Текст
                    Э.М.  КАРТАШОВ
 Аналитические
МЕТОДЫ  В  ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ТВЕРДЫХ  ТЕЛ
 Издание  третье,  переработанное
и  дополненное
 Рекомендовано
Министерством  образования
Российской  Федерации
в  качестве  учебного  пособия
для  студентов  высших
технических  учебных  заведений
 Москва
«Высшая  школа»  2001


УДК 536.2 ББК 22.37 К 27 Федеральная целевая программа книгоиздания России Рецензент: проф. С. 77. Рудобашта (зав. кафедрой теплотехники Московского государственного агроинженерного университета им. В. П. Горячкина) ISBN 5-06-004091-7 © ГУП «Издательство «Высшая школа», 2001 Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Вы¬ сшая* школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещается.
ПРЕДИСЛОВИЕ Аналитическое изучение процессов теплопроводности является одним из основных разделов современных инженерных исследова¬ ний в машиностроительной, энергетической, атомной промышлен¬ ности, в технологических процессах химической, строительной, тек¬ стильной, пищевой, геологической и других отраслях промышлен¬ ности. Это представляется совершенно естественным, если учесть, что тепловые явления в природе играют особую роль. Достаточно указать, что практически все процессы в той или иной степени связаны с изменением температурного состояния и переносом теп¬ лоты. Следует также отметить, что инженерные исследования кине¬ тики целого ряда физических и химико-технологических процессов аналогичны задачам стационарной и нестационарной теплопровод¬ ности. К ним можно отнести процессы диффузий, седиментации, вязкого течения, замедления нейтронов, течения жидкостей через пористую среду, электрические колебания, сорбции, сушки, горения и др. Именно этими обстоятельствами объясняется бурное развитие теории теплообмена в последние десятилетия и то исключительное внимание, которое ей уделяется как в физической теплотехнике, так и в других областях науки, в частности, в дифференциальных урав¬ нениях математической физики в связи с созданием и развитием аналитических методов решения краевых задач уравнения тепло¬ проводности и ему родственных. Даже поверхностное изучение соответствующей научной и учебной литературы показывает, что краевые задачи для уравнений параболического (и эллиптического) типа — предмет практически необозримого числа исследований. С годами их поток не уменьшается, охватывая все новые содер¬ жательные математические объекты, и все большее число самых разнообразных приложений. Классические краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики в силу их чрезвычайно широкого приме¬ нения исторически привлекали внимание ученых разных направ¬ лений: математиков, механиков, физиков, химиков, теплофизиков и т. д. Создавались новые, более общие и более корректные фи¬ зические и соответствующие им математические модели процессов, разрабатывались новые аналитические, графические, численные (с помощью метода конечных разностей) методы, методы аналогий и другие подходы для решения целых классов задач; необычайно высокого уровня развития достигла качественная теория диффе¬ ренциальных уравнений в частных производных. Применение чи¬ сленных методов на базе ЭВМ существенно расширило класс ма¬ тематических моделей, допускающих исчерпывающий анализ. На основе точного решения задачи даже громоздкого вида можно 3
было проследить влияние любого параметра на кинетику процесса. Разностные схемы приближенного вычисления решения задачи по¬ зволили при построении исходной математической модели процесса не стремиться к сильным упрощениям, необходимым для получения точного аналитического решения. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский разработали теорию создания разностных схем для дифференциаль¬ ных уравнений обыкновенных и в частных производных с гладкими и разрывными коэффициентами в виде эффективных алгоритмов, чрезвычайно приспособленных для реализации на вычислительных машинах. Качественная теория дифференциальных уравнений в частных производных позволяла, не решая самих дифференциаль¬ ных уравнений (с заданными краевыми условиями), получать необ¬ ходимые сведения о тех или иных свойствах решения. Аналитичес¬ кие методы теории нестационарного переноса позволяют получать решение большого числа краевых задач. Результаты таких решений предоставляют возможность наглядного и удобного анализа явле¬ ний, позволяют отразить влияние всех факторов, оценить их значи¬ мость и выделить главные из них, т. е. провести аналитический анализ решения исходной задачи. Наличие аналитических решений определенного класса краевых задач представляет интерес и для построения разностных схем приближенного вычисления решений достаточно сложных задач, плохо поддающихся исследованию дру¬ гими методами. Уверенность в том, что решение вычислено прави¬ льно, достигается применением той же вычислительной схемы для расчета тех модельных задач, точные аналитические решения кото¬ рых заранее известны. Несмотря на наличие обширной литературы по математической физике, студенты и аспиранты высших технических учебных заведе¬ ний, специализирующиеся в области теплофизики, так же как и на¬ учные работники и инженеры, работающие в этой области, испыты¬ вают серьезные затруднения в подборе руководства по аналитичес¬ ким методам теории теплопроводности. Особенно это относится к задачам нестационарной теплопроводности в областях с граница¬ ми, движущимися во времени; с переменным во времени относи¬ тельным коэффициентом теплообмена на границе области; при фазовых превращениях — задачи Стефана (прямые и обратные) и более общие для уравнений параболического типа со свободной границей, а также задачи в гидромеханике с более сложными (чем классические) граничными условиями; с разнородными граничными условиями на линиях на плоскости и в пространстве; краевые задачи линейного сопряжения граничных условий (или задачи Гильберга). В этих случаях классические аналитические методы математической физики становятся неприменимыми, так как оставаясь в рамках этих методов, не удается согласовать решение уравнения теплоп¬ роводности с наличием дополнительных факторов, усложняющих постановку соответствующей краевой задачи. Возникает необходи¬ мость в создании специального математического аппарата, кото¬ рый оказывается эффективным при нахождении точного анали¬ тического решения задачи только в определенной ситуации. В то же 4
время и для областей канонического типа вызывают определенные трудности многомерные задачи теплопереноса (особенно в ци¬ линдрической и сферической системах координат); тепловые задачи в слоистых телах и с нестационарными граничными условиями при сопряжении сред, обладающих существенно разной теплопро¬ водностью, либо случаи, когда граничные условия сопряжения зада¬ ются на поверхностях, являющихся координатными в различных координатных системах. Несмотря на хорошо развитую аналити¬ ческую теорию нестационарного теплопереноса при решении про¬ стейших одномерных задач для бесконечной пластины, бесконеч¬ ного сплошного и полого цилиндра (радиальный поток тепла), сплошного и полого шара (центральная симметрия), и для этих случаев имеется обширное поле деятельности. Один из важных вопросов — улучшение сходимости рядов типа Фурье — Бесселя в аналитических решениях краевых задач до абсолютной и равно¬ мерной вплоть до границы области, когда в постановке краевой задачи не выполняются условия сопряжения краевых функций (на¬ чальной и граничной) в угловых точках фазовой области определе¬ ния уравнения нестационарной теплопроводности. Такие улучшен¬ ные решения представляют собой функциональные конструкции нового вида, отличные от известных (классических) и являются весьма удобными при рассмотрении многих практических вопросов теплофизики: расчеты теплофизических постоянных на основе реше¬ ния обратных задач; определение времени прогрева детали канони¬ ческой формы; расчет времени выхода процесса на стационарную фазу и т. д. Все вопросы, отмеченные выше, рассмотрены в настоящей книге. Основная задача, которую поставил перед собой автор, состояла в том, чтобы отобрать, обобщить и представить в удобной для изучения форме тот обширный материал, составляющий содержа¬ ние аналитической теории теплопроводности и разбросанный в ори¬ гинальных и обзорных специальных работах по теории теплопрово¬ дности (и других разделах прикладной математики и физики), а так¬ же в многочисленных монографиях по математической физике и специальным функциям, в которых изучаются классические ана¬ литические методы решения дифференциальных уравнений с част¬ ными производными, указываются различные искусственные при¬ емы, конкретные подставки, преобразования, приближения и т. п. Все это необходимо было изложить применительно к решению краевых задач уравнения теплопроводности, сохранив при этом основные преимущества метода, его обзорность и возможности качественного анализа. При этом оказалось, что число литературных ссылок намного превысило тот объем, который возможен в рамках данной книги. Поскольку невозможно перечислить всю литературу по аналитичес¬ кой теории теплопроводности (причем число публикаций в этой области непрерывно растет), автор ограничился в ссылках только теми работами, которые, по его мнению, представляют для студен¬ тов и других заинтересованных читателей первостепенный материал
для более детального изучения рассматриваемых проблем. Автор исходил из опыта преподавания курса «Аналитическая теория теп¬ лопроводности», а также участия в совместных исследованиях с раз¬ личного рода научно-исследовательскими институтами и промыш¬ ленными предприятиями. В настоящем учебном пособии излагаются основные аналити¬ ческие методы решения краевых задач стационарной и нестационар¬ ной теплопроводности (и родственных явлений), классических и обобщенного типа, апробированные на широком классе тепловых задач: 1) метод разделения переменных (метод Фурье); 2) метод продолжений; 3) метод произведения решений; 4) метод Дюамеля; 5) метод интегральных преобразований (с конечными и бесконеч¬ ными пределами в декартовой, цилиндрической и сферической си¬ стемах координат) с улучшением сходимости рядов типа Фурье в аналитических решениях краевых задач нестационарной теплопро¬ водности в ограниченных областях; 6) операционный метод; 7) метод функции Грина (для нестационарной и стационарной тепло¬ проводности); 8) метод отражения (метод источников). Рассмот¬ рены новые разделы аналитической теории теплопроводности, в ча¬ стности: 1) методы решения краевых задач нестационарной тепло¬ проводности в области с движущимися границами (метод тепловых потенциалов, метод функции Грина, метод рядов, метод функци¬ ональных преобразований); 2) методы решения краевых задач сте- фановского типа, с переменным во времени относительным коэф¬ фициентом теплообмена, с разнородными граничными условиями на линиях на плоскости и в пространстве (метод сопряжения, метод дуальных интегральных уравнений, метод Винера — Хопфа, метод тепловых потенциалов). Каждому методу отводится самостоятельная глава или параг¬ раф, если предполагается объединить группу методов, предназна¬ ченных для решения одного класса задач; по этому принципу по¬ строена, например, гл. VIII. В начале каждой главы излагаются теоретические основы метода, и после того, как читатель познако¬ мится с самим методом, он сможет посмотреть применение данного метода при решении конкретных тепловых задач с подробным ходом решения, с основными преобразованиями и расчетами. В тексте пособия приводятся в качестве самостоятельных упра¬ жнений задачи (с ответами), позволяющие читателю проверить усвоение того или иного метода. Наряду с ними формулируются задачи, решение которых может составить содержание курсовой работы, а во многих случаях и студенческого научного исследова¬ ния. Предполагается, что читатель знаком с основами дифференци¬ ального и интегрального исчисления и решением обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в объеме высших техничес¬ ких учебных заведений, а также имеет представление о тригономет¬ рических рядах и интеграле Фурье. В некоторых случаях более сложный математический аппарат излагается в самом тексте и од¬ 6
новременно даются соответствующие ссылки на учебную математи¬ ческую литературу. Автор учитывал, что читатель может заинтересоваться не всеми методами, рассмотренными в книге, а только теми, которые его интересуют в настоящий момент времени. В соответствии с этим книга построена так, что отдельные ее главы могут изучаться независимо друг от друга. В то же время, исходя из практических соображений, читателю рекомендуется ознакомиться со всем содер¬ жанием книги, так как все задачи теории теплопроводности не могут быть успешно решены каким-либо одним из названных мето¬ дов. Кроме того, знакомя учащегося с возможностями и пределами применимости каждого аналитического метода, мы внушаем ему мысль о том, что для каждой задачи (и даже в пределах одной задачи) имеется свой наиболее рациональный метод решения с точ¬ ки зрения экономии времени, труда и достижения наибольшей точности. Основное внимание в книге уделено изложению методов и связи между ними, вопросам функционального конструирования аналити¬ ческих решений тепловых задач (классических и обобщенного типа), построению рабочих (расчетных) формул записи аналитических ре¬ шений и методике пользования найденными решениями. Значитель¬ но меньше внимания в книге уделяется физическому анализу най¬ денного решения. Читатель, интересующийся вопросами такого рода, может обратиться к известному учебному пособию А. В. Лыкова «Теория теплопроводности», в котором на многочисленных примерах дано детальное изложение методики физического анализа аналитического решения задачи. В данной книге этими вопросами мы не будем заниматься, с тем чтобы сосредоточить основное внимание на аналитических методах решения краевых задач для уравнений теплопроводности. Настоящее издание подготовлено на основе предыдущей книги автора аналогичного названия (М.: Высшая школа, 1985, 480 с.). В книге сохранены ее общее содержание, распределение материала и характер изложения с упором на выбор рационального подхода при нахождении аналитического решения той или иной краевой задачи для уравнения теплопроводности, его наглядности и оп¬ тимальной формы функционального конструирования, возможно¬ сти представления одного и того же решения в различных (эк¬ вивалентных) функциональных формах. В предлагаемое издание внесены ряд изменений и дополнений по новым разделам аналитической теории теплопроводности твердых тел; отметим наиболее существенные из них. В главе I дается постановка динамических задач термоупругости. Этот класс задач описывает проблему теплового удара, актуальность которой воз¬ росла особенно в последние десятилетия в связи с созданием мощ¬ ных излучателей энергии и их использованием в технологических операциях. Рассмотрены также гиперболическая модель теплопро¬ водности на основе классической феноменологии Максвелла —
Каттенео — Лыкова о конечной скорости распространения тепла в твердых телах и модели теплопроводности в средах с тепловой памятью. В главе V расширены таблицы интегральных преобразо¬ ваний Фурье — Ханкеля с улучшением сходимости соответствую¬ щих рядов в аналитических решениях краевых задач нестационар¬ ной теплопроводности. В главе VII переработаны параграфы, по¬ священные методу функций Грина для областей с движущимися границами. В главе IX предложены обширные таблицы аналитичес¬ ких решений дуальных интегральных уравнений и парных сумма- торных рядов, используемых при изучении процессов переноса теп¬ ла и массы в твердых телах с трещинами. Автор с благодарностью примет замечания и пожелания по настоящему пособию, которые можно направить по адресу: Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая шко¬ ла». Автор
ВВЕДЕНИЕ Основы математической теории теплопроводности были заложены еще трудами Ломоносова, Ньютона, Ламберта, Био, Фурье, Лапласа, Пуассона, Ламе, Томсона (лорда Кельвина), Римана и других вы¬ дающихся ученых. Длительное время эта теория оставалась достоя¬ нием теоретиков и только в простейших случаях находила практи¬ ческое применение. Однако за последние десятилетия положение рез¬ ко изменилось. Появление мощной вычислительной техники открыло новые возможности применения теории для практических целей и фактически привело ее к новому расцвету. Инженеры, применяв¬ шие ранее эту теорию почти исключительно к стационарным состоя¬ ниям, разработали много полезных таблиц и графиков, позволяющих решать более общие задачи. Новыми методами для объяснения мно¬ гих тепловых явлений заинтересовались геологи и географы. Боль¬ шой вклад в теорию теплопроводности внесли математики; ими бы¬ ла создана качественная теория дифференциальных уравнений пара¬ болического типа, к которому относится уравнение теплопроводности, дано строгое математическое обоснование аналитическим методам решения краевых задач теплопроводности. Круг задач теории теплопроводности исключительно обширен и непрерывно пополняется большим количеством новых результатов, которые должны найти свое отражение в учебной литературе. Прин¬ ципиальной стороной аналитической теории теплопроводности явля¬ ется возможность варьирования классическими методами дифферен¬ циальных уравнений математической физики при решении рассмат¬ риваемой краевой задачи. Это объясняется тем, что решение одной и той же тепловой задачи можно искать в различных классах функций. Эти функции должны быть таковыми, чтобы они, во-первых, доста¬ точно легко находились и, во-вторых, обеспечивали сходимость про¬ цесса настолько хорошо, чтобы можно было сделать требуемые в задаче заключения о свойствах полученного решения. Представление аналитического решения одной и той же задачи в различных экви¬ валентных функциональных формах (тождественных в смысле числа) имеет большую практическую ценность, так как позволяет варьиро¬ вать решением в зависимости от постановки задачи: например, пред¬ ставление решения тепловой задачи в форме ряда Фурье, удобной для больших времен от начала процесса, или в виде формулы сум¬ мирования Пуассона, более подходящей для малых времен от на¬ чального состояния и используемой, например, в теории закалки. Здесь и в других случаях немаловажную роль при дальнейшей работе с найденным решением задачи играет эффективное использо- 9
вание дискретной вычислительной техники. Благодаря этому заметно усилилось влияние аналитического подхода при решении краевых задач (классических и обобщенного типа) для уравнения теплопро¬ водности. При расчете температурных полей можно указать в основном четыре группы методов: а) аналитические (сюда относятся и при¬ ближенные методы, в том числе асимптотические); б) графические; в) численные (основанные на применении разностных схем); г) экс¬ периментальные (включающие и методы моделирования). Аналитический метод дает возможность получить решение тепло¬ вой задачи в виде математического выражения для температуры как функции пространственных координат и времени. Решение должно удовлетворять определенному дифференциальному уравнению, из ко¬ торого оно получено, и определенным начальному и граничным ус¬ ловиям, налагаемым самим конкретным процессом. Однако при этом почти во всех случаях приходится математически упрощать рассмат¬ риваемый процесс, для того чтобы этот метод мог дать желаемые результаты; и хотя решения, полученные при этих условиях, вовсе не являются физически «точными», все же предпочтительным мето¬ дом вычисления температурного поля следует (где это возможно) считать формальный аналитический метод. Асимптотические методы решения тепловых задач представляют несомненный интерес, ибо в ряде случаев они позволяют получить решение более простыми средствами. Однако асимптотика сама по себе рассматривает предельные случаи и в этом смысле является ог¬ раниченной. За последние годы в практику аналитической теории теплопро¬ водности стали входить приближенные методы расчета температур¬ ных полей, основанные на совместном применении интегральных преобразований и вариационного исчисления [149], пока этот под¬ ход находится еще в стадии развития. Графические методы основаны на свойствах дифференциального уравнения теплопроводности и численных принципах. Они быстро дают первое приближение к действительному распределению темпе¬ ратуры [181]. Большими потенциальными возможностями обладают численные методы решения тепловых задач, основанные на методике конечных разностей (или методе сеток). Дифференциальное уравнение тепло¬ проводности при этом заменяется системой алгебраических уравне¬ ний (разностным уравнением), начальное и граничные условия так¬ же заменяются разностными начальным и граничными условиями для сеточной функции и дальнейшее решение задачи сводится к выпол¬ нению простых алгебраических операций. Повторяемость однотипных операций в этом методе представляет большие удобства для исполь¬ зования современной вычислительной техники. Этим методом могут быть решены любые задачи для тел произвольной геометрической формы, линейные и нелинейные [18, 37, 127]. Недостатком метода является необходимость выполнения очень большого количества вы¬ числительных операций, особенно для трехмерных и даже для дву- 10
ных задач, и его ограниченные возможности для аналитических исследований. Здесь, как и в графическом методе, параметризация задачи связана с необходимостью решения ее заново. Последние методы — экспериментальные — играют большую роль в исследовании явлений теплопроводности. Электрическое моделиро¬ вание основывается на формальном сходстве дифференциального уравнения теплопроводности с уравнением электрических колебаний в проводнике и также является распространенным методом при ре¬ шении тепловых задач — линейных и нелинейных [7, 79]. В заключение остановимся кратко на истории развития теории теплообмена. Основоположником учения о теплоте был великий русский уче¬ ный акад. М. В. Ломоносов. В середине XVIII в., опередив на сто с лишним лет науку Западной Европы, Ломоносов создал единую теорию теплоты и строения вещества, изложив основы ее в работе «Размышление о причине теплоты и холода» (1744). Эта теория теп¬ лоты содержала в себе все основные элементы современной теории, а именно: закон сохранения массы и энергии; представление о теп¬ лоте как результате движения элементарных частиц тела; о степени нагрева как мере интенсивности движения этих частиц; о механизме теплопроводности как обмене энергии движения между отдельными частицами; об абсолютном нуле температуры и др. В 1807 г. французский ученый Ж- Фурье сформулировал основ¬ ную гипотезу теплопроводности, положившую начало развитию ма¬ тематической теории теплопроводности. Им же в 1822 г. изложена теория распространения теплоты в твердых телах в труде «Анали¬ тическая теория тепла». В 1831 г. знаменитый русский математик акад. М. Б. Остроград¬ ский опубликовал свою работу «Замечания по теории теплоты», в которой дал общее решение уравнения теплопроводности для твер¬ дого, однородного и изотропного тела. С развитием техники роль процессов переноса теплоты в различ¬ ных тепловых устройствах и машинах стала возрастать и тепловым процессам стало уделяться значительно больше внимания, особенно со второй половины XIX в. В литературе тех времен имеется много работ по вопросам теплопереноса и некоторые из них сохранили значимость до наших дней. В научных исследованиях все шире используются методы мате¬ матического анализа. В 1881 —1882 гг. в Москве проф. А. Г Столетов прочел свои известные лекции по теории теплопроводности,- состоя¬ ние из двух разделов: 1) теория теплопроводности; 2) механическая теория теплоты, или термодинамика. В книге «Теория теплоты» (М., 1882 г.) проф. Столетов писал: «С исторической точки зрения Учение о теплопроводности есть начало теории теплоты и вообще математической физики; сюда впервые в 1807 г. Фурье в своей «Iheorie de la chaleur» приложил математический анализ». Здесь Столетов указывает на громадное прикладное значение матема¬ тической теории теплоты. И'
Проф. А. Г. Столетова считают первым создателем курса современ¬ ной теплофизики, которая выделяется в самостоятельную науку в конце XIX — начале XX в. Из работ зарубежных ученых, посвященных теории теплоты, кроме уже названных широко известны труды Кирхгофа, Пуассона, Вебера, Томсона, Планка, Ляме, Пуанкаре, Карслоу, Егера, Эккер¬ та, Дрейка, Гребера, Эрка, Григуль, Якоба и др. Большой вклад в развитие учения о теплоте сделан советскими теплофизиками и представителями близких направлений: М. В. Кир- пичевым, М. А. Михеевым, А. А. Гухманом создана теория подобия теплофизических процессов; А. С. Предводителевым и его ученика¬ ми выполнены глубокие исследования по теории переноса вещества и теплоты в процессах горения; Н. Н. Рыкалиным, Б. Я. Любовым, С. А. Шестериковым — при воздействии на твердые тела концент¬ рированными потоками энергии; А. Г. Шишковым — при изучении процесса термодиффузии в газовых смесях; О. Г. Мартыненко — в теории свободноконвективного теплообмена; Н. В. Павлюкеви- чем — в физической кинетике и процессах переноса при фазовых превращениях. Крупный вклад в теорию конвективного теплооб¬ мена и общие вопросы теплоты внесли работы С. С. Кутателадзе, В. С. Авдуевского, В. М. Иевлева, А. В. Лыкова, Б. С. Петухова, Д. А. Лабунцова, А. И. Леонтьева, А. А. Жукаускаса и др. Матема¬ тиками В. А. Стекловым, И. Г Петровским, С. Л. Соболевым, A. Н. Тихоновым, А. А. Самарским, В. С. Владимировым, B. А. Ильиным, Н. С. Кошляковым, Г А. Гринбергом и другими выполнены фундаментальные работы по развитию аналитических методов дифференциальных уравнений математической физики и решению краевых задач для уравнения теплопроводности (и род¬ ственны^ явлений). Основные достижения в этой области за послед¬ ние годы изложены в обзоре автора книги, посвященном 275-летию Российской академии наук (Известия АН, серия Энергетика, 1999. № 5. С. 3 — 34). Математическая теория теплопроводности непрерывно обо гащается новыми аналитическими, численными (разностными) методами (работы А. А. Самарского, С. К. Годунова, Л. А. Коз- добы и др.), широкое развитие получила качественная теория диф¬ ференциальных уравнений параболического типа. В настоящее вре¬ мя исследования по теплообмену интенсивно развиваются как в академических учреждениях и специализированных отраслевых ин¬ ститутах, так и во многих высших учебных заведениях нашей страны.
ГЛАВА I ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ § 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА При соприкосновении отдельных частей тела или отдельных взаимо¬ действующих тел, имеющих различную температуру, происходит об¬ мен кинетической энергией между движущимися структурными ча¬ стицами (молекул, атомов, свободных электронов), вследствие чего интенсивность движения частиц тела с меньшей температурой увели¬ чивается, а частиц тела с большей температурой — уменьшается. Та¬ кой энергетический обмен между взаимодействующими телами или их отдельными частями с неодинаковой температурой называется теп- лообменом или теплопередачей. В результате одно из соприкасающихся тел нагревается, а другое остывает. Количество энергии, переданной частицами более горячего тела частицам более холодного, называется количеством теплоты или просто теплотой. При эгом теплота пере¬ ходит от точек с более высокой температурой к точкам с более низкой температурой, если процесс протекает в одном теле. При теплообмене между различными телами это положение также сохраняется, т. е. теп¬ лота переходит от более нагретых к более холодным телам. Таким об¬ разом, конечный результат теплообмена между ограниченными тела¬ ми или частями одного и того же тела заключается в уравнивании их температур, после чего процесс прекращается. Такую форму передачи средней кинетической энергии от частицы к частице называют микрофизической формой передачи энергии, так как передача энергии происходит на молекулярном уровне, без види¬ мого движения тел. Микрофизическая трактовка процессов передачи теплоты дается в курсах теоретической физики. В курсах теплотех¬ ники эта проблема излагается в рамках макрофизики, поскольку указанный вид энергетического обмена обусловливается лишь темпера¬ турным состоянием его участников, а температура с молекулярно¬ кинетической точки зрения является величиной статистического ха¬ рактера, т. е. приобретает смысл только применительно к макроско¬ пическим телам. Понятие «теплообмен» охватывает совокупность всех явлений, при которых имеет место перенос некоторого количества теплоты из одной части пространства в другую в твердых, жидких и газообразных те¬ лах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений. Для удобства принято 13
делить перенос теплоты на простейшие виды: теплопровод¬ ность, конвекцию, теплообмен излучением, или радиацией. Эти процессы глубоко различны по своей при¬ роде и характеризуются различными законами. Соответственно этому и строится математическая теория описания каждой формы тепло¬ обмена, со своими уравнениями, своими математическими методами, аналитическими (точными и приближенными) или разностными (чис¬ ленными), или методами аналогий. Теплопроводность (кондукция) характеризуется тем, что ее действие связано с наличием вещественной среды и что тепло¬ обмен может происходить только между такими частицами тела (мо¬ лекулами и атомами), которые находятся в непосредственной близо¬ сти друг от друга. Явление это можно представить себе так, что тепло¬ та переходит от одной частицы к другой, однако при этом сами частицы не перемещаются. В чистом виде процесс теплопроводности наблюдает¬ ся в твердых телах, для которых к настоящему времени наиболее пол¬ но разработана и аналитическая теория (т. е. теория, описывающая процесс в терминах дифференциальных уравнений математической физики). В металлах передача теплоты происходит вследствие движе¬ ния свободных электронов. В жидкостях и твердых телах — диэлект¬ риках теплопроводность осуществляется упругими, акустическими волнами, образуемыми согласованными смещениями всех молекул и всех атомов из их равновесных положений. Взаимодействие волн приводит к энергетическому обмену между частицами и слоями тела. Теплопроводность как молекулярный процесс передачи теплоты на¬ блюдается и в газах, где молекулы не занимают фиксированного по¬ ложения, а постоянно меняют свое место, даже если вещество в целом находится в состоянии покоя. Учение о теплопроводности основано на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппа¬ ратом, особенно для однородных и изотропных тел. Тем не менее бы¬ стро развивающаяся техника постоянно ставит новые задачи в теории теплопроводности, которые способствуют развитию новых математи¬ ческих методов для их решения, так что эта область математики на¬ ходится в непрерывном движении и не может считаться окончательно завершенной. Конвекция наблюдается тогда, когда материальные частицы какого-нибудь тела изменяют свое положение в пространстве и при этом переносят содержащуюся в них теплоту. Это явление имеет место в жидкостях и газах и всегда сопровождается теплопроводностью, т. е. передачей те.плоты от одной частицы к соседней, если только во всей текущей массе нет полного равенства температур. Рассматривая области, расположенные внутри потока (т. е. не обращаясь к процессам, происходящим на твердых поверхностях, которые ограничивают поток) или на его поверхности, можно обе формы переноса теплоты охватить одним понятием — теплопровод¬ ность в движущихся средах. Если учесть, кроме этого, влияние огра¬ ничивающих твердых стенок, то будет наблюдаться более общий случай теплообмена между стенками и движущейся жидкостью: этот обмен 14
обусловлен тем, что частицы среды, находящиеся вблизи стенки, отнимают от нее теплоту и уносят ее с собой. При этом перемещающие¬ ся частицы жидкости контактируют не только со стенками, но и между собой. Теплообмен между средой и стенкой называют теплоотда- ч е й. Особый вид теплообмена наблюдается в тех случаях, когда на гра¬ нице между стенкой и потоком происходит изменение агрегатного со¬ стояния тела. Это имеет место при переходе теплоты от поверхности нагрева к испаряющейся жидкости, от конденсирующихся паров к поверхностям охлаждения, при таянии и при замерзании. Соответ¬ ствующие этому процессу математические модели относятся к числу наиболее сложных, описываемых дифференциальными уравнениями математической физики. Теплообмен излучением характеризуется отсутстви¬ ем контакта между телами, обменивающихся теплотой. Примером мо¬ жет служить излучение Солнцем теплоты на Землю через космическое пространство, в котором, как известно, плотность вещества ничтожна. Явление теплового излучения возникает у поверхности или внутри тела в результате сложных молекулярных и атомных возмущений. При этом некоторая часть внутренней энергии тела преобразуется в электромагнитные волны (или в другом представлении в фотоны — кванты энергии) и уже в такой форме передается через пространство. Все эти различные формы переноса теплоты не обособлены и в чи¬ стом виде встречаются лишь на отдельных участках пути прохожде¬ ния теплоты. В большинстве случаев один вид теплообмена сопутству¬ ет другому и разделить их между собой очень трудно. При этом может создаться впечатление о некоем едином процессе теплопереноса. В практических расчетах такие сложные сочетания элементарных видов теплообмена расчленяются и весь процесс сводится к простому. При этом, если возможно, указываются условия, когда выделенный один какой-либо вид теплообмена существенно доминирует над осталь¬ ными. Практически все процессы, рассматриваемые в теории тепло¬ обмена, протекают при взаимодействии твердых тел с жидкими или газообразными средами, размеры которых много больше размеров составляющих их структурных частиц. Поэтому такие статистические понятия, как температура, давление, плотность, теплоемкость, вяз¬ кость и др., могут быть приписаны даже таким малым элементам си¬ стемы, которые с физико-математической точки зрения могут рассмат¬ риваться как дифференциалы ее объема. Это означает, что изучаемая среда может рассматриваться не как совокупность отдельных мате¬ риальных частей, а как непрерывное, сплошное пространство, и эго обстоятельство позволяет при аналитическом описании процесса пере¬ носа теплоты в данной среде использовать методы математического анализа, привлекая такие понятия, как непрерывность и дифференци¬ руемость. Именно с этих позиций и строится аналитическая теория •теплопроводности. Исключение приходится делать только при взаимо¬ действии тел с весьма разреженным газом, когда размеры тела стано¬ вятся соизмеримыми с длиной пути свободного пробега молекул. Со¬ ответственно этому меняется и математическая модель процесса. 15
В книге рассматривается перенос теплоты только теплопроводностью, что найдет свое отражение в последующих параграфах в соответствую¬ щих математических моделях. Перенос теплоты теплопроводностью, как и любой другой физиче¬ ский процесс, может быть выражен математическим языком. Одним из законов, лежащих в основе аналитической теории тепло¬ проводности, является гипотеза Фурье *, связывающая перенос теп¬ лоты внутри тела с температурным состоянием в непосредственной близости от рассматриваемого места. Поэтому при изучении теории теплопроводности прежде всего необходимо установить основные по¬ нятия, такие, как температурное поле, градиент температуры, вектор теплового потока. § 2. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ Температурным полем называется совокупность значений температу¬ ры во всех точках рассматриваемого пространства (тела) в каждый фиксированный момент времени. Температура является скалярной величиной, так как она характе¬ ризует тепловое состояние в любой точке тела, определяя степень его нагретости. Температуре нельзя приписать какое-либо направление и поэтому температурное поле является скалярным. Математическим выражением распределения температуры в теле является выражение, содержащее в качестве независимых переменных пространственные координаты и время: в декартовой системе координат Г = Т (х, у, г, t); в цилиндрической системе координат Т = Т (г, ф, г, t)\ (1Л) в сферической системе координат Т = Т (г, ф, 0, t). Основной задачей аналитической теории теплопроводности являет¬ ся изучение пространственно-временного изменения температуры, т. е. нахождение зависимости (1.1). Уравнение (1.1) является записью наиболее общего вида температурного,поля, когда температура в теле изменяется с течением времени и от одной точки к другой. Такое поле соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводно¬ сти и называется нестационарным температурным полем. Если теп¬ ловой режим является установившимся, то температура в каждой точке тела с течением времени остается неизменной, меняясь лишь от точки к точке. Такое температурное поле называется стационарным и температура является функцией только координат, например в де- * Многочисленные экспериментальные проверки гипотезы Фурье дали осно¬ вание считать эту гипотезу законом теории теплопроводности. 16
картовых координатах Т=Т(ху уу г), dT/dt=0. (1.2) Примером нестационарного температурного поля может служить поле нагревающейся в печи стальной заготовки или поле стеклянной пластины, нагретой до высокой температуры и быстро охлаждаемой потоком воздуха. А в прогревшейся стенке здания, где температура каждой точки не меняется во времени, температурное поле будет ста¬ ционарным. Температурное поле, соответствующее уравнениям (1.1) или (1.2), является пространственным, или трехмерным, так как температура является функцией трех координат. Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координа¬ ты г) следующим образом: dT/dz=0. В этом случае поле называется двумерным и записывается: для нестационарного режима Т=Т(ху уу t)\ для стационарного режима Т=Т(ху у). Если температура остается постоянной вдоль двух координат (например, у и z), то дТ/ду=дТ/дг=0 и поле называется одномерным. В этом случае можно записать: для нестационарного режима Т=Т(ху t); для стационарного Т=Т(х). Примером одномерного температурного поля может служить поле неограниченной пластины, у которой длина и ширина бесконечно велики по сравнению с толщиной; теплота в дан¬ ном случае распространяется перпендикулярно поверхности пластины. Переменные ху уу z, фигурирующие в уравнении (1.1), определяют положение любой точки рассматриваемого тела, являясь координата¬ ми этой точки в выбранной системе координат. Эти переменные могут принимать бесконечное множество числовых значений, как и перемен¬ ная /, характеризующая время течения процесса теплопроводности. Совокупность всевозможных числовых значений переменных ху уу z, /, каждому из которых соответствует вполне определенное значение тем¬ пературы Т—Т(х, уу z, /), называется областью определения функции Т(ху уу z, t). Функция Т(х, уу z, t) в своей области определения считает¬ ся обычно непрерывной, дважды непрерывно дифференцируемой по пространственным координатам (ху уу z) и непрерывно дифференци¬ руемой по времени t. В аналитической теории теплопроводности распределение темпе¬ ратуры в рассматриваемой области описывается функцией Т(ху уу z, /), относящейся к так называемому классу функций С2 (за исключением тех случаев, о которых будет сказано особо). Этот факт используется при выводе дифференциального уравнения, описывающего процесс теплопроводности в изучаемом теле. В теле, имеющем температуру Т(ху у} z, /), можно выделить поверхность, во всех точках которой в не¬ который момент времени температура одинакова. Такая поверхность называется изотермической поверхностью или поверхностью уровня. Уравнение поверхности уровня имеет следующий вид: Т(Ху уу z, t)=C или Т=С, где С=const. В отличие от стационарных в нестационарных полях форма и распо¬ ложение изотермических поверхностей с течением времени изменяют¬ 17
ся. Изотермические поверхности характеризуются следующими ос¬ новными свойствами: а) две изотермические поверхности, имеющие различные темпера¬ туры, никогда не пересекаются друг с другом, так как в одной и той же точке тела одновременно не может быть двух различных температур; б) изотермические поверхности не имеют границ внутри тела. Они или кончаются на поверхности, или замыкаются на себя, располагаясь внутри тела; в) теплота не распространяется вдоль изотермической поверхности, а направляется от одной изотермической поверхности к другой. Это следует из положения о том, что тепло¬ вая энергия распространяется от более нагретого участка к менее нагретому. Таким образом, можно считать, что изотермические поверхности разделяют твердое тело на тонкие «слои» — изотер¬ мические оболочки, отделяющие часть тела с температурой, большей, чем Т= = С, от части тела с температурой, меньшей, чем Т=С. Пересечение изо¬ термических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изо¬ терм (линии, соответствующие одинако¬ вой температуре). Они обладают теми же свойствами, что и изотерми¬ ческие поверхности, т. е. не пересекаются, не обрываются внутри те¬ ла, оканчиваются на поверхности либо целиком располагаются внутри самого тела. На рис. 1 представлен участок двумерного температурного поля с изотермами 7\ 71±2АТ' и т. д. Задание температурного поля соотношением Т=Т(х, у, z, t) не все¬ гда дает достаточно ясное представление о поведении этого поля, а за¬ дание изотермических поверхностей (поверхностей уровня) с отметкой на них соответствующих значений температуры Т=С равносильно за¬ данию самого поля Т=Т(х, у% г, /), при этом взаимное расположение 18
поверхностей уровня даст наглядное представление о соответствующем поле температур. Указанный способ изображения поля особенно удо¬ бен, когда речь идет о двумерном поле. Равенство вида Т(х, у> t)=C (всюду время t фиксировано) опреде¬ ляет на плоскости (х, у) некоторую кривую у=ф(*, с, t). Такие кривые называются линиями уровня (изотермами) плоского (двумерного) температурного поля Т=Т(х, у, t) (рис. 2, 3). На практике приходит¬ ся иметь дело с температурными полями, обладающими специальными свойствами симметрии, облегчающими изучение таких полей. Рассмот¬ рим некоторые частные случаи (для стационарных полей). Поле Т называется плоскопараллельным, если в пространстве суще¬ ствует направление, при сдвигах вдоль которого поле Т переходит само в себя. Плоскопараллельное, или двумерное, поле задается, как указывалось, равенством Т=(х, у). Изотермические поверхности та¬ кого поля — это семейство цилиндрических поверхностей Т(х, у)=С. Поле Т называется осесимметрическим, если оно переходит само в себя при повороте пространства на произвольный угол вокруг не¬ которой фиксированной прямой — оси симметрии этого поля. Осесим¬ метрическое температурное поле задается соотношением (в цилиндри¬ ческой системе) T=T(r, z), т. е. изображается функцией, зависящей только от переменных г и z (но не от угла). Изотермические поверхно¬ сти такого поля представляют собой поверхности вращения. Если температурное поле Т задается функцией, зависящей лишь от одной координаты г, т. е. 71=71(г), то поле называется цилиндрическим. Изотермические поверхности такого поля — круглые цилиндры. Если значение функции Т (в сферической системе координат) за¬ висит лишь от переменной г (но не зависит от углов <р и 0), где г — рас¬ стояние от некоторой фиксированной точки М0 (начала координат), то такое температурное поле называется сферическим. Изотермические поверхности сферического поля — семейство концентрических сфер. § 3. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ГРАДИЕНТ Рассмотрим две бесконечно близкие изотермические поверхности с температурами Т и 7,+Д7,(Д7,>0) и какую-либо точку М, лежащую на одной из них (рис. 4). Перемещаясь из точки М вдоль любых на¬ правлений, можно обнаружить, что интенсивность изменения темпе¬ ратуры по различным направлениям неодинакова. В предыдущем па¬ раграфе рассматривалось направле¬ ние перемещения по изотермиче¬ ской поверхности, вдоль которого температура не изменялась. Если же перемещаться вдоль какого- либо направления /, пересекающе¬ го изотермические поверхности, то наблюдается изменение темпера¬ туры. Используя понятие произ¬ водной скалярного поля по задан¬ ному направлению, можно описать Рис. 4 19
его локальные свойства, т. е. изменение температуры Т при пере¬ ходе от точки М к близкой точке ЛГ по направлению I. Скорость изме¬ нения температуры Т в точке М в направлении I характеризуется производной функции Т дТ/д1 = lim [Т (М') — Т (М)]/А/. (1.3) Л/ -*■ о Производная функции Т(М) по направлению /=(cos a, cosp, cosy) вычисляется по формуле дТ/д1 = (дТ!дх) cos а+ (дТ/ду) cos р + (дТIdz) cos у. Наибольшая разность температуры на единицу длины вектора пере¬ мещения [Т(М' ) — Т(Л4)]/Д/ наблюдается в направлении нормали я к изотермической поверхности (рис. 4). В Соответствии с (1.3) макси¬ мальная скорость изменения температуры при этом равна пределу отношения изменения температуры АТ к расстоянию между изотерми¬ ческими поверхностями по нормали Ля, когда Ля стремится к нулю: дТ/дп= lim [Т (АГ)— Г(М)]/Ля = lim ЛТ/Дя. (1.4) Ап -► 0 Ап -+ О Итак, в любой точке М изотермической поверхности можно по¬ строить некоторый вектор, направленный по нормали к этой поверх¬ ности в сторону увеличения температуры. Абсолютная величина этого вектора равна изменению температуры на единицу длины перемещения в рассматриваемом направлении — скорости возрастания температу¬ ры в этом направлении (т. е. производной от температурной функции Т по направлению нормали я). Такой вектор называют градиентом температуры в точке М или градиентом температурного поля и запи¬ сывают в виде символа grad Т: <. в декартовых координатах (х> у, z) . ~ дТ . , дТ . . дТ - /t Cv gradr = 17I+l7/+HTk’ <L5> в цилиндрических координатах (г, <р, г) . гр дТ , 1 дТ , дТ . gradr = ire' + 7__e«+ir*: (1.6) в сферических координатах (г, ф, 0) * гр дТ . 1 дТ , 1 ЭГ gradT— df er+ r 50 + r sin е еч> • (1-7) Для обозначения вектора (1.5) в теории поля иногда приме¬ няют символ grad Т = vТ. Согласно сказанному выше, можно записать | grad Т \ = дТ/дп (1.8) длина вектора grad Т равна скорости возрастания Т в этом направле¬ нии. Здесь и всюду далее я — единичный вектор нормали. Температурный градиент показывает, насколько интенсивно (рез¬ ко) меняется температура внутри тела. Он является важной величи-
ной, определяющей многие физические явления (появление трещин в хрупком теле от неравномерного нагрева вследствие возникновения термических напряжений и деформаций и т. п.). Производная от функции Т по направлению нормали it и вектор grad Т связаны соотношением дТ1дп=п grad Т. (1.9) Вектор нормали п к поверхности T=const в точке М может иметь два противоположных направления, одно из которых можно считать внеш¬ ним по отношению к данной поверхности, а другое внутренним. По¬ кажем, что независимо от того, как выбрано направление нормали п, вектор (1.5) при всех обстоятельствах направлен в сторону возрастаю¬ щей температуры. Если нормаль п направить в сторону больших температур, то дТ!дп>0 и, как следует из (1.9), градиент температуры будет направ¬ лен в ту же сторону (угол между векторами п и grad Т равен нулю). Если нормаль направить в сторону убывающей температуры, то про¬ изводные дТ/дп<0 и grad Т окажутся направленными противоположно этому направлению, т. е. опять в сторону возрастающей температуры [в (1.9) угол между векторами п и grad Т равен 180°]. Эти рассуждения будут использованы в последующих параграфах. § 4. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК. ВЕКТОРНАЯ И СКАЛЯРНАЯ ФОРМЫ ЗАКОНА ФУРЬЕ В теле, не находящемся в полном тепловом равновесии (т. е. обладаю¬ щим неравномерным распределением температуры), всегда происхо¬ дит перенос теплоты. Отсюда следует, что для передачи теплоты тепло¬ проводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела. В этом смысле температурный градиент яв¬ ляется основным физическим параметром, определяющим условие возникновения теплового процесса, и можно сказать, что соотношение grad ТФ0 является необходимым условием возникновения внутри тела теплового потока. Тепловой поток в отличие от температуры — величины скалярной — имеет вполне определенное направление, а именно: от точек тела с более высокой к точкам с более низкой темпе¬ ратурой. Таким образом, тепловой поток можно рассматривать как вектор, направленный в сторону уменьшения температур, а поле теп¬ ловых потоков — векторным. Для математического описания поля тепловых потоков вводится вектор q, называемый вектором плотности теплового потока. Под вектором плотности теплового потока в точке М температурного поля понимают вектор, направление которого совпа¬ дает с направлением переноса теплоты, а абсолютная величина вы¬ ражает тепловой поток или интенсивность переноса теплоты, изме¬ ряемую количеством теплоты, проходящей в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению пото¬ ка в рассматриваемой точке. Обозначим через dQ количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность площади da за время dt. Тогда, по определению, абсолютное значение вектора плотности 21
