ТЕОРИЯ ГРУПП И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
ТЕОРИЯ
ГРУПП
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ

ТЕОРИЯ
ГРУПП
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ

ТЕОРИЯ ГРУПП
и
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
СБОРНИК СТАТЕЙ
Перевод Б. Н. Фролова
Под редакцией Д. Иваненко
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1967

УДК 530.145+539.12
Книга содержит четыре фундаментальных об-
зора крупных зарубежных физиков-теоретиков по
применению теории групп в современной теории эле-
ментарных частиц.
Обзоры расположены в порядке усложнения ма-
териала и все вместе образуют единое целое. До-
ступность изложения в сочетании с обширным мате-
риалом и новейшей проблематикой позволяют рас-
сматривать эту книгу одновременно как введение в
новейший, групповой этап теории элементарных ча-
стиц и как доступный учебник практически по всем
разделам теории групп, используемым в физике эле-
ментарных частиц.
Книга предназначена для широкого круга чита-
телей: физиков (студентов, аспирантов, научных ра-
ботников) и математиков, интересующихся физиче-
скими приложениями теории групп.
Редакция литературы по физике
Инд. 2.3,2

Вступительная статья
РОЛЬ ТЕОРИИ ГРУПП В ФИЗИКЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Д. Иваненко
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Сейчас уже широко известны замечательные открытия последних лет:
множества элементарных частиц и их возбужденных состояний — резонансов
(или резононов, как их лучше следовало бы именовать), а также смелые
гипотезы о некоторых субчастицах «кварках», или нелинейной «праматерии»,
из которых составлены непосредственно наблюдаемые протоны, нейтроны, ме-
зоны и другие частицы. В этой связи остро возникла потребность классифи-
кации частиц по семействам, и здесь на помощь физике опять пришли мощ-
ные классические и новейшие методы теории групп. Как известно, теория
групп постоянно применялась в физике (установление специальной и общей
теории относительности, кристаллография, квантовая механика атомов и
молекул, квантовая релятивистская теория поля, ныне теория элементарных
частиц). В те или иные периоды делались ударения на различных ее аспек-
тах: группы перестановок, группы Лоренца, группы, характеризующие раз-
личные геометрии, и т. д. Ныне на первый план вышли прежде всего группы
Ли и их картановская классификация, а также наряду с группами вращения
различные унитарные группы и прежде всего ставшая знаменитой с 1964 г.
группа SU3 и некомпактные группы.
Настоящий сборник содержит переводы ряда обзоров, лекций и статей
компетентных авторов, посвященных современному этапу — изложению основ
теории групп и их различным новейшим приложениям к теории элементарных
частиц. При этом, поскольку группа SU3 неоднократно обсуждалась в со-
ветской обзорной и учебной литературе, основное внимание в сборнике уде-
лено следующему этапу, связанному с группой SUe, попытками ее релятиви-
зации, некомпактным группам и другим новейшим проблемам.
Вступительная статья имеет целью дать краткий исторический обзор,
пояснить содержание сборника и коснуться ряда важных проблем, недо-
статочно освещенных или практически не затронутых в сборнике (лептоны,
взаимодействие кварков, нелинейная спииорная теория, роль гравитации и
космологии в теории элементарных частиц).
§ 2. ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ
Отсылая за всеми пояснениями и подробностями по основам теории групп,
в частности групп Ли, к фундаментальным статьям настоящего сборника
[Берендс, Дрейтлейн, Фронсдел. Ли (статья 2) и Гюрши (статья 1)] и к ли-

6
Д. Иваненко
тературе, цитируемой во вступительной статье [1—17] и в статьях сборника,
ограничимся здесь краткими пояснениями того, как вводились в физике эле-
ментарных частиц важнейшие группы, к каким они привели успехам и какие
проблемы возникли в настоящее время в связи с различными трудностями.
Если в математике история теории групп связана прежде всего с именами
Э. Галуа, С. Ли, Ф. Клейна, Э. Картаиа (старшего) и уже нашего совре-
менника Вейля, то для физики, по-видимому, первым примером фундамен-
тального применения группового подхода были классические труды Федорова
в кристаллографии. В новой физике XX века при установлении специальной
теории относительности (1905 г.) Пуанкаре в первой же работе указал, что
преобразования, названные им лоренцевыми, образуют группу, и вывел от-
сюда закон сложения скоростей. По предложению Вигнера, неоднородная
группа преобразований Лоренца (включая трансляции) названа ныне груп-
пой Пуанкаре.
Теорема Нетер (1918 г.) связала симметрии пространства-времени и ин-
вариантность лагранжианов или соответствующих уравнений относительно
соответствующих групп преобразований с законами сохранения; эта теорема
продолжает играть фундаментальную роль в релятивистской квантовой теории
поля и в теории гравитации. В эйнштейновской общей теории относитель-
ности (1915 г.), явившейся основой современной гравидинамики, и в по-
пытках ее обобщения существенную роль играют идеи групп движения в раз-
личных геометриях, высказанные в эрлангенской программе Ф. Клейна.
Установление нерелятивистской квантовой механики (1925—1926 гг.) при-
вело к широкому применению теории групп в многоэлектроиных проблемах
теории атома в квантовой химии [13, 21] и в теории твердого тела. Лавина
работ по квантовой химии, последовавших за статьями Гайтлера, Лондона,
Мулликена в конце 20-х, начале 30-х годов, была шутливо названа «группо-
вой чумой».
Существенно новое обстоятельство по сравнению с классической физикой
заключалось, в частности, во введении (Дирак, Паули) спиноров (открытых
Картаном), грубо говоря, являющихся полувекторами, или тензорами поло-
винного ранга. В релятивистской квантовой механике дираковские биспиноры,
описывающие поведение фермионов (электрон, протон и т. д.), играют самую
основную роль ([20, 23—28]).
Ядерная физика принесла открытие изотопического спина (Гейзенберг,
1932 г.; Кассен и Кондон, 1936 г.), изотопической инвариантности и соответ-
ствующей группы преобразований во вспомогательном изопространстве (со-
гласно обычной трактовке, но, возможно, и реально связанным с обычным).
Речь идет о том, что протоны и нейтроны, из которых составлены ядра,
являются двумя состояниями одной частицы — нуклона, различаясь значе-
ниями проекции изоспина T= + *k и 7"=—'/г- Рассматривавшийся сначала
как техническое вспомогательное средство, изоспин приобрел весьма важный
реальный физический смысл после того, как выяснились законы сохранения
изоспина в системе взаимодействующих нуклонов (7'='/г) и пионов (it*-,
П~-, я°-мезонов, соответствующих проекциям ±1,0 изоспина Г=1) (1947 г.).

Роль теории групп в физике элементарных частиц
7
Так возникла группа SU2 (специальная, унитарная, т. е. унимодулярная,
группа в комплексном 2-нространстве), локально изоморфная группе враще-
ний в 3-пространстве О (3).
Тем самым мы вступили в область современной физики элементарных
частиц в собственном смысле, для которой характерно не только использова-
ние всех методов релятивистской теории поля, как в квантовой электроди-
намике (теория взаимодействующих и, в частности, взаимопревращаемых
электронов, позитронов, фотонов), но применение изоспина и других «изо-
топических» свойств для трактовки прежде всего адронов, т. е. сильно взаи-
модействующих частиц (к ним относятся мезоны π и К и барионы, т. е.
нуклоны, гипероны и их резононы), а также слабо (фермиевски) взаимодей-
ствующих частиц, к которым относятся все легкие частицы, т. е. лептоны;
но все адроны вместе с тем способны взаимодействовать и фермиевским
путем. Постепенно выяснилась роль барионного (В) и лептонного („g7) чисел,
которые, по-видимому, сохраняются точно. Следующим важным этапом, при-
ведшим к новой группе, явилось открытие гиперзаряда Υ (исторически про-
явившегося как странность: Y=B+S (Гелл-Манн (см. [26]), Нишиджима [9]).
Оказалось, что в сильных взаимодействиях сохраняется как Τ так и У, отсюда
(1955 г.) возникла группа SU2XY (где К —группа калибровочных преобразо-
ваний (д'Эспанья — Прентки) (см. [27]). Открытие несохранения простран-
ственной (Р) и зарядовой (т. е. по существу античастичной) четности С в сла-
бых взаимодействиях (By, 1956 г.) и вместе с тем сохранения здесь комбини-
рованной четности (СР) позволило уточнить выбор групп преобразований, вид
лагранжиана слабых взаимодейсгвий, уравнения нейтрино (вейлевские двух-
компонентные спиноры), вид нелинейного обобщения дираковского уравнения
и т. д.
Наличие многих частиц выдвинуло в этот период плодотворные объеди-
нительные схемы. С одной стороны, начала интенсивно развиваться единая
спинорная нелинейная теория, основанная на том или ином нелинейно обоб-
щенном дираковском уравнении (Иваненко — Бродский (см. [58]), Курдгела-
идзе, Гейзенберг с участием Паули, Дюрра н др. [19]), что в известном смыс-
ле являлось развитием идей теории слияния де Бройля и его гипотезы ней-
тринной теории света (де Бройль, Иордан, Кроннг, Соколов). С другой
стороны, более феноменологически, вводя гипотезу о наличии какой-то
огромной энергии связи и возможности свести все частицы (сначала хотя бы
адроны) к некоторым более фундаментальным и развивая мысль Ферми —
Янгя о построении пионов из нуклонов — антинуклонов, Саката предложил
взять за основу триплет ρ, η, Λ («сакатон») и из него строить не
только π-, но и К-мезоны и другие гипероны. Модель Сакаты немного
продвинула дело и позволила пояснить ряд соотношений, но привела к не-
верным предсказаниям распадов и давала неверную четность гиперонов (по-
скольку Σ- и Ξ-гипероны строились путем присоединения псевдоскалярного
пиона к сакатону). Стали все упорнее говорить о том, что вся восьмерка
барионов независимо от разностей масс образует одно семейство частиц
спина /2 и одной и той же относительной четности, октет ('/г*).

8
Д. Иваненко
§ 3. ГРУППЫ УНИТАРНОЙ СИММЕТРИИ
Важный шаг был сделан тем же Гелл-Манном [33], выдвинувшимся в ли-
деры теории частиц, и Нееманом [29, 50], предложившими вместо прямого
произведения рассматривать минимальную простую группу Ли, содержащую
SL/гХУ в качестве подгруппы, а именно группу унитарной симметрии SUs.
В принципе конкурентами явились, во-первых, одна из исключительных кар-
тановских групп 0(2), в пользу которой склонялся, например, д'Эспаиья
в обзорном докладе на международной XI «рочестерской» конференции по
физике высоких энергий (Женева, 1962 г.) [29], или симплектическая группа
Sp(2), которая, однако, приводила непосредственно к ложным запретам
С точки зрения SUs ряд барионных резононов удачно заполнил декуплет
(3/г+). в котором, однако, оставалось одно свободное место, что побуждало
рискнуть предсказать основные свойства ожидаемого кандидата, в том числе
массу, поскольку массы резононов Ν*, Σ*, Ξ* (возбужденные нуклонный дуб-
лет и триплет Σ и дублет частиц Ξ) соответственно были довольно точно
эквидистантны.
Открытие Ω-гиперона в начале 1964 г. [41] с массой и другими свойствами
в соответствии с предсказанием Гелл-Манна заполнило декуплет барионных
резононов (3/г+) и решительно склонило весы в пользу унитарной симметрии
адронов в качестве либо фундаментального закона, либо по крайней мере
весьма удачной феноменологической закономерности, что и было подтвер-
ждено дальнейшими исследованиями. Несомненно, обнаружение унитарной
симметрии и открытие Ω~ являются наиболее впечатляющими достижениями
фронта элементарных частиц последних лет, несмотря на ряд других любо-
пытных, но не столь окончательных и убедительных обобщений SU3 и про-
должающихся тщательных экспериментальных открытий и исследований ре-
зононов, выполненных во многих сотнях работ за последние три года, общее
число которых давно уже перевалило за тысячу. Кроме того, на базе SU3
родилась идея кварков, одна из самых интересных гипотез в теории материи.
Основными достижениями St/з-симметрии адронов (см. [22], [64], [65]) яв-
ляются:
1) удачное распределение барионов по мультиплетам: для барионов октет
'/г*, декуплет 3/г+; для мезонов: октет 0", октет 2+, нонет 1~;
2) на базе SU$ удалось получить хорошую массовую формулу и хоро-
шее электромагнитное расщепление масс (Окубо);
3) соотношения между магнитными моментами барионов;
4) соотношение между константами связи мезонов с барионами;
5) соотношения между сечениями и ширинами;
6) наконец, используя не только представления 8 и 10, но также пред-
ставление 3, Гелл-Манн (см. [44]), а также Цвейг опять выдвинули гипотезу
субчастиц: триплета кварков, из которых составлены все адроны.
Кварки должны обладать дробными электрическими зарядами: 7з, 2/з. спи-
ном '/г и дробными барионными числами. Тогда мезоны образуются из пар
кварков — аитикварков, а барионы — из троек кварков (ангибарионы — из троек

Роль теории групп в физике элементарных частиц 9
аитикварков) (3X3=1+8, 3X3X3=1+8+8+10). В этой связи возникло мно-
жество проблем: являются ли кварки реальными объектами и в каких усло-
виях имеются наибольшие шансы их обнаружить? Каковы взаимодействия
между кварками, каковы их массы? На все эти вопросы пока не получено
никакого определенного ответа, и мы остановимся сейчас лишь коротко на
нынешней ситуации с обнаружением кварков. Эффективное сечение процесса
порождения пары кварков при столкновении нуклонов экспоненциально
убывает с ростом величины массы кварков, а также сильно зависит от
температуры «котла», возникающего при столкновении.
Подробный анализ см. в обзорном докладе Фультона на конференции
в Беркли (1966) [48].
Грубые оценки дают для эффективного сечения значение порядка 10—
13 мкбарн при массе кварка 3 Гэв (Чернявский и др. (см. [45])). Другие
авторы дают, правда, значение на несколько порядков выше.
Любопытно заметить, что при сечении примерно 10+3 мкбарн имеем один
отсчет в секунду, тогда как при σ~10~7 мкбарн всего лишь один отсчет в сто-
летие (!), как указал Адер [48], анализируя поиски кварков в космических
лучах. До сих пор кварки не были обнаружены ни в ускорительных лабо-
раториях, ни в космических лучах, ни в обычном веществе. Например, при
пучке частиц, ускоренных до 20 Гэв, в водородной пузырьковой камере отно-
шение числа кварков к числу пионов было во всяком случае меньше 10~10,
что соответствует эффективному сечению их порождения менее 10~5 мкбарн,
если М<з<4Гэв.
Поиски кварков в потоке космических лучей (в лабораториях ЦЕРНа,
Брукхевенской, Аргоннской, Аризонской) дали в среднем следующий ре-
зультат:
/о< 1 · 10~9 кварк/см2 · сек ■ стерад.
Укажем на трудности S(/3.
1) Остается в стороне барионное число.
2) Необъяснимо ω — φ-смешивание.
3) Не учитывается корреляция унитарного спина с обычным, которая
проявляется в наличии межмультиплетных соотношений типа К*2 — р2=
=К! — л2 и др.
4) Триплет кварков, казалось бы, не может находиться в основном S-co-
стоянии (это необходимо для получения барионов) ввиду принципа Паули,
что приводит к мысли о подчинении кварков парастатистике, допускающей
наличие нескольких частиц в одном и том же состоянии.
5) Дробные заряды кварков побудили некоторых теоретиков ввести новое
квантовое число С (суперзаряд, «очарование» и т. д.), подправляющее заряд
до целого (см. [10])
Мы не будем останавливаться на этой недостаточно разработанной мо-
дели, близкой по существу к обычной кварковой. Кроме того, в рамках SU$

10
Д. Иваненко
с ненарушенной симметрией при пренебрежении эффектами перенормировки)
получалась слишком уравнительная и в ряде случаев неудовлетворительная
трактовка соотношений между константами связи.
Все эти обстоятельства побудили к обобщениям SL/з, которые мы ко-
ротко перечислим.
Стремление учесть барионное число привело к рассмотрению группы
SU3(JB) (Сакита [26], Наумов — де Чет), введение которой подсказывается
эмпирическим соотношением
2/+β=0 (по модулю 2).
Классификация адронов по схеме SU3 обладает своеобразной симме-
трией, оставаясь неизменной при 7"->/, Y-+B. Отсюда вновь подказывается
возможность несохранения барионного числа [на чем настаивает Уилер по
астрофизическим соображениям, ссылаясь, в частности, на формализм ано-
мальных спиноров (Бродский — Иваненко), открывающий возможность
аннигиляции сразу четырех барионов]. Барионное число не сохраняется
также в недавней схеме Сахарова. Однако, конечно, следует подчеркнуть,
что сохранение В экспериментально пока что подтверждено с большой точ-
ностью. Естественно рассмотреть группу SU3, объединяющую SU3(JB) и
SU3(TY), и ее подгруппы: SU3(JB)XSU3(TY) и SUeXSU3.
Исторически группа S[/6 была предложена как ближайшее обобщение
SU3, учитывающее обычный спин (Пайс, Радикати, Гюрши), по аналогии
с вигнеровской теорией супермультиплетов симметрии SUt в ядерных силах
(где обычный спин объединялся с изоспином, а не с унитарным спином,
как сейчас).
St/б-супермультиплеты должны быть следствием допущения, что взаимо-
действия между элементарными частицами не зависят от спина и унитар-
ного спина, так же как вигнеровский случай соответствовал предположению
о независимости ядерных сил от спина и изоспина. Важно отметить, что
речь идет о Si/6, а не о ее подгруппе в виде прямого произведения SU2XSU3,
которая выражала бы независимость взаимодействия отдельно при преобра-
зованиях спинов и SU3.
Статической группе S[/6 в свою очередь посвящено огромное число ра-
бот и центральное место в обзоре Пайса в данном сборнике (статья 3),
затем, например, в обзоре в августе 1966 г., специально трактующем SUS
(Рюль, Рюег, Сантанам [64], ЦЕРН), приводится список 400 статей.
К основным успехам этой группы можно отнести: удачное распределе-
ние мезонов 0", 1+ в 55-плет (3-9+8) и барионов '/2+. 3/г+ в 56-плет
(2-8+4-10), объяснение (ω — φ)-смеси из 1" нонета, (F — D) типов связи в
трилинейном лагранжиане взаимодействия барионов с лептонами, затем удо-
влетворительные межмультиплетные массовые соотношения, ряд удачных
правил отбора, наглядный вывод отношения магнитных моментов нейтрона
и протона, оказавшегося равным — 2/з (—0,66) в хорошем согласии с экспери-
ментальным значением (—0,68).

Роль теории групп в физике элементарных частиц 11
Заметим, что теория SUe наиболее просто формулируется с помощью
кварков. На этом, в сущности, кончаются наиболее убедительные успехи
применения унитарной SU3 н ее ближайшего обобщения Si/б-симметрии.
Однако SUe приводит к ряду ошибочных следствий, например к запрету
реально идущих распадов p->2it(s=I-«=0); N*(s=3/2)-+Nn(s=42, 0).
У большинства авторов имеется тенденция связать конкретные ошибки пред-
сказания SUe с ее статическим нерелятивистским характером, поскольку
здесь не было речи о лоренц-инвариантной теории.
Подобная ситуация привела за последние два года прежде всего к боль-
шому числу работ, посвященных релятивистскому обобщению SU6. С более
широкой точки зрения речь идет о возможном объединении группы вну-
тренних симметрии с группой Пуанкаре или даже, на наш взгляд, с группой,
более соответствующей реально искривленному пространству и космологиче-
ским условиям [58, 60]; при этом, по-видимому, можно говорить об объедине-
нии внутреннего пространства и обычного внешнего 4-пространства Минков-
ского (Бродский, Иваненко — Соколик, Райский, Пайс).
С другой стороны, Липкин [61] считает нужным модифицировать самое до-
пущение спиновой независимости уже в нерелятивистской области и предла-
гает перейти к высшим симметриям, ограничиваясь только коллинеарными
процессами; иначе говоря, речь идет об определении группы, которая со-
держит в качестве подгруппы несобственную группу Лоренца, оставляющую
инвариантными все импульсы в 2-направлении. Поскольку это не касается
SUS, то нужно найти такую альтернативу для спиновой SUi-труппы, которая
включала бы преобразования вращения и пространственной инверсии
Rx==Pe х = ΡλτΛβ х (все импульсы в уг-плоскости, Ptnt — оператор ин-
версии во внутреннем пространстве).
Коллинеарная амплитуда перехода должна быть инвариантна относи-
тельно преобразований группы, включающей вращения вокруг оси г и отра-
жения в плоскости, содержащей ось г. Окончательно вводятся следующие
модифицированные операторы спина:
WZ^SZ. Wx= PmtSх, Wy = PlDtSy
(т. е. W-спнн отличается от обычного тем, что его компонента, нормальная
к импульсу, умножается на внутреннюю четность частицы).
Допущение ^-спиновой инвариантности устраняет ошибку в правилах
отбора, полученных на базе SUe.
Оказывается, что для мезонов триплетное №-спиновое состояние соот-
ветствует синглетному S-спиновому и обратно, так что W-спин пиона равен
Wz=0, W=\; для барионов W-спин совпадает с обычным спином. Теория
W-спина приводит к ряду новых хороших правил отбора, и на ее базе
можно построить соответствующее обобщение SU6tD [61].
Релятивистское обобщение SUt (соответствующая группа различными
авторами обозначалась как Ul2, Mi2, SUn) позволило устранить плохие пра-

12
Д. Иваненко
вила отбора при распаде р° и Ν*. По существу речь шла о группе SU (6,6),
г. е. о некомпактной группе в комплексном 12-пространстве, в метрической
форме которого 6 членов входят со знаком плюс и 6 членов — со знаком
минус. В этой записи группа Лоренца имеет обозначение SO(3, 1). Однако
допущение строгой (7(6,6)-инвариантности приводит к трудностям двух ти-
пов. С принципиальной стороны речь идет о нарушении унитарности. Вместе
с тем подобная теория приводит к противоречию с экспериментом в смысле
предсказания отсутствия поляризации в мезон-барионных реакциях и к ряду
плохих правил отбора.
Алгебра Ли, полученная комбинацией алгебры SU3 со всеми 16 дираков-
скими матрицами, а не с матрицами Паули, есть алгебра (7i2. Если мы
хотим определить эту группу Ли таким путем, чтобы она в качестве своей
подгруппы содержала группу преобразований Лоренца, действующую только
в пространстве спинорных индексов, то мы придем к некомпактной форме
Ui2, которая обозначается £7(6,6). Кроме подгруппы SU& всягрунпа U (6,6)
содержит также другие интересные подгруппы.
Анализ процессов, для которых предсказания релятивизированной груп-
пы SUi оказываются в согласии с экспериментом, показывает, что они все
относились к «коллинеарному» типу, когда можно найти такую лоренцеву
систему, в которой импульсы начального и конечного состояний направлены
ПО ОСИ 2.
Со своей стороны, Фельдман и Мэтьюс [48] сформулировали прин-
ципиальные трудности любого релятивистского обобщения следующим об-
разом:
1. Теорема Мишеля — О'Рэфертега [52] утверждает, что любая группа
симметрии, обобщающая SUs и содержащая группу Пуанкаре, т. е. PxSUs,
как подгруппу, с необходимостью требует наличия более четырех компонент
у вектора энергии-импульса.
2. Хотя указанной трудности можно избежать, комбинируя 4 релятивист-
ских спинорных индекса с унитарными индексами и ограничиваясь преобразо-
ваниями подобного обобщенного индекса, которые не зависят от импульсов,
однако тогда мы оказываемся в противоречии с требованием унитарности,
если только все мультиплеты частиц не будут бесконечными.
3. Если подобные бесконечномерные мультиплеты вырождены, то условие
причинности запрещает статистику Ферми для всех частиц, независимо от
спина.
Перед лицом всех этих трудностей, несмотря на некоторые успехи одного
из релятивистских вариантов в виде коллинеарной группы Липкина SUey„
у многих авторов возникло стремление вообще отбросить Si/б-симметрию.
Однако, по мнению ряда других теоретиков, имеется надежда прояснить
ситуацию, исходя из нерелятивистской кварковой модели, как подчеркнул,
в частности, Далиц в своем обзорном докладе на XIII «рочестерской» кон-
ференции по физике высоких энергий в Беркли в сентябре 1966 г. [48].
У ряда авторов (Боголюбов [221, Тавхелидзе [22], Морпурго и др.)
возникла мысль трактовать мезоны и барионы как своеобразные атомы или

Роль теории групп в физике элементарных частиц 13
молекулы, составленные из нерелятивистских кварков очень большой массы,
взаимодействующих через некоторый гладкий несингулярный потенциал, ха-
рактеризуемый столь глубокой потенциальной ямой, что высокая энергия
связи почти «съедает» массу кварков. Эти межкварковые силы почти не за-
висят от спина и унитарного спина. Оценка Фуджи константы связи в случае
векторных сил дает примерно значение Ρ/4π~26 — 27 (m/AiQ~0,01—0,03).
В то же время, например, для р-мезонов имеем f2/4it~2,5. Исходя из урав-
нения Бете—Салпетера и ограничиваясь статическим потенциалом, получаем
уравнение типа Шредингера. Низшими состояниями QQ-системы будут 'So-
li ^-состояния. Естественно дальше ожидать наличия серии вращательных
уровней, соответствующих вращению гантели Q—Q. Ближайшие состояния
будут L—\. Таким путем мы приходим к почти безукоризненному нонету
векторных мезонов и к несколько худшему псевдоскалярному нонету (мас-
са rj'-мезона сильно отличается от остальных). Аналогичным путем получаем
состояния 2** (например, Л2-мезон) и 1+~ (β-мезон), и т. д. Таким образом,
вводя различные потенциалы, в том числе нецентральные, которые могут
иметь характер спин-орбитальной или тензорной связи, мы можем анализи-
ровать и предсказывать различные мезонные состояния, вполне аналогично
тому, как это делалось в атомной, молекулярной н ядерной физике.
Отметим, что кварковая модель приводит к четырем траекториям Редже,
связанным с р- и л-мезонами, три из которых соответствуют триплетным со-
стояниям 3Ll+i, 3Lb, 3Ll-u а одна — синглетному состоянию Ll. Анало-
гичным способом можно трактовать барионы как QQQ-системы, допускающие
представления {1}, {8}, {10}, что позволяет разместить все надежно установлен-
ные частицы и резононы.
Низшие состояния барнонов, как известно, соответствуют представлению,
Б6 группы SUe, состоящему из '/а* октета н 3/2+ декуплета, причем спиновая
и унитарно-спиновая части, соответствующие этому представлению, являются
симметричными в кварковых индексах. Казалось бы, столь естественное до-
пущение фермиевской статистики для кварков требует поэтому, чтобы коор-
динатная часть волновой функции была полностью антисимметричной, и мы
ожидаем L=0 для орбитального углового момента в этом S-состоянии.
Этим требованиям можно удовлетворить, подбирая внутренние угловые
моменты трех кварков специальным образом. Пространственная функция в
простейшем случае имеет вид
^Ч'>-^)И-'!)И-'Нимм(™).
где п, г2, г3 — векторы трех кварков относительно центра тяжести.
Эта полностью антисимметричная функция имеет по крайней мере три
узловые плоскости и, следовательно, приводит к относительно высокой ки-
нетической энергии, что весьма странно для основного состояния. Если на-
личие узла для формфактора бариона действительно является необходимым
предсказанием в случае антисимметричных волновых функций, то отсутствие
узла в измеренных фориТфакторах вплоть до передаваемых импульсов

14
Д. Иваненко
9=100 F'2 является весьма серьезным аргументом против данной простой
теории. Выходом из затруднения является либо допущение обменных потен-
циалов между кварками, которые будут давать сильное притяжение в Р-со-
стоянии и отталкивание в S-состоянии, либо использование для кварков па-
растатистики. Аналогично случаю с мезонами, различные возбужденные си-
стемы трех кварков будут давать высшие состояния барионных резононов.
Альтернативное предложение ряда авторов заключается в том, что высшие
барионные и мезониые резоноиы связываются с более широкими представле-
ниями группы SUs, иначе говоря, рассматриваются более сложные конфигу-
рации кварков и антикварков. Мезоны положительной четности могут быть
связаны с конфигурациями Q—Q, Q—Q; барионы отрицательной четности
связываются с конфигурациями Q—Q—Q—Q и т. д. Возможность парафер-
миевской статистики порядка 3 для кварков, указанная Гринбергом, сводится
к допущению трех триплетов кварков Qa (/ = 1,2, 3), причем три поля
Qa, Qa, Qa участвуют во взаимодействиях вполне симметричным образом.
Тогда трехкварковая волновая функция, соответствующая представлению 56
группы SUe, будет соответствовать симметричной пространственной части,
как и следовало ожидать для основного состояния. Был проделан подсчет
ряда эффектов на базе подобных представлений.
Общую ситуацию с нерелятивистской кварковой моделью как базисом SU6
Далиц [66] резюмирует следующим образом.
Эта модель: 1) допускает только нонеты; 2) нонеты входят четверками
в супермультиплеты, обладая одинаковой четностью Р=(—1)L+I, причем
внутренний спин, равный либо 0, либо 1, складывается с внутренним орби-
тальным угловым моментом; 3) четыре нонета разделены по массе благодаря
спин-орбитальному взаимодействию, дающему вклад в массу, пропорциональ-
ный (L-S); 4) высшие массы мезонов являются вращательными возбужде-
ниями реджевского типа конфигураций Z.=0. Можно ожидать большой серии
вращательных состояний вплоть до значений полного момента порядка 100;
5) мезонные состояния большой массы порядка 2 Гэв имеют очень малые ши-
рины <20—30 Мэв. Качественным объяснением является высокое значение
их углового момента.
Перейдем к барионам.
1. Нерелятивистская кварковая модель барионов оказалась менее удач-
ной ввиду трудностей с симметрией, поскольку предварительное преодоление
этих трудностей при помощи парастатистики не представляется удовлетво-
рительным.
2. Хотя гипотеза о том, что низшие барионные резонансы принадлежат
конфигурации L=0 и входят в представление {70} группы SUe, открывает
возможность включения всех наблюдаемых унитарных мультиплетов в един-
ственный супермультиплет, однако наблюдаемое значительное расщепление
масс указывает на наличие нецентральных Q — Q-взаимодействий, которые,
по-видимому, не соответствуют простым спин-орбитальным силам.
3. Сведения о высших барионных резоионах" по-видимому, согласуются

Роль теории групп в физике элементарных частиц 15
с представлением, что они обязаны вращательным возбуждениям реджевского
типа двух низших конфигураций
(1=0+, 56) и (Δ=Ι-, 70).
4. Наряду с этим имеется ряд резононов, соответствующих другим кон-
фигурациям, анализ которых продолжается.
5. Не ясно, почему притяжение в мультикварковой системе насыщается
для W=3 и почему не существует системы QQQQ (несмотря на предложение
учесть релятивистские эффекты, отталкивательные трехчастичные силы, или
же опять использовать парастатистику порядка 3 и другие возможности).
Интересный вариант объединения внешних и внутренних симметрии предла-
гает Вижье [60] в виде конформной группы SU (2, 2) с 15 параметрами.
Конформно инвариантное уравнение Дирака для 32-компонентных спиноров
будет описывать внешние и внутренние движения частиц. Эта группа остав-
ляет инвариантными уравнения Максвелла; она неоднократно анализирова-
лась впоследствии в связи с другими уравнениями: эйнштейновским, дира-
ковским, различными нелинейными уравнениями (масштабные преобразова-
ния) и недавно в связи с классификацией уровней атома водорода. Локаль-
ный изоморфизм групп SU (2,2) и SO (4,2) подсказывает использование
шестимерного пространства с сигнатурой + + -t 1—.
Тогда для описания внешних движений может быть использована группа
де Ситтера SO (4,1), которая в пределе типа Вигнера — Иноню приводит к
соотношениям группы Пуанкаре (радиус Вселенной де Ситтера устремляется
к оо), а именно к соответствующим коммутационным соотношениям и тре-
буемому дираковскому уравнению.
Внутренние симметрии предлагается описывать через некомпактную груп-
пу SU (2, 1), поскольку переход к максимально компактной подалгебре
SU2XU{\) позволит получить требуемые квантовые числа. Вижье с сотрудни-
ками указывают, что получаемая ими массовая формула имеет преимущество
перед формулой Окубо, и они надеются продвинуться таким путем дальше
в направлении классификации частиц и резононов').
§ 4. ЛЕПТОНЫ
До сих пор речь шла только о сильно взаимодействующих частицах —
адронах; попытки классифицировать лептоны пока не приводили к убеди-
тельным результатам, так что сейчас достаточно остановиться лишь на не-
скольких пунктах. Подметив соответствие между некоторыми адронными и
лептонными реакциями, Саката предложил установить «киевскую» симметрию
(обсуждавшуюся на Международной конференции 1959 г. в Киеве),
') По вопросам симметрии элементарных частиц см. также обзоры
[33—46, 68] и труды различных школ и конференций по теоретической физике
([18, 59, 22, 47, 48]). Новейшие экспериментальные данные можно найти В об-
зоре Розенфельда [67]. — Прим. ред.

16
Д. Иваненко
сопоставив трем своим основным адронам р, и, Л лептоны v, e, μ. В даль-
нейшем варианте «нагойская» симметрия пыталась конструировать барионы
из триплета лептонов с присадкой некоего поля В. Недавно Маршак [22]
предложил сопоставлять триплет кварков триплету лептонов в качестве
«голдстонов» (см. ниже) вопреки обычной тенденции приписывать кваркам
значительные, иногда даже огромные по атомным масштабам массы. Что
касается фотонов, то Швингер рассматривал их как один из членов муль-
типлета в своей систематике частиц, в которой он, кстати сказать, считал
фундаментальными как некоторые фермионы, так и бозоны. (Впрочем, в
своей нобелевской речи (1965 г.) он в не очень отчетливой форме высказался
за гипотезу триплета фундаментальных кварков.)
Со своей стороны, мы укажем некоторые новые возможности классифи-
кации лептонов [69], допуская, что их волновые функции преобразуются по не-
которому представлению группы SU3(J, Jg7), введение которой подсказывается
небезуспешным применением к адронам группы SUS(J, В). Во второй октет
можно поместить аналог лептонных резононов, причем включив по диагонали
бифотонное состояние, уже в другой связи рассматривавшееся некоторыми
авторами. Отрицательным лептонным числом будет обладать μ~, что, кстати
сказать, разумным образом запрещает распады μ->β+γ, μ->3β.
В другом варианте один основной октет объединяет частицы с исчезаю-
щим мюонным зарядом (γ, е, νβ), причем электрон в первом приближении
считается безмассовым. Если попытаться отождествить один из диагональных
генераторов группы S£/3 не с оператором лептонного числа, а с оператором
заряда, то опять возникают две возможности (в одной из них возникает
бифотон, в другой масса фотона не равна нулю). Если ограничиться обыч-
ными лептоиами без фотонов, то оставшиеся 4 частицы каждого мультиплета
можно попытаться отождествить с SU4 или 05, причем два коммутирующих
генератора мы будем связывать теперь с /3. Jg*. Если приписать лептонам
лептонный изоспин V и мюонный заряд Q', то заманчиво объединить груп-
пы 0$(Т', Q') и 05(/, J3?). Перемножая соответствующие алгебры, получаем
16-компонентное фундаментальное представление группы 09 (V, Q', /, JgT)
описывающее 4 лептона с проекциями спина /з=±'/2 вместе с их античасти-
цами. Релятивистское обобщение 0&(J, Jg*) приведет к S L (3, с).
Наконец, укажем на интересную недавнюю попытку Гейзеиберга тракто-
вать фотоны и возможно нейтрино (пока что без различения νβ, νμ) как
«голдстоны»; так, мы для краткости назовем частицы, сопоставляемые, со-
гласно теореме Голдстона, тем или иным асимметриям основного состояния
(вакуума) [19].
Применяя к лептонам октеты, соответствующие унитарной симметрии,
следует затем поставить вопрос о триплетах типа лептонных кварков (со
спинами ±'/2, 01). С другой стороны, если вслед за Маршаком вообще сопо-
ставить три лептона (v, e, μ) обычным кваркам, то тем более естественно
предполагать наличие лептонных октетов и других резононов. Исследование
лептонов и специально частиц нулевой массы приобретает сейчас особый ин-
терес в связи с тенденцией рассматривать их как «голдстоны», иначе говоря,

Роль теории групп в физике элементарных частиц 17
частицы, сопоставленные асимметриям основного состояния (вакуума); по-
следние же заманчиво трактовать как некоторое отражение космологических
асимметрий реальной Вселенной с ее огромной асимметрией по барионному
числу, по гиперзаряду, по изоспину и, возможно, по лептонному заряду и
спиральности и, конечно, с выделенной осью времени и соответствующим
изменением масштабов ввиду расширения.
§ 5. АЛГЕБРА ТОКОВ
Ставший популярным в последние годы метод алгебры токов впервые
был предложен Гелл-Манном в 1962 г. [62, 63]. Рассматривается алгебра с
заданными коммутационными соотношениями между ее элементами, которые
отождествляются с плотностями кварковых токов или зарядами (их про-
странственными интегралами). В теории Лагранжа, инвариантной относи-
тельно некоторой группы преобразований, в соответствии с теоремой Нетер
возникают токи у' (х), где i — номер одного из параметров группы. При
этом ομ]μ (λ) = 0. Выражая, как обычно, токи через операторы поля, пре-
образующиеся по определенному унитарному представлению группы, и ис-
пользуя обычные коммутационные соотношения /■ψ+| -ψ'6] _§6g(P ~i\
формально приходим к соотношениям типа
[/ (х, t) j* (у, t)\_ = ift/kj* (x, t) [Q\ Qi\ = ifijkQk;
для зарядов Qf= j0(x)dx получим б(*—у). Поскольку эти соотношения
не зависят от масс ввиду одновременности токов, было предложено использо-
вать их в случае нарушения симметрии. Затем исходные соотношения можно
просто постулировать, отвлекаясь от способа их «вывода» для произвольных
токов.
Подставляя в коммутационные соотношения для токов, помещенные в
одночастичные обкладки, замкнутую систему промежуточных состояний, мож-
но получить соотношения для матричных элементов, что и делалось различ-
ными авторами в многочисленных приложениях (Фубини и др.). В не-
которых случаях сумму по промежуточным состояниям можно вычислить в
виде интегралов по физическим сечениям рассеяния. Иногда можно ограни-
читься аппроксимацией промежуточных состояний только низко лежащими
состояниями. При использовании состояний, принадлежащих к неприводимым
представлениям группы симметрии, оба метода, алгебра токов и групповой
подход, приводят к совпадающим результатам. Однако важно подчеркнуть
большую общность метода алгебры токов, поскольку он допускает в качестве
промежуточных состояний приводимые представления алгебры. При этом
получаются соотношения типа Адлера — Вайсбергера, с помощью которых
было вычислено, например, отношение СА/С\. Метод алгебры токов особенно
удобен для вычисления отклонений значений констант связи и масс в случае
нарушения симметрии от их значений в точной симметрии, для вычисления
2 Зак. 612

18
Д. Иваненко
аномальных магнитных моментов и т. д. При этом результаты вычислений
хорошо совпадают с опытом.
В то же время возникли серьезные принципиальные проблемы относи-
тельно справедливости соотношений, положенных в основу метода алгебры
токов. В правой части коммутационных соотношений, вообще говоря, воз-
можны существенно неоднозначные сингулярные (швингеровские) члены типа
производных б-функцин. В этом смысле предпочтительнее соотношения для
зарядов. Однако не всегда возможно определить оператор Q как оператор
в гильбертовом пространстве. Кроме того, Коулмен показал, что токи
должны быть сохраняющимися величинами. В последнее время предпринят
ряд исследований по обоснованию алгебры токов в рамках аксиоматического
подхода по Вайтману или Хаагу-Араки. В частности, в лекциях Робинсона
в Стамбульской летней школе 1966 г. показано, как можно обойти трудности
с неопределенностью оператора заряда Q и придать смысл матричным эле-
ментам, фигурирующим в приложениях.
Итак, резюмируя, можно сказать, что метод алгебры токов, возникший
в связи с обсуждавшимися выше трудностями группового подхода, пред-
ставляет известный интерес, характеризуя со своей стороны современные
тенденции отхода от слишком глобального подхода теории групп в сторону
более локального рассмотрения. Алгебра токов кратко рассмотрена в статье
Пайса (статья 3).
§ 6. НОВЫЕ ИДЕИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Нелинейная теория
Наиболее фундаментальным динамическим подходом к единой теории
элементарных частиц следует признать нелинейную спинорную теорию. Не-
сколько лет назад советские читатели могли ознакомиться с ситуацией в не-
линейной теории из сборника работ группы Гейзенберга и некоторых других
авторов и нашей вступительной статьи. В настоящее время вышла новая
книга Гейзенберга [28], являющаяся первой монографией в данной области.
Поэтому мы ограничимся здесь только краткими замечаниями.
Нелинейная теория является наследницей теории слияния де Бройля и
отчасти нейтринной теории света де Бройля, указавшего, что из полей спина
'/г можно сконструировать частицы высших спинов. Недостающую в этих
схемах энергию «взаимодействия» поставляет теперь нелинейное самодействие
фундаментального поля самого с собою. Вместе с тем в некотором смысле
нелинейная теория продолжает линию Ферми — Янга, Саката и кварков Гелл-
Манна — Цвейга, конструирующих мезоны и барионы из прачастиц или суб-
частиц.Таким образом, речь идет о том или ином нелинейном обобщении
спинорного уравнения дираковского типа. Вслед за введением нелинейности
типа ψ3, как было указано нами (Иваненко — Бродский), вообще речь
идет о сумме пяти нелинейных членов, аналогично случаю теории слабых
взаимодействий, т. е. в лагранжиане появятся
скалярная нелинейность (ψψ)2,
векторная нелинейность (ΨΥγΨ)2 и т. д.

Роль теории групп в физике элементарных частиц 19
Отбор тех или иных нелинейностей зависит от инвариантности основного
уравнения по отношению к тем или иным группам. В первоначальном нашем
обобщении был оставлен член с массой (который фигурирует позднее и у
других авторов), однако чаще всего вслед за Гейзенбергом масса частиц
возникает за счет самодействия, а основное поле берется безмассовым.
В аксиально-векторном варианте единой нелинейной спинорной теории
Гейзенберг учитывает группы Лоренца и изоспина £/2, но рассматривает SUS
и другие аналогичные только как приближенные динамические симметрии и
берет за основу уравнение
tav^+/V:x(x<\xvx):=ft
где / — константа размерности длины (A=c=l]L Оператор поля % опреде-
ляется как двухкомпонентный вейлевский спииор по отношению к лоренцевым
преобразованиям и двухкомпонентный спинор в изопространстве. Точки отно-
сятся к определению произведения трех операторов в одной и той же точке
пространства-времени как виковского произведения. Фундаментальное уравне-
ние будет инвариантно также относительно масштабного однопараметриче-
ского преобразования
%(х)->чЧ>%(хч).
Раньше Гейзенберг полагал, что сохранение лептонного числа может быть
связано с этим преобразованием. Наконец, имеется непрерывная калибровоч-
ная группа
ψ (a:) -+etaip(x),
которая может быть связана с сохранением барионного числа.
Основное уравнение инвариантно относительно дискретных преобразова-
ний PC, Τ, PG, CPT^PGJT (G=CJ, С — античастичное сопряжение). Но
основное уравнение не инвариантно относительно Р, С или G в отдельности,
как и следовало ожидать, поскольку был взят за основу не дираковский
биспинор, а вейлевский двухкомпонентный спинор. Если учесть пространствен-
ное отражение, то придем к нелинейности типа вектор+псевдовектор. С дру-
гой стороны, если считать унитарную симметрию St/з фундаментальной и
взять за основу дираковский спинор, компоненты которого являются унитар-
ными спинорами, то придем к следующему основному уравнению с вектор-
ной нелинейностью:
Υμ<νΡ±'2(ψΥμΨ)ΥμΨ = 0.
Гейзенберг допускает, что основное состояние вырождено (асимметрич-
но) по отношению к группе изоспина; тогда, согласно теореме Голдстона,
возникают бозоны нулевой массы. В данном случае соответствующими части-
2*

20
Д. Иваненко
цами («голдстонами») Гейзенберг считает фотоны. Наумов [70] предлагает
считать, что вакуум имеет не Si/з-симметрию нашего основного уравнения, а
SU(2)CQY. Предполагая индефинитность метрики пространства состояний и
вырождение вакуума, он получает расщепление кваркового триплета по мас-
се, причем иуклонный кварк оказывается примерно на 22% легче Л-кварка,
как и предполагалось обычно в феноменологических моделях типа Цвейга.
В нашу задачу не входит сейчас рассмотрение методов расчета и ре-
зультатов нелинейной теории, которой мы должны были коснуться здесь в
связи с групповым подходом к теории частиц, в связи с вопросом о кварках
и проблемами единой теории. Поэтому ограничимся замечанием, что модифи-
цированный метод теории возмущений Наумова, несколько близкий к методу
сверхпроводящего типа Намбу, дает результаты, например, для массы основ-
ных фермионов, весьма близкие к выводам Гейзенберга, основанным на рас-
чете по громоздкому методу Тамма—Данкова; массы мезонов 0" (в долях
нуклонной) у Наумова получаются даже в более близком согласии с опы-
том. Константы связи по Гейзенбергу оказываются равными е2/йс= 1/120
(опыт 1/137), #2//гс=12,5 (опыт 14,4). Таким образом, развитие последних
лет привело те или иные варианты нелинейной спинорной теории к удовле-
творительному качественному согласию с опытом, и в ряде пунктов уже
видны пути дальнейшего улучшения расчетов, которые могут дать и коли-
чественное согласие, обрисовывая перед нами довольно внушительные кон-
туры единой теории обычной материи (без гравитации).
Бутстреп
Как известно, наряду с наиболее популярным в 1964—1966 гг. теоретико-
групповым подходом и попытками динамического подхода, отчасти в виде
метода алгебры токов и главным образом более модельными представле-
ниями гипотезы кварков, а также нелинейной теории, ныне продолжал раз-
виваться «метод зашнуровки» (бутстреп), тесно связанный с теорией S-матри-
цы [30] и реджистикой [31] и являющийся наследником дисперсионизма [32].
Не вдаваясь в детали, напомним, что с этим последним подходом связан ряд
успехов в получении асимптотических соотношений при высоких энергиях,
упорядочение связей между частицами при помощи траекторий Редже и дру-
гие. Д. Чью [30], наиболее воинственный адвокат бутстрепа и S-матрицы, дол-
женствующих в качестве фундаментальных методов заменить лагранжев
формализм и теорию поля, повторно декларирует свою враждебность гипотезе
кварков. По его мнению, теория адронов должна быть построена на базе
теории S-матрицы, на основе требований инвариантности, унитарности и в
особенности тщательно и утонченно формулируемых принципов аналитичности
(как функции импульсов и угловых моментов при сопоставлении полюсов
частицам); но при этом слабые взаимодействия (алигонные), лептоны,
электромагнитные и гравитационные взаимодействия остаются в стороне.
Согласно Чью, выделение «аристократов» в виде нескольких кварков в прин-
ципе неверно и должно быть заменено концепцией «демократии» всех адро-
нов, которые трактуются равноправно, в духе метода бутстрепа. где все

Роль теории групп в физике элементарных частиц 21
частицы взаимно связываются друг с другом. По. мнению Чью, теория
5-матрицы настолько близка к эксперименту, что ее иногда несправедливо
обозначают как излишне сложно сформулированную феноменологическую тео-
рию. Унитарную Si/з-симметрию сторонник бутстрепа Чью (как и Гензен-
берг) считает лишь приближенной закономерностью в области адронов с ма-
лым барионным числом, аналогично тому, как в ядрах (системах с большим
барионным числом) имеют место симметрии оболочечной модели (возникшие
на базе более фундаментальных закономерностей ядерных сил). Продолжая
считать нелинейную теорию и переформулированную на ее базе гипотезу
кварков наиболее перспективной программой теории материи, мы можем
согласиться с замечаниями Гейзенберга, сделанными в его недавней книге
[19], что метод зашнуровки можно согласовать с более фундаментальной не-
линейной сшшорной теорией. Чью ведет борьбу против всей идеологии тео-
рии поля, унаследованной (как он справедливо замечает) от классическом
электродинамики. Все же, как он довольно меланхолически отметил, электро-
динамика — классическая и квантовая (как и лептоны и гравитация) — ни-
как не связана с аналитической S-матричной теорией адронов, приспособлен-
ной к короткодействующим силам. Мы согласны с большинством физиков,
что подобная схема, не видящая в частицах ничего, кроме полюсов, незави-
симо от ряда ее трудностей и при наличии лишь довольно скромных успехов
на второстепенных, в сущности, участках, не сможет явиться базой понима-
ния материи. С точки зрения нашего требования космологизации S-матричный
и бутстрепный формализмы тем более не могут претендовать на всеобщность,
если их не поправить существенно за счет сил дальнодействия и связей с
реальными условиями Вселенной.
Гравитация
В заключение отметим, что в современной теории не только открываются
возможности учета (и трактовок) гравитации и космологии, но последние
оказываются, по-видимому, даже необходимыми, как неоднократно подчер-
кивалось нами и как сейчас начинает признавать Гейзенберг, Вероятно, чисто
локальная теория, оторванная от реальных космологических условий, вообще
невозможна. В самом деле, возникает заманчивая мысль связать асимметрии
вакуума с реальными космологическими условиями, т. е. с огромной преиму-
щественной концентрацией барионов перед антибарионами. Не случайным в
данной связи является то обстоятельство, что как фотоны, так и гравитоны
являются компенсонами; не указывает ли это вообще на связь голдстонов с
компенсонами? Конечно, космологический фон сможет определить локальные
условия и не через вакуум, а например, через соответствующую эффектив-
ную «силу», определяемую метрическими или тетрадными коэффициентами в
основном нелинейном уравнении. В частности, выделенная ось времени мо-
жет повести к различному воздействию на частицы и античастицы К, Λ', из
которых можно себе представить составленными Kj и К} и тем самым
объяснить наличие аномального распада К^, идущего с нарушением времен-
ной четности (Курдгелаидзе).

22
Д. Иваненко
Возвращаясь к проблеме классификации, можно отметить тенденцию рас-
смотрения частиц в реальном искривленном пространстве и стремление свя-
зывать внутренние симметрии не с симметриями плоского мира, а с сим-
метрией де Ситтера, несколько более реально имитирующей действительность.
На наш взгляд, следовало бы здесь также провести связь с реальными кос-
мологическими симметриями. Так или иначе, современные физики вступают
в этап построения единой картины, учитывающей (при помощи группового
подхода) существенность как локальных квантовых, так и глобальных, космо-
логических закономерностей, которые, по-видимому, в ряде отношений свя-
заны между собой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клей н Ф., Развитие математики в XIX веке, т. 1, 1958.
2. Любарский Т. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1957.
3. Курош А. Г., Теория групп, М., 1953.
4. Желобенко Д. П., Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965.
5. П а у л и В., Релятивистская теория элементарных частиц, М., 1947.
6. Ломсадзе Ю. М., Теоретико-групповое введение в теорию элементар-
ных частиц, М., 1962.
7. М у р н а г а н Ф., Теория представлений групп, ИЛ, 1950.
8. Соколик Г. А., Групповые методы в теории элементарных частиц. М.,
1965.
9. Н и ш и д ж и м а К-, Фундаментальные частицы, изд-во «Мир», 1965.
10. Салам А., Симметрия сильных взаимодействий (приложение к [9]).
11. В иг н ер Э., Теория групп, ИЛ, 1961.
12. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
13. Кон дон *Е., Шор тли Г., Теория атомных спектров, ИЛ, 1949.
14. Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958.
15. Ван дер Варден Б. Л., Методы теории групп в квантовой механике,
Харьков, 1939.
16. Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ,
1947.
17. Гель'фанд И. М., Мин л ос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления
группы вращений и группы Лоренца, М., 1958.
18. Международная зимняя школа теоретической физики при ОИЯИ (курс
лекций), Дубна, 1964, т. I—III.
19. Heisenberg W., Introduction to the United Field Theory of Elementary
Particles, New York, 1966 (готовится русский перевод).
20. Б о г о л ю б о в Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в теорию квантован-
ных полей, М., 1957.
21. Эй ринг Г., Уолтер Д., Кимбал Д., Квантовая химия, ИЛ, 1948
22. Физика высоких энергий и теория элементарных частиц, сборник статей,
п.)д-во «Наукова Думка», Киев, 1967.

Литература
23
23. Roman P., Advanced Quantum Theory, London, 19C5.
24. Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая ме-
ханика, М., 1965
25. Ш в е б е р С, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ,
1963.
26. М а р ш а к Г., С у д а р с х а н Э., Введение в физику элементарных ча-
стиц, ИЛ, 1962.
27. М э т ь ю с П., Релятивистская квантовая теория взаимодействий элемен-
тарных частиц, ИЛ, 1959.
28. Нелинейная квантовая теория поля, сборник переводов под ред. Д. Ива-
ненко, ИЛ, 1959.
29. Элементарные частицы и компенсирующие поля, сборник переводов под
ред. Д. Иваненко, изд-во «Мир», 1964.
30. Chew J., The Analitic S-matrix, New York, 1966.
31. де Альф a po В., Редже Т., Потенциальное рассеяние, нзд-во «Мир»,
1966.
32. Новый метод в теории сильных взаимодействий, сборник переводов под
ред. А. М. Бродского, ИЛ, 1960.
33. Гелл-Манн М., Розенфельд А., Чу Дж., Сильно взаимодействую-
щие частицы, Усп. физич. наук, 83, № 4, 695 (1964).
34. В и г н е р Е., Симметрия и законы сохранения, Усп. физич. наук, 83, № 4,
729 (1964).
35. С м о р о д и н с к и й Я. А., Унитарная симметрия элементарных частиц,
Усп. физич. наук, 84, № 1, 3 (1964).
36. В а й с к о п ф В., Роль исследования элементарных частиц в развитии со-
временной физики, Усп. физич. наук, 84, № 2, 343 (1964).
37. Уилкинсон Д., Строение ядра и физика элементарных частиц, Усп.
физич. наук, 84, № 3, 451 (1964).
38. де С в а р т Дж., Октетная модель элементарных частиц, Усп. физич. наук,
84, № 4, 651 (1964).
39. Дайсон Ф., Математика и физика, Усп. физич. наук, 85, № 2, 351
(1965).
40. Б е р е с т е ц к и й В. Б., Динамические симметрии сильно взаимодействую-
щих частиц, Усп. физич. наук, 85, № 3, 393 (1965).
41. Ф аул ер У., Сей мл юс Н., Открытие омега—минус-частицы, Усп.
физич. наук, 85, № 3, 523 (1965).
42. В и г н е р Е., События, законы природы и принципы инвариантности, Усп.
физич. наук, 85, № 4, 727 (1965).
43. Гришин В. Т., Резонансные взаимодействия элементарных частиц, Усп.
физич. наук, 86, № I, 71 (1965).
44. Зельдович Я. Б., Классификация элементарных частиц и кварки «в
изложении для пешеходов», Усп. физич. наук, 86, № 2, 303 (1965).
45. Зельдович Я. Б., О к у н ь Л. Б., П и к е л ь н е р С. Б., Кварки, астро-
физический и физико-химический аспект, Усп. физич. наук, 87, N° 1, 113
(1965).

24
Литература
46. М а к В о й К-, Группы симметрии в физике, Усп. физич. наук, 91, № 1,
121 (1967).
47. Материалы XII Международной («рочестерской») конференции по физике
высоких энергий, Дубна, 1964.
48. Материалы XIII Международной («рочестерской») конференции по физике
высоких энергий, Беркли, 1966, препринты ОИЯИ, 1966.
49. N е е m a n Y., Algebraic Methods and their Observational Implications, pre-
print TAUP-2-65 (1965).
50. Neeman Y., Algebras and Symmetries, preprint TAUP-1-65 (1965).
51. Kursunoglu В., Some New Ideas on the Dynamics Origin of Symmet-
ries, preprint CTS-HF-67-1 (1967).
52. M i с h e 1 L., Theorie des groupes et particules elementaires, report at the
International Congress of Mathematicians, Moscow, 1966.
53. С h a n Hong-Mo, Wilkin C, A Dynamical Model for the Meson
spectrum, preprint CERN, 65/915/5 (1965).
54. Ruegg H., Rühl W., Santhanam T. S., The SU(6) Model and Its.
Relativistic Generalizations, preprint CERN, 66/1106/5 (1966).
55. В 1 u d m a n S. A., Non-Leptonic Week Interactions, preprint, 1966.
56. S a k i t а В., Higher Symmetries of Hadrons, preprint Argonne Nat. Lab.,
USA (1966); Phys. Rev. Letters, 9, 203 (1964).
57. Gourdin M., Algebra of Currents and Sum Rules, Lectures at 1966 Car-
gese Summer School (1966).
58. Problems on Fundamental Physics, Kyoto, 1965. (Юбилейный сборник
в честь 30-летия мезонной теории Юкавы).
59. High Energy Physics and Elementary Particles, Wienna, 1966.
60 Einstein Symposium, 1965, Acad. Verl., Berlin, 1966.
61. Lip kin H. J., W-spin and Relativistic SU(6) symmetry, The First Giulio
Racah Memorial Lecture (1965).
62. Gell-Mann M., Current Algebra, preprint CALTECH (1966).
63. Gell-Mann M., Relativistic Quark Model as Representation of Current
Algebra, preprint CALTECH (1966).
64. Weisskopf V. F., SU(2) -±SU(3) ->SU(&), preprint CERN (1966).
65. Behrends R. E., Broken SU3 as a particle symmetry, preprint Yeshiva
Univ. (1966) [Обзорный доклад на XIII Международной (рочестерской)
конференции по физике высоких энергий].
66. D а 1 i t z R. H., Symmetries and the Strong Interactions, preprint Oxford
Univ. (1966) (см. [48]).
67. R о s e n f e 1 d A. H., Rev. Mod. Phys., January (1967).
68. M a p ш а к Р., О к у б о С, Усп. физич. наук, 86, 4 (1965).
69. Иваненко Д., Наумов А., Старцев А., Фролов Б., «Вестник
МГУ», серия физики, астрономии, № 5 (1967).
70- Наумов А. И., Кандидатская диссертация, М., 1967.

1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРУПП
Ф. Гюрши *
(Лекции, прочитанные в 1963 г. в Летней школе теоретиче-
ской физики при Гренобльском университете, Лезуш,
Франция)
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Хорошо известно соотношение между законами сохранения и
принципами инвариантности, связанными с определенными группами.
Например, сохранение энергии связано с инвариантностью относи-
тельно группы трансляций вдоль оси времени, что в свою очередь
описывает некоторое свойство однородности пространственно-времен-
ного континуума. В общем римановом пространстве-времени все еще
могут существовать симметрии и свойства однородности, такие, как
изотропность, что значительно упрощает проблему адекватного опи-
сания геометрии Вселенной. Это будет иметь место в случае про-
странств, допускающих непрерывную группу движений. Дискретные
группы симметрии возникнут при изучении таких преобразований,
как четность, обращение времени или зарядовое сопряжение, когда
в искривленном пространстве-времени будут описываться комплексные
поля. Конечные группы появятся также под видом фундаментальных
групп при рассмотрении топологии многосвязных пространственно-
временных многообразий. Различные типы гравитационного излучения,
или типы пространств с исчезающим тензором Риччи, лучше всего
классифицировать согласно их свойствам симметрии.
Существует также проблема другого типа, объединяющая общую
теорию относительности с остальной физикой. В настоящее время мы
привыкли связывать частицы с неприводимыми представлениями группы
Пуанкаре (неоднородной группы^ Лоренца). Что произойдет с понятием
„частица" в римановом пространстве-времени, в котором группа Пуан-
каре всегда имеет только локальный смысл, если это пространство
допускает глобальную группу движений, отличающуюся по своей
структуре от группы Лоренца? Как мы будем описывать взаимодей-
ствующие поля в этом случае?
Подобных примеров, вероятно, достаточно для иллюстрации того
факта, что теория групп имеет отношение к общей теории относи-
тельности в той же мере, как и к теории элементарных частиц.
Поэтому мы начнем с обзора некоторых общих свойств абстрактных
групп и групп Ли, а затем изучим некоторые специальные группы,
• F. Giirsey, в книге „Relativity, Groups and Topology", eds. С. De
Witt, B. DeWitt, New York —London, 1964.

26
Φ. Γ ю рш и
такие, как группа вращений, группа Лоренца и группа де Ситтера.
Наконец, мы немного поговорим о римановых пространствах, допу-
скающих группы движений.
Затруднения в теории групп имеют главным образом семантиче-
скую природу. Формализм теории сравнительно прост, но некоторую
трудность вызывает нагромождение специальных терминов, не всегда
в достаточной степени очевидных и легко приводящих к путанице.
Единственное, что можно посоветовать читателю, это пользоваться
своим собственным словарем до тех пор, пока многие теоремы, зву-
чащие таинственно, не станут казаться тривиальными.
§ 1. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Определение. Абстрактная группа G есть множество элементов
G={A, В, С, ...},
для которых определен закон композиции (или умножение). Упорядо-
ченное произведение АВ любых двух элементов группы должно удо-
влетворять следующим условиям:
1. Замыкание: если А £ G, B£G, то АВ = C£G.
2. Ассоциативность: если А £ О, B£G, C£G, то
(АВ)С=А(ВС)
для любой тройки элементов, так что любую часть этого равенства
можно обозначить через ABC.
3. Единичный элемент: существует такой элемент / £ О, назы-
ваемый единицей, или единичным элементом, что для каждого A£G
имеет место
АГ = ГА = А.
4. Обратные элементы: для каждого элемента A£G существует
такой элемент А~ £G, что
ΑΑ~1 = Α"λΑ = 1.
Замечание. В действительности аксиомы 3 и 4 слишком сильны
и могут быть заменены более слабыми требованиями, утверждающими
существование левой (правой) единицы и левого (правого) обратного
элемента. Тогда аксиомы 3 и 4 будут следовать из более слабых
требований.
Полугруппы. Полугруппа есть множество элементов, удовлетво-
ряющих первой и второй аксиомам, но не обязательно удовлетво-
ряющих аксиомам 3 и 4.
Элементы абстрактной группы не были специализированы для
выделения определяющей структуры множества. Реализацию абстракт-

/ Введение в теорию групп
27
ной группы можно осуществить, если выбрать в качестве ее элемен-
тов числа, гиперкомплексные числа, матрицы, операторы симметрии
геометрических фигур, перестановки предметов, отображения, преоб-
разования координат и т. д. при условии, что в каждом случае
определен соответствующий закон композиции.
Коммутативность. Два элемента группы А и В коммутируют
друг с другом, если АВ = ВА.
Например, / коммутирует со всеми элементами О.
Абелева группа. Группа называется абелевой, если все ее эле-
менты коммутируют друг с другом.
Например, множество целых чисел образует группу со сложением
в качестве группового закона композиции.
Аддитивная запись. Для абелевых групп удобно принять адди-
тивную запись:
АВ-ь+А + В,
Л-1 «-> —Λ,
АА=А2<-+2А,
Ап4^*пА.
Порядок группы. Порядок группы О есть число g элементов
в группе G. В случае конечных групп число g — положительное
целое. Если g бесконечно, но счетно, как и в случае аддитивной
группы целых чисел, то группу называют бесконечной дискретной
группой.
Элементы некоторых групп образуют непрерывное множество.
В этом случае уже неприменимо указанное выше определение порядка
группы. Если непрерывное множество элементов наделено определен-
ными топологическими свойствами, определяющими многообразие, то
мы имеем топологическую группу. Группы Ли— пример этого типа
бесконечных непрерывных групп. Они будут рассмотрены позднее.
Порядок элемента конечной группы. Пусть А £ G, причем
группа G конечна. Тогда порядок элемента А есть такое наименьшее
положительное целое число, что Ап = 1.
Циклические группы. Циклическая группа состоит из степеней
только одного элемента А. Если группа имеет порядок и, то она
обозначается через Сп, и Ап = 1. Множество всех целых чисел обра-
зует бесконечную циклическую группу по отношению к сложению.
Группа Сп может быть реализована вращениями в плоскости
вокруг точки О на угол 2п(т[п), где т принимает значение 1,
2, .... п. Любой элемент группы Сп есть степень элемента А, где
А—поворот на угол 2л[п.
Циклические группы обязательно абелевы, так как

28
Φ. Γ ю р ш и
АРАт^АтАЬ = А^т.
Поэтому может быть использована аддитивная запись, и если порядок
группы есть я, то
яЛ = 0.
Таблица умножения
В случае конечных групп групповая структура может быть опи-
сана таблицей умножения. Так, для группы порядка 2, G: {/, А},
мы получим
/
/
А
1
1
А
А
А
I
I ! A
или более просто
/
Группа порядка 2 циклична. Это группа С2. Группа порядка 3 есть С3,
так как таблица умножения может иметь только следующий вид:
А
В
А В
(Q.
В I
. i а
так что В = А2.
Существуют две группы порядка 4, обе абелевы. Одна из них
С4: {/, А, А2, А3}; другая—4-группа, или группа призмы D2.
(D2)
Группа С4 может быть реализована последовательными вращениями
в плоскости на угол π/2. Группа D2 соответствует симметриям по
отношению к осям, образующим друг с другом угол π/2, подобно
осям Ох и Оу.
Если х имеет компоненты (х, у), то группу D2 получаем, полагая
/х = х, Лх = (—х, у), Вх = (х, —у), Сх = — х.
Вообще группа Сп есть группа симметрии геометрического объекта
относительно оси вращения л-го порядка. Эта группа имеет порядок п.
Dn есть группа симметрии объекта, имеющего ось вращения я-го
порядка и систему осей второго порядка, перпендикулярных оси
вращения. Эта группа имеет порядок In,
1
А
В
С
А В
1 С
С I
В А
С
в
А
1

1. Введение в теорию групп
29
Существует одна группа порядка 5, а именно С5, и две группы
порядка 6: С6-и D3. Группа D3 имеет таблицу умножения вида
/
А
В
С
D
F
А
1
F
D
С
В
В
D
1
F
А
С
С
F
D
1
В
А
D
В
С
А
F
1
F
С
А
В
1
D
и не является абелевой.
Группа порядка 7 есть С7.
Существуют пять групп порядка 8, причем две из них неабелевы.
Мы приведем таблицу умножения для кватернионной группы порядка 8.
Вместо А, В, С, ... будем использовать символы —/, ех, — ελ и т. д.
/
— /
«1
— «1
*2
— Ъ
Ч
— <>з
— I
1
— «1
*1
— *2
е-2
— e.i
*з
«1
— «1
— /
/
- *з
е3
*2
— е2
— е\
«1
/
— /
Η
— е-i
— е-2
«2
*2
— «2
*з
— *з
— /
/
— βΙ
β,
— «2
«2
— *з
*3
/
— /
«1
е\
Ч
-*з
«2
— *2
«I
— βΙ
— /
/
— *з
«3
— *2
β2
— «1
«1
/
—/
Изоморфизм
Две группы G и G' изоморфны (обозначаются G« G'), если их
элементы могут быть поставлены в одно-однозначное соответствие,
такое, что из АВ = С следует А'В' = С и наоборот. Поэтому изо-
морфные группы имеют по существу одинаковую структуру и одина-
ковую таблицу умножения.
Примеры.
1. Рассмотрим следующие группы порядка 4: группу Gx с эле-
ментами {1, /, —1, —I), причем закон композиции есть обычное
умножение, и группу G2 с элементами {/, йт2, —/, —мт2}· где / и σ2
представляют собой 2 X 2-матрицы

30
<J>. Гюрши
а закон композиции есть матричное умножение. Мы видим, что Gx
и G.2 изоморфны друг другу и группе С4:
G^ G2m C4.
2. Рассмотрим группу 53 перестановок трех объектов (1 2 3).
Определим
/(1 2 3) = (1 2 3), Л(1 2 3) = (2 1 3), В(1 2 3) = (1 3 2),
С(1 2 3) = (3 2 1), D(l 2 3) = (2 3 1), F(l 2 3) = (3 1 2).
Эти символы имеют ту же таблицу умножения, что и группа D3
порядка 6. Поэтому можно записать
D3~S3.
Комплексы, подгруппы
Рассмотрим подмножество К группы О, состоящее из элементов
А, В, С Зпишем
К = А+В+С+ ...
и назовем К комплексом группы G.
Определим сложение комплексов таким же образом, как в теории
множеств определяется объединение множеств:
так что если К = А-\-В-\-С, L = A-\-B-\-D, то
K-\-L = A-\-B-\-C + D
и
Произведение комплексов К и L определяется как комплекс,
получаемый формальным раскрытием произведения
KL = (K, + K2+ ...)(Z.,-f-L2 + ...) = Κ1Δ2 + Κ1Δ2+ ....
где
К = Кх-\- Л"2 + ... и L = Li + La+
Умножение комплексов ассоциативно и дистрибутивно по отношению
к сложению.
Если каждый элемент комплекса К есть также элемент ком-
плекса L, то говорят, что К содержится в L, или что L содержит К,
и записывают
К a L, или Z. э К
гак же, как и в теории множеств. Если К cz L и К id L, to K = L.

1. Введение в теорию групп
31
Подгруппа Η группы G есть комплекс, удовлетворяющий груп-
повым постулатам. Сама группа О и единичный элемент / являются
тривиальными подгруппами. Другие подгруппы G носят название соб-
ственных подгрупп.
Теперь мы докажем фундаментальную теорему о порядке подгруппы.
Теорема Лагранжа
Если Η есть подгруппа группы G, то существует множество эле-
ментов Л] . . Ап группы G, такое, что
G = HAl-\-HA2 + ... +НАп,
и множество Вх .. ■ Вп, такое, что
О^^Я + ЯЛЧ- ... +ВпН.
где Ах = В{ = /, причем любая пара комплексов HAt и HAj (или
BtH и В;Н) не имеет общих элементов, и каждый комплекс содержит
одинаковое число элементов h (порядок подгруппы И). Отсюда сле-
дует, что h = gjn, где g— порядок группы О, а и — положитель-
ное целое число.
Для доказательства теоремы рассмотрим случай Η φ G. Возьмем
элемент Л2, не принадлежащий Н. Все элементы комплекса НА2
отличны друг от друга, и не один из них не содержится в Н. Если
Η = Н1-\-Н2-\- ... ~\-Hh, то, предполагая, что HtA2 = H }А2(1ф]),
мы имели бы Н1 = И,. С другой стороны, если HlA2 — Hj, то мы
имели бы А2 = Hi Η j £ Η, что противоречит допущению. Если Η
и НА2 не исчерпывают группы О, добавим комплекс НА3, для
которого А3 не принадлежит ни Н, ни НА2, и так далее до тех пор,
пока не будет исчерпана вся группа О. Теорема доказывается анало-
гично и для элементов В.
Смежные классы подгруппы. В разложении Лагранжа группы G
комплексы НА2 НАп носят название1) правых смежных клас-
сов подгруппы Н, а В2Н ВпН—ее левые смежные классы.
Индексом подгруппы Η группы G называется число η — g\h.
В качестве непосредственного следствия теоремы Лагранжа мы
видим, что порядок любого элемента группы G есть множитель
порядка группы g; группа, порядок которой есть простое число,
обязательно циклична (как мы уже видели это в случае групп
порядка 2, 3, 5 и 7); все подгруппы циклической группы обяза-
тельно цикличны.
') В оригинале употребляется термин right (left) cosets of a subgroup —
правые (левые) сомножества подгруппы, не принятый в отечественной ли-
тературе.— Прим. ред.

32
Φ. Г ю р ш а
Независимые элементы. Генераторы. Ранг
Элементы группы G являются независимыми, если ни один из
них не может быть выражен через другие. Если существует множе-
ство независимых элементов, так что любой элемент X £ О может
быть выражен через элементы этого множества, то последнее назы-
вают множеством независимых генераторов группы. Рангом группы
называется число этих генераторов.
Примеры. Циклическая группа имеет ранг 1, так как любой
элемент Сп может быть выражен как степень одного генератора.
4-группа D2 и группа /)3 имеют ранг 2. Для группы D2 мы имеем Ь2:
(/, А, В, АВ\, причем А2 = В2=:1 и АВ = ВА. В случае группы D3
в качествг генераторов могут быть выбраны элементы А и D, так
как B = AD, C = AD2, F = D2, а А и D обладают следующими
свойствами:
Л3 = Л2 = /, DA = AD2--=zAD~l,
так что можно также написать С = AD~l и F = D~ . Если группа G
есть абелева группа ранга k с генераторами £,, .... Ек, то любой
элемент X группы G может быть записан в виде
Х = п1Е1+ ... +«,£,.
где я, — целые числа. Здесь мы используем аддитивную запись.
Группа Сга всех целых чисел порождается одним генератором, так
как любой из ее элементов может быть выражен в виде пЕ.
Сопряженные элементы. Классы. Нормализатор
Два элемента А к В сопряжены в группе О, если существует
такой элемент Τ £ G, что
В = Т~ХАТ.
Комплекс, состоящий из всех элементов, сопряженных элементу А,
носит название1) класса элемента А в группе G и обозначается (Л):
(А) = П1АТ, + Т?АТ2+ ... (Т1 = /).
Ясно, что А £ {А).
Если (Л) = А, то говорят, что элемент Л самосопряжен. Каждый
элемент является самосопряженным в абелевой группе.
Определим число элементов в классе (Л) для группы G. Для этого
прежде всего определим нормализатор элемента Л, обозначив его
через ΝΑ как комплекс всех элементов группы G, коммутирую-
щих с Л. Легко видеть, что нормализатор обладает свойствами групп
') В отечественной литературе употребляется более полный термин
класс сопряженных элементов. — Прим. ред.

1. Введение в теорию групп 33
и, являясь подгруппой группы О, имеет порядок n = g/h, где Л—его
индекс в разложении Лагранжа
G = NA + NAT2+ ... -+NATk.
Теперь мы докажем теорему, утверждающую, что число элементов
в классе (Л) равно индексу h нормализатора NA. Фиксируем эле-
мент А и рассмотрим элемент Х~1АХ, где X пробегает g элементов
группы О: сначала нормализатор NА, затем NAT2 и т. д. Когда X
пробегает NA, выражение Х~ АХ дает η раз элемент А; оно
дает η раз элемент Τξ1ΑΤ2, когда X пробегает ΝΑΤ2, так как ΝΑ
коммутирует с А, так что в конечном итоге мы получим класс (А)
η раз. Таким образом, (Л) содержит g/n = h элементов, где h —
индекс нормализатора NA.
Для абелевых групп NA = G и Л=1, так что (Л) = Л для
любого элемента А.
Теорема. Различные классы в группе G не перекрываются, так
что G есть сумма отдельных классов:
0 = (/) + (Ла)+ ... +(A>),
где (/) = /.
Доказательство. Допустим, что классы (Л2) и (Лд) имеют
общий элемент F. Тогда существуют такие элементы Τ и 5, что
T~xA2T = S~lAzS = F,
но поскольку
Л2 = TS~l Л35Г-1 = (ет-1)-1 A3ST -\
это приводит к тому, что элемент Л3 сопряжен элементу Л2, чего
не может быть, так как мы предположили, что Л3 не принадлежит (А2).
Отсюда следует
g=\ + h2-\- ...h„.
где hl есть индекс Να..
Инвариантные подгруппы
Подгруппа Η группы G называется инвариантной'), если она
коммутирует с любым элементом X группы О. Другими словами, все
элементы, сопряженные элементам подгруппы Н, содержатся в И.
Таким образом,
х~1нх=н.
') В отечественной литературе для обозначения инвариантной подгруппы
также используется термин нормальный делитель. — Прим. ред.
3 Зак. 612

34
Φ. Гюрши
С подгруппой F. не являющейся инвариантной, мы можем связать
другие подгруппы группы О. а именно
X~lFX, Y~XFY,
которые носят название подгрупп, сопряженных подгруппе F. Они
совпадают с F, если F — инвариантная подгруппа.
В качестве непосредственного следствия этого определения можно
установить, что:
1. Все подгруппы абелевой группы О являются инвариантными
подгруппами.
2. Все подгруппы индекса 2 с необходимостью являются инва-
риантными подгруппами.
3. Инвариантная подгруппа составлена из замкнутых классов
группы О. Таким образом,
Я = (/) + (Л) + (Я)+ ....
Факторгруппа G/H
Теорема. Пусть Η — инвариантная подгруппа группы G. Рас-
смотрим разложение
G = HBX + HB2 + ... +HBD {Bl = l),
где g = hn.
Те и смежных классов подгруппы И, на которые разлагается
группа G, носят названиеλ) факторгруппы группы G по подгруппе Н.
Факторгруппа обозначается G\H и имеет порядок и = gjh.
Доказательство. Так как Η есть подгруппа, то, как мы
уже видели, η смежных классов имеют каждый по h элементов и
любые два смежных класса не имеют общих элементов. Поскольку Η
есть инвариантная подгруппа, получим
нв, = в,н.
Отсюда по правилу умножения комплексов
{НВ,) (HBj) = ННВ1В) = HBk,
где Bk = Ββ,. Заметим, что Bk не обязательно совпадает с одним
из Bj, встречающимся в разложении группы G. Однако комплекс HBk
должен совпадать с одним из смежных классов подгруппы И, по-
скольку Bk обязательно содержится в одном из и смежных классов.
Тогда, если он содержится в m-м смежном классе, получаем
HBk = HBm. Этим устанавливается аксиома замыкания. Ассоциатив-
') В оригинале также употребляется термин quotient group (группа-
частное), не принятый в нашей отечественной литературе. — Прим. ред.

1. Введение в теорию групп 35
ность следует из равенства
(HBi) (HBj) (НВ,) = HBlBJBl.
Единичный элемент есть Н, а элемент, обратный НВ,, есть HBj\
Понятие факторгруппы играет первостепенную роль в теории
групп и имеет широкое применение.
Центр группы
Множество самосопряженных элементов группы G образует абе-
леву инвариантную подгруппу Z, называемую центром группы G.
По определению, центр Ζ состоит из всех элементов Ζ,· группы G,
коммутирующих с каждым элементом G. В частности, Ζ содержит
единичный элемент. Пусть
Z=Zt + Z2 + ... И-Ζ, (Ζ,=/).
г Χ — произвольный элемент группы G. Тогда из
ZtX = XZt и ZjX = XZj
вытекает
Z}Z,X = ZjXZi = XZjZit
так что
Zjztez.
I есть единица. Остальные групповые свойства очевидны. Кроме того,
Ζ есть инвариантная подгруппа, так как если X £ О, то
x~lzx = z
по определению Z.
Взаимные отображения групп
Рассмотрим теперь другое фундаментальное понятие, широко
используемое в многочисленных разделах современной математики.
Это — понятие взаимного отображения групп. Различаются две
категории отображений в зависимости от того, является ли отобра-
жение одно-однозначным или много-однозначным.
Изоморфное отображение. Если группы G и G' изоморфны,
так что мы имеем одно-однозначное соответствие между элементами
групп G и G'. обладающее свойствами
XiX I *-*■ XtX j если Xl+-*-X'l и Xj<-*-X'f.
то это соответствие носит название изоморфного отображения (или
изоморфизма) между двумя группами,
3*

36
Φ. Γюрши
Гомоморфное отображение. Это много-однозначное отображение
элементов большей группы G на элементы меньшей группы G', при-
чем такое, что оно сохраняет произведение.
Пусть
0 = *,+*,+ ... -f Kg,
где Kj изображает комплекс
Ki = *j + Yj+ ···■
и пусть
o'=i/i+i/2'+... +i/;. (i/i=/0.
где £/„ есть элемент группы G'. Рассмотрим соответствие
Кт—*■£/«■
отображающее комплекс группы О в элемент группы G' таким об-
разом, что из
Kt-*U'i и Кj ~* V',
вытекает
KiKj-^U'tU',.
Тогда мы будем говорить, что G гомоморфно отображается на G',
а само много-однозначное отображение будем называть гомоморфиз-
мом /. Группа G' называется образом отображения /, или гомо-
морфом группы G. Гомоморфизм будем обозначать
Отображения внутри группы. Автоморфизм и эндоморфизм
Если отображение одно-однозначно, то в качестве группы G'
можно выбрать саму группу G. Так, говорят, что группа G допускает
автоморфизм, если она может быть изоморфно отображена сама
на себя.
Пример. Пусть А — фиксированный элемент группы G. Рас-
смотрим отображение
Это — одно-однозначное, сохраняющее умножение отображение
элементов группы G на элементы группы G. Следовательно, имеем
автоморфизм. Автоморфизм этого рода носит название внутреннего
автоморфизма; все другие виды относятся к внешнему автомор-
физму.
Эндоморфизм. В качестве С выберем теперь И, подгруппу G.
Если группа О может быть гомоморфно отображена на одну из ее
собственных подгрупп, то говорят, что она допускает эндоморфизм.

1. Введение в теорию групп 37
Установим теперь некоторые теоремы относительно отображений.
Теорема. Все автоморфизмы группы G образуют группу, на-
зываемую группой автоморфизмов группы G (и обозначаемую AutG).
Для доказательства этого утверждения будем нумеровать авто-
морфизмы индексом т, так что
*(*> = ai.(*)
есть одно-однозначное соответствие внутри группы G. Рассмотрим
отображение X <-* аг [а, (X)]. Поскольку
*(>(Л = «/ W а/ (П = aJ (ХГ>
имеем
ai (*(> <л) = Щ «л)а' (Кл) =«»' 1«/ WI «' МП! = ai [«у (Л1 К)].
Таким образом, соответствие
Х*-*щ [aj (Χ)] = агау (А')
также является автоморфизмом. Тождественный автоморфизм at задается
как
ЛГ('Ц== а, (*) = *.
так что единица в AutG есть отображение каждого элемента группы G
на себя, а обращение автоморфизма щ определяется посредством
равенства
αγΧ(.Χ') = Χ. если X'= а[==а1(Х).
Теорема. Внутренние автоморфизмы группы G образуют под-
группу группы AutG.
Это справедливо потому, что множество внутренних автомор-
физмов также обладает свойствами группы.
Слово „инвариантная'' в термине "инвариантная подгруппа" оправ-
дывается также тем, что инвариантная подгруппа группы G является
инвариантной относительно группы внутренних автоморфизмов')
группы G.
Ядро гомоморфного отображения
Пусть дан гомоморфизм G_1^G'. Рассмотрим комплекс С группы G,
отображающийся на /' — единичный элемент группы О':
С-*/',
1) Группу внутренних автоморфизмов группы Q в отечественной лите-
ратуре часто называют присоединенной группой группы G [121. —flpftJlf·

38
Φ. Гюрши
С носит название ядра гомоморфизма;
С = Kern/.
Теорема. Ядро гомоморфного отображения G на G' есть инва-
риантная подгруппа О.
Доказательство. Пусть С = С1~\- ... ~\-Ст(С1^С). С есть
группа, так как
из Ct—>!', Cj-^-I' вытекает Cfi.-^-I'
вследствие сохранения умножения, так что Cfi, £ С. Единичный
элемент / группы G также должен отобразиться на /', так что / £ С,
и мы можем положить l = Cv Действительно, если бы элемент /
отображался на X' ф1', то комплекс Ct=^lC, отображался бы на
Х'1' = Х' и С1 не был бы элементом С.
Комплекс С есть инвариантная подгруппа, поскольку
Х~1СХ -> г""1/'К' = /'.
так что
х~хсх = с.
Поскольку С есть инвариантная подгруппа группы G, имеет место
разложение
G = Tfi + T2C+ ... -+ТпС (7-,=/).
и η смежных классов С образуют группу G\C. С другой стороны,
в гомоморфизме
G-UG'
мы имеем
Tfi -> Y'„
где
Y'i£G' и Y[ = F'.
Следовательно, соответствие между элементами групп GfC и G'
является одно-однозначным и сохраняет умножение. Отсюда вытекает,
что эти две группы изоморфны. Таким образом, мы доказали сле-
дующую теорему:
Если С = Kern / в гомоморфизме G —-> G', то G\C zss G', или
G/Kern/*«Im/.
В частности, рассмотрим гомоморфизм, отображающий центр Ζ
группы О на единичный элемент группы G'. Имеем
Это называется делением группы на ее центр,

1. Введение в теорию групп
39
Приведем несколько примеров.
Если C = /-r-^ + J3 + C + D-f/7 есть группа D3 (или S3), то
fj==lJL-£)-\-F = I-\'D-\-U2 есть инвариантная подгруппа, и мы
имеем разложение
G = H + АН
со следующими правилами умножения для двух смежных классов
подгруппы Н:
Н* = Н, Η(АН) = АН, (AHf = H.
Отсюда следует, что группа смежных классов подгруппы Η изоморфна
циклической группе порядка 2 и
Соответствие X —>А~1ХА в группе D3, для которого
/«-*/, А<^А, В <-* С, D-r^F,
есть внутренний автоморфизм группы D3. Он оставляет подгруппу Η
инвариантной.
Если G есть кватернионная группа Q с элементами 1, —1, ev,
— elt e2, —e2, е3, —е3, то
Z={1. -1}
есть центр группы Q. Группа QjZ имеет 4 элемента, и мы получаем
0_
Ζ
■ Do
Если О есть 4-группа D2 с элементами /', А', В', С, то Aut D2
имеет 6 элементов, определяемых следующим изоморфным отображе-
нием в группе D2:
/ : {/', А', В', С'}
А
В
С,
D,
[Г. А'. В', С'},
{/'. А', В', С'} *-+ (/', А'. С, В'},
[Г, А', В', С'} «-* {[', С, В', А'},
(/'. А'. В', С) ^ {/', В', А'. С'}.
{/'. А', В', С'} «-> [/', В', С, А'},
{/'. А', В'. С'}ч-*(/'. С, А'. В'}.
Легко проверить, что таблица умножения такая же, как и для
группы D3, так что
Aui£>2 = D3.

40
Φ. Γ ю р ш и
Прямое произведение
Говорят, что группа Г является прямым произведением групп С
и С (Г = G ® G'), если ее элементами являются упорядоченные
пары (X, X') с законом умножения
(X, X')(Y, Y') = (XY, X'Y'),
X£G, Y£G, X'£G' и Y'£G'.
Если g и g' — соответственно порядки групп О и G'. то порядок
группы Г равен gg'. Единица группы Г есть (/, /').
Пример.
D2 = C2® C2.
Полупрямое произведение
Прямое произведение двух произвольных групп всегда опре-
делено. Полупрямое произведение групп G η Л определено только
тогда, когда Л есть группа автоморфизмов группы G.
Пусть Л— подгруппа группы Aut G и щ^Л, так что щ(Х)
есть образ элемента X при автоморфизме а,. Рассмотрим упорядо-
ченные произведения (X, а) с законом умножения
(Χ, α) (Κ, β) = (*α(Η), αβ).
Множество Г с элементами (Χ, α) образует группу, называемую
полупрямым произведением групп G и Л, которую мы будем обо-
значать
Групповые свойства легко устанавливаются. Порядок группы Г есть
произведение порядков групп G и Л.
Если группа G абелева, то для элементов группы G может быть
использована аддитивная запись, и тогда получим
(А, а) (В, β) = (Λ-|-α(β), αβ).
Пример. Мы видели, что Aut D2 = D3. Возьмем в качестве под-
группы группы D3 ее инвариантную подгруппу
Λ-./+ D-t-D2«C3.
Группа 02®Л имеет порядок 12 и изоморфна группе тетраэдра Т,
имеющей ранг 2 и генераторы К, L со свойствами
Ki=L3 = f и (KLf = LK2.
Группа G (§) Aut носит название голоморфа группы О.

1. Введение в теорию групп
41
Теорема. В прямом произведении G®G' содержатся инва-
риантная подгруппа, изоморфная группе G, и инвариантная под-
группа, изоморфная группе G'. В полупрямом произведении G®di
содержится инвариантная подгруппа, изоморфная группе G.
Доказательство следует непосредственно. Таким образом, С2 есть
инвариантная подгруппа группы D2 = C2®C2 и D2 — инвариантная
подгруппа группы Τ = D2® Л.
Простые и полупростые группы
Простые группы не имеют собственных инвариантных подгрупп.
Полупростые группы могут иметь собственные инвариантные под-
группы, но не имеют абелевых инвариантных подгрупп.
Примеры. Группы С2 и С3 просты. Группы D2, D3, Q, Τ не полу-
просты и, конечно, не просты. Неабелева простая группа наимень-
шего порядка есть J" — группа икосаэдра порядка 60.
Накрывающая группа
Пусть W — подгруппа центра Ζ группы G. Группа W обяза-
тельно абелева. Рассмотрим группу
W
В этом случае говорят, что группа G является накрывающей группой
группы Г. В частности, группа G есть накрывающая группа своей
факторгруппы по своему центру.
Пример. Группа Q есть накрывающая группа группы £)2, так как
QIZ = D2.
Коммутатор. Производная группа
С элементами X £G и K£G связывают элемент XY'^XY^C,
называемый коммутатором элементов X и Υ. Если С — коммута-
тор, то С и каждый элемент класса (С) также являются коммута-
торами. Единица / также является коммутатором (X = Υ).
Коммутант, или производная группа*) группы G, есть наи-
меньшая подгруппа группы G, содержащая все коммутаторы группы G.
rnv ^ В °Ригинале употребляется выражение commutator subgroup (под-
группа коммутаторов), однако в отечественной литературе [12] общеприня-
fivnil. являются приведенные нами термины, которые в дальнейшем мы и
будем употреблять. — Прим. ред.

42
Φ. Γюрши
Если обозначить производную группу группы О через Нс, то
можно показать, что Нс есть инвариантная подгруппа группы О и
факторгруппа G\HC абелева. Группа называется совершенной, если
G = HC.
Пример. Производная группа группы Q есть ее центр Z.
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
Матрицы
Мы используем следующие обозначения для η Χ «-матриц над
полем комплексных чисел:
л=|Ы· АТЧаА А*=КЛ
η
Af = la*jtl· DeM — la,,!· 5рЛ=2аи.
Λβ=[Σν/*[· '=ΙΙΜ·
Л-1, если Л-1Л = /.
Напомним также определения:
матрица 5 симметрична, если S = ST;
матрица А антисимметрична, если А = — Ат;
матрица И эрмитова, если Н = Н*\
матрица F антиэрмитова, если F = — F ;
матрица Ω ортогональна, если ΩΩ =/;
матрица U унитарна, если UUf = I.
Матричная группа
Группа с матрицами в качестве элементов и матричным умноже-
нием в качестве группового закона композиции называется матричной
группой.
Группа линейных преобразований
Матрица представляет собой линейное преобразование в вектор-
ном пространстве L, которое имеет размерность η в случае иХп-
матриц. Матричной группе соответствует группа линейных преобра-
зований в пространстве L. С элементом Μ матричной группы мы
связываем линейное преобразование Мх = х'.
Представления групп
Представление Г группы G есть матричная группа, на которую
гомоморфно отображена группа G. G—>Г.

1. Введение в теорию групп 43
Матрица D(A) поставлена в соответствие каждому элементу А
группы G таким образом, что
D(A)D(B) = D(AB).
Говорят, что Г есть n-мерное представление группы О в вектор-
ном пространстве L, если размерность пространства L есть п. Про-
странство L называется пространством представления.
Существование обратного элемента показывает, что матрица D(A)
должна быть несингулярной, так как
D{A-1)=lD(A)]-\
Кроме того,
D (/) = /.
где / — единичная η Χ «-матрица.
Точные и неточные представления
Представление Г называется точным, если Г«; О. Оно будет
неточным представлением, если более чем один элемент группы
представляется одной и той же матрицей.
Пусть Η = Кегп / в гомоморфизме G —-> Г. Тогда Г будет точ-
ным представлением факторгруппы GJH.
Примеры. Одномерное представление группы D3 есть
Г = {1. -1).
{/, D, />}-». 1.
где [А, В, С}->—1. Пусть tf = /-|-D-f F. Тогда DJH «Г. Сле-
дующее двумерное представление группы D3 является точным:
D(0 = (J J). D(A) = (l0 J). D{B) =
D(C) =
2 2
£1 _l±
2 "" 2
D(/0 =
_1_
2
£1
2
2
_1_
2
1 Кз
2 2
1/1 1
2 2
£1)
2
_Jl_ '
2
1
2"
lA3
~2~
. £>(£>) =

44
Φ. Гюрши
или, вводя матрицы Паули
°з = (0 „J· °i = (, 0). °2Ц. о)
и используя некоторые символы для представлений как для элемен-
тов группы, получаем
/ = /, л = о3, в = ^(уъа1-0з), с=-1(/зо14-о3),
D=--±-(l — /о2/з), ,Ρ = _1(1+/σ2/3).
Одномерное представление группы Q имеет вид
Г = (1, -1),
{/, —/, е3- — в3}->1. {ер — ех, е2, — е2}->—1.
Ядро гомоморфизма есть С4, факторгруппа QICi = C2, и Г есть
точное представление группы С2. Существует точное двумерное пред-
ставление группы Q, а именно
/, —Л ±е3=±г"а3, ±el== ±lclt ±е2 = ±1а2.
Эквивалентные представления
Преобразуем базис и-мерного пространства представления L.
Тогда
х = Су, х' = Су',
так что преобразование
Мх = х\ если M=D(A),
дает
МСу = Су' или (С- ^С) у = у',
и
Ж= С_1МС = С-10(Л)С
есть новое представление группового элемента А. Оно называется
эквивалентным представлением.
Характер представления
В предыдущем примере мы получили Sp Μ = Sp Μ, так что след
представления одинаков для эквивалентных представлений. Определим
X(A) = SpD(A)
как характер элемента А в представлении D. Если рассматриваемое
представление отмечено индексом μ, то мы будем обозначать характер
элемента А в представлении D через Χμ(Α).

1. Введение в теорию групп 45
В этом случае у (/) = я, где η — размерность представления.
Характер представления μ есть множество g величин
У? (О. Χμ (Л) Χμ (Ag) Mi = О.
где ,4 ^g.—элементы группы G.
Элементы одного и того же класса имеют одинаковые характеры,
так что характер есть функция класса сопряженных элементов.
Если полная группа имеет k отдельных классов Сх Ck, то
множество k характеров
хи(С,). х^Са) %НСк)
определяет представление.
Например, группа D3 имеет три класса
Оз = С, + С2+С3,
где
С, = (/) = /.
с2=(Л)=Л4в+с,
Отсюда следует, что для двумерного представления должны суще-
ствовать только три характера
'/? 1С,) = ХЮ (/) = 2, ХЯ (С2) = ХР0 (Л) = О,
X(2)(C3) = X«!!>(D) = -1.
Для одномерного представления
Х<·) (/) = /. хП)(Л) = -1. x(D(D)=l.
Приводимые и неприводимые представления
Рассмотрим два представления группы G. Представление Г, раз-
мерности η с элементами
А (<*,) Dt{Ag)
и представление Г2 размерности т с элементами
AM,) D2(Ag).
Мы можем построить новое представление группы G размерности
п-\-т, рассматривая матрицы
/£>,(Л,) 0 \
Преобразование подобия, примененное к матрице D, дает экви-
валентное η -f- m-мерное представление, которое уже не будет иметь
ящнчно-диагональный вид. Например, перенумеровка строк и столбцов
является преобразованием подобия.

46
Φ. Γюрши
Определение. Представление, которое преобразованием подобия
может быть приведено к ящично-диагональной форме, называется
вполне приводимым. Если такого преобразования не существует, то
представление называется неприводимым.
Матрица D называется прямой суммой матриц Dt и D2 и обозна-
чается D = D{@D2.
Если матричная группа может быть преобразованием подобия при-
ведена к виду
id, х\
то она называется приводимой. Для конечных матриц справедлива
теорема, что если любая конечная матричная группа приводима, то
она вполне приводима. Это утверждение не справедливо для беско-
нечных матриц.
Унитарные представления
В квантовой механике пространством представления является гиль-
бертово пространство, и группа симметрии должна оставлять инва-
риантными скалярные произведения (х\у) = х*ауа, поскольку они
интерпретируются как амплитуды вероятности. Отсюда следует,
что матрицы преобразования, соответствующие группе симметрии,
должны обладать свойством U U = /, вытекающим из равенства
Поэтому группа G должна быть представлена унитарной матричной
группой, называемой унитарным представлением ') группы G. Имеет
место важная теорема.
Теорема. Любое представление конечной группы G несингу-
лярными унитарными матрицами может быть преобразовано в уни-
тарное представление преобразованием подобия.
Теорема доказывается явным построением матрицы преобразо-
вания S.
Основным методом в этой и других теоремах теории представлений
является построение инвариантов посредством суммирования по всем
элементам группы. В случае бесконечных групп этот метод следует
применять с большой осторожностью.
Пусть имеется группа матриц
· 11' · · ·» *^е\*
') Мы не касаемся здесь антиунитарных представлений, которые обсу-
ждаются в книге Внгнера [3].

1. Введение в теорию групп
47
где некоторые элементы А1 могут совпадать, если представление не
является точным. Образуем следующую сумму по элементам группы:
Матрица Η эрмитова (Я = Я+). Диагонализуем Η преобразованием
подобия
Д = 5-1Я5 = 2^ИЛ
где _
At = S"1AlS.
Матрица Δ положительно определена. Построим теперь матрицы
^ = Δ-,/Μ/Δ'Λ.
эквивалентные матрицам At. Покажем, что эти матрицы унитарны.
Действительно, из Δ = 5" HS имеем
δ-'λ_(ς^η;)δ-^=/,
i/rf/,+ = Δ-'/Mi ΔΛ/Δ ",/! = Δ" '''AAbA^AfA-'1· =
= Α-'''AA'1' (Δ"''' Σ ^/Δ-^Δ^Μ/Δ-'/' =
= Δ-νΜ£(2^/)^+Δ-ν'.
Но вследствие группового свойства Α{(Σ Α}Α^)Α^ = Σ^ΙΑ^· так
что UiUi =/, и матрица
i/, = Δ-νΜ;Δ'/! = Δ-'/!5"1 ^5Δν'
унитарна, причем матрица 5 диагонализует эрмитову сумму Σ A-iA*·
Мы видели, что, задавая представление Г, можно получить из него
другие эквивалентные представления преобразованием подобия. В част-
ности, мы всегда можем перевести его в унитарное представление.
Можно ли из представления Г получить еще какие-либо другие пред-
ставления?
Комплексно сопряженное представление Г*
Это — представление, получаемое заменой каждой матрицы на ее
комплексно сопряженную. ·
Тогда если
то
0,(Л1)0*(Л2) = 0*(Л,Л2).
так что £>*(Л() дает нам другое представление.

