ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
А. ДЖ. МАК-КОННЕЛ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕНЗОРНЫЙ
АНАЛИЗ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ
К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ
И ФИЗИКЕ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. В. КОРЕНЕВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963

5*7 2
M 15
APPLICATION
of
TENSOR ANALYSIS
by
A. J. Me CONNELL
DOVER PUBLICATIONS, INC.
NEW YORK 1957

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 10
Предисловие автора 11
ЧАСТЬ
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Глава I. Обозначения и определения 13
§ 1. Индексные обозначения 13 ¦
§ 2. Условие о суммировании 15
§ 3. Сложение, умножение и свертывание объектов 17
§ 4. Симметричные и антисимметричные объекты 19
§ 5. Антисимметричный объект третьего порядка.
Символы Кронекера 20
§ 6. Определитель, образованный из составляющих'
объекта второго порядка а* 23
§ 7. Алгебраическое дополнение ^элемента опреде-
определителя 26
§ 8. Линейные уравнения 28
§ 9. Распространение предыдущих формул на объект атп 29
§ 10. Положительно определенная квадратичная форма.
Характеристическое уравнение 31
Упражнения к главе I 32
Глава П. Тензоры 36
§ 1. Линейные преобразования 36
§ 2. Инварианты, контравариантные и ковариантные
векторы 37
§ 3. Тензоры любого порядка 40
§ 4. Сложение, умножение и свертывание тензоров 43
§ 5. Обратный тензорный признак 45
§ 6. Псевдотензоры 47

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Общие преобразования 50
§ 8. Тензоры относительно общего преобразования 52
Упражнения к главе II 54
ЧАСТЬ II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ТЕНЗОРНОМ
ИЗЛОЖЕНИИ
Глава III. Аффинные координаты 56
§ 1. Координаты и тензоры 56
§ 2. Контравариантные векторы и смещения .... 58
§ 3. Базисные точки и геометрическая интерпретация
аффинных координат 60
§ 4. Расстояние между двумя точками и метрический
тензор, е-объекты 63
§ 5. Угол между двумя направлениями. Ортогональ-
Ортогональность 65
§ 6. Ассоциированные тензоры 67
§ 7. Скалярное и векторное произведения векторов . 70
§ 8. Площади и объемы 73
Упражнения к главе III 74
Глава IV. Плоскость 78
§ 1. Уравнение плоскости 78
§ 2. Расстояние от точки до плоскости 80
§ 3. Перосечепие двух плоскостей 83
§ 4. Пересечение трех плоскостей 85
§ 5. Плоскостные координаты 89
§ 6. Семейства плоскостей 92
§ 7. Уравнение точки 94
Упражнения к главе IV 96
Глава V. Прямая 100
§ 1. Точечные уравнения прямой 100
§ 2. Взаимное расположение двух прямых 101
§ 3. Шесть коордипат прямой 103
§ 4. Плоскостное уравнение прямой 104
Упражнения к главе V 105
Глава VI. Конус второго порядка и конические сечения 108
§ 1. Уравнение конуса второго порядка 108
§ 2. Уравнение конического сечения 110

ОГЛАВЛЕНИЕ 3
§ 3. Плоскость, касательная к конусу 112
§ 4. Полюсы и полярные плоскости относительно конуса 114
§ 5. Каноническое уравнепие конуса 116
§ 6. Главные оси конуса 118
§ 7. Классификация конусов 121
Упражпония к главе VI 122
Глава VII. Семейства конусов и конических сечений . . 126
§ 1. Уравпенио семейства конусов с общей вершиной 126
§ 2. Общие полярные направления семейства конусов 127
§ 3. Каноническая форма уравнения семейства конусов 130
§ 4. Теория элементарных делителей 137
§ 5. Аналитические признаки 140
Упражнения к главо VII 142
Глава VIII. Центральные поверхности второго порядка 145
§ 1. Точечное уравнение центральной поверхности
второго порядка 145
§ 2. Тангенциальное уравнение поверхности второго
порядка 147
§ 3. Каноническая форма уравнения поверхности вто-
второго порядка. Главные оси 148
§ 4. Классификация центральных поверхностей вто-
второго порядка 150
§ 5. Софокусные поверхности второго порядка . . . 152
Упражнения к главе VIII 154
Глава IX. Общие поверхности второго порядка .... 157
§ 1. Общее уравнение поверхности второго порядка 157
§ 2. Центр 159
§ 3. Приведение уравнения поверхности второго
порядка 160
Упражнении к главе IX 163
Глава X. Аффинные преобразования 166
§ 1. Аффинные преобразования 166
§ 2. Поверхность второго порядка, связанная с пре-
преобразованием 168
§ 3. Чистая деформация 170
§ 4. Конечные перемещения твердого тела .... 171
§ 5. Бесконечно малые деформации 173
Упражнения к главе X 176

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ III
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава XI. Криволинейные координаты 179
§ 1. Общие координатные системы 179
§ 2. Тензорные поля 182
§ 3. Линейный элемент и метрический тензор, е-объекты 184
§ 4. Угол между двумя направлениями 187
Упражнения к главе XI 189
Глава XII. Ковариантное дифференцирование .... 191
§ 1. Параллельное векторное поле. Символы Кри-
стоффеля 191
§ 2. Абсолютная и ковариантная производная вектора 195
§ 3. Абсолютная и ковариантная производная тензора 198
§ 4. Сохранение правил обычного дифференциального
исчисления. Лемма Риччи 200
§ 5. Дивергенция и вихрь вектора. Лапласиан . . . 203
§ 6. Тензор Римана—Кристоффеля. Тождества Лиме 205
Упражнения к главе XII 208
Глава XIII. Кривые в пространстве 210
§ 1. Касательный вектор кривой 210
§ 2. Нормальный вектор. Главная нормаль и бинормаль 211
§ 3. Формулы Френо 213
§ 4. Уравнение прямой 215
Упражнения к главе XIII 216
Глава XIV. Внутренняя геометрия поверхности .... 218
§ 1. К риволинейные координаты иа поверхности . . . 218
§ 2. Введение греческих индексов. Тензоры на поверх-
пости 220
§ 3. Элемент длины и метрический тензор 222
§ 4. Направления на поверхности. Угол между двумя
направлениями 225
§ 5. Геодезические кривые 228
§ 6. Преобразование символов Кристоффеля. Геодези-
, ческие координаты 233
§ 7. Параллельный перепое относительно поверхности 236

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 8. Абсолютное и ковариантиое дифференцирование
тензоров на поверхности 239
§ 9. Тензор Римапа—Кристоффели. Гауссова кривизна
поверхности 242
§ 10. Геодезическая кривизна кривой на поверхности 243
§ 11. Дифференциальные параметры Бельтрами . . . 247
§ 12. Теорема Грина на поверхности 249
Упражнения к главе XIV 251
Глава XV. Основные формулы теории поверхностей 256
§ 1. Система обозначений 256
§ 2. Векторы, касательные к поверхности 257
§ 3. Первая основная квадратичная форма поверхности 258
§ 4. Вектор, нормальный *к поверхности 259
§ 5. Тензорное дифференцирование тензоров .... 261
§ 6. Формулы Гаусса. Вторая основная квадратичная
форма поверхности 264
§ 7. Формулы Вейнгартена. Третья основная квадра-
квадратичная форма поверхности 265
§ 8. Уравнения Гаусса—Кодацци 267
Упражнения к главе XV 270
Глава XVI. Кривые на поверхности 273
§ 1. Уравнение кривой на поверхности 273
§ 2. Теорема Менье 274
§ 3. Главные кривизны. Теорема Гаусса 276
§ 4. Линии кривизны 277
§ 5. Асимптотические линии. Формула Эннепера . . 279
§ 6. Геодезическое кручение кривой на поверхности 281
Упражнения к главе XVI 282
ЧАСТЬ IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
Глава XVII. Динамика точки 285
§ 1. Уравнения движения 285
§ 2. Работа и энергия. Уравнения Лагранжа второго
рода 288
§ 3. Движение точки по кривой 292
§ 4. Движение точки по поверхности: ....... 295

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Принцип наименьшего действия. Траектории как
геодезические линии 298
Упражнения к главе XVII 301
Глава XVIII. Динамика твердого тела 305
§ 1. Моменты инерции 305
§ 2. Уравнения движения 307
§ 3. Подвижные оси. Уравнения Эйлера 311
§ 4. Обобщенпыо координаты динамической системы 314
§ 5. Уравнения движения в обобщепных координатах 317
§ 6. Пространство конфигураций 320
§ 7. Кинематический линейный элемент 321
§ 8. Траектории динамической системы в пространстве
конфигураций 323
§ 9. Принцип стационарного действия. Линейный эле-
элемент действия 325
Упражнения к главо XVIII 327
Глава XIX. Электричество и магнетизм 333
§ 1. Теорема Грина 333
§ 2. Теорема Стокса 336
§ 3. Электростатическое поле 338
§ 4. Диэлектрики 340
§ 5. Магнетостатическое поле 343
§ 6. Уравнения электромагнитного поля 345
Упражнения к главе XIX 349
Глава XX. Механика сплошных сред 353
§ 1. Бесконечно малые деформации 353
§ 2. Напряжения 357
§ 3. Уравнения движения идеальной жидкости . . . 359
§ 4. Уравнения теории упругости 362
§ 5. Движепио вязкой жидкости 364
Упражнения к главо XX 367
Глава XXI. Специальная теория относительности . . . 371
§ 1. Четырехмерное многообразие 371
| 2. Обобщенные координаты в пространстве—времени 372
§ 3.,Принцип относительности. Иптервал и фундамен-
фундаментальная квадратичная форма 374

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
§ 4. Собственные координатные системы и их пре-
преобразования 379
§ 5. Релятивистская динамика частицы 382
§ 6. Динамика сплошной среды 384
§ 7. Уравнения электромагнитного поля 386
Упражнения к главе XXI 389
ДОПОЛНЕНИЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 1. Классические обозначения 393
§ 2. Физические составляющие векторов и тензоров 394
§ 3. Динамика 396
§ 4. Теория электромагнитного поля 397
§ 5. Теория упругости 398
§ 6. Гидродинамика 400
Литература 405
Предметный указатель 412

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В большей части курсов тензорного исчисления оно
излагается вместе с многомерной- римановой геометрией,
поэтому читателю приходится изучать сразу два предмета,
из которых каждый сам по себе достаточно сложен. Для
читателя, интересующегося тензорным исчислением с точ-
точки зрения его применения в других областях науки, это
создает излишние трудности, часто даже непреодолимые.
Идея книги А. Дж. Мак-Коннела, предлагаемой ныне
советскому читателю, состоит в том, чтобы изложить осно-
основы тензорной алгебры и тензорного анализа на материале,
уже знакомом достаточно широкому кругу лиц (научным
работникам, инженерам и студентам).
Отличительной чертой книги являются чрезвычайная
ясность и достаточная простота изложения. Кроме того,
почти в каждом параграфе и в каждой главе имеются упраж-
упражнения для самостоятельного решения (всего 685), так что
одновременно с учебником читателю предлагается и един-
единственный в своем роде сборпик задач.
Можпо надеяться, что издание книги А. Дж. Мак-
Коннела на русском языке будет способствовать более
широкому распространению у нас тензорных методов,
чем это имело место до сих пор.
Первое издание книги на английском языке вышло
в 1931 г., и с тех пор она неоднократно и без изменений
переиздавалась в Англии и Америке. Перевод сделан
с последнего американского издания 1957 г. И. А. Вате-
лем, Ф. И. Ерегако, А. И. Кирющенко, И. А. Крассом
и Н. Т. Минаевым.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Тензорное исчисление зарекомендовало себя как
инструмент, особенно удобпый в области общей теории
относительности; оно сделалось совершенно необходимым
в многомерной дифференциальной геометрии. Появилось
много работ, использующих тензорное исчисление в при-
мепении к этим сложным теориям, но очень мало таких,
где оно применялось бы в более простых дисциплинах.
Настоящая книга написана с целью создания учебника,
который дал бы студентам возможность ознакомиться
с тензорными методами на раннем этапе математического
образования. Лучше всего студент сможет оценить силу
тензорных методов путем применения их к хорошо знако-
знакомым предметам. Поэтому дисциплины, рассматриваемые
в настоящей книге, не выходят за рамки обычного уни-
университетского курса. Разумеется, книга не имеет целью
дать полное изложение этих дисциплин; автор пытался
дать лишь краткий, но насыщенный обзор каждой из них.
Содержание разделено на четыре части. Первая часть
предназначена для того, чтобы сделать книгу независимой
от других трудов в этой области, и содержит элементарное
описание основных идей и системы обозначений тензор-
тензорной алгебры. Вторая часть содержит применение тензор-
тензорной алгебры к аналитической геометрии и, в сущности,
представляет собой геометрическое толкование тензорной
алгебры. Таким образом, первая половина книги пе имеет
дела с дифференциальными свойствами тензоров, а только
с алгебраическими и только с липейными преобразова-
преобразованиями.
В третьей части вводится собственно тензорный ана-
анализ, а именно, теория дифференцирования тензоров.
В ней проблема ковариантного дифференцирования

12 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
рассматривается с геодгетрической точки зрения и изла-
излагается элементарная дифференциальная геометрия. Автор
надеется, что эта часть будет полезной для студентов как
введение в современную дифференциальную геометрию.
Способ изложения был избран именно из этих сообра-
соображений.
Четвертая часть содержит применение тензорных мето-
методов в динамике, теории упругости, гидродинамике и тео-
теории электромагнитного поля. Номпого места уделено
геометризации общей динамики. В последней главе спе-
специальная теория относительности изложена в тензорных
обозначениях; автор надеется, что эта глава будет хоро-
хорошим введением в более трудную общую теорию относи-
относительности.
Дополнение посвящено применению ортогональных
криволинейных координат в математической физике;
в нем система обозначений, принятая в настоящей книге,
связана с системой обозначений, принятой в тех учебни-
учебниках, где не используются тензорные обозначения.
Серьезным недостатком большей части книг по тензор-
тензорному исчислению, которые появились к настоящему вре-
времени, является отсутствие задач и упражнений. В настоя-
настоящей работе содержится^ большое количество их; автор
надеется, что они дадут читателю необходимую трени-
тренировку в применении тензорных методов. К большей части
задач даны ответы и во многих случаях даны указапия
к решению.
Выражаю глубокую благодарность профессору
Т. Леви-Чивита, профессору Л. Палатини, профессору
И. Л. Сипгу и доктору Джону Дагсллу за ценные советы
при подготовке этой рукописи к печати.
Л. Док. Мак-Коннел
Колледж Св. Троицы,
Дублип
Апрель 1931 г.

ЧАСТЬ 1
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
ГЛАВА I
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
»
§ 1. Индексные обозначения
Система индексных обозначений составляет столь
значительную часть тензорного исчисления, что чита-
читатель, освоившись однажды с ее особенностями, сможет
идти дальше самостоятельно. Поэтому мы посвятим на-
настоящую главу только самой системе обозначений, изло-
изложив кратко ее применение лишь к теории определите-
определителей, и отложим до следующей главы собственно тензор-
пую алгебру.
Если нам дана совокупность трех независимых пере-
переменных, то они могут быть обозначены тремя различ-
различными буквами, например х, у, z, но мы считаем более
удобным обозначать переменные данной совокупности
одной и той же буквой, различая их посредством индек-
сон. Таким образом, мы можем записать три перемен-
переменные в виде xv х2, х3, или в более компактной форме:
хг , (г=1, 2, 3). A)
Здесь мы написали индекс г внизу, но в равной мере
мы могли бы использовать вместо этого верхний значок,
так что переменные были бы записаны в виде х1, х2,
х3, или
хг (г =1,2,3). B)
Понятно, что хг не оаначает возведения х в r-ю степень; ин-
индекс г используется просто для того, чтобы различить три пере-
переменные. Впоследствии мы будем использовать как верхние, так и
пижпис индексы; в следующей главе мы припишем положению
индекса специальный смысл. В дальнейшем мы увидим, что для
наших переменных удобна форма записи B), а не A).

14 ОБОЗНАЧЕНИЯ Й ОПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ. 1
Однородная линейная функция переменных обычно
записывается в виде
з
2 а^^а^ + а^ + азх*, C)
т=1
где а,, а2, а3 —константы. Таким образом, коэффициенты
линейной формы могут быть записаны в виде
аТ (г = 1, 2, 3).
Объекты, которые, подобно хт и ат, зависят только от
одного индекса, называются объектами первого порядка,
а отдельные буквы с индексами х1, х2, х3 и аг, а2, а3
называются элементами или составляющими объекта.
Объекты первого порядка, имеющие три составляющие,
назовем трехмерными. Имеются два типа объектов перво-
первого порядка, а именно те, у которых индекс вверху, и те,
у которых индекс внизу; следовательно, все объекты
первого порядка принадлежат к одному из двух типов
аг, аг (г = 1, 2, 3). D)
С другой стороны, однородная квадратичная функ-
функция трех переменных имеет вид
з
2 атпхтхп = аи (ж1J + а^х2 + ааз^ха + аг1х2х1 +
+ «22 (ж2J + «2зА3 + виЛс1 + а^х* + азз (х3)\ E)
где amrl —константы. Мы видим, что коэффициенты
квадратичной формы зависят от двух индексов и запи-
записываются так:
атп (/га, и = 1, 2, 3).
Объекты, которые зависят от двух индексов, называ-
называются объектами второго порядка. Из того, что индексы
бывают верхние и нижние, следует, что объекты второго
порядка могут быть трех типов:
ars, о;, ori (r, s = l, 2, 3). F)
Легко видеть, что в этом случае каждый объект имеет
9 составляющих.
Аналогично можно получить объекты третьего по-
порядка, которые будут зависеть от трех индексов и могут

g 2] УСЛОЁЙЁ О СУММИ*>ОЁАНЙЙ 15
принадлежать к любому из четырех типов:
аш, a\v a», a (r, s, * = 1, 2, 3). G)
Здесь каждый объект содержит З3 или 27 составляю-
составляющих. Мы можем продолжать это построение и получить
объекты любого порядка.
Для законченности этой последовательности мы назо-
назовем объект а, не имеющий индексов, объектом нулевого
порядка.
Мы взяли число измерений равным трем лишь для определен-
определенности. Все, что было сказано выше, применимо также к любому
числу измерений, если условиться, что число значений, пробегае-
пробегаемых индексом, равно ¦ числу измерений. Например, если число
измерений равно четырем, следует считать, что индексы могут
пробегать значения от 1 до 4, а но от 1 до 3, как предполага-
предполагалось выше.
Упражнения
1. Показать, что объект четвертого порядка может быть пяти
различных типов.
2. Если число измерений равно четырем, то сколько состав-
составляющих имеют объекты второго и третьего порядков?
§ 2. Условие о суммировании
Мы введем теперь два важных условия относительно
индексов. В тензорном исчислении мы часто имеем
дело с суммами типа C) и E); нетрудно заметить, что
в этих формулах индексы, по которым идет суммирова-
суммирование, появляются дважды. Наши формулы можно сде-
сделать компактнее, если избавиться от знака 2- Это мо-
может быть осуществлено, если принять, что знак 2 будет
подразумеваться в любом случае, когда в одночленном
выражении индекс повторяется. Тогда C) можно запи-
записать так:
атхт = fljZ1 + а2х* + а3х3, (8)
а E) примет вид
атпхтхп = ап (X1)* + а1гх*х* + аих4* + а^х1 + а22 (ж2J +
+ а23А3 -f а^х1 + а82А2 + азд (ж3J. (9)
Единственное неудобство в применении нашего условия воз-
возникает в том случае, когда мы желаем выписать один член

16 ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ [гл. I
какой-либо из сумм (8) или (9). Нам это потребуется очень редко,
но мы запасемся для этого случая соглашением, что условие о
суммировании применяется только, когда повторяющийся индекс
записан малой буквой, а использование заглавных букв для по-
повторяющихся индексов не означает суммирования. Таким обра-
образом, отдельные члены сумм (8) и (9) будут обозначаться
соответственно.
Наше первое условие, следовательно, читается так:
Повторяющийся малый латинский индекс означает
суммирование от 1 до 3.
Так как повторяющийся индекс означает суммирова-
суммирование от 1 до 3, то применение какой-нибудь специальной
буквы для повторяющихся индексов не обязательно, и мы
можем заменить ее любой буквой, которая нам удобна,
без изменения значения рассматриваемого выражения.
Таким образом,
а„ТМ „ --Г „ лЛ | л-2 I 3
ш^ —~^ /Т Г ^^^^ шш fg ** 1 rw ft*ШЛ ^^^^ f4 rip**
И
По этой причине повторяющийся индекс часто называют
немым. Индекс, который в каком-нибудь одночленном
выражении не повторяется, назовем свободным. Таким
образом, все индексы в формулах D), F) и G) —свобод-
—свободные индексы; следует отметить, что в. этих формулах
свободные индексы пробегают значения от 1 до 3. Мы
имеем, следовательно, наше второе условие:
Свободные (неповторяющиеся) малые латинские индек-
индексы пробегают значения от 1 до 3.
Например, объект второго порядка будет теперь запи-
записываться в виде
без какого-нибудь дополнительного упоминания о числе
значений, пробегаемых г и s. Другими словами, ara
означает любую из девяти составляющих
ап, я12, а13,

I 8] СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И СВЕРТЫВАНИЕ ОБЪЕКТОВ J7
Отметим, что почти всегда немой индекс будет появляться
в одним верхнем и в одном нижнем положении. Поскольку это
окажется возможным, в настоящей главе мы будем придержи-
придерживаться такого расположения индексов.
Упражнения
1. Выписать полную систему линейных равенств, задаваемую
выражением
2. Сколько членов содержится в сумме
3. Показать, что а™ есть объект первого порядка, и выпи-
выписать полностью его составляющие.
§ 3. Сложение, умножение и свертывание объектов
В алгебре объектов со многими индексами имеются
три главные операции, которые называются сложением,
умножением и свертыванием.
а) Сложение. Эта операция применима только к объ-
объектам одного и того же порядка и типа. Если нам даны
два объекта одного и того же порядка и типа и если мы
складываем каждую составляющую первого объекта с соот-
соответствующей составляющей второго, то мы, очевидно,
приходим к объекту того же порядна и типа, что и сла-
слагаемые. Этот процесс есть операция сложения, и резуль-
результирующий объект называется суммой двух объектов.
Таким образом, если arst и brst — два объекта третьего
порядка, то объект с?(, определенный равенством
есть сумма artt и lfat. Мы подразумеваем здесь алгебраи-
алгебраическую сумму; поэтому вычитание включено сюда как
частный случай. Кроме того, эта операция может быть
распространена непосредственно на случай любого коли-
количества объектов, если только они все одного и того же
порядка и типа.
б) Умножение. Мы сейчас определим произведение
двух объектов. Если мы берем два объекта любого типа

18 ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИИ (гл. 1
и умножаем каждую составляющую первого объекта на
каждую составляющую второго, мы получаем объект,
порядок которого равен сумме порядков двух исходных
объектов; этот результирующий объект называется про-
произведением двух объектов. Например, если arst — объект
третьего порядка и Ьтп — объект второго порядка, то мы
видим, что объект с™п, составляющие которого опреде-
деляются равенством
c™n = arstbmn, A1)
есть объект пятого порядка и является произведением
art и Ьтп. Этот процесс, конечно, может быть распрост-
распространен на любое количество объектов.
в) Свертывание. Процесс свертывания может быть
пояснен на примере. Возьмем объект пятого порядка
который имеет как верхние, так и нижние индексы.
Если мы теперь положим и равным р, мы получим объ-
объект arsfp, и так как р является теперь повторяющимся
индексом, то необходимо произвести суммирование от 1
до 3, в соответствии с нашим условием. Итак, получен-
полученный таким путем новый объект есть
3
тр X ' -Тр n^i | —7*2 ^ гЗ t A f\\
^stp = ?i (*slp = ®stt -f- «s/2 "Г «зО- К'-*')
Мы видим, что наш новый объект A2) —третьего по-
порядка, т. е. его порядок на два ниже, чем порядок
исходного объекта. Операция может быть, очевидно, по-
повторена несколько раз, т. е. мы можем произвести свер-
свертывание относительно любой пары индексов, один из
которых является нижним,, а другой—верхним. В при-
приведенном выше примере мы можем произвести свертыва-
свертывание еще раз по индексам ги(, получив объект первого
порядка
з
- V пТ
- Z-i "¦srp"
г, p=I

§ 4] СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ОБЪЕКТЫ 19
Имеется еще одна операция, называемая внутренним
умножением, которая не является новой, так как в дей-
действительности она является комбинацией умножения
и свертывания. Чтобы выполнить эту операцию над дву-
двумя объектами, мы сначала перемножаем их, а затем
свертываем произведение по нижнему индексу одного
объекта и верхнему индексу другого. Таким образом,
внутреннее произведение двух объектов ar>t и Ьтп есть,
например,
§ 4. Симметричные и антисимметричные объекты
Если мы имеем объект атп с двумя нижними индек-
индексами, то может случиться, что каждая из составляющих
не изменится по величине и знаку при перемене мест
индексов, т. е.
Такой объект называют симметричным. В более общем
случае объект, имеющий любое число нижних индексов,
называется симметричным относительно двух из них,
если составляющие не изменяются при перемене мест
этих двух индексов. Объект называется абсолютно сим-
симметричным относительно нижних индексов, если при
перемене мест любых двух из них составляющие не из-
изменяются. Абсолютно симметричный объект третьего
порядка будет, следовательно, удовлетворять соотноше-
соотношениям
атпр = атрп ~ аптр ~ ®прт = "pmn == арпт'
С другой стороны, объект атп называется антисим-
антисимметричным, если перемена мест индексов изменяет знак
составляющей, но не изменяет ее численного значения;
в таком случае мы имеем
2*

20 ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ [гл. 1
Эти равенства, выписанные полностью, выглядят так:
а11 — flll> а22~ а22> аЗЗ = ~"а83'
а,.2= — а21, а&= — а32, а31= — aia,
откуда мы немедленно заключаем, что ап = с22 = а33 = 0.
Как и выше, объект может быть антисимметричным либо
относительно двух каких-нибудь нижних индексов, либо
относительно всех пар индексов; в последнем случае объ-
объект называется абсолютно антисимметричным. Абсолютно
антисимметричный объект третьего порядка должен удов-
удовлетворять соотношениям
^тпр = "mpn = ^rtmp = апрт == артп ~ flpnm#
Все сказанное выше о симметрии и антисимметрии в рав-
равной степени применимо и к верхним индексам.
Упражнения
1. Сколько различных составляющих содержится в абсолютно
симметричном объекте третьего порядка?
2. Показать, что антисимметричный объект третьего порядка
имеет только шесть отличных от нуля составляющих, одинако-
одинаковых по величине.
3. Доказать, что если атп антисимметричен, то атпхтхп = 01
и обратно, если это уравнение верно для всех значений перемен-
переменных хг, то атп антисимметричен.
4. Если ars есть объект второго порядка, удовлетворяющий
уравнению &ars-f-caer = O, то показать, что либо 6=—с и аГ8
симметричен, либо 6 = с и ars антисимметричен.
(Индексы г и s могут принимать любое значение из 1, 2, 3,
и, следовательно, записанное выше уравнение может быть пере-
переписано в эквивалентной форме 6osr-f car8=0. Сложив эти два
уравнения, получим (Ь + с) (ars-)-asr) = 0. Следовательно, либо
Ь— — с, либо аг$ — — a8r.)
§ 5. Антисимметричный объект третьего порядка.
Символы Кронекера
Пусть arsf — абсолютно антисимметричный объект
третьего порядка, т. е. его составляющие изменяются
по знаку, но не по абсолютному значению, при пе-
перемене мест любых двух из индексов. Составля-

f 5] АНТИСИММЕТРИЧНЫЙ ОБЪЕКТ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 21
ющие могут иметь только три следующих различных
значения:
а) 0, когда любые два индекса равны;
б) +ai23» когда rst является четной перестановкой
чисел 1, 2, 3;
в) —й,23. когда rst является нечетной перестановкой
чисел 1, 2, 3.
Обозначим через eTst антисимметричный объект, со-
составляющие которого имеют значения 0, +1, —1, и
будем называть его e-объектом. Пусть мы имеем elza =
= +1; если arst — любой антисимметричный объект
третьего порядка, то
Точно так же можно считать все индексы верхними;
тогда получим соответствующий антисимметричный объект
ersi, составляющие которого имеют те же самые значения,
что и у ers(. Мы увидим, что оба эти объекта имеют
большое значение в теории определителей.
Из двух объектов erst и ersl мы сможем получить
другие объекты, воспользовавшись операциями умноже-
умножения и свертывания. После умножения мы получаем
объект шестого порядка
етяр-
A4)
Вспомнив значения, которые могут принимать составля-
составляющие е-объектов, мы видим, что составляющие нового
объекта имеют следующие значения:
а) 0, когда два или больше нижних (или верхних)
индексов одинаковы;
б) +1, когда rst и тпр отличаются на четное число
перестановок;
в) — 1, когда rst и тпр отличаются на нечетное
число перестановок.
Теперь свернем объект б^пр таким образом, чтобы
получить объект четвертого порядка:
Г 8 «Гвр ХГ81 . J>rs2 . j> Г S3
mn = Omnp — Omni + 0mn2 + 0mn3 •

22 ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ [гл. 1
Во-первых, мы видим, что это выражение^ равно нулю,
если г равно s или если т равно п. Во-вторых, если мы
придадим г и s определенные значения, например рав-
равные 1 и 2 соответственно, то из A5) увидим, что
А12 — А 123
и, следовательно, б^ исчезает, если т, п пе является
перестановкой 1 и 2; оно равно -f- 1 для четной пере-
перестановки и — 1 для нечетной. Мы получим то же самые
результаты, если придадим г и s какие-либо другие
определенные значения. Следовательпо, состапляющие
Ьтп имеют значения:
а) 0, когда два верхних или нижних индекса одинаковы,
или когда один из верхних индексов имеет значение,
не равное одному из нижних;
б) +1, когда г, s и т, п представляют собой одни
и те же перестановки одних и тех же двух чисел;
в) — 1, когда г, s и т, п представляют собой проти-
противоположные перестановки одних и тех же двух чисел.
Если мы свернем 6гтп и разделим результат пополам,
то получим объект второго порядка
6г 1 «гп 1 / «г 1 . «г 2
т = O= ^О + О2
2
Omn=
A6)
Положив н 6„ г = 1, получим
Мы видим, что бт исчезает, если тф\, если то=1, то
Ь\п= -f-1. Аналогичный результат получится, если по-
положить г равным 2 или 3. Следовательно, 6т имеет
значения:
а) 0, если г не равно т;
б) +1, если г равно т.
Все эти б-объекты обычно называются символами
Кронекера.

S в] ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ИЗ СОСТАВЛЯЮЩИХ ОБЪЕКТА
Упражнения
1. Доказать, чго
2. Доказать, что
°tmn — vnim ~ °mn ¦
3. Доказать равенства:
(Чтобы доказать второе равенство, придадим г, s определенные
значения R, S. Мы знаем, что б^ исчезает, за исключением
случая, когда т, п принимают значения R, S, и мы имеем
oRS— — oSR — i.
Следовательно, вспоминая наше условие в § 2 относительно ин-
индексов, обозначаемых заглавными буквами, имеем
что и является результатом, который нужно было доказать.
Другие доказываются аналогично.)
§ 6. Определитель, образованный из составляющих
объекта второго порядка аг„
Сейчас мы покажем, как наша система обозначений
может быть использована в теории определителей. Опре-
Определитель, элементами которого являются составляющие
трехмерного объекта ars, записывается так:
I a =
A7)
Здесь верхний индекс означает строку, а нижний —
столбец. Если определитель раскрыт по_столбцам, то по
определению он будет равен
з
2 ±

'l\ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ {тц. I
где i, /, к образуют перестановки чисел 1, 2, 3, а знак
плюс или минус ставится в соответствии с четностью или
нечетностью перестановки. Вспоминая свойства е-объек-
тов, мы видим, что определитель равен
или, используя условие о суммировании,
¦ A8)
Если раскрыть определитель по строкам, легко видеть,
что мы получим подобную же формулу
\a!s\ = eiika\aH- A9)
Рассмотрим объект
41). B0)
Докажем сначала, что он является абсолютно анти-
антисимметричным относительно г, s, t. Индексы i, /', к —
немые; как мы видели, буква, обозначающая немой ин-
индекс, совершенно несущественна. Следовательно, мы не
изменим величины суммы, если заменим к на индекс г,
а г —на к. Таким образом,
ei}haWefiht = ehjia)ala} = eKiia\aiahr = — eijha]a3sar,
так как перемена мест двух индексов в ei}}i изменяет
знак. Следовательно, B0) изменяет знак, если г п t по-
поменять местами. Мы получим тот же самый результат,
если поменяем местами любые два индекса г, s, t, что
и доказывает паше утверждение. Более того, B0) дает
нам значение \ars\, когда г, s, t принимают частные зна-
значения 1, 2, 3 соответственно, а из равенства A3) мы
заключаем, что
B1).
. : i
Диалогично
' : B2)

i 6J ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ИЗ СОСТАВЛЯЮЩИХ ОБЪЕКТА 25
Мы приняли, что верхние индексы.обозначают строки,
а нижние —столбцы. Равенства B1) и B2), следователь-
следовательно, показывают, что перемена мест любых двух строк
или столбцов изменяет знак определителя, но не изме-
изменяет его абсолютной величины. В частности, если две
строки или два столбца одинаковы, определитель обра-
обращается в нуль.
Как пример силы этого метода обозначений мы докажем хо-
хорошо известную теорему об умножении двух определителей. Пусть
элементы определителя будут ars и brs. Тогда
| X | brs | = |< | еть1ь1ь\ = етпра^а1ь1ь{Ъ\^
Следовательно, если мы положим
то получим
\<rt\x\b\\=emnpc™c1c\=\J,\,
что и доказывает формулу для произведения двух определителей
Упражнения
1. Доказать, что |6jj|='l.
2. Ес#и 0^™=$^, то | я? | ость величина, обратная | brs\.
3. Если brs обладает тем свойством, что timb™ = brs, то показать,
что |6rs| = ±l.
4. Показать, что
5. Получить для определителя четвертого порядка резуль-
результаты, аналогичные вышеуказанным, исследуя случай, когда ин-
индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4.
(Мы найдем, что в этом случае е-объекты являются объектами
етвертого порядка и имеется четыре типа символов Кроиекера).

26
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. I
§ 7. Алгебраическое дополнение элемента определителя
Если определитель A7) полностью раскрыт, то оче-
очевидно, что любой элемепт а\ появляется по одному разу
в некотором числе членов разложения. Коэффициент при
а\ в этом разложении называется алгебраическим допол-
дополнением элемента а\ и обозначается через Аг. Наша цель
состоит в том, чтобы найти явное выражепие для алге-
алгебраического дополнения.
Рассмотрим элемент а\. Из равенства A8) видно, что
его алгебраическое дополнение есть ers(a|a?; это может
быть записано так:
±
или
,.1 1
Ar = |-
1 «lift
O
Подобный же результат получим для алгебраических
дополнений А\ и А\. Итак, мы видим, что алгебраическое
дополнение элемента а\ определяется формулой
Л 1 otjft в t
г = "гГ ja
B4)
Получив выражения для алгебраических дополнений
А1Г, мы можем теперь найти разложение опреаелителя
по элементам любой строки или столбца. Рассмотрим
объект a™Am. Имеем
2!
J_
2!
-i-
Jnk-
Следовательно, если обозначить определитель буквой А,
то
О A
— Адг.
B5)

§ 7) АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ 2?
Эта формула дает разложение определителя по элементам
r-го столбца. Читатель без труда докажет аналогичное
соотношение
B6)
которое является разложением определителя по элемен-
элементам ?-й строки.
Эти выражения могут быть написаны в несколько
измененной форме, которая позднее окажется полезной.
Если А не равно пулю, положим
т. е. аг есть алгебраическое дополнение элемента а[ в А,
деленное па А *). Формулы B5) и B6) примут вид
B7)
ar am = amar — 6J.
Упражнения
1. Выразить алгебраические дополнения взаимного (или ассо-
ассоциированного) определителя черев элементы первоначального опре-
определителя.
Взаимным с А назовем определитель, элементы которого рав-
равны А1Г. Обозначим через А и ~А\ взаимный определитель и алге-
алгебраические дополнения его элементов. Мы хотим выразить эти
элементы через А и его элементы. Имеем, по правилу умноже-
умножения определителей
АА = \ Агта™ | = | А&11 = А* \ b\ \ =А\
Следовательно, если АфО,
А = А*.
Применяя B5) к взаимному определителю, получим
*) Мак-Коннел пигде не пользуется понятием обратной мат-
матрицы. Это сохранено и в переводе. (Прим. ред.)

23 ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1гл. I
Если мы умножим это равенство на а' и просуммируем по s от 1
до 3, получим
т. о.
А)А=а]А=а)А*.
Следовательно, если А ф 0, то
2. Доказать, что
3. Доказать, что
6* iaman = aiai — ajai = 6ijhAi
итп г а г » га rslr h'
4. Показать, что
I
5. Доказать, что
§ 8. Линейные уравнения
Система трех линейных уравнений может быть запи-
записана так:
Используя условие суммирования, получим
B8)
Найдем решение этой системы.
Предположим, что А Ф 0. Тогда, если умножить B8)
на А\ и просуммировать по г от 1 до 3, то получим

I «] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРЕДЫДУЩИХ ФОРМУЛ 29
или
АЬ1тхт = Albm. B9)
Но
А* ~гл _ ~t.
«тА — *** ¦
следовательно, деля B9) на А, получаем
х =¦
A1 hm
Ат°
C0)
Легко проверить непосредственной подстановкой, что C0) удов-
удовлетворяет заданным лилейным уравнениям; мы видим также, что
это решение единственное.
Если .4=0, но все алгебраические дополнения элементов
определителя пе равны - то из B9) мы видим, что система
уравнений несовместна, за исключением случая, когда А^пЬт-=О.
Если это имеет место, то будет Л* (а?г« —Ьг) = 0. Отсюда видно,
что уравнения B8) линейно зависимы. Таким образом, мы дол-
должны удовлетворить только двум уравнениям, а третье удовлет-
удовлетворяется автоматически.
Особенно интересен случай, если в B8) Ьг=0. Тогда мы
видим, что при АфО система уравнений имеет единственное
решение гг=0. Если же .4=0, то уравнения не являются неза-
независимыми; тогда можно найти ненулевые значения хг, которые
удовлетворяют им. Таким образом, равенство А = 0 есть необхо-
необходимое и достаточное условие того, что система уравнений aJnzm=0
имеет ненулевые решении.
Упражнения
1. Показать, что если все алгебраические дополнения АТ равны
нулю, то в*я*=я?а* и система уравнений B8) несовместна, за
исключением случая, когда 6 а' = Ь3а*.
2. Если условия задачи 1 выполнены, то показать, что эти
три уравнения эквивалентны одному.
§ 9. Распространение предыдущих формул
на объект а„,„
Мы развили теорию определителей, элементы которых
имеют вид ars. Очевидно, результаты будут те же самые,
если элементы записаны в виде ars, т. е. когда оба
индекса — нижние. Но если мы потребуем, чтобы немой

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
(гл. 1
индекс всегда появлялся один раз сниз> я один раз
сверху в каждом члене, то окажется необходимым не-
несколько видоизменить наши формулы. Мы приведем
здесь только результаты и предоставим получение их
самому читателю.
Выписывая определитель полностью, имеем
А =|атп\ =
а11 а12 «13
а21 ам а23
C1)
так что первый индекс обозначает строку, а второй индекс—
столбец.
Имеем
А =
C2)
C3)
Для алгебраических дополнений элементов определителя получим
C4)
1 ,--•
где AiT есть алгебраическое дополнение элемента air.
Разложение определителя по элементам r-го столбца имеет
вид
\апГА^^АЬ\,\ C5)
а разложение по элементам г-ж строки будет
C6)
Если А не равно нулю, то положим
Air
а - А '
так что а'г есть алгебраическое дополнение аи в А, деленное
на величину А *). Тогда
Гл „mi „ „im A»
| amra ~arma —°r-
C7)
*) См. примечание па стр. 27.

I 10J ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ КВАДРАТИЧ. ФОРМА 31
Если объект атп симметричеп, то определитель называется
симметричным; если же объект атп антисимметричен, то опре-
определитель называется антисимметричным.
Упраясиепия
1. Если атп симметричен, показать, что Атп тоже сим-
симметричен.
2. Если атп—аптисимметричный трехмерный объект, то
показать, что Атп также антисимметричен, а значение определи-
определителя Л равно нулю.
3. Доказать, что
4. Решить систему уравнений аттхт=Ьг, учитывая сказанное
в § 8.
5. Выписать формулы, относящиеся к определителю, образо-
образованному из составляющих объекта атп.
§ 10. Положительно определенная квадратичная форма.
Характеристическое уравнение
Квадратичная форма атпхтхп называется положи-
положительно определенной, если она равна нулю только при
хТ = 0 и больше нуля при всех других вещественных
значениях хг.
Если нам дапы две квадратичные формы amnxmxn
и bmnxmxn, где атп и Ьтп являются симметричными
объектами, то часто встречается определитель
Qan - bn Ga12 - b12 Ga13 — b13
Ga21 — Ъг1 Ga22 — 622 Ga23 — 623
Ga31 — b31 0a32 — b32 0a33 — 633
Этот определитель мы будем кратко обозначать через
jGamn — bmn\ и пазывать характеристическим. Докажем,
что если атпхтхп есть положительно определенная ква-
квадратичная форма, то все корни характеристического
уравнения
||вДтп-*тп1=(>1 C8)
дейст вшпельны.

32 ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ [гл. 1
Предположим, что а+гр* есть корень C8). Тогда (стр. 29)
существуют такие по равные нулю числа Х.г-Нцг, что
Приравнивая нулю действительную п мнимую части, имеем
а«тпа."-Р«тГ1Ц»-Ьтпа.п=О, C9)
а«т«ЦП+Р«т«а."-Ьтг^п=О. D0)
Если умножить равенство C9) на \im, a D0) на кт и просум-
просуммировать по го от 1 до 3, то после вычитания одного уравнения
из другого получим
Р («mnA.ma.n+«mnP>") = (*»m-*!im) *."У = 0.
По условию, Я.г, и,1" не все равны пулю, а ат-хтхп положи-
положительно определена. Следовательно, формы атп\™лп и втПцг"цп
не могут обе равняться нулю, и мы получаем, что должно быть
р=о,
Это и доказывает действительность корней.
Если умножить C9) па А,"\ а D0) на u,m и просуммировать
по то от 1 до 3, то, складывая эти равенства, мы получим
Если, кроме того, нам дано, что Ътпхтхп— положительно опре-
определенная форма, то правая часть этого уравнения положительно
определена, откуда следует, что а положительно. Итак, мы имеем
следующий результат:
Если атпх'"хп и Ь,ппхтхп—две положительно определенные
квадратичные формы, то все корни характеристического уравне-
уравнения C8) вещественны и положительны.
Упражнения
Доказать, что если атпхтхп положительпо определена,
а Ьтп — антисимметричный объект, то корни C8) либо равны
пулю, либо чисто мнимые. Вывести отсюда, что определитель
антисимметричного объекта нечетного числа измерений равен
нулю.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Доказать, что если атпхтуп=0 для произвольных значе-
значений Xх и у1>, то аП1П = 0.
2. Проверить численные соотношения
xi j hxhlv_ tfihffi I аг ;' hthnv— 9lS*jft6h
°nn,p Qra ( — °rs!°mn> °mnp°r af— ^ursJum'
•A j k tmnp
°mnp'V 3 t

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Т
3. Проворить равенства
к
№
33
6р
•I.
4. Доказать, что если ars и ftrs —два такие симметричные
объекта, что
ТО
5. Доказать, что если amnxmxn = bmnxmxn для произвольных
значений хг, то
amn ~Tanm == ^mnn" "nmi
и, следовательно, если атп и Ь)ПП симметричны, то
6. Показать, что если атп есть либо симметричный, либо
аптисиммитричиый объект и .4=0, то жг может быть выбрано
так, чтобы Атп — кхтхп. Как следствие вывести, что если А11,
A22, Ayi нее равны нулю, то любое Атп есть нуль. (Значения хг
таковы, что удовлетворяют системе уравнений am?ia'n=0')
7. 11оказать, что если .4=0, то решения системы уравнений
<7Гтж'п = 0 удовлетвориют соотношениям
8. Показать, что если оге —объект, удовлетворяющий условию
armasrn = 6j, то a'"s являются алгебраическими дополнениями ars
в определителе А, деленными иа величину А*).
(Имеем ArParmasm — bsrArP, т. е. Аа*Р = А<1Р.)
9. Производная определителя. Показать, что если элементы aj
являются функциями переменной хТ, то
alaa "be
-Ап
дхг~ m дхт
emnpal a2 -^f
d<
*) См. примачаиие на стр. 27.

34
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[гл. 1
10. Пусть hmn = damn — bmn, где атп и Ьшп — два симметрич-
симметричных объекта, причем атпхтхп положительно определена, и пусть
Я и Птп будут определитель | hmn | и алгебраическое дополне-
дополнение его элементов. Тогда:
а) доказать, что a,nnHmrHns=HH'rs—H'Hrs, где штрихи
обозначают дифференцированно по 0;
б) вывести отсюда, что если 6 есть двукратный корень урав-
непия Н — 0, то он есть также корень каждого из уравнений
Ягз = 0.
11. Проверить следующие формулы, связывающие А, атп
и ат":
а)
б)
в)
да,
да.™
датп
да~
— _amsaln,
датп даг
-= —а,„.аг
d(\ogA)_ .
—amsarn),
датпдаг*~ ' т* rn "т""Г8''
12. Показать, что если а^ удовлетворяет соотношениям
а*ат = 6г, го либо
A = i и | а^ — 631 =0, либо А=—1 и \ars-
13. Якобиан. Если у1, у2, у3—функции от х1, х2, х3, то яко-
якобиан этих функций мы обозначим через
д(у\ У\ У3)
т. е.
а (у1, у2. г/3)_
д(х\ х\ х*)-
дх*
Доказать, что если г1, г2, г3 являются функциями у, то
дгг
дх*
14. Доказать, что
дхг
dzr дут
дут дхп
dz* 11 ду
дхп
дхп
дхг дхп

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1
15. Доказать, что
д(у1,
д (х\
ду"
дхп
«й-
16. Окаймленный определитель. Определитель А называется
окаймленным, если в него добавлены строка и столбец, например
«11 «12 «IS MI
V!
а33 и3
Vs W
Доказать, что
атп ит
vn w
= Aw—Amnumvn.
17. Доказать, что если Атп есть алгебраическое дополнение
атп в определителе |«mn|, то
eVmneqrsAm = amrans — amsanr-
18. Показать, что | АтпЪтТЬш \ = АгВг и что алгебраические
дополнения элементов в \Amnbmrbns\ равны АатпВттВ™.

ГЛАВА II
ТЕНЗОРЫ
§ 1. Линейные преобразования
Пусть переменные ж1, х2, х3 преобразуются в новые
х1, х2, х3 с помощью линейного преобразования
х3 = с\хх + cija;2 + с\х3,
где Cs —константы. Применяя условие о суммировании,
можем записать эту систему уравнений в виде
A)
Мы предполагаем, что определитель преобразования с = | с« |
не равен нулю. Пусть у* является алгебраическим допол-
дополнением элемента сга в определителе с, деленным на вели-
величину с*). Тогда
CmYs =YmCs =OS, B)
и мы можем разрешить систему уравнений A) относи-
относительно х
XT = УтХт. C)
Это показывает, что данное преобразование обратимо.
*) См примечание на стр. 27.

i Я] ИНВАРИАНТЫ 37
Кроме того, если cj = 6j, мы имеем
!сг = хг,
т. е. тождественное преобразование.
Если перейти сначала от переменных хТ к жгпоA), а
затем от переменных хт к хт при помощи преобразования
то мы видим, что переход от первоначальных перемен-
переменных хт к хт определяется формулой
где
Это преобразование, следовательно, также линейное.
Говорят, что совокупность преобразований образует группу,
когда она удовлетворяет следующим условиям: 1) если преобразо-
преобразования от хт к хт и от хт к х' принадлежат данной совокупности,
то преобразование от хг к хг также принадлежат К ней; 2) сово-
совокупность преобразования содержит тождественное и обратное пре-
преобразования.
Таким образом, совокупность линейных преобразований обра-
образует группу.
1.
2.
Показать,
Доказать,
что у =
что с'й
Упражнения
= fs
г =
1
с ¦
г>г „г
§ 2. Инварианты, контравариантные
и ковариантные векторы
Теперь мы поставим следующий вопрос. Пусть даны
объекты различных порядков, о которых шла речь в пре-
предыдущей главе. Каким образом должны преобразовываться
эти объекты, если к переменным применить линейное
преобразование?

38 ТЕНЗОРЫ [га. I!
Этот вопрос приводит нас к определению тензора.
Тензор есть частный случай объекта, рассмотренного
в предыдущей главе, составляющими которого являются
числа или функции, при линейном преобразовании пере-
переменных A) преобразующиеся по некоторому опреде-
определенному закону. Следовательно, существуют тензоры
нулевого, первого, второго, третьего и т. д. порядков,
так же как существуют всякие другие объекты этих же
порядков.
Сначала рассмотрим объект нулевого порядка, т. е.
просто число или функцию. Если этот объект имеет одно
и то же значение и в новых переменных ж1" и в старых
переменных хТ, то он называется скаляром, или инвариан-
инвариантом, или тензором нулевого порядка. Следовательно,
если а есть инвариант, то
D)
а —а,
где а есть значение данного объекта в новых переменных.
Теперь рассмотрим объкт первого порядка. Простейший
тип такого объекта есть совокупность самих переменных,
а именно хТ. Составляющие этого объекта преобразуются
следующим образом:
Следовательно, эта формула дает один из способов,
с помощью которого может быть преобразован объект
первого порядка. Любой объект, составляющие которого
преобразуются по этому закону, называется контравари-
антным тензором первого порядка, или, иначе, контра-
вариантным вектором. Таким образом, аТ есть контра-
вариантный вектор, если при линейном преобразовании
переменных A) его преобразованные составляющие опре-
определяются формулами
E)
Имеется и другой способ преобразования элементов
объекта первого порядка. Мы уже видели, что коэффи-
коэффициенты линейной формы переменных х также образуют
объект первого порядка. Таким образом, коэффициенты

§ 2] ИНВАРИАНТЫ 39
линейной формы атхт являются составляющими объ-
объекта аТ. Предположим, что составляющие ат преобра-
преобразуются таким образом, что линейная форма amxm остается
инвариантной относительно преобразования переменных A).
Если мы обозначим через аг новые составляющие объ-
объекта аТ (после преобразования), то получим
так как эта линейная форма есть инвариант. Тогда из C)
следует
Поскольку немой индекс может быть обозначен любой
буквой, то эту систему уравнений можно записать в виде
Если это соотношение справедливо для всех значений
переменных хТ, то должно выполняться равенство
F)
Это преобразование, очевидно, отлично от преобразова-
преобразования, задаваемого формулой E). Объект первого порядка,
составляющие которого преобразуются по этому закону,
называется ковариантным тензором первого порядка или
ковариантным вектором.
Таким образом, у нас есть два типа тензоров первого
порядка, и мы условимся различать их с помощью поло-
положения индекса. Если - тензор контравариантен, мы
используем верхний индекс, если же он ковариантен,
то нижний. Другими словами, верхний индекс обозна-
обозначает контравариантностъ, а нижний индекс — ковариант-
ковариантность.
Упражнения
1. Показать, что
. д'хг . - дх»
r _ дхг , _ дхг 

40 ТЕНЗОРЫ [гл. II
2. Проверить формулы
3, Показать, что если <р есть инвариантная функция перемен-
переменных *', то объект —: является ковариаптным вектором.
4. Показать, что дифференциалы переменных dxr образуют
контравариантный вектор.
§ 3. Тензоры любого порядка
Нашим следующим шагом являются исследование
объектов порядка выше первого и рассмотрение вопроса
о законе их преобразования.
Рассмотрим объект второго порядка. Простейшим
видом такого объекта является произведение двух векто-
векторов или объектов первого порядка. Такое произведение
может быть трех различных типов: 1) произведение двух
контравариантных векторов, 2) произведение двух кова-
риантных векторов, 3) произведение контравариантного
и ковариантного векторов.
1) Например, (arb*) есть объект второго порядка,
который является произведением двух контравариант-
контравариантных векторов ar, br. Составляющие этого объекта в новых
переменных определяются формулами
(а'Ъ°) = Dа») (csnbn) = crmc8n (ambn).
Следовательно, объект второго порядка ars может
иметь закон преобразования
a — cmcna
G)
Объект, составляющие которого преобразуются по
этому закону, называется контраваршнтпым тензором
второго порядка. Он обозначается при помощи двух
верхних индексов.
2) Далее, (arbs) есть объект второго порядка, который
является произведением двух ковариантных векторов аг, ЪТ.
Его составляющие в новых переменных будут

S3]
ТЕНЗОРЫ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
Следовательно, объект второго порядка ars может пре-
преобразовываться по закону
(8)
Объект, преобразующийся по этому закону, назы-
называется ковариантным тензором второго порядка. Он обо-
обозначается при помощи двух нижних индексов.
3) Наконец, (arbs) есть объект второго порядка, обра-
образованный умножением контравариантного вектора аТ
и ковариантного вектора br. Преобразование этого объекта
производится по формулам
( yX) = CyT (ambn).
Следовательно, объект второго порядка ars может преобра-
преобразовываться по закону
(9)
Такой объект называется смешанным тензором вто-
второго порядка. Он обозначается при помощи одного верх-
верхнего и одного нижнего индексов.
Для читателя не составит особой трудности обобщение этих
определений на тензоры любого порядка. Рассмотрим, для при-
примера, тензор третьего порядка. Очевидно, один из таких объектов
можно получить, перемножив три вектора. Возьмем объект (arbsci),
полученный перемножением контравариантного вектора а' и двух
ковариантных векторов ЬТ, сг. Согласно правилу преобразования
векторов получим
(a-V,) = (ernam) (ynsbn) (у?ср) = crmy^
Следовательно, объект arst может быть преобразован по закону
A0)
Любой объект arst, составляющие которого преобразуются по этому
закону, называется смешанным тензором третьего порядка, лон-
травариантным по верхнему индексу и ковариантным по обоим
пижпим индексам.
В качестве мнемонического правила для запоминания аакона
преобразования тензоров моншо предложить следующее.

42 ТЕНЗОРЫ [гл. И
а) Типичный контравариантный вектор есть хт, и все контра-
вариантные векторы преобразуются по тому же закону, что и хг..
б) Типичным ковариантным вектором является -^-т, где ф
0Х
есть ипвариантная функция переменных хг, и все ковариантные
векторы преобразуются по тому же закону.
в) Типичным тензором любого порядка является произведе-
произведение векторов, образованное следующим образом: для каждого
контравариантного (или верхнего) индекса мы берем контрава-
контравариантный вектор в качество сомножителя и для каждого ковари-
антного (или нижнего) индекса мы берем ковариантиый вектор
в качестве сомножителя.
Отметим, что каждая составляющая тензора в новых
переменных является линейной комбинацией его состав-
составляющих в старых переменных,. Следовательно, если все
составляющие тензора в исходной системе переменных
равны нулю, то все они равны нулю и в новой системе
переменных. Это наиболее важное свойство тензоров.
Другим важным свойством, которое следует отметить,
является произвольность тензоров. Мы можем взять
в качестве составляющих тензора в одной системе пере-
переменных любой набор чисел в требуемом количестве
и определить его компоненты в любых других перемен-
переменных с помощью системы линейных уравнений, выража-
выражающей закон преобразования данного тензора. Таким
образом, если мы хотим получить трехмерный тензор
третьего порядка, контравариантный относительно одного
индекса и ковариантный относительно двух других, мы
можем взять любой набор З3 чисел ast в качестве состав-
составляющих тензора в перемепных хТ; тогда составляю-
составляющие аа1 в переменных хг будут определяться системой
равенств A0).
Упражнения
1. Написать законы преобразования для различных типов
топзоров четвертого порядка.
2. Показать, что -г~,~^ есть ковариаптный тензор второго
порядка, если ф является инвариантной функцией от хт.
3. Показать, что если имеется соотношение вида arst=zbTsct,
связывающее тензоры arst, brt, cr в некоторой системе переменных,

§ 4] СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И СВЕРТЫВАНИЕ ТЕНЗОРОВ 43
то то же самое соотношение между составляющими имеет место
в любой другой системе перемевных.
4. Показать, что Ьга, б^*, 6^,*р являются тензорами, т. е. что
символы Кронекера являются тензорами. [Эти результаты следуют
аз уравнения B), стр.36.]
5. Показать, что если тенаор в некоторой системе перемен-
переменных является симметричным (или антисимметричпым), то в лю-
любой другой системе переменных он также будет симметричным
(или антисимметричпым). Такой тензор называется симметрич-
симметричным (или антисимметричным).
§ 4. Сложение, умножение и свертывание тензоров
В предыдущей главе мы видели, что сложение соот-
соответствующих составляющих двух объектов одного и того
же порядка и типа дает другой объект того же порядка
и типа. Таким образом, если мы имеем два объекта
третьего порядка aret и brat, то
crst = alt + brst (И)
определяет третий объект, называемый суммой двух
исходных. Мы сейчас покажем, что если arst и brst являются
тензорами третьего порядка, то и crst также является
тензором третьего порядка. Для составляющих в новой
системе переменных имеем
crst = arst + Kt = <4y?Y?
= «Y? (C + CP) = crnyhfcnP,
что и доказывает наше утверждение. Таким образом,
операция сложения, примененная к двум тензорам, дает
тензор того же самого порядка и типа. Все зто справед-
справедливо, конечно, и для вычитания, как частного случая
сложения. Из этих результатов непосредственно следует,
что система равенств
образует так называемое тензорное уравнение. Под этим
следует понимать, что если эти равенства справедливы
в одних каких-нибудь переменных, то они справедливы

44 ТЕНЗОРЫ [гл. II
и во всех других переменных. Чтобы доказать зто,
нужно просто заметить, что у тензора (ата— brs) в одной
из систем переменных все составляющие равны нулю и,
следовательно, то же самое имеет место во всех других
переменных.
Мы выше нашли, что при умножении каждой состав-
составляющей одного объекта на каждую составляющую дру-
другого в результате получается объект, порядок которого
равен сумме порядков обоих исходных объектов. Таким
образом, если arst является объектом третьего порядка,
a bq — объектом второго порядка, то объект с^(, назы-
называемый произведением исходных объектов, определяется
равенствами
Cqlt = b^arst A2)
и является объектом пятого порядка. Мы предоставляем
читателю в качестве упражнения доказательство того,
что если arat и Щ являются тензорами указанного индек-
индексами типа, то Cq^si есть тензор пятого порядка с правиль-
правильным расположением как нижних, так и верхних индек-
индексов. Следовательно, процесс умножения, примененный
к тензорам, снова приводит к тензорам. Отметим, что
и операциях сложения и умножения нижние индексы
остаются нижними, а верхние—верхними.
Наконец, рассмотрим операцию свертывания; мы
увидим, что, будучи применена к тензорам, она также
снова приводит к тензорам. Возьмем смешанный тензор,
для простоты, например, третьего порядка, и обозначим
его аг„. Если мы сделаем индексы г и t одинаковыми,
то придем к объекту arsr. Если мы вспомним, что немой
индекс означает суммирование от 1 до 3, то очевидно,
что порядок объекта уменьшился на две единицы—за
счет одного ковариантного и одного контравариантного
индекса.
Покажем, что свернутый тензор также является тен-
тензором. Обозначив, как обычно, преобразовацные состав-
составляющие буквами с чертой сверху, имеем

i 6] ОБРАТНЫЙ ТЕНЗОРНЫЙ ПРИЗНАК 45
Производя свертку по rut, получаем выражение
которое показывает, что bs = arsr есть ковариантный вектор.
Итак, мы видим, что три элементарные операции: сложение,
умножение и свертывание—являются тензорными операциями,
и любая комбинация этих операций, выполненная над заданными
тензорами, приводит, очевидно, к новым тензорам. Следовательно,
мы можем чясто распознать тензорный характер какого-нибудь
объекта, заметив, что он образован при помощи этих операций
над известными тензорами. Например, если атП и Ьтп—два тен-
тензора, то amnbmn есть инвариант, так как он образован умноже-
умножением двух тензоров и их свертыванием по обеим парам индексов.
Упражнения
1. Показать, что arslbf есть тензор третьего порядка.
2. Показать, что равенства (arst-}-brat)xt = k'a образуют систему
тепзорпых уравнений.
§ 5. Обратный тензорный признак
Пусть нам дана система уравнений вида
связывающая объекты Arst, Bst, CT.
Если известно, что Arst и В4' — тензоры типов, опре-
определенных расположением их индексов, то мы можем
немедленно заключить, что С есть тензор, так как он
получен умножением и последующим свертыванием двух
других тензоров. Очень важно уметь распознавать тен-
тензоры, так сказать, обратным способом: именно, если мы
знаем, что Сг и Bsl — тензоры, можем ли мы заключить,
что Arat есть также тензор?
Существует следующий признак, который мы устано-
установим в простейшей форме, но который может быть обоб-
обобщен, очевидно, на объект любого порядка.
Если нам дано соотношение
Л (г, s, t)Bst = Cr, A3)

46 ТЕНЗОРЫ. 1гл., 11
где известно, что СТ является некоторым определенным
тензором, а В'1 — произвольным тензором, то A(r, s, t)
также есть тензор, который может быть представлен
как Arst.
Для доказательства этой теоремы сделаем линейпое преобра-
преобразование A) (стр. 36) переменных хТ в жг, причем буквы с чертой
сверху будут относиться к новым переменным. Имеем
A(r, S,t)B*t=Cr=crnCm = cTmA(m, n, р)
и
BnP = y^yfB*t.
Поэтому
[А (г, s, 0- crmy?yfA(m, n, р)]В*' = 0. A4)
Но 5s' есть совершенно произвольный тензор и, следовательно,
Bst — тоже произвольный тензор. Поэтому все коэффициенты при
В8' в A4) должны равняться ну,.ю, или
Но это и показывает, что А (г, я, t) является тензором третьего
порядка и что его правильная запись есть Arst.
Важно отметить, что тензор Bst должен быть совер-
совершенно произвольным, причем степень произвола не должна
быть ограничева существованием симметрии или антисим-
антисимметрии.
Особенно существенным является то, что у произволь-
произвольных тензоров мы можем давать произвольное значение
какой-нибудь одной из составляющих и считать все осталь-
остальные равными нулю.
Существует важный частный случай доказанной тео-
теоремы. Предположим, что xr, yr, zT — три произвольных
вектора, из которых два первых контравариантны и по-
последний ковариантен. Если мы знаем, что Altxsy'zr есть
инвариант, то на основании нашей теоремы заклю-
заключаем, что ATat есть тензор третьего порядка, т. с. коэф-
коэффициенты инвариантной полилинейной формы в пере-
переменных Xх, yr, zr образуют тензор. Это свойство иногда
принимают за определение тензора; из него легко вывести
закон преобразования тензоров при линейном преобра-
преобразовании переменных.

it] ПСЕВДОТЕНЗОРЫ 47
Упражнения
1. Доказать, что если в соотношении A3) В8' есть симметрич-
симметричный, а в остальном произвольный тензор, то {А{г, s, t)-\-A(r, t, s)}
есть тензор. Как следствие вывести, что если А (г, s, t) есть объект,
симметричный относительно индексов s, t, то A(r, s, t) есть тензор.
2. Доказать, что если в соотношении A3) Bst есть антисим-
антисимметричный, а в остальном произвольный тензор, то {А (г, s, t) —
—A(r, t, s)} есть тензор, а если A(r, s, t) есть объект, антисим-
антисимметричный относительно s, t, то A(r, s, t) есть тензор.
3. Показать, что если атпхтхп есть инвариант, а атп — сим-
симметричный объект, то атп есть тензор.
4. Вывести из результатов эадачи 3 стр. 23, что символы
Кронекера являются тензорами.
5. Показать, что если атп есть тензор, то аТОп — алгебраиче-
алгебраическое дополнение атп в | атп |, доленное на | атп |, также есть тензор.
(Пусть кг — произвольный вектор, тогда ka = asrkr есть также
произвольный вектор. Далее, as'Ars = Ar(, после чего применяем
доказанный выше тензорный признак.)
§ 6. Псевдотензоры
Расширим теперь определение тензора, введя новое
понятие относительного тензора, или псевдотензора, отли-
отличающееся от того понятия, которым мы пользовались
до настоящего момента.
До сих пор объект aTst назывался тензором, если он
преобразовывался по закону
U = «y№p. A5)
Преобразование самих переменных хг в переменные хг име-
имеет вид
хг = уп>, A6)
причем детерминант этого преобразования
Y = |Y}I A7)
не равен нулю.
Мы распространяем название тензора на объект aTst, ко-
который преобразуется по закону
f A8)
р (у) ру рль у,
возведенный в степень Л/. Закон преобразования A8)
где под выражением (у)м подразумевается определитель у,
/ З б A8)

48 ТЕНЗОРЫ Ira. U
отличается от A5) только множителем (у)м в правой
части. Закон преобразования A5) есть только частный
случай закона A8), соответствующий М=0, так что
наше новое определение тензора включает в себя старое.
Объект, который преобразуется по закону A8), назовем
псевдотензором, а число М— его весом. Тензоры, о кото-
которых шла речь до сих пор, все имели вес, равный нулю;
если хотят отличить их от псевдотензоров, то называют
абсолютными или истинными тензорами.
Обычно мы будем под словом тензор понимать истин-
истинный тензор, если только противоположное не оговорено
специально. Псевдотензоры первого и нулевого порядков
называются соответственно псевдовекторами и псевдоска-
псевдоскалярами. Мы будем заниматься главным образом истин-
истинными векторами и скалярами.
Важно отметить, что если нам известен какой-нибудь,
псевдоскаляр веса, равного единице, мы можем немед-
немедленно превратить любой псевдотензор в истинный тензор.
Для этого предположим, что величина К есть псевдо-
псевдоскаляр веса 1 и что arst _ есть псевдотензор веса М.
Закон преобразования величины К определяется фор-
формулой
Т = уК
и, следовательно,
Км = (у)мКм,
где обе части возведены в степень М. Другими словами,
Км есть псевдоскаляр веса М. Кроме того,
arBt= (y)Mcrmy?yfa%,;
следовательно,
т. е. (K~Ma\i) есть истинный тензор. Впоследствии мы
будем всюду, где это возможно, пользоваться таким спо-
способом для превращения псевдотензоров в истинные тен-
тензоры и, следовательно, мы будем почти всегда иметь
дело с истинными тензорами.
Мы 'предоставляем читателю проверку следующих свойств
псевдотензоров, напоминающих свойства истинных тензоров.

$ 6] 11СЕВД0ТЕН30РЫ 49
1. Сложение. Если мы складываем соответствующие состав-
составляющие двух псевдотензоров одного и того же порядка и типа и
имеющих один и тот же вес М, мы получаем псевдотензор веса
М, который называется суммой двух исходных псевдотензоров.
2. Умножение. Если мы умножаем каждую составляющую псев-
псевдотензора веса М и порядка т на каждую составляющую псевдо-
псевдотензора веса N и порядка п, мы получаем нсевдотензор веса
M-{-N и порядка т-\-п, который называется произведением двух
исходных псевдотензоров.
3. Свертывание. В результате операции свертывания по верх-
верхнему и нижнему индексам получается псевдотензор того же самого
ш;са, что и первоначальный, но порядка уменьшенного и а две
единицы.
4. Обратный тензорный признак. Если нам дапо соотношение
А (г, s, t)Bs' = Cr,
где известно, что С есть псевдотензор веса М, а В8' есть произ-
произвольный псевдотензор веса N, то A(r, s, t) есть псевдотензор веса
M—N, который следует обозначать Arst. Доказательства этих
предложений совершенно такие же, как и для истинных тензоров;
единственное отличие состоит в необходимости введения в законы
преобразования добавочных множителей.
Упражнения
1. Проверить, что erst и еш — псевдотензоры веса —1 и 1
соответственно.
Из формул B1) и B2) стр. 24 имеем
Мы знаем, что с=1/у и, следовательно, эти уравнения могут быть
записаны в виде
Таким образом, е-объекты имеют те же самые составляющие в
любых неременных, именно 0, 1, —1 в соответствии с переста-
нопкой индексов. Следовательно, е-объекты и в переменных хг могут
быть обозначены через ers( и еы. Поэтому два последних равеп-
ства дают законы преобразования е-объектов, и мы непосредственно
видим, что erst есть ковариантный псевдотензор третьего порядка
веса —1, a erst есть контраварнантный псевдотонзор третьго по-
порядка веса 1.

50 ТЕНЗОРЫ trn. II
2. Вывести из задачи 1, что символы Кронекера являются
истинными тензорами.
3. Показать, что если все составляющие псевдотензора равпы
нулю в одной системе переменных, то они будут равны нулю и
в любой другой системе.
4. Показать, что если все составляющие двух псевдотеизоров
одного и того же порядка и веса равны в одной системе перемен-
переменных, то они равны и в любой другой системе.
(Два тензора, составляющие которых равны друг другу в
любой системе персмеппых, называются равными.)
5. Показать, что если arsl есть псевдотепзор, зависящий от
параметра а, то производная этого псевдотензора по параметру
есть псовдотонзор того же порядка и веса.
(Этот результат получается путем дифференцирования урав-
уравнения, определяющего закон преобразования тензора, с учетом
того факта, что с™ являются константами.)
6. Показать, что если aTsi есть тензор, составляющие которого
являются функциями переменных хг, то частные производные
¦g-ц- являются составляющими тензора, ковариантность которого
на единицу выше.
(Этот результат также следует из того факта, что с™ постоянны.)
7. Показать, что если a*t есть относительный тепзор веса М,
то
§ 7. Общие преобразования
До настоящего момента мы рассматривали только
линейные преобразования неременных и определили тен-
тензоры различных типов только относительно таких пре-
преобразований. Сейчас мы введем более общие преобразова-
преобразования переменных и посмотрим, можем ли мы распростра-
распространить определение тензоров так, чтобы они охватывали
и эти новые преобразования.
Предположим, что формулы преобразования имеют
вид
х\ Xs) , A9)
где Z1, /2, /3 —произвольные функции. Мы предполагаем,
что функции, с которыми нам придется иметь дело, обла-
обладают производными любого порядка и что преобразование

§ 7] ОБЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 51
A9) обратимо. Следовательно, мы можем написать обрат-
обратное преобразование
х3). B0)
Для того чтобы преобразование было обратимо, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы определитель
dxs
не равнялся нулю. Этот определитель часто называют
якобианом. Отметим, что линейное преобразование A),
стр. 36 есть только частный случай общего преобразо-
преобразования A9), когда функции в правой части A9) являются
линейными однородными функциями.
Если мы возьмем дифференциалы от A9) и B0), то
получим
7 г дхг 7 я /оо\
dx = dx , к&еЛ
ох^
dxr = -^dxs. B3)
dxs
Если положить
то мы видим, что уравнепия B2) и B3) принимают вид
dxr=cTsdx\ dxr = yrsdxs.
Другими слонами, преобразование дифференциалов яв-
является линейным, аналогичным A)и C), стр. 36. Сущест-
Существенная разница состоит в том, что здесь коэффициенты
с и у пе постоянны, а являются функциями хг или хг.
Упражнения
1. Показать, что система преобразований A9) образует группу.
2. Доказать, что
дхг дхт _ бг _ J^i дхт
д*т дх* ~ s~ dim дх* ¦

52
ТЕНЗОРЫ
3. Показать, что
дхг
дх*
1
—
дхг
Эх*
4. Показать, что если мы положим д. равными постоянным,
то получим общее линейное преобразование переменных.
§ 8. Тензоры относительно общего преобразования
Определим теперь тензоры относительно общих пре-
преобразований A9).
Если нам дан набор функций, образующий объект
некоторого порядка, мы говорим, что этот объект есть
тензор относительно преобразования A9), если он яв-
является тензором по отношению к линейному преобразо-
преобразованию дифференциалов B2), B3).
Подобным же образом объект alt является псевдотен-
псевдотензором веса М относительно общего преобразования, если
его составляющие arst в новых переменных удовлетворяют
соотношениям *)
B5)
для всех значений переменных. Как и прежде, тензоры
порядка один и нуль называются соответственно векто-
векторами и скалярами, а псевдотензоры веса нуль называются
истинными тензорами.
Так как линейное преобразование есть только частный
случай общего преобразования, то все объекты, которые
являются тензорами относительно общих преобразований,
являются также тензорами относительно линейных пре-
преобразований. Однако обратное не верно: существуют объ-
объекты, которые являются тензорами относительно линей-
линейных преобразований и не являются тензорами относительно
общих преобразований.
alt =
дх1
дх>
м дхг дхп дхР т
д*т дх° dii йпг
*) Отметим следующее полезное мнемоническое правило: сво-
свободные "индексы г, s, t в правой части B5) принадлежат буквам
с чертой сверху.

