/
Текст
ТБЫЗОР
РОК РНУ31С13ТЗ
ьу
*1. А. 8СНО1ЛЕЫ
о! Ма^Нетайсз а!
Атз1егс1ат
АТ ТНЕ СЬАКЕКЭСЖ РКЕ55
1951
Я. А. СХОУТЕН
ТЕНЗОРНЫЙ
АНАЛИЗ
ДЛЯ ФИЗИНОВ
Перевод с английского
и дополнение
И. А. КУНИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965
517.5
С 92
УДК 512.972
Ян Арнольдус Схоутен
Тензорный анализ для физиков
М., 1965 г., 456 стр, с илл.
Редактор И. В. Кеппеп
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор С. Я. Емельянова
Сдано в набор 20/1V 1965 г. Подписано к печати 24/1X 1965 г. Бумага 84x108/».
Физ. печ. л. 14,25. Условн. печ. л. 23,94. Уч.-нзд. л. 21,09. Тираж 21000 8КЗ.
Цена книги 1 р. 25 к. Заказ М 1460.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы;
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15,
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполнграфпрома Государственного комитета Совета Министров
СССР ко печати. Измайловский проспект, 29.
СОДЕРЖАНИЕ
От переводчика в
Предисловие И
I. Пространства, определяемые линейными группами ... 13
1. Группа Ог. Аффинная геометрия 13
2. Подгруппы <За 16
3. Плоские подмногообразия в Еп 18
Упражнения . • 22
Н. Геометрические объекты в Еп 24
1. Определения 24
2. Счаляры и векторы 25
3. Тензоры 34
4. Алгебраические операции для величин 36
5. Симметричные тензоры 41
6. Поливекторы 42
7. л-векторы 47
8. Плотности 49
9. Величины валентности 2 и матрицы 56
10. Канонические формы симметричного тензора валент-
валентности 2 58
11. Канонические формы бивектора 60
12. Фундаментальный тензор ■ . 61
13. Матричное исчисление в Еп и Я„ 65
14. Ортогональные нормальные формы симметричных тен-
тензоров валентности 2 и бивекторов 68
Упражнения ....... 70
6 СОДЕРЖАНИЕ
III. Отождествление величин в Е„ после введения под-
подгрупп Оа 72
1. Введение единичного объема (подгруппа <Зеч) 72
2. Введение фундаментального тензора (подгруппа Оог) • • 73
3. Введение ориентации 74
4. Совместные отождествления (подгруппа Ото)...... 75
5. Обычная векторная алгебра в К3 • . 86
Упражнения 88
IV. Геометрические объекты в Хп 90
1- Хп 90
2. Определение геометрических объектов в Хп • 91
3. Инвариантные дифференциальные операторы. I. Огай,
ОЬг и Ко1 98
4. Инвариантные дифференциальные операторы. II. Теорема
Стокса 103
5. Инвариантные дифференциальные операторы. III. Произ-
Производная Ли 112
6. Инвариантные дифференциальные операторы. IV. Произ-
Производные Лагранжа 117
7. Неголономные системы координат в Хп 121
Упражнения 122
V. Геометрия многообразия с заданным параллельным пе- ■
реиесением 125
1. Параллельное перенесение 125
2. Геодезические 130
3. Нормальные координаты 132
4. У„ 134
5. Кривизна Уп и Ап 139
6. Кривизна У2 с положительно определенным фундамен-
фундаментальным тензором 149
7. Неголономные системы координат 150
8. Интегральные формулы в Уп н Нп 151
Упражнения 159
Резюме по главам I—V 160
Принципы метода коренных букв и индексов 160
Многообразия 161
Плоские подпространства в Еп 162
Геометрические объекты 163
СОДЕРЖАНИЕ 7
Величины валентности 2 165
Специальные величины 167
Инвариантные дифференциальные операторы в Хп . . . 172
Неголономные координаты 175
Многообразия с заданным линейным перенесением . . . 175
Интегральные формулы в Уп н Яп 179
VI. Физические объекты и их размерности 182
1. Физические объекты 182
2. Абсолютная размерность и построение геометрического
образа 188
Упражнения 197
VII. Приложения к теории упругости 200
1. Деформации 200
2. Силы и напряжения 201
3. Упругие константы 204
4. Диэлектрические и пьезоэлектрические константы . . . 210
5. Кристаллические классы 216
6. Пьезоэлектрический и пьезомагнитный эффекты .... 233
7. Волны в однородной анизотропной среде 243
8. Кварцевый резонатор 256
Упражнения 269
VIII. Классическая динамика 270
1. Голономные системы 270
2. Неголономные координаты и неголономные механиче-
механические системы 276
3. Приведение уравнений Лагранжа и Гамильтона к одно-
однородному виду 28Э
4. Теория интегрирования 286
5. Частные случаи первых интегралов 293
Упражнения 295
IX. Теория относительности 300
1. Введение 300
2. Уравнения электродинамики в инвариантной четырех-
четырехмерной форме 301
3. Релятивистская кинематика • ... 302
4. Релятивистская динамика 307
8 СОДЕРЖАНИЕ
5. Гравитация 317
6. Релятивистская гидродинамика 320
Упражнения 331
X. Матричное исчисление Днрака 333
1. Введение 333
2. Величины второго рода и гибридные величины .... 334
3. Фундаментальный тензор. Пространство 1/„ 336
4. Матричное исчисление в Еп и 11п 339
5. Линейные операторы 341
6. Алгебра векторных множеств 345
7. Кэт- н бра-векторы Дирака 348
8. Физическая интерпретация 355
9. Функции наблюдаемых 358
10. Представления п матрицы 360
11. Вероятности и ортогональные компоненты 367
12. Обозначение с помощью функций 369
Упражнения 372
Дополнение. И. А. К у и и н, Теория дислокаций 373
Литература 444
Предметный указатель 451
Основные обозначения 456
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга написана выдающимся голландским геометром про-
профессором Я. А. Схоутеном, много сделавшим для развития
тензорного анализа. Как видно из заглавия, книга рассчитана
в первую очередь на физиков и механиков, однако она бу-
будет полезна и для математиков, интересующихся приложе-
приложениями тензорного анализа. За рубежом книга пользуется
исключительной популярностью, о чем можно судить хотя
бы по том}', что редкая работа, в которой используются
методы тензорного анализа, обходится без ссылок на эту
книгу.
Книгу можно разделить на две части. В первой части
дается сжатое и в то же время исчерпывающее изложение
теоретических основ, необходимых для приложения методов
тензорного анализа. Важной отличительной чертой является
последовательное проведение групповой точки зрения на
тензоры, тензорные плотности и геометрические объекты.
Из других особенностей отметим включение в теоретическую
часть книги ряда интересных для приложений вопросов, ко-
которые обычно не находят отражения в курсах тензорного
анализа. К ним, в частности, относятся: производные Ли и
Лагранжа, теория неголономных преобразований, различные
формы теоремы Стокса на многообразии, в римановом и евк-
евклидовом пространствах и т. д. Завершается первая часть
краткой сводкой основных определений и формул тензорного
анализа, весьма удобной для справок.
10 ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Во второй, большей части книги рассматриваются при-
приложения тензорного анализа к электродинамике, теории упру-
упругости, классической динамике, теории относительности и
квантовой механике (матричное исчисление Дирака). Автор
с большим искусством демонстрирует исключительную пло-
плодотворность методов тензорного анализа в этих областях
физики. Со времени выхода книги в свет A951 г.) методы
тензорного анализа нашли широкое применение также в ин-
интенсивно развивающейся за последние годы теории дисло-
дислокаций. В связи с этим по предложению издательства книга
была дополнена соответствующим разделом.
Можно надеяться, что эта книга, наряду с известной
книгой П. К. Рашевского «Риманова геометрия и тензорный
анализ», станет основным пособием для физиков, механиков,
математиков и вообще тех, кто желает серьезно познако-
познакомиться с тензорным анализом и его приложениями.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу этой книги положены лекции, которые чита-
читались до и во время войны в Дельфте и после войны в Ам-
Амстердаме. В главах I и II излагается тензорная алгебра в Еп
и /?„, а в главах IV и V — тензорный анализ в Хп и Ьп.
В главе III, относящейся к алгебре, рассматриваются отож-
отождествления величин в Е„ после введения подгрупп аффинной
группы. Эти пять глав содержат теорию тензорного исчис-
исчисления в объеме, необходимом для физических приложений.
Непосредственно после пятой главы приводится сводка
основных теоретических положений. Это сделано по просьбе
физиков и должно оказать помощь экспериментаторам и всем
тем, кто интересуется, главным образом, приложениями, ко-
которые рассматриваются в последующих главах. С помощью
этой сводки можно избежать необходимости детального изу-
изучения предыдущих глав.
В следующих четырех главах мы приводим примеры при-
приложений тензорного исчисления. Так как существует много
тем, которые могли бы заполнить несколько книг подобных
размеров, необходимо было сделать определенный отбор.
Мы выбрали, конечно, только те приложения, которые ин-
интересны как сами по себе, так и в качестве хороших при-
примеров полезности и преимуществ, которые дает применение
тензорного исчисления. В главе VI, тесно связанной с гла-
главой III, мы показываем, что размерности физических величии
зависят от выбора лежащей в основе группы. Со времени
Фойгта, который ввел термин «тензор», некоторые виды
тензорного исчисления всегда являлись наилучшим инстру-
инструментом для исследования анизотропных сред. В главе VII
с помощью современного тензорного аппарата рассматри-
рассматриваются некоторые как традиционные, так и современные за-
задачи теории упругости и пьезоэлектричества. Далеко не всей
12 предисловие
известно, что классическая механика может быть изложена
весьма элегантным образом с помощью тензорного исчисле-
исчисления. В главе VIII мы приводим некоторые примеры, касаю-
касающиеся неголономных систем и преобразований к однород-
однородному виду уравнений Лагранжа и Гамильтона. Теория от-
относительности оказала сильнейшее влияние на развитие
тензорного анализа от его первоначальной формы, данной
Риччи, до используемой здесь наиболее современной формы.
В главе IX мы рассматриваем сначала релятивистскую кине-
кинематику и динамику, а затем в последнем разделе даем на-
набросок современного подхода к релятивистской гидродина-
гидродинамике. Ни одна из этих четырех глав не предназначалась
служить небольшим учебником по соответствующему пред-
предмету, но мы надеялись избежать несвязного перечисления
интересных фактов и пытались сделать каждую главу корот-
коротким, но систематическим введением в соответствующую об-
область теоретической физики.
Матричное исчисление столь тесно связано с тензорным,
что о нем нельзя не упомянуть в книге, подобной этой.
В главе II мы даем в обычном плане краткий набросок
связей между обеими дисциплинами. Однако, учитывая по-
последние исследования Дирака по приложению матричного
исчисления к квантовой механике, мы считаем необходимым
привести в главе X изложение его замечательного метода.
В конце каждой главы дается ряд упражнений. Многие
из них сформулированы в виде доказательств, чтобы ответ
был заранее известен. Почти во всех остальных случаях при-
приводятся необходимые литературные ссылки.
Представляется полезным помещенный в конце книги ука-
указатель.
Я должен выразить благодарность проф. Е. Т. Дэвису
и администрации издательства «Кларендоп Пресс», кото-
которые много сделали для улучшения моего английского языка,
а также внесли ряд ценных предложений. Мое сотрудни-
сотрудничество с «Кларендон Пресс» было весьма приятным, и я же-
желаю выразить ему искреннюю благодарность.
Голландия %, А. С.
I. ПРОСТРАНСТВА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ
ЛИНЕЙНЫМИ ГРУППАМИ »)
1. Группа О*. Аффинная геометрия
Мы будем рассматривать «-мерное пространство, отне-
отнесенное к координатам лгх. Последние подвергаются преобра-
преобразованиям вида 2)
. х*' = А*х* + а*'; Ь™ТЫ(А$)фО A.1а)
с постоянными коэффициентами А% , а* . Множество этих
преобразований образует группу, т. е.
1) результат двух выполненных последовательно пре-
преобразований из множества принадлежит этому же множеству;
2) для каждого преобразования из множества обратное
преобразование принадлежит тому же множеству;
3) множество содержит тождественное преобразование.
Эта группа называется аффинной группой Оа. Координаты
называются прямолинейными.
Преобразование, обратное A.1а),
') Общие ссылки: Р. К. 1924. 1; 1954. 1; Веб л ей и У аи т хед
1932. 1; Н. М. Ш5. 1; Лихнеровнч 1947. 1.
2) Индексы х, >., ц, V, р, а, т (и иногда со) всегда принимают
значения 1, .... п (курсив). Индексы и', Я' ... —значения /' п'
(курсив), йе! обозначает: равно по определению. Эе1 ( )—опре-
)—определитель матрицы ( ).
Если в любом члене некоторый индекс встречается дважды:
один раз как верхний и другой раз как нижний, то по этому
индексу должно быть выполнено суммирование. Знак суммнрова-
иия ^1 ПРИ этом опускается (правило Эйнштейна).
14 I. ПРОСТРАНСТВА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ ГРУППАМИ
содержит постоянные коэффициенты А^>, аА, связанные
с А$ и ал'
и ал' соотношениями
для у! = К',
1 для -л — I,
Л^ак' = -йи, Ахл'а* = -а"'. A.3)
Для того чтобы найти А*> для некоторых фиксирован-
фиксированных значений и и Я.' (например, н — 1, %' = 3'), мы запи-
записываем матрицу 1) из элементов А*
а1;
Ап ... Ап
A-4)
и образуем алгебраическое дополнение элемента Аж,
вычеркивая из матрицы строку и столбец с индексами и и А/
соответственно и умножая определитель полученной матрицы
на (—у)""^ . Тогда А%- равно этому алгебраическому допол-
дополнению, деленному на Л. Если расписать Ое^(л^), то это
алгебраическое дополнение будет коэффициентом элемента А% .
Следовательно,
л« _ к-' дА
Ах'~А йГ
Каждая координатная система л:*', которая может быть
получена из хк посредством некоторого преобразования,
принадлежащего Оа, называется допустимой координат-
координатной системой, а пространство со всеми допустимыми
координатными системами — аффинным пространством,
или Еп. Теория всех инвариантных относительно Оа свойств
фигур в Еп называется аффинной геометрией.
Во всех формулах мы встречаемся с коренными буквами
подобно А, х, текущими индексами подобно к, и' и
') Когда нам будут встречаться выражения с двумя индексами
и соответствующие им матрицы, мы будем считать, что первый
индекс обозначает номер строки, а второй — столбца. Если оба
индекса расположены вертикально, один над другим, нижний индекс
считается первым.
I. ГРУППА Оа. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ 15
фиксированными индексами подобно У, .... я; У я'.
Текущие индексы могут быть взяты также из другого алфа-
алфавита, а фиксированные индексы могут быть взяты из строки 1,
2, 3... вместо Л 2, 3. Например, преобразование коор-
координат могло бы быть обозначено переходом от лги; и = У п
к хн; А=1| •••> п. Следовательно, имеется различие между
х1 и л:1 такое же, как и между х1 и х1'. При употреблении
латинских текущих индексов мы обычно используем прямой,
шрифт для соответствующих фиксированных индексов.
Любое множество фиксированных индексов всегда принад-
принадлежит одному и только одному множеству текущих индексов.
Каждое множество текущих или фиксированных индексов
принадлежит одной определенной системе координат, и эта
система координат обозначается одним из ее текущих индексов
в круглых скобках, например (и), (%'), (й), (к1). Точки и
коренные буквы не изменяются при преобразовании коор-
координат. Изменение координат указывается новым множеством
текущих и соответственно фиксированных индексов. Однако
при точечном преобразовании координатная система и,
следовательно, текущие и фиксированные индексы не изме-
изменяются, тогда как точки и коренные буквы изменяются, как
в следующем примере:
у*=р* + Р\х\ A.6)
который при постоянных р* и Р\ представляет аффинное
точечное преобразование *).
Не всегда, однако, удобно использовать новую букву
для указания изменения корня. Мы будем указывать изме-
изменение корня посредством:
A) изменения коренной буквы;
B) присоединения штриха или звездочки преимущественно
слева от коренной буквы;
C) добавления индекса непосредственно над или под
коренной буквой, так как место вверху и внизу справа
') В этом заключается существо метода коренных букв и ин-
индексов, используемого в этой книге и многих других современных
работах по дифференциальной геометрии и уравнениям в частных
производных (метод впервые предложен автором в 1926 г. — Прим.
перее.).
16 I. ПРОСТРАНСТВА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ ГРУППАМИ
от коренной буквы обычно резервируется для теку-
текущих и фиксированных индексов;.
D) использования несмещенных «выключенных» индексов,
как это будет объяснено в дальнейшем.
2. Подгруппы вй
Если мы используем вместо Оа какую-либо ее подгруппу,
последняя порождает геометрию, являющуюся частным слу-
случаем аффинной. В дальнейшем в этой книге встречаются
следующие случаи:
1. Группа Оно всех линейных однородных преобра-
преобразований с Д ф О (центро-аффинная группа). Начало,
или центр, хи = 0 является инвариантом, а пространство
называется центро-аффинным Еп. Допустимыми системами
координат являются допустимые системы Еп с общим началом.
2. Группа Ощ всех равнообъемных линейных одно-
однородных преобразований, т. е. преобразований с Д=± 1
(эквиаффинная группа). Пространство называется центро-
аффинным Еп с заданным единичным объемом (экви-
аффинным Еп). Допустимыми системами координат являются
допустимые системы Еп с общим началом и одинаковым еди-
единичным объемом. В геометрии, порождаемой Оеч, объемы
могут сравниваться.
3. Группа О5а всех специальных аффинных преобра-
преобразований, т. е. линейных однородных преобразований
с Д —-{-/ (унимодулярная группа). Пространство назы-
называется ориентированным центро-аффинным Еп с задан-
заданным единичным объемом и заданной ориентацией (уни-
модулярным Еп). Допустимыми координатными системами
являются допустимые системы Еп с общим началом, одина-
одинаковым единичным объемом и одной и той же ориентацией
(в Ез только правые или только левые системы), п-мерная
ориентация фиксируется посредством п направлений
со стрелками, которые не содержатся ни в одном Еп_] и
которые заданы в определенном порядке '). Для в = 2 мы
') Вместо п направлений может быть взята часть кривой, не
содержащаяся ни в каком Еп_] и снабженная стрелкой. Если
у п (л •+-1) четно (например, для п — 3), стрелка может быть
опущена.
17
называем ориентацию направлением вращения и для
п== 1 направлением. Два таких множества направлений
задают одну и ту же ориентацию, если они могут быть
переведены одно в другое посредством аффинного точечного
преобразования с положительным Л. Отсюда следует, что
каждая координатная система в Е„ фиксирует определенную
ориентацию своими п осями, их положительными направле-
направлениями и порядком 1, .... п. Эта ориентация изменяется
при преобразовании координат тогда и только тогда, когда А
отрицательно.
4. Группа Оог всех ортогональных однородных пре-
преобразований {группа вращений и отражений). Прост-
Пространство1) называется /?„. Л—± 1. Допустимыми системами
координат являются ортогональные системы с общим на-
началом и одинаковым единичным объемом. В /?„ существуют
понятия длины и угла.
5. Группа Ого всех вращений {группа вращений);
А = -{-/. Пространство называется ориентированным /?„.
Допустимыми системами координат являются ортогональные
системы с общим началом, одинаковым единичным объёмом
и одной и той же ориентацией.
Каждой группе принадлежит своя геометрия, т. е. теория
всех тех свойств фигур, которые остаются инвариантными
при всех преобразованиях данной группы.
Геометрия группы и геометрии ее подгрупп связаны сле-
следующим образом (принцип Ф. Клейна 2)).
Если О есть группа и О' — ее подгруппа, состоящая
из всех преобразований из О, оставляющих инвари-
инвариантным некоторое множество фигур А, то геомет-
геометрия любой фигуры относительно О' тождественна
с геометрией этой фигуры вместе с А относитель-
относительно О.
В предыдущих случаях мы можем всегда взять в качестве
множества А множество всех допустимых систем координат
или фигуру, из которой они могут быть получены, например
начало, если мы переходим от Оа к ОЬо. или единичную
гиперсферу, если мы переходим от Оа к Оог.
') Его называют также евклидовым. — Прим. перев.
2) 1872. 1.
2 Я. А. Сзсоутен .
18 I. ПРОСТРАНСТВА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ ГРУППАМИ
3. Плоские подмногообразия в Е„
В этом разделе мы дадим краткий обзор наиболее важных
свойств плоских подмногообразий в Еп.
Рассмотрим систему п — р линейных уравнений
(* = р+1 п) C.1)
с постоянными коэффициентами С\, 0х и предположим,
что матрица коэффициентов С%
Г1 ... с?
саа
C.2)
имеет наивысший возможный ранг ') я— р. Тогда уравне-
уравнения C.1) линейно независимы, и из них можно определить
п — р переменных х* в функции от остальных переменных.
Эти последние р переменных могут быть, таким образом,
использованы в качестве координат подмногообразия Еп,
состоящего из всех точек, удовлетворяющих C.1). Так как
эти переменные подвергаются преобразованиям группы Оа
при инвариантности остальных п — р переменных, то под-
подмногообразие есть Ер. Мы назовем его нуль-многообразием
уравнений C.1), а C.1) — нуль-формой пространства Ер.
Таким образом, решение C.1) может быть записано в форме
F=1 р)
C.3)
с постоянными коэффициентами В", Вк и р произвольными
параметрами т]ь. Выражение C.3) называется параметри-
параметрической формой Ер. Подставляя C.3) в C.1), имеем
п).
C.4)
C.5)
') Матрица имеет ранг г, если существует отличный от нуля
минор г-го порядка, а все миноры более высокого порядка равны
нулю.
= О F=1 р; х =
Точечное преобразование вида
3. ПЛОСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В Е„ 19
(в котором изменение коренной буквы указано штрихом
слева от буквы л:) с постоянными с* называется трансля-
трансляцией. Если мы подвергнем C.5) преобразованию A.1)
группы Оа, то получим
'х*' = х*' + А?с\ C.6)
Следовательно, трансляция в Еп инвариантна относительно
допустимых преобразований координат. Два Ер в Еп назы-
называются параллельными, если они могут быть преобразо-
преобразованы друг в друга посредством трансляции. Говорят, что
паралдельные Ер имеют одинаковое р-направление. /-на-
/-направление называется направлением. Это направление еще
не обладает ориентацией. Только в том случае, если оно
снабжено стрелкой, это понятие совпадает с направлением
в общепринятом понимании. В центро-аффинном Еп для
каждого Ер имеется одно и только одно параллельное Ер,
проходящее через О. Его нуль-форма может быть получена
из C.1), если положить Сх — 0:
. .... п). C.7)
Рассмотрим теперь некоторые Ер и Ед, проходящие
через О и заданные уравнениями
(* = р-|-1 п; У = A+1 п). C.8)
С{хк = 0
Если ранг комбинированной матрицы
C.9)
равен п — 5, в системе C.8) имеются как раз п — 5 линейно
независимых уравнений, и, следовательно, они определяют
некоторое Е3, пересечение Ер и Ед. Таким образом, Ер и Ед,
проходящие через О, всегда пересекаются по Е/, 0 <[ 5 <! р,
^ ^\ — и1)- Это легко может быть обобщено
') Говорят, что Ер и Еч определяют Ег, если они содержатся в Ег%
но не существует Ег_1, которое бы их содержало. Очевидно, что
ГР + — 5<п. Следовательно, «>/> + ? — п. — Прим. перев.
2*
20 I. ПРОСТРАНСТВА. ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ ГРУППАМИ
на произвольные Ер и Ед, если мы будем рассматривать
точки Ер «иа бесконечности» как несобственное Ер_1 (или
Ер-/ ««я бесконечности»). Тогда два параллельных Ер
пересекаются по несобственному Ер_/, и мы видим, что не-
несобственное Ер„] можно рассматривать как /^-направление.
Принимая это условие, мы можем сформулировать
предложение: Ер и Е^ в Еп или пересекаются по Е^,
р-\-ц — «-^5-^р; 0^5-^<7, или они вообще не имеют
общих точек ($ =— 1). Ео есть точка, Е; называется пря-
прямой линией, Е? — плоскостью и Ея_/ — гиперплоскостью.
Если и%хх = 0— уравнение гиперплоскости, проходящей
через О, то их называются (однородными) координатами
гиперплоскости. Каждой допустимой координатной системе
в Е„ принадлежат я Е;-координатных осей, I р) Е2-коор-
динатных плоскостей, каждая из которых определяется
двумя осями, и [п\ Ер-координатных Ер, /<!/?<« — /•
С их помощью можно легко показать, что любое Ер в Е„
задается (р-{-1)(п — р) числами. Если координатная система
не является специальной, Ер пересекает каждое координат-
координатное Еп_р в одной и только в одной точке. Ер определяется
единственным образом р-\-1 таких точек, а каждая из них
может быть задана п — р числами. Таким же образом можно
показать, что любое Ер в Еп, проходящее через заданное Ед,
<7<^р> может быть зафиксировано (р — д)(п — р) числами.
Следовательно, Ер в центро-аффинном Е№, проходящее через
начало, может быть зафиксировано р(п — р) числами.
Для заданных Ер и Е9 можно рассмотреть плоское много-
многообразие Е(, содержащее Ер и Ед и имеющее наименьшую
размерность. Это Е( называется объединением Ер и Ед.
С учетом несобственных многообразий может быть доказано
следующее предложение.
Объединение Ер и Ед, пересекающихся по Е3, есть Е(,
Ниже приведена таблица пересечений и объединений
в общем случае для я = 4. .
3. ПЛОСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В Е„
Ео
Е,
Е2
Е,
Пересечение
Ео
X
X
X
X
Е,
X
X
X
Е3
Е2
X
X
Ео
Е,
Ез
X
Ео
Е,
Е2
Ео
Е,
Е,
Ез
Объединение
Ео
Е,
Е2
Ез
Е4
Е,
Е2
Ез
Е,
Е4
Е>
Ез
Е4
Е,
Е.,
Ез
Е4
Е4
Е,
Е4
C.10)
X = пересечение пусто
Таблица пересечений в Е/ может быть проверена с по-
помощью простого эксперимента. В Е4 обычных координат х,
у, г и времени ( графиком движущейся точки является кри-
кривая — ее мировая линия. В случае равномерного движения
мировая линия есть Е]. Равномерно движущаяся прямая
линия описывает мировую двумерную Плоскость, а равно-
равномерно движущаяся плоскость — мировое Ез. В качестве при-
примера рассмотрим теперь два Е\, движущиеся равномерно.
Так как они пересекаются в один момент, два мировых Е2
пересекаются в одной точке. Таким же образом движущиеся
равномерно Е} и Е? пересекаются в равномерно движущейся
точке. Следовательно, мировое Е2 и мировое Ез пере-
пересекаются по Е] ')•
Если в Еп задано /^-направление, мы можем рассматри-
рассматривать все Ер с этим /^-направлением как точки некото-
некоторого Еп_р. Этот процесс называется редукцией Еп отно-
относительно заданного р-направленая. Если координаты
выбраны таким образом, что параллельные Ер представлены
уравнениями
Хр+1 = СОП5{,
х" == сопз{,
C.11)
то хр+', ..., хп могут быть использованы в качестве коор-
координат в этом Еп_р.
Если в Еп задано Ер, а также (п — р)-направление,
которое не имеет общего, направления с Е , каждая геоме-
!) Этот эксперимент может быть выполнен для аудитории
с помощью двух тростей или трости и куска картона.
22 I. ПРОСТРАНСТВА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ ГРУППАМИ
трическая фигура в Е„ может быть подвергнута следующим
операциям:
(а) Пересечение с Ер: результирующая фигура состоит
из общих точек первоначальной фигуры и Ер. Только Ер
при этом использовано.
(Ь) Редукция относительно (я— р)-направления: все
точки фигуры, которые лежат в одном и том же Еп_р
с заданным (п — /^-направлением, тождественны. Результи-
Результирующая фигура содержится в Ер, которое получается из Еп
редукцией относительно (л — />)-направления. Только (л—р)-
направление использовано.
(с) Проекция на Ер в (п — р)-направлении: через
каждую точку фигуры проводится Еп_р с заданным (п— р)-
направлением. Пересечение этого Еп_р с Ер есть проекция
точки. Использованы как Ер, так и (и — /^-направление.
В заданном Ер в Еп может быть фиксирована />-мерная
ориентация. В этом случае говорят, что Ер имеет внутрен-
внутреннюю ориентацию. Если в некотором Еп_р, не имеющем
общих направлений с Ер, фиксирована (п — /?)-мерная ориен-
ориентация, она определяет ориентацию в каждом таком же Е„_р
посредством проекции его на Еп_р в /^-направлении, задан-
заданном Ер. В. этом случае говорят, что Ер имеет внешнюю
ориентацию. Например, для случая Е? в Ез стрелка в Е/
и направление вращения вокруг Ег задают соответственно
внутреннюю и внешнюю ориентации.
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Доказать, что точечное преобразование
У^ЛЦ.бЛ'^ + а* Aа)
переводит каждую точку хи в точку У*, которая имеет те же ком-
компоненты относительно (и'), что и точка д;и относительно (и).
1.2. Если C.8) суть уравнения в точечных координатах Ер и Вч,
проходящих через О, то их параметрические уравнения в коорди-
координатах гиперплоскости имеют вид
4 1 1 1 п). Bа)
УПРАЖНЕНИЯ 23
Так как ранг C.9) равен п — з, то п уравнений
С$С19 0 (
п; у = Я + 1 п)
имеют п — р — д + з линейно независимых решений ^х, 6у, и объе-
объеием Ер и Ед является Ер+Ч_$.
имею р д +
динением Ер и Ед является р+Ч$
1.3. Ер н Ед, проходящие через О, могут быть заданы параме-
параметрическими уравнениями
?Л хУ (»-1 Р: 0 = 1 Я) (За)
в точечных координатах и уравнениями
вХ = 0. ^Х = ° (* = 1 р; ^=1 Ч)
в координатах гиперплоскости. Если Е3 есть пересечение Ер н Я^,
ураннения
В^Ь-к%С = ° (*=1 Р! С=1 Ч) (Зу)
имеют 5 линейно независимых решений г\ь, %с и ранг матрицы
(ср. C.9))
Р + Я 2
1
К
равен я + д — в.
1.4. Ер и Ед в Е„, которые не имеют общих направлений и
каждое из которых имеет внутреннюю ориентацию, всегда опре-
определяют ннутреннюю ориентацию в объединении Ер+<1 для чет-
четного рч- Для рц нечетного они определяют внутреннюю ориента-
ориентацию в объединении только в случае, если они заданы в определен-
определенном порядке.
1.5. Ер и Еч в Е„, которые имеют общее Е3 и каждое из ко-
которых имеет внутреннюю ориентацию, всегда определяют внутрен-
внутреннюю ориентацию в объединении Ер+Ч_5 для каждого ныбора вну-
внутренней ориентации в Е3, когда (р ~з)(д — 5) четно, а для
\Р — 5) (<7 — 5) нечетного — только в случае, когда они заданы
в определенном порядке.
11. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Е„*)
1. Определения
Если имеется соответствие между упорядоченными
множествами N чисел
ФЛ (Л=/. .... ЛО
и допустимыми системами координат (к) в Е„ такое.
что:
A) каждой системе (•/.) соответствует одно и только
одно множество Ф\\
B) множество Фд<, соответствующее (и'), может
быть выражено только через Фл. Л* и а"',
тогда говорят, что Фл являются компонентами
геометрического объекта относительно (к) в Еп.
Геометрические объекты в Еп классифицируются согласно
законам преобразования их компонент. Если в приведенном
выше условии B) выражение для Фд« линейно и однородно
относительно Фд, алгебраически однородно относительно А*
и не содержит а*', то Фд. являются компонентами геоме-
геометрической величины в Еп.
Точка дает простой пример геометрического объекта,
который не является величиной. Ее компонентами Фд яв-
являются дги, закон преобразования которых содержит а4'
(ср. I. 1.1а).
Кроме координатных и точечных преобразований мы
можем рассматривать более общие преобразования объек~
') Общие ссылки: Р. К. 1924. 1; 1954. 1; Эйзеихарт 1926. 1;
Леви-Чинита 1927.2; Томас 1931.1; Веблен и Уайт-
хед 1932. 1; Н. М. 1935. 1; Бри л л юз и 1938. 1; Лихнеро-
в н ч 1947. 1; Б р а н д т 1947. 2; М н ч е л 1947. а.
2. СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ 25
тов, посредством которых каждый объект переводится
в другой объект того же рода, т. е. с тем же законом пре-
преобразования. При этом координатная система и, следова-
следовательно, текущие и фиксированные индексы не изменяются,
а коренные буквы изменяются.
3 §§ 2—8 этой главы нам придется встречаться с мно-
многими примерами геометрических объектов.
2. Скаляры и векторы
(а) Скаляры, Скаляр имеет одну компоненту, инвари-
инвариантную относительно (I. 1.1).
(Ь) Контравариантные векторы. Контравариантный
вектор имеет п компонент Vх с законом преобразования
^' = Л»'*>И. B.1)
Отсюда вытекает, что V* преобразуется подобно разности
двух радиусов-векторов и, следовательно, V* может быть
представлен системой из двух точек с ориентацией, фикси-
фиксирующей порядок этих точек. Ориентация может быть задана
стрелкой (не обязательно прямолинейной) или положитель-
положительным и отрицательным знаками, или числами / и 2 и т. п.
Система точек определена с точностью до трансляции. Ком-
Компонентами относительно (к) являются проекции на оси, из-
измеряемые в единицах соответствующих осей. В центро-
аффинном Еп контравариантный вектор может быть пред-
представлен точкой. Здесь радиус-вектор х* является величиной,
а именно контравариантным вектором. Следовательно, если
заменить Оа, определяющую Еа, ее подгруппой ОЬа, опре-
определяющей центро-аффинное Еп, то некоторые геометриче-
геометрические объекты, которые различаются законами преобразо-
кания относительно главной группы, могут иметь одинако-
одинаковый закон преобразования относительно подгруппы.
Сложение контравариантных векторов проводится по
правилу, известному в механике как «параллелограмм сил».
Умножая Vх на скаляр р, мы получаем вектор рю*, кото-
который в | р | раз больше Vх и имеет то же или противопо-
противоположное направление в зависимости от того, является ли р
положительным или отрицательным. .
26
(с) Ковариантные векторы. Ковариантный вектор имеет
я компонент 1ш-к, преобразующихся по закону
«л- = 4>*- B-2)
Чтобы дать геометрическую интерпретацию ковариантному
вектору, рассмотрим две параллельные гиперплоскости
с уравнениями
иххх=1, 1^лЛ = /, ^ = аиг B.3)
При преобразовании (I. 1.1) эти уравнения переходят в
ик А\, хк' = / — ихак, г>, А\, х*-' = / — *\аЧ B.4)
Следовательно, преобразование для ик, г^ и а имеет вид
_
II, , =
1
ихА\,
Гиперплоскости пересекают ось х1 в точках //«; и //аи/.
Длина заключенного между ними отрезка в единицах этой
оси равна //аи/ — //«/, а обратная ей величина равна
_ • .,. B.6,
и1 — аиу / — а
Обозначая ее через -и^, имеем
и соответственно
Следовательно, то^ может быть представлен системой двух
параллельных гиперплоскостей с ориентацией, фиксирующей
их порядок. Эта ориентация может быть задана стрелкой
(предпочтительно не прямолинейной)х) или раскраской одно!!
') Прямолинейная стрелка могла бы вызвать предположение,
что задано некоторое направление.
СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ
27
„з гиперплоскостей в белый, а другой в черный цвет и т. п.
Система гиперплоскостей определена с точностью до тран-
трансляций. Компоненты относительно (к) обратны по величине
длине соответствующих отрезков на осях, измеренных в еди-
единицах этих осей. В центро-аф-
финном Е„ ковариантный век-
вектор может быть представлен
ОДНИМ Еп-1-
Из B.5) мы видим, что ги-
гиперплоскость является геоме-
геометрическим объектом в Еп, но
не величиной, так как закон'
преобразования ак содержит
«" = -</■
Сложение ковариантных ве-
кторон геометрически иллю-
иллюстрируется рис. 1, на котором
показано пересечение У%, чи)к Рис. 1.
и ф^-\-11>х с некоторым Е2.
Умножая ч1>к на действительный скаляр р, мы получаем
другой ковариантный вектор Р"Ч>Х< который в \р\~' раз
«больше» да^ и имеет то же или противоположное напра-
направление в зависимости от того, является ли р положитель-
положительным нли отрицательным.
р линейно независимых контравариантных векторов опре-
определяют р-направление, а направления всех линейно завися-
зависящих от них контравариантных векторов содержатся в этом
р-направлении. Такая совокупность оор контравариантных
векторов называется контр аварпантной оболочкой 1),
а ^-направление — ее носителем. В центро-аффинном Еп
вместо /^-направления в качестве носителя может быть ис-
использовано Ер, проходящее через начало, р называется
размерностью оболочки. Контравариантная оболочка и ее
носитель определяют друг друга единственным образом.
Говорят, что они натянуты на р данных векторов (по-
(порождаются р данными векторами).
') То есть линейным векторным пространством, порожденным
Данными векторами. — Прим. перев.
28
р линейно независимых ковариантных векторов опреде-
определяют (и — р)-направление, а (я— /)-направления всех ли-
линейно зависящих от них ковариантных векторов содержат
это (п — р)-направление. Такая совокупность сор ковариант-
ковариантных векторов называется ковариантной оболочкой,
а {п — /?)-направленне — ее носителем. В центро-аффин-
ном Еп вместо (п — ^-направления в качестве носителя
может быть использовано Еп_р, проходящее через начало.
р называется размерностью оболочки. Ковариантная обо-
оболочка и ее носитель определяют друг друга единственным
образом. Говорят, что они натянуты на р данных
векторов.
Каждой допустимой системе координат (я) в Еп принад-
принадлежат и контравариантных векторов еп; А. = /, .... я с ком-
компонентами
е' = 1, е°- = 0 е" = 0,
I 1 1
B.9)
= 0, е^ = 0 еп —
где е — корень, ах — текущий индекс. Аналогичным обра-
я.
х
зом (и) принадлежат я ковариаитных векторов ек1 к —
= /, ..,* я. Они имеют компоненты
B-10)
V. V.
Здесь е — корень, а Я, — текущий индекс, е* и ек назы-
ваются контравариантними и ковариантными базис-
. 2. СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ
29
ными векторами координатной системы (и). Для
каждого значения (х вектор ек имеет направление, содержа-
V
щееся в (« — /)-направлении каждого вектора ек (V ф ц), и
ограничивается двумя Еп-1, /2
определяемыми ег На рис. 2
X
показаны векторы е* и е\
к
для п = 3.
Если.ввести другую си-
систему (и/), компонентами е*
я.
и г; относительно (и') будут
B.11)
Конечно, эти компоненты не
будут теперь равны / или 0. Рис. 2.
Отметим, что в преобразо-
преобразовании B.11) полный корень состоит из буквы е и индек-
'Л
са непосредственно под (как ё) или над (как е) буквой в
соответствии с условием C), упомянутым в I, § 1. Такие
индексы, образующие часть корня, называются мертвыми,
а индексы, подвергаемые преобразованиям основной груп-
группы,— живыми.
Базисными векторами, принадлежащими (х')> являются
•л'
е}1. Их компоненты относительно (и') имеют значения
Л.
•л'
единица или нуль, а их компоненты е"л, ек относительно (х)
могут принимать любые другие значения.
Комбинация уг-ч1>к является инвариантом, так как
А-ю
л Л (.1
B.12)
30 И. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Еп
Этот инвариант равен нулю тогда и только тогда, когда
направление V* содержится в (я — /)-направлении гшк, и
равен /, если V* ограничен двумя /:„_/, определяемыми тК,
и если ориентации <о"л и -к^ согласуются. Мы называем юК1и>х
сверткой V* и ■шг
Если заданы п линейно независимых контравариантных
векторов Vй (/=1, ..., п) (здесь V — корень, / — мертвый
I I
индекс), то эти векторы определяют параллелепипед с точ-
точностью до трансляции, я пар, параллельных Е„_; этого
параллелепипеда, имеющих ориентацию одного из векторов V*.
I
направление которого не содержится в их (п — /)-направле-
нии, представляют я ковариантных векторов •ш^ (я = 1, .,., п),
удовлетворяющих условиям !)
Я = /,
Ь для НФ1
А
Эти две системы V* и чи. называются взаимными. Следо-
вательно, ко- и контравариантные базисные векторы,, при-
принадлежащие одной и той же системе координат, являются
взаимными системами.
Ко- и контравариантные базисные векторы могут быть
использованы для нахождения компонент заданного вектора
или для построения вектора по его заданным компонентам.
Возьмем, например, вектор г>к и образуем п скаляров:
и -л
г> = ^ег B.14)
') б* есть так называемый символ Кронекера. Его индексы
н
являются мертвыми, и было бы более последовательно писать б.
Но мы предпочитаем, насколько это возможно, избегать башнепо-
добных конструкций, которые получаются, если одновременно
использовать индексы непосредственно над н под центральной
буквой.
2. СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ 31
Очевидно, эти я скаляров численно равны Vя. Но относи-
относительно системы (х') уравнение B.14) принимает вид
* = &\,. B.15)
и
ф* преобразуются, тогда как V остаются инвариантными.
Это значит, что мы не имеем право писать у* = у, так как
слева мы имеем вектор, а справа п скаляров. Поэтому мы
пишем
ю^ = ч>. B.16)
Знак == будет использоваться всегда, когда мы хотим
отразить тот факт, что уравнение справедливо от-
относительно данной системы {или систем) координат,
но не обязательно справедливо относительно всех
других координатных систем.
В B.14) мертвый индекс образован из живого. Эта опе-
операция встречается весьма часто, и мы будем называть ее
выключением индекса. Когда индекс выключен, он уже
принадлежит корню, и это обстоятельство должно быть
указано или расположением индекса непосредственно над
или под центральной буквой или заключением его в круг-
круглые скобки, чтобы показать, что координатные преобразо-
преобразования основной группы более к нему не относятся.
и
Наоборот, из п скаляров V можно построить вектор Vх,
используя базисные контравариантные векторы:
B.17)
а.
или относительно (к')
к
у*'=юе*'. B.18)
А.
Эта операция является обратной операции выключения.
В системе (и) уравнения B.14) и B.17) численно означают
одно и то же. Однако в связи с ограниченным смыслом
знака равенства в B.16) это не имеет места в любой дру-
другой системе {у,'). Эти два уравнения имеют, конечно, раз-
различный геометрический смысл. B.14) позволяет определить
32
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В
*ч
компоненты вектора с помощью ковариантных базисных
векторов, а B.17) позволяет построить вектор по его ком-
понентам с помощью кон-
травариантных базисных
векторов.
Из-за численного совпа-
*
дения г»х и V, учитывая
B.15) и B.18), находим
B.! 9)
Рис. 3.
Отсюда получаем лля преобразования базисных векторов при
переходе от (и; к (и')
V
B.20)
Приведем пример для я — 3. Предположим, что
г 2 з
2' ;
е"л = еу- ■
3' 1
з
B.21)
как это показано на рис. 3. Тогда матрица Ак имеет вид
к
V
2'
3'
,
0
1
1
2
1
0
1
3
2
1
0
B.22)
2. СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ
33
С помощью алгебраической процедуры, описанной в 1, § I,
находим матрицу А\ :
Отсюда следует
/' 2' 3'
/ 2 ~1
-1 —2 2\
-1 —1 1
12 3
B.23)
Р " | Л /> , р
2' 1 2 3
ех~ ^ел. 2ех е^.
3' /23
0 ~— —— Р I Ол 1 л
B.24)
Теперь мы можем проверить это с помощью рис. 3. На-
Например, уравнение плоскости, проходящей через конец е*'
параллельно ех и е*. имеет вид
2x1 — 2х2 — х3=к1. B.25)
ъ 11,
Эта плоскость отделяет на осях отрезки у, —у, —/•
2'
Следовательно, компоненты ех относительно (х) имеют зна-
значения 2, — 2, —/.
Из матриц B.22) и B.23) мы находим выражения старых
базисных векторов через новые
V
/'
2еи — е*.
2' 3'
B.26)
3'
3-
B.27)
3 Я. А. Схоутен
34 II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Ея
3. Тензоры
Геометрическая величина Р^1'"*\1..шI, , имеющая р верх-
верхних индексов и д нижних индексов и преобразующаяся по
закону'J)
/'-% А*. •••%.•• у, •••*, (ЗЛ)
.К,...Кд -л, ... ■яр},1 ... ?.а . . Ь, ... Хч
называется тензором контравариантной валентности р,
ковариантной валентности д и валентности р~\-д.
Если д — 0, тензор называется контравариантным, если
р = 0 — ковариантным и в общем случае — смешанным;
р = 0, д = 0 соответствует скаляру, р = 1, д = 0 — контра-
вариантному и р=0, д—1—ковариантному вектору.
Расположение индексов существенно, и мы не имеем права
записывать одну и ту же величину один раз как Р%х, а дру-
другой раз как ЯД.
Если тензор имеет более чем один индекс, существуют
промежуточные компоненты, т. е. компоненты, принад-
принадлежащие двум или более различным координатным системам,
например
Р1-^>\ = ЛГЯ1. C.2)
Различные индексы некоторой величины могут принадле-
принадлежать разным пространствам. В этом случае величина назы-
называется связывающей величиной. В% и С% в A.3.3) и A.3.1)
являются примерами таких связывающих величин.
Смешанный тензор валентности 2 представляет линейное
однородное преобразование контравариантных векторов
'у*--р*х1,\ C.3)
Если иъ{(Р*ь)фО, существует обратное преобразование
гЛ=>ЧчЛ C.4)
') А*'1'" *РХ', '" ХЧ обозначает здесь А*'... А*'<>АЧ,... л\
*1 — хрк1 — хч х, хр \, кд
2) Как правило ко- и контравариантные индексы иногда не
пишутся на одной вертикали, так как это могло бы легко привести
X ошибкам.
3. ТЕНЗОРЫ 35
~р\ называется обратным, Р\ и может быть получен из
последнего таким же способом, как А%> из Л* в I, § 1.
-1.2
Например, Р'з равен алгебраическому дополнению эле-
элемента Р3.? матрицы Р\, деленному на Ое*(Р*х).
Тензор, соответствующий тождественному преобразованию,
называется единичным тензором и записывается как А\\
Vх = АЪ>к. C.5)
Очевидно,
А1±Ы, А$=п. C.6)
где должен быть использован символ =, так как слева стоит
тензор, а справа — система п2 скаляров. Преобразуя и в C.5),
получаем
■о*' = А*'Vх, C.7)
где А$ являются промежуточными компонентами единичного
тензора. Это оправдывает использование одной и той же
коренной буквы А в A.1.1) и (И.3.5). Очевидно,
х — ех — е, АК' =е^ = е. C.8)
Так как эти уравнения означают, что пР компонент тен-
тензора относительно некоторой координатной системы оказались
равными компонентам п векторов относительно той же си-
системы, символ = не может быть заменен знаком =.
-1
Для определенных выше тензоров Р\ и Р\ имеют место
соотношения
Р\Р\=АЬ C.9)
Таким же образом могут быть построены обратные тензоры
Для двухвалентных контра- и ковариантных тензоров,
матрицы которых имеют ранг п, т. е.
Х1Хл1 (З.Ю)
36 ". ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Е„
4. Алгебраические операции для величин
Сложение. Определено только для тензоров одинаковой
валентности:
^/V D.1)
Умножение. Определено для любых тензоров. Валентности
произведения равны суммам валентностей сомножителей:
8^.Х = Р^(ГКХ. D.2)
Умножение не является коммутативным, т. е.
5Л = **«*■ Ф «V = Г*\ D.3)
Здесь 5>Л — произведение двух векторов. В общем случае
тензор непредставим в виде произведения векторов, но всегда
является суммой таких произведений:
V
Тензор
*^*!..+е*к D.5)
преобразует контравариантные базисные векторы системы (и)
в контравариантные базисные векторы системы (и'). Его
промежуточные компоненты Т\ равны 0 или /:
П = 6?"). D.6)
Свертка. Агрегат
'*^^ D.7)
является тензором и называется сверткой Р?.,;" и <2'!11
по >. и ц. Свертки могут быть образованы различными спо-
способами, однако каждое суммирование должно выполняться
') 6^ —обобщенный символ Кронекера. &* .= /, если я' и А,
принимают соответствующие значения из строк /',..., и' и 1,.... «
и «= 0 во всех остальных случаях.
4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ ДЛЯ ВЕЛИЧИН 37
по нижнему и верхнему индексам. Например, выражение
V х>)Р\ не является инвариантом и, следовательно, не есть
вектор.
Суммирование может также выполняться по индексам
одного и того же тензора. Например:
Мы будем эту операцию, как и предыдущую, называть
сверткой по соответствующим индексам ')• Индексы, по ко-
которым происходит суммирование, называются немыми, осталь-
остальные — свободными индексами.
Образование изомера. Изомер образуется при изменении
порядка следования верхних или нижних индексов:
д*^ = />у\ D.8)
Симметрирование. Операция симметрирования всегда
производится над несколькими верхними или нижними инде-
индексами. Чтобы симметрировать по р индексам, мы образуем р\
изомеров, располагая эти индексы всеми возможными спо-
способами, а затем берем сумму этих изомеров, деленную
на р\. Симметрирование всегда обозначается парой круглых
скобок ( ). Индексы, которые не участвуют в симметриро-
симметрировании, могут быть с обеих сторон выделены вертикальными
черточками. Например:
о) __ 2_ 1р.ур\\а ч_ р.р01хх , р.ан1ф |
^ ^ ^) D.9)
Если тензор инвариантен относительно симметрирования по
некоторым р индексам, то он называется симметричным по
этим индексам. Тогда он инвариантен относительно каждой
перестановки этих индексов. Например:
РГ=>Г' = РГ = Р^х и т. д. D.1,0)
') В оригинале операции называются соответственно 1гапвуес11оп
и соп1гас«ов. В отечественной литературе первую операцию иногда
называют умножением е последующим свертыванием по соответ-
соответствующим индексам. — Прим, перев.
38 П. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Ея
Альтернирование. Операция альтернирования произво-
производится так же, как и симметрирование, но каждый из р\ изо-
изомеров берется с положительным знаком при четной пере-
перестановке и с отрицательным знаком при нечетной. Альтерниро-
Альтернирование обозначается парой квадратных скобок [ ]. Индексы, к
которым операция альтернирования не относится, могут быть
выделены вертикальными черточками. Например:
р-|хр 111 I а] 1 (р-
* I ~7 6 ^
Альтернирование по более чем п индексам всегда дает
нуль. Если тензор инвариантен относительно альтернирования
по некоторым р индексам, то он называется кососимме-
тричным или альтернированным по этим индексам. Сле-
Следовательно, если два таких индекса поменять местами, то это
приведет к изменению знака. Например:
Все эти операции инвариантны относительно допустимых
преобразований координат.
Выключение индексов; ранг относительно определен-
определенных индексов. Свертка тензора с базисными векторами при-
приводит к выключению одного или нескольких индексов. Таким
образом, мы можем из Ри^у получить, например, систему п
тензоров валентности 2:
рк р(п) К НН е е°рР'- /Л 1 дч
V V
Согласно § 2 выключенные индексы расположены здесь над
или под центральной буквой или выделены на их собственных
местах круглыми скобками. Последние более удобны при
выключении большого числа индексов или когда выключаются
одновременно верхние и нижние индексы.
Если в обеих частях уравнения выключаются одни и те же
индексы, уравнение остается инвариантным. Однако, если
в обеих частях уравнения выключаются различные индексы,
необходимо ставить знак ==. Например:
D.14)
4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ ДЛЯ ВЕЛИЧИН 39
Ранг тензора относительно определенных индексов
есть число линейно независимых величин, которые получатся,
если все остальные индексы выключить. При этом не обя-
обязательно, чтобы индексы все были верхними или нижними
или принадлежали одной системе координат. Ранг является
инвариантом всех допустимых координатных преобра-
преобразований. Из определения немедленно следует, что ранг отно-
относительно некоторых индексов равен рангу относительно
всех остальных индексов и что ранг относительно всех
индексов равен /. Действительно, предположим, что
ранг тензора валентности 5-}-/ относительно 5 индексов
равен г.. Тогда этот тензор может быть записан в виде
суммы г линейно независимых тензоров валентности 5, каж-
каждый из которых умножен на тензор валентности (. Но отсюда
следует, что ранг г' относительно I остальных индексов
никогда не может быть больше чем г. То же рассуждение
справедливо, если мы начнем с г индексов и ранга г'. Сле-
Следовательно, г = г'.
Тензор валентности 2 имеет только один нетри-
нетривиальный ранг, равный рангу соответствующей мат-
матрицы-
Пусть г есть ранг некоторого тензора относительно
индекса ц. Тогда, выключая все остальные индексы, мы по-
получим в точности г линейно независимых ко- или контрава-
риантных векторов. Оболочка этих векторов (ср. II, § 2)
называется ^.-оболочкой тензора.
В качестве примера мы рассмотрим Ер и Еч (р + 9 == п),
проходящие через начало координат и не имеющие общих
направлений. Мы хотим определить тензор В* ранга р, ко-
который имеет Ер в качестве носителя и-оболочки и Еч в ка-
качестве носителя Я,-оболочки (ср. II, § 2) и который удовле-
удовлетворяет условию
В*В$=:В1 D.15)
Пусть координатная система выбрана таким образом, что Е
порождается е* е*. аЕ?- остальными контравариант-
ными базисными векторами. Тогда Е9 порождается также
ек е\' а Ер — остальными ковариантными базисными
векторами. Отсюда мы видим, что В\ должен быть
40 И. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В В„
представим в виде
В\ =±= да^М* (а. р = / р). D.16)
о ■ ■
Матрица неизвестных коэффициентов тей) не- может иметь
ранг меньше р, так как ранг В* должен быть равен р.
Из D.15) получаем
«(о^Ю = Ч0§] (а. р. V = ' Р). D.17)
Но это возможно, если только да(р} = й§. Следовательно,
^=Л;У. D.18)
V
Аналогичным образом
С* = ^4 (т] = /; + / я) D.19)
•п
является единственным тензором, имеющим Ед носителем
к-оболочки, Ер — носителем Я,-оболочки и удовлетворяющим
условию .
С^^СЬ D.20)
Из D.18.19) следует, что
ВЪ^р, е»=±п-р;
о
Тензоры В* и С^разлагают контравариалтный,вектор V* на
две составляюшие по Ер ппо.Ег а ковариантный вектор
чок — "а две составляющие, проходящие через Ер и Ед:
5. СИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ 41
б. Симметричные тензоры
Ко- или контравариантный тензор, симметричный по всем
индексам, называется симметричным тензором'):
<^к,...'кр = ^(к,...у,ру E.1)
Среди пр компонент симметричного тензора имеются
в точности [П д~ ) независимых. В центро-аффинном Еп
уравнение
Ч1>х,...хрхХ1 ... х'р^ИР) E.2)
представляет гиперповерхность (коиус) степени р. Обратно,
симметричный тензор те^...» единственным образом опре-
определяется его гиперповерхностью н с точностью до скаляр-
скалярного множителя — его конусом. Аналогичным образом кон-
контравариантный симметричный тензор V**'" нр в центро-аффин-
центро-аффинном Еп связан с гиперповерхностью (конусом) класса р,
определяемой уравнениями
У1-**ин1...иМр = гф) E.3)
в Я„_/-координатах й^. Если симметричный тензор может
быть записан как смешанное произиедение р векторов, конус
вырождается в р гиперплоскостей или р прямых, проходя-
щих через О.
Ранг симметричного тензора один и тот же относительно
всех индексов. Носителем оболочки ковариантного симме-
симметричного тензора 1&\1ш..\ ранга г является Еп.г опреде-
определяемое уравнениями
™1,...1рхКр=0. E.4)
Гиперповерхность Щ^.^.г. есть цилиндр, состоящий из оог~
параллельных Еп_Т. Его конус состоит из оог~2 Е„-г+1, ко-
которые все содержат Еп_г, определяемое E.4).
') Автор называет тензоры аффинорами, а термин теизор со-
сохраняет только для симметричных аффиноров. Принятая здесь тер-
терминология является более употребительной. — Прим. перев.
42
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Я„
6. Поливекторы
Ко- или контравариантный тензор валентности р, альтер-
альтернированный по всем индексам, называется р-ее/сто ром')
г,*/-*р_=гД'У-*р]. F.1)
р должно быть -^ я. Среди пр компонент /7-вектора имеются
в точности [п) независимых. Все компоненты /7-вектора,
имеющие два одинаковых индекса, равны нулю, я-вектор
имеет только одну независимую компоненту, например V1 ■■■ п.
Однако, так как ■у7--'» не является инвариантом, я-вектор
не эквивалентен скаляру.
Если р-вектор может быть записан как альтернирован-
альтернированное произведение р векторов
V
ЛР =
г,*'
F.2)
он называется простым, а каждый из сомножителей произ-
произведения— делителем Vя''" *р.
Мы докажем, что вектор Vх является делителем V*1'" *р
тогда и только тогда, когда
*[*'••• *у] = 0. F.3)
Необходимость этого условия очевидна. Чтобы доказать до-
достаточность, рассмотрим любой вектор та»*,, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию , ,„ .
' ч10)Ук = 1. F.4)
Тогда
О = (р +1) ъ1*' ■ ■ ■ VI шЛ =
= V*! ■ ■ ■ *РуК111)х — У*1'" 'ЛР~'%'ЛРтн — ...
F.5)
что и доказывает предложение.
') А также поливектором, если не упоминается валентность.
Некоторые авторы используют термин «антисимметричный тен-
тензор».
в. ПОЛИВЕКТОРЫ 43
/7-вектор является простым в том н только том слу-
случае, если
у[*1 — *Ру*-1]— *р = 0. F.6)
Необходимость условия очевидна. Чтобы доказать достаточ-
достаточность, заметим, что мы всегда можем так изменить индексы,
чтобы было V1 ■■■ р ф 0. Тогда из F.6) следует, что р век-
векторов V*2 •р, у1у3--р V1 •••</>-')*, получаемые фикси-
фиксированием всех индексов, кроме одного, являются все дели-
делителями V*1''' *р. Более того, эти векторы должны быть
линейно независимыми, так как первая компонента первого
вектора есть V1 •■■ р Ф О, а первые компоненты всех осталь-
остальных векторов равны нулю, и т. д. Следовательно, ъК1'"кр
имеет р линейно независимых делителей и потому простой.
Менее непосредственное необходимое и достаточное
условие
у[х1 ■ ■ • *ру*-1Щ ■л-р~о F.7)
было доказано Вейцзенбоком'). Джайвнс2) доказал теорему,
высказанную еще Вейцзенбоком3), что для нечетного 5
у[*1~-*Ру'>ч-~ЬА'--кр — 0 F.8)
в том и только том случае, когда
1,1*1 -*РуЬ1 - 1-1+1] ■■-Ьр —0 (ср. упр. 11.9). F.9)
Рассмотрим теперь простой контраварианТный бивектор
V* в Е3:
у*1 = 2у[%ц. F.10)
/ 2
Здесь
F.11)
12 12
есть площадь проекции параллелограмма на векторах Vх, V*
1 2
на /2-плоскость, измеренная в единицах площади паралле-
параллелограмма на базисных векторах е*, е*. Знак г/;г/2 — V2V1
12 12 12
положительный или отрицательный в зависимости от того.
') 1908.1; 1923.3. р. 87.
2) 1937.1, р. 364.
3) 1923.3, р 87.
44
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Е„
совпадает ли направление вращения от вектора т>* к век-
вектору V* с направлением вращения от / к 2 в /2-плоскости
2
или нет. Следовательно, 1?уЛ- геометрически изображается
частью плоскости с определен-
определенной площадью (но произволь-
произвольной формы) с внутренней
'1Г ) .ял. ориентацией, причем фигура
/[ А. /1 фиксирована с точностью до
трансляции (рис. 4).
Геометрическая интерпрета-
ния простого контравариантно-
го р-вектора Vх''" *р в Еп мо-
может быть получена аналогич-
аналогичным образом. Берем произволь-
произвольное Ер, имеющее р-направление
Vх' ■■' "V" и в этом Ер выделяем
р-мерную область, проекция
которой в (л — р)-иаправлении
<?[*р+/ .;.. е^п\ на Ер имеет
объем, в точности равный \у1---р\. При этом единичным
является объем параллелотопа'), построенного на базисных
векторах е*, ..., ел. Если эта область имеет внутреннюю
... е*
р
взя-
ориентацию, согласующуюся с ориентацией е*, .
тых в этой последовательности для г>/'--/»>0 и в противо-
противоположной последовательности для ■у'-"Р<0, мы получаем
геометрическое представление Vя'''' *р. Если V '"р = 0,
можно взять любую другую неисчезающую компоненту
Vх' "•• ир. Очевидно, результат не зависит от выбора р ба-
базисных векторов.' Фигура в целом фиксирована с точностью
до трансляции. Мы : видим, что каждый простой р-вектор
определяет внутреннюю ориентацию соответствующего
/^-направления.
') Мы нсиользуем в общем случае этот термин как аналог па-
параллелепипеда для 3 измерений.
6. ПОЛИВЕКТОРЫ
45
Для простого коварианткого бивектора •й'д.и в Ез
выражение
/2
12
F.12)
F.13)
имеет величину, обратную площади пересечения цилиндра
векторов 1О)\ и да*, с 72-плоскостью'), измеренную в едини-
единицах площади параллело-
параллелограмма на базисных векто-
г ' 12 12
рах ек, е"л. Знак тя?Ш2— даг^у
/ 2
положителен, если ориента-
ориентация трубки, фиксированная
последовательностью «»>, и
2
40)., соответствует ориента-
ориентации /2-плоскости. Следова-
Следовательно, щм может быть ге-
геометрически интерпретиро-
интерпретирован как цилиндр с опре-
определенным направлением,
определенной площадью се-
сечения (но произвольной
формы) и внешней ориентацией, причем фигура в целом
фиксирована с точностью до трансляции (рис. 5).
Аналогичным образом может быть получена геометриче-
геометрическая интерпретация простого ковариантного р-вектора
"ш\]...к в Еп. Возьмем произвольный я-мерный цилиндр
(я—/)-мерная граница которого состоит из оор~; Еп_р.
') Ковариантный вектор тк в Е3 может быть задан парой пло-
12
скостей. Два таких вектора а^ и о»^, пересекаясь, образуют цилиндр.
Поперечное сечение последнего с координатной цу-плоскостыо есть,
II? 1 2 \~}
очевидно, параллелограмм с площадью (тцтч — ю^ю^) . При этом
легко видеть» что в данном вопросе форма поперечного сечения
безразлична. — Прим. переа.
Рис. 5.
46
имеющих (я — р)-направление, определяемое <ая,1.„%. Его
пересечение с Е„, порожденным ех е*. имеет объем
\^1...р\ > измеренный в единицах параллелотопа, построен-
построенного на этих векторах. Если этот цилиндр имеет внешнюю
ориентацию, согласованную с ех, .... е* для ча, р>0 и
1 Р
противоположную для <а>1 ...р<0, мы получаем геометриче-
геометрическое представление •Шк1. ..>.„• Если дау. р = 0, можно вы-
выбрать другие р базисных векторов из е*. Очевидно, резуль-
результат не зависит от выбора множества р базисных векторов.
Фигура в целом фиксирована с точностью до трансляции.
Мы видим, что каждый простой ковариантный р-вектор оп-
определяет внешнюю ориентацию своего (я — /?)-направления.
Если /7-вектор не простой, его можно представить в виде
конечной суммы простых р-векторов, так как р-вектор
всегда возможно записать в виде суммы простых векторов
в координатных Ер или координатных Еа_р (ср. I, § 3)
произвольной координатной системы. Мы называем это раз-
разложением р-вектора на листы. Наименьшее число лис-
листов, на которое может быть разложен данный р-вектор,
является инвариантом р-вектора. Для 2 < р < п—2 немного
известно относительно этого инварианта. Но для р = 2 и
р — п — 2 разложение на минимальное число листов может
быть получено без труда.
Мы докажем это для п = 4. Пусть Рк% есть бивектор и
Р^Р^фО. F.14)
Отсюда следует, что
Тогда (ср. F.7))
Г&ь-рМфО. F.16)
ольный простой бивектор Р*1
влетворяющий условию
Возьмем теперь произвольный простой бивектор Р*1, удо-
удоF.17)
7. я-ВЕКТОРЫ 47
и попытаемся определить простой бивектор /?я\ такой, что
Р^ = аР^-\-РнХ. F.18)
/ 2
Так как Р*к должен быть простым, мы имеем необходимое
2
и достаточное условие
=0г FЛ9)
из которого может быть единственным образом определено а.
Следовательно, если РлЬ выбран, Р*% определяется одно-
/ 2
значно. Таким же образом можно доказать, что каждый би-
бивектор ранга 2р может быть разложен на р и не меньше чем
на р простых бивекторов. Разложение определяется неодно-
неоднозначно. Разложение (п — 2)-векторов может быть сведено
к разложению бивекторов, как это будет показано в § 7.
Ранг р-вектора относительно каждого из индексов оди-
одинаков. Очевидно, только р-векторы ранга р являются про-
простыми р-векторами.
7. л-векторы
«-вектор представляется объемом в Еа, снабженным
«-мерной ориентацией. Его компонента V1 ■•■ "(«»/... „) есть
объем (взаимный объем), измеренный с помощью паралле-
параллелотопа из базисных векторов и взятый с положительным
(отрицательным) знаком, если ориентация соответствует (про-
(противоположна) /, 2, .... «-ориентации. Отсюда следует, что
два произвольных ко- (контра-)вариантных л-вектора отли-
отличаются только скалярным множителем.
Так как
= п\а{'1;;;№-п = ^'-п, G.1)
компонента V1---" не является скаляром. Аналогично мы
можем доказать, что
9г ...„- = А"'»/...». G.2)
48 П. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Я„
Каждой координатной системе для любого р<^я прина-
принадлежат (га) контравариантных и [ ] ковариантных р-век-
торов, например р! е'*г... еу"рУ
' р
Два л-вектора, принадлежащие (х). могут быть записаны
в виде
1-х) м г п G-3)
«I; ...*„= Я !*[*; •••**„].
Очевидно,
Е'-я=1. ег...я=1. G.4)
(
п-вектора геометрически представляются параллелото-
параллелотопом на базисных векторах с /, 2 л-ориентацией.
С помощью этих л-векторов может быть установлено
взаимно однозначное соответствие между контравариантными
/7-векторами и ковариантными (л — р)-векторами. Если мы
определим
то легко показать, что
^р^-^^1.^ КрЕ*.,...Ьр*Р+1- -Упш G.6)
Оба уравнения выражают тот факт, что
^...^ = ^+'-4 G.7)
если }Х/... ца есть четная перестановка / ... л. Но это
соответствие ни инвариантно, так как оно зависит от выбора
системы (и). Если (и) изменить, дад,;... ^ может приобрести
скалярный множитель. Это соответствие может быть исполь-
использовано для доказательства того, что любой (л — 2)-вектор
всегда может быть разложен, и притом не больше чем
на -тг л листов. Для того чтобы сделать это, мы должны
разложить соответствующий бивектор.
8. ПЛОТНОСТИ 49
8. Плотности1)
Как мы видели, разница между V1---" и скаляром заклю-
заключается в том, что закон преобразования для »'•••» содержит
множитель Д. Мы определим скалярную А-плотность
веса ( как величину с одной компонентой р и законом пре-
преобразования2)
<Х') (X)
р[х'] = Д~'/>[х] или р = Д~'/>. (8.1)
Тогда контравариантный «-вектор может рассматриваться
как скалярная Д-плотность веса — /, а ковариантный га-век-
тОр — как скалярная Д-плотность веса-)-/. Это не является
новой геометрической концепцией, а лишь обозначением,
позволяющим нам избавиться от группы индексов.
Так как л-вектор обладает ориентацией, каждая скаляр-
скалярная Д-плотность с нечетным положительным или отрицатель-
отрицательным весом также имеет ориентацию. Это есть ориентация
тех координатных систем, относительно которых компонента
положительна.
Любой скаляр, симметричный тензор, поливектор или тен-
тензор может быть умножен на скалярную Д-плотность веса (.
Тогда мы получим скалярную или соответствующую
тензорную А-плотность веса I. Следовательно, тензорная
Д-плотность веса (, контравариантной валентности р и кова-
рнантной валентности д имеет оо"+« компонент Р.' '" \ ... \
с законом преобразования
.1,...\д х; ... ■лрК1...Ъ.я . .*.,...^
Мы будем обычно использовать знак ~» над коренной бук-
буквой для обозначения этих плотностей.
Все, что было сказано относительно индексов, сложения,
изомеров, умножения, свертки, симметрирования, альтерниро-
альтернирования, ранга, оболочки и носителя переносится ти1а{13
') Ср. также Схоу тен 1938.2; Схоутен и Данциг 1940.1;
Доргело и Схоутеи 1946.1.
2) Так как скалярная плотность не имеет индексов, система
координат должна быть указана другим способом.
4 Я. А. Схоутен
50 !!. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Е„
ти1апсНз') на тензорные А-плотности (а также на тензорные
плотности, которые будут определены ниже). Сложение воз-
возможно лишь для величин, имеющих одинаковую валентность
и одинаковый вес.
Уравнения
Ё'-п = 1. «/...„ = /. (8.3)
имеющие смысл относительно каждой системы координат,
определяют две ге-вектор-Д-плотности с весами -\-1 и — /
соответственно. Действительно,
= л!А'1 а'];:;„[& •••"=е7 -" = /. (8.4)
Эти я-вектор-Д-плотности не зависят от выбора системы
координат. Они могут быть использованы для установления
инвариантного взаимно однозначного соответствия между
контра-(ко) вариантными /7-векторами и ко-(контра)вариант-
ныму (л— /?)-вектор-Д-плотностями веса —1 (-(- 1) с по-
помощью формул:
(а)
(_/)-рр~
(Ф <а>к1...кр=1п_рIе^.1.
или с учетом значений компонент Е ' ", е^...^
где \1; ... \к„ есть четная перестановка /, .... л. Коэффи-
Коэффициенты ар и рр могут быть выбраны произвольно. Мы пока
') тиШз ти1апЙ1з (лат.) — с необходимыми изменениями. —
Прим. перее.
8. ПЛОТНОСТИ 51
отложим этот выбор с тем, чтобы в дальнейшем согласовать
его с отождествлением величин, которое становится возмож-
возможным после введения подгрупп аффинной группы Оа. Как мы
увидим в гл. III, провести это отождествление согласованным
образом возможно лишь в случае выбора подходящих зна-
значений для ар и Рр. Однако в случае, если не вводятся ни-
никакие подгруппы Оа, мы можем положить ар = $р = 0 для
всех значений р.
(8.6) показывает, что компоненты контра-(ко)вариантного
вектора могут также рассматриваться как компоненты ко-
(контра)вариантной («—/?)-вектор-Д-плотности веса —/ (-{-/).
Следовательно, геометрические значения соответствующих
величин совпадают. Имеется лишь разница в обозначении.
Ё*7 " и е\1.„-кп соответствуют скаляру -\-1. Использо-
Использование Д-плотностей представляет иногда определенное удоб-
удобство. Например, если тривектор г>к1^ в Е* записать в виде г^,
формулы будут содержать меньше индексов.
Мы можем также непосредственно доказать, что Vя! •■•'лр
преобразуются, как компоненты ковариантной (п — р)-вектор-
Д-плотности веса —1. Рассмотрим для примера V23, V31 и V12
в Ез. Мы знаем, что
2' Зт 2' 3' а'К I 2' Зг 2' 3'\ 23
+ (Аз"А3,' — А]'А33') V3' + {А2/А32 — А%А3') V12. (8.7)
Здесь А} Аз — Аз Аг есть минор элемента Л; в матрице А* .
Следовательно,
А2' А3' А2' А3'
А'г= А 3 2 . (8.8)
Находя Л;- и Аг аналогичным образом, мы получаем урав-
уравнение
V1-'3' = Д (а'г у23-\- А2' V31 + Аг V12), (8.9)
которое и доказывает наше утверждение.
Таблица на стр. 52 дает сводку величин, с которыми нам
приходилось встречаться в Ез.
Если в формулах преобразования для Д-плотностей мы
заменим А на | А |, то получим плотности другого рода. Эти
новые плотности называются обычными плотностями или
4*
52
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Я„
Фигура
/
ф
О)
$
Обыч-
Обычное
обозна-
обозначение
1
V*
р*Х\>.
Другое
обозна-
обозначение
~хХ.A
».
Вес
—/
—/
+1
—1
Соотношения
(циклическая
перестановка)
*
/ = (—/)а; у25
Число
компонент
1'
5 (проекция)
\сечение/
3(проекция)
\,сечеиие/
/ (объем)
\ объем /
Ориента-
Ориентация
Внутрен-
Внутренняя
Внешняя
Внутрен-
Внутренняя
Внешняя
Внут-
Внутренняя
(8.10)
сокращенно плотностями. Если используются преобразо-
преобразования координат только с положительным А, то разница
между ^-плотностями и обычными плотностями исче-
исчезает. Это другой пример отождествления величин после
замены Оа ее подгруппой. Как празило, мы будем использо-
использовать для обозначения обычных плотностей знак Л над ко-
коренной буквой. Но имеются и исключения. Например, плот-
8. ПЛОТНОСТИ 53
ность массы, т. е. масса параллелепипеда, построенного
на базисных векторах, всегда обозначается греческой
буквой.
Чтобы найти геометрическую интерпретацию контра- и
ковариантных обычных /?-вектор-плотностей веса -{- У и — /
соответственно, мы образуем свертку ковариантной векторной
А-плотности веса -{- / и ковариантной обычной векторной
плотности веса —/. Эта свертка имеет одну компоненту р
с законом преобразования
*р1к']=]-^-рМ- (8.11)
Такая величина называется ^-скаляром '). 1^-скаляр изме-
изменяет свой знак, если координатная система преобразуется
в систему с противоположной ориентацией. Произведение
тензора с ^-скаляром называется ^-тензором2). Возьмем,
например, простой контравариантный р-вектор т»*7" *р, пред-
представляющий часть некоторого Ер с внутренней ориентацией.
Тогда эта внутренняя ориентация совместно с /,..., га-
ориентацией координатной системы определяет единственным
образом внешнюю ориентацию Ер. Эта вторая ориентация
изменяется, если производится преобразование -координат
с отрицательным А. Из ч?1'" *# и 1^-скаляра :мы можем
образовать новую величину ; ;
1*'--*рШ *^-*р. ■=■:■
= -, .. , . ■ C-12)
р [%] = !, ;;
которая называется №-р-вектором: Эта величина имеет
те же компоненты, что и г>х'•••"/>, относительно любой коор-
координатной системы, ориентация которой совпадает с (и), и те
же компоненты, что и —■уяг-"хр относительно всех осталь-
остальных систем координат. Это означает, что введенная выше
внешняя ориентация является инвариантом для всех пре-
преобразований координат. Следовательно, •ок1*--'*р предста-
представляется той же частью Ер, что и"уЛ''"'Л-0, но с заменой
') Физики иногда иазывают ее псевдоскаляром.
*) А также псевдотензором. ■ ....
54
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Е.
внутренней ориентации на внешнюю. Если мы начнем с кова-
риантного /ьвектора (внешняя ориентация), мы получим
таким же образом ковариантный №-р-вектор с внутренней
ориентацией. Все эти 1^-величины преобразуются, как
Рис. 6.
соответствующие обычные величины, но с дополнительным
множителем |Д|/Д. Как правило, над коренной буквой
и^-величин ставится знак *.
С помощью величин Е '"' " и ех1...}.п можно устано-
установить взаимно однозначное соответствие между контра-(ко)-
вариантными и^-р-векторами и ко-(контра)вариантными
8. ПЛОТНОСТИ 55
обычными (га — /?)-вектор-плотностями:
(а) «х,...х, = [г=^
—. V
(Ь) ^"+1-Хя = (-=1^Г^
(с) и*Р+' - ^
*'
(8.13)
или с учетом значений компонент Е%1'"*п и ек}...кп
(8.14)
где И-1 ... Мл есть четная перестановка 1 ... п. Коэффи-
Коэффициенты ур и Ьр могут быть выбраны произвольно. Мы пока
отложим этот выбор с тем, чтобы в дальнейшем согласовать
его с отождествлением величин, которое становится возмож-
возможным после введения подгрупп аффинной группы Оа. Этот
вопрос будет обсуждаться в гл. III. Однако в случае, если
никакие подгруппы Оа не вводятся, мы можем положить
ур = 6р — 0 для всех значений р.
(8.14) показывает, что компоненты контра-(ко)вариантного
№-/>-вектора можно также рассматривать как компоненты
ко-(контра)вариантной (и — />)-вектор-плотности веса —/
(+• 1). Следовательно, геометрические представления соответ-
соответствующих величин не различаются. Имеется лишь разница
в обозначении.
В таблице на стр. 56 дана сводка этих величин.
Обычная скалярная плотность не имеет ориентации. Этот
тип плотности встречается в физике. Например, плотность
массы есть обычная скалярная плотность веса -\-1. На рис. 6
приведены модели для величин, входящих в формулы (8.10)
и (8.15;.
56
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Е.
Фигура
/
Другое
обозна-
обозначение
'■I
г*
*
лл.и
*
ОбыЧ-
ное
обозна-
обозначение
~ХХ|Л
Р
-Л
/,
Л*
р
я
Вес
—^
—/
Соотношения
(цикл.)
;,=<-„* л
Число
компонент
1'
3 (проекция)
^сеченне/
3 (проекция)
3{ 1 \
\сечение/
/ (объем)
1 \ \
' \ объем /
Ориеата
ция
Внешняя
Внутрен-
Внутренняя
Внешняя
Внутрен-
Внутренняя
,. Внеш-
Внешняя
(8.15)
9. Величину" валентности 2 и матрицы
Легко Показать, что
и | р'., р* , го п
и что компоненты величины
(9.2)
9. ВЕЛИЧИНЫ ВАЛЕНТНОСТИ 2 И МАТРИЦЫ 57
являются 5-строчными подопределителями матрицы Р*к.
Отсюда следует, что ранг Рч>, есть г тогда и только тогда,
когда
для
Это же имеет место пийаКз ти1апсИ8 для всех величин
валентности 2 и их матриц.
Для бивектора Vх*- можно показать, что
Bр)! гД*'.!*7 ... г/р] "■*! =
Отсюда следует, что для п = 2р
Бе1 (г»л) = Г-^- г»112 ... *«-'. "I]2 (9.5)
Ь 2м - р! ]
и что г/у>> имеет ранг г (всегда четный) тог да. и только тогда,
когда
** (9.6)
= 0 для 2р > г. ч '
Для каждого определенного выбора и/, «... и/р выражение
(9.7)
является «пфаффовым агрегатом» порядка Яр2), а именно
суммой всех существенно различных членов вида V*'*2...
... ■ул'2Р-/У2Р, где V] г/?р—четная перестановка к/, .... ^р.
Все члены, которые равны вследствие условия VVX = — Н)Хк,
не считаются существенно различными. Число всех сущест-
существенно различных членов есть Bр) I 2~*> (р)~ , например для р==2
') В выражениях подобного рода альтерннрование индексов к
и Я должно производиться раздельна
2) Ср. Вебер 1900. 1, р. 21.
58 II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Еа
Это же имеет место пиНаНз тикпсНз для всех альтерни-
альтернированных величин валентности 2.
Если мы имеем дело с произвольными величинами валент-
валентности 2, например />хХ, может возникнуть вопрос, всегда ли
возможно выбрать Р*х таким образом, чтобы матрица
Р^рР^оР1*3 приняла простую форму. Полный ответ на этот
вопрос дается в теории элементарных делателей '). В двух
следующих параграфах мы приведем результаты лишь для
симметричных и альтернированных величин.
10. Канонические формы симметричного тензора
валентности 2
Если в центро-аффинном Ез задан симметричный тен-
тензор Л»,*, уравнение его поверхности (ср. II, § 2) имеет вид
кыХьХ* = 1. A0.1)
Если ранг Их* равен 3, та же поверхность может быть пред-
представлена уравнением
иХ/ A0.2)
в координатах плоскости. Если теперь А^х действителен,
то, как хорошо известно из аналитической геометрии, всегда
существует действительное преобразование, такое, что
отличными от нуля координатами являются лишь
куг = ± 1\ &2'г = ± I или 0; куу = ± I или 0.
A0.3)
Индекс, т. е. число отрицательных знаков в A0.3), является
инвариантом к%к.
То же имеет место для п > 3. Если г есть ранг кум и
если Ахх действителен, всегда существует такое дей-
действительное преобразование координат (к) ->(«'), что
■) См., например, Схоутен н Стройк 1935. 1;Гант-
махер 1953. 1.
10. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА 59
матрица Ах-х' принимает форму
5 -> <-- Г — 3 -> <- П — Г ->
—1 О 0 ... О
О ...
О
О ...
+1 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
A0.4)
Это можно сформулировать иначе. Если к\-л дейстаите-
лея, всегда можно найти такой действительный тензор Р\,
что матрица Я'дЯ^хЛро имеет форму A0.4). Последователь-
Последовательность знаков — ... 1- ... + в A0.4) мы будем назы-
пать сигнатурой, а число $ — индексом Н\.Л. в является
инвариантом действительных преобразований координат.
Говорят, что сигнатура четна, если 5 четно, и нечетна,
если * нечетно.
Если г = п, сигнатуры йа,к и НЛ совпадают. В этом слу-
-/
чае /г>.и н Ах называются положительно определенными,
если 8 = 0, отрицательно определенными, если $ — п,
и неопределенными во всех остальных случаях.
Сигнатура и индекс действительного контравариантного
симметричного тензора валентности 2 определяются аналогич-
аналогичным образом.
