А. С. Давыдов
ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В книге излагаются основные теоретические представления об элементарных
возбуждениях: фононах, экситонах, плазмонах, магнонах, геликонах и др.,
возникающих в твердых телах и проявляющихся в различных явлениях при
взаимодействии с фотонами и между собой. Главное внимание уделено
изложению коллективных явлений, обусловленных трансляционной симметрией
твердого тела.
Книга знакомит читателя с основными методами, используемыми в
современной оригинальной литературе, посвященной теории твердого тела.
Изложение базируется на использовании математического аппарата квантовой
теории поля и новых методах теории твердого тела — корреляционных функций,
статистических операторов и др. Для чтения книги не требуется
предварительного знания этих методов. Они излагаются непосредственно в книге.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
7
Глава I. Симметрия и стационарные состояния кристаллов
9
§ 1. Адиабатическое приближение
9
§ 2. Пространственная решетка кристаллов
10
§ 3. Обратная решетка кристаллов
17
§ 4. Собственные значения и собственные функции оператора трансляции
19
§ 5. Общие свойства стационарных состояний кристалла, базирующиеся на
24
его симметрии
Глава II. Фононы в ковалентных и молекулярных кристаллах
33
§ 6. Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной
33
ячейке
§ 7. Фононы в одномерном кристалле с двумя атомами в элементарной
41
ячейке
§ 8. Фононы в трехмерном кристалле
45
§ 9. Взаимодействия между фононами
49
§ 10. Фононная теплоемкость твердых тел
53
Глава III. Фононы в ионных кристаллах
59
§ 11. Макроскопическая теория оптических ветвей колебаний
59
§ 12. Макроскопическая теория поляритонов
64
§ 13*. Квантовая теория поляритонов
67
§ 14. Элементарная теория взаимодействия света с фононами
74
1. Рассеяние света на поляритонах, обусловленных оптическими
колебаниями ионов (77).
§ 15. Определение спектра колебаний решетки с помощью рассеяния
84
нейтронов
Глава IV. Плазменные и спиновые волны
90
§ 16. Плазменные волны в твердых телах
90
1. Возбуждение плазменных волн (98).

§ 17. Спиновые волны в ферромагнетиках. Магноны
1. Представление спиновых операторов через операторы спиновых
возбуждений (106).
2. Энергетический спектр изотропного ферромагнетика при малых
возбуждениях (108).
3. Взаимодействия магнонов с колебаниями решетки (110).
4. Взаимодействие между магнонами (110).
5. Теплоемкость газа магнонов (111).
§ 18. Спиновые волны в антиферромагнетике
1. Спиновые волны в неферромагнитных металлах (119).
Глава V. Одноэлектронные состояния в кристалле
§ 19. Электрон в периодическом поле
1. Локализованные состояния электрона в кристалле (128).
§ 20. Приближенные методы вычисления одноэлектронных состояний
1. Вычисление эффективной массы электрона (132).
2. Приближение почти свободных электронов (134).
3. Приближение сильно связанных электронов (136).
§ 21. Вторичное квантование систем электронов
1. Дырочное представление (143).
§ 22. Классификация твердых тел на основе энергетического спектра их
одноэлектронных состояний
§ 23. Изоэнергетические поверхности
§ 24. Плотность электронных состояний в шкале энергий
§ 25. Статистика электронов в твердых телах
1. Химический потенциал в полуметаллах и полупроводниках и его
зависимость от температуры (155).
Глава VI. Движение электрона в кристалле при наличии магнитного поля
§ 26. Собственные векторы и собственные значения заряженных частиц в
магнитном поле
§ 27. Эффективная циклотронная масса электрона проводимости
1. Связь циклотронной массы с тензором обратной эффективной массы
электрона (168).
§ 28. Методы экспериментального обнаружения циклического движения
электронов в магнитном поле
1. Циклотронный резонанс в полупроводниках и металлах (170).
§ 29. Квантование движения электрона в зоне проводимости при наличии
магнитного поля
§ 30. Эффект де Гааза—ван Альфена
1. Магнитный пробой (182).
2. Превращение полуметалла в. полупроводник и полупроводника в
полуметалл в сильном магнитном поле (184).
§ 31. Низкочастотные электромагнитные волны в металлах
§ 32. Гальваномагнитные эффекты в кристаллах