S 8] ТЕНЗОРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 53
Например, сами переменные являются векторами отно-
относительно линейных преобразований, но не являются век-
векторами относительно преобразования A9).
Из строения формул B5), которые дают определение
тензора, мы видим, что все чисто алгебраические по
своему характеру операции применимы в равной мере
как к тензорам относительно общего преобразования, так
и к тензорам относительно линейного преобразования.
Следовательно, все важные результаты относительно
сложения, умножения и свертывания, а также отно-
относительно тензорных признаков могут быть применены
без изменения к тензорам относительно преобразова-
преобразования A9).
Большую часть внимания мы будем уделять истинным
тензорам, и под словом тензор мы будем понимать именно
истинный тензор, если специально не оговорено противо-
противоположное. Правило преобразования истинного тензора
а^ имеет вид
Читатель сможет легко проверить следующее:
1. Типичным контравариаитным вектором является dxr.
д<р
2. Типичпым ковариантным вектором является д г- , где <р
есть истинный скаляр.
3. Типичный тензор любого порядка образуется перемноже-
перемножением необходимого числа ковариантиых и контравариантных век-
векторов, как описано в § 3 этой главы.
Следует отметить, что если arst есть тензор, составляющие
которого являются функциями переменных, то объект, состав-
составленный из их производных по хг, не образует тензора. Результат,
который мы получили для тензоров относительно линейного пре-
преобразования, теперь не является справедливым, так как вели-
dir
чины d s теперь не копстанты, а некоторые функции перемен-
переменных. 13 самом деле, продифференцировав B6), мы найдем
da\i = дхг дхп 1дхР дхО д<*р дхг Эх»
дхи ~ дхт д& д~х\ ар* dxi + дхт
дхг дЧп дхР т д*хг дхп дхР dxfi
m
» дх1 anp+dxmdxQ (fa дх-\ дхи

54 ТЕНЗОРЫ [гл. II
это и показывает, что производные не удовлетворяют закону
преобразования тензоров. Рассмотрение проблемы об образовании
тензоров посредством дифференцирования мы отложим до
III части (стр. 195).
Упражнения
1. Написать законы преобразования тензоров первого, вто-
второго, третьего порядков, беря для каждого порядка все различ-
различные типы.
_ „ да>
2. Показать, что если ср есть истинный скаляр, то -~у есть
ковариантный вектор.
3. Показать, что если атп— симметричный объект и
атп dxm dxn является инвариантом, то а1)Ш есть ковариантный
тензор.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1. Показать, что если агв есть истинный тензор, то \ars\ есть
истинный скаляр.
2. Показать, что если атп есть истинный ковариантный тен-
тензор, то | атп | есть псевдоскаляр веса 2.
3. Показать, что если атп есть иетипный контравариантный
тензор, то |ап| есть псевдоскаляр воса —2.
4. Показать, что если Х^,, Хф, tf3)— ТРИ истинных коптра-
вариантпых вектора, то | Х^ | есть псевдоскаляр веса — 1.
(Когда мы имеем дело с несколькими тензорами, мы можем
отличить один тензор от другого посредством индекса, заключен-
заключенного в скобки для того, чтобы показать, что этот индекс не
обозначает тензорных свойств.)
5. Показать, что если Х(г1), А,'-2', Х{-3' — три истинных ковари-
антных вектора, то | Я,{Я I есть псевдоскаляр веса 1.
6. Вывести из упражнений 4 и 5, что erst и ersl являются
псевдотензорами веса —1 и 1 соответственно (ср. стр. 49).
Г I 1 Г I а 1Г 1« ll

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II 55
7. Показать, что если атп есть истинный тензор, у которого
т\ = А положителен и не равен нулю, то два объекта
fXst
—
являются истинными тензорами.
8. Доказать, что алгебраические дополнения элементов опре-
определителя | ars | образуют истинный тензор, если ars евть истинный
тензор.
9. Доказать, что если ctjj есть алгебраическое дополнение
элементов определителя |а*[, деленное на |а*|, то а? есть истин-
истинный тензор.
10. Показать, что алгебраические дополиепия элементов опре-
определителя | атп | образуют псевдотензор веса 2, если атп
есть истинный ковариантный тензор.
11. Доказать, что если А — \атп\ и атп есть алгебраическое
донолпение атп Fb А, деленное на А, то а1"" есть истинный
коптравариантный тензор.
12. Если к^ есть алгебраическое дополнение Хг^ в определи-
определителе задачи 4, деленное па определитель, доказать, что Х^\ А.га)>
кг3)—три истинных ковариаптных вектора.
13. Доказать, что если \атп—Ggmn | обращается в нуль при
6 = 00 в одной системе переменных, относительно_которых атп
и gmn являются истипными тензорами, то | атп—6gmn | в новой
системе переменных также обращается в нуль при G = G0. Дру-
Другими словами, корни уравнения | атп—Ogmn| = 0 являются ин-
инвариантами.
14. Если вое алгебраические дополнения элементов определи-
определителя | атп | равны нулю в одной системе переменных, то они
равны нулю и в любой другой системе.
15. Доказать, что если <р = атпЛп, то -Q^^fC—amn+ anm-
Как следствие вывести, что если ф —инвариант, то (o,nn-fanm)
есть ковариантный тензор относительно лииейых преобразований.

ЧАСТЬ 11
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ТЕНЗОРНОМ ИЗЛОЖЕНИИ
ГЛАВА 111
АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 1. Координаты и тензоры
Если нам заданы три взаимно ортогональные пло-
плоскости, пересекающиеся в точке О (рис. 1), то, как из-
известно, положение любой точки Р в пространстве одно-
однозначно определяется тремя числами, выражающими
длину перпендикуляров, опущен-
опущенных из точки Р на заданные
плоскости, причем каждому из
этих чисел приписан соответствую-
соответствующий знак.
Обозначим через QYZY3, OYJfx
и OY1Y2 заданпыо плоскости,
а через (у1, у*, у3) числа, выра-
жающие длины указанных только
/О &Щ / Уг что трех перпендикуляров (с со-
соответствующими знаками). Тогда
эти три числа называются декар-
/ товыми ортогональными коорди-
Y] Рис. 1. натами точки Р, заданные пло-
плоскости — координатными плоско-
плоскостями, прямые линии OYU OYt, OYS — координатными
осями, точка О —началом координат.
Сделаем теперь линейное преобразование, приводящее
нас от (у1, у2, у3) к новым переменным (ж1, х2, Xs):
у3 р

§ t] КООРДИНАТЫ И ТЕНЗОРЫ 57
Вспоминая условие о суммировании, эти уравнения
можно записать короче:
xr = alf. A)
Мы предполагаем, что определитель | ars | не равен нулю
и, следовательно, можно разрешить A) относительно у
уг = а'е'х\ B)
Мы получаем отсюда, что каждой точке пространства
однозначно соответствует набор чисел хг и, обратно, каж-
каждому набору чисел хт соответствует единственная точка
пространства. Поэтому переменные хт можно рассмат-
рассматривать как координаты точки пространства. Эти коорди-
координаты, полученные линейным преобразованием ортогональ-
ортогональных декартовых координат ys, мы назовем аффинными
точечными координатами или просто аффинными коор-
координатами*).
Известно, что уравнение плоскости, проходящей через начало
координат, в прямоугольной декартовой системе координат есть
линейное уравнение вида
атут=0. C)
Поэтому из A) видно, что xl — Q, гг = 0 и я3 —0 являются уравне-
пиями трех плоскостей, проходящих через точку О. Эти пло-
плоскости мы будем пазывать координатными плоскостями системы хТ.
Пересечения этих плоскостей попарно друг с другом суть
три прямые линии, проходящие через точку О; эти линии мы
будем называть координатными осями. Очевидно, координатные
оси представляются тремя парами уравнений
Будем обозначать эти оси OXlt OX2, OXS соответственно. Наконец,
началом координат назовем точку с координатами ж1 = 0, x2 = 0,
г3 = 0; из B) мы видим, что начало координат системы хг совпа-'
дает с началом ортогональной декартовой системы. Другими
словами, положение начала координат не иаменяется при преобра-
преобразовании A).
Если у нас есть две системы аффинных координат хТ
и хг, то из соотношений A) и B) очевидно, что эти две
*) В подлиннике rectilinear coordinates, ср. примечание
к стр. 89. См. Мусхелншвили Н. И., Курс аналитической геомет-
геометрии, Гостехиздат, Москва, 1947, стр. 68. (Прим. ред.)

58 АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ [гл. III
системы переменных связаны линейным соотношением
хг = с\х\ D)
где с? —константы, и что это соотношение может быть
разрешено относительно хг\
хт = уп*. E)
Таким образом, переход от одной аффинной системы
координат к другой эквивалентен линейному преобра-
преобразованию переменных. Мы можем, следовательно, опре-
определять тензоры, векторы и инварианты (скаляры) отно-
относительно преобразования аффинных координат. Например,
Alt есть тензор третьего порядка, если его составляющие
в новой системе координат определяются уравнениями
Упражнение
Показать, что основная ортогопальпая декартова система
координат уТ принадлежит к совокупности аффшшых систем
координат.
§ 2. Контравариантные векторы и смещения
Мы видели, что по отношению к линейному преобра-
преобразованию сами переменные хг образуют коптравариантный
вектор. Другими словами, координаты любой точки
являются составляющими конт-
равариантпого вектора. Теперь мы
покажем, что обратное также
справедливо, т. е. каждому конт-
равариантному вектору соответст-
соответствует точка, координаты которой в
любой системе являются составля-
составляющими вектора в этой системе.
Пусть ат — данный контравариант-
ный вектор, и пусть А является точкой, координаты которой
в некоторой определенной системе координат равны а1,
а2, а3. Если координаты точки А обозначим через хг, то

§B] КОНТРАВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРЫ И СМЕЩЕНИЯ 59
есть векторное уравнение, справедливое в одной опреде-
определенной системе координат. Следовательно, оно справед-
справедливо и в любой системе координат; наше утверждение
доказано. Вместо того чтобы заниматься точкой А, можно
говорить о смещении О А (рис. 2). Это дает следующую
геометрическую интерпретацию контравариантных векто-
векторов: каждому контравариантному вектору соответствует
смещение ОА из начала координат.
Дадим геометрическую интерпретацию сложопия двух контра-
контравариантных векторов ог и 6Г. Мы имеем два смещения ОА и ОВ,
соответствующие нашим векторам. Построим [параллелограмм,
сторонами которого являются ОА и ОВ,
и проведем в нем диагональ ОР. Если
обозначить хг координаты точки Р,
легко 'доказать с помощью проекций
теорему о том, что в ортогональной
декартовой системе координаты будут
хг=аг-\-ЬТ.
Но ото—векторное уравнение, которое
справедливо в ортогональной декарто-
декартовой системе координат, введенной в § 1.
Следовательно, оно справедливо в лю-
любой аффинной системе координат, и мы
видим, что точка с координатами (ar-\-br) получается путем сло-
сложения двух смещений ОА и ОВ.
Если нам даны три смещения ОА, ОВ, ОС (рис. 3), мы можем
построить параллелепипед, ребрами которого являются эти сме-
смещения, и провести в нем диагональ ОР. Если смещения опреде-
определены тремя векторами аТ, Ьг, с'\ то мы видим, что OQ является
вектором (ar-\-br) и, следовательно, ОР представляется суммой
(ar-\-br-\-cr). Обратно, если разложить ОР на три смещения ОА,
ОВ и ОС, мы увидим, что координатами точки Р являются
(rf6'-fr)
Упражнения
1. Показать, что точка Р с координатами kar, тде к—постоян-
к—постоянное, лежит на линии ОА и что к = ОР/ОА [к является инвари-
инвариантом и в основной ортогональной системе координат имеет
величину ОР/ОА].
2. Построим из точки хга отрезок, равный и параллельный ОА.
Показать, что полученная точка имеет координаты (xl-\-ar).
3. Показать, что равные и параллельные смещения представ-
представляются при помощи одного и того оке контравариантного вектора.
4. Пусть А, В, С — три данные точки. Если мы возьмем три
точки L, М, N на линиях ОА, ОВ, ОС, лежащие от точки О на

60
АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
(гл. III
расстояниях а-ОА, Р-ОВ, у-ОС соответственно, то показать, что
точка, полученная путем векторного сложения смещений OL, ОМ,
ON, имеет координаты (aor-fp6r-)-Ycr)-
с тт \x\4-uxl
о. Показать, что точка —* ' г лежит на линии, соединяю-
соединяющей точки х[ и хг2, деля ее в отношении Ц.Д.
§ 3. Базисные точки и геометрическая
интерпретация аффинных координат
В аффинных системах хт особенный интерес представляют три
точки с координатами A, 0, 0), @, 1, 0) и @, 0, 1). Мы будем их
называть базисными *) точками координатной системы и обозначать
через Еи Ей, Е3 соответственно (рис. 4). Если мы обозначим
координаты базисных точек через
е^, то в любой системе коор-
координат будет
F)
Р где б{ равно нулю, если г ф it
и равно единице, если r = i.
Здесь мы заключили индекс
i в скобки, чтобы показать, что
он не характеризует тензорных
свойств, а просто указывает, что
мы занимаемся отдельной базис-
базисной точкой. Базисные точки ле-
лежат по одной на каждой из коор-
координатных осей. Пользуясь F),
мы имеем:
G)
Возьмем точку L% (рис. 4) с
координатами х1*^)- Эта точка
лежит на оси ОХи так что расстояние ОЬ-^ур-ОЕ^. Аналогично,
пусть L2 и L3 будут точки, лежат:;-" па двух других координат-
пых осях. Если построить параллелепипед с ребрами OLlt OL2,
OLS, то, как мы уже знаем, точка Р, получившаяся нри этом,
имеет координаты х1егш-\-хге[п-\-х*е[3> Следовательно, из G) мы
видим, что координатами Р являются хг. Это дает нам геометри-
геометрическую интерпретацию аффинных координат. Мы проводим через
точку Р плоскости, параллельные координатным плоскостям,
*) В подлиннике unit points. (Прим. ред.)

которые пересекают оси в точках I?, L», L3. Тогда три безраз-
безразмерных числа OL^OE» OLJOEt, OL3/OE3 являются аффинными
координатами точки Р. Другими словами, для того чтобы одно-
однозначно определить аффинную систему координат, нам необходимо
знать три оси ОХи ОХг, ОХ3 и три базисные точки Et, Е2, Е9
на этих осях.
Теперь мы докажем, что в качестве базисных точек некоторой
аффинной системы, можно взять любые три различные точки, не
компланарные с точкой О. Вернемся к нашей основной ортогональ-
пой декартовой системе уг , и пусть г/[{) будут в этой системе
координаты трех заданных точек, которые мы можем обозначить
через Еи Е2, Е3. Эти точки и точка О не должны лежать в одной
и той же плоскости и, следовательно, числа у^ не должны удов-
удовлетворять линейному уравнению вида C) стр. 57. Необходимым
и достаточным условием этого является отличие от нуля опреде-
определителя | j/^j | ,т. е.
Ivfol^O. (8)
Сделаем линейное преобразование
^ (9)
к новым переменным хг. Так как согласно (8) определитель пре-
преобразования не равен нулю, то оно обратимо и однозначно опре-
определяет аффинные координаты хг.
Мы должны еще доказать, что базисными точками системы
хг являются три заданные точки. Так как базисная точка имеет
в ж-системе координаты е^, то по (9) ее ортогональными декар-
декартовыми координатами являются
Следовательно, Elf E%, Е9 являются базисными точками аффинной
системы хг, что и доказывает нашу теорему.
Отметим, что система координат хг является декартовой систе-
системой, если базисные точки находятся от начала координат на рас-
расстоянии, равном единице, т. е. если
Эти координаты являются ортогональными, если координатные
плоскости перпендикулярны друг другу, в противпом случае они
являются косоугольными. Отсюда мы видим, что все декартовы
координатные системы с началом координат в точке О образуют
подмножество множества всех аффинных координатных систем
с тем же самым началом. Действительно, всякая аффинная систе-
система является декартовой системой, модифицированной путем введе-
введения различных масштабов измерения вдоль каждой оси.

б2 АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ [гл. III
Упражнения
1. Показать, что если система уравнений arsxs = 0 имеет два
различных ненулевых решения, то все алгебраические дополнения
определителя \ ar& \ равны нулю.
Пусть в координатной системе хг величины ajj выбраны в ка-
качестве составляющих тензора. Тогда arsxs = 0 есть тензорное урав-
уравнение, которое справедливо во всех системах коррдипат, если
только оно справедливо в какой-то одной из них.
Пусть х\ и х\—два различных решения; тогда возьмем новую
координатную систему хг, в которой эти две точки являются базис-
базисными точками. Тогда имеем
Определитель | а? | в новой системе имеет вид
0 0 0
0 0 0
~а\ в| Ц
и мы видим, что все алгебраические дополнения в новой системе
координат являются нулями.
Но алгебраические дополнения образуют тензор и, следова-
следовательно, они должны равняться нулю в любой другой системе
координат. Таким образом, все алгебраические дополнения \агв\
равны нулю.
2. Показать, что если система уравнений а?*8 = Ьг имеет два
различпых решения, то | oj | должен быть равен пулю, и что
если имеются три независимых решения, то все алгебраические
дополпепия | ars | должны быть равпы пулю.
(Три решения называются независимыми, если ни одно из них
не является линейной комбипрцией двух других.)
3. Доказать, что если обозначить через ОР вектор смеще-
смещения ОР, то
?
где хг— координаты точки Р, а Ет — базиспые точки координат-
координатной системы.
4. Показать, что если Е(г) являются базисными точками
аффинной системы хг, то

4] РАССТОЯНИЕ МЕЙ{ДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ 63
(Заметим, что xr0Eir) = 0P==xr0E{r) — y^xr0Eis) и эти соот-
соотношения справедливы для всех значений хг. Таким образом, мы
видим, что ковариантный вектор преобразуется по тем же фор-
формулам, что и расстояния базисных точек от начала координат
(ковариантпо), а коитравариантный вектор преобразуется по фор-
формулам обратного преобразования (контравариаптно).)
5. Показать, что мы можем всегда выбрать ортогональную
декартову систему координат так, чтобы любой данный контра-
варцаптный вектор имел в этой системе две пулевые составляющие.
§ 4. Расстояние между двумя точками
и метрический тензор, е-объекты
Пусть Р и Q — две точки, аффинные координаты кото-
которых равны х\ и хг2. Если у\ и у\ — их координаты относи-
относительно основной декартовой ортогональной системы,
то общеизвестно, что расстояние б между Р и Q опре-
определяется формулой
б2 = (PQJ = (у\ - у\J + (у\ - у\J + (у\ - ylJ.
Но из B) стр. 57
4г >Г
Следовательно, имеем
где введено обозначение
gmn= «X1 + с4ЧЧ с« = а>> *)• (И)
Замечаем, что gmn есть симметричный объект, т. е.
ff = в
отп опт-
В частности, расстояние от точки О до Р, координаты
которой равны хг, определяется формулой
A2)
Здесь б —скаляр, следовательно, gmnxmxn также скаляр.
Так как gmn симметричен и хг является произвольным
*) Отметим, пто здесь условие о суммировании распростра-
распространяется на два верхних индекса. (Прим. ред.)

АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
[гл. Ш
контравариавтным вектором, то на основании обратного
тензорного признака мы заключаем, что gmn есть кова-
риантный тензор. Мы будем называть его фундаменталь-
фундаментальным или метрическим тензором. Заметим, между прочим,
что квадратичная форма A2) положительно определена
и равняется нулю только в том случае, если а/ = 0.
Обозначим через g определитель | gmn | и через Gmn
алгебраическое дополнение gmn в g. Тогда (см. стр. 49)
Я! a— p™t тпр„ „ 2\ Стп — Prmnfispqff P
°'6~е е 6rmgsn5(p> *•¦ u — е е Smpbnq-
Так как erBt есть псевдотензор веса 1 (стр. 49), то g есть
псевдоскаляр веса 2, a Grs — псевдотензор веса 2. Кроме
того, из A1) имеем
„ _ I n'ra'r I _ I а'г 12.
поэтому g положителен и отличен от нуля. Следовательно,
если разделить G" на g и обозначить частное через grB,
мы получим важный результат, который состоит в сле-
следующем: объект grs, составляющие которого являются
алгебраическим дополнением grs, деленным на g, есть
истинный контравариантный тензор. Кроме того, если
мы положим
]
A3)
то непосредственно очевидно, что эти объекты являются
истинными тензорами, которые мы будем называть
е-объектами или е-тензорами.
Если нам дан контравариантный вектор Лг, то мы
можем связать с ним скаляр при помощи равенства
A4)
Назовем А модулем или длиной вектора Аг. Подобным
же образом мы определим модуль или длину ковариант-
ного вектора ВТ при помощи равенства
A5)

<! 5] УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ НАПРАВЛЕНИЯМИ 65
Единичный вектор есть вектор, длина которого равна
единице, и, следовательно, если V и |АГ — единичные
векторы, то мы имеем
gmnxmxn=i, *miKiin=i. A6)
Единичный вектор иногда называют ортом.
Упражнения
1. Доказать, что
gsmg — g grna —
2. Доказать, что расстояния базисных точек от начала
координат определяются формулами:
3. Показать, что равенства gn = g22=?ss=l являютсЛ необ-
необходимыми и достаточными условиями того, чтобы система коор-
координат была декартовой,
4. Показать, что единичный вектор А.1" определяет точку Л,
лежащую от начала координат на расстоянии, равном единице,
и соответственно, что каждый орт определяет единственное направ-
направление.
5. Показать, что для ортогональной декартовой системы
координат
fl, О, О
> — *> &rst~er$t> e =es , gmn
1
[1, О, О
i= 0, 1, О
к о,
§ 5. Угол между двумя направлениями.
Ортогональность
Пусть А и В (рис. 5) —две различные точки, находя-
находящиеся от начала координат на расстоянии, равном еди-
единице, и пусть Яг и цг —два орта, задающих направления
О А, ОВ; иначе, A/, \ir являются координатами точек А
и В. Мы хотим найти выражения для угла 9 между О А
и ОВ. Из треугольников ОАВ имеем
АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 20А • ОВ cos 9 = 2 A - cos 9). A)
Далее,
n - 2gmn%m\ln = 2A

АФФИННЫЬ КООРДИНАТЫ
1гд. ill
так как лг о цг —единичные векторы. Иэ A7) следует,
что
A8)
Если Аг есть контравариантныи вектор, определяющий
точку Р, то единичный вектор Аг/А, где А есть длина
вектора Аг, определяет точку на ОР,
находящуюся от начала координат
на расстоянии, равном единице. Следо-
Следовательно, Аг/А есть орт, задающий
направление линии, соединяющей точ-
точку О с точкой Аг. Отсюда следует,
рис 5 что если Аг и Вг — два контравари-
антных вектора, модули которых рав-
ны А и В, то угол 9 между направлениями Ат и В"
определяется формулой
в
сое 9
coso-
A9)
Теперь мы можем написать условие ортогональности
двух направлений. Если направления V, \ir взаимно
перпендикулярны, то Э = -^-,
B0)
Аналогично, линии, соединяющие О с точками А' и В',
ортогональны, если
Упражнения
1. Доказать, что косинусы углов между координатными осяма
определяются формулами
cos 8S;
cos 63, =
cos el
У ггаЯзз У gaagu V gugw
2. Показать, что есля через а1( с^, а3 обозначим }глы, которые
орт Яг образует с координатными осями, то cos oti =;
и т. д.,
[Vgucoaaj^t

t ej ассоциированный ткшюры в7
3. Показать, что в ортогональных декартовых координатах
косинусы углов, которые орт V образует с координатными осями,
равны Я,1, А,2, Я,3. Их часто называют направляющими косинусами.
4. Доказать, что в косоугольных декартовых системах коор-
координат gmn определяется следующим образом:
1, cos612, cos613
cos6ai, 1, cos 6M
cos 63i, cos e32, 1
5. Показать, что если A/, fir—два единичных вектора, то
угол 6 между их направлевиями определяется равенством
sin* 6 = (gnngT, - gmrgnt) кт\п\?\р.
6. Показать, что если уи у2, у3—направляющие косинусы
вектора V, то в косоугольных декартовых координатах они удо-
удовлетворяют соотношению gmnYmYn=l-
§ 6. Ассоциированные тензоры
Теперь мы введем важные операции поднятия и
опускания индексов в тензоре, приводящие нас к новым
тензорам.
Пусть АТ есть данный контравариантный вектор. Если
мы умножим его на тензор gmn и свернем, мы получим
ковариантный вектор grmAm, который мы будем обозна-
обозначать Аг. Таким образом,
Ar = grmAm, B1)
и мы видим, что верхний индекс изменился на нижний.
Это и есть операция опускания индекса. Теперь возьмем
ковариантный вектор Аг и поднимем индекс путем умно-
умножения этого вектора на тензор gmn и свертывания. Имеем
Следовательно, если мы сначала опустим индекс, а затем
поднимем его снова, пользуясь только что введенным
правилом, то мы придем к первоначальному вектору.
Таким образом, процессы поднятия и опускания индексов
полностью обратимы. Два вектора Аг и Аг, связанные
указанным образом, называются ассоциированными векто-
векторами и для их обозначения обычно используется одна
5»

E8 АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ 1гл. Ш
и та же буква А. Они настолько тесно связаны между
собой, что мы иногда говорим, что они представляю*
один и тот же вектор, причем АТ выражает контра-
вариантные, а Аг — ковариантные составляющие этого
вектора.
Рассмотрим теперь ковариантный тензор АГ9. У него
имеются два индекса, которые можно поднять. Если мы
хотим поднять первый индекс, нужно умножить его на gmn
и затем свернуть относительно первого индекса. Запишем
эту операцию:
Ar.' = grmA1M B3)
Для того чтобы можно было узнать, какой индекс был
поднят, условимся ставить на его месте точку. Тогда
ясно, что s есть второй индекс и что первый был поднят.
Операция поднимания второго индекса запишется ана-
аналогично:
А.8=гГЧпп B4)
Наконец, мы можем поднять оба индекса по формуле
A" = g™g°nAmn B5)
Если Ага симметричен, то легко видеть, что А% и Ar-t
имеют одинаковые значения и могут быть записаны просто
в виде .4s» Заменять смещенный индекс точкой нет не-
необходимости.
Предоставляем читателю сформулировать правила
опускания индексов в тензоре второго порядка и показать,
что если опустить оба индекса в B3) —B5), то мы вернем-
вернемся к первоначальному тензору.
Эти операции, очевидно, можно обобщить на тензоры любого
порядка. Мы проиллюстрируем это на следующем примере. Пусть
Arsl есть контравариантный тензор. После опускания второго
индекса имеем
1 B6)
Точки ставятся так, чтобы показать, что индекс был опущен
по вертикали.
Все тензоры, полученные один из другого таким
способом, называются ассоциированными.

S 6] АССОЦИИРОВАННЫЕ ТЕНЗОРЫ 69
В этой связи интересны два результата.
1. В Любом одночлене, где появляется немой индекс,
мы можем поднять этот индекс из его нижнего положения
и в то же время опустить его из верхнего положения
без изменения значения одночлена. Например, имеем
АГ*В — srmA s Вп—ЬтА Вп=А Вт = А Вг
' в Г О ТПбоТП П Шб ТЛЯ ™8
Мы видим, что немой-индекс г поднимался и опускался
указанным способом. ' "
2. Если в каждом члене тензорного уравнения имеется
свободный индекс, мы получим эквивалентное уравнение,
подняв или опустив этот свободный индекс в каждом
члене. Например, система уравнений
Arsl = BTSC,
эквивалентна системе
или системе
иэ которой мы видим, что индекс г был везде поднят.
"Упражнения
1. Показать, что длина какого-нибудь вектора и его ассоци-
ассоциированного равны между собой.
2. Если А есть длина Лг, то А2 = АГАГ.
3. Показать, что если два вектора Аг и Вг имеют длины А
и В, то ArBr = AB cos 8, где 6 есть угол между направлениями Аг
и Вг.
4. Показать, что в ортогональных декартовых координатах
ассоциированпые векторы имеют одни и те же составляющие.
(В обыкновенном векторном исчислении все рассматривается
в ортогональной координатной системе и поэтому в нем не раз-
различаются ковариантяые и контравариантные векторы.)
о. Показать, что gmn, gmn и 6^ являются ассоциированными
тензорами.
6. Покааатъ, что erai и e?3t являются ассоциированными тен-
тензорами.
(Имеем gerat = emnPg'rmgangtp, т. е. ers(

70
АФФИННЫЙ КООРДИНАТЫ
1гл. (II
§ 7. Скалярное а векторное произведения векторов
Пусть О А и ОВ (рис. 6) —два смещения, задаваемых
векторами Аг, Вг, длина которых равна А и В. Если б
есть угол между этими направлениями, то
B7)
Инвариант gmnAmBn называется скалярным произведением
Аг и Вг; как мы уже знаем, оно может быть записано
в следующих эквивалентных формах:
где Аг и Вг — ассоциированные векторы.
О
В
Рис. 7.
Если Кг является единичным вектором направления Вг,
то мы имеем
gmnAmkn = Amkm = AcosQ. B8)
Но Л cos 9 есть проекция О А па линию ОБ. Следова-
Следовательно, проекция Аг на направление kr выражается
в виде Ат%т. Далее, рассмотрим вектор
Сг = в™пАтВп. B9)
Для того чтобы дать геометрическую интерпретацию этого
вектора, выберем специальную . систему координат следующим
образом. Направим ось ж1 вдоль ОА (рис. 7), ось хг—в плоскости
векторов ОА и ОВ перпендикулярно к ОА, ось х3—перпенди-
х3—перпендикулярно ОА и ОВ, так что наша специальная система является
ортоеоцалъной и декартовой. В этой специальной системе

7] СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИИ ВЕКТОРОВ 71
координат мы имеем
Ar s (А, 0, 0), Вг = (В cos 6, В sin 6, 0);
ассоциироваппые векторы имеют те же составляющие. Точно так же
ermn_ermn Следовательно, составляющими вектора Сг в новой
системе будут
Сг=1гтпАтВп — е™А~Вп = ег^А В sin G,
С1=Сг=0, C3 — ABsinQ.
Другими словами, вектор С расположен вдоль Ох3, перпенди-
перпендикулярно к плоскости ОА и ОВ, а его длина равна АВ sin Q.
Этот результат является чисто геометрическим и, следовательно,
не зависит от особеппостей координатной системы. Мы можем
поэтому возвратиться к первоначальной координатной системе
и сказать, что С направлен вдоль перпендикуляра к плоскости ОА
и ОВ, а его длина есть АН sin 6.
Мы доказали, что С расположен вдоль перпендикуляра
к плоскости ОАВ, но необходимо еще решить, каково его напра-
направление. Умножая B9) на СГ и суммируя по г от 1 до 3, мы полу-
получаем С* = вгтпСгАт13п = втпрАВпСР *), т. е. С направлен так,
чтобы скаляр гтпрАтВпСР был больше нуля.
Итак, мы пришли к исследованию знака выражения
"* &тпрАтВпСР, C0)
где Ar,Br,Cr—какие-либо векторы. Это—скаляр, и если мы вос-
воспользуемся той же гпециальной декартовой системой, что и раньше,
мы увидим что он равен С3АВ sin 6. Он будет, следовательно,
обращаться в нуль только при С3 = 0, ' т. е. если С лежит
в плоскости ОАВ'. Следовательно, C0) обращается в нуль только
в том случае, если вектор Сг становится компланарным с двумя
другими. Кг.ли непрерывно деформировать триэдр (.4Г, ВГ,'СТ)
таким образом, чтобы он никогда не обратился в плоскость, то
мы увидим, что скаляр C0) изменяется непрерывно и должен
сохранять знак до тех пор, пока не обратится в нуль. Пусть
деформация продолжается непрерывно до тех пор, пока Аг но сов-
совпадет с положительным направлением оси Ох1, Вг—С положи-
положительным направлением оси Ох2 и С—с Осью Ох3. Мы будем
говорить, что первоначальный триэдр имеет положительную или
отрицательную ориентацию в соответствии с тем, как направлен С
после деформации: в положительную или отрицательную сторону
оси Ох3. Таким образом, для деформированного триэдра скаляр C0)
превращается в -\-ABcY ё в первом случае и в —ABC Ye—
во втором. Отсюда мы видим, что триэдр (Аг, ВТ, С) имеет
положительную или отрицательную ориентацию « соответствии
с тем, положителен или отрицателен скаляр C0).
*) Ядесь С2 означает квадрат величины С. (Прим. ред.)

72 АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ [гл. III
Вектор Ст, определенный равенством B9), имеет, следо-
следовательно, такое направление, чтобы ориентация триэдра
(Аг, Вт, Сг) была положительной. Вектор B9) называется
векторным произведением Аг и Вг. Если обозначить
через vr орт, перпендикулярный к Аг и Вг и соответ-
соответствующим образом направленный, то мы можем написать
C1)
Упражнения
1. Доказать что если а, Р, и у — углы между парами напра-
направлений ОА, ОВ, ОС, то
1 cos у cos Р
cos у 1 cos a
cos p cos а 1
где ц> — угол, который ОС образует с плоскостью ОАВ
Пусть Аг, В1, С—три вектора, направленных по ОА, ОВ,
ОС, и пусть Л, В, С—их длины. Если vr—единичный вектор,
ортогональный к Аг, Вг, то угол между €'' и vr равен -ц—ф, т. и.
Следовательно, из C1) мы видим, что
ABC sin -у sin ф = e,rmnCrAmBn == emnpAmB"Ci>*
1 Последнее выражение есть скаляр, и если мы возьмем такую
декартову систему координат, что О А, ОВ, ОС являются ее осями
мы получим
Более того, в этой системе координат а, Р, Y являются углами
между осями, вследствие чего gmn выражается так:
A cos у cos Р|
cos у 1 cosaj .
cos p cos a 1 )
.Комбинируя дна предыдущих уравнения, мы получим требуемый
результат.
2. Доказать, что A^VgTu A2/V1^, A3lV~g^3 являются орто-
ортогональными проекциями вектора Ап на координатные оси. Сле-
Следовательно, если система координат декартова, то эти проекции
равны Ait ^2> ^з-

§ 8] ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 73
3. Показать, что единичный вектор, перпендикулярный
к плоскости ОЕгЕ3, имеет в качестве коварпантпых составля-
составляющих
Y 8
(Ковариаптные составляющие определяются формулами
Brmn*B)gC) )
OErOE3s\ndM ' I
4. Доказать, что если V, и/, \г—три взаимно ортогональных
единичных вектора, то e,.8(Xrjiev'= ± 1.
5. Если Аг, Вг—два вектора и 0—угол между ними, то
isin2e=6™^rBMmBn.
(Мы можем выбрать специальную дскартову систему коор-
координат или использовать C1) )
6. Показать, что если мы положим Crs = ArBs—AsBr, то
объект Сп антисимметричен и выражение -^ егтпСтп определяет
ковариантные составляющие векторного произведения Аг и В''.
§ 8. Площади и объемы
Пусть Pi и Р2—две данные точки (рис. 8); мы хотим найти
выражение для площади треугольника OPiP^. Пусть х[1( и х[г-,—
координаты точек Рх и Рг. Мы знаем, что
длина вектора Brrnnx^)x^i) равна ОР^-ОР^ X „
х sin (PjOPj). Но это—удвоенная площадь ^з
треугольника ОР^. Обозначая эту площадь
через Д, имеем
что дает выражение для площади Д. Кроме
того, если vr—единичный вектор, ортогональ-
ортогональный к плоскости треугольника и направлен-
направленный так, что ориентация триэдра (ОРг,
ОР2, vr) положительна, то равенство C1)
стр. 72 дает
C3) рис. 8.
Пусть Ps — третья точка, координаты которой обозначим
через х(ю. Как и в задаче 1 (стр. 72), скаляр emnpx^,xftfxft) имеет
значение
Pt) sin ф, C4)

АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
(гл. ill
где ф—угол, образованный ОР3 с плоскостью ОРхРг. Здесь
OPfOPt sin (РгОРг)—удвоенная площадь треугольника ОРХР,,
a 0P8sm<p—длина перпендикуляра, опущенного из точки Ра
па плоскость ОРхР^. Значит, правая часть C4) есть шестикрат-
шестикратный объем тетраэдра OPiP2P3. Обозначая этот объем через V.
имеем
W=smnpx%)x?2)xf3). C5)
Так как етПТ)= Уg emnv, это равепство может быть написало
в виде
ьB)
C6)
Упражнения
t. Доказать, что цлощадь треугольника OEtE3 равна
2. Доказать, что объем тетраэдра ОЕхЕгЕ3 равен -^-
3. Показать, что если а, Ь, с — ребра ОА, ОВ, ОС тетраэдра,
а а, р, у—углы между этими ребрами, то
6V=abc
1 cos у cos р
cos у { cos a
cos p cos а 1
(Вычислить скаляр C3) в декартовой системе координат,
имеющей ОА, ОВ, ОС своими осями.)
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
1. Доказать, что если координатная система ортогональна, то
11==J_ 2S==J_ 3S==JL
gll g22 St3
2. Если gmnAmAn=O, то Лг=0.
3. Показать, что если 8гз—угол между ОХ2 и ОХ2, то
Poll
4. Доказать, что если Хг—единичный вектор, то косинусы
углов, которые он образует с осями, равны
Aj Л2 A3

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IJI
75
5. Показать, что
1 — cos2823—cos263, — coss9ls + 2cos 6U cos 6a8 cos 63I =
6. Если Ars—антисимметричный коптравариантпый тензор,
то YsAis< Ye A31, YgAli являются компонентами ковариант-
ного вектора.
( Этот вектор есть -^вгтПАтп. J
7. Если Ars—аптисимметричный ковариантный тензор,
то Ai3IYs< AnlYg, An/Yg являются компонентами контра-
вариантного вектора.
(Эти два результата доказывают, что мы всегда можр'' ,. iipa-
тить антисимметричный тензор второго порядка в вектор.)
8. Доказать, что если Ага—аптисимметричный тензор,
а С = вгтпА то 2Л =в (С
9. Доказать, что площадь треугольника OPtP2 определяется
равенством
где
и zf2) — коордипаты точек Рх и Ps, a
A) г(8)
X
10. Показать, что если система коордипат является орто-
ортогональной и декартовой, то А23, А31, Л12 в задаче 9 являются
удвоенными площадями проекций треугольника на координатные
плоскости. Вывести из задачи 9, что
V.
11. Доказать, что если
C>
B)
где ж^ — коордипаты трех точек Ри Р2, Р3. то
Y~
)
2) у4'8' = ,
причем F—объем ОР,Р8Р3.
12. Пусть будет
1
1
1
Показать, что илощадь треугольника P1/>SPS определяется фор-
формулой
8 д»

76
АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
(гл. III
13. Если
Brst~
лA)
1
1
l(8)
1
где я^,, ж('г)> xf3), *(Г4)—координаты четырех точек
и если F — объем тетраэдра Ри Р2, Р3, Pt, то
Рг, Р3, Pt,
[Доказать, что Brst — абсолютно антисимметричен и что
14. Показать, что если нам даны If точек х(а) (а= 1, 2, 3,..., Щ
с весами Я,а^, то центр тяжести системы (или средневзвешен-
средневзвешенная точка относительно весов Аа) имеет координаты
N
l
— л-
а=1
(Это — векторное уравнение, справедливость которого легко
доказывается в ортогональных декартовых координатах.)
15. Показать, что четыре точки
лежат на прямой, соединяющей х\ и
моническое) отношение есть
и что их двойное (ангар-
(ангар! —Х4 *)
j — Х4
16. Если жГ{.,
г'Л^ — координаты шести точек Р{, Pi и если
V, V — объемы тетраэдров ОРгР2Р3 и ОР{Р'2Р3 соответственно, то
cos (И) cos A2) cos A3)
cosB1) cosB2) cos B3)
cos C1) cos C2) cos C3)
*) О двойном отношепии см., например, Лопшиц А. М.,
Аналитическая геометрия, 1948, стр. 208 или М у с х е-
лишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, 1947,етр. 332,
а также Дарбу Г., Принципы аналитической геометрии, 1938.
{Прим. ред.)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш
где (У) —угол между OPi и OP'yt
[6v=V~g\*h)\. 6v
Значит,
MVV =\ gmnxft}xfi\.)
17. Даны три вектора Яо) с общим началом О. Доказать, что
если Х^— алгебраическое дополнение элемента X(i) в определи-
определителе | Х(г) |, деленное на определитель, то каждый из векторов
grskg ортогонален к двум из трех векторов X(i).
(Этот результат следует из того, что X(i) X$.^ = 6^. Например,
вектор, ассоциированный с XS-3\ перпендикулярен как к Х(ги, так
и к Х[г).)
18. Показать, что если система координат декартова и Oj,
«г. а3—направляющие косинусы орта Кг, то
2 sina6M ¦ а?—2 2 (cos Эгз — cos Э12 cos Э13) a2a3 =
= 1 — ^ cos2023-f 2 cos Эи cos Э31 cos Qn.
(Здесь ar = Xr и искомое равенство есть просто
выписанное полностью.)

ГЛАВА IV
ЦЛОСКОСТЬ
§ 1. Уравнение плоскости
Пусть Р1, Р2, Р3 — три точки, координаты которых
обозначим через хга), х[г), х\3). Если %, fx, v —веса точек
Plt Pit P3, a P — их центр тяжести, то из элементарных
соображений мы знаем,%что Р лежит в плоскости трех
данных точек и что можпо получить каждую точку на
плоскости Pj, P2, Р3, изменяя %, ц, v. Уравнение
~г_..
A)
где жг — координаты точки Р, является векторным урав-
уравнением, которое справедливо в любой ортогональной
декартовой системе координат. Поэтому оно справедливо
во всякой аффинной системе и определяет координаты
любой точки на плоскости РхРгРъ. Следовательно, мы
можем рассматривать A) как одну из форм, в которой
может быть записано уравнение плоскости.
Соотношению A) может быть придан вид
% {хг - xru) + ll(x'- xrw) + v(xr- *rtn) = 0.
Исключая К, \i, v, мы имеем
Раскрыв это выражение, мы получим линейное урав-
уравнение относительно х''. Обратно, если хг удовлетворяют
некоторрму линейному уравнению, мы можем точно та-
такими же рассуждениями, только в обратном порядке,

11] УРАВНЕНИИ ШШСКОСТи 7Й
возвратиться к уравнениям A). Следовательно, всякое
линейное уравнение относительно хТ есть уравнение пло-
плоскости. Каждое линейное уравнение можно записать
в виде
Ь, B)
где аг — ковариантный вектор, а Ь — скаляр, и, следова-
следовательно, уравнение плоскости может быть записано в форме
B). Заметим, что если Ь = 0, ________________
плоскость проходит через на-
начало координат, если же
Ъ фО, начало координат не
лежит в плоскости.
Мы имеем теперь две фор-
формы, в которых может быть
записано уравнение пло-
плоскости, а именно A) и B). ~
Имеется еще третья форма, *'ис' у'
которая на самом деле яв-
является лишь видоизменением A). Пусть (рис. 9) Ро — точ-
точка на плоскости с координатами х\, и пусть Аг, Вг — два
вектора, имеющих начало в Ро и лежащих в плоскости.
Тогда точки
очевидно, лежат на плоскости. Если взять х'в и эти две
точки в качестве точек Pv P2, Pa в A), то координаты
любой точки плоскости могут быть выражены в форме
C)
при надлежащем выборе ц и v. Эта форма выражает
координаты любой точки плоскости через координаты
данной точки на плоскости и два направления на ней.
В частности, координаты любой точки плоскости, про-
проходящей через начало координат, могут быть выражены
в виде
xr=\iAr-\-vtir. D)

80 ПЛОСКОСТЬ 1гл. IV
Другими словами, все векторы, проходящие через начало
координат и компланарные с двумя векторами Аг и 27%
имеют вид D).
Упражнения
1. Отрезки, отсекаемые плоскостью B) па осях координат,
имеют длину
VgTi-ь У&ш-ь V&s-b
а, Ч а„
2. Если Аг, Вг—единичные взаимно ортогональные векторы,
лежащие в плоскости и имеющие начало в точке Ро, то коорди-
координаты любой точки плоскости определяются равенствами
xr=xl-\-r cos 6Лг-|-г sin 6Br,
где г=РРй, а 6—угол между РР0 и Аг.
3. Показать, что в ^1)
4. Пусть хта) и х\г) — две точки, не лежащие в плоскости B).
Найти отношение X : [г так, чтобы точка (^1У)-{-цх^2))/(Х-\-р)
лежала в плоскости. Вывести, что плоскость делит пространство
па две части таким образом, что a,xr— b положительно для точек,
расположенных по одну сторону плоскости, и отрицательно для
точек, расположенных по другую сторону от нее.
§ 2. Расстояние от точки до плоскости
Пусть плоскость задана уравнением
агхг= Ь.
Если xrm и zjj, — две любые точки плоскость, го х[и
и xrm должны удовлетворять этому уравнению. Вычитая,
имеем
M*Ti>-*fi>) = 0- E)
Здесь xrm — а^!, — любой вектор, лежащий в плоскости.
Следовательно, равенство E) указывает нам, что вектор
перпендикулярен к любому вектору, лежащему в пло-
плоскости;* поэтому о*н должен быть ортогонален и к самой

I 2] РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 81
плоскости. Если обозначить длину яг чорез а, то
и мы видим, что единичный вектор, перпендикулярный
к плоскости, есть аТ/а.
Пусть a;J — точка, не лежащая в плоскости. Мы хотим
найти расстояние б от точки хг0 до плоскости. Если хт —
произвольная точка плоскости, то, очевидно, расстояние б
есть проекция вектора (хг — хт0) на перпендикуляр к пло-
плоскости. Следовательно,
б- - .
Но хт лежит на плоскости, т. et
а.ж3 = Ь,
Поэтому
a Vgmnaman ' .
В частности, длина перпендикуляра, опущенного из
начала координат на плоскость, равна
60= * (8)
Мы видели, что выражение b—agzjj имеет различные знаки
в зависимости от того, по какую сторону от плоскости лежит
точка xq Поэтому расстояние б окажется положительным для
точек, лежащих по одну сторону от плоскости, и отрицательным
для точек, лежащих по другую сторону от нее.
Мы можем привести уравнение плоскости к одной
специальной форме, которая называется нормальной фор-
формой уравнения. Разделим уравнение B) на а, длину
вектора аг. Уравнение плоскости теперь имеет вид
К^^р, (9)
где %г — единичный вектор. Поэтому расстояние от точки
хт9 до плоскости будет
A0)
где р — расстояние плоскости от начала координат.
В этом случае единичный вектор, нормальный к пло-
плоскости, есть Хг = grsk,.

82 ПЛОСКОСТЬ (гл IV
Упражнения
1. Доказать, что угол 9 Meotcdy плоскостями
определяется формулой
cos 0 =
> .
аа'
Единичные векторы, нормальные к плоскостям, будут
аТ я
7 и !Р
где а, а' —длины векторов ат и а'т, а угол 8 между 'плоскостями
равен углу между нормальными векторами. Следовательно,
cos 8
~ тПаа' ) '
Но ar=tgrmujn и a'r=grma!m; поэтому gmnaTna'n = g^ro-'» и выраже-
выражение для соз 6 принимает вид
2. Доказать, что расстояния от базисных точек Elt Ег,
до плоскости равны соответственно
Ь—аг b—а2 b—я9
3. Доказать, что вектор, перпендикулярный к плоскости,
образует с осями координат углы, косинусы которых равны
aVgn' a
4. Доказать, что две плоскости arxr=b и а'тхт = Ь' ортого-
ортогональны, если gmnaman = 0, и параллельны, если a'r=^kar.
5. Показать, что если Р—произвольная точка на перпенди-
кулире, опущенном из Ро на плоскость, то ее координаты хт
будут
где Q —расстояние РР0. Вывести отсюда выражение для расстоя-
расстояния от Ро до плоскости.
*) Дальше можно просто воспользоваться правилом поднима-
поднимания и опускания пемых индексов. (Прим. ред.)

I S] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ 83
§ 3. Пересечение двух плоскостей
Пусть
— уравнения двух заданных плоскостей. Мы будем пользоваться
обозначениями
ат о;
а» а'
A2)
причем очевидно, что Ars—антисимметричный тензор.
Возможны два случая: либо плоскости параллельны, либо
они не параллельны; случай совпадения является частным слу-
случаем параллельных плоскостей.
а) Плоскости параллельны. В этом случае должно быть
где к—скаляр. Другими словами,
Л,=0. A3)
Если, кроме того, плоскости совпадают, то k=sb'Jb и должно
удовлетворяться соотношение
_аг
Это последнее равенство может быть переписано в другой форме, а
именно: два уравнения
яг=8гЬ, <4=Qrb'
должны удовлетворяться одновременно.
б) Плоскости не параллельны. В этом случае не все состав-
составляющие тензора Атг равны нулю. Это мы можем записать кратко
так:
Ars ф 0. A5)
Это вовсе не означает требования, чтобы все Ага были отличны
от нуля. Просто Агв не является нулевым тензором. Тогда пло-
плоскости пересекаются по определенной прямой. Эта прямая лежит,
очевидно, в обеих плоскостях и перпендикулярна как к а1, так
и к а'г. Следовательно, ее направление совпадает с направлением
вектора zrmnamaii. Если zj—произвольней точка линии пересе-
пересечения, то любаи другая точка этой линии определиетси соотно-
соотношением
прв всевозможиых значениях (.

$4 ПЛОСКОСТЬ (гл. IV
Мы можем, следовательно, классифицировать полученные
результаты следующим образом:'
(A) А„ ф 0;
тогда существует линия пересечения
(B) А„=0.
1) -ту- ф —jT плоскости параллельны и линия их пересечения
расположена в бесконечности.
2) -гг=—г-, плоскости совпадают.
о о
Рассмотрим теперь уравнение
A6)
А (аг*г-Ь)+ц (а'тхт—Ъ')=0.
Если плоскости A1) параллельны или совпадают, то при различ-
различных значениях отношения Xf\i A6) является уравнением парал-
параллельной или совпадающей плоскости.
Если плоскости A1) не параллельпы, то A6) определяет
плоскость, проходящую через линию их пересечения Значит,
если изменять отношение \/\i, мы получим все плоскости, про-
проходящие через линию пересечения плоскостей A1).
Мы сейчас истолкуем отношение X/\i Пусть плоскость A6)
образует углы а, а' с плоскостями (И). Тогда если б, б' — рас-
расстояния до плоскостей (И) от точки на плоскости A6), то не-
нетрудно видеть, что
б' sin а'
б sin а
Но
Поэтому из A6)
к
II
Адб+ца
«л -
'б' =
а'
и
=0
sin а'
sin п
( 1 • (

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ
Упражнения
8S
1. Доказать, что
еГтпАтп=
2. Показать, что единичный вектор, параллельный линии
пересечения плоскостей A1), есть
аа' sin 8 '
где 0—угол между плоскостями.
3. Показать, что угол 6 между плоскостями определяется
соотношением
4. Показать, что точка, в которой линия пересечения пло-
плоскостей пересекает координатную плоскость г3=0, имеет коор-
координаты
Ч
, (Л
5. Сравнивая выражения длины двух равных векторов
доказать, что
ц.а' sin 6 = sin а (А
' cos
§ 4. Пересечение трех плоскостей
Пусть заданы уравнения трех плоскостей
или, короче,
мы будем пользоваться следующими обозначениями:
Л,
аш
аC)
аШ
г
аC)
8
в
А™ —
Г
„<i>
/г (8)
8
.C) ,
г. —
„(8)
О<1>
"в
A8)
A9)
B0)

86 ПЛОСКОСТЬ (гл. IV
Все эти объекты являются антисимметричными тензорами. Мы
будем рассматривать следующие случаи взаимного расположения
трех плоскостей.
1. Все три плоскости параллельны между собой; совпадение
плоскостей будем рассматривать как частный случай параллель-
параллельности. Из предыдущего параграфа следует, что в этом случае
должно быть
откуда, разумеется, вытекает, что Arst обращается в нуль. Мы
разделим этот случай на три подслучая.
а) Все три плоскости совпадают. Условием [этого являются
равенства
а*1» а<» а"»
ЬП)=^—ЬШ=&т- B1)
б) Только две плоскости совпадают Пусть это будут послед-
последние две плоскости. Мы должны иметь в этом случае
а<а>=егь(г\ а<«=егь(8\ я<» =? егь<».
Линией пересечения является бесконечно удаленная прямая (не-
(несобственная прямая).
в) Нет совпадающих плоскостей. Тогда нет таких двух урав-
пений из B1), которые удовлетворялись бы одновременно. Пере-
Пересечением является бесконечно удаленная прямая.
2. Только две плоскости параллельны. Пусть это будут послед-
последние две плоскости. Тогда мы должны иметь (стр. 83)
• A) „ Л» , п .C) , п
An = 0, Ап Ф 0, Ara ф 0.
Вследствие обращения в нуль Аг)? должно быть /4r8f=0.
а) Две плоскости совпадают. Вследствие этого мы должны
иметь
Как легко проверить, при этих условиях имеем также
Пересечением является собственная (не бесконечно удаленная)
прямая, а именно, линия пересечения первой плоскости с двумя
совпавшими плоскостями.
б) Две параллельные плоскости не совпадают, т. е
а<8>

$ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ 87
Следовательно.
6<*>4*> Ф 0.
Пересечением является теперь общая точка двух параллельных
прямых, т. е. бесконечно удаленная точка.
3. Нет параллельных плоскостей. Мы должны иметь
Лг» ф 0, Лгв =#0, Лга ф 0.
Линия пересечения двух плоскостей может быть либо парал-
параллельной, либо не параллольной третьей плоскости. Плоскость
проходит через линию пересечения двух последних плоскостей.
Значит, мы либо сможем, либо не сможем найти всличипы Я, Ц
так, что
в зависимости от того, параллельна линия пересечения послед-
последних двух плоскостей первой плоскости или не параллельна.
а) Если линия пересечения двух плоскостей не параллельна
оставшейся плоскости, должно быть
Arat Ф О
и плоскости пересекаются в единственной точке на конечном
расстоянии.
б) Если линия пересечения двух плоскостей параллельна третьей
плоскости, мы должны иметь
Теперь имеютси две возможности: либо эта линия пересечения
лежит в оставшейся плоскости, либо она не лежит в ней. Первое
имеет место, если
а это влечет за собой
Следовательно, когда это соотношение справедливо, линией пере-
пересечения является собственная прямая. Во втором случае
4! Ф О,
а пересечение происходит в бесконечно удаленной (несобствен-
егой) точке.

88 ПЛОСКОСТЬ (гл. IV
Теперь все возможные случав рассмотрены, и мы можем
классифицировать полученные результаты следующим образом:
A. Ars( ф 0. Имеется единственная общая точка.
Б. Аш=0, А$фО
1) Ь^А$ ф 0. Имеется единственная бесконечно удаленная
(несобственная) общая точка.
2) Ь^А^=О. Имеется общая прямая.
В.
1) я*1'—i8r6^^ Ф 0. Имеется общая бесконечно удаленная
(несобственная) прямая.
2) а^—[Qrb^ = O. Три плоскости совпадают.
(Следует отметить, что условие A^J ф 0 означает, что три
тензора Аг", Лг1\ А'|' — не все нулевые тензоры. • Аналогично
а^— 8ГЬ^1' Ф 0 означает, [что три вектора, которые получаются
при ? = 1, 2, 3, — не все нулевые векторы.)
Упражнения
1. Доказать, что ATat=An!fiTtt.
2. Пусть Л= ¦ Аш. Показать, что /4r8j — Azril, и вывести
отсюда, что А — скаляр.
3. Доказать, что
t=l
4. Доказать, что
Arsi = ar A»t -\-a» Atr-\-at ^п=у
5. Показать, что если Arsi = 0, то мы можем подобрать
чпсла Я.П), Я.B), ХC) так, чтобы было
Если, кроме того, b^A^=sO, то числа A.(i) удовлетворяют также
уравнению

I I) ПЛОСКОСТНЫЕ КООРДИНАТЫ 89
§ 5. Плоскостные координаты
Мы видели, что уравнение плоскости имеет вид
агхг = Ь.
Предположим, что плоскость не проходит через начало
координат, так что Ь Ф 0, и разделим обе части уравне-
уравнения на Ь. Уравнение плоскости принимает вид
= 1.
Полагая и, = —-, получим окончательно
и,хт = 1. B2)
Если теперь нам даны три величины (uv ма, и3), то
уравнение B2) единственным образом определяет пло-
плоскость, так же как (х1, Xs, х3) единственным образом
определяют точку. Поэтому мы назовем и, по аналогии
с хг аффинными координатами плоскости, или плоско-
плоскостными координатами*); мы будем также называть иг
плоскостными переменными в отличие от хТ, которые
в этом случае будем называть точечными переменными.
Уравнение B2) показывает нам, что иг образуют кова-
риантный вектор. В самом деле, если мы перейдем от
одной системы аффинных точечных координат к другой,
точечные переменные преобразуются по закону
Х> -/_» /94^
О/ — CqJU , у6О)
в то время как закон преобразования плоскостных пере-
переменных таков:
B4)
*) См. Клейн Ф., Неевклидова геометрия, 1936, стр. 46.
Эти координаты называются также плнжкеровыми или танген-
тангенциальными, см. Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической
геометрии, 1947, стр. 300. В подлиннике: rectilinear coordinates
of the plane, ср. примечание к стр. 57. Поэтому, чтобы не нару-
нарушать стиль подлинника, введен термин «аффинные коордипаты
плоскости» и «плоскостпые коордипаты» (Прим. реАЛ

90 ПЛОСКОСТЬ [гл. IV
где у'г является алгебраическим дополнением элемента с?
в детерминанте \cTs\, разделенным на |cj|. Таким обра-
вом, преобразование системы аффинных координат опре-
определяется линейным преобразованием либо точечных, либо
плоскостных переменных.
Положим
иг = вКг, B5)
где Хг — данный единичный вектор, а 9 — переменный
параметр. Исследуем, как при изменении 0 изменяется
плоскость, координаты которой определены по B5).
Уравнение плоскости в точечных переменных, или, как
его часто называют, точечное уравнение плоскости, по
B2) будет
Следовательно, при переменном 6 мы имеем семейство
параллельных плоскостей, нормальным вектором к кото-
которым является А,'. Кроме того, 1/0 есть длина перпенди-
перпендикуляра к плоскости, опущенного из начала координат;
поэтому плоскость удаляется в бесконечность, когда
О—>0, и приближается к началу координат при 9—>оо.
Мы видим, что плоскость с координатами @, 0, 0)
является бесконечно удаленной (несобственной) плоско-
плоскостью, а плоскость, проходящая через начало координат,
получается при стремлении uv u2, и3 к бесконечности
с сохранением неизменных отношений между ними. Из
B5) видно, что 0 должно быть равно и, модулю век-
вектора иг, и, следовательно, и равно длине перпендику-
перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость.
Семейство плоскостей @, 0, t) при переменном t имеет точеч-
точечное уравнение
Таким образом, это—семейство плоскостей, параллельных коор-
координатной плоскости хя=0, а плоскость, получающаяся при *=1,
проходит* через базисную точку Et Мы назовем эту плоскость

I t] ПЛОСКОСТНЫЕ КООРДИНАТЫ 91
ба-висной плоскостью*). Аналогичные результаты имеют место
для плоскостей, параллельных двум другим координатный пло-
плоскостям. Таким образом, мы имеем три бааисные плоскости
с координатами A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1). Если мы запишем
координаты базисных плоскостей в виде е^г\ то
B6)
в любой координатной системе. Легко видеть (ср. стр. 61), что
мы всегда можем выбрать координатную систему таким образом,
чтобы любые три плоскости, имеющие единственную собственную
точку пересечения и не проходящие череа начало координат, явля-
являлись базисными плоскостями в этой системе. Действительно,
проведем через начало координат плоскости, параллельные трем
данным, в результате чего образуется параллелепипед, и пусть
Ej, Eg, E3—его вершины, лежащие на ребрах, проходящих
через 0. Если мы возьмем координатную систему, в которой Ег,
Ег, Е3 являются базисными точками, три данные плоскости будут
плоскостями, проходящими через базисные точки параллельно
координатным плоскостям, п будут поэтому являться базисными
плоскостями координатной системы.
Упражнения
1. Показать, что аффинные точечные координаты пересечения
базисных плоскостей будут A, 1, 1).
2. Показать, что длина перпендикуляра, опущенного из на-
начала на плоскость в., равна — - ; вывести отсюда, что
длины перпендикуляров к базисным плоскостям будут
111
рЗЗ
3. Показать, что точка иТ является полюсом плоскости иг по
отношению к единичной сфере с центром в начале.
4. Доказать, что угол q> между плоскостями иг и vr опреде-
определяется соотношением
COS ф =
*) В подлиннике unite plane, ср прим. к стр 60. (Прим.
ред.)

92 ПЛОСКОСТЬ (гл. IV
5. Вывести из упражнения 4, что углы <ри, фм> фм между
координатными плоскостямн определяются формулами
COS фи =
в. Показать, что каждому единичному ковариантному век-
вектору соответствует плоскость, касающаяся единичной сферы
с центром в начале.
7. Показать, что если е^—базисные точки, а е^—базисные
плоскости, то е^ является алгебраическим дополнением эле-
элемента «[;) в определителе |е[{)|.
§ 6. Семейства плоскостей
Пусть нам даны две плоскости с координатами иг и vr.
Исследуем плоскость с координатами
Xur-\- \ivr
B7)
Точечное уравнение этой плоскости есть
х -1'
V
)
или
X (игжг - 1) + p. (vrxr — 1) = 0.
Согласно § 3 (стр. 84) мы видим, что это — плоскость,
проходящая через линию пересечения плоскостейиг и vT.
Кроме того, если она образует углы а, р с плоскостями
цг, ог соответственно, то
%и sin а + \iv sin P = О,
или
A faP B8)
ц usma
В частности, плоскость г.~|Т °г делит угол между ит
и уг на части a, p так, что
к— —

i 4) СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ 93
Мы видим, что две плоскости
1+*'
находятся в гомографическом соответствии, если к и к'
связаны соотношением
а в инволюции, если Ь = с*).
Бели нам даны три плоскости, мы можем обозначить
их так:
и? SB(O, u?\ и?\ C0)
Из § 4 (стр. 86) мы знаем, что необходимым а доста-
достаточным условием того, что эти плоскости пересекаются
в единственной собственной точке, является
|«^|чЬО. C1)
Любая другая плоскость, проходящая через эту точку,
может быть представлена в виде
Упражнения
1. Доказать, что двойное отношение пучка, образованного
плоскостями B9) и ur, vT, есть к/к'.
2. Доказать, что плоскости
» г. ur-\-kvT ur — kvr
образуют гармонический пучок *¦).
3. Показать, что плоскость —~=—— является биссектрисой
угла между ur, vr.
*) См. Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической
геометрии, 1947, стр. 329 и 350. (Прим. ред.)
**) См. Мусхелишви л и Н. И., Курс аналитической гео-
геометрии, 1947, "стр. 339. (Прим. ред.)

04 ПЛОСКОСТЬ [га. iV
4. Определив параллельные плоскости как плоскости, пере-
пересекающиеся по несобственной прямой, показать, что система
плоскостей, параллельных иг, есть 6ur при переменном 6.
§ 7. Уравнение точки
Мы видели, что линейное уравнение в точечных пере-
переменных является уравнением плоскости. Исследуем, какой
образ представляет линейное уравнение в плоскостных
переменных. Такое линейное уравнение имеет вид
атиг = Ъ. C3)
По B2), стр. 89 это уравнение выражает условие того,
что плоскость ит проходит через точку -г-. Следова-
Следовательно, линейное уравнение относительно иг определяет
систему плоскостей, проходящих через фиксированную
точку; поэтому мы можем назвать его плоскостным
уравнением точки. Если Ь стремится к нулю, то точка
-г- уходит в бесконечность вдоль линии, соединяющей
начало с аТ; при этом уравнение C3) принимает вид
arwr = 0. C4)
Таким образом, однородное линейное уравнение C4)
в плоскостных переменных представляет несобственную
точку в направлении аТ.
Два линейных уравнения
:ч=!: C5)
а'гиг = Ь ,
а?
определяют плоскости, которые проходят как через точку —г- ,
а'Г
так и через точку -г;', поэтому C5) представляет семейство пло-
плоскостей, проходящих через прямую, соединяющую эти две точки.
Таким образом, два линейных уравнения в плоскостных пере-
переменных представляют прямую, проходящую через две точки.
Введем обозначение
a? a'»
и рассмотрим следующие случаи:
C6)

17 J
УРАВНЕНИИ ТОЧКЕ
,. ат аг
1) -т-г Ф —г- , точки не совпадают и прямая проходит через
2) ~тг =
точки совпадают.
А. Если Ап Ф0>, то а'г Ф 0аг и эти две точки не лежат на пря-
прямой, проходящей через начало. Прямая, соединяющая эти точки,
не проходит через начало координат.
Б. Если А"*=0, то точки лежат на прямой, проходящей череа
начало координат, и мы имеем два подслучая:
а'т г
-т-г Ф —г-
начало координат.
"" аг
Читателю следует обратить внимание на аналогию между
этими результатами и § 3 (стр. 83).
Если нам дапы три линейных уравнения
e(i)"r=&<i>. C7)
то они представляют три дапные точки; пайдем их расположения,
Воспользуемся обозначениями
C8)
дгз<_
ar в»
<«) («
ar as
<3> C)
ara> atv a
ar a' at
B) (?) <2>
a»" a' a'
C) <3> <»)
flr» e?i,
лта
л<3) —
ax a*
a> <i>
ar ал
<2) (8)
Мы предоставляем читателю доказать, по аналогии с § 4
(стр. 85), следующие предложения:
А. А1*1 ф 0, точки лежат в одной и той же плоскости, не про-
проходящей через начало координат.
Б. Arst = 0, Л^фО.
1) b(i)^i" Ф 0, точки лежат в одной и той же плоскости, про-
проходящей через начало координат.
2) &({,.4^2=0, точки лежат на прямой, не проходящей черев
начало координат.
В. Ar»t = O, Аг(8г)=0.
1) afa—8ГЬ({) Ф 0, точки лежат на прямой, проходящей черев
начало координат.
2) a(i) — 6rb(i)=0, все точки совпадают.
Нетрудно заметить полпую аналогию между системами точеч-
точечных и плоскостных переменных. Точка в одпои системе соответ-
соответствует плоскости в другой, линия, соединяющая две точки, соот-
соответствует линии пересечения двух плоскостей, начало координат
соответствует бесконечно удаленной плоскости и т. д. Принцип
соответствия между системами этих переменных в геометрии
известен как принцип двойственности.

U6 ПЛОСКОСТЬ (гл. IV
Упражнения
1. Показать, что уравнение в плоскостных координатах, ана-
аналогичное A) или C) (стр. 78, 79), дает две формы плоскостного
уравнения точки.
2. Доказать, что
есть уравнение любой точки, лежащей на линии, соединяющей
точки C5).
3. Показать, что точка из примера 2 делит отрезок C5) в отно-
отношении
4. Доказать, что точка
есть центр тяжести трех точек C7) с весами Ьа>Ьа), А,B)ЬB), X(a)ba).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Показать, что если уравнение плоскости дапо в форме C)
(стр. 79), то вектор егтпАтВп нормалей к плоскости.
2. Показать, что если уравнение плоскости есть A) (стр. 78),
то вектор grsesmn {x^x%-\- x^xfn-{-х^^) нормален к плоскости.
3. Координаты основания перпендикуляра, опущенного нз
точки «о на плоскость arxr = b, равны
4. Плоскость, проходящая через пересечение плоскостей
агхг—6=0 и а'гхг—Ь' = 0 и начало координат, есть
(Ъ'аТ—ba?xr=Q.
д. Показать, что если плоскость составляет углы аире двумя
другими плоскостями, которые образуют угол в, и если линии
пересечения плоскостей параллельны, то
sin2 6=sin» a-)-sin* p" + 2sin a sin p" cos 6.
6. Доказать, что если А Ф 0, то единственная точка пере-
пересечения плоскостей в § 4 (стр. 85) есть
ЪА

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
»7
7. Используя обозначения § 4 (стр. 85), обозначим через М
катрицу
„A) „A) „A) ь<:
 "s а\'"
<!»> а?»> а33> 6<!
Тогда
1) Доказать, что условия Arst = 0, Ь<г)А$ = 0 означают равем-
ство нулю всех миноров третьего порядка матрицы М.
2) Доказать, что условия А^ = 0,
означают равенство нулю всех миноров второго порядка мат-
матрицы М.
8. Показать, что если Ф)—три заданные плоскости, причем
координаты этих плоскостей удовлетворяют условию | Ф) \ *?> О
повые переменные иг, получаемые путем преобразования иг=ирщ
таковы, что заданные плоскости становятся базисными плоско-
плоскостями новой системы. Пользуясь этим, показать, что любые три
ковариантных вектора «(,*), удовлетворяющих условию \ uW \ •fc О,
могут принимать значения A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1) i соответ-
соответственно выбранной системе координат.
9. Доказать, что ортогональная декартова система может быть
выбрана так, что любой ковариантный вектор будет иметь две
нулевые составляющие.
10. Доказать, что вектор е™1^'^' параллелен линии пере-
пересечения плоскостей u^'i "n'-
11. Показать, что точка, уравнение которой есть
— бесконечно удаленная точка на линии пересечения плоскостей
12. Пусть u(r1(, u$.2>, u(r3>, u(r4>—четыре плоскости, н пусть
А~я* ¦=
и<« и<2> 1
u<3)
Доказать, что Ar3t -.
.«> «(s4> и\п 1
—Щ srst, и вывести отсюда, что .4=-^?-
Y e Ye
есть инвариант.
13. Вывести из C2) (стр. 93), что при .4 = 0 четыре плоскости
примера 12 должны иметь одну общую точку.