60
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В В,
п
11. Канонические формы бивектора
Любой бивектор /**■ в Ез всегда простой и, следовательно,
его ранг равен 2. Если /"*" действителен и если
/уЛ = 2у1'лт1\ . (П.1)
мы можем таким образом выбрать действительную систему
координат, что
еи==ади> е* — х>у-. (П-2)
/' 2'
Тогда матрица /*1 принимает вид
0.1 0 II
—1 О О К A1.3)
0 0 0
Используя разложение действительного бивектора /**■
в Е„, имеющего ранг 2р, на р действительных листов
(ср. II, § 6), можно аналогичным образом показать, что
всегда существует такая действительная система координат (к'),
что матрица /"к принимает вид
« 2р -> <- п — 2а ->
О 1 ... О 0 ... 0 ||
—10 • •
0 1
0 ..
0
. —1
0
0
0 ...
0 ..
. о
. 0
о
о о
0
A1.4)
Это можно сформулировать иначе. Если / действите-
действителен, всегда существует такой действительный тензор Р\,
что матрица ЯГрР.о/130 имеет форму A1.4).
То же справедливо ти1аН$ гтПапсНз для ковариантных
бивекторов.
12. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР 61
12. Фундаментальный тензор
Введем в Еп действительный симметричный тензор
ранга г с постоянными компонентами. Обозначим тензор,
обратный ёы< через #*Ч
р и &у:к называются соответственно ковариантным и кон-
контравариантным фундаментальным тензором. Е„ с фун-
фундаментальным тензором называется /?„. Скаляр
*хУ*х A2.2)
является инвариантом вектора Vя в /?„. Инвариант
называется длиной вектора г»х1). Если §"^я неопределенный
и Vх действителен, ^„«'Ч'51 может быть положительно, отри-
отрицательно или равно нулю. Вектор нулевой длины называется
изотропным или нулевым вектором, а вектор длины / —
единичным вектором. Изотропные векторы заполняют нуле-
нулевой конус2), определенный уравнением
2ых*-х* = 0. A2.4)
Нулевой конус действительный в том и только том случае,
если ^?и неопределенный. В этом случае центро-аффинное Ц.п
распадается на две части — положительную область, за-
заполненную действительными векторами с §1х^г>х > 0, и отри-
цательную область, заполненную действительными векто-
векторами с 8ыу^к < 0.
Гиперсфера
ёыхЬх*= + 1 A2.5)
называется единичной гиперсферой в отрицательной и поло-
положительной областях соответственно.
') В специальной теории относительности пространство — время
Рассматривается как Н4 с сигнатурой '-)-.
2) В теории относительности — световой конус. — Прим. перев.
62 II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Ь'„
Два вектора и* и Vх, удовлетворяющие условию
ы = 0, A2.6)
называются ортогональными. Следовательно, изотропный
вектор ортогонален самому себе, и только изотропные век-
векторы обладают этим свойством.
Используя нормальную форму §^и (ср. II, § 10), можно
ввести такую систему координат хн (А = 1 ... п), что не-
исчезающие компоненты ^1Н, (*М будут в ней иметь вид
1, 3 + 1 =
A2.7)
Подобная система координат называется декартовой систе-
системой координат в /?„. Для индексов декартовой системы
координат мы всегда будем использовать латинские буквы и
прямые цифры. Базисные векторы декартовой системы коор-
й
динат будут обозначаться через / , 1{. Таким образом,
1Н — взаимно ортогональные единичные векторы.
Аналогично тому, как это делается в обычном простран-
пространстве, мы определим угол между двумя векторами и* и V*,
которые оба лежат в отрицательной области или оба — в по-
положительной области, посредством соотношения
V
(а: область). A2.8)
Фундаментальный тензор устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между ко- и контравариантными век-
векторами:
11!)к, 11!)кё*-* = У*. A2.9)
Отсюда следует, что V* и да*, могут рассматриваться как два
различных представления одной и той же величины. По-
!2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР 63
следняя может быть равноценно интерпретирована геометри-
геометрически или как отрезок со стрелкой, или как система двух
параллельных гиперплоскостей. Во втором случае расстояние
между двумя гиперплоскостями чю\ обратно по величине
длине V: В обоих случаях мы будем использовать одну и
ту же коренную букву для этой величины. Например,
= &*. A2.10)
Эта операция называется поднятием и опусканием индек-
индексов. Уравнение
оправдывает использование одной и той же коренной буквы
для &ы и ^и. Используя эту операцию, мы можем для
каждого тензора или тензорной плотности образовать ком-
компоненты различных типов. Например, для Р^х имеем
РцЛ' = е**р у, Р = /> ^ , A2.12)
Все эти компоненты имеют одну и ту же коренную букву.
Имеет место следующая связь между ко- и контравариант-
пыми базисными векторами, принадлежащими одной и той же
ортогональной системе координат:
1 8 5+1 П
A2.13)
и соответственно между ортогональными компонентами
вектора:
(=1 8)
1, ..., п).
Длина вектора Vх в ортогональных компонентах равна
|_г,з+1г)з+1_|_ щшш _|_г,пг,п|, A2.15)
а уравнение нулевого конуса имеет вид
—х х5 -|- х*+*х*+1 -|- • • • -\-х*хя — 0. A2.16)
В обычном пространстве мы используем сигнатуру
или ,-». — _, Последняя является более предпочтительной
64 И. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Р.
п
в физических исследованиях, если имеется в виду реляти-
релятивистская точка зрения.
Введение фундаментального тензора фиксирует единич-
единичный объем, т. е. объем параллелотопа, построенного на п
взаимно ортогональных единичных векторах, /г-векторы
2 й{ ! Г 'I 02-17)
(Ь) ^1 ... 1п = п "[*.; '?.„]• '1...п = +'
с объемом -(-7 являются инвариантами ортогональных пре-
преобразований ортогональных систем координат при А = -(-7
и изменяют знак при Д = — /. д-вектору 1г.1...\п соответ-
соответствует скалярная Д-плотность веса -{-7:
(Л) (Л)
ПЛ] = ^1...п = -т-/. A2.18)
(Л)
А-плотность 7:7 веса — 7 соответствует 7И; ••■ х". Следова-
(А)
тельно, компонента 7 равна —7 относительно всех орто-
ортогональных систем координат с той же ориентацией, что и (Л)
и равна —1 относительно всех остальных ортогональных
(А)
систем координат. Таким образом, §Кх фиксирует 7 только
с точностью до множителя±7, а это означает, что $ы
фиксирует только единичный объем, но не ориентацию.
#
Если (о есть ^-скаляр с компонентой -\-1 относительно
всех систем координат с той же ориентацией, что и (А),
и .—1 относительно всех остальных систем, то величина
? = о'7 A2.19)
является обычной плотностью веса -\-1 относительно всех
ортогональных систем координат. Эта плотность тесно свя-
связана с @1у. Действительно, если положить
$ [х] ^ | Ое1 (еы)| = л ! \е{1 „ ...ёп]п] \, A2.20)
13. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В Ёп Я /?„ 65
то мы будем иметь
Следовательно, & есть обычная скалярная плотность веса {й
с компонентой -\-1 относительно любой ортогональной си-
системы, откуда
7= Р . A2.22)
(В дальнейшем, следуя общепринятому обозначению, мы
будем вместо §• писать просто д.—Прим. перев.)
13. Матричное исчисление в Еп и /?«
Уравнения
РЖ>. = К\ A3.1)
могут быть также записаны в сокращенной форме
РЯ — П, A3.2)
где Р, С} и /? можно рассматривать как символы тензоров
в A3.1), не зависящие от выбора системы координат. Но мы
можем смотреть на Р, ф, /? так же, как на символы матриц
компонент этих тензоров относительно произвольной, но
фиксированной системы координат, например (к). Тогда A3.2)
определяет умножение матриц при условии, что мы дого-
договорились об определенной связи между индексами и строками
и столбцами. В дальнейшем мы всегда полагаем, что левый
индекс обозначает строки, а правый — столбцы и что если
нижний индекс стоит непосредственно под верхним, нижний
должен рассматриваться как левый, а верхний — как пра-
правый. Тогда элемент и-строки и ^.-столбца произведения на-
находится перемножением для всех значений р элемента х-строки
и ^.-столбца левого множителя с элементом р-строки и
^-столбца правого множителя с последующим суммированием
всех этих п произведений.
5 Я. А. Схоутен
Ы И. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В 0„
Умножение и сложение матриц являются составными ча-
частями матричного исчисления. Это исчисление можно рас-
расширить, записывая уравнения
'ч чУ ' \ У A3.3)
в сокращенной форме
'•О = Р1», Г11) = 11)Р, р = 11)Ь=.1Н1) A3.4)
и рассматривая V, 'V как символы матриц с одним столбцом,
а «>.. '-т — как символы матриц с одной строкой.
Тензорное исчисление величин валентности 2 и матрич-
матричное исчисление не являются полностью эквивалентными. В тен-
тензорном исчислении с самого начала задана группа Оа, и мы
интересуемся лишь свойствами и операциями, инвариантными
относительно этой группы. Например, мы знаем относительно
каждой величины, является ли она ковариантной, контрава-
риантной, смешанной \ или смешанной '*, и умножения вы-
выполнимы лишь в том случае, если можно произвести свертку
одного верхнего и одного нижнего индексов. Точно так же
свойства симметрии или антисимметрии имеют смысл лишь
для ко- или контравариантных величин. С другой стороны,
в матричном исчислении первоначально не задана никакая
группа. Следовательно, матрица является более общей кон-
концепцией, и нет никакой необходимости рассматривать ее всегда
как множество компонент некоторой ко- или контравариант-
ной, или смешанной величины. Конечно, в любой момент
можно ввести однородные линейные преобразования (ко- или
контравариантные) строк и столбцоз друг относительно друга
или совершенно произвольным образом исследовать их инва-
инварианты. Но в матричном исчислении, как оно было развито
Кэли и многими другими задолго до открытия тензорного
исчисления, имеется много разделов теории и много прило-
приложений, в которых преобразование строк и столбцов вообще
не рассматривается').
>) Ср. ЛУ. О 1V е п 8, Ма1Н. Кеу. V. 9 A948), р. 324 в его обзоре
Душека 1947.6. Референт критикует многих авторов за тенденцию
«рассматривать матрицы иначе, чем линейные преобразования одного
множества переменных в другое ковариантное множество» и за по-
подобную тенденцию «отмечать эффективность тензорных обозначений
и алгебры в применении к большому числу переменных совершенно
безотносительно наличия группы преобразований».
13. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В 5„ И /?„ 67
Вводя изомеры
& <Я к*
соответствующие транспонированию матриц Р, <? и /?
в A3.2) и A3.4), мы получаем1)
'ъ = уР, '■ш = Рт. A3.6)
При использовании этой системы обозначений мы всегда
должны помнить, имеет ли символ, подобный Р, контрава-
риантный. характер слева и ковариантныи характер справа
или наоборот, и обозначает ли символ, подобный V, ко- или
колтравариантный вектор. Например, <оР и Рш не имеют
смысла.
Дальнейшее расширение сокращенных обозначений можно
получить, вводя символы для ко- и контравариантных вели-
величин валентности 2. Например, обозначая Н%л и /х* через А
и /, получим
к%> или %>Н для Ллх1?*!
/>/<?, <2/Р для Й*$а/". Р\0?оГ\ A3-7)
А/, /А для А^/р>(. /^Алр и т. д.
Величины, обратные Р, Н и /, которые существуют лишь
в том случае, если их ранг равен я, мы обозначим через Р~\
/Г' и /";. Тогда
рр-* = р~'Р==А< нн-1 = к-'н = Аш //-; = /-'/ = Л,
A3-8)
') Многие авторы пишут Р' нли Р* вместо И. Штрих или звез-
звездочка справа неудобны, если мы хотим иногда возвращаться к обо-
обозначениям с индексами. Так что в этом случае было бы лучше
писать 'Р или *Р. Но вертикальная черта непосредственно над цен-
центральной буквой имеет то преимущество, что если мы используем
обозначение Р для комплексно сопряженного Р, две черты могут
быть скомбннированы в обозначение Р для часто встречающегося
сопряжения с транспонированием, для которого другие авторы должны
вводить новые символы Р или Р+,
5»
68 П. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Еп
и из A3.1) находим
у^О-'Р'^Къ, A3.9)
При использовании этого расширения мы должны всегда
помнить о ковариантном и контравариантном характере всех
несмешанных величин валентности 2.
Вся эта работа по запоминанию очень неудобна, и это
делает символический метод менее автоматическим, чем си-
система индексов. Но имеются два исключения. В /?я разница
между ко- и контравариантными величинами исчезает и по-
поэтому в матричном исчислении нет никаких операций, кото-
которые не были бы инвариантными относительно группы вра-
вращений и отражений Оот. Если, сверх того, фундаментальный
тензор положительно определенный и используются только
декартовы системы координат, исчезает также разница между
ко- и контравариантными компонентами. Здесь матричное
исчисление действительно является идеальным методом во
всех случаях, когда приходится иметь дело с величинами
валентности 2 и требуется сокращенная символика.
Другим исключением, при котором может быть (еще более)-
рекомендовано матричное исчисление, является (/„, т. е. Еп
с группой Оип всех унитарных преобразований, особенно
если (эрмитов) фундаментальный тензор положительно опре-
определенный, а координатные системы (унитарно) ортогональны !)
14. Ортогональные нормальные формы
симметричных тензоров валентности 2
и бивекторов
Если задана величина Т\, мы можем попытаться найти
вектор •»*, удовлетворяющий уравнению
Т\юх — ауЛ, A4.1)
') Ср. гл. X, в которой рассматривается матричное нечисление
Дирака.
14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИММЕТРИЧНЫХ ТЕНЗОРОВ 69
где о есть подходящий скалярный множитель, о является
одним из корней уравнения
Ве{{Т\ — аА}) — 0 A4.2)
степени я. Уравнение
ткТ\ = так A4.3)
приводит к тому же уравнению A4.2). Каждый корень A4.2)
называется собственным значением ТП)_. Вектор ъп(-ш\
удовлетворяющий A4.1 C)) для этого значения о, называется
контравариантным (ковариантным) собственным вектором,
принадлежащим данному собственному значению.
Здесь нас особенно интересует случай, когда фундамен-
фундаментальный тензор определенный, а 7\а действительный и
симметричный. В этом случае A4.2) можно записать в виде
0 (Н.4)
и можно показать, что корни этого уравнения всегда дей-
ствительны!). Если о и о — два неравных корня этого урав-
1 2
нения и Vх и Vх — два решения A4.4) для а = а и а = а, то
1 2
мы имеем
/ 2
•г^7\,,# = ау^-р Vх = оч»м^Г„,,'г>\ A4.5)
/ * 2 I Д 2 1 Ц 2
а это возможно лишь в том случае, если собственные век-
векторы г»4 и Vм взаимно ортогональны и
у»Т„куЬ = О. A4.6)
/ 2
1
Если о есть т-кратный корень A4.4), то можно показать,
1
что собственные векторы, принадлежащие о, являются век-
векторами определенного действительного Нт- В этом Ят мы
можем всегда выбрать т взаимно ортогональных действи-
действительных собственных векторов. Поступая таким образом со
') Мы опускаем доказательство, так как более общее предло-
предложение будет доказано в гл. X.
70 II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Еп
всеми корнями, мы получаем в конечном счете п различных
взаимно ортогональных действительных векторов тензора 7\ц,.
Если единичные векторы этих собственных векторов обозна-
обозначить через (л (/=1| .... п) и если эти векторы выбраны
в качестве базисных, мы имеем
Отсюда
Теорема о главных осях симметричного тен-
тензора валентности 2.
Если фундаментальный тензор определенный и если
Тцх — действительный симметричный тензор, то всегда
возможно найти такую действительную ортогональ-
ортогональную систему координат (А), что
Тц — ° ('■ У=1 п;У^/). A4.8)
Имеется соответствующая теорема для бивекторов:
Теорема о главных листах бивектора.
Если фундаментальный тензор определенный и если
/ .—действительный бивектор ранга 2р, то всегда воз-
можно разложить /^ на р взаимно ортогональных
действительных листов.
Заметим, что пи теорема о главных осях, ни теорема о
главных листах не имеют места, если фундаментальный тензор
неопределенный. Причиной этого является то обстоятельство,
что в этом случае действительный симметричный тензор или
бивектор могут иметь сингулярное положение относительно
нулевого конуса. Теорема, однако, остается справедливой
для симметричных тензоров и бивекторов, которые не нахо-
находятся в таком сингулярном положении.
УПРАЖНЕНИЯ
II. 1. Если Р * '" Р(),Л1 и , д < р, есть тензор при любом
выборе тензора (}н и , то РИ/ "' *р — тензор.
II. 2. Если «Ли —тензор и если уравнение
УПРАЖНЕНИЯ 71
имеет место относительно координатной системы (х), то оно спра-
справедливо также относительно любой другой координатной системы.
Если V,м Ф 0, то или а = Ь или а = — Ь.
II. 3. Доказать, что
' Р V Р] V р]
...рУ,
II. 4. Доказать, что
- ч
и что аналогичное соотношение справедливо для Е "и
11.5. Если уз —ранг Р\, д — ранг 0чх н г — раиг Яидр^, то
г < р и < ?. Если ^ = я, то г = р.
11.6. Если <'", г*1 — единичные взаимно ортогональные векторы
I 2
соответственно в отрицательной н положительной областях /?„, то
1п 4- «х и Iм — Iх — изотропные векторы,
12 12
Г 1 2
— единичный вектор в отрицательной области и
Iх = ± 1п зЬ ср -4- «х сп Ф
21 1 2
— единичный вектор в положительной области, ортогональный г*.
II. 7. Доказать, что если ^^/^ и ё^0^к симметричны, то после
опускания первого индекса Рр + С3 симметричен, а Р<2 — (}Р
антисимметричен.
II. 8. Ковариантный вектор »Л имеет ту же ориентацию, что и
коитраварнантный вектор »х, или противоположную в зависимости
от того, лежит ли Vя в положительной или отрицательной областях.
Н.Э. Доказать, что в[ч'ч*Кво'1**Хл«. 0 есть следствие
V > 'г^О, выписав полностью
III. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН
В Еп ПОСЛЕ ВВЕДЕНИЯ ПОДГРУПП О.1)
1. Введение единичного
объема (подгруппа Ощ)
Единичный объем, представляемый обычно скалярной плот-
плотностью д веса -}-/, устанавливает взаимно однозначное со-
соответствие между контра-(ко)вариантными р-векторами
AУ-р-векторами) и контра- (ко)вариантными р-вектор-плот-
ностями (р-вектор-А-плотностями) веса -\-1 и —/ соответ-
соответственно:
*'
A.1)
?.;..
= + /).
Например, для я = 3:
Vх =
Л ^ч =
К*.
Рис. 7.
') Ср. Р. К. 1924.1; 1954.1; Схоутен 1938.2; Схоутен и
Данциг 194О.и Доргель и Схоутен, 1946.1.
2. ВВЕДЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ТЕНЗОРА 73
Из A11.1.1), (II. 8.6) и (II. 8.14) следует, что
A.2)
~ - рр (той 2). Ьр = - ар (той 2) 1).
Если единичный объем введен с помощью фундаменталь-
фундаментального тензора ^к, мы имеем д = I и, следовательно, в орто-
ортогональных компонентах
г. р=* р, г, "==г> Л (кз)
(Л/ Нр, I; (р= I, .... п).
2. Введение фундаментального тензора
(подгруппа бог)
Фундаментальный тензор %ы устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между контра-(ко)вариантными и ко-
(контра)вариантными р-векторами, 1^-р-векторами, />-век-
тор-плотностями и р-вектор-А-плотностями
- ^' B.1)
... V
или в ортогональных координатах ((р — число отрицательных
знаков среди первых р знаков сигнатуры)
^ - Р = (-//'«1 ...р.
V1 -' = (—/)'/» «1... р.
') а =5 6 (той 2) — а сравнимо с Ь по модулю 2 — означает, что
а~Ь= 2т, где т — целое. — Прим. перев.
?# Ш. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН В Ва
Из (III. 2.1) или (III. 2.2) и (II. 8.6), (II. 8.14), следует,
что для нечетной/четной сигнатуры
B.3)
Соотношения A.2) также сохраняются в этом случае,
так как фундаментальный тензор фиксирует единичный
объем Г.
3. Введение ориентации
Ориентация, представляемая Ш'-скаляром о, устанавливает
взаимно однозначное соответствие между контра-(ко)вариант-
иыми />-векторами и контра-(ко)вариантными №-/>-векторами,
а также между контра-(ко)вариантными р-вектор-плотностями
веса +/ (—/) и контра-(ко)вариантными />-вектор-А-плот-
ностями веса -)-/ (—/)
V
А; ...
... V
... *„
(<Й<Й = + /).
Из (Ш. 3.1), (II. 8.6) и (II. 8.14) следует, что
\р==ар(той2), Ьр==
C.1)
C.2)
4. СОВМЕСТНЫЕ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ 76
4. Совместные отождествления (подгруппа Ого)
Если все отождествления выполнены совместно, мы полу-
получаем следующую диаграмму:
D.1)
и соответственно имеют место следующие двенадцать сравне-
сравнений по той 2:
(я — р) I
В
ур =а —
п-р-
1 +/
+0.
D.2)
Для восьми неизвестных с^, ап_р, рр, ря_р, ур, \п_р, Ьр, Ьп_р
Для нечетной (четной) сигнатуры. Семь из этих сравнений
р)
76
независимы (остальные приведены в скобках). Выражая все
неизвестные через ар, находим
ар = ар- Рр = —V
ап-р = — о.р + р(п — р) [ ~\_ $п-р = а-р + Р{п — Р)\ ,0
* D-3)
\р = «р. Ор = — ар,
(« — р) I ^ б„_рг= — ар+р(л—р) |
Имеются четыре случая:
A) и нечетно, р (п — р) = 0, нечетная сигнатура:
ао^-рр^ур^-Ьр,
ап-Р = — $п-Р^Уп-р = — б«-0 = — «„4- /•
B) п нечетно, р(п—р) = 0, четная сигнатура:
"•п—р Ря-р— Уп-р— ®п—р ""р'
C) га четно, р(п — р) = р, нечетная сигнатура:
D) п четно, р(га — р)^р, четная сигнатура:
«,^-Р,^,^-6,. D7)
Для га нечетного р и га — р всегда не сравнимы по
той 2. Простейшими решениями являются:
A) п нечетно, р{п — р) = 0, нечетная сигнатура:
ая-Р = — Ря-р = Уя-р = ~6л_р = й — р.
B) га нечетно, р(я — р) = 0, четная сигнатура:
ая-р — — Рп-р — Уп-р — — °п-р = и-
Для га = 2г мы получаем 2аг = для нечетной/чет-
нечетной/четной сигнатуры, и отсюда мы видим, что коэффициенты
4. СОВМЕСТНЫЕ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ 77
мнимые для р четного/нечетного. Простейшими решениями
являются
C) п четно, р(п~ р)=* р, нечетная сигнатура:
р(п — р) -+- 1
р — ап-Р — Ур — Уп-р — 2 '
, . . , D.10)
Рр~Рп-р —ор—°п-Р= 2 '
D) га четно, р(п — р) = р, четная сигнатура:
а, = а«-Р = УР = Уп-Р = -^=^-,
D.11)
РР — Рп-р — °Р — °п-Р — 2 "
Дробные значения в D.10) для четных р и в D.11) Д1Я
нечетных р иногда неудобны, так как они приводят к мни-
мнимым коэффициентам. Единственным способом избежать это
является возвращение к подгруппе Оог, т. е. выполнение
отождествления величин, которые различаются только своей
ориентацией (второй столбец в D.2). Тогда отождествления,
отмеченные —• — • в D.1), отпадают-. Вместо г»1 ■•■?=:
==._|_да1...р и т. д. мы теперь имеем г>1---Р= ± та»1--- р,
причем знак зависит от ориентации системы координат.
Остающиеся шесть сравнений, следующие:
Уп-р- Р..,.
-/> Рр = р
D.12)
-и.
Простейшими решениями являются
()
Рр = К-р = УР — Уп-р = Р-
Эти решения наиболее удобны для использования в тео-
теории относительности. Но решения D.10), D.11) полных
сравнений D.2) представляют интерес из-за их связи с тео-
теорией спиноров. Для р — V, 2ч = га мы получаем из них сле-
следующую диаграмму для Ог0:
78
Ш. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН В Е„
ис
/
D.14)
для нечетной/четной сигнатуры. Таким образом, мы имеем
для й = 4 и сигнатуры 1-
■ + ■
+ +
D.15)
4. СОВМЕСТНЫЕ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ 79
Для Оог отождествления, обозначенные — • — • , отпадают.
Вместо 4" мы имеем ± в зависимости от ориентации системы
координат. Из D.15) мы видим, что г»23, V31, г»12, г>14. Vм, V™
преобразуются так же, как —IVй, —IV2*, —/о34, /г»-3, IV31,
IVх2. Следовательно, шесть сумм (разностей)
(а) V23 ± IVй, г>31 ± /г>4 г»12 ± /г»34;
(Ь) г>14 + /г>-3. V-4 :р гЧ>31, г»34 + ш12 D6)
преобразуются относительно О!О, как компоненты г»23, г»31,
Vй, Vй, V24, г»34. Но компоненты D.16Ь) отличаются от
компонент D.16а) лишь множителем /. Отсюда следует, что
каждая совокупность трех сумм (разностей)
Ъ°Я + 1уН1 ^31 + ^24| ^12 + {г)Ы D.17)
образует геометрическую величину с тремя компонентами
относительно группы Ого. Мы называем • эти величины спе-
специальными бивекторами первого и второго рода.
То же имеет место для п = 2\. В этом случае со-
согласно D.1) и D.10, 11) мы имеем
г \Ч1
для нечетиой/четной сиг
Отсюда мы видим, что среди ( п \ сумм
.. п D 1
(для нечетиой/четной сигнатуры).
У»+1
^ VV + и■■п D.19)
(для нечетной/четной сигнатуры)
имеется в точности -тт ( ) линейно независимых, которые
образуют геометрическую величину, а именно специальный
\-вектор первого рода с ■оч") компонентами относи-
относительно Ого. То же справедливо для ( ) разностей
(для нечетной/четной сигнатуры)
Они образуют специальный ч-ъектор второго рода.
80-
Ш. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН В В.
Каждый у-вектор может быть разложен одним и только
одним способом на два специальных у-вектора различных
родов.
При п = 2ч-\-1 мы имеем 4п-\-2 различных величины
для Оа:
скаляр
К'-скаляр
контр, вектор
ков. вектор
контр. Н7-вектор
ков. К'-вектор
контр, бивектор
ков. бивектор
контр, я-вектор
''" ков. л-вектор
контр, ^-бивектор контр. И7-л-вектор
ков. Н7-бивектор "' ков. \У-л-вектор
Первая строка может быть также интерпретирована как
А-плотности, а вторая строка — как обычные плотности.
Для ОйЧ (введение единичного объема) мы имеем только 2п
различных величин:
скаляр
контр, вектор контр. V-вектор
ков. вектор ''' ков. у-вектор
Для Оог (введение фундаментального тензора) мы имеем
только 2г + 2 = й+/ различных величин:
скаляр вектор ... у-вектор
■^-скаляр ^-вектор .. . №-г-вектор
Для Ого (введение фундаментального тензора и ориентации)
мы имеем только V 4- ' различных величин:
скаляр вектор ... V-вектор.
В качестве примера мы рассмотрим векторы и бивекторы
п Е3. Для сигнатуры гргргр, используя значение D.8), имеем
(ср. D.1))
I/23 V
:%> ;<
X»
XV73 ;то23
+ /
23
Рис. 8,
4. СОВМЕСТНЫЕ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ 81
В соответствии с D.1) мы имеем диаграмму D.21), построен-
построенную для сигнатуры + + +.
_
/ГН
/ + +
Щ - V
ш*
D.21)
После введения единичного объгма д (группа Оеч) по-
получаем
*«=
Рис. 9.
82 Ш. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН В Еп
Каждая из этих четырех величин имеет четыре различ-
различных обозначения и два различных геометрических предста-
представления. В соответствии с их простейшим представлением
они часто называются полярным вектором, полярным
бивектором, аксиальным бивектором и аксиальным
вектором.
После введения фундаментального тензора #?и (группа О Л
получаем
X'*» =
= +/
/23
Рис. 10.
Мы имеем теперь две величины с восьмью различными
обозначениями и четырьмя различными геометрическими пред-
представлениями для каждой. В соответствии с их простейшими
представлениями они часто называются полярным векто*
ром и аксиальным вектором.
Если вместо фундаментального тензора введены единич-
единичный объем и ориентация (группа Оза). мы имеем
+ 1.1 =+/?>
I — +^23 =
*
__ - ? __ + /-23 __ ^ ™зз __
+■' ' +^ +
Рис. 11.
Мы имеем теперь две величины с восьмью различными
обозначениями и четырьмя различными геометрическими пред-
представлениями для каждой. В соответствии с их простейшими
4. СОВМЕСТНЫЕ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ 8C
представлениями оии часто называются вектором и би-
бивектором.
После введения фундаментального тензора и ориентации
(группа Ого) остается только одна величина — вектор —
с шестнадцатью различными обозначениями и восьмью раз-
различными геометрическими представлениями
Рис. 12.
Конечно, термины полярный вектор, полярный бивектор
и т. д. первоначально имели смысл лишь относительно
группы преобразований, использованной при их определении.
Но в том случае, когда используются только правые орто-
ортогональные системы координат, мы можем также употреблять
эти термины, чтобы указать на специальное геометрическое
представление, которое мы предпочитаем. В этом случае
мы всегда используем одну и ту же букву, если нужно, со
знаками ~> д *:
~' ~« ~' ~Г <-' -ы - ~ь D>22)
■о/А, г»*', VI, ■»*, г»,А, Vм, г»г, г»"
(А, /=1, 2, 3).
Это также удобно, если мы хотим в процессе исследования
ввести более общую систему координат.
На рис. 13 (стр. 85) показаны различные типы отожде-
отождествления в Е3.
В теории относительности мы имеем п = 4 и нечетную
сигнатуру ^-. После введения фундаментального
6*
III. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН В Ег
тензора мы получаем для Оог (ср. D.13)):
D.23)
и имеем следующую диаграмму:
и и// / *>12 / 723 иТ23
97 Т[Г^ т г
*
D.24)
Выписывая отдельно правую часть этой диаграммы для ■о1,
Г123
и 51;а, получаем
*
г* -I- ^
+ I
I I
г~л
+ I
Ь + 4
л Т л
D.25)
Сравнивая это с левой частью D.24), мы видим, что даль-
дальнейшие отождествления введением ориентации могут быть
4. СОВМЕСТНЫЕ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ
получены только для векторов и тривекторов, но не дда
бивекторов.
Рис. 13.
Следовательно, в Я.4 с сигнатурой (- мы имеем
три различные величины для Оог:
A) Векторы с четырьмя различными геометрическими
представлениями и восемью различными типами компонент:
Vх = г»234 = — ух = V234 =
D.26)
(циклир. 1. 2, 3).
85 III. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН ' В Рп
B) Бивекторы с четырьмя различными геометрическими
представлениями и восьмью различными типами компонент:
D.27)
(циклир. 1, 2, 3).
C) Трипекторы с четырьмя различными геометрическими
представлениями и восьмью различными типами компонент:
Г > = Гш = — Г, = Г»» = — Г, = Г234 = Г» = Г234,
— — гт — г4 — г — г4 — г — г — — гш
(циклир. 1, 2, 3).
Простейшими геометрическими представлениями являются
изображенные на рис. 14.
Если введена ориентация, то тривектор также может быть
представлен стрелкой, и мы имеем только две величины —
Вектор бибектор
Рис. 14,
вектор и бивектор. Каждый бивектор может быть разложен
на два специальных бивектора первого и второго рода.
5. Обычная векторная алгебра в Из
В обычной векторной алгебре в Ц3 выполнены все воз-
возможные отождествления. Если мы оставим в стороне плот-
плотности и и^-величипы, то мы имеем только четыре различных
5. ОБЫЧНАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В Я, А7
обозначения для компонент вектора
*»' = + *>1 = г>и=%}. E.1)
Используя их, мы можем вернуться к различным аффинным
инвариантным формам скалярного произведения V • <т и век-
торного произведения и = V X «> Двух векторов. Для ска-
скалярного произведения мы имеем ( „) выражений
у ■ и> = г»,и»1 -{-
= »23«>1 + «З^гИ" «12^3 = ~2 1Ни1°кР>1 = 7
? г
4 «'хд
= + 4 ^цё'*^1™* = + 4 /лд^^ву. E-2)
12 3
12 3
(А, /, у, й = 1, 2, 3).
88
Верхние знаки соответствуют сигнатуре , нижние —-
сигнатуре +4~+. Мы имеем сорок выражений для вектор-
векторного произведения. Все они могут быть получены поднятием
и опусканием индексов из следующих шести:
«23 _ ^31^,12 _ ^12^,31 _ т „ у[21
E 3)
И1 = — Ул111)\УХ'2'Ш — Уи'а) '
«1 = г»31«>12 — г»12те>31 = — 4 1цУ1'^п ('■ У. * = 1, 2, 3>
или в произвольных (аффинных) координатах:
УПРАЖНЕНИЯ
III. 1. Какой геометрический смысл имеют в Е3 следующие
уравнения:
(а) ! / {хн~'' . (Ь) *** ~ * ' Aа)
II!. 2. Предположим, что контравариантный вектор задан в Е3
стрелкой. Какие другие геометрические представления могут быть
построены после введения:
A) единичного объема (одно дополнительное представление),
B) фундаментальиого тензора (три других представления),
C) единичного объема и ориентацнн (три других представления),
D) фундаментального тензора и ориентации (семь других пред-
представлений)?
УПРАЖНЕНИЯ 88
Ш. 3. В Е6, построенном на всех бивекторах в /?^, простые
бивекторы заполняют квадратный конус. Какой внд имеет уравне-
уравнение этого конуса, если в качестве координат в Е6 использованы
шесть выражений D.16а)?
III. 41). Пусть V4' '" р — простой />-вектор И '», х —
простой (я — />)-вектор, определяющие оба одно и то же />-напра-
вление в заданном Ер; пусть ш ' '" * — простой ?-век-
тор н '«**. ... », простой (л— ^)-вектор, определяющие оба
одно и то же ^-направление в заданном Еч; все эти величины
определены с точностью до скалярного множителя.
Образуем свертку
■ч, .
для всех возможных значений г. Если 5 есть минимальное значе-
значение г (включая 01), для которого эта свертка не равна 0, Ер и Е9
пересекаются по Е$ н
есть произведение контравариаитного 5-вектора с «-направлением .Еу
и коварнантного (л — р — д-\- 5)-вектора с (р + ц — 5)-направле-
нием объединения Е„ и Еа.
III. 5. Если
1 Р
и если V ' "' Х1 — простой ^-вектор (р + д — л = г), прячем
то Ер и Ед, определяемые соответственно и'"" р и ь ''" 9
пересекаются точно по Ег2).
')Джайвнс 1937. 1, р. 360.
2) П. Ф. 1949, р. 27.
IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В V)
Мы будем рассматривать все совокупности и значений п
переменных &и (х = 1, ..., я) и называть каждую совокуп-
совокупность точкой. Вместо |х можно ввести другое множество
переменных |*'(и'=1' п') с помощью уравнений
г'=ьх'а*) о-»)
вместе с условиями, что функции |и аналитичны 3) в неко-
некоторой области и что матрица с элементами
А%^ ■%- A.2)
имеет ранг п в этой области. Тогда существует обратное
преобразование
|н=|и(^') A.3)
в некоторой области и функции |и аналитичны в этой об-
области. Теперь многообразие всех рассматриваемых точек
снабжено первоначальной координатной системой |ч и всеми
координатными системами, которые могут быть получены
') Общие ссылки: Р. К. 1924.1; 1954.1; Эйзенхарт 1926.1;
Левн-Чивнта 1927.2; Веб лен н Уайтхед 1932.1; Н. М.
1935.1; Бриллюэн 1938.1; Лнхнерович 1947.1; Брандт
1947.2; Мичел 1947,3; П. Ф. 1949.1; Схоутен 1951.1; Ра-
ш е в с к и н 1953.1.
2) Более подробное изложение см. П. Ф. гл. II, § 1, 2, 1949.1.
3) Вместо этого можно было бы только предположить, что
функции имеют непрерывные производные до определенного по-
порядка.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В Х„ 91
из |и указанным образом. Это многообразие называется Хп ').
Разница между Хп и Еа состоит в том, что в Еа допусти-
допустимыми координатными системами являются только те, которые
могут быть получены одна из другой линейными преобра-
преобразованиями, тогда как в Х„ допустимы все обратимые
аналитические преобразования. Естественно, понятия прямой
линии, плоскости и т. п. в Х„ не существуют. Поэтому
координаты в Х„ называются криволинейными.
2. Определение геометрических объектов в Хп
Если в определенной точке |и из Хп имеется соот-
соответствие между упорядоченными множествами N чисел
Фл (Л = / Ы) и допустимыми системами коор~
динат (к) в окрестности |и, такое, что
A) каждой (и) соответствует одно и только одно
множество Фл;
B) множество Фл', соответствующее (и'), может
быть выражено только через Фд и значения
А*. дуА*, д^дхА*, ... в точке |\
то говорят, что Фл являются компонентами относи-
относительно (и) геометрического объекта в точке |н.
Геометрические объекты в Хп классифицируются в соот-
соответствии с законами преобразования их компонент. Если
в условии B) выражение для ФЛ' линейно и однородно
по ФЛ', алгебраически однородно по Л* и не содержит
производных Л* , то Фл являются компонентами геометри-
геометрической величины в |".
Если объект задан в каждой точке определенной об-
области Xя, мы имеем поле объекта в этой области.
Точка |н есть объект с законом преобразования
') Определенное таким образом Х„ называется элементарным
многообразием. Относительно общего понятня дифференцируемого
многообразия си., например, де Раи 1955.3. —Прим. перев.
92 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Хп
но этот объект не величина, так как преобразование не
является линейным и однородным относительно &н.
Дифференцируя B.1), получаем
й\л> — А* йЪ?. B.2)
Из этого уравнения мы видим, что компоненты линейного
элемента й|* всегда преобразуются линейно и однородно.
Следовательно, преобразование (к) ->(и') в Хп индуцирует
в каждой точке рассматриваемой области линейное однород-
однородное преобразование, а это значит, что каждой точке этой
области принадлежит центро-аффинное Еп. Мы называем это
Еп локальным Еп точка Ъ,Л и отождествляем центр с точ-
точкой |н. X„ и локальное Еп не имеют других общих точек.
Но в |и направления в Хп находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с направлениями в локальном Еп точки |и.
Два локальных Еп, принадлежащие различным точкам X„,
полностью независимы. Отметим, в частности, что они не
имеют общих точек. В случае, если Хп погружено в не-
некоторое Еч (V > п), удобно иногда отождествлять локаль-
локальные Еп с Еп, касательными к Хп в Еу. Но при этом
пересечения двух касательных Еп не должны рассматриваться.
Часто локальное Еп отождествляется с «инфинитезимальной
окрестностью» |х в Хп. Это отождествление, хотя и не
является корректным, может иметь иногда некоторое эври-
эвристическое значение. Конечно, рассмотрение общих точек
«соседних инфинитезимальных окрестностей» недопустимо.
Из определения геометрической величины в точке |н мы
видим, что ее можно рассматривать как геометрическую ве-
величину в локальном Еп точки |и в соответствии с опреде-
определением II, § 1. Следовательно, мы имеем векторы, бивек-
бивекторы, плотности и т. д. в каждом локальном Еп, а вначит,
и векторные поля, бивекториые поля и т. д. в Хп. Две ве-
величины в двух разных Ел не могут рассматриваться как
величины в одном и том же Еп. Их нельзя складывать,
умножать или свертывать.
Если по каким-либо причинам координатные системы
в Хп являются привилегированными и преобразующимися
друг в друга для всех преобразований из Оа, то Хп можно
рассматривать как Еп. В этом случае все величины в раз-
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В Х„ 93
личных точках этого Еп можно складывать, умножать, сво-
сворачивать и т. д., по способу, изложенному в гл. II, но
только при условии, что не используются никакие другие
компоненты, кроме компонент относительно привилегирован-
привилегированных систем.
Чтобы найти базисные векторы в каждой точке А'„, мы
я
рассмотрим п скаляров |. определяемых уравнениями
I =2= &\ B.3)
Тогда дифференцированием мы получаем следующие вели-
величины:
A) Контравариантные и ковариантные базисные векторы,
принадлежащие (к):
е*Шъ*/д\. 1. = д№\ B.4)
Л»
Эти векторы имеют компоненты 1 п 0 относительно (к).
B) Единичный тензор
А1 = д\*1д\\ B.5)
C) я2 скаляров символа Кронекера
б?=4/4 с2-6)
Мы дадим теперь пример криволинейных координат
в обыкновенном /?2. Уравнение
х2 ч-
1 _г — / (с — постоянная) B.7)
представляет систему оо; эллипсов и гипербол с фокусами
в точках х= + с; у = 0. Для различных значений Я. мы
имеем
^■~> -^с2 эллипс,
Я, =~с2, у = 0 вырожденный эллипс или гипербола,
— 4 с2 < к < у с2 гипербола, B.8)
Я. = — •р'С2, х = 0 вырожденная гипербола,
к < — -^ с2 мнимая кривая.
94 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Хп
B.7) является квадратным уравнением относительно А. Ег»
корми .
±
и через них могут быть выражены х и у
х _
у __
BЛ0)
_
Мы введем теперь Я; и Хг в качестве новых координаг
в /?2. Тогда каждой общей паре значений Я; и Яг принад-
принадлежат четыре точки, по одной в каждом квадранте. Точкам
оси л; соответствует %]~-^с2, если они лежат между фо-
фокусами, и Яг = -^с2, если они принадлежат внешним сег-
сегментам. В фокусах Я/ = Я2 = уСг. Точкам оси у соответ-
соответствует Я2 = —5" с2. Я^ принимает значения от +00 Л°
-\--г?с2, а Я2 — от -\--^с2 до —у с2. Параметрическими
кривыми Я; являются гиперболы
или -; 1 —— =/,
± 2 к к е2
* 2* B.П)
а параметрическими кривыми %2 являются эллипсы
Я; = / = соп8{ или -—^ 1 ^—=1, />^
2 2
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕГРИЧЕСЖИХ ОБЪЕКТОВ В *„ 95
Положительное лаправдение на этих параметрических
кривых показано на рис. 15. Знание этого направления
Рис. 15.
необходимо, чтобы правильно определить знак дх/д%, и т. д.
в функциональной матрице, полученной из B.10):
Ох ± / -_ / \? ~ ~2 с
2с
B.13)
^-^2'
л
дК
96
IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Х„
Здесь последовательность знаков соответствует нумерации
квадрантов.
Из B.13) мы получаем функциональный определитель
дх дх
^л/ дкг
ду ду
ЛI — Ар
Обратно, из B.9) находим
/ 9
дХ
дх
А; —
дх
= 2х-
ду
дХ2
B.14)
B.15)
-п<г -Г Ао
я, _;
и, следовательно.
Д==
дХ, дХ,
ду
дХ2
дх
B.16)
что согласуется с B.14).
Параметрические кривые Я,/ и %2 образуют во втором и
четвертом квадрантах систему с той же ориентацией, что и
х, у, я в первом и третьем квадрантах — систему с противо-
противоположной ориентацией. Оси х и у являются особыми ли-
линиями. На оси у & = 0, а на оси х & = 0 для х Ф ± с и
А = 0/0 для х=± с.
Если мы обозначим х = |;, у==|2, а/ = |/>, %2 — \2', то
из B.13,15) найдем для базисных векторов:
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В Хп 97
1 + Г ^~тс
у с — Л2
р1' й А1
/ ' '
, 2
^1 о с
±
г
А; —
т1
р!' р А' 9у ~
' л
2
р
/ Л2
4—Г"- B-17)
Из B.17) мы можем легко заключить, что ен и еи вза-
имно ортогональны и что длины этих базисных векторов
равны
, /ге'е' + еЧ* _ ±
Г
4—2*
~2{- —Ц
Точки, в которых прямоугольник из е* и ен превращается
в квадрат, лежат на кривой 4 степени
2 ( ■> о" / \ I
\ 2J'
проходящей через фокусы.
7 Я. А. Схоутен
§8 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В ЛГ„
3. Инвариантные дифференциальные операторы.
I. Огас1, й|у и Во*
Производные тензора или тензорной плотности валент-
валентности, отличной от нуля, не образуют геометрического
объекта. Например,
№„„\+ %, + А&\.Р\д»А* ').
C.1)
Это связано с тем обстоятельством, что А% не являются,
вообще говоря, постоянными. Только в Е„ А% постоянны и
дцР\ есть тензор. Но в Хп имеются инвариантные диффе-
дифференциальные операторы для скаляров, 1^-скаляров, кова-
риантных /7-векторов и И^-/»-векторов, контравариантных
/7-вектор-плотностей и /7-вектор-Д-плотностей веса -+- /.
Производные скаляра р или Ц^-скаляра р являются со-
соответственно компонентами ковариантного вектора или \^-
йектора
C.2)
Этот вектор называется внешним дифференциалом2) или
градиентом, и мы пишем для краткости
Ор — Сгай/>, О/Г=0гаAр. C.^
Если (л — 1)-направление поля «>а, в каждой точке каса-
касательно некоторому Хп-1 системы со1 Хп-п определяемых
уравнением ^ = соп8{, то мы называем поле <я>\ интегри-
интегрируемым (в оригинале X п_ \-Ъи\Ы\щ.—Прим. перев).
В этом случае справедливо уравнение
C.4)
') дрР\ вместе с Р\ образуют геометрический объект, но н&
геометрическую величину.
2) Мы используем этот термин, чтобы иметь общее выражение
для трех инвариантных дифференциальных операторов. [Здесь н
Э дальнейшем автор применяет термин па(ига! <1ег1уа1Н'е — есте-;
«твенная производная. Мы предпочли общепринятый в математи-
математической литературе термин «внешний дифференциал». — Прим. перев-%
3. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 99
Следовательно, любой градиентный вектор является инте«
грируемым, и каждый вектор, являющийся интегрируемым,
есть произведение градиентного вектора на скаляр. Если
Х1)к=д^, все Х„-1 с уравнениями <7 = сопз1 называются
жвискалярныма Ха-1 поля ?. Рассмотрим два из этих
Хп-1
ц — с, 9 = с + ^г C.5)
и точку \л на первом из них. В этой точке мы имеем
о
</? = «»,</|\ C.6)
и уравнение
выражает тот факт, что |н-(-^|н лежит на втором Л'я-л
Следовательно, вектор 1ю%\йг представляется двумя касатель-
касательными Ея_/ в точках |* и ^-\-с1^. Пусть теперь й — произ-
произвольная постоянная. Рассмотрим эквискалярньге Хп.{'. д = с,
д = с-^-1г, 9 = с-г-2А и т. д. Тогда мы видим, что в любой
точке поля на одном из этих Хп_] касательное Ял_/ в этой
точке и касательное Еп-1 в соседней точке на следующем
Хп-1 дают совместно приближенное представление вектору
•ъщ/к,- причем вно стремится к точному представлению, когда
к—>0. Следовательно, градиентное поле является не только
интегрируемым, но в «инфинитезималыюм масштабе» его
двойные Еп_] склеиваются совместно и образуют двойные
Хп_1, заполняющие все Хп без промежутков.
Альтернированные производные ковариантного ^-вектора
являются компонентами ковариантиого (^+/)-вектора
Это обусловлено тем, что
^'А^д^.д^^О. C.9>
7*
100 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В
G +■ /)-вектор (^+ /)д[ц«»х; ...х.^1) называется внешним
дифференциалом или вращением дад.; ... 1 , и мы пишем
для краткости
= Ко! V). C.10)
То же справедливо пштаШ ти(ап(Нз для ковариантиого
1!^-<7-вектора.
Из этих определений немедленно следует, что
Ко! Сгас1 р — 0, Ко1Ога<1/=0,
C.11)
2
Если г21И/ '" и^ — контравариантная />-вектор-плотность
веса -\-1, то можно показать, что дцЩ)*1*2 ''' "^ есть контра-
нариантная (р — /)-вектор-плотность веса -\-1. То же спра-
справедливо пш^аНз ти*апс115 для контравариантной р-вектор-
Д-плотности веса -(-/. Чтобы доказать это, мы положим
Ьр — 0 для всех значений р и д — п — р в (II. 8.13):
2
Тогда
') Ср. V, § 1, где Ко1 и/ записан через ковариантный оиера-
тор Уц.
2) Обычно внешний дифференциал обозначается символом Л,
причем одним из его важных свойств является <*</=» 0. C.11) вы-
выражает это свойство в другой форме записи. — Прим. перев.
3. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 101
и так как альтернирование по п-^~] индексу исчезает то-
тождественно
1...Р
— — V
Отсюда мы видим, что дхи>ыР+2 '" и" является (^ — /^век-
/^вектор-плотностью веса +/, присоединенной к (—1)р Цо1хе>2).
Эта величина называется внешним кодифференциалом или
дивергенцией, и», и мы пишем для сокращения О1У -т3).
То же справедливо ти4аНз ти(ап(Л5 для />-вектор-А-плот-
иостей веса -}-/. Из определений немедленно следует, что
= 0, 01у 01У «> = 0 C.15)
для д^-2.
Можно показать, что в Хп не существуют никакие дру-
другие инвариантные дифференциальные операторы, если ие за-
заданы какие-либо дополнительные поля.
') Для Ьр Ф 0 мы имеем множитель (—1)р~ р вместо (—/)р
2) Для ЬРФ 0 мы имеем множитель (—1)р~ р+ р+1 вместо
3) Ср. V, § 1. где Яо\1с и Б1у да записаны с ковариаитным
оператором ?„.
102 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В X
я
Докажем непосредственно, что д^'аР является скалярной
Л-плотностью веса -\~1. если да№ есть вектор-А-плотность
веса -\-1. Для д^<иР имеем
- C.16)
Из определения А^ следует, что (ср. I. 1.15)
( }
или
д„Д-7 = —А-'Л^дцЛ^'. C.18)
Отсюда
дц-ад^^Д^". C.19)
Оператор сИу в обычном векторном анализе соответствует
оператору В1У, если V рассматривается как контравариант-
ная векторная плоскость
сИуо = д1х>14-^*'2Н-дзг'3 = дА«А (А==1. 2, 3), C.20)
->
и оператору Ро1, если V рассматривается как ковариантный
бивектор
C.21)
Оператор го* в обычном векторном анализе соответствует
->
оператору :р Ко*, если V рассматривается как ковариантный
вектор
■н>2з= + д2у3 ± д^2= + 2д[2Щ]', цикл. 1, 2, 3 C.22)
и оператору —В1у, если V рассматривается как контра-
вариантная бивектор-плотность
«1 = йд>« — ддо81 = — д^1 (к = 1, 2, 3); цикл. 1.2,3 C.23)
4. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ЮЗ
4. Инвариантные дифференциальные операторы.
II. Теорема Стокса
Рассмотрим в Х„ односвязную область тд+; некоторого
Хц*1 ') и ее границу хч (которая сама является Хд). Обо-
Обозначим через й/Х; ■" и« 0-мерный элемент Хд с внутрен-
внутренней ориентацией, фиксированной для всего Хч, и через
и/*1 ■1>1<г+' обозначим (д-{- /)-мерный элемент Хд+1 с вну-
внутренней ориентацией, фиксированной для всего Хд+1. Пусть
ориентации согласованы таким образом, что направление от
некоторой точки хд+; к границе совместно с ориентацией
4^*1 ••• х« дают ориентацию Л/*1 "" и«+;. И пусть теперь
есть поле 9-вект0Ра в т<7+;- Тогда справедлива
формула
= К
К - *//Х/"х?2)> DЛ)
если выполнены следующие условия:
A) ъ1; _ к непрерывно в тд+1 и на тд;
B) производные VI , , входящие в д. г^ ^ , суще-
существуют во всех точках тг+/;
C) эти производные непрерывны во всех точках т?+/
за исключением, быть может, точек конечного числа Хд.
Мы докажем это для случая, когда форма границы т^
удовлетворяет указанным ниже ограничениям.
Пусть координатная система выбрана таким образом, что
уравнения для хд+] имеют вид
1д+2 = 0 1п = 0, D.2)
') Однрсвязной областью Хч+] называется область в Хп1 кото-
которая может быть отображена взаимно непрерывным точечным пре-
преобразованием в область, заданную соотношениями
<1, Iя *=0
относительно некоторой допустимой системы координат.
2) Си. также Р. К. 1924.1; П. Ф. 1949.1; У и т н и 1957.1.
104
и пусть форма хд такая, что каждая из кривых в хч+1
&2 = сопб1, .... ^+; = сопз1 D.3)
пересекает хд по крайней мере в двух точках. Пусть вну-
внутренняя ориентация в хд+1 фиксирована ек, .... ех, взятыми
1 4 + 1
с этом порядке. Тогда й/Х; "" у'д^' можно записать в виде
D.4)
1 &
Если векторы «^х, .... й ^х выбраны таким образом, что:
AЪ,' = а1', О1*=о 01я = о.
1 1 1
2 2 2 2
й1я = о. й1я+' = а1ч+'. D.5)
Я+1 д + 1
то мы имеем
а/' -<+' — <%' ... Л1Ч+1, D.6)
и все компоненты й/И; " Х1+', которые имеют индекс
9+2, .... п, исчезают. Выберем теперь одну из кри-
кривых D.3), которая пересекает хя в точках Р/ и Рг:
Рг. Ь' = 1'. &2 = !2 &'+/ = Ь*+|.
7 ° ° D.7)
Р* 1' = Ъ'. &2 = ^2 ь'+' = ь«+'. ь^ь7.
2 0 0 2 1
Точки тя+1. удовлетворяющие уравнениям
2 9+
D.8)
V <1'< V, 1а < 1а <|"+ а? (а = 2 9+ /),
4. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 105
образуют (д-\~ /)-мерную трубку в тч+!, и эта трубка вы-
вырезает <7-мерный элемент на тя в каждой из точек Р] и Р^.
Для наглядности на рис. 16 показан случай п = 3,
д — 2. В соответствии с нашими условиями мы фиксируем
ориентацию на т„ в Р2
тых в этом порядке. Тог-
Тогда ориентация в Р; про-
противоположна ориентации,
фиксируемой е% е*
2 д+1
в Р]. Таким образом, мы
имеем для ^-мерного эле-
элемента %„ в Р>
посредством
2
1
D.9)
И В Р/
.,?...« + / ,»? Л1-Я + 1
D.10; ^
Рассмотрим теперь инте-
интеграл по
взя-
Рис. 16.
Часть этого интеграла по трубке есть
2 ?+7
1. D.12)
где V2...^^Г1 и г>2...?+; значения г>2 ... 9+/ соответственно
в Р] и Р2. Отсюда
■■■1+'=
'. D.13)
Используя вместо D.3) другое множество кривых, мы можем
точно таким же образом получить уравнения с д2 <??+/
вместо д]. Складывая их и умножая на подходящий
106 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ Б ХА
множитель, мы получим D.1). Теперь нам осталось только
избавиться от условия пересечения, наложенного на форму хд.
Пусть возможно разбить т?+; на конечное число таких т9+/,
что условие пересечения выполняется для границы т
каждого из них. Тогда D.1) справедливо для каждого хя+].
Но при суммировании все интегралы по общим границам
соседних хд+1 взаимно уничтожаются из-за противоположной
ориентации границ. Это заканчивает доказательство для слу-
случая, когда Х/ц.1 можно разбить на конечное число частей,
каждая из которых удовлетворяет условию пересечения.
D.1) является одной из форм обобщенной теоремы Стокса
(носящей также имя Гаусса в Германии и Остроградского
во Франции). Из нее можно получить много других форм.
Прежде всего, вместо г^ х . /*х' " Ч /Х/ "• к" можно
ввести Vх' '" *?, /. ь , /. , (р= п — д). Тогда мы
' К] ... Лр—1 ' л; ... *р ' "
получим формулы г)
D.16)
имеющие все один и тот же геометрический смысл.
Если элементы тя и т?+/ имеют внешнюю ориентацию
(этот случай встречается в физике наиболее часто) и если
') Ср. Р. К. 1924.1, р. 97; Вейссенхоф 1937.2; Схоутен
и Данциг 1940.1, р. 471. В последней работе знак ~> исполь-
используется другим, менее эффективным образом.
4. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 107
эти ориентации выбраны таким образом, что ориентация т^ /
совместно с направлением от любой точки хя+1 к границе
дают ориентацию тя. то мы получаем следующие пять
формул:
DЛ7)
D.18)
1 ' ■
-4-/
7 + 1
D.20)
имеющие все один и тот же геометрический смысл}). Если
одна из этих десяти формул доказана, то остальные девять
могут быть из нее получены.
В Хз мы имеем следующие случаи:
A)9 = 2.
(а) Интеграл от ковариантного бивектора по поверхности
с внутренней ориентацией:
D.21)
D.22)
') Ср. Вейссенхоф 1937.2; Схоутен и Данциг 1940.1,
р. 472.
108
IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В
Т2
Т2
D.24)
(Ь) Интеграл от контравариантной вектор-плотности
веса -)-/ по поверхности с внешней ориентацией:
D.28)
B) 9==/.
(а) Интеграл от ковариантного вектора по кривой с вну-
внутренней ориентацией:
D.29)
4. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 109
(Ь) Интеграл от контравариантной бивектор-плотности
веса -4-/ по кривой с внутренней ориентацией
<4-34>
D.35)
Г д^к I »* I й/™1 = Г дц1>№ ар »I 1 = Г 5'^ й/Ч D.36)
Наиболее важными являются формулы D.21), D.27),
D.29) и D.35). Интегралы, входящие в D.27), могут быть
интерпретированы в терминах гидродинамики. Пусть V* есть
скорость движения жидкости, а \х — ее массовая плотность,
т. е. масса параллелепипеда на базисных векторах. Тогда
1)* = [гг>х есть векторная плотность потока, а Vх й/у. —об-
—общая масса, протекающая через элемент й?/ц в единицу вре-
времени в направлении ориентации й/ц. Если эта ориентация
направлена вне т2, интеграл I V* й/^ представляет собой
Т2
общую массу, вытекающую через тг в единицу времени.
Уравнение неразрывности1)
дг& + ^ = 0 D.37)
выражает тот факт, что дивергенция плотности потока равна
уменьшению массовой плотности в единицу времени. Следо-
Следовательно,
-й/ D.38)
есть общая убыль массы в хз за единицу времени. Очевидно,
') В Х3 не существует единицы объема, и два инфииитизи-
мальных объема в разных точках нельзя сравнивать. Следовательно,
в Хл бессмысленно говорить о «несжимаемой» жидкости.
110 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Х„
эта убыль должна равняться общей массе* протекающей
через %2 за единицу времени, т. е. I ю^й}^.
Если д^* = 0, то общая масса в каждом Хз постоянна.
Пусть к— малая константа. Тогда все пространство можно
разбить на трубки с непроницаемыми стенками, такие, что
через сечение каждой трубки в единицу времени протекает
масса к. Трубка в точке |* приближенно представляет век-
векторную плотность VV■/к, и это приближение стремится к
точному представлению, если к->0. Следовательно, уравнение
дур* = 0 выражает тот факт, что трубки Vя в «инфините-
зймальном масштабе» заполняют все Хз без промежутков.
Докажем, что -Юх всегда является градиентом, если
0. Для этого выберем в рассматриваемой области
фиксированную точку |* и переменную точку &*. Если эти
о
точки связаны двумя различными кривыми 5 и $', то согласно
теореме Стокса имеем
< | | ^м р = 0, D.39)
если только поверхность тг. ограниченная 5 и з(, лежит це-
целиком в области, где Я,о\'Ш = 0. Отсюда.
р= Г ^^= Г ^а1х D.40)
^ з •* з'
о у
есть функция |и, не зависящая от выбора 5, и
D.41)
Отправляясь от этой теоремы, можно доказать по индук-
индукции следующую более общую теорему.
Теорема. Если вращение кдвариантного ц-вектора
(УР-д-вектора) исчезает в некоторой области Х„,
то всегда существует область, в которой д-вектор
(№-ц-еектор) может, быть представлен кан враще-
вращение некоторого {д — \)-вектора (№•(<]—\)-вектора).
4. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ш
Эта теорема, конечно, может быть выражена также в тер-
терминах контравариантных р-вектор-плотностей (р-вектор-Д-
плотностей) веса+ /. Тогда мы получаем:
Теорема. Если дивергенция контравариантной
р-вектор-плотности (р-вектор-\-плотности) веса-\-1
исчезает в некоторой области Х„, то всегда сущест-
существует область, в которой р-вектор-плотность (р-век-
тор-А-плотность) может быть представлена как ди-
дивергенция некоторой контравариантной (р-\- ^-век-
^-вектор-плотности (ОН- 1)-вектор-\-плотности) веса-{-1
(Р < я).
Все интегралы, встречавшиеся до сих пор в этом параг-
параграфе, были скалярами или я-вектор-Д-плотностями. Это свя-
связано с тем, что в Х„ они являются единственными величи-
величинами, которые можно складывать, если они принадлежат
различным точкам. Но если мы ограничим себя более спе-
специальными преобразованиями координат, то возникают и
другие формы теоремы Стокса. Например, если допустимыми
являются только координатные преобразования с Д > 0, то
Н^-скаляры можно складывать, и кроме D.1) мы имеем фор-
формулу
к,... х, Ф ■ ■ ■ \ D.42)
Если допустимыми являются лишь преобразования из Оа.
т. е. мы находимся в Е„, то можно складывать все вели-
величины с одинаковым законом преобразования, принадлежа-
принадлежащие различным точкам. Таким образом, в Еп справедливы
следующие формулы:
D 43)
. D.44)
D.45)
-оо= /а/ч...Хр-оа. D.46)
112 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Х„
Здесь О — символ с опущенными индексами, заменяющий
любую величину, а -о обозначает любую операцию, состав-
составленную из симметрирования, альтернирования или свертки и
выполняемую над индексами Я/ .. . \9 или Я,/ ,., Хр и ин-
индексами О.
Например, если
«I = <?AР|Х D.47)
то мы имеем в Е3
:/и, D.48)
но это уравнение несправедливо в Х$.
б. Инвариантные дифференциальные операторы.
III. Производная Ли1)
Пусть область /?, принадлежащая Хп, подвергается то-
точечному преобразованию
Т1Х^=/ЧEХ). E.1)
Относительно функций /л предполагается, что они анали-
тичны в /? с неисчезающим функциональным определителем
ФО E.2)
и выбраны таким образом, что определяют взаимно одно-
однозначное соответствие между точками /? и точками другой
Области /?'. Введем теперь другую систему координат (и'),
такую, что каждая точка в /? имеет такие же координаты
относительно (и), какие ее образ в /?' имеет относительно (и').
Пусть |и и |х будут соответственно координатами точки
нз /?' относительно (х) и (х'). При этом ^и должны рав-
равняться координатам прообраза из /? относительно (и). Следо-
Следовательно, если
E.3)
*) Ср. Слебодзйвский 1931.2; Схоутеи в Кзмпен
1931И; Н.М. 1935.1; П. Ф. 1949.1; Я но 1955.1.
5. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ИЗ
есть обращение E.1), то ^и' должны равняться <р*(|''). и,
таким образом, преобразования (и) в (и') и обратно задаются
уравнениями
Эту операцию мы называем увлечением (йга^!п§ а1оп§)
координатной системы (и) точечным преобразова-
преобразованием E.1).
Пусть теперь в /? задано некоторое поле, например Р"%.
г
Мы образуем второе поле в /?', компоненты которого РЛ \<
2
относительно (и') в любой точке /?' равны компонентам Р**^
первого поля в соответствующей точке /?. Этот процесс мы
называем увлечением поля Р% точечным преобразова-
преобразованием E.1), а Р^ц мы называем увлеченным полем. Если
2 "
/? и /?' имеют некоторую общую область, то поля Р и Р
можно сравнивать. Если при этом Р = Р, то поле Р назы-
/ 2 /
вается инвариантом точечного преобразования E.1).
Рассмотрим систему п обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
-^1- = г|5*(тГ) E.5)
с независимыми переменными |и и Л неизвестными пере-
переменными т|"^ и начальными условиями
г1и = |к для ( = 0. E.6)
Функции ^ предполагаются аналнТичными в рассматривае-
рассматриваемой области. Если решение этих уравнений разложить в сте-
степенной ряд по (, то мы получим
Эти уравнения описывают точечное преобразование. Соот-
Соответствующая ему увлеченная система координат (и') задается
8 Я. А. Схоутеи
114 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Кп
уравнениями (ср. E.4))
бя««*яЧиг(ь*)<+....
йеГ
Полагая г»и — фи (|х), находим с помощью дифференциро-
дифференцирования
лГ^бГ(^-^,^+ ...). ( '
Если мы теперь пренебрежем высшими степенями I и соот-
соответственно запишем й1 вместо г, мы получим так называемое
«инфинитезимальное точечное преобразование х»кЛ».
Относительно однопараметрической группы преобразова-
преобразований E.7) говорят, что она порождена инфинитезималь-
инфинитезимальным преобразованием ъ''й1. Все точки Хп подвергаются
смещению ч?лй1. Если координатная система или поле ув-
увлекаются инфинитезимальным преобразованием ък(Н, мы
называем этот процесс увлечением по <оу-й1. Увлеченная
система (к') задается уравнениями
:^ E.10,
=ь.лъ — б*© а(.
Так как г»4 задано, нас могут теперь интересовать ком-
компоненты относительно (к) некоторого поля, например Р\,
увлеченного по г»ч<//. Компоненты поля, увлеченного в
|к-г-г»ий?/1 относительно (и') равны компонентам Р\ в ^и.
Отсюда компоненты этого поля в $*"-\-ч?' И относительно (х)
равны
р =Ь (Л? - й,х»р Л) (МЛ -г-
Чтобы теперь получить компоненты поля, увлеченного в |и
относительно (и), мы должны вычесть ю^д^Р\сМ. Следова-
Следовательно, эти компоненты равны
Р\ — -о*д»Р\ ш — Р'%д }ур Ш ■+ Р\д<р* И. E.12)
Б. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 115
Выражение
<и E.13)
называется дифференциалом Ли Р\ относительно г»*а.
Отсюда, если поле увлекается по ю*(Н, то приращение
поля в фиксированной точке |к равно дифференциалу
Ли в I*. взятому с обратным знаком.
Выражение')
йеГ
^^ %У \* E.14)
называется производной Ли Р\ относительно V*. Из ее
определения ясно, что это тензор с той же валентностью,
что и Р\. Это можно проверить непосредственным подсче-
подсчетом закона, преобразования. Для тензорного поля высшей
валентности производная Ли строится аналогичным образом,
Каждый верхний (нижний) индекс порождает член с отри-
отрицательным (положительным) знаком.
Очевидно, имеют место следующие правила:
A) производная Ли суммы есть сумма производных Ли
слагаемых;
B) производная Ли свернутого объекта есть свертка
производной Ли;
C) справедливо правило Лейбница для производной Ли
произведения и произведения со сверткой.
Производная Ли от •г/и относительно V* равна нулю.
Производная Ли от Л" равна нулю для любого г»*.
Имеем для скалярного поля
О^^ъ^д^, E.15)
для векторного поляг
(а) Ох.и* = г>|*<Э,лй'< — иН^\
(Ь)
и для поля /»-вектора:
(а) 1 ^ р^,
(Ь) О№к\ = Фд'Ш>\-\-Р1ш[К1%рщъ»{- '
') Ср. V, § 1, где производная Ли записана с ковариаитныы
оператором У^; .
8*
116 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Х„
Чтобы получить производную Ли скалярной плотности
или Д-плотности веса /, мы используем E.17Ь) для р = п:
..%п. E.18)
Но ге»/..,„ можно рассматривать как компоненту скалярной
Д-плотности веса -+-/. Следовательно, для скалярной
Д-плотность веса -+- / мы имеем
п^ = дЛъ» = Э1У (&). E.19)
Так как каждая скалярная плотность ^ веса -{- / есть про-
изведение ю (ср. III, § 3) на скалярную Д-плотность веса
+ /. то
^^д^ (IV* = Вгу &). E.20)
Отсюда мы получаем для скалярной плотности * веса I
^^5 = VI^<Э)Л5 + Ыц•г^>^ E.21)
■ -V'
д^. E.22)
Аналогичные формулы справедливы для тензорных
А-плотностей. Можно легко проверить, что производная
~х/ • • ■ ил
Ли от с и е} } равны нулю.
Если производная Ли относительно г>* некоторого поля
исчезает во всех точках, то говорят, что это поле абсо-
абсолютно инвариантно относительно поля Vх. Абсолютно
инвариантное поле имеет следующие свойства:
A) значение поля в любой фиксированной точке
не изменяется, если поле увлекается любым точечным
преобразеванием из однопараметрической группы, по-
порожденной V* й1\
B) компоненты поля в любой точке |и относительно
(х) равны компонентам в точке |ИЧ- Vя И относительно
координатной системы (и'), которая возникает из (и)
увлечением по &Лйг. .......
6. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И7
Очевидно, суммы, произведения ■ и свертки абсолютно
инвариантных полей являются абсолютными инвариантами.
Инвариантность поля относительно •»", вообще говоря,
не сохраняется, если Vя заменить на ог>к. Это означает, что
поле является инвариантом не для всех точечных преобра-
преобразований, оставляющих линии тока поля х»и инвариантными,
а только для тех, которые порождены ю*<Н. Если произ-
производная Ли поля исчезает для всех значений о, то поле на-
называется абсолютно инвариантным относительно линий
тока Vя. Из E.17, Ь) следует, что для ковариантного
р-вектора тх х дополнительным условием этой инвари-
инвариантности является
«"«,^...^ = 0. E.23)
Это же справедливо для ковариантного ИР-/»-вектора. Ана-
Аналогичным образом мы получаем дополнительное условие
для р- вектор-плотности (или /7-вектор-А-плотности) веса +/:
^[И;-%и1 = 0. E.24)
Отсюда мы видим, что скаляр или л-вектор-плотность
веса -\-1, которые абсолютно инвариантны относительно »и,
всегда абсолютно инвариантны относительно линий тока Vх, и
что ковариантный я-вектор, или скалярная плотность веса -{-1,
никогда не могут иметь этой более сильной инвариантности ').
6. Инвариантные дифференциальные операторы.
IV. Производные Лагранжа
Пусть ФЛ(Л = / Л/) есть множество функций коор-
координат ^и. Фл могут быть скалярами или компонентами гео-
геометрического объекта, например тензора Ри>,, или могут
быть выбраны совершенно произвольно. Сначала мы не будем
рассматривать закон преобразования Фд. и поэтому |*
не будут преобразовываться. Опустим индекс Л и обозначим
через Фц, ФцУ и т. д. производные Ф относительно |и.
') Ср. более подробное рассмотрение абсолютно и относительно
инвариантных полей П. Ф. 1949. 1, р. 73.
118 «V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Хп
Пусть 3" есть функция Ф, Фй и т. д. до некоторого
конечного порядка. Тогда «5* в некоторой области Х„
является функцией |и, но мы ничего не знаем относительно
ее закона преобразования. Рассмотрим интеграл
•■■ Лп F.1)
по некоторой произвольной области хп из Хп, в которой Ф
аналитичны по |и.
V
Обозначим через йФ вариацию поля Ф и будем предпо-
предполагать, что вариации всех Ф и их производных, входящих
в .?", исчезают на границе т„_/ области т. Тогда для вариации 3"
имеем
а-?^^ЖаФ + :Ща%+ ■••■ F-2)
и, следовательно
Интегрируя по частям и используя теорему Стокса D.16)
для /7 = /, получаем
п
F.4)
Если ввести обозначение
6. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 119
то F.4) запишется в виде
й^&ат^ ... а1я= ^\3"\аФЛ11 ... а\п. F.6)
Однако здесь имеется трудность. В D.16) г>* является век-
векторной плотностью веса -\-1. Но мы ничего не знаем, например
о законе преобразования %~г й Ф. Эта трудность снимается,
если мы заметим, что D.16) справедливо для любой коор-
координатной системы и, следовательно, для используемой здесь
координатной системы (х), причем мы. договорились, что
координаты не преобразуются. Таким образом,, закон пре-
образования -щ- &Ф не имеет значения.
\ЯР\ называется производной Лагранжа от 3". Если
[т2'] = 0, вариация F.3) исчезает при любом выборе т„,
если только вариация Ф удовлетворяет граничным условиям.
Уравнение \3"\ = О называется уравнением Лагранжа,
Уравнения такого вида встречаются в классической динамике.
В этом случае |и сводятся к одному переменному г и эта
переменная не преобразуется.
Предположим теперь, что Ф есть тензор, например Р%н,
и что 3" есть скалярная Д-плотность веса -{-/, зависящая
от Р\н> дцР}.*' ••• Тогда F.1) есть скаляр, и построение
лагранжевой производной инвариантно относительно всех
координатных преобразований. Уравнение ЦЗ"] = 0 теперь
также инвариантно. Если Ф имеет валентности р, д, то \Л?Г\
есть тензорная А-плотность веса -\-1 с валентностями ^> Р-
Если мы рассматриваем только координатные преобразова-
преобразования с Д > 0, то для Л? может быть взята скалярная плот-
плотность веса -)-/, и ЦЗ"] есть тогда тензорная плотность веса +/
с валентностями д, р.
Если Ф — тензор и «5? — скалярная Д-плотность веса -|-/,
то существует очень важное соотношение между Ф, Ц5Р] и
их первыми производными. Чтобы получить это соотноше-
ние, мы предположим, что вариация ^Ф порождается увле-
увлечением поля по Ъ*а, где г»1* г—произвольное поле, такое,
что г>и, дцУ*, дрдхХ/*, ... равны нулю на: т„_/. Мы избежим
120 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Х„
сложных формул, положив Ф = Р?И. Нет никаких принци-
принципиальных трудностей для более высокой валентности. Итак,
имеем (ср. E.12))
ы <Н — Р»хд,.1Р сН — Р^днчР (И, F.7)
и увлеченное поле есть
'Ры = Ры — ^д^Р)м Л — Р»хд&» <И — Р^д^сР- сН. F.8)
Следовательно,
^ <И — Рьцдуйс*"* Л- F.9)
V V
Отсюда мы видим, что </Рх* и йду,Рхл равны нулю на т„_/.
То же имеет место для высших производных Рум, если
только достаточно высокие производные Vя исчезают на т„_/.
Если подставить теперь F.7) в F.4), то, используя F.5)
и теорему Стокса, мы получаем
... й1п. F.10)
Но эта вариация должна равняться нулю, так как поле,
увлеченное по 1>*<Н, имеет в точности те же компоненты
относительно (к'), что и первоначальное поле относитель-
относительно (и). Следовательно,
0*). F.11)
') Ср. V, § 1, где это тождество записано с ковариантным опе-
оператором 7^.
7. НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В Х„ 121
Как мы увидим позднее, это тождество имеет особое значе-
значение в теории относительности.
Если рассматривать только такие преобразования коор-
координат, для которых А > 0, то ^ можно трактовать как
скалярную плотность веса \-1. Тогда \3?\ есть тензорная
плотность.
7. Неголономные системы координат в Хп1)
Отправляясь от любой допустимой системы координат,
и
мы всегда получаем ковариантные базисные векторы е%
с нулевым вращением. Однако часто бывает удобно вводить
такие системы базисных векторов в каждом локальном Еп,
которые не связаны с какой-либо допустимой системой коор-
координат, но которые имеют некоторые другие желательные
свойства.
Если мы введем п произвольных контравариантных век-
векторных полей е*A=\ п) и взаимную систему (ср. II,
§ 2) вх(А=1 п):
е^ = ЬЧ, е}е*=А1 (к, 1=1 п), G.1)
Л
то, вообще говоря, е% не являются градиентными векторами.
Мы называем такую систему базисных векторов неголо-
н о мной системой координат в Хп, а компоненты некото-
некоторого объекта относительно этой системы нсголономныма
компонентами. Если
а№/*х. ЛГ = Л| (*■'=! п), G.2)
то для неголономных компонент, например, Ри^ц, мы имеем
РА<;. = А^Р*1» (А. /. У = 1 п), G.3)
а для неголономных компонент а"%*
№)А = Л*^И (*=! п). G.4)
') Для литературных ссылок см. Н. М. 1935. 1, р. 94.
122 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Х„
Мы не должны писать й|Л, так как, вообще говоря, А% </|и
не является полным дифференциалом и, следовательно, не
существует никаких переменных |й.
При использовании неголономных координат мы должны
ввести вместо дц, оператор
д; = А)д» (у=1 п). G.5)
Тогда градиент скаляра р в неголономных компонентах
можно записать в виде
т1 = д1р (/=! п). G.6)
Но вращения вектора 1ш% и 2дуаI] связаны более сложным
образом
(А. /, у=1 п). (?.?)
где '
(А. *. У= I п). G.8)
Мы называем Оу* объектом него лономности системы (К).
Компоненты ^/^л исчезают тогда и только тогда, кргда все
л
векторы ех являются градиентными векторами, т. е. система (й)
голономная.
Аналогичным образом мы можем доказать, что для кон-
контр авариантн ой векторной плотности веса
(/, У=1, .... пI)- G.9)
УПРАЖНЕНИЯ
IV. 1. Доказать, что в /?„ в декартовых координатах
+ Рд[:,д3т\]\12...1р] A1 1? 1 = 1 п;/»>/) Aа)
') Очень простое доказательство G.7) и G.9) будет дано в V, § 7
УПРАЖНЕНИЯ 123
или в сокращенной записи
У*чв = О1у Ко1 и> + Ко1 О1ч т; р> 1. (Щ
IV. 2. Если в Хп задано в параметрнческой форме некоторое Хт
&* = /*(чв) <а=1 ш) Bа)
с условием, что ранг связывающей величины
в рассматриваемой области равен т, и если в Хп задано вектор-
векторное поле тг то векторное поле в Хт, определяемое уравнением
'щ = В\тк, Bу)
называется пересечением поля ■шк с Хт. Доказать, что вращение
поля Юь в Хт равно пересечению
вращения т-кс Хт ').
IV. 3. Доказать, что
IV. 4. Доказать, что если обозначить т} ? , д > / через гг>,
а умножение вектора V* со сверткой по первому индексу выразить
с помощью оператора Г, то
ТОт + йТт = О^ 2). Dа)
IV. 5. Доказать тождество F.11) для Р/у — $)м; ^ — §2;
[±>0. (Ср. V, § 5.)
IV. 6. Если компоненты тензорного поля, например Я"'^, вы-
выражены как функции |м и компонент другого тензорного поля,
например <Э;Р„,
то мы имеем
') Ср. Н. М. 1935. 1; П. Ф. 1949. 1.
г) Ср. П. Ф. 1949. 1, р. 77.
124 IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В Т„
где ды обозначает частную производную относительно |° (о = /,.... л)
при постоянных фуР„. Доказать, что
есть тензор.
IV. 7. Если Фл есть тензор 0*4 а ^> — скалярная Д-плотность
веса -(-/, то тождество, указанное в IV, § 6, принимает вид
V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
С ЗАДАННЫМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ
ПЕРЕНЕСЕНИЕМ1)
1. Параллельное перенесение
Локальные Е„ в различных точках Хп являются полно-
полностью независимыми. Поэтому величины в соседних локаль-
локальных Еп до сих пор не находились в какой-либо связи. Однако
возможно определить операцию переноса величин из локаль-
локального Еп точки |* в локальное Еп точки |х-}-</&х. Эта опе-
операция, определенная для всех точек рассматриваемой области
и для всех направлений в этих точках, называется парал-
параллельным перенесением. Величина и перенесенная величина
называются (псевдо)параллельными. В Еп перенесение
задано а рг1ог1 и является обычным параллельным перене-
перенесением. Но в Х„ не существует никакого параллелизма
в обычном смысле.
Если задано ковариантное векторное поле г>'л, то значение
поля в !*+<*!* есть Vх-{-(IVх = ■&* -{-а^дуу*. Обозначим через
V* -{-(IVя вектор, перенесенный в ^х" -|- й?|к. Тогда мы имеем
Отсюда
Но мы знаем, что
с1А%.
A.1)
A.2)
A.3)
') Общие ссылки: Левн-Чнвита 1917.2; Схоутен 1918.1;
Р. К. 1924.1; 1954.1; Эйзенхарт 1926.1, 1927.3; Леви-Чи-
внта 1927.2; Н. М. 1935.1; Рашевскнй 1953.1.
126 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
й, следовательно,
A.4)
Отсюда мы видим, что, хотя ни (IVх, ни (IV* не преобра-
преобразуются, как вектор, их разность
б-»* = Л>« —<ЬХ A.5)
есть вектор. Мы называем б-»5* ковариантным дифферен-
дифференциалом поля -ои относительно заданного перенесения.
Если координатная система в том локальном Еа точки Ъ,*.
которое принадлежит (к), переносится параллельно в ^и-т-</|и,
то он* является дифференциалом V4 относительно этой пере-
перенесенной системы координат. Это можно выразить иначе:
6г»и есть дифференциал поля с точки зрения наблюда-
наблюдателя, чья локальная система отсчета подвергается
перенесению.
Теперь можно было бы определить независимо друг от
друга перенесения для различных типов величин, но это
не было бы разумным. Поэтому, чтобы связать перенесения
различных величин, мы введем некоторую систему аксиом.
Перенесения,, удовлетворяющие этим аксиомам, мы будем
называть линейными (аффинными) перенесениями:
A) если Ф есть величина (индексы опущены), то 6Ф есть
величина того же типа;
B) 6(Ф+Ч0 = 6Ф + 6Ч';
C) 6(ФЧ0 = EФ)Чг+Ф5Чг (правило Лейбница); ...
D) 6Ф линейно и однородно относительно й|н;
E) правило Лейбница справедливо для свертки;
F) ковариантный дифференциал скаляра совпадает с обыч-
обычным дифференциалом.
