И Р,.Л.О>
8 МЕХАНИКУ
СПЛОШНОЙ
Л. И. СЕДОВ
ВВЕДЕНИЕ
В МЕХАНИКУ
СПЛОШНОЙ
СРЕДЫ
№.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962
Леонид Иванович Седов.
Введение в механику сплошной среды.
Редактор Н. С. Мельникова.
Техн, редактор К. Ф. Брудно.	Корректор 3. В. Автонеева.
Сдано в набор 5/1Х 1961 г. Подписано к печати 7/П 1962 г. Бумага 60х90/16. Физ. печ. л 17,75.
Условн. печ. л. 17,75. Уч.-изд. л. 17,11. Тираж 8000 экз. Т-00942. Цена книги 1 р. 06 к. Заказ № 2817.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза. Ленинград, Измайловский пр., 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................................. 5
Введение...................................................................... 9
Глава I
Элементы тензорного исчисления
§	1.	Криволинейные системы координат.......... 13
§	2.	Преобразование координат........................ 20
§	3.	Понятие о тензорах и основы	алгебры тензоров. 23
§	4.	Тензоры второго ранга........................ 32
§	5.	Тензорные функции.................. 44
§ 6.	Функции нескольких тензоров...........................  .	60
§ 7.	Потенциальные тензорные функции........................................ 65
§ 8.	Дифференцирование тензоров по пространственным координатам . . 70
§ 9.	Тензор Римана — Кристоффеля............................................ 74
§ 10.	Дифференцирование тензоров по параметру................................ 78
Глава II
Кинематика деформируемой среды
§ 1.	Общие свойства непрерывных деформаций................... 92
§ 2.	Аффинные деформации..................................... 95
§ 3.	Непрерывные конечные перемещения сплошной среды.........101
§ 4.	Тензорные характеристики деформации.....................104
§ 5.	Вектор вращения осей деформации.........................114
§ 6.	Кинематические тензоры, характеризующие деформацию......117
§ 7.	О дифференцировании нелинейных тензорных функций........121
§ 8.	Условия совместности....................................128
Глава III
Динамические и термодинамические уравнения
§	1.	Физические предпосылки.............131
§	2.	Понятие материального континуума.135
§	3.	Уравнения неразрывности.136
§	4.	Динамические уравнения.............140
§	5.	Теорема живых сил и работа	внутренних поверхностных сил . . . 152
§ 6.	Термодинамические системы и циклы, уравнение закона сохране-
ния энергии и понятие о внутренней энергии системы.............. 155
§ 7.	Основные понятия и следствия, связанные со вторым законом
термодинамики....................................................164
§ 8.	Идеальные жидкости и газы.......................................171
§ 9. Простейшие идеальные процессы...........................181
4	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 10.	Специальные примеры идеальных сжимаемых сред ........ 185
§11.	Уравнения движения газовых смесей с физико-химическими взаи-
модействиями между компонентами...................................190
§ 12.	Вязкие жидкости и газы.....................................210
§ 13.	Турбулентные движения сплошных сред........................213
§ 14.	Модель упругого тела.......................................217
§ 15.	Термоэластические изотропные среды.........................234
§ 16.	Замечания о механических моделях с необратимыми процессами . 241
§ 17.	Пластические, упругие и полные деформации..................246
§ 18.	Упругая область и поверхность	нагружения...................253
§ 10.	Основные законы в теориях пластических	тел.................258
§ 20.	Модели пластических сред, для которых поверхность нагружения
имеет угловые точки...............................................271
Литература.......................................................277
Предметный указатель.............................................281
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретическое и экспериментальное исследование движений и
различных физико-химических процессов в деформируемых телах
связано с введением, изучением и использованием многих характер-
ных понятий, математических методов описания и законов природы,
приводящих к формулировке замкнутых систем уравнений. При этом
следует руководствоваться тем, что постановка и разрешение задач
теоретического описания различных явлений в окружающем нас мире
всегда связаны с введением схематизированных моделей и идеальных
процессов, соответствующих в требуемом смысле (определяемом
характером рассматриваемых проблем) наблюдениям и опытам с реаль-
ными телами.
Как известно, система дифференциальных или вообще функцио-
нальных уравнений называется замкнутой, когда число независимых
уравнений равно числу искомых величин — функций. Выделение
фиксированных замкнутых систем уравнений позволяет ставить и
изучать многие классы задач. При теоретическом разрешении конкрет-
ных задач необходимо опираться на замкнутую систему уравнений
и на различного рода дополнительные условия, например: начальные
и граничные условия, условия стационарности, условия непрерывности
и условия на разрывах, условия в бесконечности и т. д. Явная
формулировка всех уравнений и дополнительных условий, определя-
ющих единственное решение — ответы на поставленные вопросы,
составляет постановку задачи. Правильная постановка задачи является
важнейшим шагом, обеспечивающим успех исследования. Недоста-
точность определяющих условий может привести к неединственности
решений и всякого рода «парадоксам»; наоборот, чрезмерная жест-
кость или наличие лишних требований может привести к отсутствию
существования искомого решения.
Проблема правильной постановки задач во многих случаях трудна
и является основным предметом исследований.
В книге излагаются теоретический аппарат, основные физические
представления и принципы, которые используются при построении
моделей материальных тел. заполняющих пространство непрерывным,
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
т. е. сплошным образом. Рассматриваются различные примеры сплош-
ных сред и типичные процессы, однако свойства частных процессов
не исследуются и решения конкретных за^ач о движении сплошных
сред не даются.
Подобного рода ограничение, сознательно принятое, позволяет
изложить основы механики сплошной среды в единой трактовке и
отделить проблемы, связанные с постановкой задач механики сплош-
ной среды, от методов и результатов решения этих задач. Решению
конкретных задач в настоящее время посвящены весьма многочислен-
ные исследования, обозримые практически только в пределах опре-
деленных классов задач и только применительно к специальным про-
блемам.
Существенным элементом развиваемых ниже теорий является от-
сутствие предположения о геометрической малости деформаций
частиц среды — предположения, обычно весьма распространенного
в теории упругости, пластичности и других теориях.
Учет конечности деформаций сильно усложняет теорию, однако
во многих современных актуальных практических задачах это услож-
нение необходимо, поэтому в книге развивается геометрически и дина-
мически нелинейная механика.
Учет конечности относительных перемещений и деформаций частиц
тела необходим в исследованиях некоторых задач теории упругости
для таких тел, как резина, для пластических течений твердых тел,
для описания деформаций полимерных материалов, очень часто для
жидких и газообразных тел и т. д. и т. п.
Предлагаемая нами трактовка геометрических и кинематических
характеристик движений с конечными деформациями по форме и по
качеству содержит некоторые новшества. В частности, мы рассмат-
риваем в явном виде определение различных тензоров в разных про-
странствах, определенных последовательностью деформированных
состояний. Мы рассматриваем тензоры как инвариантные объекты,
представляемые в виде символических сумм вида
т= та:^.элэ^эг	(1)
где — компоненты тензора, а Эл и Эа (а = 1, 2, 3) — ковариант-
ные и контравариантные векторы координатного базиса.
Такое представление обычно для векторов. Подобное пред-
ставление для диад— тензоров второго ранга широко исполь-
зовано М. Лагалли [69]. Использование представления вида (1)
для тензоров вносит существенные упрощения в развитие теории
операций над тензорами, особенно в теорию дифференцирования тен-
зоров по координатам или по скалярным параметрам, когда векторы
базисов переменны, и в частности, при одновременном рассмотрении
данного тензора в различных движущихся друг относительно друга
базисах.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Первые две главы посвящены теории тензоров и кинематическим
приложениям, причем основное внимание уделяется малоизвестной
теории нелинейных тензорных функций.
Значительная часть излагаемого материала до сих пор была опу-
бликована только в журнальных работах специального характера,
некоторые результаты публикуются впервые.
Динамические и термодинамические законы излагаются в третьей
главе.
Читатель, знакомый в общих чертах с теорией тензоров, может
пропустить первые две главы и без особых затруднений начать читать
книгу с третьей главы.
Для лиц, желающих вести исследовательскую работу по дальней-
шему развитию динамической и термодинамической теории или желаю-
щих решать конкретные теоретические задачи о движении сплошной
среды с конечными деформациями, материал двух первых глав не-
обходим.
В предлагаемой книге нет исторических сведений и нет сколько-
нибудь полного обзора опубликованной литературы по рассматри-
ваемым вопросам !).
В качестве иллюстраций, представляющих также большой само-
стоятельный интерес, в книге рассмотрены некоторые примеры клас-
сических применяемых и новых разрабатываемых моделей сплошных
сред для газов, жидкостей и твердых тел. В частности, рассмотрена
современная проблема о построении модели сплошной среды для
пластического тела.
Ч Ограничимся только следующей небольшой справкой.
Теория конечных деформаций и соответствующие общие геометриче-
ские и динамические соотношения и уравнения изучались с самого начала
развития механики сплошной среды. Уже у Кирхгофа [65] эти теории были
в значительной степени разобраны. Результаты работ, выполненных в 19-м
и в начале 20-го столетия, изложены в известной книге Лява [Ч * * * * * * * * * * * * * * * 20 * *]. В последнее
время отмечается дальнейшее развитие и приложение теории конечных де-
формаций как в теории упругости, так и в теории моделей сплошных сред
с необратимыми процессами. Значительный вклад в развитие нелинейной
теории упругости содержится в работах Ф. Д. Мурнагана [73»74], А. Синьо-
рини [92] и В. В. Новожилова [23].
Развитие теории нелинейных тензорных функций и полный исторический
обзор теоретических работ, опубликованных до 1953 года, содержится в
мемуарах К. Трусделла [96]. В последнее время теория нелинейных тен-
зорных связей разрабатывалась в работах Р. С. Ривлина [85, 86], и. Л. Эрик-
сена [52>51], А. Е. Грина [54], М. Рейнера [82,83] и многих других
авторов.
Реологическим, термодинамическим и статистическим исследованиям
посвящено огромное количество научных работ, некоторые из которых
указаны в списке литературы в конце книги (этот список не является в
какой-либо степени полным). Отметим еще замечательный курс механики
сплошной среды Мориса Руа [88], в котором уже осуществлено тесное
объединение механики и макроскопической термодинамики.
8	ПРЕДИСЛОВИЕ
Много важных конкретных моделей в этой книге не рассмотрено,
так как мы не ставили перед собой задачи дать полный обзор суще-
ствующих и разрабатываемых актуальных моделей.
Настоящая книга возникла в результате лекций по специальному
курсу «Введение в механику сплошных сред», читанных автором
в 1955—1958 годах в Московском государственном университете
(в литографированном виде эти лекции были изданы в 1959 году).
В заключение автор выражает свою искреннюю благодарность
Н. С. Мельниковой и В. В. Розанцевой, оказавшим очень
большую помощь в редактировании и при подготовке рукописи
к печати.
Москва,
1961 год
Л, И. Седов
ВВЕДЕНИЕ
Для научного описания и исследования движений различных тел
в природе и технике строятся теоретические модели материальных
тел. Примерами таких рационально обоснованных моделей, удовле-
творительных с физической точки зрения и весьма полезных для
многих приложений, являются следующие идеальные модели: мате-
риальная точка, системы конечного числа материальных точек с за-
данным взаимодействием, абсолютно твердое тело, идеальная сжи-
маемая жидкость с некоторым заданным уравнением состояния,
вязкая жидкость (или газ) Навье — Стокса, упругое тело, определен-
ное для малых деформаций законом Гука или для конечных дефор-
маций— некоторыми обобщениями этого закона. К этому перечню
можно добавить модели материальных тел с более сложными меха-
ническими свойствами, построенные для описания более узких классов
задач применительно к некоторым частным практическим вопросам.
Существенной особенностью нашего времени является то, что
разрешение многих современных механических проблем невозможно
в рамках имеющегося физически обоснованного запаса моделей мате-
риальных тел. В процессе исследования возникает необходимость
построения новых моделей с усложненными физико-химическими
свойствами, позволяющими дать описание интересующих нас эффек-
тов и разрешить различные проблемы, играющие важную роль
в приложениях.
Дальнейший научный прогресс требует построений новых моде-
лей, пригодных для изучения важных эффектов, обусловленных взаи-
модействием движений среды с физико-химическими и тепловыми
процессами.
Необходимость учета динамических, тепловых и физических эф-
фектов и их взаимодействия — характерная особенность современных
актуальных задач.
Отметим некоторые важные области исследований, в которых
решение ставящихся задач невозможно без введения новых моделей
сплошных сред.
Теория движения плазмы. Особенностью основных эффектов
в движущейся квазинейтральной плазме является взаимодействие
10
ВВЕДЕНИЕ
зарядов ионов и электронов с внешним электромагнитным полем и
с собственным электромагнитным полем, обусловленным подвижными
зарядами, образующим плазму. Характерным условием в некоторых
задачах о движении плазмы является наличие мощных магнитных
полей и высоких температур. Требуется строить методы изучения
движения плазмы с учетом физико-химических превращений и из-
лучения.
Проблемы движения очень сильно сжатых жидкостей и газов
или, наоборот, разреженных газов. Во многих практически важных
случаях сильно разреженные газы также можно рассматривать как
сплошную среду, но с иными свойствами по сравнению со сплош-
ной средой, отвечающей совершенному газу, принятому в класси-
ческих задачах аэродинамики и газовой динамики.
Необходимо помнить, что мы имеем дело с континуумом — мо-
делью сплошной среды, когда описываем движение или различные
процессы с помощью замкнутой системы дифференциальных уравне-
ний или с помощью функциональных уравнений с непрерывными
функциями распределения характеристик движения.
Движение твердых, жидких и газообразных тел с фазовыми
переходами и химическими реакциями. В этой области для совер-
шенных газов при обратимых процессах имеется далеко развитая
теория. Однако для твердых тел при наличии касательных напряже-
ний и в общем случае для жидкостей и газов при необратимых про-
цессах соответствующие теории находятся только в зачаточном со-
стоянии.
К этим вопросам примыкает проблема исследования движений
смесей.
Проблемы сплавов, растворов и смесей рассмотрены в термо-
динамике в основном только в тех случаях, когда нет касательных
напряжений.
К этому кругу задач можно отнести также важные вопросы
о движении жидких суспензий, эмульсий и проблемы кавитации
с образованием и исчезновением в жидкости пузырьков, наполнен-
ных газами и парами жидкости.
Теория пластичности. Понятие о пределе упругости и возникно-
вение остаточно-пластических деформаций тесно связано с физиче-
скими изменениями в микроскопической структуре твердого тела. Из-
учение пластичности должно быть связано с введением дополнитель-
ных параметров, характеризующих указанные физические процессы.
Для установления законов изменения этих параметров необходимы фи-
зические исследования или гипотезы термодинамической природы.
Теория ползучести. Явления ползучести и релаксации в твердых
телах связаны с особыми зависимостями внутренних напряжений от
температуры и от геометрических и кинематических характеристик
движения сред. Настоящее понимание явлений старения и усталости
ВВЕДЕНИЕ
11
материалов, по-видимому, возможно только на физической основе
при дополнительном введении физических параметров и дополнитель-
ных для них уравнений, характеризующих внутренние физико-хими-
ческие процессы, происходящие в твердых телах в напряженном
состоянии в тесной связи с влиянием температуры.
Проблема механических моделей для полимерных пластиче-
ских материалов еще очень мало разработана. Для построения со-
ответствующих моделей, по-видимому, необходимо основываться на
общих представлениях нелинейной теории упругости при конечных
деформациях с использованием результатов теории пластичности и
ползучести.
В настоящее время все еще предлагаются разнообразные модели
сплошных сред применительно к проблеме механики песчаных и
других типов грунтов, а также для подземной гидродинамики или
газовой динамики при движении жидкостей или газов отно-
сительно пористой среды.
Ниже мы не будем рассматривать конкретных задач сплошных
сред в названных выше проблемах. Наша задача — рассмотреть фунда-
ментальные макроскопические соотношения, которые необходимо
положить в основу при построении любых моделей.
Установление основных макроскопических понятий и закономер-
ностей для различных материальных тел по существу является про-
блемой статистической физики и термодинамики. Поэтому внедрение
термодинамических и физических соображений, связанных с молеку-
лярной структурой и представлениями о микроскопических взаимо-
действиях составляющих тела молекул, имеет исключительно важное
значение для построения новых моделей в современной механике.
Необходимость принимать во внимание большое количество раз-
личных свойств материальных тел требует построения многих моде-
лей. Вместе с тем в приложениях следует вводить и применять
наименьшее число новых моделей и обязательно с полным описанием
механических и тепловых свойств. Только в этом случае можно ре-
шать широкий круг задач. Новые модели должны быть максимально
простыми, рациональными и удобными для теоретических исследований.
Распространена точка зрения о том, что фиксируемые модели
должны обладать наибольшей простотой, позволяющей развивать
удобные математические методы решения задач. Эту точку зрения
можно иногда логически развить и рассматривать (в пределах точности
физически поставленных задач) такие специальные модели, которые
допускают получение решений некоторых задач в заданной форме,
например, удовлетворяют требованиям о существовании автомодель-
ных решений данного типа и т. п.
Отметим, что употребляемые теоретические модели всегда несут
на себе печать применяемых методов изучения и методов разрешения
ставящихся задач. Достаточно напомнить основные общепринятые
12
ВВЕДЕНИЕ
допущения о материальном континууме, заполняющем пространство
непрерывно, о непрерывности движения во времени и по простран-
ственным координатам, о дифференцируемости многих вводимых функ-
ций и т. п. Без таких допущений невозможно использовать аппарат
дифференциального и интегрального исчисления.
Можно указать много примеров взаимодействия развитых методов
исследования и фиксируемых свойств модели. Это плодотворное
взаимодействие целесообразно углублять и применять как при по-
строении многих общих теорий, так и при решении конкретных задач.
Метод упрощенных моделей и свойств оправдывает себя даже
в тех случаях, когда заведомо известна более сложная структура
частиц, что, однако, можно не учитывать с точки зрения целей и по-
становок задач, в рамках которых развивается теория. Для пояснения
этого достаточно напомнить идею материальной точки. Как известно,
при некоторых условиях и для вполне определенных задач лю-
бую механическую систему конечной массы можно рассматривать
как материальную точку и на основании этого написать некоторые
универсальные и весьма полезные ^уравнения.
Во многих конкретных случаях, несмотря на углубление сведений
о данной материальной системе и постановку новых задач, связанных
с невозможностью рассматривать систему как материальную точку,
общие закономерности для системы как материальной точки сохраняют
свой смысл. Их может быть недостаточно для описания всех инте-
ресующих нас эффектов, и тогда необходимы дополнительные физи-
ческие соотношения.
Несмотря на то, что за последние сто лет коренным образом
изменились наши представления о строении материальных тел,
модели материальных континуумов, построенные основоположниками
механики сплошной среды (идеальная жидкость и газ, вязкая жидкость,
упругое тело и др.) сохраняют свое значение и в наши дни.
Таким образом, для построения новых, физически оправданных и
нужных для практики моделей необходимо понять суть свойств
веществ, учет которых, произведенный в наиболее простой форме
с заведомо неучитываемыми несущественными деталями, замеченными
в опытах, дает закономерности для физически малых частиц, а это
в свою очередь позволит исследовать существенные механические и
физические явления, происходящие в конечных телах, подверженных
различным частным условиям.
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Построение механики сплошной среды производится с приме-
нениями разнообразных криволинейных систем координат и, в част-
ности, подвижной деформирующейся системы координат, вморожен-
ной в среду (сопутствующая система координат). В связи с этим,
а также в связи с математической природой основных механических
характеристик движения сплошной среды необходимо всегда в явной
или неявной форме пользоваться понятиями тензоров и идеями о
функциональных связях между тензорами.
Общая теория нелинейных зависимостей между тензорами и тео-
рия конечных деформаций опираются на ряд предложений и следствий
тензорного исчисления, которые обычно не излагаются в элементар-
ных распространенных руководствах и поэтому малоизвестны среди
широких кругов специалистов по механике.
В предлагаемой краткой главе мы излагаем в некоторой единой
системе основные сведения из тензорного исчисления, что позволит
в дальнейшем упростить изложение механических теорий.
Во избежание полного и детального построения тензорного исчи-
сления многие элементарные и привычные сведения мы предпола-
гаем известными, однако ряд простых понятий, операций и соотно-
шений будут упомянуты для подчеркивания предлагаемого аспекта
изложения и для выявления основных идей, которые будут исполь-
зованы в приложениях.
§ 1. Криволинейные системы координат
Приложение математических числовых методов описания геомет-
рических и механических явлений основано на введении системы
отсчета, иначе говоря, системы координат. Кроме того, для получе-
ния конкретных чисел необходимо еще для именованных величин
(длина, время, сила и т. п.) фиксировать систему единиц измерения.
Системы координат и системы единиц измерения могут быть раз-
личными и многообразными и привносятся нами извне как вспомо-
14	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I
гательные средства исследования, не связанные по своему конкрет-
ному виду с физическим существом описываемых эффектов и
явлений.
Отсюда понятно, что физические факты и законы характеризуются
свойствами, не зависящими от выбора систем координат и единиц
измерения. Разыскание таких свойств, величин и законов особенно
важно в механике.
С помощью системы координат устанавливается соответствие
между числами и точками пространства. Для трехмерного про-
странства точкам ставится в соответствие три числа, которые назы-
ваются координатами точек пространства.
В дальнейшем мы будем иметь в виду приложения в рамках
ньютоновской механики. В этом случае можно ограничиться рас-
смотрением трехмерного пространства. Как известно, в евклидовом
пространстве во всем пространстве можно ввести одну и ту же
прямолинейную декартову систему координат или одну и ту же
криволинейную систему координат, для которой координаты точек
пространства можно представить в виде непрерывных функций де-
картовых координат.
Рассмотрим криволинейную систему координат, в которой коор-
динаты точек пространства обозначим через х2, х3. Линии, на
которых какие-либо две координаты сохраняют постоянное значение,
называются координатными линиями. Например, линия, вдоль кото-
рой х2 = const и х3 = const, определяет координатную линию х1;
вдоль этой линии различные точки фиксируются значением х1, на-
правление роста координаты х1 определяет направление вдоль этой
линии.
Через каждую точку пространства можно провести три координат-
ные линии. Касательные к координатным линиям в каждой точке не
лежат в одной плоскости и образуют, вообще говоря, неортогональ-
ный триэдр.
Пусть М и Мг — две бесконечно близкие точки пространства
с координатами х1, х2, х3 и x1-}-dx1, x2-{-dx2, x3-|-Jx3. Точки М
и Мг определяют бесконечно малый направленный отрезок ММ! = dr,
не зависящий от выбора системы координат. Отрезок dr целесо-
образно ввести как особый геометрический объект — вектор переме-
щения. Длина отрезка ММР которую обозначим через dst назы-
вается модулем или величиной вектора перемещения dr. Наряду
с вектором dr введем в рассмотрение другой вектор перемещения 3,
отличающийся от вектора dr только длиной. Если длина вектора Э
по условию равна единице, то для всякого числа k > 0 символ k3
определяет вектор, направленный вдоль отрезка ММХ с длиной, рав-
ной kt вектор —k3 определяет также вектор с величиной, равной k,
но направленный по прямой MMj в противоположную сторону: от
точки Мх к точке М.
§ 11	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
15
С помощью единичного вектора 3 вектор любой длины, направ-
ленный по прямой можно представить в виде k3. В соответ-
ствии с этим можно написать
dr~ds3,	(1.1)
где ds — расстояние между точками М и Л4Р
Проведем из точки М координатные линии и рассмотрим на этих
линиях точки N2, N3, определяемые соответственно прираще-
ниями только одной из координат при движении вдоль координатных
линий от точки М к точке (рис. 1).
Очевидно, что бесконечно малый отрезок пропорционален dx*9
поэтому можно написать
MNX = di\ = dx'3v
MN2 = dr2 = dx232,
MN3 = dr3 = dxz33,
(1.2)
где Эр Э2, Э3 — некомпланарные (линейно независимые) векторы пе-
ремещения, направленные по касательным к координатным линиям
с длиной, вообще говоря, не равной единице; длина вектора 3t
равняется единице, если приращение dxl равно дифференциалу длины
дуги вдоль координатной линии. Бесконечно малые векторы drv dr2
и dr3 определяют бесконечно малый параллелепипед, для которого
вектор dr является диагональю.
Перемещение из точки М в точку Мг можно осуществить вдоль
отрезка dr при одновременном изменении всех координат или после-
довательно вдоль ребер параллелепипеда при поочередном изменении
координат. Тождественность результата можно написать в виде век-
торного равенства
dr = dr । —|— dr 2 —{— dr 3
или
dr = ds3 = d x'3x +• dx232 +• dx*3^
(1.3)
16
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Равенства (1.3) можно рассматривать как определение операции
сложения векторов и как представление любого вектора перемеще-
ния dr в виде суммы трех векторов перемещения, направленных
вдоль координатных линий.
Согласно определению и свойствам скалярного произведения век-
торов можно написать
з
ds2 —(dr, dr)= 2 g^d^dx?,	(1.4)
a, ₽ = 1
где
(l,k = 1.2,3).	(1.5)
В правой части формулы (1.4) производится суммирование по ин-
дексам а и р, в дальнейшем знак суммы S удобно опускать, под-
разумевая суммирование всякий раз при наличии одинакового индекса.
Справа в (1.4) мы имеем квадратичную форму дифференциалов
dx*, коэффициенты этой квадратичной формы gik образуют симмет-
ричную матрицу g*.
£11
£♦ = £12
£12 £13
£22 £23
= Н(Э„ эА)||.
£13
£23 £зз
Легко убедиться, что детерминант матрицы g* равняется квадра-
ту величины dx^dx^dx^9 где — объем параллелепипеда, постро-
енного на трех векторах dr1=dx13v dr2 = dx232, dr3 = dx333.
В самом деле, объем V параллелепипеда, построенного на этих трех
векторах, представляется смешанным произведением
V = (Эр [Э2, Э3]) dx1 dx2 dx3,
где прямыми скобками обозначен символ векторного произведения.
Если ввести ортогональную систему координат в точке М, то сме-
V
шанное произведение для отношения -2 можно представить
ИЛ ИЛ? иЛ
в виде определителя, но легко видеть, что матрица, равная произ-
ведению матрицы этого определителя на матрицу с переставленными
столбцами и строками этого же определителя, как раз равна ма-
трице g*, следовательно, верно равенство
= <Э1 Эз1 > =	= Уё' d-6>
где через g обозначен определитель
Наряду с триэдром Эх, Э2, Э3 введем еще
который определяется формулами
Q1 __ [*^2> Э3] д2 __ ^3,
Vg	V~g ’
матрицы g„: g = | (3Z37) |.
взаимный триэдр Э1, Э2, Э3,
Э3 = [Э1’^1-.	(1.7)
Vg
§ 1]	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
17
Свойства взаимности следуют из непосредственно очевидных формул
/ /	\	/	/	( 0, i Ф J,
(3z,3y) = 8j. где 8j = ( h / = у (Z, /=1, 2, 3),
и формул
о _[Э2,Э3] g _[Э’,ЭЧ q _[Э',Э2]
Э1~“У7Г’
(1.8)
(1-9)
где через gx обозначен определитель матрицы ||(Э' , Э7) || =£•*:
^=1(^)1.
Равенства (1.7) и (1.9) следуют из уравнений (1.8), решение которых
единственно, так как детерминанты, составленные из компонент
векторов 3Z или Э1, отличны от нуля. Очевидно, что в ортогональ-
ной декартовой системе координат базисы единичных векторов Э,
и Э1 совпадают, поэтому различие между величинами с верхними
и нижними индексами исчезает. Если система координат ортого-
нальна, то векторы базисов и Э1 совпадают по направлениям, но
их величины вообще говоря, различны, так как 3i = gii3i.
Элементарный вектор dr всегда можно представить как сумму
трех векторов с направлениями, параллельными Э1, Э2, Э3, соответ-
ствующая формула аналогична формуле (1.3) и может быть написана
в виде
dr = ds3 = dx131 -{-dx232 -^-dx^d3,	(1.10)
бесконечно малые величины dxv dx2, dx3 аналогичны величинам dx1,
dx2, dx3 в формуле (1.3).
Из (1.10) следует формула
где
ds2 = ga$ dxa dx^
gik = (al, a*).
(i.ii)
Кроме того, из (1.3) и (1.10) с учетом (1.8) после скалярного пере-
множения правых и левых частей получим
ds2 = dx* dxa = dx1 dxx dx2 dx2 -j- dx3 dx3.
На основании равенства
dxa3a = dx^
после умножения обеих частей скалярно на 3Z или Э1 получим фор-
мулы
dxt = g^dxa и dx1 = g$l dx?;	(1-12)
2 Л. И. Седов
18	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. Т
кроме того, непосредственно очевидны также следующие формулы:
3i = gai3a. Э1 = ёл1Эа.	(1.13)
Из формул (1.13) следует, что матрицы ^=||^|| и g-*=||g/*||
взаимно обратны. Следовательно,
1
g •
Система векторов называется ковариантным базисом, система
векторов Э1— контравариантным базисом. Величины dxt называются
ковариантными компонентами вектора !) dr, a dxl — контравариант-
ными компонентами. Формулы (1.12) определяют переход от кова-
риантных компонент к контравариантным и наоборот.
Из формул (1.2) следует
=	(1-14)
На основании формул (1.10) очевидны аналогичные формулы
=	о-15)
Векторы базиса Э2, Э3, вообще, зависят от положения точки М
и определяют координатный триэдр в точке М. При перемещении
точки М базис изменяется. Изменение базиса характеризуется значе-
дЭ1
нием производных -уу-
В евклидовом пространстве без всяких дополнительных сообра-
жений ясно, что производная от вектора по скалярной перемен-
ной— также вектор, который можно представить в виде суммы трех
*) В общем случае систему ковариантных компонент вектора dr
dxx = gal dx*, dx2 = ga2 dx*, dx3 = ga3 dx*
нельзя рассматривать как полные дифференциалы для соответствующих
функций от координат точек пространства х1, х2, х3, так как условия инте-
грируемости не выполняются. Например, условия интегрируемости для всех
dxi не выполняются в случае сферических координат, когда х1 == г, х2 = 6,
х3 = <р и
dxi = dr, dx2 = г2 dft, dx3 = r2 sin2 6 dy.
Если система координат косоугольная декартова, то ga^ == const и по-
этому верны формулы
*k = gak**-
В общем случае криволинейных координат нельзя определить вели-
чины xk как однозначные функции координат точек пространства х1.
§ 1]	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ	19
векторов, параллельных базису. Поэтому должно иметь место сле-
дующее равенство:
=	-	(1.16)
где Г/у—некоторые величины, называемые коэффициентами связ-
ности или символами Кристоффеля. В евклидовом пространстве, если
координаты декартовы, то Г/7 =0, для криволинейных координат
в евклидовом пространстве Г/;- =/= 0.
В евклидовом пространстве, если ввести радиус-вектор точек
пространства г(А[), то очевидно равенство
дЭ( __ д2Г _____ pa
dxJ дх1 dxi	а ’
откуда следует, что
=	(1.17)
Коэффициенты можно выразить через производные от gik. Умно-
жим равенство (1.16) скалярно на Э3, получим
dgis q <&s _____ ра
dxi 1 dxi tjSas’
переставляя индексы i и j, кроме этого будем иметь
Далее, так как
дёЦ __э дЭ> । э = э i g d9s
dxs 1 dxs i dxs 1 dxj dx1
получим
V7-+-TT—тт-=2Г^«-	a-18)
dxJ dx1 dxs
После умножения (1.18) на g$s и суммирования по s найдем
Легко показать, что производные от векторов контравариантного
базиса также можно представить с помощью величин фор-
мулами, аналогичными формулам (1.16).
2*
20
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Дифференцируя равенство (Э1, 3k) = $k и учитывая (1.16), по-
лучим
эЛ=—(э1,	= —г^.
\дх' к) \ дхЧ	1
откуда следует формула
дЭ1
дх^
г<эа.
Далее на основании формул (1.12) имеем
______d3i дХ* _____ дЭ[	п? о ~fa
dxj ~ дх* dxj ~ дх* s
(1.20)
(1.21)
и аналогичным образом
д&
dxj
г^эУ<
Введенные в этом параграфе для евклидова пространства понятие век-
тора бесконечно малого перемещения, операции скалярного и век-
торного произведения, векторы ковариантных и контравариантных
базисов, величины gik, gik, символы Кристоффеля и, в частности,
формулы (1.16) — (1.21) по определению сохраняются в той же
форме для риманова пространства.
ц
i
 ।
I
й
А
А
г(
н
§ 2. Преобразование координат
Координаты точек пространства, координатные линии, векторные
триэдры и Э1 и связанные с ними величины зависят от выбора
системы координат. Рассмотрим формулы преобразования при пере-
ходе от одной системы координат к другой.	(
Пусть заданы две системы координат К и К'. В системе К коор-
динаты точек пространства обозначены через х1, х2, х3. а в системе
К' — через у1, у2, у3 и заданы функции
= х2э хз) (/=1, 2, 3).	(2.1)
Далее будем предполагать, что функции у^х1, х2, х3) непрерывны,
дифференцируемы и определяют взаимно однозначное соответствие
в рассматриваемых областях.
Как известно, в этом случае якобианы преобразования отличны
от нуля:
Д = |^|^0	и Д“> = |з4| ¥-0.	(2.2)
| dxk I	I ду* I
Причем матрицы, соответствующие этим детерминантам, взаимно
обратные. Формулы (2.1) могут быть разрешены в малой окрестности
§ 2]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ	2!
любой точки указанных областей и представлены в виде
xi — xi(y1t у2, у3).
Пусть Э[ и 3i (/=1, 2, 3) — векторы координатных реперов
в точке М соответственно в системах К и /С. Для любого вектора
перемещения dr верно равенство
dr = dxx3x + dx232 4- dx333 = dy’sj + dy232 + ЛуЭз.
Отсюда легко получим формулы, связывающие Э/ и Э/. Так как
dxl = -^-dya	и dy* = -^--dxat	(2.3)
ду*	дх*	v
где по а производится суммирование, то
dya э? = dy*3'* и ах“эа = dx э’^
Откуда получим формулы
Э:=^Э,. Э. = ^Э',.	(2.4)
Обозначим через А матрицу преобразования, т. е.
	дх1 дх1 дх'	
	- 	— -  -	
	ду1 ду2 ду3	
л 1. 7 1! II	II	дх2 дх2 дх2	л-1	0 id- II II дуЧ|
л=|“‘»1=|1тг| =	ду1 ду2 ду3	, тогда A = lM = |^||>
	дх3 дх3 дх3	
	-- - 		
	ду1 ду2 ду3	
первый индекс I дает номер строки, а второй — k — номер столбца.
Формулы (2.3) и (2.4) символически можно записать в форме
dx=a.kdyk4 3k~3iA~l и dy1 =Ь1.'^х\ Эк = Э}А. (2.5)
В формулах (2.5) необходимо обратить внимание на порядок мно-
жителей. В суммах ahkdyk dy1, dy\ dy3 свертывается с различными
членами фиксированной строки (суммирование по нижнему индексу)
матрицы А; в суммах 3fA свертывание ЭР Э2, Э3 производится
с фиксированными членами столбца (суммирование по верхнему ин-
дексу) матрицы А.
Мы установили формулы для преобразования контравариантных
компонент dx*, dy1 вектора dr ,и ковариантных векторов базисного
репера Э/ и Э/.
Дадим теперь формулы преобразования ковариантных ком-
понент dxt и dyt и контравариантных векторов базиса Э* и Э'1.
22	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I
Отметим прежде всего формулы преобразования для gik. Имеем
/	/а'	а'\ дх*	о \	/а
^ = Pz. =	—(2.6)
очевидно, что обратные формулы имеют вид
ду* ду$ ,
gik~~dJ~dJg°?-
Из формул (2.2) и (2.6), в частности,- следует, что
^ = Д2/ и §-1 = Д-2^,	(2.7)
где через g' обозначен определитель матрицы
<=11(3'Э;я. ?'=1(э;, э;)|;
через g' — матрицы
Z=IK^, ^МСэ"'. э'0|.
Далее, так как
dxi = SisdxS и dyk = s'kr dyT,
то на основании формул (2.3) и (2.7) получим
dx- = -^-^-e' -dvr=-^ff' dvr =^-dv	(4K\
1 dx1 dxs ga? дуг У dx1 gar У дх1	2‘°
так как
dy? dxs  л
dxs dyr	r*
Если еще учесть равенство
dxa3* = dy^,
то, используя (2.8), получим формулу преобразования
Э//==-Э&Э“-	(2-9)
В итоге получим еще четыре формулы следующего вида:
dxk = dylbi.'k, Э1 = АЭ'к и dyk — dxlai.'tt, Э'1 = А~хЭк. (2.10)
В формулах (2.10) порядок множителей имеет тот же смысл, что и
в формулах (2.5).
Формулы (2.5) и (2.10) дают полную систему формул прямого и
обратного преобразования для компонент вектора перемещения и
векторов координатного базиса. Симметрия и различие законов пре-
образования для ковариантных и контравариантных величин очевидны
из строения этих формул.
§ 3]
ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ И ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
23
§ 8. Понятие о тензорах и основы алгебры тензоров
В предыдущем параграфе для произвольных законов преобразо-
вания координат установлены формулы для преобразования ковариант-
ных и контравариантных компонент бесконечно малого вектора dr
и векторов координатных базисов Э1 и ЭР Эти формулы получены
как простое следствие инвариантности вектора dr, который рассматри-
вался как объект, независимый от выбора системы координат.
После установления формул (2.5) и (2.10) можно поставить
вопрос о других объектах, которые, подобно элементарному век-
тору dr, можно рассматривать как инвариантные величины, незави-
симые от выбора системы координат.
/Можно ввести в качестве основных новых объектов вели-
чины Эр Э2, Э3 и соответственно Э1, Э2, Э3, относительно которых
могут быть определены операции умножения на число, сложения,
скалярного и векторного умножений и преобразования при измене-
нии системы координат.
После этого можно определить вектор вообще как линейную
комбинацию следующего типа:
а = а1Эг + а2Э2 + а3Э3 = ахЭ' + а2Э2 + а3Э3	(3.1)
и рассматривать а1 и at как контравариантные и ковариантные ком-
поненты вектора а, который вводится как объект, независимый от
выбора системы координат, а числа а> и at должны рассматриваться
как система компонент, аналогичных компонентам dxl и dxt и пре-
образующихся по таким же формулам. При фиксированных едини-
цах измерения для всякого вектора а, как инвариантного объекта,
определенного формулой (3.1), можно указать только один скаляр-
инвариант, длину вектора, которая может быть определена формулой
а = У(а, а) = Vg^a'a* = /g^a^ = УанГа.
Как было отмечено выше, разыскание и использование инвариант-
ных величин имеет важное значение, так как это позволяет отделить
привносимые извне теоретические способы исследования от существа
разбираемых проблем.
Опираясь на введенные векторные базисы Эг- и Э\ можно обоб-
щить понятие вектора и ввести в рассмотрение инвариантные объекты
следующего общего вида:
Т = Т^...^"ЭаЭ? ... Э^....	(3.2)
Суммирование производится по всем индексам а, р........у, 8, . ..,
в каждом одночлене произведение ЭаЭ$ ... ЭТЭ§... в правой части (3.2)
имеет определенный порядок и рассматривается как линейно неза-
висимая величина от других одночленов общей суммы.
24	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I
Объект Т, задаваемый числами-компонентами 7^...!?*”, рассматри-
ваемый как объект, независимый от выбора системы координат, назы-
вается тензором; при этом компоненты тензора зависят от выбора
системы координат. Общее число ковариантных и контравариантных
индексов называется рангом или валентностью тензора. Индексы
расположены в определенном порядке, при этом над нижними индек-
сами имеются пустые места наверху, а под верхними индексами пустые
места внизу. В формуле (3.2) производится суммирование по одина-
ковым индексам от 1 до /г, равному числу измерений пространства
в рассматриваемых приложениях. Одновременная перестановка индек-
сов у компонент и у векторных символов базиса ничего не изме-
няет в формуле (3.2). Если изменить порядок индексов только у ком-
понент, то это приведет к новой величине, которая может совпасть
с исходной только в том случае, когда первоначальные компоненты
соответственно равны компонентам с переставленными индексами.
Из инвариантности тензора Т и из формул преобразования (2.5)
и (2.6) для векторов базиса легко вывести общие формулы преобра-
зования для компонент тензора любого ранга.
Условие инвариантности тензора Т равносильно равенству
7’ар...У?-эаээ..эгЭо... -
в котором для удобства индексы суммирования в различных системах
координат обозначены различными буквами.
Непосредственно очевидны следующие формулы:
ТУ-- to---   т-- г3*” дх* дх$ дУк дУ3	/о о\
1 tj    1 0$  л ; -j / * * * л у л б * * *
ду1 dyJ дх^ дх
Формулы (3.3) равносильны формуле (3.2). Обычно тензоры опре-
деляют как совокупность компонент, подчиняющихся преобразова-
ниям (3.3), без явного введения тензорной величины Т как объекта
в целом. Однако явное использование понятия о векторе как
объекте а = широко распространено. Рассмотрение тензора как
объекта в целом, определенного формулой (3.2), так же как и для
вектора, особенно удобно и выгодно в тензорном анализе при уста-
новлении правил дифференцирования по координатам и по перемен-
ным параметрам в различных системах координат (производные по
времени в различных смыслах).
Из определения тензора следует, что если все компоненты тен-
зора равны нулю в какой-либо одной системе координат, то компо-
ненты этого тензора равны нулю и в любой другой системе коор-
динат.
Из формул (3.3) очевидно также, что после перестановки между
собой каких-либо двух верхних или двух нижних индексов у ком-
§ 3]	ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ И ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ	25
понент данного тензора получается другой, новый тензор, вообще
говоря, с другими компонентами, неравными соответственно компо-
нентам исходного тензора.
’ Если после перестановки некоторой пары нижних или верхних
индексов тензор не изменяется, то он называется симметричным по
этим индексам.
Если каждые две компоненты с переставленными индексами
отличаются между собой только знаком, то такой тензор называется
антисимметричным по этим индексам. Ясно, что компоненты анти-
симметричного тензора, в которых переставляемые индексы одина-
ковы, равны нулю.
Предыдущие определения симметричности или антисимметричности
представляют собой инвариантные свойства тензора, так как если
эти свойства выполняются в какой-либо одной системе координат,
то, как легко видеть из формул (3.3), они будут выполнены в любой
другой системе координат.
Нижние индексы у компонент тензора 7^...^”* можно поднимать,
а верхние опускать, заменяя соответствующие векторы базиса по
формулам (1.13). Таким образом, например, для поднятия индекса а
и опускания индекса В можно написать
Т =	= т%...Гг-э^...э^г..., I
где	1 (3.4)
Формула (3.4) дает общее правило жонглирования индексами.
Отметим, что если система координат ортогональная и декарто-
вая, то
fl. a = s,	[1, 8 = г,
^“ = | 0. a *s, и ^ = 1о. 8#= Г,
поэтому компоненты с поднятыми и опущенными индексами равны
друг другу. Следовательно, в ортогональной декартовой системе
координат положение индекса наверху или внизу несущественно.
Заметим, что согласно формулам преобразования (2.6) совокуп-
ность чисел gik образует тензор G, причем можно написать следую-
щие равенства:
G--=ga^ = gaf>aa3? = ^3a^,	(3.5)
где
Любопытно отметить, что компоненты тензора G со смешан-
ными индексами (по одному индексу ковариантные, по другому —
26	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
контравариантные) в любых системах координат одни и те же и равны
просто 8). Тензор G симметричный, так как gik = gki и gik = gki.
Для тензоров так же, как для векторов, можно определить опе-
рацию умножения тензора на скаляр и операцию сложения тензоров.
Умножение тензора на число k дает другой тензор, у которого
все компоненты умножаются на число k.
Сложение тензоров определяется только для тензоров одинако-
вого ранга. Для получения компонент тензора 7, равного сумме
Т' + Т", необходимо с помощью операций опускания или поднятия
индексов сделать компоненты тензоров Т' и Т" одинаковыми по
строению индексов, после этого компоненты суммы равняются просто
сумме компонент слагаемых тензоров. Сумма компонент образует
тензор, так как преобразуется так же, как и слагаемые компоненты.
Результат сложения не зависит от строения индексов у складывае-
мых компонент.
Очевидно, что правило суммирования двух тензоров легко рас-
пространяется на случай суммирования любого числа тензоров. i
Из данных тензоров (или, в частности, векторов) легко образо-*
вать новые тензоры путем составления экстенсивов (совокупности
чисел) из произведений компонент
т = Т'Т" =	(3.6)
Таким образом составленный результативный тензор Т зависит от
порядка множителей и имеет ранг, равный сумме рангов перемно-
жаемых тензоров Т' и Т".
Из двух данных тензоров можно образовывать новые тензоры
ранга, меньшего суммы их рангов, путем инвариантной операции
скалярного произведения любых пар троек базисных векторов, соот-
ветствующих определенному индексу. Например, с помощью тензо-
ров Т' и Т" можно образовать тензор, равный следующему двой-
ному скалярному произведению:
Т = Т'^1 Т"ш= Т'^. Т"^Э&ЭГ	(3.7)
В частности, при скалярном умножении данного тензора на фунда-
ментальный тензор G, определяемый равенством (3.5), получим также
тензор. В случае умножения несколько раз на тензор G и при
использовании в каждом из множителей тензора G в скалярном
произведении только одного индекса получим первоначальный тен-
зор, в котором новые компоненты могут иметь только переста-
вленные индексы сверху вниз или наоборот. Следовательно, опера-
ция жонглирования индексами сводится к такого рода скалярному
умножению, фундаментальный тензор G при этом играет роль еди-
ничного тензора.
§ 3]
ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ И ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
27
При использовании в скалярном умножении обоих индексов тен-
зора G получим тензоры меньшего ранга следующего вида:
7 = Т • G = Тт'п..ЭтЭ^пЯ = Тт^.ЭтЭ3. (3.8)
Скалярное произведение в формуле (3.8) составлено по индексам п
и г тензора Т. Эта инвариантная операция перехода от тензора Т
*
к Т сводится к суммированию компонент тензора Т по индексам
п и г при п = г и называется операцией свертывания по соответ-
ственным верхнему и нижнему индексам. С помощью операции
свертывания (сокращения) всегда можно получить тензор низшего
порядка.
В частности, для любого заданного тензора таким путем из его
компонент можно образовать скалярные инварианты. Например, для
всякого вектора а = агЭт имеем инвариантный скаляр
2	1	।	2	।	3	а	« 3	а(3
а = аа1 + аа2 + аа3 = ай, = а a'g^ = a„a9g р,
равный его величине.
Для тензора второго ранга Т =ТтпЭтЭп очевидно, что следую-
щие величины являются инвариантными скалярами:
01 = Га,
g*3=r.^T\.
(3.9)
Таким образом можно образовывать инвариантные скалярные суммы
более высокого порядка. Однако не все инварианты такого рода
независимы. Для тензоров высокого порядка число независимых ска-
лярных инвариантов зависит от строения компонент тензора. Имея
в виду дальнейшие приложения, нам не потребуется углубляться в эту
проблему в общем случае.
Операцию векторного перемножения векторов базиса, отвечающих
некоторому одному индексу в первом тензоре и некоторому другому
во втором, можно использовать для получения соответствующих
экстенсивов векторного произведения двух тензоров. Для векторного
произведения двух векторов с учетом формул (1.9) имеем
[а, &] = аа^[Эа, 3p]==prg-1(ae^ —дД)Эт = стЭг (3.10)
где
=	(«А—V«)-
Справа написана сумма, в каждом члене которой индексы а, р, у
образуют одну из комбинаций индексов 1. 2, 3 при круговой пере-
становке этих индексов.
28	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I
Аналогичным способом можно определить операцию векторного
,	произведения двух тензоров любого ранга для любых двух верхних
или двух нижних индексов этих тензоров. Очевидно, что векторное
I	произведение тензоров зависит от порядка перемножения.
j	Операция образования новых экстенсивов при векторном пере-
J	множении векторов базиса, приводящая к тензорам с рангом, мень-
!	шим суммы рангов перемножаемых тензоров, тесно связана с инва-
риантной операцией альтернирования, которую можно применять
к тензорам с несколькими индексами (заданных непосредственно или
<	полученных с помощью произведения нескольких тензоров), причем
в этом случае не происходит снижения ранга альтернируемого тензора.
Мы введем операцию альтернирования тензоров с помощью операции
скалярного умножения. Для этого наряду с тензором G с компо-
11	нентами 3} введем еще тензор S = Ъ1^ЭьЭрЭ^Эя, где
=	(3.11)
и тензор V — Ъ11тПЭЬЭ1 ЭтЭп с компонентами
=	(3.12)
Экстенсивы компонент S и V образованы с помощью умножения и
суммирования из фундаментального тензора G, поэтому это тен-
зоры. Из строения правых частей (3.11) и (3.12) очевидно, что
| '	только один член может отличаться от нуля, либо все равны нулю.
|	Таким образом, в зависимости от значения совокупности индексов /, у,
]	k и /, /п, п компоненты тензора с указанным строением индексов
равны либо +1, либо —1, либо нулю в любой системе координат.
!	Возьмем теперь два вектора а — а^1 и Ь = ЬрЭр и составим
Ь	тензор	г
;	С=аЪ = ароЭ1Эр.
| I	Скалярное произведение тензоров S • С по индексам I и р при учете
|! !	формулы (3.11) представляется формулой
|	$ • С=Ъ^аррЭ’Э” = (ар9 — aqb}) Э1#.	(3.13)
|	Компоненты тензора второго ранга S • С отличаются от^компонент
i •	векторного произведения (3.10) по модулю только множителем j/gp
i	причем эти компоненты имеют одинаковый знак при j <Zq и про-
i	и вэположный при j > q.
!	Образование нового тензора путем скалярного умножения данного
тензора второго или более высокого ранга на тензор S называется
>	операцией альтернирования по двум ковариантным или аналогичным
образом по двум контравариантным индексам.
§ 3]	ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ И ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ	29
В предыдущих формулах тензор С можно взять более общего
вида:
тогда
S • с= (C1q - cqj) 3>ЭР = diq3’tf.
После проведения альтернирования тензора второго ранга получим
кососимметрический тензор с компонентами
diq = dqj'
Антисимметричные тензоры вообще и, в частности, антисимметрич-
ные тензоры, построенные из произвольного данного с помощью
операции альтернирования по каким-либо двум индексам, в трех-
мерном пространстве можно заменить тензором с рангом на единицу
меньшего порядка. Например, если задан тензор
т = т1^э1экэаЭ',
антисимметричный по ковариантным индексам /, k, то для трехмер-
ного пространства можно ввести тензор Т, определенный следующим
образом:
Т^Т^З^,
где
— — V	= V g\T’^,
= VgJw = -
=- ИёЖ =
(3.14)
По определению примем, что величина Уgr положительна. Если
II dyi II II дх^ ||
учесть равенство (2.6) и что матрицы -А- и —г взаимно обрат-
11 &xJ II II II
ные, то легко убедиться непосредственно, что тензорные формулы
преобразования
тг.а.___дх" дуа дх*	♦
«.₽— Х|л-Т dyi дуь дх.
при наличии антисимметрии по индексам I и k эквивалентны тен-
зорным формулам преобразования
р/а-___р». dyJ ду* дх^
"т дх” дх* д/ '
30
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Компоненты тензора Т составлены из независимых компонент тен-
зора Т и меняют свой знак при переходе от правой системы коор-
динат к левой системе координат, когда детерминант преобразова-
ния А отрицателен. В частности, отсюда следует, что всякий анти-
симметричный тензор второго ранга можно рассматривать как
аксиальный вектор.
Рассмотрим теперь операцию альтернирования по трем индексам.
Пусть имеем тензор Т общего вида с компонентами Образуем
скалярное произведение тензоров V • Т, получим
V • т =
На основании (3.12) получим
______(pijk--	-pjik" । -piki-'	। pkij"	pikj"\ a q о аРз?
• 1 — ...pg	* ...pg ~T~ * ...pg * ---pg ~Г 1 ---pg	1 • • -pg)	.
(3.15)
Очевидно, что компоненты тензора V • Т антисимметричны по каждым
из двух верхних индексов, по которым проведено альтернирование.
Пусть
т = abc = albmcn3tdmdn,
где
a = al3v Ь = ЬтЭт, с = спЭп,
тогда
V • Т =	где A*j.k = ± (а, [&, г]),	(3.16)
так как каждая компонента будет равняться детерминанту из ком-
понент векторов a, b, с, взятых в определенном порядке. Справа
в (3.16) смешанное произведение надо взять со знаком плюс, если
система индексов Z, у, k получена из системы 1, 2, 3 четной пере-
становкой, и знак минус, если нечетной. После операции альтерни-
рования компоненты с одинаковыми индексами, по которым про-
изводится альтернирование, равны нулям. В трехмерном пространстве
для тензоров четвертого и высшего рангов операция альтернирова-
ния по четырем или по большему количеству индексов всегда дает
тождественный нуль, так как у любой компоненты некоторые два
индекса одинаковы.
Наряду с тензором G тензоры S и V можно использовать для
отыскания скалярных инвариантов тензоров. Например, если дан
тензор
т=ттпэтэп,	1
§ 3]	ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ И ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ	31
то очевидно, что следующие суммы дают инварианты:
! = № =	= gmaTam = gmaTm\ (3.17а)
^2 = У T4j = 4	=
Г?!	Т?2	,	T?2
r~pl •	<7^2 •	I	•
i \	л .2	/.2
А
= 4	- ТР?ТЧЛ) = 1 gapg?q (Т^ - Т^Т>а\
ст ____ 1 Z j k 'pZ • >~pm • 'рП •
cJ 3 — *g" ^Imn * i* j * - k —
<p2 •	^p2 •
*•2	'.3
7^2 Т-’з
(3.17b)
(3.17c)
= I I = I giaTaJ | = g | Г11 = 11'
Справедливость равенства = | T‘j [ следует из того, что каждый
из шести членов рассматриваемой суммы представляет собой детер-
минант, который получается из основного одновременной переста-
новкой двух строк и двух столбцов, и поэтому все эти детерминанты
равны между собой. Различные выражения для д\, <*72 и <^з в пРа’
вых частях (3.17) получены при использовани ковариантных, контра-
вариантных и смешанных компонент в любой системе координат для
любого тензора второго ранга.
Сравнивая (3.9) и (3.17), легко убедиться в справедливости
формул
&2=&1 — 2е7г и е7з = 3<*73+— 3^1^'2.
Очевидно, что определение тензоров и алгебраические операции
над тензорами непосредственно связаны с определением, свойствами
и операциями над векторами ковариантных и контравариантных
базисов Э1.
Для углубления рассмотренных понятий заметим, что возможно
ввести базисные объекты и g*z, для которых основные операции
и формулы преобразования по некоторым признакам будут отли-
чаться от соответствующих операций над и Э1. Затем через
объекты и можно ввести по формулам (3.2) объекты, анало-
гичные тензорам, с соответствующими операциями. Таким путем
в четырехмерном пространстве можно ввести спиноры и тензор-
спиноры.
Комплексные числа, кватернионы и операции над ними можно
определить и рассматривать аналогичным способом.
32
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
§ 4. Тензоры второго ранга
Тензор второго ранга в трехмерном пространстве имеет девять
компонент, которые можно записать в виде квадратной матрицы.
В общем случае для заданной системы координат одному и тому же
тензору Т соответствуют следующие четыре матрицы:
т1 =	Ти ^21	Лг Т-22	Лз Лз	т2 =		Т1.	т?. ri	3 71. гр’ 3 /2.	»
	Т’З!	Т&	Лз			Тз!	т£	Тз3	
		Т?2				711	712	713	
тз =	Л	Т22	-р2- 1 3	>	т4 =	721	722	723	•
		Т?2	Т?з			731	732	733	
Независимо от	места вверху				или внизу первый			индекс	
матрицы соответствует			номеру		строки, а	1 второй		номе	РУ
на пересечении которых стоит данный элемент. Между/
цами имеют место следующие матричные равенства: 7
Т1=Т2£* = £Л = £Л£*’	I
где g*— симметричная матрица фундаментального тенз
Элемента
столбца,
и матри-
(4.1)
g* =
£п
£21
£31
£12
£22
£32
£13
£23
£зз
В формулах (4.1) при умножении матриц использовано правило
умножения матриц, согласно которому строки первого множителя
умножаются на столбцы второго.
Операциям сложения, умножения на число и скалярного умно-
жения тензоров второго ранга соответствуют аналогичные операции
над матрицами. В связи с этим использование методов и результатов
матричного исчисления облегчает развитие теории тензорных функций.
В общем случае как для несимметричных, так и для симмет-
ричных тензоров матрицы т2 и т3 различны. Если компоненты Tik
или 7 симметричны, что выполняется всегда одновременно, то
компоненты матриц т2 и т3 вообще несимметричны, т. е. Tk\ =/= Т*
и Tl.k =/= но в силу симметрии 7^к и gik имеют место равенства
П = гЛ
поэтому для симметричного тензора Tik верны матричные равенства
т2 = т3 и т2 = т3,
i
§ 4]
ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА
33
* *
где т2 и т3 — транспонированные матрицы по отношению к матри-
цам т2 и т3; получаются соответственно из т2 и т3 перестановкой
строк и столбцов.
Всякому тензору второго ранга и матрице его компонент можно
поставить в соответствие две линейные вектор-функции:
Ь1 = Г.аа и Ь'1 = Та1а
ИЛИ
(4.2)
Ь = Т а и Ь' = а • Т,
устанавливающие переход от вектора а = at3i к вектору b —
или к вектору b' = Ь'1ЭЬ. Векторы b и Ьг совпадают, если тензор Т
। симметричный. Равенства (4.2) определяют инвариантную операцию
	перехода от заданного вектора а к вектору b или к вектору Ьг.
I	Очевидно,- что задание линейных вектор-функций (4.2) или задание
тензора эквивалентны друг другу.
’ ’ Всякому тензору второго ранга можно поставить в соответствие
j билинейную форму, образованную с помощью двух векторов х и у
,i ; следующего вида:
^T(Z =	(4.3)
а где — инвариантная величина, зависящая только -от тензора Т
*1  и векторов х и у. Задание билинейной инвариантной формы или
тензора второго ранга вполне эквивалентно. Таким образом, харак-
* теристики тензора. как инвариантной величины совпадают с инва-
v риантными свойствами матрицы, линейной вектор-функции или били-
j нейной формы.
•; Введем антисимметричный тензор
!	2 = Т=18?5тарЭ'Эу = 1/2(7’о — Т^э’ (4.4)
j и симметричный тензор N, определяемый как разность:
!	N—T — а=у(7’,74-7’//)Э'Эу = М;Э(Э< (4.5)
I	Очевидно, что формулы (4.4) и (4-5) определяют связи между ком-
i	понентами тензоров 7\ 2 и N, верные в любой системе координат.
I ч Согласно формуле (3.9) очевидно, что экстенсив gik образует
симметричный тензор Р, который можно написать в форме
'	Р =	(4.6)
Согласно (3.17) тензор Р имеет инварианты
1 о
I	3^=1 Зу	<4-7)
3 Л. И. Седов
34	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I
Обозначим через D симметричный тензор, равный разности N — Р»
иначе:
^=/>+D, D = Q)i:j3l3i, =	(4.8)
Очевидно, что сумма @4 = 0. Тензор D называется девиатором тен-
зора Т или тензора N.
Любой тензор можно представить в виде следующих сумм двух
или трех тензоров:
T = tf4-U = P-+-D + 2.	(4.9)
Это представление имеет инвариантный характер при любом преоб-
разовании координат. Тензоры Р, D, S2 при переходе от одной си-
стемы координат к другой преобразуются независимо и выражаются
одинаковым способом через преобразованные компоненты тензору Т.
Матрица тензора Й зависит только от трех компонент, которые
могут быть отличными от нуля. Вводя числа о)р о)2, о)3 по формулам
— ~2^32	^23)’	—	Л2)*
матрицу тензора 2 всегда		можно	написать	в форме	
		0	— “з	0)2	
О) =		о>3	0	—	“1	9
		-<“2	“1	0	
причем числа и)р о>2, о)3. при ^=^-=1 можно рассматривать как
компоненты вектора.
Симметричные тензоры имеют только шесть различных компо-
нент, так как соответствующие им матрицы для чисто ковариантных
или контравариантных компонент симметричны. Для симметричного
тензора вместо билинейной формы (4.3) достаточно рассмотреть
квадратичную форму
•ST (х1) = NayXax$.	(4.10)
В случае тензора Р эта квадратичная форма отличается от формы
g^x*x°
lai
только скалярным инвариантным множителем -T.a = -^^v
Возьмем прямолинейную декартову систему координат и пусть
х1— координаты радиус-вектора в евклидовом пространстве. Оче-
видно, что уравнение
= const	(4.11)
4]	ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА	$5
определяет поверхность второго порядка, которая характеризует
1 симметричный тензор и называется тензорной<поверхностью. Очевидно
также, что тензорная {поверхность
’	’ g„9X*X$ = const
: представляет собой ‘Сферу.
Как известно, всегда можно ввести прямолинейные ортогональные
декартовы оси коорданат, совпадающие с главными диаметрами тен-
зорной поверхности, в которых уравнение (4.11) имеет канонический
вид
?	^x2 + N2x2 4-N3x2 = C°nst.	(4.12)
i
Эти оси координат называются главными осями тензора, а веще-
ственные числа Aft, TV2 и главными компонентами тензора N.
Для тензора Р уравнение (4.12) определяет сферу, причем для глав-
ных компонент тензора Р имеем
Л =Р^ = Рз =4	(4.13).
где Pv Р2, Р%— главные компоненты тензора Р.
Тензор, для которого поверхность (4.12) — сфера, называется
шаровым. Следовательно, тензор Р — шаровой тензор. Шаровой
тензор подобен скаляру, так как в любой прямоугольной* декартовой
системе координат его матрица имеет диагональный вид, а компо-
ненты, отличные от нуля, равны скаляру у д Оси любой орто-
гональной декартовой системы координат для шарового тензора
играют роль главных осей тензора.
Все компоненты симметричного тензора при использовании любых
систем координат можно выразить через'Np ЛГ2, и параметры,
определяющие переход от любой рассматриваемой системы коорди-
нат к системе координат, совпадающей с главными осями тензора.
Следовательно, все численные инварианты симметричного тензора
можно выразить через TV2, N3, и поэтому симметричный тензор вто-
рого ранга имеет не более трех независимых скалярных инвариантов.
Очевидно, что в качестве полной системы инвариантов несим-
метричного тензора можно взять шесть величин. Главные компо-
ненты тензора V—7VP N2,N3 и ТРИ компоненты тензора Q (<dp а>2, cd3)
в главной системе координат для тензора N.
Для девиатора D имеется не более двух независимых скалярных
инвариантов, так как для главных компонент девиатора D верно ра-
венство
^1+^2 + ^з = ^-
Очевидно, что главные оси симметричного тензора N и соответ-
ствующего девиатора D совпадают.
3*
36
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Пусть х1, х2, х3 — координаты точек пространства в главных
осях тензора N и пусть уЦх1, х2, х3), у2(х!, х2, х3), ^(х1, х2, х3) —
любая криволинейная система координат. Из формул (3.3) следует,
что для компонент тензора М в системе координат у1, у2, у3 верны
формулы
аг ду1 дх1 । аг ду1 дх2 . кг ду1 дх3	. ..
дх1 ду3 дх ду3 дх6 ду3
Нетрудно видеть, что кубическое уравнение
		~М+*	0	0	
	Д(к) =	0	— М 4“^	0	= 0
или		0	0		М+Х	
X3—	дп=ъ
(4.15;
после умножения матрицы определителя Д(Х) слева и справа на яко-
zs	(yJy2y3) Ф (xJx2x3)	.. , .ч
биевы матрицы	gr^3) и &(^уЗ) согласно (4.14) равносильно
уравнению Д(Х) =	— Mi 4-Х -Mi	—Mi’ — Л^?2 —|— х	-Mi — Mi	= 0.	(4.15')
	-Mi	— Mi	— N3.^ 4“ X		
Напомним, что из симметрии тензора W следует, что jVf} = AZ*/..
Инвариантный характер коэффициентов уравнения (4.15), выражаю-
щихся в любой системе координат через N?) по формулам
= Wi 4~М> + ^з = Tl,'j =
3* =	+ n2/\z3 = 1 (№;Mi — л^М;),
^ = AWV3 = |Mi|,
был установлен ранее на стр. 31. Это также очевидно непосред-
ственно из уравнения (4.15).
Наряду с декартовой системой координат X(xv х2, х3), напра-
вленной по главным осям тензора N, рассмотрим произвольную пря-
моугольную декартову систему координат К (у1, у2, у3). Формулы
преобразования имеют вид
у1 = ihaxa9 где 11,‘а = cos (yzxa).	(4.16)
Матрица коэффициентов преобразования
ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА
37
§ 4]
вообще несимметрична (/^ #= Zaj). Легко видеть, что обратная ма-
трица L”1 = || р?а||, соответствующая обратному преобразованию
t I- а
X — Р*У ,
получается из матрицы L простой заменой строк на столбцы (первый
индекс соответствует строкам), так как
= cos (ylxa) = cos (xayl) = pa'i.
Как известно, девять косинусов /!) можно выразить через три
независимых параметра, определяющих ориентацию системы коор-
динат Y относительно системы координат X например через углы
Эйлера. Шесть дополнительных соотношений между Z!) можно на-
писать в форме
/4^Ч-/?2^+/^з=8/	(/</).	(4.17)
Если i > у, то получатся аналогичные уравнения, зависимые от
уравнений (4.17).
Для компонент AZj в системе координат Y формулы (4.14) дают
Nl.j = N^p'.j 4-Ыгё.гр2-) +	(4.18)
Рассмотрим теперь экстремальные значения компонент Nlj при
фиксированных значениях индексов I и у, но для всевозможных ко-
ординатных систем Y< Не ограничивая общности, всегда можно при-
нять, что
^>Х2>Х3.	(4.19)
Для простоты рассмотрим случай, когда вместо неравенства (4.19)
с возможными равенствами имеют место строгие неравенства
TVj > N2 > AZ3.
Если l = j, то, так как pa- = Z^, получим из формулы (4.18) ра-
венство
A/’fz = AZi (z\)2 + ^(Z^)2 4-Л/з(/-з)2.
а соотношения (4.17) дают только одно соотношение между тремя
величинами lt’k:
(a+(a+w=i.
Уравнения Лагранжа для определения^ экстремума имеют вид
(W* — Х)/^ = 0	(£=1,2,3),
где К — множитель Лагранжа. Так как N1 > N2 > N3, то z!ft = 8* и
X=Nft = ^.
38	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I
Следовательно, при i = j экстремальные значения wfj соответ-
ствуют Nt й достигаются в прямоугольной системе координат К,
для которой ось с номером I совпадает с соответствующей главной
осью тензора N, причем
maxMj = ^, пипМ; = Мз.	(4.20) \
Рассмотрим теперь случай i =# j. При фиксированных индексах I
и j шесть величин ll.‘k и 1{'к = рф входящих в (4.18), связаны тремя
соотношениями:
^•1^1 + ^2^2 -W-з^з — 0.
И)!+(*)=+(/'.;)’= 1.
(й)г+(й)!+(й)2=1.	-
В этом случае уравнения для определения экстремума с множите-
лями Лагранжа к, рь, 8 имеют вид
(^ —X)Zyj —2^ = 0, (Nk — X)Z^ — 28Zy* = O (£=1,2,3).
Из этих уравнений, из уравнений связи для Z!jj, Zy* и из формулы
для Nl.j следует
x = az?; = az/j- и 2р. = 28 = az?;,
(Nk — X + 2p.)(zyfe — Z^) = 0 (£=1,2,3)
И
3
S(Z^-Zyft)2 = 2.
£=1
Отсюда находим
wft=x—2р., zy; = z!;,	«=/=£, (zf*—z/*)2 = 2	(£ = 1,2,3).
Из равенств z!j = Z!i, s #= £, следует (z!s)2 = (Zy*)2, так как Z!j и Zy*
не равны нулю и могут отличаться только знаком, поэтому
Йа основании равенств ll's = 1% имеем
(N5a — k — 2|х) l\Sa = 0 (a = 1, 2)
(где Sj и s2 — два индекса, неравные k). Из этих уравнений при
соответствующем определении и следует, что
2VSi=k-+-2tx и Z^2 = Zf^ = 0,
поэтому
§ 4]
ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА
39
Отсюда следует, что экстремальные значения для /V7) достигаются
в системах координат Y, в которых одна из осей совпадает с глав-
ной осью тензора N, а две другие повернуты относительно' других
главных осей на угол в 45°, причем
Nk+N. Л N —
= - -~2 и	= —^-2 *
Очевидно, что максимально возможное значение для Nl.j достигается
для осей i и у, расположенных в плоскости х1^3, причем
max(Nj) = N\~^ .	(4.21)
При наличии равенств в (4.19) появляются континуумы экстремаль-
ных решений, причем тензорная поверхность становится поверхностью
вращения.
Для девиатора D имеем
= —	®2=^2 —^3=^3 —4^1’
при наличии неравенств в (4.19) верны также неравенства
(4.22)
Очевидно также, что
шах gtj =	.	(4.23)
Два тензора называются подобными, если в любых системах ко-
ординат компоненты одного из тензоров можно получить из компо-
нент другого простым умножением на некоторое число. Очевидно,
что все шаровые тензоры подобны друг другу.
Для подобия двух симметричных тензоров W и необходимо
и достаточно, чтобы совпадали главные оси и выполнялись два
У, W2 N3
равенства —4 = —= —4.
В случае девиаторов D и D' для подобия, кроме совпадения
главных осей, необходимо и достаточно выполнение только одного
равенства
Для девиатора D уравнение (4.15) принимает вид
К +	+	=	'	(4.24)
В этом уравнении отсутствует член с к2, так как
^f = 01+02+03 = O.
40	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. 1
Инварианты тензоров D и У связаны следующими формулами:
= 2.2^ + 2Х2Ъ + 2^2. = -1 {(N1 - N2)2 +	- N3)2 +
3* = 2Щ2, =	=
= ^П3-У <^2+Й(^)3- <4-25)
При употреблении произвольной системы координат выражение для
^2 и <^з чеРез компоненты N\'j имеет вид
si = <?" -1 (^?)2 = -1 {(Mi - М2)2+(Mi - М3)2 +
+ (Mj — Мз)2 + 6 ((М2)2 + (М3)2 + (М3)2]}. (4.26)
Очевидно, что для подобия двух девиаторов с общими главными
осями необходимо и достаточно выполнение равенства:
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что корни куби-
ческого уравнения (4.24) можно представить формулами
= 2&sin(p + -у)>
2ч = 2& sin ф,	(4.2>)
03 = 2&sin (ф+4^).
где.
/Cjd	|	________________________________
—Г = Vis	~	_ ^з)2+(^2 ~
(4.28)
и
,А-	,	(0, —0i) + (^9 —3Q	„ irf/27
sln3(f = --2—т, («9)
16	z | ^2 I
причем — ~ <; ф < ~, поэтому	> ^з и	a < 0>
если >0, то < 0, ф < 0, если <0, to > 0 и ф > 0.
Справедливость формул (4.27) легко проверить простой подстановкой
формул (4.27) в уравнение (4.24). В формулах (4.28) и (4.29) разности
можно заменить через равные им разности Nt — Nk. Инва-
§ 4]
ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА
41
рианты и можно заменить через инварианты	и д'”
по формулам (4.25) и (4.26).
Величина |х называется параметром Доде. Условие подобия двух
девиаторов с совпадающими главными осями сводится к равенству
их параметров Доде.
Величина $ характеризует масштаб девиатора. При фиксирован-
ных главных осях и значении параметра Доде р(ф), но при перемен-
ном $ девиатор изменяется подобным образом. При операциях с по-
добными девиаторами необходимо устанавливать только связи между
масштабами, определяемыми соответствующими величинами Из фор-
мул (4.28) и (4.29) очевидно, что для вычисления & и р(ф) доста-
точно знать компоненты девиатора D. в какой-либо произвольной
системе координат. Величины ф и & можно рассматривать как пол-
ную систему инвариантов девиатора D. Величины gv ф и & можно
рассматривать как полную систему инвариантов тензора N. Система
инвариантов шарового тензора Р сводится к одному скаляру
Рассмотрим теперь канонические системы координат и канони-
ческие представления для матриц. несимметричных тензоров. С по-
мощью тензора Т согласно равенствам (4.2) любому вектору а можно
поставить в соответствие некоторые векторы Ь и bf. Для коллинеар-
ности векторов а и b (т. е. равенства Ь = ка) необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись равенства
(X — r!i) а1 — Т\а‘ — Т13а3 = О,
— Т^а14- (X — Т2.У) а2 — Т2^3 = О,
— Т3{а' — Т3'2а2 + (X — Т3з} а3 = О,
(4.30)
т. е.
Ха—Т-а = 0,	(Х8!;—Т?;)а“ = 0.
Аналогичное условие коллинеарности векторов Ь' и а имеет вид
(Х8а! —7’а‘)оа = 0, аХ — а-Т = 0.	(4.31)
Динейные однородные уравнения (4.30) и (4.31) могут иметь не-
тривиальные решения а ф 0, если детерминанты этих систем обра-
щаются в нуль.
На основании равенств (4.1) и соотношения | gik | = [ g^ |~! сле-
дует, что детерминанты этих систем всегда равны между собой:
| Х8!) — Tl:} I - IХ8/ —< ту. I = Д (X).	(4.32)
Кубическое уравнение	i
A (К) = к3 -	+ д2\	(4.33)
называется характеристическим уравнением.
42
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. I
Из приведенных ранее рассуждений ясно, что характеристическое
уравнение инвариантно относительно преобразования координат и
*
всегда имеет по крайней мере один действительный корень К, кото-
рому соответствует согласно уравнениям (4.30) некоторый собствен-
* *
ный вектор а =# 0 и некоторый собственный вектор а! согласно
* *
уравнениям (4.31). Векторы а и а' вообще различны.
Выберем систему координат так, чтобы вектор базиса Э3 был соб-
ственным вектором системы (4.30) или (4.31), т. е. совпал бы либо
с а, либо с а'. Очевидно, что в таких системах координат ма-
трицы I ТJ	'II и	|| T'j. || будут иметь вид						
	т!;	т!2	0		л?	г2	г3	
	т2\	<тг»2 • 1 -2	0	и	т2\	т22	ГГ\' 3 1 2.	
	т?;	«7^3- 1 .2	Т3з = Ь		0	0	Т33 = 1	
Если все три корня			уравнения	: (4.33) действительны и различны, то				
каждому корню Xz для каждой из систем (4.30) и (4.31) соответ-
ствует некоторый свой вектор 3Z, легко видеть, что в каждой си-
стеме эти три вектора образуют линейно независимую систему.
В самом деле, если есть линейное соотношение
^1*^1 4“ ^2*^2 4~	— 0»	(4-34)
то, применяя к этому равенству два раза операцию (4.30) или (4.31)».
с помощью Т получим еще два соотношения
—|— \2С2Э2 Н-	= о,
2 1 1	2	2	(4.35)
4с 1Э1 + Х22С2Э2 + Х3С3Э3 = 0.
Детерминант однородной системы линейных уравнений (4.34)
и (4.35) относительно величин СХЭГ С2Э2 и С3Э3 отличен от нуля
х?
1 1
^2 4
х|
— (^1	^2) (^“2	^з) (^з	^1)	0’
поэтому Cj = С2 — С3 = 0.
Если систему векторов Э[ или Э[ выбрать в качестве координат-
ного базиса, то матрица из смешанных компонент для тензора Т
приобретает канонический вид
0 0
0	*2	0
о	о	х3
и
(4.36)
ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА
43
§ 4]
В случае симметричного тензора такая каноническая форма имеет
место всегда, причем базисы Э/ и 3, совпадают и образуют ортого-
нальную систему векторов, направленных вдоль главных осей тен-
зорной поверхности.
Если тензор Т несимметричный, то канонические базисы 3/ и Э/
образованы линейно независимыми векторами, которые вообще не
ортогональны.
Если характеристическое уравнение (4.33) имеет комплексный
корень Хр то есть также комплексно сопряженный корень Х2 = Xj
и действительный корень Х3. Следовательно, в этом случае все три
корня различны.
Если использовать комплексные числа для преобразований и для
компонент векторов и тензоров, то все предыдущие выводы со-
храняют силу. Поэтому в этом случае матрица тензора Т также
может быть преобразована к виду (4.36), в котором Хт и Х2 — ком-
плексно сопряженные величины. Пусть Х2 = X —/рь, Х2 = Х — Z|i, тогда
с помощью дополнительного преобразования с переходом от ком-
плексных переменных у1 и у2 к действительным и £2 по формулам
^14-/;2 = у1,
— Z£2 — у2,
£3 = у3
матрица (4.36) приведется к каноническому вещественному виду
X	—|х	О
X О
О О	Х3
(4.37)
Отсюда вытекает, что при наличии комплексных корней характе-
ристического уравнения (4.33) несимметричная матрица тензора Т
может быть преобразована с помощью вещественного преобразова-
ния к виду (4.37).
В случае равных корней уравнения (4.33) (которые могут быть
только действительными) преобразование матрицы к виду (4.36) также
возможно, если элементарные делители матрицы
простые. Это значит, что для двукратного корня наряду с определи-
телем матрицы S все миноры второго порядка обращаются в нуль,
а для трехкратного корня все миноры первого порядка обращаются
в нуль.
Если элементарные делители не простые, то с помощью выбора
специального вещественного базиса матрицу тензора Т можно
44
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 1
привести к следующим каноническим формам [4]:
	X 0	1 X	0 0	(4.38)
	0	0	^3	
или				
	X	1	0	
	0	X	1	(4.39)
	0	0	X	
В канонической форме матрицы (4.38) возможны также случаи, когда
= Случай (4.39) может иметь место, если к есть трехкратный
корень уравнения (4.33).
Как было отмечено выше, случаи (4.37), (4.38) и (4.39) могут
иметь место только для несимметричного тензора Т.
§ 5. Тензорные функции
Инвариантные величины: скаляры, векторы, тензоры, определяе-
мые вполне заданием фундаментального тензора G и некоторого тен-
зора 7\ называются тензорными функциями тензора 7\
В общем случае, кроме тензора G, компоненты которого задают
свойства применяемой системы координат и служат репером для ком-
понент тензора Т, рассматриваемая функциональная связь может за-
висеть еще от некоторых тензоров Av А2, ..., таким образом, мы
приходим к идее о тензорной функции от нескольких тензоров. Если
тензор Т можно варьировать, а тензоры Ар А2, ... фиксированы,
то тензоры Ар А2, ... играют роль параметрических тензоров.
Для простоты, а также в связи с дальнейшими приложениями
тензорных функций к механике сплошной среды мы ограничимся рас-
смотрением трехмерного пространства и случаем, когда тензор Т
является тензором второго ранга.
Тензорную функцию мы назовем изотропной, если помимо основ- ’
ных тензоров G и Т все дополнительные переменные или параметри-
ческие величины, от которых зависит рассматриваемая функция,
являются скалярами, которые можно рассматривать как шаровые тен-
зоры второго ранга.
В случае изотропной функции параметрические тензоры АР А2
и т. д. являются шаровыми; эти тензоры имеют вид AS = CSG, где
Cs — некоторые скаляры. Следовательно, дополнительные тензорные
параметры сводятся к тензору G и некоторым скалярным параметрам.
Ниже мы рассмотрим только изотропные функции. Случаи неизотроп-
ных функций будут рассмотрены в § 6.
§5]	/ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ	45
Системы компонент тензоров G и Т образуют квадратные ма-
трицы. Проблемы тензорных функций можно формулировать как про-
блемы функций от матриц [4]. Мы будем рассматривать такого рода
функции, как соотношения — закономерности инвариантного харак-
тера по отношению к различным системам координат.
Воспользуемся матрицами компонент тензоров G и Т со смешан-
ными индексами
С =	Т=Т\]Э1^ = Т\!.Э1Э).	(5.1)
Тензор G шаровой, его инварианты фиксированные числа ^r1 = 3,
<^2 = 3, $3 = 1. Матрицы ||Т^)|| и || T'ti|| вообще различны, для этих
матриц верно соотношение
1ИИ1=И,Л1^В||11^![.	<5.2)
Пусть а — некоторая скалярная функция тензора 7\ очевидно,
что величину а можно рассматривать как скалярный инвариант тен-
зоров G и Т. В § 3 и § 4 мы уже встречались с- примерами таких
инвариантных скаляров.
Как было показано в § 4, для симметричного тензора имеется
только три независимых инварианта, например $ v	или
Л/2 и 2V3, следовательно, для симметричного тензора в общем случае
инвариантная функция а(7'!)) может быть представлена в виде
Если тензор Т несимметричный, то верны равенства типа (5.3)
с шестью независимыми аргументами, так как в общем случае у не-
симметричного тензора существует не более шести независимых ве-
щественных скалярных инвариантов.
Как было показано в § 2, с помощью операции умножения тен-
зоров на число, сложения и скалярного перемножения из тензоров Т
и G можно образовать новые тензоры, которые можно рассматривать
как функции тензоров Т и G. Например:
Hl = kT=kTt:i3i3’,
H2 = kyG+k2T, hz = t  T=T‘2^Ti:aTa:j3i3i,
очевидно, что
TG—T и G G=G.
Повторным умножением можно определить любую целую степенную
тензорную функцию и вообще полином:
H=k0G + k1T + k2T*+ ... +knTn,	(5.4)
-46	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
тде &0, kv____, kn — некоторые числа, которые можно также рас-
сматривать как шаровые тензоры kjG.
Тензор Н, определенный формулой (5.4), имеет компоненты Hlj9
равные некоторым полиномам из компонент Т1.}, соответствующие
формулы очевидны из определения суммы и скалярного произведения
тензоров.
Формулу (5.4) можно обобщить и рассмотреть ряд в правой части
формулы (5.4) в предположении, что все девять ерядов для компо-
нент И1.} являются сходящимися рядами. Таким путем можно строить
тензорные функции, отправляясь от обычных аналитических функций.
Например, исходя из функции £* = 1 4--gr “к * • •> построим
по определению функцию Н — ет согласно ряду
который сходится для любых конечных значений Т?).
Тензорная функция ет обладает некоторыми свойствами, аналогич-
ными свойствам скалярной функции ez. Например, непосредственной
проверкой путем перемножения рядов в определении функции ет по-
лучим
Я 2	ТТ 2Т ттп пТ
— е е = е , п =е •
Если тензор А7-1 определить уравнением
H~1H=G,
то
Н^ = е'т.
Вместе с этим очевидно, что следующее равенство для скалярных
величин
ez'e2i = e2l+2>i
для матриц-тензоров неверно, если произведение соответствующих
тензоров 7\ и Т2 некоммутативно:
тхт2 #= Т2ТХ.
Аналогичным путем, отправляясь от различных аналитических
функций, можно строить и исследовать свойства других тензорных
функций.
Общие свойства тензорных функций удобно выводить с исполь-
зованием характеристических уравнений и канонических систем коор-
динат тензора Т.
Рассмотрим матрицы
Н- ^|| и ||X8j — Ti!l,	(5.5)
где А — некоторый численный параметр.
§ 5]
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
47
Очевидно, что для этих матриц корни характеристического урав-
нения Хр Х2, Х3/инвариантные в общем случае комплексные величины,
их можно рассматривать как функции вещественных инвариантов
с7 2 И 33*
В § 4 было указано, что если тензор T = N симметричный, то
все три корня Хр Х2 и Х3 вещественны, и что существует веществен-
ное преобразование Л, приводящее матрицы (5.5) к каноническому
виду
X —Xj О О
О X —Х2 О
О О X — х3
(5.6)
Если тензор Т несимметричный, то два корня характеристиче-
ского уравнения вообще могут быть комплексными. В общем случае
матрицы (5.5) с помощью преобразования с комплексными числами
также можно привести к каноническому виду (5.6), если все корни
характеристического уравнения простые или если есть кратные корни,
но элементарные делители матриц (5.5) простые (см. § 4). Очевидно,
что с помощью бесконечно малых вариаций компонент рассматри-
ваемых матриц всегда можно исключить случай кратных корней.
Рассмотрим теперь тензор Н с матрицей |Я./||, который является
изотропной функцией тензора Т с матрицей | T.lj I]. Имеем