теплового потока можно записать в виде q=dQ/(dodf). (1.10) Формула (1.10) характеризует плотность теплового потока единично¬ го элемента изотермической поверхности. Понятие плотности теплово¬ го потока, как будет показано ниже, применимо к любой, а не только к изотермической поверхности. Опыт показывает, что передача теплоты теплопроводностью про¬ исходит по нормали к изотермической поверхности от мест с большей температурой к' местам с меньшей температурой. Следовательно, век¬ тор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермиче¬ ской поверхности в направлении падения температуры. Можно го¬ ворить о плотности теплового потока и вдоль любого другого направ¬ ления /, отличного от направления нормали rt. В этом случае плотность теплового потока в направлении / есть проекция вектора q на это на¬ правление, т. е. величина <7 cos (я, /). Идея о существовании органической связи между вектором плот¬ ности теплового потока и температурным градиентом легла в основу учения, созданного Фурье. Сущность гипотезы Фурье состоит в том, что тепловой поток через элемент изотермической поверхности вполне определяется значением температурного градиента в рассматривае¬ мой точке М. Действительный смысл этой связи заключается в том, что тепловые потоки в среде всегда определенно направлены. Возник¬ новение тепловых потоков вдоль изотер¬ мических поверхностей невозможно, так как по всей изотермической поверхности составляющая градиента температуры рав¬ на нулю. Следовательно, векторы плотно¬ сти теплового потока q и grad Т направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные стороны (рис. 5). С увеличением перепада температур, т. е. с возрастанием температурного гради¬ ента, увеличивается и плотность теплового потока. Опыты показали, что плотность теплового потока можно считать пропорци¬ ональной первой степени удельного пере¬ пада температуры. Это и явилось основой гипотезы Фурье о наличии простейшей количественной зависимости между абсолютными значениями векторов плотности теплового потока и температурного градиента. На основе этих данных, а также сообра¬ жений о противоположном направлении этих векторов закон Фурье в векторном виде записывается следующим обра¬ зом: q=—К grad Т. (1.11) Этот закон, сформулированный в виде гипотезы, был подтвержден многочисленными опытами. Выражение (1.11) описывает механизм теплопроводности и используется при выводе уравнения теплопровод- 22
ности, лежащего в основе всех теоретических исследований процессов теплопроводности. Наглядное представление о мгновенном распределении потоков теплоты могут дать линии, касательные к которым в каждой точке температурного поля совпадают с соответствующими нормалями к изо¬ термическим поверхностям. Такие линии называются линиями теп¬ лового потока (рис. 5). Коэффициент пропорциональности А называется теплопроводностью и является физической константой, характеризующей теплопроводя¬ щие свойства материала данного тела. Подставляя в уравнение (1.11) единицы q и температурного градиента, найдем для А единицу Вт/(м-град). Числовое значение теплопроводности определяет количество теп¬ лоты, проходящее через единицу площади изотермической поверхности в единицу времени при градиенте температуры, равном единице. По¬ добно другим величинам этого ряда (удельная теплоемкость, электри¬ ческое сопротивление, плотность, модуль упругости и т. п.), значение теплопроводности в общем случае зависит от природы вещества, его структуры, влажности, давления, температуры и других факторов. В большинстве случаев теплопроводность А для различных материа¬ лов определяется опытным путем, а при технических расчетах значе¬ ние А берется из справочных таблиц. С повышением температуры А возрастает (что связано с увеличением скорости движения молекул и их учащенным соударением), от давле¬ ния же А практически не зависит. Зависимость теплопроводности от температуры в общем случае довольно сложная, однако для большинства твердых тел, жидкостей и газов при умеренных температурах она оказывается почти линей¬ ной, т. е. Х=Х0[1±:Ь(Т—Го)], где А0 — теплопроводность при темпера¬ туре Т0‘, b — постоянная, определяемая опытным путем. В силу того, что эта зависимость не резко выражена, в аналитической теории теп¬ лопроводности величина А для облегчения выводов считается постоян¬ ной, т. е. dA/dr=0; допускаемая при этом ошибка во многих практи¬ ческих расчетах не превышает 1—2%. Выражение (1.10) запишем в виде dQ=q da d/. (1.12) Как отмечалось, нормаль п к элементу da изотермической поверх¬ ности может иметь два направления (направляющие косинусы этих направлений отличаются только знаками). Условимся считать тепло¬ вой поток положительным, если направление потока совпадает с вы¬ бранным направлением нормали, и отрицательным, если оно ему про¬ тивоположно. Для абсолютных значений векторов, входящих в ра¬ венство (1.11), следует, что q=X\gradT\. Теперь в равенстве (1.8) не¬ обходимо поставить знак минус, т. е. jgrad Т\=—дТ/дп и я=—ХдТ!дп. (1.13) Действительно, для нормали, совпадающей с направлением гра¬ диента, имеем дТ!дп>0; перенос же теплоты происходит всегда в на¬ 23
правлении падения температуры, т. е. как раз в противоположную сторону и, следовательно, по договоренности выше, должно быть AQ<0, или, что то же самое, </<0, что и объясняет знак минус в форму¬ ле (1.13). Изменив направление нормали на противоположное, имеем дТ/дп<.0, но тогда AQ>0 и опять-таки знак минус сохраняется. Под¬ ставляя теперь в (1.12) вместо q правую часть равенства (1.13), можно записать закон Фурье в скалярной форме: рез малый участок da изотермической поверхности за время At по направлению нормали п к площадке dd (рис. 6). В общем случае тем¬ пературный градиент у разных точек изотермической поверхности раз¬ личный и изменяется с течением времени. Поэтому количество тепло¬ ты, прошедшее за время t через изотермическую поверхность конеч¬ ных размеров площадью a Тепловой поток может быть определен вдоль любого направления через площадь, перпендикулярную этому направлению (в практике часто встречаются случаи, когда площадка ориентирована в поле произвольным образом). Покажем, что равенство (1.14) справедливо для любых поверхностей, а не только для изотермических. Выберем произвольную элементарную площадку dF так, чтобы угол между нормалью I к ней и вектором плотности теплового потока qn в рассматриваемой точке был равен ф (рис. 7). Поток теплоты по нормали п ив направлении / можно вычислить, используя (1.10) и dQ=—ЦдТ!дп)Ш1 (1.14) Выражение (1.14) определяет количество теплоты, проходящее че- л I (Яп>0) Рис. 6 Рис. 7 Q = — $ Я (дТ/дп) d/ da. (1.15) 0 a (1.14): _dQ_ , дТ_ . da d/ ' дп ' так как п = / cos ф. 24
Отсюда находим, что dQ = -k-^-dFdt. (1.16) Общее количество теплоты, протекающее за время i через конеч¬ ную площадь поверхности F, с-17) О F В частном случае, когда тепловой режим стационарный и тем¬ пературный градиент одинаков по всей площади поверхности F, можно записать Таким образом, для определения количества теплоты, проходя¬ щего через какую-либо площадь поверхности твердого тела, нужно знать температурное поле внутри данного тела, что составляет главную задачу аналитической теории теплопроводности. Так как qt является составляющей вектора плотности теплового потока qny т. е. qL = qnzosqp, то из этого уравнения следует, что самым большим тепловым потоком, отнесенным к единице площади поверхности, будет тот, который рассчитан вдоль нормали п к изо¬ термической поверхности [dacos(cp = 0) = l]. В этом параграфе не затрагиваются усложненные анизотропией случаи теплопроводности. Для таких веществ, как древесина, слю¬ да и т. п., теплопроводность X зависит от направления, поэтому про¬ стое правило косинусов для получения составляющей qt несправед¬ ливо. Если спроектировать вектор плотности теплового потока на коор¬ динатные оси, то в соответствии с его определением (1.11) можно за¬ писать: qx — — ^ (дТ/дх); \ Чу = -ЦдГ1ду)-, (1.18) qz= — Х фТ/дг). ) Тепловые потоки, выраженные уравнением (1.18), являются состав¬ ляющими вектора плотности теплового потока. § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Изучение любого физического процесса методами математики сводит¬ ся к установлению аналитических зависимостей между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины изменяются в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами иногда невозможно. В этих случаях на помощь приходят методы математиче¬ ской физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем 25
изучаемом пространстве, а в некотором объеме вещества и в течение элементарного промежутка времени. В пределах выбранного объема и элементарного промежутка вре¬ мени становится возможным пренебречь изменением некоторых вели¬ чин, характеризующих процесс. Это дает возможность на основе са¬ мых общих принципов природы вывести дифференциальное уравнение рассматриваемого процесса, которое представляет собой наиболее общую связь между существенными для исследуемых процессов вели¬ чинами и характеризует свойства, присущие всем физическим явлени¬ ям, в основе которых лежат одни и те же закономерности. Интегрируя далее дифференциальное уравнение, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всего пространства и всего рассматриваемого промежутка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты тепло¬ проводностью, устанавливается в этом случае так называемым диф¬ ференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон со¬ хранения энергии, сочетаемый с законом Фурье. С законом Фурье мы познакомились выше, а закон сохранения энергии в рассматривае¬ мом случае может быть сформулирован следующим образом. Выделим в теле некоторую часть объема К, ограниченную замкну¬ той поверхностью S, через которую происходит тепловое взаимодей¬ ствие выделенной части с окружающей ее средой — остальной частью тела. Имеет место следующее утверждение: количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за время dt вследствие теплопровод¬ ности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме: Q=Qi+Q2, f (1.19) где Q — изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме V за время dt, Дж; Qx — количество теплоты, введенное в выделенный объем путем теплопроводности за время dt, Дж; Q2 — количество теплоты, которое выделилось в объеме V за время dt вследствие внутренних источ¬ ников теплоты, Дж. Это утверждение вместе с законом Фурье (1.14) положено в основу вывода дифференциального уравнения тепло¬ проводности — основного уравнения аналитической теории теплопроводно¬ сти. Для облегчения вывода примем с самого начала некоторые упрощения, которые так или иначе пришлось бы сде¬ лать в дальнейшем в связи с возникшими математическими трудностями при ре¬ шении задач аналитической теории те¬ плопроводности. Принимаемые упроще- Рис. 8 ния сводятся к следующим: 26
1. Деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой по сравнению с самим объемом. 2. Макроскопические частицы тела неподвижны относительно друг друга. Пусть V — выделенный объем произвольной формы части тела, ограниченный замкнутой поверхностью S (не обязательно изотерми¬ ческой); п — единичный вектор внешней нормали к точкам поверх¬ ности S (рис. 8); Т(х, у, z, t) — температура тела в точке (л:, у, г) в мо¬ мент времени t. Вычислим общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за малый промежуток времени dt, имея в виду, что Q=Qi+Q2. Для вычисления Qi воспользуемся законом Фурье в скалярной форме (1.14). Количество теплоты, подведенное в выделен¬ ный объем через элементарную площадку da за время d/, равно (с уче¬ том того, что направление потока теплоты противоположно направле¬ нию нормали) dQ1 = ^*^-dad/ = Xngradr dodt = — qndodt, (1.20) где q = — X grad Т — вектор плотности теплового потока. Количество теплоты, протекающее за время dt через поверхности S, выразится интегралом <?! = — df $$ qndo = — d/J J qndo, s s где qn — проекция вектора q на нормаль п. Поверхностный интеграл (1.21) можно преобразовать в объемный по формуле Остроградского — Гаусса, связывающей двойной инте¬ грал по поверхности S с тройным интегралом по объему К, ограничен¬ ному этой поверхностью: Sb«da== SSSdiv?dy- (L22) s v Таким образом, Q, = —d/JJJdivflrdK (1.23) V Выделение или поглощение теплоты внутри объема V удобно ха¬ рактеризовать с помощью плотности (мощности) тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают такую функцию F(x, у, г, 0» когда в элементарном объеме dV за промежуток времени dt выделяется количество теплоты, равное dQ2=F(x, у, z, t)dVdt=F{My t)dVdt. (1.24) Тогда за промежуток времени dt в теле объемом V выделится количе¬ ство теплоты Qt = d/5SJF(M,/)dV. (1.25) V Здесь F(M, t)>0; если F(M, /)<0, то теплота не выделяется, а погло¬ щается; функция F(M, t) считается непрерывной и ограниченной.. площадь (1.21) 27
Общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом V, Q = dt$§§F(M, t)dV—dt JJJdivqdV. (1.26) V V С другой стороны, согласно формуле (1.19), это количество теплоты равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в вы¬ деленном объеме. Указанное изменение на основании первого закона термодинамики может быть выражено формулой Q—CdT, (1.27) где С — теплоемкость выделенного объема; dТ — изменение его тем¬ пературы. Таким образом, Q может быть вычислено двумя способами, с одной стороны, по формуле (1.26), с другой — путем учета изменения тем¬ пературы в точках объема У, ограниченного поверхностью S. В точке (лс, у% г) за промежуток времени dt температура Т(х, у, г, t) изменится на Т(х, у, z, /+d/)—Т(х, у, г, t)=(dT/dt)dt. Элементу объема dV массой pdK для такого изменения температуры потребуется количество теплоты, равное cp(dT/dt)dVdt, а всему объему CdT = dt 5 { 5 ср (dT/dt) dV, (1.28) V где с—удельная теплоемкость, Дж/(кг-град); р — плотность вещества, кг/м3; ф, Дж/(м3-град). Принимая во внимание (1.27) с учетом (1.26) и (1.28), находим ф-gl + divflf—F(M, ol dV = 0. (1.29) ш Равенство (1.29) должно выполняться для любой части тела объемом V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела Н-div q — F (М, /) = 0. (1.30) Это заключение справедливо, если левая часть в равенстве (1.30) — непрерывная функция. Предположим, что в точке М(х, у, z) равенство нарушается, т. е., например, [cpd77d/+div<7—F(M, Тогда, ин¬ тегрируя обе части неравенства по некоторой области 1/, содержащей точку М, получим противоречие с условием (1.29). Так как д==—Xgrad7\ то равенство (1.30) можно записать следую¬ щим образом: Cp(dT/dt)=div(hgradT)+F(M, t). (1.31) Получено уравнение, которому должна удовлетворять функция Т(х> у, z, /), представляющая собой температуру некоторого тела. Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопровод¬ ности или уравнением Фурье. 28
Для изотропного гомогенного тела параметры с, р, Я постоянные; далее, так как div (grad Т)=Л7\ где Л —оператор Лапласа, то оконча¬ тельно запишем (если разделить обе части (1.31) на ср) <?77д/=аДГ(М, t)+[\Kcp)]F(M, t), (1.32) где д=Я/(ф) — коэффициент пропорциональности, называемый температуропроводностью, м2/ч. В декартовых координатах уравнение (1.32) имеет вид dTldt=a{d*Tldx*+d*Tldy*+d*Tldz2)+[\{cp)\F(x, у, г, t). (1.33) В цилиндрических координатах (г, ф, z), связанных с декартовыми коодинатами соотношениями: x=rcos ф, y=rsin ф, z=z; 0^г<оо, 0^ф<2л, —оо<г<+оо, уравнение (1.32) принимает вид дТ (дП , I дТ , 1 дП . дП\ , I ,ч ^ = Ч^+“^Г+7Г^Ф5' + ^Г] + Ф (Л г- О- В сферических координатах (г, ф, 0), связанных с декартовыми ко¬ ординатами соотношениями: x=r cos ф sin 0, у—г sin ф sin 0, z=r cos 0, 0<><оо, 0^фС2л, О^0^л, уравнение (1.32) записывается в виде дТ Г д%Т , 2 дТ . I д ( . Q дТ \ . <Э< “ a [ дг* г dr "*"/-2sin0de (Sm 50 j “*■ Ф-0- о- В частном случае, когда температурное поле обладает сфериче¬ ской симметрией, последнее уравнение (при F = 0) принимает вид ОТ __ ( д2Т 2 дТ \ dt ~~~ й \ дг2 г дг )• Если вместо T(ry t) ввести новую функцию £/(r, t) с помощью подста¬ новки U(r, t)=rT(ry t)y то вместо уравнения относительно T(r, t) по¬ лучим после несложных преобразований следующее:. dUldt=a(d4Jldr% напоминающее уравнение теплопроводности для неограниченной пла¬ стины (или тонкого стержня с теплоизолированной боковой поверх¬ ностью). Указанная подстановка является исключительно важной в аналитической теории теплопроводности; ее применение позволяет использовать найденные аналитические решения тепловых задач для бесконечной пластины при описании соответствующих температур¬ ных полей в сферических телах (сплошной или полый шар). В отличие от Я, которая характеризует теплопроводящую способ¬ ность тела, а характеризует теплоинерционные свойства тела и являет¬ 29
ся мерой скорости выравнивания температурного поля в рассматривае¬ мой среде. Действительно, по определению, а=Х/(ф)=Я/с', где с' — объемная изобарная теплоемкость. Отсюда температуропроводность а прямо пропорциональна теплопроводности X и обратно пропорцио¬ нальна аккумуляционной способности с' вещества. Особенно нагляд¬ ным становится физический смысл а в уравнении теплопроводности, когда отсутствует внутреннее тепловыделение и dT!dt=akT{M, t). Зная вблизи точки М(х, у, z) зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет нарастать (или спадать) темпера¬ тура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. При этом чем больше а (т. е. чем меньше с'), тем пропорционально быстрее меняется во времени температура. Таким образом, а характеризует способность вещества изменять с большей или меньшей скоростью свою температуру во времени. А. В. Лыковым показано [83], что температуропроводность прямо пропорциональна скорости распространения изотермической поверх¬ ности. Оператор Лапласа в правой части (1.32) характеризует изменение теплового потока в точке М и (в геометрическом смысле) является ме¬ рой кривизны изотермической поверхности в этой точке. Этим и обу¬ словлено изменение температуры в данной точке, так как наибольшая быстрота перестройки температурного поля отвечает участкам боль¬ шей кривизны, и наоборот. Для иллюстрации этих соображений на рис. 9 рассмотрим две температурные кривые, соответствующие одно¬ мерному температурному полю dTldt=ad2T/dx2 (без источников теп¬ лоты F=0), для момента времени tx (кривая 1) и t2=ti-\-dt (кривая 2). Из рисунка видно, что за время dt температура сильнее всего изме¬ нилась на участках а и Ь, где температурная кривая обладает боль¬ шей кривизной. В то же время знак оператора Лапласа в данной точке показывает, в каких случаях температура этой точки при переходе от момента вре¬ мени t к tx+dt возрастает (нагревание) и в каких случаях убывает (остывание). 30
Возрастание температуры в данной точке обусловливается тем, что в слой материала, охватывающий эту точку, подводится теплоты больше, чем за тот же промежуток времени отводится (величина д2Т/дх2 положительна). При убывании температуры, наоборот, отво¬ дится теплоты больше, чем за время dt подводится (величина д2Т/дх2 отрицательна) (рис. 10). Уравнение (1.33) является основой аналитической теории тепло¬ проводности, которую создал Фурье в начале XIX в., одновременно положив начало разработке многих родственных задач математиче¬ ской физики. Интересно отметить, что Фурье объяснял механизм пере¬ дачи теплоты, основываясь на теплородной теории, тогда как уже за полвека до него Ломоносов в своей диссертации «Размышление о при¬ чине теплоты и холода» решительно отверг такой метафизический взгляд. Уравнение (1.32) выведено при условии некоторой идеализации процесса и в этом смысле является феноменологическим (описатель¬ ным) уравнением аналитической теории теплопроводности. Вопрос о том, насколько точно это уравнение описывает реальный физиче¬ ский процесс теплопроводности, может быть решен только сравнением результатов, полученных при решении уравнения и эксперименталь¬ ным путем. В абсолютном большинстве случаев феноменологическое описание процесса теплопроводности находится в весьма удовлетво¬ рительном согласии с экспериментом. Некоторое несоответствие, об¬ наруженное за последнее время и касающееся поведения материалов при повышенных температурах, не меняет существа вопроса. Уравнение (1.32) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, в котором независимыми переменными яв¬ ляются время и три пространственные координаты, а зависимой пере¬ менной— функция Т (температура). Это уравнение первой степени (линейное), поскольку зависимая переменная Т входит в него только в первой степени. Но вместе с тем оно является уравнением второго' порядка, так как дифференциальный оператор Т содержит производ¬ ные второго порядка от Т по пространственным переменным. Функция F считается заданной функцией, в общем случае функцией координат и времени. Уравнение теплопроводности (1.32) в курсах математической физи¬ ки относится к дифференциальным уравнениям параболического типа и согласно этому типу уравнений для него выбираются соответствующие аналитические методы реше¬ ния. Может, в частности, оказаться, что температура рассматриваемого тела в любой его точке не изменяется во времени, т. е. является функ¬ цией только координат (установившееся состояние). Тогда dT/dt=0 и уравнение (1.32) принимает вид АГ(М) + (1/Х)/г(М)=0, (1.34) где плотность тепловых источников F(M) уже не зависит от вре¬ мени. Уравнение (1.34) называется уравнением Пуассона. 31
Если внутри тела отсутствуют тепловые источники и температур¬ ное поле стационарно, то имеем уравнение (в декартовых координатах) №(М)=д*Т1дх*+д*Т1ду*+д*Т1дг*=0, (1.35) которое называется уравнением Лапласа. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Уравнение Лапласа принадлежит к дифферен¬ циальным уравнениям эллиптического типа и согласно этому типу уравнений для него выбираются соответствую¬ щие аналитические методы решения. Стационарное температурное поле в некоторых задачах можно получить из нестационарного путем предельного перехода ГСТ(М) = lirn Г(М, t). (1.36) t -+ 00 На практике такой переход осуществить, как правило, не удается; в некоторых случаях на помощь приходит операционное исчисление с его теоремой о конечном значении (см. гл. VI). Уравнение Лапласа (1.35) не только описывает стационарное температурное поле, но и играет первостепенную роль при описании других установившихся процессов, например, равновесного ра¬ спределения зарядов по поверхности проводника. Задача. Выведите уравнение линейной теплопроводности для тонкого стерж¬ ня с теплоизолированной боковой поверхностью и внутренними источниками теп¬ лоты в виде dT/dt=ad2T/dx2+[\/(cp)]F(x, t). (1.37) Замечание. Ось стержня следует принять за ось абсцисс (рис. 11); в этом случае изотермическими поверхностями для линейной теплопроводности будут сечения стержня, перпендикулярные оси Ох, нормаль к ним совпадает с осью Ох и дТ/дп = дТ/дх,если направление нормали п совпадает с положительным направ¬ лением оси Ох. Закон Фурье в скалярной форме для рассматриваемого случая имеет вид dQx=—k(dT/dx)Sdt (где S — площадь поперечного сечения стержня с абсциссой х)\ при этом количество теплоты, сообщенное выбранному малому участку стержня (х, x+dx) и равное разности входящей и выходящей теплот, dQx—dQx+dx=X(d2T/dx2) Sd* dt. (1.38) § 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Анизотропия — явление, которое состоит в том, что физические свой¬ ства тела различны по разным направлениям. Анизотропия тепловых свойств наиболее резко проявляется в кристаллических и волокни¬ 32
стых структурах. В указанных телах вектор плотности теплового по¬ тока q в какой-либо точке М не направлен по нормали к изотерми¬ ческой поверхности, проходящей через эту точку. Поэтому вместо соотношения q=—XgradT в точке М имеет место более общая зависи¬ мость, заключающаяся в том, что каждый компонент вектора q яв¬ ляется линейной функцией компонентов градиента температуры в этой точке: — Я* = Кх (дт!дх) + Ку (дТ>дУ) + Kz (дТ/дг), \ — Я у = \х (дТ !дх) + Ку (дТ Ш + \z (дТ/дг), V (1.39)* — Яг = Кх (дТ!дх) + Ку (дт/ду) + Kz (дТ/дг). ) В (1.39) величины kiK(i,K = x,y, z) являются компонентами тен¬ зора второго ранга—тензора теплопроводности X (1.40) ч^г* К у ^zz . причем X—симметричный тензор hiK = XKi. Уравнение теплопроводности (1.31) остается справедливым для случая, когда X есть тензор (1.40). Отсюда, используя операцию умножения тензора на вектор, можно записать (1.31) в' следующем виде: fКх Ку Кж\ К* Ку Кг ) grad Г +F(M, 0 = у'Кх Ку Кг/ “div [(l“T7 + x*> + + +\.^)j+K^r+K%-+K.,?P)i>}+FW, О- (I-H) В случае однородной (анизотропной) среды Х{К = const и урав¬ нение (1.41) примет вид ™ дТ __1 д2Т .1 д*Т х \ д*Т , ,1ч д2Т , Ф dt kxx дх2 ~Tkyy ду2 + kzz dz2 Ку +kyx) dxdy^~ + (Kz + Kx)j^ + {K* + Ky)fyjz + F(M> 0- (1-42) Если воспользоваться симметричностью тензора X, то уравне¬ ние (1.42) (при F = 0) можно записать дТ _ 1 64 , 1 д*Т II &Т , 01 дп , cPW-A**~W+Ky-fyr + Ky 'д*+2К*1>Шу г + 2^S + 2VS- (1-43) дТ cp_aT = dlv Выражения (1.39) представляют собой компоненты вектора, полученного при перемножении тензора (1.40) на вектор grad Г справа [см. (1.41)]. 2-339 33
Уравнение (1.43) можно преобразовать к новой системе прямоуголь¬ ных координат (*', у', г') таким образом, чтобы освободиться от смешанных производных и перейти к виду Новые оси координат (л', у', г') называются главными осями теплопроводности у а коэффициенты (Xlf Х3)—главными коэффи¬ циентами теплопроводности. На практике указанное преобразова¬ ние можно произвести различными способами, в частности путем предварительного приведения матрицы (1.40) к диагональному виду с помощью соответствующего поворота системы координатных осей (Ху уу г): coscxf, cosPj, cosy, — направляющие косинусы новых координатных осей (новых переменных) (*', у'у г') в старой системе координат (Ху уу г). В новых координатах матрица (1.40) имеет вид Отсюда нетрудно записать и преобразованное уравнение теплопро¬ водности, которое в случае kt = const (i = 1, 2, 3) имеет вид, совпа¬ дающий с (1.44)* Для отыскания коэффициентов преобразования (1.45) необходимо найти последовательно три нормированных решения (/,, пр * Подробно о теории указанного преобразования можно прочитать, напри¬ мер, в книге Н. В. Ефимова «Квадратичные формы и матрицы». Наука, 1972. (1.44) где W (*', у', z\ t) = T (х, у, г, t). где /, = cosa,, m, = cosP(, n, = cosY, (t= 1, 2, 3), а l\m]-\-n} — 1; (1.46) (1.47) системы (t = 1.2,3), (1.48) 34
где Xt— корни характеристического уравнения Кх \ XV VX -К "'у г Кг — ^Ч (1.49) Заметим, что уравнение (1.49) имеет только вещественные корни (это утверждение доказывается в теории квадратичных форм). Обо¬ значим отличные от нуля решения системы (1.48) через (/(/), ти\ пи)), причем эти неизвестные определяются с точностью до произ¬ вольного множителя пропорциональности d. Возьмем d = = l(i)* + mU)i + nU)i> тогда l{ = dl{i)t m, = d/n(/)f n{ = dnU). Рассмотрим пример. Пусть коэффициент X есть тензор второго ранга вида /4 2 0\ Ь = ( 2 5 2 ), (1 50) \0 2 6/ а соответствующее уравнение теплопроводности, согласно (1.43), имеет вид дТ л . с д2Т а д2Т дЧ . А д*Т п С1. ф dt ~ дх2 + ду2 + дг2 + дхду+ дидг ’ ^ 51) Приведем это уравнение к виду (1.44). Прежде всего составим ха¬ рактеристическое уравнение (1.49) 4—X 2 0 2 5—X 2 = о, 0 2 6—Х откуда = 5, = 2, X; перейдет в следующее: dW к d2W , 0 d2W сР~й = 5^тт + 2 8. Согласно (1.44), уравнение (1.51) d2W дх'2 ду'2 ■8 дг'2 ’ (1.52) где (х\ у'> г') — новые переменные, связанные со старыми перемен¬ ными (Ху уу г) формулами преобразования (1.45). Для вычисления коэффициентов. (/f, mt, nt) в этих формулах составляем систему (1.48) (4 — X;) 1{ + 2га, = 0, \ 2/j + (5—Xt)m^ + 2«, = 0, > (i = 1, 2, 3). (1.53) 2ш, + (6 — /,) •), = 0 J Полагая здесь >^ = 5, переходим к системе — 1Л + 2/71 j =0, | 2lx + 2/1, =0, > (1.54) 2тх + пх = 0. J 35
В качестве ненулевого решения этой системы можно взять, на¬ пример, /(1) =— 2, /пш =— 1, А2(1) = 2; так как при этом d = = — 2/3; = —1/3, nl — 2/3. Аналогичным образом, полагая в (1.53) Хг2 = 2 и Ха = 8, находим следующие два нормированных ре¬ шения—единичные векторы второго и третьего главного направле¬ ний: (2/3, —2/3, 1/3); (1/3, 2/3, 2/3). Таким образом, искомые формулы преобразования и преобразованная матрица (1.50) имеют соответственно вид: После нахождения температурной функции W (х\ у', г', /), удов¬ летворяющей уравнению (1.52), можно возвратиться к искомой функции Т (х, у, z, /), используя формулы преобразования (1.55) [разрешенные относительно (*', у\ г')]. Уравнение (1.44) можно упростить дальнейшей заменой переменных, полагая*: где X выбирается произвольным. Так как по правилу дифференцирования сложной функции имеем т. е. примет тот же вид, что и уравнение теплопроводности для изо¬ тропного твердого тела. Создается впечатление, что преобразованиями уравнений (1.45) и (1.56) удается снять серьезные математические трудности, связан¬ ные с анизотропией среды. Однако в конкретных случаях дело обсто¬ ит гораздо сложнее. В новой системе координат (х/ уz') происхо¬ дит искажение границ рассматриваемого тела, а именно: в уравнения новых граничных поверхностей начинают входить пространственные переменные. В связи с этим усложняются граничные условия рассмат¬ риваемой задачи (см. §3 гл. II), так как теперь они оказываются за¬ данными на переменных граничных поверхностях. Это обстоятельство затрудняет применение классических аналитических методов при ре¬ шении новой тепловой задачи, а в большинстве случаев теряется и 0 При переходе к новым переменным целесообразно ввести и новое обозна¬ чение функции. Это удобно при вычислении частных производных по новым пере¬ менным в процессе преобразования уравнения (1.44). = 1 lV4+1+4= 1/3, то искомое первое главное направление будет: 2 / , 2 / , 1 , з * + з Г/ + 3 г 1 , 2,2, У ~~ 3 Х зУ f 3Z (1.55) 2 , , 1 , . 2 , г = У* +jy +У2 ’ g=*'(W'2; ti = */'(W/2; t = z'(XA3)I/2; U(l, T], t, t)=W(x\ y\ z\ 0, (1.56) dx' “ d\ dx' “ то уравнение (1.44) перейдет в следующее: dW __ди d% _ (1.57) 36
принципиальная возможность их использования. Таким образом, выигрывая в упрощении записи основного уравнения теплопровод¬ ности (1.43), проигрывают в усложнении граничных условий задачи. Исключение составляют некоторые простейшие случаи, когда тело не ограничено по всем пространственным переменным либо оно огра¬ ничено плоскостями, перпендикулярными главным осям теплопро¬ водности (в новой системе координат уравнение таких плоскостей x'=const, у'=const, z/== const), или в случае, когда тело ограничено плоскостями, перпендикулярными одному из главных направлений, и круговыми цилиндрами с осью симметрии, направленной вдоль данного направления. Во всех указанных случаях целесообразно предварительно упростить исходное уравнение (а вместе с ним и ис¬ ходную тепловую задачу). Рассмотрим теперь в уравнении (1.39) частный случай, когда ани¬ зотропная среда является ортотропной — теплопроводность различ¬ на в трех взаимно перпендикулярных направлениях: <7* = — К(дТ/дхУ> Я„ = — ч (дТ 1ду)\ Яг = — К (дТ/дг). (1.58) Если среда к тому же однородна (Х, = const, i = x, у, г), то урав¬ нение (1.31) имеет вид (при F = 0) дТ№ = ах (д'Т/дх*) + аИ (д*Т/ду*) + + аг (д*Т/дг*), (а, = >.,/(ср); i = x,y,z) (1.59) и может быть приведено к виду (1.57) с помощью преобразований | = х(а/ах)1/2\ ц = у (а/ау),/2; £ = г(а/аг)‘/2, где а можно выбрать произвольным. В цилиндрической системе координат уравнение теплопровод¬ ности для ортотропного однородного тела имеет вид дТ fd*T.idT\L яф дЧ . дч Здесь ar = V(cP)> = К/(ф); а2 = К/(ср)’ Заменой переменных г' = г(а/аг){/2, ф'=ф (а/аф)1/2, г' = z (a/az)[f2 уравнение (1.60) приводится к виду dW__„(d*W , 1 dW , 1 d*W , d*W \ n fll4 HT~~a \ dr'* + r' dr' + r'* dtp'2 + dz'* /* I1-**1) В монографии [55] излагается физическая теория теплопроводно¬ сти анизотропных твердых тел. Следует отметить, что вследствие трудности измерения теплопроводности анизотропных тел практика располагает весьма малым количеством экспериментальных данных и поэтому к настоящему времени в аналитической теории теплопро¬ водности решено ограниченное число специальных задач. 37
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ДВИЖУЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ И В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ Уравнению dT/dt=a№ (М, t) (1.62) подчиняется распределение температуры Т(М, t) в однородном изот¬ ропном твердом теле, отнесенном к неподвижной связан¬ ной с телом системе координат. Рассмотрим теперь, как изменяется это уравнение, если система координат испытывает трансляционное перемещение по отношению к телу. В этом случае изменение температуры (dT!dt)dt за интервал времени d/, которое наблюдается в точке М этой подвижной системы, складывается из двух составляю¬ щих. Первая составляющая — изме¬ нение температуры с течением време¬ ни в неподвижной точке простран¬ ства; вторая — перемещение наблю¬ дателя, жестко связанного с под¬ вижной системой координат, за вре¬ мя dt на определенное расстояние ds=fldt, в результате чего наблю¬ датель попадает в точку с другим значением температуры. Эта вторая составляющая имеет значение dsyT=vyTdt, где v — вектор скорости подвижной координатной си¬ стемы по отношению к телу; уТ — локальный температурный гра¬ диент. При выводе уравнения теплопроводности, основанном на со¬ ставлении теплового баланса, для элемента объема тела учитывается только первая составляющая, поэтому из наблюдаемого изменения температуры (д77д£)д/вточке М нужно вычесть перемещение (vyTdt), возникшее в результате движения системы координат. В системе координат, совершающей трансляционное перемещение со скоростью V, уравнение теплопроводности (1.62) принимает сле¬ дующий вид: дТ/dt—vyT = аДТ, или dT/dt = аДГ (М, /) + г>у7\ (1.63) где ДТ—оператор Лапласа; уТ —вектор-градиент функции Т. Рис. 12 поясняет эти рассуждения для одномерного температур¬ ного поля. Если v = v1i, где ^ = const, то можно записать дТ/dt = а (д2Т/дх2) + (дТ/дх). (1.64) С помощью подстановки Т (х, t) = U (х, t) exp ^—-jj^x—(1.65) уравнение (1.64) приводится к виду dU/dt — a(d*U/dx2). 38
Если внутри твердого тела имеется источник теплоты мощностью F (М, /), то к правой части уравнения (1.63) нужно добавить произ¬ ведение (1 /cp)F(M, t). Уравнение дТ /д2Т , д*Т . д*Т\ . ( дТ , дТ . дТ \ . 1 DiAA а/ — а[дхг + дуг ^ дга ) + a* +Ua ду дг ) + ср ^ ^ нетрудно упростить с помощью подстановки Т(х, у, г, t) — U (х, у, г, t)exp( — ^rv—(1.66) V <= i / в которой г = xl + yj + zk, v = vj + vj + v3k, a rv = xv1-\-yvi-\- zva — скалярное произведение. Получим dU/dt = a&U{x, у, г, t) + (l/cp) Fit ( I = fexP^i™+45l>’ Подстановка (1.65) является частным случаем (1.66). Пусть теперь в (164) v1 = vl(t)1 т. е. дТ/dt = ад2Т/дх2 + vl(t)dT /дх. (1-67) Здесь может быть полезной следующая подстановка: Т (х, t) = U (х, /)ехр [-^x-^joUOd/]. (1.68) переводящая уравнение (1.67) в следующее: dU d2U х ' / х\ г 1 ( ' dv \ п аГ = а -M+2-av'WV [v' = di)- <169) Если S, = a1/ + a2(a/ = const), то уравнение (1.69) переходит в простейшее dU/dt = a (d2U/dx2) (v\ = d2S/dt2). Если Sj = («,/2) P-fa2/ + a, (a, = const), то имеем dU/dt =^a(d2U/dx2) + (aj2a) xU. (1 70) В более общем случае в декартовой системе координат урав¬ нение dT/dt =а&Т (М, 0 + ®(0 V7, + (l/cp)/=,(Ml 0» (1 -71) где ©(0 = М0< + М0У + ^ (t)k, целесообразно упростить подста¬ новкой г- з Т(М, t) = U (М, /)ехр ill d<] . (1-72) 39
переводящей уравнение (1.71) в уравнение вида dU/dt=aMJ(M, t) + (\l2a)rv' (t)U + (\/ср) Ft(M, t), (1.73) Ft(M, t) = F (M, /)exp jo?(0 df. Здесь также представляет интерес случай S{(t) = aut + аи, где at/ = const (/ = 1, 2; i= 1, 2, 3). Рассмотрим далее случай, когда система координат совершает не только трансляционное (поступательное), но и вращательное перемещение, характеризующееся вектором угловой скорости <о. Если V — вектор скорости рассматриваемой точки системы, то по известной формуле кинематики (см.: Тарг С. М. Краткий курс теоре¬ тической механики, § 74. М., Наука, 1967) можно записать v = v0 + <dxr1 (1.74) где v0—вектор скорости мгновенно поступательного перемещения начала координат; г—радиус-вектор точки М в подвижной системе; [о) -г] = (о>yz—ы2у) I + ((ozx—о>хг)У+ (о)ху—сo^z) k—векторное произ¬ ведение. Уравнение теплопроводности (1.63), которое остается справед¬ ливым и в этом случае, принимает следующий вид: дТIdt — akT (М, t) + v,sjT(My 0 + [©-г] уГ(М, t). (1.75) Если внутри тела имеется источник теплоты F (М, /), то в пра¬ вой части уравнения (1.75) появляется еще одно слагаемое (1/ф)/7. Рассмотрим частный случай (1.74), когда начало координат совер¬ шает сложное перемещение в плоскости (поступательное с одновре¬ менным вращением по окружности), описываемое в полярной системе координат x = rcos(p, y = r sin ф вектором скорости вида v = vrer + v(peqn (1.76) где vr = dr/dt = г—радиальная скорость прямолинейного движения начала координат вдоль радиуса; иф = гю = /’ dcp/d/ = гср—переносная скорость вращательного движения с угловой скоростью о, направ¬ ленная перпендикулярно радиусу в сторону возрастания угла ф. Запишем далее вектор grad Т в полярной системе координат, используя (1.6): grad Т = (дТ/дг) ег + (1/г) (дТ/<5ф) еф. (1.77) Если Т (г, ф, г, t)—температурное поле, то уравнение (1.75) для этого случая примет следующий вид: дТ (дП . 1 дТ , 1 , д*Т . д2Г\ • дТ . дТ dt ~ а ( дг* + Л дг + г2 + дсп* + д7* ) +Г дг "^0) дсп • (1-78) dt ~ \дг* 1 Г дг 1 г* ^ дер2 ^ dz2 J ^ дг 1 дц> В частном случае вращательного движения системы координат с угловой скоростью со, если ифеф = согеф—линейная скорость вра¬ щательного движения в окружном направлении, (1/г) (дТ/ду) *>ф — градиент температуры в этом направлении, то уравнение (1.78) при 40
Т — Т (г, ф, t) запишется следующим образом: дТ (дгТ , 1 дТ . 1 дгТ\ , дТ .. 7„. dt ~ 0 [ дгг т дт + г* Зфг j + W dq> ' ^ 9) Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение теплопроводности для движущейся среды, т. е. допустим, что происходит движение от¬ дельных частей тела относительно друг друга, как это имеет место в случае жидкостей и газов. Благодаря этому к тепловому потоку вследствие теплопроводности добавится еще другой поток теплоты, происходящий от того, что движущаяся материя перенесет с собой вследствие своей теплоемкости некоторое конечное количество теп¬ лоты. В специальном выводе этого уравнения нет необходимости, так как можно воспользоваться уравнением (1.63). Действительно, пусть v (М, /) — вектор скорости движущейся среды. Уравнение теплопро¬ водности в движущейся среде сводится к уравнению (1.63), если «оста¬ новить» среду, но заставить двигаться систему координат со скоростью [—v{My /)]. В этом случае имеем dTldt=aAT(M, t)—v grad 7 (М, t)+(\/cp)F (М, t). (1.80) К уравнению (1.80) применимы все упрощающие его подстановки, указанные выше. В декартовой системе координат уравнение (1.80) можно записать в несколько ином виде, если воспользоваться поняти¬ ем полной или материальной производной: пусть координаты точки М(х, у, г) изменяются с течением времени, тогда при дифференцирова¬ нии функции Т(М, /) как сложной функции от t получим ^_дТ дТ^дх д_]^йу_ дТ^дг__ d/ dt ‘ дх d/ ' ду d/ ‘ dz dt дТ , дТ , дТ i дТ дТ . ^ АТ = dt+v^ + vyW + V^==df + VgTadT- Таким образом, уравнение (1.80) можно переписать в другом виде dr/d/ = а ДГ (М, /) + (1/ср) F (7W, /). (1.81) В случае стационарного температурного поля из (1.80) имеем а АТ (М) — я grad Г (М) + (1/ф)Г(М) = 0 или (учитывая, что а = Х/ф) АТ (М)—via grad Г + (1 /X) F (М) = 0. (1.82) К уравнению вида (1.80) сводится уравнение теплопроводности в неоднородной (анизотропной) среде в одномерном случае. Укажем для этого случая ряд полез¬ ных подстановок. Уравнение вида с(*>е(*>?=^[Мдг)£] (1,83) преобразуем последовательно с помощью подстановок: Т (X, 0 = [с (X) р (*) Я (дс)]“1/2/сое (дс, 0: j *'=*oJ |^C(t(^Tdjc; i <l 84) Хд / 41
где /Со, *о — постоянные, выбранные надлежащим образом для сохранения размер¬ ности. При этом необходимо предположить, что в рассматриваемой области функ¬ ция Ус (х) р (х)/К (х) непрерывна, а х' (х) монотонно возрастает (или убывает) и непрерывно дифференцируема, так что существует обратная функция х = х(х'), также обладающая этими свойствами. С учетом (1.84) получим, преобразуя (1.83): где f (х') — новая (известная) функция. Введем далее х' U (х', т) = W(x\ /) exp ^ / (ot) d ос; т = x\t, (1.86) о В новых переменных уравнение (1.83) окончательно принимает вид 3U d*U . , dU п -W=^-f(x)W (1-87) Аналогичным образом могут быть рассмотрены цилиндрическая (осесиммет¬ ричный случай) и сферическая (центральная симметрия) системы координат. § 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ДЕФОРМИРУЕМОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ Рассмотрим вопрос о связи процесса теплопроводности и упругого деформирования твердого тела при наличии в нем градиента темпера¬ туры. При выводе уравнения теплопроводности (1.32) предполага¬ лось, что температурное поле не зависит от вызываемых этим полем деформаций. Строго говоря, это не совсем верно, поскольку при де¬ формировании выделяется или поглощается теплота, которая влияет на распределение температуры. Излагаемый в этом параграфе вопрос принадлежит к числу достаточно трудных в аналитической теории теплопроводности и примыкающей к ней теории термоупругости и в то же время чрезвычайно важных для многих прикладных задач теории прочности твердых тел [66—68]. Следует также учесть, что изложение данного вопроса в разнообразной литературе по тепло¬ проводности и механике сплошных сред далеко не элементарно и не однозначно. Вследствие этого возникает необходимость рассмотрения указанного вопроса в компактном виде, достаточно приемлемом для изучения. Рассмотрим тело, свободное от внешних нагрузок, с неравномер¬ ным распределением температуры. Если тело изотропно и однородно и все элементарные объемы тела одновременно и в одинаковой степени изменяют свою температуру, то возникающая в нем деформация не вызывает появления напряжений. В этом случае деформации (удли¬ нения) по трем осям координат (х, у, z) равны ехх еуу ezz——Т о), где а — коэффициент линейного расширения; Т(М, t) — температура точки М тела в момент времени t\ 7,0=const — начальная (исходная) температура, при которой тело находится в недеформированном и ненапряженном состоянии (все напряжения и деформации равны нулю). 42
В действительности, изменение температуры тела, а следовательно, и тепловое расширение (сжатие) элементарных объемов происходит неравномерно, вследствие чего в теле возникают внутренние напря¬ жения j=xt у, г), обусловливающие добавочные удлинения и сдвиги. Величины вц являются компонентами тензора напряжения а, определяющего напряженное состояние в любой точке М внутри тела и по любой площадке, проведенной через точку М /QXX ®Ху °= °«х °уу °иг • (1 88) ^XX °*U ax, V °yy V °zx % °zz При этом aij=Oji (тензор а— есть симметричный тензор второго ран¬ га). По аналогии с обозначением вектора в тензорном исчислении (см., например: Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начало тензор¬ ного исчисления. М., изд. АН СССР, 1951) вводится следующее ус¬ ловное обозначение для тензора: o = oxJ+oyJ+ozkt (1.99) где векторы ах, о^, ог имеют следующее разложение по ортам i9 Ъ k: °p=c’px-i + apy-i + apz k (Р = Х, у, г). (1.90) Деформированное состояние в точке М определяется тензором деформации е /еXX гху ехг е = ( V %У I■ О-91) \егх ezy При этом также е,у = Напряжения и деформации связаны между собой следующими соотношениями линейной термоупругости (закон Дюамеля — Ней¬ мана): оц = + 2|ле/у —(ЗА. + 2р) ат (Т-Т0) 6„, (1.92) где к, jn—постоянные Ламе для изотермической деформации, свя¬ занные с техническими упругими модулем сдвига G, коэффициентом Пуассона v, модулем упругости Е (модулем Юнга) соотношениями: X = 2Gv/(\—2v); p = G; 2p = £'/(l+v); ат — коэффициент линейного термического расширения (ат = а/3); б/;—символ Кронекера б _ I0’ *'=*'■ 6"~ I 1. •■* = /; е = (ехх + гуу + ezz) — объемное расширение, при этом ди *= de/de,у. Возникающие в теле вследствие деформирования перемещения (Uх, U", U:) связаны с компонентами ги тензора деформации гео¬ метрическими соотношениями 1 /ди( dU/\ *u~Asr+-Sr)- <193> 43
Перечисленные величины(/*, ei]t ои являются функциями координат (х, у, г) и времени t. В классической теории теплопроводности считается, что единствен¬ ной причиной возникновения в теле теплового потока является нали¬ чие grad Т=0. Однако при тепловом деформировании тела в случае большой скорости теплового потока возникает так называемый эф¬ фект связности, состоящий во взаимодействии полей деформации и температуры. Выведем дифференциальное уравнение теплопровод¬ ности для рассматриваемого случая, привлекая для этого необходи¬ мые законы механики сплошных сред и термодинамики необратимых процессов. Рассмотрим упругое тело, внутри которого выделим объем V, огра¬ ниченный замкнутой поверхностью s. Вследствие явления термоупру¬ гого деформирования на каждый элемент da этой поверхности дей¬ ствует сила со стороны частиц тела, лежащих вне объема V. Эта сила пропорциональна величине площадки da и зависит от направления вектора единичной нормали к рассматриваемому элементу; обозна¬ чим ее через Pnda, где вектор Рп называется напряжением на площад¬ ку da с нормалью п (сила, отнесенная к единице площади). Отметим, что напряжение Рп> вообще говоря, не будет перпендикулярно площад¬ ке da. Пусть cos (п, х), cos (п, у), cos (я, z) — компоненты вектора внешней нормали п к поверхности s. Согласно теории упругости, век¬ тор напряжения Рп может быть выражен через компоненты тензора напряжения а следующим образом: Pn = oxcos(nt x) + avcos(n, y) + ozcos (я, г)=а-я, (1.94) где векторы ох> ау, oz определяются выражениями (1.90). Суммарная сила, действующая на выделенный объем по поверх¬ ности s, вычисляется интегралом з s V V (1.95) Здесь использована формула Остроградского — Гаусса (1,22). Пусть далее на каждый элемент массы объема V действует объем¬ ная нагрузка /(М, t) (сила, отнесенная к единице массы), вклю¬ чающая инерционные силы; пусть также ц(М, t) — вектор скорости частицы тела в точке М; р—плотность вещества (р = const). В соот¬ ветствии с законами механики можно записать: (1-96) s V V Так как рассматриваются малые деформации (малые перемещения или скорости) в рамках линейной термоупругости, то в правой части равенства (1.96) можно пренебречь изменением пределов интег¬ рирования с течением времени и выполнить дифференцирование под 44