Хп с линейным перенесением общего вида обозначается
через V).
Из A), B) и D) следует, что ковариантный дифференциал
контравариантного вектора имеет вид
6**= А^ + 1>х ^ = (^И + Г>Х)^. A.6)
.') (.„ .называется пространством аффинной связноцти. —
Прим. перев.
1. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ 127
где я3 параметров Г^ — произвольные функции ^и'). Если
ГЦ'ь» — параметры относительно (х'), то
Ьу"' = лЛ' + г*',-^' а?'. A.7)
Из A.6) и A.7) вытекает, что
+ А%Х$цоу- <Г? = ЛЦ' йчТ^йА^+Т*;^' О?'
A.8)
Л*'
для любого выбора V* и </|*. Следовательно,
A.9)
и отсюда мы видим, что ГД образуют геометрический объект,
который не является геометрической величиной, так как
в формулу преобразования входят производные от Л* .
Если "них — ковариантпый вектор, то согласно E) и F)
мы имеем
= »х </о^ 4- дадГ^гЛ й?|" 4- г/?'6«»^ A.10)
для любого выбора Vх. Отсюда
6да,„ = <111>>. — ГЛ>.дах «ф1- A.11)
Из A.6), A.11) и B.3) имеем для тензора, например Р?.Ч,
A.12)
Каждому верхнему (нижнему) индексу соответствует член
с положительным (отрицательным) знаком.
Если положить Гц = Г^, то согласно A.9) и A.1.5)
получаем
Гй- =ЛЛ.Г„ — Л^дц-Л^Л^Гц — дцЫЛ A.13)
') Г^ называются коэффициентами аффинной связности, —
Прим. перев.
128 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Следовательно, Г^ является геометрическим объектом, но не
геометрической величиной. Гц играет важную роль при кова-
риантном дифференцировании плотностей. Если дад, ... *, —
ковариантный д-вектор, то его ковариантный дифференциал
равен
а это значит, что
<*®>1... п — иГц,„«>7... „_/]^|* = 1>г>/... я й|^. A.15)
Но ч&1... „ можно рассматривать как компоненту ц скаляр-
скалярной Л-плотности веса -}~ /. Отсюда
Ъц = йц — Т]д<В». A.16)
Если допустимыми являются лишь преобразования с Л > О,
то Л-плотности и обычные плотности преобразуются одина-
одинаково. Так как перенесение не зависит от выбора коорди-
координатной системы, мы имеем для обычной плотности
6<7 = й<7 — Т»Д&?. A.17)
Отсюда находим для ковариантного дифференциала тензорной
плотности веса I, например Р\,
\й*г-гР\?»а\». (Ы8)
При наличии других индексов каждому верхнему (ниж-
(нижнему) индексу соответствует член с положительным (отри-
(отрицательным) знаком и, кроме того, имеется дополнительный
член, содержащий I и Гй. •
Аналогичная формула справедлива для тензорных А-плот-
ностей, и, следовательно, ковариантный дифференциал 1^-ска-
ляра совпадает с обычным дифференциалом.
Каждый ковариантный дифференциал есть свертка </|ц
с другой величиной. Последняя называется ковариантной
производной- и обозначается через 7№:
A.19)
I. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
129
(индексы у Ф опущены). Например,
A.20)
Очевидно, ковариантные производные А*, Ел
равны нулю.
Из A.9) вытекает, что
A.21)
и значит,
есть тензор. Мы пишем
Если 5^).х = 0, перенесение называется симметрическим.
Хп с симметрическим пе-
ренесением
Л,,2). Если
мо в виде
обозначается
представи-
Рис. 17.
5[1>* = 5111А?А, A.23)
перенесение называется по-
полу симметрическим.
Если два линейных эле-
элемента й|и и йЪ?, взятые
1 2
в одной точке, переносят-
переносятся параллельно один вдоль
другого, мы получаем пятиугольник. Замыкающим является
пектор
2й|" </|\$^\ A.24)
Это означает, что инфинитезимальный параллелограмм суще-
существует только в Ап. Если перенесение в X„ полусимметри-
полусимметрическое, замыкающим вектором является
25ц
A.25)
') 5^" называется тензором кручения.—Прим. перев.
2) А„ называется пространством аффинной связности без
П
) „ р
кручения.—Прим. перев.
9 Я. А. Схоутен
130 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Отсюда следует, что инфинитезимальный параллелограмм
существует только в (я — /)-направлении вектора 5^.
В Ап во всех инвариантных дифференциальных опера-
операторах, определенных в IV, § 3, символ дц может быть заменен
на VI!. Это можно доказать, записывая соответствующие выра-
выражения с V. Все члены с Г^ исчезают, так как 5^ = 0.
Например, если 11)% — ковариантный вектор пи* — контра-
вариантная векторная плотность веса -\- 1. мы имеем
(а)
(Ь)
То же справедливо для производной Ли, определенной
в IV, § 5, например
?лV1. A-27)
а также для тождеств типа (IV. 6.11), например
= 0.
2. Геодезические
Пусть
— параметрическое уравнение кривой в Ьп с параметром г;
а"^1<1х есть контравариантный вектор, касательный к кривой-
Кривая в /.„ называется геодезической, если она «макси-
«максимально прямая», т. е. если касательный вектор остается
касательным при параллельном перенесении вдоль кривой.
Необходимым и достаточным условием этого является
где а (г) — некоторая функция г. Если вместо г ввести
другой параметр { — {(г), то
б и? си\_ а? Л1
2. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ 131
ИЛИ
B.4)
йг) (И И йг- М сП Лг
или
й1 йЧ
5 Л? _ ° йг йг2 й^ B5)
Правая часть этого уравнения исчезает, если только г есть
решение дифференциального уравнения
-—} — а (г)— = 0. B.6)
йг йг
Общее решение этого уравнения имеет вид
B.7)
Отсюда мы видим, что на каждой геодезической в Ьп имеется
такой параметр г, что уравнение B.2) принимает вид
б й? _й%* г* ар ар Г2Л
Такой параметр называется каноническим параметром
геодезической. Если го—канонический параметр геодезиче-
геодезической, то любой другой канонический параметр на той же
геодезической может быть записан в виде
/ = С,*в+С2, B.9)
где С/ (=^ 0) и Сг — произвольные константы. Следовательно
канонический параметр геодезической определяется с точ-
точностью до аффинного преобразования с постоянными коэф-
коэффициентами. Изменение С2 смещает начало отсчета, а изме-
изменение С/ изменяет «аффинную меру» на геодезической.
Отрезки геодезической в Ьп не имеют «длины» в обычном
смысле, но два различных отрезка одной и той же геодези-
геодезической имеют определенное отношение, которое может быть
найдено с помощью произвольного канонического параметра.
Согласно B.8) геодезические в Ьп зависят только от Г*^ а
не зависят от 5^и.
132 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
3. Нормальные координаты')
Мы докажем, что в А„ всегда существует такая коорди-
координатная система (и'), что 1™').' = 0 в некоторой наперед
заданной точке &х. Пусть
о
^ = /'")(а; а„_;) C.1)
— параметрическое представление оо"-; контравариантных
векторов в локальном Еп точки |х, и пусть имеется одно и
о
только одно такое представление в каждом направлении.
На каждой геодезической, проходящей через &*, мы выберем
о
канонический параметр г, такой, что г = 0 в |* и
в |х на каждой геодезической. Тогда на каждой геодезиче-
о
ской справедливо уравнение
и, дифференцируя это уравнение, мы получаем бесконечную
последовательность уравнений, из которых могут быть опре-
определены значения всех производных &х по г при г = 0.
После этого |х могут быть разложены в ряды
«»+...=.
= Г + Г г - I Пх (Г) Л V + ..., C.4)
0 0 * 0 0 0
в которых для нашей цели интерес представляют л льчо три
первых члена.
Если мы теперь введем (*г в качестве новых координат |
|Л = 6^И2 (Н = \ п). C.5)
') Ср. Н. М. 1933.1.
3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 133
то получим
Lг(о(лаб) +
о * о о о
(Л=1 п). C.6)
Дифференцируя, находим
C.7)
(Л = 1 п).
о
Отсюда
„л аа
для Iм = 6" (Л=1, .... п). C.8)
■•■
Из A.9) и C.8) теперь следует, что
' , = 0
(А, /, 7=1, .... п). C.9)
Построенные координаты называются нормальными ко-
координатами в точке ^* в Ап'). Они зависят только от
о
выбора &*, оо"~ векторов /* в &н и (и). Если |ч и ^* оста-
о оо оо
вить неизменными, а (х) преобразовать в произвольную новую
систему (%'), то мы получим новые нормальные коорди-
координаты |А':
о ххоо о
Это уравнение показывает, что нормальные координаты под-
подвергаются линейным однородным преобразованиям с постоян-
постоянными коэффициентами. Следовательно, если |" и I* фикси-
0 О
рованы, нормальные координаты определяются с точностью
до линейных однородных преобразований.
') Впервые нормальные коордиваты были введены Вебленои
1922.1. Для литературных ссылок ср. И М. 1935.1.
134 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Возможно также определить нормальные координаты таким
образом, что Гуг исчезают в каждой точке заданной кривой
и в особых случаях во всех точках заданных Хт!) в Ап.
Нормальные координаты очень удобны, так как при их
использовании часто оказывается возможным избежать длин-
длинных вычислений.
4. У
п
Если в Хп задан действительный симметричный тен-
тензор $ы ранга п, то Хп обозначается через У„2). а $Кх
называется его фундаментальным тензором3). Каждое локаль-
локальное Еп в Уп содержит фундаментальный тензор и, следова-
следовательно, есть /?„. С помощью §Ху1 и обратного ему §*х в Vп
можно поднимать и опускать индексы аналогично тому, как
это было сделано в /?„.
Выражение
Щ
называется длиной вектора Vя. Если ф = О, Vх называется
изотропным вектором, а его направление — изотропным
направлением. Изотропные векторы могут быть действи-
действительными лишь в случае неопределенного §Х,Л.
Мы пишем из для обозначения длины линейного элемента,
определенного выражением
а**=\еьЖъ*[ D-2)
Если йз = 0 в каждой точке кривой, последняя называется
изотропной кривой в Vп.
В Vп каждый отрезок кривой имеет длину Г а"з. Наиболее
важное свойство V'„ состоит в том, что его фундаменталь-
') Н. М. 1935.1.
2) Ук называется римановым пространством. — Прим. перев,
3) В V'„ возможно ввести ортогональные криволинейные ко-
координаты во всех направлениях для л < 3. Для п > 3 они возможны
тогда и только тогда, когда существует такой скаляр а, что Уп
с фундаментальным тензором о^ху. есть ^п- ОР- С х о у т е и 1921.5,
1927.4; Р. К. 1924.1; Эйзенхарт 1926,1; Н. М. II 1938.3.
*• У„ 135
ный тензор определяет единственным образом симметриче-
симметрическое перенесение, которое оставляет инвариантной длину
вектора. Оно удовлетворяет поэтому уравнению
Если это уравнение расписать, мы получим
^хх - *Л - «Л = 0. D.4)
Переставляя индексы, получим эквивалентные уравнения
Складывая и учитывая, что Г^ = Гхц, находим
или
■!'!!• называется символом Кристоффеля в честь его перво-
первооткрывателя. Первоначально он записывался в виде у \ .
но это ие согласуется с современной практикой расположе-
расположения индексов.
Из D.7) получаем
1^ = 7*4**- <4-8>
Теперь из определения &*к следует, что (ср. (I. 1.5))
Отсюда
у D.10)
и, следовательно,
А = 0. D.11)
136 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Эта формула может быть использована для записи ковариант-
ной производной контравариантного /7-вектора Ч^у**2''' *?
в форме, содержащей только дц и не содержащей пара-
параметры Г^:
Ч^?**-*р==1В-1ч}дгчр**-*р==е-1д#е'гу***-*Р D.12)
(ср. A.26)).
Геодезические в Vп являются не только прямейшими кри-
кривыми, но и кратчайшими (или наиболее длинными) кривыми
между двумя их точками. Чтобы доказать это, рассмотрим
кривую 5, соединяющую две точки |* и |", касательные
о 1
которой нигде не имеют изотропных направлений. Наряду
с 5 мы рассмотрим все кривые, которые могут быть получены
из 5 инфинитезимальным точечным преобразованием Vх (И,
где V* — произвольное векторное поле, определенное во всех
точках окрестности 5. Мы хотим установить соотношение
между длиной 5 и длиной одной из этих соседних кривых $'
между точками %х-\-ук(К и |* -\- Vх (И, где Vх и Vх значе-
0 0 II 0 1
ния V* в |" и |х. Для этого нужно определить длину линей-
0 1
ного элемента з' в некоторой точке |х-{-•»* <#. В этой точке
мы должны для фундаментального тензора принять значение
§} х -+- ъ^д з} и й1, что в значительной мере осложняет вычи-
вычисления. Однако это можно сделать более изящным способом.
Если |х -> Т1* (^) есть любое точечное преобразование
в Vп и если кривая 5 и поле %Кя оба увлекаются этим пре-
преобразованием, то длина увлеченной кривой, измеренная
с помощью увлеченного фундаментального тензора, очевидно,
равна длине исходной кривой. Это связано с тем, что ко-
координаты точек увлеченной кривой 5 и компоненты увлечен-
увлеченного фундаментального тензора относительно увлеченной
координатной системы (к') равны исходным координатам и
компонентам относительно (и). Рассмотрим теперь точечное
преобразование ^х->|х — Vя йЬ. Если 5' и &Кх увлекаются
этим преобразованием, то они превращаются соответственно
в 5' и зы — п^г^йг. Следовательно, вместо измерения $'
«. Уп 137
с помощью ё%-л-\~'°^^ё\^ мы можем измерить $ с помощью
а< + ё^юо л + ^„«р Л. D.13)
Таким образом, если т — произвольный параметр на 5, вариа-
вариация длины линейного элемента й\л кривой 5 равна
=1 («А.+Ъ№+?»А<") ^ # * *. D.14)
Теперь мы имеем
Ц ' о A7 V
4^ = 2? V.. D.15)
Отсюда
- . —;— с1$ сН. D.16)
Это дает для вариации длины 5 между ^х и |х
о 1
Г Г
</ / а$ = а( / -^-^. D.17)
138 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Из этой формулы находим интегрированием по частям
г
Если теперь г»" равно нулю в |* и |ч, то первый член
о 1
в правой части исчезает и мы получаем
у г г
а У аз = -а( [ ^6-^, D.19)
а это доказывает, что вариация равна нулю для любого
выбора Vх тогда и только тогда, когда
Ъ^=0, D.20)
т. е. 5 является геодезической. Следовательно, геодезическая,
соединяющая две точки, есть кривая экстремальной длины,
а 5 — канонический параметр.
Если геодезическая 5 в одной из своих точек имеет
линейный элемент нулевой длины, то можно показать, что
5 — изотропная кривая. Пусть 5" есть вектор, касательный
к 5 и удовлетворяющий условию
Ьз* = 0. D.21)
Тогда длина з"л в рассматриваемой точке равна нулю. Но длина
вектора не изменяется при параллельном переносе, и, следо-
следовательно, 5х имеет нулевую длину в каждой точке кривой 5.
б К
Однако обратное несправедливо.
не обязана быть геодезической.
Кривая с нулевой длиной
139
5. Кривизна У„ и Аа
Рассмотрим сферу единичного радиуса в обычном про-
пространстве. Ее линейный элемент в сферических координатах
E.1)
Следовательно, если положить |г=ф. |? = 0. то компонен-
компонентами фундаментального тензора будут:
*„ = 81п»е. е,а = 0. ег2=1,
и для Г^х находим:
Т'п = 0, ГЬ = с1ев, Г|» = 0.
Т3„ = — 51пвСО8в. Г?2 = 0, Г222 = 0.
Отсюда получаем для ковариантных производных:
— йг»? — V15ш Э соз Э с1у,
»,> 31П в соз 9 йф,
Следовательно, необходимые и достаточные условия для
параллельного перенесения г»4 и гг»д, имеют вид:
= —г»' с!§ 6 йЪ — г>? с1§ 6 аГф.
= •у7 з1п 9 соз 9 а?ф;
E 5)
На меридиане сИр = О, и параллельное перенесение при-
принимает вид:
(а) (IV1 = — 1>'с1§6й9, (с) </Шх = ^с{§:&^д,
(Ь) (IV7 = 0; (й) (Шг=9. ^5'6)
Но г»7 и г»? являются соответственно компонентами в напра-
направлении параллели, и меридиана, и из E.6а) следует, что
меридиана является геодезической.
140
V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
На параллели йв = О, и параллельное перенесение при-
принимает вид:
(а) (IV1 = — г»2с4§р 0 йф, (с) йчо] =—-и»? зт 0 сов 0 йф,
(Ь) й^2 = г»'з1п0соз0йф; (й) йчюг = ■До/ с!§- 0 йф.
Отсюда мы видим, что параллель является геодезической
только для в —-о •
Если в точке ф —0, 6 = 6/> задан вектор г»", касательный
к параллели 0 = во, то в этой точке V2 = 0. Длина этого
вектора равна г>;зтЭ0. Ес-
Если теперь параллельно пере-
перенести вектор на Лр вдоль
параллели, то компонен-
компоненты перенесенного вектора
в а?ф, О.-; будут равны V1,
V1 51п Э, соз 0и а?ф. Длина
вектора О, V1 5тв<усоз9<,й?ч>,
перпендикулярного паралле-
параллели, равна V1 зтЭоСозОо^ф.
Следовательно, угол меж-
между перенесенным вектором
и параллелью равен соз 0,/ а?ф.
При параллельном перене-
перенесении все векторы повора-
поворачиваются на один и ют же
рнс. 18. угол, и значит, каждый
вектор в точке параллели
0 = во при перенесении
вдоль параллели на а?ф поворачивается относительно парал-
параллели на угол созЭ0йф. Если вектор переносится вдоль всей
параллели до возвращения в исходную точку, то общий
угол равен 2лсоз90. Отсюда следует, что угол между пер-
первоначальным и конечным положениями равен 2тс (/ — соз 0,,).
Но это есть в точности площадь сферического сегмента,
ограниченного параллелью. Можно показать, что это спра-
справедливо также для любой замкнутой кривой на единичной
сфере.
Если вектор переносится параллельно вдоль замкнутой
кривой на плоскости, то угол между первоначальным и
конечным положениями всегда равен нулю. Следовательно,
5. КРИВИЗНА Уп И Ап 141
геометрия на сфере отлична от геометрии на плоскости.
Мы увидим, что это имеет некоторое отношение к «кри-
«кривизне» поверхности.
Если мы построим конус, касательный к параллели Э = 9о
на сфере, то этот конус можно развернуть на плоскость.
Значит, геометрия конуса та же, что и плоскости. Дуга
окружности радиуса {§[Эо, имеющая длину 2лв\п0э (рис. 19),
соответствует параллели
О — во. Следовательно, ес-
если параллельно перенести
вдоль дуги на плоскости
вектор, касательный в од-
одном из ее концов, к друго-
другому концу, то угол между
перенесенным вектором и
дугой будет равен 2лсоз0о. ^ 2п5\.пвп
Это доказывает, что парал-
параллельное перенесение на Рис- '^-
сфере вдоль параллели эк-
эквивалентно параллельному перенесению на конусе, касатель-
касательном к сфере по этой параллели.
Если задана произвольная кривая на произвольной поверх-
поверхности, то плоскости, касательные в точках этой кривой,
огибают развертывающуюся поверхность. На этой разверты-
развертывающейся поверхности мы имеем обычную плоскую геомет-
геометрию, и можно показать, что параллельное перенесение вдоль
кривой на первоначальной поверхности эквивалентно парал-
параллельному перенесению на развертывающейся поверхности
вдоль той же кривой. Это свойство можно использовать для
построения параллельного перенесения на произвольной по-
поверхности. На рис. 20 и 21 показано параллельное перене-
перенесение на сфере, гиперболическом параболоиде и поверхности
постоянной отрицательной кривизны.
Чтобы исследовать поведение вектора в Ап при парал-
параллельном переносе вдоль замкнутой кривой, мы рассмотрим
инфинитезимальный параллелограмм в точке А. Пусть век-
вектор Vх в А переносится параллельно сначала от А через В
к О, а затем от А через С к О. Значение перенесенного
вектора в В есть
V — а*» Г^ . E.8)
142
V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Рис. 20.
Рис. 21.
5. КРИВИЗНА Vп И Ап 143
Теперь этот вектор должен быть перенесен из В в О. Но
в В значения коэффициентов связности равны не Г^, а
Г, I //« Л I ч (^ О\
^ЛТ иЪ иХх 11Л" К^***)
2
Следовательно, вектор, перенесенный в п через В, имеет
компоненты
(^р - Гра а? й?
/ 2 1
F.10)
если пренебречь величинами третьего порядка малости. Для
вектора, перенесенного в О через С, мы находим аналогич-
аналогичное выражение, в котором
й'^ и й?5* меняются местами.
Отсюда разность между двумя
перенесенными в п векторами
равна в
1Л E.11)
Это выражение должно быть
вектором, так как оно имеет
значение, не зависящее от Рис. 22.
выбора системы координат,
а именно равно разности двух перенесенных векторов. Это
значит, что выражение в квадратных скобках в E.11) есть
тензор. Этот тензор
ЩЛЛ ЯГБи E.12)
144 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
называется тензором кривизны в А„. Ап есть Е„ тогда
и только тогда, когда /?^я* исчезает в каждой точке ').
] возникает также при двукратном ковариантном
дифференцировании с последующим альтернированием ин-
индексов дифференцирования
Г,*
Гу | Р |Г&, ,.]г» = у Л^ V. E.13)
Аналогичным образом мы находим
^ E-14)
и для тензора общей структуры, например Р\р:
п п пя I о---хп"г ' п . .аох / р. ..о г,*
"|у»ц]".Лр— " /м?ца « . \р 2" "^^цл * .ар — ~$ '^Vцр « .Ял*
E.15)
Каждому верхнему (нижнему) индексу соответствует член
с положительным (отрицательным) знаком.
Для скалярной плотности д веса +/ имеем
-у /?^хх?. E.16)
и соответственно для общей тензорной плотности веса -}-/,
например Р*я,:
У|^,Р\ = у /?Уцр"^ ~ 4 «^"Я*,, - ^ *Ъ&аР\ E-17)
Каждому верхнему (нижнему) индексу соответствует член
с положительным (отрицательным) знаком и имеется допол-
дополнительный член, содержащий /?V^^я,Я' и множитель *.
') Более точно, Ап в этом случае является локально аффин-
аффинным, но в целом, вообще говоря, может не совпадать с Еа. Про-
Простейший пример — цилиндр. — Прим. перев.
5. КРИВИЗНА \'аТЛ Ап
145
Тензор кривизны удовлетворяет некоторым тождествам.
Первое тождество
следует из определения. Второе тождество
E.18)
E.19)
тотчас следует из E.12).
В V„ мы обозначаем тензор кривизны через
Для К\^ мы имеем третье тождество
E.20)
Действительно,
0= V. 7.,Я\. :
2 01ЦЧ *
= - *■
E.21)
Из второго и третьего тождеств следует четвертое то-
тождество
КХУ.МЦ-
E.22)
Из третьего тождества мы видим, что К'м'ца"' — О. Следо-
Следовательно, перенесение для скалярных плотностей в Уп инте-
интегрируемо. Действительно, существует поле &, для которого
ковариантная производная равна нулю.
Тензор кривизны /СУцЪ« в Уп антисимметричен по У(х и /м
и симметричен относительно пар уц и Я,и. Следовательно,
эта величина играет ту жг роль для бивекторов, которую
симметричный тензор играет для векторов. Его можно
назвать симметричным бивектор-тензором. Бивектор
общего строения имеет -^п(п — /) независимых компонент,
и. следовательно, симметричный бивектор-тензор в общем
случае имеет
=-у («* — и)(«? — п + 2)
10 Я. А. Схоутен
146 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
независимых компонент. Но мы использовали только первое,
третье и четвертое тождества. Легко показать, что в сово-
совокупности с этими тождествами второе тождество эквива-
эквивалентно условию
0, E.23)
что дает в точности ( . | уравнений. Отсюда число незави-
независимых компонент Кч\л\х равно
4 -(;) = -1-*2(»2_/). E.24)
Для п — 2, 3 и 4 это число равно соответственно /, 6 я 20.
Существует другое тождество, содержащее первые про-
производные #^х:
и = 0. E.25)
Оно называется тождеством Бианка, хотя было еще ранее
найдено Риччи 1).
Чтобы доказать это тождество для некоторой точки |х,
мы выберем в качестве (и) систему нормальных координат,
принадлежащих этой точке (ср. V, § 3). Нам известно, что
в этом случае Г^ равны нулю и |* и, следовательно,
= 2д[в) (<Мй х + Г*| Р |ГЦ| 0 = 0. E.26)
у,!^ сверткой по гх мы получаем тензор Риччи
В Уя он является симметричным тензором и обозначается
через К\>.\:
Из Кц\ можно получить скаляр
* = *•**,*. E.29)
•) Ср. для литературных ссылок Р. К. 1924. 1; 1954. 1. Согласно
О к а й а 1925. 1 это тождество первоначально было найдено Ф о с -
сом 1860. 1.
5. КРИВИЗНА Vп И Ап
147
_ _■■ К называется скалярной кривизной V'„. Для сферы
единичного радиуса Кх^ы имеет только одну независимую
компоненту (ср. E.3))
/9/2 О2ч1 \ 17 91 1 I I/ !п I 91 1 /
= соз2 8 — з1п2 8 — 51п 8 соз 8 с*§ 0 = — з1пг 8. E.30)
Отсюда
Кц = 5Ш 0, К.12 = 0, /^22=/, E.31)
и
1 А: = |- ^хАГцХ = /. E.32)
Следовательно, скалярная кривизна единичной сферы равна 1,
как это и должно быть.
Из тождества Биапки E.25) сверткой по сои получаем
П г» •••в I гт П...0) , п П...Ш л
или
E.33)
E.34)
В Уп это тождество может быть свернуто с & ^ и это
дает
Отсюда, если мы введем симметричный тензор
г — ы !
то тождество E.35) принимает вид
E.35)
E.36)
E.37)
E.38)
играет очень важную роль в теории относительности. Это
связано с тем, что б**" является производной Лагранжа от
1*0^=0.
Тензор 0^-ц, или скорее тензорная плотность,
10*
148 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
К как функции ^, д^1к и дад^Кх (ср. IV, § 6):
=-6*\ E.39)
Прямое доказательство E.39) достаточно длинное. Однако
Палатини дал очень короткое и изящное доказательстио,
используя нормальные координаты (и), принадлежащие фикси-
фиксированной точке |*1). Тогда, как мы знаем, Г^ исчезают
в |х. а следовательно, и д 8Кк, но производные от Г* не
о
исчезают в этой точке. Если йёул — вариация 8Уу, то вариа-
вариация Гцх не равна нулю в ^*, так как нормальная система
V
перестает быть таковой для нового перенесения. Но й\^\
являются разностями параметров двух различных перенесе-
перенесений и, следовательно, являются компонентами тензора.
Теперь мы имеем
К = 2^к («?|3<Г*| к +1?* |Р ,Г&| Д E.40)
Отсюда в |*
+ ка Уё ± /7к&й^-ь- У1^к Г
- У! д^ йГ^ + 4 * У? й* 1п ^ -
= УТ о^х+ч»У1№кс1ГЪ- е»1 аКк), E.41)
где знак * может быть в конце опущен, так как уравнение
имеет теперь инвариантную форму.
Если теперь т„ является областью Уа, на границе кото-
рой вариации ^ч. д^ху. и дчду&ы исчезают, то йГ^ также
должны исчезнуть, и, следовательно, используя теорему
■) Ср. Н. М. 1935. 1. Там же приведены литературные ссылки.
6. КРИВИЗНА VI 149
Стокса для последнего члена E.41), мы получаем
а { VI к *1' • • • *1" = - / Уёо^аёк* Ъ1 • • • *1а. E.42)
что и доказывает E.39). Тогда и только тогда, когда исче-
исчезает О\к, исчезает вариация интеграла от }/"§' К по тя для
любой вариации ^Ху, удовлетворяющей граничным условиям.
Тождество (IV. 6.11) теперь принимает вид
&* ЙА*- «^х- *л»)-*„***?* - е^дх&* = о E.43)
или
7хО*лс = дхбХм + Г^д^ = 0 E.44)
в согласии с E.37).
6. Кривизна V? с положительно определенным
фундаментальным тензором
В Ег два бивектора могут отличаться только скалярным
множителем. Следовательно, в У-2 тензор кривизны Куцы
может отличаться лишь скалярным множителем от ^,кё ]Хг
Из E.28) и E.29) немедленно следует, что множителем
является — К:
Если /чЯ| — бивектор единичной площадки и /" йв — бивек-
бивектор элемента У2 с площадью Aа, то вектор V* после парал-
параллельного перенесения вдоль границы 1*к йа изменяется на
величину
№* = Г»К^№йо. F.2)
Беря ортогональные локальные координаты и полагая г»1 = /,
V2 = 0 в начальном положении, мы имеем Л2 = — Я1 = / и
#1212 = — -у К. и, следовательно,
йгг>] = 0, а^-^^Кйа. F.3)
Таким образом, вектор поворачивается на угол -х
150 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Если V4- переносится параллельно вдоль границы области т?,
то угол между начальным и конечным положениями Vх равен
/ -^К йо, т. е. интегралу от скалярной кривизны по Хг-
Из рис. 20 и 21 мы видим, что перенесение по часовой
стрелке дает поворот по часовой стрелке на поверхности
с положительной кривизной и против часовой стрелки, если
кривизна отрицательна.
7. Неголономные системы координат ')
Уравнения A.9) остаются справедливыми для неголоном-
ной системы координат (Л) (ср. IV, § 7):
Г5, = А*#ТЪ - А^ЛЧ (А. Л У = 1 п). G.1)
Отсюда следует, что вместо A.22) мы имеем (ср. IV. 7.8)
ГУП = 5){* - ^/ (А. '. У = 1 п). G.2)
Следовательно, в А„
Г&ч = — О/ (А. Л У = 1 п) G.3)
и (ср. A.26))
(а) ЧцЮц — дуО)ц + п) 1*11) к,
(Ь) Ч}Ъ> — д$ + Щ\1У G.4)
(Л. /. у=1. .... п).
Из этих уравнений немедленно следуют уравнения (IV. 7.7)
и (IV. 7.9).
Согласно G.2) мы имеем в Уп вместо D.7)
*
(Л. /, У, А, /=1 п). G.5)
') Ср. Н. М. 1935. I; Р. К. 1954. I. Там же приведены ссылки
на литературу.
8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В Уп И К„ 151
Если неголономная система в каждой точке образуется п
л
взаимно ортогональными векторами I , /*,; А, 1=1, .... п,
то { *} 0
{ *,} = 0 и
(Л, /, у, й, /=1 п). G.6)
Из G.5) следует, что в У„ (ср. D.10, И))
т. е. D.10) справедливо также для неголономных систем
координат.
В А„ из E.12) мы получаем следующее выражение для
тензора кривизны в неголономных координатах:
/^1* = 2д[»Г?,, + 2Г}ЙА, „Г)], + 2О^Г?|
(Л, /. У. А. /=1. .... п). G.8)
Конечно, все уравнения, которые содержат только вели-
величины и знак V, инвариантны относительно преобразований
в неголономных координатах. Но уравнения, содержащие Г^х
или дц, вообще говоря, ие являются инвариантными. Часто
удобно использовать знак = вместо = в уравнениях, кото-
которые справедливы только в голономных координатах.
8. Интегральные формулы в Уа и *„■)
Применим AУ.4.15) для р = / в К„ (ср. V, § 1)
^а/ (8.1)
к специальному случаю, когда г>>1 имеет вид
') Общие ссылки: Кронекер 1894.1; Бурхардт и Мейер
1900.2; Вильсон 1913.1; де Р а м 1956.1.
152 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Тогда мы получим первое тождество Грина в Vа
(8.3)
Меняя местами ф ифи вычитая, получаем второе тожде-
ство Грина в Уа
= Г УН (ф^и^Ч—Ф7и'**ф) а/. (8.4)
При этом, конечно, ф и гр должны быть выбраны таким
образом, чтобы фУцг|> и фУ^ф удовлетворяли условиям гл. IV,
§ 4.
Рассмотрим теперь /?„ с положительно определенным
фундаментальным тензором и введем декартовы координаты х
(й= 1 п). Если п. > 2, мы выберем ф в виде
^ = 7^2 а"я+2- а = У Зт (*' — 'х') (хН — '■**) (8-5)
(А, /=1, .... п),
где 'хн — переменная точка. Тогда ф есть функция от хк
и 'хн и
а( = дг(. — 'х, = ад^, (8.6)
Отсюда, если тя не содержит точку 'лА, мы получаем из
(8.4)
') При а' Ф 'хК — Прим. перев.
153
Если, однако, т„ содержит точку 'хк, то непосредственное
интегрирование в правой части (8.7) не может быть выпол-
выполнено, так как а~п+2 —>эо при я*—>'.**. Поэтому мы рас-
рассмотрим этот интеграл как предел интеграла по области
х„—е, заключенной между т„_/ и гиперсферой е малого
радиуса /?, которая содержит точку 'хн. Тогда левая часть
(8.7) есть
Пт
(/=1 п), (8.8)
где п1 — единичный вектор и <//,- = п1 йхп-1- Имеем
Г п.1 а/1 = о/?" (/ = 1 п). (8.9)
е
Здесь
для п четного,
; (8-10)
4—з 7т Для п. нечетного ')
есть (и — /)-мерная площадь гиперсфгры е. Последний член
во втором интеграле в (8.8) исчезает при К->0. Отсюда
Г 4-1
а'^а'а/,. (8.11)
хп-1 хп-1
В интегралах в правой части равенства переменными
являются **, а ф рассматривается как функция х*. тогда как
в левой части ф есть функция 'хн. (8.11) является теоремой
') См. Крон екер 1894.1.
154 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
Грина для /?„ с положительно определенным фундамен-
фундаментальным тензором.
Если в (8.11) в качестве т„ мы возьмем гиперсферу
а = р, то может оказаться, что два последних интеграла
исчезают, когда р->со. В этом случае (8.11) принимает вид
Юф = —-
п
ИЛИ
ф = Ро1У2ф, (8.13)
где Ро* — интегральный оператор, определяемый выражением
_ AеГ
(л—2) с
Л со
Функция ф, удовлетворяющая (8.12), называется потен-
потенциальной функцией. Достаточными условиями являютсяа):
A) ф и ее первые и вторые производные всюду ограни-
ограничены;
B) среднее значение ф на сфере радиуса р стремится
к нулю при р->оо;
C)
$+22 0. (8.15)
Функция всегда будет потенциальной, если выполнено
первое условие и если функция равна нулю вне некоторой
конечной сферы.
Функция /(я*) называется гармонической в некоторой
области, если в этой области ее первые и вторые производ-
производные ограничены и непрерывны, за исключением конечного
числа гиперповерхностей, где допускаются конечные разрывы,
и если У2/ = 0. Если мы положим в (8.4) я|з=/, то для
каждой ф, гармонической в т„,
0. (8.16)
хп-1
') Ср. Кронекер 1894.1.
8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В Уд И Я„ 155
Если теперь в качестве тя_/ мы возьмем гиперсферу а = р,
то из (8.11) и (8.16) следует, что
иф= ^р-я+|Фя'<'// (8.17)
или
п'й/г (8.18)
я
Из этого уравнения следует, что значение <р в 'х!1 равно
среднему значению ф на любой сфере с центром в 'х1', если
только ф — гармоническая во всех точках внутри сферы и
на ее границе.
Ф во внутренней точке т„ может быть выражена с по-
помощью (8.11) через значения У2ф в х„ и значения ф и и'д(ф
на т„_/. Но, очевидно, мы задали здесь слишком много.
Если мы положим в (8.3) я]з = ф, то получим для /?„
(8.19)
Отсюда, если У2ф = 0в т„ и если либо ф, либо га^дцф исче-
исчезают иа т„_;, то первый интеграл в правой части должен
исчезнуть, а так как §ы — положительно определенный, то
это возможно лишь при условии, что ф постоянна в тя.
12 1 22
Пусть теперь ф и ф — два таких поля, что V ф = V ф в х„
12 12
и или ф —ф на т„_; или »1*<Эцф = «1*(?цф на т„_/. Тогда из
2 1
предыдущего следует, что ф = ф+сопз1 в т„. Отметим, что
это справедливо не только в /?„, но также и в Ул, если
только &ы — положительно определенный.
В качестве примера в /?з мы рассмотрим поток тепла
в изотропной среде. Если Т — температура, то д1Т пропор-
пропорционален векторной плотности теплового потока, а У2Т про-
пропорционален подводу тепла в единице объема и за единицу
времени. Далее, хорошо известно, что в установившемся
режиме задание Т на х2 и У2Г в т.? определяет Т в т.?. а за-
задание п1д{Г на %2 и У2Г в х3 определяет Т в хз с точностью
156 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
до константы. Эти два случая известны как первая и вто-
вторая граничные задачи. Встречается также третья гра-
граничная задача, когда на т? задано Нп1д[Г -\-Т, а в %з— 7 Т,
причем к — известная Положительная константа.
Первую граничную задачу в /?„ можно решить, полагая,
что 1|) в (8.4) гармоническая в т„ и принимает значение
—-й"я+г на тя_/. Тогда (8.4) запишется в виде
п
а/, + /№2<ра?=о. (8.20)
Из этого уравнения и из (8.11) следует, что
<0ф =
л
т. е. ф в 'хК выражается через У2ф и
на т„_;. Разность \|) гв"я+2 называется функцией
Грина. Таким образом, первая граничная задача сводится
к построению функции Грина. Функции Грина могут быть
также построены для других граничных задач подобного
типа.
Если применить (8.11) ко всем ортогональным компонен-
компонентам любой величины р/ч-кр[ / , то мы получим (индексы
у Р опущены)
а>Р = ~
я
а~"Ра1а/. (8.22)
хП-1 хп-1
8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В Vп И Нп 157
Если в качестве Р мы возьмем /;-вектор да(/... ,р, р^>1.
то согласно (упр. IV, 1) найдем (индексы // ... 1Р опущены)
-1- Ко1 О1У) да а/
я
;. (8.23)
Если компоненты •ДО,/...л7 — потенциальные функции')•
то (8.23) .принимает вид (ср. (8.13))
да = РоЮ1УКо1да + Ро1КоШ1уда. (8.24)
Если •о>11...1 и их первые производные всюду конечны
и если и>1]... 1р равны нулю во всех точках вне некоторой
конечной сферы, то можно доказать, что кроме (8.24) спра-
справедливо тождество
да = О1У Ро1 Ко* ча + Ко! Ро1 Осу та». (8.25)
Эти условия достаточны, но не являются необходимыми.
Мы используем (8.25) для вывода интегрального представле-
представления поля •аI1..,1 , которое удовлетворяет только условию
конечности его первых производных в т„ и на тя_/. Отбра-
Отбрасывая часть поля пне тл-/. мы получаем поле, разрывное
на тя_/. Но непрерывность может быть восстановлена введе-
введением малого слоя толщиной А по т„_/, в котором поле из-
изменяется непрерывно от внутреннего значения до нуля. Пусть
лсА = 0 есть точка т„_/, ч»/у...* —значение поля в этой
точке и 1Н выбрано совпадающим с направлением внешней
нормали к т„_/. Тогда значение поля на оси х1 между
х1 = 0 и х1 — Н равно
»*,... *,= *|/ -. 1Р - тг™1, - V (826)
причем поле исчезает для х1 > к. Если теперь к достаточно ма-
мало, то изменением да . в направлениях, ортогональных /*,
Ч-'р 1
') И т„->оо. — Прим. перев.
158 V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ
можно пренебречь, и, следовательно, ОЫю и !?о{да имеют
иа оси х1 значения
(а) А», 1 «-у^,
'/ ■•■ 1р Л I О Р
(8.27)
(Ь) (/> 4" О ^Л • • • 1Р] = - X 0> + 7) {[*««*, • ■ • 1р\-
Для й/-слоя мы должны теперь принять выражение
й/ = Нп1а/г Отсюда, применяя (8.25) к полю со слоем и
переходя к пределу при Н~>0, мы получаем тождество
-рд{4 /а-"+2«[ л,,...,„]<*/'. (8-28)
Т/г-/
выражающее значение да в 'лгл через эначения Ычш и
В Т„ И 1»1/;... 1рПщ И П}'Ю]12...11г НЭ Тя_/.
Тождество (8.11), которое было выведено здесь с по-
помощью тождеств Грина, могло бы быть получено так же,
как (8.28). Тогда мы в качестве исходного должны были бы
взять уравнение (8.12), которое должно быть сначала дока-
доказано, но только для полей с конечными значениями самого
поля и его первых и вторых производных, исчезающих вне
некоторой конечной сферы. После отбрасывания поля вне
тп_{ конечность первых производных могла бы быть восста-
восстановлена введением одного слоя, а конечность вторых про-
производных — введением двух других слоев внутри и вне пер-
первого слоя (так называемый двойной слой). После этого можно
было бы применить (8.12). Тогда второй член в правой
части (8.11) порождается первым слоем. Действительно, он
имеет тот же вид, что и поправочные члены в (8.28). Третий
член в правой части связан с двойным слоем.
упражнения 159
УПРАЖНЕНИЯ
V. 1. Доказать, что в Уп
^Ч,...*.*'^^...* - Aа)
>, и | ^ ... щ + у 0» - "О К[*.Д;ГИ'| ЦХ
для р > 1 и что последний член в правой части исчезает для р = I.
V. 2. Для каждого векторного поля тк в Уп с исчезающим Оы
имеет место
у2да = Э1у Ко1 т + Отай О1ч т. Bа)
У.З, Оы исчезает для а =2.
V. 4. Перенесение Вейля определяется соотношениями
V** ЗйЛ» 5^" = й Dа)
Доказать, что
V. 5. Доказать, что для перенесения Вейля
V*»* —'V*»*' <5а>
если
<* 'О <? ^ «п* EР)
V. 6. Если Г^ и 'Г^ являются коэффициентами двух линейных
связностей, то разность 'г^ — Г^ есть тензор.
V. 7. Если У„ подвергается конформному преобразованию, т. е.
ёКк заменяется а§Кк, то К^4 преобразуется следующим образом:
^Дя," — КщС + ^у [^5и1 р1^РХ- Gа)
где
V, 8. Доказать, что для неголономной координатной системы (Л)
РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
Принципы метода
коренных букв и индексов
Каждой координатной системе принадлежит множество
текущих индексов и соответствующее множество фиксиро-
фиксированных индексов. Эти текущие и фиксированные индексы
используются только для данной системы координат. Каждый
геометрический объект имеет свою коренную букву. При
преобразовании координат текущие и фиксированные индексы
изменяются, но коренная буква остается неизменной. Если
преобразуется объект, то коренная буква изменяется, но теку-
текущие и фиксированные индексы остаются теми же. Мы усло-
условились использовать курсивные фиксированные индексы для
греческих текущих индексов, например у., А,— /, ..., л, и
прямые фиксированные индексы для латинских текущих ин-
индексов, например, А, /=1, ..., п.
В этой книге мы всегда используем
и, Я,, ц, V, р, о, т и иногда о = /, .... п,
и', А/, ц', V', р', о', %' и иногда о'= 7' п',
для криволинейных координат в Xп и Еп и прямолинейных
координат в Кп,
Н, I, у, к, I = 1 п,
к', /'. /, к', /'=1' п'
для неголономных координат в Хп и декартовых координат
в Д„.
Другими текущими индексами могут, например, быть а,
Ь, с, й, е; х, у, г, и, V, а, р, -у. б, е; |, ц, С, 0 и т. д.
При переходе от одного множества текущих индексов к дру-
МНОГООБРАЗИЯ 161
тому следует для каждого из них выбирать специальное мно-
множество фиксированных индексов.
Для коренных букв мы предпочитаем: латинские буквы
для скаляров и тензоров; то же со знаками ~ Д *
над буквой для Д-плотностей, плотностей и ^-скаля-
^-скаляров; | для координат в Хп, х для прямолинейных
координат в Еп.
Но мы не придерживаемся строго этих правил. В физике
часто существуют другие соображения, влияющие на выбор
коренных букв.
Координатная система обозначается одним из ее текущих
индексов в круглых скобках, например (х).
Компоненты величины с индексами, принадлежащими раз-
различным системам координат, называются промежуточными
(II, § 3). Величины с индексами, принадлежащими различным
пространствам, называются связывающими величинами
(Н. § 3).
Многообразия
Ха есть и-мерное многообразие с координатами ^х и
обратимыми преобразованиями
с функциями, аналитическими в рассматриваемой области или
имеющими в этой области определенное количество непре-
непрерывных производных. Координаты называются криволиней-
криволинейными. Каждой системе координат в Хп принадлежат п мн>
жеств оо"-' координатных Х{ (кривых), I " ] множеств ооп~2
координатных Х^ (поверхностей), ... и п множеств оо' коор-
координатных А"я_/ (гиперповерхностей).
Еп есть Хп, в котором некоторые системы координат
являются привилегированными. Они преобразуются друг
в друга с помощью обратимых преобразований линейной
группы Оа
х*' — А% л^ + а"', Ли' и а"'—константы. (I. 1.1а. Ь)
Эти координаты называются прямолинейными. Однако могут
быть также использованы криволинейные координаты. Каж-
Каждой системе прямолинейных координат в Еп принадлежат я
11 Я. А. Схоутен '
162 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
множеств оо"-7 координатных Е\ (прямых линий), (")
множеств оо"-2 координатных Ег (плоскостей), ... иге
множеств оо* координатных Е„_/ (гиперплоскостей).
Центр о-аффинное Еп есть Еп с фиксированным началом
координат. Его группой является Ойо всех обратимых линей-
линейных однородных преобразований
хн = Л$ х*, Ан —константы.
Уп есть Хп с действительным фундаментальным тензо-
тензором $ы, Ое1($Хх)ФО. В Уп мы рассматриваем только дей-
действительные преобразования координат.
В Уп всегда существуют ортогональные криволинейные
координаты для п <^ 3, а в особых случаях также и для » > 3
(V, § 4).
/?„ есть Еп с действительным фундаментальным тензором
с постоянными компонентами относительно прямолинейных
координат. В /?„ существуют ортогональные прямолинейные
системы координат. Они называются декартовыми. Однако
могут также использоваться общие прямолинейные и криво-
криволинейные системы координат.
Ориентированное Еп есть Еп с фиксированной ориента-
ориентацией. Каждая система координат фиксирует ориентацию по-
порядком координат.
В связи с линейным законом преобразования йс,Л
(IV. 2.2)
каждой точке Xп принадлежит центро-аффинное Еп, локаль-
локальное Еп этой точки. В К„ локальным Еп является центро-
евклидово /?„.
Плоские подпространства в Еп (|, § 3)
п — р независимых линейных уравнений в прямолинейных
координатах определяют собственное Ер, если они имеют
конечные решения, и несобственное Ер (или Ер на беско-
бесконечности) в противном случае. Несобственное Ер называется
также (р-\-\)-направлением.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ 163
Ер и Ед в Еп или пересекаются по Е3 или они не имеют
никаких общих Ео {$ = — /). Е3 называется пересечением
Ер и Ег Объединение Ер и Ед есть Е( наименьшей размер-
размерности, содержащее Ер и Ед. Имеет место следующая связь
между р, д, з и /:
Если в Еп заданы собственное Ер и (п — /?)-направление,
не имеющее общих направлений с Ер, то возможны следую-
следующие процессы:
A) 'пересечение фигуры с Ер\
B) редукция фигуры относительно (п — />)-направления;
C) проекция фигуры на Ер в (п— /^-направлении.
Ер в Еп может иметь внутреннюю ориентацию, т. е.
^-мерную ориентацию в Ер, или внешнюю ориентацию, т. е.
(п — /?)-мерную ориентацию вокруг Ер.
Число параметров, необходимых для фиксирования
р
Ер, проходящее через данное Ец в Еп (р — ^) (п — р)
Ер, проходящее через О в центро-
аффинном Еп р(п — р).
Говорят, что р линейно независимых контравариантных
(ковариантных) векторов порождают контравариантную
(ковариантную) оболочку, которая состоит из всех линейно
зависимых от них векторов (говорят также, что оболочка
натянута на р векторов). Они фиксируют /^-направление
((п — /?)-направление), называемое носителем оболочки. Гово-
Говорят, что носитель порождается этими /«-векторами, р назы-
называется размерностью оболочки.
Геометрические объекты
Геометрические объекты различаются законами пре-
преобразования их компонент при координатных преобразова-
преобразованиях. Если новые компоненты линейно однородны относи-
относительно старых компонент, алгебраически однородны по А\
и не зависят от производных Л^ , то объект называется гео-
геометрической величиной (II, § I; IV, § 2). Величина
11*
164 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
в точке Х„ всегда может рассматриваться как величина в ло-
локальном Еп этой точки (IV. § 2).
Закон преобразования тензора валентности р-\-д,
контравариантной валентности р и ковариантной
валентности д:
II Г I
р 1 р =А ' ' ^ ' УрЛ1 ••■ хр (II 3 П
Тензор есть скаляр, если его валентность равна 0, и век-
вектор, если его валентность равна /, контравариантный
(ковариантный), если он имеет только верхние (нижние)
индексы, и смешанный во всех остальных случаях.
Тензорная А-плотность (плотность) веса г содержит
в законе преобразования дополнительный множитель А"' (| Д|-')
(II, § 8).
ЧР-тензор содержит в законе преобразования дополни-
дополнительный множитель А/|А| (II, § 8).
Кроме редких случаев, верхний и нижний индексы никогда
не пишутся на одной вертикальной линии.
Алгебраические операции для величин (II, § 8)
Сложение
Умножение
Свертка
Образование изомера
Симметрирование
Тензор, симметричный по всем индексам
Альтернирование
Поливектор альтернирован по всем индексам
ВЕЛИЧИНЫ ВАЛЕНТНОСТИ 2 165
Симметрированное произведение р векторов
у*! ■■■ *Р==Ч,<*1 ... ^р)
1 Р
Альтернированное (внешнее) произведение р векторов
Поливектор называется простым, если он представим в виде
альтернированного произведения векторов. Необходимые и
достаточные условия этого
хр = 0, (П. 6.6)
а также
©Iх/ ••• хРг,М-2] ■ хр — 0. (II. 6.7)
Выключение индекса сверткой с базисным вектором
Текущие индексы, которые не преобразуются при коорди-
координатных преобразованиях, называются мертвыми. Они пи-
пишутся непосредственно над или под центральной буквой или
выделяются на своем месте круглыми скобками. Мертвые
индексы принадлежат коренной букве. Остальные индексы,
называемые живыми, всегда пишутся справа от центральной
буквы.
Если выключить все индексы тензора, кроме, например,
индекса и, и если среди получившихся векторов имеются
в точности г линейно независимых, то г называется -/.-ран-
-/.-рангом этого тензора. Векторы порождают х-оболочку. Если
х — верхний (нижний) индекс, то носителем х-оболочки
является Ег(Еп_г).
Величины валентности 2 (II, §§ 9—12)
Каждой величине валентности 2 всегда соответствует
матрица. Мы уславливаемся, что первый индекс обозначает
строки, а второй — столбцы и что если два индекса распо-
расположены вертикально один над другим, нижний индекс счи-
считается первым. Матрица имеет ранг г, если она содержит
ненулевые миноры с г строками и не содержит ненулевые
166 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ Т-У
миноры с г-)-/ строками. Ранг тензора валентности 2 равен
рангу его матрицы. Ранг Ях/. равен г тогда и только тогда,
когда
. ... Р°\ „ ^ (П. 9.3)
[*■/ • **] ( =0 ДЛЯ 5 > Г. К '
Компоненты величины, стоящей слева, являются 5-строчными
алгебраическими дополнениями матрицы Р\, и мы имеем
= п! />!!, ... /*'„ = п! Я![/ ... Рпп]. (И. 9.1)
Бивектор, например, •рх>- имеет ранг г (всегда четный) тогда
и только тогда, когда
„ „ . (II. 9.6)
= 0 для 2р > г,
и для г = ге мы имеем
(II. 9.5)
Если ранг равен га, существует обратная величина. Вели-
Величина, обратная, например, Р\ обозначается Р*х. Для ка-
ждого значения к и Я, элемент Р\ равен алгебраическому
дополнению элемента Р\, деленному на Ое1(Я^) (II, § 3).
То же справедливо гтйаМз пийапсНз для всех величин валент-
валентности 2 и их матриц,
Если г — ранг действительного симметричного тен-
тензора валентности 2, то всегда существует действительная
система координат, относительно которой матрица принимает
каноническую форму, состоящую из 5 элементов —/ иг — 5
элементов -\-1 на главной диагонали, тогда как все остальные
элементы равны нулю. Сигнатура ... -|- + -|- ...
называется четной (нечетной), если индекс я четный (нечет-
(нечетный). Сигнатура и индекс являются инвариантами действи-
действительных преобразований координат (II, § 10).
Если г — ранг действительного бивектора, то всегда
существует действительная система координат, относя-
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 167
тельно которой матрица принимает каноническую форму с -$ г
О 1
матрицами на главной диагонали и остальными эле-
элементами, равными нулю (II, § 10).
Если
Тх)^ — ау'л, (II. 14.1)
то V* называется собственным вектором Т\, а о — соб-
собственным значением. Собственные значения являются кор-
корнями уравнения
Ве{(Т\-сА® = 0 (II. 14.2)
или
Се{G^-°^)=^ (Н. Н.4)
если имеется фундаментальный тензор. Если §ы — опреде-
определенный и 7\х — действительный и симметричный, то
собственные значения всегда действительны. В этом случае
всегда существует действительная декартова система коор-
координат (п) такая, что (теорема о главных осях)
Тц = 0 (]Ф1\ /. У = 1 п). A1.14.7)
Если / к — действительный бивектор ранга г и $ы—
определенный, то всегда возможно разложить / . на -*т
взаимно ортогональных действительных листов (теорема
о главных листах) (II, § 14).
Специальные величины
А*, Ёщ-"Кп и е-к1,,.хп существуют в Хп априори
(И. § 8)
Ё'-" = + 1, ~е,. ..„ = + /. (II. 8.3)
с " и «1;...IЛ устанавливают взаимнооднозначные соот-
соответствия между альтернированными величинами, которые
168 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
выражаются в простейшем случае уравнениями
... ц,
Здесь (Х7 . . . |ХЯ — четная перестановка 1 ... п. а показа-
показатели ар, рр. ^р, 6р могут быть положены равными нулю,
если мы не намерены вводить подгруппы Оа и отождествлять
величины инвариантным образом.
Наиболее часто используются следующие подгруппы Оа
и принадлежащие им величины (I, § 2; III, §§ 1—4):
Оно (центро-аффинная):
(^е^ (эквиаффинная,
Д= ± У):
Оза (унимодулярная,
Оог (вращения и отражения,
А = ± У):
Ого (вращения, Л = -(-У):
начало х* = 0;
начало; единичный объем
(плотность) #; ?[х] = ± У;
начало; ^ и ориентация
(^-скаляр) ю; ©[х]= ± У;
(х)
рУ.{...-Лп '
(К) */...*„
начало; фундаментальный тен-
зор ^и; ^; 7;
начало;
ориентация ш;
С помощью этих инвариантов величины, различные отно-
относительно Оа, могут быть отождествлены. Для п~2\-{-1 из
4п -\- 2 различных величин
скаляр
^-скаляр
контр, вектор
ков. вектор
контр, й^-вектор
ков. 1у-вектор
контр. д-вектор
ков. л-вектор
контр. Ш'-я-вектор
ков. 1г-»-вектор
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 169
остаются для Оеч в точности 2п величин (каждая с двумя
различными геометрическими представлениями):
контр, вектор контр, у-вектор
скаляр
ков. вектор ков. у-вектор,
п -\- 1 величин для Оог (каждая с четырьмя различными гео-
геометрическими представлениями):
скаляр вектор у-вектор
й^-скаляр 1У-вектор '' 1^-\>-вектор
иУ+/ величин для Ого (каждая с восемью различными гео-
геометрическими представлениями):
скаляр вектор ... у-вектор.
Для д=2у. если мы хотим избежать мнимых величин,
отождествление возможно лишь до Оо: включительно. Таким
сбразом, для п = 4 мы имеем:
Группа Оа:
контр, вектор контр. 4-вектор
скаляр
кор. вектор ков. 4-вектор
контр, й^-вектор контр. и?-4-вектор
\^-скаляр „„ ... ._ .
ков. и/-вектор ков. «/-4-вектор
Группа Оец (каждая величина с двумя различными гео-
геометрическими представлениями):
скаляр Г контр, вектор ... контр. 4-вектор
{контр,
ков.
ИР-скаляр I ков. вектор .. . ков. 4-вектор
Группа Оог (каждая величина с четырьмя различными
геометрическими представлениями):
скаляр
(вектор ... 4-вектор1
Н^-скаляр 1 у '
Для п—3 для группы Ого мы имеем только скаляры и
векторы. Это является точкой зрения обычного векторного
анализа. В теории упругости (гл. VII) лучше всего не вы-
выходить за рамки Оог. Тогда мы имеем скаляры, М^-скаляры
(псевдоскаляры), векторы и Н^-векторы (псевдовекторы).
170 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
Фундаментальный тензор й"?х(П| § 12):
Декартовы компоненты:
к =4-/ ■ • , е — -<-/;
й5+18+1 -г 6ПП ■ (И. 12.7)
П. се *
Длина вектора V*:
I. (И. 12.3,15)
Изотропный вектор = вектор нулевой длины.
Нулевой конус в /?„:
^ = 0, — х1х1— ... 4-лП;сП = °- (И-12.4,16)
± области:
Единичная гиперсфера:
$ыхкх* = ± 1, — х^х1 — . . . + х°х° — ± 1-
Угол между двумя векторами в одной области:
а Х} =-- в + области. (II. 12.8)
Ко- и контравариантные ортогональные компоненты:
. ( — V, (А= 1 8).
* = . )Ь . 1 , (»• 12Л4)
Ц-«д (Й = 8+1 П).
Величины, определяемые §^:
ё[к] = \Ъ*{ёы)\> 1=[Уё\. (Н. 12.20,22)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 171
и если ориентация задана координатной системой (к),
/*;•■■ К« — п\ Д*' ... М,
I ; : (И-12.17)
Матричное исчисление — независимая дисциплина, ко-
которую не обязательно связывать с ковариантными, контра-
контравариантными или смешанными величинами валентности 2. Но
если мы применяем матричное исчисление к этим величинам
в Еп, то нужно различать матрицы этих трех видов величии.
Если используются только смешанные тензоры и векторы,
то мы имеем следующую переводную таблицу (ср. II, § 13):
Р<2 = К, Р\С*\=К\,
'у = Рх>, 'ъЛ — Р\ух,
'•НО = ЧЮР, ЧЮ\ = ГШУР\ I
А
к
/4х = -
Это исчисление весьма эффективно в /?„ с положительно
определенным фундаментальным тензором, так как там исче-
исчезает разница между ко- и контравариантными ортогональными
компонентами. Однако если приходится иметь дело с ко- или
контравариантными тензорами валентности 2 в Еа, то мы
дополнительно имеем следующую переводную таблицу
(ср. II. § 13):
А. Л,
I
При использовании этого исчисления необходимо особо от-
отвечать ко- или контравариантный характер всех величин.
172 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
Инвариантные дифференциальные
операторы в Х„
1. Внешние дифференциалы (IV, § 3):
пр — Схай р\
* *
) п'Ш = Ко* 1й>:
)п'и) = Ко*да:
Ко* Огаи р — 0;
дкр,
дкр,
(?-+-!)<>[
Ко* Сгай
Я... м-
и } вес -(- /
1 = 0.
Оператор сИу в выражении й\чъ в обычном векторном ана-
анализе соответствует оператору О1У(Ко1), если V рассматри-
рассматривается как контравариантная векторная плотность (ковариант-
ный бивектор). Оператор хо\ в выражении го* г» в обычном
векторном анализе соответствует для нечетной (четной) сиг-
->
натуры оператору :р Ко* (— О\\), если V рассматривается как
ковариантный вектор (контравариантная бивектор-плотность).
Если вращение ковариантного ^-вектора A^-^-вектора)
исчезает в некоторой области Хп, то существует всегда
область, в которой ^-вектор (и^-^-вектор) для ^ = / пред-
представим в виде градиента скаляра (ИР-скаляра), а для д > / —
в виде вращения ковариантного (д — /)-вектора (й^-(^—/)-
вектора). Эта теорема может быть также сформулирована
в терминах контравариантных поливектор-плотностей (А-плот-
ностей) веса-}-/ (IV, § 4).
2. Теорема Спгокса (IV, § 4):
ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В Х„ 173
Имеются 9 других форм этой теоремы. В Хз наиболее важ-
важными формулами этого рода являются
, (IV. 4.21)
^ д^а/— ^ гШй/д. (IV. 4.27)
Т,} Т2
д{^и а/* = I ук а/1. (IV. 4.29)
х2 т,
2 ^ д^ а/х = ^ № а/К]1. (IV. 4.35)
Х2 X,
каждая из которых допускает также запись в четырех других
формах.
3. Производная Ли относительно поля V* (IV, § 5):
д^. (IV. 5.22)
Производные Ли г>ч, Л^, ЯЧ/ '" *" и в>,; ... >,я равны нулю.
Если поле увлекается по V* (И, приращение поля в фикси-
фиксированной точке |и равно минус дифференциалу Ли в этой
точке.
Поле называется абсолютно инвариантным относи-
относительно поля чз%, если его производная Ли относительно Vя
изчезает. Его значение не изменяется, если оно увлекается
любым из точечных преобразований группы, порожденной
иифинитезимальным точечным преобразованием V* ш. Ком-
Компоненты такого поля в |и относительно (х) равны компо-
компонентам поля относительно (и'), увлеченного по г>ч йЬ
в I* -\~ъ* сН, если (и') получается из (и) увлечением по г>*<#.
Поле, абсолютно инвариантное относительно аФ для
любого скалярного поля а, называется абсолютно инва-
инвариантным относительно линий тока V*. Оно инвариантно
для всех точечных преобразований, оставляющих линии тока Vх
инвариантными. Дополнительное условие этой более сильной
инвариантности для ковариантного /?-вектора тх х или
174 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
/7-вектор-плотности веса -)- /:
^■а)^.2... кр== О, (IV. 5.23)
да[*/ ■•• ЪгцЛ=0. (IV. 5.24)
4. Производная Лагранжа (IV, § 6)
Если ФЛ(Л = /, .... М) — Ы функций Е* и если Л?—
функция Фд и их производных Фц = д^Ф, Ф^ = дудцФ, ...
по |х до некоторого порядка (индексы Л опущены), то вы-
выражение
называется производной Лагранжа от ^. Если Ф подвер-
гаются вариации AФ, такой, что вариации Ф и всех их про-
производных, входящих в «5% исчезают на границе тя, то для
этой производной справедливо следующее уравнение:
... а1". (IV.6.6)
Если Фд — тензор валентностей р, д и если ^ — ска-
скалярная А-плотность веса -}-1, то \^\ есть тензорная А-плот-
ность веса -|- 1 валентностей д, р.
В этом случае существует связь между Фд, \^\ и их
первыми производными. Если Фл есть тензор Р^, то это
тождество имеет вид
= 0. (IV. 6.
V
Если поле Фд подвергается вариации йФ\, такой, что
вариации ФЛ и всех их производных, входящих в ^, исче-
исчезают на границе т,,_/ области т„ из Х„. и если 0
в этой области, то мы имеем
МНОГООБРАЗИЯ С ЗАДАННЫМ ЛИНЕЙНЫМ ПЕРЕНЕСЕНИЕМ 175
Неголономные иоординаты (IV, § 7)
Если в каждом локальном Еа в некоторой области Хп
к
введено произвольное множество базисных векторов еК, е\
I
ь.
(Л, / = 1, .... п) и если д^ец не исчезает для всех значе-
значений к, то не существует в данной области обычной системы
координат с этими базисными векторами. В этом случае си-
система всех этих базисных векторов называется него лоно м-
ной системой координат (А) в рассматриваемой области.
Необходимым и достаточным условием является отличие от
нуля компонент объекта неголо но мности О относи-
относительно (Л):
о/= 4^4^,.
4 = к*\ Л?=^*. (IV. 7.8)
Вместо й?|л мы должны теперь писать
№)* = 4^х. (IV. 7.4)
так как переменные |Л не существуют.
Уравнения в неголономных координатах почти всегда
содержат поправочные члены с О/у , например:
# * = Л^. (IV. 7.7)
; вес~\-1 (IV. 7.9)
Многообразия с заданным линейным
перенесением (гл. V)
Линейное перенесение, или параллелизм, в Хп задается
геометрическим объектом Г|а с законом преобразования
(V. 1.9)
1 и — 1 ца. является геометрическим объектом с законом пре-
преобразования
ГA. =м{[.Г„ — А1'д^А1' = А%'Т^ — дд-1пА. (V. 1.13)
176 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
Ковариантная производная и ковариантный диффе-
дифференциал некоторой величины, например Р*ь веса (:
ьР\=аР\ + П,?\ ар-г;хК ар -Ф\г» ар. (ул.\8)
Каждому верхнему (нижнему) индексу соответствует член
с положительным (отрицательным) знаком и имеется допол-
дополнительный член, содержащий Гц и множитель (.
Если величина переносится таким образом, что ее кова-
ковариантный дифференциал исчезает, перенесение называется
параллельным. Хп с линейным перенесением называется Ья.
Если тензор
^ = Т1Ц (У.1.22)
равен нулю, то перенесение называется симметричным
и Х„ называется А„. В Аа возможны инфинитезимальные
параллелограммы во всех 2-направлениях.
Внешняя производная и произподная Ли могут быть запи-
записаны в А„ с 7ц вместо дц, например:
(V. 1.26а)
(V. 1.26Ь)
-4 (Р\?^. (V. 1.27)
Кривая в ЬП есть геодезическая, если ее касательный
вектор остается касательным при параллельном перенесении.
На каждой геодезической существует канонический пара-
параметр (, определенный с точностью до аффинного преобра-
преобразования с постоянными коэффициентами, такой, что уравне-
уравнение геодезической принимает вид
В Ап координаты могут быть выбраны таким образом,
что Г^ исчезают в некоторой заданной точке р. Такие коор-
координаты называются нормальными координатами в точке |и.
Нормальные координаты могут быть также определены на
МНОГООБРАЗИЯ С ЗАДАННЫМ ЛИНЕЙНЫМ ПЕРЕНЕСЕНИЕМ 177
заданной кривой и в особых случаях на заданных Хт в Ая
(V, § 3).
]/п является Ап, так как уравнение ^^ = 0 фиксирует
симметричное перенесение
| к. > называется символом Крастоффеля. Для этого пере-
перенесения справедливы следующие уравнения:
^ ^*Рд«глр==7^1п^ (V-4.8.10)
(V. 4.11)
Геодезические в V„ являются не только прямейшими кри-
кривыми, но и кратчайшими (или наиболее длинными). Длина 5
является каноническим параметром, и, следовательно, урав-
уравнение геодезической имеет вид
ЬЧГ = °- (V. 4.20)
Тензор кривизны в Ап:
адх = 2д1хГк,. + 2ТЪ,р,Г*1;. (V. 5.12)
Имеют место следующие тождества:
V]VV^^]VК = ^^^V^VX, (V. 5.13)
У,^^ = — 4 /?^ахвх, (V. 5.14)
У,,Ум1Р*, = 1 Я^р*/^ - -^ /?у^РЯХр - у ^УцрРЯл. (V. 5.17)
Каждому верхнему (нижнему) индексу соответствует член
с положительным (отрицательным) знаком и имеется допол-
дополнительный член, содержащий /?ц)^р и множитель I.
В Уп мы пишем К'чрк1 вместо /?Уц>Л Кчр.х' имее?
~12 п- (п: — /) независимых компонент. Тождества для тен-
тензора кривизны:
I. Кшх* = 0. (V. 5.18)
12 Я. А. Схоутен
178 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
И. /?1^|»мХ = 0 эквивалентно в У„, /С[г.ц^И| = О.
(V. 5.19. 23)
= 0. (V. 5.20)
= АГ?.хуц- (V. 5.22)
Тождество Бианки:
1[ЛЦ».\1? = 0- (V. 5.25)
Если
ЙСГ ч/ Ив? «>
то имеют место следующие соотношения:
уц0^ = 0. (V. 5.37)
Тензорная плотность веса -}-/
является производной Лагранжа от —]/~§К, рассматривае-
рассматриваемой как функция от ^ и их первых и вторых производных
== О . (V. 5.39)
Для неголономных координат (Л) в Ьа мы имеем
ГД а Д 1ЛА.Г1Х лМ'^'ЛИ /\771\
уг = Ли;г1м.х — -Ду^/Ц,, (V. /.1)
(V. 7.2)
и в Ап
(V. 7.3)
(V. 7.4а)
(V. 7.4Ь)
^уГ?/. (V. 7.8)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В V, И О, 179
В У„ мы имеем
4^1п^, (У.7.7)
а в специальном случае, когда неголономная система состоит
в каждой точке из взаимно ортогональных единичных век-
векторов
Интегральные формулы в V,, и Кп (V, § 8)
Первое тождество Грина для У„
— Г Уё (^цф) (^Ч) &/ -\- Г У§ фУр.У'^'ф й]. (V. 8.3)
тя тп
Второе тождество Грина для V'„
= Г У~ё (ф^ц^1!' — Ф^ц^ф) ^7- (V. 8.4)
В /?я с положительно определенным фундаментальным
тензором мы имеем
(V. 8.11)
В правой части ф рассматривается как функция л:й, с левой
стороны — как функция 'хн\ а — длина вектора ан = хн—'хн\
12*
180 РЕЗЮМЕ ПО ГЛАВАМ 1-У
(о — (га—/)-мерная площадь сферы радиуса /?, разделенная
на /?""' (V. 8.10).
Ф есть потенциальная функция, если (условия только
достаточные):
A) ф и ее первые и вторые производные всюду конечны;
B) среднее значение ф на сфере радиуса р стремится
к нулю, когда р->оо;
C) 1!ш Гр~"+2У2ф<*/ = 0. (V. 8.15)
р->ОО ^
п
Условия B) и C) всегда удовлетворяются, если справед-
справедливо A) и если функция равна нулю вне некоторой конеч-
конечной сферы. Для потенциальной функции мы имеем
(V. 8.13)
где Ро1 — интегральный оператор
Для гармонической функции <р, т. е. функции с конечными
первыми и вторыми производными, удовлетворяющими неко-
некоторым условиям непрерывности и У2ф = 0, мы имеем соот-
соотношение
(ор»->ф = Г фл' а/1г (V. 8.18)
и-г
показывающее, что значение ф в 'хн равно ее среднему
вначению на любой сфере с центром в 'хь и радиусом р.
Решение первой граничной задачи дается уравнением
соф — у й _ _/_.
4- /фд*(ф—^а-»*»)^. (У.8.21)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В V, И «, 181
выражающим значение ф в 'хн через интегралы от У2ф и ф
по тя и от п1д$ по т„_/. Функция Грина ф 1П>а~п+2
является функцией, гармонической в хп и принимающей ну-
нулевые значения на т„_/.
Если компоненты /»-вектора да*,...*—потенциальные
функции, мы имеем
да = Ро101У Ко1 да + Ро* Ко! О1у т. (V. 8.24)
Если ч&1,...1 и его первые производные всюду конечны и
если гШ1,-...1 равен нулю вне некоторой конечной сферы,
то справедливо также равенство
(V. 8.25)
VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
И ИХ РАЗМЕРНОСТИ1)
1. Физические объекты
Встречающиеся в физике величины, такие, как скаляры,
векторы, плотности и т. д., без сомнения не являются то-
тождественными величинам, введенным в гл. II. Например,
хотя скорость может быть представлена стрелкой, неверно
было бы утверждать, что это просто контравариантный
вектор. Чтобы начертить вектор, соответствующий скорости,
необходимо ввести единицу времени, и, если эта единица
изменяется, то изменяется также изображение скорости.
Отсюда мы видим, что величины в физике имеют свойство,
которым не обладают геометрические величины. Их компо-
компоненты изменяются не только при преобразованиях координат,
но также при преобразованиях некоторых единиц.
В отношении этих единиц мы отметим, что всегда имеются
некоторые основные единицы, а все остальные единицы,
производные единицы, могут быть из них получены. Выбор
основных единиц произволен; иногда выбирают три основные
единицы, а иногда четыре, пять или шесть. В целях иллю-
иллюстрации мы используем в этой главе четыре основные еди-
единицы массы, длины, времени и электрического заряда
(М, Ь, Т и @). Результаты легко переносятся на любой
другой выбор основных единиц.
По предположению, основные единицы подвергаются пре-
преобразованиям вида
Ж'==т~;Ж, Ь,' = Г'Ь, Т' = Г'Т, ф'= я"'*?, 0-1)
') С. Доргело и Схоутен 1946. 1. Там же даны литера-
литературные ссылки.
I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ 183
где т, I, г и д — произвольные константы. Все системы,
которые могут быть получены этим путем из одной перво-
первоначально заданной системы, мы будем называть допусти-
допустимыми системами основных единиц.
Мы определим теперь физические объекты в Уп (п = 3,
у3 =. К3 в обычном пространстве и п = 4 в пространстве
общей теории относительности) следующим образом (ср. II,
§ 1 и IV, § 2)
Если в определенной точке |и из Vп имеется соот-
соответствие между упорядоченными множествами N
чисел Фд (Л = / Ы), с одной стороны, и допусти-
допустимыми системами координат (х) в окрестности ^ и
допустимыми системами основных единиц М, I, Т, @,
с другой стороны, такое, что:
A) каждой (х) и каждой допустимой системе основ-
основных единиц соответствует одно и только одно
множество Фл;
B) множество ФЛ'. соответствующее (и'), М', V,
Т, <?'," может быть выражено только через Фл,
значения А% , д),А%', дцд^Ах , ... в Ъ? и т, I,
Ь и д;
C) в этих выражениях т, I, I и д встречаются
только в форме множителя та$^д6, одинако-
одинакового для всех Фл<1),
то говорят, что Фл являются компонентами физиче-
физического объекта относительно (х), М, I, Т, @ в точке Iя.
Если ФЛ линейны и однородны по ФЛ, алгебраически
однородны по Л* и не содержат производных от АЛЛ ,
то Фд являются компонентами физической величины в |*.
Если физический объект определен в каждой точке не-
некоторой области Уп, то мы имеем поле физического объекта
в этой области.
Множество компонент может образовывать физический
объект относительно некоторых преобразований координат
и не образовывать его относительно других преобразований
координат. Например, три компоненты электрического поля
') Случай, когда множители различны для различных компонент
(например, скорость в полярных координатах) всегда может быть
сведен к указанному здесь.
184 VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
образуют физическую величину относительно ортогональных
преобразований по х, у, г. Но для образования физической
величины относительно преобразований Лоренца по х. у,
г, I эти три компоненты должны рассматриваться совместно
с тремя компонентами магнитного поля.
Если р, д и г являются компонентами физического
объекта, то, например, \пр, д2 и созг также являются ком-
компонентами физического объекта, хотя они и преобразуются
совершенно другим образом. Эта свобода в выборе компо-
компонент побуждает нас выбирать их так, чтобы закон преобра-
преобразования был возможно более простым.
Если М, Ь, Т п (} фиксированы, остаются только пре-
преобразования координат, а это означает, что при каждом
определенном выборе М, А, Т и С} каждому физическому
объекту соответствует один и только один геометрический
объект (ср. IV, § 2). Этот объект приобретает (т. е. при-
приобретают все его компоненты) множитель та1 Рд , если
вводится другое множество допустимых основных единиц.
Мы называем этот геометрический объект геометрическим
образом физического объекта, а символ та1?1уд6 размер-
размерностью1) геометрического образа, а также абсолютной
размерностью физического объекта. Размерность всегда
записывается в виде \та1 (удь\.
Абсолютная размерность определена относительно мно-
множества всех преобразований (IV. 1.1) или относительно
группы Оа, если мы работаем с прямолинейными координа-
координатами в Еп. Эта размерность не является размерностью,
с которой обычно имеют дело в физике. Рассмотрим, на-
например, скорость в Я,- Ее геометрический образ есть отрезок
прямой линии, описываемый равномерно движущейся точкой
за единицу времени и снабженный стрелкой в направлении
движения. Если Т изменяется, то этот контравариантный
вектор приобретает множитель 1~ . Следовательно, абсолют-
абсолютная размерность скорости есть [{~'\. Однако компоненты г>*
относительно декартовой системы координат (Н) в Кз, осно-
основанной на единице длины Ь, при изменении основных единиц
') Это понятие не имеет ничего общего с размерностью про-
пространства, введенной в гл. I.
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ 185
приобретают множитель //~;. Это приводит нас к опреде-
определению:
Если компоненты физического объекта относительно
локальной декартовой системы координат, основанной
на единице длины, приобретают при изменении основ-
основных единиц множитель /маЛ\б, то мы называем
\таР(уд1>] относительной размерностью, или
кратко размерностью, физического объекта1).
Это та размерность, которая обычно используется
в физике. Очевидно, разница между абсолютной и относи-
относительной размерностью обусловлена тем, что общая система
координат не связана никоим образом с единицей длины,
а локальная декартова система координат изменяется при
введении другой единицы длины. Следовательно, соотноше-
соотношение между относительной размерностью и абсолютной раз-
размерностью физического объекта зависит только от закона
преобразования компонент при преобразованиях координат.
Действительно, преобразование общих компонент величины
в ортогональные компоненты и обратно выполняется сверт-
сверткой с А1 = 1К и Л? = ги (й, г= 1 п). При изменении
А
единицы длины единичные векторы О1 и I), приобретают мно-
жители /~ и / соответственно. Отсюда относительная раз-
мгрность приобретает множитель /~; для каждого Л* и мно-
множитель / для каждого Л*, входящих в формулы преобразо-
преобразования общих компонент в ортогональные компоненты. Таким
образом, чтобы получить относительную размерность вели-
величины из абсолютной, мы должны приписать множитель /
для каждого контравариантного индекса, множитель /~; для
каждого ковариантного индекса и множитель Г для веса г.
Это приводит к таблице A.2) для величин в Яз. введен-
введенных в II, § 8.
') Если, например, вектор скорости в К3 фиксируется двумя
углами и его длиной, то две компоненты имеют размерность [/],
а третья 1ЬТ~'\. Но для обычно встречающихся физических объек-
объектов всегда возможно найти компоненты, которые все имеют одина-
одинаковую размерность. Во всем последующем мы будем использовать
только такие компоненты.
186 VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
Абсолютная н относительная размерности в Я3
*
#
*
л л
т * т
*
Абсо-
Абсолютная
[о]
Относи-
Относительная
Ю)
юп
ЮГ']
Ю12)
Юг2]
Ю13]
Юг3]
&*, т^
Л- Ух
Н\ к*
р> р
я. я
Абсо-
Абсолютная
Относи-
тельцая
юп
Юг']
Ю12\
Юг']
Ю13]
Юг3]
A.2)
В Уп линейный элемент й1?' имеет абсолютную размер-
размерность [1]. Отсюда $хК и %**■ имеют абсолютную размер-
размерность [I2] и [/~2] соответственно. Это согласуется с тем,
что относительные размерности %1н и §Нг (которые прини-
принимают только значения -\-1, —/ или 0) равны [1]. Диффе-
Дифференцирование по |и не изменяет абсолютной размерности.
Следовательно, абсолютная размерность Г^ равна [/], и аб-
абсолютная размерность ковариантной производной некоторой
величины, например УдРд,' такая же, как и абсолютная раз-
размерность Р\.
Из (V. 5.12), (У.5.28), (V. 5.29) и (V. 5.36) мы видим,
что абсолютная размерность К-"^, К к и О . равна [/]. Но
абсолютная размерность скалярной кривизны . ,>■ К равна
[—21
/ ] ввиду (V. 5.29), а относительная размерность имеет
то же значение.
Если ^ — скалярная плотность веса -+- / и абсолютной
размерности [с?;] и Ф тензор (индексы опущены) абсолютной
размерности [йг], то из (IV. 6.6) мы видим, что абсолютная
размерность производной Лагранжа равна [й//су. Например,
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
187
мы имеем следующие размерности для
водной Лагранжа (ср. (V. 5.38)):
Уек
Абсолютная
Г2]
и
[/«-'] = [/-7/4
и ее произ-
произОтносительная
A.3)
[Л
Действительно, согласно (II. 12.20) У% имеет абсолют-
абсолютную размерность [12п\ и относительную размерность [1], так
как компонента У^р относительно ортогональной системы
координат всегда равна -\-1.
Из IV, § 5 мы видим, что абсолютные размерности ве-
величины и ее производной Ли совпадают. Относительные раз-
размерности также равны, так как величина и ее производная
Ли имеют одинаковый закон преобразования.
Ниже мы приводим некоторые примеры размерностей
механических величин Из-
Скорость
Сила
Количество движения
Момент силы
Энергия
Плотность массы
Плотность потока
массы
Абсолютная
Vх-.[Г1]
К":[тГ2}
Кх:[т1Ч-2\
У= яге": [«Г']
О^ = 2г^КцЛтГ2]
Р:[т12Г2}
И [к]: [т]
9и = цки: [тГ1]
Относительная
VI )
Длг, О":
Р:
И [Л]:
о*:
ы,гч
[т/-51
Ы-ггЧ
A.4)
188 VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
2. Абсолютная размерность
и построение геометрического образа
Абсолютные размерности в некотором смысле проще, чем
относительные, так как последние содержат множители, ко-
которые возникают только из-за того, что сама ортогональная
система координат зависит от выбора единицы длины. Но
имеется еще и другая причина, которая делает их полез-
полезными. Абсолютная размерность это размерность геометри-
геометрического образа и, следовательно, она всегда содержит как
раз те основные единицы, которые необходимы для построе-
построения этого образа. С другой стороны, относительная размер-
размерность содержит именно те основные единицы, которые необ-
необходимы для определения ортогональных компонент. Мы да-
дадим несколько примеров.