(5.7)
Выше мы указали примеры таких функций, построенных с помощью
заданных аналитических функций f (z).
Пусть А—некоторое преобразование координат. Из определения
тензорных функций следует, что имеет место матричное равенство
л"’||я./;|д=/(л_1||т./;||д).	(5.8)
Предположим теперь, что преобразование Л приводит матрицу |	||
к каноническому виду
д"1|т'.г;||д =
X! О
о \
о о
о
о
что всегда возможно, если корни различны или когда корни крат-
ные, но элементарные делители матриц (5.5) простые. Очевидно, что
в этом случае преобразованная матрица для тензора Н, связанная
с аналитической функцией f (z), приобретает также канонический
48
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
$ вид, причем верно равенство
	/(М	0	0	
л-1 II А =	0	f (^2)	0	(5.9)
	0	0	/(М	
Отсюда следует, что в любой системе координат изотропную тен-
зорную связь (5.7) в матричной форме можно написать в виде
где А — матрица соответствующего преобразования координат.
Если Хр к2, Х3— характеристические числа тен-
зора Т, то характеристические числа «^тензора
H=f(T) представл яются формулами f (kJ, f (k2) и f (X3),
причем тензоры T и Н одновременно приводятся
к каноническому виду.
Если тензор Т симметричный, то тензор И также симметричный,
причем главные оси этих тензоров ортогональны и совпадают.
Пусть / (z) — некоторая функция комплексного переменного,
представляемая рядом
/(^) = а0 + а1'г+й2г;2 + аЗг:3+ •••	(5.11)
Тогда, если характеристические числа лежат внутри круга сходи-
мости степенного ряда (5.11), то девять рядов, соответствующих
матричной функции f (|| T'j ||), сходятся.
В заданной функции f (z) коэффициенты а0, av а2, ... можно
рассматривать как функции инвариантов Хр Х2, Х3, т. е.
/О) = /(*•!• *2. >-3- •?)•
Поэтому формулу (5.10) вообще можно написать еще в следующем
более общем виде:
Легко видеть, что если kp Х2 и Х3 различны, то, в частности, для
функции
/а- ч *>=<£Л:;£,лл».. «+
+ £->',)((1,Л!) <-<> К + Л) Z(>,. У (5.12)
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
49
§ 5]
верны равенства
/(Хр Х2, Х3, Х1) = ср(Хр Х2, Х3), f (Хр Х2, Х3, Х2) = ф(Хр Х2, Х3)
и
/(Хр Х2, Х3, Х3) = х(Хр Х2, Х3),
где функции ср, ф и х могут быть произвольными функциями своих
аргументов. В частности, два тензора, приводящиеся к каноническому
виду в одной и той же системе координат и имеющие одинаковые,
но различным способом перенумерованные характеристические числа,
могут быть представлены как функции друг друга с помощью фор-
мулы вида (5.12). Таким образом, тензорные функции с точностью
до преобразования координат сводятся к функциональным связям
между корнями характеристического уравнения, эта связь опреде-
ляется функцией f (Хр Х2, Х3, г).
Рассмотрим матричную функцию Д(|| T'j [[), где Д (X) = | XS) — Thj | —
полином по X. Так как A(Xj) = Д(Х2) = Д(Х3) = 0, то используя (5.9),
имеем
д(||ГЛ)^о.
т. е.
II 7’ / II3 - Зх I! II2 4- ^2II T'-i II - ^3III! = 0	(5.13)
ИЛИ
т3— 3ХТ2 + 32Т-	=
Матричное равенство (5.13), выполняющееся для любой матрицы,
называется тождеством Гамильтона — Кел и.
Тождество (5.13) было установлено выше для всех матриц || Tj ||,
если их характеристические числа простые (некратные). Легко убе-
диться, что равенство (5.13) верно всегда, так как в случае равных
корней характеристического уравнения справедливость равенства (5.13)
следует из предельного перехода с бесконечно малыми вариациями
компонент матрицы тензора 7\
Для матриц-тензоров частного вида помимо соотношения (5.13)
могут выполняться соотношения вида
T2+aT + ^G = 0	(5.14)
или
Т4-я0 = О.	(5.15)
Формула (5.15) отвечает случаю, когда тензор Т шаровой.
Если матрица тензора Т приводится к каноническому виду
X О О
0X0,
о о хг
то верна формула вида (5.14).
4 Л. И. Седов
50
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
С помощью соотношения Гамильтона — Кели любую матричную
функцию для матриц второго порядка можно представить как мат-
ричный полином второй степени. Для полиномиальных функций вида
(5.4) это очевидно непосредственно, так как матрицу в любой целой
степени, большей двух, с помощью равенства (5.13) можно выразить
через матричный полином второй степени.
Покажем справедливость этого предложения для произвольной
матричной функции f (|| Tl.j ||). Рассмотрим общий случай, когда
корни характеристического уравнения различны, и рассмотрим функ-
цию /С?) комплексного переменного z.
Определим квадратичный полином k^-^-k^z-^-k^ — Р (z), кото-
рый в точках z = \ (i=l, 2, 3) принимает значения, равные /(Xz).
Если корни Xz разные, то коэффициенты &0, kv k2 определяются
единственным способом. Разность
f(z) — P(z)
обращается в нуль в точках Хр Х2, Х3.
Если в точках Хр Х2 и Х3 функция f (к) регулярна, то верна
равенство
/(Х) = Р(Х) + (Х-Х,)(Х —Х2)(Х-Х3)Ф(Х) = Р(Х) + Д(Х)ф(Х), (5.16>
причем функция ф(Х) имеет конечное значение в точках Хр Х2, Х3.
Если заменить в равенстве (5.16) параметр X через матрицу ||Т.;|[
или тензор Т, то в силу тождества Гамильтона — Кели получим
Н=Р(Т) = f(T)
или, в раскрытом виде,
Я=^0С+^1Т+^2Т2,	(5.17)
где kQi kx и k2— скалярные функции инвариантов тензора Т. Коэф-
фициенты kQ, kx и k2 и формулу (5.17) легко выписать в явном
виде.
В самом деле, если характеристические корни Хр Х2 и Х3 раз-
личны, то для интерполяционного полинома Р (z) справедлива фор-
мула
Рf+
V4 — А2) (Ai — А3)	,
l Х3) (^ Xj) f \ । М) Х2) / ч
-Г (Х2 - Х3) (Х2 - X,) / W-h (х3 __	(Х3 —- л2)
Отсюда следует
и _ f /"г\_Х2(?) (Т Х3(?) f (\ \ ।
Н- f (Г) -  (ХГ^ШМ-М f +
(T-X^HT-XfG)	(T-\G)(T-\2G) f.
(Х2 — Х3)(Х2 — Xj)	rXo —X.WXo—ХЛ J VW'
(5.18)
(Х3 — XJ (Х3 — Х2)
§ 5]	ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ	51
Формула (5.18) называется формулой Лагранжа — Сильвестра. Со-
гласно формуле (5.18) конкретный вид функции f (г) входит в функ-
циональные связи (5.17) или (5.18) только в виде линейной зависи-
мости от значений /(kj), f (k2) и f (k3).
В общем случае формула (5.17) может быть -распространена на
случай равных корней характеристического уравнения с помощью
предельного перехода. В формуле (5.18) предельный переход легко
осуществить, если для соответствующих двух равных корней урав-
нения Д(Х) = О производная /'(kJ сохраняет конечное значение.
В случае трех кратных корней k1=k2 = k3 для осуществления пре-
дельного перехода в формуле (5.18) достаточно предположить конеч-
ность производных /' (kJ и /" (kJ.
Таким образом, рассматриваемые нелинейные функциональные
связи между тензорами сводятся к определению значений рассматри-
ваемой функции в точках, соответствующих корням характеристиче-
ского уравнения. Если корни кратные, то необходимы также значе-
ния производных рассматриваемой функции в точке, соответствующей
кратному корню.
Из (5.17) непосредственно очевидно, что если характеристическое
уравнение тензора Т имеет равные корни, то характеристическое
уравнение для тензора Н также имеет равные корни.
Если тензор Т шаровой, то тензор Н также шаровой. Если тен-
зор Т антисимметричный, то тензор И вообще не является антисим-
метпичн^	4
Предыдущая теория изложена применительно к тензорам и
матрицам в трехмерном пространстве. Полученные результаты легко
распространить на случай пространства п-измерений.
Если пространство двумерное, то все рассмотренные матрицы
становятся четырехчленными, а определитель А (к) сводится к квад-
ратному многочлену. В этом случае тождество (5.13) представляется
также в виде квадратного многочлена, вместо формулы (5.17)
в этом случае получится формула вида
H=kQG-\rk1T.	(5.19)
Формула (5.13) определяет квазилинейную связь между тензорами И
и Т.	,
В общем случае для трехмерного случая (5.17) дает квазилиней-
ную связь, если выполняются равенства
ь  О или ________/(kJ_____ ।______/(кг)______I_____f (к3)_____п
2	(М к2) (kj к3)	(к2 kJ (Х2 — к3)	(к3 — Xi) (Х3 — Х2)
(5.20)
причем коэффициенты kQ и kx могут быть произвольными функ-
циями кр к2 и к3 или </2 и
4*
52	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. 1
Очевидно, что если Н(Т)— квазилинейная функция, то обратная
функция Т(Н) тоже квазилинейная.
С помощью формулы (5.17) можно выразить инварианты тен-
зора Н ghv gh2 и через инварианты	и В част-
ности,
ghx=zk^kxg\ +^2[(^/1)2 —	(5.21)
Воспользуемся разделением каждого из тензоров Т и Н со-
гласно (4.9) на шаровой, девиатор и антисимметричный. Очевидно,
что формула (5.17) эквивалентна следующим трем формулам:
+4^2[(^/1)2-2^/2)]}g,
Рл=^Д,+Л2^2Р'2)( + (Р()2 + (Д/)2 +(292-±[(^92-2^<2]о}, ’
2Л = kx& + /г2 [(£>42*) + (Й7)г) +
(5.22)
Если компоненты тензора И являются линейными однородными
функциями компонент тензора 7\ то необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись следующие равенства:
kQ=cff[9 с = const, kr = const, &2 = 0.	(5.23)
В этом случае изотропная тензорная функция Н(Т) зависит только'
от двух постоянных скаляров, причем девиаторы Dh и D1 подобны
и отличаются только на постоянный множитель kv
Если связь между тензорами Н и Т квазилинейная, то k2 = 0,
поэтому для квазилинейной изотропной функции девиаторы Dh и D*
всегда подобны, коэффициент подобия kx вообще переменный. В слу-
чае квазилинейной связи возможен следующий эффект:
А = 0 (^! = 0), а Р*#=0	(5.24)
за счет нелинейной зависимости k0 от компонент тензора Т. Этот
нелинейный эффект называется эффектом Кельвина. В общем случае,
если k2 =# 0, то нарушается подобие девиаторов. Может случиться
так, что диагональные члены матрицы Т и D1 равны нулю, а диаго-
нальные члены матрицы Dh отличны Ьт нуля. Этот нелинейный эффект,
возможный также при 2* = 0, называется эффектом Пойнтинга.
Условие о подобии девиаторов и Dh есть необходимое и
достаточное условие квазилинейной изотропной связи. Следовательно,
при квазилинейной связич параметры Доде или углы ф (см. § 4) для
тензоров D* и Dh всегда равны между собой.
При экспериментальном изучении тензорной зависимости квази-
линейный характер связи можно установить или опровергнуть путем
сопоставления найденных из опытов значений параметров Доде.
§ 5]	ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ	5$
В качестве примера тензорных функций рассмотрим представле-
ние ортогональных матриц через независимые величины. Возьмем
какую-нибудь ортогональную матрицу А, соответствующую преобра-
зованию вращения при переходе от одной прямоугольной декартовой-
системы координат к другой:
£=им-
Из условия ортогональности
V _ J b i==ki
basket j л . , ,
а	( О, I #= k
следует, что
£-’=£= IM.’
причем
Матрицу L можно рассматривать как совокупность девяти ком-
понент тензора, из которых только три можно выбирать независимо.
В качестве независимой величины можно взять вектор ЛГ, напра-
вленный вдоль оси вращения и равный по величине углу поворота.
Этот вектор полностью определяет преобразование координат и,Ц
следовательно, матрицу L. Мы определим вектор К как аксиальный
вектор, который можно рассматривать как антисимметричный тензор*
с матрицей компонент:
к =	ч -се «се о 1 N	Ч -се	о	«се 5\ о	«се	«се
через kx, ky и kz обозначены проекции вектора на оси координат.
Покажем, что матрицу L можно рассматривать как функцию
матрицы К:
L = f(K).	(5.25)
Эта функция в компонентах устанавливает выражение девяти ком-
понент L через три независимые компоненты К. Шесть условий”
ортогональности должны удовлетворяться автоматически.
Докажем теперь, что матрицы L и К связаны соотношением

(5.26}
Условия ортогональности для L удовлетворяются, так как К = — К
*	- к — 1
и поэтому L = е — L . Таким образом, если матрица К
54	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
антисимметрична, то матрица ек ортогональна. Отметим, что соотно-
шение (5.26) верно для тензоров, компоненты которых определены
соответственно матрицами L и К.
Для полного доказательства (5.26) заметим, что если два тензора
равны в какой-либо одной системе координат, то они равны
во всякой другой системе координат. Нетрудно проверить, что L и
е* совпадают в системе координат, выбранной так, что' ось z на-
правлена по вектору К-
Если угол поворота обозначим через ср, то в этой системе коор-
динат матрица К имеет вид
	0 —ср 0	
	ср	0 0	(5.27)
	0	0 0	
а матрица £, определяющая преобразование координат при повороте		
около оси z на угол ср, имеет вид		
	cos ср — sin ср 0	—
L =	sin ср	cos ср 0	(5.28)
	0	0	1	
Если подставить (5.27) в ряд		
^ = 1	г . К . № . 1! + 2! +••'	
го после суммирования рядов для компонент получим матрицу (5.28).
Справедливость этого равенства может быть установлена также
с помощью формулы Лагранжа — Сильвестра.
Для инвариантов тензора с матрицей К имеем
& *=+(№i)2 4- (№j)2+(№2)2=ср2,
= \К1:} | = 0.
Следовательно, соответствующее вековое уравнение имеет вид
Х34-ср2Х = 0,
отсюда находим Xj = /ср, Х2 = — /ср, Х3 = 0. Формула (5.18) после
простых преобразований дает
2 sin2 -у
= 0 +	-----^-К2,	(5.29)
§ 5]
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
55
отсюда, учитывая, что К2 =			— ?2		0 — т2 0 COS ср sin ср 0	0 0 0	, получим		
			0 0 0	0 0					
ехр К — ехр:	0 0	— ср 0 0					- sin ср COS Ср 0 •	0 0 1	— L.
Формулы (5.25)	и	(5.26) верны в			; ЛЮЭОЙ	системе		координат,	
Нетрудно убедиться, что матрицу К можно выразить через
матрицу L с помощью ряда
K = ln£ = ln[G+(L — G)] =	... (5.30)
Так как
А1 = Л L2 = e~^ и L3=l,
то
<^i = 1 4-2coscp, &l2= 1 4-2coscp, ^z3=l,	(5.31)
отсюда, в частности, легко определить угол поворота ср, если ком-
поненты матрицы L известны.
Если воспользоваться формулой Лагранжа — Сильвестра, то вместо
ряда (5.30) получим простую формулу
К= 2i^-G)[(l+2cosT)G-£].	(5.32)
Эта формула удобна для вычисления компонент матрицы /С, опре-
деляющей вектор поворота К. если матрица L известна.
При установлении тензорной зависимости двух тензоров необхо-
димо специально изучить вопрос о наличии изотропной связи.
В качестве примера рассмотрим произвольный тензор 7:
т=тл^
и рассмотрим тензор
т=т^эаэ\
причем мы примем, что
* »
Очевидно, что тензор Т определен тензором Т. Тензоры Т и Т
и их матрицы называются сопряженными. Рассмотрим теперь, в каких
*
случаях тензорную зависимость между Т и Т можно считать изо-
тропной.
66	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
Если тензор Т симметричный, т. е. Та^ = 7^, то
7=7,
если тензор Т антисимметричный, т. е. Та$ = — то
т= — т.
* 
Если система координат декартова и матрица для тензора Т
ортогональна, но вообще не симметрична и не антисимметрична, то
из условий ортогональности следует равенство
*	— 1
т=т *.
*
Следовательно, в трех указанных случаях тензор Т является простой
изотропной функцией тензора 7\ но в этих различных частных слу-
чаях эта функция различна.
Рассмотрим общий случай, когда Т не симметричный и не анти-
симметричный тензор и его матрица в декартовой системе координат
вообще не ортогональна. Для простоты предположим, что исходная
система координат, в которой мы рассмотрим компоненты тензора Г,
ортогональная и декартова. Очевидно, что все выводы, предста-
вленные с помощью тензорных равенств, будут верны независимо
ст выбора системы координат.
*
Выясним условие представимости тензора Т как изотропной
функции тензора Т:
T=f(T).	(5.33)
Если верна формула вида (5.33), то очевидно, что должно выпол-
няться матричное и тензорное равенство
ТТ=ТТ,	(5.34)
т. е. матрицы тензоров Т и Т перестановочны. Матрица, удовлетво-
ряющая условию (5.34), называется нормальной. Если матрица тен-
зора Т произвольна, то условие (5.34) не выполняется. Ниже мы
установим необходимое и достаточное условие нормальности матриц.
•Очевидно, что симметричные, антисимметричные и ортогональные
матрицы нормальны.
Если воспользоваться разбиением тензора Т на симметричную и
антисимметричную составляющие, то можно написать
7 = # + 2 и T = N — 2.
Очевидно, что равенство (5.34) равносильно равенству
QN = NQ.	(5.35)
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
57
§ 5]
Следовательно, симметричная матрица тензора N должна быть,
коммутативна с антисимметричной матрицей тензора й.
Случаи й = 0 и N 0 или 7V=0 и й #= О рассмотрены выше.
Рассмотрим случай, когда и Й^О.
Условие нормальности матрицы тензора Т (5.34) или усло-
вие (5.35) необходимо для существования функциональной связи (5.33).
Убедимся в достаточности этого условия для наличия функциональной
связи (5.33). В самом деле, по предположению система координат
ортогональная и декартова. Очевидно, что всегда существует орто-
гональное преобразование координат А, приводящее симметричную
матрицу тензора N к каноническому виду. Это значит, что имеют
место формулы
N' = LNL~\ ||Л^|| = |К8М-
Если преобразование L применить к матрице тензора й, то полу-
чим формулы
Q' = LQL~\
Ввиду того, что исходная система координат ортогональная и пре-
образование L равносильно переходу к повернутой системе коор-
динат, очевидно, что матрицы тензоров N' и й' можно рассматри-
вать как матрицы тензоров N и Й в новой системе координат,
поэтому й ф 0, причем 2г-у = — и 2^ = О, так как располо-
жение индексов вверху и внизу в декартовой системе координат
несущественно, а свойство антисимметрйи инвариантно относительно
тензорных преобразований.
Умножая равенство (5.35) справа на' А”1 и слева на А, придем
к равенству
L9.L~'LNL~X = LNL'^LQL'1
ИЛИ
Q'N' = N'Q',
которое в компонентах можно переписать в виде /
2-7Д/г/=ЛГ/2-7 или	(5.36).
Из (5.36) следует, что N2, не могут быть все различными,
так как если	7Vp то из (5.36) следует, что все
2/у = 0, что исключено предположением Й^О. Таким образом,
если	и некоторые из 2.;. =# 0, то матрица для Т
не является нормальной, так как в этом случае условие (5.34}
не может быть удовлетворено.
58
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
Для нормальной матрицы тензора Т при соответствующей нуме-
рации компонент Nt возможны два случая:	*
1° = =
и •
2°	N1 = N2^/V3.	.
В случае Г тензор N шаровой, поэтому
T = ^G4-2 и T = NlG — Qi
51 следовательно,
T= — T^-2NlG.	(5.37)
Этим самым установлена связь вида (5.33),	—инвариант тензора Т.
В случае 2° уравнения (5.36) имеют решение
212 = — ^21 =	213	^23 = О,
причем имеем: о)2 = 222 + 2?3 4~223— инвариант матрицы тензора Q.
Следовательно, с помощью преобразования L матрица тензора Т
приводится к виду
	Кг ш 0		 CD 0	0 0 ^3	(5.38J
.а матрица тензора Т к виду				
		0)	0	
		О)		0	,	(5.38г)
	0	0	^3	
Матрица (5.382) для тензора Т вообще не ортогональна. Если
.TVj = cos ср, id = — sin ср и 2V3=1, где ср произвольно, то матрица
тензора Т ортогональна.
На основании канонических представлений (5.380 и (5.382)
матриц тензоров Т и Т непосредственно легко проверить наличие
♦следующей функциональной связи:
Т = -^,--_Д)2 + ю2 {2АГз [“2 +	(М> - ^)1 G +
4- [4N2 _ о,2 _ (Af1 Д73)2] т + 2 (N3 - Д^) Т2}. (5.39)
В формулах (5.37) и (5.39) коэффициенты являются инвариантами
тензора Т.
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
59>
§ 5]
Если = N3, то формула (5.39) переходит в формулу (5.37),
Фактическое установление связи (5.39) между Т и Т доказывает-
достаточность условия (5.35).
Выше было использовано разбиение произвольного тензора нд.
сумму симметричного и антисимметричного тензоров.
Покажем теперь, что любой тензор второго ранга можно пред--
ставить в виде следующих произведений:
T=OH=HXOV О = е«, Ог = е^,	(5.40).
где Н и Нх — симметричные тензоры с положительными главными
компонентами (положительные корни характеристического уравнения),,
а К и К\ — антисимметричные тензоры. Из равенства (5.26) следует,,
что матрицы тензоров О и Ох ортогональны.
Справедливость формул (5.40) установим с помощью фактического.
определения матриц тензоров /7, К и Hv
Очевидно, что наряду с формулами (5.40) должны выполняться,
формулы
т=нд = д}н1.	(5.41 >
На основании (5.40) и (5.41) или независимо можно написать
TT = Hi и ТТ = Н\	(5.42).
где матрицы, соответствующие пх и п , симметричные, но вообще
различные.	х
В декартовых координатах для компонент тензоров ТТ и ТТ
имеем
^iaTak ^iaTka.1 ^iaTak ==
отсюда непосредственно -видно, что это симметричные тензоры, но.
вообще различные. Они равны между собой только в том случае,
когда матрица ||7)ft|| нормальная.
Дальше мы ограничимся случаем, когда детерминант | Tik | =/= 0,.
поэтому корни характеристических уравнений
|Gk— 7Т| = 0, |бк — 7Т| = о	(5.43>
отличны от нуля и положительны, так как квадратичные формы,
соответствующие матрицам тензоров ТТ и ТТ:
Т1лТклх‘хк = 5 (Т1ах1)2 и Та1Такх1х* =* £ (Та1х1)2
а — 1	а = 1
положительно определенные.
Оба уравнения (5.43) совпадают, так как инварианты	Я ~
* * ~
и 3з обоих тензоров ТТ и ТТ равны между собой, поэтому*
*60	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
* *
характеристические числа матриц, соответствующих тензорам ТТ и ТТ,
одинаковы.
*
Если матрица тензора Т нормальная, то главные оси тензоров ТТ
*
и ТТ совпадают, в противном случае главные оси этих симметричных
тензоров повернуты друг относительно друга.
С помощью равенств (5.42) симметричные тензоры Н и Нj с поло-
жительными главными компонентами можно определить формулами
ТТ— аб ^ЬТТ-\-cTTTT,
Н' = }/~ ТТ = aG-\-ЬТТ-\-cTTTT,
где а, Ь, с — известные функции корней характеристического урав-
* *
«нения (5.43). Очевидно, что если ТТ=ТТ, т. е. если матрица
тензора Т нормальная, то Н=НХ.
Если Н и Нг определены, то, так как | Tik | #= 0, матрицы тен-
зоров О и Oj определятся единственным образом по формулам
О=ТН~Х И ох=н?т.
Так как
д=н~'т и д, = тнт\
ТО
до^н~хттн~х =н'н'н' =g
,и аналогично
OjOj = G.
Следовательно, матрицы тензоров О и ортогональные, а поэтому
матрицы тензоров К и К\ антисимметричные.
Таким образом, доказана возможность представления (5.40).
Из формул, определяющих Н и К, очевидно, что это представление
единственно. Очевидно, что если ТТ = ТТ и, следовательно, Н = НХ,
то	и, следовательно, матрицы ек и Н перестановочны.
\
§ 6. Функции нескольких тензоров
Любые четыре вектора a, av а2, в трехмерном пространстве
линейно зависимы. Это значит, что всегда существует линейное со-
отношение вида
ka ~j—	—|— k2€t2 “4~	== 0,	(6.1)
в котором скалярные величины k, kv k2, k3 не все равны нулю
и представляют собой инвариантные величины относительно преобра-
§ 6]	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ. ТЕНЗОРОВ	61
зования систем координат. Скаляры kt kv k2, k3 в равенстве (6.1)
можно изменить умножением на любое число. Если векторы av а2,
а3 линейно независимые, то k =£ 0, в этом случае можно принять
k = —1 и равенство (6.1) записать в форме
а =	4-А2а2 + fe3a3.	(6.2)
При произвольных а, av а2 и а3 скаляры kv k2, k3 можно
выразить через инвариантные произведения
0>t. = (a, а() и U>zft = (a/F ak) (Z, A=l, 2, 3).
Если вектор а является функцией векторов ар а2, а3, то ска-
ляры u)z можно рассматривать как функции от и в этом случае
имеют место функциональные связи следующего вида:
ki = fi^kj) k, J=\> <2, 3).	(6.3)
Аналогичные соотношения можно указать для тензоров [52]. На-
пример, произвольные десять вообще несимметричных тензоров вто-
рого ранга (десять матриц) в пространстве трех измерений всегда
связаны линейным соотношением
9
АЯ+S^r^O.	(6.4)
1=1
в котором скалярные величины k, (Z=l, 2, 3) не все равны
нулю и представляют собой инвариантные величины относительно
преобразования координат. Очевидно, что если тензорное равен-
ство’ (6.4) верно в какой-либо одной системе координат, то оно
будет выполняться с теми же значениями k и kt в любой другой
системе координат.
В компонентах тензоров соотношения (6.4) можно написать в виде
9
(р, q= 1, 2, 3).	(6.5)
i = l
Рассмотрим матрицу девятого порядка ||2|| = || Т^Ц, в которой
индекс Z=l, 2, ..., 9 определяет номер строки, а фиксированная
комбинация индексов р и q определяет номер столбца.
Если тензоры 7\ (I — 1, 2, ..., 9) линейно независимы, то детер-
минант матрицы ||21|= || отличен от нуля и, следовательно,
k =£ 0.
Не ограничивая общности, можно положить k = —1. Равен-
ство (6.4) в этом случае можно записать в виде
9
н= 2	(6.6)
i = l
62	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
Если тензоры Н и Tt симметричные, то число возможных линейно
независимых тензоров сокращается с девяти до шести.
В равенстве (6.6) скаляры kt выражаются через инвариантные
скаляры = Н^Тщ.'л и &ik — T(i)ap7(fe)?;, которые являются приме-
рами совместных инвариантов. Величины можно рассматривать
как элементы матрицы девятого порядка, получающейся в результате
произведения двух матриц ||2|| и ||2*||, причем матрица ||2*|| полу-
чена из матрицы || 21| путем перестановки элементов, при которой
строки превращаются в столбцы:
Если определитель матрицы ||2|| отличен от нуля, то определи-
тель Д = | (i)ik I тоже отличен от нуля.
Если тензор Н является тензорной функцией тензоров Tz, то
инвариантные скаляры являются функциями скалярных инвариантов
системы тензоров Тг
Все предыдущие выводы сохраняют свою силу, если заранее
задано соотношение вида (6.6), в котором тензоры 7\ имеют число
независимых компонент в каждой матрице или в различных матри-
цах меньше девяти и соответственно I < 9. В частности, если тен-
зоры 7\ и Н симметричны, то число независимых компонент и
индекс i равны шести.
Другой пример, если
7\ = G, Т2=Т и Т3=ТТ
и. ч
то верно линейное соотношение
H=kxG + k2T + k3T\
совпадающее с формулой (5.17).
В этом случае i = 3 и число независимых компонент у тензо-
ров G, Т, Т2 также равно трем. Для девиаторов следует, что всякие
шесть девиаторов линейно зависимы. Соответствующая формула для
представления девиатора через линейно независимые девиаторы будет
пятичленной.
Пусть симметричный тензор Н является функцией трех симме-
тричных тензоров О, Рх и Р2, причем тензоры Рх и Р2 не приво-
дятся одновременно к каноническому виду [40].
Рассмотрим шесть симметричных тензоров
TX = G, T2 = Pi, = Т\ = Р2,\
9	2 I	*ТУ
Т^Р^+Р^, Тз = р\р2+р2р{ J
и выясним условия их линейной независимости.
§ 6]
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕНЗОРОВ
63
Возьмем декартову систему координат, совпадающую с главными
осями тензора Рр и рассмотрим линейные формы
6
(р, 4=1,2, 3).	-	(6.8)
1 = 1
Обозначим через Хр Х2 и Х3 характеристические числа тензора Рр
Обозначим через Pik компоненты тензора Р2. В принятой системе
координат детерминант системы линейных форм (6.8) имеет вид
	1	1		1	0		0	0	
	Х1	^2		Х3	0		0	0	
	X?	х2		 ' х|	0		0	0	
	Л1	^22		^зз	^*12		Лз	^*23	—
	2Pnki	2Р22Х<		г 2/-*ззХ3	^*12 (X] 4- Х2) Р13 (X! + Х3) Р23			(Х2 4- х3)	
	2РцХ?	2Р22	X;	2 2РззХз	Р12 (Xi	Х2) Р 1з (Х1 -р- Хз) Р23 (Х2 Хз)				
	1 1	1		1	1	1			
=	Xi х2	^3		4~Х2	Xi 4-х3	Хг 4-Х3	-^12^13^23 —		
	X2 Х2	Хз		Xi4-X2	Xi 4^X3	xi+Хз			
— (\ Х2)2(Х2 \з)2 (^з	Хг)2 Р12Р13Р23»
отсюда ясно, что система тензоров (6.7) линейно независима, если
Хр Х2, Х3 различны, и Р12 =/= О, Р13 #= 0, ^23 =£ 0.
Обращение в нуль одной из компонент Р12, Р13, Р23 означает
геометрически, что одна из главных осей тензора Р2 расположена
в плоскости, проходящей через главные оси тензора Pv Очевидно,
что в этом случае отмеченный факт взаимный, т. е. одна из глав-
ных осей тензора Рх также лежит в плоскости, проходящей через
главные оси тензора Р2. Если в нуль обращаются две компоненты Pik
с различными индексами, то одна из главных осей тензора Р2 сов-
падает с главной осью тензора РР Если одновременно Р12 = Р13 =
==Р23 = 0, то главные оси тензоров Рх и Р2 совпадают
Если Д ¥= 0, то для тензора И можно написать формулу
Н=kxG + k2Pi ч- k3pl 4-+
+ k5 (PiP2 4-P2Pi) 4- k6 (p?p2 + P2P?),	(6.9)
где kv k2, .. .,	— функции инвариантов системы тензоров Рг и Р2.
Формулу (6.9) можно рассматривать как обобщение формулы (5.17)
на случай наличия двух тензоров Рг и Р2, от которых зависит тен-
зор Н. Если симметричный тензор Н зависит от многих симметрич-
ных тензоров Pv Р2.......Рт, то, обозначив через Рх и Р2 два
64	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
тензора, удовлетворяющих условию Д =# О, получим, что в таком
более общем случае также верна формула (6.9), в которой, однако,
скаляры kv k2, ...» kQ являются более общими функциями инвариан-
тов системы тензоров Pv Р2, .... Рт. Если два тензора Рх и Р2
постоянны и удовлетворяют условию Д ¥= 0, то верна формула (6.9),
причем другие переменные тензоры войдут только через скалярные
инварианты системы Рр Р2, ...» Рт, от которых зависят скаляры
^2* • • • » ^6*
Рассмотрим еще некоторые особые случаи, когда для любой пары
тензоров Рк определитель Д = 0.
1°. Если все тензоры Рр Р2, ..., Рт шаровые, то тензор Н
также шаровой, потому что тензоры Рр Р2, ...,'Рт инвариантны
относительно любого ортогонального преобразования координат и
поэтому этим же свойством обладает и тензор Н. В этом случае
вместо формулы (6.9) можно написать более простую формулу
H=kG,	(6.10)
где k — скалярная функция от т инвариантов тензоров Рр Р2, ..., Рт.
2°. Если все тензоры Рр Р2, ..., Рт имеют общую главную ось,
то эта ось является главной и для тензора Н. В самом деле, возь-
мем декартовы оси координат, в которых общая главная ось тен-
зоров Рх......Рт совпадает с осью хР В этой системе координат
имеем
р‘2 = р{3 = 0.
Пусть Н12 и //13— соответствующие компоненты тензора Н.
Сделаем преобразование координат
Х1 =	Х1’ Х2 = Х2’ Х3 = Х3*
При этом преобразовании все компоненты тензоров Рр Р2, ..., Рт
сохраняются неизменными. Для тензора Н имеем
//12 = — //12 И //13 = — //13,
а все остальные компоненты не изменятся. Так как// = f (Рр .. ., Рш),
а все Pt сохраняются неизменными, то Н должно быть неизменным,
отсюда вытекает, что
н12 = н13 = 0
и, следовательно, ось хг для тензора Н также является главной.
3°. Очевидно, что если тензоры Рр Р2......Рт имеют совпадаю-
щие главные оси, то тензор Н имеет те же главные оси.
4°. Если каждый из тензоров Pv Р2, ..., Рт с одними и теми же
главными осями имеет пару равных корней характеристического
уравнения, соответствующих главным осям и х2, то тензор Н
также имеет равные корни, соответствующие главным осям хг и х2. ..
§ 7]	ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ	65
Тензорные функции нескольких тензоров иногда рассматривают
как анизотропные функции одного тензора Pv а другие тензоры
играют при этом роль параметрических величин, характеризующих
анизотропию.
В качестве параметрических тензоров, характеризующих анизо-
тропию, возможно появление тензоров с рангом, большим двух.
Такой тензор может оказать влияние на тензор второго ранга Н
только через совместные инварианты с другими тензорами либо
через скалярные произведения этого тензора на шаровой тензор О
или на другие тензоры второго ранга.
§ 7. Потенциальные тензорные функции
Пусть дана функци^
Я=/(О, 7, Др Д2, ...),	(7.1)
где
т= Г.&э1 = Tj'.&at = т1}э1э’ = Tli3t3}
— основной и вообще -не симметричный переменный тензор. Тен-
зоры Др Д2, ... вообще не шаровые постоянные параметрические
тензоры, которые можно рассматривать как характеристики анизо-
тропии. Если тензоры Др Д2, ... —шаровые, то функция (7.1) изо-
тропная и согласно формуле (5.17) можно написать
H=kG + k1T-\-k2T2.	(7.2)
Для тензора Н имеем представления
= Hj.&di = НцЭ1^ = Hu3i3j.
Тензорная функция (7.1) называется потенциальной, если для ком-
понент тензора Н1.) верны формулы вида
где потенциал W — некоторая скалярная функция системы инвариан-
тов тензоров (7, 7, Др Д2, ...
Нетрудно убедиться в том, что равенство (7.3), верное в одной
какой-либо системе координат, верно в любой другой. В самом
деле, пусть х1 и у1— две системы координат
/=/(д7).
5 Л. И. Седов
66
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Согласно формулам (3.3) имеем
т а___	] дх* ду1
3	1 dyi дх^
и
dW dW дПа о дх* ду1 ,
дТ'^ ~~ дТ£ дТ'У =На
что и требовалось доказать.
Введем теперь формулы для чисто ковариантных и контравариант-
ных компонент тензора Н.
Имеем
Т ‘J Т	„bj тг4* rr°-j
Ti.=Ti0Lg ,	—- = —7gJ = HjgJ.
dTi„ dri.
В этих равенствах суммирование происходит только по индексам а
или j, индекс I фиксированный. Таким образом, получим
_ dW
~ дТ1л •
Н1л
(7.4)
Аналогичным способом устанавливаются формулы
н — ML	i _ dW
ia dTia	j' dT{'t
(7.5)
При выводе формул (7.4) и (7.5) тензоры G и Т рассматриваются
как независимые величины, при дифференцировании по компонентам
тензора Т компоненты тензора G считаются постоянными. Формулы
(7.3), (7.4) и (7.51 верны в общем случае при наличии анизотропии,
когда скаляр W зависит существенно от системы совместных инва-
риантов тензора Т и параметрических тензоров Ар А2, ...
' Рассмотрим случай, когда тензор Т симметричный, а потенциал W
зависит от компонент тензора Т, только через инварианты тензора 7\
но, кроме этого, может зависеть произвольно от системы инвариан-
тов тензоров Ар А2, ...
Этот случай отвечает потенциальным тензорным функциям не-
сколько более общего типа, чем определенные выше потенциальные изо-
тропные функции, которые можно рассматривать в качестве основ-
ного частного подслучая. В функции (7.1) тензоры Ар А2, ... входят
только через свои совместные инвариантные скаляры.
В качестве полной системы инвариантов симметричного тензора Т
можно взять, в частности, его главные компоненты Tv Т2 и Т3 или
инварианты ff* и определенные через компоненты Т\. фор-
мулами (3.9).
§ 7]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
67
На основании (3.9) и (7.5) в рассматриваемом случае имеют
место формулы
дТ^:
H.i _ dW dW	dW Ti. . q dW
77/.	= —8;. +2—* '-/4-3—b-T.'J.j.	(7.6)
off!	dff2	dff3
Если в данной точке направления координатных линий совпадают
с направлениями главных осей тензора Т, то = 7\ и Т!) = О
при I Ф J, поэтому из формулы (7.6) получим