48
Φ. Γюрши
Присоединенное представление Г
Это — представление 1), получаемое заменой каждой матрицы D(Af)
на матрицу [Df(Ai)]~\ Имеем D~1{A1) = D(Ai~1), [Df(Al)]~l =
= Df(Ar1). Вследствие D {A{) D (A2) = D (AXA2) получаем
Dt_1 (Л,) Df~l (Λ2) = Dt_1 {AXA2).
Эквивалентны ли новые представления представлению Г? Существуют
три типа представлений:
1. С помощью преобразования подобия можно получить Г = Г*.
Тогда это представление эквивалентно действительному представлению.
2. Представление Г эквивалентно представлению Г", но не суще-
ствует такого преобразования подобия Г —> Г* , что Г' = Г" .
Тогда D (Al) = U~ D^A^U (матрица U аналогична оператору
зарядового сопряжения). В этом случае присоединенное представление
также может быть записано как
D^iA^D^iAi).
3. Представления Г и Г* не эквивалентны (матрицы U не суще-
ствует). В этом случае комплексно сопряженное представление является
новым представлением.
Тривиальное представление и регулярное представление
Всегда существует одно тривиальное представление группы О,
являющееся одномерным, именно
0(Л£)=1.
Для этого представления k характеров имеют вид
Х(С,)= .-. =х(С»)=1.
Тривиальные представления неприводимы. Точное представление
группы G всегда может быть построено следующим образом.
Рассмотрим таблицу умножения. Каждая строка может быть по-
лучена из первой строки путем умножения первой строки слева на
элемент группы А(. С другой стороны, каждая строка есть переста-
новка первой строки. Отсюда следует, что каждому элементу Л, со-
ответствует элемент симметрической группы перестановок g предметов.
Группа G всегда изоморфна подгруппе группы Sg. Это утверждение
известно под названием теоремы Кэли. Теперь каждая перестановка
') Обычно это представление называют контрагредиентным. (см.
статью 2 настоящего сборника), сохраняя принятый здесь термин за пред-
ставлением, которое осуществляет группа внутренних автоморфизмов (см.
стр. 37 и работу [12]). — Прим. ред.

1. Введение в теорию групп
49
может быть представлена g X g-матрицей, так как она действует
в линейном векторном пространстве g измерений. Таким образом,
мы получаем g матриц для представления g элементов группы G.
Это представление носит название регулярного представления и
является точным. Но оно приводимо. Мы увидим, что оно содержит
все неприводимые представления. Матрицы £)Л(Агг) находятся сле-
дующим образом.
Пусть р^ — строка, образованная элементами Χλ=Ι, Х2 X
группы G. Тогда ЛТ.-р7- есть перестановка группы О. Определим ма-
трицу DR (Xj) выражением
XjPT = PrD^(Xj).
Отметим здесь, что о7" есть специальная определенная выше, матрица-
строка и не может быть заменена произвольной матрицей-строкой.
Теперь если
то имеет место соотношение
X.XjpT = Xl(f £>* (А",) = pr D* (X,) D* {Χ,).
так что матричная группа DR{X{) изоморфна группе G. Мы также
имеем Хр = \DH (Xj)\T ρ для матрицы-столбца р.
Пример. Группа С3.
Мы имеем одномерное точное неприводимое представление
Г(Сз): D(/)=l, D(A) = e2nl'3, D{A2) = e-2nl/3.
Регулярное представление есть
/1 О 0\ /0 0 1\ /0 1 0\
D«(/) = lo 1 θ). D*(A) = { 1 0 0], О«(Л2) = [0 0 1 ].
\0 0 1/ \0 1 0/ \1 0 0/
Мы не можем сразу сказать, является ли это представление приво-
димым или нет. Однако оно приводимо и существует преобразова-
ние подобия, приводящее его к виду
/I 0 0\ /1 0 0\ /10 0\
/>(/)= 0 1 0 1, D*(i4) = lo ε 0 ), D«(/l2)= 0 ε* 0 J,
\θ 0 1/ \0 0 eV \0 0 ε/
Ε = ε2η1β и х/?(/) = 3> x/?(j4j==0. х*(Л2) = 0.
Отсюда следует, что преобразование приводимо, причем оно является
прямой суммой трех одномерных неприводимых представлений, а
именно тривиального представления, приведенного выше представле-
ния Г(С3) и представления Г*(С3). Вообще говоря, для регулярного
4 Зак. 612

50
Φ. Γюрши
представления произвольной группы порядка g мы имеем χ (/) = §·,
х(Лг) = 0 для А,ФГ.
При рассмотрении приведенного выше примера возникают сле-
дующие вопросы:
1. Что является критерием неприводимости представления?
2. Каково число неэквивалентных неприводимых представлений?
3. Каковы их размерности?
4. Определяются ли представления своими характерами?
5. Как получить характеры каждого представления?
6. Как построить представление после того, как найдена таблица
характеров?
На эти вопросы отвечает теория, развитая Фробениусом, Шуром
и Бернсайдом. Мы ограничимся формулировкой результатов. Крае-
угольным камнем этой замечательной теории является лемма Шура.
Лемма Шура
Матрица, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого
представления, кратна единичной матрице.
Доказательство. Возьмем унитарное представление и пусть
матрица Μ коммутирует с i/£ ^ Г (1=1 g). Тогда Mf тоже
коммутирует с £/£. Отсюда следует, что Μ + Mf также коммути-
руют с Ut. Поэтому мы можем ограничиться эрмитовыми матрицами М.
Тогда Μ может быть диагонализована матрицей V, так что
M = Mr=V ΔΙ/"1 = V ЬУ* (Wf = l).
где матрица Δ диагональна и положительно определена. Рассмотрим
преобразование
Ufi = V~1UiV = VfUiV.
Полученное представление также унитарно и эквивалентно первому.
Матрица Δ коммутирует с матрицей Ut. Так как i/j не имеет ящично-
диагонального вида, то Δ кратна единичной матрице. Отсюда сле-
дует, что Μ также кратна матрице Λ
Пример. Для 2 X 2-матриц преобразование
rf, OWfl Ь\Ы °\ = (а Ь)
0 dj[c d)\0 J_) [с d)
дает

1. Введение в теорию групп
51
и мы получаем либо dx = d.2 (лемма Шура), либо 6 = с = 0, и мат-
рица
сэ
приводима.
Вторая лемма Шура
Если Dj и D2 — два различных неприводимых представления
группы G размерности от и η и если и X m-матрица Г удовлетво-
ряет условию
Dl(Al)F=FD.2(Al) (i=l g).
то матрица F является нулевой. Доказательство мы опускаем1).
Соотношения ортогональности
1. Пусть D (А[) — элементы неприводимого унитарного «-мерного
представления группы G. Построим матрицу
Μ = %D(Ai)XD{ATx)=%D(Al)XD+(Al),
где X — произвольная матрица.
Можно легко показать, что матрица Μ коммутирует с D(A.)
и отсюда по первой лемме Шура она должна быть кратна /:
2-1
Выберем матрицу X такой, чтобы все ее элементы были нуле-
выми, за исключением Хш=1, и возьмем K — klm. Имеем
ifkl{Ai)D^Jm{At) = -klmbk).
Для k=j, суммируя по всем k, получаем
Σ Σ Dkl (At) D\m (Α^ = Σ Dml (ЛИГ1) = Σ bmt = nllm,
так что
λ,_, =
g
lm — n ^Im
') Доказательство можно найти в книге [5]. — Прим. fed.
4·

52
Φ. Γ ю рши
Таким образом, мы доказали, что
к
2^г(^)0'/т(^^ = |-6гтоЛ/. (2.1)
1 = 1
где g — порядок группы О, я η — размерность представления D.
2. Аналогичным образом, отправляясь от матрицы
F = 20l,l>(>l/)AOt(V,(i4/).
i
можно показать, что
так что, согласно второй лемме Шура, /7 = 0. Это дает
g
2 β*/μ) (A) D%(V) (At) = ^ δμν 6kj 6lm, (2.2)
где ημ—размерность представления μ. Таким образом, каждое не-
приводимое представление определяет «μ2 векторов ЛЙ(Д'(Л;) (k, j —
= 1 ημ), которые ортогональны друг другу и векторам DlJy){Ai),
связанным с другим неэквивалентным представлением. Векторы имеют
размерность g. Поскольку число ортогональных векторов в прост-
ранстве g измерений не превышает g, то для полного числа взаимно
ортогональных векторов, принадлежащих неприводимым представле-
ниям, справедливо соотношение
μ
Используя разложение регулярного представления на прямую
сумму неприводимых представлений, мы покажем позже, что
Σ"μ2=£·· (2.3)
и
Это очень полезное соотношение показывает, что число неприводи-
мых представлений не превышает g.
Суммируя (2.2) по А и /', получаем
/|xw(^)X*(v)(^) = S'V (2.4)
Далее, мы знаем, что характеры, соответствующие элементам одного
класса, равны между собой, так что если группа G имеет k классов
Кх Кц. содержащих каждый соответственно Alt ..., hk элемен-
тов, то, обозначая характеры класса через ^(г=1 k), по-

/. Введение е теорию групп 53
лучаем
ΣΛ,ΧΛ*(ν, = *δμν. (2.5)
Для данного μ k характеров xr(tuYhr!g образуют вектор. Все век-
торы такого типа ортогональны. Отсюда следует, что число неэк-
вивалентных представлений группы G меньше или равно k. Мето-
дами групповой алгебры (алгебры матриц представления Г) можно
показать, что имеет место равенство, и мы получаем фундаменталь-
ную теорему:
Число неприводимых представлений группы О равно числу
ее классов. Таким образом, характеры образуют k X ft-таблицу, на-
зываемую таблицей характеров группы G.
Характеры подчиняются также следующему условию ортогональ-
ности:
k
v-l
Критерий неприводимости представления
Произвольное представление может быть разложено в прямую
сумму неприводимых представлений
D(Al) = SavD(v\Al), (2.7)
V
где av — положительные целые числа, указывающие, сколько раз
представление Dv содержится в представлении D. Взяв след от обеих
частей этого равенства, получаем
Χ, = Σ«νΧ/ν) ('=1 *). (2.8)
ν
в то время как элементы А( берутся последовательно из классов
/Ci, ...-, Kk. Умножая на У.г*Мпг и суммируя по г, получаем
Σ /ΛΑ = Σ «ν Σ %,*V>.
τ ν τ
Воспользовавшись теперь выражением (2.5), приходим к равенству
Σ У/ (μ,Χ Α = Σ avg δΗν = g%,
Г V
так что коэффициенты в выражении (2.7) задаются формулой
"μ = 4ΣΛ^*α1)ΧΓ· (2.9)

54
Φ. Γю рш и
Эта формула, зависящая только от характеров, позволяет узнать,
сколько раз представление Dw содержится в представлении D. Отсюда
вытекает, что если два представления имеют один и тот же набор
характеров, то у них числа βμ совпадают и они эквивалентны. Это
ответ на наш вопрос 4. Для регулярного представления DR (At) мы
имеем
так что выражение (2.9) дает
«μ —V
Таким образом, каждое регулярное представление содержит η раз
каждое неприводимое представление μ, где ημ — размерность пред-
ставления.
Чтобы ответить на вопрос 1, умножим выражение (2.8) на χ*Λr
и просуммируем. Мы получим
г μ
В частности, если представление неприводимо, все числа а равны
нулю, за исключением одного, которое равно единице, так что в этом
случае
j]£*rlXrP=L (2.11)
г
Это критерий неприводимости.
Для регулярного представления имеем ti = g, %г = 0 (г Φ 1) и
ομ = ημ, поэтому
μ
Этот результат был приведен ранее без доказательства.
Пример. Для регулярного представления группы С3 мы имеем
Xi = 3, Х2 = Хз = 0. Л1 = Л2=Л8=1. £ = 3, так что
^5>'^)2==3 = 12 + 12+12.
Отсюда заключаем, что регулярное представление содержит три
одномерных неприводимых представления, что нами было уже про-
верено. Полное число неприводимых представлений также равно 3.

1. Введение в теорию групп
55
Таблица характеров строится следующим образом:
Классы
Число элементов в классе
Тривиальное представление D-
U
(«ν есть размерность представле- Г?
ния
D(v)).
fi>
(2)
|(»)
*!=(/)
A, = l
κ/η = i
Х^ = п2
XiW"«*
ffa..
Λ2 ..
Х2(1) ··
у <2) . .
Λ2
хГ··
■ к*
.h„
■ x*(1W
■ х*(2)
• гР
Представление, для которого все я характеров отличны друг от
друга, является истинным представлением. Для группы С3 мы имеем
*, = (/) К2 = (А) /С3 = (Л2)
hx = 1 А2 = 1 Ад = 1
Dd)
(Е_е2лг/3) Д(2)
Для группы D3 имеем три класса и три представления:
1
1
1
1
ε
ε*
1
ε*
ε
Ki
*i
D(D
дР)
rf)
*1 =
1
1
1
2
(0
*r =
3
1
— 1
0
И)
к
= {D)
2
1
1
-1
Представление D в этом случае является точным.
Другие полезные результаты:
1- £г2//И/2)=±1 или 0.
<-1
в зависимости от того, является ли представление D представлением
первого, второго или третьего типа').
2. Размерность неприводимого представления является делителем
его порядка, а также делителем индекса каждой из максимальной
инвариантной абелевой подгруппы G. (Для группы Q и = 1 или 2.)
') См. стр. 48. —Прим. ред.

56
Φ. Γ to ptuu
3. Каждая неприводимая абелева группа является циклической
и одномерной.
4. Число одномерных представлений группы G равно индексу
g[hc ее производной группы. (Для группы Q g-//ic = 4.)
Пример. Алгебра Дирака, порождаемая элементами γμ. которые
удовлетворяют условию
ννν + ΥνΥμ = За-
имеет 32 элемента и 17 классов. Поэтому таблица характеров имеет
вид 17X17. Размерность η неприводимого представления является
делителем числа 32, причем имеет место соотношение
Σ"μ2 = 32,
откуда следует, что ημ = 1, 2 или 4. Поскольку в этой сумме должно
быть 17 членов, то и =2 выпадает, и мы имеем
rt1 = rt2 = ··· = «16· =1· «17 = 4·
так что существует 16 одномерных представлений, одно из которых
тривиально, т. е. единица, и одно неприводимое точное представле-
ние 4X4, являющееся представлением Дирака. Регулярное пред-
ставление есть 32 X 32. Оно содержит представление Дирака 4 раза
и каждое из одномерных представлений один раз.
§ 3. ГРУППЫ ЛИ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Топологические группы. Группы Ли
Рассмотрим теперь случай бесконечных групп, для элементов
которых заданы геометрические свойства, такие, как близость, сепа-
рабельность и т. д. Короче говоря, мы наделяем множество элементов
группы G топологией. Это значит, что мы определяем такую систему
подмножеств О, что каждый элемент G содержится по крайней мере
в одном из этих подмножеств; в этой системе имеется также
пустое множество и само множество G; пересечение (множество об-
щих элементов) двух подмножеств и их объединение также содер-
жится в этой системе подмножеств. Тогда мы говорим, что G есть
топологическое пространство, а элементы G называются точками
этого пространства.
Однако множество G обладает также свойствами группы; это
означает, что любым двум его элементам поставлен в соответствие
третий элемент, являющийся их произведением. Таким образом,
с любыми двумя точками а и b множества G мы связываем некоторую
другую точку φ (α, Ь). Если фиксировать точку с, то каждой точке Ь
будет соответствовать точка φ (с, Ь). Каждой точке Ъ соответствует

1. Введение в теорию групп
57
также другая точка, являющаяся ее обращением. Если эти отобра-
жения множества G на себя, индуцируемые групповыми операциями,
являются непрерывными, то говорят, что множество О образует топо-
логическую группу. Таким образом, множество G обладает структурой
двух родов: геометрической структурой, превращающей его в топо-
логическое пространство, и групповой структурой, индуцирующей
непрерывные отображения множества G на самое себя.
Топологические группы будут обладать топологическими свой-
ствами как в малом (свойства в окрестности точки), так и в большом
(компактность, связность, свойства, которыми обладают римановы
поверхности, и т. д.). Все это геометрические свойства группового
пространства.
К простейшему виду топологических групп относятся те, которые
локально обладают свойствами г-мерного евклидова пространства ЕТ,
так что окрестность точки может быть непрерывно и одно-однозначно
отображена (гомеоморфное отображение) в окрестность точки про-
странства Ег. Такое топологическое пространство носит название
r-мерного многообразия. Например, риманово пространство есть
многообразие. Топологическая группа, являющаяся многообразием,
называется группой Ли.
Можно показать (это сделали фон Нейман, Понтрягин, Монтго-
мери и др.), что отображения, индуцированные групповыми опера-
циями, являются дифференцируемыми и аналитическими'). Таким
образом, также установлено, что группа Ли есть топологическая
группа, пространство элементов которой является аналитическим
многообразием.
Группа Ли как группа преобразований
Рассмотрим группу непрерывных дифференцируемых преобразова-
ний координат /г-мерного пространства, зависящих от г параметров
Я[ аТ. Тогда каждое преобразование Та определяется множе-
ством α{αλ аг), которое может быть изображено точкой простран-
ства Vг. Пространство Vт локально обладает евклидовыми свойствами,
так что это есть многообразие. Отсюда вытекает, что многообразие,
образуемое всеми возможными преобразованиями Та, есть группа Ли,
а соответствующее пространство носит название группового, или па-
раметрического пространства. Мы можем также ввести на многообра-
зии метрику, так что будут определены такие метрические свойства,
как расстояние между соседними точками и элемент объема вокруг
точки. Тогда для группы Ли групповое пространство становится по
существу римановым пространством VT, в котором заданы определен-
ные аналитические отображения.
') Это утверждение является содержанием знаменитой пятой проблемы
Гильберта (см. [1GJ ). — Прим. ред.

58
Φ. Γюput и
Пример. Рассмотрим следующие группы преобразований одно-
мерного пространства:
х' = х + а = Т„х· (3.1)
Имеем TJb=Ta+b (TJb) Tc=Та (ГЬТС), 1 = ТйТ?=Т_а. Таким обра-
зом, групповые свойства операторов Та установлены. С другой стороны,
мы можем изобразить каждое преобразование Та как геометрическую
точку на прямой, являющейся одномерным евклидовым многообразием.
При этом преобразование Та будет изображаться точкой, имеющей
координату а по отношению к началу координат, которое будет
изображать единичный элемент (или нулевой элемент, так как
группа абелева), обозначаемый нами через Т0. Если ТаТь = Тс, то
функция, осуществляющая отображение, с = ф(с, b) — a-\-b, будет
аналитической функцией от а и b Следующий пример представляет
собой масштабное преобразование:
х' = kx = Tkx, k>0,
TJ^Tf^Tu, I = TV Tk-i = Tm (3·2)
Групповое пространство есть полупрямая, из которой исключена на-
чальная точка.
Теперь возьмем группу одномерных вращений в двумерном про-
странстве
х' = х cos θ -(- у sin θ.
/ = — х sin θ + у cos θ, (3.3)
так что
/ cos θ sin θ \
Γθ==ν—sine cos θ/*
^W == 'e+e'· i — м>» * e~ ='-e·
В этом случае точки θ и θ-f-2л/ (/ — целое число) должны быть
отождествлены, так как
Таким образом, групповое пространство есть окружность. Это —
одномерное риманово пространство, имеющее евклидовы свойства
в малом, но не в большом. Длина кривой конечна. Это пример
компактной группы.
В качестве другого примера возьмем группу вращений в трех
измерениях.
Параметрами, характеризующими вращение, выберем компоненты
вектора, направление которого является осью вращения, а длина
равна φ/л, где φ — угол вращения. Таким образом, если |, η и £ —

1. Введение в теорию групп 59
компоненты этого вектора, а θ и Φ — полярные углы оси вращения,
то
I = — sin θ cos Φ,
η = 1 Sin θ cos Φ. (3.4)
C = £cose.
Ι2+η2+ς2=(£)2.
π<φ<π, το (φ/π)2 < 1. Таким образом, соотношение
Ρ-Ι-ηΡ+ΡΟ
представляет все вращения в виде точек внутри сферы единичного
радиуса. Далее, диаметрально противоположные точки этой сферы
изображают одно и то же вращение, так что эти точки должны быть
отождествлены. Группа является компактной, ее групповое простран-
ство обладает определенными топологическими свойствами, отличаю-
щимися в большом от соответствующих свойств евклидового 3-про-
странства. Однако небольшая ячейка группы вращений имеет евкли-
довы свойства, так что мы имеем дело с многообразием. Центр сферы
соответствует тождественному вращению.
Групповые свойства
Пусть α = {αλ ат) и Ь = фх Ьт) — две точки группо-
вого пространства группы, О, соответствующие преобразованиям
x' = xTa=f(x, а) и x" = xTb = f(x, b)
в и-мерном пространстве представления [х = (хг дгп)]. (Отметим,
что Та для удобства действует справа налево.) Далее, с точками а
и Ь мы связываем точку с, такую, что
хТа1 ь = хТс,
где
cv = cpv(a, b), v = (l /■) или с = <р(а, b). (3.5)
Таким образом, мы имеем
xTaTb = xT(p (ab),
или
/(/(*, a), b) = f[x, φ (α, b)\
в качестве группового закона композиции, причем φ есть непрерыв-
ная, произвольное число раз дифференцируемая функция. [Отметим
здесь, что если принять обозначение x' = f(x, а) = Тах, как в боль,-
так что
Так как

60
Φ. Γюрши
шинстве книг по теории групп, то функция φ (β, b) соответствует
преобразованию TbTa.] Для элементов абстрактной группы мы просто
напишем
ТаТь— '<ρ(«6)·
Чтобы Та образовывали группу, для функции φ, определяемой зако-
ном композиции (3.5), должны выполняться следующие условия:
1. Ассоциативность
Ta(TbTc) = (TaTb)Tc или φ [α. φ(*. c)]=<p[<p(a, b), с]. (3.6)
2. Существование единицы. Существует единичный элемент, та-
кой, что
β = φ(β, β0) = φ(β0, β).
Выбирая β0 в качестве начала координат группового пространства,
имеем β0=0, так что
β = φ(β, 0) = φ(0, β). (3.7)
3. Существование обратного элемента. Существует связанный
с элементами Та элемент Т~ =Т-, такой, что Т„ Та — ТаТаг—/,
и таким образом
φν(β, β) = φν(β, β) = 0. (3.8)
Чтобы это было возможно, якобиан преобразования должен под-
чиняться условию
Det^J^O.
Инфинитезимальная группа
Вместо того чтобы пытаться непосредственно определять функции,
удовлетворяющие условиям (3.6) — (3.8), Ли изучал часть группового
многообразия в окрестности начала координат, которое мы выбрали
в качестве единичного элемента. Поэтому он смог получить диффе-
ренциальные уравнения для функций φν.
Прежде всего определим инфинитезимальные генераторы группы.
Рассмотрим F(a), функцию элемента а группы. Умножим а справа
на элемент δβ, близкий к единичному элементу группы β0 = 0. Таким
образом, δβ — малая величина. В результате умножения получим эле-
мент
β = φ(β, δβ).
Но поскольку φ — непрерывная функция, элемент а должен лежать
ρ окрестности элемента а, так что можно записать α = αη-υα и,

/. Введрние β теорию групп
61
выписывая г компонент, имеем
aa-\-daa = ((P(a, 6а) (а—1 г). (3.9)
Если бы мы имели дело с соответствующими преобразованиями
в координатном пространстве х1 (1=1, .... п), то мы записали бы
xTa+da^xTaT6a. (3.10)
Теперь, пренебрегая высшими степенями 6а, получаем на основании
(3.9)
Полагая
и замечая, что
ψα(α, 0) = αα,
находим
daa == μβα (α) δαΡ. (3.11)
Вернемся теперь к изменению функции F(а), обусловленному
этим преобразованием. Имеем
dF(а) = F'(a) — F\a)= F '(а-\- da) — F(а) = -^- daa,
дат
так что
dF (а) = (ЬаР) μβ« (a)j^ = (ЫР) X&F(a), (3.12)
где мы ввели операторы
^-μΡ(β)^~ [—лГ-А_0й?· (ЗЛЗ)
Операторы Х„ носят название инфинитезимальных генераторов
группы Ли. Рассматривая в (3.12) особый случай F(a) — a, полу-
чаем
rtav = (δ0Β) Х^у = (δοΡ) μρηδαν·
что опять дает (3.11).
Чтобы определить -Л^, мы должны определить μ„α, а следова-
тельно, функцию φ (α, Ь). Затем изучим эту функцию в окрестности
начала координат « = #=;(), Пренебрегая членами выше четвертого

62
Φ. Γюрши
порядка малости, имеем разложение в степенной ряд
φν(α, 6) = φν(0, 0) + kk"ak 4- Ikvbk 4-
4- /'„?"*<* 4- Дλνβ*^ 4 /^ W + *ν<ΑΛ* 4- ^λμτ«*"λ*μ +
4- Ьъу^УВЧР 4- h'^bWb» 4- 0 (4). (3.14)
Далее, вследствие свойств единичного элемента
φν(0. 0) = 0
и
α=φ(α, 0) = φ(0, α)
находим
*' ν _ f" ν __ «■' ν — fc' ν — η
так что разложение приобретает вид
φν(β. *) = а* + *" + /«Г**^ +
+ Екц?а*а№ + кп*Ъ*ЪЧР- 4- 0 (4). (3.15)
Удовлетворим теперь условию ассоциативности (3.6) с точностью до
членов третьего порядка. После несколько утомительных алгебраи-
ческих преобразований мы получаем только условие для антисимме-
тричной части коэффициентов /Λλν. Таким образом, определяя
c*v = -<Mv = /*iv —Λ*ν· (3.16)
получаем условие ассоциативности
«wlv<W + ΓΛλρ + Cy*cvf = 0. (3.17)
Константы cftyv играют фундаментальную роль в теории групп Ли и
носят название структурных констант. Они характеризуются двумя
свойствами (3.16) и (3.17)1).
Теперь покажем, что структурные константы связаны с комму-
таторами группы. Коммутатору группы преобразований
и = I а I ь ' а' Ь
соответствует элемент группы
« = φ(φ(α, Ъ), φ(α, Ь)\ (3.18)
где a, b— элементы, обратные элементам а, Ь. Вычислим и для слу-
чая, когда а и b малы (в окрестности единичного элемента). Сначала
вычислим а, используя разложение (3.15) для φ, и определим опера-
') Условие (3.17) часто называют тождеством Якоби. — Прим. ред,

1. Введение в теорию групп
63
цию " таким образом, чтобы выполнялось условие (3.8). Находим
αν = - «ν + /«> V 4- 0 (3) (3.19)
φν (Б, ft) = _ αν _ bv + /,λν (я V + αV + δV) + 0 (3).
Наконец, используя (3.16), получаем
uv = ckkvakbK 4 0 (3). (3.20)
Теперь покажем, что структурные константы со свойствами (3.16)
и (3.17) полностью определяют структуру группы, т. е. функции φ (α, Ь),
и поэтому можно найти разложение φ вплоть до любого порядка по а
и Ь. Далее покажем, что условия на структурные константы являются
условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений,
которым удовлетворяет функция φ (α, Ъ).
Дифференциальные уравнения для φ (α, Ь).
Возвратимся к уравнению (3.11)
ΛΖα = μβα(α)οαβ.
Можно ввести матрицу λεν, обратную μ„α. Это всегда может быть
сделано, так как якобиан функции φ не равен нулю. Имеем
ν>)μβα(β) = δβγ· (3.21)
Далее,
da® = λαβ (α) daa. (3.22)
Теперь положим
с — (р(а, Ь).
Имеем
с4- dc = φ (а, Ь 4 db).
Но
b + db = q>(b, bb),
так что вследствие ассоциативности
с-\-ас = ц>(а, ц>(Ь, δ£)) = φ(φ(α, b), Ы?).
Отсюда
С 4- dc« = φα (с, ») = φα (с. 0) 4- (^"^М йЛ
V <w* /б=о
Это дает
^α=μβα(«:)δΛ
Применяя (3.22) к Ь, получаем

64
Φ. Γюpin и
Таким образом, мы должны иметь
-^- = μρ>)λνρ(*), (3.23)
или
Мы получили дифференциальные уравнения для определения φ. Усло-
вия интегрируемости можно найти, заметив, что выражение
д\а (а, Ь) _ д
{щ?ЮК*Р))
должно быть симметрично по ε и γ, так что
^τ{μβσ(Ολνβ(*)} = ^г Ц» */(*)}· (3·24)
или, замечая, что
получаем
^Г" ^ <<> [λε° © ^ (*> - V (*> λεβ (*)] =
Меняя немые индексы в левой стороне равенства и собирая
с помощью соотношений ортогональности (3.21) все функции от с
на одной стороне равенства, а все функции от Ь на другой, находим
[~^~μ°(с)—д^~ μ0 (с)г°(с)-
=-[—SH" ^5—J М.Г С*» μ? W- (3.25)
Так как левая часть этого равенства зависит только от с, а правая —
только от Ь, они обе должны быть равны одним и тем же констан-
там. Эти константы можно определить, полагая, например, с = О, и
мы имеем
[^*.(,-*£Ц.м],..и-

1. Введение в теорию групп
65
На основании определения μβσ(α) в (3.10) и разложения (3.15) для
φ (α, Ь) находим
а на основании определения (3.21) матрицы λ„ε имеем
λ„ε(0) = δαε· (3.28)
Подставляя эти значения в (3.26) и используя определения струк-
турных констант при помощи (3.16), находим
<■
или
Фа" (С) Φσα (с)
НЬ^Р(С) sriVW-4V(0. (3-29)
Аналогично, выражая правую часть равенства (3.25) через структур-
ные константы, находим уравнение для матрицы λρ , которое имеет
вид
-jjT- ^ = Ч V <*>λ/ (*)■ (3-80)
Эти уравнения1) можно теперь рассматривать как уравнения для опре»
деления матрицы λρε, которая, будучи найдена, позволит проинтегри-
ровать уравнения (3.23), так что функция φ может быть определена.
Затем мы должны показать, что система уравнений (3.30) интегри-
руема. Левая часть этих уравнений имеет вид ротора и поэтому
должна иметь нулевую дивергенцию, так что условие интегрируемости
системы (3.30) есть
WKlsr-le-r13**"· перест·по (αγρ)=
= сор8 ^Н" (VO + ЦиКЛ' пеРест- = °-
Легко может быть проверено, что это дает опять условие (3.17),
так что уравнения (3.30) могут быть удовлетворены, что позволяет
найти функцию φ, решая уравнения (3.23).
·) Эта система уравнений иногда называется формулой Маурера [121,—
Прим- рео-
5 Зек. 612

66
Φ. Γюрши
Соотношения коммутации для инфиннтезимальных генераторов
Мы определили инфинитезимальные генераторы как операторы
да0
Имеем
*β=*ν<β>-£τ·
и, используя уравнение (3.29), получаем
д
даР
д
[*«. ^Р] = ЧХР^^Р-'
так что имеет место фундаментальное уравнение
[Ха, Х^] = с^Ху. (3.31)
Тождество Якоби
[[Ха, А-р]. *,1 + [[*е. Ха1 Λ-ρ]-μ[ [А-р. Хе), Ха] = 0
автоматически удовлетворяется вследствие уравнения (3.17).
Координатные преобразования и преобразования параметров
Мы изучили группу, не обращаясь к координатному пространству х,
в котором действует оператор Та, где Та— координатное преобразо-
вание, связываемое с групповым элементом а. Отсюда вытекает, что
при замене координат х новыми координатами у мы получили бы
ту же самую группу. Действительно, пусть
у1 = *'(*) (i=l η), (3.32)
Символически запишем это в виде
y = xS.
Тогда если
x' = xTa = f(x, a),
то
y'^x'S
и
y' = yS-1TaS.
так что преобразование
fa = 5-Va5.
действующее в у-пространстве, представляет группу, изоморфную
группе G с элементами а.

1. Введение в теорию групп 67
Теперь, взяв
т1 Τ Τ
1 a+da — 'a' ba·
определим
х' + dx' = х'Т^ = / (х', Ьа)
и найдем
dx'l = (df(X''a)) 6«° = «Д*') λβ»ΑΑ (3.33)
\ даа /α=ο
где мы использовали (3.22) и ввели
ft iv'
■■'«•(^L,· <3·34>
Рассмотрим, как произвольная функция Ф(х) изменяется при беско-
нечно малых преобразованиях, соответствующих элементу 6с. Имеем
аФ = ™- dx' = -^ и* (*) δαα = 6ааХаФ (х),
дх1 дх1
где операторы
*а=«°1-£г (3·^)
являются генераторами бесконечно малого преобразования в *-про-
странстве.
Из (3.33) видно, что если мы произведем замену параметров
αβ=ψβ(α').
оставляя δα фиксированным, то функции λ„α ведут себя как компо-
ненты ковариантных векторов в групповом пространстве с законом
преобразования
в то время как функции иа1 ведут себя как контравариантные век-
торы с законом преобразования
« V>-tt° dxJ ·
если координаты х преобразуются в хг, опять оставляя элемент δα
фиксированным.
С другой стороны, мы можем изменять бесконечно малый эле-
мент δα в окрестности начала координат, применяя к нему постоян-
ное линейное преобразование
δαα = Λ;ταδατ. (3.36)

68
Φ. Γюрши
Так как (3.33) не изменяется под действием этого постоянного одно-
родного преобразования, то мы имеем законы преобразования
λ°(α) = Κτ%Χ(«) и ual(x') = Ka*u'J(x'). (3.37)
где коэффициенты К определяются из равенства
*B%a = V· (3·38)
Из уравнения (3.30) видно, что структурные константы преобразуются
под действием (3.36), согласно закону преобразования
£σβε = 4α*αε^σΡ^βτ. (3.39)
Чтобы отличать различные трансформационные свойства, индексы,
относящиеся к постоянному линейному преобразованию, можно за-
ключить в скобки
λρ(α)(β). μ(σ)>). '(σρ)(ε) (3-40)
и писать для генераторов
*.α)=μ<α)Ρ(0)^Γ· (3.41)
Таким образом, матрицу λ„(α)(α) можно рассматривать как набор
г ковариантных векторов в групповом пространстве, нумеруемых
индексом (а). Постоянное линейное преобразование этих векторов
индуцирует преобразование (3.39) структурных констант.
Если V" (а) есть контравариантный вектор в групповом про-
странстве (преобразующийся аналогично элементу daP), то можно
определить инвариантные компоненты вектора V через базисные
векторы λ», а именно
ν/(α)(α) = λβ(0)(α)^β(α)· (3.42)
Эти величины будут инвариантны при изменении параметров. В группо-
вом пространстве может быть подобным образом определен дальний
параллелизм, поскольку удовлетворяются соответствующие условия
интегрируемости для λ.
Каноническая форма
Линейные преобразования структурных констант используются
для преобразования коммутационных соотношений в стандартную
форму. Возьмем произвольный фиксированный инфинитезимальный
оператор А (линейную комбинацию операторов Λ"(η)) и решим уравне-
ние на собственные значения:
[A, Xh] = 9kXH, (3.43)

1. Введение в теорию групп
69
где рк — собственное значение оператора А, соответствующее „соб-
ственному вектору" Xk. Будут ли существовать г собственных зна-
чений по одному для каждого генератора или некоторые собственные
значения будут вырождены? Картаи показал, что для полупростых
групп (не имеющих абелевых инвариантных подгрупп) только соб-
ственное значение р=0 вырождено. Пусть р = 0 имеет /-мерное
вырождение, причем оператор А выбран таким образом, что число /
максимально. Тогда число / называется рангом полупростои группы.
Остальным г собственным значениям соответствует по одному соб-
ственному вектору. Отсюда следует, что стандартная форма комму-
таторов имеет вид
[А, tf,] = 0 (1=1...., /),
[А,Еа]=аЕа (а=1 г -/). (344)
Далее,
[Л, \Н„ £„]] = [Л, Н,Аа]-[А, ед] =
= И, Ht]Ea + H;[A. Ea]-[A, Ea]Ht-Ea\A, Я,]=а[Я,, Еа],
так что если Еа есть собственный вектор, соответствующий соб-
ственному значению а, то существует еще / собственных векторов
[Н,, Еа), принадлежащих тому же собственному значению. Так как
собственное значение а не вырождено, то все они должны быть
пропорциональны Еа. Таким образом, мы имеем
[Н,, Ea] = rl(a)Ea (i=l /).
где величина г,(а), которая может рассматриваться как /-компонент-
ный вектор, называется корневым вектором, соответствующим соб-
ственному значению а. Напомним, что существует г — / различных
собственных значений а.
Теперь изучим коммутатор [Еа, Εβ]. На основании тождества
Якоби, примененного к операторам А, Еа и Ε . находим
[А, [Еа, £β]]=(α4-β)[£α. Ер].
Следовательно, коммутатор [Еа, Εβ] в том случае, когда он не равен
нулю, является собственным вектором оператора А. Отсюда вытекает
следующее:
если a-J-β есть корень, то
если a + β = О, то коммутатор [Еа, Ε J есть линейная комбинация
операторов Я,:
если a-J-p не корень, то коммутатор [Еа, ER] равен нулю.

70
Φ. Γ юput и
Далее, можно показать, что
са,-а' = г1(а) = ^кГ1{а),
где glk — метрический тензор, связанный с каноническими структур-
ными константами. Определение метрического тензора, связанного
с данным выбором структурных констант, мы дадим в следующей
главе [уравнения (4.6) и (4.8)]. Таким образом, можно написать
[Еа. £_„] = /■' (a) Ht.
Замечая, что оператор А, согласно (3.43), является собственным
вектором, принадлежащим собственному значению р = 0, получаем
А = λ'//,-, так что
[Ht, Hj] = 0.
Отсюда следует, что стандартная форма коммутационных соотноше-
ний инфинитезимальной группы есть
[//„ //,] = о (/.7=1 о.
[Ht, Ea] = rt(a)Ea,
[Еа. £_а] = г'(«)Я(. (3·45)
[Еа, £p]=7VYnp£Y (р^-а).
Величины Λ/να„ также могут быть выражены через корневые
векторы, так что мы знаем группу, если известны ее корни. Эти
корни обладают свойством
ΣΓ1(α)Γ}(α) = 61ρ (3.46)
α
где α может принимать только г — / значений:
о=±1. ±2 ±-i(r —i). (3.47)
Далее, выражения
η г(а)т(Р)_т 2Г(а)-Г(Р) я Г3 481
2 r(a).r(a)-OT· гг$).гф)-П &А8>
являются целыми числами, и поэтому
r(p)-2r(a)f]af)(a^?) (3.49)
также является корнем. Геометрически это означает, что новый
корень может быть получен отражением корня г (β) относительно
гиперплоскости, перпендикулярной корню г (о). Кроме того,
[ , Γ(α)·Γ(β) I2 -^T-'m (3.50)
1^1 г (a) I21Г (р) |2 J 4

1. Введение в теорию групп
71
где φ — угол между корневыми векторами. Это ограничивает угол φ
значениями 0, π/6, π/4, π/3 и π/2. Из (3.48) получаем отношение
длин двух корневых векторов:
*,-/M"/f (3·51)
Для
Ф = Т'
/3.
1/2".
(P = -g- , k= 1,
φ = -ψ, k — неопределенная величина.
Например, если 1=1, то единственная диаграмма имеет вид
г(-1) 0 г(1)
сЗ о о
Мы увидим, что эта диаграмма соответствует группе 03 трехмерных
вращений или унимодулярной унитарной двумерной группе SU2.
Если 1 = 2, то существуют 4 диаграммы (Л2/32С202) Для простых
групп, две из которых эквивалентны в том смысле, что одна диа-
грамма получается из другой путем поворота. Только три из этих
диаграмм различны. Если две диаграммы по существу совпадают, то
соответствующие группы локально изоморфны, так как они имеют
одну и ту же систему корней.
При 1 = 2 мы получаем также питую диаграмму D2, которая
разлагается на две системы взаимно ортогональных корней. Такая
диаграмма изображает группу, являющуюся прямым произведением
тех групп, которым соответствует каждая из этих систем корней.
Отсюда следует, что эта группа не проста. Корневые диаграммы
полупростых групп Ли ранга 2 изображены на фиг. 1. Число пара-
метров (порядок) каждой группы получается добавлением к рангу
(/ = 2) числа корневых векторов.
Диаграмма Л2 изображает специальную унитарную группу в трех
измерениях SU3, которая является группой унитарных матриц с еди-
ничным детерминантом. Эта группа оставляет инвариантной форму
zxzx -\- z2z2 -J- z3z3
в трехмерном комплексном пространстве представлений.
Диаграммы В3 и D2 изображают ортогональные группы 05 и 04,
являющиеся соответственно группами действительных вращений в пяти-
мерных и четырехмерных пространствах.

72
Φ. Γюрши
Диаграмма С2, изоморфная В2, в этом случае изображает симплекти-
ческую группу ранга 2. Если ql и q2— действительные кватернионы,
соответствующие компонентам кватернионного вектора в двумерном
[SU3(8nap)] [ОЛЮ чар)]
Ч
с2
[Spz ~ 05]
(И пар)
Фиг. 1.
[О, ~ SP, ~03® Од]
(6пар)
кватернионном пространстве, то преобразования группы С2 оставляют
инвариантной форму
9l?l-T-?2<72·
Здесь черта означает кватернионное сопряжение, так что если
Ч = Чо + *i4\ + е,д2 + е3?3
есть кватернион с действительными компонентами q^, то сопряженный
кватернион есть
Я = Чй — е\Ч\ — «242 — ез9з·
Группа 02 называется исключительной группой, так как сущест-
вует всего пять групп с диаграммами, принадлежащими к той же
самой категории.
Картан показал, что единственными типами диаграмм, которые
встречаются по мере увеличения ранга группы, являются диаграммы
типа А, В, С и D.
К категории А относятся группы SU„, унитарные унимодуляр-
Ные группы в комплексном пространстве η измерений, оставляющие

1. Введение в теорию групп
73
инвариантной форму
К категории В относятся действительные ортогональные группы в η
измерениях Оп, оставляющие инвариантной форму
в то время как к категории D относятся группы 02п, ортогональные
группы в In измерениях.
К категории С относятся симплексические группы Spn, оставляю-
щие инвариантной форму
<Mi+ ■•■Л-ЧпЧп-
Ван дер Варден показал, что единственными другими простыми
группами являются пять исключительных групп (группа 02 является
первой в этой категории).
Все перечисленные выше группы носят название классических
групп. Из них можно образовать новые группы, не являющиеся
полупростыми, взяв прямое произведение с абелевыми группами1).
§ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ
ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП ЛИ
Все понятия и результаты абстрактной теории групп, за исклю-
чением тех, для которых существенна конечность порядка группы,
продолжают выполняться для топологических групп, и в частности
для групп Ли. Подгруппы, смежные классы, инвариантные под-
группы, факторгруппы и т. д. определяются так же, как и раньше.
Подгруппа соответствует подпространству группового многообразия.
Если она инвариантна, то групповое пространство факторгруппы
будет факторпространством от полного группового пространства по
') Отметим, что существование четырех серий Ап, Вп, Сп, Dn и пяти
исключительных простых групп Ли было открыто Киллингом. Картан
сформулировал идею Киллинга в математически корректной форме. Ван дер
Варден дал окончательное изложение теории, учитывающее результаты
Вейля (построение канонического базиса) и Схоутена (корневые диаграммы).
Следует заметить, что классическими группами называют обычно группы
серий Ап, Вп, Сп и Dn и не относят к ним исключительные группы. Серия
Вп включает ортогональные группы 02n+i вращений пространства нечетного
числа измерений. Кроме того, вся приведенная классификация относится,
собственно говоря, к максимальным компактным подгруппам простых
групп Ли. В общем некомпактном случае классификация имеет несколько
другой вид: существует четыре серии комплексных групп SL(n + l, С),
SO (2п-\- 1, С), SO (2/1, С), Sp(2n, С) и пять исключительных комплексных
групп. По всем указанным вопросам см., например, работы [11—13, 17],
а также статью 4 настоящего сборника и вступительную статью. — Прим.

74
Φ. Γюрши
его инвариантному подпространству. Теория групп обеспечивает нас
алгебраическими операциями на топологических пространствах. /7/?о-
стая группа Ли — это группа, не имеющая инвариантных подгрупп,
а полупростая группа Ли не имеет абелевых инвариантных под-
групп.
Линейным представлением группы Ли О является η-мерная
матричная группа D, на которую группа О гомоморфно отображена,
причем матрица D (а) соответствует элементу a£G. Если это ото-
бражение— изоморфизм, то представление группы является точным.
Матрицы D(a) будут действовать на векторы и-мерного простран-
ства представления.
Если пространство представления есть гильбертово пространство,
то представление является бесконечномерным и унитарным. Элемент
группы представляется линейным унитарным оператором U (а), кото-
рый, действуя на векторы состояния гильбертова пространства, оста-
вляет инвариантным скалярное произведение (х|ф) любых двух век-
торов. Такие представления используются в квантовой механике, где
элемент группы может быть представлен оператором, действующим
на функции, а скалярное произведение двух функций определяется
интегрированием. Если использовать базис из взаимно ортогональных
функций, то линейные операторы принимают вид бесконечных мат-
риц.
Чтобы найти представление группы Ли, можно в качестве проме-
жуточного шага найти представление генераторов бесконечно малых
преобразований, определяющих кольцо Ли1), а именно
[*<„>. Х®)] = сшМХм, стЫ = — сфар\ (4.1)
Σ Wp)c(pv)(<j)=°-
Цикл, (αβγ)
Теперь покажем, что всегда существуют по крайней мере два
представления. Одно из них есть тривиальное представление,
в котором каждый генератор представляется нулем. Очевидно, что
это представление не является точным. Другое представление реали-
зуется в случае г-параметрической группы г X г-матрицами. Это —
присоединенное представление, играющее в теории групп Ли роль,
аналогичную той, которую играло регулярное представление для
конечных групп2).
') Строго говоря, линейное пространство, натянутое на генераторы
группы Ли, не является ни алгеброй, ни кольцом в точном смысле этих
терминов (вследствие замены условия ассоциативности тождеством Якоби).
Соответствующая структура носит название алгебры Ли и является приме-
ром неассоциативных алгебр (см. [13, 11]). — Прим. ред.
2) Присоединенное представление часто называют регулярным предста-
влением и в теории групп Ли (о различных случаях употребления термина
«регулярное представление» см. статьи 2 и 4 настоящего сборника). — Прим.
ред.

1. Введение в теорию групп
75
Присоединенное представление кольца Ли
Пусть
i = i(P)*(P> (4-2)
есть фиксированный элемент в кольце Ли. Любому элементу
α = α<σ)ΑΓ(σ),
принадлежащему кольцу Ли, можно поставить в соответствие ли«ей-
ный оператор Л (а), такой, что
Л(а)| = |' = [а, |], (4.3)
где |' является другим элементом кольца
Имеем
t' = а°^ [Xla). A-(p)] = а'^с^Л^,
так что оператор А (а) индуцирует на компонентах элемента ξ пре-
образование
где
AP)(t)(a) = a(%p)(t) (4-4)
есть матрица, соответствующая элементу α кольца, т. е.
[α. ξ] = ξ(ρ)Λρ)(τ)(α)*<τ).
Если теперь в качестве α выбрать элемент Ху,), то уравнение
(4.4) дает
Ap>IT)[*(M] = WT)· (4-5)
так что структурные константы сами по себе образуют матричные
представления генераторов, если один из нижних индексов структур-
ных констант используется для нумерации различных генераторов.
Матрицы, определяемые уравнением (4.4), действительно образуют
представление, поскольку можно показать, что закон композиции
двух операторов (являющийся операцией их коммутирования) сохра-
няется при отображении а —> А (а), не являющемся с необходимостью
одно-однозначным, так как некоторые генераторы могут коммути-
ровать. Действительно,
Α (α) Α (β) % = [α. [β, ξ]].
Лф)Л(а)| = №. [а. 1\\,
так что
[А (а), Лф)]| = [<х, [β, γ]] —[β. [α, |]] = [[α, β]ξ).

76
Φ. Γ ю рш и
Это соотношение показывает, что
[Л(α), Αφ)] = Α([α, β]),
т. е. представление коммутаторов двух элементов кольца Ли есть
коммутатор представлений этих элементов.
Скалярное произведение двух элементов кольца Ли
Поставим теперь в соответствие двум элементам, α и β, кольца
Ли число (а ■ β), которое будем называть их скалярным произведе-
нием. Пусть Л (а) и Л (β) — матрицы, соответствующие в присоеди-
ненном представлении элементам α и β. Определим
(а · β) = Sp Л (а) Л (β) = α<0)β(τ)Γ(σρ)'μ^(τμ/« = α(σ)β(τ)^(στ)Ι
где мы ввели симметричный декартов тензорJ)
«Γ(τσ) = «Γ(στ) = ε(σρ)(μ\τμ)(Ρ)· (4.6)
Он обладает тензорными свойствами по отношению к заключен-
ным в скобках индексам и линейно преобразуется при изменении
базиса кольца" Ли. Чтобы поднять эти индексы, необходим тензор,
обратный тензору g^a)- Он будет существовать, если
Detglta)*0. (4.7)
Тогда можно определить тензор gW>:
£<р^(то)^60Р. (4.8)
Картан показал, что условие (4.7) необходимо и достаточно
для того, чтобы группа была полупроста. Если группа не полу-
проста, то она будет иметь инвариантную абелеву подгруппу, кото-
рая обратит в нуль такое подмножество структурных констант, что
будет следовать Detg^Ta) — 0. Теперь удается установить, что заклю-
ченные в скобки индексы могут быть подняты только в случае
полупростой группы.
Наша следующая задача — показать, что величины glxay могут
рассматриваться как инвариантные компоненты метрического тензора,
определенного везде в групповом пространстве, где уже введены
векторы λμ<ν)(α).
Длина и объем в групповом пространстве
Так как бесконечно малый элемент daa ведет себя в групповом
пространстве как ковариантный вектор, то мы можем определить его
инвариантные компоненты по отношению к локальному базису λα'ν) (а),
') Введенная здесь форма (α·β) носит название формы Киллинга—
Картана. — Прим. ред.

1. Введение в теорию групп
77
следуя определению (3.42) для любого ковариантного вектора.
Находим
Vv)(a)<taa = 6a(v). (4.9)
так что бесконечно малый элемент группы δα в начале координат
имеет компоненты δω(ν\ являющиеся инвариантными компонентами
вектора da по отношению к λ„(ν)(α).
Длина вектора da теперь может быть определена как длина век-
тора Ьа, которому он параллелен. Находим
I da Ρ = g^δ^>δ^> = £(μν)λαα V da" da* = ^ (β) *," da*,
(4.10)
где
gap (Я) = ^μνΛ"" (β) VV> <β> (4·l !>
есть ковариантные компоненты метрического тензора в групповом
пространстве.
Элемент объема есть детерминант, образованный г независимыми
бесконечно малыми смещениями в некоторой точке группового про-
странства, так что
da = Det J λα(ν) (α) \ dTa, (4.12)
или
V Det|*W)|
Для полупростых групп можно использовать также матрицу μ(ν)α,
являющуюся обратной матрицей для λσ( , и написать
rfo=[Det^(v)a|}-Va. (4.13)
Группа компактна, если полный групповой объем ее группового
пространства Г dw конечен. Мы дадим более общее определение
компактности в связи с глобальными свойствами групп Ли.
Картан показал, что для компактных полупростых групп метри-
ческий тензор £(μν) положительно определен, так что в соответ-
ствующим образом выбранном базисе кольца Ли он принимает вид
£V)=V (4·14)
Этот результат оправдывает выбор g в качестве метрического
тензора группы. Мы примем без доказательства теорему о том, что
каждое приводимое представление полупростой группы Ли также
вполне приводимо. Чтобы дать пример противного, рассмотрим группу

78
Φ. Γюрши
одномерных трансляций
х' = х ■+- а == Тах,
которая является абелевой и поэтому не полупростой. Элементы
группы Та допускают 2 X 2-представление
которое приводимо, но не вполне приводимо, так как оно не может
быть диагонализовано.
Групповое пространство как риманово пространство
с дальним параллелизмом
Итак, мы показали, что поскольку групповое пространство полу-
простой группы Ли порядка г обладает метрикой £μν, то оно может
рассматриваться как г-мерное риманово пространство. Далее, в этом
пространстве всегда может быть введен абсолютный параллелизм
с помощью поля векторов λα(ν)(α). Это поле связано с группой пре-
образований группового пространства, определяемых как
с = <р(а, V)
при фиксированном а. Эта группа носит название первой параме-
трической группы группы О. Определим новую группу преобразо-
ваний (изоморфную группе О), фиксируя Ь в композиционной формуле
и интерпретируя ее как преобразование, переводящее а в с. Тогда
мы получим вторую параметрическую группу, с которой связано
новое поле векторов λ^(я), позволяющее определить дальний парал-
лелизм второго рода. Таким образом, в групповом пространстве суще-
ствуют метрика и два определения дальнего параллелизма.
Оператор Казимира
Поскольку метрический тензор g^v) всегда существует для полу-
простых групп, то мы можем определить в кольце Ли новый опе-
ратор, именно Оператор Казимира
C = gWXwX(4). (4.15)
Оператор Казимира имеет то важное свойство, что он коммутирует
со всеми инфинитезимальными операторами, так что
[C,A-(t)]=0. (4.16)
Доказательство проводится непосредственно. Так как оператор С
коммутирует со всеми матрицами представления, то, согласно лемме
Шура, он должен быть кратен единичной матрице. Таким образом,
численное значение, которое оператор С принимает для данного пред-

1. Введение в теорию групп
79
ставления, может быть использовано для характеристики этого пред-
ставления.
Могут существовать другие однородные формы от операторов Х(а),
коммутирующие со всеми элементами кольца Ли. Они также назы-
ваются операторами Казимира и используются для характеристики
представлений.
Если группа компактна, то, согласно теореме Картана, существует
базис, в котором оператор Казимира приобретает вид
С^^Х^Х^=^Х^. (4.17)
(μ)
Отметим, что мы рассматриваем базис, в котором операторы Х( »
эрмитовы. В противном случае тензор £Γ(μν) отрицательно определен
и оператор С имеет противоположный знак по сравнению с выра-
жением (4.17).
Пример. Группа трехмерных вращений 03.
Следующая корневая диаграмма группы Ли порядка 3 и ранга 1
изображает ортогональную группу 03:
г(-1) 0 г(1)
О О О
Нормируя г(1) и Nh _! на 1, для кольца Ли получаем соот-
ношения
[//„£!]=£,.
[Я„ Е_1] = — Е_х. (4.18)
[£„£_,]= Я,.
Эти соотношения связаны ,с обычными коммутационными соотно-
шениями для эрмитовых операторов группы вращений /, выражениями
Я1=-У3. £1 = /+=ii^-, fi_2W_=4^. (4.19)
Уравнения (4.18) эквивалентны соотношениям
[•ft. Λ1=ε«Λ (4.20)
где εΜ — совершенно антисимметричный тензор.
Найдем присоединенное представление группы 03. Возьмем в ка-
честве фиксированного элемента кольца Ли

80
Φ. Гюрши
Присоединенное представление операторов Ег, Нх, Е_х находится
вычислением соответствующих матриц с помощью соотношений типа
h
[Ег. 11 = -1% + Г^1 + О · Е_х = (ВДЕ.,) D(£,)[ 1°
Затем находим
/1 0 0\ /0 —1 (l·
Z)(//i) = ( 0 0 0], Ζ>(Ε,) = ( О 0 1
\0 0 —1/ \0 0 0;
/ 0 0 0\
Z>(E_i) = (—1 0 0|, (4.21)
V 0 1 О/
и элемент Л кольца, имеющий вид
Л = а1^ + flO/ij + β~1Ε_1,
будет представлен матрицей
(а0 — α1 Ο \
— β-1 Ο а1 ]. (4.22)
О а"1 — а°/
Квадрат элемента А равен
M|2=^(ap)^a^-Sp{D^)}2 = 2(C°24-«1fl~I + fl"V), (4.23)
етрическим тензором группы вращений
τ тензор
εΓ(αβ)=2δαρ. (4.24)
Оператор Казимира есть
С = gWXla)Xlffl = 2 (Я,2+£,£_, + £_,£,)■ (4-25)
так что с помощью обычных операторов Jt мы находим для квад-
рата оператора J
^C = J*+J*+J*. (4.26)
Этот пример иллюстрирует тот факт, что тензор g"(ap) на самом
деле ведет себя как метрический тензор кольца Ли и что он поло-
жительно определен для группы 03, которая является компактной.
Следовательно, для характеристики неприводимых представлений могут
быть использованы собственные значения оператора J · J.
т. е. мы находим, что метрическим тензором группы вращений
в базисе (Ελ, Ην Ε_τ) будет тензор

1. Введение в теорию групп
81
Линейные и нелинейные представления. Пример
Проиллюстрируем на примере, как группа преобразований, по своей
форме не являющаяся линейной, может быть представлена матрицами,
соответствующими линейным преобразованиям в другом пространстве.
Рассмотрим проективную группу
X'^E^±V, (4.27)
с'х + d' '
определяемую нелинейными преобразованиями. Она имеет по существу
три параметра, так как мы всегда можем поделить числитель и зна-
менатель на ненулевую функцию параметров. Пусть
A' = a'd' — с'Ь'
и поделим числитель и знаменатель на ]/Δ'. Получим
, ах-\-Ь
Х ~ cx+d '
где
Δ = a d — bc — \.
(4.28)
Этой группе преобразований мы можем поставить в соответствие
линейную группу с единичным детерминантом
l' = al-\-br\
г Τ „ <Δ=1>· <4·29>
η =ci+dr\
Если мы положим
il = x' и -^- = д;, (4.30)
то вновь получим группу (4.28), причем группы (4.29) и (4.28) изо-
морфны и матрицы
0(Л) = (^ J, OetD(A)=l, (4.31)
действующие в двумерном векторном пространстве, осуществляют
представление одномерной проективной группы. Матричная группа (4.31)
есть унимодулярная линейная группа в двух измерениях и обозна-
чается SL(2). Абелева подгруппа получается, если положить a=d=l,
c = b = 0. Это есть как раз матрица группы трансляций, приведен-
ная выше.
Компактность и связность. Накрывающая группа
Нами был уже определен элемент объема rfo многообразия, пред-
ставляющего собой группу Ли, и было отмечено, что группа ком-
пактна, если ее объем внутри всей области изменения параметров
6 Зак. 612

82
Φ. Гюрши
конечен. Более общим определением, справедливым для всех тополо-
гических групп, является следующее: топологическая группа G ком-
пактна, если ее групповое пространство 5 компактно в топологи-
ческом смысле, т. е. если любое бесконечное подмножество простран-
ства 5 содержит последовательность, сходящуюся к некоторому
элементу пространства 5. Например, группа 03 компактна, в то время
как SL(2) нет.
Другим важным топологическим понятием является связность.
Рассмотрим две 3-параметрические группы Ли: Оэ и SU2. Они ло-
кально изоморфны, так как обладают одной и той же алгеброй Ли,
но отличаются своими глобальными свойствами. Таким образом, одна
и та же алгебра Ли может представлять топологически различные
группы.
Для определения связности возьмем произвольную точку Ρ груп-
пового пространства S группы G. Рассмотрим две замкнутые кри-
вые Lx{t) и L2(t), обе начинающиеся и кончающиеся в точке Р.
Здесь ε есть параметр, который параметризует замкнутые кривые
таким образом, что одной точке кривой соответствует только одно
значение параметра t. Далее, / = 0 в начале кривых и t = 1 в конце.
Если существует функция X(s, t), непрерывная как по s, так и по t,
причем такая, что
λ(0, t) = Lx(t), %(\.t) = L2(t).
а значения 0 < s < 1 соответствуют промежуточным кривым, лежащим
между L^it) и L2(t), то говорят, что эти две кривые гомотопны.
Это означает, что они могут быть непрерывно деформированы друг
в друга изменением параметра s от 0 до 1. Если все замкнутые кри-
вые, исходящие из произвольной точки Ρ пространства, могут быть
деформированы в нуль (гомотопны нулю), то пространство является
просто связным. Если существуют т замкнутых кривых, которые
не могут быть деформированы друг в друга, то пространство является
т-связным.
Рассмотрим теперь некоторые примеры групповых пространств.
R: аддитивная группа действительных чисел (или одномерных
трансляций). Групповое пространство есть бесконечная прямая; группа R
некомпактна и просто связна.
02: ее групповым пространством является окружность. Замкнутая
кривая, k раз оборачивающаяся вокруг окружности, не может быть
деформирована в кривую, оборачивающуюся вокруг окружности I раз.
Таким образом, группа 02 компактна и бесконечно связна.
03: группа трехмерных вращений была ранее параметризована при
помощи векторов, направленных по оси вращения и равных по вели-
чине углу вращения. Диаметрально противоположные точки на поверх-
ности сферы должны быть отождествлены.

1. Введение в теорию групп
83
Рассмотрим замкнутую кривую Ζ, (фиг. 2), начинающуюся и кон-
чающуюся в точке О и не имеющую с поверхностью сферы общих
точек: такая кривая гомотопна нулю. Другая кривая L2, пересекаю-
щая поверхность сферы в точке Q, вернется обратно в точку О из
диаметрально противоположной точки Q'. Очевидно, что Lx и L2 не
могут быть деформированы друг в друга. Кривая L2 гомотопна оси,
Фиг. 2.
представляющей подгруппу 02 группы 03. Кривые, пересекающие
поверхность сферы нечетное число раз, гомотопны оси, в то
время как те кривые, которые пересекают поверхность четное число
раз, гомотопны нулю. Таким образом, группа 03 дважды связна.
Фиг. 3.
SU2: групповое пространство группы SU2 превращается в груп-
повое пространство группы 03 таким же образом, как двулистная
риманова поверхность становится плоскостью с разрезом.
Изобразим групповое пространство группы SU2 в виде двух сфер
и отождествим точку Ρ на первой сфере с диаметрально противо-
положной точкой Р' на второй сфере (фиг. 3). Тогда кривая, начи-
нающаяся в точке О и достигающая поверхности первой сферы в точке/3,
перескочит в точку Р' второй сферы. Из точки Р' она может перейти
в другую точку Q' на второй сфере, от которой кривая снова может
перескочить обратно на поверхность первой сферы в точку Q, чтобы
прийти в конце концов в точку О, так что кривая будет замкнутой.
Сдвигая точку Ρ к точке Q и Р' к Q', стягивая P'Qr в нуль и затем
стягивая замкнутую кривую ΟΡΟ в нуль, можно показать, что наша
первоначальная кривая гомотопна нулю. Поэтому все замкнутые
6·

84
Φ. Γ to put и
кривые в групповом пространстве группы SU2 гомотопны нулю, так
что группа SU2 компактна и просто связна.
Группа n-мерных трансляций. Ее групповое пространство есть
я-мерное евклидово пространство, и поэтому она просто связна.
Для и > 2 «-мерная сфера также просто связна.
Фундаментальная группа
Свойства связности топологического пространства лучше всего
изучать, связав с ними некоторую конечную группу, называемую фун-
даментальной группой. Чтобы определить эту группу, рассмотрим два
пути аир, не обязательно замкнутые. Мы параметризуем их действи-
тельным числом и в пределах 0<^и^ 1, так что одно значение пара-
метра и соответствует одной точке на каждой кривой. Если пути α
и β имеют одно и то же начало и один и тот же конец и могут
быть непрерывным образом деформированы друг в друга, то они
гомотопны друг другу, и мы будем писать α «—'β. Путь, обрат-
ный а(и), определяется как α-1(«) = α(1—и), т. е. это тот же
самый путь, только проходимый в противоположном направлении.
Если конец пути α совпадает с началом пути р, т. е. а(1) —р(0),
то произведением путей а и β будет путь γ = αβ, состоящий из
обоих путей вместе, так что γ(κ) = α(2κ) при 0<^«<^!/2 и γ(κ) =
= β(2α— 1) при '/г^"-^ 1. Нулевой путь состоит из одной точки.
Можно показать, что если α~β, то путь ар~ гомотопен нулевому
пути.
Рассмотрим теперь множество всех замкнутых путей, начинаю-
щихся и заканчивающихся в определенной точке Ρ топологического
пространства S. Класс всех путей, гомотопных а, обозначается [а].
Умножение гомотопных классов определяется как
[α] [ρ] = [αβ].
Геометрически очевидно, что произведение классов не зависит от кон-
кретного выбора путей α и ρ в каждом классе.
Проверим теперь, что эти классы образуют группу, называемую
фундаментальной группой n(S) топологического пространства S.
Действительно, удовлетворяются следующие аксиомы.
1. Замыкание: если [α]£π(5), [p]£n(S), то [α] [ρ] = [αβ] £ π (S).
2. Ассоциативность: ([α] [β]) [γ] = [α] ([β] [γ]). Это следует из
(αβ)γ~α(βγ).
3. Единичный элемент. Это класс нулевых путей [1], поскольку
[α][1] = [α].
4. Обратный элемент: [α-,] = [α] ', так как [а-1] [а] = [1].
Из определения фундаментальной группы следует, что фундамен-
тальная группа просто связного пространства состоит только из еди-
ничного элемента — класса нулевых путей. Фундаментальная группа

I. Введение в теорию групп
85
круга есть бесконечная циклическая группа, состоящая из единичного
элемента и целых степеней класса пути, обходящего круг один раз.
Фундаментальная группа группового пространства группы 03 состоит
из двух элементов. Следовательно, это циклическая группа С2. Мы
рассматриваем примеры абелевых фундаментальных групп, но в общем
случае фундаментальная группа неабелева.
Теперь мы оценим важность теории конечных групп для теории
групп Ли, групповым пространством которых является /и-мерное
многообразие. С такими группами Ли связана фундаментальная группа
порядка т.
Два топологических пространства, которые могут быть отобра-
жены друг на друга с помощью одно-однозначного соответствия,
имеют одну и ту же связность и одну и ту же фундаментальную
группу. Например, «-мерная сфера при η > 2 просто связна, так как
она может быть отображена при помощи стереографической проек-
ции на евклидово пространство.
Универсальная накрывающая группа
Можно показать, что для любой многосвязной группы Ли О суще-
ствует такая просто связная группа G, которая может быть гомо-
морфно отображена на О. Эта просто связная группа G носит назва-
ние универсальной накрывающей группы G. Тогда О содержит такую
дискретную инвариантную подгруппу Δ, что G/Δ изоморфна G.
Группы G и G локально изоморфны и имеют одну и ту же алгебру
Ли, хотя и различаются своими глобальными свойствами.
Для группы 02 универсальная накрывающая группа имеет своим
групповым пространством открытую спираль, гомотопную прямой.
Отсюда следует, что для группы 02 универсальной накрывающей
является группа одномерных трансляций R.
Универсальная накрывающая группы 03 есть группа SU2, которая
просто связна. Элементы группы SU2 могут быть отображены на эле-
менты группы 03 при помощи два-однозначного гомоморфизма, так
что матрицы U и — U, каждая из которых является точным пред-
ставлением элемента группы SU2, соответствуют одной и той же
матрице, связанной с одним элементом группы вращений.
Можно доказать, что универсальная накрывающая G группы G
единственна. Все группы Ли, имеющие ту же алгебру Ли, что и G,
имеют вид G/Δ, где Δ — некоторая инвариантная дискретная подгруппа
группы G.
Возвращаясь к примеру группы SU2, представим элемент группы SU2
при помощи 2 Х2-матрицы с единичным детерминантом D(n, θ), опре-
деляемой как
D(n, θ) = β'(θ/2)α·η (Π,π==1). (4.32)

86
Φ. Гюрши
Такие матрицы осуществляют линейные преобразования элементов zx
и z2, оставляющие инвариантной форму z\zx-\-z\z2.
Два элемента группы, а именно
D(n, 0)=1 и D(n, 2π) = — Ι, (4.33)
образуют в группе SU2 дискретную абелеву инвариантную подгруппу.
Это центр Z2 группы SU2. Имеем Z2 « С2. Из общих теорем сле-
дует, что факторгруппа SU2/Z2 должна иметь такую же алгебру Ли,
что и SU2, причем подобная группа единственна. Это группа 03, так
что имеем
i&—о
7 U3-
Пусть теперь группа G m-связна. Ее универсальная накрывающая
группа О просто связна. Поэтому каждому элементу группы G соот-
ветствует т различных элементов ее универсальной накрывающей G.
Точное неприводимое представление группы G тогда даст нам т-знач-
ное представление группы G.
Отсюда можно установить, что если группа О многосвязна, то
существуют многозначные представления группы G, являющиеся
точными неприводимыми представлениями ее универсальной накры-
вающей G. Так, неприводимое точное представление группы SU2
является двузначным точным представлением группы 03-
Соотношения ортогональности для компактных групп. Характеры
Если группа компактна, то суммирование по элементам группы
может быть заменено интегрированием по групповому пространству,
причем инвариантным элементом объема является элемент αω, опре-
деляемый формулой (3.12). Это так называемое интегрирование Гур-
витца. Как и в случае конечных групп, можно построить унитарное
представление компактной группы Ли из данного конечномерного
представления при условии, что интеграл
7*ν=Σ JD(awD*(α)νβ d(° (4·34)
β
сходится.
Для двух различных представлений, обозначаемых индексами μ
и ν, выполняются соотношения ортогональности
J VM<a)DvM<«)ifo = i^pfe. J Λο, (4.35)
где /μ — размерность представления (μ).
Характер Χ(μ)(Α) представления (μ) группы Ли определяется
опять как след матрицы &μ)(α) и поэтому является функцией коор-

Л Введение в теорию групп
87
динат точки а группового многообразия. Характеры компактных групп
удовлетворяют соотношению ортогональности
J Χ(μ> * (а) ХМ (β) </ω = δμν J" Λ». (4.36)
Как было сказано ранее, приводимые представления компактной
группы Ли вполне приводимы и неприводимые представления экви-
валентны унитарным представлениям. Э^и два свойства не выпол-
няются для некомпактных групп, которые допускают конечные пред-
ставления, не эквивалентные унитарным представлениям, и их приводи-
мые представления не являются с необходимостью вполне приводимыми.
Унитарные представления некомпактных групп Ли бесконечномерны,
и мы дадим соответствующий пример в следующем параграфе.
Группа вращений 03 и ее двузначные представления
Мы уже видели, что SU2, унимодулярная унитарная группа в
двумерном комплексном пространстве, является универсальной накры-
вающей группы 03. Следовательно, ее однозначные представления
накрывают все однозначные и двузначные представления группы 03.
Рассматриваемая как группа преобразований в двумерном комплекс-
ном линейном пространстве группа SU2 соответствует преобразованию
ψ' = i/ψ, (4.37)
где
-С;)· ЧЭ
являются комплексными векторами линейного пространства, а 2 Х2-ма-
трицы U обладают свойствами
Deti/ = 1, UUf=l. (4.88)
Мы уже упоминали, что матрицы U можно представить в кано-
нической форме
U (η, Θ) я> е1 ««_··■ (п · η = 1), (4.89)
где в явном виде показана зависимость U от трех действительных
параметров.
Другая форма для U есть
L/(a)_l+^-a/2 ■ (1+fo-a)' _ (1 ^а»/4) + to■ ■
UW I—to-a/2^ 1+а*/4 1+β*/4 " { O)
Легко проверить, что оба условия (4.38) удовлетворены. Можно также
написать
U^u^-^-ia^-^-ta^-^ia^, (4.41)

88
Φ. Гюрши
где действительные параметры ич (ν= 1 4) удовлетворяют условию
"i + "! + "i + «4=1· (4-42)
откуда следует, что групповое пространство SU2 есть трехмерная
поверхность гиперсферы в четырехмерном пространстве. Тогда пара-
метры а, определяемые выражением (4.40), представляют собой как
раз стереографическую проекцию координат гиперсферы в отображе-
нии, ставящем в соответствие точке а евклидова пространства Ег
точку на гиперсфере.
Найдем теперь бесконечномерное приводимое унитарное предста-
вление группы SU2 в гильбертовом пространстве; это позволит нам
получить все конечные представления.
Пусть ψ есть вектор в гильбертовом пространстве. Каждому эле-
менту группы SU2 мы ставим в соответствие унитарный оператор
exp(tQ) в гильбертовом пространстве (оператор Ω эрмитов), такой,
что скалярное произведение двух произвольных векторов не изме-
няется при преобразовании. Таким образом, если
ψ' = [ехр (/Ω] ψ, φ' = [exp (i'Q)] φ,
то
φ'+ψ' = φ+ψ.
Для бесконечно малых преобразований имеем
ψ + <*ψ=:(1-|-*δΩ)ψ,
где
6Ω= У16а1-г-У2бо2-(-Узбо)з=: J · о** (4-43)
есть бесконечно малый элемент кольца Ли с генераторами Jlt J2 и J3,
подчиняющимися коммутационным соотношениям (4.20).
Построение гильбертова пространства для SU2
Мы будем строить гильбертово пространство, используя собст-
венные векторы числовых операторов Na и Nb, связанных с двумя
коммутативными операторами рождения с+ и bf. Эрмитово сопряжен-
ные им операторы а и b являются операторами уничтожения. Свой-
ства этих операторов определяются коммутационными соотношениями
[a, fl+]=l, [b, bf]=l, [a, b]=[a. bf]=0. (4.44)
Указанные числовые операторы имеют вид
N„ = eV Nt = b*b ([Λ/α, Ν„] = 0). (4.45)
Собственными значениями операторов Να и Nb являются соответственно
положительные целые числа пх и п2. Состояние, представляющее
собой общий сооственный вектор операторов Na и Nb и соответст-

1. Введение в теорию групп
89
вующее собственным значениям ηλ и /г2, обозначается кет-вектором
Дирака | пх, п2), а эрмитово сопряженное состояние — бра-вектором
Дирака {iix, /г2 [х). Следовательно,
Na\ih'h) = ih\'h "2). Nb\'h· «2> = "2|/г1. "г)· (4.46/
Векторы нормированы так, чтобы
(«J, п2\пх, /г2) = 1. (4.47)
Вакуумный вектор определяется как |0)=|0, 0) и обладает свой-
ствами
а|0)=£|0)=0. (4.48)
Все ортонормированные векторы | пх, п2) теперь можно получить
из вакуумного вектора последовательным применением операторов
а+ и bf:
In.. η2)=-β= r |0), (4.49)
причем
(η' <|/г./гЛ = 6 ,δ ,. (4.50)
\ 1 2 I 1 II п\п\ "2n2
Представления кольца Ли группы SU2
Введем теперь операторы
^ = {аЧЩаь), (4.51)
или, в явном виде,
У3= a+a~b+b | ^ + и2 = а+Ь, Jx~U2 = bfa. (4.52)
Коммутационные соотношения (4.20) удовлетворяются, так что мы
получили представление для операторов вращений Jt в гильбертовом
пространстве. Поскольку матрицы а и Ь бесконечномерны, то и
представление бесконечномерно. Оно также унитарно, так как вы-
ражения (4.51) для генераторов инфинитезимальной группы эрмитовы.
Определим оператор
J=^(Na + Nb)=±{afa + b4). (4.53)
Этот оператор коммутирует с Уг-и имеет собственные значения
(«j+/i2)/2. так что
Mi. >h) = ^Ч^К +n2). (4.54)
') Скалярное произведение двух векторов обозначается (|). Выражения
.бра-вектор" и „кет-вектор" были введены Дираком и происходят от двух
половинок английского слова bracket (скобка). — Прим. ред.

90
Φ. Γ юput и
Используя (4.62) и (4.53), находим, что оператор Казимира имеет вид
£eJi + ji + jf = y(y+l). (4.55)
Различные неприводимые представления группы SU2 можно харак-
теризовать собственными значениями оператора С/2 или У. Обозначая
собственные значения оператора У через у, получаем
/!| -|-ft2
2
(4.56)
и собственными значениями оператора С/2 будут 7(7+1)- Обозначим
через т собственные значения оператора У3. Тогда
m=n]-_rh_t (|т|<Д (4.57)
Таким образом, мы можем характеризовать состояния числами j и т,
причем J— положительное полуцелое, а т принимает 2j-\- 1 значений:
—у. — 7+1 у —1. у"·
Переопределим базисные векторы в виде
|7. т)= г ,=- г , 10). (4.58)
Операторы У и У3 диагональны, так что
AJ· от) = 717. т), У3|у', m) = m\j, m). (4.59)
Матричные элементы оператора а можно найти, действуя операто-
ром о+ на базисный вектор. Имеем
17 У(У + »г)1 К(У-/и)! ' '
= V7 + m+l|7+-5-· m + |)· (4·60>
так что единственными неисчезающими матричными элементами one*
t
ратора а являются
(7+4· m + ±\a*\j. m) = V7+m+l. (4-61)
Аналогично находим
(7+ j. и—5"|*Ι/· т) = /7-/к+1, (4.62)
(7—i. ж—j|e|7. «) = У7+^. (4-63)
(/—-§■■ «H--g-l*U. i»)=V7zz^· (4·64)

1. Введение в теорию групп
91
Используя тождество
[b.b+k] = kbfk-\ (4.65)
получаем
a4\J, m) = VU+m+\)U — m)\]. m+\) (4.66)
и
b*a\j, m) = VU — m + l)(J + nt)\J. m—1). (4.67)
так что неисчезающие матричные элементы операторов группы вра-
щений Уг окончательно определяются формулами
(У. m\J3\j, m) = m,
U. m + 11У, + U2\j, m) = У(/+и+1)(/-4 (4-68)
(у, m— \\JX — /У2|у, m) = YU — m+l)C/ + m).
Теперь очевидно, что представление приводимо, поскольку каждое
значение у определяет (2y'-f- 1)-мерное подпространство гильбертова
пространства, остающееся инвариантным под действием операторов
группы вращений. Формулы (4.68) дают все конечномерные непри-
водимые представления кольца Ли группы SU2, когда у принимает
все возможные полуцелые положительные значения. Если у— целое,
то представление группы Оэ однозначно; при у полуцелом оно дву-
значно (спинорное представление).
Двузначные и однозначные представления конечных вращений
Так как J не изменяется под действием операторов группы вра-
щений, то мы можем определить (2у —J— 1)-мерные матрицы вращений,
соответствующие элементу группы ω = ηθ, с помощью формулы
/
el-J\i,m)= Σ Dmm.J(&)\j, m'). (4.69)
m- /
Это дает для матричных элементов оператора £>/(ω) выражение
Dmm.}(ω) = (у, m' I e* ■> (Λ|/. m). (4.70)
где J (у) — матрицы, соответствующие представлению (у) и опреде-
ляемые при помощи (4.68).
Если для параметризации вращений использовать углы Эйлера
α, β, у, то получим
Dmm'J(a, β, Y) = (y\ m'\elJ°velJ£elJ*a\j, m). (4.71)
Приведем примеры.
При у — '/г из (4.68) находим
J(!)=4°. (4-72)

92
Φ. Γ юрш и
где ot — матрицы Паули. Это дает
DV.(at β> ν) = β^(Υ/2)^σ2(β/2)β/θ3(α/2) =
ei(a+Y)/2cos β eK\-a)/2sin _|
ei(a-Y)/2sin|. e-i(a+Y)/2cos Ρ
(4.73)
При j = 1
'1 0 ON
0
1 ON
4(1)= 0 0
0
1
S3, /У2(1) = -^= -1 0 1 } = iS2.
0 0—1/ \ 0 — 1 0>
(4.74)
Это представление эквивалентно обсуждавшемуся ранее присоединен-
ному представлению группы. Находим
D(1,(a, β. y) = els'Vs^els^ =
2 Vl
1 — cos I
eiY_?iIl!l
1^2
cos β
c-tv sl"P
V2
el(y-a)
1 — cos I
2 ]A2"
Наконец, заметим, что вследствие
Jt 10) = 0
sl"P e-i(a+V)l±£2iP
(4.75)
имеет место
e"°|0>=|0),
(4.76)
(4.77)
J. 4.
и поэтому при вращении операторы а к о преобразуются согласно
закону
fa
е"'аате~
е о е
gio-a/2
(4.78)
Неприводимые тензорные представления группы 03
Другая форма унитарных представлений группы 03 может быть
получена при рассмотрении бесконечно малых вращений трехмерного
действительного пространства представления (xv x2, х3)- Если вы-
числить эрмитовы генераторы инфншпезимальной группы (3.35), то

1. Введение в теорию групп
93
найдем
J'~~l\x»dxi Xldx3)·
(4.79)
Полагая
имеем
Рк = — l~j£k' Чь = хь (6=1.2,3),
[Як. Pi\ = ibki-
Новые операторы av a2, a3, определяемые как
ak=±={pk + iqk), ^k = Y={Pk-lQk). (4.80)
удовлетворяют коммутационным соотношениям для операторов трех
независимых гармонических осцилляторов, а именно
[а„. Vl=6w, [flft. β,]«=0. (4.81)
Операторы УЛ теперь можно выразить через операторы ak. Имеем
J3 = I (afa2 — α2α{1·). У, = i (α2+β3 — aja2), Λ = I (fl3+fli — а^«з)-
(4.82)
Таким образом, представление „орбитального момента" (4.79) можно
задавать в виде операторов в гильбертовом пространстве, порож-
даемом действием трех операторов рождения на вакуумное состоя-
ние | 0), определяемое как
fl*|0) = 0. (4.83)
Векторы этого гильбертова пространства
+л, tn, +л,
К, п2, п3)=^=^=^=-\0) (4.84)
Vtii\ Vп2\ Уп3\
образуют пространство представления унитарной 9-параметрической
группы U3, генераторы которой определяются как
Ktl=*a?ar (4.85)
Генераторы группы 03 порождают подгруппу группы U3, и, со-
гласно (4.82), соответствующими элементами подалгебры Ли являются
Jn = teimnKtm· (4-86)
Чтобы найти подпространства, остающиеся инвариантными под
действием операторов (4.86), построим два оператора Казимира,

94
Φ. Гюрши
коммутирующие с операторами Jn, именно
C1 = V„ = — hmnbjknKlmK fi (4-87)
и
С2 = Кпп = а1*а\ + а2*а2 + а3*аъ. (4.88)
Здесь оператор С2 диагоналей и его собственные значения имеют
вид (/ii + «2-r-«3), так как
C2l"l. «2. %> = («1 + «2 + «з)|«1. П2, П3).
Чтобы построить состояния, являющиеся общими собственными
векторами операторов Сх и С2, рассмотрим состояния, получаемые из
вакуума действием на него однородных полиномов от ak+ степени г.
Они соответствуют собственному значению г оператора С2, где г —
положительное целое число. Например, при г = 1 или 2 имеем
Vk = ak*\0), Tmn = Tnm = aJan+\0). (4.89)
Видно, что такие состояния соответствуют симметричным тензорам
ранга г, так как akf ведет себя как вектор относительно вращений.
Получаемый подобным образом симметричный тензор не будет в об-
щем случае собственным состоянием оператора Сх, хотя это и есть
собственное состояние оператора С2. Собственные состояния опера-
тора С, образуют неприводимые тензорные представления группы 03
и являются линейными комбинациями тензоров ранга г. При г = 1
мы находим, что
ClVk = Cla^\0) = 2Vk. (4.90)
Таким образом, Vk есть неприводимый тензор ранга 1. При г = 2
имеем
СгТтт = 0, dfr^-i-o^r^^efr^-i-o^,,), (4.91)
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Мы видим, что оператор С2 имеет целые собственные значения,
в то время как собственные значения оператора Сх имеют вид 1(1-\- 1),
где /—положительное целое число. Это свойство может быть дока-
зано в общем случае. Подобным образом мы находим конечномерные
представления группы 03, эквивалентные представлениям, получен-
ным ранее в случае j = l. Таким образом, представлениям „орби-
тального момента" (4.79) или (4.82) соответствуют только однознач-
ные представления группы 03.
В качестве последнего замечания, касающегося группы вращений,
мы дадим явное выражение группового закона композиции для слу-
чая, когда группа параметризована с помощью координат а, полу-
ченных в результате стереографической проекции. Закон композиции

1. Введение в теорию групп
95
имеет вид
ТаТъ = Tc = T(f (а< Ь),
а φ (а, Ь) находится из равенства
l+fo-c/2 _ l+lca/2 l+/a-b/2 , q
1 — to · c/2 ~ 1 — to -a/2 1 — to ■ b/2 ^' Z)
В явной форме это дает
с = <Р(а. »--* ^Vb'laj.ibj. ■ (*·93)
2 + 4 4
На основании этой формулы могут быть проверены все свойства
функции φ, а также вычислены функции Я(аР)(а) для группы вра-
щений.
§ В. НЕКОТОРЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ
С ОБЩЕЙ ТЕОРИЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В этом параграфе мы будем иметь дело главным образом с пред-
ставлениями четырехмерной группы вращений 04, которая является
группой движений трехмерного пространства постоянной положи-
тельной кривизны (статического пространства Эйнштейна), а также
с однородной группой Лоренца, являющейся группой лоренц-инвари-
антных космологии (подобно вселенной Милна), и с группой де Сит-
тера, 10-параметрической группой движений пространства-времени по-
стоянной кривизны — максимальной непрерывной группой симметрии,
которую может допускать риманово пространство-время. По вопро-
сам, связанным с неоднородной группой Лоренца (группой Пуан-
каре) с отражениями или без них, читателю могут быть рекомендо-
ваны лекции профессора Вигнера в трудах Стамбульской летней
школы 1962 г. Мы не имеем возможности рассматривать здесь эту
группу, но мы сможем упомянуть о ней как о пределе группы
де Ситтера при стремлении кривизны к нулю.
Группа 04 интересна с двух точек зрения. Во-первых, она опи-
сывает симметрию статического пространства Эйнштейна в общей
теории относительности. Во-вторых, 04 есть группа движений груп-
пового пространства группы SU2. Отсюда следует, что изучение
группы 04 позволит понять свойства симметрии некоторого специаль-
ного группового многообразия, именно топологического пространства,
образуемого группой SU2.
Мы начнем с установления коммутационных соотношений для
кольца Ли re-мерной действительной ортогональной группы.

96
Φ. Гюрши
Группа On
Мы будем иметь дело лишь с группой 0Я+, той частью «-мер-
ной ортогональной группы, которая может быть непрерывно дефор-
мирована в единицу. Рассматриваемая как группа преобразований
действительного и-мерного векторного пространства группа О* со-
стоит из всех ортогональных η X /г-матриц с детерминантом, равным
единице. Выполняется равенство
ΩΩΓ = ΩΓΩ=/, (5.1)
и матрицу Ω можно следующим образом выразить через антисимме-
тричную матрицу:
Ω = εΑ, (А = —Ат). (5.2)
Отсюда следует, что группа имеет п(п— 1)/2 параметров. Для инфи-
нитезимальных преобразований матрица А = ЬА мала, и мы имеем
x + dx^x(l+6A),
где х — вектор -строка в и-мерном пространстве представления.
Последнее соотношение можно переписать как
dxt = Xj &Αμ,
и инфинитезимальные генераторы имеют вид
Uij = -tJJt = xf£j-xJ-SH· (5-3>
Достаточно использовать это специальное представление для полу-
чения следующих коммутационных соотношений, которые можно
было бы получить непосредственно из корневой диаграммы для
кольца Ли:
УаЬ· Jrs\ = 1 (\Лз + Мш- — ЬаЛг ~ KJas)' (5·4^
где индексы изменяются от 1 до « и операторы Jab антисимметричны.
Группа четырехмерных вращений Ол
Введем обозначения
•42 == *"3· •'23 == '"Ι· •'31 == "*%,
У43 = Л/3, Jtl = Nlt Ji2 = N2 (5,5)
для шести генераторов кольца Ли группы 04. Коммутационные со-
отношения (5.4) при η = 4 принимают вид
\Mlt Mj] = te,jkMk,
IN,-, M}\=,ieljkNk, (5.6)
[Nlt ЛГу]=/е|у,Мл,
где теперь все индексы изменяются от 1 до 3.

1. Введение в теорию групп
97
Пространство постоянной положительной кривизны, в котором
действует группа, может быть погружено в плоское четырехмерное
пространство, где оно принимает вид трехмерной поверхности гипер-
сферы радиуса R, уравнение которой
l? + U + U + tf = W· (5-7)
Таким же образом, как и для группы SU2, это пространство может
быть параметризовано при помощи трех координат х стереографи-
ческой проекции. Это соответствует отображению пространства Эйн-
штейна на трехмерное евклидово пространство. Имеют место соотно-
шения
t . ,„ * _ η * +to- »/2Я ._ η 1 -г*/4Л» ■ la-x
fe4-r- 'σ · g — К j _ (-σ. X/2R — « ! 4-r2/4^2 "^ 1 + г2/4#2 ' (5 8)
(r2 = x · x).
Линейный элемент в этом пространстве есть
ds* = d|!2 + d|22 + rf|32 + dtf = (1 + -«J-)""2 dx · Ac. (5.9)
На основании корневой диаграммы группы 04 мы уже знаем, что
она должна быть прямым произведением двух трехмерных групп
вращений. Это можно обнаружить немедленно, если ввести шесть
новых генераторов К и L с помощью соотношений
K = y(M + N). L = y(M — N). (5.10)
В этом базисе алгебра Ли принимает вид
[Ki. Kj\ = fe<y*ff*. Hi. L}] = te,JkLh. [K1. L,] = 0, (5.11)
откуда видно, что группа распадается на прямую сумму двух групп
вращений.
Интегральную форму этого преобразования можно легко найти,
заметив, что унитарная 2 X 2-матрица, определяемая выражением (5.8),
остается унитарной, если ее умножить справа или слева на унитар-
ную матрицу. Эти два рода преобразований коммутируют друг с дру-
гом, и каждый из них связан с отдельной группой SU2· Таким обра-
зом, мы имеем
|'4-г и, ■ &WA-"(64 + w- · 6)**"·. (5.12)
где (α, β) — набор шести действительных параметров.
Это линейное преобразование, действующее на |ν, индуцирует
проективное преобразование трех координат xt, задаваемое равенством
l + io-x'2R _ ./,„.„ 1 + to ■ x/2fl ./,„.„
1-йг.х'/2Д—е 1-ш.х/2Я е · νΛ6>
7 Зак. 612

98 Φ. Гюрши
Преобразования (α, 0) и (0, β) называются соответственно левой
и правой трансляциями Клиффорда.
Преобразование (а, — а) есть вращение, так как
σ-Χ^^^^σ-Χ^1^""'. (5.14)
С другой стороны, преобразование (alR, α,'/?) дает в пределе
больших R
х' = х + а + о(-^), (5.15)
так что преобразования (a/R, a/R) могут рассматриваться как смеще-
ния, заменяющие трансляции евклидова пространства. Однако в отли-
чие от евклидовых трансляций эти преобразования не образуют группы
и два таких преобразования не коммутируют.
В общем случае всегда можно написать
el(i/2) <г-а| _ е|(г/2) o-«IR)e[(i/2) ,..]
el(i/2) в-р)_ е-[(Ш) a-«.)el(i/2) сг-а/Д| (5.16)
и характеризовать элементы группы 04 вращениями-смещениями {ω, а}
вместо клиффордовых трансляций (α, β). Отметим, что левая (правая)
клиффордова трансляция состоит из вращения с последующим смеще-
нием, т. е. имеем левое (правое) винтовое движение, что следует из
разложения
(a, 0) = {f, Я-J} и (0. β) = {—■§-. /?-§-}- <517)
Генераторами бесконечно малых преобразований {ω, 0} являются опе-
раторы М, представляющие собой операторы момента количества
движения, в то время как те из преобразований {0, а}, которые не
коммутируют, являются операторами смещения
Π = -1ν. (5.18)
поскольку
[П|. nj]=^-^BlJkMk. (5.19)
В пределе R—>oo операторы Π коммутируют и представляют
собой операторы импульса в трехмерном евклидовом пространстве.
Отсюда следует, что в пространстве Эйнштейна должны использо-
ваться некоммутируюшие операторы импульса, если хотят определить
импульсы глобально, а не только в плоском касательном пространстве
в данной точке искривленного пространства.