A) Пусть V*—скорость жидкости и ц — ее плотность, ц —
есть скалярная плотность веса + /. Ее общая компо-
компонента \х [и) представляет массу базисного параллелепипеда
(параллелепипед на базисных векторах е*), а ее ортогональ-
ная компонента ц [А] — массу единицы объема. Таким обра-
образом, ее абсолютная размерность равна [/и], а относительная
размерность равна [/м/~5]. Контравариантная векторная плот-
плотность V* — (Д.©* есть плотность потока жидкости. Ее гео-
геометрическим образом является цилиндр с внутренней ориен-
ориентацией. Если в любой точке ц обозначает массу жидкости,
поступившей извне в базисный параллелепипед за единицу
времени, то уравнение неразрывности для наиболее общего
случая
д^-\-д,ц [у.] = д[х] (абс размерность [т^~']) B.1)
выражает тот факт, что дивергенция плотности потока равна
сумме двух составляющих: уменьшению плотности массы за
единицу времени и массы, поступившей в базисный паралле-
параллелепипед за единицу времени. В ортогональных координатах
уравнение имеет вид
Ур' + д(\х [1г] = ^"[А] (отн. размерность [тГ3Г']). B.2)
Геометрическим образом V* является цилиндр, через кото-;
рый протекает в точности единица массы за единицу вре-
времени. Геометрическим образом \х является объем, содержа-
2. АБСОЛЮТНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ 189
щий единицу массы. Геометрическим образом д является
объем, в который поступает единица массы за единицу вре-
времени. Следовательно, геометрические образы г»и и д могут
быть построены с помощью основных единиц. Ж и Г. Только
единица М необходима для геометрического образа ц.
B) Уравнения Максвелла в обычном векторном анализе
записываются в виде *):
(а) V)
(Ь) 7-В = 0.
(с) О — 7Х^ = - ри. B.3)
D) \7-/) = р,
■> ->
(е) Я = еЕ,
(О В — \1Н.
где Е — напряженность электрического поля, Ь — электри-
электрическая индукция, Я —напряженность магнитного поля,
В — магнитная индукция, р — плотность электрического за-
заряда, и — скорость движения зарядов, е — диэлектрическая
постоянная (е = е0 в вакууме), ц — магнитная проницаемость
(}1 = ц0 в вакууме). Если эти уравнения записать в ортого-
ортогональных компонентах, то мы получим
(Ь) д}В1 -\- д2В2 -)- д3В3 = 0, с = скорость света,
(с) сд^ — д2Н3 + д3Н2 = — рв1, B.4)
((I)
(е)
(циклир. по 1, 2, 3).
') Эту форму уравнения имеют в электростатических и элек-
электромагнитных единицах и в системе единиц Джорджи, если эти си-
системы рационализованы (Ф. Доргело и Схоутен 1946.1).
Мы используем здесь сигнатуру в пространстве, соответ-
соответствующую сигнатуре {- в пространстве — времени.
190 VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
->->-»■ ■>
В уравнениях B.3) и B.4) Е, Э, Н и В являются «век-
«векторами» в смысле гл. III, § 4, после введения фундамен-
фундаментального тензора и ориентации (ср. (III. 4.21) и рис. 12).
Теперь мы попытаемся привести уравнения B.4) к форме,
инвариантной относительно аффинных преобразований. В на-
нашем распоряжении имеются только следующие аффинные
инвариантные производные: градиент скаляра или 1^-скаляра,
вращение ковариантного ^-вектора или и^-^-вектора и
дивергенция контравариантной /7-вектор-плотности или
1У-/»-вектор-плотности веса -{-■/• Следовательно, мы ви-
дим из B.4 а), что Е может быть только ковариантным
вектором или 1^-вектором, а В— только ковариантным би-
бивектором или и/-бивектором. Но так как электрическое поле
имеет ориентацию вдоль силовых линий, а на вокруг них,
-> ■>
то Е должен быть ковариантным вектором, а В — кова-
ковариантным бивектором. Это согласуется с B.4 Ь). Из B.4A)
->
мы видим, что О должен быть обычной контравариантной
векторной плоскостью или А-вектор-плотностью веса -{- /,
а р — обычной скалярной плотностью или скалярной Д-плот-
ностью веса -)-/. Но так как электрический заряд не имеет
ориентации'), п должен быть обычной векторной плотностью,
ар — обычной скалярной плотностью. Таким образом, из
B.4 с) следует, что Н является обычной бивектор-плотностью
веса +/.
Установив это, мы приходим к следующей форме урав-
уравнений B.4J) (ср. гл. III. рис. 8):
(а) в 0
(Ь)
(с) сд
(й) дх& + д^ + дъ3* = р, B.5)
(е) ЗП = — гЕ\
(!) В23 = ц^?23
(циклир. по 1, 2, 3)
') Вращающийся электрон также не имеет ориентации!
2) Для упрощения записи здесь и далее мы пишем В и <ЯР
вместо Ъ и Й. — Прим. перев.
В. АБСОЛЮТНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ 191
ИЛИ
(а) -1(
(Ь)
(с) д,%а +1 д„^Ьа = -1 в«, B.6)
(A) <УГ = Р>
(е) ^а = -е
(О • веЬ=-2=
(а, Ь, с, й=1, 2, 3),
которая содержит только аффинно-инвариантные операторы,
и, очевидно, это единственно возможное представление. Так
как уравнения B.6) имеют аффинно-инвариантную форму,
они могут быть записаны в общих координатах:
2
(а) — — д(уЕр) + д^Ву» = 0 •
(Ь)
(с) д^а + - д*М3а = - Я иа.
С С
С
(й) ду3>1 = р, B.7)
(е)
(О
(а. р, у, Ь—1, 2, 3).
Если среда не изотропна, вместо уравнений B.7 е, т) мы
получаем уравнения в виде
(а) За =
192 VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
где е1* и Цурвв — тензорные плотности веса -)- / и — /
соответственно, являющиеся электромагнитными характери-
характеристиками среды.
■>->-> ->
Геометрическими образами Е, п, Н и В являются
Из этих рисунков также очевидно, что связи между Е
и О и между Н и В могут быть установлены лишь с по-
помощью фундаментального тензора, так как они требуют по-
понятия «перпендикулярности».
->->-> ->
Чтобы найти размерности Е, О, Н и В, мы воспользу-
->
емся тем обстоятельством, что еЕ есть сила, действующая
на заряд е. Но относительная размерность силы равна [/»#~2|,
и, следовательно, относительная размерность Е равна
\тИ~2ц~1\. Отсюда ковариантный вектор Е$ имеет абсолют-
абсолютную размерность [т1!(~2д~'] или [/г^~7^~;], если через [/г]
обозначить размерность (абсолютную или относительную)
кванта. Из B.7а) следует, что В^ имеет абсолютную
размерность [кд-1] и относительную размерность \М~'^~1\ =
= \т(~'д~]]. Абсолютная размерность р равна [^|. Отсюда
согласно B.7 с) За имеет абсолютную размерность [д\ и §6"**—
абсолютную размерность [^~7^]'
На стр. 193 приведена таблица B.9) размерностей.
Чтобы доказать, что для построения геометрического
образа Ец с абсолютной размерностью [/г^^] необходимы
лишь единицы кванта, времени и электрического зарядз.
*-<
СО
?* слектрический заряд
| Электрическая плотность
■ Напряженность электрического поля
Диэлектрическое смещение
Напряженность магиитиого поля
Магнитная индукция
Магнитный поток
Диэлектрическая постоянная
Магнитная проницаемость
Тензорная плотность диэлектрической
проницаемости
Тензорная плотность магнитной про-
проницаемости
Квант
Р
%
ЯР
<я?°
*Ур
ф
е
и
^у(
Абсолютная
ш
[кГ'д-'] .
[кд-'\
\кд-'\
[н-'г'цр]
[кГ^д-Ч
№
р
Еь
3й
*еаЬ
Всь
ф
е
ц
У-йсЬй
Относительная
\ч\
\цг3\
[кГ'г'д-'] = [тИ~2д~'\
[ггд]
[Г'г'д]
[кГ2д-'\ =. [тГ'д"']
1кд~'\ = Ы12Г'д-'}
[л / *у 1=== 1Л * *ч\
\Н1*~ $ЦЩ~ I = [ тпХц \
[к-'гЧд2] = [т-'г3/2^]
а
о
I
2
13
I
B.9) . {
194
VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
рассмотрим электрон (с зарядом е), покоящийся в О в поле Е$
в газе с частотой излучения V (размерность I/"]). Излуче-
Излучение начинается всюду, где энергия электрона равна Лу. Если
приложено медленно меняющееся магнитное поле, то оно не
изменяет энергии электрона, так как соответствующая сила
перпендикулярна скорости. Изменяется только путь элек-
электрона. Следовательно, геометрическим местом точек, в ко-
которых возникает излучение, является в точности вторая пло-
скость ковариантного вектора -г- Е$, если первая плоскость
проходит через О. Это означает, что само излучение изо-
изображает в пространстве ковариантный вектор -г~Е$.
Из этого вектора может быть получен Е$, если
известны единицы кванта, времени и заряда.
Так как абсолютная размерность ВУэ равна [/г<7~ ], нам
необходимы в этом случае только единицы кванта и элек-
электрического заряда. На дви-
движущийся в магнитном поле
электрон действует сила
К = е%ХВ, B.10)
перпендикулярная векто-
вектору V. Если /? — кривизна
траектории, то эта сила
равна ш/2//?. Это означает,
■х что электрон описывает спи-
спираль с осью в направле*
нии В.
Пусть ось спирали сов-
совпадает с осью у, р — ради-
радиус соответствующего ци-
цилиндра, ф — угол меж-
между г» и плоскостью хг и М — центр кривизны некоторой
точки кривой, лежащей на оси г. Тогда хорошо известно,
что
Рис. 24.
—1—
5
СО5 ф
2. АБСОЛЮТНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ 195
Из B.10) следует, что
п ив' ттгг»гсо8 ф ' ,. ...
еуВ соз ф = —-о- = ■=-. B.12)
Отсюда момент количества движения относительно оси у
равен
тру соз ф = еДо2 = -^ еВО, О = лр2. B.13)
Согласно квантовой теории этот момент количества движения
должен быть равен произведению ф на Л/2я, где 1|)— соот-
соответствующее квантовое число. Отсюда
2еВО~$Л, B.14)
а это означает, что цилиндр представляет ковариантный век-
2е
тор -гт-Ву§. Таким образом, движущийся электрон изо-
изображает в пространстве бивектор В^ с точностью
до множителя, который может быть подсчитан, если
известны квантовое число движения, единица кванта
и заряд.
Если обозначить через [г] размерность сопротивления
[кд~2], то абсолютная размерность В^ может быть записана
в виде [гд\, откуда следует, что бивектор В^ может быть
построен, если известны единицы сопротивления и заряда.
Предположим, что мы имеем плоскую катушку, связанную
с баллистическим гальванометром. Ориентация, указывающая
положительный отсчет по гальванометру, превращает эту
катушку в контравариантный бивектор / . Скаляр
]_ угаро площадь катушки
2 } ар площадь сечения Ва^ плоскостью катушки
является магнитным потоком через катушку. Этот поток поло-
положителен, если ориентация /ар совпадает с ориентацией Вф
и отрицателен в противоположном случае. Если /? — сопро-
сопротивление катушки, N — число витков и / — ток в катушке,
то мы имеем
B.16)
13*
196 VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
если катушка внезапно удалена из поля. Поэтому, площадь
сечения В^ плоскостью катушки равна
/У площадь катушки
Таким образом, этот метод позволяет нам построить сечение
цилиндра Дар любой плоскостью. Действительно, для этого
требуются только единицы сопротивления и электри-
электрического заряда,
Я и О являются величинами, используемыми для вычи-
вычислений, и они не могут быть измерены непосредственно,
так кйк на движущийся заряд действуют только силы, зави-
-> ->
сящие от Е и В.
-> ->
Следовательно, Н и Э всегда должны определяться
с помощью некоторых непосредственно измеряемых вели-
чин, таких, как масса, длина, время, заряд, Е и В с по-
-> ->
следующим подсчетом Я и В по результатам этих измере-
измерений. Несмотря на это, для построения геометрических
образов Я и О требуются только единицы, входящие
в их абсолютные размерности.
Для построения векторной плотности За. (абсолютной
размерности [д]) в точке электрического поля конденсатора
произвольной формы необходимо лишь измерить заряд 4е
конденсатора с помощью баллистического гальванометра.
Силовые линии могут быть тогда определены расчетным
путем, для чего требуется знание только формы конденса-
конденсатора, но не его абсолютных размеров.
Следовательно, никакой единицы длины не требуется.
Если при этом малая трубка соответствует заряду АТ, то ее
малый отрезок представляет векторную плотность -^=- 3^
и с тем лучшей точностью, чем меньше А1?. Конечно, для
определения ортогональных компонент О единица длины
также необходима, что согласуется с относительной размер-
->
ностью О[/~2д].
упражнения 197
•' Аналогично этому для построения геометрического образа
поля &€^ заданного тока требуется только единица электри-
электрического тока (размерность [<~;7])> что согласуется с абсо-
абсолютной размерностью У~'д] поля Н.
УПРАЖНЕНИЯ
VI. 1. Обычно температуре приписывается размерность [/].
Но так как температуру можно определить как «тепло на одну
частицу», для размерности температуры возможно также выбрать
значение [т121~2\. Проверьте приведенные ниже формулы для раз-
размерности величин из VII, §§ 1—3. Через [6] обозначена размерность
температуры. Мертвые индексы опущены.
и*
ик
км
Р*а$
0 х*.
ах
т. е
0
р
с
Абсолютная
[/]
I/2]
. и2)
ш-2\
[/и/ /"~ 1
[/]
[и/-2г21
\т-Ч2А
[в]
[м/2/-29-;]
1«/2г2]
И
[/2Г29-;]
1/~21
Относительная.
V]
Щ
т
и2]
[т1Г2]
[тГ'Г2]
\тГ'гЦ
[I3]
[тГ'Г2]
[т-'Н2]
[в]
[»»/-;г2е-7]
Ыг'гЧ
\тГ3\
[12Г'^-'\
1/1
V 1'29-71 №-']
198 VI. ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ II ИХ РАЗМЕРНОСТИ
VI. 2. Проверьте следующие формулы размерностей для величин
из VII, § 4 (мертвые индексы опущены):
**д
Рад
<
Абсолютная
[тГ2д~'\
[т(Ч-2д-2]
[д~'\
\т-Ч2д]
Ы1дв-']Ч]
1Г2д]
и'г'}
Относительная
Ы1Г2д-']
Ш*Г2д-2]
И'д-1]
[тТ'3?]
[Г2д]
[12д~']
VI. 3. Проверьте следующие формулы размерностей для величин
из гл. IX.
Величины в трех измерениях:
Е 4<з
раAа
Абсолютная
и-']
ы
и
[Г'д]
V]
ЫЧ-3]
ы-2]
Ы1Ч-3]
ы-2]
Ы-']
ыч-ц
[т/Ч'3]
Относительная
иг'\
[Г3д]
[тГ3]
[г3д]
[14
ЫЧ-3]
[т1Г2]
Ы-3]
[тГЧ-2]
ы-ч-'\
ыч-2\
Ы~ъ]
(а, В = 1,2. 3)
Величины
р
д-*к
Ро
к
/ /
К
кп
в четырех измерениях:
Абсолютная
[т12г'а~'] — [
1'ГЧ' •■ </ ^ — 1
[я]
Г/>1
№
1т1*Г*)
11-'} ■
[т13Г2 ]
\т1Г2\
т е
к
УПРАЖНЕНИЯ 199
Относительная
[тГ'д-']
\Г2д)
[Г3д]
\Г3Ч\
V]
1тГ2Г2\
[т1] [тГ3]
Ы1Г2] [тГ!Г2]
[Г'г] [12(]
Ы-1] [ти-'\
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ')
1. Деформации
Рассмотрим материальную среду, занимающую некоторую
область обычного пространства, отнесенного к декартовым
координатам хл (Л = 1, 2, 3) и криволинейным или общим
прямолинейным координатам |н (х = /, 2, 3). Пусть частицы
среды подвергаются малому смещению и*, и пусть ©х — инфи-
питезимальный вектор в точке |, фиксированной в среде.
Тогда, если (х') — система координат, полученная из (х)
увлечением по инфинитезимальному вектору ип, то коорди-
координаты |н смещенной точки |* и компоненты Vя смещенного
вектора г/х имеют в смещенной точке координаты, совпа-
совпадающие по величине с |х и V* соответственно. Мы знаем,
что (ср. (IV. 5.9))
& A.1)
Vя
и, следовательно, смещенный вектор Vя имеет в |х + их
компоненты
©и_}_и>ч?,.и* A.2)
относительно (х).
Если вектор V4 в |х смещается параллельно2) в |х-|-й?|я,
то компоненты смещенного вектора равны (ср. V, § 1):
«к —Пл«У- A.3)
') Общие ссылки: Фойгт 1898.1; Те доне 1907.1; Брил-
люэн 1938.1; Ляв 1944.1; Кэдн 1946.2; Крутков 19^.4г
Мэзон 1950.1; Ландау и Лиф»*ц 1954.1; Лурье 1955.1;
Сиеддон нБер-ри 1958.1; Седов 1962.1.
2) Так как мы работали в к$, параллельное смещение имеет
обычный смысл.
3. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ 201
Отсюда вариация вектора Vя с точки зрения наблюдателя,
координатная система которого переносится параллельно,
равна
« V = г»11 V*. A.4)
Эту вариацию можно разложить на две составляющие
> % «Vх ?<»««' A -5).
Первая составляющая представляет вращение, бивектором
которого является ^^иц. Если вторая составляющая равна
нулю, то инфннитезимальная частица материи в |х подвер-
подвергается только трансляции на : вектор и* и вращению без
деформации- Вторая составляющая представляет чистую
деформацию без вращения. Поэтому мы называем
нмх= + ^и'к) или «//= + дии1) С/. /= 1, 2, ЗI) A.6)
тензором, деформаций для сигнатуры ц: ц: :р 2). Каждый
симметричный тензор может быть разложен на шаровую
часть, или для краткости скаляр, и девиатор
Скаляр и-^ называется следом или линейным инвариан-
инвариантом тензора и^. Для тензора, деформаций след равен
дивергенции у^и11 или д^. След девиатора равен нулю.
Если при деформации этот скаляр равен нулю, то это озна-
означает, что объем инфинитезимальной частицы не изменяется.
2. Силы и напряжения
Каждый двумерный элемент, или грань, с внешней ориен-
ориентацией в /?з является ковариантной векторной плотностью
веса — /, которую мы можем обозначить Д<*$.. Здесь
Лз — площадь, а Д представляет грань единичной площади.
') Компоненты «и, в,» часто обозначаются хх, -=-дгу = ууг
• *) В этой главе, начиная с ■§ 2 н дальшг, мы используем снгна-
202 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Мы будем различать внешнюю и внутреннюю стороны эле-
элемента, считая, что стрелка ориентации направлена изнутри
наружу. Тогда при деформации среда с наружной сто-
роны $хйз воздействует с некоторой силой на среду с внут-
внутренней стороны. Обозначим эту силу через р'л из, где
рх—сила на единицу площади.
Если У^йз, ... и /к&з — внешние грани инфинитези-
мального тетраэдра, то мы имеем тождество
л =- а <? - А а1 - и **• B-1}
Если р*йз, ... и р*из силы, с которыми среда действует
извне на эти грани, то сумма этих сил равна произведению
массы тетраэдра на ускорение его центра тяжести. Но так как
эта масса третьего порядка малости относительно дифферен-
дифференциалов й?|и, тогда как силы имеют второй порядок, то мы
имеем
р* а$ = — р* аз — р* а$ — р* а$. B.2)
113 2 3 3
Отсюда в силу линейной независимости /., /, и /. имеется
1Х 2Х 3%
одна и только одна тензорная плотность о'лк веса-{-У, кото-
которая удовлетворяет уравнениям')
рп = о-л/к, р* = 5>*/к (а= 1.2.3). B.3)
Пусть теперь 5 — замкнутая поверхность, ограничиваю-
ограничивающая область среды т, хк—радиус-вектор точки в декарто-
декартовых координатах, /г аз — элемент 5, р—массовая плотность,
р1' аз — сила, действующая извне на /( аз, и кн их — равно-
равнодействующая внешних сил, действующих на среду в объеме
элемента ах. Тогда главный вектор сил, действующих на
') Компоненты а11, а часто обозначаются через ±ХХ, ±Ху
или ах, 1Ху Употребляются и многие другие обозначения.
2. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ 203
среду внутри 5, равен1)
м]1 из -\- Г к'1 Aх. B.4)
г
Применяя теорему Стокса, находим
/С* = ^ (дры + кн) ах. B.5)
Эта сила должна равняться результирующей всех первых
производных по времени от количества движения всех частиц
внутри «.'Отсюда
B-6)
Так как B.5) и B.6) справедливы при любом выборе т, мы
получаем
Но это уравнение имеет инвариантную форму, и, следова-
следовательно, может быть записано в общих координатах
B.8)
Главный момент всех сил относительно начала координат
равен
^ 21 х V1 <** + 2]*
= 2 С (д^
^=2 § (о 1/й1 + л; 1А<Э;-а'1 ^ + а: [лАг1) их. B.9)
') Эти уравнения справедливы лишь в прямолинейных коорди-
координатах. В криволинейных координатах они несправедливы, так как,
вообще говоря, невозможно складывать векторы в различных точ-
точках. Поэтому мы используем знак = (ср. II, § 2).
204 VII, ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Этот момент должен равняться результирующей всех первых
производных по времени от момента количества движения
всех частиц внутри $:
^ ^Ы B.10)
= 2 ^
Из B.9) и B.10), учитывая B.7), находим соотношение
ЩА±«, B.11)
т
справедливое при любом выборе т. Отсюда
О =У (^-1^)
во всех точках. Следовательно, о** — симметричная тен-
тензорная плотность веса +/. о** называется тензорной
плотностью напряжений, а
0*^ = —-—охА- B.13)
. VI
•—тензором напряжений. При использовании декартовых
координат разница между тензорами и тензорными плотно-
плотностями исчезает.
Выражение
дгам = Уры = У,о'Л B.14)
является силой, приходящейся на единицу объема и поро-
порождаемой внутренними силами. В общих координатах У^о114
есть сила, приходящаяся на базисный параллелепипед и по-
порождаемая внутренними силами. Она является векторной
плотностью веса
3. Упругие константы')
Рассмотрим кусок материальной среды, который подвер-
подвергается инфинитезимальной деформации й?их, и предположим,
что тепловые процессы отсутствуют. Тогда энергия всех
') Ср, Фойгт 1898.1; Те доле 1907.1; Л яв 1944.1; Мэзон
1947.4.
3. УПРУГИЕ КОНСТАНТЫ 205
действующих- сил должна равняться приращению упругой
потенциальной энергии. Согласно B.3) это приращение энер-
энергии равно1)
C.1)
Отсюда, используя теорему Стокса и соотношения A.6) и B.8).
находим ' выражение
Г р* <*Иц й$ + Г &1* Ли» их =
1 '
X X
C.2)
для приращения энергии. Это доказывает, что а^йи^х есть
приращение потенциальной энергии в базисном параллелепи-
параллелепипеде, а о1* йи.ц — то же в единице объема.
При наличии тепловых процессов приращение общей
энергии в базисном параллелепипеде равно
йЬ — о»*- йи^. -\-ТA8 = о»}- йи^ + а§, C.3)
где Т — температура, 5 — энтропия базисного параллелепи-
параллелепипеда и с1B?=ТA3 — приращение тепловой энергии в базис-
базисном параллелепипеде.
Мы предполагаем теперь что:
A) среда является однородным кристаллом;
B) начальные о** = 0, «^ — О, Т — То, 8 = 8о;
C) рассматривается состояние, характеризуемое а*Ч и^,
Т==То-г-в, 5 = 50-1-11, где а*К и^. О и х\ (плот-
(плотность) малы;
D) ох?- и 6 единственным образом определяются и^х и Т1
и наоборот;
') Так как подынтегральные выражения — скаляры, это уравне-
уравнение может быть записано в общих координатах.
206 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
E) процесс обратим и используются только прямо-
прямолинейные координаты (или аффинные, или декар-
декартовы), и, следовательно,
является полным дифференциалом.
Так как мы используем только прямолинейные коорди-
координаты, то уравнения в этом и следующем параграфах спра-
справедливы лишь для подобных координат. Исключениями
являются уравнения, которые имеют инвариантную форму и
отмечены звездочкой.
Если а"лХ и 0 выражены через и^х и т), то мы имеем:
(а,
Член -т~ йт] в C.4Ь) представляет изменение температуры
при постоянных деформациях. Отсюда, если через С(и) (плот-
(плотность) обозначить теплоемкость единицы массы при постоян-
постоянных деформациях, то
и это выражение при постоянной С(и) является полным диф-
дифференциалом.
В качестве первого приближения мы можем теперь пред-
предположить, что да^/ди^,, да^/дц и дО/ди^ в C.4) постоянны
(закон Гука) и что С(Ц) — константа (напоминаем, что рас-
рассматриваются только прямолинейные координаты). В этом
приближении й& полный дифференциал тогда и только тогда,
когда:
(а)
«"♦им *-"кХ
C-6)
3. УПРУГИЕ КОНСТАНТЫ
207
Если эти условия выполнены и если мы обозначим:
^ Чи) То дц ~ 1
то уравнения C.4) запишутся в форме:
(а) оЛ^
(Л) (IV
(Ь) в^-
C.8*)
справедливой для малых деформаций ИцУ и малого теплового
потока.
Относительно прямолинейных координат с*^у являются
адиабатическими упругими константами, а —у**
являются напряжениями на единицу тепла, которые необхо-
необходимы для предотвращения деформации.
Если выразить ий\ и ц через о*х и 8, то мы получим:
(а)
C.9)
Выражение -^к-с'в в C.9Ь) представляет изменение энтропии
при постоянных напряжениях. Обозначая через С((Т) тепло-
теплоемкость единицы массы при постоянных напряжениях, имеем
и выражение
= рС1(Т), C.10)
.^ ^9 — .^. рС^) C.11)
является полным дифференциалом, если С'а) — константа.
В качестве первого приближения мы предположим теперь,
что ди^/до*1, ди^дй, дц,'дд"лК и С!о) —константы. В этом
208
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ
приближении йЬ полный дифференциал тогда и только
тогда, когда
^ C.12)
C.13)
есть полный дифференциал, т. е.
ди,
■|М
ди.
нК
до*1 дв
Отсюда, если мы обозначим:
(а)
0»)
ди
н).
C.14)
то уравнения C.9) запишутся в форме:
C.15*)
справедливой для малых деформаций и малых изменений
температуры. Относительно прямолинейных координат Ь^им
являются изотермическими упругими константсми,
а щ1 являются температурными коэффициентами деформаций
без напряжений.
Из C.7а) и C.14а) мы видим, что с^у п.Ъ^ч не только
симметричны по первой и второй парам индексов, но также
инвариантны относительно перестановки этих пар индексов.
Отсюда эти величины, если отвлечься от того обстоятель-
обстоятельства, что они являются плотностями, играют ту же роль для
симметричных тензоров валентности 2, которую последние
играют для векторов, и, следовательно, имеют уЦг = 21
независимых компонент.
Чтобы найти соотношения между
*А
, С{а. и
' мы введем величину, обратную С($'\ с помощью
8. УПРУГИЕ КОНСТАНТЫ 209
уравнения
Тогда C.8а) запишется н виде
Исключая из C.15*) 8, получаем
т
$Щ- C.18*)
Из последних двух уравнений следует, что:
. ч Г(т)) Г(в) __ То „(«)„(")
И>.ЦУ Х?.ЦУ рС@) (IV Лк, C.19*)
Аналогичным образом, записывая C.15*а) в виде
дхх, _-. г хх^уц с^^о^°Щ Г3.20*)
* (8) цу @) цу '
с помощью величины с^у, обратной Ъ^ , и исключая Д$
из C.8*), находим
Из последних двух уравнений следует, что:
(а) ^^#
Из C.19*Ь) находим
Отсюда
р (с@) - с;и)) тй=
или, используя C.22*Ь),
г ,„ Т (О) (О)
14 Я. А. Схоутен
210 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Разность между }>$14 и Щ^ очень мала. Например,
для а-кварца
<х<«> = а§> = 14,3 • Ю~6, а<*> = 7,8 • /^6
р = 2,650 кг/м'л, С(G) = 7,35 • 105 дж/кг.
Согласно C.19*а) отсюда следует, что различаться могут
ТОЛЬКО КОМПОНеНТЫ ^Ш1 = ^2222' ^1122> ^1133== ^2233 и ^3333-
Для значений !>$ф, данных Мэзоном') (в м^/ньютон):
Л?|, = 127,9 ■ 10'13, $% = — 15,35 ■ Ю~13,
находим
Ь% = 128,2 ■ Ю-13, Ь% = —15,04 ■ Ю-13,
$?>, = _ 10,83 ■ Ю-13, Ща= 95,7 . 10~'3. {3'Щ
По-видимому, разница меньше погрешности эксперимента.
. Диэлектрические и пьезоэлектрические
онстанты5)
4
константы
Теперь мы предположим, что имеются также электри-
электрическое поле Е\ и электрическая индукция 3*, принимающие
малые значения в течение процесса и равные нулю в на-
начальном состоянии. Мы предположим также, что о* , 6 и Е%
однозначно определяются и^\, ц и 3х и наоборот и что
процессы обратимы. Разницей между с^* и С^1 будем
пренебрегать.
Приращение полной энергии на базисный параллелепипед
записывается теперь в виде
а$ = 5"х йи^х + Ех ЛЗ^ + Т йх\. D.1)
') 1947. 4.
*) Ср. Ф о й г т 1898. 1; К э д и 1946. 2; М э з о н 1947. 4; 1950. 1.
4. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ 211
Если о"\ 8 и ^ выразить через и^, т] и 3*, мы получим
„ , Л^ЯХ Лл"<Л Лли^
D'2)
В качестве первого приближения мы можем предположить,
что все производные, входящие в D.2), кроме д8/дг], являются
константами и что теплоемкость С(Ц|,®) единицы массы при
постоянных деформациях и электрической индукции также
константа. (Напоминаем, что мы используем только прямо-
прямолинейные координаты.) Тогда
есть полный дифференциал. А%> является полным дифферен-
дифференциалом тогда и только тогда, когда:
(е) *._.
Вводя обозначения:
То
1
* 0
дЕ>1 .
'»пк'
Т0 ^иХ,
1 с9
14*
212 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
и предполагая выполненными условия {4.4), запишем урав-
уравнения D.2) в форме:
D.6*)
которая справедлива для малых деформаций, слабых элек-
электрических полей н малых тепловых потоков. Относительно
прямолинейных координат С(в^У — упругие константы при
постоянной электрической индукции, й^ц — адиабатические
пьезоэлектрические константы, у** — термоупругне константы
при постоянной электрической индукции, <Ди) — пироэлек-
пироэлектрические константы при постоянных деформациях и Рхц11' —
адиабатические диэлектрические константы при постоянных
деформациях.
Если Ицх> Л и 3* выражены через ох\ 6 и Е\, то мы
имеем:
В качестве первого. приближения мы предположим, что все
производные, входящие в D.7), кроме <Эт|/<Э9. являются кон-
константами и что теплоемкость С(а'Е) при постоянных напря-
напряжениях и электрическом поле также является константой,
определяемой соотношением
Тогда выражение
■ЙчЙ^рС"'* D.9)
«.ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
213
есть полный дифференциал. а$ будет полным дифференциалом
тогда и только тогда, когда
Ицх с&1К + 36х йЕк -\-ца% D.10)
полный дифференциал. В свою очередь для этого необ-
необходимо и достаточно, чтобы:
(а)
(с)
("' ЛР Гни
ьицу
D.11)
, . д&% дх\
(е> тг=—
Если эти условия выполнены и если мы обозначим:
дау
.'в) к
/;
>, в) — й.Б, —
D.12)
то уравнения D.7) принимают форму:
(а)' и^ = Ь%
(Ь) ^ч = й®х5
(с) дд ==
+рс<°- «в.
D.13*)
которая справедлива для малых деформаций, слабых элек-'
трнческих полей и малых изменений температуры. Относи-
1ельно прямолинейных координат Ь^^ — упругие константы
214
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
при постоянном электрическом поле, щ^ — изотермические
пьезоэлектрические константы, а|Д> — термоупругие константы
при постоянном электрическом поле, с** е) — изотермические
диэлектрические константы при постоянных напряжениях и
/>№ — пироэлектрические константы при постоянных на-
напряжениях.
В вопросах, связанных с колебаниями в кристаллах, мы
можем предположить, что между соседними элементами
не имеется теплообмена. Тогда уравнения D.6*) прини-
принимают вид:
D.14*)
где индекс ц опущен, так как мы рассматриваем только
адиабатические процессы. В D.13*с) мы имеем Дф = 0, и,
следовательно, из этого уравнения можно найти 6 и под-
подставить в A4.13*а, Ь). Это приводит к уравнениям:
D.15*)
которых
УХ
мало отличаются от
и и %, в) в D.13*). Таким образом, для описания коле-
колебаний в кристаллах должны использоваться уравнения
D.14*а, Ь) и D.15*), в которые не входят вит].
Чтобы найти соотношение между коэффициентами в D.14*)
и D.15*), мы введем величину е*^, обратную р<^, и р^,
еи
обратную е(и0)- Тогда D.14*Ь) и D.15*Ь) могут быть записаны
в виде:
(а)
(Ь).
D.16)
4. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ 215
Подставляя эти выражения в D.14*а) и D.15*а), находим
D.17*)
•~иА. (^ккцч киА. ро к(IV Л , хХ
о = {,с<*) —пЩП)и Н
Вводя теперь величины Ь^у,, обратную с*^, и с*^. об-
обратную б^и* мы получаем из D.14*а) и D.15*а)
D.1 о*)
и>, х1.и.ч х?»ц,у .. рс.
О = С{Е) «цу — ^E) ^цу Яр,
и из D.17*) и D.18*) следует, что:
.. .р„(о) ,. .а
— "цу Рра"х?. —
. . р
(с) е —е(и)л. .р — йру с(я, .
I,"; &хцу — РА.х"цу=«..я
Подставляя D.14*а) и D.15*а) в D.16*), мы получаем
У
' D.20*)
ро'
и при учете D.14*Ь) и D.15*Ь) это дает
;ицу .. л
D.21*)
„*»■ „ИЯ. _|_ „Яр .(IV .. .». -«*•_! л «1*^.. Л
о((Г)
216
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В сокращенных обозначениях D.19* с, <1) уравнен 1я D.16*)
и D.18*) принимают вид:
(а) 3-" = ^х
(Ь) Е} =фГ-
(й) о"- =
D.22*)
Это именно та форма, в которой они обычно используются.
Приведем сводку результатов:
(а)
(Ь)
(с)
(<0
(е)
(О
(е)
(Ь)
(О
О
С (Е)
рхК. I
—е п.
.у. ,1
О XIIV*
«И.ре('а) =
"И)Л^. .11
<-(Е) «ру ,
.. .р
А
.. .А.
D.23*)
0)
б. Кристаллические классы')
Главным свойством кристалла является его инвариант»
ность относительно конечного числа ортогональных точечных
преобразований. Эти преобразования образуют конечную
') Ср. Фойгт 1898.1; Тедоне 1907.1; Ляв 1944.1; Кэди
1946.2. .
5. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
217
группу, группу кристалла. В ка честве примера .конечной
группы мы рассмотрим группу всех ортогональных пре-
преобразований в плоскос-
плоскости ху, которые оставля-
оставляют инвариантным квад-
квадрат ЛВСО. Обозначим г4
вращение на 90° от л:
к у. ^ вращение на
180'' и / — тождественное
преобразование. Прежде
всего мы.имеем преобра-
преобразования г4, г34 = г2,
*3=*«-'• *'=л Все
эти преобразования име-
имеют А = -)-/. Отраже-
Отражения Ех относительно оси
у и Еу относительно Рис. 25
оси х имеют Д=г — 1, и
то же справедливо для отражений РА относительно диаго-
диагонали ВБ и Рв относительно диагонали АС. Приведем табли-
таблицу умножения
У
в
с
1
4
X
?
1
*4
А
Е,
Еу
Рл
Рв
I
I
г4
*24
г4
Ех
Е>
24
24
*24
2*4
1
Рл
Рв
4 ЕУ
в Е.
4
ЕУ
Ех
Р»
Р*
4
/
А
Рв
Ра
Ех
Еу
Ех
Ех
Рв
Еу
Ра
I
*\
4
г4
Еу
ЕУ
РА
ех
Рв
*5
/
*4
г'
ЕА
Ра
Ех
Рв
ЕУ
*4
Г
А
Рв
Рв
ЕУ
РА
Ех
<
А
1
E.1)
218
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Эта таблица легко выводится из следующей схемы:
**:
х у
х у,
х у
— х у.
х ;.
У —X,
х у
-у
Ра-
X у
— х —у,
х у
X,
%
Рп:
х у
~у х,
х у
E.2)
у х.
х —у, " — у
Мы видим из таблицы, что восемь преобразований образуют
группу и что каждое преобразование группы может быть
получено, например, из х4 и Ех, или х4 и РА, или Ех и Р4.
Поэтому мы называем х4 и Ех системой образующих группы,
преобразований. Это не единственная система образующих.
х4 и РА или Ех и рд также являются системами образующих.
Было найдено, что для исследования кристаллов в про-
пространстве достаточно рассматривать следующие двадцать одно
преобразование:
/: х, у, х->х, у, г; тождественное преобразование.
х0: х, у,
х, — у, —г
х3: х, у, г->х, -т
г.
х4: х, у, х-> х, х, —у
х6: х, у, г -> х.
циклир.; вращения около
осей х, у и г на 18(Р,
120', №н60\ Д=
6: х, у, х -> у, х, х | циклическая перестановка осей.
82: х, у, х->х, х, у / Д =-{-/.
С: х, у, х —> — х, — у, — х] отражение от начала. Д = — /.
Ех: х, у, х~> — х, у, х циклир.; отражения от плоскостей
ух, хх и ху. А = — 1.
8х-=Ехх4-=Сх~': х, у, х—> — х, х, —у циклир.; враще-
вращения вокруг осей х, у и х на 90° с последующим отражением
от плоскости, перпендикулярной оси. Д = — /. E.3)
Б. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 219
С помощью этих преобразований было показано, что
существуют ровно 32 различные группы и 32 соответствую-
соответствующих им кристаллических класса. Ниже приводится таблица
лсех классов с их группами, заданными системами обра-
образующих !).
Нумерация классов дана по Фойгту, Кэди (в скобках)
и Шенфлису. Имеются семь систем, четыре из которых со-
содержат две подсистемы. Для любого свойства, определяе-
определяемого центральной симметрией, преобразование Т эквива-
эквивалентно СТ. Следовательно, система образующих для таких
свойств значительно проще. Кристаллические системы разби-
разбиваются при этом на подсистемы. Класс называется энантио-
морфным, если он может содержать кристаллы, переводимые
друг в друга отражением без вращения. Необходимым и
достаточным условием является отсутствие в системе обра-
образующих преобразований с А = — 1. Энантиоморфными клас-
классами являются: 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 22, 25, 29 и 32.
Принцип Неймана связывает кристаллические классы
с их возможными физическими свойствами. Согласно этому
принципу симметрия, характеризующая внешний вид кри-
кристалла, т. е. система образующих его группы, определяет
также симметрию всех его физических свойств. Таким образом,
физическая величина, не обладающая центральной симметрией,
например вектор, никогда не может принадлежать одинна-
одиннадцати классам, группы которых содержат С: 1, 3, 6, 9, 12,
14, 17, 21, 24, 28, 31. Но Й^-вектор, обладающий централь-
центральной симметрией, может принадлежать этим классам, если нет
других обстоятельств, препятствующих этому.
Чтобы исследовать, могут ли некоторые величины принад-
принадлежать различным классам, мы должны проверить инвариант-
инвариантность этих величин относительно соответствующих преобра-
преобразований E.3). Например, вектор ух, чJ, ч)ъ преобразуется Ех
в — г»1, г>2, г>3. Следовательно, только вектор 0, г»2, г>3 инва-
инвариантен относительно Ех. Но 1^-вектор VI, г»2, у3 преобра-
преобразуется в г»Р —г»2, — 1>у откуда инвариантный 1^-вектор имеет
вид юу, 0, 0.
') Преобразования в скобках принадлежат группе, но включе-
включение их в систему образующих не является обязательным, так как
Система
Система
образующих
Система
образующих
относительно
центрально
симметричных
свойств
§
§
о
X
X
X
X
X
X
X
«
электрн
2.
с
X
X
X
X
X
«
магвнт!
о*
С
X
X
X
X
X
«
г*
О.
0»
Л
С»
С
X
X
X
X
X
X
X
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная I
1 2.
( а
, 5.
Г 6.
[ 8.
9.
10.
. П.
A)
E)
D)
C)
(8)
F)
G)
B0)
A8)
A9)
с,
с2
п2
С-
с*
Не преобразуется
С,
г2,Ег
'^==^ *
(у2)
С,
**'*,
Не преобра'
зуется
г2, х2, (у2)
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
х х
X X
X
X
X X
X
X
А
X
X
X X
X
X
X X
X X
X
ч'
4} Ч*1
4
N СО
-:*
с4 со
3 , 5 Я
С1 са о са
те ^-1"
т|< ю «5
О о
со
«? О» С?
р ^ с
СЧ О1 О1
ь 2 а а й
га
X
А
03
X
я
■3
I
5
Продолжение
(8
Система
Система
образующих
Система
образующих
относительно
центрально
симметричных
свойств
х-р У4' (г4)
О!
Л
•е-
си
о
н
X
X
X
к
о
У
о,
л
&
с
X
н
11
а
X
а
X
X
X
сая
и
0)
X
о
л
с
X
X
X
X
Гексагональная II
Кубическая I
24. B5) С6Й
25. B3) С6
27. B1) Сзй
28. C2) Од
29. B9) О
30. C1) 7*
Кубическа
I 31.
я II \
\ 32.
31. C0) Т„
B8) Т
С гк
С х4. у4, (г4)
х4, У4. {г4)
Зх, 5у, Eг)
С, х~2, у2, (г2), 5
х? У? (г2)- 3
X
X
X
X
X
E.4)
6. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 223
Тензор валентности 2 может быть разложен на симме-
симметричный тензор и бивектор. Первый в свою очередь может
быть разложен на скаляр и девиатор, а бивектор для группы
вращений и отражений эквивалентен 1У-вектору. Таким обра-
образом, разложение имеет вид
скаляр -(- 1У-вектор + девиатор (9= 1 -\-3-\-5), E.5)
и все эти составляющие являются центрально-симметричными
Для 1У-тензора валентности 2 мы получаем
1У-скаляр-|- вектор -(-1^-девиатор, E.6)
и ни одна из этих составляющих не является центрально-
симметричной.
Тензор Ры* валентности 3 содержит тривектор />1Й'Л, ко-
который эквивалентен 1У-скаляру, и симметричный тензор р1ы)>
A0 компонент). Из последнего можно образовать вектор
рн __ р(А/У)^.^.( и р(Ш) можно разложить на две составляющие
рШ1) __ 1. р(н^п) _|_ \р(ы)) З.
Первая имеет три компоненты (вектора Рй), а вторая является
симметричным тензором без векторной составляющей, имеет
семь компонент и называется септором. Если из Р111^ вычесть
его скалярную, векторную и септорную составляющие, то
останется величина Нк1К которая имеет 27—/—3—7=16
компонент и удовлетворяет условию
+ | 0, E.8)
Отсюда
Кш>=^(№ '+ /?1*Л ') + |,(Яй ип +/?' Щ, E.9)
и это уравнение означает, что Кы1 может быть разложен
на две составляющие, каждая из которых зависит только
от #М/ или /}*[*Л. Но так как бивектор эквивалентен
Н^-вектору, /?1*Д^ эквивалентен 1У-тензору валентности 2
равной нулю скалярной составляющей. Это значит, что
1] может быть разложен на две векторные и две 1У-де-
виаторные составляющие. Таким образом, окончательное
22.4 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
разложение Ры^ имеет вид
и^-скаляр + 3 вектора+ 2 И^-девиатора+
+ септор B7= 1+9 +10+7), E.10)
и все эти составляющие не являются центрально-симметрич-
центрально-симметричными. Все остальные разложения могут быть найдены ана-
аналогичным образом.
Ниже приводятся таблицы разложений г) ^
Тензор с ва-
валентностью
/ не ц.-с.
2 ц.-с.
3 не ц.-с.
4 ц.-с.
Компо-
Компоненты
3
9
27
81
Скаляр
/
1Ф
3
Вектор
/
3
647
Девна-
тор
/
2Ш
6
Септор
/
зш
Ноиор
/
E.11)
УХ/~ тензор
с валентностью
/ ц.-с.
2 не ц.-с.
3 ц.-с.
4 не ц.-с.
Компо-
Компоненты
3
9
27
«/.
Скаляр
IV
1
ЗШ
Вектор
/И7
/
3№
6
Девна-
ТОр
/Г
2
6ИР
Септор
3
Но нор
E.12)
') Нонор есть. теизор валентности 4 с девятью компонентами
не содержащий скалярной, векторной, девиаторной И септорной
составляющих. Термины девиатор, септор и нонор введены автором
в 1914 г., причем последние два — из-за отсутствия лучших ны^
ражежш. ^
2) тиAУ в пьезомагннтном эффекте соответствует ет* в пьезо-
пьезоэлектрическом эффекте.
5. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
225
Симметричный
тензор с валент-
валентностью
/ не ц.-с.
2 ц.-с
3 не ц.-с.
4 ц.-с.
Симметричный
Н^-теизор
с валентностью
/ ' Ц-С.
2 не ц.-с.
3 ц.-с.
4 не ц.-с.
щ-с.
не ц.-с.
Ц.-С.
Компо-
Компоненты
3
6
10
15
Компо-
Компоненты
3
6
10
15
Компо-
Компоненты
21
18
18
Скаляр
1
1
Скаляр
/Ф
Скаляр
2
Вектор
1
1
Вектор
№
1Ш
Вектор
2
2Ш
Девиа-
тор
1
1
Дсвиа-
тор
№
1Ш
Левна-
тор
2
1
Септор
/
Септор
Септор
1
№
Нонор
1
Нопор
Нонор
1
E.13)
E.14)
E.15)
Все составляющие центрально-симметричной величины
являются центрально-симметричными. Все составляющие вели-
величины, не обладающей центральной симметрией, также ее
не имеют1).
') Общая теория разложения величин развита в Р. К. 1924.1.
Ьолее современный подход для ортогональной группы можно ианта
УЛиттлвуда 1945.1.
15 Я. А. Схоутен
226
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1ИЧНЫ!
и.
Я
5
ИО-С
•о
ев
Н
Цен
3
X
3*
о,
н
О-СИМ
[ЛЬН
га
Он
ш
О"
X
о
V
«
2
гричн
о
а.
«
1
О.
о
п
X
-те:
3
33
3"
Он
н
СУ
и
о.
Он
X
33
ев
а
о
т
ев
а
&
ю
сч
а!
а.
<=>
"=>
*ёГ
■а
с»
ОТ
сч
*й;
•Г
ев
?!
а:
а.
■а
*а!
* а.
• 1
*й;
* ю
Д
Ргг
с*
«5!
а.
т
■*.
■*.
*й;
* Сь,
см
*а!
*й!
ч»
н
а!
?!
а,
а.
.?
с»
■а
<=>
?!
* а»
*|
*й;
&■
Си
?!
а;
а.
с
■=>
о
*а.
«й;
«>
<=>
* И
Ргг
-
а.
*&°
■а
■а
■а
■а
с»
* й.
*й:
• »;
* К)
г?
N
N
со
а!
1
а^
й;
-
ВЦ
а.
*&■
*&"
*&"
со
*а!
со
* (й.
ее
♦ «Л
гп
*а:
*а|
ёГ
&"
* VI
СО
й;
а!
П
Ргг
сч
а!
а.
*&°
«а
«а
О
с»
с»
1
Ргг
а!
а.
■а
сч
кй;
*а,
■а
■а
■а
«ь
со
&
а
с»
с»
II
■а
Рг\
Ргг
«г
а.
■а
*;Г
■а
*й;
* а,
с»
гГ
;Г
■а
||
н
1
сч
а.
ей,
* а.
■а
ей,
ей,
и
11
с*
сч
а.
а.
.а"
с*
м
* а,
г»
1
1
*|
Си
с*
■=5
<=>
<=>
%
II
11
со4
й:
а.
*&■
ей,
ей,
*!
1
*й;
■а
, >.
11
п
со"
■а
ей,
ей,
Ргг
—
а.
а.
Си
к =
■а
к
11
со"
5. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
227
На стр. 226 приведена таблица 1^-скаляров, векторов и
^/-векторов, симметричных тензоров и Ц^-тензоров валент-
валентности 2, инвариантных относительно преобразований E.3).
С помощью этой таблицы мы находим следующие вели-
величины, которые существуют в 32 различных классах (см. стр.
228 — 230).
Аналогичным образом могут быть построены таблицы
для величин других типов.
Если в кристалле существует связь между двумя физи-
физическими величинами, например температурой и электрическим
или магнитным полем, электрическим полем и деформацией
или напряжением и деформацией, то мы называем это
эффектом. Если связь между величинами линейна, то говорят
о линейном эффекте. Количественно эффект задается неко-
некоторой величиной, например, в упомянутых случаях (используя
группу Оог и отождествляя плотности и неплотности) вектор,
1^-вектор, тензор валентности 3 и тензор валентности 4
соответственно. Ниже приводится таблица некоторых линей-
линейных эффектов [ Стензор) — обозначает симметричный тензор].
гффглт
Пироэлектрический
Пиромагнитный
Термоупругнй
Диэлектрический
Магнитный
Пьезоэлектрический
Пьезомагиитный
Упругий
Связанные
величины
Скаляр, вектор
Скаляр,
1^-вектор
Скаляр,
(тензор) вал. 2
Вектор, вектор
Ц^-вектор,
1^-вектор
Вектор,
(тензор) вал. 2
1У-вектор,
(теизор) вал. 2
(Тензор),
(тензор) вал. 2
Величина,
связывающая их
Вектор
1^-вектор
(Тензор) вал. 2
(Тензор) вал. 2
(Тензор) вал. 2
Тензор вал. 3.
симметр. по 2 инд.
И7-тензор вал. 3,
симметр. по 2 инд.
(Тензор)-(тензор)
вал. 4
E.17)
Во всех этих случаях эффект может существовать лишь в
определенном кристаллическом классе, а именно в том, в кото-
котором соответствующая связывающая величина инвариантна
15*
228
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
я
Е
грич
а
к
V
ОН 41/
сз
О.
зз
я
3
а
т
три
0*
2
2
X
%
5
ч
о*
я
а>
2
я
3" О.
X О
&8
я
У
о..
«а
да
"8
«
II
о.
КТО
V
а
« »
«а
о
о
1
1
Класс
сч
1
со
а!
й:
* Ы
*й'
1
*й:
СО
*».
со
*й;
1 »
^ 1
- с
<?
й:
сч
1
<=>
<=>
1 »
_
1? ц
«о1 С
со -*
N
«?
|
1
ч
45
со
а!
й;.
"* *й!
со
*й| "*
(>; оо
*?"'
1
й;
<=.
см
А.
1 «
♦ й; *
г
*< - н
*7
" *5* 1^
^* 00 ®^
€N1 "^ ^^
О) * =?'
5. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
ч
' в.
«1 <=>
ч
«О*
Ч
Ч*
15)
16.
С ЙГ ч?
19.
20.
21
23.
8?
230
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
I
ч
о
■с>
о
Я
к
т
а
Щ
си:
но-
ч
а.
X
т
X
а
яг
Я
о-с:
ж
л
•=:
о.
н
ж
о
а
0)
X
2
§а
X О
е- а
и о*
ИМ1
'О
О.
о
н
со
и
гЗ
•2
83
О о.
о
о
тричиы
■ензор
к.
У
кто
Ю
га
V «*
X
.11
5 са
-
О
Класс
|
I
О
25)
24. (
_
-
т
Й
* 'Л
23)
25. (
1=1
«и
т
<■»
_
5
=
-
1
1=1
-5
ем
Со СЛ
см см
«5,
Г**
го
|
|
1
»?
^*
•?
о
{30)
83
<=>
■=>
<г>
о!
_
о!
"=>
ОЗ
сч
ч*
■
1
>*
(85)
32.1
00
.
5. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 231
относительно группы этого класса. В частности, из табли-
таблицы E.18) следует, что пироэлектрический эффект суще-
существует лишь в 10 классах: 2, 4, 5, 8, 11, 13, 16, 18,
23, 25, а пиромагнитный эффект только в 5 подсистемах,
состоящих из 13 классов: /, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 17, 18, 20,
24, 25, 27. Диэлектрический и магнитный эффекты суще-
существуют во всех классах.
Для упругого эффекта связывающими величинами в адиа-
адиабатических процессах являются с*]$™ и Ь<$^ (ср. D.14*),
D.15*)), зависимость между которыми приведена
в D.23* а—с1). Используя группу Оог и отождествляя плот-
плотности и неплотности, мы записываем их в виде сш*к и (>к^к,
опуская индексы 3 и Е. Аналогично мы пишем 0й' и и^
для напряжений и деформаций. Далее, представляется не очень
удобным использование в этой работе четырех индексов.
Поэтому обычно вводятся сокращенные обозначения. Ком-
Комбинации индексов 11, 22; 33, 23, 31, 12 в о*' и с*''* заме-
заменяются на 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тогда 0й' и см'к можно запи-
записать в виде
аА(Л, В=\ 6). E.19)
слв = сва. п _!• 23 = 4; циклнр. 1, 2, 3 и 4, 5, 6.
ол не является вектором, а сАВ не является тензором валент-
валентности 2, так как их компоненты преобразуются более слож-
сложным образом, что легко получить из законов преобразова-
преобразования о1и и ск1>к. Аналогично могут быть введены сокращенные
обозначения для «у2 и Ьк^к. Однако мы должны сделать это
таким образом, чтобы оАил имело то же значение, что и
о'"«Й1., а оАЬАВ — то же, что и <Р1ЬМ)к. Эти условия выпол-
выполняются, если мы положим
и1 = ап,
а4 = 2а23,
*ИП = ^11> ^2233 = *23' Г5 20^
циклир. 1. 2, 3 и 4, 5, 6.
232 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Действительно, тогда мы имеем
1. 2. 3 =
= ахих -)- в*иА -\- циклир. 1, 2, 3; 4, 5, б
(/,/=1,2,3). E.21)
Закон преобразования индексов для пц и ЬНцк тот же, что
и для о*' и с**'*, за исключением того, что в каждой ком-
комбинации 23, 31, 12 должен быть добавлен множитель 2.
Это представляется несколько искусственным, и вообще отно-
относительно сложный закон преобразования оА, слв, ив и ЬВА
вызывает неудобства. (Никогда не пользуйтесь этими пре-
преобразованиями, а всегда возвращайтесь обратно к преобра-
преобразованиям с двумя и четырьмя индексами!). Однако сокра-
сокращенные обозначения имеют свои преимущества, и мы должны
платить за это.
Чтобы найти допустимые тензоры валентности 4 в 32
классах, мы выпишем тензоры, инвариантные относительно
преобразований г2, г3, г4, г6, х2, х4, у2, у4- •$• которые
составляют систему образующих относительно свойств с цен-
центральной симметрией').
*2- Си «12 «13 0 0 с,„ г3: си с12 с,3 си — г25 О
<2 «23
«33
г4- «11 «1Й «13
«11 «.»
«33
0
0
Си
0
0
0
«44
0
0
«45
«55
0
0
0
0
Си
«26
«26
0
0
«66
«|« а
— «16
0
0
0
«69
«11 «13
«33
'б* «11 <?12 «13
«11 «13
«33
— «14
0
Си
0
0
0
«44
«25
0
0
«44
0
0
0
0
с.,
0
0
«24
Си
~2 («и— «12)
0
0
0
0
0
1
') В силу положительной определенности фундаментального
тензора безразлично, записываем ли мы индексы как верхние или
как нижние. В таблицах мы предпочли нижние индексы, так как
они встречаются в других публикациях.
6. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
233
х?' Си с12 С\з
«22 «23
«33
у2: си Сц С|3
^22 ^23
«33
«14
«24
«34
«44
.0
«44
0
«55
«15
«25
«35
0
«55
0
0
0
0
«5в
«56
0
«46
«66
5: с,.
•*4: «1
1 «12 «12
«22 «23
«22 —
У,: «11 «12 «13
«12 «12
«И «12
«11
«22 «12
«11
0
«24
"«24
«4»
0
0
0
«44
«14 «15 «1в
«16 «14 «15
«15 «16 «И
«44 «45 «45
«44 «.5
С.
0
0
0
0
«55
«15
0
— «15
0
«55
0
0
0
0
0
«53
0
0
0
0
0
«44
E.22)
Из этих таблиц получаем для одиннадцати подсистем')
Триклиииая, 1
Моноклинная,
. 2
5. 4, 5; г2:
Полная
«II «12 «13
«22 «23
«33
таблица
0
0
0
Си
0
0
0
Си
«55
21 константа
«16
«26
«30
0
0
«во
13 констант
') В первой и во второй системах число коистант можно
было бы уменьшить соответственно с 21 до 18 и с 13 до 12,
В остальных системах подобное уменьшение невозможно.
234
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Ромбическая, 6, 7, 8; г2, хг: Сц с,2 с13 О О О
с22 «23 О О О
с33 0 0 0
с„ О О
«55 О
9 констант
Трнгональиая I, 9, 10, 11; г3, хг:
С[2 ^|3 ^14 ^ ^
С\\ С]з —СуА О О
Сзз 0 0 0
еи О О
1
б констант
Тригональная II, 12, 13; гъ: сп с{г
Сзз
С]4 "~~ С^5 V
-Сц С^5 О
0 0 0
Си 0 <29
С44 «и
I—Си)
7 констант
Тетрагональная I,
14, 15, 16, 19; г4, л:2:
с13
0
0
в констант
5. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
235
Тетрагональная, II, 17,18,20; *<: сп с12 613
о о
о о
о о
Си О
О
О
О
7 констант
Гексагональная I, 21, 22, 23, 26; га, хг и
Гексагональная II, 24, 25, 27; ге: с,, е,г с13 О О О
сп с130 О О
с33 О О О
еА, О О
Изотропная среда; группа Оо
= у (с„—с,2)
константы
Ламе
«II С\2 Сп
Си сп
«II
5 констант
Кубическая I, 28, 29, 30; х4, уо (г4) и
Кубическая II, 31, 32; х2, у2, (г2), 5: с,| с12 г12 О О О
С|2
Си
0
0
си
0
0
0
с^
0
0
0
0
0
0
1 0
Си
3 К0НСТ611ТЫ
0
0
0
у(«11—С12)
2 константы
E.23)
236
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Эти таблицы справедливы для триклинной системы и изо-
изотропного случая для всех декартовых систем координат,
выбранных нижеследующим образом относительно кристалло-
кристаллографических осей:
моноклинная: ось г совпадает с кристаллографической
осью, перпендикулярной остальным осям, а ось х — с одной
из этих осей;
Оптическая осд
Рнс. 26 ')-
ромбическая: оси х, у и г являются кристаллографиче-
кристаллографическими осями;
тригональная: ось г имеет трехкратную симметрию, ось х
совпадает с одной из остальных осей;
гексагональная: ось г имеет шестикратную симметрию,
ось х совпадает с одной из остальных осей;
кубическая: оси х, у и г являются кристаллографиче-
кристаллографическими осями-
') Рисунок взят из работы Лэка, Вилларда и Фэра 1934.2,
р. 753.
5. КРИСТАЛЛИЧР.СКИЕ КЛАССЫ
237
В качестве примера мы рассмотрим а-кварц (класс 10).
Оси для случая правой ориентации показаны на рис. 26.
Согласно Фойгту, Мэзону и Кэди слв и ЬАВ имеют следую-
следующие значения в единицах Джорджи:
С,, = С22
Сзз
С,< = «55
С,2
С|3 = С33
Сц = — си ~сы
Св6=у (С11 —С|2)
Фомгт
85,46
105,62
57,12
725
14.35
16,82
39,10
Мэзон
86,05
107,1
58.65
5,05
10,45
18,25
40.5
Кэди
87,E) 1
107,G)
57.C)
7,6B)
15,A)
17,B)
39.(9)
X Ю» ньютон/м?
6ц = *22
*33
Ь„ = 655
*,»
^13 = 623
6 — _ /
Мэзои
1279
0,956
1,978
-0,1535
—0,110
—0,446
2,865
Кэди
Л26($)
ЛЯ7(/)
2.00 E)
—0,16(9)
—0,15D)
—0,43A)
2,8(8)
Х10~" м2/ньютон
E.24)
238 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
6. Пьезоэлектрический и пьезомагнитный эффекты
Пьезоэлектрический эффект описывается формулами (ср.
D.15*), D.22*), D.23*)):
(а) 3* = е*^, }
~ » г (нулевое поле),
(Ь) з* а^*о* |
(с) о**-= — е^Ец (нулевые деформации), F.1)
(A) и|ЛV = Щю Ех (нулевые напряжения),
Используя ортогональные системы координат и отожде-
отождествляя плотности с обычными тензорами, мы получаем
,,
(а)
(с) о'^ = — в'"^д (нулевые деформации), F.2)
(A) Щ] = йу/'Еь (нулевые напряжения),
(е) е1Ы = ск1'кйук1 (А, /, У, к. 1= 1, 2, 3).
е'2'-' — тензор, симметричный по последним двум индексам.
Следовательно, он имеет 18 независимых компонент. Как мы
уже видели в § 5, он может быть разложен на два век-
вектора B X 3), один 1^-девиатор E) и один септор G). Так
как еЫ} не является центрально-симметричным, в нашем
распоряжении имеется только 21 класс: 2, 4, 5, 7, 8, 10,
11, 13, 15, 16, 19, 18. 20, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30 и
32. В этих классах векторные составляющие существуют
только в 10 классах: 2, 4, 5, 8, И, 13, 16, 18, 23 и 25,
а Н^-девиатор — только в 13 классах: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13,
15, 19, 18, 20, 22 и 25 (ср. E.18)). Так как мы имеем
здесь только таблицу допустимых тензоров до второй ва-
валентности и не имеем таблицы для тензоров валентности 3,
то мы можем лишь утверждать, что пьезоэлектричество
встречается в некоторых из 16 классов: 2, 4, 5, 7, 8, 10,
11, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23 и 25. Пять классов;
26, 27, 29, 30 и 32 должны быть еще исследованы.
6. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
239
Для пьезомагнитного эффекта мы имеем уравнения, ана-
аналогичные F.2), содержащие вместо электрических величин
магнитные. Вместо еЫ) в них входит й^-тензор тыК сим-
симметричный по последним двум индексам. Эта величина яв-
является центрально-симметричной и может быть разложена
на два 1^-вектора B X 3)> один девиатор E) и один и^-сеп-
тор G). Так как существует центральная симметрия, мы
должны рассмотреть только подсистемы. Во всех системах,
кроме кубической, существуют или девиатор или \У-векторы
(ср. E.18)). Следовательно, все эти системы являются пьезо-
магнитны-ми, и нам остается исследовать лишь кубическую
систему.
Мы используем сокращенные обозначения для ек1К т!и}
еМ _
т'
,п\
1.Л
т'
Й4.
■т
Й23
циклир. 1, 2. 3; 4, 5, 6. F.3)
Чтобы найти возможные формы еы1 и т/11* во всех классах,
мы выпишем значения еыК инвариантные для преобразова-
преобразований, входящих в E.4):
гг:
0
0
«31
г,
0
0
«31
«11
0
0
0
0
«32
и г6:
0
0
«31
«12
0
0
0
0
«33
0
0
«33
«13
0
0
«и
«24
0
«и
«15
0
0
0
0
«15
«25
0
«15
— «и
0
0
«25
е
0
0
«36
0
0
0
0
«26
— «25
«11
«22
«31
х2:
«11
0
0
8:
«11
«13
«12
— «11
«22
«31
«12
0
0
«12
«11
«13
0
0
«33
«13
0
0
«13
«12
«II
«и
«15
0
«и
0
0
«и
«16
«13
«15
— «14
0
0
«25
«35
«15
«14
«и
— «22
— «11
0
0
«36
«36
«16
«15
«и
240 VII- ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Вх:
0
«21
«81
0
0
0
0
«22
«32
«12
0
0
«23
«33
— «12
0
0
«24
«34
«14
0
0
«15
0
0
0
«25
— «2«
«1«
0
0
0
«2в
«25
Ег-
«11
«21
0
0
0
«31
«12
«22
0
0
0
— «31
«13
«23
0
0
0 -
0
0
«34
«14
~«15
0
0
«35
«15
«Н
0
«и
«2в
0
0
0
«зв
F.4)
Из этих таблиц мы получаем для остающихся 21 классов:
2. A): Полная таблица
4. D); Яг:
«11 «12 «13
«21 «22 «23
0 0 0
7. F); *„ ж2:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
10. A8); г3, .
«и —«и *
0 0 0
0 0 0
13. A6); г8:
«и —«и *
«22 «22 0
1«1 091 0ОД
0
0
«34
«14
0
«14
0 -
0
«14
«15 "
0
0
0
«35
0
«25
0
0
~«14
0
«15
~«14
0
«16
«2в
0
0
0
«Зв
0
— «и
0
— «22
— еп
0
5.
0
0
«31
8.
0
0
«31
И.
0
— «22
«31
15.
22.
0
0
0
C); г2
0
0
«32
G); *:
0
0
«32
A9); ;
0
«22
«Я
A2); .
B4); .
0
0
0
0
0
«33
!> ЕХ'
0
0
«33
0
0
«33
?4. Х%
0
0
0
«14
«24
0
0
«24
0
.:
0
«15
о
)'
«14
0
0
«15
«25
0
«15
0
0
«15 "
0
0
0
— «14
0
0
0
«зв
0
0
~«2»
0
0
0
5. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 241
16.
23.
0
0
«31
19.
0
0
0
26.
«11
0
0
29.
A4);
B6);
0
0
«31
A1);
0
0
0
B2);
— «и
0
0
B9);
*4.
•гв,
0
0
«33
5г.
0
0
0
г»
0
0
0
■*4-
Ех 1.
0
«15
0
*2:
«14
0
0
хг, Ег
0
0
0
У*- (*
«15
0
0
0
«14
0
•:
0
0 -
0
0
0
0
0
0
«за
0
-«и
0
4): все нули
18,
25.
0
0
«31
20.
0
0
«31
27.
«11
«22
0
30.
32.
0
0
0
(Ю); г
B3); *„/•
0
0
«31
(9); 5
0
0
— «31
B1);.
— «11
«22
0
C1) .
B8).
0
0
0
0
0
«38
г:
0
0 —
0
г3, Ег:
0
0
0
■>*■• °у>
*2. Уг.
0
0
0
•н
«15 -
0
«14
«15 ,
0
0
0
0
(*г).
«14
0
0
«15
"«14
0
«15
«Н
0
0
0
0
\
0
«и
0
0
0
0
0
0
«зв
— «22
— «11
0
0
0
е,.
F.5)
В классах 26, 27, 30 и 32 еЛ" является септором.
Относительно всех преобразований с А = +• / пьезомаг-
*
нитная величина тгВ ведет себя так же, как е1в. В силу цен-
центральной симметрии т[В только эти преобразования имеют зна-
чения, и, значит, имеем следующие возможности для т1В:
Триклинная, /, 2: Полная таблица
Моноклинная, 3, 4; 5; гг:
0
0
» № №
Ромбическая, 6, 7, 8; г2, х2:
0
0
№
0
0
0
0
0
тм
0
0
0
0
0
№
0
0
0
№
/И2<
1 0
*
ти
0
0
*
0
0
*
Я* 25
0
16 Я. А. Схоутен
242 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Тригональная I, 9, 10, 11; гл, х2:
Тригональная II, 12, 13; г3:
«11
0
0
*
*
77! 11
— «11
0
0
ч,
— ТП\\
Чг
'Л 22
*
0
0
0
0
0
#
«и
0
0
«14
*
«15
. 0
0
— «14
0
Чг
«15
*
«14
0
0
— «14
— «22
— «а
0
Тетрагональная I, 14, 15, 16, 19; г4, х2
Гексагональная I, 21, 22, 23, 26; г6, х2
О 0 0 ти О О
О 0 0 0 —«к О
О 0 0 0 О О
Тетрагональная II, 17, 18, 20; г4 1
Гексагональная II, 24, 25, 27; гв ]
О 0 0 пги т,5 О
О 0 0 «15 —ти О
«31 «31 «33 0 0 0
Кубическая I, 28, 29; 30; л:4, у4, (г4): все нули
Кубическая II, 31, 32; х2, у2, (г2), 52:
О 0 0 ти О О
О 0 0 0 га,4 О
О 0 0 0 0 ти
F.6)
является Н^-септором в классах 31 и 32.
В качестве примера пьезоэлектрических констант мы рас-
рассмотрим а-кварц (класс 10). Согласно Кэди значения е1в и й1В
7. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 243
в электростатических единицах СО5 и единицах Джорджи
равны:
еп =_г12 = — е~л — 477 ■ Ю4 1 дина
е =—е,л= 1,23 • Ю4 ) ^~8 с ' вольт ■ см
— 4,77 ■ 109/с \ ньютон
ус ^ в льт ■ м
см
1==_й25= 2,0-Ю-8 ) М 8 с-вольт
= 6,9-10~21с \ м
— 20- 10~21с I вольт '
7. Волны в однородной анизотропной среде1)
Мы воспользуемся декартовыми координатами для вывода
полнового уравнения в кристаллах. В этой форме теория
обязана своим происхождением Кристоффелю. Общее урав-
уравнение движения в анизотропной среде в ортогональных коор-
координатах имеет вид (ср. B.7))
р [А] ^ = др» {], к = 1, 2, 3), G.1)
где ик — вектор смещения.
Для плоской волны точки с одинаковым смещением
в любой фиксированный момент времени лежат в параллель-
параллельных плоскостях. Если обозначить расстояние такой плоскости
от начала через 5, а единичный вектор, перпендикулярный пло-
плоскостям и направленный в сторону возрастания 5, — через пн,
то мы получим
^ ^ С7-Я)
и отсюда
Р^^П^' ^
,п. ') Ср. Кристоффель 1877.1; Фойгт 1898.1; Бриллюэн
1938.1; Ляв 1944.1; К эди 1946.2.
16*
244 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Учитывая, что процесс адиабатический, и используя A,6)
и D.22*й), мы находим
Ч- G.4)
Здесь опущен индекс (ц) и записаны с*'-'*, е1}к вместо
сЛ';*, е^к, как было в §§ 5 и 6. Если кристаллическая
пластина используется в качестве резонатора для контроля
частоты, то поле Е1 зависит только от времени и в каждый
данный момент постоянно в пространстве. Отсюда
д2ик
Таким образом, если положить иЛ = ирк, где рк — единич-
единичный вектор в направлении ин, мы получим уравнение
рс2рк =
G.6)
для рн и линейное дифференциальное уравнение второго по-
порядка в частных производных
для и. В этих уравнениях с- является одним из трех соб-
собственных значений симметричного тензора
Общее монохроматическое решение G.7) частоты V
имеет вид
и = ме2я' С*"- •5'?-» -{- ие~2я1 м~ *Л> +
1 2
_|_ ие?Ш {ч1+з;к)_±_ ие-2Ш (м!+зМг G.8)
■> 4
где Х = с/у — длина волны, а м, и, и и и — константы
интегрирования. Отсюда видно, что с есть скорость рас-
7. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 246
пространения волны в направлении я*. Первые два члена
описывают волновое движение в сторону возрастания 5,
а последние два — в противоположном направлении.
Если все три собственные значения различны, то каждому
из них принадлежит свой единичный вектор рн и эти век-
векторы взаимно ортогональны.
Рассмотрим теперь возможность свободных колебаний
в пластине, которая вырезана из кристалла и ограничена двумя
параллельными плоскостями 5 = 0 и $ = а, перпендикуляр-
перпендикулярными пн. Предположим, что пластина имеет бесконечную
площадь п что все частицы, находящиеся на равных рас-
расстояниях от плоскости 5 = 0, движутся одинаково. Гранич-
Граничные плоскости свободны от напряжений, и следовательно,
согласно F.2A)
и = пР^аЕ G9>
Но для свободных колебаний Е{ = 0, откуда ди/дз = 0 для
5 = 0 и $ = а. Вводя эти граничные условия в уравнение
^- — — (— ие2я{ (V*-*/».> _|_ це-2я» <*<- *А> +
дз л ] 2
-|_ иеШ(\1 + ф)_ие-2яЦ\1 + ц1.ЧI G. 10)
3 4
мы получаем
0 = (— и + и)еы* -{-(и —и) е~
13 2 4
0 = е-л1^' (— нв-
G.11)
2 4
ИЛИ
и = и, и = и,
' ' Л ' GЛ2)
Отсюда
- = 7Га> Х = ЪГ' <7ЛЗ>
где п — целое число, и решение принимает вид
4-ме-2л'^)со8Л —5, G,14)
246 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
или в другой форме
и = (С, соз л — / + С2 51П л — п созя — 5, G.15)
где Сх, С2 — константы интегрирования. Из G.9) мы видим,
что возбуждение этого свободного колебания слабым пульси-
пульсирующим полем Е{, направленным по пк, возможно тогда и
только тогда, когда
Пьйцп?У ФО G.16)
и частота Е1 равна пс/2а. Конечно, на практике выражение
G.16) должно иметь достаточно большое значение, так как
в наших теоретических рассмотрениях мы пренебрегли всеми
видами сопротивления и потерями энергии.
Для произвольных волн при д)Ег == 0 мы получаем
из G.1), A.6) и D.22* <3)
^ ^к. G.17)
Это линейное дифференциальное уравнение в частных произ-
производных второго порядка. Мы воспользуемся методом, разви-
развитым Лоренцом') для волновой функции, удовлетворяющей
произвольному линейному дифференциальному уравнению
в частных производных произвольного порядка, и запишем
решение в виде
мл=№,гл'\ {/А = |мл|. . G.18)
Множитель е2л'* выражает волновой характер решения. Его
частные производные равны
Волновые поверхности, т. е. поверхности одинаковой фазы,
в любой фиксированный момент времени задаются уравнением
Х = соп51. G.20)
') Ср. Ф о к к е р 1939. 1,2.
7. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 247
7л есть вектор, перпендикулярный волновой поверхности,
длина которого обратна длине волны, т. е. расстоянию между
двумя последовательными волновыми поверхностями с одина-
одинаковой фазой. Отсюда
хА <721>
где я" — единичный вектор, соответствующий х'1- При дви-
движении волновой поверхности фаза в некоторой фиксирован-
фиксированной точке имеет то же значение, что и при I = 0, если
X изменяется на /. Следовательно, %( есть частота волны V.
Дифференцируя G.18), получаем:
G.22)
что дает после подстановки в G.17):
(а) 9д]
(Ь) 2рХ/
Мы предположим теперь, что амплитуда {/*, частота V,
длина волны X и направлени» лА слабо изменяются в про-
пространстве и во времени для смещений порядка Я и времен-
временных интервалоп порядка //V. Математически это можно
выразить неравенствами:
248 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Если эти неравенства выполнены, G.23а) принимает про-
простую форму:
рс?рн —
G.25)
Здесь рн — единичный вектор в направлении мА и с == Х\.
Это уравнение устанавливает соотношение между направле-
направлением смещения и нормалью к волновой поверхности. Оно
совпадает с соотношением G.6) для плоских волн.
Рассмотрим теперь вопрос о переносе энергии волной.
Сумма кинетической и упругой энергии в объеме т равна
Отсюда
гиАI йт. G.27)
Первые два члена взаимно уничтожаются в силу G.17), и.
следовательно, используя теорему Стокса, мы получаем
V? = I сЬ}Ыи1 (дгиА) /, аз, G.28)
где /* — нормаль к границе 5. Отсюда находим векторную
плотность потока энергии
11ав-^Ч1д1иы. G,29)
Записывая волну в действительной форме
нЛ = Л/со5 2лх = ЛЛсо5 2лх, G.30)
мы получаем
д1и[ = (д,/4г) соз 2п% — 2пЛ1\ в'т 2я%,
дгик = {дгАк) соз 2щ -~ Щ- Акп{ з!
7. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 249
Учитывая G.24), мы можем пренебречь первыми членами
в правой части уравнений. Тогда
V — 4лг -%- АЧ1}мР1РкП18!п2 2я%. G.32)
В том же приближении из G.26) и G.31) следует выра-
выражение для полной энергии в единице объёма
Ж = р х + 7 р щ
= 4я>М251п22ях. G.33)
Отсюда скорость потока энергии равна
«* = $> = "^ снЧкР1п}Рк. G.34)
Свертывая с лд, находим
яА«* — с.
е
Следовательно, проекция ч/1 на пн равна скорости волны спн.
Для плоской волны в направлении увеличения 5 у1=
Отсюда средние значения V и IV за время от г = 0 до * = V
равны
G.35)
Интересно подсчитать §^ и "IV для случая свободных
колебаний пластины, перпендикулярной пн. Из G.15), полагая
для удобства С2 = 0, имеем
и" = Срн соз «л — соз пп — = С/ соз 2я 4- соз 2лу^, G.36)
и, следовательно,
соз 2л -|- 51П 2яу/, G.37)
д}и" =. — ^Ь С/Д/ 31П 2я^ соз 2лу/. G.38)
250 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Отсюда
2
К» = —г— с'-'*'р 1РкТ1^2? 51П 4л -г- 51П 4л\1,
11/> = л?у?рС? (/ — соз 4л ~ соз 4л\п .
Среднее значение & в этом случае равно нулю, так как
стоячая волна получается наложением двух бегущих волн
одинаковой амплитуды и противоположных направлений. Но
среднее значение IV равно
Мы называем плотность
G.40)
энергетической функцией, соответствующей двум произ-
произвольным направлениям пн и рн. Из G.25) мы видим, что эта
функция принимает экстремальное значение для вариаций рн
при постоянном п!1. Направление //', принадлежащее такому
экстремальному значению, является одним из возможных
направлений вектора смещения для волновой поверхности,
перпендикулярной пн, а скорость волны, соответствующей
этому смещению, равна у$/р.
Мы потребуем теперь, чтобы $ имела экстремальные
значения для независимых вариаций пн и рн. Так как эти
векторы единичные, то пнйпк=0, рпAрГ1 = 0, и, уравнения
в вариациях имеют вид
а$ = 2с11Ы йр1П]Ркп1 + 2сиыр1 ап1ркп1 = 0,
плйпА = 0, рййГ/ = О. G.41)
Эти уравнения эквивалентны уравнению
) йп} = 0 G.42)
без дополнительных условий. Следовательно, $ тогда и
только тогда имеет экстремум, когда удовлетворяются два
уравнения:
G.43)
7. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 251
Первое уравнение совпадает с G.25), и, следовательно,
// является одним из направлений вектора смещения волновой
поверхности с нормалью я*, а & = рс2. Сопоставляя второе
уравнение с G.32), приходим к выводу, что поток энергии
нормален к волновой поверхности.
Если направления пн и рн оба удовлетворяют G.43), мы
называем их сопряжениями. Если имеются два сопряженных
направления и одно из них ортогонально волновой поверх-
поверхности, то оно совпадает с направлением потока энергии,
а второе—с направлением вектора смещения, и наоборот.
Для свободных колебаний с направлениями я* и рн & имеет
экстремальное значение, равное рс-.
Если пА = рл, направление пн называется самосопря-
самосопряженным. Необходимым и достаточным условием этого
является
с11ып1п]пк = рс41. G.44)
Если в G.44) подставить пн = ш'й -\- §1Н -{- •у*й. то мы получим
1 2 3
три уравнения третьей степени относительно а, р, у и
с коэффициентами (в сокращенных обозначениях)
а3:
Р?:
у2а:
сф2:
ру2:
уа?:
а:
Р:
V:
«11
«26
«35
«25-
«31-
«12"
«36-
5с,5
«56^
|-2сб4
+• 2«55
т-2«бб
■Ь2«45
4- 2с
0
0
«16
«22
«34
Зси
«зо-
5«2в
«23-
«14-
64
+-2с44
\-2си
Т^«25
0
-рс?
0
«15
«24
«33
«23
ЗС35
«25
Зси
«31
45
G.45)
и одно уравнение а3-4-р?-}-у2 = /. Так как для четырех
неизвестных имеются четыре уравнения, то, вообще говоря,
252 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
решение существует. Необходимые и достаточные условия
того, что все решения четвертого уравнения удовлетворяют
остальным уравнениям:
G.46)
Отсюда таблица констант должна иметь вид
С11 СИ ■'С66 С11 — *С35 — С56 " "
сп еи — 2ен 0 —2см О
^ '45 С G'47>
Сю
Если с45 = с56 == см = 0, то среда принадлежит к ромби-
ромбической системе и называется средой Грина'). В среде Грина
для каждой формы волновой поверхности один из возможных
векторов смещения нормален к поверхности, а два других
лежат в касательной плоскости. Для продольных волн
рс2 = сп. Для двух поперечных волн значениями рс- являются
два других решения уравнения (ср. G.6))
(сц-съъ)ау
= 0.
G.48)
С помощью элементарных преобразований этого определи-
определителя легко показать, что они являются решениями уравнеиия
рс? (с55 — с44)ау _о
или в другой форме
-^-г = -^-т = -^-?. G-50)
с„ — рс2 «и —Рс с66 —Рс
') Ср, Тедоне 1907.1.
7. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 253
Это хорошо известные уравнения Френеля. Таким образом,
в среде Грина поперечные.волны удовлетворяют уравнениям
Френеля. Изотропная среда является частным случаем среды
Грина при Сщ = с^ = с№ (ср. E.22)). Отсюда в изотропной
среде для всех продольных волн рс- — си и для всех попе-
поперечных волн рс2 = у (с„ — с12).
В кристалле тригональной системы 1, например а-кварце
A0) или турмалине A1),'уравнения G.45) принимают форму
(ср. E.22)):
2с44 — сп)ау? + <5с14ару = рсга;
~ <п) РУ2 + Зс14у (аг - р2) = рс2р;
- «31 - 2^44) У3 + Зс14агр + (с31 + 2с44) V = рс-'у;
»/. G-51)
откуда мы видим, что ось д; самосопряженная с рс- = сп
и ось 2 самосопряженная с рс2в=с331). Имеются также дру-
другие решения.
В кристалле кубической системы уравнения принимают
форму (ср. E.22)):
(си — сп — 2с44) а? = (рс? — с,2 — 2с44) а,
(1 — С12 — 2^44> Р3 — №- ~ '12 — 2с44> Р-
(сп — С12 — 2с44> ^—(рс- — с12 — 2с44)у G.52)
с решениями:
г~
= У • Р= У Т . V = 0,
цнклир.
G.53)
') Ср. Кога 1933.2.
254 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Условия самосопряженности осей х, у и г или сопряжен-
сопряженности осей у — х, г — х и х — у имеют вид:
х- с15 — сп = О,
у: с26 = с24 = О.
г: с*л = Ск = 0,
п G-54)
г, х: с53 = с51 = с51=с51 = О,
х, у: с61 = ст = см = с65 = 0.
Из таблиц E.22) мы видим, что существуют следующие
случаи сопряжения:
Самосопряженная Сопряженная
Трикли.чная, 1,2 — —
Моноклинная, 3, 4, 5 г —
Ромбическая, 6, 7, 8 х, у, г у, г; г, х; х, у
Тригональная I, 9, 10, 11 . . . х, г г, х
Тригональная II, 12, 13 , . . г — G.55)
Тетрагональная I, 14, 15, 16, 19 х, у, г у, г; г, х; х, у
Тетрагональная II, 17, 18, 20 . г у, г; г, х
Гексагональная, 21—27 ... х, у, г у, г; г, х; х, у
Кубическая, 28—32 х, у, г у, г; г, х; х, у
Для произвольной однородной анизотропной среды мы
полагаем
Ыи< = - сы>ЧнП).
Тогда каждому направлению пк принадлежат значения с2,
удовлетворяющие уравнению
М21 Л/,2-с* Л/23
= 0; Ыц = Ып, G.56)
Это уравнение всегда имеет три положительных решения.
Если все решения различны, то каждому принадлежит одно
значение рь. Если имеются два равных решения, то им при-
принадлежит пучок возможных значений рн, которые все орто-
7. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 255
тональны рн третьего решения. Наконец, если все решения
совпадают, то Ыц равен ^/;- с точностью до скалярного
множителя и рн может иметь любое направление. Плоская
волна, ортогональная пн и имеющая скорость с, проходит
расстояние от начала координат до точек спн или — спк
за единицу времени. Точки спн и — сп11 заполняют поверх-
поверхность скоростей, которая состоит из трех листов. Пара-
Параметрическое уравнение координат точек поверхности ско-
скоростей имеет вид
^1п^ п". G.57)
где Р1 — один из возможных единичных векторов смещения,
принадлежащих пк. Ковариантный вектор, перпендикуляр-
перпендикулярный пк, первая плоскость которого проходит через начало,
а вторая — через точку сп11, записывается в виде
±1 пн. G.58)
Отсюда G.58) является параметрическим уравнением (в коор-
координатах плоскости) поверхности, огибаемой этими плоско-
плоскостями. Она называется волновой поверхностью, принадле-
принадлежащей началу координат, и состоит также из трех листов.
Чтобы найти параметрическое уравнение волновой поверхности
в координатах точек, мы введем в рассмотрение радиус-век-
радиус-вектор гл точек этой поверхности, в которых касательная пло-
плоскость перпендикулярна пн. Эти точки являются пересечением
плоскости пк1с и ее «соседних» касательных плоскостей.
Отсюда
г%1 гнй(^п^0 п"ап=0, G.59)
и, следовательно,
1 . / дс дс др,\ 1
Тг%(- г-—-Р +-/-" = %п\ G.60)
с2 \дин дР) дпк) с
где Я,—подходящий скалярный множитель. Но мы знаем, что с
является экстремалью для вариаций рк при постоянных пн.
256 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
откуда дс/др} — 0 и
с
= ~ 7 • ТЕ" • Т сктР'*]Р> + 7
Свертка с пн лает
Я. = 0. G.62)
и, следовательно (ср. G.34)),
Таким образом, гЛ совпадает с вектором скорости потока
энергии. Это объясняет, почему проекция о* на пн является
е
вектором волновой скорости спн.
Сформулируем результаты следующим образом.
Поверхность скоростей является геометрическим
местом концов вектора волновой скорости, а волновая
поверхность, принадлежащая началу, является геоме-
геометрическим местом концов вектора скорости потока
энергии.
В среде Грина лист волновой поверхности, принадлежащий
продольным волнам, совпадает с одним из листов поверх-
поверхности скоростей. В изотропной среде две поверхности совпа-
совпадают, и мы имеем две сферы, одну для продольных, а другую
для поперечных волн.
8. Кварцевый резонатор1)
Для стабилизации частоты в электрической цепи обычно
используются кристаллы. Пластины а-кварца (тригональная
система, класс 10) часто связываются с цепью таким образом,
что электрическое поле перпендикулярно пластине. Пластина,
перпендикулярная оси х, называется х-сечением и т. д.
Из таблицы F.5) мы видим, что отличными от нуля констан-
константами ЯВЛЯЮТСЯ ЛИШЬ й\\, й?1 — — й\\ ■ ^2з\ й& = — ^23
и ^122 = — ^п1- Поэтому пьезоэлектрический эффект
') Ср. Кэди 1946.2; Мэзон 1947.4; 1950.1
8. КВАРЦЕВЫЙ РЕЗОНАТОР
описывается уравнениями (ср. F.Ы)):
257
«22 =
«31 = й?23 ^2 = — ~2
«12 = — «Ш ^2 == —
Таким образом, поле, параллельное оси г, не может вызвать
пьезоэлектрического эффекта, поле в направлении х поро-
порождает деформации ип, ип и и23, а поле в направлении у—
деформации к31 и Н12-
Для х-сечения уравнение для рн имеет вид
где рс2 — одно из решений уравнения
сп — рс2 О О
О
О
О
, — рс2
С56
«-56
■Первым решением является рс-— сп, принадлежащее
Единичные векторы
=/* СО5 б; — /Л51П 90,
2 3
(8.2)
(8.3)
(8.4)
принадлежат другим решениям рс2 и рс2 (рис. 27).
л-2 л-3
Из (8.3) и (8.4) следует, что
17 Я. А. Схоутен
«65 —
(8.5)
868 VII, ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
откуда согласно E.23)
30° 55' (Фойгт),
31° 33' (Кэди),
31° 30' (Мэзон).
Уравнение для у-сечения
6-рс2 О О
О с22 — рс2 с24 = 0; с22 = |
О с24 с^ — р<
— — С14 (8.7)
Рис. 27.
имеет решения рс2 = с66, рс2, рс2. Соответствующие единич-
у1 у2 уз
ныс векторы:
р" = /*.
у! 1
у2 2 '3
/?А == /* з!п ф — 0 соз ф,
уЗ 2 3
Уравнение для 2-сечения
О
(8.8>
О
О
О
О
О
= 0; с55=с44, (8.9)
8. кварцевый резонатор 259
имеет решения рс2 = рс2 = с44, рс2±=Сзз- Соответствующие
г1 *2 гЗ
единичные векторы:
р>> = 1Н СОЗ 1}> — 1Н 5Ш \|),
г\ 1 2
Ф произвольно,
1
23
(8.10)
Волны, принадлежащие этим направлениям рн (периоди-
(периодические функции /((), вообще говоря, различны):
х-сечение
«Л==гЛсо8 — лг-
Х\ 1 а
«Л -. (/А С08 9 _ /А 81п 6) СОЗ — Л •/ (О,
*2 2 О 3 0 а
МЛ _ (/Л 51П 9 + /й СОЗ 0) СОЗ — X ■/ @.
л-3 2 0 3 О а
у-сечение
у1 1 а
II* == (/* СО8 ф — /й 31П ф) СО8 —
у2 2 3 а
ил _ (/л з!п ф + /й со5 ф) соз — у • / @.
УЗ 2 3 а
(| ])о8 —2 • /(О
«1-1 2 а
151Пг|L-*'*созгр)соз — г • /(()
(Л =1,2,3).
(8.11)
17*
260 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Наконец, дифференцируя (8.11) по х, у и г, мы нахо-
находим, что с этими волнами связаны лишь следующие ком-
компоненты ац\
х-сечение у-сечение г-сечение
1-я волна «п и12 и31, н33
2-я волна м,2, «31 я22, и^ иш, а^ (8.12)
3-Я ВОЛПа «12, «31 М22- М23 М33
Из (8.1) мы видим, что для л*-сечения только первая
волна может генерировать пьезоэлектричество. Для наиниз*
шей гармоники требуется поле частоты -п- с То же имеет
место для у-сечения. Для направления потока энергии имеем:
я-сечение: 1Н для всех волн.
1
у-сечение: 1-я волна: с^-^-с^1,
2 3
2-Я ВОЛНа: (С22с°32фЧ-с445'П?<Р — 2С24 81П ф СО8 ф) /* +
2
+ [С24 СО8- ф (С44+ ^зз) з!п Ф С08 Ф1 ^»
3
3-я волна: (с22зш2ф-|- с44со8эфН-2с24з1пфсозф)/л-4-
+ [С24 81П2 фН-(«44+%) 3>П Ф СО8 ф] Л
г-сечение: 1-я волна: —(с56+с14M1п1фсо81фГ +
Н- (с56 соз2 ф + с24 81п2 ф) 1Н + (с55 созг ф + с44 з1п? ф) 1Н =
2 3
= — Си1Н 81П 2ф 4" Си1Н СО8 2ф + СцР,
2-я волна: (^5бЧ~ С14) 51П-фсов-ф/Л—|—
= с14^А 81П 2г]> — с14гл соз 2ф+ с^к*
1 2 3
3-я волна: г.
3 (8.13)
8. КВАРЦЕВЫЙ РЕЗОНАТОР
261
Так как поток энергий для л-сечения всегда перпенди-
перпендикулярен пластине, каждый из векторов рн и рн является
сопряженным *Л. Для у-сечения поток энергии всегда лежит
в плоскости уг, а для 2-сечения он перпендикулярен пла-
пластине для третьей волны.
До сих пор мы предполагали, что пластины имеют бес-
бесконечную площадь. Однако практически пластины должны
быть ограничены. Рассмот-
Рассмотрим, например, прямоуголь-
прямоугольное у-сечепие с боковыми
гранями, параллельными
осям х и г (рис. 28). Ес-
Если бы мы попытались воз-
возбудить первую волну по-
полем Е,-, параллельным оси у,
то ясно, что нам не удалось
бы это выполнить в точно-
точности, так как в первой вол-
волне имеется деформация ап
вдоль всей пластины. Но
если пластина полностью
свободна, то на боковых
гранях и12 должны равнять-
равняться нулю. В действительности
пластина никогда не является
полностью свободной. Так,
в окружающем воздухе мо-
могут возбуждаться звуковые волны или, если пластина защем-
защемлена, звуковые волны будут возбуждаться в материале опоры.
Это означает, что всегда имеется возможность для возникно-
возникновения напряжений аы на боковых гранях. Нам известно, что
Рис. 28.
О31 = С55И31 + С56«12.
(8.14)
так как с51, с52, с53, с5Г с61, с62, с63 и с64 исчезают, и, сле-
следовательно, н12 индуцирует деформацию иы на боковых гра-
гранях. Этот эффект называется механической связью ип и о^
и обусловливается отличной от нуля константой см. Этим
262 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
оправдывается название константы, связи для констант,
не принадлежащих главной диагонали. Теперь весь процесс
значительно усложняется и может быть точно описан лишь
с помощью достаточно трудного интегрирования с учетом
всех граничных условий. Но так как пластина тонкая, легко
видеть и без интегрирования, что решением должно быть
колебание, главной составляющей которого является первая
волна, а роль дополнительных волн, вызванных граничными
возмущениями, сводится к удовлетворению граничных усло-
условий на боковых гранях для «31 и ип- Наиболее важные
из этих дополнительных волн также можно определить без
интегрирования. Пластина является у-сечением, но ее воз-
возможно рассматривать и как достаточно толстое л;-сечение
или 2-сечение. Следовательно, в л;-сечении и!2 и и3] могут
возбудить вторую и третью волны. Их главные частоты
из-за толщины пластины слишком малы для возбуждения
полем с частотой -^-с, но некоторые очень высокие гармо-
пики могут оказаться достаточно близкими к этой частоте
для возбуждения. Это весьма вероятно, так как высокие
гармоники низкочастотного колебания очень близки друг
к другу. То же можно сказать, если рассматривать пластину
как очеаь толстое г -сечение. Здесь уже и12 не дает эффекта,
но индуцированная деформация и31 будет возбуждать неко-
некоторые высшие гармоники в плоскости ху. Эти паразитные
высшие гармоники причиняют много беспокойства. Если
пластина должна использоваться в качестве резонатора,
желательно иметь одну резонансную частоту без помех. Но
так как возможны паразитные волны, могут существовать
несколько близких резонансных частот. Это делает резонатор
непригодным для практического использования, так как он
может в процессе работы перескакивать с одной частоты
на другую. Имеется много способов уменьшения влияния
паразитных волн, например вращение пластины в собствен-
собственной плоскости, соответствующий выбор длины и ширины!
округление граней, правильное закрепление и т. Д- Все эти
методы должны отрабатываться экспериментально, так как
процессы слишком сложны для точного математического
описания. Но имеется один источник помех, который можиа
исследовать методами математики, и им является константа
связи ст.
8. КВАРЦЕВЫЙ РЕЗОНАТОР 263
Лэк, Виллард и Фэр :) дали два примера очень плохой
частотной характеристики у-сечения. обусловленной пара-
паразитными волнами. Они предложили использовать пластину,
которую можно получить из у-сечения вращением его вокруг
осп х на угол 0 от г к у, и доказали, что для новой си-
системы х'у'г', полученной вращением, константа с,,5, исче-
исчезает, если 0 = 30'55' или — 59°5' (используя значения
Фойгта). Но это дает в точности направления рн и рн\
х1 х2
Далее, как указал ван-Дил2), это не является случайным,
так как из .(8.3,4) немедленно следует, что рн и рн главные
оси эллипса
СУ2+ 2СУ* + «55
«55*' =
и что член с у'г' исчезает, если эти главные оси приняты
за у' и г'. Для этих новых осей таблица констант прини-
принимает форму
Суу суг. Суй. суг О О
с2,2> с,,у с2Ч, О О
с3.3, с3,4, 0 0 (8.16)
сА.А. О О
С5'5' °
С6'
причем константы Су5„ суб„ сГ5„ С3,5„ с3,6„ СГ5„ сА>6, (но
не сзч,!) остаются равными нулю. Конечно, равенства, суще-
существующие между сАВ а-кварца, не .остаются справедливыми
для сА'в" Используя эту систему координат, мы получаем
следующие уравнения для рс2:
') 1934. 2.
2) 1936. 1.
264
УП. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
лс'-сечение (= дс-сечению)
, — рс2 О О
О с6,6, — рс2 О
О 0 с.,—1
са,6, —рсг
С3'4'
у'-сечение
О О
О сГ2, — рс2 с2>4,
О с.,..,
— рс5
г'-сечеиие
с5,5,-рс2 О О
О с4>4, — рс2 с3.4,
= 0. (8.17)
Направлениями ий являются
(8.18)
1-я
2-я
3-я
волна
волна
врлиа
д-'-сечение
г"
1'
г"
2'
2'
у'-сечение
/*
1'
/* соз ср' — «л зт ф'
2' 3'
1Н з!п ф' + «* соз ф'
2' 3'
2с2,4,
с4Ч, —с2,2,
г'-сечение
/"
Г
С1 соз яр' — /й з!п ф'
2' 3'
I* 81п ф' + 1Н соз ф'
2' 3'
(гг п,|/ Л *
(й = 1, 2, 3)
. 8. КВАРЦЕВЫЙ РЕЗОНАТОР
причем имеют место следующие деформации:
265
1-я волна
2-я волиа
3-я волна
.('-сечение
(=глг-сечение)
гг
и,,2.
и,.3,
у -сечение
иУ2,
и,2>2> »2'3'
г'-сечение
°3'1' (8.19)
«2'3'
«
•З'З'
Для л:-сечения поток энергии направлен перпендикулярно
пластине для всех волн. То же справедливо для первой
волны в у'-сечении и г'-сечении. Для остальных волн
в у'-сечении или г'-сечении поток энергии лежит в пло-
плоскости у'г'.
у'-сечение называется ЛС-сечением, а г'-сечеспе —
/?С-сечением. Для ЛС-сечепия важен только йуу2''.
\
\
— й\\ сов2 0^ -{- йи соз 0^ 31П % =
—5,96; <до = ЗО°55' (Фойгт).
—5,92; 0о=ЗГЗО' (Мэзои).
(8.20)
Для ВС-сечення важен только
^ Зг 2 2
= — йп з!Пг 0о — с?14 31П 0осоз 9^ =
+0,700; Оа = 30°55' (Фойгт),
+0,703; Ъэ^
(Мэзон).
(8.21)
Следовательно, ЛС-сечение более предпочтительно с точки
зрения эффективности.
Упругие константы являются функциями температуры,
откуда следует, что и частота резонатора есть функция
температуры. На эту функцию сильно влияют паразитные
волны. При низких частотах эти волны использовались для
266 VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
достижения малого температурного коэффициента в ограничен-
ограниченной области температур. Однако этот способ обладал тем не-
недостатком, что паразитные волны вызывали разрывы в кривых
зависимости частоты от температуры и частоты от толщины
пластины. «На практике пластины подгоняются таким обра-
образом, что в частотно-температурной характеристике не имеется
разрывов в предполагаемой рабочей области, но при высо-
высоких частотах трудно избежать этих разрывов в широкой
области температур» *). В результате требуется тщательное
регулирование температуры. Пластины с л;-сечением имеют
много констант связи и пользуются дурной славой из-за
плохих частотных характеристик 2).
Лэк, Виллард и Фэр 1) обнаружили, что температурный
коэффициент с6>6, равен нулю для 6 = 35° 15' при 45° С и
для 0 = — 49° при 25° С. Эти сечения называются соответ-
соответственно ЛГ-сечением и БГ-сечением. Они настолько близки
к ЛС-сечению и ВС-сечению, что разделяют преимущества
последних, хотя с5,6, и не исчезает полностью.
Пост 3) разрешил вопрос, являются ли условия для осей
х', у', г' при й = 30°55' и с5,6, = 0 связанными со случай-
случайными свойствами а-кварца. В кристалле а-кварца класса A0)
ось х' самосопряженная и сопряженная осям у' и г'. Для
произвольных осей х, у, г в любом кристалле условия
самосопряженности оси л; имеют вид
С16 = О, с15 = 0. (8.22)
Дополнительными условиями сопряженности оси х осям у
и г являются
с56 = О, с26 = 0. е46 = 0. е45 = 0. с35 = 0. (8.23)
Отсюда таблица констант относительно выбранной
системы координат, которая не обязательно совпадает с
') Лэк, Вилларди Фэр, 1934. 2.
2) Ср. К э д и 1946. 2, где приведены очень плохие частотные
кривые, опубликованные Бедманиом в 1937 г.
8) 1948. 1.
8. КВАРЦЕВЫЙ РЕЗОНАТОР 267
кристаллографическими осями, имеет следующий вид:
«и
^22 ^23 ^24 25
(8.24)
«13
«23
«33
«14
«24
«34
«44
0
«25
0
0
«55
0
0
«39
0
0
Для у-сечеиия с боковыми гранями, параллельными осям х
и г, существует волна ср* = /* и рс2 = с^, причем с этой
волной ассоциируется только деформация и12. Но я12 меха-
механически связана с М33. а эта последняя может вызвать пара-
паразитную волну в пластине (рассматриваемой как г-сечение).
Аналогичным образом в г-сечении и13 механически связана
с и22, и последняя вызывает паразитную волну в пластине
(рассматриваемой как усечение). Исчезновение с25 и ^
является особым свойством а-кварца.
Пост рассматривает также более специальный случай,
когда все три оси являются самосопряженными и взаимно
сопряженными. Дополнительными условиями являются
(8.25)
и таблица
констант
«и
с24 = 0,
принимает
«12 «13
«22 «23
«33
«34 =
ВИД
«14
0
0
«44
= 0,
0
«25
«55
0
0
«;
0
(8.26)
Мы имеем теперь следующую таблицу направлений смеще-
смещений, деформаций и значений рс2:
268
VII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
рЬ
рл
рЛ
— 1
г
3
дг-сечеиие
\ «ц. СП
Н, «12. «66
. «13" СЫ
у-сеченне
^ 1 , «21» Сдд
1
рЛ = «Л, М22. С22
г
р>1 = 1'г, ц23, с„
3
г-сечение
рЛ _ ,-л# „з1) с
1
Р* = '*, «32. С<4
2
р* = /л, ы33, Сзз
(8.27)
с механическими связями м23 и мп, м31 и и22> и12 и Ищ. Пол-
Полный поток энергии перпендикулярен пластине. Случай,
когда с14, ^23 и Сад исчезают, представляется очень важным.
Это имеет место для кристаллографических осей в ромби-
ромбической системе G, 8), в тетрагональной системе I A5, 16, 19),
в гексагональной системе B2, 23, 25, 26, 27) и в кубиче-
кубической системе C0, 32) •). Далее, для возбуждения одной из
поперечных волн необходимы «23. «31 или их2, а это значит,
что одна из констант
^15- ^16- Й24' ^26- ^34' ^35 (8.28)
должна быть отличной от нуля. Это исключает классы 7, 15,
19, 22, 30 и 32. Для возбуждения продольных волн необ-
необходимы Иц, и22 или мзз и> следовательно, одна из констант
аи, <*22, <*зз- (8-29)
Это исключает те же классы. Таким образом, для пластин,
параллельных двум кристаллографическим осям, остаются
только ромбический класс #, тетрагональный класс 16,
гексагональные классы 23 и 25 с й15, </24 и ^зз и гексаго-
гексагональные классы 26 с йп и й26 и 27 с йп, с?16, й22 и </26.
Первые четыре класса представляются превосходными для
продольных волн в 2-сечении, так как они не имеют каких-
либо эффектов связи. При этом возможно, что в одном из
этих или других классов существует полная сопряженность
трех осей, не являющихся кристаллографическими. Но мы
должны помнить, что для практического использования в ка-
качестве резонатора существенны также многие другие свой-
') Мы упоминаем только пьезоэлектрические классы.
УПРАЖНЕНИЯ '269
ства, кроме возможности возбуждения и отсутствия эффек-
эффектов связи. Например, важное значение имеют малый темпе-
температурный коэффициент, механическая прочность, химическая
стойкость материала, возможность обнаружения или изго-
изготовления чистых кристаллов нужных размеров и т. д. Со-
Создание резонатора является технической проблемой, которая
не может быть решена одними теоретическими исследова-
исследованиями. Они должны быть дополнены большой исследова-
исследовательской работой в лаборатории.
УПРАЖНЕНИЯ
VII. 1. Доказать, что
Ехх4 — Сх^ ,
и дать наглядное представление преобразованию 5^.
VII. 2. Доказать тождества в примечании на стр. 219.
VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА1)
1. Голономные системы
Рассмотрим множество частиц с массами т, декартовыми
координатами х, у, г и действующие на них силы X, V, 2..
III III
При этом будем предполагать, что х, у, г могут быть вы-
I I I
ражены через п переменных а*, координаты системы, и
время Ь. Тогда возможны два случая:
(а) Склерономная система: х, у, г зависят только от а*
I I I
х = х(д*); циклир. л;, у, г. A.1)
Пример: точка, движущаяся по фиксированной поверх-
поверхности; п = 2.
(Ь) Реономная система: л;, у, г записят от а~Л и (
I » с
х — х^*, (); циклир. л;, у, г. A.2)
Пример: точка, движущаяся по поверхности, которая пре-
преобразуется во времени по заданному закону; и = 2. В скле-
склерономном случае кинетическая энергия системы имеет вид
а в реономном случае
Т = -у в** (д\ () № + *и (?". О 9й + с (?". О- A -4)
') Общие ссылки: Уиттекер 1917. 1; Биркгоф 1927. 1;
Л р а н г е 1934.1; С и н г 1926. 2; 1936. 2 (имеется обширная
библиография); 1960. 1; Голдстейн 1957. 1; Ландау и
Лифшиц 1958. 1; Лурье 1951. 3.
I. ГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 271
В обоих случаях легко вывести уравнения
гт г=лЦ| (Ь5)
где
Х,М^(Хдхх + Уд1у-{-2дкг) A.6)
называются компонентами «обобщенной силы».
Перемещение их, йу, йг называется виртуальным')
III
если оно удовлетворяет условиям движения системы, т. е.
существуют такие значения йц* и йЬ, которые, будучи под-
подставлены в A.1) или A.2), дают в точности их, йу, йг.
I I I
Тогда
Хь^^Ъфйх + Уау + гаг) A.7)
представляет работу, производимую силами X, К, 2, если
I I I
все частицы подвергаются виртуальному перемещению за ну-
нулевое время. Таким образом, Х\ зависит только от тех сил,
которые действительно производят работу на перемещении
этого типа. Все остальные силы, как, например, молекуляр-
молекулярные силы между частицами твердого тела или реакции
фиксированной или движущейся гладкой поверхности, в эту
зависимость не входят.
Для склерономной системы мы имеем (ср. V, § 4)
откуда
Это уравнение означает, что для Х1 = 0 траекториями сво-
свободного движения являются геодезические в Хп(д*) с фун-
') По поводу этого термина см. также Лурье 1931. 3,
стр. 27. — Прим. перев.
272 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
даментальиым тензором %ы и что / является каноническим
параметром на этих геодезических.
Мы знаем, что
A.10)
имеет экстремальное значение на геодезической (ср. V, § 4).
Но мы знаем также, что и
±/§ A.11)
принимает экстремальное значение. Как разрешить это про-
противоречие? Ответ заключается в том, что при вариации
Г Т сИ варьируется только §х.л, но Ь остается постоянным
(ср. IV, § 6). Это значит, что вариация производится таким
образом, что соответствующие точки на соседних траекто-
траекториях достигаются за одинаковое время. Тогда и 5 и I
являются каноническими параметрами на геодезической, от-
откуда согласно (V. 2.9) A$/сИ является константой для каж-
каждой геодезической. Следовательно,
4/ /« <Ы2>
а это доказывает, что Г Т <Н имеет экстремальное значение,
если его имеет Г из, и наоборот.
Если траектория обладает тем свойством, что любая
другая траектория, достаточно близкая к первой в /?(<7*)»
всегда остается к ней близкой, то она называется устой-
устойчивой. Чтобы найти необходимые и достаточные условия
устойчивости в склерономном случае, мы запишем уравне-
уравнение траектории в виде
^ = *« A.13)
1. ГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 273.
и рассмотрим перемещение Vя йг, преобразующее траекто-:
рию в соседнюю. Для этого мы используем ту же технику,
что и в V, § 4. Пусть преобразованная кривая увлекается
п0 —ю*йъ вместе с полями Г^ и X*. Тогда Г^ и Хк
преобразуются в Г^ц, — О^^йг и X* — О^кйе. Из
(IV. 5.16) и (V. 1.27) имеем
% У, A.14)
и нетрудно показать, что*)
ОДл = Ч^&* 4- «Х1л- 0-15)
Это приводит к дифференциальному уравнению
:'{ — А"%г»ч)йе. A.16)
Из A-13) и A.16) следует, что
«ХцхО ?A?" = ^^дА - *1 %о* A.17)
или
» Л. (Ы8)
Отсюда согласно A.13)
*-*-**+ Ч?№К-*==^Х\ A-19)
Это дифференциальное уравнение, которому должен
удовлетворять 1)"л вдоль траектории. Если это уравнение
имеет решения, остающиеся малыми для всех {, то траек-
траектория стабильна.
Совершенно независимо от какой-либо механической
проблемы возникает вопрос, можно ли найти конечное пере-
перемещение Vх йг, которое преобразует заданную геодезиче-
геодезическую в V,, в другую геодезическую. Если 5 исполь-
используется в качестве параметра первой геодезической, то из
') Ср. Н. М. 1935. 1.
18 Я. А. Схоутен
274 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
преобразуется на второй геодезической в (ср. V. 4.16)
5 0 -20)
с увлечением по — V* йг. Так же как и выше, но прини-
принимая во внимание это новое значение йз\ можно показать,
что
а& аз у "г' Ло(а аз а$ ~ а$ а$ ~и>
^^Ж^ 0-20
В этом уравнении последний член в левой части обращается
в нуль, если V* всегда перпендикулярен геодезической, так
как в этом случае
A.22)
A.21) есть известное уравнение Леви-Чивита для «геоде-
«геодезического расстояния» (Гёсаг4 ^ёойё^ие), обобщающее урав-
уравнение Гаусса, которое справедливо только для п = 2. Для
п = 2 единичный вектор пп, перпендикулярный геодезиче-
геодезической, переносится вдоль нее параллельно. Отсюда 6я" = 0.
Да
Таким образом, если положить ъ* = уп"л и 1^ = -——, то
мы получим
0 = _ ъп^-п"^,* = ьКп?Мп*ы 1?.^1 х) = - у V
A.23)
для поверхностей в обычном пространстве (сигнатура -}- -\—И-
Это уравнение Гаусса, из которого немедленно следует, что
на поверхностях с постоянной положительной кривизной за-
заданная геодезическая имеет соседнюю геодезическую, но что
для постоянной отрицательной кривизны это не так.
Уравнение реономной системы A.4) может быть запи-
записано в виде
(<р, ф = 0. / п), A-24)
I. ГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 275
где
?Ш. **&**. ** = *»=** 8оо = *>' A.25)
В этих обозначениях имеем
й дТ дТ
Если теперь обозначить через &%х обращение §Ху1 и положить
и )Ь°хЬ1х\ A.27)
то последние п уравнений системы
$^д*==О1) A.28)
эквивалентны A.26), а первое уравнение есть тождество.
Следовательно, мы построили симметричную связность в
Хп+1(.Я"Л< О (пространство событийO), зависящую от
я?.к> ^х. с и Х\, которая преобразует Хп+1 в Лп+/. Гео-
Геодезические этого Ллн./, на которых д° является каноническим
параметром, называются мировыми линиями системы в
пространстве событий3). Если А„+1 редуцировано относи-
относительно кривых с уравнениями д* = сопз1, т. е. если мы рас-
рассматриваем каждую из этих кривых как точку в некото-
некотором Хп (ср. I, § 3), то мы получим Хп (дк), а мировые
,')Вудгейлер 1.932.2. Ср. для других связностей Синг
2) В оригинале — Шт-$расе.—Прим. перев.
ц3) Отсюда видно, что приведенный метод описания механиче-
механической системы в действительности не является ковариантным, так
как координата 0° имеет выделенный характер. Ковариантная фор-
формулировка законов механики возможна лишь в теории относитель-
относительности (см. по этому поводу также упр. VIII. 3 настоящей главы). —
Прим. перев.
18*
276 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
линии превращаются в траектории. Если Х% фиксированы,
имеются оо2" мировых линий, но если
?" = А0. 9° = * A-29)
является мировой линией, тогда согласно A.28)
дк = /*((), д° = с^ + с2. сг с2 = сопз4 A.30)
— также мировая линия, принадлежащая той же траектории.
Это согласуется с числом траекторий (оо2<"-')).
2. Неголономные координаты и неголономные
механические системы')
Пусть задана голономная механическая система. Него-
Неголономные координаты в Хп+1(ч~л, </° = 0 могут быть вве-
введены с помощью формул
(аЯ)р = л* ач* = л* <// + лр0 ад°,
ад" = А1 (ад)р = л! (ад)" + лоф (ач)°:
(р — 0. I, .... п; к=\ п; <р = 0, / п). BЛ)
Удобно сделать это так, чтобы (ад)° = ад°, т. е.
Ак = 0, Ло = /.
Тогда щ° остается голономной, так что мы можем писать
° = ад0 = ад0, и формулы преобразования принимают вид
ад = А\ (ад)н -4- А$ аЬ\ Бе! (Л* ) Ф 0
(А=1, .... п). B.3)
•) Уиттекер 1917.1; Врансеану 1926.3; Гора*
1928. 1; Пранге 1934. 1; Н. М. 1935. 1; Синг 1936. 2. В по-
последней имеется перечень других работ Горака и Врансеану.
2. НЕГОЛОНОМНЫЕ КООРДИНАТЫ 277
Объект неголономности (ср. IV, § 7)
0
(р, д, г = 0. 1 п; ф, х = 0, / «) B-4)
удовлетворяет условиям
0^ = 0 (д, г = 0. 1 п). B.5)
Если мы запишем
©<>='; (р = 0, 1 п; ф = 0, / л), B.6)
то ©р являются неголономными компонентами вектора обоб-
обобщенной скорости, зависящими от дл и / таким же образом,
как (йд)р зависят от йд* и й(. Т является функцией цп, {,
дл, и, следовательно, может рассматриваться как функция
д\ I, V*:
*. д*). B.7)
Тогда левая часть A.5) принимает форму
- Л\ а дТ* Л[ дТ*
— дкА10), B.8)
с/и*
Если это выражение свернуть с А), обратным А[, то мь!
получим уравнение ')
(А, /. У=1, .... п). B.9)
и все неисчезающие компоненты йг? входят в это уравнение.
') Гам ель 1904.1.
278 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
В частном случае, когда А{ и а) не зависят от I й
когда Ао =0, Ло = 0:
(Уг = 1 п) B.10)
все ^о^ исчезают, и B.9) принимает простой вид
а дТ* дГ н дГ О[
(А, I, 7=1, .... п). B.11)
С помощью неголономных координат весьма удобно опи-
описывать неголономные механические системы. Если коорди-
координаты д* должны удовлетворять некоторым кинематическим
условиям (связям), которые выражаются п — /и обыкновен-
обыкновенными независимыми уравнениями, связывающими цл и ^, то
п — т <?* могут быть исключены, и останется система с от
степенями свободы. Если система была склерономной, то
новая система может оказаться реономной, но без каких-
либо дополнительных трудностей. Однако возникает совер-
совершенно другая ситуация, если кинематические связи могут
быть заданы только с помощью п — т. линейно независимых
линейных соотношений между дифференциалами с1дк и сИ
С*адк + СЦа1 = 0 (лг = т-И п) B.12)
с коэффициентами С« и С$, зависящими от <7Я и {. В этом
случае мы говорим о реономной него лоно мной системе.
Ей можно дать следующую геометрическую интерпретацию:
в каждой точке Хп+1 ($*, () фиксировано Ет+1, и направле-
направление любой мировой линии в каждой ее точке принадлежит
локальному Ет+]. В качестве примера упомянем случай
сферы, катящейся без скольжения по поверхности, движение
которой задано (я = 5, от = 3).
Если исходная система склерономная и если связи таковы,
что С* не зависят от ( и Сд = 0, то мы имеем склероном-
ную неголономную систему. В этом случае в каждой
точке Хп(д*) фиксировано Ет, и направление любой траек~
тории должно в каждой ее точке принадлежать локаль-
2. НЕГОЛОНОМНЫЕ КООРДИНАТЫ 279
ному Ет. В качестве примера упомянем случай сферы, ка-
катящейся без скольжения по фиксированной поверхности
(л = 5, т = 3).
С помощью неголономных координат можно весьма изящ-
изящным способом освободиться от излишних уравнений. Чтобы
сделать это, перенумеруем координаты дн таким образом,
чтобы йд1 йдт были линейно независимыми относи-
относительно п — т соотношений B.12) 1). Тогда неголономная си-
система координат определяется следующим образом:
(а = 1 т; а = / т\ л: = т+ 1 п), B.13)
откуда мы видим, что (йдL (ф = 0, 1 п) линейно не-
независимы. Координаты д°. ца\ а=\ т остаются голо-
номными, так как они численно равны д° = {,да (а = /, ...
..., т). Компоненты о* обобщенной скорости
=1 т; л; = т+1 п) B.14)
принадлежат неголономной системе координат, а для
мы имеем
щ^о, п%=о BЛ5)
(а = 1 т; /, ] = 1, .... п).
Условия B.12) принимают форму
(с1д)х = 0 (* = т+1 п). B.16)
Так как система должна удовлетворять этим условиям, не-
необходимо кроме Хг ввести дополнительную обобщен-
обобщенную силу Хс (часто называемую подвижной связью),
которая не должна производить работу на перемещениях,
') Ясно, что й1 всегда линейно независим относительно них.
280 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
удовлетворяющих B.16). Отсюда
Х'а = 0 (я== 1 ш). B.17)
Уравнения B.9) теперь записываются в виде
Л дТ* дТ* , .. дТ* о<- . дГ О1 .
(А. I, 7=1 п). B.18)
Согласно B.15), B.16) и условию Vх = 0 первые т уравне-
уравнений в B.18) принимают вид1)
ф, с=1 т; х = т+1 п). B.19)
В этих уравнениях после первого дифференцирования мы
должны положить ©а = 6а<7а и Vх = 0. Тогда получатся
точно т дифференциальных уравнений второго порядка от-
относительно <7И. Из этих т уравнений и я — т дифференци-
дифференциальных уравнений первого порядка B.12) мы должны опре-
определить д* в функции от ^
Остальные п — от уравнений B.18) не являются необхо-
необходимыми для процесса интегрирования. То, что они автома-
автоматически отпадают, является главным достоинством описанного
выше метода. При желании, однако, их можно использовать
после интегрирования, если нас интересуют компоненты Хх
подвижной связи.
3. Приведение уравнений Лагранжа и Гамильтона
к однородному виду 2)
В случае потенциальных сил X, У, 2. существует такая
I I I
функция V от 7я и I, что
Хх = -д>у. C.1)
•) Гамель 1904.1.
*) Ср. Дирак 1933.4; ван Данциг 1934.5.
3. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИИ ЛЛГРЛНЖЛ И ГАМИЛЬТОНА 281
Более сложным является случай, когда V зависит от дк, I
и дк, а Ху. представим в виде
В обоих случаях мы можем ввести функцию Лагранжа /,,
определяемую выражением
1^Т — У. C.3)
Тогда уравнения движения принимают форму
дд
к
C.4)
известную как уравнение Лагранжа системы.
Величина
р, = 1рг <3-5>
называется (обобщенным) импульсом, соответствующим ко-
координате дк. Мы всегда предполагаем, что д* могут быть
определены из C.5) как функции рх, ц* и I. Функция Га-
Гамильтона
^^ — Ь C.6)
может рассматриваться как функция р}, <7К и I.
Итак, согласно C.4,5) мы имеем
ль——г- аа>- 4- ■—пг ая Ч <и ■=
}к^(Н. C.7)
и, следовательно,
ан=^аР1+рхй^-рхая^-рка^-~~аи C.8)
Но, с другой стороны, мы также имеем
282
VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
откуда:
C.10)
2п дифференциальных уравнений первого порядка C.10а)
относительно рк, ц* эквивалентны п уравнениям Лагранжа
второго порядка и называются уравнениями Гамильтона
данной системы. (З.ЮЬ) является следствием C.10а). Отме-
Отметим, что функция Н никогда не может быть однородной
первой степени относительно ру, так как в этом случае
дН
Уравнения Лагранжа C.4) являются частным случаем бо-
более общих уравнений Лагранжа гл. IV, § 6. Здесь одна пе-
переменная I играет роль |* в IV, § 6, и ^ должны рассма-
рассматриваться как скаляры в /-пространстве, так как они не
преобразуются при преобразовании {. До сих пор Ь вообще
не подвергалось преобразованию. Но если преобразовать :{
аналогично |* в IV, § 6, т. е. ввести новую переменную т,
зависящую только от (,
C.11)
то, как мы знаем, Ь приобретает множитель Д~;,
= с1т/с1(. Обозначая преобразованное Ь через ^,
где
имеем
А =
& является функцией д4, /, #ч
ференцирование по т. Так как
и I, где о обозначает диф»
Уг1. (), C-13)
а о
эта функция однородна первой степени по дп, (• Как
мы видели в IV, § 6, уравнение Лагранжа инвариантно
3. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРЛНЖА И ГАМИЛЬТОНА 283
относительно преобразования г-*т, Ь-*^, откуда
Это можно доказать и непосредственно'). Если уравнение
Лагранжа относительно Ь, I записать в виде
-0. C.15)
то из условия Ь(Н = 3? их следует, что
а это эквивалентно C.14). Отметим, что инвариантность ура-
уравнений C.4) и C.14) относительно преобразований д* при
фиксированном 1; не имеет ничего общего с инвариантностью
в смысле IV, § 6.
Мы докажем теперь, что кроме C.14) справедливо также
другое уравнение
Щ 0. C.17)
Ах сЛ дг
Если обозначить
РвШ-Н = 1.-р^. ?Ши C.18)
то
(Ф = 0. / и), C.19)
и, следовательно,
-2' = РФ^ (Ф = Л / я). C.20)
Мы уже видели, что Л? однородна первой степени по д®.
Но это не следует из C.20). так как в этом уравнении ЛЗ?
не выражена через дЧ и дЧ. Из C.20) можно только заклю-
заключить, что р , будучи выражены через ср и дУ, должны быть
Г|
') Ср. ван Данциг 1934.5.
284
VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
однородны первой степени по дч. Но из C.13), дифферен-
дифференцируя, тотчас получаем
— Ра ((9 = 0, 1 и).
C.21)
откуда согласно C.10 Ь, с) и C.13) находим для <р —
ах
ан
ан
Объединяя C.14) и C.17), мы получаем однородные
уравнения Лагранжа
■О
C.23)
= 0, / И).
Эти уравнения инвариантны относительно преобразований
п-\-1 координат д°, ц', ..., д" и параметра т. При преоб-
преобразованиях х 3" преобразуется как скалярная плотность
веса + / в одномерном т-пространстве.
Чтобы привести к однородному виду уравнения Гамиль-
Гамильтона, мы введем функцию
C.24)
Тогда вместо функции Гамильтона Я (которая теперь обо-
обозначена— р0) мы получаем соотношение Гамильтона
дЧ>\ = 0 (ф, ■ф = 0, /, .... Л). C-25)
Действительно, о$ можно рассматривать как функцию р^
и д1?, так как согласно C.21) д? выражается через р^ и д4-
3. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА 285
Дифференцируя C.24) и принимая во внимание C.25),
мы приходим к однородным уравнениям Гамильтона:
C.26)
(ф, 1|> = 0, / И).
Отметим, что <&6 никогда не может быть однородной по р ,
так как тогда согласно C.25) .2* должна обратиться в нуль:
<^в не является единственной функцией, удовлетворяющей
C.25) и C.26). Вместо 36 может быть взята любая Р(ё№),
еслл только из условия е%! — 0 следует Р{^в)=.О и
' — произвольные координаты в пространстве событий.
Если задана мировая линия, проходящая через точку цЧ, то
о
мы знаем в этой точке цч и, следовательно, также .2?й?т =
— РцйяР и ковариантный вектор /к. Это значит, что каждой
точке мировой линии принадлежит не только направление,
ио также ковариантный вектор и его «-направление. Обратно,
если в каждой точке пространства событий задано «-на-
«-направление, т. е. определен ковариаитный вектор р/к с точ-
точностью до произвольного скалярного множителя р, то этот
множитель может быть найден с помощью C.25), и каждому
значению р принадлежит проходящая через точку мировая
линия. Точка с заданным в пей «-направлением называется
элементом. Следовательно, мировая линия есть последова-
последовательность элементов и она определяется точкой и напра-
направлением в ней, но не одним из своих элементов, так как
каждому из них может принадлежать конечное число миро-
мировых линий. Если задан элемент и выбрано одно из возмож-
возможных значений р, то из первого уравнения Гамильтона C.10а)
находится 9Л. т. е. направление мировой линии. Тогда второе
Уравнение Гамильтона (ЗЛОЬ) дает значение рх в «следую-
«следующей» точке мировой линии. Таким образом, уравнения
Гамильтона описывают процесс, с помощью которого может
286 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
быть аппроксимирована шаг за шагом мировая линия, если
выбран достаточно малый шаг.
Через каждую точку пространства событий проходит оо"
мировых линий. Следовательно, всего их оо2л, и решение
задачи должно зависеть от 2п параметров, например значе-
значений д* и д* при 1=-0. В неоднородной постановке решение
дает д* как функцию I и 2п параметров. Но, используя
однородный метод, мы получаем п уравнений относительно
дч и 2п параметров, и из них могут быть найдены п д^ как
функции одного оставшегося ц^> и параметров.
4. Теория интегрирования1)
Если ф и <7Ф — Две точки пространства событий, то
о
имеется всегда конечное число проходящих через них миро-
мировых линий. На каждой из них интеграл
X
(ф = 0, 1, ..., п) D.1)
принимает экстремальное значение в соответствии с резуль-
о
татами IV, § 6. /? является функцией двух точек и может
быть названа частным эйконалом (зреаа1 е1сопа1 типсНоп).
V
Рассмотрим вариацию йд® мировой линии между ср и^*.
о
Тогда из C.21,23) имеем
хо
(Ф== 0. 1. .... и), D.2)
•) Ср. Уиттекер 1917.1.
4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 287
О
откуда мы еще раз видим, что Я. принимает экстремальное
значение. С другой стороны, мы имеем
о о
Й = -^^ + -^-^ф (Ф = 0. / В). D.3)
да4 ад4' о
о
Отсюда
4
(ф = 0, / и).
о
Если теперь <р фиксировано, то /? есть функция только ^^*,
о
и, следовательно, мы получаем из соотношения Гамиль-
Гамильтона C.25)
Уравнение
{^ ) ° (ф' * = <?| Л ■•" К)' D)
где /? обозначает неизвестную функцию дч, называется урав-
уравнением Гамильтона — Якоби в пространстве событий.
Общее решение такого уравнения зависит от произвольных
функций. Частное решение является одним из решений,
о
содержащихся в общем решении. /? не является ни общим,
ни частным решением; это решение, зависящее от п-\- 1
параметров ^ {полное решение). Но мы докажем, что
о о
можно получить любое решение D.6), если известно /?.
Пусть ЩдУ) — частное решение D.6) и д* — точка, вы-
о
бранная на Хп, определяемом в пространстве событий урав-
уравнением
Я(/М = с (Ф = 0, / я). D-7)
Тогда дф/? имеет «-направление, касательное к этому Xп.
Вследствие соотношения D.6) дф/? в ^ является возмож-
о
Дым значением р$. Мировая линия, принадлежащая эгому
288 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
эначению и проходящая через дЧ>, имеет уравнение
о
) . ;
(ф. *. Х = 0. 7 я). D.8)
Перемещая д* По Хп, мы получаем этим способом конгруэн-
о
цию оо" мировых линий, проходящих через каждую, доста-
достаточно близкую к Хп точку пространства событий. Из D.8)
и D.6) следует, что
(Ф. Ф. X. © = 0. / «). D-9)
Таким образом, д^К удовлетворяет вдоль мировой линии
второму уравнению Гамильтона, а это значит, что соотно-
соотношение /?ф = дф/? справедливо не только в дч, но также и
о
в любой точке мировой линии. Следовательно, мы имеем
Щ D.10)
од4
вдоль этой линии, откуда
о I
Д (Чч, дч) = I ^ й1 = /? (^) — Д (до). D.11)
О ■' О
ч
Это доказывает, что /? (9^) известна с точностью до кон-
константы, если задано Хп D.7) и если известен частный эйко-
эйконал. Тогда можно построить каждое решение D.6), выбирая Хп,
строя мировые линии, принадлежащие всем элементам Хи,
и, наконец, присоединяя к каждой точке дк, лежащей на
мировой линии, которая проходит через ?*. значение
о
о
К (д<?, д<?) плюс произвольная константа.
о
Общее решение D.6) является функцией точки и Хп,
т. е. оно принимает определенное значение для каждой ком-
комбинации Хп и точки пространства событий. Это решение
может быть названо общим эйконалом. Если Ха выро-
вырождается в точку, то оно вырождается в частный эйконал.
4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 289
Таким образом, общий эйконал содержит частный, но необ-
необходимо интегрирование, если мы хотим получить общий из
ч астного.
Если, отправляясь от Хп D.7), построить мировые линии,
то 'элементы этих мировых линий в каждой из их точек
касательны к одному из Ха с уравнением D.7), но при про-
произвольном с. Это доказывает предложение:
Если мы выберем произвольную конгруэнцию со"
последовательностей из со2" последовательностей эле-
элементов в пространстве событий и если существует
одно Ха, касательное Еп которого в каждой точке
совпадает с элементом одной из этих последователь-
последовательностей, то все ооп+' элементов этих со" последова-
последовательностей образуют множество оо; X'„■
Если мы знаем частный эйконал, задача может быть
решена без интегрирования. Два из 2п-\-2 параметров />>
о
и дЧ могут быть исключены из уравнений D.4Ь) и C.25)
• . о .
для о* = Рф, д* = д*. Тогда мы получим п уравнений отно-
о о
сительно <7Ф и 2п параметров, из которых могут быть опре-
определены п <7Ф как функции оставшейся а® и параметров.
о
Однако найти Я. достаточно трудно, так как ЛЗ? их не является
полным дифференциалом и интегрирование в D.1) не может
быть выполнено.
о
Для нашей цели знание /? не является необходимым.
Нам нужно только решение /? уравнения D.6) при условии,
что это решение содержит п параметров сх- Если с% при-
принимают все возможные значения, то уравнение /? = сопв{
представляет в пространстве событий для каждого множества
этих значений оо7 Хп, которым принадлежит одна конгруэн-
конгруэнция со" мировых линий. В конце концов мы получаем таким
образом все со2" мировых линий. Чтобы получить решение
задачи, мы докажем, что дК/дсх постоянны. Прежде всего
мы имеем из C.26а)
а дП _
ах дсх "
DЛ2)
19 Я. А. Схоутен
290 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
где Рф должны рассматриваться как функции дч и с*.. Далее,
$№ = 0 для каждой точки цч и каждого возможного значе-
значения />ф в этой точке. Отсюда
со, д*] — 0 D.13)
для любого выбора с\, и
а дН
Следовательно, если мы положим
дс =^(=сопз{) (<р = 0, 1 в), D.15)
то получим п уравнений относительно ^ч и 2п параметров
Ь*, сх, из которых могут быть определены п 9* как функции
оставшейся ?ч> и параметров. Это решает задачу.
Если ^ их = рч Ад* — полный дифференциал, то для
нахождения /? можно использовать только уравнение D.10).
Первый интеграл уравнений C.23) или C.26) есть соот-
соотношение между рф и 9*
Р(р^, ?ф) = с(сопз1) (ф, $ — 0, 1 и), D.16)
которое удовлетворяется всеми решениями C.23) или C.26).
Если известны п независимых первых интегралов, из кото-
которых могут быть определены р$ (принимая во внимание C.25))
как функции 9Ф и и констант интегрирования с\, мы полу-
получаем уравнения вида
/Ч = /Ф(9». «О (Ф- Ъ = 0, 1 я), D.17)
и эти уравнения представляют п -}-1 первых интегралов
частного вида. Из C.25) следует, что один из этих интег-
интегралов зависит от остальных. Если рф из D.17) подставить
в D.10), то мы получим
(ф. ф = 0. 1 и). D.18)
Это выражение является полным дифференциалом тогда и
только тогда, когда
<УФ1 = (? (X. Ф=0, / «)• D-19)
При этом можно показать, что
4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 291
является следствием
а„Л|=-°- D-21>
Действительно, из C.26) и D.17) мы имеем
(», <7Ф) ада (/» *») Д/»
==9*-~ (Ф. ♦• Х- » = 0. ' »). D-22)
или
^°х1=^ (Х = 0. / я). D.23)
что и доказывает предложение.
Если мы запишем
«РФ = р# —/♦(?», сО = 0 (Ф. * = ». /• ..... »). D-24)
то уравнения D.19) могут быть представлены в виде
(ф. Ф. Х — 0. 1 п),
и так же, как и выше, можно показать, например, что
Гф ф 1 = 0 является следствием остальных уравнений, ко-
которые не содержат ф7.
[фх, фф] называется скобкой Пуассона двух функций
Фх и фф. Говорят, что две функции находятся в инволюции,
если их скобка Пуассона исчезает. Если система уравнений
Фф = 0 эквивалентна другой системе % = 0 и если фф на-
находятся в инволюции, то можно легко показать, что и фф
также находятся в инволюции. Относительно уравнений
Фф = 0 также говорят, что они находятся в инволюции.
Условие интегрируемости выражений D.18) может быть
теперь сформулировано в более удобной форме.
Чтобы а"Я. было полним дифференциалом, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы п первых интегралов с п
константами интегрирования
^лОч. 1*) = ск (Ф, Ч> = 0. /,..., п) D.26)
19*
292 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
были в инволюции, а это будет тогда и только тогда
когда функции Р% находятся в инволюции.
Если это условие выполнено, то функция К. (д®, а) может
быть определена с помощью одной квадратуры.
Приведенный здесь метод интегрирования является при-
приложением следующих теорем из теории уравнений в частных
производных.
Если система уравнений первого порядка с п-\-1 неза-
независимыми переменными и одной неизвестной функцией
(ф, \|), % = 0, 1 в) D.27)
удовлетворяет условию, что функции /7Х находятся в инво-
инволюции, и если рф найдены из вспомогательных уравнений
РХ(Р^ <7ф) = сх (ф, \|), % = 0, 1, .... п) D.28)
как функции 7Ф и сх и подставлены в дифференциальную
форму рф й<7*. то она является полным дифференциалом и
(г|) = 0. 1 и) D.29)
есть решение D.27), зависящее от п-\-1 констант сх.
Действительно, в случае классической механики мы имеем
уравнение D.6)
ч
(ф, г|> = 0, 1, .... и), D.30)
а также в наиболее благоприятном случае и первых инте-
интегралов
Р.(рф, 9®) —с, (ф, ^ = 0, 1, .... и). D.31)
из которых мы видим, что Р\ находятся и инволюции.
Следовательно, необходимо только доказать, что /^ нахо-
находятся в инволюции с ё№(Рф, 9Ф)- Действительно, мы имеем
Но теперь виден также путь получения решения D.30),
которое зависит от п констант интегрирования, если первые
Б. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ 293
интегралы неизвестны. Прежде всего мы должны найти
решение вспомогательного уравнения
0 (Ф. Ф = 0. / и)- D-33)
Тогда, если выбрано некоторое решение /^ то может быть
получено решение системы
Р\ — 0, [/=■„ Р) = 0. D.34)
и т. д. После и шагов мы придем к системе в инволюции
М? = 0, Рх = сх, D.35)
и из этой системы решение D.30), зависящее от ск, может
быть найдено с помощью квадратур. Если заранее известны т
первых интегралов в инволюции, то первые т шагов могут
быть опущены. Возможен также случай, когда для одной
из систем известно более чем одно решение. Это может
привести к существенным упрощениям. Полная теория раз-
разработана С. Ли!).
б. Частные случаи первых интегралов2)
Может случиться, что функция _2* не зависит от одной
из координат, например д" (но может, однако, содержать <?"!).
Тогда согласно C.24) &Ю также не зависит от д". В этом
случае из однородных уравнений Лагранжа мы находим
к = 0. E.1)
ах ддп
что следует также из второй группы однородных уравнений
Гамильтона
^ 0. E.2)
Отсюда мы имеем первый интеграл
рп — сп, E.3)
') Подробное изложение и литературные ссылки см. в книге
Схоутен н Кулк 1949.1.
2) Ср. Уиттекер 1917.1.
294 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
и если его подставить в остальные уравнения Гамильтона,
то мы получим
р(, дн) оА
^то*,, ся, 9*) E'4)'
(А, /, к —О, 1 п — 1)
дсп
п — 1). E.5)
E.4) являются уравнениями Гамильтона в Хп, которое воз-
возникает в результате редуцирования пространства событий
относительно конгруэнции координатных кривых д", т. е.
если мы рассматриваем эти кривые как точки ХП, игнорируя
координату д" (ср. I, § 3). Это объясняет, почему в дина-
динамике координата, не входящая в & (хотя ее производная
может входить в ^Г), часто называется «игнорируемой».
Уравнения E.4) являются однородными уравнениями
Гамильтона некоторой динамической задачи в этом Ха, а соот-
соответствующие уравнения Лагранжа имеют вид
о
дяь дд
(А, /, к = 0, 1 п — 1),
где д" выражены как функции д*1, дк и сп с помощью E.5)
и C.21).
Для каждого значения с„ мы имеем теперь в точности
*-') мировых линий в Хп, откуда всего их со2"-'. Если
(ф = 0, / п) E.7)
— одна из этих мировых линий в Хп+7> то уравнения1
(А = 0, /,..., п — 1)
5. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
295
описывают мировую линию в Хя, и из E.5) следует, что
уравнения
(а) дп = /к(х) (й = 0, 1 в —7),
E.9)
(Ь) <7я =
Маробые лиши
где с — произвольная константа, представляют другую миро-
мировую линию в Хп+]. Следовательно, каждой мировой линии
в Хп принадлежат оо; ми-
мировых линий в Хп+], что
согласуется . с общим коли-
количеством оо2" мировых ли-
линий в Хп+]. Сверх того,
мы видим, что две миро-
мировые линии в Хп+1, принад-
принадлежащие одной мировой ли-
линии в Х„, при пересечении
с параметрическими кривы-
кривыми д" отсекают сегменты
равной «длины» в едини-
единицах д" (рис. 29).
Процесс интегрирования
упрощается теперь редук-
редукцией от п-\- 1 к п- Если ми-
мировые линии в Хп известны,
то мировые линии в Хп+]
могут быть найдены посред-
посредством квадратуры. Для этого р1 должны быть выражены
через дк и дк с помощью уравнения
Рис. 29.
= 0, и .... п — 1).
E.10)
После подстановки этих значений и значений цн из E.9а)
в E.5) мы получаем уравнение вида
дп = р (т), E.11)
из которого д" может быть найдено квадратурой.
Если имеется большее число игнорируемых координат,
например д1 дт, то задача сводится к задаче в Хп.т+1.
296
VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
Преобразование Л2? в _2" называется преобразованием
Рауса — Гельмгольца.
Может случиться, что д° = Ь является игнорируемой коор-
координатой. Тогда мы можем также вернуться к неоднородной
трактовке, причем х — Ь
и & — 1* будут зависеть
МироЗые
линии
только от
(З.ЮЬ, с)
ц* и Чж- Из
следует, что
т. е. Я=сопз1.
Так как
Чраел/пория
E.12)
вариационное уравнение
7 траекторий' принимает те-
теперь вид
E.13)
Рис. 30.
Это уравнение известно как
вариационное уравнение
Мопертюи (установлено Эйлером и Лагранжем), или принцип
наименьшего действия. Действительно, ркс1дк имеет раз-
размерность \т12г~!\, совпадающую с размерностью действия
(кванта). Каждой траектории теперь принадлежат оо; миро-
мировых линий, которые преобразуются друг в друга трансля-
трансляцией в ^-направлении.
УПРАЖНЕНИЯ
УШ.1. Положение однородной сферы задано координатами х,
Й, г центра н эйлеровыми углами ф, 6, ф, как показано на рис. 31.
:усть'Ю|, да2 и да3 — компоненты угловой скорости относительно
осей, проходящих через центр параллельно осям х, у, г. Доказать,
что
да, = — 6 СОЗ ф — 1
Aа)
ф — 1{) СО8 6,
— Ь 51п ф -|- ф 51П 0 СОЗ ф.
УПРАЖНЕНИЯ
297
Положим теперь д1 = х, ?2 = У. ^.!гг<л 9* = Ф-
и введем неголономную систему (Л) (п= 1, ..., О):
У. Я3
у4 = да^ дъ
Доказать, что единственными неисчезающими компонентами
является
и выписать уравнения Лагранжа для неголономной системы').
УШ.2. Если мы наложим на сферу из упр. 1 условие,
оиа движется по плоскости у = — /? без скольжения, то
ются три уравнения:
(IV)
что
име-
имег —
Bа)
Голономиыми координатами яв-
являются
д' = х, д?=*г, я3 =><$,
/ = 9, /=г|>.
BР)
Введем неголономную си-
систему дн(к = 1, .... 5)
„1 _ *• /,2 =- , Л3 _ т
Рис. 31.
и докажем, что отлнчиы от нуля лишь следующие компоненты
а\2
— СО8 6 СО8 ф
СО8 9 СО8 ф
/?8Ш9
_1_
2
СО8 9 8|П ф
4,=—у
о" •
С08 9 СОВ ф
Д 81A 6
С08 9 С08 ф
С08 9 51П ф
B5)
_5 _ СОВ 9 8)П ф О5 СО8 9 5Ш ф
5 /?8!п9 5 Яз!п9 '
Выписать уравнения Лаграижа для неголономной системы 2).
•) Ср. Уиттекер 1917. 1, р.44.
2) Ср. более трудные упражнения Уиттекер 1917.1, р. 214.
298 VIII. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
\ГШ.З. Уравнения классической электродинамики («р. VI, § 2)
тг! = еЕ + ё$Х Я (За)
или
тх==—еЕ1—еуВ2\—егВ31, циклнр, 1, 2, 3.
могут быть выведены из функции Лагранжа
если положить
Ех = Й4ф1 — ^1ф4. <?« = — -^ ,
523=— (б2фз — д3ф2); Диклир. 1, 2, 3 C6)
(ср. обозначения с /?41 и Ргг в IX, § 2). Соответствующая функция
Гамильтона имеет вид
Н = 2т\р1~~1:У1) +Циклир. — «р4- (Зе)
Приводя к однородной форме согласно VIII, § 3 и полагая
находим выражение для однородной функции Лагранжа (ообозна-
(ообозначает дифференцирование по т)
17 (Ф.-? + Ф2у + Фзг + Ч>Л C*1)
С релятивистской точки зрения (ср. IX, § 4) форма (Зг|) неудо-
неудовлетворительна, так как первый член в правой части равенства не
обладает . четырехмерной инвариантностью. Но это совершенно
естественно, так как мы отправлялись от классической механики и
рассматривали т как константу, а не как то{, т. е. как функцию
скорости. Отсюда ясно, что невозможно получить релятивистскую
форму _2* только с помощью формального процесса приведения
к однородной форме, описанного в VIII, § 3.
Доказать, что четырехмерная форма ^
C1)
УПРАЖНЕНИЯ 299
дает правильное уравнение и что четвертое из этих уравнений
выражает закон сохранения энергии (ср. IX, 4.19Ь). Из этого .2*
мы получаем
рх =,Лг%. =*тх + ^ы цнклир. 1, 2, 3,
Вывести соотношение Гамильтона
и дополнительно доказать, что
также является возможной формой соотношения Гамильтона.
VIII. 4. Если #* рассматривать как функции д , то р^ также
являются функциями ?*. Полошив теперь
доказать, что уравнения Лаграижа C.23) эквивалентны уравнениям
ф^ 0 (* ф - 0, / я) DР)
или
=0 (Ф = 0. / л). Dу)
где О^ — символ производной Ли относительно поля ^*/^"). Если
д*—неизвестные функции д*. то Dу) представляет систему п не-
независимых дифференциальных уравнений для л отношений д^.
•) Ср. вал Данциг 1934.5, р. 645.
IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ1)
1, Введение
Тензорное исчисление не могло бы существовать в совре-
современной форме, если бы не было теории относительности.
Связь между этими двумя ветвями математики и физики на-
настолько обширна, что ее описание могло бы заполнить
толстый учебник. Поэтому мы должны сделать выбор. После
необходимых предварительных сведений мы даем в последнем
параграфе краткое введение в релятивистскую термогидро-
термогидродинамику, так как этот предмет требует определенных на-
навыков в тензорном формализме. Изложение целиком основано
на работе ван Данцига. Хотя аффинно-инвариантная форма
уравнений электродинамики не была неизвестной предше-
предшествующим авторам2), ван Данциг впервые опубликовал в се-
серии работ непротиворечивую теорию относительности, ко-
которая не зависит от метрической геометрии. Последние
публикации этой серии были посвящены термогидродинамике.
Здесь не представляется возможным дать обзор всей теории
в целом. Поэтому мы ограничили себя феноменологической
точкой зрения и упростили исходные предпосылки теории
таким образом, чтобы оказалось возможным элементарное
введение. Недостатком этого метода является то, что от
первоначальной идеи ван Данцига о независимости метриче-
метрической геометрии ничего не осталось и большая часть его
результатов вообще не упоминается. Однако мы надеемся,
') Общие ссылки: Эйнштейн 1916.1; Лауэ 1920.1; Паули
1921.1; Эддингтон 1923.1; Фоккер 1929.1; ван Данциг
1934.3,4,5,6; Мак-Витти 1956.1; Синг 1956.2; 1960.1,3;.
Уилер 1960.2; Сб. «Новейшие проблемы гравитации 1961-5;
Петров 1961.1; Фок 1961.2; Ландау и Л и ф ш и ц 1962.1.
8) Ср., например, Вей ль 1921.2, р. 118.
2. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 301
что наш последний параграф, возможно, написанный слишком
в краткой форме, побудит многих читателей ознакомиться
с очень интересными, хотя и достаточно трудными, ориги-
оригинальными работами ван Данцига, Синга и других авторов1).
2. Уравнения электродинамики
в инвариантной четырехмерной форме2)
Чтобы получить четырехмерную форму уравнений элек-
электродинамики (VI.2.5а — {) в вакууме в декартовых коор-
координатах, мы прежде всего введем следующее изменение
в обозначениях:
(а) ' х4 = с1,
/к\ р — Р = Р Р = Я
1.4/ ГЫ— 4й с с*' * сЬ осЬ'
\ } С' » с » V • /
(ф 5«=1-ив. «4=р (а. Ь, с=\, 2. 3).
Тогда мы получим:
(а) д2Р
(Ь) ■ ^23 +^31 +^12 = 0,
(с) д4<&~41 + д2<&"*1 + д3<&1 = — **• B-2)
ЕО\1о~—~-; циклир. 1, 2, 3.
с
*) Ср. для библиографии ван Данциг 1940.2; С и н г 1960.1, 3.
2) В этой главе мы используем А, «, }, к, I = 1, ... 4 для де-
декартовых координат и К, X, ц, V, р, а, т = /, 2, 3, 4 для общих пря-
прямолинейных или криволинейных координат в пространстве-времени.
В пространстве мы используем а, Ь, с, й = 1, ..., 3 для декарто-
декартовых координат и а, 0, -у = /, 2, 3 для общих прямолинейных или
криволинейных координат.
302 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим пространство Е4 с координатами х1 = х, х2 = у,
х3=г, х* = сЬ и введем в нем фундаментальный тензор %
(/, Н = 1 4) с пространственными компонентами е к
(а, Ь=\. 2, 3):
е\\ = — 1. ^22 = — ^. «зз = — !• ^44 = + /. B-3)
Тогда B.2) принимает вид:
(а) диРщ = 0.
(Ь) ^сГ;Л=-?. B.4)
Эти уравнения имеют четырехмерную инвариантную форму,
если р1н рассматривать как ковариантный бивектор в /?;,
47~'н—как контравариантную бивектор-плотность и 84 — как
контравариантную векторную плотность, обе веса +/. Сле-
Следовательно, они могут быть записаны в общих прямолиней-
прямолинейных или криволинейных координатах:
(а) дыРт = О,
(Ъ) д^т=— 5х, B.5)
(с) »ос&-*Х=Уё^Г^
/^образован из Ей В, $~*х — из й и Ни 5й—из р и в.
3. Релятивистская кинематика
Уравнения B.4) инвариантны относительно всех, ортого-
ортогональных преобразований х, у, г и с( в #4. Такое преобра-
преобразование оставляет инвариантным нулевой конус
— х2 — у2 — г2 + с V = 0. C.1)
Если две полости этого конуса не меняются местами, то оно
называется преобразованием Лоренца. Преобразование
Лоренца оставляет инвариантной связь между прошедшим и
будущим. Можно показать, что каждое преобразование Ло-
Лоренца может быть получено обычным вращением или враще-,
нием с отражением в пространстве с последующим так йазы1-
ваемым специальным преобразованием Лоренца, т. е.
3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
303
преобразованием вида:
х' = х ей ф — с1 &Ь у.
' $Ь <р,
*' = — дг зп
с^ сп ф,
СП2ф—
' сп
Первое преобразование не представляет интереса, так как мы
хорошо знаем, что имеем право переходить от одной покоя-
покоящейся в пространстве ортогональной системы кооординат
С1
к другой, также покоящейся. Таким образом, мы должны рас-
рассмотреть только специальное преобразование Лоренца C.2).
Из рис. 32 мы видим, что точка, находящаяся в покое
относительно новой системы координат, х' = 0, имеет ско-
скорость у = с—~ относительно исходной системы координат.
Отсюда
спф = —Ц=-,' р^« C.3)
Из взаимности формул C.2) следует, что точка, находящаяся
в покое относительно первоначальной системы координат,
304
IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
х = 0, имеет скорость — с —г-*- относительно новой системы
координат. Но в этой новой системе единицами длины и сХвре-
мени являются отрезки ОА и ОВ, отсекаемые двумя еди-
единичными гиперболами. Геометрия на (х, с/)-плоскости
является не обычной, а геометрией Минковского с фунда-
фундаментальным тензором ^п = — /, §и — ~^~1' Линейный эле-
элемент в этой геометрии равен
с аз = Ус2аB — ах2 = сси УТ^$?. C.4)
Преобразования C.2) могут быть теперь записаны в форме:
X =
р ^р_
■+■
1-Р2
C.5)
Длина и время измеряются масштабной линейкой и часами.
Так как уравнения электродинамики инвариантны относи-
относительно преобразований Лоренца, то эталон длины и часы,
основанные только на принципах электродинамики, будут
показывать х и Ь, если они покоятся в исходной системе,
и х' и С, если они покоятся в новой системе. Отсюда, если
мы производим измерения электромагнитным методом, х'
и С являются не только вспомогательными переменными, но
и действительной длиной и. действительным временем. Рас-
Рассмотрим теперь под этим углом зрения точку, движущуюся
со скоростью и относительно исходной системы. Эта точка
описывает прямую мировую линию ОР (рис. 32) и в момент
времени 1 для (х, ^-наблюдателя находится в Р с коорди-
координатами относительно (х, {) р1 = и/с, р* = 1. Координаты Р
относительно (х\ *') равны
1 _ " Р
3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА 305
Отсюда для (х', ^-наблюдателя (использующего электро-
электромагнитные измерительные инструменты) движущаяся точка
имеет скорость
а -
Это и есть релятивистский закон сложения скоростей. Если
ну <^ °2< т0 относительная скорость в координатах (х', г')
стремится к классическому значению и — V. Но если и = с,
то мы находим и' = с, а это значит, что свет имеет одина-
одинаковую скорость относительно обоих наблюдателей (опыт
Майкельсона — Морлея).
Скорость V* является трехмерным вектором, но если
V < с, последний однозначно определяется четырехмерным
Ах*1
единичным вектором его мировой линии г/ = у^- с компо-
компонентами
у1 — °' у* = —■=!==■. C.8)
Этот вектор называется вектором четырехмерной ско-
скорости.
Если стержень длины / находится в покое относительно
(х, {), мировые линии его концов отсекают отрезок ОВ
на оси х' (рис. 33). Но так как единица длины на оси х'
равна ОА', то с точки зрения (х', ^-наблюдателя длина
стержня равна —^— =У 1 — р2. Аналогичным обрззом, если
стержень длины / покоится относительно (х', /'), то отсе-
отсекаемый на оси х отрезок равен ОВ', и, следовательно, длина
с точки зрения (х, ^-наблюдателя равна
ОВ' _ сЬср — вЬ <р (зЬ ф/сЬ ф) _ / у- -§
___ = __ = _!-_= К/—р. C.9)
Отсюда следует, что параллелепипед, образованный пло-
плоскостями лг = 0, х = а. у = 0, у = Ь, г = 0, г = с и нахо-
находящийся в покое относительно (х, (), виден (х\ /^-наблю-
/^-наблюдателем как параллелепипед с размерами аУ I — р2, Ь, с и
объемом аЬс У1 — р2. Если этот пзраллелепипед заполнен
20 Я. А. Схоутен
306
IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
электрическим зарядом с плотностью р для (х, /)-наблюда-
теля, то плотность для (х\ (')-наблюдателя равна р/к / — р2.
Следовательно, заряд, имеющий в некоторой точке плот-
плотность ^ (собственную
плотность) относитель-
относительно наблюдателя, движуще-
движущегося с той же скоростью,
будет иметь в этой точке
плотность
с(
, Ро
C.10)
Рис. 33.
относительно наблюдате-
наблюдателя, имеющего скорость V
по отношению к заряду.
Пусть (х, /)-наблюда-
/)-наблюдатель расположил вдоль
оси х цепочку (электро-
(электромагнитных) часов, нахо-
находящихся в покое с его
точки зрения и показывающих нулевое время. Пусть (х\ г')- '
наблюдатель сделал то же вдоль оси х'. Тогда (х, ^)-часы
будут показывать на линии Си время 1/с, а (хг, ^)-часы
будут показывать то же время на линии Си' (рис, 33).
Если теперь (х, ^-наблюдатель видит как (х', *')-часы, миро-
мировая линия которых проходит через О, так и свои собствен-
собственные (х, ^)-часы, то он не обнаружит никакой разницы в О,
так как и те и другие часы будут показывать в этой точке
нулевое время. Но в точке п одна из (х, *)-часов показы-
показывают время 1/с, а (х', *')-часы показывают время
1_Ой _1__1 1_лГ -2
с 'ОЦГ ~~ с с1кр~с У'— Р •
Аналогично (х', г')-наблюдатель, глядя на (х, ^)-часы, миро-
мировая линия которых проходит через О, и на свои собственные
(х', ^')-часы, не обнаружит разницы в О, но в И' (х, *)-часы
покажут
а (х', *')-часы покажут 1/с. Таким образом, оба наблюдателя
4. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 307
обнаружат, что часы другого наблюдателя идут слишком
медленно в отношении VI — Р .
Однако в описанных опытах с электромагнитными этало-
эталоном и часами пока еще нет никакой теории относительности.
Утверждение, что уравнения электродинамики в вакууме инва-
инвариантны относительно преобразований Лоренца, не является
теорией. Оно выражает только хорошо проверенный физи-
физический факт, который был открыт Лоренцом задолго до
опубликования Эйнштейном его постулатов специальной тео-
теории относительности. Но с точки зрения Лоренца х' и Ь'
были искусственными вспомогательными переменными, а не
действительным расстоянием или действительным временем.
Предполагалось, что механические эталоны длины и часы
удовлетворяют законам классической механики, а классическая
механика инвариантна не относительно преобразований Ло-
Лоренца, а относительно галилеевой группы, состоящей из вра-
вращений покоящейся системы координат и трансляций без уско-
ускорения. Согласно классической механике эталоны длины и
часы будут отличать одну действительную длину и одно
действительное время от всех искусственных расстояний и
времен, эквивалентных для электромагнитных явлений. Таким
образом, имеются две возможности. Или существуют два раз-
различных типа физических явлений: одни, инвариантные отно-
относительно группы Лоренца, а другие — относительно гали-
галилеевой группы, и не существует общей инвариантности, или же
все явления инвариантны относительно группы Лоренца, и
классическая механика лишь приближенно справедлива для
скоростей, малых по сравнению со скоростью света с. Именно
это последнее предположение является постулатом Эйнштейна
в специальной теории относительности. С тех пор экспери-
эксперименты во всех областях физики сделали этот постулат одним
из наиболее обоснованных законов физики.
4. Релятивистская динамика
Если мы принимаем этот постулат, то нам необходима
другая динамика, отличная от классической динамики и содер-
содержащая ее как предельный случай при V/с->0. Исходным
пунктом должны, конечно, быть уравнения электродинамики
К = еЁ+е1>хЁ. DЛ)
20*
308 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
-> ->
где е — заряд, V— скорость заряда и К — сила, с которой
поле действует на заряд. Если мы введем обозначения B.1в)
в уравнения в компонентах
К1 = еЕ1-{-е &2В3 — V3В2)^, циклир. 1, 2, 3, D.2)
то мы получим соотношения
. 1. 2, 3, D.3)
которые должны быть составными частями четырехмерного
инвариантного соотношения. Ясно, что в этом инвариантном
соотношении вместо Vй должен появиться г»А. Исключая Vй
1
с помощью C.8), находим
К\—т===г==есг>2/:'21 + есг13/Гз1 + есг14/:'4,; циклир. 1, 2, 3.
у/ — р2 / / /
D-4)
Если мы теперь введем КА, положив
1 D.5)
то мы получим инвариантное уравнение
Кк = ес^Ри (к, 1=1 4). D.6)
4"
где К( — четырехмерный вектор с компонентами
4 ^
Кь = Кь , г „ >
КаУа (а, Ь=1, 2, 3). D.7)
-> ->
^Кауа представляет энергию, отданную полями Е и В и
а
приобретенную зарядом е в единицу времени. Следовательно,
4. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 309
сами по себе эта энергия, умноженная на 1/с, и сила Кь не
являются компонентами четырехмерного вектора, но они
становятся таковыми лишь после умножения их на 1/У 1 — {$ .
Так как D.6) имеет инвариантную форму, оно может быть
записано в общих прямолинейных или криволинейных ко-
координатах
Кх = есу*Г^. D.8)
Предположим теперь, что мы имеем не один заряд,
а распределение зарядов с плотностью р для наблюдателя,
относительно которого заряд имеет скорость V. Сила ка,
действующая на базисный параллелепипед, является вектор-
векторной плотностью веса -\-1 и удовлетворяет уравнениям
к1 = — рсРи — р(V^^Р12 — V3Р31)■, циклир. 1, 2, 3, D.9)
или согласно C.8) и C.10)
к1 = р0сонРн1; циклир. 1, 2, 3. D.10)
Теперь мы должны ввести четвертую компоненту
чтобы получить инвариантные уравнения
к$ = р^Ри. D.12)
или в общих прямолинейных или криволинейных координатах
^. D.12а)
%^ — четырехмерная векторная плотность веса -{-!, а ск4—
энергия, отданная полем зарядам в единице объема и за
единицу времени. Отсюда, в отличие от трехмерной силы Кь,
трехмерная плотность силы кь является компонентой четы-
четырехмерной величины. р0 является четырехмерной скалярной
плотностью веса-}-/. Это также следует из B.1с1), если
мы запишем это уравнение в инвариантной форме
? = ра«\ D.13)
810 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
или в общих прямолинейных или криволинейных координатах
5х = р0вх, D.14)
где и" — четырехмерный вектор скорости заряда.
Мы теперь в состоянии получить релятивистское уравне-
уравнение, которое должно заменить уравнение
Ка = гп^ D.15)
классической механики. Вместо Ка это уравнение должно
содержать Кн, а й.1 должно быть заменено инвариантным
дифференциалом. Единственным инвариантным дифференциа-
дифференциалом теперь является с!з. Далее, новое уравнение должно
сводиться к D.15) при р = 0, т. е. для частицы, находя-
находящейся в покое относительно х, у, г. Рассмотрим четырех-
четырехмерное инвариантное уравнение
КЛ==т0±±-, D.16)
где тд — подходящий множитель, который должен быть свя-
связан определенным образом с массой. Это уравнение распа-
распадается на
4 / / а их" ".
Первое уравнение совпадает с D.15), если р = 0 и юо = /»,
$ второе уравнение при этом обращается в тождество 0 = 0.
Если мы теперь положим
то D.17) может быть записано в форме:
D-19)
4. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 311
Так как эти уравнения справедливы для систем координат,
которые покоятся относительно движущейся частицы, то
в силу их четырехмерной инвариантности они также должны
быть справедливы для всех систем координат с постоянными
скоростями. Это доказывает, что D.19) являются искомыми
уравнениями релятивистской механики, ту есть масса покоя,
или собственная масса, т. е. масса относительно наблю-
наблюдателя, движущегося с той же скоростью, а т уже не
является константой и зависит от массы покоя и скорости
относительно наблюдателя. Как и в классической механике,
сила есть первая производная по времени от вектора коли-
количества движения туа, но мы не можем теперь выносить т
за знак <Цй1. Второе уравнение представляется несколько
неожиданным. В левой части равенства стоит работа, произ-
производимая приложенной силой, но в правой части стЪит не
-л- тг»?, как в классической механике, а тс3. Если V <^ с, то
^ 4
V 1 — « /с*
а это согласуется с классической формулой с точностью до
слагаемого тос2. Отсюда мы видим, что в массе т0 всегда
заключена энергия тос2. В наше время атомной бомбы это
широко известно, но в период создания теории относитель-
относительности это было очень важным открытием. Из факта, что
т —> оо при V —> с, немедленно следует, что никакая масса
не может двигаться со скоростью света относительно любого
наблюдателя.
Четырехмерный вектор т0 —^— называется вектором
анергии-импульса. Его ортогональные компоненты
D-21)
/»а = тдсю = тос —,• = тиа = импульс,
Отсюда
„ 1 /
импульс = ту = -у тс^а = -д- X (поток энерги и).