знаком интеграла. Учитывая, кроме того, выражение (1.95), получим J55[divo + p/—р£Г] dV = 0. (1.97) V Так как уравнение (1.97) применимо к любому произвольному объему V, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю в любой точке рассматриваемого тела div o-f-р/— pv = 0. (1.98) Выражение (1.98) является основным уравнением механики сплошных сред. Для удобства дальнейших рассуждений условимся относить такие термодинамические величины, как внутренняя энергия U, энтро¬ пия S, а также мощность тепловыделения F, ■ к единице объема тела (а не к единице массы). Пусть U (М, t) — внутренняя энергия элемента тела, расположенного в точке М в момент времени /; тогда внутренняя энергия выделенного объема V в момент времени t равна U (My t)dV. Результирующая поверхностная нагрузка г (поверхностное напряжение), действующая на объем V, совершает в единицу времени работу ^Pn-f-da. Точно так же объемная S сила / совершает в единицу времени работу, равную $ $ $ / • г;-dK. v Пусть F(M, t)—мощность теплового источника, действующего в выделенном объеме; ~q— вектор плотности теплового потока. Сум¬ марное количество теплоты, полученное объемом V за единицу вре¬ мени (см. § 5, гл. 1) -Sb-.do+Sn/r-d'/=HSdiv^grad7’)dV+SH/rdV/- V V г где qn — проекция вектора q на направление внешней нормали п к s. По закону сохранения энергии следует: работа, совершенная в единицу времени поверхностными и объемными силами, действую¬ щими на выделенную часть тела, плюс энергия, полученная этой частью тела в единицу времени путем теплопередачи и действия источников, равны скорости возрастания суммы кинетической и'внут- ренней энергии JJPn.0.da+ $S$7-u-dl/-$$ </„do+$jJf.dK = “■9!" Рассмотрим подробнее первое слагаемое в левой части (1.99) 5 5 ^ • do = J J a,i;,rt,(l0=:5SJ div (°,у) dV. в я v 45
Можно показать, используя правило_умножения тензора а на век¬ тор v, что div (а-и) = и-div о + ^ах-^ + ау-^- + а2-^У Переходя в (1.99) к объемному интегралу по формуле Остроградского—Гаусса и используя (1.98), получим для произвольной точки М (jc, у у г): div (Я,т grad Т) + F -\-(^ох + оу + о2 = U. (1.100) Преобразуем далее третье слагаемое в левой части (1.100), исполь¬ зуя симметричность тензора напряжения а, геометрические соотно¬ шения (1.93) и тот факт, что vi = Ul\ — dv , — dv , — dv • , x ~dx ° у ~dy °z ~dz ~ °xx'Bxx °*У X X exy + °xz ' exz + °ax ' Eyx + °yy ' eyy + + °yz ' Zyz + °zx • &zx + °z,' Ezy + °zz ' Ezz• = GiJEt/- Мы обозначили расписанную сумму для краткости произведением °ij Etj (1» / = *» У» г) с повторяющимися индексами i, /. Повторение индексов означает, как это принято в тензорном исчислении, сум¬ мирование по этим индексам. Таким образом, окончательно будем иметь следующее уравнение, связывающее между собой скорость изменения плотности внутренней энергии, количество полученной теплоты и скорость работы деформации, произведенной силами внутренних напряжений: О = div (Хт grad Т) F (1.101) Перейдем теперь к рассмотрению внутренней энергии выделенного объема. Запишем в дифференциальной форме первый закон термо¬ динамики, полагая, что бесконечно малое перемещение единицы объема тела состоит только из деформации dU = dez-y -j- T dS. (1.102) Это соотношение гласит: малое изменение внутренней энергии равно элементарной работе деформации-и количеству полученной теплоты. Здесь dS—дифференциал энтропии S, причем внутренняя энергия и энтропия — функции, зависящие от U = U(ei/t S); S = S(e/y, Т). Находим dS=(^)rdt-/+(5D.dT С-103) и подставляем (1.103) и (1.102). Это дает dU- [т (^)г + Ч d'» + 7'(f)tdT' Так как dU есть полный дифференциал, то должно выполняться равенство 46
Отсюда следует, что (^)г+(ж)«-°- <||05> В законе Дюамеля — Неймана (1.92) независимыми переменными являются ги и 7\ так как o{J = <ji/(e{Jy Г), отсюда (дои/дТ)в = = — (ЗА,+ 2p)aT6t/. Подставляя в (1.105), находим (j|-) г +зд ^ - <31+ад■ С учетом этого соотношения выражение (1.104) запишется следующим образом: dU = <зи ■ &ги + (ЗХ + 2ц) ат • Т ■ de + Т dТ. (1.106) С другой стороны, сравнивая соотношение с (1.106), получаем (dU/dT)e=zT (dS/dT)e. Но (dU/dT)e = CEi где Ct—объемная теплоемкость при постоянной деформации (постоян¬ ном объеме). Таким образом, Т (dS/dT)e = CB можно записать в виде dU = ou-dEU + (3X + 2\i)aT-T-de + Ce-dT. (1.107) Подставив в (1.107) закон Дюамеля — Неймана (1.92), получим d U =■ 2ре I j • d ztJ -)- Ае • de -f- (ЗА, -f- 2 р) ост de -}- Се • dT. Интегрируя полученное выражение и предполагая, что U = 0 в на¬ чальный момент времени, найдем U = е*/ + (1/2) Я• еа + (3A,-f- 2р) ат-Т0-е + Се (Т — Т0). (1.108) Подставляя в левую часть выражения (1.101) выражение (1.108) и учитывая при этом (1.92), а также равенство е/у-е-8/у = е-е (точка означает дифференцирование по /), найдем (при А,т = const) ee74(3^ + 2p)aT.7Ve {l + [(7-Г0)/Г0]} = ХТ AT + F. (1.109) Согласно предположению о малости деформаций рассматривается случай, когда [{Т—T0)/TQ] 1, что приводит к линеаризации вто¬ рого слагаемого в левой части равенства (1.109). Если ввести, кро¬ ме того, удельную теплоемкость се и плотность материала р так, что Се = рсе, то окончательно получаем уточненное или связанное уравнение теплопроводности в следующем виде: рСе 6Т(м’ ° +(ЗХ + 2ц)«т-Г0-е(М. 0 = ХТДГ(М, 0 + f(M, 0- (1.110) В отличие от классического уравнения теплопроводности (1.32) уравнение (1.110) содержит слагаемое, связывающее приращение температуры со скоростью изменения объема деформируемого тела. Использование уравнения (1.110) показывает на необходимость од¬ 47
новременного определения полей температуры и деформации, что связано с определенными математическими трудностями при рас¬ смотрении конкретных случаев. Перейдем теперь к анализу связной части в уравнении (1.110). Перепишем уравнение (1.110) в следующем виде (при F = 0): Здесь 60 = (ЗХ+ 2р)а а; • Т0/р2 cv • v\ —безразмерный параметр; ve = = К(^ + 2р)/р—скорость распространения в упругой среде волн расширения; cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме (<cv и се в линейной теории упругости взаимозаменяемы). В уравне¬ нии (1.111) член, пропорциональный 60, отражает влияние связан¬ ности, и им можно пренебречь по сравнению с единицей, если (1.112) аТ Ь + бо Чтобы провести числовые сравнения, нужно оценить значения пара¬ метра 60. Так, для стекла марки С-90-1: Я = 2,48 -1010 Н/м2; р = = 2550 кг/м3; р = 2,9-1010 Н/м2; cv = 8,33-102 Дж/(кг-град); ат = 2,7х х 10"5 1/град. Если взять для примера Т0 = 200°С, то получим 60 = 0,0016, а из (1.112) следует, что в этом случае связанность будет малой, если приближенно [e/(aT)J <^370. Для стали: р = = 7,7 кг/м3; Л=1,26-1011 Н/м2; р,=8,4-1010 Н/м2; cv=4,6-102 Дж/(кгх х град); ат = 3,5-10”^ 1/град и если взять для примера Т0 = 90°С, то получим б0 = 0,014, а из (1.112) найдем, что [е/(аГ)] <^20. Из приведенных примеров видно, что возможность пренебречь членом связанности зависит не только от выполнения требования 60<^1, но и от условия, чтобы скорости изменения деформации и температуры имели значения одного и того же порядка. Это условие предполагает, что изменение перемещений во времени происходит непосредственно вслед за изменением температуры. Это имеет место, если поле температур с течением времени не испытывает резких изме¬ нений или внезапных скачков. Расчеты показывают, что в кристалли¬ ческих телах эффект связанности полей деформации и температуры обычно мал. Однако подобное положение не сохраняется для новых материалов (например, поливинилбутираля), обладающих большим параметром связности. Для такого рода материалов расчет температур¬ ного поля предполагает решение связанной линейной динамической задачи термоупругости. Для этого далее необходимо рассмотреть (ко¬ ротко) вывод полной системы уравнений. Присоединим к уравнениям (1.92), (1.93) и (1.110) (при F=0) три уравнения движения без объемных сил °1/./ = Р^< ('. /' = *. У> *)• (1.113) Здесь запятая на уровне индексов означает дифференцирование по координате, отделенной запятой, т. е. _ dOjj _ д°хх_ foxy foxz “ сЦ ~~ Ох ** оу ' Ог ' 48
Аналогично, Г, и V/t кк означают: Т { = dT/di (i = x, у, г); ,, d*Ui . d*Ui , d*Ui ... .. ^1, КК~ Qx2 “b Qy* Qz2 &U I (l, К X, у у z). Выразим в уравнениях (1.113) напряжения о/у через деформации ги по формуле (1.92), учитывая, что члены, содержащие ей Г, сохраняются только при * = /: 2|xei/y у + ^е,/ — (ЗХ + 2р) ат Т 1==р0{. В этом уравнении заменим деформации е/у перемещениями по фор¬ муле (1.93), внеся вместо / повторяющийся индекс к и учитывая, что UKtiK = UKM. Получим рД(У/ + (Х, + р) UКч к{ — (ЗЛ + 2р)ат*Т { = рО{. (1.114) Три уравнения (1.113) совместно с четвертым уравнением (1.114) при определенных начальных и граничных условиях описывают из¬ менение в пространстве и во времени связанных между собой полей деформации и температуры. Запишем уравнения в векторной форме: ( pA(/-t-(A, + |Li)grad(div U) — (3^-f-2p)aT-gradr = p{7; (1.115) I dT/dt + (ЗХ+2\х) [aT/(cep)] Г0 div £7 = а ДГ, (1.116) где е= div U\ а=Хт/(сер). Из уравнения (1.115) может быть прин¬ ципиально определена деформация (перемещение) тела при произ¬ вольно заданной температуре тела. Подстановка в уравнение (1.116) полученного таким образом выражения для div U приведет к уравне¬ нию, определяющему распределение температуры, в котором неизве¬ стной функцией является только Г(х, yt г, t). В случае, когда скорость изменения температуры во времени мала, в уравнении (1.116) можно пренебречь инерционным членом р{7; задача термоупругости, описы¬ ваемая уравнением (1.115) без инерционного члена (р£/=0) и уравне¬ нием (1.116), называется связанной квазиспгатинеской задачей термо- упругости. Соотношения (1.115) — (1.116) дают постановку связанной ди¬ намической задачи термоупругости в перемещениях. Этот класс задач описывает проблему теплового удара, когда создаются усло¬ вия скачкообразного изменения температуры поверхности твердо¬ го тела или граничащей с ней среды, а также объемного температур¬ ного удара при скачкообразном повышении температуры объ¬ ема тела от начальной Г0 до значения Г, > Г0. В частном случае цилиндрического температурного поля T=T(r, t) уравнения (1.115) — (1.116) упрощаются. Так как для этого случая U2 = 0, Ur=U(r, /), то (1.115) — (1.116) дают (с учетом внутренних источ¬ ников): 49
дг2 г дг г2 v2 dt2 (I — v) дг 1 d2U (l+v)ocтдТ (1.117) - = а —+-— - дТ (д2Т 1 дТ\ dt (д2Т 1 дТ\ \ дг2 г дг) (1-2 v)c,p dt с,р + ~F(r, t) где v„= у/(Х+2 fi)/p — скорость звука в материале упругого тела. Важным в практическом отношении является также случай сфери^ ческой симметрии, когда температурное поле Т=Т(г, /), где (г, ср, в) — сферическая симметрия координат. Для этого случая С/ф = = Ue=0, Ur= U (г, 0 и основные соотношения будут: Соотношения (1.117) — (1.118) используются при исследовании проблемы теплового удара в телах, ограниченных, соответственно, цилиндрической или сферической поверхностью. Из этих соотноше¬ ний могут быть определены функции перемещения U (г, /), тем¬ пературы Г(г, t) и далее искомые напряжения (Ту(г, t) и деформации Еу (г, t) (что и требуется в конечном счете для описания напряженно- деформированного состояния твердого тела во внутренних точках) по формулам (1.113), (1.92). В ряде случаев (массивные твердые тела; тонкие пластины) в декартовой системе координат более удобной аналитической формой для исследования является поста¬ новка динамической задачи термоупругости непосредственно в на¬ пряжениях, вытекающая из общих уравнений (1.92), (1.93), (1.113) и уравнений совместности в деформациях где yijk — альтернативный (антисимметричный) тензор третьего ранга, q, р, m, п, z, j=x, у, z. Если выразить из (1.92) деформации Еу через напряжения подставить в (1.119) и произвести преоб¬ разования, учитывая (1.113), (1.93) и свойства тензорной алгебры, то в результате получим следующее основное уравнение динамической термоупругости в напряжениях: (1.118) Уqni7mpj^ij/пл (-^> О О* (1.119) 50
(1 + V)A<T,(M, 0 + aV^-) + «г£р27^ °+^-V AT(M, 0^1 = OlOJ [_ OlOJ 1—V J t)-~a(M, t)5iJ+2?^«T(T(M, 0-mJ- (1.120) ti частном случае температурного поля T=T(z, t), возникающие вследствие наличия температурного градиента напряжения будут зависеть только от z и t, то есть t)\ при этом перемещения Ux= Uy = 0, Uz=Uz(z, t). Из (1.120) для напряжения o2Z{z, t) с учетом того, что cr(z, t) = [(1 + v)/(l - v)](jzz (z, t) - [2<xTE(1 - v)] [T(z, t) - TQ] и из (1.116) следует 'd2azz i d2ozz (I+v)arp d2T(z, t) dz2 v2 dt2 (1 — v) dt2 (1.121) где 8T д2Т (ЗЯ+2р)а тТ0де — = а — , (1.122) dt dz2 Cgp dt e(z, 0= ^ Ozz(z, 0 + 0 + V)gr[T(z, /)-Г0] = 2G(1 — v) (1—v) =-3-aa(z, t) + (V^2~~ [T(z, 0 -U (1.123) Х + 2ц (Я + 2/j) Соотношения (1.122) и (1.123) приводят к следующему уравне¬ нию теплопроводности с учетом связанности полей температуры и напряжения (более удобная форма для исследования) (1 + <5i) — — Д — — S2 dt dz2 dt где (3;. + 2/i)24 Г0 (l+v)ar r0 d\ — 1 Ui — Cep2 t'2p (1 -V) Уравнения (1.121) — (1.122) (без учета эффекта связанности) яви¬ лись предметом многочисленных исследований в зависимости от 51
условий нагрева твердого тела (температурный нагрев; нагрев сре¬ дой; тепловой нагрев тепловым потоком однородным, импульс¬ ным, пульсирующим, периодическим и т. д.), его геометрической формы и особенностей физико-механических характеристик матери¬ ала [176; 179]. Что касается динамических задач термоупругости на осно¬ ве соотношений (1.117) — (1.122) с учетом связанности, то эти воп¬ росы еще не получили своего развития в термомеханике. В отдель¬ ных работах, выполненных в этом направлении (ссылки в [201; 203]) установлено существенное отличие решений динамических за¬ дач термоупругости о тепловом ударе на поверхности полуограни- ченного массива (упругое полупространство) без учета связи полей деформации и температуры и с учетом этой связи: в случае несвя¬ занного решения (при температурном нагреве) на фронте термоуп¬ ругой волны, распространяющейся с поверхности внутрь тела со скоростью звука в данной среде, имеет место разрыв напряженийсо скачком ЕатТ01(1 — 2v), неизменный во времени, тогда как при связанном решении разрыв с течением времени быстро умень¬ шается. Развитие указанного класса задач по тепловому удару про¬ исходило по мере изменения (и усложнения) модельных представле¬ ний теории теплопроводности: классическая феноменология Фурье при бесконечной скорости распространения теплоты; теория Макс¬ велла — Каттанео — Лыкова, учитывающая конечную скорость тепловой волны; среды с тепловой памятью и, наконец, пере¬ ход к упруговязким телам в рамках линейных реологических мо¬ делей. Остановимся на этих вопросах коротко и основное внимание уделим соотношениям, лежащим в основе модельных представле¬ ний теории теплового удара при резко нестационарных процессах нагрева и охлаждения границы твердого тела. Тело при этом счита¬ ется однородным и изотропным и физико-механические характери¬ стики тела (упругие и теплофизические коэффициенты) не зависят от температуры, являясь постоянными величинами (учитывая микро- секундные времена длительности динамических эффектов). Отме¬ тим также, что динамические задачи термоупругости формулиру¬ ются на стыке теории теплопроводности и механики деформиру¬ емого твердого тела и представляют собой перспективное направле¬ ние для научных исследований в области термомеханики. Читателя, заинтересовавшегося этими вопросами, отсылаем к обзорам автора [201; 203]. А. В. Лыковым в [83] был предложен обобщенный закон тепло¬ проводности для изотропных тел, учитывающий инерцию теплово¬ го потока, 52
-* да q = — Argrad Т— т*—, dt (1.124) где г* — время релаксации теплового потока, связанное со скоро¬ стью распространения теплоты vT соотношением ьт=л/а/х*. Для металлов т* = 10“11 с; для стали vT= 1800 м/с; для аллюминия vr=2930 м/с, для аморфных тел типа стекол и полимеров, имеющих сложную структуру, время релаксации достигает значений (10"7 — 10"5), при этом гг может превышать скорость распространения звука vp. Если записать уравнение энергии (1.110) в виде (1.30), т. е. как рсГ{М' ° = '-divq(M, t)+F(M, t) — (32+2fi)aT • Т0ё (M, t) dt (1.125) и учесть (1.124), то в результате получим следующее уравнение теплопроводности гиперболического типа с учетом конечной скоро¬ сти распространения теплоты: 1дТ{М, 0 , 1 д2Т(М, 0 ч, п ^ [де(М} 0 ^д2е(М, f)"| (1.126) а без учета связанности и при отсутствии источников —— = аАТ(М, г) -х*— (1.127) dt dt1 Гиперболическая модель теплопроводности широко применя¬ ется на практике. Так уравнение (1.127) используется для описа¬ ния температурных полей при высокоинтенсивном теплообмене в устройствах импульсной и лазерной техники; при лазерной об¬ работке металлов; в процессах плазменного напыления; в энер¬ гетических каналах ядерных реакторов; для описания процес¬ сов переноса теплоты в псевдоожиженном слое; в дисперсных сис¬ темах и зернистых материалах; в слоистых полупроводниковых структурах; при описании процесса электронной теплопроводности в высокотемпературной плазме; при математическом модели¬ ровании фронтовых процессов терморазложения; для описания температурных полей в кристаллах катализатора и при выращива- 53 = Д Т(М, 0 + (1Дг) \F(M, 0 + т
нии гомоэпитаксиальных пленок германия, возникающих в ходе экзотермических химических реакций. Уравнения (1.126) — (1.127) и основные соотношения термомеханики приводят к иному клас¬ су моделей теории теплового удара, отличному от (1.115) — Следующий класс указанных моделей основан на теплопровод¬ ности в средах с тепловой памятью. Описание процессов переноса теплоты при интенсивном кратковременном нагреве и в диапазоне низких температур, а при обычных условиях в средах со сложной структурой (поликристаллические материалы; полимеры) привело в последние десятилетия к построению теории теплопроводности (и термоупругости) с тепловой памятью. Под памятью здесь понима¬ ется учет зависимости текущего состояния материала от предысто¬ рии изменения термомеханических величин, а именно: тепловой поток q(M, t) и внутренняя энергия С/Э(А/, t) определяются не только текущими значениями температуры и градиента температу¬ ры, но в отличии от (1.11) и (1.124) и предысторией их изменения где а (/), Р (t) — соответственно функции релаксации теплового по¬ тока и внутренней энергии (дифференцируемые скалярные функции /е(0, оо) с а(оо) = /?(оо) = 0). Функции релаксации заменяют коэф¬ фициенты переноса и являются функциями тепловой памяти. Для небольших изменений температуры Гуртин М. Е. и Пипкин А. С. получили линеаризованное уравнение теплопроводности с учетом тепловой памяти [215]: (1.116). [215]: 00 (1.128) о 00 из(М, 0= U0+c,p[T(M, 0 — 7о] + P(s)[T(M, t—s) — T0]ds, о (1.129)
=а(0)ДТ(М, <)+J af(s)AT(M, t-s)ds. (1.130) о При определенном виде функций релаксации уравнение (1.130) пере¬ ходит в гиперболическое уравнение теплопроводности (1.127). Для больших времен решение уравнения (1.130) совпадает с классичес¬ ким для уравнения Фурье. Что касается динамической задачи тер¬ моупругости, то в случае упругого полупространства температуры T(z, t) соотношение (1.115) теперь имеет вид 00 дг11Лг, 0 d*U. ВТ Г 0*+2д)—— р—= аг(ЗА+2р) —- I y(s)T(z, t-s)ds, О (1.131) где у (0 — температурная релаксация напряжения. Искомые напря¬ жения находятся с помощью соотношений оо duz Г <t„(z, 0 = (А + 2р)—- аг (3 А+2ц)Т(z, t)+ y(s)T(z, t-s)ds; о axx(z, t) = oyy(z, t) = -^—a„(z, 0“т~~ T(z, /) + Л + 2 fi Л + 2/i oo +7^T fy(s)T(z,t-s)ds. X + 2ftj 0 На практике в качестве функций релаксации выбирают, например, экспоненциальные <*(0 = (2г/т,)ехр(-//т,); 0(О = (с«р/т,)ехр(-//тэ); 7(0 = [«г (ЗА + 2ц)/т„] exp (- t/zj, где гр = 10 11 с — время релаксации теплового потока, тэ= = 10“13 с — время релаксации внутренней энергии, г„= 10 с — 55
время температурной релаксации напряжения [215]. Если подста¬ вить выбранную а (0 в (1.125), то придем к (1.121). Следующим обобщением теории теплового удара является пере¬ ход к упруговязким телам [178]. Полимерные материалы по реоло¬ гическим свойствам удобно разделить на упруговязкие и вязкоуп¬ ругие. Например, каучуки (или их растворы) относят к упруговяз¬ ким материалам, так как они характеризуются вязким течением, а сшитые эластомеры — к вязкоупругим, поскольку у них вязкое течение практически не наблюдается. Простейшая реологическая модель вязкого материала, сочетающего упругие и вязкие свойства, предложена Максвеллом: напряжение c(t) и деформация e(t) при одноосном растяжении связаны соотношением \ dtr <т de — + (1.132) Edt г] dt где rj — вязкость. Для формулировки реологических законов, свя¬ зывающих напряжения t) и деформации ву(М, t), необходимо ввести девиатор напряжений 5,У(М, t) и девиатор деформаций еи(М, t) с помощью соотношений Sy(M, t) = Oij(M, t)-o*(M, t)8y (1 133) ey(M, t) = Ey(M, t) — e(M, t)5y * где а* и e — среднее нормальное напряжение и среднее удлине¬ ние о*{М, t) = -You{M, t); в(М, 0, 0=х,у, г) i ^ i В рамках среды Максвелла (1.132) зависимость между напряжени¬ ями и деформациями для упруговязкого тела в девиаторной форме имеет вид dSiAM, 0 1 deJM, t) - + ~ Sy (М, t) = 2G , (1.134) dt xp dt где постоянная ^ = 77/(7 — время релаксации материала. Соотношения (1.93), (1.113) и (1.134) приводят к следующе¬ му уравнению динамической термовязкоупругости для упруговяз- 56
кого полупространства (полуограниченный массив) температуры T(z, t): d2azz 1 d2azz (1+v) а2Т = a Tp h dz2 v2 dt2 (1 —v) dt2 d2 taa(z, z) + oc2[T(z, z)-T0]}dz, (1.135) 32 +2/i 4 \ip 4/ipar(32+2/i) где p = ; a«= ; a2 = . В случае упругой 3?p (X + 2/i) 3^(2 +2/i)2 3x^(2 +2/i)2 среды время релаксации хр = оо (у = оо), при этом а! = а2 = 0 и уравне¬ ние (1.135) переходит в уравнение (1.121), обобщая, таким образом, (1.121) на упруговязкие тела. К уравнению (1.135) необходимо при¬ соединить уравнение теплопроводности (1.122) с учетом связанно¬ сти полей деформации и температуры и в такой постановке соот¬ ношения (1.122), (1.135) представляют собой практически не изучен¬ ные проблемы современной теории теплопроводности и термомеха¬ ники. Задача. Покажите, что уравнение теплопроводности с внутрен¬ ним тепловым источником F(x, t) с учетом конечной скорости распространения теплоты (1.124) для тонкого стержня (рис. 11) имеет вид: dt дх2 dt2 dt dT(x, t) d2T .d2T /л t ЧГ ч “ ^(jc, О" = a--z* — + (l/cp)\ F(x, t) + z* (1.136) ГЛАВА II МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ § 1. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.31) является ма- тематической моделью целого класса явлений теплопро¬ водности и само по себе ничего не говорит о развитии процесса тепло¬ переноса в рассматриваемом теле. Математически это объясняется неединственностью решения дифференциальных уравнений в частных производных, к которым относится и уравнение теплопроводности. 57
Действительно, даже для обыкновенного дифференциального уравне¬ ния я-го порядка F (х, у, у\ у", . . ., у{п))= 0 общее решение у= = f(x,Ci,C2, . . С„) ЗаВИСИТ ОТ Я ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ 6’i,C2, . . .,сп. Для уравнений же в частных производных общее решение зависит от произвольных функций, для нахождения которых необходимо знать некоторые дополнительные особенности процесса, чтобы выделить его из множества других. Например, общее решение уравнения д2Т!{дхду)=0 имеет вид Т(х, y)=f\{x)+fi(y), где fx(x) и f2(y) — произ¬ вольные функции класса С2*. Таким образом, при интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получаем бес¬ численное множество различных решений. Чтобы получить из этого множества одно частное решение, соответствующее определённой конкретной задаче, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении теплопро¬ водности. Эти дополнительные условия, которые в совокупности с диф¬ ференциальным уравнением (или его решением) однозначно опреде¬ ляют конкретную задачу теплопроводности, называются условиями однозначности. В условия однозначности входят: 1. Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс теплообмена. На¬ пример, если рассматривается стержень, то, поместив систему коорди¬ нат так, как это показано на рис. 13, а, можно математически описать данное тело неравенством —форма и размеры тела (рис. 13, б) в виде прямоугольника опишутся неравенствами 00*Q/i</a; в случае круга радиусом R или его части (рис. 13, в, г), или кругового сектора (рис. 13, 5) соответственно запишем: 0^/^/?; 0<<£<а. * Множество функций /(*, у, г) образует класс функций С2 в некоторой области изменения переменных ху у, г, если в этой области функции f (х, у, г) непрерывны вместе с частными производными по любым переменным до второго порядка включительно. 58
2. Физические условия, характеризующие физические свойства тела (тепло- и температуропроводность), а также закон рас¬ пределения внутренних источников теплоты. 3. Граничные условия, характеризующие особенности теплового взаимодействия граничной поверхности тела с окружающей средой. 4. Временные, или начальные, условия, харак¬ теризующие состояние тела в исходный момент времени, или, иначе, определяющие распределение температуры в любой точке тела в не* который момент времени, который для исследуемого процесса тепло¬ обмена принимается за начальный. Перечисленные условия в совокупности определяют одно (конкрет¬ ное) явление теплопроводности и в этом смысле могут быть также на¬ званы условиями единственности. Для тела определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами условия однозначности сводят-' ся к заданию начального и граничного условий. Эти условия в сово¬ купности называются краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным краевым условием, а гранич¬ ные условия — пространственным краевым усло¬ вием. Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу урав¬ нения теплопроводности (или короче — тепловую задачу). Разумеется, для установившегося процесса теплопровод¬ ности необходимость задавать начальное условие отпадает, и в этом случае краевая задача будет состоять из уравнения теплопроводности и граничных условий. § 2. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ Перейдем к формулировке начального и граничного условий, которым должна удовлетворять функция Т(х, у, г, /)=71(М, t), описывающая распределение температуры в некотором теле. Пусть G—конечная область трехмерного пространства, где про¬ исходит процесс теплопроводности (т. е. G — область изменения пространственных переменных х, у, г), и S — граница области, кото¬ рую будем считать кусочно-гладкой поверхно¬ стью (т. е. поверхностью, состоящей из конеч¬ ного числа гладких кусков). Пусть далеей— цилиндрическая область в четырехмерном пространстве (й=Сх(0, /0), т. е. совокупность точек (М, /) с М g G, t£ (0, t0)> где /0>0. Осно¬ ванием цилиндра й с образующими, парал¬ лельными оси t (рис. 14), служит область G (при £=0), высота цилиндра /0, а граница со¬ стоит из боковой поверхности S6=Sx[0, t0] и двух оснований: нижнего М £ G, /=0, и верхнего М £ G, t=t0. Таким образом, ци¬ линдрическая область Й является обл а- 59
стью задания уравнения теплопроводности (1. 31), область G, соответствующая геометрической форме и размеру тела, в котором изучается процесс теплопроводности, есть область задания начального условия, a S — область задания граничных условий (в точках области S происходит взаимодействие тела с окружающей средой, которое и описывается граничными условиями); G — есть объединение множе¬ ства G и его границы S. Например, если G=(a<*<b), то G=(a< x^b). Начальное .условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках области G в момент t—О, от которого и ведется отсчет времени Т(МШ 0|/=о = Ф0(М), MS С, (2.1) где данная функция Ф0(М) непрерывна в точках G (т. е. во всех точ¬ ках тела). В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается: Т (М9 О'=о = 710 = const, M£G. (2.2) Условие (2.1) означает, что следует найти такое решение Т(М, t) тепловой задачи, которое по мере приближения времени к начальному значению стремилось бы во всех точках области G к заданной величи¬ не Ф0(М): lim Т (Му 0 = Фо(М), М S G. (2.3) /->о Понимание начального условия (2.1) в предельном смысле (2.3) объясняется исключительно теми классами конкретных функций, которыми описываются решения краевых задач уравнения тепло¬ проводности. Эти функции во многих случаях не имеют смысла при /=0, однако допускают предельный переход при /->-0. Например, функция Т {х, t) = 1-р==- J Ф0 (5) е" dg (2.4) 0 является решением уравнения теплопроводности dTldt=ad2T/dx* с начальным условием Г(х, 0)=Ф0(*), х>0. Как видно из самого пред¬ ставления (2.4), выражение, записанное в правой части, не определе¬ но при t=0, однако если Ф0(*) — непрерывная функция, то можно по¬ казать (см. § 5 гл. III), что , г (Х~*)Я lim - Ф0(Е)е dg = Ф0(лг). t-+ о 2 у nat J о Если начальное распределение температуры Ф0(М) разрывно в не¬ которых точках области G (или поверхности S), то решение Т(М, t) тепловой задачи будет обладать таким свойством, что эти разрывы должны исчезнуть начиная с момента времени t^tz> 0 (te — очень 60
короткое время) и тогда полученное решение должно стремиться к за¬ данной начальной температуре во всех точках тела, где начальное распределение непрерывно. Этим замечательным свойством обладают именно решения уравнения теплопроводности. Граничные условия — условия теплового взаимодей¬ ствия тела с окружающей средой — могут быть заданы в различной форме в зависимости от характера процесса. В тех случаях, когда на границе тела не происходит никаких процессов с поглощением или выделением теплоты и отсутствует теплообмен излучением, граничные условия на поверхности соприкосновения двух сред в самом общем виде заключаются в равенствах температур и тепловых потоков: Тт = Тс\ Ят[дТт(М, t)/dn] = Xc [<?ГС(М, t)/dn], где Тт, Тс — температуры тела и среды; Хт, — теплопроводности тела и среды; п — нормаль к граничной поверхности тела — среда. Однако в практических задачах такая форма граничных условий чрезвычайно неудобна, так как для расчета температуры твердого тела необходимо решать сопряженную задачу, т. е. отыскивать тем¬ пературное поле и в окружающей среде. Поэтому в ряде практически важных задач желательно перейти к более простым граничным усло¬ виям. В математической теории теплопроводности в большинстве случаев используются четыре основных условия, представляющих собой идеализацию действительных физических процессов. Граничное условие I рода состоит в задании поверхностного распре¬ деления температуры для любого момента времени Т(М, t)=0(M, t), £>0, (2.5) где М — точка, находящаяся на поверхности S; Ф(уИ, t) — заданная непрерывная функция (по пространственным переменным и време¬ ни t) в точках области S. В частном случае может оказаться, что температура на поверхно¬ сти одинакова на протяжении всего процесса теплообмена и с тече¬ нием времени не меняется, т. е. Т(М, t)M€S=Tn, С>0. Это может быть осуществлено при искусственном поддержании постоянной тем¬ пературы или при особых условиях теплообмена между поверх¬ ностью тела и окружающей средой, например, в таких интенсивных процессах, как кипение, конденсация, вынужденное движение жид¬ ких металлов и др., когда температура поверхности тела близка к тем¬ пературе окружающей среды. Граничное условие II рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции координат и времени —к[дТ(Му t)/dn] = G)(M, 0. *>0, (2-6) где (М, t) — заданная непрерывная функция точки М и времени t в области 5; п* — нормаль к поверхности S в точке М. • Будем считать, что всюду при формулировке граничных условий п — внеш¬ няя. нормаль к точкам граничной поверхности 5 рассматриваемого тела. 61
Здесь следует различать процессы охлаждения и нагревания. Для процесса охлаждения дТ/дп < 0; тепловой поток при этом счи¬ тается положительным, так что условие (2.6) относится к процессу охлаждения. Для процесса нагревания дТ/дпУ 0, тепловой поток отрицательный и мы должны записать (если считать, что Ф(Л4, t)^0) —к[дТ(М, t)/dn] = — Ф(М, t), или к [дТ (М, t)/dn] = Ф (Af, t)9 М е s, t > 0. (2.7) > В простейшем случае плотность теплового потока через поверх¬ ность может быть постоянной по поверхности и во времени —к [дТ (М, t)/dn] |Mqs =qn = const, t > 0 (например, при нагревании различных металлических изделий в вы¬ сокотемпературных печах [74]).' Выражение (2.6), когда Ф(М, /) = 0, дает условие тепловой изо¬ ляции граничной поверхности тела. По определению, теплоизолиро¬ ванной поверхностью называется поверхность, через которую не проходит поток теплоты. В этом случае (2.6) имеет вид [дТ (Af, t)/dn] |m€S = 0, t > 0. (2.8) Граничное условие III рода. При этом условии задаются температура окружающей среды Тс и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена используется закон Ньютона—Рихмана (или просто Ньютона). Согласно этому закону, количество теплоты, отдаваемое единицей площади поверхности S с температурой Тп в единицу вре¬ мени в окружающую среду с температурой Тс в процессе охлажде¬ ния (Тп > Тс)у пропорционально разности температур поверхности тела Тп и окружающей среды Тс: q = a[Tn — Тс] =а[Т (М, OUes-TJ. (2.9) где а — коэффициент пропорциональности, называемой коэффициен¬ том теплоотдачи. Для процесса нагревания тела можно написать аналогичное со¬ отношение, поменяв в (2.9) местами Тп и Тс. Коэффициент теплоотда¬ чи а характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей площади поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. В отличие от теплопровод¬ ности к коэффициент теплоотдачи а не является физической констан¬ той, характерной для того или иного вещества. В общем случае он отражает совместное действие конвекции и излучения и поэтому за¬ висит от многих факторов: геометрической формы и размеров тела, физических свойств среды, омывающей тело, направления и скорости омывания, теплоемкости, плотности, вязкости среды, температуры 62
поверхности нагрева Тп и др. Поэтому простота закона (2.9) обманчи¬ ва; вся сложность вопроса о теплообмене между телом и окружающей средой сосредоточивается на методе определения а при конкретных условиях задачи. Таким образом, в общем случае а может изменяться заданным об¬ разом по координатам и времени. Для упрощения задачи в расчет¬ ных схемах в качестве первого приближения принимают а постоянным. Согласно закону сохранения энергии, теплота, которая отводится с единицы площади поверхности тела в единицу времени вследствие теплоотдачи [см. уравнение (2.9)], равна теплоте, подводимой к едини¬ це площади поверхности в единицу времени вследствие теплопровод¬ ности из внутренних объемов тела, и равна согласно закону Фурье,— [ЦдТ/дп)]. Приравнивая эти выражения, придем к условию на грани¬ це тела: при охлаждении тела —к [дТ(М, t)/dn]=a[T(M, t)—Ф(М, /)]. M€s> t > 0; (2.10) при нагревании тела через его поверхность окружающей средой, температура которой ГС = Ф(М, /), (учитывая, что дТ/дп > 0), — ЦдТ/дп] = — а[Ф(М, t)—T(M, /)]> M£St t > 0, (2.11) или — I [дГ (М, /)/Зл] = а[Г(М, 0—Ф(М, f)], M£S, t> 0, т. е. опять условие (2.10). Таким образом, условие (2.10) справедливо как для процесса охлаждения, так и для процесса нагревания. Здесь Ф(М, t) и а — заданные непрерывные функ¬ ции точки М и времени t на поверхности S при 0 < t t0 < оо. В конкретных задачах при записи граничных условий III (или И) рода приходится вы¬ числять производную по нор¬ мали дТ/дп, что в некото¬ рых случаях вызывает опре¬ деленные трудности (особен¬ но в цилиндрической и сфе¬ рической системах коорди¬ нат). Поясним эти вычисле¬ ния на примерах. Рассмотрим стержень (рис. 15) и вычис¬ лим производную по направлению нормали к торцам стержня в граничном условии (2.40) при его охлаждении. Так как температу¬ ра Т стержня зависит только от одной пространственной перемен¬ ной х (температурное поле одномерное), то формула производной функции Т по нормали (см. § 2 гл. I) в данном случае имеет вид дТ/дп = (дТ/дх) cos а, где а—угол, образуемый нормалью п с поло¬ жительным направлением оси х. На левом конце стержня направле¬ 63
ние вектора нормали п противоположно положительному направле¬ нию оси х и дТ/дп \x=-i = дТ/дх \Xm-i cos л = — дТ/дх . На правом конце стержня эти направления совпадают и дТ/дп |Xzzi = дТ/дх |*=/ cos 0 = дТ/дх |х=/. Таким образом, граничные условия III рода для стержня при его охлаждении (и нагревании) с торцов в окружающую среду темпера¬ туры Тс имеют вид: Я((?Г/(?^)|,=_/ = а[Г|х==_/ — Тс], t > 0 \ [(3770*) !„_,>(>]; I -к(дТ/дх)\х^ = а[Т\х^-Тс], t> Of (2.12) [(дТ/дх) \x=i < 0]. J Рассмотрим теперь круг и вычислим дТ/дп в любой точке М, лежащей на окружности этого круга. Прежде всего запишем в по¬ лярной системе координат формулу для производной функции Т (г, ф) по направлению нормали п, учитывая, что дТ/дп = п grad Т: grad Т (г, ф, t) = (dT/dr)er + (\/r)(dT/dy)e<p, (2.13) где ег и еф— единичные векторы ортогонального базиса (вг, еф)*. Пусть вектор п образует углы а и р соответственно с направле¬ ниями векторов ег и еф. Тогда л = cos а ег + cos 0 еф. Так как ска¬ лярное произведение двух векторов п и gгаdф равно сумме парных произведений одноименных координат, то окончательно получим дТ (г, ф, t)/dn = (дТ/дг) cos а+ /г) (dT/dy)cos$. (2.14) Запишем теперь граничные условия III ряда для круга радиуса R (рис. 16) при его охлаждении через граничную окружность. На¬ правление нормали в точке М совпадает с направлением вектора ег * Напомним, что всегда вектор ег направлен вдоль радиуса от полярного начала 0, а вектор е<р—против часовой стрелки. 64
Так как a = 0(coscc=l), а 0 = (л/2)(cos0 = 0), то (дТ/дп) \rm R = (дТ/дг) \гя R cos 0 = (дТ/дг) \гя я, и в соответствии с (2.11) можно записать —Х[дТ(г, ф, t)/dr]\r=R = a[T (г, ф, /) —Гс] [(дТ/дг) |Л=Я < 0]. (2.15) С учетом (2.14) рассмотрим более интересный пример охлажде¬ ния или нагревания кругового сектора (или клина) (рис. 17) через его граничные поверхности <p = ±Y- На поверхности ф=±у соот¬ ветственно имеем: дТ/дп\ ф= +Y = дТ/дг |ф= +Y cos л/2 + V + (1/г)(<ЗГ/<?ф)|ф=+усозО = (1//-)(аГ/аф)|ф=+у; I дТ/дп |Ф=_У = дТ/дг |ф=_у cos л/2 + (1/г) х | (2‘6) х (дТ/дф) |,,=_vcos л = — (1/г) (дТ/дф) |ф=_у. j Таким образом, можно записать: ^ (I/O (дТ/ду) |ф== + v = a (Т |ф= + 7 Тс)у (дТ/ду) |ф= + Y < 0; 1 Х(1/г)(а7,/аф)|фг=_у=-а(Г|ф=_у — Гс), (дТ/ду |ф:—Y > 0). р ‘ } Уравнение (2.10), выражающее в аналитической форме граничное условие III рода, называется дифференциальным уравнением тепло- обмена и по существу является частным выражением закона сохра¬ нения энергии для поверхности тела. Это уравнение справедливо в самом общем случае и сохраняет силу в условиях стационарного и нестационарного режимов, так как вытекает из соображений, что тон¬ кий поверхностный слой, для которого составляется баланс подвода и отвода теплоты, не может аккумулировать или выделять теплоту. Из граничного условия III рода как частный случай можно полу¬ чить граничное условие I рода. Запишем это условие в виде —(К1а)[дТ{М, t)/dn]\M es = T (М, T)\M6S—TC. Если коэффициент теплообмена а имеет очень большое значение (а—► оо) или теплопроводность к мала (X—►()), то Т(М, 0|м MS—Te= lim [—(tya )дТ(М, Т)/дп]м«s = 0, a -►» откуда Т (М, t)M€S = Tct t> 0, т. е. температура поверхности тела равна температуре окружающей среды. Если коэффициент теплооб¬ мена а очень мал (а—►О), то из (2.10) получим условие тепловой изоляции граничной поверхности — равенство нулю потока теплоты через поверхность тела дТ(М> t)/dn = 0> M£S, £ > 0. Заметим, что математическое решение задачи в случае а/к > 0 недействительно для случая а/к = 0, и здесь нужно проявлять осторожность, чтобы не получить ошибочный результат. Если ввести коэффициент h = a/k—относительный коэффициент теплообмена ([Л] = м”1, причем всегда h > 0), то условие (2.10) 3-339 65
можно записать в следующем виде: дТ (Му t)/dn = — h[T (М, /) — ср(М, *)], М € Sf t > 0. (2.18) В такой форме его можно использовать в соответствующих тепловых задачах. Граничные условия сопряжения * применяются в случае контакта двух твердых тел. Если между граничными поверхностями тел SH имеется идеальный тепловой контакт (тела очень тесно прижаты, на¬ пример в спаях), то их температуры на поверхности контакта долж¬ ны быть одинаковыми. Кроме того, тепловой поток, выходящий из одного тела через контактную поверхность, должен быть равен теп¬ ловому потоку, входящему в другое тело. Таким образом, если Г, и Т2 — температуры тел, находящихся в условиях плотного, тепло¬ вого контакта, то для точки М контактной поверхности граничные условия сопряжения имеют следующий вид: где индексы 1 и 2 относятся к двум телам; п— общая нормаль к кон¬ тактной поверхности SK в точке М. В случае неидеального теплового контакта между двумя телами (контактные поверхности разделены тонкой прослойкой) обычно вводится понятие контактного сопротивления R (или контактной проводимости MR). Равенство тепловых потоков здесь имеет место, но появляется пропорциональная им разность между двумя поверх¬ ностными температурами. Соответствующие граничные условия име¬ ют вид: где п—внешняя нормаль к контактной поверхности SK в точке М относительно тела /. (В работе [7] исследуются различные виды соединений, включая как плотный контакт, так и случай разделе¬ ния контактных поверхностей прослойками хорошей и плохой про¬ водимости.) Граничные условия сопряжения могут быть использованы при нахождении приближенного решения уравнения теплопроводности в неоднородной среде. Пусть, например, Т (ху t) описывает темпера¬ турное поле стержня 0, являясь решением уравнения где б (х), р(х), Х(х) — непрерывные функции в области л ^ [0, /]. * В литературе встречается и другой термин: граничные условия сопряжения называют граничными условиями IV рода. Тг(М, 01*к =тг(м, 0|5к; К [дТ, (М. 0/dn]|Sll = M<?7\(M, /)/<5л]|5к. (2.19) (2.20) (2.21) с(д:)р(лг) (дТ/dt) — div [А,(х) (дТ/дх)\, (2.22) 66
Уравнение (2.22) не может быть сведено к уравнению с постоян¬ ными коэффициентами и его приходится решать приближенно (за исключением некоторых специальных случаев задания теплофизичес¬ ких коэффициентов). Одним из простых методов приближенного ре¬ шения является замена с(х), р(х), Х(х) кусочно-постоянными функ¬ циями. Для этого разобьем интервал (0, /) на частичные интервалы (/Л_г, 1п) и в каждом таком интервале будем считать коэффициенты уравнения (2.22) постоянными: с(х) = сп\ р(*) = р„; Х(х) = Хп (в ка¬ честве сп, р„, Хп можно взять значения функций с(х), р(х), >,(*) в любой точке частичного интервала). Потребуем далее, чтобы функ¬ ция Т (х, t)=*Tn(x, t), х€(1и_г, 1п), в каждом частичном интерва¬ ле удовлетворяла уравнению теплопроводности dTjdt = ап (дгТп1дхг) [ап -= Хп/(спр„)], а в точках деления 1п—условиям сопряжения. В простейшем слу¬ чае эти условия заключаются в непрерывности температуры и непре¬ рывности теплового потока: t) \x = ln-0 = Tn+1(xy t)\x=ln + 0, К[дТп(х, t)/dx]\xssln-o = kn+l[dTn+i(x, t)/dx]\x=in+0. Практически важным является и несколько более простой слу¬ чай, когда процесс теплопроводности происходит в конечном числе сред, но с разными (постоянными) коэффициентами в уравнении (2.22) (т. е. в кусочно-однородной среде), или, иными словами, когда коэф¬ фициенты уравнения (2.22) в среде (0, /) терпят разрывы — скачки. Если 1п — точки разрыва коэффициентов, то промежуток (0, /), в ко¬ тором ищется решение задачи, разбивается точками разрыва коэф¬ фициентов на несколько частей, внутри которых функция Т(х, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности, а на границах (т. е. в точ¬ ках 1п) — условиям сопряжения (2.23). Следует заметить, что тепловые задачи с граничными условиями сопряжения приобрели большое значение в последние годы в связи с развитием высокотемпературной теплофизики — расчет многослой¬ ных покрытий головок ракет, элементов преобразователей энер¬ гии и т.д. Графический смысл граничных условий I, II, III родов и со¬ пряжения рассмотрен в монографии [83]. В случае контакта с идеаль¬ ным проводником или с хорошо перемешиваемой жидкостью гранич¬ ные условия, возникающие в контактных задачах, могут быть заменены на более простые, заменяющие в некотором смысле гранич¬ ные условия сопряжения. Пусть тело /, у которого теплопроводность Хх и температура Т на¬ ходятся в условиях совершенного теплового контакта по поверхности SK с телом 2, имеющим физические параметры Х%у с2, р2; пусть также граничная поверхность (свободная от контакта) тела 2 взаимодей¬ ствует со средой, у которой температура Т0 и коэффициент теплообме¬ на а2. Предположим, что X2^>Xlt т. е. тело 2 по отношению к телу / считается идеальным проводником теплоты, вследствие чего темпера¬ туру тела 2 по всему объему можно считать постоянной (по простран¬ (2.23) 67
ственной переменной) и равной температуре контактной поверхности ТК- Рассмотрим систему составных цилиндрических труб достаточно большой длины (где температура не зависит от длины): внутренняя (тело /) — стеклянная (#i<r</?2), а внешняя (тело 2) — металличе¬ ская (R2^^Rs)- Таким образом, цилиндрическая поверхность r=R2 является контактной поверхностью. Так как теплопроводность металла в 50—60 раз больше теплопроводности стекла, то металлическая тру¬ ба может считаться идеальным проводником теплоты и теплопровод¬ ность металла принимается бе¬ сконечно большой. Выведем граничные условия для указанного случая, исходя из следующего уравнения ба¬ ланса теплоты: теплота, посту¬ пающая в тело 2 через контакт¬ ную поверхность, расходуется на увеличение температуры те¬ ла 2 и на теплообмен тела 2 со средой заданной температуры. Выделим элемент объема dl/(ABCDA^iCiDJ, как пока¬ зано на рис. 18, и составим для него уравнение баланса тепло¬ ты, имея в виду, что в выделен¬ ном объеме при поглощении те¬ плоты не создается градиента температуры, так как Х2 считается бе¬ сконечно большим. Согласно закону Фурье (1.14), количество те¬ плоты, поступающее в объем dV через элемент контактной поверх¬ ности A BCD площадью dSlt dQ = -K[dT(r, tydr^^dS^t. За время dt температура объема dV, равная Т (/?2, /), изменит¬ ся на Т (/?2, t + dt)—Т (R2t t) = [dT (R2, t)/dt]dt, на это потребует¬ ся сообщить объему количество теплоты, равное dQ^c^^dT /dt)dV dt. За это же время потеря теплоты в окружающую среду с элемента¬ ми граничной поверхности А1ВхСхОл площадью dS2 вследствие тепло¬ обмена составит dQ2 = а2 [Т(R2, t) — Tc] dS2 df. Так как dQ = = dQ! + dQ2, то, приравнивая соответствующие выражения, можно записать уравнение баланса теплоты (дТ/дг) |re Ri dS1 dt = с2р2 (дТ/dt) |г=*bdV dt + а2 (Т \Тс) х *dS2df. Рис. 18 Вычислим далее элементы площадей dSly dS2 и элемент объема dl^: dSx *= R2 d(p dz\ dS2 *= R3 d(p dr,
Подставив найденные значения в уравнение баланса теплоты, после сокращения на одинаковые множители окончательно получим иско¬ мые граничные условия в следующем виде: -ltR% [дТ (г, t)/dr] = (1/2) с2р2 (RI- -Rl)[dT(r, + t)-Tс]. (2.24) Если ввести толщину трубы d = /?3 — /?а, то это условие можно переписать в следующем виде: дТ(г, t) 1 c2p2d Л d \ дТ (г, t) дг |г=я, V ' 2#а) dt x[T(tf2, t)-Tс]. (2.25) В частности, если граничная поверхность г = /?8 теплоизолирована (а2 = 0), то условие (2.25) переходит в следующее: [,дТ(г, 0/^1 |г=/?г = — (^Р^А,) [1 + ^/(2/?я)] [<ЗГ (г, t)/dt]\r-RM. (2.26) Аналогичным образом можно получить соответствующее гранич¬ ное условие для стержня (0<jc^/), на конце (х=0) которого помещено тело с бесконечно большой теплопроводностью [вследствие чего тем¬ пературу по всему объему этого тела можно считать постоянной и равной 7X0, 01 и происходит теплообмен с внешней средой. Если а — коэффициент теплоотдачи, С — теплоемкость тела, i — теплопровод¬ ность стержня, Тс — температура окружающей среды, то можно записать ).[дТ(х, t)ldx]\^0 = C[dT(x, 0/ЭД Uo + aU(°> t) — Tc], t>0. (2.27) Здесь также может быть рассмотрен* случай, аналогичный (2.26). К условиям, аналогичным (2.24), приводит контакт твердо¬ го тела с хорошо перемешиваемой жидкостью. Пусть твердое тело имеет теплопроводность Я, площадь контайной поверх¬ ности S и температуру на поверхности Т (Л4, t)Mes = TUf причем Тп сохраняет постоянное значение на всей поверхности. Хорошо пере¬ мешиваемая жидкость, соприкасающаяся по поверхности S с твер¬ дым телом, имеет массу Мт и удельную теплоемкость сх\ темпера¬ туру жидкости в любой ее точке при всех t > 0 считаем одинако¬ вой и равной Tn(t) (при t = 0 температура жидкости может быть не равна Тп). Кроме того, имеет место теплообмен жидкости с окру¬ жающей средой, так что потеря теплоты в среду с температурой Тс с единицы площади за единицу времени составляет а, (Тп— Тс), где оц — коэффициент теплоотдачи. При этих условиях на поверхности раздела твердого тела и жидкости имеет место следующее гранич¬ ное условие: дТ (М, t) дп do = MTCl^+a1(7’n-re). (2.28) M6S т 1 dt Если внутри жидкости имеется источник теплоты, выделяющий в единице объема в единицу времени количество теплоты, равное Q, то к левой части уравнения (2.28) нужно прибавить член Q. 69