dW . 0 dW т . Q dW т2
ТТ I 2	* 1 i + о * / i
dff ।	dff 2	з
(7.7)
и
///=0
Следовательно, из формулы (7.6) вытекает, что в каждой точке
главные оси тензоров Н и Т совпадают 4.
В главных осях формулы (3.9) приобретают вид
^1 = 7’14-т2 + т3,
^'2=7'f + 7’2 + 7’i.
^3=7’?4-7'i+7’f.
(7.8)
Из (7.8) и (7.7) очевидно, что
^=дТ7	О’=1’2>3).	(7.9)
Очевидно также, что верно обратное предложение: если независимо
от выбора системы координат потенциал W зависит от компонент
тензора Т только через главные компоненты Tv Т2 и Т3, то из (7.9)
следует (7.6). Формулы (7.9) и (7.6) эквивалентны, когда W зависит
только от Тр Т2 и Т3.
Если потенциал W задан как функция главных компонент Tv
Т2 и Т3, то из формул (7.6) после замены в формуле (7.8) произ-
водных от W по gv и через производные по Тр Г2, Т3
4 Если потенциал	имеет более общую природу и зависит, например,
от инварианта II =	то справа в (7.6) добавится член	¥=0j-
Если A\ ’j =# 0 при i =# у, то главные оси тензоров Н и Т не совпадают.
5*
68
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
получим
И*			1			dW дТ, Л Т2г 1 т; dW	dW дТг т2 т\ 1 Т2 dW дТ2	dW дТ, т3 т1 1 Тз dW дТ3	1	р‘;г}	
Пу. +	(Л - Г2) (Г, 1 1 • dW dW д7\ дТ2 т\  т\	-73)( 1 dW о'Т'з j.2 ' 3	Л-г,)	(				1		.	(7.10)
Для тензорных функций, обладающих потенциалом, формулы (7.6)
и (7.10) специализируют вид коэффициентов kQ, kx и k2 . в фор-
муле (7.2).
Если функция W(gv д*, д*} или W (Ть Т2, 7з) задана, то за-
висимость скаляров kQ, kx и k3 от gv д*, д*3 определена форму-
лой (7.6), а от Тр Т2, Т3 — формулой (7.10).
Из формул (7.6) и (7.10) следует, что в случае потенциальной
зависимости двух тензоров И и Т условие квазилинейности можно
написать в форме
=0
или
(7.П)
Если тензорной функции
Н= f(T)
соответствует скалярная функция f (Tv Т2, Т3, z), то на основании
формул § 5 имеем
=	Т2.	Т3,	7\) = <f(Tv	Т-2,	Тз),
^2 = f (Л*	^2*	^2) = Ф(Л*	^2»	Л)*
/73 = /(7р	Т2,	73,	Т3) = ^(7'р	Т2,	Т3),
где ср, ф и х—вообще произвольные функции своих аргументов.
§ 7]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
69
Очевидно, что для существования потенциала необходимо и до-
статочно выполнение следующих условий:
дер		— 0	
дТ2	dTt		 V,	
дф дТ3	д1 дТ2	= 0,	(М2)
	д<р	= 0.	
	дТ3		
Очевидно, что для произвольной функции f (Tv Т2, Т3, Т) усло-
вия (7.12) не удовлетворяются.
В частности, если соответствующая функция f (z) зависит только
от z и не зависит, кроме этого, от инвариантных скаляров тензора Т,
то условия (7.12) выполняются, причем в этом случае для потен-
циала W верна простая формула
Г = ^Г(Т1) + ^'(7’2) + ^Г(Т3),	(7.13)
причем функции (х) и f (z) связаны простым соотношением
В этом случае условие квазилинейной зависимости тензоров Н и Т
имеет вид
f(T) = aT^b.
где а и Ъ—некоторые постоянные, причем для потенциала W по-
лучается формула
г =	+ 71) + Ъ (Тг 4- т2 + Т3).
Рассмотрим изотропную тензорную функцию Н=f (G, Рр Р2, Р3, Р),
для которой в главных компонентах выполняются равенства
(/=1> 21 3)’ (7Л4)
(Pi)
где ?/(Pz) — производная по Pz от функции <pz(Pz).
Согласно общей теории, развитой в § 5, и формуле (5.12) функ-
цию f(G, Рр Р2, Р3, Р) можно выразить через функции <p'(PJ
ЪО	^2, ^з).
Если ввести тензор Т, определенный формулой
Т=Ф(б, Pv Р2, Р3, Р).
где
<т> tn р р р w  PzG) (X P3G)	гр \ I
Ф(О, Pv Р2, Р3. X) - (/>i _ р*у (Pi _ рз)	(Р,) 4- I *
I P3G) (X P>G) ,р, . (X PiG) (X P2G) (р \ ("7 1 кч
+ (Р2-Л)(Р2-Р.) ?2+ '(Р3-Р~)СРз-Рз) ?3(Рз)’ (7-15) 
70	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I
то тензор Н можно рассматривать как потенциальную функцию
тензора Т, так как связь между и 7} определена формулой (7.91.
В частности, если ср'(х) = ср'(х) = ср'(х) = <?(х), то вместо фор-
мулы (7.15) можно воспользоваться матричной тензорной формулой
7' = <?(Р).
Например, если верны формулы
”/=(8;.-2=у-^Т--	<716>
* р*
в которых потенциал W зависит только от инвариантов симметрич-
ного тензора g =	то из (7.16) следуют формулы
причем тензор H=h'j3i3i определен как изотропная тензорная
функция тензора 8 по формуле
И = — In vG—28 (Н{ = — In v 1 — 2eJ. (7.18)
где G— фундаментальный тензор G —
§ 8. Дифференцирование тензоров по пространственным
координатам
В приложениях к механике встречаются различные тензоры и,
в частности, некоторые тензоры, получающиеся из других тензоров
в результате применения дифференциальных операторов.
Пусть в рассматриваемом объеме пространства дана криволиней-
ная система координат Ох1, х2, х3. Пусть /(х^х2, х3) — скалярная
функция точек пространства, значение которой не зависит от выбора
осей координат.
Систему производных
df	df df
dx} ’	dx2 ’ дх3
можно рассматривать как компоненты ковариантного вектора а.
В самом деле, легко видеть, что величина
а = -~Э' -t--^32+-^r33	(8-0
дх1 1 ®х2	1 дх3	v ’
инвариантна, причем при любом преобразовании координат правая
часть сохраняет свой »ид.
§ 8]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО КООРДИНАТАМ
71
Возьмем теперь вместо скаляра / некоторый вектор а, опреде-
ленный формулой
а — а}Э* -4- а2Э2 4“ а3Э3,	*
где аР а2, а3 — компоненты вектора, представляющие собой неко-
торые функции координат х1, х2. х3. Векторы базиса Э1, Э2, Э3
в криволинейной системе координат также зависят от координат
точек пространства.
В § 1 формулы (1.16) и (1.20) служат определением производ-
ных по координатам от векторов базиса, пользуясь этими формулами
и обычными правилами дифференцирования произведения числовой
функции на вектор, получим определение производной от любого
вектора а по координатам. Составим комбинацию
Т=Э1 4- э2 +	Э3 = А _ аЗг;: Л	= ^а^Э1.
дх1 дх~ дх* \дх3	/
(8.2)
Очевидно, что величина Т инвариантна и является тензором вто-
рого ранга. В декартовых координатах (или более общо, в точках,
в которых Га7- = 0) компоненты 7;.ла тензора Т совпадают с обыч-
ными производными от компонент вектора по координатам. В общем
случае система производных
дх3
не может рассматриваться как система компонент тензора.
да„
извольном преобразовании координат производные —К не
дх3
При про-
преобра-
зуются по правилу преобразования компонент тензора.
Если воспользоваться формулой
а — ахЭх + а2Э2 4“ а3Э3,
то аналогичным путем получим тензор 7\:
= (44 +	(8.3)
\ dxJ	/
Очевидно, что выполняется равенство
Л = т,
так как это тензоры, имеющие одинаковые компоненты в декарто-
вой системе координат. Отсюда следует, что должны выполняться
равенства
=	=	(8.4)
которые мы проверим далее непосредственно.
72
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Для тензора Т легко образовать контраварйантные компоненты
по индексу у.
Согласно общийг правилам имеем
^а^Э} = gJ%a^ = (g*	Э'Э}.
Связь между ковариантными dxt и контравариантными dxl ком-
дЭ1
понентами вектора dr и производные — даны формулами (1.12),
(1.14)и(1.21):	Х)
dx^ = g^dxm, ^ = -Гаи,3эУ/.
Отсюда
дх. дх$
и, следовательно,
7'=v43aay = -g-a/.	1	(8.5)
Аналогичным путем легко установить еще одну формулу:
7'=VV3e3/ = ^-3/.	(8.6)
Таким образом, операция дифференцирования вектора по простран-
ственной координате приводит к тензору второго ранга, компоненты
которого можно представить в одной из следующих четырех форм:
Vya“,	VJa, V'aa,
связанных между собой тензорными правилами поднятия и опускания
индексов с помощью фундаментального тензора G.
Описанный выше способ получения векторов и тензоров второго
ранга путем дифференцирования скаляров и векторов легко обобщить
на случаи тензоров любого ранга.
Например, пусть имеем тензор Т третьего ранга
7=
Величина
инвариантна и является тензором четвертого ранга. Производя диф-
ференцирование компонент и векторов базиса Эа, Эр Эт, по-
лучим
/ дТа?~	\
=	4-	- Т’ЗД ) ЭаЭ^Э&. (8.7)
§ 8]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО КООРДИНАТАМ 4	73
Аналогично тому, как для вектора, для любого тензора также можно
дать выражение для компонент
Vy7'a₽T = /mVa,7’^r
Остановимся теперь на некоторых свойствах инвариантного диф-
ференцирования тензоров.
Возьмем два тензора А и В с компонентами Аа и и образуем
их произведение Т как тензор с компонентами АаВ^.г
Непосредственно легко проверить, что для ковариантных компо-
нент инвариантной производной от тензора Т верно равенство
Ъ (дав3;)=(V; Да) 4- Ал (?Х).	(8.8)
Следовательно, при дифференцировании произведения тензоров
выполняется обычное правило дифференцирования произведения ска-
лярных функций.
Рассмотрим тензор Т с компонентами 7^у и тензор D с компо-
нентами ®а, полученный из тензора Т свертыванием по индексам р
и у при р =
Из формулы (8.7) очевидно, что операция свертывания и опера-
ция дифференцирования переместительны. Если произвести сначала
свертывание, т. е. переход к тензору D, и после этого применить
операцию инвариантного дифференцирования, то получим то же, что
и при применении дифференцирования к тензору Т и последующего
свертывания по тем же индексам.
В частности, пусть дано скалярное произведение двух векторов а
и Ь. В этом случае верны равенства
(а, b) = ajf
И
V, («• ») = <’,«•> » + о. (’?) = ^7	
Пусть задан вектор а = ааЭа. Составим тензор
Очевидно, что тензор 12 антисимметричный. В любой системе
координат компоненты выражаются по формулам
da,
Vaay = Гау^
_ да*	да}
дха ; а дх^	дха
(8.9)
Антисимметричный тензор 12 имеет только три независимых компо-
ненты, которые согласно (3.14), после умножения на
74
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
|ГЛ. F
^,=1=1^1)
можно рассматривать как компоненты вектора to
даа	да1 \
—--------— I; индекс 8 — дополнительный индекс к а и /,
дх1	дха/
причем последовательность р, /*, а может быть получена из последова-
тельности 1, 2, 3 круговой перестановкой букв. Вектор to называется
вектором вихря для ьекгора а:
to = rot а.
Покажем теперь, что фундаментальный тензор G можно рассма-
тривать как постоянный тензор при инвариантном дифференцирова-
нии. В самом деле, имеем
00 .
=	«-io)
На основании равенств (1.18) получим V/g.ft = 0. Аналогичным обра-
зом легко убедиться в справедливости равенств Vjglk = 0.
При инвариантном дифференцировании компоненты тензора G по-
добно постоянным числам можно выносить за знаки производных.
При выводе формулы (8.4) это свойство было уже установлено с по-
мощью правил дифференцирования векторов.
§ 9. Тензор Римана — Кристоффеля
Символы Кристоффеля Г/у в трехмерном пространстве образуют
экстенсив из двадцати семи компонент. Согласно (1.19) имеем
1 ks / is . js__________dgjj \
M 2	\ dxi dx1 dxs /
(9.1)
Очевидно, что если все производные —= 0 (i, J, k— 1, 2, 3),
dxJ
то Г*у = 0, и обратно из (8.10) и равенства V jgik = 0 непосредственно
следует, что если все Г*у = 0, то все g^ = const.
В евклидовом пространстве можно ввести во всем пространстве
декартову систему координат. В декартовой системе координат
gik = const, поэтому все Г?у обращаются в нуль. В декартовой си-
стеме координат инвариантные производные совпадают с обычными.
С другой стороны, в евклидовом пространстве в криволинейной
системе координат gik зависят от точки и символы Кристоффеля Г*у
вообще отличны от нуля.
Из указанных соображений следует, что экстенсив Г*у нельзя рас-
сматривать как совокупность компонент тензора. Формулы преобра-
зования символов rfy при переходе от одной системы координат
§ 9J
ТЕНЗОР РИМАНА — КРИСТОФФЕЛЯ
75
к другой должны отличаться от формул преобразования компонент
тензора.
Обозначим через Г,) символы Кристоффеля в системе коорди-
нат у1 и через в системе х1. Формулы преобразования символов
Кристоффеля легко получить из следующих формул:
/	/) у-а
ду1
Дифференцируем это равенство по yJ и учитываем, что
дЭ‘ г'» д' дЭ« а. тк» а!	а	а! .
j	и „ Г’ар.Эи, — Гар Зу, так как Эш — Эу
dyJ	дхр	дх	дх
После этого получаем
г;х=
р<о ду! дх* дх* , д2хш
дхш ду1 dyi
Отсюда после скалярного умножения
получим искомую формулу
ti^t	/ ti^ дх дх$  I
4	\ а(3 ду1 ду} ду1 dyi
Формулы (9.2) совпадают с формулами тензорного преобразова-
ния только в том случае, когда связь между х1 и у; линейная.
В общем случае римановых пространств координаты, для ко-
торых в данной точке Г£р обращаются в нуль, называются геодези-
ческими в этой точке.
Если Г,} = 0, то, так как детерминант
W 1 э'
ду1 dyi дхш _
обеих частей равенства на Э 1
д2хш
(9.2)
dyi
~дз?
=£ О, должны выпол-
няться равенства
ГаЗТГ-^г+т^ТТ^0	2, 3).	(9.3)
ду1 dyJ ду1 dyJ
Всегда можно ввести новые координаты у1 так, чтобы в заданной
точке пространства xj, х%, х^, соответствующей yj, у%, у^, все pj
обращались в нуль. Для этого достаточно положить
хш -	= 8? (/ - у?) - 4 Го«р (/ - у?) (у3 - Уо) + •. •. (9.4)
где не указаны малые члены порядка выше второго.
Если потребовать выполнения соотношений (9.3) во всем про-
странстве, то получатся дифференциальные уравнения для определе-
ния преобразования данной системы координат х1 к декартовой у1.
76	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. I
Для произвольного фундаментального тензора gik и соответствую-
щих Пз уравнения (9.3) неинтегрируемы.
Условие евклидовости пространства совпадает с условиями инте-
грируемости системы (9.3).
Продифференцируем уравнения (9.3) по yk, после исключения
вторых производных, используя (9.3), получим
/	__гшгх ^xS	. дЪс™ _______п
\ dxs	aS ал J dyk ду1 ду* dyldykdyi
Наряду с этим равенством, переставляя индексы суммирования sz и
р и индексы k, j, имеем другое равенство
f	рсорХ \ dxs дха дх^ . д3хю п
\ дх?	J dyR ду dyJ ду dyRdyJ
Вычитанием исключаем третьи производные. Учитывая еще, что яко-
биан преобразования от х1 и yi отличен от нуля, получим необхо-
димые и достаточные условия интегрируемости системы (9.3) в сле-
дующем виде:
-4rrPrt=o. 0.5)
дх* дх?
Уравнения (9.5) должны выполняться в любой системе координат,
если пространство евклидово.
Ниже мы покажем, что в общем случае риманова пространства
величины можно рассматривать как компоненты тензора чет-
вертого ранга. Если уравнения (9.5) не удовлетворяются, то невоз-
можно ввести декартову систему координат во всем пространстве.
В этом случае пространство не евклидово, не плоское и является
криволинейным римановым пространством.
Для доказательства тензорного характера величин а также
в связи с замечательными свойствами этого тензора рассмотрим бо-
лее подробно в общем случае для риманова пространства свойства
инвариантных производных, определяемых в предыдущем параграфе.
Пусть задан произвольный переменный вектор а. Рассмотрим
полученные дифференцированием тензоры следующего вида:
Тг = ^-Э1 = ^^ЭЛЭ1 и Т, = -^4- Э} = V Х'ОГЭ'&Э1.
1 дх1	‘	2 дх'	1 ‘
Наряду с тензором Т2 рассмотрим тензор Т2, полученный пере-
становкой индексов i и j у компонент тензора Т2 при сохранении
порядка / и у у индексов векторов базиса
т2 =
§ 9]
ТЕНЗОР РИМАНА — КРИСТОФФЕЛЯ
77
Очевидно, что вообще Т2 4 Т2. Только в том случае, когда тен-
*
зор Т2 симметричный по индексам I и у, верно равенство Т2 = Т2.
Непосредственный простой подсчет дает
т2 - Т2 = Rl^a^dW.	(9.6)
Отсюда ясно, что величины образуют тензор. Этот тензор
называется тензором Римана—Кристоффеля.
Очевидно, что для евклидова пространства тензор Римана—Кри-
стоффеля тождественно равен нулю. В евклидовом пространстве
тензор Т2 всегда симметричен по индексам I и у, т. е. Т2 = Т2.
Предыдущие рассуждения, проведенные для вектора а, можно
обобщить на случай тензора любой валентности.
Для любого тензора легко получить формулу
— V<Vy7^T = RY^T^ 4-/?^7ГТ +	(9.7)
В общем случае риманова пространства тензор Rij^. отличен
/ от нуля. Опуская индекс а, можно написать
.	дТ^/
=	= ~^j	h j*® 1-^0)p./Гау/	(9.8)
где
г —J.	dgg.y .	1 dSh	dgaj '	
2	dxJ	1 дх*	дх' _	
В любой заданной точке в геодезических координатах Fvay = О,
поэтому верны равенства
_ 1 г	1 910
2 L dxj дх* дх1 дх' dxJ дх' дх1 дх* J ’
Из формул (9.10) непосредственно вытекают следующие свойства
симметрии, которые по свойствам тензорных преобразований выпол-
няются в любых системах координат:
Rijpy RijvpS RlJlW- О»
(9.П)
В трехмерном пространстве при /г = 3 тензор Rtj имеет только
шесть независимых компонент, которые могут отличаться от нуля.
Это следующие компоненты:
^1212’
^1213»
^1313»
^2123*
^2323»
^3132*
(9.12)
78	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. I |
Для перечисления независимых компонент, которые могут отли-
чаться от нуля, можно использовать следующие соображения.	1
Очевидно, что если все четыре индекса одинаковы, то компо-
нента Ruu при любом i равна нулю.	4
В случае одномерного пространства, когда метрика задана на
кривой, имеется только один индекс, равный единице, поэтому
в одномерном пространстве тензор = 0.
Если имеется только два различных индекса, то для данных двух i
индексов только одна компонента независима.
Таким образом, при п = 3 с двумя различными индексами имеется !
только следующие три независимые компоненты:	J
^1212» ^1313’	/?232з*	(9.12а)	'
В случае двумерного пространства для поверхности при п = 2
очевидно, что тензор Римана имеет только одну независимую ком- j
поненту, которая может отличаться от нуля: /?1212.	j
Если три индекса различны, то среди четырех индексов компо- 1
нент Римана всегда два одинаковы; эти равные индексы для компо- ]
нент, отличных от нуля, должны принадлежать первой и второй j
паре у независимых компонент. Эти индексы всегда можно считать 1
расположенными на' первом и третьем месте. После фиксирования j
равных индексов легко видеть, что только одна компонента полу- I
чается независимой. Отсюда следует, что при п = 3 независимы |
только следующие три компоненты тензора Римана, в которых |
индексы различны:	|
^1213’	^2123’	^3132*	(9.12b) I
Условие об обращении в нуль тензора R^ равносильно шести 1
уравнениям, которые получаются приравниванием нулю шести ком- |
понент, указанных в (9.12).	1
§ 10. Дифференцирование тензоров по параметру	|
В предлагаемом параграфе мы установим правила и формулы для |
дифференцирования тензоров по параметру t. Примером переменного 1
скалярного параметра может служить время.	I
Далее мы рассмотрим тензоры, зависящие от /, и рассмотрим 1
также случай, когда базис, в котором заданы компоненты тензора, I
также зависит от того же параметра Л причем зависимость пере- I
менного базиса от t может быть задана произвольно. В некоторых 1
случаях зависимости от параметра t базиса и данного тензора могут I
быть связаны.	4
Изменение одного и того же тензора можно рассматривать, ис- 1
пользуя различные базисы, по-разному зависящие от одного и того же .1
параметра.	Я
§ 10]	«ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ПАРАМЕТРУ	79
Последующие формулы, и производные в различных смыслах от
тензоров по параметру t можно рассматривать как обобщение из-
вестных правил дифференцирования векторов по времени относи-
тельно подвижных или неподвижных осей координат.
В рассматриваемом объеме возьмем следующие две системы
координат: неподвижную с ковариантным базисом ЭР Э2, Э3 и по-
движную с ковариантным базисом Эр Э2, Э3. Мы вводим подвижную
систему координат так, чтобы для фиксированных подвижных точек
континуума координаты 51, $2, £3 сохраняли бы постоянные значения.
Далее можно принять, что в некоторый момент времени система
координат, движущаяся вместе с подвижным континуумом, совпадает
с неподвижной системой координат, тогда в обеих системах коор-
динат индивидуальным фиксированным точкам соответствуют одни и
те же координаты J1, £2, £3.
Таким образом определенные координаты движущихся точек
51,’ J2, £3 представляют собой лагранжевы координаты. В лагранжевых
координатах, введенных таким способом, движение континуума сво-
дится к перемещению и деформации подвижной координатной си-
стемы. В неподвижной системе с базисом Эг- индивидуальным точкам,
движущимся в пространстве, соответствуют фиксированные неподвиж-
ные точки.
Кроме этого, введем еще одну неподвижную систему координат
Ох1х2х3 с ковариантным базисом ЭР Э2, Э3. В этой системе коор-
динаты подвижных точек переменны. Зависимости
Х1 = х‘(р, О	(10.1)
определяют закон движения точек континуума. Мы вводим систему
координат с базисом Эь как систему отсчета, по отношению к ко-
торой рассматривается движение континуума. Неподвижная система
с базисом Э, и подвижная с базисом Э,- вводятся как вспомогатель-
ные системы координат, в которых можно рассчитывать скалярные
и тензорные характеристики движения.
Базис и координаты х1, х2, г3 можно рассматривать как
систему координат, соответствующую точке зрения Эйлера. Дальше
примем, что в рассматриваемый момент времени все три системы
координат совпадают, поэтому компоненты тензоров, отнесенные
к различным базисам, совпадают для данного момента времени t.
Описанные выше системы координат позволяют определить про-
изводные по времени в различных смыслах от тензорных величин.
Обозначим через г радиус-вектор точек пространства. Для при-
ращения dr можно написать следующие формулы:
dr-dx"^, dr = d?3a, dr = df^. (10.2)
80
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Первая из этих формул, в частности, может отвечать перемеще-
нию dr для фиксированной точки при = const; вторые две фор-
мулы определяют приращения dr при фиксированном t.
Вектор скорости точек подвижного объема определяется формулой
_ dr _ dr (61, S2, £3, t) _
dt ~ dt ~~ dt
ЭЛ = 1ГЭЛ.
Рассмотрим сначала производные по времени от векторов базиса
для введенных выше различных координатных систем.
Векторы Эг- и Э1 могут быть введены для каждого момента вре-
мени t из условия Эг- = 3Z, но векторы базиса 3-L независимы от
изменения времени t и могут зависеть только от лагранжевых коор-
динат
Отсюда следует, что для фиксированных индивидуальных точек
подвижного континуума при постоянных fc1, £2, £3 верны формулы
d&t _ А	<& —
dt ~U’	dt
(10.3)
В пространстве,
нии (10.2) имеем
=
занятом
движущимся континуумом, на основа-
дг
д&
дг дх* ~ дх*
Э-. =---------- = Э_ —-.
' dx* d£l di1
и
Отсюда после
получим
Далее, так
—— = va. ТО
и
дифференцирования по времени t при постоянных $
= > =		(10.4)
d3j  дЭл дх* . & д2х*
дх* *а
как в рассматриваемый момент времени —г- =	и
-^ = г»хГ“аЭа) при & = const.	(10.5)
Производные от контравариантных векторов базиса легко найти
после дифференцирования скалярных произведений
(Эг, = и (Эг, Эу) = 8}.
На основании (10.4) получим
§ 10]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ПАРАМЕТРУ	81
поэтому
^- = -7^3“.	(10.6)
Аналогичным путем найдем
^. = .-^3“.	(10.7)
Установленные	выше	формулы для дифференцирования	векторов
базиса	позволяют	легко	получить формулы дифференцирования по
параметру t тензора любой валентности.
Пусть дан тензор Т, который можно отнести либо к подвиж-
ному базису лагранжевой системы координат, либо к неподвижному
базису эйлеровой системы координат.
Имеем
т = Т^ЭЛЭ^ = Г?гЗаЗрЗт.	(10.8)
Компоненты и в момент t совпадают, а для момен-
тов tr > t эти компоненты и соответствующие базисы становятся
различными, но по определению и являются компонентами
одного и того же тензора Т.
Наряду с тензором Т рассмотрим тензор Т, определяемый ра-
венством
о	° „О О о о„
7'=Т“ртЗаЗ₽Зт.	(10.9)
В рассматриваемый момент времени t тензоры Т и Т совпадают,
в последующие моменты времени по определению компоненты этих
тензоров одинаковы, но тензоры Т и Т различны, так как базисы,
к которым они соответственно относятся, различны. Следовательно,
для каждого момента времени г > t компоненты Г..Т=Г..Т можно
рассматривать как компоненты двух различных тензоров Т и Т.
Для тензоров Т и Т можно написать
т =	= Т'^Э'Э^ =	= ....
°	* О О О.,	О о о„ о о„	о о„ оо о„
т =	= т^ээ^э1 = ...
Координаты индивидуальных точек в обеих системах, но в раз-
личных пространствах, одинаковы. Преобразование координат
в обеих системах приводит к одинаковым преобразованиям компо-
нент с любым строением индексов.
Очевидно, что так как в данный момент времени t 3i = 3i, то
верны также равенства
Т»-?- _ 'г ________ 'Г
л а.у- 1 а.-р 1 аЗ^-	• • •
6 Л. И. Седов
82
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. 1
Однако для /'>/ Эь =# ЭР и поэтому эти равенства будут нарушены,
так как
гр' 3 •	* rrttvfi • .	• |3 •	° Q-wS*
T^ = gaaT.₽r ¥= T^ = gaaT. \ и т. п..
где
g^ = Д • Д.) и gaa> = Д. Эа).
Для данного тензора Т наряду с тензором t в базисе 3t можно
ввести еще другие тензоры, у которых по определению при любых
t'^t совпадают компоненты с другим строением индексов с ком-
понентами тензора Т.
В частности, в случае тензора второго порядка имеем
И = /га^ЭаЭ? = h ’ДЭ3 =	(10.1 Оа)
В базисе 3t этому тензору соответствуют четыре, вообще, раз-
личных тензора:
я2 = й“Дэ3, я3 = а;3эД, я4=л,Д^. (ю.юь)
Очевидно, что каждому из тензоров /7у в базисе 3Z также соот-
ветствуют свои четыре тензора. Свойства полученной таким путем
совокупности тензоров и их инвариантов изучены в работе В. Д. Бон-
даря р].
Продифференцируем по параметру t равенство (10.8), учитывая
(10.5), (10.6), (10.7) и (10.4), получим
dT
~dt
dt*\
/£= const
дТ*9'
+	- т
Ul Az = const	•
(10.11)
При 7^ = const производная вообще отлична от нуля.
Продифференцировав равенство (10.9), с учетом (10.3) имеем
dT ( dfa?T \ о е от
= (10Л2)
А	=const
Отсюда, а также непосредственно из формулы (10.11) следует, что
/ tffap* \
производные ( —т-— I можно рассматривать как компоненты
\ J=const
тензора.
§ 10]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ПАРАМЕТРУ	83
С другой стороны, из формулы (10.11) следует, что имеет место
неравенство
дТ^ \
/ £! = const

£ =const
(10.13)
/ дТ& \
причем система производных ( —.
добавочные части в скобках, содержащие
не являются компонентами тензора.
Таким образом, для заданного тензора Т можно рассматривать
индивидуальные производные по времени
dT
dt
. не образует тензора, так как
символы Кристоффеля,
t (при постоянных ^),
составленные в различных смыслах, и В формуле (10.11)
для производной даны различные выражения в зависимости от
использования лагранжевой или эйлеровой систем координат. Тен-.
dt л a	dT, л а
зору в базисе соответствует тензор в базисе с теми же
компонентами для данного строения индексов, причем в момент Л
когда	имеем
df _ dTx
dt ~~ dt
и
=	+	Т^^]ЭЛЭ^\ (10.14)
,,	,	dt	dTi
при г > t тензоры и различны и определены в разных
базисах.
Формулу (10.14), равносильную первой из формул (10.11), можно
рассматривать как обобщение на случай движения деформируемого
континуума известной формулы о дифференцировании вектора при
использовании подвижной системы координат.
В самом деле, для .вектора Д = ааЭа формулу (10.14) можно
написать в виде
t/Д da13 а ।	~ dt}a	a	/in
-1Г = ИГЭ* + а ‘7Г=1Г + а№	<10-15>
Если среда движется как твердое тело, то
» = г] и =	+	Л],	(10.16»
6*
84
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. I
Йал
— мгновенная угловая скорость, а -------производная от век-
тора относительно подвижной неизменяемой системы.
Далее, так как
dv _ а
^г=[2. Э,1.
то можно написать
[2, А] = аи- [Q, 3 1 =	= а^^Эл и ~	•
11	1	1х1 dgp-	и- а dt dt
Отсюда ясно, что формула (10.15), совпадающая с формулой
(10.16) в случае твердого тела, дает связь между полной производ-
ил	dAy
ной и производной от вектора , характеризующей измене-
ние вектора А относительно подвижного базиса в случае дефор-
мируемой среды.
Наряду с формулой (10.15) можно написать еще формулу
# = > 3“+ ^-=	- «Л^3«.	(10.17)
' гт -	dA\ da° a dAn
Легко видеть, что относительные производные -~=— Эа и -^ =
= ^^Эа вообще не равны между собой, так как
ачг =	~г = а>^г
. а АЗ
^аЭ ST
В общем случае	t) зависит от времени, следовательно,
dSa^ ' п	dA\ к d^2
~dT*Q и поэтому
Если тело движется как твердое тело, то ^ = (Эа, Эр) = const.
dA\ dAa
Следовательно, для относительных производных и в слу-
чае твердого тела верно равенство
dAx___dA<i
~dT~~dT'
При рассмотрении производных и необходимо учесть,
что координатные линии и векторы базиса 3t вморожены в де-
формируемую среду, тогда как величины = gla(^1, t)dta и векторы
базиса Э* движутся относительно среды. Поэтому производная ^2-
характеризует изменение вектора относительно базиса Э*, движу-
§ 10)	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ПАРАМЕТРУ
85
щегося относительно деформируемой среды, точки которой индиви-
дуализированы лагранжевыми координатами
С другой стороны, при рассмотрении изменения во времени ска-
ляра вида
dW = a* d^a = аа d¥ = (4, dr)
очевидно, что для индивидуальной производной по времени от dW
верна формула
ddW
dt
da*
~dT
-а
dd^
dt
= “r)-
~	„ d dW *
Отсюда ясно, что для определения производной —— удобно и есте-
ственно воспользоваться относительной производной
Второе из равенств в (10.11) можно переписать в следующем
виде:
dT
~~dt
• рР-
1

(10.18)
}эяэ^=
где через I —— I обозначена полная производная по параметру t
\ at / ПОЛИ
относительно неподвижной эйлеровой системы координат.
Очевидно, что эта формула является обобщением для тензоров
и любых криволинейных систем координат известных правил соста-
вления полных производных по времени от векторов при использо-
вании эйлеровых переменных xz.
/ дГ?/ \
Очевидно, что величины (—. образуют тензор, харак-
\ at / xcconS|
теризующий локальное изменение тензора Т в неподвижных точках
пространства. Компоненты тензора	характеризуют конвектив-
ные эффекты изменения тензора Т.
86
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Из (10.11) следуют формулы
( дН’ \	( дТ°\ \	, а
( Т )	___( Т	___ pip. ОУ
\ dt A^const \ dt Af = const	“т
___ у,а|х-	ду^
”Т “Г"	’
(10.19)
дТарг \
/ £*=const
дТ^ \
/ х* = const
(10.20)
Формула (10.19) приведена в работах Ольдройда 1950 года [75].
В линейных теориях, когда компоненты тензора Т и скорость t)
малы, все члены, содержащие произведения компонент тензора Т
и компонент скорости t), выпадают. Поэтому все предыдущие эф-
фекты, связанные с различием систем координат, не проявляются
в значениях производных.
Предыдущие формулы установлены для производных по пара-
метру t первого порядка. Применение аналогичных операций к пер-
вым производным позволит вычислить вторые производные и т. д.
Умножением формул (10.11) и (10.12) на dt получим формулы
для малых приращений — дифференциалов dT. dTx и dT, которые
можно вводить при рассмотрении тензора Т.
Рассмотрим еще различные относительные производные — ско-
рости изменения для тензоров второго ранга (см. [25’ 30]).
Компоненты тензора Н в подвижной системе согласно (10.10)
обозначим латинскими буквами с крышками наверху, аналогичные
компоненты в системе отсчета обозначим теми же буквами без кры-
шек. Все компоненты будем рассматривать как функции лагранже-
вых координат и времени t.
Продифференцируем по времени различные тензоры //z, опреде-
ленные формулами (10.10b). После этого совершим переход к соот-
ветствующим тензорам в подвижном базисе. В результате получим
четыре различных между собой относительных производных тензора
'	dh\ л
И,=^-Э.Эз. У2 = -^Э.Э'.
- ,	-	(Ю.21)
dh? .	dha, .в
определенных в деформированном пространстве, совпадающем с про-
странством системы отсчета.
Компоненты тензоров для относительных скоростей тензоров Vt
со строением индексов, указанным в формулах (10.21) через ком-
§ 10]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ПАРАМЕТРУ	87
поненты тензора Я, взятые в. системе отсчета на основании фор-					
мулы (10.19), представятся формулами					
dh^	_ dh^	1.	-r3	dva	dv$	(10.22)
dt	dt	const	dx” ~	dx* ’	
dh^ dt	dh\ ~~dT	« co- — A-e В = const	dv* . ,a- 	Ь^-со dx^	dv^ ~dJ'	(10.23)
dh*	dh*	.	-|- h£. £ - const	dv^	-w	dv^	(10.24)
					h		
dt	~ dt		dx^	dx” 1	
dh^	dh^		dv<°	dv^	(10.25)
		i	4~^a>3 £ = const	—	\-h		
dt	dt		dxa	dx^	
Если воспользоваться формулой (10.20), то для этих же компо-
нент получим формулы, удобные при применении точки зрения
Эйлера:
—(10.26)
at	\ ал /пол
dh\	/ dh\ \	a „ ш
-яг1	-W + О/.	(10.27)
dhf ( dh'f \ e „	„ ч
= ~~ )	+ K?.V.t>e —	(10.28)
UL	\ at j пол
dha!>	/ dha. \
~dT = \~ИГ-)В0Л +	+	(10.29)
где
Очевидно, что величины типа | —J7-- . не являются компо-
Х dt A‘=const
нентами тензоров в криволинейных системах координат, но их можно
рассматривать как тензоры в декартовых координатах, а величины
(dh^\	(dh^\
типа J . и I являются компонентами тензора в лю-
бых системах координат.
Формулы (10.22) — (10.29) дают компоненты тензоров для соот-
ветствующих скоростей тензоров — Vz, характеризующих изменение
тензора /7. Эти формулы верны в произвольных криволинейных
системах координат.
Выше были рассмотрены различные понятия об индивидуальных
производных от тензоров по параметру t. Все предыдущие формулы
получены в предположении, что лагранжев базис Э( взят в сопут-
88
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
ствующей системе координат В1, $2, £3, вмороженной в среду, а базис 3t
и координаты х1, х2, х3 отвечают системе отсчета, относительно
которой рассматривается движение среды.
Закон движения и скорости точек среды определены формулами
х1 = х1&,	!?, о И =
\	Ч‘=const
В качестве системы отсчета можно взять любую систему коорди-
нат. Рассмотрим наряду с системой координат х1, х2, х3 с базисом 3Z
еще другую подвижную, вообще деформируемую систему координат у1,
у2, у3 с базизом Э;. Заметим, что существенное отличие базиса 3t
от базиса 3t состоит в том, что (3Z, 3k) = gik(xt)i a (3Z, 3fe) =
= gZfe(yz, О* т. e. компоненты фундаментального тензора в первом
случае зависят только от координат, а во втором зависят, вообще
говоря, от координат и от времени.
Не ограничивая общности при изучении и определении производ-
ных от тензоров в различных смыслах, можно принять, что в дан-
ный момент времени все три базиса 3Z, 3t и 3t совпадают, в после-
дующие моменты времени эти базисы становятся различными.
Закон переносного движения подвижного базиса 3t при постоян-
ных у1 и скорость переносного движения определены формулами
х1 = х‘ (/, у2, у3, t), t>nep = Э1 = —	•
так как
(U-
(ду‘\
*
потому, что в данный момент времени 3Z = 3Z и
= Отсюда
следует, что скорости точек континуума, связанного с координа-
тами S1, $2, В3 по отношению к системе 3Z, определятся формулами

dxw\ dt
,4=t)-trnep. (10.30)
XJ
Это равенство представляет собой известное правило сложения ско-
ростей (применяемое, очевидно, и для любых деформируемых систем
отсчета), в котором и рассматривается как относительная скорость,
a v как абсолютная.
Очевидно, что компоненты различных скоростей связаны равен-
ством
*. . .
vl = Vi — V' .
пер
§10]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ПАРАМЕТРУ
89
Все формулы, установленные выше, можно рассматривать для дви-
жения фиксированных точек среды с координатами относительно
системы отсчета с координатами х1 или относительно системы
*
отсчета 3L с координатами у . В первом случае во всех формулах
необходимо пользоваться скоростью D с компонентами vl, во вто-
*	*z
ром случае скоростью D с компонентами v\
Если в данной системе отсчета сплошная среда неподвижна, т. е.
3Z = 3Z во все моменты времени, t? = 0, g-/ft = (3z3ft) = const в ча-
стице, то
дТа^'
dt / = const
= const
причем производные от компонент с различным строением индексов
соответствуют одному и тому же производному тензору соответст-
венно с различными индексами. Этот производный тензор отличен
от нуля, если компоненты тензора зависят от времени.
Очевидно, что определенная выше производная типа
dt\
и, в частности, тензоры Vp V2, V3, V4, полученные дифференциро-
ванием компонент исходного тензора с различным строением индексов,
определяют, вообще говоря, различные тензоры, которые зависят
также от выбора системы отсчета 3Z или 3Z, если одна из них
движется относительно другой.
Различие этих тензоров можно установить в простой форме йри
использовании в рассматриваемый момент времени прямоугольной
* *
декартовой системы координат для совпадающих базисов 3Z, 3Z, 3Z.
Пройзводные, определенные формулами (10.26) — (10.29) для
базиса вмороженного в среду 3Z, характеризуют изменение компо-
нент тензора относительно частиц среды, в котором исключено из-
менение компонент тензора, происходящее за счет вращения и дефор-
мации подвижной системы координат, связанной с частицей.
„	(dh^\
Индивидуальные полные производные типа II , взятые
в неподвижном базисе 3Z, отличны от нуля и в тех случаях, когда
компоненты тензора /га(3 в системе координат, сопутствующей частице,
постоянны. Эти производные характеризуют также изменение отно-
сительно неподвижного базиса 3Z компонент тензора (рассматриваемых
для данной частицы), происходящего за счет вращения и деформации
частицы.
90	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ‘	. [ГЛ. I
Ж. Яуманном [bl] и В. Прагером [25j рассматривались относитель-
ные производные от тензоров второго порядка, когда вместо базиса 3Z,
вмороженного в среду, в каждой точке среды берется свой неизме-
няемый (твердый) базис 3/, движущийся с мгновенной угловой ско-
ростью S2, равной вихрю поля скоростей движущейся сплошной
среды.
Для производных, определенных в смысле Ж. Яуманна, при за-
мене 3Z через 3/ верны все установленные в этом параграфе фор-
мулы, в которых вектор скорости и имеет специальный вид:
v =	г].
Кроме этого, так как (3z3fe) = g^ = const и (3Z3*) — gik = const,
то очевидно, что все производные от компонент тензора с различ-
ными строениями индексов определяют один и тот же тензор.
В индивидуальных производных в смысле Яуманна исключается
учет изменения компонент тензоров, происходящих только за счет
вращения частиц.
Очевидно, что в случае потенциального движения деформируемой
среды, относительная производная Яуманна и полная индивидуальная
производная от тензора относительно неподвижной системы отсчета
совпадают между собой.
Если наряду с сопутствующим базисом 3, вместо неподвижного
*
базиса 3Z взять в каждой точке среды подвижный базис Эг отве-
чающий полю скоростей, определяемому чистой деформацией частицы.
*
то очевидно, что и в этом случае для скорости и верно выражение
v = [Q, rj,
где Q — вектор вихря.
Получается система формул, по виду сходная с формулами, для
определения производных в смысле Ж. Яуманна в базисах 3/ и 3Z.
Однако смысл определенных таким путем производных различен,
причем производные от компонент тензоров с различным строением
индексов в этом случае определяют, вообще говоря, различные
тензоры как в базисе 3Z, где компоненты фундаментального тензора
gik =# const, так и в базисе 3Z, где gik #= const.
В декартовых координатах тензор относительного изменения,
определенный формулами (10.22) и (10.26), рассматривал Олдройд [67],
а тензоры скоростей, определенные соотношениями (10.25) и (10.29),
рассматривали Коттер и Ривлин [47].
Системы инвариантов, определенных формулами (3.9), для тен-
зоров /7, Н2 и Н3 одинаковы, но вообще отличаются от инвариан-
§ 10]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ПАРАМЕТРУ	,91
тов тензоров Нх и Я4. Например, для вторых инвариантов тензо-
ров Нх и Н можно написать
О	оа. ор.	О О
^2 = /г.3/г.а= g^g^Ji h ,
dh^
Если производные-^-, определенные формулами (10.22), равны
9 Л	U. dS^ 2 л
нулю, то -^- = 0, а величина производной -^-вообще отлична от
нуля.
Очевидно, что производные от g х и 3 тензора Нх обращаются
dh^	ооо
в нуль, если -	= 0, а производные инвариантов ^2, с7з
тензора Н4 обращаются в нуль, если • =0.
Производные от соответствующих инвариантов Н и Н2 обращаются
в нуль, если
ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
§ 1. Общие свойства непрерывных деформаций
Рассмотрим перемещение и движение континуума как множества
точек, заполняющего некоторый трехмерный объем пространства
сплошным образом. В кинематике в качестве подвижного континуума
можно рассматривать различного рода геометрические образы, фазо-
вые пространства, материальные тела и другие объекты.
Положение, движение и деформацию континуума можно изучать
как движение целого объекта, но наиболее важно рассматривать
движение континуума как совокупности движения его отдельных
точек.
В качестве определения примем, что движение континуума из-
вестно, если известно движение каждой его точки. При таком под-
ходе подразумевается, что существуют правила индивидуализации
точек подвижной среды, т. е. даны правила различия и отождест-
вления точек среды в любые моменты времени.
Такая индивидуализация в некоторых случаях не всегда ясна
заранее, например, если подвижный континуум представляет собой
тень, отбрасываемую некоторым движущимся предметом от системы
источников света.
Для материального континуума индивидуализацию теоретически
можно осуществить с помощью замкнутой системы физических
уравнений движения, определяющих однозначным образом законы
движения фиксированных частиц точек среды.
Пусть Ох^х3— система координат, относительно которой проис-
ходит движение различных точек континуума.
Предположение о возможности индивидуализации точек среды
с математической точки зрения равносильно допущению возможности
введения лагранжевых координат В1, В2, £3; фиксирование их опреде-
ляет индивидуальную точку, при движений которой соответствующие
координаты х1, х2, х3 зависят от времени.
§ 1]	ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ	93
Закон движения рассматриваемого объекта сплошной среды пред-
ставляется в виде функций
=	$2, о,
x2 = /2«i, & $3, О»
(1.1)
х3 = /3(^, £2, $3, 0.
где t — время.
Системы координатных линий ОВ1, О£2 и О£3 образуют подвиж-
ные семейства координат, в которых координаты индивидуальных
точек постоянны. Относительно такой подвижной системы коорди-
нат О£Ч2В3 точки континуума покоятся, поэтому движение континуума
можно свести к движению ко-
ординатной системы О£Ч2£3.
В качестве лагранжевых
координат 5* можно взять
значения координат хо в неко-
торый момент времени /0, либо
некоторые произвольные не-
прерывные фиксированные
функции этих координат.
Функциональные связи (1.1)
выражают факт возможности
с течением времени следить
за различными индивидуаль-
ными точками, отличающимися
различными значениями лагран-
жевых координат
Координаты xlQ и xl (x'q,
можно рассматривать соответ-
ственно как компоненты радиус-векторов г0 и г подвижной точки М
в моменты t0 и t (рис. 2).
Для фиксированных t0 и t функциональные связи
xz = xz (xj, х2, х3, и r = G(r0,	(1.2)
по предположению будем рассматривать как взаимно однозначное
непрерывное отображение некоторого объема VQ с координатами
точек xj на соответствующий перемещенный и деформированный
объем V с координатами точек х*.
Далее мы предположим, что функции (1.2) кусочно-гладкие,
т. е. дифференцируемые по всем аргументам, причем производные
могут терпеть разрыв в отдельных точках или вдоль некоторых
вообще изолированных подвижных поверхностей, которые можно
94
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
выделять и рассматривать особо. Детерминант преобразования
Д =
дх1
=#о.
(1.3)

Непрерывное взаимно однозначное преобразование (1.2) соответ-
ствует перемещению и деформации, при которых точки переходят
в точки, линии в линии, объемы в объемы, причем замкнутым
линиям соответствуют замкнутые линии, замкнутым поверхностям
замкнутые поверхности.
Если х1— декартовы координаты, то в общем случае скалярные
уравнения для функций х1 (х^, х^, х^, соответствующие оператору
г = О(г0),
нелинейны. При перемещёнии континуума как твердого тела, это —
специального вида линейные операторы, совпадающие с операторами
Рис. Д
преобразования декартовых осей координат. Рассмотрим два пере-
мещения, отвечающие операторам и G2, Пусть
г^С^Го) и r2 = G2(rI),
тогда переход от г0 к г2 может быть осуществлен с помощью опе-
ратора G2G1 согласно равенству
r2 — G2 (Oj (r0))= G2GT (r0).
Нетрудно убедиться, что в общем случае
Г2 = °1°2(Го)*/'2«
т. е. результат последовательных перемещений, соответствующих
операторам GT и G2 зависит от порядка; перемещения континуума
вообще некоммутативны.
Эффект некоммутативности легко проверить на простейших при-
мерах в случае конечных поворотов твердого тела.
§ 2]	АФФИННЫЕ ДЕФОРМАЦИИ	95
В самом деле, рассмотрим перемещения плоской пластинки, рас-
положенной вначале в плоскости хЮх1, как указано на рис. 3, а.
Пусть перемещение Gx соответствует повороту относительно оси Ох1
на угол, равный 90°, а перемещение С2 повороту на 90° относи-
тельно оси Ох3, направления поворотов указаны стрелками.
Результат поворота Ор а затем поворота О2 указан на рис. 3, б\
результат поворота О2, а затем поворота Gj указан на рис. 3, а,
конечные положения пластинки в этих случаях оказываются раз-
личными.
§ 2. Аффинные деформации
Пусть х1, х2, х3 — координаты точек пространства в некоторой
прямолинейной, но вообще косоугольной (неортогональной) системе
координат.
Рассмотрим перемещения деформируемого континуума. Обозна-
чим через xj координаты заданной точки М в исходном положении
и через х1 координаты этой же точки М после некоторого пере-
мещения (см. рис. 2). Координаты х* и х* можно рассматривать
соответственно как компоненты векторов г0 и г:
го = х§Эа, г = хаЭа,	(2.1)
где — векторы базиса, направленные вдоль осей координат.
Деформация континуума в некотором подвижном объеме VQ
называется однородной или аффинной, если для всех точек Л4,
принадлежащих объему Уо, верны линейные формулы следующего
вида:
х/=С»ах« (Z, а=1, 2, 3),	(2.2)
где коэффициенты С1.а — постоянные числа, образующие систему ком-
понент тензора второго ранга С:
С = С'аЭ^Эа.	(2-3)
Тензор С может быть произвольным тензором второго ранга.
Из формул (2.2) следует, что при рассматриваемом перемещении
начало координат остается неподвижным. Общий случай с наличием
смещения начала координат сводится к рассматриваемому, если
векторы г0 и г и соответственно координаты xj и х* рассматривать
в двух различных системах координат, смещенных поступательно
друг относительно друга на величину перемещения начала коорди-
нат 00' (рис. 4).
Таким образом, в общем случае формулы (2.2) определяют пере-
мещения и соответственно деформации относительно подвижной
точки О, которая выбрана в качестве начала системы координат.
96
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
При аффинной деформации относительные перемещения и дефор-
мации одинаковы для всех точек с одинаковыми относительными
координатами по отношению к любой точке В объема V.
В самом деле, пусть х^в и х1в— координаты точки В в перво-
начальном и перемещенном положениях. Согласно (2.2) имеем
x4n = Cz-x* .
*а uz>
Вычитая эти формулы из формул (2.2), получим
(2.4)
где у* = х1 — х1в и yz = xz — xlQB — координаты в поступательно
сдвинутых системах, в которых точка В принята в качестве
Рис. 4.
начала координат. Формулы (2.2) и (2.4) отличаются только обозна-
чениями координат различных точек одинаково расположенных отно-
сительно системы координат с началом в точке О или в точке В.
Доказанное предложение характеризует свойство однородности
аффинной деформации, заключающееся в том, что относительные
смещения и деформации не зависят от выбора точки в объеме Уо.
Из взаимной однозначности и непрерывности следует, что детер-
минант | С1, '] | = Д отличен от нуля и положителен.’ Если Д =£ О, то
аффинное преобразование называется неособенным.
Если объем Уо перемещается как твердое тело, то любое отно-
сительное перемещение согласно теореме Даламбера является про-
стым поворотом. В этом случае тензор С обозначим через L. Тен-
зор L и его матрица ||/!)|| имеют специальный вид. Условие твер-
дости можно представить в форме
(г, г) = (г0, г0) или	= gx^oxS.
97
§ 2]	АФФИННЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
отсюда ввиду произвольности xj следует, что

ИЛИ
Z?kZ3'J = ох'.
что означает, что матрицы
ИМ и	г»
взаимно обратные. В элементах матриц ||ZXp|| и |z^|| первый индекс
определяет номер строки, а второй индекс — номер столбца, на
пересечении которых он стоит.
Матрица ||ZXp|| образована из ковариантных компонент тензора £.
а матрица ||Z?’|| из контравариантных компонент тензора £, сопря-
женного с тензором £. Тензор £ получен из тензора £ путем изме-
нения порядка индексов у ковариантных или у контравариантных
компонент тензора £.
Если система координат ортогональная, то ZXp = Zx^, поэтому
матрица ||Z₽V|| получается из матрицы ||ZXp|| простой перестановкой
строк и столбцов.
Если матрица ||ZXp|| симметрична, то для прямоугольной системы
координат имеем ||Zpv|| = ||ZXp||, поэтому в этом случае верно матрич-
ное равенство
1 О
11М2= 0 1 0
(2-5)
О О
Так как преобразование L всегда соответствует чистому враще-
нию, а формула (2.5) верна в .любой ортогональной системе коор-
динат, то, если выбрать систему координат так, чтобы ось вращения
совпала с осью z согласно формуле (5.28) главы I, получим
cos 2ср	— sin 2ср	О
sin 2ср	cos 2ср	О
О	0	1
НМ2= Sin2<p
О
(2-6)
Если матрица ||Zxp|| симметрична, то, сравнивая (2.5) с (2.6) для
угла поворота ср, получим
где k — целое число.
ср = foe,
7 Л. И. Седов
9g
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. П
Следовательно, случай симметричной матрицы ||ZXp|| в общем
случае соответствует повороту около произвольной оси на угол,
кратный тс. В частности, это преобразование может быть тождест-
венным, т. е. соответствующим отсутствию всякого перемещения.
Согласно формулам (5.31) и (5.32) главы I в общем случае для
угла поворота ср и матрицы, определяющей вектор поворота К
в любой системе координат, верны формулы
1-|-2cos<p,
к=-zkj(£ - 1(1 +2 cos ° -
(2.7)
(2.8)
Рассмотрим частный случай аффинной деформации, когда соот-
ношения (2.2) имеют вид
Х2 = Х2,
X3 = X3.
(2.9)
Такая деформация соответствует чистому растяжению в направле-
нии оси Ох1. Если О < С1’ > 1, то х1 > х1, следовательно, имеем уве-
личение длин в направлении оси Ох1; коэффициент С1^ характеризует
это увеличение. Если C!i < 1, то в деформированном состоянии
длины вдоль оси Ох1 уменьшаются, получаем сжатие, которое можно
рассматривать как отрицательное растяжение. В рассматриваемом
случае матрица тензора С имеет следующий специальный вид:
Ci
о
о
о
о
1
В общем случае, когда матрица тензора С диагональна, имеем
х^СЬх', |
у-2 Г»2- у2 I
X  °.2Х0* (
хЗ = (?зз4 j
(2.Ю)
Эта деформация соответствует совокупности простых растяжений
вдоль осей координат, причем эти растяжения можно рассматривать
как результат последовательно проведенных растяжений вида (2.9)
вдоль соответствующих осей координат. Очевидно, что составляю-
щие растяжения вдоль координатных осей можно производить в любом
порядке, т. е. указанные три деформации коммутативны.-
§ 21
АФФИННЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
99
Если в деформации (2.10) верны равенства
/»!• _____ z-»3«
Ь.1 = G.2 = С.з,
т. е. тензор С шаровой, то очевидно, что деформации сводятся
к подобному расширению или сжатию, одинаковому во всех точках
объема.
Рассмотрим два аффинных преобразования Сг и С2, причем ком-
поненты матриц этих преобразований обозначим соответственно через
Очевидно, что результаты этих двух последовательных деформаций
являются также аффинными деформациями, которые представляются
следующими формулами.
Если сначала производить деформацию, соответствующую пре-
образованию Ср а потом С2, то формулы (2.2) имеют вид
X — (8.а О' а “|“ а “4“	-^0»
^если произвести сначала преобразование С2, а потом Ср то
= (В.а -|~ Ь.а -|— а.а -|~
Некоммутативность деформаций, соответствующих преобразованиям
Сг и С2, возникает за счет неравенств
Ь\с?.л =£
справедливость этих неравенств даже при перемещениях твердых
тел была показана в § 1.
Преобразование Сг и С2 и соответствующие им деформации
называются бесконечно малыми, если величины и blj беско-
нечно малы. Очевидно, что для бесконечно малых преобразований
с точностью до малых первого, порядка включительно верно равенство
X1 = х'1.
Следовательно, произвольные бесконечно малые аффинные дефор-
мации можно рассматривать как коммутативные деформации. При
последовательных деформациях некоммутативность проявляется как
нелинейный эффект.
Отметим теперь общие свойства произвольных неособенных
> (Д Ф 0) аффинных деформаций.
На основании формул (2.2), определяющих аффинные деформа-
дии, непосредственно очевидны следующие предложения:
1.	Всякая плоскость переходит в плоскость.
2.	Всякая прямая переходит в прямую.
7*
100	КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ	[ГЛ. И
3.	Система параллельных плоскостей переходит в систему парал-
лельных плоскостей.
4.	Система параллельных прямых переходит в систему парал-
лельных прямых.
5.	Всякий параллелограмм переходит в параллелограмм.
6.	Любой прямолинейный отрезок переходит в прямолинейный
отрезок, причем отношение длины отрезка после деформации к началь-
ной длине отрезка зависит только от направления отрезка и не
зависит от начальной длины недеформированного отрезка.
7.	При преобразовании подобия независимо от направления для
любого отрезка отношение длины после деформации к начальной
длине одинаково.
8.	Пусть даны три точки а, Ь, с, лежащие в начальном поло-
жении на одной прямой, после деформации эти точки перейдут
соответственно в точки а', Ь', с', также лежащие на одной пря-
мой. Очевидно, что для отношения соответствующих длин верны ра-
венства
ab___ а'Ь'
•	Ьс Ь'с'
9.	Любая сфера S и ее внутренность в начальном положении
переходит в эллипсоид Э и его внутренность в деформированном
положении.
10.	Любые три взаимно-перпендикулярных диаметра сферы S
переходят в три сопряженных диаметра эллипсоида Э.
11.	Ортогональный триэдр главных осей эллипсоида Э соответ-
ствует ортогональному триэдру осей сферы S. В общем случае
эллипсоид Э трехосный, и поэтому существует только один триэдр,
который перемещается как твердое тело при аффинной дефор-
мации.
Оси неизменного ортогонального триэдра называются главными
осями деформации. В общем случае такой триэдр единственный.
Если эллипсоид Э — эллипсоид вращения или сфера, то главные
оси деформации не определены однозначным образом.
12.	Плоская площадка со, ограниченная замкнутой кривой, пере-
ходит в плоскую площадку а/, ограниченную преобразованной зам-
кнутой кривой. Отношение площадей не зависит от формы гра-
ницы, а зависит только от ориентации площадки Чо.
13.	Объем Vo переходит в объем V. Отношение объемов
не зависит от величины и формы начального объема V,
Легко видеть, что для этого отношения верны формулы
^ = Д = |С4}| = К1^«СЙ«1 •	(2.11)
§ 3] НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 101
где Д— детерминант аффинного преобра'зования (2.2). В фор-
муле (2.11) под корнем необходимо произвести суммирование по а.
Аффинное преобразование называется чистой деформацией, если
главные оси деформации неподвижны.
Очевидно, что в общем случае при произвольных С1.а преобразо-
вание (2.10) определяет чистую деформацию, если система координат
ортогональная. В случае косоугольной системы координат при раз-
личных С1,\ главные оси поворачиваются.
§ 3. Непрерывные конечные перемещения сплошной среды
Рассмотрим произвольные непрерывные перемещения сплошной
среды.
Пусть	—система координат, относительно которой опре-
делено положение различных точек континуума. В этой системе
координаты фиксированных точек среды переменны. Далее, пусть
£2, В3 — лагранжевы координаты фиксированных точек среды.
Для установления численных характеристик движения, различных
уравнений и функциональных связей можно и удобно пользоваться
различными подвижными и неподвижными системами координат.
- Отметим три основные системы координат (рис. 5):
1.	Система Оххх2х3 с векторным базисом выбрана как система
отсчета, в которой определено перемещение или движение.
102	КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ	[ГЛ. II
2.	Лагранжева неподвижная система ЖВЧ2?3 с векторами базиса 3Z,
отвечающая положениям точек среды в некоторый начальный момент
времени; в этой системе образы подвижных точек фиксированы для
всех моментов времени.
3.	Лагранжева подвижная система	перемещающаяся вместе
с точками среды, с векторами базиса 3Z, отвечающими измененным
положениям точек среды в рассматриваемый момент времени t.
Из взаимной однозначности соответствия следует, что если 3Z не-
комплонарны, то 3Z также некомплонарны (рис. 5).
При изучении конечных перемещений и при использовании ука-
занных систем координат необходимо пользоваться самым общим
видом криволинейных координат. В самом деле, базис 3Z можно
фиксировать по выбору, можно также фиксировать по выбору одну
из систем координат с базисами 3Z или 3Z. Если базис 3Z установлен,
то базис 3Z соответствует криволинейной системе координат, опре-
деленной перемещениями. Можно выбрать базис 3Z произвольно,
тогда базис 3Z для начального положения определится свойствами
перемещения.
При рассмотрении только двух положений среды нет смысла
вводить базис системы отсчета 3t независимо от 3Z или 3Z. При
рассмотрении движения континуума все три базиса могут совпадать
в некоторый момент времени, но эти базисы и их изменение будут
различными для движения фиксированных точек среды (см. § 10
главы I). При рассмотрении только одного конечного перемещения
базис 3Z можно совместить либо с базисом 3Z, либо с базисом
Рассмотрим две бесконечно близкие точки движущегося конти-
нуума 7И(^, 52, £3) и Л4'($1 + ^1»	£3 + ^3) (см. рис. 5).
В начальном положении относительное положение точки М' по отно-
шению к точке М определено бесконечно малым вектором drQ,
в перемещенном положении в силу непрерывности бесконечно малым
вектором dr.
Из определения базисов 3Z и (см. формулу (1.3) главы I)
имеем
dr° = -^-dr = 3e^a и =	(3.1)
Элементы drQ и dr можно разложить по векторам одного и
того же базиса. Эти разложения удобно получить с помощью тензоров
и С^С^Э^,	(3,2)
связанных с представлением базиса 3Z через базис 3Z. В самом деле,
компоненты тензоров С и С определяются как коэффициенты еле-
§ 3] НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ЮЗ
дующих вектор-функций:
=	3~ С 3i = Cki3k\ (3.3)
легко видеть, что матрицы ||С*/|| и взаимно обратны, так как
очевидны следующие равенства:	= 84.
Введем теперь dif как компоненты dr в системе 3Z и как
компоненты drQ в .системе 3Z. Имеем
dr — Э^^1 и drQ = 3id^'.	13.4)
На основании формул (3.1), (3.3) и (3.4) найдем
и dV=C\d¥.	(3.5)
Формулы (3.3) и (3.5) определяют аффинное преобразование
в малой окрестности точки М для бесконечно малых drQ и dr,
а также базисов 3Z и 3Z. Это аффинное преобразование называется
касательным к рассматриваемому вообще нелинейному конечному
преобразованию вблизи точки М,
В базисе 3t касательное аффинное преобразование определено
тензором С, в базисе 3t тензором С.
Компоненты тензоров С и С легко выразить через вектор пере-
мещения w для различных точек среды, определяемый как разность
г —г0:
г — r$ — w = ‘w3(t — маЗа,	(3.6)
— компоненты вектора w в системе координат с базисом За,
— в системе координат с базисом Эа.
После дифференцирования равенства (3.6) по получим
или
3._(8“: + V.^)3e
3.=(S-_V.^)3a.
(3.7)
На основании (3.7) и (3.3) можно написать
104
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ	(ГЛ. 'Г
В формулах (3.8) для символов Кристоффеля согласно (1.19)
главы I имеем
Г* — £ °<rks ( dgis —L dgjS
Ч 2 ё \ di> "* д?
И
р?_____Lirns (dgis । dg}s
11	2 ё \ дЧ + d?
dSij \
)  где
dz /
gy = Oz, ЭД (3.9)
dSij \
—7Г > где
d£s I
iy = (3z> эд (3.10)
В формулах (3.7) и (3.8) вектор w можно заменить через век-
тор wP если w = Wj+ а, где а — любой постоянный вектор,
т. е. ~~-==0. Можно принять, что а равно перемещению точки Л4,
тогда Wj определит собой дополнительное перемещение точки ЛГ
относительно точки М.
Формулы (3.8) верны для любых конечных перемещений. В част-
ности, для конечных аффинных перемещений, рассмотренных в § 2.
Системы координат или 3t можно выбрать во всем объеме среды
как прямолинейные, но вообще косоугольные, в этом случае все
соответствующие символы Кристоффеля обращаются в нуль.
В общем случае всегда один из базисов 3Z, 3Z можно считать
декартовым.
Если перемещения бесконечно малы, то Vzwa и Vzwa бесконеч-
но малы.
Если движение непрерывно, то для малого приращения времени Д£
имеем
w = v • АЛ
где t) — вектор скорости различных точек среды.
§ 4. Тензорные характеристики деформации
Для начального и деформированного состояний имеем
ds2o = (dr0, dr0) = ga? d? и ds2 = (dr, dr) = g^ d? dl9.
Изменение длин — деформация, обусловлена отличием от нуля
следующей разности:
ds2 — dsl = (ga9 — ga9) d? d$:	(4.1)
Обозначим
g<$ — g*9 = (Э«. Эр) — (Л. эр = 2ea?.	(4.2)
i
§ 4]	ТЕНЗОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕФОРМАЦИИ	105
Очевидно, что можно ввести два симметричных тензора 8 и 8
с одинаковыми ковариантными компонентами, равными 8ар в разных
базисах:
§ = £^3*3? и 8 = 3^3*3?.	(4.3)
Соответствующие компоненты с контравариантными индексами
будут различными. Для тензора 8 поднятие индексов необходимо
осуществлять с помощью тензора glJ\ а для тензора 8 — с по-
мощью gli.
Тензор 8 определен в пространстве начальных сосг я ий, тен-
зор ё в деформированном пространстве.
Очевидно, что для касательного аффинного преобразования необ-
ходимое и достаточное условие отсутствия деформаций сводится к об-
ращению в нуль всех компонент £ар и, следовательно, тензоров g
и 8. Тензоры 8 и 8 называются тензорами конечных деформаций.
Механическая интерпретация ковариантных компонент тензоров 8
й ё следует из равенства
Чй =1^11^1 cos — I 3,11 3k I cos	4,:,
где — угол между векторами базиса 3,, 3k, a tylk — угол между
их образами 3Z, 3k.
Коэффициенты удлинения элемента drQ определим по формуле
I I I | _______________ j	1^7*| __ 117	(Л
l^l или |^Г-1+л	(4-5)
Согласно общим выводам § 2 при аффинном преобразовании
удлинение I зависит только от направления отрезка и не зависит
от его начальной длины.
Обозначим через Zz удлинения в направлении векторов базиса 3Z.
Имеем
|3,| = |3,| (1+Z,) или g„ = (l+Z,)2^„.	(4.6)
Формулу (4.4) можно переписать в следующем виде:
2?	°
= (1 + z.) (I + lk) cos — cos	(4.7)
V gu V gkk
Если i = k, то ф/л = 0 и ф.£ = 0, поэтому получим1)
^н=(1+/.)2-1 или li = -1 /1 + ^-1.	(4.8)
gu	V gn
J) Корень нужно взять со знаком плюс, так как Z = 0 при ezz = 0.
106
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. TI
Следовательно, компоненты sz/ определяют удлинения в направле
нии координатных осей.
Механический смысл компонент со смешанными индексами zik,
i =£ k, выясняется из формулы (4.7). Если векторы и Эк орто-
° тс
гональны, то	в этом случае отличие от нуля eZjfe связано
со сношением первоначально прямого угла. Обозначим ф/л = -^-—
Если 3Z и 3k— единичные и ортогональные векторы, то фор-
мула (4.7) дает
2s/ft = (l+9(l+Zft)sinXt.ft.	(4.9)
Если система координат с базисом совпадает с главными осями
тензора 8, то все sZfe = 0 при IФ k, следовательно, базис 3Z тоже
ортогональный, поэтому в этих базисах матрицы симметричных тен-
зоров 8 и 8 -с любым строением индексов имеют диагональный вид.
Соответствующие ортогональные триэдры базисов 3t и 3Z совпадают
с главными осями тензоров 8 и 8, которые вообще повернуты друг
относительно друга.
В системах координат, совпадающих с главными осями, верны
равенства
1 (ds2 - ds2) = еп (dV)2 + е22 (d$2)2 + е33 (^3)2 =
= °81 (dS»)2 +	(dS2)2 +;з ^2 = ' i (dsl)2 _|_	(</s2)2 _|_	(^3)2, (4 д Q)
где dslQ — элементы длины вдоль главных осей тензора деформа-
ции 8 в пространстве начальных состояний, a dsl — соответствующие
элементы вдоль главных осей тензора деформации в деформированном
(°	°	е	л*	е \
очевидно, что Sj =	и = ^rllsu =	|.
Sи	S\\)
Главные компоненты ер е2 и s3 тензора 8 определяются как
корни характеристического уравнения
|Х8^—ef \ | = 0, где ь\'. = g'*^,	(4.11)
а главные компоненты ер е2, s3
характеристического уравнения
тензора 8 определяются как корни
| Х8* \ — 8* \ | = 0, где 8* \	.	(4.12)
§ 4]	ТЕНЗОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕФОРМАЦИИ
107
На основании равенств (4.10) получаем формулы
о dsl — dsln i/ -	. ds'—dsn ,/--------------
Ei=—-H = Kl+2ef-l и £/^_o = l-^l-2ei.
d°	d	(4.13)
Величины Et представляют собой удлинения вдоль главных осей
деформации, рассчитанные на единицу начальной длины; Et—удли-
нения, рассчитанные на единицу длины в деформированном состоянии.
Из формул (4.13) следуют равенства
	i+A=	1	и	l+2sz =	1	
		1-£,			1 — 2ef	
или	8/ =	1 — 2sf	и		4 14-2'4 ’	(4.14)
Характеристические уравнения (4.11) и (4.12) соответственно
можно написать в виде
К3— JriX2+^2k_^3 = 0 и кз_^1Х2+^2Х— <73 = 0,
<^2’	— инварианты преобразования координат для тензора 8
в недеформированном пространстве, a gv ^2,	— инварианты
преобразования координат в деформированном пространстве для
тензора 8. На основании равенств (4.14) легко вывести формулы
<7 — еА	। *	।	* ___	+	4t72 + 12<^t
J 1 — el s2 ।	£3 —-------3	5---------- *
1 + 2^! + 4<^2 + 8^3
___ A I । * *  	3 2 "F з
32 = ®i®2 + 8283 + £36! = t
1	2^ j -|- 4^2 ~F 3
^3 
I
►	(4.15)
1 + li, + 4#, + 8У.
Можно также g v g2 и g z выразить через g v g2 и g3. Соот-
ветствующие формулы аналогичны формулам (4.15), в которых
дх и д% входят со знаком минус.
Очевидно, что если тензор 8— девиатор, то тензор 8 в общем
случае не является девиатором. Обратное предложение тоже верно.
Из (4.10) следует, что если тензор 8 шаровой, то тензор 8 тоже
шаровой, в этом случае
zik = aSik = ^Blk
и
е1’ = аЪ1' г1'=ЬЪ1'
•k -k -k -k
108
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
Ггл. ТТ
причем
ь
а~\—2Ь •
Отсюда следует, что если тензор 8 шаровой, то должно выполняться
равенство
£	= 18b = (1 - 2ft) = (1 + 2а) rf.	(4.16)
Рассмотрим тензоры Т = Т^Э1Э^ = и t = Т^Э1Э^ =
определенные соответственно в начальном и в деформированном
пространствах, и предположим, что выполняется одно из равенств
Ти = Ти или
*/	*7
При произвольной деформации равенство (4.16) не выполняется,
поэтому для произвольной деформации верно следующее предложение:
если один из тензоров Т или Т шаровой, то другой тензор
не будет шаровой.
Если тензоры деформации шаровые, то равенство (4.16) выпол-
няется в этом случае, если один из тензоров Т или Т шаровой, то
другой также шаровой, однако скалярные величины этих тензоров
вообще различны.
Элементарному параллелепипеду dVQ= ds^ds^ds^ в начальном
состоянии соответствует параллелепипед dV = dsxds2dsz в деформи-
рованном состоянии.
На основании формул (4.13) можно написать
dV 1 /	о	°	°	1
av = V (1 + 2h)(1 + 2s2)(1 -t-2е3) =	.	—-
dV°	V(l-2e,)(l-2e2)(l -2е3)
ИЛИ
d V 1 /	О	О	О	1
^ = 1/ l+2ff,+4ff2 + 8ff3= ------------г .	(4.17)
°	Vi—2S-1 + 4s-2—8^3
Если деформации ер е2, е3 малы, то с точностью до малых
первого порядка верны равенства
°	А	с	*	/7  /У V	о	о	А
и	°	(4.170
Для малых деформаций тензоры ё и ё совпадают. Из (4.171)
следует механический смысл первого инварианта 3 v Однако для
конечных деформаций первые инварианты и х— различные
скаляры и они не имеют простого механического смысла.
§ 4]
ТЕНЗОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕФОРМАЦИИ
109
Рассмотрим изменение площадей при деформации для соответ-
ствующих плоских площадок. Возьмем в начальном состоянии произ-
вольную площадку $0, ориентация которой задана направляющими
косинусами Z, т, п нормали в декартовой системе координат, совпа-
дающей с главными осями тензора 8. Пусть в деформированном
состоянии площадке s0 соответствует некоторая площадка $ (рис. 6).
Очевидно,
аффинном
отношение
что при любом
преобразовании
— =о) зависит
$0
ориентации пло-
и не зависит от
положения пло-
в пространстве.
Рис. 6.
от
5о
и
50
только
щадки
формы
щадки
Обозначим через $ор $02
и $03 проекции площадки $0
на плоскости, проходящие
через главные оси в началь-
ном состоянии и через s2
и $3 проекции площадки $ на
оси в деформированном состоянии. Непосредственно очевидны ра-
венства
плоскости, проходящие через главные
г	2	2,2.2
$01 — LSqi $02—^$о*	503 —~ ns0* 5 —
И
s2	<?2	ч2	ч2	ч2	ч2	ч2
О d	501 I $2	502	,	53	$03
2	2	2	Г	2	2	2	2
"0	501	50	$02	50	50’>	$0
Учитывая (4.13), получим
л	о	о	о	о	о
«>2 = Аг = (1 + 2е2) (1 + 283) /2 + (1 + 2е3) (1 + 2S1) /п2 4-
$0
+ (1 -H2s1)(l + 2s2) п2. (4.18)
Формула (4.18) позволяет вычислить отношение если глав-
ные компоненты тензора 8 известны и задана ориентация площадки $0-
Выясним значения Z, т, п, при которых со2 достигает экстремума.
Уравнения Лагранжа для относительного экстремума (I2т2п2 — 1)
имеют вид
[(1 _|_ 2е2) (1 4~ 2е3) — A] 2Z =0, ’
[(1 + 2е3) (1 + 2е0 - А] 2т = 0,
о	о	(4.19)
[(14-280(1 4-282) —А] 2п =0
и
Z2 4- т2 4- п2 — 1.
по
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
(гл. И
Уравнения (4.19) имеют следующие три возможных решения;
“? = А1 = (1+Ч)(1 + Ч)>
Р = 1, т = п = О,
u)2 = A2 = (l+2s3)(14-2e1), Z = 0, zn2=l, и = 0,
о)2 = Л3 = (1 +2S1)(1 4-2s2), Z = m = 0, п2=1.
Отсюда ясно, что экстремальные значения со2 достигаются для
площадок, параллельных плоскостям, проходящим через главные оси
деформации.
Если Sj > е2 > е3, то о)тах соответствует площадке, перпенди-
кулярной к оси В3, a o)min площадке, перпендикулярной к оси 51.
Наряду с тензорами 8 и 8 можно ввести в рассмотрение ряд
других тензоров, являющихся функциями 8 и 8.
Например,
и
где
О	0	0,0.	1 /“ ООО
Е^Е^Э’ = Y G + 28 —G
Ё -- Ё^Э1Э! = G — V G —2&
G = iiy3'3> и G = gi}3l&,
или
и
О	0 0,0.	1 / О	о
Н=Н1}^3} = \nV G4-28
И = Н^Э’ == — In Kg — 28.
(4.20)
(4.21)
Тензоры 8, Ё и Н имеют одни и те же главные оси, причем
для главных компонент верны формулы
Д = ^1п(1 +2е(.) и Д.=К1+2°е/—1.	(4.22)
На основании (4.14) следует, что главные компоненты тензо-
ров Н и Н одинаковы, поэтому компоненты со смешанными индек-
сами для тензора Н в базисе и для тензора Н в базисе Э1 оди-
наковы.
Главные компоненты Et определяются простыми формулами
° д/
(4.23)
ТЕНЗОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕФОРМАЦИИ
111
§ 41
где I — начальная длина отрезка в рассматриваемом направлении
главной оси деформации, а А/— полное приращение длины, а ком-
поненты Ht определены формулами
Л __	| Ml I А/3	,	_
i I ZAZj ! Z-|-AZj + Д/2 '	’ ’ * ~
z+д/
= [ 4£=in(i +4)=ln(1+-^)=in^i+2^ <4-24>
I
Очевидно, что Ht можно рассматривать как удлинение, равное
сумме элементарных удлинений. При фиксированных осях деформа-
ций для деформаций, проводимых последовательно одна за дру-
гой, главные компоненты тензора Н для суммарной деформа-
ции равняются сумме главных компонент для последовательности
деформаций. Для тензоров ’ 8, £ и 8, Е это свойство не имеет
места.
Формулы (4.22), (4.23) и (4.24) верны только для направлений
^вдоль главных осей деформации. Для отрезков с произвольным
направлением эти формулы неверны.
При произвольных деформациях для диапазонов изменения глав-
ных компонент верны следующие равенства:
— -i<e1<4-oo,	—1 <j&t.<4-oo,	—оо < Д = Ht < 4-оо
и соответственно
о- > S; > — оо, 1 > Е} > — оо.
2	1	1
Если первоначальный стержень длины I удлинился до величины
Z-HAZ и AZ = 0,5Z, то верны следующие значения:
ez = 0,625, Д = 0,5,	Д = Д = 1п1,5,
ё; = 0,277, £ = -^- = 0,33... 
1	1 о
Компоненты тензоров Е и Н в любой системе координат можно
выразить через компоненты тензора 8 по формулам (4.20) и (4.21),
которые можно заменить соответствующими тензорными многочле-
нами второй степени по формулам Лагранжа — Сильвестра, что свя-
зано с необходимостью знать главные компоненты тензора 8.
Нетрудно видеть, что одно из равенств:
8 = 0, £=0, /7 = 0, 8 = 0, Е = 0, /7=0
влечет за собой все остальные.

