При этом
ра=1ка1—ог*°«;
очевидно, Pkl = Pik (так как V^cr,- = k ° ¦.— Г™гоа J . Свертываем
A21.16) почленно с равенством
Получим:
Отсюда окончательно
где
ryftM О21-18)
Так преобразуется тензор кривизны при конформном преобразовании
римановой метрики. Заметим, что члены фигурной скобки, содержа-
содержащие тензор Ski, составляются следующим образом: сначала берется
§ 122] КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 609
член gij-Ski, в котором при g стоят крайние, а при 5—средние
индексы тензора кривизны, а затем этот член подвергается двойной
альтернации (без деления) по индексам i, j и I, k, т. е. по индек-
индексам каждой пары. Порядок этих альтернаций безразличен.
§ 122. Конформно евклидовы пространства
Мы займемся изучением особого класса римановых пространств,
а именно, допускающих конформное отображение на локально евкли-
евклидово пространство.
Такие римановы пространства называются конформно евклидо-
евклидовыми.
Пусть ds2 = g^dx1 dx1 определяет метрику конформно евклидова
пространства. Согласно определению мы можем конформно отобра-
отобразить это пространство на локально евклидово, т. е. каждой его
точке М{х1, ..., х") поставить в соответствие точку М в локально
евклидовом пространстве так, что соответствующие дифференциалы
дуг будут в каждой точке отличаться лишь множителем е", а —
= о (х\ .. .± х").
Пусть ds2 = giJdxidx1—квадрат соответствующего дифферен-
дифференциала дуги в локально евклидовом пространстве, тогда
d~s2 = e™ ds2. A22.1)
Итак, для того чтобы метрика ds2 была конформно евклидовой,
необходимо и достаточно существование такой функции точки
о = о(х1, ..., х"), что ds2=e2ads2 определяет локально евклидову
метрику.
При изучении конформно евклидовой метрики возникают сле-
следующие два вопроса:
1) по каким признакам можно узнать, является ли данное рима-
ново пространство конформно евклидовым, и, если является,
2) найти его отображение на евклидово, т. е. найти множи-
множитель е2а, превращающий метрику ds2 в локально евклидову мет-
метрику ds2.
Оба эти вопроса мы будем решать совместно. Итак, нам дана
метрика ds2 = gijdx1 dx1'. Возьмем функцию точки о, пока произ-
произвольную, и составим новую квадратичную форму ds2= e2(T ds2.
Для того чтобы метрика ds2 определяла (хотя бы локально) евкли-
евклидову метрику, необходимо и достаточно, как мы знаем, обраще-
обращение в нуль ее тензора кривизны Rtjt kl. Другими словами, левая
часть A21.17) должна обращаться в нуль, следовательно, скобка
в правой части — тоже, что равносильно тому, что Rt, kl имеет
610 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
вид
Rip ki = gikSji + gjiSik—gjkSu—guS,k, A22.2)
где Sjk выражается через о согласно A21. 18).
Следовательно, если пространство конформно евклидово, его тензор
кривизны имеет строение A22.2.) при условии A21.18). Обратно: если
существует такое а, что выполняется A22.2) при условии A21.18),
то, вычислив для метрики ds2 = e2a ds2 тензор кривизны, получим нуль,
а значит, данная метрика ds2 конформно евклидова.
Итак, если пространство конформно евклидово, то существует
скаляр а, удовлетворяющий дифференциальному уравнению A21.18)
при условии A22.2), следовательно, условия интегрируемости урав-
уравнений A21.18) должны удовлетворяться. Но согласно лемме § 121 они
имеют вид
=°- A22-3)
Итак, необходимым признаком конформно евклидова пространства
является у нас существование симметрического тензора Sik, удов-
удовлетворяющего уравнениям A22.2) и A22.3). В этой формулировке а
не играет никакой роли и, как мы видим, даже не упоминается.
Докажем, что этот признак и достаточен, правда, лишь в локальном
смысле. Итак, пусть дано, что тензор кривизны имеет видA22.2),
где Sik—некоторый симметрический тензор, удовлетворяющий урав-
уравнению A22.3).
Прежде всего выпишем дифференциальные уравнения A21.18)
относительно о, рассматривая а как неизвестную функцию точки.
Так как условия интегрируемости A22.3) выполняются тождественно,
то при любых начальных значениях в фиксированной точке Мо
а = а0 и о, = (о,H
решение уравнений A21.18) существует, а так как A22.2) также
имеет место, то по предыдущему пространство конформно евклидово.
Конечно, существование решения а(хг, ..., х") мы можем гаранти-
гарантировать лишь в некоторой окрестности произвольно выбранной на-
начальной точки Мо, а значит, конформно евклидовым наше простран-
пространство будет лишь локально; и лишь в этом смысле признак A22.2),
A22.3) является и достаточным.
Найденный необходимый и достаточный признак еще не является
вполне эффективным.
Позже мы покажем, как фактически установить, существует ли
симметрический тензор Sik, удовлетворяющий A22.2) и A22.3). Но
и в этой форме из нашего признака можно извлечь некоторые
следствия.
§ 122] КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 611
Пространство постоянной кривизны, обязательно конформно евкли-
евклидово (по крайней мере, локально).
Для пространства постоянной кривизны, как мы знаем:
где
К= const.
Перепишем несколько иначе:
Положим:
5А = -Т^' A22-5>
Тогда, как видно из A22.4), условие A22.2) выполняется, и усло-
условие A22.3) тоже, так как из A22.5) следует:
Итак, для пространства постоянной кривизны существует тензор,
удовлетворяющий A22.2) и A22.3).
Впрочем, это видно и из того, что метрика постоянной кривизны
реализуется на гиперсфере SncRn+1, а конформно евклидов ха-
характер метрики на Sn показан в § 87.
Выведем окончательный вид необходимого и достаточного признака
конформно евклидова пространства. Выделим случай п = 2. Здесь о
нашем признаке не приходится говорить, так как все двумерные
римановы пространства конформно евклидовы. Действительно, в тео-
теории поверхностей доказывается, что на поверхности (локально) всег-
всегда можно выбрать изотермические координаты, в которых линейный
элемент имеет вид
где
л = л(а, v),
а это и доказывает, что любая метрика V2 будет (локально) конформно
евклидовой; достаточно положить ег° = у- • ds* = du2 -f- dv2. Анало-
Аналогичное предложение можно доказать и в псевдорлмановом случае.
В дальнейшем будем предполагать, что п > 2.
Поставим задачу: допустив, что A22. 2) удовлетворяется, вычис-
вычислить отсюда тензор Бц.
612 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. IX
Прежде всего найдем Rjk, свертывая A22.2) с gl1 почленно
(см. A10.12)):
Я/* = Rij^s" = ^Sjt + b)Sik-gjkS-nSjk,
так как gagik=&lk, g'lgu — (>li — n;n'pyi этом мы обозначили S~g'lSn.
Окончательно
RJk=-Sgjk-{n-2)Sjh. A22.6)
Отсюда мы еще не в состоянии определить S ,k, так как нам неиз-
неизвестно S. Произведем почленно свертывание с gJk; получим слева
так называемую скалярную кривизну R (см. A10. 14)):
R= — Sn — {n — 2M=— 2 (л— \)S,
откуда
s
Л- 2(п-1Г
Теперь из A22.6) вычислим SJk:
<? - R/k i Rs'k
5 +
Итак, если тензор Sjk, удовлетворяющий A22.2), существует, то
он обязательно имеет вид A22.7).
Теперь уже легко проверить, существует ли действительно тензор,
удовлетворяющий условиям A22.2) и A22.3). Для этого нужно под-
подставить выражение S/k из A22.7) в A22.2) и A22.3). Если эти урав-
уравнения обратятся в тождества (чего в общем случае не будет), то
данное пространство конформно евклидово (по крайней мере, локально),
и обратно.
Теперь искомый признак получен в достаточно эффективной
форме. Остается только внести сюда некоторые уточнения. Рас-
Рассмотрим два случая.
1. п = Ъ. В этом случае тензоры Rij^i и ^jk имеют п0 шесть
существенно различных координат, и, рассматривая A22.2) как шесть
линейных уравнений с шестью неизвестными S,-k, естественно ожи-
ожидать, что такие S,k всегда можно найти. Как показало бы более
детальное исследование, дело обстоит действительно так. Следова-
Следовательно, Sjk, удовлетворяющие A22.2), существуют при /г = 3 в
любом пространстве, а так как они обязательно имеют вид A22.7),
то остается проверить, удовлетворится ли A22.3) при подстановке SJk
из A22.7). Таким образом, из двух условий остается лишь A22.3),
так как A22.2) удовлетворяется тождественно.
2. п > 3. Здесь, наоборот, является достаточным уже одно усло-
условие A22.2). Что же касается A22.3), то оно является следствием
A22.2), так что его не приходится оговаривать особо.
§ 122] КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 613
Кратко наметим доказательство. Возьмем тождество Бианки
A08.6), причем оба индекса, не участвующие в циклировании, под-
поднимем наверх:
V»Ki/*' + S/iRimkl + VjRmF. = 0.
Как легко получить из A22.2),/?,у., = 6[Eд — б{,-5;* (альтернация
без деления на 2), а следовательно, тождество Бианки примет вид
e|] = о.
Положим здесь /=/, а в остальном индексы пусть будут различны
между собой*). По свойствам 8g получаем yyS*, — ут.!?* = 0 при к,
т, j, различных между собой. Положим теперь l = i, k = j; в осталь-
остальном индексы различны. Получаем (без суммирования!)
при любых /, j, m, различных между собой. При фиксированном т
даем I и j значения последовательно р, q; q, r; r, р; из полученных
трех уравнений с тремя неизвестными вытекает, что каждое слага-
слагаемое есть нуль:
Итак, всегда у[т5/* = 0, т. е. A22.3) доказано.
Нашим результатам можно придать следующую форму. В про-
произвольном римановом пространстве построим тензор конформной кри-
кривизны C;jtkt, определяемый следующим образом:
c R + ^R +
(eggg) A22.8)
Легко проверить, что если в A22.2) перенести все члены в левую
часть, причем подставить вместо Sjk его значение из A22.7), то в
левой части мы получим как раз тензор Ctjtkl.
Отсюда следует, что A22.2) можно записать в виде
Итак, тензор конформной кривизны Ctjtkt существует в любом
римановом пространстве, причем его обращение в нуль в данном
пространстве есть необходимый и достаточный признак того, что
*) Здесь мы пользуемся условием п > 3, т. е. тем, что всегда можно
взять четыре различных индекса.
614 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [ГЛ. [X
данное пространство (локально) конформно евклидово, если только
п > 3. В случае же п—'д условие A22.2) удовлетворяется всегда,
и, следовательно, Cljikl всегда равен нулю.
Тензор С1/>ы, как легко проверить, обладает всеми алгебраи-
алгебраическими свойствами тензора кривизны.
При произвольном конформном преобразовании произвольной
римановой метрики согласно A21.4) тензор CijM испытывает пре-
преобразование
Си,ы=е*вС„,ы, A22.9)
что проверяется на основе A21.17). Отсюда, используя A21.13),
получаем, что тензор C!f, k" ( = C!f, klglp) инвариантен при конформ-
конформном преобразовании римановой метрики.
ГЛАВА X
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 123. Пространство событий в общей теории относительности
Мы уже упоминали о том, что физическое содержание общей
теории относительности сводится к объяснению одного лишь явле-
явления — явления всемирного тяготения. Несмотря на это, общая теория
относительности требует по сравнению со специальной весьма широ-
широкого обобщения математического аппарата, а именно, перехода от
четырехмерного псевдоевклидова пространства событий к четырех-
четырехмерному же псевдориманову пространству. В пространстве событий
специальной теории относительности в ортонормированной коорди-
координатной системе л:0, х1, х2, х3 скалярный квадрат вектора выражался
формулой
х*= - х°* + х1* + х? + х*\
Рассматривая это псевдоевклидово пространство как частный случай
риманова, мы можем записать его метрическую квадратичную форму
в виде
ds2 = -dxo' + dx^ + dx^ + dx*2. A23.1)
При этом х°, х1, х2, х3 имеют физический смысл ct, x, у, z в
некоторой инерциальной системе отсчета. Ортонормированные коор-
координаты х°, х1, х2, х3 в этой главе мы будем называть гали~
леевыми.
Первая гипотеза, положенная в основу общей теории относи-
относительности, заключается в том, что описанное положение вещей
имеет место лишь в некотором приближении. В действительности
же метрика в пространстве событий является не псевдоевклидовой,
а псевдоримановой, хотя и весьма мало отличающейся от псевдо-
псевдоевклидовой. В связи с этим в пространстве событий не сущест*
еует галилеевых координат, в которых метрическая квадратичная
форма принимала бы вид A23.1), но зато существуют координаты,
близкие по своим свойствам к галилеевым.
616 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
В этих координатах метрическая квадратичная форма имеет за-
запись, близкую к A23.1):
ds2 = —dx°2 + dxl2 -{- dx2Z + dx3' + yiJdxidx/, A23.2)
Здесь yijdx'dxJ — некоторая добавочная квадратичная форма; ее
коэффициенты представляют собой функции от х°, х1, х2, Xs:
Y// = Yy(*°. *\ х\ *»), A23.3)
абсолютные значения которых весьма малы по сравнению с единицей:
Так как ds2 = gtj4xldxJ, где ^ — координаты метрического
тензора, то, сравнивая с A23.2), получаем:
ft/ = ft/ + Y//. A23.4)
где
h/=о УФА ко = -1. ка = 1. A23.5)
(Греческие индексы здесь и в дальнейшем пробегают значения
1, 2, 3, а латинские 0, 1, 2, 3.)