102

113
122
122
132

139
144
149
151
153
161
161
164
170
173
176

186
191

1. Магнитосопротивление в малых и средних магнитных полях (192).
2. Магнитосопротивление в очень сильных магнитных полях (198).
§ 33. Магнитоакустические резонансные явления
1. Поглощение звука в металле при наличии магнитного поля (206).
2. Магнитоакустический резонанс (212).
3. Гигантские осцилляции коэффициента поглощения звука в сильных
магнитных полях (215).
4. Резонансное взаимодействие звука с геликонами (218).
Глава VII. Электрон-фононное взаимодействие
§ 34. Метод потенциала деформации в ковалентных кристаллах
1. Виртуальные фононы, сопровождающие электрон в ковалентном
кристалле (227).
2. Перенормировка спектра медленных электронов и испускание фононов
(229).
3. Взаимодействие электрона с деформацией решетки при условии
сильной связи (234).
4*. Эффективная масса электрона, сильно взаимодействующего с
деформацией решетки (237).
5. Электрон, локализованный вблизи дефекта в ковалентном кристалле
(244).
§ 35. Электрон-фононное взаимодействие в ионных кристаллах
1. Адиабатическая теория взаимодействия электронов с оптическими
фононами (249).
2. Адиабатическая теория взаимодействия электронов с оптическими и
акустическими фононами (253).
§ 36. Квантовая теория взаимодействия электронов с фононами в ионных
кристаллах
1. Смещение края зоны проводимости ионных кристаллов и изменение
эффективной массы электрона (259).
2. Метод промежуточной связи в теории взаимодействия электронов с
фононами (261).
§ 37* Адиабатическая теория возмущений при наличии трансляционной
симметрии
§ 38*. Метод канонических преобразований в теории взаимодействия
электронов с фононами
§ 39. Сверхпроводимость
1. Эффективное взаимодействие между электронами, обусловленное
фононами металла (281).
2. Каноническое преобразование Боголюбова в теории
сверхпроводимости (285).
Глава VIII. Оптическое поглощение в полупроводниках
§ 40. Структура краев зоны проводимости и валентной зоны некоторых
полупроводников

201

222
222

246

256

263
272
278

292
292

§ 41. Отклик кристалла на внешнее воздействие
§ 42. Собственное поглощение фотонов в полупроводниках
1. Непрямые межзонные переходы (306).
2. Осцилляции магнитопоглощения (310).
§ 43. Экситоны Ванье—Мотта
1. Перенос экситонами энергии электронного возбуждения (319).
2. Диамагнитные экситоны (321).
3. Экситонно-примесные комплексы (323). Коллективные свойства
экситонов (327).
Глава IX. Коллективные возбужденные состояния в молекулярных
кристаллах
§ 44. Коллективные возбуждения кристалла с неподвижными молекулами
1. Молекулярные экситоны в кристаллах с одной молекулой в
элементарной ячейке (333).
2. Молекулярные экситоны в кристаллах с несколькими молекулами в
элементарной ячейке (337).
3. Энергетические зоны молекулярных экситонов (342).
4. Экситоны в кристаллах инертных газов (347).
§ 45. Взаимодействие экситонов с фотонами. Поляритоны
§ 46. Диэлектрическая проницаемость кристалла, обусловленная экситонами
1. Связь диэлектрической проницаемости с запаздывающей гриновской
функцией фотонов (363).
Глава X. Экситон-фононное взаимодействие
§ 47. Экситон-фононное взаимодействие в молекулярных кристаллах
§ 48. Оптические свойства системы взаимодействующих экситонов и
фононов (слабая связь)
1. Непрямые переходы при взаимодействии фотонов с экситонами (378).
§ 49. Диэлектрическая проницаемость при сильной связи экситонов с
фононами
§ 50. Диэлектрическая проницаемость при возбуждении вибронных
состояний в молекулярных кристаллах
1. Вибронные спектры с участием полносимметричных
внутримолекулярных колебаний (при ξ2<<1) (396).
2. Вибронные спектры при произвольных смещениях ядер в молекулах
(404).
3. Вибронные спектры с участием неполносимметричных
внутримолекулярных колебаний (412),
§ 51. Деформация молекулярного кристалла при электронном возбуждении
1. Деформация одномерного молекулярного кристалла (418).
2. Деформация трехмерного молекулярного кристалла (423).
§ 52; Экситон-фононное взаимодействие в ионных кристаллах
1. Взаимодействие экситонов с акустическими фононами (431).