112	КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ	[ГЛ. II Я
Я
Очевидно, что для малых деформаций имеем	|
g -Е — Я= &=Ё = Н.	:
С точностью до малых порядка выше первого различие введен- |
ных тензоров и базисов и становится несущественным.
Механические проблемы, в которых при конечных перемещениях
деформации можно считать малыми, называются геометрически ли-
нейными. Очевидно, что возможны случаи, когда перемещения конечны,
а деформации малы.	х
В геометрически линейных проблемах все рассмотренные выше
тензоры, характеризующие деформацию, с точностью до малых пер- -j
вого порядка равносильны, так как они отличаются на малые высшего
порядка.
При переходе к конечной деформации и при создании обобщен-
ной теории, обобщающей некоторую линейную теорию бесконечно
малых деформаций, возникает естественный вопрос, каков тензор,
которым необходимо заменить употребляемый в\тех или иных при-
ложениях тензор бесконечно малых деформаций. Очевидно, что этот
вопрос необходимо разрешить на основании дополнительных данных
геометрического или механического характера.
В § 3 было показано, что всякое перемещение континуума
в каждой точке может быть определено вообще несимметричными
тензорами С или С (формулы (3.2) и (3.3)). Теперь выяснено, что
деформация определяется симметричными тензорами 8 или 8, не-
трудно дать формулы, выражающие компоненты тензоров 8 и 8 через
компоненты тензоров С и С.
Согласно формулам (3.3) имеем непосредственно
^ik =	И gik = -ig<tf
и поэтому по (4.2) получим
=	(4.25)
Отсюда следуют формулы
=	и е^ = 1(^-Св4Ся<).	(4-26)
Если наряду с тензорами Си С ввести тензоры С* и С*, ком-
поненты которых определены формулами
= Са^ и Cjia=Cakt	(4.27)
§ 4]	ТЕНЗОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕФОРМАЦИИ	ИЗ
то формулы (4.25) в компонентах могут быть заменены тензорными
и одновременно матричными равенствами, верными в любых системах
координат
2g = C*C— G и 2g = G — C*C = G (СС*)-’.	(4.28)
так как
С*С= СГ~}С~' = (СС*)-1.
На основании формул (4.28) тензоры Е и Н также можно выра-
зить через тензоры С и С*, которые входят только в комбина-
ции С*С.
Если в декартовых координатах С*С—СС*, то соответствующая
/матрица тензора С нормальная (см. § 5 главы I); в этом случае
имеем С* = f (С), поэтому тензоры 8, Е и Н можно представить
как тензорные функции только одного тензора С.
Компоненты тензоров 8 и 8 можно выразить через вектор пере-
мещения w. На основании формул (3.8) и (4.25), учитывая (8.4)
главы I, получим
stk =	+ V,w°V Д) =
= §-(^*4-7^ —(4.29)
Если базисы или ортогональны и декартовы,
° ° а
и VyW3 совпадают с обычными производными
ТО символы
в этом слу-
dw»
чае верны формулы

1 [ dw; dwi \	1 /
е.. = — |	।___/_____1
4	2 у ds^ os\ J 2 у dslQ
или
1 / dw,- dwi \ 1 / dw,
E = - —L_|--------------L (—L
" 2 \ ds'	ds‘ / 2 \ ds1
dw}	dw2 1	2.	dw2	dw3 dw3\	(4.30)
		dsj0	1 teo ds^ /	
dw}	dw2 1	dw2	dw3 dw3 \	. (4.31)
dsJ	ds'	dsJ	' dsl dsJ /	
Если перемещения бесконечно малы, то для компонент в лю-
бой системе координат верны следующие формулы:
sv=4(V А+7А) =
=т (7А+7А>=А-
(4.32)
8 Л. И. Седов
114
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
Для конечных перемещений wZ;. =£ wZy. Величины wZ;- и wZ/- также I
определяют ковариантные компоненты двух новых симметричных
тензоров =	и =	однако в случае конечных ||
перемещений эти тензоры определены перемещениями вообще, а не '
только деформацией непрерывной среды. Если среда перемещается
как твердое тело, то для любых конечных перемещений твердого
тела имеем тензорные равенства g = 8 = 0, а тензоры 28 и 2В вообще
отличны от нуля.	1
Нетрудно проверить, что если 28 = 0, то деформации вообще
отличны от нуля и g =# 0. В самом деле, имеем
5Й = С+С* —2G.
Если 23 = 0, то С* = 2G — С, положим С= G + Д, тогда C*=G — Д,
отсюда следует, что равенство 28 = 0 удовлетворяется, если тен- $
зор Д — любой антисимметричный тензор. В этом случае для тен-
зора g верна формула
2^ — С*С—О = (G — Д)(О + Д) — G = — Д2 0.	3
Очевидно также следующее предложение: \если тензор g или
соответственно тензор g обращается в нуль в любой точке тела,
т0 Sik — Sik^ и поэтому тело может перемещаться только как твер-
дое тело.
Отсюда следует, что если детерминант соответствующего пре-
образования положителен, то необходимое и достаточное условие
того, что перемещение материальной среды было перемещением твер-
дого тела, состоит в тензорном равенстве: g = 0.
§ 5. Вектор вращения осей деформации
Согласно формулам (5.40) и (5.42) главы I можно написать
С = екУс*С=екУ G—]—28, I
C =	—28, )
где К и К— антисимметричные тензоры, соответствующие векторам
вращения главных осей деформации.
Аффинное перемещение непрерывной среды, определяемое тензо-
ром С в базисе 3Z или тензором С в базисе 3Z, представляется фор-
§ 5]	ВЕКТОР ВРАЩЕНИЯ ОСЕЙ ДЕФОРМАЦИИ	115
мулами (5.1) как последовательность чистой деформации, сводя-
щейся к растяжениям вдоль главных осей деформации, и некоторого
поворота триэдра главных осей деформации.
Тензор С определяет переход от базиса 3Z к базису а тен-
зор С определяет обратный переход от базиса к базису 3Z. Из
формул (5.1) следует
£= — In [ ]/С*СС-1] — — tn [Кб+28 С-1],
К = — In [Кб’СС"1] =—1п[Кб—28 С-1]. J
В формулах (5.2) тензоры С*С или С*С можно заменить
по формуле Лагранжа — Сильвестра тензорами вида
/СС = тоб +	т2С*СС*С,
К С*С = m0G 4- тгС*С+т2С*СС*С,
где /п0, /пр /п2 и соответственно /п0, mv т2~ известные функции
главных компонент тензоров 8 или g.
Если перемещения конечны, но деформации малы, это значит,
что компоненты тензора С конечны, а компоненты тензора 8 малы,
то с точностью до малых второго порядка включительно верна
формула
Кб+28 с-1=[е+4—4^+	=
= 4(с-1 + с*)—1(С*С—б)2С-1+ ...
И
Кб — 28С"' = [б — 8 —	...]<Г‘ =
= |(С-1 + С')-1(С<С-б)-С -4 ...
В таком случае для К и К верны с точностью до малых первого
порядка включительно приближенные формулы
= —1п1(С ’ + (?*),
^=-1п4(С_1 + С*).
(5-3)
8*
116
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
(ГЛ. ТТ
Если полные перемещения бесконечно малы, то
C=G4-S,
C~l = G — S = 2G — C
(5.4)
и
C~X = 2G — C,
где S — тензор с бесконечно малыми компонентами, причем фор-
мулы (5.4) верны с точностью до малых первого порядка вклю-
чительно.
На основании (5.4) формулы (5.3) с точностью до малых первого
порядка включительно дают
к - - in Гб-ь А.(с* - с)1«1 (с- с*),
. 1 . J 1 . .	<5-5>
К - — tn [ б+ Т (С* — С)J «4 <с— с*)’
Если представить тензор С как сумму симметричного тензора V
и антисимметричного Q, т. е.
С = # + 12,
C* = N—Q,
то при бесконечно малых деформациях формулы (5.5) с учетом (3.8)
равносильны равенствам
(О	О	\	\
&	в'!	1	(5.6)
=	-^3‘3-	I
так как перемещения малы, то верно равенство К=—К-
Если рассматриваемая малая деформация соответствует непрерыв-
ному движению за время dt, то	dt, где — ковариантные
компоненты вектора скорости, поэтому
(SjVi - Vp,) ЫЭ1Э}.	(5.7)
Формулами (5.5) и (5.6) можно пользоваться для вектора враще-
ния при бесконечно малых перемещениях. Если деформации малы,
но перемещения конечны, то необходимо пользоваться формулами (5.3).
При малых перемещениях из первой формулы (5.2) с учетом (4.29)
путем разложения матриц в ряды для компонент Kj тензора АГ можно
§ 6] КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ. ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ДЕФОРМАЦИЮ 117
написать уточненную формулу I38]
Kl. 'j = (V;-wz — V1^.) — у	4-
-+- (Vaw‘Vp-w’V -w3 — VlwaVa'w^‘Wj') -4- (VawzV₽w'xV?w/- —
— Vaw4VaWpV,5w7. 4~ VfwaVpWaVyWP — VzwaVaWpVyW?) 4~
4-	— VawfVawpVyw?) 4- ...	(5.8)
Формула (5.8) верна в любой криволинейной системе координат.
Отброшенные члены имеют четвертый порядок малости.
§ 6. Кинематические тензоры, характеризующие деформацию
В § 4, 5 введены различные тензоры, которые могут характери-
зовать геометрические свойства конечных перемещений и деформаций
непрерывного континуума.
В этом параграфе мы отметим тензоры, представляющие собой
кинематические характеристики перемещений и деформаций.
Перемещение dr точек континуума за время dt можно предста-
вить в виде
dr = dx1(?t /)Э1 ^dx2&, В2, S3, /)324-dx3(^, е2, £3, 0Э3, (6.1)
в котором вектор перемещения dr и его компоненты dx1, dx2, dx3
взяты для фиксированной частицы при постоянных
Очевидно, что вектор скорости различных частиц определяется
формулой
» = ^ = »-Э..	=	(6-2)
Вектор ускорения определяется формулой
*	х4 — переменное
Согласно формулам (10.5) и (10.18) главы I получим
• _ Г /	\	। со Хт^Л ~|
= [(тг)<	Э- = (^г) Э- '6'3)
L' Ul ’х =const	J \ CLI /поли
/ dv0 \	.
где	— полная производная по времени t.
118	КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ	[ГЛ. II
Формулы (6.2) и (6.3) определяют компоненты скорости и уско-
рения в любой криволинейной эйлеровой системе координат.
Аналогичным путем можно определить векторы ускорения высшего
порядка.
Например, компоненты производной -^ = 2 выражаются через
компоненты /* по формуле вида (6.3), в которой Vх и необхо-
димо заменить через /х и уа, после чего в свою очередь компонен-
ты f и / можно заменить через компоненты дэ по формулам (6.3).
Если вектор скорости t) определен в базисах 3t или 3Z, то при
совпадении в рассматриваемый момент времени t всех трех базисов
3t =	будем иметь
V = v*3* = va3a = va3a.	(6.4)
Однако в следующие моменты времени базисы Эа и Эа будут раз-
личны, подвижная точка сместится, кроме этого, в неподвижном
базисе Эа в другое положение с измененным базисом За.
Базис За взят в пространстве начальных состояний. Базисы Эа и Эа
взяты в одном и том же пространстве, соответствие между этими
базисами устанавливается преобразованием координат, поэтому для
всех моментов времени t' > t имеем
v =	= 1?аЭа, v ¥= ^аЭа = t);	(6.5)
при использовании подвижного лагранжева базиса Эа для ускорения,
учитывая (10.4) главы I, имеем
>=4=	(66>
так как в момент t можно принять Эа = Эа, то из (6.3) и (6.6) сле-
дует, что
Формула (6.7) верна только для компонент скорости,для других
векторов аналогичная формула не верна (см. формулу (10.13)
главы I).
Определим еще вектор /0 равенством jQ = j. В силу (6.7)
при Эа = Эа = Эа для вектора /0 можно написать равенства
J°-\dt k=const Ude^const °	\ A'-const
Если движение установившееся, то очевидно, что /о = О.
§ 6] КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ДЕФОРМАЦИЮ 119
Рассмотрим теперь изменение в единицу времени длин элемен-
тарных отрезков, имеем
ds2 — dso = 2sa?^ad^.
Дифференцируя это равенство по времени, получим
— (ds2) = 2ea₽# d$, где М = (-5F')5<=const ’
— (ds^ = 2ja9d^ d$, где	г •
Очевидно, что величины еа& и уа(3 можно рассматривать как кова-
риантные компоненты тензоров
° - о о	о „ о г
причем
®—dF и	/6-8)
Симметричный тензор называется тензором скоростей деформации.
/ Произведение (&dt при бесконечно малом dt можно рассматривать
как бесконечно малый тензор деформации d& для перемещения,
соответствующего приращению времени dt. Отсюда, в частности,
следует механический смысл всех компонент тензора
‘ Симметричный тензор J характеризует ускорения чистой дефор-
мации.
Дадим формулы для компонент еар и через компоненты век-
тора скорости v.
Имеем
1 А А 1 о о	1Г/л d9a \	/ d9n * \*1
е«₽ = у(За. Э₽)	у(^а> ^₽),	= уЦЗа-	\~di~’ I •'
Отсюда так как	= V ••oQ13<u, то
dt di1 ’ “
(6.9)
Очевидно, что если в данный момент времени бесконечно малое
перемещение среды происходит как перемещение твердого тела,
то еар = О, т. е. тензор скоростей деформации равен нулю. Обратно,
если в каждой точке тела £ар = 0, то соответствующее поле ско-
ростей и бесконечно малое перемещение среды такие, как у твер-
дого тела.
Далее, для уар имеем
120	КИНЕМАТИКА7 ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ	|ГЛ. П
Отсюда получим
Аз = - J	+ VaJ?].	(6.10)
В полученной формуле компоненты ускорения jk можно заменить
через соответствующие им компоненты скорости по формуле (6.6).
Формулы (6.9) содержат только производные по координатам,
они верны в любой криволинейной системе координат и, в частности,
в системах с базисами 3Z и 3Z.
Наряду с тензором скоростей деформации @ можно ввести тен-
*
зор определенный как индивидуальная производная по времени t
от тензора
Имеем
в=(^=^‘^=<э'э’-
Для компонент и е'^ верны формулы
ёа«. = е*в —	— eakV^\
— SaoTxX — е«₽ГГа©Х =

(6.11)
\ 01 / xi 1 л аР \ at / £*
I ^£аЗ \	/
где	— полная индивидуальная производная от	по вре-
мени, а vl и vl—компоненты вектора скорости t) в базисах Эь и 3Z.
Формулы (6.11) верны в любых криволинейных системах коор-
динат, в частности, если принять, что базисы 3Z и 3L в данный мо-
мент времени совпадают, то получим
(deap \	dvl dvl /	\	dv* dvl
dt dF-*-SaX'^’—дхл dx? ~
= (4?Г )£i +	+ eaXV^.	(6. j 2)
„	/ ^£a|3 \	\
Производные t и л совпадают, когда система отсчета
декартова.
§ 7] О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ 121
* df*
Тензор (§; = представляет собой кинематическую характери-
стику движения сплошной среды, связанную со скоростями дефор-
мации и скоростями движения точек среды.
Аналогичным путем можно ввести тензоры, полученные как вто-
о d28
рые производные от тензора с,	и производные высшего
порядка.
*
Компоненты с контравариантными индексами для тензора @ полу-
чатся из (6.11) путем поднятия индексов с помощью тензора glk(£l, t)
в базисе и с помощью тензора glk (х1) в базисе 3Z.
Если скорости и деформации малы, то после сохранения только
малых первого порядка получим, что введенные тензоры @ и @
совпадают.
Согласно формуле (5.7) для антисимметричного тензора
и формулы (3.14) главы I; для компонент вектора вихря, равного
угловой скорости вращения осей деформации, верна формула
z \от/	/	s
которая определяет компоненты вектора вихря в произвольной
криволинейной системе координат; индексы у, k связаны круговой
перестановкой из 1, 2, 3.
§ 7.	О дифференцировании нелинейных тензорных функций
В формулах (10.26) и (10.29) главы I величины	можно
заменить через компоненты тензора скоростей деформации и ком-
поненты тензора вихря 2Z/-, пользуясь формулами
у (У i-Vj 4- ?Л) = е,7 и | (Ущ — V
где компоненты скорости vl и компоненты тензора скоростей дефор-
мации еГ] и компоненты вихря S2Z;- взяты для движения некоторого
базиса 3Z относительно некоторой, вообще подвижной, системы от-
счета с базисом 3Z (см. § 10 главы I).
В частности, базис 3Z может быть связан с системой координат,
вмороженной в среду, а базис 3-t может быть подвижным базисом
с заданным законом движения относительно неподвижной системы
координат с базисом 3Z.
122
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
Применяя правило жонглирования индексов для вц и 2.;., фор-
мулы (10.26) — (10.29) главы I можно написать в виде
= (-^)полн -	- Л““2ШЭ -	- h^.,	(7.1)
- л/ — (~~тг~)	— Ч~ . — h.	(7.2)
а1 \ ai f ПОЛИ
-- I	\	л .(О	, • Q)q «Р ।	1 • (3 • СО » • со *3	/7
_____________________________________________________ I ~П I	^co- “a •	• “co- “H ^co-#a •	-#co- » (7.3)
ai	X ai ! ПОЛИ
~~dF~ =	• “Ь ^a(u^3 • “1“ ^a>p£a - ~|“ h^ef.. (7.4)
Если система координат базиса 3Z декартова, то для всех моментов
времени верны равенства hiJ = hij = hl.j = h\3., кроме этого, в де-
картовой системе координат имеем 2/ = 2!) = Qij =— 2;/. Учитывая
тензорные свойства рассматриваемых величин, получим, что в любой
*
криволинейной системе координат, отвечающей базисам 3Z или 3t,
верны равенства
<М 2«“ + h™ 2р“) ЭаЭр = (ЛШ₽2Г — /га“2ш3) Э% =
= (— йшр2ша + /г’ш23“) ЭаЭ3 = (— /г“р2ша — /га“2шр) эД.
d№ dh\
Производные от компонент  dt , — и т. д. определяют,
вообще говоря, различные тензоры, это также относится к произ-
/ dh^ \	/ t/Aag \
водным типа I -тг-) и I —г  - 1 и т. д.
\	«*	/ ПОЛИ \	«*	/ ПОЛИ
* * * *
Если, однако, базис 3Z твердый, т. е. (3Z, Эр = gtj = const, то,
очевидно, что имеют место равенства
поэтому в этом случае полные производные компонент тензора Н
(dh^\
типа (	) определяют собой один и тот же тензор.
\ at /полн
Если базис 3Z = 3Z неподвижен, а базис 3Z вморожен в среду
{eik Ф 0), то тензор, равный
-h^.-hamQ2
ai / полн
Э
___-р I h ' I
—37— /	— п.^ш. -f-
\ UL / ПОЛИ
ш___ A’^Q*13
I. -- Ла .“со.
ПОЛИ
- [(^г)полн+
§ 7] О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ 123
представляет собой относительную производную в смысле Яуманна
(см. § 10 главы I).
Если базисы Э- и 3Z движутся как твердое тело, то производные
dhafi dhae
типа	и т. д. также образуют систему компонент одного
и того же тензора, так как £Zfe==0.
Таким образом, в этом случае вместо четырех различных тензо-
ров Vv V2, V3, V4 получается только один тензор, формулы
(7.1) — (7.4) при eik = Q дают компоненты этого тензора с различ-
ным строением индексов в произвольной криволинейной системе
координат. Эти компоненты равны компонентам производного тен-
*
зора в смысле Яуманна, когда 3Z— неподвижный базис, a 2Zy — тен-
зорные компоненты вектор-вихря.
Рассмотрим еще специально случай, когда базис 3Z неподвижен,
а тензор Н симметричный, но переменный во времени. Главные оси
тензора И образуют ортогональный триэдр. Единичные векторы 3Z
декартовой системы координат направим по главным осям тензора И.
Декартов базис 3Z, вообще говоря, вращается с некоторой угло-
* * *
вой скоростью co = о)аЭа = о)аЭа (принимаем, что базисы 3Z и 3Z со-
впадают в рассматриваемый момент времени).
Угловой скорости со соответствует
с матрицей
0	— (о3
со3	0
— О)2	О)1
антисимметричный тензор
О)2
— О)1	.
о
1Ы1=
Компоненты тензора Н с любым строением индексов в базисе 3Z,
а также в данный момент в базисе 3Z образуют одну и ту же кано-
ническую матрицу
hx (/)	0	0
0	/г2 (О 0	,
0	' 0	/г3 (t)
где hi — корни характеристического уравнения.
„	A	dha? dhaR dha
Так как базис 3Z декартов, то производные 	и —
образуют одну и ту же матрицу.
Из формул (7.1), (7.2) и (7.4) и правила сложения скоростей
(10.30) главы I для этих компонент получим формулу
d№  dh% dh. dh„
dt = dt = ~dt~= ~di~ &•₽	Wap’
(7-5)
124	КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЬ»	[ГЛ. II
В этой формуле индексы аир фиксированы (нет суммирования
по одинаковым индексам).
Очевидно, что главные оси для тензора Н в общем случае не
dH
являются главными осями для производного тензора	Главные
dH „
оси и п совпадают только в том случае, когда со — 0, т. е.
когда главные оси тензора сохраняют свое направление в пространстве.
Предположим теперь, что тензор Н является изотропной функ-
цией некоторого симметричного тензора 7, зависящего от времени
в неподвижном базисе 3Z:
Из сделанного предположения следует; что главные оси тензо-
ров Т и Н совпадают, следовательно, главные оси тензоров Т и Н
вращаются с одной и той же угловой скоростью to.
Наряду с формулой (7.5) в базисе 3t можно написать еще
формулу
dt*9 dt\ dT„ dT „
—= <7-6>
где 7Z — главные компоненты тензора T.
Так как ht = f (T^t то на основании формул (7.5) и (7.6) получим
dh^
dt

Г dt*-9
Г, — Га [ dt
dT
а
~dt~
(7.7)

С учетом (7.6) для диагональных членов при а = (3 получим
dh^
dt
dT
f'^-dF
dt\
(7.8)
Если а =£ p, то получим
dh-	dT-
dt	T3 — Ta dt
(7.9)
Таким образом, для изотропных тензорных функций формулы
<7.8) и (7.9) в неподвижной декартовой системе координат, совпа-
дающей с главными осями в данный момент времени, в дифферен-
циалах можно написать в следующем виде:
dhap== f'(Ta)dTa'9 и dffy =	(7.10)
1 3 — 1 а
§7] О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ 125
Первая из этих формул получается из второй с помощью фор-
мального перехода к пределу при р->а.
Очевидно, что равенства, аналогичные (7.10), можно написать
для дифференциалов тензоров с другим строение 4 индексов.
Связь между дифференциалами тензора dh1.} и dT1.} в любой не-
подвижной криволинейной системе координат получается из (7.10)
с помощью формул преобразования компонент тензора.
Рассмотрим теперь относительные производные и дифференциалы
от симметричных тензоров второго ранга в системе координат
с базисом Эр вмороженным в подвижную деформируемую среду.
Очевидно, что в общем случае движение среды и вращение главных
осей \ рассматриваемого тензора различны и независимы между
собой.
Выбирая все базисы совпадающими и направленными по главным
осям рассматриваемого тензора, можно воспользоваться формулами
(7.1), (7.2), (7.3) и (7.4) для искомых производных. Формула (7.5)
/ dha$ \
дает производные типа ( - -1 относительно неподвижной системы
координат с базисом Э/? которые написаны в качестве первых чле-
нов в формулах (7.1) — (7.4).
z Производя подстановку, получим
Т = ЧГ + (/г₽ - h°>	- М “<й3 +	е^' <7-1
dh\ dh а
~dT =	8 Р	- М -	(7-12)
dh$ dh
= ~dT +(/г₽ -	- V+1
dh^ dha	~
~dT = ~dt~	+ <й3 + ч- (7-14)
В этих формулах индексы а и |3 фиксированы.
Очевидно также, что компоненты 2а^ и о)ар вообще определяют
различные антисимметричные тензоры.
За счет членов, содержащих компоненты тензора скоростей
деформации, четыре производные (7.11) — (7.14) определяют собой
четыре различных тензора.
Если тензор H=f(T) — изотропная функция тензора Т, то для
тензора Т можно написать формулы, аналогичные (7.11) — (7.14).
С помощью формул для относительных производных тензоров Т и Н
126
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
(ГЛ. П
можно исключить 2ар — а)ар, после чего получим
dh”9 _ dt	" dt 8-H	1 1 .Г3 я*	'dt*9 _ dt	d1\ R«1  dt8 tl	— 2	т^-тл e^'	(7-15)
dh^ _ dt	«,a-	। - dt 8-^	1 1 ax co. 1	' dt^ dt	dTa dl ’•>	9		(7.16)
dh'9 _ dt	dh* J " dt 8-‘^	1 1 1	' dt'9 L	dt “	9		(7.17)
dh^ dt	dh*	1 = dt 8-H	1 1 1 Г3 я*	dt ap dt	1  dt 8-eJ	4-2	T?-Ta e‘9-	(7-18)
dt"9 dT% dt'9 dtaa
Так как производные -	,	и - &  все различны
между собой, то в формулах (7.15) — (7.18) члены, независимые
от £ар, различны между собой, однако они совпадают друг с дру-
гом, если £ар = 0.
Если главные оси тензоров Г, Н и тензора конечной дефор-
мации g = sap3a3p совпадают, то 2ap = a)ap.
В этом случае можно исключить компоненты после чего по-
лучим, что формулы (7.16) и (7.17) сохраняют свой вид, а наряду
с формулами (7.15) и (7.18) можно написать еще следующие соот-
ношения:
dh*9 _ dh* ...*₽+*« (dt*9	dTa \
dt	dt -P ' Г3+7а \ dt	dt °13/ ’
.	^{3 4*	\
—dT = ~dT -P-1 T₽+ 7a \ dF dT6'9/ •
(7.19)
(7.20)
Очевидно, что если главные оси тензора конечной деформа-
ции 8 сохраняют свое направление в пространстве относительно не-
подвижной системы отсчета, то главные оси тензора скоростей де-
формации совпадают с главными осями тензора конечной деформа-
ции, поэтому в системе главных осей получим, что ел$ = 0 при a =£ р.
Отсюда следует, что если главные оси тензоров Я, Т и 8 совпадают
и сохраняют свое направление в пространстве, то
dT\ dt'9 dT\	dh\ dh'9	d7\ „
Tr=^=Tfi "
Например, для тензора Генки, определенного формулой
Н = — 1пИ G —28
(7.22)
§7] О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ 127
при неизменном направлении осей деформации в главных осях, верны
матричные формулы
=1к1-2;1.)8!йГ1-
На основании правил преобразования координат (независящего
от времени) легко видеть, что при использовании произвольных
криволинейных систем координат эти формулы равносильны фор-
мулам
|П)1Ы№-2е^’,И.4	(7.23)
Формула (7.23) получается из формулы (7.22) путем применения
к матрицам обычного правила дифференцирования функций.
Заметим, однако, что это правило дифференцирования верно
только в том случае, когда'оси деформации сохраняют свое направ-
ление в пространстве.
Если главные оси тензоров деформации и скоростей деформации
/ не совпадают, когда в главных осях деформации еар =£ 0 при а (3,
что может происходить только при наличии вращения осей дефор-
мации, то, если /гр =# ha при а =/= р, получим, что формулы (7.21)
йеверны и соответственно из (7.22) не следуют матричные фор-
мулы (7.23).
Определим теперь еще в каждой точке движущейся среды твер-
дый подвижный базис 3Z, связанный неизменно с главными осями
тензоров Т и Н{Н~ f (Т)), и рассмотрим производные и
относительно этого базиса. Выражение для компонент этих тензо-
ров через компоненты производных в неподвижной системе коорди-
нат представляются правыми частями формул (7.1) — (7.1), в кото-
рых надо положить eap = O, a 2Zy = u)Zy, где u)Z/. соответствует мгно-
венной угловой скорости вращения главных осей тензоров Т и Н.
Если главные оси тензоров Т и Н совпадают с главными осями
тензора деформаций 8 = 8арЭаЭр, то производные тензоры
dH
и являются относительными производными в смысле Яуманна.
Очевидно, что матрицы тензоров Т и Н и всегда имеют
одни и те же главные оси, которые в неподвижном пространстве
могут менять свое направление.
Очевидно, что наряду с функциональной связью
H=f(T)
(7.24)
128
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
для относительных производных и будет
следующее правило дифференцирования:
"'. = /'(7’)-^- ИЛИ dH = f'(T)dT,
выполняться
(7.25)
которые можно рассматривать как матричное или тензорное ра-
венство.
Таким образом, относительные производные и связаны
между собой в общем случае всегда так же, как производные
относительно неподвижных осей в том случае, когда главные оси
тензоров Т и Н сохраняют свое направление в пространстве.
§ 8. Условия совместности
Шесть ковариантных компонент еар тензоров 8° и S не могут
быть произвольными функциями лагранжевцх координат J1, £2,
или эйлеровых координат х1, х2, х3.
Имеем
^£ар = £а(3 £аЗ’
Так как квадратичные формы
=	и ds20 = g^dfd?	(8.1)
определяют квадрат элемента дуги в евклидовом пространстве, то
на основании теории, развитой в § 9 главы I, следует, что тензоры
Римана, составленные для фундаментального тензора или для
фундаментального тензора ga^ должны обращаться в нуль.
Это приводит к уравнениям
Rij^ = G и Rijvy = 0.	(8.2)
Один из координатных базисов в деформированном простран-
стве или в пространстве начальных состояний можно выбрать
произвольно, после этого второй из этих базисов определяется
вполне деформацией.
Одно из уравнений (8.2) удовлетворяется как следствие для вы-
бранного базиса евклидова пространства. Второе можно рассматри-
вать как уравнение для компонент 8ар.
Соответствующее уравнение в развернутом виде легко выписать
с помощью формул (9.8) и (9.9) главы I.
В частности, если в деформированном состоянии система коор-
динат прямолинейная декартова (вообще не ортогональная),
§ 81
УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
129
dgafi	о
то — - • = 0, поэтому уравнения совместности	можно
dt
написать в форме
di J'dt dt d?
d2^j	r r
..p. T* S	G <op.iOwij]   0»
(8.3)
д& di*
где
^£а/