Координаты л:', близкие к галилеевым, не отличаются такой
же определенностью выбора, как галилеевы координаты. Дейст-
Действительно, галилеевы (т. е. ортонормированные) координаты в
псевдоевклидовом пространстве специальной теории относитель-
относительности выбираются с точностью до линейного, а именно, псевдо-
псевдоортогонального преобразования, отвечающего переходу от одного
ортонормированного репера к другому. Возможность такого пре-
преобразования остается, очевидно, и для наших координат х\ близ-
близких к галилеевым (при условии, что коэффициенты преобразова-
преобразования не слишком велики), но, кроме того, мы можем делать над
х' и любые (нелинейные) малые преобразования:
х1' =х' + 1'(х°, х\ х2, Xs). A23.6)
Под малостью этого преобразования мы подразумеваем, что
h A23.7)
т. е. абсолютные значения -^ весьма малы по сравнению с еди-
единицей. На значения самих ?' (л;0, х1, х2, Xs) мы ограничений не
накладываем. Для нас существенно лишь, чтобы они медленно
менялись при изменении х', если же при этом они сами по себе
имеют большие значения, то это можно отнести за счет триви-
тривиального преобразования — добавления констант к координатам лг':
х1' -=х' + с'.
§ 123] ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 617
При условии A23.7) координаты х', близкие к галилеевым, сохра-
сохраняют это свойство и после преобразования. Действительно, запи-
запишем преобразование, обратное A23.6):
х1=*х''+%' (х°г, х1', х2', х3') A23.8)
при условии
В таком случае
дХ dxJ>.
дх1'
Вставляя эти выражения в A23.2), мы получаем:
ds2 = — (dx0'J + (dx1'J + (dx2'J + (dx*')% + yi>r dx1' dx'1',
где в квадратичной форме у^у dx" dx1' объединены все оставшиеся
члены. Коэффициенты при всех этих членах будут весьма малы
сравнительно с единицей, так как они обязательно будут содержать
множителем или -^-г или у,,, или то и другое одновременно (пере-
dxJI '
ход от уij к yyji не носит тензорного характера). Следовательно,
мы получаем снова
Итак, координаты х\ близкие к галилеевым, сохраняют это свой-
свойство не только при псевдоортогональных преобразованиях (таких
же, как в специальной теории относительности), но и при любых
малых преобразованиях A23.6). Это создает гораздо большую
неопределенность в их выборе.
В дальнейшем мы всегда будем рассматривать пространство со-
событий в координатах х', близких к галилеевым, не оговаривая
этого каждый раз особо.
Пространственно-временная геометрия в наших координатах по
сравнению с пространственно-временной геометрией в галилеевых
координатах специальной теории относительности будет выглядеть
искаженной. Это искажение частью обусловливается тем, что сама
метрика у нас теперь не псевдоевклидова, а псевдориманова, частью
выбором координат х1. В общем случае нет возможности каким-либо
строго определенным образом отделить одну причину от другой.
В самом деле, наши координаты х' (близкие к галилеевым) можно
подвергать, в частности, малым преобразованиям A23.6), и среди
различных таких координатных систем нет оснований одну предпо-
предпочесть другой. Между тем в каждой из них искажение пространственно-
временной геометрии выражается по-своему.
618 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
Однако это искажение во всяком случае настолько мало (вслед-
(вследствие малости Y/y)j чт0 непосредственными пространственно-времен-
пространственно-временными измерениями установлено быть не может. Забегая вперед,
скажем, что оно физически проявится в виде поля тяготения, наблю-
наблюдаемого в данной системе отсчета х1. В этом и будет заключаться
объяснение явлений тяготения, даваемое общей теорией относитель-
относительности.
§ 124. Локально галилеевы координаты
Хотя мы и не можем теперь подобрать координат х', которые
были бы галилеевыми во всем пространстве событий, но можем
сделать это для бесконечно малой окрестности любой точки М этого
пространства. Для этого мы перейдем в систему координат х', гео-
геодезическую в данной точке М, т. е. такую, что
|rfyU=O. A24.1)
В § 91 было показано, что это можно сделать в любом про-
пространстве аффинной связности без кручения L"n t а значит, в част-
частности, и в любом римановом пространстве Vn. Кроме того, будем
считать для простоты, что точка М служит началом координат,
х'м = 0. Чтобы этого добиться, достаточно сделать тривиальное
преобразование координат х\ вычитая из них начальные значения
х'м- Далее, мы будем предполагать, что метрический тензор g{J
имеет в точке М «галилеев» вид A23.5):
[gi/]M=hj- A24.2)
Этого нетрудно добиться линейным преобразованием геодезических
координат
х1' = А\ х',
где константы Л}' подобраны так, чтобы квадратичная форма
о
\eij\M dxl dxJ была приведена к виду gljdx'dxJ, т. е. к канони-
каноническому виду— dx° -{-dx1 -\-dx2 -\-dxs . Линейное преобразование не
меняет геодезического характера координат (§ 91).
Координаты х' со свойствами A24.1), A24.2) мы будем называть
локально галилеевыми в точке М. Значение этих координат заклю-
заключается в том, что в бесконечно малой окрестности точки М эти
координаты приближаются по своим свойствам к галилеевым.
В самом деле, в силу A24.1) Tf/ остаются в пределах этой окрестности
если и не равными нулю, то во всяком случае величинами бесконечно
малыми.
§ 124] ЛОКАЛЬНО ГАЛИЛЕЕВЫ КООРДИНАТЫ 619
Далее, согласно (94.5)
а согласно (94.7)
р] »Ь = °- A243)
Это показывает, что значения [g{j]M = gtJ являются стационарными
в точке М, т. е. при смещении в бесконечно близкую точку М'
приращения g(j—g(J- будут разлагаться в ряд Тейло.ра по степеням х\
начиная со второй степени (члены же первой степени пропадут в силу
A24.3)).
Пренебрегая бесконечно малыми. 2-го порядка, можно, следова-
следовательно, считать, что gj, в бесконечно малой окрестности точки М
сохраняют постоянные значения g-^, т. е. именно те, которые они
должны были бы иметь в галилеевых координатах.
Таким образом, в бесконечно малой окрестности точки мы в из-
известном смысле получаем возможность вернуться к галилеевым коор-
координатам— их роль будут играть локально галилеевы координаты.
При этом мы позволим себе рассматривать локально галилеевы коор-
координаты не только в бесконечно малой, но и в конечной окрестности
точки М. Нужно только брать эту окрестность достаточно малой,
чтобы практически — с точки зрения физических приложений—наши
локально галилеевы координаты оставались неотличимыми от гали-
галилеевых, в частности, чтобы Г*,- оставались в них практически, равными
нулю.
В пределах этой окрестности мы возвращаемся (практически)
к тому положению, которое существовало в специальной теории
относительности. В связи с этим мы придаем локально галилеевым коор-
координатам х°, х1, хг, х3 и прежнее их физическое истолкование как
величин ct, х, у, z в некоторой инерциальной системе отсчета. Су-
Существенная разница с прежним будет, однако, в том, что это истол-
истолкование применимо лишь в некоторой ограниченной пространственно-
временной области (и не является совершенно точным, а лишь
практически удовлетворительным). Поскольку инерциальные системы
отсчета строятся теперь лишь для отдельных малых кусков прост-
пространства событий, мы будем называть эти системы локально инер-
циальными.
Таким образом, хотя построение инерциальной системы отсчета
(т. е. галилеевых координат) и невозможно для всего пространства
событий в целом, но практически возможно для любого отдельного
его куска, не слишком большого по размерам. Локально инерциаль-
ным системам мы будем приписывать (в пределах области их дей-
действия) все те свойства, которыми обладали инерциальные системы
620 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
в специальной теории относительности. В частности, при условии,
что пространственные координаты х, у, z и время t измеряются во
всех локально инерциальных системах при помощи одних и тех же
единиц измерения, скорость света с будет одинакова во всех этих
системах. При переходе от одной локальной инерциальной системы
к другой (с общей областью действия) формулы Лоренца применимы
так же, как и в специальной теории относительности, и имеют то
же физическое истолкование. Позже мы выясним полностью смысл
локально инерциальных систем с физической точки зрения. Пока для
ориентации в этом вопросе укажем только, что можно представлять
себе локально инерциальную систему как свободно летящую в поле
тяготения, существующем в данном месте и в данное время. Сво-
Свободный полет мы понимаем в том смысле, что на систему и на ее
отдельные части не действует никаких сил, кроме сил тяготения.
При этом в начальный момент системе может быть сообщена какая
угодно скорость поступательного движения (заметим, что при на-
наших условиях система не может вращаться: иначе на ее части дей-
действовали бы центростремительные силы, препятствующие им «раз-
«разлететься»). Тогда с точки зрения этой системы, если она достаточно
мала по размерам, поле тяготения исчезает. Этим обстоятельством
и характеризуется локально инерциальная система.
Так, например, с точки зрения свободно летящего космического
корабля поле тяготения отсутствует (явление невесомости). Дейст-
Действительно, любой предмет, помещенный в воздухе внутри корабля,
будет лететь вместе с ним с одинаковым ускорением, а потому от-
относительно корабля будет оставаться неподвижным. Если сообщить
этому предмету толчок, то его движение относительно корабля будет
равномерным и прямолинейным. Мы имеем здесь характерный пример
локально инерциальной системы. На этом же примере хорошо виден
ее именно локальный характер. Действительно, если в летящем ко-
космическом корабле удается устранить поле тяготения, то сущест-
существенную роль играют здесь малые размеры корабля сравнительно,
например, с земным шаром. Если бы мы захотели подобрать локально
инерциальную систему, охватывающую весь земной шар, то это нам
не удалось бы: поле земного тяготения, силы которого направлены
в основном радиально к центру земли, нельзя было бы устранить
никаким выбором системы отсчета.
Заметим, что хотя в § 123 мы тоже рассматривали координаты х\
близкие к галилеевым, тем не менее между ними и локально гали-
леевыми координатами есть принципиальная разница. Эта разница
заключается в том, что в случае локально галилеевых координат их
отличием от галилеевых практически можно полностью пренебречь;
в случае же § 123 этим отличием пренебречь нельзя: хотя оно и
мало (в смысле непосредственных пространственно-временных изме-
измерений), но не настолько, чтобы не выражаться косвенно в виде весьма
§ 125] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 621
заметных физических явлений — явлений тяготения. Разумеется, этот
«более удачный» выбор локально галилеевых координат достигается
за счет малой области их применения; между тем в § 123 мы рас-
рассматривали координаты х', пригодные в больших областях прост-
пространства событий.
§ 125. Тензор энергии-импульса в общей теории относительности
Распределение и движение энергии и импульса в пространстве
описываются в общей теории относительности так же, как и в спе-
специальной, симметрическим тензором энергии-импульса:
fi = Г7 (х°, х1, х2, х3). A25.1)
Разница лишь в том, что пространство событий, в котором за-
задается это тензорное поле, уже не псевдоевклидово, а псевдорима-
ново. Мы имели ранее (§71) физическое истолкование тензора
энергии-импульеа в галилеевых координатах: Т00 — плотность энер-
энергии в соответствующей инерциальной системе и т. д.
Такое же истолкование мы приписываем тензору энергии-импульса
теперь в локально галилеевых координатах: Т00 — плотность энергии
в соответствующей локально инерциальной системе и т. д. Конечно,
и в координатах х!, близких к галилеевым (§ 123), тензор TiJ имеет
с известным приближением, практически удовлетворительным, то же
физическое истолкование. При этом мы считаем, что тензор энер-
энергии-импульса T'J учитывает суммарное распределение и движение
всех видов энергии и импульса за исключением, энергии и импульса
гравитационного происхождения. Мы выделяем, таким образом, яв-
явления тяготения в особый разряд; это связано с тем, что физиче-
физическое содержание общей теории относительности как раз и сводится
к объяснению этих явлений.
Как и в специальной теории относительности, мы требуем, чтобы
тензор Т1' был подчинен закону сохранения энергии-импульса. Этот
закон в специальной теории относительности в галилеевых коорди-
координатах имел вид G2.13):
дТи
^Г = 0 (у=0, 1, 2, 3). A25.2)
Если бы мы захотели записать его в виде, пригодном для любой
координатной системы, то нам пришлось бы заменить частные про-
производные абсолютными:
V,rv = 0. A25.3)
Действительно, в такой записи мы получаем инвариантное соотно-
соотношение, так как оно выражает обращение в нуль некоторого тензора.
В общей теории относительности мы не имеем в своем распоря-
распоряжении галилеевых координат и накладываем поэтому на тензор TiJ
622 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
соответствующее условие сразу в инвариантном виде A25.3). При
этом в локально галилеевых координатах мы возвращаемся к записи
{125.2) ввиду тоге, что Г*/ будут в этом случае практически равны
нулю. Отсюда следует, что в локально галилеевых координатах
можно повторить все выкладки § 72 и обнаружить снова, что нало-
наложенное на Т' условие действительно выражает закон сохранения
энергии-импульса.
В произвольной координатной системе, где величинами Г?/ пре-
пренебрегать нельзя, условие A25.3) нельзя переписать в виде A25.2)
и истолковать по образцу § 72 как закон сохранения энергии-им-
энергии-импульса. Это объясняется тем, что энергия и импульс гравитацион-
гравитационного происхождения не учитываются тензором Т*К Между тем закон
сохранения энергии-импульса будет справедлив, разумеется, лишь
при учете энергии и импульса любого происхождения. Поэтому для
записи закона сохранения приходится присоединять к тензору V'
еще особый дифференциально-геометрический объект i1' (не тензор!),
описывающий распределение и перемещение энергии и импульса
гравитационного происхождения. Здесь мы сталкиваемся со слабым
пунктом теории, так как ввести ?¦* удается лишь весьма формаль-
формальным и искусственным путем. В локально галилеевых координатах это
усложнение излишне, потому что гравитационные явления практиче-
практически отсутствуют, и тензор Т1* полностью описывает поведение энер-
энергии-импульса (а Н обращается практически в нуль).
Вторая основная гипотеза общей теории относительности состоит
в следующем. В отличие от специальной теории относительности,
где тензор энергии-импульса Т''; накладывается на пространство со-
событий в качестве дополнительной конструкции, мы принимаем теперь,
что тензор энергии-импульса вытекает из самой псевдоримановой
геометрии этого пространства, а именно, определяется формулой
—v.Tu=RlJ~Rgtr A25.4)
Здесь Tj,—тензор энергии-импульса с опущенными (при помощи
метрического тензора gtJ) индексами; Ri;- — тензор Риччи и R —
скалярная кривизна в псевдоримановом пространстве событий:
k 025.5)
Наконец, х — некоторая положительная константа, значение которой
будет найдено позже.