Существенная разница между использованием граничных условий (2.19) — (2.20) и (2.25), как видно, заключается в том, что вместо ре¬ шения двух задач по определению температур Тг и Г2 (в составных об¬ ластях — тело 1 и тело 2), связанных между собой условиями (2.19) — (2.20), решается одна задача (что значительно проще), одним из гра¬ ничных условий в которой является условие типа (2.25). Здесь, прав¬ да, появляется член дТ/dt, что вносит определенные трудности в при¬ менении к такому классу задач классических, аналитических методов решения. Однако можно указать один метод, а именно — операцион¬ ный (см. гл. VI), который одинаково пригоден для обоих случаев. Упрощения граничных условий сопряжения (2.19) — (2.20) до¬ пускают также задачи стационарной теплопроводности в тех случаях, когда в некоторых средах мала вариация температурного поля по определенным направлениям. В частности, если рассматривается мас¬ сивное твердое тело, на поверхности которого имеется совершенный тепловой контакт с тонкой оболочкой из другого материала, не содер¬ жащей источников теплоты, и граничные условия заданы на внешней поверхности оболочки, то можно приближенно ввести эффективные граничные условия непосредственно на поверхности массивного твер¬ дого тела [121]. При формулировке граничных условий теплового контакта (2.19) — (2.20) предполагается, что контактирующие тела разделены идеальной (математической) поверхностью, причем каж¬ дое из тел является однородным вплоть до поверхности раздела. В действительности между телами может иметь место некоторый пере¬ ходный слой, свойства которого отличаются от свойств контактирую¬ щих тел (например, сопряжение тел через прослойки конструктивного происхождения; система тел, соединенных с помощью сварочных швов, ребер жесткости, и т. д.). Сказанное относится и к телам с инород¬ ными включениями, в том числе и пустотами (например, металлы, со¬ держащие неоднородности в виде неметаллических макровключений, вторичных фаз, или различного рода макродефекты в виде пор, тре¬ щин). При расчете температурного поля в системе таких тел при¬ шлось бы задавать граничные условия сопряжения на всех контакт¬ ных поверхностях, что, естественно, усложняло бы соответствующую задачу теплопроводности. Действительно, рассмотрим твердое тело, содержащее инородное включение (либо систему двух тел), и предположим, что тело и вклю¬ чение разделяются некоторым промежуточным слоем толщиной 26, на поверхностях Si и S2; которого осуществляется идеальный тепловой контакт с телом и включением. Тогда в соответствии с (2.20) можно записать: К (дТ'/дп,) |s, = ki (dTjdnJ Iv Т0 \s< = 7\ |,t; 1 M<^o/^L = M<?7Vdn2)U, T0\,=Tt\,t, f * • где r0, Гь Г а — температуры; Х,0, Х2 — теплопроводности соот¬ ветственно слоя, тела и включения; пх и п2 — единичные векторы нор¬ мали к поверхностям S, и S2. Возможна замена точных граничных условий (2.29) приближенны¬ ми, которые получены в работе [112], исходя из следующей расчетной 70
модели: считая толщину переходного слоя 26 малой по сравнению с другими размерами, можно рассматривать его как тонкую оболочку с определенными теплофизическими характеристиками. Сохраняя эти характеристики постоянными и устремляя толщину оболочки к нулю, можно получить некоторую физическую поверхность раздела между телом и включением с присущими ей определенными значения¬ ми физических характеристик, а также граничные условия, которым должны удовлетворять на этой поверхности величины, характеризу¬ ющие тепловое состояние системы. Перечисленные выше граничные условия в большинстве практиче¬ ских случаев задаются в каждой точке поверхности S — граничной поверхности рассматриваемого тела. Однако возможны случаи, когда то или иное граничное условие имеет место не на всей поверхности S, а на каком-либо кусочно-гладком ее участке. В этом случае приходим к так называемым разнородным граничным условиям (часто втречаю- щимся в задачах дифракции, селективной диффузии [113]) (см. гл. IX). Рассмотрим несколько примеров. 1. В полуплоскости 0, — оо < х < +оо, задаются произвольные вели¬ чины: на одной части граничной поверхности (х > 0) — нестационарная темпера¬ тура, на другой (дг < 0) — тепловой поток. Если Т (х} у, t)—температурное поле в этой полуплоскости, то на поверхности (у = 0) имеем разнородные граничные условия вида: т (*. У» 0 |у = о = ф1 (*, t), х > 0, t > 0; — К [дТ (х, у, t]/dy] l^o = Фг {х, t), х< 0, t> 0. 2. Пусть бесконечный однородный цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью со и на поверхности цилиндра r = R происходит теплообмен с двумя различными средами, температура которых произвольным образом изменяется по окружности у поверхности цилиндра и не зависит от времени. В этом случае [если ввести неподвижную в пространстве и, следовательно вращающуюся по отношению к диску систему координат (см. § 7 гл. I)] температурная функция Т (г, (р) удовлетворяет уравнению теплопроводности во внутренних точках ци¬ линдра — о (дТ/ду) =а [д2Т/дг2-}-(\/г) дТ/дг-\-(\/г2) (д2Т/ду2)], 0<r< R, а на поверхности r = R — разнородным граничным условиям вида: —к (дТ/dr) \r=R = al[T \r=R—М<р)], Фо < ф < 2я—ф0; 3. Рассмотрим бесконечное пространство (х, у, г) с нулевой начальной тем¬ пературой, в плоскости хОу которого во все моменты времени t > 0 действует круговой тепловой источник (х2 + у2< R2) постоянной температуры Т0 в каждой точке круга, а остальная часть плоскости хОу (х2 + у2 > R2) теплоизолирована. Если Т (х, у, г, t) — нестационарное температурное поле, симметричное относи¬ тельно плоскости г — 0, то, рассматривая процесс теплопроводности только в верх¬ ней части пространства (г > 0), имеем на граничной поверхности z = 0 разнород¬ ные граничные условия вида: т (х, Уу z, t)\z=o = T0t x2 + y*<.R2; 1 [дТ (х, у, z, t)ldz]2=0 =0, *2 + у2 > R2. f Аналитические методы решения краевых задач теплопроводности с разнородными граничными условиями используют аппарат теории функций комплексного переменного и являются довольно сложными (2.30) 71
по своей структуре. Одним из немногих методов решения этого класса задач является метод Винера — Хопфа [110], основы которого будут изложены в гл. IX. Следует также указать работу [151], в которой описываются краевые задачи теплопроводности с разнородными граничными условиями и формальная техника их решения более про¬ стая, чем в [1101. Из других подходов следует отметить методы дуаль¬ ных интегральных уравнений [143] и тепловых потенциалов [114] (см. гл. IX). Задача 1. Используя закон Ньютона (2.18), показать, что дифференциаль¬ ное уравнение теплопроводности для стержня при наличии теплообмена через боковую поверхность имеет вид дТ/dt — a (д2Т/дх2)—т2 (Г— Гс), 0 < х < /, / > 0, (2.32) где т2 = Ph/(cpS) (Р — периметр поперечного сечения стержня; S — площадь по¬ перечного сечения; 7^ —температура окружающей среды). Указание. Воспользоваться рассуждениями § 5 гл. I. Задача 2. Используя тот же закон (2.18), показать, что дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины толщиной 6 при теплоотдаче на на¬ ружных поверхностях, параллельных плоскостям симметрии, имеет вид г. dT/dt = a (д2Т/дх2 + д2Т/ду2)-т2 (Т — Тс), (2.33) где та = 2а/(6ср). § 3. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Как отмечалось, дифференциальное уравнение теплопроводности (1.31) связывает временное и пространственное распределения температуры внутри тела в любой момент времени />0. Для того чтобы найти это температурное поле, надо знать распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие), геометриче¬ скую форму и размеры тела и закон теплового взаимодействия между поверхностью тела и окружающей средой (граничное условие). Иными словами, необходимо решить краевую задачу уравнения теплопровод¬ ности, к постановке которой и перейдем в данном параграфе. Напомним, что через G обозначена область изменения пространственных перемен¬ ных соответственно геометрии и размерам тела, в котором изучается процесс теплопроводности, через S — граница области G (т. е. гранич¬ ная поверхность тела), через Q — цилиндрическая область измене¬ ния пространственных переменных и времени t (не включая сюда точки границы S и значения времени /=0); таким образом, Q есть область определения дифференциального уравнения теплопроводности. Основные краевые задачи для уравнения теплопроводности фор¬ мулируются так: требуется найти в цилиндрической области Q дважды непрерывно дифференцируемое по пространственным координатам, непрерывно дифференцируемое по времени t и непрерывное вплоть до границы решение Т (М, /), уравнение теплопроводности dT/dt = а АТ (М, /) + /(М, t), М ^ G, / g (0, /0), [/ = /7(ср)], (2.34) где Л — оператор Лапласа по координатам точки М. 72
Это решение в области G при t *= 0 непрерывно изнутри и удов¬ летворяет начальному условию Т{М9 01*-о = Ф.(М). MgG(=G + S), (2.35) а на границе S—какому-либо одному из следующих граничных условий: 1. Решение Т (М, t) непрерывно на боковой поверхности SB = = (Sxt^Q) Т(М, /) = ф(М, /), MgS, />0. (2.36) 2. Решение Т (Л4, /) в каждой точке на боковой поверхности SB имеет предельное значение нормальной производной —к[дТ(М, t)/dn\ = q>(M9 t)9 t^O. (2.37) 3. Решение Т (М, /) непрерывно на боковой поверхности SB в каж¬ дой точке этой поверхности имеет определенное значение нормаль¬ ной производной и —Х[дТ(М9 t)/dn]=a[T(M% t) — ф (Af. t)]9 M$S9 0, (2.38) или dT(M9 t)/dn = — h[T (M, i)—ff(M9 0], M$S9 0. (2.39) Здесь Ф0(Л4) — заданная функция точки М, непрерывная в замкну¬ той области G + S; ф(Л4, t)—заданная непрерывная функция точ¬ ки М и времени t на поверхности SBi т. е. в точках MgS для значений времени t € [0, /0]; /(Л4, t) — заданная функция точки М и времени /, непрерывная по всем переменным в области опреде¬ ления уравнения теплопроводности. Предполагается также выполнение условий согласования Ф0 (М) |м €s = ф (Л4> 0 |/=о, м в s (2.40) в случае граничных условий I рода (2.36); -Х[ЗФ0(М)/ал]|м€5=Ф(Л4, 01/=0, mbs (2.41) в случае граничных условий II рода (2.37); дФ0 (М)/дп \м es = - h [Ф0 (М)-ф (М, 01/*о. м es (2.42) в случае граничных условий III рода (2.39). Без выполнения условий согласования нельзя было бы построить непрерывную функцию Т(М, t), удовлетворяющую соответствующему граничному условию в замкнутой области й. Таким образом, для урав¬ нения теплопроводности имеем согласно заданию граничных условий: первую краевую задачу (2.34), (2.35), (2.36); вторую краевую задачу (2.34), (2.35), (2.37); третью краевую задачу (2.34), (2.35), (2.39). Обозначим через А П В — пересечение множеств А и В (совокуп¬ ность точек, принадлежащих одновременно множеству А и множеству В). Тогда в случае первой краевой задачи (2.34) — (2.36) отыскивается 73
функция Т(М, t), удовлетворяющая уравнению теплопроводности (2.34) в й и принадлежащая классу функции C2(Q) П С°(й), если крае¬ вые функции задачи принадлежат классу функций: 0O(M)6C°(G); Ф(М, 0€C°(Sx[Of Q); (2.43) f(M, I) €С°(Я). В случае второй краевой задачи (2.34), (2.35), (2.37) или тре¬ тьей краевой задачи (2.34), (2.35), (2.39) отыскивается функция Г(М, t)9 удовлетворяющая уравнению теплопроводности (2.34) вЙ и принадлежащая классу функций _ С2(Й)nC°(Q), gradM Т £ С0 (й), Ф0 (M)€Cl(G); Ф (М, 0 6 С0 (S х [0, /0]), /(М, 0€C°(Q). (2.44) При этом должны выполняться соответствующие условия согласова¬ ния. В качестве первого обобщения основных краевых задач можно указать смешанную краевую задачу для уравнения теп¬ лопроводности (2.34), когда на части границы S области G выполняются краевые условия первой краевой задачи, на другой ее части — краевые условия’второй или третьей краевой задачи *. Здесь также для отыскания реше¬ ния Т(М, t), непрерывного вплоть до гра¬ ницы области Й, необходимо следить за вы¬ полнением соответствующих условий согласо- Рис. 19 вания. Поясним приведенные выше рассуждения на примере третьей краевой задачи для стержня О^.х^.1 с тепло¬ изолированной боковой поверхностью. Требуется найти функцию Т(х, t), определенную и непрерывную в замкнутой области 0 O^t^to, удовлетворяющую в открытой области уравнению тепло¬ проводности, dT/dt=a(d2T/dx2), 0<*</, £>0; (2.45) начальному условию Т(х, 0)=Ф0(х), 0<*</ (2.46) и граничным условиям дГ[х, t)ldx\xz=« = hx[T(0, 0—<Pi(0L t'S* 0; (2.47) дТ(х> t)/dx\x=l = — h2[T(l, 0—Ф.(0]. *>° (2.48) (здесь Ф0(*) и ф^(0 (/ = 1, 2) — непрерывные функции, удовлетво¬ ряющие условиям согласования), d®0(x)/dx|*=0== ^[ФДО)—фЦО)]; \ q dO0 (x)/dx |*=| = — h2 [Ф0 (/)—ф, (0)]. j * Постановка краевых задач с граничными условиями сопряжения, а также с разнородными граничными условиями будет рассмотрена позже. 74 Ъ *
Итак, решением третьей краевой задачи для стержня называется функция Т(х, t)f удовлетворяющая условиям (2.45) — (2.49); она определена в прямоугольнике ABCD (рис. 19). Предполагается, что Т(ху t) удовлетворяет уравнению теплопроводности только при О0<С^/0 но не при £=0 (сторона А В) и не при х=0 (сторона AD) и х=1 (сторона ВС), где имеют место начальное и граничные усло¬ вия. Если бы потребовали, чтобы уравнение (2.45) удовлетворялось, например, при /=0 (т. е. в точках отрезка АВ), то пришли бы к сле¬ дующему условию: д2Т _1 дТ дх2 г»о a dt й2Ф0(х) или —= (1/а) т; (х, 0) (2.50) /=о dx2 Равенство (2.50) показывает, что в этом случае на начальное рас¬ пределение температуры Ф0(х:) накладывается жесткое ограничение, вторая производная в нуле равна (1/а) Tftx, 0) (помимо того, что при этом начальная функция должна быть дважды непрерывно дифференцируемой). Этим требованием ограничилась бы область изучаемых физических явлений, исключив из рассмотрения те функции Ф0(х), для которых требование (2.50) не выполняется. Равенства (2.49) необходимы для непрерывности решения Т(х, t) в замкнутой области, так как непрерывность функции Т(ху t) во внут¬ ренних точках прямоугольника (О^х^.1, O^t^to) следует из того, что в этих точках эта функция удовлетворяет уравнению (2.45) (в этом смысле и понимается фраза «непрерывность решения вплоть до границы»). Таким образом, требование непрерывности Т(х, t) при 0^ по существу относится только к тем точкам, где задают¬ ся начальное и граничные условия (заметим, что граница t=t0 в поста¬ новке краевой задачи не участвует; предполагается лишь, что при t=U решение ограничено). Все сказанное сохраняет силу и для задач с несколькими незави¬ симыми геометрическими переменными. Рассмотрим далее постановку третьей краевой задачи для цилиндра радиусом r=R и длиной /. Если длина цилиндра значительно больше его диаметра 2R (t^>2R), то его можно считать неограниченным цилинд¬ ром, у которого длина бесконечно велика по сравнению с диаметром. Предположим, что теплообмен между поверхностью цилиндра и окру¬ жающей средой происходит одинаково по всей поверхности. Тогда температура цилиндра будет зависеть только от времени и радиуса (осесимметричное поле). Пусть T(r, t) — температурная функция. Тогда в области 00 (O^rCR) функция T(r, t) удовлетворяет: уравнению теплопроводности J = a (*£ + 1£) + /(г, 0, <><'<«. '>0; (2.51) начальному условию Г (г, 0) = ФДг), (2.52) 75
(2.53) (2.54) Условий (2.52) и (2.53) еще недостаточно для постановки краевой задачи уравнения теплопроводности (2.51). В случае сплошных цилинд¬ ров (а этот случай и рассматривается здесь) точка л=0, соответствую¬ щая оси цилиндра, является особой точкой для дифференциального уравнения (2.51) [второе слагаемое в правой части равенства (2.52) при г=0 теряет смысл]. Для ликвидации этого недостатка потребуем, чтобы выражение (\1х)дТ1дг имело конечное значение при г=0; по¬ следнее возможно, если выполняется равенство К этому же условию можно прийти и из следующего сообра¬ жения. Умножая обе части равенства (2.51) на г, получим Точка г=0 является внутренней точкой цилиндра и в этой точке, как и в любой другой внутренней точке области 0функция T(r, t) должна быть дважды непрерывно дифференцируема по г и непрерывно дифференцируема по /, откуда при г->0 равенство (2.56) даст условие (2.55). Это условие фактически означает, что температура Т(г, t) на оси цилиндра (г=0) должна быть конечной на протяжении всего процесса теплообмена (часто это условие записывается в виде Таким образом, краевыми условиями в рассматриваемой задаче будут (2.52) — (2.55). Эти условия вместе с уравнением (2.51) позволят найти функцию Г(г, t), описывающую распределение температуры в сплошном цилиндре при теплообмене на его боковой поверхности. Для уравнения (2.34) вовсе не обязательно рассматривать краевые задачи лишь в ограниченных областях. Очень часто важно решить его для неограниченной области. Это бывает, например, в случаях, когда размеры рассматриваемой области очень велики по сравнению с мас¬ штабом изучаемого явления. Тогда приходят к предельным случаям краевых задач. Так, например, рассмотрим процесс теплопроводности в очень длин¬ ном стержне, теплоизолированном с боковой поверхности. В течение небольшого промежутка времени влияние теплового режима, заданно¬ го на торцовых граничных сечениях стержня в его центральной части, оказывается весьма слабым и температурное поле на этом участке определяется в основном начальным распределением температуры в стержне. В этом случае точный учет длины стержня не имеет значения, так как изменение длины стержня не оказывает существенного влия¬ ния на температуру интересующего нас участка. В задачах подобного типа считается, что стержень имеет неограниченную длину |х|<!+оо. дТ(г, t)/dr\rmt — 0. (2.55) | Т(г, *)|<+оо, г>0). 76
Аналогичным образом можно рассмотреть и бесконечную плоскость (двумерное температурное поле) или неограниченное пространство (трехмерное температурное поле), когда влиянием граничных условий можно пренебречь при изучении температурного поля где-то в сред¬ ней части области. В некоторых случаях возникает необходимость рассмотреть температурное поле для полуограниченной области, на¬ пример в полуограниченном стержне или в полубесконечном цилиндре, и т. п., когда интересующий нас участок находится вблизи одной границы и далеко от другой границы. В этом случае необходимо учи¬ тывать тепловое влияние ближнего граничного участка и начальное распределение температуры. Отметим следующее важное обстоятельство. При рассмотрении бесконечных областей далеко не безразлично, как ведет себя решение в далеких точках рассматриваемой области. Во многих случаях только при известных предположениях об этом поведении задача становится определенной, а именно: необходимо наложить на решение дополни¬ тельное ограничение — решение должно обращаться в нуль на бес¬ конечности или быть ограниченным на бесконечности. Иначе решение остается неопределенным. Обозначим через Е3 — трехмерное пространство, т. е. совокупность точек М, координаты которых определяются тремя действительными числами, и сформулируем в качестве одной из основных предельных краевых задач для уравнения теплопроводности задачу Коши. Требуется найти ограниченное решение уравнения теплопровод¬ ности дТ1д1=аЬТ(М9 t)+f(M, 0, М€Е3у t>О, (2.57) дважды непрерывно дифференцируемое по пространственным коорди¬ натам и непрерывно дифференцируемое по времени / во всех точках пространства Е3 при С>0, непрерывное при £=0, удовлетворяющее: начальному условию Т(М, 01,=о = Ф.(М). М£Е3 (2.58) и условию ограниченности на бесконечности, записанному в виде Ига Т(М, 0 = 0, или |Т(М, 0|< + °°, |М|.—► оо. (2.59) | М | —► оо Здесь Ф0(М) — заданная непрерывная, ограниченная функция, ФобС0^); функция f(M, 1)€С°(М£ЕЯ, I > 0). При этих условиях решение задачи Коши (2.57) — (2.59) является функцией класса Т (М, 0 € С2 (М е £*, / > 0) п С° (М € ЕЯ9 t > 0). (2.60) Заметим, что вместо условия ограниченности на Ф0(М) могут быть наложены другие менее ограничительные условия. В частности, Ф0(М) может неограниченно возрастать; в этом случае и решение задачи будет обладать тем же свойством, имея тот же порядок роста на бесконечности (см. §5 гл. III). Для полуограниченного стержня с начальной температурой Ф0(х) и теплообменом на торце температурная функция Т(х, /), принадле- 77
жащая классу функций (2.60), удовлетворяет следующим уравнениям: dT/dt— а(д2Т/дх2), х > 0, / > 0; (2.61) Т(х, 0) = Фо(ж), х>0; \ дТ(х, t)/dx\x=0 = h[T (0, /)—Ф(0]. 0; 1 (2.62) \Т(х, /| < + оо, х>0. J При этом имеют место условия согласования Фо (л:) \X = Q = h [Ф0 (0) — —ф (0)]. Кроме рассмотренных возможны предельные случаи и другого типа, когда пренебрегают точным учетом начальных условий. Крае¬ вые условия здесь остаются неизменными, а начальные отсутствуют. В каждом из таких случаев вырождения можно говорить соответ¬ ственно о первой, второй и третьей краевых задачах без начальных условий для одномерного полупространства: dT/dt=a(d2T/dx*), *>0, — оо</<+оо; (2.63) [р1(д77дх) + р„7,|я=, = рзф(0> НК + оо, Р^ = const; 1 YimT (х, t) = 0, л:—* оо; limТ (х, /) = 0, t —► +00. ) Здесь ф (0 — заданная непрерывная ограниченная функция. Последнее краевое условие заменяет отсутствовавшее начальное. Рассмотрим далее несколько примеров постановки краевых задач теплопроводности с граничными условиями сопряжения. Возьмем простейшую систему, состоящую из двух полуограниченных стерж¬ ней с теплоизолированной боковой поверхностью. Начальные температуры и теп¬ лофизические характеристики тел различные. В начальный момент времени тела приведены в соприкосновение в точке х = 0. Если Тх(х, t) и Т2{х, t) — темпера¬ тура соответственно левого (х < 0) и правого (х > 0) стержней, то имеем следую¬ щую краевую задачу: dTl/dt = ald2Tl/dх2, х < 0, t > 0; dT2/dt = а2 д2Т2/дх2, х > 0, * > 0; (2.65) Т1 (х, 0) = Ф1г; (х), * < 0; Т2 (х, 0) = Ф20 (х), х > 0; (2.66) Тх (0, t) = T2 (0, 0, / > 0; ^ [дТ1 (х, t)/dx]x=0 = X2 [дТ2 (х, t)/dx]x=0, t > 0. (2.67) lim Тг(х, 0=0, lim T2(x,t)= 0, t > 0. — CD + CD Здесь Ф/о (x) (i = 1, 2) — заданные ограниченные непрерывные функции в своей области определения Ф10 (х)£.С° (х < 0), Ф2о М6С°(х > 0); при этом Тх (х, /)£ gC2(x< 0, / > 0), 7\>(х, (х > 0, t > 0). В этой задаче не выполняются условия согласова¬ ния; о решении такого рода задач будет сказано позже. Рассмотрим более слож¬ ный пример, когда гранич- — ные условия сопряжения за- У даются на поверхностях, яв¬ ляющихся координатными, в различных координатных си¬ стемах. Пусть требуется определить температурное поле Тх (/•, 0) в по¬ лусфере г < г0, 0^0 ^ я/2, из Рис. 20 материала с теплопроводностью Я* 78
и коэффициентом теплоотдачи Нъ находящейся на поверхности большого круга 0 = я/2 в совершенном тепловом контакте с бесконечной плоскопараллельной пластиной — l^z<* 0 из материала с коэффициентами Х2, h2t температурой Т2 (р, г). Здесь (г, 0) — сферические координаты; (р, г) — цилиндрические коорди¬ наты, причем полярный угол 0 отсчитывается от положительного направления оси 2, значению 0 = л/2 соответствует значение 2 = 0 (рис. 20). Функции Тг(г, 0) и Т2 (р, г) удовлетворяют следующим уравнениям: В левую часть второго из граничных условий (2.70) входит про¬ изводная по нормали (по направлению оси г) к контактному кругу 0^г<г0, 0 = л/2. В сферической системе для 7\, зависящей лишь от г и 0, имеем (см. § 3 гл. I) grad Тг = (dTjdr) er + (dTjdQ) (1/г) во. На контактной поверхности п = — е0, и так как dTvfdn = rt-gvad ТХУ то, перемножая два вектора скалярно, найдем, что dTjdn = = —(1 /г)дТг1д& при 0 = я/2, 0^г<г0. Остальные выражения, входящие в граничные условия задачи, в разъяснении не нуждаются. Заметим, что тепловые задачи, аналогичные рассмотренной, воз¬ никают при исследовании кинетики кристаллизации из расплава микромонокристаллов полупроводников на инородных подложках, когда кристаллизуемые капли расплава близки по форме к полусфере В теории теплопроводности еще недостаточно отработаны аналити¬ ческие методы решения такого класса задач; приближенный метод ре¬ шения сформулированной задачи (2.68) — (2.71) изложен в [1101. Обратимся вновь к краевым условиям (2.35) — (2.38) для уравне¬ ния теплопроводности (2.34). Как отмечалось, для того чтобы решение задачи имело гладкость С0 в случае граничных условий I рода или С1 в случае граничных условий II и III родов вплоть до границы области задания дифференциального уравнения теплопроводности, необходимо накладывать на краевые функции задачи дополнительные условия, т. е. условия согласования (2.40) для первой краевой задачи, (2.41) — для второй и (2.42) — для третьей. Однако эти условия непрерывности являются весьма ограничи¬ тельными и не всегда соответствуют реальным условиям задачи. В са¬ Xi дТ j | г дО (0 = л/2 |о<г<г( г- о 0<р<л0 (2.69) (2.68) дТ\ дг г=г0 0<9<Л/2 (2.70) ^’./*U_t=Al(7’1|,= _l-7’c); lira Г, (р, г) — 0; дТг/дг |,,=0 = 0. (2.71) \Z = О [1221. 79
мом деле, рассмотрим простейшую задачу об остывании равномерно нагретого стержня, теплоизолированного по боковой поверхности, с температурой на торцах 7\ меньше начальной Г0: dT/dt=a(d2T/dx2), 0<х<1, t>0; Т(ху 0) = Г0, 0<х</, 740, t) = T(ly t) = Tt, ОО. Если ТгфТ0, то решение этой задачи должно быть разрывным в точках (0, 0) и (/, 0). Этот пример (как и некоторые предыдущие) показывает, что по¬ ставленные выше условия непрерывности начального значения и ус¬ ловия сопряжения его с граничными условиями исключают из рас¬ смотрения практически важные случаи. Краевые задачи теплопровод¬ ности, в которых начальная функция не сопряжена с граничными функциями, являются достаточно многочисленными для потребностей практики и могут быть решены теми же аналитическими методами, что и сформулированные выше. Более того, решения краевых задач с указанными начальными условиями будут иметь ту же аналитическую форму, что и соответствующие краевые задачи с условиями согласо¬ вания краевых функций. Таким образом, не принимая во внимание выполнение условий согласования (если они специально не заданы), можно говорить о краевых задачах следующего вида: первая краевая задача дT/dt = aAT(My t) + f(M,t)y M£Gt f>0; Т (УИ, 0) = Ф0(М), MgG; Т(М,0 = Ф(М,0, M£S,t> 0; вторая краевая задача dT/dt=aAT(Mt t) + f(M, t)y MgG, t > 0; ) Т(М,0) = Ф,(М),М^; I — X [дТ (M, t)/dn} = ф (М, t), М € s, t > 0; J третья краевая задача <ЗТ/^ = аДГ(М, /) + /(М, t), M£G, t > 0; Т(М, 0) = Ф0(М), M£G; дТ/(М, t)ldn = — h[T(M, t)—ф(М, 01, <>0, а также смешанная краевая вадача и краевые задачи с граничными условиями сопряжения. Здесь /(М, 0 € С° (Q); Ф0 (М) £ (G); Ф(М, 0 € (Sx f > 0). Решение Т(М, t) принадлежит классу функций С2(Q) и не является в общем случае непрерывным вплоть до границы области определения уравнения теплопроводности. Возможно также, что начальная функ¬ ция Ф0(Л4) и функция источника/(М, <) не являются непрерывными, допуская в области G конечное число точек разрыва 1 рода (ступен¬ (2.72) (2.73) (2.74) 80
чатые функции). Однако структура решения задачи такова, что это не скажется на принадлежности решения классу C2(Q). В качестве второго обобщения краевых задач теплопроводности можно рассмотреть случай, когда область определения пространствен¬ ных переменных G с границей S зависит от времени /, т. е. когда G=G(t)=Gt. В этом случае Qt—не¬ цилиндрическая область, так как се¬ чение этой области плоскостью t = = const представляет собой прост¬ ранственную область Gt с границей St, зависящей от времени t (рис. 21). В та¬ ких случаях говорят о краевых за¬ дачах теплопроводности в области с подвижными границами или краевых задач теплопроводности обобщенного типа. Для таких задач граничные ус¬ ловия имеют ту же форму и можно говорить о первой, второй, третьей или смешанной краевой задаче обобщенного типа (краевой задаче обобщенного типа с граничными условиями IV рода). Кра¬ евым задачам обобщенного типа посвящена гл. VIII. Следует, однако, заметить, что наличие движущейся границы может изменить вид граничного условия, характеризующего определен¬ ный тепловой режим на данной границе. Остановимся сейчас на фор¬ мулировке условия тепловой изоляции движущейся границы и пока¬ жем, что это условие отлично от классического (2.8). Рассмотрим про¬ цесс теплопроводности в теплоизолированном с боковой поверхности стержне 0<Оc<.y(t)> t>0, и выведем условие теплоизоляции правого торца х=у (/), предполагая наличие некоторого начального распреде¬ ления температуры и некоторого граничного условия на левом торце х=0. Пусть Т(х, t) — температурное поле стержня, в котором к тому же действует непрерывно распределенный нестационарный источник теп¬ лоты dT/dt=a(d*T/dx2)+f()с, /); О<*<*/(/), *>0 [а=Х/(ф)], (2.75) a v(t)=dy/dt — скорость перемещения границы x=y(t). Запишем уравнение теплового баланса в момент времени' (/+Д/)в считая границу x=y(t) теплоизолированной: y{t) + by y(t) — a dTfx*'" &t + cp А/ ^ /(*, t) dх = ср j [Т (х, / + ДО — о о у (/) + — т (X,t)\dx+cp ^ Т (xt /+A/)dx. у it) 81
Ко второму из интегралов справа применим теорему о среднем </ (О + Д/У — а д- .*1 At + Л/ j* /(а:, /) dx = о y(t) = $ [Т (х, t + &t) — T(x, l)]dx + T(x, t + At)\x=!/+eay^y, О где 0 < 0 < 1. Разделив обе части равенства на и перейдя к пределу при Д/ —► 0, получим y{t) y(t) ~а д'Тдх’ 0 + j /)djC= j %-dx + v(t)T (X, 0 !*=.„«)• n 0 Подставим под знак интеграла вместо дТ/dt правую часть урав¬ нения теплопроводности (2.75), произведем интегрирование и при¬ ведем подобные члены. В результате окончательно получим условие --j,*’ 0 1 +vJ*lT(x,t) I =0, (2.76) дх \x=y(t) a v ' \x-y(ty v ' которое и представляет собой условие тепловой изоляции для под¬ вижной границы. Если скорость движения границы v(t) = 0, то при¬ ходим к условию (dT/dn)s = 0, означающему теплоизоляцию непод¬ вижной граничной поверхности. Задача. Показать, чго условие тепловой изоляции цилиндрической поверх¬ ности r — y(t) при аналогично, как и в случае (2.76), имеет вид дТ (г, t)/dr + [v(t)/a]T (г, /)=0 при r = y(t), если Т (г, () удовлетворяет уравне¬ нию дТ/dt=a ДГ (г, t). Рассмотрим постановку еще одного класса температурных задач в области с подвижной границей, отличающихся от рассмотренных выше своеобразным граничным условием. При изменении температуры тела (нагревании или охлаждении) может проис¬ ходить изменение его физического состояния, в частности при переходе через точку плавления —переход из жидкой фазы в твердую (распространение застыва¬ ния в расплавленную металлическую массу при охлаждении или проникновении холода в стоячую массу воды или в сырую землю) или обратный переход. При этом на поверхности фазового перехода все время сохраняется постоянная тем¬ пература. Рассмотрим жидкую массу, ограниченную с одной стороны плоскостью х = 0 и неограниченно простирающуюся в другую сторону. Пусть в начальный момент времени / = 0 температура в жидкой массе всюду постоянная Т{). Граничная по¬ верхность длительно поддерживается при некоторой постоянной температуре Т ^ ниже точки затвердевания жидкой массы Тп. В таком случае прилегающий слой быстро затвердевает и граница затвердевания будет со временем все дальше i. дальше проникать внутрь жидкой массы. Поставим краевую задачу о распреде¬ лении температуры (как функции места и времени) и о скорости продвижения поверхности раздела фаз (жидкой и твердой). Рассмотрим плоскую задачу, когда поверхностью раздела является плоскость x — y(t). Сформулируем граничные условия, которые должны выполняться на поверхности затвердевания: пусть Тг(х, t) и Т2(х, /)— температуры соответственно твердой н жидкой фаз. Переход из одной фазы в другую сопровождается погло¬ щением или выделением определенного количества теплоты, которое называется теплотой перехода. Для перехода вещества из твердого состояния в жидкое необходимо сообщить ему количество теплоты Q = Xnmt где т—масса расплавив- 82
шегося *тела; Хп — удельная теплота плавления (А,п — количество теплоты, которое нужно сообщить единице массы твердого тела, находящегося при температуре плавления, чтобы перевести его в жидкое состояние). При затвердевании (кри¬ сталлизации) жидкой массы происходит выделение теплоты. При этом теплота кристаллизации равна теплоте плавления. На границе затвердевания x = y(t) имеем следующий тепловой баланс. К твер¬ дому веществу в направлении убывающих х за время At через квадратный санти¬ метр утекает, согласно закону Фурье, количество теплоты Qi=hi{dTlldx)x=y(t) At. Эта теплота слагается из выделяющейся при затвердевании некоторой массы жидкости за время А/ теплоты и теплоты, отданной жидкостью твердому веще¬ ству. За время At граница затвердевания передвинется на отрезок А у и, следо¬ вательно, затвердеет количество вещества рАу, где р — плотность образующейся фазы; при этом выделится количество теплоты Q2 = AnpA*/, которое должно быть отведено в результате теплопроводности. За это же время со стороны ^жидкой массы в твердую фазу приходит количество теплоты Q3 = ?v2 (дТ2/дх)х_у (У) + Д< Atr Так как Qi = Q2 + Qs. получим - * - - 7 t)/dx]x=yiUM = \np Ay+T^ldTvix, t)/dx]x= у«) + \у Л/. Разделив обе части равенства на А/ и перейдя к пределу при At —► 0, полу¬ чим граничное условие на поверхности раздела фаз [KidTi(x, t)/dx—1гдТг(х, t)/dx]x=y (t) = lnp (dy/dt). (2.77) Это условие имеет место как для процесса затвердевания (когда Ау > 0 и (dy/dt) > 0), так и для процесса плавления (когда Ау < 0 и (dy/dt) < 0); направле¬ ние процесса определяется знаком левой части. Таким образом, для определения закона движения поверхности раздела твердой и жидкой фаз и температуры в каждой из них имеем следующую краевую задачу: dT1/dt==ai (d2Tf/dx2), 0 < х < y(t), t > 0; дТ2/dt = а2 (д2Т2/дх2), х > y(t), t > 0; (2.78) Tf (0, /) = Tit t > 0; T2 {.x, 0) = 7V x > 0, lim T2 (x, t) = TQ; (2.79) Л'->00 Ti (y (t), () = Т2(у(1),() = Т„, t>0; (2.80) (kidTi/dx—K2 дТ2/дх)х=уА) = %пр (dy/dt), t > 0. Задачу (2.78) — (2.80) называют задачей Стефана (или задачей о фазовом переходе, или задачей о промерзании) в честь австрийского ученого И. Стефана, который в 1889 г. поставил и решил задачу о фа¬ зовом переходе. В постановке рассмотренной задачи функция x=y(t)— свободная граница, которая не задана (в отличие от рассмотренных выше случаев) и подлежит определению вместе с функциями 7\(лс, t). Задачи Стефана подробно излучаются в работах [94; 95; 98—1001. Следует заметить, что краевые задачи теплопроводности в области с подвижной границей за последние годы приобретают все большее значение в различных прикладных разделах физики и* математики. С математической точки зрения эти задачи принципиально отличны от классических, так как к ним неприменимы классические методы разделения переменных и интегральных преобразований. Аналитиче¬ ским методом решения такого класса задач посвящена специальная глава (см. гл. VIII). Что касается уравнения теплопроводности гиперболического типа
то для него пбстановка краевых условий имеет следующий вид: начальные условия Т(х, /)|«-о=Фо(*), 0 *£*</; ЗТ(Х, о dt = Ф1 (х), 0 /=0 граничные условия первого рода т(х, Ol*-o=<pi(0, о 0; Т(рс, t)\x=i=<p2(t), 0; граничные условия второго рода дТ{х, I) дх х*»0 = ( l+r*-J<Pi (0, t>0; X 8Т(х, 0 дх = -[ 1 + т*-)<p2(t), 0; граничные условия третьего рода дТ(х, 0 дх аг(х, о 5* :=1 = -й2( 1+т*-1[Г(х, 01*-/-ЫО], ^0. Для уравнения теплопроводности в средах с тепловой памятью, например, в области х>0, /^0 «щ*, о г2г(х, о £(0) + с£1о . + dt dt2 ет(х, t-s) Р (s) , ds-- dt 84
начальное условие записывается в виде Т(х, /)1<-о=Фо(*), х^О; дТ{х, О dt =Ф|(х), х^О. Г = О Граничные условия имеют вид: первого рода (температурный нагрев) Т(х, t)\xss0 = cp(t), t^O; второго рода (тепловой нагрев) 00 J.W дТ(х, t-s) дх ds=cp(t), 0; х=0 третьего рода (нагрев средой) 00 {«и дТ(х, t-s) дх ds=h[T(x, 01*=о-<р(0], |Г(х, 01 < + °°, х^О, 0. В заключение этого параграфа рассмотрим постановку основных краевых задач для уравнения стационарной теплопроводности. Пусть по-прежнему G — область, лежащая в конечной части про¬ странства (х, у, z), S — кусочно-гладкая поверхность, ее ограничива¬ ющая, п — нормаль к S, М(х, у, г) — пространственная точка.
Для уравнения Пуассона (1.34) постановка основных краевых задач теплопроводности следующая: требуется найти решение Т (М) уравнения ДГ(М)+/(М)=0, М 6 G(/=(1/X)F), (2.81) дважды непрерывно дифференцируемое в области G и удовлетворяющее каким-либо из следующих граничных условий (начальное условие здесь отсутствует, так как процесс стационарный). 1. Решение Т (М) непрерывно в замкнутой области G + S( = G)h и удовлетворяет условию Г(М) = ф(М), M£S. (2.82) 2. Решение Т (М) в каждой точке на поверхности S имеет пре¬ дельное значение нормальной производной и удовлетворяет условию —Х[дТ(М)/дп]=<р(М), MgS. (2.83) 3. Решение Т (М) непрерывно в замкнутой области G + S, в каж¬ дой точке поверхности S имеет предельное значение нормальной производной и удовлетворяет условию — Х[дТ (М)!дп] = а[Т {М) — <p(M)], (2.84) где ф(М) — заданная на S непрерывная функция; f(M)—функция, непрерывная в G. Каждая из перечисленных краевых задач называется внутренней краевой задачей. Первая краевая задача (2.81), (2.82) называется задачей Дирихле, вторая краевая задача (2.81), (2.83)—задачей Неймана, задача (2.82), (2.84)—третьей краевой задачей. В задаче Дирихле отыскивается функция Т (М) класса С2 (G) П С0 (G); в задаче Неймана, третьей краевой задаче или краевой задаче со смешанными граничными условиями отыскивается решение класса (^(GJnC^G). Для уравнения Лапласа или Пуассона могут быть рассмотрены и краевые задачи для системы сред с граничными условиями сопря¬ жения (2.19) —(2.20). Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения (2.81) и в бесконечной области G*, внешней по отношению к поверхности S и содержащей бесконечно удаленную точку; эти задачи называются внешними краевыми задачами. Отличие их от внутренних краевых задач состоит в том, что помимо граничных условий на S задается еще усло¬ вие на бесконечности. Однако этот вопрос решается различно для плоскости и для пространства, т. е. для двух и трех независимых пере¬ менных внешние краевые задачи ставятся по-разному. Для случая трех переменных решение Т(М) должно равномерно стремиться к нулю при стремлении точки М к бесконечности. Послед¬ нее (при постановке всех внешних краевых задач) обеспечивает одно¬ значную определенность соответствующих им физических процессов или, что все равно, единственность решения краевых задач (см. § 5 данной главы). Для случая двух переменных решение Т(ху у) должно быть ограничено на бесконечности, т. е. должно выполняться нера¬ 86
венство | Т (х, у) | <УУ=const (N — некоторое число) всюду в области решения задачи. Требование обращения решения в нуль на бесконеч¬ ности и здесь оказывается достаточным, чтобы решение задачи было единственным, но оно является слишком сильным, так как при нем задача может оказаться вообще неразрешима. В качестве примера рассмотрим постановку задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области G{ (х, у)у 0<.х<1и 0 <f/</2}: д*Т/дх* + д'Т/ду* = 0, 0 < х < /*, 0 < у < /2; (2.85) т (0, у) = ф! (у) ) т {х, 0) = ф9 (*) ) } 0(2.86) т У) = %(У)) т (х, /г) = ф4 (•*) ) Здесь q>t (у) € С0([0, /,]); Ф( (х) £ С° (Ю, /,]). Для того чтобы решение Т (х, у) было непрерывным вплоть до гра¬ ницы области определения дифференциального уравнения (2.85), необходимо потребовать выполнения условий согласования: cpi(0) = = фз(0), ф! (/Я)=ф4(0); ф 2 (0) ==ф8 (^l) » ф2(/2)=ф4(/1). Заметим следующее обстоятельство. В постановке задачи предпо¬ лагали всюду непрерывность граничных функций <pf(i = l, 2, 3, 4); между тем иногда бывает необходимо рассматривать такие случаи, когда в какой-либо граничной точке М0 краевая функция имеет разрыв первого рода ф(УИ0+0)—ф(М0—0)=Ь(Ф0), где b — заданное число, ф(М0+0) и ф(А1о—0) — предельные значения ср (М) при подходе к точке М0 по граничному контуру с разных сторон. Покажем, что с помощью несложных преобразований можно уст¬ ранить это обстоятельство. Пусть (для определенности) точка разры¬ ва лежит на правой стороне x=lf прямоугольника G(0<^/i, 0 т. е. MQ(lu d0)t где 0<d0</a и граничная функция ф2(у) имеем в этой точке разрыв первого рода: ф2(^0+0)—ф2(^о—10)=Ь(Ьф0). Введем новую температурную функцию 7\ (х, у) с помощью подста¬ новки Tt(x, у)=*Т(х, у)— (b/л) arctg(2/*—х)!(у—d0). Функция (х, у) в области G является дважды непрерывно диф¬ ференцируемым решением уравнения Лапласа; действительно, непо¬ средственным дифференцированием можно проверить, что таковым является функция ©(*, y)=(b/n) arctg(2/х—х)/(у—d0). При этом имеет место равенство Tt (/i, d0+0)—Tx(lu d0—:0)=0, так как 0(/b d0+0)— ~©(/i, d0—0)=b. Таким образом, на граничном отрезке x=lt функция Тх{х, у) непрерывна. Поэтому, решая для определения задачу Дирихле в смысле сделанной выше постановки при непрерывной крае¬ вой функции Ф21 (у) ==ф2(.у)—ф!л) arctg lj(y—do) и полагая Т(х, у) = (х, у)+&(х, у), получим решение задачи при разрывной краевой функции ф2(у). В дальнейшем, без ограничения общности можно рас¬ сматривать задачу Дирихле (а также и другие задачи стационарной теплопроводности) в том смысле, как она была поставлена выше при непрерывных краевых функциях (если противное специально не ого¬ ворено), требуя, чтобы искомое решение было непрерывным в замкну¬ 87
той области, т. е. вплоть до границы области определения уравнения Лапласа (или Пуассона). Перейдем теперь к математической интерпретации начальных и граничных условий. Как отмечалось, при классической постановке краевых задач теплопроводности требуется, чтобы решение Т(М, t) было непрерывным в Й, имело непрерывные производные Т\, Т’х, Т"хх, удовлетворяло во всех точках Q уравнению (2.34), а при t=0 и (М, t) £ £SB— условиям (2.35) и (2.36). При этом для второй и третьей крае¬ вых задач требуется дополнительно, чтобы и частные производные по пространственным переменным функции Г(М, t) существовали и были непрерывны в Q. Если G — неограниченная область, то к этим требованиям добавля¬ ется еще условие о поведении решения на бесконечности. Однако имеется достаточно большой класс практически важных краевых задач теплопроводности, решение которых с гладкостью С0 или С1 вплоть до границы области определения дифференциального уравнения теп¬ лопроводности существует не всегда (например, взаимодействие равно¬ мерно нагретого тела со средой постоянной температуры, отличной от начальной температуры тела, также постоянной). При этом имеет место и другая особенность функциональных конструкций решения, когда в ряде случаев решение в точках граничной поверхности не опре¬ делено, но допускает операцию предельного перехода при приближении к границе (или при £->0). Поэтому при математическом рассмотрении задачи теплопроводности краевые условия не следует рассматривать как условия, которым искомая температура обязана удовлетворять на поверхности S или в начальный момент времени /=0. Краевые условия следует считать предельными усло¬ виями. Граничные условия нужно понимать в том смысле, что для любого фиксированного значения времени £>Э температура или ее производная по нормали, или комбинация температуры и ее производной стремятся к заданному значению при приближении точки к поверхности. Начальное условие следует понимать в том смысле, что для фиксиро¬ ванной точки внутри области G температура должна стремиться к за¬ данному значению по мере того, как t стремится к нулю. Поясним сказанное на следующем примере. Пусть Т (х, 0 — распределение температуры в стержне 0^х«^/, теплоизоли¬ рованном с боковой поверхности; Ф0 (х) — начальная температура стержня, имеет переменное значение; на левом торце х = 0 задано значение теплового потока ф! (t) для t > 0, на правом торце х — 1 при t > 0 происходит теплообмен со сре¬ дой, температура которой <р2 (/)• Согласно сказанному выше, следует записать для Т (х, t) уравнения: дТ/dt — a (д2Т/дх2), 0 < х < I, t > 0; lim Т (х, t) = O0 (х) для фиксированного х в области 0 < х < /; (2.87) t-+ о lim X (дТ/дх) = у1 (/) для фиксированного t > 0; (2.88) *-*о lim (дТjdx-\-hT) = /i<p2 (t) для фиксированного t > 0. (2.89) x-+l 88
Выше мы записали бы эту задачу в виде: dT'/dt = a (д2Т/дх2), 0 < х < I, О 0; Т(х, 0) = Ф0(х), 0< х< /; Х[дТ(х, t)/dx]x=0 = фх (0, * > 0; (2.90) дТ(х, t)/dx \x-t — h [Т (/, /) — фа (/)], t > 0, (2.91) имея в виду теперь, что краевые условия (2.90) — (2.91) нужно понимать в смысле (2.87) — (2.89). Если к тому же ФоМ^С1^» Ф» ф|(0€£°(*^0) и выполнены условия согласования ХФ'0 (х) |х = о = ф1 (0); Ф^ (х) \x = i = h [Фо (0 — фг (0)]. то ре¬ шение Т(х, t) £С2 (Q) П^0 (Q), Т\ £С°(&), где Q= [(х; t)\0 < х < ly t > 0]. В слу¬ чае невыполнения последних условий решение дается в виде Т (х, /)б^2(^)* § 4. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ Как было показано выше (см. § 3 гл. II), аналитическое описание про¬ цесса теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение (2.34) и условия однозначности в виде физических параметров (К, р, 6’), геометрических размеров (/ь /2,...), начальной температуры тела Т0=Ф(Л4), граничных условий дТ/дп—р27"=—<р(М, /), М £ S. В результате решения поставленной краевой задачи находится функция, математически описывающая температурное поле тела в любой момент времени t>0 (если процесс нестационарный). В аналити¬ ческое выражение этой функции входят независимые переменные х, уу г, /, начальная и граничная функции, физические параметры, геометрические размеры тела, т. е. Т=Т(х, уу 2, /, X, р, с, а, /,, /2, ..., Го, Тс). (2.92) Аналитическое описание процесса теплопроводности было пред¬ ставлено в размерных единицах; отсюда и решение краевой задачи получается в тех же единицах. Выражение (2.92) показывает, что температура тела зависит от большого числа переменных и постоянных параметров. Это обстоятельство затрудняет числовые расчеты, прово¬ димые по формуле (2.92). Становится весьма сложным привести ре¬ зультаты расчета в определенную систему, уловить влияние отдель¬ ных факторов на течение процесса. Задача значительно облагчается, когда размерные переменные объ¬ единяются в безразмерные комплексы (критерии). Эти безразмерные комплексы, или числа подобия, состоят из разноименных величин, объединение которых осуществляется разными способами: методом масштабных преобразований, путем анализа размерностей и др. При этом происходит уменьшение числа определяющих параметров в аналитическом решении задачи, что и об¬ легчает его числовую обработку. . Безразмерные комплексы, являющиеся как в постановке задачи, так и в ее решении по существу новыми переменными, называют иначе обобщенными переменными. Замещение обычных переменных обобщен ными является основной задачей теории подобия (или теории обобщен¬ ных переменных), получившей в нашей стране свое развитие в работе [19]. Обобщенные переменные можно получить для любого физического процесса. Для этого нужно иметь его математическое описание в виде некоторых уравнений. Анализ этих уравнений в модельной задаче 89