(8.4)
а компоненты gau)
матрице с компонентами ga(o
dt “Г dt dt '
определяются как элементы матрицы, обратной
!lrwll = lli««>- 2sao>||-1.	(8.5)
Аналогичным образом можно написать уравнения совместности
= если лагранжева система в начальном состоянии прямо-
линейная, когда = const. Положительная дефицитность форм (8.1)
накладывает дополнительное условие на компоненты
Уравнения (8.3) представляют собой для шести функций
t, t) дифференциальные уравнения с частными производными
второго порядка, линейные относительно вторых производных и не-
линейные относительно первых производных.
При всевозможных значениях индексов /, у, ji, v из 1, 2, 3 си-
стема уравнений (8.3) состоит всего из шести независимых уравне-
ний. Эти шесть независимых уравнений соответствуют комбинациям
индексов, отмеченных в (9.12) главы I (/у‘р> = 1212, 1313, 2323,
1213, 2123, 3132).
Очевидно, что формулы (4.31) дают общий интеграл системы
уравнений (8.3).
С помощью операций дифференцирования по времени в § 6
введены тензоры, характеризующие кинематические свойства пере-
мещений и деформаций.
Очевидно, что компоненты этих тензоров также должны удовлет-
ворять некоторым уравнениям совместности. Например, для компо-
нент тензора скоростей деформации верна формула
е«₽ = *а₽^.	(8-6>
где еар — компоненты бесконечно малой деформации, соответствую-
щей бесконечно малому промежутку времени М. Подставляя (8.6)
в (8.3) и переходя к пределу при Д/->0, получим
d2e^ d2e^j d2^ d2ev-
(8.7)
.	=0.
dt dt dtdt dt dt dt dt
9 Л. И. Седов
f3b	КИНЕМА1Й>бА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ	[ГЛ. II
В уравнениях (8.7) система координат V» S2» £3 декартова, так
как в уравнениях (8.3) система координат 3Z декартова, а при пере-
ходе к пределу имеем 3Z=3Z.
Так. же как и система уравнений (8.3), система уравнений (8.7)
содержит шесть независимых линейных уравнений в частных произ-
водных второго порядка для величин eik.
Соответствующие независимые уравнения можно получить для
указанных выше комбинаций индексов.
- Легко видеть, что формулы (6.9) при произвольных трех функ-
циях tip v3 дают общий интеграл системы уравнений (8.7).
Очевидно, что при малых деформациях, когда компоненты и их
первые и вторые производные по координатам имеют один порядок,
нелинейные члены в уравнении (8.3) представляют собой малые
второго порядка, так как g™— конечная величина порядка еди-\
ницы. После отбрасывания малых второго порядка уравнения (8.3)
для компонент тензора деформации приобретает вид (8.7), которые
представляют собой точные уравнения для компонент тензора ско-
ростей деформации.
Нетрудно проверить [31], что если функции
Sy (?. ?2. <3)
определены как некоторое решение общего вида системы уравне-
ний (8.3), то функции
’8у = Х8у(?1,	?3),
где К — переменная величина, зависящая только от времени, не
удовлетворяют уравнениям совместности (8.3).
Отсюда следует, что для конечных деформаций пропорциональ-
ное изменение компонент тензора деформаций для конечного тела
геометрически, вообще говоря, невозможно.
Для частных видов функций eZy такое пропорциональное измене-
ние компонент тензора деформации возможно [2]. В частности, про-
порциональное изменение компонент тензора конечных деформаций
возможно для аффинных деформаций, когда eZy = const, но условие
дефицитности форм (8.1) может ограничивать значения к.
Легко видеть, что пропорциональное изменение компонент тен-
зора скоростей деформации всегда возможно.
В линеаризированной теорий для малых деформаций в уравнениях
совместности (8.3) сохраняются только линейные члены, поэтому
условия совместности удовлетворяются при пропорциональном изме-
нении компонент тензора деформации для любого допустимого
X условиями совместности распределения деформаций.
ГЛАВА III	'
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1.	Физические предпосылки
Идея о материальных телах в механике связана с обобщением
наблюдений и опытных данных о проявлении свойства инерции.
Оказывается, что для всякого тела с малыми размерами, которое
можно рассматривать как материальную точку, результат взаимо-
действия этого тела с другими телами связан со свойством инерции
этой материальной точки, которое может быть охарактеризовано в
теории и в практических расчетах с помощью одной физической
постоянной, называемой массой.
Каждой материальной точке можно приписать основную механи-
ческую характеристику, ее массу.
Опыт показывает, что для любого тела конечных размеров
также можно ввести понятие массы как сумму масс всех его частей.
В физике установлено, что газы, жидкости и твердые тела
в обычных условиях представляют собой совокупности движущихся
и взаимодействующих между собой молекул и атомов.
При построении моделей материальных тел необходимо опи-
раться на опытные данные, полученные в физических исследованиях.
Движение материальных тел можно рассматривать как макроскопи-
ческое движение в среднем большого числа частиц в физически ма-
лом объеме и как микроскопическое хаотическое тепловое движе-
ние отдельных частиц (молекул, атомов, электронов и т. п.). Стати-
стические средние характеристики и связывающие их законы для
хаотических микроскопических явлений, обусловленные структурой
относительного расположения частиц, их силовыми взаимодействиями
и их кинетической энергией в хаотическом движении, образуют
внутренние физические свойства тел.
В зависимости от класса рассматриваемых явлений проявляю-
щиеся особенности внутренних свойств тел могут быть различными;
часть из свойств тел может не учитываться, если эти свойства
в рассматриваемых задачах несущественны.
9*
132	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Весьма существенно, что размеры и массы отдельных частиц
(молекулы, атомы, нуклоны, электроны и т. п.), из которых составлено
тело, весьма малы, и поэтому во многих важных с различных точек
зрения случаях необходимо иметь дело с телами, которые в интере-
сующих нас объемах содержат весьма большое количество отдель-
ных частиц.
Вот некоторые известные из физики данные.
Световой квант — фотон — частица излучения движется в пустоте
со скоростью света, масса покоя его равна нулю, энергия Е
равна hv, импульс р отличен от нуля и равен -у-; \Е = рс\,
/г = 6,62 • 10~27 эрг • сек — постоянная Планка, с — скорость света,
v — частота.
Для фотонов видимого света v^4—8 • 1014 гц; hv= 1,65 — 3,3 эв\
для гамма-излучения фотонов большой энергии v > 1019 гц и
/zv > 40 кэв. Объем, заполненный излучением, можно рассматривать
как мат&риальную среду, обладающую энергией и импульсом. Моде-
лирование такой среды континуумом, заполняющим пространство
непрерывно, лежит в основе идей электромагнитного поля.
Масса покоя электрона те = 9,1066 • 10~28г, заряд электрона
е = 4,802 • 1О-10 эл, ст. ед., радиус электрона г ~ 2,81 • 10-13 см,
масса протона тп= 1,6724- 10-24 г, а его радиус г~10~13 см.
Макроскопическая теория движения и взаимодействия зарядов
с электромагнитным полем составляет предмет электродинамики.
Для молекулы водорода имеем /пн2 = 3,3466-10-24 г и гн2^'1,15Х
X Ю”8 для атома железа mFe = 92,98-10-24 г и rFe« 1,26 • 10~8 см.
Плотность р и число частиц W в одном кубическом сантиметре
характеризуются следующими данными:
для воздуха в земной атмосфере при нормальных условиях: на
уровне моря р = 0,00122 zjcM3', N = 2,687 • 1019 1/см3; на высоте 10 км
р=0,00044 г)см3\ W=9-1018 1/см3-, на высоте 60 км р=2,6-10“7 г/см3-,
2V = 8-1O15 1/гл£3; на высоте 120 км р=1,8-1О“10 г/см3\
Д/ = 6 • 1012 1/см3.
Для межзвездного газа р^З -10-24 г/см3-, N^\ \/см3 = 1015 \/км3-
Средняя плотность вещества звезд гигантов р^Ю-7 г/см3-;
Д/^1017 1/слг3; средняя плотность звезд белых карликов р^Ю6—
— 108 г/см3-,	• 1028 —3 - 1030 1/cjf3.
В обычных условиях плотность железа р = 7,86 z/cm3-;N = 8,622 X
ХЮ22 1/см3 и, наконец, плотность ядерного вещества р= 1,16 X
X Ю14 г)см3.
Приведенные данные показывают, что плотность может варьиро-
ваться в весьма широких пределах, однако характерно, что во всех
известных случаях плотность ядерного вещества гораздо больше
§ 1]	ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ	133
макроскопической плотности различных тел, в частности, для железа
получим
Ржел у . iq-14
Рядер
следовательно, объем, занятый атомами железа, составляет ничтожную
долю объема, занятого куском железа. Кусок железа, так же как и
конечные объемы других веществ, представляет собой в основном
пустое пространство, ничтожная часть которого заполнена кристал-
лической решеткой, составленной из очень большого числа атомов.
С другой стороны, сведения о числе частиц N в единице объема
показывают, что обычно в физически малых объемах число частиц
очень велико. Это обстоятельство позволяет ввести математическую
абстракцию, согласно которой предполагается наличие массы в любом
сколь угодно малом объеме пространства, занятого телом, и таким
путем ввести сплошную среду как материальный континуум, заполняю-
щий пространство непрерывно.
Помимо свойства инерции, характеризуемого плотностью, важное
значение имеют различные свойства тела, обусловленные взаимодей-
ствием элементарных частиц, атомов и молекул и их внутренними
микроскопическими движениями.
Некоторой характеристикой таких процессов для газа могут
служить следующие данные.
В хаотическом движении молекул газа при нуле градусов Цель*
сия (273° К) и атмосферном давлении молекулы водорода Н2 движутся
со средней скоростью, равной 1692 м)сек, имеют средний свободный
путь пробега между двумя столкновениями, равный 11,2- 10“6 см,
и каждая молекула испытывает в одну секунду пятнадцать миллиар-
дов—15 • 109—столкновений. Молекулы кислорода О2 имеют среднюю
скорость 425 м)сек (свободный путь пробега равен 6,5 • 10~6 см)
и испытывают 6,55 • 109 столкновений в секунду.
Движение и взаимодействие молекул в жидкостях и в твердых
телах носит более сложный характер, однако средняя энергия хао-
тического движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,
определяющая температуру тела, такая же, как и у газов.
При построении материальных континуумов для моделирования
реальных тел необходимо учитывать различные структурные особен-
ности тел. Тела могут быть газообразными, жидкими, твердыми,
кристаллическими с различными фазами. При возрастании темпера-
туры и давления возникают состояния, которые можно рассматривать
одновременно как газ, жидкость или как твердое тело.
Помимо структуры важное значение имеет природа вещества и
свойства составов смесей, растворов и сплавов.
Во многих случаях возникают механические задачи о движении
тел с учетом изменения качества составных частей и их относительного
134	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ПТ
содержания. Например, движение газов, сопровождаемое ядерными
и химическими реакциями и, в частности, горением, диссоциа-
цией, рекомбинацией, ионизацией и т. п. При движении материаль-
ных тел важное значение могут играть процессы фазовых переходов,
такие, как конденсация, испарение, плавление, затвердевание, поли-
меризация, перекристаллизация и т. п.
При изучении движения материальных континуумов необходимо
вводить внутренние напряжения. В соответствующих телах с дискретно
молекулярным строением внутренние напряжения представляются
статистическими средними, обусловленными как непосредственными
силами взаимодействия между молекулами, расположенными по раз-
ные стороны рассматриваемого сечения, так и переносом макроско-
пического количества движения через это сечение, происходящим
в результате теплового движения молекул. Например, в газах свойство
вязкости объясняется действием теплового движения молекул, вы-
равнивающим макроскопические скорости движения соседних частиц
газа. Таким образом, свойства внутренних напряжений в материаль-
ных средах определяются молекулярным составом сред, силами
взаимодействия между молекулами и атомами, проявляющимися только
на очень близких между ними расстояниях, и тепловым движением,
характеризуемым температурой.
Аналогичным образом объясняется явление теплопроводности.
Для любых двух соседних частиц среды, между которыми имеется
контакт, происходит обмен энергией либо путем столкновений, либо
непосредственно за счет обмена быстрыми и медленными частицами.
Статистически средняя энергия теплового движения, характеризую-
щаяся температурой, стремится к выравниванию.
Механизм диффузии в смесях также объясняется молекулярно-
кинетическим процессом перемешивания молекул в результате тепло-
вого движения.
Несколько сложнее описывается явление излучения, происходящее
за счет квантовых эффектов изменения уровней энергии в системе моле-
кулы или атома или ядра атома, а также за счет ускоренных движений
заряженных частиц. Явление излучения, которое можно рассматривать
как испускание фотонов, тесно связано с хаотическим тепловым дви-
жением и существенным образом зависит от температуры, определяю-
щей возможные возбуждения энергии при столкновении частиц.
Исследование движений материальных сред при больших температурах
необходимо производить с учетом эффектов передачи энергии и из-
менения температуры за счет сопутствующих процессов поглощения
и рассеяния лучистой энергии. В перечисленных выше явлениях
установление макроскопических законов на основании глубокого
анализа физических микроскопических механизмов и свойств элемен-
тарных частиц составляет одну из главных задач физических иссле-
дований.
§ 2]	ПОНЯТИЕ МАТЕРИАЛЬНОГО КОНТИНУУМА *	135
§ 2.	Понятие материального континуума
Для упрощения постановок механических задач, для ясного опре-
деления идеальных свойств материальных тел, для возможности по-
строения механики с помощью аппарата дифференциального и
интегрального исчисления; в механику вводятся идеальные физико-
механические модели, с помощью которых можно описывать состоя-
ния и процессы движения реальных тел в природе и в технических
сооружениях.
Для этого в общую механику вводятся понятия материальной
точки и абсолютно твердого тела; известно, что с помощью этих по-
нятий удается с большой точностью описать очень многие явления
и решать важные задачи.
Для исследования механических задач о движении газов, жидко-
стей и твердых тел вводится понятие материального континуума
как среды, заполняющей пространство непрерывно, обладающей
свойством инерции и наделенной различными физическими свойствами,
отражающими собой статистические закономерности для определенных
классов физических тел, представляющих собой совокупности боль-
шого количества взаимодействующих частиц.
В соответствии с дополнительными определениями в механике
рассматриваются материальные континуумы с различными свойствами.
Можно вводить различные модели деформируемых сред примени-
тельно к действительным телам с различными свойствами.
Однако в механике одно свойство является общим для всех
материальных континуумов, это свойство инерции, характеризуемое
массой. Для материальной среды принято, что любая часть среды
имеет массу, которая является положительной и аддитивной функ-
цией объема.
Выделим в теле мысленно некоторый объем V и обозначим через т
массу тела в этом объеме.
Отношение
называется средней плотностью. Для обычных моделей сплошных
сред принимается, что р* имеет предел при стягивании объема V
в точку:
р= lim р*= Иш .	(2.1)
у->0	У->0 V
Предельное значение р*, обозначенное через р, называется плот-
ностью в данной точке, к которой стягивается объем V.
Если плотность р в каждой точке известна, то масса т лю-
бого конечного объема V представится с помощью интеграла,
136	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
распространенного на объем V\
т = J* pdx.	(2.2)
v
Свойства инерции материальной точки определяются вполне ве-
личиной ее массы. Инерционные свойства тела конечных размеров
определяются законом распределения плотности р по объему тела.
Большое упрощение получается для абсолютно твердого тела. Как
известно, свойства инерции абсолютно твердого тела можно харак-
теризовать вполне следующими данными: общей массой тела, по-
ложением внутри объема тела его центра масс (центра тяжести) и
тензором моментов инерции в центре масс.
Опытный закон о постоянстве массы каждой субстанциональной
части тела долгое время являлся основным законом естествознания.
В настоящее время этот закон также является основным в жизненной
практике изучения множества физико-химических процессов. Однако
при больших скоростях движения, сравнимых со скоростью света,
законы ньютонианской механики необходимо заменить законами
теории относительности. В теории относительности масса материаль-
ной точки зависит от ее скорости и имеет различные значения для
различных наблюдателей, связанных с системами отсчета, движущихся
друг относительно друга. Вместе с этим изменение массы и экви-
валентность массы и энергии существенны в процессах, сопрово-
ждающихся ядерными реакциями.
В практике можно встретиться с рассмотрением движения тел
с переменной массой в рамках классической механики, в частности,
существуют теории движения тел с переменной массой, развитые
применительно к задачам о реактивном движении. Для избежания
недоразумений необходимо отметить, что в этих теориях по существу
рассматривается не данное тело, состоящее из одних и тех же частиц,
но с переменной массой, а тело, в котором состав частиц пере-
менный, некоторые частицы отделяются от тела, другие присоединяются.
В соответствии с классическими законами в такого рода задачах
всегда можно определить и рассматривать механическую систему
с общей постоянной массой.
Более того, при рассмотрении движений тел «переменной» массы
необходимо существенным образом руководствоваться законом сохра-
нения массы для системы, составленной из индивидуализированных
материальных частиц.
§ 3.	Уравнения неразрывности
Обозначим через 51, £2, £3 лагранжевы координаты и через х1,
х2, х3 — координаты точек пространства в системе отсчета, по от-
ношению к которой рассматривается движение (см. главу II, § 1).
§ 3]
УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ
137
Закон движения представляется в виде
=	е2, вз, t) (z = i, 2, з),	(3.1)
где функции fl по предположению имеют частные производные по
всем аргументам в рассматриваемой области.
Не ограничивая общности, можно принять, что в момент t — tQ
верны равенства
Xi\t = t0 =	=
Закон сохранения массы для любого подвижного тела, составлен-
ного из одних и тех же материальных частиц, можно написать
в следующих формах:
т= J* р(£,	J* p(t t)dx = const (3.2)
V&t0)	V&t)
или
4 f pG. t)dx = f WgJldx+f p^d^o, (3.3)
v (41)	v	a
где V—подвижный объем пространства, занимаемый частицами тела
S — поверхность, ограничивающая объем V. В уравнении (3.3) по-
движность и деформация объема V существенны только в левой
части равенства до выполнения операции дифференцирования интеграла
по времени. После выполнения дифференцирования получается инте-
гральное равенство, верное для любого объема V для любого фикси-
рованного момента времени t.
Уравнения (3.2) и (3.3) применимы к любым движениям мате-
риальной среды и, в частности, к разрывным движениям. При дви-
жении объем V может разделяться на отдельные части, внутри
объема V поле плотности, скорости и других механических характе-
ристик может быть неаналитическим и разрывным.
В области непрерывных движений, описываемых гладкими функ-
циями, интегральные уравнения (3.2) и (3.3) можно заменить диф-
ференциальными уравнениями с частными производными.
Уравнение (3.2) для любой бесконечно малой частицы дает
р0 dVQ = pdV = dm\	(3.4)
р0 и dVQ — плотность и объем частицы в момент /0, р и dV — плот-
ность и объем в момент t.
Для бесконечно малой частицы деформацию можно рассматривать
< dV
как аффинную, поэтому отношение объемов не зависит от формы
начального объема dV^ (см. § 2 главы II).
138
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[гл. in
На основании формул (1.6), (2.11) и (4.17) главы II равен-
ство (3.4) равносильно уравнениям
Ро _ Vg _		= 1-^- | = Д.	(3.5)
или	Р Vgo	
_р_ =	1	=	—2^!-1-4^2 —8^3.
Ро	V1 4- 2&1 + 4^2 + 8^3	
где Д — детерминант для касательного аффинного преобразования,
Зъ Зз— инварианты тензора конечной деформации g, а
3v 3^ Зз — инварианты тензора конечной деформации g.
Дифференциальное уравнение (3.5) называется уравнением нераз-
рывности в форме Лагранжа. Это уравнение установлено в произ-
вольной криволинейной системе координат и существенным образом
содержит производные от функций, определенных равенствами (3.1),
дающими закон движения для момента /, причем разность t — tQ
конечна и любая.
Для получения дифференциального уравнения неразрывности, ана-
логичного уравнению (3.3), зависящего только от одного момента
времени, можно исходить из интегрального соотношения (3.3). Однако
мы установим это уравнение с помощью уравнения (3.4) путем пре-
дельного перехода, когда
Равенство (3.4) перепишем в форме
р(^> М~р(^ 0 = dV—dVQ
pGUoM*	dV0M ’
где
M = t — tQ.
Если Д£—>0 и деформация бесконечно мала, то согласно форму-
лам (4.17а) и (4.32) главы II получим
Др £а; vawa
г	• а о.
TaF = "дг = м *
(3.6)
Очевидно, что для бесконечно малой деформации можно принять,
что $ х = д х — eaa, и базисы 3t и Э. совпадающими; через wa обо-
значены компоненты бесконечно малого перемещения, причем
= где va— компоненты вектора скорости частиц. Уравне-
ние (3.6) ч пределе при Д/->0 дает
р	const
4- о.
(3.7)
§ 3]
УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ
139
Уравнение (3.7) можно переписать еще в следующем виде:
или
pV^a ==. О,
-^+V«pv“ = O.	(3.8)
Равенство (3.8) дает уравнение неразрывности в произвольной
криволинейной системе координат.
Если написать ковариантные производные в раскрытой форме,
то уравнение (3.8) принимает вид
> + ^ + р»т.’. = о.
(3.9)
Уравнение (3.9) можно преобразовать с помощью формул
_ 1
af3 Vg дха
которые следуют из равенств
g=|Oz>3,.)| и =
(3.10)
В самом деле, производную по ха определителя g можно записать
как сумму определителей с производными первых множителей
в строках и определителей с производными вторых множителей
в столбцах. Очевидно, что каждый такой определитель равен
с фиксированными индексами Z, поэтому
Отсюда следует формула (3.10).
На основании формулы (3.10) уравнение неразрывности (3.9)
можно написать в форме
др ।____1 др /g	_ q
д/ У g дх*
(З.П) .
Для вектора скорости v можно написать формулу
Г) = ®1Э1+®2Э2 + ^эз = й1-^ + и2-А^+цз_Д^( (3.12)
У £11 V §22 V £зз
Э-
где векторы —т== образуют базис с единичными векторами. Если
У §и
система координат ортогональная, то величины и равны проекциям
скорости на оси координат; в этом случае У g = У g^g^g^ так как
140	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
gik — Q при I4=k. Уравнение неразрывности (3.11) в произвольной
ортогональной системе координат приобретает вид
(3.13)
Для любого вектора А = АаЭа инвариантная величина
VaAa = div А
называется дивергенцией вектора А, При использовании произволь-
ных криволинейных координат верна формула
div A = —4-ДвГ^ = -^^£^-.	(3.14)
дх* 1 р V g дх*
Соответствующие упрощения этого выражения для ортогональных
систем координат очевидны из предыдущих выводов. Формула (3.14)
сохраняет свой вид, если компоненты Ла рассматривать как векторы
или тензоры любого ранга. Очевидно, что в этом случае величина
А= А*ЭЛ является тензором с рангом, на единицу большим ранга
тензора Аа,
§ 4. Динамические уравнения
В динамике развиваются исследования и методы решения задач
о движении материальных тел в связи с причинами, обусловливаю-
щими движение.
Самые разнообразные формы опытов и наблюдений показывают,
что движение материальных тел обусловливается взаимодействием
различных тел. Понятие движения является кинематическим и суще-
ственным образом опирается на геометрические понятия о простран-
стве и времени.
В классической механике Ньютона принимается, что пространство
евклидово и что время для всех наблюдателей течет одинаково,
независимо от их относительных движений. Изучение движений осно-
вывается на постулате о наличии инерциальной системы координат.
В инерциальной системе координат изолированная точка (не взаимо-
действующая с другими телами) находится в покое или в состоянии
равномерного и прямолинейного движения. Всякое движение мате-
риальной точки относительно инерциальной системы с ускорением
рассматривается как результат взаимодействия этой точки с другими
телами.
Опыт показывает, что при взаимодействии любых двух материаль-
ных точек и ТИ2 между ускорениями ах и а2 этих точек всегда
имеет место равенство
т1а1 = — т2Л2’
(4.1>
§4] ’	ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	141
причем при взаимодействии материальной точки или точки М2
с другой материальной точкой 7И3 всегда верны равенства
тха\ = — т3а'3 и т2а2= —	(4.2)
Векторное уравнение (4.1) составляет закон равенства действия
и противодействия.
Уравнения (4.1) и (4.2) дают основание для введения скалярной
характеристики т массы материальной точки. При взаимодействии
любых двух материальных точек отношение величин ускорений равно
отношению масс этих точек. Величины ускорения взаимодействующих
материальных точек обратно пропорциональны их массам, поэтому
мы говорим, что масса характеризует свойство инерции материаль-
ных точек, заключающееся в стремлении материальных точек сохра-
нять состояние движения с постоянной скоростью.
Оценкой взаимодействия материальных точек может служить произ-
ведение та, которое не равно нулю при наличии взаимодействия.
Особое значение имеет то, что величина и направление произ-
ведения та, называемого силой, во многих практических слу-
чаях может быть ощущаема непосредственно с помощью наших
органов чувств или оценена с помощью наблюдаемых эффектов
в различного рода приборах и, в частности, может быть измерена
с помощью динамометров или весов.
Привычность и осязаемая ощутимость представлений о силе вно-
сится в наше сознание с раннего детства. Распространение различных
действий в жизни и в технике, в которых силовые эффекты соста-
вляют главную их сущность, ставят это понятие в ряд основных
в науке и технике.
Вектор силы, определенный по формуле
— та,	(4.3)
характеризует полностью с точки зрения механического эффекта
взаимодействие материальных тел, порождающих соответствующие
движения данной материальной точки.
Очевидно, что законы взаимодействия тел — это фундамент наших
знаний, основа для описания движений механических систем, рассма-
триваемых в механике как совокупности материальных точек, взаимо-
действующих между собой и с другими материальными системами.
Необходимо подчеркнуть с самого начала, что все физические
законы о взаимодействии тел, иначе говоря, о свойствах сил, полу-
чаются либо непосредственно из опыта, либо с помощью теоретиче-
ских обобщений опытных фактов и дополнительных гипотез, приме-»
нимость которых к действительности должна проверяться опытами.
Важно, однако, ясно представлять, что установление свойств сил
в опытах всегда производится с помощью основного равенства (4.3)
142	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
или при одновременно происходящих нескольких взаимодействиях
с помощью равенства
^1+^2 + ... -\-$Гп = та,	(4.4)
где некоторые из сил определены предварительно из других опытов.
В частности, в уравнении (4.4) правая часть может равняться
нулю. В этом случае можно говорить о том, что некоторые из неиз-
вестных величин слева в равенстве (4.4) определяются из статических
опытов. Однако не всегда определение сил возможно статическим
путем.
Результаты описания свойств сил во многих случаях сводятся
к установлению функциональных зависимостей сил взаимодействия
от основных геометрических и кинематических характеристик тел, их
взаимного положения и движения.
Запас физических законов для сил невелик. В различных кон-
кретных примерах выяснение соответствующих законов является пред-
метом современных исследований.
Для моделей материальных континуумов мы рассмотрим более
подробно этот вопрос ниже.
Мы ограничимся этими общими замечаниями о понятии силы,
более подробно этот вопрос освещен в нашей книге «Методы подо-
бия и размерности в механике» J).
При изучении материальных континуумов возникает необходимость
пользоваться силами, сосредоточенными в точке, распределенными
по поверхности и распределенными по объему тела.
Рассмотрим материальный континуум, заполняющий некоторый
объем V в пространстве. Возможны особые случаи, когда в некото-
рых изолированных точках объема V к материальным точкам среды,
проходящим через эти изолированные точки, приложены внешние
концентрированные конечные силы.
Если плотность в среде везде конечна, то в точках действия кон-
центрированных сил ускорение должно быть бесконечным. В идеали-
зированных теоретических схемах движения такие случаи могут встре-
титься как внутри действительного объема, занятого движущейся
средой, так и при математическом аналитическом продолжении рас-
сматриваемого движения на части пространства (вне границ среды),
не содержащей действительной материальной среды, однако из мате-
матических соображений ясно, что в этих областях можно ввести
мысленно вспомогательную материальную среду и соответствующие
вспомогательные силы.
Для объяснения и описания движения такой фиктивной материаль-
ной среды может оказаться необходимым ввести в рассмотрение ко-
нечные концентрированные силы, бесконечные ускорения и т. п.
’) См. [32], глава I, § 5, стр. 19—25.
§ 4]
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
14В
Аналогичным путем в некоторых идеальных теоретических схемах
можно ввести и рассматривать внешние концентрированные силы,
распределенные вдоль линий или вдоль поверхностей.
Физически естественными и основными типами действующих сил
для непрерывного континуума, моделирующего реальные тела, являются
силы массовые (объемные) и силы поверхностные.	.
Массовые силы конечны для конечных масс тела и при стягивании
объема тела — частицы к нулю эти силы также стремятся к нулю.
Пусть dz— бесконечно малый элемент объема, занятого движу-
щимся континуумом. Массовая сила, действующая на массы внутри
объема dz, по определению представляется в виде
d^ = Fpdz,
где вектор F конечен, а его величина имеет размерность ускорения.
Силы ньютонианского притяжения и, в частности, обычная сила
тяжести, электромагнитные силы, силы инерции при рассмотрении
относительных движений — основные примеры массовых сил. Дей-
ствующие силы, вычисленные по заданным движениям, или силы,
вводимые в теории для математических продолжений реальных дви-
жений, также могут быть массовыми силами.
При рассмотрении движений конечных объемов материальных
сред можно вводить в рассмотрение главный вектор и главный момент
относительно некоторой точки (например, начала координат) массовых
сил, действующих на материальные частицы в этом объеме. Для этих
величин можно пользоваться следующими формулами:
= У Fpdz,
v
ЭЛ = f [г, F] Р dx.
V
(4.5)
Как правило, для моделей материальных сплошных сред главным
видом сил взаимодействия являются поверхностные силы.
Поверхностные силы могут быть- внешними, действующими на
границе жидкости, или внутренними, которые необходимо вводить
вдоль любой поверхности разделения тела, которую можно вводить
мысленно всевозможными способами вблизи любой внутренней точки
среды !).
Пусть NN'— некоторое сечение, проведенное мысленно и
разделяющее тело на две части (рис. 7). В любом состоянии дви-
жения и равновесия можно рассматривать раздельно каждую часть.
!) В некоторых случаях можно рассматривать также внешние поверх-
ностные силы, приложенные вдоль некоторых изолированных поверхностей
внутри сплошной среды (несущие поверхности, диск, винт и т. п.). Такие
поверхности можно считать двусторонними и включать их в границы, причем
это можно сделать и в том случае, когда имеется поток массы среды сквозь
эту поверхность.
144	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Взаимодействие разделенных частей может осуществляться с помощью
массовых сил, распределенных по их объемам и посредством сил,
распределенных по сечению AWZ.
Пусть da — некоторый бесконечно малый элемент, разделяющий
поверхности, рассматриваемый как элемент границы левой части, и
пусть п — единичный вектор внешней нормали к элементу da. Силу,
действующую со стороны правой
части на левую, обозначим dPn и
введем конечный вектор рп со-
гласно равенству
dPn=Pnd'-
Распределенные силы рп, рас-
считанные на единицу поверхно-
сти, называются внутренними си-
лами напряжения. В каждой внут-
ренней точке величина и напра-
вление силы напряжения рп зави-
сят от направления нормали п
к рассматриваемой бесконечно малой площадке, вдоль которой
рассматривается взаимодействие среды, разделенной этой площадкой
на две различные части.
Вектор рп можно разложить на нормальную и касательную со-
ставляющие к площадке, на которой определена сила напряжения рп\
Рп = РппП + Рп^-
Рпп — проекция напряжения на нормаль, а рпх — проекция на пло-
скость площадки. В общем случае для произвольной площадки при
равновесии и при движении материальной среды рпп =# 0 и рпх =£ О
и зависят от ориентации площадки.
Поверхностные силы напряжений, действующих на границе 2
выделенного объема среды, необходимо рассматривать как внешние
силы.
Очевидно, что главный вектор и главный момент внешних поверх-
ностных сил представятся интегралами
р= f Pnda и Л! = J [г, рп] da.	(4.6)
Е	Е
Поверхностные силы внутреннего взаимодействия обладают неко-
торыми универсальными свойствами, верными для любых тел и для
произвольных механических и других процессов, происходящих в теле.
Кроме этого, силы напряжения обладают еще некоторыми общими
свойствами, определенными частным видом материальной среды
(в теории — свойствами, соответствующими частной модели конти-
§ 4]	ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	145
нуума), причем эти свойства выражают собой конкретные, физические
закономерности разнообразных процессов и движений.
Основное различие между различными моделями материальных
континуумов заключается в различии свойств и законов зависимости
внутренних напряжений от характеристик деформации и движения
среды. В дальнейшем этот вопрос будет подвергнут более подроб-
ному изучению.
Обратимся теперь к выяснению универсальных свойств напряжений.
Эти свойства вытекают из равенств (4.2), (4.3) и (4.4), заключающих
в себе определение массы и силы для материальных точек и заклю-
чающих в себе как следствие общие уравнения динамики системы
материальных точек, распространяемые на любые материальные кон-
тинуумы. Такое обобщение вытекает как следствие из того, что любое
материальное тело можно рассматривать в известных условиях как
материальную точку.
Эти общие динамические уравнения об изменении количества дви-
жения и момента количества движения для любых материальных сред
и для произвольных движений имеют следующий вид:
f apdx —	J t)pdx = J Fpdx + f pnda,	(4.7)
V	V '	v	в
f [r. a] p dx = A- f [r, v] p dx = f [r, F] p dx -\-f [r, p„] da, (4.8)
V	v	V	s
где v — вектор скорости, a a — вектор ускорения частиц, г — радиус-
вектор, проведенный из неподвижной точки (или из точки, движу-
щейся равномерно и прямолинейно).
Объем V—произвольный субстанционный и вообще подвижный
объем, состоящий из одних и тех же частиц среды.
Уравнения (4.7) и (4.8), выражающие собой теорему об изменении
количества движения механической системы и теорему об изменении
момента количества движения системы !), верны для любых движений,
в том числе и для разрывных движений, когда распределения характе-
ристик движения и состояния могут изменяться скачком в объеме V
и в зависимости от времени t (ударные процессы).
В области непрерывных гладких движений интегральные соотно-
шения (4.7) и (4.8) эквивалентны дифференциальным уравнениям,
которые мы установим в этом параграфе ниже.
Выполнимость уравнений (4.7) и (4.8) накладывает ограничения
на возможный вид зависимости напряжений рп от ориентации соот-
ветствующей площадки. Эти ограничения следующие:
’) Уравнение моментов (4.8) написано при обычных допущениях отно-
сительно внутренних моментов количеств движения и моментов внеш-
них сил.
10 Л. И. Седов
146	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
1. Вблизи точек среды, для которых ускорение конечно, для
любых направлений нормали п верно равенство
Рп = -Р-п-	(4-9)
В самом деле, возьмем малый односвязный объем V и разобьем
его мысленно плоским сечением 2 на два объема и У2 (рис. 8).
Границу объема V\ обозначим через ^+2, а границу объема V2
через S24-S. Единичный вектор внешней нормали к объему на £
обозначим через п, тогда единичный вектор внешней нормали к V2
на 2 равен —п. Уравнения (4.7) для объемов У2 и У2 дают
J padx — J* pFd-c -|- J p„dc-]- f p„da,
v,	v2	s,	s
j padz = j pFdx + J p„da-j- J p_nda,
v2	s2	a
J* ^adz—	j*pnda.
Vi + V2	V"1 + V2	Si + S2
После сложения первых двух равенств и вычитания третьего получим
J (р„+р_я)^ = о-
Б
Отсюда, ввиду того что площадка 2 произвольна по ориентации
и бесконечно мала, следует равенство (4.9).
Отметим, что предположение о конечности ускорений существенно.
Если внутри объема V имеется поверхность сильного разрыва ско-
рости, сквозь которую проис-
ходит протекание точек мате-
риальной среды, то в этом
случае равенство (4.9) не. вы-
полняется.
Свойство (4.9), полученное
как следствие (4.7), можно рас-
сматривать как выражение за-
кона равенства действия и про-
тиводействия при непрерывных
движениях для внутренних по-
законов движения отдельных
верхностных сил. При переходе от
материальных точек к закону количеств движения для системы в целом
необходимо пользоваться законом равенства действия и противодей-
ствия. Выше мы показали, что из закона количеств движения для
любых конечных масс, в случае непрерывных движений, для вну-
тренних напряжений закон о равенстве действия и противодействия
получается как следствие.
§ 4]
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
147
2. Изучим теперь напряжения на различных площадках вблизи
точки М в предположении, что движение материальной среды вблизи
точки М происходит с конечными ускорениями и что внешние мас-
совые силы конечны.
Пусть Охгх2х3— прямоугольная декартова система координат.
Рассмотрим объем V в виде бесконечно малого тетраэдра (рис. 9)
с гранями МВС, МАВ и МАС, перпендикулярными осям координат,
и с гранью АВС, определяемой произвольно направленным единич-
ным вектором внешней к тетраэдру нор-
мали:
П = COS (nAT^Sj+cOS (nx2) 324~cos(nx3) Э3,
где Эх, Э2, Э3— единичные векторы, на-
правленные вдоль осей координат.
Напряжения на площадках с норма-
лями Э1=Э1, Э2 — Э2, Э3 = Э3 и п обо-
значим соответственно через р1, р2, р3 и рп.
Покажем, что всегда верно равенство
рп~рх cos (пЭ^-р2 cos (иЭ2)4-р3 cos (пЭ3).
(4.Ю)
В самом деле, применение уравнения (4.7) к массам объема, за-
ключенным в рассматриваемый момент времени внутри бесконечно
малого тетраэдра МАВС, дает
(ра — pF) • ±-Sh =
о
= [—P'S cos (пЭх) —p2S cos (пЭ2) — p3S cos (лЭ3) + prt • S] 4- 5 • О (h),
где S — площадь грани ABC, a h — бесконечно малая высота тетра-
эдра; через 0(h) обозначена величина, стремящаяся к нулю при Л->0.
Переходя к пределу при Л->0, получим равенство (4.10). Соот-
ношение (4.10) показывает, что напряжение на любой площадке рп
выражается линейно через напряжения р1, р2, р3 на фиксированных
площадках, параллельных осям координат. Положим
Р1 = РпЭх + р21Э2 + р31Э3,
р2 = р12Э1 р22Э2 p3233(
Р3 = р1з31 р2зэ2 _|_ рзз5з.
Напряжение на любой площадке, определенной единичным векто-
ром п, можно рассматривать как линейную векторную функцию от
вектора п, определяемую матрицей
/	ИрЧ1-
10*
148	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. НТ
Очевидно, что систему компонент этой матрицы можно рассма-
тривать, как компоненты тензора Р, определенного равенством
Р=р^Эх -\-р2Э2+р3Э3=р^ЭаЭ?.	(4.11)
Тензор Р называется тензором напряжений. С помощью тензора
напряжений Р соотношение (4.10) можно представить в следующей
инвариантной форме:
Ря = Р-п.	(4.12)
При переходе к любой криволинейной системе координат спра-
ведливость равенства (4.12) сохраняется.
В общем случае компоненты тензора Р и компоненты вектора рп
преобразуются по общим формулам, установленным в § 2 главы L
Компоненты тензора Р можно рассматривать в любых системах
координат и, в частности, в подвижных координатах, в лагранжевых
подвижных или лагранжевых неподвижных координатах (см. § 3
главы II).
Тензор Р в декартовых координатах определен однозначным
способом.
В криволинейных координатах жонглирование индексов осуще-
ствляется с помощью фундаментального тензора G, образованного
коэффициентами в квадратичной форме для квадрата элемента дуги.
В лагранжевых координатах J1, £2, <3 для жонглирования индек-
сами можно пользоваться различными фундаментальными квадратич-
ными формами
ds2 = gik d^k или ds2 = gik d¥ d^k,
в соответствии с этим, так же как и в случае тензоров конечной
деформации, можно рассматривать различные тензоры напряжения
о	о о
р=р&элэ9
и
Р=ра?элэ3 = рг?эаэ9 = p^Cm&3w.
Компоненты тензора С1.) определены преобразованием 3t = Ca'i3a>
связанным с конечной деформацией (см. гл. II, § 3).
В криволинейных координатах контравариантные компоненты тен-
зоров Р и Р одинаковы, а компоненты со смешанными индексами
различны. Рассматриваемое различие проявляется существенным обра-
зом при дифференцировании тензоров РиР по времени (см. гл. I, § 10).
Для данной криволинейной системы координат рассмотрим
площадку, определяемую векторами базиса Э/+1 и Э/+2 (индексы
§ 4]
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
149^
определены по модулю 3), положительное направление определим
как направление контравариантного вектора базиса
Э1 * 3 * * * -
Vg ’
единичный вектор этого направления определится формулой
I7 g“
Согласно формулам (4.11) и (4.12) вектор напряжения на этой,
площадке представится в виде
п*1 ___ Р '&<х _
р	W
отсюда
(4.13}
(4.14)
причем в формуле (4.13) по индексу I нет суммирования, в фор-
муле (4.14) нет суммирования по индексам I и а. Непосредственно
ясно, что glt > 0 и £*аа > 0, здесь и в дальнейшем всегда корни Vgu
И Ygaa ВЗЯТЫ СО ЗНЗКОМ ПЛЮС.
Очевидно, что для любых систем координат вектор р*1 напряже-
ния на координатной площадке Э/+1, Э1+2 не равен вектору
р1 = гЧ-
Согласно формуле (4.13) вектор р*1 разлагается на сумму из
трех векторов, параллельных координатным линиям; так как
Э
— единичные векторы, то очевидно, что величины X*1, опре-
г Saa
деляемые формулами (4.14), равны численным значениям составляю-
щих с нужным знаком вдоль координатных линий для вектора р^.
Величины pal являются компонентами тензора напряжения Р,
а величины А не являются компонентами какого-либо тензора.
В соответствии с указанным выше простым механическим смыслом
величины Xal называются физическими составляющими вектора на-
пряжения. Очевидно, что в прямоугольных декартовых координа-
тах р = X .
3. Если внутри объема V компоненты тензора pik — гладкие
функции, то на основании (4.10) в декартовой ортогональной системе
координат с помощью формулы Гаусса — Остроградского можно
написать
1 др^_
1 дх3
3	V
(4.15>
150
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
ИЛИ
Е	V
(4.16)
Так как величина представляет собой вектор, записанный
ъ инвариантной форме, то очевидно, что формула (4.16) верна
£ любой системе координат.
На основании преобразования (4.16) из (4.7) ввиду произволь-
ности объема V получим основное динамическое дифференциальное
уравнение механики сплошных сред в векторной форме в виде
/pa = pFH-V₽p₽.	(4.17)
На основании преобразования (3.14) уравнению (4.17) можно
придать форму
pfl = pf+ 1 , (4Л8)
у g drf
где т]1, т]2, тр— координаты точек пространства в некоторой
вольной криволинейной системе координат, a g равняется
минанту | gik | = | (3Z, Эй)|, определенному для базиса 3i
нятой системы координат.
Векторное уравнение (4.17) эквивалентно трем скалярным
нениям, которые в контравариантных компонентах имеют вид
произ-
детер-
дг
—- пои-
урав-
+	+	+	(4.19)
07]Р
*и соответственно уравнение (4.18) эквивалентно скалярным урав-
нениям
ра> = р/^ + -L Г -Р}? - 4-	 /’id ,	(4.20)
V g L	J
где Vjk — символы Кристоффеля. определенные в системе коорди-
нат т]1, a aJ и F7— контравариантные компоненты ускорения и мас-
совых сил. Уравнения (4.20) следуют также непосредственно из уравне-
ний (4.19). Контравариантные компоненты тензора напряжений p%i
•связаны с физическими компонентами вектора напряжений Xal фор-
мулами (4.14).
Легко также написать динамические уравнения в лагранжевой
системе координат Н1, £2, с3 с базисом ЭР взятым в пространстве
начальных состояний.
Полагая = получим уравнения (4.17) или (4.18) в дефор-
мированной лагранжевой системе координат с базисом 3Z.
§ 41
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
151
Переход от базиса к определяется формулами
где согласно § 3 главы II
С а-	। Г7 «	I dwa . Х-Аа
.z = 8.z-f-Vzw =8./+ —+
причем контравариантные компоненты wa вектора перемещения опре-
делены формулой
г — r0 = w = wa3a.
Для векторов Уg • р$ с учетом (4.12) и (4.13) непосредственно
очевидна следующая цепь равенств:
Vi • р* = VgP э9 = р [э3+1, э₽+2| = sf  V -	=
=	Х'^Эш,	(4.21>
' Sjj	у gjj (1 + Ij)
где n?— единичный вектор направления, a — величина векторного*
|Эу| —|Эу|
произведения [Эв+1, Э0+2Ь 6 =------;-------коэффициент удлинения.
|ЭУ|
вдоль у-й координатной оси. В формуле (4.21) суммирование произ-
водится только по индексам J и ш. Индекс р фиксированный.
Искомые уравнения при = rf получатся после подстановки У g-p^
из (4.21) в уравнение (4.18), после чего непосредственно легко выпи-
сать скалярные уравнения. Эти уравнения получаются в любой криво-
линейной системе координат. Если базис Эу декартов, то получение
соответствующей системы уравнений упрощается тем, что векторы,
базиса Эу постоянны по координатам £*.
В сопутствующих лагранжевых координатах уравнение (4.18),
с учетом уравнения неразрывности (3.5) можно записать еще в сле-
дующей форме:
Ро У № = Ро У ----------•
В этом уравнении множитель р0 У g0 можно сократить, когда
произведение poVgo не зависит от координат Если в начальном
состоянии плотность р0 постоянна, а исходная лагранжева система
координат декартова, то можно принять, что р0 У g0 = const. Оче-
видно, что при фиксировании сопутствующей лагранжевой системы
координат в начальном состоянии исключается свобода выбора этой,
системы координат в деформированном состоянии.
152
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
4. Из уравнений моментов (4.8) с использованием (4.17) получим
pl} = pil.	(4.22)
Следовательно, уравнение моментов (4.8) приводит к фундаменталь-
ному свойству тензора напряжений, заключающемуся в том, что
ензор напряжений является симметричным тензором.
Заметим, что матрица физических компонент тензора напряже-
ний ||Xat||, определенная согласно равенству (4.14), не является
в общем случае симметричной.
Если система координат, отвечающая базису 3Z, ортогональная,
то gu = -^r , поэтому в этом случае из (4.14) следует, что верно
свойство симметрии
-а/ ____
5. Тензор внутренних напряжений меняется при переходе от одной
точки среды к соседней. Непостоянство тензора Р обусловливает
наличие ускоряющих сил, действующих на частицы среды. Для бес-
конечно малой частицы с объемом dx и массой dm = р эта сила
представится выражением
dr = (Эа dz = 1 Эа dm. (4.23)
В общем случае согласно уравнению (4.17) эта сила уравно-
вешивается массовыми силами и силами инерции.
Установленные в этом параграфе динамические уравнения имеют
весьма общий характер, они выполняются для произвольных движе-
ний любых материальных сред. Эти уравнения содержат шесть ком-
понент тензора напряжений: р11, р22, р33, р12, р13, р23. При теоре-
тическом решении задач шесть компонент тензора внутреннего на-
пряжения необходимо определять как функции координат и времени.
Три общих скалярных уравнения, эквивалентных векторному (4.17),
вместе с одним скалярным уравнением неразрывности (3.8) образуют
вообще незамкнутую систему уравнений. Для замыкания системы
уравнений необходимо добавить соотношения, выражающие собой
дополнительные физические законы.
§ 5. Теорема живых сил и работа внутренних
поверхностных сил
Для динамических уравнений, установленных в предыдущем пара-
графе, одним из наиболее важных следствий общего характера
является теорема живых сил.
Пусть V — объем, движущийся вместе с частицами материальной
среды, 2 — поверхность, ограничивающая этот объем. Предположим,
§ 5] ТЕОРЕМА ЖИВЫХ СИЛ И РАБОТА ВНУТРЕННИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ СИЛ 153
что внутри объема V компоненты тензора напряжений Р = plk3t3k
и вектора скорости t) = vp" — непрерывные, дифференцируемые
функции по пространственным координатам и по времени.
Для простоты возьмем прямоугольную декартову систему коор-
динат. Умножая скалярно обе части первого из уравнений (4.17)
на \ydtdz = drdz, где dr — элементарное перемещение точек
объема V, получим
р dz • v dt = pFv dz dt 4-
+	p^-\dxdt.
1 L	d*2 dx3	&XX	fix2 г ^x3 j
Проинтегрируем это равенство по объему V. Учитывая, что
d v2P^
и совершая очевидное преобразование Гаусса — Остроградского,
с учетом (4.10) получим уравнение живых сил
dE = d<Ae-\-dJiM-\-dJ.i,	(5.1)
где
V
dot6 = J* pF*dr dz 4~ J* (Pn> v)dadt9 dc/Lu— J*pF' dr dz
v	s	v
и
d —— I Г nil I «22 dv2_ I 33	_J_
й(Л ~ J LP дх1 ^P дх2^Р dx3
V
+ p12(^ + ^\+p13(^ +
1 r \dxx 1 dx2 / 1 r \dx{ 1 dx3J 1 r \dx2 1 dx3/J
Величина E называется кинетической энергией масс среды
в объеме V. Величина dute равняется элементарной работе всех
внешних объемных (F*) и поверхностных сил. Величина dJLlM — эле-
ментарная работа внутренних объемных1) макроскопических сил
F:(F*4-/7X = ^). По определению величина dot1 называется элемен-
тарной работой внутренних поверхностных сил.
*) Для сил типа гравитационных dJllM = — dVl, где V1 — потенциальная1
энергия макроскопических внутренних сил.
154	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Очевидно, что для инвариантной величины dAL в любой системе
-координат верна формула
dAl = — J* dt dx,	(5.2)
v
где — компоненты тензора скоростей деформации, которые со-
гласно § 6 главы II определяются формулами
Работа внутренних сил для конечной деформации подвижного
субстанционального объема представится интегралом
t	t
Л = - f f p4ea?dt(k = -f f	(5.3)
to V	to m	P ’ )
где deap = ea? dt — приращение ковариантных компонент тензора ко-
нечной деформации для фиксированной частицы (£г = const), р — плот-
ность частицы. Согласно уравнению неразрывности принято во вни-
мание, что = р — плотность элемента объема dx с массой dm,
Р г
составленного из тех же материальных точек.
Для сжимаемых сред плотность р зависит от % и от времени t.
Работа А1 зависит от выделенного объема Уо и функциональ-
ным образом — от закона изменения во времени переменных компо-
нент напряжения и компонент тензора скоростей деформации.
Для бесконечно малой частицы выражение для dAl в (5.2) све-
дется к подынтегральному выражению
dAl —-----dtdm = — -i- paP dm. (5.4)
Элементарную работу внутренних поверхностных сил можно рас-
сматривать для всевозможных перемещений точек континуума Вг,
что равносильно всевозможным вариациям Bsap тензора деформации.
Для произвольных вариаций Веар работа внутренних сил пред*-
етавится формулой
Ъ<Л1 = — - ра? 8е а dm.	(5.5)
Выражение (5.5) не является в общем случае полным дифферен-
циалом какой-либо функции.
Если бесконечно малые перемещения среды происходят как пере-
мещения твердого тела, то 8sap = 0, и поэтому для бесконечно
малых перемещений без деформаций работа внутренних поверхно-
стных сил всегда равна нулю.
§ 6]	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ЦИКЛЫ	155
§ 6. Термодинамические системы и циклы,
уравнение закона сохранения энергии и понятие
о внутренней энергии системы
Для построения теоретической модели и для получения замкну*
той системы уравнений, описывающих связанные между собой дви-
жение и физико-химические процессы, необходимо опереться на общие
термодинамические и кинетические закономерности физики и химии.
Составление таких дополнительных соотношений связано с введе*
нием ряда понятий и характеристических величин, задаваемых с по*
мощью чисел. Типичными примерами являются понятие о темпера*
туре, об энтропии, о внутренней энергии, о физических постоянных,
определяющих физические и химические свойства, о концентрациях
различных составляющих в смесях и т. п. и т; д.
При построении теоретических моделей материальных сред можно
рассматривать каждую малую частицу среды как элементарную
физико-химическую систему, для которой движение и физико-хими-
ческое состояние характеризуется некоторым конечным числом велит
чин, задаваемых числами—определяющими параметрами.
Для некоторых классов рассматриваемых задач элементарные
свойства и параметры, характеризующие малые ъ части системы,
с практических и теоретических точек зрения вводятся либо нц
основании некоторых опытов, либо с помощью ряда гипотез.
В общем случае эти экспериментальные и теоретические приемы
тесным образом переплетаются между собой. Во многих случаях
соответствующая проблема применительно к некоторым сложным
процессам еще открыта и является предметом исследований — напри-
мер, модели вязко-пластических твердых тел, неравновесные явле-.
ния, сопровождаемые излучением в газах при высоких температур
рах, и многие другие проблемы.
При построении различных моделей механики сплошной среды
можно руководствоваться и пользоваться представлениями и резуль-
тативными данными статистической физики.
Характеристики и основные законы могут вводиться на основа-
нии статистических исследований с помощью рассмотрения больших
совокупностей взаимодействующих молекул, атомов, ионов, электро-
нов и других элементарных частиц.
Для определенных условий и процессов при некоторых дополнит
тельных простых допущениях в рамках классической или квантовой
теории о микроскопических взаимодействиях и свойствах больших
агрегатов частиц можно определить теоретическим путем макроскопии
ческие характеристики состояний, процессов и основные статисти*
ческие законы для макроскопических средних.
В макроскопических теориях элементарные физически малые,
-частицы среды рассматриваются как термодинамические системы,
156	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. III
для которых определены механические понятия о положении, о дви-
жении и физические понятия о внутреннем состоянии.
Таким образом, для физически бесконечно малой частицы вво-
дятся системы чисел, задающие свойства и характеризующие данное
состояние частицы. Вопросы, возникающие при разрешении различ-
рого рода теоретических или практических задач, необходимо фор-
мулировать как вопросы о численных значениях величин или о функ-
циональных связях между величинами, определенных в качестве
характеристики механических или вообще физико-химических со-
стояний.
Вопрос о системе определяющих характеристик зачастую труден !
и требует анализа механизма существенных в заданной задаче про-
цессов. Во многих случаях задача о выяснении внутреннего меха-
низма взаимодействий — это предмет современных исследований.
Кроме установления системы определяющих характеристик необ-
ходимо еще установить основные законы, регулирующие механи-
ческие и физико-химические взаимодействия и процессы.
С точки зрения практических приложений при установлении
определяющих характеристик целесообразно учитывать эффекты,
которые, вообще говоря, в равной степени существенны в приме-
няемой приближенной схеме.
Установление системы определяющих параметров связано с по-
становкой задачи, в этой операции всегда необходимо поль-
зоваться схематизацией, гипотезами и обработанными опытными
данными.
Систему определяющих параметров всегда легко указать, когда
имеется замкнутая система уравнений. Обратное заключение неверно,
так как исчерпывающих сведений о перечне величин, определяющих
состояние, еще далеко не достаточно для фактического составления
замкнутой системы уравнений движения.
Необходимо различать систему определяющих параметров в дан-
ной конкретной задаче и систему параметров, определяющих состоя-
ние среды. В первом случае — это система параметров, выде-
ляющая единичное явление на основании системы уравнений и
добавочных краевых и других условий, во втором — это харак-
теристики состояния, для которых необходимо составить урав-
нения, выполняющиеся для всевозможных процессов, каждый из
которых связан с дополнительными внешними условиями.
В формулировку внешних условий могут входить другие пара-
метры, которые не нужно включать в систему параметров, опреде-
ляющих состояние среды.
С другой стороны, в конкретных задачах не все параметры,
характеризующие состояние, включаются в перечень определяю-
щих. В этом случае в число определяющих надо включать только
те параметры, которые необходимо задавать при решении задачи
§ 6]	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ЦИКЛЫ	157
с учетом того, что система уравнений существует, хотя, может
быть, еще неизвестна. Нужно иметь в виду, что искомые результаты
можно получать опытным путем как в случае, когда замкнутая
система уравнений известна, так и в случаях, когда такая система
уравнений неизвестна.
Определение понятия макроскопического состояния и установление
соответствующих характеристик состояния можно производить,
вообще говоря, с помощью методов статистической физики.
Фиксирование системы параметров, определяющих физическое и
механическое состояния элемента среды, является важным и в логи-
ческом смысле первоначальным этапом в определении модели сплош-
ной среды. Практически полное определение системы определяющих
параметров может совпасть с заключительной стадией исследования
и определения модели.
Дальше мы рассмотрим общие вопросы о построении моделей
сплошных сред в предположении, что понятие о состоянии беско-
нечно малой частицы является локальным понятием, характеризующим
кинематические и внутренние физико-химические свойства и процессы
в данной частице. Это предположение не исключает наличия про-
-цессов, в которых имеет место интегральное взаимодействие данной
малой частицы с конечными массами в рассматриваемой системе.
Например, можно рассматривать конечную массу совершенного газа,
состоящую из подвижных нейтральных и заряженных частиц, при-
тягивающихся силами ньютонианского тяготения и взаимодействую-
щими электромагнитными силами согласно законам Кулона и Ло-
ренца. Суммарная внешняя сила тяготения и электромагнитная сила,
действующая на выделенную мысленно частицу, определяется распо-
ложением, распределением и движением масс в конечных объемах,
однако внутреннее состояние данной бесконечно малой частицы, даже
при отсутствии термодинамической равновесности, во многих слу-
чаях можно характеризовать величинами, определенными в локаль-
ном смысле.
Ниже мы будем развивать дальнейшее построение механики
сплошной среды, исходя из общей, сформулированной выше, кон-
цепции.
Таким образом, мы примем, что для любой модели бесконечно
малой частицы материальной среды существует конечная система
характеристик, задаваемых числами
Pl- Р2....Ни- kV k2.......km'	(6-1)
некоторые из этих величин являются механическими, например, про-
странственные координаты, скорость, плотность, характеристики
деформации и вращения частицы и т. п., другие являются фи-
зическими или химическими, например, температура, физические
158	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
параметры структуры, состава и характерные особенности вещества,
коэффициенты теплопроводности, вязкости и т. п.
Мы примем, что через jxz обозначены величины, которые могут
быть переменными, а через kj — величины, сохраняющие постоянное
значение—физические постоянные. Во многих случаях необходимо
вводить физические характеристики, сохраняющие постоянное зна-
чение в рассматриваемых классах задач.	.....* •	>
По определению для фиксированной малой частицы величины (6.1)
образуют базис, они могут быть заданы независимо и в известных
диапазонах произвольно. Таблица (6.1) определена также условием,
что все рассматриваемые характеристики состояний и движений
в различных задачах можно изучать как величины, зависимые от
базиса, что вытекает из их определения, или на основании фунда-
ментальных конечных, или дифференциальных законов, образующих
для бесконечно малых частиц замкнутую систему соотношений.
В конкретных задачах при разрешении дифференциальных законов
необходимо опираться на дополнительные краевые, начальные и дру-
гие условия. Эти условия в свою очередь могут зависеть от неко-
торых дополнительных параметров, которые не входят в систему (6.1).
В конкретных задачах системы определяющих параметров рассматри-
ваются для тел конечных или бесконечных объемов, по отношению
к которым ставится задача.
Может случиться так, что в предложенной постановке задача имеет
не единственное решение. Решения могут образовывать дискретную
последовательность или зависеть непрерывно от некоторых параметров.
Для системы в целом параметры, входящие в решение, необходимо
присоединить к системе определяющих параметров. Для выделения
нужного решения потребуются дополнительные данные о внешних
условиях, физические гипотезы или закономерности для системы
в целом или для малых частиц. В некоторых случаях такие допол-
нительные закономерности можно вывести из общих законов термо-
динамики, применимых как для малых частиц, так и для систем
в целом.
Для фиксированной модели совокупность значений (6.1) можно
брать различной, так как в качестве независимых величин можно
взять различные переменные и параметры.
Изменение параметров базиса в функции от времени |iz(0> обу-
словленное взаимодействием рассматриваемой частицы с другими
частицами и телами, определяет процесс, характеризуемый видом
функций |\(/).
В общем случае некоторые из рассматриваемых величин могут
зависеть от определяющих параметров jiz с помощью дифференциаль-
ных соотношений следующего вида:
Р'г» •••’ Р*/!’ ^1’ ^2» •••» ^т) dp*’ (6.2>
§6]	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ЦИКЛЫ	159
где х — определяемая величина, a — некоторые функции пара-
метров базиса (6.1).	*
Если дифференциальное соотношение (6.2) неинтегрируемо (не-
голономная зависимость), то конечное значение х зависит от jxz
функциональным способом, иначе говоря, значение х зависит от
процесса — пути, по которому достигаются заданные значения jiz при
их изменении от некоторых фиксированных начальных значений jxzo.
Очевидно, что величины, подобные х» зависящие функциональным
образом от истории процесса, можно вводить также для упругого
тела. Например, равенством:
d
/(<^1, <^2> <^з)
где dot1 — элементарная работа внутренних сил, а/(<*7Р <§Г2, <*73) —
некоторая функция инвариантов тензора напряжений. Как известно,
в теории упругости (в общей теории) нет нужды пользоваться такого
рода величинами.
Заметим, однако, что в различных практических вариационных
задачах теории упругости оперирование с функционалами—это обыч-
ное дело.
Независимость переменных параметров |iz по определению состоит
в том, что виртуальные изменения 8|iz для данной системы в данном
состоянии можно рассматривать в некоторой области как произволь-
ные бесконечно малые величины, в частности, как'линейно независи-
мые величины. Каждая возможная система значений 8jxz соответствует
некоторой системе внешних условий, которые в известном смысле
можно рассматривать как дополнительные связи.
В определение физической системы и определяющего базиса вхо-
дит выделение классов допустимых состояний и процессов. В кон-
кретных задачах не все допустимые состояния и процессы действи-
тельно осуществляются или могут осуществиться.
Рассматриваемая постановка вопроса об определяющем базисе
типична в физике для элементарных объектов. Очевидно, в некото-
рых случаях возможность фиксирования конечного определяющего
базиса может быть связанной с выбором числа переменных пара-
метров, сокращение этого числа может привести к необходимости
пользоваться функциональными зависимостями.
Например, в газовой динамике при исследовании процессов с раз-
личными законами притока тепла связь между плотностью и давле-
нием представляет собой функциональную зависимость.
Если ввести в качестве определяющей величины дополнительную
новую переменную — температуру, то связь между температурой,
давлением и плотностью для малой частицы получается универсаль-
ной, независимой от процесса.
160'	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III*
Характеристики состояния (6.1) могут отвечать случаям отсут-
ствия не только механического, но и термодинамического равновесия
и могут быть приложимыми для описания как обратимых, так и не-
обратимых процессов.
Изменение параметров базиса в функции от времени, обусловлен-
ное взаимодействием данной частицы с другими частицами и телами,
определяет последовательность положений и состояний. Под влия-
нием внешних воздействий частица с фиксированной массой может
претерпевать различные процессы. Процесс, в котором для некото-
рых двух моментов времени /0 и t все параметры определяющего
базиса и, следовательно, все характерные существенные величины
одинаковы, называется замкнутым циклом или просто циклом. Данная
частица может испытывать весьма разнообразные циклы.
Для всякого процесса можно рассматривать работу внешних макро-
скопических сил, приложенных к точкам объема и на границах
выделенной бесконечно малой частицы. Для бесконечно малого изме-
нения параметров системы (6.1) эта работа представится выражением
dute = б/pq —|— 0^2 “Н °^3 —Н •••	(6*3)
в котором некоторые из коэффициентов зависящих от опреде-
ляющих параметров, могут равняться всегда нулю. Величины можно
назвать обобщенными силами.
Величину djle можно рассматривать как механическую энергию,
передаваемую данной частице другими телами.
В общем случае дифференциальное выражение для dAe не яв-
ляется полным дифференциалом. Полная работа внешних сил на ко-
нечном пути получается интегрированием элементарных работ (6.3)
и зависит существенно от вида процесса и, в частности, работа
внешних сил для замкнутого цикла может быть отличной от нуля.
Кроме работы dJLe рассматриваемая частица dm может получать
энергию в других формах, в частности, тепловую энергию. Общий
добавочный приток энергии, который получается не за счет работы
внешних макроскопических сил, обозначим через dQ *. В общем случае
dQ* #= dQ, где dQ — приток тепловой энергии1).
Величину притока энергии JQ*, так же как и работу внешних
сил, можно выразить через приращения определяющих параметров
формулой вида
dQ* = Q2 d^2	••	(^-4)
Дифференциальное выражение (6.4) в общем случае не является
полным дифференциалом некоторой функции.
!) В частности, разность dQ * — dQ может отличаться от нуля, когда
учитывается приток электромагнитной энергии или диффузия.
§ 6]	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ЦИКЛЫ	161
Формулы (6.3) и (6.4) дают выражения для внешних воздействий
на частицу dJLe и dQ* через параметры jxz, определяющие состояние
частицы, и через их приращения dp.z, отвечающие некоторому эле-
ментарному процессу. В общем случае для составления формул (6.3)
и (6.4) необходимо знать состояние и элементарный процесс, испыты-
ваемый рассматриваемой частицей.
Если модель среды известна и, следовательно, известен перечень
могущих изменяться определяющих параметров то для известного
состояния — заданных jiz и известного элементарного процесса, за-
даваемого системой приращений dpit—представимость величин dot*
и dQ* формулами вида (6.3) и (6.4) необходимо рассматривать как
следствие введенных выше в локальном смысле понятий состояния
и процесса.
Для решения задач об определении состояния частицы и соот-
ветствующих процессов величины du£e и dQ* необходимо задавать
с помощью некоторых математических соотношений через величины,
определяющие взаимодействие между данной частицей и внешними
телами. Такими величинами могут служить не только параметры
определяющие состояние данной частицы, но и другие параметры,
определяющие состояния внешних тел, или распределения некоторых
характерных величин по массам или объемам взаимодействующих частиц.
Интеграл J* dQ* зависит от пути интегрирования и для замкнутого
^01
цикла вообще отличен от нуля. Коэффициенты и Qz в форму-
лах (6.3) и (6.4) для малой частицы можно считать малыми и про-
порциональными массе частицы dzn = pdx.
Полный приток энергии U* dm к частице при конечном измене-
нии состояния частицы представится линейным интегралом
U*dm = f (d^e+dQ*) = f {(<^i+Qi)^i+ •••
... ~{-(^n-hQn)d[in}, (6.5)
Согласно закону сохранения энергии полный приток энергии
к частице для любого замкнутого цикла (как обратимого, так и не-
обратимого) равен нулю. Отсюда следует, что величина U* зависит
только от |xz и kj и не зависит от пути интегрирования для интеграла
в формуле (6.5). Функция параметров состояния U* вполне опреде-
ляется интегралом (6.5). Ввиду произвольности исходного состоя-
ния p.oz функция U* определена на основании закона сохранения
энергии только с точностью до аддитивной постоянной. Эту адди-
тивную постоянную можно определить с помощью добавочных физи-
ческих гипотез.
11 Л. И. Седов
162	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
Функция	Р4г» •••» Р'л* ^1*	•••» ^т) называется полной
энергией частицы, рассчитанной на единицу массы. Путем интегриро-
вания (6.5) по массе (по объему) и выделения притока энергии извне
можно определить полную энергию любой конечной части рассматри-
ваемого тела.
Полную энергию малой частицы можно представить в виде суммы
U*dm = ^+Udm,	(6.6)
в которой первый член называется кинетической энергией или живой