Заметим, что, указывая основные гипотезы общей теории относи-
относительности, мы обращаем внимание не на те ее стороны, которые
повторяют специальную теорию, а на те, которыми она существенно
отличается.
§ 125] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 623
Общий смысл гипотезы A25.4) заключается в том, что геометрия
пространства событий тесно связана с распределением и перемеще-
перемещением энергии-импульса. Формально при этом тензор энергии-импуль-
энергии-импульса Т {. определяется через геометрию пространства событий, именно
через его тензор кривизны и метрический тензор. Однако с физи-
физической точки зрения более естественно трактовать эту связь в об-
обратном порядке: распределение и движение масс в физическом про-
пространстве отражаются определенным образом на псевдоримановой
геометрии пространства событий. В грубых чертах уже сейчас видно,
что чем больше будет концентрация масс в данном месте и в данное
время, тем интенсивнее будет отклоняться псевдориманова геометрия
от псевдоевклидовой на соответствующем участке пространства со-
событий: действительно, с увеличением координат тензора T-j должны
увеличиваться и координаты тензора Риччи Ri}., а следовательно,
в каком-то смысле и координаты тензора кривизны Ri,t kl.
Заметим, что вместо распределения и движения энергии-импуль-
энергии-импульса мы стали говорить о распределении и движении масс. Это законно,,
если принять во внимание, что всякому запасу энергии Е отвечает
масса — и обратно; что же касается импульса, то его распределе-
распределение описывается теми же координатами тензора VJ, что и переме-
перемещение масс; перемещение же импульса практически не будет играть
роли в создании поля тяготения (а как раз в этом с физической
точки зрения выразится влияние тензора Т^ на пространственно-
временную геометрию).
Однако все еще остается неясным, из каких соображений тензор
7;у связан с метрикой пространства событий именно формулой A25.4).
Здесь можно сделать следующие пояснения.
Мы хотим установить зависимость между Тц и метрикой прост-
пространства событий, приравняв Ttj некоторому симметрическому тензору,
связанному с этой метрикой. Конечно, этот тензор вместе с 7(-,
должен удовлетворять закону сохранения A25.3). Простейшим из
таких тензоров будет, как мы сейчас увидим, Rtj—<r R&ip стоящий
в правой части A25.4). К этому тензору можно присоединить по-
постоянный множитель, не нарушая его свойств; это мы и делаем
(множитель—1/х). Заметим, что сам метрический тензор g{j также
обладает требуемыми свойствами и еще более прост, но явно не-
непригоден для наших целей.
Разумеется, приведенные соображения никак нельзя считать до-
доказательством того, что тензор энергии-импульса действительно имеет
вид A25.4). Настоящим оправданием этой гипотезы является выте-
вытекающая из нее теория тяготения, как мы увидим ниже, хорошо со-
согласующаяся с опытом.
624 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
Проверим теперь, что симметрический тензор R{j—-5- Rgif дей-
действительно удовлетворяет закону сохранения. Для этой цели исполь-
используем тождество Бианки—Падова A08.6), имеющее место в любом L^
и, в частности, в любом римановом пространстве:
VmRki, f. + VkRim, f. + VtRmk, i4 = 0.
Произведем здесь свертывание по индексам k, q; получим:
Прежде чем производить свертывание, мы в последнем члене пере-
переставили индексы т, /г, компенсировав это изменением знака. Послед-
Последнее равенство можно переписать в виде
Напомним, что под знак абсолютного дифференцирования можно
вносить (и выносить из-под него) метрический тензор, стоящий мно-
множителем; в частности, поднятие и опускание индексов можно про-
производить под знаком абсолютного дифференцирования. В среднем
члене переставим i и у, компенсировав это изменением знака, и свер-
свертываем наше равенство с glt. Получим:
V»/?-V/V*K1./-g'"V«tf», = 0.
Замечая, что второй и третий члены отличаются лишь обозначениями
индексов суммирования, и внося метрический тензор под знак абсо-
абсолютной производной, получаем окончательно:
V»/? = 2vftflm.. A25.6)
Это тождество, имеющее место в любом римановом пространстве,
как раз и выражает, что тензор
удовлетворяет закону сохранения. В самом деле, поднимая индексу,
получаем: Ri = R' —-^Rb[.
Вычисляем теперь:
VjR/.^VjR/.-j VjR6{=V,Rt—Y V,R= 0.
Равенство нулю имеет место в силу A25.6). Поднимая индекс i,
получим окончательно:
* *,
а это и есть закон сохранения (в силу симметрии тензоров Rtj и R'J
безразлично, какой из двух верхних индексов участвует в сверты-
свертывании).
§ 126] ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 625
§ 126. Движение частицы в поле тяготения
Мы уже несколько раз упоминали о том, что уклонение метрики
пространства событий от евклидовой и, следовательно, невозможность
подобрать в этом пространстве событий галилеевы координаты фи-
физически проявляются в первую очередь в виде поля тяготения.
Сейчас мы выясним механизм появления этого поля.
Рассмотрим поток частиц (обладающих каждая определенной
массой покоя), перенося в общую теорию относительности построе-
построение § 68. В идеализированном виде мы рассматриваем этот поток
частиц как поток непрерывно распределенных масс. Каждая частица,
меняя с течением времени свое положение, описывает в пространстве
событий четырехмерную траекторию
x' = xl(a) (i = 0, 1, 2, 3), A26.1)
которая, как и в специальной теории относительности, будет кривой
чисто мнимой длины. Последнее видно уже из того, что отдельные
(малые) куски траектории можно рассматривать в локально галилее-
вой системе координат, в которой практически имеют место все
результаты специальной теории относительности, в частности, че-
четырехмерные траектории частиц — кривые чисто мнимой длины.
Обозначая длину дуги вдоль четырехмерной траектории (отсчи-
(отсчитываемую от какой-нибудь начальной точки) через
s = ai,
мы принимаем за параметр вещественный коэффициент а. Тогда
касательный к траектории вектор
будет мнимоединичным:
Через каждую точку М пространства событий проходит определен-
определенная четырехмерная траектория, а потому вектор т' определен в каж-
каждой точке М:
т' = х1(х°, х1, х2, ха). A26.3)
С каждой точкой М четырехмерной траектории частицы можно свя-
связать локально галилееву координатную систему, относительно кото-
которой частица будет в данный момент покоящейся. В самом деле, выбрав
сначала произвольную локально галилееву координатную систему х1
626 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
в окрестности точки М, мы подвергнем ее (совершенно так же, как
в специальной теории относительности) псевдоортогональному пре-
преобразованию F2.10) с таким расчетом, чтобы координатная линия х°
в точке М имела вектор т1 касательным вектором, т. е. чтобы
Обозначим через |л0 плотность масс покоя относительно нашей ло-
локально галилеевой системы отсчета, «увлекаемой потоком». В каждой
точке пространства событий |л0 имеет, вообще говоря, свое значе-
значение, так что
цо = цо(х°, х\ х\ х9). A26.4)
Чтобы не усложнять дела, мы предположим, что в процессе движе-
движения частицы не испытывают никаких превращений, масса покоя каждой
из них остается без изменения, так что суммарная масса покоя
удовлетворяет закону сохранения (заметим, что в общем случае этого
утверждать нельзя; например, при так называемой аннигиляции
электрона и позитрона масса покоя возникающих при этом фотонов
равна нулю). Условие сохранения массы покоя имеет вид
V/(t*o^) = 0, A26.5)
т. е. четырехмерная дивергенция векторного поля
5' = |Л0(ДГ°, X1, Ха, Х3)Т?(Х°, X1, X3, ЛГ3)
равна нулю. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть усло-
условие A26.5) в локально галилеевой координатной системе, т. е.
с точки зрения некоторой локально инерцивльной системы отсчета*).
Так как в этом случае Г^;- практически равны нулю, то условие A26.5)
принимает вид
в4 = в-1^=0. A26.6)
дх' дх'
Вектор ? составлен по образцу F8.12), где нужно лишь заменить
плотность заряда плотностью массы покоя. Масса покоя имеет
с зарядом то общее свойство, что она инвариантна относительно
выбора инерциальной (в нашем случае локально инерциальной) си-
системы отсчета. Поэтому в нашем случае мы совершенно таким же
путем, как и в § 68, приходим к формулам F8.13):
•) Уже не с-вяза-нной каким-либо образом с потоком.
§ 126] ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 627
где \i0 — плотность масс покоя и их, иу, иг—составляющие ско-
скорости с точки зрения нашей локально инерциальной системы отсчета
{плотность масс покоя уже не инвариантна). При этом ct, х, уг
z = x°, х1, х2, х3. Теперь A26.6) принимает вид
YW^ с дх 'с ду г~с dz~
Рассмотрим какую-нибудь область со, ограниченную замкнутой
поверхностью П, которая покоится с точки зрения нашей локально
инерциальной системы. Умножим равенство A26.8) почленно на
элемент объема rfco и проинтегрируем по области со. Получим
( , 1 \
(отбрасывая множитель—J:
Ш\д(йоих) | <%0'^
) дх
со "' со V
Вынося в первом интеграле дифференцирование по t за знак инте-
интеграла и преобразуя второй интеграл к поверхностному интегралу
по формуле Остроградского, получим:
jj| (i26.9)
П
Здесь и — вектор скорости потока масс, п — единичный вектор внеш-
внешней нормали поверхности П.
Если умножить полученную формулу почленно на dt, то она
будет означать, что приращение массы покоя, заключенной в со, за
время dt равно количеству массы покоя, втекшей через границу
области dt за то же время (ср. A6.3); знак минус у интеграла в.
правой части означает, что мы оцениваем именно втекание массы
покоя). Мы, действительно, получаем условие сохранения массы по-
покоя. Конечно, обратным переходом мы можем от A26.9) вернуться к
A26.6) (используя, между прочим, что A26.9) имеет место для
любой области со). Итак, смысл условия A26.5) теперь ясен.
Допустим, что поток частиц движется под влиянием только
лишь сил тяготения (в частности, по инерции), так что в области,
занятой потоком, отсутствуют какие-либо иные физические факторы,
способные влиять на движение частиц. Тогда в этой области тензор
энергии-импульса будет выражаться формулой G1.3):
Г7=ц0с2тМ A26.10)
Действительно, эта формула выражает тензор энергии-импульса,
628 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
отвечающий потоку масс; но ввиду того что поле тяготения не
порождает тензора энергии-импульса, а другие физические факторы,
как мы предполагаем, отсутствуют, то мы получаем здесь полный
тензор энергии-импульса (в области, занятой потоком).
Формулу G1.3) мы, строго говоря, можем применять лишь в
локально галилеевых координатах, так как в них мы возвращаемся
практически к специальной теории относительности. Но в силу
тензорного характера этой формулы она будет иметь тот же вид и
в любой криволинейной координатной системе. В этом смысле мы
ее и будем понимать.
Тензор энергии-импульса должен удовлетворять закону сохране-
сохранения энергии-импульса:
который в силу A26.10) можно записать в виде
Вследствие A26.5) первый член исчезает, и мы получаем оконча-
окончательно:
т'у У = 0.
dx1
Так как t'=j-, то отсюда следует:
dx'v,-xy=0, т. e. Dt/=0, A26.11)
где абсолютный дифференциал берется вдоль четырехмерной траек-
траектории частицы ( как и производные -т- ) . Мы получили, следователь-
следовательно, что касательный к четырехмерной траектории вектор xJ перено-
переносится вдоль нее параллельно; эта траектория есть, таким образом,
геодезическая. Итак, четырехмерные траектории потока частиц,
движущихся под действием только лишь поля тяготения (в частно-
частности, по инерции), суть геодезические линии чисто мнимой длины.
Отдельное физическое тело, движущееся при тех же условиях,
мы тоже рассматриваем как поток составляющих его частиц и
применяем к нему полученный результат. Практически здесь наиболее
важно, что, пренебрегая размерами этого тела и представляя его
себе как точку, можно считать, что закон его движения выражает-
выражается в пространстве событий геодезической четырехмерной траекто-
траекторией чисто мнимой длины.
Аналогичным образом мы принимаем, что распространение световых
лучей (в пустоте) происходит с точки зрения пространства событий
также по геодезическим четырехмерным траекториям, но при этом,
в отличие от предыдущего, изотропным.
§ 127] ОСНОВНАЯ ИДЕЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 629
В самом деле, с точки зрения локально галилеевых координат
можно считать Г*/ равными нулю, и мы возвращаемся практически
к псевдоевклидову пространству специальной теории относитель-
относительности. Тогда в пределах нашей локально галилеевой координатной си-
системы геодезические принимают вид прямых, в частности, изотроп-
изотропные геодезические — вид изотропных прямых, которые и служат
четырехмерными траекториями световых лучей, а это вполне со-
согласуется с положением вещей в специальной теории относитель-
относительности.
Более глубоким обоснованием нашего утверждения мы здесь
заниматься не можем.
§ 127. Основная идея общей теории относительности
Если мы находимся в локально галилеевой координатной системе,
то геодезические линии практически принимают вид прямых, а сле-
следовательно, движение частиц под действием поля тяготения совер-
совершается с точки зрения этой координатной системы равномерно и
прямолинейно; другими словами, движение в поле тяготения сводится
к движению по инерции, так что поле тяготения по существу отсут-
отсутствует. Однако если мы интересуемся такой областью пространства
событий, в которой нельзя ввести локально галилеевых координат
(или, хотя и можно, но нецелесообразно), то мы прибегаем к коор-
координатам х', лишь близким к галилеевым (§ 123). В них уже даже с
практической точки зрения нельзя считать геодезические линии
«прямыми» (т. е. задавать х1, X2, Xs линейными функциями л;0), так
как в дифференциальных уравнениях геодезических
уже нельзя считать Г'^ = 0. Криволинейный характер геодезических
означает нелинейную зависимость х1, х2, х3 от х°, т. е. неравно-
неравномерный и криволинейный характер движения частиц под влиянием
поля тяготения. Таким образом, поле тяготения в этом случае фак-
фактически имеет место (не равно нулю).