ПЛОСКОСТЬ
[гл. IV
14. Доказать, что если ф23 есть угол между координатными
плоскостями х2=0 и х3=0, то
15. Пусть даны три плоскости u(i)xr=0, проходящие через
пачало координат; обозначим через а, р, у углы между их линиями
пересечения. Путем вычисления инварианта
в той декартовой системе, в которой заданные плоскости являются
координатными плоскостями, доказать, что
и™ м<2« 4
Y~e
_ Г TTcT»r.u(,-)u(< Л 2 Г1 —cos2 a—cos» P—cos" y-f 2 cos a cos p cos уЛ
1 II m n J |_ sin a sin В sin v /'
16. Пусть плоскостные координаты четырех плоскостей будут
>, и<*>,
и пусть
а>и<г>и<3
Показать, что
и») Ц"
u<2>
= —АD), и т. д.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВВ IT 99
17. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, путем вычи-
вычисления инварианта
[[)
а,
в той системе координат, в^ которой' и*,", u<2), u<3> являются
базисными плоскостями, показать, что этот инвариант равен 6V,
где V есть объем тетраэдра, образованного данными четырьмя
плоскостями,

ГЛАВА V
ПРЯМАЯ
§ 1. Точечные уравнения прямой
в которых может быть
Существуют три формы,
записано уравнение прямой.
Во-первых, пусть нам даны две точки
на прямой. Если вес этих двух точек равен
точка
X и
ТО
A)
есть их центр тяжести. Другими словами, эта точка лежит
на прямой и делит расстояние между данными точками
в отношении \л/к. При различных значениях к и ji A)
изображает любую точку прямой.
Во-вторых, пусть хг0 есть данная точка на прямой,
и пусть Кг есть единичный вектор, определяющий ее
направление. Тогда любая точка прямой может быть
задана так:
B)
где q есть расстояние ълящу хга и хг.
Наконец, прямая может быть задана пересечением
двух плоскостей, уравнения которых суть
C)
Это дает третью форму, в которой может быть записано
уравнение прямой.

i 2] ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ 101
В зависимости от рассматриваемых проблем удобно
применять ту или иную форму уравнения прямой. Если
мы занимаемся системами точек на одной прямой, наи-
наиболее удобной является форма A), если же мы рас-
рассматриваем несколько прямых, наиболее удобна будет
форма B). Форма C) удобна только при исследовании
семейства плоскостей, проходящих через прямую.
Упражнения
1. Показать, что если d есть расстояние между хг и х* , то
Vz=—(а) A> и A) принимает форму B), если положить
L__JL
+ii- a ¦
2. Написав B) в форме *г=A — О)^о + б(го+^г)> показать,
что это сразу дает уравпение в форме A).
3. Показать, что в C) Яг пропорционален ermna\^a^i.
Я.
4. Найти отношения •— , при которых точка A) лежит: а) на
плоскости arxr=b, б) на коордипатных плоскостях.
§ 2. Взаимное расположение двух прямых
Здесь мы применим уравнения прямых в форме B).
Пусть эти уравнения будут
Так как два параллельных единичных вектора имеют
одни и те же составляющие, то уравнения прямых,
проходящих через начало координат параллельно пря-
прямым D), будут xr = Q'Kr, x'r — Q"k'r. Угол между пря-
прямыми D) равен углу между параллельными им прямыми,
проходящими через начало. Следовательно, угол 9 между
прямыми определяется так:
cosQ = gmnWn=%ml'n. E)
Две прямые перпендикулярны, если gmn%mVn = 0,
и параллельны, если К'г = %г,

102
ПРЯМАЯ
1гл. V
Найдем кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Пусть
Р0А и Р'0А' (рис. 10) будут данные прямые, и пусть через каж-
каждую из них проведены плоскости P0AR и P'^A'R', параллельные
между собой. Проведем плоскости P0R'AA' и P^RAA', перпен-
перпендикулярные к предыдущим плоскостям и пересекающие данные
прямые в точках А и А'.
Очевидно, что А'А есть не
только перпендикуляр к
обеим прямым, по также
к обеим плоскостям. Точпо
так же легко видеть, что
А'А есть кратчайшее рас-
расстояние между прямыми,
так как расстояние между
любыми двумя другими точ-
точками прямых больше, чем
расстояпие по перпендику-
перпендикуляру между двумя парал-
лельпыми плоскостями.
Пусть коордипаты точек Ро, Р'л б}дут xj, х'г соответственно,
и пусть б есть искомое кратчайшее расстояпие. Вектор
sine w
есть единичный вектор, ортогопальпый к А/ и к'т, т. е. к двум
данным прямым. Кратчайшее расстояние между прямыми, следо-
следовательно, есть
sine
Упражнения
1. Показать, что sin* в = ?тп
2. Показать, что координаты точек А и А' равны
3. Доказать, что уравнения двух параллельных плоскостей
будут
(xxp) = 0, етпр\к (ххр
4. Доказать, что уравнении двух взаимно перпендикулярных
плоскостей будут
{X'r cos 9 — Xr) (xr—ЖдГ)=

3] ШЕСТЬ КООРДИНАТ ПРЯМОЙ 103
5. Доказать, что две прямые пересекаются, если
§ 3. Шесть координат прямой
Пусть P0L (рис. 11) есть прямая, уравнение которой
дано в форме
xr = zl + QkT. (8)
Образуем объект
цг = етДХ- (9)
Этот объект есть ковариантпый вектор; легко показать,
что его составляющие зависят от выбора точки осг0
па прямой. Два вектора А.1" и цг вполне определяют
прямую; поэтому найдем уравнение прямой при помощи
этих векторов. Если мы умножим (9) на esrpXp и про-
просуммируем по г от 1 до 3, то получим
х
Это показывает, что вектор е^'цД, определяет точку
на прямой. Поэтому уравнение прямой можпо записать
так:
A0)
Составляющие двух векторов Хг
и |иг называют координатами пря-
прямой; число этих координат равно
шести. Они удовлетворяют соотно-
соотношениям
' kmkm=i, x>m=o, A1)
откуда следует, что Хг есть еди-
единичный вектор, a \ir перпендикуля- Рис. 11.
реп к нему.
В геометрической интерпретации Хг есть единичный
вектор, задающий направление прямой. Вектор цг
перпендикулярен как к Хг так и к жЦ и его направление
таково, что триэдр (Xr, xr0, \ir) ориентирован положи-

104 ПРЯМАЯ ?гл. V
тельно. Кроме того, его длина есть ОРО sin б, т. е. равна
OL, где L есть основание лерпендикуляра, опущенного
из точки О на прямую. Следовательно, если мы проведем
ОМ перпендикулярно к плоскости OLPO так, чтобы LP0,
ОР0, ОМ образовывали положительно ориентированный
триэдр, и возьмем ОМ равным OL, то точка М будет
иметь координаты ц1".
Упражнения
1. Доказать, что [хгхг=0 ость плоскость, проходящая через
начало и заданную прямую.
2. Показать, что коордипаты точки L будут
3. Показать, что если прямая проходит через начало коор-
координат, то jxr==O.
4. Показать, что gr*bsmn)imx% = xrgmnaim№ —Vgmnx™x$.
5. Найти шесть координат каждой координатпои оси.
§ 4. Плоскостное уравнение прямой
Уравнения прямой также можно написать в плоско-
плоскостных координатах. Существуют две формы, в которых
они могут быть записаны, и эти формы аналогичны фор-
формам A) и C), стр. 100.
Если к"' и «г2) — координаты двух любых плоскостей,
проходящих через некоторую прямую, то
есть произвольная плоскость, проходящая через ту же
прямую. Эта форма уравнений удобна при рассмотрении
системы плоскостей, проходящих через прямую.
Прямая может быть задана как совокупность двух
точек, определяемых плоскостными уравнениями
аг„мТ = Ь,.«,
г. A3)
Это — вторая форма уравнений; она может быть исполь-
зована, когда желательно иметь дело с системой точек
прямой' в плоскостных координатах.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВ! V Ш5
Упражнения
1. Показать, что когда ц/л —*¦—1, плоскость A2) стремится
к плоскости, проходящей через начало и данную прямую.
2. Вывести из задачи 1, что точечное уравнение плоскости,
проходящей через начало и прямую, есть
3. Показать, что вектор e"nnM^'u5f) параллелен прямой и что
его величина есть ua)t*B) sin 6, где 6 —угол между и*.1' и и<,2).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Пусть а и Ъ—противолежащие ребра тетраэдра, d—крат-
d—кратчайшее расстояние между ними и 0—угол между ними. Доказать,
что объем тетраэдра равен
о
(Пусть a'J, x'j", хГ(,-\-а%г, х'^-\-Ъ%'г—вершины тетраэдра. Тогда
2. Показать, что расстояние между двумя параллельными
прямыми xr=XQ-\-QKr и хг=х'^-\-^'У равно б, где 62 =
[^ 11 \ (fin -у'ТП\ /—П гг'П\
— (втп — птЬп) (хо —^о Дхо—хо )¦
3. Показать, что если прямая задана двумя точками х^ и х^г)>
то ее шесть координат определяются формулами
где d—расстояние между точкамо х\х) и хгт.
4. Показать, что если прямая определена двумя плоскостями
и"' и и<,2', то ее шесть координат определяются формулами
где й = t*A)uB) sin 9, причем ыA), ыB) —модули векторов uj,1', tt<2),
a G — угол между ними.
(Использовать результаты задач 2 и 3 из § 4.)
5. Показать, что если координаты двух прямых суть аг, цг
и X'r, fir', то кратчайшее расстояние между прямыми равно
sin 9
где в—угол между прямыми.

106 ПРЯМАЯ [гл. V
6. Доказать, что условием пересечения двух прямых является
7. Показать, что плоскости
проходят через прямую (%r, \ir).
8. Показать, что, изменяя к в формуле
мы получим все плоскости, проходящие через прямую (kr, \ir).
Показать, что k = ctg—-^, где а—угол между иг и цг Для А=0
мы получаем плоскость, проходящую через прямую и перпепди-
куляр к OL.
9. Шесть коордипат прямой можпо также рассматривать как
контравариантный вектор V и отличные от пуля компоненты
антисимметричного тензора второго порядка jj,rs=Va;5 — XsxJ, свя-
занпые соотношениями XmKm=l, ersjA.rfis'=:O. Показать, что урав-
пепием прямой является
10. Используя обозпачепия упражнения 9, показать, что крат-
кратчайшее расстояние между двумя прямыми равно
2 sine
11. Пусть имеются две прямые, проходящие через точку xj,
Показать, что уравпепия биссектрисы угла между ними будут
и что расстояния вдоль этих прямых определяются формулами
2icos-^- и It sin -^-, где 9—угол между W и fir.
12. Пусть ОА, ОБ, ОС—три направления из начала, заданных
единичными векторами kr, \ir и vr, а ОА', ОБ' и ОС — биссектрисы
углов между этими направлениями. Показать, что плоскости АОА',
БОБ' и СОС проходят через прямую xr = i (№-\~\1г-\-уг)-
13. Показать, что длина перпендикуляра, опущенного из точки хг
на прямую xr=xrn-\-Q%r, равна б, где
прямую
1т
2 =(gmngrs-gmrgns) (*т-*Л (*»-<
14. Показать, что уравнение плоскости, проходящей через
мую xr = xZ4-oXr и параллельной прямой a;r=gLir, есть
1т jar\ irnnn

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
107
15. Показать, что если две прямые заданы как пересечение
двух пар плоскостей uj.1', м<.2) и и<.3), «r4), то
dtge=—±=
yg
1
где б — кратчайшее расстошше, а 8 — угол между прямыми.
(Использовать упражпепия 4 и 5.)
16. Доказать, что условие компланарности двух прямых
из упражнения 15 есть
1 1 1 1
A) B) (Я) D)
 "а «2 И2
1111
17. Показать, что точки
= 0.
образуют на прямой, соединяющей точки х[ и х\, пары точек,
находящиеся в томографическом соответствии, если кик' связаны
соотношением вида
*) О томографическом соответствии см., папример, Мусхе-
лишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, М., 1947,
стр. 327. (Прим. ред.)

ГЛАВА VI
КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ
СЕЧЕНИЯ
§ 1. Уравнение конуса второго порядка
Конус- второго порядка есть геометрическое место
прямых, проходящих через точку хта, единичные векторы V
которых удовлетворяют уравнению
amn%m%n = 0, A)
где атп — составляющие симметричного объекта второго
порядка. Точка хг0 называется вершиной, а каждая
из прямых — образующей конуса.
Если хг — какая-нибудь точка конуса, то прямая,
соединяющая ее с вершиной, есть, очевидно, образующая;
но так как уравнение этой прямой есть
то мы видим, что хТ удовлетворяет уравнению
«™ (*т-<)(*"--<) = 0. B)
Это и есть, следовательно, уравнение конуса. Мы видим,
как и следовало ожидать, что если некоторая точка удо-
удовлетворяет уравнению B), то каждая точка прямой,
соединяющей ее с вершиной, также удовлетворяет B).
Переписав B) в развернутом виде, мы имеем
атпхтхп-2а1ППхтх? + атпх™х» = 0. C)
Так как в этой главе мы будем заниматься только
конусами, имеющими общую вершину, то можно пред-
предположить', что вершина совпадает с началом координат.

5 t] УРАВНЕНИЕ КОНУСА ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю9
В этом случае уравнение C) принимает более простой вид
D)
Если мы перейдем к новой системе координат хг,
то уравнение конуса по форме не изменится и будет
Следовательно, должно быть
тпх х — катпх х ,
где Я, есть некоторый множитель. Мы можем всегда
предположить, что объект атп уже умножен на такой
коэффициент, что Х,= 1, поэтому атпхтхп есть истинный
инвариант, а так как атп —симметричный объект, то
он является симметричным ковариантным тензором
второго порядка, определенным с точностью до возмож-
возможного множителя %. Другими словами, каждый конус
второго порядка определяет ковариантный тензор второго
порядка.
Упражпения
1. Покавать, что
s атп (* 4
где атп есть алгебраическое дополнение атп в | атп |, разделенное
на \атп\, и
о„ с
Обозначим через Атп дополнение атп в А, так что
Атп
а
Мы имеем
Следовательно,

НО КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1гл. VI
Далее,
д Атп
ЬЬ
откуда и получаем пемедленпо желаемый результат. Число Д
обычно называют дискриминантом выражения атпхтхп-\-2Ьтхт+с.
2. Доказать, что если Д=0, то атпхтхп-\-2Ьтхт-|-е = 0 есть
уравнение конуса.
3. Показать, что если Д=0, то координаты вершины конуса
равны —а,пЬ„ a c = amnbmbn.
4. Показать, что если положить F (х)=-атпхтхп-\-2Ьтхт-\-с,
dF „
то уравпение -^-=0 определяет вершину конуса.
5. Показать, что любая прямая, не проходящая через вер-
вершину, пересекает копус в двух и только двух точках.
§ 2. Уравнение конического сечения
Исследуем теперь уравнение, соответствующее B)
в плоскостных переменных. Это будет
а»»(«т-«ОК-«?) = 0, E)
где и"г есть заданная плоскость. Мы видим, что атп есть
симметричный контравариантный тензор второго порядка,
определенный с точностью до несущественного множителя.
Плоскости, координаты которых удовлетворяют E),
образуют семейство плоскостей, удовлетворяющих неко-
некоторым геометрическим соотношениям. Пусть иТ будет
любая плоскость, удовлетворяющая E) и отличная от «°.
Тогда плоскость
также удовлетворяет E), независимо от выбора А,. Каково бы
ни было А,, плоскость F) всегда проходит через линию
пересечения плоскостей иг и и"г; иначе говоря, каждая
плоскость, проходящая через эту линию пересечения,
удовлетворяет E) (рис. 12). Если мы возьмем семейство
плоскостей иг, удовлетворяющих E), то их пинии пере-
пересечения с плоскостью и° образуют на ней семейство
прямых, которое огибает некоторую кривую, лежащую
в плоскости и\ (рис. 12). Более того, эта кривая обла-
обладает тем свойством, что все плоскости, проходящие

12]
УРАВНЕНИЕ КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
111
через любую касательную к ней в плоскости м°, удовле-
удовлетворяют E). Следовательно, 'уравнение E) выражает
условие того, что плоскости ит касаются некоторой кри-
кривой, лежащей в плоскости и\.
Можно сказать, что E) есть
тангенциальное уравнение
кривой или уравнение кри-
кривой в плоскостных перемен-
переменных.
Если мы возьмем две пло-
плоскости и1г1У и и?*, линия пе-
пересечения которых не лежит
в плоскости и*, то Uf ^<^r
есть любая плоскость, прохо- Рис. 12.
дящая через линию пересе-
пересечения. Эта плоскость будет касаться кривой, если ее ко-
координаты удовлетворяют E), т. е. если
#> - <) + 2катп
+ кЧтП
- «??>) (цB> - u<o>) +
_ „@)) (цB) _ „(О)) = 0.
Следовательно, через любую прямую в пространстве
могут быть проведены две и только две плоскости, так
чтобы они касались кривой. Отсюда мы видим, что
это — кривая второго класса или коническое сечение.
Таким образом E) есть тапгенциальпое или плоскостное
уравнение конического сечения, лежащего в плоскости uj. Дру-
Другими словами, любой контравариаятныи тензор второго порядка
определяет коническое сечение. Мы видим, что теоремам, отно-
относящимся к конусам с вершиной в данной точке, соответствуют
двойственные теоремы, относящиеся к коническим сечениям,
лежащим в данной плоскости. В дальнейшем мы будем излагать
теорию конических сечений в точечных переменных, оставив
читателю доказательство двойственных теорем в плоскостных
переменных, так как алгебраические выкладки совершенно оди-
одинаковы в обоих случаях.
Рассмотрим уравнение
G)
Оно определяет коническое сечение в плоскости с коор-
координатами @, 0, 0). Следовательно, G) есть уравнение

112 КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Ггл. TI
конического сечения в бесконечно удаленной плоскости.
Таким образом, конусам с вершиной в начале коорди-
координат соответствуют конические сечения, лежащие в беско-
бесконечно удаленной плоскости.
Упражнения
1. Показать, что если
bn с
то
атпитип+2Ьтип +с = ат" (um+am8b«) (мг, + а„(Ь() + — .
где ars есть дополнение ors в Л, деленной на А.
2. Показать, что если Д = 0, то
есть уравнение конического сечения.
3. Показать, что если Д = 0, то плоскость конического сече-
сечения есть —ars6s и c=amnbmbn.
4. Показать, что если мы введем обозначение
ф (и) = атпитип+2bmi% + с,
дФ „
то уравнения -srf=* 0 определяют плоскость конического сечения.
§ 3. Плоскость, касательная к конусу
Пусть хТ0 будет точдеа па конусе
» = 0, (8)
в пусть хт — любая другая точка. Тогда Х\_1 есть любая
точка, лежащая на прямой, соединяющей эти точки;
она будет лежать на конусе, если
2kamnx">x% + k*amnxmxn = 0. (9)
Это — квадратное уравнение относительно Л, корни кото-
которого определяют точки пересечения конуса с прямой,
соединяющей хтй и хт. Один из корней, как и следовало
ожидать, есть нуль, так как х\ лежит на конусе. Пря-

S 3] ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К КОНУСУ 113
мая, соединяющая точки хта, хт, будет касаться конуса,
если и второй корень равен нулю, т. е. если
A0)
Это — уравнение плоскости, обладающей тем свойством,
что каждая прямая, лежащая в ней и проходящая через
точку хтй, касается конуса. Следовательно, это —уравне-
—уравнение плоскости, касательной к конусу в точке хг0. Заме-
Заметим, что плоскость, касающаяся конуса в точке хг0,
содержит все точки его образующей
хг = вхг0.
Более того, касательпые плоскости в любой точке обра-
образующей совпадают, или, другими словами, плоскость A0)
имеет линию касания с конусом; этой линией является
его образующая.
Мы можем использовать полученный результат, чтобы найти
в плоскостных координатах уравнение той кривой, которая обра-
образуется пересечением конуса с бесконечно удаленной плоскостью.
Если х% есть точка на конусе, то A0) есть уравнепие плоскости,
касательпой к нему в этой точке, а
amn*m*y=i (И)
есть уравнение параллельной плоскости. Линия пересечения
касательной и бесконечно удаленной нлоскостей есть касательная
к коническому сечению; поэтому плоскость A1), которая имеет
ту же самую линию пересечения с бесконечно удаленной плоско-
плоскостью, также касаетсн сечения. Если положить агт:г™ = мг, то коор-
координаты плоскости A1) будут иг. Решая последние уравнепин
относительно a;J, мы получим
где ars есть дополнение атп в |amn|, делепное на |amn|. Но х\
есть любая точка на конусе, и поэтому она удовлетворяет урав-
уравнению
атпхо ло — и-
Отсюда можно вывести, что
Это, как известно, есть тапгенциалыюе уравнепие пекоторого
конического сечения в бесконечно удаленпой плоскости; с другой
стороны, это должно быть.сечением конуса (8) бесконечпо удален-
удаленной плоскостью, так как каждая плоскость, касательпая к копусу,
касаетсн и этого сечения.

114 КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ [rn.Vl
Упражнения
1. Доказать, что шесть координат любой образующей конуса
могут быть заданы так: |1т = 0, кг, причем amnk™№ = 0.
2. Доказать, что если провести из точки х* плоскости, каса-
касающиеся конуса, то плоскость, содержащая линии касания, имеет
уравнение
3. Показать, что точка касания плоскости v% с коническим
сечением атпытип=0 определяется уравнением
Показать, что образующей конуса, заданной в точечных коорди-
координатах, согласно принципу двойственности соответствует касатель-
касательная к коническому сечению.
4. Вывести из примера 3, что конус, образованный прямыми,
соединяющими пачало координат с точками конического сечения
атпмтмп=0, в точечпых переменных имеет уравнение атпхтхп — 0,
где атп есть алгебраическое дополнение атп в | атп |, деленное
на |amn|.
5. Сформулировать и доказать двойственную теорем}" к упраж
нению 2.
§ 4. Полюсы и полярные плоскости
относительно конуса
Пусть Р ts.Q будут любые две точки с координатами fa
и х[2у Тогда точка ¦ЖA)/у,а:<2> , которая делит PQ в отно-
отношении к, лежит па.копусе, если
) = 0. A2)
Значения к, удовлетворяющие этому уравнению, опре-
определяют отношения, в которых точки пересечения пря-
прямой PQ с конусом делят отрезок PQ.
Если отношение гармоническое *), то корни равны
по величине, но противоположны по знаку. Поэтому
*) О гармоническом разделении см. Мусхелишвили Н. И.,
Курс аналитической геометрии, М., 1947, стр. 336. (Прим. ред.)

4] П0ЛЮсЬ1 И ПОЛЯРЙЫЕ ПЛОСКОСТИ tl5
и мы видим, что ЖB) лежит в плоскости:
^оЛ A3)
Эта плоскость, следовательно, есть геометрическое место
точек, гармонически сопряженных с точкой Р\ мы назо-
назовем ее полярной? плоскостью точки Р относительно
конуса. Если точки Р и Q таковы, что полярная пло-
плоскость одной точки проходит через другую, то говорят,
что точки сопряжены относительно конуса. Условие
этого есть
Заметим, что полярные плоскости всех точек, лежа-
лежащих на прямой, проходящей через начало, совпадают;
мы назовем эту плоскость сопряженной с данной прямой.
Если Р и (? —сопряженные точки относительно конуса,
то все точки на прямой ОР сопряжены с каждой точкой
на прямой OQ. Две такие прямые называются сопряжен-
сопряженными диаметрами. Условие того, что два направления %[
и ЯB) принадлежат сопряженным диаметрам, есть
• Упражнения
1. Найти условие равенства корней уравнения A2) и пока-
показать, что уравнение пары плоскостей, касательных к конусу
и проведенных из точки zji), есть
2. Найти геометрическое место таких точек Q, что (PBQS)
есть заданное двойное отношение, равпое Я, причем Р—фикси-
Р—фиксированная точка xl, а R и S — точки пересечения прямой PQ
с конусом.
(Отношение корней уравнения A2) равно X..)
3. Показать, что уравнение полюса плоскости и% относительно
конического сечения а.тпитип = 0 есть arsMru°=O.
4. Показать, что полюсы всех параллельных плоскостей отно-
относительно коппческого сечения аТПпи,„ип=0 совпадают. Показать,
что если р и д—две сопряженные плоскости относительно кони-
конического сечения, то каждая плоскость, параллельная р, сопря-
сопряжена с каждой плоскостью, параллельной д.

116 КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ twi. Vl
§ 5. Каноническое уравнение конуса
Пусть Р — любая точка, не лежащая па конусе
атпхтхп = 0. Если координаты точки Р обозначить через
х[, то ее полярпая плоскость будет
п гтгп __ Г)
атпх Х1 —и
и точка Р не лежит на этой плоскости, так как атпх™х*ф0.
Следовательно, если мы возьмем любые две точки х\ и х\,
лежащие на полярной плоскости, по не лежащие на одной
прямой с началом О, то точки х[, х\, хТь не лежат на
одной прямой и могут быть взяты в качестве базисных
точек новой координатной системы. Но
umnxi xi — umnxl жз — и>
причем эти уравнения инвариантны. Следовательно, если
выполнить преобразование к новым осям и обозначить
новые координаты штрихами, мы получим
Уравнение конуса примет вид
а'п (ж'1J + а; (ж'»)» + 2a'2Sx'*x'° + a'3S (x'Y = 0. A5)
Ели й'гг — а[ь= а'ая — 0, то уравнение конуса сводится к
a[1(x'lJ = 0, определяющему две совпавшие плоскости
ж'1 = 0, и на этом исследование заканчивается.
Если эти условия пе удовлетворяются, то в сечении
конуса плоскостью хп = 0 получаются линии
а'п(х"Г + 2а„х1*х* + а'„(х'«)»е=0. A6)
В этой плоскости мы можем, очевидно, выбрать точку Q,
не лежащую на этих линиях, затем взять точку R на
нлоскости, сопряженную Q относительно A6). Три точки
Р, Q, R не лежат в одной плоскости и могут быть
взяты в качестве базисных точек некоторой повой
системы координат хг. Тогда в повой системе мы будем
иметь

§ 5] КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ КОНУСА Ц7
и уравнение конуса примет вид
A7)
=о,
где коэффициенты могут быть равны нулю. Эта форма
уравнения конуса Называется канонической. Число коор-
координатных систем, в которых уравнение конуса имеет
вид A7), бесконечно, так как х[ и х[ — произвольные
точки. Отметим, что в качестве базисных мы можем взять
любые точки на прямых OP, 00, OR; при этом уравне-
уравнение конуса остается каноническим. В частности, мы
можем выбрать базисные точки так, что отличные от
нуля коэффициенты A7) будут равны плюс или минус
единице. Таким образом, уравнение конуса может быть
записано в особой канонической форме:
где ех — или 0, или ± 1 и имеет тот же самый знак, что
и ап. Если первоначальная форма атпхтхп — положи-
положительно определенная, то она должна остаться такой же
и после преобразования к виду A8), т. е. нее коэффи-
коэффициенты должны быть равны плюс единице.
Этот результат показывает, что можно выбрать беско-
бесконечным числом способов такую координатную систему,
в которой любой симметричный ковариантный тензор атп
будет иметь атп = 0 (т Ф п).
Упражнения
1. Показать, что если нам аадана положительно определенная
квадратичная форма gmnx'"'x'nt mo существует бесконечное число
координатных систем, в которых она определяет расстояние от хТ до
начала координат.
Если взять любую координатную систему хг и положить
<P = ?mn*m*n> (a)
то, как мы знаем, можно выбрать координатную систему хг так,
чтобы было
так как форма положительно определена. Таким образом, при
помощи линейного преобразования переменных,; которое мы

118 КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ [гл. VI
обозначим через Т, можно преобразовать (а) в ф), следовательно,
обратное преобразование Т'1 преобразует (Р) в (а). Пусть жг есть
любая прямоугольная декартова система координат, и пусть мы
сделали преобразование Т'1 к новым переменным хт, так что (Р)
перешло в (а). Но ф измеряет расстояние от Xх до О. Следова-
Следовательно, в повой координатной системе ф также измеряет расстоя-
расстояние от О до хт, и мы видим, что число таких систем бесконечно.
2. Показать, что мы можем бесчисленным количеством спосо-
способов выбрать декартову систему координат, в которой уравнение
конуса принимало бы канонический вид A7).
3. Показать, что мы можем привести уравнение конуса
к форме A7) и в то же время взять любую плоскость, которая
не касается конуса, но проходит через начало координат, в каче-
качестве координатной плоскости я3 = 0.
4. Показать, что уравнепие конического сечения атпмтип = 0
может быть преобразовано различными способами к канонической
форме
5. Показать, что уравнение сечения конуса
ап (х^+ат (*»)i+oM
бесконечно удаленной плоскостью есть
§ 6. Главные оси конуса
Уравнение плоскости, сопряженной относительно ко-
конуса с направлением %г, есть
атпХ Л =U.
Эта плоскость будет перпендикулярна к %г при условии,
что
armA,"*=eA,r = ejrrmV\ A9)
Уравнепие A9) удовлетворяется, если Э есть корень
характеристического уравнения
wl = o-
B0)
Обратно если найден корепь Э этого уравнения, то
можно на*йти направление V, которое будет удовлетво-

§ 6] ГЛАВНЫЕ ОСИ КОНУСА 119
рять A9). Такое направление называется главным направ-
направлением или главной осью конуса.
Покажем, что существуют три главных взаимно
ортогональных направления, и найдем уравнение конуса
в том случае, если эти направления приняты за оси
координат.
Сначала заметим, что уравнение B0) имеет три корня,
и так как gmnxmxn положительно определена, то, как
мы знаем (стр. 31), эти корни все действительны. Обо-
Обозначим их 0lt Э2, 03- Два или более из этих корней, конеч-
конечно, могут быть равными. Корню В1 соответствует направ-
направление X.(i), удовлетворяющее A9):
«nA4> = 9i^nAu)- B1)
Выберем прямоугольную координатную систему х'г так,
что А,D) есть ось х'1; в этой системе мы имеем
Из векторного равенства B1) мы получаем, что
или
a[t=a'u=0.
Уравнение конуса примет вид
0, (ж'1J + а22 (ж'2J + 2а;,*'V» + а'и {x'*f = 0.
Если а'гг = а'га — а'33=0, мы на этом и закончим, но если
эти соотношения не имеют места, возьмем сечение кону-
конуса плоскостью хп = 0. Это будет
а'22 (х'У + 2а;,*'»*" + а; (я'3J = 0. B2)
Это есть уравнение двух прямых линий, и мы дюжем
взять в качестве координатных осей биссектрисы образо-
образованных ими углов; получившаяся координатная система
по-прежнему будет прямоугольная декартова. После
перехода к этой системе координат, которую обозначим
через хг, уравнение линии B2) примет вид

120 КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Ггл. VI
Другими словами, все составляющие тензора атп равны
нулю за исключением ап, а22, а33. Левая часть B0), как
известно, есть псевдоскаляр веса 2; следовательно, если
он равен нулю в одной системе координат, то он равен
нулю в любой другой. Таким образом, в системе хТ мы
имеем уравнение
= 0,
которое имеет те же корни, что и B0). Но корнями
этого уравнения являются ап, а22, а33, т. е.
и уравнение конуса будет
0
0
е
а
0
22 ~
0
е
0
0
азз
-0
B3)
где О,, Э2, Э3 —корни уравнения B0), а координатная
система —прямоугольная декартова. Мы видим также,
что векторное равенство A9) удовлетворяется в новой
системе направлениями координатных осей, которые
поэтому являются главными осями копуса. Конечно,
может случиться, что некоторые из 0 исчезают.
Мы доказали, что всегда молено выбрать прямоуголь-
прямоугольную декартову систему так, что любой симметричный
ковариантный тензор второго порядка в ней будет обла-
обладать тем свойством, что
Упражнения
1. Доказать, что если 03 = 83, т. с. два из корней уравнения
B0) равны между собой, то каждое направление, перпендикуляр-
перпендикулярное к ЦХ), есть главное направление копуса, который в этом слу-
случае называется конусом вращения. Направление XJi, есть ось вра-
вращения.
2. Доказать, что если все три корня уравнения B0) равны
между собой, то каждое направление есть главное. В этом случае

§ 7] КЛАССИФИКАЦИЯ КОНУСОВ 121
конус называется изотропным; его уравнение может быть запи-
записано в виде gmnxmxn=0.
3. Сформулировать и доказать теорему, двойственную дока-
доказанной в § 6. (Двойственная теорема состоит в том, что уравнение
конического сечения атпитите = 0 может быть приведено к кано-
канонической форме, причем в качестве системы координат выбирается
прямоугольная декартова).
§ 7. Классификация конусов
Мы видели, что уравнение конуса может быть записано в виде
причем одновременно в качество системы координат может быть
выбрана прямоугольная декартова. Дадим теперь классификацию
конусов. Будем использовать обычные обозначения
А = \апп\, g = \gmn\
и обозначим через Атп дополнение атп в А. Так как А и g—
А
псевдоскаляры веса 2, a Amn—псевдотепзор веса 2, то — есть
Атп
истинный скаляр, а истинный тензор. В повой координат-
ной системе хг мы имеем g = 1 п
А = апа22а33, Л^ — а,па33, Л23 = 0 и т. д.
Отсюда
А — — — е Атп — - — - —
—- = а11а22аЗЗ> ~ = а22аЗз4' аЗЗа11~Га11а22-
о о
Точно так же gmnamn есть скаляр, именно
Следовательно, ап, а22, а33 являются корнями кубического урав-
непия
— — = 0
B4)
б о
или
?ез-О*Ст"а,пп-И0тгИт"п-Л=О, B5)
где Gmn — ggmn есть дополнение gmn в g. Уравнение B5) есть
просто развернутая форма характеристического уравнения
B6)

122 КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ [гл. VI
Корни этого уравнения равны йц, а22, и38—результат, который мы
получили другим способом в предыдущем параграфе. Рассмотрим
три случая.
1. А ф О, тогда ни один из корней пе равен нулю и конус не
вырожденный. Если все три корня положительны или отрица-
отрицательны, то конус мнимый, в других случаях — действительный.
2. Л=0, но его миноры не все равны нулю. Следовательно, не
все составляющие псевдотеизора Атп равны нулю; поэтому они не
могут быть все нулями и в любой другой системе координат. Так
как А=0, то по крайпей мере один корень уравпепия B5) равен
нулю, например а38. Тогда единственная составляющая Атп, ко-
которая отлична от нуля, есть А88 = апа22. Следовательно, пи ап ,
ни aw не могут исчезнуть, и в этом случае существует только
один нулевой корень. Уравнепие конуса примет вид
* = 0.
Это—уравнение двух различных плоскостей, проходящих через
ось ж3. Плоскости будут мнимые, если вц и а^ имеют одинаковый
знак, в противном случае они действительны.
3. А вместе со всеми своими минорами обращается в нуль.
Тогда Атп = 0 и уравпение B5) имеет два нулевых корня, напри-
например аи и а22. Уравпопие копуса будет
а33 (г8J = 0.
Это уравнение двух совпавших плоскостей х3 = 0.
Следует заметить, что условия, установленные для каждого
случая—инвариантные, т. е. если они верны в одпой какой-нибудь
координатной системе, то они верны и во всех других системах.
Упражнения
Показать, что мы имеем следующую классификацию кониче-
конических сечений атг>итип=0:
а) |а"
Ф 0, коническое сечение не вырождено.
б) | атп =0, но не все миноры равны нулю, коническое сече-
сечение вырождается в две различные бесконечно удаленные точки.
в) | атп | и все его миноры обращаются в нуль, коническое
сечеиие вырождается в две совпадающие бесконечно удаленные
точки.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
1. Показать, что конус (amn—Qgmn)xmxn=0 вырождается
в две различпые или совпадающие плоскости в тех случаях,
когда 6 есть простой или двойной корень уравнения
\amn—Qgmn 1 = 0.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI 123
2. Показать, что если уравнение атпхтхп = 0 представляет
конус вращения, то мы можем найти такое 0, что
=о.
[Конус (amn — Qgmn)xmxn = 0 вырождается в две совпадающие
плоскости, когда 6 есть двойной корень уравнения | атП — Qgmn 1=0
Следовательно, при этом все миноры этого определителя обращаются
в нуль.]
3. Показать, что в прямоугольной декартовой системе коорди-
координат условия предыдущей задачи припимают вид
ana2s—a12al3=Qais и т. д.
4. Показать, что если заданная плоскость пересекает конус
атпхтхп—0 по двум различным образующим, то мы можем выбрать
координатную систему, в которой уравнение задапной плоскости
будет х8=0, а уравнение конуса примет вид
5. Доказать, что угол а между линиями, по которым плоскость
игхТ=0 пересекает конус amnxmxn = 0, определяется формулой
rf „, „ A {gmn (am»a" - am'a"«)
Ы/g* OS—
iggmnumunarsurua
(Вычислить инвариант в специальной координатной системе упраж-
пения 4.)
6. Изотропный конус. Копус gmnxmxn=0 называется изотроп-
пым конусом. Показать, что если два направления из пачала коор-
координат сопряжены относительно изотропного конуса, то они орто-
ортогональны, и наоборот.
7. Бесконечно удаленная окружность. Коническое сечение
g-mnun,i',l = 0 называется (лсконечно удаленной окружностью. Пока-
зат», что изотропный конус получается соединением начала коор-
координат с точками бесконечно удаленной окружности и что две
плоскости ортогональны, если они сопряжены относительно бес-
бесконечно удаленной окружности.
8. Взаимные конусы. Показать, что прямые, проходящие через
начало перцендикулярпо к плоскости, касательпой к поверхности
атпЯтхп = 0, лежат на конусе
Показать, что перпепдикуляры к касательным плоскостям послед-
последнего конуса лежат на первоначальном конусе. Такие два конуса
называются взаимными.
9. Показать, что если уравнение поверхности

124 КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ [гл. VI
преобразовать к каноническому виду в ортогональной декартовой
системо координат, то уравнение взаимного конуса будет
all а22 a83
10. Обращение в нуль инварианта gmnamn означает, что суще-
существует бескоиечпое количество троек взаимно ортогональных
образующих поверхности
11. Обращепие в нуль инварианта ^тпатп означает, что суще-
существует бесконечное количество троек взаимно ортогональных каса-
касательных плоскостей к поверхности
12. Показать, что если |атп| = 0, то уравнение amnxmxn = Q
определяет две плоскости, линия пересечения которых имеет
направление Хг, удовлетворяющее уравнению ersA.s = 0.
13. Показать, что уравнение
(omn«fs — amrans) х%х%хтхп = 0
определяет две плоскости, которые проходят через прямую хг=§х\
и общую точку поверхностей amnxmxn — Q и атпхтх^=0. Следо-
Следовательно, заданное уравнение определяет пару плоскостей, каса-
касательных к конусу и проходящих через точку bJ.
14. Показать, что если |amn| = 0 и gmnamn = 0, то плоскости
атпхтхп — 0 ортогональны.
15. Показать, что если касательные плоскости к конусу, про-
проведенные из точки хТ, ортогональны, то точка хт лежит на конусе*),
уравнение которого есть
16. Показать, что если заданы две квадратичные формы,
gmnxmxn и атпхтхп, одна из которых положительно определена,
то они могут быть одновременно приведены к виду
(Мы можем всегда выбрать координатную систему, для которой gmn
есть метрический тензор; тогда желаемый рез}льтат вытекает
из § 6 (стр. 118).)
17. Показать, что если 0„ есть корень уравнения
[ атп — Qgmn | = 0
кратности a(a<^3), то все миноры второго порядка имеют 90
корнем кратности a — 1, а все мииоры первого порядка (элементы
детерминанта) —корнем кратности порядка a—2.
*) В подлиннике orthoptic cone. (Прим. ред.)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЯАЁЕ VI 125
(Это — инвариантное свойство, и следовательно, достаточно
доказать его в том случае, когда тензоры заданы в своей простей-
простейшей форме.)
18. Доказать, что условием соприкосновения плоскости ura:r=0
и конуса amnxmxn=:0 является
19. Показать, что если уравнение конуса паписано в канони-
канонической форме, то координатпыми осями являются взаимно сопряжен-
сопряженные диаметры конуса, и наоборот.
20. Условие того, что конус атпхтхп = Ъ касается координат-
пых плоскостей, есть
21. Показать, что если мы имеем три взаимно ортогопальных
направления %\, Я|, A.J, удовлетворяющих соотношению
где ara есть любой тензор второго порядка, а grs — метрический
тензор, то ага должен быть симметричным. (Это—предложение,
обратное теореме § 6 (стр. 118). Она доказывается при помощи
выбора заданных ортогональных направлений в качестве коор-
координатных осей.)

ГЛАВА VII
СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
§ 1. Уравнение семейства конусов с общей вершиной
Если нам заданы два конуса:
(A) amnxmxn=O,
[d) u^^X X =U
\ / T717T
A)
общая вершипа которых находится в начале координат,
то уравнение любого копуса с той же самой вершиной
и проходящего через точки, общие обоим конусам A),
имеет вид
(п
\атп
B)
.Следовательно, при переменном 0 мы получаем семейство
конусов, которые содержат общие точки первоначальных
конусов.
Членами семейства будут не только конусы в собствен-
собственном смысле, но и пары плоскостей, получающиеся в том
случае, когда 8 есть корень уравнения
C)
Это —кубичное уравнение, имеющее три корня, следова-
следовательно, в семейство B) входят три пары плоскостей. Их
мы частр будем называть вырожденными членами семей-
семейства B).
атп—®Ьтп
= 0.

§ 2] ОБЩИЕ ПОЛЯРНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 12?
Если мы перейдем к новой координатной системе,
уравнение семейства примет вид
(amn-Qbmn)xmxn=0, D)
причем параметр 0 определяет в новых переменных те же
самые члены семейства, какие он определял и в старых.
Характеристическое уравнение C) примет вид
атп-вЬтп\ = О. E)
Определитель, как известно, есть псевдоскаляр веса 2.
Следовательно, если он обращается в нуль при некотором
значении 8 в какой-то системе координат, он будет нулем
при том же значении 0 и в любой другой системе коор-
координат. Другими словами, корни уравнения E) совпадают
с корнями уравнения C), т. е. корни уравнения C)
инвариантны.
Наша цель — исследовать различные относительные
положения, которые могут занимать конусы A), путем
рассмотрения различных форм семейства B).
Упражнения
Показать, что семейству копических сечепий (атп—6E™™) X
X i(mun=0 принадлежат вырожденные элемепты, соответствующие
корням \атп — 6pmn| = 0, и что эти вырождепиые элементы являют-
являются парами бесконечно удаленных точек.
§ 2. Общие полярные направления семейства конусов
Плоскости, сопряженные с направлением V относи-
относительно двух конусов A), соответственно будут
Эти плоскости будут совпадать при условии, что
a,nnln=Qbnn%\ F)
Мы видим, что если это условие удовлетворено, то пло-
плоскости, сопряженные с V относительно всех конусов
семейства, совпадают. Такое направление мы будем назы-
называть общим полярным направлением семейства. Если F)

128 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ Й КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [гл. VII
удовлетворяется, то 0 должно быть корнем уравнения C),
и обратно, если 9 есть корень уравнения C), мы всегда
можем найти соответствующее направление Хг, удовле-
удовлетворяющее F). Следовательно, всегда существует по край-
крайней мере одно общее полярное направление семейства.
Если %' есть общее полярное направление семейства,
нетрудно видеть, что существует такое число 90, что
т. е. 0О есть корень уравнения C). Следовательно, конус
(п О U \Тт п_(\
\атп vO°mn) х х — и
вырождается в пару плоскостей, линия пересечения кото-
которых имеет направление Кг0. Далее, если кг0 есть образую-
образующая конуса Ьтпхтхп=0, то
Отсюда следует, что %1 есть образующая каждого из членов
семейства. Но плоскость, сопряженная с образующей А,?,
есть плоскость, касающаяся конуса вдоль этой образующей.
Таким образом, все конусы семейства имеют .общую
касательную плоскость, откуда следует, что если общее
полярное направление семейства совпадает с образующей
одного из невырожденных членов семейства, то все они
соприкасаются вдоль этой образующей.
Если существуют два независимых общих полярных
.направления %г0 и A.J, то мы имеем
Здесь 80 может быть равным или не равным 8^ мы рас-
рассмотрим два случая:
а) 80 Ф В,. Тогда
н, следовательно,
атпК1 Ло — °тп\ Ло — U-
Поэтому направления kr0 и \\ сопряжены относительно
всех членов семейства,
б) 80=0!. Тогда

§ 2] ОБЩИЕ ПОЛЯРНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ B9
а каждое направление в плоскости, содержащей к[ и Х\,
есть общее полярное направление семейства. Выберем
в этой плоскости два вектора, сопряженных относительно
конуса Ьтпхтхп = 0. Тогда эти векторы сопряжены относи-
относительно любого члена семейства. Следовательно, если мы
имеем два независимых общих полярных направления
семейства, то всегда можно выбрать два таких направ-
направления, которые будут сопряжены относительно каждого
члена семейства.
Если мы имеем три некомпланарных общих полярных
направления семейства КТ0, к[, %\, то
Возможны следующие случаи:
а) Никакие два из 0О, 9j, 92 не равны друг другу.
Как мы только что имели выше, в п. а), в этом случае
направления %1, %[, %\ попарно сопряжены относительно
каждого члена семейства.
б) Два из 90, 9ц 82 равны между собой. Например,
пусть 90 = 9Г Тогда каждое направление в плоскости,
содержащей Хг0 и к[, есть общее полярное направление
семейства, и в этой плоскости можно выбрать два из них
так, что они будут также сопряжены относительно каждого
члена семейства. Далее, Я? сопряжено с каждым направ
лением в плоскости, определяемой векторами %г0 и \\.
в) 60 = 8i = 82. В этом случае каждое направление
есть общее полярное направление семейства и нам остается
только выбрать три направления, которые будут попарно
сопряжены относительно конуса Ьтпхтхп — 0; тогда они
будут также попарно сопряжены относительно каждого
члена системы.
Итак, если мы имеем три некомпланарных общих
полярных направления семейства, то всегда можно выбрать
три таких направления, которые будут попарно сопря-
сопряжены относительно каждого члена семейства.
Упражнения
1. Показать, что если bmn — gmn, то всегда существуют три
общих йолярных направления семейства, попарно ортогональных
друг другу.

130 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ ti-л. Vll
2. Показать, что если уравнение C) имеет два различных корня,
то должны существовать два независимых общих полярных направ-
направления семейства.
(Если Я.Е и Х{—два направления, соответствующих неравным
корням 60, 0J, то Х\ ф khl.)
3. Показать, что если уравнение C) имеет три различных
корня, то должпо существовать три некомпланарных полярных
направления семейства.
4. Исследовать двойственные теоремы, относящиеся к семейству
конических сечений (атп — в$тп)итип = 0, показав, что общему
полярному направлению семейства конусов здесь соответствует
бесконечно удаленная общая полярная прямая семейства кривых,
т. е. такая бесконечно удаленпая прямая, которая имеет один
и тот же полюс относительно всех конических сечений семейства.
§ 3. Каноническая форма уравнения семейства конусов
Исследуем простейшие формы, к которым можно
привести уравнение B) (стр. 126) семейства конусов, и при
этом рассмотрим различные относительные положения
двух конусов A).
Назовем конусы
_ „mrn _ г» -l rmrn _ ft
атпх х — и> °тпх х — и
базисными конусами. Исключив из рассмотрения особый
случай, когда все конусы семейства —вырожденные, мы
всегда можем выбрать базисные конусы так, чтобы они
были невырожденными. Другими словами, мы выберем ба-
базисные конусы так, чтобы | атп | и | bmn | были отличны
от нуля.
Рассмотрим различные случаи соответственно числу
существующих независимых полярных направлений семей-
семейства, конусов.
I. Три независимых (некомпланарных) общих полярных
направления семейства. Как мы видели, эти три направ-
направления могут быть выбраны так, чтобы быть взаимно
сопряженными относительно обоих базисных конусов и,
следовательно, относительно каждого конуса семейства.
Возьмем эти направления в качестве новых координат-
координатных осей. Так как оси сопряжены относительно обоих
конусов, в новой координатной системе мы будем имей
. = аЯ1 = а., = о,я = оЯ1 = о.» = 0

§ 3] КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УР-НИЯ СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ 131
и уравнения конусов примут вид
«и (**)• + «22 (х2J + «зз (*3J - О,
Определитель
«u-^ii
0 а2а
0
«mn
0
-ей
0
-ытп
28
«зз-
0
0
будет
= («и- вйц) (а22 - 0622) (а33 - в&я).
Следовательно^ корни характеристического уравнепия C)
(стр. 126) будут
аи
* Т" '
«22
Обозначив эти корни через 8^ 82 и 83 соответственно,
мы получим уравнение семейства в виде
Ъп (8, - 8) (я1)* + Ьп (в, - 8) (ж2J + Ьт (9, - в) (х3J = О
и определитель \amii—Qbmn\
примет вид
Ьп
et—в о
О в,-(
о о
о
о
83-8
(8)
Здесь существуют три подслучая.
А. Три неравных корня Qlt 02, 62. Базисные конусы пересе-
пересекаются по четырем различным образующим. Вырожденными чле-
членами семейства являются три пары плоскостей, соответствующие
6 = 6Х, 92, 6S- Чтобы проиллюстрировать эти случаи, на рис. 13
показано сечение семейства конусов плоскостью, не проходящей
через начало О. Общие образующие — О А, ОБ, ОС, OD. Вырожден-
Вырожденные члены семейства —пары плоскостей ОАВ, OCD; ОВС, ODA;
OBD, ОСА и три общих полярных направления семейства—их
линии пересечения OP, OQ, OR. Если уравнение одпого из членов
семейства есть |5" = 0 и если Р=0, Q=0—уравнения какой-либо
из вышеуказанных пар плоскостей, то уравнение семейства кону-
конусов можно написать в виде S +A.PQ=0.

132 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ ?гл. VIJ
Б. Два равных корня (9i = 9s Ф 93). Конусы имеют соприкосно-
соприкосновение вдоль двух различных образующих, которые получаются как
пересеченно плоскости я3=0 с с конусами, т. е. вдоль образу-
образующих ОА и ОВ ?рис. 14).
Вырожденный член семейства —пара совпадающих плоскостей
ОАВ, получающаяся при 9 = 9! = 9г, а пара касательных плоско-
плоскостей ОРА, ОРВ. Общими поляр-
полярными [направлениями семейства
являются OP, OQ, OR, где Q и
Я—любые две точки, лежащие
на ABj и сопряженные относи-
относительно копусов. Бели мы запишем
уравнение плоскости ОАВ в виде
JP = O, уравнение семейства может
быть представлено в виде
В. Три равных корня (Вх = 98=
= 93). В этом случае все конусы
семейства совпадают, так как оба
базисных копуса совпадают. Урав-
непие семейства есть просто S =0.
II. Два независимых об-
общих полярных направления.
Пусть эти два направления будут ОР и OQ. Каждое из
направлений ОР и OQ имеет одни и те же полярные
плоскости относительно каждого члена семейства конусов,
причем они могут быть выбраны так, чтобы быть сопря-
сопряженными относительно каж-
каждого конуса. Полярные пло-
плоскости, как ОР, так и 00,
должны совпадать с плоско-
плоскостью OPQ, так как в про-
противном случае две поляр-
полярные плоскости пересекались
бы по направлению OR, ко-
которое было бы общим по-
полярным направлением се-
семейства, некомпланарным
с OP nOQ. Пусть ОР будет
то направление, чья полярная плоскость есть OPQ. Следо-
Следовательно, ОР есть образующая каждого члена семейства,
a OPQ е'сть плоскость, касающаяся каждого конуса семей-
семейства вдоль ОР. Кроме того, полярная плоскость направле-

3] КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УР-НИЯ СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ 133
ния OQ не может совпадать с OPQ. Пусть она пересекает
конус В по ОР и OR. Возьмем ОР в качестве оси ж1,
OR в качестве оси ж2 и OQ в качестве оси хя. Так как
ОР есть образующая и OP, OQ сопряжены относительно
обоих базисных конусов, то
11 11 13 13 *
Далее, поскольку OR есть образующая конуса В, a OQ
и OR сопряжены относительно конусов А и В, то
Следовательно, характеристический определитель примет
вид
О а12 - вЬ12 О
аг1-0&21 а2г 0 _
О 0 Яоо — 06.
Мы видим, что характеристическое уравнение имеет два
равных корня. Пусть корни будут 8lt 0lf Э3. Тогда урав-
уравнение семейства будет
2b12 (Gj - 9) xW + aM (x2J + Ь„ (в, - в) (х*)* = 0 (9)
и характеристический определитель может быть записан
в виде
о е,-е о
х —в
О
а2а
0
0
03-0
A0)
Мы рассмотрим два подслучая.
A)9iTfc93. Характеристическое уравнение имеет два равных
корня. Конусы имеют соприкосновение вдоль одной образующей
ОР (рис. 15) и пересекаются вдоль двух других различных обра-
образующих О А, ОБ. Вырожденными членами семейства являются
плоскости OPQ и OQA, соответствующие 9 = 93, и плоскости
ОРА, ОРВ, соответствующие 9 = 9j. Общими полярными направ-
направлениями семейства являются ОР и OQ. Если мы запишем урав-
уравнение плоскости OPQ в виде Р=0, а уравнение плоскости ОАВ
в виде Q = 0, то уравнение семейства конусов может быть написано
в виде

134 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [гл. УЙ
причем Р = 0 есть плоскость, касательная ко всем конусам се-
семейства.
Б) 91 = 93; характеристическое уравнение имеет три равных
корня. Конусы соприкасаются вдоль ОР (рис. 16); других общих
образующих нет. Единственный вырожденный член семейства есть
плоскость OPQ, взятая дважды,
которая получается при 6=6i.
Полярными направлениями семей-
семейства являются ОР и OQ, причем
Q есть любая точка на линии PQ.
Если мы запишем уравнение пло-
плоскости OPQ в виде Р=0, то урав-
уравнение семейства kohj сов будет
причем Р=0 есть плоскость, ка-
касательная ко всем конусам.
III. Одно общее полярное
направление семейства. Пусть
ОР будет этим направлением. Его полярная плоскость
должна проходить через ОР, в противном случае она
пересекала бы базисные конусы по двум парам различ-
различных линий и мы могли бы найти по крайней мере еще
одно общее полярное направ-
направление семейства. Следова-
Следовательно, ОР есть образующая
и ее общая полярная пло-
плоскость касается вдоль ОР всех
конусов; это означает что
конусы соприкасаются между
собой вдоль ОР.
Пусть OQ будет любое на-
направление в плоскости, по-
полярной ОР, и пусть OR бу-
будет линия пересечения пло-
плоскости, полярной OQ отно-
относительно конуса В, с самим
конусом В. Возьмем ОР в качестве оси ж1, OR в каче-
качестве оси х2 и OQ в качестве оси аГ3. Так как ОР есть
образующая обоих конусов, а ОР и 00 сопряжены отно-
относительно обоих конусов, то
Рис. 16.
а\\ =
Jia = '

§ 3] КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УР-НИЯ СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ 135
Так как OR есть образующая конуса В, a OQ, OR
сопряжены относительно конуса В, то
Следовательно, характеристический определитель будет
О au~Bblt О
С\ л AT)
Здесь может существовать только один корень характе-
характеристического уравнения, так как существует только одно
общее полярное направление семейства. Поэтому если
обозначить этот корень через 0Х, то мы должны иметь
Следовательно, уравнение семейства конусов будет
2\2 @! - 0) ж1 ж2 + 2а23х*х* + а22 (ж2J + Ъ33 (в, - 0) (ж3J = О
и уравнения вырожденного члена семейства получаются
при 0 = 0Х _ _
Вторая плоскость пересекает конусы по ОР и некоторой
другой образующей, отличной от ОР; таким образом,
в этом случае существует другая общая образующая,
отличная от ОР. Мы можем упростить наши результаты,
взяв эту образующую в качестве OR, т. е. оси ж2; в этом
случае _
а22=0.
Уравнение семейства конусов поэтому может быть
паписано в виде
2Ъп @Х - 0) х1хг + 2агзхгх3 + b33 (Ql - 0) (ж3J = О
и характеристический определитель будет
О 0j — 0 О
I —"О 0 паа
О
пц2
-0
(И)
A2)

136 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [гл. VII
Конусы соприкасаются вдоль ОР (рис. 17) и существует другая
общая образующая Ой. Единственный вырождешшй член семейства
есть пара плоскостей OPQ, OPR, получающаяся при 9 = 9j. Един-
Единственное общее полярное направление семейства есть ОР. Если
мы напишем уравнение плоскостей OPQ, OPR в виде Р=0, Q = 0
соответственно, то уравнение
семейства конусов будет
где Р = 0 есть плоскость, каса-
касательная ко всем конусам семей-
семейства, а плоскость 0 = 0 прохо-
проходит через общую образующую.
Рис. 17.
Мы исчерпали все воз-
возможные типы относитель-
относительного расположения конусов. Ниже мы займемся соответ-
соответствующими аналитическими признаками.
Упражнения
1. Показать, что в уравнении (9) а22 не может обратиться
в нуль.
(Обращепие его в пуль сделало бы OR общим полярным па-
правлением семейства.) _
2. Показать, что в уравнении (И) о23 не может обратиться
в нуль.
3. Доказать следующие двойственные предложении для семей-
семейства конических сечений
причем алгебраические выкладки в точпости аналогичны выклад-
выкладкам настоящего параграфа.
I. (А) Все конические сечения касаются четырех различных
бесконечно удаленных прямых.
(Б) Конические сечения касаются двух различных беско-
бесконечно удаленных прямых в двух данных точках.
(В) Все конические сечения совпадают.
II. (А) Конические сечепия касаются некоторой прямой в за-
заданной точке и касаются двух других различных прямых линий.
(Б) Все конические сечения касаются некоторой пря-
прямой линии в задаппой точке и не имеют других общих- каса-
касательных.
III. Копические сечепия касаются данной прямой в дашюй
точке и имеют еще одну общую касательную. (Канонические формы
уравнений в этих случаях совершеппо похожи на полученные выше
и мы просто интерпретируем прежние результаты при помощи
принципа двойственности.)

S 4] ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ 137
§ 4. Теория элементарных делителей
Для того чтобы мы могли дать аналитические при-
признаки различных случаев в § 3 (стр. 130), нам необхо-
необходимо сделать небольшое отступление в область теории
элементарных делителей детерминанта*).
Пусть атп и Ътп — два тензора, ковариантных относи-
относительно линейных преобразований, и пусть
hmn^amn-Qbmn. A3)
Мы, хотим рассмотреть детерминант
Известно, что | hmn | есть псевдоскаляр веса 2 и что его
алгебраические дополнения Нтп образуют псевдотензор
веса 2. Поэтому если преобразовать переменные по за-
закону
то мы получим следующие формулы:
I Г I _ V2 I h I
I "mnI — I I nmnI>
Hmn = y2c™c?# P9. Hmn = с*у%у«Н™, A5)
w
Мы будем предполагать, что | bmn | не равен нулю.
Возьмем общий наибольший делитель всех элементов
hmn и обозначим его Dt(Q). Очевидно, что относительно©
он не может иметь степень выше первой. Выберем его
так, чтобы коэффициент при 0 всегда был единицей.
Таким образом, D1(Q) всегда будет или 1, или@ —а).
Подобным же образом возьмем общий наибольший дели-
делитель всех детерминантов второго порядка, образованных
из A4), или, что то же самое, общий наибольший дели-
делитель всех алгебраических дополнений Нтп. Обозначим
его ZJ@) и возьмем в качестве коэффициента при высшей
*) В этом параграфе из чисто стилистических соображений
мы будем пользоваться термином «детерминант» вместо «опреде-
«определитель». (Прим. ред.)

138 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [гл. VII
степени 0 единицу; таким образом, D2(Q) может иметь
одну из трех форм: 1, @ —а), @ — а)@ — р). Наконец,
возьмем сам детерминант, разделил! его на — | Ътп |
и обозначим результат через D3(Q), так что D3(Q) есть
кубический полином относительно 0, у которого коэффи-
коэффициент при 03 равен единице.
Из A5) видно, что так как псе cj постоянны, то общий
наибольший делитель всех hmn есть также общий наиболь-
наибольший делитель всех hmn, и наоборот. Следовательно, -Oi@)
есть инвариант относительно линейных преобразований,
аналогично этому Z>2(9) u -^з(^) также инвариантны.
Далее, детерминант есть линейная функция своих алге-
алгебраических дополнений. Следовательно, D3{Q) должен
содержать D2(Q) как множитель; таким же образом ZJ (9)
должен иметь множителем Dl @). Поэтому можно написать
где Ех, Е%, Е3~иолияомы отиосительно 0; очевидно, что
все они инвариантны отиосительно линейных преобразо-
преобразований. Полиномы Ех, Е2, Е3 часто называют инвариант-
инвариантными многочленами детерминанта A4).
Разложим на множители каждый из инвариантных
многочленов. Пусть (Э — а) будет линейным множителем
любого из них, и пусть этот множитель повторяется ех раз
в Ех, е2 раз в Ег и е3 раз в Е3. Тогда те из выражений
(9_аД @-а)е2, (9^ а)е\ A7)
которые не являются просто постоянными, называются
элементарными делителями детерминанта A4), соот-
соответствующими линейному множителю @ —а). Отсюда мы
видим, что существуют элементарные делители, соответ-
соответствующие каждому из линейных множителей инвариант-
инвариантных многочленов Ег. Далее, из того, что все Et инва-
инвариантны, мы заключаем, что элементарные делители тоже
инвариантны и, в частности, числа ех, е2, е3 инвариантны.
Эти числа играют большую роль; мы будем часто
выражать тот факт, что A7) являются элементарными
делителями, соответствующими линейному множителю
(9 — а), при помощи символа
(I8)

§ 4] ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ 139
Числа, заключенные в круглых скобках, принадлежат
какому-либо линейному множителю 0 —а; поэтому сим-
символ A8) называется характеристикой множителя @ — а).
Кроме того, из A6) мы видим, что
д8(е) = ?1(8)^(е)?з(9)- A9)
Это показывает, что любой инвариантный многочлен Ег
есть также делитель полинома D3 и, следовательно, есть
делитель детерминанта A4). Поэтому, когда мы исследуем
A4) относительно элементарных делителей, можно рас-
рассматривать только линейные множители детерминанта.
В качестве простого примера рассмотрим детерминант
9 —а О О
О 9 —а 0 =(9—а)*(9 —Р).
О О 0-Р
Здесь
#8 = (9-аИ9-р), ZJ=(9-a), D1==l
т
и поэтому
?3=(9-а) (9-Р), /?2 = @-а), ^ = 1.
Символ, соответствующий множителю F —а), ость A 1 0); на
практике мы отбрасываем нули и читаем этот символ как (И).
Символ, соответствующий множителю (9—Р) есть A0 0) или,
опуская пули,.запишем его в виде 1, так как теперь скобок уже
не требуется. Полная информация относительно элемептарных
делителей содержится в характеристике [A1I], где. индексы
внутри круглых скобок относятся только к одному линейному
множителю.
Ниже мы увидим, что различные случаи § 3 (стр. 130)
можно классифицировать посредством элементарных дели-
делителей детерминанта A4).
Упражнения
1. Показать, что D\ есть делитель D2, a D\ «сть делитель D3,
п вывести отсюда, что Ег содержит Ех в качестве множителя.
2. Показать, что D3D1 содержит D\ в качестве множителя,
и вывести отсюда, что fc's является делителем Е3.
(Если Ктп есть дополнение Я™" во взаимном определителе,
то Ктп — \ hra\ hmn. Но Ктп делится на D% и DtDa есть общий
наибольший делитель | hrs | hmn, и т. д.)
3. Вывести из примеров 1 и 2, что в A8)

140 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИИ 1гл. VII
§ 5. Аналитические признаки
Изучим различные случаи § 3 (стр. 130), рассматри-
рассматривая элементарные делители детерминанта A4) в каждом
отдельном случае. Так как элементарные делители инва-
инвариантны, достаточно найти их в какой-либо одной системе
координат.
I (А). Определитель для этого особого случая в его простей-
простейшем виде есть (8) стр. 131, где 9i, 98, 93 все различны. Мы имеем
z>,(9)=(8~e1) (в—е2) (в—е3), л,(в)=1, с,(в)=1,
Я,(в) = (в-в1)(в-в,)(в-в1), Ешф)=1, ?,(9) = 1.
Тут существуют три различных корня и характеристика этого
случая есть
[111]. B0)
(Б). Определитель есть (8) (стр. 131), где 91 = 92. Следова-
Следовательно,
Д3(в) = (9-91)»(в-93), /J(9) = (9-91) Dt(9)=i,
?8(е) = (9-91)(е-9з), „ЯгF)=(9-9,), ?1(в)=1.
Здесь существуют два различных корня и характеристика есть
1A1I]. B1)
(В). Определитель есть (8) (стр. 131), где 91 = 92=93. Следо-
Следовательно,
A,(9) = (9-9i)8. />1(в)=(в—в»)», A(9) = (9-9X),
?s(9) = (9-91), ?s(9)=(9-9,), Ег(д) = (в-в,).
Здесь имеется только один корень и характеристика есть
[A11)]. B2)
II (А). Определитель есть A0) (стр. 133), где &гф Q3 и aas
не нуль.
3() )C) ,() ()
Число различных корней равно двум, и мы находим, что характе-
характеристика есть
[21]. B3)
(Б). Определитель есть по-прежнему A0) (стр. 133), но
теперь 91 = 03 и поэтому
Здесь есть только один корень и мы имеем характеристику
[B1)]. B4)

i 9) АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИЗНАКИ t41
III. В этом случае определитель есть A2) (стр. 135), в кото-
котором аю не нуль. Таким образом,
Da (в) = F-0!)», ?>2(8)=1, ^(в)-!,
Я,(в)=(в-в1)», Et(Q) = l, ^(9) = !.
Здесь есть только один корень и характеристика имеет вид
[3]. B5)
Мы видим, . что характеристика в каждом случае
различна и, следовательно, может служить признаком
того, чтобы отличить один случай от другого. Таким
образом, если мы знаем элементарные делители детер-
детерминанта
Кп-еьтп|, B6)
то мы знаем канонический вид, к которому приводятся
квадратичные формы
атпХ Х > °тпХ Х •
Это будет тот из упоминавшихся выше частных случаев,
который имеет ту же самую характеристику/что и B6).
Точно так же, если две пары квадратичных форм
атпх х > °тпХ Х И атп-ь X , ОтпХ X
имеют одни и те же элементарные делители, первая
пара может быть переведена во вторую пару линейным
преобразованием и наоборот, так как если семейство
может быть приведено к канонической форме преобразо-
преобразованием Т, то семейство
может быть приведено к той же самой форме преобразо-
преобразованием Т. Следовательно, обозначая обратные преобра-
преобразования через Т'1 и Г', мы видим, что преобразование
Т-Т''1 будет переводить первую пару во вторую, а Т' • Т'1—
вторую в первую.
Необходимо отметить, что мы исключили из рассмо-
рассмотрения особый случай, когда обе квадратичные формы
вырождены; в этом случае характеристическое уравнение
удовлетворяется тождественно при любом Ф.

142 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [гл. VII
Упражнения
1. Покааать, что коэффициенты кубического полинома
\атп — 66mn | являются псевдоскалярами веса 2. Обозначим через
А и В определители \атп\ и \Ътп\ соответственно, через Атп —
алгебраическое дополнение атп в А, а через Втп — алгебраическое
дополнение Ьтп в В. Раскрыв определитель, мы найдем
I атп - Ютп 1 = А -
А в В—псевдоскаляры веса 2, Атп и Bmn—псевдотешоры того же
веса. Отсюда высказанная нами теорема следует немедленно. Эти
коэффициенты обычно обозначают через Д, 0, 0', Д'. Так как они
инвариантны, мы можем ожидать, что обращение их в нуль озна-
означает некоторое геометрическое соотношение между конусами семей-
семейства. Так, -4 = 0 означает, что первый конус вырожденный,
а .8=0—что второй конус вырожденный. Можно показать, что
Обращение в нуль двух других коэффициентов также может быть
истолковано геометрически.
2. Показать, что если АтпЬтп = О, то существует бесконечное
число троек образующих конуса В, которые попарно сопряжены
относительно конуса А. Аналогично для атпВтп = 0.
(Привести А к канонической форме и в то же самое время
взять две образующие конуса В в качестве координатных осей,
потом вычислить инвариант в этой системе.)
3. Показать, что если АтпЬтп=О, то существует бесконечное
число троек касательных плоскостей к копусу А, попарно сопря-
сопряженных относительно конуса В. Аналогичво для
(Выбрать координатную систему так, чтобы уравнение конуса В
было приведено к канонической форме и две координатные плоскости
касались конуса А, затем вычислить инвариант в этой системе.)
4. Пусть даны два копическнх сечения атпитип — 0
и ртпитмп=0; исследовать элементарные делители детерминанта
| атп — 0pmn | в каждом случае задачи 3 (стр. 136) и таким образом
дать соответствующие аналитические признаки.
5. Показать, что коэффициенты кубического полинома
|amn—6p"mn| являются псевдоскалярами веса —2, и выяснить,
что означает геометрически обращение их в нуль.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Доказать, что если корень уравнения \атП—6&тп|=0 есть
также корень некоторой кратности всех миноров второго порядка,
то он должен быть кратным корнем определителя.
2. Показать, что необходимое и достаточное условие того, что
конусы А и В имеют соприкосновение по двум образующим, состоит
в том, что уравнение C) должно иметь двойной корень, являю-
являющийся также корнем всех его миноров второго порядка.

Упражнения К ЛлаЬе Vil 143
3. Показать, что конусы А и В имеют соприкосновение вдоль
одной образующей, если уравпение C) (стр. 126) имеет двойной
корень, который не является корнем ^сех его миноров второго
порядка.
4. Конусы А ж В имеют соприкосновение второго порядка,
если уравнение C) (стр. 126) имеет тройной корень, который не
является корнем всех его миноров второго порядка.
5. Доказать, что если В есть изотропный копус, то семейство
(атп — 6ё'»пп):*:ГЛа:П=0 имеет следующие свойства:
а) Каноническая форма уравнения согласио п. 1 (стр. 130)
должна быть (в прямоугольных декартовых координатах)
(Это приведение было уже сделано на стр. 118.)
б) Общие полярпые направления семейства совпадают с глав-
главными направлениями конуса А.
в) Вырожденными членами семейства являются пары плоско-
плоскостей, пересечения которых совпадают с главными осями.
г) Конус А есть копус вращепия, если он соприкасается
с изотропным конусом вдоль двух образующих.
6. Показать, что если мы рассмотрим семейство конических
сечений (атп—Bgmn)umun = O, полученное из конических сечений
а,тпитип = 0 и бесконечно удаленной окружности, то оно обладает
следующими свойствами:
а) Канопическая форма есть
(Это приведение было уже указано в задаче 3 (стр. 121).)
б) Полярные прямые семейства сопряжены относительно бес-
бесконечно удаленного круга.
в) Вырожденными члепами семейства являются три пары
точек, по одной на каждой общей полярной прямой семейства.
7. Софокусные конусы. Рассмотрим конусы, полученные путем
соединения точек конических сечений предыдущей задачи прямыми
линиями с началом координат. Это —семейство софокусных конусов;
показать, что опо имеет следующие свойства:
а) Каноническая форма уравнения есть
б) Все конусы семейства имеют одни и те же главные плоско-
плоскости, именно, получившиеся путем соединения прямыми точек
общей полярной прямой семейства копических сечений с началом
координат.
в) Вырожденными членами семейства являются пары прямых,
проходящих через начало,-по паре в каждой главной плоскости.
Они называются фокальными прямыми семейства.
8. Показать, что если АтпЬтп=О, то плоскости ЪтПхтхп = §
сопряжены относительно конуса атпхтхп=0.

144 СЕМЕЙСТВА КОНУСОВ И КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [гл. VIJ
9. Получить из упражнения 8) что условие ортогональности
плоскостей Ьтпхтхп=0 есть gmmn=0.
10. Какие теоремы двойственны к высказанным в задачах 8
я 9?
11. Показать, что если касательные плоскости, проведенные
аз точки Р к конусу В, сопряжены относительно конуса А, то Р
лежит на конусе, уравнение которого есть
Атп (ЬтпЪгз-ЪтгЪ
Показать также, что уравнение этого конуса может быть записано
в эквивалентной форме:
12. Найти геометрическое место таких точек Р, что касатель-
касательные плоскости, проведенные из них к конусу В, ортогональны.
(Это—частный случай задачи 11, когда amn = gmn.)
13. Найти геометрическое место таких точек Р, что пары
касательных плоскостей, проведенные из нее к конусам А а В,
образуют гармонический пучок.
(Это—та же проблема, что и в задаче 11.)
14. Показать, что если полярные плоскости точки Р относи-
относительно конусов А и В ортогональны, то Р лежит на конусе
gmnamrbnsxrx> = 0.
15. Показать, что если полярная плоскость точки Р относи-
относительно конуса В касается конуса А, то геометрическое место
точек Р есть конус

ГЛАВА VIII
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Точечное уравнение центральной поверхности
второго порядка
Центральная поверхность второго порядка есть поверх-
поверхность, уравнение которой имеет вид
Точка хг0 называется центром поверхности. Эта точка
без потери общности может быть взята в качестве начала
координат; в этом случае уравнение поверхности примет
вид
гтгп _ л | /п\
Отсюда мы сразу видим, что если объект атп взят сим-
симметричным, что всегда можно сделать, то он является
ковариантным тензором второго порядка.
Если хга есть любая точка, через которую проведена
прямая в направлении Хг, то уравнение этой прямой есть
хг = х'о + рЛг,
где q —расстояние между точками жЦ и хТ; эта прямая
пересекает поверхность второго порядка в точках, опре-
определяемых уравнением
x™xl=l. C)
Корни этого уравнения определяют расстояния от хг0 до
точек пересечения прямой с поверхностью второго порядка;
последнюю мы в дальнейшем будем обозначать для крат-
краткости через Q.