295
299
311

328
328

349
355
367
367
372
383
391

417
429

2. Взаимодействие экситонов с оптическими фононами (434).
§ 53. Метод моментов в теории поглощения света кристаллами
Глава XI. Пространственная дисперсия и прохождение света через
кристаллы
§ 54. Диэлектрическая проницаемость кристалла
§ 55. Вынужденное временное изменение пространственно-однородного
поля в кристалле
§ 56. Электромагнитное поле в кристалле, возбуждаемое сторонними
токами на его поверхности
1. Электромагнитное поле в кристалле при отсутствии пространственной
дисперсии (459).
2. Вынужденное излучение в кристалле при наличии пространственной
дисперсии (462).
3. Затухание электромагнитного поля в полубесконечном кристалле (464).
4*. Прохождение света через плоскопараллельную пластинку (468).
5. Пространственная дисперсия и экситоны с отрицательной эффективной
массой (471).
6. Перестройка дисперсионных кривых при переходе через
«критическую» температуру (472).
7. Роль пространственной дисперсии при квадрупольном поглощении
света (479).
§ 57*. Квантовостатистическая теория распространения света в кристаллах
1. Временное затухание в кристалле пространственно-однородного
электромагнитного поля (488).
2. Прохождение света через кристалл (493).
Глава XII. Триплетные экситоны в кристаллах
§ 58. Основные свойства триплетных возбуждений
1. Возбуждение триплетных экситонов в кристаллах (508).
§ 59. Влияние парамагнитных примесей на возбуждение триплетных
экситонов
§ 60. Взаимодействие триплетных экситонов с колебаниями решетки
1. Пространственно-однородные элементарные возбуждения в кристаллах
(524).
2. Пространственно-неоднородные элементарные возбуждения в
кристаллах (527).
§61. Движение триплетных экситонов в молекулярных кристаллах
1. Теория влияния фононов на движение триплетных экситонов (533).
Глава XIII. Оптические переходы в магнитоупорядоченных кристаллах
§ 62. Магнитодипольные и электродипольные переходы в
антифферродиэлектриках
1. Экситонное магнитодипольное поглощение света в кубическом
двухподрешеточном антиферродиэлектрике (545).
2. Экситонное электродипольное поглощение света в