Итак, поле тяготения, наблюдаемое относительно данной (близ-
(близкой к галилеевой) координатной системы х', характеризуется пове-
поведением геодезических линий в координатах х'. Говоря грубо, чем
более геодезические линии отличаются при этом от «прямых», тем
сильнее будет поле тяготения, наблюдаемое в данной системе отсчета.
В разных координатных системах х1 уравнения геодезических будут
иметь различный вид, а потому и поле тяготения будет выглядеть
по-разному. Так, в неподвижно висящем лифте наблюдается такое
же поле тяготения, как и на поверхности земли; в ускоренно
630 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
движущемся лифте поле тяготения будет иным; с точки зрения свободно
падающего лифта оно совершенно исчезает. Однако было бы оши-
ошибочным утверждать, что поле тяготения целиком относительно и
зависит лишь от выбора системы отсчета. Последнее верно лишь в
искусственно ограниченных малых участках пространства событий, в
которых можно перейти в локально галилеевы координаты и тем
самым (практически) полностью устранить поле тяготения. В общем
же случае нельзя уничтожить поле тяготения за счет подходящего
выбора координатной системы.
Так, если мы рассматриваем поле тяготения Земли не в пределах
малой области (какова, например, внутренность лифта), а в преде-
пределах, охватывающих весь земной шар, то никаким преобразованием
координат (системы отсчета) нам не удастся его аннулировать. Здесь
мы имеем дело с существенным, неустранимым полем тяготения, по-
порожденным массой Земли, хотя в различных координатных системах
это поле будет наблюдаться в различных (в известной мере) вари-
вариантах.
Ясно, что любая теория тяготения должна прежде всего устано-
установить, каким образом распределение масс порождает это реальное поле
тяготения. Классическим ответом на этот вопрос является ньютонова
теория, которая утверждает (правда, без всякого объяснения), что
масса, сосредоточенная в точке, сообщает любой свободной частице
ускорение по направлению к себе, пропорциональное величине этой
массы и обратно пропорциональное квадрату расстояния. При этом
коэффициент пропорциональности k—гравитационная константа —
во всех случаях одинаков. Релятивистская теория тяготения не до-
допускает столь же элементарной формулировки. Ее сущность состоит
в следующем.
С одной стороны, поле тяготения характеризуется, как мы ви-
видели, ходом четырехмерных геодезических в пространстве событий,
причем геодезические могут быть найдены, конечно, исходя из псев-
псевдоримановой метрики этого пространства.
С другой ствроны, распределение и движение масс, выражаемые
тензором Т^, связаны с нашей псевдоримановой метрикой (согласно
второй основной гипотезе) формулой A25.4).
В результате тензор Tif, т. е. распределение и движение масс
через посредство псевдоримановой метрики пространства событий
влияет на ход геодезических линий, т. е. на поле тяготения.
В этом и заключается основная идея новой теории тяготения.
При первом знакомстве она представляется весьма неопределенной
и лишенной конкретного содержания. Однако мы вскоре увидим, что
на ее основе при вполне естественных дополнительных предположе-
предположениях можно производить точные численные расчеты.
Весьма важно правильное понимание идейного содержания общей
теории относительности. Как уже отмечалось, наиболее существен-
§ 127) ОСНОВНАЯ ИДЕЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 631
ную роль играет в ней гипотеза A25.4) о связи между тензором
энергии-импульса и геометрией псевдориманова пространства со-
событий.
По существу эту гипотезу следует рассматривать (независимо от
субъективных намерений ее автора А. Эйнштейна) как попытку
конкретной математической разработки материалистического принципа,
согласно которому пространство и время суть формы существования
материи, а следовательно, должны рассматриваться в связи с ее
остальными свойствами (в том числе в связи с распределением и
движением энергии-импульса). Конечно, это не значит, что излагае-
излагаемая здесь теория является последним словом в этом отношении.
Скорее, наоборот, ее следует рассматривать именно как одну из по-
попыток, за которыми по мере развития экспериментальных данных
последует ряд других. Ясно лишь одно, что в будущем развитии
науки пространственно-временная протяженность материи будет рас-
рассматриваться в неотрывной связи с ее другими, прежде всего меха-
механическими, свойствами.
Как уже упоминалось, физический смысл общей теории относи-
относительности сводится именно к созданию новой теории тяготения.
Правда, сам автор теории А. Эйнштейн и ряд его последователей
придерживаются иной точки зрения. Они считают, что общая теория
относительности помимо этого (и в первую очередь) устанавли-вает
принцип равноправия всех систем отсчета, т. е. всех координатных
систем х' в пространстве событий (наподобие того как в спец-иальной
теории относительности такое равноправие устанавливается для
ортонормированных систем). С этой точкой зрения, однако, трудно
согласиться, так как при этом равноправие систем отсчета с точки
зрения формально-математического аппарата незаконно истолковы-
истолковывается как их равноправие и по физическому существу дела. Между
тем нетрудно разработать математический аппарат, с точки зрения
которого будут формально равноправны всевозможные системы
отсчета и в классической теории; это не может, однако, устранить
того факта, что одна из систем отсчета (покоящаяся) будет выделяться
своими особыми физическими свойствами.
Аналогично этому и в общей теории относительности вовсе не
все системы отсчета равноправны по своим физическим свойствам.
Прежде всего выделяются локально галилеевы системы, в которых
отсутствует поле тяготения. Но и тогда, когда в данной пространственно-
временной области поле тяготения является неустранимым, обычно
всегда можно указать системы отсчета, наиболее естественно и
закономерно связанные с данным распределением масс и приводящие
поле тяготения в основном к его «неустранимому остатку». На-
Напротив, вполне произвольный выбор системы отсчета (например,
быстро вращающийся) сказывается в появлении фантастически боль-
больших полей тягетения, которые исчезают при переходе к более
632 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
естественным системам отсчета. Следовательно, утверждение о рав-
равноправии всех систем отсчета следует рассматривать как фор-
формальное и по существу бессодержательное. В связи с этим
приходится практически отличать реальное, неустранимое иоле тя-
тяготения, вызванное распределением масс, от «фиктивного», вызван-
вызванного неудачным выбором системы отсчета. Правда, мы в общем
случае не умеем провести границу между ними, так как ведут они
себя одинаково, но не исключено, что в каком-то смысле и это
может быть достигнуто*).
§ 128. Приближенная теория
Как известно, ньютонова теория тяготения с величайшей точ-
точностью объясняет движения небесных тел, и огромный опытный
материал, накопленный в течение столетий, хорошо укладывается
в ее рамки. Поэтому от новой теории тяготения мы должны прежде
всего потребовать, чтобы она была не хуже старой, т. е. чтобы
она приводила практически к тем же или почти тем же результатам,
что и ньютонова теория. Мы увидим в этом параграфе, что дело
именно так и обстоит: в первом приближении новая теория тяго-
тяготения приводит к ньютоновой теории. Расхождение же между этими
теориями оказывается чрезвычайно незначительным и в большинстве
случаев находится за пределами опыта. Существует лишь ограни-
ограниченное число экспериментов, при которых может быть фактически
наблюдено и измерено то ничтожное отклонение от ньютоновой
теории, к которому приводит новая теория тяготения. Эти экспе-
эксперименты говорят в ее пользу.
Мы займемся теперь исследованием хода геодезических, т. е.
изучением поля тяготения в некоторой координатной системе х',
близкой к галилеевой. Метрика пространства событий будет иметь
вид A23.2):
ds2--=— dx^ + dx^ + dx^ + dx^ + yij-dx'dx'. A28.1)
При этом согласно A23.5)
?- П28.2)
Мы будем считать, что величинами у,,, —г, —г—; можно прене-
J дх" дх*дх1
брегать сравнительно с единицей; кроме того, мы считаем их ма-
малыми одного («первого») порядка, так что произведениями этих
величин мы будем пренебрегать по сравнению с самими этими
величинами.
*) В качестве попытки в этом направлении см. книгу В. А. Фона,
Теория пространства, времени и тяготения, 2-е изд., М., 1961.
§ 128] ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ 633
Это значит, что мы будем полагать, например,
+Y b и т-
Это будет первое наше упрощающее предположение *).
Коэффициенты связности Г*, вычисляются по формуле
1 li—s l i, i/j (izo.o)
где
Г _'rs" , W/ *'7 "Yli "Yl/ »Yi/\ ,1ОЙ/П
I if — — \ I '— ~ 7* / \ ' \ '• T I * \ iZo.Tl
Ясно, что Vlt ;j в силу наших предположений будут малыми 1-го
порядка. Поэтому в A28.3) можно заменить gkl через gkl, откинув
добавочные члены, которые в произведении с Гг< tj дают малые
величины 2-го порядка. Действительно, так как ghi — ghi~\~4ki-' T0
отсюда легко следует, что gld отличается от gkl тоже на малые
1-го порядка. Итак, сохраняя в A28.3) лишь малые 1-го порядка,
получаем
A28.5)
Выпишем дифференциальные уравнения геодезических
do2^~ l > da da
В силу A28.5) их можно переписать в виде
do* <"de do . R
_n ( 286)
»• U da da ,
Греческие индексы будут пробегать у нас значения 1, 2, 3. При
пространственно-временных измерениях с принятой точностью можно
считать, что х°, х1, х2, х3 имеют смысл ct, х, у, г (см. сноску),
*) Не следует забывать, что равенства, верные с принятой степенью точ-
точности, вообще говоря, нельзя почленно дифференцировать, вследствие этого
мы не возвращаемся к псевдоевклидову случаю, хотя A28.1) с принятой
степенью точности имеет вид
ds* *z - dx * '
21 П. К. Рашевский
534 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
так что согласно F7. 11)
ihfi
da
dx2
da
V
1
с
do = с dt 1
1
1—^
с2
dy
dt
Г
/ ¦
dx>
aa
dx3
da
~~72
l
с
1
c
\
dx_
dt
'- 7
dz_
It
A28.7)
Мы будем предполагать, что скорости движения рассматриваемых в
поле тяготения свободных частиц малы сравнительно со скоростью
света. Более точно, мы будем пренебрегать сравнительно с едини-
единицей квадратами (и произведениями) этих скоростей, отнесенных к
скорости света:
dx dy ^ * и2 ^ Л
В этом будет состоять наше второе (и последнее) упрощающее
предположение. Теперь формулы A28. 7) принимают вид
dx° _ , dx1 I dx dx2 . 1 dy dx3 1 dz
do
cdt' da ^ lj da ~ с dt ' da ~ с ~dt ' da ~ с dt
A28.8)
Имея в виду перейти в дифференциальных уравнениях A28.6) от
d2x"'
аргумента о к аргументу х°, подсчитаем —- по известной форму-
ле замены аргумента:
d-x" dx"
dV
da2 da
d2x° dx"
da2 da
dx°_\3
da)
da2
d2x° dx"
da2 da
dx°
С принятой нами степенью точности мы положили —г- « 1 согласно
A28.8). Вставляя в полученное выражение вторые производные из
A28.6), мы приходим к формуле
d?xa __ _ dx' dx1 dx1 dx1 dx*
~~ "•'¦' da da °'^ da da da '
Так как произведениями скоростей, отнесенных к скорости света, мы
сравнительно с единицей пренебрегаем, то в первом члене правой части
^ I dx"dxt\
исчезают слагаемые с произведениями
[ ^ 2лТлТ )
и сохРа"
§ 128] ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ 635
няются лишь слагаемые, где i = j— 0 или / = 0, /= Р, или / = Р, /= О.
Во втором же члене мы по тем же причинам сохраняем лишь одно
слагаемое, где / = у=0. Итак,
^!fl—_г ^!^!_ог —^-^v dx°dx"dx*
dx02 - l «,00 da d0 lX «,|30 da dn 0,00 da d(} d(J '
Пользуясь A28. 8), A28, 4), получаем окончательно:
дуа0 1 ду00
\ dt
ду?0 \ 1 dx?
дх° 1 г и
с1 dt* \с dt 2 dx"/ \c dt dx? dx'
2c* dt dt
или
ft' _ dyM c2 <3y00 dy^dx^
~di* dt """ ~2 Их* дГЧГ ""
^_^\^1 L^ff!. A28 9)
Таким образом, свободная частица в поле тяготения получает уско-
ускорение, проекции которого на координатные оси выражаются согласно
A28.9). Это ускорение зависит, как мы видим, от местоположения
частицы и от момента времени (так как у,/ СУТЬ Функции л:0, л;1, х2, х3),
а также от ее скорости. Действительно, в правую часть формулы
входят -г- проекции скорости частицы на координатные оси»
Формула A28.9) в явном виде показывает нам, как поле тяго-
тяготения, наблюдаемое с точки зрения данной координатной системы х',
выражается через у,у> т. е. через отклонение метрического тензора от
галилеевой формы gtj.
Запишем теперь в нашей приближенной теории основную ги-
гипотезу A25. 4):
-nTi/=Ri/-~Rgi/. A28.10)
Заметим прежде всего, что это соотношение можно переписать
в виде
RU = — х ( ти — Т TSt/)' A28.11)
где
7 = giJTiJ. A28.12)
21*
636 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
В самом деле, свертывая A28.10) с g'J, мы получаем:
— %T=R — ±Rgi/g'y= -R, A28.13)
так как в четырехмерном пространстве
Вставляя в A28.10) хТ вместо R, мы немедленно получаем A28.11).
Столь же легко и обратно из A28.11) получить A28.10).