146 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VIII
Из этого уравнения мы можем сделать следующие
выводы:
а) Определяя полярную плоскость точки хг0 относи-
относительно Q как место всех таких точек хг, что точки хг0,
хг образуют гармонический ряд с точками пересечения,
мы найдем, что уравнение полярной плоскости точки zj
относительно Q есть
б) Если хг0 лежит на поверхности второго порядка,
то полярная плоскость точки xj совпадает с касатель-
касательной плоскостью в точке хг0\ уравнение касательной пло-
плоскости в точке хг0 есть D), где точка хг0 теперь принад-
принадлежит поверхности второго порядка.
в) Если хг0 есть центр поверхности Q, то хг0 = О и урав-
уравнение C) примет вид
y=l, E)
откуда следует, что все хорды поверхности Q, проходя-
проходящие через центр, делятся центром пополам.
г) Прямая, проходящая через хгй, касается Q, если
{атпктх^ = (amnlmln) (araxroxl -1).
Следовательно, уравнение конуса с вершиной в точке rcj,
касательного к поверхности Q, есть
[«mn (*т ~ «?)*о? = атп(хт - яг») (я"- ««){а„хЮ -1),
или
(атпхтх%- IJ = (атпхтхп- \.){atix\x\- 1). F)
Упражнения
1. Расстояние от центра до поверхности второго порядка
в направлении Хг называется полудиаметром в этом направлении.
Показать, что это расстояние равно
т/a JL"'JLn
У атп"> "¦
2. Показать, что полудиаметры в направлениях координатных
111
осей равны —j= , , при условии, что система
уяи У% у я3з
координат декартова.

i 2] ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 147
3. Показать, что если V есть образующая конуса атпжтд;п=0)
то оба корня уравнения E) равны бесконечности. Этот конус
называется асимптотическим.
§ 2. Тангенциальное уравнение поверхности
второго порядка
Найдем теперь условие того, что плоскость
игхг=1 G)
касается поверхности второго порядка Q. Если х\ есть
точка касания, то уравнение касательной плоскости к Q
есть
и эта плоскость должна совпадать с G). Следовательно,
Mr = <WT- (8)
Умножая это равенство на Ars (алгебраическое дополне-
дополнение аг, в А), мы получим
Если А Ф 0 и если положить агз = —т- , мы получим
xr = araus. (9)
Но
следовательно,
" " A0)
есть то условие, которому должна удовлетворять пло-
плоскость ит, если она касается поверхности Q. Поэтому A0)
называется плоскостным, или тангенциальным, уравне-
уравнением поверхности второго порядка.
Обратно, покажем, что если плоскость иг удовлетво-
удовлетворяет соотношению (Ю), то она касается поверхности
второго порядка. Пусть ы' будет частное значение, удов-
удовлетворяющее A0); рассмотрим точку
агзмгм? = 1- (И)

148 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (гл. VIII
Если обозначить эту точку через з?0, то
xl = агзи?.
Если |агз|#0, то
u°r = aTsxl
где атя есть алгебраическое дополнение а" в |агз[, делен-
деленное на |afI|. Но и? удовлетворяет A0). Следовательно,
l, A2)
и плоскость и% имеет в качестве точечного уравнения
Другими словами, плоскость и? — касательная плоскость
к поверхности
и точка касания есть
Мы рассмотрели случаи, когда |ятп| и |атп| не нули.
Другие случаи мы пока рассматривать не будем.
Упражпепия
1. Показать, что полюс плоскости и? относительно атпитип=1
есть a^Ufulszl.
2. Показать, что центр есть полюс бесконечно удаленной
поверхности.
3. Показать, что уравнение кривой, по которой плоскость и?
рассекает поверхность второго порядка, есть
§ 3. Каноническая форма уравнения поверхности
второго порядка. Главные оси
Мы видели, что квадратичная форма атпхтхп может
быть приведена бесконечным числом способов к виду
«и

9 8] КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ 149
В этом случае уравнение поверхности второго порядка
примет вид
«и С*1J + «22 (*2J + «зз (х3)* - 1 • A3)
Назовем эту форму уравнения канонической. Более того,
известно, что мы всегда можем привести уравнение
к этой форме и в то же самое время выбрать систему
координат так, чтобы она была прямоугольной декарто-
декартовой. В этом случае координатные оси называются глав-
главными осями, а координатные плоскости — главными пло-
плоскостями поверхности второго порядка. Числа
1 1 1
vz' vtj утг;
которые определяют длину полудиаметров в направлении
главных осей, называются длинами главных полуосей.
Аналогично этому мы видели, что квадратичную форму
<хт"итип можно привести к виду
Следовательно, плоскостное уравнение поверхности вто-
второго порядка может быть бесконечным числом способов
приведено к канонической форме
A4)
Более того, мы можем, по крайней мере одним способом,
привести уравнение к виду A4) и в то же самое время
выбрать систему координат так, чтобы она была декар-
декартовой и прямоугольной.
Упражнения
1. Показать, что длины главных полуосей поверхности вто-
111
рого порядка B) равны —-—=- , —у=т- > —-г=- > где 6^ 82, 63—
корпи уравнения \amn—Qgmn |=0.
2. Показать, что координаты плоскости, касательной к поверх-
поверхности второго порядка A3), удовлетворяют уравнению

150 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1гл. VIII
3. Показать, что плоскость, координаты которой удовлет-
удовлетворяют A4), касается поверхности второго порядка
| У)а 1 (!3
4. Две точки называются сопряженными относительно поверх-
поверхности второго порядка, если одна лежит на полярной плоскости
другой. Показать, что условие сопряженности точек х\ и х\ отно-
относительно атпхтхп—\ есть amnx™x% = i.
5. Две плоскости называются сопряженными, если полюс
одной лежит на другой. Показать, что иг и иг сопряжены относи-
относительно amnumun = l, если отпм^,и^=1.
§ 4. Классификация центральных поверхностей
второго порядка
Взяв главные оси поверхности второго порядка за оси коор-
координат и, таким образом, приведя уравнение поверхности к канони-
канонической форме, мы можем классифицировать различные возможные
тины центральных поверлностей второго порядка. Возьмем опре-
определитель 169
А = \атп\. A5)
Когда уравнение приведено к канонической форме, мы имеем
¦ вивво„. A6)
«11
0
0
0
«22
0
0
0
«33
Рассмотрим следующие случаи:
I. АфО. Отсюда следует, что А не нуль, т. е. что ни один
из о не исчезает. Уравнение поверхности второго порядка будет
~ ( 1- A7)
Существуют четыре подслучая в соответствии со знаками коэф-
коэффициентов.
а) Если все три коэффициента положительны, поверхность—
эллипсоид.
б) Если два коэффициента положительны, а один отрицателен,
поверхность—однополостный гиперболоид.
в) Если один коэффициент положителен, а два отрицательны,
поверх ность—двуполостный гиперболо ид.
г) Если все коэффициенты отрицательны, поверхность мнимая.
II. А = 0, но не все миноры второго порядка нули. В этом слу-
случае А=0, но но все его миноры второго порядка нули. Тогда
только один из коэффициентов может быть нулем, например аы.

J 4] КЛАССИФИКАЦИЯ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 151
Уравнение поверхности будет
!• A8)
Поверхность второго порядка—цилиндр, ось которого есть ось ха,
а поперечное сечение—коническое сечение, представляемое урав-
уравнением A8) вместе с ass=O.
а) Если аи и а22 оба положительны—цилиндр эллиптический.
б) Если один коэффициент положителен и один отрицателен—
цилиндр гиперболический.
в) Если оба коэффициента отрицательны—цилиндр мнимый.
III. А = 0, АтЛ—0. В этом случае Л=0 и Атп = 0; следо_ва-
тельно, два из коэффициентов равны нулю, например я22 и а33.
Уравнение поверхности второго порядка принимает вид
Su (*!)»= 1, A9)
и поверхность есть пара параллельных плоскостей.
а) Если аХ1 положительно — плоскости действительны.
б) Если пц отрицательно — плоскости мнимы.
Упражнения
1. Исследовать, что представляет собой плоскостное уравнение
()a+22(Jl
(
Пусть иг есть плоскость, координаты которой удовлетворяют
уравнению
a"(«iJ + a22(u2J=l. (а)
Рассмотрим точку
Если обозначим ее координаты через jcJ, то мы имеем
или
но и\ и и% удовлетворяют (a) и, следовательно мы имеем
<#+<?-. *-<>¦
Таким образом, точка хг0 лежит на коническом сечении
aii ' a22
Далее, плоскость щ- имеет уравнение u?xr=l или —~--\ ^- +
8 = 1, и мы видим, что эта плоскость при любом и% касается

152 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
конического сечения в точке asj. Следовательно, (а) выражает
условие того, что плоскость иг касается конического сечения или,
другими словами, (а) есть плоскостное (тангенциальное) уравнение
конического сечения, которое лежит в плоскости ass=O и имеет
начало координат в качестве центра.
2. Показать, что a11(MiJ=l изображает две точки на оси ж1,
причем начало координат делит пополам расстояние между ними.
3. Классифицировать различные типы поверхностей, описывае-
описываемых уравнением атпи1Нип=\, показав, что имеются следующие
частные случаи:
а) |amn|^-0; поверхность второго порядка с центром в начале
координат.
б) |amn| = 0, но не все миноры второго порядка равны нулю;
коническое сечение с центром в начале.
в) [amn| = 0 и все миноры второго порядка равны нулю; пара
точек, каждая из которых есть отражение другой относительно
начала.
4. Показать, что если А = 0, то ось цилиндра атпхтхп=1
определиется таким вектором Хг, что armXm = 0.
5. Показать, что если все миноры второго порядка определи-
определителя | атп | равны нулю, то атпхтхп есть точный квадрат.
§ 5. Софокусные поверхности второго порядка
Пусть
B0)
есть тангенциальное уравнение центральной поверхности
второго порядка. Возьмем бесконечно удаленную окруж-
окружность
g™umun = 0. B1)
Каждая плоскость иг, которая касается как B0), так
и B1), будет также соприкасаться со всеми членами
семейства
B2)
которое назовем семейством софокусных поверхностей
второго порядка; очевидно также, что это семейство
концентрических поверхностей, у которого начало коор-
координат является общим центром.
Семейство имеет четыре вырожденных члена. Один
из них — бесконечно удаленная окружность, получаю-
получающаяся, когда параметр 6 равен бесконечности; три дру-

fr 5] СОФОКУСНЫВ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 153
гих получаются при значениях 8, удовлетворяющих
уравнению
|amn-8gmn| = 0. B3)
Эти вырожденные члены семейства, как известно,
являются коническими сечениями с центром в начале
координат; они называются фокальными коническими
сечениями семейства.
Найдем каноническую форму уравнения семейства
софокусных поверхностей. Мы всегда можем привести
две квадратичные формы ат"ктип и gmnumun, из которых
вторая —положительно определенная, одновременно
к виду
&? + &*&)* + '&»&,)* и КJ + Ы2 + (п3J.
Следовательно, уравнение семейства примет вид
(а» - в) КJ + (а22 - в) КJ + (а» - 0) (и3J - 1.
Кроме того, коэффициенты а11, а22, а33 являются кор-
корнями уравнения B3); если обозначать эти корни через
6ц 62, б3, то уравнение семейства будет
(8г - 6) (к,J + (в, - в) (й2J + (в, - в) Ы2 = 1. B4)
Далее, так как gmn — метрический тензор, то новая коор-
координатная система —прямоугольная декартова. Точечное
уравнение, соответствующее B4), есть
ffl)'<^WU, B5)
Bi—e ex—e 9S—e
откуда сразу видно, что все члены семейства имеют
одни и те же главные оси и плоскости. Фокальные
конические сечения получим, положив в B4) 6=6,,
02, 03. Например, положив 6 = 6,, мы получим кониче-
коническое сечение
а соответствующие точечные уравнения будут

154 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ?гл. VIII
Это коническое сечение, очевидно, лежит в главной
плоскости х3 = 0. Аналогично и другие два конических
сечения лежат в главных плоскостях. Таким образом,
фокальные конические сечения лежат в главных плоско-
плоскостях семейства.
Упражнения
1. Показать, что только один член софокусного семейства
может быть построен так, чтобы он коснулся данной плоскости.
2. Показать, что геометрическое место полюса данной пло-
плоскости относительно софокусиых поверхностей есть прямая.
3. Показать, что плоскости, касательные к двум софокусным
поверхностям в любой точке их пересечения, взаимно ортого-
ортогональны.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
1. Показать, что прямая хг=х^-\-ф7 лежит полностью на
поверхности второго порядка, если
„ _тп_п \ „ «шщ ft л 1ТО1П О
атпхо хо — J> атпхо А. —и, атпл Л —V.
Такая прямая называется образующей; мы видим, что образующие
поверхностей второго порядка параллельны образующим асимпто-
асимптотического конуса.
2. Два диаметра или прямые, проходящие через центр, назы-
называются сопряженными, если их направления удовлетворяют соот-
соотношению атгД?*Х2=0. Показать, что геометрическое место всех
диаметров, сопряженных с Хг, есть плоскость' атД'па;п = 0, кото-
которая называется плоскостью, сопряженной с Хг.
3. Если оси сопряжепы относительно поверхности второго
порядка, то a12 = a2g=aai=0. Следовательно, когда уравнение
поверхности приведено к канонической форме, координатные оси
сопряжены относительно этой поверхности.
4. Посредством исследования инварианта gmno-mn в декартовых
координатах, у которых оси сопряжены относительно поверхности
второго порядка, показать, что сумма квадратов трех сопряженных
полудиаметров постоянна.
( Инвариант в этой системе есть 1 1 . )
5. Посредством исследования инварианта g | amn \ в той же
системе координат показать, что тетраэдр, вершина которого рас-
положе на в концах трех сопряженных полудиаметров и в начале
координат, имеет постоянный объем.
6. Исследовать инвариант gmnamn в прямоугольных декартовых
координатах и вывести, что сумма квадратов обратных- полудиа-'
метров, которые взаимно ортогональны, постоянна.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII 155
7. Показать, что тангенциальное уравнение единичной сферы
gmnmxn—l есть gmn«m«n=l и что ее сечение бесконечно уда-
удаленной плоскостью есть бесконечно удаленная окружность.
8. Показать, что главные оси поверхности второго порядка
определяются из системы armXm = Q\r, где 8 есть корень уравне-
уравнения \атп — 8gmn| = 0.
(Это—векторное уравнение, и, рассматривая случай, когда
координатными осями являются главные оси (стр. 118), мы видим,
что ему удовлетворяют только главные направления.)
9. Показать, что направление перпендикуляра к полярной
плоскости точки хг относительно поверхности второго порядка
определяется вектором ar.sx*.
10. Доказать, что уравнение атпхтхп = 1 представляет поверх-
поверхность вращения, если существует величина 8, которая обращает
в нуль все миноры второго порядка определителя | атп — Qgmn I-
В случае декартовой ортогональной системы координат выразить
это условие в явном виде.
11. Показать, что если атпхтхп=1 есть уравнение прямого
кругового цилиндра, то условие предыдущей задачи удовлетво-
удовлетворяется вместе с 4=0.
12. Исследовать поверхность
(amnars—amrans) %™№xW = amn%m№,
когда система координат выбрана так, что W определяет ось х3
и в то же самое время поверхность атпхтхп = 1 приведена к кано-
канонической форме. Вывести отсюда, что это—уравнение цилиндра,
который охватывает поверхность второго порядка и ось
которого направлена по Хг.
13. Чтобы исследовать сечение центральной поверхности вто-
второго порядка плоскостью, примем, что X1' есть направление, сопря-
сопряженное с данной плоскостью, и выберем систему координат так,
чтобы ось хг была паправлепа по А/, а уравнение поверхности
приводилось к канонической форме. Доказать, что данная пло-
плоскость оказывается параллельной х3 = 0 и что все параллельные
сечения подобны.
14. Показать, что если grasr=l есть плоскость, секущая по-
поверхность второго порядка, то уравнение цилиндра, проведешюго
через это сечение так, чтобы направление его оси было сопряжено
с плоскостью, есть
15. Показать, что главные полуоси сечения поверхности вто-
1 1
рого порядка плоскостью ?rasr=O будут ,—., ¦ .—, где Qlt
У 8, У 82
82—корпи уравнения

156 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VIII
а главные направления Xе сечения определяются из уравнений
(Это—векторные уравнения. Исследовать их в системе коорди-
координат, предложенной в задачо 13).
16. Круговые сечения. Показать, что если мы выберем 8 так,
чтобы оно удовлетворяло уравнению | ат„ — 6gmn | = 0, то сечения
поверхности атпхп'хп = 1 плоскостями (атп — Qgmn)xmxn=^0 будут
окружностями, и что эти плоскости попарно пересекаются вдоль
главных осей поверхности. (Привести уравнение поверхности к ее
канонической форме, чтобы оси координат стали ее главными
осями.)

ГЛАВА IX
ОБЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
| 1. Общее уравнение поверхности второго порядка
Общее уравнение поверхности второго порядка есть
A)
где amn —симметричный тензор второго порядка, Ьт —
вектор, а с — скаляр, причем все коэффициенты постоянны.
Если координаты любой точки Р будут х\ и мы про-
проведем через Р прямую в направлении Кг, пересекающую
поверхность в точках R, S, то длина отрезков PR и PS
определяется корнями уравнения
2Q (а
ЪтХ
= 0.
B)
Из этого уравнения мы получаем следующие результаты:
а) Геометрическое место таких точек Q, что (PRQS)
образует гармонический ряд, есть плоскость
с]
или
n) + c = 0.
C)
Это — полярная плоскость точки Р относительно поверх-
поверхности. Мы назывем точки Р и Q сопряженными относи-
относительно поверхности, если полярная плоскость одной из
них проходит через другую, Мы видим, что условием

158 ОБЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1гл. IX
сопряженности точек х\ и а? относительно A) является
равенство
+ с = 0. D)
б) Если Р лежит на поверхности, один корень урав-
уравнения B) есть нуль; второй корень обращается в нуль,
если Q (любая точка плоскости PRS) лежит на плоскости
*шК (*" - К) + ът (хт - <) = о,
или, что то же самое, на плоскости
VX + ^(^ + O + c = 0. E)
Следовательно, это уравнение плоскости, касательной
к поверхности в точке Р; оно является также уравне-
уравнением полярной плоскости точки Р.
в) Если точка Р не лежит на поверхности, a Q лежит
на конусе, касающемся поверхности и имеющем точку Р
вершиной, то уравнение B) имеет равные корни. Чтобы
корни могли быть равны, Q должна лежать на конусе
[атя*™ (хп - <) + Ът (хт - *«)]» =
= атп (хт - ж™) (хп - я?) (атЛХ + 2Ьтх? + с)
или, что то же самое, на конусе
[атпхтхпй + Ьт (хт + О + с]" =
= (атпхтхп + 2Ьтхт + с) (амя*Х + 2МГ + с). F)
Это, как мы видим, и есть уравнение конуса с вершиной
в Р, касающегося поверхности.
Упражнения
1. Если через точку Р провести прямую параллельно образую-
образующей конуса
то оиа пересечется с A) в бесконечно удаленной точке.
2. Прямая xr=x^-\-QXr будет полностью лежать на поверх-
поверхности, если

i Я) ЦЕНТР 159
Эта прямая называется образующей поверхности второго порядка.
3. Показать, что середины всех хорд, проходящих в данном
направлении \г, лежат в плоскости
4. Показать, что все хорды, которые делятся пополам точ-
точкой «J, лежат в плоскости {.атп^-^Ьп) (*n — «Jf) = O.
§ 2. Центр
Если мы можем выбрать точку Р так, что ее коор-
координаты х\ удовлетворяют уравнению
г=О, G)
то из B) видно, что на каждой прямой, проходящей
через эту точку, поверхность отсекает отрезок, который
точка Р делит пополам. Такую точку Р называют цент-
центром поверхности второго порядка. Следовательно, суще-
существование центра зависит от существования решения
системы G).
Это—уравнения трех плоскостей; относительное положение
трех плоскостей было рассмотрело выше, на стр. 85. На этом
основании мы получаем следующие выводы относительно суще-
существования центра поверхности второго порядка A).
I. А = \ атп | Ф 0. В этом случае существует единственная
обыкновенная точка пересечения плоскостей и, следовательно,
существует единственный центр.
II. А=0, но не все миноры второго порядка А равны нулю.
Тут существуют два подслучая:
а) ЬтАтТ ф 0, где Атп—алгебраическое дополнение %„ в А.
В этом подслучае существует единственный центр в бесконечно
удаленной точке.
б) ЬтАтг = О. В этом подслучае существует целая прямая,
каждая точка которой есть центр, так называемая прямая
центров.
III. i4 = 0 и все миноры второго порядка также нули. Тут
снова существуют два подслучая:
а) ara Ф kbfb8. В этом подслучае существует бесконечно уда-
удаленная прямая, каждая точка которой есть центр.
б) ars = kbrb,. В этом подслучае существует плоскость, каждая
точка которой есть центр, так называемая плоскость центров.
Упражнения
1. Показать, что если А ф 0, то единственный центр имеет
координаты х^=—ars6s, где are есть алгебраическое дополнение
ars в А, деленное на А.

t60 ОБЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (гл. IX
2. Показать, что
А{с-а™ЬтЬп) = "mn Ь"
6„ с
3. Показать, что если А Ф О, то уравнение поверхности вто-
второго порядка можно написать в виде
Это — уравнение центральной поверхности, где zg—координаты
центра.
4. Воспользовавшись уравпением из задачи 3, показать, что
если Д=0, то поверхность есть конус с вершиной в точке xj.
§ 3. Приведение уравнения поверхности
второго порядка
Мы вернемся к проблеме .приведения общего уравне-
уравнения A) к различным каноническим формам. Используем
обозначение
атп К
Ъ
п
(8)
причем, как и прежде, А будет обозначать |amn|, а Атп —
алгебраические дополнения его элементов.
Мы видели, что квадратичная форма атлхтхп может
быть приведена к виду an(xl)s-i-a2i(x2J + a33(x3J беско-
бесконечным числом способов, причем по крайней мере в од-
одном из них система координат будет декартовой и пря-
прямоугольной. Предположим, что это преобразование сде-
сделано, и рассмотрим следующие случаи:
I. АфО. Тогда коэффициенты аи, а22, а33 пе все нули, и урав-
уравнение поверхности второго порядка может быть написано в виде
Далее,

§ 3] ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ 161
Следовательно, мошпо написать уравпопие поверхности в виде
ац&1-%)%+*я&-х& + Ъ,&-'%)ш+-^ = 0. (9)
а) АфО. Тогда АфО и (9) есть уравнение центральной поверх-
поверхности второго порядка, центр которой имеет координаты Xq.
б) А=0. Тогда Л = 0 и (9) есть уравнение действительного
конуса, вершиной которого является точка Xq.
II. А = 0, но не все миноры второго порядка равны нулю. В этом
случае одип и только одип из коэффициентов ап, а22 и а33 равен
нулю. Пусть, например, а33=0. Уравнение поверхности примет вид
а22 / ап а22
Кроме того,
Ли = Л2г = 0, Л33 = аиа22, Атп = 0 (тфп).
а) ЬтАтг не все равны пулю. Тогда Ъ1ПАтг также не все равпы
нулю и, следовательно, Ъ3ф0. Уравнение поверхности можно напи-
написать в виде
ап (^-4L а22 (х*-х№ + 2Ъ3 (хЗ-х§) = 0. A0)
Поверхность есть параболоид. Далее, если система координат декар-
декартова и прямоугольная, точка х\ называется вершиной, а прямая,
проходящая через нее параллельно оси хъ, называется осью пара-
параболоида. Из предыдущего параграфа мы получаем, что в этом слу-
случае единственный центр есть бесконечно удаленная точка.
б) b,nAmr=Q. Тогда ЪтАтг = 0 и, следовательно, 68 = 0. Урав-
Уравнение поверхности примет вид
a1i(^1-^J+«22(^-^+c-Ji~^- = 0. (И)
ап а22
Это — уравнение цилиндра, ось которого проходит через точку
(xl, xl, 0) параллельно оси х3. Тут существует прямая центров,
именно ось цилиндра. Если случится, что
ап а22
то цилиндр вырождается в две пересекающиеся плоскости, причем
ось цилиндра переходит в линию их пересечения. В этом послед-
последнем случае легко проверить, что все миноры второго порядка опре-
определителя А и, следовательно, определителя А равны нулю.
III. А —0 и все миноры второго порядка обращаются в нуль.
В этом случае два из коэффициентов аи, а22, я3з обращаются

162 ОБЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. ТХ
в пуль, например, пусть аи=аи=0. Уравнение поверхности при-
приводится к виду
) 3
)
а33 У а33
Наш выбор системы координат палагает ограничение только на
плоскость х3, и мы можем выбрать оси х1 и х2 в этой плоскости
так, чтобы один из коэффициентов Ьь 62 стал нулем; пусть, напри-
например, 6х=0. _ J
а) атпфкЬтЬп. Тогда ашпфкЬтЬп, из чего мы заключаем,
что Ъ2ф0. Уравнение поверхности можно [тогда написать в виде
а33 (х3 - ig)8 \-2Ь2 (г2 - xl) = 0. A2)
Поверхность—параболический цилиндр, ось которого параллельна
оси ж1. В этом случае существует бесконечно удаленная прямая
центров. Если система координат декартова и прямоугольная, на-
назовем прямую, проходящую через точку @, х$, х$) параллельно
оси х1, линией вершин.
б) amn = kbmbn. Теперь мы имеем Ь2 = 0, и уравнение поверх-
поверхности будет
а33
Поверхность становится парой параллельных плоскостей. В этом
случае существует плоскость центров. Если окажется, что
то A3) есть уравнение двух совпавших^плоскостей.
Это исчерпывает все возможные типы поверхностей второго
порядка в точечных координатах.
Упражнения
1. Показать, что поверхности второго порядна могут быть клас-
классифицированы следующим образом:
I. ЬфО. а) АфО — центральная поверхность; б) А = 0,
АтпФ0—параболоид.
II. Д = 0, но не все мипоры третьего порядка равпы нулю,
а) АфО—действительный конус; б) Л = 0, Атпф0 — цилиндр
(эллиптический пли гиперболический); в) А — Атп=0 — параболи-
параболический цилиндр.
III. A=0 и все его мипоры третьего порядка обращаются
в нуль, по не все мипоры второго порядка, а) А = 0, Лтпф0—пара
пересекающихся плоскостей; б) А = Атп=0—пара параллельных
плоскостей.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX 163
IV. Л = 0 и все его мипоры второго порядка равны нулю—
пара совпавших плоскостей.
2. Классифицировать эти случаи согласно природе центра или
центров.
3. Показать, что Д и его дополнения являются псевдотепзо-
рами веса 2.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
1. Показать, что если х% есть точка па общей поверхности вто-
второго порядка A) (стр. 157), то
Вывести отсюда, что плоскость, касающаяся поверхности в точке
xl, и конус атп(хт—х^1) (хп—ж") = 0 пересекают поверхность по
одним и тем же двум прямым.
2. Вывести из задачи 1, что плоскость, касательная к поверх-
поверхности второго порядка, пересекает ее по двум образующим, кото-
которые пересекаются в точке касания и паралпельпы двум образующим
конуса атПхтхп=0.
3. Показать, что плоскостные координаты полярной плоскости
точки х\ относительно поверхности второго порядка равны
4. Линия пересечения полярных плоскостей двух точек х%,
х\ относительно поверхности второго порядка называется полярной
линией для прямой, соединяющей эти две точки. Вывести из за-
задачи 3, что шесть координат полярной линии для прямой (кг, цг)
пропорциональны векторам
5. Показать, что нормальный вектор поверхности второго по-
порядка в точке xl, лежащей на ней, пропорционален вектору
6. Показать, что уравнепие охватывающего цилиндра, ось ко-
которого имеет направление А/, есть
7. Показать, что если amn — emni т0 уравнепие поверхности
всегда может быть приведено к виду (9) (стр. 161). Это —общее
уравнение сферы.
8. Показать, что геометрическое место середин всех хорд, про-
проведенных в нанравлении Хг, есть плоскость, проходящая через
центр.

164 оёщйе поверхности второго порядка l™. ix
9. Если приведение в § 3 (стр. 160) выполнепо в декартовой
прямоугольной системе координат, мы для краткости будем гово-
говорить, что уравнение поверхности второго порядка приведено к его
основной канонической форме. Показать, что ап, о22, а33 в основной
канонической форме являются корнями уравнения | атп—Qgmn | = 0.
10. Если два из коэффициентов оИ) а22, а33 в основной канопи-
ческой форме равны между собой, мы имеем поверхность вращения.
Показать, что в этом случае уравнение [ атП — Ggmn| = O имеет
двукратный корень, который является также корнем всех мшюров
второго порядка.
11. Показать, что если А^=0, АфО, то длины главных полу-
полуосей центральной поворхпости второго порядка равны
1
2
А
ле.
2
Л
Авг
1
2
1
д
Адя
где 8lt 82, 03—корпи уравнения
12. Показать, что если поверхность второго порядка—парабо-
порядка—параболоид, то направление V его оси определяется уравнением агД8=0;
если А/ есть единичный вектор, то координаты вершины парабо-
параболоида удовлетворяют уравнениям
(Это—тензорные уравнения, и согласно A0) (стр. 161) они спра-
справедливы, когда уравнение поверхности записано в его основной
канонической форме.)
13. Показать, что если поверхность второго порядка есть ци-
цилиндр или пара пересекающихся плоскостей, то ось определяется
.пересечением плоскостей
которые в этом случае имеют общую липию пересечения.
14. Показать, что если camn = bmbn, то поверхность второго
порядка вырождается в две совпавшие плоскости, уравнение кото-
которых есть Ьтхт-\-с = О.
15. Показать, что объекты
„тпа SmnAmn А_ Ь_
6 umtl' -о ' а ' а
о о о
являются истинными скалярами. Вывести отсюда, что если мы
переходим от одной декартовой прямоугольной системы координат
к другой, то
гЛзз, А, А
остаются неизменными.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
165
16. Условие того, что плоскость urxr—i касается поверхности
второго порядка, есть
тп Ьт ит
Ьп с -1 =0.
17. Классифицировать различные типы поверхностей, заклю-
заключенные в плоскостном уравнении amnumun-\-2fimum-}-y=Q. Пока-
Показать, что если ввести обозначение
mn an
то возможна следующая классификация:
I. АфО. а) АфО—поверхность второго порядка, не проходя-
проходящая через начало координат; б) А = 0, Атпф0— поверхность про-
проходит через начало.
II. Д=0, но не все миноры третьего порядка обращаются в
пуль, а) АфО — коническое сечение, плоскость которого пе про-
проходит через начало координат; б) Л = 0, Атпф0 — коническое
сечепие в плоскости, проходящей через начало; в) А = Атп=0—
коническое сечепие, проходящее через начало.
III. A = 0, все миноры третьего порядка обращаются в пуль,
но не все миноры второго порядка, а) Л=0, Атпф0 — пара точек,
лежащих на прямой, которая не проходит через начало; б) Л =
= ylmn=0 — пара точек па прямой, проходящей через начало.
IV. /1 = 0 вместо со всеми минорами второго порядка — пара
совпавших точек.
18. Показать, что amnumun-]-2fimum=0 есть тангенциальное
(плоскостное) уравнспие параболоида, если Д=/=0, и параболы, если
Д =0.

ГЛАВА X
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Аффинные преобразования
Мы видели, что преобразование вида
A)
где ars и br—константы, можно рассматривать как пре-
преобразование системы аффинных координат, т. е. считать,
что хг, Хг являются координатами одной и той же точки
в различных координатных системах. Эти уравнения
можно рассматривать и с другой точки зрения, именно
как преобразование точки р, координаты которой равны
хг, в другую точку Р, координаты которой равны Хг
в той же самой координатной системе. Такое преобра-
преобразование называется аффинным; мы видим, что оно пе-
переводит точки в точки, плоскости в плоскости и прямые
линии в прямые линии; бесконечно удаленная плоскость
переходит сама в себя. Преобразование A) часто называет-
называется аффинной деформацией, особенно в теории упругости*).
Мы рассмотрим зто преобразование как выполненное
в два приема. Во-первых, возьмем преобразование
Х\ = а\х\ ч B)
которое отличается от A) только отсутствием свободных
членов, и, во-вторых, преобразуем Х{ в Хг:
Xr = X\ + br. C)
*) Более подробно о свойствах аффинных преобразований,
важных для теории упругости, см. Седов Л. И., Введение в
механику сплошной среды, Москва, 1962, стр. 95. (Прим. ред.)

§ I] АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ F7
Вместе эти два преобразования дают преобразование A),
но второе из них, а именно C), означает, что каждая
точка пространства испытывает одно и то же смещение,
определяемое вектором U'. Такое преобразование назы-
называется параллельным переносом. В дальнейшем мы бу-
будем пренебрегать параллельными переносами и будем
рассматривать только преобразования типа A), где 6г = 0.
Такие преобразования называются однородными.
Так как arsxs есть контравариантный вектор для про-
произвольного хг, то ars есть смешанный тензор второго
порядка. Очевидно, что каждой точке р при таком пре-
преобразовании соответствует единственная точка Р. Если
определитель
КЬ D)
который является скаляром, не равеп нулю, система A)
единственным образом разрешима относительно Xs и,
следовательно, преобразование обратимо, т. е. каждая
точка Р получена в результате преобразования единст-
единственной точки р.
Заметим, что когда V = 0, преобразование оставляет
начало координат неподвижным.
Упражнения
1. Показать, что если \аг I Ф °. то обратное преобразовапие
будет
где а'г есть алгебраическое дополнение а*г в | аГ? |, доленное
на | а.п\.
2. Показать, что два последовательных аффинных преобразо-
преобразования эквивалентны одному аффинному преобразованию и что
определитель этого последнего равен произведению определителей
последовательных преобразований.
3. Показать, что если j o^s|=0, то преобразование необратимо.
(Мы можем найти такие величины хТ0, отличные от нуля,
что a^sa:» = 0. Следовательно, и точка zj, и начало координат пре-
преобразуются в одну и ту же точку Ъг; это показывает, что соот-
соответствие пе является взаимно однозначным.)

168 АФФИННЫЕ Ш'КОБРАЗОВАНИН [гл. X
§ 2. Поверхность второго порядка, связанная
с преобразованием
Мы ограничимся только однородным преобразованием
E)
при котором начало координат не изменяется. Предпо-
Предположим, что gmn есть метрический тензор нашей системы
координат, т. е. что
есть квадрат расстояния между точками х\ и х\.
Рассмотрим геометрическое место точек, которые
после преобразования лежат на едипичной сфере
gmHXmXn = l. F)
Первоначальпые точки должны удовлетворять уравнению
G)
Это — уравнение центральной поверхности второго по-
порядка, которую в дальнейшем мы будем называть по-
поверхностью Q. Ее главные оси определяются из системы
(gmn«>n8-0grs)X8 = 0, (8)
где 8 — корни уравнения
lft»n«rr«?,-0gr.| = 0. (9)
Пусть ctj, а2, а3 будут корнями этого уравпопия и Х$и,
А{2), а{3) — соответствующие главные направления. Нам
известно из теории поверхностей второго порядка (см.
стр. 119), что
f 0, если i Ф /,
Следовательно, мы видим, что векторы

§ 2] ПОВЕРХНОСТЬ, СВЯЗАННАЯ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ Ifi'l
которые являются преобразованными векторами перво-
первоначальной тройки X* взаимно ортогональны и имеют
длину 1/<1{. Обозначим их направления при помощи еди-
единичных векторов A(i). Мы видим, что если
то
^=ДУ^иA)ЛЬ>- A2)
Отпесем точки хт к направлениям Х^, как к осям
координат, а точки Хг — к Л[г), как к другим осям
координат. Тогда связь между координатами соответст-
соответствующих точек будет
Х'1 = Уа,х\ Х'* = Упгх\ Х'3 = У^>3, A3)
где штрихованные буквы относятся к одной системе
координат, а нештрихованные— к другой, причем обе
системы — прямоугольные декартовы.
Упражнения
1. Показать, что всегда существует ортогональная тройка
направлений, которая остается ортогональной после аффинного
преобразования,
2. Показать, что если \ат.а\ ф О, то точки единичной сферы
хП — 1 переходят в точки поверхности второго порядка
Доказать, что Л[{% являются главными направлениями этой ио-
верхности, а длины главшах полуосей равпм У оц.
3. Показать, что длины глаиных полуосей поверхиости Q
равны
4. Показать, что gmna™ о™ a ^mna^majn—симметричные
тензоры.
5. Показать, что если Ор поресекает поверхность Q в точке д,
то длина Ор при преобразовании растягивается в отношении jj- .

170 АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл. X
§ 3. Чистая деформация
Рассмотрим теперь преобразование, при котором ортогональ-
ортогональная тройка направлений X(i) не только остается ортогональной,
но и не меняет направления. В этом частном случав
(суммирования по i нет).
Выберем прямоугольную декартову систему координат, оси
которой совпадают с Я^. В этой коордипатной системе
A6)
(суммирования по s нет).
Следовательно, ковариаитный тензор второго порядка ar
= grpa!'s имеет в этой системе следующие составляющие:
(суммирования по s нет). Отсюда видно, что ars — симметричный
тензор. Если мы обозначим через QL поверхность второго порядка
A8)
то из A5) мы увидим, что главные оси поверхностей Q и Qt
совпадают и что длины полуосей Qt будут
1 _1 _1
(о,) *, (eg 4, >3) 1.
Такое преобразование называется чистой деформацией, а об-
общие главные оси поверхностей Q и Qx называются осями чистой
деформации.
Если точка р преобразуется в Р, то их координаты связапы
уравнением E). Но при чистой деформации вектор aTsx* перпен-
перпендикулярен к полярной плоскости точки р относительно Q1. Сле-
довательпо, преобразованный вектор ОР при чистой деформации
направлен вдоль нормали к полярной плоскости точки р относи-
относительно поверхности Qi.
Упражнения
1. Показать, что общее преобразование E) состоит из чистой
деформации и поворота одной системы ортогональных осей отно-
относительно другой.
2. Показать, что если существует такая ортогональная систе-
иа координат, в которой составляющие смешанного тензора ar%i,

§ 4] КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 171
для которых г ф s, равны нулю, то ассоциированный тензор
аг8—симметричпый, и обратно.
3. Показать, что если ars—симметричный тензор, то преоб-
преобразование E) — чистая деформация.
4. Проверить следующее построение преобразований точки Р
по заданной р. Пусть П—основание перпендикуляра из начала
на полярную плоскость точки р относительно Qlt тогда Р есть
инверсия П относительно единичной сферы с центром в начале
координат.
5. Показать, что для того, чтобы преобразование было одно-
однородным расширением от начала координат, необходимо и доста-
достаточно выполнение условий аГ3=&68\
§ 4. Конечные перемещения твердого тела
Если преобразование E) сохраняет расстояние между каждой
парой точек, то оио представляет собой перемещение твердого
тела. Так как начало координат— фиксированная точка, то рас-
расстояние от любой точки до начала при этом преобразовании не
изменяется. Таким образом, мы должны иметь
gmnXmX" = gmnxmxn. A9)
Далее, если это уравнение верно для каждой первоначальной
точки и соответствующей преобразованной, то расстояние между
каждой парой точек остается неизменным. Следовательно, урав-
уравнение A9), верное для всех значений хг, дает необходимое и до-
достаточное условие того, что преобразование представляет переме-
перемещение твердого тела. Это условие принимает вид
B0)
То же самое можпо усмотреть геометрически из того факта, что
поверхность Q должна быть сферой. '
Далее,
I = | gmna™ I • I < I = 1 gmn I • I a% |a.
Следовательно, уравнение B0) дает
KI2 = 1 B1)
и |а'8| = ±1. Если мы предположим, что перемещение твердого
тела непрерывно, то B1) выполняется всегда, причем в печальный
момент было а^3=6?. Таким образом, в начальный момент \art\
был равеп +1, а так как он должен быть непрерывным, то и
всегда будет
К, 1 = 1- B2)

172 АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 1гл. X
Теперь потребуем, чтобы некоторые точки при движении
твердого тела оставались неподвижными. Координаты таких
точек должпы удовлетворять уравнению
«-6^ = 0. B3)
Чтобы это равенство могло быть верно при любых zr, должно быть
К-а.г1=о.
Но мы имеем
Отсюда
Так как это — определитель третьего порядка, то изменение зпака
всех его элементен изменяет знак определителя. Следовательно,
I «:.-*; i=o B4)
и B3) верно по крайней мере для некоторых из ненулевых значе-
пии хг. Но если эти уравнения верны для некоторой заданной
точки х%, они также верны для всех точек, лежащих на прямой,
соединяющей ее с началом координат. Следовательно, существует
прямая, проходящая через начало, точки которой остаются непо-
неподвижными. Выберем систему координат хг так, чтобы она была
прямоугольной декартовой и чтобы неподвижная прямая была
осью z3. Тогда B3) примет вид
Уравнение B0) при s = 3 дает
a?r = 6l
Следовательно, преобразование будет
Кроме того, оставшиеся уравнения B0) дают
• ?},)•+(!?,)•= 1,
и если мы положим ajj = cosa, a?j^=sina, то при помощи B2)
получим.
а?, = — sin a, о?,=cos a.

I 4) ВЕСКОНЕЧЙО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 173
Таким образом, преобразование есть
Z1 = xicosa—zT2sina, Jt2 = z? sina-f zz cos a, Xa=x3.
Это — поворот тела на угол а отпосителыго оси ха. Кроме того,
скаляр а*т равеп (a?j-)-a?a+a?3) или
а/. = 1+2 cos а. B5)
Таким образом, мы видим, что преобразование E) (стр. 168), где
коэффициенты удовлетворяют соотношению B0), есть поворот на
угол а вокруг направления V, где
= arccosy (ar_r —
B6)
a V есть решепие системы уравнений
B7
Эта "система пе может иметь больше чем одпо решепие, за исклю-
исключением случая а=0 или, что то же самое, a*3 = brs; по тогда пре-
преобразование есть тождественное: Хг=хг.
Упражнения
1. Показать, что при движении твердого тела корпи уравне-
уравнения |а:з-6б8г|=0 равны A, еы, e~ia).
2. Показать, что если поворот на угол а происходит вокруг
прямой, проходящей через начало в направлении %г, то коэффи-
коэффициенты преобразования будут иметь вид
a\t = cos (Z6J-H1 —cos a) Ms—<srmngmsK sin а.
3. Определив полуоборот как последовательные повороты на
два прямых угла, показать, что полуоборот определяется равеп-
ствами
4. Показать, что два последовательных поворота вокруг точки
эквивалентны одному повороту.
§ 5. Бесконечно малые деформации
Рассмотрим малую однородную деформацию, когда
точка Хг находится вблизи первоначальной точки хг,
так что если мы положил!
аГ,-*; + Ь:.. B8)

t?4
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Ы. к
то значения Ь*.а можно считать бесконечно малыми пер-
первого порядка. В дальнейшем мы будем пренебрегать
всеми величинами второго или высшего порядка мало-
малости. Полагая bre = grpb?s, введем обозначения
Sr. = ^(brs + bsr), cors=4(br8-bsr), B9)
так что ег, — симметричный, а согз — антисимметричный
тензоры второго порядка. Кроме того,
и, следовательно, преобразование будет
откуда, введя обозначения Хг — жг = Ьхг, получим
Если взять две бесконечно малые деформации
C0)
C1)
и выполнить их последовательно, то с точностью до малых
второго порядка мы найдем
Таким образом, последовательные преобразования C1)
дают C0), причем преобразования можно делать в любом
порядке. Поэтому мы будем изучать отдельно два пре-
преобразования
' C2)
C3)
где еГ8 — симметричный, a tor8 — антисимметричный
тензор.
Рассмотрим сначала C2). Мы видим из § 3 (стр. 170),
что это —чистая деформация. Уравнение поверхности Q

9 5] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
принимает вид
175
а поверхности Q1 — вид
Нетрудно видеть, что поверхности Q и Qx обе связаны
с поверхностью второго порядка S, уравнение которой
есть
п _ л
C4)
Действительно, имеем Q = 2S + I>, Q1 = S + I>, где 2=1
есть уравнение единичной сферы. Поверхность второго
порядка C4) называется поверхностью деформации, и мы
видим, что перемещение ЬхТ точки хг направлено вдоль
перпендикуляра к полярной плоскости точки хг относи-
относительно S, а величина перемещения равна обратной длине
перпендикуляра, опущенного из начала на эту плоскость.
Рассмотрим теперь C3). Легко видеть из § 4 (стр. 171),
что C3) изображает бесконечно малый поворот вокруг
некоторой прямой, проходящей через начало. Мы можем
это показать так. Нам известно, что
тричен. Введем вектор
C5)
и выберем прямоугольную декартову систему коорди-
координат хг так, чтобы этот вектор был направлен вдоль
оси. х3. В этой координатной системе все компоненты corg
обращаются в нуль, исключая со,2, со21, которые равны
по величине, но противоположны по знаку. Поэтому
будет
Ьх1 = - box2, 6х2 = бах1, 6х3 = 0, C6)
где положепо со12= — со21= — 6а. Это — бесконечно малый
поворот вокруг оси х3 на угол 6а. Мы можем легко про-
проверить, что модуль вектора сог есть 6а. Следовательно,

1?в АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл. X
вектор о/ дает не только направление оси поворота,
но его модуль определяет угол поворота. Бесконечно
малый поворот, следовательно, вполне определяется век-
вектором сог.
Отсюда мы видим, что наиболее общее бесконечно
малое преобразование C0) можно получить при помощи
двух последовательных бесконечно малых преобразова-
преобразований, одно из которых есть чистая деформация, а дру-
другое—бесконечно малый поворот.
Упражнения
1. Показать, что если bl~\-br.s есть бесконечпо малый поворот,
то brs должоп быть антисимметричен.
2. Показать, что два бесконечно малых поворота вокруг
начала координат, определенпые векторами coj и coj, вместе экви-
валентпы одному повороту вокруг начала, определенному вектором
сог = co^-j-co|, причем порядок поворота несуществен. Таким обра-
образом, совместный эффект двух бесконечно малых поворотов опре-
определяется суммой их векторов; поэтому бесконечно малые повороты
можно рассматривать как векторы.
3. Две бесконечпо малые деформации эквивалентны одной
бесконечпо малой деформации, тензор которой получается склады-
складыванием соответствующих тензоров двух первоначалг.пых дефор-
деформаций.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ X
1. Показать, что всегда существует по крайней мере одна
прямаи, проходящая через начало, которая при преобразовании
E) остается неподвижной, т. е. преобразуется сама в себя
(стр. 163). Такое направление называется инвариантным.
[Если А,1" есть инвариантное направление, то должно быть
(ar.s—Q6rs) № = 0, где 6 есть корень уравнения | ar_s—Q6rs | = 0.]
2. Показать, что если существуют два (три) различных корня
уравпения | а^3 — 06?| = О, то существуют два (три) независимых
инвариантных направления.
3. Показать, что не существует трех компланарпых инвариапт-
ных направлений, за исключением случая двух равпых корней
уравнепия из упражнения B). В этом случае все направления
в некоторой плоскости являются инвариантпыми.
4. Если существуют три различных иекомпдапарных инва-
инвариантных направления, найти явный вид преобразования, взяв эти
направления за оси координат.
[Х»=а?,а:>, Xa=a?a*a. Х»=а?ях».]

УПРАЖНЕНИЯ К TJbVBE Xv 177
5. Классифицировать различные типы аффинных 'преобразова-
'преобразований E) (стр. 168) в соответствии с существованием одного, Двух
или трех независимых инвариантных направлений.
6. Показать, что если определитель | ar.s | равеп нулю, то суще-
существует такое направление, что каждая точка на прямой, проходя-
проходящей через точку р в этом направлении, преобразуется в одну
и ту же точку Р. Показать, что если не все миноры второго порядка
определителя | a?t1 равпы нулю, то существует только одно та-
такое направление.
7. В обозначениях § 2 (стр. 168) показать, что: a) \a[s\ —
б) любой.объем v преобразуется в V, причем
у
8. Сдвиг. Все точки некоторой плоскости фиксируются, а все
точки любой параллельной плоскости перемещаются параллельно
фиксированному направлению в фиксированной плоскости на рас-
расстояние, пропорциональное удалению от фиксированной плоскости.
Показать, что если \ir перпендикулярен к фиксированной плоско-
плоскости, а Кг параллелен указанному фиксированному направлению,
то при сдвиге
9. Простое растяжение. Все отрезки, параллельные данному
направлению, вытягиваются в фиксированное число раг, а все
отрезки, перпендикулярные к этому направлению, остаются неиз-
неизменными по длине. Показать, что если V—данное направление, то
10. Показать, что если ar,s изображает конечный поворот вокруг
направления V, то тепзор
антисимметричен.
(Вычислить его, когда V есть ось х8 и система координат
прямоугольная.)
11. Показать, что если a\t есть поворот, а атп симметричен,
то угол поворота равен четному числу прямых углов..
12. Если поворот не есть, полуоборот, то ось вращения опре-
определяется единичным вектором ermnomn/(—2 sin a).
13. Показать, что два полуоборота вокруг параллелышх осей
эквивалентны параллельному переносу в паправлепии, перпенди-
перпендикулярном к обеим осям, на отрезок, равный удвоенному расстоя-
расстоянию между ними.
(Использовать формулу задачи 3 (стр. 173).)
14. Показать, что два последовательных полуоборота вокруг
пересекающихся осей эквивалентны одному повороту вокруг

178 АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл. X
перпендикуляра"'к их направлениям на угол, равный удвоенном;
углу между осями.
15. Показать, что если твердое тело вращается вокруг фикси-
фиксированной точки О, то составляющие вектора ?г, фиксированного
в теле, взятые относительно неподвижных осей, изменяются за
время bt на величину
где шг8 аптисимметричеп.
а) Показать, что скорость любой точки твердого тела с непо-
движпой точкой есть
где Qr = lim -г- .
, 6f-+0 О*
( Вектор Qr = —~-ers'Qgf называется угловой скоростью. J
б) Показать, что любой вектор, неизменный в пространстве,
но заданный своими составляющими по осям, связанным с телом,
за время Ы изменяется па величину
16. Показать, что самое общее бесконечно малое перемещение
твердого тела может быть представлено в виде
и состоит из параллельного переноса $г и вращепия вокруг пря-
прямой, проходящей через точку zJJ. Показать, что zj может быть
выбрана так, что (Г будет параллелен вектору сог. В таком случае
эта прямая называется винтовой осы».

ЧАСТЬ Ш
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА XI
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 1. Общие координатные системы
Положение точки в пространстве определяется ее
координатами в ортогональной декартовой системе коор-
координат; мы будем обозначать такую систему координат
следующим образом: (у1, у2, у3). В части II мы приме-
применяли линейное преобразование и получали систему аффин-
аффинных координат. Теперь возьмем более общее функцио-
функциональное преобразование и рассмотрим, какого рода
координаты мы получим.
Рассмотрим преобразование
* = Г(угуЧГ), A)
где f1, /a, /8 — произвольные функции от у, которые мы
будем предполагать дифференцируемыми столько раз,
сколько потребуется.
Хорошо известно, что если определитель
ду>
д(у\у*,у*)
2
отличен от нуля, то преобразование A) обратимо, т. е.
можно разрешить A) относительно у:
yr = gr(x\ х\ я8). C)
Из формул A) и C) видно, что любой совокупности
уг соответствует только одна совокупность хг, и наобо-
наоборот. Следовательно, переменные хг определяют точку в

180
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
. xi
пространстве единственным образом; поэтому назовем их
криволинейными координатами точки. Основание для
введения такого термина мы скоро приведем.
Выясним, какой геометрический смысл имеют эти
координаты. Рассмотрим уравнение
/ЧУ1. У\ 2/3) = const. D)
Это — уравнение поверхности, и если придавать постоян-
постоянной различные значения, то мы получаем семейство
поверхностей. Таким образом, уравнение х1 = const дает
семейство поверхностей, и, если
мы говорим, что точка имеет
координату ж1, это означает,
что она лежит на определен-
определенной поверхности из семейст-
семейства D). Аналогично ж2 = const и
х3 = const—уравнения двух дру-
других семейств поверхностей, и,
если мы говорим, что точка
имеет координаты х2, Xs, это
значит, что она лежит на опре-
определенных поверхностях этих
двух семейств. Другими слова-
словами, если заданы три семейства
поверхностей, то положение
любой точки Р (рис. 18) опре-
поверхностей из этих семейств
таких, что точка Р есть точка их пересечения.
Кроме того, условие, что определитель B) не обра-
обращается в нуль, выражает тот факт, что три поверхности,
выбранные из разных семейств, пересекаются в одной
и только одной точке и таким образом определяют поло-
положение точки однозначно.
Назовем поверхности х1 — const, х* = const и х3 = const
координатными поверхностями и будем называть их для
краткости х1-поверхностъю, х2-поверхностью и xs-noeepx-
ноетъю соответственно. Пересечения этих поверхностей
образуют три кривые, проходящие через точку Р, при-
причем на, каждой из данных поверхностей лежат две из
них. Эти кривые мы назовем координатными кривыми.
Вдоль кривой, которая является пересечением а;2-поверх-
Рис. 18.
деляется заданием трех

$ 1} ОБЩИЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 181
ности с ^-поверхностью, изменяется лишь ж1, а другие
координаты остаются постоянными; мы будем называть
эту кривую кривой х1. Аналогично будем называть
остальные две координатные кривые кривой ж2 и кривой
ж3 соответственно. Легко видеть, что координатные линии
будут именно кривыми линиями и название «криволи-
«криволинейные координаты» полностью оправдывается.
Если мы возьмем любую другую систему криволиней-
криволинейных координат хг, то они окажутся связанными с у
формулами вида A) и C). Следовательно, хг и хт долж-
должны быть связаны формулами
X = X (X , X , X ), ._.
хг=хг(х~\х*, х3),
т. е. преобразование системы криволинейных координат
есть функциональное преобразование. Кроме того, опре-
определитель
дхг
ду
,т
' дут
отличен от нуля. Очевидно, что аффинные координаты
суть частный случай криволинейных координат, когда
функции f в A) —линейные функции.
Упражнения
Проверить, что следующие криволинейные системы обладают
указанными ниже свойствами:
1. Сферические координата. Они определяются формулами
yJ-=x1sinxicosx3,
Здесь ^-поверхности—сферы с центром в начале координат,
^-поверхности — круговые конусы, ^'-поверхности—плоскости,
проходящие через ось у8.
Найти для данной системы формулы типа A).
2. Цилиндрические координаты
у1=а:1 COS а: V
2/2 = ж* sins',

182 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [гл. XI
Здесь ^-поверхности—цилиндры, имеющие общую ось, совпада-
совпадающую с у'-осыо, ^-поверхности—плоскости, проходящие черев
ось уа, а х'-поверхности совпадают с ^-поверхностями.
3. Эллиптические координаты
уг =
(Ь—а) (с—а)
|| .... — ..п..- V
1
— Ш 2
_1
I2
(а-с)(Ь-с)
где а > Ь > с > 0. Координаты удовлетворяют неравенствам
** > а > яа > Ь > х3 > с.
Показать, что ^-поверхности-!-эллипсоиды, ^-поверхности
есть одцополостные гиперболоиды и ж8-поверхностп—двухполост-
ные гиперболоиды и что все координатные поверхности второго
порядка принадлежат к софокусному семейству
(У1)8 , (У')' | (У3)' .
(х-а)^~(х-Ь)^~(х-с) г-
4. Параболические координаты
yi ss a;1»* cos xs,
Здесь ^-поверхности и я'-поверхности—параболоиды вращения,
а з'-поверхности—плоскости, проходящие черев ось у3.
§ 2. Тензорные поля
Мы уже рассматривали тензоры при общих функ-
функциональных преобразованиях (стр. 50 — 53). Например,
объект arst есть псевдотензор веса М, контравариантный
по г и ковариантный по s и t по отношению к преобра-
преобразованию E), если его преобразованные составляющие
а?< удовлетворяют равенству
а"~ 0x7 дхт fas 9"< Япр-

I 2] ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 183
Нужно теперь упомянуть об одной особенности, кото-
которую мы не затрагивали в случае линейных преобразова-
ний. Коэффициенты -^ в F) являются функциями от хг,
а эначит, и от жг также. Поэтому если в?< и arit — две
совокупности величин, удовлетворяющих F) в одной
какой-нибудь точке, то эти равенства будут, вообще
говоря, неверны в других точках. Другими словами,
aret является тензором в точке хТ и, вообще говоря, не
является тензором в какой-нибудь другой точке. Это
означает, что тензоры и тензорные свойства теперь ло-
локализованы в точках.
Таким образом, все алгебраические операции, кото-
которые мы описали в главе II (сгр. 36), относятся к тен-
тензорам в одной и той же точке и не применимы к тензо-
тензорам в разных точках, т. е. для того, чтобы операция
умножения двух тензоров давала третий тензор, оба тензора
должны быть определены в одной и той же точке.
Предположим снова, что arst есть функция от хг, но
что новые составляющие arst, которые тоже являются
функциями от хг, удовлетворяют равенству F) в каждой
точке, где эти функции определены.
Таким образом, в каждой точке некоторой области
пространства нам задан тенэор; такую совокупность тен-
тензоров назовем тензорным полем. В дальнейшем мы будем
иметь дело главным образом с тензорными полями, но
для краткости будем называть их просто тензорами
в тех случаях, когда зто не может привести к недора-
недоразумениям.
Следовательно, когда мы говорим, что тензор опре-
определен в некоторой области пространства, мы имеем
в виду, что в этой области определено тензорное поле.
Как и обыкновенные тензоры, тензорные поля могут
быть различных порядков. Таким образом, могут суще-
существовать инвариантные или скалярные поля и векторные
поля.
Наиболее важен для нас случай, когда в равенстве F) М—0, т. е.
когда тензоры есть истинные тензоры; все тензоры, с которыми
мы ниже будем иметь дело, следует считать истинными, если
прямо не оговорено противоположное.

184
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
[гл. XI
Упражнения
1. Доказать, что
erst— "Т=7
дхт дхп дхУ
er$t~
dxi
т. е. что eret vierst—псевдотензоры веса —1 и -\-1 соответственно.
2. Доказать, что символы Кронекера—истинные тензоры.
^3. Показать, что дифференциалы dxr образуют контравариант-
ный тензор первого порядка (вектор).
4. Показать, что если ф—инвариантная функция, то
?-> есть ковариантныи вектор. Этот вектор называется градиен-
градиентом ф.
да> дт dw dx
= Ф и отсюда ^-i^-jJ^-
§ 3. Линейный элемент и метрический тензор, е-объекты
Пусть Р будет точка с координатами хг, и пусть
@ —соседняя точка с координатами xT-^-dxr. Обозначим
бесконечно малое расстояние PQ
через ds и назовем ds элементам
длины или линейным элементом;
найдем выражение для ds через
дифференциалы dxT.
Если мы вернемся к декарто-
декартовой системе координат, в которой
координаты точек Р и Q равны уг
и yr-\-dyr соответственно (рис. 19),
то из элементарного параллелепипеда с вершиной в точ-
точке Р и ребрами dy1 dy2 dy3 увидим, что
ds* = (dy1J + {dy*f + (dy*J = dy1 dy*.
Л
J
А
/
/
dy'
Рис. 19.
Так как dyi = ^dxr, то

t 3) ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ И МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР 185
где мы ввели обозначение
з
gmn — Zi дхт дхп ~ дхт дх* ' * '
i=l
Отметим, что здесь суммирование идет по двум верхним
значкам.
Последние равенства показывают, что gmn симметри-
симметричен, а так как ds есть инвариант, то из G) следует,
что gmndxmdxn также есть инвариант при произвольном
контравариантном векторе dxr. Отсюда следует, что gmn
есть ковариантный тензор второго порядка, который мы
назовем фундаментальным или метрическим тешором.
Если мы обозначим через g определитель \gmn\
и через Gmn алгебраическое дополнение gmn, то увидим,
что
Ho erst есть псевдотензор веса 1. Следовательно, g есть
псевдоскаляр веса 2, a Gmn есть псевдотензор веса 2.
Кроме того, из (8) мы видим, что
6 I вига I == ^j,m >
откуда следует, что g не обращается в нуль и положи-
положителен. Поэтому если положить
т. е. gmn есть алгебраическое дополнение gmn, деленное
на g, то очевидно, что gmn есть истинный контрава-
риантный тензор. Точно так же очевидно, что объекты
e^ (И)
являются истинными тензорами; мы назовем эти тензо-
тензоры ъ-объектами.
Пусть нам дан контравариантный вектор АТ. Мы
можем построить скаляр А следующим образом:
A2)

186 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [гл. XI
Назовем А длиной вектора Аг\ аналогично определим
длину ковариантного вектора при помощи формулы
B = (g™BmBnf. A3)
Определим единичный вектор как вектор, длина которого
равна единице. Если равенство G) разделить на ds2, то
сразу видно, что
dx^dx»__ ш
&»n ds ds ~ ' I1*'
dxr
и мы получаем, что -у- есть единичный вектор.
Заметим, что все сказанное на стр. 67 относительно опуска-
опускания и поднятия индексов посредством gmn и gmn для получе-
получения ассоциированных тензоров применимо без изменения и в на-
настоящем случае.
Упражнения
1. Проверить выражение для ds2 в каждой из следую щи!
координатных систем.
I. Ортогональная декартова
II. Сферическая
ds«= (dx^ + ix1)* (Ara)>-)- (г1)» (sin z>
III. Цилиндрическая
ds» = (dxi)*+(xi)* (&»)»+ (dx*)*.
IV. Эллиптическая
(afr-»*) (*-»!) (d»y (x*-») (*»-««) (dx»)i
~(xl—a) (x1 — b) (xl—c) ^(x'—a) (х* — Ь) (а:2 — с)"
^(хЗ — а)(х*—Ъ)(х*—с) •
V. Параболическая
2. Доказать, что длина вектора Аг определяется формулой
Aa=ArAr, где Аг есть вектор, ассоциированный с Аг.
3. Показать, что квадратичная форма gmndxmdxn положи-
положительно определена.
4. Показать, что вектор АГ[А есть единичный вектор.
5. Показать, что если координатная система—аффинная, то
8тп приводится к виду, указанному на стр. 63.

§ 4] УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ НАПРАВЛЕНИЯМИ 187
§ 4. Угол между двумя направлениями
Если Р есть точка с координатами хт и @ —соседняя
точка с координатами xr+dxr, то очевидно, что Q опре-
определяется однозначно через дифференциалы dxr. Но отре-
отрезок PQ, очевидно, определяет некоторое направление
в пространстве и, следовательно, дифференциалы dxT
определяют в точке Р некоторое направление.
Пусть Хг — контра вариантный вектор, длина которого
есть X. Всегда можно определить дифференциалы dxr
в какой-нибудь одной координатной системе так, что
dxr=eXr, A5)
где е—бесконечно малый положительный множитель;
это соотношение —векторное; оно будет справедливо
в любой координатной системе.
Используя G) и A2), получим
т. е.
Поэтому A5) принимает вид
Легко видеть, что Хг/Х есть единичный вектор, который
мы обозначим через V, так что
Xr = Xlr, %=V, . A7)
и мы получаем, что каждый единичный вектор 1/ опре-
определяет некоторое направление в пространстве.
Из первого равенства в A7) видно, что каждый кон-
травариантный вектор определяется длиной и единичным
вектором; таким образом, заданием вектора определяется
некоторое направление, называемое направлением вектора.
Пусть в точке Р даны два направления, определяемые
единичными векторами К и цг. Рассмотрим скаляр
gmn?i,m[An. Если система координат — аффинная, то этот
скаляр обратится в cos0, где 0 — угол между направле-
направлениями. Поэтому й любой системе координат угол 0 между

188 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ (гя. XI
двумя направлениями определяется формулой
A8)
Отсюда мы видим, что если Ат, Вт — два вектора, имею-
имеющих длины А и В, то скалярное произведение их есть
gmnAmAn=ABcosQ, A9)
где 9 —угол между направлениями Аг и Вг. В частности,
условием того, что направления Х,г и цг ортогональны,
является
gm»» = 0. B0)
Оставляем читателю доказательство (при помощи
выбора специальной системы координат) того, что вектор-
векторное произведение АТВТ определяется уравнениями
где vr — единичный вектор, перпендикулярный к векторам
Аг и Вг. Знак vr может быть определен аналогично тому,
как это было сделано на стр. 70.
Упражнения
i. Пусть efu, 8(i)i 8(гз)—единичные векторы касательной к коор-
координатным кривым, проходящим черев точку Р. Показать, что их
составляющие будут
У
efi)~\r~ б1- efs> = rrr=
У #11 У §
2. Показать, что
совви=-4а=1 coseM
Vgngti
где 6U, 9M, 831—углы между координатными кривыми, проходя-
проходящими через точку Р.
3. Показать, что если координатные кривые взаимно ортого-
ортогональны, то координатные поверхности также ортогональны.
Такие координаты называют ортогональными Криволинейными
координатами. Доказать, что для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы в каждой точке пространства выполнялась равенства
Sl» = g»a = gsl = O.
4. Показать, что координаты из задачи 1, стр. 186,— ортого-
ортогональные координаты.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI 180
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI
1. Получить иэ (8), стр. 185, равенство
ду^ дхп
дхт—ётп dyi
/ Qxn (fax g^n , Ч
( умножить (8) на — и использовать равенство ^s — = 6} J .
2. Доказать, что я^л — ёгт^т^ и вывести отсюда, что gmn=
_ дхт дхп
~ ду1 ду1 '
3. Пусть A,1", fir, vr—три единичных вектора. Показать, что
ersfVu'v^sin-ysine, гДе У—Угол между ц.г, vr, a 6 —угол, кото-
который образует вектор Хг с плоскостью векторов ц,г, vr. (Выбрать
специальные оси для вычисления этого скаляра.)
4. Показать, что если 8rS(X''(isv'=0, то существуют такие числа
а, р, что vr=aA.r+PMr> т. е. что эти три направления компла-
компланарны.
5. Доказать, что er8[A,r(isv( —положительный скаляр, если
триэдр К1, цг, vr можно так деформировать, не сделав векторы
компланарными, что они совпадут с положительными направле-
направлениями координатных кривых; тогда говорят, что тройка (V, ц.г, vr)
имеет положительную ориентацию (см. стр. 70).
6. Показать, что если 8 — угол между ц,г, vr, то ermnnTnvn/sin 6
являются ковариантными составляющими, единичного вектора,
ортогонального кц'и vr.
7. Вывести из задачи 6, что ковариаятные составляющие еди-
единичного вектора, ортогонального к а^-поверхиости, равны
о, о,
61а
в. Показать, что длины элементарных дуг координатных кри-
кривых равны
9. Элемент объема. Показать, что элемент объема dV есть
(Воспользоваться тем, что если dsu ds2, ds3—дифференциал длины
дугя координатных кривых, то объем параллелепипеда, построенного
на них, равен dV=ds1dsids!prit e(r1)8;!2)8(S)= V JV
и применить результат упражнения 8.)

190 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ (гл. XI
10. Показать, что если криволинейные координаты ортого-
ортогональны, то g=gngngs3< 8n~ —' g22 = J~' g** = g~' tmn=
= g™ = 0 (тфп). "
11. Показать, что если V—единичный вектор, то косинусы
углов, которые он составляет с координатными кривыми, равны
А* Я.» Я.з
12. Показать, что если <р = const есть уравнение поверхности,
то единичный вектор, нормальный к этой поверхности, опреде-
определяется выражением
1
6 дхт I \J dxmdxnj "
(Для каждого направления dxr на поверхности мы имеем
)
)
13. Показать, что угол между двумя поверхностями <р=const
и t|>=const определяется формулой
а в дхт дхп
cos 8 = j— .
14. Вывести отсюда, что угол фи между координатными по-
поверхностями ж1 = const и г2 = const есть
Г.ОЯф,;=
у giig
15. Показать, что условие ортогональности двух поверхностей
ф=const, \f=const есть
„тп_ЁФ^1=0
s дхтдхп
16. Покааать, что У gAl, где АТ$—истинный тензор, есть
псевдотензор веса 1. Его иногда называют тензорной плотностью.

ГЛАВА XII
КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. Параллельное векторное поле.
Символы Кристоффеля
Кривая -в пространстве определяется как геометриче-
геометрическое место точек, координаты которых зависят от одного
параметра. Пусть АВ (рис. 20) —данная кривая, и пусть
координаты любой точки Р на АВ являются функциями
параметра t. Если мы в данной точке
кривой построим какой-либо вектор,
а затем в каждой другой точке этой
кривой построим вектор, равный и па-
параллельный первому, то мы получим
вектор Хг, определенный в каждой точке
кривой; его составляющие будут функ-
функциями от t. Другими словами, мы по-
лучим параллельное векторное поле рис 20.
векторов вдоль кривой АВ, н наша за-
задача заключается в том, чтобы найти уравнение, кото-
которому должно удовлетворять такое векторное поле.
Вернемся в первоначальную ортогональную декартову
систему координат уТ, и пусть У— составляющие вектор-
векторного поля в этой системе координат. Так как в орто-
ортогональной декартовой системе координат составляющие
параллельных векторов одинаковы, то У постоянны
вдоль кривой и, следовательно, производная У по t
равна нулю.
Но

192 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 1гл. XII
Поэтому, дифференцируя по t, имеем
dXm dyi ym Уу« dx* _ rfyi _
dt ~~ dt ~
dt дхт~*~Л дхтдхп dt ~~ dt
Умножив это уравнение на grv -^ и просуммировав по i
от 1 до 3, получим, используя (8), стр. 185,
dX* rp ay dytmdxn
dt +g fom^n top A dt
(суммирование по немому верхнему индексу).
Теперь рассмотрим выражение . т^ п =^. Обращаясь
снова к (8), стр. 185, и продифференцировав эти равен-
равенства по хр, мы получим
dgmn . д*у1 ду1 ду1 д*уг ,„,
дхР ~~ дхт дхР дхп "^ дхт дхР дхп ' ^ '
причем эти равенства справедливы, если т, п, р пробега-
пробегают какие угодно значения из чисел 1, 2, 3.
Сделаем в B) дважды круговую перестановку инде-
индексов т, п, р и вычтем равенство B) из суммы получен-
полученных таким образом равенств; мы получим
dgnp dgpm dgmn _ ЗУ dyi
дхт + дхп дхР ~~ дхт дх* дхР ' *'
Введем следующее обозначение *):
p» mn — 2 V
dgnj, dgpm dgmn
*~~дхп дх~Р~
*) Обозначения трехиндексных символов Кристоффеля аамене-
ны принятыми в нашей литературе. Мак-Коннел использует
английские обозначения
[тп, р] = Гр, т„;
Пользуясь принятыми у нас обозначениями, читатель должен
помнить, что символы Кристоффеля не являются тензорами.
(Прим. ред.)