436
448
448
453
456

484

503
503
517
521

531
538
538

антиферродиэлектриках (550).
§ 63. Экситон-магнонное поглощение в антиферродиэлектриках
551
§ 64. Двухэкситонное поглощение света в антиферродиэлектриках
558
§ 65. Спектр поглощения света антиферромагнитным кислородом
569
Глава XIV. Рассеяние света и люминесценция кристаллов
575
§ 66. Различные компоненты вторичного свечения кристаллов
575
§ 67. Экситонная люминесценция кристаллов
584
1. Люминесценция кристаллов при слабой связи экситонов с фотонами
(585).
2. Люминесценция кристаллов при сильной связи экситонов с фотонами
(595).
§ 68. Люминесценция при локализации экситонов и наличии примесей в
605
кристаллах
§ 69. Горячая люминесценция
608
Математические дополнения
610
А. Унитарные преобразования операторов
610
Б. Операторные тождества
611
В. Вычисление средних значений функций от бозевских операторов в
612
состояниях с определенным числом частиц
Г. Средние статистические от бозевских (фононных) операторов
613
Д. Уравнение для фурье-образа по временной переменной от гриновских
615
функций
Е. Уравнение Дайсона
616
Литература
618
Предметный указатель
637
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— решетки 11
Адиабатическое приближение 9
Вертикальные переходы 302, 318
Акустическая ветвь магнонов 109
Акустические фононы 38
Взаимодействие спин-орбитальное
— — поперечные 47
104
— — продольные 47
— спин-спиновое 104
Акцепторные примеси 147
Вибронные состояния 391
Альвеновские волны 190
— экситоны 403, 408, 411
Ангармонические поправки 50
Вигнера—Зейца элементарная ячейка
Базис решетки Браве 12
14
Бетевское расщепление 341, 539
Виртуальные фононы 230
Биэкситоны 326
Временная дисперсия 449
Блоха функции 123
Время релаксации 193
Борна—Кармана условия 19
— свободного пробега 193
Брегга условия 87 Бриллюэна зона 18
Вторичное свечение 575
Валентная зона 146
Вырожденная звезда 28
Ван-Хова особенности 304
Вырожденные состояния 154
Векторы основных трансляций 11

Гайзенберговский гамильтониан 105,
108
Гайтлер-лондоновское приближение
333
Геликоны 186, 218
Геометрический резонанс 208
Гигантский геометрический резонанс
212
Горячая люминесценция 575, 588,
608
Гриновская функция фотонов 452,
473
Группа волнового вектора 29
— трансляций 12
Давыдовское расщепление 341
— — магнитное 548
Двухчастичное поглощение 399, 408
Двухчастичные переходы 558
Дебаевский радиус экранирования 97
Деформационный потенциал 223, 225
Деформация сдвига 225
Дипольно-запрещенные переходы
318
Дисперсия временная 449
— пространственная 449
Донорные примеси 147
Доплероны 190
Дырки 143
Дырочная проводимость 146
Дырочное представление 143
Закон дисперсии 149
— трех вторых Блоха 113
Запаздывающая флуоресценция 582
Звезда k-представления 27
Зона проводимости 146
Зонная структура кристалла 24
Изотопный эффект 281
Изоэнергетическая поверхность 126,
149
Инверсия времени 31
Квазиимпульс 23
Комбинационное рассеяние 573
Кондоновское приближение 392

Косые переходы 306
Коэффициент поглощения 300
k-пространство 17
Кристаллические классы 25
Кристаллографическая элементарная
ячейка 15
Кубо—Гринвуда формула 299
Ларморовская частота 161
Ларморовский радиус 161
Лиувилля уравнение 296
— — линеаризованное 268
Локализованные состояния 132
Люминесценция 576
Магнитное давыдовское
расщепление 548
— затухание Ландау 189
Магнитоакустический резонанс 212
Магнитосопротивление 192
Магноны 108, 116, 539
Малая точечная группа 29
Малые представления 30
Матрица взаимодействия 338
— массового оператора 525
— плотности 292
— собственной энергии 525
Метод псевдопотенциала 136
— эффективной массы 127
Модель «желе» 90
— плотной упаковки 329
Молекулярные экситоны 334
Моменты кривой поглощения 436
Монстры 150
Направление легкого
намагничивания 104
Непрямые переходы 306
— экситоны 318
Нормальные волны 453, 474
Обменное взаимодействие 104
Одноэлектронные состояния 122
Операторы Паули 107
— трансляции 102
Оптическая ветвь колебаний 43
— — магнонов 109