Теперь подсчитаем RtJ. Согласно A10.4) мы получаем (пренебре-
(пренебрегая с принятой нами степенью точности произведениями Г):
R ]
ИМ ~ 2 \dxidxi t dxjdxk dxidxk
Далее, свертывая почленно с gu, мы (по тем же соображениям)
gllfag'1,
можем положить gllfag'1, так что
где
д2 , <Э3 , а2 , д2
П = ~^ + ^ + ^ + ^' У = Y«^ • Y) = Y//ff"- A28.15)
Общая схема исследования будет иметь такой вид. Задаемся тен-
тензором Tjj, т. е. распределением и движением масс. Тем самым
нам будет известна правая часть соотношения A28.11) (с принятой
нами точностью g.. заменяем через g[,)- В левую часть вместо Rtj-
вставляем его выражение A28.14) и получаем систему 10 диффе-
дифференциальных уравнений 2-го порядка с 10 неизвестными функциями
Yjj(x°, х1, х2, хг). При некоторых дополнительных предположениях
эти функции могут быть однозначно определены, а вместе с ними
согласно A28.9) определится и поле тяготения. Однако осуществле-
осуществление этой программы в общем виде довольно сложно и требует не-
некоторой специализации координатной системы х'. Поэтому мы огра-
ограничимся стационарным случаем, т. е. предположим, что в простран-
пространстве событий можно выбрать такую координатную систему, с точки
зрения которой массы, порождающие поле тяготения, практически
находятся в покое. Тензор энергии-импульса имеет тем самым
лишь одну координату, отличную от нуля, именно:
7-00 = tic2, A28.16)
§ 128] ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ 637
где \i — плотность масс*). Плотность же импульса и его потока
практически равна нулю, что связано с обращением в нуль осталь-
остальных координат Т;,. Конечно, при этом из закона сохранения энергии-
импульса следует, что плотность \i не меняется с течением времени
и зависит лишь от точки
11 = ц(х\ х2, х3). A28.17)
Естественно считать, что при стационарном распределении масс
порождаемое ими поле тяготения также является стационарным.
Чтобы обеспечить это, мы предположим, что стационарной является
метрика пространства событий, т. е. yt- от времени не зависят:
Y/y^Y/yl*1. x2> **)¦ A28.18)
В таком случае в формуле A28.14) оператор П можно заменить
оператором Лапласа
д1'^ д*^ дх*
так как дифференцирование по х° все равно дает нуль.
Далее, пользуясь обращением в нуль всех ТLj. кроме Гоо = |лс2,
мы подсчитываем:
С принятой нами степенью точности мы заменили здесь: g00 «
да goo _ — \ Теперь, очевидно,
^ (' = /)¦ A28Л9)
Используя теперь A28.11) при / = а (=1, 2, 3), у=0, получаем:
Яссо = О,
или согласно A28.14)
Члены, где имеется дифференцирование по х°, мы отбросили. Диф-
Дифференцируя по х$ почленно и альтернируя по а, (}, получаем:
•) Мы знаем, что Т™ = цс2. Но Twt=
2
638 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
т. е.
= 0. A28.20)
Мы будем считать, что массы, порождающие поле тяготения,
расположены в некоторой ограниченной области пространства.
В таком случае естественно предположить, что у,/ вместе со своими
частными производными стремятся к нулю в бесконечности, что
обеспечивает нам исчезновение поля тяготения в бесконечности. Иска-
Искажение евклидовой метрики, вызванное присутствием масс, ослабевает
по мере удаления от них, и в очень удаленных областях координаты х'
являются практически галилеевыми. Это допущение вполне оправдано
с точки зрения приложений. Так, например, поле тяготения солнеч-
солнечной системы практически исчезает в удаленных областях пространства
(однако не столь удаленных, чтобы начало сказываться поле тяготе-
тяготения ближайших звезд). В идеализированном виде, отвлекаясь от
поля тяготения звезд, мы можем рассматривать, следовательно, поле
тяготения, исчезающее в бесконечности.
Считая, что у-,, —'— при г —> оо стремятся к нулю (г =
' дх*
*= к х1*-\-х2*-\- х3"), можно утверждать, что уравнение Лапласа
A28.20) допускает лишь нулевое решение, и мы получаем:
Используем теперь A28.11), A28.19) при i—J=0. Получаем:
Rao =—у цс2, откуда, сравнивая с A28.14) при /=& = 0, имеем
х
(все дифференцирования по х° дают нуль). Полученное здесь урав-
уравнение Пуассона для уоо имеет, как известно, решение
Yoo(*1, X2, х3) = ^ JJJ Г**1.!/*, У3) dyl dy2 dy3} A28.22)
где р = У {х1 — г/хJ + (х2 — i/2J + (x3 — у3J, а интеграл распростра-
распространен по области распределения масс. При наших предположениях
(Yoo—*" 0 ПРИ г—*00) это решение будет единственным. Рассмотрим
теперь поле тяготения, отвечающее данному распределению масс.
Прежде всего перепишем формулу A28.9) для стационарного случая
вообще (когда у,у не зависят от t). Получим;
- A28-23)
§ 129] ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 639
Пользуясь A28.21) и A28.22), получаем окончательно:
Остальных у,/, не играющих роли для поля тяготения, мы вычис-
вычислять не будем.
Мы замечаем, что ускорение частицы в поле тяготения будет
в точности таким же, как и в ньютоновой теории, если выбрать
константу х (до сих пор не определенную) из условия ^-—k, т. е.
положить:
A28.25)
где k — ньютонова гравитационная константа. В таком случае
дает ньютонов гравитационный потенциал, и A28.24) есть основная
формула ньютоновой теории тяготения.
Итак, общая теория относительности в рассмотренном нами
первом приближении приводит к ньютоновой теории тяготения. Те-
Теперь мы отказываемся от приближенной точки зрения и переходим
к точной теории, которая приводит уже к несколько иным резуль-
результатам. Однако фактически проинтегрировать уравнения A25.4), т. е.
найти метрический тензор g^ по тензору энергии-импульса Г,у,
удается лишь в исключительных случаях (в левых частях урав-
уравнений A25.4) мы должны представлять себе R(J выраженными
dgi/ d2gif
через g,,, —j- ,—-—г > так чт0 У нас будет 10 уравнений с
1 дх* дх" дх1
частными производными 2-го порядка относительно 10 функций
gtt (*», х\ х\ Xs)).
В дальнейшем мы будем заниматься лишь одним, правда, очень
важным случаем, когда поле тяготения создается массами, сосредо-
сосредоточенными в малой области, так что поле тяготения за пределами
этой области естественно считать центрально симметрическим. Оче-
Очевидно, сюда относятся поля тяготения, создаваемые отдельными
небесными телами.
§ 129. Центрально симметрическое поле тяготения
Мы предположим, что в пространстве событий можно выбрать
такую координатную систему у' (как всегда у нас, близкую к гали-
леевой), что соблюдаются следующие условия.
640 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. X
1°. Метрическая квадратичная форма ds2-~g[.dyidy1 будет ин-
инвариантной относительно всевозможных ортогональных преобразо-
преобразований над координатами у1, у2, у3 при неизменной у0.
2°. Координаты метрического тензора gtJ не зависят от времени,
т. е. от у0
hj=itj(y\ у2, у3),
так что поле тяготения стационарное. При этих двух условиях
поле тяготения мы будем называть центрально симметрическим.
Гиперповерхности у0 = const мы для наглядности будем рас-
рассматривать как обычные евклидовы пространства, отнесенные к пря-
прямоугольным декартовым координатам у1, у2, у3. Соответствующая
евклидова метрика будет играть у нас вспомогательную роль и с
«настоящей» метрикой гиперповерхности не совпадает. Введем вместо
«прямоугольных декартовых» координат у1, у2, у3 «полярные» коор-
координаты х1, х2, Xs, где х1 — полярный радиус:
хг=-к — 9, где 9 — широта, х3 — <р, где ср — долгота. При этом г,
9, ср определены обычным образом относительно вспомогательной
евклидовой метрики, так что
у1 = х1 sin x% cos л;3, у2 = х1 sin x2 sin х3, у3 = х1 cos.*;2.
Положив еще х° = у°, мы переходим в пространстве событий к
координатам х°, х1, х2, х3.
Квадратичная форма
ds2 = g[j dx' dx1
согласно условию 1° должна оставаться инвариантной, когда в
каждой гиперповерхности х° = const производится одно и то же
(произвольное) «вращение» около начала О. В дальнейшем под
вращениями мы понимаем «вращения» именно этого рода.
Пусть М (хм, Хм, хм> хм)— произвольная точка одной из этих
гиперповерхностей; в каждой из гиперповерхностей х° — const ей
отвечает точка М' {хом, хм> х%, х3м) с теми же значениями х1, х2, х3.
Производим вращение вокруг прямой ОМ в этой гиперповерхности
и одновременно такие же вращения вокруг соответствующих пря-
прямых О'М' в каждой гиперповерхности х°= const.
Рассмотрим в точке М двумерные направления dx° = dx1 = 0 и
dx2 = dx3 = 0. Первое из этих направлений, очевидно, касается
двумерной сферы х° = хм, х1 = Хм, описанной в гиперповерхности
§ 129] ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 641
хй = Хм из начала О как из центра и проходящей через М. При
вращении вокруг ОМ эта сфера скользит по себе и первое дву-
двумерное направление вращается в себе самом. Второе двумерное на-
направление касается двумерной поверхности х2 = хм, х3 = хм— гео-
геометрического места осей вращения О'М' (взятых по одной в каж-
каждой гиперповерхности х° = const). В процессе вращения это дву-
двумерное направление тем самым остается неизменным; более того,
все принадлежащие ему векторы остаются неподвижными. Последнее
видно из того, что в процессе вращения л:0, х1, а значит, и dx°,
dx1 не меняют своих значений.
Каждый неподвижный вектор второго двумерного направления
в процессе вращения сохраняет постоянный угол (точнее, постоянное
скалярное произведение) с вращающимся вектором первого двумер-
двумерного направления. Но это возможно лишь в случае ортогональности
неподвижного вектора ко второму двумерному направлению. В ре-
результате оба двумерных направления будут взаимно ортогональны,
что равносильно тому, что в метрическом тензоре
tfo. = tfo. = tfi2 = tfi« = O *). A29.1)
Тем самым метрическая квадратичная форма имеет вид
ds*=g00 dx°2 + 2g01 dx* dxl + gll dx1'+
+ gM tf! + 2fi, dx2 dxs + g3S dxs*. A29.2)
В частности, на двумерной сфере л:0 = const, x1 = const:
* t A29.3)
При всевозможных вращениях сферы эта квадратичная форма дол-
должна оставаться инвариантной. Но инвариантной остается при этом
и форма
dx22 -f slrfx^x9*, A29.4)
совпадающая с первой квадратичной формой на единичной сфере
обычного пространства I напомним: х2 = -s- —9, л:3 = ф ). Отношение
форм A29.3) и A29.4), которое мы обозначим k, зависит лишь от
линейного элемента на сфере (х2, х3, т-^ J. Но так как обе формы
инвариантны при вращениях сферы, а вращения способны переводить
любой линейный элемент сферы в любой, то k представляет собой
*) Так, например, got —0 означает ортогональность бесконечно малого
вектора dxo = dx1 = dx3 = 0, dx2 Ф О в первом двумерном направлении к век-
вектору dx° Ф О, dx1 = dx2 = dx3 = 0 — во втором двумерном направлении.
642 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
для данной сферы константу. В результате
, A29.5)
где k может зависеть лишь от дг°, х1. Но так как по нашему пред-
предположению gif от хй не зависят, то
k = k(x1). A29.6)
Теперь в A29.2) последние три слагаемые имеют вид A29.5), и их
сумма при вращениях остается, очевидно, инвариантной (равно как и
вся форма A29.2)). Тем самым сумма и первых трех слагаемых ос-
остается инвариантной, а так как, кроме того, dx°, dx1 инвариантны
по отдельности, то коэффициенты g00, g01, glt также должны оста-
оставаться инвариантными *). Тем самым они не могут зависеть от х2,
х3, а значит, зависят только от х1. Мы получаем:
'2
g00 (xl) dx°2 + 2g01 (x1) dx4xl + gll (xl) dx'2
(x1)(dx22+sin2x2dxs2). A29.7)
Мы можем упростить это выражение, изменив начальный момент
отсчета времени в разных точках пространства по-разному, а именно,
первые три члена можно переписать в виде
Положим:
В таком случае (обозначая х0' снова через л:0) мы можем переписать
A29.7) в виде
gxl — ^)dxl2 + k(x1)(dx22 + sm2x2dxs2). A29.8)
Если бы мы имели дело с пространством специальной теории отно-
относительности, то у нас было бы
ds2= —dxl>z + dxl2 + xlZ(dx2Z + sm2x2dx32). A29.9)
Действительно, то, что добавляется к —dx° , представляет собой
метрическую квадратичную форму обычного пространства в полярных
координатах.
По нашим общим предположениям коэффициенты формы A29.8)
лишь немного отличаются от коэффициентов формы A29.9).
*) Учитывая, что сумма первых трех слагаемых остается инвариантной
при произвольных dx°, dx1.
§ 129] ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 643
В частности, функция k (х1) близка к л:'2. Можно добиться и их
полного совпадения, если ввести вместо х1 новую координату
х1' ^УЦх1).
Мы не нарушаем при этом никаких предположений, сделанных в на-
начале этого параграфа. Теперь A29.8) примет вид
ds2 = I {x1) dx°2 + h (x1) dxl* + x1* (dx* + s\n2x4xsZ),
где хх' обозначено просто через х1, а I (х1) и h (x1) — некоторые
его функции (явным выражением которых мы не интересуемся).
При этом / (л:1) близко к—1, a h^x1) — к 1, так что мы будем писать
их в виде
где v(a;1), X (х1) близки к нулю. Итак,
dsa = — e'dx0* + еЫхл* + х1* (dx2* + sin*x2dx3l!). A29.10)
Отсюда
v _ х ,_ xi2 I2 • 2 2
остальные g-^ = 0.
iiQ __ у 11 —X 22 34
ЛС1
Подсчитывая Г*- по обычным формулам, получаем:
Hi= у, r?o = Y' П3= — sin^2cos^2(
ri— _rV-x rl-v'<»1>-k Г2— Г3— -1 )" A29.11)
1 22 — ¦* с > ' 00 — "о" е 1 х 12 — 1 13 „1 > I
остальные Г^=0.
Теперь, пользуясь формулой A05.8):
и производя свертывание по индексам i, #, находим тензор Риччи:
Так как тензор Риччи Rki вместе с метрическим тензором должен
быть инвариантен при рассматриваемых нами вращениях, то
644 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
совершенно аналогично предыдущему (формулы A29.1)) получаем:
Яо2 = Яоз = #12 = #1з = О, A29.12)
а также убеждаемся, что квадратичная форма
2R23dx2dx3
должна иметь вид
с точностью до скалярного множителя. Это значит, что
#33 = R22sin*x\ /?23 = 0. A29.13)
Пользуясь A29.11), подсчитаем теперь отличные от нуля координаты
тензора R^. Получаем:
Что же касается /?01, то подсчет показывает, что R01 = 0.