силой, а второй член — внутренней энергией. Кинетическая энергия,
отнесенная к единице массы, для малой частицы для любых про-
цессов равна просто половине квадрата ее скорости, которую, во-
обще говоря, необходимо рассматривать как один из определяющих
параметров Внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы,
для малой частицы представится в виде некоторой функции от
определяющих параметров
£7(Pq, |12’ Р'л’ ^1» ^2’ •••’	(6.7)
Далее будем предполагать, что для рассматриваемых конечных
термодинамических систем можно ввести в рассмотрение ее внутрен-
нюю энергию, представляемую в виде суммы
+	(6.8)
где dVl = — (LuIm, причем для малой массы dm примем, что
V1
Um = Udm, так как -=— бесконечно малая величина.
т	dm
При построении теоретических моделей для заданной среды вид
функции (6.7), одинаковый для всех процессов в рассматриваемых ♦
проблемах, можно найти с помощью опытов или с помощью до-
полнительных гипотез. В некоторых случаях при построении иде-
альных сред вид функции (6.7) может входить в определение соот-
ветствующей модели материальной среды.
Понятие о внутренней энергии, так же как и закон сохранения
энергии, применимы как для обратимых, так и для необратимых
процессов. Для заданной модели материальной среды нри описании
необратимых процессов число переменных определяющих параметров
может быть большим, чем в случае обратимых процессов.
С расширением классов явлений, играющих существенную роль
в изучаемых вопросах, понятие о термодинамической системе и со-
ответственно о внутренней энергии необходимо углублять и вводить
дополнительно определяющие параметры. Например, так обстоит
дело при переходе от изучения движения инертных газов к изуче-
нию газовых потоков, сопровождающихся химическими процессами,
диссоциацией, ионизацией или ядерными реакциями. Выделение или
поглощение энергии при химических или ядерных реакциях можно
§ 6]	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ЦИКЛЫ	163
рассматривать как изменение внутренней энергии, определяемой со-
ответствующим составом вещества.
В некоторых случаях внутреннюю энергию можно рассматривать
как кинетическую и потенциальную энергию, обусловленную хаоти-
ческим тепловым движением и взаимодействием малых частиц, из
которых состоят тела, для которых в рамках механики сплошных
сред строятся соответствующие модели континуумов.
Основное уравнение закона сохранения энергии — первого закона
термодинамики можно написать в виде
dE +dUm+dVl = d<Ae + dQ*;	(6.9)
слева написана сумма приращений кинетической и внутренней энер-
гии, рассматриваемой массы термодинамической системы. Основное
уравнение (6.9) при соответствующем определении его членов при-
менимо как к малой частице, так и к конечным объемам. При ин-
тегрировании (6.9) вдоль пути процесса получается соотношение
для конечных изменений. Уравнение энергии (6.9) не содержит ра-
боты внутренних сил и сформулировано с учетом изменения dE
кинетической энергии макроскопического движения.
Из уравнения живых сил (5.1) на основании (6.8) и из уравне-
ния (6.9) следует уравнение притока тепла
dQ*=dUm+d<jti.	(6.10)
Для бесконечно малой частицы согласно (5.4) получится урав-
нение
dQ* = d U т — у p* dsafS dm,
где	dUm = d(U • dm),
которое удобно для рассмотрения внутренних термодинамических
процессов, так как это уравнение не содержит энергии макроско-
пического движения и работы внешних сил.
Уравнение (6.10) называется уравнением притока тепла. В урав-
нение притока тепла входит работа поверхностных напряжений и внеш-
ний приток энергии dQ* (приток энергии, добавочный к работе внешних
сил), который необходимо задавать дополнительно.
При наличии динамических уравнений уравнение притока
тепла (6.10), равносильное уравнению закона сохранения энер-
гии (6.9), можно рассматривать как основное универсальное термо-
динамическое скалярное уравнение, дополнительное к уравнениям
механики, установленным выше.
Если djtlM = ^ и нет изменений кинетической энергии, в част-
ности, при равновесии покоящейся среды, из уравнения (5.1) следует,
11*
164	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
что dAl = — d<Ae, поэтому в этом случае в уравнении притока
тепла (6.10) вместо d<Al можно поставить со знаком минус
работу внешних сил — dute. Однако в общем случае необхо-
димо иметь в виду, что в уравнение (6.10) входит работа внутрен-
них поверхностных сил, а не работа внешних сил.
§ 7. Основные понятия и следствия, связанные со вторым
законом термодинамики
Основным термодинамическим понятием, характеризующим состоя-
ние физических тел, является понятие о температуре. Первоначаль-
ное представление о температуре тела непосредственно связано
с ощущениями в нашей повседневной жизни. Температура — это
основная характеристика, определяющая передачу тепловой энергии
между телами. Опыт показывает, что тепловая энергия переходит
от гел с более высокой температурой к телам с меньшей темпера-
турой. Основным условием теплового равновесия тел, в котором
не происходит теплопередачи от одних частей тела к другим,
является условие равенства их температуры. Температура может
быть охарактеризована с помощью чисел и измерена с помощью
термометров — приборов, в которых отмечаются некоторые физи-
ческие эффекты, определяемые температурой.
Понятие о температуре универсально и является основной физи-
ческой характеристикой для всех тел, составленных из элементар-
ных частиц электронов, атомов, молекул и т. п., движущихся
и взаимодействующих между собой. Температуру можно рассмат-
ривать как среднюю статистическую энергию, приходящуюся на одну
степень свободы в хаотическом тепловом движении данной сово-
купности частиц. Процесс выравнивания температуры обусловлен •
статистическим законом при равновесии о равномерном в среднем
распределении энергии по степеням свободы в частицах, составляю-
щих тела. Различие энергии в среднем для разных частиц или
в данной частице для разных степеней свободы в результате взаи-
модействия частиц влечет за собой передачу энергии микроскопи-
ческого теплового движения, направленную на выравнивание средних
энергий.
Для резко выраженных неравновесных процессов понятие о тем-
пературе может терять свой смысл, когда для физически малой ча-
стицы отсутствует статистическое выравнивание энергии между раз-
личными степенями свободы. Например, в некоторых случаях при
весьма резком изменении состояния частицы можно говорить о не-
скольких температурах, например о температуре вибрационных
движений молекул и о температуре поступательных степеней сво-
боды молекул. При наличии термодинамического равновесия в ма-
лых объемах тела температура определена однозначно.
§ 7] ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ СО ВТОРЫМ ЗАКОНОМ ТЕРМОДИНАМИКИ 165
Опыт показывает, что во многих практических вопросах часто
можно предполагать, что термодинамическое равновесие в малых
объемах системы имеет место. В приложениях неравновесность
и необратимость часто имеют место только за счет отсутствия рав-
новесия в больших объемах тел при неравномерном распределении
по частицам температур и других термодинамических характеристик,
таких, как концентрации химических компонент смеси и т. п.
Для многих неравновесных процессов существен так называемый
принцип Онзагера, который заключается в следующем: всё микрог
скопические взаимодействия между элементарными частицами обра-
тимы, необратимость проявляется только за счет статистических за-
конов выравнивания средних макроскопических характеристик для
больших совокупностей элементарных частиц.
С помощью второго закона термодинамики вводится понятие
абсолютной температуры и энтропии как макроскопических характе-
ристик.
Второй закон термодинамики можно сформулировать следующим
образом: невозможно построить перпетуум мобиле второго рода,
т. е. машину, которая, в согласии с первым законом, превращала бы
тепловую энергию, взятую от источника с наименьшей температурой,
в механическую энергию.
Этого опытного предложения достаточно для того, чтобы дока-
зать [19]. что для любой термодинамической системы существует
функция состояния энтропия, которая во многих случаях обладает
свойством аддитивности1):
Sz„ = j* S (|lp |12’ • * • * P'/z’ ^1» ^2» • • • ’
m
Для малой частицы в случае обратимых процессов энтропия опре-
деляется с точностью до аддитивной постоянной из равенства
dSdm = dSn = ^-,	(7.1)
где Т — абсолютная температура, a dQ — внешний приток тепла2)
к частице.
Равенство (7.1) определяет одновременно абсолютную темпера-
туру Т и энтропию S.
Существование энтропии, выраженное равенством (7.1), равно-
сильно условию о том, что для данной частицы и всякого обратимого
!) Дальше принято, что энтропию конечного тела можно получить как
сумму энтропий всех малых частей тела.
2) При формулировке первого закона в величину t/Q* можно было вклю-
чить общий внешний приток энергии без работы внешних сил. В уравнении
второго закона величина dQ равна внешнему притоку тепловой энергии
В дальнейшем рассмотрены только такие явления, в которых rfQ* = dQ.
166	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
замкнутого цикла верно равенство
£2 =	+ @2 4^2 + • • • + Q/г j Q (7 2)
..	dQ
и следовательно, дифференциальное выражение -у- является полным
дифференциалом, а величина Т-1 служит интегрирующим множите-
лем, который согласно второму закону (7.2) для дифференциального
выражения dQ всегда существует и, что еще весьма существенно,
одинаков для любых двух термодинамических систем, находящихся
в равновесии и взаимодействующих между собой путем соприкосно-
вения. Последнее условие важно для однозначного определения ин-
тегрирующего множителя.
Так же, как и температуру, энтропию можно ввести статисти-
ческим путем. Энтропия вводится как вероятность соответствующего
макроскопического состояния.
В статистической физике для энтропии устанавливается следую-
щая формула, принадлежащая Больцману:
S = fcln<^,	(7.3)
где k — постоянная Больцмана, а — мера вероятности рассматри-
ваемого состояния, определяемая как число возможных микроскопи-
ческих состояний, отвечающих данному макроскопическому состоя-
нию.
Так как. практически осуществимые состояния соответствуют
наибольшей вероятности, то из (7.3) следует, что при стремлении
изолированной системы к равновесию энтропия возрастает. Очевидно
также, что для теплоизолированной системы при переходе от нерав-
новесных состояний к равновесным энтропия растет.
Равенство (7.1) определено и верно только для обратимых про-
цессов. В частности, из (7.1) следует, что для обратимых (и, сле-
довательно, термодинамически равновесных) адиабатических процессов,
определенных условием JQ = 0, т. е. при отсутствии притоков тепла,
энтропия в частице постоянна.
Если процесс необратимый, то из второго закона термодинамики
выводится, что вместо равенства (7.1) имеет место неравенство
dSm >	= d--m ,	(7.4)
и, в частности, при необратимых адиабатических процессах энтро-
пия возрастает.
В отличие от понятия температуры, как и внутреннюю энергию,
энтропию можно определить для термодинамических неравновесных
состояний. Это следует, например, из статистической формулы (7.3\
§ 7| ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ СО ВТОРЫМ ЗАКОНОМ ТЕРМОДИНАМИКИ 167
Рассмотрим необратимые процессы, в которых состояние данной
малой частицы характеризуется определенной абсолютной темпера-
турой Т.
В этом случае согласно второму закону термодинамики [9»19] для
элементарного процесса равенство (7.1) должно быть заменено равен-
СТВ0М	Т dSm = dQ-\-dQ', где dQ' > 0.	(7.5)
Положительная величина dQ' называется некомпенсированным
теплом. При обратимых процессах в данной частице dQ'= 0.
Условие dQ'= 0— необходимое условие для обратимости про-
цесса в частице. При наличии градиента температуры и взаимодей-
ствии соседних частиц условие dQ' = 0 недостаточно для обрати-
мости процессов.
Для описания необратимых процессов необходимо опереться на
данные для величины некомпенсированного тепла dQ'.
На основании уравнений (6.10) и (7.5), выражающих собой пер-
вый и второй законы термодинамики, можно написать
dQ' = 'YdSm — dUm — djl1.	(7.6)
Если модель сплошной среды известна, то энтропия Sm, внутрен-
няя энергия Uт и работа внутренних сил известны для данного’ со-
стояния частицы и данного элементарного процесса. В этом случае
уравнения (6.9) и (6.10) и (7.6) можно использовать для определения
величин dQ, dJLe и dQ' в функции определяющих параметров и их
приращений. Эти данные можно использовать также для определения
этих же величин в функции величин, характеризующих взаимодей-
ствие различных частиц среды и частиц данной среды с другими
телами.
t Соотношения (6.9), (6.10) и (7.6) представляют собой универсаль-
ные макроскопические соотношения, применимые к любым процессам
и для любых материальных сред.
Очевидно, что эти соотношения аналогичны универсальным дина-
мическим уравнениям (4.7) и (4.8).
Для моделей материальных сплошных сред уравнения (4.7) и
(4.8) можно рассматривать как следствия некоторых определений и
общих универсальных уравнений (6.9), (6.10) и (7.6). Это следует
из того, что для заданной модели при заданных d<jte и dQ уравне-
ние закона сохранения энергии, выражающее собой первый закон
термодинамики после использования второго закона, можно рассма-
тривать и применять для исследований и для получения замкнутых
систем уравнений таким же образом, как применяется принцип воз-
можных перемещений в механике.
В частности, таким путем можно получить из универсальных
Уравнений термодинамики и универсальные динамические уравнения
механики I35’88].
168	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Уравнение Ньютона (4.4) положено в основу операции взвеши-
вания (с использованием состояний равновесия и движения), заклю-
чающуюся в сравнении искомой силы с известными силами и в уста-
новлении таким путем на основании наблюдений и опытов законов
для сил взаимодействия.
Подобно этому первый и второй законы термодинамики необхо-
димо положить в основу, с одной стороны, разрешения проблемы
построения на основании опытов и гипотез внутренних свойств мо- *
дели сплошной среды путем установления свойств внутренней энер-
гии Uт и некомпенсированного тепла dQ' (энтропию удобно в этом
случае рассматривать как определяющий параметр, а температуру и
внутренние напряжения как определяемые величины), а с другой
стороны, когда Uт и dQ' заданы для определения свойств элемен-
тарной работы dot6 и внешнего притока тепла dQ в зависимости от
параметров, задающих состояния и условия взаимодействия различ-
ных элементов тел.
При указанных операциях очевидно, что в некоторых случаях
требуется еще использовать уравнения массовых балансов !).
Каждая из отмеченных выше задач связана с фундаментальными
проблемами о свойствах данной среды и о законах взаимодействия
элементов данной среды между собой и с внешними телами. Реше- 
ние этих задач применительно к определенным телам и определен-
ным физико-химическим явлениям всегда прямо или косвенно связано
с данными опытов и наблюдений и составляет задачу макроскопиче-
ской термодинамики.
В теории конкретных тел на основании некоторых простых схем
и допущений об устройстве тела, о свойствах и о взаимодействии 1
частиц, составляющих тело, с помощью методов статической физики 1
можно изучить и рассчитать внутреннюю энергию, некомпенсирован- I
ное тепло, температуру и энтропию, их связи и их зависимости от I
других параметров.	I
Законы, определяющие некомпенсированное тепло, это не что |
иное, как законы диссипации энергии, приводящие к росту энтропии I
вследствие внутренних необратимых эффектов. Типичными примерами I
необратимых явлений могут служить явления диффузии, вязкости, I
появление остаточных пластических деформаций и т. д. и т. п. I
Исследование законов, описывающих необратимые явления, во I
многих случаях основано на следующих основных допущениях:	.1
1) каждое состояние бесконечно малой частицы можно рассма- I
тривать в системе координат, движущейся поступательно вместе I
с центром тяжести, как термодинамическое равновесное состояние I
или можно ставить в соответствие данному состоянию частицы дру- 'I
!) При построении некоторых моделей на определяющие параметры Я
можно налагать дополнительные неголономные связи как кинематической, Я
7\av и физической природы [37].	Л
§ 7] ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ СО ВТОРЫМ ЗАКОНОМ ТЕРМОДИНАМИКИ 169
гое — равновесное состояние, характеризующееся теми же значениями
определяющих параметров, от которых однозначным образом, зависит
внутренняя энергия и энтропия;
2) любые два равновесных состояния малой частицы можно сое-
динить мысленно с помощью некоторого идеального обратимого про-
цесса с тем же изменением внутренней энергии и энтропии, как и
в необратимом процессе.
Очевидно, что в необратимом процессе и в соответствующем
обратимом процессе внешний приток тепла и работа внутренних сил
вообще различны.
Если необратимый процесс соответствует бесконечно малому эле-
менту пути в пространстве определяющих параметров, то в общем
случае нельзя утверждать, что обратимый путь, соединяющий близ-
кие равновесные состояния, не содержит конечных отклонений опре-
деляющих параметров от значений, соответствующих рассматривае-
мым близким состояниям.
При указанных допущениях приращение энтропии и некомпенси-
рованное тепло можно вычислить с помощью следующих формул:
dQ = dUт-р ^ст^необр»	ТdSm = ^Qo6p = dQ-\-dQ' = dUт-\~dut^,
t	(7.7)
Отсюда получим
dQ' = d?Q06p — dQ = dc&Q&p ^о^необр 0.	(7.8)
Таким образом, в этом случае некомпенсированное тепло равно
разности работ внутренних сил в обратимом и необратимом процес-
сах при одинаковом изменении энтропии и внутренней энергии и
в данном одинаковом изменении той части определяющих параметров,
которыми задаются равновесные состояния среды.
Диффузия — важный пример необратимого процесса, приводящего
к смешению различных веществ, наряду с необратимым процессом —
диффузией, в случае газов можно указать [9] обратимые процессы
для смешения или, наоборот, для разделения смеси на составляющие
газы. Таким путем можно определить величину dQ' при диффузии
газов.
Для обратимых процессов дифференциальное уравнение закона
сохранения энергии с учетом второго закона термодинамики
(dQ = TdS^ можно использовать для вывода различных уравнений,
выражающих собой различные термодинамические законы при равно-
весных процессах. Эти уравнения и соответствующие выводы можно
рассматривать как непосредственное обобщение уравнения механики,
выражающее собой для систем со многими степенями свободы прин-
цип возможных перемещений и его следствия для механических
систем с наложенными идеальными связями.
170	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Для обратимых процессов уравнение притока тепла в форме
(7.7) можно написать в раскрытом виде
ss« =т[(^7	+
+(^г+^>+ 	<7'9>
где — коэффициенты в дифференциальной форме
8<^обр = ЗР4“ 3?2^2 4“ • • • 4~3^^п, .	(7.10)
Условия полного дифференциала для левой части (7.9) приводят
к следующим равенствам, которые выполняются как следствие вто-
рого закона термодинамики:
d^j
1 | Г dT dUm dT dUm 1
«tyy T t L	d^j d^i J
<' >=> «•3......»)
Если температура
то, положив pq = Т,
Т входит в число определяющих
приведем уравнения (7.11) к виду
параметров,
d^j	_ 1 / dUm
~ Т \	+67 i
_
(7 = 2, 3, ..n),
(f, /—2, 3, ..., n).
(7.Й)
(7.12)
Уравнения (7.11) или (7.12) накладывают существенные ограни-
чения на вид зависимости коэффициентов формы (7.10) от параме-
тров состояния Кроме того, эти соотношения устанавливают связь
коэффициентов 3\ с внутренней энергией системы.
Для обратимых процессов функциональные связи для внутренней
энергии Um и для коэффициентов 3\ в функции параметров
р,2, ..., kv k2, .... km входят в определение термодинамиче-
ских свойств модели среды. Эти связи должны удовлетворять усло-
виям (7.11).
Зависимости ^-(^р |ь2’ •••> tbr •••» носят название
уравнений ^состояния среды.
Для описания необратимых процессов необходимо опереться на
данные для величины dQr и элементарной работы внутренних сил
^ej6p[35].
В этом случае, если среди определяющих параметров могут быть
параметры, связанные существенным образом с необратимостью, то
§ 8]	ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ	171
для получения законов изменения этих параметров и новых значений
для ^-необр необходимо использовать дополнительные закономер-
ности для необр и установить кинетические уравнения для допол-
нительных параметров, характеризующих неравновесные процессы.
§ 8. Идеальные жидкости и газы
В механике материальный континуум называется идеальной
жидкостью или идеальным газом, если внутренние напряжения пер-
пендикулярны к площадкам, на которых они рассматриваются, т. е.
Р«11»	а рлт = 0.
Соответствующие процессы в жидкостях или газах могут быть как
обратимыми, так и необратимыми.
Из этого определения следует, что для идеальной среды тензор
напряжений шаровой.
В самом деле, по определению и в силу (4.10) в любой декар-
товой ортогональной системе координат имеем равенства
Рп = Рпп C0S («*')	+ Рпп cos («*2> Э2 + Рпп cos («*3) Э3-
а из определения идеальной среды имеем
рп — р11 cos (их') Эх -f- р22 cos (/zx2) Э2 4~ Р33 cos (их3) Э3.
Отсюда следует, что
Рпп = Рп = Р22 = Р33 = — Р
или
Р= —р. G.	(8.1)
Величину р можно называть давлением!). При сжатии р > 0,
однако, возможны напряженные состояния всесторонних растяжений,
когда р < 0. Случай р = 0 соответствует отсутствию внутренних
поверхностных напряжений.
Таким образом, внутренние поверхностные взаимодействия
в идеальной среде определены шаровым тензором и, следовательно,
задаются вполне скаляром р, равным давлению внутри среды.
Общие уравнения для идеальной среды приобретают следующий
вид:
уравнение неразрывности сохраняет свою форму:
l-g- + divt> = 0,	(8.2)
’) Обычно при необратимых процессах принято величину р представлять
в виде суммы р'+ р", где р'— давление в соответствующем обратимом
процессе. Давлением в необратимом процессе можно называть величину р'.
172	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
динамические уравнения упрощаются и приобретают вид
Р = pF— g^d р.	(8.3)
Уравнения (8.3) называются уравнениями Эйлера. Уравнение притока
тепла также упрощается и имеет вид
TdS^dq = dU-\-pd~,	(8.4)
?
dSm	,	dQ ,тт	dUm
где	dS = -----,	dq	=,	du =	,	, здесь также	учтено	урав-
dm	4	dm	dm	j	j г
нение (8.2) и следующие формулы для dot1, верные в идеальной
среде:
р°$ rfea3	р	1
d<AL —---------- dm = — divt) dt dm = pd — dm. (8.5)
P	P	P
Системы уравнений (8.2), (8.3) и (8.4) получаются замкнутыми,
если внутренняя энергия U, рассчитанная на единицу массы, и величина
"	dq
притока внешнего тепла , отнесенного к единице массы и к еди-
нице времени, известны как функции р и р. Во многих случаях
эти величины обусловлены значением плотности р и распределением
температуры Т в объеме, занятом идеальной средой.
Для идеальной жидкости или для идеального газа в обратимых
процессах при отсутствии качественных превращений в ряде случаев
можно считать, что внутреннее состояние малой частицы характери-
зуется вполне двумя независимыми переменными параметрами. Помимо
переменных параметров, задающих отдельное состояние малой ча-
стицы, свойства среды зависят еще вообще от некоторых размерных
и отвлеченных физических постоянных, характеризующих свойства
среды независимо от состояний отдельных частиц, задаваемых пере-
менными величинами.
В качестве независимых переменных параметров, задающих вну-
треннее состояние, можно и удобно выбирать для различных про-
цессов различные величины. В частности, если состояние характери-
зуется значениями р и р, то будут иметь место функциональные связи
Т = Т(р, р), U = U(p> р) и S = S(p, р).
Так как Т, /7, S, р и р — размерные величины, то в общем
случае функции Т, U, S содержат еще размерные физические по-
стоянные, которые необходимо причислить к параметрам, задающим
свойства среды.
Совокупность трех функций Т, U, S от р и р образует уравне-
ния состояния среды. Для разных сред эти функции могут быть
различными и их вид необходимо находить из опытов либо с помощью
теоретических гипотез из статистической физики. Однако независимо
от конкретных особенностей рассматриваемого вещества первый и
§ 8]	ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ	173
второй законы термодинамики устанавливают между тремя величи-
нами Т. 67, S следующие две связи:
1. Формула для вычисления энтропии
(8-еа)
2. Условие интегрируемости (8.6а)
дТ ди _ дУ ди р дТ Т	.
д? др др д? р2 др' ' р2 ’	}
Таким образом, задание внутренней энергии U в функции от р
и р не определяет полностью термодинамические свойства среды,
так как при фиксированной функции U (р, р) согласно уравнению
(8.6b) уравнение состояния Т (р, р) и соответственно согласно (8.6а)
энтропия S(p, р) может обладать еще значительным произволом.
В случае адиабатических процессов при dq = 0 или для процес-
dq	.
сов с притоком тепла, в которых величина известна как функ-
ция давления р и плотности р и, возможно, как функция от коор-
динат и времени, система уравнений (8.2), (8.3) и (8.4) получается
замкнутой. В этом случае, если краевые условия формулируются
независимо от вида функций Т(р, р) и S(p, р), то механические
процессы с учетом тепловых описываются одинаковым образом в пере-
менных р, р для сред с различными уравнениями состояния для функ-
ций Т(р, р) и S(p, р), которые не определяются однозначно из (8.6а >
и (8.6b).
При ином выборе независимых переменных параметров предста-
вление уравнений состояния для обратимых процессов удобно про-
изводить с помощью введения на основании уравнения притока
тепла (8.4) термодинамических потенциалов следующим образом:
1.	В переменных р, 5 имеем
dU = TdS + ^-dp.
Уравнения состояния
y=t/(p. S). Т = (4^, P =	<8.7>
2.	В переменных р, S имеем
+ = +
Уравнения состояния
U+L = t = np. Т=(Д.	(8.8)
Функция состояния i=U-\~— называется теплосодержанием.
174	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Нетрудно видеть, что прибавление аддитивной постоянной К/внутрен-
ней энергии U или к теплосодержанию I не меняет вида двух дру-
гих связей.
3.	В переменных р, Т имеем
d (JJ — TS) = — S dT 4- £ dp.
Уравнения состояния
[/-TS = ^=jr(p. Т).	—S = (^)p. f = «)t- (8-9)
Функция состояния = U — TS называется свободной энергией.
4.	В переменных р, Т имеем
d(U — TS-\-^ = — SdT
Уравнения состояния
с/-тх+-г = + = 4(Р. т>. —НЖ' 7 = Шт' (8'10)
Функция состояния ф=£/ — TS + y- называется термодинамическим
потенциалом.
Если внутреннюю энергию и энтропию определить с точностью
до аддитивной постоянной, то свободная энергия и термодина-
мический потенциал ф определятся с точностью до линейной функ-
ции от температуры.
Очевидно, что в перечисленных четырех случаях введение ука-
занных потенциалов позволяет свести задачу об определении трех
характеристических функций к определению только одного соответ-
ствующего потенциала.
Для пар переменных р и р или Т, S нет соответствующих по-
тенциалов.
Термодинамические и механические свойства идеальной сжимае-
мой двухпараметрической среды полностью определяются заданием
одной из функций: U (р, S), i(p, S),	(р, Т) или ф(р, Т).
Как было указано выше, заданием функции U (р, р) достаточно для
разрешения определенных классов механических задач, однако сведе-
ния о функции U (р, р) недостаточны для полного определения среды.
При установлении вида термодинамических функций, характери-
зующих среду, и для установления уравнений состояния наряду
с механическими измерениями можно пользоваться также данными
калориметрических измерений. В частности, важное значение имеют
величины теплоемкостей единицы массы вещества. Теплоемкость опре-
деляется как количество теплоты, сообщаемой единице массы при
повышении ее температуры на один градус Цельсия (при использо-
вании для температуры шкалы Цельсия).
§ 81
ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ
175
Для двухпараметрической среды теплоемкость зависит существенно
от изменения обоих переменных параметров. Теплоемкость опреде-
ляется однозначно только при полном задании процесса, сопрово-
ждающегося повышением температуры.
Важную роль играют теплоемкости сжимаемой среды при постоян-
ном давлении ср и при постоянном объеме cv. Для теплоемкостей ср
и су/ верны формулы
_ (dq\ _ (di\ _ (dU\ _ р ( д?\ _ / дЦ_\ ( д?_\
СР~\dy)p — \дЧ)в — UT )р ^\дУ)р — \ д9 )у\дХ)р^
+(4г)р~^(4г)р (8Л1>
=(® m +(*)	.	(8.12)
v \ dT /о \ ОТ /р \ др /т \ дТ /р 1 \ дТ ]р Р \ дТ /р	7
Для разности ср— cv из формул (8.11) и (8.12) следуют равен-
ства
Ср — ^ = [('v)T“7’](dr)p = ~[(sf)t — у]('5т')/ (8ЛЗа)
Из (8.13а) и уравнения (8.4) следует еще равенство
ср~с” = ~^^\№)р'	(8.13b)
, следую-
которое на основании равенства	\~dTj
щего из формулы =	dT-|-(-^0 dp, приводится к виду
с _с т2
Ср Cv~ Р2 Up/tUtL
(8.13с)
Равенства (8.13) верны для произвольных двухпараметрических
сред рассматриваемого типа. Пользуясь данными, полученными в опы-
тах по измерению коэффициентов теплоемкости ср и cv и измерен-
ными величинами коэффициентов теплового изменения плотности при
постоянном давлении (-^0 = k? или коэффициентов повышения да-
вления при постоянном объеме = ^р, можно определить про-
изводные от внутренней энергии и от теплосодержания согласно
формулам
dU \ _ СР — cv । р _	1 Гт ( дР \ _ nl	(dU\ — с
+Р2~	Р2 L 1 \ /р Р\'	UlJp
(8.14)
176
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
И
Правые части в (8.14) и (8.15) удобно определить из опыта. Усло-
вия интегрируемости в (8.14) и (8.15) должны удовлетворяться авто-
матически как следствие I и II законов термодинамики, эти условия
имеют вид
т (д2Р\ _ /	\
?2 к дТ2 /Р Up /т
(8.16)
(8.17)
и
Условия (8.16) и (8.17) можно использовать для сокращения
числа опытов или для проверки результатов опытов.
Рассмотрим некоторые примеры идеальных сред и их термодина-
мические свойства.
1. Простейшим примером идеальной среды может служить не-
сжимаемая жидкость. Условие несжимаемости для каждой частицы
имеет вид
р = р0 = const.
В случае неоднородной жидкости р0 зависит от лагранжевых
координат -1, £2, £3, для однородной жидкости р0 — одинаково для
всех частиц.
Для идеальной несжимаемой жидкости система четырех скалярных
уравнений (8.2) и (8.3) образует замкнутую систему для определе-
ния давления р и вектора скорости v.
Уравнение притока тепла можно рассматривать как уравнение
распространения тепла в потоке жидкости. Для идеальной несжимае-
мой жидкости работа внутренних поверхностных сил всегда равна
нулю.
Если жидкость идеальна и несжимаема, то уравнение притока
тепла при обратимых процессах имеет вид
TdS = dU.	(8.18)
Отсюда следует, что S = f(U), и следовательно, U = U(T) и
S = S(T). В случае несжимаемой идеальной жидкости энтропия и
внутренняя энергия определены через теплоемкость сДТ) следую-
щими формулами:
U = f cvd4 и 5 = J'	(8.19)
§ 8]	ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ	177
2. В качестве второго важного примера рассмотрим идеальный
газ, подчиняющийся уравнению состояния
р = р/?Т,	(8.20)
называющемуся уравнением Клапейрона. Постоянная R называется
газовой постоянной. Во многих случаях и обычно для движений воз-
духа в атмосфере или газов в газовых машинах можно принимать,
что уравнение Клапейрона (8.20) всегда имеет место. Газовая по-
стоянная R имеет размерность
|	[ R ] = м^сек2 • град
и различна для различных газов. Кинетическая теория газов и опыт
показывают, что для газовой постоянной верна формула
| где Ra и k — абсолютные постоянные, Ra = 8,3144 • 107 эрг)моль град,
k = 1,38 • 10-16 эрг)град. Постоянная k называется постоянной
Больцмана, Л4 — средняя молярная масса, т*— средняя масса моле-
кулы в граммах. Для воздуха:
R == 28,7042 м2!сек2 град.
j	На основании (8.20) и (8.4) следует
'	d^ = Td(S+7?Inp).	(8.22)
|i	Из соотношения (8.22) следует, что для газов, подчиняющихся
;	уравнению Клапейрона (8.20), внутренняя энергия и комбина-
ция S-f”^lnp могут зависеть только от температуры и, следова-
I тельно, не зависят от плотности.
1	Очевидно, что аналогичный вывод для внутренней энергии и
комбинации S + j R верен также и в том случае, когда имеет
место уравнение состояния (8.20), в котором, в отличие от уравне-
ния Клапейрона, величина R может быть любой функцией от плот-
ности р.
При R = const из (8.20) и (8.13) следует формула Майера
'	c„ — cv = R.	(8.23)
Из (8.22), полагая dU = cv(T)drVt получим формулу для энтропии
	f i^_/?lnp.	(8.24)
Если уравнение (8.20) имеет место и известна функция U (Т), то
согласно (8.24) получим функцию S(T, р), а из определений (8.8),
12 л. И. Седов
178	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
(8.9) и (8.10) вытекают формулы для термодинамических функций Л
и ф.
Таким образом, для однородной частицы совершенного газа
(R = const) с массой т верны формулы !)
В формулах (8.25) теплоемкости cv(T) и ср(Т) отнесены к еди-
нице массы. Постоянные Z7°, S0, /° отвечают значениям U, S и I при
температуре То, давлении р0 и плотности р0. При рассмотрении раз-
ных газов во многих случаях величины U°, S°, Z°, ср, cv и R можно
считать обратно пропорциональными полярной массе Л4.
Очевидно, что из формулы (8.25) для	и из формулы
(8.9) следует уравнение состояния (8.20).
Формулы (8.25) получаются особенно простыми в практически
важном случае, когда можно принять, что теплоемкость cv постоянна,
т. е. cv не зависит от температуры. В этом случае из (8.23) следует,
что теплоемкость ср тоже постоянна.
При cv = const из (8.25), в частности, следуют формулы
U = сД + const, I = cJV + const,
S = cv In —+ const = cv In const
pT	pi
(8.25')
или
S+const
p = pT£ CV
!) Дальше мы пользуемся термином совершенный газ, так как уравне-
ние состояния (8.20) и функции состояния (8.25) могут иметь место для вяз-
кой среды, не идеальной с точки зрения внутренних напряжений.
§ 81
ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ
179
,	*	т-г
где отвлеченная постоянная у = — называется коэффициентом Пуас-
сона.
Связи между S, Т и р или S, р, р можно рассматривать для
любых процессов как уравнение состояния, аналогичное уравнению
состояния (8.20).
Уравнение состояния (8.20) не соответствует действительности для
сильно сжатых газов, когда плотность очень велика. Это уравнение
неверно также для состояний, близких к точкам конденсации газов
в жидкость и для жидкостей.
Кроме этого, можно отметить, что при очень малых температу-
рах, близких к абсолютному нулю, уравнение состояния (8.20) и
формулы (8.25) перестают удовлетворять общим законам термодина-
мики (второй закон, теорема Нернста и ее следствия) о поведении
вещества вблизи абсолютного нуля.
3. Рассмотрим идеальный газ, подчиняющийся уравнению состоя-
ния Ван-дер-Ваальса,
(8-26>
где R,bw а — положительные физические постоянные, уравнение (8.26)
является уточнением уравнения Клапейрона. Это уравнение описывает
процессы вблизи точек конденсации газа, и описывает действительные
связи для некоторых диапазонов жидкой фазы. Знаменатель 1 —Ьр =
= 1-----приводит к резкому возрастанию давления при большой
плотности р, приближающейся к р*, добавочный член — ар2 также су-
ществен только при большой плотности р. Этот член связан с силами
отталкивания между молекулами, проявляющимися только при близком
сближении молекул, возникающем при большой плотности.
Из уравнения (8.26) и формул (8.14) следует:
Очевидно, что из первого равенства (8.27) следует, что теплоем-
кость cv для среды Ван-дер-Ваальса зависит только от температуры.
Функция cv(T) определяется свойством среды. Вид этой функции
является дополнительным сведением к уравнению состояния (8.26),
фиксирующим среду.
Из формул (8.27) следует, что для ван-дер-ваальсова газа
внутренняя энергия представляется формулой
т
U = f cv(T)dT — ар4-const = (р + лр2)(1 — Z>p)J—ар. (8.28)
12*
180	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Функция Ф(Т) определяется очевидным способом через функ-
цию cv (Т).
Из (8.4) и (8.26) получим формулу для вычисления энтропии среды
Ван-дер-Ваальса:
Rd —
б/d — т + т а р — т + J_ _ ь ’
р
отсюда
т
. 5= ^L + /?Inconst.	(8.29)
Очевидно, что для газа Ван-дер-Ваальса формулы для термоди-
намических потенциалов Z, и ф следуют непосредственно из их
определения по формулам (8.8), (8.9), (8.10) и формул (8.26), (8.28)
и (8.29).
Рассмотрим еще общий случай, когда для внутренней энергии
верна формула следующего вида:
^ = /(р)+?(5).	(8.30)
Из (8;7) получим
Т = ср'(5) и р-р2/'(р).	(8.31)
Следовательно, в этом случае для любых процессов давление за-
висит только от плотности, а температура зависит только от эн-
тропии.
Конечные связи (8.31) полностью заменяют собой уравнение при-
тока тепла.
Очевидно, что из формул (8.30) и (8.31) следуют также формулы
* = 71 (р)+?(•$).
& = /(р) + «>(Т),
Ф=А (р)+®(Т).
(8.32)
Легко видеть, что выполнение одной из формул (8.32) влечет за
собой выполнение всех остальных формул (8.32) и (8.30).
Ясно также, что если для частиц некоторой среды во всевозмож-
ных обратимых процессах давление р зависит только от плотности р,
то отсюда следует, что температура может зависеть только от эн-
тропии и что для термодинамических потенциалов должны выпол-
няться формулы (8.30) и (8.32).
§ 9]	ПРОСТЕЙШИЕ ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ	181
§ 9.	Простейшие идеальные процессы
Уравнение притока тепла (6.10) в общем случае или для идеаль-
ных сплошных сред в форме (8.4) содержит внешний приток тепла.
Через dq обозначена величина внешнего притока тепла, отнесенная
к единице массы для элементарного изменения состояния.
В некоторых случаях уравнение притока тепла можно использо-
вать для определения потребного или осуществленного притока тепла,
если движение и последовательность состояний сплошной среды за-
даны или известны.
В задачах об определении движений и состояний среды необхо-
димо иметь данные о законах, определяющих внешний приток тепла.
Приток или отдача тепловой энергии могут быть обусловлены
различными физическими явлениями.
В приложениях наиболее важны следующие физические механизмы
подвода тепла:
1.	Теплопроводность — явление выравнивания средней тепловой
энергии между частями среды, находящимися в непосредственном
контакте, которое происходит за счет обмена столкновениями и
механическими взаимодействиями в тепловом движении между мо-
лекулами и атомами, электронами и т. п., из которых образована
среда.
Теплоотдача, обусловленная теплопроводностью, существенным
образом связана с макроскопическим неравномерным распределением
температуры по объему тела.
2.	Тепловое излучение и поглощение излучения—явление,
обусловленное изменениями возможных состояний элементарных
частиц (молекул, атомов, электронов и т. п.), из которых составлена
среда.
3.	Тепловыделение, обусловленное электрическими диссипативными
процессами, и в частности, джоулево тепло, выделяемое внутри тела
при наличии электрического тока.
4.	Иногда можно с помощью дополнительного условия относить
к внешнему притоку тепла dQ некоторые части приращения внутрен-
ней энергии dU и работы внутренних сил d<Al путем переноса этих
членов в уравнении (6.6) в левую часть.
Например, изменение внутренней энергии за счет химических пре-
вращений или фазовых переходов, связанных с тепловыделением или
теплопоглощением, можно заменить внешними притоками тепла и
учитывать только изменение внутренней энергии за счет темпера-
туры, механических параметров и возможно изменяющихся свойств
среды.
Решение конкретных задач с использованием уравнения притока
тепла, в котором учитываются физические законы для притока тепла,
как правило, математически весьма трудно. В приложениях часто
182	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
применяется дополнительное допущение и, в частности, распростра-
нено использование следующих идеальных процессов:
I. Процессы, в которых отсутствует приток внешнего тепла и
теплообмен между соседними частицами, т. е.
dQ = 0.	(9.1)
Такой идеальный процесс называется адиабатическим.
При обратимых адиабатических процессах имеем
dQ = TdSm = Q, S = const,	(9.2)
т. е. энтропия в частицах среды постоянна.
Очевидно, что постоянное значение может быть различным для
разных частиц среды.
Если процесс адиабатический и необратимый, то
TdSm = dQ' >0,	(9.3)
энтропия растет для каждой частицы.
В случае идеальной сжимаемой среды согласно (8.4) условие
адиабатичности имеет вид
dU-\-pdj = 0.	(9.4)
Соотношение (9,4) верно как для обратимых, так и для необрати-
мых адиабатических процессов.
Для обратимых адиабатических процессов интеграл уравнения (9.4)
дает одно соотношение между параметрами, определяющими термо-
динамическое состояние.
В этом случае условие (9.4) равносильно уравнению (9.2), кото-
рое и является интегралом уравнения (9.4).
В частности, если среда двухпараметрическая, то дифференциаль-
ное уравнение (9.4) определяет связь между давлением и плотностью
p = f^C\	(9.5)
где С для данной частицы—постоянная интегрирования, в качестве
которой можно в обратимом случае принять величину энтропии So
или положить C = cp(S0).
Если верно уравнение Клапейрона и теплоемкость cv — постоян-
ная, то на основании (8.25) и (9.2) получим
5
p = Cpi = e^p7.	(9.6)
Если процесс адиабатический, но необратимый, то уравнение (9.2)
и его следствия для S = const не выполняются.
Идея об адиабатических процессах связана, с рассмотрением теп-
лоизолированных тел или с быстро протекающими (но иногда обрати-
§ 9]	ПРОСТЕЙШИЕ ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ*	183
мыми) процессами, когда теплообмен не успевает проявиться суще-
ственным образом.
II. Другим предельным примером может служить идеальный про-
цесс, в котором теплообмен, обусловленный теплопроводностью или
излучением, представляет собой весьма интенсивный процесс, а из-
менения состояний протекают медленно по сравнению с процессом
выравнивания температуры вследствие теплообмена.
Таким путем можно ввести понятие о изотермическом процессе,
в котором температура всех частей системы одинакова.
Можно говорить об изотермических процессах, когда температура
всех частей одинакова и сохраняется с течением времени.
Возможно также рассматривать такие изотермические процессы,
когда температура всех частей среды одинакова, но может изменяться
с течением времени по некоторому закону, который может быть
определен отдельно из некоторого уравнения для всей системы в целом.
В первом случае уравнение процесса имеет вид
Т = const.	(9.7)
Во втором случае имеем
grad Т = 0 или Т = f (/),	(9.8)
где /(/)— некоторая функция от времени.
Уравнения (9.7) и (9.8) вместе с уравнением состояния среды
заменяют уравнение притока тепла, что, вообще говоря, сильно
упрощает задачу о движении среды.
Очевидно, что для двухпараметрических идеальных сред предполо-
жение об изотермичности приводит к установлению связи между
плотностью и давлением, которую согласно (8.9) можно представить
в виде
= ,9-9)
где (р, Т) — свободная энергия. В формуле (9.9) температура
является либо постоянным параметром, либо известной функцией от
времени Л
III. Для двухпараметрической сплошной среды в качестве соотно-
шения, фиксирующего процесс, можно взять вместо уравнения притока
тепла прямо некоторую связь между плотностью и давлением.
Если связь одинакова для всех частиц, то такой процесс назы-
вается баротропным.
В частности, процесс называется политропическим, если выпол-
няется равенство
р = срп,	(9.10)
где п — постоянное число — показатель политропы, а с — некоторая
постоянная.
184	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТГЛ. III
С помощью уравнения притока тепла для заданной связи р = f (р)
легко определить величину внешнего притока тепла, обеспечивающую
наличие этой связи.
Если газ совершенный и процесс политропный, то из уравне-
ния (8.4) и (8.20) при п > 1 найдем
dq = dU + cPnd^=cvdT--^.	(9.11)
На основании равенства Майера R = cp— cv при постоянном R
из (9.11) получим простую формулу для притока тепла
dq = cj^=^d4 = c*d4.	(9.12)
Отсюда следует, если п > у > 1, то при повышении температуры
dq > 0 — получается подвод тепла. Если 1 < п < у, то dq < 0 при
zZT>0 и, следовательно, повышение температуры сопровождается
отводом тепла. Указанные свойства характеризуют физический смысл
показателя политропы п.
Рассмотрим еще величину притока тепла в предположении, что
теплообмен определяется только теплопроводностью.
Основной закон теплопередачи за счет неравномерного распреде-
ления температуры внутри среды можно сформулировать следующим
образом.
Поток тепла dQ сквозь элементарную площадку da за время dt
в сторону, определяемую нормалью п, представляется выражением
dQ — — dt,	(9.13)
где X — коэффициент теплопроводности, зависящий, вообще говоря,
от параметров, характеризующих состояние среды в рассматриваемой
точке.
На основании (9.13) приток тепла сквозь замкнутую поверх-
ность £ (я — внешняя нормаль) — границу объема dx малой частицы
за счет теплопроводности представится выражением
dQ = J\^dodt = d&v(kgM&T)dxdt.	(9.14)
£
Следовательно, в этом случае уравнение притока тепла (6.10)
приобретает вид
^- = dq=-&w(kgt3&X)dt = dU-\-d^1 	(9.15)
Уравнение (9.15) представляет собой обобщение уравнения тепло-
проводности в неподвижном теле на случай движения произвольной
сплошной среды.
§ 10] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ ИДЕАЛЬНЫХ СЖИМАЕМЫХ СРЕД 185
В общем случае уравнение (9.15) представляет собой сложное
нелинейное уравнение в частных производных.
При наличии передачи тепла за счет теплопроводности, для вычи-
сления энтропии, отнесенной к единице массы, имеем уравнение
T4r-Tdl''<ks'adT>+Sr' <9J6>
Если необратимость обусловлена только явлением теплопровод-
ности (dQ' = 0), то для отдельных частиц энтропия может как возра-
стать, так и убывать. Выражение div (k grad Т) может быть положи-
тельным и отрицательным. Однако для теплоизолированного тела
производная от энтропии для всего тела за счет необратимых про-
цессов теплопроводности всегда положительна.
В самом деле, из (9.16) после умножения на	и интег-
рирования получим
f Sdm = f div(Xgr-dT) dx = f^(gradT)2dx,	(9.17)
mV	V
так как из условия о тепловой изолированности на границе объема
V	dT п
тела 1 должно быть = 0, а поэтому
Г ,. k grad Т ,	1 дТ , А
/ div—Ц; Jt= / к-=--s-do = 0.
J Т	J Т дп
V	2
Формула (9.17) показывает, что условие роста энтропии связано
с положительностью коэффициента теплопроводности к, что выпол-
няется в действительности всегда как следствие второго закона
термодинамики.
§ 10. Специальные примеры идеальных сжимаемых сред
В конкретных задачах физические свойства сред могут оказывать
существенное влияние на механические эффекты через свойства урав-
нений состояния, различающихся для разных сред и соответственно
для различных моделей материальных тел.
Во многих случаях построение физических моделей осуществляется
с помощью обработки экспериментальных данных и установления
эмпирических формул.
Получение эмпирических зависимостей всегда связано с некоторой
свободой. В пределах точности экспериментов и исходных данных
можно варьировать значения характеристик процессов и вид функ-
циональных связей. Эту свободу можно использовать для получения
некоторых выгод с математических точек зрения. Такие выгоды
не исчерпываются только простотой формул и внешней наглядностью.
В частности, можно требовать, чтобы уравнения движения допускали
186	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
некоторые типы решений, которые удобны для качественного или
количественного исследований или для эффективного описывания
рассматриваемых явлений. Иногда эти требования математического
характера имеют частный вид, связанный с постановкой конкретных
задач. Если эти математические требования могут быть удовлетворены
в рамках точности постановки задачи и эмпирических сведений, то
очевидно, что использование таких возможностей полезно и физи-
чески вполне оправдано. Например, для существования важного класса
автомодельных решений уравнений движения достаточно потребовать,
чтобы в уравнения движения не входило более двух физических
постоянных с независимыми размерностями, когда в написанные урав-
нения входят характеристики движения и состояния, измеряемые
в механических единицах измерений (см. [32]).
Появление размерных постоянных в установленной выше системе
уравнений движения сплошной среды возможно только через дополни-
тельные физические данные о тензоре напряжений, о внутренней
энергии, о притоке тепла и о возможных дополнительных уравнениях,
которые необходимо привлекать для описания различного рода физико-
химических процессов, сопровождающих движение среды (химические
реакции, фазовые переходы, пластические деформации и т. п.).
Рассмотрим случай идеальной двухпараметрической сплошной
среды. В качестве величин, определяющих состояние частицы, возьмем
давление р и плотность р. Внутреннюю энергию, температуру, энтро-
пию, свободную энергию и т. п. можно рассматривать как функции
от р и р.
Размерности некоторых из зависимых величин, например темпера-
туры, можно считать независимыми от размерности давления р и
плотности р. Очевидно, что уравнение состояния
р. Т) = °	(10.1)
должно содержать размерные физические постоянные.
Будем пользоваться системой единиц измерений, в которой
в качестве независимых единиц приняты: грамм-масса, сантиметр,
секунда, калория, градус. Тогда для размерностей давления, плот-
ности и температуры имеем
[р] = г/см • сек1, [р] = г/см3, [Т] = град.
В механических явлениях, сопровождающихся тепловым эффектом,
в принятой системе единиц необходимо вводить в качестве физи-
ческой постоянной механический эквивалент тепла J:
[J] = кал • секЧг • см1.
Величины р, р, Т, J имеют независимые размерности, поэтому
в уравнение состояния (10.1) должны входить, кроме этих величин,
еще некоторые физические постоянные.
§ 10] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ ИДЕАЛЬНЫХ СЖИМАЕМЫХ СРЕД 187
Предположим, что в уравнение состояния входят только физи-
ческие постоянные ср с2, с3, .. . с одинаковой размерностью, равной
размерности теплоемкости, т. е.
[cj = [с2] = [с3] = ... = кал)град.
На основании общей теории размерностей из предположения, что
величины
р, р, Т, J, Ср с2, с3, ...	(10.2)
связаны функциогальной связью, независимой от выбора системы
единиц измерения, следует, что
77 ♦ - •-)рт’	(10-3)
где Jcxf = R, R — размерная постоянная, [/?] = см^сек? • град.
Уравнение (10.3) представляет собой уравнение Клапейрона. Таким
образом, уравнение Клапейрона можно рассматривать, как следствие
единственной гипотезы о том, что характерные постоянные среды и
параметры, определяющие ее состояние, — система (10.2) — связаны
между собой функциональной связью. Вид этой функциональной
связи (10.3) получается как следствие предположения о ее существо-
вании.
Если физические свойства среды помимо постоянных ср с2, с3, ...
зависят еще от постоянных р*, рр р2, .. . с размерностью плотности,
то соображения размерности приводят к уравнению состояния, имею-
щему вид
p = p/?T-/(^)-	(10.4)
При изучении переменных состояний и движения фиксированной
среды отвлеченные физические постоянные у-, у-, . . .,	, . . .,
от которых может зависеть параметрически функция	можно
не указывать.
Если помимо постоянной R среда характеризуется некоторыми
физическими постоянными, размерности которых зависимы от размер-
ности постоянной R и еще некоторой постоянной Q с размерностью
вида
[Q] = [/И [рЧ,
то очевидно, что уравнение состояния такой среды можно написать
в форме
(10.5)
где f (х)— вообще произвольная функция своего аргумента.
188	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
В самом общем случае уравнение состояния произвольной двух-
компонентной среды всегда можно представить в форме
ЯТ = |/(^-. f).	(10.6)
где р* и р* — некоторые постоянные с размерностью давления и
плотности.
Если уравнение состояния среды представлено в форме (10.6), то
через физические параметры, характеризующие среду, можно выра-
зить параметры ₽, р* и р*, с помощью которых записывается без-
размерная функция /(“г» от ДВУХ безразмерных переменных
параметров.
Различные физические постоянные, входящие в уравнение состоя-
ния, могут войти в уравнение притока тепла и влиять на решение
системы уравнений движения.
Если уравнение притока тепла заменяется упрощенным условием
об отсутствии градиента температуры (интенсивный теплообмен), т. е.
gradT = 0,	(10.7)
то при выполнимости уравнения Клапейрона получится уравнение
grad у =0,	(10.8)
не содержащее размерных постоянных.
Уравнение состояния (10.4) или (10.5) приводит к уравнениям
grad [-£/(-£)] = 0,	(10.9)
или
£rad =
содержащим только размерную физическую постоянную р* или Q,
В самом общем случае получится уравнение
^)] = 0.	(Ю.Ю)
содержащее, вообще говоря, две физические размерные постоян-
ные р* и р*.
При изучении адиабатических движений идеальной двухпараметри-
ческой сплошной среды, состояние которой фиксируется значениями р
и р, размерные постоянные могут войти в условие адиабатичности,
которое для обратимых процессов можно написать в виде
f = 0 и dU-\-pd^ = 0.	(10.11)
§ 10] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ ИДЕАЛЬНЫХ СЖИМАЕМЫХ СРЕД 189
Зависимость внутренней энергии от р и р в самом общем случае
можно представить в виде
поэтому уравнение адиабатичности будет содержать, вообще говоря,
две существенно различные физические постоянные р* и р*.
Если внутренняя энергия представима в виде
u = MTr) + “[s(f' А- в- ] <1ОЛ2)
где о) (5) — произвольная функция от энтропии, содержащая различ-
ные постоянные р*, р*, /?, . . ., А, В, . . ., то уравнение адиабатич-
ности может зависеть существенно только от одной физической
постоянной Q.
Для газа, удовлетворяющего уравнению Клапейрона, функция f
приводится к отвлеченной постоянной. В этом случае уравнение
адиабатичности, а следовательно, и вся система уравнений движения
не содержит каких-либо размерных постоянных.
Можно показать справедливость обратного предложения, если
уравнение адиабатичности содержит только одну существенную раз-
мерную постоянную Q, то внутренняя энергия должна представляться
в форме (10.12) (см. [41]).
Если форма уравнения состояния или форма зависимости внут-
ренней энергии от р и р имеют некоторый фиксированный вид, то
согласно § 8 это накладывает некоторые ограничения на вид других
функций, характеризующих физические свойства среды, однако это
не определяет полностью этих функций.
Фиксирование уравнения /7(р, р, Т) = 0 или только свойств внут-
ренней энергии U (р, р) недостаточно для полного определения среды.
Сохраняющийся произвол в других функциональных связях, опреде-
ляющих среду, легко определить с помощью уравнений и формул
данных в § 8.
В частности, если выражение адиабатичности не содержит размер-
ных постоянных или содержит только одну существенную размерную
постоянную Q, то при этом физические свойства среды могут зави-
сеть от других размерных физических постоянных.
Выше установлены различные случаи, когда уравнения движения
не содержат размерных постоянных или содержат только одну суще-
ственную физическую размерную постоянную. В общем случае для
адиабатических и изотермических движений уравнения движения
зависят только от двух размерных постоянных р* и р*, поэтому
всегда существуют автомодельные решения, зависящие от двух физи-
ческих постоянных с независимыми размерностями — давления для р*
и плотности для р*.
190	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Если уравнения движения содержат только одну размерную
постоянную Q, то имеются автомодельные решения, зависящие
от постоянной Q и еще от одной размерной постоянной Qj с раз-
мерностью, выражающейся через механические единицы измерения
и независимой от размерности Q.
Если уравнения движения не содержат физических размерных
постоянных, как это, например, имеет место в рассмотренных выше
случаях, когда среда подчиняется уравнению Клапейрона, то суще-
ствуют автомодельные решения, зависящие от двух различных кон-
стант с независимыми размерностями.
Решения некоторых конкретных задач автомодельны, если урав-
нения допускают автомодельные решения и, кроме того, добавочные
условия: начальные, граничные, краевые или условия на скачках
(если таковые образуются внутри среды) не содержат дополнитель-
ных размерных постоянных с размерностями, независимыми от по-
стоянных, от которых зависит автомодельное решение.
Можно также рассматривать частные случаи, когда с помощью
автомодельных решений уравнений движений можно удовлетво-
рить дополнительным условиям, которые не являются автомодель-
ными.
Постановки задач, приводящие к автомодельным решениям,
в некоторых случаях сильно упрощают качественное исследование
решений и получение их в эффективном виде. В некоторых случаях
при установлении эмпирических формул, задающих свойства среды,
можно руководствоваться изложенными выше соображениями о виде
этих формул для получения такой постановки задач, в которой обе-
спечивается автомодельность искомого решения.
Для аналитических методов получения решения важное матема-
тическое значение имеет также конкретная форма произвольных
функций, входящих в формулы, задающие физические свойства среды.
§ 11. Уравнения движения газовых смесей
с физико-химическими взаимодействиями
между компонентами
Рассмотрим модель материальной среды, составленной из раз-
личных компонент. Отдельные компоненты могут представлять собой
газы или некоторые совокупности элементарных частиц с различной
химической или физической природой, которые существенны в изу-
чаемых явлениях — это могут быть молекулы или атомы разных
элементов, ионы, электроны и т. п. В некоторых случаях молекулы
с различными возбужденными внутренними уровнями энергии для
одного и того же вещества можно рассматривать как принадлежащие
к различным компонентам в данной среде, рассматриваемой как
смесь. Например, молекулы одного и того же вещества, но с раз-
§ 11]	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ	191
личными уровнями энергии колебательных степеней свободы или
атомы с различной степенью ионизации можно рассматривать как
частицы, принадлежащие к различным компонентам.
В этом параграфе мы рассмотрим в рамках макроскопической
теории уравнения балансов масс с учетом диффузии и химических
реакций и другие основные уравнения, описывающие обратимые про-
цессы в идеальных средах и, в частности, обратимые химические
реакции в совершенном газе.
Вопросы о необратимых явлениях в идеальных средах будут
затронуты только в самой общей форме.
Проблемам механики и термодинамики газовых смесей, растворов
и других составных материальных сред посвящены обширные раз-
делы физической химии'. Подробное изложение соответствующих
теорий для обратимых и необратимых процессов с учетом электро-
магнитных явлений и с описанием известных в настоящее время
данных можно найти в специальных книгах [7» 9* 56»81].
В дальнейшем предположим, что для описания существенных
эффектов можно пользоваться статистическими средними и что каждую
из компонент и смесь в целом можно заменить материальными кон-
тинуумами, заполняющими одновременно некоторый один и тот же
объем пространства непрерывно; наделенными соответствующими
свойствами и взаимодействующими между собой.
Выделим некоторый физически бесконечно малый объем V и
обозначим через mv т2, ..., mq массы составляющих компонент,
находящихся в рассматриваемый момент t внутри этого объема.
Плотности компонент в смеси представятся формулами
По основному физическому свойству аддитивности массы для
системы тел масса и плотность смеси в целом определятся равен-
ствами
m = ffii + /n24- . .. -\-тд, р = -р-.	(И.2)
Плотности рр р2, .. ., pq можно рассматривать как дополнительные
параметры, характеризующие свойства смеси суммарного континуума.
Ниже мы составим уравнения механики и термодинамики, позво-
ляющие описывать движение и состояние смеси, как одной сплошной
материальной среды с усложненными физико-химическими свойствами.
В первоначальной стадии исследования для всякой компоненты
смеси, рассматриваемой как материальный континуум, можно ввести
свое поле скоростей t)2, ..., vq и свои подвижные лагранжевы
объемы Vv V2, ...» Vq, состоящие из фиксированных частиц. При
наличии диффузии лагранжевы объемы для различных компонент
движутся друг относительно друга. Если эти лагранжевы объемы
192	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАРНЕНИЯ [ГЛ. III
в момент t занимают один и тот же объем V в пространстве, то
в следующий момент времени вследствие различия в полях скоро-
стей t)P t)2» . . ., происходит разделение этих объемов. Под-
вижные объемы для различных компонент, совпадающие в момент /0,
будут различными в другие моменты времени. Эффект диффузии
можно рассматривать как взаимное проникновение и движение
лагранжевых объемов различных компонент.
Скорость t) точек континуума, моделирующего смесь в целом,
определим формулой
р» = Pit), + р2о2 + ... + р^.
rfznj-
Обозначим через	изменение в единицу времени массы тгй
компоненты в объеме Vit движущемся с частицами этой компоненты
м	dm;
с полем скоростей t)z, и через —изменение в единицу времени
частиц f-й компоненты в объеме У, движущемся с полем скоростей
суммарного континуума г.
Производная может отличаться от нуля за счет превращения
частиц Z-й компоненты среды в частицы других компонент. Произ-
dmj
водная может отличаться от нуля как за счет взаимного пре-
вращения частиц, так и за счет диффузии.
На основании преобразования (3.3) для этих производных можно
написать равенства
4г=/ (4г+div ра-)dx = (4г + div ) V’
V
dm. [* I др.	\	/ др.	\
~dT = J (-^- + ^Piv)dT=(-sJ- + dw9iD)V
V
или
dm, dm]
-7Г = ^Г-''й"^	(Z=!.2.......
Отсюда следуют уравнения для плотностей pz:
dp.	1 dm\
-^-4-divpit)	---(/=1. 2,	(11.4)
В этих уравнениях введены векторы потоков диффузии 3, согласно
формулам
3/ = Pi (V i — V).
(11.5)
§ 11]	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ	193
Для определения векторов 3/ в зависимости от параметров харак-
теризующих состояния и их распределение в объеме состава смеси
необходимо привлечь данные опытов или воспользоваться выводами
кинетической теории материи. Векторы 3Z могут отличаться от нуля
за счет неравномерности распределения концентраций, неравномер-
ности распределения температуры, наличия электрических токов и т. п.
Вместо скоростей всегда можно рассматривать только векторы
диффузии 3Р которые по предположению будем рассматривать как
величины, определяемые через другие параметры состояния по не-
которым известным формулам, выражающим собой физические законы
диффузии вещества.
В данной смеси могут происходить превращения частиц за счет
£икП1ческих реакций или физических взаимодействий между компо-
нентами смеси. Пусть в рассматриваемом объеме происходит г реакций,
каждая из которых, вообще говоря, оказывает влияние на изменение
массы Z-й компоненты.
Химико-физическое уравнение массовых балансов можно написать
в следующем виде:
dm}	Vi
=	2.....<7),	(п.6)
а=1
где — молярные массы, vfa — стехиометрические коэффициенты,
которые отрицательны для компонент, вступающих в реакцию, поло-
жительны для продуктов реакции, когда реакция идет в положи-
тельном по условию направлении, коэффициенты v/a определяют
массовые доли соответствующих компонент, участвующих в реак-
циях. Величина va характеризует быстроту протекания реакции
с номером a; va > 0, если реакция идет в положительную сторону.
Уравнение (11.6) можно написать еще в форме
dt 2d '’ь'0*’
a=l
dn]
здесь пл — число молей в подвижном объеме Vf, -----------изменение
1	1 dt
числа молей в единицу времени в объеме Величины va можно
принять пропорциональными объему V или общей массе ш в объеме V,
эти величины зависят только от номера реакции а и одинаковы для
различных компонент, участвующих в этой реакции. Для малого
объема величины
'
a	а	-у.
малы, а величина wa может быть конечной.	- ;f
Если реакция с номером а идет, то wa •=£ 0, в противном
случае wa = 0.
13 Л. И. Седов
194	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Закон сохранения массы для г реакций превращения дает г
уравнений:
Q
2^Л. = 0	(а=1, 2......г).	(11.7)
i = l
Из (11.4), (11.5) и (11.7) получается уравнение закона сохранения
суммарной массы т при всех внутренних процессах, сопровождаемых
движениями
$ + divpt> = 0.
Если диффузии нет (v = t)z, Sz = 0), то для подвижного лагран-
жева объема V, одинакового для всех компонент, величины znz и wa
можно рассматривать как характеристики фиксированных масс,
являющиеся функциями от времени, а т как постоянную. В этом
случае уравнение (11.6) можно проинтегрировать, после чего получим
и
I
«=1 •
(Н.8)
Отношения дают концентрации составляющих смесей, отве-
чающих состоянию = 0. Параметр 5 , определяемый равенством
tw°L~=~dTi хаРактеРизУет долю прореагировавших масс, отнесенную
к полной массе частицы в реакции с номером а.
На основании химического уравнения баланса масс (11.6) урав-
нение неразрывности для Z-й компоненты можно переписать в форме
^+divpzo = pAlf	— divSj (Z = 1, 2, ..., q). (11.9)
a=l
Уравнения (11.9) представляют собой общие уравнения диффузии,
которые приложимы к рассмотрению движения любых смесей, когда
составляющие компоненты и химические реакции можно считать рас-
пределенными в пространстве непрерывно.
В уравнения (11.9) входят величины wa, которые должны опре-
деляться из дополнительных физико-химических законов. Для необра-
тимых (неравновесных) процессов зависимость скоростей wa от пара-
метров, определяющих состояние и состав смеси, принято называть
уравнениями кинетики химических реакций или кинетики физических
процессов^ если речь идет о перераспределении компонент, не свя-
занном с изменением основной природы частиц, из которых соста-
§ И]	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ
195
влены компоненты. Если плотности
шёниями через параметры а)р «)2, ...
нения (11.6) могут служить для определения скоростей реакции
cia = /nwa через параметры a)p о)2, ...
Все предыдущие формулы этого параграфа получены из рассмо-
pz определены другими соотно-
т
и так как znz = p.—, то урав-
трения только законов сохранения массы, поэтому введенные понятия
и полученные уравнения применимы к рассмотрению любых сред —
газообразных, жидких или твердых.
/Рассмотрим теперь уравнения состояния и уравнения, описываю-
щие физико-химические процессы—фазовые переходы или хими-
ческие реакции в идеальных материальных средах (дальше принято,
что внутренние силовые взаимодействия сводятся к напряжениям —
давления), состоящих из //-компонент, которые различаются между
собой фазовыми или химическими свойствами.
Таким образом, предположим, что для данной составной среды
внутренние свойства различных малых частиц или одной и той же
малой частицы в различных состояниях определяются системой пара-
метров
р, mv т2................................Шя,
и в частности, для внутренней энергии верна формула вида
Um = Um{Sm, Р, mv т2...........(11.10)
На основании уравнений первого и второго законов термодина-
мики для данной частицы с массой т = тг -|- т2 + ... можго
написать
4dSm=dQ-\-dQf = dUm-\-pd±- • m-+-dQ't
где dQ'^0 — некомпенсированное тепло. Отсюда имеем
dUm = TdSm — mpd^ — dQ',	(11.11,
кроме этого, для приращения внутренней энергии Um можно
написать формулу
‘г^=4Й-"-+тт-‘'т+2^г‘"”»- « 12>
д —	Ь=1
₽	"!
В соотношении (11.12) приращения dSm, d — , dmv dm2, ..., dmq
могут быть независимыми и вообще произвольными. В уравне-
нии (11.11) система приращений dSm,	dm2, .... dmq
определяет элемент процесса. Для данной частицы уравнение (11.11)
можно рассматривать для различных множеств элементарных про-
цессов, в которых на приращения dSm, d^-, dmv dm2, ..., dmq
13*
196
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. ПТ
наложены те или иные связи. В частности, при химических реакциях
или фазовых переходах приращения dmv dm2, ..., dmQ могут быть
связаны уравнениями баланса масс (11.6), в которых г величин
vadt = mdza можно рассматривать как линейно независимые. Число г
равно числу независимых химических реакций и фазовых переходов !).
Можно также рассматривать связи, заключенные в равенствах
Sm = const или р = const и др.
Для данной частицы, с помощью добавления или снятия соответ-
ствующих связей, приращения dSm> с одной стороны, и при-
ращения dmv dm2, .... dmq, с другой стороны, всегда можно рас-
сматривать как линейно независимые.
Наряду с системой определяющих параметров Sm, р, т1, т2, .... mq
рассмотрим другие системы определяющих параметров и соответ-
ствующие им термодинамические функции. В систему определяющих
параметров в качестве независимых переменных включим величину
давления р и температуру Т. Положим
=	+	= р, т,, т2............mq), (11.13)
^т = ит—	=	Р, mv т2, trig), (11.14)
=	+ фт = фт(Т, р. тг т2.............mf). (11.15)
Из (11.11) и из (11.13) — (11.15) с учетом условия т = const
цожно написать
dim = ^dSm + ^-dp-dQ',
ГДе	я-	я-	Лп л-	<11л6)
dlm=^-dSm + ^-dp^^dm,
k
d<^'m — — SmdT — mpd -------dQ',
+ + ' <1U7)
7
d^m = -Smd-X+^dp-dQ',	|
где	(11.181
di(m = dT + dp + V dmk.
oi ' др r	dmk к
!) Вопрос о числе независимых реакций и фазовых переходов (пра-
вило фаз Гиббса) рассматривается в курсах физической химии, см., напри-
мер, [£5 56].
§ 111
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ
197
.Предыдущие рассмотрения можно отнести как к обратимым, так
и’к необратимым процессам.
Рассмотрим сначала обратимые процессы.
В случае обратимых явлений имеем
dQ' = 0.
Отсюда следуют формулы
dUm
dSm
dUm 
д-
Р
д^т __	<?	— то
дч ~ л 1 — тр’
О—
р
Т,
Й,п _ т
др р
tym______ е tym______
дТ	т' др ~ р