Осцилляции магнитосопротивления
311
Открытая система 297
Парамагнитная спиновая волна 119
Параметрическая люминесценция 78
Параметр неадиабатичности 241
Пиппардовский резонанс 208
Плазменная волна 90
— частота 92, 100
Плазмоны 90, 186
Плоскость скольжения 25
Поверхность Ферми 145
— рассеяния 88
Показатель преломления 300
Поле анизотропии 104
— Холла 192, 198
Полуметаллы 147
Полупроводники n-типа 147
— p-типа 147
Поляритонный эффект 222
Поляритоны 67, 72, 351, 452
Полярон 248, 252
Представление чисел заполнения 140
Преобразования Хольштейна—
Примакова 107
Приближение беспорядочных фаз 95
— Дебая 57
— Эйнштейна 57
Приведенные волновые векторы 21
Примеси акцепторные 147
— донорные 147
Проводимость дырочная 146
— несобственная 292
— примесная 292
— собственная 292
— электронная 146
Продольная релаксация 273, 276
Пространственная группа 25
— дисперсия 362, 449
— решетка 11
Процессы переброса 50, 226
Прыжковый механизм 532
Радиационное время жизни 273, 576

Разрешенные переходы 318
Расширенное k-пространство 123
Резонансное свечение 575
Релаксация поперечная 273
— продольная 273
Решетка Браве 11
Светоэкситоны 351
Синглетные возбуждения 503
— экситоны 503
Силовая матрица 42
Силы осцилляторов 353
Симметричная ячейка 14
Сингонии 12
Система координат волнового
ректора 356
Слияние полос 30
Солитоны 422
Спиновые волны 104
Спин-орбитальное взаимодействие
104
Спин-спиновое взаимодействие 104
Существенные винтовые оси 25
Температура вырождения 154
— Кюри 102, 538
— Нееля 103, 538
Температурное излучение 576
Тензор проводимости 191
— обратной эффективной массы 125
— удельного сопротивления 191
Термализованная люминесценция
578
Тождество Вейля 612
Томас-фермиевский радиус
экранирования 97
Точечная группа симметрии 12
Трансляционная симметрия 11
Триплетные экситоны 314, 505
Тушение люминесценции 577
Узельное представление 333
Установившийся режим 583
Фактор-группа 26
Фактор Дебая—Валлера 87
Ферми поверхность 145

Ферми
— распределение 153
— энергия 141, 145
Флуоресценция 505, 577
Фотоны акустические 38
— оптические 43
Фосфоресценция 505, 577
Фотоны в кристалле 75
Френкелевские экситоны 334
Функция формы полосы поглощения
377
Химический потенциал 153
Холла коэффициент 197
Хольштейна— Примакова
преобразование 107
Центрированные моменты 440, 592
Циклические граничные условия 19
Циклотронная волна 190
Циклотронная частота 161, 187
Циклотронное затухание геликонов
189
Циклотронный резонанс 172
Частота ларморовская 161
— циклотронная 161, 187
Широкополосное поглощение 414
Экранированный кулоновский
потенциал 97
Экситон-магнитные возбуждения 551
Экситонная молекула 326

Экситоны Ванье—Мотта 312, 429
— вибронные 403
— диамагнитные 321
— квадрупольные 362
— магнитные 362
— непрямые 318
— одномерные 321
— продольные 451, 454
— Френкелевские 334
— частицеподобные 422
— электрические 358
Электронная проводимость 146
Электронные полупроводники 147
Элементарная ячейка Вигнера—
Зейца 14
— — кристаллографическая 15
— — примитивная 11
Энергия спаривания 280
— Ферми 141, 145
Эффект Купера 280
— Мейснера 279
Эффективная масса магнона 109
— — циклотронная 166
— — экситона 335, 346
— — электрона 271
Эффективное волновое уравнение
527