§ 130. Центрально симметрическое поле тяготения (окончание)
Мы предположим теперь, что тензор энергии-импульса Ttj отли-
отличен от нуля лишь в некоторой узкой «трубке», окружающей ось х°,
т. е. при условии х1^.г0, где г0 — некоторая постоянная. За пре-
пределами же этой «трубки» T/j равен нулю:
Г,., = 0 при xl>r0. A30.1)
С точки зрения физической системы отсчета, в которой мы нахо-
находимся, это значит, что массы, порождающие поле тяготения, распо-
расположены в сфере радиуса га с центром в начале координат, за пре-
пределами же этой сферы отсутствуют. Внутри сферы распределение
масс должно быть, конечно, центрально симметрическим (поскольку
тензор Тц обладает этим свойством). Получается картина, близкая
к полю тяготения, порожденному одним небесным телом (Солнцем,
звездой или планетой).
Это поле тяготения будет интересовать нас лишь за пределами
самого небесного тела, т. е. при условии х1 > /"„. В таком случае
Tif = 0, а это согласно A28.11) и A28.10) равносильно тому, что
R.j=0. Чтобы удовлетворить этому требованию, мы должны при-
§ 130] ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 645
равнять нулю три выражения A29.14). Тогда /?33 обратится в
нуль в силу A29.13), а остальные Rif и без того равны нулю. Мы
приходим к дифференциальным уравнениям:
A30.4)
Итак, для того, чтобы метрика A29.10)
* * * * A30.5)
удовлетворяла условию отсутствия масс, 7,-у = 0, при х1 > г0, необ-
необходимо и достаточно, чтобы функции v (x1), Я (л:1) удовлетворяли
(при хх > г0) выписанной выше системе дифференциальных уравнений.
Эту систему нетрудно проинтегрировать. Складывая почленно
первые два уравнения, мы приходим к соотношению
v'+A.' = 0. A30.6)
Третье уравнение дает теперь
т. е.
откуда
г1»-*1 = х1 4- а
где а—некоторая константа. Окончательно
а
1 I « „А
= 1 4- —. > е =
1 v-l
х1 1+-' A30.7)
Из A30.6) следует, что v от —к отличается лишь постоянным
слагаемым, а следовательно, ev от е~х лишь постоянным множителем:
A30.8)
Множитель С близок к единице, поскольку близки к единице вели-
величины е" и ех. Вставляя A30.7), A30.8) в A30.5), мы относим мно-
множитель С к dx°2 и принимаем для простоты У Сх° за новую
646 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
координату х°. Тогда A30.5) принимает вид
ds2 — — ( 1 -f 4-)dx°2 -) 1- лг'2 (dx%t + sin2 x2 dx3"). ,.„„„,
V T*V i ,_e_ A30.9)
Такой вид имеет метрика в случае центрального симметрического
поля тяготения в области хх > г0, свободной от грквитирующих
масс. Теперь окончательно
<?v = <Гл=1+?- , v=—Я. A30.10)
Из уравнений A30.2), A30.3) мы использовали лишь их следствие
A30.6), однако найденные нами функции v (лг1), X (х1) удовлетворяют
этим уравнениям, как показывает непосредственная проверка.
Константа а зависит от той суммарной массы да, которая сосре-
сосредоточена в окрестности начала (в области х1 ^ г0) и порождает
рассматриваемое поле тяготения. Зависимость между а и да можно
найти из следующих соображений. Рассмотрим метрику A30.9) при
очень больших х1. Тогда коэффициенты при dx°2, dx1 очень мало
отличаются соответственно от—1,1 и метрика почти не отличается
от псевдоевклидовой. В таком случае мы имеем право применять выводы
приближенной теории § 128 для стационарного случая, в частности,
формулу A28.23). Для этого нужно было бы вернуться от наших
координат jc1, л:'2, л:3 (приблизительно полярных) к координатам
У1, У2, У3 (приблизительно прямоугольным декартовым). У нас, как
видно из A30.9), ga0 = 0. Это равенство сохраняется, очевидно,
при любом преобразовании «пространственных» координат х1, х2, Xs
между собой, в частности, при возвращении к (приблизительно)
прямоугольным декартовым координатам у1, у2, у3. Поэтому в этих
последних уа0= ga0 = 0t и формула A28.23) принимает вид
dt* ~ ду* 2 '
Таким образом, поле тяготения обладает потенциальной функ-
функцией щ?.
Мы знаем, что go0= — 1+Yoo. причем в нашем случае goo =
— —M-f-^-j (так как в A30.9) х1 играет (приблизительно) роль
а
а
полярного расстояния г). Следовательно, Yoo =—у и
Mi^-g!. (i3o.il)
§ 131] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 647
Но согласно приближенной теории мы должны получить ньютонову
km
потенциальную функцию, равную —, где k—гравитационная кон-
константа. Сравнивая с A30.11), получаем:
_ 2km
п- с*~-
Теперь A30.9) принимает окончательный вид
+ 8ln2*»?/*»•); A30.12)
A30.13)
Напомним, что при этом предполагается, что х1 > г0; г0 нужно
„ 2km „
считать не слишком малым, так, чтобы -^— было мало сравнитель-
С Гц
но с единицей и, следовательно, чтобы метрика A30.12) мало отли-
отличалась от псевдоевклидовой.
При выводе формулы A30.12) мы предполагали, что кроме
массы да, сосредоточенной вблизи начала координат, других гра-
витирующих масс нет. Поэтому, применяя формулу A30.12), на-
например, к полю тяготения, порождаемому Солнцем (и пренебрегая
полем тяготения планет), мы можем ею пользоваться лишь до
тех пор, пока не начнет сказываться поле тяготения звезд. Следо-
Следовательно, формулу A30.12) имеет смысл применять хотя и при
очень больших полярных радиусах х1 (сравнимых с расстоянием
до ближайшей звезды), но не при х1—»• оо. И вообще, как ука-
указывалось, мы не предъявляем никаких претензий на установление
геометрических свойств всего пространства событий. Эксперимен-
Экспериментальный материал, которым в настоящее время обладает наука, не
дает еще возможности сделать какие-либо обоснованные выводы в
этом отношении.
В противоположность этой точке зрения многие авторы пыта-
пытались построить геометрию четырехмерного пространства событий в
целом. Лишенные экспериментальной базы, эти попытки представляют
собой лишь фантазии, хотя и облеченные в математическую форму.
§ 131. Геодезические линии в случае центрально
симметрического поля тяготения
Чтобы изучить движение свободной частицы в центрально сим-
симметрическом поле тяготения, нужно найти геодезические линии мет-
метрики A30.12). При этом геодезические линии дают, как мы знаем,
четырехмерные траектории: в случае мнимой длины — для частиц с
648 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
ненулевой массой покоя, а в случае ненулевой длины — для свето-
световых лучей.
Пусть геодезическая линия задана начальной точкой и направ-
направлением в ней. В четырехмерном пространстве событий всегда можно
найти трехмерную «плоскость», уравнение которой имеет вид
А1У1 + Агу» + Ааул=0 A31.1)
(так что «плоскость» проходит через ось у°) и которая проходит
через данную точку и данное направление (здесь у' имеют тот же
смысл, как и в начале § 129). Так как координаты у1, у2, у3 за-
задаются с точностью до ортогонального преобразования, то всегда
можно добиться, чтобы уравнение «плоскости» имело простой вид
Геодезическая, для которой начальная точка и начальное направле-
направление лежат в этой плоскости, и сама в ней лежит. В самом деле,
при зеркальном отражении в пространстве событий, когда
У0 ~* У9, У1 -* У1, У2 —>- У2, у3 —> — у3,
метрика A30.12) в силу ее симметрического характера остается ин-
инвариантной и ее геодезические переходят снова в геодезические.
При этом плоскость г/3 = 0 и лежащие в ней точки с направлением
переходят в себя, следовательно, переходят в себя и определяемые
ими геодезические. Но это при нашем зеркальном отражении воз-
возможно лишь в том случае, если эти геодезические целиком лежат
в плоскости ys = 0.
Итак, геодезические линии метрики A30.12) располагаются в
трехмерных «плоскостях» вида A31.1).
Все эти плоскости равноценны в том смысле, что любую из них мож-
можно перевести в любую ортогональным преобразованием над у1, у2,
у3, причем метрика A30.12) сохраняется и геодезические переходят
в геодезические. Поэтому достаточно изучить геодезические в какой-
нибудь одной из этих «плоскостей». Мы рассмотрим «плоскость»
ys = 0, которая в «полярных» координатах определится, очевидно,
уравнением
x2 = y (т. е. широта 0 = 0). A31.2)
На «плоскости» остаются в качестве координат х°, х1, х3, и
метрика принимает вид
Составим дифференциальные уравнения геодезических, лежащих в
§ 131]
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
649
этой «плоскости». Геодезические, отнесенные к каноническому па-
параметру т, вообще определяются дифференциальными уравнениями
dx'
A31.4)
В нашем случае Гц имеют вид A29.11), причем в силу лг2 = -^- об-
Z,
ращаются в нуль ГЦз и Г|3. Остальные отличные от нуля Г*; мы
перепишем, учитывая, что (согласно A30.10)) v=—X, а также
sin х2 = 1:
i _ bL г° -У* г1 —
11 — О' 110 —' ~О~> Х 22 —
*1 г1 —
! Х 00 — о
Остальные Ff;- = 0.
Выпишем теперь уравнения A31.4) при й=0, 1, 2, 3, причем
будем помнить, что х2 — -^, а следовательно, -^¦=-^zr = i'
т
Получим
= 0,
dV _2 dxi dxa = (
dx2 x1 dx dx
Умножая почленно первое из этих уравнений на е~Х{-
нее на х1', мы приводим их к виду
A31.5)
а послед-
последоткуда
dx\ dx ) ' dx \ dx J '
dx° i2dx3 ,
dx ' dx '
A31.6)
где a, b—некоторые константы (для данной геодезической); мы
будем считать b =Ф 0, оставляя в стороне тривиальный случай ра-
dx*
диального движения частицы. Кроме того, касательный вектор -у-
(при каноническом параметре т) параллельно переносится вдоль гео-
геодезической, так что сохраняет постоянную длину. Обозначим его по-
постоянный скалярный квадрат через С. Так как у нас согласно
A29.10), A30.13)
^оо=— ev=— <?-\ glx = eK, g^=xl\ gsb = xl"sin2хг = xl*
650 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
(остальные gtj равны нулю), то скалярный квадрат вектора -г—
(принимая во внимание, что х2= — , -т- = 0) можно записать в
виде
. /^2 = ^ A31.7)
dxj t \dx J r~
Соотношения A31.6) вместе с A31.7) дают нам все, что нужно
(неиспользованное второе уравнение A31.5) является их след-
следствием). Мы хотим исключить из них т и х°, чтобы получить
дифференциальное уравнение между х1, х3. Исключив х°, т. е.
время, мы переходим к рассмотрению траектории частицы (или
светового луча) в обычном чисто пространственном смысле в коор-
координатах л:1, х2, Xs. Так как при этом х1, х2, Xs играют роль по-
полярных координат в пространстве, то х1, Xs играют роль полярных
координат (х1 = г, х3 — <р) на рассматриваемой нами «экваториаль-
«экваториальной» плоскости а:2=-— (широта 9 = 0). Зависимость между х1, х3
определяет в этой плоскости траекторию частицы (или светового
луча) в обычном смысле слова.
Конечно, хх, Xs лишь приблизительно играют роль обычных
полярных координат, так как метрика рассматриваемой плоскости
лишь приблизительно является евклидовой.
Действительно, полагая в A31.3) х° = const, хг = г, х3 = у,
получаем:
с2 г
dx°
dx°
Возвращаемся к выкладке. Заменяя в A31.7) — через аек и
dx3 b
—г- через -р- (согласно A31.6)), получим:
Деля почленно это уравнение на второе из равенств A31.6), воз-
возведенное в квадрат, получим окончательно:
Это и есть дифференциальное уравнение искомой траектории в по-
полярных координатах х1, л:3 = г, <р в плоскости х2—-^-.
Переходя к обозначениям г, <р и полагая
? = А, ^ = В, A31.8)
§ 131] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 651
получим:
Для выкладок будет удобнее пользоваться обратной величиной по-
полярного радиуса. Мы положим:
г
Тогда, согласно A30.13)
е-* = 1—^1=1 _^1а> A31.10)
и A31.9) принимает вид
'd^Y = A + (\-2^a)(B-^). A31.11)
В это дифференциальное уравнение, связывающее ф, а, входят две
произвольные константы А и В. При этом, как видно из A31.8),
А^О, В^.0. Действительно, скалярный квадрат С вектора —г
будет отрицательным в случае траектории частицы (с ненулевой
массой покоя) и равным нулю в случае траектории светового луча.
Отсюда В<0 в первом случае и В=0 во втором случае.
Мы предпочтем заменить дифференциальное уравнение 1-го по-
порядка A31.11) эквивалентным ему дифференциальным уравнением
2-порядка, исключив при этом одну из произвольных постоянных.
Для этого мы просто почленно продифференцируем уравнение по ф;
аддитивная константа А исчезнет. Получаем:
-.у- ~ , ,. .-~а -2(т^ . A31.12)
dtp V с / V <*Ф/
При обратном интегрировании константа Л появляется снова. При
этом, если учесть, что В<С.О, то из самого вида уравнения A31.11)
следует, что А^О.
Итак, дифференциальные уравнения A31.11), A31.12) действи-
действительно эквивалентны. Деля A31.12) на 1-^ почленно, получаем:
A31.13)
Все случаи сг= const, которые мы как будто потеряли, сокращая
на -з^, мы полностью находим среди решений уравнения A31.13),
подбирая В так, чтобы правая часть была равна 0 (при а= const).
Поэтому вопрос полностью сводится к интегрированию уравне-
уравнения A31.13).