1. Введение в теорию групп
99
Операторы Казимира для группы Ot
Используя данное ранее определение оператора Казимира, находим
с точностью до постоянного множителя
с, = к · к+l · l =4(м2 + L2)=-τ -WW (5·2°)
Так как К и L — операторы группы вращении, то их собствен-
ные значения равны соответственно
К-К=А(А-И) и L-L = /(/+l). (5.21)
где k и / — положительные полуцелые числа. Собственные значения
оператора Казимира даются формулой
C1==A(ft-f 1)-H(/+1). (5.22)
Существует другой оператор, коммутирующий со всеми элемен-
тами кольца Ли группы 04, именно
С2 = | Uv = -iWV»i = M.N = N.M = K.K-L ■ L,
с собственными значениями
С2 = k (k -f 1) — / (14- 1). (5.23)
Вследствие леммы Шура оба оператора Q и С2 характеризуют
неприводимые представления. Отсюда следует, что неприводимое
представление может быть задано парой чисел (k, /), где
А = 0. ~, 1, J-. ...; / = 0, -J. 1, |. (5.24)
Унитарные представления будут иметь вид
&"· " (α, β) = Л* (а) ® D* (β), (5.25)
где матрицы £>* — определенные выше матрицы унитарных предста-
влений группы вращений.
Из предыдущего анализа также следует, что универсальная на-
крывающая группы О4 есть группа SU2®SU2.
Однородная группа Лоренца Λ
Рассмотрим теперь непрерывные линейные преобразования с еди-
ничным детерминантом и гомотопные тождественному преобразованию,
которые оставляют инвариантной форму
*?+^+*f-*g. (5.26)
Если мы положим
7*

100
Φ. Γ ю ρ ш и
то группа Л превратится в 04. Но если произвести соответствующие
преобразования в матрицах D* и /У, то обнаружится, что эти ма-
трицы уже больше не унитарны. Причина этого заключается в том,
что группа Л не компактна и поэтому больше не существует конечно-
мерной матрицы, которая преобразовывала бы данную конечномерную
матрицу в унитарную. Следовательно, мы должны строить унитарные
представления в надлежащем гильбертовом пространстве. Для реше-
ния этой задачи будет использоваться бесконечномерное приводимое
представление группы SU2.
Изучим прежде всего структуру группы на конечном (2Х2)-мер-
ном представлении. Определим эрмитовы 2Х2-матрицы
Х = х0-\-а-х = — i(x4-\-io-x) = X+. (5.27)
Линейное преобразование
X' = LXL*, (5.28)
где L — комплексная 2Х2-матрица, подчиняющаяся ограничению
Det L = 1, (5.29)
которая оставляет форму (5.26) инвариантной и не изменяет эрмито-
вого характера матрицы (5.27). Вычисляя детерминант от обеих ча-
стей равенства (5.28), находим
Det X' = Det Χ = x2Q — x · x = x£ — x' ■ x'.
В случае преобразования, гомотопного тождественному преобразова-
нию, каноническая форма матрицы L имеет вид
L(u, (я) = еЧ*«-ие1<?-№. (5.30)
Тот факт, что L всегда можно записать как произведение эрмитовой
матрицы на унитарную, может быть доказан следующим образом.
Пусть по определению e"'tt = LL+; так как
{{LL*ylhL){{LL*ythLY=\,
то отсюда следует, что матрица внутри фигурных скобок унитарна
и имеет детерминант 1, так что можно положить
е\т —] = (LLi)-\ = е-ш .·«] L
Таким образом, равенство (5.30) доказано. Физический смысл этого
разложения хорошо известен. ЛореИцево преобразование L записано
в виде произведения собственно лоренцева преобразования и и про-
странственного вращения ω = ηθ.
Из (5.28) видно, что две матрицы:
L(u, ηθ) и L\u, »(θ + 2π)] = — £(», ηθ) (5.31)

1. Введение в теорию групп 101
соответствуют одному и тому же преобразованию Лоренца. Можно
установить следующее.
Группа унимодулярных комплексных матриц, соответствующая
специальной двумерной комплексной линейной группе SL(2), гомо-
морфно отображается на однородную группу Лоренца. Это соответ-
ствие дву-однозначно, так что матрица L в (5.30) осуществляет дву-
значное представление. Центр Z2 группы SL{2) состоит из матриц
1 и —1- Отсюда
SL (2) — * Λ,
SL(2) __ д (5.32)
Так как SL(2) просто связна, то это есть универсальная накрываю-
щая группы Λ.
Специальное представление (5.30), конечное и неунитарное, полу-
чается из представления
группы 04 подстановкой
С каждым неприводимым унитарным представлением группы 04 можно
при помощи того же соответствия связать неунитарное конечное пред-
ставление группы Λ, так что
Df"'l) = (iu, ω) (5.33)
будет неприводимым представлением группы Λ.
Коммутационные соотношения для группы Λ находятся введением
генераторов А бесконечно малых преобразований, соответствующих
параметрам и. Тогда связь с группой 04 задается равенством
А = iN, (5.34)
и алгебра Ли получается немедленно из (5.6). Коммутационные соот-
ношения имеют вид
[М„ М}\ = 1гЦкМь,
\At. Mj] = telJkAk, (5.35)
И,- Л/] = — lelJkMk,
так что при переходе к группе 04 лишь изменяется знак последнего
соотношения.
Представление Майораны однородной группы Лоренца
Бесконечные унитарные представления группы Лоренца полностью
рассмотрены в книге Наймарка [47], посвященной исключительно

102
Φ. Γюрши
группе Лоренца. Здесь мы ограничимся только одним примером, пред-
ставляющим собой первое унитарное представление группы Λ, дан-
ное Майораной.
Мы будем использовать гильбертово пространство с векторами
|/, т), отделяемыми для группы вращений выражением (4.58).
Рассмотрим теперь представление Дирака для у-матриц
Υ4 = Рз. Ут = Р2°га· Ys = Pi ·
(5.36)
где аир -два набора коммутирующих 4Х4-матриц группы вра-
щений, причем матрицы р3 и σ3 диагональны, а р2 и σ2 — чисто
мнимы.
Каждому элементу (α, ω) группы Лоренца мы ставим в соответ-
ствие матрицу JS? в гильбертовом пространстве, определяемую как
Ср __ piA-UpiM-et
(5.37)
где А и ΛΙ — эрмитовы операторы, подчиняющиеся соотношениям
(5.35). Чтобы найти явные выражения для операторов А и ΛΙ, вве-
дем оператор-столбец
а
♦-*
b
и сопряженную ему величину
ψ=ψ+γ4=1(αν& —α).
(5.38)
(5.39)
Тогда Μ и А будут бесконечными эрмитовыми матрицами, опреде-
ляемыми как
ΛΙ = ψσψ, А = tyiaty = ψ!"γ5σψ. (5.40)
Это делает матрицу _2" в (5.37) унитарной. В представлении (5.36)
Аъ = -1·(аЧ*-ab), Ах- 1А% = =£- (α2+Ъ*).
iM2 = ьЧ,
(5.41)
Матрицы Μ имеют те же самые матричные элементы, что и опе-
раторы J для группы вращений. Определим теперь матричные эле-

I. Введение е теорию групп 103
(5.42)
менты оператора А. Используя (4.60), находим
αψ |у, „) = У(/4-и+»)(■/ — «+01 У* + 1. т),
ab\j, m) = V(j+m)U—m)\J—1· m)-
aS\j, «> = /(/ + «+1)С/ + »» + 2Ш+1. т-т-1).
с2|у\ m> = V(y + m)C/ + m—1)|У—1. »—1>.
b**\j, m) = V(/ —w+l)C/ —и+"2)|У+1. « —1).
*2|У. т) = уГ(У—m)(y —m-l)|y—1, m + 1).
так что единственными неисчезающими матричными элементами опе-
ратора А будут
(у+1. »Из|У. «) = — ■^-У(/ + я+1)СУ—и + 0.
(7—1, m\A3\j, m> = -5-/(У+ «)(/ — »)■
(7 + 1. m-f 1|И, + М2|7. и) = |/(/ + и + 1)(/ + и + 2),
(7-1. m+11^+^17, m) = {|A(y-m)(7 — m — 1),
(у —1, m— 1 1^! — IA2\J, m) = —уl/"C/ + m)(y + m— 1),
(7+1, m— 1|Л,—L42|y. m) = _i-|A(7-m + l)(/* — m + 2).
Необходимо отметить, что вектор | 0), остающийся инвариантным
относительно вращений, будет изменяться под действием собственно
лоренцевых преобразований, соответствующих А ■ и.
Операторы Казимира для группы Λ
Операторы Казимира теперь имеют вид
С,=1(М2-А2),
2 (5.43)
С2 = Μ · А.
По вопросу о том, какие возможны собственные значения у опера-
торов С1 и С2, мы отсылаем читателя к лекциям Паули [48] и к ра-
боте Наймарка [47]. Здесь мы просто приведем результаты,
а) Если С2 Φ 0, то имеет место
Г2
2С — Ρ - 1 2
Jo

104
Φ Γюрши
где /0 — минимальное значение J. Здесь j(j-{- 1) есть собственное
значение оператора М2. Значение j0 определяется из
где
Ψ(/) = (/Ιл I/- 1)(У- 11 A\MV- i)(2y■+-О.
а у4 есть оператор, для которого Л2 = А2. В этом случае
б) Если С2=0, у^- /0 > 0, то мы опять имеем ψ(/0) = 0,
2^ = ^-1. *(/)=/i-yg-
в
) Если С2 = О, У >- 0, то С, < 0. В этом случае либо
.2
2C,=^-l-v2, С2 = /У,
где у0 = 0, 1, 2, ... или j0 = ll2, 3/2, ... и ν—действительное число,
либо 2Ci=a2— 1, С2=гу'0 = 0, где 0<a< 1.
Группа де Ситтера
Группа де Ситтера есть группа движений, которую допускает
космологическое пространство с линейным элементом
_ ds2 --^ ψ (1Χμ (1Χμ = φ2 [(dx}? + (d*2)2 4- (dx3f — (dx°)2\
(x4 = lx0), (5.44)
где
(2 2\~'
Здесь мы будем рассматривать только случай положительной про-
странственной кривизны.
Это пространство может быть погружено в пятимерное простран-
ство-время, где оно приобретает вид четырехмерной поверхности
сферы радиуса R. Координаты Χμ являются стереографическими
проекциями координат сферы, подчиняющихся уравнению
Σ Ua = (lif 4- (h? 4- (У2 4- (к? - (У2 = Я2. (5-46)
Координаты х*1 связаны с \а соотношением
п 1 + ν»νμ*μ/2Κ 1-*μν4#24ν8νμ*μ//? - ._

1. Введение в теорию групп
105
где латинские индексы изменяются от 1 до 5, а греческие индексы —
от 1 до 4. Матрицы уа — пять антикоммутирующих эрмитовых матриц
алгебры Дирака
УаУь + У„Уа = ЫаЬ- (5-48)
Тогда для линейного элемента получаем
-d&^dbdlb^pdXpdXr (5.49)
Ясно, что интервал (5.49) инвариантен относительно линейных преоб-
разований координат \а по пятимерной 10-параметрической группе
вращений. Если надлежащим образом приняты во внимание условия
вещественности, то это будет группа де Ситтера.
Сразу же можно найти 4 X 4-матричное представление, записав
■у |' = e(V,) WeuY^e-M ya Ve*. (5.50)
(Ч,а = — ω„0);
это дает
так что матрица
5==/Λ)νανΛ„ (551)
осуществляет двузначное представление группы де Ситтера. Это есть
однозначное представление подгруппы унимодулярной комплексной
четырехмерной линейной группы. Матрицы 5 подчиняются ограниче-
ниям
y5Sy5 = CS*C~\ y4y5STy5y4S = 1, (5.52)
снижающим число свободных параметров до 10. Представление (5.51)
не унитарно, так как параметры ω4α (я=1, 2, 3, 5) мнимы.
При условии
ω5μ = -^ (5.53)
преобразование с этими параметрами дает
УаК = *Vs W2\|ee- WW» (5.54)
и при больших R получаем
так что преобразование (5.54) есть смещение, являющееся эквива-
лентом преобразования пространства де Ситтера. При больших R
группа становится похожей на неоднородную группу Лоренца. Это

106
Φ. Гюрши
можно ясно увидеть из коммутационных соотношений. Пятимерная
группа вращений, будучи разделена на генераторы, соответствующие
параметрам ω5 , и генераторы, соответствующие параметрам ωμν,
подчиняется соотношениям
' t/κλ· ^μν! = °κνΛ.μ ^κμΛν "~l·" "λμ/κν ^λν^Χμ·
- t ΙΠλ. /μν] = δλμΠν - δλνΠμ (5.56)
— *[Πμ. Πν] = —^-7μν,
где
1
Πμ=^4μ· (5.57)
При R->oo
Πμ-^Ρμ, (5.58)
где Ρμ — оператор 4-импульса, соответствующий пространственно-
временным трансляциям, и мы получаем алгебру Ли неоднородной
группы Лоренца.
Определим Ρμ как
Представлению кольца Ли группы де Ситтера принадлежат пяти-
мерные операторы момента количества движения
^-'(^-Ь-зёгН1-· (5·60)
Теперь можно выразить Jab только через стереографические коорди-
наты х . Находим
/ —Χ Ρ х Ρ
^μν — λμΓ\ *νΓμ·
где
а функция ф задается равенством (5.45).
Закон преобразования общего момента количества движения можно
записать в компактной форме, вводя матрицы
£=iW™· (5-62)
Тогда закон преобразования под действием (5.50) будет иметь вид
L' = SLS~\ (5.63)

1. Введение в теорию групп
107
где 5— трансформационная матрица (5.51). Таким образом, при
преобразовании де Ситтера операторы Πν (являющиеся аналогом им-
пульса в пространстве Минковского) перемешиваются с операторами
момента. Это перемешивание вызывается только преобразованиями
смещения, являющимися аналогами трансляций.
Операторы Казимира
Мы имеем два оператора Казимира, именно
'»=—w J°»J»b=- ΠλΠλ _ w -Mv = Μ* <5-64>
где
!2 = -WaWa. (5.65)
W* = 8Л Z°bcdeJbcJde- (5-66)
Если определить W5 и VK выражениями
Г — Lp Г. ,
λ — 2 5λκμν κμν·
— Χ Г Г —λ Г
'5 — g εΚμ.νρ-,Κμ-'νρ — 2 λμ^λμ·
1ъ = -У>Уу.—тwl (5·69)
Vk = — 2" «^μνΠΛν <5' 67>
^5 = "Τ ελανΛΛο = "ο" Λ Αμ- (5· 68)
то получим
По отношению к группе Лоренца Vk есть 4-вектор, a W5 — псевдо-
скаляр. Они перемешиваются операторами смещения группы де Сит-
тера.
В пределе R—>оо операторы Казимира приобретают вид
Λ->-Λ/\ = «2.
h ~> - W, = m2* (* + 1). (5.70)
где m и s — соответственно масса покоя и спин, характеризующие
представление, так что fr и /2 переходят в операторы Казимира не-
однородной группы Лоренца.
Представления группы де Ситтера могут характеризоваться соб-
ственными значениями операторов fx и [2, являющимися обобщениями
массы и спина. Поэтому частица во вселенной де Ситтера будет об-
ладать не определенной массой и определенным спином, а опреде-
ленными собственными значениями операторов Ιλ и /2. Например, 1Х
является комбинацией обычной массы и момента количества движения.
Обобщение уравнения Дирака на пространство де Ситтера
Вернемся теперь к теории поля спина г/2. 4 X 4-матричное пред-
ставление кольца Ли группы де Ситтера осуществляется при помощи

108
Φ. Γюрши
10 матриц
так что мы имеем представление
ЗаЬ^ЬаЬ+^ЧаЪ-
В стереографической проекции
•'μν == Χμ "ν Χν "μ "Γ "ξ" ΥμΥν
Πλ = -^ -Α* = Πλ+~ ν5γλ,
(5.71)
(5.72)
(5.73)
где Πλ — полный момент количества движения, соответствующий
смещениям в группе де Ситтера. Так как это представление совпа-
дает с представлением спина 72 неоднородной группы Лоренца в пре-
деле R—>оо, то мы назовем его представлением спина '/2 группы
де Ситтера. Отметим, что во вселенной де Ситтера импульс содержит
также спиновую часть.
Обобщенное уравнение Дирака должно быть линейным по импуль-
сам, которые здесь заменяются операторами момента Lab. Отсюда
следует, что уравнение должно иметь вид
Это уравнение было предложено Дираком в 1935 г. Оператор L
не является эрмитовым, так что нельзя ожидать, чтобы константа λ
представляла массу. Чтобы отделить ее мнимую часть, используем
некоторые тождественные преобразования. Мы можем написать
где
У=\-™**. (5.76)
Выражение (5.75) также можно представить в виде
1=—Ι+ΓΗψ^ΤΥβΥμ^μ^"1· <5-77)
Если теперь ввести матрицу-столбец η, определяемую как
,.,_!, 1-Τ-(ΥδΥμ*μ/2«) , ,~7R.
то уравнение (5.74) примет вид
Υ5ΥΛη=(λ-τ#)^· <5·79>

/ Введение в теорию групп
109
Теперь, поскольку оператор (γ5Υ>/\)2 эрмитов, мы должны получить
(λ-}--β-) = m2 = Действительное число. (5.80)
С другой стороны, введя новые матрицы Дирака
Υλ = 'Υ5Υλ.
можно переписать (5.72) в виде
Yx/Vi=="#(-*;2)'n- (5·81)
При R->co из (5.78) видно, что
lim η —ψ и lim <}>(x2)=l,
так что уравнение (5.81) в этом пределе переходит в обычное урав-
нение Дирака. Отметим, что (5.81) есть как раз та форма, которую
уравнение Дирака принимает в конформно плоской вселенной, зада-
ваемой метрикой (5.44). Таким образом, уравнение (5.81) есть обще-
релятивистская форма уравнения Дирака. Мы показали, что оно экви-
валентно теоретико-групповой форме уравнения Дирака (5.74), которая
теперь может быть переписана в виде
(тГ + W Wtt-ab) Ψ = «Ψ- (5·«2)
Инвариантность уравнения относительно 10-параметрической
группы де Ситтера в этой форме очевидна, в то время как в реля-
тивистской форме (5.81) она замаскирована. Причина заключается
в том, что ψ имеет простые трансформационные свойства:
ψ->5ψ,
в то время как вследствие преобразования (5.78) величины η не
обладают подобными простыми трансформационными свойствами отно-
сительно группы де Ситтера.
Нейтринный случай
Рассмотрим случай /к = 0; при этом уравнение (5.82) прини-
мает вид
(2*+γΥβγ*Ιβ6)ψ = 0. (5.83)
В форме (5.81) это соответствует уравнению
γΑη = °·
которое инвариантно относительно преобразования
η-^γ5η·

no
Φ Г ю р ш и
Отсюда вытекает, что уравнение (5.83) инвариантно относительно
преобразования
ty-+V(x)y5V(x)~lty или ψ->^-ψ, (5.84)
Где мы использовали для V выражение (5.76). Таким образом, опе-
ратор (l//?)va|a ведет себя при действии на ψ подобно оператору γ5.
Отсюда вытекает, что мы можем разложить ψ на правовинтовое
поле, определяемое как
yL = V (д) (-Ц1—) Г' (х)ф = -' + (У"//?) ψ, (5.85)
и на левовинтовое поле
% = V(х)(-Ц^)V' (*) Ψ = * ~{\aUm ψ. (5.86)
Каждое из них в отдельности удовлетворяет уравнению (5.83), так
что в пространстве де Ситтера мы имеем эквивалент обычным двух-
компонентным нейтрино.
Однако если пространство де Ситтера задано глобально урав-
нением псевдосферы
Ue = K2. (5-87)
то это пространство инвариантно относительно дискретной группы
1а-* — 1а- (5-88)
Это эквивалентно преобразованию
'Λ— ν£τ· (5·89)
Под действием этой группы
*/.-►**. Ψκ-^ψ£· (5.90)
Отметим, что этот принцип инвариантности специфичен для простран-
ства де Ситтера, так как преобразование (5.89) не имеет аналога
в пространстве-времени Минковского, когда R—>оо.
Если пространство де Ситтера допускает симметрию (5.89),
то должны существовать 4-компонентные нейтрино, так как условие
Λ _ Υ^Πψ^ο
не инвариантно относительно группы (5.89).
Известно'), что электронное нейтрино \е и мюонное нейтрино ν„
J) См. [52—54J. — Прим. ред.

1. Введение в теорию групп
111
можно рассматривать как одно 4-компонентное нейтрино, если
положить _
так что оба нейтрино являются левовинтовыми. Тогда дискретная
группа (5.89) в пространстве де Ситтера индуцирует преобразования
V —>V V —> V .
Однако пространство де Ситтера с метрикой (5.37) могло бы иметь
топологию дважды связной гиперсферы, т. е. быть похожим скорее
на групповое пространство группы 03, чем группы SU2. Тогда
группа (5.89) в подобной вселенной не существовала бы и также
не существовало бы левовинтового нейтрино. Этот пример показы-
вает, как топология вселенной в большом может проявить себя
в физике элементарных частиц.
Другой момент, который мы хотели бы подчеркнуть, это то, что
вся концепция элементарных частиц зависит от существования и
структуры группы движений. Мы характеризуем частицы их массами
и спинами, которые являются собственными значениями операторов
Казимира неоднородной группы Лоренца, справедливой только
в плоском пространстве-времени. Однако в данных космологических
обстоятельствах группой движений, имеющей более чем локальное
значение, уже больше не является группа Лоренца. В расширяющейся
вселенной группа де Ситтера представляет собой лучшее приближение
к группе движений, которую допускает вселенная в целом, чем не-
однородная группа Лоренца. Отсюда следует, что если мы хотим
отождествить частицу в какой-либо далекой галактике с частицей
в нашей солнечной системе, то представляется более естественным
использовать для описания таких частиц представления группы де Сит-
тера таким образом, чтобы собственные значения операторов Кази-
мира для этих частиц заметно не изменялись при применении к ним
операторов очень больших конечных смещений де Ситтера.
ЛИТЕРАТУРА1)
Общая
I П о н т р я г и н Л. С, Непрерывные группы, М., 1954.
2. H a m m e r m e s h M., Group Theory and Its Application to Physical Pro-
blems, London, 1964. (См. перевод: M. X а м е р м е ш, Теория групп и
ее применение к физическим проблемам, изд-во «Мир», 1966.)
3. W i g п е г Е. P., Group Theory and Its Application to the Quantum Me-
chanics of Atomic Spectra, New York —London, 1959. (См. перевод:
') Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редактором перевода.

112
Φ. Γюрши
Е. В и г н е р, Теория групп и ее применение к квантовой механике, ИЛ,
1947.)
4. Group theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics,
Lectures of the Istambul Simmer School of theoretical physics, New
York—London, 1964.
*5. Любарский Т. Я-, Теория групп и ее применение в физике, M., I953.
*6. X е й н е В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
*7. Б е й м а н Б. Ф., Лекции по применению теории групп в ядерной спек-
троскопии (перевод с английского), M., I963.
*8. Элементарные частицы н компенсирующие поля, сб. под ред. Д. Иванен-
ко, изд-во «Мир», 1964.
*9. Бурбаки Н., Алгебра, ФМ, I, 1962, II, 1965, III, 1966.
*Ю. Курош А. Ф., Теория групп, M., I953.
•11. Шевалле К., Теория групп Ли, т. I—III, ИЛ, 1948—1958.
*12. Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, М., 1940.
*13. Джекобсон Н., Алгебры Ли, изд-во «Мир», 1964.
*14. К а р т а н Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, ИЛ,
1949.
*15. Хельгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические про-
странства, изд-во «Мир», 1964.
*16. Эйзенхарт Л. П., Непрерывные группы преобразований, ИЛ, 1948.
*17. Же л о бен ко Д. П., Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965.
*1Ь. Вей ль Г., Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ,
1947.
*19. Вей ль Г., Интегрирование в топологических группах и его применение,
ИЛ, 1950.
£ /. Абстрактные группы
20. Ledermann W., Introduction to the Theory of Finite Groups (Oliver
and Boyd).
21. Lorn ont J. S., Applications of Finite Groups (Academic Press).
*22. Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, M., 1933.
*23. X о л л M., Теория групп, ИЛ, 1962.
£ 2. Представления групп ')
24. В о е г π е г Н., Group Representations, Berlin, 1955.
25. Little wood D. E., The Theory of Group Characters, Oxford, 1950.
*26. Μ у ρ η а г a η Φ. Д., Теория представлений групп, ИЛ, 1950.
') См. также математическую литературу к статьям 2—4 настоящего
сборника, — Прим. ред.

1. Введение в теорию групп
113
§ 3 и 4. Группы Ли
27. С а г t a n E., Oeuvres Complètes, Paris, 1952.
28. R а с a h G., Group Theory and Spectroscopy, Princeton, 1951 (препринт
ОИЯИ, R-I864, Дубна, 1964).
29. Статьи Шпаизера и Рака в [4].
*30. Мальцев А. И., Изв. АН СССР, сер. мат., 8, 143 (1944).
*31. Д ы н к и н Е. Б., Усп. матем. наук, 2 (4), 59 (1947).
*32. Д ы н к и н Е. Б., Максимальные подгруппы классических групп, Труды
Моск. матем. об-ва, 1, 39 (1952).
*33. Дынкин Е. Б., Математический сборник (новая серия), 30 (2), 349
(1952).
*34. Семинар «Софус Ли», Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, ИЛ, 1962.
*35. Дынкин Е. Б., Он и щи к, Усп. матем. наук, 10(4), 3 (1955).
*36. Г е л ь ф а н д И. M., H а й м а р к М. А., Унитарные представления клас-
сических групп, Труды матем. ин-та им. Стеклова, 36, 1950.
*37. Б е р е з и н Ф. А., Г е л ь ф а и д И. М., Граев М. И., H а й м а р к М. А.,
УМН, 9, № 6, 13 (1956).
*38. Граев М. И., Унитарные представления вещественных групп Ли, Труды
матем. ин-та им. Стеклова, 7, 335 (1958).
*39. Кириллов А. А., Усп. матем. наук, 17, 4 (1962).
*40. M а к к и Г., Бесконечномерные представления групп, Математика, 6, № 6,
57 (1962).
•41. К а р т а н Э., Теория спиноров, ИЛ, 1947.
*42. Рашевский П. К., Усп. матем. наук, 10, 2 (1954).
*43. В и л е н к и н Н. Я-, Специальные функции и теория предстаапений групп,
М., 1965.
Группа вращений
44. Schwinger J., On Angular Momentum, Nuclear Development Corp. of
America Rept. NYO-3071 (January 26, 1952).
*45. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления
группы вращений и группы Лоренца, М., 1958.
£ 5. Группа Лоренца
46. Статьи Вигнера и Мишеля в [4].
47. H а й м а р к М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958.
48. Pauli W., Continuous Groups in Quantum Mechanics (CERN lecture
notes).
Группа de Cummepa
49. Статья Гюрши в [4].
50. Gürsey F., Lee T. D., Proc. Nat. Sc. Sei., 49, 179, 1963.
*51. Fronsdal С, Rev. Mod. Phys., 37, 221 (1965).
Нейтрино
*52. Соколов А. А., ЖЭТФ, 33, 794 (1957).
*53. Соколов A. A., Phys. Letters, 3, 211 (1963).
*54. С о к о л о в А. А., Элементарные частицы, М., 1963.
8 Зак. 612

2
ПРОСТЫЕ ГРУППЫ И СИММЕТРИИ
СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Р. Берендс, Док. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли *
ВВЕДЕНИЕ
Один из наиболее естественных вопросов, возникающих при озна-
комлении с огромным количеством не связанных друг с другом дан-
ных по взаимодействию элементарных частиц, заключается в том,
может ли из этой сложной картины возникнуть какая-либо система-
тическая модель (см., например, [1]).
Проникновение лабораторных экспериментов в область энергии
порядка многих Бэв делает этот вопрос еще более острым. Было
предпринято несколько попыток (см., например, [2—9]) обнаружить
лежащую в основе сильных взаимодействий симметрию более высо-
кого порядка, чем существующие ныне симметрии, такие, как, на-
пример, изотопическая (см. [10—13]), которые уже выдержали экс-
периментальную проверку.
В этой статье мы предложим некоторые методы, которые ока-
жутся полезными при формулировке следствий, вытекающих из пред-
лагаемых симметрии несколько специального типа, а именно тех сим-
метрии, которые описываются простыми группами Ли. Поскольку
еще слишком рано устанавливать какую-либо окончательную сим-
метрию сильных взаимодействий, как ввиду недостатка эксперимен-
тальных данных, так и вследствие неопределенности теоретического
обоснования существования тех или иных симметрии'), то разви-
ваемый нами формализм будет достаточно гибок, чтобы вместить
в себя широкий диапазон возможных симметрии.
Большая часть материала представляет собой изложение теории
групп Ли, причем хотя большинство результатов уже хорошо из-
вестно, в изложении теории появятся некоторые новые черты. Так,
новым являются изложение методов объединения и разложения алгебр
Ли с точки зрения теории точечных множеств, явное построение
алгебр Ли, тензорный анализ групп В2 и 02 и возможная физическая
* R. Е. В е h г е η d s, J. D r e i 11 e i η, С. Fronsdal, W. Lee, Rev-
Mod. Phys., 34, No. 1, 1 (January 1962).
') В настоящее время общее признание получила модель, основанная на
регулярном представлении группы SU3. В этой связи см. [77—94], а также
лекции Пайса (статья 3 настоящего сборника). — Прим. ред.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 115
картина, связанная с группой В2. Значительная часть остального ма-
териала, возможно, неизвестна многим физикам (как это было с нами),
и поэтому изложение ее полезно в педагогических целях. Хотя наши
обсуждения непосредственно связаны с применениями к физике эле-
ментарных частиц, большая часть излагаемой техники уже использо-
валась раньше при теоретико-групповой трактовке атомной и ядер-
ной спектроскопии (см., например, [14—18]).
Прекрасный обзор элементарных свойств полупростых алгебр Ли
содержится в лекциях Рака [19], где рассматриваются как классифи-
кация полупростых групп по Картану [20—22], так и их линейные
представления. Полный и строгий вывод свойств полупростых алгебр
Ли можно найти в работах Дынкина [23—25], в то время как ори-
гинальная работа Вейля [26—27] по-прежнему остается стандартным
справочным руководством по теории представлений полупростых
групп. Для знакомства с тензорным анализом, связанным с конкрет-
ными группами, а также со схемами Юнга можно рекомендовать
книги Вейля [28—29]. Мы предполагаем, что читатель немного зна-
ком с теоретико-групповой трактовкой момента количества движения,
данной, например, Вигнером [30]. Наконец, мы даем различные
ссылки на основную математическую литературу [31—39]').
Касаясь физических применений теоретико-групповых методов,
мы немедленно сталкиваемся с задачей оправдания того особого под-
хода, который используется нами в вопросе о приписывании сильным
взаимодействиям определенных симметрии. Надежда на существова-
ние симметрии, отличных от тех, которые связаны с пространственно-
временной структурой, основана на том факте, что некоторые из
таких „внутренних" симметрии уже достаточно очевидны. Прежде
всего зарядовая независимость к настоящему времени прошла основа-
тельную экспериментальную проверку (см., например, [40]) и пре-
вратилась в общепризнанную симметрию. Симметрию другого рода,
несколько более загадочную, чем предыдущая, представляет собой
эквивалентность между электродинамическими [41, 42] свойствами
мюона и электрона и их свойствами при слабых взаимодействиях.
Обе эти симметрии требуют более подробного обсуждения.
Известно, что частицы, принадлежащие одному и тому же изо-
топическому мультиплету, обнаруживают замечательное подобие своих
свойств при сильных взаимодействиях. Различие в поведении и в мас-
сах членов изотопического мультиплета вполне естественно объяс-
няется зарядово-зависимым электромагнитным взаимодействием, кото-
рое проявляется в динамике сильных взаимодействий как слабое
возмущение. Понятно, что изотопическая симметрия нарушается
') Со своей стороны мы рекомендуем обзоры и монографии, добавлен-
ные при переводе к лекциям Гюршй и Фроисдела (см. статьи 1 и 4 на-
стоящего сборника). — Прим. ред.
Ь*

116 P. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
в случае ядер с большим Z. когда когерентное кулоновское поле уже
не может рассматриваться как возмущение. По аналогии с этим можно
высказать предположение, что основная симметрия существует, ска-
жем, среди барион-барионных взаимодействий, но что она ослаб-
ляется сравнительно слабыми нарушающими симметрию взаимодейст-
виями. Ответ на вопрос, при каких условиях нарушающее симметрию
взаимодействие будет сведено к минимуму, еще не ясен, так как этот
ответ, несомненно, зависит от природы нарушающего симметрию
взаимодействия. Конечно, весьма вероятно, что последнее взаимо-
действие, помимо других эффектов, ответственно также за различие
между массами барионов.
В случае динамической симметрии мюона и электрона не известно
взаимодействия, которое могло бы быть ответственным за нарушение
симметрии и тем самым объяснить разницу в массах. Большинство
физиков, по-видимому, считает, что специфическое различие во взаимо-
действиях мюона и электрона в конце концов проявит себя, даже
если современные условия эксперимента и не позволяют обнаружить
этой разницы. Если предполагаемая симметрия сильных взаимодейст-
вий походит на ту, которая существует между мюоном и электро-
ном, то она в принципе была бы различима даже при наличии ба-
рионных разностей масс, как это имеет место в случае мюонных
и электронных взаимодействий.
Резюмируя, заметим, что мы не в состоянии предоставить априори
какие-либо свидетельства в пользу существования симметрии сильных
взаимодействий, но можем лишь разделить широко распространенное
мнение, что подобные симметрии весьма вероятны и вовсе не пред-
ставляют собой чего-то беспрецедентного').
В § 1 излагаются некоторые элементы применения теоретико-
групповых рассуждений к взаимодействиям элементарных частиц для
пояснения физического смысла последующих параграфов. § 2 посвя-
щен сокращенному изложению теории групп Ли, причем во всех
случаях, когда это только возможно, предпринята попытка апелли-
ровать к физической интуиции. Затем (§ 3) следует построение и
изложение свойств линейных представлений групп Ли, пример кото-
рых, как мы надеемся, и представляют нам элементарные частицы.
В последующих двух параграфах (4 и 5) решается задача нахождения
определенных величин, характеризующих представления алгебр Ли,
в частности „весов" представлений, и производится разложение пря-
мых произведений представлений (обобщенные ряды Клебша — Гор-
дана). При этом используются два подхода: один преимущественно
геометрический (§ 4), второй — в основном алгебраический (§ 5).
§ 5 посвящен главным образом изложению тензорного анализа, свя-
занного с простыми группами. И, наконец, в § 6 рассматриваются
') См. примечание на стр. 115. — Прим. ред.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 117
физические применения математических построений предыдущих пара-
графов ').
§ 1. СИММЕТРИИ ЛАГРАНЖИАНА
Идея, лежащая в основе введения гейзенберговского понятия изо-
топического спина, состоит в осознании того факта, что нейтрон и
протон в конце концов совершенно аналогичны друг другу. Различия
в массе и в электромагнитных взаимодействиях малы, когда речь
идет о сильных взаимодействиях. Поскольку были известны только
два бариона, то „нуклону" была приписана дублетная структура.
Позднее, с открытием странных частиц, было обнаружено, как это
и отражено в их названии, что они обладают свойствами, столь от-
личными от свойств нуклонов, что отождествление протона и нейтрона
с дублетом было сохранено и не вызвало никакого сомнения. Когда
предпринимаются попытки ввести симметрии, позволяющие рассмат-
ривать частицы со значительно различающимися массами как состояния
одного и того же поля, то при этом, однако, никто не берет на себя
смелость категорически утверждать что-либо о числе частиц, кото-
рое необходимо включить в схему. Некоторые специальные предпо-
ложения об этом будут сделаны в последнем параграфе. Пусть и
обозначает число барионов, рассматриваемых как состояния одного
поля, т. е. принадлежащих одному супермультиплету. Обычно η бе-
рут равным восьми, если при этом включаются все открытые до на-
стоящего времени барионы [7, 8, 48, 49]. Это число может быть
меньше восьми, если барионы разделены на два или более супер-
мультиплета [50], или больше восьми, если включаются некоторые
еще не обнаруженные гипотетические барионы.
Пусть ψα, я = 1, 2 и, обозначает и-компонентное барионное
поле, каждая компонента которого представляет собой дираковский
4-спинор, и пусть ψα==ψ0+γ4· Свободный лагранжиан имеет вид
π
й° — "27 Σ Ψ° (Ρ — /m«) Ψα·
Во введении мы упомянули несколько точек зрения, согласно ко-
торым различие в массах в первом приближении можно считать не-
существенным. Если л масс положить равными друг другу, m1 = m2 =
==...= mn, то 80 будет инвариантен относительно множества ли-
нейных преобразований, действующих на набор ψα={ψ1 .. . ψη}.
') Относительно современного состояния вопроса о симметриях сильных
взаимодействий см. лекции Пайса (статья 3 настоящего сборника). — Прим.
ред.

118 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К Фронсдел, В. Ли
Действительно, пусть Uab — квадратная η Χ «-матрица; рассмотрим
преобразование
Очевидно, что лагранжиан % инвариантен тогда и только тогда,
когда матрица U унитарна, т. е. когда
Отсюда в матричном обозначении
ψ-»£/ψ, ψ-^ψ£/~\ UU* = U+U=\. (1.1)
Множество всех унитарных я X «-матриц образует группу1).
Это означает, что если U, V унитарны, то UV и U~l также уни-
тарны. Следовательно, йо инвариантен относительно группы унитар-
ных преобразований (1.1). Эта группа содержит инвариантную под-
группу, которая обычно называется барионной калибровочной груп-
пой. Любая унитарная матрица U может быть представлена в виде
U = е^М,
где φ—вещественный параметр, а матрица U унитарна и унимоду-
лярна:
гРи — игР =\, Detaf = 1. (1.2)
Инвариантность относительно калибровочных преобразований,
представляемых множителем ег<р, соответствует закону сохранения
барионов. Этот закон сохранения будет подразумеваться всегда вы-
полненным, и поэтому нет необходимости вводить в рассмотрение
калибровочные преобразования. Начиная с этого момента и далее,
мы будем иметь дело с такими матрицами преобразований, которые
являются как унитарными, так и унимодулярными. Множество всех
таких матриц образует группу2), обозначаемую SUn.
Взаимодействие между полями в общем случае будет нарушать
некоторые из симметрии свободного лагранжиана. Инвариантность
относительно SUn представляет собой максимальную возможную сим-
метрию между η барионами, и любая группа преобразований, допу-
скаемая взаимодействующими полями, является подгруппой группы SUn.
Чтобы систематическим образом исследовать различные интересующие
нас группы, полезно произвести беглый обзор некоторых разделов
') Эта группа носит название унитарной группы Un.
2) Это есть факторгруппа группы Un относительно калибровочной
группы.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 119
теории групп Ли. Основные понятия теории групп Ли и их представле-
ний кратко излагаются в двух последующих параграфах. Однако
предварительно мы скажем несколько слов о проблеме записи взаимо-
действий. Удобно рассмотреть какой-либо простой характерный пример
без всяких усложнений, так как в этом случае суть проблемы и
ее решение представятся наиболее наглядным образом. В качестве
примера рассмотрим случай инвариантного относительно группы SUS
взаимодействия типа Юкавы между 8 барионами и некоторым чис-
лом m бозонов. Лагранжиан взаимодействия имеет вид
8' = ψα(Γσ)α4,φσ.
где суммирование по индексу σ происхочит от 1 до т. Поле φσ
может преобразовываться, а может и не преобразовываться относи-
тельно SUS, но коль скоро трансформационный характер поля φσ
фиксирован, то в общем случае не всегда представляется возможным
найти такие матрицы (Г0)в6, чтобы лагранжиан й' оказался инвари-
антным. Чтобы ответить на вопросы такого рода, необходимо знать
теорию прямых произведений представлений и их разложений. Этот
вопрос рассмотрен с помощью одного метода в § 4 и с помощью
другого метода в § 5. В данном упомянутом выше конкретном случае
ответ состоит в том, что матрицы (Г0)й*, оставляющие S' инвариантным,
существуют только в двух случаях: когда все φσ инвариантны относи-
тельно SUS или когда поле φσ имеет по крайней мере 63 компо-
ненты [51].
§ 2. АЛГЕБРЫ ЛИ ПРОСТЫХ ГРУПП
Важным инструментом при изучении групп служит понятие инфини-
тезимального преобразования. Так как матрица U унитарна, то она
может быть представлена в виде exp(ieALA), где LA—эрмитова мат-
рица, а εΑ — некоторый набор непрерывных вещественных пара-
метров '). Для инфинитезимального преобразования экспонента может
быть приближенно представлена в виде')
U= \+izALA,
или
^,b = V + ^(^V- (2-1)
') Для унитарности К необходимо, чтобы выражение tAL было эрми-
товым. Иногда мы будем использовать неэрмитовы L ; в этом случае пара-
Δ
метры ε должны обладать надлежащими свойствами в комплексной пло-
скости.
2) Более подробно этот вопрос обсуждается в работах [31—39], см.
также [19], гл. 1.

120 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
Множество линейных комбинаций с произвольными комплексными
коэффициентами эрмитовых матриц LA, ассоциированных с преобра-
зованиями U, образует алгебру Ли данной группы. Матрица 1/аь
определяет матрицы (LA)ab единственным образом, и обратное также
почти правильно. Действительно, LA определяет U с точностью до
дискретного множества преобразований, коммутирующих со всеми
матрицами И1). Мы выбрали матрицу Μ унимодулярной, а отсюда
вытекает, что след матрицы LA равен нулю.
(LA)aa = 0. (2.2)
Согласно фундаментальной теореме, доказанной Ли и Энгель-
сом [31], структура группы полностью характеризуется коммутацион-
ными соотношениями между генераторами LA инфинитезимальных
преобразований
\LA. LB\ = CABDLD. (2.3)
где CABD носят название структурных констант и удовлетворяют
условиям
Сав == — СBAD (антисимметрия),
CabECefG + CbfECea° +"СРАЕСЕВ° = 0 (тождество Якоби). (2.4)
Можно найти много различных множеств матриц, удовлетворя-
ющих одним и тем же коммутационным соотношениям (2.3) с одина-
ковыми структурными константами. Подобные множества матриц могут
рассматриваться как различные реализации (или представления, см.
следующий параграф) одного и того же множества абстрактных
операторов. Единственное свойство последних состоит в том, что
они удовлетворяют определенным коммутационным соотношениям.
Мы будем выделять абстрактные операторы, например Н1, Еа и
т. д., чтобы подчеркнуть, что мы не имеем дела с какой-либо конк-
ретной реализацией.
Группа проста, если она не содержит инвариантных подгрупп2),
за исключением единичного элемента. Группа полупроста, если она
') См. книгу Л. С. Понтрягина [37], гл. IX, § 54. Например, в случае
группы SU2 мы находим, что оиа имеет ту же алгебру Ли, что и трехмер-
ная группа вращений Rs, хотя эти две группы отличаются тем, что враще-
ние на 2π является тождественным преобразованием в группе Rs. в то
время как в группе SCJ2 это есть —1.
2) Подгруппа есть подмножество элементов группы, обладающее груп-
повыми свойствами. Подгруппа S группы G является инвариантной под-
группой, если gSg~l принадлежит S для любого g из G и любого s из S.
В соответствии с традицией мы будем называть группу простой, если она
содержит только дискретную инвариантную подгруппу. Причиной этого
является то обстоятельство, что алгебра Ли подобной группы часто оказы-
вается простой. (Алгебра проста, если она не содержит инвариантных под-
алгебр.)

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия
не содержит абелевых (коммутативных) инвариантных подгрупп. Мы
избавились от абелевой инвариантной подгруппы (являющейся барион-
ной калибровочной группой) в самом начале. Различие между груп-
пами, содержащими абелевы инвариантные подгруппы, и группами,
которые их не содержат, основывается на том факте, что абелевы
подгруппы при обращении с ними доставляют с точки зрения теории
представлений больше беспокойства (см. [19]). Мы поэтому ограни-
чимся изучением простых групп'). Имеются определенные (рассмот-
ренные Ли и Янгом [48]) случаи простых или полупростых групп,
к которым добавлены дискретные преобразования. Подобные случаи
также должны быть приняты во внимание, но они не рассматрива-
ются в этой работе.
Полезно провести аналогию между возможными симметриями эле-
ментарных частиц и трехмерной группой вращений в обычной кван-
товой механике [30, 52—56]. В квантовой механике в случае сфе-
рически симметричного потенциала операторы момента количества
движения, являющиеся генераторами бесконечно малых вращений,
коммутируют с гамильтонианом. Но так как три оператора момента
количества движения не коммутируют друг с другом, то одновре-
менно может быть диагонализован только один из них — обозначим
его //,. Это линейный оператор, и поэтому собственное значение /У,
для сложного состояния равно сумме собственных значений, связан-
ных с каждой из компонент этого сложного состояния (в противо-
положность, например, свойствам оператора Ζ.2).
Сохранение в сильных взаимодействиях аддитивных квантовых
чисел электрического заряда и странности [57, 58] (или, что экви-
валентно, третьей компоненты изотопического спина и гиперзаряда)
установлено настолько хорошо, что любая представляющая практи-
ческий интерес группа должна содержать по крайней мере два ком-
мутирующих линейных оператора, собственными значениями которых
являются изотопический спин и гиперзаряд. Обозначим эти два опера-
тора через Ну и Н2. Так как предполагается, что рассматриваемая
группа является группой гамильтониана, т. е. каждый элемент группы
коммутирует с гамильтонианом, то операторы Нх и Н2 могут быть
диагонализованы одновременно с гамильтонианом, так что собствен-
ные состояния гамильтониана обладают определенными собственными
значениями операторов Нг и Н2, пропорциональными квантовым
числам /3 и гиперзаряда.
Число взаимно коммутирующих линейных операторов2) носит
название ранга группы. Ранг трехмерной группы вращения поэтому
') Изучение полупростых групп может быть без труда сведено к изуче-
нию простых групп.
2) Следует отличать от коммутирующих операторов группы (операторов
Казимира), которые нелинейны по L .

122 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
равен единице. Если ранг группы больше двух, то существует по
крайней мере еще один оператор, например Н3, который коммутирует
с Нг и Н2. Подобный оператор может смешивать состояния, которые
являются вырожденными, если принимать во внимание только опера-
торы W, и Н2. Среди восьми барионов только Л и Σ0 имеют одина-
ковый заряд и странность. Среди семи мезонов не наблюдается подоб-
ного вырождения. Таким образом, если оператор Н3 не зависит от
операторов Нх и Н2, то могут быть рассмотрены следующие воз-
можности:
1) Оператор Н3 действует одинаково на все восемь барионов')
и имеет иное собственное значение для других барионов или физи-
ческих состояний.
2) Оператор Нг смешивает наблюдаемые барионы с другими
физическими состояниями.
3) Оператор Нъ расщепляет вырождение состояний Л и Σ0, но
имеет вид аНх~\-ЬН2 для других шести барионов2).
4) Восемь барионов являются собственными состояниями опера-
тора Н3 с собственными значениями, которые не могут быть выра-
жены в виде аН1-\-ЬН2~\-с.
Случаи 3 и 4 иногда приводят к запрету некоторых наблюдаемых
процессов [51]. Хотя мы и не можем предложить каких-либо аргу-
ментов против первых двух возможностей, отметим, что для этих
случаев любая группа третьего ранга, описывающая барионы, будет
обладать подгруппой второго ранга, предсказания которой будут
менее жесткими. Если бы некоторые из этих предсказаний оказались
приемлемыми, то соответствующие группы высшего ранга стоило бы
подвергнуть более тщательному исследованию.
В случае момента количества движения знания коммутационных
соотношений, или алгебры Ли, операторов момента количества дви-
жения вполне достаточно для характеристики физического содержа-
ния, соответствующего факту сферической симметрии системы, напри-
мер, для классификации состояний, получения правил отбора и др.
Теперь предложим путь построения алгебр для всех простых групп,
ограничиваясь впоследствии группами второго ранга.
Назовем число независимых элементов алгебры порядком (г)
группы, или размерностью алгебры. Конкретный выбор г линейно
независимых операторов образует базис алгебры Ли. В качестве
иллюстрации рассмотрим трехмерную группу вращений R3. Порядок
') Или, что эквивалентно, имеет вид Н3 — аН{ -\- ЬН2 + с.
2) Собственные состояния оператора Я3 в этом случае представляли бы
собой линейные комбинации состояний Λ и Σ, как в дублетной симметрии
Пайса [5]. Модель, основанная на семимерной группе вращений, попадает
в эту категорию [6, 8]. Пайс показал, что схема дублетной симметрии при-
водит к трудностям (которые присущи и модели, основанной иа группе Rr)
[59].

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 123
группы равен 3, и в качестве базиса обычно выбираются операторы
Тх, Ту и fг. Вместо этого мы можем выбрать базис следующим
образом. Возьмем оператор fil = Tz и рассмотрим „задачу на соб-
ственные значения":
[Гг. Ёа] = г(а)Ёа.
„Собственными векторами" являются операторы E±i=T± = Τх ± iTy
с „собственными значениями" г(±1)=± 1 (Т+ и Г_ представляют
собой „повышающий" и „понижающий" операторы). Операторы Τ ±,
Τ'_ и Тг образуют базис алгебры. Заметим, что в то время как
в обычном представлении операторы Тх и Ту эрмитовы, операторы
Т+ и Τ_ неэрмитовы; они связаны друг с другом операцией эрми-
тового сопряжения1).
Для простых групп ранга I базис алгебры может быть выбран
таким образом, чтобы I элементов этого базиса Ну, .... Ht комму-
тировали друг с другом2):
[/?.. Н,) = 0, i,j = l, 2 I. (2.5)
В качестве остальных элементов базиса могут быть выбраны г — /
элементов Еа данной алгебры, удовлетворяющие коммутационным
соотношениям
[/?!. 41 = П (α) Ёа, (2.6)
где г [(a)—1-я компонента корня г (а), т. е. компоненты г [(а)
образуют „вектор" в /-мерном корневом пространстве. Если г (а) —
корень, то — г(а) = г(—а) также является корнем, и мы обозначим
соответствующий оператор через Е_а. Затем можно показать, что
[4. E_a\ = CatjHl. α=± Ι, ±2, .... ±±(r-l), (2.7)
а также
'уЕа, £'р]=Сар £у (суммирования нет), (2-8)
если г (у) = г (a) -j- r (β) есть не равный нулю корень; в противопо-
ложном случае [Еа, Е„] = 0. Эти утверждения легко могут быть
проверены для группы R3. Оператор //,· можно нормировать так,
чтобы
2]г;(о)г;(а) = 6,у. (2.9)
') См. примечание 1 иа стр. 119.
2) Элементы Ηλ /// образуют так называемую максимальную ком-
мутативную подалгебру Картана. —Прим. ред.

124 Р. Б e ρ e н д с, Д ж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
Тогда
са,-аг = г<(а) = ^(а), (2.10)
так что
[4· £-J = '-/(a)W/· (2.11)
Совокупность этих результатов дает стандартную форму комму-
тационных соотношенийа):
[Й,. Hj] = 0.
[Η,. Ea] = ri(a)Ea,
[£„. E_a]^rl(a)Ht,
если /■ (γ) = r (a) -f- r (β) есть корень, отличный от нуля; /V = Са „ν.
Явная форма Ναβ задается уравнением (2.14)2).
Графическое изображение корневых векторов носит название
корневой диаграммы. Все простые группы могут быть классифици-
рованы по своим корневым диаграммам [60]. Так как корни и струк-
турные константы Ναβ могут быть легко найдены для всех простых
групп на основании соответствующих векторных диаграмм, то мы
опишем более подробно векторные диаграммы для простых групп
второго ранга. В построении векторной диаграммы центральную роль
играет следующая теорема.
Теорема3). Если г (а) и г (β)— два корня, то 2 [г (а) · г (β)]:
: [г (а) · г (а)]— целое число и г (β)—2r(a)[r(a) ■ r(fS)]j\r(a) р также
является корнем.
Графически это означает, что новый корень г (β) — 2г (а) [г (а)Х
Хгф)]/|г (а) р может быть получен из г (β) посредством отражения
относительно гиперплоскости, перпендикулярной корню г (а)4).
Предположим, что имеется два корня, г (а) и г (β), и пусть
φ — угол между ними. Тогда из теоремы вытекает, что
Γ(α)·Γφ) = -5-«|Γ(α)Ρ=1«|Γ(β)Ρ. (2.13а)
') Построенный базис алгебры носит название базиса Картана — Вейля. —
Прим. ред.
2) Константа Ν^ равна нулю, если корень г (\) = г (а) + г (β) равен
нулю или вообще не является корнем. — Прим. ред.
3) См.. например, [19], стр. 21.
4) Группа всех подобных отражений корневой диаграммы носит назва-
ние группы Вейля, —Прим. ред.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 125
где m и η — целые числа. Отсюда получаем
,с2т =
cos2(p= -r-mn.
(2.136)
Мы видим, что φ может принимать только значения 0, 30, 45, 60
и 90°. Из уравнения (2.13а) следует, что отношение длин двух век-
торов равно УЪ для 30°, У"2 для 45°, 1 для 60° и неопределенно
для 90°.
Легко видеть, что единственно возможными совместными с урав-
нениями (2.13а) и (2.136) двумерными диаграммами, соответствую-
щими простым группам второго ранга, являются диаграммы, изобра-
женные на фиг. 1. Первая из них соответствует трехмерной
ГСЗ)
г(-1) V
Г(21
/
V
г("
3)
-J- -J- О -L· -L
re»,
r(6) r(5>
r(-l).
Г(-2)Г(-3)
r(3) r(2)
ri-5) rh6)
Л'"?
J3—L с — U
' a z<li i\/3 i
I
2i/3
0
I
2/3
r
r(4)
4
r(-0 \
/
rt-2)
(3)
Г (21
/
/ rdi
\
" 1 1 ri73> 1 I
JS 2V5" U 2у/3 S3
Фиг. 1. Корневые диаграм-
мы.
β —группа Si/8; б —группа С8:
в —группа Ог.
специальной унитарной группе SU3(A2); вторая—пятимерной ортого-
нальной группе 05(В2), которая изоморфна также двумерной
симплектической группе Sp2(C2); последняя диаграмма соответствует
исключительной группе G2. Обозначения в круглых скобках исполь-
зовались Картаном. Число параметров группы (порядок) равно сумме
числа корневых векторов и ранга группы: SU3—8-параметрическая
группа (6—J—2); 05— 10-параметрическая группа и G2— 14-параме-
трическая группа.
Коль скоро векторная диаграмма простой группы известна, по-
строение стандартной формы коммутационных соотношений (2.12)
осуществляется тривиально на основании следующей теоремы.

126 Р. Б еренд с, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
Теорема1). Образуем последовательность коммутаторов [Ё„, Ёа\,
[[Ер, Ёа\, Ёа], ... и [£р, £_„], [[£р, B_J, Ё_а) .... где г (β) Φ ±
± г (а).
Эти последовательности должны быть конечны. Последовательности
операторов для Ёк порождаются аналогичным образом. Пусть
г (λ) = г (β)—mr(a), /-(p)-(m—1)/·(α) г (β), .... г (β) -|- nr (α)
есть последовательность соответствующих не равных нулю корней.
Тогда
ΛΓαβ = ± [I (т + 1) η\г (а) р]'А. (2.14)
Здесь сигнатура Л/ должна быть выбрана таким образом, чтобы
^ap = -V = -^-"· -Ρ' (2Л5>
В качестве примера построим стандартные коммутационные соот-
ношения для группы SU3. Обозначим корневые векторы как на
фиг. \,а, где длины векторов г (а) нормализованы согласно урав-
нению (2.10):
2 г; (а) гj (а) = бу.
а
Рассмотрим коммутатор [£,, Ё3]. Так как г(3)-)-г(1) есть корень,
в то время как r(3)-f-2r(l) не является корнем, то я= 1; поскольку
г(3) — г(1) не является корнем, то ш = 0. Мы выбираем знак таким
образом, чтобы 2)
Уравнения (2.15) и (2.16) позволяют определить остальные пять
констант:
^_3,_1=Ν3,_2 = Λ^_2Ι1=^2,_3 = ^_1,2 = |/Ι. (2.17)
Корни равны
r(1)==w0,0)·
r(2) = ^=(l. VI). (2-18)
') См., например, [19], стр. 24.
2) Число знаков, которые могут быть выбраны независимо, равно числу
различных пар таких корней с положительными а, суммы которых также
являются корнями.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 127
Константы Λ/αβ и выписанные выше корни полностью определяют
коммутационные соотношения после того, как соответствующие вели-
чины будут подставлены в уравнение (2.14).
Константы Nyr, для групп С2 и G2 должны быть выбраны сле-
дующим образом (обозначения корней соответствуют фиг. 1, б и в):
С2: Л/24 = Л/4> _2 = Л/_4, _2 = N% _4 = Л7Ь4 = Л^, = Л/_2,з ==
= ^3,-4 = W-1.2 = ^-4,-I = JV4,-S=^-3,2=>-/r-g-. (2-19)
G2: /V26 = ЛГ4, _6 = N_2,4 = N% _, = 7V3, L = Л/_2_ 8 = N5_ _6 =
= ^1.в = Л/-,,в = ^з.-4 = ^-3.4 = ^-3.-5 = -^· (2-20)
^1.5 = ^3.-5 = ^-1.3 = 1^-5-
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР ЛИ
А. Общие свойства представлений
В предыдущем параграфе мы рассматривали г инфинитезимальных
операторов группы Ли и их коммутационные соотношения с абстракт-
ной точки зрения, не используя явную форму операторов. Чтобы
установить связь с физическими ситуациями, необходимо ввести спе-
циальные реализации этих операторов. Если мы с каждым из опе-
раторов Н[ и Еа связываем матрицу так, чтобы эти г матриц удо-
влетворяли коммутационным соотношениям для г операторов, то
говорят, что эти матрицы образуют представление группы 1). В по-
следующем символы Н1 и Еа обозначают матричное представление.
Размерность этих матриц N носит название размерности (или степени)
представления. Если г матриц некоторого определенного представле-
ния могут быть одновременно приведены к ящично-диагональной
форме преобразованиями подобия, то говорят, что представление раз-
ложимо (или вполне приводимо) на представления меньшей размер-
ности. Если это невозможно, то представление называется непри-
водимым 2).
На основании коммутационных соотношений мы видим, что Ht
коммутируют между собой, т. е. возможно диагонализовать эти Ζ
') Представление называется точным, если соответствие между L и L
одно-однозначно. Для простых алгебр все представления, за исключением
единичного представления (Ζ.^ = 0), являются точными.
") Некомпактные группы ие имеют конечномерных унитарных предста-
влений (см. книгу Понтрягина [37], гл. III). Поэтому все допускаемые нами
группы компактны. Представления компактных групп либо неприводимы,
либо вполне приводимы.

128 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
матриц одновременно. Мы выберем представление, в котором Н, диа-
гональны, и обозначим через ψ Л/-компонентный базисный вектор.
Собственные функции и собственные значения операторов Н1 опре-
деляются соотношением
/-компонентный вектор m = (ml, /я2, .... »г;) называется весом
[20—22], а /-мерное векторное пространство, натянутое на множество
весов, называется весовым пространством.
Для лучшего интуитивного понимания происходящего рассмотрим
изоспиновую группу вращений. Коммутационными соотношениями здесь
является обычный набор соотношений коммутаций для операторов
количества движения. Известно, что только одна из матриц может
быть диагонализована в данный момент времени (она будет затем
соответствовать матрице //,, 1=1, для этой группы), и собственные
значения этой матрицы являются компонентами изотопического спина.
Матрицы £, и Е_г в этом случае пропорциональны обычным повы-
шающим и понижающим изоспиновым операторам. Эта алгебра есть
единственная простая или полу простая алгебра ранга 1. Три группы
ранга 2 (/ — 2) были описаны выше, а именно группы В2, С2 и SU3.
Для этих групп мы могли бы отождествить собственные значения
операторов И1 и Н2 с третьей компонентой изотопического спина и
с гиперзарядом ') Y = N \-S, т. е. с двумя „хорошими" квантовыми
числами как для сильных взаимодействий, так и для электромагнит-
ных взаимодействий. Тогда векторы ψ, которые представляли бы
различные частицы или состояния, характеризовались бы своими соб-
ственными значениями для операторов Н^ т. е. весами т. Векторы ψ,
имеющие различные веса, очевидно, линейно независимы, так что
имеется по крайней мере N различных весов. Если вес принадлежит
единственному собственному вектору, он называется простым (.для
групп ранга больше единицы не все веса просты).
Рассмотрим веса более детально. Весьма полезна следующая очень
важная теорема.
Теорема 2). Для каждого веса m и корня г (а) величина
2т · г (а)/ г (а) · г (а) есть целое число, и m' = m—г (α) 2m · г (а)/г (а) X
X г (а) также является весом, причем он имеет ту же кратность, что
и т. Легко можно проверить, что эта процедура получения веса т'
из веса т соответствует геометрически, в весовом пространстве,
отражению веса m относительно гиперплоскости, перпендикулярной
корню г (а). Говорят, что веса эквивалентны, если они связаны
') Здесь 5 — квантовое число странности, а N — бариониое число. Это
обычное определение гиперзаряда, хотя некоторые авторы определяют его
как 42{N-\-S).
2) См., например, лекции Рака [19], стр. 35.

2. Простые группы и симметрии си гьного взаимодействия 129
отражениями или произведением отражений. Отражения и произведе-
ние отражений дают множество эквивалентных весов. Группу, поро-
ждаемую этими отражениями, мы обозначим через 5').
Говорят, что вес m старше, чем вес т', если первая ненулевая
компонента веса m — m' положительна, т. е. если т1 — т'х = 0 и
т2 — т2 ^ ®' то вес m стаРше> чем т'- Доминантный вес — это
старший член во множестве эквивалентных весов, и старший вес —
это доминантный вес, который старше, чем любой другой доминантный
вес в представлении. Для неприводимого представления старший вес
всегда простой 2). Это понятие старший вес полезно вследствие того,
что два неприводимых представления, связанные преобразованием по-
добия (такие представления называются эквивалентными), имеют
один и тот же старший вес и наоборот.
Что касается доминантных весов, то Картан [20—22] доказал,
что для каждой простой группы ранга I имеется / фундаменталь-
ных доминантных весов М(1) ... M(Z), таких, что любой другой доми-
нантный вес Μ есть линейная комбинация:
i
Μ = 2 λ|Μ(0 = Μ (λΧ λ,), (3.1)
где λ£ — целые неотрицательные коэффициенты, и что существуют /
фундаментальных неприводимых представлений, для которых фун-
даментальные веса являются доминантными весами 3).
Возвратимся теперь к группе изоспина. Веса т здесь равны + /3
(в этом случае весовое пространство одномерно, так как группа
имеет ранг / = 1). Вес —/3 получен из веса /3 отражением относи-
тельно „плоскости", перпендикулярной корню г(1), и поэтому /3 есть
доминантный вес. Для каждого веса /3, возникающего в неприводимом
представлении, будет существовать соответствующий вес —/3, экви-
валентный ему и имеющий ту же кратность. Фундаментальный доми-
нантный вес есть ]/г· чтобы 2т ■ г (а)/г (а) · г (а) было целым числом
для всех весов. Старший вес есть / = λ1Ι2, где λ —■ неотрицательное
целое число, и является простым для неприводимого представления.
Соответствующие положения для групп ранга 2 будут установлены
несколько позже.
Чтобы отличать различные неприводимые представления группы,
Вей ль интенсивно использовал понятие, называемое характером. Это
функция / действительных переменных φ1, .... φ1, определяемая как
% (ф1 Ф1) = Sp exp (iHfpf) = Σ exp V (#*Ф')/]·
') Эта группа была впервые введена Вейлем [271, стр. 338.
*) См. [19], стр. 37.
3) Действительно, каждый вектор Μ определяет единственным образом
неприводимое представление с Μ в качестве старшего веса.
9 Зак. 612

130 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
где в последнем выражении подразумевается, что (#г)а* находится
в диагональной форме. Так как след матрицы инвариантен относи-
тельно преобразований подобия, то характеры двух неприводимых
представлений равны тогда и только тогда, когда эти два предста-
вления эквивалентны. В частности, представление и его комплексное
сопряжение эквивалентны тогда и только тогда, когда след дей-
ствителен.
Вейль дал явную формулу для вычисления характера любого пред-
ставления любой простой группы, а именно
Χ (λ,· φ) = -|^-. Ι (λ,) = V 65 exp [i (SK) ■ φ], (3.2)
s
где сумма берется по всем операторам отражения 5, определенным
выше, и os = -(-l для четного и —1 для нечетного числа отражений.
Если вектор R определен как
R==?Sr(ct) <3-3)
а, +
(здесь сумма берется по положительным корням, т. е. по тем корням,
у которых первая ненулевая компонента положительна), то К есть R
плюс старший вес представления М:
K = R + M(Xi λ,). (3.4)
Из приведенного выше определения характера как следа очевидно,
что характер может быть также представлен в виде
УХЧ 4>) = X\melm\ (3.5)
m
где суммирование производится по всем весам, а число Vm определяет,
сколько раз встречается вес пл, т. е. представляет кратность веса.
Для φ = 0 характер точно равен размерности представления, т. е.
Ν(λ1) = Σνη>=Χ(Κ Ο)· (3.6)
m
Изложенное можно пояснить примером, сославшись еще раз на
группу изоспиновых вращений. Для этой группы имеется один по-
ложительный корень г(1)= 1, поэтому R= '/2, М=/ = Х'/2· Таким
образом,
κ=4(λ+1)=/-+4·
Так как в этом случае существует только одно отражение, то
ξ(λ) = 6'(/ + '/2,<Ρ — β-'(/+'Λ)Φ

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 131
ei (/+W<P_e-'</+'/«> «Р J
*<λ· Ф)= ' e-Atg._g-V,iq. ' Α = -2λ·
Легко показать, что это равно
+/
Χ(λ, φ)= Σ е1,м.
h—r
так что кратность каждого веса равна единице: Vm = 1 · Размерности
неприводимых представлений равны Ν = %(λ, 0) = 2/ —(- 1.
До сих пор, чтобы отличать различные собственные векторы или
базисы, у нас имелось / целых чисел (λ, λΖ), которые должны
образовывать старший вес М. Эти числа позволяют различать пред-
ставления различных размерностей так же, как и неэквивалентные
представления одинаковой размерности. Однако в рамках данного
неприводимого представления нам необходимо еще дополнительно
i/2(/-—3/) чисел μ = (μ,, μ2 М-'/г (г—зг>). чтобы уметь отличать
различные собственные векторы, принадлежащие одному и тому же
весу [19J. Задав эти числа, можно было бы определять явную форму
матричного элемента
ф+(М, т, μ)Εαψ(Μ, т', μ') = /(Μ, щ, т', μ, μ')·
Например, в случае группы изоспиновых вращений '/г (г — Щ = О·
так что нет нужды в дополнительных числах. Искомый матричный
элемент хорошо известен [52]:
ψ+ (/, /,о /+ψ (/, /зО=[■§■(/- /зО (/+h) J1' б/з ,,+1.
Мы покажем, как для групп большего ранга можно обойти необхо-
димость нахождения операторов, собственные значения которых опре-
деляются числами μ.
До сих пор мы пользовались в качестве примера группой изо-
спиновых вращений. Продемонстрируем теперь изложенный метод при
помощи групп второго ранга SU3, G2 и С2.
Б. Характеры представлений группы SU3
Чтобы 2т · г (а)/г (а) · г (а) было целым числом для произволь-
ного веса m = (mv т2) и любого корня г (а), необходимо выполне-
ние соотношений /^ = (1/2 |/"3)(c + i) и т2~1[6(а — Ь), где с и ft—
целые числа. Таким образом, m= 1 /6с (]/3, l)-f 1/6* (уТ, —l).
Заметив, что как 1/6 (|^3, l), так и 1/6(1/3, —l) лежат в плоскости,
перпендикулярной корню, мы видим, что каждый из них принадлежит
9*

132 Р. Б е ре нд с, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
множеству из трех эквивалентных весов и является в этом множестве
доминантным весом, именно фундаментальным доминантным весом.
Таким образом,
Μ(λ„ λ2) = 1λ1(/3, 1) + -1λ2(/3, -i).
Величина R для SU3 равна
R = i.Vr(a) * (i, о),
a, +
так что К есть
к = м + r = j (У~31г и- уз λ2+2 Уз, λ! — λ2).
Таким образом, ξ(λ1ρ λ2) можно записать в виде
Ι (λ,, λ2) = exp -g-1 [(λα -f λ2 + 2) Υ3~φ, -f (λ1 — λ2) φ2] —
- exp 1 / [- (λ, + λ2 + 2) Υ3 φ, + (λ, - λ2) φ2] -
-εΧΡ1/[(λ2+1)/3φ1-(2λ1+λ2+3)φ2] +
+ exP ^1 [- (λ2 + 1) /3 φ, - (2λ, Η- λ2 + 3) φ2] —
— exp 11 [(λ, + 1) Υ 3 φ, + (λ, + 2λ2 + 3) φ2] +
+ exp ^ / [— (λ, + 1) /3 φ, + (λ! + 2λ2 + 3) φ2].
Деление £(7vj, λ2) на ξ(0, 0) для получения характера в форме
zj Ym exP (Ли · φ) является нетривиальной задачей для данной группы.
В следующем разделе мы обсудим методику решения этой проблемы.
Прежде всего найдем размерность N неприводимых представлений.
Выражая ее через характер, имеем Ν = γ(λ1, λ2, <р1=Ч,2==0)· Так
как ξ, (λν λ2) = 0 для φ, = φ2 = 0, то используем правило Лопиталя [61]
и найдем
^ = [14-^-(λ1 + λ2)](1+λΙ)(1+λ2).
Чисел λ1 λ^ достаточно для отождествления представления.
Поэтому мы будем обозначать представление через D (λ,, λ2) [или
иногда как D(XV λ2) или D(;V)]. Таким образом, D( (1, 0) обозначает
одно из трехмерных представлений, в то время как Dy (0, 1) обо-
значает комплексно сопряженное (у*) неэквивалентное трехмерное
представление.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 133
Отметим, что /* = / только для значений λ1==λ2')- Таким об-
разом, только в этом случае комплексно сопряженные представления
эквивалентны. На фиг. 2 представлены весовые диаграммы для не-
которых представлений наименьшей размерности группы SU3. Сплош-
ные линии со стрелкой изображают весовые векторы, в то время как
пунктирные линии, перпендикулярные корням, изображают плоскости
отражений, оставляющих весовую диаграмму инвариантной (множество
определенных выше операций S). Трехмерные представления D (1, 0)
и D( (0, I) являются фундаментальными неприводимыми представле-
ниями, a D()(l, 1) — регулярным представлением2).
В. Характеры представлений группы 02
Чтобы 2т · г(а)/г(а) ■ г (а) было целым числом для произвольного
веса m^i/ttj, /Яг) и любого корня г (а), необходимо выполнение
УСЛОВИЙ ffij = и m2 = l/4b, где а и b — целые
числа. Таким образом, т = (с/2|/"з)(1. 0)-f(*/2 У~3)(3/2. ]/з/2)·
Замечая, что оба веса (1/2/з)(1, 0) и (l/2 |/"з)(3/2, j/"3/2)
лежат в плоскости, перпендикулярной корню, мы видим, что каждый
из них принадлежит множеству из 6 эквивалентных весов и является
в этом множестве доминантным весом, а именно фундаментальным
доминантным весом. Таким образом,
Μ (λ,. ^ = -^(1. 0) + ^=- (3, УЗ).
Величина R для группы 02 равна
') Это следует из тождества Χ*(λ,, λ2) = Χ(λ2, λ[), которому удовлет-
воряют характеры группы S(73.
2) Регулярное представление является очень важным и играет исключи-
тельную роль в последующих параграфах. Оно определяется отображением
ЬД -> — С , где компоненты матриц С представляют собой структурные
константы С D. В том, что эти матрицы образуют представление, можно
убедиться, переписав тождество Якоби (2.4) в виде С, 1С® — CD/C, °=
=—C^fi C£ . Можно легко доказать, что регулярное представление являет-
ся неприводимым тогда и только тогда, когда группа проста. [О различных
употреблениях термина „регулярное представление" см. лекции Гюрши
(статья I, стр. 48, 74) и Фронсдела (статья 4, стр. 334) в настоящем сбор-
нике. — Прим. ред.]
так что

134 Р. Б с ре н д с, Дж. Д ρ е йт л е йн, К. Фронсдел, В. Ли
1
3
0
г
3
т'2
1
~ 1
1
1 1 1
.1 О 1 Ят,
D^'O.O), М = Ш,1).
61
4
3
3
0
?
3
"Z
>v
>
J^
1 I
*»
yr
<
' >k
., -i 0 i- / J5m,
ε
-i e < ^,
-,'3),.
δ
~' ~2 0 j I y/3m,
0Юа,1). Μ=ψ(,,0).
2
3
0
/
3
4
3
"Ζ
-ч
^
>
**
t I
<
■ 1 . Г
0ГС'(2,£У, M=^T,f).
V^>77,
Фиг. 2. Весовые диаграммы группы SU3.
Сплошные линии со стрелками обозначают весовые векторы:
пунктирные линии изображают плоскости отражения.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 135
Тогда ξ, (λ,, λ2) можно записать в виде
Ρ (λ , λ2) = [^(2λ,+3λ!+5)<ρ1/4 Ι/Τ_β-<(2λ1+3λ2+5)φ,/4^"3]Χ
у/ [g/i^+ljqi,/4 —£-'"(*2 + l)W4] —
[β/(λ,+3λ2-Η)φ,/4 /"3 β~/(λ,+3λ2+4) φ,/4 У~з"j y^
у/ [β/(λ,+ λ3 + 2) φ2/4 β-/(λ,+λ2 + 2) фг/4] _|_
_^_ \el (λ, + 1) Φ,/4 Κ~3 e-l (λ, + 1) <ρ,/4 /Τ] у
γ \el (λ,+2λ2+3) φ2/4 e-l (λ,+2λ2+3) φ^
Размерность Ν неприводимых представлений равна ^V = χ(λ^, λ2,
φ1 = φ2 = 0). В результате
N = (1+М(1+λ2) [l+|(λ]+λ2)] [l+|(λ,+2λ2)] Χ
Χ [l + \ (λ, + 3λ2)] [l -f- |(2λ, + 3λ,)].
Отметим, что γ* = Χ, так что представления, связанные комплекс-
ным сопряжением, всегда эквивалентны.
4 т.
2*/Згп,
"
ZJJm
D v,o),M-^=(i,o)
а
δ
Фиг. 3. Весовые диаграммы группы G2.
Сплошные линии со стрелками обозначают весовые векторы; пунктирные линии
изображают плоскости отражения.
На фиг. 3 изображена весовая диаграмма для 7- и 14-мерных
представлений группы G2. Сплошные линии со стрелкой обозначают
весовые векторы, в то время как пунктирные линии, перпендикуляр-
ные корням, изображают плоскости отражений, оставляющих весовую
диаграмму инвариантной (определенное выше множество отражений S).
Эти два представления являются фундаментальными неприводимыми

136 Р. Бсрендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
представлениями группы G2, a El· (0,1) есть, кроме того, также
регулярное представление1).
Г. Характеры представлений группы С2
Чтобы 2т - г(а)/г(а) · г (а) было целым числом для произвольного
веса m = (mv m2) и любого корня г (а), необходимо выполнение
условия т, = (2 /3) (а-\-Ь) и m2=ft/2 /3, где а и Ъ — целые числа.
Таким образом, т = (с/2/3)(1, 0) +(ft/2)/3)(1, 1). Замечая, что
оба веса, (1/2 /3)0, 0) и (1/2 /3)(1, 1), лежат в плоскости, пер-
пендикулярной корню, мы видим, что каждый из них принадлежит
множеству из четырех эквивалентных весов и является в этом мно-
жестве доминантным весом, именно фундаментальным доминантным
весом. Таким образом,
Величина R для группы С2 равна
R = -4=r(2, 1),
так что
K = R + M = —^-(^ + ^ + 2. λ2+1).
Тогда \ (λ^ λ2) можно записать в виде
1(1и λ2) = \е1 (λΙ+λ*+2> φ·/2 У* — е-г (λ,+λ,+2) φ,/2 VT] у^
X Lm^s+D Ф2/2У~з е-i^+i) «рз/гУз"!
Ге'(^+1)Ф!/2КТ_. e-i(^ + l)<p2(2 V"3~)]x
X Li (λ,+λ,+2) φ2/2 VS с- i (λ,+λ2+2) ф2/2Уз1
Размерность неприводимых представлений ^V = χ(λ^, λ2, φ, — (р2=0)
есть
Λ^ = (1+λ1)(1+λ2)[1+1(λ1+λ2)][1+1(λ1+2λ2)].
Отметим, что Х* = Х> так что представления, связанные комплексным
сопряжением, всегда эквивалентны.
На фиг. 4 изображены весовые диаграммы для 4-, 5- и 10-мер-
ных представлений группы С2. Сплошные линии со стрелкой обозна-
чают весовые векторы, в то время как пунктирные линии, перпенди-
кулярные корням, изображают плоскости отражений, оставляющих
') См. примечание 2 на стр. 133.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 137
весовую диаграмму неизменной (определенное выше множество отраже-
ний S). 4- и 5-мерные представления, £/4)(1, 0) и Ef0' (0, 1) являются
Z/3/т;
-I U
0
U V.0),tA=J=U,0)
гл1
1
Зтг
0
-1
ч
ч
' 1
! /
1 у
1 У
\
1 "
JS\
y/Sm,
D (0,1), Μ=^('.'λ
2
1
ΖΙ3τπ2
0
-;
-2
Ι
,
\
\
ν
\
У
•
.
У
•
У
*
/
\
ч
\
\
Ι
Ι
-/
ο
Φ и г. 4. Весовые диаграммы группы С2.
Сплошные линии со стрелками обозначают весовые векторы;
пунктирные линии изображают плоскости отражения.
фундаментальными неприводимыми представлениями группы В2, в то
время как и· '(2, 0) есть регулярное представление1).
Д. Синтез представлений алгебр Ли
Для физических приложений необходимо иметь явный вид матрич-
ных представлений алгебр Ли малых размерностей. В предыдущем
разделе было отмечено, что непосредственное обобщение излюблен-
») См. примечание 2 на сгр. 133.

138 Р. Б е ре нд с, Д ж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
ного метода построения матричного представления группы ранга 1
оказывается несколько громоздким для групп высшего ранга. Из не-
скольких возможных методов, обещающих некоторое облегчение, мы
выберем метод, использующий понятие тензорного произведения.
В этом методе как часть полученных результатов появятся обобщен-
ные коэффициенты Клебша — Гордана').
В качестве подготовительного упражнения вспомним некоторые
факты относительно группы SU2. Пусть базис неприводимого пред-
ставления D(J), единственным образом характеризуемого полным
моментом количества движения У(У-(-1), обозначается через tyMJ, где
J—■ целое или полуцелое, а М изменяется на целые значения от J
до —J. В частности, выберем представление D(l/2) спина 1/2, старший
вес которого есть фундаментальный доминантный вес группы SU2.
Тогда представление задается при помощи матриц Паули2)
2 Λ + 2>^2 2]^2
0 1λ /0 — /\ /1 0\ (3·7>
1 ο;· °2^~\i oy ^-\o -1
а базис есть ψ,„ , m=l/2, —1/2. Возможно перейти к новому
представлению, не эквивалентному D(l/2), образуя прямое произведе-
ние представлений в пространстве, натянутом на ф„, фт' . Действие
операторов Н\ и Т± на базис образованного таким образом произве-
дения представлений есть, разумеется,
^:/2=2(^)Л«л (3·8)
m'
где ТД есть Тг=Нъ Т+ или Τ'_. Подобное произведение предста-
влений, вообще говоря, приводимо; например,
^mV'^=y^[jM\^m, im'jy, (3.9)
Λ1, 7
') Мы имеем здесь в виду коэффициенты, предписываемые линейным
комбинациям состояний прямого произведения, относительно которых это
прямое произведение разлагается.
2) Операторы Т± обычно определяются без множителя 1/]^2. В этой
статье мы будем придерживаться соглашения о знаке изотопического спина,
принятого Кондоном и Шортли [52]. Отсюда вытекает, что все матричные
элементы операторов L^ положительны, хотя физические частицы иногда
отождествляются с состояниями, обратными по знаку состояниям, образую-
щим данное представление.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 139
где (JM\lj2m, l/2m)— коэффициенты Клебша — Гордана, редуцирую-
щие представление. Чтобы завершить редукцию, заметим, что Т+
и Τ_ коммутируют с Т2, а поскольку собственное значение Т2 един-
ственным образом характеризует неприводимое представление, то эти
операторы не могут вывести за пределы неприводимого представле-
ния, если будут действовать любое число раз и в любом порядке на
отдельный базисный вектор. Старший вес Μ произведения предста-
влений tym^tym'4', равный Μ = у2 -f- 7г. принадлежит неприводимому
представлению, и поэтому пространство, натянутое на векторы, кото-
рые порождены действием операторов Т+ и Τ_ на ψ,(2ψ/2, неприво-
димо относительно группы SU2. Таким образом, ортонормированные
векторы
ф/^фЛЛ
Ψο1 ^?_ (фу;Vs)=-jk (ОС+СО- <3-10a)
*_,ls2 (f JK'V) =*-%0
являются базисом для неприводимого представления D(l) группы SU2,
а оставшийся в пространстве прямого произведения ψ ψ , ' линейно
независимый вектор есть
Φο° = -^-(Ψ**Φ_**-Φ_%**53. (ЗЛОб)
Этот вектор ψ0° порождает представление £>(0) группы SU2. Коэф-
фициенты Клебша — Гордана получаются из уравнений (З.Юа) и
(3.106), в то время как неприводимую алгебру Ли можно получить,
если вычислить матричные элементы операторов ΤД, используя урав-
нение (3.8).
Чтобы найти произвольное представление D(J), необходимо лишь
„отщепить" наивысшее неприводимое представление в пространстве
прямого произведения
Ψ™ <»'%. (2)'А · · · Фт (2Л* = (Ф™*)" (3.11)
Возникающий при этом ортонормированный базис равен1)
ψΛ' = N (J, M) (f _)у-л(ф1А%)8/, M = l ..., -J.
. ( ' ' L {J-M)\(2J)\ J '
') Чтобы найти N (J, Μ), следует использовать тождество
Т+Т- = у(Т+Т- + Т-Т+ + Tz) = \Ф- f/ - fz)
и получить рекуррентное соотношение.

140 Р. Бе рендс, Д ж. Д рейт лейн, К. Φ ронсде л, В. Ли
Τz, f+, T_ обладают свойствами
= [1 (У4-М)(У- м + i)]ViVmS . (3.13)
f+W = [4- (J - M) (J+μ + i)]'A $m+1j , fju = л%/.
определяющими структуру представления D(J). Теперь обобщим пред-
шествующие рассуждения на простые группы более высокого ранга.
Покажем, что для построения неприводимых представлений ал-
гебр Ли второго и более высокого рангов требуется следующее:
а) I фундаментальных неприводимых представлений, старшие веса
которых характеризуются одним из / фундаментальных доминантных
весов;
б) процедура редукции прямого произведения.
Прежде чем перейти к выводу теорем, необходимых для синтеза
представлений, необходимо сказать несколько слов для характери-
стики пространства, в котором реализуется представление. Чтобы
определить представление алгебры, достаточно задать представление
базисных элементов Ht и Еа. Мы определяем представление, описы-
вая действие операторов Ht и Еа на полную ортонормированную си-
стему кет-векторов \ [λγ ... Яг}, ν), являющихся базисом в N-мерной
пространстве представления (ν= 1, .... Ν). В тех случаях, когда
это не приведет к двусмысленности, вектор | [λγ Яг), ν) часто
будет сокращенно обозначаться как | [Ν], ν) и даже просто |ν). Так
как Н[ коммутируют между собой, то они могут быть одновременно
диагонализованы, а поскольку они берутся эрмитовыми, то их соб-
ственные значения действительны. Мы выбираем представление, в ко-
тором Ht диагональны. Поэтому номер ν в | {/V}, ν) относится
к фиксированному собственному значению каждого из Ht (вес т)
в добавление к другим различающим числам (g), которые необхо-
димы в случае кратных весов. Далее, матрицы Еа удовлетворяют
соотношениям (£α) =Ε_α.
Если | [Ν], ν) — базис некоторого неприводимого представления
алгебры Ли и | [Ν'\, ν') — базис другого представления, то в про-
странстве прямого произведения, натянутого на базис | {Ν}, ν; [Ν'}, ν'),
в свою очередь определено пр оставление алгебры Ли, элементы LA
которой действуют на кет-векторы | [Ν], ν; [Ν'}, ν7) следующим
образом:
LA\{Nh v; [N'}. x') = LA(N)®liN,)\{N], ν; {TV'}, v') +
+ lw®L/f')\{N). ν; [Ν'}, ν')· (3.14)

2 Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 141
Здесь L&N\ \{N) и LA(' \ 1(VV' действуют соответственно только на
N- и N -мерные представления. Прямое произведение представлений,
определенное уравнением (3.14), вообще говоря, приводимо, как это
будет показано ниже.
Задавая абстрактную алгебру Ли так, как об этом говорилось
в § 2, мы теперь попытаемся систематическим образом построить
множество матриц, представляющих эту алгебру. Этот метод основан
на следующих четырех основных теоремах.
Теорема I. Если Н(\т, g) = mt\m, g), то Нр^т, g) =
= [тг-/-г(а)]Е_а|/и, g).
Доказательство. На основании уравнения (2.6) имеем
[Яг, £_а1=-гг(а)Е_а.
Поэтому
^Е-а\т. g) = E_aHi\m, g)-ri(a)E_a\m, g) =
= [mi — rl(a)]E_a\m, g).
Выберем величину а так, чтобы кет-вектор аЕ_а | т, g) имел еди-
ничную длину. Заметим, между прочим, что вектор аЕ_а \ т, g)
ортогонален вектору | т, g), так как собственные значения опера-
тора Н1 для этих двух состояний не равны друг другу.
Теорема II. Если Еа\т, g) = 0, то постоянная нормировки
равна а = [г (а) · т]1г.
Доказательство. На основании уравнения (2.7)
[£а- £_„]=/-(а). Я.
Поэтому
(т, g\[Ea, E_a]\m. g) = {m, §·|Εα£_α|/η, g) =
= Ι β |-2 = <m. g\r(a)-H\m, g) = r(a)- m,
что и требовалось доказать.
В представлении прямого произведения наибольший доминантный
вес Μ есть сумма наибольших доминантных весов M(iV) и ΙΛ*Ν' со-
ставляющих его Ν- и /V'-мерных представлений.
Теорема III. Пространство, натянутое на базисные векторы,
образованные применением (любого числа раз и в любом порядке)
операторов Hi и Еа к вектору | М), неприводимо относительно рас-
сматриваемой алгебры Ли.
Доказательство. Вектор | М) есть базисный вектор непри-
водимого представления. Отсюда пространство, натянутое на векторы,
которые возникают при действии /?, и Еа на | М), даст нам непри-
водимые алгебры по самому определению неприводимости.

142 Р. Б e ρ e нд с, Д ж. Д ρ е й τ л е й н, К. Фронсдел, В. Ли
Число ортонормированных векторов, являющихся базисом прост-
ранства редуцированного прямого произведения, порожденного опи-
санным выше образом, есть размерность результирующего представ-
ления.
Для построения неприводимого представления, содержащегося
в прямом произведении представлений, поступим следующим образом:
а) Выберем вектор в пространстве прямого произведения со стар-
шим весом | М).
б) Подействуем операторами Еа, ЕаЕ„, ... на | М). Совокупность
возникающих векторов ортонормируем при помощи процедуры Шмидта.
Ортонормировка проводится путем использования свойств ортогональ-
ности компонент прямого произведения, т. е.
< {Щ, ν; {Ν'}, ν'I {TV}, ν"; {TV'}, ν'") = δνν»δν'ν"· (3.15)
Кет-векторы, соответствующие различным весам, автоматически
окажутся ортогональными друг другу. Размерности неприводимых
представлений алгебры были вычислены в предыдущих параграфах
при помощи характера присоединенной группы, так что эта инфор-
мация может быть использована для предсказания числа линейно не-
зависимых векторов.
в) В пространстве, ортогональном подпространству, полученному
из вектора | М), выберем вектор | М') со старшим весом. Из век-
тора | М') получим другое пространство, неприводимое относительно
рассматриваемой алгебры Ли, таким же образом, каким было порож-
дено неприводимое пространство из вектора | М).
г) Действие элементов алгебры Ли на полученный подобным об-
разом ортонормированный векторный базис легко устанавливается,
если учесть действие операторов Н1 и Еа на пространства, из кото-
рых образовано прямое произведение [уравнение (3.14)].
Задав явным образом Ζ представлений, характеризуемых каждым
из I фундаментальных доминантных весов, любое неприводимое пред-
ставление рассматриваемой алгебры можно найти разложением соот-
ветствующим образом выбранного прямого произведения. Пусть jHs) —
матричная алгебра D(0, 0 1 0) [где 1 находится на s-m
месте], старший вес которой есть фундаментальный доминантный вес
Μ« = (ΛΙΙΡ). ΛΙ2<4 MP).
Старший вес произвольного неприводимого представления равен
Теорема IV. Неприводимое представление алгебры Ли, харак-
теризуемое старшим весом М —2^4М(5), есть первое неприводимое

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 143
представление, полученное редукцией произведения алгебр
л(1) х ... х л(1) х ^(2) х... х а™ х... х л(1) х... х л(1).
λ, раз
λ2 раз
к, раз
Доказательство. Старший вес в прямом произведении этих
алгебр есть M = 2^SM(S). Неприводимое представление будет най-
дено, если из вектора | М) породить пространство, неприводимое
относительно рассматриваемой алгебры Ли, обобщая процедуру, про-
иллюстрированную ранее на примере прямого произведения двух
пространств.
Теперь мы используем приведенный выше метод для построения
некоторых неприводимых представлений групп SU3, C2 и G2. В част-
ности, будут получены все фундаментальные представления, исполь-
зуемые при образовании представлений прямого произведения.
Е. Матричные представления группы SU3
Фундаментальными представлениями являются D(3) (1,0) и D(3) (0, 1).
Кроме конструирования этих представлений, мы также редуцируем
регулярное представление D<8)(1, 1)
из произведения D<3)(1, 0)©D(3»(0, l).
D(3)(l, 0). Весовая диаграмма пред-
ставлена на фиг. 2, а; старший вес —
это фундаментальный доминантный вес
С
Ч
M<1) = i(vr3, i). (3.16)
Фиг. 5. Действие операто-
ров Еа на представление
£>(3)(1, 0) группы SU3.
Мы можем написать | (3), а), а—\,
2, 3 или просто | а) для. трех со-
стояний и использовать нумерацию фиг. 5. Тогда //,- будут диаго-
нальными матрицами, собственными значениями которых являются
соответствующие компоненты mt весов, т. е.1)
\о
/1 0
H2 = ^m2(a)\a)(a\^Uo 1
а \0 0
0 0\
(3.17)
') Здесь /иг (α) обозначает г-ю компоненту α-го состояния.

144 Р. Б e ρ e нд с, Д ж. Д ρ ейт л е йн, К. Φ ρ о н с д с л, В. Ли
Согласно теореме I (§ 3, Д), когда оператор Е_а действует на
состояние с весом т, он порождает состояние с весом m — г (а).
Это символически изображено на фиг. 5. Очевидно, что если m — г (α)
не есть вес, то £'_а|т) = 0. Следовательно, в этом простом случае
все константы пропорциональности следуют из теоремы II (§ 3, Д)
и оказываются равными ±[r(a)-m] . Отсюда
E-i|{3}. l) = [r(l).m(l)]'/s|{3}, 2) = 6-v'|{3}, 2),
£-2|{3}, 1) = [г(2).щ(1)],/«|{3}, 3) = 6-'Л|{3}, 3), (3.18)
£-з!{3}, 2) = [r(3).m(2)]v'|{3}, 3) = 6-Vl|{3}, 3).
Фазы операторов E_x и E_2 произвольны, но коль скоро они вы-
браны, фаза оператора Е_3 определяется из условия (2.17), так как
[E_lt E3]=N_h 2Е3 = 6~,hE3. (3.19)
В матричной форме соотношения (3.18) приобретают вид
'О 0 0\
:6-*|2>(1|.
(3.20)
Е_3 = 6"'* 0 0 0 = б-7213) (2 |, Еа = Eta.
D<3)(0, 1). Если U—унитарное матричное представление груп-
пы SUa, то комплексно сопряженная матрица У* также будет пред-
ставлением. Пусть и имееет вид U — exp (ieALA), тогда #* =
— exp(—ieALA), так как у? = U~X. Отсюда „контрагрелиентное"
представление алгебры Ли есть LA =—La, где La заданы уравне-
ниями (3.20). Вследствие вещественности этих LA находим
' ' ' (3.21)
р' — _Р — р+ . . Р
1^а— ±,а — — i^a — — i--a·
Первое из уравнений (3.21) показывает, что весовые диаграммы
для контрагредиентно связанных представлений преобразуются друг

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 145
в друга отражением относительно центра. Таким образом, мы полу-
чаем весовую диаграмму, изображенную на фиг. 2, б. При другой
системе нумерации соотношения (3.21) не выполнялись бы. Из (3.17),
(3.20) и (3.21) получаем
— 1
— 1
3><1|.
(3.22)
£з = — 6
Таким образом,
|{з'}.2> = -бМ|{зТИ>.
|{3-}.3> = -6*£i|{3·}. 0.
|{з-}.з> = -6*е5|{з-}.2>.
Это представление неэквивалентно D<3)(1, 0), так как множества
собственных значений матриц /Уг и Hi отличаются друг от друга.
D(8)(l, 1). Старший вес Μ этого представления равен М(1)-f-M(2),
где М(1) =1/6(угЗ, l) и М(2) = 1/6(угЗ, —0—фундаментальные доми-
Е,
П
/ гв \/ а
3 сг 2
/ 4
Фиг. 6. Действие операторов Еа на представление
D(8) (1, 1) группы SUa.
нантные веса представлений D(l, 0) и D(0, 1) соответственно.
Отсюда следует, что представление D(l, 1) содержится в произве-
дении D(l, 0)®D(0, 1). Весовая диаграмма изображена на фиг. 2. д;
мы будем нумеровать состояния так, как на фиг. 6, и писать | [8], А)
для А-то состояния.
Каждое состояние произведения | {3}, а; {3*}, Ь) имеет единствен-
ный вес, равный сумме весов состояний | {3}, а) и | {3*}, Ь). Напротив,
для А = 1 6 существует только одно состояние, принадлежащее
пространству произведения и имеющее вес, равный весу состояния
|{8}, А). Отсюда имеем (выбор фаз обусловлен соображениями
10 Зак. 61?

146 Р. Б е р енд с, Д ж. Дрейтлейн, К. Фронсдел. В. Ли
последующего удобства)
{8}, 1> = |{3}, 1; {3*}, 2),
{8].2> = |{3}, 1;{3*}.3>.
{8}, 3) = |{3}, 2; {3*}, 3).
{8}. 4> = -|{3J. 2; {3*}, 1),
{8}. S> 1 {31. 3; {3*}, 1>,
{8}, 6)=|{3}. 3; {3*}, 2).
Состояния с нулевы
(3.23)
м весом имеют вид
2Ρβ|{3}. α; {3*}а),
а«=1
(3.24)
где коэффициенты ра действительны. Преобразование состояний при
помощи операторов Еа задается действием Еа на | {3}, а) и | {3*}, а)
и изображено символически на фиг. 6. Если на уравнение (3.23)
подействовать одним из операторов Еа или произведением операто-
ров Ёа, то из (3.21) легко видеть, что состояния (3.24) встречаются
всегда в такой линейной комбинации, что
2ра=о.
Отсюда можно заключить, что в D(8)(l, 1) имеются только две
линейно независимые комбинации (3.24), как это очевидно из того
факта, что представление D(8) (1, 1) восьмимерно. Два ортонормиро-
ванных состояния можно выбрать в виде
|{8}, 7) =
V2
11(31. 2; {3*}, 2)-|{3}, 1; {3*}, 1)];
,-%
|{8}, 8) = 6"/г[-|{3}, 2; [3·}. 2>-
(3.25)
-|{3}, 1; {3*}, 1> + 2ЦЗ}. 3; {3*}, 3>].
Здесь состояние | {8}, 7) для удобства выбрано как состояние, полу-
ченное действием Е_г на | {8}, 1). Коль скоро состояние | {8}, 7)
уже выбрано, то состояние | {8}, 8) единственно. Матрицы Еа задаются
своим действием на каждое из состояний произведения; например,
используя (3.20) и (3.22), имеем
Е9\ {8}, 6) = Е2\ {3}, 3; {3*}, 2) = б-''2! {3}, 1; {3*}, 2) = 6~'/s! {8}, 1).

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 147
Подобным образом мы получаем
(3^-/2 |1>(7| + /2|7>(4| + |2)(3 | + | 6)(5|.
6%2 =4/2~| 2) (<7 | + |АЗ (8 |) +
+ 4уг2(|7> + /3|8»<5| + |3><4| + |1)<6|.
_ _ (3.26)
б'% = - \ V2 | 3) ((7 | - /3 (8 |) +
+ -§Υ2(|7>-/3|8))<6|+|4)(6|-|2)<1|.
Матрицы И1 диагональны:
8
//l=Sm,(i4)|i4)(i4|. (3.27)
А = \
где m(i4) — вес Л-го состояния. Выбор фаз здесь определяется
фазами в (3.23).
Мы нашли, что представление D(8)(l, 1) содержит только две
линейные комбинации (3.25) трех состояний (3.24). Третья линейная
комбинация, ортогональная (3.25) и нормированная, есть
|{1}, 1> = ^]£|{3}а;{ЗЧа>. (3.28)
а
Это инвариант Еа = //г = 0. Таким образом, разложение произведе-
ния D(l, 0)®D(0, 1) имеет вид
D<3)(1, 0)®D<3>(0, 1) = D<8)(1, 1)@DW(0, 0). (3.29)
Более легкий путь нахождения D<8)(1, 1) основан на том, что,
как мы сейчас покажем, это есть регулярное представление. Регу-
лярное представлениег) — это такое представление, в котором гене-
раторы LA представляются матрицами —(£α)β°' компонентами кото-
рых являются структурные константы группы — ^ав*· Если комму-
тационные соотношения записаны в стандартной форме (2.12), то
индекс А=\, .... 8 заменяется на /=1, 2 и а=±1, ±2, ±3.
Таким образом, как это следует из (2.12), операторы Ht предста-
вляются матрицами —{^i)aB> неисчезающие матричные элементы ко-
торых равны — Ci(f = — rt(a). Операторы Еа представляются матри-
цами — (Со)аВ' неисчезающие матричные элементы которых равны
- Сага = + гг (а), — Са_а' = - π (а) и — С" = — N В итоге
') См. примечание 2 на стр. 133.
10*

148 Р. Б e ρ енд с, Д ж. Д рейт л е йн, К. Φ ρ о н с д е л, В. Ли
получаем
Л| = —Q = —Σ*-|(α)Ι«)(α|. (3-30)
α
Еа=-Са = + Σ r,(a)|i) (α |—2 rf (α) |-a)(i| ~Σ ^αρ|β)(γ|. (3.31)
Здесь, как и в (2.12), )ν) означает состояние, корень которого
равен Γ(α)-|-Γ(β).
Сравнивая (3.30) и (3.31) с (3.27) и (3.26) и взяв г,(а) из (2.12),
мы находим полное согласие со следующими отождествлениями:
\а)->\А): |-1>-|1>. |-2)->|2).
|-3)->|3).
|+1>-^-|4>. |+2)->-|5>.
! + 3)->|6>.
(3.32)
\1)-+\А): |1>->-17).
|2) — |8).
Комплексное сопряжение представления D(8)(l, 1) связано с ним
при помощи отражения относительно центра весовой диаграммы. Это
дает ту же самую диаграмму, но с другими обозначениями. Оператор
отражения относительно центра весовой диаграммы имеет вид1)
С = -|1)(4|±|2)(5[±[3)(6|±|4>(1|±
±|5)(2|±|6>(3|±|7><7|±|8)<8|.
Знаки определяются из соотношения
CLaC-1 = L'a = —Za, (3.33)
где LA — матрицы (3.26), (3.27). Решение имеет вид
С = -|1>(4|-|4)(1|+|3>(6| + |6><3|-
-|5>(2|-|2>(5| + |7>(7| + |8>(8| = <?=С-1. (3.34)
Существование оператора С означает, что представление D<8) (1, 1)
эквивалентно своему контрагредиентному представлению. Это одно-
временно проиллюстрировано и доказано равенством (3.33).
') Этот оператор совпадает с тем, который будет введен позднее под
видом .метрического тензора". Его можно было бы также определить из
условия, чтобы состояние
SC l(8U {8}, 5) = |{1})
А, В
было инвариантом.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 149
Ж. Матричные представления группы С2
Фундаментальными представлениями являются D(4)(l, 0) и
D(5) (0, 1), а регулярное представление есть D(I0' (2, 0).
D(4)(l, 0). Весовая диаграмма изображена на фиг. 4, а. Мы нуме-
руем состояния так, как на фиг. 7, именно | {4}, а). а = \, 2, 3. 4
с, εΖ **
^ *2
4<г *>'
V'
3
ν/ "ψ" V '
Фиг. 7. Действие операторов £а на представление
D(4) (1, 0) группы С2.
Действие операторов £"„, а=1, .... 4 показано на фиг. 7; действие
операторов £_а такое же, но с обращенными стрелками. Как и
в случае группы SU3, теорема II достаточна для того, чтобы можно
было выписать явную форму операторов Еа почти немедленно. Таким
образом, аналогами выражений (3.17) и (3.18) служат равенства
4
Hl=^iml(a)\a){a\, (3.35)
0 = 1
£1 = 6-'/i|l)(4|,
^ = у~(|1)(3|-|2)(4|),
£·3 = — 6_,/2| 2><3 |. (3.36)
E4^wr(|2><1,+,4>(3|)·
Весовая диаграмма для контрагредиентного представления полу-
чается отражением относительно центра весовой диаграммы. В этом
случае мы получаем ту же диаграмму, но с иной нумерацией состоя-
ний. Отсюда следует, что оператор отражения относительно центра
весовой диаграммы равен
С = -|1>(4|±|4>(1|±|2)(3)±|3)<2|.
Фазы следует выбрать гак, чтобы имелось согласование с (3.21), т. е.
CLAC-l = L'A = -lA. (3.37)

150 Р. Бе рендс, Д ж. Д рейт лей н, К. Фронсдел, В. Ли
Решение имеет вид
С = -|1)(4|-Н|4)(1| + |2){3|-|3)(2| = -С = -С-1--С+.
(3.38)
Существование оператора С означает, что представление D(4)(l, 0)
эквивалентно своему контрагредиентному представлению. Это демон-
стрируется и доказывается равенством (3.35).
2 £, I
τ -τ
i I
l .3 ■
2 Ез 1
.3
Φ и г. 8. Действие операторов Еа на представле-
ние D(5) (0, 1) группы С2.
D(5)(0, 1). Весовая диаграмма изображена на фиг. 4, б; мы исполь-
зуем нумерацию фиг. 8. Действие операторов Еа также показано
на фиг. 8. Матрицы получаются точно те же, что и ранее, именно
δ
(3.39)
£, = 6-й(|1>(2| + |4)<б|).
,-'/.
(3.40)
£2 = 6-*(|1)(3|-|3)<5|).
^3 = 6-ν*(|1)(4| + |2)(5|).
Я4 = 6-*(|2)(3| + |3)<4[).
E-a = (Ea)f.
Контрагредиентные представления опять эквивалентны. Матрица С
в этом случае равна
СН5><1| + |1)<5|-|2)<4|-|4)<2| + |3)<3| = £ <3-41)
D(10)(2, 0). Весовая диаграмма изображена на фиг. 4, в. Старший
вес равен удвоенному старшему весу представления D( '(1,0), и поэтому
D(10)(2, 0) содержится в произведении СР\\, 0)©D<4)(1, 0). Обо-
значим через | {10}, 1) состояние | {4}, 1; {4}, 1). Так как опера-
торы Еа действуют одинаковым образом на оба множителя, то оче-
видно, что состояния Еа\ {10}, 1), Е„Е^ | {10}, 1) и т. д. симметричны
по этим двум множителям. Отсюда, произведя соответствующий выбор

2. Простые группы и симметрии сигьного взаимодействия 151
фаз, получим
10), 1) = |{4}. 1; {4}, 1) =-|-1).
10). 2)=4f2|{4). 1; (4). 2) + 1 /2| {4}. 2; {4}, 1) =+ |-2>.
10), 3)=|{4), 2; (4), 2) =-|-3>.
10). 4>=1уТ|{4}. 2; {4), 4> + ±/2| {4}, 4; (4). 2>=+|-4>.
10), 5> = |{4}, 4; {4}. 4) = + |+1>.
(3.42)
10). 6)=1/2|{4). 4; {4}. 3) + 1 /2 | {4). 3; (4). 4) = + |+2>.
10). 7) = |{4), 3; (4), 3) =+|+3>.
10}. 8) = 1/2 | {4}. 1; {4}. 3) + 1 ^2 | {4}. 3; (4), 1) = -|+4),
Ю), 9) =11^2 | {4}. 1; (4). 4)+1/2|{4). 4; {4), 1>= + |1>.
10),10)=1/2|{4}. 2; {4). 3) + 1/2|{4). 3; [4), 2> 1 2>.
Обозначения в правой части позволяют использовать уравнения
(3.30) и (3.31) непосредственно. Простейший метод получения этих
соотношений — использование равенств [ср. уравнение (5.5)]
6* Σ Cab(E±a)b(l\ad) = \±a).
а, Ь, й
6Vs Σ Cab(Ht)bd\ad)^\i).
a, b,d
3. Матричные представления группы 02
Фундаментальными представлениями являются D(7)(1,0)HD,4(0, 1).
причем последнее будет также регулярным представлением.
D( (1, 0). Весовая диаграмма изображена на фиг. Ъ,а, и мы ис-
пользуем обозначенную там нумерацию состояний, именно | {7}, /г),
k=\, .... 7. Как и в других примерах, теорема II (§ 3, д) достг-
точна для определения матричных элементов операторов Еа. В резуль -
тате имеем
7
Ht= Ъщ(Ь)\Ь){Ь\.
Ελ =^ГТ[\У*\ 0(21 +jV* |3><4! + |5><6| + |6)<7||,

152 Р. Бе рснд с, Дж. Д рей тлей н, К. Фронсдел, В. Ли
£2==iFT(|5)(4|+11)(7|)·
Б3=^(}/2|5>(3|-|6)(4| + |1)(6|—1/2]2)(7|), (3.43)
^=-^(|1>(3| + |2>(4|).
^б=27г(|6)(3|-}^2|7)<4|-1у^|1)(5| + |2)(6|).
£6 = γ^(-|2)(5| + |7)(3|), E_a = {Ea)f.
Оператор С, переводящий представление D* в его комплексное
сопряжение и отражающий весовую диаграмму относительно ее цен-
тра, определяется равенством
CLAC-' = -lA.
Решение имеет вид
С = |б><7| + |7)<5|-|1><4|-|4)<1| +
+ |2>(3| + |3)<2|-|6>(6|. (3.44)
Сг (0, 1). Так как это регулярное представление, то матрицы
Ht и Еа задаются выражениями (3.30) и (3.31). Весовая диаграмма
изображена на фиг. 3, б.
§ 4. ОБЪЕДИНЕНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБР ЛИ
Базис векторного пространства, преобразующегося по представле-
нию простой группы, может быть охарактеризован собственными
значениями максимального числа взаимно коммутирующих операторов
алгебры Ли, обозначаемых символами Нх, Н2, ..., Ht, где /—ранг
группы. Однако характеристика базиса пространства представления
не будет полной, если базисные векторы выделять только собствен-
ными значениями операторов Н0 так как один и тот же набор соб-
ственных значений операторов Ht, т. е. вес [т} ... /№{} = in, может
в некоторых специальных представлениях встречаться более чем один
раз; другими словами, веса представления, за исключением доминант-
ного веса (/И, ... Мг} = М, могут в общем случае не быть простыми.
Цель этой части заключается в том, чтобы а) для каждого предста-
вления найти набор весов и их кратность и б) разложить прямое
произведение неприводимых представлений на прямую сумм}' непри-
водимых представлений. Мы будем следовать чисто геометрическим
путем, который представляет собой расширение классических методов.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 153
А. Геометрическая характеристика представления
Ограничим наше рассмотрение группами второго ранга. Семимер-
ному представлению группы G2 может быть сопоставлено множество
точек (m,, т2), координатами которых являются веса представления1).
Соответствующее точечное множество
изображено на фиг. 9, а. В этом частном * -t t -J
примере кратность каждого веса равна
единице, и поэтому каждому весу ста- +<' *.' \+ +< *} \*
вится в соответствие одна и только од- \ /
на точка. В тех случаях, когда крат- \. / \. ,·'
ность некоторого веса больше единицы, + "* 6
это должно быть отмечено на диаграм-
ме, как, например, в случае восьмимер- фиг. 9. Точечные множества
ного представления группы SU3, для представления.
КОТОРОГО соответствующее точечное α-для группы 02; <5-для группы St/S.
множество изображено на фиг. 9, б.
Прежде чем перейти к задаче об объединении и разложении
представлений, введем формальные операции над точечными множе-
ствами, которые будут использованы в последующих параграфах.
Б. Алгебра точечных множеств
Для иллюстрации алгебраических операций, которым могут быть
подвергнуты точечные множества, рассмотрим прежде всего множе-
ства коллинеарных точек. Множество точек на линии с центром * и
с приписанной каждой точке положительной или отрицательной крат-
ностью будет следующим образом сопоставлено функции, предста-
вляющей собой сумму членов, каждый из которых есть степень одной
и той же переменной х:
а) каждой точке сопоставляется один член в функции; последняя
состоит из стольких членов, сколько имеется точек;
б) координата каждой точки относительно центра множества *
изображается степенью переменной х в соответствующем члене;
в) численный коэффициент при данном члене равен приписанной
данной точке кратности соответствующего знака.
Таким образом, точечное множество на фиг. 10, а изображает
алгебраическое выражение 0,3л;-4 — х~1-\-2х2.
В последующем будут рассматриваться только целые кратности, и
если встретится какая-либо точка без отмеченной кратности, но
с приписанным знаком, то это будет означать, что соответствующий
член в алгебраическом полиноме обладает коэффициентом +1
') Эти множества представляют собой не что иное, как весовые диа-
граммы (§ 3) с учетом кратности соответствующих весов.