§ i] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 193
Подставим C) в A); используя D), получим
Если ввести обозначение
E)
_ ffrP Г
— 6 х
р, гоп>
то уравнение A) примет окончательный вид
-^-+ГтПА'т-^- = 0. F)
Параллельное векторное поле вдоль кривой АВ
должно удовлетворять этому дифференциальному уравне-
уравнению.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что
если векторное поле Хг удовлетворяет F)- на кривой АВ
и имеет заданное значение в одной из ее точек, то оно
полностью и единственным образом определено на всей
кривой АВ. Но мы видели, что поле, полученное построе-
построением векторов, параллельных данному, есть решение F);
следовательно, оно является единственным решением.
Мы доказали обратную теорему, т. е. что любое вектор-
векторное поле на кривой АВ, удовлетворяющее F), есть па-
параллельное векторное поле.
Объекты ГР>ТIП и Гтп, определенные формулами D)
и E), играют очень важную роль. Они называются сим-
символами Кристоффеля соответственно первого и второго
рода; их еще иногда называют трехзначковыми симво-
символами. Одно из их важных свойств состоит в том, что,
как легко видеть, они симметричны относительно индек-
индексов т и п.
Если мы возьмем какой-либо вектор в данной точке
и построим в каждой точке пространства параллельные
ому векторы, то таким образом мы определим парал-
параллельное векторное поле Хг, составляющие которого
являются функциями координат хТ. Далее, если взять
произвольную кривую, проходящую через точку Р, то
векторы этого поля на кривой будут удовлетворять F).
Но теперь мы имеем -j- = ^~n-jT ) так как X1" есть функция

194 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ [гл. XI]
от хт, и F) принимает вид
L9^+lmnA J at -y}-
Это соотношение должно быть верным для всех кривых,
dxn
выходящих из Р, т. с. для всех лпачений вектора -т- в
точке Р. Следовательно, параллельное векторное поле
удовлетворяет уравнению
^ ГтзХт = 0. G)
Обратное предложепие тоже справедливо.
Упражнения
1. Найти соотношение, связывающее символы Кристоффеля
в двух различных системах криволинейных координат.
Пусть хТ и хг—две системы криволипейных координат. Мы
будем, как обычно, отмечать чертой величины, принадлежащие
новой координатной системе.
Пусть Аг—произвольное параллельпое векторное поле, опре-
определенное во всем пространстве, а А'—его составляющие в новой
системе координат. Так как они оба являются составляющими
параллельного векторного поля, то по G) мы имеем
Так как Ar=Ai— , то
дх1
д~Аг _дА1дхг дх> . д*хг дх>
дх3 ~ дх> дх1 dxs dxi dxi дх»
Из (а) получаем
дх' дх" дх>- dxi дх'
d#m Qx8
Если положить Am—Ah ^-^ и умножить равенство (Р) на —
Ox qxi
то мы получим

t 2] АБСОЛЮТНАЯ И КОВАРИАНТ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРА 195
Это уравнение справедливо для всех параллельных векторных
полей Аг, и поэтому мы получаем окончательно
, дхг -г Эх* дх1
hl дх1 S дхк дх1 '
2. Доказать аналогичное равенство
д2х1 —;' дх1 i dxi dxh
дхгдх*~ г\дх' jkdxrdxa'
3. Показать, что Тг,тп и Г^п симметричны по т и га.
4. Исходя из задачи 1, установить, что символ Кристоффеля
не является тензором.
5. Показать, что в аффипных координатах символ Кристоф-
Кристоффеля равен тождествепно нулю. [Все g—констапты.]
§ 2. Абсолютная и ковариантная производпая вектора
Теперь мы можем вернуться к проблеме, о которой
мы упоминали на стр. 54, а именно, к вопросу об обра-
образовании нового тензора при помощи дифференцирования
данного тензора. Сначала мы ограничимся рассмотрением
скаляров и векторов; конечно, мы рассматриваем лишь
истинные тензоры.
Случай скаляров особенно прост. Если ф — скалярная
фуякцчя плрлизгр.1 (, то в i)! лс 13) ы) 11,1 с с' л 1 1 с jз .1
Ф = ф. Но ~ — предел отношения ¦ ' j—^-^-L при 6?,
стремящемся к 0, а -^ — предел равного ему отношения.
Следовательно,
it^dF*' ( '
откуда видно, что -^ —скаляр. Далее, если ф — скаляр-
пая функция от хТ, то
9ф dqp dxm ,qv
дхг ~ дхт дхг '
что показывает, что -— — ковариантный вектор. Таким
образом, обычные производные скаляра дают пам сразу
скаляры Ti векторы без дополнительных модификаций.
13*

196 КОВАРИАЙТЙОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ [гл, XII
Рассмотрим теперь случай ковариантного вектора.
Рассмотрим ковариантный вектор Хг, определенный на
кривой С. Следовательно, он является функцией пара-
параметра t. Возьмем произвольный контравариантный вектор
АТ в данной точке кривой вместе с векторами, ему па-
параллельными в каждой точке кривой. Другими словами,
Аг есть параллельное векторное поле вдоль кривой С,
которое удовлетворяет уравнению F), стр. 193. В любой
точке С объект {ХТЛГ) есть скаляр, и поэтому его про-
производная по t есть также скаляр. Но
следовательно, мы получаем, что
rdXr pm „ dxn 1 .r
есть скаляр. Но Аг есть произвольное параллельное
векторное поле, и поэтому из обратного тензорного при-
признака мы получаем, что
dt ~ dt У гпЛ~т dt
A0)
есть ковариантный вектор. Мы назовем его абсолютной
производной вектора ХТ по t. Чтобы отличить абсолют-
абсолютную производную от обычной производной, мы будем ее
обозначать через ~. Итак, чтобы получить новый век-
вектор при помощи дифференцирования, надо к обычной
производной вектора добавить некоторое число членов,
содержащих символы Крбстоффеля.
Рассмотрим векторное уравнение
Ьхг _ dXr vm у dxn __ n ....
~&T~~dT~l rn m~d7~ K '
Если оно справедливо в какой-то одной координатной
системе, то оно справедливо и в любой другой. Если
система координат декартова» то gmn — постоянные и сим-
символы Кристоффеля тождественно равны нулю. В этом
случае. A1) принимает вид
dXr _ п

§ 2} АВСОЛЮТНАЯ И КОВАРИАНТ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРА 197
откуда следует, что составляющие Хг образуют парал-
параллельное векторное поле вдоль С, а (И) есть уравнение,
которому должно удовлетворять ковариантное параллель-
параллельное векторное поле вдоль кривой С.
В случае контравариантного векторного поля Хг
вдоль С мы предоставляем читателю доказать точно таким
же образом, что
дхг
Ы
A2)
есть контравариантный вектор, который мы назовем
абсолютной производной ХТ по t. Для этого нужно взять
произвольное ковариаптное параллельное векторное
поле Аг и поступать, как было указано выше.
Перейдем теперь к векторным полям, определенным
во всем] пространство. Пусть Хт будет такое поле контра-
вариантных векторов; возьмем какую-либо произвольную
кривую (параметр t), выходящую из точки Р. Мы знаем,
что A2) есть контравариантный вектор. Так как
dXr
dt
дХг
dx* „т „m dx* _ гт ym dofi
"?' lranA Ж~1тзЛ "Ж
то
чг
—контравариантный вектор.
Это справедливо для всех кривых, выходящих из Р,
т. е. для всех
„ dx» „
значении -у- в точке Р и, следовательно
(согласно обратному тензорному признаку), выражение
в квадратных скобках есть тензор, контравариантный
по г и ковариантпый по s. Этот тензор мы назовем кова-
риантной производной Хг и будем обозначать его так: Xr>iy
причем запятая перед ипдексом s указывает на то, что
вектор продифференцирован по х3. Таким образом,
у г .
-л. . » —
дх*
+ гт
A3)

198 КОВАРИАНТИОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ [гл. XI)
Совершенно таким же образом мы можем доказать, что
если Хг — ковариантное векторное поле, определенное
во всем пространстве, то
Хг.. = 4Р—Г?.Хт A4)
есть тензор, ковариантныи по г и s, который мы назовем
ковариантной производной вектора Хг.
Упражпеиия
1. Доказать равепство
mvn о л V"»
2. Доказать равепство
3. Показать, что -т—=0, ЛГ1",3=0—уравпепия параллельного
векторного поля.
§ 3. Абсолютная и ковариантная производная тензора
Теперь распространим результаты предыдущего пара-
параграфа на дифференцирование тензора любого порядка.
Например, пусть Xs( — тензор третьего порядка, опреде-
определенный вдоль некоторой кривой посредством параметра t.
Мы уже знаем, что (стр. 53) ~~ не является тензором,
и наша задача состоит в том, чтобы найти, как следует
изменить эту производную, чтобы получить тензор. Возь-
Возьмем три произвольных параллельных векторных поля Аг,
Вг, С, определенных вдоль той же кривой. Тогда
в каждой точке кривой Х1\АГВ$С1 есть скаляр и, следо-
следовательно, его производная по t также будет скаляром.
Мы имеем
¦A. {XTatArB°Cl) = *§i ЛГВ*С1 + Xrst ^ B*C

3] АБСОЛЮТНАЯ И КОВАРИАНТ. ПРОИЗВОДНАЯ ТЕНЗОРА 199
Параллельные векторы удовлетворяют F), стр. 193, и A1),
стр. 196; если при помощи этих равенств мы исключим
отсюда производные векторов Аг, Вг, Сг, то получим
А
Г dXst . -pr vm dxn pm Yt dxn rm Yr dxn 1 .
I —fa Г 1 тпЛ- $1 -fa 1 sn^-mt ~fa l nt^-sm -fa I ^r
— I
Так как справа стоит скаляр, а Аг, Вг, С — произволь-
произвольные векторы, то из обратного тензорного признака сле-
следует, что выражение, стоящее в квадратных скобках,
есть тензор того же самого типа, что и ХТц. Обозначим
его ~ХГ~ и назовем абсолютной производной Xlt no t.
Таким образом, имеем
dXlt VT ymdx* Гтп yr dx" rmyr dxn
-fa- "t- 1 тпЛ- stfa - 1 sn^mt d( 1 „(Asm ^ .
A5)
Предположим, как и выше, что Xlt — тензорное поле,
определенное во всем пространстве, и что составляющие
этого тензора являются функциями от хг. Если мы теперь
возьмем какую-нибудь кривую, проходящую через точку Р,
то, как известно, выражение A5) вдоль этой кривой
- д dxlt dXli dxu
будет тензором. А так как = --г-, то правую
часть A5) можно переписать в виде
. рГ ут pm yr pm Y"r 1 U
m" s( — su-A-mt — -1 tuA-sm 1 ~fa~ ¦
I dxu m" s( — su-A-mt — -1 tuA-sm 1 fa
Это выражение тоже определяет тензор. Полученный
результат справедлив для всех кривых, проходящих
dxr
через Р, т. е. для всех значений -гг в точке Р. Следо-
Следовательно, выражение в квадратных скобках есть тензор,
имеющий па один ковариантный индекс больше, чем XTst-
Мы назовем его ковариантной производной тензора Xlt
и обозначим через X?j, „, причем запятая снова указывает

81,u— <>_u i l mnA 8( ¦•
200 • КОВАРИАПТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ [гл. XII
на дифференцирование по хи. Таким образом,
A6)
Описанный сейчас метод является очень общим
и может быть применен читателем для получения абсолют-
абсолютной и ковариантной производной тензора любого типа.
Упражнения
1. Показать что
ЬХг _ dXl , _r „m.dxn m т dxn
дх<
2. Доказать равепство
дХ~ дХ,
§ 4. Сохранение правил обычного дифференциального
исчисления. Лемма Риччи
Из обычного дифференциального исчисления известны
правила нахождения производной суммы и произведения
функций. Покажем теперь, что те же самые правила
применимы и для нахождения абсолютной и ковариант-
ной производных суммы и произведения тензоров.
Прежде всего отметим, что если наша координатная
система — аффинная, то все gmn постоянны и символы
Кристоффеля тождественно равны нулю. Поэтому, как
следует из A5) и A6), в аффинной системе координат
абсолютная производная тензора совпадает с обычной
производной, а ковариантная —с частной производной.
Поэтому если нам дано какое-то соотношение, связы-
связывающее обычные и частные производные тензоров в
аффинных координатах, то, просто заменяя обычные
производные на абсолютные и частные —на ковариант-
ные, мы получим соответствующее тензорное равенство,

§ 4] СОХРАНЕНИЕ ПРАВИЛ 201
которое справедливо в любой системе координат. Напри-
Например, предположим, что три тензора А\, Brs, Cr и их произ-
производные связаны уравнением
&А _ dBl rt
верным в аффинной системе координат. Отсюда мы видим,
что равенство
k4» гут r,t
которое является тензорным, справедливо в некоторой
специальной аффинной системе координат и потому
справедливо в любой криволинейной системе.
Рассмотрим сумму двух тензоров Ars, Bl
Если эти тензоры являются функциями параметра t, то
dCl dA\ , dBl
— ~~Tt г
dt dt ' dt
и, в частности, это равенство справедливо в любой
аффинной системе координат. Поэтому равенство
6t ~ Ы + bt
справедливо в любой системе координат. Таким же
образом доказывается равенство
. A8)
Эти две формулы показывают, что обычные правила диф-
дифференцирования суммы остаются справедливыми и для
абсолютного и ковариантного дифференцирования.
Рассмотрим произведение двух тензоров Ars, Bit и,
для общности, предположим, что произведение свернуто
по т:
Обычным дифференцированием получаем
m .T dBm3l
dClt _ dATn

202 КОВАРИАЫТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАН ИЛ [гл. XIJ
Это равенство, в частности, справедливо в любой аффин-
аффинной системе координат. Отсюда сразу получаем тензор-
тензорное равенство
6Clt 6Am Rm .г 6Д™
R
bt — 6t D
справедливое в любой системе координат. Аналогично
BZ,u. B0)
Это показывает, что обычные правила дифференцирования
справедливы и для ироизведедия тензоров.
Пользуясь правилами абсолютного и ковариантного
дифференцирования тензоров, мы приходим к некоторым
важным теоремам, о которых в этой связи необходимо
упомянуть. Возьмем метрический тензор gr3; мы знаем,
что его составляющие в аффинной системе коордипат
постоянны; следовательно, в аффинных координатах
Поэтому в любой координатной системе справедливо
следующее тензорное равенство:
Л.. 1 = 0, B1)
т. е. ковариантпая производная метрического тензора
равна нулю тождественно. Этот важный результат изве-
известен как лемма Риччи. Таким же образом доказывается,
что ковариантная производная ассоциированного тен-
тензора grs также равна нулю тождественно.
е-объекты и символ Кронекера постоянны в любой
аффинной системе координат и, следовательно,
em,u=e:fU=6U=6rsf,u=0. B2)
Другими словами, ковариантпые производные г-объектов
и символов Кронекера тождественно равны пулю. Прямым
следствием этих результатов является то, что при нахо-
нахождении абсолютной и ковариантной производных любой
комбинации тензоров метрический тензор, Е-объекты
и символы Кронекера можно рассматривать как посто-
постоянные.

i 5] ДИВЕРГЕНЦИЯ И ВИХРЬ ВЕКТОРА. ЛАПЛАСИАН 203
Для примера докажем, что тензор можно свертывать как до,
так и после ковариантпого дифференцирования, причем величина
ковариантпой производной при этом но изменяется. Сначала заме-
заметим, что операция свертки тензора по двум индексам эквивалента
умножению на б? н последующей свертке, т. о. Л^ = о*>Л<!!р. Так
как с символом Кронекера при ковариаптном дифференцировании
можно обращаться как с постоянной, то
что и доказывает нашо утверждение.
Упражнения
1. Доказать равенство
2. Показать, что если XT=gTiX*, то Хг, t = grsXe,;, и вывести,
что если Хг—параллельное векторное поле, то Хт такжо парал-
лельпое векторное поло.
3. Показать, что поднимание и опускание индексов можно
выполнять и до и после операции абсолютного и ковариантного
дифференцирования.
4. Доказать равенство
5. Доказать, что если X—длина вектора Хг, то
у Xm, r X
§ 5. Дивергенция и вихрь вектора. Лапласиан
Пусть дан нектор Хг; известно, что Xr,s — его кова-
риантная производная — есть смешанный тензор. Тогда
мы можем образовать скаляр
B3)
Теперь посмотрим, какое значение принимает в в декарто-
декартовой системе координат. В декартовой системе ковариант-
ная производная совпадает с обычной частной производ-
производной. Следовательно, в декартовой системе имеем равенство
l дХ*

204 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ [гл. XII
Это выражение называв гея дивергенцией вектора Хг; в об-
общей системе координат дивергенция определяется форму-
формулой B3). Если мы возьмем ассоциированный вектор Хг,
то очевидно, что Э может быть выражена эквивалентной
формулой
в = ётпХт,п, B4)
которая определяет дивергенцию через ковариантные соста-
составляющие вектора.
Далее, если существует скалярная функция ф такая,
что ковариантный вектор Хг определяется формулой
Л г = -Q^F = Ф, г.
то вектор Хг называется градиентом ф. В этом случае
дивергенция Хг обозначается Аф и из B4) видно, что
A«P=gmn«Pinm. B5)
В ортогональной декартовой системе B5) переходит в
(Э*»)« •
Это выражение называется лапласианом ф. Следовательно,
в произвольной системе координат лапласиан ф опреде-
определяется формулой B5).
Наконец, возьмем ковариантпую производную Хп 3
ковариантного вектора Хг и образуем вектор
B6)
Этот вектор называется вихрем или ротором Хг. Чтобы
найти его выражение в ортогональной декартовой системе
координат, заметим, что там ersi = ers;, а ковариантные
производные перейдут в частные нроизводпые. Поэтому
составляющие вектора Rr выражаются следующим образом:
\
Следует заметить, что если Хг — градиент функции ф,
то Хг,, = Xs, r и мы получаем, что вихрь градиента тож-
тождественно равен нулю.
дх2 дх* J ' V дх» дх* ) ' V, 9x1 дх2 ) •

§ в] ТЕНЗОР РИМАНА—КРИСТОФФЕЛЯ. ТОЖДЕСТВА ЛЯМЕ 205
Упражнения
1. Показать, что Г8| ^
дх*
2. Показать, что Г,, rS=gmtT™s ¦
§ 6. Тензор Римана — Кристоффеля. Тождества Ляме
Так как ковариантная производная тензора есть снова
тензор, то можно взять его ковариантную производную.
Тензор, получившийся в результате повторного дифферен-
дифференцирования, пазывается второй ковариантной производной
тензора; очевидно, что мы можем брать ковариантные
производные любого порядка.
Рассмотрим вторую ковариантную производную век-
вектора Хг
Я2у „ ay „ ay _. Я F
~~лт [ fat1 i-s —1 rplsf —1 spirfj •
Переставим в формуле s и t и вычтем одпо выражение
из другого. Пользуясь свойством симметрии символа Кри-
Кристоффеля, получаем
Xr,st — -Xri (» = •"• ret-Xp, B7)
где мы ввели обозначение
рР О рр i рШ рр рТЛ рр
B8)
В равенстве B7) слева стоит, очевидно, тензор и по-
поэтому справа должен быть тоже тензор. Но Хр — произ-
произвольный вектор; поэтому, пользуясь обратным тензорным
признаком, получаем, что Rprsi — также тензор, который
называется тензором Римана —Кристоффеля. Отметим,
что этот тензор состоит только из gmn и его производ-
производных до второго порядка включительно.

206 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 1гл. XII
Опустим индекс р; получим ассоциированный тензор
Найдем выражение для этого ассоциированного тензора.
Мы имеем
б
Но
рт
Р _
llprst —
5рт1 п) ^ г!
а? Р' rt ~~ ^ ( т,
о
рт
брт д { rs>
д {
rmn
p,ms l rsL p,
Используя предыдущее равенство, получаем
О р О -р
t — qxs l p.rt „ ( ^
pmp
Если сюда подставить выражения для символов Кристоф-
феля D), стр. 192, то B9) примет вид
+ gmn(rm,rsrnip(-rm,r(rn>p8). C0)
Из C0) мы видим, что тензор Rprsl удовлетворяет условиям
Rprsl = — Rrpati
Rprst= — Rprtst
*iprs(== Rstpr-
C1)
Первые два равенства выражают тот факт, что Rprst
антисимметричен относительно индексов р, г, а также
относительно s, t.
Введем обозначение
C2)

S в] ТЕНЗОР РИМАНА— КРИСТОФФЕЛЯ. ТОЖДЕСТВА ЛЯМЕ 207
Если умножить это равенство па ejPre^e< и просуммировать по ?, /
от 1 до 3, то вследствие свойств антисимметрии тензора RpTtt
получим
jst Sif — -? *pr*T™ Rt4rnn = у ^"Яргтп = Rprst•
Таким образом,
Иртв1 = Чрг*}*1йЧ. C3)
Используя последнее из равенств C1), получим
откуда следует, что S4— симметричный тепзор. Мы получили,
что в трехмерном пространство тензор Римапа—Кристоффеля можно
выразить через симметричный тензор второго порядка S4.
Вернемся к равенству B7) и посмотрим, какой вид
примет это тензорное уравнепие в декартовой координат-
координатной системе. Так как в этом случае ковариантная про-
производная совпадает с частной производной, то легко
видеть, что слева будет стоять выражение
дх3 дх* Qxt qxs '
Но это есть тождественный нуль, так как частное диф-
дифференцирование перестановочно. Следовательно, справа
тоже стоит тождественный нуль, а так как вектор Хг
произволен, то
Kst = 0, C4)
т. е. тензор Римапа — Кристоффеля есть тождествен-
тождественный нуль*).
Поэтому из равенства C2) получаем, что
= 0,
C5)
и наоборот, если S1' есть тождественный нуль, то из C3)
видно, что Rv.ni тоже обращается в нуль.
*) Причиной обращения в нуль тензора Римана — Кристоффоля
является то, что наше пространство—эвклидово и допускает суще-
существование декартовой координатной системы. В высшей диффе-
дифференциальной геометрии мы имеем дело с более общим простран-
пространством, в котором тензор Римана—Кристоффеля в пуль ие
обращается.

208 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Ггл. XII
Условий C5) —шесть, и метрический тензор gmn дол-
должен им тождественно удовлетворять. Эти условия назы-
называются тождествами Ляме.
Упражнение
Показать, что Sn = — R232S, l?23= — ЛЗП2 и т. д.
g g
УПРАЖНЕПИЯ К ГЛАВЕ XII
1. Написав в развернутом виде тензорное уравнение g™ г=0,
проверить, что
dgra r mr s
-^-f-+gmsTmt + Smr^ml=: ¦
2. Написав в развернутом виде тензорное равенство ersj,p = O
и подставляя г, s, t=l, 2, 3, доказать, что
д log Vg = fm
3. Используя результаты задач 1 и 2, доказать равенство
4. Показать, что ковариаптпые составляющие вихря вектора Хг
в общей системе координат равны
1 /ЭХ3 дХ2\ i / дХх дХ9 \ 1 / дХг
5. Показать, что дивергенция ХТ есть
[Эта формула очень удобна для вычислений.]
6. Показать, что лапласиан q> определяется формулой
7. Показать, что если Хп—контравариантный тензор, то
и, кроме* того, показать, что если Xrs антисимметричен, то второй
член обращается в нуль.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XII 209
8. Показать, что если Rrs — свернутый: тензор Щтвр, то
где Srs — тензор, ассоциированный Srs, a S = gmnSmn.
[Использовать соотношение gmnempre.nst = gpigrt — gptgrs-]
9. Ортогональные криволинейные координаты
Понизить, что в этом с.чучае имеют место равенства:
а) *тп = *т* = О(л1=М), ?ll=-^, gM = ^~, ?33=~-.-
gn ?22 ёъя
б) Если положить gn = h\, g^ — hj, gsa=h% то ds* =
\ (d^ + hl (dx^+hl {da??.
r> r и dhi „ dh
dxi
i dxl
hi dhi n* — д lpg hi ^i — д
r x
Г -А Г^ ^-^1 -1- -9 Г
L 3a;i V. Ax 3a;i у ' dz2 V лг
"^ ахз ^ A3 da? ) J '
e) 5н= L_ri_f±^V—Г-— V
A?Aj/ift La^' V hj dxU dx* \hk dxh J
1 1 dhi dhk -j
"'" Af a^ "ax* J '
fcl/*jAft Lftc'Sa;' 9a;' dx' dxi dx{ J
Заметим, что па вышенаиисашше формулы условие о сумми-
ровапии по расиростраияется, а в формулах в), г) и е) г", /, А
обязательно не равны друг другу.
10. Написать формулы упражнения 9 в сферических координа-
координатах [в этом случае A1 = l, h2 = xl, A3 = a:L sin хг].
11. Написать формулы упражнения 9 в цилиндрических коор-
координатах [в этом случае А1=1, А2=а:1, А3=1].

ГЛАВА XIII
КРИВЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Касательный вектор кривой
Прострапствепная кривая есть геометрическое место
точек, координаты которых являются функциями одного
параметра. Таким образом, координаты
точки на кривой С определяются равен-
равенствами типа
xr=xr(t). A)
Из G) (стр. 184) видно, что длина ду-
дуги s кривой удовлетворяет уравнению
Рис. 21.
dt
dxm dxn
dt dt
и, следовательно, длина дуги s определяется интегралом
B)
Возьмем s в качестве параметра вдоль С; тогда получим
C)
dxm dxn _ .
dxr
откуда видно, что -ч- есть единичный вектор.
(tS
Пусть Р — точка на кривой С (рис. 21) и хг — ее коор-
координаты, 'Q — соседняя точка, тоже лежащая на С и соот-
соответствующая возрастанию длины дуги на ds; тогда ее

НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР
211
ГО
координаты равны xr + dxr. Вектор lim -^- называется
касательным вектором; мы обозначим его через %Т. Таким
образом,
dxr
ds
причем из C) видно, что %г — единичный вектор касатель-
касательной к кривой С.
§ 2. Нормальный вектор. Главная нормаль
и бинормаль
Любой вектор, ортогональный к касательному вектору,
называют нормальным вектором кривой. Следовательно,
условием того, что \аг есть нормаль к С, является
*тпГУ = 0. E)
Так как Хг — единичный вектор, то
8тпК Л — 1,
и если мы возьмем отсюда абсолютную производную, то
получим
в Л J"
Это показывает, что вектор -г- нормален к кривой. Обо-
значим единичный вектор направления -,— через \аг. Тогда
F)
где к выбрано так, чтобы \хг был единичным вектором.
Этот нормальный вектор называется главной нормалью
кривой С, а к — ее кривизной в рассматриваемой точке.
Далее, так как ц1" есть единичный вектор, то совер-
совершенно таким же образом, как для Хг, доказывается, что
14*

212
КРИВЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Ггл. XIII
его абсолютная производная -^ ортогональна к цг. Если
мы возьмем от обеих частей равенства E) абсолютные
производные по s, то получим
Ьтп §s \* "Г" 6mnA gs —
ИЛИ
Это равенство можно переписать так:
откуда видно, что вектор
V~6F+K*O
ортогонален к Хг. Но, кроме того,
мы имеем равенство
О II ^ ( U^* | ця\ 71 \ __ Л
OTnTlM* V * ~]— /СЛ I ^^ Vy,
\ OS J
из которого следует, что -j?—|- кХ,™
ортогонален также к [ir. Поэтому единичный вектор \\
определяемый равенством
— ( -jj—
G)
ортогонален и к W и к [ir. Величина t выбрана так,
чтобы vr был единичным вектором. Таким образом, мы
видим, что Xr, \t,r, vr образуют взаимно ортогональную
тройку векторов. Знак т не всегда положителен и выби-
выбирается так, чтобы выполнялось условие
ijfcA |X V — J . {О)

3] ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ 213
Другими словами, векторы ^,г, цг, vr должны образовы-
образовывать положительно ориентированную или правую тройку
(см. стр. 171).
Вектор vr называется бинормалью кривой С в рас-
рассматриваемой точке, а т — кручением кривой.
Упражнения
1. Доказать, что и=
j.
^т Ь%П V
6ц.'
2. Доказать, что t=eTslkr\is -J—.
OS
3. Показать, что vr = e"T!nA.m|ir») где Я.г, fir —векторы, ассоци-
ассоциированные с Хг и |ir.
4. Показать, что
§ 3. Формулы Френе
Поскольку vr перпендикулярен к %г и \ir и удовле-
удовлетворяет условию (8), то легко показать, что
следовательно,
Если в F) и G) опустить индексы и разрешить эти урав-
6ХГ 6ц,,. ^
нения относительно -^ и -f2-, то будет
OS OS
Подставляя эти величины в (9), получим
^ ^m(tvn - хХп) = te'*

214
КРИВЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Ггл. ХШ
Сопоставляя эти последние формулы с F) и G), мы по-
получим следующие равенства:
A0)
Это — формулы Френе; они связывают к, т, Я,1", \\.r, vr.
Упражнения
1. Используя цилиндрические координаты, доказать, что кри-
кривизна окружности х1 = а, x2 = t, я3 = 0 равна 1/а.
В цилиндрических координатах dsi = (dx1)%-\-(xx)i (dx^-lftx3)*
и можно показать, что отличны от нуля только следующие сим-
символы Кристоффеля:
Касательный вектор окружности х1 = а, x2 = t, x3 = 0 есть
ds
он должен удовлетворять равенству gmn!KmXn=l во всех точках
^y = a2 (J±^ =1. -^=— ¦
кривой, откуда ^
Первая из формул Фроне дает нам
6s
l
~ 2г
ds
ds
dx*
ds
»" ds -"•
Так как цг—единичный вектор, то и2 = #тп(
Итак, мы получили, что х=— и цг=(—1, 0, 0).
2. В вадаче 1 показать, что т=0 и vr=@, 0, 1).
3. Показать, что xvr=i *"

5 4] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 215
§ 4. Уравнение прямой
Если вектор Хг определен вдоль кривой, то его состав-
составляющие должны быть заданными функциями от длины
дуги кривой s. Мы видели, что если Хг — параллельное
векторное поле, заданное вдоль кривой, то оно должно
удовлетворять тензорному равенству
Его ковариантные составляющие Хг удовлетворяют анало-
аналогичному тензорному уравнению
ьхг_ахг rmY dzn_c.
6.9 ds m ds
Мы можем использовать этот результат для получения
уравнения прямой линии в любой криволинейной системе
координат.
Касательный вектор прямой всегда имеет одно и то же
направление, т. е. он образует параллельное векторное
поле п должен удовлетворять A1). Но единичный каса-
касательный вектор есть
Следовательно, уравнение прямой линии будет
-гА_ = йгхг _|_ pr dxm ?х^_ __ п
6.? ds} * тп ds ds
A3)
Мы можем получить это уравнение и другим способом,
заметив, что A3) есть тензорное равенство и в декартовой
dW
dW n
системе координат переходит в —г-г~ = и, что и янляется
уравнением прямой линии в таких координатах.
Из формул Френе следует, что A3) просто выражает
факт равенства кривизны нулю, т. е. что прямая имеет
нулевую кривизну. Это является характерным свойством
прямой.

216 КРИВЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ [гл. XIII
Упражнения
mx'n, где х'
нение прямой можно записать в виде
dxr
1. Положив (b = gmnx'mx'n, где х'т н= —;— , доказать, что урав-
уравЗдесь штрихом обозначена производная no s. Имеем
Поэтому
ЭФ _dgmn x>mx-n%
Следовательно,
J_fdO\ дФ _.pj.2r x'™x'n-
«
Но уравнение прямой есть
Следовательно, наша, теорема доказана.
Этот результат иногда бывает полезен при вычислении симво-
символов Г?,п. Если рааверпуть уравнение (а) и разрешить его относи-
относительно х"Т, то мы увидим, что с правой стороны равенства нолучит-
Другими словами, символы, которые мн хотим вычислить,
являются коэффициентами квадратичной формы от х'г.
2. Используя метод, разработанпый в задаче 1, найти символы
Кристоффоля для цилиндрической и сферической систем координат.
УПРАЖНЕ1ШЯ К ГЛАВЕ ХШ
62Jlr dy.
1. Доказать, что -^j-=-т-цг+х (rvr—xX*).
g. Поцавать, что t=-j t>rstV -j— -j-f .

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХШ 217
3. Вывести формулы
ur dx . , „ , ... dx. 62vr , ,„ _ dx r
4. Доказать, что
Ersi 6s 6s* 6s3 ~~K ds \KJ '
6vr 6Ч8 6V _ B d /х'ч
е"( 6s 6s2 б*3 ~T 7 V. X J '
5. Найти кривизну и кручение кривой ж1 = а, z2 = *, a:3 = ci,
где ds2=(dx1I-]-(xldx2J-\-(dx3J. Это—винтовая линия в цилиндри-
цилиндрической системе координат.
6. Доказать, что касательный вектор в упражнении 5 в каждой
точке кривой составляет постоянный угол с вектором @, 0, 1).
7. Доказать, что если (аХг+Ьцг-)- cvr) образует параллельное
векторное поле вдоль кривой С, то
is ds
8. Если на кривой и касательной к ней в точке Р взяты близкие
к ним точки Q и И, находящиеся от Р на малом расстоянии s, то
. j -*¦ ки,г.
V ! / Г
9. Доказать, что если две кривые С и С имеют одну и ту же
касательную в точке Р и две точки Q и R на этих кривых взяты
так, что соответствующие длины дуг равны s, то
'-i-x'11—2x,c'cose,
V s / V s у
где 6 — угол между главными нормалями кривых.
10. Пусть кривая С проведена из точки Р в точку Q, и пусть
С—слегка измененная кривая, так что ее координаты в каждой
точке отличаются от координат соответствующей точки кривой С
на бесконечно малый вектор rf. Доказать, что длины дуг кривых
отличаются приблизительно на
Q
ai=[W]2-jxiMird«.
р
11. Используя результаты задачи 10, вывести, что если С —
кривая, длина дуги которой является стационарной для всех кри-
кривых, проходящих через Р и Q, то х=0 и С—прямая.

ГЛАВА XIV
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Криволинейные координаты на поверхности
Пусть (у1, у2, у3), как и прежде, — декартовы коор-
координаты точки. По определению, поверхность есть геомет-
геометрическое место точек, координаты которых являются
функциями двух независимых параметров. Таким образом,
уравнения поверхности будут
уг=уг(и\ и2) (г= 1,2,3), A)
где и1, и2 —параметры. Другими словами, любая точка
на поверхности однозначно определяется двумя числами
и1, и2; следовательно, мы можем назвать эти величины
координатами точки на поверхности. При этом нужно
помнить, что 1 и 2 —индексы, означающие различные
координаты, а не показатели степени.
Рассмотрим геометрический смысл координат (и1, и2).
Если зафиксировать и2 и изменять только и1, то точка A),
как зависящая лишь от одного параметра, опишет некото-
некоторую кривую (рис. 23). Кроме того, эта кривая целиком
лежит на поверхности. Если мы будем придавать и2 раз-
различные значения, то получим семейство кривых на поверх-
поверхности. Эти кривые мы назовем и1-кривыми, так как вдоль
них меняется только один параметр и1; уравнение
этого семейства есть иг — const; следовательно, если мы
говорим, что точка Р имеет координату мг, то это озна-
означает, что Р лежит па определенной и'-кривой, а имен-
именно и2 = и2.
Таким же образом получим другое семейство кривых
«' = confet, вдоль которых изменяется только и2; эти кри-

I] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ 219
вые назовем и?-кривыми. Легко видеть, что каждая точка
поверхности определяется как пересечение двух кривых,
принадлежащих разным семействам. С геометрической
точки зрения координаты (и1, и2) определяют две кривые,
по одной из каждого семейства, которые проходят
через эту точку. В дальнейшем для краткости будем
называть и1- и ы2-кривые координатными кривыми,
а и1, и2 —системой криволинейных координат на
поверхности.
Все свойства поверхности, которые можно описать,
не обращаясь и окружающему пространству, называются
внутренними свойствами
поверхности, а их описа-
описание составляет содержание
внутренней геометрии по-
поверхности. Этой геомет-
геометрией мы и собираемся за-
заниматься в настоящей гла-
главе; мы увидим, что для
этой цели криволинейные
координаты (и1, и2)—наибо-
и2)—наиболее удобная система коор-
координат.
Очевидпо, существует Рис. 23,
бесконечно много возмож-
возможных координатных систем, посредством которых можно
определить точки на поверхности. Действительно, мы мо-
можем взять в качестве координатных кривых любые два се-
семейства, которые удовлетворяют следующему условию:
каждая кривая из одного семейства пересекает каждую
кривую другого семейства в одной и только одной точке.
Если и1, и2—другая координатная система па поверх-
поверхности, то и1, и2 являются функциями только и1, и2, и
обратно, т. о. существует функциональное преобразова-
преобразование вида
и1-/(и1, и% и* = Ци
причем это преобразование обратимо:
B)
и1 = ф1(«*1, в"). в» = ф»(и\ и2).
C)

220 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
Упражнения
сть ?/3 = /(
ующим об
и*, y9=f{u\ и*).
1. Показать, что поверхность ?/3 = /(у1, у2) можно представить
в параметрической форме следующим образом:
Каковы координатные кривые?
2. Показать, что
у3 __ и1 —
—уравнения однополостиого гиперболоида и что его образующие
являются координатными кривыми.
§ 2. Введение греческих индексов.
Тензоры на поверхности
Мы видели, что криполинейных координат на поверх-
поверхности две, и поэтому мы имели дело с двумя перемен-
переменными (и1, и2). До настоящего времени для обозначения
переменных, которых было три, мы использовали латин-
латинские индексы, причем у нас были два условия относи-
относительно этих индексов, а именно: свободный индекс про-
пробегал значения от 1 до 3; немой индекс означал суммиро-
суммирование от 1 до 3. Оказывается удобным применять
индексные обозначения и для новых переменных (в1, и2);
чтобы не менять ничего в обозначениях с латинскими
индексами, мы для этой цели будем применять греческие
индексы. Тогда наши переменные можно записать так:
и* (а=1, 2). D)
Введем два условия, касающиеся греческих индексов.
Повторяющийся или немой греческий индекс означает
суммирование от 1 до 2.
Неповторяющийся или свободный индекс пробегает
значения от 1 до 2.
Нетрудно видеть, что всо сказанное в главе I можно теперь
повторить с небольшими изменениями применительно к греческим
индексам. Например, объект второго порядка будет теперь обо-
обозначаться через aag и будет состоять из расположенных в некото-
некотором порядке чисел
«IK °12.

§ 2] ВВЕДЕНИЕ ГРЕЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ 221
Как и раньше, получим
2
^ ^ Р (и»)».
Антисимметричные е-объекты в греческих индексах будут
объектами второго порядка, именно еаа и еа^у определяемыми
следующим образом:
eu = e22 = 0, «1а= —е21=1,
ell_e22 = 0t e12=_e21_l. I'
Существуют два символа Кронекера, определяемых так:
Первый символ равен нулю, если комбинации а, р и %, ц
но являются перестановками чисел J, 2; в остальных случаях он
равен -)-1, если перестановки одинаковы, и —1, если перестановки
разные. Второй символ имеет обычные свойства, т. с. равен нулю,
если, а и р не равны друг другу, и равен J, если а и fi одинаковы.
Читатель может сам развить теорию определителей второго порядка
аналогично тому, как это делалось в главе I.
Преобразования B) и C) можно для краткости пере-
переписать в виде
Следовательно, мы можем построить теорию тензоров
любого порядка относительно преобразований этих пере-
переменных. Она совершенно аналогична теории тензоров
в переменных хг. Например, объект третьего порядка а$у
будет псевдотензором веса М, контравариантным по а
и ковариантным по р и у, если его составляющие в новых
переменных а%х удовлетворяют соотношению
Теоремы тензорной алгебры, доказанные в главе II
(стр. 36), конечпо, справедливы и здесь; справедливо
также приведенное выше замечание о тензорных полях
(стр. 182). Если в (8) М = 0, то тензор «pY называется,
как и прежде, истинным; этот класс тензоров является
для нас наиболее важным
Если мы захотим ввести для тензоров с греческими
и латинскими индексами различные термины, то мы

222 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ Ггл XIV
можем называть первые тензорами на поверхности, так
как они являются тензорами относительно преобразования
поверхностных координат, а вторые пространственными
тензорами, так как они являются тензорами относительно
преобразований пространстненных координат.
Упражнения
1. Показать, что определитель я = | яаЙ | удовлетворяет равен-
равенству
'?. Используя результат задачи 1, нолучить формулу
3. Показать, что дополнение элементов аа^ в | а^ \ есть
4. Доказать, что
диУ-
ди?
диУ
диа
е„
диа
диа
и, следовательно, что еа^, еа&—псевдотеизоры веса —1 и +1
соответственно.
5. Используя результаты задач 2, 3, 4, показать, что если
аар — истинный тензор, то а — псевдоскаляр, Аа& — нсевдотеизор,
оба веса 2 и, следовательно, Аа&, разделенное па а,—истинный
тензор.
§ 3. Элемент длины и метрический тензор
Пусть Р — точка на поверхности с координатами иа
и ^ — соседняя с пей точка с координатами ua-\-dua.
Обозначим через уг и yr + dyr декартовы координаты
точек Р и Q в пространстве. Тогда из уравнений A)
стр. 218 имеем
Ф-Ш**. (9)

5 S]
ОЛЕМЕНТ ДЛИНЫ Q МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР
223
Пусть ds — расстояние между Р и Q; тогда
Используя (9), получаем
Y
= aap dua
где введено обозначение
а«Р = ^гггй- =
г=1
дуг дуг
диа duB
A0)
A1)
Отсюда видно, что аар есть функция координат ма,
симметричная относительно своих индексов. Так как
cfa —скаляр, то из A0) следует, что аар dua du& — тоже
скаляр, a dua — произвольный контранариантный вектор.
Поэтому из обратного тензорного признака следует, что
аа$ — ковариантный тензор второго порядка, который
мы называем фундаментальным или метрическим тен-
тензором, так как длина элемента дуги на поверхности
определяется формулой A0).
Если мы обозначим через а определитель | аар | и
через ааВ дополнение аар в а, деленное на а, то совершенно
так же, как и на стр. 185, можно доказать, что аар есть
контравариантный тензор, причем
аи Ха (\ "^
a t*Bv — Оу> * v /
Если мы построим объекты
я
1
е
е ;
A3)
то они тоже будут тензорами, которые мы назовем
г-объектами.
Длину или модуль А коптравариантного вектора ^4"
мы определим равенством
A4)

224 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
Аналогично этому модуль ковариантного вектора Ва
определим так:
1
ъ?. A5)
Единичным вектором называется вектор, длина которого
равна единице, и следовательно, Яа есть единичный
вектор, если он удовлетноряет равенству
э = 1. A6)
Разделив A0) на ds2, получим
dua dJ> .
a U
таким образом, —-г— есть единичный вектор.
С помощью тензоров аар и ааР можно, как и раньше,
поднимать и опускать индексы; операции поднятия
и опускания индексов подчинены тем же законам, что
и в случае пространственных тензоров.
Упражнения
Показать, что для следующих поверхностей ds2 имеет указан-
указанный ниже вид.
1. Поверхность у1 = м1, у2 = м2, у3 = /(м1, и2);
ds* = (l+f\) (dt*1J+2/i/2dui du*-I-A + И) (du*f,
2. Сфера у1 = a cos u1 cos u2, y2 = a cos к1 sin и2, t/3 = asinu1;
ds* = a* (dul)a + a2 (cos uiJ (du2J.
3. Круговой цилиндр у1 —a, cos и1, 2/2 = rtsinjt1, t/3=u2;
4. Поверхность у1 = и1 cos u2, уг = и1 sin и2, у3 = 0;
Эта поверхность есть плоскость у3 = 0, а координаты на ней
полярные координаты.]

4] НАПРАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ 225
§ 4. Направления на поверхности. Угол между
двумя направлениями
Разделим (9) на ds; получим
dyr _ дут du*
Мы знаем, что направление' PQ в декартовых коорди-
dyr
натах определяется вектором —jr-, а из A8) видно, что
dvr dua /-,
—^-задано, если-т— задано. Следовательно, направление
PQ на поверхности вполне определяется единичным век-
вектором -^-. Но если дан какой-либо единичный контра-
вариантный вектор А,", то мы всегда можем выбрать—^-
CIS
так, чтобы было
?¦=*'. A9)
Отсюда вытекает, что каждый единичный вектор Ха
определяет на поверхности единственное направле-
направление. Так как любой контравариантный вектор Аа опре-
определяется своей длиной —скаляром Л и единичным век-
вектором на поверхности Аа/А, то каждый контравариант-
контравариантный вектор на поверхности определяет направление на ней.
Далее, рассмотрим два направления на поверхности
_ dua Ьиа _
в точке Р, определяемых векторами —-—, -т— . Соответ-
CIS 0S
ствующие пространственные векторы в декартовых коор-
координатах будут
ds 9ua ds ' 6« gu3 6s '
Как мы знаем, угол 0 между двумя направлениями
определяется так:
з
^^ v dyr w
ds ds * Z ds 6s
r=l

226
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ Ггл. XlV
Следовательно, подставляя сюда значения для -^- и -г-
as OS
и вспоминая определение тензора аар, получаем
Если Я" и \ла (рис. 24) —два единичных вектора, то
два направления, определяемых ими, будут
6s
Поэтому мы получаем, что
угол 9 между направлениями
Ка и ца определяется фор-
формулой
Рис. 24.
cos 0 = аар^ацр.
B2)
Эти направления будут ортогональны, если 9 = -V-, следо-
следовательно, условие ортогональности направлений Яа и ца
есть
ааРГцв = 0. B3)
Теперь возьмем направление va, определяемое равенством
v =е V (-4)
где Я,а—вектор, ассоциированный с единичпым вектором ка; тогда
а так как
то
откуда видно, что B4) —единичный вектор. Кроме того.

§ 4] НАПРАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ 227
и, следовательно, va ортогонален к Я,". Если умножить B4) на va
и просуммировать от 1 до 2, то
откуда видно, что скаляр eapA.av^ положителен. Но
ea3^>3=-sap^P. <25)
где ка и ца—любые два единичных вектора. Поэтому условимся,
что поворот от \а к ца положителен, если скаляр sa*'ka\xP поло-
положителен. Следовательно, вектор B4) таков, что поворот от V1 к va
положителен.
Упражнения
1. Показать, что если взять единичные векторы е« и еп
в направлении координатных кривых, то
ем)—,/-— °i> еB) — -т=^°2-
' К «Ц F122
Вдоль координатной кривой u2 = const <2и2=0; поэтому элемент
длины вдоль нее определяется выражением dsi = ali(du1J. Следо-
Следовательно, единичный вектор есть
( dui du2\ f \ -\ _1 сП
и совершенно то же самое имеет место для еа .
2. Показать, что если Ха и ца — два единичных вектора таких,
что поворот от Ха к ца положителен, то
3. Показать, что если со—угол между координатными кри-
кривыми, то
cos со =
Yап
откуда следует, что условие ортогональности координатных кривых
есть «12=0; в этом случае координаты называются ортогональными
криволинейными координатами.
4. Показать, что поворот от ^-кривой к и2-кривой положи-
/
телен и что sin и>=
V
V 1112
5. Элемент площади. Доказать, что элемент площади dS
па поверхности определяется формулой dS= ^a du1 du2.

22Й
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОЙЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ Ггл.
[Если взять малые расстояния dsx и ds2 вдоль координатных
кривых, то dS=^ds1dsa sin ш; далее, мы знаем, что ds1='yra11 du1,
§ 5. Геодезические кривые
Любая кривая на поверхности определяется заданием
координат иа в функции от одного параметра t. Поэтому
уравнение кривой имеет вид
ка = /<*(?).
B6)
Будем обозначать дифференцирование по t точкой. Тогда
длина кривой между точками А и В есть
B7)
Рассмотрим кривые, проходящие через две фиксиро-
фиксированные точки А и В. Среди всех этих кривых сущест-
существует одна и только одна кривая на-
7В именыпей длины. Эта кривая называет-
называется геодезической между точками Аи В.
Если наша поверхность является пло-
плоскостью, то геодезическая линия есть
прямая. Нашей задачей является оты-
отыскание уравнения геодезической линии,
проходящей через точки А и В.
Обозначим буквой Г геодезическую
линию, проходящую через А и В, и возь-
возьмем' соседнюю с ней кривую Г', тоже
проходящую через А и В. Поставим
в соответствие точкам Г точки Г' таким
образом, что если Р с координатами
иа и Р' с координатами и'а будут соот-
соответственные точки, то РР' — малый вектор. Этот вектор
можно записать в виде есоа, где е — бесконечно малый
множитель, а аа — конечный контравариантный вектор;
тогда
B8)
Рис. 25.

§ 5] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ 229
Очевидно, что соа —функция параметра t, которая обра-
обращается в нуль в точках Аи В. Таким образом U,
длина кривой Г' между точками А и В, есть функция
от е и может быть представлена в виде ряда Тейлора
по степеням е. Замечая, что при е = 0 кривая Г' сов-
совпадает с Г, имеем
где индекс 0 означает, что е должно быть положено
равным нулю после дифференцирования. Второй член
в правой части B9) называется первой вариацией длины L
и обычно обозначается ЬЬ. Так как Г есть геодезическая
линия, то ее длина меньше, чем длина любой другой
кривой, проходящей через А -а. В. Другими словами,
Ь' достигает минимума при е = 0 и, следовательно,
по обычным правилам дифференциального исчисления
/ дЬ' \
( —х— \ должна равняться нулю, т. е. первая вариация
ЬЬ равна нулю, если Г — геодезическая линия. Найдем
явное выражение для вариации ЬЬ; тогда из условия,
что она исчезает для всех соседних кривых, мы придем
к уравнению геодезической линии.
Пусть
Ф(в, u)=(aatiu"ufif, ..., C0)
где мим означают символически и1, к2 и и1, к2 соот-
соответственно. Тогда
ф'=Еф(к', и') = ф(и + есо, к + есо)
а так как
в
U = J ф' dt,

230 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
ТО
В
' ar/ s " ' 3™ да I ,.
—— й)"г- at.
Проинтегрировав по частям, получим
ди
иа
диа
диа
Так как со" в точках А и В обращается в нуль, то
имеем
C1)
диа
Это и есть выражение для первой вариации.
Если Г — геодезическая линия, то ЬЬ должна быть
равной нулю для всех соседних кривых, проходящих
через А и В, т. е. правая часть в C1) должна исчезать
при произвольных значениях вектора аа на кривой Г.
Поэтому должн.,0 выполняться равенство
C2)
Эти дифференциальные уравнения вместе с условиями,
что кривая Г проходит через данные точки А и В, вообще
полностью определяют кривую Г. Поэтому они и явля-
являются уравнениями Г. Мы напишем их в более явном виде.
Имеем
Эф =аарцР
д'иа V
и C2) принимает вид
диа
диа
диа
До сих pop наш параметр t вдоль Г был совершенно
произвольным. Мы сильно упростим дело, если возьмем

5]
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
231
в качестве параметра длину дуги s геодезической линии.
В этом случае C0) перейдет в ф = 1 вдоль Г; уравне-
уравнения Г примут вид
ds
ИЛИ
du\
Если ввести обозначение
Гу, ой — у
C3)
то эти уравнения можно переписать так:
_ „ г duP dip ~
«op -^г + 1 a, pv 7 -J7" - U-
Поднимая индекс а, придем к окончательной форме
где мы положили
C4)
C5)
Выражения C3) и C5) называются символами Кристоф-
Кристоффеля на поверхности; сравнивая со стр. 192, видим, что
они образуются из аа$ точно таким же образом, как
символы Кристоффеля в пространстве образуются из grs.
Более того, мы знаем, что линия наименьшей длины или
геодезическая линия между двумя точками пространства
есть прямая, и из A3) на стр. 215 видно, что уравне-
уравнения геодезической линии на поверхности и в простран-
пространстве имеют один ц тот же вид.

232 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
Упражнения
1. Показать, что если положить \|>=аари'аи'Р, где и'а =
dua
= —— , то уравнения геодезической линии можно написать в виде
d Г Щ \ Эф =р
ds \ диа ) диа
[Эти уравнения часто оказываются полезными при вычисле-
вычислении символов Кристоффеля для любой координатной системы,
так как после разрешения уравнений относительно вторых про-
производных по s из C4) видно, что с правой стороны уравнения
коэффициент при_
du? d«v
-;—у- Равен — Г2Л,.]
ds ds r PV '
2. Показать, что Гу „g и Г^ симметричны по а, р, а также что
3. Показать, что для поверхности из задачи 1, стр. 224, сим-
символы Кристоффеля имеют вид
где
4. Ортогональные криволинейные координаты. Доказать, что
если криволинейные координаты ортогопалыш, то
1 1
а) о12 = ога = 0, а11 — -— , оа2 = —,
аи я22
— * дан г — 1 дап — v
_ 1 дам_ 1 да^ _
Ч.га— ""УЭ^"" 2'1а' 2'22~йа"'
Г1—JLae" ri — J_^?li П L а°22
u~2ou ди\ ' 12~2ап ди* ' 1аа~ 2яп аи1
5. Вычислить символы Кристоффеля для поверхностей из за-
задач 2, 3, 4, стр. 224.

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ 233
§ 6. Преобразование символов Кристоффеля.
Геодезические координаты
Рассмотрим две координатные системы иа и иа и най-
найдем, каким образом связаны между собой символы Кри-
Кристоффеля в этих двух системах.
Будем обозначать чертой сверху величины, относя-
относящиеся к координатам иа.
Возьмем геодезическую линию Г, и пусть иа и иа —
координаты некоторой точки, лежащей на ней, заданной
в двух различных системах координат. Эти координаты
являются функциями дуги s кривой Г, причем, конечно,
s есть скаляр. Тогда
dua _даа duQ
~d7~~lkfi~d7'
а после повторного дифференцирования
дЧа duQdu°
ds* ~ duQ ds* + 9uQdua Sf ds
Но так как точка лежит на геодезической линии, то
справедливы равенства
ds* ~ l№ ds ds
_ _ ro du° dux
ds2 ~ ax ds ds '
После подстановки C7) примет вид
B duc dux dhia du° dux
to ds ds ~ duQ cx~ds~ ds ди°дих ds ds '
Использовав C6), получим
92ua rQ дпа . да difidu*\ duadux n
Геодезическая линия Г выбрана совершенно произвольно,
и, значит, уравнение C8) справедливо для всех -=—,

234 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ Ггл. XIV
а поскольку коэффициент при -^--^- в C8), очевидно,
симметричен по а и т, то должно быть
^ + ^0
Это уравнение выражает связь между символами Кри-
Кристоффеля, выраженными в двух системах координат.
Так как в него входит вторая частная производная
от иа по uQ, то символ Кристоффеля не является тензо-
тензором. Точно таким же образом, исходя из формулы
dua диа duQ -
-jf — ^Q-j—^ получим обратное соотношение
Мы уже видели, что в трехмерных аффинных коор-
координатах метрический тензор gTS имеет постоянные соста-
составляющие и, следовательно, в такой координатной системе
символы Кристоффеля всюду равны нулю. На поверх-
поверхности, вообще, невозможно найти такие координаты *),
но мы покажем, что всегда можно выбрать координат-
координатную систему, в которой все символы Кристоффеля обра-
обращаются в нуль в заданной точке О. Такого рода коор-
координаты называются геодезическими координатами в точке О.
Пусть иа — данная система координат, и пусть и" —
координаты заданной точки О в этой системе. Если суще-
существует такая система координат иа, что все символы
Кристоффеля, выраженные в ней, обращаются в нуль
в точке О, то из уравнения D0) легко видеть, что тогда
в этой точке должно быть
*) 3$ исключением поверхностей, развертывающихся па пло-
плоскость, см. Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, т. I,
М., 1947, стр. 432. (Прим. ред.)

в]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ
235
и обратно, если эти уравнения выполняются, то все Г^т
обращаются в точке О в нуль. Сделаем замену переменных
и* = иао + п«-±(Гаат)оп°Ъ\ D2)
Мы видим, что координаты точки О в новой координат-
координатной системе будут иа=0 и что в точке О
диа „а
O
Поэтому
—ггг*
duQ
это показывает, что равенство D1) в данной точке выпол-
выполняется. Следовательно, новые переменные — геодезиче-
геодезические координаты в точке О. Важно отметить, что сим-
символы Кристоффеля в геодезических координатах вообще
не всюду равны нулю, а только в заданной точке.
Упражнения
1. Полу геодезические координаты. Найти линейный элемент,
если координатными кривыми являются геодезические линии, про-
проходящие через данную точку О, и их орто-
ортогональные траектории.
Возьмем в качестве и1-кривых геодези-
геодезические линии, проходящие через данную
точку О, а в качестве м| расстояние
вдоль каждой геодезической'линии, изме-
измеренное от точки О. В 'качестве и2 можно
взять угол, который геодезическая линия
ОР (рис. 26) составляет с данной геодези-
ческой линией ОС. Эти координаты совер-
совершенно аналогичны полярным координатам
на плоскости; поэтому их можно назвать
полярными координатами на поверхности,
однако чаще их называют полугеодезически-
полугеодезическими координатами.
Вдоль геодезической линии м2 = const имеем <ftia = 0, ds = dux.
Следовательно, ап = 1 и
ds ~~ ' ds
Кроме того, эти кривые должны удовлетворять уравнениям C4),
стр. 231, откуда следует
Рис. 26.

236 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
а так как Гг, ц = вгвГ^, то будет
Г2>ц=-^г=0,... (а)
Далее, в точке О м1 = 0 и, следовательно, для всех небольших
неремещеиий по поверхности от точки О dsi = (dul)i независимо
от того, каким выбран du*. Таким образом, при и1 = 0 а12 = а22 = 0.
Но тогда из (а) следует, что а12 исчезает всюду и координатные
кривые ортогональны. Поэтому линейный элемент будет иметь вид
Кроме того, если мы возьмем малые расстояния OP, OQ, оба
равные и1 вдоль двух соседних_геодезических линий, соответству-
соответствующих иг и ua-fdu2, то PQ = Yo.w du%, а угол PCX? равен du2. Если
поверхность в точке О аппроксимировать плоскостью, то прибли-
приближенно будет
Отсюда видно, что если У*au разложить по степеням и1, то будет
где остальные члены разложения более высокого порядка малости
по и1, чем первый.
2. Доказать, что
3. Используя результат задачи 2, показать, что если все
символы Кристоффеля обращаются в нуль в точке О, то первые
производные eap также равны нулю, и наоборот.
4. Показать, что полугеодезические координаты с началом
в точке О являются, кроме того, геодезическими координатами
в точке О.
§ 7. Параллельный перенос относительно поверхности
Пусть С — кривая на поверхности (рис. 27), и пусть
в каждой точке кривой С определен вектор Ха. Коор-
Координаты иа каждой точки С и составляющие векторного
поля Ха являются функциями параметра t.
Если ,.мы возьмем другую координатную систему иа>
то составляющие Ха векторного поля в новых координа-

$ 7j ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
тах определяются уравнениями преобразования
23"?
D3)
и, конечно, тоже являются функциями от t. Дифферен-
Дифференцируя по t, имеем
dXa _ диа dXa , 32па ynrfuT
~Л dt "
Если мы подставим сюда значение
a
—- из C9), то получим
, „о дп° v« dUX
ди°дих
dXa _дпа dXc
dt я,,о dt
dux
Рис. 27.
Воспользовавшись D3), можем переписать это уравнение
так:
Оно показывает, что выражение
ЬХа dXa
du?
D5)
является контравариантным вектором, который мы на-
назовем абсолютной производной вектора Ха на поверхности.
Рассмотрим уравнение
dXa
D6)
Это — векторное уравнение, и следовательно, если оно
справедливо в какой-либо одной координатной системе,
то оно справедливо в любой другой. Так как D6) —диф-
—дифференциальное уравнение первого порядка, то если век-
вектор Ха задан в какой-либо точке кривой С, то D6) опре-
определяет единственный вектор Х° в каждой другой точке

238 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
кривой. Следовательно, таким способом мы определяем
единственное векторное поле вдоль С. Нетрудно заметить,
что D6) имеет тот же самый вид, что и F), стр. 193;
последнее является уравнением, которому удовлетворяет
параллельное векторное поле вдоль кривой. Поэтому мы
будем говорить, что система векторов на поверхности,
определяемая уравнением D6), есть параллельное вектор-
векторное поле относительно поверхности. Сказанное является
определением нового понятия — параллельного векторного
поля относительно поверхности, или параллельного пере-
переноса вектора относительно поверхности.
Важно отметить, что параллельное векторное поле
относительно поверхности определяется вдоль кривой
на этой поверхности. Следовательно, если нам заданы
две точки А и В поверхности и в точке А задан вектор Ха,
то мы можем определить параллельный ему вектор
в точке В только в том случае, если задана кривая,
соединяющая А и В; вообще этот параллельный вектор
в точке В будет зависеть от вида взятой кривой.
Другая формулировка этого свойства параллельного
векторного поля относительно поверхности состоит в сле-
следующем.
Пусть на поверхности задан замкнутый контур и,
начав с некоторой точки контура с заданным в ней
вектором, будем строить вдоль контура параллельное
векторное поле относительно поверхности. Тогда a priori
нет никаких основапий ожидать, что мы придем в началь-
начальную точку с вектором, равным начальному. В действи-
действительности параллельный перенос вектора по замкнутому
контуру относительно поверхности при возвращении
в первоначальную точку, вообще говоря, .приводит к но-
новому вектору.
Упражнения
1. Показать, что если Ха—вектортюе поле, удовлетворяющее
условию D6), то аа^ХаХ^ остается постоянной вдоль кривой.
Вывести отсюда, что* длины двух параллельных векторов одинаковы.
г daoe (Г I г ч duy и
Использовать равенство —^ = "р, ау~г a, Py) ~jj~ •

S 8] АБСОЛЮТНОЕ И КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 239
2. Показать, что если Ха и Уа—два параллельных векторных
поля, то eagXayP остается постоянной. Вывести отсюда, что
углы между двумя векторами и параллельными им равны между
собой.
3. Показать, что если напгей поверхностью является плоскость
и на ней взяты аффинные координаты, то уравнение поля парал-
параллельных векторов переходит в —j— = 0. Иными словами, определе-
определение параллельных векторов на плоскости при помощи уравнения D6)
совпадает с обычным евклидовым определением параллельных
прямых на плоскости.
4. Доказать, что единичный касательный вектор Ха = -т— гео-
геодезической линии G образует нараллельпое векторное поле вдоль
геодезической линии.
I Используя C4), можно написать уравнение кривой G в
виде -J—=(
5. Показать, что если Xй—параллельное векторное поле
вдоль G, то Ха составляет постоянный угол с G.
[Из этих примеров видно, что параллельность относительно
поверхности в нашем определении обладает многими свойствами,
принадлежащими обычным параллельным векторам в евклидовом
пространстве.]
6. Показать, что если Ха—параллельное векторпое поле
на кривой С, вдоль которой выбран параметр t, то ковариантные
составляющие поля удовлетворяют уравнениям
^?i_rvz jt0
to ~ at Молу at
§ 8. Абсолютное и ковариантное дифференцирование
тензоров на поверхности
Будем рассматривать задачу, аналогичную уже решен-
решенной в главе XII для пространственных тензоров, а
именно задачу построения новых тензоров при помощи
операции дифференцирования заданных на поверхности
тензорных полей. Метод решения будет тот же самый, что
и в главе XII. Определив параллельное векторное поле
вдоль кривой относительно поверхности, читатель должен
просто перечитать §§ 2, 3, стр. 195 — 200, заменяя слова

240 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ trn. XIV
«пространственные тензоры», «пространственные коорди-
координаты» словами «тензоры на поверхности», «координаты на
поверхности». Поэтому мы ограничимся лишь формулиров-
формулировкой результатов для тензоров на поверхности.
Если XpY —тензор на поверхности, определенный
вдоль кривой С, то его составляющие являются функ-
функциями одного параметра t\ тогда величины
образуют тензор того же самого порядка и типа, что
и .XpY; этот тензор называется абсолютной производной
Х1У по t.
Если XpY — тензорное поле, определенное на всей
поверхности, то его составляющие являются функциями иа;
тогда величины
6=
azPv
D8)
образуют тензор, имеющий на один ковариантный индекс
больше, чем Х$у. Этот тензор называется ковариантной
производной тензора XpY-
Операция ковариантного дифференцирования отмеча-
отмечается запятой, совершенно так же как и в случае простран-
пространственных тензоров.
Рассмотрим геодезические координаты в данной точке
О поверхности. В таких координатах символы Кристоф-
феля в точке О исчезают; тогда из D7) и D8) сразу
следует, что в точке О абсолютная и ковариантная про-
производные тензора совпадают с обычными производными.
Поэтому, следуя рассуждениям § 4, стр. 200, мы полу-
получаем, что правила обычного дифференциального исчисле-
исчисления для производной суммы и произведения функций
справедливы и для абсолютной и ковариантной произ-

S 8] АБСОЛЮТНОЕ И КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 241
водных суммы и произведения тензоров. Предоставляем
читателю самому сформулировать эти правила в том же
виде, как и в § 4 *).
Далее, когда мы используем геодезические коорди-
координаты в точке О, обычные производные тензоров аар и а0*
и их определителя а равны нулю. Следовательно, кова-
риантные производные метрических тензоров аар и а°Р,
г-объектов и символов Кронекера равны нулю, — резуль-
результат, аналогичный найденному для пространства. Следо-
Следовательно, при отыскании абсолютных и ковариантных
производных or любой комбинации тензоров на поверх-
поверхности с ними можно обращаться, как с постоянными.
Упражнения
1. Показать, что -? (Х«Ув) =5g_ Ya+ Ха -^ .
дХ„ SX
дХ„
2. Доказать, что Ха> 3-Х3, a=-^jf—
3. Показать, что -^- (а^
4. Показать, что операцию поднятия или опускания индекса
можно производить и до и после применения операции абсолют-
абсолютного и ковариантного дифференцирования.
5. Доказать, что свертку по двум индексам можно выполнять
как до, так и после применения операции абсолютного и ковари-
ковариантного дифференцирования.
6. Показать, что если X есть длина вектора Х«, то
дХ _ у X*
7. Написав в явном виде тензорное уравнение 8^ =0и при-
придавая a, P значения 1, 2, доказать, что
*) Аналогия не совсем полна. В § 4 мы использовали аффин-
аффинные пространственные координаты, в которых символы Кристоф-
феля всюду равны нулю; здесь же поверхностные символы Кри-
стоффеля обращаются в нуль лишь в одной данной точке.

242
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
§ 9. Тензор Римана — Кристоффеля. Гауссова кривизна
поверхности
Пусть Ха — ковариантное векторное поле, определен-
определенное на всей поверхности; его ковариантная производная
есть
Так как Ха,р есть тензор, то мы можем снова найти
его ковариантную производную. Полученный таким обра-
сом новый тензор называется второй ковариантной про-
производной Ха. Обозначим ее через Ха, gY. В дальнейшем
мы увидим, что она, вообще говоря, не симметрична
относительно Р и у. Предоставим читателю получить
тем же способом, что и выше, на стр. 205, следующие
результаты:
о» Py ~"~ •"¦<*! yP — ***аРу б'
где
D9)
E0)
Уравнение D9) показывает, что #?аду является тензором,
а из E0) видно, что он зависит только от метрического
тензора и его производных. Он называется тензором
Римана —Кристоффеля поверхности. Если опустить
индекс 6, то получится ассоциированный тензор
Он обладает следующими свойствами симметрии:
т. е. Двору антисимметричен относительно б, а и
Рассмотрим скаляр
E1)

I 10] ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА КРИВОЙ 243
Этот скаляр есть инвариант относительно преобразова-
преобразования криволинейных координат на поверхности. Если мы
умножим это уравнение на е^еах, то получим
В силу антисимметрии тензора /?ea0Y будет
и, следовательно,
R*tun = Къ%у&ах. E2)
Это показывает, что тензор Римана — Кристоффеля можно
выразить через скаляр К и е-объекты. Скаляр К назы-
называется полной или гауссовой кривизной поверхности. Он,
конечно, определяется внутренними свойствами поверх-
поверхности и зависит только от метрического тензора и ег*
производных.
Упражнения
1. Показать, используя E2), что К=—^. Эта формула поз-
позволяет нам вычислять К в любом частном случае.
2. Доказать, что
B ГГ
3. Если система координат ортогональна, т. е. если аи=0, то
,_ 1 Г д / 1 дам\ д ( 1 дап\1
2 /а L Эй» Ч /а Л*1 У "^ ft»1 Ч /а ft»" У J '
S3to следует сразу из вычислений в задачах 1 и 2.]
i. Если линейный элемент имеет вид ds1-={duly-\-an{dui)i, то
к——Д_
§ 10. Геодезическая кривизна кривой на поверхности
Пусть С — заданная кривая на поверхности, и пусть
в качестве параметра выбрана длина дуги s кривой,
измеряемая от какой-либо фиксированной точки на

244
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ Ггл.
кривой. Тогда кривая определяется уравнениями
:Ua(s)
а мы имеем соотношение
dua
E3)
E4)
которое удовлетворяется в каждой точке кривой.
Если Р — точка на кривой с координатами иа (рис. 28),
а @ —соседняя с ней точка на кривой С, соответствую-
щая^возрастанию параметра на
ds, то бесконечно малый вектор
PQ имеет своими составляю-
составляющими dua.
Таким образом, касатель-
касательный вектор к С, который яв-
является предельным положением
вектора PQ при Q, стремящем-
стремящемся к Р, определяется выраже-
„ __ нием —J— . Ьолее того, зто —
Рис. 28. fts
единичный вектор, что сразу
следует из E4). Следовательно, единичный вектор каса-
касательной к кривой Ка определяется так:
E5)
Поскольку Я" — единичный вектор в каждой точке
кривой С, то
Беря абсолютную производную от обеих частей зтого
уравнения по s, получаем
откуда видно, что вектор —т— ортогонален АЛ Следова-

S Ю]
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА КРИВОЙ
245
тельно, если мы обозначим через ц° единичный вектор,
ортогональный Ка, то
E6)
где о" —некоторый скаляр.
Выберем направление ца таким, чтобы поворот (Ха, \ia)
был положительным; тогда согласно сказанному на
стр. 226 ца есть тот самый вектор,* который удовлетво-
удовлетворяет условию
Bafikflyfi = + 1. E7)
Когда направление ц.а таким образом установлено, урав-
уравнение E6) определяет а единственным образом не только
по величине, но и по знаку. Вектор ца называется еди-
единичным нормальным вектором к кривой С, а скаляр а
называется геодезической кривизной кривой на поверхности.
В соответствии с выбором \ia мы имеем
Найдем абсолютную производную по s от обеих частей первого
равенства; получим
Таким образом, мы имеем две формулы
E9)
Читатель заметит, что имеется некоторое сходство между ними
и формулами A0), стр. 214, относящимися к кривизне и кручению
кривой в пространстве. Поэтому мы можем для краткости назы-
называть E9) формулами френв кривой С относительно поверхности.
Упражнения
1. Доказать, что если G есть геодезическая линия, касаю-
касающаяся кривой С в точке Р {рис. 29), и если длина дуг PQ и PR
равна s, то при s, стремящемся к нулю, вектор QR стремится
к нормальному вектору, a (QR/s*) -* а/2.