652 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
§ 132. Вращение планетных орбит
Мы знаем, что В-^.0. Рассмотрим особо случай, когда В < О,
т. е. когда в центрально симметрическом поле тяготения движется
частица, обладающая ненулевой массой покоя. Сюда относится, на-
например, движение планет в поле тяготения Солнца. Обозначая
с
-ШВ=Р>0' * = lr. A32.I)
перепишем A31.13) в виде
Рг=^— — сг-г-ао-2. A32.2)
Член асг2 весьма мал вследствие малости коэффициента а. Если его
откинуть, то мы получаем дифференциальное уравнение
^2 = — — сг, A32.3)
иф р
вытекающее из ньютоновой теории тяготения. Таким образом, уточ-
уточнение, вносимое здесь теорией относительности, заключается в по-
появлении дополнительного члена асг2.
Мы будем интегрировать уравнение A32.2) приближенно. В ка-
качестве первого приближения мы берем решение уравнения A32.3),
которое обозначаем а0(ф). Очевидно,
°о (ф) = —Ь ^ cos ф -f- M sin ф,
где L и М—произвольные постоянные. Поворотом полярной оси
всегда можно добиться, чтобы M=Q, L > 0, и тогда, обозначая
Lp через е, получаем:
A32.4)
Так как о — — , то полярное уравнение траектории будет:
г^т-т1 , A32.5)
1+е cost})
т. е. мы имеем коническое сечение с фокусом в начале, эксцентри-
эксцентриситетом е и параметром р.
Переходя ко второму приближению, ищем решение уравнения
A32.2) в виде
При этом добавку а1 (ф) в решении, возникающую за счет малой
добавки асг2 в уравнении, считаем весьма малой сравнительно
с сго(ф). Вставляя а = о0-\-о1 в A32.2) и учитывая, что ст0
§ 132] ВРАЩЕНИЕ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ 653
удовлетворяет уравнению A32.3), получаем:
Пренебрегая внутри круглой скобки ох сравнительно с а0, мы при-
приближенно ищем o"j из уравнения
которое перепишем в развернутом виде:
+ °"i = ~2 О + 2<? cos Ф + е2 cos2 Ф) =
^( ). A32.6)
Предположим, что из скобки выкинут член 2есозф. В таком случае,
как следует из элементарных выкладок, решение сг1 будет периоди-
периодическим (с периодом 2я), так что уточненная орбита планеты остается
замкнутой (мы предполагаем, что е < 1, так что орбита, рассматри-
рассматриваемая в первом приближении A32.5), представляет собой эллипс).
2ссв
Что же касается члена —усоэф в правой части A32.6), то ему
отвечает непериодическое частное решение
/уд
<Мф)=^гфЯПф. A32.7)
Мы будем учитывать только эту добавку к первому приближению
сг = о(ф), так как только она нарушает замкнутый характер орбиты,
что выражается, как можно считать, в медленном вращении орбиты
в ее плоскости. В самом деле, уточненная орбита согласно сказан-
сказанному имеет вид
A +?СОЯ)+
Мы произвели замену по приближенной формуле совф — Дс}. sin ф л?
« сов(ф + Аф), считая Аф= ф весьма малой величиной. Мы
видим, что теперь прежнее значение о" будет повторяться не при
полном обороте полярного радиуса, т. е. не при увеличении ф на
2гс, а при повороте на немного больший угол, именно на угол
a
P
654 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
Это можно понимать в том смысле, что за время обхода планетой
своей орбиты сама орбита успевает повернуться в том же направ-
направлении на угол
е=—. A32.8)
Этот угол (весьма малый для планет солнечной системы) соста-
составляет наиболее заметную величину для Меркурия; его значение,
предсказываемое теорией относительности, хорошо согласуется
с опытом. Заметим еще, что, прибавляя а1 (ф) к сг0 (<р), мы отки-
откинули периодическую часть сг1(ф), но ввиду малости аг (ф) сравни-
сравнительно с о (ф) это дает при подсчете угла е весьма малую отно-
относительную ошибку, которой мы пренебрегаем.
§ 133. Искривление световых лучей в поле тяготения
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение A31.13) в слу-
случае В—О, когда оно определяет, как мы знаем, траектории све-
световых лучей:
d2o . „ 3km ,.„„ ,.
^р=— ст + ao-2, где a = -^-. A33.1)
В порядке первого приближения мы отбрасываем член асг2 и инте-
интегрируем дифференциальное уравнение
Получаем:
сг0 (ф) = L соэф-т-уИвтф, A33.2)
где L и М—произвольные постоянные. За счет поворота поляр-
полярной оси нетрудно добиться, чтобы решение имело вид сг0 (ф) =
, L > 0, или, полагая /? = у-,
0-0(9)=^- A33.3)
1
= — , ТО СООТВ(
рии будет:
Так как сг = —, то соответствующее полярное уравнение траекто-
\____ R
О0(ф) COS<p '
Мы получаем «прямую», проходящую на расстоянии R от начала
координат. Точнее, полученная траектория была бы прямой, если
бы г, ф были полярными координатами на обычной евклидовой
плоскости.
§ 133] ИСКРИВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 655
Итак, в первом приближении световой луч распространяется
«прямолинейно».
Переходя ко второму приближению, ищем решение дифферен-
дифференциального уравнения A33.1) в виде
Вставляя это приближение в уравнение A33.1), получаем:
Как и в §132, считаем добавку а1 малой сравнительно с о0— глав-
главной частью решения, так что пишем полученное дифференциальное
уравнение в виде
d2o, , ,
_i=_ai + aoS,
т. е.
(Ра! a cos2 ф
Решение этого уравнения будет:
°Ч = з7Г2П + зтаф). A33-4)
Правда, мы выписали здесь лишь частное решение; но члены вида
Л cos ф-f-??sin ф (Л, В — произвольные постоянные), которые нужно
присоединить сюда, чтобы получить общее решение, мы объединяем
с а0 = -д-со8ф. При добавлении к о0 этих членов решение сохра-
сохраняет вид A33.2), траектория остается «прямолинейной» и испыты-
испытывает лишь весьма малое смещение и поворот (ввиду малости добав-
добавляемых членов). Искривление светового луча в поле тяготения,
которое сейчас нас интересует, происходит, следовательно, лишь
при добавлении частного решения A33.4). Поэтому мы этим част-
частным решением и ограничимся*). Итак,
з^A + 8щ2ф). A33.5)
„ coscp
В случае сг = —^- мы имеем прямую линию, причем когда мы про-
,~ „ я , я
бегаем ее, полярный угол ф меняется от—¦_- до + ~о" > так чт0 п°-
лярный радиус поворачивается на угол п. Значения ф=±-~- дают
сг=О, т. е. г—оо, и определяют направления, параллельные нашей
прямой. Переходя к траектории A33.5), мы вносим в уравнение
*) Несколько более детальный подсчет показал бы, что мы делаем при
этом весьма малую относительную ошибку в окончательном результате.
656 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
дополнительный член ^^ О + sin2 ф), вызывающий ее искривление
(весьма малое ввиду малости этого члена). Теперь, когда полярный
угол ф достигает значения у, а еще остается положительным
(хотя и будет очень малым), так что кривая еще не уходит в бес-
бесконечность. Это происходит при дальнейшем (весьма малом) уве-
COS ф
личении угла ф, когда д принимает отрицательное значение,
уничтожающееся в сумме с добавочным членом. Пусть -к-+8 (где б
весьма мало) будет значение ф, при котором сг = 0, /¦= оо, и кривая
уходит в бесконечность. Подставим в A33.5) Ц> = -^-\-Ь, причем в
добавочном члене мы полагаем sin ( -75—1— б ) == 1 ^+...«1, пре-
\ z j 2.
небрегая весьма малой величиной о2 сравнительно с единицей.
Получаем:
R "•" ЗД2 ~ Д ^ ЗД2 •
Отсюда
A33.6)
Итак, при ф—>--^"+8 и, в силу симметрии относительно поляр-
ной оси, при ф—5 - б кривая уходит в бесконечность. Нетрудно
показать, что при этом кривая имеет асимптоты: проекция s
полярного радиуса г на полярную ось, повернутую на угол б, при
ф—>-—-}-б стремится к конечному пределу (что легко получается
по правилу Лопиталя). Тем самым имеется одна асимптота, идущая
под углом -jj- + б к полярной оси и, конечно, вторая, симметричная
с первой. Таким образом, наш световой луч приходит из бесконеч-
бесконечности, имея первоначальное (предельное) направление под углом
у—б к полярной оси, и уходит в бесконечность под углом
¦K-+S (разумеется, практически имеется в виду луч, идущий из
одной достаточно удаленной точки в другую, тоже достаточно
удаленную). Уклонение луча от первоначального направления состав-
составляет, таким образом, угол
2б~
§ 134] КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 657
Когда идущие от звезд лучи проходят вблизи Солнца, т. е. в сильном
центрально симметрическом поле тяготения, действительно наблю-
наблюдается отклонение лучей от первоначального направления, достаточно
хорошо согласующееся с полученной формулой (такие наблюдения
возможны при солнечных затмениях).
§ 134. Красное смещение спектральных линий. Заключение
Есть еще третий случай, когда отклонения от ньютоновой теории,
предсказываемые теорией относительности, доступны опытной про-
проверке, несмотря на свою малую величину.
Пусть в центрально симметрическом поле тяготения A30.12)
из некоторой точки Мх с полярным радиусом х1 = гх и в момент
времени х\ подается световой сигнал, который принимается затем
в точке уИ2 с полярным радиусом х* — г2 и в момент времени х\.
При этом мы будем считать, что гх сравнительно мало, так что
точка Мх находится вблизи гравитирующей массы т, а г2, наобо-
наоборот, очень велико, так что в точке М2 наше поле тяготения фак-
фактически не ощущается. Ввиду стационарного характера ноля ясно,
что, если повторить сигнал спустя некоторое время, он будет
распространяться в точности таким же образом, как и в первый раз.
Если второй сигнал был отправлен после первого спустя время Адг°,
то он и принят будет после первого спустя время Ддг°.
Теперь необходимо обратить внимание на то, что дг°, как мы
знаем, лишь приблизительно играет роль времени ct, поскольку мы
находимся в координатах, лишь близких к галилеевым, но не
галилеевых (л;0 — «среднее» или «мировое» время). Координата л;0
практически будет совпадать с временем с/, если мы перейдем
в локально галилеевы координаты, что можно сделать лишь по
отдельности в окрестности точки Мх и в окрестности точки М2.
Пусть х° — локально галилеева координата а окрестности точки Мх.
В таком случае dx° должно входить в ds2 с коэффициентом—1,
а для этого мы должны положить, как видно из A30.12): dx° =
= йлг° 1/ 1 j—?а dx° i\ ^—], откуда следует аналогичное
соотношение и для приращений: Дл":0 « Адг° ( 1 — ). Обозначая
через tx время в локально галилеевых координатах в окрестности уИ,,
/ kffJ ^
так что Xй = ct-,, мы получаем, следовательно, cAtx = Ад:0 1 5—
\ с ri/
Аналогичную формулу мы пишем и для времени t2 в окрестности М3
с заменой гх на г2; но ввиду того, что г2 очень велико, мы полу-
получаем: сА^2 = Дл:0. Отсюда следует: А/а « ^- ~ Д*х ( 1 +-^~ 1,
1 —=— ^ с ги
658 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. X
т. е. «истинное время» между двумя сигналами в месте приема ока-
bffi
зывается длиннее, чем в месте отправления в отношении l+~j~~
Частота колебаний v, отвечающая данной спектральной линии
данного химического элемента, будет одной и той же в любом месте
пространства, если, конечно, при ее подсчете пользоваться «истин-
«истинным временем», т. е. временем в локально галилеевых координатах
в том месте, где происходит излучение (в нашем случае в окрест-
окрестности точки Mj). Но при приеме светового сигнала в точке М2
продолжительность одного колебания увеличивается, как мы видим,
. . km
в отношении i+-g—, а следовательно, частота в том же отноше-
отношении уменьшается. В результате все спектральные линии наблюдаются
сдвинутыми к красному концу спектра, причем величина сдвига
точно предсказывается. Практически такое положение вещей имеет
место, когда свет испускается с поверхности звезды, создающей
сильное поле тяготения, а принимается на Земле, где это поле
тяготения практически равно нулю (поле тяготения самой Земли
создает при этом обратный эффект, но он слишком слаб, чтобы
его следовало принимать во внимание). В этом случае предсказания
теории также находятся в достаточно хорошем согласии с опытом.
В последние годы явление красного смещения было установлено
и в земных условиях (применение «эффекта Мёссбауэра»).
Как мы уже указывали, теория относительности, связывая про-
пространственно-временную геометрию с распределением и движением
масс, делает тем самым существенный шаг в сторону физической
расшифровки понимания пространства и времени как форм суще-
существования материи.