154 Р. Б e ρ e н д с, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
в зависимости от приписанного данной точке знака. Мы будем также
предполагать, что если центр точечного множества не отмечен, то он
совпадает с геометрическим центром этого множества.
Сумма двух точечных множеств (ξ и £') с общим центром равна,
по определению, объединению этих двух множеств: £ -)- £' = ££/£',
причем кратности складываются алгебраически. Разность двух то-
чечных множеств ξ и ξ' равна, по определению, сумме множеств ξ и
— ξ', получаемого из ξ изменением знаков всех кратностей.
а -.- .*——
0,3-1 2
+ / -/ +/ +2 -И -; +Ζ -2
в _. у. _ · -.-*-.- = --►--* ·-
-; +; -/ +/ 4-1 -М +/
г —---*- .- = ———*-.-—·—
„; +/ -; +/ +/ -/
-; -1
3 --*- '. -у--- = -*■-·—Ч—*-■— —
, +/ +1-; -и +J 4-1 -1
"+; 4>J " 4:1-7 4-14-J+1+/+/
Фиг. 10. Алгебраические операции над линейными то-
чечными множествами.
Чтобы умножить одно точечное множество ξ на другое множе-
ство ξ', нужно центр множества £' поместить последовательно в ка-
ждую из точек множества ξ и при этом каждый член в £' умножить
на кратность той точки множества £, в которой находится в данный
момент центр множества £'. Получаемое подобным образом новое
точечное множество является, по определению, произведением мно-
жеств £Х&'· Например, схема на фиг. 10, б геометрически эквива-
лентна произведению (х-1 — л:)(л:-1-|-2л:3) = (л:~2—1 —|— 2л:2 — 2л:4).
Деление определяется как операция, обратная умножению. Наи-
более тривиальным случаем деления является случай, в котором то-
чечные множества С и ξ' тождественны друг другу. Результат деле-
ния £: £' в этом случае есть просто одна точка в объединенном цен-
тре множеств £ и £'. В общем случае точечное множество £' делит
точно конгруентное ему множество £, если кратности каждой точки
множества £ отличаются на фиксированный множитель Ζ от кратно-
стей соответствующих (согласно данной конгруенции) точек множе-
ства £'. Результат этой операции деления представляет собой точку
кратности Ζ, находящуюся в том месте, куда попадает центр множе-
ства £' при наложении на множество £. Если множество £' не кон-
груентно множеству £, то оказывается, что, складывая и вычитая
точки одинаковой кратности, находящиеся в соответствующих местах

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 155
множества ξ, возможно построить такое подмножество множества ξ
(обозначаемое £")· которое делилось бы точно на £'. После выпол-
нения процесса деления ξ" на С мы оказываемся перед проблемой
деления остатка ξ —С" на £'. Продолжая этот процесс, мы можем
-; +1 +/ -И-/+/
а · · · · · ·
*- + * = *
• а · * · ·
+/ +/ -/ +/-;+/
(-у+ху Vx'»') + (xy+x'y-y'j = (ху-у+ху"'+х~'у-у~2+х"У2>
+1
-1 -1
.* X * = ;*;
. · · · се.
+1 +/+/+; ...
+/ +2 +/
ixy"Vxy"')XCxy'-y+xV)=i-2^+yZ-2x"'+x2y2+2y2+xVz;
+/
-/ -;
., * · : * = *
•■Ζ -2 · · · ·
. . . +' +j +' +'
+/ +2 +7
(-2х+у2-2х"'+Х2у2+2у 2+xV2): fry '-У+*У)=(ху Ly+x"'}?)
Фиг. 11. Алгебраические операции над двумерными точеч-
ными множествами.
в —сложение; б — умножение; в —деление.
в конце концов прийти к такому множеству-остатку, которое само
делилось бы на £' без использования модификаций. В качестве при-
мера рассмотрим задачу, изображенную на фиг. 10, в, алгебраический
аналог которой записывается как (х3— x~3)j(x— х-1). Добавляя и
вычитая точки кратности -|-1 в каждом из положений —1 и —f—1
(см. фиг. 10, г), можно выполнить точное деление. Если два точечных
множества не делимы друг на друга точно, то остается еще возмож-
ность, прибавляя и вычитая точки от множества-делимого, продолжать
процесс деления до бесконечности. Фиг. 10, д иллюстрирует геометри-
ческий метод выполнения разложения 1/(1—х) = 1 -|- х -(- л:2 -}- · · ·

156 Р. Б е ре нд с, Д ж. Дрейтлейн, К. Φ ρ о н с д е л, В. Ли
В последующем изложении мы будем использовать только множества,
делимые точно.
Ёсе изложенные выше операции вполне тривиальны для линейных
точечных множеств. Однако оказывается возможным обобщить эти
операции на алгебру точечных множеств в /-мерном пространстве,
каждая точка которого характеризуется координатой m = (тгт2 ...
... тг) и приписанной кратностью, причем для всего множества от-
мечен также центр. Каждая такая точка поставлена в соответствие
члену в алгебраическом полиноме от / переменных. Например, точка
m = (m1ra2 ... т{) с кратностью μ,„ является геометрическим пред-
ставлением члена tV*™1*™2 · ■ ■ ■*"'· Для всех алгебраических опера-
ций над алгебраическими полиномами от / переменных вида
2 Йт-^Г1 · ■ · ХТ1 можно теперь привести геометрический аналог.
т
Ограничивая наше рассмотрение функциями от двух переменных,
на фиг. 11 мы проиллюстрируем некоторые алгебраические операции,
выполняемые над множествами точек в двух измерениях. Необходимо
отметить, что операции над точечными множествами полностью изо-
морфны соответствующим алгебраическим операциям и, например,
как и последние, ассоциативны и коммутативны.
В. Построение весов и кратностей неприводимых представлений
Цель этого раздела состоит в сопоставлении каждому неприводи-
мому представлению группы некоторого точечного множества (назы-
ваемого с данного момента и далее точечным множеством предста-
вления) и решении обратной задачи, т. е. построении допустимых
точечных множеств, сопоставимых представлениям группы. При ре-
шении этой задачи важнейшее значение имеет следующее обстоятель-
ство: характер представления есть тот алгебраический полином, ко-
торый сопоставляется точечному множеству представления*). Для
группы ранга I алгебраические переменные, связанные с точечным
множеством представления, могут быть выбраны в виде xi = etffi.
Вспомним теперь, что каждое представление группы второго ранга
характеризуется двумя целыми числами λλ и λ2, где λ^ λ2 пробегают
все неотрицательные целые значения. Общие выражения для характе-
ров всех интересующих нас групп были даны Вейлем [26, 27]. Пусть
X(^i. λ2) обозначает точечное множество, сопоставимое некоторому
представлению группы; тогда общее выражение для γ^(λν λ^) есть
') См. примечание на стр. 153.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 157
где алгебраические выражения для £(λ,, λ2) приведены в § 3, А и Б.
Точечное множество |(λ,, λ2) носит название точечного кольца,
единственным образом характеризующего представление. Таким об-
разом, мы видим, что для получения точечного множества предста-
вления кольцо ξ (λ], λ2) следует поделить на кольцо ξ (0, 0). Так
как Χ(λυ λ2) образует конечное множество точек, то кольцо Κλ^ λ2)
должно делиться на |(0, 0) точно.
Для иллюстрации деталей процедуры получения точечных мно-
жеств представлений обратимся к группам SU3, C2 и G2.
SU3. Координаты шести точек, образующих множество %(λλ, λ2),
указаны в табл. 1, где приведены значения компонент вектора (SK)
[см. уравнение (3.4)]. Для группы SU3 точки кольца £(λα> ^г) обра-
зуют вершины шестиугольника, обладающего следующими свойствами:
Таблица 1
Координаты точек множества \ (λ,, λ2) группы SU3
(e/VT) x
(Α,+λ2+2)
(Я. + 1)
-<λ,+1)
-(λ,+λ2+2)
-(λ2 + 1)
(λ2 + 1)
бу
(λ[ λ2)
(λ,+2λ2 + 3)
(λ,+2λ2 + 3)
—(λ, — λ2)
-(2λ,+λ2 + 3)
_(2λ,+λ2+3)
Кратность
+1
—1
+1
—1
+1
—1
а) каждая последующая сторона имеет попеременно одну и ту же
длину либо 1/3 1^3(^,1+1). либо 7з\ЛЗ(Я2+1);
б) шестиугольник всегда симметричен относительно оси у;
в) шестиугольник симметричен относительно оси х тогда и только
тогда, когда λ, = λ2; в этом случае шестиугольник является правиль-
ным (все стороны равны друг другу).
Если /(λ], λ2) — точечное множество представления, то точечное
множество комплексно сопряженного представления γ*(λΧ, λ2) =
= /(λ2, λ,) (только для группы SU3) получается отражением шести-
угольника относительно начала координат и изменением знаков всех
кратностей. Эквивалентная процедура заключается в отражении Χ(λ1, λ2)
относительно оси х при оставлении всех кратностей неизменными.
Таким образом, необходимое и достаточное условие эквивалентности
представлений D(kb λ2) и D*(kb λ2) заключается в том, чтобы шести-
угольник |(λ1, λ2) был правильным. На фиг. 12 изображены кольца
некоторых представлений группы SU3 низких размерностей.
Построение весов и кратностей представления теперь можно вы-
полнить делением \{1.1ъ λ2) на |(0, 0), отождествляя множество-частное

* - -*.
V;-; \-%
4Α >-
ν - ν
ξ(ο,ο)
-< >♦ ν / ·' ν / + Ζ('·°>
V-V + - + -
*r ^ ξ10,0> t--i 4(1,0) (.Ю.0) = Xll.O) t
XW,0)
XV,0)
·\ >* / \ ?—-л "Ι
τ +1
ξ'(|,0) t ^ 4(0,1) ',_ ,· | \+_ '»_/ **'» ., "~ Χ(0_|)
\ / : ;; + "ею:) +
\ ,' id.» 4- 4(0,0) = Χfг.г> ,-' \
V «' ,<'
++4(ν) + - + -τ
Hi *.
Ι +',
+
,' ,' \ / '. ~\ >♦ '-4 ,---. + \ / + ',' +
• -^ J + ,< \ \ ■' ./ > + _ +V ,4. '. n-' +
x ; x-i. so.»
i(2.oi t----i 4<o,2J 5
4<2,)) 4(2,w : 4(o,o) = xa,o)
Фиг. 12. Некоторые кольца груп- Фиг. 13. Некоторые харак- Фиг. 14. Некоторые коль-
пы SUS, теры группы SU5, полученные ца и характеры группы С2.
делением точечных множеств.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 159
с точечным множеством представления. На фиг. 13 проведено не-
сколько подобных операций деления.
С2. Некоторые кольца можно найти при помощи табл. 2, в част-
ности те, которые изображены на фиг. 14, а. Точки кольца Κλ,, λ2)
Таблица 2
Координаты точки s множества ξ (λ1? λ2) группы С2
2/3 х
(λ,+λ2 + 2)
(λ, + 1)
-(λ2+1)
-(λ,+λ2+2)
_(λ,+λ2+2)
-(λ2+1)
(λ2 + 1)
(λ, + λ2+2)
2^3 у
(λ2 + 1)
(λ, + λ2 + 2)
(λ, + λ2 + 2)
(λ2 +1)
-(λ2+1)
-(λ,+λ2 + 2)
-(λ1+λ2+2)
-(λ2 + 1)
Кратность
+1
—1
+1
—1
+1
—1
+1
—1
образуют восьмиугольник, симметричный относительно осей х и у.
Поэтому каждое представление эквивалентно своему комплексно со-
пряженному представлению. Стороны восьмиугольника попеременно
равны 7з1АЗ(Х2+1) и (2/3)'/s (^ + 1).
Таблица 3
Координаты точек множества \ (λ,, λ2) группы <?2
4/3 х
(2X,-f-3X2-f-5)
(λ, + 3λ2 + 4)
(Я, +1)
-(λ, +1)
_(λ, + 3λ2 + 4)
—(2λ, + 3λ2 + 5)
—(2λ,-(-2λ2 + 5)
-(λ,+3λ2 + 4)
-(λ, + 1)
(λ, + 1)
(λ,+3λ2 + 4)
(2λ,+2λ2 + 5)
4у
(λ2 + 1)
(λ,+λ2+2)
(λ,+2λ2 + 3)
(λ, + 2λ2+3)
(λ, + λ2 + 2)
(λ2+1)
-(λ2 + 1)
-(λ, + λ2+2)
_(λ,+2λ2 + 3)
_(λ,+2λ2 + 3)
_(Я,+Я2+2)
-(Я2+1)
Кратность
+1
—1
+1
—1
+1
—1
+1
—1
+1
—1
+1
—1

160 Р. Бе ре нд с, Дж. Д рей тлей н, К. Φ ρ о н с д е л, В. Ли
На фиг. 14, б изображены результаты деления приведенных на
фиг. 14, а колец 1(λν λ2) на |(0, °)-
G2. Табл. 3 характеризует множества |(λ|, Хг) как двенадцати-
угольники, симметричные относительно осей х и у. Таким образом,
комплексно сопряженные представления эквивалентны. Как и в случае
-/ / у' *>- \ vr
-t' -i ν >+1 >+
1 i ! ; ' '■
«•ДА u
5 S-
~ + - - x«,o; xio.i)
Фиг. 15. Некоторые кольца груп- Фиг. 16. Некоторые харак-
пы G2. теры группы G2.
групп С2 и SU3, стороны многоугольника £(Xj, А^) попеременно равны
друг другу по длине; в данном случае 7г(^2 + 1) и 1/6 У~3(К1-\- 1).
Фиг. 15 иллюстрирует некоторые кольца. Фиг. 16 содержит точеч-
ные множества представлений, х(1, 0) и х(0, 1).
Г. Редукция прямого произведения представлений
В предыдущем разделе было показано, каким образом можно по-
лучить все точечные множества представлений, включая соответствую-
щие кратности. Однако для целей разложения (редукции) прямого
произведения представлений необходимы, как мы сейчас докажем,
только кольца ξ^, λ2), связанные с представлением.
Прямое произведение двух представлений простой группы вполне
разложимо (причем единственным образом) на сумму неприводимых
представлений, часть из которых может встречаться в разложении
более чем один раз. Пусть ν(μ], μ2) обозначает, сколько раз неко-
торое представление х^, μ2) встречается в разложении прямого про-
изведения неприводимых представлений. Тогда имеет место следую-
щее равенство между точечными множествами:
Χ(λ1, λ2)®%(λ[, λ20= Σ ν(μ1. μ2)Χ(μ1· μ2)· (4.2)
μη μ8
Если использовать основное соотношение (4.1), то уравнение (4.2)
сведется к равенству
6(0.0) = Σ ν<μ1· μ^<μ1· μ2)' ^4·3)
μ« μ:

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 161
которое получается из (4.2) умножением обеих его сторон на ξ (О, 0).
Так как в правую часть уравнения (4.3) входят только кольца не-
приводимых представлений /(μ^ μ2). то, чтобы полностью разложить
произведение представлений, мы должны только выполнить над то-
чечными множествами операцию \%(h. λ2) Χ ξ(λ1, λ2) : |(0, 0)} и
+
+ - #- - -
. * /"\ /4
' * -
Ь 4 +
* ' V--
+
1(1,0) Χξ(0.η = £(/,;) +£i0.0l
+ +
+ - r- +
#■ - -* '
+ + ' -< ,'
Χ . · — -'
■
+ *■» -
» - *
-
Я
/
-« /
__-
~
- -4 ~ -4
* * +
ν+
ψ-
'
+ + + -
* Χ * Χ ,*" "-*
+ + λ ;-
Χ(',0)Χ Χ».ΟΙΧξ(0,ΟΙ +
+
• ,- \
+*, >+ * -τ 4+
+ 4-i >~
\ у
/■
ν *
+
+
■¥, - -
..'+ - '- +
ν ^ - -* ·,
-•'■'-τ V'Ι*
' Ι ' Ι
' Ι ' ' 1
4.^ ,+α «- , >_
~« V--.' 11
+ -_ г. .+_,-"
t>'.0Jx{i',0'= ξ(Ζ.0> + ξ.Ο,ΙΙ
Φ и г. 17. Геометрическое по-
строение колец в прямом произ-
ведении представлений группы
SU..
Ш.О) + U0.l)+ i(0.0l
Фиг. 18. Геометриче-
ское построение колец
в прямом произведении
представлении группы Сг.
затем отождествить в полученном множестве кольца и их кратности
ν(μ!, μ2). В некоторых случаях вычисления упростятся, если исполь-
зовать одну из альтернативных форм выражения |(λ1, λ2) Χ |(λ1, λ0 :
: |(0, 0), а именно
x(h. λ2)Χξ(λ;, λθ=ξ(λ,. h)xK λθ=ξ(ο. ο)Χ(λ,. h)M, $.
В качестве примера процесса редукции выполним разложение про-
изведений
а) Х(1. 0)Хх(1, 0) и х(1. 0)Хх(0. 1) для группы 5i/3.
6)Х(1. 0)Хх(1. 0) для группы С2,
в) Х(1. 0)Хх(1, 0) для группы G2.
Фиг. 17 и 18 иллюстрируют процессы редукции соответственно
для групп «S£/3 и С2. Диаграмма из наложенных друг на друга колец
11 Зак. 612

162 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
на фиг. 15 изображает произведение ξ(0. 0)Хх(1, 0)Хх(1, 0) для
группы G2.
§ 5. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ
В этом параграфе мы изложим ряд результатов другим, чисто
алгебраическим методом, который до некоторой степени дополняет
геометрический метод. Характерное преимущество алгебраического
метода заключается в том, что он имеет дело непосредственно с ба-
зисом пространства представления („волновыми функциями") и что он
позволяет получить сразу явную форму инвариантов, произведения
представлений и матриц преобразований.
Пусть m — размерность одного из представлений некоторой про-
стой группы Ли. Матричная алгебра этого представления состоит
из эрмитовых матриц с нулевым следом. Так как матричная алгебра
/re-мерного представления группы SUm состоит из всех эрмитовых
матриц с нулевым следом, то отсюда следует, что рассматриваемая
группа является подгруппой группы SUm. Например, группы С2 и
G2 — это подгруппы соответственно групп SU4 и SU7. Поэтому ре-
дукция произведения некоторого числа /га-мерных представлений
является уточнением редукции, производимой согласно группе SUm.
В силу этого весьма полезно начать с рассмотрения группы SUm для
произвольного т.
А. Группа SUm
Пусть ψ0, α=1 т, — базис от-мерного представления
группы SUm. Базис алгебры Ли отображается в этом представлении
во множество т2 — 1 независимых эрмитовых матриц с нулевым сле-
дом. Контрагредиентное представление ф° определяется следующим
образом!):
Φβ-*№.· + ^Λβ·)Φ». r-*^{bta — i^LMa). (5.1)
[При т = 3 эти представления совпадают с представлениями D( (1, 0)
и D(3) (0, 1), введенными в § 3 и 4. Соответствующие весовые диаграммы
изображены на фиг. 2, α и б.]
Рассмотрим теперь „тензоры" фйг,с... «/···, Это величины, преоб-
разующиеся таким же образом, как произведения представлений ψα
и ψ". Так, тензор фай имеет т2 компонент, преобразующихся друг
через друга так же, как т2 величин ψαψ6; тензор фа* преобразуется
подобно фаф* и т. д. Тензоры образуют базисы представлений, на-
зываемых произведением представлений; настоящее определение
согласуется с определением, данным в § 3.
') Как будет показано, это находится в соответствии с определе-
ниями (1.1) и (3.21).

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия
Произведение представлений обычно') приводимо. Разложение
тензора второго ранга относительно группы SUm производится со-
вершенно элементарно. Например, тензор ψβ* преобразуется, согласно
(5.1), следующим образом2):
Ψ/ -> (V + ie*LAac) (δ/ - leBLBdb) Ψ/ =
= ψ/ + ^(/Μβν-ΖΛΛ*)ψΛ (5.2)
В частности, если мы положим α—bn просуммируем, то получим
Ψββ->Ψ«Λ
Таким образом, след представления является инвариантом, откуда
вытекает, что /и2-мерное представление ψ0* может быть разложено
на одномерное представление и (яг2— 1)-мерное представление, базисом
которого служит тензор
Φ/-^δ/ψ/ = ΡΛν (5·3>
с нулевым следом. Здесь Pa"cd — оператор проектирования
PaV^W — bSbe"· (5·4>
строки которого нумеруются индексами а, Ь, а столбцы—индексами с, d.
Доказательство того, что тензор (5.3) реализует базис неприво-
димого представления, весьма поучительно. Прежде всего мы покажем,
что тензор (5.3) является регулярным представлением3) группы SUm
и что он содержит регулярное представление любой подгруппы
группы SUт. Пусть г — порядок подгруппы. Рассмотрим г линейно
независимых комбинаций
Ψ а = £ W = ^аь" (№ - ± δβ V) Ψ* (5-5)
Второе равенство является следствием того факта, что матрицы
LAab имеют нулевой след. Из этого равенства вытекает, что ψΑ
зависят только от тензора (5.3), имеющего нулевой след. Из (5.2)
и (5.5) получаем
Фд -> Фд + i^ {LA/LBac - LB/LAb°) ψ/ = Ψα + te*CAB°LDaebed =
= VA + teBCAlftD. (5.6)
Отсюда следует, что ц>А реализуют базис такого представления
/"-параметрической подгруппы, в котором операторы LB представляются
') Единственное исключение представляет случай, когда один из множи-
телей является единичным представлением.
2) Если использовать обозначения § 3, Д, то тензор ψβ* следовало бы
записать в виде | [т], а; {т}, Ь). Уравнение (5.2) представляет собой след-
ствие из уравнения (3.14).
3) См. примечание 2 на стр. 133. —Прим. ред,
И*

164 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
структурными константами CABD, а это означает, что рассматривае-
мое представление является регулярным. Из уравнения (5.5) следует,
что это представление содержится в представлении ψ0", след которого
равен нулю. В частном случае группы SUm порядок г равен т2—1,
а операторы LAab совпадают с множеством всех эрмитовых матриц
с нулевым следом. Следовательно, в этом случае регулярное пред-
ставление ψΑ эквивалентно представлению, базисом которого служит
матрица ψ„* с нулевым следом. Так как первое из этих представле-
ний неприводимо (для любой простой группы), то это же имеет место
и для второго.
Доказав неприводимость представления (5.3), мы завершили раз-
ложение тензора фа*. Можно также доказать, что представления ψ0
и ψ° не эквивалентны. Действительно, предположим, что они экви-
валентны. Тогда должна существовать несингулярная инвариантная
матрица Аа", такая, что ψα = Aa"tyb. Используя это обстоятельство,
можно было бы доказать эквивалентность представлений ψ0* и ψβ*.
что не может иметь места, так как представление ф°* разлагается
совершенно другим образом, чем представление ψα*. в чем мы сейчас
непосредственно убедимся.
Отсюда следует, что не существует матрицы, поднимающей и
опускающей индексы.
Проблема разложения для тензоров произвольного ранга, но
имеющих только все верхние или только все нижние индексы, имеет
полное и красивое решение при помощи схем Юнга1). Мы не будем
излагать здесь общую теорию, так как она представляет лишь спе-
циальный интерес, и поэтому не будем доказывать неприводимость
получаемых представлений.
Однако в тех случаях, когда это необходимо, мы будем отмечать
связь между представлениями и схемами Юнга. Полное разложение
тензоров второго ранга фа6 имеет вид
Ψα* = Ψ«*, + Ψα,*.
где
Ψα*, = "2 (Ψα* + Ψ*σ)· Ψα, b = γ <$ab ~ Ψ*α)·
Симметричная часть ψω, имеет lj2m{m-\-\.) компонент и соответст-
вует схеме Юнга, изображенной на фиг. 19, а. Антисимметричная
часть фа ь имеет 1f2m(m— 1) компонент; соответствующая схема
Юнга изображена на фиг. 19, б).
') Доступное изложение можно найти в книге [62]. [См. также литера-
туру, цитируемую в статьях 1 и 3 настоящего сборника. — Прим. ред.]

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 165
НИ
Грубо говоря, индексы, появляющиеся в одном и том же ряду
схемы Юнга, подвергаются симметризации, в то время как индексы,
появляющиеся в одном и том же столбце, подвергаются антисиммет-
ризации. Мы используем следующее обо-
значение: запятая между индексами отделяет
индексы первой строки от индексов второй
строки; вторая запятая отделяет индексы
второй строки от индексов третьей и т. д.
Полностью симметричный тензор ψ0...</, бу-
дет заканчиваться запятой, чтобы отделить
его от общего несимметризованного тензора
В соответствии с разложением тензора
третьего ранга существуют четыре схемы
Юнга (фиг. 20). На фиг. 20 изображены
также неприводимые базисы и размерности представлений; сумма пос-
ледних, разумеется, равна /и3. В то врема как файс, и tya,»,c опреде-
ляются единственным образом как соответственно полностью симме-
-mtm+l)
4*ab,
О
jmfm-l)
Фп,Ь
δ
Фиг. 19. Схемы Юнга,
связанные с редукцией
m-мерного тензора вто-
рого ранга.
^Ыс~]
£mlm-t-t)(m+2)
Ε
jmljn2-!)
jniim2-»
о
ФаЬс,
ФаЬ,с
Фос.Ь
*с,Ъ.с
Фиг. 20. Схемы Юнга, связанные с редукцией
тя-мерного тензора третьего ранга.
тричная и полностью антисимметричная части тензора файс, остальные
две части имеют смешанную симметрию и их определение не вполне
однозначно1). Это обусловлено тем, что они являются двумя эквива-
лентными представлениями группы SUm. Эти представления можно
выбрать в следующем виде:
Ψα*, с = J (Ψα*ο — %сь + Ф*ае ~ Ф*со)·
Фое, Ь = J (ФасЬ ~ Ф*са + ФепЬ — Фбос)·
Если сделан подобный выбор, то все четыре части ортогональны
друг другу. Этим завершается полное разложение тензора фа6с.
') Для тензоров высшего ранга имеет место еще большая неопределен-
ность. Яманучи в [63] описал общую процедуру, всегда приводящую к орто-
гональным волновым функциям.

166 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К- Фронсдел, В. Ли
Мы видели, каким образом ковариантные тензоры разлагаются
согласно своим симметриям и каким образом смешанный тензор фа*
разлагается путем выделения следа. Для смешанного тензора общего
вида умелое использование обеих операций позволит получить полное
разложение на неприводимые представления группы SUm.
Теорема, которая необходима в этом случае, состоит в том, что
смешанный тензор неприводим тогда и только тогда, когда 1) симметрия
его нижних индексов определяется некоторой схемой Юнга, 2) сим-
метрия верхних индексов определяется некоторой схемой Юнга и
3) свертывание верхнего индекса с нижним дает нуль. Тензор фйей
легко редуцируется на следующие четыре части: два m-мерных пред-
ставления, φ6 = ψ6ο° и Фг,' = фогЛ симметричную часть с нулевым
следом
**/-^n-(V^/+VW). (5-7)
имеющую ll2m2(m-\- 1) — m компонент, и антисимметричную часть
с нулевым следом
имеющую x\2tr^(m—1) —/и2 компонент.
Б. Группа SU3
Мы видели, каким образом тензоры второго и третьего рангов
разлагаются относительно группы SUm. Значительное упрощение
имеет место в случае т = Ъ, поскольку тензоры Леви-Чивита еаЬс
и гаЬс. равные -{-1 (-—1) в том случае, когда последовательность
индексов abc получается четной (нечетной) перестановкой из после-
довательности 12 3, и равные нулю в остальных случаях, имеют
только три индекса.
Существует следующее соотношение между приведенным выше
разложением тензоров второго ранга и введенным ранее обозначением
представлений (более полная информация приведена в табл. 4):
Ψ*
D(3)(l, 0)
(а)
ψ*'
Dp)(l. 0)
(г)
Ψ°
D(3)(0, 1)
(б)
Ψ0»,
D<6)(2. 0)
(д)
Ψα·*
Dp)(0, 1)
(в)
ψ0*·
D<6,(0, 2)
(е)
что мы сейчас докажем. Первое соотношение, отождествляющее ψα
С базисом представления £>(3)(1, 0), является по существу определе-

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 167
нием. Тогда (5.9, б) следует из того факта, что ф° контрагредиентно фй,
a D(3'(0. 1) контрагредиентно D(3)(l. 0). Рассмотрим затем соотно-
шение (5.9, в), согласно которому представление ф01Й эквивалентно
представлению ф". Эту эквивалентность демонстрирует и доказывает
соотношение ψα = вй6сфб1 c, выражающее три компоненты ф° через
три линейно независимые компоненты tybiC. В общем случае операция
свертывания двух нижних индексов некоторого тензора с одним
верхним индексом посредством гаЬс является несингулярной тогда и
только тогда, когда тензор антисимметричен по двум нижним индек-
сам. Это следует из соотношения
<W^ = 6,V-W· (5-Ю)
Наконец, соотношение (5.9, д) вытекает из того факта, что тензор фОЙ1
представляет собой максимальную (в смысле размерности) неприво-
димую часть тензора фай.
В терминах внешнего произведения представлений соотношения
(5.9) означают, что1)
D(3)(l, 0)®D(3,(1, 0) = D(6)(2, 0)®D(3)(0, 1),
Φ«®Φ»~Ψω,θΨβ1».
(5.11)
Второе соотношение вытекает из
[D(3)(l, 0)]* = Df3)(0, l).
(5.12)
Разложение тензора ψα уже подробно обсуждалось. При m = 3
имеем
D(a,(l. 0)®D'3,(0, 1) = β(8)(1, 1)©гЯ(0, 0). (5.13)
Аналогами (5.11) и (5.13) для тензоров третьего ранга служат
соотношения
D(3)(l, 0)®Df3)(l, 0)®D(3)(1, 0) =
= D(I0)(3. O)0D(8)(1, l)@rf\l, 1)0D(1)(O, 0),
Ψα ® Ψ» ® Ψ, ~ Фййе, 0 фйй, е0фас, b0фй> bi c,
(5.14)
^(1. 0)®O<3)(l, 0)®D(3)(0, 1) =
= D(,5)(2, 1)0D(6,(O, 2)0D(3)(1, O)0D<3)(1, 0),
Ψβ ® Ψ* ® Ψ'~Ψο6/θΨ„./θΨβ/ΘΨ,/·
(5.15)
) Символов (5.11) следует читать „преобразуется так же, как ...*.

Представления
Смешанные тензоры предполагаются имеющими нулевой след, т. е.
11 3333 55
и изотопическим содержанием 0, -=-, у, 1, 1, 1, у, у, у , у , 2, 2, 2, у, у ,
Регулярным представлением яв
Полное
обозна-
чение
£>' (0,0)
D3 (1,0)
D» (0,1)
D6 (2,0)
D6 (0,2)
D8 (1Д)
£>10 (3,0)
D10 (0,3)
D16 (2,1)
D16(l-2)
D16 (4,0)
£>16 (0,4)
D21 (5,0)
D21 (0,5)
£>24(3,1)
D2i (1.3)
£>27 (2,2)
Сокра-
щенное
обозна-
чение
1
3
3*
6
6*
8
10
10*
15
15*
15'
15'*
21
21*
24
24*
27
Старший вес
(0.0)
|(/3, 1)
1(/з. -О
1(/з,1)
-1 О^з, —1)
1 (/з.о)
у(/3. 1)
у(/3, -1)
• а* +^ !
у U 3, j
3j
Ι <-· il J
4^1!!
1 (/з.о)
Фигура
2, β
2,-5
2, в
2. г
2,0
22
Изотопическое содержание
0
0,1
о,1
о,1.
0.1.
0,1,
0.1,
0.1.
о,1.
0.1
о.|.
0.1.
o.-i-,
«
I
1
^
>·4
>■!
1.1.1.1
1 1 2
'· 2 '
1 1 2 А
'· 2' ' 2
I 1 1 i 1 2
2' ' ' 2' 2
I 1 1 1 1 1
2* '· '■ ' 2' 2*
2

Таблица 4
группы SU3
■л о = 0. Опущенное представление „64" есть D64 (3,3) с базисом tydefabc
3. Размерность представления 0(λ,, λ2) равна ^-(λ, +1)(λ2 + 1)(λ, +λ2 + 2).
ляется представление £>8(1, 1)
Базис
ψ
Ψβ
ψ»
Ψβ6
ψα»
V- *λ
4'ofte
фаое
Ψ**α
ψβ*«*
4'oftcde
W
Ψγ^6
(8 Ds 0.°)
3
6 + 3*
8+1
10 + 8
15»+ 3*
15+6*+3
15'+ 15
24* + 6*
® Ds (2,0)
6
10 + 8
15 + 3
15'+ 15+ 6»
27+8 + 1
24+15*+6+3*
24 + 21 + 15*
42* + 15* + 3*
»ff(l,l)
8
15 + 6* + 3
15* + 6 + 3»
24+l5* + 6 + 3*
24* + 15 + 6* + 3
27+10 + 10* + 8 + 8+l
35 + 27 + 10 + 8
35* + 27 + 10* + 8
® D"> (3,0)
10
15'+ 15
24+6
24 + 21 + 15»
42 + 15+3
35 + 27+10+8
35+28+27+10
64 + 27 + 8+1

170 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
Полное
обозна-
чение
£>28 (6,0)
D2* (0,6)
D36 (4,1)
D3B (1,4)
Ds6 (7,0)
£>3β (0,7)
D*2 (3,2)
£>« (2,3)
D45 (8,0)
D« (0,8)
D48 (5,1)
D« (1,5)
Сокра-
щенное
обозна-
чение
28
28*
35
35*
36
36*
42
42*
45
45*
48
48*
Старший вес
+ T
~"3"
Фигура
Изотопическое содержание
0, 1. 1, I 2, 4· 3
O-Li.llJ.A.29 —
■ 2 ' 2 ' ' ' 2 ' 2 ' ' ' 2
0 I 1 A 2 A 3 1
0 l 1 1 1 1 3 A3
2,2,4
о. 1.1,4· 2. |. 3,4· 4
0 — — 1 1 — — 00
υ' 2' 2 ' ' ' 2' 2 ' ' '
5 5 .
2"' Τ' d
Эквивалентность представлений фаг,,с и D(8) (1, 1) демонстрируется
равенством ф/ = e*"ty0<), c (очевидно, что след ψ/ равен нулю).
В (5.15) под фой,е и фа,/ мы подразумеваем соответствующие выра-
жения (5.7) и (5.8) с нулевым следом. Эквивалентность последнего
из них представлению £>(6) (0, 2) вытекает из равенства гьсе [фй> са —
— 1/2 (δ/ψ,,,/—δ<!βψΛΛ'')]=ψ'β'. Можно было бы также рассуждать
следующим образом. Так как выражение (5.8) реализует неприводимое
представление, а поднятие нижних индексов посредством тензора ε
является преобразованием подобия, то в результате мы должны по-
лучить одну из неприводимых частей тензора феа. Поскольку размер-
ность получаемой неприводимой части равна 1j2m2{m—1) — m = 6,
то это должна быть шестимерная симметричная часть фея.
Ясно, что, используя методы, проиллюстрированные выше не-
сколькими примерами, можно превратить любой тензор смешанной
симметрии с тензоры низшего ранга, симметричные по всем верхним
и всем нижним индексам. Разложение последнего производится путем
выделения частей, имеющих нулевой след. Отсюда полный набор не-

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия
Продолжение табл. 4
Базис
tyabcdef
tffterfe"
^abcdefg
^cde""
tyabcdefgh
■tybcdef
® D» (1,0)
® D6 (2,0)
®D»(1,1)
® D'°(3,0)
приводимых представлений задается множеством симметризованных
тензоров фой cd....t имеющих нулевой след. Если λ!—число ниж-
них, λ2 — число верхних индексов, то неприводимое представление
может быть обозначено через £>(λ], λ2). Так как это есть наибольшее г)
представление, содержащееся в прямом произведении представления
D(l, 0), взятого λ, раз, и представления D(0, 1), взятого λ2 раз,
то введенное обозначение находится в точном согласии с обозначе-
ниями, использованными в § 3.
Другой возможный подход заключается в том, что все индексы
можно опустить, переводя каждый верхний индекс в два нижних.
Исходя из симметризованного тензора с нулевым следом, имеющего
^i нижних и λ2 верхних индексов, этот процесс должен привести
к неприводимому представлению, т. е. к тензору, симметрия которого
соответствует некоторой схеме Юнга. Легко убедиться, что эта схема
будет иметь две строки с λ, -f- λ2 клетками в первой строке и λ2
клетками во второй. Схем с тремя строками не возникает по той
') Т. е. представление со старшим весом.

172 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
причине, что добавление столбца с тремя строками означает умно-
жение на представление ψβ_ btC, являющееся инвариантом.
Размерность представления ψο6 , симметричного по λλ индексам,
равна V2(^-i+l)(^i +2). Отсюда следует, что тензор ψ ь····,
симметричный по λ! нижним и по λ2 верхним индексам, имеет
V^i-f" 1)(λ1 + 2)(λ2+1)(λ2Η-2) компонент. Тензор, получаемый
свертыванием одного верхнего и одного нижнего индексов, имеет
74^i(^i+ 1)λ2(λ2-(- 1) компонент. Отсюда часть t нулевым следом
имеет 7г (^i + 1)(λ2 + 1) (λ]-f-λ2-f-2) компонент, а поэтому такова
и размерность представления D(klt λ2). Этот же результат был по-
лучен в § 4 геометрическими методами, более подходящими для
подобного рода вычислений.
Редукция произведения любых двух произведений легко прово-
дится развитыми выше методами. Результаты, представленные в табл. 4,
были получены как этими методами, так и независимо геометриче-
скими методами. С помощью табл. 4 можно также найти „волновые
функции" для любого представления группы SU3 размерностью
меньше 50. Операторы проектирования, результат действия которых
состоит в симметризации и вычитании следа, легко могут быть вы-
писаны по аналогии с (5.3) и (5.4) и позволяют получить матрицы
преобразований в явном виде. Для иллюстрации будет достаточно
одного примера. Преобразование базиса (5.3), получаемого из (5.2)
и (5.4), задается представлением
LA -> Pjcb (LAb\c - LAa\"). (5.16)
В. Группа С2 (В2)
Эта группа 4 X 4'матриц, оставляющих инвариантной невыро-
жденную антисимметричную форму λ) hab. Эта группа является, оче-
видно, подгруппой группы SU4, и редукция прямого произведения
представлений этой группы оказывается лишь уточнением соответ-
ствующей процедуры для группы SUm при щ = 4. Существование
инвариантного тензора hab, который может быть использован как
') Любая антисимметричная метрика может быть преобразована к виду
1
—1
1
—1
hab =
Именно этот выбор был сделан в уравнении (3.36).

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 173
оператор,, поднимающий и опускающий индексы в том случае, если
мы определим тензор hab равенством J)
/г /г*с = δ с
паЬп —"а ·
означает, что два представления фй и ψ" эквивалентны. Эта эквива-
лентность будет продемонстрирована и доказана, если заметить, что
вектор Л°*фй преобразуется так же, как и ψ°. Оба вектора ψβ и ψ"
реализуют (различные и эквивалентные) базисы представления, обо-
значенного в предыдущей части через D(4)(l, 0). Очевидно, что сме-
шанный тензор произвольного ранга может быть сведен к тензору,
обладающему только нижними индексами. Задача редукции поэтому
включает два этапа: сначала проводится редукция по группе SU4
(т. е. расщепление тензора на его возможные классы симметрии, или
схемы Юнга), а затем отделяются „следы", образованные при помощи
тензора hab. Вспоминая, что тензор hab антисимметричен, так что
след по двум парам симметризованных индексов равен нулю, мы
легко получим результаты табл. 5. (Метод, развитый в предыдущем
разделе, еще более прост, а для высших представлений только он
и имеет практический интерес.) Как и в случае группы SU3, малая
размерность матриц (в данном случае 4) приводит к упрощениям.
Так, полностью антисимметричный тензор ψΛ ЬщС эквивалентен вектору
ψ4 = ε«*«?ψβ^( где Еом<*_ символ Леви-Чивита.
Пусть LAb — инфинитезимальные генераторы фундаментального
представления D(4)(l, 0) группы G2. Инвариантность тензора hab
означает, что
hab _^ hab _ ieA (L^ffb _j_ Ljlfc) = hab.
Положив hacLAcbsBLAab, получим
/ ab / ba
LA — LA ·
Отсюда вытекает симметричность генераторов с поднятыми нижними
индексами. Следовательно, имеется 10 линейно независимых генера-
торов LAab, и порядок группы С2 равен десяти. Чтобы получить
полный набор из 16 независимых матриц, введем 5 линейно незави-
симых антисимметричных матриц о"", (i=l, 2, 3, 4, 5) и выберем
их так, чтобы удовлетворялось соотношение
W
') Если тензор hab таков, как в примечании на стр. 172, то
—1 )
1
—1
1
σΛ„Λ = 0.

Представления
Базисы удовлетворяют
Полное
обозна-
чение
Сокра-
щенное
обозна-
чение
Старший вес
Фигура
Изотопическое содержание
Z?1 (0,0)
D* (1,0)
Os (0.1)
D"> (2,0)
D14(0,2)
Ζ?16 (1,1)
D20 (3,0)
£>30 (0,3)
£>« (4,0)
1
4
5
10
14
16
20
30
35
1
2/3
1
2/3
1
2/з
1
2/3
1
2/3
(0.0)
=■ (i.o)
O.i)
(2,0)
(2,2)
(2,1)
1
2/3
= (3,0)
2/3
(3,3)
1
2/3
^(4·4>
4,0
4,ff
4, β
0, 0,
1 Π 1
L2' 2 J
0.1, ±[0.0, 1]
jo,o.o,i.,i-, i
I to. l, l. i]
f °· τ· i· l- *· !
I [0, 0, 0, 1, 1, 2]
loo' HI
' ' 2 ' 2 ' 2 * 2 '
1111
1, 1
31
2' 2' 2' 2' 2" 2.
0. 0, 0, 0, I. -i, 1.
ii 3Π 1 1
' ' 2 L 2 ' 2' 2'
3 31
Τ' 2j
3
2'
0, 1. 1. i. i, 1.1,
1, I [o, o, o, o,
1, 1, 1, 2. 2, 3]
0, o, o. o, o, 1, 1, 1,
1, I, 1. J-. |. 2[0, 1.
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2]
3
"2'

Таблица 5
группы С2\В2\
«дополнительным условиям»
σ'0 Vy-a = g'J(fij. = gij'fijk, = gii<Piffcglifij-a = °
Базис
ψ
Ψβ
Ψα,». «Ρ/
Ψσ*. «Pi, /. *Α
<ttj.
fat. УаЬ.с
%bc.
«Pi/ft,
%bcd.
® D* (1,0)
4
10 + 5 + 1
16+4
20 + 16 + 4
40+16
35+14+10+5
® O5 (0,1)
5
16 + 4
14_|_I0+1
35'+ 10+5
35^-30 + 5
40 + 20+16+4
® £),c (2,0)
10
20+16 + 4
35' -1-10 + 5
35+35'+14+10+5+l
g D" (0,2)
14
40+16
35'+ 30+5

176 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К- Фронсдел. В. Ли
Полное
обозна-
чение
Сокра-
щенное
обозна-
чение
Старший вес
Фигура
Изотопическое содержание
D36 (2,1)
£>40(1,2)
35'
40
2/3
(3,1)
1
2/3
5F С3-2)
0, 0, 0,
1 _L i i
2' 2 ' 2' 2'
А I 1 1 1 1 1 1
2' 2 ' ' 2' 2'
[0, 0, 1, 1, 1. 1, 1,
1, 2, 2, 2]
0 0 1 i 1 I 1 1
"' °'Y' ^' 2' 2' ' ·
l l l l A А A
I, 1, 1, 1, у, у, 2
[A JL A J_ _!_ 1
[2' 2' 2' 2' 2' 2'
2' 2' 2' 2' 2' 2 J
Теперь можно более детально разобраться в редукции тензора фой
и тензоров более высокого ранга. Мы уже отмечали, что ψβ6 со-
держит инвариант Λ°*ψ0 6. Пятимерное представление, получающееся
вычитанием следа из антисимметричной части, теперь можно записать
в более удобной форме
Ч>1 = 01вЧ».
i=l,
5.
(5.17)
Доказательство этого утверждения состоит в следующем. Шесть анти-
симметричных компонент ψ0 b образуют базис представления, т. е.
они преобразуются друг через друга. Следовательно, шесть линейно
независимых комбинаций φ,- (i=l, 2 5) и h"btyab также пре-
образуются друг через друга. Но habtyab — инвариантен и ортого-
нален φ,-. Поэтому фг-, взятые сами по себе, преобразуются друг через
друга и, следовательно, образуют базис пятимерного представления.
Мы не доказали здесь неприводимости этого представления, но легко
убедиться, что это представление совпадает с представлением D(5) (0, 1),
рассматриваемым в предыдущем разделе. То обстоятельство, что ве-
личины φ( преобразуются друг через друга, означает
Ф| =
= <Л,
ab
^W + te^juW^. (5.18)

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 177
Продолжение
Базнс
Vlj, k
Фу. а
& D4 (1,0)
β θ5 (Ρ·1)
(8 О10 (2,0)
® О" (0,2)
Как и обычно, имея дело с σ-матрицами Паули, мы интерпретируем о1
как постоянный тензор. Этот подход оправдан тем, что из приве-
денного выше определения генератора LAlJ вытекает
< -* (V - *ALAca) (δ/ - 1гЧв/) (V + &L<h of = of,
т. е. тензор alab инвариантен.
Рассматриваемому представлению D(5) (0, 1) может быть дано
весьма подходящее ему название векторного представления. Форма
очевидным образом симметрична, несингулярна и постоянна (инва-
риантна). Она может использоваться для поднятия и опускания век-
торных индексов. Например, на основании (5.18) мы имеем
Ясно, что LAli представляют собой 10 антисимметричных 5 X 5-ма-
триц и равенство их следа нулю эквивалентно инвариантности gik.
Поэтому рассматриваемым представлением группы С2 служит группа В2,
ортогональная группа в пяти измерениях. (Изоморфизм между груп-
пами С2 и В2 был установлен Картаном.)
Для полноты проведенного рассмотрения редукции тензора фа6
отметим, что десятимерное представление D(2, 0), совпадающее
12 Зак. 612

178 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, /(■ Фронсдел, В. Ли
с симметричной частью тензора фой, есть как раз регулярное пред-
ставление
Матрицы а"" играют здесь такую же роль, как и в обычном
спинорном анализе, где они служат связующей величиной между
„спинорными" индексами а, Ь, ... и „векторными индексами" I, j
Для тензоров высшего ранга может оказаться удобным использовать
смешанные обозначения. Так, базис фай эквивалентен %·, а базис
представления D(l, 1) может быть реализован либо величинами
4W с ограничением hbctyab,c = 0,
либо величинами
qti ja с ограничением σ'ο6φ^ " == 0.
Г. Группа С2
Так как группа G2 является подгруппой ') группы 07, то полезно
сначала рассмотреть последнюю группу. Спинориое представление
группы Οη восьмимерно. Пусть gab — симметричная несингулярная
матрица, a gab — ей обратная:
Мы будем использовать этот тензор для поднятия и опускания индексов
(латинских индексов а, Ь, с в спинорном пространстве). Пусть yia" —
набор из семи 8 X 8-матриц, удовлетворяющих условиям
еаеУиЬ = У,аЬ = -У1Ьа.
(Υ/Υ; + Υ,Υ1)β· = -2*Γ,Α·. ( ' )
Числа gtj определяются этими уравнениями, коль скоро выбраны
фиксированный тензор gab и фиксированный набор матриц у. По-
следние должны быть выбраны линейно независимыми, тогда gtj
представляет собой несингулярную квадратичную форму, обращение
которой определяется равенством
gtJgjk = bki·
Эти матрицы используются для поднятия и опускания латинских ин-
дексов i, у, к, называемых с этого момента векторными индексами.
Таким образом, матрицы gab и g1' служат метрическими тензорами
соответственно в спинорном и векторном пространствах.
Матрицы у можно использовать для построения полного набора
матриц (64 независимые матрицы) в спинорном пространстве. Из
') Первое физическое применение этого факта принадлежит, по-види-
мому, Рака (см. [65]).

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 179
них 21 независимая матрица
представляет особый интерес. Прежде всего отметим, что вели-
чины Gijab антисимметричны и линейно независимы от матриц yf:
Поэтому 21 матрица Gtjab и 7 матриц у"" образуют полный набор
из 28 линейно независимых антисимметричных матриц. Затем, опре-
деляя 35 матриц
<W = -g-[W*]e*.
где [Y/YyYftl — антисимметризованное произведение матриц yt, γ;-, yk,
мы заметим, что величины G,-·0* симметричны и линейно независимы
от матрицы gab:
°фаЬ = СчГ, Gijkabgab = 0.
Отсюда следует, что матрицы Gljkab и gab образуют полный набор
из 36 линейно независимых симметричных матриц.
Простым следствием „антикоммутативности" матриц γ служат ра-
венства
[Oij. Gkl] = guGkj — gikG4 + guGlk — gkJGu,
представляющие собой правильно выписанные коммутационные соот-
ношения для группы вращений в семи измерениях1). Поэтому вели-
чины (Gij)ab являются инфинитезимальными генераторами этой группы.
Группа G2 теперь может быть получена как подгруппа группы 07
следующим образом2). Пусть η° — постоянный спинор. Разумеется,
группа 07 не допускает подобного объекта и спинор η° не постоянен
относительно группы 07. Однако существует подгруппа группы 07,
оставляющая спинор η° инвариантным, и оказывается, что эта под-
группа есть как раз группа G2. Поэтому спинор η" постоянен только
относительно группы 02. Ортогональное к η° подпространство спи-
норного пространства имеет семь измерений, и существует очень удоб-
ный способ выделения семи компонент ψ0, на которые натянуто это
подпространство. Так, пусть матрица г)г° определена равенствами
η«°=—Y»V. η|β = Υ|β*η* = τ1|*βΓ*β.
') Дифференциальные операторы (1//) (лг^ё?,-— xfii) являются реализацией
этих коммутационных соотношений.
2) См. [50].
12*

180 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
тогда ясно, что η/αηα = 0. Поэтому семь компонент τ)/αψα спинора ψο
образуют базис представления той подгруппы группы 07, которая
оставляет инвариантным спинор ηβ.
Чтобы найти матрицы этой группы, определим величины
riy* = Yfa»4/V·
Так как матрица η;° сингулярна, то не сразу очевидно, как это ра-
венство может быть разрешено относительно у1аЬ. Ясно, однако, что
матрицы yjab имеют вид
Viab = ЛГ,у»Т1в V + В (y)iay)b — η/6ηα).
На основании коммутационных соотношений и с учетом нормировки
Г|Ч=1
находим, что
а отсюда немедленно вытекает, что А = В = 1, или
Уш=г1/*п"У *+η,·Λ — η0η№·
Подставляя эту формулу в соотношения антикоммутации, мы нахо-
дим, что для того, чтобы величины T{jk определяли матрицы ylab
с заданными свойствами, необходимо и достаточно а) чтобы вели-
чины rtjk были полностью антисимметричны и б) чтобы имело место
равенство
r,"V + Г/Т,/ = δ/δ/ + δ/δ/* ~ 2glJg№. (5.21)
Это равенство имеет следующие простейшие свойства:
г„'=о. гшг;*'=бб/.
Хотя и не очевидно, но тем не менее справедливо утверждение о том,
что сформулированных выше свойств достаточно для разложения
произведения любых трех матриц Г на сумму членов, линейных по Г.
Соответствующая формула имеет вид
1 mn1 s ll — "m1 η °m 1 η — °m l η — В l mn ~Γ
4-δ Τ '*-4-δ УГ *'-4-δ *Γ U + g4Y *
\ υη * m \ υη *■ m ч un x m i 6 x mn ·
Генераторами группы G2 являются те линейные комбинации вида
которые удовлетворяют условию
SijGl)a\ = 0.
Последнее равенство легко сводится к

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 181
Общим его решением (при Sl) = — S*1) служит линейная комбинация
следующих матриц:
P(\i\, '^ = J_f6 'δ J — δ Jb ') — — Гь Г""'
из которых 14 линейно независимы. Отсюда следует, чтэ группа 02
содержит 14 параметров, а ее генераторы имеют вид
L{mn)a =^('4)(mn) Glja .
В векторном пространстве это выражение переходит в
L(mn)k =L(mn)a % f\k .
Отсюда вытекает, что генераторы группы 02 образуют набор анти-
симметричных матриц, ортогональных величинам tljk:
Теперь может быть решена задача редукции для группы G2.
Пусть обозначение ГР\\, 0) соответствует представлению ψ;. Тензор
второго ранга прежде всего расщепляется на симметричную и анти-
симметричную части. Симметричная часть \\tj содержит инвариант glJ$it
а оставшиеся 27 компонент образуют неприводимое представление,
(27)
которое мы обозначим через D (2, 0). Антисимметричные компо-
ненты ψ;/· (число которых равно 21) разбиваются на представление
D(l, 0)Γ'Λψ(;·Ξφ* и на образовываемое остальными 14 компонен-
тами регулярное представление L(m„^^ij, которое мы обозначим
через D(14)(0, 1). (Все эти обозначения согласуются с введенными
в предыдущих разделах.)
Редукция тензора третьего ранга ф(уЛ оказывается нетривиальной.
Прежде всего выпишем все операторы, которые мы можем употре-
бить для редукции числа индексов, т. е. все инвариантные матрицы,
обладающие от трех до пяти индексов:
Am = -i (Г^Ггт* + Р"Ггт'Ч- Г*%Д
A = — iT ''δ * Г уЛ *1 1- Г 'Г °TJJ
Здесь операторы Am должны быть сделаны полностью антисимметрич-
ными по индексам /, у, к, так как любая симметричная часть выра-
жалась бы через Вт при помощи (5.21). Мы вычли след А из опе-
ратора Ат и часть Ат ~ Гтп1Ап1 из Ат<п. Подобным образом мы

182 Р. Бе ρ end с, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли
т. е.
обеспечили неприводимость представлений AmntJkqiljk и Ат „'^ψη*-
Затем применим эти операторы к каждому из классов симметрии,
изображенных на фиг. 20. Начнем с антисимметричной части ψ/? -_ k,
имеющей 35 компонент. Применение оператора Вт тривиальным обра-
зом дает нуль; оператор Ат „ после некоторых вычислений также
дает нуль. Таким образом, у нас остается
Ψ/, j, k = Amn,lJ%, у, *Θ Am4%jk@ A4%jk,
D(27)(2, Ο)0Ο(7)(1. 0)φ£>(,)(0, 0). (5.22)
Применение к каждой из двух частей ψ^-_ k и ψ,·Λ j со смешанной
симметрией (обладающим по 112 компонент каждая) операторов Вт,
Атп, и Ат „ дает соответственно представления D(7\ D(27) и D(14).
Остающиеся компоненты, число которых равно 112—7—27—17 = 64,
неприводимы. Так как это наибольшее представление, содержащееся
в произведении D(l, 0)®D(0, 1), то им должно быть представле-
ние D(l, 1). Таким образом,
Ф«. * = BmU%,kθAmn,ik%, *θ Am, „<*■%, к@ „остаток", (5.23)
т. е.
β(?)(1. O)0D(27)(2, 0)@D(14)(0, 1)®£>(64) (1,1).
„Остаток" — это тензор фг, k, удовлетворяющий „дополнительным
условиям"
Результат для тензора ф(й) ·, разумеется, вполне аналогичен. Полно-
стью симметричная часть ф,^ может быть свернута только с опера-
тором Вт. Поэтому остающиеся 77 компонент неприводимы. Так как
это наибольшее представление в [D(l, О)]3, то оно должно быть
представлением D(77)(3, 0). Таким образом,
Фу*. = BmJ%j*,® устаток",
т. е.
β(?)(1. 0)φθ"7)(3, 0).
Полный перечень результатов для тензора ф(/Л приведен в табл. 6.
Мы требуем от нашего метода, чтобы он позволял получить для
каждого представления матрицы преобразований в явном виде. По-
этому было бы полезно вычислить их для некоторых из представле-
ний, приведенных в табл. 6.
Нами были найдены трансформационные матрицы £(т;1) / для
представления D(7)(l, 0). Они явным образом выражаются через Г'·'*.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 183
Для настоящей цели тензорный характер индексов (т, п) в матрице
L(mn) i не существен, и, по-видимому, более целесообразно заменить
их одним индексом А, пробегающим значения от 1 до 14. Тогда
закон преобразования тензоров до симметризации будет иметь сле-
дующий вид:
% ~* Ф,7 + гА (LaX + t<Aj V) Ф«.
%п - %* + ^ (LAi%mbkn + LAjmbX" +- LAkXbjm) ф,тп.
Представление D(27) (2, 0) получается из ф(у- при помощи оператора
проектирования, симметризующего индексы и вычитающего след,
именно
Ρ (27),/' = 1 (δ,*δ/ + δ, V) -1 gtJg». (5.24)
Поэтому матрицы представления D(27) (2, 0) равны просто
LA - Ρ (27),/' (7W + £A«V)·
Мы нашли уже оператор проектирования PiH),,*2. Аналогично
ρ (7\ Μ 1 ρ r*im
(5.25)
Легко проверить, что операторы (5.25) действительно являются опе-
раторами проектирования. Читатель теперь в состоянии написать
матрицы для любого из представлений табл. 6.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЯ
А. Вводные замечания
В предыдущих параграфах был изложен математический форма-
лизм, необходимый для построения физической теории элементарных
частиц. Теперь мы подходим к важным задачам выбора надлежащей
группы, отождествления базисов представлений с физическими состоя-
ниями (частицами, резононами1) и т. д.) и получения вытекающих
отсюда экспериментальных предсказаний.
Бесчисленное количество схем, которые здесь могут быть построены,
ограничивается лишь воображением исследователя. Поэтому мы ока-
') В английском оригинале применяется термин „резонансы", вместо
которого мы предлагаем термин „резононы", по нашему мнению, лучше от-
ражающий реальную ситуацию. — Прим. ред.

_ Таблица 6
Представления группы С2
Базисы удовлетворяют условиям Г'^Л / = gl4i, J, = gtJVtj. k = r-^'ifo/, ft = g'Hijl·, = g%/, *■ г = Г/Дя>1рг/, w = 0.
Полное
обозначе-
ние
D7 (1,0)
О14 (0,1)
О" (2,0)
D64(U)
О" (3,0)
D" (0,2)
Сокра-
щен-
ное
обозна-
чение
7
14
27
64
77
77'
Стар-
ший
вес
Фи-
гура
3, а
3,6
Изотопическое
содержание
1 1 1
2 ' 2 '
0,0,0,1,1
0 1 1 1 1 1 1 1 9
"' 2 ' 2 ' ' ' ' 2 ' 2 '
Л11113 3
[ 2.2,2,2,|,|
0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,
3 3 3 33
2 ' 2 ' 2 * 2 2 ' ' ' '
5 5
2" 2
0,0,0,0,0,0,1,1,1,|,
3 3 3 3 3-
2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 '
1 1 ззз
^ · ^ > о, О, О
Базис
Ч>|
*/./·**
Ψ//,
%;'■ ft
%/ft,
■ψ»;, *, г
β Ο' (1,0)
27+14+7+1
64+27+7
77+64+27+14+7
О О" (0,1)
64+27+7
77+77'+27+14+1
® О27 (2,0)
77+64+27+14+7

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 185
зываемся не в состоянии найти нужный курс между Сциллой слишком
большой абстрактности и Харибдой упущения многих логических
возможностей. Могло бы показаться, что наша задача будет выпол-
нена наилучшим образом, если мы приведем иллюстрирующие при-
меры, на основании которых может быть составлена общая схема
применения изложенных методов. Однако было бы неправильным
слишком сильно подчеркивать, что все последующие примеры
представляют собой только иллюстрацию.
Мы отождествляем компоненты базиса неприводимого представле-
ния группы с множеством физических состояний (частицами, резоно-
нами, состояниями рассеяния и и. д.). Поскольку мы рассматриваем
только группы преобразований „зарядового" пространства, которые
коммутируют с любым пространственно-временным преобразованием,
то каждое физическое состояние, входящее в неприводимый мульти-
плет, должно обладать одними и теми же пространственно-времен-
ными свойствами, именно спином, относительной четностью, барион-
ным числом и т. д. В частности, для каждого из этих состояний
должен быть одинаковым квадрат полного 4-импульса, т. е. масса.
Но уже при беглом взгляде на спектр масс барионов и мезонов
значительно уменьшается степень правдоподобия предположения о том,
что эти частицы могли бы образовывать каким-то разумным образом
базис неприводимого представления некоторой более обширной группы
симметрии, чем 4-параметрическая полупростая группа сохранения
изотопического спина и гиперзаряда. Единственной непосредственно
очевидной приближенной мультиплетной структурой является та,
которая связана с изотопическим спином. Изложенное составляет
основу одной из возможных точек зрения.
Другую точку зрения можно развить, опираясь на аналогию,
которая, будучи справедливой, позволила бы придать определенный
смысл рассмотрению барионов как членов „супермультиплета". Мы
понимаем, что эта аналогия может быть полностью или частично
ошибочной, и ссылаемся на нее лишь для того, чтобы продемонстри-
ровать некоторый ход мыслей, один из возможных при данных об-
стоятельствах.
Рассмотрим еще раз понятие изотопического спина. Взаимодействия
элементарных частиц, как это обычно полагают, распадаются на изо-
топически инвариантную часть и гораздо более слабую часть, нару-
шающую изотопическую симметрию и, по всей вероятности, обуслов-
ленную электромагнитным полем. В отсутствие последнего нейтрон и
протон отождествляются с вырожденными членами изоспинового
дублета, т. е. с базисом неприводимого представления спина 1/2
изоспиновой группы вращений. Для членов подобного мультиплета
все пространственно-временные свойства, включая массы, одинаковы.
Главный эффект наличия нарушающего симметрию взаимодействия
в этом случае будет заключаться в снятии вырождения по массам и

186 Р. Бе рейде, Дж. Д рейт лей н, К. Фронсдел, В. Ли
взаимодействиям протона и нейтрона. Это обусловлено тем, что элек-
тромагнитные взаимодействия сохраняют четность и барионное число
и являются лоренц-инвариантными, а потому не изменяют других
пространственно-временных свойств состояний, таких, как спин, от-
носительная четность и барионное число. Очевидно, что при этом
несущественна сила нарушающего симметрию взаимодействия. Вполне
можно ожидать, что взаимодействие может изменить число состояний,
порождая некоторые новые резононные состояния. В случае изотопи-
ческого спина эти новые состояния, по-видимому, либо не существуют,
либо сильно удалены по массам от возмущенного дублета. Таким
образом, мы приходим к выводу, что поскольку протон и нейтрон
связаны друг с другом даже при наличии нарушающего симметрию
взаимодействия, то до некоторой степени все еще допустимо рас-
сматривать их как члены дублета.
Теперь проведем аналогию со случаем более высокой симметрии.
Можно предположить, что взаимодействия элементарных частиц рас-
щепляются на части, одна из которых сохраняет симметрию, а другая
ее нарушает, причем последняя включает некоторые „поля", не содер-
жащиеся в первой. Одну из подобных возможностей реализует схема
глобальной симметрии [4], в которой из бозонов только пионы
включены в сохраняющую симметрию часть, в то время как в нару-
шающей симметрию части содержатся только /С-мезоны 1). В другом
случае сохраняющее симметрию взаимодействие могло бы включать
как К-, так и л-мезоны, в то время как нарушающее симметрию
взаимодействие было бы обязано некоторым другим, еще неизвестным
полям. Тогда именно это последнее взаимодействие было бы ответ-
ственно за наблюдаемое расщепление масс и другие нежелательные
явления. Если рассмотренная выше аналогия не ошибочна, то даже
при наличии нарушающего симметрию взаимодействия все еще можно
говорить о „супермультиплетах", компонентах базиса неприводимого
представления. Мы можем сказать, что все компоненты должны
иметь одинаковые спин, относительную четность и барионное число.
Кроме того, как и ранее, мы предполагаем, что если некоторые
новые состояния и возникнут в результате нарушающего симметрию
взаимодействия, то они будут отделены большой разностью масс от
известных в настоящее время резононов2). Этим гарантируется сох-
ранение числа состояний при наличии взаимодействия. Таким образом,
описав полностью одну компоненту мультиплета, мы вполне характе-
ризуем все другие компоненты, за исключением их масс и ширин.
Если в дополнение к этому мы принимаем точку зрения Ли и Янга
[48] относительно взаимной связи ширин различных компонент, то
') Или, наоборот, см. [3].
2) Это предположение или другое, ему подобное, является обязатель-
ным условием любой теории высших симметрии.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 187
главным квантовым числом, возмущаемым нарушающим симметрию
взаимодействием, у нас остается масса.
Согласно методам, развитым в предыдущих частях, компоненты
базиса неприводимого представления характеризуются весами т,
к которым они принадлежат.
Для представлений простой группы второго ранга оказывается,
что по крайней мере две линейные комбинации операторов Нх и Н2
могут быть интерпретированы как /3. Это вытекает из того, что
спектр f3 должен быть симметричен относительно f3 = 0. Как для
группы SU3, так и для группы G2 рассматривается только одна из
этих возможностей, именно /3ос Н^, но для группы G2(B2) любой
выбор приводит к разумной физической модели (см. ниже). В табл.
4—6 приведено изотопическое содержание большого числа пред-
ставлений, т. е. содержащееся в различных представлениях число
изоспиновых синглетов, дублетов, триплетов и т. д. Легче всего это
может быть обнаружено при помощи соответствующей весовой диа-
граммы. Кратность, с которой содержится полный изоспин /', равна
разности между числом состояний с f3 = i' и числом состояний
с /, = /'+1.
Б. Анализ инвариантных амплитуд
Попытка построения физической теории в большинстве случаев
начинается с сопоставления некоторому специальному представле-
нию DB некоторой группы G множества частиц, называемых „фунда-
ментальными барионами". Какие барионы считать фундаментальными,
зависит от конкретной модели; нет даже необходимости в том, чтобы
„фундаментальные барионы" были стабильными частицами. Однако
чтобы фиксировать внимание на самих идеях, мы предположим, что
реализуется именно этот случай, и поэтому наши ссылки на „барионы"
будут вполне определенными. Пусть фа— волновая функция этих
барионов, т. е. базис представления DB, и пусть ф0— волновая
функция „антибарионов". Ясно, что ψα контрагредиентны фа и реализуют
базис представления DB* = (DB)*· Первый эксперимент, который
можно обсудить, не вводя еще даже бозонов, состоит в барион-
барионном или барион-антибарионном рассеянии. Характеризующая
это рассеяние четырехточечная функций имеет вид (пространственно-
временные переменные опущены)
Ж = АасМ {Т (ф^ФьФ+Чд). (6.1)
где коэффициенты Aacbd должны быть выбраны таким образом, чтобы
выражение (6.1) было инвариантным.
Рассмотрим сначала четырехточечиую функцию для некоторого
специального выбора барионов, представляющую собой один из

188 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К- Фронсдел, В. Ли
членов в сумме Ж:
Если известен результат действия оператора Еа на базис ψβ непри-
водимого представления, то эта информация может быть использована
для нахождения соотношений между четырехточечными функциями для
различных процессов. Прежде всего подставим операторную форму
коммутационных соотношений [Еа, £_„]== rl (a) Hi в выписанную
выше четырехточечную функцию, получив
(Т (ф+«ф6 [Еа, Е_а]) ф+*ф,)) = г' (а) {Т (ψ*»ψДф+чд).
Операторы Еа и Ht — линейные операторы, действующие на базис
произведения так же, как в (3.14). Вспоминая, что эти операторы,
действуя на вакуум, дают нуль и что £'„ = £'_„, находим
{τ {[(£-„Ψ)+ Ψ* - *te (£„Ψ)Λ [- (£„4>)tc Ψ*+¥c (£-„Ψ) J}> -
- {Τ {[(EaWfa4?b ~ Ψ+° (£-αΦ)J [- (£-αΨ)* Ψ, + Ф+С (ЗД) Л> =
= /·' (α) [— /я, (с) + И| (d)] (Γ (ψ+"ψ6ψ^ψ„)), (6.2)
где /яг(с) и m{(d) — веса представлений фс и фЛ соответственно.
Таким образом, зная результат действия операторов Еа на базис
барионного представления, мы можем обнаружить равенство четырех-
точечных функций двух различных процессов.
В качестве очевидного примера использования полученного выше
соотношения рассмотрим рассеяние р-\-п—*·р-\~п; пусть Е_а — изо-
спиновый понижающий оператор. Тогда соотношение (6.2) переходит
в выражение
σ (Ψ/ΦΑ**,))=γ (τ κψ/ψ, - ψ/ψ„) (ψΡ+ψΡ - φ/ψ„)]>. (6.3)
которое устанавливает, что четырехточечная функция для случая
/=1, /3=1 равна четырехточечной функции для случая /=1,
/3 = 0, или, другими словами, что эта функция зависит только от /
и не зависит от /3, т. е. хорошо известный результат. Остающиеся
равенства можно получить очевидным образом, повторяя процедуру
подстановки коммутационных соотношений уже в новую четырех -
точечную функцию; очевидно, что в рассмотренном примере эта
процедура закончится тогда, когда будет достигнуто состояние /= 1,
/3=1. В общем случае, когда операторы Еа не обязательно
совпадают с операторами изотопического спина, мы поступаем ана-
логичным образом, а именно повторным применением общего со-
отношения мы можем породить цепочку равных друг другу четырех-
точечных функций. Из приведенного примера ясно, что эта це-
почка оборвется через конечное число шагов, так как может суще-

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 189
ствовать лишь конечное число независимых соотношений между
четырехточечными функциями. Эта процедура определяет все четырех-
точечные функции, равные той, которую мы взяли вначале. Ана-
логичные утверждения, разумеется, могут быть сделаны и для η-точеч-
ных функций.
Если выбрать первоначальную четырехточечную функцию таким
образом, чтобы ψ^ψ^ были компонентами базиса неприводимого
представления (как в предыдущем примере), то все связанные с ней
четырехточечные функции могут быть полностью охарактеризованы
этим неприводимым представлением, которое в свою очередь харак-
теризуется своим старшим весом. Эти функции будут независимы
от остальных весов (точно таким же образом, как в предыдущем
примере, когда они характеризовались значениями / и не зависели
от /3). Если ψ^ψ^ и ψ+£,'ψ^' принадлежат двум различным неприво-
димым представлениям, то соответствующие четырехточечные функ-
ции, в которых они фигурируют, разумеется, не связаны друг с другом
(так же, как амплитуда с 1 = 0 не связана с тремя амплитудами
с /==1). Теперь мы покажем, что нам удастся проникнуть гораздо
более глубоко в структуру четырехточечных функций и взаимные
соотношения между ними после того, как мы найдем наиболее общий
вид матрицы Aacbd, делающей инвариантной форму (6.1).
Нахождение всех возможных решений этой проблемы эквивалентно
определению одномерных представлений, содержащихся в произведе-
нии Db*®Db*®Db®Db- Одновременно удобно и традиционно про-
делать это в два приема. Например, для барион-антибарионного
рассеяния сначала разлагают произведение DB*®DB:
Db» ®Db = Σ Θ Vc At. (6.4)
где суммирование производится по неэквивалентным неприводимым
представлениям, a v0 — целые числа. Тогда инварианты в (6.1) будут
инвариантами в
Σ®νΚ°ο®Κ), (6·5)
где каждое произведение Datg,D*0 содержит ровно один инвариант.
Техника нахождения чисел νσ была подробно обсуждена в § 4 и 5,
и многочисленные примеры приведены в табл. 4—6. Хотя числа νσ
содержат информацию, чрезвычайно важную для применения в по-
следующем, для настоящей цели нам нужна несколько более явная
форма редукции.
Предположим, что в произведении Db*®Db, т. е. в i|/\|>d, содер-
жится некоторое /V,-мерное неприводимое представление Д, базис
которого будет характеризоваться буквами μ, ν, ρ Это означает.

190 Р. Беренд с, Дж. Д ρ ейт лейн, К- Фронсдея, В. Ли
что существуют линейные комбинации
(Ωμ(1,)/Φ4. μ=1. 2 Ν„ (6.6)
преобразующиеся друг через друга согласно представлению Dv
Числа (Ωμ'1))/ могут рассматриваться как компоненты постоянного1)
(инвариантного) тензора и после надлежащей нормализации будут назы-
ваться изомешрией. Хотя, быть может, название и ново, само понятие хо-
рошо известно, и выше уже появлялись следующие примеры изометрий:
1) матрицы Паули oioft связывают произведение двух спиноров с век-
тором (Ψ4Ψ). 2) матрицы 1, γμ1 74 V5 (γμγν — γνγμ), ΥβΥμ. Υ5. ис-
пользовавшиеся для записи лоренц-инвариантных взаимодействий,
связывают произведение двух 4-спиноров с тензорами, 3) матрицы
любого представления D алгебры Ли связывают произведение D(gD*
с регулярным представлением (как было подчеркнуто в §5) и 4)
матрицы о,а* и Гцк, введенные в § 5.
Для квалификации этих операторов как изометрий необходима
следующая нормализация:
(£^№)/(Ω(1)ν),,β = ν·
(ftfViaPV^PQ)."· (6-7)
Здесь (Ω(1)ν)/^^·νμ(Ωμ<1))/, если тензор ^νμ существует; в общем
случае это есть изометрия представления D\, контрагредиентного D\.
(Можно доказать, что произведение D\§§D\ содержит D\, если оно
содержит Dj.) Матрица P(\)cedf; в которой индексы с и d нумеруют
строки, а индексы е, f — столбцы, представляет собой оператор про-
ектирования, связанный с представлением Dv Некоторые примеры
соотношений (6.7) хорошо известны:
1) iy^-iy^e**^.
j /2 гаЬс 1 У 2 ε«" = \ (Ьь%е - Ьь\") = Рь/е,
где Pbcde — оператор антисимметризации.
2) -iy2(o(.)/i/2(oV = V.
\ /2 (о,)/1 /2 (σ V = δβ V - \ δ Α" = Ρα"/·
где θ[ — матрицы Паули, a Pabcd — оператор проектирования, отде-
ляющий след.
') То есть соответствующая форма инвариантна.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 191
3) В § 5 [уравнение (5.19)] было найдено, что
(|)%.(ε)",Γ'"=ν.
(-f)'4.(j)'''r"" = P(7)„'«.
где P(7)jk'm — оператор проектирования (5.25), выделяющий семи-
мерное представление группы 02 из произведения D{ 'giD .
Пусть, как и в (6.4), индекс σ нумерует неэквивалентные непри-
водимые представления. Выпишем Ω(σ,κ), κ=1 νσ, для νσ изо-
метрий, связанных с каждым из νσ эквивалентных представлений Da.
Тогда эквивалентность между (Ω (σ" 1])с и (Ωμ(σ' ')/ означает, что
существует несингулярная матрица (Р " ^)с /, такая, что
(ρ(α,1,2))Λ/(Ων(ο,2))/ = (Ωμ(ο,Ι))/
Используя (6.7), получаем
(ρ(ο,.,2))Λ/ = (4,α.1))/(Ω(σ,2)μ)/> (6g)
Отсюда видно, что F*°' ' ' — изометрия. В частности, если индексы
такие же, как и у Ρ(σ' ' , то вновь получаем оператор проектиро-
вания. Поэтому мы будем обозначать операторы проектирования,
связанные с одним из представлений Dc, через Ρ(σ'''1). Тогда свой-
ства изометрий и, в частности, операторов проектирования, могут
быть суммированы следующим образом:
(Ωμ<σ· *>)/ (£*"'■ *'> X = Ьаа.К,· V- (6-9)
(Ωμ<σ" *>)/ (Ω№ х>) V = (Ρ(σ·*Χ V/. (6.10)
(ρ(σ, κ, *γβ/ (ρ(σ·. κ", x*y Α = ^^ (ρ(σ. κ. х«0)ДА. (β л 1}
Прямым следствием леммы Шура [66] является тот факт, что
наиболее общий вид матрицы Aacbd, делающей инвариантной форму
(6.1), дается выражением
А ы = У F0' κ'κ> (Ρ^σ' κ'κ'^ ь d
σ, κ, κ'
^= 2 /^'"ЧфЧХ^^ГДфЧ*)· (6Л2)
σ, κ, κ'
где функция /?"·*·* произвольна и включает в себя все, что отно-
сится к пространственно-временным координатам и трансформацион-
ным свойствам. Используя (6.10), получаем
Л=. Σ ^■κ',<'(ψΩμ(σ·κ)ψ)(ψΩ(σ'>1')μψ). (6.13)
σ, κ', κ, μ

192 Р. Бе ренд с, Дж. Д рейт лейн, К- Фронсдел, В. Ли
что представляет собой явный вид выражения (6.5). Число членов,
имеющих один и тот же индекс σ, равно νσ2.
Общее число членов в (6.13) равно ^jv„2 и зависит, конечно, от
выбора группы G и представления Db- Изложенная процедура пред-
ставляет собой непосредственное обобщение подхода, хорошо извест-
ного в теории изотопического спина. В этом случае индекс κ оказы-
вается лишним, так как ν„ в (6.4) всегда равно 0 или 1. Поэтому
суммирование по σ, κ, κ' сводится к суммированию по Л полному
изотопическому спину. Если все ψ0 имеют изоспин, равный 1/2, то
(6.13) превращается в
JL = F' (ψ \ V? σ,ψ) (ψ \ Υ~2 σ'ψ) + F° [ψ \ /2 (δ/ - \ ο^σ'") ψ]Χ
Χ[ψΙ^2(δ/-|σ/)ψ]. (6.14)
Процедура применения в (6.12) или (6.13) генераторов Еа и Hi
к базису ψΓψ^ неприводимого представления может, очевидно, при-
вести к какому-либо другому базису того же самого неприводимого
представления, но не может вывести за пределы этого представления.
Таким образом, метод, который мы излагали в начале этого раздела
[уравнение (6.11)], связывает четырехточечные функции внутри каж-
дого из членов суммы (6.13), имеющего фиксированный набор индек-
сов σ, κ', κ. В самом деле, этот метод есть просто способ вычисления
изометрий. Например, соотношение (6.3) отражает тот факт, что правая
и левая части этого равенства встречаются в (6.14) с одинаковым
весом F1.
В. Резонансы и мезоны
Рассеяние в одно или более состояний, характеризуемых индексами
σ, κ, κ', может обладать резонансами. Резонансное состояние (резо-
нон1)) является поэтому мультиплетом, преобразующимся по пред-
ставлению Da. Чтобы определить возможные резононные мультиплеты
и их трансформационные свойства, достаточно знать разложение
Клебша — Гордана (6.4). Для простых групп второго ранга и пред-
ставлений низкой размерности эта информация содержится в табл.
4—б2).
До сих пор в наших рассуждениях не фигурировало никакого
критерия, который позволял бы различать стабильные и нестабильные
резононы. Поэтому невозможно сделать какие-либо определенные
предсказания о числе мезонов в данной модели. Однако в пределе, когда
') См. примечание на стр. 183.
2) Для компактных простых групп третьего ранга аналогичные сведе-
ния можно найти в обзоре [95]. —Прим. ред.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 193
инвариантность является точной, различные резононы в одном муль-
типлете будут обладать одинаковой массой, шириной и т. д. Это
позволяет ожидать, что если один член мультиплета стабилен, то
то же самое имеет место и для остальных членов мультиплета. Если
это верно, то число мезонов будет связано с размерностями пред-
ставлений, встречающихся в разложении (6.2) [51].
Если кто-либо захочет написать нерегуляризованный лагранжиан
со связями типа Юкавы, то необходимо найти трилинейные инва-
рианты, включающие поля фй, фь и мезонное поле. Если стабильные
мезоны на самом деле представляют собой возможные промежуточные
состояния в В— 5-рассеянии, то в эти трилинейные формы должны
входить вершинные функции. Это остается справедливым, даже если
мезоны рассматриваются как связанные состояния В — /^-системы.
С математической точки зрения эти трилинейные связи уже известны.
Необходимо лишь интерпретировать возникающие в (6.12) величины
(Ф"Фг>) как компоненты мезонного поля. Для практических целей,
однако, удобно нумеровать мезоны отдельным индексом, например ψ*1,
причем таким образом, чтобы каждой компоненте соответствовал
один физический мезон. Пусть DM — представление, базисом которого
служат φ^. Чтобы существовали трилинейные инварианты, предста-
вление DM должно быть эквивалентно одному из членов разложения
(6.4). Иными словами, должна существовать изометрия (Ω ( ) ,
такая, чтобы вектор φ*1 преобразовывался контрагредиентно (ψΩμ(Λ1)ψ).
Тогда трилинейные инварианты будут иметь желаемую форму,
а именно
(ψΩμ^ψ)φ". (6.15)
Как и в случае уравнения (6.1), рассмотрим трехточечную функ-
цию для частного случая двух барионов и одного мезона. Одна
из компонент общей инвариантной трехточечной функции (6.15) имеет
вид
(WW))·
Подставим опять операторное коммутационное соотношение и получим
{Τ (ψ+«ψ61Ёа, Ё_а] «ри» = гЦа) {Τ (ψ*ψfiflFfi-
Поступая, как ранее, находим
<Т {[(Е-Ж° Ψ* - Ф+° (ЕМ] [- (Е_дР)]} > -
-(Т {[(Ea<pfa ψ„ - ф+«(Е_М) I- &<&)]}) =
= — rl (a) /в, (μ) {Τ (ψ^ψ^))
Тривиальный пример предоставляет пион-нуклонная вершина. Рас-
смотрим
<τ-(ψ/ΨαΟ>
13 Зак 612

194 Р. Берендс, Дж. Дрсйтлейн, К- Фронсдел, В. Ли
и пусть Ёа—изоспиновый повышающий оператор. Известен следую-
щий результат:
(4Ψ/Ψ А+)>=yi(T [{%% ~ ЧЛ) <Ы> ■
Поскольку мы продемонстрировали метод как в случае трехто-
чечных, так и в случае четырехточечных функций, должно быть
достаточно очевидно, что этот метод может быть обобщен на «-то-
чечные функции, включающие как мезоны, так н барионы.
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных случаев групп SU3,
В2, С2 и G2. В примерах, подобранных для группы SU3 и G2, мы
придерживаемся точки зрения, согласно которой восемь известных
барионов являются более фундаментальными физическими состояниями,
чем все барионные резононы (или барионные возбужденные состоя-
ния). Говоря более конкретно, в одном и том же мультиплете с любым
из восьми известных барионов не должно появиться ни одного резо-
нона или не открытого еще бариона. Подобное ограничение совер-
шенно необоснованно, хотя оно, по-видимому, и является наиболее
общепринятым в настоящее время. В наших примерах теорий, по-
строенных на группах В2 и С2, подобного ограничения не налагается.
Г. Модель, построенная на группе SU3
Если предположить, что 8 барионов могут образовывать базисы
одного или нескольких представлений, то размерность этих предста-
влений в сумме должна равняться восьми. Исследование табл. 4
показывает, что существует только одно возможное представление с
правильным изотопическим содержанием, а именно восьмимерное пред-
ставление £>(8)(1, 1). Это означает, что все барионы должны обла-
дать одинаковыми пространственно-временными свойствами. Если мы
предположим, что существуют только семь известных мезонов, то
оказывается уже невозможным для группы SU3 произвести отожде-
ствление таким образом, чтобы соблюдалось правильное изотопиче-
ское содержание. Кроме того, если мы потребуем, чтобы мезон-
барионная вершинная функция не исчезала, что в данном случае
соответствует существованию полюсных членов в дисперсионных со-
отношениях, то размерность мезонных представлений должна быть 1,
8, 10 или 27. Это вытекает из того факта, что кронекеровское
произведение двух восьмимерных представлений барионов содержит
представления только этих размерностей (см. табл. 4). Один из воз-
можных путей разрешения этой дилеммы заключается в постулирова-
нии существования восьми мезонов, до сих пор еще экспериментально
не открытых1). Здесь мы следуем подходу Гелл-Манна [49]. Затем
') О наличии девяти псевдоскалярных мезонов см. [77, 102]. —Прим. ред.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 195
оказывается, что мезонное представление также восьмимерно и что
все 8 мезонов имеют одни и те же пространственно-временные
свойства. [Например, Σ и Л имеют одинаковую четность, и четность
системы (ΚΣ) такая же, как и у (πΛ/).]
Поскольку представление D( ' встречается дважды в произведении
D(8)(g)iO , то в (6.15) существуют две изометрии. Чтобы их найтн,
необходимо произвести очень незначительное расширение тензорного
анализа, развитого для группы SU3 в § 5. Барионные волновые
функции записываются в виде ψΛ в соответствии с нашим соглаше-
нием использовать заглавные латинские буквы в качестве индексов
представления. Антибарионы обозначаются через фБ. Очевидно, что
структурные константы CBDA представляют собой одну из двух изо-
метрии. Нормировка задается обычным определением
Из коммутационных соотношений (2.3) мы находим
CBD*- = SplLBLDLA — LDLBL*]. (6.17)
Вторую изометрию можно определить равенством
C'bdA = Sp [LBLDLA + LdLbLa\ (6.18)
Хотя эти соотношения справедливы независимо от того, какое пред-
ставление LA используется в правой части, наиболее удобно выбрать
для этой цели представление D(3)(l, 0), приведенное в (3.20). Как gDB,
так и CBDA были вычислены в § 3, Е.
Наиболее общая форма трехточечной функции имеет вид
(F1 {ГСво\) φ° + Ρ" §BC'BDX) φ°>. (6.19)
где φ£- = ^0£·φ° — мезонное поле.
На фиг. 21 изображена весовая диаграмма представления D( '(1, 1),
снабженная надлежащими барионными символами. Мы отождествили Л,
с }^3 тпх и Υ с 2/и2, а также привели в систему соотношения между
используемыми нами четырьмя различными способами обозначений
базисных векторов:
\А): |1), |2), |3>, |4), |5>. | 6), | 7). 18);
|а>: 1-1), 1-2), |-3), -|+1>.
|/>: -1+2), 1+3), -|1), -|2>; (6.20)
Барионы: -|Σ+), \ρ). \η), |Σ">. ΙΕ"). |Ξ°>, |Σ°), |Λ);
Мезоны: -|π+), \Κ+). |*°>. \η~). |/Γ>, -|*°>· |π°), |л°°>.
13*

196 Р. Бсрендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел. В. Ли
Действие операторов /?; и Ёа было задано соотношениями (3.26),
(3.27), (3.30) и (3.31). С использованием справочника (6.20) эти пра-
вила легко читаются. Для барионов результат приведен в табл. 7.
Теперь на основании развитой теории мы в состоянии сделать
некоторые предсказания. Рассмотрим рассеяние мезона Μ и бариона В,
Υ
Фиг. 21. Весовая диаграмма представления
£><« (1, 1) группы SU3 с базисом, связанным с ба-
рионами.
Для мезонного базнса должна быть сделана постановка
(й п, Е°, Ε". Σ + , Σ°, Σ", Л) -* (К+, К0. ~К°, К+, π+.
π°, π-, π00).
Д1 _|_ β _у Μ'_|_ в'. Соответствующие четырехточечные функции (опу-
ская пространственно-временные переменные) имеют вид
Комбинация ψΒψ^ представляет собой кронекеровское произведение
двух восьмимерных представлений, одного для мезона и одного для
бариона. Согласно табл. 4, это произведение редуцируется следующим
образом:
8®8=108φ80 Ю©10*@27.
Таблица 7
Действие операторов Еа на барионы представления £>(8) (1,1)
группы SU3
Соответствующая таблица для бозонов получается подстановкой
(р, п, 3°, Ε", Σ+, Σ°, Σ", Л) -» (К+, К0, -К°, К+, л+, л°, л", π00).
б'/а Е{
б'/г £_ ,
2 V~3 Е2
2 V~3 Е_2
2VJ Е3
2VJ Е_3
VTnl
"2Нг
Ρ
η
Σ°+ΥΤΛ.
+ ΚΓΣ+
1
Ρ
π
Ρ
ΥΤυΓ
-Σ°+1'3"Λ
1
-2"
π
Ε»
3~
-Υ¥ς+
Σ°-ΥΤ Λ
1,0
2 "
go
Ξ~
3°
ς«+/Γλ
ΥΤς~
-τ·"
— 3~
Σ+
— ΤΤς°
— VTw
+ VTP
Σ +
Σ"
-VT Σ+
/2"Σ"
/'
Ξ-
— я
Ε"
Σ-
VT Σ»
*Τη
/2"Ε_
-Σ~
Λ
VT ρ
/з~е~
Υ J π
—VTs>
1
0
-Ι
η
4
/
ΥΔΣ°· -+
\
Ι ~ Ι
-'-* ο Ι Ι

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 197
Имеются восемь (I2—j—22 —j— I2—]— I2—|— I2) различных четырехточечных
инвариантов, или восемь независимых амплитуд1).
До сих пор мы рассматривали представления для известных
барионов и других частиц. Вполне можно допустить, что другие
представления этой группы также могли бы реализоваться не для
стабильных частиц, но, может быть, для таких объектов, которые
мы могли бы назвать нестабильными частицами, т. е. для резононов,
возбужденных изобарных состояний и пр. В частности, мы обращаем
V
/
о
Фиг. 22. Весовая диаграмма представления
Л(10) (3, 0) группы SU3. -I
Вес, обозначенный а=1, соответствует изобарному со-
стоянию 0V*)T "; вес, обозначенный а=2, соответству- — *
<-.2 ' 2 υ 2 ' 2 13
внимание на хорошо известный (3, 3)-резонанс в пион-нуклонном
рассеянии и его возможные аналоги в других процессах барион-ме-
зонного рассеяния. Мы подчеркиваем без всяких ограничений воз-
можность подобных процессов (см. общее обсуждение в начале этого
раздела). Отметим еще раз, что произведение представлений одного
бариона и одного мезона разлагается на неприводимые представления
размерности 1, 8, 8, 10, 10* и 27. Вес (mlP щ) сложного состояния п+р,
являющегося членом (3, 3)-резонанса, есть 1/2(|/1}, l). Это либо
старший вес 10-мерного представления, либо один из весов 27-мер-
ного представления. Мы предполагаем, что (3, 3)-изобарные состоя-
ния являются членами 10-мерного мультиплета.
Весовая диаграмма 10-мерного представления изображена на
фиг. 22. Кроме мультиплета с Г = 3/2, К=1, который мы ото-
ждествили с (3, 3)-изобарными состояниями (N*), мы здесь имеем
триплет Т=\, К = 0, дублет Г =1/2, Y = — 1 и синглет Т = 0,
У = 2. Триплет 7,= 1, К = 0 имеет одинаковое зарядовое квантовое
число с возбужденными состояниями Υ* системы Λπ [69]. Очень при-
влекательно было бы рассматривать Υ* по аналогии с Ν*. Чтобы
эти два мультиплета принадлежали одному и тому же супермульти-
плету.они должны обладать одинаковыми пространственно-временными
') .Можно проводить различие между двумя эквивалентными восьмимер-
ными представлениями, добавляя в группу дискретный элемент (отражение).
Инвариантность относительно этой операции запрещала бы переход между
двумя октетами и сводила бы число инвариантных амплитуд к шести. См. [49].
■ ' I ,Ь-1 I I

198 Р. Б е ренд с, Д ж. Д ρ ей τ ле йн, К. Фронсдел, В. Ли
квантовыми числами. Поэтому мы предполагаем, что К* имеет спин 3/2
и отрицательную орбитальную четность.
Чтобы сравнить эти два состояния и сделать некоторые предска-
зания, которые могли бы быть проверены экспериментально, мы дол-
жны предположить определенные свойства сил, нарушающих сим-
метрию. Можно предположить, следуя Ли и Янгу [48], что нару-
шающие симметрию силы имеют близкодействующий характер и что
явления, для которых характерно дальнодействие, к ним сравнительно
нечувствительны, хотя они и могут быть достаточно сильны, чтобы
быть ответственными за расщепление масс. Тогда та же самая при-
чина, которая вызывает расщепление барионных масс, ответственна
за разность энергетических уровней резонансов Ν* и К*, в то время
как ширина резонанса должна предсказываться из симметрии. Это
возможно потому, что ширина резонанса пропорциональна общей
части волновой функции резонансного состояния и волновой функции
начального (или конечного) состояния в „входном канале", как это
нам известно из ядерной физики [40, 70], так что относительные
ширины по существу не зависят от эффектов близкодействия.
Состояние, соответствующее старшему весу (/3, У) = (3/2, 1)
10-мерного представления, —это такая линейная комбинация
α\ρπ+) + ρ\Σ+Κ+).
которая обращается в нуль операторами Ех, Ег, Е3 и Е_3, как это
уже рассматривалось в § 3, Д. Поэтому нормированное состояние
| {10}, 1) может быть выбрано в виде
1 {10}. 1)=4/2[|ρπ+)-|Σ+/Τ>]. (6.21)
Интересующее нас состояние, включающее Лл+, Σ+π, ....
может быть получено действием оператора Е_2 на |{Ю}, 1), т. е.
| {10}. 2> = 1^3[^3|Ля+) + |Х°я+)+^2|р^°) +
+ У 2 | ΞV) -1 Σ+я0) - У 3 | Σ+π°°>]. (6.22)
Парциальная ширина перехода из мультиплета |{10},а) в состоя-
ние | ВМ) дается выражением
Твм = (я3 ев + Ем)\С?\{[Щ,«.\ВМ)р. (6.23)
где q — импульс в системе центра масс; Ев и Ем — энергии соот-
ветственно бариона и мезона в этой системе; первая скобка в правой
части — это кинематический множитель, обусловленный наличием фа-
зового пространства и центробежного барьера для р-волны, и С —
величина, не зависящая от „магнитного квантового числа" а. Обоб-

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 199
щенные коэффициенты Клебша - Гордана ({10}, а\ ВМ) могут быть
непосредственно выведены из предыдущих выражений. В табл. 8
приведены относительные парциальные ширины, предсказываемые
SU3-симметрией. Интересно отметить, что если масса л°°-мезона
близка к массе л-.мезона, то распад резонона К* может приводить
к обильному порождению л°°-мезонов, так как отношение вероятности
распадов Κ*->Λ + π к К*-> Σ '-)-π00 приблизительно равно еди-
нице. Однако это, по-видимому, не согласуется с экспериментальными
данными.
Д. Модель, построенная на группе С2
При рассмотрении этого примера мы отбросим предположение
о том, что различные компоненты одного и того же базиса непри-
;
о
Фиг. 23. Весовая диаграмма представления
D (0' (0, 1) группы С2 с базисом, связанным с ба- .j
рионами (ρ, η, Λ, Ξ0 и Ε ).
-τ о "^ h
водимого представления должны отождествляться только с барионами
или только с резононами. Это позволит нам производить гораздо
более гибкое отождествление частиц с базисом представления. Для
иллюстрации мы выберем одну из многочисленных схем, которые
могли бы быть здесь развиты.
Обратив внимание на весовую диаграмму наименьшей размерности
для группы С2, изображенную на фиг. 4, мы убедимся, что барионы
N, А и Σ могут быть отождествлены с базисом пятимерного „век-
торного" представления £>(5)(0, 1) (при Ia=y3m1 и K = 2]/"3~m2)·
Используя обозначения § 3 и производя отождествление (1, 2, 3, 4, 5)->
->(/>, п, А, Е°, Ξ~) (ср. фиг. 8 и фиг. 23), мы можем с помощью
уравнений (3.37) и (3.38) построить табл. 9. При подобном отожде-
ствлении Σ-гиперон должен принадлежать базису другого неприво-
димого представления и потому должен был бы обладать простран-
ственно-временными квантовыми числами, отличными от тех, которые
присущи мультиплету N — Λ—Ξ. Более конкретно, эта схема до-
пускала бы отрицательную относительную ΣΛ- четность и отрица-
тельную четность системы ΚΣ по отношению к ηΝ [71]!). Из весовой
') В работе [72] проведено сравнение этой возможности с последними
экспериментальными данными.
X.