позволяет установить, какие факторы общего вида влияют на искомую величину, т. е. отыскать эти обобщенные переменные. Метод преоб¬ разования исходной краевой задачи теплопроводности к задаче отно¬ сительно безразмерных (обобщенных) переменных широко использу¬ ется в аналитической теории теплопроводности. Безразмерные решения обладают большей познавательной ценностью, так как позволяют уста¬ новить внутренние связи между переменными и параметрами задачи, более глубоко изучить физический смысл полученного решения (осо¬ бенно это важно для краевых задач с большим числом определяющих параметров и независимых переменных). В то же время можно пойти и по другому пути. Каково бы ни было аналитическое выражение, представляющее решение той или иной краевой задачи теплопроводности, все входящие в него размерные величины оказываются либо уже сгруппированными в безразмерные комплексы, либо их без труда можно в них сгруппировать. Рассмотрим простой пример. Пусть Т (х)— стационарное температурное поле плоской пластины 0 толщина которой много меньше по сравнению с наименьшей протяженностью поверхностей, на которых заданы равномерные, но не равные между собой тем¬ пературы: 7^ (0) = 7^!; Т(1) = Т2 (Т{>Т2)- Найдем температурное поле пластины Т (х) как решение краевой задачи d277dx2 = 0, 0 <*</; Т(0) = Ти Т{1) = Т2. (2.93) Интегрируя это несложное уравнение, получим Т (дг) = 7"! — (7"! — Т2) (х/1). (2.94) Температура пластины, как видно из (2.94), зависит от четырех определяю¬ щих параметров Т = Т (х, I, Ти Т2). Однако (2.94) легко преобразовать в выра¬ жение вида [Тх — Т (х)]/(Г1-Г2)=х//. (2.95) Если теперь ввести вместо независимой переменной х новую (безразмерную) переменную г = х/1, а вместо искомой температуры пластины Т (х) новую (безраз¬ мерную) функцию W (z) = ITi — Т (х)]1(Т\ — Г2), то (2.95) примет вид W(z)=z, при этом 0 W (z) 1. Преимущества безразмерной температурной функции W (z) по срав¬ нению с первоначальной (2.92) Т=Т(х, /, Ти Т2) очевидны. Действи¬ тельно, вместо пяти размерных величин в данном случае оказываются только две — безразмерная температура и безразмерная координата. Количественное соотношение между ними — соотношение прямой пропорциональной зависимости — является совершенно универсаль¬ ным, т. е. присуще искомому множеству явлений, а именно: плоским пластинам любых толщин, при любых температурах на поверхностях, для любого материала, из которого сделана пластина (дерево, железо, камень, стекло), лишь бы процесс теплопроводности был стационарным и. одномерным. Как отмечалось, для установления безразмерных величин, специ¬ фических для данной краевой задачи, нет необходимости в наличии ее аналитического решения; достаточно располагать уравнением теп лопроводности и соответствующими для него краевыми условиями. Рассмотрим уравнение (1.33) с внутренним (постоянным) истом 90
ником теплоты, удельная мощность которого равна ^(Вт/м3): дТ/dt = а (д2Т/дх2 + д2Т/ду2 + д2Т/дг2) + qv/(cp). (2.96) Заметим, что в (2.96) температура входит под знаком производной, поэтому ее можно отсчитывать от любого постоянного значения, например от начальной температуры Г0 (если она имеет постоянное значение). Если помимо постоянной начальной температуры в усло¬ вие задачи входит еще другая постоянная температура, например температура среды Тс, то за масштабную разность температур естественно принять (Т0 — Тс) или (Тс — Т0). Тогда безразмерная температура определится выражением W = (T — Т0)/(ГС — Т0). Урав¬ нение (2.96), которое можно переписать следующим образом: теперь запишем в виде ™ = W М_\ (2 97) dt а\ дх2 ^ ду2 ^ дг2 / ф (Тс — Т0)' Для приведения к безразмерному виду независимых переменных (х, у, z) в качестве линейного масштаба выберем характерный раз¬ мер рассматриваемого тела, например размер /0, и введем новые переменные х' = х//0; y’=y/l0\ г' — zJlQ. (2.98) По правилу дифференцирования сложной функции, dW/dx = (dW/dx') (dx'/dx) = (1//0) (dW/dx'y, d2W/dx2 = (l/ll) (d2W/dx,%) и т. д. Подставим новые переменные в уравнение (2.97) dW _ а / d2W d2W d2W \ qv М “ ll V дх'2 + dy'2 + dz'2 ) Ф(ГС-Г0) или dW = d2W . d2W d2W ЯуЧ (<2qq d(atHl) dx'2 ^ dy'2 dz'2 ^ X(TC-T0)' [ ' ] В уравнении (2.99) выражения at III и qJl/[k(Tc — TQj] являются безразмерными; первое из них называют числом Фурье F0 = at/ll\ второе же обозначим через Qv = qvlo/[h(Tc—Т0)]. Число Фурье заняло в дифференциальном уравнении (2.99) место времени и может рассматриваться как безразмерное время. Оно характеризует протекание процесса во времени и является независимой переменной. Безразмерный комплекс Qv является пара¬ метром, так как предполагается, что в условии задачи Тс и Т0 заданы (вообще параметром будем называть безразмерный комплексу в котором все размерные составляющие считаются заданными по условию задачи). 91
Окончательно, уравнение (2.99) в безраз!мерном виде запишется следующим образом: dW_ _ . q 2]00 dFo dx'* + Qy* + d2’* 1 где W(x', y', z‘, Fo) = [T(*, y, z, t) — Tv\/{Tt — T0). (2.101) Заметим, что если нестационарный процесс периодический, то в качестве масштаба времени можно взять продолжительность од¬ ного периода /пер. Тогда безразмерное время, отсчитываемое от начала периода, можно выразить / = ///пер, a Fo — а/пер//о и в этом случае этот комплекс становится уже параметром задачи. В апе риодическом процессе теплопроводности не существует характерного промежутка времени, имеющего смысл естественной масштабной единицы, поэтому в такого рода процессах в качестве безразмер¬ ного переменного времени и выбирается число Фурье Vo = at/II. Для стационарного процесса гз уравнение теплопроводности д2Т/дх2 + д2Т/ду2 + д2Т/дг2 + qv/X = 0 (2.102) начальная температура Т0 не входит в условие задачи и критерий Qv использован быть не может. За начало отсчета температуры тела может служить температура среды, в качестве масштаба тем¬ пературы можно использовать параметр qJl/K, имеющий размер¬ ность температуры. Таким образом, в случае (2.102) вводим размер ные переменные по формулам (2.98) и безразмерную температуру по формуле W(x\ у\ г') = [Т(х, у% г)—Тc]/(qvll/X). (2.103) Уравнение (2.102) в новых переменных имеет вид д 2Wtdx'2 + d2W/dy'z + д 2Wldz'2 +1=0. (2.104) Заметим следующее: подстановка (2.101) для уравнения (2.96) введена при условии постоянной начальной температуры. Если начальная температура тела переменная, то безразмерная темпера¬ тура- может быть введена и для нестационарного процесса с помощью подстановки (2.103). Например, рассмотрим краевую задачу {х> у’ г)€°’ t>0; (2Л05' т (*, у, г, 0) = Ф0(Х, У, г), (ху Уу z)gG; (2.106) (дТ/дп) \Si = -h(T\Sl-Tc)y t > 0; (2.107) — А, (дТ/дп) \Si = q9 t > 0; (2.108) Q= const, q = const, Tc = const, S = Si+S2. Запишем (2.105) —(2.108) в безразмерных переменных. Введем последовательно: 1 х'=х/10у yf = у!Iq\ г =z//0; Fo = a*//jj; 2) W (x'f y't г', Fo) = [r(*, y} z, t)— -Tc]/(Ql$-i). Уравнение (2.105) запишется в виде dW d2W , d2W , d2W
Начальное условие (2.106) имеет вид №(*', У’, 2'. Fo)|fo-o = ®0(*', У', г'), (х', у', z')£G\ (2.110) где ф,', (*\ у'< *') = №<>(•*. у, г)—T’cl/(QioA)> (0'=o/W- Граничное условие (2.107) преобразуется следующим образом. Обозначив через /г' = /г//0 и записав (2.107) в виде (дГГ-Ге. 1 =_h\J~T с 1 W QW . к . W к найдем, учитывая, что д/дп — {д/дп') {дп'/дп) = (1//0) (д/дп'), 1 cWI MV71 —j 5—г с ' = — Л lv к ' ИЛИ -3-7- /0 pi ^ В граничном условии появился еще один безразмерный параметр — число Био Bi—hl0 или Bi=a/0A. Таким образом, граничное условие (2.107) в безразмерных переменных окончательно имеет следующий вид: 61 "'к- вЛ|" Аналогичным образом преобразуем граничное условие (2.108). Перепишем его в виде ( д [Т{х, у, z, 0 — I _ №А)к \дп' [ qw J/s; * откуда получим где qi=q/Ql0 — безразмерная величина. Сравним между собой решения краевых задач (2.105) — (2.108) и (2.109) — (2.112) в случае, когда область G, например параллелепипед 0<х</о, O^Q/^/i, 0^г^/2. Для задачи (2.105) — (2.108) решение Т(х, у, z, t) есть функция, зависящая от следующих переменных и па¬ раметров: Т=Т(х, у, z, U Тс, Q, q, К с# р, а, /0, /ь /2). (2.113) Для решения W(x', у\ 2', Fo) задачи (2.109) — (2.112) можно записать W=W(x'y у\ 2', Fo, Bi, qu IJU, /2//0). (2.114) Если сравнить выражение (2.113) с (2.114), то видно, что последнее содержит значительно меньше определяющих параметров. Если в решение задачи (2.105) — (2.108) параметры с, р, X, /0, /ь /2, а, 7С, qt Q входили как отдельные величины, каждая из которых по-своему влияла на температурное поле 7\ то в решение задачи (2.109) — (2.112) эти величины входят в состав немногих комплексов Fo, Bi, qly lJlQy IJIq и безразмерная температура определяется лишь восемью без¬ размерными независимыми переменными и параметрами против четыр¬ надцати для размерной температуры. При этом важно изменение самих безразмерных комплексов и не имеет значения, как изменяются сами 93
размерные величины, из которых составлены эти комплексы. Таким образом, если найдено аналитическое решение задачи (2.109) — (2.112), то полуденный результат автоматически распространяется на бесчис¬ ленное множество тепловых явлений, которые объединяются в одну группу вместе с исходным (2.109) — (2.112) при выполнении ряда тре¬ бований, заключающихся в том, чтобы одинаковым значениям безраз¬ мерных величин действительно отвечали подобные явления. Для этого необходимо: а) геометрическое подобие тел; б) подобие их физической структуры; в) подобие начальных состояний; г) подобие граничных условий, т. е. условий теплового взаимодействия тела на граничных поверхностях с окружающей средой. Безразмерные комплексы, появляющиеся при переводе исходной краевой задачи теплопроводности к безразмерному виду, конструиру¬ ются на основе соответствующих аналитических зависимостей, имею¬ щих место в математической модели процесса. Следует отметить, что способ их образования при этом не единственный и одна и та же исход¬ ная задача может иметь различное представление в безразмерном виде. Все зависит от содержания конкретной задачи, от той цели, которая ставится перед ее решением. Рассмотрим в качестве примера задачу на нагревание конечного сплошного цилиндра О^г < R, с постоянной температурой Г0, помещенного в среду с постоянной температурой Тс (Тс > Т0). На поверхностях r = R, z — 0 выполняется закон теплообмена Ньютона; на поверхности z = / задан тепловой поток ^ = const; во внутренних точках тела имеется тепловой источник, выделяю¬ щий в единице объема в единицу времени количество теплоты Q= const; предпо¬ лагается также, что твердое тело движется с постоянной скоростью в направле¬ нии оси z. Запишем соответствующую краевую задачу теплопроводности (имея в виду осевую симметрию процесса): '+£ дТ { дЧ , \ дТ . дЧ \ дТ dt ~а \ дг3 г дг dz2 J V dz 0<r < R, 0 < z < /, t > 0; (2.115) T\tmо=П; -|£-|f=R=—M7’lr=/?—т’с); IT(r, z, oi< + co, r^o- (2.lie) (dT/dz)z=o = h (T |г_0 — Tc); -X(dT/dr)z=l = q. (2.117) Вводим безразмерные переменные: r' =^r/R\ z' = zJR\Fo = at/R2; W (r',z't Fo) = = (Tc — T)l(Tc—Го). Преобразуем вначале уравнение (2,115) dW лп7/ , / с x *>R dW , QR2 = \W(r\ z't Fo)—— “згг + тТт1 т~\ • (2118) dFo v, , , w a dz, -r X(Tc_Tq) • В правой части уравнения (2.118) выделились два безразмерных комплекса и0 = 1)Rla и Q'v = Q#2/[X (Тс — Т0)]. В процессе преобразования граничных усло¬ вий (2.116) и (2.117) выделяются еще два безразмерных комплекса: число Bi —hR и q'v = qRl{K(TQ — Т0)]. Окончательно получим следующее представление задачи (2.115) —(2.117) в безразмерном виде: dWidFo = bW {r't z*, Fo) — v0 (5 W/dz') + Q'v, 0 <,r' < 1, 0 < z' < l/R; Fo > 0; (2.119) U?|fo = o= 1; dWfdr' |r,= l=-Bi W \г,_л\ (2.120) dWldz' |2- = „ = Bi W |z.= 0; dWldz’\2,^:R = -q'v-, W (r, z', Fo)/< + oc, r' 5= 0. (2.121) 94
Как видно из задачи, tF=tt7(r', г', Fo, v0, Q'v, Bi, q' , l/R). Рассмотрим еще одну безразмерную форму задачи (2.115) — (2.117). Введем, как и выше, безразмерные переменные л', z', Fo и безразмерную температуру вида W (г', г', Fo) = (rc — T)/(QR*/X). Преобразуя исходную задачу, получим: dW/dFo = Д W7 (г', г', Fo) — v0(dW/d2') + l, О < 1, 0 < z' < ///?, Fo > 0; tf|Fo-o“ W. dW'dr' = , =—Bi V^|r. = 1. dW!dz' |z' = 0 = Bi W\z' = o’> |г' = //Я = Я1* lQi = q/(RQ)]\ I W(r', z', Fo) | < + oo, r'^0. Решение этой задачи зависит от следующих переменных и па¬ раметров: W = W(r\ г', Fo, b0f Qv, Bi, ql9 l/R). § 5. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВОК КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Выше отмечалось, что постановка краевых задач теплопроводности содержит некоторые (краевые) функции, входящие в начальное и граничные условия задачи. Очевидно, что решение задачи также зави¬ сит от этих функций, так как распределение температуры в теле в конечном счете определяется его начальной температурой, тепловым состоянием граничной поверхности тела (граничные функции) и на¬ личием в теле тепловых источников (или ctokqb). Краевые функции задачи обычно определяются из опыта и поэтому не могут быть найде¬ ны абсолютно точно. Всегда неизбежна некоторая погрешность в определении начальных или граничных условий. Эта погрешность будет сказываться и на решении задачи, а так как краевая задача опи¬ сывает реальный физический процесс, то решение этой задачи должно характеризоваться функциями, непрерывно зависящими от краевых функций задачи. Если бы не было этой непрерывной зависимости, то два существенно различных процесса теплопроводности могли бы соответствовать практически одинаковым системам краевых функций задачи (различие которых лежит в пре¬ делах точности измерений), т. е. решение задачи существенно зависело бы от погрешностей измерения. В этом случае процесс теплопроводнос¬ ти (как, впрочем, и любой другой процесс, описываемый соответству¬ ющими краевыми задачами) нельзя было бы считать физически опре¬ деленным такими исходными данными задачи. Решение той или иной краевой задачи для какого-либо дифферен¬ циального уравнения или системы уравнений является у с т о й- ч и в ы м (относительно краевых функций задачи) или непрерывно зависит от краевых условий, если каким бы ни было положительным число е, найдется положительное число б, когда при изменении крае¬ вых функций задачи на величину, не превосходящую по абсолютному значению числа б, решение получает в каждой точке рассматриваемой области и ее границы приращение, по абсолютной величине не превос¬ ходящее е. В этом случае соответствующий процесс называется физи¬ чески определенным. • 95
Краевая задача для какого-либо уравнения или системы уравнений в рассматриваемой области поставлена корректно, если решение этой краевой задачи в указанной области существует, единственно и является устойчивы м. Приведем пример некорректной постановки задачи. Как показал Адамар, задача Коши для уравнения Лапласа д2Т/дх2-{-д2Т/ду2=0 в области |х|<Соо, 0<г/<1, при условиях Т(ху 0) = 1; дТ(х, 0)idy = (l/k) х X sin kx поставлена некорректно. Действительно, решение этой задачи есть Т(х, y) = (\/k2) sh kysin kx. При k-+oo краевая функция (Mk) sin равномерна относительно x; однако решение задачи в указанной области прил^тя (т=0, ±1, ±2, ...) не стремится к нулю, т. е. (l/k2) sh kysin кхфО при хфтп и &->оо. Если поставленная краевая задача теплопроводности имеет не¬ сколько решений, то слова «решение задачи» теряют смысл. Поэтому прежде чем говорить о решении задачи, необходимо доказать его единственность. Мы покажем ниже, что решение каждой из поставлен¬ ных краевых задач единственно. Для практики наиболее существенным является вопрос 2), так как нахождение решения тем или иным ана¬ литическим методом фактически означает доказательство существова¬ ния решения. Нахождению решений разнообразных краевых задач теплопроводности, собственно, и посвящена эта книга. Что касается устойчивости решения краевой задачи, то, как будет показано, процесс распространения теплоты физически определяется своими начальной функцией Ф0(Л4), граничными функциями ф(М, t) и функцией теплово¬ го источника /(М, t) в правой части уравнения теплопроводности. Перейдем к рассмотрению вопроса единственности решения краевых задач (2.34) — (2.38), записав их для краткости в следующем виде: dT/dt =аАТ (М, t) + f(M, t), М £ G, / > 0; (2.122) Т(М, 0|/-о=Ф0(М). MeG( = G + S)- (2.123) $,[дТ(М, /)/<?п]—р2Г(М, t) = — <p(M, t), M£S, />0, (2.124) где Р1 + Р2 > 0. Если Pi = 0, Р2 = 1» то имеем первую краевую задачу; если Р2 = 0, р! = ^ (I—теплопроводность), имеем вторую краевую задачу; если pt = — X, Р2 = а[ф(Д4, t) = aТср, а—коэффициент теплоотдачи], имеем третью краевую задачу. Пусть Tt(M, t) и Т2(М, t)—два различных решения задачи (2.122) —(2.124) и U (М, t) = T1 — Т2. Функция U (М, t) является решением однородной задачи dU/dt =а (Му /), M^G, t> 0; (2.125) (/(М, 0) = 0, M€G; [?>AdU/dn)-P2U]Mts = Q, 0. (2.126) Рассмотрим интеграл •/(о=тШ(/,(Л1, 96
имеем <2127) G G Запишем формулу Остроградского $$$div[£(M, 0]dK=5j£-«dCT (2.128) G S и положим в ней E=UyU. Так как div (U VU) = U div VU + (\Uy = U VU + (VU)\ ttVU = dU/dn, (2.129) то получим из (2.127), (2.128), (2.129) 4f4Sw|>-‘1.ro<Wdl'- (2.130) S G Из (2.130) находим для первой и второй краевых задач, учиты- вая, что t/|5 = 0 или (dU/dn) |5 = 0, 4f-=-»SW<Wdl/' G В случае третьей краевой задачи в (2.124) должно быть — ХдТ/дп = а [Т — Тср]; отсюда имеем для U (М, /); dUldn = — (a/X)U, M£S, t^O и S G Для всех трех краевых задач 0. Это означает, что J (t) все время убывает. Но У (0) = 0, следовательно, J(t)^ 0. Однако согласно определению, J (0^0. Единственным выходом из этого противоречия является J (t) = 0, а значит, и U (/) = 0, т. е. Тх = Т2. Таким образом, решение каждой из трех краевых задач_ в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области един¬ ственно. Такой же вывод получается для двумерных краевых задач в классе функций, удовлетворяющих условиям применимости формулы Грина (см.: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и ин¬ тегрального исчисления, т. 3. Наука, 1969). Для этого достаточно, пользуясь формулой Грина, рассмотреть интеграл ./ = (1/2) U2\[x, G у, t)do. В случае одномерных краевых задач следует рассмотреть i интеграл J = (1/2) {j U (х, /) dx. Несколько сложнее доказать един- о ственность решения для краевых задач обобщенного типа. Впрочем, 4-339 97
для первой краевой задачи Т(х, 0) = Ф0(х), 0<*<</(0); Т(0, t) = (Pi(t)> т[{/(0> *] = Ф*(0* можно по-прежнему рассмотреть интеграл У И) J (0 = у j* иг(х> Od*- о Так как «и.. 4+Tut**—< то опять приходим к утверждению, что Т1 = Т2. В случае второй или третьей краевой задачи обобщенного вида доказательство единственности решения меняется. Действительно, рассмотрим для определенности третью краевую задачу: dTidt=a(d*Tidx2) + f{x> /), 0 <x<y(t), 0 'j Т(х, 0)=ФДдс), 0<*<i/(0) = #0; I а7'/^|яии = л1[Г|,ж,-ф1(0]. t>b f K } dT/dx\x=uit) = -h2[T\x=u(t) — ф2(<)]. t> 0 J и докажем единственность ее решения. Пусть по-прежнему функция U (х, /) = Т,(х, t) — Т 2(х, t) является решением однородной задачи для (2.131). Используя формулу div рЕ = pdiv £-f £V/7, (2.132) положим в ней p = U(x, /), £ = grad{/(x, 0» тогда получим (У div (grad (У) = div (U grad U) — (VU)2. Проинтегрируем обе-части этого равенства по области 0 ^x^y(t) у ф y(t) y{t) 0 0 о или У (О УФ y(t) 0 0 0 Используя однородные граничные условия для (У, получим уф y(t) J -£-(l/*)d* =-2а [МУ* (*,(/), П+^иц0, Oj-e J (4г)2(1л:- и о (2.133) Проинтегрируем равенство (2.133) по t на промежутке [0, С]> где 0 < t"0 ^ /0 — некоторое произвольное значение t. Получим, 98
учитывая, что (л:, 0) = 0: У (О Г *о j U*(x,t;)dx = —2a h2§ и* ({/((), t)dt + о L о fo 1 *0 у (О + ft1>’(0, 0 dt -fl J j (^ydxdt. О J о о Так как правая часть неположительна, а левая — неотрицательна, то отсюда следует, что y(t) J U2(x, /J)dx = 0, о откуда U(х, t*0) = 0 для произвольного t*0 > 0, т. е. Тг (х, t) == Т2 (х} t). Подобным образом можно было бы рассмотреть единственность решения краевых задач с граничными условиями сопряжения, а также и сложные случаи граничных условий. Желающих ознакомиться с более общими теоремами существования и единственности решения краевых задач уравнения теплопроводности с гладкими и разрывными коэффициентами (система сред), имеющего достаточно общую форму записи, можно отослать к специальной лите¬ ратуре [81, 82, 126, 147]. Мы не останавливаемся также на вопросах непрерывной зависимости решения одномерных краевых задач тепло¬ проводности обобщенного типа от границы, т. е. от изменения кривой x=y(t) (0^^/о), задающей боковую границу. Эти вопросы для урав¬ нения теплопроводности с гладкими и разрывными коэффициентами рассматриваются в работе [52]. Заметим далее следующее. В постановке задачи (2.122) — (2.124) предлагается выполнение условий согласования начальной и граничной функций и непрерывность краевых функций задачи. Этим самым автоматически определяется класс функций Т(М, /), для кото¬ рых справедлива теорема единственности. Можно, однако, отказаться от выполнения этих условий и сформулировать теорему единственно¬ сти при более слабых предположениях. Так, например, для случая кусочно-непрерывных, не сопряженных на¬ чальной функции Ф0(М) и граничной ф(М, /) в первой краевой задаче dT/dt = aAT(M,t), Mg 0, * > 0; (2.134) Г(Л1, 0) = Ф0(М), М £ G; Т{М9 /) = ф(М, 0. / >0(2.135) функция Т (М, /), удовлетворяющая (2.134) — (2.135), определяется однозначно начальной и граничной функциями, если: а) Т (М, t) непрерывна в точках непрерывности функций Ф0(М) и ф(М, /); б) Т (М, t) ограничена в замкнутой области Q(MgG, 0^/^/0), где /0—произвольное положительное число. Перейдем к рассмотрению единственности решения краевых задач стационарной теплопроводности. Рассмотрим сначала внутренние краевые задачи для конечных областей (для определенности про¬ 99
цесса нагревания для второй и третьей краевых задач) ДГ (Af) + (1 A) F (М) = О, М € G; (2.136) pjarowj/dn] —р2Г(М) = — ф(М), m^s. (2.137) Справедлива следующая теорема: решение первой и третьей внутренних задач (2.136) — (2.137) единственно в классе функций Т (М) непрерывных в G + S ( = G) вместе с частными производными первого порядка по координатам точки М. Пусть Тt(M) и Т2(М)—два различных решения задачи (2.136) — (2.137) и 0 (М) = ТХ — Г2, где U (М) удовлетворяет однородным уравнениям Д£/ = 0 в G и ^^dU/dn)—13 (/ = 0 на S. Покажем, что U = 0. Для доказательства положим в формуле (2.132) E = VU и p = U, тогда [см. (2.129)] U AU == div (UvU)-(vU)*. (2.138) Проинтегрируем обе части этого равенства по области G и восполь¬ зуемся формулой Остроградского для первого интеграла в правой части равенства. В результате получим Ш('АУ“к=П1'^МП(ти)’111'' <2|39) G 3 G Так как в GMJ — 0, а на S выполняются однородные условия первой, второй или третьей краевых задач, то из формулы (2.139) получаем в случае первой (и второй) краевой задачи 5$$(Vt/)W = 0 (2.140) G и в случае третьей краевой задачи 55 J(Vt/)*dK + (oA) 55 и*йо = 0. (2.141) G S Из этого вытекает, что в G градиент равен нулю 4U = 0, откуда следует, что U (М) — const в G. А так как решение U (М) непре¬ рывно в замкнутой области G и t/(A4) = 0, MgS, то всюду в G выполняется U (М) = 0, т. е. Т1 = Т2. В случае третьей краевой задачи из (2.141) следует, что каждый интеграл равен нулю, откуда £/(М)е=0 в G и Тг = Т2. Для второй краевой задачи (задачи Неймана) из (2.141) выте¬ кает следствие: решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной постоянной. Действительно, из (2.139) следует, что yU == 0, М £ G или U (М) = const, т. е. 7\(М) = ==Г2(М) + const. К задаче Неймана обычно приводят физические проблемы, для которых появление постоянного слагаемою в реше¬ нии либо несущественно (если выбор начала отсчета значений функции может быть произвольным), либо это постоянное слагаемое определяется из дополнительных требований к поведению функций Т на границе. Остановимся сейчас на этом вопросе и одновременно 100
получим условие существования решения внутренней краевой задачи Неймана. В формуле (2.132) положим вначале p=U(M), £ = grad Т (М), а затем р = Т (УИ), E = gradU (М) и проинтегрируем обе части этого равенства по области G, преобразуя затем по формуле Остроград¬ ского интеграл в левой части равенства. Получим в обоих случаях: G S G Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим формулу Грина для оператора Лапласа: Щ(идг_гдс/,ак=^(«4|-г »)<!,, ,2.142) G S Положим теперь в формуле (2.142) U = —1, а в качестве Т (М) возьмем решение уравнения стационарной теплопроводности (2.136), непрерывное вместе с частными производными первого порядка в (G + S): <2N3> S G Рассмотрим теперь’внутреннюю задачу Неймана: —ХдТ (М)/дп = = ф(М), MgS. При произвольных функциях ф(М) и F (М) (даже непрерывных) вторая краевая задача может не иметь решения. Так как на поверхности S известно значение дТ/дп, то для разреши¬ мости задачи Неймана должно выполняться условие (2.143) или $5<p(M)da=$$$/:’(M)dV. (2.144) S G Легко понять физический смысл соотношения (2.144). Для существо¬ вания решения второй краевой задачи уравнения Пуассона в огра¬ ниченной области G(=G+S) при стационарной теплопроводности не¬ обходимо, чтобы количество теплоты, образующееся в области G за время М от действия внутренних источников теплоты, было равно суммарному тепловому потоку, уходящему через границу области S за тот же промежуток времени. В частности, если F(M)=0, то из (2.143) найдем условие существо¬ вания решения второй краевой задачи для уравнения Лапласа (2.145) S S Заметим, что для первой краевой задачи единственность решения справедлива при непрерывности решения в G, но не требуется непрерыв¬ ности его первых частных производных в замкнутой области. Часто встречается также первая краевая задача с разрывными гра¬ ничными условиями. Очевидно, функция, непрерывная в замкнутой об¬ 101
ласти G, не может быть решением этой задачи, поэтому выше была уточнена постановка краевых задач применительно к данному случаю. Можно показать [137], что если функция Т(М) удовлетворяет в области G уравнению Лапласа ДГ=0, непрерывно примыкает к граничным значениям в точках непрерывности кусочно-непрерывной граничной функции ц>(М) = Т(М)\м€>s и ограничена в замкнутой области Gy то решение первой краевой задачи единственно. Что касается задачи Неймана, то здесь также имеется доказательст¬ во единственности решения при наиболее общих предположениях, накладываемых на краевые функции задачи (см.: К е л д ы ш М. В. и Лаврентьев М. А. ДАН СССР, т. XVI, 1937; Смир¬ нов В. И. Курс высшей математики, т. IV. Физматгиз, 1958). Для единственности решения внешних краевых задач стационар¬ ной теплопроводности от рассматриваемых решений нужно требовать выполнения специальных условий на бесконечности. Действительно, если решать первую внешнюю краевую задачу в пространстве, огра¬ ниченном изнутри сферой радиуса R с постоянным граничным условием T(R) = T0y то, опуская условие равенства нулю решения на бесконеч¬ ности, можно получить серию различных решений Тг (г) = Т0\ Т2(г) = = T0Rlr, решением является также и любая функция Т (r)=CiTi(r)+ Л-с2Т2 (г)у где Сх и с2 — произвольные постоянные; Ci+c,= l. Приведем одну из теорем единственности решения внешних крае¬ вых задач. Функцию Т (М), определенную в области G*, внешней по отно¬ шению к замкнутой поверхности S, ограничивающей область £/, будем называть регулярной на бесконечности, если при стремлении точки М к бесконечности сама она стремится к нулю как сх/гмм^ а ее частные производные первого порядка стремятся к нулю как с2/г2мм0- Здесь сх и с2—некоторые постоянные величины, а гМм0— расстояние от точки М до некоторой фиксированной точки М0(гМм, = У(х—Х0)г + (у—Уо)г + (г—г0)г. Справедлива теорема (для трехмерного пространства): решение внешней краевой задачи AT(M) + (l/X)F(M) = 0, M€G»; (2.146) р.ГаГ (М)/дл1—Р,Г(М) = — ф(М), М g S; lim Т(М) = 0, (2.147) М -► 00 непрерывное в замкнутой области G * вместе с частными производными первого порядка и регулярное на бесконечности, единственно. Заметим, что для двумерных краевых задач достаточно потребовать, чтобы искомое решение было ограниченным на бесконечности, а частные производные первого порядка равномерно стремились к нулю, как const/r^Av Условие (2.145) сохраняет свою силу и во внешней задаче. При доказательстве единственности первой краевой задачи ис¬ пользовался тот же прием, что и при доказательствах для второй и третьей краевых задач. Это было вызвано целесообразностью единства рассуждений. Однако в случае первой краевой задачи предполагалось 102
существование производных искомой функции на поверхности S, что, вообще говоря, самой постановкой задачи не предусматривается. Доказательство единственности решения первой краевой задачи, ос¬ нованное на принципе максимального значения [137], свободно от этих недостатков. Заметим также следующее: рассматривая условия един¬ ственности решения краевых задач нестационарной и стационарной теплопроводности, предполагалось, что эти решения существуют. До¬ казательство существования решений краевых задач теплопроводности представляет собой весьма сложную математическую проблему, кото¬ рая требует развития специального математического аппарата, далеко выходящего за рамки аналитических методов, которые обычно приме¬ няются при нахождении соответствующих температурных полей. Впро¬ чем, как отмечалось, одним из возможных приемов доказательства существования решения краевой задачи является его непосредственное нахождение. Отметим также, что аналитическая структура решений краевых задач нестационарной теплопроводности такова, что эти решения существуют, когда краевые функции задачи являются не слишком гладкими; иными словами, в результате применения опреде¬ ленных операций в аналитическом решении задачи происходит сгла¬ живание разрывов краевых функций и сами решения оказываются достаточно гладкими. В то же время для уравнения стационарной теп¬ лопроводности аналитические решения краевых задач существуют толь¬ ко тогда, когда краевые функции задачи являются достаточно глад¬ кими; это обстоятельство практически не является слишком ограничи¬ тельным при постановке краевых задач, так как любое граничное условие процесса теплопроводности с определенным физическим смыс¬ лом можно аппроксимировать сколь угодно точно достаточно гладкими функциями, и это приближение будет иметь тот же физический смысл, что и исходное условие. При этом сами решения всегда оказываются не менее гладкими (в смысле существования у них определенного числа непрерывных производных), чем определяющие их краевые функции. Обычно во внутренних точках области определения дифференциального уравнения теплопроводности они даже дифференцируемьинеограничен- ное число раз. Это свойство решений тесно связано с тем, что к крае¬ вым задачам уравнения Лапласа или Пуассона приводит изучение ус¬ тановившегося (стационарного) процесса теплопроводности — про¬ цесса равновесного, являющегося конечным результатом предшеству¬ ющего процесса выравнивания. Из физических соображений можно заключить, что при этом не только решение задачи, но и граничные функции, достаточно точно передающие природу явления, будут весьма гладкими.' Сформулируем далее несколько теорем, относящихся к свойствам решений краевых задач нестационарной и стационарной теплопровод¬ ности. Теорема I. Если в уравнении (2.122) функции /(М, 0^0, то всякое решение этого уравнения, принадлежащее классу функций С2(Q) р|С° (Q), достигает своего наибольшего значения либо в началь¬ ный момент времени (т. е. в точках области G), либо на боковой поверх¬ ности Sb (при 0<*</„). 103
Теорема II. Пусть f(M, t)^0. Тогда всякое решение уравне¬ ния (2.122), непрерывное в замкнутой области П, достигает своего на¬ именьшего значения или в начальный момент времени (т. е. в точках области G+S), или в точках задания граничных условий задачи (т. е. на границе S при 0 Нетрудно сформулировать физический смысл этой теоремы. Если тело подогревается внутренними положительными источниками тепло¬ ты, то, естественно, оно должно иметь наименьшую температуру или во внутренних его точках в начальный момент времени, или на его границе во все последующие промежутки времени. Теорема III (принцип максимального значения). Решение однородного уравнения (2.122), непрерывное вплоть до границы в зам¬ кнутой цилиндрической или нецилиндрической области П, принимает свои наибольшие и наименьшие значения или в основании этой облас¬ ти G (при /=0), или на боковой поверхности SB области Q (при 0</</0). Переходя далее к теореме о максимуме и минимуме для уравнения стационарной теплопроводности (1.35), напомним, что непрерывные решения уравнения Лапласа (1.35) называются гармоническими функ¬ циями. Теорема IV. Функция Т(х, уу z), гармоническая в конечной области G, ограниченной замкнутой поверхностью S, и непрерывная в G=G+S, не имеет внутри этой области ни максимумов, ни миниму¬ мов, достигая своих наибольшего и наименьшего значений на границе S. Для уравнения Пуассона (2.136) — уравнения стационарной теп¬ лопроводности с источником или стоком теплоты — имеет место сле¬ дующее общее свойство, которым обладают решения этого уравнения. Теорема V. Если в уравнении (2.136) функция F (М) удовлет¬ воряет неравенству F(М)>0 (источник теплоты) всюду в области оп- пределения этого уравнения G, то решение Т(М) уравнения (2.136) не может достигать минимального значения во внутренних точках об¬ ласти G. Аналогичным образом, если /ДМХО (сток теплоты) всюду в облас¬ ти G, то решение Т(М) уравнения (2.136) не может достигать макси¬ мального значения во внутренних точках в области G. В более общей форме принцип максимального значения находит свое выражение в оценках решения Т(М, t) и Т(М) через соответству¬ ющие оценки краевых функций задачи. Эта часть качественной теории дифференциальных уравнений пара¬ болического типа имеет важное значение для практики (например, для установления границ изменения термоупругих напряжений), так как позволяет установить нижнюю и верхнюю границы изменения температурного поля, не решая соответствующей краевой задачи теплопроводности. Желающие могут ознакомиться с этими вопросами, подробно изложенными в монографиях [81], [82] и работе [52]. В заключение остановимся на уравнении стационарной теплопро¬ водности в движущейся среде, имея в виду его многочисленные при¬ 104
ложения и некоторые качественные особенности решений соответству¬ ющих краевых задач для этого уравнения. Полученное в гл. I уравнение нестационарной теплопроводности в движущейся среде (1.80) запишем в следующем виде: Ф (дТ/dt + v grad Т) = ХАТ (М, t) + F (М, t). (2.148) Для постоянных компонентов вектора скорости v это уравнение не¬ сложными подстановками приводится к виду (2.122) и поэтому вопросы единственности решения краевых задач уравнения (2.148) можно рас¬ сматривать, как для уравнения (2.122). Что же касается уравнения стационарной теплопроводности в движущейся среде аАТ (М) — tfgrad Т + —F(M) = 0, (2.149) ср то здесь не удается с помощью какой-либо подстановки привести урав¬ нение (2.149) к виду (2.136). В то же время наличие второго слагаемого в левой части уравнения (2.149) вносит свои существенные коррективы в вопросы единственности решения соответствующих краевых задач, которые следует иметь в виду при исходной постановке задачи. Прежде всего преобразуем уравнение (2.149) с помощью подста¬ новки Т (M) = U (M)tx\)[{\l2a)(xvx-\-yvq +zvz), где vx, vyJ ^ — ком¬ поненты вектора скорости v, которые предполагаются постоянными. Получим AU (М) — c2U (М) = —0 (М), (2.150) где с2 = + (1 /4а) | v |2; 0 (М) = (1/ф) /ДА^хехр [(—1/2a)rv]\ r = xi-\- + yj+zk. Рассмотрим однородное уравнение AU (М) — c2U (М) = 0, M$G. (2.151) Для уравнения (2.151) или (2.150) краевые 'задачи ставятся так же, как и для уравнения Лапласа (или уравнения Пуассона). Однако свой¬ ства решения уравнения (2.151) существенно зависят от того, какой знак стоит в левой части перед функцией U. Для уравнения (2.151) имеет место принцип максимального значения в следующей форме: решение U(М) уравнения (2.151), определенное внутри области G с границей S, не может достигнуть во внутренних точках этой облас¬ ти, в которых оно дважды непрерывно дифференцируемо, положитель¬ ных максимальных (и отрицательных минимальных) значений. Действительно, предположив обратное, т. е. что максимальное положительное значение принимается функцией U (М) во внутренней точке Mi области G, получаем из (2.151): AU(Mi)<^ 0, AU (MJ—OU (Мх)< 0, а это противоречит тому, что в точке Л4г функция U (М) удовлетворяет уравнению (2. 151). Из принципа максимального значения вытекают следствия. Следствие 1. Существует только одно решение первой внут¬ ренней краевой задачи для уравнения (2.150). 105
Следствие 2. Существует только одно решение первой внеш¬ ней краевой задачи для уравнения (2.150) при условии, что это решение равно нулю в бесконечно удаленной точке. Действительно, предположим и в первом и во втором случаях, что существуют два решения U2(M) и их(М) с одинаковыми граничными условиями. Тогда их разность W(M) = U2—Ни с одной стороны, будет решением уравнения (2.151) с нулевыми граничными условиями, а с другой — должна принимать положительное максимальное значение во внутренней точке области, в которой эта разность дважды непрерыв¬ но дифференцируема. Но это противоречит принципу максимального значения для уравнения (2.151), отсюда №(Л4)=0. Для краевых задач уравнения (2.150) имеет место следующая теоре¬ ма *: решение второй и третьей внутренних краевых задач для урав¬ нения (2.150) в некоторой области G единственно в классе функций С2+а (G). Перейдем теперь к уравнению MJ (M)+c2U{M) =0, (2.152) которое внешне отличается от уравнения (2.151) только знаком при c2U(M). Однако уравнение (2.152) отличается уже принципиально от уравнения (2.151) как с точки зрения общих свойств решений, так и с точки зрения постановки и единственности решения краевых задач для этого уравнения. Для решений уранения (2.152) не имеет места ни прин¬ цип максимума, ни (в общем случае) единственность решения первой, второй и третьей краевых задач. Об этом говорит следующий простой пример. Рассмотрим первую краевую задачу следующего вида: d2U/dx2+d2U/dy2+ (2n2/l2)U=0, 0<Х/, 0<у<1; (2.153) U(0, £/) = ty(/, y) = U(x, 0) = U(x, 0=0. (2.154) Нетрудно убедиться при непосредственной проверке, что решением этой задачи является функция U(х, y)=s\n(nx/l) sin(ju//0, не равная тождественно нулю. В то же время другим решением задачи (2.153) — (2.154) является U(х, у)= 0, что следует непосредственно из постановки этой задачи. § 6. РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ Довольно часто решение краевой задачи теплопроводности в двух- или трехмерной областях можно записать в виде произведения решений одномерных задач. Для этого начальная температура должна выражать¬ ся в виде произведения функций, каждая из которых зависит от * Сравнить с теоремой единственности решения краевых задач (2.136)—(2.137). Через С2+а (G) обозначено множество непрерывных в G функций по всем аргу¬ ментам до второго порядка включительно и удовлетворяющих по всем аргументам условию Гельдера с показателем а(0<а<1) [функция f (х) удовлетворяет условию Гельдера (непрерывна по Гельдеру) с показателем а в области X, если для любых и к2^Х справедливо неравенство | / (лг2) — f (*i) | <С0 | х2 — х{ \* (С0= const). Если а=1, то / (х) называется непрерывной по Липшицу на X]. 106
одной пространственной переменной, а граничными условиями должны служить условия либо нулевой температуры, либо нулевого потока, либо теплообмена со средой нулевой температуры. Сказанное поясним на решении следующей тепловой задачи: . 1 дТ _ дП дП д2Т a dt дх\ + дх\ + дх\ ’ О <*,</„ t> 0, /=1, 2, 3; (2.155) T(xt, х2, 0) = Ф10 (*,) Фа0 (хг) Ф30 (*3); (2.156) (Pu|r-P«7’k-o“0.'l ) д£ , /=1,2,3. (2.157) (Puf +&<T)xr_ir0 j Здесь для краткости рассуждений назависимые переменные обо¬ значены через х1У х2, х3 (а не через х, //, г, как обычно). Покажем, что решение краевой задачи (2.155) — (2.157) можно выразить в виде произведения решений одномерных задач Т (х1У х2, хЗУ t) = Tl(xl, t)-T2(x2> t)-T9(x„ 0» (2.158) если Tt(x(y t) удовлетворяют условиям (t = l, 2, 3): дTt!dt = a (d2Tt/dx\)y 0 < xt < /„ t > 0; (2.159) Ti(x(, 0) = Ф/0(*/); ($цдТt/dx{ — fi2iTl)Xi=o = 0\ (Pi/ dT i/dxi + рг/7" t)xi=il = 0. (2.160) Подставляя (2.158) в (2.159), получим гр гр / дТj д2Т\\ * гр гр (дТ2 д2Т$\ . гр гр / дТ3 д*Т3\ л так как выражения в скобках равны нулю [см. (2.159)]. При этом очевидно, что удовлетворяются начальное и граничное условия (2.156) —(2.157). Рассмотрим далее так называемую однородную задачу на собст¬ венные значения и собственные функции для краевой задачи (2.155) — (2.157). Однородная задача имеет вид AY(xlf^f x,) + y1T = 0, <)<*,<■/, (/ = 1,2,3); (2.161) \Ри№дХ')-РЛ.=о = 0; [К/(ат/а^)+рдаг//во. (2.i62) Покажем, как и выше, что собственные функции можно предста¬ вить в виде произведения ^(*1, х„ х3) = (*1)-4'2(x2).'Fa(*g), (2.163) если являются решениями следующих однородных задач: d24Vd*r + YJV, (xt) = 0, 0 <*,</, (/=1, 2, 3); (2.164) [pif(dY#/(bf,)-p2#Vf]rr0=0; \Ри (d^t/dxt) + Р^,]^. = 0. (2.165) 107
Здесь собственные значения у2 равны сумме Y2==Yi + Y2 + Y3- Дейст¬ вительно, подставив произведение (2.163) и Y2 в виде суммы в (2.161), получим так как каждое из выражений в скобках равно нулю в силу (2.164). При этом удовлетворяются и граничные условия (2.162). Этот результат имеет,практическое значение, так как позволяет при отыскании собственных функций в многомерных областях исполь¬ зовать более простые выражения для одномерных областей в комбина¬ циях (2.163). Аналогичное положение остается справедливым и для случая комби¬ нированного радиального и осевого потоков в сплошном или полом ци¬ линдре: Решение Т (лд, х2, t) может быть представлено в виде произведе¬ ния решений более простых задач: Т (xlt x2i t) = Ti(xil t)T2(x2> t), где Ti и T2 удовлетворяют условиям: При отыскании собственных значений и собственных функций соответствующей однородной задачи (Р^^ + РЛ..* =0; (p.; + (2.168) ад (Wjdxl + Yi^) + ад (d'4Vd*S + Y^) + + ад (d2Y3/d^3+Y^) = o, /г<*2</2; *>о; Т (хи х-2, 0) = Ф10 (Х,)-Ф20 (*2); (р,, дТldxi—PjjT)*, = R, = 0; (Р21 дТ[дхх + Р^)*,=R, = 0; (р; дТ/дх2—р]'2Т')*;_/| = 0; (р;, дТ/дхг + рпТ)Хгы.. = 0. можно записать V(xlt AJ= y^xj Va(*e), Y4 = Yf + Yi. 108
где (Xj) и xF2 (*2) удовлетворяют условиям: i!Ii4-_LiZi4-v2V -0 R ^ г ^ R dx\ *1 djcj +V.V.-0. t<i<Xt<Ht, d2^ ■7^2 = 0. h<x2< /2; (ft, dTydjc,= О, ф[, dTi/dx1-p{,Y1),,«/1 = 0; Ф21 dTt/djCi+!№,.=*, = o, os, d4yd*2+pi.T,),,.,.=o. ГЛАВА III МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ (МЕТОД ФУРЬЕ) ВВЕДЕНИЕ Изложение аналитических методов теории теплопроводности начинает¬ ся с метода разделения переменных, одного из наиболее эффективных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных. Можно сказать, что этот метод лежит в основе почти всех аналитических методов решения краевых задач теплопроводности (метода интеграль¬ ных преобразований, метода функции Грина, метода продолжений, метода произведений, метода источников и стоков) и если решение зада¬ чи не удается получить методом разделения переменных, то другие подходы также не дадут положительного результата. В литературе этот метод часто встречается под названием метода Фурье или метода соб- ственных функций. Идея метода заключается в следующем: решение краевой задачи для уравнения в частных производных (каким является уравнение теплопроводности) сводится к решению вспомогательных краевых задач специального типа для обыкновенных диф¬ ференциальных уравнений, методика решения которых разработана достаточно хорошо. Затем для исходного уравнения в частных производных строятся частные решения в виде про¬ изведения найденных решений вспомогательных краевых задач и берет¬ ся их линейная комбинация с постоянными коэффициентами в виде бес¬ конечного ряда, который дает общее решение исходной краевой задачи (иногда этот метод называют также методом частных решений). Для применимости метода существенным является: 1) линейность урав¬ нения в частных производных; 2) линейность краевых условий в ис¬ ходной задаче. Типичными задачами теплопроводности, для решения которых на практике применяется метод Фурье, являются краевые задачи в ограниченных областях, хотя этот метод может быть применен и в неограниченной, и в полуограниченной (совместно с мето¬ дом продолжений) областях, но с меньшим успехом. В основу метода положено представление искомого решения теп¬ ловой задачи в виде ряда Фурье по некоторой системе ортогональных 109
функций, найденных при решении упомянутой нами вспомогательной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения (так назы¬ ваемой однородной задачи, или задачи Штурма — Лиувилля). В связи с этим рассмотрим сначала (коротко, без доказательств, отсылая за этим читателя к специальной литературе по дифференциальным урав¬ нениям математической физики [1; 2; 54; 114; 137]) некоторые формулы и теоремы, которые служат вспомогательным аппаратом при изложе¬ нии метода Фурье. § 1. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ Пусть <Pl (*), ф2 (*). Фз (*), . . . , Фп(х) • • • (З-1) — бесконечная система непрерывных функций при л:6 [а, Ь], где а—конечно или равно (—оо), b—конечно или равно (+ оо). Пусть также задана на [а, Ъ] непрерывная функция г (*) > 0, называемая весовой функцией, и ограниченный интеграл ъ J г (*) ф* (*) d* < + оо, 1. а Назовем систему функций (3.1) ортогональной относительно веса г (*) на интервале [a, ft], если имеет место условие: с ) 0, пфт, 5 г (X) Ф„ (х) фи (лг) djc = > > о п = m (3.2) а ' а Например, системы функций: а) 1/2, cos л*//, cos 2л*//, ..., cosял*//, ... (п = 1, 2, 3 ...); (3.3) б) sin л*//, sin 2л*//, ..., sin/гл*//, ... {п= 1, 2, 3, ...) (3.4) ортогональны (каждая) на отрезке [0,/] относительно г (*) = 1. Действительно, в случае (3.4) нетрудно проверить \ sin nnx/l sin тлх/l d* = ) ?'* о J //2, п = т. Система функций <р„ (*) = cos р„*+(А/р„) sin цпх, где рп > О— корни уравнения tg р/= 2pft/(jn2—ft2), ортогональна на [0, /] отно¬ сительно г (*) = 1. Можно показать, что при 1 + /i2)/ + 2/i]/2p’, n = m. Назовем нормой функций фп (х) неотрицательное число 1<РЛ| = ио - ь \ Г (х) ф* (х) dx 1/2 (3.5)
и поставим задачу: представить некоторую функцию y=f(x), инте¬ грируемую на интервале [а, Ь], в виде суммы бесконечного ряда по системе функций {ф„ (*)} /(*) = 2 а«Ф.(*)■ (З-6) me I Найдем коэффициенты разложения (3.6). Для этого умножим обе части равенства (3.6) на г (х) <рп (*) и проинтегрируем почленно в пределах от а до Ь, предполагая, что это интегрирование бес¬ конечного ряда законно (позже это предположение должно быть проверено), тогда получим b оо b 5 г (*) / (ж) ф„ (х) dx = '2,ат\г (х) ф„ (х) фя (х) dx. (3.7) а п—1 а Все интегралы в правой части (3.7) при пфт обратятся в нуль (кроме одного, при п = т) в силу условия ортогональности (3.2). В результате, учитывая (3.5), получим ь an==|^|j-J''W/W9nWd^ (3-8) а Числа апУ определяемые по формуле (3.8), называются коэффи¬ циентами Фурье функции f(x) по ортогональной системе функций {флМЬ а РЯД коэффициенты которого определяются по S п формуле (3.8), называется рядом Фурье функции f(x). Итак, поставленная задача формально решена, так как в (3.6) найдены коэффициенты разложения. Однако можно ли при этом сохранить знак равенства в (3.6)? Известно, что интегрирование бесконечного ряда далеко не всегда законно (см. [146], т. II). Отсюда, если мы нашли для f(x) ее ряд Фурье, то это еще не значит, что мы нашли ряд, сходящийся к f(x) (в [142], т. III показано на примерах, что даже непрерывные функции могут иметь ряды Фурье, сходящиеся к другим функциям или расходящиеся в бесконечном множестве точек на [а, Ь]). Но тогда каков же смысл приведенных рассуждений (3.7) — (3.8)? Их можно рассматривать лишь как формальный прием, достаточ¬ ный для построения ряда Фурье функции /(*), с тем чтобы затем проверить, сходится ли этот ряд и притом именно к данной функции. На практике для этой цели используются следующие теоремы. Теорема I. Если ряд Фурье непрерывной функции f(x) 00 2 „ (X), П* I где ь ап = j г (х) I (*) Ф„ (*) dx, (3.9) ill