(11-19)
которые соответственно совпадают с формулами (8.7)—(8.10) с учетом
того, что
JJ  Um Q  $т ,	/  Z zn	Фт ф 
т '	т *	т '	т ’	т '
Кроме уравнений состояния (11.19), при наличии обратимых
физико-химических превращений из (11.11) с учетом (11.8) полу-
чаются еще г уравнений равновесия
fe=i
dla = 0,
р
dUm 

0 (а = 1, 2, .... г),
(11.20)
которые на основании (11.16), (11.17) и (11.18) можно написать
еще и в следующих других формах:
Q	г
2-я7'г">=2(М „«•=» >=° <>=2.................'->
Л = 1	а=1	т'р
(11.21)
i	>=« <«='.2........и
*=1	а=1	’Г
(11.22)
(11.23)
198	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Эти уравнения могут служить для определения ?2, Ёг,
а с помощью (11.8) mv т2, ...» mq— через начальный состав
среды и через р, Т или р, Т, или Sm, р, или Sm, р.
Для обратимых равновесных процессов производные а сле-
dmk	dp dT
довательно, и  выражаются через производные	, кото-
рые в свою очередь определяются из динамических уравнений и
уравнений притока тепла.
Для фактического составления какой-либо из систем уравне-
ний (11.20) — (11.23) необходимо задать или определить из опытов
одну из функций (11.10), (11.13), (11.14), (11.15).
В качестве основного допущения часто принимается, что термо-
динамические функции Sm, Um, 1т, и фт при постоянных р, р,
Т и при увеличении всех масс и размеров тела в п раз также уве-
личиваются в п раз.
' Отсюда, в частности, следует, что верна формула
фш(Т, р, nmv пт2, .... nz^)==n<pm(T, р, mv	(11.24)
На основании теоремы Эйлера из (11.24) следует формула
<7	Q
фя>=2от4^-)	(н-25>
k=l	,р fe=l
Величины =	называются химическими потенциалами.
Из равенства (11.24) следует, что химические потенциалы являются
однородными функциями нулевой размерности от составляющих
масс mk:
_	( т	т2	тя\
’ т * т......... т/
отсюда	=0 и	= 0» так как =
1 \ omi Jp т	Ы 1 \ dmk / т	dnij
х = 1	/ = 1
_ d»i _ _
dmk dmi dmk
Определение химических потенциалов составляет одну из важней-
ших задач статистической физики и экспериментальных работ в физи-
ческой химии.
При наличии свойства (11.24) формулу для потенциала фт и
уравнение равновесия (11.23) можно написать в виде
я	q
K =	и 2 iJ-й — 0.
Л=1	£=1
Кл = т11
§ И]	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ	199
Для обратимых превращений уравнение равновесия на основа-
нии (11.8) приобретает вид
к» л
которое распадается на г уравнений, где г равно числу независимых
переходов-реакций
= 0	(<х=1. 2......г).	(11.26)
k
В случае равновесия двух фаз, когда молекулы каждой из фаз
одинаковы, имеем r= 1, k=l, 2, v1=-|-l, v2 =—1 и М1 = М2,
поэтому уравнение (11.26) приобретает вид
|ii = [12.
Очевидно, что в случае равновесия трех фаз должны выполняться
одновременно два уравнения:
Н = Н2 • и И*2 = Нз-
Полученные условия равновесия фаз применимы к случаям сосу-
ществования твердых, жидких и газообразных тел. Полученные
условия равновесия фаз применимы к случаю равновесия фаз, раз-
деленных поверхностями раздела, однако в этом случае не учтены
возможные поверхностные эффекты.
В качестве примера рассмотрим обратимые химические реак-
ции— диссоциацию и рекомбинацию в движущейся смеси совер-
шенных газов.
В этом случае уравнение состояния, уравнения, определяющие
состав и все термодинамические свойства смеси, можно получить
после обоснования следующего выражения для термодинамического
потенциала:
Т).	(11-27)
ы
где tymk—термодинамический потенциал, соответствующий &-й ком-
поненте и определяющийся формулой (8.25)
т	т
f cpkdT-T f -^dT + /?4Tln^-
У	У 1	pok
*0	хо
В силу равновесности температура Т для всех компонент оди-
накова, а парциальные давления pk связаны с температурой и с плот-
ностью Л-й компоненты’ pk уравнением Клапейрона
Р» = РЛ/Г.	(П-29)
= т^к.
200
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
причем
полное давление в смеси определено законом Дальтона
Q
Р = + А + • • • + Pq ~ 2	— pRT•
4 k = l
(11.30)
где
т Кг
Из (11.29), (11.30) и (8.21) следует
Rkmk
Рь = Р-г~*-
3 Rim‘
nk
(11.32)
где nk— число молей &-й
сой т, так как Rk = Ra
Учитывая эти формулы,
т
cpk dT -
То
?ftTln-^4^Tln
Pok
F-ft
компоненты в заданной частице с мас-
1	о
, a Ra — универсальная постоянная,
можно написать
т
-т Г-^йГГ4-
nk
(11.33)
Из формул (11.27) и (11.28) легко вывести формулы для внут-
ренней энергии и энтропии газовой смеси. Эти формулы имеют вид
Q	Q
Um=^Umk{T) и Sm= ^Smk(pk, Т),	(11.34)
k=l	А>=1
где Umk и Smk(pk, Т) определены формулами (8.25) для каждой из
составляющих компонент в смеси.
Обратно, формулу (11.27) можно получить из (11.34) и закона
Дальтона (11.30), которые в свою очередь можно обосновать опыт-
ными данными или статистическими выводами, вытекающими из допу-
щения, что газ достаточно разреженный. В этом случае внутренняя
энергия с точностью до аддитивной постоянной равняется кинетиче-
ской энергии хаотического молекулярного движения. Каждый из
составляющих газов имеет внутреннюю энергию, независимую от
присутствия других газов, причем очевидно, что внутренняя энергия
каждой составляющей компоненты смеси зависит только от темпе-
ратуры и пропорциональна массе газа, а внутренняя энергия смеси
в целом равна сумме энергий составляющих газов.
При определении энтропии смеси можно исходить из того, что
энтропия смеси равна сумме энтропий составных частей, которые
можно получить в раздельном виде в результате адиабатического
тп2
R = — R, 4
т 1 1 т
(11.31)
Р •
§ И]	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ
201
обратимого процесса с помощью использования набора перегородок,
каждая из которых проницаема только для вещества одной компо-
ненты. В результате такого разделения получится q одинаковых
объемов с одинаковой температурой Т и давлениями, равными пар-
циальным давлениям pk. Общая энтропия этих q разделенных объ-
емов представится суммой (11.34).
уПри отсутствии диффузии возможно равновесное состояние раз-
деленных составных частей при одинаковых р и Т, но с разными
объемами, отвечающими массам mk. Для этого состояния энтропия
представится суммой
Q
^mQ =	Т).
Л = 1
Легко показать, что
=	T)>sm0=:Ssmft(p, Т),
k '	k
так как разность
q
Sm — smn = — У mkRk In-------:----р----:---> 0.
т т0	к к пх + П2 + . . . +
Й = 1
Разность Sm — Sm0 можно рассматривать как рост энтропии,
обусловленный внутренним процессом смешения, происходящего
путем диффузии.
На основании формул (11.28) уравнения (11.26) можно предста-
вить в форме
• Л2а ...	=	(а= 1, 2, ..., г),	(11.35)
* 1 л я л ч *	*	ч
где
^(T)=/>0/exp-~f
t7?-/?zT0- f CpidT .
(11.36)
Если теплоемкости ср и cv можно
чины представятся формулами
считать постоянными, то вели-
где
(11.37}
202	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Щ
Уравнения (11.35) выражают собой закон действующих масс —
закон Гульдберга — Вааге.
Уравнения Гульдберга — Вааге могут служить для определения
состава смеси при обратимых химических реакциях.
В самом деле, обозначим через v'a = v/a> 0 и vja =— vya > 0.
С помощью уравнений (11.29) с учетом (8.21) уравнениям (11.35)
можно придать вид
w;IlUy	"=0- (11-38)
j	i
где
Va=^V/a И Va=IHa (« = 1, 2, . . . , Г).
J	i
Воспользуемся теперь формулами (11.8) и заменим в уравнениях
(11.38) плотности pz и р?. через суммарную плотность р и величины $а.
В результате получим г уравнений для определения ?2, ...,
через полную плотность смеси р, температуру Т и через постоянные
параметры, характеризующие начальный состав и свойства компо-
нент смеси.
Таким образом, для обратимых химических реакций (диссоциация
и рекомбинация) или физических превращений смесь можно рас-
сматривать как двухпараметрическую ' среду, состояние которой
определяется заданием плотности р и температуры Т, состав
смеси определяется формулами (11.8) и уравнениями Гульдберга —
Вааге.
Изложенный способ изучения состава смеси для обратимых про-
цессов превращений можно применить при изучении ионизированных
газов, электроны и различным образом возбужденные ионы атомов
или молекул можно рассматривать как различные компоненты. Сте-
пени ионизации характеризуются соответствующими параметрами £а.
В этом случае уравнения (11.38) определяют степень ионизации и
применительно к этому явлению уравнения (11.38) называются урав-
нениями Саха.
Для получения замкнутой системы уравнений, описывающей дви-
жение и обратимые физико-химические процессы в смеси, помимо
уравнения состояния и уравнений Гульдберга — Вааге, определяющих
состав смеси, необходимо обратиться к уравнению неразрывности,
динамическому уравнению Эйлера и уравнению второго закона тер-
модинамики
TdSm = dQ,
где dQ — внешний приток тепла, который должен быть задан до-
полнительно.
§ И]	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ	203
Рассмотрим теперь кратко еще некоторые общие соображения
о необратимых процессах в газовых смесях.
При наличии необратимых явлений уравнения (11.20)—(11.23) и
их следствия вообще не выполняются.
Положение равновесия физической системы будет неустойчивым,
если возможно самопроизвольное уклонение от состояния равновесия
в результате некоторого необратимого процесса.
Рассмотрим с этой точки зрения некоторые условия для устой-
чивости термодинамического равновесия идеальных сред, предста-
вляющих собой смесь нескольких компонент.
В случае обратимых процессов можно рассматривать равновесные
состояния, соответствующие фиксированным значениям одной из пар
переменных Um, р; Sm, р; Sm, Т, р; Т, р. Вблизи каждого из
этих состояний могут, вообще говоря, возникать необратимые про-
цессы, в которых меняются остальные определяющие параметры,
характеризующие состав смеси.
Возможность самопроизвольного развития таких необратимых
процессов может быть исключена при выполнении следующих условий:
При Uт = const и р = const из (11.11) имеем
=	(11.39)
Если в состоянии равновесия энтропия Sm имеет максимум, то
при любых отклонениях от состояния равновесия имеем < 0,
что несовместимо с (11.39), поэтому условие максимума энтропии
при постоянных внутренней энергии и плотности (объема) обеспечи-
вает указанную выше устойчивость.
При Sm = const и р = const из (11.11) имеем
dUm = — dQ'^0.
Если в состоянии равновесия внутренняя энергия Um имеет ми-
нимум, то ^Um > 0, поэтому условием устойчивости при постоянных
Sm и р может служить условие минимума внутренней энергии.
Аналогичным путем при Sm = const и р = const из (11.16) по-
лучим
поэтому условие о минимуме энтальпии дает достаточное условие
устойчивости при постоянстве Sm и р.
Соответствующее достаточное-условие при Т = const и р = const
на основании (11.14) и уравнения
d^m = -dQ'^G
сводится к условию о минимуме свободной энергии ^т.
204	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
Наконец, при Т = const и р = const на основании (11.15) по-
лучим
d<pm = _dQ'<0,
поэтому в этом случае условие минимума термодинамического по-
тенциала обеспечивает устойчивость равновесия.
В общем случае величину dQ' можно определить по одной из
формул (11.11), (11.16), (11.17), (11.18), если термодинамические
свойства системы известны и известен процесс, т. е. закон измене-
ния определяющих параметров. Таким путем, с использованием
различных теоретических и опытных данных при изучении разно-
образных процессов можно установить законы, позволяющие определить
величину dQf в зависимости от величин и приращений определяю-
щих параметров в некотором заданном классе всевозможных
явлений.
Операция определения dQf из законов термодинамики вполне
аналогична операции определения силы, действующей на материаль-
ную точку с помощью основного уравнения: = та.
Наряду с задачей определения dQ' и для заданных процессов
и заданных законов движения возникает важная задача об общих
физических законах для определения dQ1 и выполняющихся
в различных процессах и движениях.
В общем случае для идеальной смеси на основании (11.18)
можно написать
dQ' = adT + ₽dp + V Qkdmk = — d^m-SmdT+ -?-dp. (11.40)
V	P
Это равенство выполняется для различных возможных процессов.
Если принять, что a, р, Qk зависят только от Т, р и тк и что при-
ращения б/T, dp. с одной стороны, и приращения dmk. с другой
стороны, можно рассматривать как линейно независимые, то из
(11.40) получим
— a = -^--|-Sm.	=	(Ц.41)
0*1	1	"4	‘	()р	р	х	'
Если аир отличны от нуля, то получим, что соответствующие
формулы из (11.19), верные в обратимых процессах, в случае не-
обратимых процессов не имеют места и должны быть заменены
формулами (11.41).
Однако если в необратимых процессах на основании опытов или
дополнительных гипотез можно принять, что выполняются равенства
а = р = О,	(11.42)
то формулы (11.41) совпадают с соответствующими формулами
в (11.19). Легко видеть также, что если а = р==О, то все формулы
§ 11]	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ	$05
(11.19) выполняются для необратимых процессов. В самом деле, из
(11.15) и (11.41) при а=р = О имеем
Ввиду независимости возможных вариаций параметров mk и р_, Sm
^Ледует, что
Q	Q
\ omk JP,T 11	\ Omk sm *
р	*=1	*=1
Аналогичным способом можно показать справедливость остальных
формул в (11.19).
Таким образом, если а = р = О, то при необратимых процессах
в среде смеси верны следующие равенства1):
я	я
dQ' = —	dmk = — У	=
\ дтк }р, т 4	\ дтк lf, sm 4
Л=1	k=l
7	<7	_
01.43)
fe=l	k=l
Эти равенства могут служить для определения dQ't когда среда и
процессы известны 2).
С другой стороны, подобно равенствам (11.20)—(11.23) соотно-
шения (11.43) можно использовать для составления кинетических
уравнений для необратимых процессов, заменяющих собой уравнения
(11.20)—(11.23) и, в частности, уравнения Гульдберга — Вааге, уста-
новленные для обратимых процессов,
г
*) Равенства (11.43) получены из (11.42) и конечных соотношений (11.13),
(11.14) и (11.15), независимых от наличия связей, выражающих собой урав-
нения баланса масс. Принимая в этих равенствах дифференциалы dmb dm2t...
..., dmq произвольными и независимыми между собой, получим
=(4г-Ч • <11л4>
\ dmk fa, т \ дтк )?, sm \ дтк )Р, sm \ дтк )?, т
2) Если dQ* — dQ = d<A*=£0, то слева в (11.43) вместо dQ' нужно по-
ставить разность dQ' — dJL*. При наличии диффузии rfdi*=/=0.
206	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Для получения кинетических уравнений необходимо использовать
дополнительные законы, определяющие dQf. В макроскопической
теории эти дополнительные законы можно получить или проверить
из предварительных исследований с помощью (11.43) или опираясь
на данные, полученные с помощью (11.43).
Выше рассмотрены обратимые и необратимые процессы, которые
могут происходить в данной бесконечно малой частице. Во многих
случаях физические процессы, происходящие в совокупности взаимо-
действующих частиц, являются необратимыми, тогда как процессы
в каждой отдельно взятой частице можно считать обратимыми.
Например, тепловое, взаимодействие двух частиц твердого тела
с температурами Т* и Т2 > Тр изолированных от всех внешних воз-
действий, представляет собой необратимое явление.
В этом случае при передаче тепла dQ > 0 от частицы с темпе-
ратурой Т2 к частице с температурой Tj возникает рост полной
энтропии, который определяется формулой
dS = dSx + dS2 =	— 4^ = dQ > G-
1 1	>2	1 1 • *2
Каждый из процессов в отдельно взятой частице, заключающийся
в одной частице, отдающей тепло в уменьшении энергии, а в дру-
гой — получающей тепло в увеличении энергии, можно рассматривать
как обратимые процессы. Однако процесс теплоотдачи для двух
частиц с разной температурой в целом необходимо рассматривать
как необратимый.
Таким образом, необратимость процессов в совокупности взаимо-
действующих частиц может происходить как за счет взаимодействия
(например, теплопроводность), так и за счет внутренних необра-
тимых процессов в каждой малой частице.
Для получения условий обратимости или для получения в необ-
ратимых явлениях кинетических уравнений при взаимодействии сово-
купности частиц рассмотрим малый элемент среды, занимающий
объем V, ограниченный поверхностью S, как систему многих частиц.
Полное приращение энтропии dSm этого элемента разобъем на при-
ращение энтропии deSm, обусловленное внешним притоком энтропии
на подвижной границе (скорость движения t)) элемента S за счет
тепловых и диффузионных потоков, и приращение dtSm — за счет
внутренних необратимых эффектов.
, Имеем
dSm = deSm +	(11 -45)
Условие обратимости можно сформулировать равенством
§ 111	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ смесей	207;
jripn необратимых процессах имеем
> 0.
Выше было указано, что для изолированной частицы получение
кинетических уравнений в необратимых процессах можно свести
к задаче об определении некомпенсированного тепла dQ'.
В более общем случае для совокупности взаимодействующих
частиц получение макроскопических кинетических уравнений в необ-
ратимых процессах можно свести к определению величины необра-
тимой части приращения энтропии diSm.
Рассмотрим непрерывную материальную среду. Обозначим через
q вектор потока энергии в точках объема, занятого средой. Из опре-
деления вектора q следует, что общий поток энергии dQ* за время dt
внутрь произвольного объема V, ограниченного замкнутой поверх-
ностью S, представляется формулой
dQ* = — [ (д, n)dadt,
2
где п — единичный вектор, направленный по внешней нормали к по-
верхности 2.
Для бесконечно малого объема V для величины JQ* можно на-
писать
dQ* = — V dt div д = — KT [div g dt], (11.46)
второй член в правой части (11.46) отличен от нуля только в том
случае, когда gradT =£ 0.
Нетрудно усмотреть, что выражение
2
равняется потоку энтропии за время dt внутрь, объема, ограничен-
ного поверхностью 2. Этот приток энтропии можно рассматривать
как приращение энтропии массы, заключенной внутри S за счет
передачи энтропии данной частицы от частиц, расположенных вне
рассматриваемого объема V.
В общем случае внешний приток энтропии внутрь подвижной
поверхности S может возникать не только за счет притока энергии.
Поток энтропии может возникать еще за счет переноса энтропии
с массами при диффузии или при относительном движении различных
компонент, связанного с различием скоростей движения компонент
смеси относительно точек подвижной поверхности S.
Для суммарного потока энтропии к данному жидкому объему,
ограниченному поверхностью 2, движущейся с полем скоростей
208	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ТП
можно написать формулу
deSm =— J* (^•n)d<sdt =— VJZdivto, (11.47)
где to — вектор потока энтропии. Для вектора <о в случае смеси,
состоящей из q компонент с указанными выше свойствами с учетом
явления диффузии, можно написать
Q
w = у- + ^	(11.48)
ft=i
где 5л(р, Т, т2, ...» mq) — энтропия, отнесенная к единице
массы для &-й компоненты в данной смеси с энергией Um и объемом V
(плотностью р), a — векторы диффузионных потоков, определен-
ные равенством (11.5).
Для вычисления diSm можно воспользоваться формулой
Т dSm = Т deSm -|- Т diSm = dQ + dQ' = dQ* + dQ' — dJL*. (11.49)
Отсюда с учетом (11.46), (11.47) и (11.48) для малой частицы
с объемом V, получим
(7	\
k=l	/
Из (11.49), (11.43) и (11.44) с учетом dQ*j=dQ для приращения
энтропии получается следующая формула:
q
TdSm = dUm + mpd- — '£lpltdmll.	(11.50)
Л=1
Эта формула называется формулой Гиббса.
Из формулы Гиббса (11.50) следует
На основании (11.3), (11.6), (11.51) и (11.43) для приращения
diSm получим
±^ = _£гат,_±2гга(1(^31_2Л„..
k	k, а.
(11.52)
Формула (11.52) может быть положена в основу для получения ки-
нетических уравнений в феноменологических теориях.
§ 111	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ	209
формулу (11.52) можно представить в виде
=	С11-53)
Г
где 2^—компоненты обобщенных потоков, а обобщенные силы:
2i=#x,	22 = ^у, Q3 — qz> 24==J1x, 25 = Jly,
26 = jlz, ... 23tf+4 = PWP 23?+5 = Рда2> •••
у _	1 ЙТ у _	1 дТ у _	1 дТ
Л1	Т дх	’ Л2 “’	Т ду	' Лз —	Т dz	’
"^4=	^’дх(*Т’)’	*”	<^3?+4==	2
к
Проблему установления кинетических уравнений в некоторых
случаях можно рассматривать как задачу о составлении функциональ-
ных связей:
2Т = 2ТО Т, mv т2........т9; Xv Х2, ...).
При исследовании необратимых процессов, уклоняющихся мало
от обратимых равновесных процессов, во многих случаях можно
принять, что эти функции линейные, т. е.
2t = ^jLt₽*₽’	(11.54)
где матрица коэффициентов составлена из некоторых функций
параметров состояния.
Принцип Онзагера для рассмотренных выше процессов теплопро-
водности, диффузии и химических реакций заключается в равенствах
=	(11.55)
которые при малых отклонениях от равновесия могут быть получены
с помощью методов статистической физики из предположения о том,
что микроскопические физико-химические взаимодействия между эле-
ментарными частицами среды (молекулы, атомы) обратимы.
Феноменологические коэффициенты выражаются непосред-
ственно через коэффициенты теплопроводности, диффузии, термо-
диффузии и т. п. Соотношения (11.54) можно, рассматривать как
обобщения элементарных законов отдельно происходящих явлений
теплопроводности или диффузии на более сложные процессы, когда
в среде происходят одновременно теплообмен, диффузия и химиче-
ские реакции.
14 Л. И. Седов
210
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. Ш
Из второго закона термодинамики следует, что квадратичная
форма
SWG=7p#>0
должна быть положительной дефинитной.
Мы не будем здесь касаться более детальной теории свойств
коэффициентов часть из которых обращается в нуль, а также
теории, учитывающей действие на компоненты смеси не равных
между собой сил, рассчитанных на единицу соответствующих масс mk
(например, силы сопротивления относительным движениям компонент,
электромагнитные силы). Эти теории развиты в книгах [7,9,56,8ije
В заключение этого параграфа отметим, что в ряде случаев нельзя
получить удовлетворительное описание необратимых химических ре-
акций с помощью линейных соотношений вида (11.54).
§12. Вязкие жидкости и газы
С точки зрения механики и термодинамики модели материальных
континуумов можно определять как жидкость или газ, если для со-
стояний покоя такой среды внутренние напряжения могут быть
только давлениями. Кроме того, в любых процессах внутреннюю
энергию и энтропию жидкостей и газов можно считать функциями
р, Т, |хр |х2, ... или р, Т, |лр |i2....
где р-р |х2, ...—постоянные или переменные параметры физико-
химической природы, характеризующие свойства и состав вещества
и внутренние физико-механические процессы.
Таким образом, для жидкостей или тазов имеем
t/(p, т, |1р |А2, . . .),
S = S(p, Т, р.р р.2, ...),
(7-Т5 = <У' = ^Г(р, Т, (ip |12, ...).
(12.1)
Примем, что для любых движений при наличии любых процессов
давление р внутри жидкостей и газов определено равенством
Р = -О =р2^г-	(12-2)
' Р ...
В покое при наличии термодинамического равновесия из формул
(8.1), (8.9) § 8 следует, что тензор внутренних напряжений внутри
жидкостей и газов представится в виде
Р = — pG, pij= — pgU.	(12.3)
§ 12]	ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ	211
Если равенство (12.3) сохраняет силу и для движений, то
жидкость или газ называются идеальными в механическом и термодина-
мическом смыслах.
Жидкость или газ называются вязкими, если при движении для
внутренних напряжений имеют место формулы вида
Р — — pQ-\~Z, piJ =— pgli	(12.4)
где отличный от нуля тензор X называется тензором вязких напря-
жений.
В конкретных моделях вязких сред, вводимых для описания дви-
жения реальных жидкостей и газов, тензор X для произвольных
движений не является шаровым. Из этого замечания следует, что
для жидкостей и газов определение механически идеальной сплошной
среды, данное в § 8, как среды с шаровым тензором напряжения,
совпадает с определениями, заключенными в формулах (12.2) и (12.3)
для сред, характеризуемых многими параметрами р, Т, р2, ...
Уравнение притока тепла (6.10) для жидкостей и газов можно
написать в форме
dQ = dUm-\- pdydm-------^^e^dtdm.	(12.5)
Из предположения об обратимом характере приращения dUm для
вязкой среды следует, что элементарная работа внутренних сил,
обусловленных вязкостью
d$ =------ dt dm = — dQf,	(12.6)
связана с необратимостью процессов. Для изменения энтропии верна
формула
Т dS = dQ + dQ' = dQ+у	dt dm.	(12.7)
Построение конкретных моделей вязких жидкостей и газов и
получение замкнутой системы уравнений движения связано с устано-
влением свойств тензора вязких напряжений X.
В качестве основного допущения, обосновывающегося опытами
и кинетической теорией жидкостей и газов, принимается, что имеет
место тензорная связь следующего вида:
Х = /(@, о)р о>2, ...» Ар А2, ...),	(12.8)
где @ — тензор скоростей деформаций, определенный формулами
(6.8) и (6.9) главы II, величины <о2,... —скалярные, а Ар А2, ... —
тензорные характеристики состояния.
Если параметрические физические тензоры Ал, А2, ... отсут-
ствуют, то вязкая среда называется изотропной.
14*
212	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
На основании формулы (5.17) главы I для изотропной среды
тензорное уравнение (12.8) можно представить в форме
Z = kQG +	+ 62@2,	(12.9)
где kQ, kv k2—функции инвариантов <*7f, <*/2* Зъ тензора © и
скаляров о)р о)2, ...
Закон Ньютона для связи между тензором напряжения Р и тен-
зором скоростей деформации @ представляет собой частный случай
формулы (12.9), когда связь между компонентами этих тензоров
линейная и однородная.
Этот закон для вязких напряжений представляется формулами
или
т*/ =kdiv vgij	(12.10)
2
где р. и С = Х —	— коэффициенты вязкости, которые являются
в общем случае функциями скалярных параметров, определяющих
термодинамическое состояние частиц жидкости или газа.
Если ввести скалярную функцию Ф(<*/|, <*72*). определяемую ра-
венством
т=4[х(?о!+^1=4{с(^ч4|(^)2+^']}=
= у	<12-11)
ч
то формулу (12.10) можно написать в виде
(12.12)
деу
Функция ЧТ представляет собой однородную квадратичную форму
от компонент тензора скоростей деформации; работу внутренних
сил вязкости (12.6) через Ф можно представить формулой
о
dQ' = —d® = ~Wdm dt.	(12.13)
Формулы (12.10) и (12.12) для линейных однородных функций
можно обобщить на случай нелинейных зависимостей, когда выпол-
няются зависимости (12.12) в случае некоторого более общего вида
функции Ф от компонент тензора скоростей деформации. Такое об-
общение возможно как в случае изотропной, так и в случае анизо-
тропной среды. Для изотропной среды это дает для зависимости
(12.9) частный вид, когда существует потенциал (см. § 7 главы I).
§ 131	ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД	213
Если внешний приток тепла равен нулю, то из формулы (12.7)
и (12.13) следует, что
~ = -Wdm,	(12.14)
dt р	v 7
отсюда и из второго начала получим, что	Условие ЧГ^Она
основании формулы (12.11) приводит к выводу, что коэффициенты,
характеризующие свойства вязкости Сир для всевозможных сред,
не могут быть отрицательными.
Очевидно, что процессы диссипации энергии, приводящие к росту
энтропии за счет напряжений, могут проявиться только при дви-
жениях с деформациями, когда тензор скоростей деформации
отличен от нуля.
§ 13. Турбулентные движения сплошных сред
Во многих случаях при движении жидкостей и газов поле ско-
ростей и другие физические величины для каждой частицы и в
каждой точке объема пространства испытывают сложные пульса-
ционные изменения около некоторых средних значений. Такие дви-
жения называются турбулентными.
Опыт и теория показывают, что ламинарные-регулярные дви-
жения жидкости при больших значениях чисел Рейнольдса, т. е. для
данной жидкости при больших скоростях и больших масштабах,
становятся неустойчивыми и переходят в турбулентные с крайне за-
путанными извилистыми траекториями частиц жидкости.
Детальное изучение распределения в пространстве и во времени
мгновенных значений всех характеристик движения сильно затруд-
няется, вместе с этим во многих случаях с практической точки зрения
нет нужды в детальном описании таких флуктуационных неустано-
вившихся движений.
В турбулентных движениях жидкостей и газов целесообразно
ввести изменяющиеся плавно во времени и в пространстве осред-
ненные значения скоростей, плотности, давления, средних значений
пульсаций для различных величин и т. п.
ТакИхМ образом, можно ставить задачи о построении новых мо-
делей континуальных сред, для которых можно определять различ-
ные механические и физические характеристики, которые можно рас-
сматривать как средние величины для соответствующих характеристик
флуктуирующих движений континуальной среды с заданными меха-
ническими и физическими свойствами.
Развитие теории турбулентных движений и построение вообще
различных моделей сред для определения осредненных процессов
для некоторых классов турбулентных движений в одной и той же
среде с фиксированными свойствами связано с исследованием
214	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
проблемы о способах осреднения и проблемы об установлении системы
функциональных соотношений и уравнений для средних величин.
До настоящего времени теоретическое исследование турбулент-
ных движений производилось только для некоторых несжимаемых
жидкостей и совершенных газов, для которых истинные пульси-
рующие движения подчиняются уравнениям Навье-Стокса.
В некоторых случаях теории турбулентных движений жидкостей
и газов строились с учетом электромагнитных эффектов.
При определении средних значений различных величин в пульси-
рующих потоках необходимо опираться на экспериментальные методы
измерения средних значений в соответствующих опытах и на прак-
тически существенные свойства средних величин в классах изучаемых
механических задач.
На практике метод осреднения по времени в фиксированных
точках пространства является основным. Для турбулентных движе-
ний, установившихся в среднем, интервал времени для осреднения
в теории можно взять равным бесконечности. Если турбулентное
движение в среднем переменно во времени (нестационарное турбу-
лентное движение), то промежутки времени, за которые произво-
дится осреднение, должны быть достаточно большими по сравнению
со временем отдельных пульсаций и должны быть малыми по срав-
нению со временем заметного изменения средних величин.
Возможно также вводить средние величины как средние по не-
которым объемам, достаточно большим по сравнению с размерами
области с заметным различием пульсаций и малыми по сравнению
с размерами объемов, в которых происходит существенное измене-
ние средних величин.
В ряде случаев можно говорить о совпадении указанных выше
средних по времени и по объему. Такое совпадение является основ-
ным содержанием эргодических гипотез, а в некоторых случаях —
эргодических теорем о средних величинах.
Для изучения турбулентных движений можно использовать ме-
тоды и понятия теории вероятностей. В этом случае мгновенные
значения механических характеристик рассматриваются как случай-
ные величины, а средние величины определяются как математи-
ческие ожидания.
При использовании дополнительных гипотез физического харак-
тера, которые, как показывает исследование, необходимы для по-
строения моделей осредненных турбулентных движений, развитие
теории турбулентности возможно производить без детальной кон-
кретизации способа составления средних. Однако способ осредне-
ния должен обладать следующими общими свойствами.
Пусть а — мгновенное значение некоторой характеристики тур-
булентного . движения среды, средние значения величины принято
обозначать теми же буквами с чертой наверху. Значение а можно
§ 13]	ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД	215
представить в виде	_
а = а^а\	(13.1)
величина а' называется пульсационной ^составляющей; по определе-
нию среднее значение величины а' равно нулю:
г? = 0.	(13.2)
Из определения средних, следует также равенство
а = а.	(13.3)
Пусть b — другая величина той же природы, что и а, тогда верны
равенства
я—J- Ь—а-\-Ь	(13.4)
и
ab = а • b-\-afbf.	(13.5)
Следовательно, ab' = Ьа' = 0. Из (13.5), в частности, следует
а2 = (а)2 4~ а'2.
Кроме этого, требуется, чтобы операции дифференцирования по
времени и по координатам были бы переместительны с операцией
осреднения
Если средние определены как математические ожидания, то ука-
занные свойства выполняются точно. Если средние определены как
средние по времени, то для нестационарных движений свойства (13.3)
и (13.5) выполняются только приближенно *).
Уравнения движения для средних величин можно получить путем
осреднения уравнений движения для величин, описывающих мгновен-
ное состояние движения.
Рассмотрим осредненные уравнения на примере уравнения Навье —
Стокса для несжимаемой жидкости.
С помощью уравнения неразрывности
3
(13.7)
Идх
эти уравнения в декартовой системе координат можно написать
в форме
-Й£ + 2тГГ- = -17£т + *Ди«- G = b 2, 3). (13.8)
01	~ dxR р дх1
в) Изаксон А. А., К определению турбулентности, Ж. Русск. физ.-хим.
о-ва, т. XLII . вып. 3, 1910.
У^-=0
Йдх
duj_	у duiuk . du'iuk
dt	dxk dxk
k
1 др —
----7 4-V Ди.
р дх1	‘
и
216	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Применяя операцию осреднения к уравнениям (13.7) и (13.8), получим
I
} (13.9)
(Z = 1, 2, 3).
При изучении истинных движений уравнения (13.7) и (13.8) образуют
полную систему уравнений (число уравнений равно числу неизвест-
ных). Система уравнений для средних величин, носящих название
уравнений Рейнольдса, не является полной, так как содержит новый
неизвестный симметричный тензор
полученный за счет осреднения нелинейных членов.
Таким образом, для изучения осредненных турбулентных движе-
ний несжимаемой жидкости одних уравнений гидромеханики, доста-
точных для изучения истинных движений, недостаточно. Отсюда ясно,
что детальное теоретическое описание турбулентных движений воз-
можно только на основании некоторых дополнительных гипотез,
справедливость которых в конечном счете может быть установлена
только опытом.
Практика показывает, что такого рода гипотезы выставляются
применительно только к различным частным классам движений.
В настоящее время нам представляется маловероятной возмож-
ность построения модели одной идеальной сплошной среды и уни-
версальной системы уравнений, пригодных для описания произвольных
осредненных турбулентных движений, даже в случае только несжи-
маемой жидкости.
При исследовании турбулентных движений оказывается полезным
вводить так называемые моменты связи, представляющие собой сред-
ние величины различных произвольных величин, взятых в различных
точках объема и в различные моменты времени. Например,
Д (Хр х2, Ху Хр х2, х3, Xj, х2, х3, /, t , ? ) —
= г7Дхр Х2, х3, t)uk^x'v Х2, Х3, ^jp(x", Х2, Х3, t"y (13.10)
Такого рода величины зависят, вообще говоря, от координат
всех точек и соответствующих моментов времени.
С помощью уравнений для мгновенных характеристик можно по-
лучить уравнения для различного рода моментов связи. Однако таким
§ 14]	МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА	217
путем без дополнительных существенных гипотез также нельзя по-
лучить полной системы уравнений с конечным числом неизвестных.
Выставление дополнительных гипотез для уравнений в моментах
связи при рассмотрении некоторых частных типов движений позво-
ляет дать теоретический анализ и ценные выводы об осредненных
турбулентных движениях1).
§ 14. Модель упругого тела
Фундаментальным понятием механики, широко используемым в тех-
нике, является понятие о упругой среде, которую обычно рассматри-
вают как твердое тело. Ниже мы покажем, что идеальную жидкость
или газ также можно рассматривать как упругое тело. Теория упру-
гости положена в основу расчетных методов при разработке вопросов
прочности всевозможных инженерных сооружений, для проектируемых
и для уже построенных конструкций машин и разнообразных аппа-
ратов1.
Основной посылкой теории упругости является допущение об обра-
тимости процессов, а исходной моделью является модель твердого
деформируемого тела, рассматриваемого как материальный.континуум,
для малых частиц которого, внутреннюю энергию, свободную энер-
гию, энтропию и другие термодинамические функции можно рассма-
тривать как функции тензора деформации, температуры и физических
постоянных или переменных параметров, характеризующих тепловые
и механические свойства и состояние вещества. Параметры, характе-
ризующие среду, могут быть тензорными величинами.
Во многих практических случаях влияние температурных эффек-
тов незначительно, основное значение имеют компоненты тензора
деформации. Однако в дальнейшем мы рассмотрим модель упругого
тела как с учетом температурных эффектов, так и с учетом допол-
нительных физико-химических явлений, так как это по существу не
усложняет общую теорию и позволяет более полно использовать
законы термодинамики и понятие энтропии.
Ниже мы рассмотрим теорию упругости для конечных деформаций.
Соответствующие упрощения для малых деформаций будут очевидны.
Рассмотрим среду, для которой внутренняя энергия U или сво-
бодная энергия = U — TS, рассчитанные на единицу массы, пред-
ставляются как функции следующего вида:
sip s, {1Р (*2..р.„,	а1,	е3), ]
ИЛИ	.	}	(14.1)
=	г1}, т, н- 1*2- •••• IV V. 52, 53).|
!) Изложение соответствующих теорий можно найти в книгах: Бэтче-
лор Д. [3] и Седов Л. И. [32].
218	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Здесь через обозначены ковариантные компоненты фундамен-
тального тензора G, определяющего квадрат элемента длины в на-
чальном состоянии:
ds20 = g,9d^dif.
О	О О _ О О	О „О О О	О о л
а=
причем V» £2» ;3— лагранжевы координаты частиц среды. Если коор-
динаты частиц В1, В2, 53 не входят явно в формулы (14.1), то тело
называется однородным.
Через обозначены ковариантные компоненты тензоров конеч-
ной деформации g и 8 (см. § 4 главы II)
(14.2)
& = ев₽Э‘Э₽, 8=Sap3“3p = e:p3”3₽.
Напомнцм, что неподвижный базис 3Z- соответствует системе коор-
динат Ох1 х2 х3, которая определена как система отсчета, отно-
сительно этой системы происходит перемещение или движение точек
сплошной среды.
В деформированном состоянии элементу dsQ соответствует эле-
мент ds, определяемый формулой ds2 = ga$dla d$.
Через S и через Т обозначены энтропия единицы массы и абсо-
лютная температура, а через |i2, ...,	— физические и химиче-
ские параметры, которые определены как независимые определяющие
параметры; они могут быть постоянными или переменными, когда
механические явления сопровождаются изменениями физико-химических
свойств( среды. Совокупности некоторых параметров могут зави-
сеть от выбора системы координат и образовывать в базисе Э1 тен-
зорные величины. Если все параметры скалярны, то тело назы-
вается изотропным. Тело может быть неоднородным, но изотропным.
По предположению система виртуальных изменений #= 0 линейно
независима (см. § 6).
В § 4 и 5 были введены тензоры внутренних напряжений и ра-
бота напряжений в любых точках тела, отнесенная к единице массы
для любого смещения сплошной среды:
и
Р =	, Р =	= р"*элэ9
_оф
(14.3)
МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
219
§ 14]
причем =	—ра₽ и Зеар = еа? 8/, где еа& — компоненты тензора
скоростей деформации. Если базисы Эа и Эа в рассматриваемый
момент времени совпадают, то имеют место также равенства
Ёа8 = SaB И — Р'а?-
ар ар	л	*
Покажем теперь, что для получения замкнутой системы уравнений
теории упругости для обратимых процессов достаточно задать внеш-
ний приток тепла к единице массы dQ и одну из функций в (14.1),
U или .	1
В самом деле, уравнение притока тепла для обратимых процес-
сов, соответствующих всевозможным вариациям 8Z7, 85, 8еар или 8<^,
8Г и 8еа3, приводит к соотношениям
8Q = T8S	(14.4)
и
8^ = -^8T + ^8e.s + ^-8f, = -S8T+'5-Ks. <14'S>
Если возможные приращения компонент тензора деформации 8еа^
линейно независимы (нет геометрических связей, подобных условию
о несжимаемости и т. п.), то из (14.5) следуют формулы
Н \ ^£аЗ /S,	\	/Т,
(14.6)
Следовательно, внутреннюю энергию и свободную энергию, опре-
деленные как функции своих аргументов, в (14.1) можно рассматри-
вать как потенциалы для контравариантных компонент тензоров на-
1 О	1 А
пряжений у Р и у Р.
При адиабатических процессах 5 = const, и поэтому удобно поль-
зоваться формулой с внутренней энергией как потенциалом; при изо-
термических процессах Т = const, поэтому удобно использование
формулы со свободной энергией как потенциалом, но каждая из этих
формул применима для любых обратимых процессов с любым при-
током тепла 8Q.
В общем случае в формулах (14.6) энтропию 5 или температуру Т,
так же как и значения переменных параметров [i2, ..., (т п),
необходимо определять с помощью термодинамических уравнений,
220
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. Ill
следующих из (14.5):
или
(14.7)
(4=1, 2,
(14.8)
и
и одного из уравнений, вытекающих из уравнения притока тепла (14.4)
с учетом (14.7):
dQ=^b,ds
или
I dM.
aQ = - ™ (1Г) = - т I ~Tf~ «•« + 7Р- “т
(14.9)
Первое из уравнений (14.7) служит для определения температуры
при использовании потенциала 47, второе — для определения энтропии
при использовании потенциала .
Уравнения (14.8) можно рассматривать как дополнительные ко-
нечные соотношения, определяющие законы изменения параметров
р»2, .... через S и еаЭ или через Т и еар; эти уравнения анало-
гичны уравнениям Гульдберга — Вааге для описания обратимых хи-
мических реакций или уравнениям Саха для описания явлений иони-
зации в газах (см. § 11 главы III).
Уравнения (14.9) можно рассматривать как уравнения для опре-
деления изменений энтропии при использовании потенциала U или как
уравнения для определения приращений температуры при использо-
вании потенциала .
Если процесс адиабатический, то BQ = 8S = 0. В случае изотер-
мического процесса Т = const, а второе из уравнений (14.9) служит
для определения притока тепла.
В теории упругости, в специальных курсах, научных работах и
на практике уравнения (14.8) не встречаются, так как, обычно,
в упругих телах не рассматриваются механические явления, связанные
с изменением физико-химических переменных, однако такие процессы
возможны, и уравнения (14.8) могут оказаться необходимыми.
Уравнение неразрывности (3.8), динамические уравнения (4.17),
уравнения совместности (см. формулы (7.4) главы II), уравнения со-
стояния (14.6), уравнения физико-химического равновесия (14.8) и
уравнения притока тепла (14.9) образуют полную замкнутую систему
§ 14]
МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
221
уравнений термоэластики для любых упругих и вообще анизотропных
сред.
Явная форма этих уравнений определена видом одной из функ-
ций (14.1) и данными о притоке тепла dQ.
Система уравнений (14.6) — (14.9) установлена для общего случая
конечных деформаций. На практике компоненты тензора деформации
часто можно считать малыми, в этом случае для компонент тензора
деформаций верны приближенные формулы
e«B = y(Vew?4-Vpwe),
где wz— компоненты вектора перемещения (см. формулу (4.32)
главы I). Соответствующая теория малых деформаций называется гео-
метрически линейной теорией.
В случаях геометрически линейных задач нередко требуется в вы-
ражении термодинамических функций и в уравнениях состояния (14.6)
рассматривать нелинейные зависимости от компонент тензора дефор-
мации, определенных в геометрически линейном приближении. В этом
случае применяется геометрически линейная теория, но с нелинейными
физическими и динамическими связями, в частности, между компо-
нентами тензоров напряжения и деформаций.
Легко видеть, что при использовании теории геометрически малых
деформаций- в формулах (14.6) плотность р можно считать постоян-
ной, так как в пределах точности этой теории влиянием малых из-
менений плотности на компоненты тензора напряжения необходимо
пренебречь.
Очевидно, что в теории малых деформаций тензор напряжения
обладает потенциалом, что в общем случае неверно.
В соотношениях (14.6) — (14.9) в качестве независимых перемен-
ных взяты системы
ИЛИ
М' Т’ Hz-
(14.10)
Очевидно, что на основании уравнений состояния (14.6) в каче-
стве независимых переменных можно взять контравариантные компо-
ненты тензора напряжений ра$ вместо ковариантных компонент sa?
тензоров деформаций. Рассмотрим системы переменных
или
где
оаР, S, |iz
Т, |xz,
(14.11)
<&=рЦ.
р
222
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. Ill
В этом случае можно написать систему уравнений, аналогичную
системам (14.6) — (14.9), если ввести в рассмотрение следующие
потенциалы: теплосодержание i и термодинамический потенциал ЧГ,
отнесенные к единице массы частицы:
l = iCg^> (Ар р.2...........Ил-	= и
<&, т, р,2.......Ил*
(14.12)
В самом деле, с помощью i и Ф соотношения (14.5) можно на-
писать в следующем виде:
8/ = А-85 +	+ -g- 8р.,. = Т 85 — еаВ 8б«₽,
Об	0<заР 1 Ор./ ‘ 1	“Р
лиг /ЛК	/ЛК	(14.13)
W %- 8Т +	S».! + ар., = - S ST - М.
Из формул (14.13) следует, что уравнения состояния (14.6) можно
представить в виде
Уравнения (14.7) заменятся уравнениями
Т = (-^г)	и 5 = —(4?-)	•	(14.15)
\ds Л«₽,	\^т	v 2
Уравнения физико-химических процессов приобретут вид
(А)	=(-?-)	=0	(/ = 1, 2....т).	(14.16)
\Фх/ас?,Т
Уравнения притока тепла (14.9) в системах переменных (14.11)
приобретут вид
или	(14.17)
/дУ\ / dea8 _	\
"« = - ™ Ы = т (тг8’-' +-ЗГ<") 
Очевидно, что полная система уравнений термоупругости в пере-
менных (14.11) получается в явном виде, если одна из функций I
или ЧГ в (14.12) и приток тепла dQ заданы.
Уравнения состояния (14.6) в переменных (14.10) или уравне-
ния (14.14) в переменных (14.11) установлены при использовании
ковариантных компонент еар тензоров 8 и 8 и контравариантных
компонент раР тензоров Р и Р.
§ 14]
МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
223
Рассмотрим теперь другие группы формул, в которых исполь-
зуются компоненты тензоров 8 и Р с другим строением индексов.
Так как по условию компоненты тензора G относятся к фиксиро-
ванной системе координат в пространстве начальных состояний, то
компоненты g^ и g^ постоянны, поэтому на основании выводов § 7
главы I можно вместо (14.6) написать еще следующие эквивалент-
ные соотношения:
° dU
Рвф Р о □ Р ° о ’
де01!3
(14.18)
где
и
8a’ = g™b я, Й* =
.p O (Dp	О
Аналогичным образом из уравнений (14.14) следуют формулы
о й di
v =------------~’
(14.19)
Если система координат в пространстве начальных состояний —
ортогональная декартова система, то соотношения (14.6) и (14.18) и
соответственно (14.14) и (14.19) совпадают между собой.
Сложнее решается аналогичная задача при переходе к компонен-
там с другим строением индексов для тензоров Р и 8.
Осложнение возникает в связи с тем, что ковариантные и контра-
вариантные компоненты gap и тензора G переменны в частице,
и эти изменения согласно формуле (14.2) связаны с изменением ком-
понент еар тензора 8.
Отметим, что если системы базисов Э{ и совпадают, то со-
гласно формулам (6.9) главы II имеем
dsl7 = (dey)E,- = (d*ey)5/ = ei} dt = ±	dt,	(14.20)
где^, v2>	— ковариантные компоненты вектора скорости в базисе Э1
или Э1.
224	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1П'
Пусть е'у—ковариантные компоненты тензора 8 в базисе Э1.
Согласно формулам (6.12) главы II верна формула
dsb=del7—
где дифференциалы dz.. определены равенством
Из (14.21) следует, что в общем случае верно неравенство
* P^dSa?-
Компоненты тензора $ со смешанными и контравариантными
индексами определены уравнениями
Sa0 = S’aco8^ = (2еа<о 4” ^асо)	( * ^.22)
И
м =	= (2еаХ 4- gaX) (2£(х3 4- g^) >.	(14.23)
В формулах (14.22) и (14.23) ковариантные компоненты еар имеют
одинаковые значения в базисах Э1 и Э1.
После дифференцирования формулы (14.22) получим
dea$ (В?и — 2s= ga(o
отсюда
= |х‘ </м (В3,, - 2^).	(14.24)
Аналогичным образом после дифференцирования формулы (14.23)
найдем
dsX|1 = g^g*1 (О?; — 28?; в?; — 28? ;ё?ш) de^.	(14.25)
и
Рассмотрим теперь некоторую функцию
ф(^’ 8^) = ®!^, ^) = Ф2(£р. е“3).
На основании (14.24) и (14.25) имеем равенства
2‘3 = — =
2<Ф = дФ	дФ2 =
dea3	deX|1 (?еа3
=	gXug-'' (8аш8?, - 28?ш;?; - 283;;?ш).
(14.26)
§ 14]
МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
225
На основании равенств (14.26) и операции опускания индексов
у компонент ра$ с помощью тензора g^ уравнения состояния (14.6)
можно написать в следующей форме:
(14.27)
(14.28)
В формулах (14.27) подразумевается, что аргументами функ-
ций U и являются е^, и S или Т соответственно, а в фор-
мулах (14.28) аргументами являются следующие величины g^, siJ,
и S или Т соответственно. Если некоторые совокупности пара-
метров образуют компоненты тензоров, то в формулах (14.6),
(14.27) и (14.28) принято, что эти компоненты взяты в базисе
Формулы (14.6), (14.27) и (14.28) верны как в базисе 3Z, так и
в базисе потому что они имеют тензорный характер и при любых
преобразованиях координат, в частности при переходе от подвижной
лагранжевой системы координат ВЧ2^3 к эйлеровой х1х2х3, сохра-
няют свой вид, на основании этого в этих формулах над компонен-
тами тензоров опущен символ крышка наверху.
В общем случае для элементарной работы напряжений верны
формулы
КЛ1 =------ /?а₽8е а =--- p Vdea; =---- р de"’,
р г ар	р	р	-|х*
где q^— элементы матрицы, обратные матрице — 2®?^ ||:
1д 1=114-24 Г
На основании формул (14.6), (14.18) и (14.27) следует. что
выполняются следующие равенства:
м/ = _^£_8е =
Однако заметим, что при использовании компонент тензора
деформаций сар и в неподвижном базисе системы отсчета Э1
в силу (14.21) в общем случае имеют место неравенства