200 Р. Б е р енд с, Дж. Дрейтлейн, К- Фронсдел, В. Ли
Таблица δ
Сравнение относительных, парциальных ширин Ν*· и К*-резонансов
Для вычисления относительных парциальных ширин величина
q3Eβ/(£Β-\-ΕΜ) в уравнении (3.23) бралась из [48].
Изобара
(Ν*)+ +
(Υ*)+
Резонансная
энергия
(эксперимен-
тальная), Мэв
12 3 7
13 8 5
Продукты
распада
рп+
Λπ+
Σ+π°
Σ°π+
Σ+π°°
К {10}.
α = 1
V»
α | ΒΜ > |2
ο=2
'/4
Vis
7.2
•Λ
Относительная
парциальная
ширина
1
0,38
0,03
0,03
?
диаграммы, изображенной на фиг. 4, видно, что представление с
наименьшей размерностью, изоспиновое и гиперзарядовое содержа-
ние которого позволяет описать как
π-мезоны, так и /f-мезоны, —это пред-
ставление D( (фиг. 24). Представле-
ние и- допускает существование ин-
вариантного эффективного взаимодей-
ствия типа Юкавы, поскольку (как это
можно видеть из табл. 5) имеет место
разложение
V
2
1
0
-;
-г
-
1
1
к"
к'
, J
>+
к4
/№г*
К0
■
г .
-+·π*
1
D(5)g)D(5) = D(1)eD(10)eD(14)
Фиг. 24. Весовая диаграмма
представления D<w) (2, 0) груп-
пы С2 с базисом, связанным
с мезонами.
Однако в добавление к Я"- и л-ме-
зонам представление D* требует су-
ществования трех мезонов D с рав-
ным нулю изоспином и гиперзарядом
К = 2, 0, —2 (заряд равен соответ-
ственно Q—1, 0, —1). Возможность
существования двух заряженных мезо-
нов из этих трех, D± и возникающие отсюда следствия были рассмот-
рены Яманучи [73]. Предсказание существования нейтральной части-
цы D0 составляет новую черту схемы, основанной на группе С2. Хо-
тя это нейтральный изоскалярный мезон, он отличается от я°°-мезона
группы SU3 тем, что является членом триплета относительно гипер-
зарядового вращения. Если бы масса £)°-мезона была близка к массе D±
(около 730 Мэв, как предполагал Яманучи [73]), то он обладал бы
достаточной энергией для распада на 2л- или Зл-мезона, обязанного

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 201
сильным взаимодействиям. Можно показать, что первый канал рас-
пада был бы, однако, запрещен законом сохранения четности, в то
время как канал распада на Зл-мезона разрешен только в том слу-
чае, когда С2-симметрия нарушена (для подобных низкоэнергетиче-
ских процессов можно было бы ожидать довольно значительного
нарушения симметрии). Если бы энергетически был возможен распад ЕР
на К -f- К, то этот канал также управлялся бы сохранением четности.
До сих пор мы не отождествляли Σ-гиперон с каким-либо не-
приводимым представлением. Легко видеть, что представлением с наи-
меньшей размерностью, которое могло бы его содержать, является
представление D( . Это означало бы существование барионных ре-
зононов, обладающих такими же пространственно-временными свой-
ствами, что и Σ, именно /= 1/2 и следующими значениями изоспина
и гиперзаряда: /=1/2, У = I; /=1/2, У = — 1 и / = 0, К = 2,
0, —2. Первый изотопический дублет возникал бы как нуклон-
пионный резонон, второй — как Ξπ-резонон в состоянии /=1/2.
Гиперзарядовый триплет появлялся бы как резонанс в состояниях
рассеяния NK. NK, Ξ/C и ΞΚ- Как указывалось ранее, массы по-
добных состояний остаются теоретически неизвестными.
Для иллюстрации воспользуемся объединением методов, разрабо-
танных в § 3 и 5 для анализа произведения представлений ψ/=ψ/ψ/,
где фг — базис пятимерного представления. Выберем в качестве его
компонент (ρ, η, Α, Ξ0, Е-). Согласно § 5, существует симметрич-
ный метрический тензор gli, связывающий ψ' с фг. Чтобы опреде-
лить вид gli, предварительно формально образуем инвариант
Вспоминая, что этот инвариант должен иметь вес (0, 0), приходим
к выводу, что он должен быть некоторой линейной комбинацией
X = оБГр + Й2°ге +- сАА + αρΕΓ -+- епЕ?.
Для определения коэффициентов а, Ь, ... используем тот факт, что
£^ = 0 для любого Еа. Отсюда сразу же получаем, что
1 = а (Ξ~ρ — Ξ°« + ΛΛ + ρΞ~ — ηΞ°).
Будучи нормирован таким образом, чтобы g2-
перь может быть записан в виде
gtJ = gl,=
1
-1
1, тензор glJ те-
(6.24)

202 Р. Берендс, Дж. Д рейт лей н, К. Φ ронсд е л, В. Ли
так что
(ЬУ
(♦')=
ρ
η
Л
-о
№') =
(Ф|) =
Ξ0
Л
я
до
' b-J
Л
(6.25)
Матрица glj— та же самая, которая была обозначена С в уравне-
нии (3.39). Теперь можно построить билинейные формы ф/ для 10-
и 14-мерных представлений:
ψ(10)/ = ψ/φ|-φ|φ',
ψ(14^ = ψ>ψ/+ψ|ψ'- |δ/ψ*ψ»· (6-26)
Более конкретно, для 10-мерного представления, выражая через ВВ,
получаем
Xi
= -ф? = -г» ---°
• и ρ - а а
κ2 = ^(Ψ,1-ψ22) = ^(/'Ρ
/ш + с°5° —Ξ Ξ ),
i —
1 л 1 , , 2\
λ5:
1
(ψ11+ψ22)=
Χ4 = φΙ4 = Ξ?ρ-|-Ξ-»,
1
/2
(ррЧ
МЛ
-ΰΰ-Ξ-Ξ-),
to = - Фз2 = — "^ - ^Ξ°· to = *i3 = Лге + §°А'
Хю = Ф23 = Лр —Ξ~Λ.
Так как 10-мерное представление является регулярным, то выпи-
санные хЛ, после того как они будут наделены пространственно-
временными свойствами 4-вектора (т. е. после подстановки в каждый
член матриц γ например рп -> ρ\μη), образуют барионную часть
тока, сохраняющегося вследствие инвариантности относительно груп-
пы С2. Если бы имеющие нулевой спин мезоны К, л и т. д. рас-
сматривались как составные барион-антибарионные системы, то эти %Д

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 203
составили бы, разумеется, полный сохраняющийся ток в представле-
нии взаимодействия1). Чтобы избежать упрека в том, что мы не
рассмотрели здесь сильно взаимодействующих промежуточных вектор-
ных мезонов [74—76]2), укажем, что простым обобщением на пре-
образования, зависящие от координат пространства-времени, эти де-
сять токов могли бы быть связаны с десятью подобными мезонами;
эта методика тривиальным образом распространяется на другие группы.
С другой стороны, если величинам %А придаются пространственно-
временные свойства псевдоскаляров, то можно записать эффективное
взаимодействие Юкавы между барионами Ν, Л, Ξ и псевдоскаляр-
ными мезонами. Если записать десять мезонов при помощи 10-компо-
нентной величины МА =(— я+, π°, п~, D+, D0, D", К h. — К0, К0, К+),
то указанное взаимодействие приобретет вид3)
l = g%AM\ (6.27)
Таблица 9
Действие операторов Еа на барионы представления Z)'5' (0,1) группы С.
6'/2£,
61/г£_,
&1*Е2
б''2Е_2
6,/2£3
б'^з
б'1гЕ4
б'/*£_4
Узн,
2У~ЗН2
Ρ
η
Л
Е°
1
2Р
Ρ
η
Ρ
й}
Л
1
-2я
и
Л
Ρ
— ВТ
η
Ξο
a°
Ξ-
Ρ
Λ
τ'
— Ξ°
s
Ξ°
— Λ
η
-Ι*
— Ξ~
') Токи без труда могут быть записаны в представлении взаимодействия.
Преобразование к представлению Гейзеиберга приведет к появлению экстра-
членов в токах в том случае, если лагранжиан взаимодействия содержит
производные от полей.
2) В работе [76] были независимо предложены рассматриваемые в этом
разделе модели, основанные на группах В2 и С2.
3) Связь между МА и МА = gABM„ легче всего устанавливается из тре-
бования, чтобы %\. = gABy,A7.Bl< было инвариантом.

204 Р. Бе рейд с, Дж. Др ейтлейн, К. Фронсдел, В Ли
где _
МА = (-я_, я0, π+, D~. D°, D+, К\ -К0, К0, К+),
MA = gABMB.
Для нахождения хЛ существует более простой метод, чем тот,
который был использован выше. Так как эти величины образуют
базис регулярного представления, то они задаются выражениями вида
Χλ = Ψ%Λ>· гле генераторы LAa"
могут быть взяты непосредствен-
но из табл. 9. Преимущество опи-
санного выше метода заключа-
ется в том, что теперь мы можем
сразу выписать также 14-мерный
базис.
Е. Модель, построенная на группе В2
ЛГп Другая возможная схема, осно-
ванная на симметрии группы С2 (или
Фиг. 25. Корневая диаграмма В2)· получается поворотом коорди-
группы β2. нат корневой диаграммы (фиг. 1, б)
на 45°. Мы повторим кратко про-
цесс построения алгебры Ли, используя корневую диаграмму, изо-
браженную на фиг. 26. В этом базисе
(6.28)
[//,, Ёл] = 6-'%. [//,. Й2] = б-'''E,
[Я2. Ёг] = 0. [#2. Ё2] = 6-'%. ....
а числа Λ/αβ мы выберем равными
^1,4 = ^-1,3 = ^3,-4 = ^..3 = ^-1.2 = ^2,-3 = 6-,/'. (6.29)
Старший вес представления (λ], λ2) в этом случае равен
Μ = λ26'/* (1,0) -4- λ,6'* (V2. 7a) (6·30)
Размерность дается выражением
Λ? = (1+λ1)(1+λ^[1-Ι-γ(λ,-|-λ2)][1 +1(λ2+2λ2)]. (6.31)
Размерности представлений D(XV **,) = D(0, 0), D(l, 0), D(0. 1),
D(2, 0), D(0, 2), ... равны, как и ранее, 1, 4, 5, 10, 14
Мы можем отождествить Λ-частицу с базисом одномерного пред-
ставления. Рассмотрение весовой диаграммы, изображенной на фиг. 26, а.

2. Простые группы а симметрии сильного взаимодействия 205
показывает, чго в качестве базисов четырехмерного представления
могут быть выбраны совокупности частиц (р, п, ЕР, Ξ J1) и
(К+. К0, -К0, + /Г).
В соответствии с изоспиновым содержанием изображенного на
фиг. 26, б пятнмерного представления необходимо в добавление
у
К
-I 0 < 13
а
Фиг. 26с. Весовая диаграмма пред-
ставления D (1, 0) группы В2.
Для мезонных базисов должна быть сделана
подстановка (р, п, Е°, Е-) ■> (К+, Ка,
-*°,,(*+).
к изотопическому триплету с У = 0, который мы отождествляем
с Σ+, Σ°, Σ~(π+, π°, π~), иметь еще два заряженных бариона Х±
(D* для бозонов) с Т3 = 0, К = 0.
Теперь проиллюстрируем тензорный анализ, развитый в § 5, на
примере базиса рассматриваемой модели. Поскольку оператор Ht мы
отождествили не так, как в предыдущем случае (§ 3 и 6, Д), то
получаемые ниже матрицы не совпадают с введенными ранее. Десять
операторов могут быть представлены 4 X 4-матрицами с нулевым
следом:
(//,)/ = 2 (6)'А
") Следует отметить, что модель, основанная на рассмотрении частиц
(/?, л, Е°, Е~) в качестве фундаментальных, была предложена Саламом и
Полингхорном [56]. — Прим. ред.
Φ и г. 26tf. Весовая диаграмма пред-
ставления D(0, 1) группы С2.
Для мезонных базисов должна быть сделана
подстановка (Σ+, i°, S~, X+, X~) .*.
-> (л+, я0, Я~, D+, С-)-
1
— 1
I
—1

206 Р. Б е ρ енд с, Д ж. Д ρ е йт ле йн, К- Фронсдел, В. Ли
(Я2)/=2(бУ/!
(£,)«*= 2 (3)'*
(£з)в*=2(3)'А
(£2)α6=6-ν·
(6.32)
О 1
О
О 1
О
О —1
О 1
О
о
О Г
О
о
о,
о [/
0—1 η
о
о
Эти матрицы можно получить методом, развитым в § 4. Метриче-
ский тензор hab определяется как антисимметричная матрица, для
которой форма Λα*ψαψΛ является инвариантной. Можно легко прове-
рить инвариантность-формы
Ξ~ρ — Ξ°η + ηΞ?-{-Ξ-ρ,
так как она уничтожается оператором Еа. Поэтому мы выбираем
тензор hab равным
-1
(ЯЛ,*
■v.
• (Ψ«):
hab =
1
—1
hab· КсК
,cb .
(6.33)

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 207
Заметим, что Λα<7(Ζ.;)/ ={Li)cahbc, т. е. Ltab = Ltba. Контрагредиент-
ный базис равен
ψΩ = ha%
Μ
я
Ρ
, ψ" -
Ρ
и
3°
irn
(6.34)
Мы выбираем пять антисимметричных 4X4-матриц а"*, введен-
ных уравнением (5.17) и удовлетворяющих условию habOiba=Sp /кхг=0,
в виде
0 0—10
аЬ
1
-1
-1
. ab
1
aab— '
°3 V2
5 ^2
0
0
1
0
0
— 1
0
0 0
0
0
1
— 1 0
У~2
Г2
о
1
о
[О
1
о
о
-10 0
, (6.35)
Эти матрицы выбраны таким образом, что вектор хг ξ if" (σ;)β&ψ6
является нормированным базисом пятимерного представления, пре-
образующимся как
(ψ^Σ0, -Σ+. Σ", -Χ\ Χ')
или
(Мг) = (л°, — π·4", π", — D+, D~).
Имеем

208 Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К- Фронсдел, В. Ли
Симметричный пятимерный метрический тензор g,j определяется,
как в уравнении (5.19):
1
1
■gli; gugii = blj. (6.36)
о —i
—i о
О —1
—1 О
Контрагредиентный базис М1 пятимерного представления получается
равным
\
М1
■gijMj =
π"
— π-
π+
— D~
D+
(6.37)
Явный вид операторов LA в пятимерном представлении опреде-
ляется из условия (£д)/ = 2σ/*(ЕА)ьса'са. Мы можем продолжать
строить явный вид тензоров сколь угодно высокого ранга. Приве-
денных выше примеров достаточно для иллюстрации метода.
Возвратимся теперь в область физики. В качестве примера рас-
смотрим инвариантное взаимодействие типа Юкавы мультиплетов (π, D)
и (Ν, Ξ). По построению ясно, что матрицы aiab — это именно ма-
трицы (Ωμ)ab, рассматриваемые в разд. Б этого параграфа, причем
индекс τ относится к пятимерному представлению, а Ι = μ. Поэтому
инвариантное взаимодействие имеет вид
I = g$aola%M' =
= -f- {(РУ5Р - »Ys« - Ξ\Ξ° -τ-Ξ-γ5Ξ-) π° +
+ V 2 [(ηγ5Ρ - Ξ-γ53°) π~ - (β\ρ + З^й) D" +
-(-Эрмитово сопряжение}. (6.38)
В этом случае число требуемых независимых констант взаимодей-
1»
ствия равно единице, так как произведение представлений Er ®D
содержит неприводимое представление £г только один раз.
Имеется три независимые амплитуды для рассеяния {Ν, Ξ) и (Ν, Ξ),
соответствующие разложению Клебша — Гордана
D<4)*®D<4,=D(1)0D<5)0D(1O).

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 209
Рассмотрим процесс
fl + ^-W-f-P.
где а, Ь, а' и Ь' обозначают члены мультиплета (7V, Ξ). Для этого
процесса Г-матрицу можно записать в виде
(а'Ь' | Τ | ab) = F'bJ'bf ■+- F2aia."'alba 4-
+ #*(ΩΛ.·'(0Λ'. (6.39)
где изометрический оператор (QA(I0))sa пропорционален генератору
г а.
10
(О (ю)л «— 4- '" / а
Наконец, обсудим в этой схеме изобарные состояния К*. Так как
пятимерное представление обладает наименьшей размерностью по срав-
нению со всеми другими представлениями, имеющими нужное изоспи-
новое и гиперзарядовое содержание для описания триплета (К*)+.
(К*)0 и (К*)-, то мы предлагаем отождествить Y* с компонентами
базиса представления D(5)(0, 1). Мы уже связали частицы Σ и Х±
с пятимерным представлением. Поэтому К* и Σ должны были бы
обладать одинаковыми трансформационными свойствами в зарядовом
пространстве, и их различие должно было бы описываться простран-
ственно-временными квантовыми числами. Интересная черта этой мо-
дели состоит в том, что распад К*—>Σ-[-π в ней запрещен из сооб-
ражений симметрии, в то время как распад K*->A-f π разрешен1)
вне зависимости от спина Υ* или относительной ΑΣ четности. При-
чины этого следующие. Частицы π и Σ принадлежат пятимерным
представлениям. Так как произведение £)(о'®0( не содержит хотя бы
одного неприводимого представления D( \ то для Y* невозможен рас-
пад на π и Σ. С другой стороны, так как Л-частица является бази-
сом одномерного представления, то произведение мультиплетов Л
и π естественным образом порождает пятимерное представление.
Ж. Модель, построенная на группе G2
Если предположить существование восьми барионов, которые
могут образовывать базис одного или более представлений, то раз-
мерность этих представлений должна в сумме равняться восьми. Рас-
смотрение табл. 6 для группы G2 показывает, что единственной воз-
можностью является использование двух представлений D(I'(0, 0) и
') Что находится в согласии с экспериментальными наблюдениями (см.
[69]).
14 Зак 612

210 Р. Б e ρ енд с, Д ж. Д рей тлей и, К- Φ ронсд е л, В. Ли
Л (1, 0). Это означает, что семь барионов должны иметь одинако-
вые пространственно-временные квантовые числа: восьмой барион
может обладать другим набором этих квантовых чисел. В противо-
положность группе SUZ мы видим, что в данном случае имеется се-
мимерное представление D* (1, 0), позволяющее использовать только
семь известных мезонов'). В этой схеме, разумеется, можно было бы
ввести также восьмой мезон, π00, который соответствовал бы тогда
Фиг. 27. Весовая диаграмма представления
£>'7'(1, 0) с базисом, связанным с барионами.
Для мезонного базиса поставьте (#"*", К0, — К0, К+. π+,
/
0
-1
Π
γ. \
I /
Ξ
Ρ
/
Λ", Ζ+
\
I "7 I
-' -i ° i ' h
одномерному представлению D(1)(0, 0). До тех пор пока этот мезон
экспериментально не обнаружен2), мы будем рассматривать только
известные частицы. Очевидно, что эти семь мезонов должны иметь
одни и те же пространственно-временные квантовые числа.
На фиг. 27 изображена весовая диаграмма для семимерного пред-
ставления группы 02. Из этой диаграммы видно, что если мы ото-
ждествим 2 1\/rSH1 с оператором /3, а 4//2 — с оператором К (гипер-
зарядом), то тогда с каждым из барионов будет связан свой вес.
Остается открытым только вопрос о Σ0- и Л-гиперонах, которые
имеют нулевые собственные значения для обоих этих операторов.
Поскольку мы хотим, чтобы для сильных взаимодействий имела место
зарядовая независимость (это предполагает, чтобы изоспиновый пони-
жающий оператор находился среди операторов Е0), то Х°-гиперон
должен принадлежать семимерному представлению, а Л — образовы-
вать базис одномерного представления. Вследствие того, что Σ и Л
принадлежат различным представлениям, группа С2 может описывать
противоположные четности для Σ и Л. Однако при этом характерно,
что ΣΛΓ-четность должна быть одинакова с Λ/π-четностью
Чтобы произвести обычное сопоставление значений изоспина и
гиперзаряда с частицами Л/, Σ и Ξ в согласии с приведенной выше
связью между операторами И1, Н2 и /3, К, мы должны установить
следующее соответствие между частицами и состояниями, приведен-
') Модель, основанная на группе G2, была предложена Берендсом и
Сирлином [50] и независимо также другим из авторов (Фронсдел, не опу-
бликовано)-
2) В настоящее время экспериментальные данные говорят о наличии
девяти псевдоскалярных мезонов. — Прим. ред.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 211
ными в § 3, Б:
\А): |1) |2) |3) |4) (5) 16) 17)
Барионы: ρ η Ξ° Ξ - Σ Σ° Σ" (6.40)
Мезоны: Λ' /ν'1' Κ° К л л° л"
С помощью этого соогветствия легко на основании результатов § 3, 3
построить табл. 10 для частиц.
Перейдем теперь к рассмотрению процесса рассеяния В -f- /И —»
-> В' -\- ,И' и проанализируем его общими методами, описанными
в начале этого параграфа. Соответствующая этому процессу четырех-
точечная функция имеет вид
Таблица 10
Действие операторов Еа на барионы представления еР* (1,0) группы G2
Таблица для мезонов получается подстановкой
(ρ, η, Ξ°, Ε", Σ+, Σ°, Σ-)^(Κ+. К°, -К0, К+, nh, π° π").
\ ч
2 (6)'/2£,
2(6)'/г£_,
2 /f £2
2)Л2"£_2
2 (6)'/2£3
2(6)'Afi_,
2>г2~£«
21/"2"£_4
2 (6)'/2£5
2(6)'-£ 5
2^ββ
2^2 £_β
2 ]ΙΓ Я,
4//2
Р
η
Σ~
^^"ς0
Ε°
+ Σ +
1
JP
Ρ
η
Ρ
ν~
g-
1Α2 Σ°
_ν +
1
—j η
η
Ε"
3-
— Σ+
Ρ
/2 Σ°
Σ-
1*.
2 "
go
Ξ
Ε°
V
-iTs»
η
— Σ"
-4-
— Ξ~
ν +
— Κ 2 Σ°
— ε~
£0
+ Ρ
+ η
ν +
τ°
— Τ^2~Σ +
]Α2 Σ
V2p
-Υ2ΕΓ
V2 η
)Υ&>
V
Γ2Σ°
Ζ»
— η
— Ξ
Ξ°
ν~
14*

212 Р. Бе ренд с, Дж. Д рейт лей н, К. Фронсдел, В. Ли
Комбинация фвфж представляет собой кронекеровское произведение
двух семимерных представлений: одного для мезона и одного для
бариона. Согласно табл. 6, разложение этого произведения имеет
вид 7®7 = 1ф7ф 14027. Таким же образом, как и ранее, мы за-
ключаем, что в этом случае существуют только четыре различные
четырехточечные функции, или амплитуды для описания рассеяния
семи барионов на мезонах.
Для получения дальнейших физических предсказаний необходимо
найти метрический тензор. Это можно легко сделать, заметив, что
инвариантная часть составного представления х = ^'Л^гр.· должна быть
линейной комбинацией вида
Используя тот факт, что £^ = 0, мы можем без труда найти коэф-
фициенты а, Ь, с, ... и таким образом получить
(gU) = (£ij) =
0
1
о
— 1
— 1
о
(6.41)
где
(ф,) = (р. п. Е°, Е~. — Σ+. Σ°. Σ").
Отсюда следует, что
(ψ') = (Ξ-, -Ξ°. -η, ρ, -Σ-, Σ°, +Σ+).
[Эта матрица была введена в уравнении (3.42).]
Далее нам необходимо определить изометрию 6~ Г ' . Наиболее
простым образом это можно сделать, заметив, что базис семимерного
составного представления задается в виде χI = Γ'^*ψ^φΛ. Затем мы
учтем, что те из %1, которые имеют фундаментальный доминантный
вес М(1), представляют собой линейную комбинацию вида
_ yj. -_= ъ = арК° + ЬЕРК+ -j- с Σ+rf> -f d Σ"π+.
Так как компоненты Е^ и Ε3γ^ имели бы вес, который не мог бы
принадлежать представлению D'7), то они должны равняться нулю.
Этих условий достаточно для определения коне ran r а, Ь, с и d.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 213
В результате имеем
yj == УТ(/ЙК»+ Е°К+) — Σ+ηΡ+ΣΟπ-»-.
Из этого выражения можно без труда найти матрицу Г ' -
Действуя на /5 оператором Е5 и вспоминая, что
ε5ψ5=-ε5(ς+)=-|/1ρ=-4]/~1ψ4·
•г/*.
находим
рл° + V*2ren+ — Σ°Λ:+ — /2 Σ+Κ° = ул = у*.
Продолжая последовательно подобным образом, мы можем опреде-
лить все х', а вследствие этого и все (Г1-'*). Для удобства читате-
лей мы приводим эти матрицы в явном виде:
О
О
V2
1 О
п = г4=
! о
То
— У 2 О
г*=—г3=
1/2
-1
о
У2|
о ;
О I
Гз=-Г2 =
— 1
V2
1

214 Р. Б e ρ e нд с, Дж. Д ρ е йт ле йн, К- Фронсдел, В. Ли
г* = г,=
О 1 О
V2
О
-1
о
1'2
(6.42)
Г5 = — Г,=
О
/2
О — |/2
0—10
Гб =
гв=
-11
Г7 =
+ 1^2 О
-]/2
О
О —1
+ 1 О
о
Теперь оказывается довольно тривиальным выписать различные амп-
литуды в компактных обозначениях. Например, инвариантная грех-
точечная функция имеет/вит
Г'7'(74W/f*)>- &■**)

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 215
Другой простой пример дает процесс Л-порождения мезонов на ба-
рионах: М-\-В—> Ж'Ц- Л. Четырехточечная функция имеет вид
Г';*<7-(фдФл/р*)>. (6.44)
В теории группы G2 было бы интересным вновь заняться поисками
процессов, которые могли иметь резонансы, соответствующие (3,3)-
пион-нуклонному резонансу. С этой точки зрения мы вновь подчер-
киваем ограничения, которым должны быть подчинены эти поиски
(см. приведенное выше общее рассмотрение). Во-первых, произведе-
ние представлений, соответствующих одному бариону и одному ме-
зону, разлагается на представления с размерностями 1, 7, 14 и 27.
Но вес, скажем, л^р-состояния, являющегося членом (З.З)-резонанса,
равен (1/4]/з) (3, |^3). Это есть как раз старший вес 14-мерного
представления D(0, 1) и один из весов 27-мерного представления.
Таким образом, (3, 3)-резонанс должен принадлежать либо 14-, либо
27-мерному представлению.
В качестве примера еще раз рассмотрим изображенную на фиг. 3, б
диаграмму 14-мерного представления. Из этой диаграммы ясно, что,
кроме мультиплета / = 3/2, Y = — 1, который мы могли бы отож-
дествить с (З.З)-резонансом, изотопическое содержание этого пред-
ставления включает также мультиплет / = 3/2, Υ = — 1, мультип-
лет 1=1, К = 0 и три синглета / = 0, К = 2, 0, —2. Все эти
мультиплеты должны иметь спин J== 3/2. Произведение представлений,
записанное через произведение MB, может быть найдено методом,
проиллюстрированным выше, а именно базис для старшего веса 14-
мерного представления должен иметь вид арл+ -\-Ь2+К+. Но опе-
ратор Еа для положительных корней г (а), действуя на этот базис,
должен давать нуль. С учетом этого обстоятельства применение опе-
ратора Е_5 дает а = — Ь, так что базис для старшего веса есть
1/2|/2(ρπ+—Σ+Κ+). Базисы для остальных весов могут быть по-
лучены повторным использованием всех операторов Еа. В противо-
положность группе SU3 πΛ-резонанс не может быть связан с (3,3)-
пион-нуклонным резонансом, так как представление, соответствую-
щее πΛ-резонансу, должно быгь семимерным, а оно не содержит
муль-иплета / = 3/2.
Если бы (З.З)-резонанс был отождествлен с 27-мерным представ-
лением, то мы действовали бы аналогичным образом. В результате
получили бы, что (3,3)-резонанс может быть связан с иным набором
изоспиновых мультиплетов1).
!) Для ознакомления с последующим развитием теории SC/з-симметрии,
в том числе с гипотезой кварков, можно рекомендовать обзоры и статьи
[77—94, 96—98], а также вступительную статью к настоящему сборнику.
По сбцей теории применения теоретико-группового подхода в физике эле-
ментарных частиц рекомендуем обзор [100]. Обзор [95], посвященный
простым группам Ли третьего ранга, можно рассматривать как прямое про-

216 Р. Б e ρ ендс, Дж. Дрейтлейн, /(. Фронсдел, В. Ли
ЛИТЕРАТУРА
1. Proceedings of the Tenth Annual Conference on High Energy Nuclear
Physics, Rochester, 1960, New York, 1960.
2. L'Espagnat В., Prentki J., Nucl. Phys., 1, 33 (1956).
3. SchwingerJ, Ann. Phys., 2, 407 (1957).
4. Gell-Mann M., Phys. Rev., 106, 1296 (1957).
5. Pai s A., Phys. Rev.. 110, 574 (1958).
6. T i о m n о J., Nuovo cimento, 6, 69 (1957).
7. ß ehrend s R. E., Nuovo cimento, 11, 424 (1959).
8. PeasleeD. C, Phys. Rev., 117, 873 (1960).
9. S а к u r a i J. J., Phys. Rev., 115, 1304 (1959).
10. Heisenberg W., Zs. Phys., 77, 1 (1932).
11. Cassen В., Condon E. U., Phys. Rev., 50, 846 (1936).
12. Breit G., Condon E. U., Present R. D., Phys. Rev., 50, 825
(1936).
13. Breit G., Feen berg E., Phys. Rev., 50, 850 (1936).
14. Racah G., Phys. Rev., 61, 186 (1942).
15. Racah G., Phys. Rev., 62, 438 (1942).
16. Racah G., Phys. Rev., 63, 367 (1943).
17. Racah G., Phys. Rev., 76, 1352 (1949).
18. Skyrme T. H. R., Lectures in Nuclear Structure (I), General Theory
and Shell Model, Department of Physics, University of Pennsylvania,
Philadelphia, Pennsylvania, 1958.
19. Racah G., Group Theory and Spectroscopy, Institute for Advanced Study,
Lecture notes, Princeton, New Jersey, 1951 (Дубна, препринт-1964,
1964).
20. С а г t a n E., Thèse Paris (1894) (перепечатано в [21]).
21. Cart an E., Oeuvres Complètes (Paris, 1952).
22. С art an E., Bull. Soc. Math, de France, 41, 53 (1913).
23. Д ы h к и н E. Б., УМН. 2 (4), 59 (1947).
*24. Дынкин E. Б., Труды Моск. матем. об-ва, 1, 39 (1952).
*25. Дынкин Е. Б., Математический сборник (новая серия), 30 (2), 349
(1952).
26. Weyl H., Zs. Math., 24, 328, 377 (1925) (перепечатано в [27]).
27. Weyl H., Selecta (Basel und Stuttgart, 1956), S. 262.
28. Weyl H., Classical Groups, Princeton, New Jersey, 1946. (См. перевод:
Г. В e и л ь, Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ,
1947.)
29. Weyl H., Group Theory and Quantum Mechanics, reprint, New York.
должение статьи 2 настоящего сборника. В этом же обзоре содержатся
элементарные сведения о схемах Дынкина, для более полного ознакомления
с которыми рекомендуем обратиться к оригинальным работам [23—25].—
Прим. ред.

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 217
30. Wigner E. P., Group Theory and Its Applications to Atomic Structure,
New York, 1960. (См. перевод: Е. В и г н е р, Теория групп, ИЛ,
1963.)
31. Lie S., Engels F., Theorie der Transformationsgruppen (Leipzig,
1888—1893).
32. Killing V., Math. Ann., 31, 252 (1888).
33. К i 11 i n g V., Math. Ann., 33, 1 (1889).
34. К i 11 i n g V., Math. Ann.. 34, 57 (1889).
35. К i 11 i n g V., Math. Ann., 36, 161 (1890).
36. Eisenhart L. P., Groups of Continuous Transformations, reprint, New
York, 1961.
37. П о h т р я г н н Л. С, Непрерывные группы, М., 1954.
38. F г e u d e n t h a 1 H., Lie Groups, Lecture notes, Department of Mathema-
tics, Berkeley, California, 1960.
39. Montgomery D., Topological Groups, Lecture notes, Haverford Col-
lege, Haverford, Pennsylvania, 1956.
40. Blatt J. M.. W e i s s к о р f V., Theoretical Nuclear Physics, New York,
1952.
41. G a rw in J., Lederman L., Wein rich M., Phys. Rev., 105, 1415
(1957).
42. С h a r p а к G., Farley F., G a r w i n R., Müller T., Sens J., T e-
I e g d i V., Z i с h i с h i A., Phys. Rev. Letters, 6, 128 (1961).
43. Ruder man M., Finkeist ein R. J., Phys. Rev., 76, 1458 (1949).
44. Wheeler J.A., Tiomno J., Rev. Mod. Phys., 21, 144 (1949).
45. Klein O., Nature, 161, 897 (1948).
46. С 1 e m e n t e I E., P u p p i G., Nuovo cimento, 5, 505 (1948).
47. Lee T. D., Rosenbluth M., Yang С. N., Phys. Rev., 75, 905 (1949).
48. Lee T. D., Yang С. N.. Phys. Rev., 122, 1954 (1961). (См. перевод в
сборнике «Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во
«Мир», 1964.)
49. Gell-Mann M., Phys. Rev., 125, 1067 (1962). (См. перевод в сборнике
«Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во «Мир»,
1964.)
50. В eh r end s R. E., Sir lin A., Phys. Rev., 121, 324 (1961).
51. Speiser D., Tarski J. (в печати).
52. Condon E. U., S h ort ley G. H., Theory of Atomic Spectra, London,
1935. (См. перевод: E. Кон дон, Г. Шортли, Теория атомных спек-
тров, ИЛ, 1949.)
53. Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton,
New Jersey, 1957.
54. R o s e M. E., Elementary Theory of Angular Momentum, New York,
1957.
*55. Ю ц и с А. П., Б а н д з а й т и с А. А., Теория момента количества дви-
жения в квантовой механике, Вильнюс, 1965.
*56. Salam A., Polinghorne J., Nuovo cimento, 2, 685 (1955).

218 Р. Б e ρ e нд с, Д ж. Дреитлейн, К. Фронсдел, В. Ли
57. Nakano T., Nishijima lv, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 10, 581
(1953).
58. Qell-Mann M., Phys. Rev., 92, 833 (1953).
59. Pais A., Phys. Rev., 110, 574 (1958).
60. van der W a e r d e n B. L., Math. Zs., 37, 446 (1933).
61. de l'Hôpital A\., G. F. A., Analyse des Infiiiiernent Petits, Paris.
1730.
62. R u t h e r f о г d D., Substitutional Analysis, Edinburgh, Scotland, 1948.
63. Yamanouchi T., Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 18, 623 (1936).
64. Yamanouchi T., Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 19, 436 (1937).
65. R acah G., Phys. Rev., 76, 1352 (1949).
66. Schur I., Sitzber. preuss. Acad. Wiss., Phys.-math. Kl. 1905, S. 406.
67. G e 11 n e г M., S e I о v e W., Phys. Rev., 120, 593 (1960).
68. Poirer J., Pripstein M., Phys. Rev., 122, 1917 (1961).
69. Alston M., Alvarez L., Eberhard P., Good M., G г a z i a n о W.,
T i с h о H., W о j с i с h i S., Phys. Rev. Letters, 5, 520 ( 1960).
70. S a с h s R. G., Nuclear Theory, Massachusetts, 1953, ch. 10,
71. В а г s h a y S., Phys. Rev. Letters, l, 97 (1958).
72. Namby Y., Sakurai J. J., Phys. Rev. Letters. 6, 377 (1961).
73. Y a m a п о u с h i T., Phys. Rev. Letters, 3, 480 (1959).
74. S a к u г a i J. J., Ann. Phys., Il, 1 (1960). (См. перевод в сборнике
«Элементарные частицы и компенсирующие поля», изд-во «Мир»,
1964.)
75. Utiyama R., Phys. Rev., 101, 1597 (1956). (См. перевод в сборнике
«Элементарные частицы u компенсирующие поля», изд-во «Мир», 1964.
76. G la show S. L., Gell-Mann M., Ann. of Phys., 15, 437 (1961). (См.
перевод в сборнике «Элементарные частицы н компенсирующие поля»,
изд-во «Мир», 1964.)
*77. Ш е х т е р В. М., Резонансные состояния элементарных частиц, сб. «Ито-
ги науки. Теоретическая физика и физика элементарных частиц», М.,
1965.
*78. Theoretical Physics, Trieste, 1963.
*79. High-Energy Physics and Elementary Particles, IAEA, Vienna, 1965.
Book II, Part I.
*80. Symmetry Principles at High Energy, Coral Gabes Conference, San Fran-
cisko—London, I, 1964, II, 1965.
*81. Dyson S. J., Symmetry Group in Nuclear and Particle Physics, New
York, 1966.
*82. Нгуен Ван Хьеу, Лекции по теории симметрии элементарных ча-
стиц, препринт ОИЯИ 25-71, Дубна, 1966, Атомиздат, 1967.
*83. С м о р о д и н с к и и Я- А., Усп. физич. наук, 84, 3 (1964).
*84. de Swart J. J., Rev. Mod. Phys., 35, 916 (1963). (См. перевод: Уси.
физич. наук, 84, 651 (1964).)
*85. Шапиро И. С., M а н д е л ь ц в е й г В. Б., Группы Ли и симметрия
элементарных частиц, препринт ИТЭФ № 256 (1961).

2. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия 219
*86. Okubo S., Progr. Theor. Phys., 27, 949 (1962).
*87. Sakurai J. J., Phys. Rev Letters, 9, 472 (1962).
*88. Г у б а р ь Ю. И., Массовый оператор в теории унитарной симметрии,
препринт ФИАН, 1967.
*89. G е 11 - M a n n M., Phys. Letters, 8, 214 (1964).
*90. Zweig G., Preprint CERN, 8182/TH 401. 84I9/TH 412 (1964).
*91. Зельдович Я. Б., Усп. физич. наук, 86, № 2, 303 (1965).
*92. Боголюбов Н. Н., Матвеев В. А., Нгуен Ван Хьеу, Стоя-
нов Д., С т р у м и н с к и й Б. В., Т а в х е л и д з е А. Н., Шелест В. П.,
препринт ОИЯИ, Р-2141 (1965).
*93. Cabibbo N., Phys. Rev. Letters, 12, 62 (1964).
*94. Окунь Л. Б., Слабое взаимодействие и унитарная симметрия, сб. «Ито-
ги науки. Теоретическая физика и физика элементарных частиц», М.,
1965.
*95. Konuma Michiji, Shima Kazuhisa, Wada Morihiro,
Progr. Theor. Phys. Suppl., 28, 1 (1963).
*96. Schwinger J., Phys. Rev., 135, B816 (1964).
*97. В a cry H., Nuyts J., Van Hove L., Phys. Letters, 9, 279 (1964).
*98. Зельдович Я. Б., Окунь Л. В., Пикельнер С. Б., Усп. физич.
наук, 87, № 1, 113 (1965).
*99. Хамермеш М., Теория групп, изд-во «Мир», 1966.
*Ю0 Мак Вой К-, Группы симметрии в физике, Усп. физич. наук, 91, № 1,
121 (1967).
*101. Джекобсон Н., Алгебры Ли, изд-во «Мир», 1964.
*102. Rosenf eld А. Н., Rev. Mod. Phys., January (1967).

3.
ДИНАМИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
В ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
А. Пайс1)
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать обзор последних
применений теоретико-группового подхода в физике элементарных
частиц. Обзор посвящен изложению того направления, начало кото-
рого положила группа SU (б)2). Свойства группы SU (3) [126]3) и
спиноров Паули и Дирака предполагаются известными. Была пред-
принята попытка сделать эту статью в определенном отношении до-
статочно замкнутой, хотя она, безусловно, не полна со стороны ряда
математических деталей.
Для лучшего пояснения плана статьи читателю следует познако-
миться с ее оглавлением.
Читатель, знакомый с алгеброй унитарных тензоров, может опу-
стить § 3. В этом параграфе группы Ли и алгебры Ли только слегка
затрагиваются, так как их рассмотрение вполне доступно по другим
источникам [21, 154].
В течение периода, охватываемого этим обзором, проводилась
интенсивная разработка трех различных главных подходов. (Вави-
лонское столпотворение, характерное для этого периода, было глав-
ным образом обязано тому обстоятельству, что отличие этих проб-
лем друг от друга не всегда понималось.) Эти подходы:
A) Исследование приближенных динамических симметрии, таких,
как статическая группа SU (6), или более обширных групп, в ко-
торых содержится эта последняя.
Б) Исследование динамических уравнений, которые порождают
группу SU (6) или связанные с ней группы как группы симметрии
некоторых своих приближенных решений.
B) Ограничение приближенными кинематическими симметриями.
налагаемыми правилами квантовой теории и специальной теории от-
носительности.
В настоящее время представляется возможным (и именно это мы
пытались осуществить в данном обзоре) оценить успешность и огра-
') A. Pals, Rev. Mod. Phys., 38, 215 (1966).
2) Настоящая статья представляет собой расширенный вариант лекций,
прочитанных автором в Эрике и Дубне в конце 1965 г. Будет предпринята
попытка затронуть все главные идеи в данной области, появившиеся вплоть
до декабря 1965 г.
8) См. статью 2 настоящего сборника. — Прим. ред.

3. Динамическая симметрия в физике э \ементарных частиц "22\
ниченность работ, основанных на подходе А; установить, какие пред-
варительные шаги были совершены и какие вопросы возникли в
подходе Б, который до сих пор является открытой проблемой, и
проиллюстрировать природу теорем, относящихся к подходу В.
Цель § 2 состоит в том, чтобы провести разделение между ки-
нематическими и динамическими симметриями. В § 4 излагаются свой-
ства статической группы SU (6). В § 5 обсуждается релятивистское
расширение этой группы, причем рассмотрение происходит главным
образом с точки зрения подхода А. § 6 содержит краткий очерк
того, что известно относительно алгебры токов; здесь имеют дело
с вопросом типа Б. Некоторые результаты относительно подхода В
подытожены в § 7.
Автор выражает глубокую благодарность за многочисленные ди-
скуссии многим своим коллегам, особенно Бегу, Ли, Мешкову и Оеме.
Он также хотел бы поблагодарить Бега за его помощь при написа-
нии § 6; Бега, Гринберга и Треймана за полезную критику руко-
писи и Саркера за его помощь при составлении списка литературы,
опубликованной вплоть до начала декабря 1965 г.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ УНИТАРНЫХ ГРУПП
А. Немного определений
Обозначения. Матрицы будут записываться в виде Αβα, где верх-
ний и нижний индексы обозначают соответственно строки и столбцы.
Символ ха, а = 1, .... Ν, обозначает комплексный вектор, изобра-
жаемый матрицей-столбцом х. Вектор с комплексно сопряженными
компонентами удобно записывать в виде ха*, и поэтому он изобра-
жается матрицей-строкой jc+ (+ означает эрмитово сопряжение).
Рассмотрим преобразование
х' = Ах или х'а = А^х®. (2.1)
Вектор, комплексно сопряженный х, преобразуется как
х+' = л;М+ „ли Χα'* = Χ^Α^=Χ^(Α\β. (2.2)
(Здесь подразумевается суммирование по β.) Унитарная длина вектора х
определяется в виде
xfx=xa*xa. (2.3)
Унитарная группа U (N) может быть определена как группа всех преоб-
разований вида (2.1), оставляющих инвариантной форму х*х. Это оз-
начает, что матрицы А удовлетворяют соотношению
AfA=l.
(2.4)

222
А. Пайс
Дальнейшее ограничение
Det A = 1 (2.5)
соответствует унимодулярной подгруппе SU (N) группы U (N).
Вектор л" является особым представлением группы U (Λ/) или
SU(N), которое носит название определяющего представления и часто
обозначается своей размерностью N. Комплексно сопряженный век-
тор xf реализует представление той же самой размерности, но
в общем случае неэквивалентное представлению N [особый случай
N=2 рассматривается ниже в уравнении (3.6)]. Мы обозначим это
представление через N* и назовем его представлением, сопряженным
представлению N.
Множество всех операторов А, действующих на х, генерирует
Af-мерное комплексное векторное пространство. В этом пространстве
мы можем выбрать базис из N линейно независимых векторов х-,
7=1, .... N. Таким образом, х& означает α-ю компоненту у-го
базисного вектора. На физическом языке конкретный выбор век-
торов Χ, соответствует выбору „осей квантования". Мы записываем
результат действия преобразования (2.1) на векторы лс· в виде
Xj'a=A°xf. (2.6)
т. е. разрешаем оператору А действовать на компоненты базисных
векторов при неизменных осях квантования, так что оператор А
изменяет направление вектора в фиксированной координатной си-
стеме (ср. обсуждение этого вопроса в [110]). В дальнейшем ха
будет означать α-ю компоненту вектора безотносительно к выбору
осей. При последующем обсуждении матриц „релятивистского уси-
ления" (§ 5) вновь будет нужна более полная система обозначений,
используемая в уравнении (2.6).
Б. Кинематические и динамические унитарные симметрии
Имеется большое разнообразие групп SU (N), играющих ту или
иную роль в физике. В качестве введения в нашу тему полезно
рассмотреть несколько примеров этих физически интересных случаев.
Сохраняющиеся величины физических систем обычно определяются
в терминах генераторов некоторой группы. Эти группы отличаются
друг от друга тем способом, которым задается область справедли-
вости соответствующего закона сохранения.
1) Точная кинематическая группа SU (2): момент количества дви-
жения. Мы будем называть эту точную симметрию кинематической
с целью отметить, что соответствующий закон сохранения справедлив
независимо от тою, каковы могут быть детали динамики системы.
Определяющее представление 2-—это „спинор".

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 223
2) Приближенная кинематическая группа SU (2): изотонический
спин. Эта группа симметрии действует только приближенно, а именно
только в пределе е->0. Это ограничение выражается через пара-
метры, которые не зависят от динамических переменных системы
(положений, импульсов и т. п.). По этой причине данная приближенная
группа будет называться приближенной кинематической группой Опре-
деляющее представление 2 — это нуклон.
Конечно, можно пользоваться понятием изотопического спина на
практике также и в том случае, когда е Φ О, например, когда мы
говорим: понятие изоспина хорошо применимо в адрон-адронном
рассеянии для энергий, больших по сравнению с расщеплением изо-
мультиплета, и для углов, больших по сравнению с областью куло-
новского взаимодействия. Однако нам приятно сознавать, что размеры
этих „плохих" областей стремятся к нулю при е—>0. Это, по-види-
мому, физически не очень верный способ рассмотрения, и единственная
причина, по которой мы вводили здесь предел е —> О, состояла
в стремлении противопоставить приближенную природу изоспина,
как она понимается в настоящее время, приближенным симметриям
другого рода.
3) Приближенная динамическая группа S£/(2): нормальная связь
в атоме [71]. Запишем гамильтониан атома в виде
// = //„ + //', (2.7)
H_X_Pj_ V^fl-uV_fl· (2·8)
i> i
Гамильтониан //' содержит все нестатические эффекты, например
спин-орбитальную связь. Всякий раз, когда пренебрежение гамильто-
нианом законно и приводит к хорошему приближению, орбитальный
момент L и спиновый момент 5 сохраняются порознь, и мы имеем
5-мультиплеты + Lj (нормальная, или рассель-саундерсовская, связь).
Группа SU (2) теперь является спиновой группой, и определяющее
представление 2 — это электрон со спином.
Рассмотрим в качестве примера уровни 3Р и 1Р атома гелия.
Хотя гамильтониан И0 и не зависит явно от спина, все же воз-
никает расщепление 3Р — 1Р вследствие принципа запрета (обменный
эффект). С другой стороны, в /^-приближении мы имеем „супер-
мультиплет", так как уровни 3/\ ьо вырождены. Это вырождение
снимается спин-орбитальной связью.
Спин-орбитальная связь пропорциональна е, а также пропорцио-
нальна vie через импульс. Мы, однако, не можем определить //„-при-
ближение при помощи предела е—>0, так как в этом случае мы
теряем атом. Приближение нормальной связи возникает, таким обра-
зом, в принебрежении эффектами, зависящими от г;/с, т. е. опреде-
ляется некоторыми динамическими параметрами.

224
А. Пайс
Нормальная связь может в одной части спектра осуществляться
лучше, чем в другой; для тяжелых атомов она плохо выполняется
для рентгеновской части спектра и лучше — для внешних оболочек
при отсутствии слишком больших возбуждений. Все эти эффекты,
делающие спиновую группу SU (2) приближенной, выражаются (в про-
тивоположность случаю изоспина) через динамические параметры.
Поэтому мы говорим о приближенной динамической группе.
Если иметь дело с гамильтонианом (2.7), то динамическая при-
рода приближений, разумеется, очевидна с самого начала, и поэтому
нет нужды обсуждать затруднения, связанные с группой SU (2).
Трудности, безусловно, появились бы, если бы эта же спиновая
группа трактовалась как кинематическая по своей природе. Это обу-
словливается тем, что взятие предела кинематического типа: „кон-
станта связи" —> 0, само по себе является релятивистски инва-
риантной процедурой. В нулевом пределе мы имели бы тогда точ-
ную симметрию, и для спина и полного момента в отдельности
выполнялся бы точный закон сохранения. Мы получили бы в этом
случае теорию конечных мультиплетов с большим числом интегралов
движения, чем это разрешается группой Пуанкаре, что абсурдно.
В этом состоит основа многих теорем запрета для некоторых кине-
матических симметрии [292]. Эти теоремы будут кратко рассмотрены
в § 7.
4) Приближенная группа SU (3): симметрия сильных взаимодей-
ствий [126]. Насколько сейчас известно, не исключена возможность,
что имеется приближенная кинематическая группа и что существует
нарушающее симметрию взаимодействие, характеризуемое одним (или
более) нединамическим параметром, который в нулевом пределе опре-
деляет точную группу SU (3). Однако некоторые идеи метода „за-
шнуровки" благоприятствуют более динамическому подходу (который,
вероятно, мог бы также применяться и к изоспину). Определяющее
представление 3 — это триплет.
Что касается экспериментального обоснования группы SU (3), то
ее предсказания, по-видимому, лучше осуществляются для соотноше-
ний между массами и для лептон-адронных и электромагнитных вер-
шин. С другой стороны, на основании анализа только амплитуд рас-
сеяния или порождения ситуация с этой симметрией не была бы очень
ясной [155, 1].
5) Приближенная динамическая группа SU(4): ядерные супер-
мультиплеты [293]. Эта симметрия была предложена только для низко-
лежащих ядерных уровней [293]. В этой области теория дает удо-
влетворительные результаты [112]. Определяющее представление 4—
это нуклон со спином.
Рассмотренная здесь группа SU (4) имеет много общего с груп-
пой St/(2) (п. 3). Но, конечно, мы теперь не обладаем столь обшир-
ной информацией о гамильтониане, как в случае (2.7). Успешное

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 225
применение группы SU(4) в действительности говорит о фундамен-
тальной динамике лишь то, что существует такой режим, в котором
спиновая и изоспиновая независимость гамильтониана Н0 является
хорошим приближением. В задачи теории группы SU (4), взятой са-
мой по себе, не входит вывод вида гамильтонианов //„ и Н' из
основных принципов динамики, как это имело место в случае (2.7),
(2.8).
Последующее краткое обсуждение некоторых аспектов унитарных
симметрии, которым посвящено дальнейшее изложение, проводится
здесь с целью осветить арену развития основных идей данной статьи.
6) Приближенная динамическая группа SU (6) в физике элемен-
тарных частиц [266, 128, 243, 129]. Фундаментальное представление 6—
это секстет: SU (З)-триплет частиц спина 1/2. Таким образом (как
будет более подробно объяснено в § 4), эта группа содержит группу
унитарного спина SU (3) и обычную спиновую группу SU (2). Вслед-
ствие аргументов, изложенных при обсуждении рассель-саундерсов-
ской связи, группа St/(6) должна быть приближенной динамической
группой, так как она содержит спиновую группу. То, на что часто
ссылаются как на трудности группы SU (6), разумеется, не имеет
ничего общего с тем фактом, что эта группа содержит внутреннюю
группу симметрии SU (3). Поучительно прочесть соответствующую
этому вопросу литературу так, как если бы она относилась к слу-
чаю рассель-саундерсовской связи, когда группу внутренней симметрии
можно заменить одним тождественным преобразованием.
При обсуждении ядерной группы SU (4) было упомянуто, каким
образом можно перейти обратно от справедливости подобной супер-
мультиплетной теории к структуре главной части гамильтониана.
Для группы St/(6) по аналогии можно было бы поставить вопрос,
например, о „внутренней" динамике барионов, построенных из сек-
стетов (см. § 4, К). Но это лишь один из аспектов того, что было
предпринято с группой St/(6) и производными от нее группами.
Сверх этого в физике элементарных частиц возникают проблемы,
которые не имели еще аналогичных подходов. Например, можно ли
сказать что-либо новое о рассеянии двух частиц, каждая из которых
сопоставляется SU (6) супермультиплету? Аналогом этого было бы
рассеяние двух ядер друг на друге, причем состояние каждого из
ядер в отдельности описывается (приближенно) в терминах ядерной
группы SU (4). Ясно, что эта задача должна включать вопрос о связи
с орбитальным моментом (кроме случая рассеяния в S-волне, см.
§ 4, Ж).
Существует другого типа проблема, которая возникает в связи
с группой SU (6), а именно проблема выхода за массовую оболочку
в том виде, как она появляется, например, при изучении вершинных
функций. К этому типу принадлежат также многие вопросы, относя-
щиеся к возможному существованию квантовой теории поля. Попытки
15 Зак 612

226
А. Пайс
в этом направлении должны идти гораздо дальше феноменологиче-
ского уровня, как это было намечено для группы SU (4). Эти про-
блемы, которые выглядят особенно сложными ввиду того, что глав-
ная поддержка теории, основанной на группе SU (6), исходит из
вершинных функций, рассматриваются вновь в § 4, 5 и 6.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
А. Представления группы SU(N)
1) Следуя процедуре, известной из теории обычной группы вра-
щений, можно из определяющего представления получить общие
представления, конструируя тензоры различных рангов. Тензор
^р ...р "'"'"га определяется как величина, удовлетворяющая усло-
вию
7e1.-V1""em~*ei(l) ... хат(т)х^(1') ... хрп(п'). (3-1)
где символ ~ означает: преобразуется так же, как .... Это опре-
деление тензора одинаково справедливо для групп SU (Л/) и U (Л/).
Таким образом, унитарные тензоры имеют два сорта индексов: верх-
ние и нижние. Кроме компонентных индексов, вектор х будет наде-
лен также „конфигурационными индексами" t или i', чтобы отличать
один унитарный вектор от другого. Вектор ха преобразуется при
помощи матрицы А, а вектор Jig — при помощи матрицы Л+, как
в уравнениях (2.1) и (2.2) соответственно.
Лишь в случае группы SU (N) можно без потери общности рас-
сматривать тензоры, имеющие только верхние (или только нижние)
индексы, вводя для этого символ Леви-Чивита ε 1'" Ν. Символ ε
полностью антисимметричен по своим N индексам и ε1 2 3 ··· w= 1;
символ ε/, ...?.д, обладает аналогичными свойствами. Под действием
группы U(N) эти символы преобразуются следующим образом:
е*. - ^ = D'lab^ ... αμ/ΝεμΙ'" μ", (3.2)
% ...iN = Я*~Ц μ' .. · atN μ"εμ]... w (3.3)
D = Det|[a||, D* = Det||a*||. (3.4)
Преобразования (3.2) и (3.3) сохраняют полную антисимметрию;
кроме того, ε' ==ei n==^· чт0 легк0 может быть проверено.
Именно с целью сохранить эти единичные значения необходимо ввести
множители D~ (или D*-1). Таким образом, символ ε ведет себя не
как тензор относительно группы U (N). Но для группы SU (N) имеет
место D = D*=1, и символы ε ведут себя как истинные тензоры.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 227
Символы ε можно назвать псевдотензорами относительно группы U (Л/),
что соответствует прямому обобщению терминологии, принятой для
группы вращений, где величины ε^* образуют постоянный тензор
относительно группы SO (3), но меняют знак при отражениях, содер-
жащихся в группе 0(3).
Ограничиваясь теперь группой SU(N), можно поднять вверх все
нижние индексы. Так, вектору л:г мы можем сопоставить полностью
антисимметричный тензор у:
Xi = eu2...iNJ2
(3.5)
> — (ЛГ— 1)! ε *'■
Отметим известный случай N = 2:
х1 = *иУ/. y'^tl'Xj. (3.6)
Здесь спинору xt ставится в соответствие сопряженный спинор уЛ
Возвратимся теперь к тензору Τ уравнения (3.1), обладающему
как верхними, так и нижними индексами. Этот тензор Τ в общем
случае соответствует приводимому представлению по следующим двум
причинам:
а) Если его след по отношению к индексам <х( и β^ не равен
нулю, то первоначальный тензор (до взятия следа) содержит неисче-
зающий тензор низшего ранга, который сам по себе является пред-
ставлением [так как ха(/) ха(ir) есть скаляр].
б) Рассмотрим равенство
Каждая из двух величин, заключенных в скобки, сама по себе обра-
зует представление группы SU(N), так как унитарные преобра_зова-
ния коммутируют с операцией перестановки индексов и сохраняют
(анти-) симметрию. В общем случае справедливо для тензора любого
ранга, что если существует перестановочная симметрия или антисим-
метрия между индексами, то она сохраняется унитарными преобразо-
ваниями [154]. Поэтому первый шаг к получению неприводимых
представлений будет заключаться в нахождении „тензоров с переста-
новочной симметрией".
Более того, условие нулевого следа само по себе может быть
выражено как особого рода перестановочная симметрия. Рассмотрим
для примера тензор
*„«. /о« = 0, (3.7)
15*

228
А. Пайс
который образует (Ν2— 1)-мерное представление, именно присоеди-
ненное представление. Условие taa — 0 может быть выражено также
следующим образом:
εΡα, ... «νν-1^ θ//+εΡα2 ··■ aNf «i _μεΡ"3 "· aNaif «2 -j-
± ... ±ep,W»i-,W-2f «w-i=0i (3.8)
где знак плюс выбирается для нечетного N и знак минус — для чет-
ного N. Легко проверить, что равенство (3.8) равносильно одному
условию taa = 0. Поэтому мы можем связать с тензором t a новый
тензор
γ[α{α2 ... a^-l] «W __ εΡα1 ··· aN-lf aNt /39-)
где тензор Т полностью антисимметричен по своим первым N — 1
индексам и в дополнение к этому удовлетворяет условию
j[ai ■■■ ayv-i] aN ± 7"[α2 ·■· <W]«, i
-|- ... ± 2"[αΛ,α1 ·· αΛΓ-2] α'ν-1 = 0. (3.10)
Поэтому ясно, что любому неприводимому тензору Т$ ... β "''" "т
можно сопоставить тензор, содержащий только верхние индексы.
Тогда для этих новых тензоров должны существовать условия сме-
шанной симметрии между верхними индексами. Если это не оговари-
вается особо, мы в дальнейшем всегда, говоря о тензорах, будем
подразумевать тензоры только с верхними индексами.
Согласно общей теореме [154], мы можем найти все неприводи-
мые представления группы SU (N), классифицируя все тензоры с пе-
рестановочной симметрией, содержащие только один сорт индексов
(скажем, только верхние).
2) Существуют другие стандартные формы для тензоров, к кото-
рым можно прийти, используя символ ε. Например, в случае группы
SU (3) все тензоры могут быть сделаны полностью симметричными
по верхним и аналогично по нижним индексам, а затем можно потре-
бовать равенства нулю следа [21]. Подобная форма, по-видимому,
более подходит для применения схем Юнга, которые дают быстрый
и наглядный способ рассмотрения всех возможных симметричных
(антисимметричных) комбинаций. Правила работы со схемами Юнга
следующие [154, 203].
Неприводимому тензору ранга η группы SU (N) соответствует
.допустимое" разбиение
(«J. «2 ηΝ), 2"* = ". "1>"2^> · · · Ξ>"νν· (31 J)

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 229
Некоторые из чисел щ в правом конце разбиения могут быть нулями,
и в этом случае они не выписываются. Мы будем пользоваться оче-
видным сокращением, например, при N =6 вместо разбиения (311000)
будем писать (312). Если все числа nt = 0, мы будем писать (0). Это
есть тождественное представление. Разбиение может быть изображено
при помощи схемы с N строками длиной последовательно из ηλ ηΝ
I I I I I 1 1 1
клеток. Подразумевается, что структура этой схемы следующим об-
разом предписывает проведение симметризации и антисимметризации.
Заполним каждую клетку схемы одним из конфигурационных индек-
сов, как они встречаются, например, в (3.1). Для данного заполнения
антисимметризуем индексы, встречающиеся в одном столбце; затем
симметризуем индексы, встречающиеся в одной и той же строке.
Таким образом, схема Юнга превращается в оператор перестановок.
Когда эти операторы действуют на тензор Т"1' 'V—л:"1 (1) ... хаг(г),
многие из Nr (r — ранг тензора) комбинаций тензорных индексов
дают нулевой результат. Количество оставшихся комбинаций равно
DN(ni nN). Число DN есть размерность представления.
Замечания. I) Мы можем, наоборот, сначала симметризовать,
а затем антисимметризовать или использовать более сложный порядок
симметризации и антисимметризаций. Каждый подобный порядок при-
водит к своему набору из DN векторов, на которые натягивается
пространство представления. Различные порядки дают различные на-
боры. Ни один из этих наборов в общем случае не ортогонален
другому. О процедуре получения ортогональных наборов см.
[299, 180, 237].
2) За исключением случаев чисто антисимметричных или чисто
симметричных тензоров, существует более чем один (независимый)
способ распределения конфигурационных индексов по клеткам. Раз-
личные независимые способы соответствуют эквивалентным пред-
ставлениям группы SU(N) (см., например, [21], стр. 22). [Число экви-
валентных представлений равно тому, сколько раз тензор (п1 nN)
встречается в прямом произведении 1 <gi 1 (g) . ® 1, содержащем
η множителей.]
Продолжая по аналогии с (3.11) для всех η и для всех допусти-
мых разбиений для данного п, получаем все неприводимые предста-
вления группы SU (N). Соответствие: тензор <-*■ схема Юнга, одно-
значно,

230
А. Пайс
3) Формула для DN имеет вид
^f^L ...(η2_ηΛΓ_|_ΛΤ_2).
DN(nx %) = "' 1"г+1-("1-"з + 2)...(»,-пЛГ + ^-1)·
2!
Лиг i ЯЛГ Ч~" 1
Эта формула позволяет получить размерность представления для лю-
бого N. При N = 2 нужно учитывать только первый столбец в пра-
вой части выражения (3.12); при N = 3 нужно учитывать как пер-
вый, так и второй столбцы и т. д. Заметим, что
£>/v(ftl nN)~DN(ni — nN· fh — nN nN-l — nN< °)· (3·13)
так что мы всегда можем убрать столбец длиной N. Это соответ-
ствует тому факту, что величина ε, . х г(1) ... x"N(N) является
Л, ...Л.ДГ
скаляром относительно группы SU (N).
Случай N = 2:
Ш Аг(»1. /»2) — »i— «2+1· (3-14)
хорошо известен. Здесь ге2 пар „спинов" спарены друг с другом, что
дает нулевую результирующую. Оставшиеся ηλ — я2 спинов находятся
в полностью симметричном состоянии и поэтому соответствуют пол-
ному спину («! — «2)/2 = 5. Отсюда следует, что D2 = 2S -f-1. Таким
образом, задавая полный спин системы из η частиц спина 1/2, мы
определяем ее симметрию. Этим объясняется то, почему для задач,
связанных с группой SU (2), например, типа нормальной атомной
связи, использование схем Юнга не дает слишком больших преиму-
ществ.
Примеры.
а.
DN(l) = DN(lN-l) = N. (3.15)
Здесь (1) — определяющее представление, a (l ~)—ему сопряжен-
ное. Представление (l ~~ ) соответствует тензору у в (3.5). Пред-
ставление (1) самосопряженно тогда и только тогда, когда N=2.
б.
DN(2lN-2) = N2-\. (3.16)

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 231
Это есть присоединенное представление.
D„M = [ Я) )· (3-17)
Эти представления полностью симметричны. Так, D3 (3) = 10,
D6(3) = 56 н т. д.
°"(1*) = (Г)" (ЗЛ8)
Эти представления полностью антисимметричны: D6(l3) = 20 и т. д.
4) Сопряженные представления. Имеет место тождество
DA,(n, nN) = DN(η, — ηΝ, η,— nN_u .... «j — n2, 0). (3.19)
Разбиение, фигурирующее в правой части (которое допустимо тогда,
когда допустимо разбиение в левой части), соответствует предста-
влению, называемому сопряженным представлению («j nN). Спе-
циальный случай представлений (1) и (lN~ ) уже встречался. Другие
примеры: представление (З2) совпадает с представлением 10* группы
SU (3), а представление (З5) — с представлением 56* группы SU (6).
Это примеры неэквивалентных представлений одинаковых размер-
ностей. Однако равенство размерностей не обязательно связано с воз-
можной сопряженностью представлений. Пример: D4(3) = D4(21) =
= £>4(22)=20. Там, где это возможно, мы будем часто обозначать
представления своими размерностями (наклонными цифрами), понимая,
что в общем случае это обозначение не адекватно. [Для группы SU (2)
оно всегда адекватно.]
Используя язык верхних и нижних индексов [как в (3.1)], можно
свести связь между взаимно сопряженными представлениями к замене
роли верхних и нижних индексов. Так, для группы SU (3) предста-
вление 10 соответствует тензору 7"" , а представление 10* — тен-
зору 7' , каждый из которых полностью симметричен по своим
трем индексам. В случае группы SU (6) имеем D6(313)=/J>6(3223)=2S0.
К каждому из этих представлений принадлежит тензор 7"„j с равным
нулю следом. Для представления (313), 280 имеет место симметрия
по индексам (α, β) и антисимметрия по индексам (ν, δ). Для предста-
вления (З2 23), 280* имеет место антисимметрия по (α, β) и симметрия
по (γ, δ).
Если сопряженное представление тождественно первоначальному,
то мы имеем самосопряженный случай. Выражаясь тензорным языком,
верхние и нижние индексы обладают эквивалентными свойствами.
Так, присоединенное представление {2lN_2) реализуется самосопря-
женным тензором Гр°. Другой пример: каждое из представлений
De(424) = 405 и D6(22l2)=/S9 является самосопряженным и соот-

232
Л. Пайс
ветствует тензору 7 в™, симметричному (в случае 405) или антисим-
метричному (в случае 189) как по нижним, так и по верхним индексам.
Является ли тензор самосопряженным, зависит от разбиения и
от размерности. Так, представление D3(21) = S самосопряженно,
a D6(21)=70— нет. В каждом случае мы можем изобразить тензор
в виде 7,1σ"γ, т. е. антисимметричным по индексам [α, β] и удовле-
творяющим условию 7,|αβΙν + Γ|№|ρ + 7,|ΡνΙα==0. При 7V=3 можно
возвратиться от TW]Y к i„a [см. (3.9)]; при N=6 мы этого сделать
не сможем.
Наконец, вспомним известный способ построения представлений
группы вращений в явной форме, состоящий в нахождении сфериче-
ских гармоник. В принципе можно построить аналогичные „гармони-
ческие функции" для всех унитарных групп [217, 24, 186, 178]1).
Б. Представления группы U(N)
Возвратимся теперь к тензору Τ [уравнение (3.1)], определенному
как тензор относительно группы U (N). По определению, преобразо-
вание тензора Τ производится при помощи произведения т множи-
телей А к η множителей Af, где А — элемент группы U (Л/). В об-
щем случае
Л = (е'ч>· 1)-с, (3.20)
где а — элемент группы SU (Л/), а 1 — это единичная Л/ X TV-матрица.
Из факторизации (3.20) вытекает, что группа U (N) содержит инва-
риантную подгруппу U (1). (Для более детального рассмотрения связи
между группами U(N) и SU(N) см., например, [ПО].) Поэтому пре-
образованный тензор Τ равен тензору, преобразованному согласно
группе SU(N) и умноженному на „калибровочный" множитель
ехр[/(т— я)ф1- Так как A = exp(iNq>), то в уравнении (3.2) можно
положить
D_1 = exp(— /Mp). (3.21)
Хотя, как было отмечено выше, символ Леви-Чивита и не является
тензором относительно группы U (N), тем не менее можно применить
весь аппарат, развитый в § 3, А, также и к случаю группы U (N)
лишь с одной дополнительной оговоркой: необходимо приписать об-
щему тензору Τ уравнения (3.1) „барионное число" В = К(т — п),
где число λ не зависит ни от т, ни от п. Для определяющего пред-
ставления Β = λ. Отметим, что число В не зависит ни от каких
симметрии между верхними или между нижними тензорными индексами.
После того как число В отождествлено, задача сводится к группе
1) См. также [335]. — Прим. ред.

3. Динамическая симметрия в физике эгсмснтарных частиц 233
SU (N), и мы опять можем рассматривать тензоры только с одними
верхними (или одними нижними) индексами.
Пример. Рассмотрим группу SU(S). Пусть ха — „кварк" [127, 300]
с барионным числом В =1/3. Тогда ха*—„антикварк" с θ = —1/3.
Тензор М" имеет В = 0 и может служить представлением мезонного
октета. Его схема Юнга есть (21). Рассмотрим тензор TWiy, удо-
влетворяющий условию
у-[ар| γ _J_ 7"Ιν«]β i_ ylPvl α __ q (3 22)
Для этого тензора /3=1. Установив значение В, положим
ytepi ν _ εββ*β ν
как в уравнении (3.9). В этом случае тензор В^1 имеет нулевой след.
Он может служить представлением барионного октета. Его схема
Юнга также есть (21). Таким образом, одно и то же представле-
ние (21) описывает и систему кварк—антикварк, и систему из трех
кварков. Пока отождествление значения В производится отдельно,
отсутствует источник каких-либо недоразумений.
В остальной части этого параграфа мы ограничимся рассмотре-
нием группы SU (N). Обобщение на группу U (N) будет очевидным.
В. Редукция прямого произведения
Схемы Юнга полезны также для разложения произведения
(ni nN)®{n'\ n/v) на непРив°Димые представления. К общей
процедуре лучше всего прийти следующим образом [203].
1) Произведение (щ плг)Х(0 общей схемы Юнга на одну
клетку □. Будем добавлять □ к первоначальной схеме всеми воз-
можными способами таким образом, чтобы в результате все еще по-
лучать допустимые разбиения (З.П) из (« —j— 1) клеток. Каждый из
этих способов соответствует неприводимому представлению, содержа-
щемуся в рассмотренном произведении.
Примеры.
(1)Х(1) = (2) + (12),
(21)Х(1) = (31) + (22)-К212). ЛГ>3.
= (31)4-(22) + (1). Л/ = 3.
= (2) +(0) N = 2.
(22)Х(1) = (32) + (221), Л/>3,
= (32)-|-(12) ЛГ=3.
2) Произведение (п, п2) X (/и). Теперь мы умножаем общую
схему Юнга на полностью симметричное представление I I I 1 I I I,

234
А. Пайс
состоящее из т клеток. Добавляя последовательно клетку за клет-
кой из этого множества т клеток, будем каждый раз пользоваться
процедурой (1). Но при этом никогда нельзя помещать две или
более клетки из этих т клеток в один столбец.
Примеры.
1. Группа SU(2). Пусть т^п, тогда
(т)Х(п) = (т+п) + (т+п— 1, 1) + (т+п—2,2) + ...+(т,п) =
= (т + п) + (т + п — 2)+(т + п — 4) -+- ... +(т — га). (3.23)
Причем здесь был опущен столбец длиной 2 [см. (3.13)]. Положим
т = 25, η ==25', тогда для размерности представлений (3.23) в каче-
стве проверки получим
(25+/)X(2S'+/) = [2(5 + 5') + /] + ...+l2(5-5') + /].
Таким образом, как частный случай мы при помощи схем Юнга
получили разложение для момента количества движения.
Уравнение (3.23) представляет пример простой приводимости.
Говорят, что произведение представлений просто приводимо, если
каждое содержащееся в нем неприводимое представление появляется
при разложении только один раз. Уравнение (3.23) является частным
случаем несколько более общей ситуации.
Лемма 1. Для любой группы SU(N) произведение (т, т, ...
.... т) X (и) (где число т в круглых скобках содержится не более N
раз) просто приводимо.
Для дальнейшего будет важен следующий частный случай леммы 1.
Лемма 2. Представление (η, η η), где число η в круглых
скобках содержится N — 1 раз, сопряженно представлению (п). Про-
изведение представления (я) и его сопряженного просто приводимо;
в частности, оно содержит присоединенное представление (217V-2)
один и только один раз.
2. Группа S£/(3).
(З2) X (3) == (63) + (531) + (432) + (333) = (63) + (42) + (21) + (0).
Проверка размерностей (используя (3.12)] дает
10* X 10 = 64 + 27 + 8+1.
Кроме того,
(21)Х(3) = (51)Н-(42)+(412)-г-(321) = (51) + (42) + (3)-|-(21).
8Х 10 = 35+27+10 + 8.
3. Группа 5£/(6).
(35) X (3) = (З6) + (43<2) + (5341}+(634, β
= (0) + (2 И) + (424)-К634),

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 235
(Опущен столбец длиной 6 клеток.) Проверка:
56* X 56 = / 4 35 4 405 + 2695. (3.24)
Аналогично
(2 И) X (3) = (415)+ (3214)-Н4213)4 (514) =
= (3)-К21) + (4213) + (514).
35X56 = 56+70+1134+700. (3.25)
3) Произведение (пу .... «д,) X (п[ и^). Прежде всего посту-
пим с верхней строкой длины п[ так, как в (2); затем добавим сле-
дующую строку длиной (п'Л и поступим аналогично и т. д. Но при
этом учтем одно последнее дополнительное правило.
Поместим число 1 в каждую из п[ клеток верхней строки схемы
(η/ п'Л; поместим число 2 в каждую из п'2 клеток второй
строки, .. .; поместим число N в каждую из n'N клеток последней
строки. Теперь рассмотрим одну из схем произведения, полученную
по предыдущим правилам, но с учетом помещенных в соответству-
ющие клетки чисел 1 или 2, .... или N. Прочтем справа налево
числа, находящиеся в первой строке; затем прочтем справа налево
числа, отмечающие клетки второй строки, .... наконец, прочтем
справа налево числа в последней строке. В результате получим
последовательность чисел, которая должна подчиняться правилу: для
любого числа внутри последовательности количество находящихся
перед ним чисел 1^- количества чисел 2^· количества чисел N. (По
этому поводу см. [203].)
Примеры.
1. Группа SU (3).
(22) X (22) = (42) + (431) + (422) = (42) + (32) + (2),
6* X 6* = 15 + 15' + 6.
(Обратим внимание на два различных представления размерности 15.)
(21)Х(21) = (42) + (412) + (32) + (321) + (321)4-(23) =
= (42) + (3) + (32) + (21) + (21)+(0),
8® 8 = 27 +10 +10* + 8 + 8 +1.
2. Группа SU (6).
(214) X (214) = (2«)4 (3241)4 (3241)4-(322212) +
4- (3223) 4 (42312) 4- (424) =
= (0)4-(214) + (214) + (2212) + (3223)4-(313)4-(424).
Проверка:
35X35 = 1 + 35 + 35 +189 + 280* + 280+405. (3.26)

236
Α. Π а й с
Упражнение. Разбиению (21) соответствует представление 70,
а разбиению (241) — сопряженное представление 70*. Показать, что
70* X 70 = / + 2 X 35 -(- 189 -f 280 + 280* -f- 405 -f 3675. (3.27)
Важно не только знать, какие представления содержатся в про-
изведении двух представлений. Желательно также знать, какова струк-
тура преобразования, которое выражает произведение любой тензорной
компоненты одного представления и любой тензорной компоненты
другого представления в виде суммы компонент, содержащихся в не-
приводимых частях исходного произведения представлений. В этом
заключается задача нахождения коэффициентов Клебша-Гордана. Для
ряда случаев подобная задача рассматривалась в литературе. Для
группы St/(6) см. [72, 73, 273].
Г. Разложение группы SU(MN) относительно произведения
SU(M)XSU(N)
Рассмотрим инвариантную квадратичную форму х*а*а группы
SU (MN), где ха — определяющее представление, α = 1 ΜΝ.
Мы можем заменить каждое значение индекса α парой индексов At,
А=\ М; /=1 N, так что
x*x*r=xAl*xAl. (3.28)
При фиксированном индексе / (или А) форма (3.28) будет инвариант-
ной относительно группы SU (M) [или SU (N)]. Другими словами,
при фиксированном индексе i (или А), но переменном индексе А
(или /) хм является фундаментальным представлением группы SU (УИ)
[или SU (N)]. Мы можем выразить это содержание равенства (3.28)
на языке схем Юнга следующим образом:
□ *=(□:□). (3-29)
где левая часть равенства есть представление (1) группы SU(MN),
в то время как в правой части равенства первая клетка изображает
представление (1) группы SU (M), а вторая клетка — представление
(1) группы SU (N). Таким образом, (3.29) можно записать в экви-
валентной форме
1=(1; 1). (3.30)
Существует еще третья возможность выразить содержание равен-
ства (3.28), обозначая представления их размерностями
ΜΝ = (Μ; Ν). (3.31)
Для представления, сопряженного определяющему представлению,
имеем
(1-илг-1) = (1Л1-1. 1Лг-1^ (3.32)
(ΜΝ)* = {ΛΓ, Ν*). (3.33)

3 Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 237
Другой очевидный пример этого рода обозначений дают равенства
(0) = (0; 0) (схемы), (3.34)
/ = (/; /) (размерности), (3.35)
использующие соответствующие тождественные представления.
Мы имеем теперь три примера, в которых неприводимому пред-
ставлению группы SU (ΜΝ) принадлежит одна пара неприводимых
представлений групп SU (M); SU(N). Для всех других представлений
группы SU (MN) мы будем получать более чем одну пару. Мы
сможем найти все подобные пары, применяя для каждой из трех
групп в отдельности правила обращения со схемами Юнга, как это
станет ясно из следующих примеров.
1· (1)Χ(1) = (2)-Γ-(12) = (1,1)Χ(1>1) = (2+12; 2+12)
или
(2)4-(12) = (2;2)-К12;2) + (2; 12) + (12; I2). (3.36)
На основании соотношений (3.17) и (3.18) это равенство можно про-
верить, вычислив размерности
i MN (MN -f 1) -f i- MN (MN — 1) = Ц- Μ (Μ — 1);
±-Ν(Ν+Ιη-{-(±-Μ(Μ-1); ±Ν(Ν + 1)) + (γ M{M + 1);
^N(N^l^ + ^M(M-l); ^.N(N-1)}. (3.37)
Размерность пары (a, b) равна ab. Конечно, мы желаем знать муль-
типлетное содержание каждого из представлений (2) или (I2) группы
SU (MN). Это единственным образом следует из (3.12):
(2) = (2;2) + (12;12),
(3.38)
(12) = (12;2)+(2;12).
Для группы SU (6) имеем М — 3, Л/ = 2 и равенства (3.38) пере-
ходят в равенства (записанные в размерностях представлений)
21^(6; 3)^(3-1),
15 =(3*; 3)-\-(6; 1). К*}
Разумеется, равенства (3.38) могли бы быть также найдены как
следствие того обстоятельства, что симметричный тензор (2) группы
SU (MN) соответствует либо симметрии по обоим тензорным индексам
групп SU (M) и SU (N), либо антисимметрии по этим индексам.
2. (1Л1Л/-1)Х(1) = (21"Л/-2) -f (0)=(1 МЛ OXU. 1) =
= (21Μ-4θ, 21^-4 0).

238
А. Пайс
Используя (3.35) для присоединенного представления (21 ), не-
медленно получаем
(21лиу-2) = (21Л-2. 21ЛГ-2)+(21Л1-2, 0) + (0. 2\Ν~% (3.40)
что соответствует равенству
(MNf — 1 = (М2 — 1, Ν2 — 1) + (Μ2—1, /) + (/, /V2—/). (3.41)
Для Μ = 3, N = 2 имеем
35 = (в; 3) + (в. /) + (/. θ)· (3-42)
Общая процедура теперь ясна, и мы приведем некоторые дальнейшие
результаты для разложения SU(6)zdSU (3)®SU (2). Умножим пред-
ставления (2) и (I2) на представление (1). В результате получим
(в размерностях)
56 = (8; 2)+ (10; 4), (3.43)
70 = (/; 2) 4- (δ; 2) -J- (/0; 2) + (8; 4), (3.44)
20 = (/;4)+-(β;?) (3.45)
соответственно для трех схем Юнга: (3), (21) и (I3).
Сопряженные схемы Юнга имеют сопряженное мультиплетное
содержание. Так, из (3.39) получаем
21* = (6*;3) + (3;1), (3.46)
15* = (3;3) + (6*. /) (3.47)
соответственно для схем Юнга (25) и (I4) группы SU (6). Теперь
имеем
21* ^21 = 405 + 35+1. (3.48)
15*Х 15= 189 + 35 + 1. (3.49)
С помощью (3.35) и (3.42) получаем
189 = (8+1;5) + (8 + 8+10+10*;3) + (27 + 8+1; 1), (3.50)
405 = (27+ 8 +1; 5) + (27+8 + 8 + 10+10*; 3) +
+ (27 + 8+1; 1). (3.51)
Подобным же образом произведение 15*У(21 содержит представление
280 = (10+8; 5)+(27+ 8 + 8+10+ 1; 3) + (10+10* + 8, 1).
(3.52)
в то время как представление 280* имеет сопряженное мультиплет-
ное содержание.
Более подробное изложение и примеры можно найти в работе 1156].
Уравнения (3.39) — (3.47) иллюстрируют ситуацию, когда мульти-
плетное содержание представления группы SU (6) полностью характе-

3 Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 239
ризуется теми числами, которые предоставляет подгруппа St/(3)gsSt/(2).
С другой стороны, уравнения (3.50)—(3.52) показывают, что в общем
случае эта характеристика не является адекватной, так как пара
представлений ($; 3) встречается в каждом из этих случаев дважды.
При этом возникает общая проблема полной характеристики DN
состояний, на которые натянуто данное представление группы SU (Л/).
Этот вопрос обсуждается в следующем разделе.
Д. Генераторы; проблема обозначений; токи
Унитарное преобразование, действующее на тензор, который
имеет DN линейно независимых компонент, является линейным пре-
образованием в D^-мерном пространстве, натянутом на эти компо-
ненты. Это преобразование может быть представлено унитарной
DN X Dyy-матрицей t/, которую в свою очередь можно представить
в виде [154, 21]
U = exp(teBFB), (3.53)
где подразумевается суммирование по В. Для группы U (N) значе-
ния В равны 1 N2; для группы SU (N) имеем В=1 №—1.
Величины εβ являются параметрами, которые могут быть выбраны
вещественными. Таким образом, группа SU (N) является (Л/2—^-пара-
метрической группой.
Генераторы FB в свою очередь могут быть представлены
DN X £)д,-матриц.ами, которые являются эрмитовыми для веществен-
ных εΒ. Кроме того, для группы SU (Л/) мы имеем условие равен-
ства нулю следа
(FBV = 0. (3.54)
Генераторы Fв удовлетворяют коммутационным соотношениям
IF в· РС] = */всоРо- (3-55)
Здесь полностью антисимметричные вещественные величины fBCD—это
так называемые структурные константы алгебры Ли операторов F.
Крайне важное свойство структурных констант /'BCD заключается
в их независимости от конкретного представления, на которое дей-
ствуют операторы F. Константы / поэтому полностью характеризу-
ются, как мы их будем называть, определяющими генераторами (ОГ).
ОГ определяются как представление генераторов Ν Χ ЛА-матрицами,
действующими на определяющее представление.
Примеры. В случае группы St/(2) тремя генераторами являются
операторы момента количества движения. Структурные константы
f bcd PaBIFbl ^bcd· трехмерному символу Леви-Чивита. ОГ равны Og'2,
где σ— гри матрицы Паули.

240
А. Пайс
Легко выписать ОГ для группы SU (N). Положим FB = (C„a,
Cβα, Ηk). Здесь а > β = 1, ..., Ν, так как число матриц С равно
Λ/(Λ/—1)/2, и столько же имеется матриц С". Что касается индекса k,
то k=\, .... N — 1. Можно положить
(СР-)/= Т (*% + *" V
, (3.56)
причем Нк — диагональная матрица, элементы которой на диагонали
могут быть выбраны следующим образом:
tfft = [2fe(fe+l)]-*(^J ^1. — k,0 0),
Τ (3.57)
k=l Ν— 1.
Очень удобно произвести нормировку таким образом, чтобы след
Sp Fв был не зависим от В. Подобная нормировка как раз и выбрана
в данном случае. При помощи указанной реализации генераторов Fв
могут быть вычислены структурные константы fBCD. Для группы SU(3)
это проделано в работе [126].
Матрицы, реализующие для данного представления генераторы Hk,
коммутируют друг с другом. Существование для любого представле-
ния подобного множества (N—1) коммутирующих генераторов вытекает
из основных свойств структурных констант /. Как известно, это
есть максимальное коммутирующее подмножество 'J. Таким образом,
представления группы SU (N) частично характеризуются N— 1 адди-
тивными квантовыми числами. (Число генераторов определяет „ранг"
группы, который равен N—1.)
Возникает важная задача нахождения матричного представления
генераторов F, действующих на любое представление группы SU (Λ/).
Эта проблема решена в явном виде в работе [22].
Теперь вернемся к вопросу адекватной характеристики DN „век-
торов", на которые натягивается пространство тензорных представле-
ний группы SU (Λ/). Для группы SU (2) ответ известен. Представле-
ние характеризуется квадратом момента количества движения, который
мы запишем в наших обозначениях как
и для которого введем символ
Cf=2^- (3.58)
В=1
!) См. примечание на стр. 123. — Прим. ред.

S. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 241
Далее, отдельные векторы в пространстве представления характеризу-
ются магнитным квантовым числом, которое мы здесь обозначим
через Нг. Характеристика при помощи чисел С^' и Н\ будет полной.
Какова ситуация в случае группы SU (N)?
1) Число коммутирующих операторов, собственных значений которых
оказывается достаточным для выделения состояния, равно (Л/—1)Х
Х(Л/ + 2)/2, см. [248, 22].
2) N — 1 таких операторов дают генераторы Hk.
3) Следующий набор из N — 1 операторов дают „операторы
Казимира" C[N\ 1 = 2, ..., N. Операторы С\ ) представляют собой
полиномы по FB степени I. Как известно [249,. 23], существует
ровно N— 1 независимых нелинейных по FB выражений, коммути-
рующих со всеми генераторами FB.
Легко видеть, что оператор Казимира C<i равен
Cf> = Σ Fb- (3.59)
1
Другие операторы С\ также были построены в явном виде (см.
[22, 185] и более раннюю литературу по этому вопросу). Они имеют
вид (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1
до N2—1)
Q ) = dABcFAFBFc<
С[ = dABEOEcoFaF bF qF D,
C5f) = dABpdpQcdQDEFAFBFcFDFE и т. д.,
где величины d определяются антикоммутаторами определяющих гене-
раторов, которые можно записать в виде
РАРв + рвРА = ЖЬАВРъ + аАВсРс- (3-60)
Здесь вещественные константы dABC полностью симметричны, С—число,
зависящее от выбора нормировки генераторов FB, a F0—единичная
матрица.
Возможно, самый простой путь нахождения операторов С состоит
в следующем [232]. Перейдем к группе U (N) и выпишем N2 гене-
раторов в виде А„а, α, β = 1 N. Тогда (неэрмитово) пред-
ставление ОГ имеет вид
(V)/=*eV <3·61>
так что
К"· ν] = /β6„αν4σ· (3-62)
/βδοα№ - *„e*pV - W- <3·63)
16 Зак. 612

242
А. Пайс
Эти величины / также являются структурными константами (только
записанными в несколько иной форме). Операторы С просто равны
следам от различных степеней операторов А:
СГ^р(А1)^Аа^Аа^ . . . A0i\ (3.64)
где теперь индекс / пробегает значения от 1 до N (а не от 2 до Л/).
Так как оператор Cj = Aaa (по а производится суммирование) ком-
мутирует со всеми операторами А, то отсюда следует, что (Лаа)7- =
= Cbj'. Сужение U (Л/) -ч» SU (Л/) сводится к условию, чтобы для
любого представления имело место Cj = 0.
Операторы Казимира С/ полностью характеризуют представление
группы SU (N). Мы нашли также другой способ характеристики
представлений этой группы, использующий разбиения (ηλ, .... ηΝ),
из которых для группы SU (N) только N—1 независимы [см. урав-
нение (3.13)]. Эти два способа полностью эквивалентны; опера-
торы С/' ' являются полиномами по П] степени I.
Примеры. Для группы SU (3) [23] при разбиении (pq) имеем
С^ = \(р2+Ч2-Р4+Ър), (3.65)
C3(3) = ~(p-2q)(2p-{-3-q)(p-\-q^-3). (3.66)
Для группы SU (4) при разбиении (pqr) [25]
с2(4) = i(/>2+?2Ч-г2)-\(P4+qr + гр)+-5"(3р-+-ч-г). (3.67)
(Всегда существуют постоянные сомножители, которые необходимо
фиксировать условиями нормировки. Выписанные выражения соответ-
ствуют нормировке уравнений (3.56), (3.57). См. для дальней-
шего [296].)
4) Теперь нами найдены 2 (Л/—1) искомых коммутирующих опе-
раторов, которых, однако, еще недостаточно для решения постав-
ленной задачи (кроме случая N = 2). Один из способов получения
полного набора заключается в рассмотрении факторизации [294, 23]
SU (Л/) => U(1)eg)SU (Ν—Ι),
где группа U (1) порождается линейной комбинацией Л/—1 генера-
торов Н[ и где генераторы группы SU (Л/—1) коммутируют с ге-
нератором группы U (I). Например, ОГ группы U (1) может быть
задан генератором 7/ЛГ_1 из уравнения (3.57), а ОГ группы
SU (N—1) — генераторами, задаваемыми уравнениями (3.56), (3.57),
в которых сделана подстановка N—>i\f— 1. Тогда операторы Су
мы можем использовать для дальнейшей характеристики состояний

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 243
Продолжим подобным же образом: SU (N—1) r> £/(l)i:SU (N — 2),
что даст нам операторы С/ -" и т. д. Полная характеристика со-
стояний достигается N—1 генераторами Ht (или их линейными ком-
бинациями) и операторами С/ , & = 2, 3 Ν; i — 2, 3, ..., k;
полное число всех этих операторов как раз равно искомому.
Пример. SU (3) Г) U (1) ® SU (2). Пятью характеристическими чис-
лами являются собственные значения следующих операторов: С2 ,
С% [задание этих операторов эквивалентно заданию разбиения (pq)],
Сг(2' (оператора изоспина), оператора гиперзаряда [генератора группы
£/(1)] и третьей компоненты изоспина.
Хотя эта процедура и достаточна для любого N, она не является
единственной и фактически даже не общепринята. В заключение этого
раздела обсудим метод, примененный в работе [25] при исследовании
группы SU (6).
Полная характеристика состояний для группы SU (6) производится
при помощи 20 операторов. Использовались следующие из них:
1) Числа разбиения {пх, .... ге6) схем Юнга группы St/(6), что
эквивалентно использованию операторов Казимира С/ (пять опера-
торов).
2) Классификация по спиновому и унитарно-спиновому мульти-
плетному содержанию согласно редукции
SU (6) => SU (3) ® SU (2), (3.68)
где подгруппы 5i/(3) и SU (2) в правой части коммутируют друг
с другом. Это дает 5 характеристических чисел от подгруппы 5i/(3)
и 2 числа от подгруппы SU(2), итого семь чисел.
Из (1) и (2) мы имеем 12 характеристик состояний. Этого доста-
точно для полной характеристики представлений 35, 56, 70, 20, что
уже наблюдалось в уравнениях (3.42) — (3.45).
3) Классификация с использованием другой возможной цепи ре-
дукции [25]
SU(G)=>U(l)®SU(2)®SU(4) (3.69)
L Si/(4) => St/(2)® Si/(2). (3.70)
Подгруппы в первой строке (3.69) были введены в [129]. Исполь-
зуя (3.69), получаем три характеристических числа от подгруппы
SU (4) плюс два числа от подгруппы SU (2) (описывающей „спин
странных кварков"); группа t/(l), встречающаяся в редукции (3.69)
(группа гиперзаряда), уже содержалась в группе St/(3) при редук-
ции (3.68). Наконец, из дальнейшей редукции (3.69), (3.70) мы по-
лучаем еще два характеристических числа от одной нз подгрупп
SU (2) (описывающей „спин нестранных кварков"), в то время как
16*

244
А. Пайс
другая подгруппа SU (2) (группа изоспина) совпадает с подгруппой
SU (2), используемой в (3.68).
Таким образом, процедура (3) позволяет нам найти семь новых
характеристических чисел, и всего мы теперь их имеем 19. Этого
достаточно для классификации мультиплетного содержания представ-
лений 189, 405, 280 [см. уравнения (3.50) —(3.52)]. Двадцатое
характеристическое число не было до сих пор необходимо. Для на-
хождения его достаточно было бы выбрать один из тех генераторов
Нь группы SU (6), который до сих пор не был явно использован.
Следует подчеркнуть [25], что не все операторы, содержащиеся
в первой цепи редукции (3.68), коммутируют с операторами второй
цепи (3.69), (3.70). Это, однако, не является принципиальным во-
просом, и подобная ситуация уже встречалась ранее [217]. Исполь-
зование некоммутирующих цепей редукции диктуется физическими
соображениями, которые будут обсуждены позднее (§ 4). При этом
с неизбежностью возникают дополнительные преобразования, которым
соответствует такое явление, как ω — φ-смешивание.
В заключение вспомним известные свойства операторов FA при
унитарных преобразованиях
Fa'=V*FAV. (3-71)
где матрица U задается выражением (3.53). Это преобразование
также можно записать в виде
fa' = CabWFb> (3-72)
где С — унитарная Ν Χ N-матрица. Действительно, если генераторы
выбраны эрмитовыми, то матрица С ортогональна. Матрица С за-
висит от значений параметров вА. Эти свойства матрицы С легко
проверяются при бесконечно малых гА. В этом случае из уравнений
(3.55) и (3.71) получаем
сав (ε) = δΑβ + гс/слв· (3·73)
так что матрица С ортогональна, если константы / антисимметричны.
Таким образом, множество операторов FА само по себе образует
(Ν2—1)-мерное представление группы SU (N) („момент количества
движения — вектор"); а если мы добавим тождественный оператор,
то получим представление группы U (N).
Рассмотрим два унитарных вектора х и у и образуем величину
W. у)^^Рду = *;(Рл)ра/, (3.74)
где (FA)i>a — матрицы образующих генераторов. На основании урав-
нений (2.1), (2.2) и (3.71), (3.72) заключаем, что величины JA(N)
ведут себя следующим образом при преобразовании группы U (N):
J/'V) (х- У) = Сав (ε) ->/V) (*. У)· (3-75)

5. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 245
Таким образом, эти величины преобразуются как представление
группы U (Л/). Мы будем называть величины /д( (лг, у) токами
группы U (Л/). Заметим, в частности, что
Ул(Л,+(д:, x) = JA(N)(x, х), (3.76)
если выбран эрмитов набор генераторов FA. Наконец, убеждаемся,
что выражение
av^-yy/v») (3·77>
А
инвариантно относительно группы U (Л/).
Е. Мультиплетное содержание группы SU(M-\-N)
по отношению к произведению SU(M)X,SU(N)
В уравнении (3.69) мы имели дело с редукцией Si/(6) η St/(4) ®
<g) SU (2). В связи с этим возникает вопрос, поставленный в заго-
ловке этого раздела. Мы опять будем отправляться от квадратичных
инвариантов, выраженных через определяющие представления, только
теперь уже для группы SU (M -f- N). Имеем
Μ+Ν Μ Μ+Ν
Σ *„**α = Σ*α**α+ Σ *α**α· (3.78)
] 1 Μ+\
Первый член в правой части есть соответствующий квадратичный
инвариант для группы SU (N), а второй—для группы SU (M).
На языке схем Юнга равенство (3.78), очевидно, обозначает сле-
дующее:
□ =(□. 0) +-(0. □). (3.79)
где 0 соответствует единичному представлению. Эквивалентно
1= (1,0)+ (0. 1), (3.80)
или в размерностях
Μ + Ν = (Μ; /)4-(/;Λ0.
Аналогично (но, разумеется, не тождественно) случаю SU (MN) ^
Г) SU (М) ® SU (Λ7) можно теперь начать строить высшие представ-
ления группы SU (М -|- TV), выражая их через суммы пар представ-
лений группы SU (M) и SU (N). Детали расчета можно найти в ра-
боте [157]. Некоторые примеры приведены в конце § 4, Б.
Ж. Псевдоунитарные группы
Следуя обозначениям § 2, А, будем понимать под л: комплексный
вектор в (М -4- А/)-мерном пространстве, а под xf — его эрмитово

246
А. Пайс
сопряжение. Определим присоединенный вектор х как
лГ=л;+Г, или ха = х*Т£, (3.81)
где
Γρα = δβα, 1<α, р<Ж.
== — δρα. /И+1<а. β<Μ + /ν, (3.82)
= 0 в остальных случаях.
При преобразовании
х' = Ах ^ (3.83)
вектор х переходит в
х'=:хА, (3.84)
Л = ГЛ+Г, (3.85)
так как Р=1. Преобразования (3.83), (3.84), оставляющие инва-
риантной „псевдоунитарную длину"
_ Μ Μ+Ν
XX = 2 ха*Ха — Σ V*"· (3-86)
1 М+\
образуют „псевдоунитарную" группу, обозначаемую [158] через
U {Μ, Ν) и определяемую матрицами А, для которых
АА — \. (3.87)
[Можно ограничиться случаем Μ ^> N; U (М, 0) = (/(М).] Дальнейшее
ограничение
Det А = 1
соответствует подгруппе St/(M, N).
[Ограничение вещественными матрицами А привело бы к псевдо-
ортогональной группе О (Μ, Ν), примером которой служит группа
Лоренца 0(3, 1).]
Для группы SU (Μ, Ν) мы также можем начать строить тензоры Т,
определяемые таким же образом, как в уравнении (3.1), но теперь
символ ·— означает, что верхний индекс преобразуется матрицей А,
как в уравнении (3.83), а нижний индекс — матрицей А, как в (3.84).
Поэтому очевидно, что существует одно-однозначное соответствие
между представлениями группы SU (М -\- Ν) и конечномерными пред-
ставлениями группы SU (Ж, Ν). Следовательно, мы немедленно по-
лучаем полную классификацию этих последних тензоров в терминах
группы SU (ΛΙ-f-TV). Более того, редукция произведения (ην .... пм+гЛ(&
®(ге( п'м+1я) в гРУппе SU (Μ, Ν) одно-однозначна аналогичной
процедуре в группе SU(M-\-N). Результаты § 2, Б, Г, Ε также
без труда согласуются с псевдоунитарным случаем.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 247
Что касается генераторов группы U (Μ, Ν), то необходимо
соблюдать осторожность при решении вопроса эрмитовости. Действие
преобразований из группы U (Μ, Ν) на DN-Mepnoe представление
может быть и в этом случае изображено так же, как в уравнении
(3.53). (Мы рассматриваем только конечномерные представления.)
Однако для вещественных εβ не все генераторы эрмитовы. В самом
деле, условие эрмитовости
F/? — FА (унитарный случай) (3.88)
заменяется условием
G==YGAY = GA (псевдоунитарный случай), (3.89)
где GA— генераторы группы U (М, Л/). Отметим, что сами величины Г
также могут рассматриваться как некоторые GA.
Используя ОГ, легко установить одно-однозначное соответствие
между GA и генераторами FA группы U (Μ -^- Ν). Так как величины Г
эрмитовы, то они также могут быть взяты в качестве некоторых ОГ
группы U(M-\-N). Для ОГ мы имеем
Г^ + ^л1^0· (3-90)
где
г\А = — 1 для AP-f-N2 генераторов FA, (3.91)
= -f-l для остальных 2MN генераторов FA, (3.92)
и поэтому получаем [проверяя справедливость (3.87)]
ga = fa ПРИ т1л = —!-
= iFA при t]A = -j-l.
[Подмножество генераторов GA, удовлетворяющих равенствам (3.93),
порождает подгруппу U (M)®iV (Ν) группы U {Μ, Ν). Это есть
„максимально компактная подгруппа" группы U (Μ, Ν).]
Пример. Группа U (2), для которой форма XiX1 -f- xlx2 инва-
риантна, имеет ОГ: оь σ2, σ3 и 1. Для группы U(I, 1) инвариантна
форма х^х1— x2*x2i В этом случае Γ = σ3 и ОГ имеют вид foj, /σ2,
σ3 и 1.
Наконец, мы определим совокупность токов группы U (Μ, Ν)
равенствами
J/1,"' (*■ У) = ехр {-J (1 Ч- Па) } ■ *0Ау. (3.94)
Фазовый множитель вводится таким образом, чтобы имело место ра-
венство [см. (3.90)]
JΑ(Μ·Ν){Χ. х? = ^м-™(х, х). (3.95)
(3.93)

248
А. Пайс
Как мы увидим в § 6 [см. замечание после уравнения (6.14)], для
группы SU (2, 2) эти фазовые множители хорошо известны из реля-
тивистской теории. Имеем xGAy = jc^TG^' и TOA = ехр {(ш/4) X
Х(Ч-т1л)} ' ^^а- Как мы отмечали ранее, величины Г могут рас-
сматриваться как некоторые ОГ группы SU(M-{-N), так что для
некоторого фиксированного X мы можем положить Г = Fx. Далее,
из уравнений (3.55) и (3.60) находим
FXFA — i 9xACFC·
РхАС — С^ХА^О + ~2 (аХАС Ч- tfxAc)·
(3.96)
где F0— тождественное представление. Если мы подставим (3.96)
в (3.94) и сравним с (3.74), то получим (суммируя по С, но сохраняя X
фиксированным!)
У/*·">(*. у) = ехр {(f-)(1 + Ц · J]PxacJc(M+N)(*. У). (3-97)
с
так что токи JA ' являются линейными комбинациями токов JA + ,
принадлежащих компактной группе U(M-\-N). Именно эта связь
играет роль в алгебре токов, см. § 6, приложение.
§ 4. ГРУППА St/(6)
А. Введение
Рассмотрим фундаментальный триплет иА группы U (3), А = 1,
2, 3. Обозначим его компоненты и}=*р, и2 = п, и3 = Х. Компоненты
(р, п) образуют изодублет, компонента λ — изосинглет. (Во избежа-
ние недоразумений протон и нейтрон в этой статье будем обозначать
соответственно через Ρ и Ν.) Третья компонента изоспина /3, заряд Q,
гиперзаряд Υ и барионное число В имеют для этих компонент сле-
τν ющие значения:
(4.1)
При выборе значений qlt y0, Ь имеет место известная неопределенность
[126, 27, 130, 226]. Вплоть до дальнейших замечаний в § 4, К, мы
h
Q
Υ
в
Ρ
1
2
Яо
Уо
b
η
1
2
%— i
>'о
Ъ
λ
0
%— 1
Уо— 1
ъ.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 249
положим
Соответственно
Q = /3+|-· (4.3)
Пусть, кроме того, триплет имеет спин 1/2. Одночастичную вол-
новую функцию для нулевого 3-импульса запишем в виде
u<*=uAl, α = 1 6; /=1. 2, (4.4)
где выполнено следующее соответствие между индексами α и (Ai):
α=1, 2, 3, 4. 5, 6.
А=\. 2, 3, 1, 2, 3, (4.5)
1=1, 1, 1, 2, 2, 2.
Здесь спиновый индекс i=l, 2 соответствует спиновому состоянию
„вверх" и „вниз". Для любой динамической ситуации, в которой
имеют место SU (З)-инвариантность и (в статическом пределе) спи-
новая независимость, физические волновые функции иа обладают тем
свойством, что форма
«α*"α (4-6)
инвариантна относительно группы SU (6). Таким образом, величины иа
могут рассматриваться в качестве определяющего представления этой
группы. Обозначим через Хп ОГ группы SU (&). Генераторы Хп
можно выразить через ОГ группы SU(2):Sa и через ОГ группы
SU (3): Fp следующим образом:
Xn:Sa®l, \®FP, Sa®Fp, β = 1, 2, 3, P=l 8. (4.7)
так что п= 1, ..., 35. Символ ® означает следующее. Генераторы Хп
реализуются в виде 6 X 6-матриц, именно
a = (Al). β = (Β/). ( ' '
Объяснив смысл символа ®, перейдем к обычным сокращениям
X„:Xa = Sa, XP = FP, XaP = SaFp. (4.9)

250
А. Пайс
Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Ха, Xb) = ieabcXc,
\ХР, XQ\ = ifpQRXR,
[*„· Хър\=1*аЬсХСР· (4Л0)
[Χ ρ, Χ bQ] = IfpQR-Xbfr
[Χαρ· ^*q] — ~2 ^abfpQR^R + teofcc ( "3" ^pqX c + d PQR^ cr) ·
Здесь константы /р^д, dpQ# относятся к группе SU (3) [см, урав-
нения (3.55), (3.60)]. [В уравнении (3.60) мы использовали норми-
ровку с = 1/6.] Эти константы выписаны в [126]. Равенства (4.10)
характеризуют структурные константы группы St/(6). (Отметим,
что генераторы ХаР имеют вид прямого произведения только для
определяющих представлений.)
Теперь обсудим следствия предположения о том, что статические
явления с участием адронов приближенно описываются динамической
группой SU (6). Здесь мы еще не поднимаем вопроса о значении
этого предположения для проблемы динамики. К этому мы еще вер-
немся в § 4, И. Ход рассуждений в данном случае противоположен
тому, который использовался, например, при обсуждении рассель-
саундерсовской связи, когда мы могли бы начать исследование со
спокойного рассмотрения гамильтониана (2.7). Сейчас подобный путь
невозможен. С группой St/(6) связано то важное обстоятельство,
что она должна дать более мощный метод подхода к почти полно-
стью нерешенным проблемам динамики сильных взаимодействий, чем
тот, который может быть получен из кинематических симметрии.
Будут обсуждены следующие вопросы. В § 4, Б, рассматри-
ваются представления группы SU (6) для адронных состояний. От-
метим уже сейчас, что поскольку все генераторы группы St/(6)
коммутируют с оператором четности, то все состояния, входящие
в супермультиплет группы St/(6), должны обладать одинаковой
четностью. В § 4, В, обсуждаются массовые формулы. Затем мы
возвращаемся к рассмотрению статических электромагнитных и лептон-
адронных вершинных функций (§ 4, Г — Е), нелептонных распадов
(§ 4, Ж) и нуклон-нуклонного рассеяния в S-волне (§ 4, 3). Во-
просы, связанные с обоснованием динамики, приводят нас к обсуж-
дению вопроса о реальности триплетов (§ 4, К). До этих пор мы
будем часто пользоваться триплетами и" как хорошим математиче-
ским приемом, не подвергая, однако, при этом сомнению их возмож-
ное физическое существование.
Что касается интерпретации SU (б)-симметрии, то в более ранних
работах содержатся следующие замечания по этому поводу. Нереля-

8. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 251
тивистская природа группы St/(6) устанавливается в [266]. Возмож-
ный кинематический характер этой симметрии был подвергнут рас-
смотрению в [128]. В [243] устанавливаются ограничения, наклады-
ваемые на группу SU (6) вследствие связи спина с орбитальным
моментом. Изучение барион-мезонного взаимодействия начинается
тогда с анализа эффективных вершин [129]. Здесь, как это обсуж-
дается в дальнейшем в § 5, А и В, совершается только первый шаг
сверх статического предела. Некоторые фрагменты предлагаемого
в этой части обзора представляют собой обработку более раннего
обзора, посвященного группе St/(6) как динамической группе [28].
Б, Некоторые специальные супермультиплеты
Первая проверка пригодности 5£/(6)-симметрии носит чисто
арифметический характер. Сможем ли мы известными адронами за-
полнить представление этой группы?
I. 56+. Это размерность представления (3), соответствующего
тензорной структуре βαΡν, полностью симметричной по индексам
(α, β, ν)· Спиновое и унитарно-спиновое мультиплетное содержание
этого представления задается уравнением (3.43). Этот мультиплет
может быть заполнен обычным барионным октетом и декуплетом,
имеющими, разумеется, одинаковую четность [128]. В диапазоне масс
этих 56 частиц содержатся также массы других резононов!). Таким
образом, близость масс не является еще достаточным основанием
для рассматриваемой симметрии.
Теперь построим тензор βαβν, используя в качестве основы
кварки (q). Так, положим
BaPv~i-2]aa(l)wP(2)wv(3). (4.11)
ρ
Суммирование производится по всем перестановкам конфигурацион-
ных индексов 1, 2, 3. Остальные обозначения такие же, как в урав-
нении (3.1). Пусть ||wa||, норма иа при фиксированном а, равна еди-
нице. Тогда
||#*1 = 1, α = β = γ,
= 1, α = β^γ, (4.12)
—-g-. α=£β#Υ·
Рассмотрим теперь в качестве примера состояние |W*+1/2). где
'/2 соответствует собственному значению оператора Sz. Из уравнений
') См. примечание на стр. 183. — Прим. ред,

252
А. Пайс
(4.1), (4.4), (4.5) и (4.11) видно, что это состояние описывается
смесью компонент В115 и В124. Параметры смешивания определяются
из того факта, что это состояние полностью симметрично в отдель-
ности по спиновым и унитарно-спиновым переменным. Отсюда
|A/*+y)-|[«1(l)"1(2)«5(3) + «1(l)"5(2)«1(3)-f
+ н5(1)«1(2)«1(3) + "1(1)и4(2)и2(3)Ч- "
+ и1(1)"2(2)«4(3) + и2(1)«,(2)и4(3) +
+ «4(1)«1(2)«2(3) + ы4(1)и2(2)«1(3) +
+ и2 (1) и4 (2) и1 (3)] = В115 -f- 2β124. (4.13)
где полная норма такова, что || N*+1/2 \\ = 1 [см. уравнение (4.12)].
Состояние | /"/г) также описывается нормированной смесью компо-
нент Вт и β124 и, кроме того, должно быть ортогонально состоя-
нию |ЛГ"+1/2). Поэтому мы можем положить
|/>1)=2,Л(В115-Я1М).
Замечание. Нет нужды при подобной процедуре учитывать
/-спин. Это обусловлено тем, что для группы SU(2) тензорная
симметрия сама определяет / [см. (3.14)].
Подобным же образом могут быть без труда построены осталь-
ные члены мультиплета 56. Существует, однако, более быстрый
путь. Из уравнения (3.43) нам известно спиновое и унитарно-спино-
вое мультиплетное содержание представления 56. Мы знаем также
тензорную структуру входящих в него представлений групп SU (3)
и SU (2). Это дает возможность почти сразу же выписать резуль-
тат [29]:
β«βγ = Х1У* алвс + _i_ [£iVeABDbDc + £J*x'eBCDbDA +
-f EkixlECADbDB\. (4.14)
Здесь были использованы следующие обозначения:
1) хи1 = Ф: х™ = у=№.
122 1 ,-Чг 222 , -»/»
Χ =-ρ^Ψ - У. =Ф ■
(4.15)
где ψ° — нормированная волновая функция с S — 3I2, S^ — a; %l
нормированные функции для полуцелого спина,

3 Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 253
2) dABC — декуплетиый тензор:
^ш=лГ+ + , d^=-^N*+, rf122 = 4=A/*°· (Ρ® = Ν*-,
d"3 = -^=Y*+, dm = 4r Υ*°· ^223 = -^=Κ*~. (4.16)
/3 /3
[Численные коэффициенты получают, разумеется, методом, аналогич-
ным тому, который использовался при выводе уравнения (4.13).]
3) elj и еавс — символы Леви-Чивита соответственно для групп
St/(2) и SU(3).
4) bBA барионный октет
.1 Σ° Λ .2 Σ" . Λ .з 2Λ
^ = Σ+, *5 = Λ *? = Σ". *I = W. (4·17)
^ = Ε_, *! = — Ξ°.
Коэффициент (З |/"2) в (4.14) вытекает из следующего условия:
21| 5 || = Сумма норм состояний отдельных частиц, каждое из
αβΥ
которых обладает нормой, равной 1. (4.18)
Часто бывают полезны следующие два тождества:
е'У _|_ ε/γ _|_ е»у = о, (4.19)
еавоЬ[С + евсо^л + ECADbDB = 0. (4.20)
Тождество (4.20) является частным случаем равенства (3.8).
II. 35~. Это размерность представления (214), описываемого тен-
зором Жр, для которого Ма = 0. Спиновое и унитарно-спиновое со-
держание этого мультиплета задается уравнением (3.42). Выбирая
четность отрицательной, этот мультиплет можно заполнить нонетом
векторных мезонов и октетом псевдоскалярных мезонов [266, 128].
Однако в настоящее время достоверно установлено существова-
ние девятого псевдоскалярного мезона с массой примерно 960 Мэе,
что находится в диапазоне масс 35-плета [131, 132, 187, 188, 204].
Этот мезон обозначается Х° (а также η' или η*). Смешивание его
с η-мезоном оказывается очень малым (~ 12°) [204]. Мы увидим
позднее в § 5, что совокупность из 9 V и 9 Ρ мезонов естественно
возникает из релятивистских соображений.
Структура тензора М^ может быть легко определена так же, как
и в случае 56-плета, либо при помощи построения кварковой си-
стемы qq, либо непосредственно на основании той информации,

254
А. Пайс
которую дает разложение (3.42) [129]:
ΛΙρ° = -Ιδ/ρ/-(σε);ν/.
р] п° _1_ 1 ρ2 π° _L_ 11 р3 2,1
я?=л-. й=к~. р\=п+, р\=к+. р1 = к°.
т/1 Р° | ω° Ι Φ0 i/2 p° , ω" Ι Ч>°
1 ^2" ' 6* ' V3' '~ V2 ' 6'/» ' VT'
i/2=p-, v\=k~\ vl=p\ vI=k+\ νΙ=κ°:
(4.21)
Pl = K°;
(4.22)
2ω° , φ°
" 6^ + V3"'
^ = tf°*.
(4.23)
Норма I /W„a || = Ma M" опять удовлетворяет соотношению, по-
добному (4.18). В (4.23) через ω° обозначен изосинглетный член
векторного октета, а φ° означает унитарно-синглетный векторный
мезон.
III. 70~. Мультиплеты группы SU (6), содержащиеся в произве-
дении 35 у<56+, даются уравнением (3.25). Если учесть четности
представлений 35 и 56, то рассматриваемое произведение разложится
на сумму представлений с отрицательной четностью.
Было высказано предположение, что мультиплет 70' мог бы
оказаться полезным для классификации некоторых высших барион-
ных резонансов, сильно распадающихся на барион (принадлежащий
октету)-4-мезон (принадлежащий 35-плету). На основании разложе-
ния (3.44) мультиплет 70~ мог бы быть связан с октетом (3/2)-.
Существование подобного „γ-октета" предполагалось многими авто-
рами, но в настоящее время ситуация с ним не ясна. Другим кан-
дидатом для мультиплета 70~ мог бы быть резонон К0* (1405). Не-
давнее исследование показало, что это есть состояние (1/2)-, как
это часто и предполагалось. Подробное обсуждение мультиплета 70
проводится в [133, 134|.
Тензорная структура 70-плета имеет вид 7,σρ . Этот тензор ан-
тисимметричен по индексам [α, β] и, кроме того, подчиняется усло-
вию (3.22). Тензор 7,αβ'ν был построен в явном виде (см. [30], урав-
нение (4.2)].
Мультиплет 70 с отрицательной четностью может служить хоро-
шим отправным пунктом для предварительного обсуждения сильных
вершин. Так как произведение 35у^56 содержит представление 70
только один раз [см. уравнение (3.25)], то будет иметь место всего
лишь одна „вершина распада" 70-плета, а именно
Т'туВа^М1 (4.24)

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 255
Уравнение (4.24) SU (б)-инвариантно и сохраняет четность. Теперь
можно обсуждать относительные вероятности распада таким обра-
зом, как это обычно делается в теории высших симметрии: вычис-
ляют матричные элементы от (4.24) и исправляют на разности масс
внутри мультиплета, вводя фазовое пространство. Оставляя в сто-
роне вопрос о надежности этой процедуры, следует подчеркнуть,
что для группы SU(6) по сравнению с чисто внутренними группами
симметрии, такими, как St/(3), возникают новые проблемы, обязан-
ные следующим взаимосвязанным причинам:
1. В реальном распаде у нас не все частицы имеют нулевой им-
пульс, но мы до сих пор не придали какого-либо смысла понятию
„SU(б)-мультиплет с ненулевым импульсом".
2. 70-плет содержит состояния с 5 = 3/2. При распаде этих со-
стояний на барион (5= 1/2)-(-псевдоскалярный мезон обязательно
появляется орбитальный момент. Соответственно этому (4.24) дает
нулевую вероятность для этого особого распада, что легко можно
проверить, используя уравнения (4.14), (4.20) настоящей работы и
уравнение (4.2) работы [30].
В § 5 мы обсудим те попытки, которые были предприняты для
того, чтобы каким-либо систематическим образом включить импульс
в структуру вершинных функций. Другие примеры настоятельной
необходимости подобного решения этого вопроса предоставляют рас-
пады типа V—>2Р, N*—>Ыл и т. п.
IV. Недавно было предпринято рассмотрение барионных резо-
нансов в мультиплете 700+ [135].
V. „Связанные" мультиплеты. Рассмотрим 35-плет при помощи
кварковой модели. Из уравнения (4.21) следует, чго этот мультиплет
является да-системой в орбитальном 5-состоянии. Мы можем пред-
ставить себе, что эта система обладает „высшими возбужденными
состояниями" с L > 0. Рассмотрим для примера Р-состояния. Муль-
типлетное содержание этих состояний задается произведением 35 X 3,
где 3 обозначает размерность представления группы О (3) с L — 1.
Связывая L и 5, на основании разложения (3.42) получаем
35®3 = (8+1; 5) + (8+8 + 1; 3) + {8 + 1; 1). (4.25)
В этом равенстве числа после точки с запятой равны 274-1, где
J—полный момент системы. Для 35-плета с отрицательной четностью
все мультиплеты в правой части равенства (4.28) имеют положитель-
ную четность.
Эту процедуру можно изложить без упоминания о кварках. Для
этого необходимо чисто формально рассмотреть мультиплеты, соот-
ветствующие группе Si/(6) X 0(3) [218].
В [31] было рассмотрено отождествление мезонных резонансов
с состояниями, приведенными в уравнении (4.25). Эти „мезоны в Р-со-

256
А. Пайс
стоянии" могут вызвать реальный интерес в связи с недавним откры-
тием нонета векторных мезонов 2+ [32]; о теоретическом рассмотре-
нии их вероятностей распада см. [136] (по этому поводу см. также [19]).
Поскольку связь с орбитальным моментом не оказывает, разу-
меется, никакого влияния на группу SU (3), то подобным образом
из 35-плета можно получить только унитарные октеты и сннглеты.
В этом отношении ситуация изменится, если мы поставим вопрос:
могли бы, с другой стороны, мезоны спина 2 содержаться в высших
SU (б)-мультиплетах без связи с L? Чтобы получить спин 2, необ-
ходимы системы, преобразующиеся по крайней мере как qqqq. По-
добные системы можно найти, используя уравнения (3.50) — (3.52).
В частности, нонет спина 2 содержится только в 759-плете, тогда
как 250-плет и 280*-плет не содержат подобного нонета. Поскольку
оказывается, что /* — /°-смешивание [32] сравнимо с ω — φ-смеши-
ванием, то 189-плет представляет собой, быть может, более достой-
ный объект для будущего исследования, чем 405-плет. Во всяком
случае, основное качественное различие между этими 5£/(6)-мульти-
плетами и связанным (с L) 35-плетом заключается в появлении
27-плета группы SU(3). По этой причине было бы крайне инте-
ресно узнать, подтвердят ли последующие эксперименты открытие
мезонного резонанса с Υ = 2 [113], который находится в том же
диапазоне масс, что и состояния 2+. Для описания состояния с К = 2
необходим по меньшей мере 27-плет. Каждый из подходов (связан-
ный 35-плет или новые 5£/(6)-мультиплеты) приводит к очень слож-
ной картине резонансных состояний. Изучение области резононов
выше 35-плета может открыть дальнейшие пути для перехода к про-
блеме динамики.
Мы закончим этот раздел несколькими примерами разложения
5£/(6)-мультиплетов по подгруппе, приведенной в уравнении (3.69).
В этом случае группа £/(1) соответствует гиперзаряду, группа SU(2)—
λ-спину, а группа SU(4)— объединению (р, и)-спина и изоспина.
С помощью уравнений (4.4), (4.5), (4.14) и (4.21) находим
56 = (20,1)г + (10, 2)0 + (4, 3)_, + (У, 4)_2 =
=(τν. λΟ+(λ. ς, κΟη-(ξ, ξ*)+(ω-).
Первое (второе) число в скобках указывает на размерность предста-
вления группы SU (4) [SU (2)]; индекс указывает значение К [20-плет
группы SU (4) соответствует схеме Юнга (3)]. Аналогично
35 = (/5,/)0 + (/,У)о+(/.5)о + (^2)1+(Л2)_1= ^ ^
=^(πρω) + (η) + (φ) + (/<. Κ*) + (Κ, К*),
где ω и φ — физические состояния, задаваемые уравнением (4.31)-

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 257
В. Массовые формулы
В качестве введения к рассмотрению массовых формул в .St/(6)-
теории сделаем два замечания по поводу группы St/(3), которые
могут оказаться полезными в дальнейшем.
1) Как известно [126], в теории SU (З)-симметрии предполагается,
что оператор массового расщепления преобразуется так же, как опе-
ратор гиперзаряда F6, являющийся членом октета генераторов груп-
пы SU(3). Имеются два оператора этого рода, которые могут быть
записаны в виде
^~F» ^~<W^ (4-26)
[см. уравнения (3.59), (3.60)]. Таким образом, из двух независимых
„скалярных операторов" (операторов Казимира) формальным диффе-
ренцированием мы получаем два „векторных оператора". Подобная
процедура справедлива для всех групп SU (N) (а также более общих)
[137]. Эффективный массовый оператор имеет поэтому общий вид
m + aF6 + bdSABFAFB, (4·27)
что эквивалентно обычной массовой формуле для группы SU (3).
Число векторных операторов определяет максимальное число
параметров в массовой формуле. Для конкретного представления R
реальное число параметров равно тому, сколько раз октет встречается
при редукции R* X R, где R* — представление, сопряженное R. Для
R = 8 октет встречается дважды, и мы имеем трехпараметрическую
формулу. Для R=z 10 октет встречается один раз, отсюда вытекает
двухпараметрическая формула (эквидистантность). Соответственно
в случае R = 10 средние значения второго из операторов в (4.26)
сами имеют вид {m-\-aF^).
2) Назовем динамическим оператором массового расщепления ту
часть гамильтониана, которая индуцирует эффективное расщепление
масс. Если мы говорим, что динамический массовый оператор преоб-
разуется подобно октету, то это эквивалентно утверждению п. 1
только в первом порядке теории возмущений. Так как эффекты, на-
рушающие SU (З)-симметрию, не являются с очевидностью малыми
ни в одном известном масштабе, то возникает много раз подвергав-
шаяся обсуждению трудность: как понять простую структуру эффек-
тивного массового оператора из простой структуры динамического
механизма.
Вернемся теперь к группе SU (6). По меньшей мере два меха-
низма участвуют в эффективном массовом расщеплении: 1) эффекты,
зависящие от спина и отделяющие в супермультиплете состояния
с различными спинами; 2) эффекты, нарушающие SU (З)-симметрию.
Априори не очевидно, что эти эффекты должны быть линейно неза-
17 Зак. 612

258
А. Пайс
висимы. Например, теория SU (З)-симметрии не запрещает зависимость
от спина двух параметров в массовой формуле (4.27). Нет также
каких-либо известных оснований считать, что зависящие от спина
члены не могут иметь SU (З)-зависимых коэффициентов.
Тем не менее рассмотрим аддитивный вариант [243]: 1) оператор,
нарушающий SU (З)-симметрию, преобразуется подобно Fs, но с не
зависящими от спина коэффициентами [по крайней мере внутри SU (6)-
мультиплетов]; 2) зависящие от спина эффекты не зависят от группы
SU (3) [по крайней мере внутри 5£/(6)-мультиплета]. Это приводит
к следующим результатам. Для 56-плета массовый оператор имеет вид
M-f-aK-f-*[/(/-f- О — К2] + с(5), (4.28)
где a, b — константы, а с зависит некоторым образом от 5(5-4-1).
Константа Μ — это „центральная масса" мультиплета, т. е. значение,
которое принимают все массы в отсутствие нарушения SU ^-сим-
метрии. Уравнение (4.28) позволяет вычислить, исходя из октета,
эквидистантность порядка 130 Мэв для декуплета, что довольно хо-
рошо совпадает с экспериментальным значением около 145 Мэв [243].
Следует отметить, что этот результат не зависит от того, каким обра-
зом параметр с связан с 5.
Для 35-плета мы используем уравнение (4.21) и запишем массо-
вый оператор в виде
aM;V4-β [оМ*\Ав[аМ]ВА + νΜ;Ζ43β. (4.29)
где первый член соответствует центральной массе мультиплета,
а второй характеризует эффекты, зависящие от спина и от группы
SU (3). Символ [ ] означает взятие следа по спиновым индексам.
В последнем члене, нарушающем внутреннюю симметрию, суммиро-
вание по индексам /=1, 2 гарантирует спиновую независимость; вы-
деление унитарного индекса 3 обеспечивает надлежащую зависимость
от гиперзаряда. Уравнение (4.29) приводит к следующим результатам.
1) Для псевдоскалярных мезонов Ρ
4/С2 —π2 = 3η2. (4.30)
2) Смешивание состояний ω° и φ° таково, что физическими со-
стояниями являются линейные комбинации
со=1 (ω°+φ<γ2).
, _ (4-31)
φ = ^-(ωΡ\/"2-φΡ).
Именно это смешивание предполагалось ранее [233, 267]. Оно по-
является здесь более естественным образом вследствие возникающего

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 259
в пределе строгой SU (б)-симметрии (8-f- 1)-вырождения между
октетом и синглетом векторных мезонов.
Замечание, ω — φ-смешивание было введено для объяснения от-
клонений от массовой формулы для октета векторных мезонов. Оно
позволяет также объяснить подавление таких каналов распада, как
φ—>ρη, по сравнению с φ-+ΚΚ. С использованием фазового про-
странства, барьерных факторов и спин-изоспиновых весов вычисляют
отношение вероятностей этих распадов [204]. В отсутствие каких-
либо других запретов оно оказывается равным
(φ-»ρπ) ^ л
Недавние экспериментальные результаты для этого отношения дают
величину 0,22 ± 0,09 [205]; 0,3 ±0,15 [204], что говорит о пода-
влении рл-распада почти на порядок величины. Это подавление хо-
рошо согласуется со смешиванием, выписанным в (4.31), которое
запрещает распад φ—>рл. С другой стороны, еще один недавний
эксперимент [33] дает достаточно высокое значение относительной
вероятности процесса для φ—>ρη, что оказывается в противоречии
с данными по двум другим экспериментам. Относительно дальнейшего
рассмотрения ω—φ-смешивания см. [190, 77]. О связи между ω — φ-
смешиванием и различными подгруппами группы SU (6) см. [129].
3) Для векторных мезонов V
ρ2 = ω2,
4/С*2 — φ2 = ρ2. (4.32)
4) Связь между псевдовекторными и векторными мезонами
К*2 — р2 = К2 — л2, (4.33)
которая хорошо удовлетворяется [243].
Таким образом, для 56-плета и 35-плета простые предположения
об аддитивности выполняются, по-видимому, довольно хорошо. Это
может указывать на то, что зависящие от спина эффекты проявляются
динамически в другом массовом масштабе, чем эффекты, нарушаю-
щие SU (З)-симметрию.
Другое исходное положение заключается в приписывании опре-
деленных тензорных свойств относительно группы SU(6) массовому
оператору, осуществляющему нарушение 5£/(6)-симметрии. Первая
попытка заключалась в отождествлении этого оператора с предста-
влением 35. При помощи аргументов, сходных с теми, которые
использовались при выводе уравнения (4.26), можно показать, что
существуют 5 таких операторов [191]. Но по лемме 2 (§ 3, В) про-
изведение 56* X 56 содержит представление 35 только один раз.
Поэтому для 56-плета мы получаем однопараметрическую массовую
17*

260
А. Пайс
формулу. В частности, не возникает зависимости от спина: предста-
вление 35 не содержит (/; /). Гипероны Σ и Л остаются вырожден-
ными.
Несколько более систематический подход в этом направлении был
развит в [26]. Для представления R группы SU (6) рассмотрим про-
изведение R* ® R и спроектируем из всех представлений, содержа-
щихся в этом произведении, части, которые преобразуются как (8; 1).
Подобным образом мы получим все кандидаты в операторы, нару-
шающие SU (б)-симметрию, причем с нужными свойствами относи-
тельно группы SU (3). В добавление к этому спроектируем также
все части, преобразующиеся, как (/; /). Эти операторы не нарушают
SU (З)-симметрию, но могут дать члены, зависящие от 5(5+1).
Для подробного применения этой программы [25] необходима более
точная характеристика представлений 189 и 405, как это было
коротко рассмотрено в § 3, Е. Детали можно найти в [26]; здесь
мы приводим только результаты.
1) Для 56-плета получена формула (4.28). Центральная масса
найдена равной
Μ ^ss 1065 Мэв. (4.34)
2) Для 35-плета получено соотношение (4.30). Каких-либо других
соотношений нельзя получить, если только не сделать более ограни-
чивающих предположений. Центральная масса 35-плета найдена равной
μ«&615 Мэв. (4.35)
3) Проведено также подробное рассмотрение массовой формулы
для 70-плета [25]. Здесь необходимо разрешить несколько проблем
смешивания. Полученные массовые формулы далее анализировались
в [133, 134].
В заключение отметим, что естественная приспособленность мас-
совых параметров и параметров ω — φ-смешивания к группе Si/(6)
вызывает серьезные размышления. Соотношения, подобные (4.32) и
(4.33), совместны с тензорным анализом массовых расщеплений при
наложении специальных условий [28]. Это говорит о том, что тен-
зорный метод имеет слишком большую общность.
Последующее обсуждение относится к оператору эффективного мас-
сового расщепления для группы SU (6). Как и в случае группы SU (3),
мы должны искать более глубокий динамический механизм для этого
эффективного расщепления. Именно в этом пункте различие между
кинематической и динамической симметриями играет особо важную
роль. Как обсуждалось в § 2, Б, нарушение SU (З)-симметрии может
быть охарактеризовано нединамическими параметрами, в то время как
для SU (б)-симметрии это невозможно. Как будет рассмотрено позднее
в § 5, кинетический член в свободной части гамильтониана должен
привести при наличии взаимодействия к появлению зависящих от

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 261
спина массовых членов. Таким образом, имеется естественный меха-
низм нарушения SU (6)- симметрии согласно редукции SU(6)-*
-*SU(S)£.SU(2).
Дальнейшие замечания.
1) В работе [159] было отмечено, что возникающие в общем тен-
зорном методе различные коэффициенты при тензорах должны зави-
сеть от барионного числа.
2) Более специальную модель массового расщепления можно найти
в [94].
3) Была предпринята попытка объединить массовые формулы для
56-плета и 70-плета путем введения высших симметрии [37].
Г. Магнитные моменты
Электрический заряд и магнитный момент частиц представляют собой
статические пределы эффективных вершин. Поэтому они могут быть
рассмотрены в рамках теории статической SU (б)-симметрии. Напомним
прежде всего некоторые результаты, касающиеся группы SU (3).
1) Предполагается, что оператор электрического заряда Q пре-
образуется как компонента октета; это находится в соответствии
с уравнением (4.3), которое можно также записать в виде Q = /=,3-f-
-f- Fsl~\f3. Для определяющего представления оператор Q имеет вид
3 X 3-матрицы
/2 0 0\
®ΑΒ = γ (θ -Ι θ). (4.36)
\0 0 — 1/
(В § 4, К, будет рассмотрена более общая форма оператора заряда.)
Из сохранения заряда вытекает необходимость ^-связи для барион-
ного октета
ebAB (Qb - bQ)BA, (4.37)
где е — заряд протона. Для декуплета связь имеет вид ЪейABDdABCQcD
и т. д.
2) Оператор магнитного момента также предполагается преобра-
зующимся подобно октету. Наиболее общая форма для магнитных
моментов барионного октета
μ8=μσV (Qb -f- ьо)вЛ + μΛΒ №* - ь®вА (4·3»)
содержит произвольную смесь D- и /^-связей. Из (4.38) получаем
μ(Ρ)=μρ±^μο, (4.39)
μ(Λ0=» —-g-μρ и т. д. (4.40)

262
А. Пайс
Из леммы 2 § 3, В, вытекает, что для декуплета может существо-
вать только один тип магнитной связи. Отсюда следует, что для
членов декуплета соответствующие магнитные моменты пропорцио-
нальны заряду
μ,0 = const Q10. (4.41)
3) Если в SU (З)-теории предположить, что электромагнитный
формфактор преобразуется по октетному представлению для всех
переданных импульсов, то, вообще говоря, для всех q появятся D- и
/^-вклады, которые для разных q могут быть различными.
Вернемся теперь к 5£/(6)-теории.
1) Оператор заряда предполагается преобразующимся так же,
как (8; /)-компонента 35-плета. Аналогом (4.36) для группы St/(6)
будет равенство
4$ = WQAB- (4-42)
Статический электрический заряд 56-плета записывается в виде
Ь*^*"· (4-43)
откуда получаются соответствующие заряды для членов 56-плета,
в чем легко убедиться, подставив сюда выражения (4.14)—(4.17).
Электростатическое взаимодействие равно заряду (4.43), умноженному
на внешний кулоновский потенциал.
2) Оператор магнитного момента m предполагается преобразую-
щимся так же, как (8; 3)-компонента 35-плета:
niaP = («)/'<?/. (4.44)
Важным следствием этого предположения является то, что отноше-
ние DjF в (4.38) становится равным единице, так как, согласно
лемме 2, 35-плет может быть только единственным способом связан
с 56-плетом. Магнитные моменты для 56-плета даются выражением
3μ(Ρ)β;ν(η1)6νβαβδ. (4.45)
где 3μ(Ρ) обеспечивает надлежащую нормировку. Магнитное взаимо-
действие равно скалярному произведению 3-вектора (4.45) на магнит-
ное поле [которое является 3-вектором, внешним по отношению
к группе SU (6)]. Выражение (4.45) имеет следующие следствия,
дополняющие выводы SU (З)-теории.
а) Магнитные моменты барионного октета [29, 268]. Отношение μσ
к μ^ в уравнении (4.38) теперь фиксируется и оказывается равным
Τ^ = -9· (4-46)

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 263
Отсюда с учетом (4.39) и (4.40) следует
μ(^) _ 2
μ(Ρ) 3"
(4.47)
что находится в хорошем согласии с экспериментальным значе-
нием —0,68. Магнитные моменты барионного октета будут обсу-
ждаться ниже в § 4, К.
б) Магнитные моменты барионного декуплета [29]. В уравнении (4.45)
используется волновая функция 56-плета в пределе SU (6)-симметрии.
Поэтому константа в (4.41) выражается через μ(Ρ) как
lho = HP)Qw (4·48)
В частности,
μ(Ω ) = -μ(Ρ). (4.49)
Относительно коррекции магнитных моментов на разность масс
см. § 4, К.
в) Магнитные переходы между декуплетом и октетом. Согласно
лемме 1, произведение 8 X 10 просто приводимо. Поэтому из
5£/(3)-симметрии вытекает, что матричные элементы всех магнитных
переходов (β -*■ 10) выражаются через один из них. Обозначим матрич-
ный элемент магнитного Л^-перехода между состояниями с 5г=1/2
через (Ρ|μ|Λ/*+). и т. д. Тогда (29]
(Р | μ | W+> = — (Σ+ |μ | Г+> = (Ν | μ ^ =
= 2(Σ0|μ|Κ0*> = ^-(Λ|μ|Κ0*> = (Ξ0|μ|Ξ'β>. (4.50)
Согласно (4.45), эти матричные элементы можно выразить через μ(Ρ).
В результате находим [29]
<Ρ|μ|ΛΤ+> = -2>ρ.μ(Ρ). (4 51)
Было произведено сравнение соотношения (4.51) с эксперимен-
тальными данными по фото- и электророждению при 33-резонансе.
При этом делалось допущение, что передаваемые формфакторы
в интересующей нас физической области не очень сильно отличаются
от тех значений, которые они имеют в пределе строгой SU ^-сим-
метрии. Хотя вопрос о правильности подобного предположения и
остается открытым, тем не менее вызывает интерес то, что ЕЯ-пере-
ход при резонансе имеет гораздо меньшую величину, чем Ml -пере-
ход [138]; разумеется, в статическом пределе для £2-перехода не
остается места [38]. Что касается Ml -перехода, то более ранний ана-
лиз по фоторождению [138] дает величину, в 1,6 раза превосходящую
ту, которая стоит в правой части равенства (4.51) [29]. В то же время
данные по 9лектророждению претендуют на более близкое согласие

264
Α. Π a tic
[139, 140]. Автор приносит глубокую благодарность Р. Далитцу
за сообщение о результатах проведенного им совместно с Д. Сатер-
лендом повторного анализа данных по фото- и электророжденню,
который продолжает указывать на эффективное расхождение при-
мерно в 1,6 раза.
Дальнейшие замечания.
1) Те же допущения, примененные к 35-плету, приводят к харак-
терному для группы SU (6) соотношению [29]
μ(Ρ+)=3(π+|μ|ρ+).
2) Магнитные моменты были вычислены для барионного 20-плета
[268].
3) Магнитные моменты барионного 70-плета могут быть связаны
с магнитными моментами 56-плета при помощи симметрии более силь-
ной, чем Si/(6) [250].
4) Было отмечено [2], что соотношение (4.47) более стабильно
по отношению к нарушению симметрии, чем соотношения Si/(3)-Teo-
рии типа μ(Λ)= μ(Λ/)/2. Это, по-видимому, не удивительно, так как
нейтрон и протон принадлежат одному и тому же мультиплету.
5) Было предпринято несколько попыток связать соотношение (4.47)
с более слабым предположением об инвариантности относительно
группы SU {А), обсуждаемой в [129]. При этом достигнуто согласие
с теми заключениями по этому вопросу, которые были высказаны
в [34].
6) Некоторые авторы рассматривали радиационные распады р°,
ω, φ->π°γ [35, 288, 3, 251, 269, 40].
Д. Электромагнитные разности масс
Указанная разность масс была подвергнута некоторым исследова-
ниям. Отправной точкой для этого является рассмотрение второго
(или более высокого) порядка тех эффектов для операторов заряда
и магнитного момента, которые в предыдущем разделе рассматрива-
лись только с точностью первого порядка. Мы будем рассматривать
различные попытки в порядке возрастающей общности метода.
1) Учет второго порядка в операторе заряда [268]. Как и в урав-
нении (4.42), предполагается, что оператор заряда принадлежит пред-
ставлению (8; /), которое является частью 35-плета. Рассмотрим
электромагнитное расщепление масс как эффект второго порядка
в операторе qjf. Для 56-плета нужно прежде всего найти независи-
мые 5£/(6)-инварианты, содержащиеся в произведении 56*X 56 X
у(_35у^35, и затем спроектировать те члены 35-плета, которые
преобразуются так же, как оператор qj1. С помощью разложений (3.24)
и (3.26) легко увидеть [268], что имеется только два таких инва-
рианта, соответствующих тензорам 35 и 405, которые содержатся

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 265
как в произведении 56* X 56, так и в произведении 35 X 35. Отсюда
вытекает существование двухпараметрического оператора массового
расщепления, который приводит к следующим соотношениям:
д/*+ _ ЛГ° == К,*+ - Yf = Ρ - Ν = Σ ' — Σ°, (4.52)
2*" — Ξ*° = Ν*~ — Λ/*° = Κ,*~ — Κ/ = 3" — Ξ° = Σ- — Σ°. (4.53)
Λ/* + — Ν*- = 3 (Ν*+ — Ν*°). (4.54)
2) Учет всех порядков в операторе заряда [74]. Это приводит
только к одному дополнительному параметру в операторе массового
расщепления, поскольку оператор Q„ есть 35-плет, и поэтому для
его произвольных степеней мы можем построить самое большее сле-
дующие три барионные свертки:
Bl^Ctf; Bl^QfQj; β^Λ?βα<?/θςν- (4·55)
Первые два члена соответствуют упомянутым выше 35-плету и
405-ппету; третий член представляет собой свертку оператора Q
с 2695-плетом, содержащимся в произведении 56* X 56. Учет высших
степеней оператора Q не может привести к появлению каких-либо
новых барионных структур.
Следствием учета 2^95-плета является то обстоятельство, что
соотношение (4.54) больше не вытекает из этих рассуждений [74].
С другой стороны, оба соотношения (4.52) и (4.53) остаются спра-
ведливыми.
3) Учет второго порядка в операторах заряда и магнитного
момента [192, 95, 290]. В этом случае включают в рассмотрение
эффекты второго порядка не только в операторе qRa, но также и
в операторе Π1βα [см. уравнение (4.44)]. Получающиеся в результате
массовые соотношения имеют вид
Ξ-—ΕΡ = Σ-—Σ+—Ν-\-Ρ, (4.56)
N*0 — N*+^Y1*0—Y1m+=N~P, (4.57)
N*~ — /ν*° = Υλ*~ — Υλ*° = Ξ*- — Ξο = Ν — Ρ + (Σ- + Σ+ — 2Σ°),
(4.58)
Λ/*-_ΛΓ++=:3(7ν — Ρ). (4.59)
Эти соотношения слабее, чем (4.52)—(4.54) (но, конечно, совме-
стны с ними).
Согласие строгих соотношений (4.52) и (4.53) с экспериментом
не слишком хорошее [268, 74]. Более слабые соотношения (4.56) —
(4.59) включают прежде всего соотношение (4.56) Si/(3)-TeopHH [75],

266
А. Пайс
которое хорошо удовлетворяется [192]:
Σ"— Σ+— Л/ + ^ = 6,38 Мае,
Е-— Ξ° = 6,5± 1.0 Мае.
Затем можно получить [188] теоретическое значение Kj — Y\ =
= 4,47 Мае, которое следует сравнить с двумя экспериментальными
результатами для этой разности масс: 17 + 7 Мае [76] и 4,3 + 2,2 Мае
[160]. Поэтому еще нельзя полностью оценить степень согласия
с экспериментом, но изложенный выше третий подход до сих пор
казался наиболее разумным.
Последний метод был также применен к мезонному 35 -плету.
При этом были получены три соотношения, которые для наших
целей не могут оказаться полезными [188]. По поводу применения
этого метода к барионному 70-плету см. [104].
Е. Лептон-адронные вершины
Один из наиболее интересных результатов, полученных с помощью
группы SU (3), вытекает из предположения о том, что эффективные
адронные токи, связанные с лептон-адронными процессами, преобра-
зуются по присоединенному представлению группы SU (3) [78]. Про-
стейшее распространение этой идеи на группу SU (6) заключается
в предположении, что эти токи преобразуются как члены 35-плета
[39]. Эта точка зрения позволяет включить результаты SU (З)-теории
и в добавление к этому приводит к появлению новых предсказаний.
Как уже здесь несколько раз подчеркивалось, мы можем использо-
вать группу Si/(6) в том виде, как она до сих пор определялась,
только при условии, если мы пренебрегаем адронной отдачей. С дру-
гой стороны, лептонный ток может нести некоторый импульс. Это
позволяет включить в рассмотрение такие нестатические эффекты,
как слабый магнетизм.
Прежде всего запишем вершину для 56-плета в следующей форме:
bB'^CfMB'**, (4.60)
и положим
(4.61)
»ν=|μ("ν(Ρ)· (4·62)

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 267
Лептонный ток определяется в виде
О
в
<W=V^"
^cosG Z^sin θ
/J cos θ
/μ Sin θ
О
О
О
О
^μ^^^Υμ^+ΥδΚ (/> + ?) + * (/ΟΥμΟ+ν^ΛΡ+ ?)·
Здесь θ — угол Кабиббо. Нормировка такова, что
G
(4.63)
И
1
Р-
2
ν .
V2'
К
1
Р-
2
G я
= -74-. (4.64)
А V?
Отдельные матричные элементы перехода вычисляются с помощью
выражений (4.14) — (4.17). Используя только 5^(3)-симметрию,
находим соотношения между амплитудами
(Ω- -> Ξ) ctg θ = (Λ/*~ -> Ν) = — (ΛΓ+ -► Ν) yj, (4.65)
в то время как характерные предсказания 5£/(6)-симметрии состоят
в следующем:
1) Отношение D\P для лептон-адронных процессов равно
Т- = |. (4.66)
что в пределах ошибок согласуется с лучшим экспериментальным
значением 1,7 ± 0,35 [295] (см. также [252]).
Замечание. Приведенная в (4.66) величина отношения DjF была
впервые получена для несколько отличной ситуации, но все же тесно
связанной с данной, а именно для псевдовекторной барион-мезонной
вершины. Если в последнем примере пренебречь барионной отдачей
и рассмотреть псевдовекторную связь Ρ как «внешнее поле», то
величина (4.66) получается также и в этом случае. В § 5 мы вер-
немся к более систематическому рассмотрению сильных вершин.
2)
(N*+i
\™ 2 ^/v 2 )A 5 u*
(4.67)
(4.68)
В (4.67) индекс У,штн означает вклад только члена \iw уравнения
(4.61).
Соблюдая предосторожности, аналогичные случаю матричных эле-
ментов электромагнитных переходов, можно попытаться сравнить
соотношения (4.67), (4.68) с экспериментальными данными по порож-
дению ΛΓ-резононов нейтронами. Сравнение с имеющимися в настоящее

268
А. Пайс
время грубыми данными отнюдь не обескураживает (4, 244, 5] (см.
также [20]).
3) Распад Ω--частицы должен строго определяться аксиально-век-
торным вкладом, как это более подробно рассматривается в работе
[219].
Предшествующее обсуждение не зависело от отношения GA/GV
в выражении (4.61). Естественно далее предположить, что токи А и
V принадлежат одному и тому же 35-плету группы SU (6). Из
этого условия следует, что в выражении (4.61)
7Г"=1- (4-69)
На физическом языке равенство (4.69) означает, что (эффективная)
связь фундаментального секстета (но не нуклонов) имеет в пре-
деле строгой SU(6)-симметрии тип V — А. Из (4.60) и (4.69)
можно вычислить соответствующее отношение для нуклонов:
(~гА ==-· (4.70)
Замечания.
1) С теми же комментариями, которые были сделаны после (4.66),
следует заметить, что соотношение (4.70) было также получено
в [129].
2) О связи между обобщенными соотношениями Гольдбергера —
Треймана и отношением GA/Ov см. [39], а также [270, 206].
3) Недавно было показано (291], что многие из следствий стати-
ческой SU (б)-симметрии в действительности вытекают из более сла-
бого требования инвариантности относительно подгруппы U (3) X U (3),
порождаемой генераторами 1, S3, Fp, S3Fp [обозначения такие же,
как в (4.7)]. По поводу другой (киральной) U (Ъ) X £/(З)-симметрии
см. [164].
4) По вопросу о перенормировке констант V-к Л-связи см. [12,
150].
Ж. Нуклон-нуклонное рассеяние в 5-волне
В рамках статической теории поддается рассмотрению только
канал рассеяния с L = 0. Для нуклон-нуклонного рассеяния 1 -f- 2 —>·
->3-j-4 этот канал был подробно рассмотрен в [41]. Мы кратко
изложим основную идею этой работы.
Поскольку выполняется разложение [96]
56X56 = 462+1050+ 1134'+ 490, (4.71)
то имеется только четыре независимые амплитуды. Более того, прин-
цип Паули допускает только амплитуды, соответствующие 490-пле.ту
и /050-плету [96], так что остаются лишь два параметра. Ампли-

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 269
туды рассеяния могут быть записаны в следующем виде:
аВ*фу (3) βαβν (1) ■ В*λμν (4) Βλμν (2) -+
+ bB*m (3)βαβν(1) · β\μν(4)βλμν(2) +
+ сВ\Ьу (3)βαμν (1) · β\μν (4) Β^ (2) +
+ dB*m (3) βλμν (1) · β*λμν (4) βαβγ (2), (4.72)
с дополнительным условием
c = — b, d = — a. (4.73)
Уравнения (4.72) и (4.73) применимы тогда только к нуклонам.
В терминах обычных обменных операторов нуклон-нуклонная матрица
рассеяния приобретает вид
(α--Α-)(1-Ρ0Ρτ); (4.74)
это плохо в том смысле, что для *S- и ^-состояний предсказыва-
ется одинаковая длина рассеяния [193, 6]. Было высказано разумное
предложение [41] применять настоящую теорию только при энергиях,
больших по сравнению с массовым расщеплением 35 — *S.
Замечено, что кривые фазовых сдвигов b^S) и 6(3S) близки
друг к другу в области 100—400 Мэв [41]. Разумеется, это по
необходимости качественное утверждение. По-видимому, главное, что
мы узнаем отсюда, это то, что при сравнении четырехточечных функ-
ций группы SU (6) с экспериментом не возникает никаких осложнений.
Дальнейшие замечания.
1) Была предпринята попытка классифицировать двухбарионные
резонансы при помощи 490-плета. Оказывается, что подобное отож-
дествление с одним SU (б)-мультиплетом неудовлетворительно (см. [96]).
2) Λ- и Σ-нуклонное рассеяние обсуждалось в [79].
Дополнение. Рассеяние в S-волне также рассматривалось в [68].
3. Нелептонные распады
В теории SU (З)-симметрии обычно предполагается, что взаимо-
действие, ответственное за нелептонные распады, преобразуется как
компонента октета. При несколько более строгих условиях было
получено следующее соотношение для амплитуд [206, 271]:
|Λ3"(Σ+|ρπθ) + (Λ|ρπ-> —2(Ξ-|Λπ-> = 0, (4.75)
которое должно выполняться как для S-, так и для Р-волны.
О характере налагаемых при этом дополнительных условий см., на-
пример, [207, 271]. Экспериментально соотношение (4.75), по-види-
мому, выполняется довольно хорошо [272].

270
А. Пайс
Гиперонный распад в 5-волне является естественным объектом
для применения формализма группы SU (6). Простейшее обобщение
подхода SU (З)-теории на группу SU (6) состоит в предположении,
что рассматриваемое взаимодействие преобразуется как компонента
35-плета. Гиперонный распад в 5-волне может тогда рассматриваться
следующим образом.
Пусть Р(Р — &/РаВ—псевдоскалярная часть мезонного 35-плета
см. (4.22)]. Введем соответствующий шпурион ScP = f>l1sAB, для
которого К0(s) = s32 = 1; K°(s) = s23= 1, а все остальные компо-
ненты sAB = Q. Величина K°(s) является шпурионом для перехода
|Δ/1=1/2. Например, запишем распад Λ->Ρ-|-π~ в виде ^C°(s)+
-|-Λ->Ρ-|-π~. Амплитуды этого и подобных ему процессов можно
получить, взяв линейные комбинации всех образованных из В*. В, Ρ
и S эрмитовых скаляров, полностью свернутых относительно группы
SU (6). Эти скаляры имеют вид
B'^B^PfS;. B\&yB^(PS + SP)b\ B*a^P*Se\
причем первый из них не дает вклада в интересующий нас процесс.
Поэтому мы получаем двухпараметрическое выражение для всех рас-
падов в 5-волне. Как следствие немедленно вытекает для 5-волны
соотношение (4.75) без всяких дополнительных предположений. На-
пример, в .St/(б)-теории мы получаем равенство (Σ+1 Nn*)s = 0,
взаимодействие типа „ток X ток" и правило |Δ/|=1/2[8].
На этом мы закончим обзор следствий статической Si/^-сим-
метрии. Нелептонные распады в Р-волне принадлежат, собственно
говоря, уже к теме § 5, но мы их все-же здесь кратко обсудим.
Процессы в Р-волне подвергались подробному рассмотрению. Общей
их чертой является гораздо большая теоретическая усложненность
и менее очевидные предсказания. Методы, используемые при этом,
состоят во введении шпуриона (/; 3) для описания единичного орби-
тального момента, или, альтернативно, в использовании динамических
групп того типа, о котором будет упомянуто в § 5. Возникло еди-
нодушное мнение, что соотношение (4.75) для Р-волны не возникает
каким-либо естественным образом. Однако довольно непосредствен-
ный анализ приводит к соотношению (4.75), но с правой частью,
равной 2 (Q-1 Л/С~)р/]АЗ, так что справедливость правила амплитуд-
ного треугольника для Р-волны опирается на предположение о ма-
лости выписанной амплитуды й~-распада [9, 177]. По рассмотренным
вопросам см. также [10, 144, 161, 179, 195, 196, 235, 253, 254,
284]. Наконец, стоит напомнить [245], что параметры асимметрии
нелептонных процессов сильно зависят от того способа, которым
вводится массовое расщепление.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 271
И. Основная проблема
Мы убедились в том, что 5£/(6)-симметрия дает интересные резуль-
таты в вопросах о числе физических состояний, закономерностях
в массовом спектре и смешивании волновых функций некоторых ча-
стиц, магнитных моментах, лептон-адронных вершинах и нелептонных
распадах в 5-волне. Мы видели также, что результаты по нуклон-
ному рассеянию в 5-волне хотя выполняются и не блестяще, все же
не являются неразумными или парадоксальными. Столкнувшись с по-
добным положением, мы должны рассмотреть гораздо более труд-
ный вопрос.
Основная проблема: найти такую структуру динамических урав-
нений, чтобы группа SU (6) возникла как симметрия некоторых их
приближенных решений, и установить при этом динамическую при-
роду подобного „приближения".
Если предположить, что ответ на этот вопрос лежит в рамках
современной теории, то возникнут следующие дополнительные воп-
росы и замечания.
1) Динамика должна быть релятивистски инвариантной.
2) Перед нами стоит проблема:
Динамика? -► SU (6). (4.76)
По-видимому, следует еще раз подчеркнуть [30], что эта проблема
отличается от обсуждающейся в § 5:
SU (6) —> Более обширная или какая-либо другая динамическая группа?
(4.77)
В § 5, А, обсуждаются мотивы для поиска более обширной дина-
мической группы, содержащей группу SU (6). Эти группы возникают
в связи с процедурой так называемого релятивистского расширения,
которая будет рассмотрена ниже. Вопрос о том, существуют ли
полезные группы подобного типа, очевидным образом не совпадает
с вопросом о фундаментальной динамике. Действительно, группа,
которая содержит группу SU (6), является группой, содержащей спин.
Отсюда при помощи аргументов, упомянутых в § 2, вытекает, что
подобная более обширная группа должна сама носить приближенный
динамический характер.
3) Рассмотрим в качестве примера соотношение (4.47) для маг-
нитных моментов. Все мы еще студентами усвоили, что „аномальные"
значения нуклонных моментов возникают вследствие наличия вирту-
ального мезонного облака. В этом облаке происходит виртуальное
рассеяние и возникают многочастичные виртуальные состояния со
сколь угодно высокими виртуальными импульсами. Правильна ли эта
картина? Если да, то при помощи какого механизма спин-орбиталь-
ное взаимодействие в облаке усредняется и возникает результат,
характерный для SU (6)-симметрии?

272
А. Пайс
4) О динамическом подходе, использующем методы „зашнуровки",
см., например, [45, 80]. Краткое рассмотрение алгебры токов мы
отложим до § 6.
5) Интересную динамическую проблему представляет связь между
группой SU (4) ядерной физики [293], относительно которой нуклон
является представлением 4, и той подгруппой SU (4) группы SU (6),
относительно которой нуклон является представлением 20 [129].
Обсуждение этого вопроса см. в [81].
6) В случае ядерной группы SU (4) проблема динамики разделена
на две стадии. Прежде всего следует показать, что (средний) потен-
циал между нуклонами (в многонуклонных системах) не зависит ни
от спина, ни от изоспина. Затем рассматриваются энергетические
уровни для такого потенциала.
Существует ли аналогичное адиабатическое приближение в случае
группы SU (6)? Следует ли сводить динамику в SU (6)-теории к не
зависящим ни от спина, ни от унитарного спина свойствам реальных
триплетов? Некоторым аспектам этого вопроса посвящен заключи-
тельный раздел § 4.
К. Триплеты: формальный прием или реальность?
В § 4, Б, мы ' строили барионные состояния так, „как будто"
они состояли из трех триплетов. Это была математическая иллюстра-
ция, и мы вскоре перешли к тензорному методу. Подобным же
образом некоторые правила отбора можно наглядно вывести, исходя
из свойств триплетов [208, 209], но одинаково успешно эти правила
могут быть получены из свойств тензорных произведенийλ).
Вопрос состоит в том, всегда ли предсказания, выводим-ые из пред-
положения о реальном существовании триплетов, можно вывести
также из свойств 35-плета, 56-плета или высших представлений
группы SU (6)? Таким образом, мы должны поставить вопрос о дина-
мике мультиплетных систем.
Было высказано предположение, что внутренняя динамика таких
систем может быть нерелятивистской [231, 221]. Рассмотрим двух-
триплетную (или триплет-антитриплетную) систему, связанную квадра-
тичным потенциалом. Если размеры этой системы равны а, то ско-
рости «A/vW^a, где Mt — масса триплета. Таким образом, при
а =& hfM кпс имеем v/c^ MnyKJMt, что составляет около 0,1 для
AffSfelO Бэв. Однако подобные оценки в сильной степени зависят
от вида хвоста потенциала. Например, они могут быть не применимы
в случае потенциала Юкавы [221]. Этот вопрос будет рассмотрен
в статье Гринберга, которому автор приносит глубокую благодар-
ность за разъяснения. Во всяком случае, потенциал, для которого
') По этим вопросам см. также [216].

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 273
может быть установлена нерелятивистская динамика, пригоден и для
5£/(6)-теории. С его помощью недавно была предпринята попытка
проанализировать мезонные резонансы [97].
Рассмотрение барионного 56-плета с точки зрения проблемы трех
тел приводит к появлению интересных вопросов. Поскольку 56-плет
симметричен по внутренним переменным, то, как это следует из
обобщенного принципа Паули, пространственная часть полностью
симметрична, если триплеты удовлетворяют статистике Ферми—Дирака.
В рассматриваемой нерелятивистской картине это приводит к затруд-
нению, по крайней мере если мы предполагаем, что связанное состоя-
ние образуется простыми (необменными) силами, действующими между
двумя телами. Были предложены следующие пути преодоления этой
трудности.
1) Барион является не точно трехтриплетной структурой, но об-
ладает еще вдобавок некоторой „сердцевиной" (керном), причем при-
тягивающие силы между керном и триплетами превосходят отталкиваю-
щие триплет-триплетные силы [128].
2) Притягивающие трехчастичные силы превосходят отталкивающие
двухчастичные силы [197].
3) Существует несколько сортов SU (3)-триплетов (см., например,
[162]), и 56-плет составлен из триплетов разного сорта. Внутрен-
няя часть волновой функции теперь не обязательно должна быть
полностью симметрична по всем внутренним переменным, в число
которых теперь входит новая переменная, выделяющая триплеты
разного сорта. Ниже мы еще вернемся к этой точке зрения.
4) Триплеты подчиняются не статистике Ферми—Дирака, а опи-
сываются парастатистикой [141]. Вследствие различия между трип-
летами и антитриплетами это предположение не оказывает влияния
на интерпретацию 35-плета. Может быть построена парастатистика
высших рангов, которые, возможно, позволят описать высшие резо-
нансы [141]. Обзор теории параполей можно найти в [142].
Рассмотрим теперь, какие заключения относительно электромаг-
нитных свойств можно сделать на основе модели реальных триплетов.
I. Предположим, что имеется только один набор триплетов, связан-
ных с группой внутренней симметрии, не более обширной, чем груп-
па 5(7(3). Для определенности можно представить себе модель ба-
рионов типа 1 или 2. Вместо того чтобы пользоваться описанным
в § 4, Г, тензорным методом, можно (эквивалентным образом) ис-
пользовать векторное сложение триплетных магнитных моментов [29,
275] так же, как при вычислениях в ядерной физике [46]. Мы это
проделаем в дальнейшем, но будем при этом пользоваться общими
значениями зарядов (4.1) без конкретизации (4.2). Соответствующий опе-
ратор заряда имеет вид Q = /3-(- К/2 -4- (q0 — 2/3) t. Здесь t — триаль-
ность (см., например, [27]), а ^о задается табл. (4.1). Соответству-
ющий статический оператор магнитного момента Μ предполагается
19 Зак. 612

274
А. Пайс
пропорциональным Q, как в уравнении (4.44). Отсюда следует, что
для совокупности триплетов и антитриплетов имеет место
Μ = μ{[?0σ<Ρ> + (<70— 1)(σΜ+_σ&))]-
— [<70σ(Ρ) + (%— 1)(σ<«)+σ(Μ)]}. (4.78)
Возьмем среднее значение оператора Μ между составными трехчас-
тичными состояниями 5б-плета. Тогда получим [28]
μ (Ρ); μ (ΛΟ: μ (Λ) = (3% — 4) : (3?0 + 1): (3% - 3). (4.79)
При 90 = 2/3 мы получаем результаты § 4, Г. Описанное здесь вы-
числение, напоминающее вычисления ядерной физики, опирается на
дополнительное предположение о том, что „внутренние обменные
токи" между триплетами, которые могут дать дополнительные члены
в выражении (4.78), не играют сколько-нибудь заметной роли. (По-
добных дополнительных предположений не возникает в формальном
методе § 4, Г.)
Уравнение (4.79) показывает, что значение ς0φ2β нарушает
хорошо выполняющееся соотношение (4.47). Таким образом, если
существует только один набор триплетов [и внутренняя симметрия
не обширнее 5i/(3)], то проведенные рассуждения указывают, что эти
триплеты должны иметь дробный заряд. Отметим, что в этом пункте
соображения 5(7(6)-симметрии играют существенную роль. Например,
в SU (3)- модели с керном керн должен принадлежать синглету
группы SU (3), но он может нести спин. Согласно 5(7(6)-симметрии,
возможный керн должен быть SU (б)-синглетом, и поэтому не обла-
дает спином. Таким образом, только в SU (З)-теории, но не в Si/(6)-Teo-
рии сам керн может дать дополнительный магнитный момент.
Было отмечено [226], что для произвольного q0 магнитные моменты
гиперонов не обязаны принимать значения, предсказываемые [75] на
основе соотношения (4.3). Это дает два независимых источника для
отклонения от соотношений типа μ(Λ)=μ(Ν)/2: а) вследствие эффек-
тов, вызываемых величиной q0, б) вследствие нарушения SU (3)-сим-
метрии. Исключим по только что упомянутым соображениям причину „а".
Тогда остается только причина „б". В качестве последовательного
расширения описания массового расщепления как эффекта первого
порядка представляется весьма вероятным предположение, что полу-
чающиеся в SU (6)'теории отношения магнитных моментов членов
56-плета должны быть исправлены на величины, равные обратным
отношениям истинных масс [28]. Получающиеся в результате значе-
ния магнитных моментов приведены в работе [28] (табл. 1). В част-
ности,
μ(Λ) —— 0.78μ(Ρ),

S. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 275
что в пределах ошибки согласуется со средним значением, получен-
ным на основании имеющихся в настоящее время экспериментальных
данных [163]
μ(Λ) = (—0,73 ±0,17) μ (Ρ).
Замечания.
1) Если к выражению (4.78) относиться серьезно, то можно
выразить магнитный момент μ(ρ) через μ(Ρ). Для <70—2/3 получаем
μ(/?)==2μ(Ρ)/3. На первый взгляд может показаться странным, что
магнитный момент триплета должен быть того же порядка, что и
магнитный момент нуклона, в то время как масса триплета достаточно
велика £>, 10 Бэв). Было, однако, отмечено [47], что магнитный
момент триплета усиливается сильной связью во внешнем поле ска-
лярного типа. Уравнение Дирака для скалярного потенциала имеет вид
[М + V + βα (Ρ — ek)\ и = ⣫.
В области, где потенциал V постоянен, эффективная масса равна
M-\-V [210]. Переходя к триплетам, видим, что большая масса
может быть скомпенсирована большой величиной V. Положение
отлично от рассмотренного в случае внешних полей нескалярного
типа [210, 143].
2) По поводу попыток вывода на основании модели реальных
триплетов вероятностей радиационных распадов векторных мезонов
см. [288, 40]. Важность подобных вычислений заключается в том,
что матричный элемент Ml -перехода для процесса ω—>jr9-f-v выра-
жается при помощи равенства (4.78) через магнитный момент нуклона.
Данный метод, по-видимому, более решающим образом зависит от
реального существования кварков, чем любая из рассмотренных ранее
проблем; это также очевидно из того факта, что получаемые резуль-
таты не могут быть выведены на основании только алгебры SU (6).
II. Случай трех типов триплетов [163, 47]. Введение большего
числа типов триплетов позволяет сохранить соотношение (4.47)
в теории, в которой триплеты обладают целым зарядом. Автор при-
носит глубокую благодарность проф. А. Тавхелидзе за разъяснение
по этому поводу. Аргументация этого положения следующая.
Рассмотрим вторую группу SU (3)' с соответствующими тензор-
ными индексами А', В' Пусть иА· А' обозначает три набора
триплетов, где А — обычный индекс группы SU (3). Определим опе-
ратор заряда следующим образом:
Qb, β·Α· Α' = QbV + bBAQB.A', (4.80)
где QBA задается выражением (4.36), а
QbA'=U I ). (4.81)
18*

276
А. Пайс
Это соответствует трем SU (3)-триплетам с зарядами (1, 0, 0); (1, 0,0);
(0, —1, —1). Предполагается, что в образовании 56-плета принимают
участие по одному триплету каждого сорта и вместо тензора β€*ν
[см. (4.14)] барионный тензор имеет вид
и теперь полностью актнсимметричен по внутренним переменным.
Затем определим оператор магнитного момента так же, как в (4.44),
только вместо QAB подставим выражение (4.80). Магнитные мо-
менты барионов вычисляются заменой в (4.45) тензора βαβν на (4.82).
Рассмотрим тождество
bA-b'd-QcD'ea'B'C' =0, (4.83)
из которого вытекает, что второй член в выражении (4.80) не дает
вклада в магнитные моменты. Таким образом, вновь выполняется
соотношение (4.47).
Необходима гораздо большая экспериментальная информация,
прежде чем мы узнаем о том, какая из этих предварительных моделей
мультитриплетных систем выдержит проверку временем. Быть может,
будет рассматриваться более сложная модель [115]. Наконец, следует
указать на возможность того, что группа SU (3) не является полной
группой внутренней симметрии и что существуют более обширные
группы (см., например, [227]), в которых имеется место для октета и
декуплета группы SU (3), но не для триплетов.
Подводя итоги, отметим, что результаты теории SU ^-симмет-
рии, полученные из моделей кварков, часто наталкивают на опреде-
ленные размышления, хотя они, по-видимому, и не служат убедитель-
ным подтверждением реальности кварков. С другой стороны, такой
более сильный, чем в обычной SU (б)-теории, результат, как, на-
пример, вычисление вероятности распада ω—>яЯ —|-γ, по-видимому,
достаточно труден для понимания, если не предполагать реальной
структуры нуклона с тремя кварками на его „внешней оболочке".
§ 5. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ
А. Введение
Одновременно с исследованием различных следствий статической
группы SU (6), рассмотренной в предыдущем параграфе, было пред-
принято несколько попыток совместить теорию SU (6)-симметрии
с релятивистским описанием. Вплоть до настоящего времени не суще-
ствует удовлетворительного решения этого вопроса В этом введении
мы обсудим основные подходы, предложенные для решения проблемы
(4.77).
(4.82)

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 277
I. С самого начала было обнаружено [128], что классификацию
супермультиплетов можно произвести также и при ρ φ 0. Чтобы
убедиться в этом, вспомним, что в случае спина 1/2 может быть
определен [116] релятивистский спин S(p), коммутирующий со сво-
бодным гамильтонианом ар -(- р/и. Для каждого ρ можно ввести группу,
для которой ОГ совпадают с (4.7) при замене только операторов 5
на 5(р). Эта группа обозначается SU (6)р (см. [145]).
Оказывается возможным обобщить описание спина методом
Фолди — Ваутхаузена [а поэтому и группу SU (6)р] на релятивистские
взаимодействующие системы N тел. Более точно, для подобных
систем оказывается возможным построить представления группы
Пуанкаре [117]. Необходимо затем выяснить, всегда ли описываемые
подобным образом системы имеют физический смысл, в частности,
разделимы ли они [117]. В данном конкретном случае под раздели-
мостью понимается следующее. Рассмотрим систему трех тел и свя-
занные с ней представления. Перенесем одну из частиц на бесконеч-
ность. Получим ли мы при этом во всех системах отсчета систему
двух взаимодействующих частиц плюс свободную частицу? Этот
вопрос далеко не тривиален. В частности, разделимость в системе
центра масс не гарантирует разделимости во всех остальных систе-
мах [117]. Ясно, что этот вопрос представляет интерес в том случае,
если хотят найти связь с локальными динамическими теориями вслед-
ствие необходимости описания процессов рождения и аннигиляции.
В свете подобных теорий группа SU(6)p приводит к трудностям,
характерным примером которых могут служить следующие результаты.
Было показано, что локальное взаимодействие нарушает симметрию
[222, 255]; был получен также более общий результат: было дока-
зано, что SU (6)р-симметрия приводит к единичной 5-матрице [181].
Этот подход не будет больше рассматриваться в данной работе.
II. Отправная точка второго подхода — это поиски приближенной
динамической симметрии, которая (на языке лагранжевой теории
поля) нарушается кинетическими членами [28, 36]. Предполагается,
что эта новая симметрия, во-первых, содержит статическую группу
SU (6) и, во-вторых, может быть использована и при ρ Φ 0.
Полезно проиллюстрировать эту идею каким-либо примером [28].
Рассмотрим 12 X 12-матрицу
(1)2V (Q) = If ν (<72) (Υε («7) )μ V2 - fA (φ) (γ5 *ψ-)*ΡΒΑ. (5.1)
где V и Р задаются равенствами (4.22) и (4.23), <7 = (q, iq0), Υμ =
— (Υ. Υ4)~ эрмитовы матрицы Дирака, (γ<7) = (γμ?μ) и т. д. Поля-
ризационный 4-вектор εμ(^) = (к(£)> ie0(q)) следующим образом связан

278
А. Пайс
с вектором ε, фигурирующим в уравнении (4.21):
4J ^ μ(?ο+μ)
ео(?) = -^-. (5.2)
так что
qe(q) = Q. (5.3)
Что касается индексов, то области изменения а, I, А остаются
Такими же, как и в § 4, А. Кроме того, примем здесь следующее
соглашение: первые индексы латинского алфавита а, Ь, ... будут
изменяться от 1 до 12, а индексы средней части греческого алфа-
вита—от 1 до 4.
Вплоть до дальнейших уточнений мы будем пользоваться обоз-
начениями
Y = (¥J. γ4 = ρ3, Y6 = Pi. (5.4)
Тогда матрица ( Шьа может быть записана в виде
(1)ВД<7)= β„ Ρ . (5.5)
Где
M° (?) = —fv (<72) (σε (q) )/νΒ* - if A {φ) (f-) PB*bJ. (5.6)
N£to) = — fv{<ft4WFB*-lfA{<ft¥^-PB*. (5.7)
Определим статический предел q как q° = (0, /μ), тогда
%Β(Λ = 0. (5.8)
в то время как
Жра(9°) = Жр° (5.9)
при условии, если
/κ(-μ2)=/Λ(-μ2)· (5-ю)
Правая часть равенства (5.9) есть как раз статическая матрица
5£/(6)-теории, задаваемая равенством (4.21), и поэтому соотношение
(5.10) может рассматриваться как условие для формфакторов в тео-
рии статической SU (б)-симметрии.
Заметим, что
Это удвоение матрицы хорошо известно из производимой на языке
группы SL(2, С) трактовки представления £$'!*'4*1 (4-вектора) орто-

3 Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 279
хронной группы Лоренца [276]. Удвоение необходимо для приписы-
вания представлению определенной четности.
При пространственных отражениях матрица М® меняет знак,
матрица Ν£ не меняет. Теперь определим барион-мезонную вершину
(в том пределе, когда можно пренебречь барионной отдачей [28])
в виде
Эта вершина зависит от одного 3-импульса q. При точности порядка
vjc (Р-волновая вершина) необходимо удерживать только члены
первой степени по | q |. Это означает, что в этом порядке соотноше-
ние (5.10) выполняется.
Используя методы § 4, Г, из приведенного выше выражения для
барион-мезонной вершины можно получить все связанные с нереля-
тивистскими вершинами результаты, впервые приведенные в [128] и
затем повторенные в [28]. Использование соотношения (5.10) суще-
ственно. При этом выясняется, что такие характерные для сильных
взаимодействий соотношения, как
D 3 g 5
ψ- = -^ > "Г~ = -г (сильное взаимодействие),
не заключают в себе никаких других связей между формфак-
торами, чем те, которые вытекают из статической SU (6)-
симметрии. В работе [30] было показано, а в § 5, В, будет в даль-
нейшем рассмотрено подробнее, что при тех же условиях возможен
только учет барионной отдачи с точностью vjc. (Отметим, между
прочим, что с этой точностью спин, определяемый по методу Фолди—
Ваутхаузена, совпадает с нерелятивистским спином.) [См. далее при-
водимый ниже вывод соотношений (5.63) и (5.76).]
Только что описанная процедура сводится к сопоставлению ста-
тическому мезонному тензору „релятивистски пополненного" вы-
ражения (5.1), часть которого, соответствующая положительной чет-
ности, связана с барионным током. Основные вопросы, которые
с некоторыми видоизменениями нам предстоит обсудить, могут быть
теперь сформулированы следующим образом.
а) Каждому представлению статической группы SU (6) следует
сопоставить его релятивистское пополнение или пополнения. Это
проделывается при помощи процедуры „релятивистского усиления",
описываемой в § 5, Б. Будет показано, что для данного статиче-
ского SU (б)-тензора в общем случае существует более чем одно
релятивистское пополнение.
б) Следует сформулировать правила, при помощи которых мы
сможем записывать взаимодействие различных SU (6)-тензоров друг

280
А. Пайс
с другом для образования ковариантных эффективных вершин. Это
можно проделать более чем одним способом, и имеющееся разнооб-
разие путей может быть классифицировано при помощи „группы
релятивистского усиления"1), которой является группа U (6, 6) [278,
48].
Группа U (6, 6) представляет собой частный случай псевдоунитар-
ных групп, рассмотренных в § 3, Ж. Там было показано, что пре-
образования из этих групп оставляют инвариантными псевдоунитар-
ные квадратичные формы (3.86). Какова эта форма для группы
U (6,6)? Пусть uh(p)— четырехкомпонентный дираковский спинор,
λ=1, 2, 3, 4 и пусть иХА(р)— триплет таких спиноров, описываю-
щий релятивистский SU (З)-триплет. Группа U (6, 6) — это группа
преобразований, оставляющих инвариантной „релятивистский массовый
член"
икл (Р) и%А (Р) — Инвариант, (5.12)
где и = и γ4. Используя представление (5.4), легко убедиться, что
эта квадратичная форма имеет шесть плюсов и шесть минусов и что,
следовательно, мы имеем дело с группой U (6, 6). Структура этой
группы более подробно разбирается в § 5, Б.
Условие (5.12) можно рассматривать как ковариантное обобще-
ние требования инвариантности квадратичной формы (4.6) для
группы SU (6). Так как группа SU (6) является приближенной дина-
мической симметрией, то аналогичное утверждение справедливо и для
группы U (6,6), поскольку последняя содержит группу SU (6). Более
того, известен в явной форме по крайней мере один механизм нару-
шения U (6, 6)-снмметрии: как будет показано в § 5, Б, группа U (6, 6)
не оставляет инвариантным „кинетический член" иКА (ρ) (γ/?)μ «μ (ρ).
Таким образом, при наличии взаимодействия [когда равенство
и (ур) и = Imuu не выполняется] U (6, 6)-симметрия внутренним образом
нарушается вследствие спин-орбитальной связи, присущей членам (ур).
В то время как внутренний характер нарушения О (6, 6)-симметрии
часто хорошо понимали, тем не менее к использованию группы U (6, 6)
и некоторых ее подгрупп относились весьма неодобрительно, моти-
вируя это тем (см. § 4, И), что когда статическая группа SU (6)
приводит к успешным результатам, должен действовать эффективный
механизм нарушения этой симметрии спин-орбитальными связями.
Однако вскоре было обнаружено, что для я-точечных функций
систематическое применение подобных соображений инвариантности
не оказывается возможным. Это обусловлено проблемой унитарности,
как будет объяснено в § 5,Д.
') В оригинале „booster group"; см. примечание на стр. 284. —Прим.
ред.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 281
Описанный выше подход является лишь одним из многих пред-
ложенных в конце 1964 г. для нахождения приближенной динами-
ческой симметрии, содержащей группу SU (6). Отправной точкой
другого подхода послужила, например, структура четырехкваркового
взаимодействия. Независимо были предложены следующие группы:
киральная группа U (6) ® U (6) [114, 98, 36]; некиральная группа
i/(6)®i/(6) ^34, 36]; группа SL (6, С) [118, 256, 277]; группа
£/(6,6) [278, 48, 36, 257]. [Причем последняя фигурировала некоторое
время под различными наименованиями: i/(12), £/(12)Λ, Ж (12), V(12).]
Эти группы будут рассмотрены в § 5, Г. Так как все они связаны
с группой U (6, 6), то удобно взять эту последнюю за основу.
Можно непосредственно убедиться, что матрица Шьа (q) имеет
нулевой след
(Ха(9)=о. (6.13)
Это справедливо для всех q, и поэтому, в частности, в статическом
пределе q = q0 [см. (5.11)]. Обратим внимание на важное различие
между условием Μαα=0 в SU (б)-теории и равенством (5.13).
Из первого, например, вытекает равенство РАА = 0, что соответ-
ствует наличию восьми псевдоскалярных мезонов. С другой стороны,
равенство (5.13) выполняется также и при РААфО. Ниже будет
показано более систематическим образом, что все упомянутые выше
группы действительно содержат 36-й мезон наряду с 35 мезонами
группы SU (6). Естественно отождествить этот дополнительный мезон
с упомянутым в § 4, Б, мезоном Х°. В соответствии с этим мы
переопределим тензор РВА следующим образом:
V0
рвА = [РВА- заданный в (4.22)] + ■— ЬВА. (5.14)
III. С методами, о которых говорилось в п. II, тесно связаны
попытки вложить группу SU (6) в кинематическую симметрию при
помощи формального введения большего числа операторов трансля-
ций, чем обычные четыре оператора ρ . Идея этого подхода, впервые
упомянутая в [266], состоит в следующем. Рассмотрим кинетический
член γμ/?μ для свободного релятивистского кварка. В обозначе-
ниях (5.1) этот член может быть записан в виде 12 X 12-матрицы
(УцРу)ьаЪвА- Таким образом, кинетический член может быть поставлен
в формальное соответствие с (р°-мезонной частью мезонной матрицы,
и тот факт, что кинетический член нарушает все упомянутые выше
симметрии, можно формально выразить, сказав, что матрица (Υμ/Ο^δβ4
не является полным представлением какой-либо из этих групп. По
существу эта идея заключается в увеличении числа операторов транс-

282
А. Пайс
ляций от 4 до 36 (или до числа, кратного этому последнему).
Таким путем можно получить инвариантное описание, вводя в рас-
смотрение эти обобщенные трансляции, которые содержат и обычные
трансляции (см. [118. 49, 50, 198. 228, 229, 259, 301], а также
[230] и [69]).
Для физических применений необходимо, однако, ввести дополни-
тельное условие, чтобы операторы, входящие в теорию, действовали
лишь на такие состояния, которые зависят только от четырех трансля-
ционных переменных ρμ. Поэтому до сих пор супертрансляции
не привели к каким-либо физическим предсказаниям, которые бы
одинаково хорошо не могли быть получены без их введения. Практи-
чески мы возвращаемся к некоторым из методов, входящих в п. II.
Супертрансляции в последующем не будут рассматриваться.
IV. Другая линия развития берет свое начало в том [51], что
для вершин некоторого типа можно определить сохраняющийся
„спин" W:
W = -g-Y40-i. 2-γ4σ2, -gOg (5.15)
(где все импульсы вершин лежат в одном трехмерном направлении),
который удовлетворяет тем же самым коммутационным соотношениям,
что и спин ljtff. Таким образом, заменой в (4.7) S на W может быть
определена группа, изоморфная группе 5(7(6). Эта группа носит
название SU(6)W. Она может быть применена к любым коллинеар-
ным процессам [211]. Эта группа является подгруппой группы i/(6, 6)
(см. § 5, Г).
"7-спин будет более подробно рассмотрен в § 5, Е, но мы все же
приведем здесь некоторые из основных следствий этого подхода.
(Подробный обзор предсказаний теории, основанной на использовании
W-спина, можно найти в [165].)
1) В отношении барионных вершин этот подход приводит к соот-
ношениям [51]
GN (о2) 2
4· <W)=0. (5.16)
справедливым для всех ф, где Gm, Oe — соответственно магнитный
и электрический формфакторы. Несколько более общий результат
гласит [51. 246]. что отношения
Gm (g2) „ Ое0?2) Гг1л
С£(92) Gf(92)
не зависят от ф. Здесь соответствующие числители относятся к любому
члену барионного октета или к формфактору (Σ°|Λ)-перехода.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 283
Известно, что формфактор G^q2) вблизи q2 = 0 немного воз-
растает, но в исследованной области энергий имеет место
Gp(?2)|Of(i3)<",2. В рамках подобного различия порядка 20%
соотношения (5.16), по-видимому, остаются разумными вплоть до
^=^(1 Бэв/с)2 (см., например, [99]).
2) Применение этого подхода к мезон-барионному рассеянию
вперед позволяет получить между амплитудами этого рассеяния для
случая протонов соотношения Джонсона—Треймана [182]
|[/М-/(^-)] = [/Ю-/СТ = [/(я+)-/(л-)]. (6.18)
Из всех многочисленных способов, которыми это соотношение может
быть получено, способ, использующий W-спин, выглядит наиболее
привлекательным. Соотношения Джонсона — Треймана, по-видимому,
хорошо удовлетворяются при не слишком больших энергиях [146, 212]
(особенно для К -мезонного равенства). Вызывает недоумение, почему
эти соотношения выполняются, несмотря на эффекты, связанные с на-
рушением SU (З)-симметрии [155], но все же в настоящее время эти
соотношения рассматриваются как одно из наиболее перспективных
следствий применения U^-спина. Было, однако, отмечено [279], что
соотношения Джонсона — Треймана, вероятно, могут быть поняты
при помощи динамического приближения, не прибегающего к использо-
ванию U^-спина или других симметрии.
Группа SU (6)w с необходимостью является симметрией динами-
ческого типа, так как коллинеарные и неколлинеарные процессы
динамически связаны. Представляет интерес, что по крайней мере
некоторые из неколлинеарных диаграмм не нарушают соотношений
Джонсона—Треймана [166].
V. Наконец, упомянем о кинетическом шпурионном подходе
[И, 147, 120, 52, 236, 119]. В этом подходе в U(6,6)-вершины или
другие эффективные матричные элементы всеми возможными спосо-
бами вводятся шпурионы (ΥΡ)μλδΒΛ. Здесь ρ может быть любым
4-импульсом, характерным для рассматриваемой проблемы. В резуль-
тате £/(6,6)-симметрия нарушается и переходит в более слабую
симметрию (см. § 5, Г). Остаются ненарушенными следующие сим-
метрии:
а) U (6) (g> U (6) (некиральная) для одночастичных состояний;
б) SU (6)w для коллинеарных процессов;
в) U (b)®U (3) для компланарных процессов;
г) SU (3) только для более сложных ситуаций, чем предыдущие.
Приведенная последовательность была отмечена несколькими
авторами [237, 100. 167].
Остальная часть этого параграфа посвящена рассмотрению тех-
ники, следствий и трудностей упомянутых выше приближенных

284
А. Пайс
динамических симметрии. В § 5, Б вводятся матрицы релятивистского
усиления, совершается релятивистское усиление') представлений 6,
36,56 и вводится группа £/(6,6). В § 5, В будет рассмотрено ме-
зон барионное взаимодействие при наиболее слабых предположениях,
дающих „хорошие" результаты для феноменологических вершин.
В § 5, Г обсуждаются некоторые подгруппы группы U (6,6).
§ 5, Д посвящен применениям высших симметрии в нестатическом
случае; в частности, обсуждаются трудности с унитарностью. Нако-
нец, в § 5, Ε более подробно рассматривается группа W-спина.
Б. Релятивистски усиленные представления 6, 36, 56; группа i/(6,6)
/. Матрицы релятивистского усиления.
Вернемся на некоторое время к языку компонент и базисных векто-
ров, разъясненному в § 2, А [уравнение (2.6)]. Возьмем группу SU (2)
и рассмотрим два вектора
"(i/ = (i). V = (i)·
Выписанные величины и, расширенные следующим образом:
'(1)
1
0
0
0
» И(2) ' —
0
1
0
0
(5.19)
(5.20)
представляют собой дираковские спиноры при р = 0, /?0>0. Число
компонент для данного состояния удвоено. В добавление к этому
введем при р = 0 спиноры, соответствующие отрицательной энергии
V(if =
0
0
1
0
• *(2)λ =
0
0
0
1
(5.21)
Замечание. На языке нерелятивистских двухкомпонентных спино-
ров оба спинора и' (две верхние компоненты спинора их) и ν' (две
') Используемый в оригинале термин «boosted representations» перево-
дится нами по смыслу как «релятивистски усиленные представления». Однако
вполне вероятно, что термины „буст", „бустирование", „бустированные
представления" укоренятся и в отечественной литературе так же, как и
в мировой, аналогично терминам „будстреп" (вместо .метод зашнуровки")
и „кварки*. — Прим. ред.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 285
нижние компоненты спинора vk) могут рассматриваться как пред-
ставления 6 одной и той же группы U (6). На четырехкомпонентном
языке это уже неверно, даже при р = 0, как видно из различия
структур спиноров (5.20) и (5.21). Четырехкомпонентные вели-
чины и% и τ>λ в действительности являются представлениями группы
U (β)® U (6), как будет более подробно показано в рассуждениях,
которые следуют за уравнением (5.88) в § 5, Г.
Мы получаем теперь величину, определяемую в виде
Αμ)λ(0) = («(1)\ "(2)λ. »<1)\ *(2)λ) = °(μ)λ. (5-22)
где индекс λ нумерует компоненты, а индекс (μ) нумерует состояния.
В представлении (5.4) соответственно имеем для ρ ψ 0 (и массы т)
DmHp) = [ m-l(*p)\ Υ , (5.23)
где значениям (μ)=1, 2 соответствуют решения уравнения Дирака
для р, р0, а значениям (μ) = 3, 4 — решения для —р, —р0 (/?0> 0).
На основании (5.22) получаем
D(lL)\p) = Dv\p)D(il)v(0). (5.24)
Здесь D([li —матрица, один индекс которой принадлежит компо-
нентному пространству, а другой — пространству базисных векторов
(пространству состояний). Матрица Dv (ρ) — это ma же самая
матрица, но только с обоими индексами, принадлежащими компо-
λ,
нентному пространству. Матрицу Dv {p) будем называть матрицей
релятивистского усиления1) [296].
Определим, как обычно,
βλ(μ,(ρ) = ^ν*(μ)(ρ)(ν4)λν (5.25)
для всех р. Из (5.24) получаем
Д»4 (ρ) = 5ν(μ) (0) DKV (p), (5.26)
где
Dhv(p) = (y4Df(p)y4\\ (5.27)
Начиная с этого момента, под матрицами D, D, определяемыми
равенствами (5.23), (5.24) и (5.27), всегда будут подразуме-
ваться матрицы релятивистского усиления. Приведем некоторые их
') В оригинале boos! matrix; см. примечание на стр. 284. — Прим. pea

286
А. Пайс
„. чя σμνΡμεν(.Ρ) /coos
D (γ4γε) D = -^-^ , (5.32)
свойства:
DD= 1, (5.28)
Z>Y5D = y5, (5.29)
D^D^-Ιψ-. (5.30)
£>γεΖ) = γε(ρ), (5.31)
Ινρμεν (Ρ)
m
__ l [Υμ. Yvl
°μν 2
где величина εμ(ρ) определена в (5.2). Пусть С — матрица зарядо-
вого сопряжения, 0_1γμΟ = — γμ', С' = — С; < означает транспони-
рование. В представлении (5.4) матрица С может быть выбрана в виде
C = ty5a2. (5.33)
Имеем
CD' = DC. D'C~l = C^D. (5.34)
2. Релятивистски усиленное представление 6
Используя переход (5.19)-^(5.20), получаем из статического сек-
стета и1А, определенного в (4.4), соответствующую величину иКА = иа.
Релятивистски усиленный секстет иа(р) равен
αα(ρ) = αλΑ(ρ) = 011λ(ρ),ΙμΑ (5.35)
и аналогично
να (ρ) = νΚΑ (ρ) = Ομλ (ρ) τ?Α. (6.36)
Величины и и ν сопоставлены соответственно секстету и антисек-
стету посредством канонического разложения
V (*) = 2 ("I")' ia«)"«)e(p)expVPxyWio* vU)a(p) exp (—//>*)].
(0-1. 2
Сопряжение частица —античастица не содержится в группе SU (6),
но оно может быть определено как дополнительная операция. В ра-
венствах (5.35), (5.36) мы отказались от употребления индексов, нуме-
рующих состояния, и будем всегда так поступать в дальнейшем.
3. Релятивистски усиленное представление 36
Будем исходить из равенств (4.21) и (4.14). Матрицы MjB'A ста-
тической группы SU (6) прежде всего должны быть „расширены"
тем же способом, что и в случае представления 6, т. е. переходом

S. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 287
от (5.19) к (5.20). Это можно проделать следующим образом:
м]В1А - ш„а (0) = %/Л (0)=[1 γ5 (1+ν4) м\^в ,
т. е.
/ 0 0
W(0) = „
Р
Затем эта статическая матрица релятивистски усиливается при помощи
матриц D(q) и D{q) (для массы μ):
2V (9) = ЯвМ (?) = Dv" (Φ %bVA (0) Ομρ (?). (5.37)
С помощью уравнений (5.28) — (5.31)
Щ? (?) = °Чв (?)+<2ЧЙ (9). (5.38)
(,Ча (?) = i [Υε (?)]μλ VBA - { γ5 [Λ] }* ρ/, (5.39)
(2X°(9)= -f [σμν9μεν(9)]μν/-/(γ5)μλΡ/. (5.40)
Заметим (опуская индексы), что
УбЗИ (9) Υ5 = - <!)2« (9) + (2)2>i (9)· (5-41)
1) Уравнение (5.39) пропорционально выражению (5.1) при уело·
вии, если /у(Ф) = /д(ф) для всех q2.
2) Матрица 2)Ш — это вторая матрица, которая обладает в пре-
деле статической SU (б)-симметрии свойствами, описанными в § 5, А.
3) Мы могли бы вместо (5.39) воспользоваться матрицей Y55#(0)Y5
и получить (5.41) непосредственным применением процедуры реля-
тивистского усиления, воспользовавшись при этом равенством (5.31).
4) Матрицы 2Я и γ53№γ5. очевидно, имеют одинаковую четность.
4. Релятивистски усиленное представление 56
Расширим статический SU (6)-тензор β**ν [уравнение (4.14)]:
βΙΑ, }В, АС _^ β\Α, μΒ, vC ,q,. __ β"1* ,q\
B"bc(V) = ua^\0)dABC-\ lj= [ελν(0) ХАВС-\-
о у Ζ
+ εμν«λ (0) Χ ВСА + εν V (0) Χ САВ], (5.42)
где «μ(0) задается уравнением (5.20), а ХАВС = eABDbDc. Величина
«(λμ (0) представляет собой соответствующее расширение волновой
функции спина 3/2. [Мы можем построить Μ(λμν)(0) как полностью

288
А. Пайс
симметричное прямое произведение трех функций w'-(0).] Величину ε';,
заданную уравнением (4.14), следует расширить следующим образом:
0 10 0
— 10 0 0
0 0 0 0
[см. (5.33)]. [Отметим, что ελμ представляет собой состояние с нуле-
вым спином, построенное из двух четырехкомпонентных состояний
спина 1/2, задаваемых уравнениями (5.20).] Определим теперь пол-
ностью симметричное релятивистское усиление (переход к им-
пульсу ρ для массы М):
Babc (ρ) = Dpx (ρ) Οσμ (ρ) D,v(ρ) ΒρΑ· αΒ·tc (0). (5.44)
Заметим, в частности, что
ελμ«ν (0) _> i- [(l _ i|£) V5c]^ „v (py (5.45)
С помощью преобразования (5.44) мы получим релятивистски уси-
ленное представление 56, которое полностью симметрично по индек-
сам (а, Ь, с). При помощи Y5-BMK)4eHHH мы можем получить альтер-
нативное релятивистское усиление аналогично тому, как это было
описано для представления 36. Например, вместо (5.43) можно начать
с (Ys)p (ΥδΧ/1^ ,σ ,ν (0) и, вставляя различными способами пары
Yg-матриц, приходить каждый раз к релятивистски усиленному пред-
ставлению 56, имеющему ту же четность, что и Ва с(р). Совокуп-
ность возникающих подобным образом различных представлений была
рассмотрена в [48] (где было выбрано представление γ-матриц,
в котором матрица γ5 диагональна). Эти несимметричные представле-
ния в последующем не будут явно использоваться, но мы все же не-
много их коснемся в § 5, В и Г.
Полностью симметричный релятивистски усиленный анти-56-плет
задается в виде
СаЬс (р) = DpK (ρ) D» (ρ) Dxv (ρ) (?Α· αΒ·tc (0), (5.46)
где тензор С(0) получается из тензора В(0) [уравнение (5.42)] под-
становкой
Μ(λμν,(0)->τ;(λμν)(0), «λ (0)-»*/λ(0). (5.47)
Здесь ν (0) задается выражением (5.21), а τ>(λμν)(0) — функция, соот-
ветствующая функции м( μν)(0) в том же смысле, как спинор ν (0)
соответствует спинору «λ(0).
= [-4ΡΗ^Γ (5.43)