сходится равномерно в промежутке [a, &], то его сумма равна f(x), 00 т. е. /(*)= 2 апф„(*). Л = 1 Заметим следующее важное обстоятельство. При отыскании ко¬ эффициентов ап в (3.9) исходят из заданной функции / (х) и строят для нее ряд Фурье. В приложении рядов Фурье к аналитической теории теплопроводности дело осложняется еще и тем, что ищут решение Т (M, t) тепловой задачи в виде ряда Фурье по специаль¬ ным системам ортогональных функций (отыскиваемых в ходе реше¬ ния задачи), не зная самого решения, а имея лишь информацию о поведении решения в начальный момент времени / = 0 и на гра¬ нице области G при t^O. Иными словами, в равенстве Т (М, /) = = 21ал(0Ф/|(М) известна только правая часть (в виде ряда) и не имеется явного выражения для функции, представленной своим рядом Фурье. И здесь также возникает серия вопросов, более серь¬ езных, чем в (3.9). Выше было сказано (см. § 3 гл. II), что реше¬ нием тепловой задачи является функция Т (М, t) класса С2 (Q) П С0 (Я) (первая краевая задача) либо класса С2 (Я) п С0 (Й), grad мТ gC°(Q) (вторая и третья краевые задачи). Но, следовательно, всеми этими свойствами должен обладать и найденный ряд Фурье_для функции Т {Му t)y т. е. он должен равномерно сходиться в Я, чтобы его сумма была непрерывной функцией (при условии, конечно, если все члены этого ряда—функции, непрерывные в Я), быть дважды непрерывно дифференцируемым по пространственным координатам при всех t > 0 и непрерывно дифференцируемым по времени * t для всех t > 0 и удовлетворять всем условиям краевой задачи. Про¬ верка указанных свойств найденного ряда Фурье является одной из труднейших задач аналитической теории теплопроводности. Нам понадобится еще одно понятие при рассмотрении метода Фурье, а именно понятие полноты системы ортогональных функций (3.1). Система ортогональных функций (3.1) называется полной [с весом г(*)], если для всякой функции }{х) выполняется равенство (равенство Парсе- валя) г 00 S г М /2 М dx = 2 а\ I Ф„ ||2 (3.10) а п~ 1 при условии, что существуют все выражения, входящие в (3.10). Здесь —коэффициенты Фурье функции f (х) (3.9). В теории теплопроводности нам придется сталкиваться с орто¬ гональными функциями от двух переменных (х и у)} которые пред¬ ставляют собой произведения функций только от х на функции только от у. Замечательным свойством таких систем является то, что свойство их полноты вытекает из свойства полноты системы * При определении класса функции С2 непрерывность Т (Mt f) вплоть до вторых частных производных относилась ко всем переменным. Для уравнения теплопроводности, строго говоря, непрерывными должны быть Г, Tt, Т'м, Т"м2- 112
функций одного переменного, из которых они образованы [114]. Укажем следующую полезную для приложений теорему о полноте системы функций двух переменных. Теорема II. Пусть {ф„(*)Ь (п^1)—полная система ортого¬ нальных функций на отрезке [а, Ь] с весом гх(х) и пусть каждая из систем функций фп1{у)у фп2{у), ..., фпт(у), ... (п>1) —полная и ортогональная на отрезке [<с, d] с весом г2(у). Тогда система функций двух переменных {фЛ(л:)фпт(у)\ будет полной и ортого¬ нальной в замкнутом прямоугольнике A = {a^Zx^.b, c^.y^d\ с весом г {х, у) = г1(х)г2(у). В частности, функции фпт(у) могут и не зависеть от п и можно говорить о системе функций ]ф„ (х) ф^ (у)). Аналогичным образом можно сформулировать теорему о полноте системы функций трех пространственных переменных. В § 6 гл. II был рассмотрен метод произведения при решении мно¬ гомерной краевой задачи (2.155) — (2.157) с однородными граничными условиями (2.157). Теорема II в последующих параграфах будет иметь для нас в связи с этим важное значение, так как она явится обосновани¬ ем для построения многомерных полных и ортогональных систем соб¬ ственных функций, необходимых для решения линейных, плоских и пространственных тепловых задач методом Фурье. Ряды Фурье по полным системам ортогональных функций обладают следующим замечательным свойством. Теорема III. Если система ортогональных функций {фп(х)} полна, то ряд Фурье для каждой функции f(x) с интегрируемым квад¬ ратом можно интегрировать почленно, независимо от того, сходится он или нет, т. е. где а 1 = 1, 2. Были сформулированы необходимые теоремы для рядов Фурье, представляющие суммы функций одного переменного. Все формулиров¬ ки могут быть перенесены и на ряды для функций двух и трех перемен¬ ных (двойные или тройные ряды). С этими случаями нам также придет¬ ся встретиться при решении плоских и пространственных задач теории теплопроводности. § 2. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Переходя к изложению метода Фурье, заметим, что существенным достоинством метода является возможность получать аналитические решения и в неоднородных средах, а также с учетом наличия допол¬ нительных слагаемых в уравнении теплопроводности (характеризую¬ щих, например, движение среды, теплообмен через боковую поверх¬ ность и т. п.). Вначале рассмотрим однородное уравнение теплопроводности и однородные граничные условия, причем для полноты изложения в (3.11) ИЗ
(1.31) теплофизические коэффициенты будем считать переменными, и, кроме того, введем в правую часть уравнения слагаемое, пропорцио¬ нальное температуре. Итак, пусть требуется найти функцию Т.(М, /), удовлетворяю¬ щую в области Q = {M£G, t^0\ условиям (см. § 2 гл. II): P(M)dT/di = d\v[k(M) \Т(М, t)]—q(M)T, MgQ, t > 0; (3.12) Т(М, 0|/ = о=Ф0(М), M€G; (3.13) [Pi(M)<^(M> 1)1дп-$2(М)Т(М, 0]м€5=0, 0. (3.14) Здесь G— конечная область, ограниченная замкнутой кусочно¬ гладкой поверхностью S; функции Р(М) = С(М)р(М), Х(Л4), q (М), Pi (М^ (i = 1, 2) непрерывны в G и Я (М) > 0, q (М) > 0, X (М) > 0, Л1 g G. Для изотропного гомогенного тела эти функции постоянны и вместо (3.12) имеем уравнение (1 /а)Т', = АТ(М, t)—с2Т и без ограничения общности далее запишем: ±^ = АТ(М, (), MeG, (>0; (3.15) Т(М, /)|,=о=Ф.(М), MgG; (3.16) [МПМ, Г)!дп—№(М, r)]M€S = 0, <>0, (3.17) так как уравнение (1/а)Т; = ДГ (Л4, t) — c2T подстановкой Т (УИ, t)= =ехр (—c2at)U приводится к виду (3.15); краевые условия (3.16) — (3.17) при этом не меняются. Пусть 7\(М, /) и Т2(М, t)—две функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (3.12) и граничному условию (3.14), но не обязательно удовлетворяющие начальному условию (3.13). Так как уравнение (3.12) и граничное условие (3.14) линейные и однородные, то линейная комбинация этих линейных функций CLjTiW, t) +а2Т2(М, t) также будет удовлетворять (3.12) и (3.14). Если удается найти бесконечное число таких функций ТК(М, t) — частных решений указанного типа [т. е. удовлетворяющих уравне¬ нию (3.12) и граничному условию (3.14)], то составленный из них бесконечный сходящийся ряд ао Т(М, t)= XaJAM, t) (3.18) К= 1 также будет удовлетворять дифференциальному уравнению (3.12) и граничному условию (3.14). Коэффициенты ак следует определить таким образом, чтобы приведенный ряд (3.18) удовлетворил началь¬ ному условию (3.13) Ф»(М)= ЪакТк(М, 0). (3.19) К- 1 Тем самым поставленная задача о нахождении функции Т(М, t) может быть решена до конца. Однако в приведенной схеме решения задачи содержится несколько грубых допущений, которые нуждаются в разъяснении. Во-первых, 114
записав решение Т (М, t) в виде бесконечного ряда част¬ ных решений ТК(М, /), мы тем самым предположили, что сумма бесконечного числа непрерывных функций акТк(Му t) даст нам непре- эывную функцию Т(М, t). Во-вторых, так как каждая из функций ТК(М, t) удовлетворяет уравнению (3.12), то предположим далее, что ряд (3.18) можно дважды дифференцировать по координатам точки М и один раз по времени t. В-третьих, при нахождении неизвестных коэф¬ фициентов ак необходимо совершить операцию предельного перехода в бесконечном ряду (3.18), чтобы получить ряд (3.19), с которым далее опять пришлось бы работать также при определенных допущениях. Все перечисленные операции безоговорочно справедливы только для конечной суммы и в общем случае незаконны для бесконечного функ¬ ционального ряда. Поэтому после нахождения коэффициентов ан и подстановки их в ряд (3.18) следует убедиться в том, что ряд (3.18) обладает следующими свойствами: а) определяет в й непрерывную функцию Т(М, /); б) во внутренних точках области Q является диф¬ ференцируемым и удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.12); в) удовлетворяет начальному условию (3.13) и граничному (3.14). До тех пор, пока эти дополнительные исследования не проделаны, найденный ряд не может считаться решением задачи (3.12) — (3.14), хотя формально он и был найден по условиям этой задачи. Систему функций ТК(М, t) можно определить следующим образом. Будем искать нетривиальные (т. е. не равные тож¬ дественно нулю) частные решения уравнения (3.12), удовлет¬ воряющие граничному условию (3.14), в виде произведения двух функ¬ ций, одна из которых зависит только от пространственных координат точки Af, а другая — только от времени / Т(М, t) = V(M)-q>(t), (3.20) где ¥ (М) непрерывна в G, а <р(/) непрерывна при 0^/ <оо. Подставляя (3.20) в уравнение (3.12), получим Р (М) V (М) ф'‘(О = ф (0 {div [k (М) (Af)] —</ (Af) Ч? (М)} или ф' (/)/ф (!) = {div [к (М) vT (Af)] — q (Af) ЧГ (М)}/[Р (М) ¥ (Af)]. (3.21) В случае (3.15) имеем ф' (0/яф (0 = ДО (М)/¥ (Af). (3.22) Для того чтобы функция Т(М, 0 =ф (О^1* (А1) была решением урав¬ нения (3.12), равенство (3.21) должно соблюдаться при всех значениях t>0 и во всех точках М £ G. Левая часть этого равенства зависит только от переменной t и не может изменяться при изменении координат точки М. Поэтому если зафиксировать t и менять координаты точки М, то левая часть, а следовательно, и правая будут сохранять постоянное значение. Рассуждая аналогично, установим, что правая часть, а следо¬ вательно, и левая не могут изменяться и при изменении t. Это будет справедливо только в том случае, когда обе части равенства (3.21) 115
вообще не зависят ни от координат точки М, ни от времени /, т. е. когда оба отношения и слева, и справа в (3.21) являются постоянными величинами. В этом рассуждении ключ к методу разделения перемен¬ ных Фурье. Обозначим теперь постоянную, которой должны быть равны и левая и правая части равенства (3.21), через аы. Тогда уравнение (3.21) распадается на два уравнения: <р' (/)/ф (0 = ап; \ {div[^(Ai)v¥(M)] — <7(М)^(М)}/[Р (М)¥(М)]=ап. j (3-23) Первое из них имеет общее решение ф (t) = С1ехр (ап/), где Ci — постоянная величина. Поскольку ни в одной точке тела (т. е. ни при каких фиксированных координатах точки М) температура Т = Тг(М)*ф(/) не может неограниченно возрастать по абсолютной величине при tоо, постоянная ап должна иметь отрицательное значение. Положим ап = — у2, тогда ф(/) = С1ехр(—у2/). Второе из уравнений (3.23) принимает вид div [X (М) VY (Af) 1 — q{M) Y (Af) + у2Р (М) Y (М) = 0. Так как мы ищем частные решения, удовлетворяющие гранич¬ ному условию (3.14), то при любом значении t^O должно соблю¬ даться равенство ■К0[Р.Й-РД('И)]„<5=0. Если бы обращался в нуль первый множитель, то решение Т (М, t) равнялось бы нулю при всех значениях t и во всех точках об¬ ласти G. Поэтому, чтобы отыскать решения, не равные тождест¬ венно нулю (а только такие нас и интересуют), мы должны счи¬ тать, что рх(д¥/дя)— p2Y = 0. Следовательно, в качестве функции Y (Л4) надо брать решения задачи: div [Я (Af) vY(Af)] — ?(М) Y(M) + y2P(M) Y(M) = 0, MgG; (3.24) [Pi (Af) (54я (M)/dn) -pt (M) Y (М)]м es = 0. (3.25) В случае (3.22) имеем AY (Af) + y2Y (Af) = 0, Af € G; (3.26) [p, (dY (Af)/an)-PaY (Af)]Mes = 0. (3.27) Дифференциальное уравнение (3.23) называется уравнением Гельм¬ гольца. Задачу (3.24) — (3.25) или (3.26) — (3.27) называют (Однородной задачей или задачей Штурма — Лиувилля. Она имеет нетривиальные решения не при всех значениях у2. Определение. Те значения у2, при которых задача (3.24) — (3.25) имеет нетривиальные решения, называются собственными значе¬ ниями краевой задачи (3.24) — (3.25), а соответствующие им нетриви¬ альные решения 4я(М) уравнения (3.24)—собственными функциями краевой задачи (3.24) — (3.25). Сформулируем (без доказательства, см. [1]) необходимые для даль¬ 116
нейшего некоторые теоремы о собственных функциях и собственных значениях. Теорема I. Существует бесконечное (счетное) множество соб¬ ственных значений {у*}, к=1, 2, 3..., и соответствующих им соб¬ ственных функций {Ч^(М)} краевой задачи (3.24) — (3.25). В силу линейности и однородности уравнения (3.24) и условия (3.25) очевидно, что если (М) — собственная функция, соответ¬ ствующая собственному значению у*, то и всякая функция d*4;*(M) (где dK—произвольная постоянная) также является собственной функцией для того же у£, и этим вполне исчерпывается класс соб¬ ственных функций (для того же yj. Теорема II. Собственные значения у\ с возрастанием номера к неограниченно возрастают, у* —> оо при к—+ оо. Теорема III. Собственные функции 4^(714) и 4^(714), отве¬ чающие различным собственным значениям у%х и у^л(у^фу12) орто¬ гональны в области G с весом Р (7\4) Замечание 1. Для уравнения (3.24) возможен случай, когда т — крат¬ ному собственному значению у? отвечает т линейно независимых собственных функций Yi/ (М), ..., W„i (714), которые не обязаны быть попарно орто¬ гональными. Однако их можно заменить другими собственными функциями ’FiiJAf), (М), ...» Ч'пи (М), строящимися с помощью первых и являющимися уже попарно-ортогональными (это построение излагается подробно в [1]). Для уравнения (3.26) все собственные значения простые, т. е. у? < у\ < уз < .. *Ук< ••• • Заметим также следующее: в (3.28) весовая функция Р (М) является одним из коэффициентов в слагаемом у2Р (М) Y (М) уравнения (3.24). Для уравнения (3.26) с условиями (3.27) собственные функции (Л4), отвечающие собственным значе¬ ниям у£, также обладают свойством, указанным в теореме III, но при Р(М) = 1 Квадрат нормы собственных функций однородной задачи (3.26) —(3.27) имеет вид Для задачи (3.24) —(3.25) также нетрудно записать аналогичное выражение, используя (3.24) (сделайте это самостоятельно). Заметим, что формулы (3.29) — (3.30) (которые будут использоваться чаще всего) записаны в декартовой системе координат, так как всюду область G рас¬ сматривается в пространстве (х, у, г). Однако все рассуждения, проводимые для уравнений (3.15) и (3.12) в декартовой системе координат, остаются справедли¬ выми и для любой другой ортогональной криволинейной системы, необходимо лишь уметь записать эти формулы в соответствующей криволинейной системе координат. Тогда в процессе перехода к этой системе координат под знаком ин¬ тегралов в (3.29) и (3.30) могут появиться весовые функции (отличные от еди¬ ницы), соответствующие конкретной системе собственных функций однородной задачи (3.26) — (3.27) в тех или иных криволинейных координатах. Теорема IV. Все собственные значения задачи (3.24)—(3.25) вещественны и неотрицательны. 0, Кх^к,, (3.28) >0, «х = Kj. (3.29) (3.30) в 117
Замечание 2. Для первой и третьей краевых задач все собственные зна¬ чения строго положительны. Для второй краевой задачи (но при условии, что q(M==0) значение 7 = 0 является собственным значением, а ЧГ(М)=1—соответ¬ ствующая ему собственная функция (действительно, нетрудно непосредственной подстановкой 7 = 0, У=1 в (3.24) — (3.25) при <7 = 0,р2 = 0 убедиться, что все условия задачи выполняются). В дальнейшем при решении второй краевой за¬ дачи учтем это замечание. Теорема V. Система собственных функций краевой задачи (3.24) — (3.25) полна. Это очень важная теорема, которая вместе с теоремой III в § 1, по существу, открывает путь к решению задачи (3.12) — (3.14). Теорема разложимости (Стеклова) VI [1331. Всякая непрерывная в G функция с кусочно-непрерывными частными производными I и II порядков, удовлетворяющая краевым условиям (3.25), разлагается в ряд Фурье по собственным функциям однородной задачи (3.24) — (3.25), абсолютно и равномерно сходящийся в области G. Возвратимся к рассмотрению задачи (3.12) — (3.14) [или (3.15) — (3.17)1 и построим аналитическое решение этой задачи методом Фурье по следующей схеме: 1. Ищем частные решения вида Т(М, /)=Чг(Д4)ф(0, удовлетворя¬ ющие уравнению (3.12) и краевому условию (3.14). Разделяем пере¬ менные и переходим к однородной задаче (3.24) — (3.25) или (3.26) — (3.27). 2. Находим собственные значения {у£} и собственные функции {4^(M)} однородной задачи. 3. Для каждого собственного значения yl находим общее реше¬ ние уравнения ф'(0 + У*Ф (0 = 0 в виДе Ф*(0 = акехР(-“7«0- 4. Находим частные решения уравнения (3.12) TK(Mtt) = = avexp(—уlt)x¥K(M) и берем сумму таких частных решений по всем собственным функциям 00 Т (М, 0=2 а,е"# Ук (М). (3.31) К — 1 5. Для нахождения коэффициентов ак удовлетворяем начальному условию (3.13). Получаем разложение начальной функции Ф0(М) в ряд Фурье по собственным функциям однородной задачи (3.24) — (3.25) ф» (Af) = 2 (Af). (3.32) К- 1 Коэффициенты разложения ак находим по аналогии с (3.9) = WjF Ш р (уИ) ф° (М) Ч'*m (3-33) н G где |Т,|» — квадрат нормы функций Ч;¥(М); ITjp = div (3.34) * G 118
6. Записываем окончательное выражение для Т (Л4, t)\ а) в случае краевой задачи (3.12) — (3.14) 00 Т w, t) = £ V,(M) e-v«' Щ Р (М) Ф0 (М) (М) dVм; (3.35) б) в случае краевой задачи (3.15) — (3.17) Т (М, о = £ pip V,(M) е(-К_в V2' Щ ф0 (m)Vk (М) dvM. (3.36) к= 1 1 к G Теперь покажем, что действительно найдено искомое выраже¬ ние, обладающее всеми свойствами решения рассматриваемой крае¬ вой задачи. Из теоремы разложимости VI следует, что полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно в каждой точке области Я, так как представляют собой разложение функции Т (Л4, /) класса С2 (Я) П С0 (Я) в ряд Фурье вида т (м, о = 2 е. (О v, (М) (3.37) к= 1 по собственным функциям соответутвуклцей однородной задачи. Проверка остальных свойств этих рядов следует из теоремы VII, доказанной в [1]. Теорема VII. Непрерывное в замкнутой области Q = {MgG, t^0\ решение краевой задачи (3.12) — (3.14), принадлежащее классу С2 (Я) П С0 (Я) при всяком фиксированном / ^ О, представляется в виде ряда (3.35), абсолютно и равномерно сходящегося в области Я. Полученные выражения (3.35) и (3.36) представляют собой общую форму записи решения рассмотренных краевых задач и в зависи¬ мости от числа пространственных переменных в постановке задачи принимают вид одно-, двух- или трехкратных рядов Фурье с пере¬ менными во времени коэффициентами разложения по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Следует всегда пом¬ нить: решения Т (М, t) краевых задач нестационарной теплопровод- ности в конечной области MgG, 0, представляются, как пра¬ вило, в виде кратных рядов Фурье, причем кратность этих рядов определяется числом независимых пространственных переменных в температурной функции T(M, t) (по которым берется оператор Лапласа Д71 (М, /)). § 3. МЕТОД ФУРЬЕ ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В большинстве практических задач граничные условия или диф¬ ференциальное уравнение неоднородны. Однако знание собственных значений и собственных функций {Ч'ДМ)} соответствующей однородной задачи позволяет решать и неоднородные задачи. Рассмотрим (коротко) некоторые частные случаи неоднородных краевых задач. 119
Найдем Т (М, t) — решение задачи дТ /dt = акТ (Му t) + f{My t), MgG, t > 0; (3.38) T (M, 0) = 0, [Мд77дл)—p2r]AieS==0# *>0. (3.39) Искомое решение Т (Af, t) £ С2 (Q) П С0 (Q) и по теореме Стек- лова VI может быть представлено в виде ряда Фурье (3.37) по соб¬ ственным функциям однородной задачи (3.26) — (3.27). Для вычисле¬ ния коэффициентов ©*, (/) этого ряда разложим заданную функцию f(M, t)£C°(Q) в ряд Фурье по собственным функциям {¥у(УИ)} f(M, 0 = ЗМО^ДМ), к = 1 где (3.40) G * Подставим теперь (3.37) и (3.40) в уравнение (3.38) S 0, (0 Y, (М) = 2 а@к (t) AY.M) + 2 fK (t) ¥, (М). (3.41) к = 1 к—1 к=1 Так как, согласно (3.26), A4fv(M) = —у£Ч^(М), то, сравнивая в (3.41) слева и справа коэффициенты перед ^(М), получаем для определения ©* (t) уравнение ©* (t) + (Vа ук) ®к (t) = fK (t) с началь¬ ным условием ©у(0) = 0 [так как Т (М, 0) = 0, то из (3.37) следует 2©*(0)Ч^(М) = 0 при условии, что все ©^(0) = 0]. Находим реше- к ние линейного неоднородного дифференциального уравнения первой степени относительно QK(t): t €>* (/) = J exp [—{Va y> {t—x)] fe (x) dx 0 и далее искомое выражение для Т (М, t) в виде Т(М, <)= it TnFjinexp[— (^«)2х к~1 ОС? х (/ — X)]/ (М, х) Wk (М) dx dVM- (3.42) Заметим следующее: все операции, с помощью которых было найде¬ но решение (3.42), строго говоря, должны быть обоснованы. В то же время очевидно, что в тех случаях, когда полученный ряд (3.42) после почленного дифференцирования два раза по координатам точки М и один раз по времени t равномерно сходится в Q, он представляет собой решение задачи класса C2(Q)f|C°(Q). Строгая проверка всех диффе¬ ренциальных свойств ряда во многих случаях представляет техни¬ чески громоздкую задачу и зачастую опускается в аналитической тео¬ рии теплопроводности (в классических работах по дифференциальным 120
уравнениям математической физики этим вопросам, наоборот, уделя¬ ется большое внимание). В случае неоднородного уравнения (3.38) и неоднородного началь¬ ного условия (3.16) этот случай нетрудно свести к уже рассмотренным двум выше. Действительно, пусть Т(М, t) удовлетворяет уравнению (3.38) и краевым условиям (3.16), (3.17). Будем искать решение задачи в виде Т(М, t) = T1(M, /)+Т2(М, t), где функции Tt(M, t) (t = l, 2) удовлетворяют условиям, полученным путем подстановки правой части равенства в (3.38), (3.16) — (3.17): dTjdt = abTt(M, О, t > 0; дТJdt = а ДТ2(М, t) + f(M, t)% М g G, / > 0; ГДМ, 0) = Фо(М), [pi(dri/an)-piT1]A(eS = 0; Т,(М, о) = о, [МВД-И«55=о. Каждая из этих задач уже решалась [см. (3.36) и (3.42)]. Пример. Дано начальное распределение температуры по толщине пластины в виде некоторой функции Ф0 (*), а также распределение внутренних источников теплоты в виде некоторой функции координат и времени / (х, t). В начальный момент времени ограничивающие поверхности мгновенно охлаждаются до нулевой температуры, которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения. Найти распределение температуры по толщине пластины. Здесь Й = {х* 0*0 < х < /, t > 0), а 7 (х, t) удовлетворяет условиям: dT/dt = a (d2T/dx2) + f(x, t), 0 < х < I, t > 0; (3.43) T{xy 0) = Ф0 (jt), 0 <*</; 7(0, 0 = 7 (/, 0=0, ^0. (3.44) Предполагается, что Ф0 (0) = Ф0 (/) = 0, так что 7(xt t)£C2 (Q)Г)С0 (Q). Вначале найдем функцию Тг(х, 0, удовлетворяющую dTi/dt = a (дЧфх2), 0 < * < /, t > 0; (3.45) 7j (х, 0) = Ф0 (*), 7(0, t) = T(l> 0 = 0, ^0. (3.46) Полагая 7* (xt t) = W (х)-ф(0 и разделяя в уравнении (3.45) переменные (1/е) (Ф' (0/ф (0) = У* MJV (х) = - приходим к уравнению ф' (0+( y)2 Ф (0 =0 (3*47) и к однородной задаче (3.26) —(3.27) V (х) + у*У (х) = 0, Ф“ (0) = Чг (/) =0. (3.48) Общее решение уравнения (3.48) имеет вид У (х) = Ci sin ух-\-С2 cos ух. Используя граничные условия, находим Cj sin 0 + С2 cos 0 = 0; Ci sin y^ + 4-C2cosy^ = 0. Первое уравнение дает C2 = 0, второе уравнение sin yl = 0, откуда yl — пл, где n придаем неотрицательные значения (п = 0, 1, 2, 3, ...), поскольку при отрицательных п будут получаться решения того же вида. Итак, собственные значения Yn = (ял//)2, а собственные функции (х) = Сп sin (плх/l). Как видим, каждому собственному значению у2п соответствует бесчисленное множество реше¬ ний Ч'л (х), отличающихся друг от друга постоянным множителем Сп. Можно положить Сп — 1 и считать, таким образом, (х) = sin (плх/l). Каждому собст¬ венному значению у2 будет соответствовать своя функция ф„(х), определяемая из (3.47) в виде фл (/)=ал ехр [— [У ауп)2 /], где ал — постоянная интегрирования. 121
Находим частные решения уравнения (3.45), удовлетворяющие граничным условиям (3.46): Tln( х, t) =ап ехр [— (У~а уп)2 /] sin (плх/l). Составим далее ряд Ti(x, fl=2 аУп^ 1 sin (ппх/l) (у„ = пл/0 П— 1 и найдем его коэффициенты* удовлетворяя в (3.44) начальному условию CD ф0 W = 2 ап sin (плх/1). (3.49) п— 1 Получили разложение заданной начальной функции в тригонометрический ряд по синусам [6]. По формуле (3.9) с учетом (3.4) находим коэффициенты раз¬ ложения I а„ = -j J ф° О sln (njll/0 d£. О I так как || f = J sin2 (плх/l) dx = l/2. о Заметим, что в силу непрерывности начальной функции Ф0 (х) и выполнения условий Ф0 (0) = Ф0 (/) = О ее ряд Фурье (3.49) сходится абсолютно и равномерно в точках отрезка [0, /]; кроме того, из теории тригонометрических рядов [6] 00 известно, что ряд (3.49) в этом случае мажорируется рядом М0 2 ^п2» Ti е* п= 1 довольно быстро сходится. Находим далее искомую функцию Tl (х, 0 = f £ е-(лл V3/02 t sin яя* J ^ (B s.n пп|_ ^ ti— 1 О Для нахождения функции Т2(х, /), удовлетворяющей условиям dT2/dt = a (d*T/dx2) + f(x, t)9 0<х< Т(х, 0) = Т(0, t) = T (I, 0 = 0, вовсе нет необходимости повторять заново рассуждения (3.40) — (3.42). Для реше¬ ния этой задачи имеется готовая формула (3.42), которой и следует воспользо¬ ваться.‘В результате получим t I . nnl U t > 0; | sln-^-j^exp [—(< — /(I, x)sin dTd£. n=l 0 0 И (3'5I) Искомое решение Т (х, 0 = (дг, t) + T2(x, 0. Преобразуем полученное выражение (3.50), поменяв местами порядок сумми¬ рования и интегрирования:
где 00 rt » л\ 2 Г -(rmV~a/l)2 t . ППХ , ПП^ /о сох G(X, g, t) =—Zu е sin —j— sin —. (3.53) n = 1 Изменение порядков суммирования и интегрирования всегда законно при t > 0, так как в (3.52) ряд в фигурных скобках схо¬ дится равномерно по I при t > 0. Функция G (х, £, 0» определяе¬ мая рядом (3.53), называется функцией температурного влияния мгновенного точечного источника теплоты. В [134] показано, что функция G(x, £, 0 (функция источника) представляет собой рас¬ пределение температуры в стержне 0^*^/ в момент времени t > 0, если температура в начальный момент / = 0 и в этот момент в точке х = £ (0 < £ < /) мгновенно выделилось количество теплоты, равное Q = cp (с—удельная теплоемкость, р—плотность вещества). С учетом (3.53) можно теперь записать для решения задачи (3.43)—(3.44) / Т(х, /) = $<D0(£)G(*, I, f)dl + о t I + S J / а, G (X, l, t-т) dt dx. (3.54) 0 0 Рассмотрим случай, когда функция Т (М, t) удовлетворяет урав¬ нению (3.38) и условиям! Т(М9 0) = ФДЛ4), M€G;fa(dT/dn)—$2T=: — ф(М, t)9M$S9't>0. (3.55) Как указывалось, метод Фурье при неоднородном уравнении и неоднородных граничных условиях формально неприменим, однако можно преобразовать задачу (3.38), (3.55) таким образом, что при¬ менение метода разделения переменных станет возможным. Это достигается- путем приведения граничных условий к однородным. Для этого представим искомое решение Т (М, /) в виде суммы Т (М, t) = W(M, t)-\-U (М, <)» гДе функция V (М, t) подбирается так, чтобы она удовлетворяла только граничным условиям, т. е. необходимо, чтобы [$Лди\дп) — — P2^|m€S = — ф(Л4, 01^65. Подставляя в (3.38) и (3.55) вместо Т (М, t) правую часть равенства, получим условия и для определе¬ ния W (М, t)\ dWldt==ahW (М, t) + fi(M, t), \ AfgG, t > 0; 1 (3.56) W{M, о)=ф;(M), мео; [рцаг/ап)—p*r)MiS-ot t>o.J Здесь Ф, (М)=Ф0 (Л4) — U (/И, 0); /,(М. t)=HM,l) — \U't—a\UW,t)]. Задача (3.56) знакома; ее решение имеет вид суммы выражений (3.36) и (3.42). 123
Рассмотрим в качестве примера уравнение (3.43) с неоднородными граничными условиями (всевозможные комбинации граничных условий) [Pii(d7/dx)— Pi2^]*=o = —Ф1 (0; [Р21 (дТ/дх)-{-(>22Т]х-1 — У2 (0* ^ ^ 0- (3.57) Функцию U (х, t) подберем следующим образом: ищем V (х, t) в виде U = Ci-^C2x (при Р12 Ф 0 и р22 Ф 0) и подбираем константы Сг и С2 из удовлетворения усло¬ виям (3.57). Это дает систему двух алгебраических уравнений, решая которую находим С/ (проделайте все расчеты самостоятельно). Окончательно получим U (xt t) = {(Pii + Pi2*) ф2 (0 + [Р21 + Р22 (/— *)] Ф1 (0}/(Pi2p2i Р22Р11 “г Р22Р12О* (3.58) В случае второй краевой задачи (Р,‘2 = 0, t = l, 2) в качестве U (х, t) можно выбрать, например, и (х, о = [1/(2/021)1 *2ф2 (0 + [1/(2/Рп)] (/-X)2 ф1 (/). (3.59) Применим указанные рассуждения к решению задачи дТ/dt = а (д2Т/дх2), 0 < х < /, t > 0; (3.60) 7(х, 0) = 0, 7(0, /)=ф1(0, 7 (/, t) = ф2 (*), / ^ 0. (3.61) Из (3.58) находим (при Pn = P2i = 0; р12 = р22 = 1): U (х, t) = Ф1 + (ф2—Ф1) х/1. Функция W (х, t) определяется к^к решение задачи: dW/dt = a(d2W/dя2) —[<pi (0 + (фа (0 —ф1 (0) x/l], 0 < х < /, t > 0; . Г(*. 0) = — ф1 (0) + [<р2 (0) _ф1 (0)] ж//; ( У ■ Г(о, t) = W(i, о=о. Решение этой задачи можно получить с помощью готовой формулы (3.54). Находим после несложных вычислений для задачи (3.60) — (3.61): т {X, 0={фх (0 + [ф2 (0-Ф1 (01 х/1}-(2/я) X Г /пл. гШ\2 х хЁ|[ф1(0)-(-1)»ф2(0)]ехр LfeiJCsY t п= 1 - ОО _ t _ Xsin (nnxjt)— (2/л) 2 e-(nny a/l) ' sin (ял*//) J е(плУ a/1)2 т у. п= 1 о X [ф( (т) -(-1)" ф2 (т)] dx. (3.63) Это выражение, в котором первое слагаемое (в фигурных скобках) есть функция U (х, 0, а оставшаяся часть — функция W (х, /), преобразуем, применяя к интег¬ ралу фюрмулу интегрирования по частям и используя суммы [20] ао оо 2 V 1 I ППХ 1 Х 2 V / 1Чл 1 1 , ПЛХ Х /О СЛЧ 172- 7Г*1п—=1-Т: (3.64) п-1 п=1 Окончательно получим Т(х, nslti!!T§ е-{пя v*оА)2(<-[ф1 (т) — (— j)п ф2 (T)j dt. (3.65) Л= 1 Замечание 1. В аналитической теории теплопроводности при работе с решениями краевых задач в форме ряда Фурье часто возникают сомнения в пра¬ вильности найденного решения. Это сомнение появляется, когда найденное решение пытаются проверить в точках гранич¬ ной поверхности 5, где должны выполняться граничные условия задачи. Имеющиеся в нашем распоряжении примеры достаточно наглядно поясняют сказанное. 124
Функции Ti (х, t) [задача (3.45) —(3.46)] и W (х, t) [задача (3.62)] удовле¬ творяют однородным граничным условиям и, как видно из найденных для них выражений (3.50) и (3.63), этим условиям удовлетворяют и ряды (3.50) и (3.63). Совсем иначе обстоит дело с решением Т (х, t) в виде выражения (3.65). Согласно постановке задачи (3.60) — (3.61), функция Т (х, t) в точках х~0 и х—1 удовле¬ творяет неоднородным граничным условиям. Полученный же для Т (х, t) ряд в (3.65) при формальной проверке не может удовлетворить неоднородным граничным усло¬ виям, так как отдельные члены этого ряда удовлетворяют однородным условиям. В то же время весь ряд должен удовлетворять граничным условиям (3.61), иначе Т (х, t) в виде (3.65) не было бы решением задачи (3.60) —(3.61). Проверить же выполнение граничных условий в точках х = 0 и х = 1 нельзя, так как формально при подстановке этих значений в (3.65) условия не выпол¬ няются. В действительности же это не так и все дело заключается в том, что ряд (3.65) не является равномерно сходящимся при всей (сохраняя это свойство только для внутренних точек промежутка [0, /]), и мы не имеем права в (3.65) совершать предельный переход в точках * = 0 и х—1. Этим недостатком не обладают ряды в выражении (3.63) для Т (.х, /), полученном путем решения вспомогательной задачи (3.62). И это нетрудно объяснить. Перейдя к функции W (х, /), мы перевели неоднородные граничные условия в дифференциальное уравнение (3.62) и начальное условие, так что в новой задаче граничные условия стали однородными и согласно теореме разложимости VI функ¬ ция W (х, t) должна иметь решение в виде ряда, абсолютно и равномерно схо¬ дящегося при всех х(;[0, /] и ^0. Такой переход был вынужденным, так как решение задачи (3.60) — (3.61) мы пытались получить именно методом разделения переменных, а для этого нужны были однородные граничные условия. Поэтому первоначально получено выражение (3.63), а затем из него после преобразова¬ ний—(3.65). Замечание 2. В этом параграфе показана принципиальная возможность применения метода разделения переменных при решении краевых задач с неодно¬ родными граничными условиями и неоднородностью в уравнении теплопроводно¬ сти. Перевод неоднородных функций из граничных условий в начальное и урав¬ нение теплопроводности на практике применяются довольно редко; лишь в простей¬ ших случаях (линейный или радиальный поток) удается подобрать функцию U (Mt t), удовлетворяющую неоднородным граничным условиям (для плоских и пространственных задач это, как правило, не удается по техническим при¬ чинам). В следующем параграфе получим рабочие формулы записи решений крае¬ вых задач нестационарной теплопроводности с неоднородностями как в уравнении теплопроводности, так и в граничных условиях задачи. Смысл этих важных в прикладном отношении формул заключается в возможности автоматически записать аналитическое решение исходной краевой задачи, если для нее известны собственные значения и собственные функции соответствующей однородной задачи. При этом будут рассмотрены пространственные, линейные и плоские задачи. § 4. РАБОЧИЕ ФОРМУЛЫ ЗАПИСИ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Рассмотрим вначале пространственную задачу: dTjdt —аАТ(М, () + /(М, t), (М, 0€G = (MeO, / > 0); (3.66) Г (М. 0) = ФДМ), M6G; (3.67) рпагдо, t)/dn]—PtT(M, 0 = — ф(М, t), M£S, />0. (3.68) Здесь я—внешняя нормаль к S; Pf -f- р| >0. Пусть yi и ^(М)—собственные значения и собственные функ¬ ции соответствующей однородной задачи Д¥(М) + V2^(^) = 0; M£G-t [0,(дУ/дл)es = 0. (3.69) 125
Представим искомое решение Т (М, t) в виде формального ряда Фурье по собственным функциям {^(М)} задачи (3.69) г (М. 0= 2 ело'ММ), (3.70) К— 1 где или 0Л<)=та^ШГ(Л1, (з.71) G ®к{t)=-viiv.pHfт{М' Т)л^(М)dVMt (3J2) а так как согласно (3.69) всюду в области G (Af) = (—1/у£) (/И). Если воспользоваться далее формулой Грина для оператора Лап¬ ласа [см. (2.142)] Ш<УАТ-Т4У)^ИКи£-7т)„.5*’. (3.73) G S в которой Т есть решение задачи (3.66)—(3.68), и положить U (М)= z=:WK(M)t то (3.72) запишется в виде *ю-г^ДО',*4ГЛ'«- ! CC(t*Zm.-v Ш) do V.P JJ\ дп K^)Mtsao- v*ll .. S Заменяя АТ (М, /) под знаком интеграла значением из уравнения (3.66), получим 0‘ (0 =-(У~а укУ II V, р Ш Wk^X G х dVM + . __ ' СГГ/Т,dVM— м (Г5ук)г11Щ12 JJJ м —г—"—ГГ (т ^7г— d<r- (З-74) YimpJJ \ дп дп J к ’ S Из (3.71) находим G и, подставляя в (3.74), приходим к обыкновенному дифференциаль¬ ному уравнению относительно 0(/) в. (/) + у,)* 0. (0 = IPCT [- Sj (г (3.75) 126
Для его решения необходимо иметь начальные условия Ч;к (0). Потребуем в (3.70) выполнения начального условия (3.67): Т (М, 0) = Ф0 (М) = 2 ©« (0) Y, (М), (3.76) к = 1 откуда, разлагая начальную функцию Ф0(М) в ряд . Фурье по системе собственных функций (Ч'ДМ)}, найдем 0К(О) ©К (0) = Щ Ф. (М) (М) dVM. (3.77) G Решением уравнения (3.75) с начальным условием (3.77) являет¬ ся выражение t 'г ат\ X 0S « t X da dt + J 5 5 J e-0^v«)V-T) f(M,x) (M) dt dK*]. 0 G После подстановки этого выражения в равенство (3.70) получим (предположительно) основную интегральную формулу, дающую представление решения уравнения нестационарной тепло¬ проводности (3.66) с'краевыми условиями (3.67) — (3.68): т [М. I) = ± ЩФ„(М) »,(4dvu-a± ^ х к=1 G к=1 ХШ [т (М, х) д-Ц£^]м gs dt da + о S t + £ TrfHHe"(K“V*)V"T>/(M’ ^(^dtd^. (3.78) k=1 K 0 G Действительно, в случае первой краевой задачи Pi = 0; Р2 = 1 T(M9t) = <p{M9t)9 M£St 0; 'Р,(М) = 0, M£S. (3.79) Так как 0 S t Ш e"(r“VK)2<''T) [ф(М,т) —|^L€S dadt, (3.80) 0 S 127
то из (3.78) и (3.80) приходим к следующей формуле решения первой краевой задачи: X т <"■')- £ fЯ'®. w<«> ■+ ■»£ тФлг к=1 G к=1 [ ф(м. 4«^+i Ti^F х fc = I t HHe'(^)V'T,/(M* T)Y«(M)dV*dT. (3.81) t X 6 ~s t X 6 ' G В случае второй краевой задачи Р2 = 0; Рх = Х (к—теплопровод¬ ность): — дТ (М, t)/dn= 1Дф (М, /), MeS, 0; dY*(M)/dtt|M6S = 0; (3.82) аналогичным образом из (3.78) и (3.82) приходим к формуле решения второй краевой задачи в виде ПМ.П-± Ш'®- (Л)> +'“ t T^F x к=1 G k= 0 t e_(K"“v*)J('-T) [—[ф(м. T)4f*(M)]M€Sdordt + 0 5 + Z Т^ИЯ e-(r~aVK)2{‘-x4(M, T) T,(A1) dx dV*. (3.83) k=0 ' * 0 G Здесь можно вести суммирование от нуля, имея в виду, что уо = 0, Y0=l. В случае третьей краевой задачи [см. (2.10)] Рх=— Р2 = а (а—коэффициент теплоотдачи)! дТ(М, t)/dn + (a/K)T(M, 0 = (1А)ф(М, 0. f>0; (M)/d/i + (a/Х) (M)]m e s - 0 (3.84) и так как t ИГ(Т V. §)м ,/tdo-e-(^.,)V-»:х 0 5 0 5 X [— j<P(M. x)4;l((;Vl)]Ai6sdodT, (3.85) 128
то (3.78) и (3.85) дают решение третьей краевой задачи в следующем виде: Из (3.78) можно получить аналогичную формулу решения краевой задачи со смешанными граничными усло¬ виями где 1) вк(М, t)=—ф(М, t)dWK/dn на части граничной поверхности S, где имеют место граничные условия первого рода (3.79); 2) @K(M, /) = =[hF(1 /Л,)ф(М, /)]ЧГХ(УИ) на части граничной поверхности S, где име¬ ют место граничные условия второго (3.82) или третьего рода (3.84); 4^(714) — собственные функции соответствующей однородной задачи. Выражения (3.81), (3.83), (3.86) содержат поверхностный и трой¬ ной интегралы. Эти интегралы необходимо вычислять при заданных краевых функциях задачи в той или иной криволинейной (ортого¬ нальной) системе координат. В связи с этим приведем две полезные формулы, используемые при вычислении интегралов, входящих в полученные рабочие формулы. Вначале рассмотрим формулу, сводящую поверхностный интеграл после выбора определенной стороны поверхности к обыкновенному двой¬ ному. Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности S, ограниченной некоторым кусочно-гладким контуром, определена некоторая функция 0(х, у, z) и пусть поверхность S задана параметрическими уравнения- мих=ф 1(ui v)yy=y2(u, v), 2=ф3(и, и), где и, v изменяются вобласти А, ограниченной некоторым кусочно-гладким контуром на плоскости uv. При этом пусть между точками поверхности S и области А, также и точками их контуров установлено взаимно однозначное соответствие. Тогда имеет место следующая формула, связывающая поверхностный интеграл с обыкновенным двойным: х [|Ф(М, T)'MM)]jvigSdTda + О 5 О 5 + дм, T)Tv(M)dTd^. (3.86) (С=1 ОС X/(M,T)YK(M) dxdVV (3.87) 5^ 0 (*. </. 2) da = $$ 0 [ф! (и, v), ф2(и, v), S д Ф3 {и, с)] У А'1В*С2 dиdt>, (3.88) 5-339 129
где элемент площади поверхности do.в криволинейных координатах (и, v) da = VА2 + В2 + С2 dи dv. Здесь А = (<Р2)и (фЛ (ф2К (фзК (ФзУи (фх)« (фз)и (Фг)у с = (ф i)u (ф2К (Фх)г (ф«К (3.89) В частном случае, если поверхность S задается явным уравнением г = у¥п(х, у), где (х, у) изменяется в области D на плоскости (х, у), то имеет место следующая формула: 55 © (*. Уу г) do = J J 0 (х, у, Wn (х, (/)) К 1 + (дУп/дх)2 + {d^Jdyfdx dy. S D (3.90) Если поверхность S состоит из нескольких частей, каждая из кото¬ рых может быть представлена параметрическими уравнениями указан¬ ного типа, то для сведения поверхностного интеграла (взятого по такой поверхности) к двойному можно воспользоваться тем, что поверхност¬ ный интеграл по S равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям, и затем применить формулу (3.88) к каждому из этих частичных интегралов в ^отдельности. Пусть далее в трехмерном пространстве (х, у, г) установлено взаимно однозначное соответствие между декартовыми (х, у, г) и кри¬ волинейными координатами (qu q2t q9) с помощью соотношений: х=ф!(?ь q2> ?з), У=Ф*(?ь Q2» ?з), *=фз(<7ь q2, <7з), где (pt непрерывны вместе с частными производными первого порядка. Пусть при этом имеет место взаимно однозначное соответствие между точками области G [в которой определена некоторая функция 0(х, у, z)\ в системе координат (х, у, z) и области А в системе координат (qu q2y q3)y а также между точками кусочно-гладких поверхностей, ограничивающих эти области. Имеет место следующая формула замены переменных в тройном интеграле: 55 5 0 {X, у, г) dx dy dz = 5 5 $ © [<Pi (Я1. Як Яз), Фз (<7i> Яз, Яз), Фз (<?i. Яг 7*)]| Д</1. Яз, Яз) I d<7a dq3, где J (Як Яз< Яз) — dyjdqi dtfjdqi d<p3/dqx дф x/dq3 d(f>Jdq2 d<p3/dq2 d<pjdq, d(p2/dq3 d<p3/dq3 (3.91) Элемент объема dK,, = dx Ay dz в криволинейных координатах dVM = У (Як Яз> </з)М<71 dЯг dq3. (3.92) Например, в цилиндрических координатах х — <= г cos ф (ф! — г cos ф), у = г sin ф (фа = г sin ф), г — z (фа = г) вычисле¬ ния по формулам (3.91)—(3.92) дают dxd(/dz = r блбфбг; в сфе¬ рических координатах x = r«mpsin0, y = rsi^psin0, z — г cos 0 формула (3.92) дает dV^ = гг sin Э dr d0 dф. 130
Перейдем к двумерным краевым задачам. Пусть D — конечная область изменения двух переменных в плоскости (х, у); С — кусоч¬ но-гладкий контур, ограничивающий область D, причем кривую С можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых координаты ее точек меняются монотонно; п—внешняя нормаль к С. Требуется найти Т (х, у, t) — решение задачи: Пусть у2к и У¥к(х,у)—собственные значения и собственные функ¬ ции соответствующей однородной задачи Повторяя аналогичным образом предыдущие рассуждения, но применительно к (3.93)—(3.95) и используя при этом формулу Гри¬ на для двумерного оператора Лапласа получим основную интегральную формулу решения уравнения (3.93) с начальным условием (3.94) в виде Заметим, что во втором слагаемом при интегрировании по контуру его обход совершается против часовой стрелки так, что ближайшая к наблюдателю часть области, ограниченная контуром С, оказывается лежащей слева от наблюдателя. Из (3.98) получаем рабочие формулы записи решения плоских краевых задач нестационарной теплопроводнос¬ ти для различных видов граничных условий. дТ/dt = atsT (х, у, t) + /(х, у, t), (xty)£Dt t > 0; -(3.93) Т (х, у, 0|/=о = Ф0 (х> У)> У) € D; (3.94) Pi [дТ(х,у9 t)/dn\—$2Т (х, у, t) = — Ф(х, у, t), (х,у)$С, />0. (3.95) ДО (х, У) + ?2ТГ (*. У) = 0, (х, у) б D; (3.96) 5 5 ('РДГ—TAY) dxdy=\ (VдТ/дп—Т дЧ/дп) d/, (3.97) D С t к = 1 0 D 131
Первая краевая задача: Т {х, ty, t) — (p(x, у, t), (х, у) £ С, 0; Чк(х,у) = 0, (х,у)<=С\ fix Т(х, у, 0 = 21 Тч§Ге_(^к)2< к=1 К D к-\ К' х^е-(^)*«-о [_ф(х> у, т) 3L^]^)gcdTd/ + £ х ОС к= I t X Je-^"“v*^(<-T)/(x, у, т)'^*, yJdrdP. (3.100) О £> Вторая краевая задача: — 5Г (х, у, *)/д/г = (1А)ф(х, у, t),{x, у)£С, 0, = 0. (*, У) S С (3.101) (*^х Т(*. «/, 0 = Ё7^е-(^*),'^Фв(дС> y)VK(x,y)dP+af^[ к = О D к = О х^е-(^)а(/-х)[_|ф(х> у> x)yAXt dtdZ+^ О С к = О * Х Ш е"(1/“т*)а<('х)/(*» У> т) (*• У)dT dP- (3-102) О D Здесь суммирование ведется от нуля, имея в виду, что Yo = 0; ^=1. Третья краевая задача: ~Ш+TT==T(f('x'y’ (Х’У)€С' {>0’ [-SJ^ + ?4'.(*, й]и.й.с“0: (3103) Т(х, у. j,) V, (*, !/)^+aV к=1 D к=1 х [ j e-('~^)s(/-t) ф (Хг у, г) Vg (х> у)^ y)6C dr d/ + £ х О О К= 1 t хЩе-^^'-^Дх, у, т) (х, г/) dt d/\ (3.104) О о 132
Равенство (3.98) дает формулу решения и для краевых задан со сме¬ шанными граничными условиями: Х$$фо(*> У)У«(х> </)dP + fl^ X Ук(х, у) dxdP, (3.105) где 1) &к(х, у у t) = — cp(jc, у, t)dWK/dn на части граничного кон¬ тура С, где имеют место граничные условия I рода (3.99); 2) ©*(*, У» 0 = (TlA) ф (х, у, 0^(*. У) на части граничного кон¬ тура С, где имеют место граничные условия II рода (3.101) или III рода (3.103). Выражения (3.100), (3.102), (3.104) содержат криволинейный интеграл и двойной интеграл, подлежащие вычислению при задан¬ ных краевых функциях задачи. Приведем необходимые формулы вычисления этих интегралов. Пусть АВ—некоторая кривая, гладкая или кусочно-гладкая, и пусть 0(jc, у)—функция, заданная на этой кривой. Кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = ср1ф), # = ф2(Р) Р0^ <P<Pj, причемcpi (Р) иф„ (р) непрерывны, a<pj (Р) и фа(Р) кусочно-не¬ прерывны и ограничены; ф|* (Р) + ф2* (Р) > 0- Тогда на АВ можно ввести в качестве параметра длину дуги /, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки. Выберем при этом направление отсчета для / так, чтобы возрастанию параметра Р отвечало возрастание длины дуги /. При этом дифференциал дуги d/ и криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определен¬ ному интегралу J 9 (дг, у) dl = $ © [ер, (Р), Ф2 (Р)] У ф;г (Р)+ф;* (Р) dp. (3.107) Замечание к формулам (3.106) и (3.107). Следует запом¬ нить следующее: если положительное направление для отсчета дуги ^ (т. е. направление, .при котором / возрастает) в ходе решения задачи выбрано не в сторону возрастания параметра р, а в сторону его убывания, то в формулах (3.106) и (3.107) при вычислении диф¬ ференциала дуги необходимо поставить знак минус. d I = Уц>[г (Р) + ф^1 (Р) dp (3.106) АВ 133
В частности, если кривая АВ задана явным уравнением у = ф0(л:), x0^x^.xlt то формула (3.107) принимает вид 5 0 {*, у) dl = 5 0 (*, Фо (*)) у 1 + Фо* М d*. (3.108) АВ х„ В полярной системе координат * = rcos<p, = г sin ф, если кри¬ вая АВ задана уравнением г = г(ф), ф0<ф<фх, выражение (3.107) запишется в виде ф! 5 в (х, у) dl = J ® (r cos Ф> г s^n Ф) г г2 (ф) + г * (ф) ^Ф- (3.109) >45 Фо Переходя к двойному интегралу, рассмотрим две плоскости с декартовыми координатами (*, у) и (qlt q2) и предположим, что в плоскости (ху у) выделена некоторая замкнутая ограниченная область D с границей С, а в плоскости (qlt q2)—замкнутая огра¬ ниченная область Д. Пусть функции * = Ф1(<71, <72), # = ф2(<71» ?2) определяют взаимно однозначное отображение этих областей друг на друга; функция 0(jc, у) непрерывна в области D (включая гра¬ ницу) всюду или же ограничена в ней, а функции фх и ф2 (и обрат¬ ные для них) непрерывны вместе с частными производными первого порядка. При этих условиях установлена следующая формула за¬ мены переменных в двойном интеграле: 5 5 0 (х, у) dP = 5 5 е [фх (ди <7,), ф, (qit д2)] \ J (gv gt) \ (3.110) J (<7i> <7a)] ^ф1 ^ф2 'Iqi'dql 5фх дф2 dq2 dq2 ; dP = dxdy = \J (glt gt)\ d^dft. (3.111) Например, в полярных координатах х = г соэф, г/^гэтф имеем qi = ry q2 = ф, ф1 = гсоэф, ф2 = гзтф; cos ф sin ф I — г sin ф г cos ф \Г J (г, ф) = и элемент площади. d* dy = г dr dq>. Рассмотрим далее рабочую формулу записи аналитического ре¬ шения для одномерной краевой задачи нестационарной теплопро¬ водности (бесконечная пластина или стержень, теплоизолированный с боковой поверхности): dT/di = a(d*T/dx*) + f(x, t)y 0 < * </, *>0; (3.112) Т (ху 0) = Ф0(х), (3.113) (РпйГ/д*—Р12Т)„0 = — ф1 (0, t> 0; (3.114) ФыдТ/дх + ?>22^)x=i = Фг (0» ^ 2^ 0» (3.115) P<j>0; Р?х+Р?2> 0(1=1, 2), (/=1,2). (3.116) 134
Пусть Yk и ^(х)— собственные значения и собственные функции соответствующей однородной задачи d2'F* d*2 • vi; ^Л*) = О, 0<х<1; (3.117) Рп dT* dx РЛ)х=» = 0; (Рн^ + РЛ),= / = 0. (3.118) Запишем решение задачи (3.112) —(3.116) в виде ряда Фурье по системе функций {^(х)}: т(Х, о=2 ©ловд. к— I где 0 (0 = J Т {х, 0 Ук (х) dx. U Используя уравнение (3.117), находим (3.119) "" Y2 ll^« Здесь проведено дважды интегрирование по частям. Далее, как и в (3.75), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно ело + (К^т«)*^(0“у^г [(т дТ\*-1 1 dx -Y. дх dx (3.120) Как и в случае (3.76)—(3.77), начальное условие здесь имеет вид 0ЛО)=то^ФЛ*)ВДс1х- (3.121) Находим из (3.120) —(3.121) функции ©*(/) и подставляем их в (3.119). В результате приходим к следующей основной интеграль¬ ной формуле решения уравнения (3.112) с начальным условием (3.113) и произвольными граничными условиями; IX к = 1 (х) dx + а £ j е'(^ О* х [т(х, т) dV„ dx -УЛх) дТ (х, т) дх 1 dx — J х=о 135
X к= l ■^W дТ (х, т) дх + £^$Ие“'Г 0УкГ,“Т'Н*. x)¥KWdTd^. (3.122) к — 1 * 0 0 Выпишем из (3.122) несколько решений. Первая краевая задача. 1. Дано начальное распределение темпера¬ туры в точках стержня в виде некоторой функции Фо(*), а также распределе¬ ние внутренних нестационарных источников теплоты / (х, /); начиная с момента времени t = 0 торцы стержня поддерживаются при переменной во времени тем¬ пературе ф1 (/) (при * = 0) и ф2 (0 (при * = /). Найти распределение температуры в точках стержня в любой момент времени t. В (3.112) — (3.118): Ри = Р21=0, У% = (кп/1)г, Wк (х) = sin (кпх/1), Г(о, о=ф1 (0. г(/,о=ф*(<). <г&о; Ч'*(0) = 'М')=0. (3.123) Подставляя (3.123) в (3.122), находим решение первой краевой задачи: \ 2 t I *~(V °VK)2«-Т) к — 1 . КЛХ л sin —-— X к= 1 Г ^ /tN • Knl . 2па . КЯХ ^ Фо (|) sin -у2- dg+-^- 2^ к sin — Гф1 (т) — (—1)* ф2(т)] dx+ / (I, т) sin dt d|. (3.124) хг о « Л Л ( КЛ ^ V И Т) к — 1 Об Здесь для удобства переменную интегрирования обозначили через £. 2. Торцы стержня нагреваются с обеих сторон переменным во времени тепло¬ вым потоком (1/Я) ф1 (/) при х = 0 и (1Д)ф2 (0 при х = 1. Начальная температура стержня представляет собой функцию Ф0 (х), мощность внутренних нестационар¬ ных источников теплоты */ (х, /). Найти распределение температуры в точках стержня в любой момент времени t > 0. Вторая краевая задача. Pi2 = P22 = °; Рп = Р21 = Я.; ч1 = (кп11)*\ Ч'к{х) = со$(клх/[) (см. § 7 гл. III): дТ дх /А дТ I 1 /А “-ХФПО.-^-^-уФ*^. ^0; -57- / х=о -—0; х—1 1Y*P = J cos2 (клх/l) dx = (//2), к > 0; (3.125) (3.126) Jd * = /, /с = 0. КО 136
Подставив формулы (3.125) —(3.126) в формулу (3.122), найдем после несложных вычислений решение второй краевой задачи в виде <х _ ( КЛ У~а \2 г (г о- V cos (KWJf/0 V I J х 2- |т,к* к s О О к = 0 * _ fJB2d)2(/_T) xje'1- ' / Т [ф1(т) + (-1)* 92(T)]dx+ О оо ^ ^ { кл V~a \ ^ +2т0ЧК(-г') к = 0 О О Х/(|. T)cos-^dTd£, (3.127) где || ||2 = //2 для к > 0; || ||а = /. Совершенно аналогично могут быть рассмотрены и другие виды граничных условий. Формулы (3.78) и (3.98) справедливы как для задач на нагревание, так и для задач на охлаждение. Впрочем, что касается задач на охлаж¬ дение, то их нетрудно свести к задачам на нагревание, особенно когда начальная температура тела и температура его поверхности или тем¬ пература окружащей среды постоянны. Действительно, пусть Т0 — начальная температура тела и в этот момент температура поверхности тела мгновенно становится постоянной и равной ТС(ТС<Т0) или в на¬ чальный момент времени тело помещается в среду о постоянной температурой поверхности Тс (Тс < Т0). Имеем задачи на охлаждение: в первом случае dTldt = аДГ (М, /), М <Е G, * > 0; \ Г(М, 0) = г0, меС; т(м, t)\M*s = Tcy />о; / (6АЩ во втором случае dT/dt = а&Т (М, t)9 M£G, t> 0, ) Т{М, О) = Г0, M^G; -k(dT/dn)\Mes = *(T\MeS-Tc), />0.1 (3.129) Введем подстановку—безразмерную величину е(м, (злз°) i о * С Получим задачи на нагревание, но уже относительно @(М, t): дв/д( = аАв(М, 0. * > 0, (3.131) 0(М, 0) = 0, MgG; а) в(М, t)\MiS = h t> 0; б) -X^^ = a(0-l)M€s; / > 0. (3.132) 137