246
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гп XIV
Пусть координаты точки Р будут ма. Если мы разложим
координаты точки R в ряд Тейлора во степеням я, то получим
Остальные члены имеют порядок малости выше чем s*. А так как
dua ,„ d2wa d%a
~dl=K' -мг=-1Г' то Разложение
примет вид
(a)
Совершенно так же, разлагая коорди-
координаты точки Q в ряд по степеням s и обо-
обозначая чертой величины, относяшиеси
к геодезической линии G, имеем
Рис, 29.
dua
1
Так как кривые касаются в точке Р, то
—~=Я,а и из уравнения геодезической линии имеем в точке Р
ds J
ds -
Следовательно,
ds
(p)
Вычитая (Р) из (а), получаем выражение для Qi?, если я мало:
Поэтому
e-+0
1 ил i д
2 6s 2
откуда и следует ваше з^тверждение.
2. Доказать, что <72=ааЭ-^—gj
3. Доказать, что o=
i«**L = -e *?¦
-j:
4. Показать, что если С — геодезическая линия, то ff=0,
и обратно, если ff=0, то кривей—геодезическая. Таким образом,

S 11] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ БЕЛЬТРАМИ 247
геодезические линии являются кривыми нулевой геодезической кри-
кривизны.
Уравнение геодезической линии может быть написано в виде
, „ d*ua . „„ du? du< „в duv
5. Доказать, что -J-+Г^ _ _-—oe^-gj-
6. Использовав результат задачи 5, вывести, что геодезическая
кривизна Ох'.м'-кривой определяется равенством
и найти подобную же формулу для геодезической кривизны
иа-кривой.
Г dua /I "\1
Для ^-кривой имеем —j— = ( „ , 0 ) . I
L "s ч у ац у J
7. Доказать, что~если координатные кривые ортогональны, то
§ 11. Дифференциальные параметры Бельтрами
Если ф и tjj —две скалярные функции координат на
поверхности и если мы обозначим через ф,а и i]))a их
производные по иа, т. е.
то эти производные являются ковариантными векторами.
Следовательно, величина
V(<p, ¦ф) = аа3
F1)
является скаляром и часто называется бельтрамиевым
дифференциальным параметром двух функций.
Если положить ф = |ф, то из F1 получим скаляр
Уф = V (ф, ф) = а°Р ф, а ф, р,
F2)

248 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
который называется белътрамиевым первым дифферен-
дифференциальным параметром функции <р. Символ V<p читается
«набла <р».
Если Ха — контравариантный вектор на поверхности,
то мы можем взять его ковариантную производную и
свернуть по двум индексам, получив Х*а. Это, очевидно,
скаляр; выписывая его в явном виде, получим
^ Г?„Хв. F3)
Этот скаляр по аналогии с B3), стр. 203, можно назы-
называть дивергенцией вектора Ха на поверхности. Используя
приведенные на стр. 241 выражения
можно переписать дивергенцию вектора Ха в виде
F4)
Эта формула особенно удобна для вычислений.
В частном случае, когда под Ха мы подразумеваем
вектор а°Рф_з а ф — инвариантная функция координат на
поверхности, его дивергенция есть
Этот скаляр называется белътрамиевым вторым диффе-
дифференциальным параметром функции ф; его часто обозна-
обозначают Аф*).
Итак,
F5)
*) Для первого и второго дифференциальных параметров Бель-
трами здесь используются обозначения, применяемые Blaschke
в его Vorlesungen uber Differentialgeometrie. Эти параметры
иногда обозначают также Azq> и Д2ф. Имеется русский перевод:
Бляшке, Дифференциальная геометрия; М. —Л., 1935. По пово-
поводу параметров Бельтрами см. стр. 185 перевода. (Прим. ред.)

$ 12] ТЕОРЕМА ГРИНА НА ПОВЕРХНОСТИ 249
Используя F4), это можно переписать так:
А — ^ С л/ ^ ^Р 1 /fifi\
Упражнения
1. Доказать, что
У(иХ)=:— , V(U*) = 5ii-, V (И1, U1)= — .
п О, &
2. Доказать, что
3. Доказать, что угол между кривыми <р=const и \|>= coast
определяется выражением
cos 9=— v^' *'
у Vq>-Vr|)
и что, следовательно, две кривые ортогональны, если V (ф, rj))=O.
[Это можно доказать, взяв в качестве координатных кривых
и1 = ф, и2 = <р и используя результат задачи 1.]
4. Формула Велътрами для геодевической криеизны кривой.
Доказать, что если кривая определяется равенством ф=const, то
ее геодезическая кривизна есть
a—-^-
/У
[Это — скалярное уравнение. Проделать вычисления в специаль-
специальной ортогональной координатной системе, в которой и2 = ф. Тогда
заданные кривые представляют собой и1-кривые координатной
системы. Далее использовать результаты задач 1 и 2 из этого
раздела и задачи 7 на стр. 247.]
§ 12. Теорема Грина на поверхности
Рассмотрим замкнутый контур С на поверхности (рис. 30).
Определим сначала положительное направление обхода коптура.
Если мы возьмем простейший контур, определяемый кривыми
u1 = 0, u2 = 0, ul = l, м2 = 1, то в качестве положительного направ-
направления мы примем направление, в котором обход этих кривых со-
совершается в указанном порядке, а в качестве отрицательного —
противоположное. Направление обхода любого другого контура
будет положительным или отрицательным в зависимости от того.

250
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
совпадает оно или нет с положительным направлением обхода
простейшего контура.
Обозначим область, лежащую внутри С, через S. Из теоремы
Грипа известно, что если Р и Q—функции
_ координат, то
F7)
s
Рис. 30.
Направление обхода контура С при кон-
контурном интегрировании принимается по-
положительным.
Теперь пусть Ха будет векторное поле, определенное на всей
поверхности S, и пусть dS — элемент поверхности, т. е.
тогда
Из F4) имеем
Следовательно,
8
ds
J
Далее, если мы обозначим через ц° единичный вектор внутренней
нормали к кривой С, то его ковариаптные составляющие будут
определены (стр. 245) формулой
— — в
а0 -
Поэтому формула Грина примет вид
F8)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV 251
Положим в этой формуле -^ =а Ф, рФ» где ф, if—скалярные
функции координат на поверхности. Тогда
и F8) перейдет в
F9)
Упражнения
1. Доказать, что
[>—¦фДф) АУ+ \ (фф а—1рф а) |
"б" С
2. Доказать, что
- J q> ty e (Xa) A»- J ^ фДФ di1.
3. Вывести из F7), что если Ха—ковариаптное векторное
поле, то
S
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV
1. Доказать, что если со—угол между координатными кривы-
Va
ми, то tgco=-t— .
2. Показать, что еслн два семейства кривых на поверхности
определюятся уравнением ba^dua duP = O, то угол между кривыми
семейства есть
Доказать, что семейства ортогональны, если afi
[Заметив, что tg9 есть истинный скаляр, взять рассматривае-
рассматриваемые семейства в качестве координатных кривых; тогда bn — bn=O;
затем использовать результаты упражнении 1.]

252 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. XIV
3. Возьмем кривую С на поверхности и семейство геодезиче-
геодезических линий, пересекающих ее ортогонально. Если мы возьмем
это семейство геодезических линий в качестве иг-кривых, где и1
измеряет расстояние вдоль каждой геодезической линии от кривой
С, то линейный элемент будет
4. Гауссовы геодезические координаты. Если в упражнении 3
мы возьмем в качестве С геодезическую линию, а в качестве и2
расстояние, измеряемое вдоль кривой С, то а22 (и1, и2) из упраж-
упражнения 3 для всех значений и2 удовлетворяет следующим условиям:
5. Показать, что если гауссова кривизна поверхности равна
нулю и мы используем гауссовы геодезические координаты, то
линейный элемент будет
d* (dl
Он является таким же, как и линейный элемент на плоскости в
прямоугольной декартовой системе координат.
[Использовать задачу 4, стр. 243, вместе с условном из пре-
предыдущего примера.]
6. Показать, что если К не равно нулю и постоянно, то в
гауссовых геодезических координатах будет
ds* =(du*J+cos2(УК ui)(du*)* (K>0),
ds* = (du1)t-{-ch* {Y^K u1)(du2J (jST<0).
7. Доказать, что если [х°—единичный вектор нормали к се-
семейству кривых, то геодезическая кривизна а этого семейства
будет
Это можно доказать, взяв заданное семейство в качестве
и1-кривых и выбрав ортогональную, координатную систему. В этом
С1 "Ч 1
О, г . ) .
8. Доказать, что если координатные кривые ортогональны
и вектор, касательный к кривой С, составляет угол в с кривой
к2 == const, то геодезическая кривизна кривой С есть
а =з—bai cos 6 + 02 sin 6.
9. Показать, что если линейный элемент есть dsi=^(du1J-\-
-\-ai2(du2J и С есть геодезическая линия, то формула из упраж-
упражнения 8 превратится в
dQ . .
т = -а9 sine.

УП^АЖЙЕЙИЯ К ГЛАВЕ XIV 253
Вывести отсюда, что
dQ_ дУ"а^ sinB
10. Формула Лагерра. Если ах и <х2—геодезические кривизны
координатных кривых и ш—угол между ними, то
11. Показать, что если две кривые пересекаются ортогонально
в точке Р, a ds1 и ds2—линейные элементы длины вдоль этих
кривых и (Ti, а2—их геодезические кривизны, то
12. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру.
Показать, что если мы из заданной точки начнем переносить
параллельно заданный вектор вдоль замкнутого контура, то по
возвращении в начальную точку он будет составлять с исходным
вектором угол, равный \ \ KdS, где интегрирование распростра-
распространено на всю внутреннюю площадь, охватываемую контуром.
[Выберем координатную систему с линейным элементом
dst — (du1)*-\-aii(dut)*, и пусть Аа—данное параллельное вектор-
векторное поле, которое мы можем считать единичным векторным полем.
Если Аа в любой точке составляет угол в с ^-кривой, проходя-
проходящей через эту точку, то
.. sine
Так как Аа—параллельное векторное поле, то -т—"^' Далее»
os
^=4 (совв)+г! #*-?.= -sine ^-^
ds ds к ' i |iv ds ds
dQ 1 9a22 sine du*
Приравнивая нулю, получим
d&_ д У д^ du*
ds ~ ди1 ds

254 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ trn. XIV
и, проинтегрировав это выражение по контуру С, получим для
искомого угла а значение
CdQ,
а— \ -g-ds—
Ads
\
J
-з-
ds
8
Таким образом (стр. 243),
13. Теорема Гаусса. Показать геометрически, что когда вектор
переносят параллельно по сторонам геодезического треугольника
ABC, то угол а из предыдущего упражнения равен А-\-В-\-С — л.
Следовательно,
Е=А+В+С—я= [ { KdS.
Е называется угловым избытком треугольника.
14. Теорема Бонне. Доказать, что если а — геодезическая кри-
кривизна кривой С, образующей непрерывный замкнутый контур, то
с s
[Вместо параллельного поля Аа в упражнении 12 возьмем
единичный вектор, касательный к кривой С. Заметим, что теперь
-т— = — a sin в, как это следует из формул Френе для кривой на
поверхности, и в этом случае а=2л.]
15. Показать, что если контур С имеет изломы, в которых
внешние углы равны щ, щ, со3 и т. д., то формула из упражне-
упражнения 14 изыепяется следующим образом:
16. Вывести из упражнения 15, что для треугольника ABC на
поверхности будет
{ \
— я.
[Это—обобщение результатов упражнения 13.]
17. Ес.ли Дф—угол между двумя соседними геодезическими
касательными к кривой С в точках, отстоящих друг от друга на

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV 255
Д«, то геодезическан кривизна кривой С есть
[Это немедленно следует из результатов упражнения 16, при-
примененных к элементарному треугольнику, образованному двумя гео-
геодезическими касательными и кривой С]
18. Пусть имеем бесконечно малый замкнутый контур Д6", и
пусть Да—угол между начальным и конечным положениями век-
вектора, который был параллельно перенесен вокруг этого контура.
Доказать, что гауссова кривизна поверхности равна
AS-М)

ГЛАВА XV
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Система обозначений
В предыдущей главе мы изучили внутренние свойства
поверхностей, т. е. те свойства, которые могут быть
описаны безотносительно к окружающему пространству.
Теперь мы приступаем к исследованию свойств поверх-
поверхностей, которые рассматриваются как вложенные в окру-
окружающее пространство.
Таким образом, в этой главе нам придется иметь дело
с двумя разными системами координат, а именно: криво-
криволинейные координаты для окружающего пространства,
которые мы будем обозначать через xr (r=V, 2, 3), и
криволинейные координаты на поверхности, которые мы
будем обозначать через иа (а=1, 2). Что касается ин-
индексов, то мы будем подразумевать, что в силе остаются
следующие правила:
а) Повторяющиеся латинские индексы означают сум-
суммирование от 1 до 3, а если они свободны, то пробегают
значения от 1 до 3.
б) Повторяющиеся греческие индексы означают сумми-
суммирование от 1 до 2, а если они свободны, то пробегают
значения от 1 до 2.
Нам будут встречаться пространственные тензоры
вместе с тензорами на поверхности. Первые будут обо-
обозначаться латинскими индексами, а вторые — греческими.
Кроме того, в этой главе и в следующих мы будем иметь
дело с объектами, которые будут тензорами как простран-
пространственными, так и на поверхности; такие объекты будут
иметь и «греческие, и латинские индексы Так, объект,
обозначенный через А™, будет представлять собой контра-

§ 2] ВКК ГОРЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТИ 257
вариантный тензор второго порядка в х-координатах а
ковариаитный вектор в и-координатах. С другой стороны,
Вг будет представлять контравариаптныи вектор в ж-коор-
динатах и скаляр в u-координатах. Система обозначений
будет становиться яснее по мере того, как мы будем ее
использовать.
Очевидно, что для того, чтобы изучать тензорные
свойства относительно ж-координат, мы должны зафи-
зафиксировать систему u-координат и изменять систему прост-
пространственных координат, а для того, чтобы изучать тен-
тензорные свойства относительно u-коордннат, мы должны
просто зафиксировать систему ж-координат и преобразо-
преобразовывать ы-коордипаты к новым координатам на поверх-
поверхности.
Упражпеяия
1. Показать, что если мы зафиксируем систему и-координат
и перейдем от хг к хТ, то новые составляющие тензора АГЛ удо-
удовлетворяют равенству '
>, лшп № дх>
ла0 — лар дхт дхп '
2. Показать, что осли мы зафиксируем систему х-коордипат
и перейдем от иа к иа, то новые составляющие будут
3. Если мы одповременпо перейдем от хг и ма к новым коор-
координатам хг и иа, то новые составляющие выражаются так:
лар — лах дхт дхп Qu* g^P '
§ 2. Векторы, касательные к поверхности
Уравнения поверхности могут быть записаны так:
хг = хг {и1, иг). A)
Если мы возьмем небольшое перемещение dua на повер-
поверхности, то составляющие этого перемещения в простран-
пространстве выражаются следующим образом:
dxT = — du*. B)
диа v '

258 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИЙ ПОВЕРХЙОСТЕЙ [гл. XV
Теперь dxr является пространственным вектором и ска-
скаляром на поверхности, т. е. его составляющие не изме-
изменятся, если преобразовать только u-координаты. Точно
так же dua есть вектор на поверхности и пространствен-
пространственный скаляр. Следовательно, если мы рассмотрим B)
сначала с точки зрения преобразования пространственных
координат, а затем с точки зрения преобразования коор-
дхг
динат на поверхности, то увидим, что —- есть контрава-
диа
риантный пространственный вектор, а также ковариант-
ный вектор на поверхности, поэтому он может быть обоз-
обозначен так:
d*r C)
Каждое направление —т— на поверхности, как видно
из B), в пространственных координатах записывается так:
Кроме того, каждый вектор определяется направлением
и величиной. Следовательно, каждый вектор на поверх-
поверхности Аа имеет соответствующий ему пространственный
вектор
' ' E)
—— ООп ¦**¦
и эти два вектора определяются одним и тем же направ-
направлением и одной и той же величиной. Вектор Аг, направ-
направление которого совпадает с направлением касательной
к поверхности, называется вектором касательным к по-
поверхности
§ 3. Первая основная квадратичная форма поверхности
Линейный элемент в пространственных координатах
равен
ds2 = gmndxmdxn, F)
а в координатах на поверхности он же равен
G)

§ 4] ВЕКТОР, НОРМАЛЬНЫЙ К ПОВЕРХНОСТИ 259
Если мы возьмем одно и то же перемещение на поверх-
поверхности и в пространстве, то два значения для dsz должны
быть равны. Но зависимость между dxr и dua на том же
самом участке определяется формулами B); поэтому мы
должны иметь для любого перемещения dua на поверх-
поверхности
gmn dxm dxn = gmnx%x$ dua due = aap dua duP .
Поэтому
«aP = &„„**#. (8)
поскольку aap и gmn симметричны относительно своих
индексов. Итак, если мы знаем gmn и уравнения нашей
поверхности, мы можем тотчас же вычислить aap.
Дифференциальная квадратичная форма
A s flop dua dui\ (9)
называется первой основной квадратичной формой поверх-
поверхности; для краткости мы будем обозначать ее через А.
Она, очевидно, определяет квадрат длины элементарного
смещения dua на поверхности.
Упражнения
1 1
1. Показать, что ,— х[ и ,— х\ являются единичными про-
V я,г У °22
странственными векторами, касательными соответственно к кривой
и1 и кривой и2.
2. Показать, что г есть косинус угла между координат-
V ап
аыми кривыми на поверхности.
3. Показать, что длины векторов Аг и Аа, где Аг=хгаАа, равны
между собой; доказать, что эти векторы определяют одно и то же
направление на поверхности.
4. Доказать, что Аа = хгаАг.
§ 4. Вектор, нормальный к поверхности
Теперь мы найдем выражение для вектора, нормаль-
нормального к поверхности в любой ее точке.
Положим, что Ха и Ya — два вектора на поверхности
такие, что поворот от Ха и Ya положителен, т. е.
17*

2E0 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ (гл. А
совпадает с поворотом от кривой и1 к кривой и2. Соответ-
Соответствующие пространственные составляющие этих векто-
векторов будут
Xr = xTaXa, Yr = xraYa. A0)
Единичный вектор, нормальный к поверхности, ортого-
ортогонален как к Хг, так и к У, которые являются каса-
касательными векторами. Отсюда, если мы обозначим еди-
единичный нормальный вектор через |г, то его ковариантные
составляющие будут
ir(XFsin9) = 8r8(Zsy(, A1)
где X,Y — длины векторов Хг, У, а 8 —угол между ними.
Направление |г таково, что ориентация триэдра (Хг,
Yr, |r) в пространстве положительна.
Из A1) мы получаем, что
но
так как поворот (Ха, Ya) положителен. Отсюда
и это верно для всех значений поверхностных векторов
Ха, Ya. Поэтому
Умножая это равенство на е"Р, мы получим, что
A3)
откуда ясно видно, что |г есть ковариантныи простран-
стЕенпып вектор и скаляр на поверхности.
Упражнения
1. Показать, что |гя? =0.
2. Показать, что векторы {х\, х\, ^) имеют ту же ориеитацию,
что и кавательные векторы к z-коордипатным кривым т. е. ори-
ориентация этой тройки положительна.

5] ТЕНЗОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ 261
3. Доказать, что ^|
4. Специальная система координат. Показать, что если мы вы-
выберем пространственные координаты ортогональными и такими, что
х*=0 есть уравнение заданной поверхности, а в качестве и-кривых
выберем пересечение заданной поверхности с х1- и «'-поверхностями,
то для всех точек поверхности будут иметь место следующие со-
соотношения:
а) х\ = Ь{, 4=65;
3 р
в)Бг=(о, о-т4=У
±
5. Приняв специальную систему координат из задачи 4, пока-
показать справедливость тензорного равенства
6. Проекция вектора на поверхность. Из задачи 5 получить,
что проекция вектора Xе на поверхность есть вектор аа^хгах^Хт.
[Проекция Хг на поверхность есть {Xr—g
§ 5. Тензорное дифференцирование тензоров
Следующей нашей задачей является образование но-
новых тензоров путем дифференцирования заданных тен-
тензорных нолей. Мы применим для этого уже использо-
использованные выше методы (см. стр. 198, 239).
Рассмотрим сначала лежащую на данной поверхности
кривую С, причем вдоль нее изменяется параметр t.
Если ХТ — пространственный вектор, который определен
па кривой С и который образует в пространстве парал-
параллельное векторное поле, то, как мы знаем (стр. 193),
этот вектор должен удовлетворять уравнениям
_(T )XQ
б4 — dt тЧАтпп;вл dt — и.
Здесь символ Кристоффеля относится к пространствен-
пространственным координатам и записывается с латинскими индек-
индексами. Для того чтобы избежать смешения с символом
Кристоффеля на поверхности, мы ввели отметку «g»
с целью показать, что он порождается тензором gmn.
Аналогичные уравнения, которым должны удовлетворять

262 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [гл. XV
ковариантные составляющие Хг параллельного вектор-
векторного поля, будут
оХг аХт /rim \ v
Далее, если Ха — вектор на поверхности, который
определен на кривой С и который образует параллель-
параллельное векторное поле относительно поверхности, то мы
знаем (стр. 236), что .Ха должен удовлетворять уравне-
уравнениям
*?—%- + №•*).* %-<К A6)
а его ковариантные составляющие Ха — уравнениям
^?sL_ dXa (Г$ ) Xaduy -0 A7)
Символы Кристоффеля в этих формулах относятся к по-
поверхности и записаны с греческими индексами. Отметка
«а» показывает, что они порождены тензором aap.
Возьмем теперь тензорное поле, определенное на С,
например Х?р; это — контравариантныи пространственный
вектор и ковариантный тензор второго порядка на по-
поверхности. Мы возьмем АТ — ковариантное векторное
поле на С, параллельное относительно пространства,
и Sa, Ca — два контравариантных векторных поля, парал-
параллельных относительно поверхности. Тогда Хга$АгВаСа есть
скалярная функция от t. Ее производная но t является
поэтому тоже скаляром как в пространстве, так и на
поверхности. Поэтому, используя условие параллель-
параллельности нолей, мы получаем
+ ЛарЛг--^—
_ fdXafi | /pr ч

§ 5] ТЕНЗОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ 263
Это—скаляр при произвольных векторах Лг, Ва, Са.
Следовательно, на основании обратного тензорного при-
признака выражение
A8)
является тензором того же типа, что и Хар. Мы назовем
этот тензор абсолютной производной Z?p no t.
Если Хар определен на всей поверхности, его состав-
составляющие являются функциями иа и мы имеем тензорное
поле на поверхности. Поэтому, если С есть какая угодно
кривая на поверхности, мы снова получим
01 U Sit' j ut .
1ак как -тт- вследствие произвольности кривой С —
произвольный вектор на поверхности и так как правая
часть последнего равенства есть тензор, то объект
A9)
т
«в
&Xl* |(Г'
хт
Tin» ap
хп (Га
У а
) ^г (
v a' op
Г<Т ч
асг
есть тепзор, который один раз контравариантеп в про-
пространственных координатах и трижды ковариантен
в поверхностных координатах. Мы назовем его тензор-
тензорной производной Zap по ич.
ПодоОным же образом можно рассмотреть тензоры
любых других типов и получить соответствующие ныра-
жения для абсолютных и тензорных производных.
Далее, если так выбрать специальные системы прост-
пространственных и поверхностных координат, чтобы простран-
стиенные координаты были декартовыми и поверхностные
координаты —геодезическими в любой заданной точке
поверхности, то сразу будет видно, что абсолютная
и тензорная производные снодятся в данной точке по-
поверхности к обычным производным. Следовательно, к аб-
абсолютному и тензорному дифференцированию суммы и
произведения применимы те же самые правила, что и для
обычного дифференцирования. Следовательно, производные

264 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [гл. XV
тензоров grs, а„р, ers(, еар и их ассоциированных тензо-
тензоров все равны тождественно нулю, так как их обычные
производные в упомянутой специальной системе коорди-
координат обращаются в нуль. Эти тензоры в процессе тензор-
тензорного дифференцирования могут рассматриваться как
постоянные.
Упражнения
1. Написать формулы для абсолютной и тензорной произ-
производной тензора Хга.
2. Показать, что если тензор есть скаляр в одной из систем
координат (безразлично, в пространстве или на поверхности), то
производная этого тензора совпадает с абсолютной или ковари-
аптной производной, определенной на стр. 199 и 240.
§ 6. Формулы Гаусса. Вторая основная квадратичная
форма поверхности
Возьмем тензор хга из § 2 (стр. 258). Его тензорная
производная равна
?тп)дХа4-{Тааь\хТа B0)
ди> диР
п симметрична относительно индексов аир.
Мы имеем соотношение
и если взять тензорную нроизводпую этого равенства,
получим
Написав затем два равенства, получаемых из этого кру-
круговой перестановкой индексов a, Р, у, складывая затем
два из этих равенств и вычитая третье, мы получим, что
так как тензор хга^ симметричен относительно аир.
Этот результат, будучи интерпретирован геометрически,
означает, что xJi.p —пространственный вектор, ортогональ-
ортогональный к поверхности. Поэтому он совпадает по направле-
направлению с единичным нормальным вектором |г и должно

§ 7] ФОРМУЛЫ ВЕЙНГАРТЕНА 265
существовать такое число Ь„р, что
B2)
Из этого равенства мы видим, что 6„р — симметричный
тензор второго порядка на поверхности и в то же время
пространственный скаляр. Равенства B2) известны как
формулы Гаусса.
Кроме того, дифференциальная квадратичная форма
B3)
посит название второй основной квадратичной формы по-
поверхности; мы будем обозначать ее коротко через В.
1. Доказать, что bafi =
Упражнения
2. Показать, что если я-коордипаты—декартовы, то
1 д2хт
3. Пространствепные координаты —прямоугольные декар-
декартовы и выбраны так, что касательпая плоскость в начале коор-
координат, находящемся на поверхности, имеет уравнение а^=0. Если
х1 и х2 выбраны в качестве параметров и1, и2, то показать, что
в начале координат будет:
&) х\=Ь\, х\ = Ь\; 6N11 = 022=1, «12=0, а = 1;
в) A^р)а=0 = A\,ар)о; г) Г=@, 0, 1);
dW _ дх dW _
Д) диа д^ ~ диа ди.* ' диадиР~~ а^
Вывести формулы Гаусса из результатов г) и д).
§ 7. Формулы Вейнгартена. Третья основная
квадратичная форма поверхности
Рассмотрим тензорную производную единичного нор-
нормального вектора |г. Так как он является контравари-
антным пространственным вектором и скаляром на по-
поверхности, то легко видеть, что его тензорная производная

266 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [гл. XV
равна
B4)
Поскольку |г есть единичное векторное поле, то
Взяв тензорную производную этого равенства, по-
получим
ИЛИ
Это равенство показывает, что пространственный вектор
|r>a ортогонален к |г и является поэтому вектором, каса-
касательным к поверхности. Отсюда ?r,a может быть выражен
линейно через касательный вектор хга< т. е. существует
такое число т)а, что
Но так как ?г, нормален к поверхности, то
Следовательно, взяв тензорную производную этого ра-
равенства, мы получаем
Если воспользоваться формулами B2) и B5), то получим
или
Находя отсюда т)р, мы получаем
Следовательно, B5) принимает вид
B6)

§ 8} УРАВНЕНИЯ ГАУССА-КОДАЦЦИ 267
Эти равенства известны как формулы Вейнгартена. Они
дают выражения для производных единичного нормаль-
нормального вектора.
Получив выражения для производных |г, можно обра-
образовать третью квадратичную дифференциальную форму.
Если полошить
' ca, = gmnlmal% B7)
то очевидно, что сар — симметричный тензор второго по-
порядка на поверхности. Образовав квадратичную форму
B8)
назовем ее третьей основной квадратичной формой по-
поверхности. Используя формулы Вейнгартена, мы находим
из B7), что
или
Сч = авхЬааЬъ- B9)
Упражнения
1. Доказать, что gmn|™»p= — Ьар.
2. Показать, что если pvS является алгебраическим дополне-
дополнением 6у6 в | 6 в | , деленным на [Ьу6\,то на основании B6) будет
3. Доказать, что аа®х'а р =2ЩГ, где положено Н = -^- а^Ьа^;
Н называется средней кривизной поверхности.
§ 8. Уравнения Гаусса — Кодацци
Мы ужо расслютрели тензорную производную объекта
хга, а именно х„,р . Возьмем теперь ее тензорную произ-
производную, или, что то же самое, вторую тензорную произ-
производную объекта хга. Это будет

268 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [гл. XV
Предположим на время, что х-координаты —декартовы
и к-координаты — геодезические в данной точке Р поверх-
поверхности. Тогда пространственные символы Кристоффеля
везде равны нулю вместе с их производными, в то время
как все символы Кристоффеля на поверхности исчезают
только в точке Р. Из B0), стр. 264, и C0) заключаем,
что в таких системах координат мы имеем в точке Р
а все другие члены исчезают в этой точке. Если здесь
переставить индексы а и р и вычесть эти две формулы
одну из другой, мы получим
?] «• CD
Но в наших специальных системах (см. стр. 242)
(Г)
где i?fapY — тензор Римана —Кристоффеля поверхности.
Отсюда C1) примет вид
C2)
Это —тензорное равенство, которое справедливо в спе-
специально выбранной системе координат и поэтому спра-
справедливо во всех вообще системах координат. Но (стр. 265)
Взяв тензорную производную от обеих частей, мы полу-
получаем при помощи B6)
где bap,Y —тензорная производная Ьар, т. е.
&aP,Y=^— {Гаау)аЬ,Я-{Г$у)аЬаа. C3)
Отсюда

§ 8] УРАВНЕНИЯ ГАУССА—КОДАЦЦИ 269
Воспользовавшись C2), имеем
¦Rfapv^ = (Kfi.y — bav.0 ) I"" — aax {Ьа$Ьау — baybafi) Xx. C4)
Во-первых, умножим C4) на \т и используем тот
факт, что Жа|г = 0; мы получим
Эти равенства носят название уравнений Кодацци.
Во-вторых, умножим C4) на grsxsQ; мы получим
> 1ъ L I, 1ъ I
C6)
Эти равенства называются уравнениями Гаусса. Если
вспомнить, что греческие индексы пробегают значения
1 и 2, то мы увидим, что существует только два неза-
независимых уравнения Кодацци и только одно независимое
уравнение Гаусса.
Если мы введем полную кривизну К. поверхности по-
посредством равенств E2) (стр. 243), то C6) примет вид
— bOyba$. C7)
Если умножить эти равенства на a°v и использовать
соотношение
то мы получим
нб (стр. 267)
byS = cafi.
Введем обозначение
2# =
0Y
C8)
и назовем скаляр // средней кривизной поверхности.
Следовательно,
— Kaafi = с„3 — 2Hbafi
или
с„3 - 2ЯЬа3 + Каа$ = 0. C9)

270 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ [гл. XV
Из C9) мы получаем соотношение, связывающее три
основные квадратичные формы поверхности,
С-2НВ + КА = 0. D0)
Упражнения
1. Доказать, что Е= ^» = Ь^-Ь\, = ±_
то
2. Доказать, что аарсар = 4#а —2.ЙГ.
3. Показать, что если Я.™—единичный вектор иа поверхности,
[ По D0) А = «ар ¦*«» <*«» = *,•, B = Abafi **L *ji ,
duu du$ dua 1
a$~J7~ ~~a—>и нам остается только положить А™= ,
4. Доказать, что gmngmgnap= — cap.
[Этот результат получается, если взять тензорную производ-
производную равенства gmn?m?"a = 0.]
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XV
1. Доказать, что если Хт—единичный вектор, то
где 6—угол между Хг и единичным нормальным вектором ?г.
2. Доказать, что
3. Доказать, что
«afJi!aE = -DЯ* —2JT) |r-2oaP ^-^.
[Здесь = _—-aaxbax a , после чего использовать урар-
нения Кодацци.]

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XV 271
4. Показать, что если уравнения поверхности даны в форме
xl = ul, х2 = и2, х3=/(и1, и2) и я-координаты —декартовы и орто-
ортогональны, то, введя обозначения
дх3 дх3 д2х3 д2х3 д2х3
р= ~дхТ ' q~~dxT> r= (дх1J ' s== дх^дх* ' 1~ (дх2J '
мы получим следующие результаты:
a) ail =
. , r , s ,
r) 1— r- = ' 612 = ""^ i 2 =
_
_
12 ~
(i-\-p2-\q2f2
5. Показать, что если ф —функция координат на поверхности, то
д<р д<р\ , 1
есть вектор, касательный к поверхности.
6. Показать, что V<p = ?mn<pm<p71, где <рг определены в упраж-
упражнении 5.
7. Показать, что если ф= const, \]3 = cohst выбраны в качестве
новых координатных кривых на поверхности (ф, г]з являются функ-
функциями иа), то новый метрический тензор аа^ определяется так:
йп = аУф, й12= — aV (ф, г|)), a22 = aV\]3.
8. Поверхностная дивергенция пространственного вектора. Пока-
Показать, что если Аг—пространственный вектор, определенный

272 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1гл. X V:
на поверхности, то ^„а^Л"!, есть скаляр. Его часто называют
поверхностной дивергенцией вектора АТ.
9. Доказать, что поверхностная дивергенция |г равна —¦ 2Н.
10. Доказать, что если мы рассмотрим семейство поверхностей
ф (х1, хг, х3) = const, то средняя кривизна любой поверхности
семейства будет
,<
Использовать, что gr= ^'r -, где <pir=--L. I
L г^№лФ» тф,п -¦
11. Показать что если Аг=С1?-\-Вахга, то С = Аг?п ?а =
Xq и поверхностная дивергенция Аг будет
12. Вывести из предыдущего 5пражнения, что если мы возьмем
замкнутый' контур С на ц'оверхности и проинтегрируем поверх-
поверхностную дивергенцию вектора Аг по впутреппей площади S кон-
контура, то получим
s
s с s
13. Поверхностный вихрь пространственного вектора. Показать,
что если Аг—пространственный вектор, определенный на поверх-
поверхности, то етпааРл^а:?— также пространственный вектор. Его
иногда называют поверхностным вихрем.
14. Доказать, что поверхностный вихрь вектора |г равен нулю.
15. Доказать, что если мы имеем замкнутый коптур С па поверх-
поверхности, то
8
rmnr^ J gmn^ d-? d,
8
(см. задачу 3, стр. 251).

. Г Л А В А XVI
КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Уравнение кривой на поверхности
Как и раньше, мм вводим в рассмотрение поверхност-
поверхностные координаты иа и прострапствешгыо координаты хг>
Уравпсния поверхности тогда имеют вид
хг=хг(и1, и2). A)
Если координаты иа заданы как функции параметра,
то, когда параметр изменяется, точка, представляемая
этими координатами, описывает кривую на поверхности.
В дальнейшем мы примем в качестве параметра длину
дуги s кривой; поэтому уравнения кривой на поверхности
будут
ua = ua{s). B)
В соответствии с A) прострапственные координаты какой-
нибудь точки кривой также являются функциями s,
и уравнения кривой в пространстве будут
xr = xr(s). C)
Рассматривая кривую в пространстве, обозначим
единичный вектор касательной через кг, единичный век-
вектор главной нормали через \хг и единичный вектор
бинормали через vr. Тогда кривизна % и кручение т кривой
связаны с этими векторами при помощи формул Френе
(стр. 214)
6s " ' bs OS ~ v '
Рассматривая кривую па поверхности, обозначим еди-
единичный вектор касательной к ней через ка и единичный
вектор ее нормали, лежащей в плоскости, касательной

274 КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ 1гл. XVI
к поверхности, через Qa. Тогда ее геодезическая кри-
кривизна связана с этими векторами поверхностными фор-
формулами Френе (стр. 245)
6s
Упражнения
1. Доказать, что A,r = s?A.a, ffle xr =—- ,
диг
2. Доказать, что пространственный воктор, перпендикулярный
к 1Г и касающийся поверхности, есть Qr=x^Qa.
3. Доказать, что если 0—угол между \ir и единичным векто-
вектором нормали к поверхности |г, то
§ 2. Теорема Менье
Мы знаем, что
причем хт и иа связаны посредством уравнепий A).
Отсюда
дхг dua г
Возьмем абсолютпую производную этого равенства по s;
получим
При помощи формул Френе D) и E) отсюда имеем
Обозначим Qr пространственный вектор, определяющий
на поверхности то же самое направление, что и Qa; тогда
Qr—xraQa. Используя B2), стр. 265, мы получим
X(Xr = O-Qr+bapXa^r, G)
где |г — единичный вектор нормали к поверхности.

§ 2] ТЕОРЕМА МЕНЬЕ 275
Обозначим через 9 угол между главной нормалью цг
и нормалью к поверхности |г (рис. 31). Тогда
(8)
Если мы умножим G) на |г, то получим
(9)
Выражение 6apXaXP одинаково для всех кривых на
поверхности, которые имеют один и тот же касательный век-
вектор ка; следовательно, к cos 9 для всех этих кривых также
одинаково. Отсюда следует теорема Менье:
Для всех кривых на поверхности, имеющих общую каса-
касательную, величина xcos9 имеет одно и то же значение.
Величина xcosG называется нормальной кривизной
поверхности в направлепии Ха; обозначив ее через Х(„),
получим
Эта формула определяет нормальную кривизну в любом
направлении.
В частности, возьмем сечение поверхности плоскостью,
проходящей через нормаль к ней; в этом случае угол 9
равен либо 0, либо я, и следова-
следовательно, xcos9 равно либо к,
либо —х. Другими словами, нор-
нормальная кривизна поверхности в
любом направлении равна по вели-
величине кривизне нормального сече-
сечения поверхности в этом направле-
направлении. Именно по этой причине вы-
выражение к cos 9 названо нормаль-
нормальной кривизной. г
Вектор Qr перпендикулярен Рис. 31.
к кг и поэтому лежит в плоскости,
содержащей |г и [хг (рис. 31). Кроме того, он касается
поверхности, вследствие чего угол между \хг и р_г равен
¦у—е J • Если умножить G) на Qr, то получим
/"я N
и cos ( -н—в ) = а
18*

276 КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ [гл. XVI
ИЛИ
а= к sin й.
Эта формула связывает кривизну и геодезическую кривизну
кривой на поверхности.
Упражнения
1. Доказать, что и(п) = -
2. Доказать, что нормальная кривизна в направлении коорди-
Ь\л Ьаа
натпых кривых равна —— и —==- .
«и Ч*.
о. Доказать, что если кривая на поверхности является геоде-
геодезической, то она либо является прямой, либо со главная нормаль
ортогональна к поверхности в каждой точке, и обратно.
[Для геодезической линии<т = 0 и поэтому либо х = 0, либо 0 = 0
или л.]
§ 3. Главные кривизны. Теорема Гауеса
Нормальная кривизна поверхности в направлении ка
есть
где Ха удовлетворяет соотношению
Следовательно, направления, на которых нормальная кри-
кривизна равна И(П), определяются следующим уравнением
второй степени:
(Ьац-*(п)аае)№1Р = 0. (И)
При помощи обычного метода нахождения экстремумов
мы получаем, что направление, определяющее максималь-
максимальное или минимальное значение щП), удовлетворяет урав-
уравнению
Х(„,Оцр)ХР = 0, A2)
и поэтому соответствующее значение Х(П) должно быть
корнем уравнения относительно Э
!Ьаз-0ааВ| = 0. A3)

§ 4] ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 277
Это уравнение имеет два корня, которые равны максималь-
максимальному и минимальному значениям нормальной кривизны.
Уравнение A3) в явном виде будет
или, подставляя сюда значения Я и К (стр. 269),
0. A4)
Керни этого уравнения называются главными кривизнами
поверхности; мы обозначим их их и и2. Тогда
= К.
A5)
Следовательно, 2Н есть сумма главных кривизн поверхно-
поверхности^ К —гауссова кривизна поверхности —есть произве-
произведение главных кривизн.
Мы видели в главе о внутренней геометрии поверх-
поверхности, что К есть скаляр на. поверхности и зависит
только от аар. Отсюда вытекает теорема Гаусса:
Произведение главных кривизн поверхности есть скаляр
на поверхности, именно ее полная или гауссова кривизна.
Упражнения
1. Найти уравнения для главных кривизн поверхности х1 = и1,
х* = и2, x3 = f(ul, и2), гдо х1 — прямоугольные декартовы коорди-
координаты.
df
2. Доказать, что для поверхности xr = fr(u1)-{-ua -—- мы
имеем х1х2=О.4
[Это — поверхность, образованная касательными к простран-
пространственной кривой xr=f (и1).]
§ 4. Линии кривизны
Теперь мы рассмотрим направления, которые опре-
определяют главные кривизны. Они называются главными
направлениями, и, очевидно, в каждой точке их имеется
два. Главные направления определяются подстановкой
Xj и к2 вместо Х(„) в A2). Поэтому, обозначив ^главные

278 КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XVI
направления через X°j) и Х^), мы получим
, = 0,
A6)
Если умножить первое из этих уравнений на ХB), вто-
второе—на X(i) и затем вычесть, мы получим
Предположим, что х1 ф к2', тогда
)= О,
откуда видно, что главные направления взаимно ортого-
ортогональны. Кроме того,
Ьав^2) = к1аф1ЪА) = 0. A7)
Если взять какую-нибудь одну из систем уравнений
A6), например первую, то в развернутом виде это будет
Исключая хх из этих двух уравнепий, мы получаем
Другими словадш, направление к^ удовлетворяет урав-
уравнению
P = 0. A8)
Подобным же образом мы получим, что Х(а2) удовлетво-
удовлетворяет тому же уравнению; следовательно, A8) есть общее
уравнение главных направлений. Если ввести обозначение
A9)
то уравнение для главных направлений примет вид
B0)

5 5] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ФОРМУЛА ЭННЕПЕРА 279
Кривая на поверхности, которая в любой из ее то-
точек касается одного из главных направлений в этой
точке, называется линией кривизны. Поэтому если dua
есть смещение вдоль линии кривизны, то dua должно
быть пропорционально либо X°t), либо к^2) и, следовательно,
/гар dua duP = 0. B1)
Это — уравнение линии кривизны на поверхности.
Упражнения
1. Доказать, что Xi = &ар^,^f,}, и2 = 6арх(а2)^2)-
2. Теорема Эйлера. Показать, что если паправлепие Ха со-
составляет угол 0 с главным направлением Я"^, то нормальная кри-
кривизна для этого направления есть
x(n)=x1 cos8 0- j-x2 sin2 в.
[Мы имеем Xa=tfi) cos 0 f X(a2) sin 6. Тогда и(п) = &арХаА,р,
и результат следует из A7) и результатов из задачи 1.]
3. Доказать, что
[Мы имеем ^ц^^Ча^ГА^^Ча^й)Xf2) =
=х2еарХ,(а1)Х,(р2) = х2 (задача 2, стр. 227)].
4. Показать, что если Ха—направление, составляющее угол 8
с линией кривизны, то
h^XaX^= (Xjj- xx) sin 0 cos 9.
[Ха = Я,°^ cos0-|-A,°2) sin 8, затем использовать задачу 3.)
5. Показать, что если в качестве u-кривых взяты линии кри-
кривизны на поверхности, то ela = 6l2=0.
§ 5. Асимптотические линии. Формула Эннепера
Направления на поверхности, определяемые урав-
уравнением
B2)
называются асимптотическими направлениями. Кривые,
касательные к который! совпадают с асимптотическими
направлениями в каждой точке, называются асимпто-

280 КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ [гл. XVI
тическими линиями поверхности. Очевидно, что в каж-
каждой точке существуют два асимптотических направле-
направления и, следовательно, существуют две асимптотические
линии, проходящие через каждую точку поверхности.
Обратившись к уравнению G), стр. 274, мы увидим,
что для асимптотической линии справедливо соотношение
y,\ir = OQr.
Отсюда
Х=±(Г, Цг=
B3)
и, следовательно, кривизна и геодезическая кривизна
асимптотической линии равны по величине. Кроме того,
ее главная нормаль является касательной к поверхно-
поверхности, т. е. бинормаль асимптотической линии совпадает
с нормалью к поверхности.
Теперь мы найдем хорошо известную формулу для
кручения асимптотической линии. Для асимптотической
линии мы имеем
vr = ± Г- B4)
Взяв абсолютную производную от обеих частей этого
равенства, мы получим (стр. 273)
Следовательно (стр. 267),
Т2 = g,nn (Т g
Но (стр. 269)
сар — 2Я6ар -f /?аар = 0.
Отсюда, если Ха — асимптотическое направление, мы по-
получим
cafi%a}?= -Каа^= -К.
Таким образом,
B5)
Это так называемая формула Эннепера:
Кручение асимптотической линии равно ± У — К, аде
К — полшя кривизна поверхности.

§ 6] ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ КРИВОЙ НА ПОВЕРХН. 281
Упражнении
1. Доказать, что нормальная кривизна в асимптотическом
направлении равна нулю.
2. Показать, что если в качестве ц-кривых на поверхности
выбрать асимптотические линии, то Ь11 = Ь№=0 и
V — Ь?2 г/ _ а12Ь12 а12 _ Н
а а о18 К
3. Доказать, что если <р—угол между асимптотическими
направлениями, то
§ 6. Геодезическое кручение кривой иа поверхности
Обозначим через G угол между ?г и цг, считаемый положи-
положительным от (аг к vr. Тогда
cos G=grjir.
Дифференцируя это равенство и воспользовавшись форму-
формулами Френе, имеем
Отсюда, так как ?rvr = sin0, получим
-sin 6 (Т+5) = ^ ^ = С„^Г = -а*%а>Л^г,
причем мы воспользовались формулой Пойпгартепа (стр. 266).
Из рис. 31 получаем:
цг=?г cos G + Qr sinG,
т. е.
— sin 6
V, 'as j v* »¦•
= —sin 6a&ybpaXaQy= -sin 66paQ^A,a.
Ho

282 КРИВЫЕ НА ПОВКРХНОСТИ [гл. XVI
и поэтому
AЛ s.
т-|—¦=- ) одинакова для
ds J
всех кривых на поверхности, имеющих общую касательную Ха.
В частности, если выбрать иэ них геодезическую линию, угол 6
Т+-3— ) равно кручению геодезической
линии. Назовем геодезическим кручением кривой на поверхности
кручение той геодезической линии, которая касается кривой в рас-
рассматриваемой точке. Обозначив геодезическое кручение через tg,
мы, следовательно, имеем
B6)
Упражнения
1. Показать, что если направление Ха составляет угол G
с одной из линий кривизны, то
Tg= (x2— x{) sin 6 cos 6.
2. Вывести из задачи 1, что геодезическое кручение кривой
на поверхности равно нулю только тогда, когда кривая есть
линия кривизны.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVI
i. Доказать, что для любой кривой на поверхности
2. Показать, что если геодезическая линия на поверхности
есть плоская кривая, то она является также линией кривизны,
и обратно.
[Ее геодезическое кручение равно нулю.]
3. Показать, что если кривая есть пересечение двух поверх-
поверхностей, образующих всюду постоянный угол, то геодезическое
кручение кривой на обеих поверхностях имеет одно и то же
значение.
dQ
[И т, и -j— имеют одно и то же значение.]
ds
4. Вывести теорему Иоахимсталя:
Пусть кривая есть пересечение двух поверхностей, которые
образуют всюду постоянный угол. Если кривая ость линия кри-
кривизны на одной поверхности, то она есть линия кривизны также
а на другой.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVI . 283
5. Показать, что если две кривые на поверхности пересе-
пересекаются под прямым углом, то сумма их геодезических кручений
равна нулю.
[Использовать задачу 1, стр. 282.]
6. Вывести теорему Дюпена:
Если три поверхности пересекаются взаимно под прямыми
углами, то кривые пересечения являются линиями кривизны на
каждой поверхности.
7. Показать, что производная от ?г вдоль кривой на поверх-
поверхности есть
[Это следует из теоремы Вейнгартепа.]
8. Формулы Родрига. Доказать, что вдоль линии кривизны
на поверхности имеют место соотношения
где х—соответствующая главная кривизна поверхности.
[Это следует из упражнения 7, если использовать равенство
ЬарХ& = хаарХД которое справедливо для главного направления.]
9. Доказать предложение, обратное упражнению 8.
10. Два направления Ха и ца называются сопряженными на
поверхности, если они удовлетворяют уравнению
Два семейства кривых на поверхности, у которых касательные
в каждом точке образуют сопряженные направления, называются
сопряженными семействами
а) Доказать, что если координатные кривые сопряжены, то
Ьп=0.
б) Доказать, что необходимым и достаточным условием со-
сопряженности двух направлений, определяемых уравнением
/>agA,aA,P = O, является Pa^/'a? = 0, где 0°^ — алгебраическое допол-
дополнение элемента bag в | Ьа^ |, деленное па | 6ag j.
в) Показать, что кривые <p = const, i])=const образуют сопря-
сопряженную систему, если 6°^—2 i- = 0.
диа ди&
г) Показать, что если Ха, ц.а— два сопряженных направле-
направления, образующих угол ф, то сарХарР = —ifcostp,
д) Показать, что если два сопряженных направления обра-
образуют углы 6 и 0' с главными направлениями, то tg6tgQ' = .
11. Омбилические точки. Показать, что в точке поверхности,
где главные кривизны равны, каждое направление—главное
и нормальная кривизна в каждом направлении одна и та же.

284 КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ [гл. XVI
Такие точки называются омбилическими. Показать, что условие
омбиличпости точки есть
12. Минимальные поверхности. Минимальной называется по-
верхпость, у которой # = 0 в каждой точке. Показать, что на
минимальной поверхности асимптотические липщ! образуют
ортогональную систему.
13. Доказать, что т|=сарА,аЯр—xfn).
14. Показать, что если х и т—кривизна и кручение геоде-
геодезической линии, которая образует угол с с главным направле-
направлением, то
( х coscp — tsin ф = з<1 costp
a) I . , .. ; б) т2=-(х-х,) С«—э*а).
{ xsmcp + TCosq^x^mq)
15. Показать, что геодезическое кручепяе кривой, касатель-
касательная к которой совпадает с асимптотическим направленном, равно
± Y—К. Вывести формулу Энцепера для кручения асимптоти-
асимптотической линии.
16. Формула Лагерра. Взяв абсолютную производную от ра-
равенства (9), стр. 275, но s, доказать, что
L = -g
Отсюда видно, что L имеет одно и то же значение для всех
кривых на поверхности, которые имеют общую касательную.
17. Используя тот факт, что xg и L имеют одинаковое зна-
значение у любых двух кривых, имеющих общую касательную, до-
доказать, что кривизна в точке Р одной из кривых, по которой
касательная плоскость в точке Р рассекает поверхность, равна
двум третям кривизны соответствующей асимптотической линии.
В точке Р 0 = - -. Для асимптотической линии также
6 = —, и поэтому т-=т, L=—2хт. Для плоской кривой, обо-
значив соответствующее выражение штрихом, мы имеем т' = 0,
и поэтому Tg = -T—, L=—Зх —з—; приравнивая друг другу
значения для Xg и L, мы и получаем наш результат.]

ЧАСТЬ IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
ГЛАВА XVII
ДИНАМИКА ТОЧКИ
§ 1. Уравнения движения
Предположим, что нам дана материальная точка Р,
движущаяся в пространстве, и пусть се ноложопие опре-
определяется системой криволинейных коордипат, которые
мы будем обозначать хг *).
По мере того как изменяется время t, точка Р
(рис. 32) будет описывать в пространстве некоторую
кривую, называемую траекторией точка. Уравнения
этой кривой вообще определяются выражениями коорди-
координат как функций от времени, т. е.
а^ = *'(*). A)
Если мы перейдем к другой системе криволинейных
координат хТ при помощи уравнений преобразования
P = f (*»,*«, я3), B)
то координаты точки Р в новой системе будут опре-
определены как функции от t, если выражения A) подста-
подставить в B).
Рассмотрим объект
C)
*) По поводу геометрических свойств криволинейных коорди-
координат в пространство мы отсылаем читателя к главам XI—XII.

286
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. XVII
В новых координатах хт соответствующим объектом
является
V df~ ~д?"ИГ ~ dxs V *
Эти уравнения выражают тот факт, что величины C)
являются составляющими контравариангпного вектора.
Если бы координаты были декартовыми и прямоуголь-
прямоугольными, то C) превратилось бы в составляющие скорости
точки Р по координатным осям. Поэтому мы назовем C)
вектором обобщенной скорости ма-
материальной точки.
Вектор vr сам по себе является
функцией от времени, и мы можем
взять его абсолютную производную
по t. Это дает нам вектор (см. стр. 197)
' ~ bt ~
dt ' dt
где Ттп являются символами Кри-
Рис. 32. стоффеля нашей координатной систе-
системы. Когда система координат — пря-
прямоугольная декартова, символы Кристоффеля все равны
нулю и вектор f принимает вид
Это — составляющие ускорения по трем координатным
осям. Поэтому D) называем вектором обобщенного уско-
ускорения точки.
Масса материальной точки является, очевидно, вели-
величиной, совершенно не зависящей от используемой коор-
координатной системы, и является, следовательно, скаляром.
Мы будем обозначать ее через М.
Если свободная материальная точка подвергается
действию силы, то второй закон Ньютона утверждает,
что сила и ускорение одинаково направлены и величина
силы (в «соответствующих единицах) равна произведению
массы на ускорение. Следовательно, если мы рассмотрим

g 1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 287
векторное уравнение
E)
где Qr — контравариантный вектор, то мы увидим, что
величины Qr определяют силу полностью и по величине,
и по направлению. Поэтому вектор Qr называют век-
вектором обобщенной силы, а уравнения E) являются урав-
уравнениями движения в криволинейных координатах.
В декартовых координатах уравнение E) приобретает
хорошо известную форму
'-М —
где Q1, Q2, Q3 — составляющие силы вдоль трех коорди-
координатных осей.
Упражнения
1. Доказать, что если X1, Хг, Ха — составляющие силы
в декартовой системе координат (у1, у2, у3), то в любой криволи-
криволинейной системе хг обобщенная сила определяется равенствами
[Эти равенства просто выражают закоп преобразования контра-
вариантного вектора, составляющими которого в системе уг яв-
являются Хг.\
2. Показать, что если линейный элемент в пашей координат-
координатной системе определяется выражением ds2=gmndxmdxn, то
а) модуль скорости равеп (gmnvmvnI^2i
б) модуль ускорения равен (ffmn/m/nI/2.
3. Показать, что если материальная точка движется с постоян-
постоянной скоростью, то /г=0.
4. Показать, что если v — модуль скорости, то -^- = /008 6,
где /—модуль ускорения, a G — угол между векторами скорости
и ускорения. Вывести, что если скорость материальной точки
постоянна по величине, то ускорение должно либо равняться нулю,
либо быть ортогональным к вектору скорости.
[Имеем vi=gmnvmvn, и следовательно,
С другой стороны, gmnvm1n=vf cos в, и желаемый результат сле-
следует отсюда непосредственно.]

288 ДИНАМИКА ТОЧКИ [гл. XVII
§ 2. Работа и энергия. Уравнения Лагранжа
второго рода
В предыдущем параграфе мы ввели обобщенную
силу как контравариантпый вектор, но опа может быть
введена и как коеариаитный вектор посредством понятия
работы.
Мы знаем, что если система координат хг является
прямоугольной декартовой, то сила, составляющие кото-
которой вдоль осей этой системы рапны Qr и точка приложе-
приложения которой перемещается на 6.тг, совершает работу,
равную
№ = <?W
Так как в ортогональной декартовой системе ассоцииро-
ассоциированный вектор Qr имеет в точности те же составляющие,
что и Qr, то выражепие для 6W превращается в сле-
следующее:
Из соотношений, связывающих хТ и хг, мы получаем,
что 6W можно написать также в виде линейной функции
от 6хг. Таким образом,
bW=Qtbxr.
F)
С другой стороны, bW является скаляром; но тогда
из F) следует, что коэффициенты этой линейной формы,
Qr, образуют ковариантный вектор. Далее, из того, что
его составляющие в ортогональной декартовой системе
координат являются составляющими вектора силы, сле-
следует, что Qr образует ковариантный вектор обобщенной
силы в криволинейных координатах хг. Ковариантные
и контравариантные составляющие, разумеется, связаны
формулами

I 2] РАБОТА И ЭНКРГИЯ 289
Если Qrdxr — полный дифференциал, то обобщенная
сила называется потенциальной и мы можем написать
rdx\ G)
Функция W, которая определяется соотношением G),
исключая произвольную постоянную, называется силовой
функцией. Обычно используют функцию V, называемую
потенциальной функцией, которая равна —W. Из G)
следует, что
<?.--¦&• . w
Рассмотрим теперь кинетическую энергию материаль-
материальной точки. Она равна у Ми2, где v — модуль скорости.
Но V* = gmnvmvn, где gmn — метрический тепзор системы
в принятых криволинейных коордипатах. Следовательно,
кинетическая энергия Т равна
= j Mgmnvmvn = -i Mgmnxmx\
(9)
•r dxr
где х* = ж.
Частпая производная от Т по хг будет
Следовательно,
С другой стороны, беря от Т частную производную по
хг, получаем
дТ 1 да * m'
ол 2 ох

290 ДИНАМИКА ТОЧКИ
Из этих уравнений мы видим, что
Ггл. XVIJ
, 1 ( дёгт | dgrn dgmn\ ¦т-Л_М(„ ¦•т. , Г ~т'п\
^ч • J
где Гр> тп — символ Кристоффоля первого рода. Поэтому
d I дТ \ дТ _ ., /"sip»' -тп-пч
Обращаясь к D), мы видим, что правая часть равна
Mgrsf. Обозначая ковариантные составляющие вектора
обобщенного ускорения через fr, имеем
A0)
Эта формула особенно удобна, когда мы желаем найти
вектор обобщенного ускорения в какой-либо определен-
определенной системе координат.
Уравнения движения E), стр. 287, теперь могут быть
переписаны в ковариантнои форме следующим образом:
dt
дх'
m-\-^=Qr.
(И)
Эти уравнения известны как уравнения Лагранжа вто-
второго рода. Если система сил потепцаальна, они прини-
принимают вид
^ZldV
A2)
A3)
или, что то же самое,
где
Функция L называется функцией Лагранжа.

§ 2] РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 291
Упражнения
1. Найти ковариантпые составляющие вектора обобщенного
ускорения в сферических координатах.
В этих координатах линейный элемент (стр. 184) есть
Следовательно, кинетическая энергия будет
Поэтому
4г~—^Т=М I*1—*1 (xy—xi (sin
dt - дх*
^
Уравнения движения Morjjr быть написаны сразу же, если
только мы знаем составляющие обобщеппой силы Qr. Они полу-
получаются в каждой частной задаче как «ооффициепты линейной
формы 6W или при помощи равенства (8), если система сил потен-
потенциальна.
2. Показать, что составляющие вектора обобщенной скорости
будут
3. Показать, что если ф — скалярная функция от хг и хг,
то———ковариаптный вектор.
дхг
Ггг д'& дх* 9го 9ф дх* ~\
Показать, что—— =-^=- и, следовательно,—J-=—2-*-=- .
Лгг дтг '¦ 9ха дхт J
4. Показать, что если ф—скалярпая функция от хг и ir,
то — ^-?—ковариантный вектор.
dt дхг дхг
13»

292 ДИНАМИКА ТОЧКИ [гл. XV11
5. Показать, что условиями потенциальности силы являются
6. Интеграл энергии. Вывести из уравнений движения формулу
T+V = h,
где h—постоянная. Это соотношеиие называется интегралом
энергии
Следовательно, интегрируя, получаем Г=А—V.]
§ 3. Движение точки по кривое
Пусть кривая задана уравнениями
xr=xr(s), A4)
где s —длина дуги кривой. Мы будем предполагать, что
материальная точка принуждена двигаться вдоль кривой
и что трение отсутствует. Найдем уравнения движения
точки.
Пусть Л,1", fir, vr — единичные векторы касательной,
главной нормали и бинормали, а х, т —кривизна и кру-
кручение кривой; эти величины связаны между собой фор-
формулами Фрепе (стр. 214):
,r dxr ЬКГ r 6ur r ,r 6vr .
С другой стороны, если обозначить модуль обобщенной
скорости через v, то будет
'¦т-тг*.
так как v=z~jr- Веря абсолютпую производную от обеих
частей этого уравнения по параметру t, имеем
„_ 6vr dv ,r „W__ dv «r 6}J ds
1 —bi~1th +v~6T~~dTA +v~6T"d7 '

S 3) ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
откуда, воспользовавшись A5), получим
._ dv .r
293
A6)
в
Таким образом, вектор ускорения компланарен с каса-
касательной и главной нормалью, а его составляющие по этим
направлениям суть v и xv2.
Пусть Qr — внешняя обоб-
обобщенная сила, действующая на
материальную точку помимо ре-
реакции Rr кривой (рис. 33).
Тогда [Qr + Rr) есть равподей-
ствующая сил, действующих па
материальную точку и уравне-
пия движения будут
или
Но
dv ..
ЧГК
dv
lt~
dv
Us"
M 2 r
ds
~dT~l
•
dv
'~ds~
Рис. 33,
1 d
а так как кинетическая энергия 2' = уМу2( то
<2s
A7)
Поскольку трение отсутствует, то вектор Rr ортогонален
к кривой и, следовательно, R1"kr = 0. Умножая A7) на
%r, \ir и vr последовательно, мы приходим к следующим
уравнениям:
A8)

294 ДИНАМИКА ТОЧКИ [гл. XVII
Из первого уравнения A8) имеем
или
¦T + V = h, A9)
где А —постоянная. Это —так называемый интеграл энер-
энергии; постоянная h есть полная механическая энергия.
Равенство A9) выражает закон сохранения механической
энергии.
Если кривая является естественной траекторией мате-
материальной точки, то Rr — 0 и из A7) мы видим, что вектор
силы должен быть компланарным с касательной и глав-
главной нормалью. Поэтому имеете с интегралом энергии
должно выполняться условие
Q^^V + ZTw'. B0)
Упражнения
1. Доказать, что если сила направлена по касательной к есте-
естественной траектории материальной точки, то траектория должна
быть прямой линией.
[Здесь и = 0.]
2. Показать, что если материалыгая точка вынуждена дви-
двигаться по силовой линии, то реакция направлена по главной нор-
нормали кривой и равна 2 (h—V) к.
[Силовой липией лазывается кривая, в каждой точке которой
направления касательной и силы совпадают.]
3. Показать, что для естественной траектории сила равна
4. Показать, что если V—потенциальная функция, то для
естественной траектории
*) Если силы потенциальны. (Прим. ред.)

§ 4]
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
295
§ 4. Движение точки по поверхности
Рассмотрим теперь движение материальной точки
по поверхности, предполагая, что трение отсутствует.
Пусть и1, и2 — криволинейные координаты на поверх-
поверхности (рис. 34), и пусть поверх-
поверхность задана уравнениями
х' = х'(и\и% B1)
Будем пользоваться обозначе-
обозначениями главы XV (стр. 256).
Имеем
r_ dxr _ _дх*_ du?_ _ г ¦ „
dt диа dt
Поэтому, введя обозначение
va = иа, получаем
vr = xrava. B2)
Мы будем называть va вектором
обобщенной скорости на поверх-
поверхности, a vr-—пространственным вектором обобщенной
скорости. Найдя абсолютную производную по t от B2),
получаем
Рис. 34.
Если мы положим /" = -Т7- и используем формулы Гаусса
(стр. 264), это выражение превращается в
B3)
где йар — коэффициенты второй основной квадратичной
формы поверхности, а |г — едипичный вектор нормали
к поверхности. Мы будем называть /" вектором обобщен-
обобщенного ускорения на поверхности.
Пусть (?г — вектор обобщенной внешней силы, действу-
действующей на материальную точку, и пусть Rr — реакция
поверхности, направленная по нормали к последней.

296
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. XVII
Тогда уравпения движения будут
Qr + Rr = Mf =
= Mxlf +
здесь Я." — единичный вектор касательной к траектории.
Умножая эти уравнения на ?г, получаем
B4)
Далее, умножая те же уравнения на grsx* и вспоминая,
что Rr нормалей к поверхности, имеем
Если мы обозначим вектор на поверхности Qrx^ (см. § 2,
стр. 257, и задача 4, стр. 259) через Qa, то это равенство
примет вид
B5)
Рассмотрим сначала вектор ()а. Если материальная
точка совершает малое перемещение 6иа на поверхности,
то элементарная работа сил будет
B6)
Если система сил потенциальна, то
^ ЭУ
где V — потенциальная функция.
Кинетическая энергия может быть выражена в виде
1 1 ¦ ¦
Т = "о" -/l^flap^"^ == "<Г ^"а~,-
и нетрудно доказать (см. стр. 290), что

i 4] ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
Следовательно,
297
<27>
Значит, уравнения движения могут быть записаны в виде
B8)
или, что то же самое,
d dL dL
где L — функция Лагранжа.
Читателю полезно сравнить эти уравнения с уравне-
уравнениями A1) и A2), стр. 290, для свободной материальной
точки в пространстве.
Упражнения
1. Доказать, что если а—геодезическая кривизна и Qa — век-
вектор на поверхности, нормальный к траектории, то
Так как Я"—единичный вектор касательной к кривой, то
Находя абсолютную производную этого уравнения но t, нолучаем
Обращаясь к § 10, стр. 243, мы видим, что
ОА п
—т— = ОО .
OS
Кроме того,
dv dv ds dv
~di~~dT~dt~V~ds '
откуда видно, что

298 ДИНАМИКА ТОЧКИ гл. XVII
2. Вывести из вадачи 1, что
3. Показать, что если на материальную точку не действуют
никакие силы, то 0 = 0, т. е. материальная точка описывает' на
поверхности геодезическую кривую.
4. Показать, что если реакции поверхности отсутствуют, то
нормальная составляющая вектора силы должна быть равной
5. Доказать, что если материальная точка движется вдоль
асимптотической линии поверхности, то реакция должна быть
равной и противоположно направленной нормальной составляю-
составляющей вектора силы. Показать, что верно и обратное утверждение.
§ 5. Принцип наименьшего действия. Траектории
как геодезические линии
Мы видели, что материальная точка массы М, на
которую действует система сил с потенциалом V, имеет
следующие уравнения движения:
d дт дт 3V
где Т — кинетическая энергия; кроме того, существует
интеграл энергии
T + V=h, C1)
где А —постоянная, называемая полной энергией.
Рассмотрим все кривые, проходящие через две фикси-
фиксированные точки А и В (рис. 35). Интеграл
C2)
взятый вдоль любой из этих кривых, где X —параметр,
изменяющийся вдоль кривой, и h — константа, имеет
определенное значение, которое называется действием
вдоль кривой АВ. Мы хотим доказать следующее пред-
предположение, называемое принципом стационарного дей-
действия:

5]
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
299
Из всех кривых, проходящих через А и В, та, для
которой действие стационарно, является естественной
траекторией материальной точки, движущейся под дей-
действием системы сил с потенциалом V и с постоянной
полной энергией h.
Из вариационного исчисления хорошо известно, что
уравнениями кривой, проходящей через точки А и В,
для которой интеграл
x')dk, x"=%? C3)
имеет стационарное значение, будут
4-|V^ = 0. ¦ C4)
dk dxr dxr v '
Это может быть доказано тем же
методом, который был применен для
получения уравнений геодезической рИс. 35.
линии на поверхности (§ 5, стр. 228).
Следовательно, мы получим кривую, для которой дейст-
действие стационарно, если в C4) положим
Отсюда получаем систему .уравнепий
dk\ ф J
2Ф дхг
ЭУ
В эти уравнения введем вместо К повую независимую
переменную t, определяемую посредстиом соотношения
dt
Мы получим
—
dt
—(а rs\ — М dgmn rmrn I ЭУ — О

.400 ДИНАМИКА ТОЧКИ [гл. XVII
Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями C0),
где t — время. Следовательно, кривая, вдоль которой
действие стационарно, является естественной траекторией
точки, движущейся под действием силы с потенциалом V.
С другой стороны, возведя равенство C5) в квадрат,
получим
а это показывает, что h есть полная энергия, постоянная
вдоль траектории.
Приведем геометрическое представление движения,
в котором естественные траектории будут изображены
геодезическими линиями. Возьмем специальное трехмер-
трехмерное пространство,' точки которого поставлены во взаимно
однозначное соответствие с точками обычного простран-
пространства, так что мы можем выбрать хт в качестве коорди-
координат этого нового пространства. Кроме того, мы примем
линейный элемент этого пространства в виде
dS2 = 2М (h - V) ds2 = 2М {h - V) gmn dxm dxn,
C6)
где ds — линейный элемент обычного пространства.
Таким образом, каждая кривая обычного пространства
соответствует некоторой изображающей кривой в новом
пространстве, и действие вдоль кривой будет
IS
Следовательно, действие равно длине изображающей
кривой в новом пространстве. Кроме того, естественная
траектория является экстремалью, определенной уравне-
уравнением
ЬА = 6S = 0.
Но решениями этого уравнения являются, очевидно, кри-
кривые наименьшей длины или геодезические кривые нового
пространства. Следовательно, естественные траектории
соответствуют геодезическим линиям в нашем изобра-
изображающем пространстве. Поэтому разыскание траекторий

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVII 301
материальных точек, движущихся под действием сил
с потенциалом У, есть точно та же самая задача, что
и определение геодезических линий пространства, ли-
линейный элемент которого есть C6).
Упражнения
1. Показать, что действие равно
\ yi—
2. Показать, что действие, подсчитанное вдоль [естественной
траектории, равно
в
3. Показать, что из всех кривых па поверхности, проходящих
в
через две данные точки А и В, та, для которой \ Vh — V ds
X
явлнется стационарным, есть траектория материальной точки,
которая движется по поверхности под действием силы с потен-
потенциалом V.
[Это—принцип стационарного действия для точек на поверх-
поверхности. Использовать криволинейные координаты па поверхности
совместно с B8), стр. 297.]
4. Показать, что траектория материальной точки, движущейся
по поверхности с линейным элемептом [ааа dua du^fi под действием
силы с потенциалом V, является геодезической линией поверх-
поверхности, линойпый элемонт которой есть [(h — V) aag duadu&] •
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVII
1. Доказать, что если материальная точка движется с посто-
яппои скоростью по прямой линии, то —т—=0.
2. Показать, что если ускорение постоянно по направлению,
но це обязательно постоянно по величине, то

302 ДИНАМИКА ТОЧКИ (гл. XVI)
где ? = — (log /). Показать, что обратное предложение тоже
верно.
3. Физические составляющие сил. Показать, что если г[1Ь е[2),
еГз)—единичные векторы касательных к координатным кривым,
то воктор силы Qr может быть выражен в виде
где
[Если сила Qr разложена па составляющие по касательным
к координатным кривым в соответствии с обычным законом раз-
разложения сил, то эти составляющие равны QA), Q<2), QC).]
Мы можем назвать их физическими составляющими Qr, чтобы
отличить их от тензорных составляющих Q1, Q2, Q3. При дока-
доказательстве сформулированного в задаче утверждения использовать
формулы
еA) — 77=' еB)— Лг—» еC)— TF= •
V g\\ V gin. У ffss
4. Система параллельных сил. Показать, что если поле сил
образует постоянное параллельное векторное поле (как, например,
в случае гравитационного поля у поверхности земли), то Qrs = 0.
Вывести отсюда, что естественная траектория материальной точки
в таком поле удовлетворяет соотношениям
т = 0, ^г(х 3) = 2к3, Т = ах 3.
Доказать, что эти уравнения характеризуют параболу, и показать,
что кривизна и максимальна в точке, где Qr ортогональна
к кривой.
5. Теорема Бонне*). Если кривая является естественной
траекторией для каждого из N силовых полей, причем в каждом
из этих полей порознь скорость точки была бы vit o2, •••> VN
соответственно, то эта кривая будет естественной траекторией
для силового ноля, являющегося суммой этих силовых полей,
причем скорость точки равпа (v\-\~v\-\-.. .-\-v2NJ.
6. Материальная точка движется но поверхности под дей-
действием некоторой силы. Показать, что сумма нормальной реакции
поверхности и нормальпой составляющей силы равпа A1v2k, где
х—нормальная кривизна поверхности в направлении движения.
*) См.' Уиттекер, Аналитическая динамика, М.—Л., 1937,
стр. НО. {Прим. ред.)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVII 303
дТ
7. Вектор количества движения. Положим рТ == . Показать,
дхг
что рт — ковариаптныи вектор, и доказать, что
8. Уравнения движения в форме Гамильтона. Положим
H—T-\-V и выразим Н через хг и рг. Показать, что уравнения
движения могут быть записаны в виде
dt ~ дрТ ' dt ~ дхт '
9. Показать, что если Н—скалярная функция, зависящая
только от хг и рт, то -Q— есть контравариаптныи вектор, а
( ~~dr~~Jr~Qtfr ) — ковариаптныи вектор. Вывести отсюда, что урав-
уравнения Гамильтона являются векторными уравнениями.
- дх»
[Для новой координатной системы хТ имеем pr — ps ^г ,
дРг дх* дН дН дРа дН дхг
что и доказывает первое утверждонио. Второе доказывается ана-
аналогично.]
6 W
10. Доказать, что
11. Положим L=T—V и выразим L через х", хт, в то время
как Л выражепо через жг, рг. Доказать, что
дП дЬ
дхг дхг '
12. Материальные точки равных масс, находящиеся под
действием некоторой системы сил, начинают движение с равными
скоростями v в любом из направлений, ортогональных данному.
Показать, что для поверхности, на которой лежат различные
траектории, начальная точка является омбилической.
13. Материальная точка движется по поверхности. Показать,
что если положить
то уравнения движения по поверхности могут быть записаны

304 Д0НАМИКЛ ТОЧКИ 1гл. XVII
в видо
du^=afl1 dPa 'дН _
dt дра' dt + ди
[Это—уравнения Гамильтона для_] точки, движущейся по по-
поверхности.]
14. Показать, что если S — скалярпая функция от (хг, хг, я1),
dS
то ковариантныи вектор.
дхг
\
15. Уравнения Аппеля. Положим S=—Mgmn/m/n. Показать,
что уравнения движения могут быть записаны в виде
Q

ГЛАВА XVT11
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Моменты инерции
Возьмем систему N материальных точек, каждая
из которых имеет массу Af(a) и аффинные координаты х[а).
Если точки системы, в частности, жестко связаны друг
с другом, то мы получим твердое тело.
Координаты центра инерции системы материальных
/почек определяются формулой
A)
В случае непрерывно распределенного вещества суммиро-
суммирование в этой и последующих формулах должно быть
заменено тройным интегрированием, а Af(aj — элементом
массы dM.
Другой величиной, имеющей большое значение в ди-
динамике системы материальных точек, является симмет-
симметричный тензор второго порядка
B)
который мы назовем тензором инерции относительно
начала координат.