аР
¥=
—— Ье й ¥=
°*
8е'аё.
15 Л- И. Седов
226	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
Уравнения (14.6), (14.8) и другие эквивалентные им соотноше-
ния установлены в предположении, что при обратимых процессах
вариации компонент тензора деформации вариации физических
параметров Bjx. (Z=l, 2, т) и температуры Т или энтропии S
линейно независимы. При обратимости и линейной независимости
указанных вариаций возможны случаи, когда область 2 их измене-
ния не произвольна. В частности, в рассматриваемой точке М в про-
странстве еар, Т допустимая область Qf может быть расположена
с одной стороны некоторой гиперповерхности, которая в точке М
имеет угловую или коническую точку, в этом случае установленные
выше соотношения будут выполняться только в области которая
расположена по одну сторону этой поверхности.
Рассмотренные выше уравнения необходимо дополнить и видо-
изменять как в случаях, когда необходимо учитывать необратимые
Процессы, так и в случаях обратимых процессов, когда на пере-
численные вариации налагаются дополнительные связи. В частности,
число уравнений (14.8) или (14.16) сократится, если некоторые из
параметров |iz зафиксировать наложением соответствующей связи.
Если принять, что среда несжимаема, то согласно (4.17) главы II
это накладывает на вариации тензора деформации следующее условие:
g*9 8м=о.
(14.29)
Для несжимаемой среды основные уравнения (14.5) можно пере-
писать в виде
W = Т 8S 4- ” + pg 8s 8,
p	“P
-I—
MT = — S 8T +	+ P-g-- 8ee?.
(14.30)
В равенствах (14.30) можно приравнять нулю коэффициенты при
всех вариациях, а величину множителя р определить так, чтобы
условие несжимаемости (14.29) было бы выполнено.
Таким образом, при наличии связи (14.29) соотношения (14.6),
(14.27) и (14.28) заменятся следующими соотношениями:
(14.31)
§ 141
МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
227
Для обратимых процессов достаточно задать одну из функций U
или . этим определятся напряжения в зависимости от деформации
и температуры или энтропии.
Если все постоянны и процесс изотермический, то наличие
экспериментальных или теоретических данных о зависимости напря-
жений от деформаций при рассматриваемых постоянных значениях
температуры Т:
Р* = р/а₽ (By, Т) = р	(14.32)
7	\ /T=const
достаточно для замыкания системы динамических уравнений, уравне-
ний совместности и уравнений неразрывности.
Однако задание функций /а? (eZ;-, Т), которые должны удовле-
творять условиям
df^  dfU
(14.33)
еще недостаточно для определения свободной энергии	Т),
энтропии S (sZy, Т) или внутренней энергии U S). Знание этих
функций необходимо для полного описания тепловых эффектов,
проявляющихся при неизотермических процессах.
Для теплоемкости единицы
массы С* (еар, Т) при
заданном
деформированном состоянии, определяемом постоянными значе-
ниями еар, имеем равенства
Учитывая еще, что
для полных дифференциалов tZ5(ea₽, Т), dU (ea?, Т) и d<^ (eag, Т)
15*
228
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[Гл. 1И
можно написать
.о_	1 др^ .	,
dS— р </еа₽+ т dT,
dU = — 4- - х-‘ ' d^+Ct а dT,
р и 1	ар
dg' = d (U — TS) = deaf) — 5 dT.
(14.35)
Очевидно, что дополнительные данные о теплоемкости Се как
функции от еар и Т должны удовлетворять условию интегрируемости
выражений (14.35). Нетрудно проверить, что условия интегрируе-
мости во всех формулах 44.35) будут выполнены, если наряду
с равенствами (14.33) выполняются равенства
(14.36)
Из уравнения неразрывности следует, что плотность р зависит
только от компонент тензора деформации и, следовательно, не зависит
явно от температуры, поэтому в (14.36) плотность можно ввести
под знак производной по температуре.
При определении термодинамических функций с помощью опы-
тов соотношения (14.33) и (14.36) могут быть использованы для
сокращения или для проверки опытов.
Из (14.35) энтропия определяется с точностью до аддитивной
постоянной So, внутренняя энергия — с точностью до аддитивной
постоянной свободная энергия — с точностью до линейной функ-
ции от температуры UQ — SqT. Очевидно, что постоянные Uo и So
в чисто термоэластических задачах несущественны. Эти постоянные
становятся существенными при учете физико-механических процессов,
определенных параметрами |xz, от которых эти постоянные могут
зависеть.
Отметим еще формулы для и S через U(ea?, Т) и некоторую
произвольную функцию только от компонент деформаций 5*(ев₽).
Имеем
«3	аз
Отсюда находим
т
<^(еа₽. Т) = - f ^dT-S*(M)T+C
Т,
§ 14]
МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
229
и
т
S(e«3- Т) = т + / ^T + 5‘h)'
То
Нижний предел интегрирования То может отвечать произвольно
зафиксированной температуре, С — постоянная интегрирования. Функ-
цию S*(sap) легко определить по известной зависимости напряжений
от деформаций при температуре То.
В самом деле, имеем
=(а<г) =—т
\ р 'Т=Т0	' d£ap/т,	0 deap
отсюда функция S*(eap) определяется с точностью до аддитивной
постоянной.
Рассмотрим теперь еще некоторые важные процессы.
Наряду с упомянутым выше процессом при постоянных sap, соот-
ветствующим неизменному деформированному состоянию, рассмотрим
процесс при постоянных ра?, т. е. при постоянном тензоре Р
в частице. (Если р°$ = const, то компоненты р*^ р^ рг*'$ и р'^ могут
быть переменными.)
Обозначим через Ср0$ теплоемкость при постоянном напряжении.
Имеем
= С,., «Т = С1-> dT + [( "-)т - 4]
Отсюда с учетом (14.34) получим
г ' г _ т (др* \	\
р \ <?т 7е \ ат /
«3	р
(14.37)
Формула (14.37), установленная для. общего случая анизотропной
Среды, является обобщением формулы (8.13b) для идеально сжимаемой
среды.
Связи между , еа? и Т определены формулами (14.6) и не
зависят от характера процесса, но значения и Т в рассматривае-
мый момент времени зависят от процесса.
Например, при изотермическом процессе Т = const и AS =# О, при
адиабатическом процессе S = const и АТ #= О, поэтому при задан-
ной деформации соответствующие напряжения в изотермическом и
адиабатическом случаях будут различными.
16 Л. И Седов
230	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. ТП
Для соответствующих напряжений при одинаковой деформации,
верны формулы
(4)	где ^ = ^.,Т0).
\ Р 'изотер (7£аЗ
(т) 6 ==^~> где =	т)’
\ Р 'адиаб (7£аЗ
причем Т #= То.
Величина Т определена уравнением
S(sap, T) = S(sa3, То).
Пусть деформированное состояние, определенное компонентами еа₽,
соответствует общему началу рассматриваемых двух процессов.
Если ДТ = Т— То мало, то верны следующие соотношения:
(£L\	.(14.38)
\ Р /адиаб ' Р /изотер	р \ иТ ' е^, То
Рассмотрим случай малой деформации при адиабатических и изо-
термических процессах около заданного конечным образом дефор-
мированного состояния. Из условия адиабатичности малые прираще-
ния ДТ и б/еар связаны условием
лт । as , А
ат	°-
Далее, так как
/Д5\	%
\ dT L — т \ дТ — Т
Хи	Хи
И
dS  д2<Г 	1 р/М ‘	*
то получим формулу
<„аб - Изотер =	d^‘	<14-39>
Формула (14.39) определяет малую разницу р“^иаб — Ризотер в за"
висимости от малой деформации dsX(JL.
Для упругой среды свободная энергия, рассчитанная на единицу
массы, зависит от ковариантных компонент тензоров ga^ eap и от
физических свойств среды, которые могут характеризоваться тензор-
ными величинами, задаваемыми в базисе определенном в про-
странстве начальных состояний.
§ 14]
МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
23!
Инвариантная скалярная величина & является функцией темпе-
ратуры и совместных инвариантов тензора деформации и тензоров,
характеризующих физическую природу среды.
Свойства симметрии кристаллов связаны со специальным видом-
тензоров, задающих физические свойства тела.
Во многих случаях функцию можно считать голоморфной
функцией ДТ = Т — То и еар. Если в качестве начального состояния,
отвечающего равенству 8^ = 0, выбрать равновесное состояние
с температурой TQi в котором отсутствуют внутренние напряжения,
то очевидно, что разложение функции в ряд по ДТ и еар должно
начинаться с членов второго порядка, т. е.
& = й°%е75 + х%ДТ + х(ДТ)* 2 +2,	(14.40)
где через 2 обозначены члены более высокого порядка малости.
При малых деформациях можно ограничиться только первыми
квадратичными членами разложения.
Пользуясь этим, из формул (14.6) при приближенной замене
плотности р через постоянное значение р0, что связано с ошибками
в малых высших порядков, получим общий случай закона Гука,
когда контравариантные компоненты тензора напряжения являются
линейными функциями ковариантных компонент тензора деформации.
Из этих связей с помощью операций жонглирования индексами
можно получить связи между компонентами тензоров напряжения и
деформации с иным строением индексов и в различных базисах.
Эти связи при малых деформациях можно рассматривать прибли-
женно, так же как линейные.
При наличии закона Гука свойства специальных случаев анизо-
тропии сводятся к некоторым свойствам симметрии двух физи-
ческих тензоров с контравариантными компонентами и ха₽.
В развитой выше теории в качестве начального недеформирован- ‘
ного состояния было взято состояние, отвечающее отсутствию вну-
тренних напряжений. Покажем таперь, что любое конечным образом
деформированное состояние равновесия с внутренними напряжениями»
отличными от нуля, можно выбрать в качестве начального для отсчета
конечных деформаций и для определения соответствующих внутрен-
них напряжений и новых внешних сил, обращающихся в нуль
в новом начальном состоянии 2).
Рассмотрим в данной лагранжевой системе координат £*, В2, £3 трц
базиса: начальный базис отвечающий отсутствию напряжений^
*) Подробности свойств симметрии кристаллов и выражения для сво-
бодной энергии (14.40) для кристаллов различных типов можно найти в книг$
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. [18].
2) Этот вопрос более подробно изучен В. Д. Бондарем.
16*
232
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
<5азис ЭР отвечающий положению равновесия под действием внешних
массовых сил F=F Эа с внутренними напряжениями Р = рарЭаЭр,
причем соответствующая конечная деформация определена тензором
*	*	« д *0	*
Й=8арЭЭ и базис Эр отвечающий произвольному деформирован-
ному состоянию, движущейся среды под действием внешних массовых
F=Fa3a сил с внутренними напряжениями, определенных тензором
Р=р°$ЭаЭ^
Через 8 = еа?ЭаЭР обозначим тензор деформации движущейся
среды относительно исходного начального состояния Эр
Конечная деформация движущейся среды относительно фиксиро-
ванного базиса Эь представится тензором
8 =	где еа? = еар — ее₽.
! *
Покажем теперь, что при выборе базиса Э, в качестве началь-
ного все уравнения теории упругости будут выполняться, если, при-
нять, что: массовые силы определены равенствами
F=F“3a = (Fa-Fa)3a + ^(f^-f^)3a,	(14.41)
где Гур и Г— символы Кристоффеля в соответствующих системах
координат (разность (Г“р— Г^) может отличаться от нуля, если
деформация, определяемая тензором 8, неоднородная), причем тензор
внутренних напряжений определяется в виде
А *	Л01®
Р =	где j- = -?-----у--	(14.42)
Свободная энергия для нового определения начального состояния
представится в виде
*оф
1 =	eap + eap’ Т)   (S«P “Н	(14.43)
где функция (gap, eap, Т) определена для исходного начального
состояния, отвечающего отсутствию напряжений.
В самом деле, имеем следующие уравнения движения и уравнения
равновесия:
А
p*/g*(Fa —а“)ЭаЧ------------------= 0,	(14.44)
*аЗ
г_ . . dfVg*?-9x
Р* VГ Fa3a Ч------------------ 0.	(14.45)
§ 14]	МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА	233
В этих уравнениях использовано равенство
po/io = p’/F
Векторное уравнение (14.45) можно переписать в виде трех скалярных:
Р* /F F + —	р* + р* /Р (Гяр - г “з) + р* /Р Гяз = О
(а = 1, 2, 3).
Эти уравнения равносильны одному векторному уравнению в ба-
зисе 3Z:
__ *«р
р*урр“_^_(г^_f;₽)]эач-----------------=о. (14.46)
Составляя разность уравнений (14.44) и (14.46) и используя обозна-
чения (14.41) и (14.42), получим вместо уравнения (14.44) новое
аналогичное уравнение с измененным началом отсчета для компонент
тензоров напряжений и деформаций:
а£
----=0.	(14.47)
В уравнении (14.47) внешние массовые силы определены форму-х
лой (14.41). Любопытно отметить, что при неоднородной деформации
относительно нового начального состояния необходимо вводить массо-
вые силы, обусловленные наличием внутренних начальных напряже-
ний. Такие массовые силы иногда необходимо вводить также в случае
бесконечно малой деформации, определенной тензором 8 =
Уравнение притока тепла
(giP ЧР Т) + S dT - dea9 = 0
можно преобразовать к виду
(ii;’ si/ + szp Т) —	(eap+e<x₽)]	—^deap = O.
Отсюда следует справедливость формулы (14.43). В формуле (14.43)
тензоры iijSiSj и	играют роль постоянных параметрических
тензоров.
17 Л. И. Седов
ч234	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
В случае малых деформаций, когда можно пользоваться геометри-
чески линейной теорией (тогда как динамически, вообще говоря,
нелинейной теорией), все предыдущие окончательные выводы упро-
щаются за счет того, что базисы 3Z, и можно считать
совпадающими.
§ 15. Термоэластические изотропные среды
Среда называется изотропной, если постоянные и параметры,
характеризующие ее физико-механическую природу, можно рассма-
тривать как скаляры или как тензорные функции только от метри-
ческого фундаментального тензора G.
Рассмотрим соотношения между компонентами тензоров деформа-
ции и напряжения со смешанными индексами. Имеем
84’. = giaS
] ь а}
Pj\=ghpai- J
(15.1)
Любые скалярные инварианты тензоров ё и G можно рассматри-
вать как функции инвариантов g v $2 и <*73 определенных фор-
мулами
с71 = £аа — г-А + е2 “Ь £з*
^2=2 (S-«S?3 “ 8“з8-) = ®1S2 + Sl®3 + e2S3-
(15.2)
sh	s!2	sl3
®2i	®22	s23
e3i		s33
--- £1£2£3*
Следовательно, свободную энергию частицы, рассчитанную на
единицу массы, можно рассматривать как функцию вида
^T = jr(^p ^2, ^3, т, Н, |12, ..., Ия, S1, £2, В3)
или
=	^2, SV Т, |1Р |Л2, ..., ь, $2,	(15.3)
Инварианты	z тензора g и <$ х= <*72=<*72,
^3=^Г3, тензора ё связаны формулами (4.15) главы II; jjlp ji2,...
— скалярные физические параметры. Изотропная среда назы-
вается однородной, если лагранжевы координаты £р 52, $3 точек
среды в выражение свободной энергии (15.3) не входят.
§ 15]
ТЕРМОЭЛАСТИЧЕСКИЕ ИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ
Уравнения состояния (14.6) и (14.27) для изотропной среды полу-
чаются в упрощенной форме. Для написания этих уравнений заметим
следующие из (15.2) вспомогательные формулы:
где (е-1)!'; — элемент обратной матрицы Це^Ц"1. Учитывая (15.4),
из (14.6) й (14.27) получим
7?/
/ деГ .	°, д^Г .	° доГ \
Т" 9 1 —Б---г с/ 2 I ------------
з /
\д&\	’ ‘ д&2
—s';e
дЗг
(15.S>
__/ де7“ ।	~
~	1ЖГ
/ о	|	I о гт
\z д&г 1" 3 1 д&г
4— <7	___2 4	5*'- 
^с/2^3	2с,Зд5г3/й-У
I ft	\ i. I / доГ I о
Очевидно, что в пространстве начальных состояний главные оси
тензоров 8 и Р = р^ЭлЭ^ совпадают, в пространстве деформирован-
ном совпадают главные оси тензоров 8 и Р= рл^ЭаЭ^.
* • На основании общей теории и формул (7.16) и (7.17) главы I
уравнения (15.5) и (15.6) можно представить в форме
а = ;<=^, pl=Oz=(i_2e/)^L
?	1	Р ‘	1 дч
Р h dhl t ’
/15.7)
где hit—компоненты тензора Генки Я, определенного через тен-
зор 8 по формуле
Я = —ln/G -28.
17*
236	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Элементарную работу внутренних сил с учетом разрешения со-
отношений (14.24) относительно Jeap, можно представить в следую-
щих видах:
Р’Р О	1 А А А
= - у- Чр = - V ? Зе-.	(15.8)
Здесь через qlj обозначены элементы матрицы, обратной матрице
Возьмем систему координат, которая в данный момент времени
совпадает в рассматриваемой точке с главными осями тензора дефор-
мации 8. В этой системе координат имеет место матричное
равенство
(1 — 2е\)	0	0 1	0	(1 — 2е2)	0 0	0	. (1-24)	-1	1	0	0 1	о	
		1 — 2^ о		
		V 0	1 — 2е2 0	1	
			1-2е3 (П	5.9)
О	А
В изотропном теле в главных осях тензоров Р и Р для элемен-
тарной работы внутренних сил на основании равенств (15.8) и (15.9)
следуют формулы
8^=—7 [X	+X 8%+X 8®3з]=
_	1	Рз^.'з
р L 1 — 2г,	1 — 2е,	1 — 2е3
(15.10)
Для получения окончательной формулы заметим, что с точностью
до малых высшего порядка верны равенства
8е*: = Ве. и Be** = Ве.»
так как в главной системе координат для любого симметричного
тензора верно аналогичное соотношение
вт!‘; = 8TZ.
(15.11)
§ 15]
ТЕРМОЭЛАСТИЧЕСКИЕ ИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ
237
В самом деле, пусть Т,- и Т( — 8TZ— корни характеристических
уравнений, которые в главных осях тензора 2 =	имеют вид
л —Т1 —8Ти	— 8т!2
— 8Т* 21 X — Т2 — 8Т22
— 8Т3;	— 8Т32
— 8т!з
— 8Т23
X —Тз—8Т3з
= (X — Ti — 8T?i) (X — Т2 — 8Т22) (X — Тз — 8Т3з) + А, (15.12)
где А—бесконечно малая величина второго порядка малости.
Если главные компоненты ТР Т2 и Т3 тензора Z различны между
собой, то из уравнения (15.12) следует, что для корней этого урав-
нения верны равенства
\ = Ti + 8Tz = Ti4-8T!;+Az,
отсюда вытекает справедливость (15.11), так как величины Az— бес-
конечно малые второго порядка (см. также формулу (7.12) главы II).
Если некоторые из ТР Т2 и Т3 равны между собой, то главные
оси тензора X не определены однозначно.
Главные оси можно определить так, чтобы и в этом случае
равенство (15.11) выполнялось *). Таким образом, на основании (15.11)
формулу (15Л0) можно написать в виде
i	i	i
Главные компоненты ez и ez связаны формулами2)
Ч
8; =
sj°	&Ч
-----—, отсюда os, =	Ц—
1 —2ег	1	(1-2е,)’
Пользуясь последним соотношением, из (15.13) получим формулы
Pi = Pt(l— 2ez) или pz(l 4-Ez) = pz(l —Ez), (15.14)
’) Этот вывод можно получить с помощью предельного перехода от
случая неравных Тр Т2, Т3 к случаю, когда корни характеристического урав-
нения кратны.
2) См. формулы (4.14) главы II.
238	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
так как
1_2;г=(1-^)2 и 14-£.=—*
l — b/
На основании (15.7) следуют также формулы
=	(15.15)
С помощью равенств (15.15) можно дать вместо уравнения со-
стояния в форме (15.6) уравнение состояния в форме, разрешенной
относительно с независимыми переменными Т и р...
В самом деле, на основании (15.15) уравнение притока тепла
для обратимых процессов можно написать в форме
№ =	§т + № 8о +	8[1. = _ s gT _	'	(15д 6)
(7 1	0$
где потенциал ЧТ* определен формулой
=	— ЬлЪлё.	(15.17)
Из (15.16) следует, что уравнение состояния можно написать
в форме
Рассмотрим некоторые частные случаи !).
Предположим, что свободная энергия зависит только от плот-
ности р и от температуры Т. На основании уравнения неразрыв-
ности (3.5) следует, что свободная энергия может быть представлена
как функция следующих аргументов Т и / = 1 —	+ 4<*/2 — 8^Г3:
=	Т).
В этом случае формулы (15.6) приводятся к виду
' р/.=- 2^~хр8/'-
Отсюда следует, что в пространстве деформированной среды
тензор напряжения является шаровым тензором. Поэтому такую
среду можно рассматривать как идеальную сжимаемую жидкость.
1) Д. Д. Ивлевым рассмотрены особенности моделей изотропного упру-
гого тела, для которого поверхности of-Qonst кусочно гладкие [п].
§ 15]
ТЕРМОЭЛАСТИЧЕСКИЕ ИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ
239
В этом случае тензор напряжений Р в пространстве начальных со-
стояний не является шаровым тензором (см. § 4 главы II).
Из (15.6) очевидно, что необходимое и достаточное условие
о квазилинейной связи между тензорами Р и 8 состоит в равенстве
дГ
д<У3 "Т
Общее решение уравнения
можно представить в виде
<^(^р
или в следующих равносильных формах:
(15.20)
д&2
с частными производными (15.19)
2^3-^2,Т)
^ = ^Г(^р 1—2^ 4-4^2 — 8^3, Т) 1
и	}
<^ = сГ(^р р. Т).	J
Из (15.6) и (15.20) следует
Pj- = (р - Р"дг) 8>- - 2Р s‘r
Если связь (15.21) является линейной и однородной
должно быть
P\<?^i Р / <^1’ Р
отсюда
В —	।	__ $$
др	р2 *	! р
где Л и $ — скалярные постоянные, могущие зависеть
(15.21)
ПО efj, ТО
от темпе-
ратуры.
Из условия интегрируемости получим	причем для функ-
ции получим формулу
—О 4 /(Т).	(15.22)
Вид функции (15.20) и (15.22) для свободной энергии опреде-
ляет необходимое и достаточное условие для квазилинейной и соот-
ветственно, линейной связи между тензорами Р и 8 в базисах
или Э}.
1	1	о	о.	о
Из (15.5) следует, что для тензоров Р и 8, взятых в базисах 3Z,
необходимое и достаточное условие квазилинейности имеет вид
^ = 0, т. е. ^Г = вГ(^р #2, Т),	(15.23)
3
240
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
а условие для однородной линейной связи !) между тензорами
— Р и 8 имеет вид
Р
=	+	^?_а^-2 + с,	(15.24)
где а, Ъ и с — скалярные постоянные или функции от температуры.
Очевидно, что условия о квазилинейной связи (15.20) и (15.23)
не совпадают. Квазилинейное соотношение (15.21) равносильно не-
которому существенно нелинейному соотношению между компонен-
тами и г1', и наоборот.
При бесконечно малых деформациях формулы (15.22) и (15.24)
совпадают с точностью до малых второго порядка включительно, если
2с4	, 4Л
а =--------и и —-------.
Ро	Ро
Квазилинейную зависимость (15.21) можно записать как равен-
ство, указывающее в явном виде на подобие между девиаторами
напряжения и деформации в форме
tjl.	2р^~ dlj,	(15.25)
где
причем — первый инвариант тензора напряжения, для которого
согласно (15.21) верна формула
=	<1Б.26>
Обозначим через и Ае вторые инварианты девиаторов тензора
напряжений и тензора деформации, определенных формулами
и
=4 ы -	-1
д5=4 to??—=^2—4^1’
(15.27)
где и <^2— инварианты Р, а и — инварианты 8.
!) Так как в общем случае <У3 #=0, а плотность р зависит от ^3, то оче-
видно, что для упругой изотропной среды в рамках точной нелинейной тео-
рии невозможна линейная однородная связь между тензорами Р и g. Свой-
ства свободной энергии для динамически нелинейных изотропных тел, для
которых выполняется закон Гука в простых растяжениях, для плоских
напряженных или плоских деформированных состояний, рассмотрены в ра-
ботах Д. Д. Ивлева [10] и М. Э. Эглит [42].
• § 16]
МОДЕЛИ С НЕОБРАТИМЫМИ ПРОЦЕССАМИ
241
Из (15.25) очевидно, что
л-
-Td-i
6-
Де 4р \dffj
(15.28)
и
Из (15.28) и (15.26) имеем
1 ,/”д7
<^,	3—2.7,
Зрг~’ 6^~
dff'
<*₽
и
Условие интегрируемости (15.29) для получения функции
(р> c7i> Т) приводит к соотношению
д , /~ До д_/~Д„	, /~ Д„ 1 д<^.
О-2^)^ У Х-Зр^У -дг+И	(15'30)
Уравнение (15.30) может быть полезным при использовании опы-
тов для определения связи между Др и Де.
Если .принять гипотезу, что первый инвариант тензора напряже-
ния зависит только от плотности р, то соотношение (15.30) пре-
вратится в уравнение с частными производными для величины у
как функции от р и Интегрируя это уравнение, получим
(15.31)
где f — произвольная функция своего аргумента.
§ 16. Замечания о механических моделях
с необратимыми процессами
Необратимые эффекты в механике сплошных сред необходимо
учитывать в связи с процессами, сопровождающимися существенной
диссипацией механической энергии, при структурных изменениях
физико-механического строения, обусловленного внутренней неравно-
весностью частиц сплошной среды, а также в идеальных средах
с обратимыми процессами, но с необратимыми потерями на сильных
разрывах ударного типа вдоль некоторых поверхностей (разделяющих
области непрерывности), через которые проходят частицы среды.
На основе уравнений механики, первого и второго закона термо-
динамики выше было показано, что для описания обратимых про-
цессов и движений сред с помощью замкнутой системы уравнений
помимо внешних условий достаточно задать в функции соответствую-
щих переменных только одну из функций, например внутреннюю
энергию частицы U, рассчитанную на единицу массы или свободную
242	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
энергию отнесенную к единице массы, или теплосодержание
i=U — оареар, или термодинамический потенциал ф =	— за?еар.
Определение этих функций можно производить с помощью ста-
тистического рассмотрения молекулярных кинетических моделей, либо
с помощью обработки опытных данных, либо как результат некото-
рых гипотез, которые могут предлагаться для их изучения и апро-
бирования по выводам из уравнений движения. В некоторых случаях
определение функций состояния можно производить с помощью
комбинирования всех этих трех способов. Для описания необратимых
явлений задания одной из этих функций недостаточно, так как тре-
буется установление дополнительных уравнений, регулирующих кине-
тику неравновесного изменения определяющих параметров или допол-
нительных законов, определяющих внутренние напряжения, которые
обусловливают потери механической энергии, связанной с ростом
энтропии частиц. Указанные выше общие приемы для определения
термодинамических функций состояния модели сплошных сред могут
применяться также и для составления кинетических уравнений и
установления свойств внутренних напряжений [7]. Термодинамическое
исследование необратимых процессов необходимо производить не
только тогда, когда тепловые эффекты связаны с существенными
изменениями температуры. Возможны случаи, когда температура
постоянна вообще (изотермические процессы), а тем не менее термо-
динамические эффекты важны, так как, кроме температуры, другие
термодинамические параметры состояний могут изменяться и сильно
влиять на рассматриваемые процессы. В термодинамических теориях
при использовании понятия энтропии необходимо вводить в рассмо-
трение также температуру, несмотря на то, что изменения темпера-
туры могут быть несущественны и, следовательно, на первый взгляд
можно было бы исключить температуру из рассмотрения.
На практике при исследовании различных движений и вопросов
прочности различных сооружений возникает необходимость учитывать
и описывать большое многообразие эффектов, обусловленных нали-
чием термодинамической необратимости. Каждая фиксированная тео-
ретическая модель сплошного тела может служить для описания
только некоторых классов явлений применительно только к некото-
рым реальным телам. Важно, однако, чтобы физические и механи-
ческие свойства, определяющие теоретическую модель, всегда удо-
влетворяли основным принципам и законам механики и термоди-
намики.
Можно указать такие физико-механические проблемы, при реше-
нии которых требуемые ответы полу'чаются независимыми от кон-
кретной природы тела или зависят только от некоторых свойств
среды. В этом случае вопрос о наличии близкого соответствия
используемой модели среды и реального тела не является всегда
существенным. Однако для детального описания с помощью теоре-
§ 16]	МОДЕЛИ С НЕОБРАТИМЫМИ ПРОЦЕССАМИ	243
тической модели поведения вполне определенных тел соответствие
модели и реальных тел обязательно.
Свойства и поведение в различных условиях тел разной структуры,
таких, как сталь, медь, стекло, грунт, резина, полимерные мате-
риалы, жидкости, газы, плазма и т. д. и т. п., весьма разнообразны,
поэтому для описания механических и, как правило, термодинамиче-
ских необратимых макроскопических явлений в таких разных веще-
ствах требуется вводить различные модели. В связи с этим возникают
свои специфические общие методические проблемы о. взаимодействии
теории и опытов и вопросы о наиболее удобных и выгодных с тео-
ретической и практической точек зрения приемов для построения
соответствующих моделей.
Как правило, опытные данные или теоретические гипотезы
нуждаются в дополнительной стилизации и упрощении с сохранением
только основных свойств для данных классов явлений и с устране-
нием многочисленных • второстепенных свойств, несущественных
с точки зрения проблем, для решения которых вводится данная
модель.
Разнообразие особенностей и свойств тел, которые необходимо,
учитывать, огромно. Во многих случаях вопрос о свойствах тел,
которые практически важны, это предмет современных исследований.
Такие свойства твердых тел (связанные с термодинамической необ-
ратимостью), как пластичность, сопровождаемая появлением остаточ-
ных деформаций, упрочнением, эффектом Баушингера пластической
анизотропии и т. п., как ползучесть и релаксация, как различных
характеров усталость материалов и т. д.,
до сих пор являются полем для опытов и
для введения новых теоретических моде-
лей сплошных сред.
Ниже мы остановимся более подробно
только на изучении теоретических моде-
лей, предлагаемых для описания явле-
ний пластичности твердых тел.
Остановимся кратко на основных дан-
ных опытов о пластических свойствах
металлов.
На рис. 10 представлена типичная
диаграмма простого растяжения или сжа-
тия вдоль оси стального цилиндрического образца под действием
внешних сил, действующих на торцах цилиндра вдоль его оси.
На оси абсцисс отложена компонента еп относительного удлине-
ния вдоль оси цилиндра (ниже мы примем, что деформации геоме-
трически можно рассматривать как малые), по оси ординат компо-
нента — рп напряжения на площадках, перпендикулярных к оси
цилиндра.
244	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II!
Начальный участок диаграммы АгОА близок к прямой линии и
характеризуется обратимыми упругими деформациями при движении
изображающей точки М вдоль этого участка при нагрузке и раз-
грузке.
При увеличении внешнего растягивающего усилия происходит
переход изображающей точки М через точку А (см. рис. 10), харак-
теризующую резкое проявление нелинейности функции р11=/(е11)
и возникновение необратимых эффектов свойств пластичности. После
перехода точки М через точку А в положение В или С и после-
дующей разгрузки (постепенного уменьшения растягивающего усилия)
при уменьшении рп изображающая точка будет двигаться по другим
кривым BE или CF, близким к прямым, наклоненным приблизи-
тельно так же, как и ОА. После разгрузки до точек Е или F и
новой нагрузке изображающая точка будет двигаться практически
по тем же кривым ЕВ или FC, после достижения точек В или С
и при дальнейшей нагрузке изображающая точка будет двигаться
вдоль основной кривой OAG.
Если, начиная с положения В, внешнюю нагрузку полностью
снять, то обратится в нуль, а удлинение sn = s^ будет отлично
от нуля, возникают так называемые остаточные деформации. По-
явление остаточных деформаций является характерным свойством
проявления пластичности тел. Весьма важно также различие между
функциями р11 = /(е11) при нагрузке и при разгрузке при пластиче-
ских деформациях. Точка А определяет начало проявления пласти-
ческих свойств тела, связанного с возникновением остаточных дефор-
маций после разгрузки. Точка А определяет предел упругости.
Существенно, что после возникновения пластических деформаций
предел упругости изменяется, точки В и С. также играют роль пре-
делов упругости после приложения соответствующих нагрузок при
последующих разгрузках и новых нагружениях.
Повышение предела упругости характеризуется кривой ABCG
и называется эффектом упрочнения. На диаграмме, представленной
на рис. 10, эффект упрочнения на участке АВ невелик, на следую-
щем участке BDC упрочнение проявляется в более сильном виде.
Предел упругости, пластические деформации и упрочнение необ-
ходимо рассматривать как при растяжении, * так и при сжатии.
Предел упругости на кривой сжатия из исходного состояния обо-
значен через После растяжения до точки В с последующей раз-
грузкой и с сжатием, предел упругости на сжатие на кривой упругих
деформаций ВЕА2 определяется точкой А2. Величины предельных
значений рп в точках Л! и А2 вообще различны. Эффект изменения
предела упругости на сжатие после предварительного растяжения за
пределы упругости называется эффектом Баушингера.
Количественные особенности кривой рп=/(еп) для простого
растяжения сильно зависят от физической природы материала. Однако
§ 16]
МОДЕЛИ С НЕОБРАТИМЫМИ ПРОЦЕССАМИ
245
отмеченные характерные качественные особенности проявления свойств
пластичности типичны для различных материалов.
В некоторых случаях имеется большой участок кривой типа АВ.
на котором упрочнение, обусловленное пластичностью, незначительно.
В других случаях упрочнение за пределом упругости всегда значи-
тельно, и следовательно, пологий участок на кривой упрочнения
практически отсутствует.
Отмеченные особенности имеют место также и для других видов
нагружения и деформаций, например, при деформации чистого сдвига
и, в частности, при кручении круглых цилиндрических труб, в этом
случае аналогичного характера зависимости получаются между каса-
тельными напряжениями и компонентой тензора деформации, харак-
теризующей угол сдвига.
Построение механических моделей пластических сред связано
с двумя основными задачами: 1) обобщением на случай произволь-
ных деформаций условия о нагружении и о пределе упругости, 2) уста-
новлением законов, определяющих нарастание остаточных пластических
деформаций.
Таким образом, необходимо для каждого элемента тела при
произвольном изменении внешних нагрузок дать обобщение типичной
диаграммы для простого одноосного рас-
тяжения или простого кручения и т. п.,
представленной на рис. 10.
Отметим два основных типа предло-
женных моделей сплошных сред, в кото-
рых учитываются пластические свойства тел:
1. Модель идеальной упруго-пластиче-
ской или жестко-пластической среды, в ко-
торой не учитываются упрочнение и эффект
Баушингера. Эти среды получаются путем
обобщения идеальных диаграмм, предло-
женных Прандтлем для одноосного растя-
жения, изображенных на рис. 11, а и 11, б.
Рис. 11, а отвечает идеальной упру-
го-пластической среде; при напряжении
растяжения меньше некоторого постоян-
ного значения <з0 или больше — <з0 при
сжатии, материал ведет себя как идеально
упругое тело. На рис. 11, б при напряже-
ниях, меньших постоянного значения а0, пренебрегаем деформациями,
и следовательно, среда рассматривается как жесткое абсолютно твер-
дое тело, после увеличения напряжения до а0 возможно течение
с неограниченно возрастающей деформацией при постоянном напря-
жении <з0. В этом случае действительные деформации не определены
напряжениями так же, как это имеет место для жидких тел.
246
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[гл. in
2. Модели пластических тел, в которых учитывается упрочнение
и. следовательно, изменение предела упругости.
Основная задача механики пластических тел состоит в устано-
влении общих законов пластичности в случае произвольных дефор-
маций. Некоторые модели пластических тел мы рассмотрим в сле-
дующих параграфах.
§ 17. Пластические, упругие и полные деформации
В последующих параграфах рассматриваются основные идеи со-
временных теорий пластичности. На основе сформулированных выше
общих концепций мы внесем в явной форме в эти теории элементы
термодинамики и дадим их обобщение на случаи конечных дефор-
маций.
Построение моделей пластических тел в случае конечных дефор-
маций и обобщение разработанных теорий пластичности для произ-
вольных малых деформаций на случай произвольных конечных де-
формаций связано с необходимостью рассмотреть дополнительно
некоторые геометрические и кинематические вопросы о способах опи-
сания конечных деформаций, которые можно рассматривать как упру-
гие, остаточные пластические деформации и полные деформации [42].
Рассмотрим также в рамках теории конечных деформаций тензор
напряжений и способы введения индивидуальных бесконечно малых
приращений во времени для данной малой частицы компонент тен-
зоров деформации и напряжений.
Возьмем лагранжеву систему координат £Ц2?3, вмороженную
в точки континуума, и рассмотрим три положения этого континуума,
определенные относительно основной неподвижной системы коор-
динат х!х2х3 с векторным базисом 3Z:
1.	Начальное положение, соответствующее отсутствию напряже-
ний, с векторами базиса в системе 3Z.
2.	Полное деформированное положение с векторами базиса в си-
стеме 3Z.
3.	Новое начальное положение с остаточными пластическими
*
деформациями с векторным базисом 3Z. Это положение отвечает
состоянию данной малой частицы, в котором отсутствуют внутрен-
ние напряжения.
Для длины некоторого малого отрезка, составленного из одних
и тех же точек континуума в трех положениях, имеем
ds^g^dK3,
d^=*gltd^d\3,
ds1 = gij df3 d\3.
о	о о
*	у- *
= ЭД
= эр.
(17.1)
§ И]
ПЛАСТИЧЕСКИЕ, УПРУГИЕ И ПОЛНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
247
В соответствии с наличием трех фундаментальных форм (17.1)
можно рассматривать тензоры для одних и тех же координат
в трех пространствах!), соответствующих различным базисам 3Z,
и Э(.
Уравнения закона движения точек континуума
=	(17.2)
определяют преобразование координат, соответствующее переходу
от базиса 3Z к базису 3Z.
Поэтому можно написать
ds2 = gtj d^ dV = gZy. dx1 dxJ,	(17.3)
и следовательно, тензоры в базисах 3Z и 3Z будем рассматривать
как тензоры в одном и том же пространстве.
При рассмотрении действительного процесса деформации каждому
положению можно ставить в соответствие мысленно или фактически
устанавливаемое в опыте, определенное по некоторому закону раз-
грузки, положение, отвечающее базису 3Z.
Введем три пары тензоров конечной деформации:
1.	Тензоры пластической деформации
8Р = гр1}Э1Э}, &р = грцЭ1Э>,	(17.4)
где
*pij = ^(.gij — gij)-
2.	Тензоры упругой деформации
где
е 1 / Х	* * X
— у (Sij Sij)-
3.	Тензоры полной деформации,
J7.5)
где 8 = k =	— Sij).
(17.6)
*) При рассмотрении совокупности частиц, образующих конечное тело,
пространства, отвечающие квадратичным формам ds^ и ds\ евклидовы.
*о
Пространство, отвечающее квадратичной форме ds^, в общем случае
неевклидово. Это обстоятельство связано с тем, что после пластического
деформирования конечного тела и снятия действия всех внешних сил может
получаться состояние тела с наличием внутренних напряжений и с отлич-
ными от нуля упругйми деформациями.
248	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Для этих различных тензоров, взятых в различных соответствую-
щих пространствах, выполняется формула
£o=£//+sf/-	(17-7)
Формула (17.7) верна в любой лагранжевой системе координат I1,
однако в этом равенстве компоненты тензоров, определенных фор-
мулами (17.4), (17.5) и (17.6), взяты в разных базисах.
Формулу (17.7) можно рассматривать как тензорное равенство
в одном и том же базисе, если наряду с тензорами (17.4) 8Р и &р
ввести еще тензор &р = ^Э1Э1 (8 = 8*-|-8Р). Для трех тензо-
ров 8Р, 8Р, 8Р, взятых в разных базисах Э1 и Э\ имеем одну
и ту же систему ковариантных компонент, определяемых остаточной
пластической деформацией. Тензоры 8Р и 8Р определяются одина-
ковыми компонентами и разными векторами базисов, которые зависят
не только от деформации, но и от вращения частицы как твердого
тела.
Равенство (17.7) верно только для чисто ковариантных компо-
нент.
Для компонент со смешанными индексами или для контрава-
риантных компонент на основании (17.4) — (17.7) можно написать
следующие формулы:
ч - ’•f'l+= i’‘i+i '• • gjr, =
= •?) + ?-(£.+2^,)
или
e* j = sPfj. +	4- 2e^;e*«j.	(17.8)
Отсюда следует матричное равенство
i'!;ll=l’’j|+l‘4l+2l*''.r КМ-
Аналогичным образом легко получить формулы для связи между
чисто контравариантными компонентами тензоров деформации
о	о	°	°.*.	° .* .
= гРН	+ 2gkm(sp{™eel* + sP^s^?) +
+ (17-9)
Для фиксированной частицы приращения за время dt ковариант-
ных компонент тензора полной деформации е'.у и
8=еуз'37=е,7з'37
§ 17]	ПЛАСТИЧЕСКИЕ, УПРУГИЕ И ПОЛНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ	249
согласно (14.21) связаны формулой
dt — e.xv dt = у 4- dt,
где
d<7 =	-4-lW ,
причем
dbj = eu dt = \ (У^ 4- Vyvz) dt,
d(W = vdt — вектор перемещения точек частицы за время dt отно-
сительно системы отсчета, определяемой базисом 3Z.
Очевидно, что при конечных деформациях
причем ds'y=#O при перемещениях частицы как твердого тела. Если
перемещения малы, то в рамках геометрически линейной теории верно
равенство
dsij = ds'iJ'
Вектор полного перемещения каждой точки малой/ частицы тела
можно представить как сумму
где — вектор перемещения, соответствующий пластическому сме-
щению после мысленной разгрузки, a we — вектор перемещения,
отвечающий упругому процессу. Разбиение полного перемещения на
упругое и пластическое неоднозначно, так как упругое и пластиче-
ское перемещения можно определить только с точностью до переме-
щения всей среды как твердого тела. Это обстоятельство не является
существенным, если мы будем рассматривать характеристики движе-
ния, независимые от движений среды как твердого тела.
Так же, как для полной деформации, для пластической и упругой,
деформаций введем индивидуальные приращения ковариантных компо-
нент тензоров 8Р и 8е по формулам
defy = 4(V/^4-V/vz’)rft vp=^3l	(17,11)
и
deeij =^-(yiVej + ^jvei)dt, ve=vei9‘ =^-.	(17.12)
250
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. Ill
Приращения dePj и d^j определяются однозначно, в то время
как перемещения we и скорости и Vе определены неодно-
значно.
Величины de^. определены бесконечно малой деформацией, возни-
кающей за счет движения базиса относительно системы отсчета,
связанной неподвижно с начальным базисом Эг величины dse.j опре-
делены бесконечно малой деформацией, возникающей за счет движе-
ния базиса относительно другой системы отсчета, связанной не-
подвижно с базисом 3t.
Так как
. v = +
то очевидно, что в любой одной и той же системе координат беско~
нечно малые тензоры deijt de^. и Je^., определенные формулами
(17.10), (17.11) и (17.12) в одном и том же пространстве, связаны
тензорным соотношением
dQij = dQeij + d^r	(17.13)
Это равенство вытекает также из матричного равенства (17.7).
Нужно, однако, иметь в виду, что путем дифференцирования
и в правой части равенства (17.7) в некоторых других смыслах
можно также получить формулы вида (17.13), которые, подобно
формуле (17.7), являются матричными равенствами, связывающими
компсщенты бесконечно малых тензоров, определяемых в разных
пространствах *).
Элементарную работу внутренних напряжений можно представить
в виде
=------- 8S(x3 = —	8е* —	8s£s.	(17.14)
р г	аР	р ар	р	ар	4	'
В соответствии с формулой	(17.14)	можно	ввести	в	рассмотрение
элементарную работу сил напряжения на упругих деформациях
р ЯР
и соответственно на пластических деформациях
р ар
!) Очевидно, что компоненты тензоров и rfEZy в деформированном
пространстве с фундаментальной формой в общем случае не удовлетво-
ряют уравнениям совместности, установленным в главе II. Аналогичное заме-
чание верно, и для компонент тензоров sfy и t/sfy, связанных с фундаменталь-
ной формой g^j.
§ 17] ПЛАСТИЧЕСКИЕ, УПРУГИЕ И ПОЛНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ	251
При использовании ковариантных компонент тензоров деформации,
для которых выполняются равенства (17.7) и (17.13), в формулы,
дающие разбиение работ на упругую и пластическую части, входят
контравариантные компоненты тензора напряжения.
Из рассмотрения выражения элементарной работы и из общей
теории обратимых процессов в теории упругости следует, что вместо
тензора напряжения Р с компонентами р1^ удобнее рассматривать
a Pij
тензор а с компонентами сгу = -^—.
В теории малых деформаций разница между и несущест-,
венна, так как в пределах точности теории в формулах (17.14) и
в формулах теории упругости (14.6) плотность р можно считать
постоянной.
Для упрощения теории без ограничения общности мы примем
дальше, что система отсчета с базисом 3Z декартова. В этой системе
компоненты тензора <з = о'11с различным строением индексов,
одинаковы и приращения их также одинаковы d<o'lJ = do'= do'^
Если система 3Z в данный момент времени декартова, то oli = oh. =
Однако если система 3Z в данный момент времени декартова,
то в следующий момент вследствие деформации система 3Z стано-
вится криволинейной. Поэтому приращения do1^ do[\ и do.. за
время dtt определенные на основании (10.11) главы I формулами
da^ = (d°i})' — Ц- dt, (17.15а)'
=	-J^^dt,	(17.15b)
dsl} =№иУ	+	(17.15с)
дают различные тензоры. Эти тензоры можно считать приближенно
совпадающими, если вторые члены в скобках (17.15) малы по сравне-
« d°fi’
нию с производными компонент тензора напряжений —.	1
Формулы (17.15b) определяют смешанные компоненты вообще
dJ]
несимметричного тензора -	- Формулы (17.15а) определяют кон-
d^
травариантные компоненты симметричного тензора —, формулы
(17.15с)—ковариантные компоненты другого симметричного тензора
йяц	d^ij
. Эта формула для производной —аналогична формуле (17.10)
dtij
для производной —, определяющей тензор скоростей деформации.
252	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
В соответствии с формулой (17.14) для элементарной работы и
с определением (17.10) для 8евр при преобразовании but1 к виду
8еаЭ = — 8 (<за^еар) -|- еа₽ 8a»P
приращения для следует взять в смысле, определенном форму-
лой (17.15а). В связи с тензором
а = — Р =	— а1' Э1Э. = а.	= о'. .Э1&
р	i j -j j I]	ij
определим девятимерное пространство 77, в котором декартовы
координаты точки равны компонентам Следовательно, величины
будем рассматривать как компоненты вектора в девятимерном про-
странстве. Можно определить три таких пространства в соот- ,
° * ..
ветствии с базисами 3Z, 3Z и 3Z, для которых J имеют одинаковые
значения. Всевозможные преобразования координат В2, £3 опреде-
ляют для группы преобразований в соответствующих девятимер-
ных пространствах, для которых соответственно инвариантны следую-
щие величины:
1° =
^3=g\ati\> где i=l£yl;
2°
^3 = ilaZ/l- где i = l£y|;
з°
s,=is.,ge,^,-^n
^з = ^1а°15 где i=liyl-
Очевидно, что в пространстве 77 инварианты 3° зависят только
от компонент тензора инварианты 1° и 2° зависят, кроме этого,
от компонент тензора деформаций полной или пластической соот-
ветственно.
Группы преобразований в девятимерных пространствах, отвечаю-
щих. базисам 3Z и 3Z, имеют одинаковые инварианты. Координаты
соответствующих точек и различны, так как системы коорди-
нат и х1 вообще различны.
§ 18]
УПРУГАЯ ОБЛАСТЬ И ПОВЕРХНОСТЬ НАГРУЖЕНИЯ
253
Легко убедиться, что если производные —(17.15а) обращаются
в нуль, то инварианты ^р и $3 постоянны. Если обращаются
dz\ ’•
в нуль производные — • из (17.15а) для полной деформации, то
инварианты	и постоянны; если эти производные обра-
*
щаются в нуль для пластической деформации, то инварианты ^р
* »
<*/2, сохраняют постоянное значение.
гп	и	d<№
Так как тензор о4 симметричный и производные —— , определен-
ные по (15.1), образуют симметричный тензор, то девятимерное
пространство П можно заменить шестимерным, а если рассматривае-
мый тензор a J и его производная —---девиаторы, то пространство П
можно заменить пятимерным пространством.
Все выводы этого параграфа имеют чисто геометрический или
кинематический смысл. Понятия упругости и пластичности использо-
ваны только для фиксирования терминологии, что имеет смысл
в связи с приложениями, которым посвящены следующие параграфы.
§ 18. Упругая область и поверхность нагружения
Рассмотрим малую частицу упруго-пластического тела и рассмот-
рим наблюдаемые эффекты при постоянной температуре, когда, начи-
ная от нуля, изменяются компоненты тензора внутренних напряжений
в этой частице.
В соответствии с опытом и определением явлений пластичности
при достаточно малых значениях всех компонент тензора напряже-
ний1) частица обладает всеми свойствами упругого тела. В девяти-
мерном пространстве П компонент тензора напряжений рассмот-
рим область 2р, в которой пластическое тело можно рассматривать
как упругое тело. Обозначим через поверхность, ограничивающую
объем области 2р. Совокупность напряжений, отвечающих точкам
поверхности образует совокупность пределов упругости. В неко-
торых направлениях область может простираться до бесконечности.
Непрерывные процессы, в которых напряжения соответствуют
точкам поверхности называются процессами нагружения. Про-
цессы, в которых напряжение переходит с границы внутрь
*) Для сохранения принятой терминологии в теории малых деформаций
дальше в теории пластичности при конечных деформациях будем называть
nV
величины —— =	компонентами тензора напряжений.
18 л. И. Седов
254	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
области <&р, называются разгрузкой. Для процессов внутри области
частица обладает всеми свойствами упругого тела. Мы предположим,
что при изменении температуры в некотором ограниченном диапазоне
область Qtp и ее граница 2р изменяются непрерывно. В общем слу-
чае после того, как произойдет процесс нагружения на поверхно-
сти упругие свойства частицы в области Qtp и вид самой обла-
сти @}р могут измениться. Это значит также, что свободная энергия
и другие термодинамические функции после процесса нагружения
могут измениться.
В соответствии с установившимся' определением среду назовем
идеально пластическим телом, если в процессе изотермического
нагружения область Q}p и ее граница 2р фиксированы. Для идеально
пластического тела напряжения не могут быть произвольными.
В упругой области они отвечают точкам области для пластиче-
ских состояний точки, изображающие напряжения, лежат на фикси-
рованной поверхности i •.
Среда называется пластическим телом с упрочнением, если
поверхность изменяется в процессе нагружения.
В процессах нагружения с упрочнением, в которых проявляется
пластичность в каждый момент времени, напряженное состояние
отвечает подвижным точкам поверхности
Поверхность определена как совокупность пределов упругости.
Можно строить модели пластических тел, в которых пластическим
состояниям могут соответствовать любые точки заданной поверх-
ности 2р или модели, в которых проявление пластичности связано
с дополнительными ограничениями, накладываемыми на тензор напря-
жений, благодаря этому переход из упругой области в пластическую
может соответствовать только некоторым множествам точек поверх-
ности 2р. В последнем случае внутри тела на поверхности S, отде-
ляющей упругую область от области пластического течения, необхо-
димо выставлять дополнительные условия о силах напряжения.
В динамических задачах поверхность S может быть поверхностью
сильного разрыва, движущегося по частицам. На этой поверхности
должны выполняться известные условия совместности [29]. В стати-
ческих задачах на поверхности S необходимо удовлетворять некото-
рым условиям о непрерывности внутренних напряжений.
Дополнительные условия на поверхности раздела 5 могут слу-
жить условиями, определяющими эту поверхность.
В соответствии со сказанным выше свойства пластичности в неко-
торых случаях могут быть связаны с ограничениями, накладываемыми
на тензор напряжений. В частности, можно рассмотреть случаи,
.аналогичные равновесию упругого тела — льда (тензор напряжения
§ 18]	УПРУГАЯ ОБЛАСТЬ И ПОВЕРХНОСТЬ НАГРУЖЕНИЯ	255
может иметь общий вид) и идеальной жидкости воды (тензор напря-
жения шаровой), разделенных поверхностью S.
Если все точки тела находятся в пластическом состоянии, то,
так же как и в случае жидкости1), тензор напряжений вообще не
может быть произвольным, поэтому равновесие окажется возможным
только для специальной системы внешних сил.
Всякой малой частице тела можно задавать, вообще говоря,
произвольные деформации, поэтому для данной частицы тензор
деформации как в упругой области, так и в пластической может
иметь произвольные компоненты.
Отсюда следует, что по существу всегда пространство возможных
значений тензора деформаций шестимерно, а в случае несжимаемой
среды — пятимерно.
В упругой области пространство возможных напряжений тоже,
вообще говоря, шестимерно. В пластической области можно строить
модели, в которых пространство напряжений по существу может
иметь меньшее число измерений. Например, для идеальной жидкости
пространство напряжений по существу одномерно.
Таким образом, для некоторых пластических моделей тел взаимно
однозначное непрерывное соответствие между напряжениями и дефор-
мациями вообще невозможно.
Уже в случае идеального пластического тела нельзя говорить об
изоморфизме напряжений и деформаций. Для пластических тел с упроч-
нением такой изоморфизм также не для всех моделей возможен.
Второй существенной особенностью пластичности является появле-
ние остаточных деформаций при разгрузке до нулевых напряжений,
после того как происходят процессы нагружения на поверхности
Очевидно, что после пластического деформирования частица как
физическая система в напряженном состоянии отличается, вообще
говоря, от первоначальной частицы до процесса нагружения.
Остаточные пластические деформации получаются в результате
внутренних процессов, связанных с относительным перемещением и
перестройкой в кристаллических решетках молекул или атомов
в первоначальной структуре твердого тела.
Видоизменения упругих и пластических свойств частицы, подверг-
нувшейся пластическому нагружению, можно характеризовать раз-
личными параметрами, связанными с процессом пластического нагру-
жения. В соответствии с высказанной в § 6 концепцией мы примем,
что число этих параметров конечно.
Если принять, что различие механических и тепловых свойств
частицы до нагружения и после нагружения проявляется за счет
остаточных деформаций, то в качестве параметров, определяющих
!) Как известно, жидкость представляет собой механическую систему,
статически переопределенную.
18*
256	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
видоизменение свойств частицы, можно взять ковариантные компо-
ненты тензора остаточных деформаций:
Компоненты тензора полной деформации eik в напряженном
состоянии в любой точке области Q) или на поверхности S предста-
вляются в виде суммы
р I *
где zeik— компоненты тензора деформации, определенной как дефор-
мация, полученная в соответствии с законами теории упругости от
ненапряженного состояния в данное рассматриваемое состояние.
Ненапряженное деформирование, отвечающее Р=0, определяется
законами теории упругости, которые в свою очередь, вообще говоря,
зависят от совершенного процесса нагружения.
Кроме компонент тензора остаточных деформаций или вместо
этих компонент можно взять еще систему параметров
Хр Х2* • • - Хи’
которые могут быть связаны с остаточными деформациями или
с процессами нагружения, в частности, неголономными дифференциаль-
ными соотношениями. Величины ys зависят, вообще говоря, от процесса
нагружения функциональным образом. При введении величин
и Xi.....Хи как определяющих параметров в последующей фор-
мулировке замкнутой системы уравнений можно избежать уравнений,
содержащих функциональные связи.
Таким образом, мы примем, что система определяющих пара-
метров для частицы упруго-пластической модели имеет следующий вид:
Т, Х1. Х2........Хя> kv k2,...,km (I, k = 1, 2, 3).	(18.1)
где kv k2, ..., km — физические постоянные. .
Понятие упругой области Q)p и поверхности нагружения можно
расширить на десятимерное пространство; соответственно получим £&
и S при присоединении нового измерения для температуры Т, изменяю-
щейся в некотором определенном диапазоне1).
В определение упруго-пластической среды входит также допуще-
ние, что в упругой области 2 параметры и ys сохраняют по-
стоянные значения. Из сказанного выше следует, что упругие свой-
ства частицы после процессов нагружения с изменением пластических
Учет влияния температуры на пределы упругости и на функцию на-
гружения производился недавно Прагером [26].
§ 18]	УПРУГАЯ ОБЛАСТЬ И ПОВЕРХНОСТЬ НАГРУЖЕНИЯ	257
деформаций могут изменяться за счет зависимости термодинамических
функций этих параметров *).
В процессе нагрузки на поверхности Е параметры и могут
быть переменными.
Далее мы примем, что возможное упрочнение, характеризуемое
деформацией и движением поверхности S, также определяется си-
стемой параметров (18.1). Из этого предположения следует, что
в десятимерном пространстве, точки которого определены компо-
нентами тензора напряжений и температурой Т для данной частицы
поверхность S представляется уравнением вида
/ Cgir aii> Т, Хр Х2- • • •> %„• kv k2, .... *J = 0. (18.2)
Не ограничивая общности, дальше будем считать, что функция f
зависит симметричным образом от компонент симметричных тензо-
ров GlJ и 8,у.
Примем далее, что функция f определена так, что в области
соответствующей термоупругим процессам, верно неравенство
/<0.	(18.3)
Функция f(gir Т, sfy,	называется функцией
нагружения.
Среда называется идеально-пластическим те^ом, если уравне-
ние (18.2) в декартовых координатах имеет вид
/(огу, Т, kv k2, ...» km) = 0.	(18.4)
Следовательно, в пространстве У7 и Т поверхность S фиксиро-
вана. Поверхность S с уравнением / = 0 в случае идеально-пласти-
ческих тел называется иногда поверхностью текучести.
Если для идеально-пластического, тела физические постоянные
k2.....km — скаляры, то среда изотропна. В этом случае функ-
ция / зависит только от инвариантов тензора а.
В пластической среде, в которой возможно упрочнение, актив-
ному процессу нагружения соответствует неравенство
Ч7 = -£<ПЧ--$г*">0.	(18.5)
По определению на поверхности S имеем равенство
d'f = 0,	-
!) Отметим, что если процесс замкнутого цикла содержит участок пла-
стического нагружения, то даже для изотермических процессов работа вну-
тренних сил напряжения на упругих деформациях, взятая на этом замкнутом
цикле, может отличаться от нуля.
258	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
причем соответствующий процесс — термоупругий, в котором па-;
раметры и сохраняют постоянное значение.
В случае идеально-пластической среды в пластической области
выполняется равенство (18.4), поэтому при пластическом нагружении
имеет место равенство г)
<// = -^-сЛЧ—=	(18.6)
dT -
Из определения среды с упрочнением следует, что d^s — 0 при
d'f = U, поэтому дифференциальные соотношения для определения
должны иметь вид
dXs = dtsd'f,
где сЛ3 могут зависеть от системы параметров (18.1), взятых на
поверхности S, т. е. связанных соотношением (18.2). Для пластиче-
ского тела с упрочнением очевидно также, что если d'f = 0, то и
df = d'f-\-~^- dsP-\--^-dx=0,
lk dis s
так как в этом случае de?k = 0 и d%s = 0.
Переход с поверхности L внутрь Q) в упругую область для про-
цесса разгрузки определен неравенством df = d'f < 0.
Помимо задания области а следовательно, и функции /, конкре-
тизация моделей пластических тел связана с фиксированием упругих
свойств в’ области Q) и с установлением дополнительных законов
в необратимых процессах, определяющих значение компонент тензора
остаточных деформаций и параметров %
Обычным допущением является предположение, что термоупругие
свойства в области Q) не зависят от и причем для изотерми-
ческих деформаций в области 2 упругая деформация и тензор на-
пряжений связаны между собой линейно по закону Гука.
§ 19. Основные законы в теориях пластических тел
Основной спецификой различных моделей пластических тел
являются законы для определения и и в связи с этим данные
о функции нагружения /.
Покажем теперь, что из формулировки основных свойств пла-
стических тел следует, что в каждый момент времени остаточные
1) Дифференциалы daiJ определены в смысле формул (17.15а).
§ 19] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ В ТЕОРИЯХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ	259
деформации и параметры ys при всевозможных процессах пласти-
ческих нагружений не могут определяться значениями в этот момент
времени компонент тензора напряжений. Иначе говоря, законы пла-
стичности для произвольных законов нагружения не могут пред-
ставляться в виде конечных однозначных функций вида
=	т* kv kv ••••
ij i] \	12	mj
и	(19.1)
X5 = 5G(°i;. Т, kv k2...km),
где и T отвечают процессу пластического нагружения.
Формулы вида (19.1) при отсутствии параметров составляют
основу так называемых деформационных теорий пластичности, кото-
рые можно рассматривать как естественное обобщение теории не-
линейного упругого тела.
Рассмотрим сначала случай идеально-пластического тела. Пусть
при Т = const М и N—две произвольные различные точки на
поверхности нагружения S, которые могут соответствовать различ-
ным пластическим состояниям. Для двух процессов, начинающихся из
одного и того же состояния в упругой области Q} при подходе
к точкам М и N получим, что остаточные деформации и значения
параметров %s равны нулю или имеют одинаковые значения. Изотер-
мический процесс перехода из точки N в точку Л4 вдоль S при
пластическом нагружении приводит к появлению дополнительных
остаточных деформаций и к изменению величин е^., поэтому точке М
с данными значениями и Т будут отвечать различные значения е?,
и •
С другой стороны, если напряжение на S фиксировано, то этому
напряжению могут соответствовать различные е^.. Отсюда следует,
что эти величины не могут быть связаны конечными соотношениями
вида (19.1). Иначе говоря, в случае идеально-пластического тела
изоморфизм соответствия между и невозможен. ,
В случае пластических деформаций с упрочнением для процессов
нагружения вдоль поверхности нагружения имеем drf = 0 и df = 0,
поэтому при любой фиксированной температуре в каждый момент
времени для всех точек соответствующей поверхности S с уравне-
нием f = 0 (поверхность S различна в разные моменты времени и
заполняет некоторый объем) величины и постоянны, а вели-
чины могут изменяться в довольно широких диапазонах. Таким
образом, различным значениям вдоль фиксированных поверхно-
стей Е могут соответствовать одинаковые постоянные значения
и а с другой стороны, вдоль различных Е постоянные значе-
ния и xs могут быть различными.
260
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
Отсюда ясно, что если для некоторых двух состояний остаточные
деформации различны, то при наличии связи (19.1) соответствующие
поверхности нагружения Ej и S2 не могут иметь общих точек.
Если Е1 и Е2 имеют общие участки, то соотношения (19.1) не-
возможны.
Каждое из равенств (19.1) и уравнение / = 0 в пространстве на-
пряжений и температуры определяют одну и ту же поверхность S,
поэтому все величины и можно рассматривать как универсаль-
ные функции одной из них, например s^. Следовательно, предполо-
жение о наличии конечной связи (19.1) приводит к существенным и
неприемлемым ограничениям для тензора остаточных деформаций.
Таким образом доказано, что для пластических тел с упрочнением
для произвольных путей нагружения конечные соотношения вида (19.1)
невозможны т).
С другой стороны, очевидно, что для каждого вполне опреде-
ленного закона нагружения можно пользоваться соотношениями
вида (19.1). В связи с этим можно ставить такой вопрос: сущест-
вуют ли некоторые различные частные пути нагружения, для кото-
рых выполняются одни и те же конечные соотношения вида (19.1).
Для некоторых моделей возможно положительное решение этого
вопроса.
Построение моделей пластических тел связано с фиксированием
некоторых общих свойств необратимого процесса нагружения и вы-
текающих отсюда свойств поверхности нагружения S.
В соответствии с определением в формуле (17.14) рассмотрим
элементарную работу внутренних напряжений в процессе нагружения
на приращениях пластических деформаций Имеем
d&p = — dsp9.
Для заданного деформированного состояния и заданных прираще-
*
ний dsPp работа внутренних напряжений раР, отвечающих любой точке
упругой области представится выражением
dj.p = — dzp?.
р
Допущение, выражающееся неравенством
*	*«3
d<lp — dj£p = -р- - р р defy > 0,	(19.2)
9 Аналогичное предложение установлено Хандельманом и Уорнером
с использованием специальных законов теории пластичности, предложенных
Прагером и Друккером (см. [49]).
Отметим, что прог еденное нами выше рассуждение использует только
очень общие идеи о пластических телах. Сделанные выводы верны и при
наличии на поверхности нагружения угловых точек.
§ 19] ОСНОВНЫЕ, ЗАКОНЫ В ТЕОРИЯХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ	261
имеет термодинамическую природу. Это неравенство, фигурирующее
в неявной форме еще у Мизеса [71], сформулировано как термоди-
намический принцип в работах многих современных авторов и со-
ставляет в настоящее время основу для построения моделей пласти-
ческих тел. Неравенство (19.2) называется принципом Бишона—Хилла,
которые дали для него теоретическое обоснование для монокристал-
лов и для некоторых поликристаллических композиций монокри-
сталлов.
При рассмотрении тензоров и dpa$ =	— ра$ для заданной
деформации как элементарных векторов в девятимерном простран-
стве тензора plJ или постулат (19.2) можно рассматривать как
j *<х0
условие положительности скалярного произведения векторов dp и
d^ или . da^ и de^:
dp^de^O или	(19.3)
отсюда вытекает, что угол между векторами dca$ и defp всегда
острый 90°, напряжение может отвечать точкам поверхности 2р.
Если в точке са₽ провести плоскость, перпендикулярную к ds^, то
из (19.3) следует, что вся поверхность нагружения расположена
с одной стороны этой плоскости. Отсюда следует, что поверхность Zp
со стороны упругой области <$р выпуклая.
Если в точке оа₽ поверхность 2р имеет одну касательную плоскость,
то эта плоскость должна быть перпендикулярна к вектору dtf^. Отсюда
следует, что при наличии единственной нормали на поверхности 2
должны выполняться равенства
при / = 0, dsP? = 0 при df < 0, (19.4)
н	(/a r	г
где d'K некоторая положительная величина, так как в силу (19.3)
вектор с компонентами dzP. направлен в сторону внешней нормали
к В случае идеально-пластического тела величина d\ определяется
из условий нагружения (18.4)1). В случае упругого тела с упрочне-
нием имеем Л = 0 при d'f = Q, поэтому можно написать d\ = h d'f,
где h — функция определяющих параметров, и следовательно, в этом
!) В статических задачах для тел конечных размеров в пластической об-
ласти скалярное поле d\ определяется из полной системы уравнений с точ-
ностью до мультипликативной постоянной. Это обстоятельство связано с до-
пустимым произволом выбора масштаба времени.
262
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
случае верно равенство
= h~^-d'f ПРИ / = °> d'f>0,
и да н
rfs^ = 0 при
(19.5)
(19.6)
Уравнения (19.4) и (19.5) можно рассматривать как дополнитель-
ные кинетические соотношения для определения приращений
вследствие необратимых процессов.
Очевидно, что для процессов с упрочнением для приращений dys.
обращающихся Вгнуль одновременно с rf'/» можно написать формулы
dls = ^sd’f ПРИ
(Р^ — О ПРИ
Для определения функций /, h и Jls необходимы дополнительные
гипотезы, которые должны увязывать свойства модели с наблюде-
ниями в опытах. Если взяты в базисе то для бесконечно ма-
лых деформаций, когда = из (18.2), (19.5) и (19.6) выте-
кает формула
1+й-Д-#-+Л^- = 0,	(19.7)
д° '	d7..s
устанавливающая одну связь между /г, f и <AS. В соответствии с при-
нятыми условиями и обобщениями можно считать, что формула (19.7)
верна и для конечных деформаций.
Соотношения (19.4) и (19.5), вытекающие из (19.3) и из предпо-
ложения о гладкости поверхности X, называются ассоциированным
законом. Ассоциированный закон в теории идеально-пластических тел
в общем Виде впервые был установлен и применен Мизесом.
В предложенных конкретных теориях пластических сред с упроч-
нением параметров типа у либо совсем нет, либо имеется только
один параметр у, от которого зависит функция нагружения f и
функция h в (19.5).
Приведем примеры:
1. dy = р1^ dzP. (Тэйлор и Кунини 1931 г. и Шмидт 1932 г.).
2.	= +	(Одквист 1933 г.).
Указанные авторы рассматривали только.изотермические процессы
и принимали, что уравнение поверхности нагружения имеет вид
f = F (ptJ) + (X)-
Распространены следующие предположения:
1- / = ^2—“(X)- 'гДе = J	— у
§ 19] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ В ТЕОРИЯХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ	263
(система координат декартова, 8^ = 0, i -=k j и 8^=1 при i = jt
— второй инвариант девиатора тензора напряжения). Теория Ми-
зеса.
Из этого вида функции f и из (19.5) следует, что объемные де-
формации упруги.
2. / = ттах — kQ, где ттах(рр р2, р3) — максимальное касательное
напряжение, р2, р3—главные напряжения, kQ— постоянная или
функция от некоторого параметра £. Теория Треска.
В общем случае инвариантная скалярная функция f зависит только
от совместной системы инвариантов тензоров зг’Л и других тен-
зоров, определенных параметрами и постоянными kj.
Если функция нагружения представима в виде
/=^‘7)+“(е?А
то эта функция должна иметь вид
/ = fa,
где и —соответственнр инварианты тензоров напряжения и
тензора остаточных деформаций. Дальнейшую специализацию функ-
ции f можно получить, если предположить, что объемные деформа-
ции всегда упруги или что материал несжимаем. В литературе по-
следние предположения часто используются вместе с допущением
о малости деформации. Эти предположения и некоторые добавочные
приводят к выводу, что пластические процессы можно описывать
с помощью предыдущих формул, в которых фигурируют только
девиатор напряжения, причем тензор остаточных деформаций также
является девиатором. Ниже мы рассмотрим эти предположения более
подробно.
Исследование различных специальных видов функции нагружения,
зависящей только от pli и е^., дано Эдельманом и Друккером [50],
которые выяснили возможность учета различных существенных эф-
фектов, наблюдающихся в опытах, таких, как эффект Баушингера,
приобретенную анизотропию после пластических деформаций и т. д.
В частности, Рейссом [84], Прагером [79] и другими авторами рас-
смотрены функции нагружения, зависящие только от тензора
Р —
где т—некоторая постоянная.
Очевидно, что в этом случае поверхность нагружения S и упру-
гая область при изотермическом упрочнении перемещаются по-
ступательно в девятимерном пространстве.
Эта идея о природе упрочнения была использована и развита’
другими авторами [13> 16’ 91].
264	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III;
Использование частных видов функции f позволяет дать удо-
влетворительное описание многих важных опытных эффектов. Однако
до сих пор нет обстоятельного перечня пластических свойств, сфор-
мулированных с помощью опытов. В настоящее время продолжается
дальнейшая теоретическая разработка новых моделей с различными
свойствами, которые наблюдаются в различных опытах.
По-видимому, эти теоретические исследования могут помочь в основ-
ной задаче опытов по формулированию свойств различных пластиче-
ских материалов, которые необходимо учитывать.
В развитии представлений о внутренних механизмах и свойствах
моделей сплошных тел большую роль сыграли простейшие механи-
ческие системы с одной или с небольшим числом степеней свободы.
Элементами таких систем могут служить подвижные грузы, пру-
жины, устройства для осуществления сил типа сухого трения, вяз-
кого сопротивления, некоторых нелинейных силовых взаимодействий
и т. п.
Основные статические и динамические эффекты, связанные с упру-
гостью, вязкостью и пластичностью, могут быть описаны качественно
и количественно на простых схематизированных устройствах.
Для описания различных эффектов пластического упрочнения
в некоторых частных случаях можно использовать подвижные и де-
формируемые рамки, изображающие поверхности нагружения. Законы
смещения и деформации рамки могут характеризовать остаточные
деформации. Форма рамки, наличие на ней угловых точек и воз-
можность ее деформирования позволяют выявить влияние этих осо-
бенностей поверхности нагружения на процессы пластического де-
формирования и выявить зависимости результатов от пути нагружения
или от пути деформирования.
Проста, интересна и поучительна схематизированная модель Пра-
гера [27], представляющая собой двутавровую балку, нагруженную
растягивающим усилием и изгибающими моментами, приложенными
так, что напряженное состояние сводится только к растяжению верх-
ней полки с силой ру и растяжению нижней полки с силой р2. Если
принять, что диаграммы растяжений полок одинаковы и представ-
ляются законом Прандтля, то в плоскости ЗР с прямоугольными
декартовыми координатами /?2 поверхность нагружения пред-
ставится в виде жесткой прямоугольной рамки. Введем еще плоскость §
с декартовыми координатами, равными коэффициентами растяжения
полок Sj и s2. Если теперь поместить рамку плоскости £Р в пло-
скость В так, чтобы оси координат были бы параллельны, то при
пластических деформациях рамка поверхности напряжений в пло-
скости S перемещается поступательно. Смещение центра рамки опре-
деляет вектор пластической деформации. На этой модели легко
выявляются такие факты, как возможность г о лучения различных
напряжений при одинаковой общей деформации.
§ 19] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ В ТЕОРИЯХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ	265
С другой стороны, видно, как при пластическом деформировании
с напряжением, соответствующим угловой точке, можно получить
|для различных путей деформации одинаковые конечные напряжения.
Простому пути нагружения вдоль прямой может соответствовать
изломанный путь деформации.
В аналогичной постановке более сложный пример об изгибе кру-
глой трубы [29] (с диаграммой Прандтля для растяжения образующих
трубы) был рассмотрен Ю. Н. Работновым. В этом случае начальная
поверхность нагружения представляется кругом. При возникновении
деформаций поверхность нагружения деформируется, причем в этом
случае любопытен установленный на этом примере эффект появления
угловой точки на поверхности нагружения в точке нагружения.
Таким образом, на простейших моделях выявляются такие свой-
ства, которые можно положить в основу также простой модели малой
частицы упругой пластической среды.
Понятие о пластической среде связано с представлением о началь-
ном состоянии. Для данной частицы начальное состояние, действительно
осуществляемое или определяемое с помощью возможных мысленных
процессов, отвечает состоянию, в котором отсутствуют внутренние
поверхностные напряжения (состояние, отвечающее обращению в нуль
тензора напряжения).
Для пластических тел до и после процесса нагружения начальное
состояние и основные механические свойства частицы могут быть
различными. Среди таких различных начальных состояний можно
иногда выделить одно с особенно простыми свойствами, которое
можно принять в качестве исходного начального состояния. Очевидно,
что при построении моделей пластических тел полезно, чтобы
существенные механические свойства различных начальных состояний
характеризовались бы наименьшим числом параметров, связанных
с процессом нагружения, так как каждое промежуточное состояние
нагружения можно связать разгрузкой с соответствующим начальным
состоянием.
В процессе нагружения различным начальным состояниям соот-
ветствуют различные остаточные деформации. Изменение механических
свойств в начальных состояниях можно относить за счет остаточных
деформаций и различия других характерных величин. В простейших
случаях, подобно тому, как в описанном выше примере с двутавровой
балкой Прагера, влияние пластических деформаций сводится только
к изменению начала отсчета для деформации, но при этом сохраня-
ются все механические свойства частицы.
Изменение механических свойств с изменением начального состоя-
ния возможно за счет появления, из-за пластических эффектов,
анизотропии в упругих свойствах и несимметричности поверхности
нагружения относительно начальной точки; параметры, характеризую-
щие эти эффекты, удобно взять для характеристики начальных свойств.
266	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
В теориях, предназначенных для массовых исследований, суще-
ственно, чтобы механические «анкеты» и «паспорты» с данными
о материалах содержали минимальное число сведений таких, которые
удобно получить в опытах, и вместе с этим достаточных для прак-
тических целей. Использование подробных родословных и жизне-
описаний целесообразно только для изучения специально поставленных
вопросов. В связи с этим введение основных теоретических понятий
теории пластичности и, в частности, понятия о начальном состоянии
можно базировать на промежуточных состояниях. При рассмотрении
механических процессов с многократными пластическими нагруже-
ниями и разгрузками не обязательно сохранять в качестве базы
отсчета и фиксированной характеристики начальное идеальное исход-
ное состояние.
Иначе говоря, замкнутая система закономерностей, описывающая
механические процессы, может носить локальный характер по времени
и по частицам. В связи с этим уравнения, в которых формулируются
эти закономерности, должны быть конечными или дифференциальными.
В соответствии с этим в качестве определяющих характеристик
необходимо пользоваться понятиями, определенными вполне для дан-
ного момента времени в данной точке тела.
Рассмотрим теперь свойства поверхности нагружения в связи
с некоторыми общими требованиями и наблюдениями.
1.	Материал пластически несжимаем.
Упругие изменения объема допустимы. В декартовых координатах
это значит, что выполняется равенство
ds₽ 4-^2 + </еР3 = °.	(19.8)
Представим тензор в в виде суммы
<з — pG-\-Q),	= dtk3l3ll,
= d'* 41	р = аи + °г2 + °з3.
О
После замены в аргументах функции нагружения величин с
через dtk и р с учетом (19.8) и ассоциированных законов (19.5)
получим
<Х_	. <У \ _л
др ~ 3 W1 *" da22 r da33 /
Следовательно, предположение о пластической несжимаемости
приводит к выводу, что функция f зависит только от компонент
девиатора dtk и что для бесконечно малых деформаций тензор оста-
точных деформаций также девиатор.
Для конечных деформаций тензор конечных остаточных дефор-
маций не является девиатором, но его инварианты связаны известным
соотношением, обеспечивающим постоянство плотности.
§ 19] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ В ТЕОРИЯХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ	267
В пластических материалах свойство несжимаемости не всегда
выполняется, например, в грунтах могут возникнуть остаточные
объемные деформации. Можно строить также соответствующие, при-
годные для изучения пространственных движений модели с учетом
объемной пластичности, например применительно к грунтам [6].
2.	Прямолинейные пути нагружения.
В рамках предположений о малых деформациях рассмотрим
условия выполнимости следующих связей для пропорционального
нагружения [62>87], когда одновременно выполняются два равенства
и =	(19.9)
где К и р. — скаляры.
Из соотношений (19.9) следует, что если в пространстве девиа-
тора напряжения компоненты девиатора напряжения при нагружении
изменяются вдоль прямой, то соответствующие остаточные деформации
также меняются вдоль прямой. Если направления этих прямых совпа-
дают, то
dl) = k^,	(19.10)
где k — вообще переменный скаляр.
Из ассоциированного закона (19.5) следует, что если равенства
(19.9) и (19.10) имеют место одновременно для всех лучей, исходящих
из начала координат, то начальная поверхность нагружения в простран-
стве девиатора dli может быть только сферой. Если это равенство
сохраняется также после разгрузки, то поверхность нагружения
после упрочнения должна сохраняться также сферической. Однако
центр сферы может смещаться, радиус сферы может меняться.
Следовательно, если поверхность нагружения вначале не сфера,
то равенство (19.10) не может выполняться. Однако это равенство
может выполняться приближенно, при малых отклонениях поверхности
нагружения от сферы.
Если в процессе нагружения сфера деформируется, то для про-
межуточных начальных состояний равенство (19.10) не может вы-
полняться по всем направлениям после разгрузки. По отдельным
направлениям это равенство может все же выполняться.
Равенства (19.9) могут выполняться по всем лучам нагружения,
когда начальная поверхность нагружения — любая выпуклая поверх-
ность, которая при упрочнении изменяется подобным образом. Это
значит, что в этом случае функция нагружения / должна быть
однородной функцией компонент девиатора dli и компонент оста-
точных деформаций е?..
3.	Приобретенная анизотропия.
Частица, физически изотропная до нагружения, после пласти-
ческого нагружения может стать физически анизотропной. Свойства
268
ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
анизотропии могут проявляться как в упругой области, так и в пласти-
ческой. В соответствии с принятой концепцией анизотропные свойства
можно рассматривать как свойства, определяемые параметрами и
Для определения свойств упругой анизотропии достаточно установить
зависимость свободной энергии от этих параметров.
Фактическое число характеристик упругой анизотропии можно
сократить, если рассматривать малые деформации, и в упругой области
считать справедливым закон Гука. Свойство пластической несжи-
маемости и отсутствие дополнительных тензоров, определяемых
параметрами позволяют сделать дополнительные упрощения.
Для определения анизотропных пластических свойств упрочняю-
щегося материала достаточно знать, как функция нагружения зависит
от этих параметров. Возникновение анизотропии связано с тем, что
функция нагружения зависит существенно от инвариантных скаляров,
содержащих компонены в комбинациях с компонентами и
Развитие пластической анизотропии порождает несимметричность
смещения или деформации поверхности S относительно начала коор-
динат в девятимерном пространстве компонент тензора напряжений.
В частных случаях учет анизотропии пластических свойств можно
производить с помощью поступательного смещения поверхности на-
гружения Е. Другие простейшие усложнения, связанные с дефор-
мацией поверхности S, анализировались рядом авторов [58].
4.	Работа внутренних напряжений на пластических деформациях.
Элементарная работа внутренних сил напряжений, отнесенная
к единице массы на пластических деформациях, представляется вы-
ражением:
dulp —-----— pij de? ,
P r и
где p — плотность, которая для конечных деформаций — известная
функция инвариантов компонент тензора s^.В соответствии
с законами теории упругости тензор упругих деформаций е*. можно
заменить через тензор напряжений и другие величины, входящие
в уравнение состояния.
Если деформации малы, то плотность можно считать постоянной.
Уравнение притока тепла приводит к равенству
d&' + SdT —	^-’-ds.P. = dQ — TdS, (19.11)
p LJ p lJ	z
где	T, efy, fy)— свободная энергия. В случае ко-
нечных деформаций мы предполагаем, что все компоненты тензоров —
аргументы функции — взяты в базисе g^ (лагранжева система
координат в пространстве исходного начального состояния), kv kt ...
§ 19] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ В ТЕОРИЯХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ	269'
...» km — физические постоянные для частицы, 5 — энтропия, dQ—
действительный внешний приток тепла.
Так как процесс пластической деформации необратим, то из вто-
рого закона термодинамики следует, что
dQ — TdS = — dQ'<0,	(19.12)
где dQ' — некомпенсированное тепло.
В каждый момент времени напряжения и энтропию S как
в упругой области так и на ее границе 2 можно определить
с помощью законов теории упругости по формулам
Из (19.11) с учетом (19.12) и (19.13) получим
=	(19.14)
Из неравенства (19.14) следует, что работа внутренних сил на
пластических деформациях всегда отрицательна d<Ap < 0, если при-
ращение внутренней энергии
d= —— de?. -4- -ч— dy _
dtpi} 11 dls
положительно. Если d'^ < 0, то второй закон термодинамики
при наличии диссипации механической энергии может выполняться
и в том случае, когда ddlp > 0.
Если допустить, что деформации малы и что термо-упругие законы
в области Q) не зависят от пластических деформаций, то в этом
случае свободная энергия должна иметь вид
Т, kj) +(o(gfy, efy, fy)*»	(19.15)
функция о) зависит только от характеристик пластической дефор-
мации. В этом случае (19.14) приобретает вид
-d^^^-deP^^deP.-^ — d^.	(19.16)
?	11 dify 11 дЪ ™
При исследовании движений пластического тела с заданным при-
током тепла уравнение (19.11) необходимо использовать для замы-
кания системы уравнений, поэтому при определении модели пла-
стической среды необходимо задавать зависимость свободной энергии
от и а в случае (19.15) необходимо задавать функцию о.
19 Л. И. Седов
270	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
При рассмотрении изотермических процессов уравнение (19.11)
может служить для вычисления необходимого притока тепла. Для
решения механических задач достаточно уравнений состояния (19.13),
ассоциированных законов (19.5) и (19.6) для еР. и и универсаль-
ных уравнений механики сплошной среды.
В случае (19.15) в задачах исследования изотермических движе-
ний нет необходимости задавать функцию а>. Однако во всех
случаях вопрос о знаке работы внутренних сил на остаточных
деформациях зависит от того, как свободная энергия или функ-
ция о) зависит от гР. и Заметим, что в идеальной жидкости или
в идеальном газе, как правило, всегда получаются остаточные
деформации. Однако в этом случае работа сил напряжения на оста-
точных деформациях всегда равна нулю (это связано с обратимым
характером остаточных деформаций в идеальной жидкости). Воз-
можны необратимые явления, для которых знаки для приращений
d'^ или могут быть любыми. Следовательно, вопрос о знаке
пластической работы нельзя рассматривать как простое следствие
условия необратимости (19.12). Аналогичные необратимые эффекты
при химических реакциях могут протекать как с поглощением внеш-
ней энергии, так и с отдачей энергии внешним телам. Роль крити-
ческой температуры, стимулирующей химическую реакцию при пла-
стических процессах, играют напряжения на пределе упругости.
Рассмотрим теперь еще полную работу внутренних напряжений
на пластических деформациях, которую на основании ассоциирован-
ного закона (19.5) можно написать в виде
V р 4	^9 др 1
= - f-pij+-Ри(19Л7>
р др4 др р	р др 7 дТ
В общем случае величина работы Лр зависит от пути нагруже-
ния. Хандельман и Уорнер [57] рассмотрели случаи малых пласти-
ческих деформаций, когда р = const, а функция / имеет вид
/ = /o(Pa) + u>(sf/> Xs)
и, кроме этого, h зависит только от /0.
В этом случае при изотермических процессах условие о незави-
симости работы Лр от пути нагружения приводит к выводу о том,
что функция /0 должна иметь следующий вид:
/о = ^(Ф).	(19-18)
где F — произвольная функция своего аргумента, а
Ф (р^)
§ 20]	МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД	271
— произвольная однородная функция своих аргументов первого по-
рядка.
В самом деле, из (19.17) имеем
d^ = -!Lpij^.dfOt
р др1
если Лр не зависит от пути нагружения и так как d<Ap = 0 одно-
временно с df^ = G, то Лр = <ДР (/0), т. е. работа пластических
деформаций зависит только от функции /0, поэтому должно быть
= —	(19.19)
р	др J	р
где g(/0) может быть произвольной функцией. Заменяя функцию g(fQ)
через 2(/0) согласно формуле
g (/о) = 2 (/о) f = 2 (/о) Ф (/о).
соотношение (19.19) приведем к виду
отсюда следует, что функция Ф(/о) является произвольной одно-
родной функцией первого порядка от компонент тензора и сле-
довательно, формула (19.18) верна.
§ 20. Модели пластических сред, для которых поверхность
нагружения имеет угловые точки
В последнее время появилось много работ, в которых строятся
и используются модели пластических тел, для которых поверхность
нагружения имеет острые ребра, угловые или конические точки.
В первой классической модели пластического тела, предложен-
ной впервые Треска, поверхность нагружения определяется условием
о том, что касательные напряжения при пластическом деформиро-
вании максимальны и имеют заданное значение. Эта поверхность
образована пересечением плоскостей и имеет острые ребра.
В девятимерном пространстве тензора напряжений поверхность
нагружения Е представляет собой поверхность с плоскими гранями.
В трехмерном пространстве главных осей напряжений это будет
равносторонняя шестигранная призма с осью, одинаково наклоненной
к главным осям напряжения. Сечение этой призмы девиаторной пло-
костью
Pl 4~ Р2 + Рз — ®
19*
272	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
дает равносторонний шестиугольник с расстоянием угловых точек
до центра, равным 2ттах, где тшах—величина касательного напря-
жения, при котором начинается пластическое течение.
В пространстве главных напряжений поверхность нагружения по
условию Мизеса (второй инвариант девиатора напряжений на поверх-
ности нагружения постоянен) в девиаторной плоскости представляется
кругом, вписанным в шестигранную призму Треска.
Круг Мизеса и шестигранник Треска симметричны относительно
начала координат и относительно проекций главных осей координат
на девиаторную плоскость.
В обоих случаях выполнены условия физической изотропии.
В общем случае физическое условие изотропии не обязательно при-
водит к поверхностям нагружения, симметричным относительно на-
чала координат. Известно, например, что если пределы упругости
на сжатие и на растяжение различны, то поверхность нагружения
в девиаторной плоскости получается несимметричной относительно
начала координат, тем не менее условия симметрии поверхности
нагружения относительно прямых — проекций главных осей напря-
жения на девиаторную плоскость — будут соблюдены.
Таким образом, отклонения пределов упругости от условия Ми-
зеса не противоречат условиям физической изотропии.
Существуют различные опытные данные, которые могут служить
основанием для введения пределов упругости, отличных от условий
Мизеса, и побуждают к рассмотрению поверхностей нагружения
с угловыми точками.
Согласно условиям Мизеса для пути нагружения, совпадающего
с окружностью Мизеса, остаточные деформации должны оставаться
постоянными. Существуют опытные данные [71], которые определен-
ным образом свидетельствуют об изменении остаточных деформаций
для пути нагружения вдоль окружности Мизеса.
В пластических средах с упрочнением в гладких точках поверх-
ности нагружения при движении вдоль касательной к поверхности
нагружения в малом должны выполняться законы теории упругости.
Однако по данным некоторых экспериментаторов в этом случае
возникает отклонение от законов теории упругости [22> 40], причем
обнаруживается также, что в этом случае возникает из'лом траекто-
рии пластической деформации. Эти эффекты можно объяснить, если
принять, что в точке нагружения поверхность нагружения имеет
угловую или коническую точку.
В месте с этим положение дел осложняется тем, что существуют
также опытные данные, которые не обнаруживают указанных выше
эффектов.
В регулярных точках поверхности нагружения с единственной
нормалью направление приращения остаточных деформаций фикси-
ровано. В угловых точках поверхности нагружения в согласии
§ 20]
МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД
273
с (19.3) направление вектора dzp.. может изменяться в известных
пределах. Таким образом, если нагружение происходит в угловой
точке поверхности нагружения, то для пластических деформаций
получается большая свобода.	।
В связи с этим необходимы дополнительные данные для уста-
новления пластических деформаций при нагружениях в угловых
точках.
Обобщение ассоциированного закона на случай угловой точки
поверхности нагружения дано Койтером в 1953 г. [67]. В настоящее
время теория Койтера является основой для всех работ, посвящен-
ных исследованию пластичности с поверхностями нагружения, имею-
щими угловые точки.
Основные допущения теории Койтера находятся в согласии
с принципом, заключенным в неравенстве (19.3), о минимуме ра-
боты напряжений на пластических деформациях. Сущность этой
теории состоит в следующемJ).
Пусть в пространстве тензора напряжений p'i граница упругой
области и особые точки поверхности нагружения образованы не-
сколькими пересекающимися регулярными поверхностями с уравне-
ниями
W'- т. xs. *у)=о
(20.1)
(* = 1, 2, ...),
причем число этих поверхностей может быть любым.
В некоторых случаях поверхность нагружения можно рассмат-
ривать как огибающую множества (20.1) с бесконечным числом по-
верхностей.
Функции fk определены так, что смещениям в упругую область .
соответствуют неравенства
л < 0 и d'fk=^dT -^-^-dp* < 0.
*	й дТ др^
(20.2)
Процессу пластического нагружения в случае идеально пласти-
ческого тела, для которого в (20.1) аргументы е^. и отсутствуют,
соответствует
df„ = d'A = 0,	= d'f, < 0,
(20.3)
где индексы ш и v различны и исчерпывают совокупность индексов
k= 1, 2, ...
J) Для пластического тела с упрочнением ниже мы даем в явном виде
формулировку теории Койтера в предположении, что функции // могут за-
висеть произвольно от остаточных деформаций и параметров \s. Эти пред-
положения не отмечены Койтером в цитированной работе, но они использо-
вались другими авторами, развивавшими эту теорию.
274	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Аналогичным образом процессу нагружения с упрочнением со-
ответствует
^Л>0, ^/ю = 0,	=	(20.4)
Если индекс ш совпадает с несколькими индексами, то в про-
цессе бесконечно малого элемента пути нагружения тензор напря-
жений продолжает соответствовать особым точкам поверхности
нагружения S. Если ш = /, где j — единственный фиксированный
индекс, то точка нагружения смещается с особой точки в регуляр-
ную точку поверхности S.
Если индексы ш совпадают со всеми индексами &=1, 2, ...»
то такое нагружение называется полным.
Обобщение Койтера ассоциированного закона Мизеса (19.4)
дается равенством
(20-5)
О)	“
где dk^— положительные величины. В случае идеально-пластиче-
ского тела значения множителей	связаны с выполнением усло-
вий пластичности
/о, = 0.	(20.6)
В случае пластического тела с упрочнением для множителей
dk^ можно написать
dk(a = %(ah(adffti)i	(20.7)
где /гш— функции параметров, определяющих физико-механические
характеристики частицы, а — положительные величины, меньшие
единицы. Функции аналогичны функции /г, фигурирующей в фор-
муле (19.5). Задание функции /гш входит в определение модели пла-
стического тела. Множители определяются постановкой задачи
для тела в целом [п].
В случае бесконечной системы функций (20.1) сумма в (20.5)
может быть заменена интегралом, в котором области интегрирова-
ния определены условиями (20.3) и (20.4). В процессах, в которых
выполняются условия нагружения, формулы (20.5) можно. исполь-
зовать для замыкания системы механических уравнений.
Дополнительные параметры	для упрочняющихся материалов
можно ввести по формулам вида
d'tLs	d f qj |
или	|	(20.8)
I
где или — известные функции определяющих параметров.
§ 20]	МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД	275
Для пластических материалов с упрочнением формулы (20.5)
можно написать в виде
(20.9)
Для заданной системы индексов о), определяемой приращениями
тензора напряжений dpi и температуры Т, формула (20.9) дает
линейную связь между dtf. и dp'i, dT, однако в пространстве на-
пряжений вблизи особой точки нагружения можно указать различ-
ные области изменения dplJ, dT, в каждой из которых система ин-
дексов а) различна. В соответствии с этим получим, что линейные
соотношения (20.9) в этих различных областях различны. Следова-
тельно, соотношение (20.9) по существу можно рассматривать как
нелинейную связь между dtf!. и dpli, JT.
Обсуждение указанных выше нелинейных эффектов в угловых
точках поверхности нагружения дано Сандерсом [90]. Ходжем [53}
исследованы случаи, когда поверхности Ер определенные уравне-
ниями Д = 0, являются плоскостями.
В этом случае можно найти конечную связь между напряжениями
и деформациями, одинаковую для некоторых соответствующих клас-
сов путей нагружения и различную для некоторых различных клас-
сов нагружения.
Койтером было показано, что условие текучести с нерегулярной
поверхностью S в теории Треска может быть получено в рамках
соотношений (20.5), в которых поверхность Е получается как оги-
бающая бесконечного числа плоскостей вида
fab = Т РИ (ntnj +	— k = °-
где nf и rfi— компоненты двух взаимно перпендикулярных единич-
ных векторов. Символы а и b определяют два перпендикулярных
направления, которые могут быть произвольными.
Койтером также было показано, что теория Ватдорфа и Будян-
ского получается с помощью соотношений (20.9) в предположениях
(эквивалентных гипотезам Батдорфа и Будянского), что поверхность
текучести представляет собой огибающую системы бесконечного
числа плоскостей. В теории Батдорфа и Будянского точка нагру-
жения является конической точкой, при этом связь между прира-
щениями напряжения и деформации получается в сложной интеграль-
ной форме *). Аналогичные теории развивались А. К. Мальмейстером
и его сотрудниками [21].
1) В последнее время появилась работа Joshimaru J. [63], в которой
сделаны критические замечания о согласовании теории Батдорфа и Будян-
ского с экспериментальными данными.
276	ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Зависимость и от параметров пути нагружения может быть
весьма сложной, за счет этого поверхность нагружения может сильно
изменяться при пластическом деформировании.
При активном нагружении (без промежуточных разгрузок) важны
только локальные свойства поверхности нагружения в точке нагру-
жения, поэтому можно развивать теорию пластического деформиро-
вания с упрочнением с помощью формулы (20.9), в которой функ-
ции можно считать линейными функциями компонент напряжения.
Несмотря на эффекты нелинейности и на весьма сложную ситуа-
цию для любых путей нагружения, особенностью теории с угловой
точкой является наличие упрощений для некоторого множества путей
нагружения, проходящих в каждой точке внутри области полного
нагружения.
Будянским [46] было показано, что для некоторой совокупности
путей, проходящих в области полного нагружения, могут суще-
ствовать конечные соотношения между напряжениями и деформациями.
В теории идеальной пластичности непосредственным и ближай-
шим обобщением диаграммы Прандтля для одноосной деформации
на общий случай пространственного пластического движения может
служить предположение о фиксировании отличного от нуля девиатора
тензора напряжений с точностью до произвола в ориентации глав-
ных осей напряжения. Такое допущение можно рассматривать как
естественное обобщение понятия идеальной жидкости, которое для
произвольных движений определяется условием обращения в нуль
девиатора напряжений.
Рассмотренные выше общие идеи построения моделей пласти-
ческих тел были развиты в основном в последние 10 лет. В связи
с этим вопрос о конкретизации некоторых функций в соответствии
с экспериментальными данными для некоторых материалов и меха-
нических задач еще не завершен. Однако мы располагаем построен-
ными рациональным путем моделями, обоснованными теоретическим
анализом. Дальнейшая разработка теории пластичности должна бази-
роваться на уже развитой теории, которая нуждается, однако,
в дальнейшем упрощении и критическом сопоставлении с опытными
эффектами.
Очевидно также, что учет температурных и тепловых эффектов
в связи с динамическими проблемами требует дальнейшего изучения.
Физические концепции, связанные со строением твердых тел,
и общие статистические и термодинамические соображения необхо-
димо привлекать в большей степени, чем это было до сих пор.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Б о н д а р ь В. Д., О тензорных характеристиках конечных деформаций
сплошной среды, Прикл. матем. и механ., т. XXV, вып. 3, 1961.
2.	Бондарь В. Д., Некоторые точные решения уравнений совместности
для компонент тензора деформаций при простом нагружении, Докл.
АН СССР, т. 130, № 6, 1960.
3.	Бэтчелор Дж., Теория однородной турбулентности, пер. с англ., Издат.
иностр, литер., Москва, 1955.
4.	Г ант махер Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, Москва, 1953.
5.	Г о л ь д е н б л а т И. И., Некоторые вопросы механики деформируемых
сред, Гостехиздат, Москва, 1955.
6.	Г р и г о р я н С. С., Об основных представлениях динамики грунтов,
Прикл. матем. и механ., т. XXIV, вып. 6, 1960.
7.	Д е Гроот С. Р., Термодинамика необратимых процессов, пер. с англ.,
Гостехиздат, Москва, 1956.
8.	Ж у к о в А. М. и Р а б о т н о в Ю. Н., Исследование пластических де-
формаций стали при сложном нагружении, Инж. сборник, Издат.
АН СССР, т. 18, 1954.
9.	3 о м м е р ф е л ь д А., Термодинамика и статистическая физика, пер.
с нем., Издат. иностр, литер., Москва, 1955.
10.	И в л е в Д. Д., К построению теории упругости, Докл. АН СССР, т. 138,
№ 6, 1961.
Ц. Ивлев Д. Д., О математическом описании поведения упругого изотроп-
ного тела при помощи кусочно-линейного потенциала, Прикл. матем.
и механ., т. 25, вып. 5, 1961.
12-	Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, Москва, 1948.
13.	И ш л и н с к и й А. Ю., Общая теория пластичности с линейным упроч-
нением, Укр. матем. журнал, т. 6, № 3, 1954.
14.	К а ч а н о в Л. М., Основы теории пластичности, Гостехиздат, Москва,
1956.
15-	К а ч а н о в Л. М., Теория ползучести, Физматгиз, Москва, 1960.
16-	Кодашевич Ю. И. и Новожилов В. В., Теория пластичности,
учитывающая эффект Баушингера, Докл. АН СССР, т. 117, № 4, 1957.
17.	К о ч и н Н. Е., Векторное исчисление и начало тензорного исчисления,
изд. 6-е, ГОНТИ, 1938.
18-	Л а н д а у Л. Д. и Л и ф ш и ц Е. А., Механика сплошных сред, изд. 2-е,
Гостехиздат, Москва, 1954.
19-	Лоренц Г. А., Лекции по термодинамике, пер. с нем., Гостехиздат,
Москва, 1941.
20.	Л я в А., Математическая теория упругости, пер. с англ., ОНТИ, 1935.
21.	Мальмейстер А. К., Упругость и неупругость бетона,, Рига, 1957;
См. Исследования по бетону и железобетону, Сборники статей Латвий-
ской АН СССР.
22.	Нахди и Раули, Экспериментальное изучение зависимостей между
напряжениями и деформациями в пластической области при двухосном
напряженном состоянии, Сборник перев. и обзоров иностр, период, литер.
«Механика», Издат. иностр, литер., № 3 (31), 1955.
278
ЛИТЕРАТУРА
23.	Н о в о ж и л о в В. В., Основы нелинейной теории упругости, Гостехиз-
дат, Ленинград — Москва, 1947.
24.	Новожилов В. В., Теория упругости, Судпромгиз, Ленинград, 1958.
25.	Прагер В., Об элементарном определении скоростей напряжения, Сбор-
ник перев. и обзоров иностр, период, литер. «Механика», Издат. иностр,
литер., № 4, 1960.
26.	П р а г е р В., Неизотермическое пластическое деформирование, Сборник
перев. и обзоров иностр, период, литер. «Механика», Издат. иностр, ли-
тер., № 5, 1959.
27.	П р а г е р В., Проблемы теории пластичности, пер. с нем., Физматгиз,
Москва, 1958.
28.	Р а б о т н о в Ю. Н., Модель, иллюстрирующая некоторые свойства уп-
рочняющегося пластического тела, Прикл. матем. и механ., т. XXIII,
вып. 1, 1959.
29.	Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостех-
издат, Москва — Ленинград, 1950.
30.	Седов Л. И., Понятие разных скоростей изменения тензора, Прикл.
матем. и механ., т. XXIV, вып. 3, 1960.
31.	Седов Л. И., О понятиях простого нагружения и о возможных путях
деформации, Прикл. матем. и механ., т. XXIII, вып. 2, 1959.
32.	С е д о в Л. И., Методы подобия и размерности в механике, изд. 4-е,
Гостехиздат, Москва, 1957.
33.	С е д о в Л. И., Об общем виде уравнений кинематики химических реак-
ций в газах, Докл. АН СССР, т. LX, № 1, 1948.
34.	С е д о в Л. И., К теории построения механических моделей сплошных
сред, Вестник АН СССР, № 7, 1960.
35.	С е д о в Л. И., Об основных концепциях механики сплошной среды,
Сборник «Некоторые проблемы математики и механики» к 60-летию
акад. М. А. Лаврентьева, Издат. Сибирского отд. АН СССР,
Новосибирск, 1961.
36.	С е д о в Л. И., Об основных принципах механики сплошной среды,
Издат. МГУ, Москва, 1961.
37.	С е д о в Л. И., Э г л и т М. Э., Построение неголономных моделей
сплошных сред с учетом конечности деформаций и некоторых физико-
химических эффектов, Докл. АН СССР, т. 142, № 1, 1962.
38.	Скрипкин В. А., Приближенные формулы.для вектора поворота при
малой деформации, Прикл. матем. и механ., т. XXI, вып. 5, 1957.
39.	Т и м о ш е н к о С. П., История науки о сопротивлении материалов, пер.
с англ., Гостехиздат, Москва, 1957.
40.	Фейгин, Неупругое поведение при совместном действии растяжения
и кручения, Сборник перев. и обзоров период, иностр, литер. «Механика»,
Издат. иностр, литер., № 3 (37), 1956.
41.	Якимов Ю. А., Распределение ударных волн в идеальных средах
с произвольными физическими свойствами, Диссертация, защищенная
в МГУ в 1959, Реферативный журнал «Механика», № 8, 8507Д, 1959.
42.	Э г л и т М. Э., О тензорных характеристиках конечных деформаций,
Прикл. матем. и механ., т. XXIV, вып. 5, 1960.
43.	Э г л и т М. Э., Об определении упругих потенциалов из опыта, Прикл.
матем. и механ., т. XXV, вып. 4, 1961.
44.	Biot М. A., Theory of elasticity with large displacements and rotations,
Proc. 5 Jntern. Congr. Appl. Meeh., 1939.
45.	Biot M. A., Non-linear theory of elasticity and the linearized case for a body
under initial stress, Phil, mag., v. 27, № 183, 1939, p. 449—452, p. 468—489.
46.	Budiansky B., A reassessment of deformation theory of plasticity,
Trans. ASME. Series E. Journ. of Appl. Meeh., v. 26, № 1—2, March —
June, 1959, p. 259—264.
ЛИТЕРАТУРА
279
47.	С о 11 е г В. A. and R i v 1 i n R. S., Tensors associated with time-depen-
dent stress, Quart. Appl. Math., v. 13, n. 2, 1955, p. 177—182. [См. сб.
перев. и обзоров период, иностр, литер. «Механика». Издат. иностр, ли-
тер., № 4 (62), I960.]
48.	Donder Theophile de, Thermodynamic theory ot affinity. Stanford
University Press, London, 1936.
49.	Drucker and Prager, Journ. Math, and Phys., v. 23, № 2, 1953.
50.	E d e 1 m a n n F. and Drucker, D. C., Some extensions of elementary
plasticity theory, Journ. of the Franklin Institute, 1951, p. 581—607.
51.	Ericksen J. L. and R i v 1 i n R. S., Large elastic deformations of homo-
geneous anisotropic elastic materials, Journ. Rational Meeh, and Anal., v. 3,
№ 3, 1954, p. 281—301.
52.	E r i c k s e n J. L. and R i v 1 i n R. S., Stress-deformation relations for
isotropic materials, Journ. Rational Meeh, and Anal., v. 4, № 2, 1955.
53.	G о о d i e r J. H., Hodge P. G., Elasticity and plasticity, John. Wiley
and Sons, New York, 1958.
54.	Green A. E., Z e r n a W., Theoretical elasticity, Oxford Univ. Press, 1954.
55.	Gibbs J. W., Collected Works, v. I, Thermodynamics, New York, Long-
mans Green and Co., 1928.
56.	H i r s c h f e 1 d e r J. O., Curtiss C. F., В i r d R. B., Molecular theory
of gases and liquids, John Wiley and Sons, Chapman, 1954.
57.	H a n d e 1 m a n G. H. and W a r n e r W. H., Loading paths and the incre-
mental strain law, Jorn. Math, and Phys., v. XXXIII, № 2, 1954.
58.	Hodge Ph. G., A general theory of piece-wise linear plasticity based on
maximum shear, Journ. Meeh, and Phys, of Solids, v. 5, № 4, 1957.
59.	H a n i n M. and Reiner M., On isotropic tensorfunctions and the measure
of deformation, Journ. Appl. Math, and Phys. (ZAMP), v. II, fasc. 5, 1956,
p. 377—393.
60.	Hill R., The mathematical theory of plasticity, Oxford, at the clarendon
press, 1950. См. также русский пер.: Хилл Р., Математическая теория
пластичности, Гостехиздат, Москва, 1956.
61.	J a u m a n n G., Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig, 1905; см. также
Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien (110) 120, 1911.
62.	Joshimaru Joshimura, On the definition of stress in the finite de-
formation theory, Journ. Phys. Soc. of Japan, v. 8, Ns 5, 1953.
63.	Joshimaru Joshimura, Comment on the Flip Theory of Batdorf and
Budiansky, Bulletin of JSME, v. I, № 2, 1958, p. 109—113.
64.	К a p p u s R., Uber Elastizitatstheorie endlicher Verschiebungen, ZAMM,
Bd. 19, Hf. 5, 1939, p. 271—285.
65.	Kirchhoff G., Uber die Gleichungen des Gleichgewichts eines elasti-
schen Korpers bei nicht unendlich kleinen Verschiebungen seiner Teile,
Acad. Wiss. Wien Sitzungsberichte, IX, 1883.
66.	Kirchhoff G., Vorlesungen uber mathematische Physik, Bd. I, Mecha-
nic 2 Aufl., Leipzig, 1877; 3 Aufl., 1883.
67.	К о i t e r W. T., Stress-strain relations, iniqueness and variational theorems
for elastic-plastic materials with a singular field surface, Quart. Appl.
Math., v. XI, n. 3, 1953, p. 350—354.
68.	К о i t e r W. T., General Theorems for elastik-plastik solids. Progress in
Solid Mechanics, v. I, North — Holland Publisching company, 1960.
69.	L a g a 11 у M., Vorlesungen uber Vektorrechnung, Leipzig, 1928. [См. также
русский пер.: Л а г а л л и М., Векторное исчисление, Москва — Ленинград,
ОНТИ, 1936.]
70.	Lodge W., Forschungsarbeiten a. d. Gebiete d. Ingenierwesens, № 303,
V. D. I.-Verlag Berlin, 4928.
71.	M a r i n J. and H u L. W., Biaxial plastic stress-strain relations of a mild
steel for variable stress ratios, Transactions of the ASME, v. 78, № 3,1956.
280
ЛИТЕРАТУРА
72.	М i es es R., Mechanik der plastischen Formanderung von Kristallen, ZAMM,
Bd. 8, Hf. 3, 1928, p. 161—185.
73.	M u г n a g h a n F. D., Finite deformation of an elastic solid, John Wiley,
Chapman, New York, 1951.
74.	Murnaghan F. D., Finite deformations of an elastic solid, Amer. Journ.
of Math., v. 59, № 2, 1937, p. 235—260.
75.	О 1 d г о у d J. G., On the formulation of rheological equations of State,
Proc. Roy Soc. (A), v. 200, № 1063, 1950, p. 523—541.
76.	Onsager Lars., Reciprocal relations in irreversible processes. 1, Phys.
Rev., v. 37 (2), 1931, p. 405—426.
77.	О n s a g e r Lars., Reciprocal relations in irreversible process. 2, Phys.
Rev., Second series, v. 38, № 12, 1931, p. 2265—2279.
78.	P e n n e r J. J., Introduction to the study of chemical reactions in flow
systems, London, Butterworth, 1955.
79.	Prager W., Der Einfluss der Verformung auf die Fliessbedingung zahp-
lastischer Korper, ZAMM, Bd. 15, Hf. 1—2, 1935, s. 76—80.
80.	Prager W., Einfiihrung in die Kontinuumsmechanik, Birkhauser Verlag,
Basel und Stuttgart, 1961.
81.	P r i g о g i n e I., Etude thermodynamique des processes irreversibles (The-
sis), Dunod, Paris, Liege, 1947; см. также Introduction dans le thermody-
namique des proceesses irreversibles, Paris, 1947. [См. также русский пер.:
Пригожин И., Введение в термодинамику необратимых процессов,
Издат. иностр, литер., Москва, I960.]
82.	Reiner М., The Theory of Non-Newtonian Liquids, Physics, v. 5, № 11,
Nov. 1934.
83.	Reiner M., A mathematical theory of dilatancy, Amer. Journ. Math.,
v. LXVII, № 3, 1945, p. 350—362.
84.	Reuss E., Abstracts 4-th Internat. Congr. Appl. Meeh., Cambridge, 1934,
p. 91.
85.	R i v 1 i n R. S., The constitutive equations for certain classes of deforma-
tions, Arch. Rat. Meeh, and Anal., v. 3, № 4, 1959, p. 304—311.
86.	R i v 1 i n R. S., Some Topics in finite Elasticity, Structural Mechanics,
Perga mon Press, 1960.
87.	Roy M., Transformations faiblement irreversibles et relations de Onsager.
Echanges thermiques et resistances passives, C. R. Acad. Sci., 250, № 4,
1960, p. 639—642.
88.	Roy M., Mecanique des millieux continus et deformables, t. 1—2, Gaut-
hier— Villars, 1950.
89.	Roy M., Sur les notions d’effluence et de production d’entropie et sur lol
de Fourier. C. R., t. 250, № 1, 1960, p. 35.
90.	S a n d e r s T. L., Plastic stress-strain relations based on linear loading
functions, Proceedings of second U. S. National Congress of Appl. Meeh.,
1954, p. 455—460.
91.	Shield R. T. and Ziegler H., On Prager’s Hardening Rule, Journ.
Appl. Math, and Phys., v. IXa, № 3, 1958, p. 260—275.
92.	S i g n о r i n i A., Questioni di Elasticita non Linearezzata, Roma, 1960.
93.	S о k о 1 n i k о f f I. S., Mathematical theory of elasticity, 2 ed., New York,
McGraw-Hill, 1956.
94.	S e t h B. R., Finite strain in elastic problems, Phil, transac. of the Royal
Soc. (London), ser. A, v. 234, 1935, p. 231—264.
95.	T а у 1 о r G. J. and Quinney H., The plastic distortion of metals, Phil,
transac. of the Royal Soc. (London), v. 230, 1932, p. 323—362.
96.	T r u e s d e 11 C., The mechanical foundations of elasticity and fluid dyna-
mics, Journ. Rational Meeh, and Anal., v. 1, 1952, p. 125; v. 2, № 3,
1953, p. 593—616.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автомодельность движения 186, 190
И д.
Альтернирование тензора 28 и д.
Анизотропия пластическая 268
— упругая 268
Базис ковариантный 18 и д.
—	контравариантный 19 и д.
—	, соответствующий деформирован-
ному состоянию 232
—	, — начальному состоянию 232
Баушингера эффект 244
Бишона — Хилла принцип 261
Вектор вращения осей деформаций
114
— перемещения 103, 113, 221 и д.
— потока диффузии 192, 208
---- энергии 207
---- энтропии в случае смеси газов
200, 208
Вязкость 134
Газ Ван-дер-Ваальса 179, 180
— идеальный 171
— совершенный 178
Гамильтона — Кели тождество 49
Гиббса формула 208
Главные компоненты тензора* 35
-------деформаций 106
-------напряжений 237
Главный вектор массовых сил
143
----поверхностных сил 144
— момент внешних поверхностных
сил 144
----массовых сил 143
Градиент температуры 184
Гука закон 231 ид.
Гульдберга—Вааге закон 202
Движение жидкости вязкой 270 и д.
-----идеальной несжимаемой 176 и д.
-----сжимаемой 177, 178 и д.
— ламинарное 213 и д.
— потенциальное 212 и д.
— турбулентное 213
Девиатор 34
Деформации аффинные 95
— пластические 246, 249, 250 и д.
----- с упрочнением 259
— полные 246, 249 и д.
Диаграмма простого растяжения
243
Диссипация энергии 213
Диссоциация 199
Дифференцирование тензорных функ-
ций 121
— тензоров по координатам 70
--------параметру 78
Диффузия 134, 194 и д.
Единственность решения 3, 56
Жидкость вязкая 210 и д.
— идеальная 171 и д.
— несжимаемая 176 и д.
— сжимаемая 171, 174 и д.
Закон, ассоциированный в теории
пластичности 262
— Гука 231 и д.
— Дальтона 200
— действия и противодействия 140
—	действующих масс 202
—	Ньютона 211, 212
— сохранения количества движения
145
-----массы 136
-----момента количества движения
145
282
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Закон сохранения энергии 163
— теплопередачи 184
— термодинамики второй 165, 167
-----первый 163
Законы теории пластичности 258 ид.
Излучение 134, 181
Изотропия 44, 234
Импульс фотона 132
Инварианты девиатора 40
— тензора 31
-----деформации 240
-----напряжения 240
Инерция 35
Клапейрона уравнение 177
Компоненты ковариантные 18 и д.
— контравариантные 18 и д.
— тензора главные 35
-----напряжений 149
----- физические 149
Континуум материальный . 133, 135
и д.
Концентрации составляющих смесей
194
Координаты Лагранжа 92, 102 и д.
— сферические 18
— Эйлера 14, 92 и д. i
Коэффициент Пуассона 179
— теплоемкости 175
— теплопроводности 185
— удлинения 105, 151 ид.
Коэффициенты вязкости 212
— стехиометрические 193
Лагранжа уравнения 37
Лоде параметр 41
Масса 131
— молярная 177, 193
— смеси 191
Масштаб девиатора 41
Материал анизотропный 268
Модель вязкой жидкости 210 и д.
— идеальной жидкости 171 и д.
— пластического тела 245, 246 и д.
— упругого тела 217 ид.
Навье—Стокса уравнения 215
Напряжения внутренние 134,	144
и д.
Напряжения касательные 144
— нормальные 144
Непрерывности уравнения 136, 137»
194
Ньютона закон 211, 212
— уравнение (динамическое) 142»
168
Область упругая 253
Обобщенные силы 160, 211
Онзагера принцип 165, 209
Осреднение величин в турбулентном
потоке 214
Параметр Лоде 41
Параметры (определяющие} для га-
зовых смесей 195
Плотность воздуха при разных усло-
виях 132
— газовых смесей 191
— железа 132
— межзвездного газа 132
—	ядерного вещества 132
Поверхность нагружения 253, 266
и д.
—	разрыва 241
—	текучести 257
Ползучесть 243
Постоянная Больцмана 166, 167
—	газовая 177
—	Планка 132
Потенциал термодинамический 174
и д.
Потенциалы химические 198
Поток энтропии 208
Правило сложения тензора 26
— суммирования индексных обозна-
чений 17, 81
— фаз Гиббса 196
Предел упругости 244, 253
Принцип Бишона — Хилла 261
— Онзагера 165, 209
Произведения, тензоров (скалярные,
векторные, смешанные) 16, 17
Производная от тензоров в системе
отсчета 86
-------в смысле Яумана 90
------- полная 85
Процесс адиабатический 166, 182,
223
— изотермический 183, 229
— нагружения 253
— необратимый 165, 167, 202 и д.
— обратимый 165, 167, 199 и д.
— политропический 183
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
283
Работа сил внешних (поверхностных
и объемных) 154, 160 и д.
-----внутренних объемных 153 и д.
--------поверхностных 153 и д.
-----гравитационных 153
Радиус протона 132
— электрона 132
Размерность 186, 187
Растяжение всестороннее 171
— простое 243
Рейнольдса уравнения 216
Рейса теория 263
Рекомбинация 199, 202
Релаксация 243
Теория конечных деформаций 221,
230, 251 ид.
— малых деформаций 219, 220, 232
и д.
— пластичности Мизеса 263
-----Рейса и Прагера 263
-----Треска 263
Тепло джоулево 181
— некомпенсированное 167, 195 и д.
Теплоемкости 175
Теплопроводность 134, 181
Теплосодержание 221 ид.
Тождество Гамильтона — Кели 49
Турбулентность 213
Свойства аффинных деформаций
99
— внутренних напряжений 145, 147
Силы 140
—	гравитационные 153
—	массовые 143
— поверхностные внешние 143, 144
----внутренние 143, 144
Символы Кристоффеля 19, 74
Система уравнений термоупругости
(замкнутая) 221, 222
Системы координат 13, 14, 102
—	термодинамические 155
Среда идеальная двухпараметриче-
ская 187
— идеально-пластическая 254, 257
— изотропная 234
---- однородная 234
—	пластическая с упрочнением 254,
258
—	упруго-пластическая 245
Температура 164 и д.
Тензор (понятие) 23
— Генки 235
— конечных деформаций 105
— напряжений 148
--- вязких 211
— Римана — Кристоффеля 74
— скоростей деформаций 119, 251
— ускорения чистотой деформации
119, 251
Тензоры антисимметричные 33, 34
— линейно зависимые 60, 61
---независимые 61
—	подобные 39
—	симметричные 33
—	шаровые 35
Теорема живых сил 152
Угловые точки 265, 271
Упрочнение 245
Упругая область 253
Уравнение Ван-дер-Ваальса 179
—	Гульдберга — Вааге 202
— Клапейрона 177
— массовых балансов для смесей с
учетом химико-физических реакций
193
— неразрывности в произвольной си-
стеме координат 139
-------форме Лагранжа 139
---для газовых смесей 194
— Ньютона (динамическое) 142,
168
—	притока тепла 163
—	равновесия фаз 199
— состояния идеальной двухпараме-
трической среды 188
---упругого тела 219, 225
------- изотропного тела 235
Уравнения движения сплошной среды
в криволинейной системе координат
150
---------------форме	Лагранжа 151
---Эйлера 171, 172
—	диффузии 194
—	Лагранжа 37
—	Навье — Стокса 215
—	Рейнольдса 216
— состояния сплошных сред 170
Условие квазилинейной связи тензо-
ров напряжения и деформации
239
Условия совместности 128
Фазовые переходы 181
Формула	Г аусса — Остроградского
284
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формула Гиббса 208
—	Ольдройда 86
—	Лагранжа — Сильвестра 51, 54
Формулы для термодинамических
функций газовой смеси 200
— — — — совершенного газа
178
Функции изотропные 44
— тензорные 44
Функция нагружения 257, 258
Цикл замкнутый 156
Энергия внутренняя 161 ид.
— кинетическая 161 и д.
— потенциальная 153 и д.
— свободная 174, 178 и д.
-----упругой среды 231
Энтальпия 204
Энтропия 165 и д.
Эффект Баушингера 244
— Кельвина 52
— Пойнтинга 52
Якобиан преобразования 20