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 289
Замечания.
1) Расширение числа компонент, с которым уже несколько раз
сталкивались, необходимо для того, чтобы иметь релятивистски уси-
ленные супермультиплеты с определенной четностью [276].
2) Волновые уравнения, которым удовлетворяют релятивистски
усиленные функции, являются уравнениями Баргмана - Вигнера [52,
278, 280].
5. Группа U (6, 6)
Рассмотрим набор из 16 эрмитовых матриц Гх, определяемых как
Г*: ρλ®ο+\ Χ=\ 16,
р* = (р. 1), σ·» = (σ. Ι). (5'48)
Величины ρ и о составлены каждая из 2 X 2-матриц Паули и еди-
ничной 2 X 2-матрицы. Понятие прямого произведения, используемое
в (5.48), было объяснено в § 4, А после уравнения (4.7); мы будем
записывать кратко Г*: (ρ^-σ*1). Матрицы Тх могут рассматриваться
как ОГ группы U (4). Набору (5.48) эквивалентен набор
Γ*:(1.Υμ· <V%Y5. Y5). (5·49)
зых 4 X 4-матриц Дирака. По
щределить набор 12 X 12-матр!·
Тк . ГхрР; (7*V = (Г V (FPhA>
Р=0. 1 8, К=\ 144. (5-50)
число которых равно 144. Матрицы Fp представляют собой ОГ
группы U (3), а матрицы Тк — ОГ группы £/(12).
В уравнении (3.89) было показано, каким образом с ОГ псевдо-
унитарных групп можно связать ОГ унитарной группы. Следуя при-
веденному там правилу, мы определим набор матриц Тк равенством
fif = ^.(l_|_07'lf + -5-(l —ОГГТ. (5.51)
где 12 X 12-матрицы Г задаются в виде
Γ^ = (Υ4)μλν. « = (λΛ). Α = (μβ). (5.52)
Таким образом, матрицы Г представляют собой прямое произве-
дение \4 и единичного ОГ группы U (3). Матрицы Г имеют вид (3.82)
с M — N = Q. Отсюда вытекает, что матрицы Тк—это ОГ группы
i/(6,6).
Величина иа(р), определенная в (5.24), может при любом ρ рас-
сматриваться как фундаментальное представление группы U (6, 6). Дей-
ствительно, инфинитезимальное преобразование (с вещественными ε7*)
состоящий из эрмитовых 4 X 4-матриц Дирака. По аналогии с урав-
нением (4.7) можно определить набор 12 X 12-матриц
19 Зак. 612

290
А. Пайс
иа (ρ) -> (1 + №)„' и" (р) (5.53)
удовлетворяет условию
"α (Ρ)и" (Ρ) — Инвариант; йа = u*Tba. (5.54)
Здесь мы встречаемся с частным случаем соотношений (3.81)—(3.86).
При этом также было использовано уравнение (3.89), именно Тк =
==ГТ Г. Величина иа(р)иа(р) представляет собой „массовый член",
и группа i/(6,6) — это группа, оставляющая инвариантным массовый
член. Но она не оставляет инвариантным „кинетический член"
иа(р)(ур)ьаиЬ (Р). что очевидно из уравнения (5.53). (Здесь и возни-
кает формальный прием введения большего числа трансляций как
средства получения „обобщенного инвариантного кинетического члена",
что обсуждалось в § 5, А.)
Квадратичная форма (5.54) является скалярной плотностью также
и для группы Пуанкаре, в чем можно убедиться, применяя [276] не-
однородные лоренцевы преобразования (а, А):
и>А (р) -> elpttS^A (A~l p). (5.55)
Важно отметить, что матрица
\βμ ^в ) содержится в матрице [Т )ь ■ (5.56)
Можно построить тензорное исчисление для группы U (6, 6). Напри-
мер, ua(Pi)ub(P2) является (приводимым) U (6, 6)-тензором при лю-
бых ри Рч. В частности, мы встречаемся со следующими конечно-
мерными и, следовательно, неунитарными представлениями.
а) Матрица ifftba(q), заданная равенством (5.37), является пред-
ставлением 143 группы U (6, 6).
б) Величина ВаЬс(р). заданная равенством (5.44), также является
U (6, 6)-тензором. [Он принадлежит к представлению группы i/(6, 6)
с разбиением (3) и размерностью £)12(3) = 364 [см. (3.12).] Более
подробно о тензорном анализе для группы £/(6,6) см. [121].
Коль скоро мы имеем тензорный анализ, то можно построить
взаимодействие. Рассмотрим простой пример
g(q2)ua(Pi)Wba(q)ub(p2), q = p2-pu (5.57)
где giq2) — формфактор. Для определенности мы рассматриваем
секстет на массовой оболочке. Величина (5.57) является U (6, ^-ска-
ляром. Она имеет также правильную ковариантную структуру вслед-
ствие (5.56). Выражение (5.57) включает предположение об аналити-
ческом продолжении. Матрица 9№(<7) была получена релятивистским
усилением для тех значений q, для которых q2 = — μ2. Предпола-

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 291
гается, что эта матрица может быть продолжена за массовую обо-
лочку, как в (5.57).
Перекрестная симметрия не является частью i/(6, 6)-симметрии,
но и не противоречит последней. Например [48], для перехода в пе-
рекрестный канал нужно в выражении (5.57) совершить подстановку
"U {Pi) -> vli (— р2У. q = (P2 — Pi)->q = — P-i — Pv
Барион-мезонная вершина, предложенная для группы i/(6,6),
имеет вид [278, 48, 280]
f(9t)Babe(pl)Wtde(g)BaU(p^
Здесь предполагается общий формфактор для всех значений ф.
Это является гораздо более сильным предположением, чем то,
которое было сделано в (5.10) в связи с предварительным обсужде-
нием Р-волновых вершин. За последнее время стало ясно, что по-
добное сильное предположение для f(q2) совершенно не является
необходимым для получения каких-либо предсказаний о вершинах,
которые рассматриваются как „хорошие". В § 5, В мы вернемся
к рассмотрению вершин при тех, по-видимому, минимальных усло-
виях, которые необходимы для получения хороших результатов.
Замечания.
1) По поводу массовых формул для группы £/(6,6) и связанных
с нею групп см. [260, 82].
2) Трилинейные мезонные связи обсуждаются в [52, 148, 168, 149].
3) Другие релятивистски усиленные супермультиплеты и связан-
ные с ними вершины рассматриваются в [218, 102, 103, 105, 171].
Отметим, в частности, что в пределе строгой U (6, 6)-симметрии за-
прещены многие каналы распада высших резононов [169].
4) Относительно четности, сопоставляемой представлениям группы
U (6, 6), см. [83].
5) Вместо того чтобы рассматривать упомянутые выше вершины
как эффективные, можно также пытаться трактовать их как взаимо-
действия в рамках лагранжева формализма. В этом случае свободные
кинетические члены явным образом нарушают симметрию. На этом
пути, по крайней мере в принципе, может быть сформулирована ди-
намическая теория (см. обзор [101], а также [237]). В этом подходе
релятивистски усиленные представления 36, 56 и т. д. рассматриваются
как основные поля. Отрицательным в подобной схеме является то,
что никому не известно, каким образом здесь можно производить
достоверные вычисления.
6) О релятивистской трактовке „связанных мультиплетов", рас-
сматриваемых в § 4, Б, см. [153].
18·

292
А. Пайс
В. Барион-мезонные вершины
Рассмотрим ковариантную связь барионного октета с псевдоска-
лярными и векторными мезонами в пределе точной SU (З)-симметрии
и сделаем только одно дополнительное предположение [246].
I. Барионный октет является частью полностью симметричного
релятивистски усиленного представления 56.
Тогда вершина будет иметь следующий вид:
Babc(Pi)%4g)Bal"i(P2). 4 = P2~Pi, (5.58)
где под ВаЫ подразумевается октетная часть тензора (5.44) и где
Я/ (?) = } U (Я2) /γε (?) V-fA (q*) γ5 (Ж) Ρ _
-/ИЛ[^М]^-1/р(Л^};. (5.59)
Формфакторы fv, fA, fT, fp — это четыре независимые функции
от ф. Барионы мы рассматриваем на массовой оболочке, так что не
возникает каких-либо вопросов, связанных с аналитическим продол-
жением релятивистски усиленных функций.
Используя свойства группы 5(7(3), выражение (5.58) можно за-
писать в виде
4(D + /?)i79i«(l+-4^)-|(D~^-2r)K{Z2Z19x]«-
— -i- (D — Г) uZ$\'Zxu, (5.60)
где
2i=!-:ж- a'^Ysaw'c-v
Скобки { } обозначают взятие следа относительно дираковских ма-
триц. Были также использованы следующие определения:
ШИи = ивА 0\и + uVt)AB,
FuWu = uBA0lu — tM)AB. (5.61)
тйти=йвлтссиАв.
Выражение (5.60) приводит к следующим результатам [мы делим
(5.60) на 6 и опускаем символы и и и]:
/. Псевдоскалярная вершина
_,(0+^.^)(1+^5г)У5[М/д(Л + /р(Л]1 (5.62)
так что
"й- —"о" для всех q2. (5.63)

S Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 293
Замечания.
1) Исходя только из SU (3)-симметрии, можно получить, вообще
говоря, только тот результат, что отношение DjF может быть функ-
цией q2.
2) Другие возможные релятивистские усиления представления 56,
использующие Yg-включения (см. § 5, Б), приводят к иным значениям
отношения DjF [48, 256]. Кабиббо и Вельтман предложили следую-
щий изящный способ получения из верш 1ны ВШ.В, в которой ма-
трица WI задана уравнением (5.38), указанных выше других возмож-
ных вершин: включим в эту вершину всеми возможными способами
пары „■у5-шпурионов" (Υ5)μλδΒΛ. Это даст различные отношения DjF,
включающие как „регулярные", так н „иррегулярные" связи [256].
В § 5, Г будет разъяснена связь между подобными уБ-включениями
и группой SL(6,C). Изложенные замечания поясняют необходимость
условия I для получения (5.63).
2. Векторная вершина
i lY/i (?2)+σμν<7ν/=·2(<72)] εμ(?). (5.64)
2MF2 (φ) = (θ - 4 - ψ) fv tf) +
+ ^{D+^--i + JW-(F + T)}fr^· '5.66)
Формфакторы типа Сакса определяются равенствами
так что
Ge(Q1) = (F±T)[\ + 4^) [/к (92) — ^Г /г ^2>] ' (5-68>
2MGm{tf) = (D + '%-^)(\ + ^[Μφ) + ψ/τ(φ)]. (5-69)
Отметим, что отношения DjFjT получаются из формфакторов Ge, Gm,
но не из формфакторов Дирака — Паули Fv F2.
1) Независимость отношений (5.17) от q2 вытекает из (5.68) и
(5.69) и совершаемого в рамках SU (З)-теории предположения о том,
что электромагнитные связи пропорциональны сильной (р° -f- ω°/Υ З)-
связи.
2) Соотношение [54]
Ggp(f) = const Gmp(<f), (5.70)

294
А·. Пайс
которое, по-видимому, находится в хорошем согласии с эксперимен-
том, не вытекает из предыдущего рассмотрения. Оно требует допол-
нительного соотношения между fv и fT [55, 246]. В этой связи
уместно поставить вопрос, „насколько релятивистскими" являются
в действительности соотношения (5.16) и (5.70), и, быть может, по-
лезным окажется следующее замечание [121]. Рассмотрим протон
в виде твердого шара, отскакивающего от стенки с переданным
импульсом, равным, скажем, 500 Maejc. Мы пренебрегаем лоренце-
вым сокращением, но поскольку (1 — v2jc2) 2=ss0,97, то мы совер-
шаем при этом ошибку только в 3%. Таким образом, „эксперимен-
тальные" соотношения (5.16) и (5.70) могут быть приближенно опи-
саны как свойства статических распределений заряда и магнитного
момента. В этой связи вызывает интерес то, что эти соотношения
были выведены в существенно статической кварковой модели для
области <72/Л42 .<С 1 [47]. С этой точки зрения представляет большой
интерес узнать, насколько хорошо соотношения (5.17) и (5.70) вы-
полняются в истинно релятивистской области.
3) Предел строгой U (6,6)-симметрии соответствует равенству
fv (12) = /а (?2) = /р (<72) = /τ (Я2)· 15.71)
Это дает связь между формфакторами Ge и Сот [см. также преды-
дущее замечание (1)], именно [278, 280]
оР L ^
е_
GPm ' ' 2Μμ
Это соотношение может быть модифицировано при помощи аргумен-
тов, связанных со способом аналитического продолжения к q2 = 0
[122].
4) Возвращаясь к сильным вершинам, сделаем одно дополнитель-
ное предположение.
II. Формфакторы в выражении (5.59) удовлетворяют условиям
статического SU (б)-предела [30]
Μ-μ2)=/Α(-μ2); /Ρ(—μ2)=/Γ(-μ2). Ф-Щ
с одним из которых мы уже встречались [см. уравнение (5.10)].
Положим [30]
т£й~«- <5ге>
где | — свободный параметр. Используя уравнения (5.62) — (5.66),
находим следующие выражения для gA, gv, определяемых Я-волно-
в,ой вершинной частью gvP*Pp0° -j-gAPfaP\n°jμ (pg° — продольная

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 295
(5.76)
компонента р°):
В а = 4 [(/л (- μ2) + i) fP (- μ2)] · (5.74)
^-/κ(-μ2)+^-/Γ(-μ2)- (5-75)
Таким образом, соотношение
gv 3
не зависит от \. Этим мы заканчиваем рассмотрение октетных вер-
шин при минимальных условиях (детали см. в [278, 280]). Тесно
связанные с ними адрон-лептонные вершины рассматриваются в [262,
13, 199].
Г. Группы, связанные с группой i/(6,6)
Из уравнений (5.48) — (5.52) вытекает, что группа U (2,2)
имеет ОГ, равные
Γ*=4(1+/)Γ*+γ(1-0Υ4Γ*γ4- (5.77)
Подгруппа U (4) имеет своими ОГ некоторое подмножество матриц Гх,
которое мы обозначим через Г( . Соответствующая подгруппа группы
U (2, 2) имеет ОГ, равные
Г(Л) = у (1 + 0 Г<Х) -г4 (1 - 0 Υ4Γ(Χ)Υ4· (5-78)
Нас интересуют такие подгруппы группы U (6,6), которые имеют
своими ОГ матрицы, получаемые подстановкой в уравнения (5.50)
и (5.51) вместо Г матриц Г( .
fCO.fWf.P. (5.79)
1)
U (б, 6)=>GZ.(6, С). (5.80)
Соответствующие матрицы Г ' и Г" равны
Γ(Χ,:1.Υ5· o^f^rl. *γ5. σ, iy5a. (5.81)
Соответствующая группа (5.79) гомоморфна группе GL(6,C).
Эта группа имеет две инвариантные билинейные формы, именно
"α'Λ 4Λ(γ5)μλ«μΛ. (5.82)
В соответствии с этим удвоением для группы GL (6, С) существует
больше тензоров высшего ранга (при данном числе индексов), чем
для группы U (6, 6). Так, из двух матриц
Ж, у5Шу5, (5.83)

296
А. Пайс
где матрица 9J£ определяется (5.37) — (5.40), только одна является
U (6,6)-тензором, в то время как обе являются тензорами группы
G/_(6,C). Рассмотренная в уравнении (5.41) и после уравнения (5.47)
процедура уБ-включения как раз соответствует нарушению симметрии,
согласно уравнению (5.80). Более подробно о тензорах группы SL (6, С)
см. в [170].
2) Операция
GI(6,C)->GZ.(6,C)®GZ.(6, С) (5.84)
совершается при помощи следующей процедуры. Воспользуемся (5.81)
и определим операторы
Т±т = ±-(1±у5)Г™. (5.85)
(Это „комплексификация", так как матрица у5 фигурирует здесь без
множителя /.) Генераторы T±mF порождают группу GZ.(6,C)®
® GL(6, С). (Подгруппа SL(2, С) ® SL(2, С) соответствует комплекс-
ной собственной группе Лоренца [276].)
3) Переход к подгруппе
G£(6.C)®OZ.(6,C)=3l/(6)®t/(6); киральиая (5.86)
достигается сужением множества генераторов Г±' ', при котором ма-
трица Г* ' переходит в (1, о). Более подробно об этой группе см.
в [114, 98, 36].
4)
U (6, 6) z> U (6) ® U (6); некиральная (5.87)
в этом случае
Г(Х): 1, γ4. σ = Γ(Χ). (5.88)
Рассмотрим однокварковое состояние и его кинетический оператор,
нарушающий U (6,6)-симметрию. В системе покоя этого кварка
у ρ = ly4p0. Поэтому симметрия сохраняется только относительно тех
подгрупп группы U (6, 6), которые порождаются определяющими гене-
раторами группы U (6, 6), коммутирующими с матрицей γ4. Это при-
водит к набору генераторов (5.88) [237, 100, 167].
Распределения частиц по мультиплетам группы £/(6,6) произво-
дится следующим образом при помощи компактной подгруппы
U (6) ® U (6). Множители подгруппы SU (2) ® SU (2) группы U (6) ®
®i/(6), которые имеют ОГ, равные (1 ±γ4)σ/2, описывают (в си-
стеме покоя) спин кварка (γ4=1) и спин антикварка (γ4=—1).
Поэтому множители i/(6) относятся соответственно к частицам и
античастицам. Секстет — это представление (б, /), а антисекстет —
представление (1,6*) [см. также замечание после (5.21)]. Μ-зонный
Зб-плет соответствует представлению (б, б*), а 5б-плет — представле-
нию [56,1], анти-56-плет — представлению (1,56*) и т. д.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 297
5) Группа SU (6)^. Рассмотрим два лоренц-ортогональных еди-
ничных вектора εμ1 ·εμ2: (εμ'εμ^) = (ε'ε^) = δ'7. Введем по определению
^, = -j/(YE»)Y6. W2 = ji(ye2)y5. Щ = ? *№)№)· (5·89>
Вектор W удовлетворяет той же алгебре, что и вектор S = a/2.
Выберем векторы εμ' ортогональными 4-вектору ρμ:(ε'ρ) = 0. Тогда
W. (γρ)]=0, (5.90)
так что оператор W коммутирует с „кинетическим оператором". Вы-
берем ρμ = (0, 0, р, 1р0); εμ1=(1, 0, 0, 0); εμ2 = (0, Ι, 0, 0); тогда
оператор W сведется к выражению (5.15).
К выражению (5.15) можно также -прийти следующим образом
[237, 100, 167]. Рассмотрим кинетический оператор (ур). Если им-
пульс ρ направлен по оси 3, то этот оператор приобретает вид
УзРз~\~^Ро- Пусть ρ соответствует любому из 4-векторов, которые
могут возникнуть в коллинеарных процессах. Тогда нарушение сим-
метрии U (6, 6) до более низкой симметрии сводится к нахождению
подмножества тех генераторов Тх из (5.49), которые коммутируют
с матрицами γ3, Υ4· Это есть набор (5.15) компонент W-спина. След-
ствия из SU (6){р-симметрии будут рассмотрены далее в § 5, Е.
6) Группа U (3)^1/ (3). Рассмотрим компланарные процессы,
происходящие в плоскости, перпендикулярной оси 3. В этом случае
из матриц Г( ' с кинетическим оператором будут коммутировать только
матрицы
Г(Х) = Г(Х): 1, γ4σ3, (5.91)
и остающаяся группа симметрии будет иметь ОГ, равные (1 ±γ4σ3) Ρρβ·
Представления группы i/(6) приводимы относительно этой группы,
например [100] : 56 = (3, 6) + (6, 3)-f(/, 10)-\-(10,1). Компоненты
декуплета соответствуют в 56-плете значениям .S3—±3/2. Остав-
шиеся компоненты 56-плета соответствуют значениям «S3=±l/2.
Из (5.91) вытекает сохранение проекции спина, нормальной к пло-
скости компланарности. Только на основании этой симметрии были
получены некоторые предсказания относительно нуклон-нуклонного
рассеяния [100], которые были подтверждены и затем обсуждались
в [193, 6].
Д. Унитарность; другие следствия £/(6,6)-симметрии
Для любой из групп, рассмотренных в § 5, Г, можно тензорным
свертыванием построить скаляры, которые (при надлежащих условиях)
могут представлять эффективные матричные элементы. Это справед-
ливо не только для вершин, но также для рассеяния, процессов

298
А. Пайс
аннигиляции и т. д. Эффекты, нарушающие SU (З)-симметрию, должны
играть для большинства этих процессов исключительно важную роль
[1, 155], но в настоящее время нет какого-либо пригодного система-
тического метода для оперирования с подобного рода нарушениями.
Это положение оказывается также достаточно сложным при наруше-
нии обсуждаемых нами высших симметрии.
/. Проблема унитарности
Вскоре после того как началось исследование разнообразных след-
ствий U(6, 6)-симметрии и связанных с нею групп, было обнаружено,
что эти симметрии в общем случае не совместны с условиями уни-
тарности [56, 57, 151]. Приведем поясняющий пример.
Рассмотрим SU(6. 6)-инвариантную амплитуду рассеяния
1
/(*. ^ua(Pd(TK)baiS(pi)vM(T«)/if(pd (5.92)
к
для рассеяния 5 (р{) -|- S (р2) —> «S (p3) -f- 5 (р4) (S — секстет, 5 — анти-
секстет). Суммирование по индексу К происходит по 143 ОГ группы
SU (6,6) [см. (5.51)]. Амплитуда (5.92) Si/(6, 6)-инвариантна при
любых значениях рг — р4. Строгая SU (6, 6)-симметрия требует общего
формфактора для всех 143 членов суммы. Но, как показывают про-
стые вычисления [56], это обстоятельство находится в противоречии
с унитарностью в области упругого рассеяния. Коротко говоря, замк-
нутость процесса суммирования в условии унитарности обеспечивается
введением операторов проектирования, которые ведут себя подобно
кинетическим членам, на которые мы здесь часто ссылались, и почти
всегда нарушают инвариантность. Противоречие с унитарностью суще-
ствует независимо от каких-либо деталей, касающихся возможной
локальной теории поля, лежащей в основе данной теории. Ниже сле-
дуют некоторые комментарии.
а) Если отвлечься от несущественных подробностей, связанных
с группой SU (3), то приведенный пример означает, что четырех -
фермионное взаимодействие не может без нарушения унитарности со-
стоять из равной смеси взаимодействий Р, V, А и Τ для всех s, t.
б) В работе [56] было отмечено, что противоречие с унитарностью
присуще не только t/(6, 6)-симметрии, но имеет место также для
более общих релятивистских расширений. Подробнее этот вопрос
обсуждается в [14, 59], где показано, что аналогичная проблема воз-
никает также для группы SL(6,C) и в том случае, если предпола-
гается введение всевозможных (\/?)-шпурионов.
в) Условие унитарности удовлетворяется „асимптотически", когда
мы переходим к нулевым скоростям [56]. Нарушение унитарности
имеет характерный порядок (ν/c)2. В нерелятивистском пределе может
выполняться одночастичная унитарность для мезон-барионного рас-
сеяния. Это приводит к некоторым правилам сумм для констант

3 Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 299
SU (б)-инвариантных связей [56], которые тесно связаны с соотно-
шениями Джонсона — Треймана. Правила этого рода для нарушенной
SU (б)-симметрии рассматриваются в [84].
г) В некоторых случаях унитарность может быть спасена ценой
нарушения перекрестной симметрии [58] (см. также [69]).
д) Насколько я понимаю, является делом вкуса считать, совме-
стима ли коллинеарная группа SU (6)w с условием унитарности. Эта
группа ничего не говорит о неколлинеарных направлениях, связанных
в унитарной сумме с коллинеарным направлением, к которому отно-
сится группа S(J(6)W. Можно сказать, что эта связь не учитывается
группой SU (6)w.
е) Формальные условия унитарности могут быть удовлетворены
введением супертрансляций [172].
Противоречие с унитарностью говорило бы о нарушении физи-
ческих принципов, если бы мы имели дело с приближенной кинема-
тической симметрией. С точки зрения нашего феноменологического
подхода оно означает наиболее тяжелое ограничение: обе стороны
соотношения унитарности не могут быть справедливы одновременно.
В связи с этим обстоятельством, а также упомянутой ранее пробле-
мой нарушения SU (З)-симметрии не вызывает удивления, что при
планомерном исследовании различных конкретных процессов возникло
не так уж много заманчивых феноменологических идей.
2. Мезон-барионное рассеяние
Исследование этих процессов в рамках статической 5£/(6)-сим-
метрии в том же плане, как это проделывалось в § 4, Ж, было про-
ведено в [72, 60, 61]. Однако в отличие от нуклон-нуклонного рас-
сеяния здесь не было произведено выделения 5-волны. Поэтому
трудно интерпретировать полученные результаты. Вычисления с по-
мощью релятивистской группы [263, 85, 57, 223] привели в пределе
точной симметрии к нескольким плохим предсказаниям, таким, как
отсутствие Ξ-поляризации в процессе К~р—>Ξ~Κ+·
3. Барион-барионное рассеяние [193, 6, 282, 123]
Не было получено каких-либо закономерностей, наводящих на
размышление. Некоторые нежелательные черты остаются также в при-
сутствии шпурионов. Наиболее подробные численные расчеты можно
найти в [193]. По поводу ββ-рассеяния см. [6, 62].
4. Нуклон-антинуклонная аннигиляция в системе покоя
Последующее обсуждение относится к аннигиляции только из
5-состояния. Рассмотрим прежде всего случай U (6,6)-симметрии.
Тогда нуклон принадлежит представлению ВаЬс (0) [уравнение (5.44)],
а антинуклон — представлению СаЬсф) [уравнение (5.46)].

300
А, Пайс
а) Важное значение имеет следующее свойство один раз сверну-
того произведения:
CabcBode (0) = 0. (5.93)
являющееся прямым следствием соотношения va (0) иа (0) = 0 [урав-
нения (5.20), (5.21)]. Этот тип ортогональности может быть выражен
на языке правил отбора [176]. Равенство (5.93), применяемое
к СБ-току, приводит [174] к запрету процесса
~р-\-р^е+ + е-. (5.94)
б) Двухмезонная аннигиляция. Равенство (5.93) приводит к за-
прету процесса
Нуклон -|- Антииуклон -> 2 мезона (5.95)
не только для РР-каналов (Р— псевдоскалярный мезон) [173, 174],
но также для РК-каналов [106, 86]. Существуют некоторые модели,
в которых запрещаются определенные РР-каналы, но в любом слу-
чае запрет (5.95) плохо согласуется с данными по ρπ-каналу, кото-
рый имеет заметную величину. Вероятность этого распада примерно
в 10 раз больше вероятности 2л-распада [63].
Некоторые исследования с использованием низшей симметрии
были проделаны относительно двухмезонной аннигиляции. Во-первых,
был введен шпурион типа (tfq), но это привело к новым трудностям.
В этом случае теория предсказывала (R — вероятность)
^^Ш = ~ (5-96)
(см. [173, 107, 15]). [Результат работы [200] не согласуется с (5.96).]
Эту величину следует сравнивать с экспериментальным отношением
(1,1 ±0,1)/(0,61 ±0,09) (см. [63]). При других попытках трактовки
двухмезонной аннигиляции вводились пары (уд)- или \>5-шпурионов
[175, 213]. Это приводит к лучшему значению отношения (5.96).
Был получен также результат R (рл)/Я (гаг) =^= 6 [222]. На основании
двухмезонной аннигиляции, по-видимому, еще не может быть сделано
каких-либо решающих выводов.
в) Трехмезонная аннигиляция. Если обратиться вновь к группе
U (6,6), то из равенства (5.93) в этом случае вытекает существо-
вание единственного типа связи. Главное следствие этого заключается
в запрете аннигиляционных процессов с появлением φ-мезона или
странных мезонов [96, 98]. При рр-аннигиляции случаи порождения
φ-мезона редки, и отношение К7(я-канала к Зп-каналу мало [64, 65].
(Отметим, что ККп означает истинный трехчастичный канал, а не
канал К*К.) Эти предсказания также выполняются для пр-анниги-
ляции, для которой, однако, еще нет подробных данных.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 301
Более детальные предсказания для трехмезонного случая состоят
в следующем [86]. [Отметим, что при этом делается поправка на учет
параметра |, определенного в (5.73).]
1) ЗР-аннигиляции должны происходить в '^-состоянии. Это на-
ходится в согласии с экспериментальными данными [65] по нерезо-
нансной Зл-аннигиляции.
2) Отношение R(n+n~n°)IR(n+n~rf>) должно быть порядка 3.
Экспериментальное значение (3,3 + 0,5)/(1,2 + 0,3) [124].
3) РРК-аннигиляция должна происходить в ^-состоянии. Это
находится в согласии с экспериментальными данными по ωππ-анни-
гиляции [66].
4) Отношение /?(π+π_ρ°)//?(π+π_ω) должно быть порядка 1.
Это значение следует сравнить с экспериментальным отношением
(5,8 ± 1,0)/(3,9 ± 0,5) [124].
Таким образом, предсказания U (6,6)-симметрии воспроизводят
некоторые из замечательных экспериментальных закономерностей
относительно предпочтительной величины момента количества движе-
ния различных состояний. Более того, предсказываемые отношения
(3π/2πη) и (2πρ'2πω) не находятся в противоречии с имеющимися
в настоящее время экспериментальными данными. Все эти результаты
не зависят от предписываемой относительной величины связи псевдо-
скалярных и векторных мезонов. Они зависят от структуры пол-
ностью симметричных релятивистски усиленных представлений, кото-
рыми описываются барионы и антибарионы. Интересно узнать, как
будет обстоять дело с предсказаниями относительно рп-процесса [86].
г) Четырехмезонная аннигиляция. U (6, 6)-симметрия запрещает
процесс рр—>К+К~л+л~ [176]; более подробно об этих каналах
см. [214].
Замечание. Реакции типа РР—>ВВ рассматривались в [70].
Е. W-спин
Теперь мы продолжим обсуждение группы SU (6)w, начатое
в § 5, В. Там было отмечено, что оператор W [уравнение (5.15)]
действует на секстет (но не на антисекстет) таким же образом, как
и оператор S. То же самое поэтому справедливо и для мультисек-
стетных состояний. Отсюда вытекает, что барионный 56-плет, рас-
сматриваемый как представление статической группы SU (6), является
тем же самым представлением 56 и для группы SU(6)W. Кроме того,
оператор W коммутирует с определяющим генератором γ5σ3 лорен-
цевых преобразований. Таким образом, при р3Ф 0 мы можем ото-
ждествить барионы с тем же самым представлением 56 группы SU (6)w,
что и при р3 = 0, и аналогично для остальных барионных предста-
влений. Это свойство называют иногда неизменяемостью (в направлении
движения) представлений группы SU(6)W [211].

.302
А, Пайс
Для мезонов мы имеем представление 35 (а не 36) группы SU (6)w,
которое не совпадает с представлением 35 статической группы SU (6)
(даже при р3 = 0) вследствие того, что мезоны в определенном от-
ношении подобны системе „секстет—антисекстет". Чтобы понять,
что при этом происходит, рассмотрим вырожденный квартет, состоя-
щий из векторного мезона V10_1 (со спиральностью 1, 0, —1) и
псевдоскалярного мезона Р, который (только с целью иллюстрации)
запишем следующим образом в виде фермионных пар:
Vi = пи, ν° = γψ (7*Α - 7+Λ) ·
V-i =—fiU я=у=(А/++7+Л).
Здесь / — фермион, / — его антифермион; индексы обозначают зна-
чения S3. Пусть 5_—оператор, понижающий спин: S-Vx = V0,
S_V0 = V_,, S_VLt = 0. Существует соответствующий И^-спиновый
оператор W_, который на / действует таким же образом, как и
оператор S_, но на / он действует с противоположными фазами
[для оператора W_ в уравнении (5.15) Y4 = —1]. Имеем W_VX = P,
W_P = V_X, W_V_x = 0. Переходя от одного фермиона /к SU(3)-
триплету, получаем следующие мультиплеты для группы SU (6)w [87]:
35 = (8, 3) + (S, /) + (/. 3); (W),
где а) представление (8,3) — это октет с W-сттиои 1; оно содержит
компоненты векторного октета с S3= ± 1 и псевдоскалярный октет;
б) для представления (5, /) "/-спин равен нулю; это есть компонента
векторного октета с S3 —0; в) представление (1,3) — это унитарный
синглет с W-спином 1; его членами являются мезоны φ,°, Χ°, φ_1°.
Обратим внимание на то, что включение мезона Х° в £/(6, 6)-мульти-
плет с необходимостью сохраняется и по отношению к подгруппе
SU(6)W.
Кроме того, мы имеем также представление /=(/,/), с которым
связывается компонента <р0°.
Далее, фотон γ±] с поляризацией ± 1 можно рассматривать как
член мультиплета (8, 3)w, принадлежащий "/-спину 1 (и U-спину 0),
в то время как виртуальный фотон у0 аналогичен члену мульти-
плета (8, l)w [87]. Подобное отождествление позволяет производить
анализ процессов фото- и электророждения при помощи методов
"/-спина.
Применение SU (6)^,-симметрии приводит к следующим результатам.
а) Вспоминая, что для барионов W = S, W-i = S^, легко убе-
диться, что процессы распада ρ->2π, Ν*—>-Νπ разрешены SU(fi)w-
снмметрией.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 303
б) Рассеяние MB —> MB, упругое и неупругое. Из разложения
(3.25), примененного к мультиплетам 35 и 56, вытекает существо-
вание четырех независимых амплитуд. Это приводит ко многим со-
отношениям [87], но всегда для коллинеарных процессов.
1) Соотношения Джонсона — Треймана. Следует отметить, что
была показана независимость этих соотношений от конкретных форм
релятивистского расширения [56, 88].
2) Некоторые реакции запрещены, такие, как /С1 Ρ ->·К~Ν*',
Κ+Ρ-+Κ?Ν*++, и т. п.
3. Соотношения для системы с Υ = 2:
do (К+Р -* К*+Р) = \da (к+Р -* К°М*+ h) =
= 16 do (К°Р -> К0* Ρ) = ^-do {К°Р -> К+N).
4) Многие соотношения для амплитуд с Υ = 1 и 0. Отметим,
в частности (см. [238]),
do{n~P ->N*+) : do(n~P -> лЯЛГ0) : do (η~Ρ-► π+ΛΓ") = 2 : 9 : 24.
Некоторые предсказания относительно Μβ-рассеяния находятся в про-
тиворечии с экспериментом [89, 183].
5) О фоторождении см. [87], а также [108]. См., кроме того,
[184, 202].
в) О применении к нелептонным распадам см. [161].
г) Некоторые результаты для вершинных функций были устано-
влены в [51].
Ж. Заключение
На основании феноменологического изучения приближенных дина-
мических симметрии, содержащих статическую SU (б)-симметрию, мы
приходим к следующим выводам. Относительно главного вопроса —
включения барион-мезонных вершин — можно сказать, что рассмо-
трение вершин с точностью vjc возможно при дополнительном
допущении нестатической теории, заключающемся в том, что реля-
тивистски усиленное представление 56 остается полностью симметрич-
ным (§ 5, Г). Я полагаю, что с феноменологической точки зрения
эти вершины с точностью vjc понимаются не хуже и не лучше, чем
статические вершины, обсуждаемые в § 4. Начиная с порядка (vjc)2.
возникают трудности с унитарностью, которые делают в принципе
иллюзорными любые систематические феноменологические сравнения.
Те же сравнения, которые все-таки производятся, дают очень много
плохих результатов наряду, правда, с некоторыми интересными, та-
кими, как соотношения Джонсона - - Треймана, которые возникают

304
А. Пайс
вне зависимости от того, какое выбирается конкретное релятивистское
расширение. Процессы аннигиляции в два мезона до сих пор не при-
вели к каким-либо конструктивным выводам. Существуют, по-види-
мому, некоторые закономерности для процессов РР —>Ъ мезона
(в которых число триплетов и число антитриплетов сохраняется в от-
дельности!). Сохранится ли в будущем интерес к подобным процес-
сам, станет ясно, когда появятся соответствующие экспериментальные
данные по /W-процессу. Что касается соотношений между форм-
факторами, такими, как (5.17), то уместно поставить вопрос о том,
до какой степени они являются истинно релятивистскими в области
φ < (1 Baejcf (§ 5, В). Появилось несколько новых и интересных
методов, особенно метод "/-спина. Однако ответ на вопрос, поста-
вленный в (4.77), не привел к возникновению какого-либо интерес-
ного направления.
§ 6. АЛГЕБРА ТОКОВ ')
А. Введение
Этот параграф посвящен некоторым применениям алгебры токо-
вых коммутаторов [152] к динамике адронов. Указанный подход раз-
вивался до сих пор в двух достаточно самостоятельных направлениях.
I. Соотношения алгебры токов в соединении с некоторой допол-
нительной информацией (например, относительно экспериментальных
значений сечений рассеяния) использовались для вывода строгих пра-
вил сумм. Это направление очень многообещающе. В частности, на
этом пути было произведено приближенное вычисление абсолютной
величины \CA(CV\ [16, 2981.
II. Была предпринята попытка получить результаты SU (6)-сим-
метрии как свойства внутренней самосогласованности некоторых при-
ближенных решений соотношений алгебры токов. Этот подход на-
целивается на решение основной проблемы (§ 1, Б) (см. также § 4, К).
Положение здесь до сих пор не ясно. В частности, до настоящего
времени нет понимания того, в каком смысле решения считаются
приближенными.
Настоящий обзор был бы не полон без рассмотрения алгебры
токов, но по двум причинам эта часть должна быть предельно крат-
кой: во-первых, вследствие того, что мы здесь ограничиваемся только
теми применениями метода, которые имеют отношение к симметриям,
обсуждаемым в этой работе, и, во-вторых, потому, что в этом под-
ходе еще многие вопросы остаются открытыми.
') Этот параграф был написан в соавторстве с Бегом.

3 Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 305
Б. Алгебра токов U (12)
В (5.50) были определены величины Тк (К = 1 144), являю-
щиеся определяющими генераторами группы U (12). Генераторы Тк
удовлетворяют коммутационным соотношениям [см. (3.55)]
[Г*. TL[ = ifKLMTMi (6Л)
где /klm — структурные константы группы £/(12). Действуя на опре-
деляющее представление, равенство (6.1) превращается в матричное
соотношение между (Тк)ьа, а, Ь=\ 12. Матрицы (Тк)ьа —
эрмитовы.
Пусть ψ"(Χ, t) = \^A(x, t) (λ=1, 2, 3. 4, /1=1, 2, 3) обозна-
чает голый полевой оператор SU (З)-триплета частиц спина 1/2,
а ψβ+ — его эрмитово сопряжение. Эти операторы удовлетворяют
одновременным коммутационным соотношениям
[ψα+ (х, t), φ* (у, 01+ = Ьа»Ь (х — у). (6.2)
Определим 144 эрмитовы плотности тока:
JK (х, t) = ψ/ (х, t)(7*)6«Ф* (х- 0- (6.3)
Применяя не очень корректным образом равенство (6.2) и восполь-
зовавшись (6.1), получаем
[JK(x, t), JL(y. t)]_ = lfKLMJM(x, t)t>(x-
Определим
QK= | d3xJ(x, t).
Тогда
[J*(x. t), QL]=if><LMJM(x, t).
[QK, Qi] = ifKLMQM.
-y)·
(6.4)
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Однако известно [283], что приведенный выше «вывод» уравне-
ния (6.4) вызывает серьезные возражения. При более строгом под-
ходе в правой части (6.4) могут появиться сингулярные члены вслед-
ствие сингулярной природы билинейных произведений операторов ψ+
и ψ, взятых в одной и той же точке пространства-времени. В [283]
были рассчитаны конкретные примеры для некоторых специальных
случаев уравнения (6.4). На этой стадии изучение коммутаторов
токов разделилось на два направления.
а) Для тех случаев, для которых не было доказано обратного,
соотношения вида (6.4) вводятся как новый постулат [152]. Далее
абстрагируются от того факта, что соотношения (6.4) были перво-
начально подсказаны моделью кварков, и делают дополнительное
предположение [152], что соотношение (6.4) имеет место для всех
(а не только кварковых) плотностей тока, которые мы будем
20 Зак. 612

306
А. Пайс
продолжать обозначать ^(х, г). Какие именно плотности тока при
этом имеются в виду, определяется природой соответствующего пред-
ставления Тк.
Пример. Тк : τ3/2 (τ' — изоспин). JK — плотность изозаряда.
Обозначим через /3 соответствующий оператор QK [см. (6.5)]. Из
генераторов Тк:у5х112 получаются изозарядовые аксиальные повы-
шающие и понижающие плотности γ5τ±-)-γ5(τ1 ± гг2)/2. Обозначим
соответствующие операторы QK через Qa*. Тогда
[Q«+. Qe-] = 2/». (6.8)
Это как раз то соотношение, которое с успехом применялось при
вычислении |СЛ/СК| [16, 298J.
б) Отыскиваются специальные динамические условия, гарантирую-
щие по крайней мере для некоторых из равенств (6.4) отсутствие
в правой части дополнительных сингулярных членов [см., например,
[17], где, в частности, устанавливается для некоторых моделей соот-
ношение (6.8)]. Изучаются также неколлинеарные нейтринные реак-
ции с включением указанных дополнительных членов в те токовые
коммутаторы, для которых их существование не было опровергнуто
[18].
Замечания.
1) В уравнениях (6.6), (6.7) в результате интегрирования неко-
торые дополнительные сингулярности могут усредниться [так же как,
например, функция б'(х— у)]. Поэтому уравнение (6.6) может быть
более надежным, чем (6.4), а (6.7) может быть еще более надежным.
2) То обстоятельство, что уравнение (6.2) не зависит от масс
(вследствие его одновременного характера), привело к точке зре-
ния [152], что обобщенное уравнение (6.4) может остаться справед-
ливым также и при нарушении симметрии.
3) Плотность, соответствующая оператору /3, является четвертой
компонентой изовекторного 4-вектора. Подобным же образом опера-
тор <2α* соответствует четвертой компоненте изовекторного аксиаль-
ного вектора. Если генераторы Г-* пробегают все множество, опре-
деленное в (5.49), то мы получаем все инвариантные S-, V-, Т-,
А-, Р- плотности с автоматически учтенным множителем t, что обе-
спечивает эрмитовость. Например, выражение ψ^σ/^ψ равно —
'ψΥδΥ^Ψ· пространственной части аксиально-векторной и унитарно-
нонетной плотности. Группа f/ (12) уравнения (6.4) [100] есть поэтому
группа эрмитовых плотностей тока (см. также ниже § 6, Г).
4) Подгруппы группы i7(12) могут быть найдены тем же мето-
дом, который был использован в § 5, Г, для группы (7(6,6) (см.,
например, [114]). Действительно, группы t/(6, 6) и t/ (12) имеют те
общие подгруппы, которые содержатся в максимально компактной
подгруппе U (6) ® U (6) группы £7(6, 6) или совпадают с ней. Таким
образом, выяснение роли киральной или некиральной групп U(6) ®

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 307
(g U (6), или группы SU (6)^, или группы U (3) ® U (3) не является
особым свойством именно алгебры токов.
5) Группа Л/ (12) была также обнаружена [239] в другом физи-
ческом контексте как максимально компактная унитарная группа сим-
метрии кварк-антикварковых систем. Эта группа симметрии t/(12)
применяется с совершенно иной целью, именно для включения в рамки
данного супермультиплета состояний с различными барионными чис-
лами.
В. Применения
Рассмотрим в качестве примера уравнение (6.8). Из этого ура-
внения вытекает
2{(^a|Q«+|v)-(v|Qfl-|P9.)---<3«+^<?«~"}-(n|/3l^)· (6-9)
Здесь Ρ — протонное состояние с 4-импульсом q^ (или д'^), а ν —
полный набор промежуточных состояний. Для вычисления |СЛ/С^|
выделяют нейтронное состояние из набора ν и связывают весь остав-
шийся набор ν с нуклонным сечением вне массовой оболочки через
РСАС. Для наших целей важно следующее.
а) Правила сумм получены для каждого значения q0( = q{\. При
вычислении |СЛ/Су| иногда берется предел д0—>оо, но это не
существенно [298].
6) Рассмотрение полного набора ν дает \CAjCv\^s 1,2 [16, 298].
в) Если в интервале, определяющем сечение рассеяния, учесть
только область вблизи 33-резонанса, то это дает |СД/С(,|«5»1,44
[16]. Все эти результаты относятся к вычислениям упомянутого
выше типа I.
Чтобы перейти к вычислениям типа II, рассмотрим соотношения
(6.7) или какую-либо их часть. Как и в (6.9), заключим эти соот-
ношения, например, между состояниями барионного октета и рассмот-
рим такое дальнейшее приближение набора ν, в котором выбираются
не только возможные состояния барионного октета, но также и
декуплетные состояния нулевой ширины, вырожденные (или прибли-
женно вырожденные) с октетом, в духе приближенной SU ((^-сим-
метрии.
Вся информация о рассеянии теперь потеряна. Вместо этого ста-
вится вопрос [215, 100], существуют ли самосогласованные решения
подобной системы уравнений (не тождеств), получаемой из (6.7),
если в наборе ν ограничиться рассмотрением только состояний
56-плета («одночастичное насыщение» промежуточных состояний).
Выбранное для этой цели подмножество генераторов соответст-
вует киральной группе t/(6)(&£/(6) [215, 100], но можно также
20*

308
А. Пайс
рассматривать меньшее подмножество (см. [67, 240, 265]). Таким спо-
собом были получены самосогласованные решения \CAjCv\ = 5/3,
\DjF | = 3/2· Эти решения включают в себя результаты St/(6)-Teo-
рии gjjgv = 5/3. DIF — 3I2- При этом нет необходимости в явном
использовании массового вырождения N* — N. (Это было справед-
ливо также и для первоначального вывода, см. § 4, Е.)
В связи с этим результатом возникает общий вопрос, могут ли
все результаты SU (б)-теории быть получены из правил сумм, подоб-
ных (6.4), и связаны ли они с этими правилами выбором определен-
ных состояний в промежуточном наборе v. Это кажется возможным.
Например, характерные результаты для магнитных моментов 56-плета
могут быть получены, если взять матричные элементы операторов
магнитного момента только между состояниями 56-плета. Действи-
тельно, подобные матричные элементы являются как раз коэффи-
циентами Клебша — Гордана группы U (12) или той ее специальной
подгруппы [например, SU(6)w], которая существенна для вычисления
вершин.
Возникает вопрос, узнали ли мы что-либо действительно новое
из подобного одночастичного насыщения. В этой связи важна сле-
дующая теорема [90]. Если допустить [100], что матричные элементы
насыщаются состояниями, принадлежащими тому же самому предста-
влению группы SU (&)w, то эта группа была бы группой гамильто-
ниана. Таким образом, предположение о насыщении эквивалентно
более ранним результатам и связано с теми же трудностями, но сфор-
мулировано на другом языке, и основная проблема остается откры-
той. См. также [286]. Понятие «приближенное насыщение» в*едет
к осложнениям [90]. Более того, одинаковое применение одночастич-
ного насыщения для всех #μ также связано с трудностями [201].
Можно также действовать другим путем, не вводя явного пред-
положения о насыщении, но надеясь, что высшие состояния набора ν
в коммутаторе сокращаются таким образом, что в результате
вытекают желаемые результаты SU (б)-теории [215]. Теперь все
доказательство сводится к демонстрации того, что подобное сокра-
щение действительно имеет место.
Имеется много других интересных предсказаний, сделанных на
основании алгебры коммутаторов в соединении с ограничением в на-
боре ν только одночастичными состояниями. К ним относится пред-
сказание о зарядовом радиусе протона [215, 100]. Но при этом воз-
никают также новые вопросы. При каких динамических условиях
алгебра является самосогласованной (вопрос о дополнительных син-
гулярностях)? До какой степени алгебра исчерпывает динамическую
информацию? Можно ли установить смысл приближения, совершае-
мого при вычислениях с использованием одночастичных состояний,
если учесть степень уменьшения влияния высших состояний в ком-
мутаторе?

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 309
Г. Приложение. Группа симметрии i/(6,6), группа токов i/(12) и
группа Ci(12, С)
Следующее замечание математического характера, быть может,
будет способствовать пониманию того, каким образом такие различ-
ные 12-мерные группы, как некомпактная псевдоунитарная группа
U (6, 6) и компактная унитарная группа U (12), возникают при иссле-
довании свойств сильно взаимодействующих частиц.
Рассмотрим четыре 2Х2-матрицы σμ=(σ, 1) с матричными эле-
ментами от„*\ Легко видеть, что
Σ σ„„μσΓ/ = 26μ А,. (6.10)
μ
С помощью этого соотношения и уравнения (5.48) можно получить
аналогичное соотношение для 16 дираковских матриц. В самом деле,
легко показать следующее [например, с помощью (3.56), (3.57)].
Пусть Г* — эрмитовы ОГ унитарной группы U (N), изображае-
мые матрицами (Гх)тп; X = 1, ..., Ν2; т, я = 1, .... N. Норми-
руем эти матрицы таким образом, чтобы след Sp(rx)2 не зависел
от X. Тогда
SrraBArMJf = const6mi6r„. (6.11)
где константа определяется значением Sp^*)2.
Уравнение (6.11) инвариантно относительно преобразований подо-
бия
r*->S_,r*S. (6.12)
где 5 — любая несингулярная матрица с комплексными значениями.
Таким образом, группа уравнения (6.11) есть группа GL(N, С).
Преобразованные генераторы Vх остаются эрмитовыми, разумеется,
только для тех S, которые принадлежат U (N).
При Λ/—12 рассмотрим следующие специальные случаи выбора
операторов 5.
1) Операторы 5 удовлетворяют условиям, налагаемым на группу
U (6, 6).
55=1, S = v4S+Y4· (6-13)
Умножая (6.11) на фт(х)ф, (у)ψ, (κ)ψ^(ν), где ф„—оператор реля-
тивистского кваркового поля, а ф„ = ψ„+γ4> получаем выражение
Σψ(*)ΓΧΨ(3')-Ψ(β)Γ*φ(«) = φ(*)[φ<(3»)φ'(Β)]φ(«), (6.14)
х
представляющее собой тождество для токов в U (6, 6)-теории (в квар-
ковом случае). Соответствующий билинейный инвариант ф(л;)ф(х)

310
А. Пайс
есть «массовый член». Отметим, что ψ (у) ΓΧψ (у), вообще говоря,
не является эрмитовой плотностью. Заменяя группу St/(3) единицей,
получаем соотношения, соответствующие группе U (2, 2). Соотноше-
ния этого рода были давно известны [247].
2) Операторы S удовлетворяют условиям, налагаемым на группу
S*S=l. (6.15)
Умножая (6.11) на фт+ (х) ψ„ (у) ψΓ+ (и)ф5 (ν), получаем равенство
2 Ψ+ (х) Γ*ψ (у) ■ V («) Γ*Ψ (ν) = ψ+ (х) [ψ (у) ψ+< («)] ψ (ν), (6.16)
представляющее собой тождество в £/(12)-теории для нелокальных
плотностей тока. Соответствующий билинейный инвариант ψ+(х) ψ (jc)
не играет какой-либо особой роли. [По поводу связи между унитар-
ными и псевдоунитарными токами см. уравнения (3.93) и (3.94).]
Отметим, что группа i/ (12) действует только на тензорные инде-
ксы [подобно группе U (6, 6)], а не на аргументы полей (или опе-
раторов поля) типа х.
§ 7. ТЕОРЕМЫ ЗАПРЕТА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ
КИНЕМАТИЧЕСКИХ СИММЕТРИИ
К тому времени, когда начала развиваться теория S£/^-симмет-
рии, уже было известно несколько теорем, показывающих, что при
довольно общих условиях объединение группы Пуанкаре и группы
внутренней симметрии может быть выполнено без нарушения неко-
торых общепринятых физических принципов только тривиальным
образом в виде прямого произведения.
Говоря языком § 2, Б, эти теоремы применимы к приближенным
кинематическим симметриям. Как было там отмечено, взятие предела
«константа связи—>0» является релятивистски инвариантной опера-
цией. Отсюда вытекает, что теоремы запрета могут быть применены
к этому предельному случаю. Если в подобной предельной теории
возникают противоречия, то (в кинематическом случае) они не оправ-
дываются тем обстоятельством, что в реальной теории симметрия
нарушена. Противоречия тогда относились бы и к реальной теории.
Теоремы запрета не имеют отношения к приближенным симмет-
риям динамического типа. В этом случае симметрия возникает
в результате приближения, которое само не определено ковариант-
ным образом. Тогда не имеет смысла применять в предельной тео-
рии симметрию, содержащую полную группу Пуанкаре. К этому
классу принадлежат статическая группа SU (6) и обсуждаемые в § 5
динамические группы, содержащие статическую группу SU (6).
Ни размеры этой статьи, ни компетенция ее автора не позволяют
подробно обсудить все то, что было достигнуто при изучении теорем

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 311
запрета. Однако, поскольку эти теоремы внесли столь большой вклад
в общую веселую путаницу последних дисскуссий относительно
имеющихся в наличии симметрии и поскольку они имеют большое
значение для будущих связанных с симметриями логических схем,
по-видимому, уместно упомянуть здесь хотя бы несколько примеров.
(О деталях см., например, [181, 285, 241]). В этих строгих теоре-
мах применяется точное определение операции симметрии: это есть
одно-однозначное соответствие, которое любому физически реализуе-
мому состоянию сопоставляет другое подобное состояние, причем
таким образом, что при этом сохраняются все вероятности перехо-
дов [276].
Некоторые теоремы запрета были получены как ответ на сле-
дующий вопрос. В традиционном подходе к внутренним симметриям
предполагается, что объединенная группа симметрии имеет вид пря-
мого произведения Τ (gi Ρ (Τ — внутренняя группа симметрии, Ρ —
группа Пуанкаре) в кинематическом пределе, в котором симметрия Τ
является точной. Как следствие этого, все частицы в Г-мультнплете
должны иметь одинаковые массы. Можно ли получить группу сим-
метрии G, содержащую (в кинематическом пределе) группы Τ и Р, но
не в виде прямого произведения, так что использование подобной
группы G привело бы к возможности объединенного описания час-
тиц с различными массами?
Рассмотрим прежде всего случай, когда группа Τ является полу-
простой группой с генераторами ТА; набор генераторов группы G
состоит из объединенного набора генераторов Τ Α и десяти генерато-
ров L[ группы Р. Здесь возможен один из следующих двух путей
развития теории.
1) Введем дополнительное предположение, что [ТА, 7μν]=0, где
шесть генераторов 7μν образуют подмножество генераторов Lt, соот-
ветствующее однородной группе Лоренца. Из этого предположения
следует [225]> что также [Тд, Р]=0, где четыре генератора
Ρμ — это операторы трансляций, так что опять имеет место G = ТфР.
2) Введем дополнительное предположение, что [На, £г] = 0.
Здесь операторы На принадлежат максимально коммутирующей
подалгебре генераторов ТА. С помощью этих операторов вводятся
(аддитивные) квантовые числа, соответствующие Г-симметрии [см.
уравнение (3.57)]. Из этих предположений также следует, чтоО =
= Т®Р [92] (см. также [289]).
Таким образом, выражаясь физическим языком, лоренц-инвариант-
ности внутренних квантовых чисел достаточно для доказательства
того, что все члены мультиплета должны иметь одинаковую массу и
спин. Две только что упомянутые теоремы могут быть также при-
менены в том случае, когда группа Τ является произвольной ком-
пактной группой. Доказательство этих теорем не исключает [225,

312
А. Пайс
92] возможности появления каких-либо новых особенностей в том
случае, если число генераторов группы О больше, чем то, которое
было указано выше.
Следующий важный шаг в ослаблении условий, налагаемых на
группу G, содержится в следующей теореме [242]. Пусть G— группа
Ли конечного порядка, содержащая Ρ в качестве своей подгруппы.
Неприводимые представления группы G действуют в гильбертовом
пространстве. Как массовый оператор Ρμ2, так и его любые степени
предполагаются самосопряженными в этом гильбертовом пространстве.
Тогда спектр оператора Ρμ2 либо состоит из отдельной точки, либо
является непрерывным. (Не было показано, что случай непрерывного
спектра в действительности реализуем.)
Впоследствии эта теорема была еще более усилена следующим
образом [264]. Пусть опять G — группа Ли конечного порядка,
алгебра Ли которой содержит в качестве подалгебры алгебру Ли
группы Р. Тогда для любого неприводимого представления группы G
оператор Ρ 2 не может обладать более чем одним собственным зна-
чением.
Таким образом, для случая группы Ли конечного порядка не-
известно каких-либо возможностей избежать структуры Τ §ь Р.
Не найдено никаких общих теорем о бесконечнопараметрических
группах, но подобные группы, по-видимому, не слишком привлека-
тельны по другим причинам. К одной из теорем запрета подобного
типа относится результат [181], упомянутый в § 4, А.
Наконец, следовало бы отметить гипотезу [93], которая была
высказана для случая, когда кинематическая группа G есть связная
группа Ли „с конечным числом частиц". Последнее означает, что
a) G Z3 Р, б) группа G имеет по крайней мере одно локально точное
унитарное представление, которое относительно группы Ρ разлагается
на прямую сумму конечного числа представлений группы Ρ с поло-
жительными массами, меньшими Μ (где Μ — произвольная конечная
масса). Гипотеза состоит в том, что любая связная группа Ли „с ко-
нечным числом частиц" локально изоморфна группе Τ $ Ρ', где
Τ — компактная группа Ли, а Р'—тривиальное обобщение группы Р.
Эта гипотеза была доказана для случая, когда группа G локально
изоморфна полупрямому произведению полупростой груп ш Ли и
абелевой группы (последняя содержит операторы Ρμ); Hi известно
каких-либо численных примеров, иллюстрирующих сформулированную
гипотезу.
§ 8. ВОПРОСЫ
Многие из вопросов, собранных в этом заключительном пара-
графе, уже встречались в предыдущих частях настоящего обзора.
а) В объяснении различия между кинематическими и динамическими
симметриями, возможно, оказалась полезной аналогия, взятая из атом-

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 313
ной физики. Ясно, однако, что это различие может быть полностью
абстрагировано от вопроса о возможной субструктуре барионов или
мезонов. Тем не менее остается вопрос: существует ли подобная
субструктура по отношению к первичной материи? Могла бы подобная
материя обладать необычными свойствами (такими, как парастатистика),
которые „усреднялись" бы для обычных адронов? Что же касается
того, являются ли триплеты ответом на этот вопрос или нет, то мы
видели, что здесь должен возникнуть еще один вопрос: является ли
группа SU (3) наибольшей группой внутренней симметрии?
б) Верно ли вообще, что SU (З)-симметрия является приближен-
ной симметрией кинематического типа? Существует также (быть может,
связанный с этим) чисто технический вопрос: почему все высшие
симметрии, степень применимости которых была выяснена, дают
лучшие результат для массовых соотношений и вершин и гораздо
худшие—для амплитуд рассеяния и т. п.? Термин „высшая симметрия"
здесь означает, что имеется в виду симметрия более высокая, чем
прямое произведение групп изоспина и гиперзаряда. А эти две
последние симметрии относятся ли к кинематическому типу?
в) Существуют ли другие возможности понимания симметрии
в физике элементарных частиц, чем рассмотренный ранее путь при-
ближений? (Лоренц-инвариантность глобально, при наличии гравита-
ционного взаимодействия, является приближенной. И все же она
является точной симметрией в локальных инерциальных систе-
мах!)
г) Основная проблема (§ 1, Б) является до сих пор открытой.
Не было показано, что алгебра токов, несмотря на все ее успехи
в получении правил сумм, позволяет получить ответ на этот вопрос.
Можно ли показать, когда в этом появится необходимость, что
вклады высших промежуточных состояний при подстановке в комму-
таторы уничтожаются, причем иногда с очень высокой степенью
точности?
д) Внутреннее нарушение некоторых рассмотренных здесь сим-
метрии кинетическим членом напоминает приближения сильной связи
[243, 29], когда члены, описывающие взаимодействия, диагонали-
зуются первыми. В старомодных вычислениях теории сильных вза-
имодействий некоторые массы полагаются с самого начала равны-
ми бесконечности. Можно ли получить некоторые динамические
симметрии в приближениях сильной связи, оставляя массы конечными
[91]?
е) До какой степени для феноменологического описания полезны
другие динамические симметрии, кроме статической SU (6)? Говорит ли
независимость некоторых отношений формфакторов от д2 о прибли-
женной справедливости формализма "/-спина или эту ^-независимость
[для д2^. 1 (Бэв'с)2] следует объяснять как свойство статических
распределений заряда и магнитного момента?

314
А. Пайс
Являются ли некомпактные алгебры полезным инструментом
в физике элементарных частиц [109, 91]?
ж) Существуют ли перед теоремами запрета какие-либо альтер-
нативы ситуации: внутренняя группа симметрии "g), группа Пуанкаре?
ЛИТЕРАТУРА
1. Abarbanel H., Cal I an С, Phys. Letters, 16, 191 (1965).
2. Ахиезер А. И.. Р екало M. П., Письма ЖЭТФ, 1, 29 (1965).
3. An i so vich V. V. et al., Phys. Letters, 16, 194 (1965).
4. Albright С H., Liu L. S., Phys. Rev. Letters, 13, 673 (1964); 14,
324, 532 (E) (1965).
5. Albright С. H., Liu L. S., Phys. Rev., 140, B748 (1965).
6. Akyea mpong D. A., Delbourgo R., Phys. Rev., 140, B1013
(1965).
7. A11 a r e 11 i G., В u с с e 11 a F., G a 11 о R., Phys. Letters, 14, 70
(1965).
8. Alles W., Phys. Letters, 16, 359 (1965).
9. Alles W., Segre G., Phys. Letters, 15, 94 (1965).
10. A d e m о I I о M., A 11 a r e 11 i G., G a 11 о R., Phys. Rev. Letters, 14, 420
(1965).
11. Alfaro V. de, Tomozawa Y., Phys. Rev., 138, B1193 (1965).
12. A 11 a r e 11 i G., В u с с e 11 a F., P г e p a r a t a G., G a 11 о R., Phys. Let-
ters, 16, 174 (1965).
13. Al tar ell i G., Prep ara ta G., Gatto R., Nuovo cimento, 37, 1817
(1965).
14. Al 1 e s W., A m a t i D., Nuovo cimento, 39, 758 (1965).
15. Ailes W., В or chi E., Martucci G., Gatto R., Phys. Letters, 17,
328 (1965).
16. Adler S., Phys. Rev. Letters, 14, 1051 (1965); Phys. Rev., 140, B736
(1965).
17. A d 1 e r S.. С а 11 a n С. G., Cern Report Th. 587 (1965).
18. Adler S., Phys. Rev., 143, 1144 (1966).
19. Азимов Я-, Анисович В., Ансельм А., Данилов Г., Дят-
лов И., Письма ЖЭТФ, 2, 68 (1965).
20. Albright С. H., Liu L. S., Phys. Rev., 140, B1611 (1965).
21. Behrends R. E., Dreitlein J., Fronsdal C., Lee B. W., Rev.
Mod. Phys., 34, 1 (1962) (статья 2 настоящего сборника).
22. В air d G. E., Bi edenharn L. С, Journ. Math. Phys., 4, 1449
(1963).
23. В i e d e n h a r n L. С., Journ. Math. Phys., 4, 436 (1963).
24. В é g M. A. В., R u e g g H., Journ. Math. Phys., 6, 677 (1965).
25. Bég M. A. В., Singh V., Phys. Rev. Letters, 13, 509 (1964).
26. Bég M. A. В., Sing V., Phys. Rev. Letters, 13, 418, 601 (E) (1964).

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 315
27. В a i r d G. E., В i e d e n h a r n L. C, Proceedings of the Coral Gables
Conference, San Francisco, 1964, p. 58.
28. Вég M. А. В., P a i s A., Phys. Rev., 137, B1514 (1965).
29. Bég M. А. В., Lee В. W., Pais A., Phys. Rev. Letters, 13, 514.650(E)
(1964).
30. Bég M. А. В., P a i s A., Phys. Rev., 138, B692 (1965).
31. Borchi E., Gatto R., Phys. Letters, 14, 352 (1965).
32. В a mes V. E. et al., Phys. Rev. Letters, 15, 322 (1965).
33. В a d i e r J. et al., Phys. Letters, 17, 337 (1965).
34. В i e d e n h a r n L. C, N u y t s J., S 1 r a u m a n n N., Phys. Letters, 16,
92 (1965).
35. В a d i e r S., В о u с h i a t С, Phys. Letters, 15, 96 (1965).
36. В a r d a к с i К., Cornwall J., Freund P., Lee В. VV., Phys. Rev.
Letters, 13, 698 (1964); 14, 48 (1965).
37. В a r d а к с i К-, Cornwall J., Freund P., Lee В. VV., Phys. Letters,
15, 79 (1965).
38. Вес chi C, Morpurgo G., Phys. Letters, 17, 352 (1965)
39. Bég M. A. В., Pais A., Phys. Rev. Letters, 14, 51 (1965).
40. Весе hi С, Morpurgo G., Phys. Rev., 140, B687 (1965).
41. Биленький С. М. и др., Доклады Международной конференции по
физике высоких энергий, Дубна, Е-2156 (1965).
42. Babu P., Phys. Rev. Letters, 14, 166 (1965).
43. Borchi E., Buccella F., Gatto R., Phys. Rev. Letters, 14, 507
(1965).
44. В u с с e 11 a F., M a r t u с с i G., Gatto R., Nuovo cimento, 37, 782
(1965).
45. В e 1 i n f a n t e J. G., С u t с о s k y R. E., Phys. Rev. Letters, 14, 33
(1965).
46. В 1 a 11 J., VV e i s s k о p f V.. Theoretical Nuclear Physics, New York,
1952, p. 30.
47. Боголюбов H. H. и др.. Доклады Международной конференции по
физике высоких энергий, Дубна, Д-1968, Д-2015, Д-2141 (1965).
48. Bég M. A. В., Pais A., Phys. Rev. Letters, 14, 267 (1965).
49. Бозе С. К., Ширков Ю. М., Phys. Rev. Letters. 14, 398 (1965).
50. В а с r y H., N u y t s J., Nuovo cirnento, 37, 1702 ( 1965).
51. Barnes К., С a rr ut her s P., von Hippel F., Phys. Rev. Letters,
16, 92 (1965).
52. В a r d a k с i K-, Cornwall J., Freund P., Lee B. VV., Phys. Rev.
Letters, 14,264 (1965).
53. В arg mann V., Wigner E. P., Proc. Natl. Acad. Sei., 34, 211
(1948).
54. Barnes K., Phys. Letters, 1, 166 (1962).
55. Barnes K., Phys. Rev. Letters, 14, 798 (1965); Phys. Rev., 140, B1355
(1965).
56. Bég M. A. В., Pais A., Phys. Rev. Letters, 14, 509, 577(E) (1965).

316
А. Пайс
57. Blankenbecler R., Goldberger M., Johnson K.. Trei-
man S, Phys. Rev. Letters, 14, 515 (1965).
58. Bel I J. S., Cern Report Th. 573 (1965).
59. Б о к о в О., H i e u N. V.. Р е р и к л и К.. X е л а ш в и л и А., Доклады
Международной конференции по физике высоких энергий, Дубна, Р-2283
(1965).
60. В arg er V., Rubin M. H., Phys. Rev. Letters, 14, 713 (1965).
61. Binford T.. Cline D.. Olsson M., Phys. Rev. Letters, 14, 715
(1965).
62. Buccella F., M art tic ci G., Gatto R., Phys. Letters, 17, 333
(1965).
63. В a 11 a y С. et al., Phys. Rev. Letters, 15, 532 (1965).
64. Bar ash N. et al., Phys. Rev., 139, В1659 (1965).
65. В a 11 a y С. et al., Phys. Rev., 140, В1039 (1965).
66. В a 11 a y С. et al., Phys. Rev., 140, В1042 (1965).
67. В e r g i a S., L a n n о у F. G., Cern Report Th. 623 (1965).
68. В arger V., Rubin M. H., Phys. Rev., 140, В1366 (1965).
69. Bell J. S., Ruegg H., Nuovo cimento, 39, 1166 (1965).
70. Badier S., Bouchiat C., Nuovo cimento, 39, 1183 (1965).
71. Condon E. U., Short ley G. H., The Theory of Atomic Spectra, New
York, 1951. (См. перевод: E. Кон до и, Г. Шор тли. Теория атомных
спектров, ИЛ, 1949.)
72. Carter J. С, Coyne J. J., Meshkov S. Phys. Rev. Letters, 14, 523,
580(E) (1965).
73. Cook С L., Murtaza G., Nuovo cimento, 39, 531 (1965).
74. Chan С H., Sarker A. Q., Phys. Rev. Letters, 13, 731 (1964).
75. Coleman S„ Gl as how S., Phys. Rev. Letters, 6, 423 (1961).
76. Coop er W. A. et al., Phys. Letters, 8, 365 (1964).
77. Capps R. H„ Koerner J., Phys. Rev. Letters, 15, 320 (1965).
78. С a b i b b о N.. Phys. Rev. Letters, 10, 531 (1963).
79. С I i n e D., О 1 s s о n M., Phys. Letters, 17, 340 (1965).
80. Capps R. H., Phys. Rev. Letters, 14, 31, 456 (1965).
81. Cicogna G., Fabri E., Picasso L., Nuovo cimento, 37, 765
(1965).
82. Cas tell L., Phys. Rev. Letters, 14, 753 (1965).
83. Charap J., Matthews P., S al am A., Strathdee J., Phys. Let-
ters, 15, 184 (1965).
84. Chan С. H., Sarker A. Q., Phys. Rev., 139, B626 (1965).
85. Cornwall J-, Freund P., Mahanthappa K., Phys. Rev. Letters,
14, 515 (1965).
86. Chang N. P., Shpiz J. M., Phys. Rev Letters, 14, 617 (1965).
87. Carter J. С et al., Phys Rev. Letters, 15, 373, 768(E) (1965).
88. Charap J. M., Matthews P. T., Phys. Letters, 16, 95 (1965).
89. Cini M., Phys. Letters, 19, 251 (1965).
90. Coleman S., Phys. Letters. 19, 144 (1965).

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 317
91. Cook T., Goebel С. J., Saklta В., Phys. Rev. Letters, 15, 35
(1965).
92. С о е s t е г F., H a m е г m e s h M, M с G 1 i n n VV. D., Phys. Rev., 135,
B451 (1964).
93. Coleman S., Phys. Rev., 138, В1262 (1965).
94. Duimio F., Scotti A., Phys. Rev. Letters, 14, 926 (1965).
95. Долгов А. Д., Окунь Л. Б., П о м е р а н ч у к И., Соловьев В. В.,
Phys. Letters, 15, 84 (1965).
96. Dyson F. J., Xu on g N. H., Phys. Rev. Letters, 13, 815 (1964); 14,
339(E) (1965).
97. Dalitz R. H., Report to the Oxford Conference (September 1965).
98. D el bo u r go R., Sal a m A., Strathdee J., Phys. Rev., 138, B420
(1965).
99. Dunning J. R. et al., Phys. Rev. Letters, 13, 631 (1964).
100. D ashen R. F., G ell-Mann M., Phys. Letters, 17, 142, 145 (1965).
101. Delbourgo R., Rashid M., Salam A., Strathdee J., в книге
High Energy Physics and Elementary Particles, Vienna, 1965, p. 455.
102. Delbourgo R., Phys. Letters, 15, 347 (1965).
103. Delbouigo R., Rashid M., Strathdee J., Phys. Rev. Letters, 14,
719 (1965).
104 D а о Wong Due, С а о Chi, Доклады Международной конференции
по физике высоких энергий, Дубна, Р-2208 (1965).
105. Delbourgo R., Rashid M., Proc. Roy. Soc, 286A, 412 (1965).
106. Delbourgo R., Leung Y., Rashid M., Strathdee J., Phys.
Rev. Letters, 14, 609 (1965).
107. Dyson F. J., Xuong N. H., Phys. Rev. Letters, 14, 655 (1965).
108. Dietz К., Drechsler VV., Nuovo cimento, 40, 634 (1965).
109. Dothan Y., Gell-Mann M.. Ne'eman Y., Phys. Letters, 17, 148
(1965).
ПО. Engl er t F., В rout R., Phys. Rev. Letters, 12, 682 (1964).
111. Fano U.Racah G., Irreducible Tensorial Sets, New York, 1959, ch. 2.
112. Franz in i P., Radicati L. A., Phys. Letters, 6, 322 (1962).
113. Ferro-Luzzi M. et al., Phys. Letters, 17, 155 (1965).
114. F e y n m a n R. P., G e 11 - M a n n M., Zweig G., Phys. Rev. Letters,
13, 678 (1964).
115. Freund P. G., Lee B. W., Phys. Rev. Letters, 13, 592 (1964).
116. Foldy L., Wouthuysen S., Phys. Rev., 78, 29 (1950).
117. Foldy L., Phys. Rev., 122, 275 (1961).
118. F u 11 о n T., VV e s s G., Phys. Letters, 14, 57, 334 (1965).
119. Fulton T., Wess G., Phys. Letters, 15, 177 (1965).
120. Freund P. G. O., Phys. Rev. Letters, 14, 803 (1965).
121. Ferrari R., Konuma M., Phys. Rev. Letters, 14, 378 (1965).
122. Freund P. G. О., О eh me R., Phys. Rev. Letters, 14, 1085 (1965),
123. Freund P. G. O., Lo S. Y., Phys. Rev., 140, B927 (1965)
124. Franzini P., Lectures at Erice (September 1965).

318
А. Пайс
125. F ub i ni S., Fur Ian G., Rossetti D., Nuovo cimento, 40, 1171
(1965).
126. Gell-Mann M., Ne'eman Y., The Eightfold Way, New York, 1964.
127. Gell-Mann M., Phys. Letters, 8, 214 (1964).
128. Gürsey F., Radicati L. A., Phys. Rev. Letters, 13, 173 (1964).
129. Gürsey F., Pais A., Radicati L. A., Phys. Rev. Letters, 13, 299
(1964).
130. G ü r s e y F., L e e T. D., N a u e n b e r g M., Phys. Rev., 135, 467
(1964).
131. Goldberg M. et al., Phys. Rev. Letters, 12, 546 (1964).
132. Go I dberg M. et al., Phys. Rev. Letters, 13, 249 (1964).
133. Gyuk I. P., Tuan S. F-, Phys. Rev. Letters, 14, 121 (1965).
134. G y uk I. P., Tuan S. F., Phys. Rev., 140, B164 (1965).
135. Griff ith R. W., Phys. Rev., 139, B667 (1965).
136. Gl a show S., Socolow R., Phys. Rev. Letters, 16, 329 (1965).
137. Ginibre J., Journ. Math. Phys., 4, 720 (1963).
138. Gourdin M., Salin Ph., Nnovo cimento, 27, 193 (1963).
139. Гешкенбейн Б. В., Phys. Letters, 16, 323 (1965).
140. Гешкенбейн Б. В., Письма ЖЭТФ, 1, 127 (1965).
141. Green berg О. W., Phys. Rev. Letters, 13, 598 (1964).
142. Greenberg О. W., Proceedings of the Conference on Mathematical
Theory of Elementary Particles, Dedham, Mass., 1965 (в печати).
143. Greenberg О. W., Phys. Letters, 19, 423 (1965).
144. Гедалин Е. В., Канчели О., Матинян С. Письма ЖЭТФ, 1,
131 (1965).
145. Gürsey F., Phys. Letters, 14, 330 (1965).
146. G al bra ith W. et al., Phys. Rev., 138, B913 (1965).
147. Gell-Mann M., Phys. Rev. Letters, 14, 334 (1965).
148. Ger st ein 1. S., Phys. Rev. Letters, 14, 453 (1965).
149. Griffiths D., Welling D., Phys. Rev. Letters, 14, 874 (1965).
150. Гедалин E., Канчели О., Матинян С., Письма ЖЭТФ, 1, 93
(1965).
151. Гешкенбейн Б., Иоффе Б., Маринов М., Рогинский В.,
Phys. Letters, 16, 347 (1965).
152. Gell-Mann M., Phys. Rev., 125, 1064 (1962); Physics, I, 63 (1964).
153. Gat to R„ Mai a ni L., Preparata G., Phys. Rev., 140, B1579
(1965); 142, 1135 (1966); Nuovo cimento, 39, 1192 (1965).
154. Hamermesh M., Group Theory, Mass., 1962. (См. перевод: M. Xa-
мермеш. Теория групп и ее применение к физическим проблемам,
изд-во «Мир», 1966.)
155. Нага ri H., в книге High Energy Physics and Elementary Particles,
Vienna, 1965, p. 353.
156. Ha g en С R., Macf arlane A. J., Journ. Math. Phys., 6, 1355 (1965).
157. Hagen С R., Macf arlane A. J., Journ. Math. Phys., 6, 1366
(1965).

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 319
158. Helga son S., Differential Geometry and Symmetric Spaces, New York,
1962. (См. перевод: С. Хелгасон, Дифференциальная геометрия и
симметрические пространства, изд-во «Мир», 1964.)
159. Harari H., Lipkin H. J., Phys. Rev. Letters, 14. 570, 850(E) (1965).
160. H u w e D. O., UCRL 11291 (1964).
161. Horn D. et al., Phys. Rev. Letters, 14, 717 (1965).
162. Han M. Y., Nambu Y., Phys. Rev., 139, В1006 (1965).
163. Hill D. A. et al., Phys. Rev. Letters, 15. 85 (1965).
164. H ara Y., Phys. Rev., 139, B134 (1965).
165. Harari H., SLAC-PUB-148 (1965).
166. Harari H., Lipkin H. J., Phys. Rev. Letters, 15, 983 (1965).
167. Harari H., Lipkin H. J., Phys Rev., 140, В1617 (1965).
168. H u ss ai n F., Phys. Letters, 15, 78 (1965).
169. Harari H„ Phys. Rev. Letters, 14, 1100 (1965).
170. Hi eu N. V., Tu F. К-, Доклады Международной конференции по фи-
зике высоких энергий, Дубна, Р-1991, Р-2338 (1965).
171. Harari Н„ Horn D.. Kugler M.. Lipkin H., Meshkov S.,
Phys. Rev., 140, B431, B1003 (1965).
172. Hi eu N. V., Тавхелидзе А., Доклады Международной конферен-
ции по физике высоких энергий, Дубна, Е-2247 (1965).
173. Harari H., Lipkin H., Phys. Letters, 15,286 (1965).
174. H а г a Y„ Phys. Rev. Letters, 14, 603 (1965).
175. Hussian F., Rotelli P., Phys. Rev. Letters, 16, 183 (1965); Phys.
Rev., 142, 1013 (1966).
176. Harari H., Lipkin H., Meshkov S., Phys. Rev. Letters, 14, 845
(1965).
177. Iso C, Kato M., Nuovo cimento, 37, 1734 (1965).
178. Ike da M., Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), 32, 178 (1964).
179. It oh C, Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), 34, 318 (1965).
180. Jahn H, van Wieringen H., Proc. Roy. Soc, A209, 502 (1951).
181. J о r d a n T. F., Phys. Rev., 139, B149 ( 1965).
182. Johnson K., Treiman S. В., Phys. Rev. Letters, 14, 189 (1965).
183. Jackson J. D., Phys. Rev. Letters, 15, 990 (1965).
184. Jen g о R., Odorico R., Nuovo cimento, 39, 1183 (1965).
185. Klein A., Journ. Math. Phys., 4, 1283 (1963).
186. Kleima D., Диссертация, Groningen (1965).
187. Kalbfleisch G. R. et al., Phys. Rev. Letters, 12, 527 (1964).
188. Kalbfleisch G. R. et al., Phys. Rev. Letters, 13, 349 (1964).
189. Kim J. К-, Диссертация, Columbia University (1965).
190. Kim Y. S., Oneda S., P a t i J. C, Phys. Rev., 135, B1076 (1964).
191. Kuo T. K-, Y а о Т., Phys. Rev. Letters, 13, 418 (1964).
192. Kuo T. K- Yao T., Phys. Rev. Letters, 14, 79 (1965).
193. Kantor P., Kuo T. K., Peierls R., Trueman L., Phys. Rev., 140,
В1008 (1965).
194. Kawarabayashi K., Phys. Rev. Letters, 14, 86, 169(E) (1965),

320
А. Пайс
195. Kawarabayashi К., White R., Phys. Rev. Letters, 14, 527 (1965).
196. Khanna M. P., Phys. Rev. Letters, 14, 711 (1965).
197. Kuo T. K., Radicati L. A., Phys. Rev, 139, B746 (1965).
198. Кадышевский В. и др.. Phys. Letters, 15, 180 (1965).
199. Ketley I. J, Phys. Letters, 16, 340 (1965).
200. Konuma M, Remiddi E., Phys. Rev. Letters, 14, 1082 (1965); 15,
89(E) (1965).
201. Khanna M. P., О k u b о S., Mukunda N, University of Rochester
Report UR 875-96 (1965).
202. KupschJ, Nuovo cimento, 40, 287, 640 (1965).
203. L i 111 e w о о d D. E, Theory of Group Characters, Oxford, England,
1950.
204. London G. W. et al., Phys. Rev., 143, 952 (1966).
205. Lindsay J. S, Smith G. A, Bull. Amer. Phys. Soc, 10, 502 (1965),
Abstract GD7.
206. Lee B. W., Phys. Rev. Letters, 12, 83 (1964).
207. Lee B. W., Phys. Rev., 140, В152 (1965).
208. Lip kin H. J., Phys Rev. Letters, 13, 590 (1964).
209. Lip kin H. J, Phys. Rev. Letters, 14, 513 (1965).
210. Lip kin H. J, Тавхелидзе A., Phys. Letters, 17, 331 (1965).
211. Lip kin H. J, Me s h ko v S., Phys. Rev. Letters, 14, 670 (1965).
212. Lindenbaum S, Report to the Oxford Conference (September 1965).
213. Lai С S., Phys. Rev. Letters, 15, 563 (1965).
214. Leung Y. C, Rash id M, Phys. Rev. Letters, 15, 424 (1965).
215. Lee B. W, Phys. Rev. Letters, 14, 676, 850 (E) (1965).
216. Левин E. M., Франкфурт Л. Л., Письма ЖЭТФ, 2, 65 (1965).
217. MoshinskyM., Journ. Math. Phys., 4, 1128 (1963).
218. Mahanthappa K. T, Sudarshan E. C. G., Phys. Rev. Letters, 14,
163 (1965).
219. Muzinich I. J, Phys. Letters, 14, 252 (1965).
220. Матинян С. Г., Письма ЖЭТФ, 1, 57 (1965).
221. Morpurgo G, Physics, 2, 95 (1965).
222. Mahanthappa К. T, Sudarshan E., Phys. Rev. Letters, 14, 458
(1958).
223. M a p и h о в M., Phys. Letters, 16, 320 (1965).
*224. Michel L., Phys. Rev., 137, B405 (1965).
225. McGlinn W. D., Phys. Rev. Letters, 12, 467 (1964).
226. NauenbergM., Phys. Rev, 135, В1047 (1964).
227. Ne'eman Y., Phys. Rev, 138, В1474 (1965).
228. Новожилов Ю, Терентьев И, Phys. Letters, 15, 86 (1965).
229. Новожилов Ю., Phys. Letters, 16, 348 (1965).
230. Ne'eman Y, Phys. Letters, 14, 327 (1965).
231. N a m b u Y, Proceedings of the 2nd Coral Gables Conference, San Fran-
cisco, 1965, p. 274.
232. Oku bo S, Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), 27, 949 (1962).

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 321
233. Oku bo S., Phys. Letters, 5, 165 (1963).
234. О к ub о S., Marshak R. E., Phys. Rev. Letters, 13, 818 (1964).
235. Oehme R., Phys. Letters, 15, 284 (1965).
236. Oehme R„ Phys. Rev. Letters, 14, 664. 866 (1965); 15, 286 (1965).
237. О e h m e R., в книге Preludes, New York, 1966, p. 143.
238. Ol sson M. G., Phys. Rev. Letters, 15, 710, 768 (E) (1965).
239. Okubo S., Marshak R. E, Phys Rev. Letters, 14, 156 (1965).
240. Oehme R., University of Chicago Report EFINS 65-90 (1965).
241. O'R a i f e a r t a i g h L., Phys Rev. Letters, 14, 332 (1965).
242. O'Raif eartaigh L., Phys. Rev. Letters, 14, 575 (1965).
243. Pais A., Phys. Rev. Letters, 13, 175 (1964).
244. Papastemiou N. J., Sutherland D. G., Phys. Letters, 14, 246
(1965).
245. Pais A., T r e i m a n S. В., Доклады Международной конференции по
физике высоких энергий, Дубна (1965).
246. Р a i s А., в книге Preludes, New York, 1966, p. 302.
247. Pauli W., в книге Handbuch der Physik, Berlin, 1933, Bd. XXIV/1.
248. R а с a h G., Group Theory and Spectroscopy, Princeton Lectures, 1951
(см. также препринт, Дубна, R-1864, 1964).
249. R ас a h G., Rend. Atti Accad. Lincei, 8, 108 (1950).
250. Ras hid M. A., Phys. Rev. Letters, 14, 272 (1965).
251. Ре кал о M. П., Письма ЖЭТФ, 1, 91 (1965).
252. Rosen S. P., Pak va sa S., Phys. Rev. Letters. 13, 773 (1964).
253. R о s e n S. P . Phys. Rev. Letters, 14, 758 (1965).
254. Rosen S. P., Phys. Rev., 140, B326 (1965).
255. Riazuddin, Pandit L. K., Phys. Rev. Letters, 14, 462 (1965).
256. Rühl W., Phys Letters, 14, 346 (1965).
257. R о m a n P., A g h a s s i J. J., Phys. Letters, 14, 68 ( 1965).
258. Rühl W., Nuovo cimenta 37, 301, 320 (1965).
259. R о t h 1 e i t n e r J., S t e с h В., Zs. Phys., 186, 399 (1965).
260. Roman P., Aghassi J. J., Nuovo cimento, 36. 1062 (1965).
261. Rühl W.. Phys. Letters, 15, 101 (1965).
262. Rühl W., Phys. Letters, 15, 99 (1965).
263. Rühl W., Phys. Letters, 15, 340 (1965).
264. R о m a n P., К о h С J., Nuovo cimento, 39. 1015 (1965)
265. Ryan С, Phys. Rev.. 140, B480 (1965).
266. S a k i t a В., Phys. Rev., 136, 1756 (1964).
267. Sakurai J., Phys Rev., 132, 434 (1963).
268. S a kit a В., Phys. Rev. Letters. 13, 643 (1964).
269. Соловьев Л. Д., Phys. Letters, 16, 345 (1965).
270. Sakurai J., Phys. Rev. Letters, 12, 79 (1964).
271. Sugawara H., Progr. Theoret. Phys (Kyoto), 31, 213 (1964).
272. S a m i о s N.. Rapporteurs Talk at Argonne Conference, ANL-7130, p. 189,
1965.
273. Schulke L, Zs. Phys., 183, 424 (1965).
21 Зак. 612

322
А. Пайс
274. Suzuki M., Phys. Letters, 14, 64 (1965).
275. С т р у м и н с к и й Б., Доклады Международной конференции по фи-
зике высоких энергий, Дубна (1965).
276. S tr eater R. F., Wightman A. S., TCP, Spin and Statistics and
all that, New York, 1964. (См. перевод: Стритер Р., Вайтман А.,
TCP, спин, статистика и все такое, изд-во «Мир», 1966.)
277. S a kit a В., Wal i К., Phys. Rev. Letters, 14, 404 (1965).
278. Salam A., Delbourgo R., Strathdee J., Proc. Roy. Soc, A284,
146 (1965).
279. Sawyer R. F., Phys. Rev. Letters, 14, 471 (1965).
280. Sakita В., Wali K., Phys. Rev., 139, В1355 (1965).
281. Salam A., Delbourgo R., Rashid M., Strathdee J., Proc.
Roy. Soc, A285, 312 (1965).
282. SuzukiM., Nuovo cimento, 38, 368 (1965).
283. Schwinger J., Phys. Rev. Letters, 3, 296 (1959).
284. SuzukiM., Phys. Rev., 140, В1405 (1965).
285. S u d a r s h a n E. С G., Proceedings Second Coral Gables Conference,
San Francisco, 1965, p. 160.
286. S u d a r s h a n E. С G., Phys. Rev. Letters, 14, 1083 (1965).
287. T h r a 11 R., Duke Math. Journ., 8, 611 (1941).
288. T h i r r i n g W., Phys. Letters, 16, 335 (1965).
289. Tomozawa Y., Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), 33, 319 (1965).
290. Волков Д. В., Письма ЖЭТФ, I, 32 (1965).
291. Волков Д. В., Письма ЖЭТФ, 1, 129 (1965); Волков Д. В..
Ru egg H. (в печати).
292. Weinberg S., Phys. Rev., 139, B597 (1965).
293. W i g n e r E. P., Phys. Rev., 51, 106 (1937).
294. W e y 1 H., The Theory of Groups and Quantum Mechanics, New York,
1960, p. 390.
295. Willis W. et al., Phys. Rev. Letters, 13, 291 (1964).
296. Weinberg S., Phys. Rev., 133, B1318 (1964).
297. Whipman M. L., Nuovo cimento, 37, 824 (1965).
298. Wei s berg er W. I.. Phys. Rev. Letters, 14, 1047 (1965); Phys. Rev.,
143, 1302 (1966).
299. Yamanouchi T., Proc. Math. Soc. Japan, 18, 623 (1936).
300. Zweig G., CERN Reports Th. 401, Th. 412 (1964).
301. Zimmerman W., Ann. of Phys. (в печати).
*302. В i e d e n h a r n L. C, Journ. Math. Phys., 4, 436 (1963).
*303. Baird G. E., Biedenharn L. C, Journ. Math. Phys., 4, 1449 (1963);
5, 1723, 1730 (1964); 6, 1847 (1965).
*304. В a h X о в Л., Усп. физич. наук, 90, № 2, 315 (1966).
*305. Map и но в М. С, Ядерная физика, 2, 321 (1965).
•306. High-Energy Physics and Elementary Particles, IAEA, Vienna, 1965,
Book II, Parts II—VI.

3. Динамическая симметрия в физике элементарных частиц 323
*307. К а д ы ш е в с к и й В. Г., M у р а д я н Р. М.. С м о р о д и н с к и й Я. А.,
SU6-симметрия в сильных и электромагнитных взаимодействиях эле-
ментарных частиц, препринт ОИЯИ, P-206I, Дубна, 1965.
*308. С т р у м и н с к и й Б. В., препринт ОИЯИ, Р-1939, 1965; Боголю-
бов Н. Н., С т р у м и н с к и й Б. В., Т а в х е л и д з е А. И., препринт
ОИЯИ, Д-1968, 1965.
*309. Van Hove L., SU3- and St/6-symmetry of strong interactions, «Scient..
Rept. CERN», 1965 (1966), No. 24, 1—41.
*3I0. Берестецкий В. Б., Усп. физич. наук, 85, 3 (1965).
*311. Розенфельд А. и др., Усп. физич. наук, 89, № 4, 715 (1966).
*312. Ruegg H., Rühl W., S an than an T. S., The SI/(6) Model and Its
Relativistic Generalizations, preprint Trieste, 66/1106/5 (1966).
*313. A k y 1 a m p о n g D. A., Nuovo cimento, 43, 499 (1966).
*314. Alles W-, Nuovo cimento, 41, 280 (1966).
*315. Bettini A., Nuovo cimento, 44, A285 (1966).
*316. Chan С H., Xuon g N. H., Phys. Rev., 142, 1132 (1966).
*3I7. Сhаrар J. M., Matthews P. T., Streater R. F., Proc. Roy. Soc.t
A290, 24 (1966).
*318. Cocho C, Nuovo cimento, 42, 421 (1966).
*319. Doncel M. G., de Rafael E., Nuovo cimento, 42, 426 (1966).
*320. Fayyazuddin, Rashid M. A, Nuovo cimento, 42, 1000 (1966).
*321. Flamm D., Phys. Rev., 143, 1369 (1966).
*322. Itzykson C, Nauenberg M., Rev. Mod. Phys., 38, 95 (1966).
*323. Kawarabayashi K-, Wada W. W., Phys. Rev., 141, 1322 (1966).
*324. Lip kin H. J., Phys. Rev. Letters, 16, 1015 (1966).
*325. L i p k i n H. J., M e s h k о v S., Phys. Rev., 143, 1269 (1966).
*326. M a h a n t a P., Nuovo cimento. 43, A725 (1966).
*327. Oehme R., Phys. Letters, 20, 430 (1966).
*328. Renner В., Nuovo cimento, 42, 137 (1966).
*329. Rivers R. J., Nuovo cimento, 41, 313 (1966); 42, 593 (1966).
*330. Ruegg H., Vol ko v D. V., Nuovo cimento, 43, 84 (1966).
*331. Rühl W., Nuovo cimento, 42, 619 (1966); 43, 171 (1966); 44, 572, 65a
(1966).
*332. Schechter J., Ueda Y., Phys. Rev., 144, 1338 (1966).
*333. Schülke L., Zs. Phys., 189, 207 (1966); 191, 209 (1966)
*334. Wi 11 i a m s D. J., Nuovo cimento, 44, A330 (1966).
*335. В и л e h к и h H. Я., Специальные функции и теория представлений.
групп, М., 1965.
21»

4. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НЕКОМПАКТНЫХ АЛГЕбр ЛИ
К. Фронсдел *
(Доклад на Семинаре по физике высоких энергий
и элементарным частицам в Триесте, 1965)
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Цели и контуры работы
Теория унитарных представлений компактных групп Ли была
развита очень давно, причем наиболее важные результаты имеют
почти пятидесятилетнюю давность. В противоположность этому неком-
пактные группы Ли вплоть до последнего двадцатилетия представляли
собой почти нетронутую область, и в настоящее время результаты
никак нельзя считать завершенными. Значительный прогресс в класси-
фикации унитарных представлений некомпактных групп был достигнут
в течение последних десяти лет Гельфандом, Граевым, Наймарком
и их сотрудниками, а также Баргманом, Диксмье и Хариш-Чандра.
Методы, используемые этими математиками, по большей части ана-
литичны, т. е. представления реализовались в функциональных про-
странствах. Некоторые из результатов чрезвычайно изящны; в част-
ности, к ним относятся простые замкнутые выражения для операторов
конечных преобразований. Тем не менее имеются некоторые аспекты
проблемы, которые до сих пор еще не разработаны, и, к сожалению,
требуется проделать большую предварительную работу, чтобы
приблизить теорию к физическим приложениям. Для конкретных
вычислений наиболее удобной является реализация представлений не
в терминах функциональных пространств, а в терминах дискретного
базиса, элементы которого могут быть непосредственно связаны,
скажем, с элементарными частицами. Если используется дискретный
базис, то большинство проблем, хотя и не все, становятся алгебраи-
ческими как по формулировке, так и по решению. Развивая
алгебраический метод и исследуя связь между этим методом и мето-
дом советских математиков, автор надеется сделать математическую
литературу более доступной. Физики должны выражать свои теории
в терминах дискретных базисов, но было бы большой ошибкой
не использовать общих результатов, пслученных математиками.
1.2. Основные понятия и обозначения
Алгебра Ли Л представляет собой линейное векторное про-
странство, на котором определен „коммутатор" [л:, у] для всех х. у
в Л (т. е. отображение Л® Л в Л), удовлетворяющий следующим
* С. Fronsdal, High-Energy Physics and Elementary Particles, IAEA,
Vienna, 1965, p. 585.

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 325
условиям:
1х, У] + [У. х]=0. (1.1)
1х. 1У. z]]-\-[y, [z, x]] + {z. [x, y]] = 0. (1.2)
[x, lly-\-l2z]=^Xllx, у] + Ы*. г]. (1.3)
Здесь поле коэффициентов λ^ λ2 может быть совершенно произ-
вольным, но в данной работе это либо поле комплексных чисел,
либо поле действительных чисел.
Конечномерная алгебра Ли — это алгебра, в которой можно ввести
базис, состоящий из конечного числа элементов LA, A = l, 2, .... п,
такой, что каждый элемент алгебры может быть представлен в виде
суммы
^=2^λ· (1-4)
Наименьшее значение η носит название порядка алгебры. Область
изменения коэффициентов может занимать всю комплексную пло-
скость, но могут налагаться и определенные условия вещественности
(см. разд. 3.1).
Коммутатор двух базисных элементов LA, LB можно записать
в виде
[LA, Lb\=CcabLc. (1.5)
где числа Cab носят название структурных констант и должны
обладать следующими свойствами:
Сав-\-С%а = 0. (1.6)
CabCcd + CBCCAD -j- CCACBD = 0; (1.7)
оба выражения являются простыми следствиями уравнений (1.1) и (1.2).
Не вводя строгого определения, исключительно в целях устано-
вления определенных соглашений, отметим, что с любой алгеброй
Ли ассоциирована группа Ли при помощи операции образования
экспоненты. Так, если L принадлежит JL, то оператор
U = elL (1.8)
принадлежит ассоциированной группе. Если L — линейный оператор,
то операция образования экспоненты не всегда возможна; однако
она всегда возможна, когда L—эрмитов оператор. Согласно (1.8),
унитарному оператору U соответствует эрмитов оператор L, и мы
будем называть представление алгебры Л унитарным, если все
операторы алгебры эрмитовы.
Автор предполагает, что читателю знакомы такие общие понятия,
как подалгебра, инвариантная подалгебра, простая и полупростая
алгебры Ли.
22 Зок. 613

326
К. Ф ронсд е л
1.3. Классификация комплексных алгебр Ли
Сейчас мы временно ограничим наше обсуждение случаем ком-
плексных алгебр Ли; это значит, что в уравнении (1.4) все εΑ являются
произвольными комплексными числами.
Картан [1—3] показал, что для комплексных простых алгебр Ли
всегда можно выбрать базисные элементы LA таким образом, чтобы
все матрицы Св с матричными элементами САВ были антисимметричны
и чисто мнимы. Набор базисных элементов, выбранных таким обра-
зом, называется базисом Картана. При этом ранг / определяется
как максимальное число линейно независимых коммутирующих эле-
ментов в базисе Картана. Подалгебра, натянутая на это множество /
коммутирующих элементов, называется подалгеброй Картана. Отме-
тим, что ранг не будет определяться как максимальное число не-
зависимых коммутирующих элементов алгебры; подобное определение
обычно неправильно.
Картан дал классификацию всех простых комплексных алгебр Ли
конечного порядка. Результат гласит, что существуют следующие
четыре основные серии алгебр и пять „исключительных" алгебр
(/ означает ранг, η — порядок):
At, 1 = 1, 2, ...; и = (/-|-1)2—1. Эта алгебра удовлетворяет
тем же коммутационным соотношениям, что и множество (/-[-1)Х(/-|-1)-
матриц с нулевым следом.
Bt, 1 = 2, 3, .. .: n = 2l2-\-l. Эта алгебра удовлетворяет комму-
тационным соотношениям алгебры комплексной группы вращений
в пространстве 2/ —[— 1 измерений. Случай 1=1 исключается, ибо
Cj. / = 3, 4, ...; п = 212-\-1. Это — алгебра комплексной сим-
плектической группы в пространстве 21 измерений; С1 = В1 при
1=\ и 2.
Dt, 1 = 4, 5, ...; и = 2/2—/.Это — алгебра комплексной группы
вращений в пространстве 21 измерений: D3 = A3, a Dx, D2 не просты.
Пять исключительных алгебр носят названия 02, F4, E6, Е7, £8;
индексы обозначают их ранги. Эти алгебры в дальнейшем мы не будем
рассматривать.
1.4. Компактные и некомпактные алгебры Ли
Приведенный выше список комплексных простых алгебр Ли
представляет собой решение задачи о нахождении соответствующего
простым алгебрам полного набора структурных констант, удовлетво-
ряющих уравнениям (1.6) и (1.7). Остается задача, заключающаяся
в нахождении полного набора линейных операторов (например,
матриц) LA, удовлетворяющих коммутационным соотношениям (1.5),
т. е. задача о нахождении всех линейных представлений данной
алгебры Ли. Особенно нас интересуют унитарные представления.