312 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Если материя распределена непрерывно и %а есть сила
на базисный параллелепипед и если ц — плотность массы,
а их— элемент объема, оба для наблюдателя, относительно
которого масса в их имеет скорость Vй, то согласно D.19)
мы имеем:
(а) каах=-^
а°а^Ч D>22)
Если теперь (х0 — плотность массы и Хо—объем, оба отно-
относительно наблюдателя, движущегося с той же скоростью,
то мы имеем:
D23)
Но а%0 = й У1 2
и, следовательно,
|хо = |Л(/ — Р2)- D.24)
Это преобразование отличается от преобразования плотности
заряда (ЗЛО), так как в случае плотности массы имеются
две различные причины для изменения, во-первых, изменение
массы и, во-вторых, изменение объема. Вводя ц0 и из
в D.22), получаем
аз аз •
„ л« D-28).
или
тк а ах4
Это уравнение может быть записано в другой форме,
если мы введем симметричную тензорную плотность
^- D>27)
4. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 313
Ее дивергенция равна
D-28)
Можно теперь показать, что второй член в правой части
D.28) исчезает. Число частиц в элементе объема пропорцио-
пропорционально \ьи их, откуда для наблюдателя, движущегося с той же
скоростью, \хд представляет не только плотность массы, но
также и плотность материи. Но для покоящегося наблю-
наблюдателя их —их) У1—р2, и, следовательно для него плот-
ность материи (хф = Цо/у 1 —Р2 = (-1 V* —Р2 отлична от
плотности массы ц. Так как материя не исчезает, уравнение
неразрывности должно иметь место именно для этой плот-
плотности материи. Это уравнение имеет вид
и это доказывает, что действительно
к" == д^ы = 1^м. D.30)
т т
Так как это уравнение имеет инвариантную форму, оно мо-
может быть записано в общих прямолинейных или криволиней-
криволинейных координатах
ЛИ = У^И\ D.31)
т
& называется тензорной плотностью энергии-импуль-
са материального континуума. Ее ортогональные
314 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
компоненты:
(а)
' = с X(импульс в единице объема) =
= — |лс2г>° = — X (поток энергии), D.32)
/ \ сна. &** &** 2
(С) ^4 = (Хо____==(хс в
= энергия в единице объема.
Из D.32Ь) мы видим, что в релятивистской механике не
только движущаяся масса, но и движущаяся энергия имеет
импульс.
В электромагнитном поле согласно B.4а) мы имеем
^Ч^Л = ~ Р^Ри - Р'кд,,Ри = - 2Р%РЫ. D.33)
Отсюда, так как кн есть сила, действующая на заряд в ба-
базисном параллелепипеде, мы находим согласно B.4, 4.12,13)
•-= — д^и = — V' )ёР'л, D.34)
или в общих прямолинейных или криволинейных координатах
кг.== — Ч*&\, D.35)'
е
где
D.36)
называется тензорной плотностью энергии-импульса
электромагнитного поля. Ее ортогональные компоненты
4. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 315
(ср. B.1Ь, с)):
рп = - с<&-*Рг1 - с4Г*Рп - с^*Ра - 4
-1 С&™РЯ - у С&™РЪ1 - 4 «^^
4
4 12 + 4 ^23/723 + 4
4 с^4/7,* + 4 с4Г»Р+?
1*0
7
D.37)
есть вектор Умова — Пойтинга, а $>^ — энергия поля
в единице, объема. Четвертая компвнента векторной плот-
плотности
кн = — д1&>1к (А, /=1. 2, 3. 4). D.38)
умноженная на —с, равна
' = — ск\ D.39)
е
316 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
а это уравнение имеет форму уравнения неразрывности для
жидкости (ср. (VI.2.2))
дьх>к + др = д, D.40)
где г/*—вектор потока плотности, (х—плотность и д—масса,
поступающая извне в единицу объема за единицу времени.
Далее, как мы видели, — с/4 есть энергия, полученная по-
полем в единице объема и за единицу времени, а &щ — Плот-
Плотность энергии. Отсюда с^0*4 есть векторная плотность потока
е
энергии. Обращаясь теперь к одной из оставшихся компо-
компонент
е с е
мы видим, что это уравнение имеет ту же форму. Сила
всегда есть первая производная по времени от импульса, и,
следовательно, —к1 представляет .^-компоненту импульса,
приобретенного полем в единице объема и за единицу вре-
времени. Соответственно — а?°41 = — а?°14 есть х-компонента им-
с „ с
пульса поля в единице объема, а &Ьх есть векторная плот-
е
ность потока х-компоненты импульса. Отсюда также сле-
следует, что
импульс = -— X (поток энергии).
Из D.30) и D.38) следует, что для материального кон-
континуума
11(&*1 + &м\=:0. D.42)
т. е. дивергенция общей тензорной плотности энергии-им-
энергии-импульса материи и поля исчезает. Это уравнение выражает
закон сохранения импульса и энергии в специальном
случае непрерывного распределения материи. Действительно;
согласно D.30) и D.38) импульс и энергия, отданные мате-
материей, приобретаются полем, и наоборот.
Б. ГРАВИТАЦИЯ 317
D.42) может быть записано в Инвариантной форме
Ч^™ = 0. D.43)
где й7°и1р — полная тензорная плотность энергии-импульса ма-
материи и электромагнитного поля. D.43) справедливо в общих
прямолинейных или криволинейных координатах. Это урав-
уравнение является мостом к общей теории относительности.
б. Гравитация
В классической механике гравитационные силы, действую-
действующие на точку массы /. могут быть получены из потенциала Ф
(ср. VIII. 3.1)
и этот потенциал удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
E.2)
где ц — плотность массы, а
V = 6,7 ■ 10~8 г'1 см3сек~2 E.3)
— ньютоновская гравитационная константа. Основная идея
общей теории, относительности состоит в том, что простран-
пространство-время есть не /?*, а V* и что масса, на которую
действуют только гравитационные силы, всегда движется
таким образом, что ее мировая линия является геодезической
в У4. Так как гравитационные силы зависят от распределе-
распределения материи, это возможно лишь в том случае, если фунда-
фундаментальный тензор §ы в V4 целиком зависит от этого рас-
распределения.
Чтобы проверить, сможем ли мы получить уравнение
E.1) классической динамики при малых гравитационных силах
и малых скоростях, мы предположим, что для некоторой
системы координат (и) ^х имеют значения, мало отличаю-
отличающиеся от / и 0:
^ 1 E.4)
318 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Мы предположим также, что скорости масс малы по срав-
сравнению с с и что д^ы малы по сравнению с д ек (у=1,
2. 3). Тогда, пренебрегая членами высшего порядка малости,
мы имеем
Г" ёкр (дЬ + ^е де) E.5)
G = и 2, 3). E.6)
* о
Подставляя эти значения в уравнения геодезических
а$' "- аз аз х '
находим (|* = с/)
^Ц- = — с2й"ардр§-^ (а, р = /, 2, 3). E.8)
Но это уравнение действительно имеет форму E.1) с -к с2§44
в качестве потенциала.
Мы должны теперь найти связь между §ы и распреде-
распределением масс, которая заменит уравнение E.2) классической
механики. Так как масса есть форма энергии и так как энер-
энергия и импульс являются компонентами тензорной плотности
энергии-импульса &1* , то эта тензорная плотность с обра-
обращающейся в нуль дивергенцией должна заменить в уравне-
уравнениях плотность массы (х. Таким образом, мы должны искать
тензорную плотность веса + 1 с исчезающей дивергенцией»
которая зависит от &ы и его производных до второго по-
порядка включительно. Согласно (V. 5.44) простейшей тензор-
тензорной плотностью с этими свойствами является
E.9)
где а —. произвольная константа. Если дх}" равна с точностью
до постоянного множителя У^ё^, то У„ называется про-
пространством Эйнштейна. Можно показать, что в таком
пространстве скалярная кривизна постоянна. Константа а
& ГРАВИТАЦИЯ 319
в E.9) имеет значение только в исследованиях, связанных
со свойствами пространства-времени У4 в целом ')• Это
показывает, что она очень мала и может быть положена
равной нулю, если мы рассматриваем только движение тел
нашей солнечной системы. Тогда мы получим уравнение
О»к = ±&*\ E.10)
где к— новая гравитационная постоянная.
Чтобы определить эту постоянную, мы предположим, что
еР*К заданы уравнением D.27). Далее, мы вернемся к слу-
слуга
о
чаю E.4), когда ^^ мало отличается от ^Хи и мы имеем
дело с малыми скоростями и малыми производными от еы
в временном направлении. Тогда можно пренебречь всеми
компонентами & к по сравнению с а?° —\м . Из E.10) и
(V. 5.36) следует, что
■"'- •". E.П)
откуда
=44-/>«=4*1*- EЛ2)
Но, с другой стороны, согласно (V. 5.28) мы имеем
&*<>№«=? Ь§и (Р, V = /. 2, 3). E.13)
К44 = ЩмГ*] 4 ~\- 2Т*Н | р |Г§] 4 = днГ*4 =
Отсюда
и согласно E.2)
10'*г~' см. E.15)
') О роли этой константы в космологических проблемах см.,
например, Мак-Витти, 1956.1; Новейшие проблемы гравитации
1961.5, стр. 38.— Прим. перев. '
320 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Интегрируя E.10), возможно найти линейный элемент
пространства-времени в окрестности мировой линий цен-
центральной массы, например, Солнца. Так как на других миро-
мировых линиях материи нет, О\н и Кы исчезают во всех точках
этой, мировой линии.. Следовательно, простратгство-время
является не общим У4, а У4 с исчезающим тензором Риччи
(ср. V, § 5).
Так как пространство-время в окрестности мировой линии
Солнца неевклидово, возникают малые отклонения в движе-
движении планет и распространении лучей света. В той мере,
в какой эти отклонения могут быть измерены, они хорошо
согласуются с астрономическими наблюдениями;
6. Релятивистская гидродинамика1)
Рассмотрим материю, состоящую из частиц одинаковых
размеров и массы, и будем пренебрегать эффектами радиа-
радиации. Пусть их есть часть пространства, а йа — элемент ее
граничной поверхности. Предполагаем, что их мала, но со-
содержит большое число частиц. Если в некоторый момент
это число равно Ыах и если Ыах = КAх, то с макроскопи-
макроскопической точки зрения К можно рассматривать как плот-
плотность частиц материи. Если известна скорость Vй каждой
частицы, то мы можем подсчитать среднюю скорость иа ча-
частиц в ах2). Тогда Киа есть средняя плотность потока
частиц. Мы пишем & их для полной энергии, кинетической
и потенциальной, всех частиц в их. Предполагается, что по-
потенциальная энергия зависит только от координат частиц
в пространстве и не зависит от их скоростей. §* есть сред-
средняя энергия в базисном параллелепипеде. Аналогично
мы пишем сЛС их для полного импульса всех частиц в их.
Тогда оАС есть средний импульс в базисном параллеле-
') Ср. также С и иг 1934.7; 1937.3; 1956.2; ван-Данциг 1934.3,
4, 5, 6; 1939.5; 1940.2.
2) Мы пишем здесь йа = —^т-, чтобы сохранить то же обозиа-
6.1
чение, что и в гл. VII. Тогда а" можно рассматривать как малое
перемещение.
6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА 321
пипеде. Очевидно, §* и сЛС являются скалярной плотностью
и векторной плотностью, обе веса -\-1.
Рассмотрим теперь инфинитезимальный тетраэдр, нахо-
находящийся в покое с гранями /йЛт, /аAо, /лйо и /яйо,
р 1 р 1 2Р 2 3' 3
ориентированными изнутри наружу. Тогда мы имеем тожде-
тождество (ср. (VII. 2.1))
_ ?.аа = /,\йо-\-1\<Ю + ?'йо (($=/, 2.3). F.1)
Р 1Р 1 2 Р 2 3 р 3
12 3 1
Если обозначить через Е йо, Е йо, Е йо, Е йо и ра йо, р* йо,
12 3 1
2 3
_ра йо, ра йо поступающие извне через границу энергию и
? 3
импульс, то изменениями энергии и импульса в их можно
пренебречь, так как они имеют третий порядок малости отно-
относительно дифференциалов координат. Тогда из закона сохра-
сохранения энергии и импульса следует, что (ср. (VII. 2.2))
12 3
— Е йо — Е йо + Е йо 4-Е йо,
12 3
2 3 F-2)
— райо — райо + райо + райо (а—1, 2, 3)
12 3
для любого выбора границы. Следовательно (ср. (VII. 2.3)),
существует векторная плотность ^а такая, что
Е = ~?% F-3)
и существует тензорная плотность ^^ такая, что
ра = д-а% (а, Ц =1,2,3). F.4)
&* есть средняя плотность потока энергии. Она равна сумме
энергия X скорость всех частиц в малом объеме, отнесенной
к единице объема, и, следовательно, не равна произведению
§*«" двух средних значений. —^ есть средняя плотность
потока импульса. Она не равна произведению о^°и0 двух
средних значений. ра йо есть сила, с которой внешняя материя
действует через /^йа на материю, находящуюся внутри.
Здесь имеется существенная разница со случаем непрерыв-
21 Я. А. Схоутен
322 IX; теория относительности
ного распределения материи. Если материя распределена не-
непрерывно, мы можем перейти к пределу при йх->0. Тогда
иа-*уа, & -> цс2, &а-> цсV = &чГ.
(ср. § 2). Однако в нашем случае ах всегда должно иметь
ограниченный снизу размер и содержать достаточно большое
количество частиц.
До сих пор мы рассматривали границу, находящуюся
в покое. Рассмотрим теперь границу, точки которой имеют
скорость 1е»а, зависящую, вообще говоря, от л:, у и г. Поток
энергии и импульса за единицу времени через движущийся
элемент /ц</сг в направлении, противоположном его ориента-
ориентации, равен
Еаа = (— 8*Н-8"»^ /„Оа (а. В = /. 2, 3). F.5)
Как и ранее, райа есть сила, с которой материя, находя-
находящаяся с внешней стороны /»й?сг, действует на материю, нахо-
находящуюся с внутренней стороны /„йа. Вместо симметричного
тензора напряжений $"® мы получили тензор напряжений
G**4"О^а*Л который, вообще говоря, не является симмет-
симметричным.
Чтобы записать F.5) в четырехмерной инвариантной форме,
введем в пространстве-времени ортогональные координаты.
Напомним, что райа<Н есть импульс, а —ЕйасИ — энергия,
деленная на с, и, следовательно, эти величины могут рас-
рассматриваться как компоненты вектора энергии-импульса. Ко-
вариантная векторная плотность /4й?о, являющаяся частью
плоскости с внешней ориентацией, описывает в пространстве-
оремени за время ш часть Кз и индуцирует в нем внешнюю
ориентацию. Таким образом, описываемая фигура является
четырехмерной ковариантной векторной плотностью $х «Л»
в /?*. Далее, Дй?а есть пересечение $г й® с пространством,
откуда
0=1,2. 3). F.6)
6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА 323
Так как направление четырехмерного вектора скорости да*
лежит в ф^о, мы имеем
^ ^ ? М = 0, F.7)
и, следовательно,
^^(о= — ~ /а4а4{ (а= 1,2,3). F.8)
Мы использовали здесь обозначение гл. VII для элемента
поверхности Д 4а, где 4а — площадь, измеряемая в м2. Но
в теории относительности длина стержня или площадь в /??
неодинаковы для наблюдателей с различными скоростями.
Отсюда, для того чтобы /ь и $\ имели определенный смысл,
необходимо соглашение относительно способа измерения 4а
и 4а. Мы принимаем, что 4а есть собственная площадь,
т. е. площадь, измеренная наблюдателем, находящимся в покое
относительно поверхностного элемента, а 4а> измеряется на-
наблюдателем, мировая линия которого лежит в #4. Длина
мировой линии, описываемая некоторой точкой, принадлежа-
принадлежащей /ьйа, за время 41, равна
^1 . F.9)
Это есть время, измеряемое наблюдателем, находящимся
в покое относительно элемента поверхности. Оно называется
собственным временем, и мы имеем
0--^. F.10)
= аааз = аам л/ у _ е
V с'-
Можно избежать затруднений, если всегда использовать
только выражения /ь йа и 381 й<& и не употреблять никогда
отдельно /й и <%{. Тогда не требуется никакого соглашения,
но смысл будут иметь лишь полные выражения /ь й?а и 58\ Л&,
а /4, .$I йа или й?со в отдельности вообще не имеют смысла.
Ван Данциг следует этому правилу и отмечает то обстоя-
обстоятельство, что смысл имеют только /ьйа и $1й<й, записы-
записывая их в виде }*° и $л^. Это обозначение, конечно, явля-
является очень удобным, так как во многих случаях способ
21*
324 IX. ТСОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
измерения йа и й?со не имеет значения, но мы не будем его
использовать, так как мы хотим иметь в этой главе те же
обозначения, что и в других.
Вводя значения F.6,8) в F.5), мы получаем в декартовых
координатах
а <1а <И ^"^а® — саЛ1а$к A@,
(а, *=1. 2. 3).
Если мы теперь положим:
ф^ йеГ ь а йс!
**./.*•» ° ' FЛ2>
с '
= #\ (а, Ь=\, 2, 3),
то уравнения F.11) принимают форму
М" а® — — ^ & 1 а® (И, 1=1 4). F.13)
Здесь Мн й(п — вектор энергии-импульса, ортогональные ком-
компоненты которого представляют импульс и энергию, проте-
протекающие через ДЛг извне внутрь за время еИ.
Чтобы определить тепловой поток проводимости через
элемент поверхности, мы положим ■до* = и*. Тогда полное
количество материи, протекающей через ДЛг, равно нулю,
и перенос тепла осуществляется только за счет проводи-
проводимости, а не за счет конвекции. Энергия, проходящая за
время ш через Дйа в направлении, противоположном его
ориентации, равна
(_ §»* _|_ %>иь) Д аа а(. F.14)
Но часть этой энергии есть работа, производимая силой ра Aа
за время (П. Эта часть равна
— раи„ аа а( = (— $аЬ'иа — сЖаиаиь) /ь йа <и. F.15)
6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА 325
Остающаяся часть
к4-^аЬиа + &Макак") /„ йо й1 =
F.16)
является потоком тепла за время сН за счет проводимости
через /ьЛо в направлении, противоположном его ориентации.
Отсюда векторная плотность потока тепла есть
^а. F.17)
Чтобы получить дальнейшие выводы из F.17), мы оер-
немся назад к уравнениям F.5), которые могут быть теперь
записаны в виде
Согласно теореме Стокса мы имеем
| ** ") ах.
FЛ9)
их.
Интегралы в левых частях представляют деленное на с при-
приращение в т импульса и энергии за единицу времени
F.20)
причем
-^ ах = дьчвь их. F.21)
326 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Отсюда
Ра <ю = /' (^1 + «Ч»*"+<жадь™ь) ах =
х
^ +1 д^о4«;й) Л. • F.22)
| /■ ^ «га=4 / (^- -н «^ -г- ач«/6) л=
{д^ + д^<%6) их (а, * = 1, 2, 3).
Сравнивая F.19) и F.22). мы видим, что
= 0 (а, Ь = 1, 2, 3),
ИЛИ
6^ = 0 (А, /=1 4). .F.24)
Если имеются внешние воздействия (например, электромаг-
нитного поля), то вместо F.20) мы получаем
(б'25)
с
а
где ка представляет приращение импульса, а ск* — прираще-
приращение энергии в единице объема за единицу времени, обусло-
обусловленные внешними причинами. Тогда вместо F.24) мы имеем
кн^д1&Л1, F-26)
а это есть уравнение D.30), которое было выведено ранее
для специального случая непрерывного распределения ма-
терпи.
В F.22) появляется дифференцирование, которое очень
часто встречается в исследованиях подобного типа. Удобно
ввести для него специальный символ. Если /—функция х.
6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА 321
у, г и (, то мы пишем
Тогда мы всегда имеем
■^{/ах) = УГйх. F.28)
Полагая также 1Юа равным иа, т. е- выбирая границу о
таким образом, что полное количество материи, проходящее
через каждый ее элемент, равно нулю, мы получаем, что
единственной энергией, проходящей через границу, является
тепло, и общее количество тепла, проходящее через а извне,
равно (ср. F.23))
аа = - у ^ л =
Х4 * аЬ 1 ^ь) ах =
~ 0>а\дьиь] ах =
(а, *=1, 2, 3). F.29)
328 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Отсюда, если <? есть тепло в единице объема, этот интеграл
должен быть равен
4г <б-зо>
X X
Из F.29) и F.30) следует, что
а «3 ах) = а (# ах)+иаа {Ж ах) -+-
ьх F.31)
или
а (& ах)= — иаа {ша ах) -\-
Ь'$ F.32)
для малого смещения и". Это уравнение гласит, что прира-
приращение полной энергии в й?т равно сумме приращения кине-
кинетической энергии материи в ах, движущейся как целое
с импульсом еМа их, приращения потенциальной упругой
энергии и приращения тепла, обусловленного тепловым по-
потоком извне. Если иь = 0, мы получаем выражение
-Гь(дьаиа)ах = д'аЬаиаЬах (б.зз)
для приращения упругой энергии в согласии с (VII. 1.6)
(верхний знак) и (VII. 3.2).
фь/ьаоа( есть тепло, протекающее через /ьаа за
время а(. Чтобы получить формулу преобразования для ко-
количества тепла, мы будем исходить из F.17) и воспользуемся
уравнениями F.6, 8):
а§ = ф/„ аа а( =
= с УП=р
{а,Ь=\, 2, 3), F.34)
где мА — четырехмерная скорость, соответствующая иа, и
6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА 329
Отсюда
(А, /=1, .... 4). F.35)
Правая часть этого равенства скаляр. Следовательно,
аЯ = аЯ0У1— Р?. F.36)
где йК?„— количество тепла с точки зрения наблюдателя,
движущегося со скоростью и". Так как их = йхо У1 — Р2.
то отсюда следует, что количество тепла в единице объема
является инвариантом.
Температура есть тепло, отнесенное к одной частице и
умноженное на скалярный множитель, зависящий от выбора
температурной шкалы. Но для всех наблюдателей среднее
количество частиц в т одинаково, и это доказывает, что
законы преобразования й?<2 и Т также одинаковы, т. е.
Т = Т0У7=р. F.37)
Отсюда немедленно следует, что энтропия 5, определяемая
выражением
** *3. F.38)
о
является инвариантом и что энтропия в единице объема
преобразуется следующим образом:
§О = §УТ^$. F.39)
Так как йз = <иУ1 — р2, произведение Тойз = ТйЬ есть
инвариант, и выражение
4^ (л=1 4> <6-4°)
(к — постоянная Больцмана) является четырехмерным векто-
вектором, вектором температуры.
Жидкость называется идеальной, если ра йа всегда пер-
перпендикулярна /ьAа, а это будет тогда и только тогда, когда
(ср. F.5,18))
— &аЬ + !г&а*иЬ = каЬ. F-41)
330
IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
где р — подходящая скалярная плотность. Тогда
ра йо = р /° аа.
F.42)
Если теперь /ьйа перпендикулярен оси х и имеет ориента-
ориентацию такую, что /' отрицательна, то сила направлена внутрь.
Тогда р есть давление.
Если определение идеальной жидкости не должно зави-
зависеть от выбора системы координат, то F.41) и уравнение
для потока тепла, которое следует из F.17) и F.41)
§° = с^а — &>"'и а — риа, F.43)
должны быть инвариантными. Уравнения главных направле-
направлений 3*м имеют вид
9м г I — Х^'г, = 0 (Н. 1=1 4), F.44)
а собственные
с
1 .
С
1
С
_ 2. о> л- — 3">*и
ее
значения
Р
С
являются
с
/ .
~с
-1 У*
корнями
/
с
1
~с
Рт^
С С
1
~ с
уравнения
рк*
или после элементарных преобразований
0 0 &
О р-\-К 0 &
О О
с с
или
(а, Ь—1. 2, 3).
F.45)
= 0F.46)
F-47)
УПРАЖНЕНИЯ 33^
Так как это уравнение инвариантно, каждому корню соот-
соответствует направление в пространстве-времени. Эти на-
направления должны иметь физическое значение. В настоящей
случае единственным инвариантным направлением в про-
пространстве-времени является направление вектора ил. Это
означает, во-первых, что первые три корня должны быть
равны, а соответствующее /?3 должно быть перпендикулярно
к ин, и, во-вторых, что направление, соответствующее чет-
четвертому корню, должно быть направлением ин. Отсюда
О:" —0 и &>ы имеет форму
= я«*«' — рём. F.48)
Из F.48), F.41) и F.43) следует, что
с^а — ^миа — риа=0 F.49)
и
" = (/-Р2)(^+Я F-50)
Следовательно, если &0 есть средняя энергия в базисном
параллелепипеде для наблюдателя, движущегося с той же
скоростью, то мы имеем
F.51)
&Ы = <?, + Р) «V - рУ. F.52)
Жидкость, для которой <3" = 0, ван Данциг называет
совершенно идеальной. Следовательно, релятивистская иде-
идеальная жидкость, как было показано ван Данцигом 1), всегда
является совершенно идеальной.
УПРАЖНЕНИЯ
IX. 1. Если пространство Эйнштейна Ут п> 3, может быть
конформно преобразовано в /?„ (ср. упр. V. 7), то оно является
пространством постоянной кривизны, т. е. его тензор кривизны
') 1939.3, р. 688.
332 IX. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
имеет вид
Из Aа) следует, что К — константа.
IX. 2. У4, которое не может быть конформно преобразовано
в К4 (ср. упр. V. 7), может быть конформно отображено по край-
крайней мере на одно пространство Эйнштейна, и отображевие един-
единственно с точностью до изменения масштаба2). Физически это оз-
означает, что линейный элемент пустой части пространства-времени
известен, если заданы мировые линии световых лучей 3).
IX. 3. В однородной среде, движущейся с постоянной скоро-
скоростью Vй относительно прямолинейной системы координат, справед-
справедливы следующие уравнения:
IX.4. Если ^^УЦРухРуп^В (*. Я, |1, V = / 4) рас-
рассматривать как функцию ^Хк, то
Ц?>]*Ь = &*\
е
Доказать.
')Схоутен и Стройк 1921.3.
2)Бринкман 1923.2.
»)Ср. Каснер 1921.4; 1922.2.
■ Паулн 1921.1, р. 658.
X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА1)
1. Введение
Приложение матричного исчисления к квантовой меха-
механике вызывает большие трудности в нахождении эффектив-
эффективной системы обозначений величин, так как каждое обозна-
обозначение должно содержать большое количество информации.
Наша главная цель в этой главе состоит в том, чтобы ясно
показать большие достоинства метода Дирака. Поэтому
в §§ 2 и 3 мы излагаем тензорное исчисление в Vп,
а в §§ 4 и 5 — матричное исчисление в 1/п, основанные на
классических методах, описанных в II, § 3. После рассмо-
рассмотрения алгебры общих векторных множеств оказывается
возможным показать, что скобочный формализм Дирака есть
как раз то, что необходимо для целей обозначений. Но для
того чтобы найти наиболее удовлетворительную систему
обозначений, необходимо рассмотреть физическую интерпре-
интерпретацию и выяснить, какие типы величин действительно встре-
встречаются- Оказывается, что мы должны иметь дело с состоя-
состояниями и с наблюдаемыми, и для того чтобы иметь возмож-
возможность представить каждую величину совокупностью чисел,
необходимо отправляться от полного множества коммути-
коммутирующих наблюдаемых и строить множество общих собствен-
собственных состояний. Все эти собственные состояния могут быть
обозначены собственными значениями, которым они принад-
принадлежат, и каждому состоянию или наблюдаемой соответствует
«представление», т. е. множество чисел, аналогичных орто-
ортогональным компонентам в 1}п. Возникает символика, во мно-
многом аналогичная матричному исчислению в 1/п. Сверх этого,
') Общие ссылки: Иордан 1936.4; Крамере 1937.4;
Днрак 1947.5.
334 X, МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
ортогональные компоненты тесно связаны с вероятностями
обнаружения определенных результатов, если наблюдаемая
измеряется в определенном состоянии.
Когда задано полное множество коммутирующих наблю-
наблюдаемых, можно определить функции этих наблюдаемых, ко-
которые сами являются наблюдаемыми. Используя эту новую
концепцию, можно с помощью такой функции однозначно
фиксировать каждое состояние, и, как следствие, эти функ-
функции могут применяться в качестве обозначений. После вве-
введения некоторых сокращений этот второй метод немедленно
приводит к уравнениям, известным как волновые уравненяя.
2. Величины второго рода
н гибридные величины')
Если группа Ол пространства Е„ (ср. 1, § 1) содержит
не только действительные, но и комплексные преобразова-
преобразования, то кроме лгк мы имеем также комплексно сопряженные
У^? B.1)
с законом преобразования
х*' = А*"?. ^57=й7. B.2)
и х и
Используя эти преобразования, мы можем определить век-
векторы, тензоры и т. д. второго рода, например
•О). =А-11)-.
К' К' Л
Так как комплексно сопряженные от компонент любой" обыч-
обычной величины (например, Я\) являются компонентами вели-.
чины второго рода2), то мы не ввели что-то действительно
новое, а только подчеркнули тот факт, что эти сопря-
сопряженные величины преобразуются по другому закону. Но
возникает нечто действительно новое, если мы будем.
1) Ср. Н. М. 1935.1, р. 8.
2) Обозначаемые Р*,.
2. ВЕЛИЧИНЫ ВТОРОГО РОДА И ГИБРИДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 335
рассматривать величины с индексами обоих родов, напри-
например О**, с законом преобразования
О* =А*'АХО*- B.4)
Такие величины мы называем гибридными величинами.
Комплексно сопряженные компоненты гибридной величины 0*^
являются компонентами другой гибридной величины ф"-, на-
называемой . комплексно сопряженной относительно первой
величины.
Ко- или контравариантная гибридная величина валент-
валентности > 2, например Р***1, не может подвергаться операциям
симметрирования или альтернирования, так как Р*^ не опре-
определены. Но если валентность равна 2, существуют аналоги
симметричного тензора и бивектора. Мы называем вели-
величину Рк\ которая удовлетворяет условию
ру.ь_р>м ^2.5)
дрмитовой {симметричной) или эрмитовым тензором.
Аналогично можно определить эрмитов бивектор 0*^
соотношением
0*х = — 0ы. B.6)
Но так как 10*к эрмитово симметричен, достаточно рассма-
рассматривать только симметричный случай.
Для ко- или контравариантных эрмитовых тензоров имеют
место нижеследующие теоремы, аналогичные теоремам для
обычных тензоров валентности 2 (ср. II, § 10).
Если г — ранг Р-к — Р^~, координатная система (х) всегда
АЮжет быт* выбрана таким образом, что
1—1, х =
\ *<х = Я.<г. B.7)
0, г < х = I и и Ф К,
336 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
ИЛИ
7 ! 7 1 7+7з+1 7 т
Р*к = - V* - ■ • • - е*ех + *х ек + • • • + %ех. B.8)
Другая форма этой же теоремы:
Если г — ранг Ркь — Рш всегда существует преобразо-
преобразование Т\, такое, что компоненты Тр-Та^Р~ относительно 60
удовлетворяют условиям вида B.7).
5 является инвариантом Р-^ и называется индексом.
Говорят, что Р-х — положительно определенный, если
8 = 0, отрицательно определенный, если $ = я, и
неопределенный, если 0 < 5 < п. Последовательность
... -}—|--}- в B.8) называется сигнатурой Р-^.
Сигнатура четна, если четно 5, и нечетна, если 5 не-
нечетно.
-I _ -<.
Если г = п, то существует обратный тензор Рк = г-
Он имеет тот же индекс и ту же сигнатуру, что и Р-г как
это видно из формулы
к7
11 из з+1 3+1
В центро-аффинном Еп эрмитов тензор представляется
одной из фигур
которые могут рассматриваться как гиперповерхности в Егл-
В последнем 2п независимыми координатами могут быть,
например, действительные и мнимые части Xя1).
3. Фундаментальный тензор. Пространство V'„
Если в Еп задан эрмитов тензор а^ч = а^ ранга я, то
Еп называется С/п, а а^к — его фундаментальным тензором.
Согласно § 2 имеется, по крайней мере, одна координатная
») Ср. Н. М., стр. 64.
3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР. ПРОСТРАНСТВО У„ 337
к
система (А) (А = 1 п) с базисными векторами г, *
I *•
такая, что
Т 1 Г 8 вТТ 8 + 1 п П
а1= — и — ... —и 4- *- ' -Н-* • C.1)
Обратный ему тензор обозначим а**' (ср. II, § 12).
Фундаментальный тензор устанавливает взаимно однознач-
однозначное соответствие между ко- (контра) вариантными векторами
первого рода и контра- (ко)вариантными векторами второго
рода
Так же как и в /?„, соответствующим величинам приписы-
приписывается одинаковая коренная буква. Таким образом, Vя и ©^
аналогично да^ и ад" являются двумя различными множест-
множествами компонент одной и той же величины. Но в отличие
от /?„, в 1/п сохраняются два различных типа векторов. Их
нельзя различить, называя векторами первого и второго рода,
или с помощью прилагательных ко- и контравариантный.
Поэтому, предвосхищая здесь § 7, мы дадим им следующие
названия, предложенные Дираком для значительно более об-
общего случая1):
кэт = контравариантный вектор первого рода = кова-
риантный вектор второго рода: ю'л, г>р
бра = ковариантный вектор первого рода = контрава-
контравариантный вектор второго рода: 11>}, ■а>н,
и отметим, что комплексно сопряженным бра является кэт
и наоборот. Удобно записывать коренную букву кэт без
черты, а бра — с чертой. Тогда либо коренная буква и
верхний, индекс одновременно имеют черту, либо одновре-
одновременно ее не имеют. При поднимании или опускании индексов
У Ах возникает неопределенность, которую можно избежать,
если писать А\ (что неудобно), или принимая правило, по
') 1947. 5, р. 18 и далее.
22 Я. А. Схоттри
338 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
которому верхний индекс является первым, а нижний вторым.
Тогда
А*к = аЫ ^=«4"- C.3)
После введения аук каждой паре кэт ик, г»к или каждой
паре бра й. , ^ соответствуют число и его комплексно
К К
сопряженное, так что мы имеем
и V" = и уа-^'к = уха.-и~н = V-и^л,
— : C.4)
икюк называется скалярным произведением иу- и Vх, взя-
взятых в этом порядке. При перемене порядка произве-
произведение заменяется комплексно сопряженным. Это про-
произведение зависит линейно от второго сомножителя и анти-
линейно (т. е. с комплексно сопряженными коэффициентами)
от первого сомножителя. Скалярное произведение вектора
на себя называется его нормой. Норма всегда действи-
действительна.
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю,
говорят, что они унитарно ортогональны или просто
ортогональны, если это не может вызвать недоразумений.
Вектор с нулевой нормой ортогонален самому себе и на-
называется (унитарно) изотропным вектором. Все изот-
изотропные векторы заполняют (унитарный) нулевой конус
с уравнением
~^Т.„ у-х — п C 5)
Вели 0 <; у <; п, то существуют как векторы, имеющие по-
положительную норму, так и векторы с отрицательной нормой,
так же как и в /?я. Но если индекс равен 0 или я, то
нулевой конус не существует. Как и в Я„, Ет в 1/а является
Ит тогда и только тогда, когда оно не находится в особом
положении относительно нулевого конуса.
Вектор называется единичным вектором (единичный
кэт, единичный бра), если его норма равна -\-1 или —/•
Он остается единичным при умножении на скаляр вида №
(фазовый множитель). Очевидно, базисные векторы Г
4. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В Е„ И У„ 339
„ C.1) являются единичными кэт, а 1к — единичными бра.
Они образуют (унитарно) ортогональную систему. Орто-
Ортогональные системы переводятся друг в друга всеми уни-
унитарными преобразованиями, т. е. преобразованиями, оста-
оставляющими инвариантным а-^. С* является унитарным пре-
преобразованием тогда и только тогда, когда
УкР1/Х5ар5 = аЛ, C.6)
или в другой форме
^„^^ ^^
Геометрия в 1/„ базируется на унитарной группе Оап,
состоящей из всех унитарных преобразований.
Если фундаментальный тензор а^х определенный (з = 0
или 5 = я), то имеет место следующая теорема для эрмитовых
тензоров в 1/п (ср. II, § 14).
Теорема о главных осях эрмитового тен-
тензора.
Если эрмитов фундаментальный тензор определен-
определенный и если Т~к — эрмитов тензор, то всегда можно
найти унитарно ортогональную систему (п), такую,
что
Тп=-0 (/. /=1 п; }ФЦ. C.8)
Если фундаментальный тензор не является определенным,
то теорема о главных осях справедлива лишь для тех тен-
тензоров, которые не находятся в особом положении относи-
относительно нулевого конуса C.5).
4. Матричное исчисление в Еа и иа
Можно построить матричное исчисление с сокращенными
обозначениями в Е„ (ср. II, § 13) таким образом, что оно
будет включать не только величины первого, но также и
второго рода и гибридные величины. Однако, так как имеются
четыре типа векторов и шестнадцать типов величин валент-
валентности 2, такую систему обозначений не приходится рас-
рассматривать всерьез. Но в Vа мы имеем только два типа
векторов, кэт и бра, и четыре различных типа величин
валентности 2, которые могут отличаться своей структурой:
22*
340 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
кэт-кэт (/кХ), кэт-бра (Р*.), .бра-кэт (()■*) и бра-бра фы)
Кроме того, комплексно сопряженным кэт является бра, и
это уменьшает до трех число величин, необходимых для целей
символики. Каждый вектор имеет два типа компонент,
а каждая величина валентности 2 — четыре, например /к\
/\, /-\ /-^. Но если фундаментальный тензор положи-
положительно определенный и если используются только унитарно
ортогональные системы координат, то все эти компоненты
численно равны.
Как и в II, § 13, мы используем знак | для обозначения
изомера. Окажется удобным использовать его также для
скаляров и векторов, хотя изомер скаляра или вектора,
конечно, совпадает с самой величиной. Посредством — мы
обозначаем операцию образования комплексно сопряженной
величины, т. е. величины с комплексно сопряженными ком-
компонентами. Новый знак -+- может символически обозначать
комбинацию этих двух (всегда коммутирующих) операций.
Скалярное произведение бра и и кэт V записывается.
в виде ию или г»и. Таким образом,
-.
D.1)
но если мы хотим рассматривать это произведение как ска-
скалярное произведение двух кэт и, V или двух бра и, V, мы
используем для обозначения умножения точку:
и ■ V = иг» = ©и = г»и = г» -а,
— _ D-2)
и ■ V = «г> = VII = VII = V • И.
Записывая произведения без знака, мы должны следить
за тем, чтобы каждый кэт-(бра-)множитель справа стоял
после бра- (кэт-) множителя слева. Следовательно, необходимо
помнить о характере всех рассматриваемых величин. Начи-
Начинающий для облегчения запоминания может сначала упо-
употреблять различные совокупности коренных букв для величин
разных типов, например р, д, г, з, г для скаляров, а, Ь,
с, и, V, -а) для векторов, заглавные буквы для величин
типа бра-кэт или кэт-бра и /, §, п. к, I для величин типа
кэт-кэт или бра-бра. Однако после приобретения некоторого
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 34*
навыка1) приходится обходиться без этих приемов, так кая
в физике остается мало произвола для выбора буквеннъи
обозначений. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем,
в матричном исчислении Дирака имеются и другие способы
облегчения запоминания,
Мы имеем следующие правила употребления знаков |,
— и + в произведениях:
| применяется к каждому сомножителю с изменением и*
порядка, например:
(/VI = VР = VР = рV,
1 D-3)
. 11+ I
{иРV) = ъРи =
— применяется к каждому сомножителю без изменения
их порядка;
+ применяется к каждому сомножителю с изменением
их порядка, например:
_ ++ +1 _+ +
(иР^V)+ = у<ЗРи — V^Ри,
+ + _+
(йн)+ = иН = иН = Ни,
__ ,,+ 1+ _ <4-4>
(А/ и)+ = и/А = и/А = А/и.
(РА/и)+ = и/ЬР = а/НР = Рк/п.
Простота этих правил для | и -+- обусловлена, конечно,
нашим соглашением относительно применения | к скалярам
и векторам.
5. Линейные операторы
Имеется два рода линейных операторов: кэт-бра опера-
операторы Т\ и их комплексно сопряженные бра-кэт операторы
Т\ . Собственные значения и собственные векторы (кэт н
') Обычно физики приобретают этот навык значительно быстрее,
чем чистые математики, возможно, потому, что они стремятся
к скорейшему получению физических результатов и не интересуются
формальными сторонами этого исчисления.
342 Х- МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
бра) определяются так же, как и в II, § 14. Но здесь нас
особенно интересует случай, когда эрмитов фундаментальный
тензор положительно определенный, а оператор эрмитов,
**• е> ^п>. является эрмитовым тензором (ср. B.5)):
Г = 7\ E.1)
В этом случае собственные значения являются корнями
уравнения
О(Т-оа-к) = 0. E.2)
Если о — собственное значение, то существует кэт г>ч
такой, что
74; = о©. E.3)
Применяя оператор -)-, получаем
++ _
уТ = уТ = оу. E.4)
откуда
*>7Ч> = очго = ОVV, E.5)
1 1
а это возможно лишь в случае, если а = а. Следовательно,
все собственные значения эрмитового оператора действи-
действительны.
Если о и о — два разных собственных значения и V
12 1
иг» — соответствующие собственные кэт, то мы имеем
2 _ _ _
х>7Ч> = 0г>г> = агм>, E.6)
12 2 12 112
а это возможно лишь тогда, когда V и V унитарно орто-
1 2
гональны-
Согласно теореме о главных осях существует унитарно
ортогональная система (А), такая, что
откуда мы видим, что все компоненты Т^, .... Т-а являются
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 343
собственными значениями. Они не обязательно должны быть
различными и некоторые из них могут равняться нулю.
Если Рт. принадлежит совокупности г равных собственных
значений, например
то векторы /х С' порождают Ег, каждый вектор ко-
1 2
торого является собственным вектором, принадлежащим Ру,.
Так как /*,...., /х образуют унитарно ортогональную си-
1 г
стему, это Ег является IJ. Аналогичным образом может быть
найдена совокупность плоских подпространств 1/г/, Ц&, . . .
... Сг!+.г2 + ••• =л), ортогональных друг другу, и каж-
каждое из которых принадлежит одному определенному соб-
собственному значению. Наоборот, если собственному зна-
значению соответствует 2-мерное подпространство, то этому
значению принадлежат в точности г линейно независимых
собственных кэт (бра).
Пусть Р и Я—два эрмитовых оператора. Пас интересует,
будет ли также эрмитовым их произведение. Из
р<2 = (Ж?) * = ЯР = ЯР E.9)
мы видим, что необходимое и достаточное условие этого
состоит в том, что Р и Я коммутируют.
Для коммутирующих операторов имеет место следующая
теорема.
Эрмитовы операторы Р, Я> ■ ■ • коммутируют тогда
и только тогда, когда они имеют по крайней мере
одно общее множество п линейно независимых собст-
собственных кэт (бра).
Доказательство1)-
Мы дадим здесь доказательство для двух коммутирующих
операторов. Обобщение очевидно. Пусть Р и Я коммутируют,
и пусть V — собственный кэт Я> принадлежащий собст-
собственному значению ц. Тогда V может быть разложен по
1
') Ср. Дирак 1947. 5. р. 49.
344 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
собственным кэт Р.- Пусть это разложение имеет вид
ъ = ж+ ... -{-ста, E.10)
/ / 2 2 '
где V V — собственные кэт Р, принадлежащие собст-
1 г
венным значениям % I оператора Р. Не уменьшая
общности, мы можем теперь предположить, что все эта
собственные значения различны. Тогда мы имеем
(<Э — И/)(<™+ ...+00) = 0, E.11)
11 гг
и для любого иыбора а(а = 1, .... г)
— 11)ау = (<2 — ц) Реп/ = А, (<2 — ц) сгл E.12)
1 а а 1 а а а I а а
Отсюда мы видим, чго все г кэт (ф — ц.)ат/ являю ся соб-
1 аа
ственными кэт Р. Но тогда E.11) выражает тот фякт, что
сумма г собственных кэт Р, принадлежащих г различным
собственным значениям, равна нулю. А это возможно лишь
в том случае, когда каждый из этих собственных кэт равен
нулю, откуда
Оу = №, E.13)
а 1а
а это означает, что каждый г;(а = /, . . ., г) является общим
а
собственным кэт Р и (±. Мы доказали сейчас, что каждый
собственный кэт <5 может быть выражен линейно через
совместные собственные кэт Р и С}. Поэтому, так как ^
имеет п линейно независимых собственных кэт, должны
существовать п линейно независимых общих собственных
кэт Р и С?. Из E.7) немедленно следует, что Р и С} ком-
коммутируют, если они имеют п линейно независимых общих
собственных кэт.
Множество п линейно независимых общих собственных
кэт (бра) коммутирующих эрмитовых операторов Р, <2, • ■ •
называется полным множеством, принадлежащим этим
операторам. Каждый кэт (бра) полного множества принад-
принадлежи одной определенной комбинации собственных значений
Р. B, . .. Наоборот, каждой комбинации собственных зна-
6. АЛГЕБРА ВЕКТОРНЫХ МНОЖЕСТВ 345
чений Я, С ... принадлежит по крайней мере один кэт
(бра) полного множества. Как мы увидим в дальнейшем,
это важно для обозначения кэт (бра) полного множества.
Любой оператор Р преобразуется в ТРТ~1 любым другим
(не обязательно эрмитовым) оператором Т. Если Р — эрми-
эрмитов, нас может интересовать, будет ли также эрмитовым
преобразованный оператор при любом выборе Р. Из
ТРТ~' = (ТРТ~')+ = Т~'РТ = Т~!РТ E.14)
следует, что
ТТР = РТТ. E.15)
+
Отсюда ТТ коммутирует с каждым эрмитовым оператором
и, следовательно, с любым оператором. Но это возможно
+
лишь в том случае, если ТТ равен с точностью до скаляр-
скалярного множителя тождественному оператору. Этот множитель
должен быть действительным, так как
E.16)
Отсюда необходимое и достаточное условие заключается
в том, что Т—унитарное преобразование (Т—Т~', ср. C.7))
с точностью до скалярного множителя.
6. Алгебра векторных множеств
Рассмотрим множество элементов А, В для которых
определены три операции: сложение, вычитание н умножение
на комплексное число. Предположим, что операции удовлет-
удовлетворяют следующим условиям:
= С — А, если А-{-В = С,
( F.1)
= (аР1 А,
346 X, МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
Здесь а, р — комплексные числа. Такое множество может
быть названо векторным2), так как множество всех контра-
вариантных векторов в Еп удовлетворяет этим условиям.
Но все тензоры в Еп с одинаковой валентностью и одина-
одинаковым расположением индексов также образуют векторное
множество. Во всех этих специальных множествах все эле-
элементы могут быть линейно выражены через конечное число
элементов этих множеств. Однако мы не будем делать этого
предположения относительно рассматриваемых здесь мно-
множеств более общего типа.
Пусть а, Ь, ... —другое векторное множество. Тогда мы
можем рассмотреть линейное соответствие между двумя мно-
множествами, такое, что каждому элементу А соответствует
один и только один элемент а:
а = Р(А), F.2)
и при любом выборе элементов А и В
Р(аА) = аР(А). F.3)
Такое соответствие может быть названо линейным преоб-
преобразованием типа А->а. Пусть О (А) — другое линейное
преобразование типа А->а. Тогда мы можем определить
преобразование аР-{-$0 того же типа с помощью уравнения
F.4)
откуда следует, что все такие линейные преобразования об-
образуют новое векторное множество. Следовательно,
Если заданы два векторных множества А и а, то
все линейные преобразования типа А->а образуют
другое векторное множество, и это справедливо также
для всех линейных преобразований типа а->А.
В виде примера мы возьмем все симметричные тензоры А*
в Еп в качестве множества А и все векторы •&>>, в качестве
множества а. Тогда преобразованием типа А->а соответ-
соответствуют тензоры Ру.х^, симметричные по иХ, а преобразова-
преобразованиям типа а -> А — тензоры С}*1*1, симметричные по %к.
Очевидно, комплексные числа сами образуют векторное
множество.
') В оригинале уес(ог-Ике — вектороподобные. Обычно такое
множество называется линейным пространством. — Прим. перев.-
6. АЛГЕБРА ВЕКТОРНЫХ МНОЖЕСТВ 347
Если для некоторого соответствия
F.5)
вместо F.3) справедливы соотношения
F.6)
то это соответствие называется антилинейным, преобра-
преобразованием типа А~>а. Если а'Р-\-р'О определяется урав-
уравнением
(а'Р+ р'О) (Л) Ш а'Р (А) + р'О (А) = 'Р (а А) + 'О (рЛ).
F.7)
то антилинейные преобразования образуют другое векторное
множество.
В частном случае комплексных чисел антилинейное пре-
преобразование задано априори, а именно а—>а. Пусть теперь
а, Ь, ,.. — произвольное векторное множество и а, р, .. . —■
множество комплексных чисел. Рассмотрим одновременно
линейные и антилинейные преобразования типа а—>а. Каж-
Каждое из этих преобразований может быть определено за-
заданием преобразования единицы. Пусть Т;, Тг и Ту, 'Т2--
преобразования, для которых
Г/:/-►а., а-хха/; 'Тг.1-±а;, а->аа7, F.8)
Тг: I -> а?, а-* аа2; 'Тг: / -> а*, а
Тогда мы имеем для преобразований Хрг-^-ХгТо и Х/Т] -(- кг'Г_;
где Я./ и Хг — комплексные числа
= а (Я,/в/ -\- Х?а2); F.9)
а -> ?./аа7 + Я^ааг = а
Следовательно, существует линейное взаимно однозначное
соответствие между множеством а, Ь, ... и множеством
Ти Тг. ... Действительно, Г, и Т2 могут быть отождест-
отождествлены с а/ и а2 и т. д. Но между множеством а, Ь, ...
и множеством 'Ти 'Т? существует взаимно однозначное ан-
антилинейное соответствие. Мы пишем а для преобразования
348 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
и называем а, Ь сопряженными а, Ь, ... и на-
наоборот. Термин комплексно сопряженный вводил бы в за-
заблуждение, так как а и а не могут складываться, и, следо-
следовательно, а не может быть разложено на действительную и
мнимую части '). Легко проверить, что ка + цЕ и ка ■+■ цд
являются сопряженными друг другу.
Подобным же образом, отправляясь от заданного век-
векторного множества, можно построить целую систему век-
векторных множеств. Если первое множество является мно-
множеством всех контраварнантных векторов в Еп, мы находим
не только все ковариантные, контравариантные и смешан-
смешанные тензоры первого рода, но и те же величины второго
рода и все гибридные величины. В общем случае процесс
совершенно аналогичен данному, но является менее специа-
специализированным, так как теперь мы не предполагаем, что в лю-
любом множестве все элементы могут быть выражены линейно
через конечное число из них.
7. Кэт- и бра-векторы Дирака2)
Следуя Дираку, мы будем отправляться от некоторого
заданного векторного множества и будем называть его эле-
элементы кэт-вектор а ми, или просто кэт- Эти кэт являются
пока аналогами не кэт из Vп в § 3, а контра- (ко)вариант-
ных векторов в Еп. Векторы в Еп могут быть обозначены
их компонентами, например V*. Но это обозначение тесно
связано с возможностью их линейного представления через
конечное число базисных векторов. Так как мы больше не
сохраняем это предположение, мы должны искать другой
метод обозначения для кэт. Это не является, однако, про-
простым делом в связи с тем, что, как мы увидим позднее,
обозначение должно содержать определенное количество
информации. Таким образом, обозначение одной коренной
буквой, как в матричном исчислении в § 4, не является
более удовлетворительным. Следовательно, единственный
выход заключается в том, чтобы сопоставить кэт символ
') По этой же причине Дирак использует выражение «мнимо
сопряженный» вместо «комплексно сопряженный» в аналогичном
случае A947. 5).
2) Ср. Дирак 1947.5.
7. КЭТ- И БРА-ВЕКТОРЫ ДИРАКА 349
в виде ящика, в который может быть заложена вся инфор-
информация. Но это как раз то, что делает Дирак. Для кэт он
записывает ящик в виде | ) с обозначением внутри, состоя-
состоящим из такого количества букв и цифр, которое необходимо
для представления всей информации. Согласно § 6 из кэт
и комплексных чисел может быть построено новое вектор-
векторное множество. Элементы этого множества называются бра-
векторами или просто бра и обозначаются ящиком в форме
( | с обозначением внутри. Они пока соответствуют не бра
из ип в § 3, а ко- (контра)вариантным векторам в Еп.
Согласно §. 6 каждому бра (Л | и кэт | В) принадлежит
одно и только одно комплексное число, которое называется
скалярным произведением (А\ и \В) и обозначается
бра-кэт символом (А\ВI). Это снимает покрывало
тайны с названий бра и кэт и приятным образом показы-
показывает, что в математике еще сохранилось некоторое чувство
юмора!
Во многих случаях необходимы некоторые ограничения.
Если мы, например, возьмем функции переменной л; на не-
некотором отрезке в качестве кэт, то бра являются так назы-
называемые функции интервала (области), т. е. некоторый
тип аддитивных функций множества2). Наилучшим обозна-
обозначением для них является рх, где X — интервал. Задание
такой функции означает, что каждому интервалу X соот-
соответствует число Рх, причем, если X и У не имеют общих
точек и если X -\- V есть интервал, состоящий из всех точек,
принадлежащих или А' или V, то всегда Рх+Г = Рх-{- ру.
Произведение бра Рх и кэт / (х) является тогда интегралом
G.1)
взятым по некоторому выбранному определенным образом
интервалу. Следовательно, необходимое ограничение заклю-
заключается в том, что рассматриваться будут лишь такие функ-
функции точки .и интервала, для которых существуют эти интег-
интегралы.
') Ьгаске! — скобка. Иногда в русской литературе вместо «кэт»
и «бра» употребляются соответственно термины «вектор» и «со-
вектор». — Прим. перев.
2) Ср. ван Данциг 1936.3.
350 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
Каждая интегрируемая функция /(х) может рассмотри»
ваться как функция интервала, так как для каждого интер-
интервала, где /(*) интегрируема, ей соответствует Г /{х)йх,
ззятый по этому интервалу. Но не каждой функции интер-
интервала соответствует некоторая функция х. В качестве при-
примера мы упомянем функцию интервала 6 (л; — а), опреде-
определяемую соотношением
г { 1, есл
^ 6 (* — а) ах — { 0
если интервал содержит х = а,
, не содержит х = а.
G.2)
Эта функция может быть аппроксимирована некоторой функ-
функцией, принимающей очень большие положительные значения
в окрестности х = а и значения, близкие к нулю во всех
остальных точках. Но не существует никакой функции х,
которая могла бы точно заменить 6(х — аI). Функция ин-
интервала Ь(х— а) удовлетворяет некоторым элементарным
соотношениям, например:
(а) б (-х) =
(Ъ) хб (х) = О,
(с) Ь(ах) = а~
(ф $6(а — х)с1хЬ(х—1>) = 6(а—Ь). G.3)
(е) /(*)«(* — а) = /(аN(х~ а),
(Г)
которые могут быть доказаны2). Ван Данциг3) вводит
') С современной точки зрения б-функция является простей-
простейшим (и наиболее важным для приложений) представителем обобщен-
обобщенных функций. Ср. Гельфанд и Шилов 1959.1. — Прим. перев.
2) Ср. Дирак 1947.5.
3) 1936.3. Эта точка зрения является более общей, так как его
функции точки определены на общем сепарабельном топологиче-
топологическом пространстве. Тогда Рх являются абсолютно аддитивнмю
функциями множества, которые сопоставляют действительное илв
комплексное число каждому борелевому подмножеству.
7. КЭТ- И БРА-ВЕКТОРЫ ДИРАКА 351
функцию точки-интервала, определяемую соотношением
если хС-Х,
если хьХ,
Но,
и получает уравнения:
Л /
(а)
G.5)
в точном соответствии с обозначением свертки в тензорном
исчислении. G.5 а) заменяет фундаментальное соотношение
G.3*).
Чтобы привести в соответствие определенные здесь кэт
и бра с кэт и бра из § 3, мы должны теперь ввести, как
в § 6, векторные множества, соответствующие векторам
второго рода V*, то^-, затем множества, соответствующие
гибридным величинам Р—х, и. наконец, один из элементов
этого последнего множества должен быть принят в качестве
фундаментального тензора. Однако если мы имеем в виду
построение символического исчисления только для группы Оап
с положительно определенным фундаментальным тензором,
это может быть сделано более простым способом, а именно
немедленным введением фиксированного взаимно однознач-
однозначного антилинейного соответствия между кэт и бра. Дирак
использует эту возможность. Он обозначает через (Л | бра,
сопряженный кэт \А). Таким образом, если \А) соответ-
соответствует V*, {А | соответствует Vк = &*а-х. Так как замена | )
на (| делает это достаточно ясным, нет необходимости
писать (Л|'). Свойства эрмитовости и положительной опре-
определенности фундаментального тензора выражаются теперь
аксиомами:
(а) ' (А\В) = {В\А) {икV>■ = V>,и■^•), G.6)
(Ь) (А\А) = О, если только \А)=0
') Однако здесь имеется возражение, с которым мы встретимся
в § 12.
352 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
После этих шагов кэт и бра соответствуют кэт и бра из § 3;
но они являются значительно более общими. Итак мы видим,
что, следуя методам § 6, мы получаем сначала четыре рода
величин, которые затем попарно отождествляются введением
фундаментального тензора. Используя метод Дирака, мы сразу
получаем только два рода величин, тогда как фундаменталь-
фундаментальный тензор вообще не появляется в явном виде.
Длина кэт (бра) может быть теперь определена как ко-
корень квадратный из (Л|Л), а ортогональность кэт (бра) —
с помощью уравнения
<Л|В> = 0. G.7)
Приложение метода § 6 к линейным преобразованиям
кэт->кэт или бра->бра приводит к двум различным типам
линейных операторов: кэт-бра и бра-кэт. Возвращаясь те-
теперь к обозначениям § 4, мы можем записать произведение
типа пТу в следующих формах:
«74/ = юТи — г<Тп, G.8)
откуда мы видим, что это выражение может быть также
записано с оператором Т типа бра-кэт вместо оператора Т
типа кэт-бра простым изменением порядка сомножителей.
Это обстоятельство может быть использовано для дальней-
дальнейшего упрощения обозначения, если употреблять только кэт-
бра операторы и обозначать их некоторой буквой без ка-
каких-либо скобок. Ниже приводится перечень ряда таких
произведений и некоторые соответствующие формы записи
по методу коренных букв и индексов:
а\А):а\А\ а*ХЛг, а}лГ,
{В\а:В.ла\, В\^ В^; _ <7"9>
(В|а| Л) : Вуа\Ах = Вха-^АХ = В*аккАт;
Если задан кэт-бра оператор а, мы можем определить
оператор Р такой, что
7. КЭТ- И БРА-ВЕКТОРЫ ДИРАКА 353
или в другой записи
а\АТ=А/1аш = АТ^[. G.11)
+
Следовательно, р соответствует а из § 4. Но з исчислении
Дирака а, т. е. а^х, никогда не встречается, так как это
бра-кэт оператор. Отсюда удобно обозначать через а то,
+ _
что в § 4 обозначалось как а, и называть а сопряженным') а.
Из правила применения операции + к произведениям мы по-
получаем правило:
Сопряжение произведения есть произведение сопря-
сопряженных сомножителей, взятых в обратном порядке.
Тождественный оператор, соответствующий Л*, а также
а~,Л и «**• в § 3 теперь является просто числом /. Наконец-то
здесь появляется фундаментальный тензор!
Векторные множества, соответствующие ко- или конт-
равариантным тензорам любой заданной валентности, могут
быть получены по методам § 6. Каждая величина этого типа
является суммой произведений ко- или контравариантных
векторов. Следовательно, выражение
\А,)\А2)...\Аа) G.12)
и суммы таких выражений могут рассматриваться как сим-
символы элементов векторных множеств, соответствующих (кэт)-
тензорам валентности и. То же справедливо для бра-векто-
бра-векторов. Если не возникнут недоразумения, можно использовать
обозначения |Л/ ... Ла). Это усовершенствование символики
особенно важно в тех случаях, когда приходится иметь дело
со сложными динамическими системами, такими, как системы
частиц со статистикой Бозе (соответствующих симметрич-
симметричным тензорам) или со статистикой Ферми (соответствующих
поливекторам).
Собственные значения оператора определяются, как в § 5.
Если мы имеем
а\А) = а'\А) G.13)
') Днрак использует выражения «присоединенный» и «комплек-
«комплексно сопряженный». Мы предпочитаем использовать термин «ком-
«комплексно сопряженный» только для чисел, а термин «сопряженный»
для всех остальных объектов.
23 Я. А. Схоутен
354 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
для некоторого оператора а, где а' —скаляр, то а' назы-
называется правым собственным значением а, а \А) соб-
собственным кэт, принадлежащим этому собственному значе-
значению. Левое собственное значение определяется аналогич-
аналогичным образом. Если а — эрмитов, т. е. а = а, то G.13) мо-
может быть записано в виде
\а — а'{А\. G.14)
Но из G.13) и G.14) следует, что
(А\а\А) = а' = а', G.15)
и это доказывает, что каждое собственное значение действи-
действительно и одновременно является правым и левым и что
сопряженный каждого собственного кэт (бра) является соб-
собственным бра (кэт), принадлежащим тому же собственному
значению.
Если а' и а" являются двумя различными собственными
значениями а и | Л) и \В) — принадлежащие им собствен-
собственные кэт, то мы имеем
G.16)
и, следовательно,
(А\В) = 0. G.17)
Отсюда собственные кэт (бра), принадлежащие различ-
различным собственным значениям эрмитова оператора,
являются взаимно ортогональными.
Если | Л) — собственный кэт, то и произведение | Л) на
любой скаляр также является собственным кэт, принадлежа-
принадлежащим тому же собственному значению. Это можно использо-
использовать для нормировки собственного кэт (бра) выбором ска-
скалярного множителя таким образом, чтобы норма принимала
любое подходящее значение г. Мы называем это «нормиров-
«нормировкой на г» '). г может принимать любое действительное зна-
значение, например 1 или со (некоторого рода). Скалярный
множитель, необходимый для нормировки кэт (бра), фикси-
фиксируется только с точностью до скалярного множителя вида $'♦
') Мы используем термин «нормировка» в более общем смысле,
чем Дирак. Его нормировка всегда есть нормировка на единицу.
8. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 355
{фазовый множитель). Но мы предположим, что процесс
нормировки включает выбор фазового множителя.
Таким образом, нормированный кэт (бра) полностью
фиксирован.
8. Физическая интерпретация')
Чтобы понять необходимость дальнейших усовершенство-
усовершенствований, мы должны иметь некоторое представление относи-
относительно физической интерпретации кэт, бра и линейных опе-
операторов. В квантовой механике динамическая система может
находиться'в различных состояниях, и результат измерения
динамических переменных (например, компонент некоторой
физической величины) зависит от того, в каком состоянии
находится система. Однако, в отличие от классической меха-
механики, если система находится в произвольном состоянии,
результат измерения не может быть предсказан. Если дина-
динамическая переменная вообще может быть измерена, возможно
лишь предсказать множество ее допустимых значений и для
каждого из них вероятность того, что оно может быть
результатом измерения. После измерения система как бы
«перескакивает» в некоторое специальное состояние относи-
относительно этой переменной, так как в этом новом состоянии ре-
результат второго измерения той же переменной будет всегда
совпадать с результатом первого измерения. Например,
в классической механике положение точки на оси х задается
одной динамической переменной х, и количество состояний
равно количеству возможных значений х. Если точка нахо-
находится в состоянии х=3, то каждое измерение в этом состоя-
состоянии дает с достоверностью результат х = 3. Но в кванто-
квантовой механике существуют другие состояния (и мы знаем,
как их осуществить), в которых имеется только определенная
вероятность обнаружить измерением х, например между 3
и Зу.
В матричном исчислении каждый линейный оператор
связан с рядом чисел, еГо собственными значениями. Динами-
Динамические переменные всегда действительны, а мы знаем, что эр-
эрмитовы операторы имеют только действительные собственные
') См. Д и р а к 1947. 5, р. 45 и далее.
356 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
значения. Отсюда представляется возможным связать каждую
динамическую переменную с эрмитовым оператором (называе-
(называемым также действительным оператором) и предположить, что
результатом измерения (если оно вообще возможно) может
быть только одно из собственных значений. Это приводит
к предположению, что каждому состоянию соответствует
некоторый кэт (и его сопряженный бра), определенный с точ-
точностью до скалярного множителя. Так как мы знаем, что
каждому собственному значению соответствует собственный
кэт или множество собственных кэт, мы можем ожидать,
что собственные состояния, т. е. состояния, соответствую-
соответствующие этим собственным векторам, являются состояниями,
в которых результатом измерения с достоверностью является
это собственное значение. Что касается других состояний,
то необходимо предположить, что их соответствующие кэт
могут быть выражены линейно через те собственные кэт,
чьи собственные значения могут быть возможными резуль-
результатами измерения в этом состоянии. Но так как это спра-
справедливо для каждого другого состояния, это значит, что
оператор должен иметь достаточное количество соб-
собственных кэт, чтобы каждый кэт мог быть выражен
в виде их линейной комбинации. Динамическая перемен-
переменная, соответствующая такому эрмитову оператору, называется
наблюдаемой. Говорят, что состояния наблюдаемой, а также
соответствующие кэт (бра) образуют полную систему.
Как мы видели в § 5, эрмитов оператор в 1/„ всегда
имеет в точности я взаимно ортогональных собственных кэт.
Но в общем случае число собственных значений может быть
счетным или несчетно бесконечным и эти вначения могут
быть дискретными, т. е. распределенными дискретно, или
непрерывными, т. е. состояниями из всех чисел одного или
нескольких интервалов. Таким образом, мы имеем следую-
следующие возможности:
только дискретные: •
только непрерывные: —: ■ ■
те и другие: . . . . • • • • • •
Если I — эрмитов оператор, мы обозначим дискретные
собственные значения через |г (г — 1, 2, ...). Если по
какой-либо причине мы будем использовать из непрерывных-
8. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 357
собственных значений только счетное множество, мы будем
обозначать это множество через ^ (з = 1, 2, ...). Нако-
Наконец, каждое из |\ I", .. ■ обозначает действительную пере-
переменную, которая может принимать все значения из области
непрерывных собственных значений !). Соответствующие им
собственные кэт обозначаются Ц'), Ц*а). Ц'с), Ц"с), .. .
Это пример заполнения ящиков информацией по Дираку 2).
Предположим теперь, что | наблюдаемая. Тогда каждый
кэт \Р) может быть выражен в виде суммы дискретных
собственных кэт вместе со счетным множеством собственных
кэт из области непрерывных собственных значений и инте-
интеграла от непрерывных собственных кэт. Таким образом,
имеется уравнение вида
^ ( (8.1)
где интеграл берется по области, в которой с'', с* и с (;,')
конечны, \\г) и | !*<*) нормированы на /, а Ц'с) нормирован
некоторым подходящим образом.
Если два кэт \Р) к \С}) могут быть оба записаны в виде
интегралов по области некоторых непрерывных собственных
значений |', т. е.
\Р)=[с(ГI1'с)а\', \Я)=[сф11'с)а\\ (8.2)
то мы имеем
<р | а) = Г Г с Г) с (|0 (%"с 11'с) аг й%'- (8.3)
В первом интеграле
") (8.4)
Ц"с) ортогонален Ц'с) во всей области, кроме точки Ъ" = 1',
и с и с конечны. Но это значит, что интеграл должен
р с
') Здесь мы несколько отходим от Дирака, чтобы прояснить
ситуацию для начинающего.
2) с и а — здесь ие множители, а обозначают соответственно
«непрерывный» (сопAпиои$) и «дискретный> (<Шсге1е).
358 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
равняться нулю, если (I" с\%'с) конечно. Но (РЮ) не может
всегда равняться нулю, и, следовательно, 11 с) не может
быть нормирован на любое конечное число г. Интеграл (8.4)
может быть записан в виде
{'с)а1", (8.5)
а этот интеграл может быть конечным, если только (|"с | |'с)
равно с точностью до скалярного множителя 6(|" — |'),
Следовательно, конечные скаляры с(|') и с(|') могут быть
р о
всегда преобразованы таким образом, чтобы
A"с\1'с) = ЬA"-1'). (8.6)
Мы называем это нормировкой на Ь-функцию. Это беско-
бесконечная нормировка, но очень специального вида.
Можно доказать, что разложение (8.1) единственно,
если только никакие два члена, входящие в суммы,
не принадлежат одинаковому собственному значе-
значению '). Это условие всегда выполняется, если каждому соб-
собственному значению | принадлежит только одно собственное
состояние (т. е. со' собственных кэт, отличающихся только
скалярным множителем).
9. Функции наблюдаемых 2)
Под функцией /(|) наблюдаемой мы понимаем такую
наблюдаемую, что измерение /(|) в любом состоянии дает
с достоверностью результат /(|0 тогда и только тогда,
когда измерение | в том же состоянии дает с достовер-
достоверностью результат |', где |' теперь обозначает любое соб-
собственное значение. Это приводит к математическому опре-
определению
которое справедливо для любого собственного значения %'
при условии, что функция / (х) действительного перемен-
переменного х определена в области, содержащей все собственные
') Ср. Дирак 1947. 5. р. 40.
5) Там же р. 41 и далее.
9. ФУНКЦИИ НАБЛЮДАЕМЫХ 359
значения |, и что для каждого из этих собственных значе-
значений /(х) однозначна. Отсюда мы видим, что значения /(х)
для х, не являющихся собственными значениями |, не влияют
на функцию /(!)• Можно показать, что сумма и произведе-
произведение функций от | и функция функции от | также являются
функциями от |.
Физическая интерпретация результата измерения должна
быть теперь дополнена выражением для вероятности этого
результата. Мы предполагаем, что для любого состоя-
состояния \Х) действительное число {X 11| X) представляет
среднее значение результата измерения | в этом со-
состоянии, если только X нормирован на 1: (Х\Х) = 1.
Это можно выразить другим способом. Пусть Ьха есть функ-
функция х, которая принимает значение / при х = а, и значе-
значение 0 при х ф а. Тогда мы можем построить функцию б|а
наблюдаемой | и скалярной переменной а. Для всех значе-
значений х, которые не являются собственными значениями |,
значения 6ха не влияют на функцию б|а. Отсюда, если а не
является собственным значением |, мы имеем д$<, = 0. Если же а
есть собственное значение |, ?о результат измерения 6|в
равен соответственно единице или нулю в зависимости
от того, совпадает ли состояние с собственным состоянием,
принадлежащим а, или нет. Теперь, согласно нашему пред-
предположению, для каждого значения а
Ра = (Х\61а\Х) (9.2)
есть среднее значение результата измерения б|а в состоя-
состоянии \Х}. Ра = 0, если а не является собственным значе-
значением |, так как в этом случае 6|а исчезает.
Если а — собственное значение |, которое не принад-
принадлежит области собственных значений, то каждый раз, когда
измерение | дает а (не а), измерение 6?а дает единицу (нуль).
Если теперь выполнено большое число N измерений | и 6|а
и если измерение | дает значение а ЛЛ раз и другое соб-
собственное значение Ы — Ы' раз, то измерение 6^ дает еди-
единицу Л/' раз^ и нуль N — И' раз. Отсюда среднее значение
Ра — Пт -дт- является вероятностью того, что I имеет зна-
чение а в состоянии X.
В случае, если а принадлежит области собственных зна-
значений, вероятность найти в точности а, конечно, равна
360 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
нулю. Однако здесь мы интересуемся вероятностью Р{а)йа,
того, что | имеет значение между а и а-^-йа. При этом Р (а) йа
является функцией интервала. Пусть теперь Е^а есть функ-
функция точки-интервала ван Данцига, которая принимает значе-
значение 1, если х принадлежит интервалу а и а-\-йа, и равна
нулю во всех остальных случаях (ср. § 7). Тогда Е»в
является соответствующей функцией интервала-наблюдаемой ').
Если интервал йа не содержит собственного значения |,
мы имеем Е^а — 0. Но если интервал содержит одно или
более собственных значений, то результат измерения Е\а
равен соответственно единице или нулю в зависимости
от того, принадлежат ли состояния собственным значениям
из интервала или нет. По той же причине, что и выше,
мы видим, что теперь
Р(а)аа = (Х\Е1а\Х), (9.3)
если только | X) нормирован на единицу.
Если | X) не нормирован на единицу, Я (о) и Р{а)йа
будут пропорциональны соответственно вероятности того,
что | имеет значение а и принадлежит интервалу.
Очевидно, мы имеем
0 для г,фаг 0.4)
так как 11') является собственным состоянием б|а, принад-
принадлежащим нулевому собственному значению. Аналогично
0 ь'${а,
10. Представления и матрицы
Как мы видели в § 5, каждое множество эрмитовых
операторов в Еп имеет по крайней мере одну полную си-
систему общих собственных значений тогда и только тогда,
когда все операторы коммутируют. Можно показать, что
это справедливо и в общем случае для наблюдаемых:
') Здесь мы несколько отходим от Дирака A947.5, р. 48), так
как он не вводит в ясной форме функции интервала.
10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МАТРИЦЫ 361
Множество наблюдаемых имеет по крайней мере
одну полную систему общих собственных состояний
тогда и только тогда, когда наблюдаемые комму-
коммутируют ')•
Однако для получения представлений этого недостаточно.
Разложение (8.1) единственно тогда и только тогда, когда
никакие два члена не принадлежат одному собственному зна-
значению, а это можно обеспечить, только предполагая, что
полная система собственных состояний наблюдаемой такова,
что каждому собственному значению принадлежит одно и
только одно собственное состояние. Если наблюдаемая или
множество коммутирующих наблюдаемых удовлетворяют этому
условию, то говорят, что они образуют полную систему
коммутирующих наблюдаемых. В общем случае наблю-
наблюдаемая или система коммутирующих наблюдаемых не обра-
образуют полной системы, но имеется весьма важная теорема:
Каждая совокупность коммутирующих наблюдае-
наблюдаемых может быть дополнена до полной системы добав-
добавлением к ней некоторых наблюдаемых 2).
Если задана полная система коммутирующих наблюдае-
наблюдаемых, мы называем собственные кэт (бра), принадлежащие
общим собственным значениям и нормированные подходящим
образом, системой (всегда ортогональной) базисных кэт
(бра). Их удобно обозначать с помощью соответствующих
собственных значений. Пусть Ъ,г .... |и — полная система
коммутирующих наблюдаемых и пусть |, %'и — собствен-
собственные значения (дискретные или непрерывные), принадлежащие
некоторому собственному кэт. Тогда этот кэт (нормированный
подходящим образом) будет обозначаться через ||^ %'\,
а сопряженный бра —через (|], .... |^|. Базисные кэт ана-
аналогичны ортогональным базисным векторам I* в тензорном
исчислении, а системы чисел |;' \'а служат для того,
чтобы отличать их от остальных кэт и друг от друга,
подобно тому как коренная буква / служит для отличия
базисных векторов *и от других векторов и друг от друга.
') Ср. для доказательства Дирак 1947.5, р. 49.
2) Там же, р. 53 н далее.
362 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
Однако обозначение наших более общих кэт коренной буквой
с одним индексом оказалось бы не всегда приемлемым, так
как часто нам необходимо обозначение, которое ясно показы-
показывает, к каким собственным значениям принадлежит базисный
кэт. В этом состоит причина, почему в специальном случае,
когда рассматриваются только наблюдаемые, а базисные кэт
определяются полной системой коммутирующих наблюдаемых,
и когда, сверх того, базисные кэт образуют бесконечное
счетное или несчетное множество, столь эффективным является
введение обозначений с ящиками вида (| и |), в которых
может содержаться вся эта ценная информация.
Введя таким образом систему ортогональных базисных кэт
и их сопряженных бра, мы можем построить ортогональное
представление, т. е. каждый кэт, бра или линейный опе-
оператор могут быть представлены множеством действи-
действительных или комплексных чисел. Для кэт ] Р) или бра (С} \
мы получаем представления
а для оператора а — представление
Числа в представлении соответствуют ортогональным компо-
компонентам в 11п, и нет причин, почему мы не могли бы назы-
называть их ортогональными компонентами относительно
заданной системы ортогональных базисных кэт.
Наоборот, мы хотим теперь восстановить |Р), (<?| и а,
если заданы их ортогональные компоненты. Предположим
сначала, что имеется только одна наблюдаемая |, образую-
образующая полную систему. Тогда выражение (8.1)
=21
единственно, если Цг), [1*4) и \\'с) нормированы. Предста-
Представление Р состоит из ортогональных компонент A'!^*)
и A'с\Р). Пусть ||г) и Ц^} нормированы на единицу,
а \1'с) — на р-;6, где р —функция |г, |', называемая весо-
весовой функцией представления. Теперь второй член в первой
10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МАТРИЦЫ 363
части A0.3) может быть записан в виде
гдс а' — скалярный множитель, такой, что
а3\11с) = ЦЧ). A0.5)
Здесь \15с1) нормирован на единицу, а ||*с) — на р~76.
Таким образом, Р может быть теперь представлен в виде
где 11') заменяет | |'с) и с (|') является уже не обычной
ограниченной функцией, а суммой обычной ограниченной
функции и функции интервала, связанной с 6-функцией.
Умножая A0.6) на (|г| и р"(|"|. мы находим:
(а) {)
и после подстановки этих значений в A0.6) мы получаем
выражение )Р) через его ортогональные компоненты
г
Это можно записать также в виде формулы
Если имеется полная система коммутирующих наблюдае-
наблюдаемых |;, .... 1и, то мы будем иметь здесь дело со случаем,
когда |7. .... 1^ имеют только дискретные собственные
значения, а |г1+/, .... \а — только непрерывные. Тогда общий
собственный кэт \1] ... 1'и) может быть нормирован уравнением
=р"V; • • ■
364 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
и вместо A0.8) и A0.9) мы получаем
Из этого уравнения видно, что, используя р', мы вводим
некоторый базисный объем в пространстве с координатами
Аналогичным образом может быть рассмотрен общий
случай, когда все наблюдаемые имеют как дискретные, так
и непрерывные собственные значения.
Если имеется только одна наблюдаемая и число собствен-
собственных состояний конечно, то ортогональные компоненты опе-
оператора A0.2) образуют обычную матрицу. Рассмотрим сначала
случай полной системы коммутирующих наблюдаемых |; |в
и счетного числа общих собственных состояний, следова-
следовательно, только дискретных собственных значений. Тогда орто-
ортогональные компоненты A0.2) снова могут рассматриваться
как элементы матрицы, но уже бесконечной. Если обозначить
собственные значения через I,1, |г, ..., то каждый элемент
матрицы имеет вид (^аЦ*); г, $==/, 2, ... Отсюда сразу
следует, что |; |а и все наблюдаемые, являющиеся их
функциями, представляются диагональными матрицами,
т. е. с отличными от нуля элементами только на главной
диагонали. Тождественный оператор представляется единич-
единичной матрицей, т. е. диагональной матрицей, элементами
которой являются только -)-/.
Если а — эрмитов, а —а, то
Отсюда видно, что матрица эрмитова оператора является
эрмитовой матрицей.
Из A0.10) при нормировке на единицу следует, что
о. <10Л4>
10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МАТРИЦЫ 365
а это значит, что матрица произведения может быть получена
из матриц сомножителей по обычным правилам умножения
матриц.
Аналогично из выражения
A0.15)
следует, что если \Р) рассматривать как матрицу со счетным
числом строк и одним столбцом, то имеют место обычные
правила матричного умножения.
Рассмотрим теперь более общий случая, когда |;, .... \у
имеют только дискретные собственные значения, а |г/ + ;, . . .
, .., ^д — только непрерывные. Снова мы имеем множество
ортогональных компонент а, но это множество несчетно.
Тем не менее все множество чисел рассматривается как
матрица, представляюцая а. Вместо A0.14) мы получаем
согласно A0.12) для р' = /
- 2,/<«
в качестве правила умножения для этих обобщенных матриц.
Вместо A0.15) мы находим
A0.17)
откуда видно, что |Р) может рассматриваться как обобщен-
обобщенная матрица с несчетным числом строк и одним столбцом.
Для а = %1 и р' = / мы получаем
366 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
а это означает, что отличные от нуля элементы расположены
только на главной диагонали и что эти элементы имеют
весьма частный вид произведения (и—г>) б-функций.
Пусть теперь а есть оператор, коммутирующий с |,. Тогда
согласно A0.16) и A0.18) мы имеем
или, используя свойства 6-функций,
Но |; имеет только дискретные собственные значения,
и, следовательно, A'} ,.. 1'ц\о.\1" ... |*) должно иметь в ка-
качестве множителя о.у. Однако если мы возьмем |а
вместо |;, те же соображения приводят к заключению, что
(%, ... 1'а\о.\1'{ ... 11у содержит в качестве множителя
^(^и+/ — $'и+/)ш ОТС1°Да> еслн а коммутирует со всеми наблю-
наблюдаемыми %г .... |и, то все элементы вне главной диагонали
исчезают, а все элементы на главной диагонали имеют ту же
специальную структуру, что и у матриц |;, .... |ц. Все
матрицы с этой специальной структурой элементов коммути-
коммутируют. Коммутация является весьма важным свойством матриц,
и поэтому для матриц с несчетным числом строк и столбцов
мы используем термин диагональная матрица только
тогда, когда ее элементы имеют эту специальную структуру.
Недиагональные матрицы с несчетным числом строк и столбцов
могут обладать тем свойством, что все элементы вне главной
диагонали исчезают. Они часто встречаются в квантовой меха-
механике, но они не коммутируют с диагональными матрицами.
II. ВЕРОЯТНОСТИ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ 367
11. Вероятности и ортогональные компоненты1)
Пусть имеется полная система коммутирующих наблюдае-
мых ь I , такая, что первые V имеют только дискретные
собственные значения, а остальные и — V— только непре-
непрерывные. Нас интересует вероятность того, что результат
измерения всех этих наблюдаемых в состоянии |5) есть
?',..., |' Для первых ■у-наблюдаемых и лежит в интервалах
для остальных и — ■у-наблюдаемых. Согласно нашим пред-
предположениям в § 9 эта вероятность равна
... 6. .Е**+' ... Е*1» |5>. (ИЛ)
если |5) нормирован на единицу.