Замечание 1. Все рабочие формулы получены из предположения, что G — конечная область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S. Однако эти формулы в предельном случае могут быть использованы и для полу- ограниченной области (а также и яля неограниченной) по той или иной прост¬ ранственной переменной. Необходимо лишь иметь в Еиду, что на части поверх¬ ности, уходящей в бесконечность, выражение (Т дЧ/дп — У дТ/дп) обращается в нуль, так как, по предположению, решение Т таково, что как 7\ так и дТ/дп ограничены, а У и дт/дп стремятся к нулю. В этом случае спектр собственных значений (по данной пространственной переменной) становится непрерывным, из¬ меняясь для полуограниченной области 0 < у < оо (а для неограниченной области — оо < у < + оо), и одна из сумм ряда Фурье заменяется на несобственный ин¬ теграл. Например, для первой краевой задачи в (3.93)— (3.95) при / = 0, <р = 0, Pi =0, 0 < х < 1и 0 < у < /2 имеем «ж оо f ( V~~a кп \2 ( V~~a тп \ 2"| ^ ^ '« ' X /l 1• 11 12 ' ' xjj<*o (x't y‘) sin sin ^ dx' d y\ (3.133) Пусть теперь 0 < /2 < оо; тогда собственные значения и собственные функ¬ ции однородной задачи (по переменной у) будут slnyy, где 0 < у < оо. Полагая в этом решении тл//2 = у» Так что ^7 ==(т+ 0 я//*—mnjt2 = n/l2t получим ин¬ тегральную сумму (по переменной у) 00 1 % sin у у sin уу' е~^ а Ду, п “ m в 1 которая при m —*> оо (или Ду —► 0 при /$ —► оо) вырождается в интеграл, и окон¬ чательным решением первой краевой задачи в области 0 < х < llt у > 0 будет выражение Г(*. у, 0 = sln^e-^^'x к— 1 00 Г (' . КПХ* Xj J 0 (х * у )sln *“7Г~ * О О 00 xJe-^^'slnyi/slnYI/' dV> (3.134) о которое можно существенно упростить, вычислив внутренний интеграл с помощью таблиц [20]. Замечание 2. Относительно полученных основных формул (3.78), (3.98), (3.122) следует сказать, что на правые части этих формул следует смотреть как на ожидаемый результат решения соответствующей краевой задачи нестационар¬ ной теплопроводности, который нуждается в проверке. Дело в том, что эти фор¬ мулы получены в предположении, что решение задачи, записанное в виде ряда (3.70) (как и собственные функции соответствующей однородной задачи), удовлет¬ воряет условиям применимости формулы Грина для оператора Лапласа в трехмер¬ ном и двумерном случаях и формуле (3.119) —в одномерном. А это связано с непрерывностью решения вместе со своими первыми частными производными по пространственным координатам точки М в замкнутой области G (D) и [0, /] и 138
непрерывностью вторых частных производных в области определения дифферен¬ циального уравнения теплопроводности (т. е. в G, D, (0, /), / > 0); кроме того, во всех трех случаях предполагается существование и непрерывность частной производной решения по времени t для любого t^t0 > 0. Однако нам это заранее не известно, так как перечисленные условия не уча¬ ствуют ни в определении собственных функций, ни в определении решения соот¬ ветствующей краевой задачи. Таким образом, в каждом конкретном случае, для того чтобы показать, что правая часть какой-либо из формул (3.78), (3.98), (3.122) дает решение соответствующей краевой задачи теплопроводности, требуются до¬ полнительные исследования. В тех случаях, когда ряд (3.70) (для трех-, дву- и одномерных задач), коэффициенты которого определяются путем формального удовлетворения этого ряда всем условиям соответствующей краевой задачи после почленного дифференцирования два раза по пространственным переменным и один раз по времени t, равномерно сходится, он представляет собой решение задачи, дважды непрерывно дифференцируемое по координатам точки М, непрерывно диф¬ ференцируемое по времени t во всех внутренних точках области Й = {Л4£(/, t > 0} и непрерывное в замкнутой области й (если краевые функции задачи также непрерывны в й). Эти дополнительные исследования, как правило, приводят к положительному ответу, и, таким образом, вопрос о решении краевых задач не¬ стационарной теплопроводности с помощью полученных рабочих формул в суще¬ ственной своей части сводится к нахождению собственных значений и собствен¬ ных функций соответствующей однородной задачи. Если эту задачу удается решить, то вопрос о решении исходной краевой задачи нестационарной тепло¬ проводности в принципе можно считать законченным. Замечание 3. Формулы (3.78), (3.98), (3.122) выведены для уравнения теплопроводности (3.66). Собственные функции в этих формулах при этом удов¬ летворяют уравнению (3.69) в трех-, дву- или одномерной задачах. Однако все полученные формулы в одинаковой степени справедливы и для уравнения вида (1 Ja)dT/dt = AT(M, t)—c2T(Mt t) + f(M, t). (3.135) Но теперь собственные функции во всех рабочих формулах будут удовлетво¬ рять уравнению AH' (Л4)—с2хУ (Л4) + y21F (М) == 0 и соответствующим однородным условиям. Заметим также, что уравнение (3.135) нетрудно привести к виду (3.66) подстановкой: Т(М> t) = U(M, /Je”06** и в таком виде работать с ним дальше. Рассмотрим несколько примеров полученных рабочих формул. Пример 1. Найдем температурное поле области, имеющий вид прямоуголь¬ ника (х, y)£D = (0*^x ^ /ь 0^«/</2), нагреваемой при следующих условиях: начальная температура — произвольная функция пространственных координат Фо (*» У) \ внутри области действует нестационарный источник теплоты мощностью / (*. У> О! ограничивающие поверхности х = 0 и х = 1г нагреваются соответственно переменными тепловыми потоками (pi(y, t) и <р2 (*Л •/); на границах у — 0 */ = /2 заданы переменные температуры соответственно <р3 (х, /) и <p4 (х, t). Имеем при этих условиях задачу: dT/dt = a(d2T/dx2 + d2T/dy2) + f(xt у, /), (3.136) (x,y)£Dtt>Q\ Т (х, у, 0)=Фо (X, у), (X, y)€D; ~}i(dT/dx)jx=0 = <p1(y, t); b(dT/dx)\x=lt=(p2{y, I), 0<{/</2, 0; (3.137) Т\у=0=Чз(х, t), T \y-ft — <Pi (*> 0. 0<дг</х, 0. (3.138) В этой задаче задаются смешанные граничные условия, поэтому для записи ее решения следует использовать формулу (3.98) или (3.105). Вначале необходимо определить собственные значения и собственные функции соответствующей однородной задачи даЧ7дх2 + д2Ч'/&/+ у2хЕ = 0, 0 < х < /ь 0 <у<12, \ дЧ/дх |Л = 0=ЗУ/йдг |д = <4 =0; V |,= 0 = Г \у= 0. J- (3‘139> 139
Находим (см. § 7 гл. III) у2кт = [(асл//х)2 + (тл//2)2], где к = О, I, 2, ...; т = «=1,2,3, ...; Ч^^х, y) = cos(K7ix!li)Xsln(mJiy/l2)'t h It ИЧ^ца — J ^ cos2 (K7ix/l{) sin2 (nrny/l2) dx dy = /j./2/4, к > 0, 1; о о ll^omll2= J ^ slfl2 (mjTl///2) dxdy = lik/21 k = 0, m^l. (3.140) о о Таким образом, устанавливаем, что в записи решения в виде двойных рядов суммирование следует производить со значений к = 0 и m = 1. Распишем вначале первое и третье слагаемые в формуле (3.105): к= 1 * ' D ОО 00 J XdP = ^ ^ cos (кя*//!) sin {mny/I2)X к=0 m=1 Хе”(>^7к/я)2/ ^ J Ф0 (х, у) cos {клх/li) sin (тлу/12) dx dt/; о о к= 1 О D 00 00 X (х, I/) dx dP = jj-qp—-jjjXcos (кпх/tj) sin (тпу/1г)X K=Om=! (3I41) » *1 *1 x) cos (клх/1{) sin (тлу/12) dx dx dy. X ooo Распишем теперь второе слагаемое в фор¬ муле (3.105), учитывая, что интегрирование по замкнутому контуру С (рис. 22) ведется против часовой стрелки (для определенности от начальной точки Е)\ при этом, согласно (3.137) и (3.138), имеем —дТ (дг, у, t)/dx |Е0 = (1 Д) ф! (у, 0; дТх X (дг, у, t)/dx\AB = {l/X)<ft(y, 0; Т(х, у, 0 |ол =Фа (лг. 0; Т(х, у, 0|ве = = Ф4(ДГ, О и далее Рис 22 S = S + S + S + S • кис* ** С ЕО ОА АВ BE Рассмотрим отдельно каждый из этих интегралов. На контуре ЕО (уравнение х = 0) имеем в* (ДГ, у, <)=(— 1А)ф1 (у, О [COS (клдг//,)Х Xsln (тя1///2)]д=о = (— 1А) Фх (м> 0 sln (mny/lt). 140
Согласно замечанию к формулам (3.106) — (3.107), дифференциал дуги на этом контуре dl = У О2 + dу2 = —dу\ таким образом, о J ®к(х, У, т) d/ = + j у ф! {у, т) sin (mnyjlt) dу = ЕО it it = (— 1Д)^ ф! (|у, т) sin (тлу/12) dу. (3.142) о На контуре О А (уравнение у = 0) _ .. ,ч / д Г кпх . тпу "I \ тп . _ клх ей*, 1/, 0=ф.(*. 0 \Fy [cos — sin j o=— ф3 (x, 0 c°s —; направление внешней нормали к контуру ОА не совпадает с положительным направлением оси у% dl=Y djc2 —|- О2 = d^c; имеем Ц в*(*, У у V3(x’ flcos-^-djc. (3.143) ОА 0 На контуре АВ (уравнение x = lx) dl=Y Q2-\-dy2 = dy, п 1 / .ч Г KJlx 1 тпУ 1 / 1 / .ч , wm/ //, 0=у ф2 (*/, 0 [cos_7r" “7r~Jjc=i,:= хф2^’ )s “17"; о ^ в*(*. */, т) d/ = (—1)* (1/Я) J ф2 (у, т) sin dy. (3.144) ав о На контуре BE (уравнение у=12) = (—l)m + 1 (тл//2) ф4 (х, t) cos —; направление внешней нормали к контуру BE аналогично положительному направ¬ лению оси г/, т. е. д/дл = +ду%, dl=Y d*2 + 02 = —d*; о P Л , ч л . (—l)m + irrm Г . _ кл* \ 6*(*» у, t)d/ = + ^ }—^ j ф4 (*, 0 cos -j-— X se 6 U (_1)/Я + 2тяГ» кш Xd*= \ ф4 (*, /)сos—j—d*. (3.145) l2 J ч • о Используя теперь выражения (3.141) — (3.145), запишем окончательно реше¬ ние задачи (3.136) —(3'. 138) в следующем виде: 'г/. .. cos (KTixfk) sin (mny/li) w (*, y, 0-2, 2- пет X k= 0 m = 1 Л /. x e - (^avif/я / ^ J (*» */) cos -j— sin —■dx dy + о 0 ao oo +xZI cos (клх/li) sin (mny/l2) гет 0 m= 1 141
xi J e_<V°"VKm)! *' T)[—ф1(у. t) + (—1)*ф2(</-, т)] sin (trmyHi) dtd{/+ ■ о + £ £ WH»«pi,MWIJ 0 0 i (l /Л/ \2 / # к=0ш=1 " """ " О О Х[ф3(*, т) + (— l)w ф4 (х, т)] cos (клх/1г)Х Xdtck+У у „cos^/MsMmny/ZJ х II * I) к = 0 m = I * (i /j X ООО Здесь у2кт = (/сл//)2 + (тл/12) 4/(/i/2)* АС > 0; tn^z 1; 2/(/,/2), ас = 0, m^l. * *1 *2 (J j j* e” (1/~^л?лг/7г)2 (/“x) f (x, у, т) cos {Knx,li) sin {mny/l2) dt dx dy. (3.146) j Пример 2. Дан неограниченный сплошной цилиндр 0<:г<;#, нагреваю¬ щийся по всей поверхности переменным (по времени) тепловым потоком, темпера¬ турное поле считается цилиндрическим. Постановка задачи следующая: dT/dt = a[d2T/dr*+(\/r)dT/dr], 0<г<Я, / > 0; (3.147) Т (л, 0) = Ф0 (л), dT/dr\r=R = (\/X) ср (/), /^0; | Т (г, /) | < +оо, г^О. (3.148) Решение этой задачи нетрудно записать с помощью формулы (З.Ю2), но в полярной системе координат я^гсоэф, г/ = л sin ф. Прежде всего найдем собст¬ венные значения и собственные функции соответствующей однородной задачи d21Ir/dr2 + (1 /г) d'F/d/’-b Y21^ (d=0, 0 </■</?; d'F/dr |г_ ^ = 0; \V (r)\ < +*>, r^0. (3.149) (Задача (3.149) рассмотрена в § 8 гл. III.) Имеем Тк=ак/Я2. ^«(r) = J0(aKr/R), к = 0, 1, 2...; yl=al/R2 = 0; Ч'„(/-) = /0 (0) = 1, где J0 (г) — функция Бесселя I рода нулевого порядка [54], ак ^ 0 — корни урав¬ нения Ji (а) =0. Квадрат нормы функций II ^|Р = ро (<V/*) dr= J * >0; (3.150) В формуле (3.102) квадрат нормы ЦЧ^Ц2 записан в декартовой системе коор¬ динат 11^кИ2==5§ У)^Х(^У- Необходимо вычислить этот интеграл в поляр- D ной системе координат, используя формулу замены переменных в двойных интег¬ ралах (3.110). Подынтегральная функция в полярной системе координат уже получена, т. е. Ч'- (х, у) = J20 {aKr/R)\ элемент площади dx dy = rdrdy\ таким об- 142
разом, испбльзуя (3.150), получим R 2л |Чг„Р=$$Ч'!2(*, j,)d*dif=J J rJl(aKr/R)X D 0 0 R X d/- ёф = 2л J rJ о (aKr/R) dr = 2л || 4^ ||J>. о Аналогичным образом можно записать в полярной системе координат и двой¬ ной интеграл (под знаком суммы) в первом слагаемом в формуле (3.102): так как начальная функция Ф0(*, у) уже задана в полярной системе Ф0 (лт, ^/) = Фо(^)» собственные функции известны W4 = J0 (aKr/R), элемент площади равен dЯ == = гdrdф, то имеем 2л R y)dP=J J Ф0(г) JQ(aKr/R) rdrdy^ D 0 0 R = 2л J гФ0 (г) JQ (aKr/R) dr. о Таким образом, первое слагаемое в формуле (3.102) в полярной системе координат имеет вид Я Тг (г, <) = У -» е-111 ГгФ* (г)/„(«✓//?) <1^. (3.151) " ||¥*||р о где а* — корни уравнения J1(a) = 0t а Ц^^Цр дается выражением (3.150). Перейдем далее к вычислению в полярной системе интеграла t /к = „.С4""- где подынтегральная функция рассматривается в точках контура С. По условию (3.148), граничная функция (при r = R) равна (1Д)ф(дт, у, () = = (1А)ф(0; в точках контура [У*]и| у)йС = l^« (a«//^)]rss r = Jo (aj. Вычис¬ лим дифференциал дуги dl: в нашей задаче граничный контур С представляет собой окружность радиусом r = R с центром в начале координат, в точках кото¬ рой дт = г cos ф, г/ = /■ sin tp и интегрирование ведется против часовой стрелки от горизонтального диаметра (соответствующего значению ф = 0). Г1о формуле (3.106) находим dl = У (-R sin ф)2 + (# cos ф)а dф = /?бф и далее по формуле (З.Ю7) j ^ф(д> т)Чг,(л, „)] сХ о с t 2я Xdx d/ = y J (/~т) ф(т) dix J [/0 (a*'//?)],» R Я*1ф = Jo (a*) X о о t w dXj 0 гле Т« = а*/Я. 143
Таким образом, второе слагаемое формулы (3.102) в полярной системе коор¬ динат имеет следующий вид: Тг (г, 0 = a X к= I t У) IIVJI2 /« = aR_y Jo (««) Jo (aKrlR) X k= 0 < j* exp [ — (y~~aaK/R)2 {t — т)] ф (т) dt. (3.152) Искомое решение задачи (3.147) — (3.148) представляется в виде суммы выраже¬ ний (3.151) и (3.152), т. е. Т (г, f) = 7^(r, t)-\-T2{r, t). Это решение нетрудно записать в безразмерном виде, если йве£ти обозначения: z = r/R\ Fo = at/R2; Фо (r)lT$\ фо (Fo) = /?ф {t)/(kT0)\ W\zjFb) = T(ry t)/TQy где Т0 — некоторое по¬ стоянное значение температуры, выбранное в качестве масштаба. После несложных упроще¬ ний получим ч /о (a *z) е“акр0 W (г, Fo) = _ ^ Ли. со I V J0 (а*г) Г ^ j* гФ0 (г) /0 (а^г) dz+ о Fo 'I е‘“5 -aj (Fo-т) Ф (t) dt; 0. (3.153) Рассмотрим частный случай, когда в (3.148) начальная температура постоянна Г (г, 0) = 7,0, а боковая поверхность нагревается равномерно постоянным тепловым потоком ф (0 =qc = const. В этом случае Ф0 (z) = 1; ф (Fo) =Rqc/XT0. В ре¬ шении (3.153) выделим нулевое слагаемое, имея в виду, что а„ = 0, /0 (0) = 1; кроме 1 того, учитывая формулы [15] J $J0 (aKz) dz = (1/a*) (av) = 0, (так как aK — о OO корни уравнения /i(a) = 0), к > 1; 2 /° =-1- (z2 , получим из KS1«kJo(<*k) 2 \ 2} (3.153) после несложных вычислений T{rCxTa = 2Fo -T(1 2гг/Яг) 2 X J0 (aKr/R) -ai Fo a^o (a*) (3.154) Проведем краткий анализ решения (3.154). Ряд в (3.154) сходится достаточно быстро из-за наличия множителя exp (— a*Fo), так как ак — величины большие (см. [83]). Начиная с определенного значения Fo^Foi, этим рядом можно пре¬ небречь по сравнению с первыми двумя членами, т. е. записать: [Т (г, t) — T0]/(Rqc/K) = 2Fo— (1 —2r2/R2)/4. (3.155) В этом случае температура в любой точке цилиндра (когда г фиксировано) будет линейной функцией времени, а распределение температуры — параболическим (такой режим носит название квазистациопарного). На рис. 23 приведены кривые безразмерной температуры 0 = (Т — T0)/(Rqc\-1) для разных значений Fo [83]. Из рисунка видно, что начиная с Fo = 0,2 кривая, 144
характеризующая распределение 0 по относительной координате, равномерно смещается вверх, т. е. начиная со значением Fo^0,2 может быть использована формула (3.155). § 5. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ Рассмотрим метод Фурье при решении тепловой задачи для бес¬ конечного стержня, теплоизолированного с боковой поверхности (задача Коши); начальная температура стержня задана в виде функ¬ ции Ф0 (я): dT/dt =а(д2Т/дх2, —оо<л:< + оо, / > 0; (3.156) Т (*, 0) = Ф0 (ж), — оо<*< + оо; \Т (х, t) < + °о, |*|< + оо. (3.157) Здесь Ф0(*)— непрерывная и ограниченная функция. Как обычно, находим сначала частные решения уравнения (3.156) вида Т (х, /) = 0 (/) ¥ (х); подставляя правую часть этого равенства в уравнение (3.156) и разделяя переменные, получаем 1 в'® Г(х) __ л а 0 (0 W (х) 7 * где у2—постоянная разделения, откуда имеем ©' (0 + (VayY © (0 = 0; ЧГ (*) + у*Ч (*) = 0. Интегрируя эти уравнения, получаем 0 (0 = A exp [— {\fa у)2 /]; V (х) = В cos ух + С sin ух. Частное решение уравнения (3.156) имеет вид Т = (АВ cos ух AC sin ух) ехр [— (УНу)2 /], или Т = (a0cosvx + 60sin у*)ехр[—(VHy)2/], (3.158) где а0 = АВ; Ь0 = АС. Здесь А у By С — произвольные постоянные интегрирования, зна¬ чит, ,а0, Ь0—также произвольные постоянные. Функция (3.158) при любом, фиксированном у удовлетворяет уравнению (3.156) и можно для каждого значения у выбирать раз¬ личные постоянные а0 и Ь0. Это означает, что а0 и Ь0 могут быть произвольными функциями от уУ так что окончательно имеем сле¬ дующее семейство частных решений уравнения (3.156): т — [ао (Y) cos ух + b0 (у) sin y*] exp [— (Ka y)2 t\ (3.159) Так как граничные условия в задаче отсутствуют, то параметр у остается произвольным и может принимать все значения от —оо до + оо. Тем самым, как и выше, первая часть метода Фурье завершена. Вторая часть метода Фурье заключается в суперпозиции полученных частных решений. Для ограниченных областей суперпозиция частных 145
решений приводила к бесконечному ряду Фурье, суммирование которо¬ го происходило по индексу, пробегающему целые значения. Контину¬ альным аналогом ряда Фурье является интеграл Фурье: вместо сум¬ мирования по индексу, пробегающему целые значения, имеет место интегрирование непрерывно изменяющейся переменной у в (3.159). Таким образом, интегрируя (3.159) по параметру у» получаем также решение уравнения (3.156) + 00 Т(х, t)= J [ай (у) cos ух + Ь0 (у) sin у*] ехр [— {У~ау)2 /] dy, (3.160) — оо если несобственный интеграл (3.160) равномерно сходится в обла¬ сти й = (|*|< + оо, £>0) и его можно дважды непрерывно диф¬ ференцировать по х и один раз по t (также под знаком интеграла). Определим далее неизвестные функции a0(v) и ^o(y) так» чтобы выполнялось и начальное условие (3.157), т. е. + QO Т(х, 0) = Ф0(*)= ^ [До (?) cos ух + b0 (у) sin Y-c] dy. — оо Полученное равенство означает разложение начальной функции Ф0(х) в интеграл Фурье. Находим коэффициенты этого разложения по формулам: + 00 = i J <I>o(1)cosy£cI|; МY)=- — оо + оо = i (Б) sin YS dfi. (3.161) — со Напомним, что указанное разложение возможно, если функция Ф0(*) кусочно-гладкая в любом конечном интервале и если интеграл + 00 I I Фо МI dx сходится (является конечной величиной). Оба эти усло- — 00 вия выполняются в теории теплопроводности, первое в силу физи¬ ческого смысла функции Ф0 (х) [Ф0 (*)—начальное распределение тем- + оо пературы], второе в силу того, что интеграл J | Ф0 (л:) | djc пропор- — оо ционален тепловой энергии стержня—конечной величине. Подстав¬ ляя (3.161) в (3.160), найдем + 00 +00 т (х, I) — -^ ^ exp [— (ay)21] dY J Ф, (£) cos y (1 — x) d* = — oo — 00 ос + oc exp[— iVay)'2 /JdY ^ Ф0 (I) cos y (S—x) di 0 — oo 146
Меняя порядок интегрирования, запишем + 00 00 Т (х, 0 = -^ { Ф0 (i) dg ^ е~<! а ^' cos y (£—х) dy. — оо О Воспользовавшись далее формулой [20] (3.162) о окончательно приходим к следующему выражению: + 00 Т(х, 0 = j (3163) — 00 Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что функция рассматриваемая как функция от х, t, удовлетворяет уравнению (3.156). Функция (3.164) называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности (3.156). Покажем далее, что формула (3.163), называемая интегралом Пуассона, представляет при t > 0 для любой непрерывной ограни¬ ченной функции | Ф0 (х) | М0 ограниченное решение уравнения теплопроводности (3.156), непрерывно примыкающее при /=0 к Ф0(*). Для этого достаточно показать, что интеграл (3.163), а также интег¬ ралы, полученные его формальным дифференцированием (под знаком интеграла) два раза по * и один раз по /, сходятся равномерно. Дифференцируя (3.163) два раза по л: и один раз по/, получаем сумму интегралов и нужно показать, что каждый из интегралов равномерно сходится. Каждый из полученных интегралов, в том числе и исходный, может быть записан в виде где m = 0, 1, 2, ...; к > 0—некоторое число. Произведем замену переменных (3 = (*—1)/2|/о7| (/>0) и пре¬ образуем интеграл (3.165) к виду (3.164) + 00 — 00 /=(2 Ко/)" Г* Ф0 (х — 2\ral р)dp. (3.166) 147
Нетрудно видеть, что интеграл (3.166) сходится равномерно при о > 0, так как мажорируется интегралом вида Последний интеграл сходится, так как функция |Р|отехр(—реинтег¬ рируема в промежутке (— оо, + оо). При выводе неравенства использо¬ валось условие ограниченности функции Ф0(л:), т. е. неравенство |ф0(*-21/^7р)|<М0. в частности, при т = 0 для исходного интег¬ рала (3.163) имеем и так как интеграл (3.168) сходится равномерно относительно х и /, а функция Ф0(*) непрерывна, то в (3.168) возможен предель¬ ный переход по t (при / —► 0) под знаком интеграла и под знаком функции Ф0: т. е. начальное условие (3.157) выполняется. Здесь был использо¬ ван известный из анализа интеграл (см. [146], т. II) Для кусочно-непрерывной (и ограниченной) начальной функции Ф0(*) предельный переход под знаком функции совершать нельзя, поэтому для доказательства выполнимости начального условия (3.157) следует применить другой прием. Об этом можно прочитать, например, в [137]. Отметим, что условие (3.167) выполняется для любой ограни¬ ченной функции Ф0(х) во всех точках непрерывности этой функции. При этом имеет место и единственность решения (3.163). J Ф0(*—2Xrai§) Рст ехр(—Р2) dp ^ — 00 + 00 < S |ФЛ*-2К5р)ИР1"ехр(-Р)^р< <М0 J |Р|т ехр(—Р2) dp. (3.167) — 00 + 00 Т(х, 0 = J ®e(E)e-<*-5>*/(««odS = — 00 (3.168) — 00 + оо + 00 у=п j Фо(*)е-0Чр = Фо(*)-р^ j е-»Чр = Ф0(Д (3.169) — О0 — 00 + оо 00 (3.170) 148
Из (3.168) немедленно следует ограниченность решения Т(х> t) для любой ограниченной функции Ф0(х) + 00 xdp<M0^ j* e-e‘d|3 = M0. — 00 Итак, функция, определяемая формулой (3.162), непрерывна, имеет непрерывные производные по х до второго порядка включительно и непрерывную первую производную по t при />0, удовлетворяет уравнению (3.156) при />0 и является ограниченным решением крае¬ вой задачи теплопроводности (3.156) — (3.157). Если начальная функция Ф0(*) имеет конечное число точек разрыва, то интеграл (3.163) представляет собой ограниченное решение уравнения (3.156), непрерывное в Q всюду, кроме точек разрыва функции Ф0(х). Отметим одно обстоятельство. Решение (3.163) в Q есть функция, непре¬ рывно дифференцируемая по х и t, т. е. сколько угодно число раз не¬ зависимо от того, дифференцируема функция Ф0 (х) или нет. Эта глад¬ кость решений существенно отличает уравнение теплопроводности — уравнение параболического типа от уравнений в частных производных других типов. В (3.169) получен очень важный результат, который лежит в основе метода исключения неоднородности в началь¬ ном условии для краевых задач нестационар¬ ной теплопроводности. Действительно, предположим, что Т(х, t) есть решение задачи: dT/dt=a(d2T/dx2), *>0, t > 0; (3.171) Т(х, 0) = Ф0(л:), *>0; Г (0, 0 = ф(0. |Т(х, /)1< + °°. *>° (З-172) с ненулевым начальным условием, что создает некоторое неудобство при ее решении методом, который предполагает наличие нулевого начального условия [например, методом тепловых потенциалов (см. гл. VIII) или операционным методом (см. гл. VI)]. Преобразуем задачу (3.171) — (3.172). Положим + со W(x, t)=T (х, 0--тЦ Г (3-173) 2 у я at J — 00 В соответствии с вышеполученными результатами имеем теперь для функции W (х, t): dW/dt — a (d2W/дх*), х > 0, < > 0; ) W (дг, 0) = 0, .v>0; W (0, <)=(Pi(0> | (3.174) <>0; \W{x, ОК + оо, а>0. I 149
Если начальная функция Ф0 (х) не определена при отрицатель¬ ных ху то в (3.173) под знаком Интеграла можно взять функцию Ф1(1)у совпадающую с ф0 (£) при |>0 и выбранную произвольно при | < 0. Запомним этот результат, так как он достаточно часто используется в аналитической теории теплопроводности. Заметим далее следующее: требование ограниченности начальной функции Ф0(*) при всех |je|<-f-oo является весьма ограничитель¬ ным для практических целей. Может случиться так, что начальная функция на бесконечности является неограниченной, возрастая, однако, по абсолютной величине не быстрее чем \x\pt т. е. |Фо(*Х ^M0|jc|p, где Р^Оу или |Ф0 (х) | ^М0ес1*!, где УИ, С, Р — посто- Формулу (3.163) можно рассматривать в этом случае, как «обоб¬ щенное» решение задачи (3.156) — (3.157), так как невыполнимо раз¬ ложение такого рода начальных функций в интеграл Фурье (3.161). Очевидно, и решение задачи Т (я, /), являясь ограниченным на каждом конечном промежутке [—/, +/], будет вести себя при х — =Ь оо так же, как и начальная функция Ф0(*)- Пусть, напри- мер, Ф0(*) — Л0дг, найдем Т (л:, t) по формуле (3.163) Выясним теперь физический смысл фундаментального решения (3.164) и решения (3.163). Выделим около точки х0 малый элемент стер¬ жня х0—е, х0+е (где е>0 — сколь угодно малое число) и будем считать, что начальное распределение температуры дается функцией Ф0(*)> которая равна нулю вне промежутка х0—е, х0+г и имеет постоянное знание Т0 внутри него Начальное распределение температуры, удовлетворяющее условию (3.175), называется физическим тепловым импульсом. Такое начальное распределение температуры возникает, если в начальный момент вре¬ мени сообщить элементу стержня (х0—е, х0-Ке) количество теплоты Q=2ecpT0, которое вызвало повышение температуры на Го в этом участке стержня. При таком физическом тепловом импульсе темпера¬ тура в стержне в последующие моменты времени определяется форму¬ лой (3.163), которая в случае (3.175) принимает вид янные. + 00 Т (х, () = - А= Г Ze-<x-W("t) d£= 2 у nat J f (*—2l/Srp)e-0*dp = ;4,x. V n J если x0—e.< я < л:0 + е; если \x—x0 \ > e. (3.175)
От физического теплового импульса перейдем теперь к точечному (идеальному) тепловому импульсу, физический смысл которого состоит в следующем. Будем уменьшать в до нуля, считая, что то же количество теплоты Q распределяется на все меньшем участке и в пределе сообща¬ ется стержню в точке х=х0. В этом случае придем к понятию мгновенного точечного источника теплоты мощностью Q, действующего в точке х=х0 в момент времени t—0 (точечный тепловой импульс). Температура в стержне, соответствующая точечному тепловому импульсу, определя¬ ется по формуле Т (.х, t) == lim Q/cp 2 yUai x0 + r -H e-(.v-e)V(4o<) <jg Применяя теорему о среднем, получим А'о + е 2е где jf„—е < |0 < *0 + е. Так как |0 предел, окончательно найдем Q 1 Т(х, t): ф 2 УШ х0 при е • О, то, вычисляя (3.176) Предположим конкретно, что подведенное (выделенное) коли¬ чество теплоты Q = cp, тогда получим Т(х, = *„ О, (ЗЛ77) 2 у nat т. е. фундаментальное решение (3.164) при значении параметра 1 = х0. Таким образом, фундаментальное решение (3.164) или (3.177) уравнения теплопроводности дает распределение температуры в точке У стержня х в момент времени t% которое вызывается мгновенным точечным источником теплоты мощностью Q = ср, действующим в точке х = 1 (или х = х0) в мо¬ мент времени t = 0. Графики .фундаментального ре¬ шения G (.х, t) при фиксирован¬ ном I как функции от х для раз¬ личных моментов времени 0 < t1 < < t2 < < • • • представлены на рис. 24. Площадь под каждой из этих кривых равна + 00 + 00 _(х _£)2 +00 151
Это означает, что количество теплоты Q=cp в стержне остается неизменным с течением времени. Кроме того, из рисунка видно, что почти вся площадь, ограниченная кривой (3.164) и осью абсцисс, нахо¬ дится над промежутком ■(£—в, |+е), если только £>0 — достаточно малое число. А так как количество теплоты в стержне равно произве¬ дению ф на всю площадь, то отсюда следует, что для малых значений £>0 почти вся теплота сосредоточена в малой окрестности точки х—1\ устремляя t->0, приходим к выводу, что в начальный момент времени t=0 вся теплота сосредоточена в точке x=ty т. е. имеем мгновенный точечный источник теплоты. Математически начальное распределение температуры при мгно¬ венном точечном источнике теплоты записывается с помощью так на¬ зываемой импульсной дельта-функции Дирака [21], [38], [103] 6(л:—х0), представляющей как бы предел физического импульса Ф0е (х) при в-^0. Дельта-функция определяется формально с помощью следующих соотношений: для всякой непрерывной в (а, Ь) функции ф(х). В частности, для Ф (х) = 1 имеем Дельта-функция является математическим выражением сосредото¬ ченных величин (точечный источник теплоты, точечная масса, точечный заряд, сосредоточенный импульс и т. п.). Строгое определение дельта¬ функции как «предельного образа» может быть дано с помощью поня¬ тия «обобщенных функций» [21]. Нетрудно дать физическую интерпретацию формул (3.178) и (3.179). В наших предположениях Q=cpt отсюда 2еТ0=1 и, устремляя е->0, имеем Го-^+оо; это значит, что температура в точке х0 становится равной бесконечности. Равенство (3.179) можно записать в виде где е>0, это соответствует тому факту, что 2гГ0=1 при любом е;>0. (3.178) и В случае, когда а =—оо, b=-f-oo, + СО ^ Ь(х—х0)с1л:=1. (3.179) — 00 х0 + н 152
Таким образом, можно сделать вывод, что фундаментальное реше¬ ние G(x, £, /) дает распределение температуры в бесконечном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, начальная температура которого равна Ф0(х)=б(л:—£). В справедливости этого вывода можно убедиться непосредственно, если подставить в (3.163) вместо Ф„(х) дельта-функцию. Действительно, обозначив для удобства переменную интегрирова¬ ния через и учитывая (3.178), имеем Формула (3.164) показывает, что во всякой точке х стержня температу¬ ра, создаваемая мгновенным точечным источником теплоты, действую¬ щим в точке х=1 в начальный момент времени /=0, отлична от нуля для сколь угодно малых моментов времени. Это означает, что теплота распространяется вдоль стержня с бесконечной скоростью. И хотя это противоречит молекулярно-кинетическим представлениям о при¬ роде теплоты, но это противоречие логически объяснимо. В гл. I при выводе дифференциального уравнения теплопроводности мы пользова¬ лись феноменологическими представлениями с распространении тепло¬ ты, не учитывающими инерционность процесса движения молекул. Поэтому естественно ожидать проявление этого факта и в аналити¬ ческих решениях краевых задач уравнения теплопроводности. Теперь нетрудно дать физическое толкование и решению (3.163). Для того чтобы получить в точке х=\ стержня температуру Ф0(|) в начальный момент, следует подвести к малому элементу стержня d| около этой точки количество теплоты сК2=фФ0(£)с1£, или, что то же самое, поместить в точке х=% мгновенный точечный источник теплоты мощностью dQ. Температура, вызываемая этим источником, согласно Общее же действие от начальной температуры Ф0 (£) во всех точках стер¬ жня суммируется из отдельных элементов, что и дает полученное выше решение (3.163). Единственность этого решения для непрерывной функ¬ ции следует из теоремы, рассмотренной в § 5 гл. II. В аналитической теории теплопроводности широко применяют инте¬ грал (также часто встречаемый в теории вероятностей), который назы¬ вают функцией Лапласа или интегралом ошибок (или интегралом + оо — ОО X d|' = —^=- е- = G (я, I, t). 2 у nat (3.176): dQ 1 Ф 2 y~mt ф0 ( S) d£ е - (* - £)*/( 4at) 2 \ГШ 2 (3.180) 153
вероятностей). Свойства этой функции и таблицы значений приве¬ дены, например, в книге [150]. Отметим некоторые из них: а)Ф(г) монотонно возрастает, изменяясь в пределах —1, +1; б) Ф(—г) = = —Ф(г), так что таблицы составлены только для положительных значений аргумента; в) Ф(0) = = 0; Ф (— оо) = —1; Ф (+ оо) = = + 1; Ф (z ^ 2,7) ^ 1, так как Ф(2,7) ^ 0,9999. В приложе¬ ниях часто используется обо¬ значение функции Лапласа в виде Ф(г) = еН(г), а также функция ф* (г) = erfc (г) = 1 —erf (г) = Рис. 25 = (2/К^) 5ехр(-рг)Ф- (3.181) Графики этих функций приведены на рис. 25. Пусть в постановке (3.156)—(3.157) начальная температура за¬ дана ступенчатой функцией ) 7\ при х > 0; Ф0 М=?т (3182) ) * 2 при х < 0. ' Используя введенные функции (3.180)—(3.181) и формулу (3.163), нетрудно получить решение задачи в виде Г (х, 0 = (Т1 + Т2)/2 + [(7\ -Г2)/2] Ф [х/(2 VTt)} или [Т(х, t)—Тх]/(Тл—Т,) = (1/2) Ф* [xl{2V~ai)\. (3.183) Настоятельно рекомендуем проделать все выкладки. Из (3.183) видно, что в точке х=0 температура все время постоянна и равна полусумме начальных значений справа и слева, так какФ(0) = =0. Кроме того, полученные выражения зависят только от одного без¬ размерного параметра */(2)/"а/). Это позволяет сравнивать температуры в различные моменты времени и в различных точках твердых тел, обладающих различным коэффициентом температуропроводности. Переходя к неоднородному уравнению, рассмотрим краевую задачу вида dT/dt =а(д2Т/дх2)-{- /(*, /), —oo<*<-foo, t > 0; (3.184) Т (х, 0) = 0, |*| < +оо; \Т (*, t) | < +оо, |*| < +оо. (3.185) Решение этой задачи можно получить аналогичным образом, как и в случае (3.38) — (3.39). Рассматривая уравнение (3.184) в ограниченной области с однород¬ ными краевыми условиями, раскладывают искомое решение в ряд Фурье по собственным функциям соответствующей однородной задачи (см. § 3 гл. III). Для неограниченной области следует искать решение 154
Т (ху t) задачи (3.184) — (3.185) в виде интеграла Фурье с переменными во времени коэффициентами разложения + 00 Т (х, 0=5 И (v» Ocosy* + fl(Y, OsinY*]dY> — оо + 00 +оо где А (у, 0 = -^- j Т’ (i. OcosYldg; В (у, 0 = -^7 J т (1. Osinv^di, — 00 — 00 и далее применить все рассуждения, изложенные в § 3. В резуль¬ тате придем к решению задачи в виде (проделайте все выкладки) t + 00 Т(Х, 0 = 5 5 T)G^' S’ T)dTdi. (3.186) О — оо где G(Xy 5, t) — фундаментальное решение уравнения теплопровод¬ ности [см. (3.164)1. Выражение (3.186) представляет собой непрерывную, ограничен¬ ную функцию от х и ty дважды непрерывно дифференцируемую поде и непрерывно дифференцируемую по tt если функция /(л:, t)9 рассмат¬ риваемая как функция Ху удовлетворяет всем требованиям разложи¬ мости ее в интеграл Фурье. Рассмотрен метод Фурье для одномерных тепловых задач в неог¬ раниченной области. Аналогичным образом можно получить решение дву- и трехмерной задач. Например, найдем температурное поле бесконечного пространства (*, уt z), начальная температура которого задана в виде функции Ф0 (*, у у г); внутри про¬ странства действует нестационарный источник теплоты мощностью F (*, yt z, t). Имеем при f (х, уу г, t) = F/cp дТ (дЧ , дЧ , дЧ\ , Л Л dt=a[-w+-w+'dF)+f(x'!l'z't)' -00 <*•*/<2 <+°°. <>°; т (X, у, г, 0) = Ф0 (х, у, г), | Т (дг, у, г, <) 1 < +«, \х,у,г\< +оо. (3.187) Решение Т (xf yt г, t) можно записать в виде + 00 + 0D + 00 т (X, у, г, 0= 5 5 5 Ф° ^ ° У’ *’ 1,1 4>р ^Х — 00 — со —оо t + OD +00 +00 Xd|dt)d(p+J 5 5 5 т'> 0 (х> t>> f’т) dT dS dtl d(P> (3.188) О — 00 — 00 — OD где О (х, у, г, £, г|, (р, t—т) = , ' ехр Г_ fr-O’ + to-tiP+fr-q.)» 1 (2 У ка {t — т))у | 4а (t — т) J (3.189) — функция температурного влияния мгновенного точечного источника теплоты мощностью Q = cpy действующего в точке * = £, у = г), г = ср в момент времени t — Т. 155
Это решение можно получить, используя метод разложения функ¬ ции в тройной интеграл Фурье. Заметим, однако, что для дву- и трех¬ мерных задач этот метод технически менее удобен, чем, например, метод интегральных преобразований Фурье для неограниченных областей (см. гл. V). § 6. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЙ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ Непосредственное применение метода разделения переменных к полу- ограниченным областям (например, полуограниченная прямая, часть координатной плоскости я > 0, у> 0 и др.) не приводит к цели *. Однако наличие известного аналитического решения, полученного методом разделения переменных для бесконечной области, позволяет во многих случаях получить решение краевой задачи теплопровод¬ ности и для полуограниченнрй области. Рассмотрим краевые задачи для полуограниченной прямой (полу- бесконечный стержень) и покажем, как, используя решение для не¬ ограниченной прямой, получить решение исходной задачи. Как уже отмечалось (см. гл. II), в тех случаях, когда интересуются распределе¬ нием температуры вблизи одного из концов стержня, а влияние другого конца несущественно, можно считать, что стержень ограничен только с одной стороны, а с другой простирается в бесконечность. Это приводит к краевым задачам теплопроводности для полубесконечной прямой. Рассмотрим некоторые из них: 1. Пусть Тг(х, t) есть решение задачи [см. (3.43) — (3.44)]: dT1ldt = a(d2Tlldx2‘)1 х > 0, * > 0; (3.190) Ti(x, 0) = Ф0 (х), *^0; Тг (0, 0=0, /^0; \Тг(х9 01 <+оо, * > 0. Функцию Т\ (х, 0 нетрудно найти, используя формулу (3.163). Для этого про¬ должим начальную функцию Ф0 (х) на отрицательную полуось нечетным образом, иными словами, рассмотрим вспомогательную начальную функцию М* опре¬ деленную следующим образом: <зт| В чем смысл такого продолжения? Ясно, что и температурная функция 7'1(дг, t) при условии (3.192) будет на всей числовой оси также нечетной, т. е. Ti (—х, t) = = — Ti (х, 0» а Для такой функции граничное условие (3.191) при х = 0 всегда имеет место: Г, (0, *)=—^(О, /), отсюда 2Т1(0, /) = 0 и 7\(0, /) = 0. Функцию Тi (х, 0 запишем с помощью формулы (3.163), имея в виду (3.192) Ti{x,0 = -y= C'V.e).e"U"0,/(4e<,dE. (3.193) 2 у nat J * За исключением тех случаев, когда спектр собственных значений на полу- бесконечных интервалах является дискретным. 156
Начальное условие при этом выполняется, так как, согласно (3.169), 7\ (х, 0) = = 4% (*) = Ф0 (х) для х > 0. Преобразуем (3.193) следующим образом: т'(х- 5F33- I — оо 0 Если в первом интеграле заменить £ на (—|) и использовать (3.192), то окончательно получим * Г S)a (* + 6)»1 Тг(х, 0=—!= (Ф.® Le 4в< -е~ Ш J dg. (3.194) 2 у nat J Заметим, что при х = 0 выражение, стоящее под знаком интеграла, обращается в нуль. В частном случае, когда начальная функция в (3.191) постоянна Ф0 (*) = = Т0, выражение (3.194) существенно упрощается и после несложных выкладок принимает вид (проделайте эти выкладки самостоятельно) Т (х, t)/T0 = <t>-lx/(2}rat)], (3.195) где Ф(г) — функция Лапласа (3.180). Итак, задача (3.190)— (3.191) решена. 2. Пусть теперь Т2(х, /) удовлетворяет условиям: dT2/dt = a(d2T/dx2 + f(x, /), х > 0, t > 0; (3.196) 7^2 (дг, 0) = 0, 0; T2(09t)=0, t^z 0; \T2(xt t) | < +oo, х > 0. (3.197) Используя формулу (3.186), можно получить решение и в этом случае. Для этого следует продолжить функцию источника f (х, /), рассматриваемую для любого t > 0 как функцию х на отрицательную полуось нечетным образом, введя вспо¬ могательную функцию в (*. 0 = ( 1j*’ *4 ж > п’ (3.198) \ —f(—x, t), х<0. затем записать интеграл (3.186) с функцией 0 (ху t) и преобразовать его в соот¬ ветствии с (3.198). В результате получим !00 Г -<*- £>* (*+1)ш 1 Т2(х, 0=—\=- 5 Г ■■ т) [e4fl (,'т)—е 40 ('"X)J dTdg. (3.199) 2 у an J J у t — т г о о г 3. Более интересным является случай, когда при * = 0 имеет место неодно¬ родное граничное условие: dT3/dt = a(d2T/dx2), х > 0, t > 0; (3.200) T3(xt 0) = 0, х^0; Г3(0, /)=ф(0, ^0; |Г3(х, 01 < +оо, х > 0. Этот случай также может быть рассмотрен положительно. Действительно, введем новую функцию W (х, t) = T3(x, 0— Ф (0 и преобразуем задачу (3.200) — (3.201). Получим dW/dt = а (d2W/дх2)—ф' (t), х > 0, / > 0; \ W{x, 0) = — ф (0), х^0; ИР(0, /)=0, 0: \ (3.202) 1 W (х, t) 1 < +оо, х >0. ) Функцию W (х, t) можно записать с помощью формул (3.194) и (3.199), имея в виду, что W (*, t) = Ti(x, /) Т2 (.v, 0, если считать Ф0 (*) = --ф(0), / (*, I) = 157
= —ф' (/). Получим для W (ху t) и далее для Т3 (ху t): -(*-£)» (х+ £)» • Г (£+1>П 1 Г,(*,0 = Ф(0--^ С U 4а' -е" 4а< Jd* ‘ f-£JlLdTX 2yUai J 2/ал J \Tf~x (0, *(-£=-)- Х \ |_е4а (/-т)-е 4а<<‘ I — ( ф' (т) Ф( — \ dx. J \2 У а (t-т) ) После преобразования правой части равенства найдем г*(‘’°-^11^гсп:'гг,л' фж) Остановимся на полученном выражении, так как оно представляет опреде¬ ленный интерес для исследования. Согласно (3.201), функция Т3()с, t)—*0 при t—*«0 и * > 0 и T3(Xyt)—*ф(0 при х—►О и t> 0 (вспомним, что краевые условия понимаем в предельном смысле, как договорились в § 4 гл. II). Проверка последнего условия наиболее важна, так как (на первый взгляд) из выражения (3.203) следует, что при х—►О функция Т3(х, t) равна нулю благодаря множи¬ телю перед интегралом. В действительности же при * = 0 интеграл становится расходящимся; это особенно ясно видно, если граничное условие—постоянная функция ф (t) =ф0 = const). Действительно, С dx 2 j (/_ytzrT и при x = t правая часть превращается в оо. Таким образом, просто подставлять значение х = 0 в выражение (3.203) нельзя, так как при х—- оо имеем неопре¬ деленность типа 0*оо. Эту неопределенность нетрудно раскрыть, преобразовав (3.203) с помощью замены переменной 2/ЙТ^) ; dP 4/7(/-т)3'* :Т * 4ара- Тогда Г'(л0-Йг I ''('-ер)'""1* x/(2Vrai) Если ф (0 — непрерывная функция, то имеем ОО CD lim Г* (ж, t)=~^=r С Ф(0е-н^Р=<р (<)—£= С e-p,d(S=<p(0. *—#-0 (/>0) у л J У л J Здесь использовали интегралы (3.170). Задача 1. Покажите, что в случае условия гг //\ \ Фо> и < * < *о» / ф1. < > к температурная функция Т3(Ху t), определенная формулой (3.203), имеет вид Тз (х, 0=ф„Ф* L^/t2К^«7)] + СФХ — Фо) ®*[XI2V a 158
4. В случае, когда рассматривается вторая задача, dT^ldx \х= о = 0; дТ2/дх |*=о =0; дТ3/дх |*= о = (1 /X) ф (/), а все остальные краевые условия в (3.190) — (3.191), (3.196) — (3.197), (3.200) — (3.201)' сохраняются, соответствующие решения Г,- (х, t) можно получить почти дословным повторением всех рассуждений, приведенных при решении первой краевой задачи. Разница заключается лишь в четном продолжении начальной функции и функции источника на отрицательную полуось путем введения вспо¬ могательных функций ¥0 (х) и 0 (х, t): При отыскании функции Г3(х, t) следует воспользоваться подстановкой W (х, t) — Т3 (х, t) — (1Д)хф(/). Заметим, что при четном продолжении функций Ф0 (х) и f (х, /) решения Т\ и Г2 также оказываются четными функциями Ti(—x, t) = Ti(x, /); при этом автоматически выполняется условие дГ//дх |*= о = 0 (покажите, почему?). 5. Рассмотрим полезную подстановку при решении третьей краевой задачи в полуограниченной области. Пусть функция Г (х, t) удовлетворяет уравнению (3.190) и краевым условиям вида Г (х, 0) = Г0 ( = const), х > 0; дТ (х, t)/dx |*=о =/гГ (0, /), t > 0; (3.204) | Г (х, 01 <+оо, х > 0. сведем третью краевую задачу (3.190), (3.204) к первой краевой задаче относи¬ тельно функции W (х, 0 (если это удается, то решение W (х, t) может быть за¬ писано по полученным выше формулам). Прежде всего покажем, что W (х, t) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности. Для этого составим разность W't — aW"xlt используя (3.205), из (3.205) также следует, что W (0, /)=0. Таким образом, для W (х, t) имеем Из (3.207) следует, что при х —► оо (/ > 0) функция W (х, t) имеет предел Г0 (так как Ф(+оо) = + 1). Теперь необходимо определить Г (х, t) — решение исход¬ ной задачи (3.190), (3.204). Для этого можно воспользоваться уравнением (3.205), переписав его в виде Общее решение этого уравнения, которое можно получить, например, мето¬ дом вариации произвольной постоянной, запишем в виде С помощью подстановки W (х, 0 = Г (х, 0 —(1/Л) дТ (х, t)/dx (3,205) dW_ dW dt a дхг ~ выражения в скобках обращаются в нуль в силу уравнения (3.190). Начальное условие для W найдем из (3.205) Г (х, 0) = Т(х, 0)-±£[Т(х, 0)] = Г0_1^(Г0) = Г0; Задача (3.206) уже рассмотрена выше [см. (3.194)]. Ее решением является выражение 1Г(*, i) = To0[x/(2yrat)]. (3.207) Т'х — hT = -hW. ОО Т(х, t)=Cehx+h ^ e~h^-x)W (£, /) d£. X 159
где С — постоянная интегрирования. Эту постоянную можно определить, исполь¬ зуя условие ограниченности функции Т (.х, t) при х—* оо. Отсюда следует, что С = 0. Следовательно, 00 Т (х, t)=h § e~h$W (* + Р, 0 dp. (3.208) О (Здесь положено £—* = Р*) Учитывая (3.207), найдем со Т (X, t) =hTa J exp (—ЛР) Ф [(*-bP)/(2V'oO] dp. (3.209) О Задача 2. Покажите, что выражение (3.209) в результате применения формулы интегрирования по частям может быть сведено к виду Т(х, t)/T„ = Ф ( 2^L_ exp (hx + aft2/) Ф»(-\-hV~ai(3.210) Определим температуру на торце стержня * = 0 Г (0, <)/7’о = ехР iflhH) Ф* (hY~ai). (3.211) Если воспользоваться асимптотическим разложением функции Фо (г) [20] Ф* (г) ~ л" 1/2 [exp (—г2)] (г_1—2“1-z“3 + 3»4“1»z-5—...) для г> 1, то для (3.211) найдем Т (0, t)/T0 = [\/(h\niai)] [1 — \/(2ah2t) + 3/(4a2h*t2) —...] при h y/at^>\: Таким образом, через время f»(aA2)-1 после начала охлаждения температуру на торце стержня можно считать равной Т (0, t)/T0 ~ {hY nat)"1 с ошибкой, меньшей, чем (2ah2t)'~1. В постановке задачи (3.190), (3.204) рассматриваются частные значения краевых.функций. Это, однако, не ограничивает общности приведенных рассуждений, справедливых и в более общем случае, т. е. для переменных во времени и в пространстве краевых функций, вклю¬ чая неоднородность и в дифференциальном уравнении (3.190). При этом только усложняются выкладки, которые в принципе можно довес¬ ти до конца. Однако в более общей постановке третьей краевой задачи для полуограниченной области целесообразнее пользоваться либо ме¬ тодом функции Грина (см. гл. VII), либо методом интегральных преоб¬ разований (см. гл. V). К этой задаче вернемся позже в этих главах. В заключение отметим, что для дву- и трехмерных областей метод продолжения начальной функции и функции теплового источника также приводит к цели и достаточно быстро, если граничные условия задачи однородные или могут быть сведены к таковым. Однако метод интегральйых преобразований или метод функции Грина в последнем случае предпочтителен. § 7. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ЛИНЕЙНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА Знание собственных значений и собственных функций, по существу, означает решение соответствующей краевой задачи теплопроводности, если применить далее рабочие формулы записи аналитических реше- 160
ний, полученные в § 4 гл. III. Кроме того, согласно результатам § б гл. II, собственные функции однородных задач с двумя или тремя неза¬ висимыми переменными можно представить в виде произведения решений задач с одной переменной. Таким образом, для решения доста¬ точно большого числа краевых задач теплопроводности в дву- и трех¬ мерной областях необходимо рассмотреть однородные задачи с одной независимой переменной. Так, в случае линейного потока теплоты, имеющего место в неограниченной пластине или тонком стержне, приходим к следующей однородной задаче на собственные значения и собственные функции: d*4/dx% + ytxP = 0, 0 <*</; (3.212) (X.dW/dx-а^)х=0 = о; (М№ + аДЫ = 0, (3.213) где Х{ ^ 0, at ^ О, X] -f а\ > 0, i = 1,2. Записанные граничные условия (3.213) включают девять воз¬ можных комбинаций граничных условий соответствующих краевых задач теплопроводности. Рас¬ смотрим все случаи. У 1. Граничные условия III рода при х — 0 и х = I: (dT' (x)/dx—h1{¥ (x)).r=0 = 0; (dXY (x)/dx + h2W (x)x=i = 0) (A, = a,A,). (3.214) _ Общее решение уравнения (3.212) имеет вид 'Г (х) = Сх cos ух + С2 sin ух. Удовлетворяя условиям Рис. 26 (3.214), приходим к однород¬ ной системе двух алгебраических уравнений относительно по¬ стоянных интегрирования С1 и С2: h\Cx уС2 = 0, (h2 cos у I—у sin у I) С\ + (у cos yl + h2 sin у I) С2 = 0. Эта система имеет решения, отличные от нулевого (нас интере¬ суют только нетривиальные решения однородной задачи (3.212)— (3.213), для которых должно быть CJ + C'2>0), если ее опреде¬ литель равен нулю. Это дает трансцендентное уравнение для собственных значений ctg yl = y/ (ht + А2) — ЛЛ/fY (^i + ^а)]* (3.216) которое можно записать в следующем виде: Р = р/(^ + ^0—4" Ла) р]» (3.217) если положить р = у/. Это уравнение имеет бесчисленное множе¬ ство вещественных корней, в чем нетрудно убедиться, построив графики кривых (рис. 26): У = ctg р; У = р/(М + V) “ IAiV/^i + Ла)]/Р- (3.218) | (3.215) 6-339 161
Из рисунка видно, что в каждом из интервалов (0, л), (л, 2л), ... лежит положительный корень уравнения (3.217), а отрицатель¬ ные корни по абсолютной величине равны положительным. Ясно также, что кратных корней нет. Обозначим через р2, ..., \хк, ... положительные корни уравнения (3.217). Тогда собственные значения равны У 1 = \&П\ /с = 1, 2, 3, ... (3.219) Каждому собственному значению соответствует собственная функция М = И* cos Vk (*/0 + М sin И* (*/0> (3.220) определенная с точностью до постоянного множителя, который положим равным единице. Согласно теоремам III и V см. § 3, система собственных функций (3.220) ортогональна в области [0, /] с весом р= 1 и полна. Найдем квадрат нормы собственных функций. Так как d2X¥jdx2 + (р*//2) = 0, то j Y2 (х) dx = ——2 j YK (x) d2y} dx. 0 0 Интегрируя по частям, получим i i J Y2 (*) dx-(H^f 5 (dY^/d*)2 d* = = -(//^)2[YK(dYK/(d^))]S. Ho Yt. (x) = \iK cos (x/l) + htl sin iiK (x/l) и (//|xK) (dY^/dx) = — pK sin цк (x/l) + h,l cos (x/l). Отсюда Y* + (//pj2 (dYK/d;t) = p* + h\, а также i i I Y2 dx + (//pj2 J (dYK/d*)2 d* = (p2 + h\) I. 0 0 Выражения (3.221) и (3.223) дают i 2 S Y2 (x) dx = [pi + (hj)*] /-(/*/|i£)[Y, (dY^(Le)]*=i. 0 Согласно (3.214), (d'Vjdx-h^^ = 0; (WK/dx + h2WK)x=l = 0, отсюда следует, что (/2/p2) [Y„ (dYK/dx)] = (hJViil) Y2 \ при лг = 0; (/2/p2) [Y. (dYK/d.v)] = — (V2/p*) Y2 f при x = l. Выражения (3.222) и (3.225) дают Y2 (0) = ill Y2 (I) = ill (ill + hi I2) Kill + ft2/2)]. 162 (3.221) (3.222) (3.223) (3.224) (3.225) (3.226) (3.227)