ЗОЙ ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. XVllJ
Пусть задана прямая, проходящая через начало, на
которую и:! различных материальных точек опущены
перпендикуляры pw\ тогда число 2 ^wPta) называется
а=1
моментом инерции системы материальных точек отно-
относительно данной прямой. Мы можем выразить этот мо-
момент инерции через 7™. Пусть V — единичный вектор,
определяющий направление заданной прямой; тогда
Следовательно, момент инерции относительно kr равен
i(V)= ?. Mwp;a) = gmni™-gmpgnqknk«r">..
a=l
Обозначив через /PS ассоциированный тензор инерции,
равный gTmgsnImn, и через /-скаляр gmjmn, получаем
1{к') = A8гг-1„№, C)
так как V — единичный вектор. Поэтому если мы рас-
рассмотрим поверхность второго порядка Q, уравнение ко-
которой есть
(Fgrt-Irs)x'x» = l,
D)
то мы найдем, что момент инерции относительно V равен
-^г . гДе R — радиус-вектор точки на поверхности Q
в направлении V. Q называется эллипсоидом инерции
относительно начала О.
В § 3, стр. 148, мы видели, что эллипсоид инерции
имеет всегда три главные оси, которые в данном случае
называются главными осями инерции для точки О, а
плоскости, проходящие через каждые две из этих осей,
называются главными плоскостями, инерции для точки О.
Если главные оси инерции принять за оси коорди-
координат, то система координат будет ортогональной и, кроме
того,

iS 2J УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ :{<O
Главные оси инерции определяются уравнениями
-/rt)V = 9Xr, E)
где Э —корень характеристического уравнения
l(/-e)gre-/ri| = o. F)
Упражнения
1. Показать, что момепт инерции относительно произвольной
прямой равен моменту инерции относительно прямой, проходящей
через центр инерции параллельно данной прямой, плюс масса
псей системы М, умноженная на квадрат расстояния между пря-
прямыми.
[Момент инерции относительно прямой, проходящей через
центр тяжести |г в направлении \г, равен
2. Пусть Р(а^ — перпендикуляр, опущенный из М^ на дан-
данную плоскость. Тогда ^ -^(а) Р(а) иногда называется моментом
инерции относительно плоскости. Показать, что момент инерции
относительно плоскости urxr—Q> равен
1тпитип
3. Доказать, что момепт иперцпи относительно плоскости
^^l равен
/33
4. Показать, что --33—момент инерции относительно плоско-
плоскости х3 = 0. Аналогично истолковать 711 и /2Z.
5. Показать, что если /3—момент инерции относительно оси г3,
то /3 = / —. Показать, далее, что если система координат де-
#33
картова и ортогональна, то 1з = 1ц-\-1ц-
§ 2. Уравнения движения
Найдем уравнения движения системы материальных
точек и, в частности, твердого тела под действием задан-
заданных сил.

308 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. XVIII
Мы анаем, что если Х[а) — равнодействующая системы
сил, приложенных к материальной точке М(а), то
-^(а) ?(а) = Ща)',
это — уравнение движения одной материальной точки.
Следовательно, если bxfa — произвольное малое переме-
перемещение этой точки, то
{M(a)xla)-X[a)}bx{a)r = 0, G)
де bxWr — ассоциированный вектор grs8xla). Выражение
Х[а)дх(а)Г, равное произведению силы на проекцию пере-
перемещения на направление силы, есть работа силы Ща)
на перемещении бх^.
Просуммируем выражения G) по всем материальным
точкам. Имеем
N
Ц{М(а)х[а)-Х[а)}&х(а)г = 0. (8)
о=1
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на
перемещения 6х(ау, Х[п) есть равнодействующая всех сил,
внешних и внутренних, действующих на каждую отдель-
отдельную материальную точку. Если мы ограничимся опре-
определенными видами перемещений, то может случиться,
что некоторые силы не совершают работы на этом пере-
N
мещении и, следовательно, часть слагаемых 2 X\afa{a)r
a=l
окажется равной нулю. Например, если мы будем рас-
рассматривать твердое тело как систему материальных точек,
то равнодействующая внутренних сил не будет совершать
работы и в уравнении (8) ее можно не учитывать.
Следовательно, для твердого тела мы имеем
2 {Mwxla)-X'la)}6xWr = 0, (9)
a=l
где бх("а) относится только к перемещениям твердого
тела, а Х[а) — только внешние силы. Из § 5, стр. 173,
мы видим, что наиболее общим выражением бесконечно
малого перемещения твердого тела является
6xr = ur6t + b>r.sxsbt. A0)

2]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
309
где ©rs антисимметричен. Подставляя в (9), имеем
2 WWx[a) -Щч)} Ur + 2 {М(а)Х'а) -XU)} G>rga?O)= 0.
а а
Мы всегда можем найти такой вектор шг, что
— p /
д р
a>rs = — ?opeprs, действительно, по определению о/ =
)mn. Следовательно, последнее уравнение
можно привести к виду
= — yemnrft)
#«> - ^Г«)} »г + 2 ers
= 0.
Это уравнение справедливо для произвольных значений
иг и иг, и поэтому оно эквивалентно системе уравнений
Л/(а) er<(
которую можно переписать следующим образом:
rst
a) «(«)} = 2 ersj «
Вектор
A1)
A2)
называется количеством движения твердого тела; если
i/ — общая масса, а %г — координаты центра инерции, то
нетрудно видеть, что
Далее, вектор
ЯТ = 2
A3)

310
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. XVIII
называется моментом количества движения твердого
тела относительно начала, а вектор
L(a)
A4)
называется главным моментом системы сил Х(а) относи-
относительно начала. Уравнения A1) теперь принимают вид
A5)
Найдем выражение для Нг через тензор инерции системы.
Нз A0) видно, что скорость любой точки твердого тела может
быть выражена в виде
Здесь и1 обозначает лилейную скорость точки, совпадающей в дан-
данный момент с началом координат, a co.s обозначает угловую ско-
скорость. Следовательно,
erst x»w i*a)= 2 M(a) гы х°(а) (n'+cofp x(pa)) =
а
Положив @*^=—emrs4>m, имеем
Нг=Мвп?и*- (lr-lK) Щ. A6)
Рассмотрим два следующих частных случая,
а) Если твердое тело имеет одну неподвижную точку и если
мы выберем эту точку за начало координат, то ur=0 и поэтому
б) Если мы возьмем начало координат в центре инерции, то
|г=0 и поэтому
#г=(/б?-/;)<о8.
Упражнения
1. Показать, что движенио центра инерции определяется
уравнениями
Т. е. центр инерции движется так, как если бы в нем была сосре-

§ 3] ПОДВИЖНЫЕ ОСИ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 311
доточена вся масса и к нему приложены все силы, действующие
на тело.
2. Момент количества движения относительно точки xl опре-
определяется следующим образом:
Показать, что
1РГ= ^ М«г) 8'«< *(«> %) - M*rst **o I'-
а
3. Главный момент сил Х[а) относительно точки х% есть
а
Показать, что
a
4. Доказать, что
5. Вывести из задачи 4, что если точка х'а — центр инерции,
то имеют место уравнения
Следовательно, движение вокруг центра тяжести будет таким
же, как если бы центр тязкести был закреплен, а тело подверга-
подвергалось действию тех же самых сил.
§ 3. Подвижные оси. Уравнения Эйлера
Рассмотрим следующие два случая-движения твердого тела.
а) Одна из точек тела неподвижна в пространстве. Выбираем
эту точку за начало координат и убеждаемся, что справедливы
уравнения A5). В первом из этих уравнений необходимо включить
в Хг реакцию неподвижной точки. Кроме того, мы можем заме-
заменить Нг на (/б|—/?)o)s, где 1%— смешанный тензор инерции,
/ — скаляр /{?, а о/—вектор угловой скорости тела.
б) Ни одна точка тела не остается неподвижной в простран-
пространстве. Первая половина уравнепий A5) справедлива в пепо-
движной системе координат. Вторая половина A5) также спра-
справедлива, если НТ — главный момент количества движения
и Lr—главный момент системы сил взяты относительно центра

312 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. XVIII
инерции. Другими словами, тело движется относительно центр»
инерции совершенно так же, как если бы центр инерции был
неподвижен, а на тело действовали те же самые силы. Следова-
Следовательно, абсолютное движение центра инерции относительно систе-
системы, неподвижной в пространстве, определяется первой половиной
уравнений A5), а движение относительно центра инерции будет
такое же, как в случае а), если за неподвижную точку считать
центр инерции.
Если мы теперь воспользуемся выражением
Я, = (/#-/;) а>, A71
и пожелаем найти ~, то сюда войдут производные от 1% по /.
так как составляющие /J изменяются со. временем. Чтобы избе-
избежать этого, мы введем движущиеся оси координат, жестко свя-
связанные с телом, относительно которых тензор инерции будет
иметь не зависящие от времени составляющие.
Пусть хг—неподвижнаи в пространстве система координат,
а хг—система координат, движущаяся вместе с телом и совпада-
совпадающая в начальный момент с хг. Обращаясь к стр. 171, мы видвм,
что переход от одной системы координат к другой, которая изме-
изменяет свое положение в связи с непрерывным перемещением твер-
твердого тела, определяется формулами
'~xr=aT,sx», A8)
где <>%—фупкции времени, удовлетворяющие уравнениям
Кроме того,
—i— = arp(ops, (ISO
где 0)ps—антисимметричный тензор, a arP = #Psafs.
Далее, любой ковариаятпый вектор, имеющий относительно
подвижных осей составляющие Аг, будет иметь относительно
неподвижных осей составляющие Аг, причем
Аг = А6п*г. B0)
Дифференцируя это соотношение по / при помощи A9), получг.ом
или

§ 3] ПОДВИЖНЫЕ ОСИ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Относительно неиодвижных7осей мы имеем
313
dt —*•¦
Следовательно, используя B0) и B1), мы получаем
dt
B2)
Это—уравнения движения относительно подвижных осей, связан-
связанных с телом.
Вектор угловой скорости движущейся системы координат
(и тела) определяется (см. стр. 309) соотношепием
<»«=— 8р,8«Р, B3)
а так как
где теперь /J—постоянные, то
dUr
dt
и уравнения B2) принимают вид
A6?-1?) ©р-е,Sp (/61 - /1) o)'o)P=Lr.
B4)
Это—уравнения Эйлера в теезорпой форме.
Упражнения
1. Показать, что если подвижные оси являются главными
осями иперции для неподвижной точки, то уравнения Эйлера
приобретают вид
где
= Ь1 и т. д.
и т.д.
[Система координат здесь прямоугольная декартова и в /J
отличны от пуля лишь /{, 1\, 1%. Величины /j, /а, /3 являются
главными моментами инерции.]
2. Показать, что если Аг—составляющие контравариантпого
вектора относительно движущихся осей, а Аг—его составляющие
относительно неподвижных осей, то
dAr

314 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. XVIII
3. Показать, что если Ат—вектор, фиксированный в простран-
пространстве, то его составляющие относительно подвижных осей удовле-
удовлетворяют уравнениям
4. Показать, что если Кп и Krs — составляющие коварпант-
ного тензора второго порядка отосителыю подвижных и непо-
неподвижных осей соответственно, то
dKmn р р r s dKrs
тт ш.тлрп ш.плт»— a.?na.n ~й •
[Этот результат может быть доказан посредством дифференци-
дифференцирования уравнения Kmn = Krsa[masn, после чего нужно учесть A9).
Другой способ: пусть Ат, Вп—два вектора, фиксированных в про-
пространстве. Тогда КтпАтВп, будучи скаляром, равен КтаЛтВп
и их производные равны. Тогда желаемый результат следует из
задачи 3.]
§ 4. Обобщенные координаты динамической системы
Материальная система с динамической точки зрения
рассматривается как совокупность материальных точек,
взаимно связанных друг с другом различного рода свя-
связями. Например, твердое тело рассматривается как мно-
множество материальных точек, жестко соединенных друг
с другом, так что расстояния между ними остаются не-
неизменными.
Если мы знаем структуру такой динамической систе-
системы и связи, наложенные на нее, то ее конфигурация или
положение может быть определено некоторым числом не-
независимых переменных, которые называются обобщенными
координатами динамической системы. Так, например,
материальная точка в пространстве имеет три независи-
независимые координаты относительно системы координат, непо-
неподвижной в пространстве, а материальная точка, принуж-
принуждаемая двигаться по поверхности, — дне независимые коор-
координаты: криволинейные координаты на поверхности.
Жесткий прямолинейный стержень имеет пять координат,
например три координаты одного конца стержня в прост-
пространстве и два угла, определяющие его направление.
Число независимых координат, которые полностью
определяют конфигурацию динамической системы, назы-

§ 4] ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 315
вается ее числом степеней свободы. Пусть имеется дина-
динамическая система; предположим для простоты, что она
имеет три степени свободы. Читатель легко увидит, что
метод, который мы собираемся развить, может быть не-
немедленно распространен на случай динамической системы
с любым числом степеней свободы. Конфигурация нашей
системы с тремя степенями свободы в любой момент вре-
времени определяется тремя обобщенными координатами,
которые мы обозначим через
g\ g\ д3,
а используя наше соглашение относительно латинских
индексов, их молдао записать более кратко: qr. По мере
того как координаты изменяются по величине, динамиче-
динамическая система будет, конечно, изменять свою конфигурацию.
Имеется, очевидно, бесконечно^ много систем незави-
независимых обобщенных координат, которые могут определять
конфигурацию динамической системы, но как только ее
конфигурация полностью определена при помощи какой-
нибудь одной системы обобщенных координат, все эти
системы координат должны быть функционально связаны
друг с другом. Следовательно, если qr— любая другая
система координат, то qr должны быть связаны с дг фор-
формулами типа
? = Г(д\ ч\ я3)- B5)
Эти уравнения определяют преобразование одной си-
системы обобщенных координат в другую, и мы можем
определить обычным путем векторы и тензоры относи-
относительно преобразований B5). Так, например, Arst являются
составляющими смешанного тензора третьего порядка
в системе координат qr, если в новой координатной си-
системе эти составляющие определяются формулами
здесь суммирование по повторяющимся индексам справа
производится, как обычно, от 1 до 3,

316
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. XVIII
Упражнения
1. Показать, что твердое, тело с одной неподвижной точкой
имеет три степени свободы.
Пусть Oxlxix3 — трехгранник главных осей инерции тела
в какой-нибудь момент времени, и пусть OXiX2X3—начальное
положение этого трехгранника, так что Охххгх3 предполагается
движущимся вместе с телом, а ОХ^Х^С3 — неподвижным в про-
страпстве. Возьмем пересечепие этих трехгранников с единичной
сферой с центром в неподвижной точке О тела (рис. 36).
Обозпачим через 9 угол Х3Ох3, через ф угол между плоско-
плоскостями XtOX3 и Х3Ох3 и через яр угол между плоскостями Х3Ох3
и х3Охг. Эти углы называются угла-
углами Эйлера; мы покажем, что поло-
положение тела полностью определяется
тремя эйлеровыми углами, которые
и будут поэтому обобщенными коор-
координатами тела.
Пусть О А— пересечение плоско-
плоскостей Х3Ох3, ХхОХ<ь, ОВ— пересечение
хх0хг, XiOX2 и ОС —пересечение
хх0хг и Х3Ох3. Изменяя величину
Ф путем вращения тела вокруг ОХа,
совместим ОХ! с О А и ОХ2 с ОВ.
Изменяя 9 вращением тела вокруг
ОВ, совместим ОХ3 с Ох3 и ОА с ОС.
Наконец, изменяя \|) вращением во-
вокруг Ох3, совместим ОС с Охх и ОВ
с Ох%. Следовательно, эти три по-
поворота, выполненных последовательно, приведут трехгранник
ОХхХгХ3 в положение Ох^х^е^. Поэтому положение главных осей
инерции, а следовательно, и связанного с ними тела полностью
определяются тремя углами 0, ф, \\>.
2. Показать, что преобразование одпой системы координат пре-
предыдущего примера в другую происходит в соответствии с табли-
таблицей, в которой приведены косинусы углов между старыми и но-
новыми осями.
Рис. 36.
cos 9 cos ф cos \|) —
— sin фэт г|)
— cos 9 cos ф sin \|) —
— этфсозгр
sin 9 cos ф
cos 9 sin ф cos \|) -j-
-j cos ф sin ф
— cos 9 sin ф sin \|) -j-
4- cos ф cos ¦§
sin 9 sin ф
— sin 9 cos\|)
sin 9sin\|)
cos 9

S 6] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ1В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ. 317
3. Показать, что положшшо свободного твердого тела может
быть определено шестью обобщенными координатами, а именно,
тремя координатами положения его центра инерции и тремя угла-
углами Эйлера.
§ 5. Уравнения движения в обобщенных координатах
Предположим, что положения точек нашей динамической
системы определены при помощи аффинных координат хт
в обычном пространстве. Тогда, если нам задано время
и какие-нибудь другие обобщенные координаты qr, то тем
самым заданы и все координаты хг динамической системы,
потому что конфигурация динамических систем должна
быть определена единственным образом.
Следовательно, хг являются функциями от qT и, быть
может, от времени, т. е.
xr=xT(f, q\ q3, t).
Мы ограничимся рассмотрением лишь таких динамиче-
динамических систем, для которых эти уравнения не содержат
явно времени, так что
. xr = xr{q\ q\ q»). B7)
Дифференцируя B7) по t, имеем
ir = f^- B8)
Объект qr, который является вектором относительно пре-
преобразования координат B5), называется обобщенной ско-
скоростью. Из B8) видно, что, когда обобщенная скорость
задана, мы знаем скорость в обычном смысле этого слова.
Кинетическая энергия Т системы есть
Т--Ме хпхп--М" дхП дхП аг'а8
Таким образом, мы можем написать
* л nrns OQ\
" ara4 Ч > l?o)

318 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (гл. XVHI
где положено
., дх™ дхп ,ап.
ari = MgnnWW, C0)
т. е. кинетическая энергия выражается в виде однород-
однородной квадратичной формы от переменных qr. Из C0) мы
видим, что объект aTS симметричен относительно г и s.
Так как, кроме того, Т есть скаляр относительно всех
преобразований обобщенных координат, то из B9) мы
заключаем, что ars — симметричный тензор второго порядка.
Теперь найдем уравнения движения нашей динами-
динамической системы в обобщенных координатах. Обращаясь
к (8), стр. 308, мы видим, что уравнения движения
в аффинных координатах можно объединить в одно
уравнение
gmn(Mxm-XmNxn=0, C1)
где 6хг — возможное перемещение системы, причем мы
можем не включать в Хг те внутренние или внешние
силы, которые не совершают работы на этом перемеще-
перемещении. Если мы хотим сообщить системе малое перемеще-
перемещение, совместимое со связями, то оно может быть осу-
осуществлено посредством изменения координат системы
qr на малые величины 6qr, причем эти последние свя-
связаны с 6хг следующими формулами:
6хг= д— 6qs.
Таким образом, C1) принимает вид
^ л/г & С дхт -,\ дхп vm дхп] & г г, ,о„ч
Но
дхт ^,~__ =
dt V 6mn d<f dqr * J J'^">" dq>
d, -s^ 1 9as, -s't_ d дТ дТ
qq =

.(¦ 5J УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ. 3i!l
Далее, если мы положим
Vr — Smn^- ~QgT >
то получим
C3)
где 6W — работа, совершаемая силами на элементарном
перемещении 6qT; отсюда видно, что (}г — коваршнтный
вектор; этот вектор называется обобщенной силой.
Уравнения C2) принимают теперь вид
дТ дТ
- — -w-
Так как координаты qr независимы, это уравнение спра-
справедливо для любых вариаций 6qr, вследствие чего урав-
уравнения движения получаются в виде
d дТ
dt a-r
дТ
C4)
Упражкспия
1. Показать, что
кова-
г d эт дт~\ ,
и вывести отсюда, что величины -i —г—; ур > образуют
*- ддг
риантный вектор.
2. Показать, что если F(,rs —символ Кристоффеля первого
рода относительно nrs, т. е. если
_ 1 /' dast . dart dar
1(U +
то
d ЭТ dT
3. Показать, что если ars— алгебраическое дополнение ars
в |аГ81> разделенное на этот определитель, то уравнения движения

:ViO ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [п. XV11I
могут быть записаны в впдо
где
1Г8(—символ Кристоффеля второго рода относительно ars;
отсюда видно, что qr-\- Yltq-iq1 есть абсолютная производная от qr
по t. Используя обозначения стр. 197, ое можно написать в пидо
—-, а это, как мы зпаом, есть контравариантный вектор.]
4. Показать, что если система обобщенных сил консервативна
и F —потенциальная функция, то
9V
и что уравнения движения припимают форму Лагранжа
d dL \dL
dt dqT dqr-'
где L=T—V.
[Первый результат следует из C3), ибо ЫУ=—6V, а второй
результат—из того, что V не содержит qr.]
§ 6. Пространство конфигураций
Рассмотрим трехмерное пространство, в котором точка
определена тремя обобщенными координатами qr. Тогда
каждой точке этого пространства соответствует опреде-
определенная конфигурация динамической системы, координа-
координатами которой являются qT\ это дает нам геометрическую
интерпретацию конфигураций динамической системы.
Такое пространство называется пространством конфи-
конфигураций.
Если динамическая система каким-либо образом дви-
движется, ее координаты являются функциями времени.
Таким образом, движение определяется уравнениями вида
qr=qr{t). C5)
По мере изменения t точка пространства конфигураций,
изображающая динамическую систему, описывает кривую,

$7] КИНЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИ1ШП11ЫИ ЭЛЕМК111 321
причем C5) является ее уравнением. Эта кривая назы-
называется траекторией динамической системы.
Если, кроме того, система движется своОодно под
действием заданной системы сил в согласии с законами
динамики, то соответствующая точка описывает в про-
пространстве конфигураций кривую, называемую естествен-
естественной траекторией для данной системы сил.
§ 7. Кинематический линейный элемент
Кинетическая энергия системы есть
r = yar,?V. C6)
где ars —функции от координат qr. Кинетическая энергия
всегда положительна, за исключением случая, когда
qT = 0; в этом случае она обращается в нуль. Иначе
говоря, квадратичная форма C6) положительно опреде-
определена. Следовательно, мы всегда можем выбрать ds так, что
qT dq*.
C7)
При помощи этой формулы мы введем в пространстве
конфигураций определение расстояний между соседними
точками qr и qr-\-dqr. Мы примем, что это расстояние
есть ds. Это значит, что линейный элемент пространства
конфигураций определен формулой C7). Таким образом,
ds2 есть однородная функция второй степени от dqr,
совершенно как в эвклидовом трехмерном пространстве.
Пространство, в котором ds2 задано посредством формулы
вида C7), называется пространством Римана.
Линейный элемент вида C7) называется кинемати-
кинематическим линейным элементом в отличие от другого, который
будет введен ниже (см. § 9).
Таким образом, располагая метрическим тензором агз
пространства конфигураций, мы, как обычно, определяем
ассоциированный метрический тензор в виде алгебраи-
алгебраического дополнения элемента агз в |are|, деленного на

322 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. XVIII
этот определитель. Мы определим длину А вектора Ат
следующим образом:
и введем операцию получения ассоциированных векторов
и тензоров совершенно таким же образом, как мы это
делали в случае эвклидова пространства. Далее, мы
можем определить абсолютное и ковариантное дифферен-
дифференцирование тензоров с помощью символов Кристоффеля,
совершенно как в § 3, стр. 198.
Предположим, что изображающая точка описывает
в пространстве конфигураций некоторую кривую, и возь-
возьмем длину ее дуги s за параметр, так что уравнения
кривой будут
qr = qr (s). C8)
dqT
Как мы знаем, -^- есть вектор; обозначим его через V,
так что
1 г "^ /оп\
(Is v '
Из C7) мы видим, что
ar,Vr=l; D0)
таким образом, V есть единичный вектор. Назовем его
единичным вектором касательной к кривой.
Если взять абсолютную производную от уравне-
уравнения D0), то будет
6Х
откуда следует, что вектор —г~ ортогонален к кривой.
Обозначив его модуль через к, мы можем написать
D1)
где |д.г — единичный вектор. По аналогии с евклидовым
пространством (стр. 211) число и называется кривизной,
а цТ —главной нормалью кривой.

8]
ТРАЕКТОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
323
§ 8. Траектории динамической системы
в пространстве конфигураций
Уравнения траектории имеют вид C5); таким образом,
роль параметра обычно играет время t.
Назовем вектор
vr=qr
D2)
обобщенной скоростью; легко видеть, что квадрат его
модуля равен
с2 = arsvrvs = 2Т. D3)
Определим теперь вектор обобщенного ускорения f как
абсолютную производную от vT no t. Тогда для /г будет
иметь место следующее выражение:
f = -?—= vr-r Y'stv'q', D4)
или
Перейдем теперь к новому независимому переменному,
в качестве которого примем длину дуги s траектории.
Очевидно, имеем
= ars dqr dqs = arsqrqs
Отсюда
Далее, имеем
"dl
r dqr dqr ds
dt ds dt
D5)
D6)
откуда, дифференцируя, получаем
Ы
bs dt ¦

324 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Используя D1), это можно записать в виде
?гл. XVJII
D7)
Стало быть, вектор обобщенного ускорения всегда ком-
компланарен с касательной и главной нормалью траектории.
Его составляющей вдоль касательной является v, а вдоль
главной нормали жг.
Этот результат может быть выра-
выражен в несколько иной форме. Так как
dv ds
dv
1 d
v>-
dT
TO
D8)
Рис. 37.
Обозначив через ft ковариантные
составляющие вектора ускорения, имеем
или
d дТ
dt ,•.
дТ
dqT
D9)
Если траектория является естественной для системы
сил QT, то динамическая система движется в соответ-
соответствии с законами динамики и уравнение движения C4)
принимает вид
/г=.<?г
или, в контравариантной форме,
E0)

5 9] ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ 325
Следовательно, на естественной траектории вектор силы
и вектор ускорения совпадают.
Читателю предлагается отметить сходство изложен-
изложенного здесь с результатами, полученными в предыдущей
главе для движения материальной точки.
Упражнения
1. Доказать, что
2. Показать, что на естественной траектории вектор обобщен-
обобщенной силы должен быть компланарным с касательной и главной
нормалью.
3. Доказать, что скорость изменения кинетической опергии
определяется формулой
dT 4 'г
и вывести отсюда, что при движепии по естественной траектории
кинетическая энергия может быть выражена так:
Т =
4. Показать, что если система обобщенных сил имеет потен-
потенциал, то из предыдущей задачи получаем T-\-V = h, где h—по-
h—постоянная.
5. Показать, что естественное движение может происходить
вдоль силовой линии обобщенной силы тогда и только тогда,
когда она есть геодезическая линия ирострапства конфигураций.
[Силовая линия—это кривая, касательная к которой в каждой
точке совпадает с направлением обобщенной силы Qr, а геодези-
геодезическая линия—кривая, у которой кривизна равна нулю.]
§ 9. Принцип стационарного действия. Линейный
элемент действия
Мы видели, что на каждой естественной траектории
для консервативной силы имеет место закон сохранения
энергии
Т | Т/ h I^W
1 -р V ===1 и, у 01)
где h — полная механическая энергия. В этом разделе
мы будем рассматривать лишь те траектории, для кото-
которых полная энергия равна постоянной h. Если мы имеем
две конфигурации системы, изображаемые точками А а В

326
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. XVIII
(рис. 38), то, вообще говоря, существует лишь одна
естественная траектория с заданной полной энергией,
проходящая через обе точки.
Рассмотрим все кривые в пространстве конфигураций,
которые проходят через точки А и В, соответствующие
двум заданным конфигурациям. Мы мо-
В жем выбрать параметр "к вдоль каждой
из этих кривых так, чтобы при изме-
изменении % от значения Ко до значения Я,,
изображающая точка перемещалась из
А в В.
Тогда интеграл
Рис. 38. имеет определенное значение для каж-
каждой кривой, проходящей через А и В.
Оно называется действием для рассматриваемой кривой.
Существует следующее предложение, известное под на-
названием принципа стационарного действия.
Из всех кривых, проходящих через А и В, та, для
которой действие стационарно, является естественной
траекторией системы с полной энергией h, находящейся
под действием обобщенных сил с потенциалом V.
Доказательство этого принципа совершенно такое же,
как в случае движения материальной точки, рассмотрен-
рассмотренного в § 5, стр. 298, к которому мы и отсылаем читателя.
Принцип стационарного действия для материальной
точки является, конечно, лио1ь частным случаем прин-
принципа для произвольной динамической системы.
Вместо того чтобы определять в пространстве конфи-
конфигураций элементарное расстояние qr между точками qr
и gr-\-dgr так, как это было сделано в C7), стр. 321,
введем его с помощью уравнения
ds*=2{h-V)arsdqrdqs.
E3)
В этом виде мм будем называть ds линейным элементом
действия'в отличие'от уже упоминавшегося кинемати-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVIII 327
ческого линейного элемента. Заметим, что ^ — однород-
однородная квадратичная форма от dqT.
Вводя новый линейный элемент в E2), получаем
в
так что действие от А до В— это просто длина кривой
от А до В. Таким образом, кривая стационарного дей-
действия есть кривая стационарной длины. Но последняя
есть геодезическая линия нашего пространства конфигура-
конфигураций. Следовательно, естественными траекториями с задан-
заданной полной энергией h являются геодезические линии про-
пространства конфигураций, если в качестве линейного эле-
элемента для пространства конфигураций выбран линейный
элемент действия.
Упражнения
1. Показать, что если использовать кинематический линейный
элемент, то действие вдоль кривой равно
В
^ Y2{h-V)ds.
А
2, Показать, что действие вдоль естественной траектории равно
2$ Г*.
А
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVIII
1. Показать, что все плоскости, проходящие через точку Р,
относительно которых некоторое тело имеет момент инерции, рав-
равный Мк2, касаются конуса с вершиной в точке р, являющегося
касательным конусом поверхности второго порядка, уравнение
которой в плоскостных переменных есть
2. Выбрав начало координат в центре инерции, показать, что
уравнение эллипсоида инерции в точке а' есть
{(/-г-А/а2) 8тп-1тп-Ма.,па„) (хт-ат) (г"-а«)= 1,
где a2 = gmnama« и ar = grmam.
3. Показать, что составляющей количества движения вдоль
произвольной прямой V является Grkr.

328 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. XVII
4. Показать, что момент количества движения относительно
оси, заданной шестью координатами V, цГ1 равен JJ,Ar—Gr(ir-
[О шести координатах прямой см. стр. 103.]
5. Показать, что сумма моментов системы сил относительно
прямой V, цг равна ЬДГ—.Ур,,.
6. Показать, что если Щ—момент количества движения отно-
относительно точки хт0, а Ц.—главный момент системы сил относи-
относительно той же точки, то векторное уравнение
ащ__
имеет место в следующих случаях:
а) если точка хтй неподвижна;
б) если центр инерции неподвижен;
в) если точка х\ совпадает с центром инерции или движется
в том же направлении, что и центр инерции.
[Использовать уравнения задачи 4, стр. 311.J
7. Показать, что если г/—скорость точки хт движущегося
твердого тела, то
[Имеем рг=со1?е8-|-цг, где cors антисимметричен.]'
8. Показать, что если Ат— вектор, зафиксированный в движу-
движущемся твердом теле с одной пеподвижпой точкой, то составляю-
составляющие /Гг относительно неподвижной системы координат удовлетво-
удовлетворяют соотношениям
9. Показать, что если скорость каждой точки твердого тела
состоит только из двух скоростей, порожденных соответственно
двумя угловыми скоростями of,) и а>[2), то скорость каждой точки
тела иорождается угловой скоростью (or=(of,)-{-«)A8), т. е. угловые
скорости можно складывать как векторы.
[Так как скорости точек твердого тела определяются форму-
формулами yfu = er3t(o(mxt и VB) = ersl(i>B-)sxt, то общая скорость равна
»г = »«> + »!» = *rst (*>(i>.+<*W) */•!
10. Показать, что кинетическая энергия твердого тела с одной
неподвижной точкой равна
= и т. д.]

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVIII 329
11. Показать, что если осями координат являются главные
оси инерции для неподвижной точки, то кинетическая энергия
определяется формулой
1
Т = -7г-{11 (аIJ^-/^ (агJ-{-1з (ш3J},
где /ц /2, /3 — главпые моменты инерции.
• 12. Показать, что
— = Я
13. Показать, что кинетическая энергия твердого тела равна
Т=-%-МУ*-\-Т0, где F—скорость центра инерции, а То—кинети-
ческая энергия относительно центра инерции (т. е. вычисленная
так, как если бы центр инерции был неподвижен).
14. Показать, что кинетическая энергия твердого тела с одной
закрепленной точкой, выраженная через главные момепты иперции
и углы Эйлера, определяется формулой
2T = I1 (Bsinip—фsin8 cost))J+
+/»@ cos г|з+ф sin 8 sin t|3J-j-/3 (ф+ф cos 8J.
15. Симметричный волчок с закрепленной точкой О на его
оси находится под действием силы тяжести; найти выражение
функции Лаграпжа через углы Эйлера.
1 • 1 • 1
\L — -^ /i0a + y ^sin2 Q+-y- /3 W>+<P cos QJ—Mgh cos 8, где
/ц h< h—главные момепты инерции, М—масса волчка и h—рас-
h—расстояние от О до центра инерции.]
1С Показать, что если К—скалярная функция от qr и gr, то
дК d дК дК
и -j- -t-^l являются ковариантными векторами.
df dt ifr dq
17. Уравнения Гамильтона. Положив pr = arSqs, мы назовем рТ
обобщенными импульсами. Показать, что уравнения движения
могут быть записаны в форме
дН „
где Н
= тв1*л
q —
¦P.+ V.
ОН
дрг '
dp
dt
18. Вывести из уравнений задачи 17, что -—=0, т. в. что эти
уравнения имеют первый интеграл // = const. Показать, что это—
интеграл анергии.

330 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. XVII
19. Показать, что если Н—скалярная функция от qr и кова-
риантного вектора рг, то -= контравариантный вектор. Пока-
дРг
зать также, что если мы возьмем кривую, заданную в парамет-
.. , „ dqr дН
рическои форме посредством уравнении =-~— , где и — пара-
&м о р*
dpT , дН
метр, то —H-i—т-у—ковариантныи вектор.
[Это означает, -что уравнения Гамильтона — векторные урав-
непия.]
20. Показать, что при естественном движении полная произ-
производная кинетической энергии но времени равна произведению
модуля скорости, модуля силы и косинуса угла между этими
векторами.
[Косинус угла между двумя единичными векторами опреде-
определяется следующим образом: cos Q = ariKr\il). Утверждение, которое
dT
требуется доказать, имеет вид -тг= QrvT-]
dT
21. Показать, что вдоль естественной траектории —t^ = Q cos cp,
где Q—модуль вектора силы, а ф —угол, образуемый этим векто-
вектором с касательной к траектории.
22. Теорема Бонне. Показать, что если динамическая система
может проходить определенную последовательность конфигураций
под раздельным действием некоторого числа систем сил, то, когда
все силы действуют одновременно, динамическая система может
проходить через ту же последовательность конфигураций, причем
кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий, которые
динамическая система имела при раздельном действии этих
систем сил.
[С геометрической точки зрения доказательство совершенно
такое же, как длн случая материальной точки.]
23. Доказать, что кривизна траектории определяется формулой
2_/2-^_ /2 TL
TL
* ~ v* ~~ 471* 8Г» '
[Использовать D7), стр. 324.]
24. Показать, что если ф —угол между векторами ускорения
и скорости, то кривизна траектории равна
/sincp
2Т '
[cos(p= тг—- или Г2 = 2j-T cos- ф. Подставить выражение
для Г2 в формулу задачи 23.]

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVIII 331
25. Показать, что если нет действующих сил, то изображаю-
изображающая точка в пространстве конфигураций с кинематическим ли-
линейным элементом описывает геодезическую линию.
[Геодезическая линия — линия нулевой кривизны. Выше всюду
использовался кинематический линейный элемент.]
26. Показать, что если па динамическую систему наложена
связь, определяемая уравнением ^(д1, д2, ?8) = 0, то уравнениями
движения являются
где фг = -^-!г, а 0 — произвольный множитель.
27. Импульсивное движение*}. Показать, что уравнениями
импульсивного движения являются
где Qrbqr—элементарная работа, совершаемая импульсивной силой
на виртуальном перемещении Ьдг. Вывести, что изменение вектора
скорости равно
28. Показать, что если на динамическую систему внезапно
накладывается связь i|) (j1, д2, ?8) = 0, то изменение вектора ско-
скорости равно
где
¦ -~
29. Динамическая система движется под действием системы
сил с потенциалом V и с постоянной полной энергией ft. Пока-
Показать, что если использовать кинематический линейный элемент,
то время вдоль траектории определяется формулой
ds
YUJT^V) '
30. Показать, что из всех траекторий в пространстве конфи-
конфигураций, проходящих через две заданные конфигурации А и В
и удовлетворяющих интегралу энергии r-j-F = ft, та, которая
сообщает интегралу
В А
*) См. Уиттекер, Аналитическая динамика, М. — Л., 1937,
стр. 63. (Прим. ред.)

332 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ?гл. XVIII
стационарное значение, удовлетворяет уравнениям
dt d-r dqr dq'+h-V dt д-г~ ¦
[Траектория, время прохождения по которой является ста-
стационарным, называется брахистохроной, так что мы получаем
уравнения брахистохрон нашей динамической системы.]
31. Показать, что уравнения упражнения 30 могут быть пред-
представлены в виде
d 8Т1 дТх_
dt d-f df '
т
где Г1 = . у, . Вывести отсюда, что брахистохроны динамиче-
динамической системы совпадают с естественными траекториями такой ди-
Т
намическои системы, кинетическая энергия которой равна ,
и на которую не действуют никакие силы.
32. Показать, что брахистохроны динамической системы
являются геодезическими линиями в пространстве конфигураций,
еслиего линейный элемент определен формулой
- h—v
33. Показать, что если динамическая система начинает дви-
двигаться из состояния покоя в положение О, то естественная траек-
траектория и силовая линия, проходящие через О, имеют общие каса-
касательные и нормальные векторы. Показать также, что кривизна
первой кривой в точке О равна -5- кривизны второй кривой.
о

ГЛАВА XIX
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 1. Теорема Грина
Прежде чем приступить к изучению применения тен-
тензорного исчисления к математической теории электриче-
электричества и магнетизма, мы рассмотрим две важные теоремы
о преобразованиях интегралов по объему в интегралы по
поверхности и интегралов по поверхности в криволи-
криволинейные.
Пусть в пространстве имеется система прямоугольных
декартовых координат (х, у, z). В этих координатах тео-
теорема Грина, как хорошо известно, формулируется сле-
следующим образом (рис. 39):
Если S —замкнутая поверхность, ограничивающая
объем V, а Р, Q, R — три функции, однородные, непре-
непрерывные и имеющие частные производные первого порядка
повсюду в V, то
Ш Gf+f+?
V
где I, m, n — направляющие косинусы внешней нормали
к S, dx — элемент объема, a da —элемент поверхности
на S *).
Этот результат легко доказывается интегрированием
вдоль прямых, параллельных координатным осям.
Возьмем общую криволинейную систему координат хТ
и сформулируем теорему Грина в этих координатах. Мы
знаем, что вектор можно определить, взяв в качестве его
*) Эту формулу называют также формулой Остроградского.
(Прим. ред.)

334 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ [гл. XIX
составляющих в одной какой-нибудь системе три произ-
вольпых числа и в качестве его составляющих во всех
других системах числа, удовлетворяющие закону преоб-
преобразования векторов.
Определим вектор Fr так, чтобы в системе коорди-
координат (х, у, z) его составляющими являлись Р, Q, R. Это
определяет векторное поле, поскольку вектор является
функцией от координат. Если, далее, через Р s обозна-
г чить ковариантную производную от Fr,
т. е. если
то Рш r является скаляром. Следова-
Следовательно, его значение в системе (х, у, z)
равно
Fr =И-л-?0_±™- B)
Рис. 39. ••г дх ' ду'Т dz ^ >
благодаря тому, что в декартовой си-
системе координат символы Крнстоффсля обращаются в нуль.
Скаляр Fr.tTчасто называют дивергенцией вектора f. Обоз-
Обозначив через vr единичный вектор внешней нормали к S,
составляющими которого в декартовых координатах являют-
являются I, т, п, рассмотрим скаляр Frvr, определяемый так:
gpqF*V> = Pl + Qm + lin. C)
Теорема Грина в тензорной форме будет
Интеграл в правой части этого уравнения часто называют
потоком вектора Fr через поверхность S. Таким обра-
образом, поток вектора Fr через поверхность S равен инте-
интегралу по объему V, ограниченному поверхностью S, от
дивергенции вектора Fr. Теорема может быть распро-
распространена на области, лежащие между несколькими поверх-
поверхностями, а объемный интеграл может быть распространен
на все пространство, если только Fr удовлетворяет неко-
некоторым ограничениям на бесконечности.

§ 1] ТЕОРЕМА ГРИНА 335
Мы можем представить теорему Грина в другой форме.
Пусть <р и г|э будут две скалярные функции; введем для
краткости обозначения
Если мы положим
Fr = grsF°=^r, E)
то
где я|)г>8 есть ковариантная производная от я|)г. Скаляр
grsi|V,s часто обозначают через А-ф и называют лапласиа-
лапласианом функции г|э. В декартовых координатах он имеет вид
Объект grsqvil)s является скалярным и обозначается через
V (ср, ^). В декартовых координатах (ж, г/, г) он имеет
следующее выражение:
/ ду + dz д2 ¦ кч
Итак,
гр), (8)
и теорема Грина имеет вид
S S S V^' ^dx= \[ ЧУУ do-l^l<fb* &• (9)
Упражнения
1. Показать, что
[См. стр. 208.]
2. Вычислить Дф в сферических и цилиндрических коорди-
координатах.
[Иснол1>зовать задачу I.J

336 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО II МАГНЕТИЗМ [гл. XIX
3. Доказать, что
[Положить в (9) ф=1.]
4. Показать, что если объем V содержит поверхность 2, па
которой Fr разрывно, то
r.,rdx- \\
где индексы 1 и 2 относятся к двум сторонам поверхности 2.
§ 2. Теорема Стокса
Вторая важная теорема, известная как теорема Стокса,
касается преобразования криволинейного интеграла
в интеграл по поверхности. В прямоугольных декартовых
координатах эта теорема формулируется так:
Если S — часть поверхности, ограниченная конту-
контуром С, и если Р, Q, R — три функции, непрерывные
и обладающие частными производными первого порядка
на S, то
A0)
где криволинейный интеграл берется по всему контуру С,
а I, то, п — направляющие косинусы нормали к S.
Сейчас мы сформулируем эту теорему в криволиней-
криволинейных координатах хТ. Возьмем снова вектор Fr, состав-
составляющие которого в системе (ж, у, z) равны Р, Q, R.
Составляющие ассоциированного вектора в той же системе
также равны Р, Q, R, так как в прямоугольных декар-
декартовых координатах нет различия между ковариантными
и контравариантными составляющими вектора.

2]
ТЕОРЕМА СТОКСА
337
Ковариантная производная Fr< s вектора FT является
тензором второго порядка, и следовательно, объект
является контравариантным вектором, где е
rst
вариантный е-объект, т. е. е
rst
A1)
контра-
1
равен -]—— или —
V g Vg
в зависимости от того, является ли г, s, t четной или нечет-
нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3, и обращается в 0 при
всех других значениях г, s, t. Век-
Вектор A1) обычно называется вихрем
или ротором Fr; его составляющи-
составляющими в прямоугольной декартовой си-
системе являются
dR dQ ЭР dR dQ дР
~ду "dz ' ~dz дх~ ' ~дх ду~ '
Следовательно, обозначив через vr
единичный вектор нормали к S, мы Рис. 40.
видим, что Grvr является скаляром,
который в системе (х, у, z) определяется формулой
ЭР
ЭР
dxr
Так как -т— является единичным вектором касатель-
dxr
ной к кривой С (рис. 40), то Fr-r^- является скаляром, ко-
который в декартовой системе координат выражается так:
F df^pte q^l Rjb
r ds ds ' x ds ' ds
Поэтому теорема Стокса в тензорных обозначениях имеет
вид
A2)
Интеграл в левой части этого уравнения часто называют
циркуляцией вектора Fr вдоль контура С.

338 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 1гл. XIX
Упражнения
1. Пусть составляющие вектора в ортогональных декартовых
координатах будут Р, Q, R, Найти составляющие вихря этого
вектора: а) в сферических координатах, 6) в цилиндрических коор-
координатах, в) в косоугольных декартовых координатах (см. задачу 4,
стр. 208).
2. Показать, что если мы введем криволинейные координаты
и1, ы2 на поверхности S (см. стр. 218), то
где Fa о — ковариантная производная от следующего вектора на
поверхности:
f Использовать соотношение vr=-y еаРеГ8( у, дока-
*• диа диР
аанное в § 4, стр. 259. Получим
3. Из задачи 2 вывести, что теорема Стокса может быть запи-
записана в следующем виде:
С S
§ 3. Электростатическое поле
Мы знаем, что электрическое поле, образованное в дан-
данной точке некоторым числом электрических зарядов
в вакууме, определяется потенциальной функцией V:
если заряды дискретны; здесь е — электрический заряд
в рационализованной системе единиц*), а г—расстояние
*) В этой главе всюду используется рационализованная систе-
система единиц;, см. Сена Л. А., Единицы измерения физических
величин, М. —Л., 1948, стр. 101. (Прим. ред.)

S] ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛК 339
от данной точки до заряда е. Если заряды непрерывно
распределены по объему и на поверхности, то выраже-
выражение для V принимает вид
где q —объемная, а ц — поверхностная плотность заряда.
Плотность Q будет, разумеется, равна нулю в любой
точке, где нет объемного распределения зарядов, и ана-
аналогично ц, обратится в нуль в любой точке, где нет
поверхностных зарядов.
Обозначим вектор напряженности, электрического поля
через Ег, так что
A5)
причем здесь принята общая криволинейная система
координат хТ.
Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора напря-
напряженности электрического поля через какую-либо поверх-
поверхность равен общему электрическому заряду, заключен-
заключенному внутри поверхности, Итак,
где 2 — поверхность внутри S, имеющая поверхностное
распределение заряда. Но из теоремы Гаусса просто
выводится, что
= \ \ \
V
где индексы 1 и 2 относятся к противоположным сто-
сторонам поверхности 2. Следовательно,
- J ^
х
22*

340
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[гл. XJX
и этот результат справедлив для любой поверхности S.
Значит, для каждой точки пространства мы имеем
•i Г
A6)
причем q равно 0 там, где нет электрических зарядов.
Кроме того, на поверхности 2, имеющей поверхностное
распределение с плотностью fx, будет
A7)
Это —основные уравнения электростатического поля.
Упражнения
1. Показать, что в любой точке, где нет заряда, Ег.г—0.
2. Показать, что первое из уравпений A6) может быть пере-
иисапо в виде ДУ =—д, где AV = gmnVm,n — лапласиан V.
3. Силовые линии. Силовой линией поля пазывается кривая,
касательпая к которой в каждой точке совпадает по направлению
с вектором напряженности электрического поля. Показать, что
уравнениями силовых линий являются
где ±-=
4. Показать, что силовые липии ортогональпы к поверхностям
V=const. Эти поверхности называются аквипотещиалъными.
§ 4. Диэлектрика
Если электрические заряды существуют в некоторой
материальной среде, то уравнения предыдущего пара-
параграфа необходимо изменить. Электрическое поле в этом
случае определяется двумя векторами:
а) вектором напряженности электрического поля Ег,
который равен градиенту потенциальной функции V,
взятому с обратным знаком, т. е.
Э'- Vr
A8)

Ml
ДИЭЛЕКТРИКИ
341
б) вектором DT, который называется вектором смеще-
смещения.
Вектор DT обладает тем свойством, что его поток
через любую поверхность равен общему заряду внутри
поверхности. Совершенно так же, как и на стр. 340,
с помощью теоремы Грина можно доказать, что во всем
пространстве
A9)
причем в тех точках, где нет электрических зарядов,
q = 0; на поверхности 2, имеющей поверхностное рас-
распределение зарядов с плотностью \i, мы имеем
B0)
где индексы 1 и 2 относятся к противоположным сто-
ронам поверхности 2.
Векторы Ег и Dr связаны между собой таким обра-
образом, что если один задан, то задан и другой, т. е. один
является функцией другого. Простейшее соотношение
между ними, согласующееся с экспериментом, состоит
в том, что один вектор является линейной функцией
другого. Это нам дает
B1)
где е? является функцией лишь координат. Соотношение
B1) показывает, что ез является смешанным тензором
второго порядка; назовем его диэлектрическим тензором.
Рассмотрим условия того, что диэлектрик однороден.
Это значит, что если в двух различных точках сущест-
существуют одинаковые напряженности электрического поля,
то в этих точках и векторы Dr также должны быть рав-
равными. Иначе говоря, если векторы электрической напря-
напряженности образуют постоянное параллельное векторное
поле, то векторы смещения также образуют подобное
поле.

342 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ [гл. XIX
Условием того, что Ет образуют постоянное парал-
параллельное векторное поле, является ?Г)в = 0, где Ег>3-^
ковариантная производная; то же самое и для DT. Диф-
Дифференцируя B1) ковариантно по х', получаем
следовательно, условием однородности диэлектрика
является
е:.« = 0, B2)
т. е. ковариантная производная от е? должна исчезать
в каждой точке.
Если диэлектрик изотропный, то векторы DT и ЕТ
должны иметь одинаковые направления; это влечет за
собой соотношение
г1=гЬ1, B3)
где е —скаляр, a 6s —символ Кронекера. Если среда
однородна и изотропна, то из соотношений B2) и B3)
видно, что е постоянно во всех точках среды. В этом
случае е называется диэлектрической постоянной.
Уравнения A8) —B1) являются основными уравнения-
уравнениями электрического поля в анизотропном диэлектрике.
Однако иногда пользуются другим вектором. Этот вектор
определяется равенством
Pr = Dr-Er B4)
и называется вектором поляризации.
Очевидно, что
Рг = (е;-д«)Я„ B5)
так что составляющие вектора, поляризации могут быть
линейно выражены через составляющие вектора напря-
напряженности электрического поля. Тензор (ej — 6?) называет-
называется тензором диэлектрической восприимчивости.
Упражнения
1. Показать, что
где 8Г« есть ассоциированный диэлектрический тетаор g* вгт.

{ 5] МАГНЕТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 343
2. Вывести из задачи 1, что потенциальная функция V удов-
удовлетворяет уравнению
3. Показать, что если диэлектрик однороден, то
4. Показать, что в однородной изотропной средо
а на границе двух таких диэлектриков будет
где ц—поверхностный заряд на грапице.
§ 5. Магнетостатическое поле
Если в точке Р помещен элементарный магнит, то
потенциал Q создаваемого им магнитного поля в любой
точке пространства определяется формулой
— 4я~ Эх™
где Г есть магнитный момент, а г —расстояние от взя-
взятой точки до Р. Потенциал при любом объемном распре-
распределении элементарных магнитов равен
dx, B6)
где Г dx есть магнитный момент элемента объема dx,
называемый вектором намагничения. Используя теорему
Грина, равенство B6) можно записать в виде
Отсюда видно, что потенциал можно считать порожден-
порожденным магнитной материей с объемной плотностью q и. по-
поверхностной плотностью \i, где

344
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[гл. XIX
Вектор напряженности магнитного поля определяет-
определяется формулой
дхг
B9)
Из B9) и B7) следует, что
?тп ft mn Q _ _ ДО _ _ атп Т
б " тп,п б "'т.п.— """— б ¦'т.и'
ИЛИ
Следовательно, определив вектор Вт уравнением
мы получим
C0)
C1)
Вектор Вт называется вектором магнитной индукции,
а уравнепие C1) показывает, что дивергенция вектора
магнитной индукции равна нулю.
Некоторая часть магнетизма в нашем поле может
оставаться постоянной; будем обозначать плотность маг-
магнитного момента постоянного магнетизма через /{!.
Остальная часть магнетизма индуцируется магнитным
полем, а поэтому зависит от вектора напряженности
магнитного поля НТ. Эту зависимость мы будем предпо-
предполагать линейной. Поэтому общая интенсивность намагни-
намагничения будет
Тензор К называется тензором магнитной восприимчи-
восприимчивости. Воспользовавшись этим выражением, мы можем
написать
Я, = /?
C2)

i 6] УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 345
Тензор |а? называется тензором магнитной проницае-
проницаемости.
Уравнения B9) —C2) являются основными уравнения-
уравнениями магнитного поля. Если постоянный магнетизм отсут-
отсутствует, то, разумеется, /? = 0.
Упражнения
1. Показать, что
где \in = gmt\im—ассоциированный тензор магнитной проницае-
проницаемости.
2. Вывести из задачи 1, что потенциальная функция Q удов-
удовлетворяет уравнепию
3. Показать, что если срода однородна, то
Kt =°-
а потенциальная функция удовлетворяет уравнению
4. Показать, что если среда изотропна, то
5. Показать, что если среда однородна и изотропна, то Q
удовлетворяет уравнению
где (г—постоянная.
§ 6. Уравнения электромагнитного поля
Электрический ток в проводнике изображается векто-
вектором Г', который мы назовем вектором тока. Этот вектор
таков, что изменение потока электричества через элемент
поверхности da, перпендикулярный к единичному векто-
вектору 7J, измеряется величиной irlkr da.
Закон Ома утверждает, что вектор тока является
линейной функцией вектора напряженности электриче-
электрического поля ЕТ. Таким образом,
*г = хГ1#„ C3)

346 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ [гл. XIX
где составляющие х™ являются функциями только от
координат. Мы видим, что xrs есть тензор второго по-
порядка; назовем его тензором проводимости. Если сре-
среда однородная, мы увидим, как и раньше, что
х:?,, = О,
а если среда изотропная, то
Электрический ток в проводнике иногда называют током
проводимости в отличие от других видов электрического
тока, с которыми мы встретимся ниже.
Предположим, у нас имеется покоящаяся среда,
которая может состоять из диэлектриков и проводников
и в которой электрические заряды могут перемещаться.
Мы хотим найти уравнения электромагнитного поля при
этих условиях. '
Электромагнитное поле определяется следующими
векторами:
а) вектором напряженности электрического поля Ег;
б) вектором смещения Dr. С этими двумя векторами
связан вектор поляризации Pr=Dr — Er;
в) вектором магнитной индукции Вг, который удов-
удовлетворяет уравнению gmnBmtn = 0;
г) вектором наведенного магнетизма среды /г. Этот
вектор вместе с Вг определяет новый вектор НТ=ВГ — 1Т,
который называется вектором напряженности магнитного
поля;
д) вектором полного тока С. Вектор полного тока
включает в себя три различных вида векторов тока:
1) вектор тока проводимости, связанный с Ег законом
Ома. Вектор тока проводимости есть пп Es, где хгз —
тензор проводимости среды;
2) вектор тока смещения, который определяется фор-
формулой
дРг .
dt •
3) вектор тока конвекции, который возникает благо-
благодаря движению электрических зарядов в среде. Напри-
Например, если электрический заряд с объемной плотностью q

I 61 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 347
имеет скорость иг, то вектор тока конвекции равен
QVr.
Первым основным законом электромагнитного поля
является закон Фарадея, который утверждает, что
электродвижущая сила, индуцированная в контуре, про-
пропорциональна уменьшению потока магнитной индукции
через поверхность, ограниченную контуром. Электродви-
Электродвижущая сила в контуре L измеряется криволинейным
интегралом
L
Поэтому закон Фарадея записывается в виде
где S — какая-нибудь поверхность, проходящая через
контур L. Применяя теорему Стокса к криволинейному
интегралу, имеем
S
Это уравнение справедливо для любой поверхности S,
поэтому
C5)
т. е. скорость изменения Вг равна произведению вихря
вектора Ет на с, взятому со знаком минус. Это —первое
векторное уравнение электромагнитного поля.
Вторым основным законом является закон Ампера.
утверждающий, что интеграл от вектора напряженности
магнитного поля, взятый по замкнутому контуру, про-
пропорционален потоку вектора тока через поверхность,
ограниченную контуром. В наших обозначениях это
имеет вид

348 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ [гл. XIX
Применяя, как и выше, теорему Стокса, получаем
C7)
т. е. вектор тока равен произведению с на вихрь векто-
вектора Нг. Это —второе векторное уравнение поля.
К двум векторным уравнениям C5) и C7) мы должны
добавить два скалярных уравнения
smnD =o
„mn d л
C8)
которые, как мы уже видели, справедливы в статиче-
статических полях (стр. 340—343). Уравнения C5), C7) и C8) со-
составляют систему уравнений электромагнитного поля.
Векторы DT, Ет и Вг, Нт связаны, разумеется, фор-
формулами
D = p.» F. 1
C9)
Упражнения
1. Показать, что
¦Л,г,
dt '
ОД 5еГ
[Так как среда покоится, то —— = —1 = 0 1
at dt
2. Показать, что
3. Показать, что если среда однородна и изотропна, то урав-
уравнения электромагнитного поля принимают вид
'"'*... Чтг.
Щ-+ в"'}

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIX 349
4. Показать, что в электромагнитном поле
С
5. Показать, что уравнепия электромагнитного поля могут
ь записаны в виде
. П, т
быть записаны в виде
Е -!е
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIX
1. С помощью теоремы Стокса показать, что если Fr—век-
Fr—векторное поле, удовлетворяющее условию rot/'r=0, то существует
такая скалярная функция ц>, что
f -
т~ дхг "
2. С помощью теоремы Грина показать, что если интеграл
Frvrdo, взятый по поверхности S, ограниченной контуром С.
V
зависит только от С, то F'r=0, т. е. дивергенция FT равна нулю.
3. Доказать, что если дивергенция Fr всюду равна нулю, то
мы можем найти такой вектор Аг, что Fr= rot Ar, и показать,
что Fr является также вихрем вектора ( Ar-\——f ) , где ф—про-
V ах у
извольная скалярная функция координат.
4. Показать, что энергия электростатического поля равна
v s
5. Вывести из упражнения 4, что W может быть выражено
следующим образом:
где интегрирование ведется по всему пространству.

35№ ЙЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 1гл. XIX
6. Показать, что энергия электрического поля в диэлектрике
равна
= ~2 \ \ \ EmDmdx по теореме Грина. 1
7. Показать, что в анизотропном диэлектрике существуют
три семейства таких силовых линий, что в каждой точке их
цаправлеыие совпадает с направлением соответствующей линив
смещения. Мы можем назвать их главными линиями, а направле-
направления касательных к ним — главными направлениями диэлектрика.
[Линии смещения определяются тем, что для них dxT = QDr.
Главное направление Хг диэлектрика определяется тем, что
для него (еГ8—0grs)^s=O, где 0 — корень характеристического
уравнения | ers— Qgn | = 0.]
8. Показать, что в магнитном ноле можно выбрать вектор Fr
так, что Br=—zrstFSlt- т. е. ВТ явлнется вихрем вектора Fr.
Вектор Fr называется векторным потенциалом.
9. Показать, что в каждой точке любой среды имеются три
таких ортогональных направления, что если магнитная силовая
линия в этой точке касается одного из них, то векторы ВТ и I,
имеют то же самое направление.
[Эти направления V удовлетворяют уравнениям (u.J — 96?) X' = О,
где в—корень уравнепия I ц?—вб,| = О.]
10. Показать, что в любой точке поверхности 2, находящейся
в магнитном поле,
где vj и vj—единичные векторы нормалей к обеим сторонам 2.
11. Показать, что для магнитного поля
где интеграл берется по всему пространству, и вывести, что

УПРАЖНЕНИЯ К ГЯаЬё XI* 351
12. Показать, что энергия магнитного поля равна
где интеграл распространен на все пространство, и что для одно-
однородной изотропной среды эта формула превращается в следующую:
13. Энергия электромагнитного поля равна сумме энергий
электрического и магнитного полей. Показать, что плотность
энергии ш электромагнитного поля выражается формулой
14. Показать, что если S — любая фиксированная поверхность,
ограничивающая объем V, то
Wt \ \ \ wdx==
Вектор Sr=czntHsEt называется вектором потока анергии, (век-
(вектором Пойнтинга).
15. Показать, что дивергенция С равна нулю, т. е. С^Г=О.
16. Доказать, что в однородной изотропной непроводящей
среде без конвекционных токов
ец дгЕТ
Если нет точечных электрических зарядов, то уравнение превра-
превращается в
1* diEr
[Здесь нГ8=0, г/=О, erS = egrs и \i,ra = \»,g,,.]
17. Доказать, что инвариантная функция <р=?гЯ\ где?г—век-
где?г—вектор напряженности электрического поля в однородном изотроп-
вом диэлектрике, а %т—постоянное параллельное векторное поле,
удовлетворяет уравнепию
[Использовать равенство krs=0 и второе утверждение задачи 16.]
18. В электронной теории считают, что электровы находятся
н вакууме. Показать, что в этой теории электромагнитными

352 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ [гл. XIX
уравнениями являются
я:,г=о, E:r=Q,
причем вне электрона g=0.
[Здесь егз=|Гг8 = (Аг8. нГ8 = 0.]
19. Уравнениями электромагнитного поля для однородной
изотропной проводящей среды, находящейся в состоянии покоя,
являются
Показать, что
OQ К
ot 8
Доказать, что при q=0
Г 1 / дЕг г\
Имеем -М н?'|Г+е-^- W — еГ8(Я,,(г=0, так как тон-
зор Я8,(Г симметричен относительно t и г. После подстановки
?!",.=— получаем первый результат. Второе утверждение еле-
и. дТГ „.„ 1
дует из уравнения -1—«— = era'?j,f. I
20. Доказать, что в одпородной изотропной покоящейся среде
[Доказательство аналогично предыдущему.]

ГЛАВА XX
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 1. Бесконечно малые деформации
Рассмотрим сплошную среду, в которой задана кри-
криволинейная система координат хт. Если, каждую точку
среды слегка сместить, так чтобы она
заняла соседнее положение, то гово-
говорят, что среда имеет бесконечно малое
смещение или бесконечно малую дефор-
деформацию; мы рассмотрим геометрические
свойства таких смещений.
Пусть Ро — точка среды в начальном
состоянии (рис. 41), а Р —ее новое
положение в смещенном состоянии. 00\
Так как смещение бесконечно мало, ^
то и расстояниеР0Р бесконечно мало.
Обозначим малый вектор Р0Р через ?j
и будем называть его вектором сме-
смещения в точке Ро. Смещение среды
будет задано, если в каждой ее точке определен беско-
бесконечно малый вектор смещения.
Если хТ и х\ — координаты точек Р и Ро соответственно,
то жг — zj — составляющие вектора смещения,
хТ — хТ=Ъ.Т(хх хъ х3\ (i\
0 в \ О' О' О/' V /
причем ?г — бесконечно малая первого пбрядка. Выясним,
как смещается окрестность точки Ро. Пусть Qo — точка,
близкая к Ро, a Q — ее положение после смещения. Если
обозначить вектор P0Q0 через т]?, а вектор PQ, получа-
получающийся из PoQo B результате смещения, через цг, то
координатами точек Q и Qo будут хт + if и

354 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 1гл. XX
соответственно. Отрезок Q0Q является вектором смещения
%т в точке Qo, и следовательно,
где мы пренебрегаем членами высших порядков относи-
относительно rg. Используя A), имеем
Для того чтобы сравнить г\г с rf0, возьмем вектор т]г
и перенесем его параллельно в точку Р; получим век-
вектор г^г (рис. 41). Если система координат декартова,
то rf и г\'ог будут равны между собой и мы получим
Для того чтобы найти соответствующее соотношение
в общих криволинейных координатах, мы должны просто
ввести ковариантную производную ?^,:
Мы получим
л;г-г1„г=(^8)^- C)
Это уравнение является тензорным, справедливым в лю-
любой системе декартовых координат. Поэтому оно спра-
справедливо во всех вообще системах координат. Вектор
6r]jj = т\'вг — r\i является мерой растяжения вектора х\г0.
Так как впоследствии мы будем иметь дело с векто-
векторами смещения только в точке Ро, можно отбросить
индекс 0 и написать C) просто
Ассоциированный тензор ?г,, = gr(?f 8, вообще говоря,
не симметричен.
Положим

SI] . БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 355
Тогда
или, поднимая индекс г,
Поэтому D) можно записать в виде
F)
Если пренебречь величинами более высокого порядка,
чем ?г, то при последовательном выполнении в любом
порядке двух смещений
6rf = <«:srf G)
и
вт]г = ш:8т)в (8)
они приводят к одному и тому же результату F). Мы
назовем Чистой деформацией смещение типа G), где
еГ8 — симметричный тензор, а в дальнейшем из задач мы
увидим, что (8) является малым поворотом окрестности
точки Ро вокруг Ро. Таким образом, каждое бесконечно
малое смещение среды состоит из:
а) чистой деформации;
б) поворота окрестности точки Ро вокруг Ро;
в) параллельного переноса окрестности Ро в точку Р.
Последние два типа смещений представляют собой
движение окрестности точки Ро как единого целого.
Итак, деформация среды в ркрестности Ро, исключая
перемещение этой окрестности как твердого тела, опре-
определяется тензором еГ8, который называется тензором
деформации.
Упражнения
1. Покаватъ, что относительное объемное расширение (сжатие)
определяется скаляром ?гг.
Возьмем три бесконечно малых вектора Т)^, Г)B), Т|'3)
в точке Ро в обозначим их после смещения штрихованными
буквами. Если AF—объем тетраэдра, ребрами которого являются
три взятых вектора в точке Ро, и если AF'—его объем после
23»

.156 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД . (гл. XX
AV — AV
——
в точке Ро. Имеем
AV AV
смещения, то ——- называется относительным расширением
еA1ALB)^3) АГ="-
Таким образом, удерживая лишь члены наинизшего порядка
малости, получим
-g 8Г8( (т1Ь)'П(г)*Т1<'
~ er8, (TiriL?»)Sf,P4<P8)
Следовательно, относительное расширение равно
AV 6V
Таким образом, относительное расширение (сжатие) равно дивер-
дивергенции вектора смещения.
2. Поковать, что относительное расширение равно %тпетп.
3. Показать, что если т]—длина вектора т]г, а 6г|—изменение
длины после смещения, то TNi) = ersi)ri)8. Вывести отсюда, что
если V—единичный вектор направления т)г, то
Скаляр е называется удлинением вектора i\T.
4. Возьмем элементарную Поверхность второго порядка
где к бесконечно мало. Показать, что удлинение вектора т)г равно
—f . Эта поверхность второго порядка иногда называется эллипсои-
эллипсоидом деформации.
5. Главные оси эллипсоида деформации называются главными
осями деформации. Показать, что главные оси деформации опреде-
определяются уравнениями -
где е—корень уравнения | erS — egrs (=0.
6. Беря подходящие декартовы координаты в точке Ро, пока-
показать, что смещение (8) является бесконечно малым поворотом
вокруг оси V на угол 6в, определяемый равенством
|.Иибрать *декартову систему ~хТ, в которой Я.1 = Я.3=0, %,*=!.]

1 Z)
НАПРЯЖЕНИЯ
357
Yde
Рис. 42.
§ 2. Напряжения
Теперь рассмотрим силы, действующие на малый
элемент сплошной среды.
Во-первых, могут существовать внешние массовые силы,
которые действуют на каждую частицу среды; если
обозначить через Fr силу, действующую
на единицу массы, то сила, действующая
на элемент объема dx, будет Frq dx, где
Q —плотность среды. Кроме массовых сил
могут существовать внешние поверхност-
поверхностные силы, действующие на внешнюю по-
поверхность среды, так что на элемент по-
поверхности da действует сила Тт da (рис. 42).
Внутренние силы в среде рассматри-
рассматриваются следующим образом. Пусть имеется
элемент поверхности da внутри среды.
Действие материи, находящейся по одну
сторону от элемента da, на материю, находящуюся
по другую сторону его, представляется вектором силы
Tr da. Назовем одну сторону поверхности положительной
стороной, а другую — отрицательной и будем считать
вектор нормали и поверхности направленным в положи-
положительную сторону. Мы будем также полагать, что Тт do
есть действие вещества, расположенного с положитель-
положительной стороны поверхности, на вещество, находящееся
с отрицательной стороны. Тогда, разумеется, действие
вещества, расположенного с отрицательной стороны,
на вещество, расположенное с положительной стороны,
будет равно —Ттda, по принципу равенства действия
и противодействия. Здесь вектор силы Т'da зависит
не только от da, но также и от ориентации da, т. е.
от vr. Беря декартову систему координат и рассматри-
рассматривая равновесие бесконечно малого тетраэдра, легко пока-
показать, что 7"" —линейная однородная функция от vr,
вследствие чего мы имеем
(9)

358
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Ггл. XX
где Егв симметричен по г и s и зависит только от коор-
координат точки. Мы видим, что Ers — контравариантный
тензор второго порядка. Внутренние силы среды назы-
называются напряжениями; поэтому мы назовем Ers тензором
напряжений.
Найдем теперь уравнения движения любой частицы
среды. Пусть внутри среды некоторый объем V ограни-
ограничен поверхностью S (рис. 43). Урав-
Уравнениями движения этой части веще-
ства являются
/ ав
И Sе {рг ~~
гк da
где f — вектор ускорения, а Яг — про-
произвольное постоянное параллельное
векторное поле. Если vr — единич-
единичный вектор нормали к S, направленный во внешнюю
сторону, то согласно (9) получаем
V S
Пользуясь теоремой Грина, мы найдем, что
с с с с с с с с
\ \ ErsKr\3 da= \\\ (ET$Xr) s d%= \ \ \ Ета X. dx,
J J J .1 J ' J i) J "''
s \' v
так как Я,Г| 8 = 0. Следовательно, будет
причем это уравнение справедливо для любого объема V
и любого параллельного векторного поля %т. Следова-
Следовательно, в каждой точке среды справедливы уравнения
A0)
которые и являются уравнениями движения среды.