Полагая для удобства и — 2, V — ! и используя A0.12)
при р' = /. мы получаем согласно (9.4, 5)
Аналогичным образом находим в более общем случае A1.1)
'-^ (И.З)
и это означает, что плотность вероятности результатов изме-
измерения полной системы наблюдаемых I,, .... |и задается
квадратами абсолютных значений ортогональных компонент
состояния относительно полной системы общих собственных
состояний.
Ортогональные компоненты {Ь • • ■ |и [5) не являются
обязательно действительными и могут содержать множитель
вида е1ч>. Они называются амплитудами вероятности,
а этот множитель называется фазовым множителем. Он
не влияет на вероятность.
') См. Дирак 1947.5, р. 45 и далее, р. 72 и далее.
368 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
Если |5^ нормирован не па единицу, а на й, то
| (I; • • • 1'а\^) \2 аК + 1 ••• аК Не ЯВЛЯЮТСЯ ВероЯТНОСТЯМИ, НО
они пропорциональны вероятностям. В этом случае
ортогональные компоненты D; ... %'и\ 5) называются отно-
относительными амплитудами вероятности.
Мы часто интересуемся двумя различными представлениями
одной и той же динамической системы. Пусть т];, ..., п есть
другая полная система коммутирующих наблюдаемых (в об-
общем случае не коммутирующих с |), и пусть т]/ г\х имеют
только дискретные собственные значения, а ^ ,,.-., ц —
только непрерывные. Тогда из A0.12) и соответствующих
формул для т) мы получаем уравнения
A1.4)
ч;.-Ч A1.5)
которые выражают ортогональные компоненты Р относительно
систем общих собственных состояний наблюдаемых |; |и
и наблюдаемых т); г\^ друг через друга. Мы уже видели
в § 5, что преобразования, которые переводят полную орто-
ортогональную систему единичных кэт в другую такую же
систему, являются унитарными преобразованиями. Здесь мы
имеем полные системы, состоящие из бесконечного числа кэт,
причем кэт, нормированных на б, а не единичных. Тем не
менее A1.4) и A1.5) являются унитарными преобразованиями,
как это видно из соотношения (ср. C.7) и G.6а)) '
Коэффициенты A\'г ... х\'ш | %'{ ... %'и) могут рассматриваться
как своего рода вероятности. Если все | и т] имеют только
дискретные собственные значения, то псе собственные кэт
нормируются па единицу. Тогда (т]; • • • Т1^|^ • • • !«) является
12. ОБОЗНАЧЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ 369
одной из ортогональных компонент кэт 11/ •••&„) относи-
относительно полной системы общих собственных кэт наблюдаемых
■ц т^, и, таким образом, квадрат ее модуля представ-
представляет вероятность того, что измерение г\}, .... т|ж дает
ц[ т)^, если это измерение проводится в состоянии
12;', ... 1'Л, т. е. в состоянии, для которого измерение \'2 ... %,'
приводит с достоверностью к результату \'г .... \'и. С этой
точки зрения A1.6) может быть интерпретировано как теорема
взаимности.
12. Обозначение с помощью функций1)
Мы уже видели в § 9, что функция полной системы
коммутирующих наблюдаемых |; 1и есть такое соот-
соответствие между общими собственными состояниями и ком-
комплексными числами, что каждому из этих собственных состоя-
состояний принадлежит одно и только одно число. Следовательно,
согласно этому определению представитель (V] • • • 1и\Р)
любого кэт образует функцию от 1^ .... |ц. Обозначим эту
функцию через ^(|;, •■•. 1и) или для краткости
...1'и)^$A'). A2.1)
Тогда мы можем использовать \|)(|) для обозначения кэт |Р)
1^> = №(9)>- A2.2)
Чтобы понять, что это в действительности означает с точки
зрения тензорного исчисления, предположим, что число общих
собственных значений равно л и что I* <х ортогональные
1 П
общие собственные кэт, нормированные на единицу. Пусть |Р)
есть кэт Vх, V^_. Тогда его представителем являются орто-
ортогональные компоненты V1 ■у", которые численно равны
1*Г г/-. Но функция г|?(|) является теперь оператором:
о'Н+...+л1 A2.3)
') См. Дирак 1947.5, р. 79 и далее.
24 Я. А. Схоутев
370 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
Она определяется не только вектором Vя, но также и систе-
системой операторов, соответствующих с,х |о, так как эта
система полная и единственным образом определяет собствен-
собственные состояния, соответствующие /* I*.
1 п
При этой новой символике каждый кэт обозначается
функцией |1, ..., 1и. Рассмотрим теперь кэт |^)=|ф(|))
и другую функцию /(|). Мы хотим определить обозначение
для произведения /(|)|Р) (обращаем внимание, что /(у
наблюдаемая, а не скаляр!). Если \'} , . . %'и или, короче,
|'— общие собственные значения, то мы имеем
A2.4)
A2-5)
Отсюда
A2.6)
Но это уравнение показывает, что при новых обозначениях
вертикальная черта излишня и что мы можем писать
|Я)=фA)>- A2-7)
Теперь мы можем смотреть на ф(Ю) как на произведение
наблюдаемой т|>(|) на кэт /) или просто ). Последний назы-
называется стандартным кэт. Очевидно, он всегда принадлежит
к фиксированной полной системе коммутирующих наблюдае-
наблюдаемых и все представляющие его числа или ортогональные
компоненты равны -\-1. В тензорном исчислении он со-
соответствует кэт, все п ортогональных компонент которого
равны /:
/*+... +/и. A2.8)
Свертка A2.8) с A2.3) дает вектор V*.
То же может быть сделано с бра. Если
02-9)
12. ОБОЗНАЧЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ 371
то бра (<2| может быть записан в виде (ф(&)| или (ф(|)
и может рассматриваться как произведение наблюдаемой ф(^)
и стандартного бра (, соответствующего бра
в тензорном исчислении. Очевидно, (Р\ должен соответство-
соответствовать $
Теперь и кэт и бра обозначаются функциями от |;
и единственная разница состоит в знаках ) и (, обозначаю-
обозначающих умножение кэт (бра) на любой оператор слева (справа).
Мы можем часто опускать эти знаки и просто помнить,
обозначает ли /(|) кэт, бра или оператор. Это именно то,
что в действительности делали многие авторы со времен
создания квантовой механики. Они работают с некоторым
эрмитовым оператором, например Н, который является функ-
функцией системы коммутирующих наблюдаемых и волновой
функцией, например ф, тех же наблюдаемых. Эта волно-
волновая функция может умножаться на Н слева: Ягр обозначает
//|ф). Тогда сопряженная гр может умножаться только
справа: ф Н обозначает (ф|#. Произведение г|лр обозначает
С помощью этих сокращенных обозначений Дирак возвра-
возвращается к привычной форме волновой механики. Но эти сокра-
сокращенные обозначения вводятся теперь не аЛ Нос2), а являются
составной частью теоретически хорошо обоснованного исчи-
исчисления, которое может быть использовано во всех случаях,
включая и те, в которых чрезмерное сокращение в обозначе-
обозначениях могло бы привести к недоразумениям. С этим послед-
последним штрихом исчисление Дирака является весьма гибким
инструментом и прекрасной иллюстрацией утверждения, что
') Согласно сокращенным обозначениям, введенным в § 7, Дирак
пишет (Р | для сопряженного | Р), но при новых обозначениях мы
должны писать (г|з | для сопряженного 1т|>). Здесь имеется некоторая
непоследовательность в обозначении^ которую можно было бы
избежать, только записывая всегда (Р\ для сопряженного \Р) не-
независимо от используемого метода обозначения.
2) То есть не придуманы специально для этого случая. — Прим.
24»
372 X. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИРАКА
математические методы, которые действительно полезны для
прикладных целей, не могут быть обнаружены одними
теоретическими исследованиями, а создаются совместными
усилиями чистых теоретиков и исследователей, занимающихся
прикладными вопросами.
УПРАЖНЕНИЯ
X. 1. Если Р и 9 — эрмитовы, доказать, что Р^-\-^Р и
— Х}Р также эрмитовы.
X. 2. Если (У — унитарный оператор, доказать, что
(Ци) ■ (Цу) = «•!/. Bа)
X. 3. Пусть Ъ, — линейный оператор, т — положительное целое
число и \т | Р) = 0. Доказать, что 11 Р) = 0 ')•
X. 4. Доказать, что равенство
справедливо для всех действительных значений х').
X. 5. Линейный оператор, который коммутирует с наблюдае-
наблюдаемой ^, коммутирует с любой функцией от Ъ,').
X. 6. Линейный оператор, который коммутирует с каждой пол-
полной системой коммутирующих наблюдаемых, есть функция этих
наблюдаемых').
') Ср. Дирак 1947.5.
ДОПОЛНЕНИЕ
ТЕОРИЯ ДИСЛОКАЦИЙ
В настоящее время можно считать установленным, что
многие свойства твердого тела и, в частности прочность,
пластичность, ползучесть, обусловлены в первую очередь
дефектами кристаллической решетки, среди которых особенно
важную роль играют дислокации. Изучение дефектов струк-
структуры твердого тела развивается в основном в двух напра-
направлениях: микроскопическом и макроскопическом. К первому
направлению относятся преимущественно экспериментальные
работы, в которых выясняется физический механизм явлений
и дается его качественное объяснение. В работах второго
направления строится феноменологическая теория среды
с дефектами на основе контииуальной модели. В связи с этим
ее часто называют континуальной теорией дислокаций. Целью
настоящей работы является краткое изложение математиче-
математических основ этой теории и ее связи с методами тензорного
анализа. По вопросам физической теории дислокаций мы
отсылаем читателя к книге Ван Бюрена A960.4) и к обзору
В. Л. Инденбома и А. Н. Орлова A962.3), где имеются
также многочисленные ссылки на другие работы.
1. Введение
Дислокации в кристаллической решетке. На рис. 34
схематически представлены различные типы дефектов кри-
кристаллической решетки. Дефекты А а В являются моделями
соответственно межузельного атома и вакансии. Общим для
них является то, что вызванная ими деформация локализована
в небольших объемах с характерными размерами порядка
нескольких межатомных расстояний. Поэтому их естественно
374
ДОПОЛНЕНИЕ
СО (на рис. 34
только ее сече-
называть точечными дефектами. Если эти дефекты распреде-
распределить по некоторой поверхности, то полученный дефект можно
классифицировать как поверхностный. Примером такого
дефекта являются вакансии, распределенные по поверх-
поверхности ~~ '
видно
ние).
Совершенно к друго-
другому типу принадлежат
дефекты Ь и М. Как вид-
видно, они являются краями
лишних (или, если угод-
угодно, недостающих) атом-
атомных плоскостей. Дефор-
Деформации локализованы в ок-
окрестности линии, и,
следовательно, дефекты
являются линейными. Из
геометрических сообра-
соображений очевидно, что эти
линии как границы атом-
атомных плоскостей не могут
оканчиваться внутри кри-
кристалла. Они либо замкнуты, либо оканчиваются на грани-
границе кристалла, либо уходят «на бесконечность» (но возможен
и более сложный случай, когда они оканчиваются на другой
линии того же типа). Однако этим дефекты еще полностью
не характеризуются. Действительно, замкнутым линейным
дефектом может быть также цепочка вакансий.
Рассмотрим произвольный замкнутый контур Г, охваты-
охватывающий особую линию I (нормальную к плоскости чертежа)
и проходящий в «хорошей» (без дефектов) части кристалла
(рис. 35, а). Попытаемся естественным образом сопоставить
ему контур Г' в идеальном кристалле. Как видно из рис. 35, б,
контур Г' при этом оказывается разомкнутым. При согласо-
согласованной ориентации 1 и Г вектор Ъ, соединяющий концы Г,
однозначно определяется дефектом I. и не зависит от выбора Г.
Наоборот, задание Ь и линии А полностью характеризует
линейный дефект этого вида. По направлению Ь перпенди-
перпендикулярен лишним плоскостям, а его величина пропорциональна
их числу. Г и & называются соответственно контуром
Рис. 34.
ДОПОЛНЕНИЕ
375
Бюргерса и вектором Бюргерса, а особая линия Л с отличным
от нуля вектором Бюргерса — дислокацией. Очевидно, для
замкнутой цепочки вакансий вектор Бюргерса равен нулю.
Мы можем наглядно представить себе один из возможных
механизмов образования дислокаций, если предположим, что
1 1
1
. 1 1
1 \
V \*
Л Т
1
1 1
1
2\77_ Ю
О—
^\ ~"
!"\
17Ш1
|
3 в
9 1
6
5
4*
3
12
13
15
К
17
7в
70
73
Э
ь
-*■
8
7
7
6
5
3
б)
■г-
Рис. 35.
показанное на рис. 34 скопление вакансий по поверхности
захлопнулось. Единственным дефектом в этом случае будет
дислокация, совпадающая с границей СО. В частности, мы
Рис. 36.
можем считать, что Ь и М являются сечениями одной дисло-
дислокации, образованной таким образом. Другой, более вероят-
вероятный механизм образования дислокаций за счет сил сдвига
показан на рис. 36. Из этого же рисунка видно, что пере-
перемещение дислокации в направлении ее вектора Бюргерса,
или, как говорят, в ее плоскости скольжения, приводит
к результирующему сдвигу кристаллических блоков на
376 ДОПОЛНЕНИЕ
величину Ь. Для получения такого же эффекта равномерным
сдвигом (без дислокации) потребовались бы силы сдвига на
несколько порядков большие. Эта схема объясняет, почему
дислокационный механизм играет столь исключительную роль
в процессах неупругого деформирования твердых тел.
Кроме указанных дефектов, в реальном кристалле встре-
встречаются и другие типы дефектов, например так называемые
частичные дислокации, двойникующие дислокации и т. д.
По существу они являются уже не линейными, а поверх-
поверхностными дефектами. Мы не будем специально на них оста-
останавливаться ').
Дислокации в сплошной среде. Легко построить модель
дислокации в сплошной упругой среде. Проведем в среде
разрез вдоль некоторой поверхности 5, ограниченной кон-
контуром I, и сдвинем берега разреза на постоянный вектор Ь,
малый по сравнению с характерным размером контура I*.
Заполним получившийся зазор тем же материалом (или, на-
наоборот, удалим лишний материал) и произведем столь тща-
тщательную склейку, чтобы нигде, кроме границы Ь, не осталось
никаких следов произведенной операции. Тогда в среде воз-
возникнет внутреннее напряженное состояние, которое всюду,
кроме контура Ь, можно, как обычно, описывать вектором
смещениям. Пусть Г — произвольный контур, зацепляющийся
с Ь. Почти очевидно, что
,.«й «М* = 0ц. A.1)
тогда как для любого контура, не зацепляющегося с Ь, этот
интеграл равен нулю. Формулу A.1) легко получить, если
взять за основу данную модель дислокации. Но можно, как
это обычно и делается, принять A.1) за определенные дисло-
дислокации: дислокацией называется особая линия в среде,
обладающая тем свойством, что при лобых внешних
условиях {силах) интеграл A.1) по любому достаточно
малому контуру Г, зацепляющемуся с Ь, имеет по-
постоянное, отличное от нуля значение. Малость контура
здесь нужна для того, чтобы исключить зацепление с другими
') Макроскопическую теорию двойникующих дислокаций см.,
например, в работах И. М. Лифшица 1948.2 и А. М. К ос е в и ч а
и А. А. Пастура 1961.4.
ДОПОЛНЕНИЕ 377
дислокациями, если они имеются. Контур Г и вектор Ь по
аналогии называют контуром Бюргерса и вектором Бюргерса.
Данное определение привлекает своей простотой, но
в то же время обладает рядом недостатков. Как видно из
самого определения, при наличии дислокаций вектор смеще-
смещения и уже не является однозначной функцией точки, и, сле-
следовательно, его нельзя в этом случае рассматривать как
хорошо определенную физическую величину. Здесь ситуация
совершенно аналогична тому, как если бы мы стали опре-
определять линейные токи в магнитостатике через циркуляцию
градиента скалярного магнитного потенциала. Формально это
допустимо, но вряд ли такое определение можно считать
физическим. Однако главным недостатком определения является
невозможность его распространения на случай непрерывного
распределения дислокаций. Вектор смещения в этом случаг
вообще не определен в области, где плотность дислокаций
отлична от нуля, аналогично тому, как скалярный потенциал
не имеет смысла в области, где плотность токов не равна
нулю. Поэтому в дальнейшем мы дадим другие определе-
определения дислокации в сплошной среде, свободные от этих недо-
недостатков.
Источники внутренних напряжений. Станем теперь на
более общую точку зрения и будем рассматривать дислокации
как один из возможных источников внутренних напряжений
в упругой среде. Изолированную дислокацию Ь можно оха-
охарактеризовать следующим образом. Вырежем из среды тонкое
кольцо Г, охватывающее Ь, и изолируем его от внешних
сил. Кольцо тем, ие менее будет находиться в напряженном
состоянии. Для того чтобы это обнаружить, сделаем допол-
дополнительный поперечный разрез — концы разреза при этом
разойдутся на некоторый вектор Ь, но сечения останутся
параллельными (рис. 37, а). .Если этим свойством обладает
любое достаточно малое кольцо, охватывающее Ь, и Ь = сопз1,
то Ь, очевидно, можно рассматривать как макромодель физи-
физической дислокации в кристаллической решетке. Развертке
контура Бюргерса на идеальную решетку соответствует при
этом перевод кольца Г в ненапряженное (естественное)
состояние с помощью разреза. Другой возможный источник
внутренних напряжений показан на рис. 37, б. Здесь уже
имеет место не только расхождение концов, но и поворот
сечений на некоторый угол й. Величины Ь и Ф, вообще
378 ДОПОЛНЕНИЕ
зависящие от Г, могут служить мерой интенсивности вну-
внутренних напряжений').
Мы будем рассматривать источники обоих этих типов
при произвольных законах распределения: объемные, поверх-
поверхностные, линейные и точечные. Среда с подобными источни-
источниками внутренних напряжений является, по существу, той
моделью, с которой имеет дело континуальная теория дисло-
дислокаций. Излагая в дальнейшем математические основания этой
модели, мы вынуждены будем ограничиться случаем непо-
неподвижных источников. Читателя, интересующегося динамикой
дислокаций, мы отсылаем к работам А. М. Косевича2). При
отборе материала учитывалось также, что ряд вопросов кон-
континуальной теории дислокаций достаточно полно рассмот-
рассмотрен в изданном недавно сборнике переводов иностранных
авторов 3).
В заключение несколько слов о математическом аппарате
теории. Ниже мы попытаемся показать, что методы класси-
классической дифференциальной геометрии удивительным образом
соответствуют физическим представлениям об упругой среде
с непрерывным распределением источников внутренних напря-
') Разрезание колец действительно используют в лабораторной
и заводской практике для определения внутренних напряжений.
При этом обычно в технических условиях на изделия непосред-
непосредственно задаются допустимые величины расхождения концов для
фиксированных размеров колец.
2) 1962.4, 5.
3) Эшелби 1963.1.
ДОПОЛНЕНИЕ 379
мсений. Это позволяет в свою очередь получить наглядную
физическую интерпретацию таких относительно сложных
понятий дифференциальной геометрии, как параллельный
перенос, кручение, кривизна и т. д.'). С другой стороны,
в случае, когда источники распределены по поверхностям
меньшего числа измерений—а эта ситуация характерна для
континуальной теории дислокаций, — необходимо сочетание
классических методов тензорного анализа с идеями теории
обобщенных функций. До сих пор этим вопросам не уделя-
уделялось должного внимания. В частности, они почти не затро-
затронуты н в данной книге. Нам представлялось полезным пока-
показать на примере континуальной теории дислокаций плодо-
плодотворность сочетания этих методов.
2. Геометрия упругой среды
с источниками внутренних напряжений2)-
Качественные характеристики континуума. Прежде
всего, если мы хотим различать такие среды, как песок и
металл, мы должны ввести понятие «близости». Физически
это означает, что две частицы среды, которые были близкими
в начальном состоянии, будут таковыми и в любом другом
состоянии. Естественно, что этому требованию удовлетворяет
упругая деформация среды с кристаллической решеткой и не
удовлетворяет перемещение песка. Математическим эквива-
эквивалентом понятия близости является предположение, что среда,
рассматриваемая как множество материальных точек, является
топологическим пространством. При этом два топологических
пространства считаются эквивалентными и не различаются,
если существует взаимно однозначное и непрерывное пре-
преобразование одного пространства в другое. Такое преобра-
преобразование называется гомеоморфизмом6). Можно сказать, что
') Отметим, что соответствующая интерпретация в общей теории
относительности (см. гл. IX) является значительно более сложной.
2) Общие ссылки: Кондо 1955.2; Билби с сотрудниками 1955.4;
Эшелби 1963.1; Крёнер 1958.3; Крёнер и Зегер 1959.2.
Там же имеются ссылки на другие работы, примыкающие к этому
направлению.
*) Точные определения таких понятий, как гомеоморфизм, много-
многообразие и т. д. и их свойства можно найти, например, в книге
Унтии 1957.2.
380 ДОПОЛНЕНИЕ
топологическое пространство определено с точностью до
гомеоморфизма.
Описание положения материальной среды в пространстве
практически невозможно без введения системы координат.
Это, а также и другие соображения заставляют потребовать,
чтобы по крайней мере в окрестности каждой точки можно
было ввести систему координат. При этом в общем случае
необоснованно было бы требовать существования одной
системы координат для всего пространства, если мы хотим
рассматривать пространства, топологически не эквивалентные
евклидову пространству, например сферу, тор и т. д. Иными
словами, мы предполагаем, что окрестность каждой точки
среды гомеоморфна «-мерному евклидову пространству (или
полупространству для среды с краем). Обычно п = 2 ал»
п = 3, хотя иногда целесообразно рассматривать случаи п > 3.
Наконец, если мы хотим рассматривать в среде поля
достаточно гладких функций (например, дифференцируемых
или аналитических), то и сама среда должна обладать соот-
соответствующей гладкостью. Наглядно мы можем представлять
себе это следующим образом: если две кривые (или поверх-
поверхности) в среде имеют касание определенного порядка в на-
начальном состоянии, то они имеют его и в любом другом
состоянии. (Таким свойством, конечно, не обладает среда
типа глины). Но это возможно только в том случае, если
допустимыми преобразованиями являются не произвольные
гомеоморфизмы, а лишь достаточно гладкие — диффеомор-
диффеоморфизмы. Оказывается, что без существенного ограничения
общности последние можно предполагать аналитическими.
Все перечисленные выше требования мы можем крат-
кратко сформулировать в одном постулате: материальная
среда есть дифференцируемое (аналитическое) много-
многообразие.
Внешнее состояние и внешняя метрика. Будем в даль-
дальнейшем для определенности предполагать, что среда гомео-
гомеоморфна 3-мерному евклидову пространству Из и, следо-
следовательно, является элементарным многообразием Хз (см. § 1
гл. IV). Обозначим точки среды | и точки пространства х.
Пусть Ф — некоторое фиксированное гладкое вложеиие (диф-
(диффеоморфизм) среды в Из
=Ф(|). B-1)
ДОПОЛНЕНИЕ 381
По предположению, существует обратный диффеоморфизм Ф-/
Ф~' :х->1 = Ф~'(х). B.2)
Мы будем говорить, что задание Ф определяет внешнее
(геометрическое) состояние среды. Все характеристики
среды, которые зависят только от Ф, будем называть внеш-
внешними (геометрическими) характеристиками или функ-
функциями внешнего состояния.
Для фактического задания Ф введем лагранжеву систему
координат |\ связанную со средой, и эйлерову систему
координат .хК Тогда
Ф:хг = х'№), B.3)
Ф-':?=?(х'). B.4)
где х'{%^) — достаточно гладкие функции с отличным от
нуля якобианом.
Определим теперь основную внешнюю характеристику
среды — внешнюю метрику — как расстояние между точ-
точками /?з, в которых находятся соответствующие точки среды
в состоянии Ф
и? = 8Ы (I) О? ае = 8*1к(*) их1 йх\ B.5)
Здесь §1Ь — евклидов метрический тензор Я3. Если, в част-
частности, в качестве х1 взяты декартовы координаты, то
аз2=ь1ках1ахк = ^(ах1J. B.6)
Таким образом, внешняя метрика из2 однозначно индуци-
индуцируется вложением Ф и имеет различные представления в ла-
гранжевых и эйлеровых координатах.
Имеем очевидные соотношения
*Л?. B-8)
Легко показать, что справедливо и обратное утверждение:
задание внешней метрики определяет однозначно Ф с
382 ДОПОЛНЕНИЕ
точностью до движения среды как твердого тела. Естественно,
что внешняя метрика при этом не может быть задана произ-
произвольно, а должна удовлетворять уравнению
ч.) = °- B.9)
о
где К)^т — тензор кривизны Римана — Кристоффеля.
Внутренняя геометрия. Будем называть внутренними
характеристиками среды те характеристики, которые не
зависят от вложения Ф. Совокупность всех внутренних
характеристик определяет внутреннее состояние, или
внутреннюю геометрию среды. К внутренним характери-
характеристикам относятся, в частности, указанные выше качественные
характеристики: топология, близость, гладкость. Однако всеми
этими свойствами могут обладать и неупругие среды. Попы-
Попытаемся теперь описать те внутренние характеристики, которые
отличают упругую среду от неупругой.
Под упругостью обычно подразумевают свойство тела
восстанавливать свою форму после снятия внешней нагрузки.
Это физическое свойство позволяет построить внутреннюю
геометрию среды. Наоборот, постулирование существования
внутренней геометрии среды, по-видимому, и является наи-
наиболее общим математическим эквивалентом понятия упру-
упругости. Соответственно неупругие явления (пластичность, пол-
ползучесть и т. д.) целесообразно определить как изменение
внутренней геометрии.
При построении внутренней геометрии мы будем руко-
руководствоваться следующим принципом.
Положим для определенности, что на среду не действуют
внешние силы. Этим фиксируется некоторое внешнее состоя-
состояние среды в целом. Пусть §— точка среды, рассматриваемой
как многообразие Х3, и пусть Г — некоторая проходящая
через нее кривая. Отделим от среды достаточно тонкую
материальную трубку, содержащую Г, и поместим ее в реаль-
реальное евклидово пространство Из- Если Г — замкнутая кривая,
го мы проведем в трубке разрез через точку %. Тогда в силу
упругих свойств материала трубки она примет в Нз опре-
определенную конфигурацию. При наличии разреза концы трубки,
вообще говоря, разойдутся и повернутся на некоторый угол.
Если отношение характерного поперечного размера трубки й
к ее длине I в К3 мало, то, исходя из физических предста-
представлений о природе внутренних напряжений, можно приближенно
ДОПОЛНЕНИЕ 383
считать данное состояние не напряженным и тем точнее, чем
меньше йЦ. При этом предполагается, что трубка изолиро-
изолирована лишь от силовых воздействий, а все остальные пара-
параметры, характеризующие ее состояние, например температура,
остаются неизменными. Последнее предположение не является
существенным и сделано для удобства определения внутрен-
внутренних характеристик среды.
Будем называть предельное состояние трубки при й//->0
естественным состоянием среди вдоль кривой Г. Соот-
Соответствующее вложение Фг в реальное пространство назовем
каноническим диффеоморфизмом кривой Г (с ее окрест-
окрестностью) в Из- При заданном Фг определим все внутренние
геометрические характеристики среды вдоль Г через соот-
соответствующие характеристики естественного состояния. Так,
например, два вектора в точках \ и %1 на кривой Г в ^3
будут считаться параллельными вдоль кривой Г тогда и
только тогда, когда параллельны их образы, индуцированные
вложением Фг> в точках х = Фг(|) и х; = Фг(|;); если обра-
образом Г в Нз является прямая, то Г — геодезическая в Хз и т. д.
Мы можем кратко сформулировать это следующим обра-
образом: внутренняя геометрия среды вдоль каждой кри-
кривой Г индуцируется каноническим диффеоморфиз-
диффеоморфизмом V в Из-
Подчеркнем, что если естественное состояние понимать
как состояние без внутренних напряжений 1), то оно, вообще
говоря, не существует для среды в целом, но существует
для достаточно малой окрестности каждой точки. Таким
образом, с точки зрения внутренних напряжений нет необхо-
необходимости определять естественное состояние вдоль кривой.
Однако ниже будет показано, что определение естественного
состояния для окрестности точки было бы связано с потерей
части информации -о природе источников внутренних напря-
напряжений. В частности, мы не смогли бы различать источники,
показанные на рис. 37, а и 37, б, что существенно с точки
зрения теории дислокаций. Этим объясняется необходимость
определения естественного состояния как состояния вдоль
кривой.
') Именно таким образом оио было определено впервые
Кон до 1955.2.
384 ДОПОЛНЕНИЕ
Перейдем к конкретному рассмотрению внутренней гео1
метрии среды и начнем с одной из наиболее важных струк-
структур геометрии — параллельного перенесения.
Связность. Мы отвлечемся сначала от метрических
свойств /?з и будем рассматривать его как аффинное про-
пространство Еу Очевидно, введенное выше параллельное пере-
перенесение вдоль кривых является линейным. Будем также пред-!
полагать, что его можно, как обычно, задать с помощью
поля геометрического объекта Г*ь т. е. аффинной связности.
Возникает вопрос, насколько однозначно определяется аффин-
аффинная связность, если параллельное перенесение введено ука-
указанным выше способом.
Можно показать>), что Г**, определен с точностью до
слагаемого вида Л^х, где Л* — единичный тензор, а да*,—про-
да*,—произвольный ковариантный вектор. Однако, если считать, что
каноническое вложение Фр индуцирует естественную пара-
параметризацию вдоль Г (естественным параметром является
длина Г в /?з). то связность определяется одно-
однозначно.
Кручение и кривизна. Пусть |ч — точка в пространстве
аффинной связности Ьл (§ 1 гл. V). Проведем через нее
инфинитезимальный контур, ограничивающий двумерную пло-
площадку с бивектором с1/П1. С помощью процесса, аналогич-
аналогичного развертке контура Бюргерса на идеальную решетку,
можно шаг за шагом развернуть контур с его окрестностью,
на касательное пространство Еп в точке I*2). При этом
векторы, заданные вдоль контура и параллельные в смысле,
связности Ьп, будут в Еп параллельными в обычном смысле,
Наглядно это можно представить себе как обкатку Еп вдоль
граничного контура таким образом, что в каждой точке Шл
касается Ьп. ■
Будем считать, что направление обкатки согласовано,
с ориентацией A/^. Образом граничного контура в Е„
в общем случае будет некоторая незамкнутая кривая. Пусть
при этом начальная точка контура переходит в точку $,
а конечная — в точку '§ (рис. 38). Вектор Д| = '| —I
') Эйаеихарт 1927.3.
2) См. К а р т а н 1960.5.
ДОПОЛНЕНИЕ 385
является, очевидно, аналогом вектора Бюргерса. С точностью
до малых третьего порядка относительно характерного раз-
размера (диаметра) площадки он линейно зависит от й/уц. Можно
показать, что коэффициентом пропорциональности служит
тензор кручения 5у'|Г= Г^ц]* Более точно, если А|и — вектор
в Ьа, соответствующий А| в Еп,
то
Ы* = -8$а/™. B.10)
Этим определяется геометричес-
геометрический смысл тензора кручения.
Здесь сразу же обращает
на себя внимание аналогия меж-
между кручением и моделью дисло-
кации в сплошной среде. Впер-
Впервые на это указал Кондо'). Рис- 3^-
который просто отождествил кру-
кручение с распределенной плотностью дислокаций. Этой
точки врения придерживались также авторы всех последую-
последующих работ, в которых рассматривалась геометрия среды
с дислокациями. Однако здесь допущена некоторая неточ-
неточность. Если кручение вызвано только дислокациями, то его
действительно можно интерпретировать как плотность дисло-
дислокаций, но в этом случае тензор кручения должен удовле-
удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Это видно
хотя бы из того обстоятельства, что линии дислокаций,
по определению, замкнуты и, следовательно, дивергенция
плотности дислокаций должна равняться нулю. Мы вернемся
к этому вопросу позднее.
Как указывалось выше, при развертке контура на Еп
одновременно происходит отображение в Еп инфинитези-
мальной окрестности контура. Этим в свою очередь инду-
индуцируется отображение в Еп векторов, заданных на контуре.
Пусть V* — вектор, заданный в точке |и. Его образами
в точках | и '§ в Еп будут соответственно V и 'т> (рис. 38).
При этом в общем случае 'г» не совпадает с вектором V,
перенесенным параллельно из § в '§. Вектор Аг> —'г> — V
') 1955.2.
25 Я. А. Схоутен
386 ДОПОЛНЕНИЕ
с точностью до малых третьего порядка относительно диа-
диаметра площадки линейно зависит от V* и й/^. Если Аг>* —
его прообраз в Ьп, то (ср. (V. 5.11))
Д«я = -4адя<^/"\ B.11)
где Я.^%1— тензор кривизны Ьп. Этим определяется геоме-
геометрический смысл тензора кривизны.
Таким образом, если обозначить бг> = Аг> + Д| — полное
изменение V с учетом переноса его начала, то мы получим ')
у. B.12)
Так как тензоры кривизны и кручения определяются
гаданием аффинной связности и в то же время имеют большее
суммарное число функциональных степеней свободы (= числу
существенных компонент), чем связность, то следует пред-
предполагать, что они не могут вадаваться независимо. Действи-
Действительно, они удовлетворяют ряду тождеств, из которых важ-
важнейшими являются 2)
Ц| —4$[у|1 5я,|р , B.13)
х = 25| /?1 л B.14)
Наоборот, если заданы /?^Дл.х и <5^4, удовлетворяющие
B.14), то этим определяется аффинная связность Г*ц в 1„
(по крайней мере локально) 3). Иными словами, соотношение
B.14), известное как тождество Бианки, является необходи-
необходимым и достаточным условием интегрируемости.
Мы упростим запись тождеств B.13), B,14) и ряда по-
последующих формул, а также лучше поймем их геометриче-
геометрический смысл, если воспользуемся инвариантным дифферен-
дифференциальным оператором, введенным Картаном. ПустьР^1... хр& —
тензор, альтернированный по р первым индексам, а Л обо-
') Строгое доказательство B.12) см., например, в Р. К. 1954.1.
2) Эти тождества соответствуют (V. 5.19) и (V. 5.25) и пере-
переходят в них при 5^и = 0.
») См. Р. К. 1954. 1.
ДОПОЛНЕНИЕ 387
аначает совокупность остальных индексов. Тогда, по опре-
определению,
Если записать подробно правую часть, то мы увидим, что
5' '* не действует на альтернированные индексы Я,; ... Хр,
В этом состоит формальный смысл оператора V. Для его
геометрической интерпретации рассмотрим точку |* и содер-
содержащий ее (р-\- У)-мерный инфинитезимальный элемент хр+1
с границей Тр. Пусть й^1'" *"р—элемент границы хр в точке ^н.
Составим тензор
6Рл (Г) = Ф - х'/\,... хрл. B.16)
валентность которого равна суммарной валентности индек-
индексов Л. Если бы эта валентность была равна нулю, мы
могли бы проинтегрировать бРд по хр. При валентности,
отличной от нуля, этот интеграл, вообще говоря, не имеет
инвариантного смысла, так как тензоры в разных точках Ьп
нельзя складывать. Однако мы можем придать ему инва-
инвариантный смысл, если договоримся параллельно переносить
6РЛ в |о по геодезическим и затем уже складывать. Если
применить к полученному интегралу теорему Стокса и пре-
пренебречь величинами высшего порядка малости относительно
|х — |^, то мы получим формулу х)
/^Ч'-Ч B.17)
хр хр+'
р
из которой следует, что V можно рассматривать как обоб-
обобщение оператора с11у в /?„. Следует подчеркнуть, что в от-
отличие от /?„ формула B.17) в Ьп имеет смысл лишь для
инфинитезимального элемента хр+1. Если тензор РК]... «д
Удовлетворяет в точке |* условию
^ B.18)
') Строгое доказательство см. в Р. К. 1954.1.
25*
388 ДОПОЛНЕНИЕ
то говорят, что он находится в равновесии в |р. В этом
случае интеграл B.17) равен нулю при любом выборе инфи-
нитевимального хр+1 в 1%.
Тождества B.13) и B.14) могут быть теперь записаны
в виде
г
* х. B.19)
B.20)
Таким образом, тождество Бианки B.20) означает, что
тензор кривизны находится в равновесии в каждой точке 1Л.
Мы можем теперь сформулировать условие, которому
должно удовлетворять кручение, если оно отождествляется
с плотностью дислокаций. Очевидно, в этом случае мы
должны положить
^|Аи,и = 0. B.21)
Соответственно B.19) при этом принимает вид
B.22)
Вернемся теперь к определению аффинной связности на
материальном многообразии. Из геометрического смысла
КчрЦ1 и 5^1* и физической интерпретации параллельного-
перенесения следует возможность их экспериментального
определения. Для этого в окрестности каждой точки нужно
вырезать достаточно малые кольца и, разрезав их, изме-
измерить Ая и Д|. После этого можно в принципе проверить,
выполняется ли условие интегрируемости B.20). Мы будем
предполагать, что это условие выполняется, и, следовательно,
кривизна и кручение единственным образом определяют аф-
аффинную связность Г*ц на материальном многообразии. По-
Последнее, таким образом, превращается в пространство аф^
финной связности Дз.
Внутренняя метрика. По определению расстояние между
соседними точками вдоль некоторой кривой равно расстоя-
расстоянию между образами этих точек в естественном состоянии.
Чтобы не усложнять без нужды нашу модель, мы предпо-
предположим, что это расстояние может быть локально задано
ДОПОЛНЕНИЕ 369
с помощью (достаточно гладкой) метрической формы1)
<Ь? = *ъ**?4*- B-23)
Метрический тензор ёг.л может быть в принципе измерен
в каждой точке. |и и, следовательно, имеет вполне опреде-
определенный физический смысл.
Из того обстоятельства., что метрика и параллельный
перенос определяются одним и тем же нроцессом вложе-
вложения в Кз,. „следует,', что .он» , должны быть сЬглпеошны,
т. ё.. длины векторов и углы между ними при параллельном
перенесении сохраняются. Математически это эквивалентно
предположению, что Г*г и #?и связаны соотношением
Некоторые вытекающие отсюда важные физические след-
следствия будут рассмотрены ниже.
Связность, удовлетворяющая B.24), называется метри-
метрической относительно &}к. Таким образом, мы предпола-
предполагаем, что Сз является пространством с метрической связностью.
Произведя циклическую перестановку индексов цКн
в B.24), можно получить два дополнительных уравнения.
Решая полученную систему относительно Г^, находим
где .
-^У B-26)
}.. B.27)
Величины |„^[ являются символами Кристоффеля, соответ-
соответствующими 8)м (СР- (V. 4.7)), а Т^ — тензор, зависящий
только от кручения, на который Г^ отличается от римано-
вой связности. Поднятие и опускание индексов в B.27)
') Более общей модели соответствовала бы так называемая
финслерова геометрия. ... ■ .
26 Я. А. Схоутен
390 ДОПОЛНЕНИЕ
произведено по обычным правилам относительно 8%У1и обрат»
ного ему §•*>-.
Выражение B.25) показывает, что метрическая связность
однозначно определяется заданием метрики и кручения.
Симметрическая составляющая связности Г^), определяющая
геодезические в 1*3, вообще товоря, также зависит как от
метрики, так и от кручения. Нетрудно показать, что для
того, чтобы Г(ИцЯ) совпадала с | * |, необходимо и доста-
достаточно, чтобы компоненты 5^ были антисимметричными
по всем индексам. В этом случае тензор кручения 8 1з экви-
эквивалентен скалярной плотности.
Из определения тензора кривизны
= 2 [<^Г*,, +.Г,;, Р1ГР„] B.28)
следует, что в случае метрической связности он может быть
выражен через &кк, 5"* и их производные. Соответствую-
Соответствующая формула имеет вид
Я^? = К^к* + г^Т,;, ».х - 27(у,р ,нГм1 Л B.29)
где тензор
МЛЧН} B30)
можно рассматривать как риманов тензор кривизны относи-
относительно @1к. Используя B.29), можно показать, что для мет-
метрической связности ковариантные компоненты /?л,цЬ« альтер-
альтернированы не только по первой, но и по второй паре ин-
индексов, т. е.
0. B-31)
Отметим два важных случая. Если кривизна равна нулю,
то Дз превращается в пространство абсолютного паралле-
параллелизма — параллельное перенесение не зависит от пути. Вну-
Внутренняя метрика и кручение связаны при этом уравнением
Ку^ = - 2^.7^, С + 241 р 1%1 ^ <2-32>
ДОПОЛНЕНИЕ 391
к условие B.21), как это следует из B.20), выполняется
автоматически. Возможная физическая интерпретация — источ-
источниками внутренних напряжений являются только дислокации.
Другой предельный случай соответствует равенству нулю
кручения — дислокации отсутствуют. /?^.* совпадает с К'^,
и внутренняя геометрия среды становится римановой.
Снижение валентности. До сих пор мы не использовали
того обстоятельства, что пространство является трехмерным.
При его учете возможны некоторые упрощения в обозначе-
обозначениях и записи формул, а также в интерпретации многоин-
дексных величин. Геометрический смысл величин при этом,
конечно, не меняется.
Введем величины, с которыми в дальнейшем нам часто
придется иметь дело.
Обобщенный тензор Кронекера !)
<\\\Ъгр%\ •••**& B-33)
определен для любого Хп и является антисимметричным как
по нижним, так и по верхним индексам. Его компоненты
равны -{-/ (—/), если последовательность Я; ... %р (р -^ п)
является четной (нечетной) перестановкой последовательности
\11 ... ц , и равны нулю во всех остальных случаях. При
р = 1 он совпадает с единичным тензором. Пусть Р>.;... ?. —
произвольный тензор. Тогда
р —^Ёк1---Хрр _!_ех'"'1рр п %а\
[УЧ - »р)~ р\ % ••• Ир >-; ••■ *-р — р\ •*/ ••• •*/[*; ••• крУ К '
Имеет место тождество
*.;... V/ ••• V •■■ у« = п\ е>-' ••• V; ■■• Ч B.35)
Положим для каждой системы координат
') Следуя общепринятой традиции, мы рассматриваем б^; как
компоненты единичного тензора, хотя в духе данной книги сле-
следовало бы писать А^.
26*
392 ДОПОЛНЕНИЕ
Очевидно, компоненты этих величин в каждой системе ко*
ординат равны +1 (—/), если X/ ... Я„ — четная (нечетная)
перестановка /...», и равны нулю • во всех остальных
случаях. Отсюда следует, что они лишь обозначениями отли-
отличаются от уведенных в § 8 ,гл. .II л-вектрр-Д-олотиостей
Ё! '■■' %п и^ . ? , умеющих, соответственно веса -\-1..п /.
Но тогда в пространстве' с метрикой ^"А>
являются ■ -И^гЯ-векторами ■ (псевдотензорами). Справедливы
тождества (я = 3) . . .. . :. . . : , ...
26^. B.39)
Пусть тензор А;.уц.;. антисимметричен по индексам уц.
Тогда в .ЛСз ему можно взаимно однозначно сопоставить
тензорную А-плотность
^ 1;-.1 B,40)
Аналогичные формулы имеют место, если тензор.-Я антисимг
мегричен по трем индексам. В Ц с метрикой мы можем
заменить е на е и сопоставить взаимно однозначно тензору Я
псевдотензор Я- ' '
Основное уравнение. Тензор кручения 5„цК антисимме-
антисимметричен по \*A. поэтому мы положим
Тензоры Куц1}м и /?у^1?.и антисимметричны по первой и вто-
второй парам индексов. Следовательно, этой же симметрией
обладает и остальная группа членов в правой части B.29).
Введем
К™ = ^1™ФыКчК*. ' B-42)
ДОПОЛНЕНИЕ 393
Тогда B.29) запишется в виде
^?.ц__ (^ + ^)- B.45)
Мы будем рассматривать B.45) как основное уравнение
внутренней геометрии упругой среды, связывающее внутрен-
внутреннюю метрику с плотностью источников кривизны и круче-
ния. Отметим, что метрика этим уравнением однозначно не
определяется. Необходимы дополнительные условия, которые
могут быть получены лишь на основе дальнейшей конкре-
конкретизации физической модели среды.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая;
когда кривизна и кручение достаточно малы для того, чтобы
оказался возможным переход к линейной модели.
Линеаризация. Оператор Ко*. Здесь необходимо неко-
некоторое уточнение, так как, не вполне ясно, что такое «малые
(по сравнению с чем?) кривизна и кручение». В конкретных
задачах обычно имеются характерные параметры (например,
характерные размеры области, в которой ця и % отличны
от нуля), которые позволяют придать этим понятиям опре-
определенный смысл. Однако выбор характерных параметров
существенно связан с постановкой задачи, и при построении
общей теории желательно заранее не связывать себя таким
выбором. Поэтому мы станем на другую точку зрения.
Предположим сначала, что кручение отсутствует. В этом
случае тензор кривизны К можно рассматривать как нели-
нелинейный оператор, действующий в линейном пространстве
симметричных тензоров. Пусть $в — некоторая точка этого
пространства, и пусть форма, соответствующая $0, поло-
положительна. Тогда оператор К заведомо определен в окресг-
ности точки $0 и ставит в соответствие каждой точке этой
окрестности четырехвалентный (или двухвалентный при п = 3)
тензор кривизны. Мы можем определить для этого опера-
оператора дифференциал К' в точке $0
&-К™. B.48)
Очевидно, этим соотношением определяется инвариантный
линейный оператор К', порождаемый К и вообще зависящий
от %6, Для его фактического вычисления можно использо-
использовать любую систему координат. В частности, если К (#<,) = 0*
194 / ДОПОЛНЕНИЕ
т. е. ёо — евклидов тензор, естественно воспользоваться
декартовой (относительно &0) системой координат. Легко
«оказать, что общий вид К' в этом случае не зависит от
выбора $0. Вычисление К'($) сводится к подстановке
В)# — бяц~НЛл»1 в С2'30) "Ри Учете B-26) й отбрасыванию
нелинейных по I членов. При п = 3 можно понизить валент-
валентность К' согласно B.42). Получающийся в результате линей-
линейный оператор будем обозначать символом Ко1 ■)■ В декар-
декартовых координатах его представление имеет вид (р, д — сим-
симметричные тензоры)
р = Ъо\д: р^ = е^Ре^д^одрх. B.47)
Отметим важнейшие свойства этого оператора. Из B.47)
следует, что его можно записать также в виде
«о* = го* (го*/. B.48>
где го1 — обычный ротор, а штрих обозначает транспониро-
транспонирование. Именно в такой форме этот оператор впервые введ
в теорию упругости Ю. А. Прутков2). Приложение его
к теории дислокаций в основном принадлежит Кренеру3).
Естественно расширить область определения оператора н
считать, что B.47) определяет его действие также на асим-
асимметричных тензорах. Легко видеть, что Ко* коммутирует
с оператором транспонирования и, следовательно, с опера-
операторами симметрирования и альтернирования. Очевидны также
соотношения
= 0. B.49)
Если определить оператор йе! на векторных полях
Р^ = д{Л), B.50)
то из B.49) следует важное тождество
е! = 0. B.51)
') Целесообразность такого обозначения станет очевиданЙ
из дальнейшего. Подчеркнем, что введенный здесь оператор не имев?
отношения к оператору Ко1 гл. IV.
г) Ш4Э.2.
*) 1958.3. Кренер обозначает его символом 1пк.
ДОПОЛНЕНИЕ 395
Ниже будет показано, что оператор Ко* имеет для полей
тензоров второй валентности в некотором смысле то же зна-
значение, что и оператор го* для векторных полей. По-види-
По-видимому, целесообразно называть его двойным ротором (биро-
тором), а тензорное поле, представимое в виде 1?о*<7 —
бивихревым. Соответственно тензорные поля вида дгай и
или йети, где и — вектор, можно было бы назвать потен-
потенциальными.
Перейдем к линеаризации ц$. Рассматривая его как опе-
оператор (но уже на § и д), мы можем аналогично предыду-
предыдущему сопоставить ему линейный оператор, который будем
обозначать тем же символом. Опуская выкладки, приведем
окончательное выражение в декартовой системе координат
ПГ = у ^'ЧF;3\ - 28%). B.52)
В дальнейшем мы будем работать, как правило, в декартовой
системе координат и для упрощения записи не будем раз-
различать плотности и скаляры. В связи с этим в B.52) опу-
опущен знак <~.
Наконец, представим внутреннюю метрику в виде
Тогда основное уравнение B.45) в прямых обозначениях
принимает форму
Ко1А = -(т1л-Ь%). B.54)
Тождество Бианки B.20) теперь записывается в виде
О. B.55)
Его можно получить непосредственно, сравнивая B.49), B.52)
и B.54). Линеаризованное тождество B.19) также проще
всего получить, альтернируя B.54) и учитывая свойства 1
и симметрию А
4е^Ч5чр. B.56)
Если кручение вызвано дислокациями, то из B.21) следует
ду$* = 0. л^' = 0. B.57)
306 ДОПОЛНЕНИЕ
Отметим, что проведенную линеаризацию можно интер*
претировать как переход .на полевую точку зрения. Действи-
Действительно, ничто теперь не мешает нам считать среду евклидо-
в,ым /?,?, отнесенным. . к «хорошей» декартовой . системе
координат,, а А, 5 и т. д.—тензорными,полями в .этом /?3.
С другой стороны, геометрический подход имел несомненное
эвристическое значение, и мы можем сохранить все пре-
преимущества геометрической интерпретации введенных величин
и операторов.
' Упругая деформация. Упругую деформацию среды е>.^
целесообразно определить как меру уклонения внутренней
метрики 'от внешней. Рассмотрим сначала общий случай не-
линеаризованной модели и положим, по определению ')>
&».„ С) = 8^ (I) - 8Х„, (I)- B.58)
Соответственно мы можем говорить о деформированном
состоянии среды, понимая его как разность внешнего и
внутреннего состояний.
При заданной внутренней метрике деформация еяд не может
быть произвольной, а должна удовлетворять уравнению B.9)
о
после подстановки в него ^}и = &к -\- 2ех . Это уравнение
является обобщением известного условия совместности^ Сен-
Венана и выясняет его геометрический смысл. ;
Если предположить, что естественное состояние Ф^ суще-
существует для среды в пелом, то в этом состоянии внутренняя
метрика совпадает с внешней и, следовательно, является
евклидовой. Выбрав тогда соответствующим образом лагран-
жеву систему координат, мы можем положить
й82=ь^а1ьаъ». ■ B.59)
" Зададим внешнее состояние Ф уравнением2)
Ф: х1 = Ь[1к + и1Aх): ; B-60)
Вектор и1 можно интерпретировать как смещение при переходе
от Фо к Ф. Учитывая B.7), находим для внешней метрики
') К он до 1955.2.
*) Точнее здесь было бы писать не б[, а А\ (см. И. § 3).
ДОПОЛНЕНИЕ 397:
в состоянии Ф выражение
Подставляя в B.58), получаем известное в классической
теории упругости выражение е через и. В линейной теорий
упругости оно принимает вид
или е = де1и. B.62)
Уравнение совместности B.9) в этом случае также принимает
обычную форму, .-,' '
Вернемся к линеаризованной модели упругой среды
с источниками, внутренних напряжений. Легко видеть, что
уравнение B.54) может быть теперь записано в виде
Ко*е = л. B-63)
где д=т1д-|-т|5 характеризует суммарную плотность источ-
источников внутренних напряжений. В континуальной теории
дислокаций т] часто называют несовместностью. Из B.56)
и B.49) следует, что
О. B.64)
Напряжения. Поскольку мы ограничиваемся рассмотре-
рассмотрением малых деформаций, естественно обычным образом ввести
напряжения, связав их законом Гука с деформациями
(см. гл. VII)
или в прямых обозначениях
о = Се, е = Са. , B.68)
Полная система уравнений. В зависимости от того,
какие имеются источники напряжений — внутренние или внеш-
внешние, мы будем различать внутреннее и внешнее напряжен^
ное состояния. Из предыдущего следует, что полная си-
система уравнений, определяющая внутренние напряжения
(деформации), имеет вид
0, B.67)
398 ДОПОЛНЕНИЕ
или в напряжениях
Ко1С0 —т], (Ну 0 = 0. B.68)
Аналогично для внешних напряжений (деформаций)
Ко1е = 0, а~Сг, йыо= — д, B.69)
или в напряжениях
— д, B.70)
где <7 — плотность внешних сил. Ниже будет показано, что
уравнения B.68) и B.70) при наложении дополнительных
граничных условий однозначно определяют внутренние и соот-
соответственно внешние напряжения. В силу линейности модели
общий случай получится наложением.
Отметим одно важное обстоятельство. Если задана сум-
суммарная плотность источников внутренних напряжений -п и
известно, что д = 0, то, решая B.68), мы получим полную
информацию о внутреннем напряженном состоянии среды.
Однако при этом мы, вообще говоря, не знаем, какого рода
источники — кручения или кривизны — вызвали это состояние,
и, следовательно, не сможем однозначно предсказать резуль-
результаты эксперимента по расхождению концов трубок. Внутрен-
Внутренняя метрика также определена лишь с точностью до слагае-
слагаемого вида с!е1к. Таким образом, формулировка задачи
в виде B.68) связана с потерей определенной информации
о внутреннем состоянии среды.
Если мы не хотим усложнять модель, но в то же время
желаем сохранить информацию об источниках внутренних
напряжений, то вместо ц следует писать % + %. как это
было в B.54). Что касается внутренней метрики, то для ее
однозначного определения (если это вообще представляет
какой-либо интерес) достаточно зафиксировать начальное
внешнее состояние, относительно которого определяется
деформация.
Следующим нашим шагом будет рассмотрение векторных
полей с особенностями. Оказывается, их структура во многом
аналогична структуре тензорных полей в теории дислокаций
и в то же время значительно проще.
ДОПОЛНЕНИЕ
3. Векторные поля с особенностями
Обобщенные функции. Классический анализ, имеющий
дело с функциями точки, не вполне адекватен физической
теории поля, в которой рассматриваются обычно величины,
усредненные по некоторой области. Более адекватный аппа-
аппарат дается развитой в последние годы теорией обобщенных
функций. Эта теория изложена в монографии И. М. Гель-
фанда и Г. Е.^Шилова1), к которой мы и отсылаем читателя
за всеми подробностями. Здесь мы ограничимся основными
определениями.
Пусть х(х], .... х")— точка центро-евклидова про-
пространства /?л. Скалярная или тензорная функция точки <р(х)
называется финитной, если она обращается в нуль вне
некоторой ограниченной области. Бесконечно дифференци-
дифференцируемая финитная функция ф(лг) называется основной функ-
функцией, а совокупность всех основных функций, образующая,
очевидно, линейное пространство, называется основным
пространством К. Говорят, что последовательность основ-
основных функций ^(х) (у=1, 2, ...) стремится к нулю
в пространстве /С, если все эти функции обращаются
в нуль вне одной и той же ограниченной области и равно-
равномерно сходятся к нулю вместе со своими производными
любого порядка.
Задание линейного непрерывного функционала / на
пространстве К означает, что указано правило, по которому
каждой у^К сопоставляется вещественное число (/, ф).
причем выполнены следующие условия:
а) для любых вещественных чисел а, р и любых ф, т|з ^ К
справедливо равенство (/, аф + р1|>) = а(/, ф)-ЬР(/> ^)
(линейность /);
б) если Фу->0 в К. то и числа (/, ц>\~>0 (непре-
(непрерывность /).
Пусть / (х) — обычная локально интегрируемая функция *).
') 1959.1. Основные сведения излагаются также в последней
главе учебника математической физики под ред. Н. С. Кошля-
кова, 1962.
2) То есть существует интеграл от | / (х) | по любой конечной
области.
400 ДОПОЛНЕНИЕ
Можно сопоставить ей функционал / по правилу
C.1)
где интеграл: берется по всему пространству. Очевидно,
/ линеен и непрерывен. Наоборот, можно показать, что сово-
совокупность значений (/, <р) на всех ф^Л" однозначно опре-
определяет /(х) (с точностью до значений на множестве меры
нуль). В этрм смысле можно отождествить / с /(х). Следо-
Следовательно, каждую локально интегрируемую функцию можно
рассматривать как функционал на К. Но обратное неспра-
несправедливо, т. е. не каждому функционалу можно сопоставить
функцию точки. Простейшим и в то же время весьма важным
примером является функционал 6, определяемый правилом
F, Ф) = <р@). C.2)
Легко показать, что не существует обычной функции, кото-
которая бы ему соответствовала. Тем не менее в силу традиции
его называют б-функцией и обозначают 6(х). Допуская
некоторую вольность обозначений, C.2) записывают в виде
(ср. (Х.7.3))
* б (х) ф (х) ах — ср @). ■ C.3)
Вообще любой непрерывный линейный функционал / на
основном пространстве называют обобщенной функцией и
обозначают / (х). Обобщенные функции, которым соответ7
ствуют обычные функции, называются регулярными, все
остальные—сингулярными. Для сингулярной /(х) не имеет
смысла говорить о ее значении в точке.
Говорят, что обобщенная функция /(х) равна нулю
в окрестности V точки х, если для любой Ц>^К, отличной
от нуля только в I/, (/, ф) = 0. Так, 6 (х) равна нулю
в достаточно малой окрестности любой точки хфО. Допуская
некоторую вольность, иногда говорят, Что «6-функция
равна нулю во всех точках, кроме точки х=^0, где она
равна бесконечности». Если / (х) не равна нулю ни в какой
окрестности точки х0, то х0 называется существенной точкой
для / (х). Совокупность всех существенных точек называется
Носителем / (х). Так, носителем б (х) является одна точка
х~=0. Обобщенную функцию с ограниченным носителем
называют финитной.'
дополнение, ^
Для обобщенных функций /(*). естественным; образом
определяются сложение и умножение на число. Можно опре-
определить также произведение . / Цх) на бесконечно дифферен-
дифференцируемую функцию а (х), если заметить, что а (х) ф (д:) ^
если ф(дг)^/С.'Тогда а/ определяется равенством. .«
На этом принципе переброски операции на основную функций
основывается определение всех линейных операций над
обобщенными функциями. В то же время нелинейные операции!
например произведение обобщёйных функций,'вообще говори,'
не определены. ' "
Важнейшим свойством обобщенных функций является1 то/
что они'имеют производные любых порядков, 'которые также
являются обобщенными функциями. Если /(х) соответствует
обычная дифференцируемая функция, то для ее производной
д\'/(х)^У,ч(х) с помощью' интегрирования по Частям на-
находим ', ; ' р ' '' '' ' '■ '":
^/ (*)<*.*• '- C.5)
Это свойство кладется в основу общего определения произ-
производных обобщенных функций
В частности, для производных Ь(х) имеем
/ *. V, ... ут (х) Ф (х) ах = (- 1)'й ф. у>... Г|я @). C.7)
Легко видеть, что производные 6(х), как и сама Ь(х),
имеют носителем точку х = 0. Имеет место теорема: всякая
обобщенная функция, носителем которой является одна точка
(д: ~О)> представима в виде линейной комбинации б(дг) и ее
производных.
Наконец, отметим, что, кроме обобщенных функций ни
основном пространстве Л", рассматриваются обобщенные
функции и на других основных пространствах. Естественно,
что они будут обладать при этом рядом новых свойств.
В дальнейшем, если не оговорено противное,, обобщенные
функции будут предполагаться заданными на пространстве ЙГ.
402 ДОПОЛНЕНИЕ
Свертка. Пусть / (л;) и §• (х) — абсолютно интегрируемые
функции точки. Тогда функция А (х), определяемая равенством
*(*) = / (*) * 8 (*) = ] / (* — *о) 8 (*о) 4х0, C.8)
называется (интегральной) сверткой /(х) и @(х). Ей
можно сопоставить обобщенную функцию
= (/(*). (8 (У)> ф(* + У)))- C-9)
Свертку обобщенных функций / и §• естественно опре-
определить формулой
(/ * 8. Ф) = (/(*)• ОТ (У)- Ф(* + У)))• C-Ю)
Однако здесь возникает осложнение, связанное с тем, что
Ф (дс «4-у) — Уже не финитная функция в пространстве пере-
переменных х, у и, следовательно, не является основной функ-
функцией. Тем не менее C.10) можно принять за определение
свертки, если наложить на / и § некоторые ограничения.
В частности, оказывается, что это определение имеет смысл,
если хотя бы одна из обобщенных функций / и % является
финитной. В дальнейшем мы будем всегда предполагать это
условие выполненным.
Легко показать, что свертка коммутативна и ассоциа-
ассоциативна, т. е.
/*8 = 8*/> (/•*)•* = /•(*•*)• C.11)
Пусть й — произвольный линейный дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами. Доказывается
следующее важнейшее свойство свертки
О(/*ё) = О/*8 = /*Пё- C-12)
Благодаря этому свойству свертка играет исключительную
роль при решении дифференциальных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами.
С помощью свертки можно естественным образом сопо-
сопоставить каждой обычной абсолютно интегрируемой функции
ДОПОЛНЕНИЕ 403
или финитной обобщенной функции Н{х) линейный непре-
непрерывный оператор Н
/// = *•/. C.13)
Функция Н (х) называется в этом случае ядром оператора Н.
Рассмотрим, в частности, некоторые операторы, связанные
с 6(х) и ее производными.
Легко видеть, что 6 (х) является ядром тождественного
оператора Е (ср. (Х.7.3))
Е/ = 6*/. C.14)
Отметим, что это свойство 6(д:) можно было бы положить
в основу ее определения. Сдвинутая Ь-функция 6(х + ^)
является ядром оператора сдвига Т%
Тъ/(х)=Ъ(х + Ъ)*/(х) = /(х + 1). C.15)
Наконец, ядром дифференциального оператора с постоянными
коэффициентами п является БЬ. Действительно,
Я6*/ = 6*О/ = Я/. C.16)
Тензор Грина. Пусть п — линейный дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами, переводящий про-
пространство обобщенных вектор-функций в себя. Рассмотрим
уравнения
О\пР = /\ C.17)
Напоминаем, что здесь и в дальнейшем, если не оговорено
противное, система координат всегда декартова.
Будем предполагать, что существует тензор 0%(х), удо-
удовлетворяющий уравнению
Я^Сй () $() ()
Тогда решение C.17) можно представить в виде
^=0%*/ C.19)
(если существует свертка). Действительно,
Я^«Л= п^О% * /у = е\ * Г — /\ C.20)
404 ДОПОЛНЕНИЕ
Очевидна, тензор 0% определен с точностью до произволь-
произвольного решения однородного уравнения. Если наложить на О^
соответствующие условия при х—>со, то этим можно опре-
определить его однозначно. Тем же условиям будет тогда, удо-
удовлетворять Ф1, определяемое C.19). Обычно такими условиями
являются обращение в нуль решения или его производных
до нужного порядка при х ~> со. 0% называется в этом
случае тензором Грина оператора й1^ (для бесконечной
области). Он заведомо существует, если оператор О."ц элли-
эллиптического типа.
В качестве примера рассмотрим оператор Лапласа в /?.?:
О^-^б*. C.21)
В данном случае возможно некоторое упрощение' записи,
«ели учесть, что оператор, по существу, является скалярным —
на каждую компоненту он действует независимо. Следова-
Следовательно, Мы можем писать
Дг»>=/>-, АО = 6(х), 0 = — ~г, «Л = С*/\ C.22)
где О — функция Грина оператора Лапласа. Однако в общем
случае приходится иметь дело с тензором Грина. : . • ;
Операторы проектирования. В приложениях важную
роль играет разложение векторных или тензорных полей на
инвариантные составляющие. Мы покажем это на примере
следующих задач.
Пусть требуется определить статическое магнитное поле в
неограниченной анизотропной среде из условий (ср. (VI. 2.3))
— Р. В^ = ц^Н^ C.23)
Уравнения типа первых двух в дальнейшем удобно будет
записывать в форме
й'^В^ — О, то1>-*Нч = р. C.24)
Аналогичная задача для электростатики имеет вид
C.25)
Мы увидим, что обе эти задачи являются частными случаями
более общей задачи, которая сейчас будет рассмотрена.
ДОПОЛНЕНИЕ 405
. Будем отправляться от алгебраического тождества :
8уA = 0уОи — ОцОу. (о. /.Ь)
Свернем обе его Части с Ср2?рд"<?7., где С — преизволышй
постоянный тензор. Учитывая B.38), получаем операторное
тождество
С^ = ^р5г7а-С|гоТу.рго(ра, C.27)
где
А~ = С*<?>/\ C.58)
а операторы ^гай, сИу и го* отличаются от ооычных заменой д*.
на д^ — С^дц. Если, в частности, С^[ = б[;, то C.27) совпа-
совпадает с известным тождеством векторного анализа (в прямых
обозначениях) ■. ■':
А = §гас1 йш — го( го*. , C.29)
Предположим теперь, что С имеет обратный тензор С,
т. е. СуС^ = б^. Тогда
А = §гас1сП7 — гоТго*. C.30)
Свертывая C.30) слева и справа соответственно с С и С,
второе тождество
C.31)
Пусть О — функция Грина скалярного оператора А, т. е.
C.32)
(ее. конкретное выражение будет получено ниже). Тогда для
любого векторного поля да, исчезающего на бесконечности,
справедливо представление
'® — О*&'№ C.33)
или, учитывая C.30) и C.31),
II) = О * ^гай Й1У Схе> — О * го! го( хе>, C.34)
да = в * ^гай Ну %ю — О * С го* го! С-да. C.35)
27 Я. А. Схоутен
406 ДОПОЛНЕНИЕ
Эти представления дают решение задачи о нахождении
векторного поля до, исчезающего на бесконечности, если
заданы
р; == сНу Си>, 9, = го{гг> C.36)
или
р2=йЫп>, д2 = го[С'№. C.37)
В частности, для задач C.23) и C.25) находим
С^ = ц><у, Н= — О*го1/; C.38)
С)л' = е'"\ Е = О* §гас1 р. C.39)
Отметим, что случай, когда заданы тсАСрю и сИуС2«>, за-
заменой переменных 1а>] = С]т или щ = С#ю сводится соот-
соответственно к C.36) или C.37).
Представления C.34) и C.35) можно интерпретировать
как однозначные разложения векторного поля хе>, исчезающего
на бесконечности, на потенциальную и вихревую составляю-
составляющие в анизотропной среде. Взяв, например, за основу C.35),
мы можем положить
IV = <ш1 -\- щ, го1Схе>1 = 0, с11у«»2 = ^> C.40)
где
= О * §тас1 с11у «', ^2 = — С *Сго\го\С-и>. C.41)
Удобно ввести специальные операторы, осуществляющие
разложение C.40). Оператор Р, определенный иа линейном
пространстве, называется оператором проектирования,
если ЯР = Я. Зададим на пространстве обобщенных вектор-
функций, исчезающих на бесконечности, операторы проекти-
проектирования Пив, определив их условиями
го4СП = 0, A1ув = 0 (П + в = Е). C.42)
где Е — тождественный оператор. Корректность определения
следует из однозначности разложения C.40). Из C.41) после
несложных преобразований находим явные выражения для
ядер л^(^) и ду(х) операторов Пив:
^й C.43)
я?| (я)+ Ф$ (ж) = «$(*). C.44)
ДОПОЛНЕНИЕ 407
Обобщенные функции л^(х) и ду(х) можно рассматри-
рассматривать как результат применения операторов П и 0 к ядру
тождественного оператора е^(х). Как ядра операторов они
совпадают с ядром тождественного оператора на соответ-
соответствующих подпространствах, определяемых Ц и в, но как
обобщенные функции существенно отличаются от е^(х). Дей-
Действительно, их носитель совпадает со всем пространством,
тогда как носителем е^ (х) является точка л; = 0. Ниже будет
показано, что п^(х) и Фу(лг) можно интерпретировать как
поля диполя и элементарного вихря.
Потенциальная и вихревая составляющие до, удовлетво-
удовлетворяющие C.40), могут быть теперь представлены в виде
'О1; = Пгг', '№2 = ®'® C.45)
или
«# = Яу*«>\ г»2=йу*'иЛ C.46)
Нам осталось вычислить функцию Грина О для опера-
оператора А. С этой целью в уравнении C.32) подвергнем пере-
переменную х невырожденному аффинному преобразованию Л:
х'=Ах: х"=А%х\ \А\^\0^{А1')\ФО, C.47)
такому, что в новых переменных *'•'
Д = 6Г|*'дг<^'=Л'. C.48)
Имеем
Д = С1пдкд„ = Ь^'А^А^д^. C.49)
где Ах- — матрица обратиого преобразования. Отсюда
С^ = Ьх'^'а1'А^, |Л| = ^|С|-;. C.50)
Непосредственно проверяется, что
С,»==С^ = ЬкЖА%А$. C.51)
Таким образом, в новых переменных C.32) принимает вид
Ь'О(х') = Ь(А~'х'). C.52)
Из определения 6(х) следует
'х')\А\-1ах'. C.53)
27*
4С&* ДОПОЛНЕНИЕ,
Обозначим
яКл-') = И!-'ф(Д-/л:'). C.54)
Тогда
[ь(А-!х')$(х')с1х'=~\А\ $@). . C.55)
и, следовательно, ; •
Ь(А-'х')=\А\Ь(х'). C.56)
Подставляя в C.52) и учитывая C.50), находим
т~—-, 'г (ж') == /|С|\Ьы*У .ж!1'.. C,57)
4пг (х )
Возвращаясь к исходной переменной и принимая во внима-
внимание C.51), «окончательно получаем
1C.58)
4пг (лг)
г (х) = У\С\ С^х^хК C.50)
Если С{? —6\-, то это выражение совпадаете C!22). Из C.59)
следует, что приведенные выкладки имеют смысл лишь в слу-
случае, когда форма С^хЧх;*1 положительна.
- Подведем итог. Нахождение векторного поля из условий
типа C.36) или C.37), а также разложение его на потен-
потенциальную и вихревую составляющие в анизотропной среде
несущественно отличаются от аналогичных задач в изотроп-
изотропной среде. Поэтому в дальнейшем все формулы будут при-
приводиться для изотропной среды. Для перехода к анизотроп-
анизотропному случаю достаточно заменить г->г, а также ввести
операторы с чертой в формулах типа C.38). Позднее мы
увидим, что в случае тензорных полей учет анизотропии
связан с ббльшими трудностями.
Мультиполи. Пусть О(х)—аналитическая функция. За-
Запишем в тензорной символике ее разложение в ряд Тейлора
в окрестности точки х:
О (* -К) = О (*) + 1х>0, у, (х) + ~ |У'|У*О, УЛ2 (х) + ...
со
... = V Яу/-*•« ©О, У/...Ут (ж), C.60)
ДОПОЛНЕНИЕ 409
где
^Х C.61)
Применим это разложение к 6(л:-]-|):
*(* + 1) = 2^/-У#"AN.у/...ут(^ .-■ C-62).
т
Его нужно понимать в том смысле, что свертка 6(лг-4-|) * О (х)
дает ряд C.60). Более точно это означает, что мы рассма-
рассматриваем 6(л;-)-|) уже не на основном пространстве К. а на
основном пространстве аналитических функций. Обратим вни-
внимание на то, что в правую часть C.62), в отличие от левой,
переменные л: и | входят не симметрично.
Пусть теперь д(х)— финитная обобщенная функция на
пространстве К. Имеем тождество
? (х-К) = & (х+ *)*?(*), C.63)
где свертка происходит по |. Подставим сюда формально
разложение C.62). Тогда получим
2<?('л)(*. I). C-64)
т
1)т <3У' ■ • • у« Гб) Ь V;... V„г
д (|) =
C.66)
П(т) (х, I) = (-1)т <3У' ■ • • у« Гб) Ь, V;... V„г (*). C-65)
|) называется мультиполем т-го порядка,
<2Х''" г/и (|) — моментом мультиполя, а ряд C;64)—раз-
C;64)—разложением по мультип&лям. По традиции второй член ряда
называют диполем, третий член — квадруполем и т. д.
Выясним, какой смысл можно придать знаку. = в C.64).
Для этого рассмотрим свертку 10 = О * д. Имеем
210, у/... „т (х) Р4' ■ ■ ■ *« Ц) I д (I) =
2 (-/)'" Ф ■ ■ ■ ^ (I) а, ч;... Ут (*)• C-67)
410 ДОПОЛНЕНИЕ
С другой стороны, если использовать разложение C.64),
= О(*) * 2 (—])т <2*'" %'т (I) 6, у,... чт (х) =
га
= 2 (— ])т С^ '■' *т (I) О, V; ... Гт (*)• C-68)
га
Таким образом, мы можем придать разложению C.64)
следующий смысл: свертка левой и правой частей C.64)
с любой аналитической функцией дает одинаковый результат.
Для приложений, однако, характерна несколько иная си-
ситуация. Роль д(х) играют обычно источники поля, распре-
распределенные в некоторой ограниченной области С/, а О(х)
является функцией (или тензором) Грина оператора О и, сле-
следовательно, имеет особенность в точке х = 0. В связи с этим
решение уравнения Охю = д, вообще говоря, не будет со-
совпадать с решением, соответствующим замене д его разло-
разложением по мультиполям. Но при этом существенно, что если
| ^ II, то вне Ц эти решения совпадают. Поэтому, если нас
интересует поле на некотором расстоянии от источников, мы
можем заменить последние рядом по мультиполям и исполь-
использовать для XV выражение C.68).
Рассмотрим подробнее свойства разложения C.64). За-
Заменив х -> х — \, перепишем его в виде
ЯМ = 2 (-Т<?У/ - Х'т AN. V/... ут (х -1). C.69)
т
Мультиполи сосредоточены в точке х = \, относительно ко-
которой вычисляются также моменты 0*[/1'"'>т0,). Можно по-
показать, что первый отличный от нуля момент не зависит от
выбора точки приведения I,, тогда как все остальные от нее
зависят. Ряд C.69) является в некотором смысле антиподом
ряда C.60). Последний сходится тем лучше, чем ближе
точка | к точке х. Сходимость же ряда C.69) определяется
сходимостью ряда
Оиа тем лучше, чем дальше точка наблюдения л; от точки
приведения |.
ДОПОЛНЕНИЕ 411
В дальнейшем мы будем, как это обычно принято, по-
помещать начало координат в точку приведения |. Тогда из
C.66) и C.61) находим
= "^Г/**'■•• **"•?(*)**■ C-71)
В частности, если
= 2 <?«&(*-*«) C.72)
(например, заряды <?а, сосредоточенные в точках ха), то
Если ^ и г» — тензоры, то во всех выражениях нужно
добавить соответствующие индексы. Так для векторных
полей
т
^(*) = 2(-/)т<2ХУ/- *"'О\, V,...*„(*)• C.74)
Зшетим, что тензор ($л'1 •••*'* симметричен по индексам
V; ... \т.
Рассмотрим теперь связь потенциальных и вихревых полей
с разложениями источников по мультиполям.
Пусть и — потенциальное поле в изотропной среде, т. е.
0. C.75)
Предположим, что р финитна, и разложим ее по мультиполям
= 2 (-/Г м*> - ^б „,...„„, (*>. C.76)
Тогда из общей формулы (ср. C.39))
—~} C.77)
следует представление и^ в виде суммы полей мультиполей
2|) 2 У/...УтИ. C.78)
412' ДОПОЛНЕНИЕ
В частности, поле диполя "с моментом Му в точке х = 0
(ср. C.43))
и„. (ж) = в|?<ж) = — МЧО, ^ {х) = - М^1 (ж). C.79)
Пусть V — вихревое поле в изотропной среде, т. е.
(Нуу = 0, го* V = ц (сНу Ц я= 0). C.80)
Считая, что ц финитна, запишем ее разложение по мульти-
пблям в виде C.74). В силу линейной независимости членов
ряда из условия <И\г ц = 0 следует
\Я1л'-:г"'Ь,}л.1.,.„т(х)^0, C.81)
откуда
д(м7...у„,)__0_ C.82)
Можно показать, что общее представление для моментов
С}^1''', удовлетворяющих C.82), имеет вид
Ок = 0. ^ •••■*<"= е^ С/уИ;^-Уя«) (т>0), C.83)
где М*1"'у'т—тензор, симметричный по V;.... чт • Равен-
Равенство нулю ^к можно также получить непосредственно из C.71):
о>.=^ д>- ах—^ G*- -ь хч^) ^=^ ^ (^V) ^х. C.84)
Преобразуя последний интеграл в поверхностный и учитывая
финитность ц, получаем требуемый результат.
После подстановки C.83) разложение для д}* принимает вид
дк
дк(х) = го^ МУ;б (х) + ... C.85)
Первый член соответствует элементарному вихрю (или
элементарному току) в точке х = 0 с моментом Мр
^ <**• C-86)
В векторных обозначениях для элементарного вихря и его
момента имеем
ц == го* Мб (л) = — [М ггай о (ж)]. М — 4 / 1гч1 <<^- C.87)
ДОПОЛНЕНИЕ 413
Согласно C.38) решение системы C.80) можно предста-
представить в форме
Допуская некоторую вольность в обозначениях, мы будем в ана-
аналогичных формулах перебрасывать оператор го^*, = е^а.^
на скалярный сомножитель свертки. Тогда
^и = 2»\* 4х. 2»\ — — го*ц?. О. . C,89)
Введенный здесь антисимметричный тензор 2.$х можно йнтер-
пргтировать как тензор Грина оператора то1 на под-
подпространстве вихревых векторных полей. В отличие
от обычного тензора Грина, определяемого C.18), 2^ удов-
удовлетворяет уравнениям (ср. C.43))
— К <Ку%?. = 0. C.90)
Здесь в правой части первого уравнения вместо ядра тожде-
тождественного оператора стоит ядро оператора проектирования в,
который совпадает с тождественным на подпространстве вих-
вихревых векторов.
Для поля элементарного вихря имеем
V» = 2„?. * пЛи Мф (х) = А!у го1?Л11Х,Х C-91)
или, учитывая C.90),
VI^-МVЪ^. , C.92)
После подстановки выражения для О получаем хорошо из-
известную в гидродинамике и магнитостатике формулу
, C.93)
Формулы C.79) и C.92) позволяют интерпретировать.
Яц(лт) и О^(лт) как поля диполя и элементарного вихря. Из
этих же формул следует
«и — йц == М у (йц 4- я^) = Мхе1 = МрЬ (х). C.94)
Таким образом, если элементарный вихрь и диполь со-
сосредоточены в одной точке и имеют равные моменты, то
их поля совпадают всйду, кроме особой точки, тде они
414 ДОПОЛНЕНИЕ
отличаются на Мцб(лг). Будем называть такие поля эквива-
эквивалентными. В курсах электродинамики поля элементарных
токов и соответствующих им магнитных диполей обычно не
различают, что допустимо при рассмотрении изолированных
особенностей. Однако при переходе к распределенной плотности
токов или диполей это различие становится существенным,
так как при интегрировании по области члены вида Мцб(лг)
дают конечный вклад. Как мы увидим ниже, аналогичная си-
ситуация имеет место в теории дислокаций.
8-Функции и операторы, связанные с поверхностями').
Мы рассмотрели поля особенностей, сосредоточенных в точке.
Но нам придется также иметь дело с особенностями,
сосредоточенными на линии, поверхности или в области
В частности, дислокация является особой линией. В
связи с этим мы разовьем аппарат, который позволит
единообразным методом решать задачи для любых особен-
особенностей.
Пусть А,— некоторая кривая в #з- Обобщенная функ-
функция 6A) на основном пространстве К определяется соотно-
соотношением
^ ^ C.95)
Аналогично для поверхности 5 и области V определяются
6E) и 6(К):
5 C.96)
б (V) Ф (х) ах = {
V
Справедливо представление
= )Ъ(х-Х1)(И, C.97)
') См. также И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов 1959. 1,
гл. III, где рассматриваются обобщенные функции, связанные с по-
поверхностями. Однако следует отметить, что они, вообще говоря,
не совпадают с вводимыми ниже 6-функциями.
ДОПОЛНЕНИЕ 415
которое нужно понимать в том смысле, что
= ^ й1 ^ б (х — X/) <р (х) их = Г ф (х/) <И. C.98)
Аналогично
6E) = ^6(х — х8)A3, 6(У) = $6(х — Ху)йУ. C.99)
X V
Пусть, • например, I, — ось л:3, а 5 — плоскость я1*2.
Тогда 6 (А) и б E) можно представить как прямое произведение1)
одномерных 6-функций и функций, тождественно равных
единице:
6 (I.) = б (*') X б (х2) X / (х3). 6 E) = / {х1. я2) X 6 (х3).
C.100)
Имеем
$ X б(лгг) X 1 @)их1 ах2 = 1,
3 C.101)
]" 6E) й/, = | 1 @, 0) X б (*3) й?*3 = /.
Отсюда следует, что мы можем положить
б ф 6 E) = б (*0 X 6 (х2) X б (л:5) = б (х). C.102)
Легко видеть, что C.102) не зависит от конкретного
вида Ь и 5, если только они пересекаются в одной точке
х — 0. Поэтому в общем случае, если кривая Ь пересекает
поверхность 5 в одной точке х = Хо, мы полагаем2)
б (/,) б E) = б (х — х0). C.103)
Для ограниченных Ь, 3 и V
х — з, ^ б (К) йГаг == V, C.104)
где /, 5 и V — соответственно длина, площадь и объем.
') См. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов 1959. 1, стр. 131.
2) Строгое доказательство аналогичных соотношений см. в книге
де Рама 1955. 3, гл. VI.
416 ДОПОЛНЕНИЕ
Если V стягивается к точке хо, то
x~х0), Нт ~6(У) = б(л— хв). C.105)
Аналогичные предельные формулы имеют место для 6E)
и б(^).