Таблица 1 Г раничные значения Собственные значения Собственные функции <*> при х — 0 при x — l Vk ¥ = 0 dy/dx + W = 0 y£ = H*//2 М =Sin \lK x/l, к=\, 2, 3, ..., > 0 —корни уравнения Ctg|Ll = --/z//jLl, ||Ч, р ./ (^ + Л*//2)+А/ 11 * 2 (ц*+А*/*) v = o dV/d^O Y“ = ^2. H«=(2*-l)-j, <e=l, 2, 3, ... Ч'* (JC) = sin \хк xjlt |]Щ12 = //2 v = o У = 0 у% = (кщ О2, к= 1, 2, 3, ... *Fv = Sln [iKXjl (Ц* = КЛ), || Ужр = //2 dY/djf = 0 d'tr/dx + h'¥ = 0 Y 1=P?kIP> к=1. 2, 3, ... VW =cos р* x/lt \хк > 0 — корни уравнения ctgtu = n/(/z/), / (ц2+А*<*)+« " *11- 2 (цЛ-АЧ!) dV/dx = 0 d'¥/dx = 0 V2 = (кя//)*, к = 0, 1, 2, ... М =cos «ЯДС//, II У, 11 = }//2, /С >0, /, к = 0 d'F/djc—/z¥ = 0 y=o Y 2 = ^/'2. к = 1, 2, 3, ... 4,kW = M«cos ц„Х Х*//+Л/sin u JC/i, цк > 0 — корни уравнения Ctg |LX =—Л//Ц, |Тк||а = //2{[^ + +(А/)*]+Л/} dV/d* = 0 y=o т2=»*;//*. цк=(2к-1)-£, /с= 1, 2, 3, ... (*) = COS |,1 ы х/1, |V,||*«=//2 163
Продолжение табл. 1 Граничные значения Собственные значения dy¥/dx — hW = 0 d'F/d* = 0 VK (х) = \iK cos цк x/l -j- AC = 1, 2, 3, ... + hi sin [iK x/l, \xK > 0 — корни уравнения ctg fi = ц/hl, II^kII2— 2 {[l^« + Из (3.226), (3.227) и (3.224) находим 2 J (x) dx = + h\P) I + V2 L(|iJ + hWKpl+hU*)] + откуда после несложных преобразований окончательно получим квадрат нормы собственных функций (3.220) Другие случаи могут быть рассмотрены совершенно анало¬ гично, поэтому приводятся лишь окончательные результаты в табл. 1. Зная, таким образом, собственные значения и собственные функции однородной задачи (3.212) — (3.213) для различных комбинаций гра¬ ничных условий при л;=0 и х=/, нетрудно выписать решение соответ¬ ствующей краевой задачи теплопроводности для стержня с помощью соответствующей рабочей формулы § 4. И, более того, полученные выражения дают возможность найти собственные значения и собствен¬ ные функции для прямоугольной области 0 ^ х ^ U, 0 у ^ /2 и для прямого параллелепипеда 0 ^ х ^ /*, 0 ^ ^ /2, 0 ^ z ^ /3 при любой комбинации граничных условий на граничных поверхно¬ стях этих областей. Для этого достаточно перемножить соответст¬ вующие решения для одномерных областей (см.§ 6 гл. II). Последнее же, по существу, означает решение той или иной краевой задачи тепло¬ проводности, которое можно выписать по рабочим формулам § 4 гл. III. В заключение заметим следующее. Обычно при рассмотрении тепло¬ вых задач для бесконечной пластины ограничиваются такими важными величинами, как температура на поверхности пластины или в центре центральной плоскости симметрии, если начало координат выбрано в этой плоскости (тогда — /0 ^ х ^ /0 или с помощью подстановки x'=x+/o можно перейти к случаю 0 < х' < /, где / = 2/0). Для реше¬ ния таких задач располагают множеством числовых данных в форме о u^r = S^)d*=4 о 1_ \12) [М + (Рк~Ь^2)] + М (н^ + ^а^2) 164
таблиц и графиков [83]. Удобнее начало координат выбирать в центре исследуемой области, так как тогда яснее выявляется любая симмет¬ рия решения; в случае пластины — / < х < +/ приходят к области О ^ х ^ /, в которой может отыскиваться четная функция. В первом случае всегда (дТ/дх)х=0 =0, во втором всегда Т (0, t) = 0. § 8. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА Приведем собственные значения и собственные функции однород¬ ной задачи для уравнения dr2 ^ г дг ^ г2 d<p2 (3.228) 0<r < R, 0 < 2 < / с граничными условиями любого рода на границах рассматриваемой области. Имея собственные значения и собственные функции для каж¬ дого из случаев, с помощью рабочих формул § 4 гл. III можно вы¬ писать аналитические решения соответствующих краевых задач теп¬ лопроводности. Уравнение (3.228) рассмотрим в несколько этапов, имея в виду боль¬ шую прикладную направленность этой задачи. 1. Радиальный поток теплоты в неограничен¬ ном сплошном цилиндре TT+TlF+V^iM-O. 0<r<R; (3.229) (MYj/dr + аДх)г= * = 0 | (г) | < + оо, г > 0. (3.230) Вначале рассмотрим граничные условия / рода: (R) = 0. Уравне¬ ние (3.229) представляет собой дифференциальное уравнение Бесселя. Его общее решение имеет вид ЗД = ОгМУгГ) + C2Yq (Yir), (3.231) где Joiys)— функция Бесселя I рода нулевого порядка; Y{i(y1r) — функция Вебера. Из физического смысла краевой задачи теплопроводности [в одно¬ родной задаче — это условие ограниченности в (3.230)] коэффициент С2 должен равняться нулю, так как на оси цилиндра (при г = 0) тем¬ пература должна быть конечной и решение задачи не может содержать бесселеву функцию II рода, которая при г 0 стремится к —оо. Поэтому функция Х¥1 (г) в (3.231) выражается только через бесселеву функцию I рода Wi (г)=ClJ0(ylr), Постоянную уг найдем из граничного условия при г = R: J0(yiR) = 0; обозначив = р, придем к транс¬ цендентному уравнению /о 0*) = 0. (3.232) Таким образом, для отыскания собственных значений необходимо найти корни р* (к = 1, 2, 3,. . .) бесселевой функции У0(р). Этих корней счетное множество (рис. 27) и так как функция Л(р) четная 165
J0(\i)=J0(—|л) (см. [15]), то отсюда следует, что корни /0(р) будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку; поэтому достаточно рассматривать только положительные корни (которые приведены, например, в [150]). Зная корни (ы2,. . . ..., (ih,. . находим собственные значения по формуле yl = (x2K/R2 и далее собственные функции (с точностью до числового множителя, кото¬ рый мы полагаем равным единице): ^(г) = Jo{\iKrlR). Остается вы¬ числить квадрат нормы собст¬ венных функций. Уравнение (3.229) перепишем в виде, со¬ ответствующем уравнению (3.24), d/d г [г (dVjdrfl + y'rV^O. — Теперь видно, что Р(г) = г, и, Л таким образом, собственные функции T’l^r) ортогональны Рис. 27 на [0, R] относительно весо¬ вой функции Р(г) = г. Исполь¬ зуя известные из теории бесселевых функций интегральные фор¬ мулы [15] [см. ниже (3.241)], найдем R 1 %II2 = s rJl МЩ dг = (^2/2) Л (Ю. (3.233) 0 Другие виды граничных условий могут быть рассмотрены аналогично, поэтому приведем лишь конечные результаты в табл. 2. Таблица 2 Граничное условие при r=R ■ v* Собственн e функции W1/c (л); весовая функция Р (г) d4j1/d/’ = 0 тг=(*5/л*. к = 0, 1,2, 3, ... ^1* (r) — Jo {\^к'r /R)> P(r) = r; fiK^0—корни уравнения •Ми) = 0(164]. ^0 = 0; Ч'10(г) = У0(0) = 1; |Щ12 = («2/2)/5(рк), pKS=0, dV,/dr + +W1 = 0 2. H e о г p k=1, 2, 3, ... аниченный (рк г/Я); Р(г) = г, \хк > 0 — корни уравнения р./, (р) — hRJ0(n) = 0, |V,J» = (/?V2)io(p„)(l+/i2*V) сплошной цилиндр, когда температурное поле не является осесимметричным: 5+Т^+7^+^2 = 0, 0<г<Я; (3.234) У.(г, Ф) = (г, ф + 2я); |V,<г. ф)|< -i оо, г>0. (3.235) 166
Граничные условия укажем позже. Решение этой задачи получим методом разделения переменных. Полагая 47 (г, ср) = 47 (г) 0 (ср) и подставляя в (3.234) вместо 47 правую часть указанного ра¬ венства, получим после разделения переменных (r247 + rW[ + 77'2Ч7)/Ч7 = 070. (3.236) Левая часть этого равенства не зависит от ср, а правая — от г. Отсюда следует, что 070 = const. Для того чтобы 0 (<р) [а зна¬ чит, и 47 (г, ср)] была периодической функцией угла ср и не ме¬ нялась при изменении угла ср на 2л, необходимо и достаточно, чтобы 070 = — т2, где т = 0, 1, 2, 3 ... . Тогда в качестве 0(ф), удовлетворяющей уравнению 0" -f m20 = 0, можно взять семейства функций: cosmcp, m = 0, 1, 2, 3, 0(ф)= . 1 о Q л (3-237) sm/лф, т= 1, 2, 3, 4, ... . Уравнение (3.236) для 47 (г) оказывается уравнением Бесселя следующего вида: +7 IF + W' = °- (3'238> Его общее решение имеет вид (см. [166]) Y, (г) = CtJm (ytr) + С2Ут (угг), (3.239) где Jm{y2r)—функция Бесселя I рода порядка т\ Ym(y2r)— функция Вебера. Из условия ограниченности в (3.235) следует, что С2 = 0. Граничные условия I рода. Пусть в (3.234) — (3.235) 4г2(/?)==0. Находим из (3.239) (при С2 = 0): Jm(y2R) = 0 или ,/OT(pi) = 0, если обозначить y2R = pi. Таким образом, собственные значения и соб¬ ственные функции первой краевой задачи для уравнения (3.238): ylniK = VnJR*> т = 0, 1, 2, 3, ..., /с = 1, 2, 3, ..., (r) = Jm (IW/Я)' Отсюда и из (3.237) следует, что искомые собственные функции состоят из двух семейств } m = 0, 1, 2, 3, 4, ...; J. tymKr/R) cos ту, \ . 9 „ 2,!:<змо) Sin т<р, к== ^ 2( 3 Уравнение (3.238) можно записать в виде (3.24) зН'тМ'Ч’.-т'"’'1’.-0- откуда Р(г) = гу и, значит, функции Jm(\^KmrlR) ортогональны на [0, R] с весом Р(г) = г\ функции созтфиэттф ортогональны 167
на [0, 2л] с весом Р(ф)=1. Таким образом, согласно теореме II о полноте системы функций двух переменных (см. § 1 л\л. III) собственные функции (3.240) ортогональны на [0, /?], [0, 2л] с весом Р = 1 - г = г. Используя значение интеграла [51], R I гЦ^ПЯ) dr = (RV2) ./2+1 (ц). (3.241) где р,—корень Jv(\i) = 0, найдем квадрат нормы собственных функ¬ ций (3.240) 2л R S S rJm (VmJ/R) COS2 тф £(ф = лЯ 2/2/£+1(|хтк) /c^sl, т>0; о о л/?2/? (\10к), т = 0, ас>1, 2я я S S (^дажг//?) sin2 mcp = яR2/2Jm+i ((А**), о о 1, m > 0. Другие виды граничных условий могут быть рассмотрены аналогично, поэтому приведем лишь конечные результаты в табл. 3. Таблица 3 |Y,„p = Граничные условие при r = R Собственные функции хУ‘2тк (г» весовая функция Р (г, <р) d^2/dr = 0 I та = 0, 1, 2, ..., к=0, 1, 2, ...; JmfamKr/R) Sin Шф, т= 1, 2, /с = 1, 2, р 5= 0—корни /m+i(n)=0, Цоо = 0> = 1; (Ртк—М*) 2Я/лк т > 0, к > 0; яЛ2Уо(Цок)> м = 0, /с = 0, 1, 2, ... Я (г, ф) = г d'F2/dr+A4'2=0 ш = / Jm(VmKrlR) cos/лф. т^0,/с^1, Sm* \ (яткГ/R) sln/лф, m3* 1, *3=1; ц > 0—корни p/m+1 (р) —hRJm (р)=0[164), ‘ nRt (Я2^+^к- m2')j2m(amic), №як||2= 2^к т > 0, к яЯ2 1 M-OiC (w+tCc) '8 о**.). \ т = 0, к ^ 1 168
Замечание. Собственные функции в каждом из трех случаев этого пункта состоят из двух семейств. Значит, при решении соответствующих краевых задач теплопроводности с помощью рабочих формул § 4 гл. III необходимо записывать решение в виде суммы двух частей из двойных рядов Фурье так, что в первой части под знаком двойной суммы будет содержаться Jm (Иткг/К) c°s тф, во вто¬ рой части под знаком двойной суммы —Jm (\imKr/R) sin m<p. Разумеется, каждая из этих частей содержит определенное число слагаемых—двойных рядов Фурье, соответственно заданию краевых функций в исходной постановке задачи. 3. Перейдем теперь к общему случаю Положим ¥(/*, ф, z) = 4r1(z)4f2(r, ф) и подставим правую часть в уравнение (3.242). Получим после разделения переменных (X, дУ/дг + a^¥)r=R = 0; (Х2 dV/dz-а2У)г=0 = 0; (Х3 dV/dz + а3ЧЪ=, = 0, Y(r, Ф, г) = Т(/*,ф + 2л, г); | Т(г, Ф, г) | < + оо, 0. (3.245) Подставляя = }¥1(z)y¥2(r, ф) в граничные условия (3.245), Используя полученные результаты, можно записать для собст¬ венных значений и собственных чисел задачи (3.242), (3.245): Этим самым завершается рассмотрение решений большого числа краевых задач теплопроводности для конечного сплошного цилиндра, бесконечного цилиндра с радиальным потоком теплоты, бесконечного цилиндра, когда температурное поле не является осесимметричным, конечного сплошного цилиндра с осесимметричным температурным полем и,' наконец, для общего случая Г(г, ср, z, t). В каждом из этих случаев (согласно виду граничных условий) следует выписать собственные значения и собственные функции соот¬ ветствующей однородной задачи и записать аналитическое решение краевой задачи теплопроводности по одной из рабочих формул § 4 гл. III в цилиндрической или полярной системах координат. д2У дг2 , V, , с/у \j с ’ 0<г<1. ■jpr -bYi’Ti — 0. 0 <*</, (3 243) (3.244) где y* = Yi + Y2; Yi и y! — постоянные разделения. Пусть далее для уравнения (3.242) заданы условия: получим (X, dVjdr + а^,),.,* = 0; (г, <р) = (г, ф + 2л); 1^2 (г, ф)| < + оо, г>0; (3.246) К (d^/dz-o.Y,).,, = 0; (Х3 d^/dz + а,*,),., = 0. (3.247) ТкЛ'* Ф. г) = ЧГ,Д2)Чггя1К(Г, ф); Ym/cs = Yis + ylrmc- (3.248) 169
§ 9. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА Переходя к краевым задачам теплопроводности для конечного полого цилиндра, рассмотрим соответствующую однородную задачу для уравнения Как и выше, задачу рассматриваем в несколько этапов. 1. Радиальный поток тепл от ы в неограниченном полом цилиндре Запишем общее решение уравнения Бесселя (3.250) в виде y¥l(r) = C1J0(y1r) + C2Y0(y1r). В отличие от предыдущих рассужде¬ ний здесь уже нельзя полагать С2 = 0, так как функция K0(Yir) в промежутке [Rlt Т?2], не содержащем особой точки г = 0, имеет конечное значение. Для нахождения собственных значений задачи (3.250), (3.251) используем граничные условия (3.251): Коэффициенты С1 и С2 не могут одновременно равняться нулю, так как в противном случае решение Х¥1 (г) было бы тривиальным. Система двух линейных однородных уравнений (3.252) относи¬ тельно неизвестных Сг и С2 имеет отличные от нуля решения только в том случае, если определитель системы равен нулю: Таким образом, если р^ р2, р3, ...—положительные корни транс¬ цендентного уравнения (3.253), то собственные значения задачи — Yi* = Pk/#i- Что касается корней трансцендентного уравнения (3.253), то имеет место следующая теорема (см. [22]), с. 107): Теорема. Если v — вещественно, a bt и Ь2 > 0, то является их однозначной четной функцией от р, все нули которой вещественны и просты. Из (3.252) найдем отношение Сг/С2 = — Y0 (р^)/70 (рД Можно положить C1 = KJ(pJ, С2 — —*/0(pJ и подставить в выражение для 0 <Rt<r<R21 0 < г < /. (3.24») (3.250) (3.251) о (Yi^i) + С2 К о (Yi*i) — C17otYi^2) + Cayo(Y1/?2) = 0. } (3.252) JAbWAvJi) _п Jo(yiRz)Y0(ytRi) ~ или если ввести обозначение р = у,/?1, то Jo ((*) Y, (\lR2/Rx) — Yt (ц) У о (pR*/Ri) = 0. (3.253) © (ц) = J. (&,ц) Y (6ац.) — У, (&,ц) J. (6ац) 170
Таблица 4 Граничные условия 2 Собственные функции (/■) при rz=R1 при r— R2 Vik V1== 0 d4Vdr = 0 •2 У\к = = 1*kIR2» k= 1,2,... ^1к = Уо (Мк) 'о (llKr/R) — — h (Мк) x K0 ([\Kr/Ri), 0 — корни уравнения Ко (M) Jl (\iR 2/R i) — Jo (m) Уi x X (ft/?2/R1) = 0» И \jr i| 2 2R\ [Уо (pv) J1 (uKR2/R1)] ^!=0 d4fi/dr + + ЛЧ'1=0 Y Ik = /C = 1, 2, ... К = Уо (Mv) Л (м Kr/R l) J D (|W ' X K0 (aKr/Rx) \iK > 0 корни уравнения ^0 (Н-к) Л) (M'K^2/#l)— } Уо (^*) Ji {[^kR^IRi) — Jo (M^) Уо (ИkRz/Ri) ,//;p v -Jo(ViK)Yi(\iKRi/Ri) n2\iK У \ h2R 1/ X У, (ЦкЯ2/Лг)] — lj. d4fi/dr = 0 4^ = 0 Yik = = tLilRl k=\t 2, ... j к — У\ (и к) Jo (И кг!R\) — J\ x x (и*) Ко (HS/Ri), Ик > о—корни урав¬ нения К1 (р^) J0 (м kR2/^1) J1 (и к) Уо х X (|я^2//?1) = 0; 2Л![У?(ц«)-^(|1«Я2//?|)] 1,111 я*|&о (H«**/Ki> d4r1/d/' = 0 dVl/dr = 0 Yik = *=0,1,2..., w0 = 0 ЧГ1К = Т1 (ц*)Л> — — -Н (А*)^0(м*/-//?!) КЗ* 1, 4^0 = 1, |Л*^=0— корни уравнения У\ (v*)J 1 (\**R2/Ri)—Ji (м J у 1 х X (,WK/?2/^l) =0, / 2y?i[y’i(jiK) — У? (Mv#2'#i)] 1-у(*'-*Я. *-о dV1/dr = 0 dYi/dr — -/1^ = 0 Yik = = \i2K/RU k = 1,2, ... Т1к = г1 (цк) J0 — — -Н (Ик) Т'о О'к''/^i) Н*>° — —корни уравнения 171
Продолжение табл. 4 Г раничные при r — Rt условия при r= Rt V21K Собственные функции Ф“1к ^ Yl (Mv) ^0 (^ic^2/^l) УI 0*«с)Л (Ц^2 /?l)— , -Л(И«)^в(М2Л) __ Цк — Jl (^к) УI (M*f^2/^l) Л/?1* >y-«4t^41+4i)x *[ 4> (^K^/^l)— (иЛ/Я!)]"*-!} d^/d г — —W i = 0 v1=.o ■2 Yik = /с = 1, 2, ... ’Fi« = ^o 0^Ri/Ri) Jo (vs/R 1) — — Jo (VkRo/Ri) Y0 (n*r//?])( цк > 0 — корни уравнения ^oW^oWs/fii)- ^o(H«^s/y?i) У, (и,) — , — ^о(М«)^о(Ц«Л*/Л1) p„ — Jo (PkRo/Ri) Yi (|i„) hRj nV/c 1 X ('+^*) X f-/oW + (t*«/^x) X x У1 (JU*)]-2} d^/dr — —=0 d'P1/d/- = 0 Yik = = vi/Rl k=\t 2, ... <riK = J/l (цЛ/^i) Jo (И1//Л1) — — (fi^/fti) K„ (pK/-//?i), |nK > 0 — корни уравнения *M^#2/tfi)-ММ— ^ 1 ^1 (Fk) ^ 1 (Fl^2/^l) У 0 (Млг) F к — Ji (Mk^2/^i) Ki (f*) /г/^i 11 V.«Г2 = ^ ^ 1« <*i) W+A*/tf)] d^/dr — -^ = 0 dTt/dr + + ^2^1 =0 Y i* = М-к/ /с = 1, 2, ... Vi«= po(M«) + ^A <»*«)] ^ X X (]iKr/Ri)— [Ko(MK)+Qx«)] X X j0 0а^//?1), f* > 0 —корни уравнения 172
Продолжение табл. 4 Граничные условия при r=Rt при r=Rt Собственные функции (г) ^0 Л (P*)J X У о (Ц^г/^О— ^1 (И'к^а/^г) Jo Ji №*R*/Ri) х [K0(fiJ + ^Kx(^)]=0, II ^ *f II 2 = 2 (я2ЛгЦл) ”1 X Jo(v j]V+aI*!) h\h~22 (г). В результате для собственных функций задачи имеем сле¬ дующее выражение: Уи (г) = J* MR 1) П (Ю - -/о w П (iv/*i)- (З*254) В предыдущем параграфе показано, что удовлетворяю¬ щие уравнению (3.250), ортогональны на [Rit /?2] с весом Р(г) = г. Квадрат нормы собственных функций (3.254) вычислен в [104] и равен f rW[K (г) dr = . (3.255) Ki Аналогичным образом могут быть рассмотрены и другие виды граничных условий: поэтому далее приведем лишь конечные резуль¬ таты в табл. 4. Во всех случаях следует считать Р(г) = г. 2. Радиальный поток теплоты в конечном полом цилиндре J^ + T?T + 5i + ^==0- Ri<r<Rt. 0<г<Ь (3.256) (Xt дЩдг-а^гшк, = 0; (X, д%/дг + агЧ'2)г= *2 = 0; (3.257) (МЧ'./дг-а.ЧГ,),.,; K^f/dz + at^tmi = 0. (3.258) Решение этой задачи нетрудно получить, используя предыдущие результаты. Действительно, положим ЧГ2 (г, г) = }i\ (л) (г) и под¬ 173
ставим это значение в (3.256) —(3.257). Получим, разделяя пере¬ менные: d2XF0 -Y?Y. = 0, 0<г<1- ) dz2 . ri-o ^ '-*• ( 3 259) (^d^/dz-a3¥o),=o = 0; (X4d'Fe/dz + a4V,)iBl = 0; J d24;i/drs + (l/r)d¥/dr + Y^4r1 = 0, Rt<r < R2; » (^•1 d^Vdr—a1'F1)r=R, = 0; (XtdVjdr + a2W,)r=Л, = 0, I {^Щ где Y2 = Yi + V3’ Vi и yl— постоянные разделения. Задача (3.259) рассмотрена в § 7 гл. III, задача (3.260) — в этом параграфе (п. 1). Используя полученные результаты, можно запи¬ сать для собственных значений и собственных функций однородной задачи (3.256) —(3.258): ^2/С5 (^*» = ^lAT (О ^US (^)> V2KS = YlS Узк • Этим самым завершается вопрос о решении краевых задач тепло¬ проводности для конечного полого цилиндра (температурное поле осесимметричное) при различных комбинациях граничных условий на граничных поверхностях цилиндра. Решение каждой из тепловых задач может быть записано с помощью соответствующей рабочей формулы § 4 гл. III. 3. Круговая область (неосесимметричное темпера¬ турное поле неограниченного полого цилиндр а). Со¬ ответствующие собственные функции удовлетворяют условиям: ^ + 7-lT + ;W + V^3 = 0, Ri<r<Rt; (3.261) Ч’з (г, ф) = ¥3 (г, ф + 2л). (3.262) Полагая ¥,(/■, ф) = 4^ (г) в (ф) и проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным в п. 2 § 8, получим \ П 1 О Q ^^1 . 1 d'Fx .( о /П2 \ ,Tf Л в(ф)=Лсоз/жР’ т = 0'1’2- 3>--■-ЦТ+ТЧГ + 1г*-~ТГ' = 0’ ) sln/rnp, m= 1, 2, 3, ... (3.263) Общее решение уравнения (3.263) имеет вид хУг (г) = Cxjm (Y4Г) + СШУЯ (уЛ (3.264) Граничные условия I рода при r = Rx и r = R2: V) = V,(/?a,cp) = 0; У8(г, ф) = Чгз(г, ф+2л). (3.265) Функция У3 (г,ф) в соответствии с (3.263) состоит из двух семейств: 1 У1 (О cos mcp, m = 0, 1,2, ...; ^Ч чМОзштф, т =1,2,3 ^ Найдем Ух (О* общее выражение для которой есть (3.264). Функ¬ ция Ух (г), согласно (3.265), также удовлетворяет граничным усло¬ виям I рода: Ух (/?х) = Ух (R2) = 0. • 174
Используем эти условия для нахождения собственных значений C1Jm(y,R1) + C2Ym(yiR1) = 0t * с1^(тЛ) + с2уя(т4л,) = о. I Условием существования нетривиальных решений системы (3.267) будет равенство нулю определителя этой системы К(У^г) Ут(У^) Ym(y 4^2) = 0, или Jm М Ут (^2/^1) — ^ М Jm №jRl) = 0. (3.268) если обозначить \i = y4RУравнение (3.268) рассмотрено выше. Пусть pml, рт2, . ...—положительные корни трансцендент¬ ного уравнения (3.268). Тогда собственные значения задач (3.261), (3.265) будут y24mK = \i2mK/Rl Отношение CjC2 определяется системой (3.267). Можно положить Cl = Ym(yiRl)1 С2 = — Jmiy^Ri) и подставить эти значения в (3.264). Окончательно получим для собственных функций следующие два семейства; ф) = = —•/т(^*)УЯ.(^К''/^1)]сОЗтф,т = 0, 1,2... Г[Ут(цякг/Л,)Гт(^тк) — т=1, 2, ... (3.269) Для нахождения квадрата нормы собственных функций можно воспользоваться интегральной формулой, известной из теории бес¬ селевых функций (интеграл Ломелля [22]) (3.270, Cl где а (г) = Jm (а,*) Ym {rx) — Jm (rx) Ym (a.x). Используя (3.270) и (3.268) после ряда выкладок (в силу чрез¬ мерной громоздкости эти выкладки не приводятся), найдем ■ т>0,к> 1; |^зял2= УдТ 1г[^о(^0к) —^о(Цо^2/^1)]^о2(Цок^а/^1)> т = 0, К>1. (3.271) Собственные функции (3.269) ортогональны на [Ru /?а], [0, 2л] с весом Р(гу ср) = г (см. § 8 гл. III). В табл. 5 приводятся лишь конечные результаты. 175
Таблица б Граничные условия при г= Hi r=R, Собственные функции ^дтк(гФ)’ ^ (г* ^т*=} дЧэ/дг^О дЧя/дг = О ^4 тк ~ ^тк/^V к = 0, 1,2, т = 0,1,2, 7оо = ° ®тк (r) COs тФ* ^^=0, К ^ 0; 0^* (л) sin тф, т^1, к^О, ® тк~ ^ т {\^ткг I ^\) ^/л (^йк) ^/л (M’mv'V^l) (№тк)> ^ * ф)==г* ^300 =1* 0 —корни * уравнения dm (М) Ym (ИR2/R1) —(^^2/^1) X ХГ>) = 0; II У»** IIя- 2d, {(-£) _Л_£Л1; *^т (М’стж) 3'пМ1ткК 2/^1) 2d(1 Wf’ f dl (Мок) d 1 (М-ок^г/^1) т— 0, АЗгО, dm«=R{lWtnK’ Н^Зоо Г = ^(^1 —^?) а^а/аг- —ЛУ3=о а^3/аг+ + /i'F3 = 0 2 74Ш« = = »UIRV т — 0,1,2,- лс= 1, 2, ... Ш _0 , Д cosm<p, т^0, ASsI; и*~ J slnmq\ 1, feSs 1, 0/л '/) — Jт №ткг/Вl) ®1я> (рт*) Тт (Ртк^/^l) 02т (Рт*)» 0,т(Р) = Гш(ц)—!^-Гт(р), ©2т 00 =-/тЫ- Р hRi Jm GO, Р(г, 9) = г> 11тк >0— корни уравнения 02т (Р) |Дт (P#2/#l) + + ^ Ут 0*/?./Лх)] -0im (р)Х х [лДцЯ./^)+-^^т(цЯ2/Я1)] : II Ш. 02 — ]- -( m2-Rjh* Ртк )Ь т > 0, 1 Д-Ю+^)- _(1+Я?А»/цв«)|. т = 0, feSsl, 4т* = (^/яЦт/с); 24,„ =/т (Р-т*) тк Wm(P mJi Вт = Jtn i^mK^2l^l) {hRll^mic) X X d (Ц/л^*^2/^1)’ Здесь и всюду далее дифференцирование производится по всему аргументу.
4. Рассмотрим общий случай уравнения (3.249). Полагая У (г, ф> г) = Ч'о (г) (г, ф) и подставляя это выражение в уравнение (3.249), произведем (как и в п. 3 § 8) разделение переменных. В результате получим 5^ +^„(2) = О, 0<г</: (З-272) + + = Rt<r<Rb. (3.273) где у2 = 7^ + у4, yl и 74—постоянные разделения. Каждое из этих уравнений (и соответствующая для него одно¬ родная задача) уже рассмотрены: уравнение (3.272)—в §7, уравне¬ ние (3.273)—в п. 3 § 9 гл. III. Таким образом, для собственных значений и собственных функ¬ ций однородной задачи для уравнения (3.249) можно записать У,Iks = yL + vLkI vegs(r, Ср, z) = ¥„,(z)¥w(r, ф), (3.274) где y]s и 'Р'оЛ2)—собственные значения и собственные функции однородной задачи, рассмотренной в § 7; у\тк и ф)—собст¬ венные значения и собственные функции однородной задачи, рассмот¬ ренной в данном параграфе. Выражение (3.274) решает вопрос о построении аналитических решений краевых задач теплопроводности для бесконечного и конеч¬ ного полого цилиндра с радиальным тепловым потоком, а также для бесконечного и конечного цилиндра, температурное поле кото¬ рого не является осесимметричным. Каждое из этих решений может быть записано с помощью соответствующей рабочей формулы § 4 гл. III. § 10. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СПЛОШНОГО И ПОЛОГО ШАРОВ 1. Вначале рассмотрим случай радиального теплового потока для сплошного или полого шара. Собственные функции удовлетворяют уравнению ^ + 7ТГ + ^ = 0’ (3.275) которое приводится к виду Ч'Г + = 0 с помощью подстановки Y* (г) = (г). Таким образом, однородная задача для сплошного или полого шара сводится к соответствующей задаче для бесконеч¬ ной пластины (см. § 7 гл. III). 2. Рассмотрим теперь общий случай, когда температура сплош¬ ного шара зависит от всех координат (/*, ф, 0). Соответствующее уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид дг2 + г дг + г2sin в (sin0 дв ) + 1 W + Ya^ = 0, 0<r<tf. (3.276) г2 sin2 0 дф2 177
Полагая ¥(r, ср, 0) = Чг1(г)Чг2(ф, 0), подставим в уравнение (3.276) это значение и произведем разделение переменных Обозначая константу разделения через у\, получим для Ч^ (г) и Рассмотрим вначале уравнение (3.278). Его решения будем искать также по методу разделения переменных. Решения уравнения (3.278), периодические по ф и конечные при всех значениях 0^0^ я, называются сферическими функциями Лежандра. Полагая Ч^ (ф, 0) = = Чг8 (0) Чг4 (ф), подставим произведение в (3.278) и произведем разделение переменных: Однозначные непрерывные на окружности решения Чг4 (ф), перио¬ дические с периодом 2л, получаются при целых значениях т. Каждому такому значению т соответствуют два линейно-независимых решения: (ф) = cos т Ф; ^4Л(Ф) = 51п/лф, т = 0, 1, 2, .... Для определения решений уравнения относительно Чг3(0) с помощью подстановки z = cos0, —l^z^l, приведем его к виду d/dz [(1 —г2) d4f5/de] + [у] — т2/(1 —г2)] Чгб = 0, — l<z<+ 1, (3.280) где положено Чгб (г) = 4я3 (0). При вычислении производной было использовано правило диффе¬ ренцирования сложной функции: Ч^ (0) = Ч;5 (г) г' (0). Если положить в уравнении (3.280) т = 0, то получим d/dz[(l-z2)d4Vdz] + Y?4'6 = 0, -1 <г< + 1, (3.281) т. е. пришли к уравнению Лежандра: оно имеет особые точки г = = — 1 и z = + 1. В курсах математической физики рассматривается следующая граничная задача: найти значения параметра у\, при которых в Ч'Лф, 6)1 г2 + 2г ^ + (г2у2—у\) ЧГ1 = 0; (3.277) ^[з!п0ж(з1п0ж)] + ^'*f" + tfsin’0 = O. Обозначая постоянную разделения через тг, получим (Ф) + (ф) = 0. (3.279) 178
промежутке [—1, +1] существует нетривиальное решение уравне¬ ния (3.281), ограниченное в особых точках г = ± 1. Собственными функциями этой задачи являются полиномы Лежандра: * = «• 1. 2. .... (3.282) соответствующие собственным значениям Yik = k(/c+1). Формула (3.282) называется формулой Родрига. Приведем нескблько первых полиномов Лежандра, вычисляя их по формуле (3.282): Рп(г)=и Pi(z) = z; Р2 (г) = (1/2) (Зг2 — 1); Р9 (г) = (1/2) (5г*-3г). Полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой с весом Р (г) = 1: (з-28з) Возвращаясь теперь к уравнению (3.280), запишем d/dz [(1 -z2) dYjdz] + [к(к + 1)—та/(1 -22)] Т,, = 0. (3.284) Произведем в уравнении (3.284) подстановку ¥^=(1—za)m/2x х?#к(г). Функция 4r„v (г) будет удовлетворять уравнению (1 — 2s) [ (г)];.—2 (т + 1) iV*, (г) + (к—т) (к -f т + 1) ¥,к (г) = 0. (3.285) Чтобы найти его частные решения, продифференцируем уравнение (3.284) при т = 0 [(1— г%)Р'к(г)\'г-\-к(к-\- 1)^ = 0 по г равно т раз. Получим, применяя формулу Лейбница [19], m-кратной производной для произведения Ат +2р Am + ip dmP (1 —г2) 'jprrf- —2 (m+ Ч 2 -згг+г—(«—'«) (« + rn +1) -^ = 0. (3.286) Сравнив это уравнение с уравнением (3.285), видим, что функции 1¥вкт (z) = drrPK (z)/dzm являются частными решениями уравнения (3.286). Отсюда ясно, что функции (*) = РТ (z) = (1 -z*)^d”PK (z)/dz'“ (3.287) будут ограниченными на [—1, +1] частными решениями уравнения (3.284). Функция PT(z) называется присоединенной функцией Лежандра m-го порядка. Очевидно, что Р™ (г) = Р„ (г); РТ(г)Ф 0 лишь при т^к. Присоединенные функции Лежандра образуют ортогональную систему функций с весом Р (z) = 1 + 1 1 0, лс =5^= ас',
Возвращаясь к переменной 0, получим искомые частные решения Функции PJ™ (cos 0) представляют собой непрерывные полиномы от cos0, дифференцируемые неограниченное число раз. Таким обра¬ зом, для всякого к в уравнении (3.285) имеем (/с + 1) частных решений этого уравнения, соответствующих значениям т = 0, 1, 2, ..., ky /*°>(cos0), (cos0), ..., P^(cos0). Теперь нетрудно выписать частные решения уравнения (3.278), удовлетворяющие условиям. Так как ^(ф, 0) = 4^ (0) ¥4 (ф), то, комбинируя решения (3.289) с решениями уравнения (3.279), получим (2/с+1) сферических функ¬ ций, являющихся частными решениями уравнения (3.278) [при у\ = = к (к + 1)]; Эти (2/с+1) сферические функции линейно независимы, так как линейно независимы множители cos/тгф, sin ту (т = 0, 1, 2, ..., /с). Функции P„(cos0) получили название зональных, а функции Р{кп) (cos 0) cos тф и ‘Pim) (cos 0) sin тф— тессеральных сферических функций. Фундаментальное изложение теории сферических и эллип¬ соидальных функций дано в книге [32]. Сферические функции ортогональны между собой на сфере 2. Интегрируя их произведение и пользуясь формулой (3.288), получим Нам* осталось рассмотреть уравнение (3.277), которое следует теперь записать в виде Ч'зкт (0) = Рк1) (cos 0) = sin"2 0 Рк (cos 0) d (cos S)m , tn^K. (3.289) ¥,(Ф. 0) = ^2(Ф+2л, 0); | Y,(ф. 0)|< + oo; |Y,(q>, я)|< + оо. (3.290) т>1,к>0; (3.291) /72 = 0. 2 ( 1 o. o, m Ф m\ COS/Лф sin rtifpr J 2л-2/(2к + 1), m — m' = 0. (3.292) Таким образом, можно записать! ц ,2 2яет (<с + т)1 I1 гкт ■! 2к+ 1 (к—т) 1 ’ е0 = 2; е,„ = 1; т > 0. г* ddJ + 2г ЧГ + [r*V*- «(« + 1)] ^ = 0. (3.293) 180
С помощью подстановки W (г) =* (О уравнение (3.293) можно привести к уравнению Бесселя Wrt-\-(\/r)W'r-{-[y2 + + (/c+ 1/2)2/г2] W = 0. Его ограниченным решением в области, содер¬ жащей начало координат, будет W (r) = JK+1/2(yr). Следовательно, искомое ограниченное частное решение уравнения (3.293) есть Ч^ (г) = (l/J/yr) «Лс+1/2 (Yr)- Ограниченность (г) при г — 0 нетрудно доказать, если воспользоваться асимптотическим поведением функ¬ ции Бесселя Jv (z) при г —► 0, т. е. формулой Jv (г) « ev/[2vr (1 + v)], г — 0. (3.294) Таким образом, найдено (2/c-f-l) частных решений уравнения (3.276), которое можно записать в виде / j : Jk+i/2 (у/*)Ркт) (cos©) соэтф, 0<т</с, к^0\ ТмЛ'. Ф. ®) = У~уг —~=г JK+i/2 (yr) Pjcm)(cos 0)sin /лер, 0<т<к, /с^О. . V уг (3.295) Значения у определяются из граничных условий. Граничное условие I рода при r = R:'¥(R, ф, 0) = О, | Чг(г, ф, 0) |< + оо, г>0, О<0< л. (3.296) Имеем однородную задачу (3.276), (3.296). Из (3.295) и (3.296) находим: ./*+1/2 (yR) = 0 или JK+l/2 (р) = 0, если обозначить р = у/?. Собственные значения будут следующие: y£s = \i2KS/R2, где > 0 — корни уравнения У*+1/2 (р) = 0, а собственные функции следующие! ^Kmsir, ф. ©) = ■Jk + i/2 (ц** £-) Я™ (cos 0) cos тф; ) /с>0, s>l, ]/ .„j / Jk+ 1/2 (i*KS i? ) nm) (cos 0) sin тф |1"R т^к. (3.297) Найдем || 4^J2, предварительно выяснив весовую функцию для системы ортогональных функций |(ll]/~yr) 7*+1/2 ^p*s j . удовлет¬ воряющих уравнению (3.293). Запишем его в виде (3.24) (^)]r ~h + г2у2Чг1—/ф+ 1)ЧГ1 = 0. Теперь видно, что весовая функция р (г) = г2. Используя известную из теории бесселевых функций R формулу (см. также (3.241)) J rJv (ar) dr = (RlV 2)2 [7'v (а/?)]2, где о а — корень Jv(aR) = 0, а также (3.292), получим I t-.f = [-С* ■/. <*>..)]•. «>0, т»0. (3.298) Здесь е0 = 2 и е,л = 1, m > 0. 181
Аналогично можно рассмотреть граничные условия II и III родов. Приводим окончательные результаты в табл. 6. Таблица б Граничное условие при r= R Собственные функции x^K/ns (/"ф, 0); весовая функция Р (г, <р, 0)=г* ?=° дг V — т Kms — J/fiKSft XP'k" (cos 9)cosm<p; Jtc+I/2 ( IX (3.299) ХРГ (cos 9) sin тф, s=l, 2, 3 k = 0, 1, 2, 3, ..., к m = 0, 1, 2, 3, .... к, корни уравнения 1 jk+ Ml (И)—2j7^'t+1/a 0*) = ° и w i)2_ я/?3Л-н/:(Р^) («+"■)! II KmJ - 1) (« — m)I p** m «5* 0. e0 = 2; em= 1, m > 0. ^ г wat'. Ф. 0)=7T-slnNi-n - s>°; Ф'ооо=1; Ро*ЗэО—корни уравнения tgp = p ЦУосаГ^МгО+р;!*)], s>0; |4foooll2 = «2/3 Собственные функции см. выше (3.299) > 0 корни уравнения p/i+i/2 (и) + 1 + ^(2W-1)7k+i/2(^) = 0, f+w=° Y/cs — • R2 Н2 _ л/?3 (fe-j-m)I 7 /с 4-1 /2 (Mks) H*msn- Micf(2№+1)(K —Я!)! =[-! em= 1, m > 0; e0 = 2 (m = 0). Зная собственные значения и собственные функции каждой из рассмотренных однородных задач, можно выписать аналитическое решение соответствующей тепловой задачи для шара с помощью рабочих формул § 4. В качестве примера рассмотрим первую краевую задачу: 182
= (г, ф, в, /), 0<r < R, ( > 0; \ Т (г, ф, 0, 0) = Ф0(г, ф, в); T.\riaR=0; [ Т (г, ф, 0, t) — T (г, ф + 2л, 0, /); | Г (г, ф, 0, () | < + оо, г^ 0, 0 < 0 < л. ) (3.300) Собственные значения и собственные функции получены выше [см. (3.297)]. Для записи аналитического решения задачи воспользуемся рабочей формулой (3.81), которую запишем в сферических координатах x = г cos ф sin 0, у = = т sin ф sin 0, z = rcos0; напомним, что элемент объема при этом равен 6V = r2 sin 0 dr бф d0 (см. § 4 гл. III). После перехода к сферическим координа¬ там в формуле (3.81) получим Т(г, ф, в. /) = £ £ К= О S = 1 /71= О iv^ll2 7 ехР 1/2 R 2п л X г3'*Ф0(г, ф, в)х JK+U2 (Мк* If) (C0S в) |C°Sm<P XJK+1/2 ркп> (COS 0) sin в cos тф Ar ctydej -f Г R 2л я -f" sin тф R II 1/-3/гфо('-. <P. в)/к+1/2 X .0 0 0 P* (cos 0) sin 0 sin тф dr d0 dф (3.301) где || ^Ktns ||2 определена формулой (3.298). Заметим, что при i = 0 в правой части (3.301) будет записано разложение начальной функции Фо (г, ф, 0) в ряд по соб¬ ственным функциям однородной задачи (3.276), (3.296). § 11. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЬЦЕВОГО СЕКТОРА Рассмотрим кольцевой сектор 0^ф^ср0, температурное поле которого может быть определено в результате решения одной из соответствующих однородных задач для уравнения d2XF . 1 dY . 1 d2VF 2Uf A л ^ n л /Q qao\ SF + Tir + 7*W + y ’ °^r<R' °<.(P<(Po- (3-302) Граничное условие I рода при ф = 0 и ф = ф0: (^5 + «^)гмЛ = 0; Y(r, 0)=¥(л, Ф0) = 0; |Т(г, Ф)|< + оо,г>0. (3.303) Полагая ¥ (л, ф)=Чг, (г) 0 (ф) и подставляя это значение в (3.302)— (3.303), получим после разделения переменных (у?—постоянная разделения): с120/с!ф2 + у?0 = 0, 0 < ф < ф0; 0 (0) = 0 (ф0) = 0; (3.304) dг* + г Ar 'г) 1 _ ^ 1 (3.305) dVjdr -| аДх)г = н = 0; | (г) | < + оо, г > 0. J 183
Таблица 7 Граничные условия при V2 Собственные функции ^тк (г. Ф); ф = 0 ф = Фо "тк весовая функция Р (г, ф)=г [ 3|* II ° О ф 2 Цтк Утк — е0 = 2, ■ е/Я = 1 > m > 0 («1 bl ^ Мтк ; :=«^тл/фо ^|Тлк COS/ПЛф/фо ^ 0, Xi^O), а* + х! > о >olmS,°; а,=о\т>?* / к ^ 1, J к ^ 0, Т«,= 1; > 0 —корни (kiH/tf) J'mЛ/Фо 0i) + 4-aj/тл/фо (м-) — 0; ||ЗД2 = = (фо^2/4) е^/тл/ФоСМ-т^Х ч,Г| | h\R*—(тл/фо)2! . L J (ai >0, Л,1 > 0, т^О, к > 0); (фо^2/4) 6/я^/;щ/фо+ 1 (Цтк)> Л*х = 0, т ^ 0, 1; (фо^2/4) етУ^л/ф0 (Цт/с) X хГ^-^Н. («1-0. L Пт* J т^* 0, к^ 0) У = 0 о II 2 Нтлк /?2 Oil 5 |^/п« с = «^(2т-1) я/(2ф0> ^ М'/л/с ^ X X sin (2т— 1) лф/(2ф0), ^ 0, ^i^O, a2+ ?i2 >0; 1, к ^ I :> 0 —корни (^!fi//?)X < J(2т-1) л/(2ф0) (ц) 4~а1^(2т- 1) л/(2фв) (Ц) = 0; И^лк||2 = (фо^2/4) ^(2т-1) л/2ф0; (М-тк)Х *'[l | Л^2-(2"г->)2я»/(4фго) I 1 Цтк J X-i > 0, ах > 0 (фо^2/4)/(2т-1)я/(2ф0)(р.тк)Х Г , (2т— I)2 л2 1 X М 1 л 2 2 1 » а1 — 0, L 4/хткф0 J (фо^2/4) J(tm-1) л/(2ф0)+1(Цтк). Xj-0. 184
Продолжение табл. 7 Граничные условия при Собственные функции (г, ф); весовая функция Р (г, ф)=г ф=0 ф = Фо Утк 7(2m-D л/2ф0 X 6V — = 0 <7ф *5 II О 2 2 Цтк Утк у^2 Xcos (2т— 1) Яф /(2фо)» ^1^0, аг ^ 0, + ai > 0, т ^ 1, 1» Ртк > 0—корни уравнения (A.ifl/7?) 7(2m-l) л/(2ф0) (р) + + ai7(2т-1) л/(2фо (Ц) = 0; И'ГткЙ2 |см. уравнение (3.309)) Собственные значения и собственные функции однородной задачи (3.304) будут vfm = («Mi/«p0)S 0я(ф) = sin (тлф/ф0); для задачи (3.305) (см. § 8)—Y'f™ = Цт*/#2: Лг)— ^тя/ф, (цтвк t т—1| 2, 3, ... цгаК>0—корни уравнения (К/R) |х/'т„/ф0 (р) + а,У тл/фо (р) = 0. (3.306) '(3.307) Таким образом, для задачи (3.300) — (3.303) имеем Утк == == 1» 2, 3, • • •, /с = 1, 2, 3. •., (при аг = 0, k ^0)* *-? + а? > 0; (г, ф) Jтл/Фо (м*.* sin тлф/ф0. Весовая функция /'(г, ф) = г, квадрат нормы (3.308) (фо^2/4) ^тл/ф, (Urn*) [ 1 /ti#2 —(тп M-m/c = [ (Фо^2/4) 7;пл/ф0+, (ршЛ), Х,=0; (М'л'с) | (Фо«2/4) ^п/(Ро (Ю | ^-(Г/Фо>-! ] . «! = 0. М г\ (3.309) В табл. 7 рассматриваются различные случаи граничных условий при ф = 0 и ф = ф0; при этом всюду (^'Р'г + atlF)r- д =’ 0. Граничные условия III рода при ф = 0 и ф = ф0 в полярной сис¬ теме координат имеют вид [^2(1/г) + ==0; [А,3 (1/г) Ч/ф — — а3Ч;]ф=фо = 0 и здесь может быть использован метод интеграль¬ ных преобразований по ф (см. гл. V) (метод Фурье здесь к цели не приводит, так как граничные условия при а{=й=0 не разделяются). В качестве примера рассмотрим температурное поле неограниченного сплош¬ ного цилиндра, в котором поверхность r=R и плоскости ф = 0 и ф = ф0 поддер¬ живаются при нулевой температуре; начальная температура Ф0 (г, ф). Для реше- 185
ния задачи (3.310) Т (г, ф, 0) = Ф0 (г, ф); Т (г, 0, t) = T(r, щ, t) = T(R, ф, 0=0; I Т (г, ф, О | < + оо, г^ггО используем результат (3.308), а также рабочую формулу (3.100), записанную в полярной системе координат; получим где Цшк— положительные корни уравнения /тл/ф0(р) = 0. В § 8—11 нам приходилось иметь дело с корнями трансцен¬ дентных уровней достаточно сложного вида ax\iJ'x (р) -f a2Jx (р) = = 0, а{ = const. К настоящему времени для многих из этих урав¬ нений составлены таблицы корней. Необходимые данные можно найти, например, в работах [20], [164], [166] и др. § 12. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ Метод разделения переменных — классический метод решения крае¬ вых задач теплопроводности — сводит подлежащее решению диффе¬ ренциальное уравнение в частных производных, каким является урав¬ нение теплопроводности, к системе двух или более обыкновенных дифференциальных уравнений, общие решения которых хорошо изве¬ стны или могут быть найдены обычными методами интегрирования. Строго говоря, не в любой системе координат дифференциальное урав- ние теплопроводности имеет частное решение в форме произведения, что с самого начала предполагается в методе разделения переменных. Однако большинство ортогональных криволинейных систем координат, с которыми обычно имеют дело на практике, допускает для уравнения теплопроводности разделение переменных (см. ниже табл. 8). В то же время непосредственное применение метода разделения переменных к решению краевой задачи теплопроводности зависит не только от возможности выполнения самого разделения переменных в уравнении теплопроводности, но и от возможности согласовать решение, полу¬ чаемое в форме произведения с начальным и граничным условиями. Мы видели, что для этого необходимо, чтобы граничные условия задачи были однородными. Впрочем, при неоднородных граничных условиях с помощью специальных подстановок эти условия в некоторых случаях могут быть сведены к однородным (см. § 3 гл. III). (3.311) Я Фо 186
В § 4 гл. III были получены рабочие формулы записи аналити¬ ческих решений краевых задач нестационарной теплопроводности для конечных областей. Как показывают эти формулы, основная трудность при решении тепловых задач в ограниченной области состоит в нахож¬ дении собственных значений и собственных функций соответствующей однородной задачи для данной области. Если эту задачу удается ре¬ шить, то тем самым практически находится аналитическое решение и самой краевой задачи, которое может быть выписано с помощью рабо¬ чей формулы в той или иной криволинейной системе координат. Независимо от геометрической формы тела, где изучается процесс нестационарной теплопроводности, аналитические решения любой из краевых задач имеют одинаковую конструкцию, т. е. представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по экс¬ поненциальным функциям, быстро убывающим с течением времени /. Таким образом, форма аналитического решения задачи, полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших временах U При нагревании или охлаждении тел наблюдаются два этапа. I. При малых значениях времени /от /=0 до t = tu когда процесс охлаждения (нагревания) зависит еще от начальных условий охлаждения (начальной температуры), от ряда случайных факторов, не обусловленных условиями нагрева и охлаждения тела, процесс носит характер неупорядочного режима. В этих условиях распределение температуры в теле при однородных граничных усло¬ виях описывается выражением Т (М, 0=2 A'V, (М) exp [- (1/^тк)9 *]. (3.312) К= J т. е. каждый член содержит экспоненту, причем, согласно теории собственных значений (см. § 2), показатель экспоненты по абсолют¬ ной величине представляет собой ряд возрастающих чисел (K^Yi)9 < Vs)2 < • • • < (K^Yk)2 < • • • Множитель Ак имеет постоянное значение для каждого члена ряда, не зависящее ни от координат, ни от времени. Множитель ^(М) является функцией только пространственных координат и характеризует изменение температуры в пространстве. Например, в случае .охлаждения бесконечной пластины начальная температура которой TQt плоскость х = 0 теплоизолирована, а на плоскости х = / происходит теплообмен с окружающей средой тем¬ пературы Гс; по закону Ньютона, аналитическое решение соответ¬ ствующей краевой задачи теплопроводности имеет вид То-Тс к= 1 у ^1я.Ц«со»|1.^еХрГ__/ь.У1уЛ> (3.313) ^ Utt + sinMtfCOSfi* rL \ I / J где —положительные корни уравнения ctgp = p/2Bi — Bi/2p. 187
В выражении (3.313) Ак = 2sin цДц, + sin рк cos цк); (М) = cos (х/1). Становится очевидным, что при малых значениях времени t(t 1) ряды (3.313) сходятся очень медленно и при числовых расчетах с ис¬ пользованием этих рядов приходится брать много первых членов, чтобы избежать больших ошибок при вычислении. Следовательно, для малых значений времени t желательно иметь другую форму ана¬ литического решения той же краевой задачи теплопроводности. Такая форма решения, отличная от (3.312), может быть получена несколькими путями. 1. Путем использования свойств тэта-функции Якоби. В теории эллиптических функций встречается функция [20] ^ ! *=+00 _ О-*)2 {}(*, /) = 1 + 2 2^ е~* я / cos (2кпх\ = -7= 2* е 1 » (3.314) к~ 1 У я t К= _ оо называемая функцией Якоби. Первый ряд в (3.314) быстро сходится при больших значениях t, второй ряд — при малых значениях t. 2. Операционным методом (см. гл. VI) путем разложения найден¬ ного решения задачи в классе изображений в ряд по отрицательным степеням показательной функции. 3. С помощью следующей теоремы — формулы суммирования Пуас¬ сона. Пусть f(x) — четная функция х> которую можно разложить так же, как и функцию f(x + 2kl)> в ряд Фурье по косинусам углов, кратных углу nxtl. Тогда имеет место равенство [55] К= + 00 ® 00 ® , f(x± 2к1) = — \/ (х) dx + —У cos^j/^cos^d*' (3.315) к= - оо О к= 1 О при условии, что интегралы и ряд сходятся. В каждом из этих трех случаев аналитическое решение краевой задачи теплопроводности имеет вид, отличный от (3.312), и вполне может случиться так, что, имея заранее перед собой два различных выражения, являющихся решением одной и той же краевой задачи, можно предположить, что одно из них является неверным. В дейст¬ вительности же дело обстоит следующим образом. Аналитическое решение одной и той же краевой задачи можно по¬ лучить в различных классах функций. Эти классы функций должны обладать определенными свойствами: во-первых, быстро находиться, во-вторых, обеспечивать хорошую сходимость процесса, чтобы можно было делать требуемые в задаче заключения о свойствах найденного решения. Форма же аналитического решения, иначе, класс функций, его описывающий, зависит от метода дифференциальных уравнений математической физики, который применяется для решения конкрет¬ ной краевой задачи теплопроводности. Применяя различные методы для решения одной и той же задачи, можно получить различные формы одного и того же аналитического решения, которые будут тождест¬ 188
венны в смысле числа, но лишь в редких случаях путем эквивалентных преобразований могут быть переведены одно в другое. И более того, в рамках одного и того же метода возможно получить различные пред¬ ставления одного и того же решения, если на каком-то этапе его полу¬ чения возможны преобразования, имеющие принципиальное значение для формы будущего решения. Особенно это характерно для операцион¬ ного метода, о чем будет сказано в гл. VI. Рассмотрим пример. Пусть Т (х, t) — температурное поле бесконечной плас¬ тины ()<*</, начальная температура которой Ф0(*), а граничные плоскости поддерживаются при нулевой температуре. Имеем (см. § 3 гл. III) 4\ 2 р | кпх ккх' —(t (*, 0 = 73Ф°(*) X “Г "Т" е ' 1 ' dx', (3.316) При малых значениях времени t ряд в скобках сходится медленно. Преобра¬ зуем решение (3.316), используя формулу (3.314). Для этого предварительно преобразуем произведение . кпх кпх’ 1 Г кп , „ кп . ■ .. 1 sin-у-sin— = -j I cos —(x — x) — cos— (x + x')\, что дает в соответствии с (3.314) I ( к= + оо f 0 Ч=- 00 Выражение (3.317) более удобно для числовых расчетов при малых значениях /, так как ряд в скобках для малых t сходится достаточно быстро. II. На втором этапе начиная с некоторого момента вре¬ мени начальное состояние тела перестает влиять на изменение темпе¬ ратурного поля ц процесс охлаждения (нагревания) полностью опре¬ деляется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела, его геометрической формой и' размера¬ ми. Ряд (3.312) становится настолько быстро сходящимся, что начиная с момента t > 0 первый, отличный от нуля член преобладает над суммой остальных членов. Начиная с этого значения U (например, для пла¬ стины Foi > 0,3, для цилиндра F0i > 0,25), температурное поле в теле описывается простой экспонентой Т(М, t) ez АЧМ/И) exp t—CKaVi)-/]. (3.318) 189
Например, в случае (3.313) благодаря неравенству ц* < ц2 < Цз < ... ряд быстро сходится и начиная с определенного значения F0i все члены ряда стано¬ вятся исчезающе малыми по сравнению с первым членом, так что ими можно пренебречь. В [161] показано, что с точностью до 0,25% при (x/R) = 0 и Bi = 1 всеми членами ряда можно пренебречь начиная с Следовательно, при Fo^Foi решение (3.313) значительно упрощается и имеет вид г(*. 0-Тс 2sln ш cos х [_ /OilV/ То—Те Ц, + sin М-i cos Ц] I Р[ V I ) ■ Вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом, и зависимость между Т и t описывается уравнением (3.318). Математическая теория регулярного теплового режима излагается в работе [152]. Возвращаясь к методу разделения переменных, следует отметить большие трудности при его применении для полуограниченных тел, где необходимо одновременно использовать метод продолжений, чтобы получить нужное решение (см. § 5 гл. III). Значительные трудности возникают и при решении методом Фурье краевых задач с граничными условиями сопряжения, а также, как неоднократно отмечалось, и в случае неоднородных граничных условий, которые вначале должны быть приведены к однородным. Несмотря на доста¬ точно ясную схему сведения неоднородных граничных условий к однородным, изложенную в § 3 настоящей главы, тем не менее во многих задачах при общем законе изменения граничных функций (т. е. отличных от постоянных и зависящих от пространственных коор¬ динат и времени) подобные преобразования технически достаточно труд¬ ны. По-видимому, один из целесообразных подходов при использовании метода разделения переменных для решения краевых задач нестацио- парной теплопроводности (3.66) — (3.68) состоит в предварительном нахождении собственных значений и собственных функций соответст¬ вующей однородной задачи (3.26) — (3.27) и записи искомого решения тепловой задачи по одной из рабочих формул § 4 гл. III. При этом предполагается, что свойства тела, в котором изучается процесс теп¬ лопроводности, не зависят от температуры и тело ограничено коорди¬ натными поверхностями некоторой подходящим образом выбранной системы координат. Что касается краевых задач стационарной теплопроводности, то применение метода Фурье к этому классу задач вполне подробно из¬ ложено в § 7—11 гл. 3 при отыскании собственных значений и собст¬ венных функций однородных задач, описываемых в общем случае также дифференциальными уравнениями в частных производных. Здесь, как и выше, основная идея метода разделения переменных состоит в том, чтобы свести уравнение стационарной теплопроводности к двум или трем (в зависимости от числа пространственных независимых пере¬ менных) обыкновенным дифференциальным уравнениям, методика ре¬ шения которых к настоящему времени разработана достаточно хоро¬ шо. При этом в полной мере могут быть использованы результаты § 7— 11 гл. 3. В табл. 8 приводятся ортогональные системы координат, в которых возможно произвести разделение переменных в уравнении Гельмголь¬ ца (3.24). 190
Таблица 8 Система координат Функции, входящие в решение уравнения Гельмгольца Прямоугольная декартовая Экспоненциальные, тригонометрические, гипер¬ болические Цилиндрическая Экспоненциальные, Бесселя, тригонометриче¬ ские Сферическая Лежандра, степенные, тригонометрические Параболическая цилиндри¬ Эрмита, тригонометрические ческая Параболическая (вращения) Бесселя, тригонометрические Параболоидальная Бэра Эллиптическая цилиндри¬ Матье, тригонометрические ческая Эллипсоидальная Ламе Вытянутая сфероидальная Лежандра, тригонометрические Сплюснутая сфероидальная Лежан