§ 8] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 359
Упражнения
1. Возьмем поверхность второго порядка Егецгг\я = к. Показать,
что напряжение на элементе da действует в направлении перпен-
перпендикуляра к плоскости, сопряженной с нормалью элемента da
относительно взятой поверхности второго порядка. Эту последнюю
иногда называют эллипсоидом напряжений.
2. Показать, что нормальное напряжение на элементе da равно
к
—j-, где Т]—длина радиуса-вектора эллипсоида напряжении
в направлении нормали к da.
3. Главные оси эллипсоида напряжения называются главными
осями напряжений. Показать, что эти главные оси определяются
уравнением
где Е— корень уравнения \Ers — Egrs\ = Q.
4. Показать, что напряжение па элементе поверхности, перпен-
дикулярпом к одпой из главных осей напряжения, направлено
по. нормали к элементу поверхности. Такио напряжения называ-
называются главными.
§ 3. Уравнения движения идеальной жидкости
В случае идеальной жидкости напряжение на эле-
элементе da всегда нормально к da и, следовательно,
Ers=-pgrs, A1)
где р —скаляр, называемый давлением жидкости. Заме-
Заметим, что величина давления на элемент поверхности
в данной точке не зависит от ориентации элемента.
Уравнения A0) могут быть записаны в коиариантной
форме
Но
t — Ь . t
Следовательно, уравнения движения жидкости будут
ljL-fr). A2)

360
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
1гл. XX
Обозначим черев vr вектор скорости любой точки среды;
этот'вектор является функцией как времени, так и коор-
координат точки:
Поэтому
wr = wr(a;1, х3, ха, t).
или, опуская индекс г,
Уравнения движения принимают вид
1 др
Q дхт
A3)
A4)
A5)
A6)
Масса жидкости, содержащейся в фиксированном объеме
V, равна
и следовательно, скорость изменения массы в этом
объеме равна
дМ
Но, с другой стороны, эта же самая скорость опреде-
определяется формулой
~=-[\ Qv\de=-
где мы воспользовались теоремой Грина. Сравнивая
дМ
эти два выражения для -*— , получаем
Это уравнение справедливо для любого объема V в жидко-
жидкости, и следовательно,
Ж
A7)

IB] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЕ ЖИДКОСТИ 361
Соотношение A7) называется уравнением неразрывности.
Кроме того, существует характеристическое уравнение
жидкости
а)=о, A8)
которое определяет связь между давлением и плотностью.
Вектор Qr, определяемый соотношением
2Q'=-e",,n. A9)
назовем вихрем, а кривые, определяемые уравнениями
dxr _ Qr
ds "" Q '
где Q — модуль вектора Qr, будем называть вихревыми
линиями.
Упражнения
1. Показать, что
Qr,r=0-
2. Показать, что уравнения движения идеальной жидкости
могут быть записаны в форме
1 dp dvr 1
~J~d*r~ r—W^i "
где
3. Жидкость называется несжимаемоИ, если плотность в данной
точке жидкости неизменна. Показать, что для несжимаемой
жидкости
dt ^ дхг •'
и получить отсюда, что уравнение неразрывности принимает вид
vT .=0.
» г
4. Показать, что -если однородная жидкость подвергается
действию системы сил с потенциальной функцией V, то уравнения
движения можно привести к виду
[Для однородной жидкости q = const.]
5. Движение называется безвихревым, если Qr=0. Показать,
что необходимым и достаточным условием этого является сущест-

362 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [гп. XX
вование такой функции <р, что уг=—~у-; показать, что урав-
уравнения движения в этом случае могут быть записаны в виде
где с (<)— произвольная функция от t. Функция ф называется по- ¦
тенциалом скоростей.
§ 4. Уравнения теории упругости
Мы видели, что уравнениями движения упругого
тела являются
где Ers — тензор напряжения, а /г —вектор ускорения.
При малом смещении точка, имевшая сначала коорди-
координаты хг, займет положение хТ-\-\г. Мы будем рассмат-
рассматривать только малые, перемещения упругой среды.
Поэтому ускорение /г с соответствующей степенью
приближения определяется формулой
и уравнения движения принимают вид
B0)
Напряжение в упругой среде зависит от ее дефор-
деформации и равно нулю, когда деформация отсутствует.
Иначе говоря, тензор напряжения зависит от тензора
деформации. Более того, закон Гуна утверждает, что
напряжение есть линейная функция деформации. Поэтому
мы можем положить
Етз = с™е
B1)
где с7? зависят только от координат и образуют сме-
смешанный тензор четвертого порядка, называемый тензо-

§ 4J УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 363
ром модулей упругости *). Ясно также, что без ограни-
ограничения общности зтот тензор может быть выбран сим-
симметричным как по нижним, так и по верхним индексам,
т. е.
-тп .nm «rnn «ntn
<-rs — Ч1 — L sr — <- 8 г •
Заменив ETS в уравнениях движения его выраже-
выражением B1), получаем
или
ostrmnt> -A- astrmn,p 4-nF —
до
Если тело однородное, то одинаковая деформация
в различных точках вызывает одинаковое напряжение.
Это равносильно тому, что тензор напряжения образует
постоянное параллельное тензорное поле, если его обра-
образует тензор деформации, т. е. Ers<t=0, если егМ = 0.
Поэтому для того, чтобы среда была упругооднородной,
необходимо и достаточно выполнение условий
с?Ь = 0. B3)
Уравнения движения такой среды принимают вид
Если среда изотропна, то напряжение и деформация
связаны соотношениями
^г8 = ^г8 + 2|ГеГ8, B4)
где Яиц, — так называемые модули упругости, а 0 —
объемное расширение
Q = i:,r=gmnemn. B5)
Постоянные А, и \i являются скалярами, и из B4) и B5)
мы видим, что для изотропной среды модули связаны
*) См. Ландау Л. Д. и Лившиц Е. М., Механика сплош-
сплошных сред, 1954, стр.678; Гол ьдсп блат И. И., Некоторые во-
вопросы механики деформируемых сред, 1955, стр. 136. (Прим. ред.)

364 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [гл. XX
формулой
B6)
В случав однородной изотропной среды можно запи-
записать уравнения движения при помощи вектора смещения.
Мы имеем
Кроме того,
?* er$,t — у 8* (?nst + ?s,rt) = у & Ur.st + ls.tr) —
- 2 б Sr,8t-t- 2 5a;r •
Поэтому уравнения движения будут иметь вид
B7)
dt* •
Упражнения
I. Показать, что в изотропной среде
2. Энергия. Показать, что работа, совершаемая при бесконечно
малом изменении деформации, определяемом вариацией бетп, выра-
выражается формулой
=\ \ S
где интеграл должен быть взят по всему упругому телу. Вывести
отсюда, что энергия, запасенная при деформации, равна
3. Показать, что в случае изотропного тела энергия деформа-
деформации W равна
w==i И S{X (-emne^2+2^gmrsmemne^dx-
§ 5. Движение вязкой жидкости
Мы видели (стр. 359), что уравнения движения любой
деформируемой среды имеют вид
где вектор ускорения /г выражается через скорость vT

»] ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЕ ЖИДКОСТИ 365
следующим образом:
Мы видели, что если среда является идеальной
жидкостью, то
ETt=-pgTt,
где р — давление, равное — -^ gmnEmn. Если среда не яв-
является идеальной жидкостью, то положим
. ETi + pgri = E'Ta B8)
и будем называть E'rt вязким тензором напряжений *).
Таким образом, уравнения движения будут
B9)
Смещение жидкости за время dt определяется векто-
вектором смещения
V = vrdt.
Следовательно, составляющие тензора деформации будут
Назовем ~ тензором скорости деформации и обозначим
его через е^, так что
у )- C0)
Как и прежде, будем полагать
2Q'--e"»»»m,w. C1)
Мы допускаем, что вязкий тензор напряжений Е'„
является линейной функцией тензора скоростей
*) См. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика
сплошных сред, Физматгиз, М., 1954, стр. 65 и 66. (Прим. ред.)

366 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД [гл. XX
деформации и, таким образом,
C2)
Смешанный тензор четвертого порядка у™? может быть
назван тензором вязкости *). Этот тензор симметричен
как по нижним, так и по верхним индексам. Следо-
Следовательно,
firs— У г а и„ип
и уравнения движения будут
% r = Qfr. C3)
Если жидкость однородная, имеем дополнительно
В случае изотропной жидкости имеем соотношение
и уравнения C3) для однородной изотропной жидкости
имеют вид
^ ^ -/,). C5)
Здесь
в' = и; Т C6)
и уравнение неразрывности имеет вид
Упражнения
1. Показать, что gmnE'mn=Q, и вывести отсюда, что gmny$n%i = Q-
[Зр=—gmnEmn, затем использовать B8).]
2. Вывести из задачи 1, что если жидкость изотропна, то
4»-.
*) См. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика
сплошных вред, Физматгиз, М., 1954, стр. 780—781. (Прим. ред.)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XX 367
3. Доказать, что уравнениями движения изотропной жидкости
являются
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XX
1. Показать, что при чистой деформации приращение bif
является бесконечно малым вектором, ортогональным к плоскости,
сопряженной с г\г отпосителыю эллипса деформаций.
2. Показать, что условием того, что смещение среды является
чистой деформацией, есть существование такой функции ср, что
|г =—^у-; она называется потенциалом деформации.
3. Показать, что если среда однородна и несжимаема, то
gmnemn=0. Если, кроме того, смещение среды есть чистая дефор-
деформация, то потенциал деформации <р удовлетворяет уравнению Лап-
Лапласа Дср=О.
4. Показать, что тензор деформации ers удовлетворяет следую-
следующим тождествам:
[Использовать равенство еп< (— er;, s = ws(> r; дифференцируя
затем ковариантно по хи, принять во внимание, что «8(, то сим-
симметричен по г и и.]
5. Интеграл \ vT —=—du, взятый по замкнутому контуру, назы-
С
вается циркуляцией по этому контуру. Доказать, что при движе-
движении идеальной жидкости
-;— \ vr -j— du= \ Frdxr — \ — -J- du,
Dt J r du J ^ i Q du
С С С
где -j—- означает дифференцирование в направлении движения
Dt
жидкости.
dxr
du
Г Dxr DC
I = vr и, следовательно, -=-? \ vr
dxr , hvr\ , С , <ter
с
6. Показать, что в идеальной жидкости
r=l \ {
с s
где S — поверхность, ограниченная контуром С.

368 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД (гл. XX
7. Доказать, что если силы, действующие на идеальпую
жидкость, потенциальны, a g является функцией от р, то
_ermn (empqvPO?i)ln+Qrt,v'= —v*fiT+OFvrtt. Теперь использо-
использовать уравнение неразрывности, а именно-у^+р/^ггО.
8. Обозначим черев 21Т вихрь вектора /г, т. е. 2F= — emn/m>n.
Доказать, что если поверхность iS" движется вместе с жидкостью, то
DC С
[Имеем -gr- х vr dxr = \ /r dxT. Преобразовать каждый криво-
криволинейный интеграл в интеграл по поверхности при помощи тео-
теоремы Стокса.]
9. Доказать, что если система сил потенциальна и g является
функцией от р, то Г=0.
10. Показать, что если вектор смещения |г деформированпой
упругой среды определен потенциалом деформации <р, то уравне-
уравнения движения принимают вид
где 0 = Дф—относительное объемное расширение.
11. Показать, что если в упражнении 10 ни тело не действуют
массовые силы и тело находится в равновесии, то Дср = А, где
к—постоянная.
12. Виды деформаций. Вывести следующие выражения для
тензора деформации:
а) всестороннее сжатие, era=egrs,
б) простое растяжение, erl—eXjks, где Хг—единичный вектор
в данном направлении;
в) чистый сдвиг ers = e (XrX's-\-\'r'Ka), где Л,г, Х'г—единичные
векторы заданных направлении.
13. Показать, что если деформация связана с напряжением
посредством уравнений

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XX
то с™ J и С? * связаны формулой
14. Подвергнем упругое тело всестороннему давлению Е.
Показать, что отпошение Е к объемному сжатию равно
Это отношение называется коэффициентом всестороннего сжатия.
[Указание: Ers=Egn.]
15. Пусть упругое тело подвергнуто напряжению Е (кгХ'3-\-К1'$),
причем лг и \'г—ортогональные единичные векторы. Отпошение Е
к 2erSkr\'s называется жесткостью', соответствующей двум данным
направлениям 7J и %.'Т. Показать, что жесткость равна
1
16. Если упругое тело подвергнуто напряжению EkrXs, то
скаляр ers\rks называется модулем Юнга, соответствующим направ-
направлению V. Показать, что модуль Юнга равен
1
Показать также, что отношение сжатия в любом направле-
направлении %'Т, перпендикулярном к 7J, к удлинению ersW равно
Оно называется коэффициентом Пуассола для направлений Х.г и А,/Г.
17. Показать, что если имеется изотропное упругое тело, на
которое не действуют массовые силы, то в положении равновесия
тела тензоры напряжения и деформации связаны следующими
соотношениями:
а) Д6 = О; б) A(gmnEmn) = 0;
в) (ЗЯ+2и) втпЕгв,тп+2(к+11)ётпЕтп,гз=0;
г) (Х+Ю e>rs+ligmners,mn=O;
д) (Х+2ц)в11.+2|1в«'©г1,, = О;
18. Показать, что тепзор напряжепий вязкой жидкости есть
19. Показать, что если вязкая жидкость движется медленно,
то уравнения движения с достаточной степенью точности могут

3?0 МЕХАЙИКа СЙЛОЙЙЫХ СРЕД (гл. XX
быть записаны в виде
0Vy г, dp .» . dv' mn
Если, кроме того, жидкость несжимаема, то 9' = 0.
20. Показать, что при медленном установившемся движении
однородной вязкой жидкости будет
Вывести отсюда, что
bp = gmnP,mn = QF.tf,
т. е. дивергенция вектора ( -^у— QFT j равна нулю.
[Принять во внимание, что Q' = gnvTil=t0] и как следствие

ГЛАВА XXI
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ*)
§ 1. Четырехмерное многообразие
Теперь мы рассмотрим приложения тензорных методов
к теории относительности. Мы ограничимся специальной
теорией относительности, так как все работы по общей
теории относительности написаны уже в тензорной форме.
Читатель увидит, что уравнения, которые мы получим,
во многих случаях легко могут быть обобщены так, чтобы
удовлетворять требованиям общей теории относительности.
Предположим, что места, в которых происходит некото-
некоторое событие, определяются относительно прямоугольной
декартовой системы координат (х, у, z), т. е. положение
любого события определяется тремя числами, называе-
называемыми пространственными координатами. Кроме того,
наблюдатель, пользующийся этой системой координат,
при помощи часов измеряет моменты времени, в которые
события занимают наблюдаемое положение. Очевидно,
что событие полностью представлено четырьмя величи-
величинами х, у, z, t. До сих пор мы представляли себе собы-
событие геометрически, отметив точку (х, у, z) в пространстве
и присоединяя к пей как скаляр момент времени, в кото-
который событие произошло. Однако мы можем воспользо-
воспользоваться и другим геометрическим представлением. Мы
можем взять четырехмерное многообразие, или четырех-
четырехмерное пространство, т. е. пространство, в котором тре-
требуются четыре числа или координаты для того, чтобы
отметить положение точки; мы примем за эти четыре
*) Ср. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Теория поля,
Физматгиз, М., 1960. (Прим. ред.)

372 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
координаты х, у, z и t. В таком четырехмерном простран-
пространстве каждое событие представляется точкой и, обратно,
каждая точка представляет событие. Такая точка назы-
называется мировой точкой. Мы увидим, что такое представ-
представление событий очень существенно для развития идей,
излагаемых в этой главе. Введенное с этой целью четырех-
четырехмерное многообразие пространства и времени мы иногда
для краткости будем называть пространство —время.
§ 2. Обобщенные координаты в пространстве—времени
Если нам даны четыре переменных ж1, х2, х3, х*,
которые являются известными функциями пространствен-
пространственных координат х, у, z и времени t, мы будем иметь
четыре соотношения вида
¦¦Р(х, y, z, t),
f(x, y, z, t),
¦ f(x, y, z, t),
:/4(я, у, z, t).
A)
Мы предположим, что эти соотношения обратимы, т. е.
переменные х, у, z, t могут быть выражены единственным
образом через х1, х2, х3, х*. Как результат этих соот-
соотношений видно, что любое событие может быть одно-
однозначно представлено при помощи четырех переменных х1,
х2, х3, х*. Эти переменные, которые мы назовем коор-
координатами, являются прямым обобщением криволинейных
координат в обыкновенном пространстве на многообра-
многообразие четырех измерений. Чтобы отличить эти переменные,
мы применим греческие индексы и условимся для них
о следующем:
греческий индекс, будучи свободным, пробегает значения
от 1 до 4; греческий индекс, повторенный дважды, обо-
обозначает суммирование от 1 до 4. Следовательно, A) можно
записать кратко в виде
xa = ja(x, у, z, t).
С другой стороны, мы по-прежнему будем считать, что
латинские индексы пробегают значения от 1 до 3.

§2] ОБОБЩЕН. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 373
Любой другой наблюдатель может представить то же
самое событие при номощи четырех других переменных жа,
которые должны быть однозначно связаны с ха, так как
и та, и другая система переменных представляет одно
и то же событие. Поэтому мы должны иметь соотношения
ха=ха(х1, х2, х3, я4) B)
вместе с их обращением
ха = ха(х1, х2, х3, х*). C)
Другими словами, переход от одной системы координат
к другой определяется функциональным преобразованием.
Как и в случае преобразования трех нерсмепных, мы
можем определить тензоры относительно преобразования
четырех переменных. Так, объект А%у есть тензор
третьего порядка, коптравариантный относительно а
и ковариантыый относительно $ и у, если в новой системе
координат его составляющие А^у определяются следую-
следующим образом:
Та лО дха дха дхх ,,.
AA D)
Мы можем назвать эти тензоры§ четырехмерными или
^-тензорами для того, чтобы отличить их от обыкновен-
обыкновенных трехмерных тензоров.
Пусть (х, у, z, t) будут пространственные координаты и время,
применяемые наблюдателем S, и пусть другой наблюдатель S поль-
пользуется переменными (х, у, z, i), причем наблюдатель в обоих слу-
случаях помещается в начале координат. Это—частные случаи обоб-
обобщенных координат в пространстве—времени, и мы имеем
х = х(х, у, z, t), y=y(x, у, z, t),
2=2 (*, У, 2, t), 1=1 (X, у, Z, t),
а также обратпые соотношения
х = х (х, у, z, 1) и т. д.,
которые связывают нространственпые коордипаты и время, исполь-
используемые двумя различными наблюдателями. Отсюда легко_вывести
движение наблюдателя S относительно S. Положенно S в про-
пространстве в любой момент времени в его собственных координатах

374 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
есть ж=0, 2/=0, z=0, и поэтому в координатах наблюдателя S
иы ииееи
х=х@, 0, 0, 7) и т. д.
Исключив отсюда 7, получим х, у, г как функции t, определяющие
движепие наблюдателя S в координатах наблюдателя S. Кроме
того, координатная поверхность ж=0 наблюдателя S в координатах
наблюдателя S имеет уравнение
*(*, у, z, t) = 0,
которое определяет движепие этой поверхности относительно
наблюдателя S. Подобные же результаты нетрудно получить для
остальных координатных поверхностей наблюдателя S.
Упражнения
1. Показать, что обычное движение частицы в обычном про-
пространстве— представляется линией четырехмерного пространства-
врёмепи. Опа называется мировой линией частицы.
2. Показать, что обычное движение поверхности изображается
в пространстве — времени трехмерной гиперповерхностью. Эта
трехмерная гиперповерхность может быть названа историей дви-
движущейся поверхности*).
3. Показать, что если пространственные координаты (х, у, z)
наблюдателя S ортогональны и декартовы, а координаты другого
наблюдателя S связаны с ними при помощи формул
х=Цх—ut), y==m(y—vt), г=и(г—a>t),
где I, и, а и т. д.—все постоянны, то наблюдатель S движется
с постоянной скоростью относительно S и его пространственно-
координатные плоскости, с точки зрения наблюдателя S, движутся
параллельно самим себе с постоянной скоростью.
§ 3. Принцип относительности.
Интервал и фундаментальная квадратичная форма
Сейчас мы введем гипотезы (или законы) специальной
теории относительности. Для наших целей их лучше
всего сформулировать в виде так называемого принципа
относительности:
*) Этот термин в советской литературе пе применяется. (Прим.
ред.)

I 3] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 375
Уравнения, описывающие все физические явления в не-
некоторой определенной системе координат, сохраняют свою
форму после преобразования их к другой системе коор-
координат, которая движется относительно первой посту-
поступательно со скоростью, постоянной по величине и направ-
направлению.
Таким образом, в специальной теории относительности
существует специальный класс привилегированных наблю-
наблюдателей или координатных систем, относительные скоро-
скорости которых постоянны. Такие Специальные системы
координат назовем галилеевыми.
Из принципа относительности при помощи двух гипотез
(или законов), принятых в классической механике и опти-
оптике, можно сделать два важных вывода. Пусть S и S
будут две из наших специальных систем координат; пред-
предположим, что пространственные координаты в обеих систе-
системах декартовы.
а) Во-первых, мы предположим, что частица, на кото-
которую не действуют силы, будет в ^-системе двигаться
равномерно по прямой линии, т. е. ее пространственные
координаты будут линейными функциями ^-времени.
Вследствие принципа относительности частица должна
будет двигаться по прямой линии и в системе S, и новые
пространственные координаты будут линейными функ-
функциями ^-времени. Следовательно, пространственно-вре-
пространственно-временные координаты в S являются линейными функциями
от пространственно-временных координат в S.
б) Во-вторых, мы предположим, что скорость рас-
распространения света относительно ? постоянна и незави-
независима от движения источника света; обозначим ее через с.
Отсюда следует, что скорость распространения света
относительно S тоже есть постоянная, которую мы обо-
обозначим через с. Таким образом, из принципа относитель-
относительности следует, что скорость распространения света отно-
относительно любой из наших специальных систем отсчета
постоянна.
Пусть (ж1, х2, х3, t) будут координаты в галилеевой
системе S; обозначим соответствующие кооординаты
в системе S буквами с чертой сверху. Из нашей первой

378 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
гипотезы следует, что соотношения между координатам
этих двух систем будут
где все коэффициенты постоянны. Кроме того, если
в системе S наблюдено, что в момент времени t из точки
(ж1, хг, х3) испущена сферическая световая волна, то
в момент t' фронт волны будет лежать на поверхности
gnn (х'т - хт) (х'п - х») - с2 (Г - tf = 0, E)
где gmn — метрический тензор пространства S. Для наблю-
наблюдателя в системе ? фронт той же волны будет лежать
на поверхности
gmn С*'™ - Я") (?" - *П) - С2 (?' - tf = 0. F)
Другими словами, уравнение F) является следствием E).
Так как преобразование от одной системы координат
к другой линейно, то мы должны иметь
gmn(x'm - хт) (?» - хп) - ? (? - If =
где К — постоянная. Теперь сразу видно, что путем
выбора единиц измерения длины и времени в системе S
мы можем сделать не только К=1, но и с = с. Мы будем
предполагать, что этот выбор единиц всегда осуществлен
и поэтому всегда будет
Inn &т - ХШ) (*'П - *П) - С2 ('' - О' =
= gmn (Я'™ - ХП) (*'П - Л - С2 (Г - tf.
Если события {xr, t) и (x'r, t') близки друг к другу
в пространстве и времени, мы можем положить
и то же самое для букв с чертой. Это приводит нас
к соотношению
g^n dxm dxn - с2 d? = gmn dxm dxn - c2 dt2

$ 3] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 377
или, в других обозначениях,
do2 - с2 dt2 = da2 - с2 Л2, G)
где da, da —пространственные элементы длины в S и S
соответственно. Очевидно также, что соотношение G)
будет справедливым, если мы возьмем вместо декартовых
какие-нибудь криволинейные пространственные коорди-
координаты для наблюдателей S и S.
Следовательно, квадратичная форма
ds2 = с2 dt2 - da2 = с2 dt2 - gmn dxm dxn
(8)
является инвариантом относительно всех преобразований
координат системы S к системе S, принадлежащих
к нашему специальному классу. Скаляр ds будем назы-
называть интервалом между двумя событиями (xr, t)
и (xr + dxT, t-\-dt). Если мы, как указано выше, исполь-
используем обобщенные координаты, то увидим, что ds2 будет
однородной квадратичной формой относительно dxa, т. е.
(9)
где aap —функция координат, симметричная относительно
а, р. Так как ds2—скаляр, то aap —тензор второго поряд-
порядка, который мы назовем метрическим тензором, а форму
(9) — фундаментальной квадратичной формой. Если мы
используем одну из наших специальных систем отсчета,
то, как мы зпаем, в ней фундаментальная квадратичная
форма примет вид (8). Кроме того, если мы воспользуемся
галилеевой координатной системой, в которой простран-
пространственные координаты (ж1, х2, х3) ортогональны и декар-
декартовы, фундаментальная квадратичная форма будет иметь
вид
ds2 = с2 dt2 - (йж1J - (da;2J - (da:3J. A0)
Таким образом, мы вывели фундаментальную квадра-
квадратичную форму в четырехмерной области подобно тому,
как мы определили расстояние между двумя соседним1'

378 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
точками в обычном трехмерном пространстве. Следо-
Следовательно, мы можем выписать символы Кристоффеля
для этой формы; они будут
где аУ6 — алгебраическое дополнение ауе, в определителе
| ас-ув |, деленном на |аув|. Точно таким же образом, как
и в части III, при помощи символов Кристоффеля мы
можем определить абсолютную и ковариантную производ-
производные 4-тензорного поля, и эти 4-производные будут иметь
свойства, аналогичные полученным выше в трехмерном
пространстве. Для примера найдем абсолютную произ-
производную 4-тензора А% по параметру и (ср. стр. 198, 199).
Мы получим
Его ковариантная™производная по хч будет
г>АЧ
Упражнения
1. Показать, что в галилеевой системе с декартовыми про-
пространственными координатами символы Кристоффеля равны нулю,
и получить, что абсолютная и ковариантная производные в такой
системе равны обыкновенный производным.
2. Если частица движется от одной мировой точки А к дру-
другой В со скоростью v относительно наблюдателя S, то показать,
что интервал между этими двумя мировыми точками есть
в
S=\ Vc*—v2dt.
3. Показать, что если частица движется от одной мировой
точки к другой с постоянной скоростью, то интервал s между
этими двумя точками, деленный на с, равен времени, измеряе-
измеряемому часами, движущимися вместе с частицей. Поэтому s иногда
называют Собственным временем.

I 4] СОБСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 379
[Выбрать галилссву систему, начало которой всегда совпа-
совпадает с частицей, и использовать результат задачи 2.]
4. Преобразование Лоренца. Показать, что если (ж1, ж2, Xs)—
ортогональные декартовы пространственные координаты и t —
время в некоторой галилеевой системе S и если координаты
в некоторой другой системе S связаны с ними преобразованием
_i
z"i=Yl—^Л (x1—ut), х* = х*. х3=х»,
то система S движется вдоль оси ж1 с постояппой скоростью и,
и что хх, хг, х3—ортогональные декартовы пространственные
координаты в системе S. Таким образом, это преобразование
определяет зависимость между пространственными и временными
координатами двух галилеевых систем.
[Показать, что ds2=c2dt2— (rfx1J—(Л:2J—(
5. Показать, что в галилеевой системе
— 8
гг, аг4=
где тензор gri отпосится к пространствешшм координатам и
[Отметим, что а отрицательно.]
§ 4. Собственные координатные системы
и их преобразования
Рассмотрим точку Р, как угодно движущуюся в трехмерном
пространстве. Мы можем связать с этой точкой сколько угодно
галилеевых координатных систем следующим образом. Пусть
в данный момепт скорость точки Р равна V, выберем галилееву
систему, которая в этот момент движется с той же самой ско-
скоростью v, так что Р в ней покоится.
Теперь мы можем представить любое событие посредством
пространствешшх и временных координат (xr, t), взятых в этой
системе. Такую галилееву систему назовем собственной коорди-
координатной системой точки Р. Очевидно, что это определение
не однозначно; найдем преобразование, связывающее координаты—
время в двух собственных системах (хТ, t) и (xr, t).

380 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
Так как обе координатные системы движутся с одной и той
же постоянной скоростью, мы видим, что их собственное время,
т. е. время, измеренное часами, движущимися вместе с ннми,
совпадает. Таким образом, t=l. Кроме того, в формулы преобра-
преобразования пространственных координат время входить не будет,
так как обе системы не имеют относительного движения. Поэтому
должно быть хг—хг(х1, х2, х3), и мы получаем, что преобразова-
преобразование одной собственной системы в другую должно иметь вид
Если мы введем обозначение x4 = t, ж4 =7, то A4) примет вид
хг=хг(х\ х*, х3), ** = *«. A5)
Найдем теперь, как преобразуются 4-векторы и 4-тензоры при
переходе от одной собственной системы к другой, причем обе
связапы с одной и той же точкой Р. Рассмотрим сначала контра-
вариаптный 4-вектор Аа. По общему закопу преобразование 4-век-
торов будет
а так как преобразование координат имеет вид A5), то
*Am **
Другими словами, при преобразовании собствеппых координатных
систем (А1, А2, А3) преобразуются как составляющие трехмер-
трехмерного вектора, а А* преобразуется как скаляр. Отсюда следует,
что мы можем всегда определить 4-вектор Аа так, чтобы
в любой собственной координатной системе его первые три соста-
составляющие совпадали с составляющими некоторого заданного трех-
трехмерного вектора, а его четвертая составляющая была заданным
скаляром. Конечно, подобный же результат мы получим для
ковариантного 4-вектора Аа.
Теперь мы рассмотрим 4-тснзор второго порядка Аа&. Для
него закоп преобразования есть
а так как преобразование координат имеет вид A5), то
дхт Эх" ' дх

S 4] СОБСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 381
Поэтому мы можем разделить составляющие 4-тепвора Аа& сле-
следующим образом:
„ ГА». А»Л
\А", А")
A*s, A") '
Здесь Ars преобразуется как трехмерный тензор второго порядка,
Ari и Air—как трехмерный контравариантный вектор, а А** —
как скаляр. Таким образом, мы можем всегда определить 4-тен-
зор второго порядка Аа& так, чтобы в любой собственной координат-
координатной системе составляющие Ап образовали заданный трехмерный
тензор; Ar*, Air—заданные контравариантные трехмерные векторы,
а А"—заданный скаляр. Подобные же результаты получаются
для ковариантного 4-тензора второго порядка Ааа.
Упражнения
1. Показать, что в собственной системе
2. Вывести из задачи 1, что символы Кристоффеля Ту ар
и Г^р оба исчезают, когда один из индексов а, р, у равен 4.
3. Вывести из задачи 2, что если вычислить вектор A®*q
в собственной координатной системе, то его первые три соста-
составляющие будут
а четвертая составляющая будет
at
Здесь Ars s и Akmm являются пространственными трехмерными
ковариантными производными от Ап и Atr, которые, как мы
видели, относительно преобразований собственных систем коор-
дипат являются трехмерными тензором и вектором.
[Используя результат задачи 2, мы имеем A^f^=—-g—\-
4. Показать, что для точки Р в рассматриваемый момент
в собственной системе координат будет

382
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1гл. XXI
[Если v—скорость точки Р в галилеевой системе, то из (8)
мы видим, что -зт-= V с—" и поэтому ттг=—v~dflVc —" •
Но в собственной координатной системе точки Р в рассматривае-
рассматриваемый момент р=0.]
§ 5. Релятивистская динамика частицы
Пусть частица движется под действием некоторой
системы сил. Представлением этого движения в про-
пространстве—времени будет кривая, которая называется
мировой линией частицы; в качестве параметра вдоль
этой линии мы можем взять интервал, который, как
и раньше, мы будем обозначать через s.
Рассмотрим 4-вектор
A7)
Его составляющими относительно галилеевой системы
координат являются
dxi dx* dx3 dt_\
ds ' ds ' ds ' ds ) '
Если теперь ввести собственную систему координат
частицы, то мы без труда увидим, что в этой системе
-тг = с, а составляющие 4-вектора а? в ней будут
A8)
(о, о, о, 1) .
Мы будем называть 4-вектор A7) ^-вектором скорости.
Рассмотрим теперь 4-вектор
-,ц _d^_ dxa
00 ds ds '
A9)
который является абсолютной производной от аР по *.
Чтобы найти его составляющие в собственной системе,

I 5] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ 383
используем тот факт, что в ней (~1тт) = ® (см- выше,
задачу 4). Следовательно, для рассматриваемого момента
составляющими у^ относительно локальной системы коор-
координат являются
Мы будем называть у^ ^-вектором ускорения.
Выведем уравнения движения частицы под действием
заданной системы сил. Выберем собственную систему
координат для частицы, т. е. предположим, что наблю-
наблюдатель движется в данный момент с той же скоростью,
что и частица, и что законы классической динамики
в этой специальной системе координат выполняются.
Имеем, следовательно,
то^~ = Хг, B1)
где »г0 —скаляр, называемый собственной массой или
массой покоя частицы, а Хг — вектор силы в собственной
системе. Введем 4-вектор F^, составляющими которого
в собственной системе координат являются
±Х\ 0) . B2)
В предыдущем параграфе мы показали, что это возможно.
Обращаясь к B0) —B2), мы видим, что имеет место
тензорное уравнение
B3)
Очевидно, что это уравнение справедливо в собственной
системе координат, а поэтому справедливо и во всех
других системах. Мы можем назвать F^ ^-вектором силы,
а B3) представляют собой релятивистские уравнения
движения частицы.
Упражнения
1. Показать, что aflvaM'av=l.
[По аналогии с трехмерным пространством мы скажем, что
а*1—единичный 4-вектор.]
2. Вывести, что в галилеевой системе с2 (a*)i=i-}-gmnaman.

384 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
3. Показать, что a(iVY|iav = 0.
[Это—инвариантное соотношение, которое справедливо в соб-
собственной системе координат. По аналогии с трехмерным простран-
пространством мы назовем у^ ортогональным к а*1.]
4. Показать, что a^F^a? = О, и вывести, что в галилеевой
системе
т dxn
п dt
5. Показать, что в собственной системе координат ассоцииро-
ассоциированный 4-вектор а„=а vav имеет составляющие @, 0, 0, с).
§ 6. Динамика сплошной среды *)
Найдем релятивистскую форму уравнений движения
сплошной среды. Рассмотрим определенную точку среды
и выберем собственную систему координат для этой точки.
Мы предполагаем, как и ранее, что классические уравнения
движения справедливы в этой специальной системе коор-
координат. Напряжение в среде определяется трехмерным
тензором Ers, а массовые силы —трехмерным вектором Хг.
Уравнениями движения в собственной системе коорди-
координат являются
E"iS + Q0(Xr-f) = 0, B4)
где Qo —скаляр, называемый собственной плотностью,
а /' — трехмерный вектор ускорения. Кроме того, имеет
место уравнение неразрывности
<<WO,r + -ig!L = 0, B5)
где иг — трехмерный вектор скорости. Наша задача —
записать эти уравнения при помощи ^-тензоров.
Для этого мы используем 4-векторы a*\ yv- и F^
предыдущего параграфа и введем новый 4-тензор E^v,
определяемый условием, что его составляющими отно-
*) Ср. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплош-
сплошных сред, Физматгиз, М., 1954, стр. 606. (Прим. ред.)

I 6] ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 385
сительно собственной системы координат являются
О,
О
B6)
Возможность этого мы видели в § 4 (стр 381). Введя
этот 4-тензор, мы без труда увидим, что уравнения B4)
и B5) могут быть записаны в виде
B7)
причем оба эти уравнения являются тензорными в про-
пространстве — времени, а поэтому верны во всех четырех-
четырехмерных координатных системах.
Эти два уравнения могут быть объединены в одно
следующим образом. Имеем
Следовательно, используя второе из уравйений B7), имеем
QoY11 = Q№, voy = (QoaW), у - c^ (goav), v = feaW), v.
Таким образом, положив
замечаем, что имеет место тензорное уравнение
B8)
B9)
Это уравнение эквивалентно уравнениям B7). Действи-
Действительно, умножая B9) на а^ и суммируя по ц от 1 до 4,
мы находим, что
и, следовательно,
(Qo«v), v = (
lU 25 А. Дж. Мак-Коннел
v^ = - Т»?, ^ = О,

386 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
т. е. уравнение неразрывности удовлетворяется. Мы
можем теперь доказать, что и первое уравнение B7)
является следствием B9). Это достигается с помощью
тех же рассуждений, проведенных в обратном порядке.
Тензорное уравнение B9) является поэтому оконча-
окончательной релятивистский формой уравнений движения
сплошной среды.
Упражнения
1. Показать что ?llvav = 0 и что
2. Показать что ^
3. Показать, что тензорное уравнение B9) может быть пред-
представлено в виде
§ 7. Уравнения электромагнитного поля
Для того чтобы найти четырехмерные уравнения элек-
электромагнитного поля, нам необходимо ввести антисимме-
антисимметричные 4-тензоры четвертого порядка. Обозначим их
через e^vo и el|iV0; они обладают свойствами, аналогич-
аналогичными свойствам е-объектов в трехмерном пространстве.
Они определяются следующим образом:
а) Exuvc равен 0, если любые два индекса равны между
собой, и равен ± |/ — а в зависимости от четности или
нечетности перестановки (Я, ц., v, g);
б) s*4ivq равен 0, если любые два индекса равны,
и равен ± в зависимости от четности или нечет-
У~а
ности перестановки (к, \i, v, g). Мы выбираем У — а
вместо "|/а потому, что в формулах теории относитель-
относительности а всегда отрицательно.
Точно так же, как в случае трех измерений, доказы-
доказывается, что эти объекты являются 4-тензорами.
Если имеется движущийся диэлектрик, то мы можем
выбрать собственную систему координат для данной точки
диэлектрика. Эта точка в некоторый момент времени
находится в покое относительно собственной системы
координвт, и поэтому мы предположим, что в этой системе
координат справедливы классические уравнения электро-

§ 7]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
387
магнитного поля. Тогда электромагнитное поле опре-
определяется трехмерными векторами Dr, Er, Br, Hr, а его
уравнениями в собственной системе будут
J
где С —вектор, определяющий ток проводимости. К этим
уравнениям мы должны добавить соотношения
гуг prsp вг vJ'H C2)
Мы сейчас введем в эти уравнения 4-тензоры. С этой
целью возьмем два антисимметричных 4-тензора F*v и С",
составляющими которых в собственной системе коорди-
координат являются
о
с
О
C3)
а также 4-вектор S11, составляющие которого в собствен-
собственной системе будут
C4)
Нетрудно проверить, что в 4-тензорной форме уравнения
C0) и C1) будут
C5)
Эти уравнения и являются релятивистскими уравнениями
электромагнитного поля.
25*

.488
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
Из уравнений C2) вытекают следующие соотношения
между тензорами F*4, G^v:
и т. д.
и т. д.
Если мы введем 4-тензоры \iw и е°°, составляющими
которых в собственной системе кэординат являются
и вспомним, что составляющими 4-векторов а° и а0 являются
Г 0, 0, 0, — j и @, 0, 0, с) соответственно, то получаем
4-тензорные соотношения:
C7)
Упражнения
1. Показать, что если определить EQ, Da, ffQ, B° как 4-тен-
4-тензоры с составляющими в собственной системе координат, равными
(Ег, 0), (?>г, 0), (Яг, 0) (Вг, 0) соответственно, то
2. Показать, что если С0 есть 4-вектор, составляющие которого
в собственной системе координат равны ( — С1, — Сг, — С3, 0 j ,
0 °
то 1S'0 = +Q0
3. Показать, что если 4-тензор Я определяется формулой
г г J_ „ roa
MV~ 2 Mvoar '
то первое из уравнений C5) может быть записано в форме

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XXI 381)
4. Вывести соотношение
5. Показать, что составляющими ff(iv в собственной системе
координат являются
cEr,
¦ \-cEs, 0.
6. Показать, что составляющими ассоциированного 4-тензора
С„у»а evpGa^ в собственной системе координат являются
JBratH1, cDr,\
1-cD,, 0. /
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XXI
1. Наблюдатель S движется с постоянной скоростью и относи-
относительно другого наблюдателя S. Показать, что если S пользуется
ортогональной декартовой пространственной системой координат,
а координатные плоскости наблюдателя S в момент t = t = O совпа-
совпадают с координатными плоскостями наблюдателя S, то формулами
преобразования координат являются
где щ, и2, и3—составляющие скорости и в системе S. Показать
также, что косинусы углов между пространственными коорди-
координатными плоскостями системы S для наблюдателя S равны
[Мы должны допустить, чтог1 = е1(х1 — u^t) и т.д., t = ar
Использовать тот факт, что ds2 = c*dt2 — ^ (dx1J = c2di2 — 2 {dx1J—
—2^ <iidx2dx3 для всех значений дифферонциалов, причем аи а2,
а3 — косинусы интересующих нас углов. Кроме того u2=u2-f-
2. Преобразования Лоренца. Показать, что если Л движет-
движется вдоль оси г1 системы координат S, то преобразования и»

390 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
упражнения I принимают вид
и что пространственные координаты наблюдателя S являются
также ортогональными.
3. Показать, что уравнения траектории частицы, на которую
не действуют никакие силы, в обобщенных координатах будут
иметь вид
^^0
ds ds
[Эти траектории называются геодевическими линиями простран-
пространства— времени, так как их уравнения аналогичны уравнениям
геодевических линий на поверхности.]
4. Показать, что в галилеевой системе координат уравнения
движения частицы могут быть написаны в виде
dt
где v — скорость . частицы относительно выбранной системы
координат.
__. ds
[Принять во внимание, что в галилеевой системе -гг =
5. Вывести из упражнения 4, что уравнения движения мате-
материальной точки в галилеевой системе координат имеют вид
где
/¦-4
[Нетрудно видеть аналогию между этими уравнениями и урав-
уравнениями классической динамики. Мы можем интерпретировать т
как массу, а ХТ как вектор силы.]

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XXI 391
6. Показать, что осли на частицу не действуют силы, то вели-
величина —' " постоянна для наблюдателя S, движущегося
/¦-S
вместе с собственной системой координат, и что ее скорость отно-
относительно этого наблюдателя постоянна.
7. Показать, что релятивистскими уравнениями движения
идеальной жидкости являются
где
Скаляр р есть давление в данной точке.
[Показать, что тензор напряжения есть b"|lv = p(oliV—aM-ctv).J
8. Показать, что при движении сплошной среды имеют место
равенства
9. Показать, что в электромагнитном поле имеют место соот-
соотношения
связывающие тензоры Я v и G^v.
10. Показать, что если диэлектрик изотропен, то в электро-
электромагнитном поле имеют место соотношения
(С^ - efl^v) av = 0, в*»*> (Яд v - ^ v) aQ =0,
где е и (х —скаляры.
11. Доказать, что 4-вектор тока ^ удовлетворяет уравнению
^д = °-
12. Показать, что если определить 4-вектор ф*1 при помощи
соотношепий
то фд удовлетворяет также уравнению
4-вектор ф^1 называется четырехмерным потенциалом электро-
электромагнитного поля.
25»

392 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. XXI
13. Показать, что если определить 4-тензор x>lv так, чтобы
его составляющие в собственной системе координат были
I 0 , 0)
где xrs — тензор проводимости, то S^ определяется формулой
14. Показать, что результат упражнения 13 может быть
записан так:
15. Чтобы получить уравнения электронной теории в реляти-
релятивистской форме, мы просто отметим, что в собственной системе
вектор Dr совпадает с Ег, а Вг—с Нг- Показать, что для элек-
электронной теории G^—H^ и S^. — QqcP; и вывести, что искомюе
уравнения будут
16. Показать, что если мы переходим от собственной системы
координат жд к другой галилеевой системе х^ в соответствии
с преобразованием Лоренца
х* = Хъ, х!>=х3, х* = к fx* — ~Л ,
, 1 о V
то новыми величинами для Ё'иЙ'в электронпой теории являются
[Принять во внимание, что //„v—тензор второго порядка.)
„v

ДОПОЛНЕНИЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
КООРДИНАТЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 1. Классические обозначения
В настоящей книге мы применяли криволинейные
координаты к вопросам математической физики исклю-
исключительно в тензорных обозначениях. Так как ортого-
ортогональные криволинейные координаты вводятся в обычные
учебники по математической физике без использования
тензорных методов или тензорных обозначений, целесо-
целесообразно изложить те же самые результаты в класси-
классических обозначениях *).
Имеются три семейства поверхностей, записываемых
в этих обозначениях так:
U (ж> 2/. г) = а' h (ж. 2/. z) = P. U (ж> У, z) = Y. С1)
которые взаимно пересекаются под прямыми углами;
х, у, z — декартовы координаты. Точка определяется
тремя координатами а, р, у, а линейный элемент опре-
определяется формулой
где hu ft2, A3 являются функциями от а, р, у. Сопостав-
Сопоставляя эти обозначения с обозначениями настоящей книги,
'¦) Ниже мы используем обозначения, принятые, например,
в книге: Love, Mathematical Theory of Elasticity [есть русский
перевод (Прим. ред.)].

394
мы
g
получим
, _J_
hi
_ 1
2
ДОПОЛНЕНИЕ
_ 1
1
C)
Ассоциированный тензор gmn имеет составляющие
gn=h\, g» = h\, g33 = hl, g™ = 0 (в^п). D)
Нетрудно установить, что символы Кристоффеля
"УДУТ
rij = o, г„ = — хг.
E)
Г1 i vnj pi l orii
hy dxf hi dx*1
где i, /, к не равны между собой, а соглашение о сум-
суммировании не применяется (см. упражнение 9, стр. 209).
§ 2. Физические составляющие векторов и тензоров
Обозначим через e[i) единичный вектор касательной
к i-й координатной кривой. Очевидно, что
e(l) = 'll"l' г>{2)~ ^2' еC)="з0з- F)
Если нам задан вектор Аг, то вместо того, чтобы
взять А1, А2, Л' в качестве составляющих вектора,
в классических обозначениях берут проекции вектора на
касательные к координатным кривым. Мы будем обозна-
обозначать эти проекции через Аа, А$, Ау; имеем
где AT = gr3As — вектор, ассоциированный с Аг. Таким
образом,
А1 А2
Ay = п3А3 = -т— .
(V)

§ 2] ФИЗИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ 395
Мы назовем эти величины физическими составляющими
вектора в отличие от тензорных составляющих. Так как
Аа, Ар, Ау являются проекциями Аг на касательные к
координатным кривым, то физические составляющие
вектора —это просто его составляющие по осям декарто-
декартовой системы координат, совпадающим с упомянутыми
касательными.
Аналогично, если нам задан тензор второго по-
порядка Ars, мы обозначим его физические составляющие
через Ааа, А&у и т. д., где Ааа = АТагга)г'A„ Afiy = АГ1.ггтг'т
и т. д. Ars является тензором, ассоциированным с А",
следовательно,
Л11 Агз
Ah2haA23 = j-K- и т. д. (8)
Интерпретация физических составляющих тензора вто-
второго порядка может быть дана по аналогии с интерпре-
интерпретацией физических составляющих вектора. Выражения
А<ю= Ar,trmtrw, АРу = Аг5ггтггC) и т. д.
являются, очевидно, инвариантами для всех преобразо-
преобразований координат при условии, что ега), егт, ггC) — три
фиксированных вектора. Они фиксированы, если фикси-
фиксированы их направления, так как это единичные векторы.
Возьмем в качестве специальной координатной системы
декартову прямоугольную систему координат Oxyz
с осями Ox, Oy, Oz, направленными по da, dp", dy в точ-
точках касания. В эгой системе координат гга), е?2), ej) имеют
место составляющие A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1) соот-
соответственно, так что
Ааа = Ап, Apy = A~2s и т. д.
Таким образом, физические составляющие тензора
ATi — это просто его составляющие в системе коорди-
координат Oxyz.
Например^ если Ars есть тензор деформации ers,
определённый на стр. 355, то
л ди л l f dv . dw \
Ааа= \^ = { + \ и т. д.,
дх z ч dz dy J

396 ДОПОЛНЕНИЕ
где и, v, jii> — составляющие вектора смещения отно-
относительно Ox, Oy, Oz.
Мы можем, очевидно, распространить это определе-
определение физических составляющих на тензоры любого по-
порядка.
§ 3. Динамика
Найдем уравнение движения материальной точки
в системе координат (a, {j, у).
Пусть (va, Ур, vv) — физические составляющие вектора
скорости. Так как v1 = a, са = |3, v3=y, то из G) мы
видим, что
Вектор ускорения может быть найден подстановкой
прямо в D), стр. 286, или следующим образом: исполь-
используя A0), стр. 290, мы имеем
где
Следовательно, физическими составляющими вектора
ускорения являются
i) »••«¦ <«»
Две другие составляющие нетрудно написать из сообра
жений симметрии.

§ 4] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 397
Физические составляющие вектора силы (Qa, Q$, Qy)
определяются следующим образом:
Qa = KQi = - К -fa . <?p = Л2<?2 = - К -щ-, I
3V | ( )
Qy = Л3^3 = - К -?f » j
где У является потенциальной функцией; уравнения дви-
движения будут
= Qy. A2)
§ 4. Теория электромагнитного поля
Мы будем пользоваться следующими обозначениями
физических составляющих векторов электромагнитного
поля:
а) (Еа, Е^, Еу) — вектор напряженности электрического
поля,
б) (Da, Dp, Dy) — вектор смещения,
в) (На,Нр,Ну) — вектор напряженности магнитного
поля,
г) (Ва, Вр, By) — вектор магнитной индукции и
Д) {Са, СР; Су) — вект.ор тока.
Из C5), стр." 347, мы видим, что
±?Ь.-±а дВ с" - 1 дВ
с dt ~[_е Smn dt A> cht Ы
дЕг ¦- дЕз
ду ар
Два других уравнения получаем из соображений
симметрии. Аналогично
26 а. Дж. Мак-Коннел

398 ДОПОЛНЕНИЕ
Из C8), стр. 348, мы имеем DT. r = Q; но (задача 5,
стр. 349)
следовательно,
и аналогично
ttit) =0- A6)
Равенства A3) —A6) являются уравнениями электро-
электромагнитного поля в нашей криволинейной системе коор-
координат.
Для электромагнитного поля в вакууме существует
потенциальная функция V, удовлетворяющая уравнению
Пуассона AV = — q, которое при помощи упражнения 6,
стр. 208, может быть написапо в виде
Это дает выражение лапласиана в ортогональной криво-
криволинейной системе координат.
§ 5. Теория упругости
Если мы обозначим (иа, щ, иу) проекции вектора сме-
смещения \т (стр. 360), то будем иметь
|1 |2 J3
Физическими составляющими тензора деформации будут
A8)
и т. д., '
^1 •
/ — "8е23 — "о"  \Ь2, 3 ~Г ёз, 2> —
. д.

§ 5] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 399
После подстановки значений символов Кристоффеля
из E) эта формула может быть приведена к виду
, диа , д log ht , д log hi
eaa = hll?- h» эр u$~ ha э^Г~иу и т- д"
Физическими составляющими тензора поворота cors
являются
= —/г2Л3 — -=- и т. д.,
т. е.
1 , ,
Физические состапляющие тензора Еп обозначим
через аа, ру и т- Дм тогда
т. д.
Уравнения движения сплошной среды определяются
посредством A0), стр. 358. Вводя туда физические состав-
составляющие, мы получаем
Q(/a-/'a)--Si-?..1m-1- [ у= _ ^ g А ^ + 1 mn& J
(см. упражнение 7, стр. 208). Поэтому мы имеем
д
Л. J во
Д log ^
S"l ?12 __ 2 ° 1иь  ^W_
26*

400 ДОПОЛНЕНИЕ
Вводя сюда физические составляющие тензора Егз, мы
получаем уравнения движения в окончательной форме:
ит-д-
B0)
Выражение для относительного объемного расширения
(сжатия) 9 принимает вид
§ 6. Гидродинамика
При движении жидкости вектор ускорения fr опре-
определяется посредством A5), стр. 360. Следовательно, его
физическими составляющими являются
так как -yT(umym) = 2vmirvm; вводя сюда физические
составляющие va, Ур, v4 вектора скорости, получим
Поэтому

§ 6] ГИДРОДИНАМИКА 401
Уравнения движения выводятся из A2), стр. 359; мы
получаем
Из A7), стр. 360, мы видим, что уравнение неразрыв-
неразрывности может быть записано в виде
или, вводя физические составляющие,
B4)
Упражнения
1. Сферическая система координат. Получить следующие ре-
результаты для сферических координат:
а) Элемент длины
() + (L sin*
б) Динамика
av
Q J
М { Т It (г2Й) - r sin e cos еФа} = Qe = ~
в) Теория электромагнитного поля
±Щ__±д_. р 1 дЕг
¦ с. dt ~ г дгк ч>' rsinB Эф '

402
ДОПОЛНЕНИЕ
1 Г - * Шг *
Т в~ГЙп9 9ф ~ Г
99 J '
}:
sin 6
г) Теория упругости
диг
дг .
Цг ctge
^ г "Г Г в
4«P~"rsiae ду ^ г "Г Г
е(Р 2 V.rsin6 Зф ' г 36
V 2 VrsinB 9ф "т" дг г
_ 1 Г 1 д
V—г 1Т
1 диг
sin 8 96
* (sin eel) +-4-31- (9?) -
96 ' ' г sm 6 9ф
-4-3
г sm 6

в] ГИДРОДИНАМИКА 403
д) Гидродинамика
e_ctg9 2 ¦
7 aF^rsine ар г V
¦ dvV , иг д , , . »в д , .
1 дР —iv V\ t^^
dp . 1 а , , ч . 1 д , .
?+7 ? ('V) +-от ае(sin
2. Цилиндрические координаты. Получить следующие резуль-
результаты для цилиндрических координат (г, 6, z):
а) Элемент длины
б) Динамика
в) Теория электромагнитного поля
с dt ~ dz r dQ ' с dt ~ dr dz .'
j_dBz_l ГдЕ^_д
lr ~LdJh.-dH± Lr - дНг Шг
с Т~~ г dQ dz ' с в~~ dz dr '
1 9 1 дВв dBz

404 дополнение
г) Теория упругости
-4
диг
¦2 VT?
в (/е- '.) = Л
д) Гидродинамика
9?(rwp' +T ев +t>2 9F

ЛИТЕРАТУРА
. Для дальнейшего чтения рекомендуются следующие
книги и статьи
1. Ricci G. et Levi-Civita Т., Methodes de calcul dif-
ferentiel absolu et leurs applications, Math. Ann., 54, 1901.
2. Einstein A., LorentzH. A., Minkowski H. and
Weyl H., The principle of relativity, 1923.
3. Weyl H., Space—Time —Matter, 1922.
4. Eddington A. S., The mathematical theory of relativity,
1924. (Имеется русский перевод: Эддингтон А. С, Теория
относительности, ГТТИ, Москва, 1934.)
5. Silberstein L., The theory of relativity, 1924.
6. Eisenhart L. P., Riemannian Geometry, 1926. (Имеется
русский перевод: Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия,
Гостехиздат, Москва, 1948.)
7. Appel P., Cours de mecanique rationnelle, Tome V, 1926.
8. Synge J. L.t On the Geometry of Dynamics, Phil Trans.
Roy. Soc.' Lond., Ser. A, 1926. (Имеется русский перевод:
[Синдж Дж. Л., Тепаорцые методы в динамике, ИЛ,
Москва, 1947; большой список литературы.)
9. Levi-Civita Т., The absolute differential calculus, 1927.
10. Veblen О., Invariants of quadratic differential forms.
(Имеется русский перевод: Веб лен О., Инварианты диффе-
дифференциальных квадратичных форм, Гостехиздат, Москва, 1948.)
11. То 1 man R. С., Relativity, Thermodynamics and Cosmology,
1934.
12. Schouten J. A., Der Ricci—Kalkul, 1924.
Добавление к русскому переводу
13. Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный
анализ, Гостехиздат, Москва, 1953.
14. Гуревич Г. В., Основы теории алгебраических инвариан-
инвариантов, Гостехиздат, Москва, 1948.
15. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, вып.
I—X, Гостехиздат, Москва, 1933, 1956.
16. Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, т, ], Гостех-
Гостехиздат, Москва, 1943, т. Ц, Москва, 1947.

406 ЛИТЕРАТУРА
17. Каган В. Ф., Геометрические идеи Рнмана и их соврсмои-
ное развитие, ГТТИ, Москва, 1933.
18. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Теория поля, Гостех-
издат, Москва, 1948.
19. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных
сред, Гостехиздат, Москва, 1954.
20. Седов Л. И., Введение в механику сплошных сред, Физ-
. матгиз, Москва, 1962.
21. Голь депб л ат И. И., Некоторые вопросы механики деформи-
деформируемых сред, Гостехиздат, Москва, 1955.
22. Петров А. 3., Пространства Эйнштейна, ¦ Физматгиз,
Москва, 1961.
23. Thomas Т. Y., Concepts from tensor analysis and differen-
differential geometry, N. Y., 1961.
24. Схоутен И. А. иСтройк Д. Дж., Введение в новые
методы дифференциальной геометрии, перев. с нем., т. I,
Москва, 1939, т. II, .Москва, 1948.
25. Лурье А. И., Аналитическая механика, Физматгиз, Москва,
1961.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра объектов 1 7
— тензорная 13
Анализ тензорный 179
—¦ — в гидродинамике 359, 364
— — в динамике 285, 305
— — в дифференциальной геомет-
геометрии 179
— — в механике и физике 285
—¦ — в механике сплошных сред
353
— — в специальной теории отно-
относительности 371
— — в теории упругости 362
— — в электричестве и магне-
магнетизме 322
Бинормаль кривой 213
Брахистохрона 332
Вектор 37, 38
— единичный (орт) 65, 186, 224
— истинный 48
— касательный 211
— — к поверхности 257
— ковариантный 39, 196, 224
— контравариантный 38, 58, 197,
223
— магнитной индукции 344 346,
397
— наведенного магнетизма 346
— напряженности 339. 344, 346, 397
— нормальный 211, 245
— обобщенного ускорения 286,
291. 293, 295, 323, 383
— обобщенной силы 287
— Пойнтинга 351
— полного тока 346
—• поляризации 342
— потока энергии 351
— смещения 341, 346, 353, 397
— тока 345, 397
— — конвекции 346
проводимости 346
— — смещения 346
—.физические составляющие 394
— четырехмерный D-вектор) 380
Вихрь (ротор) 204, 337, 361, 368
— поверхностный 272
Время собственное 378
Геометрия аналитическая в тен-
тензорном изложении 56
— дифференциальная в тензорном
изложении 179
— поверхности внутренняя 218
Гидродинамика 359, 364, 400, 403.
404
Гиперболоид однополостный 220
Гиперповерхность трехмерная 374
Градиент вектора 184, 204
Группа преобразований 37
Движение жидкости 359
— — безвихревое 361
— — вязкой 364
— импульсное 331
— системы материальных точек
305, 307
— сплошной среды 358, 384,
399
— точки в пространстве 285
— — по кривой 292
— — по поверхности 295
Действие 298, 325, 326
Детерминант 137, см. Определи-
Определитель
Деформация аффинная 166
— бесконечно малая 173, 353
—, виды ее 368
—, главные оси 356
— чистая 170, 174, 355, 367
—, эллипсоид 356
—, энергия 364
Диаметр сопряженный 154
Дивергенция вектора 203, 248, 271,
334
— — поверхностная 271
Динамика релятивистская 382
— сплошной среды 384
— твердого тела 305, 401, 403
— точки 285
Дифференцирование абсолютное
240
— ковариаитное 191, 240
— тензорное 261
— тензоров (векторов) на поверх-
поверхности 239
—• — пространственных 198
Диэлектрик 340, 342, 350, 386.
— изотродный 342

408
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Длина вектора 64, 186, 223, 224
Дополнение алгебраическое 26
Жесткость 369
Жидкость вявкая 364, 369, 370
—, давление 359
— идеальная 359, 365, 367
— изотропная 366
— несжимаемая 361
Закон Ампера 347
— Гука 362
— Ома 345
— Фарадея 347
Импульсы обобщенные 329
Инвариант 87. 38, 243, 377, 395
Инволюция 91
Индекс немой 16, 220
— свободный (неповторяющийся)
16, 220
Индексы 13
— греческие 220, 372
—, операции поднятия и опусиа-
ния 67, 203, 224
—, условие о суммировании (сверт-
(свертка) 15, 57, 209 .
Интеграл энергии 292, 294
Исчисление вариационное 229, 299
Количество движения 303, 309
Конус 108, 116, 118
— асимптотический 147
— вращения 120
— действительный 122, 161
— изотропный 121, 123
—, классификация 121
— мнимый 122 .
—, семейство 126, 143
Координаты аффинные 56, 60, 89,
166, 181, 318
— галилеевы 375, 377
— гауссовы- геодезические 252
— геодевические 233
— криволинейные 179, 256, 285
— — на поверхности 218
— обобщенные динамической си-
системы 314, 317
— — пространства — времени 372,
375
— ортогональные 56, 61
криволинейные 188, 209, 227,
232, 235, 393
— параболические 182, 186
— плоскостные 89, 111
— плюкиеровы (тангенциальные)
89
— полугеодезическне 235
— полярные на поверхности 235
— прямой 103
— сферические 181, 186, 209, 291,
401 ¦
— цилиндрические 181, 186, 209,
8й, 217, 403
Координаты эллиптические 182,
186
Коэффициент всестороннего сжатия
— Пуассона 369
Кривая геодезическая 228
— координатная 180, 220, 227
— на поверхности 273
— пространственная 191, 210
Кривизна кривой 211
в пространстве конфигура-
конфигураций 322
на поверхности геодезиче-
геодезическая 243, 249, 274
— нулевая 215
нормальная 275
-. поверхности гауссова (пол-
(полная) 242, 243, 255, 269, 277, 281
средняя 267,' 269
Кривизны главные 276
Кручение кривой 213, 217» 245, 281
геодезическое 281, 284
Лапласиан функций 204, 208, 385,
398
Лемма Риччи 200
Линии асимптотические 279
— кривизны 277
Линия винтовая 217
— вихревая 361
— геодезическая 228, 229, 247
— — пространства—времени 390
пространства конфигураций
— кривая 191, 210
— мировая 374, 382
— прямая 100, 215
— силовая 294, 325, 340
Магнетизм 333
Масса собственная (покоя) 383
Механика сплошных сред 353
Многообразие четырехмерное 371
Модуль вектора 64, 287
— упругости 363
— Юнга 369
Момент главный системы сил 310
— инерции относительно плоскости
307
прямой 306
— количества движения .310
Направление в пространстве 187
— на поверхности 225
Направлении симптотические 279
— главные 277
— сопряженные 283
Напряжение 357
—, главные оси 359
—, эллипсоид 359
Нормаль главная кривой 211
— в пространстве конфигу-
конфигураций 3 2
Обозначения индексные C
— классические 393

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
409
Объект 14
— абсолютно антисимметричный
— абсолютно симметричный 19
— антисимметричный 19, 20
—, произведение 17
—, свертывание 18
— симметричный 19
—, сложение 17
—, сумма 17
—, тип 14
— элемент 14
— е 63, 185, 202, 221, 223, 241
Объем тетраэдра 74
Определитель 23, 137
— антисимметричный 31
— ассоциированный (взаимный) 27
—, дополнение алгебраическое 26
— окаймленный 35
—, производная его 33
— симметричный 31 ¦
—, умножение 25*
— характеристический 31
Ориентация координатного триэдра
71, 189
Орт 65
Ортогональность 65, 188, 225
Оси инерции главные 306
— подвижные 311
Ось винтовая 178
— главная поверхности второго
порядка 148
— координатная 57
Отношение двойное (ангармониче-
(ангармоническое) 76'
Параметры дифференциальные
Бельтрами 247
Перемещение конечное твердого
тела 171
Перенос параллельный 167, 354
— — относительно поверхности 236
— — по замкнутому контуру 238,
253
Плоскость 78
— базисная 91
— бесконечно удаленная (несобст-
(несобственная) 90, 112
—, инерция 306
— касательная к конусу 112
— — к центральной поверхности
146
— координатная 57
— полярная 114, 146, 157
—, семейство плоскостей 90, 92
— сопряженная 154
Плотность собственная 384
— тензорная 190
Площадь треугольника 73
Поверхность 218
— вращения 164
— второго порядка, общая 157
— — —,связанная с преобразо-
преобразованием 268
софокуспая 152
— — — центральная 145
— — — —, классификация 150
Поверхность деформации 175
— координатная 180
— минимальная 284
—, развертывающаяся на плоскость
234
Поле векторное 183
— — параллельное 191, 193, 197,
198, 238, 262
— гравитационное 302
— инвариантное 183
— магнитостатическое 343
— скалярное 183
— тензорное 182, 363, 378
— электромагнитное 345—348, 386,
397
— электростатическое 338
Полудиаметр 146
Постоянная диэлектрическая 342
Потенциал векторный 350.
— деформации 367
— скоростей 362
Поток вектора 334
Преобразование (переменных) 36,
37 .
— аффинное 166
, классификация 177
— дифференциалов 51
— линейное 36, 56
— Лоренца 379, 389, 392
— однородное 167, 168
— плоскостных переменных 89
— символов Кристоффеля 233
— собственных координатных си-
систем 379
— тензоров (мнемоническое прави-
правило) й 1, 53
— тождественное 37-
— функциональное общее Ч>0, 179,
181, 219, 373
Признак тензорный обратный 48,
49, 64, 263
Принцип двойственности 95
— наименьшего (стационарного)
действия 298, 325
— относительности 374
Произведение векторное 72,
188
— скалярное 70,-188
Производная вектора 195
— — абсолютная 196, 237
— — ковариантная'197
— тензора 198
—• — абсолютная 199, 240
— — ковариантная 199, 240
— — — вторая 242
'Пространство—время 372
— конфигураций 320, 321
— Римана 321
— четырехмерное 371
—евклидово 207, 321, 322
Прямая 100, 215, 228
— геодеаическая 228
—, условие компланарности двух
прямых 07
Псевдовектор 48
Псевдоскаляр 48
Псевдотензор 47, 52, 221
Пучок гармонический 93

410
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Работа 288
Расстояние в пространстве конфи-
конфигураций 321
— между точками 63
—• точки от плоскости 80
Растяжение простое 177, 368
Расширение (сжатие) объемное
355, 363
Свертка тенэоров 45
Свертывание объектов 17, 19
— псевдотенэоров 49
— тензоров 43
Сдвиг 177
— чистый 388
Сечение коническое 108, 126
— — фокальное 153
Сжатие всестороннее 368,. 369
Сила, тензорные составляющие 302
—, физические составляющие 302
Символ(ы) Кристоффеля 191, 193,
' 200, 205, 214, 261, 290
— •— в пространстве конфигура-
конфигураций 322
— — — — четырехмерном 378
— — на поверхности 231, 232
— —, преобразование их 233
— Кронекера 20, 43, 184, 202, 221,
241
Система координат аффинная 56, 78,
166
— — галилеева 375, 377
— — Декартова, ортогональная 56,
65, 186
— — криволинейных, общая 179
— — локальная 383
— — параболическая 182, 186
— — собственная 379, 382
сферическая 181, 186, 401
— — цилиндрическая 181, 186,
217, 403
— — эллиптическая 182, 186
Скаляр 38, 48
— истинный 53
Сложение объектов 17
— псевдотензоров 49
— тензоров 43 .
Смещение геометрическое 59
— электрическое 341, 345, 346
Соответствие томографическое 93,
107
Среда деформируемая 364
— изотропная 363, 366
— — однородная 364
— сплошная 353
— упругооднородная 363
Teireop 3*, 38, 47, 56, 183
— абсолютный (истинный) 48
— антисимметричный 43, 47
— ассоциированный 67
— вязкости 366
— деформации 355, 362, 369, 398
—, дифференцирование 198, 200,
221, 24T)f 261
—, — повторное -205
—, — тензорное 261
Тензор диэлектрический 341
— диэлектрической восприимчи-
восприимчивости 342
— инерции 305, 310, 311 .
— истинный 48, 53, 183, 185
— ковариантныЙ 39, 41
— контравариантный 38, 40
— магнитной восприимчивости 344
— — проницаемости 34 5
— метрический 63, 184, 185, 222,
241
— — в пространстве конфигураций
321
— модулей упругости 363
'— па поверхности 221, 240
— напряжения 358, 362, 369
— — , вязкий
— нулевого порядка 38
— поворота 399
— относительный (псевдотензор) 47
—, порядок его 38, 40
—, преобразование 41
— проводимости 346
—, производная—, см. Производ-
Производная
—, произвольность его составля-
составляющих 42
— пространственный 222, 239
— Римана—Кристоффеля 205, 207,
242, 268
—, свертывание 43
— симметричный 43, 47
— скорости деформации 365
—, сложение 43
— смешанный 41, 311
—.умножение 43
—, физические составляющие 394
— фундаментальный (метрический)
61, 185, 223
¦— четырехмерный D-тензо.р) 373
Теорема Бонне (о геодезической
кривизне) 254
(в динамике) 302, 330
— Гаусса 254, 276, 339
— Грина 249, 333, 334, 341, 358,
360
— Дюпена 283
— Иоахимсталя 282
— Менье 274
— Стокса 336, 337," 347
— Эйлера 279
Теория определителей 23
— относительности 11
— — специальная 371
— поверхностей 256
— упругости 166', 362, 398, 402, 404
— электромагнитного поля 345,
386, 397, 401, 403
— електронная 332
— элементарных делителей 137
Тождества Ляме 205, 208
Точка Оазисная 60
— мировая 372
— несобственная' 94
— омбилическая 283
— сопряженная 157
Траектория динамической системы
321, 323, 325

ПРЕДМЕТНЫ Й-2УКАЗАТЕЛ L
411
Траектория естественная 294, 300,
321, 325
— точки 285, 294, 390
— — как геодезическая линия 298
Углы Эйлера 316, 329
Угол между направлениями 65, 187
225
Умножение объектов 17
— псевдотензоров 49
— тензоров 43
Уравнение каноническое ибнуса
116
еемейства конусов 13<Г-
— Лапласа 367
— неразрывности 361, WS-, 368.
386, 401
— плоскости 81
— — точечное 90
— поверхности второго попядка
145, 146, 147, 148, 160
— прямой 100, 104, 215, 216
— Пуассона 398
— сечения конического НО
— сферы 163
— тензорное 43
— характеристическое-31, 361
Уравнения Аппеля 304
— Гамильтона 303, 329
— Гаусса 269
— Гаусса—Кодацци 267
— Кодацци 269
— Лагранжа 288, 290
— линейные 28
— магнитного поля 344—345
— Эйлера 311, 313
— электромагнитного поля 346—
348, 397
-- — —, релятивистские 386
Форма квадратичная 14
— — вторая основная поверхности
264, 265, 270
— — первая основная поверхно-
поверхности 259, 270
- — положительно определенная 31
ч<ир.ча квадратичная третья основ-
основная поверхности 265, 267, 270
— — фундаментальная 374
— линейная 14
Формула Бельтрами 249
— Вейнгартена 265, 267, 281
— Лагерра 253, 284
— Остроградского 333
— Энпепера 279, 280
Формулы Гаусса 264, 265, 295
— Родрига 283 .
— теории поверхностей 256
— Френе 213, 245, 274
Функция однородная квадратичная
14
— — линейная 13
— потенциальная 289
— силовая 289
Центр инерции системы материаль-
материальных тйчек 305
— поверхности второго порядка 1 45
Цилиндр 151
Циркуляция вектора 338, 367
Число степеней свободы 315
Электричество 333
Элемент линейный (длины) 184, 222,
224, 235, 258, 401, 403
— —: действия 325
— — кинематический 321
— — сферы -224
— — пилиндра кругового 224
— площади 227
Эллипсоид деформации 356
— инерции 306
— напряжений 359
Энергия 288
— деформации 364
— кинетическая 28?
— полная механическая 294
Якобиан 34, 51