Наряду со скалярными мы будем рассматривать вектор-
векторные 6-функции б(^) и бEу), определив их Для ориенти-
ориентированных Ь и 5 соотношениями
^ 6 {V) ср (х) ах — [ ф (х1) аС
л : C.106)
)
где ^'(Хд) и п* (х$) — соответственно единичный касатель-
касательный вектор к [.и нормаль к 5.
Для ограниченных I* и 5
=:8\ C.107)
где С и $г — векторные длина и площадь. Очевидно, для
замкнутых Ь и 5 они равны нулю.
Легко видеть, что если А и 5 пересекаются в одной
точке х — хо, то
б (/.у) 6EУ) == ± б (х — хо) C.108)
в зависимости от того, согласованы их ориентации или нет.
Действительно, деформируя Ь и 5, мы можем превратить
их в прямую и плоскость с постоянными единичными век-
векторами X и п и свести задачу к C.103).
Производные б-функций определяются обычным образом,
например
/ б, „ EУ) Ф (х) ах = - | ф 1A (х5) а$*. C.109)
5
Рассмотрим теперь операторы, определяемые поверхно-
поверхностями. Сопоставим каждой основной функции <р(лт) функ-
функцию / (х):
ДОПОЛНЕНИЕ 417
Этим на пространстве К задается, линейный оператор, одно-
однозначно определяемый кривой Ь. Будем обозначать его (А) и
гшсать
1 C.111)
Если кривая А ограничена, то определение естественным
образом распространяется на, обобщенные функции. Если А
не ограничена, то ему во всяком случае можно придать смысл
для финитных обобщенных функций.
Аналогичным образом определяются E) и (V). Все эти опе-
операторы имеют простой геометрический смысл. После соот-
соответствующей нормировки они могут быть истолкованы как
операторы усреднения по линии, поверхности или области.
Формулы, аналогичные C.111), определяют операторы
во всех тех случаях, когда имеют смысл соответствующие
интегралы. Однако этим накладывается не всегда оправданное
ограничение на класс тех фигур, которым можно сопоставить
оператор. В частности, естественно расширить определение
оператора таким образом, чтобы его можно было сопоставить
такой важной фигуре, как точка. Положим, по определению,
что началу координат х = 0 соответствует тождественный
оператор Е, а точке х = | — оператор сдвига Г=. Тогда мы
можем сказать, что каждой «достаточно хорошей» фигуре р
однозначно сопоставляется оператор (/■")•
Ранее мы видели, что ядрами Е и Т$ являются 6 (лг) и
6(лг~{-|). Аналогично этому ядрами других операторов являются
введенные выше 6-функщш, например
Г <р (х — хо) 4хо[ Ь (х0
±= ^ й$ ^ ф (х — хо) Ь (хо — лт5) ах0 =
5 '
). C.112)
418 ДОПОЛНЕНИЕ
Наряду со скалярными операторами будем рассматривать
векторные операторы
C.113)
= Ф (л) *
Вообще ^-мерной ориентированной поверхности 5 в /?я
можно однозначно сопоставить б(8У!'"'Хр) и тензорный
оператор EУ/"' ^)
16 E"' - л>) Ф (х) ах = / ф (*5) «/5^ - Ч C.114)
5
<5У> ■' • ^)ф (х) = |ф (х — х8) а$*' ■ •' ^ = ф (х) *
C.115)
При р — п (р — 0) операторы вырождаются в скалярные
(псевдоскалярные).
Определения естественно распространяются на произ-
производные от операторов, например
<5;?> Ф(х) = Ф (х) * б ,E^ = <5У) Ф к (х). C.116)
Важное значение имеют формулы Стокса для операторов.
Пусть V — область в /?з с границей 5 (ориентации согла-
согласованы). Тогда для тензора р (индексы опускаем) имеем
= - / Р (*$) <*$% = - / б E,,) р (х) ах. C.117)
Отсюда
<ЫЮ = -*($О. <^> = -(^>. C-118)
или в прямых обозначениях
дгаAбA/) = —6E), ё'а<1 (V) = — E). C.119)
ДОПОЛНЕНИЕ 419
Следовательно, для замкнутой поверхности 5
го* б E) = 0, го* E) = 0. C.120)
Пусть теперь 5 — двумерная поверхность и Ь — ее гра-
граница (ориентации согласованы). Тогда из формул
х) их = — | г^дцр (х8) <*5„ =
5
{ 1) {() C.121)
следует
юеЧ E0 = б (Г), го^EА) = <АУ). C.122)
или в прямых обозначениях
го1бE) = бA), го1(8) = <Ь>. C.123)
Отсюда для замкнутого контура Ь
(Иу 6 (Ь) = 0, (Ну (Ь) ==0. C.124)
Наконец, для ориентированной кривой Ь с начальной
точкой | и конечной т] имеем
д,.5(^) = 6(х-Э —6(*-л). A\к) = Т^-Т-п. C.125)
Пусть теперь задан ориентированный контур А и на нем
некоторая скалярная или тензорная функция /(х^. Тогда
соответствующие 6-функция и оператор с весом /0^) опре-
определяются формулами
= I Ф (лгл) / (лг^ ^, C.126)
Х1) V) Ф (х) = | Ф (х - ^) / (х^) ^. C.127)
I
Аналогично определяются остальные б-функции и операторы
с весом.
Производные определяются обычным образом перебро-
переброской операции на ф(#). В тех случаях, когда это не может
вызвать недоразумения, мы будем опускать скобки в
420 ДОПОЛНЕНИЕ
выражениях для б-функции.с весом и писать, например.
Легко видеть, что имеют место соотношения
C.128)
где- >Л и я1—- соответственно единичный касательный вектор
и нормаль. - -' '
Отметим, что формулы типа Стокса, вообще говоря* не
распространяются на 6-функции и операторы' с весом.
Поля произвольно распределенных диполей н вихрей.
Плотности диполя и элементарного вихря с моментами. Ж*,
сосредоточенных в точке х — О, как мы видели, можно
представить , соответственно в виде
р(х) = — д"МчЬ(х), <}1(х)=*гокглМч6(х). C.129)
Аналогично для произвольного распределения диполей и
вихрей удобно ввести представления
(х) ?= го^щ, (*). C.130)
где {^(лг)— плотность моментов соответственно диполей
и вихрей. В- частности, для распределений в области V, по
поверхности 5 и по линии А имеем " .
( C,131-Х
C-132)
C.133)
где М^(ху), Му(х3) и Жу(хд) — соответственно объемная,
поверхностная и линейная плотности моментов.
Важными случаями распределения по 5 и Ь являются
такие распределения, при которых М^ направлены по нор-
нормали к 5 и по касательной к /.. В этих случаях мы будем
писать
C.134)
C.135)
и называть М(х3) и М{х,) соответственно скалярной по-
поверхностной и линейной плотностью моментов. Обычно,
когда говорят, что моменты распределены по 5 или I с по-
постоянной плотностью, подразумевают под этим, что М =
ДОПОЛНЕНИЕ 421
Для полей произвольно распределенных диполей и вих-
вихрей согласно C.77) и C.89) имеем
«и (*) = дцО • р, V|X(x) = 2|Xx*^x^ C.136)
Подставляя сюда C.130) и учитывая, что
д^О = л* (х), 1ч/%,, = ^ (дг) C.137)
(ср. C.43) и C.90)), находим простые выражения для полей
через плотности моментов
«и (х) = — я^ * щ,, г;^ (л:) = ^ * Цу. C.138)
или
и = — Пц, у = 0ц. C.139)
Таким образом, поля диполей и вихрей являются соот-
соответственно потенциальной (с обратным знаком) и вихревой
составляющими плотности моментов. Как следствие, отсюда
сразу получаем (ср. C.94))
у — и = ц. C.140)
Ранее мы назвали потенциальное и вихревое поля экви-
эквивалентными, если они отличаются лишь в одной точке на
Мф(х). Расширим это понятие и будем говорить, что V
и и [.-эквивалентны, если они отличаются на плотность
моментов {I, сосредоточенную на /.. Аналогично определим
5- и V-эквивалентные поля. Из предыдущего следует, что
каждому вихревому полю можно однозначно сопоставить
эквивалентное потенциальное поле с той же плотностью мо-
моментов и наоборот.
Рассмотрим подробнее некоторые распределения момен-
моментов и соответствующие им поля. Пусть в области V с гра-
границей 5 задано распределение моментов с постоянной объем-
объемной плотностью Му. Тогда
и„ (д?) = — л^ * МУЬ (V) = — <V) М^1, C.141)
или, учитывая C.137) и C.118),
и^ (х) = д^О * МУЪ($У) = E4") Муд^О. C.142)
Если интерпретировать М^ как момент электрических дипо-
диполей и положить р{х3)-= Мхп? {х8), то (ср. C.128))
Ч (*) = дцО * р (*5) б E) = (р (х3) 8) д^О, C.143)
422 ДОПОЛНЕНИЕ
т. е. и можно рассматривать как поле нескомпенсированных
электрических зарядов на 5 с поверхностной плотностью
р(х3). Аналогичным образом легко показать, что
ю^ (х) = 2^ * д" (х3) 6 E) = <д" (х3) 3) г^х. C.144)
где <3К (х3) = г VРЖVИр (х3) можно интерпретировать как
некомпенсированный поверхностный ток. Учитывая C.89),
формулу C.144) можно записать в виде
Пусть теперь 5 — поверхность с граничным контуром Ь,
на которой задано распределение моментов с постоянной
скалярной плотностью М. Тогда
V^^ (х) = г^х * г(Л« E,), C.146)
или, принимая во внимание C.122),
V» (х) = 2& * Жб(^) = М^)!^. C.147)
Таким образом, распределение токов с постоянной скалярной
плотностью по 5 равносильно линейному току с контуром Ь,
что физически совершенно очевидно — токи на поверхности
взаимно компенсируются, за исключением граничного тока.
Если Р — поверхность, пересекающая Ь в одной точке, то
для потока плотности тока д* через Г, учитывая C.108),
имеем
^ = м ^ 6 {р) ар% =±м, C.148)
р
т. е. М является линейной плотностью тока на Ь (силой
тока). Одновременно мы получили физическую интерпретацию
формулы C.108). Что касается потенциального поля для дан-
данного распределения моментов, то оно имеет вид
ВA (х) = — Мп1 * 6 E„) = — М{8.*)п1. C.149)
Очевидным следствием является: поле вихря с контуром Ь
и линейной плотностью М и поле диполей, распределенных
с постоянной скалярной плотностью М по произвольной
поверхности 5, опирающейся на I, 5-эквивалентны, т. е.
ДОПОЛНЕНИЕ 423
отличаются на Мб Eц) (эквивалентность магнитного листка и
линейного тока!).
Рассмотрим, наконец, распределение моментов с постоян-
постоянной линейной плотностью по замкнутому контуру I
]кв = М6(Ц). C.150)
Из свойства 6B!,) C.124) и формул C.139) немедленно
следует
уч (х) = щ (*) = 7И6 (Ьу,), и^(х) = 0. C.151)
Мы можем наглядно интерпретировать это следующим обра-
8ом. ДипоЛи вдоль Ь взаимно компенсируются, а вихревое
поле можно рассматривать как поле бесконечно тонкого
соленоида. Как известно, оно равно нулю вне соленоида.
4. Внутренние напряжения
в упругой среде
Тензоры Грина теории упругости. Пусть др(х)— плот-
плотность объемных сил, которую мы будем рассматривать как
обобщенную финитную вектор-функцию. Тогда тензоры
Грина для смещений С/[1р(х) и напряжений Оа®р(х)
в неограниченной упругой среде определяются соотноше-
соотношениями
иI = иМ)*др, аа0 = Оарр*9Р. D.1)
где «ц и 0е* — исчезающие на бесконечности смещения и
напряжения, вызванные этими силами. Имеем
р, D.2)
откуда находим связь между Оа?р и 11^р
с?*.,=С**и„л- D.3)
Из уравнений B.69) и D.1) следует
0%.Ъ.<? = -<?. Оарр,э = -б?6(лг). D.4)
Учитывая D.3), находим уравнение для (/цр
D.5)
424 ДОПОЛНЕНИЕ
Для его решения воспользуемся преобразованием Фурье').
Имеем (здесь к ■ х обозначает ^
D-7)
D.8)
D.9)
Используя эти соотношения, получаем алгебраическое
уравнение для Фурье-образа тензора Грина 1/№
D.10)
Решив его относительно Ою, мы сведем задачу к нахожде-
нахождению обратного преобразования Фурье по формуле D.6).
В работе И. М. Лифшица и Л. Н. Розенцвейга *) было по-
показано, что нахождение ^/№ (х) в конечном счете сводится
к нахождению корней некоторого алгебраического уравнения
шестой степени, коэффициенты которого зависят от С****1.
В ряде случаев (изотропная среда, гексагональная симметрия,
слабая анизотропия) корни этого уравнения находятся в явном
виде, в остальных случаях его приходится решать численно.
Мы приведем здесь решение для изотропной среды, которое
в этом случае легко получить непосредственно 3).
Для изотропной среды (ср. (VII. 5.23))
и уравнение D.10) принимает вид (& =,
(X -\- [х) каЬ? 0цр -\- [1бамА2&№ = 6". D.12)
Свертывая его с ка, находим
1) О преобразовании Фурье для обобщенных функций см.
И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов 1959. 1, гл. П.
2) 1947. 7.
3) Лейбфрид 1953. 3.
ДОПОЛНЕНИЕ 425
Подставляя в D.12), получаем выражение для Ощ,
1 \ 1 \ 4- |л какп 1
^^[^-ТТ^^Н- DЛ4)
Отсюда
/
D.15)
Для вычисления интегралов подвергнем преобразованию
Фурье известное тождество
Л2г (х) == дхд%д^г (х) = — 8пЬ (х). D.16)
Учитывая, что 3^ = 1к),, находим
к4г(к) — — 8к, D.17)
откуда
г(*) = !- Г ' е'*" Ок. D.18)
Дифференцируя по х11 и хр и свертывая результат с 6№>
получаем искомые выражения для интегралов
г „ =— С к*кр с11г-гйк
•!1р п2 3 к4 '
D-19)
Подстановка в D.15) дает окончательное выражение
D-20)
В дальнейшем тензоры Грина {/(ф и Оарр для произволь
ной анизотропной неограниченной среды считаются извест»
ными.
Операторы проектирования. Как показал Крёнер :), сим«
метричный двухвалентный тензор А, исчезающий на бесконеч-
бесконечности, может быть однозначно разложен на потенциальную
1) 1958. 3.
28 Я. А, Схоутеи
426 ДОПОЛНЕНИЕ
составляющую А] и бивихревую составляющую А°
А0, = 6> ~>А°1 = йеИ), D.21)
Здесь Ь и 5 — соответственно вектор и симметричный двух-
двухвалентный тензор* играющие роль потенциалов. При этом
для однозначного определения В на него можно наложить
дополнительное условие (Ну В = 0. Однако Крёнер не дал
алгоритма, с помощью которого можно было бы найти по-
потенциалы Ь и В и фактически осуществить данное разложе-
разложение. Ниже приводится решение как этой, так и более общей
задачи о разложении тензорного поля на инвариантные со-
составляющие ').
Разложение D.21) удобно сформулировать в терминах
операторов проектирования, Введем на линейном пространстве
тензоров А операторы проектирования ГР и б9, определив
их соотношениями
КоШ" = 0. еИуе".-=0, П»+е° = Е, D.22)
где Е — тождественный оператор. Тогда все пространство
разлагается в прямую сумму двух подпространств потен-
потенциальных и бивнхревых тензоров
Здесь л" и д" — обобщенные тензор-функции четвертой валент-
валентности, являющиеся ядрами операторов П° и в9.
Таким образом, задача заключается в нахождении явных
выражений для П° и в", или, что то же, для п° и Ф0.
Запишем алгебраическое тождество (ср. C.26))
>) И. А. Кунин 1964. 1.
ДОПОЛНЕНИЕ 427
Свертывая его с д>.уд?.2д' д , получаем операторное то-
тождество
- А DУЧб^/;). D.25)
Вспоминая определение B.47) оператора Ко! и учиты-
учитывая B.38) и B.50), мы можем после несложных преобразо-
преобразований записать окончательно D.25) в виде
. А2 = Aе! BА — &а<1 (Ну) (Ну + Ко! Ко*. D.26)
Это тождество является аналогом C.29).
Введем для удобства записи формул тензор
и применим обе части тождества D.26) к выражению
Учитывая D.16), получаем для А представление
А = — ~ йе! BД — ётай (Ну) (Ну /? * Л —
— -^ Ко* Ко(/? * А D.28)
Легко видеть, что обобщенные тензор-функции
я°= — — <1еГ BА — §гас1 <Ну) (Ну/?, D.29)
—
д° = —^-Ко^о!/? D.30)
являются ядрами операторов проектирования П" и в', что
и решает задачу о разложении тензорного поля на потен-
потенциальную и бивихревую составляющие. Одновременно мы по-
получили выражения для векторного и тензорного потенциалов
Ь = ~* Bгас1 (Ну — 2Д) сНу А,
D-31)
28*
428 ДОПОЛНЕНИЕ
Рассмотрим теперь разложение более общего вида, учиты-
учитывающее тензор упругих констант. Положим
0, йыАо = О, D.32)
или в терминах операторов проектирования
А, = ПА = п*А, А2=ЪА = Ъ*А,
Ко(СИ = 0, й[\Ъ = О, П-гв = Е. D.33)
Здесь С — тензор, обратный тензору упругих констант С.
Мы можем интерпретировать это разложение следующим
образом. Пусть А — тензор напряжений. Тогда А/ — со-
составляющая напряжений, вызванная объемными силами, т. е.
решение системы B.70), а Л»— внутренние напряжения, т. е.
решение системы B.68). Разложение D.21) можно рассма-
рассматривать как частный случай данного, если положить
Са% = ^. D.34)
Легко проверить, что одно из возможных представлений
для П и 9 дается выражениями
П = — О*сНу, в = Е-\-О*йы, D.35)
где О — определенный выше тензор Грина теории упругости.
Другое представление будет построено ниже.
Тензор Грина для внутренних напряжений. При опре-
определении тензора Грина для системы B.68) необходимо учиты-
учитывать, что правая часть первого уравнения удовлетворяет до-
дополнительному условию (Нут] = 0\ С аналогичной ситуацией
мы уже встречались при определении тензора Грина для
вихревого поля.
Представим решение B.68) в виде
аа3 = 2аРм*^- D.36)
Очевидно, тензор Грина %а\^(х) должен удовлетворять вто-
второму уравнению системы. В правой части первого уравнения
для 7. должно стоять ядро оператора, который совпадает
с тождественным на подпространстве бивихревых тензоров
и дивергенция которого равна нулю. Но этими свойствами
ДОПОЛНЕНИЕ 429
как раз и обладает в". Таким образом (ср. C.90)),
Ну 2 = 0. Ко1С2 = Ъ°. D.37)
Покажем, что имеет место операторное тождество
в = вСв°С. D.38)
Для его доказательства, прежде всего, замечаем, что дивер-
дивергенция обеих частей равна нулю в силу D.33). С другой
стороны, из D.22) и D.33) следует, что
Ко* 6"= Ко*, Ко* Св = Ко* С. D.39)
Применяя теперь к обеим частям D.38) оператор Ко< С и
учитывая D.39), получаем тождество. Но если результаты
применения операторов й[\ и Ко* С к двум тензорам, обра-
обращающимся в нуль на бесконечности, совпадают, то совпадают
и сами тензоры, так как их разность есть исчезающее на бес-
бесконечности решение однородных уравнений теории упругости.
А это и доказывает D.38).
Итак, для внутренних напряжений а имеем
~ ~ Ж(С + ° * Шу
Здесь использовано D.35). После очевидных преобразований
находим
а ——2- (С Ко* Д + О * сИуС Ко( Я) * Ко* Со. D.41)
Отсюда получаем явное выражение для тензора Грина вну-
внутренних напряжений
2(х) = — -^1С Ко* Я (х)+0(х) * (НуСКо* К (х)], D.42)
а следовательно, и решение системы B.68) для неограничен-
неограниченной анизотропной среды :).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что 2.
удовлетворяет уравнениям D.37). Легко также видеть, что
при я—>оо 2 — г'1.
') Система B.68) для неограниченной изотропной среды была
решена другим методом Крёнером 1958. 3.
430 ДОПОЛНЕНИЕ
Общая задача о нахождении тензора напряжений в не-
неограниченной анизотропной среде при наличии внешних и
внутренних источников напряжений формулируется следую-
следующим образом: требуется найти симметричный тензор о при
условии а(оо) = 0, если заданы
Со — у\. D.43)
Решение записывается в виде
т1. D.44)
В частном случае, когда С удовлетворяет D.34), из D.29)
и D.30) следует
О°(х) = ~ сЫ (^гас! (Ну — 2Л) Я (*), D.45)
2°(х) = --^Ъо[К(х). D.46)
Распишем в компонентах D.44), подставив в него <? и т]
из D.43). Имеем
м] * <т°\ D.47)
Сравнивая с D.33), находим
?? D-48)
(х). D.49)
Силовые и бивихревые мультиполи. Пусть <р(х)—плот-
<р(х)—плотность объемных сил, отличная от нуля в ограниченной области,
и пусть ее разложение по мультиполям имеет вид
ЧР{х) = 2 (-У) ^ ■•• "'«б у;... „т(*). D.50)
Тогда для соответствующих смещений и напряжений имеем
М*) = 2 (-/Г <2РУ/ - *ти»Р, V; ... *т (*). D-51)
аар(х)= 2 (-7)*^ - ^0%,^ ... ,„(*)■ D-52)
т
Рассмотрим подробнее диполь с моментом С}1™. Пусть,
например, <2П = М, а все остальные компоненты равны нулю.
ДОПОЛНЕНИЕ 431
Легко видеть, что такой диполь можно интерпретировать как
пару сил с компонентами (— М, 0, 0\ и I А\, 0, о),
~2 , 0, 0\ и
х2 (—4-, О, О). Точнее, такой паре сил будет соответ-
соответствовать ряд D.50), в котором первым отличным от нуля
членом является данный диполь, а следующий отличный от
нуля член имеет порядок г2. Следовательно, диполь является
предельным образом такой пары при г->0, или, что то же,
при достаточном удалении точки наблюдения х. В связи
с этой интерпретацией данный диполь называется центром
растяжения. Аналогичный смысл имеют диполи с отлич-
отличными от нуля моментами 0№ = М и Р33=Ж. Наложение
этих диполей дает центр расширения с отличными от нуля
моментами <2и = <222 = <233 = Л1.
Подобным образом диполь с отличными от нуля момен-
моментами <212 = <221 = Л1 интерпретируется как центр сдвига,
и с моментами <212 = — <221 = М — как центр вращения.
Общий случай получается наложением.
Перейдем к разложению в ряд по мультиполям плотности
источников внутренних напряжений т]^ (х), которую будем
предполагать финитной. Имеем
Л* (*) = 2 (-/Г Я'"-' - *«6, V, ... ,.(*)• D-53)
т
Условие д\ч г\ = 0 в силу линейной независимости членов
ряда дает (ср. C.82))
Н**=*0, яЧ^-*т) = 0 (т>0). D.54)
Учитывая, что Н ^у>1 симметричен по первой паре индек-
индексов и согласно D.54) антисимметричен по второй, находим
Отсюда легко показывается, что разложение D.53) имеет
вид (ср. C.85))
«■> D-56)
432 ДОПОЛНЕНИЕ
где
= 7 е^
D-57)
Первый член разложения D.56) можно назвать элементар-
элементарным двойным вихрем с моментом Мрч. Ниже мы интер-
интерпретируем его в терминах дислокаций.
Для напряжений, обусловленных силовым диполем с сим-
симметричным моментом О?™ и элементарным двойным вихрем
с моментом М**1, соответственно имеем
оаЭ (х) = - Оа% * д&"Ъ (х) = - <2Р"Оа0(р, г) (*), D.58)
оар (х) = 2^хд * Ко^лт (*) = Мр" Ко^Л,» (*). D.59)
Учитывая D.48) и D.49), получаем (ср. C.79) и C.92))
^(*). D-60)
аа\х) = Ма"СаГГ%у (х). D.61)
Отсюда следует, что элементарный двойной вихрь с мо-
моментом Мах эквивалентен силовому диполю с моментом
ф*™ = — МахС'ахр*, — их поля напряжений отличаются
на ^6(х).
Характеристики распределения дислокаций и силовых
диполей. Выше было введено кручение 5^ в качестве гео-
геометрической характеристики внутреннего напряженного со-
состояния (наряду с кривизной) и указана возможность его
экспериментального определения. Таким образом, кручение
следует рассматривать как измеримую физическую величину.
Там же было показано, что кручение является континуаль-
континуальной моделью дислокаций при дополнительном условии
дI&1У' = 0. Чтобы подчеркнуть это, введем для данного слу-
случая специальное обозначение
сГ = —5^\ д^ = 0 D.62)
и будем, по определению, называть а^(х) плотностью
дислокаций.
ДОПОЛНЕНИЕ 433
Второй характеристикой распределения дислокаций
является плотность источников внутренних напряже-
напряжений типа дислокаций, или дислокационная несовмест-
несовместность •а'*, определяемая выражением B.52), где индекс 5
следует заменить на (а). Из B.56) и D.62) следует симме-
симметричность т|^. Легко также показать, что B.52) в данной
случае можно представить в виде
^ = го1^о^\ D.63)
Таким образом, задание ат однозначно определяет ц7%
а следовательно, и внутренние напряжения оа$. Однако обрат-
обратное неверно. Задание о однозначно определяет п^. (при
отсутствии источников типа кривизны), но а"у однозначно
этим не определяется. Чтобы выяснить степень произвола
в задании а^, положим а^ = а^ + а^. где с$у — какое-
нибудь частное решение D.63), а ауу — общее решение соот-
соответствующего однородного уравнения. Из формулы
11$ = Ко^е4" = го^го^ D.64)
следует, что можно положить а<Г = го$еру. С другой сто-
стороны, легко показать, что с#у = дуг>д — д^ 6П\ где V*1 —
произвольный вектор. Полагая V* = го$ир -|- д^ф, й!ур ир = 0.
получаем окончательно следующее представление для а|1У:
(й\у9ир = 0). D.65)
Итак, задание внутренней деформации е определяет а
с точностью до го1 (йе! и -\- со), где н — произвольный вихре-
вихревой вектор, а со — произвольный вихревой антисимметричный
тензор. Последний, как нетрудно видеть, представим в виде
со'»' =ерху<?иф. где ф — произвольный скаляр.
Наконец, мы введем третью, пожалуй, наиболее удобную
для приложений характеристику распределения дислокаций.
Положим
D.66)
434 ДОПОЛНЕНИЕ
где рЯ (х) — некоторая геометрическая характеристика рас-
распределения дислокаций, не зависящая от упругих по-
постоянных. Очевидно, (хру определена с точностью до дрхах,
где -аР — произвольный вектор. По соображениям, которые
станут ясны из дальнейшего, назовем (хРу плотностью мо-
моментов дислокаций. Имеем
& ^ ^ &У. D.67)
Отсюда видно, что антисимметричная составляющая ц^ не
влияет на тЙ, а следовательно, и на еру (но не на а1^!)-
Пусть Ь — некоторый замкнутый или уходящий на беско-
бесконечность контур, ограничивающий поверхность 5, и пусть
Ьх — постоянный вектор. Выражение
<Г(х) = Ь*бA») D.68)
в силу C.124) можно рассматривать как плотность некото-
некоторого распределения дислокаций. Проведем произвольную
поверхность Р, пересекающую I в одной точке, и рассмот-
рассмотрим поток С*у через Р. Учитывая C.108), получаем
^= ± гЛ, D.69)
где знак -4- или — берется в зависимости от того, совпа-
совпадают или не совпадают ориентации I и Р.
Так как этот поток не зависит от выбора Р, пересекаю-
пересекающей А, и равен нулю, если Р не пересекает А, то мы при-
приходим к выводу, что D.68) является плотностью, соответ-
соответствующей одиночной дислокации с контуром I и вектором
Бюргерса Ьч. С другой стороны, учитывая C.122), имеем
а^(х) = ю^Ь{5р), D.70)
и, следовательно, а^у можно также интерпретировать как
распределение дислокаций по поверхности 5 с постоянным
вектором Бюргерса Ьч и поверхностной плотностью момен-
моментов Мрх (х5) = Ь*пр (х5) (ср. распределение вихрей по 5
с постоянной скалярной плотностью моментов). Величина
D.71)
ДОПОЛНЕНИЕ 435
является плотностью моментов дислокаций, соответствующей
распределениям D.70) или D.68).
Мы можем, естественно, обобщить это на случай произ-
произвольного распределения дислокаций. Пусть, например, дисло-
дислокации распределены в некоторой области V. Тогда характе-
характеристиками распределения являются плотности
D.72)
D.73)
т$ (х) = Ко^УИ^ (ху) 6 (V), D.74)
где М"* (Ху) — объемная плотность моментов дислокаций.
При распределении дислокаций по поверхности 5 или
контуру I. следует соответственно заменить 6(У) на 6E)
или б (I). а М1*1 (Ху) — на поверхностную М*™ (дг5) или
линейную МрУ'(х1) плотности моментов дислокаций.
В предельном случае элементарной дислокации, кото-
которую можно получить, например, стягиванием поверхности 5
в D.70) в точку хо или, что то же, достаточным удалением
точки наблюдения дг, выражение для рЯ' принимает вид
Ь*$(>, D.75)
где $р — векторная площадь 5 (ср. C.107)).
Аналогичными характеристиками распределения силовых
диполей в области V являются
D.76)
D.77)
где др(х) — плотность диполей, ^(я) — плотность мо~
ментов диполей и ^(ху) — объемная плотность момен-
моментов. При распределении диполей по 5 или I следует соот-
соответственно заменить 6 (V) на 6 E) или 6 (V), а «З*™ (ху) — на
поверхностную ^рV (дг5) или линейную 0"у (х,) плотности
моментов диполей.
Наконец, если задано дискретное распределение дислока-
дислокаций или моментов и мы хотим усреднить его по некоторой
характерной области V, то для этого нужно применить
к данному распределению оператор у~1(у), где V—объем
области.
43Г) ДОПОЛНЕНИЕ
Сравним характеристики распределения дислокаций и ди-
диполей, предполагая все остальные характеристики среды
фиксированными. Плотность дислокаций а1" содержит пол-
полную — достаточную и необходимую — информацию о дисло-
дислокациях как физическом объекте, но с точки зрения внутрен-
внутренних напряжений содержит излишнюю информацию. Дислока-
Дислокационная несовместность г№ содержит полную — достаточную
и необходимую — информацию о внутренних напряжениях,
вызванных дислокациями, но часть информации о самих дис-
дислокациях в ней потеряна. Плотность моментов цР'' содержит
полную информацию о дислокациях, но определена с точ-
точностью до <?ряА где г»у — произвольный вектор. По отноше-
отношению к внутренним напряжениям [х*™ определена с точностью
до йег'У + ю, где со — произвольный антисимметричный тен-
тензор. Плотность силовых диполей ^р содержит полную — до-
достаточную и необходимую — информацию о силовых диполях
как источниках напряжений, но часть информации о распре-
распределении диполей потеряна. Плотность моментов диполей д*у
содержит полную информацию о распределении диполей, но
по отношению к напряжениям определена с точностью до
произвольного тензора р1™, удовлетворяющего условию
<Нуу/;Ру = 0.
Поля дислокаций и силовых диполей. Если распреде-
распределение дислокаций задано с помощью аРх(х) или тЙ(х)> то
из D.36) для внутренних напряжений имеем
о*(х)= ^.т^-^.го^а1"'. D.78)
В приложениях часто удобно задавать распределение дисло-
дислокаций с помощью плотности моментов дислокаций цЯ> (х),
которая непосредственно связывается с другими параметрами
задачи. Тогда, учитывая D.49), находим (ср. также D.61) и
C.138))
* ? &У" * Г. D.79)
Аналогично для напряжений 'о0-4, вызванных силовыми
диполями с симметричной плотностью моментов ер" = <?гр
и плотностью <7Р = — ^р/"> учитывая D.48), получаем (ср.
также D.60) и C.138))
'о* (*) = О* . <?р = л** * <Г- D-80)
ДОПОЛНЕНИЕ 437
Сопоставим распределению дислокаций с плотностью мо-
моментов \х<™ распределение силовых диполей с дуальной сим-
симметричной плотностью моментов дт с помощью соотношений
Тогда для соответствующих напряжений нз D.79) и D.80)
следует (ср. C.139))
'0 = 11<7, о — — в?, D.82)
т. е. поле 'о силовых диполей и поле а дислокаций
являются соответственно составляющей типа внешних
напряжений и составляющей типа внутренних напря-
напряжений (с обратным знаком) дуальной плотности мо-
моментов.
Как следствие отсюда получаем важные соотношения
(ср. C.140))
'а —а = <7, а = 'а —<7 —'а + С,и. D.83)
Обобщая отношение эквивалентности, введенное выше
для случая векторных полей, будем называть эквивалент-
эквивалентными поля внешних и внутренних напряжений, удовлетво-
удовлетворяющие условиям вида D.83), где^(х) — финитная обобщен-
обобщенная тензор-функция.
По существу, мы доказали следующее соотношение экви-
эквивалентности: каждой задаче (линейной) континуальной
теории дислокаций с заданной плотностью моментов ц
можно однозначно сопоставить задачу классической
теории упругости с дуальной плотностью моментов
силовых диполей <7, причем соответствующие напря-
напряжения будут эквивалентными г). С точностью до анти-
антисимметричной составляющей р,^!, которая не влияет на на-
напряжения, это соответствие будет взаимно однозначным.
Преобразуем выражение для 'а, учитывая D.3) и D.81)
Оа.;*цат). D.84)
') Мы доказали соотношение эквивалентности для неограничен-
неограниченной анизотропной среды (см. также К р о у п а 1962 г. 7). С помощью
формулы Грина его можно обобщить на случай граничных задач.
438 ДОПОЛНЕНИЕ
Сравнивая с D.2), приходим к выводу, что вектор
= О"
* йвт = ^р *
D.85)
является смещением, соответствующим дуальной плотности
моментов диполей (р". Так как в области, где плотность
моментов дислокаций цРу равна нулю, оа& совпадает с 'ааР,
то в этой и только в этой области н^ можно рассматривать
как векторный потенциал (вообще говоря, не однозначный),
через который по обычным формулам (локально) выражаются
е«Р и оаР. С этой оговоркой, если угодно, его можно ин-
интерпретировать как поле смещений, вызванное данным
распределением дислокаций.
Рассмотрим теперь некоторые примеры дуальных момен-
моментов и эквивалентных полей.
Как следует из D.75), момент элементарной дислокации М"
равен #Г5Р. В изотропной среде, учитывая D.11), для момента
дуального диполя находим
(Г == - МазаЬр* - 2^8». D.86)
В частности, если 5 — плоская площадка и вектор Бюргерса
ей параллелен (Ьаза — 0), то момент соответствует центру
сдвига в плоскости 5. Если вектор Бюргерса нормален пло-
площадке (призматическая дислокация), то момент соответствует
комбинации центра расширения и центра растяжения в на-
направлении нормали. Соответствующее поле напряжений 'о
дается формулой D.58).
Пусть дислокации распределены с поверхностной плот-
плотностью ЖР1) (дг5) по поверхности 5 с границей I, и пусть
^(.х3) — дуальная поверхностная плотность моментов дипо-
диполей. Тогда для соответствующих напряжений имеем
*.„. D.87)
^ = (ЛГ (х$M) 1*0$^.
D.88)
Согласно D.83) их разность равна 0*™ (д:5NE), т. е. осо-
особенности, сосредоточенной на 5.
Если Л/ру(дг5) = йч»р(дг5) и, следовательно, ц1™ задается
D.71), то это распределение соответствует одиночной дис-
ДОПОЛНЕНИЕ 439
локации с плотностью D.68). Из D.78) следует, что соот-
соответствующее поле напряжений имеет вид ')
( % (* К D.89)
Оно имеет особенность только на контуре А. Напротив, поле
напряжений дуальных моментов
'аар = ЬаСа «>'{5Х) 0%, V = ЬаС^/Оарр. V (* - х3) й$х D.90)
5
имеет особенность на 5. Его нельзя выразить в виде инте-
интеграла по А.
Из D.35) находим поле смещений одиночной дислокации
и^ = Ь0{8хH~\ = Ьа 0^{х — х3)й8х. D.91)
5
После подстановки сюда выражения для О7,^ в изотропной
среде и несложных преобразований легко получить известную
формулу Бюргерса 2), которую обычно трактуют как выра-
выражение для смещений одиночной дислокации. Точнее было бы
считать, что она дает смещения, соответствующие дуальной
плотности силовых диполей, распределенных по 5.
Пусть теперь дислокации распределены в области V
с границей 5 с постоянной объемной плотностью моментов
МУ (Ху). Тогда плотность дислокаций, учитывая C.118),
можно представить в виде
ам (х) = го#ЛГ б (V) = — е^тр М? 6 EТ). D.92)
т. е. это распределение в точности равносильно соответ-
соответствующему распределению нескомпенсированных дислокаций
на 5 (ср. с аналогичным распределением токов).
') Для изотропной среды представление о через интеграл по
контуру было получено Пичем и Келером 1950.1. См. также
статью де Вита в книге Эшелби 1963.1.
2) См., например, статью де Вита в книге Эшелби 1963.1
440 ДОПОЛНЕНИЕ
В заключение отметим, что если дуальная плотность мо-
моментов ц удовлетворяет условиям (Ну ц = 0 или Ко* "Сц = 0,
то из D.82) следует, что в этих случаях соответственно
'о = 0, о = — <7 или 'о = ц, о = 0. Это позволяет непосред-
непосредственно строить различные примеры дислокационных полей.
Задачи со сферической и цилиндрической симметрией.
В качестве иллюстрации общей теории рассмотрим некото-
некоторые простые задачи, решение которых может быть получено
прямым путем.
Начнем со случая сферической симметрии. Пусть область V
есть шар, ограниченный сферой 5 радиуса /?. Легко видеть,
что в сферических координатах г, д. ф
г), 6 E) = 6 (г —Я), D.93)
где 8 (г) — функция единичного скачка: в (г) == 1 при г > О
и 0 (г) = 0 при г < 0.
Для простоты ограничимся рассмотрением тензоров с от-
отличными от нуля компонентами А„^АГ, А^ = Ат^А^.
Тогда компоненты дислокационной несовместности Ц{г),
определяемой выражением D.67), в сферических координатах
запишутся в виде ')
% = Т
Легко проверить, что условие
й1ч1\ = 0. или Т);+1(т1г_%) = 0, D.95)
выполняется тождественно. Таким образом, ц имеет одну
существенную компоненту т^, через которую т)д выражается
с помощью D.95).
Уравнения B.67) для изотропной среды принимают вид
^+^(ч-О-ч. 4+тЬ—*-0- D.96)
<*, = (* + Щ е, 4- 2^ од = 1ег + 2 (А, + ц) е^.
') Общее представление оператора Но! в сферических и цилин-
цилиндрических координатах см. в книге А. И. Лурье 1955.1.
ДОПОЛНЕНИЕ 441
Пусть на сфере 5 задано распределение дислокаций
с вектором Бюргерса, направленным по радиусу и равным
по величине 6 = сопзЬ Тогда для плотности моментов из
общей формулы
D.97)
учитывая D.93), находим
-Я). \ь = 0. D.98)
Подстав.ляя в D.94), получаем выражение для существенной
компоненты т]
Я = —^Нг-Я). D.99)
Решение D.96) имеет вид
D.100)
Данную задачу естественно интерпретировать следующим
образом. В сферическую полость радиуса /? вставляется шар
из того же материала с радиальным зазором (или натягом) Ь
и производится спайка. Если вместо спайки на границе при-
приложить двойной силовой слой, то согласно соотноц'ению экви-
эквивалентности соответствующие напряжения отличаются на ду-
дуальную плотность моментов (ср. D.83))
цт= — (Я, -{- 2р.) *6 (г — Я), ?о = —Ш(г —Я). D.101)
Другую возможную интерпретацию мы получим, если
рассмотрим распределение температуры Т по закону
Т (г) = ГО0 (/? — г) (Т0=соп5{). D.102)
Легко показать, что распределению температуры с произ-
произвольным законом Т (х) соответствует несовместность типа
кривизны
Ч^(х) = Ъо$чТ(хNр\ D,103)
29 Я. А. Схоутсн
442 дополнение
где \» — коэффициент температурного расширения. Тогда для
распределения D.102)
^ D.104)
Сравнивая с D.99), заключаем, что с точки зрения внутрен-
внутренних напряжений это распределение температуры в точности
равносильно распределению дислокаций с вектором Бюргерса
При Ц~>0 предельным образом (единичной) сферической
дислокации является точечный источник с плотностями ')
D.105)
Соответствующие напряжения имеют вид
D.106)
. —1(ЗЛ —2ц).*''
) г-
Пусть теперь
V, = — об (/? — г) (а — соп8{). D.107)
Этой несовместности, например, соответствует распределение
температуры
Г (г) = 7^/--^-) 6C-г), ?'в=~-. D-108)
Решение имеет вид
D.109)
') Пространственной 6 (х) соответствует {2пг^) б (г).
ДОПОЛНЕНИЕ 443
В заключение рассмотрим распределение дислокаций по
поверхности цилиндра радиуса р = /? с вектором Бюргерса
Ъ — соп$4, направленным по радиусу р. Соответствующие
выражения для отличных от нуля компонент р. и т) имеют рид
Ир=Ю(р — Я). 11г = --|-6'(р-/г)> D.110)
а напряжения записываются следующим образом:
D.111)
При /?—>0 получаем в пределе линейный источник
с напряжениями
а =
•
р ]
29»
ЛИТЕРАТУРА
1872.1. Р. К 1 е 1 п, Уег§1е1сЬеп<Зе Ве1гасЫипдеп ОЬег пеиеге §еоте1-
пзсЬе РогзсЬип^еп. ЕгЬп^еп. Керпп1ес1 Ма1п. Лпп. 43 A893),
63-100.
1877.1. Ь. В. СЬг1$1оНе1, 11еЬег ё1е РогфИапхипй уоп 51бззеп
йигсЬ е1азКзспе 1ез*е Кбгрег. Апп. <Н Ма{. II 8, 193—243.
1880.1. А. Уозз, 2иг ТЬеопе Йег ТгапзГогтаПоп ^иас1^а^^5спе^ ЭП-
ГегепИаЫизйгОске ипй йег Кгпттипв Ьбпегег Мапп1Га11'§-
кеНеп. Ма1Н. Апп. 16, 129—78.
1894.1. Ь. Кгопескег, Уог1езип(*еп пЬег Й1в ТЬеоп'е йег ешГасЬеп
ипй (Зег У1е!Гас11еп 1п1е§га!е. Ье1р21§, ТеиЬпег.
1898.1. V. V о I в I, Эш ГипCатеп1а1еп рЬуз1каНзсЬеп Е1§епзсЬаГ1еп
«Зег Кг1з1а11е. Ье1рх1§, ТеиЬпег.
1900.1. Р. V. \#еЪег, Уог1езипееп пЬег Йаз РЫГзсЬе РгоЫет. Ьсф-
гщ, ТеиЬпег.
1900.2. Н. ВигкпагсН апй ^у. Р. Меуег, РсйепЯаИпеопе.
Епс. А. т. \У|35. 11 А. 7Ь. Ъелщ'щ, ТеиЬпег.
1901.1. О. К1сс!, Т. Ьеу1-С!у!1а, ЛШЬойеа Аг саки1 ЛГ-
Гёгеп1!е1 аЬзо!и е1 1еигз аррНсаНопз. Ма1Ь. Апп. 54, 125—20Ь
1904.1. О. Н а ш е I, О1е Ьа(*гап§е-Еи1егзспеп О1е1сЬип5еп с!ег Меспа-
П1к, 2. Ма1Ь. Рпуз. 50, 1.
1904.2. А. Е. Н. Ь о V е, Шауе МоНопз ч/'АЪ В^сопИпиШез а! \\'ауе
Ргоп1з. Ргос. ЪопА. Ма1Ь. Зое. Я. 1, 37—62.
1907.1. О. Т е с1 о п е, АНцешеше ТЬеогете Йег тафетаНзсЬеп Е1а-
зН2На1з1еЬге. Епс. А. т. Шзз. IV. 24, Ье1р2|д, ТеиЬпег.
1908.1. К. \Уе112епЬбск, Котр1ех-ЗутЬоНк, 1е1рг\§, 1908.
1913.1. Е. В. \\М1зоп, Уес1ог Апа1у515. Ыечг НаУеп, Уа!е ип1уегз11у
Ргезз.
1916.1. А. Е I п 5 I е 1 п, Т)'к ОгипC1а§еп <3ег аП^ететеп Ке1а1!У11а1з-
йеогхе. Ьырг'щ, Ваг1Ь.
1917.1. Е. Т. \УЬП1акег, Апа1у11са1 Оупагтсз. СатЬгЫ^е ии1уег-
зИу Ргезз.
1917.2. Т. Ьеу! С1УAа, 'Ыогюпе й\ рагаИеПзто 1П ипа уаг!е1а ^иа-
1ипяие'. Кепи. С1гс. Ма4. Ра!. 42, 173—205.
1918.1. 3. А. 5спои1еп, О1е Й1гек1е Апа1у513 гиг пеиегеп Ке1аНу1-
1а1з№еоп'е. УегИ. Коп. Акад. V. \\7е1. 12, Ыо. 6, 95 рр.
1920.1. М. у. Ьаие, О1е Ке1аИуиа1з1Неопе. ВгаипзсЬ^е!^, У1е\уед.
ЛИТЕРАТУРА 445
1921.1. №. РаиП, КеЫтШзШеопе. Епс. й. т. Шва. V. 12, Ье1р-
х\%—ВегНп, ТеиЬпег.
1921.2. Н. №еу1, Каит, 2еН, ЛЫепе. ВегНп, 5рпп§ег,
1921.3. 3. А. 5сЬои1еп апй Б. 3. 51 г и I к, Оп зоте РгорегКез
о! §епега1 МашГоИз ге1а1т(* 1о Етз1ет'з 1Ьеогу о! Огауйа-
1юп. Ат. 3. о{ Ма1Ь. 43, 213—16.
1921.4. Е. Кае пег, Оеоте1пса! ТЬеогетз оп ЕшзШп'з Со8пто1о(*1-
са! Е^иа^^оп8. Шй. р. 217—21.
1921.5. 3. А. 5спои1еп, ОЬег д)е коп!огте АЬЫЫипе л-<Нтепзю-
па!ег Мапп12{аШдке11еп тИ ^иаA^а^^5сЬе^
аи{ е1пе Мапт{*{аШдкеН тИ еикПЛзсНег
Ма1Ь. 2еИ8сЬг. 11, 58—88.
1922.1. О. УеЫеп, Ыогта1 Соогйша1ез {ог Ше Сеоте1гу о! Ра1Ьз.
Ргос. Ыа1. Асай. 8, 192—7.
1922.2. Е. К а зпег, ТЬе 5о1аг ОгауНа1юпа1 Р1е1A сотрНе1у ()е1ег-
ттей Ьу Из Пф1 Кауз. Ма1Ь. Апп. 85, 227—36.
1923.1. А. 5. Ес1(Ппв*оп, ТЬе Ма1Ьета11са! ТЬеогу о! Ке1а»К-11у.
СагаЬпйце 11п1уег5!1у Ргезз.
1923.2. Н. Ш. В г I п к т а п п, Оп К1етапп Зрасез соп!огта1 1о Ет-
5(ет Зрасез. Ргос. Ыа4. Асас1. 9, 172—4.
1923.3. К. и' е 11: г епЬоск, 1пуапап1еп1Ьеопе. Огоп1пгеп, Ыоогй-
Ьо11.
1924.1. 3. А. ЗсЬои1еп, Бег КксЬКа1кй1. ВегПп, Зрппдег. (См.
1954.1).
1925.1. Ь. Т. О кау а, Ь'ех4гёта1 дапз ип сЬатр §;^аV^Н^ие а рзеиеЗо-
ог1Ьо§опа1Иё. Ргос. РЬуЗ!сота111. Зое. Токуо 3, 51—8.
1926.1. Ь. Р. Е15епЬаг1, К1етапп1ап Сеоте4гу. Рппсе1оп
11туегЗ!1у Ргезз, Ох!огA 11п1уегз11у Ргезз, 8есоп<! еЛ^оп
1949.
1926.2. 3. Ь. Зуп§е, Оп Ше Оеоте1гу о! Оупагшсз. Тгапз. Коу. Зое.
Ьопйоп А 226, 31—106.
1926.3. О. Угапсеапи, Зорга 1е е^иа2^оп^ сЗе! то(о <Я ип 31з1ета
апо1опоте. Кепи. Асе. Ыпс. F) 4, 508—11.
1927.1. О. О. В1гкЬоН, Бупат1са1 Зуз{етз. Атег. Ма1Ь. Зое. СоН.
РиЫ. Ыеш Уогк.
1927.2. Т. ЬеУ1 С 1 V 11 а, ТЬе АЪзоМе О^ГегепНа! Са1си1из. Ьоп-
Йоп, В1аск1е & Зоп.
1927.3. Ъ. Р. ЕхзепЬаг*, Ыоп-К1етапп1ап Оеоте1гу. Атег. Ма1:Н.
Зое. Со11. РиЫ. Ые>у Уогк.
1927 4. 3. А. 3 с Ь о и I е п, 1}Ъег л-ГасЬе ОгИю§опа1зуз{ете 1П V,,.
Ма1Ь. 2е1зеЬг. 26, 706—30.
1928.1. 2. Но г а к, Зиг 1ез зуз{ётез поп Ьо!опотез. Ви!1. 1п{. Ас.
Зс. йе ВоЬёте 29, 1—18.
1929.1. А. Б. Роккег, Ке1а!1У11е1151Ьеог1е. Огоп1пдеп, ЫоогйЬоГГ.
1931.1. Т. V. ТЬотаз, ТНе Е1етеп1агу ТЬеогу о! Тепзогз. Ме>у
Уогк—Ьопйоп. МсОга\у-НШ.
1931.2. и'. 31еЬойг1п5к1, Зиг 1ез ё^иаШэпз йе НатШоп. Ви11.
Асас1. Коу. Ве1§. E) 17, 864—70.
1932.1. О. УеЬ1еп апё 3. Н, С. № Ь И е Ь е а й, ТЬе Роипс1а1юп8
о{ Б1Г1егепиа1 Сеоте1гу, СатЬпйде Тгас1з Ыо. 29, 96 рр.
446 ЛИТЕРАТУРА
1932.2. А. XV и п й Ь е 11 е г, КНеопоте Оеоте1пе. АЬзо1и{е МесЬатк,
Ргас. Ма1ета1ус2ПО-р1гус2пусЬ Шагзга\уа, 40, 97—142.
1933.1. 1 А. 5сЬои*еп апй Е. К. V. Катреп, ВеЛга^е гиг ТЬе-
опе (Зег Ое1огта1юп. Ргас. Ма{ета1ус2ПО-Р1;гус2ПусЬ Шагзга-
туа 41, 1—19.
1933.2. I. Ко § а, УШгаКопз о! Р1его-е1ес1:пс ОзсШаНп^ Сгуз1п15.
Ьопйоп, Е<НпЪиг§Ь, апй ОиЫт РЫ1. Маг. апй Л. о! 5с. G)
12, 275—83.
1933.3. Е. ЛаЬпке апй Р. Е т <3 е, Рипк1юпепЫе1п. Ье1ргщ—Вег-
Нп, ТеиЬпег. Ые\у Уогк, Оочег РиЪНсаНопз.
1933.4. Р. А. М. О|гас, Ното^епеоив УапаЫез 1П С1аззка1 Оупа-
Ш1сз. Ргос. СатЬг. РЬП. 5ос. 2», 389—400.
1934.1. О. Ргапде, О1е аИ^ететеп 1п1е§гаНоп5те11ю(Зеп йег апа«
1у11зсЬеп МесЬап1к. Епс. А. т. Мзз. IV. 12, 13, Ье1р21(*,
ТеиЬпег.
1934.2. Р. К. I а с к, О. \У. \ХЧ 11 а г <3, апй Л. Е. Р а 1 г, 5оте 1трго-
уетеп^з 1п Риайх Сгуз1:а1 ОгсиН Е1етеп1з. Ве11 5уз1:егп
ТесЬп. ^ои^п. 13, 453—63.
1934.3. 4, 5, 6. О. V. Е>ап12 1!*, Е1ес1гота2пе{1зт, !ПAерепс1еп4 о!
те1пса1 деоте1гу. Ргос. Коп. Ыей. АкаА. V. \\ге1. 37, 521—5,
526—31, 644—52, 825—36.
1934.7. Л. Ь. Зупде, ТЬе Епег§у Тепзог оГ а СопИпиоцз МеЙ1иш.
Тгапз. Коу. 5ос. оГ Сапайа 3, 28, 127—71.
1935.1.Х А. 5сЬои4еп апй Ь. X 3 1ги1к, ЕтШЬгипе т (Не
пеиегеп МеШойеп <3ег В1Негеп{1а1§еоте1г1е, I. Огоп1пдеп—
Ва1аУ1а, ЫоогдЬоН. В тексте цитируется как Н. М.
1936.1. В. V. О'1}\, ТЬе АррПсаИопз оГ Шсс! Са1си1из 1о 1Ье 5о1и-
Нопз о! УШгаИопа1 Е^иа^^оп8 о{ Р1его-е1ес1пс Риаг12, РЬу31Са
3, 317—26.
1936.2. Л. Ь. Зупде, Тепзог1а1 МеНюйз 1п Оупатюз. Тогоп1о \]п\-
\-ег8Лу Ргевз.
1936.3. Б. V. О а п I г \ §, К1сс1 Са1си1из апй Рипс1юпа1 Апа1у515,
Ргос. Коп. ЫеA. Акай. V. \Уе4. 39, 785—94.
1936.4. Р. Зотбап, АпзсЬаиПсЬе Риап1епШеопе. ВегНп. Зрпп^ег.
1937.1. Л. V. СПуепз, Тепзог СоогсИпа1ез о{ Ь1пеаг Зрасез, Апп,
о{ Ма(Ь. 38, 355—85.
1937.2. 3. V. ХУеуззепЬоГГ, Биа!е Огбззеп, Огоззго1а<|оп, Огозв-
Й!уег§епг ип<! (Не 31оке5-Оаизз1зсЬеп За(ге 1П а11дете1пеп
Каитеп, Апп. Зое. Ро1. йе Ма*Ь. 16, 127—44.
1937.3. Л. Ь. 3 у п д е, Ке1а1тзНс Нуйгойупат1с5, Ргос. Ьопй. Ма1Ь.
Зое. B) 43, 376—416.
1937.4. Н. А. К га тег 8, О1е Огип<31аееп <3ег Риап4еп1Ьеог1е. Ье1р»
21§. Акай. Уег1. Оез.
1938.1. Ь. В г 1 11 о и 1 п, Ьез Тепзеигз еп Мёсап1яие е{ еп Ё1аз11с11ё,
Рапз, Маззоп.
1938.2. Л. А. 5сЬои1еп, ОЬег й\е деоте1г13сЬе Оеи^ипд; уоп §е-
тооЬпНсЬеп р-\'ек1огеп ипй К'-р-УеЙогеп ипд деп коггезроп-
(Иегепйеп ОШеп, Ргос. Коп. Ыей. Ака<3. V. \Уе1. 41, 709—16,
1938.3. Л. А. ЗсЬои1еп апй Б. Л. 3 4 г и I к, ЕтЮЪгипе 1П Й1е пей-
геп Ме1Ьо<Зеп йет ВИ1егеп11а1деоте4пе, II. Огоп|пдеп—Ва1а-
у1а, ИоогсИюН. В тексте цитируется как Н, М.
ЛИТЕРАТУРА 447
1939.1. А. Роккег, ре Ъетуе^шд уап §о1Г§гоереп уо1§епз йе ка-
пошзспе уег§е1укт§еп уап НатШоп, Напй. 27з1е Мед. Ыа{.
Оеп. Соп§г. 1—4.
1939.2. А. Роккег, НатШоп'з Сапоп1са1 е^иа^^опз !ог 1Ье МоИоп
о! \Уауе Огоирз, РНувка 6, 785—90.
1939.3. О. V. Оап{г1д, Оп {Ье РЬепотепо!од1са1 ТЬегтос1упагшсз
о! Моу|пв МаНег., РЬузша 6, 673—704.
1939.4. О. V. Б а п 4 г 1 д, Оп Ке1а4тзис ТЬегтосЗупагЩсз, Ргос. Коп.
Ыей. Акай. V. Ше1. 42, 601—7.
1939.5. Т>. V. V) а.п\г\%, 51гез5 Тепзог апй Раг41с1е ОепзЛу 1П
8реаа1 Ке1а*1уЦу ТЬеогу, Ыа1иге 143, 855.
1939.6. Б. V. 1>ап\г\^, Оп КеГаНуЫк Оаз ТЬеогу, Ргос. Коп. Кес1.
АкасЗ. V. \Уе*. 42, 608—25.
1940.1. 3. А. 5сЬои4еп апй С V. Б а п {г \ ^, Оп ОпПпагу Риап-
ИНез апс! 157^иап4Шез, Сотр. Ма1Ь. 7, 447—73.
1940.2. О. V. Оап12 18, Оп 1Ье ТЬегто-Ьуйгойупатюз оГ РегГесИу
РегГес1 Пшйв, Ргос. Коп, Ыед. Акай. V. \Уе1. 43. 387—402,
609—18.
1944.1. А. Е. Н. Ьоуе, А. ТгеаКзе оп 1Ье Ма1ЬетаИса1 ТЬеогу оГ
Е1азИсИу. Ыеш Уогк, Эоуег РиЬНсаиопз.
1945.1.0. Е. И\ 111ечу оо й, 1пуаг1ап{ ТЬеогу ипйег Ог(Ьо§опаГ
Огоирз, Ргос. Ьопс1. Ма№. 5ос. B) 50, 349—79.
1946.1. Н. Оогде1о апс! 3. А, 8сЬои{еп, Оп ШНз апй 01теп-
31ОПЗ, Ргос. Коп. Ыес1. Акай. V. и'е!. 48, 124—31, 282—91,
393—403.
1946.2. V. О. Саду, Р|его-е1ес1пС11у. 1п1ет. Зег. т Риге апй Арр]|-
ей РЬуз1св. Ыето Уогк—Ьопйоп, МсСгату-НШ.
1947.1. А. ЫсЬ п е г о\у 1 сг, А1§ёЬге е1 Апа!узе Ь1пёа1ге. Раг1з,
Маззоп.
1947.2. Ь, Вгапй*, Уес1ог апд Тепзог Апа1уз1з. Ыс\у Уогк, и'Иеу
& Зопб; ЬопеЗоп, СЬартап & На!1.
1947.3. А. р. М1сЬа1, Ма{пх апй Тепзог Са1си1из. Са1сН Аего-
паиНс 5ег1ез. Ме\у Уогк, ^о!1п и'Пеу & 5опз; Ьопйоп, СЬ.чр-
тап & На11.
1947.4. \У. Р. М а з о п, р1гз1 апй Зесопй Огйег ЕяиаИопз Гог Р1е?о-
е!ес1пс Сгуз1а1з ехргеззесЗ 1П Тепзог Рогт, Ве11 Зуз1ет ТесЬп.
^ои^па1 26, 80—138.
1947.5. Р. А. М. Б 1 г а с, ТЬе Рппар1е5 о? Риап(ит МесЬатсз. Ох-
Гогй, С1агепйоп Ргезз.
1947.6. А. бизсЬек, Ма4г!2еп, УеИогеп ипй Тепзогеп, 1п§. АгсЬ.
1, 371—382.
1948.1. Е. .1. Роз 4, КеС1ргоса1 РгорегИез о? Е1а5Ис \Уа\ез 1П Аш-
5о1гор1с Ме<Иа, Ргос, Коп. Ыеа1. Акад. V, Ше{. 51,
65-72.
1949.1. Л. А. 5сЬои1еп апй \У. V. О. Ки1к, РГаГГз РгоЫет апй !E
ОепегаИгаНопз. ОхГогй, С1агепйоп Ргезз. В тексте цитируется
как П. Ф.
1951.1. 3. А. 5спои1еп, Кеви1аг 5уз1етв оГ ЕяиаПопз апй Зирег-
Ьитегагу Соог<Нпа1ез. 5сг1р1ит 6 о[ 1Ье Ма(ЬетаAса1 Сеп1гс,
Атз{егс1ат.
448 литература
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1947.7. И. М. Лифшиц и Л. Н. Розенцвейг, О построении
тензора Грипа для основного уравнения теории упругости в
случае неограниченной упруго-анизотропной среды. ЖЭТФ
17, 783—91.
1948.2. И. М. Лифшиц, О макроскопическом описании явления
двойникования в кристаллах. ЖЭТФ 18, 1134.
1949.2. Ю. А. Кр утков, Тензор функций напряжений и общие
решения в статике теории упругости. Изд-во АН СССР.
1950.1. М. РеасЬ апс! ^. 5. КоеЫег, ТЬе Рогсез ехеПей оп
Б151оса4юпз апсЗ 1Ье 51ге85 Р1е1й8 ргойисей Ьу ТЬет. РЬуз.
Кеу. 80, 436—9.
1950.2. Н. С о 1 с! 8 (е I п. С1а55Юа1 МесЬатсз. СатЬ. — Мазз., Ас1-
сПзоп—\Уез1еу (Г. Голдстейн, Классическая механика.
М., Гостехнздат, 1957).
1950.3. \У. Р. Мазоп, Р!егое1ес1пс СгузЫз апй ТЬе!г АррНсаНоп
{о Шгазопкз. Ыету Уогк. (В. Мэзон, Пьезоэлектрические
кристаллы и их применения в ультраакустике, т., ИЛ,
1952).
1953.1. П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный ана-
анализ. М., Гостехиздат.
1953.2. Ф. Р. Г а н т м а х е р, Теория матриц. М., Гостехиздат.
1953.3. О. Ье1Ымес1, Уегзе1гип§еп ш ап15о1гореп Ма1ег1а1. 2з.
РЬуз. 135, 22—43.
1954.1. Л. А. 5спои1еп, К1сс1-Са1си1и5. ВегПп—О6И1П§еп—Не1йе1-
Ьегд, Зрг1П§;ег-Уег1ад (в тексте цитируется Р. К).
1954.2. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика сплошных
сред. М., Гостехиздат.
1955.1. А. И. Лурье, Пространственные задачи теории упругости.
М., Гостехиздат.
1955.2. К. К о п A о, Мето1гз о[ Ше ип1[ут§; 51ис1у оГ <Ье Ваз1с
РгоЫетз 1П Еп§тееГ1п§ Зс1епсез Ьу Меапз оГ Оеоте1гу.
Уо1. 1 (Уо|. 2—1958, Уо!. 3—1962). Токуо, Оаки]и1ви Випкеп
Рикуи—Кап
1955.3. С. йе КЬат, Уапё^ёз О1Г!ёгеп11аЫез. Раг!з, Негтапп
(Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия. М. ИЛ).
1955.4. В. А. ВПЬу, К. ВиНоидН апй Е. 5тПк, СопНпиоиз
01з1пЬи110П5 о{ р181оса1юпз: а Ые\у АррПсаНоп о1 Ше Ме1Ьос15
о! Ыоп-К1етапп1ап Оеоте1гу. Ргос. Коу. 5ос. Ьопйоп, 5ег,
А, 231, 263—73.
1955.5. К- У а п о, ТЬе ТЬеогу оГ \Ле ОепуаПуез апй Из АррНсаНопз.
Атзкгйат, ЫогШ—НоНапй РиЬНз!ипд Со.
1956.1. С. С. МсУНИе. Сепега1 КеЬНуЛу апй Созто1о§у.
Ьопдоп, СЬартап ап<3 НаН Ы<3 (Г. К. Мак-Витти,
Общая теория относительности и космология. М., ИЛ,
1961).
1956.2. Л. Ь. Зуп^е, Ке1а41\ч1у: Ше 5рес1а1 ТЬеогу. Атз1егс1ат,
Ыог4Ь-Но11апё РиЬПзЫпд Со.
ЛИТЕРАТУРА 449
1957.1. I. М1ки5 1пзк1 апо" К. 8 I к о г 8 к I, ТНе Е!ешеп1агу ТЬео-
гу о[ О1з1пЪ1Шоп5. \Уагзга\\га, РапзКу<же \\'уйачт!с1чго Ыаи-
ко\те. I. (II—1961) (Я. Минусинский и Р. С и к о р-
с к и й. Элементарная теория обобщенных функций. М. ИЛ,
I, 1959; II, 1963).
1957.2. Н. и^ЬНпеу, ОеотеЫс 1п1е§га1юп ТЬеогу. Рппсе1оп—№ту
Дегзеу, Рппсе(оп Ш1Уегз11у Ргезз (X. У и т н и, Геометри-
Геометрическая теория интегрирования. М., ИЛ, 1960).
1958.1. Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш и ц, Механика. М., Физ-
матгиз.
1958.2. 3. N. 5 п е C C о п апсЗ П. 5. В е г г у, ТНе С!аз51са! ТНеогу о!
Е1а$1ю1у. ВегПп—О6Шп§еп—Не1Йе1Ьег§, Зрип^ег-УеНа;*
(И. Н. Снеддон и Д. С. Берри, Классическая теория
упругости. М., Физматгиз).
1958.3. Е. К'гбпег, КопНтштзШеопе с1ег Уегзекип^еп ипй Е1§еп-
зраппип^еп. ВегПп—О6Шп§;еп—Не1с1е!Ьег§, Зрг1П§ег-Уег1а§;.
1959.1. И. М. Гельфапд и Е. Г. Шилов, Обобщенные функции
и действия над ними. М., Физматгиз.
1959.2. Е. Кгбпег ипC А. 3 е е § е г, МскШпеаге Е!а5Нг11а15(!1еог1е
йег Уег5е1гип^еп ипй Е1§епзраппип§еп. АгсЬ. {ог Ка1. МесЬ.
апс1 Апа1уз13 34, 97—119.
1960.1. Л. Ь. Зуп§е. С!а5зка1 Оупатюз. Вег!1п—ОбШп^еп—НеЫеГ-
Ьег§, 5рг1П§ег-Уег1а§; (Дж. Л. С и и г, Классическая дина-
динамика. М., Физматгиз, 1963).
1960.2. Л. А. \УЬее1ег, №и1ппоз, Ога\'Иа1юп апй Оеоте1гу. Во-
1о§па (Дж. У и л е р, Гравитация, нейтрино и вселенная. М.,
ИЛ, 1962).
1960.3. Л. Ь. 5 у п § е, КеЬНуЛу: №е Сепега1 ТЬеогу. Атз1егCат,
ЫогШ-Но!1апс1 РиЪНзЫп^ Со. (Дж. С и н г, Общая теория
относительности. М., ИЛ, 1963).
1960.4. Н. О. Уап Виегап, ЬпрегГесИопз 1П Сгуз1а1з. Атз1егAат,
Nо^^^1-НоПапC РиЬНзгип^ Со (Ван Б юре и, Дефекты в кри-
кристаллах. М., ИЛ, 1962).
1960.5. Э. К а р т а н, Риманова геометрия в ортогональном репере.
Изд. МГУ.
1961.1. А. 3. Петров, Пространства Эйнштейна. М., Фнзматпв.
1961.2. В. А. Ф о к, Теория пространства, времени и тяготения. М.,
Физматгиз.
1961.3. А. И. Лурье, Аналитическая механика. М., Физматгнз.
1961.4. А. М. К о с е в и ч, Л. А. Пастур, О дислокационной моде-
модели двойника. ФТТ, 3, 1290—7.
1961.5. Новейшие проблемы гравитации. Сб. статей под ред. Д. Ива-
Иваненко. М., ИЛ.
1962.1. Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш и ц, Теория поля. М., Физ-
Физматгиз.
1962.2. Л. И. Седов, Введение в механику сплошной среды. М.,
Физматгиз.
1962 3. В. Л. Инденбом, А. Н. Орлов, Физическая теория
пластичности и прочности. УФН XXVI, 557—91.
1962.4. А. М. Косе вич, Поле деформаций в изотропной упругой
среде с движущимися дислокациями, ЖЭТФ 42, 152—62.
450 / ЛИТЕРАТУРА
1962.5. А. М. К о с е в н ч. Уравнение движения дислокации. ЖЭТФ
45, 637—48.
1962.6. Н. С. Кош л я ко в, Э. Б. Г л и н е р, М. М. Смирнов,
Дифференциальные уравнения математической физики. М.,
Физматгиз.
1962.7. Р. Кгоира, СопОпиоиз (Нз1пЪи1юп оГ сН81осаНоп 1оорз. Чехо-
Чехословацкий физ. ж. В12, 191.
1963.1. Дж. Эшелби, Континуальная теория дислокаций. М., ИЛ.
1964.1. И. А. Куиин, Внутренние напряжения в" анизотропной
упругой среде. ПММ.
Примечание. Работы: 1872.1, 1917.1, 1921.1, 1923.1, 1926.1, 1927.1,
1932.1, 1933.3, 1935.1, 1936.2, 1938.3, 1944.1, 1946.2, 1947.5 имеются
в переводах.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная размерность 184
Абсолютно инвариантное поле
116, Ш
Альтернирование 38, 164
Аффинная геометрия 14
Базисные векторы 28, 93
Бианки тождество 146, 386, 395
Бивектор 60
— аксиальный 82
•—.канонические формы 60, 167
— полярный 82
— специальный первого и второ-
ю рода 79
— .теорема о главных листах 70,
167
Позе статистика 353
Бра 337, 349
Бюргерса вектор 375, 377
— контур 374, 377
Валентность 34, 164
Вектор 83, 164
— аксиальный 82
— единичный 61, 338
— изотропный 61, 134, 170, 338
— ковариантный 26, 164
— контравариаитныЙ 25, 162
— полярный 82
Векторная алгебра 86
Векторное произведение 88
Величины второго рода 334
Вероятности амплитуда 367
Вес 49, 164
Взаимные системы векторов
30
Виртуальное перемещение 271
Внешний дифференциал 98, 100,
172
Внешняя метрика 381
Внутренняя геометрия среди
'382
— метрика 388
Волновая поверхность 246, 255
— функция 371
Волны в анизотропной среде 243
Вращение 100
Выключение индекса 31, 38, 165
Гамильтона соотношение 284
— уравнения 282, 285
— функция 281
Гамильтона — Якоби уравнения
287
Гармоническая функция 154, 180
Гаусса теорема 106
— уравнение 274
Геодезическая 130, 176
Геодезическое расстояние 274
Геодезических уравнение 131,
176
Геометрическая величина 24, 91.
164
Геометрический образ 184
— объект 24, 91, 163
Геометрия группы 17
Гибридные величины 335
Гиперплоскости координаты 20
Гиперплоскость 20
Гиперсфера единичная 62, 170
Гравитация 317
Градиент 98
Граничные задачи 156, 180
Грина среда 252
— тензор 404
— теорема 153
— тождества 152, 179
— функция 156, 404
Группа 13
— аффинная 13, 161
452
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Группа вращений 17, 168
— — и отражений 17, 168
— кристалла 217
— уиимодулярная 16, 168
— унитарная 339
— цеитро-аффиниая 16, 162, 168
— эквиаффинная 16, 168
Девиатор 201
Декартова система координат 62,
162
Деформации тензор 201, 396
Диагональная матрица 364, 366
Дивергенция 101
Дислокации 375, 376
—, плотность 432
—,— .моментов 434
Диэлектрические коистаиты 212
Длина 61, 134, 170, 352
Допустимые системы координат
14, 91
■ основных единиц 183
Дуальная плотность моментов
437
Единичная матрица 364
Единичный кэт (бра) 338
— объем 64, 72
Естественное состояние среды 383
Игнорируемая координата 294
Идеальная жидкость 329
Изомер 37, 164
Изотропная кривая 134
Изотропное направление 134
Импульс 281
Индекс 59, 166, 336
Индексы 13, 160
— выключенные 31, 38, 165
— живые 29, 165
— мертвые 29, 165
—, опускание, поднятие 63
—- текущие 14, 160
— фиксированные 15, 160
Интегрируемое векторное поле
98
Иифинитезнмальная окрестность
92
Канонический параметр 131, 176
Касательное Еп 92
Кварцевый резонатор 256
Клейна принцип 17
Ковариантная производная 128,
176
Ковариаитный вектор 26, 164
— дифференциал 126, 176
Коммутирующие наблюдаемые
361
— операторы 342
Константы связи 262
Коитравариантный вектор 25, 164
Конус нулевой (световой) 61
Координаты декартовы 62, 162
— криволинейные 91, 161
— неголономные 121, 150, 175,
276
— нормальные 133, 176
— прямолинейные 133, 176
Коренная буква 14, 160
Коренных букв и индексов ме-
метод 15
Корень 15
Коэффициенты аффинной связ-
связности 127
Кривизны тензор 144, 151, 177,
386
Кристаллические классы 216
Кристоффеля символ 135, 177
Кронекера символ 30, 93
Кручения тензор 129, 385
Кэт 337, 348
Лагранжа производная 119, 174
— уравнения 119, 281, 284
— функция 281
Леви-Чивнта уравнение 274
Лейбница правило 115
Ли дифференциал, производная
115, 173
Линейное пространство 346
Локальное Еп 92, 162
Лоренца преобразование 302
Майкельсона — Морлея опыт 305
Максвелла уравнение 189, 302
Масса покоя 311
Материи плотность 313
Матрицы 65, 165
— ранг 165
— транспонирование 67
—, умножение 65
Матричное исчисление 66, 171,
339
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
453
Матричное исчисление Дирака 333
Механическая связь 261
Мииковского геометрия 304
Мировая линия 21, 275
Многообразие 91, 161
Момент мультнполя 409
Мопертюи уравнение 296
Мультиполи 409
Наблюдаемая 356
Наименьшего действия принцип
296
Направление 19
Напряжений тензор (плотность)
204 '
Начало координат 16
Неголономная механическая си-
система 278
Неголонсмные компоненты 121
Неймана принцип 219
Несобственное подпространство
20, 162
Несовместность 397
— дислокационная 433
Нонор 224
Норма 338
Нормировка кэт (бра) 354, 358
Носитель обобщенной функции
400
— оболочки 27
Нуль-многосбразие 18
Нуль-форма 18
Область положительная, отрица-
отрицательная 61
Обобщенная функция 400
Оболочка 27, 163
Общие собственные кэт (бра)
344
Объединение 20, 163
Объект иеголономности 122, 175,
277
Оператор проектирования 406
— сдвига 403
— усреднения 417
— эрмитов 342
Ориентация 16, 162
— внешняя, внутренняя 22, 163
Ортогональность (кэт и бра) 352
Ортогональные векторы 62, 338
— компоненты вектора 63, 170
Основная функция 399
Основное пространство 399
Основные единицы 182
Остроградского теорема 106
Относительная размерность 185
Отождествление величин после
введения ориентации 74
Сеа 72, 162
О„г 73, 169
Ого 74, 169
Параллелизм 175
Параллелотоп 44
Параллельное перенесение 125
аффинное 126, 175
Вейля 159
симметрическое 135, 176
Параметрическая форма ЕР 18
Пересечение 19, 163
Плоскость 20
Плотности 51, 164
Поверхность скоростей 255
Подвижная связь 279
Подпространства в Еп 18
— параллельныг 19
Поливектор 42, 164
— простой 42, 165
Полное множество кэт (бра) 344
Потенциальная функция 154, 180
Представления 360
— ортогональные 362
Преобразование аитнлинейное
347
— инфинитезимальное 114
— координат 15
— линейное 346
— объектов 24
— точечное 15
— унитарное 339
Проекция 22, 163
Производные единицы 182
Промежуточные компоненты 34,
161
Пространство аффинное 14, 161
— аффинной связности 127
— без кручения 129
— евклидово 17
— локально аффинное 144
— метрической связности 389
— ориентированное Еп 16, 162
Кп 17, 162
— риманово 134
— событий 275
454
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ'
Пространство унимодулярное 16
— центро-аффннное 16, 162
— эквиаффинное 16
Прямая линия 20
Псевдоскаляр 53
Псевдотензор 53
Пуассона скобка 291
Пьезомагнитный эффект 239
Пьезоэлектрические константы
214
Пьезоэлектрический эффект 238
Разложение р-вектора на листы
46
Размерность геометрического об-
образа 184
— оболочки 27
— физического объекта 185
Рауса — Гельмгольца преобразо-
преобразование 296
Редукция 21, 22, 163
Релятивистская гидродинамика
320
— динамика 307
— кинематика 302
Реономная голоиомная система
270
— неголономная система 278
Риччи тензор 146
Самосопряженное направление
251
Свертка 30, 164
— интегральная 402
Связывающая величина 34, 161
Септор 223
Сигнатура 59, 166, 336
Симметрирование 37, 164
Симметрированное произведение
165
Симметричный тензор 38, 42, 164
Система образующих группы 218
Скаляр 25, 164
Скалярная кривизна 147
Скалярное произведение 87, 338,
349
Склерономная голономная систе-
система 271
— неголономная система 278
След 201
Собственное значение 69, 167,
354
Собственное подпространство 162
— состояние 356
Собственный вектор 69, 157
— кэт (бра) 342, 354
Соотношение эквивалентности 437
Сопряженное направление 251
Состояния системы 355
Сохранения импульса и энергии
закон 316
Средняя плотность потока им-
импульса 321
■ — частиц 320
— — — энергии 321
энергии 320
Стандартный кэт 370
Стокса теорема, формулы 103,
106—112, 172, 418
Температуры вектор 329
Тензор 34, 164
— антисимметричный 35, 38, 42,
164
— двухвалентный 56, 165
обратный 14, 35, 166
разложение 223
ранг 57, 166
симметричный 58
, индекс 58, 336
, канонические формы 58
неопределенный 59
отрицательно опреде-
определенный 59, 336
положительно опреде-
определенный 59, 336
, собственное значение
69, 167
.собственный вектор 69,
167
— — —, теорема о главных осях
70, 167
фундаментальный 61,
162
— единичный 35, 93, 167
— ковариантный 34
— контравариантный 34
— симметричный 37, 41
Тензора альтернирование 38, 164
— изомер 37, 164
— симметрирование 37, 164
— ц-оболочка 39, 165
— и-ранг 39, 165
Тензоров свертка 36, 164
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тензорово сложение 36, 164
■— умножение 36, 164
Тождества для тензора кривизны
145, 177, 386
Точка 90
Трансляция 19
Увлечение координатной систе-
системы 113
Угол 62, 170
Упругие константы 207—10
Устойчивая траектория 273
Фазовый множитель 338, 367
Ферми статистика 353
Физическая величина 183
Физический объект 183
Финитная функция 399
Френеля уравнение 253
Фундаментальный тензор 61, 162,
" 170
эрмитов 336
Функции в инволюции 291
— наблюдаемых 358
Функция интервала (области)
' 349
Четырехмерной скорости вектор
305, 310
Шаровая часть тензора 201
Эйконал 286, 288
Эйнштейна правило 13
— пространство 318
Эквивалентные поля 414, 421,
437
Эквискалярные Хп-\ 99
Элемент мировой линии 285
Элементарная дислокация 435
Элементарные делители 58
Элементарный вихрь 412
— двойной вихрь 432
Энантиоморфные классы 219
Энергетическая функция 250
Энергии-импульса вектор 311
— — тензорная плотность 313
Эрмитов бивектор 335
— тензор 335
, теорема о главных осях
339
Эффект линейный 227
Ядро оператора 403
л-вектор 47
р-вектор 42
р-направленне 19, 163
И^-р-вектор 53
и^-скаляр 53
V-тензор 53, 164
лг-сеченне 256
Д-плотность 49, 164
б-функция 350, 400
— сдвчнутая 403
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Равенства ^ 13; Л 31; А. 151
Единичный тензор и символы
Кронекера А* 35, 93. 167;
А% 13, 90, 161, 162; А*, 14;
4)::.1Рр 34; б^, б'', 82' 30,
93, 391; е*' "■ 'ар 391.
Фундаментальный тензор # ,
***61-162-17°; ^ ззб.
Определители Д = Ое{(Л*') 13;
«-=1004(^I65, 70.
Симметрирование и альтерниро-
альтернирование р(к'-хп) 37; рР'••■'>]
38.
Транспонирование и эрмитово
I
сопряжение Р 67, 171, 341;
Р 341.
п н
Базмсные векторы е , е 28, 93;
Л Я. *■
<А, «,- 62.
Плотности и 1У-велн>шны /? 49;
р 52; / 53.
Антисимметричные величины
(у.)
,Щ
(Л)
». '?',, , 64, 171,
Неголономные координаты
121, 175; Оу/ 122, 175.
Группы Оа 13, 161; ОЬо, О Оза
16, 168; Оог, Ого 17. 168; Оип
339.
Пространства, многообразие Ап
129, 176; Еп 14, 161; А„ 126;
/?л 17, 162; {/„ 336; У„ 134,
162; А-„ 91, 161.
Коэффициенты связности и сим-
символы Кристоффеля Г^, Г^ =
= Г*Х 127, 175; |Д } 135.177.
Кривизна и крученне Я^\ '43,
177, 386; Я^ 146, 178;
145,177; /(ц?, К 146, 178; 5--?*
129, 176, 385.
V
Вариация й 118, 174.
Дифференциалы О 98, 100, 172;
б 126, 176.
Операторы д.л 162; ?д 128, 176;
V1 151; V2 152; V 387; 0^101,
172; й!у 102, 172; Огай 98, 172;
Ео1 100, 172; Но1 394; йе! 394;
го1 102, 172; Ро1 154, 180; О
115, 172; [Ц 118, 174; E) 417;
EА->418.
Скобки Пуассона [<р, ф] 291
6-функции б (х) 350,400; б E) 414;
6 (.$*■) 416.
Интегральная свертка /*§ 402.
Кэт, бра н скалярное произведе-
произведение |), (|, {|) 349.