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 327
Задача о нахождении унитарных представлений имеет совершенно
различный характер в зависимости от того, имеем ли мы дело с ком-
пактной или некомпактной группой. Мы не будем здесь входить
в подробное обсуждение строгого определения компактности, а по-
ясним только интуитивный смысл этого понятия. Предположим, что
группа имеет « вещественных параметров xv x2 х„ и что
любому элементу группы соответствует один набор значений пара-
метров. Тогда любой элемент группы может быть изображен точкой
в «-мерном пространстве, а вся группа будет соответствовать неко-
торой области в этом пространстве. Если параметры выбраны таким
образом, что плотность элементов группы внутри этой области
постоянна, то эта область конечна для компактной группы и бес-
конечна для некомпактной группы.
Так, группа вращений компактна, поскольку углы имеют конеч-
ную область изменения, в то время как группа Лоренца некомпактна
вследствие того, что область изменения параметров, определяемых
через скорости, бесконечна (см. книгу Понтрягина [4])г).
Пусть выбран базис Картана. Тогда «-мерные матрицы Св
(с матричными элементами САВ) эрмитовы. Простым следствием
уравнений (1.6) и (1.7) является тот факт, что эти матрицы реали-
зуют представление для LA, т. е. уравнения (1.7) можно записать
в виде
[Са, Св] = СЧвСс. (1.9)
Рассмотрим вещественную алгебру, порождаемую этими матри-
цами, т. е. выберем все εΑ вещественными. Тогда это будет алгебра
n-мерных эрмитовых матриц с нулевым следом, а ассоциированная
с этой алгеброй группа есть группа «-мерных унитарных унимоду-
лярных матриц. Можно показать, что эта группа компактна. Таким
образом, справедлива теорема Вейля [5].
Теорема. Каждая комплексная алгебра Ли имеет (единственную)
компактную вещественную подалгебру. Чтобы ее получить, необходимо
ввести базис Картана и ограничить значения всех параметров дей-
ствительной прямой.
1.5. Замечание о накрывающих группах и
многозначных представлениях
В данной работе под „простой группой" всегда понимается связная
группа с простой алгеброй. Это не согласуется с обычной практикой.
Строго говоря, кроме указанного условия, на простую группу Ли
обычно еще налагается требование, чтобы она не содержала идеальных
') В указанной книге, а также в другой математической литературе,
процитированной в статьях 1—3 настоящего сборника, можно найтн строгое
определение понятий компактной и некомпактной групп Ли. — Прим. ред.
22*

328
К. Фронсдел
элементов, за исключением единицы. (Идеальный элемент — это
элемент, коммутирующий с каждым элементом группы.)
Если алгебра проста (т. е. не имеет инвариантной подалгебры),
тогда ассоциированная группа имеет лишь счетное число идеальных
элементов. Различные группы G, О', имеющие одну и ту же алгебру,
связаны соотношением G = G'/K, где К — дискретная группа. Среди
всех связных групп, имеющих одну и ту же алгебру, существует
одна, называемая накрывающей группой всех остальных групп; эта
группа является единственной просто связной.
Пусть О — накрывающая группа группы О; тогда представление
группы О является многозначным представлением группы О. Здесь
мы всегда будем рассматривать многозначные представления наравне
с обычными представлениями, так что все эти детали несущественны,
и мы можем ограничиваться рассмотрением алгебр всегда, когда это
удобно.
§ 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
2.1. Теоремы о размерности
Теория унитарных представлений компактных алгебр была раз-
вита очень давно. В частности, задача о построении всех унитарных
неприводимых представлений была решена полностью [7, 8]. Главная
причина, по которой это оказалось возможным, заключается в спра-
ведливости следующей теоремы.
Теорема I [9]. Каждое неприводимое унитарное представление
компактной алгебры Ли конечномерно, и каждое конечномерное пред-
ставление эквивалентно унитарному представлению.
Различие между компактными и некомпактными алгебрами под-
черкивается следующей теоремой, которая в значительной степени
оправдывает и извиняет незавершенное состояние теории представле-
ний некомпактных групп.
Теорема II1). Каждое унитарное представление некомпактных
алгебр Ли бесконечномерно2).
Усложнение, возникающее вследствие бесконечномерности, не сво-
дится только к алгебраической трудности работы с бесконечным
числом матричных элементов; на самом деле алгебраические проблемы
не столь трудны, как это можно было бы ожидать. Более серьезным
является тот факт, что норма состояния определяется в виде беско-
') Утверждения, которые мы делаем, начиная с этого момента и до конца
параграфа, не проверены нами во всех деталях. См. в этой связи книгу
Гельфанда и Наймарка [19].
2) За исключением, конечно, тривиального случая единичного предста-
вления, которое также унитарно. — Прим. ред.

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 329
нечной суммы или в виде интеграла, так что сам вопрос о существо-
вании нормы данного состояния является нетривиальным.
2.2. Дискретные и функциональные гильбертовы пространства
Мы рассмотрим только две реализации бесконечномерных гиль-
бертовых пространств.
Дискретное гильбертово пространство
Дискретное гильбертово пространство £№0 представляет собой
векторное пространство над ортонормированным базисом \т), где
индекс т пробегает некоторое счетное множество, например мно-
жество всех целых чисел. Вектор
ψ=Σψ«Ι»> (2Л)
m
принадлежит gf6D тогда и только тогда, когда его норма конечна, т. е.
||Ψ||=2|ψ„,Ρ<θΟ. (2-2)
m
Гильбертово пространство функций
Гильбертово пространство функций <Шр — это линейное векторное
пространство, состоящее из некоторого множества F функций f(x)
от некоторых вещественных или комплексных переменных х. Точное
определение множества F может быть очень существенным. Функ-
ция f {х) из F принадлежит £f6P тогда и только тогда, когда норма
конечна. Определение нормы может меняться, но, как правило, имеет
вид
\f*{x)f{x')d\i{x, x'). (2.3)
2.3. Область определения операторов
Один из тонких моментов, на который следует обратить вни-
мание в связи с реализацией представлений в гильбертовом прост-
ранстве, заключается в том, что оператор L, представляющий элемент
алгебры Ли, обычно определен не на любом векторе гильбертова
пространства. Рассмотрим группу вращений /?(φ) в двумерной евк-
лидовой плоскости и возьмем бесконечномерное приводимое представ-
ление
К (Ф)->£/(¥). (24,
1/(φ)|/») = β'""Ι>|/κ) = Ψ(φ). 1 ' '
Мы видим, что U (ψ) — унитарный оператор, так что вектор Ψ (φ)
можно нормировать, и поэтому Ψ (φ) £ S@p- Если записать оператор U

330
К. Ф рон сдел
в виде t/ = exp[ftpL], то генератор L задается равенством
L\m)=^m\m), (2.5)
или в более общем виде
£^ = 2тфт|т) = Ч". (2.6)
т
Здесь вектор Ψ' нормируем, если
2|«ФгаР<оо. (2.7)
что справедливо не для любого нормируемого вектора. Поэтому опе-
ратор L в противоположность U определен не на любом векторе ψ
в @вл.
Возникает вопрос, какое ограничение следует наложить на опера-
тор L, чтобы оператор U был определен на всем гильбертовом
пространстве? Ответ: оператор L должен быть определен на всюду
плотном подмножестве гильбертова пространства. Следовательно,
если предпочитают работать с алгеброй, а не с группой, то не-
обходимо знать, каково это всюду плотное множество, а также
уметь достаточно часто проверять, является ли данное множество
всюду плотным. На языке гильбертова пространства &6F это может
оказаться достаточно громоздким предприятием, но для J£?D это три-
виально, так как всюду плотное множество в e№D реализуется всеми
теми векторами Ψ, для которых только конечное число компонент Ψ1
отлично от нуля. Это специальное всюду плотное множество инва-
риантно относительно оператора L, если L переводит каждый базисный
вектор \т) в конечную сумму базисных векторов. Обычно это может
быть осуществлено, в результате чего все вопросы, связанные с об-
ластью определения операторов, становятся достаточно безопасными.
2.4. Эквивалентность гильбертовых пространств
Мы подчеркнули одну из основных причин, по которой прост-
ранство St6D более предпочтительно, чем &вР. Другая причина, которую
следует упомянуть, заключается в том, что дискретный базис часто
имеет непосредственное и полезное физическое применение. Однако
уверены ли мы в том, что при рассмотрении только дискретных
гильбертовых пространств не теряется общность? Ответ заключается
в том, что все (бесконечномерные, сепарабельные) гильбертовы прост-
ранства эквивалентны, так как для любых двух подобных пространств
может быть установлено одно-однозначное отображение между их
всюду плотными множествами. Проиллюстрируем это на примере.
Пусть областью изменения т будут все целые числа (положитель-
ные, отрицатальные и нуль).

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 331
Установим соответствие
[/ (Ф) = J] NZ^mel""f]4==Ф [Ψ = 2 *„«"»"> Ι m) ]. (2.8)
m m
Здесь Л/т — комплексные числа, которые фиксированы раз и на-
всегда, а переменная φ изменяется в пределах 0-^φ-^2π. Очевидно,
что множество функций / (φ), получаемое изменением коэффициентов ψ,„,
образует линейное векторное пространство. Оно также определяет
функциональное гильбертово пространство, если норма функции /(φ)
определяется таким образом, чтобы она равнялась норме соответствую-
щего вектора Ψ, задаваемой уравнением (2.2). Далее, коэффициенты фт
можно выразить через /(φ):
2π
Ф»=% J d4*-""V(q>). (2.9)
о
и поэтому
2л
II/(φ)II=11 ψ 11= Σ~4&)^i i *1"№-φ')/·(«ρ)/(φ')ΛΡ«*φ' =
m 0
2я
=TsSF J J d(P ^ (ч> - φ') /* (φ) / (φ'). (2. l о)
0
где
μ(φ) = Σ!^«ΡβΙβ,φ· (2-Π)
m
Мы видим, что выражение (2.10) имеет вид (2.3).
Может создаться ошибочное впечатление, что следовало бы совер-
шенно избегать употребления функциональных пространств. На са-
мом деле они, как полагает автор, могут быть предпочтительны для
получения общих результатов. Одна из задач настоящей работы за-
ключается в выяснении взаимных преимуществ обоих методов, причем
попеременное их использование будет способствовать более глубокому
пониманию вопроса.
2.5. О диагонализации операторов
Рассмотрим вещественную алгебру Ли, натянутую на три базис-
ных элемента Lv L2, Lq, удовлетворяющих коммутационным соотно-
шениям
[Lb L2]= — iL0, [L?, AJ = 'A. IA>. Ц] = И2. (2.12)
Эта алгебра отличается от алгебры группы вращений только зна-
ком минус в первом коммутационном соотношении и представляег

332
К. Ф ронсд в л
собой алгебру группы Лоренца в двух пространственных и одном
временном измерениях; эта алгебра некомпактна. Оператор L0 по-
рождает пространственные повороты, а операторы Lx и L2 — уско-
рения. Поэтому подгруппа, порождаемая оператором Lq, компактна,
а подгруппы, порождаемые операторами Lx и Z,2, некомпактны. До-
пустим, что задано унитарное представление этой алгебры. Тогда
собственные значения операторов L\, Z.2 и L0 вещественны. Диаго-
нализуем оператор L0
Lo\m)=^m\m) (2.13)
и образуем вектор
\m+) = {L1-\-ll^\m). (2.14)
Коммутационные соотношения (2.12) дают
[A,. Ll + lL2] = Ll + iL2, (2.15)
и поэтому
Lo\m+) = (m-{-\)\m+). (2.16)
Отсюда мы заключаем, что вещественные собственные значения
оператора Lq отличаются на единицу и что оператор Lx-\-lL2 уве-
личивает собственное значение на единицу. Теперь диагонализуем опе-
ратор Lx
Ζ1|λ) = λ|λ> (2.17)
и образуем оператор
|λ+> = (Ζ2-|-Ι0)|λ). (2.18)
Коммутационные соотношения (2.12) дают
[£.,. L2 + I0] = — i{L2 + L0), (2.19)
и поэтому
Ζ.1|λ+) = (λ —0|λ+>. (2.20)
Это соотношение, очевидно, нарушает условие унитарности, так
как и λ, и λ — 1 не могут одновременно быть вещественными.
Различие, обнаруживаемое между результатами диагонализации
операторов L0 и Llt обусловлено тем, что один оператор компактен
(т. е. порождает компактную подгруппу), в то время как другой не-
компактен. В общем случае для унитарных представлений имеет место
следующая ситуация.
Если оператор L порождает компактную подгруппу, то его
вещественные собственные значения образуют дискретное множество
и соответствующие собственные векторы нормируемы. Можно также
найти решения задачи на собственные значения над полем комплексных
чисел (т. е. с комплексными собственными значениями), но в этом
случае соответствующие собственные векторы не принадлежат гиль-

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 333
бертову пространству. Нормируемые собственные векторы с ве-
щественными значениями образуют гильбертово пространство. Если
оператор L порождает некомпактную подгруппу, то множество
вещественных собственных значений λ является непрерывным. Со-
ответствующие собственные векторы |λ) не принадлежат гильбертову
пространству, но тем не менее это пространство может быть опре-
делено следующим образом. Пусть / (λ) — „хорошая" функция, и пусть
для каждой /(λ) определено линейное отображение /-»-ф^ (где ф^
принадлежит гильбертову пространству) при помощи следующей „за-
дачи на собственные значения":
£*, = *,.. /' = λ/. (2.21)
Символически это можно выразить следующим образом (впрочем,
затратив некоторые усилия, задачу можно сформулировать и строго,
см. [10]). Пусть каждая функция ф, записывается в виде
ψ,= |/*λ/(λ)|λ). (2.22)
Тогда |λ) не принадлежит гильбертову пространству, в то время
как ф. принадлежит. Поэтому
Δψ/== Γβ?λλ/(λ)|λ), (2.23)
или
Δ|λ) = λ|λ). (2.24)
Единственным хорошо известным примером применения этого ме-
тода является теория представлений группы Пуанкаре, где оператор L
интерпретируется как оператор трансляций, λ — компонента импульса,
а ф^ изображает волновой пакет с волновой функцией /(λ).
Очевидно, что методы обращения с унитарными представлениями,
в которых оператор L диагоналей, совершенно различны в тех слу-
чаях, когда оператор L компактен и когда он некомпактен. Я пола-
гаю, что диагонализация некомпактного оператора на самом деле
вовсе не столь трудна, как склонны считать некоторые физики, но
совершенно ясно, что для применения алгебраического метода должны
быть диагонализованы только компактные операторы.
2.6. Классификация представлений
Для простой комплексной или компактной алгебры Ли все конеч-
номерные представления находятся следующим образом. Пусть I —
ранг алгебры; тогда существует I фундаментальных неприводимых
представлений 35х, .... 351, имеющих старшие веса Мх Mt со-
ответственно. Образуем произведение 35\'($S5i?($ ... ®Э5Ъ, где %х.

334
Κ. Φ ρ он еде л
λ2* ··■· ht — неотрицательные целые числа, а 3>{1 означает λ£-ΜερΗοε
прямое произведение представления «2^ самого на себя. Пусть 3 (λΧ, ...
.... λ„) — неприводимая часть этого произведения, содержащая стар-
ший вес Μ (λ) = 2^г^/' тогДа подобными представлениями исчер-
пываются все конечномерные неприводимые представления. Для не-
компактных групп мы должны совершить аналитическое продолже-
ние представления 3(λ) на комплексные значения λ! λΓ
2.7. Регулярное представление и ОРП
Понятие регулярного представления алгебры Ли хорошо известно
физикам; это представление реализуется матрицами Св, матричными
элементами которых являются структурные константы. Чтобы избе-
жать недоразумений, подчеркнем, что это представление больше ни-
когда здесь не будет называться регулярным.
Пусть дана связная простая группа Ли О с элементами g, g', ....
и пусть Ζ — множество, элементы которого г, г'. ... могут быть
поставлены в одно-однозначное соответствие элементам группы О·
Рассмотрим фиксированный элемент g0 группы О и преобразование
группы О в саму себя (внутренний автоморфизм), задаваемое равен-
ством
go-g-*g' = ggo (2-25)
для каждого g из О. Пусть z и z' соответствуют элементам g и g'\
тогда (2.25) индуцирует преобразование в Z, именно
Tgo:z^z'^zg0. (2.26)
Определение регулярного представления состоит из двух частей.
Определение ОРП
Пусть F' — линейное векторное пространство всех таких функ-
ций f(z), заданных на множестве Z, что преобразование, индуци-
руемое (2.26), а именно
TgD:f(z)-+f(zg0). (2.27)
непрерывно в g0. Тогда множество всех операторов Tg, действую-
щих в F', g £ G, образует обобщенное регулярное представление (ОРП)
группы О.
ОРП в значительной степени приводимо. При рассмотрении уни-
тарных групп мы покажем, как все известные представления могут
быть получены из ОРП. Это обстоятельство, как мы увидим, явля-
ется очень удобным начальным моментом для построения представлений.

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 335
Теорема III. Все линейные неприводимые представления простой
группы Ли могут быть получены из ОРП.
Отметим, что это утверждение является не математической, а мета-
математической теоремой, так как оно не конкретизирует тех методов,
которые должны быть использованы для „получения" неприводимых
представлений.
Теперь мы приступим к определению более узкого понятия регу-
лярного представления, в котором математики, по-видимому, очень
заинтересованы. Почему это происходит, мне неизвестно.
Определение регулярного представления
На любой конечно-параметрической группе Ли можно определить
инвариантную меру d[i{g), а отображение группы О на Ζ позволяет
очевидным образом определить меру αμ (z). Теперь пусть F — под-
пространство F', состоящее из всех функций f(z) на F', для ко-
торых норма
J|/(*)P<fti(*)<°o (2-28)
z
конечна. Регулярное представление определяется равенством (2.27),
в котором функции f(z) принадлежат области F.
Регулярное представление унитарно, как это следует из (2.28)
и инвариантности меры d\i(z), характеризуемой равенством
Φ (zg) = Φ· (2) для g £ О.
Существует единственное разложение регулярного представления
на прямую сумму или прямой интеграл унитарных представлений.
Определение основной серии
Основная серия унитарных представлений состоит из тех пред-
ставлений, которые встречаются в разложении регулярного пред-
ставления.
В действительности представляющие наибольший физический ин-
терес унитарные представления не принадлежат к главной серии,
поэтому мы рассмотрим ОРП как более полезное понятие.
§ 3, КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРОСТЫХ АЛГЕБР
3.1. Вещественные подалгебры
В введении мы привели принадлежащий Картану полный перечень
комплексных простых алгебр Ли и указали, что в каждом случае
существует единственным образом определяемая компактная веществен-
ная простая подалгебра того же самого порядка и ранга (теорема

336
К. Ф ронсд в л
Вейля). Структурные константы будут также теми же, если для
комплексной алгебры используется базис Картана, и в этом случае
можно перейти от комплексной алгебры к компактной подалгебре,
налагая условие
\тгА=0. (3.1)
В самом деле, легко убедиться, что уравнение (3.1) совместно
с коммутационными соотношениями
[lEALA, ieBL J = - eAeBCcABLc = it"cLc, (3.2)
т. е. если εΑ и ε в вещественны, то вещественны и ε с (так как
структурные константы чисто мнимы).
Класс вещественных простых алгебр Ли можно получить, опре-
деляя все возможные вещественные подалгебры порядка η для каж-
дой комплексной простой алгебры того же порядка. Здесь мы кратко
опишем методы и результаты этой классификации, опираясь на не-
давнюю работу Барута и Рачка [11], которые в свою очередь исполь-
зовали работы Гантмахера [12, 13]1).
Каждая вещественная подалгебра порядка η комплексной простой
алгебры порядка η может быть определена путем наложения на ал-
гебру η условий вещественности. Надлежащим выбором базиса (причем
всегда это базис Картана) можно достигнуть того, чтобы данная ве-
щественная подалгебра определялась одним из следующих условий:
(3.3)
1\V О W, Л у —J- 1, ..., ft,
или
(εΛ)* = цАгА (суммирования нет), (3.4)
где
гц=1, А = \, 2 р,
ν\Α = —\,Α = ρ-\-\ п.
Очевидно, что условие (3.4) совместно с (3.2) тогда и только тогда,
когда
ССАВ = 0 для V)btjc=— 1. (3.6)
Другими словами, коммутационные соотношения должны быть
однородными (по модулю 1) в подмножестве, порождаемом опера-
торами Lx Lp, откуда вытекает, что это подмножество предста-
вляет собой подалгебру. Ясно, что эта подалгебра компактна.
Ime^^O,
Re8A=0,
Л —1, 2, ..
А = р+1, .
■., п,
') См. также обзор [28]. — Прим. ред.

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 337
Задача, таким образом, сводится к нахождению всех возможных
базисов Картана, в которых уравнение (3.6) выполняется для неко-
торого р. Это можно сформулировать более научно следующим об-
разом: заметим, что если (3.6) выполняется, то коммутационное
соотношение инвариантно относительно преобразования
S:LA->4ALA. (3.7)
Другими словами, 5 является автоморфизмом данной алгебры. Очевидно,
что SS=1, т. е. 55 представляет собой тривиальный автоморфизм,
откуда следует, что 5—инволютивный автоморфизм. Обратно, каждый
инволютивный автоморфизм 5 простой алгебры может быть приведен
к виду (3.7), что определяет множество величин ηΛ, которые могут
быть использованы в уравнении (3.4). Таким образом, проблема
свелась к задаче нахождения всех инволютивных автоморфизмов
данной алгебры.
3.2. Список вещественных форм простых алгебр
Полный список вещественных алгебр, полученный указанным
методом, приведен в цитированных выше работах. Здесь мы приведем
результаты только для классических групп.
Вещественные формы алгебры At
Рассмотрим множество (/+1) Х(/+1)-матриц Μ с нулевым
следом. Пусть σ — диагональная (/ + 1)Х (/ + 1)-матрица с матрич-
ными элементами
Г +1, а=1, 2 р,
σ«=1-1. а = р+1 1+1. <3-8>
Тогда вещественная подгруппа состоит из всех матриц М, удовлет-
воряющих условию
М* = оМо. (3.9)
Если ρ —/+1, т. е. σ=1, то группа компактна и обозначается
SU (I + 1). Если [(/ + 1)/2] ^ ρ -^ /, то группа некомпактна и обозна-
чается Граевым [14] через Gpq, где /? + # = /+1, и Барутом и
Рачка [11] через SU (p, q) или M7f+I. Аналогичным образом можно
определить SU (p, q) как множество (/ + 1) X (I + 1)-матриц со следом
нуль, оставляющих инвариантной псевдоэрмитову форму
l*i P+ ..■l*,l2-K+il2"--l*i+iP· (з·10)

338
К. Фронсдел
Другую вещественную подгруппу можно получить, взяв все ма-
трицы Μ с мнимыми матричными элементами. Эта группа обозначается
SL (Z —|— 1, Е). Для четных / этим завершается полный список веще-
ственных подгрупп At; в случае нечетных / существует еще одна
вещественная форма, кватернионная группа Qy, (i+i) от 1к0~\~1)
кватернионных переменных.
Вещественные формы алгебры Bt
Единственными вещественными подгруппами являются группы
псевдовращений в ρ пространственных и q временных измерениях,
ρ -\- q = 21 -\- 1. Эти группы компактны прир=0 и некомпактны
при р=\, .... /. Они обозначаются 50 (р, q).
Вещественные формы алгебры Ct
В этом случае вещественными формами являются группы Sp(2p, 2q),
р=0, 1, .... [//2], p-\-q = l, которые могут быть определены как
те подгруппы группы SU(2p, 2q), которые оставляют инвариантной
антисимметричную билинейную форму. Матрицы алгебры Sp(2/) эрми-
товы. Другая вещественная группа — некомпактная группа Sp*(2Z),
алгебра которой состоит из антиэрмитовых матриц.
Вещественные формы алгебры Dt
Как и в случае Bt, существуют группы псевдовращений SO (p, q),
р=\, 2, .... Ζ, p-]-q = 2l. Кроме этого, имеется некомпактная
группа 1У"г линейных преобразований 21 комплексных переменных,
оставляющая инвариантной как форму
*\У\ + . ·. + *1Уг-
так и форму
l*i P+ ••■ΚΡ4λΙ2···ΙλΙ2·
Отметим, что приведенный список неполон в том смысле, что
не каждая простая вещественная группа является подгруппой простой
комплексной группы. Так, алгебра D2 не проста, и не проста также
компактная подгруппа 50(4). Но некомпактная подгруппа 50(1, 3)
(однородная группа Лоренца) проста. Другие важные вещественные
простые группы получаются как вещественные подгруппы G(?G, где
О — любая простая комплексная группа. Мы обсудим эти важные
группы несколько позднее. Вместе с вещественными подгруппами
комплексных простых групп эти группы исчерпывают все веществен-
ные простые группы.
Отметим, что при малых I имеют место некоторые изоморфизмы
между комплексными классическими группами. Ниже приведен полный

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 339
перечень всех изоморфизмов между вещественными подалгебрами:
C1 = Bl = A1: Sp (2) = SO(3) = SU (2) = Qu
Sp*(2) = SO(l, 2) = SU(l, l) = SL(2, E),
C2 = B2: Sp(4) = SO(5),
Sp(2, 2) = SO(1, 4) (4+ 1 —группа де Ситтера),
Sp*(4) = SO(2, 3) (3 + 2—группа де Ситтера),
D3 = Aa: SO (6) = St/(4),
SO (I. 5) = <?a>
50 (2, 6) — SU (2, 2) (конформная группа),
50(3, 3) = 5Z(4, Ε),
D*3 = SU(l, 3).
3.3. Компактные подгруппы
Из обсуждения, проведенного в разд. 2.5, мы выяснили, что
имеется существенная разница между элементами алгебры, порождаю-
щими компактную подгруппу, и элементами, порождающими неком-
пактную подгруппу, или, короче, между компактными и некомпактными
элементами алгебры. Мы хотим диагонализовать как можно больше
операторов алгебры, но это относится только к компактным опера-
торам. В разд. 3.1 было показано, что множество всех компактных
элементов образует подалгебру, называемую максимально компактной
подалгеброй, или просто компактной подалгеброй. Из приведенного
выше определения некомпактных вещественных алгебр легко видеть,
что они имеют следующие компактные подалгебры:
SU(p, q)(=Glhq):SU(p)®SU(q)®Uv /> + ? = /+1,
SL(t+l, E): SO (I -+- I),
Q(t+i)/2:
cw x (SO(p)®SO(q), p>2,
S<Hp-*>:\SO(q). p = 0, 1
Sp(2p, 2q):SU(2p)®SU(2q),
Sp*(2l):
Dr.
Следует отметить, что имеется много случаев, когда ранг 10 ком-
пактной подалгебры меньше, чем ранг / полной алгебры. В этих
случаях число компактных коммутирующих диагонализованных опе-
раторов равно /0, а не I; это означает, что наиболее удобный выбор
базиса будет другим, чем в компактном случае.

340
К. Фронсдел
§ 4. НЕКОМПАКТНЫЕ УНИТАРНЫЕ ГРУППЫ
4.1. Введение
Возвращаясь теперь к специальному случаю некомпактных уни-
тарных групп, мы расположим материал следующим образом.
Прежде всего определим первое фундаментальное представле-
ние 2>λ алгебры и построим все остальные фундаментальные предста-
вления £$2' ■ · ·· 3)f
Затем рассмотрим обобщенное регулярное представление (ОРП)
и покажем, каким образом оно содержит фундаментальные предста-
вления.
Наконец, мы приведем полный список конечномерных предста-
влений и покажем, как они получаются из ОРП. Эти конечномерные
представления имеют вид £Β(%Χ λ^, где λ4- — неотрицательные
целые числа. Мы предположим аналитическое продолжение по Kt.
Здесь мы прервем наше изложение теоретических положений и
рассмотрим в качестве примеров группы SU (I, 1) и SU (2, 1), чтобы
увидеть, как аналитическое продолжение действует на практике.
4.2. Фундаментальные представления
Унитарые группы определены в терминах своих первых фунда-
ментальных представлений Sb\. Алгебра представления ЗЬХ группы
SU(p, q) представляет собой множество (/+1) X (/+1)-матриц Μ
со следом нуль, удовлетворяющих уравнению (3.9):
Л1+ = аМа (фундаментальное представление), (4.1)
где σ — диагональная матрица, задаваемая (3.8),
( +1; а=1, 2, .... р,
°^={-1;а = р + 1 /+1. ^
Мы часто будем предпочитать другое обозначение. Пусть Ζ.=ρΛΙρ,
где ρ — диагональная матрица
+1; а=1. 2 ρ
i; а = р + 1 /■ —|— 1 _
Тогда уравнение (4.1) приобретает вид
/,+ = £, (фундаментальное представление). (4.4)
Таким образом, для каждого ρ мы можем выбрать первое фун-
даментальное представление состоящим из всех эрмитовых матриц
с нулевым следом. Это удобно, так как коммутационные соотноше-
ния и матричные элементы операторов конечномерных представлений
не зависят от р.
ft» = ., , , , , , (4-3)

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 341
Пусть o4i — матрица унитарного представления, соответствующего
матрице М. Если Μ принадлежит базису Картана, то
<Ж' =сМ (унитарные представления). (4.5)
Следовательно, матрица JS', соответствующая L, удовлетворяет
условию унитарности
J?Y = аЛ?а (унитарные представления), (4.6)
где под aj&a подразумевается оператор, представляющий aLa. [Если
это несколько не ясно, обратитесь к уравнению (4.15).]
Пусть |£ = (ξ,, . . ., |i+i) — базис первого фундаментального пред-
ставления; образуем антисимметричные тензоры \. _ (. . Такие тензоры
существуют только при /е <^. / —|— 1, и при k=l, 2, ..., / они об-
разуют базис для всех фундаментальных представлений 3)^ .... 3bг.
Представление 351 контрагредиентно представлению SBX, т. е. ма-
трицы этих двух представлений связаны соотношением ^-> — JS* ,
где ^ —матрица, транспонированная к Jg'. Аналогичное соотно-
шение существует между 3% и £Ht-\, между 35г и -2^_2 и т. д.
Представление 35t имеет размерность / -|- 1, и его базис можно обо-
значить ξ', i= 1, 2 /+1, где
li ...i=*i ...i &+1- <4"7)
'j Ι Ι v+i
Иногда ξ,- называют кварками, а ξ' — антикварками.
4.3. Представление ОПР группы SU(p, q)
Группа Si/(p, q) состоит из всех унимодулярных (1-\- 1) X (1-\-1)-
матриц g, удовлетворяющих условию
gagf = a. (4.8)
Пусть
* = Giy) (4.9)
представляет собой комплексную (унимодулярную) (/ -\~ 1) X(/-f-1)-
матрицу, для которой
zazi- = a. (4.10)
Ясно, что мы можем установить одно-однозначное отображение
группы G всех g на множество Ζ всех z, и мы выберем одно из
них. Таким образом, Ζ представляет собой множество переменных,
на котором мы можем определить регулярное представление
g:z-+zg, (4.11)
где умножение справа означает обычное матричное умножение.

342
К. Фронсдел
ОРП определяется на множестве Fr всех непрерывных функций
f(z) над Ζ отображением Tg: f(z)->f(zg). Получим теперь фунда-
ментальные представления из ОРП.
Чтобы найти представление 35λ, рассмотрим пространство функ-
ций f(z), являющихся однородными многочленами от элементов
|u, i=l, 2 ^+1 первой строки матрицы z и не зависящих
от всех остальных матричных элементов. Это есть (/-|-1)-мерное
гильбертово пространство, в котором мы можем ввести базис из I -\- 1
одночленов
li = lii. '=1. 2 /+1. (4.12)
Что это действительно базис, следует из того факта, что отобра-
жение (4.11) переводит элементы первой строки матрицы z в сумму
элементов первой строки.
Введем базис во множестве матриц L рассматриваемой алгебры.
Полный базис Картана задается в виде
где
Hij = £u — £4
(4.13)
(4.14)
В унитарном представлении Llj-J*-^'lj уравнение (4.6) принимает вид
3Ι} при /, ] < ρ или i, J > ρ,
(-2V+={
J>P-
(4.15)
V
(4.16)
J&ij при i<p,
Особенно удобно (4.14) записывается в виде
Таким образом, в (4.13) и (4.15) мы имеем полный набор матричных
элементов, отнесенных к дискретному базису. Гильбертово простран-
ство состоит из всех линейных многочленов
1+1
/(«)= Σ/А. (4.17)
и выражения (4.16) применимы либо к f(z), либо к элементам базиса.
Для нахождения £Bk (k = 2, 3, .... I) обозначим через
£η, · · ■ h+i, 1ь
Δ«.
6*i| · ■ - bk, ifc
(4.18)
миноры, образованные из первых k строк матрицы z. Рассмотрим
пространство функций /(г), являющихся однородными многочленами

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 343
первой степени по Δ4 ... /ft (с фиксированным k). Если z преобра-
зуется согласно (4.11), то каждый из этих миноров преобразуется
в линейную комбинацию этих же самых миноров, и поэтому они
образуют базис представления. Имеется
ak— щ/ + 1_ k)l Κ*·">)
миноров, поэтому dk равно размерности представления. Очевидно,
что Δ,- антисимметричны по всем индексам и преобразуются как тен-
зоры ранга k; следовательно, они образуют базис для представле-
ния £Bk.
Мы получим наиболее простым образом матричные элементы опе-
раторов J2?ij, представляющих Z/y-, если заметим, что каждый ряд
матрицы z преобразуется аналогично первому ряду, так что уравне-
ние (4.16) обобщается до
л-1
Применяя это выражение к (4.18), получаем
-2^ν··'» = 4Δ'.Ι- + δ'Α.'···+ ··- <4·21>
Гильбертово пространство представляет собой множество всех
функций f(z), которые являются линейными комбинациями мино-
ров Aj..., и выражение (4.20) может применяться к любым f(z).
4.4. Тензорные представления
Теперь мы построим все конечномерные представления 2>(hx Kt),
образуя прямое произведение
3^ ® 2б\* ® ... ® 2))i, (4.22)
где 3)jl обозначает Я^кратное прямое произведение представления 3.
на самого себя, и выбирая из этого прямого произведения неприво-
димое представление со старшим весом. В случае унитарных групп
процесс извлечения представления со старшим весом особенно прост;
он заключается в выборе тензора с наибольшей симметрией. Нет
необходимости вводить контравариантные тензоры (с верхними индек-
сами), но если они все же вводятся, то необходимо также обратить
в нуль их след.
Базис для наиболее симметричной части (4.22) образуется из ОРП
следующим образом. Рассмотрим гильбертово пространство всех функ-
ций /(г), представляющих собой однородный многочлен степени λΧ
от элементов первой строки матрицы z и однородные многочлены

344
Κ. Φ ρ о нсде л
степени кк от миноров Δ; ... ,, образованных из элементов пер-
вых k строк, k = 2 /. Дискретный базис в этом гильбертовом
пространстве реализируется подмножеством всех определенных выше
многочленов, которые являются одночленами.
Можно показать, что описанные только что представления являются
как раз неприводимыми представлениями 3^(λ1, ..., Kt). Они были
получены в особо удобной форме, так как все матричные элементы
операторов „§^ можно вычислить простым применением выражения
/1 = 1
к базису из одночленов. С другой стороны, следует указать, что
результаты действия конечных преобразований группы также уже
были получены в замкнутой форме; они даются выражением (2.25)
Tg:f{z)-*f(zg). (4.24)
Все эти представления не унитарны. Мы предлагаем получать уни-
тарные представления, выполняя аналитическое продолжение по λ^ ...
.... λΖ, обобщая таким образом тензорное исчисление на тензоры
с комплексным числом индексов. В качестве иллюстрации мы прежде
всего рассмотрим простейший случай группы SU(l, 1).
4.5. Представления группы SU(\, 1)
В этом случае 1=1, z является двумерной матрицей и пере-
менные Дг . I для п=1, 2 I сводятся к элементам Ъ,х и ξ2
первой строки матрицы z. Таким образом, каждое конечномерное
представление 3>(λ) реализуется в пространстве функций £(z) =
= /(|j, |2), являющихся однородными многочленами степени λ от
двух переменных. Дискретный базис задается λ -\- 1 одночленом
Ψβ6 = δ?& « + * = λ. (4.25)
Операторы задаются выражением (4.23); прежде чем применить
его к ψο6, мы введем более знакомое обозначение
L+ = 3>u, L~ = -2>2b L12 = ~^i2, (4.26)
где JS'u и Sf6ij — представления операторов, определенных в (4.14).
Тогда (4.23) приобретает вид
Ь+^Ж- *- = *■£· W(^-^)· (4·27)
Применяя эти операторы к фаЬ, получаем
£+Ψβ6=*Ψβ+1,»; £"Ψβ*=βψβ-1,6; ^12фвй=£^АФ«*· <4·28)

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 345
Теперь просто распространим эти формулы на произвольные ком-
плексные значения индексов а и Ь; подобным образом мы получим
все линейные представления группы SU(l, 1). Аналитическое про-
должение матричных элементов не изменяет 1) коммутационных соот-
ношений или 2) инвариантности a-\-bt или 3) того факта, что а и b
могут изменяться только на целые значения. Основное изменение
при аналитическом продолжении состоит в том, что представление не
является больше конечномерным, так как, например оператор L
может быть применен к ψο6 произвольное число раз, не обращая
при этом индекс b в нуль. (В конечномерных представлениях этот
процесс заканчивается тогда, когда индекс b принимает нулевое зна-
чение, поскольку b является матричным элементом оператора L+·)
Таким образом, конечномерные представления проявляются как особые
точки на многообразии всех представлений.
Согласно Гельфанду и Граеву [14], существует ряд различных
„серий" унитарных представлений группы SU (p, q) и для каждой
серии должно использоваться особое множество функций / (г). Так
как это происходит уже в простейших случаях, то мы посвятим
некоторое время изучению уравнения (4.28).
Прежде всего разложим представление и определим все непри-
водимые компоненты. Очевидно, что два комплексных числа Φ и Е0,
определенные равенствами
1(в+*) = Ф.
1 1 1 (4'29)
j(a-b) = E0 + m, —g-<Ref0<-2-
(где m — целое), являются инвариантными, и поэтому они фиксиро-
ваны для неприводимого представления. Здесь 2Ф соответствует λ,
но £0 появляется впервые вследствие того, что мы разрешаем суще-
ствование многозначных представлений. Для обычных представлений
Е0 = 0 или 1/2.
Приведем тривиальную теорему.
Теорема I. Если базисные векторы дискретного представления
однозначно характеризуются собственными значениями операторов
данной алгебры или обертывающей алгебры, то представление вполне
приводимо тогда и только тогда, когда оно приводимо.
Условие теоремы выполнено, так что мы видим, что представле»
ние 3 (Ф, £0), определяемое при помощи (4.28) и (4.29), где m при-
нимает все целые значения (положительные, отрицательные и нуль),
неприводимо, за исключением следующих случаев.
Если сумма Ф-\-Е0 = а (по модулю 1) есть целое число, то не
существует оператора, который мог бы сдвинуть нулевое значение
индекса а в сторону отрицательных значений, хотя и существует
23 Зак. 612

346
К. Фронсдел
оператор, который может путем постепенного увеличения на единицу
повысить индекс а вплоть до любых значений от —оо до -f-co
(за исключением только тех случаев, когда 2Ф — неотрицательное
целое, так как при этом индекс b также может равняться нулю).
В этом случае представление приводимо, но не разложимо, т. е. опе-
раторы имеют вид
(А В\
(о с} (430)
Здесь А действует в подпространстве е^О и реализует непри-
водимое представление. Таким образом, представление £8+ (Ф), опре-
деляемое равенствами (4.28) и
γ(β—*) = — Ф + т, /и = 0, 1.2 (4.31)
неприводимо при условии, что Φ — не положительное целое или нуль.
Если Φ — E0 = b — целое и 2Ф — не положительное целое или
нуль, то аналогичным образом мы находим серию неприводимых пред-
ставлений 3>~ (Ф), для которой
у (с — Ь) = + Ф-\-т, т = 0, —1, —2 (4.32)
Наконец, если £0 = 0 или 1/2 и 2Φ = λ — положительное целое,
то представление (4.28) приводимо, причем единственным инвариант-
ным подпространством будет наше исходное конечномерное про-
странство.
Унитарность
Чтобы определить, является ли представление унитарным, нужно
проверить условия (4.15), или, другими словами, условие
L& = La. (L+Y = L~. (4.33)
Но для определения присоединенных операторов необходимо сначала
определить норму. Определение внутреннего произведения в гиль-
бертовом пространстве почти единственно; поскольку L12 — эрмитов
оператор, то векторы, соответствующие различным собственным зна-
чениям оператора Z.12, должны быть ортогональны, и необходимо
положить
(Ъ-^0=1^14,,^. (4-34)

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 347
Комплексные числа Nab произвольны, но не равны нулю. На осно-
вании (4.28) н (4.34) получаем
(Φβ+1.6+1. £+*J = *|We+i.»-ilS. (4.35)
(**»■ L~$a+i,b-i) = (a+ 1)|Λ^β6|2, (4.36)
(Фв*. А2Ф«Ь) = ^ (в - *)| /VJ8· (4.37)
Таким образом, уравнения (4.33) сводятся к соотношениям
а — Ь — действительное число, следовательно,
Ев — также действительное число, (4.38)
I Nab I - *· · (4·39>
Представление, таким образом, унитарно тогда и только тогда,
когда Е0— действительное число и правая часть выражения (4.39)
положительно определена. Для различных классов представлений это
означает, что
&(Ф, Е0) : Ф(Ф+ 1) < |£0|(|£0|_ 1). (4.40)
^*(Ф):Ф<0. (4.41)
В случае (4.40) величина Φ может быть действительным или
комплексным числом, и представления, соответствующие этим двум
случаям, относятся к главной и дополнительной сериям.
Основная серия: λ — действительное число,
Ф = — i-f-&. (4.42)
Дополнительная серия: Φ — действительное число,
1ф+4-1<4—i£oi. (4-43)
Теперь покажем, как эти результаты связаны с представлениями
в пространствах функций. Установим следующее одно-однозначное
соответствие между множеством функций /(φ) от комплексной пере-
менной φ и множеством векторов в гильбертовом пространстве:
[/(г) = | *„*"] Ф=Ф [Φ = Σ cmzm^. (4.44)
где с, b связаны с ш, как в (4.29). Как и в разд. 2.4, мы положим
норму функции f(z) равной норме ф; затем выразим эту норму
через / (г). В случае представления й(Ф, £0) получим
2л
II / II2=-psp JI d(v d(t'f* (φ) / СфО μ (φ - <Α (4-45)
ο
23*

348
К. Фронсдел
где
μ(φ) = Σ|^Ι2β'"!φ. Ζ = β,φ. (4.46)
Возвращаясь к (4.39), находим, что \Nm\=\ для основной
серии, так что в этом случае μ (φ — φ') = 2πδ(φ — φ'). Таким обра-
зом, в случае главной серии мы можем реализовать представление
в пространстве функций с интегрируемым квадратом, заданных на
единичной окружности. В случае дополнительной серии | Nm \ Φ 1 и
ядро μ (φ — φ') в (4.45) не тривиально. Причина, по которой в этих
случаях также следует брать z = el{f с действительным φ, состоит
в том. что сумма (4.46) сходится только при |z|=l. В случае
серии 3+ (Ф) сумма в (4.44) берется только по положительным зна-
чениям т; при этом / (г) аналитична внутри круга | z | = 1, и про-
странство функций совершенно отлично от предыдущего случая.
Отметим, однако, что это различие обусловлено произвольным
выбором отображения (4.44). При помощи более сложного преобра-
зования можно реализовать все представления в пространствах функ-
ций с интегрируемым квадратом [15].
4.6. Представления группы SU(2,!)
Пример группы SU(l. 1) слишком прост, чтобы выявить все
главные черты общей проблемы. Поэтому мы очень коротко рас-
смотрим группу St/(2, 1). В этом случае z представляет собой
3 X 3-матрицу, и роль переменных выполняют величины
1| = £ц. 11 = *1)%&*. (4-47)
При образовании тензорных представлений одновременно от ^
и %1 возникают смешанные тензоры, т. е. тензоры как с верхними,
так и с нижними индексами. При помощи метода одночленов мы
автоматически симметризуем эти тензоры относительно каждого сорта
индексов. Известно, что смешанный тензор, симметричный как по
верхним, так и по нижним индексам, может быть полностью разложен
путем свертывания. Отметим, что часть, имеющая старший вес, обла-
дает нулевым следом. Таким образом, мы должны изучить, как вычи-
сляется след тензора с комплексным числом индексов.
Для большей точности введем базис из одночленов
С/ / f) = %%%&)''&Υ (IV- (4-48)
Тогда проблема будет заключаться в том, чтобы найти вид, который
принимает оператор Т, определяемый как
TAkilj\\\=biN'nlj (4.49)

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 349
в базисе (4.48). Оказывается, что этот оператор имеет вид
T^lg—JL. (4.50)
6,& dlj dl>
Та часть выражения (4.34), след которой равен нулю, определяется
требованием, чтобы оператор Τ ее уничтожал. Мы можем выбрать
одну из двух возможностей: либо положить
|Д' = 0. (4.51)
либо изучить функции f(z), удовлетворяющие волновому уравнению
— -^т/(1) = 0. (4.52)
о1, di> JKbJ
Последнее очень неудобно, и мы предпочтем первую возможность.
Каждый из этих методов дает одни и те же результаты, так как на
самом деле они связаны преобразованием Фурье.
Величина l·,^1 не является оператором в гильбертовом простран-
стве, поскольку она не сохраняет однородности:), но уже величина
(ЫТЧё (4-53)
представляет собой оператор в гильбертовом пространстве. Требова-
ние, чтобы этот оператор обращал одночлены в нуль, означает, что
= 0.
lb а / \ lb, сЧ-1 /-1 \/*-М. « /~» \
[ с d е) + \ с—1 rf+1, e/ + \ с—\ d, e+\)
(4.54)
После наложения этого условия мы в (4.48) получаем базис, который
почти всегда неприводим, как и в случае группы МУ2.
Следует отметить, что равенство (4.51) автоматически удовле-
творяется переменными (4.47). Это пример одной из общих черт
проблемы, о которых мы упоминали ранее, а именно: переменные
автоматически „заботятся" обо всех необходимых симметризациях
тензоров. Тем не менее этот факт необходимо описать в терминах
lb a f \
\ с d е)
, как в (4.54).
Операторы алгебры, разумеется, по-прежнему определяются пу-
тем применения (4.23) к (4.48). Как и в случае группы SU (1, 1),
нетрудно перейти к получению всех представлений группы SU (2, 1).
Граев [14] с большой степенью вероятности нашел все линейные
представления накрывающей группы SU (2, 1), включая все унитар-
ные однозначные представления. Сделаем только одно замечание
') Здесь подразумевается однородность, свойственная базису (4.48).—
Прим. ред.

350
К. Фронсдел
относительно общей проблемы, которая должна быть решена в этой
работе.
Некомпактные алгебры содержат компактные подалгебры, которые
имеют только конечномерные неприводимые представления. Однако
(4.48) содержит как конечномерные, так и бесконечномерные пред-
ставления компактной подалгебры. Это плохо, так как бесконечно-
мерные представления компактной подалгебры не только не унитарны:
они также не могут быть „экспоненциированы" и, следовательно,
не могут подобным способом породить представления ассоциирован-
ной компактной подгруппы. Поэтому они в высшей степени нефи-
зичны. Чтобы избавиться от них, необходимо спроектировать из
(4.48) все те подпространства, в которых действуют только конечно-
мерные неприводимые представления компактной подалгебры. Это
можно проделать „вручную" в случае группы SU (2, 1), но поскольку
очень близкая процедура будет проведена в разделе, посвященном
представлениям группы SL(2, С), то здесь мы этого делать не будем.
4.7. Представления группы SU(p, q)
Большое число представлений группы SU (p, q) было обнаружено
Гельфандом и Граевым [24], хотя и нет уверенности, что найдены
все представления. Обозначения, используемые этими авторами, крайне
неудобны для большинства физических применений, и физикам пред-
стоит задача переформулировки этих результатов или их повторного
получения в более удобной форме'). В случае комплексной унимо-
дулярной группы, которой посвящены пятый и большая часть § 6
настоящей статьи, подобная задача выполнена, хотя и в сильной сте-
пени схематично.
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ УНИМОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ
5.1. Комплексные группы Ли, рассматриваемые
как вещественные группы
В § 3 мы перечислили все те вещественные простые группы Ли,
которые являются подгруппами простых комплексных групп Ли того же
порядка. Было доказано, что, кроме этих групп, существует только
одно дополнительное семейство вещественных простых групп Ли.
Эти дополнительные вещественные группы известны, как это ни па-
радоксально, под именем комплексных простых групп.
Пусть JL — комплексная простая алгебра Ли с элементами (при
использовании базиса Картана)
L = Σ z*LA = Σ (хА + № Ι*α = Σ (xALA - УА^А). (5· 1)
А А А
') В этой связи см. работы [30—33]. — Прим. ред.

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 351
где J3?А = — lLA, а гА = хА -\- iyA (хА и уА — действительные числа).
Пусть коммутационные соотношения имеют вид
[LA, Lb\=CcabLc. (5.2)
Мы получим вещественную простую алгебру Ли, рассматривая JL
как алгебру над действительными числами хА, уА, причем JS?A счи-
таются не зависящими от LA; коммутационные соотношения пола-
гаются такими же, как если бы J^A были равны — iLA, именно
[LA· •З'в] = САВ-3'с· ,5 3)
\3?А> -Z в\ = ^АВ^С·
Рассмотрим один пример, так как недоразумений здесь возникает
множество.
Однородная группа Лоренца имеет шесть действительных пара-
метров, три угла и три компоненты скорости. Ее алгебра Ли со-
стоит из вещественных линейных комбинаций шести генераторов Lt
и Z.,-0, i=l, 2, 3, образующих базис Картана и удовлетворяющих
следующим коммутационным соотношениям:
[L,. £.,] = &„. (5.4)
Комплексная алгебра Ли, состоящая из всех комплексных линей-
ных комбинаций этих шести генераторов, не является простой, так
как два набора генераторов
Л1*=4(£* + «4о). W* = ■§■(£*-'£«) (5.6)
коммутируют друг с другом и поэтому порождают две инвариантные
подалгебры. Но здесь рассматриваются только вещественные линей-
ные комбинации
£ = 21(лЛ£» + /£«,). (5.7)
ft
X , У действительны, 1=1, 2, 3,
и операторы (5.6) не являются элементами алгебры. Вещественная
алгебра, определяемая соотношениями (5.4), (5.5) и (5.7), проста.
Рассмотрим теперь представление этой вещественной алгебры
2 X 2-матрицами:
^=-2«*. ^Μ = -2Γσ*· (5.8)
Очень важно понять, что это представление является точным.
Точным представлением L-*-M называется представление, в котором
отображение L на Μ одно-однозначно, так что не существует двух

352
К. Фронсдел
элементов в L, представляемых одной и той же матрицей М. Пред-
ставление (5.8) не Является точным представлением комплексной ал-
гебры, порождаемой Lt и Li0, потому что вращение на действитель-
ный угол порождается тем же самым оператором, что и ускорение
на мнимую скорость. Но это есть точное представление вещественной
алгебры.
Убедившись таким образом, что (5.8) является точным представ-
лением соотношений (5,4), (5.5) и (5.7), заметим, что
LkQ = — lLk (5.9)
и поэтому (5.7) можно записать в виде
i = 2At, (5.10)
k
zk = xn — lyk — комплексное число.
Это есть комплексная простая алгебра Ах = SL (2, С).
Теперь ясно, что (5.9) удовлетворяется только в специальном
представлении. Действительно, уравнение (5.9) выражает только фор-
мальную связь между Lk0 и Lk, так как левая часть этого уравнения
является элементом алгебры, в то время как для правой части это
не имеет места. Правильнее сказать, что коммутационные соотноше-
ния (5.5) такие же, какие вытекали бы из (5.4), если бы было спра-
ведливо равенство (5.9).
5.2. Унитарные представления комплексной
простой группы
Пусть Л — простая комплексная алгебра (рассматриваемая как
вещественная алгебра), и пусть задано ее неприводимое представление
при помощи эрмитовых матриц. Общий элемент этой алгебры эрми-
товых матриц представляет собой линейную комбинацию эрмитовых
матриц LA, J2? А> удовлетворяющих коммутационным соотношениям
(5.2) и (5.3). Подалгебра, натянутая на LA, — это вещественная ком-
пактная подалгебра JLR алгебры JL-
Образуем линейную комбинацию операторов представления
MA = ^(LA+L2'A). NA = \-{LA-U?A); ' (5.11)
тогда из (5.2) и (5.3) вытекает, что
Ид. MB\ = CcABMt, [NA, NC\ = CCABMC, (5.12)
IMA,NB] = 0. (5.13)
Таким образом, алгебра Λ изоморфна алгебре Жк®Жц. Алгебра,
порождаемая оператором МА, является представлением алгебры JLR,
и то же справедливо для алгебры, порождаемой оператором NA.

4. Теория представлении некомпактных алгебр Ли 353
Так как матрицы LA и J?А предполагаются эрмитовыми, то из
(5.11) следует, что
MA = NA. (5.14)
Таким образом, проблема нахождения всех унитарных неприводимых
представлений комплексной простой алгебры Λ сводится к нахож-
дению всех таких пар неприводимых представлений подгруппы diR,
для которых матрицы обоих представлений связаны соотноше-
нием (5.14).
Для иллюстрации рассмотрим специальный случай комплексной
унимодулярной группы SL{2, С).
5.3. Унитарные представления группы SL(2, С) |17|
Очевидно, что МА и NA не могут быть конечномерными пред-
ставлениями, поэтому для построения унитарных представлений группы
SU (2) нам необходимы все представления группы SU (2). К счастью,
они уже были найдены в разд. 4.5.
Рассмотрим базис из одночленов
4w=«ii£2d. (5-!5)
где £j, |2—базис алгебры SU (2), порождаемой оператором МА),
а |х, |2 — базис алгебры SU (2), порождаемой оператором NA. Как
обычно, введены операторы Λ112=Μ3, М± = Мг + iM2 и анало-
гично для NA. Имеем
жзФ«М = -2(о — *)*«**.
^"4»** = *Ψβ+1. *-!.**. (5-16)
Аналогичные соотношения имеют место для NA.
Для получения унитарных представлений удобно сначала огра-
ничиться тем подпространством элементов (5.15), в котором каждое
неприводимое представление компактной подгруппы (порождаемой
оператором LA = МА -\- NА) конечномерно, поскольку лишь такие
представления унитарны. В каждом конечномерном представлении су-
ществует вектор со старшим весом, и все такие векторы обращаются
в нуль оператором L+ — М+ —|— А/4". Множество векторов, обладаю-
щих этим свойством, задается равенством
\J. Л = п^&-1&)"-'%Ц. У = -ф-. (5.17)

354
Κ. Φ ρ он еде л
где а к с — неотрицательные целые числа, N — произвольное целое
число, tij — нормирующий множитель, и комбинация
ИхЬ-Ш (5.18)
инвариантна относительно LA. Каждому вектору (5.17) соответствуют
2/ -f-1 векторов, образующих конечномерное представление алгебры
SU(2)
\J.m) = NJtm(Ly-m\j,j). (5.19)
где т = — j -\-j.
Нетрудно показать, что векторами вида (5.17) исчерпываются все
векторы, обращаемые оператором L+ в нуль, и поэтому унитарные
представления группы SL(2, С) должны быть найдены в линейном
векторном пространстве, натянутом на векторы (5.19).
Заметим, что для характеристики неприводимого представления
вполне достаточно чисел | J, т), так как каждая из степеней одно-
родности по \i и по ^ в отдельности инвариантна, и поэтому как М,
так и
k0 = ^(a — с) (5.20)
для каждого неприводимого представления фиксированы, так что
каждому значению j соответствует только один вектор (5.17). Если
мы используем выражения
Ч-(*£-*.£). м+=^ж· м~^ж (5·21>
(и аналогичные выражения для ΝΑ), то вычисление МА и' ΝΑ в ба-
зисе (5.20) производится без всяких затруднений. Затем, складывая
и вычитая, получаем выражения для LA и J2?А. Оператор LA дейст-
вует только на /я (способом, который хорошо известен), в то время
как для J&'А мы находим, например,
**\'·«* = -1Τ^Ν,^Μ U + DB/ + D Ι^+1-">-
. M^ + D nj Njm
(f — k*\U + N + l)U—m)
X- jw + i) l\J+l-m)· (5·22)
Остальные операторы, „g^ и J?2 можно вычислить, используя
коммутационные соотношения. Для обсуждения вопросов унитарности
и неприводимости достаточно операторов LA и _2"3·
Из уравнения (5.22) мы видим, что j принимает все целые или
полуцелые значения. Верхняя граница значений j существует, если
М12

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 355
только 2Ν — целое, но это несовместимо с унитарностью (см. ниже).
Значения j < \М | запрещены, так как а к с неотрицательны. Непри-
водимое представление получается, таким образом, в пространстве
7-μ0| = 0, 1, 2, ... (5.23)
(заметим, что 21 k01 — целое по определению и что 2у и 21 k01 имеют
одинаковую четность).
Чтобы выбрать унитарные представления, наложим на ^ъ и LA
условие эрмитовости. Эрмитовость оператора LA будет обеспечена,
если для Ni m взять стандартное выражение
/V. = Г U + m)\ ТА (524)
Эрмитовость оператора ^3 сводится к следующим условиям:
^о(^~Г" 1)—чисто мнимое число, (5.25)
п,
Ч-\
П!
j2-h\ j + N+l
2У(2у+1) j-N*-l
(5.26)
Уравнение (5.26) может быть разрешено относительно п, тогда
и только тогда, когда правая часть положительна для любых j из
множества (5.23). Таким образом, имеются две серии унитарных
представлений, именно
Основная серия:
/5г0 = 0, или—, или \t или щшшг
(5.27)
N -J- 1 = с — чисто мнимое число.
Дополнительная серия:
0</V+l=c< 1.
Подставляя (5.24) и решение уравнения (5.26) относительно и,-
в (5.22), получаем формулу Наймарка [18]
-2*31 J. m) = [U- i»)U + m)\U Cj\J—l.m) —
— mAm| j, m) - [(/ + m -f- 1)(j — m -f- 1)]'A CJ+11 J + 1, m), (5.28)
где
m У(/ + 1)" '~ / L 4/-1 J · (5·29)
Мы видим, что здесь k0 входит в комбинации kl и ko(N -f- 1), так
что представления А0, /V -f 1 и — kQ, — N — 1 эквивалентны. Этим
объясняется, почему мы опустили в классификации (5.27) отрица-
тельные значения k0 и при k^ = О отрицательные значения с.

356
К. Фронсдел
5.4. Редукция группы SL (ге, С) к компактной подгруппе
Наша процедура довольно непосредственно обобщается or группы
SL(2, С) на группу SL(n, С). Пусть
ΔΖ , Δ,- [ Δ/ i (5.30)
— набор базисов фундаментальных представлений группы SU (п), и
пусть
А, Кц A,- i (5.31)
— другой подобный набор. Операторы Мц и Ny алгебры задаются
соотношениями
М,j\ ... ik = 6yiiA(,2... 1к + ЬГ1^11з... !»+·.·. (5-32)
Ν, Α,... ift =4Δ". - '* + 4Δ'.". - '*+···■ ^5·33)
Тензоры (5.30), (5.31) антисимметричны по всем индексам. Напомним,
что удобно реализовать Δ,- .,.,- как миноры, образованные из эле-
ментов первых k строк η X (у — ге)-матрицы
г = (1ц). (5-34)
Аналогично пусть А,- .,»- образованы из элементов матрицы
* = (Sy). (5-35)
тогда
M'J = tb-t· М<* = Ь»ф (5-36)
Компактная подалгебра порождается операторами
Lil^Mii+Nil- (5-37)
Таким образом, величины (5.30) являются тензорами по отноше-
нию к оператору Мц, величины (5.31) являются тензорами по отно-
шению к N-tj, и как те, так и другие являются тензорами по отно-
шению к Lij. Наиболее общий базисный вектор представляет собой
произведение произвольного числа множителей, каждый из которых
принадлежит набору 2(гс—1) тензоров (5.30), (5.31). Наиболее об-
щий неприводимый тензор имеет вид симметризованного произведения
произвольного числа СЬ1 множителей /w:
^■-«-^'r.^ A+i ...w (5.38)
где
εε'1'" '2η^ε!1"' Vn+1 *" Ч (5.39)

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 357
Здесь k и / изменяются независимо в пределах от 0 до η— 1, кроме
случая k = l = 0, который исключается. Отметим, что если k-\-l = n,
то величина 1Ы инвариантна.
Степени однородности тензоров по каждой из переменных являются
инвариантами; они равны
Scw. /=i «-1.
*-о
SC№ 1=1 п-\.
fc=0
Чтобы получить конечномерные представления компактной подгруппы,
мы должны взять неотрицательные целые значения для всех Cki,
исключая Cft „_*, которое может быть произвольным комплексным
числом, так как величины /fti„_ft инвариантны относительно компакт-
ной подгруппы. Удобно ввести числа
л-1
ft=S(C*,„-., + Clill_Jk.1). (5.40)
ft-0
72-1
Щ= Σ (^.„-,-С,,„_*_,). (5.41)
ft-0
Тогда все ягл являются целыми числами, так как Ск1 при k -\-1 = я
в сумме сокращаются. Без потери общности можно взять все ml не-
отрицательными.
В общем случае неприводимое представление задается η — 1 ком-
плексными числами Рй и ге — 1 неотрицательными целыми числами mk.
Эго представление мы будем обозначать £В(р, ш). Если одна или
более пар переменных Δ,- ...» , Δ/ ...4- в данном базисе отсут-
ствуют (т. е. если Cft( = Cii(I_ft = 0 для всех значений / и одного
или более значений k), то говорят, что представление принадлежит
к „вырожденной серии" представлений.
Базисные векторы представления £$(р, ш) могут быть обозначены
как \Ск1ш1 ), где каждый набор чисел Ckl характеризует одно не-
приводимое представление компактной подгруппы и где для каждой
пары целых чисел k% I существует набор lkl индексов, общее число
которых равно In—k — I, нумерующих векторы одного неприводи-
мого представления компактной подгруппы. Каждое неприводимое
представление 3>(λ{ λ„_Χ) группы SU(ri) характеризуется стар-
шим весом
/Γ(^Ι)=Σλ///. (5.42)
7-1

358
Κ. Φ ρ он еде л
где fj — старший вес j-το фундаментального неприводимого пред-
ставления 3)j и Kj — неотрицательные целые числа. Для данного Сы
векторы, соответствующие старшему весу, имеют вид
П№2'3-)С„ (5.43)
k, I
(причем векторы \г располагаются по порядку возрастания весов).
Вес равен сумме весов каждого множителя. Вес /« ' 3'" равен f/,+l,
если мы положим /0 = /„ = 0 и
/«+( = /,-· i=0, 1 п. (5.44)
Таким образом, вес векторов (5.43) равен
F{Ckl)= Σ C*if*+i- (5.45)
*, г-о
Сравнивая с (5.42) и (5.44), получаем
*7=2(й*+1,., + 6»+11Я+у)См. (5.46)
/г, I
Наименьший из весов вида (5.43), встречающийся в данном пред-
ставлении 3)(р, т), носит название „наименьшего старшего веса"
данного представления. Очевидно, что для фиксированного ть наи-
меньшее kk получается, когда С1*, л-г = бй т, к-\-1фп, причем
в этом случае λ7==»Ι^. Таким образом, мы получили, что наименьший
старший вес в представлении 35 (р, т) равен 2 r^kfk-
В общем случае для того, чтобы решить, сколько раз данное
представление 3)(λ) встречается в представлении 35 (р, т), нужно
подсчитать число наборов неотрицательных целых чисел Ckv k Φ Ι,
удовлетворяющих (5.41) и (5.46). Оказывается, что в невырожденном
случае это число равно тому, сколько раз вес 2 mkfu встречается
в представлении £В(т). В вырожденном случае это последнее правило
видоизменяется следующим образом: если в данном представлении
отсутствуют переменные Δ/ .. » и Δ; ...j то тогда нужно сосчи-
тать только веса, синглетные по отношению к подгруппе SU (2),
базисом которой служат векторы (|ft, £ft+1) [19].
Пример группы SL(3, С)
В невырожденной серии наименьшим старшим весом может быть
старший вес любого представления группы SU (3). Если наименьший
старший вес равен /о = 0 или /г, то мы получаем серии
(010) + (М) + (1,1) + (3,0) + (0.3) + (2^)-|-(2,2)Ч-(2,2)-|- ....
(1.0) -КО. 2) +- (2, 1) +- (2, 1)+ (1. 3)4-0. 3)4- (4. 0) + (3. 2) + ....

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 35Θ
Существует только один вид вырожденной серии. Указанным выше
наименьшим старшим весам соответствуют только подчеркнутые пред-
ставления. Наименьший старший вес вырожденной серии всегда равен
(λρ 0) или (0, λ2).
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ТЕНЗОРЫ
6.1. Введение
Достаточно сложные алгебры имеют очень богатый спектр не-
приводимых унитарных представлений, и, по-видимому, неизбежно,
что их описание посредством матриц, действующих на дискретный
базис, в общем случае очень утомительно и неизящно. Можно,
однако, надеяться, что с каждым типом встречающихся нам в физике
проблем связаны только специальные классы представлений. В этом
случае для облегчения вычислений могут быть развиты специальные
методы. Здесь мы рассмотрим метод, который, хотя в принципе и
применим ко всем представлениям, но особенно удобен, когда мы
имеем дело либо с вырожденной серией представлений группы SL (п, С),
либо с дискретной серией представлений SU(p, q).
Для иллюстрации рассмотрим характерный пример. Мы уже изу-
чили однородную группу Лоренца, или SL(2, С), имеющую извест-
ное „представление"
Хотя эти операторы и удовлетворяют коммутационным соотношениям,
они не будут задавать представления до тех пор, пока мы не спе-
циализируем множество функций f(x0, xt, х2, -К3), на котором они
действуют. Одно из возможных множеств определяется соотноше-
ниями
Χ%Χ°Χ%Χ* a-4-b-4-c + a = N,
0 12 3 £g 2)
а, Ь, с = 0, 1,2
Очевидно, что в результате действия операторов (6.1) на один из
одночленов (6.2) возникает сумма подобных одночленов той же сте-
пени однородности по л;0 х3, и поэтому N является инвариантом
представления. Другой инвариант есть х%— х? — л| — х|; удобно
положить
xl — x\-x\ — x\ = 0. (6.3)
Степени а, Ь, с должны быть неотрицательными целыми числами,
так как группа вращений, порождаемая операторами Lt, компактна
и имеет только конечномерные неприводимые представления, а а не
обязательно должно быть даже действительным числом.

360
К. Фронсдел
В силу уравнения (6.3) базис
(6.4)
|У. т>~<КЛ|Я.
m = — j j; y' = 0, 1, ...
эквивалентен (6.2). Будучи соответствующим образом нормирован,
этот базис совпадет с базисом, изученным ранее, с тем лишь исклю-
чением, что в данном подходе мы получаем только представления
${N, k) с k = 0.
Рассмотрим полностью симметричный 3-тензор
*!,...!, Ι /у=1. 2. 3. (6.5)
Каждая компонента такого тензора полностью определяется заданием
чисел о, Ъ, с, которые отмечают, сколько раз среди индексов встре-
чаются цифры 1, 2, 3 соответственно. Таким образом, мы можем
установить соответствие
V-.^V·-*',·0*^ (6,6)
при условии, что а, Ь и с — неотрицательные целые числа, равные
в сумме у. Очевидно, что (6.6) позволяет определить действие опе-
раторов L,. на ф, как соответствующее действию L,. на xt
* * tj ii ... ' I] l\ ...
Таким образом,
Ч-гФ"Л-·'-'/ (6·7)
Идея обобщенных тензоров заключается просто в расширении
соответствия (6.6) на 4-тензоры (μ^ ..., μΝ = 0, 1, 2, 3):
Φμ, ... μ„ & *μ, ' ■ ' *μ„ & W§*I· <6·8)
даже и для тех случаев, когда N и α — полуцелые. Очевидно, что
это можно сделать; покажем, что это также очень удобно.
Легко немедленно убедиться, что результат действия как Llj,
так и L[0 может быть изображен в виде
N
L ψ = У, g ψ (6.9)
при условии, что Ν— целое. Мы будем также использовать эту фор-
мулу и для полуцелых N. Это означает, что сумма (6.9) в действи-
тельности имеет бесконечную длину, но всякий раз, когда „число
индексов" входит в какие-либо вычисления, это число полагается
равным N. Другими словами, мы можем представить себе, что все
вычисления проводятся для целых Ν, а результат аналитически про-
должается на те значения Ν, для которых (6.9) является унитарным

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 361
представлением. Метрический тензор представления (6.9) диагоналей
и имеет значения
tfoo = —tfu = —«22 = —«зз=1· (6.10)
В качестве такого примера вычислим норму и определим условия.
которым должно удовлетворять N для унитарного представления.
Предположим, что представление (6.9) унитарно, тогда (ψμ \*
должно преобразоваться контрагредиентно к ψ , т. е. так же,
* μ. ... μ^ν η
как контравариантный тензор ψ .В этом случае норма имеет вид
φ*1' Х..^=|фР- (β·»)
μ,...μ,ν ^^ρ
' ■μ1·..μΛΤ
Предположим сначала, что N = I; тогда
ΙΨ Ρ= Ψ'4=*,1ν(Φμ)·φν=Ι ФоР- 21 Ψ,- Ρ- (6-12)
3
Σ.
i-I
В этом случае вклад в норму разделен на два вклада, именно на
части, соответствующие спину 0 и спину 1. Другими словами, имеют
место вклады в норму от каждого неприводимого представления ком-
пактной подгруппы. Поскольку эти вклады противоположны по
знаку, то норма не положительно определена, и, следовательно,
представление не унитарно.
Теперь пусть число N произвольно; разложим тензор на сумму
тензоров, неприводимых относительно компактной подгруппы. Такие
подпространства характеризуются двумя условиями. Прежде всего
определим число индексов, не равных нулю; пусть это число равно Л
Тогда
оэ
Ψ = Σ 2J['i(w—04-lev«...ev*0 ...δ° ψ ,(6.i3)
θ£ = <£-«£<& (6.14)
Затем в 3-тензорах ψ производится разбиение типа
l</2|
Ψν ν0=Σ Σβ,Ψν νΘν. ν. "·θν ν. (6.15)
где
Ψν. ...ν; = θλ'+'λ'+2 ■ ■ · Θλ<-'4, ... ν, , ш . (6.16)
ν, ... ν,λ,+Ι ...λ(οο
а знак тильда в (6.15) означает исключение части, имеющей нулевой
след. Коэффициенты а в (6.15) легко вычисляются с помощью
24 Зак. 612

362
К. Фронсдел
простой рекуррентной формулы, приводя к результату
aJ j\(t-j)\\(t+j + W Ф-и>
Теперь для определения нормы подставим разложение (6.13) в вы-
ражение (6.11) и после суммирования бесконечного ряда (/ = N-1-1)
получим
2 у (2У+РИ g-oi.r ρ (618)
J
Эта формула справедлива как для целых, так и для комплексных
значении N. Норма положительно определена тогда и только тогда,
когда коэффициенты в (6.18) положительны для каждого j; т. е.
либо
с—чисто мнимое число, (6.19)
либо
— 1<с<1. (6.20)
Мы показали только необходимость этого условия, но в действитель-
ности оно оказывается также и достаточным.
6.2. Некоторые представления группы SL(n,C)
Мы рассмотрим здесь максимально вырожденную серию предста-
влений группы SL(n, С), именно те представления, которые исполь-
зуют только одну пару переменных %А и %А. В этом случае базис
имеет вид
{iAiAf*·«-6, ... I, 1*''"" Вс°' — (6-21)
и
p=p1 = C0i„_i + 2Clin_1+Cii0. р2 = рз= ... =0,
— А = /и, = С0 „_, —Сь0, т2 = т3— ... =0.
Мы будем также использовать обозначения
2cw=6liII_1(C0i<I_1 + clilI_1)=6/,„_1>ii.
*"J (6.23)
Σ cin = δΛ i <ci. »-i + ci. о) = К iW
ft-0
9==M + N, k = N — M. (6.24)
Поскольку k = m1 — целое, то мы имеем M = N по модулю 1.

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 363
Этому базису мы ставим в соответствие тензор
Тогда операторы М{, и Ν{, действуют следующим образом:
Ν
Μ. д|Л - *м = Уб> ψ}' - fM . —i-*/*!1 '" 6λΜ· С6·25)
n = \
Μ
NtA\:::fe=-Σδ<<\:::i;"**+i*/*i;:::ft- (6·26)
/1 = 1
Компактная подалгебра Mij-\-Nij действует контрагредиентно на
верхние и нижние индексы, так что свертывание верхнего и нижнего
индексов является инвариантной операцией по отношению к компакт-
ной подгруппе.
Разложение, производимое при помощи тензоров, преобразую-
щихся неприводимым образом относительно компактной подгруппы,
совпадает с разложением, при котором оперируют понятиями следа
и частей с "нулевым следом:
♦i'-fjf=2 Σα?·Ν¥Α>-ΒΑ< #+· ...ей· (6·27)
ρ
(Л)
\в)
где знак «~» означает, что след тензора равен нулю. Свертывая
один раз обе стороны (6.27), мы получаем рекуррентное соотноше-
ние для α^·Ν, имеющее решение
ам. ν = (SS + ft + n-l)!
t t\(f-\-k)\(M — t)\(N + t + n— 1)! — ^· '
_ (-)< (2t+k+n-iy (f-M-l)l rfi9q,
iM!(— M — 1)! <!0 + *)! (i_|_AA + n—1)! * V"·^
Из свертывания ясно (причем U = 1 -\- /ε'7Ж,, -J- 'ε* Nil)· что
Если представление унитарно, то существует инвариант
фА, ... Ад, . В, ... Ад, (631)
где фиф* должны преобразовываться как эквивалентные предста-
вления. Таким образом, должен существовать положительно опреде-
ленный оператор β, такой, что ψ*β преобразуется так же, как ψ, и
24*

364
К. Фронсдел
мы можем определить
-ГА ... ΑΝ _ .*£, ... dN*RBl ... DM*A{ ... AN ((. o2,
TB, ... ΒΛ \ ... Ол» ' С, ... CN,BX ... ВЖ ' (°0Z)
или, короче, ψ = ψ*β. Кроме того, оператор β должен быть поло-
жительно определен.
Поскольку оператор β коммутирует с компактной подгруппой, он
умножает каждый член в (6.27) на число β,. Мы определим β, в спе-
циальном случае, когда Μ и N действительны. В этом случае из
(6.32) следует, что
Мф = №ч, (6.33)
т. е. оператор β коммутирует с Μ{.-\-Ν^ и антикомыутирует
с Mlj — Nr. Это возможно только тогда, когда „диагональные" мат-
ричные элементы оператора Mt, — Nt, исчезают (т. е. обращаются
в нуль те матричные элементы, которые связывают векторы одного
и того же представления компактной подгруппы). Непосредственным
вычислением можно проверить, что это имеет место только если
Μ + Ν = — η (6.34)
и что в этом случае
β,~(—)'· (6.35)
(Исключением является только случай η = 2.) Чтобы показать, что
оператор β положительно определен, разложим (6.31). В результате
получим
N\M\^tafN\^BA-BJ I2. (6.36)
t ' l ■*■ /+* I
Следовательно, условием того, что оператор β положительно опре-
делен, является справедливость соотношения at+ljat < 0 для всех
t = 0, 1, 2 которое выполняется для значений (6.29) вслед-
ствие (6.34). Для комплексных Μ и N условие унитарности имеет
вид Μ-\-Ν = — η-\-Ιλ, где λ—действительное число.
6.3. Некоторые другие представления группы SL (я, С)
Для применения группы SL(6, С) к теории элементарных частиц
максимально вырожденная серия представлений оказывается неудо-
влетворительной. Поэтому мы сейчас рассмотрим следующий по слож-
ности случай. Вместо того чтобы иметь дело только с одной парой
переменных \А и \А, мы будем использовать также другую пару £л
и £л. На языке тензоров это означает, что у нас имеются как верх-
ние, так и нижние индексы с точкой и без точки, причем симметрия

4. Теория представлений некомпактных алгейр Ли 365
требуется по отношению к каждой из четырех групп индексов, и
нулевой след необходим как по отношению к паре индексов с точ-
кой (одному нижнему и одному верхнему), так и по отношению
к паре индексов без точки.
Исследуем специальный случай представлений, содержащих то-
ждественное представление компактной подгруппы. В этом случае
тензоры имеют вид
ψΛ,...ΛΛΑ, .·■**. (6.37)
С, ... CMDt ... DN
Как и раньше, оператор Мц действует на индексы без точки, а опе-
ратор N/j—на индексы с точкой. Вместо (6.25) мы имеем выраже-
ние, содержащее дополнительные члены, отражающие действие опе-
ратора Mt, на верхние индексы без точки, а вместо (6.26)—выра-
жение, содержащее дополнительные члены, в которых оператор Νη
действует на нижние индексы с точкой. В специальном случае группы
SL(n, С) этими представлениями исчерпываются все представления,
если учесть только, что мы ограничили себя теми представлениями,
которые содержит тождественное представление компактной под-
группы.
Положим N = М, так как это упрощение подсказывается при-
ложениями.
Как и в более простом случае, нам хотелось бы разложить (6.37)
на подпространства, неприводимые относительно компактной под-
группы. Наименьшее подобное подпространство есть
m = yAmi — Ai*bi-ANm (6.38)
ТЛ, ...ДууВ,... BN
Следующее наименьшее подпространство натянуто на тензоры, имею-
щие два свободных индекса; к сожалению, в этом случае мы можем
образовать два таких независимых тензора:
φ/= ф"· - f*' - !w—Ιτδ/φ. (6.39)
jA3 ... ANBt ... BN Π ^
?/= ψ?· - V*« - 'Bn —UV (6.40)
^l *Al...ANjB2...BN Π «T Ч >
Действительно, согласно общим правилам классификаций представле-
ний по компактной подгруппе, это представление должно встречаться
дважды. Мы можем задать вопрос, встречается ли для некоторых
специальных значений N только одна выделенная линейная комбина-
(1) Ρ)
ция φ/ и ψ{. Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего

366
К. Фронсдел
убедимся, что
1 (1) (2)
2-(Л1г.у — W/y)<p=Mp/ — Mp/==Mt/. (6.41)
В унитарном представлении мы можем определить другую линей-
(П. (2)
ную комбинацию л, от φ' и φ/ как комбинацию, ортогональную л/.
Это эквивалентно требованию, чтобы никакой матричный элемент
оператора Мы — Л/'ы не связывал я, с φ, откуда следует, что
, (1) (2)
К ' = Ф/ + Ф/. (6.42)
Необходимые условия для унитарности находятся из исследования
матричных элементов некомпактных генераторов, взятых между со-
стояниями π/ и п\ ■ Находим
, /(11) (22) * /(12) (12) \
+ "^Ιη-(^4-«-1)(β{δ/ — |δ/δ^)φ, (6.43)
1 , /(H) (22) \ /(12) (12) \ ,
7(^M-^< = (iV-l)(Vfi-qfJ-iV(«p/i-41J{) +
+ -^Г4 (" + τ) (γ л^ + £ "й - "ft - "&*/)' (6-44>
где некоторые символы с четырьмя индексами определяются как оче-
видное обобщение (6.39) и (6.40); они имеют равный нулю след по
отношению к любой паре из одного верхнего и одного нижнего
индекса.
Условие унитарности имеет вид
Mtl = Nki. (6.45;
откуда очевидным образом вытекает требование
(N + ^^ft + l·)* <0. Ν(Ν + η-\γ<0. (6.46)
Имеются два сорта решений.
Основная серия:
η — 1
Л/ = к \~ & (^ ~~ действительное число). (6.47)

4. Теория представлений некомпактных алгебр Ли 367
Дополнительная серия:
— ^<Ν<—^=^. (6.48)
Наиболее интересными случаями являются пределы в (6.48).
В этих случаяхλ) представление становится приводимым, но не
вполне приводимым. Как это видно из уравнений (6.43) и (6.44).
я/ принадлежит инвариантному подпространству, если N = —(и—2)/2,
а π'.1 принадлежит инвариантному пространству, если N = — и/2.
При этих предельных значениях представления, индуцированные
в соответствующих инвариантных подпространствах, эквивалентны
представлениям, содержащимся в максимально вырожденной серии
(см. разд. 6.2).
ЛИТ ЕРАТУРА
1. С а г t a n E , These, Paris, 1894.
2. С а г t a n E., Oeuvres Completes, Paris, 1952.
3. С a rt a n E., Bull. Soc. Math, de France, 41, 53 (19J3).
4. Понтрягин Л.С., Непрерывные группы, М., 1954.
5. Weyl H., Zs. Math., 24, 328, 377 (1925).
6. Weyl H., Selecta, Basel und Stuttgart, 1956, S. 262.
7. R а с a h G., Group Theory and Spectroscopy, Institute for Advanced Study,
Lecture notes, Princeton, 1951.
8. van der W aer den B. L., Math. Zs., 37, 446 (1933).
9. Nachbin L., Notas de Fisica, vol. VI, No. 3, Rio de Janeiro (1960).
10. В ohm A., Rigged Hilbert Spaces, ICTP preprint 64/9 (1964).
11. В a r u t A. O., R а с z к a R., Proc. Roy. Soc. (в печати).
12. Gantma cher F., Matematichecku Sborník, 5 (47), 101, 218 (1939).
13. G a n t m а с h e r F., Recueil Math., 5, 217 (1939).
14. Граев М., Труды Моск. матем. об-ва, 7, 336 (1958).
15. В а г u t А. О., F r о n s d a 1 С, Proc. Roy. Soc. (в печати).
16. Fronsdal С, The Linear Representations of SU (3), Proc. Roy. Soc.
(в печати).
17. Bisiacchi G., Fronsdal C, Nuovo cimento (в печати).
18. Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1954.
19. Гельфанд И. М., Наймарк М. А., Унитарные представления клас-
сических групп. Труды Моск. магем. об-ва, 36 (1950).
*20. Желобенко Д. П., Лекции по теории групп, Дубна, 1965.
1) Утверждения, которые содержатся в этом последнем абзаце, не про-
верены нами в деталях. См. в этой связи книгу Гельфанда и Наймарка [19].

Лб8
К. Фронсдел
*21. Б е р е з и н Ф. А., Г е л ь ф а и д И. М., Граев М. И., Н а й м а р к М. А.,
Усп. матем. наук, 11, № 6, (72), № 3 (1956).
*22. Желобенко Д. П., Труды Моск. матем. об-ва, 12 (1963).
*23. Желобенко Д. П., ДАН СССР, 139, № 6, 1291 (1961).
*24. Желобенко Д. П., ДАН СССР, 170, № 5, 1009, № 6, 1243 (1966).
*25. Желобенко Д. П., Наймарк М. А., ДАН СССР, 171, № 1, 25
(1966).
*26. Г е л ь ф а н д И. М., Граев М. И., Труды Моск. матем. об-ва, 7, 335
(1958).
*27. Б е р ез и н Ф. А., Труды Моск. матем. об-ва, 6, 361 (1957).
*28. Сирота А. И., Солодовников А. С, Усп. матем. наук, 18, As 3,
87 (1963).
*29. Гр а е в М. И., ДАН СССР. 113, Л% 5, 966 (1960).
*30. R а с z k a R., L i m i с N., N i e d е г 1 е J., Degenerate representations of
non-compact rotation groups, I, II, ICTP preprint 66/2, 66/18 (1966).
*31. Raczka R., Fischer J., Degenerate representations of non-compact
unitary groups, I, II, ICTP preprint, 66/16, 66/36 (1966).
*32. В iedenharn L. C, Nuyts J., Straumann N.. On the unitary
representations oi SU (1,1) and SU (2,1), CERN preprint 65/761/5 (1955).
*33. Fronsdal C, Unitary representations of SL (л, с), ICTP preprint, 66/51
(1966).
*34. High-Energy Physics and Elementary Particles, IAEA, Vienna, 1965,
Book II, Parts IV, V.
*35. Non-Compact Groups in Particle Physics, ed. Y. Chew. New York, 1966.

ПРИЛОЖЕНИЕ ')
1. Разложение некоторых мультиплетов группы SU (6, 6) по подгруппе
SU (2,2) xSU(3)
143 = (15, 8) + (15, 1) + (1,8),
4212 = (84, 8) + (84, 1) + (45, 10) + (45, 10) -f (45, 8) + (45, 8) + (20", 27) +
+ (20", 8) + (20", 1) + (15, 27) + (15, 10) + (15, ГО) + 3 (15, 8) -f (15, 1) +
+ (1,27)+ (1,8)+ (1,1), _
5940 = (84, 27) + (84, 8) + (84, 1) + (45, 10) — (45, 10) + (45, 8) + (45, 8) +
+ (W, 8) + (20, 1) +(15, 27)+(15, 10)+(15, Τθ)+3(15, 8)+ (15, 1) I
+ (1,27) +(1,8) + (1,1),
220 = (20', 8) + (20, 1) + (4, 10),
572 = (20', 10) + (20', 8) + (20, 8) + (20', 1) + (4, 8),
364 = (20, 10) + (20', 8) + (4, 1).
2. Разложение некоторых мультиплетов группы SU (6, 6) по подгруп
Si/(6) X Si/(6)
143 =(6, бУ+(6,_6) + (1, 1)+_(35, 1_) + (1, 35),
4212 = (15, 15) + (15, 15) + (6, 6) + (6, 6) + (35, 35) + (1, 1) + (84, 6) +
+ (6, 84) + (84, 6) + (6, 84) + (35, 1) + (1, 35) + (189, 1) + (1, 189),
5940 = (21, 2Т) + (21, 21) + (6, 6) + (6, 6) + (35, 35) + (1, 1) + (120, 6) +
+ (6, 120) + (120, 6) + (6, 120) + (35, 1) + (1, 35) + (405, 1) + (1, 405),
220 = (20, 1) + (1, 20) + (16, 6) + (6, 15),
572 = (70, 1) + (1, 70) + (21, 6) + (6, 21) + (15, 6) + (6, 15),
364 = (56, 1) + (1,53)+(21,6) + (6, 21).
')Delbourgo R., Rash id Μ. Α., Salam Α., Strathdee J.,
High-Energy Physics and Elementary Particles, IAEA, Vienna, 1965, p. 455.'

370
Приложение
3. Разложение некоторых мультиплетов группы Si/(6) по подгруппе
St/(3)Х 51/(2)
35 = (8.3) + (1.3) + (8.1), _
189=(8,5) + (1,5) + (10,3)+(10,3)+2(8,3)+(27, 1) + (8. 1) + (1, 1),
405 = (27. 5) + (8, 5) + (1. 5) + (27, 3) + (10, 3) + (10. 3) +2 (8, 3) + (27,1)+
+ (8.1)+ (1.1)
20 =(1.4)+(8. 2).
70 = (8, 4)+(10, 2)+(8. 2)+(1,2),
56 =(10, 4)+ (8, 2).
4. Разложение некоторых мультиплетов группы SU(b) по подгруппе
SU,(4)XSUV(2)>)
35 = (4, 2. 1) + (15, 1,0) + (1, 3, 0) + (1, 1. 0) + (4_, 2, -1),
189 = (6, 1, 2) + (20', 2, 1) + (4, 2. 1) + (20", 1, 0) + (15, 3, 0) + (15, 1,0) +
+ (1, 1, 0) + (2У, 2. -1) + (4, 2, -1) + (6. 1, -2),
405 = (10, 3, 2) + (36, 2, 1) + (4, 4, 1) + (4, 2. 1) + (84, 1, 0) + (15, 3, 0) +
+ (15. 1. 0) + (1, 5, 0) + (1. 3, 0) + (4. 4. -1) + (4, 2, -1) + (36. -2, 1) +
+ (Ш, 3, -2),
20= (4. 1, 1)+6. 2. 0) + (4. 1. -1),
70 = (20'. 1, 1) + (6, 2, 0) + (10, 2, 0) + (4, 1, -1) + (4, 6, -1) + (1, 2, -2),
56 = (20, 1. 1) + (10. 2. 0) + (4, 3. —1) + (1. 4. —2).
') Третья цифра о скобках относится к гиперзаряду. — Прим. ред.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Д. Иваненко. Вступительная статья. Роль теории групп в фи-
зике элементарных частиц 5
§ 1. Введение 5
§ 2. Групповые методы в физике 5
§ 3. Группы унитарной симметрии 8
§ 4. Лептоны 15
§ 5. Алгебра токов 17
§ 6. Новые идеи теории поля 18
Нелинейная теория 18
Бутстреп 20
Гравитация 21
1. Ф. Гюрши. Введение в теорию групп 25
Вводные замечания 25
§ 1. Абстрактные группы. Общие свойства 26
Таблица умножения 28
Изоморфизм 29
Комплексы, подгруппы 30
Теорема Лагранжа 31
Независимые элементы. Генераторы. Ранг 32
Сопряженные элементы. Классы. Нормализатор 32
Инвариантные подгруппы 33
Факторгруппа GJH 34
Центр группы 35
Взаимные отображения групп 35
Отображения внутри группы. Автоморфизм и эндоморфизм ... 36
Ядро гомоморфного отображения 37
Прямое произведение 40
Полупрямое произведение 40
Простые и полупростые группы 41
Накрывающая группа 41
Коммутатор. Производная группа 41
§ 2. Представления групп 42
Матрицы 42
Матричная группа 42
Группа линейных преобразований 42
Представления групп 42
Точные и неточные представления 43
Эквивалентные представления 44
Характер представления 44
Приводимые и неприводимые представления 45
Унитарные представления 46
Комплексно сопряженное представление Г* 47
Присоединенное представление Гт 48
Тривиальное представление и регулярное представление 48
Лемма Шура 50

372
Оглавление
Вторая лемма Шура 51
Соотношения ортогональности 51
Критерий неприводимости представления . . 53
§ 3. Группы Ли. Общие свойства 56
Топологические группы. Группы Ли . 56
Группа Ли как группа преобразований 57
Групповые свойства 59
Инфинитезимальная группа 60
Дифференциальные уравнения для <р (а, Ь) 63
Соотношения коммутации для инфинитезимальных генераторов . 66
Координатные преобразования и преобразования параметров . . 66
Каноническая форма 68
§ 4. Представления и некоторые глобальные свойства групп Ли .... 73
Присоединенное представление кольца Ли 75
Скалярное произведение двух элементов кольца Ли 76
Длина и объем в групповом пространстве 76
Групповое пространство как риманово пространство с дальним
параллелизмом 78
Оператор Казимира 78
Линейные и нелинейные представления. Пример 81
Компактность и связность. Накрывающая группа 81
Фундаментальная группа 84
Универсальная накрывающая группа 85
Соотношения ортогональности для компактных групп. Характеры 86
Группа вращений 03 и ее двузначные представления 87
Построение гильбертова пространства для SU2 88
Представления кольца Ли группы SU2 ... 89
Двузначные и однозначные представления конечных вращений . 91
Неприводимые тензорные представления группы 03 92
§ 5. Некоторые полупростые группы, связанные с общей теорией отно-
сительности . . . , 95
Группа Од 96
Группа четырехмерных вращений 04 96
Операторы Казимира для группы О, "... 99
Однородная группа Лоренца Λ 99
Представление Майораны однородной группы Лоренца 101
Операторы Казимира для группы Λ 103
Группа де Ситтера 104
Операторы Казимира 107
Обобщение уравнения Дирака на пространство де Ситтера . . ■ 107
Нейтринный случай 109
Литература Ш
2. Р. Берендс, Дж. Дрейтлейн, К. Фронсдел, В. Ли. Простые
группы и симметрии сильного взаимодействия 114
Введение 114
§ 1. Симметрии лагранжиана 117
§ 2. Алгебры Ли простых групп 119
§ 3. Представления алгебр Ли 127
A. Общие свойства представлений · 127
Б. Характеры представлений группы SU3 131
B. Характеры представлений группы G2 133
Г. Характеры представлений группы С2 136

Оглавление 373
Д. Синтез представлений алгебр Ли 137
Е. Матричные представления группы SU3 143
Ж. Матричные представления группы С2 149
3. Матричные представления группы G2 151
§ 4. Объединение и разложение представлений алгебр Ли 152
A. Геометрическая характеристика представления 153
Б. Алгебра точечных множеств . 153
B. Построение весов и кратностей неприводимых представлений . 156
Г. Редукция прямого произведения представлений 160
§ 5. Тензорный анализ простых групп Ли 162
A. Группа SUm 162
Б. Группа SU3 166
B. Группа Cs (Вг) 172
Г. Группа G3 178
§ 6. Применения 183
A. Вводные замечания 183
Б. Анализ инвариантных амплитуд 187
B. Резонансы и мезоны 192
Г. Модель, построенная на группе SU3 194
Д. Модель, построенная на группе Сг 199
Е. Модель, построенная на группе Вг 204
Ж. Модель, построенная на группе Gs 209
Литература 216
3. А. Пайс. Динамическая симметрия в физике элементарных
частиц 220
§ 1. Введение 220
§ 2. Некоторые физические применения унитарных групп 221
А. Немного определений 221
Б. Кинематические и динамические унитарные симметрии 222
§ 3. Некоторые математические методы 226
A. Представления группы SU (N) 226
Б. Представления группы U (N) 232
B. Редукция прямого произведения . 233
Г. Разложение группы SU (MN) относительно произведения
Sir(M)XSW(N) 236
Д. Генераторы; проблема обозначений; токи 239
Е. Мультиплетное содержание группы SU (M -f- N) по отношению
к произведению SU (Μ) Χ SU (N) 245
Ж. Псевдоунитарные группы 245
§ 4. Группа Si/ (6) 248
A. Введение 248
Б. Некоторые специальные супермультиплеты - 251
B. Массовые формулы 257
Г. Магнитные моменты 261
Д. Электромагнитные разности масс 264
Е- Лептон-адронные вершины 266
Ж. Нуклон-нуклонное рассеяние в S-волне 268
3. Нелептонные распады 269
И. Основная проблема 271
К. Триплеты: формальный прием или реальность? 272
§ 5. Релятивистское обобщение 276
А. Введение 276
Б. Релятивистски усиленные представления 6, 36, 56; группа U (6,6) 284

374 Оглавление
1. Матрицы релятивистского усиления 284
2. Релятивистски усиленное представление 6 286
3. Релятивистски усиленное представление 36 286
4. Релятивистски }Силенное представление 56 287
5. Группа U (6, 6) 289
В. Барион-мезонные вершины 292
1. Псевдоскалярная вершина 292
2. Векторная вершина 293
Г. Группы, связанные с группой U (6, 6) 295
Д. Унитарность; другие следствия и (6, 6)-симметрии 297
1. Проблема унитарности 298
2. Мезон-барионное рассеяние 299
3. Барион-барионное рассеяние 299
4. Нуклон-антпнуклонная аннигиляция в системе покоя 299
Е. "7-спин 301
Ж. Заключение 303
§ 6. Алгебра токов 304
A. Введение 304
Б. Алгебра токов U(12) 305
B. Применения 307
Г. Приложение. Группа симметрии £/(6, 6), группа токов £/(12)
и группа GL (!2, С) 309
§ 7. Теоремы запрета для некоторых приближенных кинематических
симметрии 310
§ 8. Вопросы 312
Литература 314
4. К. Фронсдел. Теория представлений некомпактных
алгебр Ли - . 324
§ 1. Введение 324
1.1. Цели и контуры работы 324
1.2. Основные понятия и обозначения . . . 324
1.3. Классификация комплексных алгебр Ли 326
1.4. Компактные и некомпактные алгебры Ли 326
1.5. Замечание о накрывающих группах и многозначных предста-
влениях 327
§ 2. Общие сведения о представлениях 328
2.1. Теоремы о размерности 328
2.2. Дискретные и функциональные гильбертовы пространства . . . 329
Дискретное гильбертово пространство 329
Гильбертово пространство функций 329
2.3. Область определения операторов 329
2.4. Эквивалентность гильбертовых пространств 330
2.5. О диагонализации операторов 331
2.6. Классификация представлений 333
2.7. Регулярное представление и ОРП 334
Определение ОРП 334
Определение регулярного представления 335
Определение основной серии 335
§ 3. Классификация вещественных простых алгебр 335
3.1. Вещественные подалгебры 335
3.2. Список вещественных форм простых алгебр - 337
Вещественные формы алгебры А% 337
Вещественные формы алгебры Bi 338

Оглавление 375
Вещественные формы алгебры Сг 338
Вещественные формы алгебры Dt 338
3.3. Компактные подгруппы 339
§ 4. Некомпактные унитарные группы 340
4.1. Введение .... 340
42. Фундаментальные представления 340
4.3. Представление ОРП группы SU (р, д) 341
4.4. Тензорные представления 343
4.5. Представления группы S£/(l,l) 344
Унитарность 346
4.6. Представления группы SU (2, 1) 348
4.7. Представления группы SU(p, q) 350
§ 5. Комплексные унимодулярные группы 350
5.1. Комплексные группы Ли, рассматриваемые как вещественные
группы ·__ 350
5.2. Унитарные представления комплексной простой группы .... 352
5.3. Унитарные представления группы SL(2,C) 353
5.4. Редукция группы SL (л, С) к компактной подгруппе 356
Пример группы SL (3, С) 358
§ 6. Обобщенные тензоры 350
6.1. Введение 359
6.2. Некоторые представления группы SL(n, С) 362
6.3. Некоторые другие представления группы SL (и, С) 364
Литература .... 367
Приложение 369

ТЕОРИЯ ГРУПП
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Редактор В. И. Самсонова
Художник А. Г. Антонова
Художественный рслактор П. Ф. Некундэ
Технический редактор Ф. X. Третьякова
Сдано в производство 13/1II 1967 г.
Подписано к печати 10/V1II 1967 г.
Бумага № 2, 60x90' 16=11,75 бум. л.
23,5 печ. л.,
Уч.-изд. л. 22,32. Изд. № 2,3975
Цена 1 р. 72 к. Зак. 612
ИЗДАТЕЛЬСТВО .МИР"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.