Само собой разумеется, что этот принцип далеко не исчерпы-
исчерпывается тем, что дает теория относительности, и дальнейшее разви-
развитие науки будет с новых и новых сторон раскрывать его физиче-
физическое содержание. Возможно, что и сам четырехмерный пространст-
пространственно-временной континуум с его геометрическими свойствами
окажется в конечном счете образованием, имеющим статистический
характер и возникающим на основе большого числа простейших
физических взаимодействий элементарных частиц. Но, конечно,
подходы к этому вопросу должны носить совсем иной характер,
поскольку они должны базироваться на квантовой механике — теории
совершенно иного стиля, чем теория относительности.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 212, 218
Аксиома параллелограмма 86
— размерности 93
Алгебра тензорная 20 — 25, 114 — 123
Альтернация 29, 42, 122
Анализ тензорный 448
Аффинор 16, 111
— деформаций 61
— единичный 19
— кососимметрический 161
— напряжений 64
•— симметрический 34, 161
— скоростей деформаций 58
Бианки — Падова тождество 532
Бивектор 26, 129, 469, 592
— единичный 548
— направляющий 131
— простой 129
Валентность тензора 13, 15, 20, 114
Вектор 9, 10, 85
— в данной точке многообразия 369
— в римановом пространстве 471
•— геодезического смещения 435
— градиент 469
— единичный 167, 476
— изотропный 162, 167, 179, 194
¦— касательный единичный 282
—, — к кривой 280, 371, 391
— — мнимоединичиый 282
— — многообразия 369
— мнимоединичный 170, 476
— нуль 87
— обратный 87
— плотности тока, четырехмерный
302
— энергии-импульса 296
Векторы линейно зависимые 92, 136
— — независимые 92, 137
— направляющие 126, 139
Вес относительного инварианта 135
тензора 237
Внутренняя геометрия 391
Вращение ортонормированного ре-
репера 182
несобственное 184, 185
— — — собственное 183, 192
— псевдоевклидовой плоскости 187
— собственное 203
— тривиальное 200
Вырождение метрики 158
Вычитание векторов 90
Галилеевы координаты 615
Галилея принцип относительности
260
Гаусса первая квадратичная форма
553
— уравнения 583, 584
Геометрия аффинная 85
— аффинной связности 407
— Лобачевского 393, 403
— неевклидова 393
— риманова 391
— — сферическая 400
— — эллиптическая 400
Гиперконус изотропный 197, 198, 394
Гиперплоскость 106, 128, 163, 197
— изотропная 163
—, касательная к гиперсфере 395
— неизотропная 163
Гиперповерхности геодезически па-
параллельные 491—497
Гиперповерхность 109, 374
Гиперсфера 393
— вещественного радиуса 394
— геодезическая 496
— мнимого радиуса 399, 401
Градиент скалярного поля 51, 460,
469
Группа автоморфизмов 216
— аффинная 214
— движений 188, 219
— квазивращений 240
— квазидвижений 217
660
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Группа однотранзитивная 211
— преобразований 211
— — аффинных 214
— — квазиаффинных 213
— спинорная 243, 248
Движение 218
— в псевдоевклидовой плоскости 187
— материальной точки 283
— несобственное 187, 203, 207, 219
— собственное 187, 203, 207, 219
Деривационные формулы 580
Диада 118
Дивергенция 55, 469
— аффинерного поля 78
— полного тензора энергии-импуль-
энергии-импульса 326
— тензора 326, 327
Динамика точки 291 — 298
Дирака волновое уравнение 332
Дифференциал абсолютный тензора
49, 152, 448, 454, 455
—, второй альтернированный
512, 513
— смешанного 572
—, второй альтернирован-
альтернированный 575
—ковариантный 455
Дифференцирование абсолютное 151,
448, 461—466
Длина вектора 155
•— дуги кривой 281
— кривой 386
— отрезка 148
Закон взаимосвязи массы и энергии
292
— инерции квадратичной формы 173
— Ньютона второй 292
— сохранения импульса 326
энергии 324
энергии-импульса 326
Изоморфизм 174
— аффинный 212
— многообразий 381
— пространств аффинных 212, 213
евклидовых 218
Инвариант абсолютный 31
— относительный 28, 31, 135
— — знакопостоянный 144
— спинтензора 244
— тензора 34
Индекс евклидова пространства 173
— свободный 99
|— суммирования 99
Касательная 470
— к кривой многообразия 371
— прямая 280
Квадрат вектора скалярный 155, 193
— m-вектора скалярный 227
Квазивращение 239
Квазидвижение 217
Кинематика теории относительности
283—291
Конус изотропный 195
Конформное отображение 603
— соответствие 399
Координаты аффинные 97
— — вектора 95
— аффинора 17, 112
— вектора ковариантные 160
контравариантные 179
— галилеевы 615
— геодезические в точке 427
— — вдоль кривой 431
— криволинейные 337, 352
— линейного геометрического объек-
объекта 234
¦— локально галилеевы 618
— полугеодезические 498
— римановы 559
— тензора 13, 15, 20, 106, 108—
110, 114, 343
кривизны 544
— точки арифметического простран-
пространства 336
Косинус угла между двумя напра-
направлениями 604
Кривая 279, 376, 381
— вещественной длины 281, 386
— в многообразии 369
— в римановом пространстве470—485
— изотропная 281
— мнимой длины 281
— нулевой длины 281
— основного типа 473
¦— стационарной длины 489
— уплощенная 473
Кривизна 509
— кривой 480, 481
— пространства 509
— риманова пространства 551
— скалярная 546
Кручение 481
Лагранжа уравнения 506
Лапласа оператор 81, 469
Линия геодезическая 415, 475, 485—
491, 647 — 651
— координатная 340
— прямая 128, 221
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
661
Лобачевского геометрия 393, 403
Лоренца формулы 271
Максвелла уравнения 307
Матрица ортогональная 11, 201
— псевдоортогональная 205
— унимодулярная 242
— эрмитова 253
Матрицы взаимно обратные 100
т-вектор 133
m-вектор простой 133, 148, 149
m-векторы плоскости направляю-
направляющие 139
т-ковекторы 140
Метрика вырожденная 162
— собственно риманова 399
Многообразие 359, 363
¦— п-мерное 378
— реперов 210
— элементарное 360
Навье — Стокса уравнения 81
Наименьшего действия принцип 508
Направление аффинора собственное
35
— двумерное 133, 529
— т-мерное 140
Напряженность поля 51
Невырожденности условие 154, 158
Нормаль к гиперповерхности 389,
571
кривой 476
Ньютона второй закон 292
Ньютонов гравитационный потен-
потенциал 639
Ньютонова гравитационная кон-
константа 639
Область 336
Объект геометрический линейный 234
— — — центроаффинный 236
— дифференциально-геометрический
класса два 349
— связности 349, 355, 408
— центроаффинный 236, 237
— центроевклидов 240
Объем в аффинном пространстве 144,
226
— в евклидовом пространстве 224
римановом пространстве 405
— параллелепипеда 226
Одновременность событий 275, 287
Однородность аффинного простран-
пространства 214
— евклидова пространства 219
Окружность в псевдоевклидовой пло-
плоскости 180, 181
— вещественного радиуса 181
— мнимого радиуса 181
— нулевого радиуса 181
Опускание индекса 159
Ориентация m-мерной плоскости
141 — 143
— репера 142, 184—186
Ортогональность векторов 155
— плоскостей 165
Орт 9, 169, 171
Остроградского теорема 73 — 78
Относительности теория общая 258
специальная 258
Отрезок 146
¦— вещественной длины 156
— нулевой длины 156
— чисто мнимой длины 156
Параллелепипед бесконечно малый
404
— координатный 404
— «-мерный 145
Параллелизм абсолютный 439, 516
Параллелограмм 146
Параллельность плоскостей 131—133,
139
Параметр канонический 416, 485
— скаляра первый дифференциаль-
дифференциальный 605
Перенесение параллельное 465
вектора 347, 411, 555
тензора 450, 466
Петерсона—Кодацци уравнения 583,
584
Плоскости ортогональные 65
Плоскость 125
— изотропная 162, 196
— касательная 388
— т-мерная 125, 161, 221
— нормальная 389
—¦ псевдоевклидова 177
— соприкасающаяся 471
Плотность импульса электромагнит-
электромагнитного поля 321
— потока энергии электромагнитно-
электромагнитного поля 321
— тока 302
— энергии 315
Площадь 189, 527
— в римановом пространстве 407
Поверхности геодезически парал-
параллельные 493
Поверхность в римановом простран-
пространстве 387
662
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Поверхность геодезическая 568
— изотропная 388
— m-мерная в многообразии 373
— неизотропная 388
Поднятие индекса 160
Подстановка индексов 25, 121 —123,
367
Показатель относительного тензора
238
Поле аффинорное 53
— векторное однородное 439
— — соленоидальное 59
— объекта связности 349
— потенциальное 51, 59
— скалярное 46
— спинорное 255
— тензорное 46, 150, 364
— тяготения центрально симметри-
симметрическое 639
— электромагнитное 303 — 307
Поливектор 133
Потенциал ньютонов гравитацион-
гравитационный 639
— электромагнитного поля, четырех-
четырехмерный 313
Поток аффинного поля через поверх-
поверхность 72
— векторного поля через поверх-
поверхность 70
Представление квазиаффинной груп-
группы линейное 232
Преобразование аффинное 212
— векторов репера 102
— квазиаффинное 211
— квазицентроаффинное 236
— ковариантных координат вектора
201, 204
— контравариантных координат век-
вектора 201, 205
¦— координат аффинора 112
вектора 102
тензора 232
— линейное 233
— ортогональное 246
— псевдоортогональное 204 — 209
— спинорное 247, 253 — 255
— унимодулярное 242
— центроаффинное 17, 236
Проекция стереографическая 394
Произведение вектора на число 91,
96
— векторов косое 130, 134
¦ скалярное 154, 194
— координатных ректоров скаляр-
скалярное 157
•— тензоров 22, 116
Производная абсолютная 50, 152,
460
— — альтернированная вторая 532
смешанного тензора 574
— •— — — альтернированная вто-
вторая 570
— вектора 471
— ковариантная 460
— радиуса вектора 279
Пространство арифметическое 336
— аффинное 85, 519, 530
— — вещественное 90, 222
касательное 369, 383
— — комплексное 90, 221
— — ге-мерное 93
— аффинной связности 352, 359,
408, 519
— без кручения 410
— с абсолютным параллелиз-
параллелизмом 439
— евклидово 154
— — вещественное 155, 170
комплексное 155, 156, 167
— конформно евклидово 609
— Лобачевского 402
— локально аффинное 426, 519
— — евклидово 390
— неевклидово 393, 599
— однородное 214, 219
— постоянной кривизны 591, 596 —
601
- проективно
601
евклидово
535,
— псевдоевклидово 155, 156
• двумерное 176
¦— — индекса один 193 — 201
— псевдориманово 384, 502
— Римана сферическое 400
— — эллиптическое 400
— риманово 383, 385
— собственно евклидово 155, 173
— — риманово 384
— событий 262 — 268
— — в общей теории относительно-
относительности 615 — 618
— спинорное 241—245
• четырехмерное 263, 283
— центроаффинное 236
— центроевклидово 239
•— эквиаффинной связности 600
Прямая 128, 221, 279
— изотропная 163
— неизотропная 163
Псевдотензор 237
Пуанкаре интерпретация 402
Пуассона уравнение 638
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
663
Радиус-вектор 97
Размерность 212
— плоскости 125
— пространства 92, 221
Расстояние между двумя точками
155, 222
Репер 214
— аффинный 95
— в /?<+> '252
— локальный 340
в касательном пространстве
365
ортонормированный 402
— ортогональный 9
— ортонормированный 167, 169, 170,
475
— сопровождающий 476, 578
Римана пространство сферическое
400
— — эллиптическое 400
Римана — Христоффеля тензор 509,
513
Риччи тензор 537
— тождество 531
Ротор 55, 469
Свертывание тензора 23 — 25, 118 —
121
— тензорных полей 367
Связности коэффициенты 346
Симметрии условие 154
Симметрирование тензора 42, 122
Система координат аффинная 97
в многообразии 360
локально инерциальная 619
ортонормированная 169
— — полугеодезическая 497
риманова 559
— отсчета инерциальная 262
Скорость протекания энергии 316
— света 261, 262
След аффинора 24, 120
Сложение векторов 88, 95
— скоростей 277
— тензорных полей 366
— тензоров 20, 21, 114—116
Сокращение продольных размеров
273
Спинор 243, 246 — 255
— сопряженный 333
Спинрепер 242
Спинтензор 243
— эрмитов 253
Сфера вещественного радиуса 198
— мнимого радиуса 198
— нулевого радиуса 198
Тензор 104, 113
— в данной точке многообразия 304
¦— 2-й валентности 15
— гиперповерхности 579
— градиентный 313, 460
— Sj 19, 113
— деформаций 61
— единичный 19, ИЗ
¦— ковариантный одновалентный 104,
105
двухвалентный 108
— — fe-валентный 109
— — кососимметрический 140
— контравариантный одновалент-
одновалентный ПО
— — кососимметрический 140
— конформной кривизны 613
— кососимметрический 26, 27, 123
— кривизны 509, 513, 607
ковариантный 542
риманова пространства 542
— кручения 410
— метрический 156, 355, 383, 467,
468
гиперсферы 398
— — контравариантный 159
•— многовалентный 20, 113
— моментов инерции 40—41
— мультипликативный 118
¦— напряжений 64
•— относительный 237, 238
— 1-й валентности 13
— поля 46
— Римана — Христоффеля 509, 513
— — проективной кривизны 541
— Риччи 537
•— с операторными координатами
256
— симметрический 15, 109, 122
•— скоростей деформаций 58
— смешанный 113, 572
— электромагнитного поля 306
— энергии-импульса 314, 621
— потока масс 314
— — — электромагнитного поля 320
Точка 85, 336, 360
Траектория четырехмерная 284
Тривектор 27
Угол 190
— между кривыми 604
Умножение вектора на число 91, 96
— тензорных полей 367
— тензоров 21, 22, 116—118
Уравнение аффинора характеристи-
характеристическое 36
664
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Уравнение Дирака для свободного
электрона волновое 332
— Пуассона 638
Уравнения Гаусса 583, 584
— геодезических линий дифферен-
дифференциальные 417
— гиперсферы параметрические 395,
397
— Лагранжа 506
— Максвелла 307
— Навье —Стокса 81
— натуральные 485
— Петерсона — Кодацци 583, 584
— упругих колебаний в перемеще-
перемещениях дифференциальные (Ламе) 84
Форма квадратичная 157
вторая основная 579
дифференциальная 355
Форма квадратичная метрическая
172, 355, 385
на гиперсфере 398
первая Гаусса 553
на гиперповерхности 571
Френе формулы 477, 480
Функция вектора линейная 104
— потенциальная 51
— скалярная билинейная 107
симметрическая 109, 154
— — полилинейная ПО
Хаусдорфа аксиома 380
Христоффели 1-го и 2-го рода 357
Циклирование 531
Шура теорема 593
Эрмитова матрица 253
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
A t 242
Ат 377, 388
А„ 368
А\> 98—102
Al и 513
Вп-т 389
Т% 346
Г*, tj 356
D 455
u2)
Д 81
V,- 152
gti 156
Ga3 387
К 551
Ln 408
76
Ll 410
Ш) 360
ffl]m 375, 387
Ш1„ 369
Rt 241
ЯA' 251
Rm 226
«„170
Rt 167
Rk, 537
RlLf.
Sn -,
S% 410
Vm 388
Vn 383
512
392